Archiv der Mathematik und Physik

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DER MATHEMATIK TIND PHYSIK

MIT BESONDERER RÜCKSICHT AUF DIE BEDÜRFNISSE
DER LEHRER AN HÖHEREN UNTERRICHTSANSTALTEN.

GEGRÜNDET 1841 DURCH J. A. GrUNERT.

DRITTE REIHE.

MIT ANHANG:

8ITZ0NOSBEBIGHTE DER BERLINER MATHEMATISCHEN GESELLSCHAFT.

HERAUSGEGEBEN

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11. BAND.

MIT 45 TEXTPIOUBKir UHD EDTEB PIOUBKHTAFBfc/ -

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LEIPZIÖ UND BEBLm,

DBÜOK UND VEBLAO VON B. G. TEÜBNEB

1907.

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I

Ünt, lleinrlck, in Bern. Berechnung von r(a)ritt-)- -1 F (o -f l

•■r/^a + '^^^] : r(nB) 206—309

Hftg«. K. H., in Delft, Eine nene Uelhode zur Zerlegung einer

periodiecbeo Kurve in ihre E&rmoniBohen , 339 — 244

RurwUa , Adolf« in Zürich. Cbec eine Aufgabe der unbedtimmten Analjata 186^1M
Isenhrahe, Caspar, in Trier, über die Erledigung des Malfattiachen

I^oblemB mit den HilfBmittelo der elementaren Planimetrie . . . 210 — 22i
JoUes. Stanislaui, in Halenaee. Eine einlache äynthetigcbe Abteitang

der G rundeigen Bcbaften eines BuBchela polarer Felder. ...... 72—76

Kob^r, Georg, in Holzminden. Die geometriache Keeolvento der

algebraischen Qleichung mit einer Unbekannten 245- — 247

K«kott, PanI, in Sagan. Das Abiotlen von Kurven bei geradliniger

Bewegung eines Punktes 60—63

Eraase, Martin, in Dresden. Zur Theorie des Inte grallugaritb mos . . 36 — 41
Lampe, Eintl, in Berlin. Einige neue Formeln r.nr angenäherten Be-
rechnung den Bogens aus dem Sinus ... 301— 30S

Landau , l^dmani] , in Berlin, Ober einige Ungl eich bei tsbeziebnngen

in der Theorie der analytischen Funktionen 81 — 86

— , in Berlin und Tocplltz, Otto, in tiöttiugen. Über die grSSt«

Schwankung einer analytischen Funktion in einem Kreise 302 — 307

Lereb, Hathlos. in Froiborg (Schweiz). Bemerkungen über eine Formel
aae der Theorie der unTollHtändigen Gammafanktion nnd des Integral-

logarithmuB 42— 51

Mejer, Engen, in Charlolteuburg. Über Büschel kubiecher lUumkurven 79— 8S
Miller, tieorge A,, Universit; of Illinois. The group» in wbich every

BubgTOup of composite Order is invariant . 78 — 79

Kenherg, Joseph, in Lüttich. Über drei Bätze von Dr. P, Zeeman Gst !25 — S88
Pelr, karl, in Prag. Über die Anzahl der Darstellungen einer Zahl als

Summe von zehn und zwölf Quadraten 83-66

HsalKcbHti, Lunis, in Königsberg i. P. Periodische Kettenbriiche 337—331

ScbaSIer, Bndwir, in Graz. Über Krümmungakreise von Kegelschnitten SIS- 327
HUckel, Paul, in Hannover, Angenäherte Berechnung eines Bogens,

von dem man den Sinus und den Cosinus kennt ... ... '296—300

8telliJt2, Ernflt. in Berlin. Über die Eulerechen Folyedcrrelationen . dB — SS

Study. Ednaril, in Bonn. Geradlinige Polj^-gone extremen Inhalts , , 289—396
Teixeira, Trancfsco (jouies, fi Porto. Sur deux maniferes de construire

les epiriques de PerseaB 64—71

Wielellner, Heinrich, in Speyer, Das Abrollen von Kurven bei gerad-
liniger Bewegung eines Punktes ............. 307 — 314

inrmwuki, Kaalnilr, in Krakau. AufateUung einiger Krümmunge form ein,
die Integral flächen partieller Differentialgleichungen 1, Ordnung

betreffen 197- 205

k

Abbandinagen der Frieaschen Schule. Von P. Jvbannettsou ,
Abraham, H. et Langevin, F., Leg quantites älementaires d'electricit^:

Ion», Electrons, Corpusciiles. Von Cl. Sehuefer ...

Ahrens, W., Scheir. und Ernst in der Mathematik. Von P. Sehafheltllu
AnnaeB scientificoa da academia poljtechnica do Porto. Von E. Jahnke

Annuaire pour l'an 1906. Ton G. Jatanke ,

Arrhenius, S. A., Lehrbuch der koamiachen Physik. Von £. AscbkinailS ,
Atti delCongTenoiiiternazionalediBcienzeBtoricbe(RotnalSOS). VonE. Lampe

Auerbach, F., Das ZeiBwerk nnd die Carl-Zeifl-Stiftung in Jena. Von

E. Aschkinasa Hl

Beltrami, E., Opere mateinaticbe. Von A. Kuest^r Sil

Blau, E.. Die Mechäoik fester Körper. 7on E. Jahube 101

Boltzmann, L.. Populäre Schriften. Tun E. Jahtike 100

Bremer. F.. Uitfaden der Pbjsik. Von A. BlUmel HG

Danneel, H., Klektrocbemie I. Vou H. Sainter 118

Oedekind, R., Stetigkeit und irrationale Zahlen. Von E. Jaholie .... lOS
Dietrich, W., Die gebrauch lieh sten DampfturbinenBygteme fQr Land- und

SchiSazwecke n^tch Konstruktion und Wirkungsweise. Voa R. Tater . . 120

DietEBchold, C, Die Hemmungen der Uhren. Von B. Vater 123

Doli, M. u. Nestle, F., Lelubuch der prakt. Geometrie. Von A, Schneider 113
Djek, W, V,, Über die Errichtung eines Museums ron Meisterwerken der

Natur Wissenschaften und Technik in Mfincheti. Von R. Vater .123

Ermenji, Ph. Dr.. Jo^tefPetzvals Leben und Veidienste. Von E, Aschkinasi« llfi

Festschrift, Adolf WQIlnergewidmetzumT0.Geburtstage.VenC1.8ckaefer DT

FrOlich, 0., Die Entwicklung der elektrischen Messungen. Von A. Koepsel 1S3
G eitler, J. Bitter von, Eloktromaguetiache ScbwinguogeD und Wellen.

Von E. AschktnaHK .... 356

G^rard, E.. Levons sor l'electricite. Von H. I.lnsenmann 26S

Haacke, F., Entwurf eines arith nie tischen Lehrganges für höhere Sohnlen.

Von P. Epstein 376

Hauber, W., Statik- Von E. Lampe 846

HauSncr, R.. Daistellende Geometrie. Von V. ScIiafheiUin 91

Hermite, Ch., Oeuvres 1. Von E. Jahiike 360

fierz, N., Geodäsie, eine Darstellung der Methoden für die Terraui-

anäiahme, Landesvermessung und Entmesanng. Von A. Schneider . . . 123

Hessenberg, G., Ebene und «phUriache Trigonometrie. Von R. GBntache 106
Eolzmüller. G.. Mt^thodischea Lehrbuch der Elementarmathematik. Von

P. SehafhelUln 108

— , Die neueren Wandlungen der elektrischen Theorien ei nach lie Blich dor

Elektronentheorie. Von E. Jahnke SGI

Hütte, Die. Des Ingenieurs Taschenbuch Von E. Jahnhe , . 362
Jahnke, E., Vorlegungen überVektorenreehnung. Vou J.Uerxogu. O.Staude 104.268
James. G. U.. Elements of the kinematics of a point and the rational

mechauics of a particie. Von E. Jabnke 102

Jesaen. K., und Girndt, M., Leitfaden d«r Baustofflehre. Von R. Vater 121
Eeferatein, H., Strahlengitng und VergrOBurang in optischen Instrumenten.

Von H. Saintfr 119

Klein. F., Über eine zeitgemUBe l'meestaltung den mathematischen Unter-
richtes an den höheren tiJcbalen. Von E. Kullrich äbS

KohlrauBch, F., Lehrbuch der praktischen Phraik. Vou E. Aschkiuaae 116
Leber, E., Das Wasser und seine Verwendung in Industrie und Gewerbe.

Von R. Vater 122

Lindt, K., Das Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten. Von S. Hllbert 107

Marchia, L., Ph.vsiqae industrielle therm odynamique II. Von R. Vater. . 121

Mathias, E., Le point critiqne dca corps pure. Von E. Pringshelm ... 93

Ha;er. H.. Die neueren Stmblungen. Von E. PrlngBheim 96

— , Blondlota .V-Strah!en. Von E. .tsehklDSH« 116

Melius, W , Methodik des Unterrichts im Hechnen und iu der Raumlehre

Von E. Knllrlch 368

Mohr, 0., Abhandlungen au» dem Gebiete der technischen Mechanik. Von

F. KBtter 849

Heora, E., Le Systeme des poids, mosures et luonnuiei des Israelites d'aprfe«

la Bible Von H. Samter HB

Holler. M., Orientierung nach dum Schatten Von P, ScbarbeltUn ... 92
Hüller, II. und Pietzker F., Rechenbuch f3r die iuuleren Klassen der

höheren Lehranatelten. Von E. Kiillrlch Sß3

— imd Bieler, A.. Kecbenbnch für Enaben-MitteUchulen. Von E. Snllrich S6S
— , Aiithmetiicbes Lehr- und Übungabocb tOi Knaben- Mittelschulen. Von

E. Kullrich 35a

— und Zwerger. M., Die Mathematik auf den Gymnaiien und Real-
anslfllten. Von E. KnllHrb 353

I

Hfiller und Kutnewsky, M., S&mmlung vog Aufgaben aua der Äiithmetik,

Trigonometrie und Stereometrie A II. Von P. Srhafheitlin 92

MQller, H. nnd Zwerger, M.. Sammiung Ton Aufgaben ai» der Arithmetik,

Trigonometrie nnd Stereometria, Von E, Kullrlch 3öS

NeDbanten der Egl. Sächsiachen Teehniechen RochBcbule zu DreKdeii,

Von B. T»ter 1!2

Newest, Th., Einige Weltprobleme, Von H. Samter llft

Nielsen, N., Httodbach der Theorie der Zylinderfunktionen. Von

E. HaeDUBfibel 31G

d'Ocagne, H., Le cnicul HiinpUli^ par lee proc^dÜB mäoanique« et gra-

pbiqnes Von H. Fttrl« 386

Pioard, E., Traite d'analjse. Von E. Jalinke 91

Rieche, E.. Beiträge zur Frage cles Uoteri-ichtB in Physik und Agtronomie

an den höheren Schulen. Von A. Blfintel IIT

Bogel, F. Dm Rechnen mit Vorteil. Von E. Knlliich 356

Ratherfotd, E, Eadioactivity. Von F. Harms 9a

Scbtnehl. Chr., Die Elemente der Bphürischen Astronomie und dei mathe-

nadscbea Geographie Von E. Kullrlch S6Ü

Scbmid, B., PhiloHOpbischeB Lesebuch tum (jebranch an höheren Schulen

und zum SelbetHtudium. Von P. JohanneHHUD 1S6

Schmidt. G. C, Die Kathodenatrahlen. Von E. AsohklnaHH 115

ScbiOder, E., Die Anfaugsgründa der Ditferenttal- und Integralrechnung.

Von 0. GnUcUe 840

Schulze, E. und Fahl, F., HathematiBche Aufgaben. Von G. Enllricll . S67

Schnmann, E., Lehrbuch der ebenen Geometrie. Von R. Gillitsohe . . . 361

Schüfiler, R.. ürthogüuale A^ionometrie. Von F. Schnrbeillin 9S

Schütte, G-, AnfangBgritnde der darstellenden Geometrie. Von E. Enllrlcb 351

Starke, H., Eiperim enteile ElektrizitHtalehre. Von E. Aichklnnss .... 35G
Sttobel, F., Adreßbuch der lebeuden Physiker, Mathematiker und Aetronomen

dea In- and Auslandes und der technischen Hilfskräfte. Von E. Jahnke 96

Tannery, J, Le^ons d'alg^bre et d'analyse. Voa £. Jabiike 31S

TbomaoD, J., Condnction of Electricity throu^h Gases. Von E. AschklnasB 89
VerhandUngen des m. internationalen Mathematiker-EongreBses

in Heidelberg vom 8. bis IS. August 1904. Von G. HeSflenberg . ... 106

Tonderlinn, X, Schattenkoustruktionen. Von P. Scbafheitlln 91

Wallentic. J, , Einleitung in die theoretische El ektrizitäta lehre. Von

E. Aschhloass ... 356

Weber, H. und WelUtein, J., Encyklopädie der Eiern entar-Mathematik.

I, nnd U. Band Von 0. Pund bezw. E. Lampe 106. 342

Webster, A. G., The dynamics of particlea and of rigid, elastic and fluid

bodie«. Von E. Hean 112

Weinstein, B., Thermodynamik und Kinetik der Körper. Von E, Prlngaheim 93

Zehnder, L., Das Lehen im Weltall- Von E. PringBht'im 93

Ziramermann, H.. Die Knickfestigkeit etnea Stabes mit elastischer Qner-

stötcDDg. Von E. Jahnke 350

Vermisobte Hitteilnngen.
1. Aufgaben and Lebrstltze. Losungen.

A. Aufgaben nnd Lehrsätie- 102—179. VonE.JahnkP. C. Jnel, G. Kober,
A. KniK, J. Krug, J. Karsch.lk. 0. HeiBner. Vi. Fr. Hcjer, 0. Pnnd,
L. SulschUtü, P. Si-hnfheltUn. F. Sc-ble^el, F. 8tSi-k<>l, H. Wle-
leltoer las. 876. SB»

B. Losungen: Zu 81 (F'. Lampe) von stud. matb. W. Gaedecke .... 13S

Zu tu (E. K. Bariaien) von stud, matb. Vi, Gaedecke . . 133

Zu 41 (E. Lampe) von stud. math. J, Krug 187

Za lih (E. Jahnke) von E. Jabnkfh 14»

Zu ISä (M. Peche) von U. Stegcmann, stud. math. J. Krug,

B. Wieleituer . 142. 360

Zn 188 (B. Jahnke) von A. Krug 143

Zu 184 (E, Cesiico) von E, Rath 144

Zu 18& (E. Jahnke) von E. Rath, stud. matb. J. Krug 114. J46

Zu 188 (0. Gutache) von stud. math, i. Krue 146

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VI

Inhalt.

Zu 19» (U. Meißner) tod etud. math. J. Kru|;, 0. MelBnfr

Zu liS (J. Krug) von Vi. Stegemann

Zu 144 (E. Cenäro) vud F. Batli

Zu Uö (P. Epatem) von J. KrnK, U. Wieleltner, stud. math.
F. Sclilegel, J. WesUnnd, P. Ep§(eiii, F. X. MOUer,

A. WIpftTlcU 119—151,

Zu 147 (H. WieJeitner) von Btnd, math. J. Krug, H. Wle-

leltner, W. SteyemaBn, 0, Gatsobe .... 161—
Ztt 148 (E. Lemoine; von A, Krug. VI. Stegemaau . 1&3,

Zu 1«0 (0. HeiBuer) von stud. math. J. Krn^

8. A. Anfragen. 29—81 Von 0. MefBuer, 0. fiiitscbe, P. ZUUlke . ifiö.

B. Antworten. Zu 11 (R, Guntsohe) von R. Oilntnohe

Zn 17 (0. Meißner) von 0. Meißner

Zu 29 (0. Meißner) von Vi, D, Lambert

5. Kleinere Notiiien.

Die numeiische AuflCaung kubiitcher Gleichungen. Ton U. DSrrle . . .

Übef rationale Tetraeder Von B. Ultntsrhe

On the addition theorem of a function. Von T. Hajatthi

Gleichung der Geraden der Hühenpunkte der vier von den Seiten eines
ebenen Vieraeits gebildeten Dreiecke. Von R, Reger

Beispiel iaothermiBcher LenmiakateoBchaien. Von U. hulzmUller ....

Über die gleichseitige Hyperbel. Von stud. math. K. E. Hiipka

Zur Theorie der konjugierten Tangenten. Von etud. math, ff. JSgichen

Auflösung der traueiendeDten Gleichung x '^ ij -i- »in y. Von stud. math.
J. Krug

Bemerkung zu den L-Kurven dea Herrn Lesaer. Von F.. Laniiie . , . . :

Eine neue Formel für den ßest der Taylorschen Reihe. Von J. Ltlroth

Über Multiplikationstafeln. Von J. Plaßuiann

Beitrug zur Inhaltsbestimmung der Fasset. Von T,. PuLIer

Elektromagnetische Riuhtungsregeln. Von i, K, Saroec

Die Manmaache Punktion algleichnng im Zusammenhang mit der Differential-
gleichung f{x,y)dx -f f(tf,x')dv^ u. Von A. nendler

Die Parallelknrie der Klotho'ide, Von H. Wloleltner

4. Bpiechflaal für die Encyklopädie der matijematisoben Wissen -

■ chaften M. Bücher, H. Fclir, E. MiUler, K. Petr, S. Flncherle 180. I

6. Bei der Redaktion eingegangene Bücher 182. 286. I

SitBUngaberichte der Berliner MathematiBOben OeseUBOhaft.

Herausgegeben vom Vorstände der Gesellschaft.

41. SitRung am 3o. Mai l'joe 6, ]

46. ,., „ KT. Juni 1Ü06 7

46. „ „ SI, <iktober 1906 •,

47 28. November 1906 ,

48. „ „ la, Dezember 1906 ,

40. ,. „ 30. Januar 19117 1

40. „ „ 37. Februar 1807 „ S

Die EoDgmenx x^ x Imod. 10'}. Von M. Koppe &, 7

Über das Foucaultsche Pendel. Von A. Deßliot „7

Die Lage der Nnll.qtellen der Besselschen Funktionen zweiter Art. Von

P. SühafbeUlln S

Rationale Tetraeder. Von K. nant»ebe tt,

Beitratf zur xeichneriac^ben BehamUung der Kegelschnitte, Von 0. Hessenberg ., 1
Bemerkung in meinem Vortrage über Vierecke mit rechtwinkligen Diagonalen.

Von H. ZtwbarlHH , , , . „2

Beitrag zur Theorie der homogenen linearen Differenzengleichungen zweiter

ÜrSnung, Von (J. Waltenberg ., S

Hitglieder -Verzeiuhnis i, S

Znr projektivisclieii Behandlnng der Dreiecksgeometrie.

Von Gustav Berkhan in Hamburg.

V&ncort. — Der Vorlesung über ,,höhere Geometrie", die mein
hochverehrter Lehrer, Herr Prof. W. Fr. Meyer zu Königsberg im
Sommersemester 1903 gehalten hat, verdanke ich die Anregung zu dem
Versuche, den Gedanken, daß „die metrischen Eigenschaften der geo-
metrischen Gebilde als projektive in bezug auf den unendlich fernen
Kugelkreis erscheinen"^), zum Beweise metrischer Sätze zu verwenden —
systemcUisdier cUs das hisJier geschehen ist.

Indem ich mich zunächst auf die Geometrie der Ebene ^), ins-
besondere die des Dreiecks beschränkte, verfaßte ich eine, am 20. Juli 1904
von der Königsberger philosophischen Fakultät gekrönte, Preisarbeit,
die naturgemäß, ohne angenähert vollständig zu sein, schon sehr um-
fangreich wurde. Daraus ist die vorliegende Dissertation ein sehr
kurzer Auszug.

In diesem sind nicht nur Einzelheiten — Rechnungen und weniger
interessante Sätze — unterdrückt: ganz fortgelassen ist ein Teil, der
die f&r die neuere Dreiecksgeometrie wichtige Theorie dreier gleich-
wendig ähnlichen Figuren projektivisch behandelt, und ein Anhang,
der das Dreieck in der Ebene der komplexen Zahlen studiert

Einleitung. — 1. „Es ist in der Tat bewundernswürdig, daß eine
80 einfache Figur, wie das Dreieck, so unerschöpflich an Eigenschaften
ist" Wer würde diesem Wort^) nicht beistimmen, zumal, nachdem
sich in jüngster Zeit die sogenannte neuere Dreiecksgeometrie so
mächtig entwickelt hat!

Von den Eigenschafben des Dreiecks kennt man heute bereits so
viele, daß das dringende Bedürfnis nach einem durchgreifenden Ordnimgs-
prinzip*) vorliegt

1) KarlDoehlemann, Geometrische Transformationen I. Sammlung Seh abert.
Leipzig 1902. S. 18.

2) An Stelle des Kugelkreises treten da die Kreispunkte.

3) A. L. Grelle, Sammlung mathematischer Aufsätze. L, 1821, S. 176.

4) Vgl. hierzu F. Caspary, Zur neueren Dreiecksgeometrie. Archiv d. Math.
XL Physik (3) 1, 143 -168, 269 — 288, 1901 und E. Jahnke, Über dreifach per-
spektivische Dreiecke in der Dreiecksgeometrie. Progr. d. Achten Realsch. Berlin,
Ostern 1900.

ArvluT d«r lUth«m*tik und Physik. IIL Beihe. XI. 1

i

2. Wie der „Lemoinesche Punkt" einea Dreiecks von Gri

in die WiBsenacliaft als der Punkt eingeführt worden ist, filr den die
Summe aus den Quadraten seiner Abstände von den Seiten des Dreiecka
ein Minimum wird, so könnte man überhaupt merkwürdige Punkte,
Geraden, Kegelsehnitte usw. iu der Ebene des Dreiecks dadurch defi-
nieren, daß für diese Elemente oder Gebilde irgend eine Funktion
ihrer Koordinaten, Parameter, . . . einen auegezeichneten Wert, ein Mini-
mum oder ein Maximum erreicht. Es dürfte nicht schwer sein, in
jedem einzelnen Falle die geeignete Fiuiktion heraaszutinden.')

So könnte mau viele Merkwürdigkeiten, die daa Dreieck in sich
birgt, auf die eine zurückführen, daß ein Wert unter vielen anderen
der kleinste oder der größte ist. Es bliebe dann noi-h die Aufgabe,
jene Funktionen, um deren Estrema es sich handelt, wissenschaftiich
zu verarbeiten.

3. Ein auderes Ordnungsprinzip, daa in dieser Arbeit ausscbließüch
zur Anwendung kommen soll, bietet die projektive Geometrie in jenem
Begriff, der entsteht, wenn man ihr die Metrik unterordnet, in dem
Begriff der imaginären unendlich fernen Kreispunkte.

Sucht man in der projektiven Ebene diejenigen Elemente, die von
allen endlichen Elementen einen unendlich großen Abstand haben, so
findet man als Ort für die Punkte eine Gerade — die unendlich ferne
Gerade der Ebene — und als Ort für die Gemden einen Klassenkegel-
Bchnitt, der in ein imaginäres Punktepaiir — in das Kreispuoktepaai
auf der unendlich fernen Geraden — zerfallen ist.*)

4. Die Kreispunkte und ihre Verbindungslinie, die unendlich ferne
Gerade, (daa absolute*) Gebilde) dienen bekanntlich dazu, alle me-
trischen Begriffe ( Parallelismus, Mitte, senkrecht, Kreis usw.) rein pro-
jektiv zu definieren. Sie spielen daher in allen metrischen Sätzen eine
wichtige Rolle, doch nicht überall die gleiche,*) W^enn sie auch zui
projektivischen Ableitung eines jeden metrischen Satzes hinreichen
müssen, so sind sie doch nicht für alle tn gleichem Maße notwendig.
In einigen Sätzen spielen nicht die Kreisp unkte selber eine Kolb

1) FBr die SteiDerschen EUipaen des Dreiecks hat der PlKcheninhiilt einet
größten (kleiuBteo) Wert. Mit Hilfe dreier Zahlen X. fi, v kann man jeden Punk
lu einem Minimumiipunkt machen. J.Schick, De7,iehungen zwischen lao^tonal'
KBiitrik und Invartantentheorie, Mfintbener Berichte. 80, 24U— 273, 1900.

'2) Karl Doehlcmann, Oeometrische Tränet ormatiunen, 1, Sammlung
Schobert. Leipzig 1903. ä, 88.

8) Ehendn S. H4. S. 139,

*) Vergi, W- Fr. Meyer. Üher die Höhen d,^s Tetraeders, .Archiv d. Math,
n. Physik. [3) N, 13,^ mOl,

Zur piojektiviBclien Behandlung' der Dreiecbageometrie.

sondern nur ihre Verbind unyslinie, die nnendlieh ferne Gerade'); lu
andere geht das Kreispunkte paar mir als Kegeischnitt ein, Ton dem
es ganz gleichgültig ist, ob er in ein Piinktepaar zerfällt oder nicht.*)
Scliließlicli ist es f^r einige Sätze uuentbehrlicli, daß der abeohite
Kegelschnitt wirklich aucli ein Punktepaar iat.^)

In welcher Art nun (tau Kreisjmnltfjiaar dett einwUien metrischen
Betiehuiigen ztignmäe liegt, erkennt man am besten dann, wenn man es
durch ein helieblg, aber fest gewähltes absolutes Gebilde, sei es also durch
fine absolute Gerade, einen absoluten allgemeinen Kegelschnitt (der nicht
zerfallen ist) oder ein absolutes Punktepaar ersetzt.*)

Den drei Klassen, in die demnach die Sätze der Metrik zerfallen,
BoUen die drei AbB^^llmtte dieser Arbeit entsprechen, deren jeder natür-
lich nor wenige Beispiele enthalten kann.

Ehe wir uns jedoch dem ersten Abschnitte zuwenden, müssen wir
am SchluS dieser Einleitung noch einige Bemerkungen über projektive
Beziehungen am Dreieck vorausschicken, damit wir uns im folgenden
darauf beziehen können.

5. Wenn man in der projektiven Geometrie von den Gmndgebilden
erster Stufe zu denen zweiter Stufe übergeht, so trifft mau als ein-
fachste Figuren solclie an, die aus drei Elementen gebildet werden.
In der Geometrie der Ebene ist das die Figur, die zugleich Dreieck
nnd Dreiseit, sich selbst dual ist.

Für die Bezeichnung sei das folgende Schema maßgebend: Das
Dreieck A, bezw, das Dreiseit n hat die Ecken J,, A^, A^, die
Seiten «„ a„ a^ (die Winkel u, = A,[A,A,] = - A,[A,A^]).

Das Dreieck- Drei seit bietet zu projektiven Betrachtungen kaum
Gelegenheit; erst das Viereck und das Vierseit habeu für die projektive
Geometrie eine grundlegende Bedeutung. Was jetzt folgen soll, deckt
sich dem Inhalte nach meist mit der Theorie dieser Figuren; nur die
Form ist der Dreieeksgeometrie angepaßt.

6. Es sei A das Gnmddreieck eines projektiven Koordinatensystems.')
Sind dann drei Zahlen j),, p^, p^ ilirein absoluten Werte nach und bis
Rnf einen gemeinsamen Faktor gegeben, so gehören zu diesen als
Koordinatenwerten vier Punkte in der Ebene des Dreiecks ,1:

P-PilHPf A : - PlPiPy Pf-Pi~ PiPs- ^a -PiPi- Py

I] Affine Geometrie.

2) Hjperboliacbe und eUiptieche Guooietrie.

3) Parnbolieche Geumetrie.

I) Den Fall eines absolnten Getadenpuarea laKsen wir uiiberüekniehtigt, weil
er keiii metrisches Interesse bietet
5) K- Doeblemann it. a. 0.

i

Daa von diesen vier Punkten P gebildete Viereck hat das Grund-
dreieck A zum Diagonaldreieck.

Dieser Satz begreift eine Menge harnionischer Eigenachafteu; vier
solche Punkte P heißen deswegen Imrnioniscfi assoziierl*^) in bezug auf
das Gnmddreieck. Das Dreieck, das je drei dieser Punkte bilden, möge
kurz das dem vierten harmonisch aasozüerte Dreieck heißen.

Dual erhalten wir harmoniBch assoziierte Geraden und Dreiseite.

7. Die Dreiecke P und A liegen perspektivisch; Eollineations-
zentrum ist der Punkt P, Kollineationsachse die ,,Harnionil-al&' oder
f^eraäe Polnr^' :t von P, deren Koordinaten l/pf sind.^)

Fassen wir das Dreieck A als Kurve dritter Ordnung auf, so er-
halten wir zu einem Punkte P außer der eben genannten geraden
Polare noch die koni^ciie Polare: P = p^ä-^J^g + 7»»^'»^', + Pt^iS:^ ^ 0,
also einen dem Dreieck A um- und dem Dreieck P ebibeschriebeueu
Kegelschnitt.

Dual erhalten wir als Polaren zu einer Geraden in bezug auf das
als Kurve dritter Klasse aufgefallte Grunddreieck einen Punkt, ihren
JUreieclisjiol, und einen dem Dreieck A ein beschriebeneu Kegelschnitt,
und zwar zur obigen Geraden n wieder den Punkt P und den Kegel-
schnitt: n := M,«(/;>i -I- «jM,/p, -I- U,M,/j), — U.

8. Nach dm bisherigen Entu^icklimge» gehören immer vier GehiUle
mg zusammen; Ein Funkt, eine Gerade, ein ümkegvlschniU und ein In-
kegelsdmitt des Granddreiecks.

Besonders interessant ist noch der folgende Satz'):

Zwei zusammengehörige Kegelschnitte P und 11 berühren sich

doppelt'), und zwar so, daß die zugehörigen Elemente P und x Be-

rührungspol und Berdhrungssehne sind.

9. Diese natürlich höchst unvollständigen Betrachtungen spielen
in der neueren Dreiecksgeometrie eine wichtige Rolle:

Unter den UmkegelschnUten rfw Grimddreiedis A ist einer mis-
geeeichnet: sein Umkreis. Auch eu ihm gchiken in dem obigen Sititw
ein liäceijdschnitt, ein Putikt und eine Gerade: die Brocardsche Ellipse,

1) E. Bouche et Ch, de ComberouaBe, Trait^ de Göomötrie. I. p. 449.
Parii IBOü. Gauthier-Villani,

3) Die (ieiude n erhält man auch, wena man auf P zunächst eine qu&dratiache
Trftusfonnatioii (p,«;,- " 1) und dann auf den Bitdptinkt Q eine Korrelation (Uj ^ qj)
Anwendet.

S) Max Greiner, Pol imd Polare des Dreiecks. Archiv der Math, und Pbjsik.
6», 1870.

4) Diese Doppi'llipriilirung ist steta imaginllr.

d

Zur projektivischen Behandlung der Dreiecksgeometrie. 5

der Lemoinesclie Punkt und die Lemoincsche Gerade des Grund-
dreiecks^)

Erster Abschnitt: Das Dreieck und die absolute Gerade.

I. Die absolute Gerade. — 10. Wie in der Einleitung bereits be-
tont wurde ; enthalten einige metrische Sätze nur Beziehungen zur
unendlich fernen Geraden, nicht zum Kreispunktepaar. Sie sind vom
projektiren Standpunkt aus die einfacheren. Einige dieser Sätze bilden
den Inhalt dieses ersten Abschnittes.

Die unendlich ferne Gerade ersetzen wir durch eitie beliebige Gerade,
die wir aber, nachdem ivir gewählt, festhalteti und darum als die absolute
Gerade bezeichnen können.

II. Jede Eurre nter Ordnung schneidet die absolute Gerade in
»Punkten, die kurz als die Richtpunkte der Kurve bezeichnet werden
mögen.

Mit Hilfe der absoluten Geraden definieren wir in bekannter Weise
den Parallelismus zweier Geraden, die Homothetik zweier Kegelschnitte,
die Ähnlichkeitslage ^) zweier Dreiecke, den Mittelpunkt und die
Asymptoten eines Kegelschnitts, die Mitte einer Strecke, die durch
drei Punkte einer Geraden bestimmten Verhältnisse (als Doppelverhält-
nisse dieser drei Punkte und des Richtpunktes ihrer Geraden), die
Mittellinien und den ihnen gemeinsamen Flächenschwerpunkt des Drei-
ecks, dessen gerade Polare in bezug auf das Dreieck wieder die absolute
Gerade ist, usw.

Die konischen Polaren des Schwerpunktes und der absoluten Ge-
raden sind die beiden Stein ersehen Ellipsen, die Umellipse und die
Inellipse. Aus Nr. 8 folgt, daß diese homothetisch und konzen-
trisch sind.

12. Die absolute Gerade könnte man — um die Rechnung zu ver-
einfachen — zur Einheitsgeraden des Koordinatensystems wählen.')

1) Wegen dieser wichtigen Gebilde vergleiche man die Hauptwerke über
neuere Dreiecksgeometrie:

A. Emmerich, Die Brocaidschen Gebilde und ihre Beziehungen zu den ver-
wandten merkwürdigen Punkten und Kreisen des Dreiecks. Berlin 1891. Mit
reichhaltigem Literaturnachweis !

W. Fuhrmann, Synthetische Beweise planimetrischer Sätze. Berlin 1890.

£. Bouch^ et Ch. de Gomberousse, Traitä de G^om^trie I. et 11. Yll. ^d.
Paris 1900.

Auch sei hingewiesen auf die Berichte von E. Yigarid, Association Fran9aise
pour r Avancement des Sciences, zuerst Congräs de Toulouse 1887.

2) Die Ähnlichkeit können wir hier nicht definieren.
3} BaiTzentrische Koordinaten.

FBaiin würde aber meistens die Möglichkeit verloreu gehen, zu etit-
BcheiJen, ob und welche Rolle die abaolute Gerade in den einzelnen
Sätzen spielt.

Ihre Gleichung sei dämm gi^-) ^ i/j3\ + g^x^ -i- g^Xg = 0. Dann
■ind die Gleichungen des Schwerpunktes und der Steinerschea EUipseu:

2«,/'M-o. ^l/ffA-O. Ä/«.-o-

2. Diirck die absoluta Gcrcule dcjinierie Transformationen. — 13. Die
litenmitten des Orunddreiecks A seien G^. Das Mittendreieck (i liegt
ähnlich zum Grunddreieck A. Alinlicbkeitspunkt iat der Schwerpunkt (i.
Einem Punkte X von A entspricht ein Punkt Y von G. Y heißt der
Kompl^mentimnH von X, X der Antihompleiwiitpankt von 1'. Dual
liegen die Verhältnisse für die Geraden.')

Dn es sich um eine Zentralkollineation mit dem Zentrum G und
der Achse g handelt, eo gilt: Homologe Punkte {X und Y) liegen auf
einer Geraden durch G, homologe Geraden sind parallel, homologe
Kegelschnitte homothetisch.

Der Punkt X habe die Koordinaten x- im Grunddreieck A und
x'i im Mittendreieck G. Dann hat der Komplementpunkt F zu X die
Koordinaten yl = xi, der AntJkomplementpunkt Z zu X die Koordi-
naten ii = x'i.

Die Transformationsgleiehutigen') sind:

giXi = — ffiXi + gtXi + g,x,
f9r Linienkoordinatün :

«i/ffi — — W/S'/ + nl/'ji- + ii'Jg,

= ffk3;i, + gix'i = X, + Xi;

2ul/gi = iii/g, -\- u,/g,.

Ist Jfl der Richtpunkt der Geraden XYZG, so gelten folgende Be
Ziehungen:

iGX^XY) = ^2, {XYGZ)^-1, (XZYX;) = ~-\.

Die letzte lautet in Worten: Die von einem Punkte X und seinem
ADtikomplement])unkt Z begrenzte Strecke wird durch den Komplement-
punkt Y halbiert.

14. Nicht minder wichtig als die soeben bebandelte lineare Trans-
formation ist einp. quadratische Verwandtschaft, die in jedem Dreieck
durch die absolute Gerade definiert werden kann, die Verwandtschaft,

J) Emil Hain, Archiv d, Matbem. u. PhvBilt (2) 8, 1886.

C. G. Beuscblc, Zeitschrift für Mathcm. n. Physik. 11, 1886.
3) Diflsv HJtid eo zu betttinunen, üaB G und g in beiden Dreieckeu A uad Q
di««ell>i.'n KnordinateD haben.

Zur projekti vischen Behandlung der Dreiecksgeometrie. 7

die das Grunddreieck Ä zum Hauptdreieck und die absolute Gerade g
zu einer Doppelgeraden hat, also durch die Gleichungen tiiVt = gj dar-
gestellt wird. Die drei anderen Doppelgeraden bilden das zur absoluten
Geraden harmonisch assoziierte Dreiseit: das Mittendreieck G. Je zwei
Gegengeraden u und v schneiden jede Seite a- des Grunddreiecks in zwei
homologen Punkten einer Involution, deren Doppelpunkte die Mitte G^
and der Richtpunkt der Seite a,- sind, also in zwei Punkten, die zur
Seitenmitte g^ symmetrisch liegen. Daher heißen ii und v Seiten-
symmetriegeraden. ^)

Indem wir jede Gerade durch ihren Dreieckspol ersetzen, erhalten
wir zu dieser Geradentransformation die folgende Punkttransformation:
^i-y. = 1/^. Doppelpunkte sind der Schwerpunkt G und die ihm har-
monisch assoziierten Punkte.

Projizieren wir je zwei homologe Punkte X und Y aus der Ecke A^
in zwei Punkte der Seite a,., so liegen auch diese symmetrisch zur
Seitenmitte G^, Daher die Bezeichnungen*): Seltengegenpunkte, Isotome
Verwandtschaft. Zwei Punkte oder Geraden, deren Koordinaten die
Gleichung xly! =»1/^ oder ulvl = </? erfüllen, sind Seitengegenpimkte
oder Seitensymmetriegeraden im Mittendreieck.

15. Indem wir die lineare Verwandtschaft der Nr. 1 3 und d ie quadratische
der Nr. 14 vereinigen, erhalten wir eine neue quadratische (die Icomplc-
mentisotome) Verwandtsclmft mit den Gleichungen Xiyl=l/gf, Utvl^gf.

Für den Punkt Y{yl) und die Gerade v vi) gelten (bei gegebenem
X tmd u) folgende einfachen Konstruktionen:

Wir projizieren X aus den Ecken A- des Grunddreiecks auf die
Seiten G^G^ des Mittendreiecks und die so erhaltenen Punkte^) aus den
Ecken G^ in den Punkt Y. Wir projizieren die Schnittpunkte (u • a^
aus A^ auf G^G^ Die so erhaltenen Punkte liegen auf der Geraden r.*)

16. Eine Anwendung von diesen Verwandtschaften kann man
machen, um die Steinerseben Ellipsen als Bilder der absoluten Geraden
und des Schwerpunktes, femer um den Mittelpunkt eines In- oder üm-
kegelschuittes zu bestimmen. In dieser Hinsicht seien folgende Sätze
mitgeteilt: Zwischen dem Br i an c hon sehen ^) Punkte X und dem Mittel-

1) F. Bücking, Archiv der Mathem. u. Physik (2) 16. 1898.

2) W. Fuhrmann, Synthetische Beweise planimetrischer Sätze. Berlin
1890. S. 67.

8) Das sind die Mitten der Scheitelgeraden Ä^X, die^e gemessen von der
Ecke Ai bis zur Seite a^.

4) Die Gerade v verbindet die Mitten der Diagonalen des Yierdeits a^ a^a^ui
Die 6 au ß sehe Gerade des Yierseits.

5) Brian eh on-Punkt des Kegelschnittdreiseits. Die Beziehung zwischen
einem Inkegelschnitt und seinem Br i an chon- Punkt ist die der Nr. 8.

punkte Y eines Inkegelschnitts besteht die komplemeiit- isotome Ver-
wandtschaft. Ein Punkt und der Mittelpunkt seiner konischeu Polare
(in bezug auf das Grunddreieck) sind Seitengegenpunkte im Mittendreieck.
3. Der Lehrsatz von Feuerbach. — 17. Nach dem vorletzten Satze
hat ein Inkegelschnitt, dessen Mittelpunkt die Koordinaten ;/,. irti Grund-
dreieck und t/'i im Mittendreieck tat, die Gleichung:

(1) 9)(«h) = ^^y'^utu, = 0.

Er schneidet die absolute Gerade im Puuktepaar:

I [9MY-9i"»)-'p(ß9) = ^Ä*Wi«t =- 0, worin

Die Koordinaten ;/, kommen hier nur im Quadrat vor, d. h.: Die vier
Tnkegel schnitte, deren Mittelpunkte harmonisch assoziiert sind, sind
homothetisch.

18. Nebenbei sei erwähnt: Soll das Punktepaar (2) einer Invo-
lution angehören, d. li. sich selbst konjugiert sein in bezug anf einen
Kegelschnitt ?'n*'| + fc^t^:^ + ö«^' = 0, so muß die Invariante ^ßn^n
verschwinden, mithin die Gleichung gelten: ''n.Vi + &ta.Vs + ^as!^ "~ '^■
Es folgt der SiitzM; Die Mittelpunkte derjenigen Inkegelschnitte, deren
Richtpunkte einer Involution angehören, liegen auf dein Polkegelschnitt
des Grunddreiecks , der durch die Doppelpunkte der Involution geht.

19. Durch die Punkte (2) und die Ecken G^ des Mittendreiecks
geht der folgende Kegelschnitt:

Für das Mittendreieck als Koordiuatendreieck hat der Inkegel-
schnitt (1) die folgende Ordnungsgleichung:

Zwei homothetische Kegelschnitte haben außer der absoluten Ge-
raden noch eine (wesentliche) Schnittseime, die man als ihre Radikal-
acbee bezeichnen kann. Für die Kegelschnitte (3) und (4) hat diese
die Koordinaten ii] ^ gi((/tyt — Hij/iY. Diese Werte it) erfüllen die Klassen-
gleichung des Kegelschnittes (3): ^^i/.yju'i =■ 0, d. h. die Kegelschnitte
(3) und (4) berühren sieb.

Die gemeinsame Taugente (Kadikalachae) bat im Grunddreieck die
Koordinaten :
«- = ffi/iStVi ~ ffiVi)-

) Die Mittelpunkte der gleichBeitigen Inhypeibeln liegen auf dem Polkceia
des Dreieck«.

J

Je4tr ümkegelsdtniü des Mitteiidreieeks berührt die vier m ihm
bomothetisdien Inlegdschnitte des Grunddreiecks. Die vier genieirisamen
Tangenten berühren auch die Stcinersche IneUipse. I)ire SetlmsyrrnHetrie-
geraden gehen — außer durch den Schwerpunkt — durch die Mitiel-
pwikte der vier XnkeyehdtniUe.

Ganz abgesehen davon, daß wir die utiendlich ferne Gerade durch
die allgemeine absolute Gerade ersetzt haben, ist dieser Satz offenbar

Ieine Erweiterung des bekannten Feuerbachschen Satzes, nach dem
(ter Umkreis des Mitteudreiecks, der sogenannte Feuerbachscbe EreiB
^ Gmnddreiecks, dessen Inkreise berülirt.
4. Der Lehrsatz von Tucher.*) — 2Ü. Es gibt «3^ viele Dreiecke F,
die bei gegebenem Ahnlichkeitspunkt zum Grunddreieck A ähnlich
'B^en. Jedes dieser Dreiecke schneidet das Grunddreieck — ■ außer in
, ilrei Punkten der absoluten Geraden — in sechs Punkten eines Kegel-
Bcbnittes. Die so erhaltenen co' Kegelschnitte sollen etwas näher
betrachtet werden.
■ Die Seiten eines Dreiecks F, seien: /) = j(j^) -f Aji^ = 0. Das

H K'illineationszentrum von F) und A hat die Koordinaten j', = I/ij, ist
^r »IsD ein fester Punkt P, wenn wir setzen: IIX^^' pjA. Dann lauten
" Üf obigen Gleichnngen:

/; = .'/(^) + ^--r,//>, = U.

Durch die neun Schnittpunkte der Dreiecke i^^ und A geht jede
^irrp 3. Ordnung

liindlirch. För p = ^'/PiPtlh zerfällt diese in die absolute Gerade
1)12) = und den gesnchten Kegelachnitt:

Ti s g(x) ■ [<j{x') + lx{x)\ + A» ■ ?{xx) = 0,
wnria

x{j) ^^xjp^ = ü und P(xx) =2^tX,jp^p, =

die gerade und die konische Polare des Punktes P sind. Also:

Die Kegiiscfmitte T liegen hotnothetisch zur konisdien Polare P des
Ähnlich/ceUgpuitktes P. Die Badikalaeksen sind seina- geraden Polare n

\ \) B. Paacal, Repertorimn der hShoren Mathematik U. S. 71. Leipzig. 1802.

J) Die Mittelpunkte der KegelBchnitte T liegen, wie die Rechnnng ergibt, iii
tlner Geraden.

k

10 Gustav Bbkkhan:

21. Bildet man

q>i = /; + A Vp, = 9(^) + K^klPk + Vft) = /l + ^ • ^JPkj

so gehen die Geraden 9>< = durch die Schnittpunkte [f\ - a^\ und
[/ja^]^ bestimmen also auch jene sechs Punkte auf den Seiten des
Grunddreiecks, durch die der Kegelschnitt T;^ hindurchgeht.

Das Dreieck liegt perspektivisch zum Grunddreieck; KoUinea-
tionszentrum ist P, Eollineationsachse jedoch nicht die absolute Ge-
rade g^ sondern die lladikalachse {ß(x) -{- ln{x) = Qf] von T;^ und P.
Hingegen liegt ähnlich zum Dreieck, das dem Punkte P harmo-
nisch assoziiert ist, zum Ecktangentendreieck der konischen Polare P.
Ahulichkeitspunkt ist P.

22. Indem wir die Diskriminante der in l quadratischen Gleichung
T^ = gleich Null setzen, erhalten wir als wesenüiche Envcloppe der
Kegdschnitte T — neben der doppelt zu zählenden absoluten Geraden g
— den Kegelschnitt:

n^(x) — 4:P(xx) '^^xf/pl — 2^XkXt/pkPt = 0,

d. i. die konische Polare n(xx) der Geraden tc.

23. Für A = cx) ^) ergibt sich als Dreieck F^ das Grunddreieck A
und als Kegelschnitt Tjo die konische Polare P. Das Dieieck Ä spielt
für unsere Betrachtungen keine besondere Rolle in dem System der
Dreiecke F. Wie zu ihm, erhalten wir zu jedem Dreieck F ein
System von oc^ Kegelschnitten, im ganzen also, als Erzeugnis je zweier
Dreiecke 1^^ und F^ die <x>^ Kegelschnitte:

T,^ = g\x) . (A* + A/t + .it«) + g(x) • n{x) .1^(1 + ^) + P(xx) • A^* - 0.

Alle diese sind zu einander homothetisch, alle ihre Radikalachsen sind
parallel. Für /t = A wird T;^^ die konische Polare P;^ von P bez. F^l

P^ = g\x) • 3 + g(x) . 7c(x) . 21 + P(xx) • X" = 0.

Für A « const. erhält man als (wesentliche) Enveloppe der T^^ einen
Kegelschnitt 77^, der im Sinne der Nr. 8 zu P im Dreieck F^ gehört:

11^ = - [g\x) . 3 + g(x) ' 7c{x) • 2 A] + n(xx) • A« = 0.

Die Kegelschnitte P;^ wie auch Ui haben zur Enveloppe das imaginäre
Geradenpaar:

n(xx) + P(XX) ^^S^/pJ —^XkXi/pkPi = 0.

Es sind dieses die von P aus an 77 imd P gelegten Tangenten.
1) X a« liefert die absolute Gerade.

7,\ii projektiviüchen Behandlang der Dreieohsgeometrii

24. Unter den Dreiericen F und O beßntlet s/c/t je ein XuÜtlreiecl:
Daraus Folgt:

Zielit man durch einen hdlebigen PunJ;i P die Fortfielen eu den
Seiten des Grtmddreiecks, so sehneiden diese die jeiceils beiden anderen
Seiten in eusammen sedis Punkten eines Kegelsthnittea L'.

Man erhält einen zweiten Kegelschnitt L", wenn man die Geraden
dttrdi den Punkt P parallel na den Ecktawjenien seiner ionischen Polare
P zieht. Diese und die beiden K&felschnitle L' und L" sind hamotlieHsch.

Man findet ferner:

Der Mittelpunkt v<m L" ist der Pmikt P selber; der von L' lietß
in der Mitte zmsrhen P und d<:in Mittelpunkt V von P.

25. Ist P der Lemoinesclw Punkt, also P der Umkreis unä 11 die
Jirocardsche JSUipse des Grutuldreieeics, so werden die KegelsdtnUte ^^
tu den Tuckerschen, L' und L" zu den Lemoinescken Kreisen des
Grunddreieeks. Es ist also die Brocardsche Ellipse die Enveloppe der
Tuckerschen Kreise.

Zweiter Absclmitt: Das Dreieck and der absolute Kegelschnitt.

1. Der absolute Kegelschnitt. — 26. Wir wenden uns ntinmehr dem
Falle zu, daß das absolute Gebilde in einem allgemeinen Kegelschnitt
besteht, der also weder in ein Punktepaur noch in ein Geradenpnar
lerialten ist. Seine Gleichungen seien:

9 ^^Kji«;«» -■

F=2an

■, = 0.

l

Die Determinanten j a^ \ und { ti, j | der (reellen) Koeffizienten sollen
unserer Absicht gemäß nicht verschwinden. Weiter soll über die
Koeffizienten «,-j nichts vorausgesetzt werden; denn das hieße ja ein
besonderes und nicht ein beliebiges Grunddreieck (oder Koordinaten-
ilreieck) betrachten, da doch als absolut gegebener Kegelschnitt nur
die eine besondere Eigenschaft haben kann, daß er zerfällt. '|

27, Da die hier folgenden Sätze der Metrik entnommen sind, so
tritt in ihnen der absidute Kegelschnitt vorwiegend als Klussenkurve auf*)

Mit Hilfe von »P definieren wir: Zwei Geraden heißen senkrecht
lu einander, wenn sie bezüglich <P konjugiert sind. Winkel a zweier
Geraden SA^ und SA^ heißt das Produkt aus einer Konstanten') und
dem Logarithmus des Doppel Verhältnisses, das diese Geraden mit den
von S an * gehenden Tangenten ST^ und ST, bilden. Wir können

1) Ein KegelBcbnitt hat kein? absolute Invariante,
%) Tgl. die 1, Anmerkung nnf S. 'i.
3) \^^l tflr das Kreisiiunkteiiaar,

12 Gustav Bbbkhan:

und wollen im folgenden ^ da es sich um Gleichheit von Winkeln
handelt^ von der Konstanten und dem Logarithmus absehen und kürzer
setzen a « SIA^A^] = S(T^T^A^A^\

Was dann unter Halbierenden eines Winkels, Höhen eines Drei-
ecks zu verstehen ist, ergibt sich von selbst.

Der Pol einer Geraden bezüglich heiße ihr absoluter Pol.

2. Die Hohen und Nebenhöhen. — 28. Die absoluten Pole der
Seiten a^ des (Jrunddreiecks sind die Punkte P,: ar^^ = a,-^. Die Hohen
A.P^: x^:x^ = cc^j^:an = l/a^^:l/cc^l^ schneiden sich im Höhenptinkt

H: l/ogj l/«3i l/aij.

Dieser ist nur abhängig von den Koeffizienten a^.^ (k + 1) der Pro-
dukte U/^Ufj nicht von denen a^- der Quadrate uj, bleibt also Höhen-
punkt, wenn man statt irgend einen Kegelschnitt

als absolutes Gebilde wählt.*) Der Punkt H wird also weniger zu
jedem einzelnen 9 als zu dem ganzen System der (p in engen Be-
ziehungen stehen. In der Tat ist H der einzige Punkt, der doppelt
gezählt als ein Kegelschnitt q> zu betrachten ist.

29. Fällt man von den Hohenfußpunkten die Lote auf die jeweils
beiden anderen Seiten des GrunddreieckSj so liefen die Fußpunkte dieser
sechs „Nebenhöhen^^ auf einem Kegelschnitt.

Der Beweis ergibt sich als einfache Anwendung des Carnotschen
Satzes.^) Die Gleichung des Kegelschnittes lautet ''^):

^«1*4 — XkXi{ali + ajkcciyaki = 0.

30. Zu den Höhen P,.-4^ erhält man durch positive Permutation
noch zwei andere Geradentripel m^ = P^A^^^ und Wj = 7^^^^^? wobei man
statt i -f- 3 wieder i zu setzen hat.

Diese beiden Dreiseite m und n schneiden sich außer in

1) W. Fr. Meyer, Über die Höhen des Tetraeders. Archiv der Math, und
Physik (.H) 8, 188. 1904.

2) W. Fr. Meyer, Ober geometrische S&tze von der Natur des Pascalschen
Satzes. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker -Vereinigung 9, 91. 1900.

3) ZerföUt der absolute Kegelschnitt in ein Punktepaar, so geht diese Gleichung,
wenn wir die Bezeichnungen der Nr. 49 benutzen, über in:

worin q eine Konstante. Der durch sie dargestellte Kegelschnitt ist also ein
^eis: der Taylor sehe Kreis des Grunddreiecks. E.Pascal, Repertorium II. S. 71.

Zur projektiviscben Behandlung der Dreiecksgeometrie. 13

A^jA^jA^yP^yP^^P^ in drei Punkten Q^}) Das Dreieck Q liegt per-
spekti? zum Granddreieck. EoUineationszentrum ist der Punkt

Uia^lCC^ «22 «31 «38 «12-

3. Orthologische Dreiecle. — 31. GeJieti die Lote, die man ton den
Ecken eines Dreiecks auf die entsprechenden Seiten eines zweite^i Dreiecks
faüty durch einen Punkt, so schneiden sidi auch die Lote aus den Ecken
des zweiten Dreiecks auf die entsprechenden Seiten des ersten Dreiecks in
eimn Punkte.

Sind Ä und B die beiden Dreiecke des Lehrsatzes, P und Q die
Dreiecke, deren Ecken P^ und Q. die absoluten Pole der Seiten Ä^A^
und B^Bf sind, so besagt der Lehrsatz: Die Dreiecke A und Q einer-
seits, B und P andererseits sind immer und nur gleichzeitig perspektiv
gelegen.

Die Seiten und Ecken von A und B mögen die Gleichungen haben:

-A,.:Mj = 0, Bi:v^ = 0.

Die Transformationsgleichungen seien:

Vi =^hk^k7 ^i '^^KiVkJ

k k

k k

die Gleichungen des absoluten Kegelschnittes:

^ -JE^ik^h^k -^ßik^i^k = 0,

Dann liegen die Dreiecke A und Q, bezw. B und P perspektiv, wenn
^^[^hißik-^^kißik'^hißikl • i^^kißik'^^kiß^k'^hißskl'^'^y

^==l2hk^lk\2kk^k'^hk^fik\ ' [^^3it«l*-^^l*«2*--^^2*«3j = 1;

worin sich die Summation überall auf Ä = 1, 2, 3 bezieht.

Unter Beziehung auf alle sechs Koordinaten w^, t?^ ist die Glei-
chung Ton 0:

^^ikhk^i'^i'^^ oder ^A^A^^^w^t;,« 0.

ikl ikl

Aas der Identität beider Formen folgt die Koeffizientengleichheit und
daraus die Identität: A • Ao = 1

1) In der Elementargeometrie sind das die zweiten Endpunkte der Umkreis-
dorchmesser A.ü.

Da somit die beiden Größen A nur gleictzeitig den Wert + 1 an-
Dehmen köimeUj ist der obige Lehrsutz bewiesen. Da dasselbe Biich
für den Wert — 1 gilt, so folgt noch der Satz:

Sehneiden die vim den Ecken eines Dreiecls A auf die entsprecjieu-
den Seiten eines Dreiecks B gefällten JmU die Seiten «; in drei Punkten
dner Gerade», so liegen auch die Sclmittpunkte der Lote ans den Ecken
Bf auf die Seiten a^ mit den Seiten b^ in einer Geraden.

4. Die WinkeUnühierenden. Die isogonale Verwandtschaft, —
32. Aus der Definition des Winkels (Nr. 27) folgen leicht die beiden
Eigenschaften der Halbierenden eines Winkeb, daß sie dessen Schenkel
harmonisch trennen und aufeinander senkrecht stehen, Eigenschaften,
durch die umgekehrt die Winkelh alliierenden geradezu definiert werden
kSnnen. ')

Daraus findet man, wenn

/1»(:c)^>/-;.''j-/ = und f\x)=2f?'xi^()
die S<^heukel eines Winkels sind, die Gleichung seiner HalbierungBliuien:

[/■"i(i)]V»(/iV') - [/"'W]7»(/<V)) _ 0.

Die drei fieradenpnarc, die die Winkel eines Dreiseites /'lialbieren,
schneiden sich in den vier Punkten:

Für das Koordinatendreleek A folgt: Seine M'^inJteUtalbierenaein
M', = a|/ctl — -r?/ßiy -= scJineiden sich in dett vier harmonlsdi nss<>-
ziierten Pitnkien J, deren Koordinaten die absoluten Werte Y^n Itoben.^

Diese vier Punkte, nur abhängig von den Koeffizienten a^,., nicht
a^,(i =t= f), sind im Sinne der Nr. 2ü die Doppelpunkte des folgenden
EegclschtüttsYstems: ^«,,«; + V^^.Mi«, = 0, worin X, völlig beliebig.

33. Bestimmt man zu einem beliebigen Punkte 1' die Polaren in
bezug auf die obigen drei Geradenpaare m;, so si-lmeiden sich diese in
einem Punkte Z. Die Geraden «', trennen das Geradenpaar A,{1'Z)
harmonisch, halbieren also den Winkel .^.[l'^T].

Die Punkte Y und Z sind konjugiert in bezug auf alle Kegel-
schnitte des Netzes ]S^i"'i "" ** oder des Büschels, das die vier Punkte
J(j[^ = an) zu Grundpnnkten hat; sie sind Gegenpuukte der quadru-
Hschen Transformation
Vi^i = «.i-

i) Ans dieser Definition folgt kiebl der Satz, daß die Seiten und HClien .'iuBB
Ilwocks die Winkel Beines HöhenfuBpunktdreiecks halbioreo.

2} Diimit diese Punkle leell sind, müBgeii die KoefSxienten a,.,. kIvI
zeichen haben.

J

Die Geraden Ä^Y und A^Z heißen Uogoual bez. --t A^yA^A^, die
Punkte Y und Z WinkcluegeHfVinlie', die Transformation wird als is<>-
ipmiile VfirHavdtsr.haft bezeichnet.')

M. Wie in der Elementargeometrie, so gelten auch hier die Sütze:

1. Die ScheiUiijeraden A^ Y eines Punktes Y stehen senkredtt auf
den Seiten des Fußputiitdreierfis^ , das zu seinem Winlelgegenputiki Z
iffiiört.

IL Die FußjMnktdreifcke zweier WinlieliieijeHimnkie. a-intl denisdbeti
Kendsdmitt einlescJiricbeti.

35. Das Pvinktepaar (YZ) hat die Gfleiehung:

Ik: ■' * "'

Ein Punktepaar, dessen Gleichung in den Koeffizienten der quadrn-
tisdum Glieder mit der Klassengleichung = des alsoluten Kegel-
nchnilles — bis auf eilten Faktor natürlich — übereinstimmt, besieht aus
tKfi Winketgegenpunkteii.

AuB dieaem Satze folgt, dii die Brennpunkte eines Inkegelschnittea
V^O die Gleichung

0(mm) - i. ^F(uu) = >"■«,.,«? +2i%,H^u, =

habeu, der andere Satz:

iHe Brennpunkte eines dem Onmddreieck eingesrhriebitint Kegel-
fdmittes sind Winkelgegenpimkte.

Zerfällt der absolute Kegdscknitt in zteei Punkte, so sind diese nach
obi^ Satze Winkelgegenpunkte. Das Bild ihrer Verbindungslinie,
<ler absoluten Geraden, ist daher ein Uinkegelschnitt durch die absoluten
Pnnkte, d. h. der Umkreis des Grunddreiecks.

3Ö, Der isogonalen entspricht dual die isulame Verwandtsrhaft^):

Die Involution, die wir zu dieser nach Nr. 14 auf jeder Seite «, or-
Iwilleii, hat hier nicht die Seitenmitte (r, und dcu Richtpunkt von «,.,
der hier nicht esisticrt, zu Doppelpunkten, sondern die „beiden Mittel-
P'inkte'-*) der Seite a.. Homologe Punkte der Involution liegen zu
jedur dieser Seit^nmitten „ejmmetrisch".

li W, Fuhrmann a. a. 0,

i) Die Pufipunkte der von P anf die Seiten a. ^'etHllten Lote bilden üxis FuB-
l'unbdKieck TOB oder »u P.

31 b Nt. 14 war F~^a-^XfX^^[^g,x.f; a.. = gl

t. hiesc beiden Seitenmitten entsprechen dual den beiden ITalliierenden einea
rinkel».

*

16 Gustav Berkhan: .

6. Die Inkreise. — 37. Nach Nr. 35 gehört zu jedem Paar von
Winkelgegenpunkten ein Inkegelschnitt^ der diese Punkte zu Brenn-
punkten hat. Zu den Doppelpunkten J erhält man so die vier In-
kegelschnitte^ die den absoluten Kegelschnitt doppelt berühren: die
vier Inkreise, Sie haben die Gleichung:

(«18 — y«220«*2«*8 + («81 -y«S8 «11)^8^1 + («12 " "/«llO^^W, = 0.

Für die Wurzeln "/a^^a,, = j/a^^^ • )/a„ sind nur die folgenden Kom-
binationen möglich: + + +; -\ ; 1 ; h- Setzen wir

daher m^ == a^, — l/ö^^a,, und n^ = a^^ + YcLj^j^cCh , so lautet die Gleichung
des Inkreises^):

und die des iten Ankreises:

J* = m^Uj^Uj -f- nj^u^u^ -f w,m,.Wj = 0.

38. Die Brianchonschen (Gergonneschen) Punkte der vier In-
kreise sind:

B: l/m^ l/m^ l/Wj. jB*': ic, = l/w,- a:^ = l/u^ x, = 1/u,.

Heißt J[ der Berühnmgspunkt von J* mit der Seite a^, so
schneiden sich die Geraden Ä^J\, Ä^Jl, Ä^J\ und A^J^j ^k^U ^i^i
in je einem Punkte. Diese vier Nageischen Punkte:

N : 1/wi l/nj 1 /wj . N' : x^ : ^r^ : a;, = l/w^ : l/w^ : 1/w,

sind , da w,w, = (a^, - ]/a^^ a,,) (a^, -f >/a^^ aj « aj, - aj^j, a„ a^^,

die Seitengegenpunkte der Gergonneschen Punkte.

39. Wie in der Elementargeometrie, so liefern auch hier je zwei
der Inkreise zwei Älinlichkeitspunkte. Sind

i'^LS'y.wJ-y'-^^^o und z-[^;^,wJ-^».0-o

die Gleichungen zweier beliebigen Kreise, so ist die ihrer Ahnlich-
keitspunkte:

z^ Y - y^Z = [z '^y^u. + y -^z^u} [z -^y^u^ - y -JE^i^} = 0.

Diese Ahnlichkeitspunkte liegen nach ihrer Entstehimg auf je
zwei Tangenten, nach ihrer Gleichung auf der Verbindungslinie der
Mittelpimkte Y(y,) und Z{z^y der Zentralen der beiden Ejreise. Und
zwar trennen sie die Mittelpunkte harmonisch.

6. Die Wallace-Linie, — 40. Fällt man von einem Punkte X die
Lote P^XX^ auf die Seiten a^ des Grunddreiecks, so liegen die Fuß-

1) Die Inkreise bestehen aus (hm Inkreise und den drei Ankreiaen.

Znr pn^ktiTiBehen B«liuiälnng der Dreieckigeometrie.

punkte X^ nur dann in
3. Ordnung angehört^):

C={'i«ii-ariKi,)(3^ßw

-(^»«ll-^l«3l)(^l«S»

Diese Kurve ist fQr die isogonale Yerwandtscliaft anallagmatisch, denn
die FuBpunktdreiecke zweier Winke) gegen punkte können nach Satz U
Ton Nr. 34 nur gleichzeitig in je eine Gerade ausarten.

Die Kurve C geht durch die neun Schnittpunkte der beiden Drei-
«eite I» und n (Nr. 30), also durch die Punkte A„ 1", und §,, Die
au einem Punkte X von C gehörige Fußpuuktgerade a; = X, X, X,
»ird als seine Wallace- Linie*) bezeiclmet.

41. Aus Satz I von Nr. 34 folgt: Die Wallace- Linie eines Punktes
Ton C hat dessm Winkt!lffeyenpunl;t sum absotulen Pol.

Solange der absolute Eegelschnitt nicht ausartet, hat auch die
Cmkehrung einen Sinn: Die absolute Polare eines Punktes von C ist
die Wallace-Liuie seines Wiukelgegenpnnktes.

Als Enwlopi>e alU-r WfiUncc-Llnirri erhält man also die Kurve F,
die der Kurve C in einem Polarfeld entspricht, das den absoluten
Kegelschnitt zum Ordnungskegelsclinitt hat. Ihre Gleichung ist:

- («»«il - "l ««)(«!«« - ",«l»)(«J«M - "3«>s) = 0-

Zerfällt aber der absolute Kegelschnitt in ein Punktepaar, bo ver-
ngen die vorstehende Gleichung^) und ihre Ableitung. Doch kann
nsn such dann folgendermaßen verfahren. Die Gerade ^M,a;, =
•chneide die Seiten a^ des Grunddreiecks in den Punkten X,. Die in
^1 auf «j errichteten Lote X^P^ schneiden sich in einem Punkte X,
WKQa:

l «.«ii + t*.«« -»*i«i, -"."11 I

r = -",«», «jD:,, + '*i"ii - "s«t« j = 0-

I - u,«,j - M,a,„ MiK„ + w,a„ I

"l A = I ßjj I die Determinante des absoluten Kegelschnittes <5 = 0,
80 ist r= A ■ r". Diese Gleichung lehrt, daß T für A — identisch
'Eischwindet. Die Gleichung 1^=0 jedoch versagt in diesem Falle

< Methode zur E^neugnng von Kurven dritter Ordnung.

1) Nach Grafimt
RPiical, Kep«rtorii

*( Die frühere Bezeichnung: „Simsousche üerdde" ist fahch.
CtntDr, TorleauQgeu über Geechicht« def Mathem. DI, S. 552 ff

3) Weil dium a.^ = ij, ■ g^ ist.

itehit d« HsUicIutlk und rhfilk. iU Beibe XJ. 1

L

18 Gustav Bebkhah:

nicht; sie stellt auch dann noch eine Kurve dritter Klasse, die Steiner
sehe Hypozykloide dar.

42. Was wird aus der Kurve C, wenn der absolute Kegelschnitt in
ein Punktepaar zerfällt?

Weil dann die absoluten Pole P^ von a^ in einer Geraden, der
absoluten g, liegen, so erfüllt jeder Punkt X von g die Bedingung, daß
seine Fußpunkte X^ in einer Geraden (nämlich wiederum g) liegen.
Die absolute Gerade spaltet sich daher von der Kurve ab; da diese
anallagmatisch für die isogonale Verwandtschaft war (Nr. 40), so ist
ihr anderer Bestandteil der Umkreis (Nr. 35) des Chmnddreiecks; d h.
der Ort der (eigentlichen) Punkte, deren Fußpunkte in einer Geraden
liegen, ist der Umkreis des Grunddreiecks.

Aus Nr. 41 folgt noch: Die Wallace-Linien zweier Durchmesser-
Endpunkte stehen aufeinander senkrecht.

43. Von den neun Schnittpunkten der drei Lote XP| mit den
Seiten a^ haben wir nur die Punkte [XP^ • aj betrachtet. Durch
Permutation erhält man noch weitere Sätze, von denen nur der folgende
erwähnt sei:

Es gibt drei Punkte auf der Kurve C — bei absolutem Punkte-
paar einen, den sogen. Tarryschen^) Punkt auf dem Umkreise — von
der Eigenschaft, daß jene neun Schnittpunkte zu je dreien außer auf
den genannten Seiten und Loten auf drei weiteren Geraden liegen.

7. Die Spiegelung eines Punktes und einer Geraden an den Seiten
des Dreiecks,^). — 44. Auf den drei Loten XP^X,., die von einem
Punkte X auf die Seiten a^ gefällt werden, kann man durch die bereits
bekannten Punkte drei projektive Pxmktreihen definieren:

(P^XX^X^ = (P,XX,Xn) = (P.XXjXni) = A.

Zwei besondere dieser Punkttripel XiXuXm werden gebildet von den
Fußpunkten X,.(A = 1) und den Spiegelpunkten von X in bezug auf die
Seiteft a^{k = 2).

Lassen wir k fest und verlangen wir, daß dann die Punkte XjXjjXuj
in einer Geraden liegen, so erfüllt der Punkt X die Kurve:

Ej^=^ J ' Xx^x^x^ — ^x^P^(xx) = 0.

Darin sind P^ixx) = die Gleichungen der drei Umkegelschnitte, die
den Geraden P^PJ^a^^x^ = 0\ isogonal entsprechen. Nach obigem

ist i;(,=i) = a ^""^ '

1) E. Vigari^, Association Fran9ai8e 16. 1887. Toulouse.

2) E. Hain, Archiv der Math. u. Physik. 69. 1888.

Zu projektivigchen Behandlung der Drekcksgeometne, 19

Artet der absolate Kegelaclmitt aus, wird *J = 0, so sind alle
I Kurven Ei und C miteinander identisch. Dann wird _^XlP^{J:x)
l^g(x)- P{xx), wo P{xit:) = die Gleichung des Umkreises ist.

45. Die Spiegelbiläer eitwr Geranien k ix) = In U-zttg auf die
\ Seilen a,. sind die Geraden:

S((a:) s <x,Ji{x) - 2x^^a,^k^ = 0.

\ Das Dreiseit ä liegt stets perspektiv zum Gmnddreieck, weil sich homo-
[lk)ge Seiten auf k schneiden. Kollineationszeutrum ist der Punkt
I JE : X, = ttf,lSa,iJc^. also der Winkelgegenpunkt zum absoluten Pol

I i[a:(— ^«..,Äi] von k.

För den Fall eines absoluten Punktepaares liegen alle absoluten
[ Pole K auf der absoluten Geraden, also alle KoUineationszentreu X auf
I dem Umkreise des Dreiecks .-I.

8. Die Brocardsclmi Pimkf^. — 46. Es soll in der Ebene des
Gnmiidreiecks ein Punkt Si{x,) gesucht werden, für den

Indem man diese drei Winkel als Doppelverhältnisse berechnet, findet
msn (o) + l)/(u — 1 1 = itfi/x,, wenn ni, = die Seiten des einen Drei-
«Jö Jf sind, das dem Gnmddreieck A unter rechtem Winkel um-
btschrieben ist (Nr. 30). Es folgt daraus: Der ffes7icMe Punkt ß ist
on Ihppelputiki der durch die Gleichungen t«, = x^ioi + !)(&) — 1) dar-
IKslällm KnUineation, in der die Dreiecke M und A einander Mitsprechen.
i*« Äufyabe hat aUo drei Lösutu/en.

Diese drei Punkte ß liegen auf den Kegelschnitten fXiy, — ni,yi = 0,
oie durch die Punkte M^, A^ A^ gehen und in -4^ die Seite a, berühren.

47. Die Winkel/jegenpankte Sl' der Punkte H erfüllen die Be-
dinpingen

-^ A^[Sl'A,] = ^ A^litA^-] = ^ A^[£l'A^] = a.

sie Bind die Doppelpunkte des Grunddreiecks und des anderen Drei-
wb .V, das dem Dreieck A unter rechtem Winkel umbeachrieben ist
'^t- 30). Sie liegen auf drei Kegelschnitten, die, wie die obigen,
durch je zwei Ecken --I gehen, aber in dem jeweils anderen Punkte
eine Dreiecksseite berühren.

48, Wen» der absolute KegelscfiniÜ in ein Punktepaar ausartet, so
erftilien dessen Punkte die obigen Winkelbeziehungen, d, h, die Drei-
ecke 3[ und A' Bind dem Dreiecke A ähnlicih,

Von den ser-liä Punkten Sl und iJ' hleiben als teesentlich dann nur

t

swei: die beiden lirucar dachen Punkte des Gr/tiiddreiccks. Sie sind
alßo die Ähnlickkeitspnnkte der Dreiecke M und A, N und Ä. Dia
obigen Kegelschnitte werden zu den sogenannten Betkreisen, a heißt
der Brocardscjie Winkel des Grunddreiecka. ■

Dritter Abscbnitt: Das Dreieck und das absolute Panktepaar. ^

1. Das absolute Piwktepaar. — 49. In dem letzten Al)sclinitt
haben wir einige Sätze behaudelt, für die es im wesentlichen gleich-
gültig ist, ob der absolute Kegelschnitt nicht ausgeartet ist oder doch.
In einzelnen Fällen war es besonders interessant, zunäehsi einen all-
gemeinen KegelBclinitt zugrunde zu legen und an der Hand den Resul-
tates erat zu prafen, waa eintritt, wenn der absolute Kegelschnitt in
ein Punktepaar zerfällt.

Diese Methode empfiehlt sich aber nicht immer, weil manche
Sätze der parabolischen Geometrie sich nicht so ohne weiteres auf die
hyperbolisch-elliptische Geometrie übertragen lassen. Ea handelt sich
da vornehmlich um Sätze, in denen das Parallelenasiom eine Rolle
spielt, oder in denen Kreise als Punktörter auftreten.

Es mag in den folgenden Sätzen die Annahme, daß der absolute
Kegelschnitt zerfällt, hier und da noch überflüssig sein- für die meisten
aber ist sie notwendig.

Durch das absolute Punktepaar (ff, Ä",) ist die absolute Gerade g
unii der Umkreis P des Grunddreiecks A bestimmt. Deren Gleidim
seien;

Dann ist umgekehrt die des aheoluten Punktepaares ') :

wenn P^ = — }\f/i ■+ p^gt^ + PiUt gemäß Nr. 13.

^50. Die Ghiebunf/eti der isogonalen Verwandtschaft sind nunmehr:
!/;«( = ((„= i)j.9j.9, oder ytSr^^Pifgt-

Da P{Pi) nach Definition (Nr, '.>) der Lemoinesche Punkt und
G(l/pil nach Nr. 12 der Schwerpunkt des Dreiecks A ist, so folgt:

Der Schwerjmnkt und der Lemoinesche Punkt eines Dreiecks sind
WinkeigegenpanW.

ide g

L 1) Sie eiit«t«ht am eiDfacbatea

durch EliiniuatioD von
idt, Zeitgchrift für Math, i

r,. au» P(xa;) — i),
Pbyük. S4. ieS9.

^

Zur projefctivischcD Behandlung der DreieckBgeometrio,

Der Mittelpunkt Z/des Umkreises hat die Gleichung f''=^ftP,Wi=0,
der Höhenpunkt (Nr. 28) H^ ^uja,^^ ^u.ig.F, = 0, d. k t/w Vm-
heismiticlpunkt U und der Hühenpunkl H eines Dreiecks sind Winkd-
gegenpankte.

Za beachten ist, daß jetzt der Satz gilt: Zwei Winkel, deren
Schenkel Bsfeinander senkrecht stehen, sind gleich,') Es folgt daher
aus Satz I von Nr. 34: Die Winkel, die die Sdieitehfermhn eines
PHTtktes Mden, sind yleich den Winkeln des Fußpttnktdreiecks. das £ii
seinem Winkelge(/mpunkt gehört.

51. Wenn wir diis Strahlenbfischel, desaen Zentnim U ist, mit
der Involation, die es auf dem Umkreise ansschneidet, isogonal trana-
fomiieren, so erhalten wir ein Kegelachnittbilschel mit den Grund-
punkten AiA^A^H, das auf der absoluten Geraden die zirkuläre In-
Tolntion*) ausschneidet, also aus gleichseitigen Hyperbeln besteht.

I)ie Mittelpunkte dieser gleichseitigen Umhyperbeln liegen auf dem
Neunpunktekegelschnitt des Vierecks A^Ä^A^H, dem Feuerbachachen
Kreise") des Grunddreiecks A.

b2. Unter den Umkreisdurchmessem hat der ein besonderes Inte-
resse, der durch den Lemoineschen Punkt P geht: der Brocardsche
Durchmesser. Ihm entspricht isogonal die gleichseitige Umhyperbe!
durch G: die Kiepertsche Hifperbel. Sie schneidet den Umkreis zum
vierten Male im sogenannten Tarrysclien Punkte. Die Gleichungen
dieser Gebilde sind:

Der Brocardsche Durchmesser: y^a^^lP^ — /'Vp, = U.
Die Kiepertsche Hyperbel: ^(P* - i*,)/.?,^, = 0.

Der Tarrysche Punkt*): ^»J'.hi^- — P^P,) = 0.

03. Im Anschluß an diese Sätze über gleichseitige Umhyperbeln
«I8n noch folgende Sätze erwähnt: Die Umparabeln sind die isogonalen
Bilder der Umkreistangentea. Die Mittelpunkte der gleichseitigen In-
liyperheln liegen auf dem Polkreis des Dreiecks (Nr. 18 1. Die eigent-

l)Die beiden Winkel seien S,[.4,B,] und ,S',[J,B,], wo J,B,^,B, Punkte
^ »bioliiten Geraden S', K, sind. Nach Voraussetzung ist (Ä, K^ .4, ,4,) = — 1
■=(K;ff,B,B,). Durch Mulliplikatioo mit [K.K^A^B,) folgt die Behauptung:

i*^iff,j,s,)=CJi:,Ä,.i,B,).

Ij Deren Doppelpunkte die absoluten Punkte A', und A', sind.

S) Der Neiinpankteltegelachnitt eines Vierecks in hezug auf eine Gerade g gellt
incb dareh die Doppelpunkte der InTolution, die das Viereck auf g beetimmt.
Elfpunktekegelschnitt.

4) Die Identität dieses und dea in Hr. 48 so genannten Punktes würde sich
■UB lier Gleichheit ihrer Koordinaten ergeben.

J

22 Gustav Berkhak:

liehen Brennpunkte der Inparabeln eines Dreiecks liegen auf seinem
Umkreise (Nr. 35). Die Leitlinien der Inparabeln eines Dreiecks gehen
durch seinen Höhenpunkt. ^)

2. Metrisdie Koordinaten eines Punktes in der Ebene eines Drei-
ecks. — 54. Wir haben bisher unseren Rechnungen projektive Koordi-
naten zugrunde gelegt. Diese können fOr einen Punkt X metrisch
im wesentlichen — bis auf hinzutretende konstante Faktoren — pro-
portional den Abständen des Punktes X von den Seiten a^ des Ghnnd-
dreiecks gesetzt werden. Vom metrischen Standpunkte aus kann man
einen Punkt X in der Ebene eines Dreiecks A noch durch andere
Koordinaten festlegen. Sie werden nicht einfacher als die obigen sein
für gewisse Fragen aber vor jenen einen Vorzug haben.

Als solche metrischen Koordinaten eines Punktes sollen insbesondere
die Winkel betrachtet werden, die von den Scheitelgeraden des Punktes
oder den Seiten seines Fußpunktdreiecks gebildet werden. Die isogonale
Verwandtschaft wird hierbei eine RoUe spielen , da ja die Winkel an
den Scheitelgeraden eines Punktes gleich den Winkeln vom FuBpunkt-
dreieck seines Gegenpunktes sind.

Femer sind die Abstände eines Punktes X von den Ecken A^ des
Grunddreiecks von Interesse. Zahlen, die diesen Abständen proportional
sind, heißen tripolare Koordinaten des Punktes X.

55. Demnach werden wir uns zunächst die Aufgabe stellen, einen
Punkt zu suchen, dessen Scheitelgeraden gegebene Winkel bilden, von
dem aus also die Seiten des Grunddreiecks unter vorgegebenen Winkeln
erscheinen. Es wird sich herausstellen, daß diese Aufgabe zwei Lösungen
hat (Zwillifigspunkte). Dann gilt es, einen Punkt zu suchen, dessen
Abstände von den Ecken A^ sich wie drei gegebene Zahlen verhalten.
Auch diese Aufgabe wird zwei Lösungen haben (tripolar assoziierte
Punkte). Es wird sich zeigen, daß die hier gefundenen Punkte Winkel-
gegenpimkte zweier Zwillingspunkte sind, so daß zugleich die Aufgabe
gelöst ist, den Punkt zu suchen, dessen Fußpunktdreieck vorgeschriebene
Winkel hat. In dem dann folgenden Paragraphen werden wir sehen,
daß Zwillingspunkte und tripolar assoziierte Punkte in einem Satze
über quadratische Transformationen ihren gemeinsamen Ursprung haben.
Schließlich wollen wir uns mit einigen Anwendungen dieser theoreti-
schen Erörterungen befassen.

3. Die Koordinaten von ühlich^)'^ Ztvillingspunkte, — 56. Der

1) D. i. der Parabelsatz: Der Höhenpnnkt eines Tangentendreiseits, also auch
der Schnittpunkt zweier zu einander senkrechten Tangenten liegt auf der Leitlinie.

2) Uhlich, Altes und Neues zur Lehre von den merkwürdigen Punkten des
Dreiecks. Progr. Grimma. 1886.

Zur projektivischen Behandlung der Dreiecksgeometrie. 23

Punkt Xy von dem aus die Seiten des Dreiecks A unter den gegebenen
Winkeln c,. erscheinen, liegt auf den Örtem, von deren Punkten aus
die einzelnen Seiten bezüglich unter den Winkeln c^ erscheinen.

Zerfallt der absolute Kegelschnitt in ein Punktepaar K^^JS^, so ist
der Ort von X, fQr den ^ X[^j.4,] =« c^ ist, ein Kegelschnitt durch
Kl, £^, A^ und A^, jener bekannte Kreis C^ durch Aj,. und A^. Die
Gleichung dieses Kreises wollen wir ableiten, indem wir den absoluten
Kegelschnitt zunächst als nicht zerfallend voraussetzen. Wir erhalten
dann als Ort des Punktes X die Kurve vierter Ordnimg: X? — — yja:^ • F{xx),
worin X.. = a^.Xj^x^ + x^ (- a^,a;, + a,^x^ + a^^ar,), y< = (c, + l)/(c^ - 1),
F[xx) = ^ ajtXjXj^. Artet nun der absolute Kegelschnitt in ein Punkte-
paar aus, so wird die linke Seite seiner Ordnungsgleichung einem
vollständigen Quadrat proportional:

F(xx) = (P,P, + P,P, + P^P,)g\x) = - (p . g\xy)

Die obige Kurve vierter Ordnung zerfäUt in die beiden Kegel-
schnitte Xi =F yiXig(x) y^ =» 0.

Die gesuchte Gleichung des Kreises C^ wird also:

57. Setzen wir noch y<l/^ — P^^ d^, so hat das Radikalzentrum
der drei Kreise C, die Koordinaten*) a;^ = \lg^8i. Dieses liegt auf einem,
*l»o jedem der C^, wenn y^y^ + y^y^ + y^y^ = — 1 oder c^c^c^ =» 1 ist.
Also: Die drei Kreise C,. schneiden sich in einem Punkte, wenn die drei
Winhd Ci demselben Dreieck angehören können.^) Die Koordinaten dieses
Punktes sind:

Z: Xi = l/g^i- Pi + yiV^\ bezw. Z-. x^ = l//7..(- -P< - rtV^)-

Die beiden Punkte Z und Z' heißen ZwiUingspunkte.^) Sie haben
^^ Eigenschaft, daß die beiden Strahlenbüschel Z(Ai^A^A^) und
^i^A^A^) einander symmetrisch gleich sind.

1) Ist (p(uu)^ — ^pf^i + 2 ^ PkPiUi,Ui = die Klassengleichung des

l^inbeises, so ist der obige Faktor (p'^tpigg)- Je nachdem daher tp positiv oder
negativ ist, ist das absolute Punktepaar reell oder imaginär. Salmon-Fiedler,
Kegelschnitte. II. S. 562.

2) Die drei Radikalachsen : (gkCj^ — Qi C^ 1 9{x) = g/^ dj^Xj^ — ^fj ^i «i = .

3) Sind Bl die Richtpunkte der Seiten b^ eines Dreiecks B^ so sind die
Winkel Pi^ Bi[B^B{\^ {K^K^BIB;^, also ist ft/J,ft = l. Diese Relation

ttiispricht der metrischen ^g^ =» gr.

4) A. Artzt, Programm. Recklinghausen 1S86.

4. Die tri polaren K'Xirdinaten. Tri polar tissozi irrte Punkte —
58. In der abeoluteii Oeometrie wird die Entfernung zweier Punkte, wie
der Winkel zweier Geraden, als Logarithmus eines DoppelverhältiiisBes
definiert. Da aber in kartesischen Koordinaten r* =- (t, — j"j)- + (y, — y^)*
der Ausdruck für das Quadrat des Abstandee r zweier Punkte (x,y,)
and (x^üj) und r^ ^ (x — *;)',+ it/ — JfiY = die Gleichung des Null-
kreises oder der Kreiageroden von (x^i/,) ist, so wollen W(V unter dem
Quadrat des Abstandes eines Punktes von einetn su'eiten den Wert ver-
stellen, den für diesen die linke Seite der Gleichung seiner Kreisgeraden
annimmt, weim man statt der laufenden Koordinaten die des ersten
Punictes einsetzt.

Sind daher ki{xx) = die Gleicbongen der drei Nullkretse Ai, so
definieren wir die tripolaren Koordinaten y, des Punktes X{x,) durch
die Gleichungen: py, = ^/^.-(iCa:).

59. Für eineti allgemeinen ahsolutai Kegdsdmitt ist: k^{xx) = o„x*
~ 2a^,XnX^ 4- f^tk^- Sollen nun die tripolaren Koordinaten y, eines
Punktes X drei gegebene Werte p^ haben, so liegt dieser auf den drei
Kegelschnitten:

ft^h/Ql-k./Q-^i.i,

die offenbar durch dieselben vier Punkte geben. Es gibt also in dem
Torliegenden Falle vier Punkte mit gleiclten tripolaren Kuorditwten.

Die sechs Schnittpunkte [9;^ ■ a,] können aus ,■!,- in vier harmonisch
assoziierte Punkte {af pf = 1) projiziert werden, deren gewohnliche
Koordinaten den tripolaren Koordinaten der obigen Pnnkte reziprok sind.

60. Zerfällt der absolute Kegdsfknitt in ein Piiti/depaar, so wird
k^ = yXPtSk^* "f" ^i^k^i + PkSi^D = ffi'^i- I*i^ ''"■'^i Kegelschnitte
qo; ^PjJlf^/pJ — f/,JI/j/pJ -" sind Kreise, schneiden sich also in nur
zwei wesentlichen Punkten, die tripolar assoziiert heißen (Nr. 55).

Die Kreise tp, schneiden den Umkreis orthogonal. Ihre Mittel-
punkte sind die Schnittpunkte der Dreiecksseiten a. mit der Geraden

Ans der Orthogonalität folgt: Je zwei trijiolar assoziierte Punkte
liegen auf einem Umkreisdurcjimesser und teilen diesen harmonisch, sind
also Spiegelpunkte in heeug auf den Umkreis. <

81. Die gewöhnlichen Koordinaten Bieeiir tripolar assoziierten Punkte
erhalten wir mit Hilfe des Punktes R ihrer Verbindnngslime, der in
bezog auf den Umkreis der Pol der obigen Zentralen ^x^p^Jg, = isL

1) Der KrotB '^' l,M,{xx) ^ V schneidet den Umkreis det Gruaddreieelu'
ortLogODal und hat den Mittelpunkt I,((j.

Zur projektiviBcheu Behandlung der Dreiecksgeoroetrie.

R.: ar, = Q- p,y„ wenn py, = -p^Q^g, -f PtpJ/.?» + p,p?/
suchten Koordinaten haben dann die Form:

man findet durch Einsetzen in eine der Gleichungeii ^,- = :

;.'=(P,P, + P3P, + P^P,)/(y,y, + y.yi + y.y,) 9l{7i7. + y,Yx+yxY,\

d. k zwei tripolar aBsoziierte Punkte haben die gewöhnlichen Ko-
ordinaten :

^i = p,[.J-\ ± r,V9/V- (yty$ + r^Yi + YiYi)]-

Ans diesen Werten folgt, daß die beiden das Punkte paar ÜR
luLrmoniscli trennen, und auch wieder natürlich, daß sie in bezug auf
den Umkreis konjugiert sind.

62. Die Transformation, durch die ein Punkt in den ihm tripolar
Msoziierten übergebt, ist nichts anderes als eitte Transformatinn durch
reziproke Eadtcii, eine Inversion am Umkreise. Ihre Gleichungen lauten:
y> = T,g(x) - PiP,P(xx)/piP^p^.

J, = sind die Gleichungen der Kreise A^A, ü.

5. Der Zusammenhang zwischen ZicilUngspiinl-len und tripolar asso-
''»rkn Punklirn. — 63. Aus unserer obigen Festsetzung

QVi = — PiQj/Si + PkQt/9i, +P,pJ/9, (Nr. 61) folgt:

Sehen wir von den Fällen ab, in denen der Proportionalitätsfaktor
p = oder p = oü sein kann, so verschwinden die beiden Summen der
FORtehenden Gleichung gleichzeitig. Die tripolar asBoziierten Punkte
liibeii in diesem Falle die Koordinaten 3-, ^ p,}', (Nr. Hl), fallen also
insammen, d. h. in einen Punkt des Umkreises. In der Tat folgt dessen
Gleichiuig durch Elimination von y,- aus x^ = p,y, nnd ^ y^y, »^ 0.
Mithin ist Ü"(p) — oder ^p, /i>,/yj = die Gleichung des Üm-
•"'tim in tripolaren Koordinaten.*)

(J4. Für alle Punkte, die nicht auf dem Umkreise Hegen, können
onn wollen wir über p so verfügen, daß .^J't?'j^~ 1 wird. Dann
»lud die Koordinaten zweier tripolar assoziierten Punkte einfacher

_^__^ x^ = Pi{Pi ± y, V^)-

1) D. i. die ParameterdarBteUnng der Geraden Vit, wo U der UmkretB-
mtWpaakt üt.

i) D. L im weaeotUcbeu die Relation des PtolemäuB. Vergl. W. Fr. Meyer,
Cler den Ptoleinaisclien Satz. ArchiT il, Math, u, Physik (3) 7, 1. IBM.

^

Gr

Unter derselben Bedingung ^J'tJ', = — 1 wareu (Nr. 57) die
ioordinaten zweier Zwillingapunkte: Xf" i/t/X^i i y^Vv), d. h.:

Je zwei Zwiüingspunkte und ewei tripolar assoziierte Punkte sind
'inkelffegenpunlie. {Nr. 55.)

Mit Hilfe der Nm, 50 und 57 folgt daraus: Die FußpimMdreiecke
'eier tripolar assoziieiien Punlie sitid einattder gegetisinnig ähnlich.

65, Die Lehre von den quadratischen Verwandtechaften greift noch
lläefer in die Theorie der tripolar assoziierteu Punkte und Zwillings-
ipunbte ein. Man beweist leicht den folgenden Satz:

Zieht man durch die Ecken A^ des Hauptdreiecks einer quadrati-
ihen Punkttran sformation yiZi = lij je zwei einander entsprechende Ge-
raden fi und fl, 90 schneiden sieh die Dreiseite /' und f — außer in
den Ecken A^ — in den Ecken 1',. und Z^ zweier Dreiecke, die zum
Gmnddreieck A perspektiy liegen. Die Kollineationszentren 1' und Z
ßind Gegenpunkte der Transformation.

66. Die Figur zu diesem Satze läßt noch eine andere Auffassang
Über den Seiten A^A^ des Grunddreiecks sind die Dreiecke

Z,Af,Aj in der Weise errichtet, daß sich die Geraden A^Z,^ und A^Z, in
der quadratischen Verwandtschaft entsprechen. Besteht diese in der
isogonalen Verwandtschaft'), so sind in den Aofeatzdreiecken Z.A^A^
je zwei Winkel c^, die an derselben Ecke A^ liegen, einander gleich.
Wird wieder j-,- = (c^ + l)/('^/ — 1) gesetzt, so sind die Koordinaten der
Kollineationszentren 1'; ar,=j)j(— P, + j'i>'y), Z: x,= \jgX—P,^yyip).
Wegen des doppelten Vorzeichens') der Wurzel erhalten wir gleich-
zeitig die Punkte:

r-: »;, -ft(- P, - 7,V^], Z': X, - l/j,(- -P, - 7,y^-
Die Punkte ZainA identisch den Radikalzentren der Kreise C, von Nr. 57.

Es ist y-h 1"- 2^P,p;«( = die Gleichung des ümkreiamittel-

pnnktes U. Somit folgt schlieBlich:

Errichtd man über den Seilen eines Grunddreieeks A die Dreiecke
ZfA^A, beew. ZlA^Af, tiacJi außen oder innen, in der Weise, daß
die Winiel a» der Ecke A, den glddien Wert c, haben, so liegen die
Drmecke Z und Z' zum Grtinddreieck perspektiv. KoUineationseeniren
seien die Punkte Z und Z'.

Sctineiden sich AfZ^ und A,Z^ im — obigen ~~ Punkte T^, mtd
ebenso A,Z, unä A,Z't in YU so sind die Punkte Yi und Y- die

ladet Bicb der Satz schon bei
Brooaidachea Gebilde, Berlin 18
. kennen mich auQen oder innen n

C. F. A. Jacobi 1835.

n. S. 38-

iigetragen werden. ^^H

Zur projekti vischen Behandlung der Dreiecksgeometrie. 27

Winkdgegenpunkte zu Zi und ZI. Es schneiden sich daher die Geraden
Äi Yi und Ai Yi in den Winkelgegenpunkten Y und Y' zu Z und Z\

Ohne daß über die Größe der Winkel c^ etwas vorausgesetzt wird,
liegen die Punkte Y und Y' auf einem Umkreisdurchmesser, Z und Z'
also (Nr. 51) auf einer gleichseitigen Umhyperbel. Audi sind die Punkte
Z und Z' die Badikalzen^en dreier Kreise C,., die über den Seiten Aj^A^
ak Schrien den Peripheriewinkel c^ (nach außen oder innen) fassen.

67. Zu den Zwillingspunkten und tripolar assoziierten Punkten
kehren wir zurück, wenn wir die Winkel c^ nicht beliebig sein lassen,
sondern der Bedingung unterwerfen, Winkel eines und desselben Drei-
ecks zu sein:

^^2^ = 1; y^yi + ViVi + YiY% 1-

Dann haben die AujEsatzdreiecke Z^Aj^A^ die gleichen drei Winkel, sie
sind also ähnlich. Die in Nr. 66 ermittelten Koordinaten stellen dann
Zwillingspunkte und tripolar assoziierte Punkte dar.

Die obigen Gleichungen ergeben sich umgekehrt als Folgerungen,
wenn wir verlangen, daß die Punkte Y und Y' der vorigen Nummer
in bezug auf den Umkreis konjugiert sind.

Ans Nr. 62 folgt noch: Zwei Zwillingspunkte sind Durchmesser-
endpnnkte einer gleichseitigen Umhyperbel des Grunddreiecks. ^)

6. Der Brocardsche Kreis, — 68. Mit Hilfe der Umkreisinversion
(Nr. 62) erhalten wir zu den vier Gebilden: Umkreis, Brocardsche
Ellipse, Punkt und Gerade von Lemoine ein wichtiges fünftes hinzu:
Brocardscher Kreis heißt der Kreis, der in der ümkreisinversion der
Lemoineschen Geraden entspridiL Seine Gleichung ist nach Nr. 62:

Sechs ausgezeichnete Punkte der Lemoineschen Geraden sind ihre
Schnittpunkte mit den Seiten a^ und den Mittelsenkrechten des Grund-
dreiecks. Definiert man deren Spiegelpunkte als die Ecken C,. und B^
^ meiten und ersten Brocardschen Dreiecks y so folgen aus den hier
K^ebenen Definitionen eine Reihe von Sätzen:

Die Badikalaclise des Umkreises und des Brocardschen Kreises
^ die Lemoinesche Gerade.

Auf dem Brocardsdien Kreise liegen der Umkreismittelpunkt U, der
Lemoinesche Punkt P und die Ecken B^ und C,. der beideji Brocard-
Ä^m Dreiecke, Sein Mittelpunkt liegt auf dem Brocardsdien Durch-
ffiesser UP, der auf der Lemoinesdien Geraden senkrecht steht,

1) Rouch^-Gomberoasse, Traitä 11, p. 641, Anfg. 28.

28 Gustav Bebkhav:

Die Punkte B^ liegen auf den Mittdsenkreckten. Die Geraden B^P
sind deti Seiten a,. parallel.

Die Punkte C^ liegen auf den Kreisen UAj^A^; sie sind die Fuß-
punkte der vom Umkreismittelpunkt ü auf die ,ßymmedianen^^ A^P ge-
fällten Lote.

69. Der Brocardsche Kreis hat noch eine andere Eigenschaft^
durch die er zu den oben genannten vier Gebilden in naher Be-
ziehung steht.

Durch den Umkreis und die Brocardsche Ellipse^ die sich doppelt
berühren (Nr. 8 und 9), ist eine Büschelschar von Kegelschnitten be-
stimmt. Die Brennpunktökurve dieses Systems zerfällt in die Gerade UP
und einen Kreis ^ der durch U und P, auch durch die beiden Grund-
punkte der Büschelschar geht^ d. h.: Die Brennpunkte der Kegelschnitte,
die mit dem Umkreis und der Brocardscfien Ellipse einer Büschdschar
angehören, liegen auf dem Brocardschen Durdimesser und dem Brocard-
sehen Kreise.

70. Nennen^) wir insbesondere die beiden Brennpunkte H^ und ß,
der Brocardschen Ellipse, die nicht auf dem Brocardschen Durch-
messer liegen, Brocardsche Punkte, ihre Verbindungslinie Brocard-
sche Gerade, so gelten die Sätze: Die Brocardschen Punkte liegen auf
dem Brocardsdien Kreise. Die Brocardsche Gerade und der Brocard-
sche Durchmesser stehen — als Achsen der Ellipse — aufeinander senk-
recht. Auf dem Brocardschen Kreise liegen also folgende Punkte:
U, P, B^, B^y jBj, Oj, Cg, Cj, Äj, Sl^. Deswegen heißt er auch der
Zehnpunktekreis des Grunddreiecks.^)

7. Die isogonischen und isodynamischen Punkte. — 71. Die Größen

y< der §§ 3 — 5, die der Bedingung r^^y;^?^, + 1=0 genügen, be-
herrschen, wie sich gezeigt hat, nicht nur die Theorie der Zwillings-
punkte, sondern auch die der tripolar assoziierten Punkte. Auch wenn
die obige Bedingung nicht erfüllt war, führten die Größen y^ zu ge-
wissen Punkten, die zum Teil dieselben Eigenschaften wie jene auf-
wiesen.

Gemäß § 2 betrachten wir die Größen y,. — mit oder ohne Be-
dingung F = — als die Koordinaten der Punkte Y und Z. Zu jedem
Wertetripel y^ erhalten wir bei Berücksichtigimg aller Permutationen
je sechs Paare von Punkten Y und Z.

1) Der Kürze halber sind die Koordinaten und Gleichungen der genannten
Gebilde fortgelassen. Aus ihnen folgt, daß die hier gegebenen Definitionen nicht
mit anderen ril. Abschnitt, § 8) in Widersprach stehen.

2) A. Emmerich, a. a. 0. S. 80.

Zur proJektivigebcD Behandlung der Dreiecltageometrit

72. „Merkwürdige' Fimlie werden wir erhalten, wenn die Größen y,.
Iwsoudere Wert« annebmeu; diese Ussea sich darnach unterscheiden,
ob sie absolut oder nur relativ^), d. h. durch ihre Beziehungen zum
ärunddreieck ausgezeichnet sind.

Eb werden sich merkwürdige Punkte z. B. ergeben, wenn die
firoBen y, und also auch die Winkel c, einander gleich sind. Davon soll
in diesem Paragraphen die Rede sein; im nächsten und letzten wenden
nir uns relativ ausgezeichneten Werten y^ zu.

73. Ist zunächst F4- 0, so liegen alle zu den Werten Cj = Cj = Cj -" c,
Hi^Yt^'Yt — y gehörigen Punkte 1' auf dem Broeardschen Durch-
messer, die Punkte Z mithin (Nr. 52) auf der Kiepertschen Hyperbel.

y; X, ^pX- p, + yVv), -2= ^. = i/j7,(- -P* + yVw)-

Ans Nr, 66 folgt: Errichtet um» »her den Seiten eiVwÄ Grund-
drtiecks A ak GruwHinien — gleichzeitig nach außen oder innmi —
^MisdtenHige ähnlicltc Dreiecke, so liegt das i'on deren Spitzen ge-
biifkle Dreieck Z oder Z' perspcJcHr zum OrttnddreiecJ!. Kollincatiotis-
untrvm ist ein Ftinki Z oder Z' der Kir per Liehen Hyperbel.

Die Punkte I', i"' auf dem Brocardschen Durchmesser bilden
eine Involution mit den Doppelpunkten U, P. Die ihr isofjonale In-
Tolntion (ZZ') auf der Kiepertschen Hyperbel hat das Zentrum F.

74. Tritt nun die Bedingung F= hinzu, so erhalten wir zwei
Iwsondere Zwülingspunkte und zwei besondere tripolar assoziierte Punkte.
•foie heißen isogonische, diese tsodynamisdie Punkte.

Aus 2ny> = 3y' - - 1 folgt y^±%.y- 3.»)

Eb gelten die Satze: Die isogonischeii Funkte liegen auf der
Kitpertschen Hyperbd, und swar auf dem Dirchmcsser (Nr. 67), der
Afr* dm Leinoincschen Punkt (Nr. 73) gefii.

Man erhält sie, indem man gleichwinklige Dreiecke über den
Seiten des Grunddreiecks gleichzeitig nach außen oder innen errichtet
lad die freien Ecken derselben mit den Qegenecken des Grunddreiecks
verbindet.

Fo» den isogonisdtcn Punkten aus erscheinen die Seiten des Gmnd-
*a«i» unter gleichen Winkeln.

Die isodtfnamischen Punkte sind diejenigen des Brocardsclien Durch'
•«sw»», die gleichseitig konjugiert in beaug auf den Umkreis und das
JPunktqmir (UF) sind.

I) J. Schick, a. a. 0. Mfincheuer Berichte SO, 1900

i) Die Paukte iind reell, nenn y ■ y^i reell, al«a q> negativ, d. h. das abio-
Int* Punktepaar innginilr iat (Nr. 68).

J

30 OusTAv BEBKHi»; Zur projekti via oben Behandluiig der Dreiedtsgeomet

Die Kreise y^, auf denen sie liegen (Nr. 60), sind die Apt
sehen Kreise dea GrunddreieckB durch je eine Ecke und die Fußpunkte
der zugehörigen Winkelhalbierenden.

Die Fußpunktdreiecke der beiden isodynamisdten Funkte sind dfr
Definition gemäß gleichseitig.

8. Die Brocardschen Gehilde im Sinne von Artet.^) — 75. Nun-
mehr mögen einige Punkte betrachtet werden, bei denen es sich um
relativ ausgezeichnete Werte y. handelt. Die Größen c^ wiiren ja Winkel;
es liegt nichts näher, als sie den Winkeln des Grunddreiecks gleich-
zusetzen (yi= ~ PjV<p)- Dadurch erhalten wir in der Ebene des
GrunddreieckB bereits 34 ausgezeichnete Funkte. Neben den Winkeln
des GrunddreieckB haben dann im Sinne dieser Betrachtungen noch die
Winkel eine Bedeutung erlangt, die an den Scheitelgeraden des Schwer-
punktes Cr, also auch in dem Fußpunktdreieck des Leuioineschen
Punktes F auftreten. Diese finden sich noch in einem anderen Drei-
eck D^), dosaen Ecken D^ auf dem Umkreise und den Sjmmedianeu
A.P liegen. Diei^e Winkel [y^ = (- P,- + ■lpj^^)/3 V?-]^) liefern 24
weitere merkwürdige Punkte.

711. Es war unser Bestreben, zu betonen, daß die merkwürdigen
Eigenschaften des Lemoinescken Punktes P aus seinen polarett Be-
eiehmigen sum Umkreise fließen (Nr, 9), Wie dieser Punkt, so ist auch
das obige Dreieck D durch — das Grunddreieck A und — seinen
Umkreis projektiv zu definieren. Man erkennt leicht, daß die Drei-
ecke A und D nicht nur deu Umkreis, sondern auch Punkt und Ge-
rade von Lemoine (und folglich auch deu Brocardschen Kreis) ge-
meinsam haben, gewissermaßen also gleichwertig sind. Deswegen auch
verwenden wir ihre Winke! für den vorliegenden Zweck in gleicher Weise.

77. Aus deu Koordinaten der iü Punkte, die man eintach durch
Einsetzen der ohigen Werte y. m die allgt^meinen Ausdrucke (Nr. t>4)
erhält, folgt: Unter diesen 48 Punkten befinden sich der Umkreis-
mitteipunkt U, der Höhenpunkt H, irgend ein Punkt der absoluten
Geraden, insbesondere also der Richtpunkt der Lemoineschen Geraden,
die Brocardschen Punkte ß, undii,, die Ecken des zweiten Brocard-
schen Dreiecks C, der Lemoinesche Punkt P, die Ecken des Grund-
dreiecks A und andere weniger bekannte Punkte.

1) A. Artat, Progtamm. RecklinghAuBen 188<1.

2) Rouehö-Comboronsse, Trnitö I, 46». Der dortige elementare Bcweii
gilt auch hier.

S) Eb hat die Summe ^y, für die beiden Dreiecke A und D den gleichen
Wert ^P. ! -i/q;. öleichbrocardache Dreiecke.

,f

_ eichen

£. Laxdau: üngleichheitsbeziehungen in der Theorie der analjt. Funktionen. 51

Von den 48 Punkten liegen zwölf auf der Lemoineschen Geraden.
Ihre Fußpunktdreiecke enthalten die Winkel des Dreiecks A oder D in
irgend einer Anordnung. Diesen zwölf Punkten sind zwölf Punkte des
Brocardschen Kreises tripolar assoziiert; wir erhalten sie durch Pro-
jektion aus dem ümkreismittelpunkte U> Die noch folgenden 24 Punkte
ergeben sich aus diesen durch die isogonale Verwandtschaft;. Zwölf
davon liegen auf der Steinerschen ümellipse; dem Bild der Lemoine-
schen Geraden^ die letzten zwölf auf der bizirkularen Kurve vierter
Ordnung, die dem Brocardschen Kreise entspricht.

über einige üngleiclilieitsbeziehniigeii in der Theorie der

analytischen Funktionen.

Von Edmund Landau in Berlin.

1. Am Ende seiner Arbeit*) „über die Wertschwankungen der
harmonischen Funktionen zweier reellen Veränderlichen und der Funk-
tionen eines komplexen Arguments" gelangt Herr Schottky durch
Spezialisierung seiner allgemeinen Resultate zu dem Satz^):

Es sei q> (x) eine analytische Funktion von x, welche für \x\'^R
regulär ist. Es sei D(g)) ihre größte Wertschwankung auf der Ghrenze,
i h. der größte Wert von ] g)(a) — <p (b) , wo a und b zwei beliebige
Zahlen mit dem absoluten Betrage R sind. ') Dann ist

(1) l9'(0)|^i^i').

Schon an einer finiheren Stelle seiner Arbeit*) hatte Herr Schottky
darauf hingewiesen^ daß die weniger scharfe Relation

als bekannt anzusehen war. Denn^ wenn c irgend ein Punkt der
Kreiflperipherie Re^* ist, und wenn x diesen Kreis im positiven Sinne
durchlanfl, so ist nach dem C au chy scheu Integralsatz

,,'(0) = i-. /> (f> dx = ^ ffM_--iM dx,

1) Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. 117, 1897, S. 225— 253.

2) 1. c. 8. 268.

3) Ans bekannten Sätzen folgt, daß D{tp) zugleich der größte Wert von
1 9(a) — qp(6) I für alle Wertepaare a, h ist, welche die Bedingungen | a | ^ Ä,
iij< JB erfüllen.

4) 1. c, S. 231.

32 Edmund Landau:

folglich^ da auf dem Integrationswege beständig

\tpix)-9ic)\£B(<p)
ist^

3. Ich will nun zunächst eine üngleichheitsbeziehung beweisen,
welche schärfer ist als die von Herrn Schottky angegebene Relation (1).
Es bedeute E{(p) die größte Schwankung des reellen Teiles von q> {x)
für i a? j = iZ, also den größten Wert von |9i qp (a) — SR^? (6) j fttr [ a| -« B,
I & I =» 22. ^) Dann behaupte ich, daß

(2) \ 9(0)1^1^

ist.

Da offenbar fOr \a\ = R, \b\^ R

I ^ip(a) - 5R<p(6); = I 9t(<p(a) -g>(b)) ' £ \ ip(a) - g>(b)\£ D(jp\
also

ist^ ist (1) in (2) enthalten. Der folgende Beweis von (2) stellt also
zugleich einen direkten Beweis von (1) dar.

Nach Voraussetzung ist der Radius des Konvergenzkreises der
Potenzreihe

(p{x) = a^, + a^x + a^x^ + . . .

größer als R, Es werde a^ 4= angenommen — sonst ist die Be-
hauptung (2) trivial — und

«1 9'(0)

gesetzt; der Radius des Konvergenzkreises der so entstehenden Potenzreihe

ist >Rff' (0) . Durch Anwendung der bekannten Integraldarstellong
für den reellen Teil des Koeffizienten h^ von y in einer Potenzreihe

^6^y** ergibt sich hier

11 =

1) E{tf>) ist auch der größte Wert von 19i9(a) — 9^9(6)1 für ; a | ^JR, | 6 | ^ Ä.

Ungleichheitsbeziehiingen in der Theorie der analytischen Funktionen. 33

wo y den Kreis iJ, 9)'(0) je*^ im positiven Sinne durchlaaft. Da nun
diesen Werten von y die Werte von x auf dem Kreise 1 2; | = 22 ent-
sprechen, ist für je zwei Werte auf dem Integrationswege

\^tiyx)-9iHyi)\£E{fp).

Daher liegt 5R^(y) für 0^d^2;r zwischen Ä — ^E^q)) (inkl.) und
A + ^E{(p) (inkl.), wo Ä eine gewisse Konstante bezeichnet. Wegen

ergibt sich also aus (3)

jtB ; q>'{0) I = f^li^iy) cos ddd = fi^i^df) — Ä) cos d'dd'

— "2- (f^^^ ^^^ - A^s ^^^ + A^s dd^) - ^(1 -(-2) + 1)

if s^

2 T

(2) >'(0)|^J^i^,

was za beweisen war.

3. In dieser Relation (2) kann die Konstante — durch keine kleinere

Zahl ersetzt werden. Denn es ist leicht, nach Annahme einer beliebig
kleinen positiven Ghröße d eine Funktion (p{x) anzugeben, welche in
einem gewissen Gebiet i ^ | ^ i2 regulär ist, aber die Relation

(4) i9''(0)l>(J-*)^^^

erfüllt. Es sei

(p(x) = ia? + |fl?* + ^a;* + . . .

und B eine nachher näher zu bestimmende Zahl < 1. (p(x) stellt
einen fdr o; { < 1, also gewiß für { o; { ^ ü regulären Zweig der Funktion

arc tft ix = zr- log --, —

.dar. Bekanntlich ist für | o; I < 1

AxoliiT der MftthMMtik und Pl&Trik. HL B«lhe. XL 8

34 Edkdiii» Lasdac:

also

- J < 8i arc tg (»rc) - 8i 9 (a;) < J

andererseits ist

l9,'(0)|-i;

wird also R so gewählt, daß

l-d|<iJ<l
ist; so ist

7t

|,-(0)!-l-(|_,)-J->(|-«)^,

wie in (4) behauptet wurde.

4. Dagegen ist es, wie nunmehr gezeigt werden soll, möglich, in
Herrn Schottkys Relation

(1) k'(0)|^^^

2 . . 1

die Zahl durch eine kleinere absolute Eonstante, nämlich -7^, zu er-
setzen. Ich behaupte also die Richtigkeit der Beziehung

(5) \9'{0)\^^^.

Hierzu mache ich Gebrauch Ton folgendem bekannten geometrischen
Satz^):

Wenn der Abstand je zweier Punkte einer ebenen Punktmenge ^ D
ist, so gibt es in der Ebene mindestens einen Punkt, der von jedem

Punkte der Menge höchstens die Entfernung -yz hat.

Im vorliegenden Fall gibt es also eine komplexe Zahl a, so daß
für alle x mit dem absoluten Betrage R die Ungleichheitsbeziehung

2)(<p)

(p{x) — a\^

^ß

1) Derselbe findet sich, auf eine n-dimensionale Punktmenge verallgemeinert
(wo der Abstand eines passend bestinunbaren Punktes von allen Punkten der

Menge < 2) |/^7^xi\ ^**)' "^ Herrn Junge Dissertation: „Über die kleinste

Kugel, die eine räumliche Figur einschließt'^ Marburg, 1899, welche auch im
Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. 123, 1901, S. 241 — 267^
abgedruckt worden ist.

üngleichheitBbezieliimgen in der Theorie der analytischen Funktionen. 35

besteht. Nach dem Gauchyschen Satz ist also

1 D(<p)

9>'(0)

2

1_ r <p(x) — a

dx

womit die Behaaptm^ (5) bewiesen ist.

5. Gegen Ende seiner Abhandlung^) hat Herr Schottky den Satz
bewiesen:

(6)

9^(^o) — ^ipi) i ^ 2>(9)- Ajrcsin

i^C^o — ^)

wo I ^Tq I < jB, I a^i I < jB ist, Sj die zu x^ konjugierte Zahl bezeichnet und
w^o der zwischen und -^ gelegene Wert des Are sin gemeint ist.

Aus (6) hatte Herr Schottky alsdann (1) entwickelt, indem er a^i =
setzte, durch [ Xq \ dividierte und zur Grenze Xq = überging.

Ich will nun feststellen, daß der Satz (6) weder im Sinne des § 2
noch im Sinne des § 4 einer Verschärfung fähig ist. Genauer gesagt,
ich will an je einem Beispiel zeigen:

1) daß der Quotient

! 9 (^o) "~ 9 (^i) I • ^(9) "^^^ sin

B(Xq — Xi)

JX ~~~ X^ X*

2
n

> — sein und sogar beliebig großer Werte fähig sein kann,
2) daß der Quotient

B(Xq—Xi)

J\ ~~~ Xq X*

1 2

--= und sogar > d sein kann, wo S eine beliebig kleine positive

Größe ist

1) Hier liefert die oft bei derartigen Betrachtungen angewendete
Funktion aus § 3

' g>{x) -^ix + ^x^ + ^x^+ ,..

den gewünschten Nachweis.

Es sei Xq^t, a^i = 0, < r < JB < 1. Dann ist

E(ip) Are sin

E((p) Are sin ^ < — Are sin ^ <

B*—XqXi

9(^0) -9(^1)!
Wenn o eine beliebig große Zahl ist, ist r < 1 so wählbar, daß

«•8 f*A

CJ

1) L c. 8. 268.

8*

Die Bchon vou Euler untersuchte Funktion U (a), die von Soldner
mit dem Nameu des Integrallogarithmua bezeichnet wurde, ist in der
oeaeren Zeit in einigen Arbeiten behandelt worden.') Zu den in diesen

1) Herr Lerch, dem ich diaao Notiz tot ihrer TerSffentlichung mitteiltfl,
machte mich auf eine aemikonTergente EntwickelDTig aurmcrksam. die er im
lutemiädiaire im Jahre 19U1 ohne Beweis angegelien hatte und die mit der von
mir aufgeatellten konvergenten Entwicklung in ihrer Struktur große Ähnlichkeit
beaitet. Ich verweise in hezug hierauf aal' die nachfolgende Arbeit vou Herrn
Lerch, die er aaf meine Änregang hin veröffentlicht hat.

!) Lagnerre: Sur l'intiJgrale I ''. dx. Bnlletin de la aocii^t^ mathematique

de France lome Vn. — L O m m e I : Zur Theorie der Beeeelschen Funktionen.
Mathematiache Aunalen Band 16. — Btieltje«: Hecherchet anr quelques si^riee
Bemi-i'ünvorgeut««. Ajmales de l'^cole normale Hl. 3. — Phragm^n: Sur le
logaritbme intägral et 1b function /'tj;]de Hiemann. Stüi'kh. Öfv. 48. — Phragmän;
Über die Berechnung der Biniolnen (üieder der Riemannachea l'rim /.ah 1 forme I.
ibidem. Siehe in heiug auf die Leiden leliteu Arbeiten auch Fortschritte der
Mathematik. Band 33. Seite 300. — NieUeu: Handbuch zur Theorie der

J

Zar Theorie des Integrallogarithmus. 37

Arbeiten g^ebenen Darsteilm^en möge eine weitere hinzugefügt werden^
die fQr gewisse Werte des Argumentes von Vorteil sein dürfte.

1. Wir gehen von der bekannten Mac Laurinschen Summen-
formel aus. Dieselbe kann folgendermaßen gefaßt werden. Die Summe:

(1) m+ni+i) + ---+ni+m)

hat den Wert:

jf{x) dx + \ (fd + m)+ f(f)) + F,, + Pi,.

l

Dabei ist gesetzt worden:

Vi . = -^•, (fil + m) - m - ff (/"'"a + m) - P'(i)) + • • •

femer bedeutet Ps« den Best. Nimmt man die Bedingung hinzu^ daß
die Summe ^/^* G + i' + 0; während t von bis 1 geht^ ihr Zeichen

i:=0

nicht ändert, so kann man schreiben:

(2) p,. = (-l).+.^|^;r^l£.('/^.-»./ + m))-r'-'<i;), «'«"•

2. Wir wählen nun die Funktion:

(3) f(x) = C- - -l ,

wobei unter a eine beliebige positive Große zu verstehen ist. Dann
nimmt der rte Differentialquotient die Form an:

X

Wir können diesen Ausdruck auch sehreil>en:

Zylinderfonktionen. Leipzig 1904. $ ^i. — Ni«]e«D: Notix ü(>«r <Imi IntegraJ-
logarithmus. Monstibefie für IfAÜiematik uiid Phv«jk, Hand 16. — LercL:
Über einige Entwickelmij^ii »nf dem Gebiete der uxtvolJirtäudifreja Umnehmt
Integmle 2ter Art Crelie. Band Itfi. — Gutknecbt: JjuU^rallogairitijxouf. Wim.
Bern 1903. Auf die letcUr Arbeit trxirde icb nadu Oruckle^^ui«;^ dieser ArWit <iur^:kt
die Liebenswürdigkeit tqd Hern Lampe aofoierkaani gexuik;Lt

38 Martin Krause: ^

Nun gilt aber die Gleichung:

«-'=■ 1 - ^ ••• + (- ly^^V (- D'+^a-*' i^i|^ .

Unter solchen ümsianden nimmt der rte Differentialquotient die Form ai

(4) ^+1- (!«)'+'.

Hieraus folgt, daß wir für den Rest die unter (2) angegebene Fohl
wählen können. Nehmen wir nun an, daß unter den Zahlen
l, l + l, . . , l + m die Null nicht vorkommt, so finden wir für das

Integral: j l- j dx den folgenden Ausdruck:

i

wobei die Größen V^ % und P^ „ die vorhin angegebenen Werte besitzen.
Das allgemeine Glied von Fg „ hat die Form : ±-^z\iP'~^ {l+m)-P "^Ht))

Nun ist:

„ 2(2r)l „

also kann dasselbe geschrieben werden:

2Ä2r

Hieraus folgt, daß ftlr endliche Werte von l und m und für:

(5) |la|<2Ä

der Grenzwert von P^« ftlr n = cx) der Null gleich ist und demgemäß
Foe eine konvergente Reihe darstellt.

Wir erhalten unter solchen ümsi^nden den

Lehrsatz: Leistet die Größe a der Ungleichung (5) Genüge^ und ist
unter den ZaMen l, i + 1, . . . i + 1» die Null nicht enthalten^ so ist das

l-j-m

Integral: / ( j dXy von dem endlichen Teile:

abgeseheriy gleich der konvergenten unendlichen Reihe V^,

40 Mabtot Krause:
oder auch:

1 /1 ,, I y' y' \ . y / 1 y_4.__J^!__ \

und demgemäß:

«"'*' , y /_J y_ , y* \

Diese Transformation kann wiederholt werden^ und wir erhalten
die Darstellung:

, __jAti__ / 1 y__ , y! \

Nehmen wir nun an^ daß die Ungleichung besteht: y < r + 1, so wird
der erste Teil der letzten Darstellm^, wenn y immer größer wird, wie
groß auch im übrigen r und s angenommen werden^ sich immer mehr
und mehr dem Gh^nzwert Null nähern. Femer können wir 8 so gro6
wählen^ daß dasselbe bei dem zweiten Teile der Fall ist und demgemäß
auch bei dem ganzen Ausdrucke.

Zweitens können wir den rten Differentialquotienten^ vom Fabtor
a^+^ abgesehen^ auch schreiben:

y \ y^ y"" ^r) ^ ^ 3^+^

Nehmen wir nun an^ daß y > r ist^ so folgt; daß der angegebene Aus-
druck mit wachsendem Werte von y sich immer mehr und mehr dem
Grenzwert Null nähert.

Unter solchen Umständen erhalten wir den folgenden

LehrscUz: Leistet a der Ungleichung Genüge: a < 27t, so ist der

Grenzwert von öt/^'^""^^) f^^ ^^ ^^7 ^^ 9^^ß ^^* ^ ^^^ möge,
stets der Null gleich.

Nach diesen Bemerkungen gehen wir zu der Betrachtung des

Integrales / ( — -\ dx zurück. Wenn l positiv, von Null verschieden
angenommen wird, so kann das Integral geschrieben werden:

Zar Theorie des Integrallogarithinas. 41

oder also wir finden für das Integral/ — dx, von der Summe:

abgesehen^ die Reihendarstellung:

r=ao

V (_ l)r .^ (fir-1 (jl + rn)^ pr-l (,)).

Lassen wir m unendlich groß werden und nehmen an^ daß { eine
positive ganze Zahl ist, so folgt der

Lehrsatz: Unter den im ohigeti angegebenen Bedingungen ist das

Integral: j — dx, von dein endlichen Teile:
i

abgeseJien, gleidi der konvergenten unendlichen Reihe:

r=.l

Erwägt man, daß gesetzt werden kann:

r=oo

2'(-i)'-*-f;./''-Ho-

1 1 .1, J^W^^ ^ _ J 1 ^

1 ■*■ "7— 1 "•" 2Z ^^8* ^^ 12/«" "'" 120Z* 2527«'

a a' a ^ a!

-loga-«)-j-y--^ = ^^^3^,

SO folgt, daß etwa für a^e~^ und für einigermaßen große / die an-
genäherte Berechnung des endlichen Teiles keinerlei Schwierigkeiten
bereitet. Dasselbe gilt von der unendlichen Reihe.

Die gefundene Reihendarstellung dürfte sich daher für die numerische
Berechnung des Integrallogarithmus in den angedeuteten Fällen sehr
iprohl eignen.

Dresden, den 28. April 1905

42 ^- Lkbch:

Bemerkimgeii Aber eine Formel aus der Theori« der an-
vollständigen Oammafnnktion und des Integrallogaritlunns.

Von M. Lebch in Freiburg (Schweiz).
Vor einigen Jahren versuchte ich die Theorie der Transzendente

^-^ (m + a)* *

und von Lipschitz*) ausfährlich untersucht wurde, ftlr die Theorie
der unvoUständigen Gammafunktion

OD

Q (Sf (o) '^ I e'^^af" ^ dx

txi

in anderer Weise nutzbar zu machen, als dies bereits durch Herrn ite')
geschehen war. Mein Resultat bestand in der halbkonvergenten Ent-
wicklung

(// = !, 2, 8,...)

wobei Wj u, s positive reelle Größen bedeuten, femer

und B^ — « j, B, = ^, B^ = i^j ... die positiven Bernoullischen Zahlen
sind, und zwar ist der durch die Benutzung der halbkonvergenten
Reihe bedingte Fehler vom gleichen Zeichen und vom absolut kleineren
Wert wie das erste vernachlässigte Glied der Entwicklung.

Dieses Resultat würde ein ausgezeichnetes Hilfsmittel für die Be-
rechnung von Q(l — s, w) ausmachen, wenn man über eine bequeme

1) Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. 38.

2) ibid. Bd. 54 und 105. Daß in seiner ersten Arbeit Lipschitz den fonk-
tionentbeoretischen Charakter der Reihe noch nicht ganz beherrschte, folgt daraus,
daß er von einer Funktion von vier Elementen spricht, indem er das eine Argu-
ment komplex annimmt und in seine beiden Bestandteile spaltet. Die erste funk-
tionentheoretische Behandlung des Gegenstandes — nachdem die mustergültigen
Arbeiten von Riemann und Hurwitz betreffend zwei Spezialfälle vorlagen —
geschah wohl durch die Arbeit des Verfassers (Acta math. Bd. 11).

3) daselbst, Bd. 90.

Formel aus der Theorie der Grammafunktion und des Integrallogarithmus. 43

Berechnnngsweise der Malmstenschen Reihe links in (1) und zwar
für yerhältnismäßig kleine u verfügte.

Entwicklungen zur Berechnung der Reihe des Malmsten-Lip-
schitzschen Typus sind zwar vorhanden ^), und zwar ist z. B. für < v < 1

wobei der Eonvergenzradius gleich 2n ist und die Koeffizienten durch
die Funktionen der komplexen Veränderlichen s definiert sind, die als
Sommen oder analytische Fortsetzungen der Reihen

00 / /» -1- P\
*v^/ . V "'^^COB(2nt7 1;- W

a = ^r{8 + p) y^ V 2 ;

vollständig definiert sind.

Um die Formel (2) zur Berechnung der linken Seite von (1) zu
yerwenden, müßte man k; » ücd setzen, dann m auf die Form a + v
bringen, wobei < i; < 1 und a eine positive ganze Zahl bedeutet;

alsdann unterscheidet sich die Reihe ^^(m + v)"~*e""('"+^) von der

m=sO

00

folgenden ^ (m + (0)^*6"** (^'^+'"'i nur um ihre ersten a Glieder, die

also zn berechnen blieben, um den Wert der linken Seite von (1) zu
erhalten. Man könnte sich sogar mit dem Grenzfall t; » 1 von (2) be-
sagen, in welchem

2r(8+p)f,. , V 8+p

p!(2«)'

ist; dieser Fall hätte den Vorteil, dafi die Koeffizienten in der Entwicklung

00 00 . 8 A- 1)

(2«) 2n.'-^e-'^''^^-^+2i-iy ^,^^^^,^; Us+p)u.

bloß von s abhängen und die Berechnung auf eine Tabelle der Funktion
5(5) zurückföhrbar wäre. Alsdann müßte man für cd eine ganze Zahl

a — — setzen, um die Berechnung von (1) vermöge der Entwicklung (2^)

zu bewerkstelligen.

1) Abgeleitet in meinem Anfsatz Nr. 28 des III. Jahrgangs der Rozpravy
{IL Klasse) der Prager Akademie, p. 2 und 3 des Sonderabdracks (1894).

Setzt mau hier für u eine positive ganze Zahl a ein, so berechnet sich
die linke Seite vermöge der logarithmischen Reihe durch dea Ausdruck

Die sich so darbietende halbkonvergentc Bestimmung des Integralloga-
rithmns

habe ich 1901 im VIII. Bandes des Interme'diaire des mathematicieiis
(Qaestion 21ÖÖ) ohne Beweis mitgeteilt, während die Begründung der
allgemeineren Formel (1) den Schluß einer demnächst im 130. Bande
des Crelleschen Journals erscheinenden Abhandlung bildet. Der Um-
stand, daß die Divergen?. der Entwickhing (4) eigentlich auf Konstanten

itgehen können, denn für größere u ist '^ — ^
beinahe gleich e", so zwar daß der Unterschied "^ - , nach Mnlti-

plikation mit — , das allgemeine 61ied einer koiiTergierenden Reihe

2(1 a "

bildet, sobald - = « kleiner als 2ä bleibt. Allein da mir der Gebrauch
■ Formel lediglich für a > 4 vorschwebte, so hatte die Trennung des
konstanten halbkonvergenten Teiles von dem konvergenten veriinder-
licben Teile für mich kein unmittelbares Interesse. Als ich nun durch
die Güte des Herrn Krause in Kenntnis der Resultate seiner Abband-

Formel aus der Theorie der Gammafunktion und des IntegrallogaritliinuB. 45

lung (s. oben S. 36) gesetzt wurde, unternahm ich es, meine ursprüng-
liche Untersuchung für den Spezialfall des Integrallogarithmus hier
aoBeiuanderzusetzen und sie durch die eben angedeutete Trennung zu
ergänzen, wobei namentlich der Umstand hervorgehoben werden mag,
daß sie auch bei allgemeinen nicht ganzen a gelingt und die Aus-
dehnung des Resultats auf den viel wichtigeren Fall der Funktion
h'(e+"') ermöglicht.

Es seien a, u zwei beliebige reelle positive Größen, und es werde
mit F(ajU) die durch die offenbar konvergierende unendliche Reihe

(5) F(a,u)^^t_^

definierte Funktion der beiden Veränderlichen a «und u bezeichnet.

Diese Reihe verwandle man in ein bestimmtes Integral vermöge
der Gleichung «

a + n J '

es kommt

QO

Hier machen wir von der Formel

Gebrauch, wobei < 0„ < 1. Es entsteht so aus (6) die Gleichung

oo oo

F(a, «) = /*<!-''("+') J~^ + j re-''("+') dz

wobei

oo

(- lyR, = J^'-efe'-(-^'){u + z)^--^^dz, io<e<i).

Non ist

0» 00

^ au au

46 M. Lxboh:

ako bekommen wir die Gleichung

00 n OD

au ^"=1 ^ au

wobei noch bemerkt werden möge, daß

(- l)"2i. — "-^'t-u« fer-'x»'+^dx.

au

Diese Formel (7) zeigt, wie man die Berechnung der unendlichen
R^ihe (5) auf die des Integrallogarithmus zurückführen kann, sobald
der Rest R^ vernachlässigt werden darf; denn die auf der rechten Seite
von (7) auftretenden Integrale drücken sich in geschlossener Gestalt
aus, und zwar ist

oo

/e-a^rfa; = m!e-[l + |? + |; + ... + g].

10

Ich bemerke nun, daß die Reihe

au

2

au

konvergiert, üelIIs < u < 2;r ist. Benützt man die Zerlegung

oo au

fe-'x^f^-^dx = (2/A - 1)! - fer'a^f^'^dx,

au

so ergibt sich aus (7)

au

au /i4=l ^ '^^

Die aus den Integralen zusammengesetzte Reihe wird unter der An-
nahme < M < 2;r konvergent für w = oo, und derjenige Bestandteil
der rechten Seite, der den Charakter der halben Konvergenz verursacht,
ist von u unabhängig; es liegt die Vermutung nahe, daß nach Ersetzen
des „konvergenten" Teiles durch die unendliche Reihe der Rest 2J^ sich
zu einer von u unabhängigen Größe kompensiert, d. h. die Größe

au

(a) B'. =2'(- ^y-'^J^-'-'^-'ä- + ^

Formel ans der Theorie der Ckunmafunktion und des Integrallogarithmus. 47

▼on u nicht ablängt. Um dies zu ergründen, beachten wir, daß nach
der Definition (5)

^ V ^(«+»)« C—

du ^ l~e-«

u

und demnach aus (7) durch Differentiation nach u

folgt; mit Hilfe dieser Darstellung von -^ läßt sich die Größe (a)
nach u differenzieren, und wir bekommen so

was wegen der Identität

OO T|

(;u|<«ä)

A«=»i

identisch verschwindet.

Wir haben somit anstelle von (7), wenn au^ w geschrieben wird,

(7«»)

00

F{a, «) = 9(o) +/e-'^ + /„e-

10

-<^ ^ •' 21*0*" V 1' 2! (2,1-1)1/'

/. = ! »^

wobei f&r die Funktion <p{a) die halbkouTergente Entwicklung

JB.

(b)

^(a)=^(-i).-. ;- + «:

A« = l

vorliegt. Multipliziert man (7^) auf beiden Seiten mit e*" und diffe-
renziert nach a das Resultat, so entsteht

00

°^ « — "** • r dx 1 1

au
2m — »

• 7> -- / xm — 8 „ ^\

m==il

00

2 m — 1

* T> / rm — 1 y y\

48 ^- Lebch:

liier laßt sich nun der Grenzübergang zu u » ausführen, und wir
erhalten unter der Bezeichnung

das Resultat

und hieraus durch Integration

9? (a) = log a — — — ^ (a) + const .

Für große a ist nach (b) q){a) beliebig klein; und somit ist die Eon-
stante gleich Null, d. h.

9(a) = loga- /--^(a).
Wir haben somit die merkwürdige Entwicklung der (Jröße (5):

<7*)

00

F(a, tt) =.logo - ^ - ^(a) +/e-'^ + ^«-•'

im — i

• -n — w / im — 1 ,,\

in welcher w = au, a > 0, < m < 2;r vorausgesetzt wird, und wie
üblich t (a) =- ^^""l .

^ ^ r(a)
Nun ist bekanntlich

OD

und es folgt aus (7*) die Identität

m = 1 7* =

L _ ^ (a) + i. e-" _ V (- ly—i ^'"^ ( e« _ V !£- 1

m = l

In derselben sind bei positivem u des Intervalls (0...2;r) beide Seiten
eindeutige analytische Funktionen der komplexen Veränderlichen a; wir
bekommen daher eine richtige Gleichung, wenn wir darin a in — a
verwandeln und nunmehr a > voraussetzen. Da femer

rl;(a) — rl;{— a) ^ n: cot a;r ,

Formel ana der Theorie der Gammafimktion und des Integrallogaritiimus. 49

abo

und

^ - ^(- a) ^-7CQ0ia7C-t{a),

oo

li(e^)=. C + logw+y-

w
mim'

m»l

SO erhalten wir die Gleichung

•(n — a)u

(8)

h'(c-) +2 ^-;r:r^ log« - /« -««>*««- ^(«) + ^«"

H^l

-2<-')-'^-(— "f'^l

msl

v=0

(t<; = aw; 0<u<2ä; a>0).
Dabei ist in üblicher Weise

h* (c*') = val «p • / ^ —

— 00

gesetzt worden. Die Gleichung (8) setzt in merkwürdiger Weise die
Funktionen li((^), F{—a,u) und ^(a) in Zusammenhang, und sie
liefert, wenn man darin a = 5 -f ^ nimmt, wobei s eine positive ganze
Zahl ist und g unendlich klein vorausgesetzt wird, eine merkwürdige
Formel zur Berechnung von li(e*^).^) Wir haben zunächst

« ^-(«-a)«

cot a7f + ^ =» X cot 6ä z

»»1

«V * l -(*—»)««

^^ 5 — n ' ^j m

+ y

. — mu

+ (l),

wobei (S) eine unendlich kleine Größe bedeutet. Die rechte Seite wird
naeh dem Grenzübergang

m»l

ond wir erhalten daher aus (8)

(9)

ii(^)-«+2^" + log(l-^")-*(«)-^ + l«g«

mal

.«0

28

im — l

m=l

/u =- - < 2^, 8 positive ganze Zahl).

f=50

1) Bozpravy (Prag), V.B., Nr. 14 (U. Blasse).

ArdüT d«r lUthamatik und Phjdk. IIL Beilie. XL

50 M. Lebch:

Bei Anwendung dieser Formel muß die Zahl s wesentlich größer
als w genommen werden, da sonst viele Glieder in der Reihe wegen
des Faktors e^ zu groß wären. Ist z. 6. w in der Nähe von 5, so daß
&" ungefähr 150 beträgt, so wird die Wahl s = 10 ziemlich zweck-
mäßig, und man wird sich mit 3 Gliedern der Reihe begnügen können^
um 8 Stellen genau zu erhalten.

Eine ähnliche Formel zur Berechnung von li{e~'°) liefert Gleichung
(7*), wenn man für a eine ganze Zahl setzt; denn es ist alsdann

F{a, u) =2' '-^- -2-1. l«g (1 - «-") - J ^

m

Auf diese Weise entsteht die Entwicklung des Herrn Krause, während
aus (7) das von mir im Jahre 1901 im Intermediaire des mathe-
maticiens mitgeteilte Resultat (4) hervorgeht; es war dort die unend*
liehe Reihe mit der halbkonvergenten Reihe für i){a) zusammen-
geschmolzen. Immerhin sind die Fälle nicht selten, wo man die
halbkonvergente Entwicklung wird vorziehen müssen.

Für die Funktion F{a, u) habe ich im Jahre 1896 eine andere
Entwicklung abgeleitet, in welcher zwar ^ (a), nicht aber der Integral-
logarithmus vorkommt. Die Formel lautete

!^^-i2^(m+l)(*^')(i-l)'»-log(l-;^)-V'(a;)

Setzt man hier z ^ e~*^ und integriert nach x von a bis a + 1, so
kommt

00 ^"^^

er'^'dx — log (1 — er*") — log a .

u
Weil bei unbestimmtem z

a 4- 1 a 4- 1

= / (1 + zy-'^e-^'^dx

d

den Wert

^a«(l+,)a-.l-« (1+')
^ ' ^ u — log (1 -f- 0)

hat, so wird die Entwicklung

(10) a+^)'-'ü-7og'(SR=2'^'^*

i=»0

Fo^ÄTnel auB der Theorie der Gammafnnktion und des Integrallogarithmus. 51
tins clie Größen C^ liefern, für welche die Gleichung besteht

oo

c-''^*=-logo-log(l-e-'') + e-«"^V'(»» + l)C'„(e''-l)'».

alt 1/1 =

Die Funktion (10) bleibt synektisch im ganzen Einheitskreise ( | ;? | < 1),
nnd die Reihe nimmt für ^ = f?" — 1 den Wert e^" an; d. h.

oo

e-«*'^ Cm (e'* — l)»» = 1 .

wi =

Davon kann man Gebrauch machen, um aus den Koeffizienten

V^(m + 1) = 1 + ^ + 1 + ... + i + ^(l)

m

den Teil ^(1) zu entfernen, so daß man schließlich hat, weil ^(1) die
mit Minuszeichen genommene Eulersche Eonstante C ist:

oo

fe-'^ C-loga - log(l - C-")

(10*)

+ ^-«[Ci(e-- 1) + (1 +i)C,(e"- 1)»+ (1 +i+i)6Ve«- 1)»+ •••].
Man kann auch schreiben

und dies ist nach dem Mittelwertsatze

(10.) c.-^{'-^).

Bezeichnet man mit Cm die Größen Cm, in welchen u durch — u ersetzt
ist, 80 erschließt man aus (10^ leicht

ii(e««) = c + logaM + log^-^ +

(0<|<1)

(10*)

e-[(7,(l-^»)-(l+i)C,(l-e-)H(l+i+i)C,(l-^'')»— .],

2'^'"^ = «-TOTT^(i + ^)'-'

Diese Entwicklungen (10) konvergieren nur für recht kleine m,
also fftr kleine Werte w = au, für welche die ursprünglichen nach
Potenzen von w fortschreitenden Reihen gut brauchbar sind. Sie bieten
demnach kaum einige Vorteile, weshalb wir bei ihnen nicht verweilen.

Freiburg (Schweiz), den 28. April 1905.

Analytisch-geoinetrischB Ableitung der Realitätsbedingnngen
ftlr die Wurzeln der Gleichungen vierten Grades.

Von Erxst Eckhardt in Homburg v. d. H.

Eine vMsländige Bestimmung der Real itätsbedin gangen für die
Wurzeln der Gleichungen vierten Grades auf rein analytisch-geometrischem
Wege ist zur Zeit nicht vorhanden. Wohl aber hat man die analytische
Geometrie dazu benutzt, die bei diesen Gleichungen möglichen Fälle
zu beleuchten.') Hier ist vor allem Kronecker zu erwähnen, der
die DiBkriminant« dieser Gleichungen

D = 4((i* + 12c)' - (2aä - V2ac + 276")»

gleich Null setzt, die Größen a, h, c als Koordinaten eines recht-
winkligen Systems auHaßt und so zu der Diskriminanten Sache, einer
Fläche 5. Grades, gelangt, durch deren Betrachtung sich die einzelnen
Fälle erledigen lassen. In seiner Algebra, Bd. I, 8. 279 gibt Herr
H, Weber eine Abbildung und Erläuterung derselben. Diese Be-
trachtung Kroneckers setzt außer der Flächen theorie auch die Auf-
lösunff der Gleichungen 4. Grades voraus.

In dieser Arbeit soll nun die Be-
handlung der Gleichungen vierten Grades
von vornherein eine analytisch -geo-
metrische sein. Dabei werden sich die
möglichen Fälle von selbst ergeben und
die Diskriminante wird jetzt umgekehrt
aus der Behandlung folgen.

Die Untersuchung setzt bloß die
Grundlagen der analytischen Geometrie
der Ebene voraus.

1. Die Kurve und ihre Polar-
ijleichiing. — Die zugrunde liegende
Kurve ist die bekannte Pascalsche Schnecke, eine Konchoide mit kreis-
förmiger Basis, die schon oft behandelt worden ist und deren mannigfache
Eigenschaften und Anwendungen in dem Buche von Herrn G. Loria

1) Matthiesaen: Grundzüge der untikeu unJ modernen Algebra. S.'J6S — 963.
Barth; Mecbania eil' graphiacbe LS Bung der kubischen undbiqaftdratiscbenGIeiohang.
Arcbir (!) 1, 1—46. Hoppe: Bezirke der drei Wunelformen der GL 4, Grades.
Archiv (!) 14, SSS— 104.

Ableitung d. Bealitätsbedingimgen für d. Wurzebi d. Gleichungen 4. Grades. 53

über „ebene Kurven*' zusammengestellt sind.^) Ist der Mittelpunkt

der Basis, r ihr Radius, P der Pol, PO der Nullstrahl und e eine

konstante, positiv und negativ zu nehmende Strecke, so gilt für einen

beliebigen Punkt R der Schnecke, wenn PB==q und -^ liPO '^ (p,

die Polargleichung

Q ^ 2r cos 9? + e.

Ist |e| <r, so hat die Kurve die Gestalt der Figur 1. Die innere
Schleife schließt den Mittelpunkt ein.

Wird r < I e I < 2r, so erhält man Figur 2. Die innere Schleife
schließt den Mittelpunkt aus.

Für l^l = 2r wird P ein Rückkehrpunkt.

Im Falle j e | > 2r besteht die Kurve aus einem isolierten Punkte
P und einer geschlossenen Linie. Figur 4. Dies erkennt man, wenn
man, wie dies auch Herr Loria tut, die kartesische Öleichnug der
Schnecke ^^, ^ ^, _ ^^^^, _ ^,^^, ^ ^,^

betrachtet.

Ist e rein imaginär, so besteht die Kurve nur aus einem isolierten
Punkte P: (g « 0, 1? - 0).

Diese Tatsache hat Herr Loria nicht erwähnt. Ohne sie ist die
Behandlung der Gleichungen 4. Grades mit vier imaginären Wurzeln
nicht möglich.

Für die fernere Untersuchung ist es nun notwendig, die Polar-
gleichung der Schnecke für als Nullpunkt und OP als Nullstrahl
an&nstellen.

Ist OB^x und '^POB=-ay so hat man q^^x^ + r^—2rxco^a
und nach dem Sehnensatze (r + a:) • (r — a;) = ^ • c, sodaß die Polar-
gleichung für als Nullpimkt lautet:

(r* — a;*)* = e\x^ + x^ — 2rx cos a),
oder .

ar* - (2r« -f- e^x^ + 2re^x cos a + r\r^ — e^) - 0.

Mit dieser Polargleichung wird die zu untersuchende Gleichung
x^ + aa? -f 6a; + c = 0, in der a, 6, c reell sein sollen, identisch, wenn

l. 2f^ + (^ a, n. 2re2 cos« = 6, HL r\r^ - e^) ^ c

Aus I und m folgt för die zur Konstruktion der Schnecke
dienenden Größen r und e

rl^ = i(- « + V^^TT2~c), e!,2 = i(- 2a - ]/ä^Tl2^),
4,»i(_a->/a»+12c), ei., == |(- 2a + y^+\2c),

1) G. Loria. Ebene Kurven. Leipzig, Teubner, 1902, Bd. 1, S. 186 flf.

Demnach ist zunächst der Fall a' -f 12»; < aiiszuacheiden,"
dann die ganze Kurve imaginär wäre. Ferner ist aber auch wegen
cosß= — j, i'=l, 2, :-!, 4, der Fall \b\> \2ry^t\ auszuücUießen.
Diese beiden Fälle werden in der Fortsetzung behandelt.

3. Die Gliiichangen mit vier reellen Wurzeln. — Soll die vorgelegte
reduzierte Gleichung vierten Grades vier reelle Wurzeln besitzen, so
muß die mit ihr identische Polargleichung der Kurve X* + nx* + bx
+ f =- für ein in beatimmten Grenzen liegendes a vier reelle Iladien-
vektoren haben. Eine unter dem Winkel a gegen die Nullaehse ge-
zogene Gerade muß also die Kurve in vier reellen Punkten Bchnetden.
Hierzu ist zunächst nötig, daß die Kurve selbst reell istj daß also von
den Wertepaaren r, und e^ in Nr. 1 wenigstens ein Paar JceH ist.
Außer «' + 12c ^ muß, wie am einfachsten aus 2r- -\- e^ ^ — a
hervorgeht, zunächst a negativ sein. Die weitere Entscheidung über
die Realität der >■,, und i\ hängt davon ab, ob c^ ist.

a) c > 0. — In diesem P'all ist, da a < und fl' -f- 12c > 0, die
Größe r^j iwagintir. Die Wertepaare r, ^ und e^ ^ sind also zu ver-
werfen. Es bleiben die Werte r, , imd e, , übrig. Von ihnen ist r, j
unter den gegebenen Bedingungen stets reell, e^ , nur dann, wenn
— 2a- Va^+ i^c > oder «» — 4f :> ist.

Aus rj,, — <, = !(« + yä* -t-T2c) > folgert mau, daß r^.^ > c J ,,
und, da nur das positive r, zur Konstruktion gebraucht wird, daß
r, > le, j!- Die innere Schleife schließt also nach Nr. 1 den Mittel-
punkt ein. Den hierher gehörigen Gleichungen liegt also die Fig ur I
zugrunde. Da für n nach Nr. I die Beziehung

Figu^J

(plt, 80 ist o und mit ihm die Gerade OR solange reell, als — 2fjB*^
^ 6^ -|- ScjeJ , ist. Jede Gerade unter dem -^ « gegen OF bestimmt
dann vier reelle Radienvektoren, und man erhält das folgende Resultat:

Solange a<(), c> 0, «' - 4c ^ U, - 2»-,c5 , ^ i ^ + 2r,cJ,„ hnt
die Gleichung t* -f- «J* -|- 6j -1- c = vier reelle Warsdn.

Die Bedingung für b geht durch Quadrieren über in fc*^4rj-e} „
oder, wenn man die Werte von r\ und ej , einführt,

27 fc« ^ 2(- o -I- Vo* + 12e)(4a» + a» + 12c ->f 4«]/'»*+ 12c)

27fc»^-2o»-(-72flc + 2(a«+ I2c)V'«'+ 12c,
(2n»- 72ac+ 276»)'^4(rt»-F 12c)».

Va--\- izc}, I

»

Nseh der Einleitung ist also die Bedingung iiir 6 identisch mit der
fBr die Diakriminante Ö ^ 0.

Den Werten a —GP und k = 180* entsprechen die Gleit:hiingen
mit einer Doppelwurzel. Für a = 90" sind je zwei Wurzeln eiitgegen-
^tzt gleich.

bj c < 0. — Da die Bedingung a* — 4c > immer erfüllt ist, so
genügt filr die Realität von r, , und e, ^ , dafi a < und a- -f 12c ^
ist. Unter den beiden letzten Bedingunffen sind aber jetzt auch r^ ^
und e^ , reell, nnd man hat demmich für die Konatruktioti der Kurve
ein positives r^ mit zugehörigem Pi. a = ± I "^i I "^nd ein positivea r^ mit
lugsliörigeni »^j, i = ± ' «j i 7MI Verfügung, — Die verschiedenen Zeichen
der Großen e beziehen sich auf den Sinn der Abtragung dieser Größen

* 1).

Beachtet man nun, daß infolge der leicht zu erweisenden Un-
gleich angen

r; < cf^j, < (2r,)' und el^> {2r,)*.

«u erhält mau unter Zugrundelegung von fj und ± j
Fig. 2 nach Nr. I, bei Benutzung von r^ und + [
F%. i, also eine geschlossene Kurve
ohne Schleife und einen isolierten
Doppelpunkt.

Nur die erstere Kurve kann für vier
reelle Wurzeln in Betracht kommen;
denn die letztere hat nur fiir«=l.>° bez.
« = 180" vier reelle Radienvektoren.

Die Fig. '2 sei also aus den Größen
'] and i e^ , konstruiert, sodaß für
M" ihrer Punkte die Polargleichung

+ 2r,4 eosa ■ j: + r^W - ef ) = U "'" *

tplt, oder in abgekürzter Form a^ + ax* + hx -\- c = 0. Man erkennt
Mb der Figur, daß « für vier reelle Radienvektoren auf das Gebiet
**ischeu den von an die innere Schieile gezogenen Tangenten be-
fclifinbt ist. Es ist nun für die weitere Untersuchung tvichtig, die vier
i^imvektoren dieser Tangenten festzustellen. Dies geschieht am ein-
nisten durch folgende Überlegung:

Ist OT = ^ die Länge der innen Tangente, und schneidet sie die

äußere Schleife in ^, uud Q^, so muß wegen 20T ■\- 0Q^■\- OQ^^O

^ O^j von der Form — p + * und OQ^ von der Form — p — s sein.

I

Die zu der Doppel wiirzel p und deu

Gleichung lautet aber

P ± E gehürige

+ e*(p»-f'-) = o.

Da nun OT = q ein Radiusvektor der Kurve iat, so maß diese
Gleichung mit der Polargleichung 3^ + f(,r* + hx -|- c = identisch
sein, was für p und f zu den in Nr. 2 gegebenen Ausdrücken fllr r,
und e. führt. Ee muß also sein

Die Identitäten von p, , und e, , mit »■, ^ uud ej , beziehen sich auf
die unter k=0* und a = 180" gezogene Gerade Ol'. Die übrigen
Identitäten müssen daher für die Tangenten OT und OT' gelten.
Daraus folgt die intereasant« Tatsache, daß

Or^-r^, Oy; = '-j-eg, 0C^; = + r3 + f,.

Ans h ^ 2p£* folgt dann /'wr rfic Grenzwerte vm h, daß ''1 = — 1 2r,^l
und t| «= -f 2rs^ sein muß.

Durch Ausfilhrung der Rechnung kann man zeigen, daß immer
2r,e^ ^ ^''»^ '^'■

i^ür o < 0, d' + 12c > 0, t > sind demnach solam/e rier reelle
Wuredn vorhanden, ah 2rje^ ^ 6 ^ 2riCj.

Nach Nr. 1 iat dann coaec bestimmt durch 2re^ ■ cosa — h, worin
r und e. die Größen sind, aus denen die Kurve konstruiert wurde, also
hier r^ und e,.

Im obigen Falle ist folglich cosa eingeschlossen in die Grenzen

Ist o < 0, fl' + 12c > 0, t < 0, so sind vier reelle Wurzeln vor-
banden, wenn die durch gehende Gerade im Winkel POT' liegt,
wenn also — 2r,eJ ^ & ^ — ^^a^ ist.

3. GrensßUe hei den Gleichungen mit vier reellen Wurzeln. — - Zu
den Grenzfällen sind olle die Fälle zu zählen, in denen entweder die
durch gehende Gerade eine vusgetekhiiete Lage hat, oder in denea
je nach der Größe von e in besnig auf r die Kurve besondere Formen
annimmt.

Diese Fälle erledigen sich an der Hand der einzelnen Kurven
wie folgt:

ft) /■ <r (Figur 1), — Ausgezeichnete Lagen treten ein für a^O*,
« — 90", K — 180". Da nach Nr. 2 nur r,^, und c, , reell sind, so gilt

AbUtwig d. Be»lit&ti1)ediagtmgm für d. WntMhi d. QleioIiimg«n i. Qndea.

[ür c 2r,e\ - cos« = b. Den Werten ß = 0" und a ■= 180*, bei denen
also i = ± -'■i''if entspricht je eine Gleichung mit einer Dojipelwurzel.
Für ii: = 90'' ist h = 0, nnd die zugehörige Gerade schneidet je zwei
eotgegeagesetzt gleiche Wurzeln aus. Die übrigen Bedingungen sind
MB Nr, 2 a), (T > 0, zu entnehmen.

li) r< i? ■ < ^»■- — Eb sind vier aiisfir^pichndc Lagen vorbanden,
ilia, wenn «^ iJ^O", sich bestimmen ans cosa = ^ 1 und coso: = j; ä~^l'
Die nugehörigen Werte von f) sind b — ± -''i^ ^^^d ?' = ± Srj^. Ihnen
entsprechen vier Gleichungen mit je einer Doppelwurzel. Ordnet man
die vier Wurzeln der Größe nach, so ergibt die NuÜachse, oder die
<M l^Ü" gedrehte Nullacbse je eine Gleichung, bei der die Doppel-
Turael die 1. und 2. Stelle, bez. die 3. und 4. Stelle einnimmt. Die
TaBgenten OT und 07" liefern dagegen Gleichungen, bei denen die
DoppelwTuzel die 2. und 3. Stelle einnimmt. Die Bedingungen für
n und c sind « < und ci* + 12c > 0.

c) e = 0. — Die äußere und innere Schleife fallen mit dem Kreise
«UBammen. Die Kurve besteht aus einem Doppeltreis. Jede Gerade
durch bestimmt alao zwei Doppelwurzeln. Da jetzt nach Nr. 1
" = — Ür', c = r*, fc = 2re* - cosa = Ü, so sind die hierher gehörigen
Bedingungen ^^q^ fl»-4c = 0, i = 0.

J) e = c. Casus irreducibüis. — Der Punkt liegt auf der inneren
Schleife. Jede Gerade durch liefert alao eine verschwindende Wurzel
Md drei davon verschiedene reelle Wurzeln, Die letzteren entsprechen

io Gleichune

^ x'-yax + b^O, da c ^ r\r' - i-') = : ^ .

Anna = — 3^' und 6 = 2r*cosK ergibt sich als Bedingung für drei
«eUe Wntzehi

„<0 und (|)"+(|)'--.m'.ä:0.

e) (;= 2 t'. Ih'ei gleiche Wvrtdn. — Die innere Schleife in Fig. 2
rednaert sich auf den Punkt /*, und dieser wird ein Rückkehrpnnkt.
Nur die Geraden fSr k — (f und a = ISO" können noch vier reelle
Worteln liefern. Für a = 0" erhält man drei positive gleiche, für
i"= ISO" drei negative gleiche Wurzeln.

Aus a = — Gr^. c = — Sr", t = ± Sr' findet man ah Bedingungen
™ tlrei gleiche Wurzeln

rt<0, n»+12c = 0, 8a' + 27;.* = ü.

f) c — 0, r = C), — Die Doppelscbleife reduziert sich auf den
Punkt 0, rier daflurch ein vierfacher Punkt wird. Jeder Geraden

L

durch entsprechen daher vier gleiche Wurzeln Null. Es ergibt sich,
daß ffl = 0, ?i = 0, c = sein muß.

4. Die Gleichungen mit vier imaginären Wurzeln (Fig. 3). Er-
teilt man der Größe e einen rein imaginären Wert, so bleihea die
Koeffizienten der Polargleichnng 3^ \- ax* + bx
+ c = a^ — (2r* + e*) I* + 2r, ^ 008 a ■ ar +
rä(r» — e») = redl

Die Kurve baeteht aber jetzt, wie man aiu
besten an der Form

(r* — a:")* =- e*(r* -\- x- — 2rx cos o)
erkennt, nur aus einem reellen Doppelpunkte P,

Für reelle Werte von x ist lümlich (r — x)*>0,
80 mehr r' + i' — Sri cosa > 0. Ist nun c = t-e,, also
, 30 ist die rechte Seite der PolargleicLung negativ; die linke
Seite (r* — a:')* ist aber für reelle x positiv. Die Gleichung kann
daher nur für solche Werte von x und a befriedigt werden, fQr
welche jede Seite der Gleichung zugleich verschwindet. Dies geschieht

1) durch (

= 0" und die Doppelwurzel x = r,
= 180» ,, „ „ X r

Fall 1 und 2 bestimmen aber denselben isolierii^n Pimli P als einzigen
Repräsentanten der Kurve.

Aus dieser merkwürdigen Tatsache folgt, daß die Gleichung
»* + ax* •\- l'X + c = so lange vier imaginäre Wwrzeln hat, als eine
reelle nickt durch P gehende Gerade OR vorhanden und e, rein ima-
ginär ist. Zur Featstellang hiervon dienen die Gleichungen

'2r^ + ^-

rä(r* — eT) = c, 2re* cos« = h.

Ans ihnen ersieht man zunächst, daß jetzt a^Ü sein kann, c dagegen
positiv sein muß. Durch c > werden aber die Wertepaare r, ^ und e, ^
in Xr. 1 ansgeschloitsen, denn r, ^ ist imaginär.

Demnach braucht nur untersucht zu werden, wann e, , rein imaginär
ist, oder ej , < 0. Dies tritt ein, wenn

Da i ^ 2r,f*,
reell, wenn

1} «>0, oder 2) <
und < (

<0 uni

a- ~ 4e<0.
io ist die Gerade

-|2r,c;.,|<(.<+|2rie;,.

J

Die litdingangen für vier imaginäre Wiwzeln sind demnacft
ä>0, c>0, oder a<ü, c>0, a*— 4c<0

Au9 der Fif^r3 ersieht man, daB die Fälle b — ± •2r^e^ ^ zu
dem Gebiet mit zwei reellen Tind zwei imaginären Wurzeln gehören.
5. Die Gleichungen mit zwei reellen und zwei imaijiniireti Wurzeln.
— Sind die in Nr. 2 und Nr. 4- aufgestellten Bedingimgeii für vier
reelle imd vier imaginäre Wurzeln nicht erfüllt, so hat die biquadra-
tiBche Gleichung nur zuei reelle oder nur zwei imaginäre Wurzeln.
Ke Fälle «^ + 12c < und | i | > l Sr^e* | sind schon in Nr. I erwähnt
und vnu der analytisch -geometrischen Behandlung zunächst aus-
gescblosaen worden. Für sie vei^leiclie man Archiv der Math, und
PlijB. (3) 1, S!S und 95.

Es bleibt daher noch der Fall —2r^e\<:ih <2r^p\ zu erledigen.
Dies geschieht unter Zugnuideiegung von. Fig. 2 oder von Fig. 4. —
Die Fig. 2 ist aus den Größen r, und r, < e, < 2r^ konstruiert und
ergab als doE Gebiet für vier reelle Wurzeln die Geraden zwischen den
Taogeuten OT und 07", deren Lagen durch cos k, = + ä"'"' ""^"^
cns a\= — ,— 'j bestimmt waren. Ea ist also «,' = 180" — w,.

Wird nun in cos« = ^ — j (s. Nr, 1) — 2rg^ < d < 2fje|, so ist
«,<«< ISO" — tt,. Daraus folgt aber, daß die zu a gehörigen Strahlen
mu iwei reelle Schnittpunkte und also
»nch nur zwei reelle Iladienvektoren
bwtiiQinen können.

Behandlung dieses Falles mit Hilfe
M W" Fig. 4. Die Fig. 4 ist im Gegen-
Hpitz<^ zu Fig. 2 aus den im Fall r<0
{«benfalls reellen Werten r, und e^ kon-
rtmiert; aber jetzt ist e^ > 2r^, und
deshalb erhält man eine geschlossene
^Kurre ohne innere Schleife und einen
■Holierten Doppelpunkt Is. Nr. 1).
B Nur die Nullachse und die Gerade

"(T = 180", für die fr = ±2rje^ ist, bestimmen vier reelle Radienvektoreu.
Jede andere Gerade, für die cos a = ^ — -j, — -r^i^ < fe < + 2jje^,
«rgibt bloß zwei reelle Iladien vektoren.

(Fortaetzuag folgt,)

60

P. Eokott:

Das Abrollen von Kurven bei geradliniger Bewegung

eines Punktes.

Von P. Kokott in Sagan.

In der Aufgabe 75 des Archivs (3) 6^ 341 habe ich das Beispiel
einer rollenden Lemniskate behandelt^ deren Mittelpunkt eine gerade
Linie beschreibt. Daselbst ist ganz allgemein gezeigt^ daß die feste
Kurve die Gestalt hat

wobei die Funktion f aus der beweglichen Kurve M{x, y) =« dadurch
entsteht, daß man y vermittels x^ + y^ ^ rj^ eliminiert und dann in-
bezug auf x auflöst. In den meisten Fällen ist es bequemer, V^iv)
statt f(rji) zu setzen: man erhält dann ^ ...

Im folgenden will ich eine Reihe
bemerkenswerter Falle angeben, da
es sich um eine Kurveneigenschaft
handelt, die noch wenig be-
handelt ist.

Für das Auffinden geeigneter
Beispiele ist die Bemerkung von
Wichtigkeit, daß auch umgekehrt
die Gestalt der beweglichen Kurre
gefunden werden kann, wenn die
feste gegeben ist.

^« ^ In der Tat, sei 6- ^(i?) die feste

Kurve ABC (Fig. 1) und 9 = ^ (r)
die gesuchte rollende Linie in Polarkoordinaten, wobei OD dem Null-

dm

werte von tp entsprechen möge, so ist ^ OBE^ ^^% d.h. r ,- =. A'(i?)= A'(r)

oder

rx\r)dr

n

\. Sei z. B. die feste Kurve 5 =- / -^-.IL.- in der Fiir. 2 durch

1
RNSL dargestellt, so ist

^'(v)--~J=

vr=^*'

Das Abrollen von EurveD bei geradliniger Bewegung eines Punktes. 61

woraoB r* =» cos 2% also die Lemniskate folgt. Die Bewegung geht in der
Weise vor sich, daß der Lemniskatenquadrant 1 sich auf RNF abrollt,
dann in den Inflexionspunkten beider Kurven eine Durchdringung statt-

Fig. a

findet, sodann der Lemniskatenquadrant 2 sich auf der inneren Seite
des Bogens FS abwickelt u. s. f. Während der ganzen Bewegung ver-
schiebt sich M auf der Achse 0$.

2, Die Kardioide, (Fig. 3.) — Ihre Gleichung ist r =» 1 + cos qp; die

Winkel qp zählen von AB als Anfangslage aus. Da cos qp » — und

r = i? ist, so erhält man

^ =" ^ (^ — !)• Di® Funk-
tion if hat also den
Wert 1^ — 1. Bilden wir

=, so erhalten wir

mg. 9.

oder da S=»0 f&r ri=-2 ist,

+ arccos (ly — 1) .
Setzt man 17 — 1 — cos % so ergibt sich als Gleichung der festen Kurve

I = sin qp + 9), iy = 1 + cos 9),

rf. A.: SoU die Spitze der Kardiaide auf einer Geraden fortschreiten, so
muß sich die Kardioide selbst auf derjenigen Zykloide abwälzen, die der
Kreis mit dem Kardioidendwrchmesser beschreibt, wenn er auf jener Ge-
raden abroUt.

62

P. Eokott:

3, Die verallgemeinerte Kardioide, (Fig. 4.) — Die eben betrachtete
Kurve ist ein spezieller Fall der Pascal sehen Schnecke r«=pco8g) + m.
Nehmen wir an^ es wäre m > py so stellt die Gleichung eine Bhittfoim
mit einer gegen den Koordinatenanfang gerichteten Ausbuchtung dar.

Die Funktion ib hat den Wert und wir erhalten für |:

1>

^-/.

ridri

-=}/(p-f-m— iy)(jp— m+iy)+warccos

TJ — in

(m-h|>)}/p' — m' + 2wT2 — V

Führt man wieder qp ein^ so ist

6 =jJsinqp + m^), rj ^ pcosip + m.

Das sind aber die Gleichimgen für die verlängerte Zykloide. TiiLgt man
AN auf AB bis M ab und zeichnet mit AM um M den Kreis^ so

^'/

Fig. 4.

beschreibt der mit dem Kreise fest verbundene Punkt B beim Abrollen auf
A^ diejenige Zykloide^ auf welcher sich das Blatt abwälzen muB^ damit der
Punkt A sich auf A^ bewege. Ahnlich liegen die Verhältnisse für p< i».

4, Die Parabel. — Der Punkt, welcher sich in gerader Linie be-
wegen soll, sei der Brennpunkt. Ihre Oleichimg ist dann r~ * =- 1 + cos g>
oder x = 1 — ly. Daraus folgt g* = 2i/ — 1, welche Gleichung eine der
oberen kongruente Parabel darstellt; beide berühren einander in den
Scheiteln.

5. Die Sddeifhdiuie, ^Fig. 5.) — Ihre Gleichung ist r^cosn^.
Die Figur stellt den Fall n = 2 vor. Da qp = — arccosr ist, so ergibt
die Rechnung n^|' + '/' =* 1. Denkt man sich n kongruente ElUpsen
mit den Halbachsen 1 imd , welche einander in B berühren, so

Dma Äbtollen von Knrreti bei gersdliniger Bewegung einee Pooktea. 63

prickelt sich zunädist die Halbschleife DA auf dem EUipBenquadranton
DB ab; aodann tritt die benachbarte Schleife in die zweite Ellipse
und rollt aaf BEF u. a. f.
6. Die gerade Linie. (Fig.6.)
Sie habe die öleichnng x = 1.
In der Figur ist ihre Anfangs-
lage durch SC dargestellt.
Beim Abrollen soll ^ aoi ^^
fortrücken. Es ist x = ij - •.
die Funktion tfr ist also — und

^-h.

oder »; — j (e^ + e~ ^ .

Wir sehen demnach, daß sich der rechtwinklige Haken-dJBC auf einer ÄEÖffn-
linie wälzen muB, wenn seine Spitze eine geiadlinige Bahn beschreiben soll.

^ ^

7. Die SpiraRinien. ■

Aus f* = n# erhält man für ;

S"

p+1

Die festen Eorven haben also parabolischen Charakter; fOr p = 1 ist
die Knrre eine wirkliche Parabel. FUr die logarithmische Spirale er-
gibt die Rechnung eine unter 45° geneigte Gerade.
Ssgan, den 9. Februar 1904.

Sttr deux maniöres de construire les spiriques de Persens;

Par F. GoMBS Tedceiha ä Porto.

Od trouve daiis le tome II, p. 52, de l'editioD des Oeuvres de
Muyyens publiee par la Societe hoUandaiee des Sciences une lettre de
SIuBe ä Hujgeni dans laquelle il doune nne methode pour coDBtmire
les sjiiriques de Perseus flu iiioyen d'une typerbole öquilattre. Noua
allona nous occuper de cette raethode dans le premier chapitre de ce
travail pour en donner une demonstratio n algebrique et indiqaer quel-
ques resultats qui s'y rapporteiit.

Dans le second chapitre nous donneroos, pour la constructiou des
memes courbes, une metbode bien plus simple qne celle de Sluse,
puisque, au lieu d'une hyperbole, nous employons une circooference et
que nous derivons cbaque point de la spirique de cbaque point de la
circonKrence, conime Sluse les derive de l'hyperbole, au moyen de la
constmction d'une moyeune geonietrique entre deux segments de droite.

Lee resultats obtenus dans ces deux chapitrea sout e'tendus dans
le troisieine chapitre aus seetJons de la eurface engendree par une
ellipse, par une hyperbole oa par une parabole quand eile tonme bo-
tour d'une droite piacee dans son plan et perpendiculnire ä l'un de
SSB axes.

I.

Sur xme mäthode de Slnse poor constrnire les spiriqaes de Perseus

an moyen d'une hyperbole.

1. On Salt que lequation des spiriques de Peraeus est la suivante:

(1) {^* + yS ^ i> + c» - ß»)» = il^ {X' + (■»),

oö R represente le rajon de la circonference ineridienne du tore anquel
apportient la apirique «oneideree, e la distanee du plan qui la contiest
ä l'aze de la surface et l la distance du centre de la circonfereuce ra{>-
portee au m&me ase.

En posant dans cett« equation

(2) /^lA-!/,)"/,,

i. etant une quantite constante, on obtient la transformee sulvaute:

(x*-ij] + kyy + /' + c* - Ä*)» - 4J'(a:' + c") - 0,
et QOQB alloos chercher les conditions pour que oette ^uation r^t^
sente deux eoniquea.

]

Sur deuz mani^res de construiie les dpiriques de Perseus. 65

Pour cela, le premier membre de cette equation doit etre reductible

a la fonne

(X* + Äy\ + By, + q (x» + A'y\ + B'y, + C),

ce qni donne les equations de condition

AA'^X, Ä + Ä'=^-2, C+C' = 2(c»-Z>-Ü»),

CC = (P + c* - i?*)* - 4iV, B+B' = 2X,

BB' ■\-AC'+CA' = k''-2 {l* + c» - R*),

B'C + BC = 2k{P + c^- R'), AB' + BA' 2k.

Or, les deux premieres equations donnent

A 1, A' 1;

la troisieme et la quatrieme donnent

C^c*-V-R* + 21R, C' = c--l*-R*- 21R;

ensaite la cinqoieme et la sixi^me donnent

B = X-2l, B' = k + 2l,

et enfin la septieme donne

A=.27i.

La demiere equation n'est pas distincte des pr^cedentes.

Donc le lieu considere se reduit ä deux coniques quand A -^ 2R,
et les Equations de ces coniques sont les suivantes:

(3) x*-yJ + 2(Ä-0yi + c*-Z*-i2» + 2Zß-O,

X* - y\ + 2{R + r)y^ + (? - l* - R* - 21R = 0.

Ces deux equations peuTent §tre reduites ä la forme

(4) y?-^' = c»,

en posant dans la premiere yi =^ y^ + R — l et dans la deaxif;me
yi = y« + -ß + ^- Elle« represeotent donc denx hyperbole» eqailat^e«
dont les axes sont egaox ä 2c, la premiere ajant le centre aa pf/ini
(0, R-l) et Tautre aa point (0, B + l).

En changeant dans TanalTse precedente la yalenr de B contrf celle
de B'y c'est-a-dire en posant

on trouTB denx nonyelles hyperboles, sjm^riqnes des precedente« par
rapport ä Faxe des abscisdes, qni corre$ipondent ä >l — — 2B.

ArchiT der MatiiaMÜk u4 PhysLc UL R«ih«. XI 1^

On eonclut de tout ce qui precede qu'il esiste quatre hyperbiiies
egalen telJes qiie ä chacan de leors pointH correepond im point de la -.
spirique constderee lequel est lie ä celui-lä par la relatioQ (3), oü
}.^2R QU l = -2R.

Ce reaultat ponvait Stre prevn, puieque le second membre de
l'eqtiatioii (2) ne change pae de valeur qaaiid on y remplac* y, par i. — y^,
ni quand on y remplace k par — A et j/j par — (/,. Cette cir-
ßODstance fait encore voir que, pour obtenir tous les pointa de la
spirique, il ne fant pna empioyer pluo d'nne des hyperbolea consid^rees.

2. II resulte de la relation

(5) r -(-'«-»,)»,

que les points de l'hyperbole auxquels correspondent leg points reela d&
U Hpirique sont ceuz qui eont compris entre les droites represeiitees
par les equationa y, = 0, ff, = 2Ä.

1". Si les deux droites coupent une meine branche de l'hyperbole,
la coorbe est formee par deux ovales esterieurs Tun ä l'autre.

^^ Si une seale de ces droites coupe l'hyperbole, la spirique se ,
rednit ä un ovale. '

3". Si l'une des deux droites coupe la brauche anp^ieure et '
r&utre la branche inferieure de Thyperbole, la spirique est formee par
deux ovales dont Tun est ä I'interieur de l'autre.

Dans tous ees cas les sommets de la spirique correspondeut aux
points oft les droites coupent l'hyperbole, et aux sommets de cette '
courbe compris entre les droites, '

Les conditions pour que le» droites considerees coupent l'hyperbole "*
peavent etre traduites par des inegalites, que nous ne nous arröterons ]
pQS ä deduire et qui coi'ncident avec les conditions eonnues pour que '
la spirique ait une ou deux branches.

3. Si l'oü pose dana l'^quatioo (6) y, = R, il vient y = ± B. On
voit donc que la spirique et l'hyperbole se coapent dana les points
correspondant ä y = i£ et qui sont reels quand k y^ — R correspond
un poiot reel de l'hyperbole, c'est-ä-dire quand c^l.

D'un autre cöte, les points oä les ordonuees de la spirique passMiti
par uue valeur maxima sont donnees par l'equation
(y, - R)!h = 0,

qni resulte de (5), dont une Solution est i/, = E,

L'hyperbole passe donc par les deux points de la spirique, syme-
triqnea par rapport & Taxe des ordonn^es, oü les ordonnees de cetto
courbe ont une valeur maxinia.

Snr deux maniäres de constmire les spiriques de Perseus. 67

4. On peut tracer les normales de la spirique consideree au mojen
des normales et des iangentes de Thyperbole. En effet^ Tequation (6)
donne la suiTante:

yy' ^By'i-Viy'iy

qni determine la sous-normale de la spirique au point {x, y) quand on
connait la sous-normale de lliyperbole au point correspondant (x, y^) et
le Segment de droite^ d^pendant de la tangente ä Thyperbole au mdme
point, repr^sente par By{.

5. Les hyperboles qui correspondent aux diyerses valeurs de c, c'est-
a-dire aux diverses sections du tore, forment une surface dont T^quation
est la suivante:

xl-yl + 0l + 2(R^l)y,^{B-iy.

Cette surface est donc un cone de revolution, dont Taxe coincide
ayec Taxe du tore, et qui coupe cette surface dans son equateur et dans
le cercle parallele plus eleve.

n en resulte que ä chaque ppint du c5ne represente par l'equation
precedente correspond un point du tore li^ au premier par les relations

n.

Snr uns maniire de constmire les spiriques de Perseus au moyen

d'une oirconförence.

6. On yient de yoir que, dans la methode de Sluse, les points de
la spirique sont derives de ceux d'une hyperbole au moyen de la con-
stmction d'une moyenne geometrique entre deux segments de droite.
Nous allons donner maintenant une autre methode plus simple que
la prec^ente, pour constmire la spirique consideree, dans laqueUe on
deduit chaque point de cette courbe d'un point correspondant d'une cir-
conference en constmisant aussi une moyenne geometrique entre deux
s^ments de droite. Cette methode se presente d'une maniere tres na-
turelle, mais nous ne Favons pas trouyee dans les travaux sur les spiri-
ques que nous ayons pu yoir.

Consid^rons encore Tequation de la spirique

(^' + y* + P + c* - /?)' = 4^P(x^ + c")

et posons

X* = j^ — c*.

n yient

(6) (X, ± // + y* = i?.

On voit donc que la relation precödente tranaforme la spirique
consideree en deus circonferences de rayon egal ä R, ayant leurs
centres aus points fi l, 0), et que ä chaque point {x^, y) de ces cir-
Conferences correspond un point de la spirique, ayant ]a meme ordonnee
et une abacieae egale ä la moyenne geometrique entre 3;, — c et z, + c.
11 convient de remarquer que, pour faire la construction tie la courbe,
il Buffit d'empioyer Tiine des circonfereiiees eonsidereea, puiaque la
courbe est symetrique par rapport a Taxe des ordonneea.

On trouTG facilement la forme que la spirique prend dana les
divers cas qui penyeat ae p res enter.

1°. Si lea circonferencea ne coupent paa laxe dea ordonneea (fore
ouvert) et que la droite representee par l'equation x ^ c soit comprise
entre ces circonferencea, la spirique est formee par deui ovales, qui ont
quatre sommets aur Taxe dea abscissea correapondant aus points oü lea
circonferencea eonsidereea coupent cet axe. Äux quatre points oü lea
tangeutes aux circonferences sont paralleles ä Taxe des absciaaee cor-
reapondent quatre points oü les tangentea ä la spirique sont paralleles
au mEtme axe.

2°. Si ie tore est ouvert et la droite x = c coupe une dea circon-
ferencea, la spirique ae reduit ä un ovale, qui a deux sommets aur
l'aie des ordonEees, qui correspondent aux points oft cette droite coupe
la ciroonference consideree, et deux sommets sur Taxe dea abacisses,
qu'on obtient eomme au cas precedent. Si la droite coupe la denii-
circDuference plus prochaine de l'axe des ordonneea, la courbe a quatre
points oö lea tangentea aont paralleles ä Taxe des absciases qui cor-
respondent aux points des circonferencea oü les tangentes sont paralleles
ä cet axe. Mais, ai la droite coupe l'autre demi-circonference, ces
points devienneut imnginaires.

3". Si le tore est ouvert et l'uue dea circonferencea est comprise entre
l'oxe des ordonuees et la droite x ^ c, la courbe est imaginaire.

4", Si lea circonferencea coupent Taxe des ordoiinees {tore ferrae),
la apirique est formte par deux ovalea, quand lea droites j: =• c et
X = — c coupent l'nne dea circonferences considerees, par un seul ovale,
quond une seule de cea droitea coupe cette circonference, et eile est
imaginaire quand ni l'uue ui l'autre ne la coupent. On determine les
sommets de cea ovales et leR points oü la tangente est parallele ä
Taxe des abscissea conune dans lea cas precedents.

7. On peut tracer dune mani^re tr^a facile lea normales ä la
Bpirique au moyen des normales aux circonferences considerees. En
effet, on a ,/j. jj.

Sur deux mani^res de consiroire les spiriques de Perseas. 69

et, par conseqnent, les sous-normales de la spirique et de la circon-
ference, par rapport ä Faxe des ordonnees, sont egales. Les normales
ä ces deux courbes aux points correspondants coupent donc Faxe des
ordonnees dans le meme point.

8, Les circonferences qui entrent dans les constructions precedentes
ne dependent pas de c, et sont egales ä la circonference meridienne du
tore consider^. De lä et de ce qu'on vient de dire au n®. 7 il resulte
qua les normales aux diverses spiriques qui correspondent aux diverses
Talenrs donnees ä c, menees par les points oü elles coupent une droite
parallele ä Faxe des abscisses, coupent Faxe des ordonnees en deux
points, Fun qui correspond aux points des spiriques oü la convexite
est toumee vers le cote des abscisses positives, et Fautre qui correspond
aux points de ces courbes qui ne satisfont pas ä cette condition.

De ce qui prec^de il resulte que, si un plan se deplace parallele-
ment ä un plan fixe qui passe par Faxe du tore, les normales aux
spiriques qui en resultent, aux points du meme parallele de la surface
se coupent sur deux droites qui passen t par Faxe du tore et sont per-
pendiculaires ä cet axe. Les lieux geometriques de ces normales sont
doDC des conaides,

On trouve facilement Fequation de ces conoides.

En effet, Fequation des normales aux spiriques qui correspondent
au m§me point (a, ß) de la circonference precedemment consideree (6)
est la suivante:

xY{P ^fi'-a' + R^ + ßX{a^ -f ^2 + Z2 _ 2j2) _ 2l'xß,
oü X =^0? — cl

Si Fon represente donc par x\ y\ z' les coordonnees dW point
quelconque de la surface dont on veut chercher Fequation, on a

a^y' (^ ~ /3* - «' + -R') + /3^' («' + /3' + i* - H^') = 2/2 xß.
Mais, comme le point (a?, /3, z'^ doit etre place sur le tore, on a

En eliminant maintenant x entre cette equation et la precedente, on
obtient Fequation demandee.

On peut donner ä cette equation sa forme plus simple en trjuis-
portant Forigine des coordonnees au point dont les coordonnees, ra -
portees aux axes primitifs, sont (0, cd, 0) en supposant

0) = ^

/•—(?*-«* + Ä«

prececlemraent, et au moyen

et on peut la construire aassi aa moyen de la circonference
(i, + !)• + y" - Ji"

La courbe rejiresent«« par requation (7) peut etre considetee comnif
U section du tore par le plan imaginaire y = cV^— 1. Ses points reels
correspondent aux points iinagiuaireB du tore. On peut l'appeler psci4do-
spiriqm.

10. Tout ce qn'ou a dit precedemment ä l'egard des aections du
tore peut etre ptendu au3c sectiona de la surface engendree par une
ellipae, quand elli^ toume autour d'une droite placee dans son plan et
perpeadicolaire ä Tun de ees axes.

L'equation de ees aections eet la suivante:

Sui denz mani^ee de constmire les spiriqnes de Perseos. 71

a et 6 etant les demi-axes de Tellipse^ l la distance de son centre ä
Taxe de reyolution et c la distance du plan de la section au meme
axe; et Ton yoit^ en procedant comme dans le cas des spiriques, que
ces courbes peuyent etre construites au moyen de Thyperbole

Vx^ - a«yj + 2ab{a - l)y^ + 6« [c« - (J - a)^ =

et de la relation

oa au moyen de l'ellipse

aV + 6« (a?! - 0' = «*6«
et de la relation

a:* = a:J — c\

Les consequences de ces constructions donnees precedemment pour le
cas des spiriques^ peuyent ^tre etendues facilement aux courbes plus
t^enerales qu'on yient de d^finir.

11. Eo changeant dans ce qui precede b^ en — b^ on trouye des
resultats applicables aux sections de la surface engendree par le
mouyement d'une hyperbole autour d'une droite placke dans son plan
et perpendiculaire ä Tun de ses axes.

12. XJne des constructions qu'on yient de considerer est aussi
applicable aux sections de la surface engendree par la parabole

y> = 2px + q,

quand eile toume autour de Taxe des ordonnees^ par des plans paralleles
ä Taxe de reyolution.

U est facile de yoir que Tequation de ces courbes est la suiyante

et qu'elles peuyent donc ^tre construites au moyen de la parabole

y^^2px^ + q,

qui comcide ayec la parabole donnee^ et de la relation

ar* = a?J — c*.
Porto, 7 mars 1905.

Eine einfache synthetische Ableitung
der Grnndeigenschaften eines Büschels polarer Felder.

Von StäNISLaus Jollks in Berlin.')

Die folgendeu Untcrauctungen liefern die Grundlagen zu einer nn-
echaulicfaen und einheitlichen nynthetischen Theorie eines Büuchels polarer
Felder. Sie wurden veranlaßt durch Arbeiten des Herrn Reye*) über
tetraedrale Komplexe und ihre Beziehungen zu den Büscheln polarer
Räiime.

1. Die homologen StrahleubüBchel I, Ordnung zweier kollinearen
Strahlenfelder Z',, £^ einer Ebene e erzeugen oo' K^elachnitte c\
Aus den beliebigen Punkten £,, S, des Raumes werden nun die
kollineareij Felder ü^, 2^^ bezw. durch die kollinearen zeutrischeu
Ebeneobündel [S,], [S^] projiziert. Sie erzeugen die Kongrnfoz C'J
der Bisekanten einer kubischen Itaumkurve f', und jede in dieser Kon-
gruenz enthaltene Regelschar IL Ordniuiff ist zu einem der Kegel-
schnitte f' perspektiv. Durch einen beliebigen Punkt X von a geht
im aligemeinen eine beatimmte Bisekante x von c*, sie wird mit e*
bekanntlich durch oo' Flächen U. Ordnui^ rerbundeit Somit gehea
durch einen beliebigen Punkt X von e im allgemeinen oo' E^el-
schnitte c\

2. Aus zwei beliebigen Punkten der kubischen Raumkurve c' wird
die Kongruenz 6'J ihrer Bisekanten durch zwei zu ihr Perspektive, also

1) Einem vod der Redaktion aosgeeprochenen Wunsche folgend, hat Herr
Jollei mit HebeuB würdiger Bereitwilligkeit kurz dio Hftuptaät/e einer rein Bjn-
thetUchen Theorie eines G(iBch(>!B polarer Felder zusammengestellt und anschaulich
abgelutet.

Ei igt pädagogiach run grundlegender [Jedeutung, deu EegeUchnittbüschel
auch s^Dthetisch eteta auf dieselbe Weise ku erzeugen; gleichgültig, ob einer oder
alle beide ihn bediagentle Kegelschnitte imaginär sind. Die vorliegende ErEengung
liefert eine solche atigemeine Erzeugung, sie dient zugleich ala Einleitung in die
Theorie des Büschels kollineoter ^trahlvnfeldei. Diesem Büschel entspricht uU
AnalogOD Itu Räume der Büschel kollinearer Räume, Er ist mit der Theorie des
tetraedralen Komplexes und des Büschels der Klächen II. Ordnung bekauitlicli
auf das engste rerkn^ptl,

Verfasser und K«daktion hegen die HoKuun^;, daß Leser des Archi-ra mn-
geregt werden mücbten. auf dieser Uruudlage eine einheitliche Theorie aller
Arten von Kegel scbnittbSscb ein aufzubauen. lled.

S) Heye, Die Geometrie der Lage. 8. Auflage. Leipzig IBS2, B. Abteilwig^
1. und 2. Vortrag.

Ene rinf. lynthet. Ableitnng d. Grund eigens eh. einee Bflschela polarer PeUer, 73

Eueinander kollineare zentrisclie EbenenbUndel projiziert, und diese werden
ton ö in kollineareu StraUenfeldera geschnitten. Somit lassen sich die
S^eUelmitte »■* noch auf oo- Weisen duruh die homologen Strahlenbüschel
ton Paaren kullinearer Strahl unf eider erzeugen Die oo' kollinearen
Straklenf eider, welche zu zweien diese Paare liefern, sollen ein Büschel
knlliiiearer Strahlenfelder oder kurz ein Büschel [X,] heißen.

3. Eine in (7J enthaltene Regelschar H. Ordnung wird aus den
Piinkteri von c* durch homologe Ebenen büschel der zu C^ Perspektiven
toUiüearen zen tri sehen Ebenenbündel projiziert. Die Achsen dieser
humologen Ebenenbüsehel sind die Leitstrahlen der Regelschar und
bilden somit eine zu c* und einein Kegelschnitte i' Perspektive Etiegel-
schar. Da nun zu den Kegelschnitten e^ je eine aus Uuisekanten
Ton c" bestehende Regelschar 11. Ordnung perapektiy ist, so gilt:

Jeder Kegelschnitt c* ist der Ort der Mittelpunkte homologer
StraiileubDachel I. Ordnung in den Feldern eines Büschels kollinearer
Strablenf eider.

4. Ein beliebiger Strahl -s-^ eine- Feldes 2^^, welches zu dem ans den
beiden kollinearen Strahlen feldern i",, £'j abgeleiteten Büschel [.E^] gehört,
wird Ton den homologen Strahlen aller übrigen Felder des Büschels, ins-
Iwsondere also von dem ihm entsprechenden Strahle s, von 2.^ in einem
Punkte X geschnitten. Durch A' gehen nach 1. oo' Kegelschnitte p*. Sie
treffen nach 3. die Strahlen ä,, s^ bezw. noch in je zwei homologen Punkten
TOn 2r„ £^ Aus solchen homologen Punkten wird jeder dieser Kegel-
Bohnitt« c* durch zwei homologe Strahlenbüschel I. Ordnung von — ,, 2^^
projiziert, sobald je zwei Strahlen der Büschel einander zugeordnet
"erden, die den nämlichen Punkt des betreffenden Kegelschnittes c"
enthalten. Somit sind, wenn zwei durch X gehende Kegelschnitte c'
WauBgegriffen werden, zwei Paar homologe Strahlenbüschel I. Ordnung
w kollinearen Felder Z^. 2.^ bekannt, die be^w. die homologen
StralJ|.n s,, s^ gemein haben. Das genügt aber, um die koUineare
Bwiehong zwischen den Feldern .i',, i', des Büschels [27,] eindeutig
lifirzast^llen. Fällt s^ nacheinander mit allen Strahlen des Strahlen-
uUbcMs I. Ordnung [A'] zusammen, so ergeben sich auf diese Weise
"le Strahlenfelder des Büschels [— ,]. Folglich ist bewiesen:

Der Büschel [XJ von kollinearen Strahlenfeldern ist durch die
oBida Strahlenfelder 2^, , 2^ eindeutig bestimmt.

Hieraus ergibt sich mit Rücksicht auf '2.:

Wird die Kongruenz C\ der Bisekanten einer kubischen Baura-
kuTTe c* erzeugt durch irgend zwei bezw. zu den kollinearen Strahlen-
ffldern 27,, 2.\ Perspektive zentrische Ebenenbüudel [iS'J, [S,], so

J

1 JoLLKS'

schneidet die Ebene der Felder alle zu C'l Perspektiven zeutrischea
Ebenenbündel ateie in dem iiäinlichen BüscKel [2^,].

Nun wird jede dieser Kongruenzen C'J auch erzeugt durch je zwei
zu ihr Perspektive, also zueinander kollineare zentrleche Ebenenbündel,
und diese wiederum projizieren zwei kollineare Felder des BUschele [£l\,
also ergibt sich:

Ein BüBchel kollinearer Felder ist eindeutig durch irgend zwei
seiner koUinearen Felder bestimmt.

5. Die Leitschar jeder »ua Bise kauten einer kubischen Raum-
kurve c* gebildeten Regelschar IL Ordnung ist zu der Raumkurre und
zu einem Kegelschnitte c' perspektiv. Vier hartiionische Strahlen dieser
Leitflchar schneiden also beide Kurven in vier harmoniBchen Punkten.
Aus vier harmonischen Punkten von c" wird nun eine beliebige Bise-
kante der Kurve durch vier harmonisi'he Ebenen projiziert, folglich
läBt sich der Satz aussprechen:

Bilden die von vier kollinearen Feldern eines Büschels nach einem
beliebigen Punkte ihrer Ebene a gesandten liomologen Strahlen einen
harmonischen Wurf, so bilden im allgemeinen die von jenen vier
Feldern nach allen übrigen Punkten von a gesandten homologen Strahlen
harmonische Würfe.

ö. Vier kollineare Strahlenfelder eines BüschelB, welche nach einem
beliebigen und folglich nach jedem Punkte ihrer Ebene vier homologe
Strahlen senden, die einen harmonischen Wurf bilden, sollen vier har-
monische Strahlenfelder des Büschels heißen.

Gestützt auf diese Definition sind wir in der Lage, den BUscbel
kollinearer Strahlenfelder auf andere Gebilde I. Stufe projektiv za be-
ziehen. So gilt:

Die homologen Strahlen, welche die kollinearen Strahlenfelder eines
Büschels nach einem beliebigen Punkte ihrer Ebene senden, bilden einen
zum Büschel projektiven Strahl enbü seh el I. Ordnung.

Ferner folgt aus 3.:

Die Mittelpimkte der zentrischen Ebenenbündel, welche aus deo
Punkten einer kubischen Ranmkurve c" die kollinearen Strahlenfelder
eines Büschels ])rojizieren, bilden anf ihr eine zum Büschel projelctire
Punktreihe.

Außerdem ei^bt sich aus der gleichen Nummer der wichtige Satz:

Die homologen Punkte der kollinearen Felder eines Büschels bilden
einen zum Büschel projektiven Eeicehchnitt c*.

J

Eine einf. Bjnthet. Ableitung d. Grandeigensoh. eines Büschels polarer Felder. 7f>

7. Durch zwei in einer Ebene 6 gelegene polare Felder //,, 11^
ist das Ponktfeld @ yon 6 bezw. korrelativ auf zwei in 6 gelegene
Strahlenfelder 2^, Z^ bezogen. Die zu @ korrelativen Strahlenfelder 2^,
2^ sind also zueinander kollinear. — Einem Punkte X yon iS ent-
sprechen in H^y 2J^ bezw. die ihm durch 77, , 77^ zugeordneten Polaren x^^
Xf, Ihr Schnittpunkt x^x^ und der Punkt X sind zweifach konjugiert,
folglich entspricht dem Punkte x^x^ von @ in £^, Z*, wiederunl je ein«*
mit X inzidente Gerade. Die Verbindungsgerade der zweifach kon-
jugierten Punkte Xy x^x^ trägt also eine zu den homologen Strahlen-
büscheln Yon H^y Z^ involutorisch gelegene Punktreihe von ®. ])e-
schreibt X eine beliebige Punktreihe I. Ordnung, so beschreibt x^x^ eine
zu ihr projektive Punktreihe U. Ordnung, und das Erzeugnis beider
ist ein rationaler Strahlenbüschel HL Ordnung. Die VerbindungH-
geraden der zweifiEich konjugierten Punkte gehen also — und das ist,
wie sich gleich zeigen wird, von ausschlaggebender Bedeutung — nicht
durch einen Punkt.

Durch die beiden kollinearen Strahlenfelder 2^, IT, geht nach 4*
«in Büschel solcher Felder. Jeder von ihnen ist korrelativ zum Punki-
fdde 6. Die einem Punkte X von @ in den Feldern dieses Bfiscfa#;ls
zugewiesenen Strahlen gehen durch den zu X zweifach konjagiertmi
Punkt x,j^ folglich sind die Verbindungsgeraden der zweif^cb kon-
jugierten Punkte auch die Trager derjenigen Punktreiben des Punkt-
fddes @^ die zu den ihnen entsprechenden StrahlenbQscbeln Aht Feidürr
des Büschels involutorisch liegen. Nun gehen nach obig^rm dii; V#rr-
bindnngsgeraden der zuj^eich in beiden polaren Feldern 11^, 11^ kfmjnfpsfrUnt
P^iiikte nicht durch einen Punkt, folglich liegen nicht nnr 2^^, 2^,
sondern alle Felder des Bösehels koUinearer Felder m tUsm Fanki-
felde S korrelativ involotoriseh.^^ Kurz:

Bilden zwei kollineare Felder emes Bflsfri^ls mit 0:in^mt zn ihn^t
korrelativen Felde polare Felder^ so bilden alle FelAw d#ni Bfiv:*!^!* fttti
^ polare Felder.

Eine adehe Manoigbkigkint roü ^ (»olar^i y^i/Um it^ibi *r,f»
Büschel polarer Felder. Er ist dnrei z*>i iß^/^tßi'j^ ^>r.^ V^ri4^
bestinunt

8. Vier yfÄMPt YMtfr f:^;^«« ^s.W30^ yAsan V*M^ W.*^* T>r
waionisehe polare Y^li^r im Btedu^l» Tj^.t>ftk. w-w:* fV »>r <>r
Folireii eines beäeti^m i^ irJi^c^xL y^j^ V\-xxi0^ .t,r*r Vjft^t^. *v#^.
Wurf Ton vier karsfOKadufts. Tfa%lxjßsx rniiw.

fi. 118.

The groHps in whicli every subgroup of composite
is invariant.

By ü, A. Mit. I. Kit, Univeraity of Illinois.

The fffoupB in whieh even,' aubgroup ia invuriaut are known.')
The present paper is devoteJ to a determination of aU the groups in
which every subgroup of composite order is invariant, but some subgroup
of prime Order is non-invuriant. In what followB the aynibol G will
represent such a group. It will be conrenient to cousider all these
groups imder tliree headings as the order of G is a power of an odd
prime, the power of an evcn prime, or divisible by different primes.
In the last case it will be proved that the order of d' is always of the
form pq', where j» and q are prirae nurabere and p > -.

1. Tlie unier of G ui a jicirer of an odd prime. — When the
order of G is ji", G contains at least one invariant subgroup of
Order p. The subgroiipa of the corresponding quotieut group are
invariant since every Hubgroup of composite order in G ia invariant.
This qnotient group ia abelian since p is odd. The given invariant

?Iunmelir kann auch der Biischel polarer Felder auf jedes Gebilde
I. Stufe projektiv bezogen werden. Insbesondere gelten nach ö. die
beiden wichtigen Sätze; j

Die polaren Felder eines Btiscbela weisen einem beliebigen Punkte .|
ihrer Ebene Polaren zu, welche einen zum Büschel projektiven Strahlen-
büschel I. Ordnung hüden.

Die Pole einer beliebigen Geraden in der Ebene eines Büschels
polarer Felder bilden einen zum Büschel projektiven Kegelschnitt.

Hieimit sind die Grandeigenschaften eines Büschels polarer Felder
dargetan. Ihre Beweise sind völlig unabhängig von beschrankenden
"Voran B Setzungen über die Inzidenzkurven der die Büschel bildenden
piilnren Felder. So können entweder alle polaren Felder der Büschel
reelle Inzidenzkurven haben, oder cxj' von ihnen imaginiire. Die Ab-
leitung dieser sowie aller weitereu wichtigen Eigenschaften der Büschel
polarer Felder sei dem Leser überlassen.

Halensee b. Berlin, d. 31. Mai 1905.

Order 1

1) MatlicmatiHchi: AnaaleD, <l

The groups in which erery subgroup of composite order ib invariant. 77

snbgronp of order p is therefore the commntator snbgroup of G, and
G conkms only one invariant subgroup of order p.

The Operators of G which are commutative with a non-invariant
Operator of order p constitute a subgroup of order p^'^, This sub-
gronp (H) must be abelian since it contains more than one subgroup
of Order p which is invariant under it. It cannot inyolve more than
iwo inyariantSy since each of its non-cyclic subgroups of order p^ must
inTolve the commutator subgroup^ otherwise it would not be invariant
under G. A non-invariant Operator under G could not be generated
by an Operator of higher order since the latter would generate an
invariant subgroup of order p\ From this it foUows that H is of
ispe (m — 2, 1), and the invariant Operators of G constitute a cydic
subgroup of order p'^~'.

From the results of the preceding par^raph it follows that there
arc two groups of order l^'^CP > 2, w > 2) in which every subgroup
of composite order is invariant while some subgroups of prime order
are non-invariant. These two groups are respectively conformal with
the abelian groups of tjpes (w — 1, 1) and {m — 2, 1, 1). In fact,
these are the only non-abelian groups of order p'^ which contain in-
variant Operators of order p'^'V) Hence the preceding results may
>lso be expressed as follows: The necessary and sufficient condition fhat
«^ subgroup of composite order in a non-abelian group of order p^^ P^^,
Ä invariant is that this group contains invariant Operators of order p^'^.

2. The Order of G is a poteer of ttco. — If the quotient group
▼ith respect to an invariant Operator of order 2 would be Hamiltonian^
tiie Operators of G which would correspond to the characteristic Operator
of Order 2 in this Hamiltonian group would be of order 2, since the
group of order 16 which would correspond to a quatemion subgroup
could not involve three cyclic subgroup» of order 8. All the Operator»
<rf 6 would therefore be either of order 2 or of order 4, From the
"*ct that a non-invariant Operator of order 4 would be commutative
^tii just half the Operators of G, it follows that all the Operators of
<*rfer 4 in (? would have a common Square and that G would also
be Hamiltonian. Hence G contains only one invariant subgroup of order 2,
^* fte wmmuM€fr subgroup,

The subgroup H which is composed of all the oy^^rzUfTB of G
^nich are commutative with one of its non-invariant Operators of
<*rter 2 is either abelian or Hamiltonian since it conUins more than
<w^e luTariant subgroup of order 2. In the former case it ib of type

1) Bnrngide, Tbeoiy of groofM of finite wW. 18d7. p. 7^-.

78 O.A.Uillkr; The groupB in wUeli eveij subgroup of composite Order ie iiiTariaDt.

(m — 2, 1) for reasons giTen in the preceding section. Ite groups
which come under thie case nre deterniined juat aa in the preceding
aection with the exceptioa ot' the fact that there la only one group
when m ■= 3, viz. the octic group. For all larger values of m there
are two such gronps, which are conformal respectively with the abelian
groups of tjpea (m — 2, 1, 1) and (»j — 1, 1).

When H ie Hamiltonian, its order is 16 and the order of (i is 32.
The order of H (^oold not lie less than Iti since it pontaina at least
two Operators of order 2 and it could not be more than 16 siuee G
containa onlT one invariant Operator of order 2. From these conditious
the poBsible group of order 32 is readily determined. It containa 10
non-invariant Operators of order 2, each being commutatiTe with all
the Operators of a Hamiltonian group of order Hi. It is the last
group in the list of the possihle gronps of Order 32, puhliahed in the
Quarterlj Journal of Mathematica, vol. 28, p. 232.

3. The Order of G is not a power of a prime nuniber. — At least
one of the Sylow subgroupa of G muat he non-invariant, Let p represent
the order of this Sylow subgroup. The number of ita conjugates is
1 -\- kp and G ean be represented aa a transitive aubstitution group
of degree 1 + kp and of class kp. Aa Ihe order of G is p(l H- kp),
this tranaitive gronp contains an invariant subgroup of order 1 -f kp.^)
As this characteristic subgroup could not include any char acter istic
subgroup besides the identity, it is abelian, of order q", and of type
(1, 1, 1, . . .). The value of « cannot exceed 2 since every aubgroup
of order q* is invanant under G and a subgroup of order p is maximal.
Hence we have the interesting resnlt that ihr order of G is of th^
form pq*, p and q heing prinic nmnbers.

If p = 2, the subgroupe of Order p would not be maximal. Hence
we muat asaume p > 2. Moreover, an Operator of order p ujust permate
all the subgroups of order q, so that 7 + I is diviaible by p. These
necessary conditiona are clearly alao sufficient for the enistence of G.
When they are aatiafied there ia only one G of a given order since
the group of isomoqthiania of the abelian group of order q* and
type (1, l) contains Operators of order f/'— 1, and hence all the Operators
of order p are conjugate under thia group. When G is repreaeuted ,
as a transitive gronp of degree g*, it is elearly primitive.

The resnlts of the last pare^aph include the foUowing theorem:
If a non-abäian group contains only one sidtgroup of composite ürder,

l) Frobeiiiiw, Berliner Sitzungsliericlite, 190a, p. 20,

: Über Büschel kubisuher Haiimkui

79

j tkr Order of the group is pq*, p>2 and 'i -\- I dirisihle Inj p, imd thf
I ^iW SHbffroup of Order g' is aMian and of type (1, 1).

The principal facta proved in the preceding Bections may be atated

I M Mowb: If the order of G is p"", p being an odd prime, there are

jort two G'b for every value of m > 2. When JJ = 2, there are just

' two groups when m = 4 or when m > 5. Wien m = 5 there are

I threfl G'b and when m = 3 there is only one, viz. the octic group.

If the order of (t is irnt the power of a prime it ia of the form pq*

[p »nd 1/ being primea, p > 2. and q-\- \ divisible by p), Whenever

tiiese conditions are satisfied there is just one G, which may be repr^sented

« B primitive Substitution group of degree q* and of elass g" — 1.

Stanford University, January 1906.

^

I

Über Büschel kubischer Ranmkurven.

Von El'gen Meyer in Charlottenburg.

T.Staudt hat bekanntlich zuerst ausgesprochen, daß die „unebenen
Siinpn 3. Ordnung" in vieler Hinsicht für den Baum seien, was die
Kuijen 2, Ordnung für die Ebene sind.') Dies hat sieh in der Folge-
wit immer mehr bestätigt. So ist z. B., um von Allbekanntem zu
schweigen, die von Herrn Hurwitz") entdeckte Beziehung zweier
kabischer Raumkurveu, auf deren einer die Ecken vou xj' Tetraedern
liegeo, während ihre Ebenen Schniiegungsebenen der andern sind, das
Analogon zu der Beziehung zwischen zwei Kegelschnitten, deren einem
oc' Dreiecke einbesehrieben werden können, die dem andern um-
tietcbrieben sind.

Als dem Kegelschnittbüschel entsprechend hat Herr Reye den
„Bftndel kubischer ttaumkurven", die die Ecken eines räumlichen Fünf-
ecks enthalten, bezeichnet'), und demgemäß dem auf erateres bezüglichen
Desarguos-Cb. Sturmschen Satz denjenigen des Inhalt« gegenüber-
itellt, daß die Kurven jenes Bündels von jeder durch keine der
:cu des Fünfecks gehenden Ebene in Poldreiecken eines polaren
Idee geschnitten werden. So ersichtlich die Analogie ist, so läßt
noch ein zweites genaueres Analogon herstellen mit Hilfe eines

1) Beibigc itu Geometrie der Lage. a. Helt. Torwort.

9) Ibthem. Annaten. Bd. 30. S. 185.

t) Geometrie der Lage. 3. Aufl. II, 23. Vortrag.

1

bestimmten Systems 1. Stute kuKiscLer Kaunikurreu, das als „Büschel
kubischer Raumkurven" bezeidmet werden kann.

Dieser Büschel wird durch Satz I eingeführt. In oo' solche Büschel
gruppieren sich die fx^' Rnumkurven, die durch vier fest« Punkte geben
und dieselbe Grade zweimal treffen, wie sie von Herrn Rud. Sturm be-
trachtet worden sind'). Doch können diese Büschel wohl eine besondere
Beachtung beanspruchen*). EV>eneo verdient die Erzeugungs weise des
tetraedniifu Komplexes in Satz III deshalb bemerkt zu werden, weil
hier jeder Koinplesstrahl nur einmal auftritt, unter den Sehnen jener
oo' Kurven aber ?>i'-mal.

Satz ]y gibt das genaue Änalogou zu dem Desargues-Sturmschea
Satz, wie man einsiebt, wenn man diesen in der Form aasspriclit: ,jEin
Kegelschnittbüsehel wird von einer Ebene in einer Punktreüie 1. Ordnung
geschnitten; die zti den einzelnen Kegelschnitten gehörigen Punktepaar«
bilden eine Involution 2. Gmdes". Endlich scheint mir auch der be-
kaunte vim (.'hasles gefundene Satz über den Schnitt einer Ebene
mit einer Rnumkurve 3. Ordnung und einem ihr eingeschriebenen
Tetraeder') durch Satz IV in der wünschenswerten VoUstand^keit
ausgesprochen und in den gehörigen Zusammenhang eingereiht za sein.

1. Ks ffibt auf jedem Keyel '4. Ordnung oo' lubischr ftaumlurvtm,
die eu-ei Mi>fe^ tiegelietw feste Graden aii evjeniiidien oder uwigenilichm
StJuuTt < Ifoppvl Sekanten! haben, vorausgesvlisl, daß der durch die SpUge des
Kegels gehende mit den heiden (iraden imidmie Strahl kein Ket/därahl
ist. Durch Jetten Miebiifen Panl.t des Kegels geht i. a. eitn' solche Kurve,

Ks seien g und k die beiden festen Graden. P die Spitze des
Kegels P-. Zunächst ist die am Schlüsse des Satzes ausgesprochene
Behauptung klar. Denn durch die 4 Schnittpunkte von y und h mit
i", durch P und einen beliebigen, nicht mit dreien dieser ö Punkte in
derselben Ebene lietfenden Punkt auf dem Kegel gibt es eine einzige
Raumkurve 3. Ordnung. Sie liegt aber vollständig auf P', weil der
Kegel 2. Ordnung, der sie von /* aus projiziert, mit P' fünf Strahlen
gemeinsam hat, also mit ihm identisch ist,

Eine bestimmte dieser Kurvi-n sei k^. Eine an k^ hingleitende,
mit ;i und h stets inzidente Grade beschreibt eine Regelschar, zu deren
Leitlinien g und h gehören.*) Der Kegel /" schneidet die so erzeugte
gradlinige Flüche 2. Urdnong außer in k' noch in einem Kegelstr&lU,
der eine Leitlinie der Regelfläche ist, weil er nach der über g und k

1) Cralle» .lourmJ, 7«. 107 «. Li

4) Vgl, H, MflUer. Math, Ann.

5) Vgl. Beye, a. a, 0. n, 22G.
41 Reje a. a. 0. H, S. laa.

»ngeometrie I, ä, 337.

über Büschel knbiacber Rftamknrven.

«machten Äimabiiie mit diesen beide» Graden uieht gleichzeitig iiiüidint

sein kann. Der Raumtcuire ^ wird somit ein beBtimmter Kegelstrahl

lu^rdnet.

Anderseits wird jedem Kegebtrahl s, der weder g noch Ä schneidet,

«ne jener RaumkurTen zugewiesen. Denn s, ij und h siud Leitlinien

«inar Regelschar, die P* in s und folglich noch in einer IlaiimJcurye

3, Ordnung schneidet. Von ihr ist s eine Sehne, alsn mQaseu auch ,7

Dad A Seimen sein.

Die im Satze genannten Raumkurven lassen sich also den Kegel-

«tnhten in ein-eindeutiger Weise zuordnen, also giht ee auch von den

■enteren «j*.

Ein solches System 1. Stufe nennen wir einen liiischel hiUschm'
Ba*mkitrvm.

n. IHejenigen Ordnungskurven eines tdntedralen Sumplej:e8, die

4>trdi nnen nicht auf einer Flache des Haaptietrfteders liegenden Punkt

jAn. bilden einen IlüscJiel.^)

Diese Ordnungs kurven liegen auf dem zu jenem Punkte P gehörenden
Koffipleikegel. Durch jeden Funkt P, des Kegeh, der so liegt, dafi
PPj weder durch einen Hauptpunkt geht, niteh in einer Hauptebene
liegt, geht eine und nar eine Ordnungskurve.*) Ferner haben diese
Kurven sämtlich g und h zu Sehnen, wenn g und b zwei reelle Gegen-
liuit*n des Haupttetraeders sind, die stets existieren, solange nicht zwei
■Kler mehr Ecken des Haupttetraeders zusammen fallen.

Die beim Beweise von Satz I angestellten l'berk'gungen /.eigen
feiner, da6 jider durch P gehenden Ordnungakurve ein duruh P j^ehender
Kumplciatrahl zugewiesen werden kann, und daß umgekehrt jedem
Ötwlil s des Kegels P*, der weder g noch h schneidet, eine auf P*
hegende Raunikurve 3. Ordnung zugeordnet wird. Diese Kurve aber
i't eine OrduungMkurve. Sind nämlich für eine KoUiueation, di« in der
Kevaschen Weise den Komplex erzeugt, die Punkte Q und Q' von s
«ntaprei-hend , so müssen es auch die durch Q bezw. Q' mit // and h
gieichy.eitig iuzidenten Graden '/ und q' sein, und folglich sind alle
Verbiadungsliuien entstjirechender Punkte dieser Graden q und q', li, h.
die ganze Schar ((/, A, s) Komplexstrahlen. Der Korapletkigel /"
mnfl daher die durch diese Schar bestimmte Hache 2 Ordnnng niiBer
in dem K>jmplezstrahl s in einer f>rdnungskurve Mcimeiden')

I) Vgl. meine Arbeit Math. Annalen Bd. 5», S. 408 und den don (jeguUnen
Ainweii auf Lie.

S) Heye a. a. 0. IH, ä. 7».
3'. Reje a. ft. 0. m, S 8,
AnM* 4n Hdhamtik ai< Pbnlk. HL R*ih* Itl t

S2 EcoEN Miteb; Über BOschel kubischer Raiiinknrveii.

äomit ist wieder eine ein-eindeutige Zuordnung zvrificheo den
Komplesätrahlen uiid den Ordnungekiirven von P* hei^estellt und also
der Satz II bewiesen.

III. Die Sehnen eines Büschels kubischer Raumhiirven bilden eine»
letraedralen Komplex. Die Schniüptmhie des diesem Büschd gemeinsamen
Sehnenpnares mit dem Kegel des Büschds sind die Ecken des Haupt-
tetraeders des Komple.ies.

Bilden g und b dieses HeKnenpaar, und ist i" wieder der Kegel
des Büschels, so ist zunächst leicht einzusehen, daß es einen einzigen
tetraedralen Komplex gibt, der die Schnittpunkte von y und A mit P*
zu Ecken des Haupttetraeders und P' zum Kompleskegel hat. Man
findet z. B. eine der Koliineationen, die ihn erzeugen, dadurch, daß man
jene Schnittpunkte sich selbst und dem Punkte P irgend einen Punkt P',
der auf der KegelHäche so liegt, daß PP' weder g noch k schneidet,
als entsprechenden zuweist.

Da es nun auf i" durch jeden Punkt i. a. eine und nur eine
kubische Kaumkurve gibt, die dem Haupttetraeder nmbeschrieben ist,
so muß dieser Büschel von Ordnungskurven des Komplexes, der anf P*
liegt, mit dem gegebenen Büschel zusammenfallen, und ihre Sehnen
müssen also den Komplex bilden.

IV. Ein liüsvhei kuhischer Baamhurven wird von äner Ebene m
einer Punktreihe ^. Ordnung geschnitten; die zu den eineeinen Buum-
kurven gehörigen Punktetripel bilden eine kubische Involution.

Denn die Ebene schneidet den Kegel, der den BUschel von Raum-
kurven enthält, in einem Kegelschnitt k^, und in ihr liegt ein Komplex-
kegelachnitt f des durch die Sehnen des Büachels bestimmten tetraedralen
Komplexes, der bei reellem Haupttetraeder dessen Flachen berührt
k* und t* stehen aber in der bekannten Beziehung, daß dem ersteren
oo* Dreiecke einheschricben werden können, die t* umbeschrieben sind;
denn jedes aus Sehnen derselben Raum kurve gebildete Dreieck hat
diese Eigenschaft. Die Eckpunkte dieser Dreiecke aber bilden eine
kubische Involution.^)

V. Bestimmt man zu einem festen Punkte in beeng auf sämtliche
hitnschr Kaumkurven eines Büschels die konjugierten Punkte, so erhält
man eine Punktreibe 3. Ordnung, mrausgesetgt, daß der Punkt nicht a^
dem Kegel Sl* liegt, der den Büschel von Raumkurven trägt.

Dabei versteht man unter dem konjugierten Punkte von j1 in
bezug auf die Raumkurve l^ den Punkt ,1,, der in bezug anf alle

Ij Em. Wej-r, Wiener Berichte. Bd. 87. S. 695. Vgl. aach Kud, Sturm.

Linieugeomstrie I, S. 30.

K, Pft»: über die Anzahl der Daratellungen einer Zahl a's Summe u

dureli F geLendeu Flächen 2. Ordnung zu A konjugiert ist, üder — , was
tör dvD Fall, daß durch .1 eine eigentliche Sehne von i* geht, dasselbe
bedeatet, — der zusammen mit A^ die freineinBamen Punkte dieser
Sehne und der Kurve harmonisch trennt.')

Denn die durch A gehenden Sehnen des Büschels bilden in dem
tetraedralen Komplex den Korapieskegel mit der Spitze A, und dieser
tirii von der Polarebene von A in bezng auf fl* in der im Satze er-
wSiiLten Punktreihe 2. Ordnung geschnitten.

C^harlottenburg, Februar 1905.

Über die Anzahl der Darstellungen
einer Zahl als Samme von zehn and zwölf Quadraten.

Von K. Petr in Prag.

Die Sätze von der Darstellung einer ganzen Zahl als Summe von
2, 4,6, li Quadraten folgen, wie bekannt, aua den schon in ,^'unda-
"laiita nova" angeführten Reihenentwicklungen der elliptischen Funk-
tionen. Außerdem gibt es auch Sätze über die Zerlegung einer Zahl
■0 tO and 12 Quadrate. Die Anzahl der Darstellungen einer Zahl von
law Form Ak + 3 durch die Summe von 10 Quadraten gibt bereits
Eisenstein an (Math. Abhandlungen, S. 195). Die Sätze über die
J^ou^ der Darstellungen einer beliebigen ganzen Zahl als Summe
Ton 10 Quadraten, sowie einer geraden Zahl als Summe von 12 Qua-
länlen fillirt Lionville an (Jouro. de math. p. et appl, II, ser.,
ll.Bd., S. 1 und 9, Bd., S. 29(1).

Diese Sätw sind, soviel mir bekuiuit, nirgends bewiesen und werden
sicli als unbewiesen angeführt. Deshalb will ich im folgenden darauf
''uiireiEeii, daß dieselben ebenfalls aus den bekannten Reihenentwicklungen
OBf Klljptischen Funktionen abgeleitet werden können.

Ea seien Ö (v), 8, (v\ Ö, (v\ Öj (r) Thetalunktionen von den Charak-
«^BÜken resp. (1,1), (1,0), (0,1), (0,0) und ö„ 0^,\ dU- Nullwerte der
«treffenden Thetafunktiouen.

Die Funktion') T^(v) =- fl„ö "*^ ist doppeltperiodiach (der zweiten
^ von den Perioden 1, r), wobei a, ß, y je eine von den Zahlen

1} Eoye a. ». 0, II, au ff.

S) In einer anderen Bezeichniiug ist, wie btkanot: ^^{(j) = — ' V'h (•*) — «oj

84 K. Petb:

1, 2, 3 bedeuten. Für die Deriyation dieser Funktion gilt folgende
*''»™^^ T'a (»)--« 7> (t;) T, (v).

Im folgenden brauchen wir die Werte der Funktion T^(v) fftr die
halben Perioden. Diese sind

^k) =0, T,(i) =ö|, T,(i) =ö|,

r.g) =-iei, T,(;-) =0, r,(|) -iöj,

Zhe Darstellung einer Zalü als Summe von 10 Quadraten. — Die
vierte Derivation der Funktion T^{v) ist, wie man leicht nach obiger
Formel erhält,

2?')(i;)=«*r„(t;)[2^(«)+I^(t;)+147^(«)I?(»)]+4«*l2(r)[2^(r)+Z?(f>)].

Substituiert man in diesem Ausdruck für v die halben Perioden,
so erhält man sogleich

Durch eine leichte Kombination dieser zwei Gleichungen mit der be-
kannten Formel ^t,,, ^„o

■ 8

oder anders

epö3-3Ö3'««2;t*e}ö}e|

erhält man mit Rücksicht auf die Relation 0\ + 0\=^ 0\ das Resultat

womit unsere Aufgabe gelöst ist. Auf der linken Seite dieser Gleichung
sind Ausdrücke, welche auf Grund der schon aus den „Fundaments
nova" bekannten Entwicklungen der elliptischen Funktionen als Potenz-
reihen leicht dargestellt werden können.*) Es ist

^r-o = [M. :iin= --^ + ^-^T^^-p^f^ •"'■'■•■■■■

'^'ß)-[».<:X'-'"^^?f^. -— ■•

öfi^'öj - ,".0,'*= 163r*^(x* - 3a;V)3^+>''; ',!>=o,±i,±i,...
1) Jacobi, Fund, nova, p. 101 u. f., Formel 14) und 86).

über die Anzahl der Darstellungen einer Zahl als Summe ubw. 85

Aus diesen Entwicklungen folgt sogleich: Die Anzahl der Dar-
stellungen der Zahl n =^2^N als Summe von 10 Quadraten ist,

1. wenn N^S (mod 4),

"WO das Summenzeichen sich auf alle Teiler d der Zahl N bezieht, und
zwar ist der Teiler rf^^^s = 3 (mod 4) und d^^^i = 1 (mod 4);

2. wenn jÄT = 1 (mod 4),

yn^o Xy y alle Lösungen der Gleichung x^ + y^ = 2^N durchlaufen.

jyie Darstellung einer ZaM als Summe von 12 Quadraten, — Man
kann hier die Funktion

f {2a>,v) = e„ + (^J n (v)

benützen. Substituiert man nacheinander in ihre vierte Derivation t; = - ,

t? = — T, t? = — + - , SO erhält man

v^"^>K) = (2y*-8(0;öj-öjöj).

Aus diesen Gleichungen folgt mit Rücksicht auf die Formel 0\ + 0\ = 0^
2^^ (o,») - p^^ (c,) - p^y (CO,) = {^ly . 16 [OJä + 0«»] .

Die Ausdrücke links gehen leicht in bequeme Formen über, wenn
wir u = 2G}it; = in die vierte Derivation der bekannten Reihen-
entwicklungen^) der Funktionen v(?i+"(öi), ^l^w + c?,), p(u-{-(o^)
substituieren.

So ergibt sich endlich

woraus folgt: Die Anzahl der Darstellungen einer Zahl w = 2^ + *JV
(JV eine ungerade Zahl, A > 0) als Summe von 12 Quadraten ist

P^(n) = |-J(10 . 2^^+^ + 21)^e?,

wobei das Summenzeichen sich auf sämtliche Teiler der Zahl N bezieht.
Prag, den 10. Oktober 1905.

1) Jacobi, 1. c, p. 113, Formeln 3), 4), 6).

über die Eulerschen Polyederrelationen.

Von Ernst Stkinitz io Berlin.

Zwischen den Anzahlen e, f und k der Ecken, Flächen und Kaiit-^^
eines konvexen Polyeders bestehen neben der Gleichung

(1) e^f = k+-2

noch die für jedes Polyeder geltenden Ungleichungeii

welche, wie jene Gleichung, von Euler gefunden wurden. Euler hat aus
den angegebenen Relationen einige einfache Schlüsse gezogen, z. B. den,
daß es kein Polyeder mit 7 Kanten geben könne; dagegen hat er nicht
geprüft, ob dnrch (1) und (2) die Bedingungen für r.fundk erschöpft sind.
Da ich eine Bemerkung hierüber auch sonst nicht gefunden habe, so
teile ich hier einen kuriten Beweis dafür mit, daß in der Tat, wenn
man nur noch die Bedingung der Ganzzahligkeit für e, f und k hin-
zufügt, die Relationen (1) und (2) nicht nur notwendige sondern auch
hinreichende Bedingungen dafür sind, daß konvexe Polyeder mit e
Ecken, /' Flächen und /,■ Kanten existieren.

Wir geben von iler Betrachtung eines konvexen Polyeders ans, von
dem wir voraussetzen, es besitze unter seinen Grenzflächen wenigstens
ein Dreieck und unter seinen Ecken wenigstens eine dreiseitige, e',
f und k' seien die Anzahlen der Ecken, Flächen und Kant«n des Poly-
eders. Wir können dann durch die folgenden beiden Prozesse aus
diesem Polyeder ein neues erhalten:

Erster Prozeß: Innerhalb der Kanten OA, OB, OC, welche von
einer dreiseitigen Ecke ausgehen, nehmen wir die Punkte A', B', C"
an und schneiden von dem Polyeder das Tetraeder OA'B'C ab. Es
bleibt dann ein konvexes Polyeder mit e' + 2 Ecken, /^ + 1 Flächen
und i' + 3 Kanten zurück, welches wenigstens drei dreiseitige Ecken,
nämlich A', ß', C und wenigstens ein Dreieck, nämlich A'B'C besitzt.

Zweiter Prozeß: Es sei XYZ ein Dreieck des ursprünglichen
Polyeders; |, ?j, £ seien die (unbegrenzten) von XYZ verschiedenen
Polyederebenen, welche bezw. durch die Kanten YZ, ZX, XY noch
hin iiurchgehen. Wir nehmen innerhalb des von der Ebene Xyifund
den Ebenen ^, i;, b begrenzten Gebietes, in welches man, aus dem
Innern des Polyeders komnien<l, nach Überschreitung der Dreiecksääche

über die Eolenchea PolyederrelationeD.

87

seteen, wo •
Jie Vorm an

-V l'Z gelangt, einen Punkt U an. Durch Vereinigung des ursprüng-
lichea Polyeders mit detD Tetraeder ÜX YZ entsteht ein neues konvexes
Polyeder mit e' + 1 Ecken, /" + 2 Flächen und k' + 3 Kauten, 'velchea
die dreiseitige Ecke U und die Dreiecke TZU, ZXU, XYU besitzt.
Da durch beide Prozesse Polyeder mit Dreiecken und dreiseitigen
Ecken entstehen, so kann mau diese Prozesse beliebig oft wiederholen.
Wendet man a-mal den ersten und ^-mal den zweiten ProzeB an, so
erhält man ein Polyeder mit e' + 2a -\- ß Ecken, f + a-\-2ß Flächen
Dinf jfc' + 3c + 3,3 Kanten.

Um nun unsere Behauptung zu beweisen, nehmen wir an, es

Mi*n f, f, k irgend drei den Relationen (1) und (2) genügende ganze

Z»filen. Dann haben wir zu zeigen, daß ein konvexes Polyeder mit

, ( Ecken, f Flächen und k Kanten existiert, — Zimächst folgt aus (1)

[«nd (2)

I Mil iliese Ungleichungen nehmen, wenn wir
(4) k = ^q-r

le ganze Zahl, r eine der Zahlen 0, 1, 2 bezeichnet,
e>q + 2-^r, f^q + 2-^r,
oder auch, weil i°, f, r ganze Zahlen sind und ^ ^r < 1 ist, die Form
e:>q + 2, f>q + 2.
SetBon wir daher
(3) a^e^q-2, ß=f-q-2,

so sind R und ß ganze Zahlen ^ 0. Aus (5), (4), (1) folgt
e = q + 2 + a, f=q + 2^-ß,
^q-r^k = €-\-f-2 = 2ci^-Z + a + ß,

g = (2 + r) + « + ,3,
alM

[f = (4 + »-) + 2« + ,3,
(ßJ /■=(4H-r)-f ß + 2^,

U-=(6 + 2r) + 3« + 3^.

Wenn es nun ein konvexes Polyeder P mit 4 + r Ecken, 4 -(- »■

Fliehen, 6 + 2r Kanten gibt, welches sowohl Dreiecke als auch drei-
witige Ecken besitzt, so brauchen wir, wie die Gleichungen (6) zeigen,
inf (lasselbe nur «-mal den ersten und ß-mfA den zweiten Prozeß an-

88 Ernst Steixitx: Über die Ealenchen Polyederrelationen.

zuwenden^ um ein konyexes Polyeder mit e Ecken, /' Flächen i
k Kanten zu erhalten. Ein solches Polyeder P existiert aber in
Tat, nämlich f&r r » die dreiseitige, für r » 1 die vierseitige,
r « 2 die fftnfseitige Pyramide. — Hiermit ist der Beweis erbra
Zusatz: Den Ungleichungen (2) kann man, indem man mittels
Je eliminiert, die Form geben

(7) 2f>e + 4, 26^/-+4;

und ebenso kann man umgekehrt aus den Ungleichimgen (7), w
man e + /* — 2 » ä; setzt, die Ungleichungen (2) herleiten. Die
gleichungen (7) sind daher notwendige und hinreichende Bedingun
dafür, daß zwei ganze Zahlen e und f die Anzahlen der Ecken i
Flächen eines konyezen Polyeders sein können.

Breslau, den 1. September 1906.

I

\

J. Thomson. CondnotioD of Eleotricity through Oasee. VIII t
56e S, Cambridge 1903, University Press.
Die Entdeckung der Röntgenstrahlen bezeichnet den Beginn
iiieo Ära in der Geschichte der Physik. Sie gnb den Änstüß, daß man
Miix mit Gasentladungen, Kathodcnstrahlen, Kanal atrablen usw. gründUcber
■vorher zu beBcbäftigen begann, und auch die Erschließung des so üher-
iHa fruchtbar gewordenen Gebietes der Radioaktivität war eine umnittelbiire
""olgp der Röntgenschen Entdeckung. Alle diese Erscheinungen stehen in
»npster Berßhning mit den allgemeinen Problemen, die den Durchgang der
Elektrizität durch Gase betreffen und die nunmehr zum großen Teile bereits
ilii~e Lösung gefunden haben durch die Ausbildung jener Theorie, die be-
«^t, daß ein Gas stets nur durch Ionen, die sich unter der Einwirkung
ift- elektrischen Kräfte bewegen, Elektrizität zu leiten vermag. Um den
Aaslan dieser Theorie hat sich zweifellos ■}. J. Thomson, der Leiter des
Ca-v«Tidi»h-Lftboratoriums zu Cambridge, in Gemeinschatt mit einer stattlichen
Z*hl TOn Schülern die größten Verdienste erworben. Und somit war nie-
mand benifener als er, eine zusammenfnssende Darstellung dieses wichtigen
Zw-eigM der modernen Physik zu liefern, wie sie uns nun in dem vor-
iogt'nden Werke geboten wird.

l)er Verfasser stellt sich in seinem Buche die Aufgabe, zu zeigen, wie
Sie loneotheorie von den manni;jfacheu Phänomenen, die uns beim Durch-
gang der Elektrizität durch Gase begegnen, in vollkommener Weise Beehen-
scliaft zu geben vermag Mit Recht kann er behaupten, daß wir diese Vor-
gänge heute viel besser verstehen als die analogen Erscheinungen der
Elektriiitataleitung in festen und flüssigen Körpern

Im ersten Kapitel behandelt er die Frage, inwieweit einem Gase unter
"orniiilen Bedinguugen eine Leitfähigkeit zukommt. Sodann werden in
dem lunfangr eichen zweiten Kapitel die Eigenschaften der Gase, die sie
ui "ipra Zustande besitzen, in welchem sie relativ gute Leiter sind, aus-
fWulich besprochen. Es folgt die mathematische Theorie der EJektrizitäts-
l'ilHnj; durch Vermittelung von Ionen. Hieran schließen sich die Ausein-
»öiierselzungen über den Einfluß magnetischer Kräfte auf die lonenbewegung
"» "Dil über die Bestimmung des charakteristischeu Quotienten (Ladung
™f Hasse eines Ions) sowie über die Ermittelung der lonenladung selbst.
I'" (iebenle Kapitel trägt die Überschrift: „Einige physikalische Eigen-
"Anften der Gasionen'': hier ist vornehmlich von der Eigenschaft der Ionen,
»1* Kondensationskeme zu wirken, die Rede. Kapitel VllI — XI handeln
'on Jer Ionisierung durch glühende Körper, Flammen, Licht (Photoelektri-
nUtj und Röntgenstrahlen. Es folgen weitere Darlegungen über Becquerel-

L

strahlen, die Fuukenentladung, den Lichtbogen, elektrische Entladungen durch
verdünnte Gase, die Theorie der elebtrischeo Vorgänge in Vakuumröhren,
Kathoden strahlen und Röntgenstrahlen. Im letzten, neunzehnten Kapitel
werden Bchlielilich unter dem Titel: „Einige Eigenschaften bewegter elektrisch
geladener Körper" gewisse neuere Probleme der Elektro nentheorie besprochen.
Die vorliegende Anzeige des Buches erscheint etwas verspätet. Jeder,
der sich in neuerer Zeit auf dem Gebiete der gaselnktrischen ErscheiuaDgea
seibat forschend betätigt hat, dürfte das Thomscnsi-lie Werk schon ausgiebig'
7.U Rate gezogen haben,
mehr bedarf. Eine deutsche Übersetzung') (vt

§G. Teubner) ist unUngst erscbienen.
Lei:

. Marx

iipfebtung nicht
im Verlag von

E. AsCHKINAflS.

nte August Arrhenios. Iiehrbuoh der kosinisahQii Physik.

2 Bände. Mit 304 Abbüdungen und 3 Tafeln. \'III, VUI u. 102ti S.
Leipzig 1 903, S, Hirael. ^ 38 . — , geb. JCiO.—

Der Verfasser, dessen Name in der Geschichte der modernen Physik
nnd Chemie schon längst einen Ehrenplatz einnimmt, hat es in dem vot^
liegenden Werke unternommen, eine zusammenfassende Darstellung der ge-
sanit«n kosmischen Physik zu liefern, eines Gebietes, auf dem er gleich-
falls durch eigene Forschungen vielfach hervorgetreten ist. Es wird damit
eine Lücke der wissenschaftlichen Literatur ausgefüllt, da es an einer
brauchbaren Bearbeitung jenes umfangreichen Zweiges dei' exakten Natur-
wissenschaft, vom Standpunkte der neueren Anschauungen aus, bisher noch
gBnilich fehlte. Selbstverständlich mußte der zur Behandlung herange/.ogene
8toff nach gewissen Gesichtspunkten begrenzt werden. Dies geschah in
der Weise, daS Fragen von rein astronomischem, hydrographischem, geo-
logischem und meteorologischem Charakter höchstens gestreift, dagegen alle
Probleme , die mit der Physik und Chemie in innigem Ziisammenbange
stehen, ausführlich behandelt wurden.

Das ganze Werk umfaßt /,wei starke Bände, von denen der erste die
„Physik des Himmels" und die „Physik der Erde"; der üweite die „Physik
der Atmosphäre" enthalt. Allenthalben sind die neuesten Ergebnisse der
Forschung berücksichtigt worden, so daB zunächst der Fachmann — im
engeren Sinne genommen — dieses Buch künftig mit großem Nutzen lu
Rate ziehen wird. Aber auch demjenigen, dessen speziellere Interessen auf
einem anderen Gebiete der Naturwissenschaften liegen, ist die Lektüre der
beiden BSnde angelegentlichst zu empfehlen. Hervorgehoben zu werden
verdient auoh die Eleganz und Anschaulichkeit der Schreibweise.

Es wäre ein zweckloses Bemühen, den reichen Inhalt des Werkes in
einer Anzeige kurz skizzieren zu wollen. Nur die Überschriften der ein-
zelnen Kapitel mSgen an dieser Stelle noch angeführt werden, um eine Vor-
stellung von der Fülle des dargestellten Stoffes zu geben und den Leser
dieser Zeilen zur eigenen Lektüre des Buches zu reizen.

1) J, J. Thomson, Elektrik itüU-Durchgaug in Oaaeu. Deutitche autor, Auagahe
unter Mitwirkung des Autors besorgt und ergänzt von llr. E. Marx. Privatdoxeot
an der L'nivi-rsitftt Leipzig. Mit 187 Figuren im Text. VII u, bS7 S.
Leipzig 1SI08. B. G. Teubner neh. Jl 18 — , ;,'eb. .tf 19. — .

h

1

Physik des Himmels: I. Die Fixsterne. II. Das Soonensystem.
Die Sonne. IV. Die Planeten, ihre Satelliten und die Kometen.
Kostno^me.

Physik der Erde: I. Gestalt, Masse und Bewe^ng der Erde. II. Die
e ErdltriiBte und däs Erdinnere. HL Das Meer. IV. Das Wasser auf
1 Festlande. V. Die Weüeubeweguug des Meeres und der Seen. VI. Die
rechsel Wirkung zwischen Land und See. Küsten.

Physik der Atmosphäre: I.Bestandteile der Luft. IL Die Wärme-
Kufuhr der Erde. IV. Die Temperatur der Erdoberfläche. V. Die Tempe-
ra.tur der Luft. VI. Der Luftdruck. VII. Das Wasser in der Atmosphäre.
Vin. Wolken und Niederschlag. IX. Die Winde. S. Luftwirbel. XL Theorie
<ler atniosphärischeu Zirkulation, XII. Einwirkung des Windes auf die
feste Erdobei-fläche. XHI. Die Gewitter. XIV. Meteorologische Akustik.
-XTV. Meteorologische Optik. XVI. Atmosphärische Elektrizität. XVIL Die

Folarlichter. XVIII. Der Eidmagnetiamns.
Berlin. E. Aschkinabs.

^> Ahrens. Scherz und Ernst in der Mathematik. Geflügelte und
ungeflügelte Worte. X u. .J22 «. Leipzi« 1904, B. G. Teuhner. jKS.— .
Eine sehr hübsche und anrbgende Lektüre gibt dieses Buch in seiner
■-«■ils lehrreichen, teils amüsanten Zusammen Stellung aller möglichen Urteile
■■^^'Tifener und Unberufener über Mathematik, iliren Bildungswert und Nutzen,
**c»«ir kleine und große Schwächen bekannter Mathematiker, über philosophisch-
•■^atliematische Probleme, über die Beziehungen der Mathematik zur Kunst
**-*>d Technik and unzählig viele andere Dinge. Wenn auch die Zitate
**iheinbar regellos aneinander gereiht sind, so wird man doch von Zitat zu
^_ -^itatf ohne zu ermüden, weiter getilbrt, und nur ungern legt man schUeBlich
H^^«« Buch aus den Händen.
^H Berlin. P. Sohafiieitlm.

^m *^- Haußner. Darstellende Geometrie. I Teil: Elemente; Ebenflachige

H Gebilde. Mil Kiorigureii. 102S. Leipzig IflüL», G. J. Göschen. ^—.80.

H^ J- TonderlinD. Scbattenkonstruktionen. Mit 114 Figuren. 116 S.

Lpipzig 1904, G. J. Goschen. JC — .PO.

Das einfach ond klar geschriebene Buch von Hanäner, dessen Ver-

^lAnrlnis durch sorgfilltig gezeichnete Figuren erleichert wird, behandelt im

ttWiPa Abschnitte die Parallelprojektionen ebener Gebilde und die affine

• erwandts(rhaft der Figuren; im zweiten werden kurz die Methoden der

«tiefen Parallelprojektion besprochen, während die beiden letzten Abschnitte

m\i mit der orthogonalen Parallel projektion von Punkten, Geraden, Ebenen

oiiil ehenflfichig-begrenztea Körpern beschäftigen.

Eine hübsche Erg&nzung dieses Buches bilden die Sobattenkonstruktionen
''onderlinns. Es werden besprochen die Konstruktion des Schattens in
Orthogonaler Projektion von Punkten, Geraden, Polyedern; vom Zylinder,
^(Rei und der Kugel, sowie von RotationskCrpem, Gesimsen, Sciurauben'
Ofld Köhrenfläcben.

BerUn, . P. ScHAFHErrLiN.

[ ][• Möller. Orientierung nach dem Schatten. Studieo aber eiue
Touristeiiregel. Mit 30 Figuren in Holzschnitt. 156 S. Wien 1905,
Holder. Jl 3.50.
Die Regel lautet: Auf das ZifFei-blatt einer horizontal liegenden nach
Ortszeit gehenden Uhr falle der Schatten einer vertikalen Kante llnga dea
Btundenzeigers, die Spitze des Zeigers gegen den sehattengebenden Körper
gerichtet; der Winkel /.wischen XII und der so beschatteten Tagesstunde
Wird halbiert; die Halbierungslinie zeigt gegen Süden.

Selb st vei'stSud lieh kann diese Kegel nur näheruugs weise richtig sein;
I die teils geometrischen, teils algebraischen Untersuchungen beziehen sich
I Wesentlich auf die Ermittelung der Größe des Fehlers, der sowohl yon der
I Jahreszeit als auch von der Stunde und der geographischen Breite abhängt.
[ Beispiebweise ergibt sich fllr die Breite 30° ein Feblerraaiiniura von über
, für Deulschland von zirka 25*",
Berlin. F. ScHAf

i

H. Möller u. H. Kutnowsby. Sammlung von Aufgaben aua

Arithmetik, Trigonometrie und Stereometrie, H. Teil. Ausgabe A,

für Gymnasien. 2. Auflage, Vin u. 273 S, Leipzig 1905, B. G. Teubner

Ji 2,20.

In der neuen Auflage sind verschiedene Kürzungen gegen die erst«

eingetreten; meiner Meinung nach hatten auch die Abschnitte über Gleichungen

I dritten Grades weggelassen weiden kfJnnen. Denn alle in den Anwendungen

auf Seite 75 — f*2 gegebenen Beispiele lassen sich ohne Kenntnis der Lösung

I der Gli-ichuugen dritten Grades nicht allgemein, sondern nur fiir die spe«-

n Zahlenwerte lösen, die in der Aufgabe gewählt sind ; dadurch aber

kann unmiiglich der Schüler Befriedigung an der betreffenden Aufgabe

empfinden.

Die Aufnahme einiger Ktinstruktions aufgaben über Kegelschnitte paßt
nicht recht in den Rahmen der Sammlung; sie verstößt gegen den im
übrigen durchaus rechnerischen Charakter, wahrend andererseits die Anzahl
dieser Aufgaben zu gering ist, um den Bedürfnissen der konstruierenden
Geometrie zu genügen.

Berlin. P. Schafiieitlik.

1 R. SchflBler. Orthogonale Axonometrie. Ein Lehrbuch zum Selbste

Studium. Mit 29 Figurentafeln in besonderem Hefte. VH u. 170 S.

Leipzig 190.5, B, G, Teuhner. M 7. — .

In den Sitzungsberichten der Akademie 7.u Wien aus den Jahren 1880,

\ 1881 und lt*8-l hat Pelz nachgewiesen, dafi bei den Aufgaben der ortho-

alen Axonometrie die Benutzung des Achsenkreuzes weauntlich die Kon-

' Btruktionen vereinfacht, und daQ diese ohne die lieduktlonskoef^xienten der

Achsen durchgefülirt werden können. Da jene Abhandlungen nicht für

I AnfÄnger bestimmt sind und ihnen gewisse Schwiengkeiteo bereiten würden,

I ao wint hier dT Versuch gemacht, die einfachen Resultate von Pelz so ab-

[ zuleiten, daU man keinerlei Vorkenntnisse vorau^^znsetzen braucht, und dieser

Versuch kann als durchaus geglückt bezeichnet werden. Zur Besprechung

BezeDsionen. 93

gelangt in klarer und anschaulicher Weise die Darstellung von Punkt,
Gerade und Ebene, von Polyedern, Prismen und Pyramiden, von Kreis und
Kegelschnitten, von Zylinder, Kegel, Kugel und Rotationsflächen.

Berlin. P. Schafhbitlin.

L Zehnden Das Leben im Weltall. Mit einer Tafel. 125 S. Tübingen
und Leipzig 1904, J. C. B. Mohr (Paul Siebeck). Jt 2.50.

Gar munter tummelt der Verf. das übermütige und ungestüme Bößlein
seiner Phantasie durch Mikro- und Makrokosmos. Kein Zügel der Kritik
hemmt seinen Lauf, keine Schranke der Tatsachen begrenzt seine Sprünge.
Nicht imergötzlich für den Kundigen kann dieses Buch heillose Verwirrung
in den Köpfen solcher Leser anrichten, die glauben, das von einem a. o. Pro-
fessor für Physik an der Universität München Gebotene für Physik halten
zu müssen.

Breslau. E. Pringsheim.

E. latUas. Le point critique des corps piirs. 225 S. Paris 1904,
C. Naud.

Diese ausführliche und klare Darstellung der Wissenschaft vom kritischen
Zustande ist eine erweiterte Umarbeitung der von dem Verf. in den Rapports
des internationalen Physiker-Kongresses zu Paris 1900 veröffentlichten Studie,
unter den neu hinzugekonunenen Kapiteln sind die drei letzten besonders
^^ttnerkenswert, in denen der Verf. auf die bei dem kritischen Punkt auf-
tretenden Anomalien eingeht und sich der von de Heen aufgestellten Hypo-
these der liquidogenen und gasogenen Moleküle zuneigt in einer Form, welche
der von J. Traube gegebenen nahesteht. Obwohl der Verf. die de Heen sehe
Hypothese in Einklang bringt mit der „klassischen" Andre wsschen Theorie,
dem Avogadroschen Gesetz und der Phasenregel, ist doch wohl der Beweis
^t erbracht, daß die ältere Theorie außer stände ist, die Anomalien ohne
Bilfe einer solchen ad hoc eingeftlhrten Hypothese zu erklären.

Breslau. E. Pringsheim.

S* Weinstein. Thermodynamik und Kinetik der Körper. U. Band.
XVin u. 586 S. Jt 16. — . 1903. HI. Band, 1. Halbband. XVI u.
464 S. 1905. Braunschweig, Fr. Vieweg und Sohn. Jl 12. — .

Dem an dieser Stelle schon besprochenen ersten Bande (Arcb. (3) 3, 66)
^ in erfreulich raschem Tempo der zweite Band und der erste Halbband
ae8 dritten Bandes gefolgt.

Der zweite Band beginnt mit einem Kapitel über absolute Temperatur.
^ thennodynamische und thermokinetische Temperaturskala wird eingehend
•"^rtert und eine Vergleichung zwischen den absoluten Skalen und den
konventionellen durchgeführt. Die neue strahlungstheoretische Temperatur-
™*) welche beim Erscheinen des Bandes noch in der Entstehung begriffen
J*'» wird nur in einer kurzen Bemerkung gestreift. Sodann folgt ein
f*pitel über Flüssigkeiten und eines über Gase. Hier zeigt sich ebenso wie
^ weiteren Verlauf des Buches deutlich, daß die im ersten Bande so aus-

fiihrlich behandelten ZustAndsgleichuDgen ia iler tatsilch liehen Diiri^hfilliniQ^'
der Thermo dj na Btik noeh eine sehr geringe Rolle spielen, und daß Aticli die
kinetischen Vorstell lui gen in dem großen Gebäude der Wärmelehre niir eine
sehr bescheidene Wohnung linden.

In dem nächsten Kapitel, welches die Überschrift trägt: „Thermodyna-
mische Hi'chanik nnd nicht umkehrbare Vorgänge", wird zunächst die Lehre
TOD den therm odynamiachen Gleichgewichten entwickelt, die Gibbssche
Pbasenregel, das thermodyna mische Potential, Entropie und Enerjne werden
behandelt. Daran schlieBt sich die Lehre von den Um wandlungsgescb windig-
keiten und von solchen Vorgängen überhaupt, hei denen die Zeit berück-
sichtigt werden muß. Im letzten Kapitel endlich wird die Theorie der
Misch uogen und Lösungen behandelt, mit Ausnahme der verdünnten
Lösungen.

Mit diesen beschäftigt sich der erste Halbband des dritten Bandes.
Die vau't Hoäsebe Theorie wird sehr genau inbezug auf ihre experimen-
tellen und theoretischen Grundlagen geprüft, denen in Anbetracht der groSen
Bedeutimg, welche die Theorie für den Fortschritt der Wissenschaft gebabt
hat, eine größere Sicherheit ku wünschen wUre. Den Schluß des ereten
Halbbandes bildet die Thermodynamik der Elektrizität und des M^agnetismus,
weiche in dem zweiten Halbband, für den die Theorie der Elektrolyse vor-
behalten ist, ihren Abschluß finden soll.

Wie der erst« Band, so sind auch die jetzt vorliegenden Teile des
Buches mit großer Sorgfalt und eingebender Benutzung und Kritik der sehr
ausgedehnten theoretischen und eiperim enteilen Literatur gearbeitet. An
vielen Stellen sind eigene Entwicklungen des Verf. eingefügt und jede Zeile
verrät, daß er sein Thema vollständig beherrscht und mit erstaunlichem
Fleiß und geistiger Energie durchdrungen hat. Allerdings sind auch dia
Anfordenmgen nicht gering, welche das Buch an den Leser stellt, und der
Ref. hofft, daß er noch Zeit und Stimmung finden wird, um den Inhalt
genauer studieren ta können, als es ihm bis jetzt möglich war. Daß er
dann, wie jeder genügend vorbereitete Leser hier eine reiche Quellt
Belehrung und Anregung finden wird, darüber hat er keinen Zweifel.

Breslau. E. Pkinobheim.

i

i

E.Pieard. TraltÖ d'analyBS. Part. 1. Deuxieme edition. iH'äS. Paris 1901,

Gauthier-Villnrs. Fr. 16. — .

Der erste Teil diese>i Bandes enthält die Elemente der Integralrech-
nung. Eingehende Bi^handlnng erfahrt die Erweiterung des IntegralbegriSs,
welche ia der malhematiscben Physik eine so wichtige Eulle spielt, in dem
Sinne, daß der Integriitiousweg ditnh eine Kurve oder Flache dargeslallt
wird. Üabei nimmt der Verfasser Gelegenheit, auf die prinzipiellen Kragen
einzugehen, welche heute die Mathematiker stark beschäftigen, so bei der
Definition der Kurvenlänge auf die Kurve von Peano und Hubert, welche
ein ebenes FlSchenatück erfüllt, auf nichtintegrierbare Funktionen u, »,

Im zweiten Teil werden einige Anwendungen der im ersten entwickelten
allgemeinen Satz« erbracht Und zwar beschäftigt sich der Verfasser zunächat
mit der Laplaoeschen Gleichung /Iw^O und den Fundamentaleigenschaften
des Potentials. Hierbei mOcht« sich Referent die Bemerkung erlauben, daß vor

95

iet limßsebeu die von Clausius (Die Potetitialfunktiön und das Poteotial,
Leipiig 1877, A, Barth) heirührendo Ableitung der Laplace-PulssonstliPii
Differentialgleichung den Vorzug verdient, insofern als sie nicht die iJiiferon-
Üerbarteit der Masse zur VorauBsetzimg hat. Gleichwohl findet sicli di(
Cl&UHiussche Herleitang nicht in den neueren Darstellungen der Potential-
ie, X. B. auuh nicht in PaincaT^G Theorie du Potentiel newtonien,
1S99. Carre et Naud.
Iq dem zweiten Teile findet sieh auch eine Unt-ersuchung der Reihen-
•ntwicklimgEH. insbesondere der trigonometrischen Reihen, wobei der C
iorsche Satz — daß eine Idectität der Form

u +^ ("m <'*'^ "**■ + ßn ^^'^ "'■f) =

wenn sSnitliche Koeffizienten verschwinden
1 Sätze über nüherungs weise Daratellong einet
t vorgegebener Genauigkeit eingehende Be)

willkür-

raduugen der
Kongnienzea
der Kurven

DUr b«3tehci
die WderstraBsc
Ückea Funktion
Brfaliren.

dritte Teil endlich bringt die geometrischen An'
Intinittsimalreehnung: Theorie der Enveloppen, Regeltiüchet
und Komplexe; der Krümmung und Torsion der Raumliurvfm:
»uf 6iDer Flache und der abwickelbaren Flächen.

liiv iweilu Aul'lage unterscheidet sieh wenig von der ersten, nur daß
W VertiüBer auf prinzipielle Fi'agen, die im Vordergrunde des Tagesinteressea
't*h«!i, etwns mehr eingegHngen ist and zahlreiche literarische Nachweise
fit diojenigen Leser hinzugefügt hat, welche den betreffenden Fragen der
«initroskopischpiii Mathematik" weiter nachgehen wollen.

Berlin. E. Jabnkb.

polyteohnioa do Porto pubticados
eira. Vol. I. Nr. l". Coimbra 190Ö,

^luuea seien tiflQOB da aoe

soh a direci;äo de F. Gomes

iitiprensa da universidnde.

Mit dem Jahre 1905 ist das Jornal de sciencias mathematieas e aatro-

Bomif« eingegangen und hat einem neuen Untemehinen Platz gemacht, das

'i'Ii auf breiterer Grundlage aofhaut. Die Annaea öflrien ihre Spalten nicht

iiloB der reinen und angewandt«» Mathematik; sie nehmen auch Beitrllge

»0* den Gebieten der I'Lysik, der Chemie, der Naturwissenschaften und der

•Milien Wissenschaften auf, und nicht bloß rein wissen seh altliclie Arbeiten,

L KXh pBda^giache Artikel, Bericht* über den gegenwärtigen Stand einzelner

I WiBanBchEftasweige usw. Wir wiinschen der neuen Zeitschrift, deren Leitung

■ B dm HSnden des bewährten Jomal-Redakteurs geblieben ist, vollen Erfolg,
I iutieundere auch nach der Richtung, in Portugsd den f^inn für die inathe-
|iwti«li(!n Wissenschaften mehr und mehr zu verbreiten.

Der Inhalt des ersten Heftes ist: F. Gomes Teiseija: Questäo entre
Jldnteim da Rnpha e Anastacio da Cimha. — N. Nielsen: Sur les series

■ BWiDiBnienneH de fonctions spheriijues. — J. J. Ferreira da Silva: A obra
BiOtiDtüica e a vida do chimico portuguez Roberto Dnarte Silva. — Bento
rCuiqiieja: rapitalismo e aa euas origens em Portugal.

Berhn. £. Jaunke.

H, Mayer. Die neueren Strahlungen. Kathoden-, Kanal-, Bönt^fl
Strahlen und die radioaktive Selbst Strahlung (BeoqaerelBtrahl^^

Vom Staudpunkte der raodernea Elektronentheorie luitur Berücksichtigung c:

neuereu expürim enteilen Forschungsresultate behandelt und im Zusaium^

hange dargestellt. V u. 68 S, Mahr.-Ostrau 1904, R. Papauschek. jK 1.5^

Dieser kurze and Kiemlich vollstfindipe Auszug aus den zahhreicbe^

auf die neueren Strahlungen hezfiglichen Publikationen düri'te mancheCS

willkommen sein, obwohl dem Verf. kritisches Urteil und Klarheit der thec*

retiachen Anschauungen nicht gerade nachzurBhmcn sind. Diese Mäng*

fallen besonders in der EinieituDg sehr ins Auge, Die gläubige Annahm-'

von Resultaten , die von den Autoren selbst zurückgezogen worden sin*

{v. Geitler, Ablenkung der Magnetnadel durch Kathodenstrahlen , Blondlois

Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Röntgenstrahlen) hätte bei einiger AuF

merksamkoit vermieden werden müssen. Daß der Verf. auf Blondlots n-Strahlaa

„eingegangen" ist, soll ihm nicht zum Vorwurf gemacht werden,

Breslau £. Piiinosheiii.

Fr. 8trohel. Adreßbuch der lebenden Physiker, Uathematiker aad
Astronomen des In- und Auslandes und der technischen Silfi»
kräfte. X'u, '208 S, Leipzig ISIOrj, J. A. Bsrlh. J( 7,60.

Das Adreßbuch will alle Lehrkräfte der Hochschulen, d. i. der Uni'
versitäten, der technischen Hochschulen, der Bergakademien und der land
wirtschaftlichen Hochschulen, sowie der Mittelschulen des In- und Ausland«
aus den Gebieten der Physik, Mathematik und Astronomie umfassen, woblt
hinsichtlich der Anwendungen und flrenzgebiete eine Auswahl getroffa
werden mußte, an welehcr natui'gemäß einer oder der andere etwas atdl
zusetzen linden wird. Die Adressen der genannten Lehrkräfte sind naoi
Städten gruppiert und diese Stadtüberscbrifteu alphabetisch geordnet.

Was die Naujen oder llrmen der technischen Hilfskräfte angeht, M
sind dieselben einmal in dieses alphabetische Verzeichnis aufgenommen, des
art daß sie bei den einzelnen StSdten am Ende zusammengestellt und durc
Kursivschrift erkennbar gemacht worden sind. Andererseits werden dieselbe
in einem besonderen „Bezugs quellen Verzeichnis", sachlich gruppiert, aufgefüh«
Übrigens ist hierbei von den technischen Hilfskräften nichtdeutscher L&ndfl
abgesehen worden. Hieran schließt sich fin Register, das in einem Alpha
bat alle unter den Stfidten angegebenen Namen wiederholt, unter Hinmt*
fügung der Seitenzahl.

Nach den Stiehproben zu urteilen, welche Referent vorgenommen hiik
ist dus Adreßbuch mit großer Sorgfalt angefertigt worden, was nicht au'
Echlieüt, daß manche Unrichtigkeiten untergelaufen und manche LOcke^
uobenierkt geblieben sind. Dem Wunsche des Herausgebers nachkommend
seien diejenigen genannt, welche dem Referenten aufgefallen sind: üntei
„Berlin" fehlen die Namen vieler Oberlehrer, wie durch Vergleich mit den
Mitgliederverzeichnis in den Sitzungsberichten der Berliner Matbematischei
Gesellschaft (B. G. Teubner, Leipzig) ersic;htlich wird. Unter „Breslau" fehl«
die beiden Oberlehrer I'ruf. Dr, 0. Gutsche und Dr. M. Peche; unter „Halle'
die Verlagsbuchhandlung von Martin Schilling, welche den Vertrieb math«
matischer Modelle fllr den höheren mathematischen Cnterricht übemonunet

RezeDflionen. 97

hat; unter „Holzminden" der Oberlehrer Dr. G. Kober; unter „Magdeburg"
der Oberlehrer Dr. Bradhering; unter „Mannheim" Dr. B. Oster, Versicherungs-
m »thematiker; unter „Prenzlau" der Oberlehrer Dr. Stegemann; unter „Tokio"
der japanische Mathematiker Sawayama. Der Professor für darstellende
Oeometrie F. Schilling in Danzig ist identisch mit dem irrtümlich noch
uxiter Göttingen aufgeführten Mathematiker.

Von Physikern habe ich den Privatdozenten Dr. Cl. Schäfer an der
Bx-eslauer Universität, den Prof. Dr. Stodola am Eidgenössischen Polytech-
jilkum in Zürich und den Professor Sumec an der Brünner technischen
ochschule vergebens im Adreßbuch gesucht

Berlin. E. Jahnke.

festschrift, Adolf Wüllner gewidmet Bum siebBigsten Geburtstage
Ton der Kgl. techn* Hochschule bu Aachen, ihren firüheren und
jetzigen Mitgliedern. Mit dem Bildnisse Wüllners, 8 Tafeln und

91 Figuren im Text. VTII u. 264 S. Leipzig 1905, B. G. Teubner.

geh. M 8. — , geb. M 1). — .

Die dem bekannten Physiker Adolf Wüllner gewidmete Festschrift ent-
Yi&lt 15 Abhandlungen aus verschiedenen naturwissenschaftlichen und tech-
nischen Disziplinen. Prozentual am stärksten ist naturgemäß die Physik vertreten.
Max Wien unterzieht die Helmholtzsche Resonanztheorie des Hörens
€iner meines Erachtens zutreffenden Kritik. Seine Ausführungen gipfeln in
folgender Zusammenfassung: „Die vollkommene selektive Erregung ist nur
^i sehr scharfer Resonanz denkbar. Diese ist aber nur möglich bei sehr
schwacher Dämpfung. Mit schwacher Dämpfung ist jedoch die Erkennbar-
keit des Trillers unvereinbar und damit ist die Möglichkeit der Erklärung
der vollkommenen selektiven Erregbarkeit illusorisch geworden".

August Hagenbach liefert Beiträge zur Untersuchung der Banden-
Spektren; die hauptsächlichsten Experimente beziehen sich auf die Einwirkung
^ Druckes auf die Struktur der Spektren. Wenn ich auch nicht mit allem
^verstanden bin, was der Verfasser äußert, so sind doch seine Versuche als
^e schätzenswerte Bereicherung des experimentellen Materials anzuerkennen.
Sehr interessant ist eine zum Teil experimentelle, zum Teil theo-
'^tische Untersuchung von Sommerfeld über Lissajous- Figuren und
^esonanzwirkungen bei schwingenden Schraubenfedem. Diese Versuche
Wnnen verwertet werden zur Bestimmung des sogen. QuerkontraktionskoefQ-
*^eöten, der bekanntlich in der Theorie der Elastizität eine große Rolle
^lelt Ursprünglich als bloß«? Demonstrationsversuche erdacht, scheinen sie
^"^ auch noch ein darüber hinausgehendes Interesse zu haben; denn sie
K^Utten in relativ einfacher Weise auch bei anderen Temperaturen die
Elastizitätsmoduln und damit deren Temperaturkoeftizienten zu bestimmen.
l'Ämit ist auch der Querkontrakt ionskoeffizient als Funktion der Temperatur
^^f'timmt, und die von mir auf etwa 10 Metalle ausgedehnte Untersuchung
^«ser Funktion wird sich jetzt auch auf die Mi^talle erstrecken können, bei
3*^on die bisherigen Methoden versagten. Nebenbei bemerkt bilden die
*^nanzwirkungen ein vollständiges mechanisches Aualogon zu den Er-
■f»*«iiiuagen, die zwei gekoppelte elektrische Schwingungskreise zeigen, wie
*• *. B. in der drahtlosen Telegraphie verwendet werden.

[ ^Wt der M*th«m*tik nnd Physik, in. Reihe. XI. 7

98 Rezensionen.

Von den mathematischen Abhandlungen sei diejenige von Lothar
Heffter über Anordnung und Aufbau der Geometrie hervorgehoben, weil
sie erkenn tnis-theoretisch und pädagogisch von hervorragendem Interesse ist
Es sei deshalb gestattet ihren Inhalt kurz zu skizzieren.

Als geometrische Elemente werden betrachtet der Punkt, die Ebene
und die Gerade; die Geometrie befaßt sich nun mit den Beziehungen
zwischen mehreren Elementen derselben oder verschiedener Art. Als elemen-
tare Beziehungen werden betrachtet die Inzidenz verschiedenartiger Elemente,
die Parallelität und die OrthogonaHtät. Ziu: Klassifikation der Geometrie
werden nun drei Transformationsarten des Punkt -Ebenen -Raumes benutzt,
die durch die obigen elementaren Beziehungen bestinunt sind. Man
nennt die Transformation des Raumes, die jedes Element ein -eindeutig in
ein gleichartiges überführt, projektiv, wenn sie alle Inzidenzen enthält,
affin, wenn sie alle Inzidenzen und Parallelitäten enthält, äquiform^ wenn
sie alle Inzidenzen, Parallelitäten und Orthogonalitäten enthält. Damit ist
nun die Geometrie in die projektive, affine und äquiforme Geometrie ein-
geteilt. Durch Hinzufögung der „Parallelmetrik*' erweitert sich die projek-
tive Geometrie zur affinen, diese zur äquiformcn durch Hinzufügung der
„Orthogonalmetrik". Heffter führt diesen Gedanken in der vorliegenden
Abhandlung näher aus.

Diese Blütenlese genügt, um erkennen zu lassen, eine wie wertvolle
Gabe die Wüllner-Festschrift nicht nur für den Jubilar, sondern auch für
weite wissenschaftliche Kreise ist.

Breslau. Gl. Schaefer.

U. Abraham et P. Langeyln. Las quantitös ölömentaizes d^öleotrioitö
Ions, Bleotrons, Corpusaales. Memoires reunis et publies. 2 Bände.
Paris 1905, Gauthier -Villars.
Das vorliegende unter den Auspizien der französischen physikalischen
Gesellschaft herausgegebene Werk füllt in dankenswertester Weise eine Lücke
der Literatur aus. Es ist nämlich eine Sammlung der wichtigsten Ab-
handlungen aus dem Gebiete der Ionen- und Elektronentheorie, die sämt-
lich ins Französische übertragen sind. Es ist demnach ein Werk wie die
im Jahre 1900 ebenfalls von der französischen physikalischen Gesellschaft
herausgegebenen „Rapports". Jeder, der auf diesem Gebiete arbeitet oder
sich orientieren muß, hatte bisher darunter zu leiden, daß die ungeheuere
Literatur überall zerstreut war; dem ist nun abgeholfen. 150 der wichtigsten
Abhandlungen — ich nenne nur die Namen Hertz, Thomson, Lenard,
Lorentz, Drude, Hittorf, Larmor, Rutherford, Becquerel, Curie,
Elster und Geitel — sind hier gesammelt und so bequem zugänglich ge-
macht. Wo ich es durch Stichproben kontrollieren konnte, habe ich auch
an der Übersetzung nichts auszusetzen gefunden. Bei der ins Auge sprin-
genden Brauchbarkeit erübrigt sich eine weitere Empfehlung.

Breslau. Cl. Schaefer.

E. Rutherford. Badioaotivity. 2. Auflage. 580 S. Cambridge 1905,
University press. 12 sh. 6 p.
Rutherfords zahlreiche schöne Untersuchungen über Radioaktivität
haben wesentlich dazu beigetragen, unsere Kenntnis von diesen wunderbaren

1)9

tm^aongen va erveit^m. Es ist düsihalb mit Freuden zit begrüßen, daß
8 iraternoniiuen hat, die vielen Entdeckungen auf dem nmierlbrscliten
L Mnei kritisch Kusaatmei] zustellen. Bau damit einem Bedürtiiis abgebolt'en

• winl, (eigt die Tatsache, daß ilas Buch nach einem Jalire bereits iii
Ineittr Auflage erscheint. Die neue Auflage ist, entsprechend den Port*
J*liritteo der Forschung in dem Jalir, zum groüen Teil neu bearbeitet und
|1h in die allemeuste Zeit hinein ergän/.t. Das Werk ist jedem zu enip-

Uikc, der sich ernstlich über RadioaktivitUt informieren wjü. Dem Leaer
1 das Buch CJenuß bringen, besonders vielleicht die Kapitel über die
I adioikÜTeii Umwandlungen, die glänzende Proben von Rutherfords Experi-
mentier- und Kombinationskunat enthalten; er wird des Verfassers Aua-
ÜUiniDgen aber auch da mit Interesse folgen, wo vielleicht daa Be-
ububtuDgsmaterial noch nicht umfassend genug zu sein scheint, um die
lOffi Verl'asaer gezogenen Schlüsse zu rechtfertigen (etwa bei der Behandlung
der a-Strahlen uud dem Zusammenhang zwischen a-Strahlen und Helium};
in Wert des Buches wird dadurch nicht beeinträchtigt.

Das Buch beginnt (Kap. I) mit einer historischen Übersicht über die
LSntdeckuug der radioaktiven Substanzen und einer kanten Besehreibung der
f^ radioaktiv erkannten Elemente Uran, Thor, Badium, Aktinium, Polonium,
ildiohlei. Es folgt dann (Kap. Ilj ein kiu;zer Abriß der Ionen- und
älfttnmentheorie der Gasentladung, soweit diese für das \'eratiindnis der
idii>»lrtiven Erscheinungen notwendig ist. Kap. III bespricht die Mefl-
Vielhodm, die vielfncli eigens für solche Messungen ausgearbeitet sind, und

• plt wertvolle Einzelheiten für die Ausführung von Messungen an {prak-
tisi'iip ElektrometerachlÜBSe! , Isolutions verfahren u. dgl.). Den von radio-
ilitiVHii tiuhstattzen ausgehenden Strahlungen, ihrer Natur, ihren Eigen-
^üfteti und Wirkungen sind die nächsten 100 Seiten gewidmet. (Kap. IV
"• V'.) Verf. beschreibt die Untersuchungiimethoden , deren Resultate dazu
•Slul«!!, den ß- und «-Strahlen korpuskularen Charakter zuzuschreiben, d.h.
"• »ufznfassen als Schwärme von elektrisch geladenen kleinen Teilchen,

I Ttlireiid man die ^'-Strahlen wohl als elektro-magnetische Strahlung, den
lOalgeustralUen ähnlich, aufzufassen habe. Es wird gezeigt, auf welchem
•fi?' man zur Kenntnis der wichtigsten Konstanten von tc- und ^-„par-
:eliuigt (spezifische Ladung, Geschwindigkeit, Ahsorption). Besonders
»s»nt ist der viele eigene Beobachtungen des Verf. enthaltende Ab-
initt Aber cc-Strohlen (auch Anhaug A), von deren fernerem Studium sich
1 ehesten weitere Aulklanmg über das Wesen der Radioaktivität
BireirteQ laflt. Die Abschnitte über j'-Strahlen und besonders über
^SikuudSrstralilen (die beim Auftreffen von a-, ß- oder j'-Strahlen auf
TWerie entstehen) zeigen, daß wir von diesen Erscheinungen noch sehr
«n. Von Eigenschaften und Wirkungen der Strahlen werden bo-
elektrische, thei'misuhe, Phosphoreszenz erzeugende, ionisierende,
■Dusche, physiologische. Die H folgenden Kapitel, VI (^stetige Bildung
I radioaktiver Substanz), VU (Emanationen), VIU (induzierte Radio-
«ktivitit) machen den Leaer mit den eiperimentellen Tatsachen vertraut,
die als Qrundzüge fOi die später (Kap. IX) entwickelte Desaggregations-
jhtarie der Eadiosktivitat dienen. Diese von Rutherford und Soddy auf'

EIIl« Theorie faSt bekanntlich die Radioaktivität auf als Begleit-
cinttngen beim Zerfall eines Atoms. Radioaktive Substanzen sind da-

J

nach instabile Gebilde, die, wahrend sie die Erscheinungen, die man radio-
aktive nennt, äußern, verfallen und in nndore Köri>er sich verwandeln, die
ihrerseits entweder inaktiv oder wieder radioaktiv sein können. Die Theorie
lllBt 80 eine pany.e Reibe von Umwandlungaprodnlrten radioaktiver Sub-
stanzen voraussehen. Diejenigen, die bekannt sind, werden beschrieben,
iunäcbst die von Dran, Thorium, Aktinium (Kap. X). Jedes dieser Um-
wand] ungsprodukte ist definiert durch die Art von Strahlen, die es aus-
üeiidet; und durch seino sog. mittlere Lebensdauer, d. h. eioe Zahl, welche
die alltnSbliche Abnahme der Radioaktivität der betrelTenden Substan'^ mathe-
matisch zu beschreiben gestattet. Wichtig ist nun, daQ sich für jedes der um-
Wandlungsprodukte auch phj-s italische oder chemische Eigenschnft^n angeben
lassen, die eine Unterscheidung und auch Trennung von den übrigen Sub-
stanzen ermöglichen. Tabellen auf 8. 364 u. S. 370 geben an, was man
von den Umwandlungsprodukten von Thorium bzw. Aktinium weiß. Be-
sonders gut sind diese Verhältnisse beim Radium (Kap. XI) untersucht, von
dem man nicht weniger als 7 Um Wandlungsprodukte kennt. Einzelne von
diesen Umwandlungsprodukteu sind wahrscheinlich intt RadioteUiir-Polonium
bzw. mit Radioblei identisch; eine Tabelle (S. 406j stellt die Eigenschaften
der Radiumabkömmlinge übersichtlich zusammen, Kap. XII behandelt die
spontane Wärmeentwicklung bei radioaktiven Substanzen und gibt Zahlen
an, die eine Vorstellung von den ungeheuren an solchen Körpern frei-
wenlfinden Energiemengen schaffen. Dann werden die zur Erklärung der
Radioaktivität vorgeschlagenen Theorien diskutiert (Kap. XIII) und die von
Rutherford und Soddy aufgestellte, bereits vorher erwähnte Theorie weiten
ins einzelne ausgeführt, wobei sich interessante Ausblicke auf die „Lebens-
geschichte", die Entstehung des Radiums, sowie auf die Bildaug von Helium
aus Radium ergeben. Die Besprechung der radioaktiven Mineralien (auch
Anhang B) und der Radioaktivität der Atmosphäre bilden den folgenden
Abschnitt (Kap. XIV), dessen Schluß die höchst inleressante und wichtige
Fra^e ventiliert, ob allen Substanzen eine gewisse, wenn auch sehr geringe
Radii>aktivitiLt zuzuschreiben sei. Wäre dies der Fall, so müßten wir alle
Materie als in langsamer Umwandlung begrifl'en ansehen, die sog. chemischen
Elemente wären aufzufassen als Zwischenstufen während der Umwandlung
aus bochatoniigen Substanzen iii solche mit niedrigem Atomgewicht. — Die
Beobachtungen über allgemeine Radioaktivität der Materie sind Jedoch noch
nicht soweit abgeschlo.ssen , daß man auf diesem Gebiete einigermaßen
sichere Schlüsse zu ziehen berechtigt wSte.

Würzbur^. F Harms.

L. BoltzninnD. Populäre Schriften. VH u. 440 S. Leipzig 19<)j,
J. A. Barth, geh. M 8.—, geb. Jl 9. — .
„Den Manen Schillers, des unübertrotfeneu Meisters der naturwahren
Schilderung echter, aus tiefstem Herzen kommender Begeisterung, gewidmet
hundert Jahre nach dessen Eingang in die Unsterblichkeit", „die foran-
gestellte widraung ist keine fräse, ich danke den werken göthe's, dessoi
faust fileicht das grösste aller kunstwerke ist und dem ich di mottos meiner
ersten bilcher entnommen, Shakespeares etc. die höchste geistige erhebung;
aber bei achiller ist es etwas anders, durch schiller bin ich geworden, onö

Boxen 81 ouen

in knunlf es einen mann mit gleicher bart- und naseofonn wie ich, aber
nimals mich geben.'^

Die hier zusammeogPSteUteii populären Schrieen Boltzmanns sind von
»ehr TMschiedenpm Inhalte. Es sind Nachrufe auf Kirthhoff. Stefan und
Lotcfamidt; es sind Heden, Antrittsvorlesungen, Abschieds worte: „Über
die Bedeutung von Theorien'', „Über die Entwiekluug der Methoden der
tieo retischen Physik in neuerer Zeit^', „Über die Grundprinzipien und
(jTUDdglBichungen der Meohunik". „Über slatisüsebe ilechanik", „Über Luft-
t^iSabrt*'; es sind Abhandlungen mehr philosophischen Inhalt« wie: „Über
die Frage nach der objektiven Esisteuz der Vorgilnge in der unbelebten
S»lur". „Über eine These Schopenhauers". In mehreren Aufsätzen setzt sich
H«rr Boltzmann mit der Energetik Ostwalds auseinander in dem Sinne,
iki er durchaus kein prinzipieller Gegner der Bestrebungen ist, eine Theorie
»nfiubauen . die den Energiebegriflf an die Spitze stellt, sondern nur ein
Gegner der Art und Weise, wie dies Ostwald versucht.

Zuni Schluß ist noch ein sehr amüsant geschriebener Berirbt „Reise
tines ilentscheu Professors ins Eldorado" angehSngt, wo Hmr Boltzmana
StifT »eine Reise nach Kalifornien plaudert, die er auf Einladung der Ber-
keley-Universität im Jahre 1904 unternommen hatte. Der Bericht entbehrt
sieht eines pikaat«n Beigeschmacks wegen der Streiflichter, die auf die Enzy-
Uofiidie der mathematischen Wissenschaften und die Berliner Akademie fallen.

Berlin. E. Jaunke.

k'

F'

£• BUn. Die Heohanik fester Körper. Lehrbuch in elementarer Dur-
äteliung für höhere technische Fachschulen und zum Selbiitunterricht
liebst einer Sammlung von i-M) aufgelösten Beispielen. VII u. ^60 S.
ütnnover 1905, il. Jänecke. A ti.60.

Das Buch ist von einem Ingenieur für den Ochmuch an höheren
'wiuuschen Fachschulen und ttir den Selbstunterricht geschrieben. Mit Rück-
"cit auf den Leserkreis, an welchen sieh der Verfasser wendet, hat er gc-
i'inbu den Aljrorithmus des Differenzierens und Integrierens nicht ab be-
■UiQl voraussetzen zu dürfen und überhaupt das II i Heren tiations- und
latogTStionsieichen vermeiden zu müssen. Nun t^t aber die Intinitesimal-
**tlujde i. B. überall da notwendig, wo aus der endlichen Zustandsgleichuug
I ™S starren Körpers die Momeutanwerte der Geschwindigkeit und Be*
t «hleuniguiig abgeleitet werden sollen; sie ist notwendig für die analytische
"SWimnmng von Sehwerptmkten und TrägheitsmomeBteu. Soll also die
^fnthe der Inlinitesimalrechnung vermieden werden, so resultiert die
Hwerffilligkeit, den jedeimal erforderlichen Prozeß, der natürlich auf den

tl^'Uenatialalgorithrnns oder auf die Integration sregelu hinausläuft, immer
•itdtr selbständig durcb/.nfBhren.
Der Verfasser behandelt in drei Abschnitten die geometrische Bewegungs-
we, die Statik imd Dynamik des starren Körpers, wobei, wie es in der
'orrede heißt, auf eine elementare Darstellung, auf die Ermittlung der
iri^eitsmora eilte und auf die Ableitung und Anwendung der Bewegung«-
P*tie rotierender Körper besonderer Wert gelegt wird. Da das Buch im
poBen ganzen demjenigen empfohlen werden kann, der. unler Vergeht auf
•"ftw Eindringen in die mechanischen Voi^Iinge, eine gewisse Fertigkeit im

RexenBionec.

Lösen praktischer Aufgaben erwerbpu will, su will ich uocli auf einige
Mangel hinweisen, die eich mir beim Durchhlät.tem störend bemerkbar
gemacht haben.

Vielfach erseheint mir die Auadruckaweise einer größeren Präzisioa
fUhig. Um nur eines hervorzuheben: Die Kraft hat doch nicht bloB
OröBs und Richtung, sie hat noch ßichtuogssinn ; das Gleiche gilt von
Geschwindigkeit und Beschleunigung.

Bei der rechnerischen Ermittlung der Resultanten 7,a mehreren Kräft^n.
wSren ein paar Worte übiir den Nachweis, daÜ die Horizontal- (Vertikal-)
Komponente der Resultante gleich der Summe der entsprecheuden Kompi>-
nenten der Einzelkraft« ist, am Platte.

Was über das Krüftepaar gesagt ist, ist doch gar zu dürftig und wohl
kaum geeignet, eine richtige Vorstellung von der Bedeutung desselben beim
Leser hervorzunifen.

Bei der Lösung der Aufgabe 74 stimmt die Bezeichnung i*'=h'~\-b*
wohl nicht mit den Angaben der Figur überein.

Der Hauptwert des Buches scheint mir, wie schon angedeutet, in der
großen Zahl und in der Mannigfaltigkeit der L^imgsbeispielc zu liegen,
deren Lösungen explizite mitgeteilt sind.

Berlin. E. Jahnke.

R. Dedekind. Stetigkeit und irrationale Zahlen. 3., unveränderte Auf-
lage. VII u. 24 S. Braunschweig 191)0, F. Viewcg und Sohn. Ji 1 .— .

Es ist ein unveränderter Abdruck der grundlegenden Schrül, wo sunt'
ersten Male eine wirkliehe Definition von dem Wesen der Stetigkeit ent-
wickelt worden ist. Die erste Anflage erschien im Jahre 1872.

Berlin. E. Jahske.

0. 0, James. Elements of Che kinematica of a point and the rational
meohaniOB of a partiole. New York lÖO.'j, J. Wiley &. Sons.

Das Buch will denjenigon, welche einen Kursus über elemontart
Mechanik hinter sich haben, die Elemente zur Einführung in die höher«
Mechanik bieten. Aus diesem Grunde hat der Verfasser sein besonderet
Augenmerk auf die Prinzipien und auf die Form der Darstellung gerichtet
und hat die Anwendungen fast gänzlich beiseite gelassen.

Dabei ist es von prinzipieller Bedeutung und verdient hervorgehoben
zu werden, daß der Verfasser einen, wenn auch, seinen Zwecken entdprechendi
nur kur/en Abriß der Vektorentheorie vorausschickt, wie es in neuerer Zeit
bei Lehrbüchern der Mechanik mehr und mehr tlbiich wird. Die vektorielle
Darstellung bietet eben den Vorteil, das Wesentliche in den (Imndbegriffen
der Mechanik schUrfer und prägnanter hervortreten zu lassen, als es ohn«
sie möglich ist.

Da das Werk nur die Elemente aus der Kinematik eine.'' Punktes und'
aus der Mecliauik eines Massenteilchens liefern will, beschrankt sich dar
Verfasser auf die Zusammensetzung, Zerlegung und Projektion der VektorMl
und verzichtet auf die Einführung der beiden Produktbildungen an Vektoren,
welche bei ihrer ümdcutung in die Sprache der Mechanik xa den Begriffen:

ä

Rezensionen. 103

Moment und Arbeit führen würden. Den letzteren Begriff hätte man aller-

<ÜDgs in einer Mechanik des Massenpunktes von dem Umfange des vor-

liegenden Werkes zu finden erwarten dürfen. Dagegen werden die erste

imd die zweite Ableitung eines Vektors definiert mit Rücksicht auf die

Begrife der Geschwindigkeit und der Beschleunigung.

Die Vektorbezeichnung des Verfassers ist übrigens nicht empfehlens-
wert; der Verfasser ninmit die gewöhnlichen Buchstaben und setzt einen
Strich über dieselben.

Das Buch kann allen denen, welchen an einer prinzipiellen Durch-
dnngang der elementaren Begriffe in der Mechanik gelegen ist, empfohlen
werden.

Berlin. E. Jahnke.

0. Holzmflller. Hethodisohes Lehrbuch der Elementar-Hathematik.

X Teil, bis zum Abschluß der Untersekunda reichend und im Anschluß
an die preußischen Lehrpläne von 1901 für die Oberreal- und Real-
schulen neu bearbeitet. 4. Doppel- Auf läge. Mit 192 Figuren im Text.
:XII u. 319 S. Leipzig 1904, B. G. Teubner. Ji 2.S0.

Das vorliegende Buch bietet eine große Fülle von anregenden und
\il]bschen geometrischen Konstruktionen, die dadurch erhöhten Reiz erhalten,
dBkß viele bei Aufgaben der Praxis vorkommen; es kann deshalb jedem
Lebrer empfohlen werden, das Buch öfter zur Hand zu nehmen. Um es
aacb als Schulbuch brauchbar zu machen, bedürfte es in mancher Beziehung
cmer Umarbeitung. Besonders müßte die Anordnung des Stoffes übersicht-
licher und der Hinweis auf frühere Sätze genauer werden. Beim Beginne
te Kreislehre (S. 91 — 93) wird beispielsweise eine große Anzahl schon
bek&nnter Begriffe, Sätze und Konstruktionen angegeben, die für den Schüler
äemlich wertlos sind, weil nicht bemerkt ist, wo die Begriffe erklärt, die
Sitze bewiesen und die Konstruktionen gelehrt worden sind. Ein solcher
Hinwds ist um so notwendiger, als die Anordnung des Stoffes durchaus
2Ücht ftbersichtlich ist. Unter den oben erwähnten Kreissätzen befinden sich
*• B. auch die Sätze über den Abstand gleicher Sehnen vom Mittelpunkte.
^<^gt man nun die Abschnitte nach, in denen man nach dem Inhalts-
verzeiclmisse Ereissätze erwarten sollte, so findet man den Satz nicht; er
«teht vielmehr (S. 29) gleichzeitig mit Tangentensätzen in einer Bemer-
kimg zu der Aufgabe, das Lot von einem Punkte auf eine Gerade zu fällen.
^ anderes Beispiel: Der Satz über die Mittellinie eines Trapezes, der bei
^er Teilnng einer Strecke benutzt wird, steht erst bei der Inhaltsberechnung
(8. 126) der Figuren , weil er hierbei — wie es im Texte heißt — als
bekannt vorausgesetzt werden muß. Hier ist er gerade ziemlich üborfiüssig;

denn die Formel i=*^|^— •/» wird sofort durch eine Diagonale des Trapezes

erhalten.

Anch die Fassung der Erklärungen und Sätze ist nicht immer ein-
wandfrei, z. B. (S. 15): Gleiche Bogen eines Kreises sind solche, zu denen
gleiche Sehnen gehören. Wenn auch vorher gesagt wurde, daß inan „go-
wöimlich'^ nur von dem kleineren zu einer Sehne gehörigen Bogen spricht,
80 ist doch obige Erklärung ganz unzulässig schon aus dem Grund«, weil
dies ^wöhnlich^^ — man denke an die Sätze vom Peripheriowinkol —

104 RpEennionen.

sehr häufig oicht lutrifft. Ferner findet sich (8. 33) der Satz: Die
Gegenseiten eines ParallelDgramms sind gleich und parallel; hierbei wird
also Erklärnng unil Lehrsatz vermengt.

Falsch ist die Angulie, daü bei der Berechnung eines Dreiecks aus a,
b und y (S. 268) als Probe för die Richtigkeit der Rechnung mit der
Tangenten form el die Winkelsumme des Dreiecks zu benutzen ist. Daß
sämtliche Hauptsätze über die gegenseitige Lage von Ebenen und Geraden
im Räume dem Vorkursus in der Quinta zugewiesen werden, dürfte nicht
allgemeinen Beifall finden.

Berlin. P, Schapheitldi.

G. Jiihnkf^. Torlesungen über die Vektorenrecbnung mit Anwen-
dungen auf Geometrie, Uechanik und mathematische Physik. Mit

32 Tentfiguren. XII u. 235 S. Leipzig 1905, B. ü. Teubncr. Ji 5.60.

Je umfassender und zahlreicher die mathematischen Wissenschaften in
den verstbiedenen Aiiwendungsformen benutzt werden, desto dringlicher
fordert die Ukonomie auf, dem gemeinsamen Mittel, der Vektorenrechnung,
volle Aufmerksamkeit zu schenken. Dieses Mittt^l lehrt den gewaltigen
Stoff dieser verschiedenartigen Gebiete mit gemindertem Aufwand von geistiger
Arbeit bewältigen. Jede Wissenschaft will ja ein ökenomiscbes Werkzeug
zum Ersatz eigener Erfahrung und zur Erschließung tremder sein. In
diesem Sinne ist die Vektorenrechnung ein mächtiges Universal -Instrument,
welches sUaherall gute Dienste leistet. Hamilton bat sie fßr die Physik,
Oraßmann namentlich fOt die Geometrie zugepaBt. Sie besitzt gleiche
Wichtigkeit für den Mathematiker, den Physiker und Techniker. Für diese
Kreise sind vorliegende Vorlesungen an der technischen Hochschute zu
Charlotten bürg als eine leicht« Einführung bestimmt. Der Verfasser hat
demgemät) Wert auf den Znsammenhang der Definitionen und Begriffe gelegt.
In zahlreichen gut gewühlten Beispielen aus der Mechanik, Physik, Gra-
phostalik, Kinematik, Klastizität, Optik und insbesonders der Elektrizität
wird der Übergang von der Theorie zur lebendigeren Praxis klargestellt. In
allen Teilen ist das Buch bei guter Kürze deutlich; es entwickelt aus dem
Ginfachen zum Zusammengesetzten und kann demgemSfi als wirkliche Ein-
führung vollauf gelten.

In die Stark ström- Elektrotechnik bat schon vor Jahren Steinmetz die
komplexe Zahl als Heehnungsbehelf zum nicht geringen Erstaunen der
Praktiker eingeführt, welche aus der Schulzeit auf diese „unmögliche" Zahl-
form nicht besonders vorbereitet waren. Als man vom Gleichstrom zum
Wechsel- und Drehstrom schritt, drängte das Verständnis zur Erweiterung^
der mathematischen Hilfsmittel — von der Zahlenlinie zur Ebene. Mehr
als die trigonometrische Behandlungsart leistet für die Erkenntnis di«
Vektoren rechnimg (hier nur die ebene). Das Obmsche Gesetz lür Wechsel-
strom, die Wheatstonesche Brücke nach Göi^es und ein Satz von Blondel
über Mehrphasenstrom illustrieren in dem Buche dieses Gebiet.') Die rasche

1) Ea mag bemerkt werden, daß Herzog-Feldmann in ihrem Werke „Di«
elektriioheii Leitungsnetze" jenen Beatrebungen durch Einführung de? „Kicbtungs-
wideratandea" in jüngster Zeit Rechnung trugen.

1^..

Reien Bienen.

I

EotwicWun^ der modernen Elektrodynaniik, sowie der Elektronentheorie
weist imioer mehr auf die Aneignung der "Vektoren -An alysis als unentbohr-
lichf-s Hilfsmittel hin.

Budapest, " Josef HEKZon,

Vsrliiuidluiigea des Zu. internationalen Hathematiher-EongreaseB in
Heidelberg vom 8. bis 13. August 1904. Hüraus gegeben von dem
SchriftfQhrer des Kongresses Dr. A. Krazer. Mit einer Ansicht von Heide!-
lerg in Heliogravüre. X u. 756 S. Leipzig 1905, B. O.Teubner. ,^18.—.
Der stattliche, vornehm ausgestattete Band enthält eine Chronik des
Kongresses (mit einem Verzeichnis der Teilnebmer), sodann sämtliche Vor-
trage mit Ausnahme von zweien {Guichard, sur les systemes triples ortho-
gouaui; Volterra, aur la theorie des ondes) und einen Bericht über die
Literatur- und Mode II aus Stellung. Außer zahlreichen, in den Text gedruckten
l'ignren finden sich drei Tafeln; zwei mathematischen Inhalts, zn Vortrügen
Ton Minkowski und Prandtl gehürig, die dritte, dem ganzen vorangesetzt,
eine ffohlgelunjiene Heliogravüre: Ansicht Heidelbergs von der großen Schloß-
fcitraase aus. — Auf eine eingehende Darstellimg des Inhalts muß hier be-
greiflicherweise verzichtet werden, da ein Referent allein der Vielseitigkeit
dfs Dargebotenen nicht gewachsen sein kann. Gerade diese Vielseitigkeit
äes Inhaltes aber bürgt dafür, daß der Band nicht nur den Teilnehmern
iiebe Erinnerungen wai-b zu halten, sondern auch allen Fachgenossen mannig-
fithe Anregung zu geben geeignet ist.

Grunewald G. Hessekbbko.

H. Weber Q, J. Wellstein. Encjklopädie der Elementar-Hatbematik.

""l Handbuch fiir Lehrer und Studierende, I. Band. Elementare
Wira und Analysis. 2. Auflage, Mit 38 Teitliguren. XVIII u.
IS. Leipzig 190(j, B. G, Teubner. Jif 9.(J0,

( den Wert dieses Werkes spricht schon der Umstand, daß der erste

"Bd nach einem Zeitraum von S Jahren eine neue Auflage erlebt, kur^

nMhdsni der zweite Hand erschienen war, während der dritte erst im

HeriiBte 1906 zu erwarten ist. tlber die erste Auflage ist schon itn !>. Bande

liieiw Zeitschrift, S. 369 referiert worden. Die zweite Auflage unterscheidet

^^ von der ersten vor allem durch eine eingehendere Behandlung der

liwtmischen Entwickelung der Wissenschaft, und zwar ist der Verfasser

ffra ihm in hezug hierauf geäußerten Wünschen dadurch nachgekommen,

^ w nicht literarische Angaben, wie sie in den ffir ihre Zeit voriüglicben

„ElEiuenten der Mathematik" von Baltzer enthalten sind, sondern kurzgefaßt«

Überblicke über die Entwickelung einzelner Teile der Elementarmathematik

, gegeben hat Diese sind in besonderen Paragraphen untergebracht und be-

I zicAen sich auf Zahlen und Ziffern, auf die Anfänge der Zahlen theorie,

L quadratische Reste, Logarithmen und auf die Entwickelung der Lehre von

r der Lösbarkeit algebraischer Gleichungen durch Radikale. Sicherlich werden

oenfassenden Darstellungen auch weit mehr im allgemeinen

I Jat»resse der Leser liegen, als vereinzelt auftretende literarische Quellen-

[.»scliweise. Wer aber über letztere sich genauer zu orientieren wünscht,

iBinB auf die große Eneyklopädie verwiesen werden, wo jetzt alle wünschens-

-iJ

werten Einxelheittin zu ündcu sind, <lie zu der Zeit, als die Biiltzi
Elemente erschienen, schwer zu gSn glich waren. Die Zeit der Auffindung
dos ersten strengen Beweises des quadratischen Reziprozitätsgesetzes durch
GauB ist infolge eines Druckfehlers auf S. 281 falsch datiert: 1T86 statt
1 796. Hinzugekommen ist gchlie&lich uoch in dieser neuen Auflage ein
besonderer Abschnitt über Funktionen, Diffarentiale und Integrale, der
manchem Leser dieses Buches sehr erwünscht sein wird, namentlich da die
Darstellung hier eine so elementare ist, daü man sie ohne Bedenken dem
Unterrichte in den oberen Klassen der höheren Lehrunstalten zugrunde legen
könnte. Der teilweise Widerstand gegen die Einführung der Elemente der
Infinitesimalrechnung auf unseren Realgymnasien und (.)berrealschulen rfihrt
wohl im wesentlichen daher, daQ man sich deren Durchnahme häutig in
der Weise vorstelU, wie sie die meisten systematischen Lehrbücher der
Differential- und Integralrechnung oder eine einleitflnde Vorlesung darbieten.
So wird denn dieser letzte Abschnitt in seiner gedrängten und kurzen Dar-
at«Uung hoffentlich mit dazu beitragen, diese Bedenken zu zerstreuen.
Charlotten bürg. - - 0. Pünu.

G. Hessenbei^. Kbene und sphärlBohe Trigonometrie. 2., verbesserte
Auflage. Mit -f) Figuren. IGT S. Leipzig 1904, G.J. Göschen. JÜ — .80.
Die vorliegende Auflage ist fast durchweg mit neuen Figuren versehen;
obwohl auf den Zweifarbendruck verzichtet wurde, haben die Figuren, die
manchem Lehrbuch zum Muster dienen könnten, an Anschaulichkeit ge-
wonnen. Von den räumlichen Figuren sind diejenigen, welche einen voll-
ständigen KugelumriÜ enthalten, senkrechte, die übrigen schiefe Parallel-
projektionen. — Ira übrigen ist diese Auflage gegen die vorige wenig Ter-
ündert. Das Büchlein entliält die Grundzüge der ebenen und sphärischen
Trigonometrie in einer trotz des knappen Kauoies auch für den Anftlnger
verständlichen Darstellung; das Verständnis fvird dadurch erhöht, daß für
die wichtigeren Sätze mehrere Beweise gegeben und für die Hauptaufgaben
Zahlenheispiele vollständig durchgeführt, sind. — Auf einige weitere Vorzüge
des vortrefflichen Büchleins sei besonders aufmerksam gemacht: Die Behand-
lung des ebenen Vierecks ist recht Übersichtlich. Die Betrachtungen, welche
sich bei dem rechtwinkligen sphärischen Dreiecke an die Nepersche Regel
anschließen (§ 40), gewähren einen kleinen Einblick in den Begriff der
„Gruppe": es liegt hier ein Zyklus vom Grade j vor (vgl. u. a. Fund:
Mitt. d. math. Ges. in Hamburg, 3, No. 4, 1897). Den L'Huilierschen
Formeln wird durch die Einführung des sphärischen Exzesses und Defektes
des Dreiecks und der drei Nebendreiecke eine symmetrische Form gegeben,
die mit der Studyschen im wesentlicben übereinstimmt. Die Methode
der Hilfswinkel ist klar dargestellt. Besonders hervorgehoben sei die kurze
Einführung in diu Vektorcnrechnung und die einfache und durchsichtige
Ableitung des Moivrescben Sat-zes aus ihr. Gut ist auch der Hinweis
auf die Fehlergrenzen bei den verschiedenen Rechnungs verfahren, sowie aat
den Zusammenhang zwischen der ebenen und sphärischen Trigonometrie. —
Folgende Beruerkungen mögen den Verfasser vielleicht zu Änderungen an-
regen: Für die Foimeln I— VII (S. 10) müßte die Ableitung, wenn auch
in einem anderen Bändchen der Sammlung, leicht aufzufinden sein. Der
am Schluß des § 40 angeführte Satz ist in dieser Form nicht richtig. Ob

Rezensionen. 107

es sieb empfiehlt, die Additionstheoreme auswendig lernen zu lassen, ehe

mao an ihren Beweis herangeht, ist wohl fraglich. — Schließlich seien noch

eiai^ Druckfehler erwähnt: S. 62, Gleichung XVI^, fehlt ein Minuszeichen;

es oiuß femer heißen: S. 76 und 77 an einigen Stellen t—1 statt 1 — /;

S. 126, Formel XV, tg?f und cot (45^+ D» S. 155, Formel XII und Xm,

in <ien Ausdi-ücken für Xo, 60®+ ^9> und 60°+ (p\ — Das Büchlein kann

nvur warm empfohlen werden.

Berlin. R. Göntsche.

S« Xindt. Das Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten. Seine Be-
weise nnd die Unmöglichkeit seiner Umkehrung bei Verwendung
des Begriffes ««Gleichgewicht eines Ha88en8ystems*\ XVni. Heft; der
Abhandlungen zur Geschichte der mathematischen Wissenschaften mit Ein-
schluß ihrer Anwendungen. II u. 196 S. Leipzig 1904, B.G.Teubner. JC 6. — .

Ein wesentlicher Teil der vorliegenden Arbeit beschäftigt sich damit,

über die von älteren wie neueren Autoren aufgestellte Form des Satzes

vom Prinzipe der virtuellen Geschwindigkeiten sowie über die von dem

Satze gegebenen Begründungen kurzen Bericht zu erstatten, der meist mit

«mer Kritik verbunden ist.

Wir beschränken uns in betreff der älteren Autoron darauf, das

Referat des Herrn Lindt über Lagranges Beweis, wie dieser in der

^on Grelle übersetzten Funktionentheorie enthalten ist, zu zergliedern, und

wir wollen im Anschlüsse hieran zur Beurteilung sowohl des Lindtschen

Beferates wie auch der Lagrangeschen Begriffsbestimmungen eine logische

-Analyse der letzteren selbst versuchen.

Das Referat des Herrn Lindt beginnt (S. 163 Zeile 13) mit
folgenden Sätzen : „Steht eine Kjraft P immer auf einer Fläche F(x^ y, <?) ^ w? =

wnkrecht, so sind ihre Komponenten bleich P a - , P ö- , P ... - • Es ver-

Wten sich also auch die drei Komponenten der Kraft, die die Fläche auf

Q O "^

«inen sich in ihr bewegenden Körper ausübt, wie ö— : ;= — • 3^ " 5 denn „es ist

™» daß die Richtung der Wirkung der Fläche auf den Körper, oder
"nelmehr des Widerstandes, den sie ihm entgegensetzt, nur auf der Fläche
senkrecht stehen kann". Dasselbe Resultat erhält man auch, wenn man
V^ von der Fläche absieht und ihre Gleichung {w = 0) bloß als eine
«nith die Aufgabe gegebene Bedingungsgleichung betrachtet." In dem
^'s^ Satze sollte es heißen: „so verhalten sich ihre Komponenten wie

?i* P^ , P^"; denn die partiellen Ableitungen hängen von der zu-

^ligen Form der Gleichung ab, ob dieselbe z. B. rational gemacht ist oder
nicht. Um ganz präzis zu sein, wollen wir aus dem Referate die Folgerungen
öehen, die sich nur unter der Voraussetzung ergeben, daß nur ein oder
^^i Körper (oder Punkte) und nur eine Bedingungsgleichung für die
l^oordinaten derselben gegeben sind. Wir formulieren dann die Folgerung
*n8 dem angeftlhrten Zitate folgendermaßen. Ist die Beweglichkeit eines
Körpers durch die Bedingungsgleichung ic{x^ y, ^:) = beschränkt, so wird
derselbe in Ruhe bleiben, wenn eine Kraft auf denselben wirkt, deren

Richtnno' durch das Verhältnis :^ : , — : ^^ aeffeben, deren Intensität aber

* ra- fj ör ^ * '

jede beliebige Größe habeo darf. Die Stelle ferner, welche von Z. 19 S. 163
bis Z. 11 S. 1C4 unmittelbar auf die oben zitierten Sätze folgt, kann man
ihrem Inhalte nach ii)it den Worten zasamin anfassen, mit denen dieselbe
schließt: „daß man jede durch eine Gleichung F^O repräsentierte Bedingung
für nncniiliiili kleine Verschiebungen stets durch ein dem oben beschriebenen
entsprechendes Lagrangesches Flasi'henzugaystem ersetzen kann".

Herr Lindt geht liier zu Bedingungsgleichongen Ober, welche die
Koordinaten von mehr als einem I'uukte enthalten. Setzen wir voraus, dafl
eine Bedingungsgleiiliuug für zwei Punkte F{t, y, ^, j, »j, t) ^ gegeben
ist, so wollen wir au» dem obigen Zitate S. 163 Z. 13 bis Z. 19 folgende
Folgerung zulassen. Die Kräfte, die wir an den Punkten j;, t/, x und |, »j. J
anzobringen haben, wenn die Punkte in Buhe verhan-en sollen, müssen die
j u j- T, _•■ iF BF ?F , rF SF bF, ., ^ „. .,

durch die Proportionen — : ,— :-=- und ~^'~j,~ '■ pT Gesummten Kictatungen

haben. Wie aber steht es nun mit den Intensitäten dieser Kräfte? Das
Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten bestimmt genau das Verhältnis der
IntenaitÄien. Nun wird in der zuletzt angefllhrten Stelle der Satz auf-
gestellt, daß jeder Bedingungagleichung ein Fla^chenzugsjstem entspricht,
hei welchem die Beweglichkeit der Punkte im Infinitesimalen dieselbe, wie
die durch die Bedingungsgleichang zugelassene ist. Wozu dient nun dieser
Satz? Die^ wird aus dem Referate nicht klar; denn es wird nach Auf-
stellung des Satzes sofort dazu übergegangen, das Prinzip in seiner ganzen
Allgemeinheit, d, h. für beliebig viele Punkte und Bedingungsgleichungen
auszusprechen. Und doch ist die Anwendung des erwähnten Satzes zum
Beweise des Prinzipes mit wenigen Federstrichen gemacht. Ist die Bedingungs-
gleichung F(t, y, z, I, rj, s) = gegeben, so sagt der nämliche von Herrn
Lindt angeführte Satz aus, daß man in der Gleichung /'(j:, jf, i, |, i;, £')=- ,
mVii'-^ »)* + (j, - b)' + (,- «)*+ »^(5^.)'"+ S-l)»+ iS-rf-s - ,
die Konstanten ii, b, r, n, ^, ;-, m, h. y immer so bestimmen kann, daß i
für bestimmte Werte ^o.^O'^o^lo^o ^^^ Variabein die Funktionen F und f, ,
sowie deren erste partielle Ableitungen übereinstimmen. Der Gleichung /'—
entspricht nun ein bestimmtes Flaschenzugsjstem , bei welchem sieh die na
den Punkten xi/e und ;ijf angreifenden Kräfte, P und /7, ibrer Intensität i
nach wie m : n verbalten. Wenn nun f = i) die Beding ungsgleichung ist,
und gefragt wird, welelie Kräfte auf die beiden Punkte wirken dürfen, wenn ,
die Punkte in Ruhe bleiben sollen, so haben wir bereits oben die Richtungen |
derselben festgestellt. Bezeichnen wir mit X, Y, Z und 3. H. Z die Eom-
ponenten dieser Kräfte, so hat man X = il,j-, ^='- y — i
— ^ ~ ' -,L- Nimmt man i

PS

, Z = i '

sieb wie m:rt verhalten müssen, n3mlich genau
Systeme, welches der Gleichung f ^ entspricht,
denn es wird

Gebt maa tob der Bciiin^ungsgleichiing f = zu der aUgemeinei-en
F— Oüber, so schließt Lagrange, daß die Kräfte, welche diese Bedingung
infrecht erbtilteti, genau so wie bei /'■=0 anzusetzen seien, weil die Be-
weglichkeit der Punkte im Inönitesimalen in erster AnoRherung bei J' =
dii'selbfl wie bei /' ^ ist.

RezeoBent ist also der Meinung, daß ein ähiiliubes Raisonnement, wie
dusjoaige. was die Gleichung ij = i, ergab, iu eiuem Berichte, der die
h»u)iteachlichüten Punkte des Lagrangescben Bewoises zu geben ankündigte,
Hnttc «rwartet werden können.

Ks sei mir gestattet, über die Lagrangeschen Begriffsbestimmungen
mi Annahmen noch einige Bemerkungen zu machen. Die erste Hypothese,
<lie Lagrange macht, nämliuh stillschweigend, wollen wir so formulieren:
Weun bei einem beliebigen Mechanismus die Beweglichkeit der Punkte im
lulinitesitnalen in erster Änuäherung sich so verbült wie bei einem bestimmten
Fl tsiienzu gapparat, so besitzen die Kräfte, welche in dem Mechanismus die
Bcneglichkeit aufrecht erhalten , dieselbe Richtung und dieselbe Intensitüt
TiB hei dem entsprechenden F lasch enzufjsysteme.

Isl die Beweglichkeit der Punkte auf ÜbfrflSchen eingeschr&nkt, so
^uin man zwar sagen, daß, welches auch immer der Mechanismus sei, der
•ÜB Beweglichkeit so normiert, die Richtungen der Kräfte, welche die in Ruhe
wegung bringen, auf der Oberfläche seukrecht
; der Intensitäten aber beruft sich Lagrange

die Lagrange macht und am Schlüsse
icn wir mit etwas anderen Worten viel-

Faden des Flascheu zu gapparates muß iu
ig gespannt Nein, wenn die Kröfte, die au
, entweder die Punkte in Ruhe lassen, oder

normierte Beweglichkeit gerade aufrecht

l«£ndlichen Punkte nicht i
stehen müssen; zur Bestimmunj
*nf Jen Apparat.

Die andere Hypothese ,
"ines Beweises angibt, könti
l«ieht so formulieren. Der
»Uct Beinen Teilen gleichniäfl
dim Punkten desselben wirken,
di( durch die Gleichung f =
"halten.

Unter den neueren Autoren ist es besonders Helroholtz, dessen Unter-
lnohnngen über das Prin/ip der Tirtnellen Geschwindigkeiten Herr Lindt
••"oe Anfmerksamkeit zuwendet. Diese Untersuchung findet sich in den
"«liüholtzschen Vorlesungen über Physik und ist von Herrn Lindt in
?fwioi|ter Weise kurz wiedergegeben worden. Nur über den wesentlichsten
^^Mk der interessanten Helmholtzschea Betrachtungen hat Rezensent
™' lodere Auffassung. Es handelt sich um folgendes. Ist die Bewej-
"cnleit eines Systems von Punkten durch Bedinguugsgleichungen xwlschea
«M Koordinaten der Punkte definiert, so wird in jedem wirklichen, d. h.
1" äer Natur vurkommenden Falle, danu, wenn wir an den Punkten
«es Sjsioms Krüftc angreifen lassen, die Lage der Punkte so geändert
'erdi"E, daß die Koordinaten der Punkte den B edingungsgl ei c hangen nicht
■»Ehr genügen. Es hat dies bei einer großen Gruppe von Mechanismen
'J*fiii seinen Grund, daß es keine absolut starren Verbindungen gibt. Wir
*oi|nn daher den hier definierten Fall kurz als den Fall absolut starrer
'ertiindungen bezeichnen.

Das Lagraugeaohe Prinzip setzt nun absolut starre Verbindungen
^on\a, oder, was auf dasselbe hinauskommt, es setzt voraus, daß die Be-
"i'igtiDgjgleiehungen stets streng erfüllt sind. Unter dieser Voraussetzung

J

ist das Prinzip tatsächlich streng beweisbar. Es ist dann nämliön,
F. LiDdema,nn gezeigt hat, wenn man den Newtonst-hen Kraftbegriff and
das Prinzip von der Zusammensetzung der Kräfte zuläßt, nichts weiter als
eine Definition, beruhend auf der vollständigen Analyse unserer Vürstellung
von starren Verbiaihmgen durch den Kraftbegriff.

Auch Hclmholtz beweist das Prinzip unter der Voraussetzung absolut
starrer Verbindungen. Das Interessant« der Arbeit des großen Ph3'sikers
ist aber besonders dies, daß er die Zolässigkeit dieser Voraussetzung als
eines besonderen Beweises bedürftig erkennt und diese Zulässigkeit auf eia6
sehr sinnreiche Methode konstatiert. Es handelt sich nach Heimholt!
um einen theoretischen Nachweis, daß das Lagrangesche Prinzip annähernd
richtige Resultate ergibt. An die Notwendigkeit eines solchen Nachweises
hatte man früher gar nicht gedacht. Ja, selbst unter der Voraussetzung
absolut starrer Verbindungen waren die Beweise logisch anfechtbar, bia
Helmboltz den Beweis führte und Lindemann erkannte, daß es sich nm
eine bloße Definition handelt.

Wenn also Helmholtz eine Gleichgewichtsbedingung aufstellt, welch«
sowohl absolut starre wie auch annähernd starre Verbindungen umfaßt, so
sieht Rezensent hierin hauptsächlich einen theoretischen Ansatz, aus welchem
durch einen Grenzpro/eß die Lagrangesche Form hervorgeht, der aber
fttr die Anwendung nicht geschaffen ist. Rezensent möchte daher auch nicht
soweit gehen, wie Herr Lindt es tut, und die Helmboltzsche Gleich-
gewichtsbedingung ebenso hoch über das Lngrangescbe Prinzip stellen,
als man die Newtonschen Gesetze der Planetenbewegung über die Kepler-
Bchen stellen kann. Wir sehen vielmehr die Hauptbedeutung der Helra-
holtzschen Arbeit in der angegebenen doppelten Stützung des Lagrangeschen
Prinzips.

Wir kommen nun auf eine Betrachtung, die dem Verfasser der hier
zu besprechenden Arbeit ganz eigen ist, die sich auf die Form des Prinzipea
bezieht und vom didaktischen Standpunkte für die Darstellung der Mechanik
gewiß nützlich ist.

Versteht man unter Gleichgewicht eines Systeme s von Punkten den
Zustand der Ruhe oder der bei allen Punkten gleichförmigen Geschwindig-
keit, 80 ist der Satz von dem Prinzipe, in der Form, wie Lagrange ihn
aiuspricht, nicht umkehrbar.

Wir wollen die Lindtschen Betrachlungen möglichst in analytischer
Form entvrickoln und imtersuchen. Wir setzen den Fall absolut starrer
Verbindungen voraus und verstehen demgemäß unter virtuellen Verschiebungen
solche, welche den Bediugungsgleichungen gemäß sind. Unter Voraussetzung
der Definition des Gleichgewichtes eines Massensystems, daß alle Punkt«
in Ruhe oder im Zustande gleichförmiger (!iesch windigkeit sich bc6nd«ii,
kann man aussagen, daß die Summe der virtuellen Arbeiten der an den
einzelnen Punkten wirkenden Kräfte gleich Null sein muß. Diese j
ist aber identisch mit folgendem Gleichungs Systeme

^/;

(1) o^x,+^K^-^-^, o=r,+^i^

ZI

Rfezensionen. 111

Diese 3n Gleichungen (l) sind aber keineswegs gleichwertig den 3 m

folgenden:

d^Xf d*y. d*z.

Es sind vielmehr die Gleichungen (l) nur eine Definition für die
änBeren gegebenen Kräfte; diese sollen gleich und entgegengesetzt den Be-
dinguDgskrftften sein. Der Bewegungszustand des Systems wird «also ein
solcher sein, daß die Bewegungsrichtung jeweils auf der. Eichtung der

Kräfte X^ Yi, Z; oder, was dasselbe ist, der Kräfte ^k. ^ ^ . ^A, ^^.

2iK^ senkrecht steht. Demnach ist die Bewegung gegeben durch die
Gleichungen:

W »»«■5^=--^\^i.i ^i-jif-'^^ff^,. ♦w,^,-«^^^^-.

Indem man diese Gleichungen (3) in bekannter Weise kombiniert, er-
h&lt man:

▼ennöge der m Bedingungsgleichungen, wo die Geschwindigkeiten v^ und Vio
^«n Zeiten t und f^ entsprechen. Man sieht, daß im allgemeinen Vf=^Vio
win wird, wenn die rechte Seite der Gleichung (4) verschwindet. Man
^ also nicht sagen, daß Ruhe oder überall gleichförmige Bewegung
herrscht, wenn die Summe der virtuellen Arbeiten der Kräfte verschwindet,
oder wenn, was dasselbe ist, die Gleichungen (1) existieren.

Die Sonderstellung, welche der starre Körper bei den L in dt sehen Be-
trachtungen einzunehmen scheint, dürfte durch folgende analytische Ent-
wicklungen schwinden. Das Lagrange sehe Prinzip für den starren
Körper lautet:

( fXdm^O, fYdm = 0, /Zc/m = 0,

i5) \ ^ ^ ^

\f[Xy — Yx)dm =0, JlXz — Zx)dm = 0, f{Yz — Zij)dm = 0,

wo der starre Körper als völlig frei vorausgesetzt ist, und die Integral-
Michen bestimmte über den ganzen Körper ausgedehnte Integrale bezeichnen.
^^ betrachten wir einen Fall eines Punkt systemes, das Lagrange in
*ifier Mechanik selbst behandelt. Seien drei Punkte gegeben, die konstante
Entfernungen /"u, /jj, f^^ von einander besitzen, so hat man, wenn auf die
™kte iCj^j^j, sc^y^h* ^3^.3^8 Kräfte bezw. mit den Komponenten X^Y^Z^,
^Ij^j, X^Y^Z^ wirken, nach dem Prinzip die Definitionsgleichungen:

1 12 Rezensionen.

(6)

~ X, + l,'/" + l,^J^ etc.,

wozu in leicht verständlicher Fortsetzung noch fünf Gleichungen hinzutreten.
Nach Elimination der Unbestimmten l erh&lt man das Oleichungssjstem:

{1)

' = 1

^(A>, - r,:D,) = 0, ^(X,z, - Z,x,) = 0, 2{Z,y, - F^r^ = 0.

Diese Gleichungen entsprechen vollkommen den obigen Gleichungen (5),
und die Gleichungen (7) sind ein äquivalenter Ausdruck des Prinzipes mit
den Gleichungen f6), nur daß in letzteren die Bedingungski^fte auftreten.
Da aber, wie vorhin ausgeführt-, die Gleichungen (6) nicht äquivalent sind

d^x- </*!/• d*Z'

mit den Gleichungen ^Wjii ~ ^» ^i /#« "^ ^» ^'^f dO ^^ ^ (' = i» *» *), so sind

die letzteren ebensowenig gleichwertig der aus (6) entstandenen Kom-
hination (7). Folglich werden auch die obigen Gleichungen (5) die Be-
wegung, wie bekannt, als eine im allgemeinen beschleunigte bestimmen.

Rezensent faßt nun nach diesen Stichproben sein Urteil über die ganze
Arbeit dahin zusammen, daß die Darstellung und Sprache der Arbeit eine
gewandte, und daß die Betrachtungen, wenn auch elementar und daher nicht
immer ausreichend, doch vom didaktischen Standpunkte aus von Interesse
und Nutzen sind.

München, November 1905. Carl Sigismund Hilbert.

A. 0. Webster. The dynamlos of partioles and of rigid, elastio,

and fluid bodies, being lectures on mathematical physics. (A. u. d. T.:
B. G. Teubiiers Sammlung von Lehrbüchern auf dem Gebiete der mathe-
matischen Wissenschaften mit Einschluß ihrer Anwendungen. Band XI.)
XII u. 588 S. Leipzig 1904, B. G. Teubncr. M 14. — .

Der Verfasser wendet sich mit seinem neuen Lehrbuch der Dynamik
ausdrücklich an Studierende der Physik und hat dementsprechend auch
Inhalt und Umfang desselben gewählt und abgegrenzt. In diesem Sinne
konnte er sich mit einigen wenigen Sätzen der Statik begnügen, welche an
geeigneter Stelle angefügt sind, und in betreff der Kinematik war es nahe-
liegend, die notwendigen Entwickelungen unmittelbar in Verbindung mit den
betrachteten materiellen Systemen zu bringen.

Die Auswahl und Darstellung des Stoffes macht einen außerordent-
lich erfreulichen Eindruck. Wenn auch nach des Verfassers Versicherung
nirgends theoretische Betrachtungen und Probleme aufgenommen sind^ deren
Durchführung vorwiegend auf die rein mathematische Ausbildung des

ReKenBionen.

Studierenden hmzielt, eo sind doch andererseits auch nicht diejenigen
Partien der Mechanik, welche ihrer Natur nach weitergehende raatbematüche
Hilfsmittel verlaitgen, unzureichend behandelt oder gar ausgeschaltet. Hier-
hin gehören die zyklischen Bewegungen, das Bollen bei nicht holonomen
Bedingungen, das St. Venantacbc Problem und einige Fragen der Potential'
tkorie. In diese Gebiete wird der AjifUnger auf eine so grtlndliche und metho-
ilisch durchsichtige Weise eingeführt, daß man wobl vergeblich nach einem
rnifdernen Lehrbuch der Mechanik von gleichem Umfange und Niveau suchen
wild, welches die Schwierigkeiten des Gegenstandes so geschickt überwindet.

Überhaupt liegen die Bedenken, welche den AnfBnger nur zu oft ab-
li&lt«n, die wichtigsten und üiteressantest«n Probleme der modernen Mechanik
ernsthaft durchzuarbeiten und sich ihren wesentlichen Inhalt als ein wert-
vollee Eigentum zu erwerben, gar nicht so sehr in unzureichenden matbe-
matischen Vorkenntnissen begründet, als vielmehr in einer noch mangelhaft
entwickelten Fähigkeit, auf einmal eine große Anzahl neuer mechanischer Be-
griffe fest imd sicher aufzunehmen, wie es ihre praktische Verwertung verlangt.
lietade diese Schwierigkeit wird im vorliegenden Lehrbuche durch sorgfältig
durchgearbeitete Beispiele wesentlich gemindert, die in einer sehr konzisen
Form die wichtigsten Methoden der Dynamik gründlith einzuprfigen vermögen.

Lange Jahr« hindurch war der englischen Schule die scharfe Trennung
der Mwhanik des starren Systems von der Mechanik der stetig veränder-
Mpb Systeme eine stereotype Gewohnheit geworden, und der Studierende
utle iwei scheinbar auseinander liegende Gebiete nacheinander zu bewfiitigen,
om hielt es auch oft für zulässig, sich auf den ersten Teil zu beschränken.
"IT seten in dem Bestreben des Verfassers, einer möglichst allgemeinen
ßyBleniaufFassung gerecht zu werden, und die bei Studierenden so häutig
^"fliommende irrige Meinung zu beseitigen, die Mei;haiiik der dcformier-
''Kea Systeme enthalte ganz besondere Schwierigkeiten fBr den Anf&nger,
«ine wirksame Bekämpfung schädigender Vorurteile und enipl'ehlen gerade
'M diesem Gesichtepunkt das Studium des Werkes auch dem Mathematiker,
"eHer einseitigen Auffassungen in dieser Eichtung weit leichter unterliegt
"' der Physiker oder Techniker, dem sich die veränderlichen Systeme in den
■Ajurendungen der Mechanik schon beim ersten Studium spontan aufdrängen.

Karlsruhe i, B. Heun.

^ Doli f und P. Nestle. Lehxbaoh der praktiaohen Geometrie,

beulieitet für den Unterricht an den Hoch- und Tiefbauabteilungen der
Baagewerkschulen und technischen Mittelschulen, sowie für den Gebrauch
in der Praxis. 2., erweiterte und umgearbeitete Auflage. Mit 146 Figuren
im Tert VTI u. 164 S. Leipzig 1905, B. G. Teubner. JC 3.80.
In der vorliegenden zweiten Auflage ist der elementare Teil eines
P^KB Gebietes in praktischer Zusammenfassung behandelt. Mit (beschick
^ weiser Beschränkung sind diejenigen Abschnitte der allgemeinen Ver-
messungskunde, welche als Lehrstoff an den Bau gewerkschulen und technischen
"itt«ljchulen dienen sollen, neubearbeitet worden, sodaÖ sie für die Aus-
•"Unng in der praktischen Geometrie von Technikern des mittleren Bahn-
•""i litif baute ehnisehen Dienstes für Staat, Gemeinde und private Unter-
Mninunjjen vorzüglich geeignet erscheinen. Zu dem bisherigen Inhalte der

^

1 14 Rexenaionen.

ersten Auflage sind für die die Baugewerksehule verlassenden Tiefbau-
techniker, welche sich dem staatlichen oder privaten Eisenbahnbau widmen
wollen, weitere Teile neu hinzugekommen, welche die verschiedenen Verfahren
zur Absteckung von Kreisbogen, ei nauh ließ lieh der Ütergangsbogen, die Statio-
nierung und Ausrundung der Neigungswinkel der Eisenbahnen und Straßen,
und schließlich die LattenprofiJe und Öchnurgerüste auslilhrlich behandeln.

Dem Wunsche des Verfassers entsprechend, erwähnen wir im folgenden
diejenigen Punkte, welche bei einer etwaigen Neuauflage zu berücksichtigen
wären: Bei der Kreuzscheibe , dem Winkelspiegel und dem Kechtwinkel-
prisma Jst die Angabe nud Begründung der OenauigkeJt von 2 bis 4 Minuten
in den abgegebenen Winkeln erwünacht. ~ Wenn, S. 17, der Winkel o
größer wird als 45", dann schneiden sich die beiden Strahlen in der Ver-
längerung von sP, welcher Vorgang bei dem Winkelspiegel der ülteren
Konstruktion ausgenützt wurde, — Die S. 52 im Text und ia der Figur
erwähnte Glasart der Fcmrohrlinsen heißt Kronglas (engl, crown), nicht
Kromglas, ferner müßte iu Fig. 70, auch wenn diese nur schematiach auf-
zufegen ist, die Flintglaslinse nicht bikonkav, sondern plankonkav erscheinen,
damit die brechende Wirkung der Bikonveiünse nur zum TeU aufgehoben
wird, — Der S. ft5 er^vBhnte Name Limbus bezieht sich nur auf den die
Gradteilung tragenden Rand des Haupt- oder Horizontalkreises, demnach ist
bei dem einfachen Theodolit nicht der Lim.hus, sondern der Hauptkreis mit
dem Faßgestell fest verbunden. Femer hat ein jeder Theodolit, auch der
einfache, die Einrichtung zum Repetieren der Winkel, aber die Möglichkeit
zum Multiplizieren der Winkel wird erst durch die Drehbarkeit des Haupt-
kreises herbeigeföhrt, hierin liegt der Unterschied gegen den einfachen
Theodolit. — - 8. 56. Als Mikrometorschrauben sollten nnr noch diejenigen
Schrauben bezeichnet werden, welche dem Namen entsprechend Klein-
messungeu am Rande einer Trommel vornehmen lassen, wahrend die
Schrauben Lm und Am besser Peinstetl schrauben genannt werden. — Die
S. 59 und 71 angewendete praktische Regel Über Erzeugung und Aus-
scheidung des doppelten Fehlers ist so wichtig, daß eine Bezugnahme auf
den S. 46 angedeuteten geometrischen Beweis erwünscht erscheint. — S. 62.
Da der Meeresspiegel nicht als wagerechte Ebene definiert wei-den darf, so-
müßte im dritten Absatz nach den Worten „gemeinsame wagerechte Ebene"
das Wort „hezw." eingeschaltet werden.

Das gut ausgestattete Werkchen wird nicht nur als Lehrbuch, eondera
auch für den Gebrauch in der Praxis ausgezeichnete Dienst« leisten.

Berlin, A. Schsbideb.

F. Aaerbafh. Das Zeifsverk und die Oarl-ZeiTs- Stiftung in Jens.

Dire wissenschaftliche, technische und soziale Bedeutung, für weitere
Kreise dargestellt. Mit 78 Abbildungen im Text. VI u. 124 S.
Jena IÖ03, Gustav Fischer. JC 2. — .
Es wai' eine dankenswert« Aufgabe, die Entwickelung und Bedeutung-
eines in seiner Art einzig dastehenden Unternehmens, wie es das Zeißwerk
in Jena ist, in einer Monographie zur Darstellung zu bringen. Der Ver-
fasser hat sich dieser Aufgabe mit schönstem Erfolge unterzogen und ent-
wirft uns ein anschauliches Bild von dem Werdegang, den Leistungen i

>n Leistungen und j

_iiibatlon Jer ZeiBschen Anstalten, wobei die überragenden Ver-
dienste ilires seit dem Erscheinen des Buches leider dabingeachiedeneD lang'
JälirigeD Leiters Ernst Abbe in das recht« Liebt gerückt werden. Die
„i-elttllre der Auerbachschen Schrift kann jedem auf's wSrraste empfohlen
Orden. Abgesehen von den übrigen Aiisfüliningen des Verfassers muß die
gehende Schilderung der sozialen Verhältnisse, unter denen die Jenaer
ptischen Werkstätten seit der Begründung der von Abbe ins Leben gerufenen
^arl-ZeiB-Stdftung" arbeiten, auch Kir weiteste Kreise von Interesse sein.
Berlin, E. Asciikinasb.

^T, Kohlraascb. Lehrbuch der praktischen Physik. 10., vermebrte
Auflage des Leitfadens der praktischen Physik. Mit zahlreichen Figuren
im Text XXVin u. (iÖlJ S, Leipzig 19U5, B. G. Teubner. JiTS, — .
Die neueste, zehnte Auflage des beknunteu Buches schlieSt sich wflrdig
«iixen Vorgängerinnen an. Zahlreiche Ergänzungen sind wieder hiniu-
gelommen, einzelne Paragraphen neu eingefügt worden. Die weitere Aus-
g'eslajtung dieses dem Experimentator unentbehrlich gewordenen Hilfsmittels
gri^t Bick schon äußerlich dadurch zu erkennen, daß der umfang des Bucbes
Begeuflber der vorigen Auflage um 46 Seiten gewachsen ist.
~ Berlin. E. Asc

• Erm^oyi, Dr. Josef Petzvals Leben und Verdienste. 3., wesent-
lich vermehrte Ausgabe mit 1 1 Bildern und 2 Figuren. VIEI u. 86 8.
HaUe a. S. 1903, Wilhelm Knapp. JC 2.40.

Ein mit großer Liebe geschriebenes Lebensbild des Mannes, der wohl"

erster Linie aJs Erfinder des lichtstarken photographisohen Objektivs

fcinfeii JJanien der Nachwelt hinterlassen hat. Wir erfahren hier aber, wie

■■*iels«itig das Genie Petzvals (geb. 1807, gest. 1«91) sich auch auf /ahl-

•itichvn anderen Gebieten der Wissenschaft und Technik betätigt hat und

iMm^Q ans diesen Blättern eine eigenartige Persönlichkeit näher kennen.

Berlin. E. Aschkinass.

^* 1.'. Schmidt. Die Eathodenstrahlen. Die Wissenschaft, Sammlung

Datorwissenschaftlicber )md mathematischer Monographien, Heft 2.

Hit 50 Abbildungen. VII u. 120 8. Braunschweig 1904, Friedrich

^iewBg und Sohn. J( 3,60.

Eine im ganzen recht hübsch geschriebene Darstellung der wichtigsten

iioteniichungeD auf dem Gebiet« der Kathodenstrahl eii und mit ihnen im

'Waimnenhaag stehenden Erscheinungen. Besonders sei rühmlichst hervoi-

g^bm das fünfte Kapitel, in welchem die geschichtliche Entwickelung

"W NDgcblSgigen Probleme geschildert wird. Das Buch ist auch fiir

""l^» Leser berechnet, die nicht über eingehende physikalische Keuntnisse

"•rfflgen. Daher sind matbematisdie Entwickelungen möglichst ver-

"^en worden.

Berlin. E. AscHKct.iss,

■

i

H, Hayer. Blonälots N-Stralileii. Nach dem gegenwärtigen Stande
der Forächunj; bearbpitet nnd im Zusammenhange dargestellt. 3it S.
MähriHcU-Ostrau iy04, R. Papauscliek. Jl 1. — .
Die Hogenannteu N- Strahlen gehören au der großen Zahl jener Er-
scheinungen, die sich dadurch aiiSKeichnen, daÖ sie — nicht eiiatieren. Dm
hat aber nicht gehindert, daß nahezu 100 Abhandlungeii über dieses
„interessante Phänomen" veröffentlicht wurden, und daB der ^'eriasser der
vorliegenden Srhril't es nicht flir überflüssig hielt, eine — wie es im Vor-
wort heißt — „zusammen fasse öde Darstellang der gegenwärtigen physi-
kalischen Forsch« ngsresul täte über N-Strahlen zu geben, umsomehr, als es
die Einfachheit der Versuchsanordnungen jedem Physiker gestattet, Blond-
lots Experimente /.a wiederholen". Ja, wenn es mit der Einfachheit der
Versuchsanordnung getan wäre!

Berlin. E. AscHKiNAfls.

F. Bremer. Leitfaden der Physik ffir die oberen Klassen der '

Realanstalt«n mit besonderer Berücksichtigung von Aufgaben und
Laboratoriumsübungen. Mit 386 Figuren im Text. VIII u. 294 8.
Leipzig 1904, B. G. Teubner. Ji 3.20.
Das vorliegende Buch ist eine sehr beachtenswerte Erscheinung unter
den neu erschienenen Physikbücbern. DaH es unmittelbar aus dem praktischen
Unterricht in den oberen Klassen hervorgegangen ist, spürt jeder Physiklehrer
sofort. Die Fassung und esperim enteile Begründung der Gesetze ist kurz
und piäzis. Viele Kapitel sind meisterhaft durchgearbeitet, und man merkt
ihnen an, daß bewährte Fachlehrer hier das Resultat jahrelanger Mühe
niedergelegt haben. Die Aufgaben, welche am Schlüsse eines jeden Para-
graphen zur Lösung gestellt werden, sind nicht immer ganz leicht. Was
dem Buche sein charakteristisches GeprHge verleiht und es vor den übrigen
mir bekannten Lehrbüchern auazeichneti sind die Übungen. Die Ausführung
ist nicht nur kurz angegeben, wie in anderen Büchern, sondern, nachdem
erwähnt, was zur Übung gebraucht wird, wird dieselbe mit den Zahlen,
durchgeführt, die Schüler hei den Übungen an der Friedrich s-W erde rschen
Oberrealscbule mit den dort vorhandenen Apparaten erhalten haben, indem
dann meist noch das Resultat auf sei?ie Übereinstimmung mit der berech-
neten Zahl hin geprüft wird. Wo solche Schülerübungen in der Primä
Docb nicht bestehen , wird das Buch bei ihrer Einführung eine nicht za
unterschätzende Hilfe bieten, indem die Schüler ahnliche quantitative Be-
stimmungen, wie sie im Buche angeführt' sind, an der Hand des Buches
leicht werden ausführen können.

Diejenigen Gebiete der Physik, welche von den Schülern nur reseptiv
verarbeitet werden, welche also weder anregende Aufgaben liefern noch-
durch LaboratoriumsObimgen den Schülern näher gebracht werden können,
von denen aber einige notwendig in ein Lehrbuch hin ein gehören, sind aus-
gpschlossen worden. So fehlen die Meteorologie, einige Kapitel der Mechanik
und din Elektrostatik. Wenn der Verfasser meint, daß der Behandlung
der lolzleren die zuviel Zeit beanspruchende genaue Besprechung der elektro-
statiscbcji Einheiten im Wege stSnden, so glaube ich betonen zu solle
daß diese allerdings viel .Mühe verursachende Einführung docb nachhi

RezenHionen.

reichlich gerechtfertigt wird diirtb das bessere Verstündois, das dit Scbiller
^w spateren Kapiteln der ElektrizitStslehre eDtgegeabringen. Ich glaube,
äiä das Fehlen gerade dieses Teiles der Physik einer Kinfahrung des Lebr-
buches an vielen Anstalten hindernd im Wege stehen wird. Überhaupt
tvigl sieb, daS bei der Bearbeitung des Buches vorbanileue Notizüu den
Verfsaser wohl oft beslimmt haben, nieht alle Teile der Physik, die in den
ob«niii Klassen durchgenommen werden müssen, gleiehmiißtg zu beriich-
ricbtigen, sondern einige Lieblingsthemata vor anderen ku bevoraugen. Wer
die interessanten Daten der ersten Seiten der Wärmelehre gelesen hat, wii-d
diesem Urteil zustimmen; wer jedoch in einem physikalischen Lehrbuch das
yesamte physikalische Wissen finden will, wird dies tadeln. In der vor-
liegenden Passung ist es ein Buch, das viele Kapitel der Physik vorzüglich
danteilt, das auch als Hilfsbuch für Schülerübungen nicht bloÜ den SchtUern
der Friedrichs -Werderachen Oberrealschuie gute Dienst« leisten, wird, das
»l>^r bedeutend au Wert gewinnen würde, wenn in der zweiten Auflage
e kura gefaßte Behandlung der fehlenden Kapitel eingeschoben würde.
BerUn. _^__^ A. Bi.ümbl.

^- fiiecke. Beiträge sur Frage des Unterrichts in Physik and

Astronomie an den höheren Schulen. Von 0. Behrendsen, E. Böse,

E. Riocke. J. Stark und K. Schwarzschild. Vorträge gehalten bei

äelugenheit des Ferienkurses für Oberlehrer der Mathematik und Physik.

(■■Öttingen Ostern 1904. Gesammelt und herausgegeben von E. Riecke.

rV 0. 108 8. Leipzig 1904, B. G. Teubner. Ji 2. — .

Da£ interessante Heft enthält in der ersten Hälfte eine Abhandlung

***>» Eticcke: die (4nindlag6n der Elektrizitätslelire mit Beziehung auf die

'***iest« Entwickelung. Nach einer kurzen Chai-akterisierung der Slteaton

**i8el)gm,i,gen m^j jgg Verhältnisses der verschiedenen Theorien zu einander

*^rd die pädagogiache Brauchbarkeit der Theorien besprochen und der Weg,

**"lch«r der historischen Entwickelung folgt, auch auf dem Gebiete der

"■«ktriiütäts lehre als der für den Unterricht beste hingestellt. Nach der

"^^prechung der Ionen in Elektrolyten, in der atmosphärischen Luft und

'"ainmen folgt die Herleitung der Ladung und Masse der Ionen, eine

r-'**^'i"i? der Kath öden strahlen, der Elektronen und der elektromagnetischen

"*'M. Eo folgt die Bestimmung des Durchmessers der Elektronen, die

''•"isierung durch Kathodensirahleu, die Kanalstrahlen, Becijuerelsbubleu

*»ad Uadiumstrahlen.

Der zweite Teil des Heftes gibt kurze Aufsütze über einige den Unter-
bett in der Physik an höheren Schulen betreffende Fragen; so verlangt
"- Behrendsen für das Gymnasium mehr Physikstunden und eine andere
'«l«lnng des Stoffes. Er sagt.: „Soll der physikalische Unterricht in einer
"^i Standpunkt moderner Anschauungen entsprechenden ^Veise gegeben
"etilen, 30 daß er für den Schüler und dessen spätere Bcdürftiisse direkt
'iililar werdeu kann, so muß er auf die Energetik aufgebaut werden; zu
hinein Zwecke muß die Mechanik vorangeschickt, also schon in der Ober-
"^luiU erledigt werden". Wenn man hier auch anderer Ansicht sein kann,
*> DiuB Ulan unbedingt dem Gedanken Starks beipflichten, die er in einem
Aofitti aber die Physik in der Schule ausspricht. „Die lirundbedingimg

J

Hg Resensiooen.

dafQr, daü die Pliysik zu einem Bildimgsmittel wird und dadurch ilberlk
die BereuhtigUDg zu eiaem TJuterrichtsgegenstaud erlangt, besteht darin,
der physikalische Lphrstoff Terringert wird, damit er nicht ku einem ]
tisch unberechtigten, geistig schädigenden Meraorierstoff herabsinkt"
Aufsatz Über Kurse in physikalischer Handfertigkeit von E. Böse und a
nomische Beobachtungen mit elementaren Hilfsmitteln von K. Sohw
Schild schließen den Inhalt des interessanten Heftes.

Berlin. A. DLi-MEi..

1: Gegen die Watmi
Wien 1906, Karl Kouej

Tb. Newesl. Einige Weltprobleme. II. Te
Btellung vom heißen Erdiimem. 91 S.

M 1.50.

Der Verfasser glaubt, eine Auzahl von Gründen, die gegen daa fem
flüssige Erdinnere sprechen, gefunden tu haben — Gründe, denen wir ni
folgen können, obachon auch uns die durchgehend» große Hitze des Erdkor
keineswegs bewiesen erscheint, und die Flüssigkeit desselben kaum b«
noch einen ernsten Verfechter findet. Freilich aus andern Gründen, als
der Verfasser zur Verfügung hat, denn die Größe der Pr&zession der K
einerseits, der Mangel einer Flut der „Erdkruste" andererseits haben ('
Tl. ft. Klein und Sommerfeld, Theorie des Kreisels S. 685ff.) Arrfaenios zu
Vorstellung des gasförmigen Erdkernes geführt, welche der VerfaBser ni
■versteht, und Lord Kelvin zu der Konzeption eines im allgemeinen „effel
festen" Erdkerns mit einer festen Schale geführt, welche der Verfasser n
kennt. Wir glauben damit dem Buche genug Beachtung geschenkt
haben, besonders wenn wir uns erlauben, wenigstens den Worten des 1
fassers S. 22 „daß jede Gründlichkeit zumeist Lnngeweile zum Gefolge fa
beizupflichten.

Charlotteuburg. H. Samtkli.

U. Danueel. Elektrochemie I. TheoretiBcbe Elektro Chemie und i
physikalisch- chemisch en Grundlagen. Mit 16 Figuren. 197

Leipzig 1905, fl, J. Göschen, .(( —.80.

Dieses Werkchen kommt dem dringenden Kedürfaisse aller derjeni
entgegen, die sich in das moderne Grenzgebiet »wischen der Physik
der Chemie schnell einarbeiten möchten, und denen die meisten Lehrbfli
dieser Wissenschaften Genügendes nicht bieten können. Es ist im gar
auf drei Teile berechnet, von denen der zweite die experimentellen B«
täte enthalten, der dritte der Anwendung in der Technik gewidmet sein
Dem Physiklelirer wird der erste Teil genügen können, der bis zur The
der galvanischen Elemente sowie der Elektrolyse geht — nur der Akku
lator soll im 2. und 3. Bande ausföhrlicher besprochen werden. Zu!
wird das an sich klare Bild durch die Brille der Elektronentlieorie
trachtet. Einige Druckfehler:

S. 2h, Z. 4 u. 3 von unten sind die Brüche umzukehren, der Part
druck des atmoBph arischen Stickstoffes ist 7ö0 ■ ' , der des Saoersb
760 ■ ^^ vom Hg. S, 92 Der Temperatur- Koeffizient des Widerstandes i

Rezensionen. 119

säntücher flüssiger Leiter ist negativ (statt positiv). S. 127, Z. 5 von

onten muß es heißen: Man kann die Kraft berechnen, die einem g-Ion

(statt Ion) eine bestimmte Greschwindigkeit erteilt. S. 134, Z. 16 von

unten Beibnngselektrizitftt (statt BerOhrungsel.). S. 137, Z. 3 der Anm. HNO,

(stittHNOe). 3- ^'^^ ^^^ ^ heißen: Die Stromstärke muß 96540 Sek.

J&Bg 1 Amp. betragen (statt die St. beträgt 96540 Amp.-Sek., denn dieses

^^ kommt nicht einem Strom, sondern einer El. -Menge zu). 4 Zeilen

tiefer muß das sinnentstellende Komma hinter Ampere fort; S. 180, letzte

Zeile muß es im Werte der niedergeschlagenen g-Cupro pro Ampere-Stunde

^ioe Stelle nach rechts geschoben werden.

Sonst ist das Buch korrekt, das beigegebene Register vollständig, und
^^v^ stehen nicht an, das Werk als erste Einführung in die physikalische
^Tliemie bestens zu empfehlen.

Charlottenburg. H. Samter.

H« Keferstein. Strahlengang und Vergrößerung in opüsohen Instru-
menten. (Abhandlungren zur Didaktik und Philosophie der Natur-
wissenschaft. Herausgegeben von Poske, Höfler und Grimsehl. Heft 5.)
Mit 19 Figuren. 42 S. Berlin 1905, JuHus Springer. JC 1.60.

Arbeiten, die wegen ihres Umfangs sich nicht ziu* Aufnahme in die

Zeitschrift f&r den physikalischen und chemischen Unterricht eignen, sollen

in dieser Sammlung erscheinen. Das vorliegende Heft bietet eine sehr

dankenswerte Ergänzung der üblichen Schulbücher der Physik, indem es

wichtige Fragen der praktischen Optik behandelt, an denen der Unterricht

Insher achtlos vorübergegangen ist. Der Plijsiklehrer konnte sich darüber

bisher nur durch die umfangpreichen Darstellungen von Czapski in Winckel-

manns Handbuch und in dem von Lummer herausgegebenen Bande von

Hüller-Pouillets Physik informieren. Die klare EinfCLhrung in den Begriff

^r Papillen und den neuerdings zuerst von v. Rohr benutzten Be^iff der

Luken optischer Instrumente wird daher allen Physiklehrem willkommen

^ui, besonders denjenigen, die längst die in den üblichen Entwickelungen,

Jiwbesondere des Galileischen Femrohrs verbleibenden Lücken kannten. Die

■^on dem Yerfasser für das absolute Vergrößerungsvermögen jedes optischen

™nimentes zugrunde gelegte Erklärung als des Konvergenzverhältnisses in

seinen Pupillen erscheint dem Referenten einwandsfrei. Dagegen hätte er

^"*<^ gern Bündel statt Büschel gelesen, da es sich nicht um ebene Ge-

^de handelt.

Charlottenburg. H. Samtee

^loors. Le Bystöme des poids, mesures et monnaiea des Israölitea
daprös la Bible. 62 S., dazu Figurentafeln und Zahlentabellen
Paris 1904, A. Hermann. Fr. 4. — .

Der Hauptteil des Werkchens gilt der Beantwortung der Frage, ob
^® Juden zur Zeit des Königs Salomo einen bessern Wert für die Zahl ;r
gekannt haben, als 3. Bisher hat dieser Wert als der den Juden selbst in
^ ersten nachchristlichen Jahrhunderten allein bekannte gegolten. Der
Verfiaaser sucht aus der Form des im Salomonischen Tempel aufgestellten
»ehernen Meeres" zu beweisen, daß vielmehr der den Juden um 1000 v. Chr.

R«;ienftionen.

bekannte Wert von jt ein sehr genauer gewesen sein müsse. Jenes groÖP
Metallhecken hat von jeher die Grundlage für diejenigen gebildet, welche
die mathematischen Kenntnisse der Hebräer feststellen wollten. Andererseits
hat es scharfen Bibel kriti kern (vgl. z. ü. schon Spinoza, tr. theol. - poL

c. 2, S. lyi) in ihren AngriÖen gegen die Autorität der Bibel eine Hand-
habe geboten. Es steht ja auch fest, daß die betreffende Stelle im 1. Buche
der Könige erst während der babylonischen Gefangenschaft im 6. Jahr-
hundert, die Parallelstelle der Chronik noch später verfaßt ist. Der Ver-
fasser aber konstiviert sich das .,Meer" im Gegensatze zu andern Kommen'
tatoren in seiner Weise, nimmt femer an, daß das Bath, die Einheit, voo
der gerade 2(l<lO in dem „Meere" enthatten gewesen sein sollen, gerade den
6. Teil der Kubikelle darstellte und leitet dann allerdings einen recht ge-
nauen Wert von jt her. Uns hat er freilich weder durch diese Deduktion
noch durch die Anknüpfung an den Aufenthalt der Juden in Agj-pten da-
von überzeugen können, daß diese eine genauere Kenntnis als 7t = 3 gehabt'
haben müßten. Denn dieser Aufenthalt, auf den der Verfasser so v\A
Gewicht legt, ist doch nur für denjenigen verbürgt, der an den Wortlaut
der Bibel glaubt, und hält vor einer scharfen Kritik (vgl. z. B. Stade, Gesch.

d. Volkes Israel) nicht Stand, ebensowenig wie der Zug der Juden durch
die Wflste usw. Der Verfasser aber scheint in allem sich an den Wortlaut
der Bibel zu halten, datiert Moses von 1571 — 1451 und sogar Jakob von.
1838 — 1689. Die Schrift bedeutet keine Bereicherung unserer bisherigen,
Kenntnisse über die theoretischen und praktischen Kenntnisse der JudauiJ
zur Zeit der Entstehung der biblischen Bücher. ,

Charlotteaburg. H. Sauteb.

TU. Bietrieb. Die gebräuohlichsten Dampftarbinensyeteme für Land-
iind SolüffssTFOcke nach Konstruktion und Wirb ungs weise. Mit

151 Abbildungen. VII u. 314 S, Rostock i. M., 1906. C. J, E. Vokk-

raann. geh, M 8. — , geb. M 9. — .
Das Werk ist entstanden aus einer Reihe kleinerer Schriften, welch«
der Verfasser über die einzelnen Dampfturbinen arten in demselben Verlag».
veröffentlicht hat. Der Hauptwert des Buches liegt in den zum teil recht
aasführlichen Angaben über die bauliche Ausfßhrung der einzelnen Turbinen-
arten und ihrer Teile, sowie in den fesselnden Schilderungen praktische'
Versuchsergebnisse, namentlich bezüglich der Anwendung einzelnpr Turhinen-i
arten für Schiffszwecke. Wie fast in allen Werken über Dampfturbinen.
acheint mir auch hier der Ried 1er- Stumpf -Turbine eine im Verhältnis ku ihreB
Bedeutung für die Praxis all/u uml'angreiche Behandlung zuteil geword«it
zu sein. Noch mehr gilt dies aber von der Dampfturbine von Schulaj
welche in dem Buche die eingehendste Behandlung von allen Dampfturbinen-
arten erfahren hat, trotzdem von praktischen Versuchen mit dieser Turbin«
bisher so gut wie nii'hts bekannt geworden ist. Auch Verfasser „wQnschfe
nur, daß diese Turbine recht bald mit anderen Konstraktionen in W^ett^
bewerb treten möchte, der Erfolg für die Schulz- Turbine wird dann (wi>
Verlasser meint) sicher nicht ausbleiben". |

Im theoretischen Teil (Kapitel t— 3) finden sich mancherlei Uogenantg^
keiten und selbst Unrichtigkeiten. Den trocken gesättigten WaB8erdam[4

»Is itleelles Gas anzusehen, wek'hes das Mariotle-Gay-tjUssacsche Gesetz be-
folgt IS. 16'i, ist unter allen Cmstanden uiuulllssig. Druck und Ausstattung
des Buches aind recht gut, die iiahlreichen Abbildunfren durchweg klar
Dud lehrreich.

Uronewald. R. Vater.

I. L. Marchis. Fbysique industrielle thennodyBainique, II: Intro-
dnctioD k l'Etadg des Hachinea ttaermiqueB. (ire noble und
Paris 1905. Fr. 5. — .

Während der vor etwa Jahri^sfrist erschienene iirste Teil des Werkes die
Funilaiuentalsätze dtr Therraotiyiiaraik, sowie umkehrbare und nicht umkehr-
lisre Zustandsöndeningen im allgemeinen behandelte , soll der vorliegende
meil« Teil des Werkes eine Art Einführung iu das Htudium der Theorie
von Öasm aschinen, Dampfmaschinen und Kältemaschinen darstellen ond be-
bodult daher in ausführlicher Weise die umkehrbaren Zustandsänderungen
itr Uage und Dämpfe. Hieraus ergibt sich die bekannte Einteilung ia
iwei graßere Abschnitte, von denen der erste die Eigenschaften der Gase,
der zweite die der gesättigten Dämpfe behandelt. Dabei behalt der Ver-
fassw aber den Zusammenhang dieser beiden Teile dadurcii im Auge, daß
et stets die Änderungen in Betracht zieht, welche die aufgestellten Gesetze
in dem Falle erleiden, wo sich Gase und Dämpfe dem kritischen Punkte
nlhem. Mr das Studium des Werkes dürft« die Klarheit der Sprache bei
pofiei Übersichtlichkeit in der Anordnung des Stoffes sehr ttirderlicb sein,
wihreiid anderseits freilich für den dentechen Leser die ungewöhnliche Form
der einwlnen Gesetze etwas unbequem ist, da die Wahl der Einheiten und
die Beieichnuag der Konstanten von der bei uns in derartik'en Werken
Bblichan in vielen Fällen abweicht. Recht wertvoll isl die große Zahl aus-
fUlirlicher Tabellen, die namentlich für den praktischen Gebrauch bei üater-
niohting von Maschinen willkommen sein werden. Die hübscbo Ausstattung,
der flleisichtliche Druck und nicht zu vergessen der niedrige Preis (5 frs.)
^ntit« vielen deutschen ähnlichen Büchern als nachahmenswertes Muster dienen.
Gninewald. R. Vateh.

^ Jessen und H. Girildt. Leitfaden der Baustofflehre fOr Bau-

gewerkechiüen. Mit 36 Figuren im Teit, IV u. 84 S, Leipzig 1905,

B. G. Teubner. J( I.äO.

Das Buch ist zwar, wie der Titel besagt, lediglich ein Leitfaden, d. h.

•^6 Art Skelett, dem der Lehrer erst durch seinen Vortrag, durch Ab-

^wungen, Vorführungen und Ausßüge Fleisch und Leben /u verleihen hat;

trotzdem wird es bei seinem reichen Inhalte nicht bloß Sebülem, sondern

«Oen vielen, welche mitten in der Praxis stehen, ein willkommenes Nach-

Khlagtboch auf dem umfangreichen Geiiiete der ÜaustotTlehre sein, wozu

Bttwnilich die Übersichtlichkeit in der Anordnung des Stoffes wesentlich

'"'wagen dürfte. Eine größere Anzahl einfacher, aber lehrreicher Abbildungen,

i- B. Toji üfen, Miscbvörriehtungeu , Feuerscbutzummantelungen usw ist

™' das Verständnis an vielen Stellen recht wertvoll.

Grunewald. B. Vatek.

5

W. T. Oyck. über die Brrichtung eines MuBeiimB von Meisterwerken
der NaturwiBsenschaften und Teohnib in Müncben. Festrede zar
Überaalimc des ersten Wahlrrktoratps bei der Jabresieier der Teebniscbea
Hocbscbule zu Müucben, gehalten atn 1'2. Dezember IdüS vom derzeitigen
Eektor. HI u. 40 S. 4°. Leipzig 1905, B. G. Teubner. JC -2. — .
Die Rede behandelt in fesselnder Weise die Aufgaben, welche du
Museum m erfüllen bat und die Erwartungen, die sich an' das Mnseum
knüpfen, dessen Zweck bekanntlich der sein soll, die bistoriscbe Entmckelung
der naturwiäsenscbaftlicben Forschung, der Technik und der Industrie in
ihrer Wechselwirkung darzustellen und ihre wichtigsten Stufen durcb hervor-
ragende typische Meisterwerke /u veranschaulichen.

Grunewald. R, Vateil

£. Leher, Das Wasser und seine Verwendung in Indaatrie und G«- j
werbe. Mit 15 Abbildungen. 194S. Leipzig 1905, G.J.Goscben. Jf — .SO.

Das kleine Buch enthält wirklieb m -iienilicb alles, was man über- |
haupt vom Wasser zu wissen wünschen mag. In knapper, aber fesselnder
und übcrsicbtlicber Darstell ungs weise werden zunächst die verschiedenen
chemischen und pbysikaÜschen Eigenscbafteö des Wassers, sowie seine Ver-
wendung in allen möglichen Zweigen der Technik erläutert. Ein weiterer |
Abschnitt bebondeit die heutzutage so wichtige Frage der Trinkwasserver-
sorgung und Reinigung der AbwSsser, während in einem SchluBabschnitte
das Wichtigste Über natürliche und künsüicbe Mineralwässer, sowie aber
Natur- und Kunsteis nebst den verschiedeuen H erste llungs weisen gesagt ist
Nur ein Sates darf nicht unwidersprochen bleiben. Bei der Erwähnung der
Gefahr des Kesselsteins in Dampfkesseln S. 71 sagt der Verfasser: „ . . Springt
nun eine solche Kruste (nSmlich Kesselstein) ab, so kommt das Wasser mit
der glühenden Stelle direkt in Berührung, es erfolgt eine plötzliche furcht^
bare Erhitzung und Dampfent Wickelung, der Druck steigert sich momentan
ins Unendliche, der Kessel wird aorsprengt und etplodiert" Es ist nicht
recht ersichtlich, wie ein kleines Stück rotglühenden Eisens in einem Dampf-
kessel von mehreren cbm Wasserinhalt eine so „furchtbare" Dampfent-
wickelung verursachen kann, dafl der Druck „irifcnentan ins Unendliche"
gesteigert wird. Die Gefahr liegt vielmehr darin, daÜ rotglühendes Eisen
einen erheblichen Teil seiner Festigkeit einbilBt und dadurch infolge des
Dampfdruckes ein Bruch an der glühend gewordenen Stelle eintritt.

Das kleine Buch kann sonst allen, die sich über den behandelten
Gegenstand unterrichten wollen, warm empfohlen werden.

Grunewald. R. Vateh.

Die Neabauten der Egl. Säoheiaohen Teohnieohen Hoohsohnle m
Dresden. Dresden 1905.

Sünderabdrücke aus der Deutschen Bauzeitung (Baubescbreibung), der
Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure (Innere Einrichtung) und dem
Zentrniblatt der Bauverwaltuug (Versuchsanstalt in Übigau), mit vielen
pbotoprap bischen Abbildungen, Grundrissen und Kons truWtionsze ich unngen.

Grunewald, R. Vater.

Rezensionen. 123

Cm Dietzschold. Die Hemmungen der Uhren, ihre Entwicklung, Kon-
struktion, Beparatur und Behandlung vor der Beglage, nebst zu-
gehörigen Tabellen, zahlreichen Abbildungen und 6 Porträts. X u. 234 8.
Krems a. Donau^ Nied.-Österr. 1905, D. Dietzscholds Verlag. JC 4.50.

Ein nützliches Lehr- und Nachschlagebuch für Uhrmacher und solche
Laien, welche dieser Gegenstand fesselt. Auch die vielen geschichtlichen
RQ.ckblicke, sowie Angaben über den Lebenslauf der um die hohe Ent-
wicklung der Uhrmacherkunst verdienten Männer dürften für viele wert-
voll sein.

Grunewald. - R. Vater.

N. Herz» Geodäsie, eine Darstellung der Methoden für die Terrain-
aufhahme, Landesvermessung und Erdmessung. Mit 3 Steindruck-
tafeln und 280 Figuren im Text. IX u. 418 S. Wien 1905, Franz
Deuticke. J( 14. — .

In dem Sammelwerk: Die Erdkunde von Maximilian Klar bildet das
vorliegende Buch den XXIII. Teil. Es ist mit einem Anhang versehen:
Anleitung zu astronomischen, geodätischen und kartographischen Arbeiten auf
Forschungsreisen. Ursprünglich war der üniversitätsprofessor und Oberst a. D.
Dr. Heinrich Hartl mit der Abfassung des Buches betraut; nach dem Tode
dieses Autors ging der Auftrag auf den Verfasser über, welcher nur die
bereits veröffentlichten Arbeiten Hartls benutzen konnte. Das vorliegende
Werk ist in erster Linie für die Geographen bestimmt, deshalb gibt es nur
4as Wichtigste aus der niederen und höheren Geodäsie in gedrängter Form,
l^m aber jene Sätze, deren Begründung nur durch mathematische Rechnung
erfolgen kann, nicht ohne Beweis zu lassen, sind die zugehörigen Aus-
^Ötaingen in Anmerkungen zugefügt, sodaß sie von dem Geographen eventuell
überschlagen werden können. Die notwendige Beschränkung ist auch die
Ursache, daß die Ausgleichungsrechnung weggelassen worden ist. Nur die
-Aufstellung der Bedingungsgleichungen ist aufgenommen worden, um er-
kennen zu lassen, in welcher Art sich der Einfluß der Netzbedingungs-
fleichnngen auf die Beobachtungen äußert.

Die Einteilung des Stoffes in die drei Hauptabschnitte Instrumenten -
*^de, niedere Geodäsie, höhere Geodäsie ist sachgemäß, und es können aus
^®Di reichen Inhalt des 417 Seiten umfassenden Buches die Probleme der
^% sechs und acht Punkte, die Distanzmessung, das barometrische Höben-
'^essen, die Tachymetrie, die Photogrammetrie, das Legendresche Theorem,
^® Gradmessungen, die theoretischen Untersuchungen über die Figur der
«rde, Bestinunung der Erddimensionen, die Lotabweichungen und ihr Ein-
fluß auf Breiten, Längen und Azimute, sowie die Pohlhöhenschwankungen
hervorgehoben werden. In dem Anhang sind Anleitungen über Ausrüstung
^ Forschungsreisen, die anzustellenden Beobachtungen und die Verwertung
^«rselben gegeben.

Der strebsame Verfasser, von welchem vor kurzem auch ein Lehrbuch
^ mathematischen Geographie erschienen ist, bietet in dem vorliegenden
^^ke viel gut Gelungenes und Schönes, die folgenden Stellen aber bedürfen
^* Bektifikation : S. 44 und 45, die Bedingungsgleichungen für beide Nonien-
^^^ setzen voraus, daß w — 1 oder w+1 Teile der Hauptteilung in n Teile

i

des Nonius geteilt werden, « bezeichnet immer die Anzahl der Nonienteile
und muß eine praktikable Zahl sein, da sie stets als Faktor in der dritten
Gleichung des Nonius vorkommt. Auch Bauernf'eind, den der Verfasser oft,
au/ieht, hat in seinen Ausführungen über den Nünius dies nicht genügend
beachtet. Ferner bleibt S. 45 der Widerspruch zwischen Zeile 4 und Zeile 13
Y. o. zu beseitigen , auch ist in Fig. 46 der Nonius zwölfteilig gezeichnet,
aber als zehnteiliger beziffert. — Die Aufhängung des Doppelsenkel 3,
Fig. 55a, macht einen scherahaften Eindruck; der das Lot X tragende
Faden muQ durch die zentrale Bohrung des Gegengewichtes M dnrchge fährt
werden. Das in Fig. ööb abgebildete Lot ist seiner Ungenauigkeit wegen
unbrauchbar. Ganzlich mißverstanden ist die S. 55 abgebÜdele Vorrichtung.
Der SchmidtBche Lotteller dieut daxu, beim Loten in tiefen Scbächtea
den Ituhepunkt der langsam schwingenden langen Lote aus Ablesungen der
Eilckkehrp unkte an den beiden vorhandenen Skalen zu ermitteln; der Lot-
körpev hangt nicht an einem dünnen Drahtseil, sondern an einem dOnnen
Messingdnibt, die Trommel befindet sich am Tage, der Lotteller in der Tiefe
des Schachtes. Der dnrcb vier Schrauben verschiebbare prismatische Körper
wird erst eingesetzt, wenn der Ruhepunkt des freischwiugenden Lotee er-
mittelt ist und dient «um Fixieren des Lotdrahtes im Seigerpunkte. — Die
S. 63, Abs, 32 beschriebenen Libellen sind nicht nach Kreisen, sondern nach
Rotation skörpem angeschliffene Eöhren (Fig. tiSl; nur durch Biegen ge-
krflmmte BöhrenJibellen (8. 61) werden in der Geodäsie nicht mehr ver-
wendet. Aus diesem Grunde ist auch die in Fig. 73 S. 68 dargesteUte
Libelle ganz unmöglich. — S. 94 ist der sichtbare oder natürliche Horizont
mit dem scheinbaren und der scheinbare mit dem wahren Horizont verwecbselt.
Der letztere darf nicht anders definiert werden als die gekrümmte Erdober-
fläche selbst, wenn nicht in die Lehre vom Nivellieren die größte Verwirrung
hineingetragen werden soll. — In ähnlicher Weise ist die S, 95 gegebene
Definition des magnetischen Meridians zu berichtigen. Nicht die Vertikal-
ebene, in welcher die Magnetnadel zum Stillstand kommt, ist der magnetische
Meridian, sondern die Durthschnittslinie dieser Ebene mit der Erdoberfläche.
Auch dürfte die gegenwilrtigc Grüße der magnetischen Deklination für Wien
nilher an 8" als an 9" liegen. — Die S. 215 für die Meßtischaufnahme
(Fig, 230) gegebene Feblerausgleiehung ist verfehlt, was sich sofort ergibt,
wenn man in die Proportion S. 21ß die Größen für den Punkt 4 oder den
Punkt 2 einsetzt, — In Fig. 246 kann die Angabe des Punktes C an der
jetzigen Stelle zu Irrtümern führen, da unter Berücksichtigung des Gaußscben
Koeffizienten die Größe CC nur 0,1306 von BC ist, C also viel dichter
an C herangemckt werden muß.

Der rühmliehst bekannte Verlag hat dem Buch eine vorzügliche Aus-
stattung zu t«il werden lassen.

Berlin, A. Schneider.

Abhandltmgea der FrieB'BOben Scbule. Neue Folge. Herausgegeben

von Gerhard Hessenberg, Karl Kaiser und Leonard Nelson.
Drittes Heft. Göttingen 1906, Vandenhoeck t Ruprecht. JC 2.40,
Subskriptionspreis Ji 2.- — -.
Das Heft enthält auf 8, 393—430 den zweiten (abschließenden) Teil
der „Bemerkungen Ober die Nicht-Enklidische Geometrie und den ürepnmg

in m»Üiemft tischen Gewißlieit'' von Leonard Nelson, auf H. 4iil^440
>r Briefe von Gaufl und Wilhelm Weber an Fries" und aufS. 441— 478

1 Vortrag von M. T. Djucara über „wissenschaftliche und religiflse
Weltinsicbt".

Nelson untersucht in dem jetzt vorliegenden Teil seiner Arbeit die
Fn^ aach der Erkenn tnii^qaelle der Geometrie und setzt sich dabei mit
Lobalscbewsky, Riemann, Helmholtz, Mill, Mach, Felii Klein und Poincare
auwiuBnder; weitschauend betrachtet der N'erfasser seine Frage im Zusammen-
bing der mathematischen Erkenntnis überhaupt, indem er zugleich die
Arithmetisierbarkeit der Mathematik^ die Quelle auch der arithmetischen
AiioBie und die durchgüngige Lösbarkeit mutheraatischer Fragen untersucht.
Ler Kern der Nelsonschnn Beweisführung ist: Da die Logik zu mehreren
gleichberechtigten Geometrien führt, so kann sie nicht die hinreichende
<lii*Ile der gültigen Oeometrie sein; da andererseits die geometrischen Urteile
in Merkmal der Allgemeingültigkeit tragen, so können sie nicht aus der
Erhbrung stammen; also entspringt die gültige, nitmlich euklidische Geometrie
finfr dritten Erkenntnisquelle, der von Kant entdeckten „reinen Anschauung",
»flehe die synthetischen Urteile a priori der Geometrie möglich niache.
HelsoDs Ausführungen sind ungemein scharfsinnig, von durchsichtigem
Spnchgewand und Eweifelios fesselnd und wichtig für jeden, der dem
Gegenstand seine Teilnahme schenkt. Ob die heikle Frage nun eiidgüJtig
g^lSlt itt, wage ich nicht zu beurteilen. Das nach erkenn tniskritischera
Verfahren gewonnene Ergebnis deckt sich mit dem, welches 1899 Julina
Sehnlti in seiner „Psychologie der Axiome" auf genetisch -psycho logischem
"ege gefunden hat. — Die Briefe werfen ein hübsches Licht auf das
*"iichfln den Absendern und dem Empfänger bestehende Verhilltnis der
rwundschaft und Verehrung; mathematisches Interesse bietet di« Darlegung
*iies Fehlers, den Gauß in einer Laplaceschen Wah rsch ein lieh kejtöbetracb -
'Mg über die Lage der Kometen bahnebenen entdeckt hat. — Djuvara weist
inreb Darstellung der Kantischen Lehre vom Wissen und Glauben nach, daB
Wissenschaft und Religion als Gegner unmöglich seien, da sie völlig ge-
"Butea Gebieteu angehören; aber Kant habe den eigentlichen Ursprung
der K«!igioBitBt nicht entdeckt; erst Fries habe ihre Quelle in der „Ahndnng^
"ifgefiinden, der aus einem lebendigen Gefühl erwachsenden Ülierzeugung
niiiiiii'h, daB die jenseitige Welt des Glaubens und die diesseitige des
"lisens im Grunde eins seien. Djuvaras Anstübrungen sind ausgezeichnet
""'• seine Sprache entfernt sich weit von Kants Ausdrucks weise und be-
•sist JaJureh, daß der Verfasser seinen Gegenstand vollkommen dujch-
^M hat

Fiipier und Druck sind vorsfiglich.

Berlin. P. Johaxxehhon.

"• Hchmid. FhiIo§ophiBcheB Zieaebaoh sam Oebmnoh an hütieren

Bcholen und eiun Belbststndium. Vm o. 166 S. Leipzig 1906,

B. (J. Teubner. Jl 2.60.

Der Verfasser hat den eigenartigen Gedanken, Abschnitt« au» philo-

»pbisehea Schriften zu einem Leaebucbe zo vereinen, »ehr glUcklii:b durch-

E«(3hrL Das Buch imthilt attfiefi Sdten 40 LeMstflcke, in denen Omnd'

migfachster Art, nämlich metapliysischea, erkenntniskri tischen,
naturpbilosophi sehen, psychologischen, logiBchen, ethischen und üsthetäschea
Inhalts zur Verhandlimg kommen, und die eine Lbersicht tlber die brennend-
sten philosophischen Fragen der Gegenwart liefern. Unter den älteren
Ji'eistem sind Descaries, Locke, Hume, Kant und de la Mettrie berücksichtigt;
die anderen Verfasser gehör™ der neueren und neuesten Zeit an und sind
zwar überwiegend berühmtere philosophische Schriftsteller nnserfir Tage,
aber doch auch MSnner, die ihr Ansehen in erster Linie ihren naturwissen-
schaftlichen Leistungen verdanken, wie Darwin, Häckel, Ratzet, Ostwald und
Poincar^. Gegenüber dem möglichen Einwände, daß bei der KOi'ze der
einzelnen Stücke der Leser in den daselbst vorgetragenen Gedaukcnreihen
nicht recht heimisch werden könne, behauptet sich das Buch durch die
erataunliche Vielseitigkeit der in ihm gegebenen Anregungen. Dabei reihen
sich die ausgewählten Abschnitte durch innere Verwandtschaft aneinander
oder sind dorch sehr klare Übergangser5rterungen des Herausgebers zu einem
geordneten Ganzen verschmolKen. Über die getroft'eno Auswahl mit dem
Heransgeber zu rechten, wBre zwecklos, da hierin der persönliche Geschmack
entscheidet; wenn aber auch — jedenfalls aus wohlerwogenen Gründen —
so glänzende Schriftsteller wie Fechner, Lotze, Helmholtz und Mach entweder
gamicht oder nur in kurzer Anführung zu Wort« kommen, so wird doch
jeder Leser an den gebotenen Pcrltn der philosophischen Literatur seine
Freude haben. Primanern, die filr den Gegenstand Neigung haben oder
gewinnen sollen, kann das Buch unbedenklich in die Hand gegeben werden.
Berlin. P. Johannebson.

0. Frölich. Die BntwiokluDg der elektrischen MeaBongen. Mit 124 Ab-
bildungen. XIU.192S. Brauiischweigl90ä,Friedr.Viewegu.Sohn. J( G.80.

Das vorliegende BiLndchen, Heft 5 der Sammlung naturwissenschaft-
licher und mathematischer Monographien, ist eine er&euliche Erscheinung
auf dem Gebiete der elektriacben Meßkunde.

Es ist nicht eines der vielen Bilderbücher, deren es ja Legion gibt,
sondern es will die historische Entwicklung auf diesem Gebiete verfolgen,
ein Gegenstand, der allerdings dem eingeßeischten Beiufstechniker, welcher
nur nach Neuerungen lechzt, wenig Interesse abgewinnen dürfte, dessen Be-
handlung aber in unserer an Idealen so armen Zeit von jedem auf der Höhe
seines Faches stehenden Fachmanne freudig begriiÖt werden dürfte. Durch
solche Schriften wird, wie der Verf. recht treffend bemerkt, nicht nur die
Überschätzung unterdrückt, die der modei^ie Fachmann den modernen
Arbeiten so leicht den älteren gegenüber angedeihen laßt, sondern es wird
auth oft die Wiederholung eines Gedankenganges vermieden, welcher schon
früher durchgearbeitet wurde.

Es dürfte kaum einen berufeneren Mann zur Behandlung dieser Aufgabe
geben, als den Verfasser, welchejr das Glück hatte, den Werdegang der
Elektrotechnik im Verein mit ihrem ersten Fachmann an der Spitze einer
Weltfimia durchzumachen.

Das Werk gibt in gedrängter Kürze den Entwicklimgsgang der elek-
trischen Meßtechnik von Oerstedt bis auf die heutige Zeit, geht weniger
auf die Details der Konstruktionen ein, als vielmehr auf die Prinzipien dei

•*'irk imgsweise unter verständiger BeseliriMikung auf das Notwendigste, wo-
I*i die gefällig und anspretbeade Schreibweise des Verfassers kaum den
ßedanlieii aufkommen llkßt, als habe man es mit einer exakten Materie zu
Hin; man folgt dem Verfasser gern in seinem Gedankengange und ist am
£iide erstaunt, welche Fülle von geistiger Forschung in wenigen Kapiteln
bewältigt wurde, ohne daß man eine Lücke dabei wahrnehmen kann.

Manchmal allerdings artet diese Knappheit iu lakonische Kürte aus,
so K. B. in dem Kapitel über Kondensatoren, wo Hr. Frölioh gut getan hätte,
etwas mehr von seiner Eri'ahrung zum Besten la geben; ferner in de»
Kapiteln über SelbstindaktioDSapulen und über Apparate zu magnetischen

I Messungen. Auch das Kapitel über Wärmemesser hätte hei dem immer
4nehr wachsenden Interesse für diese Art, der Temperaturbestimmung wohl
#twus eingehender behandelt werden können. Ebenso ist das Kapitel „Zähler"
'V4rwas stiermütterlich weggekommen. Apparate zur Wellenmessnng,
^Snipfung etc. sind überhaupt nicht erwähnt, was bei dem hohen Interesse,
^•■elches solche Messungen heute mit Eecht beanspruchen, bedauerlich er-
•cheineD muß.

Sehr instruktiv sitid die MeBmethodea bebandelt, deren Wichtigkeit bei
iler heutigen Vollkommenheit der Meßinstrumente leider immer mehr in
den Hintergrund tritt, trotzdem sie es doch gerade sind, welche zu neaen
OedankpD anregen und zu wirklichen Fortschritten verhelfen, und es muß
rühmend hervorgehoben werden, daß der Verf. gerade diesem Gebiete, dem

I Titel des Werkes entsprechend, seine besondere Aufmerksamkeit gewidmet

bat; nur hätten die Methoden der Wechsel Strommessung dabei nicht zu kura
komme Q sollen.

Wenn der Verf. zum Schluß das Bild vom Stammbaum der Geschlechter
I>er&n»eht, so hätte sich hieran, trotzdem das Werk nicht den Stempel eines
^acbgchlagebuches an der Stirn trägt, doch ein Namenregister der Autoren
■flrdiger angeschlossen als ein alphabetisches Verzeichnis der Inserenten,
■ne ohnehin bei dem geringen Umfange des Appendix leicht zu finden sind.
Da* ßeklamebedürfnis des Verlegers wäre dann nicht so kraß zum Ausdruck
gekommen, wie beim Fehlen eines solchen Namenregisters. Trotz der er-
*Uuit«n M&ngel dürfte die Lektüre dieses Bändchens das bieten, was ge-
wöhnliche Lehrbücher selten bieten, d. h. Befriedigung.

» Charlotten bui-g A. Kuici'Sel.

Atti dol Congreaso intemaeionale di scionise atoriche (Borna,
1-9 Aprile 1908). Volume XII. Atti della Sezione VIII: Storia
Mh scienze fisiche, matematiche, naturali e mediche. XXIV u. 33ü S.
Homa 1904. Tipografia della B. Accademia dei Lincei.
Aul' dem großen internationalen Kongresse der historischen Wissen -
i KM*n. der in Rom während der Tage vom 1. bis 9- April 1903 ab-

1 P^lultca wurde, war die fiesehichte der physikalischen, der mathematischen,

I '■f niturhistorischen und der medizinischen Wissenschaften in die achte

B "itiün gelegt worden, und dank den rührigen Vertretern dieser Wissen-

■ W-hiftiin in Italien, unter denen Herr Loria in erster Linie zu nennen ist,

^K «Dlfaltetü sich ein reges Leben in den gut besuchten Sitzungen, welche in
^^K MO hierfür recht geeigneten Sälen des sehr bequem gelegenen Collegio

Beiensioneti

Romano atatifaudcn. Die d?n Italienern angeborene Lebliattigkeit und
Lieben 8 Würdigkeit trugen in hohem Grade dazu bei, jene Tage fflr alle
Oäste ED wahren Festtagen zu luachen, deren Andenken als werter Schatz
in ihrem Geiste bewahrt bleibeD wird. Der vorliegende Band, der den
Teilnehmern der achten Sektion als Gastgeschenk naoh mehr als Jahres&ist
zugegangen ist, enthält «anöchst die Protokolle der Sitzungen, von denen
im ganzen neun stattfanden. Dann folgen die zur Diskussion gestellten
fünf Thesen. Endlich sind die gehaltenen Vorträge nebst einigen ein-
gesandten Anfsätzen solcher Teilnehmer abgedruckt, die am persönlichen
Erscheinen verhindert waren. Wir setzen die Titel der die Mathematik und
die Physik betreffenden Vorträge her:
H. CantAr. HieronymuB Cardanua, Ein wieaeDachafllicbes Lebensbild aue

dem XVI, Jahrhunderte, Ü. 31—43.
M. Darrai. Vita di Giovanni Boljai. S. 45— lli.
G. Taera. Sulla atoria della numerazione binaria. S. 63— 1>7.
E. LebOtt. Plan d'une bibliograpbie iinalytique des icnla contemporains sur

rhlBtorie de rastronomie, S, 81 — 9I>.
E. Lampe. Daij Jahrbuch iiber die Fortschritte der Mathematik. Bückblick nnd

Autblick. S. 97—11)4.
Felix Hfiller. Über mathematia':he Zeitschriften. S. t05— 113.
J. Guareschi. LaToieier accueato di esaersi appropriato i lavori aclentifici di

altri. ^ l'ondata queiit'accuiia? S. 116—160.

B. Alma^lil. Sulla üottriua della marea neu' antichitä clawca e nel medio evo,
S, 151 — 161,

M, Baratta. Sulla sUiria degli apparecchi Hiemici tu Italia. S. IBG — 16S,

A. Hori. Per uoa bihliograüa geodetica italiana. S. IGT — 109,

S. (lUntfaer. Lo aviluppo del celebre etrumento aationomico geodetico nominato

JacobsBtab, ovvero Radiu« astronomicnB. S. 187—189.
G, lIzlellL Sülle miaure e gul corpu di Cristo come campione di misura i

medio evo in Italia. S. 191—201.
A. Marl. II carteggio ecieotiSco di Leonardo Ximenea. S. 211-213.
G. EneatrOm. über knlturbistorische und rein fachmäBige Behandlung der Ge-

Bcbichte der Mathematik, Comunicaiioae del prof. G Lcria. S. 215 — 21T.
P. Tann er;. Sur Thistoire des mots aaalj'Be et sjatbeae en math^matiiiue.

S. 319--.;S9.

C. Sonil^Uano. Notizie Bulla letteratura Vulliana. S. 231—243.

0. Tailati. La diinostrazione del principio della leva data da Archimed

libro primo huU' eqnilibrio delle figuro piane. S. 213 — 249.
-G. Pittarellt. Intorno al libro „De prospecUva pingendi" diPieideiFrance

D. Dlani lila- Müller. Erronea credenza pnpolare auU' invenzione della bussola.

S. 2(i7— 270.
A. von Brannmttlll. Beitrage zur GeHchichte der Integralrechnung. 8. 271—
U. Fagani. VicisBitudes de quelques ^chantillons m^teoriquea .i travers les siÖcles.

8. 286-391.
T. TonnUItazza. Frammenti di nuove ricerche intorno a Nicolö Tartaglia.

S. 393 — 307. (Mit Bildnis u. Facaimile zweier Manuskripts eiten.)
Dieser grollen Zahl einzelner Artikel gegenüber muß Referent darauf
verzichten, auf den Inhalt der Mitteilungen nöher einzugehen. Die bloBe
Ansicht der Titel zeigt, daß der Band eine Menge interesaanten Stoffes ent-
hält, und daß eine weite Verbreitung dem Buche zu wünschen ist.

Berlin. E. Lampe.

u L

Vermischte Mitteilungen.

1. Aufgaben und Lehrsätze. Lösungen.

A. Aufgaben und Lehrs&tze.

162. Von dem folgenden planimetrischen
3&t;ze wird ein einfacher geometrischer Beweis
ge^Wtlnscht:

Steht in einem gewöhnlichen oder über-
fichlagenen Trapeze der eine Schenkel auf den
C^rnndseiten senkrecht, und beschreibt man um
belfle Schenkel als Durchmesser Kreise, so
bil^ien ihre zwei Paare Schnittpunkte mit den
6eg«nschenkeln wieder ein Trapez, in dem
deir eine Schenkel auf den Grundseiten senk-
reotit steht.

Berlin.

P. SOHAFHEITLIN.

163. Es ist zu beweisen, daß die Resultante von /J^ » ^"^ -H ^)

U — ^«* + a; + 2> eine irreduzible rationale ganze Funktion der Unbestimmten
a Tind b ist.

Budapest. Josef KürschAk.

0,

164. Bei der Diskriminante der Gleichung

welche sich bekanntlich als eine rationale ganze Funktion der Konstanten

dieser Gleichung (Ä^, A^, . . . Äj darstellen läßt, ist 1) die Summe aller

Zahienkoeffizienten = ± (« + l)""S 2) der Koeffizient von Aj-^ = ± n\

Diese Sätze sind zu beweisen, und die Vorzeichen ± zu präzisieren.

Königsberg i. Pr. L. Saalschutz.

165. Satz. Alle Ebenen, die aus zwei festen Kugeln Kreise von
gwieheni Radius ausschneiden, umhüllen ein Rotationsparaboloid, das die
Potenzebene der beiden Kugeln zur Scheiteltangentialebene und die Mitte
fl«r Zentrale zum Hauptbrennpunkt hat.

Breslau. stud. math. F. Schlegel.

^hiT d«r lUthemAtik und Physik. HL Keihe. XL

9

130 Vermischte Mitteilungen.

166. Gegeben eine zum Koordinatenan&ngspunkte symmetrisch liegende
Astroide mit dem Parameter a, deren Spitzen durch Bögren Yon Kreisen, die
um die Punkte a; = ±^? y==±ö niit dem Radius a geschlagen sind, ver-
bunden sind. Wie groß ist die Maximalentfemung zwischen Kreis- und
Astroldenbogen ?

Potsdam, am 11. März 1906. Otto Meissner.

167. Die neun Größen a^^ bilden in der folgenden Darstellimg, wo
^Uj ^^u, ^^u die geraden elliptischen Thetas, ti|, ti, beliebige Argumente
bedeuten, ein Orthogonalsystem:

^«88 =— ('^8«*1*^8^ — ^U^^U^)y

Wie stellen sich hiemach die zugehörigen sechs Differentialgrößen Pi^ p^^ p^^
^v ^si ^8 ^^^^ ^^^ welchen Differentialgleichungen genügten sie, wenn ich
voraussetze, daß die Argumente u^, u^ Funktionen einer einzigen Variablen
t sind?

Berlin. E. Jahnkb.

168. Zu der bekannten Integralformel

r(x)^ ie-'f"'^

ö
hat Cauchy (Joum. de l'Ecole Polyt. cah. 28) noch folgende aufgestellt:

r(x) = /c-'(< — x)f-Hogtdt

Beide Formeln sind spezielle Fälle der folgenden:

^(^) = ij «"'''■' (l°«0"2'»(<, x)dt,

worin n eine beliebige ganze positive Zahl bedeutet, und die ganze rationale
Punktion T^ der Funktionalgleichung:

2'„+i = (< - ^) ^'^ - < -gj- nebst To = 1

YermiBchte Mitteilungen. 131

genü^gt. Es findet sich der Beihe nach:
-*o •'■1

i^^{t — xy — st{t '-x) + ty

I^^{t- xy — ^t{t — xy + 4tt{t — x) + ^fi — t,
lind es ifit stets auch -^ — = — « T. . .

ex ""^

Aussig (Böhmen). A. Eruo.

169. Im Scheitel eines beliebigen Kegelschnitts wird der Oskulations-
beis gezeichnet. Von einem beliebigen Punkte Q des Kegelschnitts werden
an den Oskulationskreis die beiden Tangenten gezogen; die eine tangiert
den Oskulationskreis in A und trifPt den Kegelschnitt zum z weitenmale
in P, die andere Tangente berührt den Oskulationskreis in B und trifft den
Kegelschnitt zum zweitenmale in i?. Zwischen den Tangentenabschnitten
qA^QB-^t^, PA « tp und RB = tj^ besteht die Gleichung:

Jl __ A 4. i. — if

worin e die numerische Exzentrizität und p den halben Parameter des
Kegelschnittes bedeutet. — Für die Hyperbel ist noch zu bemerken, daß
ein Tangentenabschnitt, welcher seinen Endpunkt im andern Hyperbelast
hat, negativ zu rechnen ist.

Aussig (Böhmen). stnd. math. J. Krug.

170, Die Zentralkraft F{r\ welche eine Bewegung längs der ebenen
Kurve veranlaßt, deren Gleichung in homogenen rechtwinkligen Koordinaten
A^i) H iCj) = lautet, ist, wenn die Masse des bewegten materiellen Punktes
= 1 gesetzt wird , gegeben durch den Ausdruck :

F(r) xl-J

.^___ — — ^^ . — - __ -

*■ fl '

worin J=i|/^J die Hessesche Kovariante für die homogene Funktion
/"(■^i» ^> ^s)> C^ 6i^6 Konstante und r die jeweilige Entfernung vom
Attraktionszentrum, welches als Ursprung des Koordinatensystems an-
genommen ist, bedeutet.

Aussig (Böhmen). stud. math. Josef Krug.

171. Nach Pappus wird ein Rotationskegel durch eine gewöhnliche
Schraubenfläche, deren Achse mit der Kegelachse zusanmienfällt, in einer
Kurve geschnitten, deren Projektion auf eine zur gemeinsamen Achse senk-
rechte Ebene eine Archimedische Spirale ist. Was entsteht nun aus der
Ranmkurve bei Abwickelung des Kegels in eine Ebene?

Speyer. H. Wieleitnbr.

132 VermiBchte Mitteilangen.

172« Gegeben eine Bernoullische Lemniskate. Man ziehe das Sjste;
der Parallelen zurt Hauptachse der Kurve and lege die Kreise durch de
Mittelpunkt und je zwei nicht aufeinanderfolgende Schnittpunkte

Parallelen. Was ist der Ort der Mittelpunkte dieser Kreise? — Aus dem

Ergebnis ist eine einfache Konstruktion der Lemniskate herzuleiten.

Speyer. H. Wibleitner.

173. Werden die Ecken eines Dreiecks mit einem vierten Punkte
seiner Ebene verbunden, so liegen die drei Punkte, in denen die harmonisch
zugeordneten Eckenstrahlen die gegenüberliegenden Seiten schneiden, in der
dem willkürlichen Punkte harmonisch zugeordneten Transversale. Welche
Enveloppe hat in der Ebene eines Kegelschnittes diejenige Transversale
eines Polardreiecks, deren harmonisch zugeordneter Punkt den Kegelschnitt
beschreibt? Welcher Punkt der Ebene beschreibt dieselbe?

Holzminden. 6. Kober.

174. Nach Tschebyscheff (M^ul Petersburg (6) 7 (1859) — Oeuvres
1. 1, p. 295) hat unter allen ganzen Funktionen ftten Grades der Form:

die Funktion

die Eigenschaft, sich zwischen den Grenzen a; = — h und x ^^ -}- h am
wenigsten von Null zu entfernen, und zwar betragt die Abweichung höchstens
L^h'*:2^^K Hieraus folgt, daß unter allen ganzen Funktionen, deren
Grad gleich « — 1 oder kleiner ist, die Funktion

sich in den Grenzen ( — Ä • • • + ä) am wenigsten von der Funktion «"
entfernt. Im beso äderen ergibt sich für a^ der Näherungsausdruck:

dessen Abweichung von rr* höchstens Ä* : 8 betragt

Bei Benutzung des Näheinrngsausdruckes G^(x) für a^ erhält man für
die ganze Funktion vierten Grades:

E{x) = Äx^+ Bx^+ Cx + D

als Näherungsausdruck eine ganze Funktion zweiten Grades imd daher für
das elliptische Integral erster Gattung

dx

als Näherungswert ein Integral, das sich durch elementare Funktionen aus-
führen läßt; dabei ist A in geeigneter Weise zu wählen.

YermiBchte Mitteilungen.

133

'Es sollen Grenzen f&r die Abweichung zwischen dem elliptischen
lategral und dem so gewonnenen Näherungswerte ermittelt und im be-
sonderen untersucht werden, wie sich die Annäherung gestaltet, wenn man

nimmt, wo k eine Eonstante bedeutet.

HannoTer. P. StÄckel.

^X

B. LSsnngen.

Zu 31 (Bd. IT, S. 213) (E. Lampe). — Eine vermeintliche Lösung
der Trisektion eines beliebigen Winkels geht folgendermaßen vor. Über
einer beliebigen Greraden DD^ als Durchmesser wird ein Halbkreis gezeichnet;
man teile sowohl DD^ als auch den Halbkreis in drei gleiche Teile. Ist
B der Teilpunkt von DD^ nächst D und Ä der des Halbkreises nächst D,
so beschreibe man durch
A und B denjenigen p^
Kreis, dessen Zentrum auf
DDi liegt. Nun wird
behauptet, daß dieser
neue Kreis jeden anderen
Kreisbogen, der durch
D und D^ geht, in einem
solchen Punkte T schnei-
det, daß Bogen DT
gleicli iDTDj ist. Welche
Annäherung gibt diese
Konstruktion?

Wählt man die Ge-
rade DD^ als A- Achse
eines rechtwinkligen Ko-
ordinatensystems, dessen Anfangspunkt der Mittelpunkt des durch Ä imd B
gehenden Kreises sein möge, und bezeichnet die Koordinaten von D mit

(x\ 0), die Gerade DD^ mit a, so folgt (s. Fig.) wegen DB = ^^ DÄ=- -^

xmd '^ ODA = Iä aus dem Dreieck ODA nach dem Kosinussatze:

/a?' -j- — j = a:'* -f -— -|- -— , woraus sich x ^ \a ergibt. Demnach lautet

die Gleichung des festen, durch A und B gehenden Kreises, wenn x und
y die Koordhiaten von T sind: x^ -f y' = ü^'» ^^® ^^^ variablen, durch D
und D^ beschriebenen Kreises

(|a-x)« + (y-6)' = r« = 6» + ^,

WO — 6 die Ordinate des Mittelpunktes ist.

Durch Elimination von y aus beiden Gleichungen ergibt sich für die
Abszisse des Schnittpunktes T der beiden Kreise folgende quadratische
Gleichung:

X«-.

104

a*

8 16a* + 96

_ /49 _ 169 ^
»^""V86 "81" 6V

t^s

9a* 6

i6^n^9ir»'

134 Yennischte Mitteilungen,

woraus

"^ ^ 16a* +96

crA WinlrAl fipi «I«. r]».Tiii ifif h =s —

* = ^- »1»M ("«' ± I «» T^iaa» + 496»).
Der zum Bogen D TD^ gehörige Winkel sei % dann ist 6 = — ctg ^ t^ ;

durch Einsetzen wird mithin:

«^ = 9ctg'i'V + 64 (-S* T 1 ^*« i^V49ctg>it + 48).

Da für den Punkt A wegen tf; =« Jt, rc = ||a ist, also ff« ^ ^ ^ JJ« und
X mit abnehmendem i^ wächst, so ist nur das positive Vorzeichen zu
brauchen.

Man schreibe x in der Form:

^ = 9 + 64-'!^^^*«'^^ + ^^^^+^^^*^
und entwickle |/49 + 48tg*-|-t(; in eine Reihe:

>/49 + 48tg«|t(;=7(l + g tg« jtf;)^ = 7(1 + g tg« |t(; =F • • •).
Daher wird

9 + 64tg»i^
Nun ist

D T = m = /(x - I a)« + y» = V«« + y» + üa» - I aa: = yga» - I aar.

Ersetzt man hierin n? durch obigen Ausdruck, so geht m nach einigen
Vereinfachungen über in:

_ g t/9 + 46g t g«"i7±T::

*^ 8 '^ 9 + 64tg»it/;
oder nach ausgeführter Division in:

»»=;-[i+iitg»itT--]^=j[i + j5tgH'»'+---].

Durch Einsetzung von tg|t(; = jt/; + | (|^j + • • • erhalt man weiter

Wird der zum Bogen DT gehörige Winkel mit (p bezeichnet, so ist

sin = — oder da 2r = -. — p-: sin ^ = - sin li(> und somit
22r sin^V» 2a»^ v****«

= arc sin (— sin jt(;j. Unter Anwendimg der Beihenentwickelung fOr
arc sin (— siuytf;) und Einsetzen des Wertes för m folgt:

WO noch sin yt(; durch die Reihe ersetzt worden ist.

Vermischte Mitteilungen.

135

Nach ausgeführter Multiplikation ergibt sich:

6

2». 8^

9-itf; +

1184

*'±

I>ie Konstruktion ist, wie unmittelbar ersichtlich, genau für t/; « und
^ => 180^. Zwischen diesen Werten finden Abweichungen statt. Der Fehler,
der dadurch entsteht, daB der durch Ä und B gehende trisezierende
Sjperbelast in der vorliegenden Konstruktion durch den durch diese Punkte
gehenden Kreis ersetzt ist, wird durch nachfolgende Tabelle gegeben, in
der 6 den nach der ursprünglichen Formel

9
sin g

gm

*

1/91 __ 5 .

^18 8

(¥ + |ctg|t»;>/49ctg«|tf; + 48),

2 r 18 » 9ctg*iV» + ö*
^ den mittels des Gliedes {^t|;' berechneten Fehler bezeichnet.

'C

20«

30»

40®

50®

9

6« 40'

10»

13® 20'

16® 40'

i

7,776"

26"

1'

1'54"

it

7,737"

26,1"

1'1,5"

2'0,9"

^

60»

70»

80®

90®

9

20«

23» 20'

26® 40"

30®

i

3' 8"

4' 50"

6' 34"

9' 10"

«1

3' 29"

5' 13,5"

8' 15"

11'45"

*

100"

110»

120®

130®

9>

33« 20'

36»40"

40®

43® 20'

i

11' 36"

14' 16"

16'42"

18' 8"

«1

•

27'51"

*

136»

138«

140®

142®

9

46«20'

46®

46® 40'

47® 20'

d

X

19' 14"

19' 18''

19' 24"

19' 22"

"1

146«

150<>

160®

170®

176®

9

48»40'

50®

53® 20'

56® 40'

58® 40'

i

19'14"

18'46"

15'52"

10'

4' 38"

*i

54' 24"

Eine Vergleichung der Werte von ö^ mit denen von 6 läßt erkennen, daß

jijif;* den Fehler bis zu 30® angenähert wiedergibt. Femer

136 Yermischte Mitteilungen.

zeigt die Tabelle, daß der Fehler erst bei t|; = 40^ den Betrag einer
Minute erreicht. Das Maximum der Abweichung des Winkels q> von -|i|;
liegt bei 140® und betragt 19' 24".

Berlin, den 23. April 1906. stud. math. Werner Gaedecke.

Zu 34 (Bd. n, S. 218) (E. N. Barisien). — Le folium qui a pour
equation en coordonnees rectangulaires

a un p^rimetre äquivalent a celui d'une ellipse de demi-axes de longueur
a et 2a.

Das Bogendiflferential ds hat die Form: e?5=»rfg)T/r* + \ß-\ , mithin

für unsere Kurve ds = dq) Ya* cos^ 2 g) + 4 a' sin* 2 g), woraus für den achten
Teil des Umfangs:

n
7

8

8

4

n

mithin für den ganzen Umfang: 5 = 4a 1 yi + 3^n* 2g) e2(2g)j. Andrer-

"/'

seits lautet die Parameterdarstellung der Ellipse, welche die Halbachsen a
und 2a hat: o; = 2a cos g?, ^ =» a sin g), also wird

ds = ydj^ + dy^ = a l/4 sin* g) + cos* g) dtp,
oder ds ^ a Yl + 3 sin* g) (ig). Für den Bogen der Ellipse wird daher

n
2

5 =» 4a / yi + 3 sin* (p dq>. Nun ist leicht zu sehen, daß die beiden

Bogenintegrale übereinstimmen; d. h. „die vongelegte Kurve hat mit einer
Ellipse mit den Halbachsen a und 2 a gleichen ümfang.^^ *

Ich füge noch die Bemerkung hinzu, daß auch die Flächeninhalte der
beiden Kurven untereinander in einfacher Beziehung stehen.

Bezeichnet nämlich F den Flächeninhalt der Kurve, so ist dF=^\r^dfpy

n
4

mithin F ^* ^a^ \ cos* 2 g) r/g? = - • Der Inhalt unserer Ellipse ist 2 a*«,

d. h. „der Inhalt der vorgelegten Kurve ist gleich dem vierten Teil des
Inhaltes einer Ellipse mit den Halbachsen a und 2a.'^

Berlin. stud. math. Werner Gaedecke.

\

Veimiscbte Mitteüusgeii 137

Zu 41 (Bd. n, 357) (E. Lampp). — Von der Spitze einer Kardioide
lieie man den Radius OP nach einem beliebigen Punkte P dersplben und
hwhreibe über OP als Darchmesser in der 7,nr Ebene der Kurve senk-
rechten Ebene einen Kreis. Welcbes ist die Gleicliuug der krummen Ober-
fläche, die durch alle so konstruierten Kreise erzeugt wirdV Welches ist
äu Volumen dieser OberÖÜcbe?

Es sei (1) r^=l'{6) die Gleichung einer Kurve in ebenen Polarkoordi-
csten r, 6 mit dem Ursprung 0, wo f{B) eine stetige und eindeutige Punktion
des Argumenta bedeuten möge. Über jedem Radiusvektor r als Durchmesser
erricblen wir den Kreis, dessen Ebene senkrecht auf der Koordinaten-
ebeuf steht; diese KrPise bilden in ihrer stetigen Aufeinanderfolge eine
Wnune Fläche, deren Gleicbtmg wir zunächst aufstellen wollen. Ist Q ein
'ansbler Punkt dieser Oberfläche und schließt OQ =- e mit der Koordinaten-
ebene den Winkel m ein, so ist bekanntlich (2) p ^ r - cosoi. Daher ist
die Gleichung der Oberfläche (3) u = /'(ö) ■ cos » in räumlichen Polar-
koordinaten e, B, a. Wenn die ursprüngliobe Ebene die a:,'/-Ebe.ne war, so ist
der Übergang zu rechtwinkligen Koordinaten gegeben durch die Gleichungen

Die Korve (l) möge die Grandkurve und die erwähnten Kreise die er-
WQgtnden Kreise der Fläche (3) genannt werden.

Wir stellen uns die Aufgabe, die Oberfläche iJ und das Volumen V der
Räche (3) zu berechnen.

Nimmt man auf der Grandkurve ( 1 ) zwei unendlich benachbarte Punkte P
Md P* au, so ist PP' = rfs ein Uogenelemeut von (l), und die beiden
Bad iea Vektoren OP = r und OP' ^^ i' -\- dr bilden mit einander den infini-
tesimalen Winkel d6\ denselben Winkel d$ schließen auch die Ebenen der
beiden durch OP nnd OP' gehenden erzeugenden Kreise ein, welche auf
"ST Fläche (3) ein unendlich schmales sicbelfSrraiges Oberflächen dement d£l
'toid bin unendlich dünnes keilförmiges Volumelement dV begrenzen. Legt
^•an jetst durch die drei Punkte 0, P und P' in der x^-Ebene den Kreis
(Ij) r = 2<-co3(Ö — y), dessen Mittelpunkt die Polarkoordinaten c, y hat,
jfd brtrachtat diesen Kreis als Grundkurve, so ist die erzeugte Fläche die Kugel
(^t) ( = 2 f cos (6 — j^l cos » oder -}? -f i/' -|- z' = 2 c (x cos j- -{- y sin y),
•of welcher die beiden durch OP und OP' gelegten erzeugenden Kreise
*** Oberflächenelement rfii, und da.s Volumeleraent dV^ begrenzen. Diese
^"eei (3,) berührt die Fläche (3) läugs des durch OP gelegten erzeugen-
«n Kreises. PP' als Bogenelement des Kreises (1,) möge mit ds, be-
**ich]iet werden. Dann ist bis auf unendlich kleine Größen höherer Ord-
"oiig nii^ht nur ds = ds,. sundern auch (4) dU = di.l^ , dV = rfF,. Ist
|""i fl, der sichelförmige Ausschnitt der KugeloberÖäcbe (3,), der begrenit
■^^ Ton den erzeugenden Kreisen 6 ^^ y und ß =■ 6, so ist bekanntlich
^ = 2r'n8in{ö — y), daher i/ii^ = 2cV cos (6 — y)*!», oder einfach,
"«ilnich (1,) 2ccoB(0-Y) = r und 2c(iö-ds, — ds ist, dß, =|-rds,
»1» nacli (4)
(S) dfl = |rerds.

Ist andrerseits F, der keilförmige Aasschnitt des Kugelvolumens (3,),
tegremt von den erzeugenden Kreisen ö = y und Ö = ö, so ist, wie bekannt.

1

138 YermiMhle MitteihnigCM,

Fj = n^ §iii(« — j) [1 — |8in»(« - 7)], daher dV^ = «c*oob»(0 — y) dö,
und nach (l|j dF^ ^=^\ni^d6^ demmich wegen (4)

(6j dF = |«HdO.

(VgL die Bemerkong des Herrn £. Lampe zn der Ton Herrn W. Stege-
mann gegebenen Lösung Band Vll, 173.)

Die Formeln (5) und (6), in denen nnr die Kootdinaten r und der
Grondknrre (l) vorkommen, können leicht integriert werden. Ist etwa B
die Unabhängige, so seien die Grenzen B^ und B^^ dann ist unmittelbar

(7) Ä=*j;.^.dd, (8) r = ^ff'-de.

Diese Formeln lassen sich auch ans den gewöhnliehen Dqppelint^ral^i her-
leiten, welche f&r die Oberfläche and das Yolnmen der Fttehe (3) aufgestellt
werden können.

Beispiele: A) Die Grondknnre sei die Eardioide r -» 2a cos* ^. Hier

OB

ist d8^2aco8 — 'dO: daher wird dÄ=2«a*co»*^-d0, dF=-«a* co8*^-dö

Q

das Oberflächen- bez. Yolumelement des Körpers q =» 20 006* — • cos a.

Integriert man von = bis = tt, so erhält man als halbe Ober-
fläche bez. halbes Volmnen:

Ä = 2Äa* /cos*!^ • rf0 «f «a*,

71

= na^ I i

cos«|.(i0 = i^7r«a».

B) Die Lemniskate r = a}/cos20 als Grundkurve liefert ds

ade

Für die betreffende Fläche hat man d^ « jjta*rf0, (iF = |7ra' cos« 20-^0.
Durch Integration von = bis =» -7- findet man als vierten Teil der
Gesamtoberfläche Ä^jTr'a', während der vierte Teil des Gesamtvolumens

Tt

4

F=|jta'/cos2 2 0.(^0

ist. Nun ist identisch:

d(8m 20"l/cös20) = (3 cos« 20 - , ^ ^ • dB,

daher umgekehrt:

/cos« 2B'dB ^\ C r^-- + i-siii 20ycos'20

Yermischte Mitteilungen. 139

and durch Eänftthrang der Grenzen 9 •— und B => -^

7 = i

*"'/i

rt

T
dB

"|/C08 20

Substituiert man noch sin =» -;:r • sin qo, so wird:

1/2

24 y2 J |/l — iBin*9 24 V2 VV^/

welches also den vierten Teil des Gesamtvolumens darstellt.

C) Zum Schluß wollen wir noch die 2w-blättrige Rosette, die in Polar-
koordinaten durch die Gleichung r* = a*cos'«ö gegeben ist, zur Grund-
kurse w&hlen. Beschränken wir uns auf ein Blatt, indem wir etwa

zwischen den (Frenzen 4- r— nehmen, so ist

-^ 2n '

r '^ a cosn0, ds = a ]/cos* nO +n^ sin* nO • dO,

Ä = |«a* /cos n e ycos*«0 + w»sin«w0 • ei0 ,

7t

in

V^^Tca^ Ccoa^nO-de,

in

Halbieren wir das Integrationsintervall und multiplizieren wir dafär das
Integral mit 2, so kommt, wenn man noch 6 » f einfahrt.

it

Ä =» 1 cos (p |/cos* g> + »* sin* q)'dq>

n
T

F =« -^ — I cos' qp • ao) = - —
4n^ ^^*

In i2 setzen wir sin 9 = o; und erhalten dann :

1

Aussig (Böhmen). stud. math. J. Eruq.

140 Yermischte Mitteiluzigen.

Zu 126 (Bd. IX, S. 91) (E. Jahnke). — Mit Benutzimg der Gra
mann sehen Methoden läßt sich jede Gerade (als gebundener Vektor a
gefaßt) durch die Kanten des Bezugstetraeders E^E^E^E^ darstellen, wo
die Koeffizienten die bekannte Plückersche Bedingung erfOUen. Sind

■^8 ^ ''il-^l + ^82-^2 + ^88-^8 + ^-^4» ^^i "^ ^

zwei beliebige Punkte, so stellt das äußere Produkt

\P^P;\ = a^,[E,E,] + a„[i;,Ej + • ■ • + a^t[E,Et\

eine beliebige Gerade (gebundenen Vektor) dar. Dabei bedeuten die a^

die sechs Unterdeterminanten der Matrix

Ebenso bildi

^^21 ^"^22 ^28 ^Hl
^81 ^^2 ^^8« "^84

ich die äußeren Produkte [i^sP^], . . . [-Ps^J imd erhalte die vektoriellen
Darstellungen der Kanten des Tetraeders P^P^P^P^, Löse ich diese Glei-
chungen nach den Kanten des Bezugstetraeders auf und nenne a^^ die zu a^
gehörigen Unterdeterminanten, so ist z. B.

Da nun die rechte Seite eine Gerade darstellen soll, muß sein

a.l CCii + a,-2 «,-5 + «i8 «<6 =• ö (. = 1,2,...«)

Berlin. E. Jahnke.

Zu 180 (Bd. IX, 303) (A. Krug). — Es soU du Anzahl der Schrntt-
punkte der Diagonalen eines konvexen n-Ecks im Innern und außerhalb des
n-Ecks bestimmt werden.

1. Zunächst mögen alle Schnittpunkte als voneinander verschieden an-
genommen werden. Wir betrachten die von einer Ecke, etwa A^j des
Polygons A^ , , . Ä^ ausgebenden n — 3 Diagonalen. Dann findet man
leicht, daß die Diagonale A^A^ gerade (v — 2) (^ — ^^ Schnittpunkte inner-
halb des w-Ecks enthält. Z. B. liegen auf A^A^ 3 (n — 5) Schnittpunkte. Von
den S (n — 3) Diagonalen, die von den Ecken A^^ A^ und A^ ausgehen^
kommen nämlich in Abgang: aus der Ecke A^ die Diagonalen A^^ und
A^Aß, von A^iA^A^ und A^A^^ von A^: A^A^ und -4^-45; und so liefern
allgemein die (y — 2) (v — 3) Diagonalen A^A^^ für die r < 5 ^ v ist^
keine zu zählenden Schnittpunkte. Die Anzahl S aller Schnittpunkte, die
auf den n — 3 von A^ ausgehenden Diagonalen liegen, ist demnach:

5 = 1 . (w — 3) + 2 . (w - 4) H -I- (n — 3) . 1.

n-3

= ^^ V (w — 2 — v).

Diese Summe zerlegen wir in zwei: S =^ S^ — Äg, wo:

(2) Si = 1 • « + 2 • n H f. (n — 3)w,

(3) i^j = 1 . 3 + 2 . 4 H + (n - 3) (n - 1)

(1)

Vermischte Mitteilungen. 141

Nach bekannten Sätzen der Kombinatorik wird:

(n-3)(n-.2)

2

(4) 8,^n

ir^\ Q (n-8 )(n- 2)(2n-6) , ^ (n-8)(n- 2) (n- 2)(n~8)(2n + l)

$lso

,ßx o (n-l)(n-2)(n ~8)

Wenn wir nun 5 mit n, der Anzahl der Ecken, multiplizieren, so er-
halten wir das Vierfache der Anzahl der Schnittpunkte, denn z. B. wird der
Schnittpunkt der Diagonale Ä^Ä^ und Ä^Ä^ bei den vier Punkten Ä^, J^,

A^j A^ jedesmal neu gezählt. Also ist t'^ ^ (4) ^^® Anzahl der im Innern

des n-Ecks liegenden Diagonalschnittpunkte.

2. Es können mehrere Schnittpunkte in einen einzigen zusammenfallen.

Gehen durch einen Schnittpunkt k Diagonalen , so ist ^i" ( « ) ™^ ^^ zählen,
weil sich ja ,4^ allgemeinen Falle^^, der bei der Abzahlung im § 1 zugrunde
gelegt wurde, k Gerade lj\ mal zu je zweien schneiden.

3. Nunmehr wollen wir feststellen, wie groß die Anzahl der außerhalb
des n-Ecks gelegenen Diagonalschnittpunkte ist. Diese ist offenbar gleich
der Zahl aller Schnittpunkte, vermindert um die Anzahl der Schnittpimkte
im Innern und um die der Eckpunkte; es fragt sich nun, wieyielfach jeder
Eckpunkt -4.^ des n-Ecks zu rechnen ist. Es schneiden sich w — 3 Diagonalen

in ihm, also ist jeder Eckpunkt ^^ -^ mal zu zu zählen. Die An-

«W düer Schnittpunkte der ^ (« — 3) Diagonalen aber ist

y(«-3)»-i-(n-3),
folglich ist die Anzahl @ der außerhalb liegenden Schnittpunkte
(7) @ = ^ („ _ 3)«_ J („ - 3) - C) - „ (!Lr_3)^!L^.

£ine leicht zu verifizierende Rechnung ergibt:

S = ^{2«*— 24t7»-f 114w*— 120n)
4)der

Potsdam, den 19. August 1905. Otto Meissner.

Zu den Ausführungen des Herrn 0. Meißner möchte ich mir zwei
Icuize Bemerkungen gestatten:

Nach Formel (1) könnte, wie folgt, fortgesetzt werden:

n— 8 n— 8

= (« - 2)^v -^v\

142 Yermischte MitteUungeii.

nach bekannten Formeln für ^v und ^v*

/ 9^ (n-2)(n-3) (n- 2)(n - 8)(2n - 6) (n - 1) (n - 2) (n - 8)

womit gleich die Formel (6) gewonnen ist.

Die Anzahl der im Innern gelegenen Diagonalschnittpnnkte läßt sich
unmittelbar angeben, wenn man bedenkt, daß je vier Eckpunkte einen und
nur einen im Innern gelegenen Diagonalschnittpunkt des konvexen n- Eckes
bestinmien. Ihre Anzahl ist also gleich der Anzahl der Kombinationen von

n Elementen (den n Ecken) der vierten Klasse ohne Wiederholung =»( j •

Aussig, Böhmen. A. Kbuo.

Zu 182 (Bd. IX, 303) (M. Peche). — Erste Lösung: Der Mittelpunkt
des Grundkreises der Kreisevolvente sei Jtf; die Normale PN berühre den
Grundkreis in Q; durch Q lege man die zu NT senkrechte Gerade, die
NT in P' trifft, und von M aus fälle man auf QP' das Lot MQ'\ außer-
dem setze man MQ = r, MQ' = r'. Dann sind die Dreiecke PNTj P'NQy
Q' QM ähnlich; daher hat man

AP TP '
mithin, da TP ^ MQ ist,

QQ' + QP^_mq;^ .

NP+QN " MQ ^^^^ PQ " MQ ~~ r

Weü ^P'Q'M^PQM^90^, so ist AP'Q'Mr^PQM, und weü QP
Tangente des Kreises (itf, r) und P ein Punkt der Evolvente dieses Kreises
ist, so ist auch ^'P' Tangente für den Kreis (M, r') und P' ein Punkt
der zugehörigen Evolvente, und da außerdem noch <^ ^'P'T= 90® ist, so
ist die Gerade P' T oder NT Tangente dieser Evolvente. Letztere wird
also von der Geraden NP eingehüllt. Der Radius r' ihres Grundkreises
ist gleich der Projektion von P2' auf JVT; denn wenn man von P aus auf
NT das Lot PE fällt, so ist AQQ'M^PBT, mithin MQ' ^ BT,

Prenzlau. W. Stegemann.

Zweite Lösung. — sei der Mittelpunkt des Grundkreises mit
dem Radius r und P ein Punkt der Kreisevolvente, welche ihre Spitze
in S auf der Peripherie des Kreises hat. Durch P ziehen wir die
Normale, welche den Grundkreis in M tangiert, und die Tangente, auf
welcher wir PT = MO abtragen. Der Winkel MOS sei a; folglich ist
PM = TO =» rof, d. i. die Entfernung der Tangente vom festen Kreismittel-
punkte. Bewegt sich nun der Punkt M auf der Kreisperipherie um den
Zentriwinkel Ja weiter, so erleidet gleichzeitig die in P an die Kreis-
evolvente gelegte Tangente, da sie mit dem Radius OM stets parallel ist,
eine Rieh tungs Verschiebung um Ja und eine Entfemungsvergrößerung von
um rJa. — Wir können umgekehrt auch behaupten: „Wenn sich eine
Gerade PT in der Ebene so bewegt, daß jeder Richtungsänderung um den
Winkel Ja eine Entfemungsvergrößerung von einem festen Punkte um

QP'
QN

MQ'

P'Q'

MQ'

YermiBchte Mitteilungen. 143

rAti entspricht, wobei r ein konstanter Proportionalitätsfaktor ist, so um-
hfillt diese Gerade eine Ereisevolvente, deren Grundkreis zum Mittelpunkt
und r zum Radios hat.^^

Wenn wir nun auf der Geraden MP das konstante Stück FN ab-
tragen und den Punkt N mit T verbinden, so läßt sich auf die Gerade
TIS der eben aufgestellte Satz anwenden. Nämlich: Das rechtwinkelige
Dreieck TFN bleibt bei seinem Fortrücken mit sich selbst kongruent.
Jeder Bichtnngsänderung von PT um /ia entspricht dieselbe Änderung bei
TS. Die Entfernung der Geraden TN von ist gleich der Höhe des
Parallelogramms TNN'O^ dessen Grundlinie TN parallel mit ON' ist.
Dieses Parallelogramm ist üächengleich mit dem Rechtecke OTPM=^r*rct.

Daher ist jene Höhe =* 7^'<^? '^^^ die Entfemungsänderung der Geraden

TS Yon bei der Drehung um den Winkel ^a beträgt rpj^ • -^a. Daher

hüllt die Grerade TN eine Kreisevolvente ein, deren Grundkreis ziun

Uittelpunkt und -=i^ zum Radius hat. — Zieht man in dem rechtwinkligen

Dreiecke TPN die Hypotenusenhöhe PÄ, so folgt aus der Proportion

TBiPT^PTi TN, daß -^ =- TE ist. — Die Spitze S' der neuen Kreis-

eTolvente Hegt so, daß ^808'-==^^ PTN.

Aussig, Böhmen. stud. math. Josef Krug.

Zu 133 (Bd. IX, 377) (E. Jahnke). — Ist der Mittelpunkt des
^^ises, so ist im Teildreiecke BCO die Seite BC ^ a Sehne des

Umkreises und der dazugehörige Peripheriewinkel =» tt — — ^", daher

a = 2r^ cos ^, also r^ =

2coB ^a'

wenn r^ der Umkreisradius von BCO ist, und entsprechend r^, r^, woraus
«le angegebene Proportion folgt:

ß Y Y a aß

r^ir^ir^^ a cos ^ cos ^ : o cos | cos - : c cos ^ cos ^ •

Andrerseits ist aber auch a Sehne des zu ^B (7 gehörigen Umkreises, dessen
^us R sei, daher bekanntlich a = 2jB sin a, demnach r^ = 2JR sin |cf,

"^^ hieraus ergibt sich r^ : r^ : r^ = sin - : sin |^ : sin | •

Ahnliche Formeln lassen sich auch für die Umkreisradien jener Teil-

^ecke aufstellen, die ihre Spitzen in den Zentren der angeschriebenen
^ise haben.

Aussig, Böhmen. A. Krug.

Gleiche Lösungen sind auch von den Herren R. Güntsche, H. Wie-
Ifitner, stud. math. Baruch (Berlin) und F. A. Müller (Aschaffenburg)
öngelaufen. Red.

Die Aufgabe war als Übung zu den Graßm an n sehen Methoden ge-
^t; eine vektorielle Lösung wäre erwünscht. E. Jahnke.

144 YermiBchte Mitteilungen.

Zu 134 (Bd. IX, 377) (E, Cesaro). — Die Liouvillesche Formel ffir
die geodätische Krümmung lautet (Enc. d. math. Wiss. III D 3, Nr. 12):

/^N 1 dt , cosf eint

Hierbei bedeuten K^ und K^ die geodätischen Krümmungshalbmesser
der rechtwinkligen Parameterkurven und i den Winkel zwischen der Fl&chen-
kurve und derjenigen Parameterkurve, zu der K^ gehört. Bei einer
Eotationsfläche ist für die Meridiane als die eine Schar der Parameterkurven
1/^2 » zu setzen. Da für die Loxodrome i konstant ist, so folgt:

Der geodätische Krümmungsradius K^ des Parallelkreises einer Rotations-
fläche ist gleich dem Abschnitt der zugehörigen Meridiantangente, der
zwischen Kurvenpunkt und Achse liegt. Nun ist für die Evolute einer
Bibauco urschen Kurve der zwischen Kurvenpunkt und Direktrix gelegene
Abschnitt der Tangente proportional dem Krümmungsradius q der Bibau-
co urschen Kurve; denn letztere ist eben dadurch definiert, daß der Ab-
schnitt ihrer Normale, der zwischen Kurvenpunkt und Direktrix liegt,
proportional q ist. Wir können daher Ä^ = «^ setzen, sodaß

/Q\ ^ »int

ist.

Nun ist das Linienelement ds' der Evolute «= dg. Ferner ist, da
f « < (ds, ds') ist, ds • cos« = r?s'=» dg. Man hat also (bei geeigneter
Wahl des Anfangspunktes von s) g = s • cost, und endlich

(4) 1{ = n ' cotgt • s.

Stuttgart, 16. November 1905. E. Rath.

Zu 136 (Bd. X, S. 97) (E. Jahnke). — Erster Beweis: Vier Punkte
uäj, -^2, -^g, A^ einer Ebene sind durch die Relation

[Ä,A,Ä,]Ä, - [Ä,Ä^Ä,]A^ + [Ä,A,Ä,]A^ - [^^^3]^, «

verknüpft, wobei [^^ulj^^] — [^j^^^ij + [A^A^A^] — [^^ Ji^^j] = ist
(vgl. Jahnke, Vorlesungen über die Vektorenrechnung, Nr. 24). Nun ist
[-4^^^-4,] gleich dem doppelten Inhalt des Dreiecks A^A^A^^ also gleich
^•* • %/ ' sina^, wobei a-j^ ^®^ Abstand A^A^ und aj^ den Winkel bei A^
bedeutet. Liegen die 4 Punkte auf einem Kreise, so gilt außerdem

sin aj sin a, sin a, sin «^

«24 «81 «41 ~" «18

Die erste Gleichung nimmt daher die Form an:

«28^4^84 • A — ^^84«^l«81 * ^2 + «41 «12 «42 ' ^8 + «12 «28 «18 -^4 = 0,

wobei die Summe der Koeffizienten der vier Punkte gleich Null ist.
Stuttgart. E. Rath.

VermiBchte Mitteilungen. 145

Zweiter Beweis: Sei Ä^A^Ä^Ä^ ein beliebiges Viereck ohne einspringende

Kinkel nnd A der Schnittpunkt der beiden Diagonalen Ä^Ä^ und Ä^Ä^.

Setzen wir die (positiv gerechneten) Flächen der vier Dreiecke Ä^Ä^Ä^,

Ä^A^A^, Ä^A^A^ und A^A^A^ bezüglich gleich f^, f^, f^ und f^^ so ist

selbstverständlich ^ . ^ ^ . ..

/i + /i - /i + h
oder

(1) h-ft + U-h" 0.

Lassen wir bei horizontal liegendem Viereck in A^ und A^ parallele
ond Tertikai nach abwärts gerichtete Kräfte von der Größe /*j, beziehungs-
weise /j angreifen, so ist bekanntlich ihre Resultierende ^^ /i + /*s eben-
&Us vertikal nach abwärts gerichtet und greift in ^ an; greifen aber
ttidrerseits in A^ und A^ parallele und vertikal nach aufwärts gerichtete
Gräfte von der Oröße f^^ beziehungsweise f^ an, so ist ebenso deren Re-
sultierende =^ /s -f /i vertikal nach aufwärts gerichtet und greift auch in A an.
•Daher stehen die vier Kräfte /"j, f^^ f^^ f^ im Gleichgewichte, was man im
Sinne des baryzentrischen Kalküls schreibt:

Ist das Viereck A^A^A^A^ speziell ein Sehnenviereck, so haben die
vier Breiecke A^A^A^, A^A^A^, A^A^A^ und A^A^A^ ein und denselben
Umltxeis vom Radius r; multipliziert man (l) und (2) gliedweise mit 4r,
^o kann man jede Größe A:rf^ durch das Produkt der drei entsprechenden
*^>^ecksseiten ersetzen.

Aussig, Böhmen. Stud. math. Jos. Bjiüo.

Zu 138 (Bd. X, 8. 98) (0. Gutsche). — Die Seiten des größten

^^ Kardioide r = 2a(l + cosg?) einbeschriebenen Rechteckes sind jedenfalls

parallel zu den Koordinatenachsen. Sind P^ die vier Eckpunkte (i = 1, 2, 3, 4)

>^t den Koordinaten a:^, y^ oder r^, q>^ und sind Pj und Pj die zwei Eck-

pwkte, deren Ordinaten y^ » y^ positiv und deren Abszissen x^^ x^ sind,

80 ist die Fläche des Rechteckes

(^^ F =» (r^ cos g)j — r^ cos gjj) (r^ sin g)i + Tg sin 9p,)

zu einem Maximum zu machen, während die vier Variabein r^, (pi^ r^, fp^
den Gleichungen •

(2) fj == 2a(l + cos yj, r^ = 2a(l + cos y,), r^ sin 9^ = r, sin 93
jenfigen. Die Variabein (p^ imd tp^ lassen sich leicht fortschaffen, denn

r- — 2 a . l/r/ (4a — r^)
cos Wi = -^ , sm o). «- '^ *' '

Statt (1) und (2) bekommt man also:
(lO 4a«P- (r^ - r,)(r, + r, - a)(r, 1/^^(4^"^^ + r3yr,(4a - r,))
(20 rf + rjr, + r^r\ + r| - 4a(rf + r,r, + rj) = 0.

Jetzt fahrt man statt r^ und r^ die beiden neuen Variabein

AzehiT dar M»thein»tlk und Fhytik. TU. Reihe. XL 1^

146 VermiBchte Mitteilungen,

ein, dann erh&lt man statt (2^)

oder

(2") s»-4a.«

Aus (3) folgt aber wegen r, > r^

8 + }/«• — 4e « — y«» — 4«

^1= 2 ' ^«"" 2

und mit Rücksicht auf (2")

8(]/s~2o + |/6a--g) g(ys — 2o~y6o — ^)

2y« — 2a 2yÄ — 2a

Setzt man diese Werte für r^ und r, in (l') ein, so kommt nach
einer kurzen Zwischenrechnung:

(1") 4a^JP- /(6a - sfis - 4a)'»(s - 2a)" *,

also ist die Fläche des Rechtecks durch die einzige Variable s^^ r^-^- r^
ausgedrückt Für das Maximum von F hat man bekanntlioh dF »» 0.
Mithin ergibt sich die Gleichung:

i-_i_ + ^ ^

8 6a — 8 « — 4a s — 2a
oder

5« — 10 a5* + 30a*5 — 30a» = 0.

Die einzige reelle Wurzel dieser Gleichung berechnet man mit Hilfe
der Cardanischen Formel und findet 5 — |(10 + VlÖÖ + YlÖ).

Aussig, Böhmen. Stud. math. Jos. Kruo.

Zu 139 (Bd. X, S. 98) (0. Meißner). — Auf ein horizontal liegen-
des, ebenes, aus rechteckigen Maschen mit den Seitenlängen a und h be-
stehendes Gitterwerk wird eine Nadel von der Länge c geworfen. Wie groß
ist die Wahrscheinlichkeit, daß sie auf dem Gitterwerk liegen bleibt?

Unter den angegebenen vereinfachenden Voraussetzungen ergibt sich^
wenn a'^ b'^ c ist, für die verlangte Wahrscheinlichkeit

c«

w =

'2ab7t^

in allen andern Fällen gestaltet sich das Resultat viel verwickelter; z. B.
wenn a > c > & und gleichzeitig c < 2 & ist, dann ist

4 6c — 2 6* — c*H- 4al/c* — 6* — 4a6arcco8 —

' ^ c

W = r — i: ,

ist aber a^ c>h und gleichzeitig c > 2 6, dann ist

6* + 2 a (-j/c' — 6* — l/c* — 4 6«) — 2 a6 (arc cos 2 arc cos — -j

ahn

Vermischte Mitteilnngen. 147

^ den übrigen Fällen, in denen c > a ist, gestalten sich die Endformeln
Dieist noch etwas länger. Die Herleitung dieser Formeln erfordert zwar
einige Geduld bezüglich der erschöpfenden Aufsuchung der günstigen Fälle,
bietet jedoch keine prinzipiellen Schwierigkeiten.

Aussig (Böhmen). stud. math. J. Krug.

Zusatz des Aufgabestellers: Für a> b "^ c findet sich die gesuchte
Wahrscheinlichkeit direkt bei Czuber, „Geometrische Wahrscheinlichkeiten
und Mittelwerte"; Leipzig 1884, auf S. 93; jedoch nur infolge eines Ver-
sehens des Verfassers. Nachdem er nämlich mit g^ ^ ^^® Wahrscheinlich-
keit bezeichnet hat, daß die Nadel überhaupt zwei Gitterlinien trifft, be-
rechnet er die Wahrscheinlichkeit, daß der Mittelpunkt der Nadel dabei
zwischen die beiden Tref^unkte fällt, d. h. die in meiner Aufgabe verlangte
Wahrscheinlichkeit.

Gleich 1 wird die Wahrscheinlichkeit erst, wenn c > 2ya^ + ^^i nicht

schon im Falle >/«* + h^ < c < 2 j/ä^ +^^

Potsdam, 6. April 1906. Otto Meissner.

Zu 143 (Bd. X, S. 197) (J. Krug). — Es soll die Anzahl der Kom-
binationen von n Elementen zur rten Klasse ohne Wiederholungen, wobei
keine Komplexion zwei benachbarte Elemente enthalten darf, ermittelt werden.

Man bezeichne die Elemente durch die Zahlen 1, 2, 3, ... n und die
Anzahl derjenigen hier in Betracht kommenden Kombinationen zur rten
Basse, die mit 1 beginnen, durch z^. Ist zunächst r = 2, so hat man,
^t 1 beginnend, die Amben 13, 14, 15, . . . 1 (w — 1); es ist also ;?, = « — 3.
Geht man zu den Temen über, und bezeichnet man jede Teme, die mit
1 l>eginnt imd mit k endigt, durch III^^, so beginnt die Reihe der Temen
^t nig und schließt mit in„_i. Es gibt nur eine Teme lüg, nämlich
135, zwei Temen lüg, nämlich 136, 146, drei Temen IH,, nänüich 137,
1^7,157 usw. Die Temengruppe ni^_i umfaßt die Temen 13(« — 1),
14(n— 1) . . . l(n — 3)(« — 1); ihre Anzahl ist « — 5. Demnach ist

^=l + 2 + 3 + ... + (n-5) = (^^>ij:=-*) = J'*5,

wenn Fq'^ die qte figurierte Zahl j?ter Ordnung bezeichnet. Die Reihe

der Quatemen beginnt mit IV^ und endigt mit IV^_i. Es gibt nur eine

QuÄteme IV,; sie wird aus der Teme Illg gebildet. Die Quatemen der

Grappe rVg werden aus den Temen III5 und ÜFg gebildet; ihre Anzahl

ist 1 + 2 = 3. Die Quatemen der Gruppe IVg entstehen aus den Temen

JH^^ nig, III7, und es sind ihrer 1 + 2 + 3 = 6. In gleicher Weise geht

es weiter, und man findet

^4=1 + 3 + 6 + ... + Fi?!.^ = Fl?Lr.
^5 = 1 + 4 + 10 + . . . + -Fi»i9 = K'l 9;

z, = 1 + i^'— > + F'j--'' + '" + Fir-ii+i - K'iv;

2 T ^S -T ' ' ' T -^n-ir + 1 = -^ H-ir + 1

)(n — 2r + 2)» • • I
1 . 2 . 3 • . • (r — 1)

(n — 2r + l)(n — 2r + 2) . . . (n — r — 1) /n — r—l\

= =1^ ^__^ y

10

148 Vermischte Mitteilungen.

Aus diesen z^ Formen erhält man durch zyklische Vertauschung der »
Elemente nz^ Formen, von denen jedoch immer je r Formen in eine zu-
sammenfallen. Es ergibt sich also

<-="("7:t')-

Diese Zahl gibt an, wieviele verschiedene konvexe nicht sternförmige
r-Ecke sich einem konvexen n-Eck so einbeschreiben lassen, daß die Seiten
des r-Ecks zugleich Diagonalen des n-Ecks sind.

Prenzlau. W. Stegemaxn.

Zu 144 (Bd. X, S. 197) (E. Cesaro). — Die geodätische Krümmung
1/R einer Flächenkurve läßt sich nach Liouville (Enc. d. math. Wiss.
IIIDS, Nr. 12) mit Hilfe der geodätischen Krümmungen l/K^ und 1/K^ der
rechtwinkligen Parameterkurven r = const. und u = const. ausdrücken:

Ä ~ ~ d« "^ "äT "*" iC "

i ist der Winkel zwischen der Flächenkurve und der Kurve u = const
Wählt man auf der Rotationsfläche die Meridiane als die Kurven v =» consi,
so ist für sie VK^ = 0, während für die Parallelkreise K^ = r/sin g> ist,
wobei r der Halbmesser des Parallelkreises und q> der Winkel zwischen
Achse und Meridiantangente ist. Ist S der Schnittpunkt der zum Punkt
M gehörigen Meridiantangente mit der Achse, so ist SM = K^. Nun soll
das von N auf die Tangente 3fT der Flächenkurve gefeite Lot ST gleicl
der Konstanten a sein. Es ist also

a = SM ' cos » = Ä« cos t = —. •

* am (p

Durch Differentiation folgt:

äi 1 /acosqp d<p asintp dr\

ds sini \ r ds r* ds)

Nun ist ds • sin « gleich dem Linienelement ds^ des Meridians. Femer
ist (itpds^ gleich der Krümmung 1/7?^ des Meridians; R^ ist zugleich der
eine Hauptkrümmungsradius der Fläche. 1 r • cos g> ist gleich der zweiten
Haupt krümnmng IB^^ und dr/dsi ist gleich sin 9. Man hat also:

dt a asin'qp

~ ds ~ B^^ r^~ '

Setzt man dies in den Ausdruck für IR ein, so ist

a n8in*<p coei

R R,R^ r» + A', '

Oiler da .- — , =■ ist,
A, r

cos • a am* qr

1 _ a _
R~ R~R^'

d. h. die gooiiätische Krümmung ist gleich dem Krümmungsmaß der Flftche
multipliziert mit a.

Stutti^irt. E. Rath.

Vermischte Mitteilangen. 149

Zu 146 (Bd. X, S. 197) (Paul Epstein). — Alle Geraden, die aus
zwei festen Kreisen Sehnen von gleicher Länge ausschneiden, umhüllen eine
Parabel, die die Potenzlinie der beiden Kreise zur Scheiteltangente und die
tttte der Zentrale zum Brennpunkt hat.

Erste Lösung. — Eine Gerade g^ die aus 2 festen Kreisen mit den
Mittelpunkten K und K' Sehnen von gleicher Länge ausschneidet, treffe den
ersten Kreis K in den Punkten M und N^ den zweiten K' in den Punkten M'
und ^', so daß MN^^ M'N' ist. Die Halbierungspunkte der Sehnen MNund
M'N' seien bezüglich P und P', der Halbierungspunkt der Strecke PF' sei Q.
Der Punkt Q muß auf der Potenzlinie liegen, da QM ' QN =^ QM' • QN' ist.
Die im Punkte Q auf g errichtete Normale trifft die Zentrale KK' im
Halbierungspunkte F^ da QF parallel zu den Strecken FK und F'K' ist.
Erinnert man sich nun an den bekannten Satz, daß der Fußpunkt der
Tom Brennpunkte einer Parabel auf eine Parabeltangente gefällten Normale
in der Scheiteltangente liegt, und faßt man die Potenzlinie der beiden ge-
gebenen Kreise als Scheiteltangente einer Parabel auf, welche ihren Brenn-
punkt in F hat, so muß die Gerade g diese Parabel berühren. Da nun
die Potenzlinie und der Punkt F von der Lage der Geraden g unabhängig
sind, 80 muß auch jede andre Gerade g^ wenn sie nur aus den beiden ge-
gebenen Kreisen Sehnen von gleicher Länge ausschneidet, die Parabel be-
f&liren, oder mit andern Worten: Die Geraden g mnhüllen eine Parabel,
welche die Potenzlinie der beiden Kreise zur Scheiteltangente und die Mitte
der Zentrale zum Brennpunkt hat.

Aussig (Böhmen). stud. math. J. Krug.

Mit dieser Lösung stimmen im wesentlichen diejenigen überein, welche
Yon den Herren W. Stegemann (Prenzlau) und 0. Gutsche (Breslau)
eingelaufen sind. Red.

Zweite Lösung. — Die beiden Kreise mögen die Gleichungen haben

Kl = rr* + y* — 2 aa; — c* = 0,

|(, = x« + y*-26a;-c* = 0,

»ö4iß rc = die Potenzlinie ist, während der Mittelpunkt der Zentrale die
Koordinaten y(a + 2>), hat. K^ werde von einer Geraden

geschnitten. Eliminiert inan y zwischen K^ und E, so ergibt sich für die
ilbszissen x^, x[ der beiden Schnittpunkte die Gleichung

a?*(u* + v^) + 2x{uw — av^) + tr* — c^v^ = 0.
Sann ist aber

x^—x[ = ey(uw — av^y - {u^ + v^) («;* - c^v*)
und ebenso für die Abszissen x^^ x^ der Schnittpunkte von Kg und E

ajj — r»; = ö y(uw - bv^y~^ (u^ + r») (ir« - c^v^) .

Durch Gleichsetzen beider Differenzen ergibt sich ohne weiteres die Gleichung
der gewünschten Parabel in Linienkoordinaten

(a + h)v* ^ 2uw oder in Punktkoordinaten y^ = 2(a + h)x.
Speyer. H. Wieleitner.

Dritte Lösung. — Jede Gerade, die aus den beiden festen Kreisen Ä",
und A', zwei Sehnen AB nnd CJi von gleicher Länge ausschneidet, stellt
senkrecht auf PM, der Verbindungslinie der Mitt« M der Zentrale mit
ihrem Schnittpunkt 1' mit der Potenzlinie p.

Da uämlich P ein Punkt der PotenzUnie ist, so gilt PA • PB
— PO • PB. Sind nua die inneren Abschnitte einander gleich (AB ^ CD\,
so mtlasen es auch die äuBnren sein (IiP== PC), und daher ist auch
MjP= PM^, wenn M^ und M, die Mitten der Sehnen sind. Da nun
weiter Ä", Jtf = 3f JSTj , so ist MF als Mittellinie des Trape/es K^K^M^M^
parallel K^M^ und K^M^ und steht also senkrecht auf Af, Jtfj, Umgekehrt
ist ersichtlich, dall jede Senkrechte in einem Punkte P der Potenzlinie
auf PM die beiden Kreise iji gleichen Sehnen schneidet. Durchläuft somit
der Punkt P die Gerade p, so ergeben die auf PM = s in P errichteten
Bentrechten alle Geraden, die »ua beiden Kreisen gleiche Sehnen ausschneiden.
Ini'olge dieser Erzeugungs weise sind nun diese Geraden die Verbindungs-
geraden entsprechender Punkts zweier projektiver Punttreihen, nämlich der
Punktreüie, die der Strahlenbüschel {M, s) auf jj imd der Punktreihe, die dur lu
ihm kongruente Strahlenbüschel (jlf , s') der je zu *■ senkrechten Strahlen s'
auf der unendlich fernen Geraden eioschneidet, und bilden demnach den
Tangentenbüschel einer Parabel, Als Symmetriegerade der gannen Figur ist
die Zentrale auch Achse dieser Parabel und die auf ihr senkrechte Tangente p
ist daher Scheit«! tan gente. Die von M an die Parabel gehenden Tangenten
sind die Doppel strahlen der um M von s und r' gebildeten rechtwinkligen
Involution, d. h. die durch M gehenden isotropen Strahlen. Als Schnitt-
punkt zweier von den absoluten Punkten an die Parabel gehender Taugea-
ten ist daher M Brennpunkt der Parabel.

Breslau, April 1906. stud, raath. F. Schi,eoei,.

Vierte LCsung. — Let the coordinates of the centres of the two
circles be (o, 0) and ( — u, 0) and their radü r and JI respectivelj. If
y = mx -|- ii is the equation of a stra.ight line, the diütances froro the
centres to this line are and - , and hence the lengths of the

chords of the circles are

Equating these we get

Lnd hence

y = mj:

4um

4am

Differentiating with respeet to the parameter m i

and hence

Vermischte Mitteilnngen. 151

Eiiminating m we obtain the equation of the envelope

which represents a parabola wliose Vertex is at the point where the radical
axis of the two drdes cuts the axis of x^ and whose focus is half way
between the centres of the circles.

La Payette, Ind. Jacob Wbstlund.

Der Satz ist, wie ich zufällig bemerke, bereits von Steiner aus-
gesprochen worden; er findet sich in der Abhandlung „Neue Bestimmungs-
wten der Kurven zweiter Ordnung", Ges. Werke Bd. 11, S. 466.

Straßbnrg L E. Paul Epstein.

Zu 147 (Bd. X, S. 198) (H. Wieleitner). — Zu bestimmen ist der
geometrische Ort für die Wendepunkte aller Konchoiden mit gemeinsamem
Fol und gemeinsamer Basis.

Erste Lösung. — Die Gleichung der Eonchoide in Polarkoordinaten

lautet: r = ± a. Die Wendepunkte sind gegeben durch die Gleichung;

In onserm Falle ist also:

c* , 2ac , . , 2c* Bin* 9 / c . \/ c , 2cßin*a)\
CO« • 9 -^ cos 9 cos* 9 Vcosy-^ /\co8 9 cos'qp /

oder in reduzierter Form:

±, c 2c8in*qp -
a H ä— ^ = 0-
cos 9 cos' 9

Daraus ergibt sich f&r

± 2c sin* 9 c
a = -~L
cos' rp cos 9

Setzen wir diesen Wert in die Gleichimg der Eonchoide ein, so ergibt sich,
da a eliminiert ist, ohne weiteres als geometrischer Ort der Wendepunkte
für aUe Eonchoiden mit demselben Pol und derselben Basis:

2c sin* 9
f =^ —

cos' 9 '
d. L in kartesischen Eoordinaten die Gleichung der semikubischen Parabel:

Aussig (Böhmen). stud. math. Josef Erug.

Bemerkung. Der angegebene Oi*t wurde schon von La Hire auf-
gestellt (Mem. Ac. Eoyale des Sc. 1708 (Paris 1730), S. 59). Da er aber
in keinem der bekannten neueren Bücher steht, durfte wohl wieder auf
ihn hingewiesen werden. H. Wieleitner.

Zweite Lösung. — Bezeichnet man die Entfernung des Pols P der
Konchoide von ihrer Basis mit a, das veränderliche Zwischenstück mit u,
so ist die Gleichung der Eonchoide, bezogen auf die Basis als o;- Achse,

a;y = (a + y)»(u«-y«).

152 Yennischte Mitteilungen.

Daraus ergibt sich

Für die Wendepunkte ist also y* + 3 ay* — 2 au* = oder

2a ' ^ 2a

Setzt man dies in die Konchoidengleichung ein, so erhält man als Gleicht
der Ortskurve der Wendepunkte

• 2a

Die Wendepunkte der Konchoiden liegen also auf einer semikubischen Para
deren Spitze in P liegt und deren Achse mit der gemeinsamen Achse a
Konchoiden zusammenfällt.

Prenzlau. W. Stbgemann.

Die gleiche Lösung ist noch von Herrn stud. math. Barach i
gelaufen. Bed.

Dritte Lösung. — Aus der Parameterdarstellung

a; = a cotg <p + 6cos<p, y = a + b sin g>

folgt, wenn man nach x differenziert,

(a + ftßin'qp) dtp
8m'9 ax

und

dy , dw &C08a>8in*g)

-,- = — cos cp • :t^ == 1 Z ' ti '

ax ^ ax a+osm'qp

Bildet man nun -p^ imd setzt man diesen Wert gleich Null, so ergibt i

€m X

2a — 3a sin* q> — b sin' 9 = 0,

so daß also für einen Wendepunkt

, _ a(2 — Sflin'y)
sm'qp

ist. Die Ordinate eines Punktes der Ortskurve fär die Wendepunkte a
Konchoiden, die man für verschiedene Werte von b erhält, ist daher

2a(l — sin'q?) « i. »

y^a + bsm(p=^ ^^^ '- = 2 a cotg* tp.

Femer ist

a; = a cotg <p + ^ cos 9 = a cotg 9 (1 H r— , — j =■ 2 a cotg* 9.

Die Ortsgleichung für die Wendepunkte lautet also in Parameterdarstell'

X ^ 2a cotg' 9 , y ^ 2a cotg' 9 ,

mithin in rechtwinkligen Koordinaten y' = 2 ax^, Sie stellt also eine se
kubische Parabel dar. (Vgl. übrigens G. Loria, Höhere Kurven, Leip
B. G. Teubner, S. 131.)

Breslau, 27. April 1906. 0. Gutschb.

VemiiBchte Mitteilungen.

loa I

Zu 1*8 (Ud. S, B. 198) (E. Lemoine). — In der Ebene des Drei-
ecks ABC soll eine RicbtuDg derart bestimmt werden, daß, wenn man die
Ihreiecksseiten niif diese Richtung projiziert, die Summe der Quadrate der
Projelrtioiien möglichst klein werde.

Erste Lösung. — Man konstniiert über der Seite AB des gegeben
Dreiecks ABC nach beiden Seiten je ein gleichseitiges Dreieck, nämlich ABC,
und ABC^. Die Halbierungsgeraden des Winkels C^CC^ »ad seines Neben-
winkels geben die Richtungen ati, daß die Summe der Quadrate der Projek-
tionen der Seiten des Dreiecks ABC auf dieselben ein Maximum be

Min

1 ist.

Der Beweis werde geführt durch Behandlung der allgemeineren Aufgabe:
Auf welche Gerade P muß man die Seiten eines Dreiecks ABC projizieren,
laniit die Summe der Quadrate der Projektionen

S^ = B'C'^+ C'A^ + J'B'*
ein Kazimam oder Minimum werde?

Im gleichseitigen Dreieck ist diese Summe für alle Richtungen kon-
stant, wovon man sich leicht Überzeugt. Es sei nun A^B^Cf, ein glei
seitiges Dreieck; seinen Schwerpunkt wählen wir zum Ursprung et
•^chtwinkligen Koordinatensystems, dessen X-Achse in beliebiger Richtung
angenommen wird, und verkümen die Onliuafen der drei Eckpunkte, alle
*••* gleichen Verhältnisse. Dadurch erhalt man ein Dreieck ABC, vou dem
^^ Sunune der Quadrate der Seiten projektionen auf die A'-Achse, 5,, die-
**lbo ist, wie beim orsprünglicben gleichseitigen Dreieck A^S^C,^, während
***-f jede andere Gerade G aber Sg Heiner ausfSlit und speziell 3^ auf die
-*^~ -Achse am kleinsten ist. Bei jener Ordinatenverkürzung ist der dem
S"' eicliseitigen Dreieck Ai,B^C^ umgeschriebene Kreis Ä'„ zu einer um ABC
"^^ geschriebenen Ellipse K geworden, und zwar zu jener, deren Mittelpunkt
f****' dem Schwerpunkt des Dreiecks ABC zusammenfällt. Diese Ellipse
'®* Viekanntlich die kleinste unter allen Ellipsen, die man dem Dreieck ABC
"^^s*hreiben kanu und führt den Namen: Steinersche Ellipse. Abstrahieren
**~ jetzt Tom Dreieck A^B^C^. so haben wir hiermit folgenden Satz ge-
*-**ijien: „Die Summe der Quadrate der Projektionen der Dreiecksseiten
***" die Richtung der großen Achse der Steinerschen Ellipse ist ein Maxi-
^^""^«B, auf die der kleinen Achse ein Minimum." Hiernach ist die Aufgabe
,_J^*~t5ckgeführt auf die Bestimmung der Achse nrichtungen der Steinerscheu
*lipse. Diese werden folgendermaßen bestimmt:

1. Die Steinersche Ellipse sehneidet den dem Dreieck ABC um-
^^s^^liriebenen Kreis im Steinerschen Punkt ü; daher bilden die Tier

^**nkte A, B, C, B die Basispuakte eines Kegel schnittbüscUela, dem ein
^'^■^s angehört. Nach einem bekannten Satze sind dann die Achse nrichtungen
^*>3tlicher Kegelschnitte des Büschels untereinander parallel. Man braucht
•J«0 nnr von einem der im Büschel enthaltenen Geradenpaare i. B. RA, BO
*ö beiden Winkelhalbierenden zu konstruieren.

2. Man zieht durch den Mittelpunkt des dem Dreieck ABC umge-
S^'Srliriebcnen Kreises und den Grebeschen (Lemoineschen) Punkt eine
■»«rsde, welche den umgeschriebenen Äreis in K^ und K^ schneidet und
\>*8tiinint zu diesen Schnittpunkten die (im Unendlichen liegenden) Winkel-
g*g»iipunkte.

154 VermiBchte Mitteilungen.

3, Konstruiert man über den Seiten des Dreieckes ABC nach außen
gleichseitig« Dreiecke BCA^^ CAB^^ ABC^^ so schneiden sich bekanntlich
die Geradon AA^^ ^-^n OC^ in einem Punkte M, dessen wesentlichste
Eigenschaft ist, daß die Summe seiner Abstände von den Ecken des Dreieckes
ein Minimum ist; einen analogen Punkt M' hekomml maii, wenn man über
den Seiten des Dreieckes ABC nach itmen gleichseitige Dreiecke BCA^
CAB^^ ABC^ errichtet und die Geraden AA^^ B^%y C^C^j zieht. Ist O
der Schwerpunkt des Dreieckes ABC^so halbiere man jeiät den Winkel MOM'
und seinen Nebenwinkel. (Die Punkte M und M' liegen auf der Kiepert-
sehen Hyperbel von ABC, deren Asymptoten mit den Achsenrichtungen der
Steinerschen Ellipse parallel sind. Neuberg und Gob, AFA8 Paris, 1889.)

4. Die einfachste Konstruktion ist folgende: Man konstruiert, wie
unter 3., aber nur über einer Dreiecksseite, z. B. über BC die beiden gleich-
seitigen Dreiecke BCA^ und BCA^ und halbiert den Winkel A^AA^ und
seinen Nebenwinkel.

Nimmt man das Dreieck mit den Seiten BC =^ a^ CA = 6, AB ^^ c
als Koordinatendreieck für homogene barTzentrische Koordinaten x^^ x^^ x^
an (Moebiussche Koordinaten^ so ist bekanntlich die Gleichung der
8t ein ersehen Ellipse:

und die Gleichungen der (durch den Schwerpunkt gehenden) Achsen der-
8ell>en sind:

Hierin Innleutet /* den FUcheninhalt und o den Brocardschen Winkel
dos DreitH^kt«, Schließlich noch eine B^nerkong: Von allen durch den
St'-hwerimnkt i^^iog«nen Geraden ist die große (kleine) Achse der Steiner-
$chen Klli|\$^ diejenige, für welche die Summe da* Quadrate der Abst&nde
der Ecken von ihr ein Minimum ^Maximum) ist.

Au$$ig« l. April I9i>6. A. Krug.

Zweite l.v^^ung. — Man leg^ durdi das Dreieck die Transrersale g
so* d^ß die 5vite KT in einem runkti^ .4' der Terlingenmg über C
\ixti^x^s die Seilen (\4 und TK aber in den Punkten B' und C, die auf
den Si^il^n 5^^lh$t Het^^m. $v^hueidet. Dann bildet ^ mit den Dreiecksseiten
die Winkel

E$ i$i dt^mlMl^'^ da:^ Mmimum der Funktion

$%5 Srf^UÄtÄNWfc^ l>urcii l>ü^«^K^li;jiU>>ift er^bl «ch

S«Ki^ »*r, %^i^ i:'>vöi N^^r,. ^\« vl;f K'«A=r.sMCL *x: :s»d diTi&rt doidi

— /

>^.v«>:^» - )*Äxi- .\nj:l ir .\\>!^:^^ — /*>iiii<ai:5^ — O,

Vermiaclite Hitt«ilimgen. 155

mithin tritt fOr die Funktion f{ip) daa Minimum ein, wenn

(n) ooH^-'-^pt^'i-V:^^

^ ' ^ 6' sin a )■ — c' Bin 2 ß

ist Diese Qleichong liefert iwei Werte 91 und g>', deren Differenz 90" ist.

Sind nun q) und ip' zwei beliebige Winkel, fOr welche die Beziehung

y'— 9 — 90* besteht, so ist

/■(y') = a'coä\' + b'cof>\Y - vO + c'coa\ß + 9')

- a»sinV -I- 6»sin'(j. - 9.) -|- c»8in»((3 + 9) = a» + 6» + c» - ;'(9.)^
Hieraus folgt, daS, wenn f(<p) ein Minimum wird, f{q)') gleichzeitig sein
Uaximum erreicht, dofi also durch (11) die beiden Eichtangen der Ge-
radeo g bestimmt werden, die die Funktion f{ip) entweder zum Minimum
oder zum Maximum machen.

Die Gleichung (ü) kann man umformen. Bezeichnet man die von A
aus auf BC gefällte Höhe AD mit A, die Höhen abschnitte DC und DB
mit p und g, so ist

b sin / — c ain j3 — /i, 6 cos y — c cos |? = j) — g,
6*008*/ + c*cos*(J — (öcosy + ccosjS)*— 2 6ccos^oo8j' = a* — 2p2,
und es ergibt sich

cot2ci ^ °' + ^''=° '' 'y + c'coe'^-&'8'n'7-c'''ipV _ «' — ^' — Pg ,
" 2&*ain)'C0B]' — Sc'biu^cos^ A(p — g)

Hiernach ISBt sich der Winkel 2ip konstruieren, und zwar, wenn man die
Bezeichnung des Dreiecks so wählt, daB BO CA > AB ist, auf folgende
Weise (s. Fig.):

Man errichte über BC als Durchmesser den Halbkreis, der AD in E
trifft, trage in den Halbkreis CF = h als Sehne ein, errichte aach Aber

BF den Halbkreis und trage in diesen BG — DIE als Sehne ein. Sodann
trage man Ton D aus auf DB die Strecke DH~p — q und auf DA die
Strecke DJ = FG ab, verbinde H mit J und ziehe durch J die Senk-
rechte zu SJ, die BC in A' trifft. Verbindet man noch A mit A', so
ist <^ AA' B = 2<p ^ 2 (9' — 90'*) ; mithin geben die beiden Halbieronga-
linien der von den Geraden BC und AA' gebildeten Winkel die gesuchten
BichtoDgen an.

156 YermiBchte Mitteilungen.

Beweis: Es ist

. ., DA' DJ* _ FG* BF*—BG*

cot AA B- -j-j^ - ^2> DH'^ AI) DE" AD- DE

__ BC*—CF* — DE* BC* — AD* — PC D B a«~fc'— pg
~" AD'DE ^ AD'DE "^ Ä(p — «)

Nun ist noch zu ermitteln, welche der beiden gefundenen Bichtangen
dem Minimum und welche dem Maximum entspricht. Zu diesem Zwecke
differenziere man Gleichung (I), und es ergibt sich

^^Pf = /"' = — 2 a» cos 2 9 - 2 6« cos 2 (9 — y) - 2 c*cos 2 (9 + /3)

= — 2cos29(a*+6*cos2y + c2cos2/? + tg29[6*8in2y — c*8in2/5]).

Mit Rücksicht auf (11) erhält man hieraus für den Eintritt des Maximums
oder Minimums

r . ■ ,.. ^T^^ . ^ ([o* + 6* cos 2 y + c> cos 2 |S]»

+ [6«sin2y-c*8in2/5]*).

Hiemach ist das Vorzeichen von /*" abhängig von dem Vorzeichen des vor
der Klammer stehenden Bruches. Nun erhält man durch die angegebene
Konstruktion jederzeit einen spitzen Winkel AA'B\ also sind Zähler und
Nenner des Bruches, mithin auch der Bruch selbst, positiv. In diesem
Falle wird f" negativ; folglich entspricht die durch die Halbierungslinie
des Winkels AA' B bestimmte Richtung dem Maximum, dagegen die za
ihr senkrechte Richtung dem Minimum der Funktion /*(9).

Prenzlau. W. STBOEitANN.

2. Anfragen nnd Antworten.

29. Ist eine Funktion

gegeben, so setzt man, wie bekannt, um die Umkehrungsfunktion zu erhalten:

a

Es sei nun

-2

1=1

QO

V

t=Z'^^

die ümkehrungsfunktion. Kann man die Abhängigkeit der c^ von den b^
im allgemeinen Falle durch eine Formel ausdrücken? In Runge, „Theorie
und Praxis der Reihen^^ sind nur die 4 ersten c^ angegeben; gibt es Stellen
in der Literatur, wo von den Koeffizienten c, eine größere Anzahl an-
gegeben ist?

Potsdam, am 11. März 1906. Otto Meissner.

VermiBchte Mitteilungen. 157

Zu 11 (Bd. Vn, S. 179) (R. Güntsche). — Die Formel findet, sich
bei E. Study: Sphär. Trig. usw., Abh. d. Sachs. Ges. d. Wiss., math. Kl.,
XX, 137, 1893, § 4, Glchg. (3*). R. Güntsche.

Zu 17 (Bd. Vm, 267—268) (0. Meißner). — Die ümkehrung der
Iteration — es sei einstweilen, um einen kurzen Ausdruck zu haben, das
Wort BeYteration daför gestattet, — ist im allgemeinen nicht möglich,
sondern nur in besonderen Fällen, von denen nachstehend die auf die
rationalen Funktionen bezüglichen kurz aufgeführt werden sollen.

1. Potenzen von x. — Sie besitzen stets Reiterierte beliebigen Grades
(wenn f(x) == <p[9')(fl?)], ist g>(x) die Referierte ersten Grades usw.). Die
n-te Reiterierte von aaf^ ist ax'*, wo:

JL^ 1

o" u^u^-{-fi*-\ f-aa^'^ + l

f*=»m^ , a '^ a^ '^ -ta -r -r. -t-

ist, dabei kann ft eine beliebige 2'*-te Wurzel sein, natürlich muß in dem
Exponenten von a dann derselbe Wurzel wert stehen. Es gibt also 2" Reiterierte

n-ten Grades. Nur f(x) = x hat unendlich viele — , wo a eine beliebige,

von verschiedene, komplexe Zahl bedeutet.

2. Linear gebrochene Funktionen, — Auch sie besitzen stets Reiterierte
beliebigen Grades, wie aus der Theorie der linearen Substitutionen bekannt
ist, weshalb hier nicht näher darauf eingegangen zu werden braucht. — Die
n-te Reiterierte, bezw. eine der 2", von ax ^ b ist aaj + /3, worin:

_i_

^8" . b_

(a + l)(a« + l)..(a«'' ' + 1)

3. Ganze rationale Funktionen. — Damit von f{x) = a^x^ + * * + ^^
eine n-te Reiterierte existiere, ist notwendig, aber nicht hinreichend, daß

f» = fi* > ft> 1. Außerdem müssen noch jü^" — u^~ Bedingungen zwischen
den Koeffizienten a^y , , . a^ bestehen, die man auf Gleichungen der Form

zurückfQhren kann.
Beispiel: Es ist

f{pc) == aaJ* + bx^ + cx^ -\- dx -\- e =^ ^C^C^))

steis und nur, falls:

^=8^(4ao-6«),

(4ac~-fey — iaf^gfe« — 16a«& + 8oVä(4ac — 6*)
^ "" 64a» '

dann ist:

(p(x) = ax^ + ßx + y,
worin:

8/- ^ 6 4ac — 6« — 2f^ä*6

a = Va, /5 = -37^ y = —37=

2ya* 8aya*

158 Vermischte Mitteilungen.

Im allgemeinen ist f{x) = aar* + • • • = 9(9>(a?)) + I^x + JS?; doch
kann man durch eine geeignete Substitution ^ <» Ax -f f* stets erreichen,
daß /"(x) =- 9(9(^)) wird.

4. Gebrochene rationale Funktionen, — Für sie gilt im wesentlichen das
in § 3 Gesagte, nur ist die Anzahl der Bedingungsgleichungen, die zwischen
den Koeffizienten bestehen müssen, hier doppelt so groß als dort.

Potsdam, den 29. Dezember 1905. Otto Meissner.

3. Kleinere Notizen.

On the addition theorem of a fünction.

1. As an illustration of the treatment of a functional equation, we
find in many text-books or collections of ezercises, such as Tisserand's
Recueil compl^mentaire d'exercices sur le calcul infinitesimal, the following
question:

Find all the functions f{u) satisfying the relation

AC« + ") - 1 _ ^„)^(„) .
or

/•(« + «) = f{u)y\ - \f{v)]* + f{v)yr-^fWi'\

The usual way of solving this question is as follows:
Differentiating the addition-theorem with respect to u and v respectivelj,
and then comparing the two results, we get

— const., or ■=» const.

^+{mv ' 1/1- {/-(u)}*

Then by integration, we get

f{u) =» tan (aw + h\ or f(u) = sin {au + 6),

where a and h are constants. The latter constant h may be shown to
be zero. And the final result is

f{ti) = tan aw, or f{ii) = sin au.

Many questions of the same kind may be proposed for the theta
functions, the elliptic functions, etc.

2. Here I will prove the following more general theorem:
If a function f{u) has the algebraical addition theorem

f{u + v) = F\f{u),f{v)).

all the functions having the same algebraical addition theorem must have
the form f{au)^ a being any constant.

This theorem may be proved by a similar way as I have shown hefore
for tanu, and sin u. But I prefer the following very simple process in
which we do not use differentiation and integration and in wbich on this
account we will find something of interest.

Yerznischte Mitteilnngen. 159

Let <P(u) be another fanctioD having the addition theorem

0(u + v) = JP { 0(ti\ 0(v)).

Suppose that ^(u) has the form /*t{;(u). This supposition does never
restrict the form of d>, because tf; maj have anj form whatever.
Then

f^{u + v) = F{f^(u), f^{v)},
But

and therefore

HeDce

fil^iu + v) ^ f[^{u) + ^{v)}.

Since the fonction f(u) has the algebraical addition theorem, the
fanction f(u) must be either algebraical, or simply periodic or doubly
periodic, by the theorem of Weierstrass, which we find in Prof.
H. A. Schwarz' Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen
Funktionen.

Hence we must have

ti;(u + v) = '^{u) + ^(«^) + c,

where c is either zero or a multiple of the period or a sum of multiples
of the two periods. Let m = y; then

tj;(2w) = 2Tf;(w) + c.

Suppose that ip{u) has the form uO(u) — c. This supposition also
does never restrict the form of tf;, because may have any form.
Then

2mö(2m) — c = 2uö(u) — 2c + c
and therefore

ö(2u)«ö(u).

Hence the fnnction 0(u) must be constant, say a, Therefore

0{u) - /•i/;(u) « /• { tiö(w) — c } = f{au — c) = f{au), Q. E. D.

Tokyo, 17. November, 1905. T. Hayashl

Eine neue Formel für den Best der Taylorschen Reihe.

Wenn man in der Gleichung

JP(6)-.JP(a)^F'(£)'

0(x)^f(x) - fih) + {h^x)r{x) + ^^^r{x) + . . .

^ (!> + «)! ^ ^^'

n^)-'f{x)-f{b) + {b^x)r{x) + ^>^ + ^^^f^\x)

160 VenniBchte Mitteilungen.

einträgt, weiter & == a + Ä, und das zwischen a und h liegende ^ = a -{- ^h
setzt, so folgt

na + h)- na) - hf'{a) - 1^ T («) ^^ ^'+«>(a)

_ __

na + Ä) - m -H{a) „ , /*>(a)

/i* (1 — fff ^j^»+^v+«^.

oder, wenn man den Rest der nach n -\- 1 Gliedern abgebrochenen Tsyl er-
sehen Reihe i2„ setzt,

^ ' Bp (P+l)(P + 2) •••(P + 9)' f<f+^\a + 9h) '

wo die von p und g abhängende Zahl O >■ 0, aber '< 1 ist (mit Ausschluß
der Grenzen).

Für 9=1 folgt hieraus:

Da

ist, so ergibt sich aus (l) die Restform
(3) B= -^^^ + ^^ =

'^ ^_ /i«(l-^)« /<P+«+^)(a + ^Ä)'

und, für g = 1 , die spezielle

(4) 12. =

(i> + l)!

Die Formeln (3) und (4) stellen die neuen Restformeln dar, die vor
den gebräuchlichen vielleicht den Vorzug haben, daß sie den Rest mit den
vernachlässigten Gliedern der Taylor sehen Reihe in Verbindung setzen.

So kann man aus (4) folgern, da 1 — d" stets > ist:

Ist die Bedhigung

für alle d' zwisdien und 1 erfüllt, so liegt R zivischen Null und dem
ersten vernadilässUften GUel der Beihe,

Ist (5) von einer gewissen Stelle an ftir jedes p erfBÜlt, so zeigt (4),
daß lim 7iL = ist, wenn die Glieder der Taylor sehen Reihe unendlich
klein werden.

Yermiscliie Mitteilungen. 161

Ich gebe zwei Beispiele zu der Gleichung (4).
Sei erstens f{x) =* Ix^ a » 1, so ergibt sich

ßo daß Ä. zwischen (— iV — rr ^"wi (— IV* t — , ^^^ ■ rx üöRt, wo

1» ^ ^ P + 1 "^ (p + l)(l+Ä) « '

natürlich ä > — 1 sein muB.

Zweitens berechnet sich für /"(o?) =«0^, a = 1, wobei Ä ^ — 1 sein muß,

^^ ^ \P+1/ ' (p+l)(l+h)-ah{l^d')'

Die Differentiation des von d' abhängenden Bruches zeigt, daß er sich, wenn
O von bis 1 wachst, monoton von 7 — rTn^K-^n 7 bis 1 ändert.

(p + l)(h + l) — ah

Man kann aber daraus nur dann eine Begrenzung der Werte dieses Bruches
entnehmen, wenn er nicht unendlich wird. Dies wird verhindert durch die
Annahme

die für a^ < keine Beschränkung für p liefert. Unter dieser Annahme
für p liegt dann R^ zwischen den Grenzen

( "^ U'+^ und ( " )hP^' ^^

die beide das gleiche Zeichen haben. Da fQr gehörig große p die Be-
dingung (7) erf&Ut ist, folgt weiter, daß lim 22 zwischen lim ( 1 i)^^'*"*

und ■ , lim ( 1 j) ä^"*"* l^^g* und somit dann und nur dann verschwindet,

wenn lim (^ " J äp+^ =. ist.

Die rechte Seite von (6) wird von d' unabhängig in den trivialen
Fällen Ä = oder p + 1 = a^ und wenn ä = — 1 ist. Nach einem Satze
Ton Stolz^) darf man, wenn a>0 ist, die Taylorsche Reihe auch für
^ SB — 1 benutzen, wobei

folgt, übereinstimmend mit der bekannten Gleichimg

2'(-.)'a)-(-i)'C;')-

Freiburg i. Br. im November 1905. J. Lüroth.

1) Stolz, Grundzüge der Differential- und Integralrechnung, 1. Teil, S. 97.

▲rehiT d«r MfttiMmAtik «ad Fhytik, m. Beihe. XI. 11

162

Vermischte Mitteilungen.

(1)

Gleichung der Geraden der HShenpnnkte der yier ron den Seiten eines

ebenen Tierseits gebildeten Breiecke.

Sind Tj, Tj, Tj, T^ lineare Normalformen in rechtwinkligen Punkt-
koordinaten, und werden mit c^j^ und s^j^ der Kosinus und der Sinus des
Winkels T^Tj bezeichnet, so sind die Gleichungen der Höhen

-^184 ^ ^18 ^2 ^t ^8 ~ ^» -^244 ^ ^4^t "" ^2 ^4 "^ ^>
-^81^ ^ ^12^8 ^28^1 "^ ^» -"41^ ^ ^2^4 ^41^1 *^ ^5

hierbei bezeichnet B[^J^l die Höhe des Dreiecks T^Tj^Tj, die auf jTi steht

Für Zahlen m^, Wg) m^) tij, deren Verhältnisse bestimmt sind, hat man^
wenn F »* die gerade Verbindungslinie der Höhenpunkte der Dreiecke
TiTjTj und T^T^T^ ist,

oder mit Bücksicht auf (l)

= - Wg Cg4 Ti + ni Oi^ Tj + («, — «i)^2^4 = 0.
Für bestimmte Zahlen Oi^ a^^ a^ ist
(3) 2;soiT, +a,T, + a,2',;

wenn mm

so folgt

(4) a4 = öl«l + Ö2«2 + Ö8«8> 1^4 — «ift + O2A + «sA-

Setzt man (3) in (2) ein, so erhält man fär V zwei Ausdrücke, deren
Identität zu den Gleichungen führt

(2)

• — ^2d*»2

(5)

^18 »^1 • • •

— ntj + »M,
Hieraus folgt

(^14 - «2^2)«!

— fljCjj ^ =■ 0,

— aj«, = 0.

^8>

0,
1,

nti : m,

^14 I ^2 ^12 > ^2 ^'12

a

8»

— a

8

«1^2? ^4—01^1,,

a

8»

— a

81

28»

0,

1,

^4»
^14»

0,

^24 ^1 ^12

^^12
-«8

^4»

0,

^24 ^ ^12 »

«2^121

— C

18

-«8

(6)

Hiemach kann man nehmen

Wlj === ^28^14^3 ^24^12^2 ^14^12^1 "f" ^14^24»

7W2 = ~ ^2^24^2 ~ ^18^24^8 "~ ^2 ^4^1 "1" ^14 ^4 >

Vermischte Mitteilungen. 163

voraus folgt

für vier beliebige Oerade /*, g^ Ä, p gilt die goniometrische Grundformel
(vgl- Tl. a. Baltzers Elem. d. Math., 2. Bd., 6. Aufl., S. 302)

sin gh cos f p -{- sin hf cos gp + sin fg cos hp =» 0;

ersetzt man hierin h durch eine Gerade, die zu h rechtwinklig ist, so
erhÄlt man

^ {gh + 90®) cos /i> + sin (/*/•— 90®) cos ^rj} + sin /"^ cos (Äp — 90®) = 0,

oder einfacher

cos gh cos /i? — cos Ä/* cos ^|) + sin fg sin //j? = 0.

Ersetzt man hierin die Geraden /*, g^ Ä, |) der Reihe nach durch Tj, Tj, Tj, T^,

so ergibt sich

(S) Cjjq^ - CijCj^ + s^^Sj^^ = 0.

Paher ist zunächst

(9) f»2 — fWi == — «12^34«3-

Aus

^ik == «<«* + ßißk
nnd aus (4) erhält man

^4 ==«1^3 + «2^23 + «S;

daher hat man

woraus sich in Rücksicht auf (6) ergibt

(12) mj - (Cj^ - CijCgJ««» »»2 = (<^4 - Cl2^14)«l.

Da nun

^14 '^ ^12^4 %^24) ^4 "^ ^12^4 ^21^14»

SO erhält man schließlich

(13) Wi = — a,Sij5,^, wi, = ai5i2«i4-

Als Gleichung der vorgelegten Verbindungslinie erhält man hieraus

(14) «l^^U^l + «2^81^24^2 + «8Öl2«d4^8 = ^'

Hieraus kann man die Gleichung der Geraden der Höhenpunkte der
Dreiecke T^T^T^ und T^T^T^ ableiten, indem man die Zeiger 1, 2, 3, 4
der Reihe nach durch 3, 4, 1, 2 ersetzt, und an Stelle der Zeichen a andere
Zeichen b verwendet, die der Identität genügen

T, = b,T, + h^T, + b,T,',
der Vergleich mit (3) zeigt dabei, daß

11*

164

YeimiBchie Mitteilungen.

Bezeichnet W die Verbindungslinie der genannten Höhenpunkte, so
hat man mittels dieser Yertauschungen zunächst

Ersetzt man hier T^ gemäß (3), so folgt

Nun ist nach den goniometrischen Grundformeln

^lt^48 I ^24^18 T" ^41^28 '^ ^>

sowie

also

^24^81 l ^48^21 T" ^82^41 — ^»

'48^21

^14^28»

^12^4 "f" ^24^8 ^

*24^8 ~" %^U "^ ^84^1»

folglich hat man

^= »1 ^28^14^1 + «2^81^24^2 + «8<^1«84^8 ^ ^^

Die Identität von W und V zeigt, daß die vier Höhenpunkte auf einer
Oeraden liegen.

Dresden. R. Heger.

V- -X-

Beitrag inr Inhaltsbestimmniig der Fässer.^)

Der genauen Ermittelung des Faßinhaltes stellen sich bekanntlich
Schwierigkeiten entgegen, die in der, durch die Herstellungsweise der F&sser

bedingten, der Rechnung schwer
zugänglichen Form der Dauben
begründet sind.

Hieraus erklärt es sich,
daß die verschiedensten Formeln
angegeben wurden, welche mehr
oder weniger zutreffende Ergeb-
nisse liefern; teils ist man auf
grund theoretischer Unter-
suchungen zu solchen Formeln
gelangt, teils hat man sich auch
mit Näherungsformeln begnügt
Im Gregensatz hierzu wollen
wir uns die Aufgabe stellen, eine
mögliclist zutreffBnde Formel für
den Faßinhalt an der Hand yon
yitsstimptH an ausgcfiihrten Bet-
spirlt^i XU bestimmen. Wir be-
handeln im folgenden lediglich
Fn.^t^r mit kn>ist\>nuigom Quer$i*hnitt und setien die Abmessungen der
Hi^h«» sowie dt>s BiMlen- und Rauohdun*hme*$ers als bekannt Toraus. Zu-

j»-"

M ^

KUr 1

r Oor VorfÄ«t^r hut dit? Kom»ktur>?n seiner Xotii leider nicht mehr lesen
kCVnnen. d« er iuswis^^hMi vcor^torben ist Red.

Yennischte Mitteilimgen.

165

nächst handelt es sich darum, eine brauchbare Form ixlr die zu bestimmende
Formel festanistellen, die den weiteren Untersuchungen zugrunde zu legen ist
Bezeichnet man die Höhe des Fasses mit /t, die beiden Halbmesser
mit H und r (Fig. l) und nimmt man an, daß die Dauben nach einer
Liinie geformt sind, deren Gleichung lautet:

y = Ä-(ii-r)(¥)',
SO findet sich der verlangte Rauminhalt nach bekannten Regeln zu:

Y

oder nach AnsfOhrung des Integrals

W ^ "* (J. + I)(2p+1) '

wofür man allgemein setzen kann:

(2) V = nh (aB^ + hBr + cr^).

Zu derselben Oleichung gelangt man auch bei anderen Annahmen, wenn
man z. B., um der Faßform besser gerecht zu werden, die Faßdauben im
mittleren Teil nach einer Parabel gebogen annimmt, welcher sich berührende
Geraden anschließen, vgl. Fig. 2.
Wir entnehmen hieraus,
daB die Formel (2) geeignet sein
wird, den Inhalt der Fässer all-
gemein zum Ausdruck zu bringen.
Es ist nun unsere Aufgabe,

die in (2) vorkommenden ün-

hekannten o, b und c möglichst

zutreffend zu bestimmen. Wie

leicht zu erkennen ist, sind diese

Größen nicht unabhängig von-

ttnander, vielmehr müssen die-
selben der Gleichung

(3) a + b + c^l

Fig. 2.

Genllge leisten, da für iJ = r

der Inhalt V zu nhr^ gefunden werden muß; vgl. im übrigen auch die
Koeffizienten in (l). Mit Hilfe von (3) könnte man nun eine der Größen
0, h und c entfernen und erhielte z. B.

W r-7thr^=^a(R^- r^ + hr{B - r);

^ wollen jedoch im folgenden von der Formel (3) gänzlich absehen, d. h.
^ Großen a, b und c so ermitteln, als wenn dieselben voneinander un-
«bhingjg wären; die Formel (3) soll uns dann dazu dienen, über die Zu-
^^iäasigl^eit unserer Berechnungen ein Urteil zu fällen.

— ^— B Ä , — . — —

-*.

Yemiischte Mitteilungen.

167

(10)

(il)

Die Zahlen V^ und V^ — V sind in obiger Tabelle 1 angegeben.
Die Fehlergleichungen lauten nunmehr

^17 = — 0,08 + 0,26 x^ + 0,20^1 + 0,16 z^
t; = — 0,23 + 0,33 a^ + 0,25 p^ + 0,18 z^
v^ + 0,20 + 0,50 iCi + 0,37 y^ + 0,27 z^
r =« + 0,60 + 0,59 Xj^ + 0,45 y^ + 0,34 z^
t; =. + 0,79 + 0,81 Xi + 0,60 yi + 0,44 z^
v^ + 0,53 + 1,02 x^ + 0,76 y^ + 0,56 z^
i? = — 0,11 + 1,16 x^ + 0,88 yj + 0,66 ^eij
v = + 0,59 + 1,68 0^1 + 1,30 yi + 1,01 z^
t; = + 0,21 + 1,78 iri+ 1,40 yi+ 1,10 ^^

vi; - + 0,55 + 2,70 a?! + 1,96 y^ + 1,41 z^ .

^i^s diesen Gleichungen sind die Werte x^, y^ und z^ so zu ermitteln, daß
^® Summe [yv\ ein Minirnnm wird; diese Bedingung führt in bekannter
^^öise auf die cbrei Normalgleichungen

17,10rci+ 12,84 y^+ 9,59^-1= — 4,27,

12,84 x^ + 9,65 yj + 7,22 Zy^^ — 3,20,

9,59 Xy^ + 7,22 yi + 5,41 x^i = — 2,38,

Auflösung ergibt:

a^«. — 0,86; yi= + 0,85; ^^ « — 0,05;

^ S'lich erhftlt man die verbesserten Eoefßzientenwerte

a — 0,37 — 0,0086; h = 0,22 + 0,0085; c — 0,20 — 0,0005
auf zwei Dezimalstellen abgerundet

a = 0,36; h = 0,23 und c = 0,20.
Formel fOr den Inhalt der Fässer lautet somit
C^ S) Y^j^ (0,36 D« + 0,23 Dd + 0,20 d^,

Nunmehr überzeugen wir uns, daß für die angenommenen Dezimal-
en die Koeffizienten a, & und c der Bedingung (6) nahezu genügen,
daß daher die vorgenommene Ausgleichung zu einem zutreffenden
S^bnis geführt hat.
Y^ Hinsichtlich der Maße A, D und d ist noch zu bemerken, daß h und
Y^ ^e Uchten Abmessungen bedeuten, deren Ermittelimg keine Schwierigkeit
^^tet; far den Durchmesser d ist jedoch das äußere Maß (siehe Fig. 2)
^'^oxnmen, welches jedenfalls bequemer und sicherer bestimmt werden kann,
*^ der lichte Durchmesser d^^.

^ Zur Bestimmung des mittleren Fehlers der Formel (12) hat man die
^^^tJiine \vv\ zu ermitteln und nach der Gleichung

od

i

168

YermiBcliie Mitteilungen.

zu rechnen; unter v sind hier die Fehler nach der Ausgleichung, also d
jenigen von (12) zu verstehen. Nachstehende Tahelle 2 gieht diese Fehlet
die Zahlen vv und deren Summe.

Tabel

lle 2.

V

V

vv

V

V

vv

17,07
21,29
81,67
88,46
61,76

— 0,18

— 0,31
+ 0,07
+ 0,46
+ 0,66

0,0169
0,0961
0,0049
0,2116
0,8026

66,27

76,40

110,62

118,04

170,80

+ 0,27

— 0,40
+ 0,22

— 0,16
. -0,20

•

0,0729
0,1600
0,0484
0,0256
0,0400

[vv] = 0,9789.
Hiemach berechnet sich der mittlere Fehler unserer Formel (12) zu

m - ± |/«^ = ± yöÄ398 - ± 0,37;

es folgt hieraus, daß der Formel (12) ein mittlerer Fehler yon d: 0,37 Li
anhaftet, ein Ergebnis, welches befriedigen wird, zumal eine genauere ]
Stimmung des Faßinhaltes schon wegen der bei Herstellung der Fässer nicht
yermeidenden Unebenheiten im Innern derselben kaum zu erwarten sein w:

Setzt man in (12) noch -3* ^ ^' ^^ entsteht

7 = hd^ (0,36 n» + 0,23 n + 0,20) = qhd*,

welche Formel nach Feststellung der Verhältniszahl n für die Inha
bestimmung nicht unbequem ist, sofern man zu diesem Zwecke nachstehe
Tabelle 3 benutzt, deren Zahlen werte man auch in einer Zeichnung i
einigen kann, indem man n als Abszisse und q als Ordinate aufträgt.

Tabelle 3.

n

q

1

n

1

«

1,00

0,7900

1,36

1,1666

1,06

0,8384

1,40

1,2276

1,10

0,8886

1,46

1,2904

1,16

0,9406

1 1.60

1,8660

1,20

0,9944

i 1,66

1,4214

1,26

1,0600

! 1,60

1,4896

1,80

1,1074

1,66

1,6696

Saarbrücken, den 4. August 1905.

Ingenieur £. Puller.

Die numerische Auflösung kubischer Gleichungen«

Vorgelegt sei die kubische Gleichung

Man denke sich aus (0) sukzessive n weitere kubische Gleichungen

Xy "f" QtyXy "^ OyXy ~— Cy

Vezmischie Mitteilimgen. 169

gel>ildet, von denen jede folgende aus der ihr vorhergehenden mittels der
SulMS't^tation

erhai-fcen ist, wobei die r^ gewisse positive canze Zahlen sind.

Tst nun (o^^i eine Wurzel von (v + 1), so ist 0)^== r^ + w^'y+i ®"^®
'^'ui-^^l von (v).

Ist mithin eo, eine Wurzel von (n), so ist

CO» _ 1 = r» - 1 + ^ CD» eine Wurzel von (« — l),
deshalb

»»-t = »"»-s + ^ Wn- 1 „ „ „ (n — 2),

«o=*'o

+ 10 «»^l " w « (Ö)'

diesen n Zeilen folgt

«'o - ro + j^- + ^ + — 3 + . . . + :^^^ + — .

Sind nun die Größen r Ziffern, liegt femer co» zwischen und 10,
^^^^ ist r« die größte ganze Zahl, die gou nicht übertrifft, so liegt die
^^•^"ael coq zwischen

^» » r« -f 1 ist und die r^ die Plätze von Dezimalstellen einnehmen,
um die Bedingungen

^ r^ < 10, V +

0^(o»<10

^realisieren, beschränke man sich auf positive Wurzeln und verfahre
folgt.

unter g{cc) werde die größte ganze Zahl verstanden, die die positive
e a niciit übertrifft

Sei «Q eine positive Wurzel von (O), von der man nur weiß, daß sie
eben den beiden bekannten Zahlen g{oCf^ und ^(c<o)'^ ^ liegt Man wähle

folgt aus

(l) sicher eine Wurzel a^ zwischen und 10 besitzt. Man bestimme
Ö C««x) tind wähle , .

^^aan folgt aus

^^ (2) sicher eine Wurzel cc^ zwischen imd 10 hat. Man wähle jetzt

r^^g(ccf) usw.

Schließlich konmit man zur Gleichung (n), die auch sicher eine Wurzel,
*^a a^, zwischen und 10 besitzt. Endlich wähle man

r \

170 Yermiflchte MitieflongeD.

Dann ist a« /•*/•*/•* /•* ^

T0y l*il*f 1*$1*4 • • • Tm

em auf n Stellen richtiger Wurzehcert der vwgde^ten Crleidhif^g (0).
ZusaU 1.

Setzt man «. /- _i_ y, \

80 ist

«,+i=-10(o,+ 3r,),

fc,+i=100(s,+ /,+ rJ),

c.+i- 1000 (c,-r,0-

Auf diesen drei Formeln beroht die große Einfachheit des Bechensehemas.
Zusatz 2,

folgt

c

««= v" — /"«»

wenn man den Ausdruck * ~ der Kürze halber mit f^ bezeichnet.

n

Setzt man daher einfach

ji

so begeht man den Fehler f^^ der sehr leicht abzuschätzen ist. Besittt
nämlidi al (a. -|- a^) nicht mehr als tn Stellen vor dem Komma, bn dagegen
genau M Stellen (vor dem Konmia), so liefert die Division von c^ durch b^
weitere M — m richtige Dezimalstellen zur Wurzel Oq, von denen die letzte
noch nicht um eine Einheit falsch ist.
Das ergibt sich sofort aus

Zusatz 3.

Hat [y) zwischen r^ und r^ + 1 nur eine Wurzel, so hat (v + f*), wo
fi beliebig > ist, zwischen und 10 nur eine Wurzel.

Zusatz 4,

Besitzt die Ziffer z die beiden Eigenschaften

z [ z{z +a,) +6J ^c^,

wo z' = z -{- 1 ist, so wähle man

Dieselbe Wahl führt zum Ziele, wenn gleichzeitig

z [ z(z +aj + 6J ^c,

z [z'iz'-^-a^ + 6J <c
ist.

Yermiscbte Mitteilungen. 171

Zusatz 5.

Ist «0 so groß, daß r^ nicht leioht zu finden ist, so rücke man in Oq,
Öq, Cq das Komma beziehungsweise n, 2«}, 3n Stellen nach links, indem
man n geeignet wählt, bestimme eine Wurzel ß aus dem neuen Tripel

«0 ^0 gp

10* ' 10*"' lo'**

und rücke in dem gefundenen ß das Komma wieder n Stellen nach rechts,
so hat man damit a^i

Zwei Beispiele mögen das Verfahren erläutern.

Beispiel 1. Die Gleichung des Johannes von Palermo, zuerst gelöst
iron Leonardo von Pisa (vgl. Cantor, Geschichte der Mathematik, Bd. 2,
S. 46, 47).

x^+2x^+ 10a; = 20.

Die praktische Berechnimg der Wurzel besteht aus ebensoviel Schritten,
i^ie Dezimalen erzeugt werden sollen, abgesehen von jenen Dezimalen, die
am Ende der Rechnung durch Abschätzung entstehen. Die Ausführung
eines Schrittes mit der Einleitung zum folgenden ergibt folgende Zahlen-
gruppierung

«»

K

'•»

3r,

«»+1

^'y + l

Die Ziffern r, findet man bei den ersten Schritten durch Versuche,
sehr bald aber viel einfacher durch den Ansatz

^(ö-

Bei Berücksichtigung dieser Bemerkimgen wird das folgende Bechen-
schema ohne weiteres verständlich erscheinen.

2 10 20 1

3

3

13

13

50

1700
159

7000

9

1859

5577

590

202700
3576

1423000

18

206276

1237656

6080

20988800 '

185344000

48704

•

24

21037504

168300032

8

61040 2108627200 17043968000 8

172 Vermischte Mitteilungen.

Fährt man so fort, so bekommt man die weiteren Stellen 081 und

a8== 610642430,
ftg = 210961392438768300,
Cg = 165000766564559000.

Hieraus folgt ag= 0, . . ., d. h. ag^ 1, d. h.

ag -{- 1 hat 9 Stellen, &g dagegen 18 Stellen. Mithin liefert die Divisioa
Cg : &g nicht weniger als 18 — 9 = 9 richtige neue Stellen f&r c^q; nämlich
die Stellen 078213726, so daß endUch

«0= 1,3688081078213726,

^0 die 6 am Ende noch nicht um eine Einheit zu groß ist.
Beispiel 2. Die kubische Gleichung

a:8~3a; = — 1

besitzt die drei Wurzeln 2 sin 10®, 2 sin 50® und — 2 sin 70®. Man findet,
daß eine Wurzel, etwa c^q, zwischen und 1 liegt, und man erhält dem-
entsprechend folgendes Schema

00 -300 —1000 03

+ 9

9

-291

- 873

90
12

— 27300
+ 376

-26924

- 127000

- 107696

1020 -2653200 — 19304000

+ 7189

21 - 2646()ri — 18522077

10410 —263877300 - 781923000 2

Man findet femer /v = 9 und

Aß

«6= 1041870,

b^ = — 2638168967700,

rg = — 16766402489000.

Demnach ist ofg < 7 , ßg < 50, und da a^ + «g 7 Stellen vor dem Komma
hat, so besitzt a|(ag + ag) höchstens 8 Stellen, während h^ 13-stellig ist.
Also liefert die Division Og : &g weitere 5 Stellen, nämlich 63553, so daß

2 sin 10® =0,3472963553

wo die drei am Ende noch nicht um eine Einheit zu klein ist.

Man vergleiche die vorstehende Methode mit den Methoden von
Lagrange und Heis, die auf ähnlichen Gedanken beruhen, in der prak-
tischen Handhabung aber minder einfach sind.

Das dargelegte Verfahren läßt sich übrigens ohne Mühe auf Gleicbongen
höheren Grades erweitem. Auch die Anwendung auf quadratische Glei-

YermiBchie Mitteilungen. 173

chungen liefert einfache Resultate. Hier dienen zur Berechnung von a, + i
und &y+i die Bekorsionsformeln

a»+i= 10(a,,+ 2ry),
6^+1 = 100(6,,— r^r^ + a^),
'vrobei man sich die Gleichung (v) in der Form

zu denken hat. Auch hier liefert die Abschätzung eine beträchtliche An-
zahl neuer Dezimalen. Aus

folgt

Besitzt denmach a« M Stellen (vor dem Eonmia), a\ höchstens
fn Stellen, so liefert die Division hn : a« weitere M — m Stellen zur
Wurzel Oq, deren letzte noch nicht um eine Einheit falsch ist.

Wie angenehm das Verfahren sich in der Praxis gestaltet, mag ein

Beispiel zeigen. ;,«+ 97,4621 x - 203,79.

97,4621
4

. 253,79
198,9242

2

1014,621
10

5476,58
5098,105

5

10246,21
6

37847,5
30747,63

3

102522,1
14

709987
717703,7

7

1025361

9228330
9228330

9

Eine Wurzel der obigen Gleichung ist demnach 2,5379. Sie ist so schneller
ermittelt worden, als es auf dem gewöhnlichen Wege möglich gewesen wäre.

Biedenkopf, den 2. November 1905. H. Dörrib.

Auflösung der transzendenten Gleiehung x = y-\-%\xiy.

1. In der folgenden kleinen Arbeit handelt es sich um eine ziemlich
elementare und vollständige Lösung der transzendenten Gleichung cos t} » t}.
Vorbildlich war mir dabei die Lösung der transzendenten Gleichimg tan i} ==* t},
welche von Euler, Introductio in Anal., Lib. 11, Cap. XXII, § 539 (vgl.
auch Cauchy Oeuvres 2, VI. p. 354, Bertrand, Algebre 1870, 11. p. 284
und Catalan, Cours d' Analyse p. 297 usw.) durch die berühmte Formel

^ = (♦» + t) »^ - {n + \)n ~ 3(n + i)»Ä»

174 Veimischte Mitteilungen.

gegeben und von Hermite (Arch. d. Math. u. Phys. (3) 1, 22) verall-
gemeinert wurde. — Die Koeffizienten der von mir erhaltenen Formel f&r
die Gleichung cos 1^ = 7^:

^ «2 96 \ 2/ 1920 \2/

reichen gerade auch hin, um die Funktion x = y + sinp nach der
Bürm an n sehen Regel umzukehren, sowie auch die Koeffizienten der
C au chj sehen Reihe nicht nur zur Lösung der transzendenten Gleichung
cot ri -\- ri = 0, sondern auch zur allgemeinen Auflösung der Gleichung

X == , ^ . — nach y ausreichen. — Ich glaubte also, der Auflösung

COB y + ysmy^ ° ' °

der transzendenten Gleichung cos t} = 17 die ümkehrung der Gleichung
X '=^ y -\- sin y voranstellen zu sollen, habe aber nirgends darauf Bezug ge-
nommen, daß dies eine Kepler sehe Gleichung für b = — 1 ist, weil die
mir bekannten Lösungen letzterer für diesen Fall nicht brauchbar waren.

2. Die in der Gleichung
(1) x^y + siny

rechtsstehende Funktion von y wird Null für y ^^ und der absolute Betrag
von X wächst fortwährend, während y von Null bis n wächst. Der
Differentialquotient 1 + cos y wird das erstemal Null für y «= «; es wird
nun i a; I = TT für y = TT, so daß die Entwicklung

(2) y = io + 4--^ + r2-^' + r^T8-*' + "-

gültig ist, solange |a;|<7r ist. Hierin ist nach dem Mac-Laurinschen
Satze:

(3) K - m

Man bemerkt sofort, daß die k mit geradem Index Null werden, da y eine
ungerade Funktion von x ist.

um k^ zu entwickeln, hat man x — y ==> sin y und durch Differentiation
dieser Gleichimg:

(4) 1 — y' = y' . cos y.

Hieraus folgt vermöge sin* y -{- cos* y = 1 die Gleichimg:

(5) {x - y)«y'« + 1 - 2y' = 0.
Eine Differentiation dieser Gleichung ergibt:

2(x - y)(l - y')y'' + 2(a; - y)» tf'y"- 2y" = 0;

daraus erhalten wir nach einigen Reduktionen und unter BenütKung der
Gleichung (5):

(6) y" -{x- y)y" -

Multiplizieren wir (5) mit y' und (6) mit (x — y) und addieren dann beide
Gleichungen, so erhalten wir:

(7) y"{x -y) + y'(l- 2y') = 0.

YermiBchte Mitteilungen. 176

Diese Gleichung differenzieren wir 2n-mal, x als die unabhängige Variable
betrachtend:

(x - yV««+>) + (\^) (1 - yOi^^*"-''^ - (\> V'"^ - ('3^^

Setzen wir hierin die Glieder mit geraden Differentialquotienten =» 0,
ferner a? = und y =■ 0, so erhalten wir unter Benützung von (3):

n-l

2*»^«+i ^nAjAj^^.! ^^ ^2« + 1/ ^•+i^2"-*«+i "^ ^'• + 1 2^i^»+i

n-l

'2n>

Da nun, wie aus (4) hervorgeht, 'li = 7 ist, so ist weiter:

n-l

oder:

n-l

1 = 1

Von den beiden Werten A^ = -^ und A3 = ^ ausgehend finden wir mit Hilie
dieser Rekursionsformel:

J_ _4£ _«E?| 60628

» ^ l6 ' ^ "^ 266 ' ^ "~ 266 ' ^l "" 8192 '

764 783 _ 107 861407

^»"" 8192 ' '^15"" 66636 ' ^^'

Daher ist die Gleichung rr =» y + sin y nach y aufgelöst:
(9) y=^^ + A.^. + _Va:6 + ...,

doch nur f&r solche Xy deren absoluter Betrag kleiner als % ist. Ist x
reell, so muß — « < x < + ^ sein.

3» Ist der absolute Betrag von x größer als tt, so zerlegen wir x in
28n -±1^^ worin | < tt, und setzen ebenso y = 2s7r + 1^. Dadurch geht (l)
über in | = tj + sin ij, welche Gleichung nach (9) aufzulösen ist.

4. Lie£^ die Gleichimgsform x «= y — sin y vor, so können wir diese
leicht mittels der Substitution a?=»(25+l)^±S (worin ^ <.n) und
p «= (25 + 1)« ± fi auf die* Form § = ly + sin 1^ bringen.

(Ist X gleich einem Vielfachen von tc^ dann ist y =» rr.)

5« Ist x rein imaginär, so setzen wir x = i^ und entsprechend
^ SS tf], worin £ und 17 wieder reell sind. Die Gleichung (l) lautet dann:

176 VermiBchte Mitieilungen.

1 = ^ H ^ oder auch J = iy + sinhp ij. Dieselbe Sabstitation auf (9)

angewandt liefert dann:

^ "~ 1 * 81 * "^ 6! ^ ' '

^ muß wieder zwischen — tc und + n enthalten sein.

6. Auch die transzendente Gleichung r{ — cos 17 = ist nach der Formel

{9) lösbar. Wir erhalten diese Form, wenn wir in (l) für a? =» - - und

y = - — r{ setzen. Als Lösung der Gleichung cos iy «= ij ergibt sich also un-
mittelbar, indem wir dieselbe Substitution auch auf die Beihe (9) anwenden:

''~^f-3r(y) "st© — '

oder wenn wir die Zahlenwerte einsetzen:

+ 0785 398,

- 040372g

- 004 980«

- 0000 786^

— 0001398

— 0000266

— OOOOOOOj

— OOOOOOli

— 0000 OOOg

^ = + 0-739 0852

Dieses Resultat ist auf sechs Dezimalstellen genau; Euler gibt die Wurzel
0,7390847 (Introd. in Anal. Lib. n, Cap. XXH, § 53l).

Aussig (Böhmen). stud. math. Josbf Krug.

Die Ma^nssehe Fnnktionalgleichung im Zugammenhaiii^ mit der
Differentialgleichung 9 (x, 2/) ^^ + 9 il/f ^) ^y ^ ^*

Im 5. Bd. des Crelleschen Journals untersucht Magnus die Funktional-
gleichung:

Fl (y) ■<Piix) + --- + F, (y) • 9.,(x) = F,(x) .,,,(,) + ... + F,(x) • 9.,(y)

und findet, daß dieselbe durch folgendes Linearsystem gelöst wird:

F^{x) = c^i<Pi{x) + c^i(Pi(x) + • • • + c^^g>^{x),
F^(x) = c,ig)i(a:) + c,,g),(j) H + (^^g>^{x), (c,^ « c^.)

• a

• .

a

Ich habe bei anderer Gelegenheit durch ein ganz auf die symmetrische
Form dieser Fimktionalgleichung gegründetes Verfahren das gleiche Resultat

Yermiscbte Mitteilungen,

177

I

erhalten und dasselbe zur Beatimmung von Flüchen aus angenommenen Eigen-
schaften benutzt, was bei der Untersuchung der Fluchen, welche dem partiku-
1&r«n Integral der Differuntialgleichungp— ~- = entsprechen, sehr nahe liegt.'}
Im vorliegenden Aufsatz wird ein Typus von Aufgaben behandelt, bei
welchen die Magniisscbe Funktionalgleicbung im Zusammenhang mit der
Differentialgleicbung 1. Ordnung:

e(x,y)rfa: + Q(!i,x)dij = g^dx + Q^dy =

eine wesentliche Rolle spielt. In dieser Form erscheint jede Differential-
glflicbuiig Mdx •+■ Ndy = 0, deren Integral e{x, y) = (i(y, x) = C bezüglich
der Tariablen symmetrisch ist. Es ist nämlich .— — ^(a;, j) - JVf(«, y),
also -^ ^p{y,x) • M(y,x)^ andererseits -^ '^p{x,y) ■ N{x,y), somit;

Ana Mdx + Hdy — wird daher;

p{x, y)M(x, y)dx + p(j/, x) M(y, x)dy = oder;
(/{x,s)dx-^ ^(y,x)dt/ = 0.
Natürlich kann dieser Beweis auch geometrisch sehr leicht geführt werden.
Abs der Tateacbe, daß (He Differentialgleichung ^^dx + pjd)/ = eine sym-
metrisehe Lösung o hat, folgt von selbst, ilaU auch jeder Multiplikator s
eine symmetrische Funktion ist, wie aus - ■^=''=~aü hervorgeht.
Mit dieser Beziehung stehen die beiden folgenden

(B)

8,^

«•■Ji-

I Gleichungen:

-S^(s-ex)=^(s-p,) und

' 8y '

im engsten Zusammenhang und lassen die SBt:ie erkennen:

„Die Aufgabe, einen Multiphkator von pj-rf.r -|- Q„dy = zu finden,

ist gleichbedeutend mit der Aufgabe, eine symmetrische Funktion s so zu

bestimmen, daß der Ausdruck -. - (s ■ pi) selbst eine symmetrische Funktion

der Argumente wird."

„Die Aufgabe, das Integral ff = C von Q^dx + pj, dy = zu finden, ist

gleichbedeutend mit der Aufgabe, eine symmetrische Funktion ti so zu

bestimtoen, daß der Ausdruck Qi

dy

selbst eine symmetrische Funktion der

Arg^nmente wird."

Leicht ist auch einzusehen, daß g^dx -\- g^df) ^ i) immer integriert
werden kann, wenn g(x, y) eine homogene Funktion H-fcen Grades ist; denn
mit lim ist auch p^ eine homogene Funktion gleichen Grades, und es gilt
bekanntlich der Satz: „Sind P und Q homogene Funktionen von gleichem

1) ■W«sn)LHi„Über die Piachen, welche dem partikulliren Integral der DilTerential-

Iffleicbiuig y--^ ^ entsprechen," (DisB. München 1900.)
AmW» d" «•••'«Mtlk und Pljy.ik. 111. RoiLe XL 12

178 Vermischte Mitieilungen.

Grad, so kann man eine andere homogene Funktion u so bestimmen, daß

diese Multiplikator wird, z. B. w = p jJ'ö". — "•

Als einfacher Spezialfall der Gleichung Qxdx + Q^dy =^ erscheint

(I) ^a,ix) ■ ft(y) dx +2«iiy) • A(^) <*y - .

1 1

indem zugleich der Zusammenhang mit der Magnusschen Funktional-
gleichung deutlich hervortritt. Stellt man z. B. die Integrabilitatsbedingung
fdr I auf, so erscheint die Magnus sehe Funktionalgleichung:

1 1

mit dem zugehörigen Linearsjstem:

In diesen n Gleichungen mit 2n unbekannten bleiben n Funktionen
willkürlich, so daß es also ganz allgemein auf -j— • wesentlich verschiedene

Arten möglich ist, die vorgelegte Differentialgleichung (I) so zu bestimmen,

daß ihre linke Seite ein totales Differential ist.

Ganz analog können folgende Aufgaben behandelt werden:
1. Gibt es eine Differentialgleichung von der Form:

{(p(x) + ip(y)) dx + {<p(y) + fffix)) dy =- ,
mit dem Multiplikator s = x{x) -{- x(y)j bezw. dem Integral

Im ersten Falle liefert die BedinguDgsgleichung (Ä):

Xix) • if;'(y) + (fix) . x(y) + -^^ [^(y) ' xW] —

X(y) ' tf;'(a:) + (p(y) • x(^) + ^ [^(^) ' %(«)]•
Aus dem zugehörigen Linearsystem:

X(x) = Ciiif;'(x) + c^iXi^) + <?i« ^^ [^(^) • X(«)]i

1 = r3ii/;'(rr) + Cg^^'W + Cjj -^ [if;(a;) • xi^i^)]

bestimmen sich die drei Funktionen 9, 1/;, x i^ ihrer allgemeinsten Form.
Der Spezialfall qg = Cjj = 0^ = liefert z. B.

Im zweiten Fall, wo das Integral a die Form %(ic) + %(y) haben soll,
gibt die Bedingungsgleicbung (B) eine Magnus sehe Funktionalgleichong mit
dem Lösungssystem:

VermiBohie Mitteilungen. 179

■

Hier bleibt eine Funktion willkürlich, und man findet z. B.

J Cit + Cjj^W J c,j + c„t/»(y)
als Integral der Differentialgleichung:

l ^ c,, + c„t/>Ca:)J ^ L^' ' ^ c,, + c,,i/)(y)J ^

2. Unterwirft man jetzt die Differentialgleichung I der Bedingung (J.),
bezw. (B\ indem man wieder s = x{x) •{- x(y) bezw. tf = %(ic) + %(y) voraus-
setzt, so erhält man im ersten Fall eine Funktionalgleichung mit dem
Linearsjstem:

(r= 1,2,- ••».).

Im zweiten Fall erhftlt man dagegen aas (B) eine Fanktidaalgl^ichung mit
dem Linearsystem:

7§ = Cr,ißr(x) + . . . + c,..^„(a;) (r - 1, 2, • • • n).

Während im ersten Fall 2n Oleichungen mit 2n H- 1 Unbekannten
vorliegen, also eine Funktion willkürlich bleibt, werden im zweiten Fall
bei n Gleichungen mit 2n + 1 Unbekannten n -\- 1 Funktionen überschüssig.

Es ist somit auf . . , .v, wesentlich verschiedene Arten möfflich, eine

Gleichung (I) mit zugehörigem Integral von der Form x(^) + %(y) herzustellen.
Auch die Voraussetzung eines Multiplikators s => %{x) - %(y) für die
Gleichung (I) führt auf Grund von (Ä) auf ein Linearsystem mit n Gleichungen
und 2n + I Unbekannten, nämlich:

ar(x) . x(x) = c,,, -^ Ixix) . ß,{x)-] + . . . + c,,„ ~ lx(^) . ß„{x)]

(r = l,2,...w).

3. Setzt man für die Differentialgleichung (I) ein Integral von der Form

6 =^yi(x) • y^(1f) voraus, so fließt aus der Bedingung (B) ein Linearsystem

1
Yon m • n Gleichungen mit 2n + m zu bestimmenden Funktionen. Somit
bleiben 2n -\- m — mn Funktionen willkürlich für 2« + in>m«; die
Funktionen bestimmen sich gerade für 2n-\-m = mn, und bei 2n-{-m<Cfnn
gibt es nur dann überhaupt noch Fimktionen, welche der Bedingung genügen,
wenn sich durch Spezialisierung der Konstanten Cfj^ die überschüssigen
Gleichungen reduzieren lassen.

4. Kann eine Differentialgleichung von der Form:

<p{x)'f^^dx + (p(y)f'^'\ly =

ein Integral %{x) + ^iy) haben?

Die Bedingungsgleichung (J?.) gibt:

t(y) • log 9(^) + log xiy) = if;(:r) log (p(y) + log x{x)

12*

180 Vennischte Mitteilungen.

■

und hieraus:

log ip{x) •= qiif;(a;) + q, log /(a?)

1 «= c^^i\>{x) + c,, log xix).

Eine der drei Funktionen <pf^y% bleibt willkürlich. In dem bemerkens-
werten Fall:

2:a.(x)./:?;(y) 2; a,- (y) . /*,. (x)

q>{x)^ dx + (p(y)^ dy-^0, tf = %(«) + x(y),

wobei aus

n n

^[log^Ca;) • a^ix) • ft(y)] + log x'(y) =^[log 9>(y) " «<(y) " ft(a?)] + log /(x)
1 1

das entsprechende Linearsystem sich ergibt, bleiben bei n -\- 1 Gleichungen
mit 2n + 2 Unbekannten « + 1 Funktionen disponibel.

Windsbach, den 9. Juni 1902. A. Wendler.

NcuMrägliche Bemerhuny: Es sei darauf hingewiesen, daß die oben
erwähnte Magnussche Funktionalgleichung nur ein Spezialfall von der

allgemeineren Funktionalgleichung ^Ä^(x) • B^(1/) ^ ^Cf{x) - Df{y) ist

1 1

(Wendler, „Beiträge zur Theorie der Translationsflächen"; Prg. Theresien-
Oymnasium, München 1904.) In diesem Zusammenhange wäre auch auf
eine in dieser Zeitschrift (6, 46, 1903) erschienene Abhandlung von Pexider
hinzuweisen: „Über symmetrische Funktionen von unabhängigen Variablen^.

München, im September 1906. A. Wendler.

4. Spreclisaal för die Encyklopädie der mathematisclLen WissenschafteiL

[Einsendungen für den Sprechsaal erbittet Franz Meyer, Königsberg i. Pr.,

Maraunenhof, Herzog Albrecht -Allee 27.

I. Band, I B 2, S. 399. Nr. 26. Realitätsfragen.

Es wird behauptet: H. Schramm ersetzt einmal die Sturm sehen
Funktionen durch eine Reihe von Kovarianten, sodann durdi eine Bcihe von
Invarianten. H. Schramm hat zwar einige Invariantenkriterien in der
zitierten Abhandlung aufgestellt, aber seine Invariantenkriterien sind nicht
von solcher Art, daß sie die genaue Anzahl der reellen Wurzeln zu be-
stimmen gestatten Twie z. B. die Sturmschen Funktionen oder Schramms
Kovariantenkriterien). Die angeführte Behauptung ist also (in bezug auf
die Invariantenkriterien) zu präzisieren.

I. Band, I C 2, e, S. 627.

Es wird folgendes Zitat angeführt: „Für 10, 11, 12 Quadrate Liou-
ville, J. de math. (2) 5 (1860) p. 143, 6 (1861) p. 233, 9 (1864) p. 296,
10 (1865) p. 1." An diesen Stellen ist nirgends von 11 Quadraten die
Rede (statt 10 (1865) p. 1 ist übrigens 11 (1866) p. 1 zu lesen).

Prag. K Petr.

Yerndschte MiUeilaagea. 181

Zu IIA 11.
S. 798, Fußnote 166. Hier wfire noch die Note von E. B.Wilson,
Ek.la of Math. 2d. Ser. Vol. 1 (1899) p. 47. ku erwähnen, worin bewiesen
, UaÖ jede nicht überall stetige Lösung der öieichung f(x + jV) = fi.^)fi,y)
j«±^em Intervalle jedem beliebigen Werte beliebig n&he kommeQ inuB.
S, 809. Eine Integralgleichung zweiter Art kommt schon bei J. Liou-
»-11^ vor. Tgl. J. de muth. Bd. 2 (1837) p. 25 ohen, und wird in Reihen-
i>r*n in der seitdem üblich gewordenen Weise ifelüst.

Cambridge, Mass. U. S. A. Maxime Böcher.

Zu n A 11.

,4je uo. 10 de l'Article 11 A 11 de VEncykiopädie a le seul but de
'^■Ppoler que la theorie generale des Operations et les regles de lenr composition
•t <iecomposition s'appliquent a la theorie dos espressiona lineaires homogenes
"ifferentieUes ou aiu differences finies. Les citaüons qui se trouvent dans
^^ Do. sont donc necessairement incorapletea; comme cela est exprime dans
■'® texte, elles se rapportent surtout a la partie formelle de la theorie.
"*>Wi- ce qui regarde l'etude plus profonde de la decomposition des ex-
P^'^ssjons lineaires differentielles ou aui differences en facteurs, ce n'est pas
™^ns cet article, mais dans ceux relatü's aus equations differentielles lineaires
**** am equations lineaires aus differences qu'on devra s'en occuper et en
"_5* »"»xier la litterature complete. Toutel'ois , je crois devoir completer lea
•^"^Ä-t-iona aus notes 47) et 49) du dit article 11 A 11, en mentionnant las
"~^vaui: suivants, dont l'importaiice , pour la decomposition des expressions
'***T<erentieUes lineaires et pour leur reductibilite, est fondamentale:

G- Frobenius, Über den Begriff der IrreduktibUitat in der Theorie
^^»- Jinoaren Differentialgleiuhungen, J. f. Math,, Bd. 76, p. 236 (1873).

Ä. Loewy, Über reduzible lineare homogene Differentialgleichungen,
**»■**. Ann., Bd. 56, p. 569 (1903).

Citona encore;

E. Landau, Ein Satz über die Zerlegung homogener linearer Diffe-
*>tialausdrUcke in irreduzible Faktoren, J- f. Math., Bd. 126, p. 115 (1902),

anssi paroe que la citation d'un travail de T. Groth ü la note 49)
. ^*t ptre completee par oelle d'une rectißcation (Berigtigelse) de cet auteur
' ^yt tidsskr. f. Math., Bd. XVI, no. 3) qui se rapporte preciaement au
****üioire de Landau."

h

Bologna, juin 1906.

S. PiNCHERLE.

m C 2, Nr. 76.

Der Satz S. 219, Z. 8
«ine Kugel haben nach He;
^fts ünagiaären Kugelkreises
*5 FiiÜnote 353 angegeb»

. u. „Eine Kotationsffäche 2. Ordnung and
B eine doppelte Berührung in zwei Punkten
ist unrichtig, findet sich auch nicht an der
.._. _.. _ ^„ Stelle. Bloß die Schnittlinien der beidi

*lS«hpn mit der anendlich fernen Ebene haben eine doppelte Berührung.

E. MtlLLSB.

J

VermiBcht« Mitteilungen.

5. Bei der Redaktion eingegangene Bncber.

AsDBiEaiiEN, C, Über BreeugniBse kongruenter Grondgebilde. Inaug, Diss, '

bürg i, B. 19Ü6. 46 S.
AuinoAL-H, F., Die Gm iiil begriffe der modameii Naturlebire. Zweite Auflage.

Natur und Geistesweit Nr. 40, Leipzig 19U6, B. (i. Teubner. 166 S. M,
Beck, E., Die Strablenketten im bjperboliBvhen Ranm. luaug. Dies. Bonn 1905.
BLASfiittK, E., Voilcaungen über mathematiBche Statistik. Die Lehre von

BtatiBtischen MaBiBhlen. Leipzig 1906, B. G. Teubner. VTl! u. 268 S. H.
Bocnow, K., Die Funktionen rationaler Winkel. Inabegoodere dber die nume

Berechnung der Winkelfunktionen ohne Benutzung der trigonometrischen B

und der Zahl r. Prugr, Realschale. Magdeburg. Leipzig 1906. G Fock.
Bronzin. V., Lehrbuch der politiacbeu Arithmetik inm Gebtaucbe an hC

HaniielBBchulen, Wien 1906, F, Denticke. m S. M.

Clkbiic:h, A., Vorlesungen (iber Geometrie. Bearbeitet und herausgeeebei

F. Lindemann. Zweite, vermehrte Auflage. Ersten Bandes erster Teil

Lieferung. Leipzig 1906, B. G. Teubner. JHO S. 1

Oii'BXB, E. , Vorleeungen Qi>er Differential- und iDtegralrecbnung. S BüaAt

gorgtaltig durchgesehene Auflage. L Band. Mit 115 Figuren im Töit.

u. 6Sn S, M. 12. II. Band. Mit 87 Figuren im Test, vlll u, 635 S. ]

Leipzig 1906, B. G. Teubner.
DimtoB, H-, Elemente der Theorie der Funktionen einer komplexen *eriLnder

Größe. 6. Aufl. Neuhearbeitet von Dr. L. Maurer. Mit 41 Figoieti im

Leipzig 190fi, B. G. Teubner. X u. 897 S. 3

Ebneii, f., Leitfaden der technisch wichtigen Kurven. Leipzig IBOB, B. G. Tei

Vm n. 197 S.
Encjklopädie der mathematischen Wiesenscbaften. Band HI S, Heft 3. H. G. Zsi

Abzählende Methoden. — L. Beuhülaiu, Allgemeine Theorie der höheren e

algebraischen Kurven. Leipzig 190B, B, G. Teubner. H

Encjkbpädie der mathematischen Wissen achaften. Band IV S, Ueft 8 : G. Ze:

Besondere AugfQhrunpteti über unstetige Bewegung in Flüsgigkeite

Ph. FoHCTHueiuEu, Hj'draulik, Leipzig 19U6, B. G. Teubner. M

FiBCHt^ , 0. . Theoretische Grundlagen für eine Mechanik der lebenden K

Mit speziellen Anwendungen uuf den Menschen sowie auf einige Bewe(

TorjiHjige an Maschinen, Leipzig 11)06, B, G. Teubner, X n. 37S S.
FnicHUT, M., 1" Th^se: Sur quelques points du calcul fonctionnel. — S* '

pTOpositions donnäes par la Faculte. Th^s pr^sent^es ä, la Facult^ c

de Paris pour obtenir le giade de docteur gs sc. roatb. Parii 11)06. 7
QiuHBKBi.,B,, Ausgewählte physikalische SchülerübuDgen, Leipzig 1006, B.G.Te

42 S. M.

CrBrNEH, P,, Die radioaktiven Substanzen und die Theorie des Atomcei

Bern 1906, A, Francke, IV u, 103 S. H

GKÜsFELn, E., Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen. Frogr. Staati

schale, Wien 1906, SÜ S.
Hkl-bsi, J., Leitfaden der Physik. 16. Auflage. Neu bearbeitet von E. Qi

Berlin 1906, 0. Salle. IX + 139 + 4S S. H

HocHHEiH, A., Aufgaben aus der analytischen Geometrie der Ebene., Heft T

Kegelschnitte. Dritte, vermehrte Auflage. Bearbeitet von 0. Jäh.

F. Hochbeim. Leipzig 1905, B. ö, Teubner, 90 S M

HoLZHÜi-i-En, G., Die neueren Wandlungen der elektrischen Theorien einichl

der Elektronentheorie. Zwei Vorträge. Berlin 1906, J. Springer. VIIIu.ll9S
Jauhahn, G., Die Grundlagen der Bewegungslehre von einem modernen Staut

aus dargestellt. Leipzig 1906, A. Barth. 421 S.
JoBH, G. und B. Sachsk, Lehrbuch der Chemie. FQr hUhere Lefanuu

Leipzig 1908, B. G. Teubner, fV u, 334 S.

JocFniKT, E., M^BDge de göomttrie ä quatre dimensions. Paris 1906, Qa

Villars. 227 S. P

Jlkk£B, Fr., Repetitorium und Aufgiibensammlung zur Integralrechnnnff. !

verbesserte Auflage. Sanunlung Guschen Nr. 147. Leipzig lEKtB, G. J. Qi

1

Kjj«»'-'«'— ^owKB- Trigonometrie, Aasgabe A; Für Gymnasien. B. Auflage. 175 S,

A-nBK^'>0 B- P^ IwBlgjmntuieD und überrealtchulen 6. Auflage. Breslau 1906,

Y. :Hirt. 189 S. Je M. 8.

KjjiiaRK und Lahn, Lehrbuch der VermeBBungskande. Bearbeitet von Ä, Cappillrbi.

S. A^uflage. Wien lUtJ6, F. Deaticke. M. 8.

KiuiTÄ, F., Paul Dniiie. Nacliruf. 9.-A. aas Naturw. Hnndicbau 21,,. ßranu-

tdi-««-eie 1906, Vieweg n. S.

. KiiTNUB. I., Geschieht« der Phjaik I. Die Physik bia Newton. — II. Die PhyBib

[ von ?<ewton bis zur Gegenwart. Sammlung Oßachen Ni. 393, 391. Leipzig 1906,

I G. J. Gögchen. IIT S., isn S. je M. 0.80.

I tLDERt<3. A., [türgeriiche ReehmmgBatten. Bd. U aus „Goldene Scbülerbibliothek:

I Wie werde ich vewetzfi"' Kattowitz 1906, C. Siwinna. 80 S, M. l.

L KuEKid, A., LOaung plantmetri icher Konstruktiongaurgaben I. Bd. 13 aua „Goldene

L Scbüleibibliotbek". Kattowitz lüOn. C. Siwinna. 91 S. M. 1.

^K Sif^oKB, L., Zur Ausgleichung d?T Widerapiüche in den WinkelbedingungBgloiohungen

^H trigonometriBcher Netze. Potsdam 1906, B. G. Teubner. 34 H. M. X.SO.

^H LiCKSMJura, C, Elemente der Geometrie. Enter Teil: Planimetrie. Achte Auflage

^H bB»rb. ». KsmtscuBKB. Breslau 1906, F. Hirt. 130 S, M. 1.30.

^^1 ~ Zvr«iter Teil: Trigonometrie und Stereometrie. Fünfte AuBage bearb. von

^H KsKiicHUKH. Breslau 130U, F. Hirt. 130 S. M. I.SO.

^H {""lan^^Le^oiissurlesSerieaTrigonouietriquefl. PariBld06,Gauthier-Villikrs. riflS,

^H 'dmikSB, A., Die absolute Wahrheit der Euklidischen Geometrie. Leipzig 1906,

^H A' Oentäckei- 6S S. m! 3.60.

^B ""»«., J,, Guide de l'AmateuiMailorologigtfl. Paris 1906, Gauthicr-Villara. 1018.

^H ^URTs, H. A.. Ternuch einer Theorie der elektrischen und optiaclieii Erscheinniigea

^F 'n bewegten Körpern. Leipzig 1906, B. G. Teubner. 13i* S. M. 8.80.

r w>Mir, w._ Zar Theorie der Mittelworte. Abhandlungen der Natarforscb. Gea.

r «iSrlitz Bd. 35. 1908, U S.

"''•. -A. E. H., Lehrbuch der Elaatizit&t. Deutsche autorisierte Auagnlie unter
Äit-wiiVung dea Verfassera besorgt von Dr. A, Timpe in Danzig-Langfnhr, Mit
y w-hlreichen Textfiguren. Leipzig 190ü. B. G. Teubner. XVin u. Güfi S.

™*- - J., KurigefaßteB Lehrbuch der Mathematik tut Ingenieme. Wien l«Oii,
jj^'-afaniann und Wentjel. VIII u, 837 S. M. 9.aO.

j • £., Die Geachwindigkeit der Röntgenstrahlen. Experimentalu nteraucbung.
wj'eipxia 1908. B. G. Tenbner. HI u. 47 S. M. 1.60.

■^jI*-'J, J,, Memoire snr Vintegration gvaphique et aea application«. Oand 1906,
wf- -van Goethem. 730 S. Fr, 20.

^^^^t W,, Instrumenten künde für Forachnnga- Reisende. Unter Mitwirkung von
itf, Sridkl, Hannover 1906, M, Jüneoke, 'JOO 8, M, 6,90.

'^"-■eä. h. und A. BiKLKB, Rechenbuch filr Knaben-Mittelschulen. Teil 1. für die
"«*- «interen Kloaseu, Heft 1—4. Leipzig 1906, B. G. Teubner. je M. 0.60.

5j|t^^, H. nnd A. Biei.KR, Arithm ethisches Lehr- und Cbungsboch tOr Knaben-
fj~*'tte^»chuien. Teil 1: Bia zu den Gleichungeu zweiten Gradea mit mehreren
■»*>ekannten einsehliefllioh. Leipzig 1906, B, Q. Teubner. VI u. 160 3. M. 1.60.
^^«,, H. nnd A. Bulkk, Arithmetisches Lehr- und ÜbunKsbuch ffir Knaben-
j*l* fctfeia chulen . Teil 2: Reihen lehre, Zinseaiioarechnuug und Anfangsgründe der
j[aJ *^8T>iiometrie. Leipzig 1906, B. G. Teubner. HI u. 34 S, M. 0.40.

j*-^^ , H. und F, PiBTZKBH, Rechenbuch tOr die unteren Kinasen der höheren
^^l>x~aDEtalten. Voratufe zu den Aufgabensammlungen von Barde; und Müller-
^»Jto«waky. Ausgabe C. Heft 1: Ffir Sexta. M. 0.8U. Heft 2: Für Quinta.
L, .*■- O-«0, Heft 3: Für Quarta. M. 1. Leipzig 1906. B. Q. Teubner.

'^p^'^'^KnusoKn. Lögarithm. - trigonometrische Tafeln, 8. Auflage Wien 1906,
UoK ' ■^'^^psky. 100 S,

JS O., Abhandlungen aua dem Gebiete der technischen Mechanik. Berlin 1900,

),/''' ■ Krosi n, Sohn. M. 16,50.

. "^ • Ä, , Gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung in ihrer Be-

"SatUig zu den Integralgleichungen. Inaug. Diaa, Güttingen 19Ü6, 36 S.

*'?*'"«. Fbasz, Gesammelte Werke. Herausgegeben von seinen Schülern. Zweiter

DU»«!. Leipzig 19U0, B, G, Teubner. OSO S. M, »6.

^^??«>»«. S,, Das astronomische Weltbild im Wan,lel der Zeit. Aus Natur und

"^teawclt N. 110. Leipzig 1906, B. ü. Teubner. IUI S. M. 1.35.

KI

Vermischte Mitteilungen .

Oblich, E., Äufiiabmc nnd Analyse von Wechielittoraturven. Heft 7 ans „Elektro-
technik in Einzoliäarstellungcn". Braunschweig 1906, Vieweg u, Sohn. tl7 T

M. *.- .
Oi'L'i.NutN, Ä. VON, Die pergpektiviscben Kreiabilder der KegeUctmitte. Leipzig 19M,

W, EnKclmann, 118 8, M. fi.

Pauuien, P, , Das deutsche BildiingaweBcn io seiner geschichtlichen Entvickelung.

ÄusNatoinndCeUteBwelt, Nr. 100. Leipzig 1906, B.G. Teubner. 192 8. M.l.as.
Pmi^üiM, L. de, N,-H. Abel. Paris 1B06, Gauthier-Titlars. 168 S. Fr. 6.

pBTBOTiTca, M., La M^caniqne des Phi^nomitDes fond^e snr les Analogie*. Paiü

1906, Oanthier-Villars. Samnilung „Scientia". 'J6 8.
PoiNCARK, E., Der Wert der WissenschaFt. Dentscb von E. u. H. Weber. Uit

einem BUdnis des Verfassers. Leipzig la06, B.G-Teubner. IVu, 852 8. M. 3 60.
PoiNCBON, J,, Principes et formules de Trigonometrie rectiligne et sphifriqa«^

Paria 1906, Gauthier-Villara. 146 S.
Sadssitre, R, DK, Theorie g€omijtric)ue du mouvement des coips. Genf 1906*

H. KSndig, 109 S. ^

8cHHKitL, Nene Modelle für den Unterricht in der darstellenden Geometrie,

Bpektive and rechtwinkligen Axonometrie. GjeBen lilW, Hessische Lehmiittol-

Anatalt.
Sqhwartzr, Tn., Allgemeine Maschinenlehre. Bd. 214 von Webers iUnstrierten Kate-
chismen, Leipzig 1903, J. J. Weber. 410 S. M. «.
ScHWERiso, K., Arithmetik und Algebra tiir höhere Lehranstalten. Dritte Aaflag^i

Freiburg i. B, 1906, Herder. 88 S. M. 1.4a

SBRftST-ScHGFFERR, Lchrbucb der Differential- und lnt«gTalrechnung. Nach Axd

Harnacka Obersetzuug. 3 Bände, ü. Aufl. Neubeatbeitet von G. Schöffen

I. Band. Dilferpntialrecbnnng. Mit 70 Figuren im Text. Leipzig 190*,

B. G. Teubner. XVI u. 621 S. M. llt«

STKOKKi.BKkii , U., Die Elemente der Differential- und Integraliecbnnng. Leips*

lyoe. B. G, Teubner. 48 8. M. 0.(

Thouson, J. J., El ektrizit&ts- Durchgang in Gasen. Deutsche autorieierto Auag

onter Mitwirkung des Autors besorgt und ergänzt von E. Mabi. Leipzig li

B. G. Teubner. vTI u. 6S7 3. IL

üniversiKt Göttingen, Die Physikalischen Institute. Pestschiift 1906, Leipiig I90fl^

B. G. Teubner, 200 S. M. IS

Vatkh, R., Die neueren WBxmekiaftmascbinen. Zveite Auflage. Ana Natur aa

GeiatcBiirelt Ni. 21. Leipzig f.i06, B. G. Teubner. 140 S. M. l.n

Weddino, E., Das Eisen hüttennesen. Zweite Auflage. Aus Natur und Geisteawal

Nt. 20. Leipaig 1904, B. G. Teubner. ISO S. M. 1.«

Weihbauh, 0,, Die Spiegelung einer unendlichen Ebene in einem xa ihr senkreobte

eUJptiscben Zylinder. Berlin 1SU6, Mayer und Müller. 60 S.
WsiniTEtN, B., Die philosophischen Grundlagen der WissenschaFteD. Leipiig 19(M|

B, 0. Teubner. MV u. 64a 8. M. ft

WiLcinjSEi , E. .1., Projective difierenlial geometry of cnrves and ruled snifMM

Leipzig 1906, B. G. Teubner. VIII u. 298 8. M. 1«^

Zuiukkhauh, H., Die Knickfestigkeit eines Stabes mit elastischer QaentStmoK

Berlin 1906, W. Ernst u. Sohn. U S, M. 4

ZCblkk, P., AusführunK elemeu tsrgeometrisch er Konstruktionen bei angOnstigin

LageverhllltnisBen. Leipzig 1906, B. G. Tenbner. 46 S. TCt

Berichtigung la Band IX.

S. 91, In Aufgabe 125 ist hinter „Ordnung" einzuschalten: „die Dnlop
detenninanten zweiter Ordnung einer Determinante vierter Ordnang, ^eo".

Berichtigung zn Band X.

S. 327. In Aufgabe 151 muS es statt; „die zwei Kegelbüschel gemein hl
heifien „den zwei Kegelschniitbüschel gemein haben".

S. 329. In Aufgabe Ittl lies „eine ö&ung von 1 cm'" st»tt „eine O&m^

nebst Auflösungen.

MH 20S n«ig*telQha«t«a Flgartn.

HennMABfleboti von Dr. C. Cp«nZ|

uad Leuln. RIHap non Ebarhard,

eformvorschläge fUr den mathematischen uncj
naturwissenschaftlichen Unterricht.

EntwoifaD voD der
atemehtskotDtntsnoD der 6«»«>lJ9cliiin Deutoefa^r Naturfonchor oad J

TeO. Vorecbiag«' DheraeJcfat der 78. Nutiufoncher-Veouirolutig in Btultgtut t
bImI eilten allA:eraeJneD Bericht Sb« ilio Tütigkeil il«r Kamniliuioii Im TuiloMeaan Jahi

I PtokuoT u der ÜalTenlUt H«Ue k. 8.

[IT □. IS 5.] p. 8. \9M, fpiix. IL .« 1 .4U.

Dia vinti«ireoile !4chriß xihliefit «idi an Üv cUr KunrfoniTfcpt-VanaDimliniir M

'MlbDti'iin;ikuUichD Süpit.-i^i^ uuuLmtH

Vorlag von B. G. TEUBNER In LEIPZIG.

Serret-Scheffers Lehrbuch der
DifFerentiai- und Integralrechnung.

Nach Axel Harnacke Übereetzung. In 3 BÄadcn. 3, Auflage^
neu IicmU-UH <'id

Dr. Geopg SohcllerS)

I, Bwid. Difffrentlnlrcchnung. M;t T'i nj.;iir..i, l.i, T.ii IX\'tar2-(?r ip"- * '

Vertag von B. G. TEUBNER In LEIPZIG.

philosophischen Grundlagen der Wissenschaften.

Vorli»«uiigou gobult'^n uii Hot UoiversiUit K«rliu
ProfEisior Dr. B. Weinitein.

Verlag von B.G. TEUBNER In LEIPZIG.

Serret-Scheffers Lehrbuch d^
Differential- und Integrairechnunj

Nacb Axel Haraacks Dberaeteuug. In ^ B&ad«tL 3. Auflj|g%|

neu IcwbcitAt >uii

Dp. Gvopg Soh«1T«p«,

1, HuliJ Otffercfillotr'Jühmnifl. Vit T-t t-.tilt. ., i.,. Tnt [tTt u ntü <5

Verlasi von B, G. TEUBNER in LEIPZIG.

Die philosophischen Grundlagen der INissensch

Vorlesniigon ßebult'e'U an der rnirersitiit Berlin
Professor Dr. B. Weimtain.

\!V 11 m:' «I t laii" In Lpfnf^r.a o<?li n .1« f.—

über eine Aufgabe der nnbestimmten Analysis.

Von A. Hurwitz in Zürich.

In den folgenden Zeilen will ich mich mit der nachstehenden
Liifgabe beschäftigen:

„Man sott alle Systeme von n positiven ganzen Zaiüen x^yX^,... x^
immenj deren Qucutratsumme xl + a^ + • • • +xl ohne Rest durch ihr
XiX^ • • • ^» teilbar ist.*^

Offenbar kommt diese Aufgabe auf die vollständige Lösung der
iqpIiantiBchen Gleichung

L) a^ + x^-] \- xl = xx^x^ ' ' ' ^n

positiven ganzen Zahlen x, x^, x^, . . ,x^ zurück.
Den Fall n -• 1 lasse ich als interesselos bei Seite. Ist n »> 2
l lautet die Gleichung (1)

»4>r -J- XZ ^™ XX-\Xmj

2xi = xx^ + x^x^ — 4

Daher muß Ys? — 4 eine ganze Zahl t sein. Aus
ir* — 4 -= ^ oder {x + t){x --()=' 4,

aber x + t'^x — t = 2, also

X = 2 und x^ = iCj.

Die allgemeinste Losung der gestellten Aufgabe wird demnach
Falle n » 2 durch ein System von zwei einander gleichen Zahlen
*" ^ gebildet.

Bei der weiteren Behandlung der Aufgabe werde ich nun n ^ 3
»rauasetzen.

Indem man die Gleichung (1) auf die Form

a^ + • • • + arj = Xi{xx^ * ' * ^n "" ^i)
ingt, erkennt man, daß

X\ ■""" XXa • • • X^ ■""" Xi

4ar Jf»tlMm«tik and Fhyiik. III. Reihe. XI.

13

186 ^' Hurwitz t

eine positive ganze Zahl ist, welche der Gleichnng

arf H h ^! == (xx^ • • • ^« — ^i)^u

oder

genügt. Es gilt also der

Satz L Bezeichnet

6 =» \Xj Xif x^f ^ » . x^

eine Lösung der diophanüschen Gleichung (1), so ist auch

b **■ \Xf X\f X^f • » . X^)

eine Lösung dersdben, falls x[ aus der Gleichung

(2) ^i + i^i — xx^ • • • ^„

berechnet wird.

Aus der Symmetrie der Gleichung (1) in den unbekannten x^, x^,,,.x^
geht hervor, daß ebenso

5 ■" (Xy X^f X^, X^, . . . X^J

5 * = (a:, ajj, a;,, . . . x^_i, Xn)

gleichzeitig mit i Lösungen der Gleichnng (1) sind, wenn xi, . . . x'n aus
den Gleichungen

•I/o "i •*'• ~"* X X*jU9 • • • •!/_

Xn "t" X^ = XX'^X^ . « • •''n_i

bestimmt werden.

Jede der Lösungen 5', |", . . . |(") will ich als der Lösung J
„henachbari^^ oder auch als einen „Nachbarn^' der Lösuug | bezeichnen.
Die Gleichung (2) zeigt unmittelbar, daß auch | der Lösung g' be-
nachbart ist, und Entsprechendes gilt von den Lösungen |'', ...(^"^
Wenn also von zwei Lösungen die erste zur zweiten benachbart ist,
so ist auch umgekehrt die zweite zur ersten benachbart. Bildet man^
von einer Lösung $ ausgehend, die Reihe von Lösungen

(3) I, 1?, g, . . . (D

in der Weise, daß jede ein Nachbar der immittelbar vorhergehenden
ist, also 7} ein Nachbar von S, sodann g ein Nachbar von iy usf.
so sollen die Lösungen 17, g, . . . co aus der Lösung | yflbgtleitef^
heißen. Wenn die Lösung (o aus der Lösung S abgeleitet werden

B Aufgabe der uulieatimmten Analygii

187

kmnn, so kann auch umgekelirt | aus m abgeleitet werden. Denn in
der Reihe (3) ist auch jede Lösung ein Nachbar der iinmitt«lbar
folgenden.

Geht man von einer Lösuug zu einer benachbarten über, so ändert
sich der Wert der Unbekannten ,c nicht. Daraus folgt:

Sats 3. Wenn zwei Lösutigen aiiseinander abgelmtet werden fümnen,
so stimmen sie in dem Werte der Unbekannten x überein.
Als ,^öhe" einer Lösung

| = {a:, »1, Xj,. . .xj
I der Gleichung (1) beiteichne ich nun die Summe
a:^ + a, + ■ ■ ■ + *,
md knüpfe hieran die folgende

Definition: Mne Lösung der Gleichting (1) heiße eine „Grund-
Ssung", wenn keine der n ihr henachharten Lösungen eiyie kleinere
: hesilxl wie sie.

Die Bedeutung dieses Begrifi'es der Gnindlösung beruht auf folgendem
S^B 3. Jede Lösung der Gleichung (1) ist etitieeder eine Grund-
r oder sie läßt sich aus einer Grundlösuna ableiten.
In der Tat, wenn die Losung | nicht Grundlösung Ist, so besitzt
einen Nachbarn »; von kleinerer Höhe. Wenn tj ebenfalls nicht
&nuidlösuug ist, so besitzt ij einen Nachbarn t ^on kleinerer Höhe
fortfahrend erhält man eine Reihe von Lösungen:

V) 5. 1. S

Toc denen jede ein Nachbar der unmittelbar vorhergebenden ist oud
deren Hohen eine abnehmende Reihe bilden. Da die Höben positive
ganze Zahlen sind, so muß die Reibe (4) notwendig abbrechen,
d. h. man kommt bei Fortsetzung der Reibe (4) notwendig einmal
zu einer Lösung ra, die Gmndlüsung ist. Ans dieser GrundlÖsnng ra
läßt sich dann die Lösung g ableiten.

Dem Satze 3. zufolge genügt es zur vollständigen Auflösung der
Gleicbung (1), die Grundlösongen zu bestimmen. Ich werde nun

zeigen, daß es nur eine endliche Zahl von tirundlögungen gibt, und

zugleich die Mittel zu ihrer Herstellung angeben.

Soll die der Lösung ^ = la;, x,, a^,, . . . a:^) benachbarte Lösung

I' .= (x, x[, Xj,... a:,) keine kleinere Höhe haben, wie 6, so muß

X, ^ *!, oder na,ch Gleichung (2)

L_

188 ^- Hur WITZ :

oder auch

(5) 2x\^XX^X^ ' ' '^n

sein. Eine entsprechende Überlegung läßt sich auf die übrigen be-
nachbarten Lösungen von g anwenden. Demnach gilt der

S<Usf 4. Die Lösung

S "= [Xj X^y X^f . . . X^)

ist dann und nur dann eine Grundlösung, wenn die n Ungleichungen

(6) 2x^ ^xx^x^ . . . x^ (isi.«....«)

erfüllt sind.

Die Symmetrie dieser Ungleichungen zeigt, daß eine Grundlösung
durch eine beliebige Permutation Yon x^y x^, . . ,x^ wieder in eine
Ghrundlösung übergeht. Es genügt deshalb, diejenigen Grundlösungen
aufzusuchen, welche den Ungleichungen

(7) ^1 ^ ^8 ^ ^« ^ • • • ^ ^,1

genügen. Für diese Grundlösungen sind übrigens die Ungleichungen (7)
zusammen mit der einen Ungleichung (5) YöUig charakteristisch, da
die Ungleichungen (6) sämtlich zugleich mit den Ungleichungen (5)
und (7) erfüllt sind.

Ich bringe nun die Gleichung (1) auf die Form

(xx^x^ "X^ — 2x^y = ar^a^a^ -xi- 4(a:| + xl + f- arj),

aus welcher leicht

(ö) a/^/iwr* • . . X- ^Xa — • x-tXmX^ • . • x^^ X "^ ^jrx

hervorgeht, wobei

C9^ j, = x\ + xl + -- • + xl ^ (x; + a;} -I \-xj ;) — x i .

ist. Durch Vertauschung von x^ mit x^ entsteht hieraus

(10) xx^x^ . . . x^ — 2xi = x^x^x^ . . . x^x^ — 4p^ (• = i,s,s,... »)
und

(11) Pi = ^^^-^r- ^-^ ' ^' ('»i,«,...-.)

Nun möge

5 = (Xy X^j X^y . . . X^)

eine Grundlösimg sein, welche den Ungleichungen (7) genügt.

über eine Aufgabe der unbestimmten Analjsis. 189

Wegen der Ungleichungen (6) sind dann die Quadratwurzeln^
welche in den Gleichungen (10) auftreten, nicht negativ, und unter
ihnen gilt, wegen der Ungleichungen (7), die Gh-ößenfolge:

(12) Yx^ - 4tp, £ yx^^^^4p^ ^ • • • ^ }/i» - 4tp^.

Durch Addition der Gleichungen (10) kommt

nxx^x^ • • • a;„ — 2(xl + xl + -- - +xl) => XiX^ • • xj(^x^ — 4j)i

und hieraus in Rücksicht auf die Gleichung (1)

(13) y:r* - 4i>i + Vi« - 4jp2 + • • • + Vi* - 4i>^ = (n - 2)a:.
Aus der Kombination von (12) und (13) folgt

jiV^^=l]>i ^ (n - 2)a:, n^ - 4i>i) ^ (n - 2) V, (n - l)a;« ^ n«i)i

oder, nach Gleichung (9),

(14) (w - X)xH\x\ . . . o;; ^ n«(:rj + a^ + . . . + ^J).

Nach den Ungleichungen (7) ist femer

:c| + a?J + ...4^(n-l)a;|,
so dafi aus (14)

(15) xx^ • • • ^« ^ ♦*

hervorgeht. Endlich ergibt die Ungleichung (5):

2a;J ^ arx^a:, • • • rc, — a;J + a;| + • • • + rf
oder

(16) irJ-i4^a;| + ...+a;;.
Aus der Ungleichung (15) folgt, daß

x^ x^f • • • ^j»

nur eine endliche Zahl von Wertsystemen annehmen können. Für
das einzelne dieser Wertsysteme kann dann, nach Ungleichung (16),

(17) ixi-xi^(x, + x^)(x^-x;)

mir einen der Werte 0, 1, 2, • • • (a:^ H + a:J) erhalten, sodaß auch

f3r x^ und x^ nur eine endliche Zahl von Werten zulässig sind. Denn
einen g^ebenen positiven Wert nimmt der Ausdruck (17) überhaupt
nnr fBr endlich viele Zahlenpaare x^, x^ an, den Wert Null aber nur
dum, wenn x^ und x^ denselben, der Gleichung

2«J + a^ + • • • + rf =* xx^x^ ' ' ' ^n

genügenden Wert haben, und dieser ßleicbung genügt, wenn flbra
nnr ein positiver ganzzahliger Wert x^.

Die Anzahl der GmndlÖanngen der Gleichnng (1) ist also in d .
Tat endlich. Zu ihrer Bestimmung stehen, au0er der Gleichung CZ
die Ungleichungen (7), (14), (15), (16) y.nr Verfügung. Diesen ka:^
man noch eine weitere hinzufügen. Da nämlicli Yx' — 4p^ r edi ^
so muß 4p, ^ a:*, oder nach Gleichung (9)

(18) ^a^^ + xl + ■■■+xl)£ {xxtx, - ■ ■ x^)'

sein.

Ans den tirundlÖsnngen lassen sich nach Satz 3. die sämtliciia
Lösungen der Gleichung fl) ableiten. Daß hierbei aber auch kei«
der Grundlösungen entbehrt werden kann, geht aus dem folgende
Satze hervor:

Satz 5, Keine der Gntndlömnifcn kann aus einer andern abgeleitm
werden.

Dem Beweise schicke ich zwei Hilfsaätze voraus.

Hilfssate 1. Zwei liachbarlösunf/en von gleicher Höh« sind identisi^

Denn zwei Ifachbarlösungen stimmen in der Unbekannten x aw
in » — 1 der Unbekannten Xj, x^,. . .x^ überein. Daher müssen si
auch in der letzten Unbekaimten Übereinstimmen, wenn ihnen derselh
Wert der Höhe .t, + z, + ■ • + -c, zukommt.

Hilfssatz 2. Eine Lösung £ hann höchstens einen Nachb<»n va
kleinerer Hohe besitzen.

Angenommen nämlich, es wären die Nachbarn gO and £(*) I
von kleinerer Höhe wie i = (x, x^, x^, . . . «,), ao würde

24>3:34a:,--a:„ — a^ + ai + • +2:;

2x1 > xXiX^ ■ ■ ■ x„'=x\-\'X\-\ +xl

sein, woraus durch Addition die widersinnige Ungleichung

2(1? + 4) > 2(1» + s^ + . . ■ + A)
folgen wQrde.

Um nun den Satz 5. zn beweisen, zeige ich, daß die Annahm«
eine Gnindlösung to könne aus einer andern | abgeleitet werden, bq
einen Widerspruch führt.

Aus dieser Annahme folgt, daß ea eine Reihe von Lösungen da
Gl.id.m.g(l) s,,,. ..,,,.,,.,.„

gibt, von welchen jede Nachbar der vorhergehenden ist. Man iax
nun voran Bsetzen, daß in dieser Reibe nicht ein imd dieselbe Lösun(

S»^!

über eine Aufgabe der unbestimmten Analysis. 191

melir als einmal auftritt. Denn wäre etwa tf — r^ so könnte man in
der Beihe die auf 6 folgenden Glieder bis t inklusiye unterdrücken.
Ziw^ei nebeneinander stehenden Gliedern der Reihe entsprechen dann nach
Silfsfiatz 1 verschiedene Höhen. In der Reihe möge nun der größte
ECöhenwert der Lösung 6 zukommen. Es fallt dann 6 nicht mit S zu-
sammen ^ da S als Grrundlösung geringere Höhe hat wie 17; aus ent-
sprechendem Grunde fällt 6 auch nicht mit o zusammen. Folglich
stellt 6 in der Reihe zwischen zwei anderen voneinander verschiedenen
Ltosnngen. Diese würden aber beide zu 6 benachbart und von kleinerer
Höhe wie 6 sein, worin ein Widerspruch gegen den Hilfssatz 2. liegt.
Aus diesem Hilfssatz folgt noch eine bemerkenswerte Tatsache,
^^deutet I eine Lösung der Gleichung (1), die nicht Grundlösung ist,
so kann man die Reihe von Lösungen

5, 1?, S, ... 03

i^skoli Hilfssatz 2. nur auf eine Weise so bestimmen, daß jede Lösung
Nachbar der vorhergehenden und zugleich von niedrigerer Höhe
die vorhergehende ist. Jede Lösung der Gleichung (1) kann also
wesentlichen nur auf eine Weise aus einer Gnmdlösung abgeleitet

Aus den Ungleichungen, welche für die den Bedingungen (7)
S^tn^^genden Grundlösungen gelten, will ich nun einige Folgerungen
^öHen.

Die Ungleichung (15) lehrt, daß der Wert von x in keiner
^^^'UndlÖBung großer als n sein kann. Hieraus folgt weiter, in Rücksicht
^Ti.f die Sätze 2 und 3, daß es überhaupt keine Lösung der Gleichung (1)
S^bt, für welche x>n wäre. Das heißt, es gilt der

Satz 6. Bedeutet a eine gegebene positive gange Zahl, die größer
^^^ n istj so besitßt die diophanHsche Gleichung

ClS) a^ + a;J + • • • + 4 — ax^x^ - - x^

*^*»«e Auflösung in positiven ganzen Zahlen x^, a;,, . . . x^.

Nimmt man an, daß die ganzen (nicht notwendig positiven) Zahlen
^9 ^, . . . rr^ der Gleichung (19) genügen, 00 müssen dieselben offenbar
^^ix^iUch Null sein, wenn es eine unter ihnen ist. Falls dieselben aber
^^Uich von Null verschieden wären, so würden ihre absolnton
^'^^ \^\f \^:f"'\^J. ebenüalls der Gleichung (19) genügen.
^^ dem Satze 6. folgt daher, daß die Gleichung (19), abgesehen von
^ trivialen Lösung a:^ « o:, — • • • » j;, — 0, keine Aoflötong in ganzen

192 A. HuBwrrz:

Wenn in der Ungleichung (15)

YorausgeBetzt wird^ so kann sie nur bestehen^ falls

^« a;, = 1

ist. Dann folgt aber aus Ungleichung (14)

(n - l)n«a;| ^ n*(a;J + n - 2), a^^l,

also x, » 1 und sodann aus der Oleichung (1) schließlich Xi ^ 1.

Dem Werte x =^n entspricht demnach die einzige Grundlösung

fl? =« t», a?! = iCj =» Xj = • • • ^ ic^ =■ 1 ,

aus welcher also die sämtlichen Lösungen der Gleichung (1), ftir
welche x =» n ist, abgeleitet werden können. Es gilt mit anderen
Worten der

ScUjs 7. Die sämtlichen Lösungen der Gleichimg

^? + a?| + h 4 = nX^X^ "Xn

in positiven ganzen ZcMen x^, x^, . . , x^ lassen sich oms der einen Lösung

^ — ^J = • =- ^n = 1

ableitend)

Für die Werte Yon n, die 10 nicht überschreiten, habe ich die
Grundlösungen der Gleichung (1) berechnet. Dabei habe ich außer
den oben aufgestellten Ungleichungen noch einige weitere aus ihnen
hervorgehende benutzt, die ich zunächst ableiten will.

Dividiert man die Ungleichung (14) durch die Ungleichung x^ ^ 1,
so ergibt sich

{n-l)xlxl . . . xi£n\a^, + a^, + • • • xl),
oder

(20) [{n^l)xl''xl--n^xl£n\xl + • • • + xj).

Entweder ist nun

(a) (n-l)^...x;^nS

oder aber

(b) (n-l)a;|...a«>nl

1) Die diophantische Gleichang x} 4" ^ + ^ = Sx^x^x^ behandelt A. M»r-
koff in seiner Abhandlung „Sor les formes quadratiques binaires ind^finies'*,
Math. Annalen, Bd. 17, S. 396. Markoff beweist hier, daß die B&mtlichen
Lösungen der Gleichung ans der Lösung a:j »b x, «= o^ = 1 abgeleitet werden
können , also den n =. 8 entsprechenden speziellen Fall des Satzes 7.

über eine Aufgabe der unbestimmten Analjsis. 193

Im letzteren Falle folgt aus (20), da x^^x^ ist,
[(n - l)xl '"Xi- n']xl £ n\xl + Q),
wo zur Abkürzung

Q^X\+ Vx\

gesetzt ist. Da nun

[(n - l)a:«...a;J-n«]«==n* + (n-l)a:2...a;;.a;|[(n-l):c^..4-2n^]

ist, so schließt man aus der letzten Ungleichung

[(n - 1)4 . . . xj - n«]« ^ n* + (n - l)r^ . . . a;; . n««,
oder endlich

(21) {n-\)x\'"a?n^n^ + n\/v> + (n -\)x\ • • • x\{x\ + • • • + xV),

Diese unter der Voraussetzung (b) abgeleitete Ungleichung gilt
a fortiori, wenn (a) stattfindet. Sie gilt daher in jedem Falle.

Die Ungleichung (21) gibt eine obere Ghrenze fOr die Werte,
welche x^ annehmen kann, nachdem a:^, . . . x^ bestimmt gewählt sind;
sodann gibt die Ungleichung (20) eine obere Grenze für die zulässigen
Werte von a^g, jedoch nur, wenn der Fall (b) vorliegt.

Ist beispielsweise a;^ = • • • = x^ -= 1, so ergibt die Ungleichung (21)

(n - l)a^ ^ n* + n\/n^ + (n - l)(n - e3) = w« + ny2{n'- 1)« + 1.

Die Aufstellung der Grundlösungen wird, außer durch die Un-
gleichungen (20) und (21), auch noch durch die Tatsache erleichtert,
daß von n = 5 ab in jeder Grundlösung mehrere der Zahlen x^yX^,... x^
den Wert 1 besitzen. Es besteht nämlich der

ScUz 8. Wenn n '^ö ist tmd {x, x^, a;,, . . . rcj eine den Be-
dingungen (7) genügende Crnrndlösung der Gleichung (1) bedeutet, so
besitzen sicher die n — 2 — Tc letgten der Zahlen x^, x^, . . , x^ den
Wert 1. Dabei heaeichnet k die durch die Ungleichungen

2*^n<2*+^
besÜmnUe ganze Zahl.

In der Tat können nicht mehr als Ic der Zahlen x^, . . . x„ größer
als 1 sein, weil sonst ihr Produkt mindestens gleich 2*+^ > n ausfallen
würde^ im Widerspruch mit der Ungleichung xx^ . . . x^^n. Man
überzeugt sich femer leicht, daß von n = 5 ab n — 2 — ä;>0 ist.

leh stelle nun die den Bedingungen (7) genügenden Grundlösungen
der Gleichung (1) bis n = 10 in der folgenden Tabelle zusammen:

194

A.

HUBWITC:

Tabelle der

Grandlösungen.

n X

«1 1 a:,

^8

x^

3%

3^«

X-l

«8

'P»

^10

3

3

1

1
3

1
3

1

3

1

4

4

1

1

1

1

1

2

2

2

2

'

5

1

1

1

5

4

2

1

1

1

1

4

3

3

H

6
3

1
2

1
2

1

1

'

7
5

1
2

1
1

1

1

7'

3
2

3
2

2
2

1
2

1

3

2

2

8

8
1

1

4

1
2

1
2

9

9
6

1
2

1
1

1

1

1

1

►

10

1

1

1

1

6

3

1

1

1 1 1

10

4

2

2

1

1 1

2

3

2

2

1

.

1

4

4

3

•■■

1

An diese Tabelle knüpfe ich noch einige Bemerkungen.

Nor in den Fallen n »= 3 und n = 4 kommt es vor^ daß die
Zahlen x^, x^, . . . x^ einer Omndlosnng einen allen gemeinsamen
Teiler anfvreisen.

Man beweist nnn in der Tat leicht den

S(Uz 9, Wenn n > 4 ist, so gibt es keine Lösung der Gleichung (1),
in welcher a^j, x,, . . . x^ eitlen gemeinsamen Teiler besitzen.

Angenommen nämlich^ es wäre
so würde

!^ + yj + • • • + yS - d^-^x ' y^y^ -y^
folgen. Nach Satz 6. müßte nnn

d^-*x<n

nnd, da 2" ' ^ /"'

sein. Diese Ungleichung ist aber von w =, 5 ab nicht erfüllt.

Der Satz 9. läßt aich übrigens auch ohne Schwierigkeit aus dem

Sntze 8. ableiten.

Difl Tabelle der Grundlösungen zeigt ferner, daB die Cnbekannte x

nur einen Teil der Werte ^ w annehmen kann. Nach den Sätzen 2.

und 3. folgt hieraus der

Sats 10. Bezeichnet a eine positiv fiami: Zahl, so besitzt die

diophantische Gleiehuwf

(22) x; + 3^ + V xl = c^i^i ■■■X,

■ für a = 1
, fnUs » = 4 ist;

i

Auflösungoi in positiven gamen Zahlen x^, x^, . .
und (1 = 3, falls n = 3 ist; nur für o = 1 nnd a -
nur für ß =. 1 . a = 4 nnd a = b. falls n = 5 ist u. s. f.

Für einen unbestimmten Wert von n dürfte es schwierig sein,
diejenigen Werte von a^n allgemein zu charakterisieren, für welche
<lie Gleichung (22) Auflösungen in positiven ganzen Zahlen besitzt.

Die im vorstehenden entwickelte Theorie der Gleichung (1) läßt
sich noch in anderer Weise auffassen, wobei ihre Analogie mit der
Zahlentbeorie der quadratischen Formen hervortritt. Die binären
quadratischen Formen von gegebener Determinante D sind eindeutig
zugeordnet den Lösungen der diophantischen Gleichung
(23) x\ ~ x,x^ - D.

^16 Einteilung der Formen in Klassen kommt also auf eine Einteilung
**®^ Lösungen der Gleichung (23) in Klassen hinaus, wobei zwei
''Oßangen (j',, a:,. ^^I und {x^^, xj, x^) dann in dieselbe Klasse gehören,
""«Du die eine aus der andern durch Gleichungen der Gestalt

Ix^ — ar,«* + 2Xi ay -f aij y'
Xl = X^ttß + X^{<t8 + ßy) + x^yS
xi = Xfß' -i-2x^ßS + x^d*

^bgeleit^t werden kann, unter c, ß, y, d ganze Zahlen der Determinante

" ~ — ßy = l verstanden. In jeder Klasse von Losungen gibt ea eine

"""»^zierte", durch Ungleichungen charakterisierte Lösung. Die Anzahl

Qieaer reduzierten Lösungen — und damit die Anzahl der Klassen —

>» eine endliche. Hat man die reduzierten Lösungen der Gleichung (23)

^gestellt, so ergeben sich aus ihnen alle übrigen Lösungen vermöge

Aer Formeln 1,24).

) Aufgabe der UDbeRtimiuten Änalj^is.

In ganz entep rech ender Weise hat man nun eine Einteilung der
Lösungen der Gleif^hung (1) in Klassen, wenn niun zwei Lösungen
dann in dieselbe Klasse rechnet, falls sie in dem oben festgesetzten
Sinne auseinander abgeleitet werden können. In jeder solchen Klasse
gibt ee eine durch Ungleichungen charakterisierte „reduzierte" Lösung,
nämlich die Grundlösung, aus welcher sich alle Lösungen der Klasse
ableiten lassen. Die Anzahl der Klassen von Lösungen stimmt mit
der Angftbl der Grnndlösungen Üherein und ist also, wie diese, endlich.

Auch auf die Gleichung
(26) a:J 4- a^ H f- icj - xx^x^ - ■ • a:. = D,

wo D eine gegebene ganze Zahl bedeutet, läßt sich dieselbe Einteilung
der Lösungen in Klassen in Anwendung bringen, wie auf die, dem
Falle /> = entsprechende Gleichung (1). Die ein imd derselben
Klasse angehörenden Lösungen der Gleichung (20) stimmen dann
wieder in dem Werte der Unbekannten x überein. Femer ei^ht sich
durch ähnliche Betrachtungen, wie ich sie oben für die Gleichung (1)
angesfflllt habe, daß für einen negativen Wert von D die Anzahl
der Klassen L'ndlich ist. Dagegen ist dies nicht mehr allgemein der
Fall, wenn D positiv ist, weil dann für « < 5 möglicherweise, für
n^5 aber stets Lösungen der Gleichung (2ii) existieren, in welchen
eine der Unbekannten Xi, x^. . .x„ verschwindet, und für welche daher x
jeden beliebigen Wert besitzen kann. Betrachtet man aber für den
Fall Z) > nur diejenigen Klassen, in welchen keine Lösung vorkommt,
für welche eine der Unbekannten x^, x^, . . . x^ den Wert Null besitzt,
80 ist die Anzahl dieser Kla.ssen wieder endlieh.

Übrigens läßt sich im Falle eines negativen Wertes von D die
Auflösung der Gleichung (26) auf die einer Gleichung der Form (1)'
zurückführen. In der Tat, ist etwa

D m,

so entsprechen die Lösungen der Gleichung (26) offenbar einzeln den-
jenigen LöBtingen der Gleichung

«1 + a^ + •■ ■ -f-ÄÜ + ^+1 + ■ ■ ■ +^1-™ = **i^i ' ■ ■ ^-^i.+i ■ ■ ■*i.+iii»

in welchen die Unbekannten x^^^,...x^^^ den Wert I besitzen.
Zürich, d. 20. Deizember 1905.

E. ^oRAwsKi: Aufstellung einiger Erümmungsformeln usw. 197

Auf stellnng einiger Erümmniigsfonnelii, die Integralflächeii
partieller Differentialgleiclinngeii erster Ordnnng betreffen.

Von E. 2oBAWSKi in Krakau.

Diese kurze Abhandlung enthält die Aufstellung einiger Formeln
und. Relationen, welche sich auf partielle Differentialgleichungen erster
Ordnung mit einer abhängigen und zwei unabhängigen Veränderlichen
1>eziehen. Die hier durchgeführten Betrachtungen bilden eine Anwendung
desjenigen Formelsystems der Erümmungstheorie Yon Flächen, welches
ii^ der sogenannten natürlichen Geometrie benutzt wird.

1. Es sei im Räume ein rechtwinkliges Eoordinatensystem Xy y, z.
Man betrachte eine Fläche und wähle auf derselben ein orthogonales
System yon krummlinigen Eoordinatenlinien. Man nenne Eurven-
schar 1 und Eurvenschar 2 zwei Eurvenscharen dieses Systems und
bezeichne mit s^ und s^ die Bogenlängen der Eurven dieser Eurven-
Bchctren. Es seien die positiven Halbtangenten derselben und die positive
^ächennormale so gewählt, daß die Richtungskosinus dieser positiven
Halbgeraden beziehungsweise die folgenden seien:

Ax dy dz

dsj ' ds^ ' d»! '

dx dy dz
dSj ' d«, ' ds^ '

jr dy dz dy dz y- dz dx dz dx ^ dx dy dx dy

d«j d«j d«, d»! ' d«i d«, ds, dSj ' ds^ ds, d«, d«j

B^l dieser Wahl ist das Trieder dieser Halbgeraden in der angegebenen

B'^ilienfolge mit dem Trieder der positiven Halbachsen x, y, z kongruent.

Es sei in der Tangentialebene der Fläche derjenige Sinn der

Drehung positiv, in welchem die positive Halbtangente der Eurven-

Bchar 1 um -^ gedreht werden muß, um zur positiven Halbtangente

der Eurvenschar 2 zu gelangen. Eine dritte Eurvenschar auf der
Fläche kann durch den Winkel oj ihrer positiven Halbtangente mit der
positiven Halbtangente der Eurvenschar 1 festgelegt werden. Ist s die
^genlange der Eurve dieser dritten Eurvenschar, und wächst diese

Bogenlänge in der Richtung der positiven Halbtangente, so sind -^,
ds' d' ^® Richtungskosinus dieser positiven Halbtangente. Man betrachte

198 K. i

0RAW8KI :

noch die orthogonalen Trajektorien dieser Eurvenschar; man bezeichne
mit 6 die Bogenlänge derselben und setze voraus, daß die entsprechende

fl/E dv dz

positive Halbtangente, deren Richtungskosinus -,- y ^ y t" sind, so
gewählt worden ist, daß sie mit der positiven Halbtangente der Eurven-
schar 1 den Winkel ßJ + — bildet. Die zwei letztgenannten Eurven-

scharen wollen wir als Eurvenscharen co und o + -ö bezeichnen.

Man bezeichne jetzt mit n, g und x die Normalkrümmung, die
geodätische Erümmung und die geodätische Torsion der Eurvenschar cd
und nehme, um in bezug auf die Vorzeichen eine bestimmte Wahl zu
treffen, an, daß diese Erümmungen durch die Formeln:

^^2j d?' ^''^Jdid?' '^'^2L~di~d8

bestimmt sind, wo das Summenzeichen auf drei Achsen x, y, z zu er-
strecken ist. Dementsprechend wollen wir fiir die Eurvenscharen 1
und 2 solche Formeln gelten lassen, welche aus den angeführten Formeln

d^ di. >Undi»,o„ „-0 ».d »- I ..»vcrgel,». M» ht J«,

für die Eurvenschar 1:

^1-j^d*a; ^^ dx d^x

^ ^^ ^ ä^ ' ^1 ""^ ~d8l dsi ' ^1 -

und für die Eurvenschar 2:

dx dX

^^ ds^ dSi

V

^^ y^d^x ^]dxd*x \^dxdX

**« ~^ ^ dsy ^» ^ d7, ä7« ' ^» ~ ""^' d^ di^ '

Es findet die Beziehung statt:

ti + T, = 0,

und wir wollen die Bezeichnung:

— - Tj =« r j = m

benutzen. Alsdann hat man für die Eurvenschar o die Formeln;

(1)

n =- »1 cos^ G) + 2m cos cd sin © + ng sin* o,

g = g^ cos C3 + g^ ama + -£ y

T = J-(ni — tij) sin 2(D — m cos 2aj.

Endlich bemerke man, daß die Größen n^, n^, m, g^, g^ den Beziehungen
von Gauß und Mainardi-Codazzi genügen, die unter Benutzung der
hier angegebenen Bezeichnungen lauten:

«)

immungsrormeln für Integmlflächen part, Differentialgleichungen I. Ordnung;, 199

»1»I

- im'

= t

-s!

s-

dm
dg.

-»iji

+ 2»»!7, -

».S

1,3, - Jmgi -n^Of

2. Eb Bei jetKt die partielle DiÖerentialgleichung erster Ordnung:
(3j F{x, ,, ., p,q)-0

gegeben, wo zur Abkürzung -- =^p,

dy

' gesetzt ist. Die cliarak-

terirtiBcheii Streifen dieser Differentialgleichung sind durch dieae
DiSereotialgleichaug Beibat und durch das System der gewöhnlichen
DiSerentialgleichungen :

pFf-\-qf\

' F, + pF,

(tefiuiert, wo F mit den verschiedenen Indices die partiellen DifFerential-
quotienten der Jl'unktion F in bezug auf die angezeigten Veränderlichen
beseichnet. Wenn man voraussetzt, daß der Ausdruck:

R=V(n^'jFl ^2pqF-F^'^(l+'q^'F}

f3i WertBjstome von x, y, g, p, q, welche die Gleichimg (3) befriedigen,
im allgemeinen nicht gleich Null i^t, so reduziert sich die Charakteristik
im allgemeinen nicht auf einen Punkt und ist keine Miniraalkurve.
Bei der genannten Voraussetzung in bezug aui li hat der Ausdruck:
S^ = yi+p' + 2' dieselbe Eigenschaft, d. h. diejenigen orthogonalen
Trajcktorien der Charakteristiken, welche auf den Flächenelementen der
charaVteristi sehen Streifen senkrecht stehen, sind im allgemeinen keine
M inimalkurven .

Wir wollen nun auf jeder Integralfläche der partiellen Differential-
gleichung (3) die Schar der Charakteristiken als Kurveuschar 1 und
die Schar der orthogonalen Trajektorien derselben als Kurvenschar 2
aoaehmen. Die Richtungen der Tangenten dieser Kurvenscharen und
der Normalen der Integralfläche köimen ohne weiteres bestimmt werden
und die Hichtungakosinus der entsprechenden positiven Halbgeraden
können in Ubereinstimniung mit den Vorans Setzungen und Bezeichnungen
der Nummer 1 gewählt werden. Es können nämlich die Formeln:

dx Fp dy

da,~ R' ds, "

;i-i(j'F,+,F,),

X.

200 K. toJULWBKi:

und unter Benutzung der Bezeichnungen:

\c = qF^-pF^

die Formeln:

//•N dx b dy a dz c

^^ d8^'~ HR' d8^~~^HR' JT^ HR

angenommen werden.

Wir wollen uns zunächst damit beschäftigen, die Großen n^, m
und g^ zu berechnen. Zu dem Zwecke müssen noch einige andere
Formeln angeführt werden. Aus den DiJBPerentialgleichungen der
Charakteristiken folgen unmittelbar die Werte:

und wenn man zur Abkürzung

(7)

- (F^ +pF,)l^- (F, + qF,)lf- = W,(f)

dp V » 1 -i^'J^q

setzt, 80 wird

Man sieht ferner leicht, daß die Formel:

W^{E) = -^ |>(j; + pF,) + q(F, + qF.y\

gilt, und infolge der Formeln (4) und (8) kommt man auf folgende
Ausdrücke:

äl; = i, [P W, (F^) + q W, (F,) - F^{F^ +pF,)- F^{F, + qF,)]
-ii(pF, + qF;)W,(R),

ilZ ^ M\ (i/)
d», ■" IPB '

Krümmungsformeln fQr IntegralMchen part. Differentialgleichungen 1 . Ordnung. 201

Mit Hilfe dieser Aasdrücke und der früheren Formeln kommt man nun
leicht zur Aufstellung der Formeln für %, m und g^ Wir erhalten
nämlich:

(10) m - ^l-gi [h(F, + pF,) - a{F^ + gi?'.)],

(11) g, = §[F^W,{F;) - F^W,{F^)] + ^.

Dies sind die Formeln für Normalkrümmung^ geodätische Torsion und
geodätische Krümmung der Charakteristiken.^)

3. Wir gehen nun zur Betrachtung der Werte der Ableitungen
-j^ , ^- über. Die Diflferentialgleichung (3) liefert durch Differentiation
nach $2 ^^ Beziehung:

p d^.p ä^yp dz^.p dp^.p dq^^Q

und wenn man die Formeln (6), (6) und (10) ausnutzt ^ so läßt sich
diese Beziehung in der Form:

(12) F,^ + F^ll^ = -HRfn

darstellen. Man bemerke jetzt^ daß sich längs einer jeden Charakteristik
anendlich viele Integralflächen berühren. Für ein gemeinsames Flächen-
element besitzen diese Integralflächen unendlich viele von einander
verschiedene Krümmungselemente. Da aber die fraglichen Ableitungen
Ton der Wahl der Krümmungselemente abhängig sind, so können für
dieselben auf Grund der vorgelegten Differentialgleichung Funktionen von
^> !ff ^y Pj i nicht erhalten werden, welche die Gesamtheit der Werte
dieser Ableitungen darstellen und keine weiteren veränderlichen Größen
enthalten. Man kann aber leicht zeigen , daß, wenn man zur Unter-
scheidung der genannten Krümmungselemente die Normalkrümmung »,
der orthogonalen Trajektorien der Charakteristiken wählt, man für die
fraglichen Ableitungen mit Hilfe dieser Größe vollständig bestimmte
Ausdrücke erhalten wird. Man hat nämlich die Formel:

^^ ^d*x 1 / d^x . d*y d*z\

**» ^Z ^ 5-4 ^ 5 l^ 57[ + 2 dsi ~ dJl) 5

1) Es mag bemerkt werden, daß die Gleichungen n^ = und m = im
Werke „Sophus Lie, Geometrie der Beriihrungstransformationen dargestellt von
Sophns Lie und Georg Scheffers'', Leipzig 1896, S. 640 und S. 667 angegeben sind.

Archiv der Mathematik und Physik. UI. Beihe. XL 14

202 ^ 2oRAW8Ki:

wenn man aber die Relation:

dx , dy dz rk

nach 5, differenziert und die erhaltene Beziehung aoanutzt, so bekommt
man die Formel:

1 /dp dx , dq dy\
^^~~H \d«i rf^ "^ 5^ dij '

aus welcher mit Benutzung der Formeln (6) die Gleichung:

folgt. Die Gleichungen (12) und (13) können nun in bezog auf die
Ableitungen . - und ~- aufgelöst werden. Die Determinante dieses
Systems ist IPj und man erhält die Formeln:

(14)

Auf Grund dieser Formeln und der Formeln (6) kann nun der
Ausdruck für die Ableitung einer beliebigen Funktion f Yon ar, y, jp, |>, q
nach s^ aufgestellt werden. Führt man nämlich die Bezeichnung:

ein^ so ist leicht zu sehen^ daß die folgende Formel stattfindet:

Wir wollen hier noch die Formel für g^ d. h. für die geodätische
Krümmung der orthogonalen Trajektorien der Charakteristiken aufstellen.
Man bemerke, daß g^ in folgender Weise dargestellt werden kann:

"^l dx d /dx\

^« ""^ ds^ dJ^ \d8^) '

Wird die erste Reihe der Formeln (4) nach s^ differenziert^ so folgt:

d /dx\ _ 1 dFp 1 dit dx
ds^ \dsj JR ds^ R ds^ ds^^

d /dij\ _ 1 dF^ 1 dH dy
ds^ \dsj R ds^ R ds^ ds^^

d«, KdsJ ^ R\^ d8^ ^ P ds^ '^ ^ ds^ "^ ^^ dsj Bds^ ds^^

Erümmtingsformeln för Integralflächen pari. Differentialgleichungen 1 . Ordnung. 203
also kann g^ auf die Form:

-'' R L dH^ \rfs, ^ ^ dsj ^ ds^ U«, ^ ^ dsj ^ VP ds^ ^ -^9 dsj dsj

gebracht werden. Wenn man aber berücksichtigt, daß aus den Formeln (6)
die Werte:

ds^'^^ ds^~ R^'i' ä«, "^^ds, ~ R^p

folgen, und wenn man die Beziehung (12) sowohl wie die Formel (16)
ausnutzt, so kommt mcm zum Resultate:

(17) 9, - ii [F,W,(F,) - F^W,(F,)] + ^ m

- ^n,(F,»F,, - 2F,F^F,^ + F^F^.),

wo jP^», Fp^, F^t die Dififerentialquotienten zweiter Ordnung der Funktion F
nach p und q bezeichnen.

4. Unter 2. und 3. beschäftigten wir uns mit den Normal-
krümmungen und den geodätischen Krümmungen der Cbarakteristiken
und ihren orthogonalen Trajektorien auf Integralflächen und mit der
geodätischen Torsion dieser Kurvenscharen. Diese Größen müssen den
Gleichungen von Gauß und Mainardi-Codazzi Genüge leisten, und
wir wollen nun zusehen, zu welchem Resultate hier die Anwendung
dieser Fundamentalrelationen der Flächentheorie führt.

Der Kürze halber wird es bequem sein, g^ durch die Formel:
^, = « + ßf^ darzustellen, wo also a und ß die in (17) auftretenden
Ausdrücke bezeichnen. Alsdann liefert die Anwendung der genannten
Fundamentalrelationen unter Berücksichtigung der Formeln (8) und (16)
die Beziehungen:

n,n,-m* = ^W,(p,)-?^{F,'^-F/-^)n,

= n^g^ + 2m{a + ßn^) — n^g^,

= ni (« + ßn^) — 2mg^ — »,(« + /Sw,).

Man bemerke jetzt, daß mit Ausnahme von n^ alle in diesen Beziehungen
TorkommeDden Größen vollständig bestimmte Funktionen von Xy y, z, p, q

14*

204 K. t

ORAWBRi:

sind. Aus diesen Beziehungen kann aber nicht eine diskrete Anzahl
von Funktionen für die Größe n^ folgen. Daraus ergibt sich, daß die
zweite dieser Beziehungen bei beliebigem n, erfüllt werden muß, d. h.
daß die Relationen:

bestehen. Die dritte der Beziehungen (18) findet sicher bei beliebigem
n, nicht statt, denn das erste Qlied derselben kommt jedenfalls in allen
möglichen Fällen vor. Diese Beziehung bildet eine partielle Differential-
gleichung für »g von der Form:

(19; iw,{n,) + ßnl + Yn, + ä = 0,

wo y and <J folgende Ausdrücke bezeichnen:

Endlich kann die erste der Beziehungen (18) nicht eine von (19) un-
abhängige Differentialgleichung für n^ sein, denn wir hätten alsdann
für n, eine endliche lineare Gleichung, was ausgeschlossen ist. Demnach
besteht diese Beziehung entweder bei beliebigem n^y oder sie ist eine
bloße Folge der Differentialgleichung (19). Anders gesagt, für n,
ergibt sich aus (18) bloß die Differentialgleichung (19), und wir
konstatieren, daß noch die Relationen:

i WM +gl + a*-[j^ W,(g,) + m»] = ß8

bestehen.

5. Wir wollen noch einige Bemerkungen in bezug auf die in
diesem Artikel durchgeführten Entwicklungen hinzufügen.
Wenn die Gleichungen:

x'^x(u), y^y{u), z^z{u), p=^p{u), q^q(u)

einen charakteristischen Streifen der Differentialgleichung (3) definieren,
so kann die Gleichung (19) für die Flächenelemente dieses Streifens
in der Form:

Krümmangsfoimeln fiii Integralflächen pari. Differentialgleichungen 1 . Ordnung. 205

dargestellt werden, wo Ä, B, C Funktionen von u sind. Dies ist eine
gewöhnliche Differentialgleichung vom Ricca tischen Typus, und aus
derselben ergibt sich im allgemeinen eine linear gebrochene Funktion
der willkürlichen Eonstante mit Koeffizienten, die bestimmte Funktionen
von u sind.

Femer bemerke man, daß die Gleichung (19) dann und nur dann
das Glied mit n| nicht enthält, wenn

F^F^^ - 2F^F^F^^ + FIF^. - 0,

und es ist klar, daß dies für solche und nur für solche partiellen
Differentialgleichungen stattfindet, die auf eine oder mehrere in bezug
auf p und q Uneare Gleichungen zurückgeführt werden können.

Zuletzt bemerke man, daß, wenn man für den Winkel o, der
anter 1 definiert wurde, eine Funktion von x, y, z, p, q wählt,
damit auf jeder Integralfläche der Differentialgleichung (3) eine Kurven-
sehar gewählt wird. Es erhellt aus den Formeln (1), daß die Normal-
krümmung der Kurven dieser Schar nur im Falle der Schar der
charakteristischen Kurven von der Wahl der Krümmung n^ unabhängig
ist. Man sieht auch, daß die geodätische Torsion nur für die charak-
teristischen Kurven und ihre orthogonalen Trajektorien von »^ un-
abhängig ist. Endlich sieht man leicht ein, daß die geodätische
Krümmung dann und nur dann von der Wahl der Krümmung n^ un-
abhängig ist, wenn die betreffende Kurvenschar entweder aus charak-
teristischen Kurven besteht, oder wenn dieselbe die Relation:

^ (F?F^. - 2F,F^F,, + F',F^,) + F, |^ - 1, |; =
befriedigt Die letztere liefert für o den Ausdruck:

wo Oq eine Funktion ist, die durch Quadratur bestimmt werden kann,
und wo O eine willkürliche Funktion ihrer Argumente bezeichnet.
Die Funktion cpq kann im Falle einer Differentialgleichung, die auf
eine oder mehrere in bezug auf p und q lineare Gleichungen zurück-
fährbar ist, gleich Null gesetzt werden. Demnach bestehen für diese
Kategorie der Differentialgleichungen die in Rede stehenden Kurven-
Bcharen aus Linienelementen, die in jedem Punkte des Raumes einen
Kreiskegel bilden, dessen Achse das durch diesen Punkt hindurch-
gehende Linienelement der charakteristischen Kurve ist.

Krakau, den 10. Juni 1905.

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i = «-I

I

Link5i erhalt man log I I r(<i — ) Bechts ergibt Klammer I

i. =t

di^r Samme

Ina ^— )^~*. Klammer II ist gleich —

ef — 1

1 Siehe J. H. Graf, Einleitung in die Theorie der Gamma -Funktion etc.
H 61, Formel ^60).

Bereclmmig von r{a) r(a + ^) ^(« + ^) • • ^(« + " ~) ' ^i^^)- 207

.-a/

n e

737 + -TT-

erbält:

=-T-l +

, SO daß man die Formel

e»~l

a = ji-i

OD

(2)iogjf7r(«+A)=/

isrO

Setzt man in (1) na — 1 statt a, so folgt

/ n + 1\ «" ' n , «" \

-(.-1),

(''-^) .(eV-l)

dt.

<Xr-

(3) log r(wa) =1

L

(na - 1)- -,-. <- -

t Kef—l)

dt',

nun subtrahiere man (3) von (2), dann hat man

» log

1=0

r(na)

-f

n — 1 e

Man ersetze die untere Integralgrenze durch x und vernachlässige alles,
was zugleich mit x verschwindet. Vorerst folgt vom dritten Term in

der Klammer, wenn — * — -^^-^ — -^ '

-^— ^, gesetzt wird, j - }- -Mt-J -(..ZfA

' t\en — l} * *^

n

Lassen wir. den Index weg, und nehmen wir diesen Term mit dem vierten
zusammen, so ergibt sich

y*^-(na-l)< /*^_(„o-l)< n^-{na-Dt

W^^'~J 7(7-- ij'^'^J i(7-i)^'-

X

n

In erster Annäherung geht der Integrand übei in ^-n , so daß

X r

man hat / - *" ^^ , " - dt =- — - — (na — l)logt / + log Konst.

X

n

n— Jl

X

— {na — 4^) log w, wo log. Konst. = — ^ log n gesetzt ist.

Da nun — = / .i ; so hat man, wenn — (wa — 4^) log n nach rechts

genommen wird,

log

IsO

r(na)

208 J- H. Graf:

oder wenn wieder als untere Grenze gesetzt wird, = (n — 1) «7, wo

OD

Nun muß J ausgewertet werden.

In der Formel für J ersetzen wir t durch 2t, so hat man^ wenn
noch mit 2 multipUziert wird,

00

iß) 2J^/(/.-V-^(^)'''-

Subtrahiert man (a) von (/3), dann ergibt sich

QC

,_/•(,., _.,^_^_.J_)-

OD

W J.f{ie--e- + -^i^y-;

~ — dt, daher

00

(*) ^log2 = ^f '~'-'~*' dt.

Wird (d) von (y) subtrahiert, so hat man

00

(.) ^-ilog2-/(^-i«-)^'

Nun ist aber nach Formel (1)

00

log

r(i)- /•(-,.-, -A-i'.)-

daher J - -J log 2 - log r( j) =- } log ä , J = { log 2ä. Dieser Wert
wird in (6) substituiert, dann ergibt sich

^^8- \(na) + (**^ ~ «) ^^8 n - -g— log 2 X,

1) Siehe J. H. Graf, Einleitung in die Theorie der Gamma- Funktion, 8. 48,
Formel (49).

Berechnung von r(a) r(a + ^-\ r^a + ^ V . . r(a + -—-\ : r(na), 209

woraus ^ = «-1

«-1

n"-i/7r(a + J) = (2«) *"rina)

J 2 =

oder ,_i

(6) r(a)r(« + i)...r(a + *^--) = ^^r(«a).

n ^

Der Gang des Beweises dieser Formel, bekannt unter dem Namen „das
Theorem von Gauß" folgt im Anfang dem Weg, welchen Schlömilch
in seinem Compendium der Analysis, ü. Auflage, S. 261, 262, gegeben hat,
fQhrt dann aber nach den Angaben L. Schlaeflis durchaus selbständig
zum Ziel Man vergleiche hierüber auch, was H. Schenkel in seiner
Dissertation: Kritisch -historische Untersuchung über die Theorie der
Gammafunktion etc., S. 21 flf. u. S. 38 flf., angibt. Für o = 1/n folgt
die einfachere Beziehung: __^

(') ''(i)'-a)-r(V)-<#-

Wie Schlömilch auf Seite 263 loc. cit. angibt, läßt sich diese letzte
Formel auch beweisen durch Anwendung von F(n) F(l — w) = ~

Wir setzen F (-j F C^-j = ~T~ > ^^^^"^ ^^^

Bin —

l^(i)'^(l)-''(^)l'-]7^-

Aber ^ — =* —r.-:;; jTir = 57;;" > ftlso

Bin

X s n— 1

n — 1\ 1 « IT— 2«« • c *

und wegen I I \x — e *)=^a:"-^+a;"-*+-- + l folgt

2 = n — 1 Jlssn — 1|-^

i7(>-e'-)-.,irr«'.-.-.,

SO daß sich ergibt

I r(-) r(--) . . . rC""^))' = c-^^r"'(-o" •"'*'"'' _ (2^)""'

oder !Lil

"Wie vorhin.

Bern, im September 1904.

über die Erledigung des Malfattischen Problems m
Hilfsioitteln der elementaren Planimetrie

Von C. IsENKKAHE in Trier.

;ri8j

Miin kann schon eine ganze Reihe der filr den Schnlui]
geschriebenen Leitfäden durchblättern, ohne das berühmte
umworbene" Taktionttproblem Matfattis überhaupt erwähnt zu
Und wenn man es irgendwo antrift't, so zeigt sich, daß die L
methode entweder trigonometrisch') ist, oder ^ falls die reL
metrische Aufgabe auch aussehlif Blich mit plan i metrischen Hilfi
behandelt wird ~ dii& der bekannte, von Steiner zu diesem
aufgestellte Lehrsatz zu Hilfe genommt-n wird*), ein Satz, desi
ieitung tPeil jetiseils des Gymnasial Unterrichts liegt.

Auch einige in neuerer Zeit erschienene , der genannten i
gewidmete Abhandlungen, z.ß. die von Sachs, Davids und Pai
konnten — so gediegen und wertvoll sie in wissenschaftlicher I
sind — eben wegen des zur Lösung aufgebotenen wissenschs
Apparates die Aufnahme des Problems in Schulbücher kaum em

Geeigneter dürfte wohl ein Weg erscheinen, der im Fe
eingeschlt^en werden soll, und auf dem schon ein Gymnasialsek
mitkommen kann. Trigonometrische Vorkenntnisse sind flb
nicht erforderlich; bei der sogenannten „algebraischen Analysia"

1) Vergl. u. a. Heia, Trigonometrie, S. ISP und Schweriog „Hnnt
gaben", S.6H. Heia verweist auf Crelles niatbematiaehe Aufaätze, und 8ct
lÖBt nath Schellbach, Crellea Journal Bd, 45, S. 91.

i) Vgl. u. a. Koppti-Dielcmsnn, Geometrie n S. 43 und Jnnghati
buch der Geometrie I S. iÜS. In letzterem Buche wird auSer der Steii
LöBung noch eine von Adam« vorgetragrji , bei welcher die Eonttrukt
ziemlich einfach, der Beweis aber recht kompliziert ist. — Von AufgabenMn
möge angeführt weiden die vou Guatav Hoffmann, welche die Stei
LöBuog enthBJt, und die von Lieber und v. Lühmano, welche ai
Steinerscben noch die trigonometrische von Urunf>rt und von Snh
wiedergibt. — H. Krüger asgt in aeinei nicht filr den Schnlgebrauch bei
Plnnimetrie (Hamburg 1896, S. 337): „Man ßndet die Malfattiache An
Lehrbüfhem selten behandfit, weil ihre Lösung bis jetzt entweder ditranf g
wurde, daS man dnrcb weitläufige Beri^cbnuogen die Größe der Radi«n
Ntrnicrbareu Anndrücken featatellte, oder ein trigonometriBchea Verfab
schlug.'' Dann gibt er zwei LfiHungeo, welche beide, nnd zwar die ei
Petersen durch EreiBpoteuzaHtze, die zweite nauh Kunie durch i
berechnung erzielt, zuletzt auf die Steinerschc Konstruktiuu binaiialauft

Er]e«3jgimg d. Malfattüchen Problems mit Bilfimittoüi d. elemenL Planimetrie.

nur weoige ganz elementare Sätze verwendet; auf planimetriBcheni

Grebiet sind vorausgesetzt die Lehre von der Ähnlichkeit, die einfachsten

Satz:« aber den Flächeninhalt des Dreiecks, über die Radien der Be-

rQ liiroDgakreise und der Ptolemuische Lehrsatz.

I Schon Binder hat in seiner hervorragenden Arbeit Über das

ÄÄ^Uattische Problem') beiläufig einen Gedankeii ausgesprochen, der

leiserem Lösiingsplan nahe kommt. Er sagt: „Es sei hier gelegentlich

t»^xcierkt, daß man auf verschiedene interessnnte tmd rein geimietrisch

l*i^bnre Aufgaben geführt wird, wenn man den Versuch macht, das

E*^»"oblem zunächst auf die Konstruktion ttcr.ier Kreise zurückzuführen.

^^^Ln kann z. B. zwei Kreise, die je zwei Drelecksseiten und einander

t>^rQbren, zeichnen, wenn gegeben die Summe oder die Differenz ihrer

El^kUmesser, oder die Richtung ihrer Zentrale, oder der Abstand ihrer

^^^rflhrungspunkte auf der von beiden berührten Seite, oder der Punkt,

^'*A welchem diese Seite von der iiinern Tangente beider Kreise ge-

'*^*"ofi'eD wird; und dann die in diesen Aufgaben als gegeben an-

K'^>^oramenen Stücke für den Fall zu bestimmen suchen, daß die zwei

-'Creise Malfattisthe Kreise werden sollen, wobei man dann freilich

I ^■*m- für die zwei letzten Fälle auf einfache Beatimmungen kommen wird."

Schwering zieht bei seiner Besprechung der Malfattischen

A.u.fgabe zu Anfang auch nur zwei Kreise in Betracht, schlägt mit

*Üesen aber keinen von den fünf Wegen ein, die Binder andeutet,

Sondern leitet bloß das Ergebnis ab, daB die Projektion der Zentrale

«■uf die gemeinechaftliche Tangente gleich dem doppelt«» Produkte

Äits den Wurzeln der Radien ist.

Im Folgenden soll nun ein sechster, von Binder nicht an-
^e^ebener Gedankengang erjtwickelt werden, der tiitsächlich zu einer
*elir einfachen Konstruktion eweier Malfattiseher Kreise führt. Sind
*liese erst fertig, so ist es offenbar eine geometrische Kleinigkeit, den
"bitten noch hinzuzufügen.

I. Das araprüngllche Malfattische Problem.
In bezug auf Beneninmtjen schließe ich mich an Pampuch*)
*tt mit nur einer Ausnahme. Pampuch benutzt die Orliioffonalhreise
•»er Malfattischen und bezeichnet die Radien der ersteren mit j", y, z,
«ifl der letzteren mit x, , j/,, z^ Wir haben die Orthogonal kreise gar
"ichl nötig; daher bedeuten x, y, z die Radien der Malfatti kreise, und

1) Tübingen 1868, S. 17.
1) „Dm MalfBtti-SteineMcbe Problem",
■n St, atophan za Straßburg i. FI. 1902, S. Q,

Progiamuiabbandlund; des Q^mn.

212 C. Wsk.<.,ik:

zwar gehört x zum Winkel CAB, y zu ABC, s zu BVA. ~ Der
Rudius des Inkreises heißt p. Dieser Kreis trennt an seinen Berühnings-
punkten die Seite AB = c in die Stücke s, und s,, BC = a in die
Stücke a, und Sj, C^ = 6 in die Stücke s, und s^. Dabei liegt s, ao j1,
Sjj an B, Sj an C. Der Mittelpunkt des Inkreises wird mit 0, die
Strecke AO mit «, BO mit ß, CO mit y, die Höhen mit A„, A_^, A^
der Umtaug des Dreiecks mit 2s bezeichnet.
Die drei Crundgleichungen:

CQ.

- XS^ + 1/S, +

üsVx»,

op-

-J5, + »S, +

üfVi',

bf.

- »S, + I», +

2pV"

ergeben sich aus den einfachsten plan i metrischen Fläch eusiitzen ohue
jede Schwierigkeit. Die Umwandlung dieser Gleichungen in lineare
hat manchen Autoren große Mühe gemacht. Leicht gelingt sie, wenn
man sich — was nicht bloß auf trigonometrische, sondern auch auf
rein plani metrische Weise bequem geschelien kaun — drei einfache
Relationen ableitet, nämlich folgende:

, ha bt, ei, ,

2c 7' p" j

2. SmS,-p» + p^, 1

3. (iKp = Sfßy.

Mit diesen hat man dann auch aas der ersten die gleich gebildeten
Ausdrücke für ~ und , aus der zweiten solche für s,s, und s^8^
BUS der dritten solche für bßg und fyp. ') Die Anwendimg Ton 1.
und 2. führt sehr schnell zu den Hnearen Gleichungen:

aiffVz + s,Vy) = ßieVi, + s,yi),
/)(pV« + S,VV) = y{py'x + s,vV).

1) Gleiche anä BimUche KelfttJoncD werden auch von Dnvir)» (Archir für
M»üi. u. Phyu. (2) 18, S, 10 ff. 1895; (3) U, S. 276 ff, laSB, „Dreizehn Anflfleung*!)
des Matfaltieclien Probleme") ohne BeifQgiing eines Beweiaes an mehiereu Stellen
beontst, dabei aber nicht überall richtig aufgeBcbrieben. So steht S. S8 irrtflmlich

M'-™

HUtt n

J

Erle di g ung cL Malfattischen ProblemB mit Hilfsmitteln d. element. Planimetrie. 213

Durch. fHimination von '^ b aus den beiden letzten und Anwendung
der Relation 3. ergibt sieh:

y X ß oc-{-b — y
j/^ "" a a + ß — y'

^vorauf man durch eine einfache planimetrische Konstruktion diejenigen
Stareckeii p und q erhält^ welche die Gleichung:

X p

be&iedigen. — Damit ist keine der fünf Funktionen, die Binder
an^bt^ sondern eine sechste, )ian>lich das Verhältnis der Radien zweier
Malfattikreise bekannt. Jetzt diese Kreise selbst in das gegebene
Dreieck hin einzuzeichnen, gelingt nach der elementaren „Ähnlichkeits-
xneihode'^ sofort. Den dritten liefert schließlich einer der einfachsten
Sonderfölle der Apollonischen Aufgabe.

II. Das erweiterte Malfattisclie Problem.

In den seit ihrer Aufstellung verflossenen hundert Jahren ist die
Malfattische Aufgabe schon auf mehrfache Weise erweitert und wieder
eingeschränkt worden. Pampuch umgrenzt sie^) folgendermaßen:
^n einer Ebene sind drei reelle Gerade BC, CA, AB gegeben. Drei
reeile Kreise sind so herzustellen, daß jeder die beiden übrigen und zwei
der drei Geraden berührt. Dabei sollen unter diesen sechs Linien keine
drei einen Büschel bilden,^'

Auch in dem durch diese Fassung gekennzeichneten größeren
umfange laßt sich das Problem mit elementarer Planimetrie vollständig
erledigen. Analjsis und Konstruktion bewegen sich dabei stets genau
parallel mit vorstehender Lösung der einfachen Aufgabe. Neu hinzu-
zukommen braucht nur noch die Determination. Grade diese ist es
aber auch, worauf mehrere der bisherigen Bearbeiter besondere Auf-
merksamkeit und zum Teil einen großen, tiefgreifenden wissenschaftlichen
Apparat verwendet haben. Dennoch sind die Ergebnisse nicht immer
einwandfrei geblieben. So schließt z. B. Pampuch seine Programm-
abhandlung von 1902 mit der Bemerkung: „Aus diesen 32 berechneten
imd gezeichneten Figuren geht auch hervor, daß die 32 Lösungen des
Mal&ttischen Problems weder von Binder noch von Sachs in allen
Fällen (vgl Nr. 6—8) richtig charakterisiert worden sind."

In der genannten Arbeit hat Pampuch selbst eine eigene, korrekte
Determination entwickelt, die aber wesentlich algebraischer Natur ist.

l) Archiv far Math. u. Phy8. (3) S, S. 44, 1904.

214

.•*

Dieser mö-rht^ ioL n-n rLi-er rin-r r^in fiamimHrisehe gegenübersteilen
aB^] ^h^'Jr znic:. aicL oirLi. •i^'-ir: ^inen ^^eg «nznsehlagm, den
Sach« a^5-:rlck::ch al- •-ingr^igiLr: "r««i«r:ejin^ hat. indem er schreibt'):
^Überhaupt erscteist die Wahl der Einteiiimg der Losongen nadi
den Winkein. in d*rLen dl»: Kreise Leg«n. als eime wenig gUkHieht;

denD e:cmal werden dadurch offenbar
rerwandte Gestahen der Losung foo-
» rinander getrennt, und sodann kommt

es sehr häufig Tor. daB sich bei Ver
taaschung der Winkel B und C diireh-
aus nicht der entsprechende Fall der
Lösung; einstellt, der nach dem Scbemt

et

/

f 2 S ^

ZU erwarten wäre.*'

^/3

7

Tig 1

Ich hing^en finde, daß grade iiem

so naheliegende ..Wahl der Einteiiimg

durchaus nahu^mäß ist und auch toD*

ständig zum Ziele fuhrt, wenn man ein

zweites ebenso naturgemäßes Einteilaugsprinzip hinznf&gt. Dieses letztere

besteht einfach in einer (ffnanm Vntf'rsfheidnng der verschiedenen Ari und

Weisf\ icie je zicei ^lalfattische Kreise sich iSjerhaupt berühren l'imneiL

Nehmen wir also zunächst die Haupteinteilung aller möglichen
Lösungen vor und zwar .jiach den Winkeln, iu denen die Kreise liegen
können**.

Zu diesem Zwecke bezeichnen wir die WinkeL wie Fig. 1 es zeigt,
mit den Nummern 1 bis 12. Die durch den Wortlaut der Aufgabe
vorgeschriebene Einschränkuug, wonach ,.KreishiischeI" ausgeschlossen
sind, hat zur Folge, daß alle diejenigen Lösungen außer Betracht zu
bleiben haben, bei denen zwei Kreise — wie Binder das nennt —
auf „entgegengesetzten L'fern** einer und derselben Dreiecksseite liegen.
Im Kontaktfalle nämlich würde dann am Berührungspunkt ein «,BuscheP
entstehen. Die drei gegebenen Geraden dürfen daher immer nur als
äußere gemeinschaftliche Tangenten auftreten.

Bezeichnen wir nun mit A'^ denjenigen Kreis, der die Schenkel
des Winkels Nr. I berührt, und mit K^ bis K^^ entsprechend die
übrigen Kreise, so kann A\ offenbar nur kombiniert werden einerseits
mit den Kreisen K- und Ä,, andererseits mit K^ und K^^. Auf
dieselbe Weise ergeben sich als mögliche Temionen: K^K^K^^^
K^K'^K^^y Kv^K^K^i, K^K^K^i, K,K^K,j und weiter keifte mehr,

1) Dr. Joseph Sachs „Über die Aufgabe des Malfatti, ihre Erweitemngen
und Lösungen'*. Freiburg 1885, S. 27.

Erledigung d. Malfattischen Problems mit Hilfsmitteln d. element. Planimetrie. 215

Diese sieben Ternionen zerfallen naturgemäß in drei Gruppen.

£>io erste derselben ist dadurch gekennzeichnet, daß ein Innenwinkel

und zwei Außenwinkel des Dreiecks dabei beteiligt sind. Dahin ge-

liöx-en die drei Ternionen mit den Ziffern 1, 5, 9 — 2, 6, 11 — 3, 8, 12.

Die zweite Gruppe ist gekennzeichnet durch die Beteiligung zweier

A.Ta.fi«nwinkel und eines Scheitelwinkels. Dahin gehören ebenfalls drei

Töimionen, nämlich 1, 6, 10 — 3, 11, 7 — 4, 8, 9.

Die dritte Gruppe enthält die drei Innenwinkel und also nur die
Temion 2, 5, 12.

Diese sieben, in drei Gruppen zusammenlegbaren Ternionen um-
sämtliche Lösimgen des Problems, begründen deren aber nicht
bloß sieben, sondern 32 — eine Zahlvermehrung und Zahl-
'gi-enzung, die sich ganz leicht ergibt, wenn man das schon erwähnte
ei te Einteilungsprinzip hinzunimmt, nämlich die verschiedenen J^on/aA:^
***o^iicÄÄetfen je zweier Kreise beachtet und die damit zugleich be-
s^itKimten Möglichkeiten für die Lage des dritten.

In den bisherigen mir bekannt gewordenen Determinationen finde
*oli diesen Punkt nicht mit genügender Schärfe hervorgehoben und
Sl^ube auf denselben hier etwas näher, und zwar im einzelnen eingehen
dürfen.

Kontakte zwischen K^ und K^. — Wir stellen uns vor, diese
beiden Kreise wüchsen aus den Ecken A und B heraus und schritten
*^ ihren Winkelräumen 1 und 5 allmählich vor. Dann können beide
^*<ili nicht eher berühren, als bis K^ die Größe des Inkreises in ABC
^*^eicht hat Von diesem

^^enblicke ab ist eine

^^»'ste Berührung von außen

^*^5glich. Hält man den

^J^eis JTi an irgend einer

^teUe fest und läßt K^

"Leiter wachsen, so entsteht

^^Äch der ersten Berührung

Von außen zunächst ein

^^eiter Kontakt, der eine

^rührung von innen, ein

Büflchelkontakt ist und also fiir unsere Aufgabe nicht in Betracht

kommt Bevor aber der wachsende Kreis K^ sich von K^ gänzlich

^ennt, entsteht nochmals eine Berührung von außen, ein Letztkontakt.

Pig. 2 stellt alle drei Fälle dar. Der Letztkontakt vollzieht sich also

4wcli Übergreifen von Kr, über K^,

Fig. 2.

Auch Saclia spriL-ht') von Fälleu, iii denen ein Kreis den äii(
„übergreift" oder , jenseits des andern" liegt, er hat aber den Unter-
achied der Kontalie nicht als maßgebendes EinU'ilangs- uud Ordnum/a-
primip durchgeführt. Dagegen redet er an mehreren Stellen über die
Notwendigkeit „nach Größenoerhällniitsen der Itadien'' zu unterscheiden.
Nun hut es allerdings gemäH Fig. 2 den Anschein, als ob unsere
Unter Scheidung nach Erst- und Letztkontakt nichts anderes wäre, als
die von Sachs betonte Unterscheidung nach dem Größen Verhältnis der
Radien; denn beim Erstkontakt ist dort augenscheinlich K^ < ^„
beim Letztkontakt K^ > A',. Aber bei näherer Überlegung erkeont
man bald, duß die beiden Unterscheidungsarten doch wesentlich ver-
schieden sind, da ja auch schon beim Erstkontakt (nie mau beispiels-
weise an Pampuch Fig. 18 sieht) K^ > AT, sein kann.')

Noch ein weiterer Umstand ist für den Unterschied zwificboa
Erat- und Letztkontakt von Belang.

Es mögen die Berührungspunkte beider Kreise auf der gemein-
schaftlichen Tangente AB heißen P^ bez. P^, die auf AC und SC
liegenden Berührungspunkte Q^ bez. Q^; der Berührungspunkt beider
Kreise heiße R. Der in den Winkelraum Nr. 5 sich eiuschmiegende
Bogen ist also P^Q,,. Dieser Bogeu reicht nicht bis zum Punkte R
heim Erstkontakt, Beim Letztkontakt hingegen greift er über M
hinweg und enthält diesen Punkt in sich. J)as ist der wichtigere
und in spiiteren Überlegungen wiederkehrende Sachgrund, weshalb Ä"j
beim Letztkontakt »Is der „übergreifende'' Ivreis zu bezeichnen ist.

lieriihningen zwischen K^ und Ä'g. — Wachsen die Kreise AT, und
K^ aus ihren Eckpunkten A und B heraus, so nähern sich die Be-

1) In der vorbin enT^hnten Abhuidlnng S. 20 nnd 31.

Si Nicht bloß für die Det^rniiDation , Boadem achoa für die Anal^fais ist bei
dar hiwaag der MaUttttiichen Aufgabe die Cnti-rsclieiduiig zwiBchen Er>t- nnd
LeUtkoutakt von Wichtigkeit. Decn grade di<; Art des Kontaktes, keinesweg«
aber dat „GrOBenverhültniB dei Radien" übt auf die Form der GrtmdgleitJiuttffat

wesentlich eu EinÜiiB aud.

J

Elrledigang d. Malfattischen ProblemB mit Hüfsmitteln d. element. Planimetrie. 217

rühmngspunkte Q^ und Q^ einander und dem Punkte C. Schon bevor
einer von ihnen C erreicht, ist ein Erstkontakt möglich, den Fig. 3
zeigt. Läßt man von da ab die Kreise weiter wachsen, so kommt

Fig. 5.

kein BüschdkontaM zustande. Soll ein solcher erzielt werden, so muß
man nur einen, etwa K^ wachsen, K^ aber soweit wieder abnehmen
und zurücktreten lassen, bis er mit dem Ankreise bji BC identisch
^rd. K^ bekommt dann auch auf der ver-
längerten AC einen Berührungspunkt, und
mit diesem kann Q^ und R gleichzeitig zu-
sammenfallen. Auf solche Weise bildet sich
ein Büschelkontakt, bei dem K^ und K^
sich von außen berühren. Fig. 4.

Wenn aus dieser Lage heraus beide
Kreise weiter wachsen, so kann auch, wie
Fig. 5 zeigt, ein Letztkontakt entstehen,
ein LetzOcantakt durch Übergreifen von K^,

hei welchem Q^ über R hinausrückt.

Fig. 6 und 7 zeigen, wie umgekehrt

durch Zurücktreten von K^ imd Anwachsen von K^ ein zweiter

Büschelkoutakt und ein zweiter Letztkontakt ^), nämlich durch über-

greifen von K^ entsteht.

Berührungen zwischen K^ und Kr,, — Fig. 8 stellt dar, wie hierbei
durch Anwachsen der Unterschied von Erst-, Büschel- und Letztkontakt

1) Zwischen ihrem Erst- und Letztkontakt wandern hier nicht, wie im
bongen und allen folgenden Fällen, die Eureise durcheinander hindurch, sondern
gleiten beim Büschelkontakt aneinander äußerlich vorbei. Auch diese Besonder-
^^^ kommt bei den ,,Grundgleichungen^* zum Ausdruck.

^iclÜT d«r Mathematik und Physik. HL Beihe. XI. 15

Fig. 7.

218

C. Isbnkbahb:

entsteht. Die folgenden Figoren zeigen, daß drei verschiedene LeUd-
hmtakte vorkommen können. Bei Fig. 9 liegt Jß zwischen P, und Q^^
nicht aber zwischen P5 und Q^; es ist also yorhanden ein Letztkontakt
durch Übergreifen von K^, Fig. 10 stellt auf entsprechende Weise

Fig. 8.

Fig. 9.

den Letztkontakt durch Übergreifen von JTg dar. Fig. 11 zeigt, wie
durch genügendes Anwachsen beider Kreise eine dritte Art von Letzt-
kontakt entstehen kann, bei welchem — und das ist besonders be-
merkenswert — sowohl K^ als auch K^ übergreifende Kreise sind.

Fig. 10.

Fig. 11.

Die Beruhrungen der übrigen Kreispaare bieten wenig AnlaB mehr
zu weiteren Bemerkungen. Zwischen K^ und K^ stimmen die Kontakte
in allen Eigenschaften überein mit denen zwischen JT^ und K^,

Bei den Berührungen zwischen Kr^ und K^ ist ein Außen- und
ein Scheitelwinkel beteiligt. Die Arten des Kontakts sind denen bei
K^ und Kf^ ebenfalls sehr ähnlich. Es gibt einen Erst-, einen Büschel-
und einen Letztkoutakt. Bei diesem ist der Außenwinkel K^ der
übergreifende. Fig. 12.

ElrledigiiDg d. MaJf attischen Problems mit Hilfsmitteln d. element. Planimetrie. 219

Die S[reise K^ und K^ können einen Erst-, zweierlei Büschel-
and zweierlei Letztkontakte eingehen, den einen durch Übergreifen
von K^y Fig. 13, den andern durch Übergreifen von K^. Fig. 14.

Fig. 1«.

Fig. 18.

Die Berührungen von K^ und K^ stimmen vollständig überein
mit denen zwischen K^ und K^,

Hiermit sind alle durch die Fassung der Aufgabe zugelassenen
Verbindungen von je zwei Kreisen erledigt; es bleibt also nur noch
der letzte Schritt übrig, näm-
lich die Untersuchung, wo
und wie jedesmal der dritte
hinzutreten kann. —

Unter den drei Ternionen
der ersten Crruppe wählen wir,
weil die Eontakte zwischen
JTj und JTg soeben be-
sprochen worden sind, die

Temion K^K^K^^-

a) Stehen K^ und K^ im Erstkontakt, so sperren sie
in dem Flächenraum des Winkels K^^ ^^^ ^^^ ^^^^^ geraden
und zwei krummen Linien rings umgrenztes Viereck CQ^RQ^C
ab. Fig. 13. Innerhalb desselben sind Bogenstücke von
K^ und K^ anzutreffen, also kann der Kreis K^^ in
dieses Viereck hineingelegt werden; er steht dann mit K^
und JTg im Erstkontakt. Zweitens kann K^2 ^^^^ s,\ich außerhalb
jenes Vierecks in dem freien Winkelraum des Winkels 12 liegen;
denn auch dort sind Bogenstücke von K^ und K^ vorhanden. In

Fig. 14

15

r,*

->^ C. Isenkrahe:

iioMuui Kaiie steht iC,^ mit beiden anderen Kreisen im LetzthoiftikL
Vuiloi» Möglichkeiten, also etwa Erstkontakt mit K^ and n^ach
1 .ttuikouiakt mit K^y oder umgekehrt, sind offenbar auBgeaeUoML

i>. Scizeu wir A', imd JTg in Letztkontakt mit übergreifendem 1^
^o i.Hi wiederum ein Viereck, nämlich CQ^R'Q^C abgesperrt^ ^K*^
liUil liiiti dem vorhin angegebenen Grimde kann K^^ darin liegen,
iM'tüikuuUikt mit K^ imd JTg. Außerhalb aber, im offionen
t«iiuu l:^, ^ibt m nur vom übergreifenden Kreise K^y nicht aber foi
/v^ Olli Ho^enstilck; also kann K^^ dort nicht liegen, weil er dort nidt
^( tili- luidereu Kreise berühren kann. Außer der angegebenen
v;il»i 08 demnach für j^^^ ^^i^^ mögliche Lage mehr.

r) iiaiiz ebenso liegt die Sache, wenn wir K^ gBgen K^
iil»vi^ioit'üudeu Kreise machen; auch daim gibt es nur eine Losung. —

\\iii der jfweiten Gruppe wählen wir zur Besprechung die T^nion

ik) Steht K^ mit K^ im Erstkontiikt, so ist im Scheitelwinkel
Ni. U> ein Viereck abgeschlossen, welches begrenzt wird durch die
*ivii('ukul di^ütMi Wiukels und zwei Stücke der Bogen RQi und RQ^
h\^. 3. Innerhalb dieses Vierecks besitzen also beide Kreise Bogen-
-itiU'kv und erlauben dem Kreise K^^ somit den Malfattischen Kontakt
hiUMoUkO ittt beidemal ein Erstkontakt. Zweitens aber sind im freien
\iiUoni'a\iui des Scheitelwink('ls 10 ebenfalls Bogenstücke von K^
iiiul K^ vorhanden; also gibt es auch dort eine mögliche Lage fai K^
uiut \lut Kontakte mit K^ und A'^ sind auch in diesem Falle Krst-

(i) Wir setzen nun K^ zu K^ in Letztkontakt mit übergreifendem^«
huun «ind wiederum in dem abgeschlossenen Viereck (Fig. 5) Bogoi-
Hiuoko boidor Kreise vorhanden. Dort kann also K^q liegen , im Eist-
koiitukt mit A'e, im Letztkoutakt mit dem übergreifenden Kreise K^.
hu dor Kreis K^ in den freien äußeren VVinkelraum 10 nicht hinein-
sluu^t, HO ist K^o dort unmöglich.

e) liu dritten Falle, beim Übergreifen von K^ über K^ (Fig. '0
^\h\ \m ebenfalls nur eine Lösung. —

hie (friUe Gruppe enthält nur die Ternion K^Kp,K^.

h) Stoben K^ und Kr, im Erstkontakt, so haben wir wieder''**^
drt»* umgrenzte Viereck CQ^RQ^Cy Fig. lö. Innerhalb desselb^ ^
*\i\>»e auch im freien Außenraum des Winkels 12 sind BogenstQ
lieider Kreise vorhanden. Also gibt es für K^^ zwei mögliche
llei tier ersten stellt TiT^g mit K^ und Kr, im Erstkontakt, bei
«weiten niit beiden in übergreifendem Letztkontakt.

b) Steht Ä". übergreifend mit K^ im Letztkontakt, so ist von der

BetrachtnDg eines umschlossenen Vierecks abzusehen. Die möglichen

Lagen von Ä\, ergeben sich hier aus der leicht zu gewinnenden

-Einsiebt, daß in dieaem Falle zwischen K-^^ und TTg krin ErstkontnU

eintreten kann. Zu solchem Erstkontakt würde niimlich erforderlich

sein, daß der Kreis K^ auf der Dreiecks-

wite äC einen Beriihrungapunkt Q^ hätte,

«Jer Bffischen A und C läge, Fig. 9, und daß

ier Kreis K^^ die nämliche Dreiecksaeite ÄC

irgendwo zwischen C und Q^ berühren müßte.

I ffeschähe das aber, so würde Ä",j die Mal-

Ifettasche Forderung eines Kontakts auch

n*it dem Kreise Ä'5 — - der ja doch in

M-nem anderen, gänzlich abgetrennten Teile

\ des Dreiei-ks ABC liegt — offenbar un-

aöglieh erfallen können. Ist somit ein

*tkontakt zwischen K^ und A'^j aosgeschlosaeUf
. Kreis bloß zwei Möglichkeiten übrig

1) Letztkontakt mit A', und Erstkontakt mit A'^,

2) Letztkontakt mit beiden.

c) Steht umgekehrt ÄT^ übergreifend mit A'^ im Letztkontakt, so
'"S'bt sich auf gleiche Weise wie eben, daß wiederum nur zwei Fälle

■möglich smd: K„ hat mit K^ Letztkontakt und dabei mit K^ Erst-
^•'er Letztkontafct.

d) Nan ist noch der interessante Fall übrig, daß Ä'j und ff^ in
l^*^^seits übergreifendem Letztkontakt stehen. Fig. 11. Dann ist im

so bleiben für
, nämlich;

w

uiielraum Nr. 12 wiederum ein abgeschloBS

I Viereck vorhanden,

^grenzt von den Schenkeln dieses Winkels und Stücken der beiden
**gen RQi und RQ^- Innerhalb sowohl wie außerhalb dieser Um-

K'^nzuiig sind Teile von Ä', und K^ anzutreffen. Es gibt also für
*>* Kreis Ä'^ zwei Lagen:

1) Liegt er innerhalb des Vierecks, so stehen Ä, und K-_ Über-
R*^ifend zu ihm in Letztkontakt.

2) Liegt er außerhalb, so stehen alle drei Kreise zueinander in
doppelt übergreifendem Letztkontakt.

^L Hiermit sind die in Betracht kommenden Fälle sämtlich erledigt,

^L md ea ergibt sich folgende:

^S Däermitmtioti der möglichni Lösunf/eft des Malfaüischen Problems.
^H KU der ersten Ternionengruppe sind möglich:

222 C. Ibehkrahb:

in der Abteilung a) zwei;

in b) eine,
in c) eine,

im ganzen also vier Lösnngen. Da die Gruppe drei gleichartige Ter-
nionen enthält, so ist die Anzahl der in ihr möglichen Losmigen guMlf,

Bei der zweiten Gruppe sind möglich:

in der Abteilung a) zwei,

in b) eine,

in c) eine,

im ganzen also wiederum vier Lösungen. Die Gruppe enthalt ebenfidb
drei gleichartige Temionen, also ist die Anzahl der hier mögUchen
Lösungen auch ewölf.

Bei der dritten Gruppe sind möglich:

in der Abteilung a) zwei,

in b) zwei,
in c) zwei,
in d) zwei,

im ganzen also acht Lösungen. Die Gruppe enthält nur eine Temion.

Die Anzahl aller Lösungen des Problems bei der eingangs fest-
gestellten Umgrenzung desselben ist mithin 32, und jede eingdm
Lösung ist durch die Angabe der Winkel, in denen die Kreise lieget^
und Kennzeichnung der Kontdktart, in welcher sie einander paarweise J
berühren, genau charakterisiert

Die gleiche ZifiPer 32 hat sich auch ergeben bei der auf aigebraisdie
Erwägungen gestützten Determination, die Pampuch in seiner oben
zitierten Abhandlung entwickelt, und zwar erscheint sie dort ab
Produkt aus 4 mal 8.

Unsere geometrische Determination führt zu einer ganz andereti^
Einteilung. Es befinden sich nämlich unter der Gesamtzahl d^
Lösungen zwei ganz eigenartige, welche die besondere Eigenschaft
haben, daß sie durch zyklische Vertauschung der Ecken, Winkel etc.
des Dreiecks wieder in sich selbst übergehen. Das ist erstens die
Lösung Illal, bei welcher die drei Innenwinkelkreise im Erstkontsb^t,
zweitens nid2, bei der dieselben Kreise im doppelt übergreifen. den
Letztkontakt stehen. Die 30 übrigen Lösungen gehen sämtlich di»J^
zyklische Vertauschung zu je dreien ineinander über. Dieser Umst^*^^
tritt bei den Gruppen I und II schon durch die Dreizahl der Temio:^^^
zutage, die in jeder von ihnen enthalten sind. Aber auch bei "^

Erledigrong d. Malfattischen Problems mit Hilfsmitteln d. element Planimetrie. 223

Gbruppe III erkennt man leicht; daß bl und cl zyklisch in a2, sowie
daß c2 und dl in b 2 übergehen.

Die Ziffer 32 stellt sich hier also naturgemäß dar als das Er-
gebnis von 2 + 3-10.

Die eigentümliche Natur der Lösung ind2 gibt sich auch bei
der von Sachs gewählten Anordnung zu erkennen-, aber die Art, wie
er sie charakterisiert, ist unscharf. Er sagt darüber S. 20: ,,Beim
Falle 4 — damit ist eben unsere ind2 gemeint — liegen alle drei
Kreise in den Innenwinkeln des Dreiecks imd berühren einander mit
den im Innern des Dreiecks liegenden Segmenten/^ — Diese Angaben
sind freilich richtig, aber sie treffen zu nicht bloß bei IIId2, sondern
bei aüen acht Lösungen der dritten Gruppe. Der ,,doppelt übergreifende
Leiztkontakt aller drei Kreise^' hingegen kennzeichnet III d 2 ein-
deutig.

Die Überschrift: jyDreißehn Auflösungen des Malfattischen Pro-
blems^^y die Davids seiner oben angeführten AbhandluDg gegeben, könnte
zu der Frage veranlasseD, ob etwa jene 13 in uusem 32 enthalten
seien. Allein das Wort ,, Auflösung'^ bedeutet bei Davids nicht, wie
das Wort ,,Lösung^ bei Sachs, Pampuch und andern das Ergebnis^
solidem die Methode der mathematischen Behandlung. Davids leitet
aus denselben drei Grundgleichungen des ursprünglichen Malfattischen
Problems auf zwölferlei algebraische Art Ausdrücke für die Kreisradien
ab. Die dreizehnte Auflösung ist eine „Begründung der Konstruktion
Ton Steiner". Das erweiterte Malfattische Problem, dem unsere
32 Lösungen angehören, behandelt er überhaupt nicht.

Es ist mir interessant erschienen, die 32 Lösungen, wie sie vor-
stehend gruppiei-t worden sind, mit denen zu identifizieren, die
Pampoch und Sachs in ihren Systemen aufführen. Die vorhandenen
Übereinstimmungen zeigt die Tabelle auf folgender Seite.

Ebenso, wie die geometrischen Schulbücher bekanntlich aus dem
Apollonischen Taktionsproblem eine Reihe von Einzelfallen gesondert
m behandeln pflegen, kann auch jede einzelne der 32 Lösungen des
Malfattischen als besondere Aufgabe hingestellt und mit den Hilfs-
niitieb der elementaren Planimetrie erledigt werden. Dabei sind je
lUMih Lage der Kreise die drei auf Seite 212 angegebenen Relationen zu
ersetzen durch drei ähnlich gebildete andere, in denen der Inkreis
dnrck einen Ankreis vertreten wird. Auch hinsichtlich der Konstruktion
^ben sich gewisse Verschiedenheiten, aber ein und derselbe Gh-und-
8^ke ist durchführbar bei allen.

224 C. IssNKRAHE : Erledigung des Malfattischen Problemi mit Hilfsmitteln usw.

1

Pftmpnch

Sachs

Ereistemion:

KsK.K,,

^K,K,

10

a) 1. Eratkontakt des 3. Kreises
2. Letztkontaktdes 8. Kreises
b)

26

18
17

I2a

1

Gruppe I -

26

9

IIb

82

24

16

Ild

31

30

29
28

28

16

4

Ereistemion:

' a) 1. Erstkontakt d. 3. Kreises im
umgrenzten Winkelraum

22

14

12c

Gruppe n <

2. Erstkontakt d. 3. Kreises im
offenen Winkelraum

21

18

I8a

b)

20

12
11

TSr

U)

27

19

' XO V

Kreistemion :

a) 1. Erstkontakt des 8. Kreises
2. Letztkontakt des 3. Kreises

b) 1. Erstkontakt des 3. Kreises

2. Letztkontakt des 3. Kreises
Gruppe in <

c) 1. Erstkontakt des 3. Kreises
2. Letztkontakt des S.Kreises '

d) 1. Erstkoutakt des 3. Kreises

2. Letztkontakt des 8. Kreises

IIa

I2b

Ilc

14

Diese kurzen Hinweise mögen hier genügen. Die ausführliche
Darlegung sämtlicher in vorstehenden Erörterungen nur angedeuteten
Operationen möchte ich, weil sie ein wesentlich didaktisches Interesse
hat, mir für eine demnächstige Programmabhandlung ^) vorbehalten.

Trier, 28. Sept. 1905.

1) Dieselbe ist inzwischen schon erschienen als wissenschaftliche Beilage
zum Jahresbericht des Königlichen Kaiser -Wilhelms Gymnasiums in Trier,
Ostern 1906.

In den Wishmdine Opi/aven') hat Herr P. Zeemaa (Delft) drei
bemerkenswerte Sätze Torgelegt, von denen man Beweise in Deel VIII,
Seite 305 und 396, und in DeeJ IX, Seite 168, findet.

Die anregenden und lehrreichen Abhandlungen von Fr. Meyer;
Kant uml das Wesen tirs Neuen m der Mathematik (dieses Archiv (3),
Vm, S. 287), Über die Böhm des Telraeders (ibid., S. 135), haben
mich bewogen hier meine Beweise*) der Zeemanschen Sätze zu ver-
öffentlichen. Diese Sätze scheinen mir geeignet, als Erläuterungen zu
einigen AuBsagen meines gelehrten Kollegen zu dienen. Bestehen ein-
fache analytische Beweise, welche mehr als schlichte Bestätigungen
sind? Kanu man aus diesen Sätzen oder aus den Beweisen allgemeinere
Wahrheiten ableiten?

1. Wenn von vier in derselben Ebene liegenden Geraden
eine zur Verbindungslinie von Höhenschnitt und Schwer-
punkt des von den drei andern gebildeten Dreiecks parallel
ist, so hat jede der vier Geraden dieselbe Eigenschaft in
bezug auf die drei übrigen. (Zeeman).

Folgenden Beweis dieses Satzes habe ich schon in MatheHis, 1903,
Seite 6U, veröffentlicht.

Die vier Geraden mögen a, b, c, d heißen und die drei ersten
(las Dreieck ABC bilden mit dem Höhenschnitt B und dem Schwer-
punkte iS; die Gerade BS ist also zu d parallel. Die algebraische
Summe der aus den Scheiteln A, B, C auf die Linie HS gefällten
Lote ist gleich Null. Diese Lote haben nun die Werte AH cos ad,
BBcosbd, CH cos cd; die Strecken AB, BH, CH sind aber gleich
2It eosbc, 2R cos ca, 2R cos ab, wenn R den Radius der Kreislinie
A BC bezeichnet. Folglieh besteht die Gleichheit

cos ad ■ cos br + cos hd ■ cos ca ■+■ cos cd ■ cos ab = 0,

welche symmetrisch in bezug auf die Richtungen der vier Geraden
ö, 6, c, d ist; somit ist der obige Satz bewiesen.

1) HoIl&ndiBche ZeitHohrift, herausge^ben '
•ehftfb mit den Wablapmch: Ben onvermoeide arbeid ko

21 Sie Bind ganz vorscbieden von den oben erwähnten.

mathematischen Geeell-
komt alles te boven.

Bedeuten «, ß, y, S die Winkel der Geraden a, b, c, d mit einer
Achse X'X, so kann vorige Gleichung auch folgende Form annehmen:

co9{ß-|3)co8(j' — iJ) + cos(a — j')cos(j3 — (i)-!-co8(a-ff)c.0B(^ — y)=0.

Addiert man hierau die bekannte Identität

Bin (a — ß) Bin {■y~S) + sin (a — y) Bin {S~ß)-\- ain (« — S) sin (fJ — }■) = 0,

80 erhält man:

C08 (ff - /3 — }• + d) + COB {« — ;/ — d + j3) + C03 (tt - d - /3 + J-) — 0.

Mithin haben die Kosinus der Summen der gegen Qberliegenden
Winkel des vollständigen Vierseits ahcd eine verschwindende Summe.

2, Ich schalte hier planimetrieche Entvricklungen eiu als Vor-
bereitung EU einem zweiten Zeemauscben Satze; auch bieten sie von
selbst ein gewisses Interesse, da sie einen klassischen Gegenstand be-
rühren.

Bedeuten {x, y), (x,, y,), (ar,, y^), (i^, y,) die rechtwinkligen kar-
tesiscben Koordinaten von vier Punkten A, Ai, A^, A^ einer Kreislinie,
80 hat man bekanntlich:

(I)

\a^ + y' X y 1
h^ + V? ^1 Vi 1

I ^ + ^ «a Vi 1

Ich werde im Nachtrag diese Gleichheit so umgestalten, daB
man in derselben den Simsonschen Satz lesen kann. Ich löse
hier, wohl etwas mühsam, die umgekehrte Aufgabe, nämlich: die
Gleichung, welche ausdrückt, daß die Projektionen £,, B,, B^ des
Punktes A auf die Seiten des Dreiecke A^A^A^ in einer geraden
Linie liegen, aul die symmetrische') Form (I) zu bringen. Diese
Autgabe entspricht folgendem Satze:

Sind vier in einer Ebene liegende Punkte so beschaffen,
daß die Projektionen eines dieser Punkte auf die Seiten des
durch die drei übrigen bestimmten Dreiecks kolliuear sind,
dann kommt diese Eigenschaft jedem der vier Pnnkte za.

1) Oat Wort ajoimetriecb gilt hier nur Tüi <lie abBolnten Werte der
FnnktioDeD. lu dieeem Siooe ist die xpäter betrachtet« Detenninftnte ^ •fm-
metriacb in bezng auf die drei Punkte J,, A„ A,, erleidet jedoofa eü
wecheel bei Vertäu echnng von iwei Zeigern,

über drei Sätze von Dr. P. Zeeman Ge.

227

Zum Beweise setze ich

^ Vi ^1

^1 y% »%

^8 Vz ^8

(« = «i=*t = *»=!)

und bezeichne mit X^y Y^, Z^, X^, . . . die ünterdeterminanten von ^.
Auch sei

d, = xX, + yY, + gZ^.

Wenn x, y, g laufende Koordinaten sind; haben die Geraden A^ A^^
A^A^y A^A^ respektive die Gleichungen d^ *= 0, dj = 0, dj =« 0.

Die Koordinaten irgend eines Punktes der zu d^ => senkrechten
Linie AB^ sind x '\- X^X^, y -\- X^Y^\ setzt man sie ein in die
Gleichung d^ = 0, so findet man den Wert von k^ im Punkte B^ aus
*i + k{^\ + II) -- 0, also X^ dj : {X\ + Tf), usw.

Sind die Punkte B^, B^, B^ koUinear, so muß man haben

x + X^X^ y + X^Y^ 1

x + X^X^ y + X^Y^ 1 =0,

x^-x^x^ y + ^8^8 1

oder nach Vereinfachung

! X Y X-^

.aCXo ^ O Aa

=»0.

Die zur dritten Spalte dieser Determinante gehörigen Minoren
reduzieren sich auf Jz^^ ^^j ^^^'t somit kommt nach Einführung
der Werte von X^, Aj, X^:

(U) (xj + rj)d,d, + (jsq + r5)d,d, + (X| + yX)S,s, - o,

was die bekannte Gleichung des Kreises A^A^A^ in baryzentrischen
Koordinaten ist.

Die Gleichungen (I) und (II) sind in den Koordinaten von
^j, A^, A^ bezüglich vom vierten imd sechsten Grade; sie können sich
voneinander unterscheiden nur durch einen Faktor, welcher eine sym-
metrische Funktion zweiten Grades dieser Koordinaten ist-, diese
Funktion ist wahrscheinlich J. um diese Vermutung zu bestätigen,
ordne ich die Gleichung (II) nach x und y und schreibe dafür:

Ax^ + A'y^ + Bxy +Cx + C'y + D^O.

228 J- Neübkbo:

Aach bemerke ich von vom herein die Gleichheiten:

=SX, =Sr, =S;r,r, =Sa;,Zi =sy,x, -i;y,z„

wo das Summenzeichen sich nur auf die Zeiger 1, 2; 3 erstreckt.
Man hat alsdann:

Ä = ^Xf X,X, + Sr?X,X, = X,X,X,SX, + 2;(af, - a!i)*X,X,
= S^!Xi(X, + X,) - 2S«,:>;,X,X, =
= - Sa^!^ - 2Sa?,a;,X,X, = - j:'x,X, - - J*,
woraus man A==^ A' ^ — d* schließt. Ferner findet man:

B=^x*ix,Y, + x,y,) +srj(r,x, + r,x,)
=:sx,x,r,(x, + X,) +sr,r,x,(r, + r.)
= -SX,x,y,x,-sr,r,x,r,-0;

c = S[(y, - y,)* + (*, - *,)*](x,z, + x,z,)
= S(^ + yf)[x.(^, + ^,) + ^x(x, + X,)]

- 2S(a;,a;, + yty,){X,Z, + X,Z,).

Ersetzt man Z, + Zj durch ^J — Z^ und X, + Xj durch — X„
so kommt:

C = ^S(a;; + y?)Xi - 2Sa;?XiZi - 2Sa;,a:,(X,Z, + X,Z,)

- 2^ylY,Z, - 2Sy,y,(x,z, + X,Z,)

= ^2(^! + y?)X, - 2S«iX,Srr,Zj - 22y, r,2:y,z,;

also C = z/sc«» + yj) X, , C = ^S(a;J + y«) l',.
Zuletzt hat man:

^ = S[(^. - a;,)» + (y, - y,)']if,if,

= S(^ + y!)^,(if, + -^,) - 2i;(x,a:, + y,y,)Z,Z,

= ^SC^! + y!)^i - 2*^1^1 - S'y,^, = ^TSA + yj)^,-

Nach Streichung des Faktors — ^ wird die Gleichung (II)
identisch mit (I).

Wünschenswert wäre es^ diese Identität einfacher und eleganter
zu beweisen.

3. Sind fünf Punkte A^ A^^ A^y A^y A^ so beschaffen, daB
die Projektionen des Punktes A auf die Ebenen des Tetra-
eders Ay^jl^A^A^ in einer Ebene liegen^ so genießt jeder der

über drei Sätze Ton Dr. P. Zeeman Gz.

229

fünf Punkte dieselbe Eigenschaft in bezug auf das durch die
übrigen Punkte bestimmte Tetraeder. (Zeeman).

Die rechtwinkligen kartesischen Koordinaten der Punkte Äj A^j ,.,
seien mit (rr, y, z), (x^j y^, js^)^ . . . bezeichnet; die ersten Minoren der
Determinante

Vi
Vi

^ =

X,

X,

\x.

0.

z.

Zm

X,

z.

"8

(«-'i-«i = <.

1)

mit X^, Y^, Z^y Ti, X„ . . .; auch setze man:

d,^xX, + yY^ + zZ, + tT^,

sodaß z. B. d^ =» die Ebene Ä^A^A^ darstellt , wenn Xy y, z laufende
Koordinaten sind.

Verfahrt man wie in (H), so bekommt man für die Gleichung
des Ortes eines Punktes , dessen Projektionen auf die Ebenen des
Tetraeders A^A^A^A^ koplanar sind:

(I)

= 0.

Dieser bekannte Ort möge die Simsonsche Fläche des Tetraeders
A^A^A^A^ heißen; sie enthält die sechs Kanten.

Wir bezeichnen jetzt mit (/i, f^, /i, /*J die Inhalte der Seitenflächen
des Tetraeders A^A^A^A^ mit (h^ \, h^, &J die Höhen desselben, mit
(^17 ^27 ^9 ^4) ^^^ normalen Koordinaten des Punktes A in bezug auf
das Tetraeder. Alsdann, hat man:

dl =» jAA^A^Aj^^ ifi^ij ' ' '}

und die Gleichung (T) kann folgende Form bekommen:
(II) -V + -V + — - + -V = 0.

«1^1 «A «8^ 0:4V

Auch bemerke man die (bekannte) Identität:

(HI)

h,^ h,^ h,^ h, ^•

Zur größeren Klarheit gebe ich dem Zeemanschen Satze fol-
genden Ausdruck:

230 J- Neubbbo:

Ist Ä\ ein beliebiger Punkt der Simsonschen Fläche des Tetraeders
A^A^A^A^, so ist auch A^ ein Punkt der Simsonschen Fläche des
Tetraeders Ä^A^A^A^.^)

In andern Worten, wenn die Gleichung (U) besteht^ so hat man auch:

wo h\j Ä^, Äy h\ die Höhen des Tetraeders A[A^A^A^ und a[y a^ a^ a[
die normalen Koordinaten des Punktes A^ in bezug auf dieses Tetraeder
bezeichnen.

um dies zu beweisen, drücke man die gestrichelten Größen durch
die ungestrichelten aus.

Die Höhen h[, h'^, h'^, h[ sind positive Größen. Offenbar hat man
Aj = ± «1, «j =« ± Ä^ jedenfalls a^h[ = o^\.

Die Ebene A[A^A^^ auf das Tetraeder A^A^A^A^ bezogen, hat
zur Gleichung, wenn |], ... laufende Koordinaten bedeuten:

a^ und Äj sind die Abstände der Punkte Jj (Aj, 0, 0, 0), -4,(0, Äj, 0, 0)
von dieser Ebene; ihre Werte ergeben sich aus der Formel

wo D den Abstand des Punktes | von der Ebene u^ — und c^^ den
Kosinus des inneren Flächenwinkels zwischen den Ebenen £|»0, £^»0
bezeichnet. Also hat man

^» ^/rr-r-rr-T-sTTTT- > '*«

Der zweiten Quadratwurzel gebe man das Vorzeichen, welches W^ posi-
tiven Wert beilegt; setzt man dasselbe Zeichen vor die erste Wurzel,
so hat auch a^ das Vorzeichen, welches dieser Größe als Koordinate
zukommt. Somit ist

aLhL = .-r

Wa^ a.

2"2 a; + a| + 2a,a,C»,'

und die Ersetzung des Zeigers 2 durch 3 oder 4 liefert die Werte der
Produkte a^Aj, a\h\.

1) Die beiden Flächen sind yerschieden; sonst würden sie alle von A^^A^^ A^
ausgehenden Geraden enthalten.

über drei Sätze Ton Dr. P. Zeeman Gß. 231

Hieraus folgt für das linke Glied von (lY) der Ausdruck
l_i ^/_i _ I _Jt j LA ^-(^ 4. f!». 4. ^"j

I Ä,U "^ Ä. "^ Ä//

Die zweite Klammer^ nach (III), ist gleich 1 — -jp ; die letzte Klammer

nach dem Projektionssatze fi^f^c^^ + f^c^^ + /iq^, wo /;, /*„ /i, /;
durch Aj"^, Ä~^, kf^, Ä^^ ersetzt werden, reduziert sich zu ä~^ Also
yereinfacht sich der Ausdruck (Y) zu

Somit ist bewiesen, daß die Gleichungen (II) imd (lY) sich gegen-
seitig bedingen.

Der Beweis ruht wesentlich auf der Identität:

zwischen den Elementen von zwei Tetraedern A^A^A^Ä^, A^A^A^A^
mit gemeinschaftlicher Basis A^A^A^ oder auch zwischen fOnf Punkten
A^, A[, -4j, A^y A^.

4. Wenn von fünf Paukten Aj A^^ A^y A^, A^ einer, Ay auf
dem Höhenhyperboloid des durch die vier übrigen be-
stimmten Tetraeders, A^A^A^A^y liegt, so kommt diese Eigen-
schaft jedem der fünf Punkte in bezug auf die vier andern zu.

(Zeeman).

Ich suche zuerst, mit den im Eingang von Nr. 3 gebrauchten Be-
zeichnungen, die Gleichung des Ortes einer Geraden ^, welche die drei
Höhen A^H^, A^H^y A^H^ des Tetraeders A^A^A^A^ trifft.

Die Gleichungen der Höhe A^H^^ sind:
(T\ x — x ^ y — 3 /1 _ ^ — ^1

oder auch:

(II) \s,^{z-e,)X,-{x-x,)Z,^0,

Bedeutet k den gemeinsamen Wert der Brüche (I) in einem
Punkte von A^H^y so sind die Koordinaten dieses Punktes

(ni) x^ + kX^y yi + i^i, ^i + ^^r

232

J. Neubebo:

Ich nenne jetzt {x, y, e) die Koordinaten irgend eines Punktes
von g, (a, ß, y) die Richtungskosinas dieser Geraden^ (B^, B^^ B^) ihre
Treffpunkte mit Ä^H^, ^^H^y A^H^, Da die Koordinaten von B^
sowohl durch die Ausdrücke (III) als durch

X + QUj y + Qßy JS + QY

darstellbar sind, hat man die Gleichheiten

x + Qu^x^ + ^X^, y + Qß^yi + ^Y^y JS + Qy^z^ + XZ^,

aus denen man die HilfsgröBen Qy X eliminieren kann. Auf diesem
Wege findet man die Bedingung:

^x — x^ Xj a

(IV). ly-y, T, ß =0.

Die Entwicklung nach der dritten Spalte gibt

(V) aA, + ßB, + yC, = 0.

Ahnlicherweise erhält man die Bedingungen^ daß g die Höhen
A^H^y A^U^ treffe:

(VI) aA^ + ßB^ + yC^^Oy aA^ + ßB^ + yC^^O,

wo die neuen Bezeichnungen selbstverständlich sind.

Durch Elimination von a, ß, y zwischen (V) und (VI) bekommt
man die gesuchte Gleichung des Ortes von g:

A B, c.

(VII)

I

A^ B^ C7j
A, B, C,

= 0,

=

welche scheinbar vom dritten Grade in x, y, z ist; aber die Glieder
der höchsten Ordnung verschwinden.

Die Gleichung (VII) kann die symmetrische Form:

A^ B^ C, 1

A^ B^ C^ 1

A, B, C, 1

A, B, C, 1

annehmen; denn addiert man zur vierten Zeile die drei anderen, so
findet man (VII) wieder, da

A^ + A, + A^ + A,^ 0, B, + B, + B, + B^ = 0,

C, + C, + C, + C\ = 0.

über drei Sätze von Dr. P. Zeeman Gz.

233

Hiermit ist bewiesen^ daß die vier Höhen des Tetraeders auf demselben
Hyperboloid liegen.

Um nun den Zee manschen Satz zu beweisen^ multipliziere ich
die Gleichung (VH) mit der von Null verschiedenen Determinante

"S

2Lq Xa Zi^

y. z.

= j*t^.

Das Ergebnis ist
(VUI)

wenn man

'11

*21

'81

"12

^St

►82

^18

^28

^88

0,

Ä,X, + B,Y, + C,Z, = h,.

setzt. Da Ä^j B^j C^ die zur dritten Spalte der Determinante (IV)
gehörigen Minoren sind^ hat man

X — Xi

X,

X,

All-

y -Vi

Yx

y.

Z — Zy

z.

z.

X ^^ X*

X,

X,

= 0,

K% —

y Vi

y.

y.

z z^

z.

z.

Man entwickle h^^ nach der ersten Spalte und bemerke, daß die
zugehörigen Minoren als Unterdeterminanten des zu ^ reziproken
Systems den entsprechenden komplementären Unterdeterminanten
von ^ gleich sind bis auf den Faktor ^, Demnach ist

h^^J[{x- x^jixj, - x^ + (y - yJCy» - yj + (^ - z^){z^ - ^J}-
So findet man auch ^22 ^ ^; ^ss ^ ^j ^^^ überhaupt

*a = ^( (^ - ^<)(^/ - ^4) + (y - y/)(y, - yd + (^ - ^<)(^, - ^J),

wenn % k, l irgend eine Reihenfolge der Zahlen 1^ 2, 3 bedeutet.
Die Gleichimg (VIE) ist somit von der Form

(IX) *12*23*31 = ''21*32^18-

Die in ihr enthaltenen Koordinaten Xj y, z beziehe man jetzt auf
den Punkt A. Beachtet man aber, daß bei Vertauschung von {x, y, z)
und (ar^, y^, z^ die Größen h^^, Ägj, h^^ in Ag^, Ä^j, Äjg übergehen und
umgekehrt, so bleibt die Gleichung (IX) ungeändert. Somit ist be-
wiesen, daß, wenn der Punkt Ä auf dem Höhenhyperboloid des Tetra-
eders A^A^A^A^ liegt, der Punkt A^ auch auf dem Höhenhyperboloid
des Tetraeders AA^A^A^ liegt.

Archiv der Mathematik und Physik. IIL Reihe. XI.

16

234 J. Neubebo:

Bezeichnen m^, m^, m^ die Geraden AÄ^, ^^y ^^i "^^^ ^v **2» **3
die Geraden Ä^A^y -^4^1; -^4^8? s^ fließt aus (IX) die Gleichheit

cos m^n, • cos m^ny^ • cos rn^n^ « cos m^n^ • cos tn^n^ . cos m^n^.

5. Die in Nr. 4 enthaltenen Entwicklungen geben Anlaß zu einigen
Bemerkungen^ welche vielleicht manchem Leser als willkommene Beigabe
zur vorigen Abhandlung erscheinen werden.

1. Ersetzt man in (V) die gewöhnlichen Koordinaten x, y, £

X IJ SS

durch -' --' —j d. h. ftthrt man homogene kartesische Koordinaten

Xy tfy z, t ein, so nimmt diese Gleichung die Form tU=^ an, wo ü
eine Funktion des zweiten Grades in Xy y, z, t ist. Die Gleichung (V)
in homogener Form stellt also das Höhenhyperboloid in Verbindung
mit der unendlich entfernten Ebene dar.

2. Äjj = und Ä^ = sind die Gleichungen der durch die Punkte
A^y A^ zur Geraden A^A^ senkrecht gelegten Ebenen. Ahnliches gilt
für die Gleichungen ^^=^0, h^^ = 0, usw.

Die Gleichung (IX) sagt aus: Das Produkt der Abstände eines
Punktes des Höhenhyperboloids des Tetraeders A^A^A^A^ von
den Ebenen \^j h^^, h^^ ist gleich dem Produkte seiner Ab-
stände von den Ebenen Äg^, Äjj, \^,

3. Die Gleichung (IX) hat offenbar die neun Lösungen:

Ki = 0, Ä,i = 0; Äj8 = 0, Ä82 = 0; Aji = 0, Ai, = 0;
*i2 = 0, Äis = 0; Ä,3 = 0, Äji = 0; A,i == 0, A38 = 0;
^12 = 0, A32 = 0; Ä„ - 0, A18 = 0; A31 - 0, Aj, — 0.

Die drei ersten Lösungen definieren die unendlich entfernten Geraden,
welche in den zu den Kanten A^A^, ^4-^i> ^4-^ senkrechten Ebenen
liegen; die zweite Gruppe bezieht sich auf die Höhen A^H^y -^-^»
yljfij; die dritte gibt die in den Höhenschnitten der Dreiecke A^A^A^y
A^A^A^y A^A^A^ zu den entsprechenden Tetraederebenen errichteten
Senkrechten. Demnach «erfällt der Ort (IX) in die unendlich entfernte
Ebene (wie schon in 6, 1 bemerkt wurde) und in ein Hyperboloid,
welches die Höhen des Tetraeders imd die in den Höhenschnitten der
Tetraederdreiecke errichteten Senkrechten enthält.

4. Man multipliziere die Gleichung (VU) mit der Determinante

x-x^ y — y^ z — z^
x — x^ y — y^ z — Zt\,
X- x^ y -y^ ^ — ^s I

über drei Sätze von Dr. P. Zeeman Gz,

235

welche sich leicht auf

X

y

e

1

<h

Vi

*i

1

^

Vi

««

1

^a

y»

«8

1

zurückführt; die Gleichung P~0 stellt mithin die Ebene A^A^A^ dar.
Setzt man

so ist das Resultat:

(X)

M*. M.^ M,

■11

18

18

Jf«^ Jfo« Jf,

tl

8t

-88

Jfji Jfgj Jf,8

= 0.

Man ersieht sofort, daß Jf^ = Jf^j = M^^ = ist. Jf^, ist gleich
der Determinante

y - yi i^i y - y»

Z — Z.

z — Z^

welche man leicht in

1 1

x X*

y yi

e z.

^1

yi

umformen kami. Da letztere Determinante verschwindet, wenn man
fttr X, y, z die Werte x^, y^, s^ oder x^, y„ ä, oder afj + XX^, yi + i- Y^,
g^ + kZi einsetzt, ist Jlf^, = die Gleichung der Ebene Ä^A^H^.
Ähnliche Deatangen gelten für die Gleichungen Jfj, = 0, M^^ = 0, . . .
Die Gleichung (X) hat die Form

Jlfi, M„ JIf,i = M^ M^ Jlfi, ;

sie läfit folgende Lösungen zu:

M,

=. 0, Jf,, ==
- 0, M,, =
Jtf„ = 0, JIf„ =

M,

M„ = 0, M„ =
Jf,, = 0, JIf„ =
3f„ = 0, Jf„ =

-M,! = 0, M,, = 0;
Jlf„ = 0, M,, = 0;
JI/31 = 0, J[f,i = 0.

Die drei ersten entsprechen den Kauten A^A^, ■^»■^n -^s-^i ^^^

folglich dem eingeführten Faktor P; die drei folgenden geben die

Höhen -^i^u -^-ETj, A^H^; die drei letzten definieren die Schnitt-

16*

4

236 J. NEVasBr.:

geraden der Ebenenpaare (JjjJji/j, A^A^H^^, {A^A^ßf, AiA^H^,
{AfAiH^, A^AjHj), also drei Nebenhökcn.

5. Allfiemein, sind p^, p^, p^ drei Erzeugende eines Systems
eines IlyperboloidB und q,, g., j, drei Emeugende des iindern SjateniB,
und bezeicbnet raaii mit [PiQj,' = die durch die Geraden p^, q^ gelegt«
Ebene, ao ist das Hyperboloid in Verbindung mit einer durch die
Punkte Pi?i. /'tSi, Pg$3 gelegten Ebene durch die Gleichung:

darstellbar, bei geeigneter Wahl der Konstante X.

Nactitrafi.

l. Über die Fläche dritter Ordnung, die ich Simsonscke fWcÄ*
eines Tetrueders nenne, findet man einige Literaturnachweise im Archiv
(3) 4, 27G; es wäre wünschenswert, sie zu vervollständigen.

In den NouTeUes Aonales de Matbematiques, 1870, S. 410,
habe ich den wünschenswerten Satz Steiners (Archiv, loc.cit., S. 275)
bewiesen, nämlich: Bei einem Hyperboloid, dessen Halbachsen
der Bedingung i + -fr = , genügen, liegen die FuBpunkt«
der aus dem Mittelpunkt der Fläche auf die Ebenen eines
Poltetraeders gefällten Perpendikel in einer Ebene. In
andern Worten: Der Ort der Mittelpunkte eines solchen Hyper-
boloids, das eia festes Poltetraeder zuläßt, ist die zn diesem
Tetraeder gehörige Simsonsche Fläche. Das Analogen in der
Ebene lautet: Bei jeder gleichseitigen Hyperbel geht der'
einem Poldretecke nmbeschriebene Kreis durch den Mittel'
punkt der Kurve.

In einer Abhandlung des Herrn Geiser (Crdle, LXIX, S. 197 — 231)
tritt die SimBonsche Fläche auf als Ort der zu den Punkten im Un-
endlichen isogonal konjugierten') (winkeltreuen) Punkte, oder auch als
Ort der Brennpunkte der dem Tetraeder einbeschriebenen Hotalioo»-
paraboloide. Sie kommt auch vor in der wertvollen Abhandlung
von Hm. Fr. Meyer: Über die einem Tetraeder einbesc)irid)enen Rotation»-
flaciien zweiten Grades (Archiv (3) 4, S. 16K— 175).

2. Den Lemoinesehen Punkt des Tetraeders findet man wohl
zuerst in den Eli^eiits iTanali/se par Simon Lhuilier, S. 297. In
meinem Memoire nur le tetraedre habe ich wohl bemerkt, daß dieser

1) Zwei Punkte, mit den NormalkoordiDaten (a,, a„ a,, u^), (a,', ai, oj, a^
beiBen iaogonal verwandt oder Oegenpuakte in bezug aaf das tirundtcti&edm,

über drei Sätze von Dr. P. Zeeman Gz. 237

Pniikt und der Schwerpunkt isogonal verwandt und die zwei Brenn-
punkte einer dem Tetraeder eingeschriebenen Rotationsquadrik sind;
aber der schöne Satz von Hm. Meyer (Siehe über die Höhen des
Tetraeders) j daß die Berührungspunkte der Tetraederebenen in die
Fußpunkte der Höhen fallen , war mir entgangen.

In der NouveUe Correspondance maihematiqtw, Band IV (1878),
S. 223, wurde der folgende Satz vorgelegt:

Die vier Geraden, welche die Ecken eines Tetraeders
A^jL^A^Ä^ mit den Polen Pj, P„ Pj, P^ der gegenüber-
liegenden Ebenen in bezug auf die umbeschriebene Kugel
verbinden, sind Erzeugende eines Hyperboloids Hy dessen
Mittelpunkt der Lemoinesche Punkt des Tetraeders ist.

Der Beweis ist niemals erfolgt. Wenn die drei Produkte der
gegenüberliegenden Seiten gleich sind, gehen die Geraden A^P^, -^s^i?
A^JP^y A^P^ durch einen und denselben Punkt, welcher nicht der
Lemoinesche Punkt ist. Das genügt, um die Falschheit des Satzes
zn beweisen. Es wäre interessant, den Mittelpunkt des Hyperboloids H
im allgemeinen Tetraeder geometrisch und analytisch zu bestimmen.

3. Um den sogenannten Simsonschen Satz aus der Gleichung (I),
Nr. 2, abzuleiten, nenne ich D die Determinante (I) auf vier beliebige
koplanare Punkte A, A^, A^, A^ bezogen, und setze

Bezeichnen dann p.^, ft,? f^s ^^® absoluten baryzentrischen Koordinaten
des Punktes A in bezug auf das Dreieck A^A^A^, so daß

X =- ii^x^ + (ijX^ + ftja;,, y = ^1^1 + ^^y, -f- ft^y,, 1 == ft^ + ft, + ft„
so kann man schreiben:

^l^^Qii + '^^(hlhQit Qn Pm Pss

^fJLt^fJLfX'* X^ X^ X^

Sfi^Zfi^y^ y^ y, y,

(stuy 111

oder einfacher, indem man von der ersten Spalte die drei andern, re-
spektive mit ft*, (j^, /t* multipliziert, abzieht:

I ^^ IHN Qu Qu Qn P»»

j^^^Uli^litix^+x,) Xi Xj «s

, ^^/*»(yi + y«) 3/i Vi Vi
2i:ii,f,, 1 1 1

D

238 J- NscBXBa: Über drei Sätze von Dr. P. Zeeman Gt.

Aus den Gleichheiten

ergeben sich Werte von pj„ p,,, (>,i, welche ich in vorige Determinant«
einsetze; dann kommt:

^(h^iilH + lh)
^l^iilh + t^i)

D

Qu P«

9ts

aTj Xf

1

Vi 9t

y»

1 1

1

Subtrahiert man endlich Ton der ersten Spalte die folgenden, re-
spektive mit fi^di^ + /!,), /i,(/i3 + ftj), fi^{fi^ + ftg) multipliziert, so er-
hält man

wo T, Ti, T,, Tj die Inhalte der Dreiecke Ä^A^A^j A^Ä^Ä^, A^A^A^j
AA^A^ bedeuten.

Geht man zu Normalkoordinaten o^^ a^, a^ über mittels der Formeln

ftj =1^, • • •, so findet man leicht :

(1) D = ~87i«Z'a,a,sin^.

Nun ist der Inhalt des Fußpunktdreiecks B^^B^B^ des Punktes A
in bezug auf das Dreieck A^A^A^ gleich ^Zu^a^^mA^'^ folglich sind
die Punkte B^, B^, B^ kollinear^ wenn D = 0, Ah. wenn die Punkte J,
A^j A^y -4j konzyklisch sind.

Sind diese Punkte beliebig, und bezeichnet man mit t, t^j t^y t^ die
Inhalte der Fußpunktdreiecke der Punkte A, A^, A^, A^ in bezug auf
das von den drei andern Punkten gebildete Dreieck und mit JR, iJj, iJ,,
B^ die Radien der Umkreise dieser Dreiecke, so schließt man aus (1):
li^t = jRj^i = /ij^j = iJj^j. Diese Relationen sind vielleicht neu; sie er-
innern an die Staudtschen Gleichheiten \D =^pT^ ~~Pi^i ^P% ^2 ^^Pz ^s>
^ö p, j)^f ft, p^ die Potenzen der Punkte A, A^, ^, A^ in bezug auf
die Kreise A^A^A^y A^A^A^ usw. bedeuten.

Lüttich, Juni 1905.

K. H. Haoa: Methode seht Zerlegung einer Kurve in ihre Harmonischen. 239

Eine nene Methode znr Zerlegung einer periodischen

Enrve in ihre Harmonischen.

Von K H. Haga in Delft.^)

Die Frage, wie man eine willkürliche periodische Funktion in ihre
sinusförmigen harmonischen Grund- und Oberwellen zerlegen kann, ist
eine rein mathematische. Jedoch ist dieses Problem in der Wechsel-
stromtechnik für Strom- und Spannungskurven häufig zu lösen. Diese
Kurven, mit dem Oszillographen aufgenommen, zeigen oft große Ab-
weichungen von der Sinusform. Es ist nun von großer Wichtigkeit,
die einfachen zusammensetzenden Sinuskurven nach einer kurzen und
genauen Methode aufzufinden. Dies ist im folgenden mittels einer
graphischen Konstruktion oder einer einfachen Rechnung ermöglichi

um zu dieser Konstruktion zu kommen, zerlegt man die Fourieiv
reihe:

It, = Co + Ci sin {x + 9?i) + Cj sin {2x + ^j) + • • •
= |)i sin a; + 1}2 sin 2a: + . . . + p, sin na; -f . . .
+ 3o + Q'i ^^s ^ + ft cos 2a: + ... -f g^ cos na: + .. .
in 4 Teile:

h ^ Pi ^'ina: + p^BinSx + . . , + ftn+i sin(2n + l)a: + . . .
t, =» g^ cos a: + ^8 cos 3a: -f . . . -f q^^^i cos (2 w -f 1) a: -f • . .
^ = ft sin 2a: 4- P4 sin 4a: + . . . + ft„ sin2na: + • . .
>4 = ^0 + ft cos 2a: + q^ cos 4a: -f . . . -f gr,, cos 2na; + . . . ,

setzt in die Fourierreihe (A) die Werte der sinus und cosinus ein
für: X, (pt — x), (Ä-f-a:), i2n; — x) und bekommt dann:

• • • • , •

»;r+, *1 - H + «B + »4

1) MitZoB&tzen Tersehener Abdruck aus Elektrotechnik und Maschinen-
bau, 24,g, 762 — 768. Vgl. hierzu Runge, Theorie und Praxis der Reihen,
Odflchen. Red.

240

K. H. a

alio:

1) '■

-

lüt

-

i

« + .+

>,-.)

2)i,

-

"

4

_«+?_"

H.-^

3)i

_

i,-

„_

-,) + ('

» + i~

,.-.)

i

4) •■

•Vl;

_»_-

-) + ('

-+.+

'„-.)

= ;>, ein a: + p, sin 3« 4- ■ ■ ■
■= g, cos a; + Sj C08 3a; + ...

TTWT'^W^f^^F^.m

Die unbeksimten Größen }j und q findet m&n durch Einsetzung
der Werte von i in den Gleichungen 1) bis 4) !Qx: x =■ -g, , ; nnd
^, nnd findet dann graphisch oder rechnerisch in einfacher Weise:

Pi, Pi, ■■■ Pr, 7i. 7;. ■■ ?g»
also bis zur achten Harmonischen, Will man eine Kurve bis zor
sechzehnten HarmoniBchon zerlegen, bo setv-t man die Werte von i
in den Gleichungen 1) bis 4) oin für: x =- -^, , j-g, .i -jg, g-, t.
nnd . Die Rechnung wird dann ptvrnR komplizierter; jedoch wird das
Resultat, Aas man fQr die Kunatruktion braucht, noch sehr einfach,
und das ganze Problem ist mit mindestens derselben rechnerischen oder
graphischen Genauigkeit kürzer und bequemer gelöst als mit je einer

Eine neae Methode znr Zerlegung einer Kurve in ihre Harmonischen. 241

der bisher üblichen Methoden. Ein Vorteil dieser Methode ist auch,
daß sie für innerhalb einer Periode ganz unsymmetrische Kurven gilt.
Die Rechnung und die Konstruktion gestalten sich nun folgender-
maßen:

Es sei z. B. eine hinsichtlich der Abszissenachse symmetrische
Kiirye bis zur achten Harmonischen zu zerlegen. Es sind dann:

also nach 3) und 4):

ig =» und i^ = 0,

das heißt: alle Koeffizienten (p^y Pd • • • 9o; Qif - - ^^^ geraden Sinus-
und Kosinusfunktionen sind Null. Die Gleichungen 1) und 2) ergeben:

1) »1 = -r =-= Pi sin a? + 1>, sin 3x + p^sixibx + p^ siaTx,

m •

2) Jj = 2 =« qi cos X + (/j cos 3x + q^ cos 5x + q^ cos Ix.

Man nimmt jetzt für x die vier Werte ^. - , q- und --, und be-

zeichnet die zugehörigen Werte von i^ mit J^, J^, J^ und J^, die Ton
I, mit J[, J\, J'g und J'^. Dann ist:

Ji - 8in|(j)i +1»,) + C08|(i), +P5)

J, - sin J[(pi - 1)7) + (l), - ft)]

J, - cos |0, + 1>7) - sin |(p, + ft))
^ Ja " (j>i - Pi) - (Pa - Pi)

oder

also

A + i»? — «^i 8in-| + J, cos^ = ^1

Pi -Pi = y + «^,co8 J - C,

A + A = «'i cofl I — «^» sin f = ^1

A -Ä 2* + ^,C08 J = 2),,

A 8 > Pi 8 ' Pt 8 A = ~8~

242 K. H. Haoa:

Ebenso bekommt man aus der Formel f&r i^:

«i + «7 =■ J'i sin g^ -= J,

Ö'i — «7 = ^[ cos I + Ji' 8in| = (7,
& — 36 -= Jj' sin I — Ji' cos I = D, ,

also:

^ + c, 4| — c, _ — ^ + D, ~^ — A

Weiter ist: c = "l/p^ 4- Q^ ^nd tg^? — — ; ans diesen Koeffizienten p

und g ist also die einfache Fourierreihe leicht zu bestimmen.

Die konstanten Koeffizienten von J^ usw. kann man sich entweder
in einigen Dezimalen notieren und sofort für die Berechnung verwenden,
in welchem Fall die Methode rechnerisch sehr schnell zum Ziel fahrt,
oder man kann die ganze Konstruktion graphisch durchführen. Man
muß jedoch stets aus der Kurve die Werte J^ usw. entnehmen.
Immerhin braucht man nicht die ganzen i^- imd i^*^^^^^ zu kon-
struieren, sondern nur die Punkte J^, J^', J^ usw.

Wenn man mehr als acht Oberwellen finden will, wird die graphische
Lösung ungenau, weil meistens die Koeffizienten p und q zu klein
werden und deshalb praktisch auch gar keine Bedeutung mehr haben.
Will man aus theoretischen Gründen noch weiter gehen mit der Analyse,
so kann man bis zur sechzehnten Harmonischen die Rechnung durch-
führen. Auch dann wird man in kurzer Zeit mit sehr großer
Genauigkeit die Kurve zerlegen.

Auch für ganz beliebige periodische Kurven gilt diese Methode
ohne Annäherungen oder Vernachlässigungen. Die Bestimmung von
Pi) Qi7 Psj 9s ^^^- bleibt imverändert. Die Koeffizienten der geraden
Sinus werte ergeben sich z. B. aus:

x--^ — — »3 — ft sin 2x + PfSinox + . , .

Eine neue Methode zur Zerlegung einer Kurve in ihre HarmoniBchen. 243

Man bildet jetzt wiederum die Werte von ij und ig' ftlr a; = ^^
und -9 ^^^d findet dann

28m-r ^®/ 2Bm—

4: 4:

Ebenso für die Koeffizienten der geraden Eosinuswerte:

»4(,) + »4(1 + ,)

2"^ = *4 = «0 + «4 cos 4a; + . . .

i4(.) - »4(f + ,)

-^^ = i^' = g, cos 2a; + Je cos 6a: + ... ,

woraus

*»=■**©, 3.--H+V

(0)

2^» 2
cos —

4

.-... .(f)

3.-M-3-**©, ?. = ^+

2cos g^

Die Figur gibt die erste von mir in dieser Weise bis zur achten
Harmonischen zerlegte symmetrische Kurve mit der Konstruktion.

Für I und (« - J) bekommt man die Summe der Ordinaten 2J, und

die Differenz 2J^, also auch die halbe Summe und Differenz J^ und J^
durch Übertragung in der rechten Figur, wo OL die Gerade für

tgq> ^ 0*5 ist. Dann muß A^ konstruiert werden aus J^ sin ^ und
eT^cos-g, was mittels der Geraden OM und CN leicht geschehen kann.

Ebenso findet man C^ = -^ + J^cosy mittels der Geraden OP und OQ,

(OB^J^ also OiSf - leT^) und schUeßlich p^ - |( J.i + C\) usw.
Es ergab sich:

t «= 71'58ina5+ 9'5sin3a: + O'ösinöa:-— 0-7sin7a?+ ll'öcosa;— 8cos3a:

— l-5cos5a:-0-9cos7a;-72-3sin(M;^ + 9n0')+ 12-48in(3fi;^ + 220®30')

-h 1-6 Bin (bwt + 2510500 - 115 sin (Itvt + 520).

9r 9r 9r

Nimmt man för x die Werte: -r, t> ^ ^i^d — an, so wird die

O 4: O l

Rechnung sehr vereinfacht.

244 K. H. Haoa: Methode zur Zerlegung einer Kurve in ihre Harmonisohen.

Man bezeichnet ebenfalls die zugehörigen Werte von i^ mit J^,
J^, e7g und J^] die von ig mit «^, Jjj, e/J und Jl, so wird:

Ist weiter:

J, : i = 2 Jl = ^. , J, : i)/2 = 1,414 J, = Si,

Jt : |>/3 = 1,155J; = Ci, j; : 1 _ j; - D^,

dann lassen sich die p^, p^, p^ und p, aus den vier Oleichungen sehr
leicht bestimmen.

A,-D, = 3p„ D^ + C,-^ 2p, - p„

Cj - .B, = 2pj -ft, JBi - ^1 2ft - ft.

Ebenso für *,:

- ffi + «, + ?6 + «7, «'I =- iV^(?i - «6 - «7),
j; - jf/2(?i - g, - »5 + 37), «^ - i(?i - 23j + ft + «7);
j; : Al/3 = 1,155 j; = ^1', j; : 11/2 = 1,414 Ji -B,', J', :\- 2J^ - C^'.

Dann findet man:

^ — 3s«, ci — 2«, + a$,

C; -B;=-2g,+g„ B; -^'=-22, + «,.

Nach Abschluß dieser Arbeit habe ich in der Veröffentlichung
von Herrn Ernst Orlich („Aufnahme und Analyse von Wechsel-
stromkurven", Februar 190(5, Braunschweig, Vieweg u. S.), auf Seite 76
eine „arithmetische Analyse" gefunden. In dieser wird nicht die
Trennung der ungeraden Sinus- und Kosinuswerte vorgenommen, die
hier zu der einfachen graphischen Konstruktion fährt.

G. Kobsb: Die geometrische Besolyente der Gleiohimg mit einer Unbekannten. 245

Die geometrisclie Resolvente
der algebraiscilen Gleichung mit einer Unbekannten.

Von G. EOBER in Holzminden.

Von den "Punkten l^^x^ix^^x^ix^ des Kegelschnittes K^x^x^—xl^O
gehören jedesmal die m Paare, die einer algebraischen Gleichung

genügen, zn den Pimkten

der Kurve mter Ordnung

die man als zweiten Ort der auf JST =« liegenden Punkte f{X) «
die geometrische Besolvente dieser Gleichung nennen kann.

Die zwei Punkte a^k^+a^X+a^^O des Kegelschnittes k^x^ix^^x^ix^
trägt, weil in ihnen X^ : l :1 ^ x^: x^: x^ sich verhält, die Gerade

welche die beiden Punkte

a^x^ + a^x^ =«0, x.^^0, a^x^ + a^x^ = , x^^O

▼erbindet. Die vier Punkte

aoA* + a^A» + a,A» + a^k + a^ -

der Reihe A — a?^ : rc, — ar^ : a:, erhält der Kegelschnitt Ä" = Xj Xj — a;| =
durch A* : A* : A* : A : 1 « a:J : a^iO^j : x^x^ : iPjarj : a^ von einem zweiten
Kegelschnitte

JJ= aoo^ + ai^jj^g + a^x^x^ + ajarjar, + a4a:| =-0,

den der Schnittpunkt der beiden Strahlen

a^x^ + a^x^ + iia^x^ -= 0, (1 — ,a) a^x^ + aja^j + a^arj «=

beschreibt. Dieselben drehen sich um die beiden Punkte

«0^1 + «1^8=* 0, a:5 = 0; aga:^ + a^a^g — 0, a?! =

und hinterlassen auf dem Strahlenpaare x^x^=^Q zwei Spuren

^1 = 0, ajiT, + |tia,a:3 = 0,

a;j=-0, (1 — /t)a^a:i + a8a;j«=0,

deren Verbindungslinie jedesmal der Strahl

(1 — ii)a^a^T^ + a^a^x^ + fifloOs^s =

246

G. Kobeb:

ist. Da letzterer den Schnittpunkt der drei Eckenstrahlen

fi = : OjiPi + a^x^ «
/i =- 1 : a^x^ + a^x^ =
|ti = cx) : a^x^ — a^Xi —

enthält, so ist der Punkt, welcher den Kegelschnitt JJ =- beschreibt,
die dritte Ecke des um die drei Punkte

— ttA :

^j : ^2 * ^8 ™^ ^

•V« • «Ca • «!&• "— ttj

sich drehenden, mit zwei Ecken auf x^x^^^O bleibenden Dreiseites.

Ein dritter Kegelschnitt derselben Punkte H—kK—0 zerfällt, wenn

seine Diskriminante

2ao, «1, a^ — k

R =

a

if

2k, a

8

a*

=

'^i ^~ kf «3, 2a^

ist. Durch diese Gleichung wird die geometrische Resolvente in ge-
rade Linien zerlegt, daher ist sie die algebraische Resolvente. Sie liefert
die drei Werte

h = «0(^8 + ^)(^ + ^4); Og — t, = «0(^8^1 + ^^dy
h = »0(^1 + ^2)(^8 + ^4); «2 — *^3 = «oC^'^ + ^^4)y

die man braucht, um die Wurzeln der Gleichung f{X) « paarweise
zu berechnen. Im Falle a^ = ist der Fundamentalpunkt

Xj = , x^ =

ein Punkt der Resolvente, mithin A == 00 die vierte Wurzel der kubischen
Gleichung ^^^s + ^^^2 + ^^;^ + ^^ _ q.

Ist außerdem a, » 0, so zerfällt ^ = in die beiden Strahlen

x^ = 0, a^x^ + ago:, + a^x^ = 0;

jener enthält von den Punkten der Reihe k ^ x^ : x^ ^^ x^: x^ wieder
den Punkt A = cx), dieser die Wurzeln der quadratischen Gleichung

ttjA* + öjA + a^ = 0.

So lange also mie algebraische Gleidiung den vierten Grad nicht über-
ateigty ist die Kotistruktion ihrer geometrischen Besolvente linear.

In rechtwinkligen Koordinaten läßt sich ein Bild der Kurve Zf =
In jedem Falle leicht entwerfen. Die Punkte

l =^ y : X =^ X : 1

Die geometrische Besolyente der Gleichung mit einer Unbekannten. 247

trägt beispielweise die Parabel y = a:*, ihre Punkte

aoA=" + OjA»-»-» + a,A»"-» + ■ • • + a,„_,A« + a,„_,X + a,„ =
also die Hyperbel

die jedesmal in der Richtung des Strahles

a^y + aiX + a^ =

eine Asymptote und in der Richirung der o;- Achse ihre übrigen Asymptoten

hat. Ebenso liegen von den Punkten

X'^l + y.x^xil — y

des Kreises rc* + y* «= 1 die w Paare
in den m Asten der Hyperbel

"^ «1 (1 + yr-^ + • • • + «2m-i (1 - yr-^

die wieder eine schräge Asymptote in der Richtimg

ic : 1 — y == (ao - a^ + a^ ) • (^^i — «^ H )

und in der Achsenrichtung 1 ± y » die anderen Asymptoten

«1 (1 + yr-' + ■■•+ a,m-i (1 - »r-' -

hat. Die so erhaltenen Punkte f{k) = werden bei jener Annahme
durch die Strahlen k ^ x, bei dieser Annahme durch den Büschel
A = ic : 1 — y in die Punkte f(x) =» auf die a;-Achse projiziert. Die
geometrische Resolvente einer algebraischen Gleichung x + <p{x*) =

ist also jedesmal die Hyperbel rc + 9>(y) = oder ^^ - + ^L _r^) == 0,

von der im ersten Falle die Parabel y = a;*, im zweiten Falle der Kreis

--^- « ( 2_- ) in den Scheitelprojektionen der gesuchten Punkte

y = a: + 9(^*) = geschnitten wird. Auf diese Weise ist eine Kon-
struktion der regelmäßigen Vielecke aus den Abszissengleichungen der
[Eckenpaare 2x + q>{^x^) = in jedem Falle möglich, durch Hyperbeln
1. oder 2. Ordnung aber nur dann, wenn die Anzahl der Eckenpaare
keinen höheren Primfaktor als 2 oder 3 hat (Grelles Journal XXIV
und LXXV, Archiv IX).

Sagan, Herbstferien 1906.

Hohr, Otto, Abhandlungen aus dem Gebiete der teohnisoben Ueohanlk.

rV 11, 459 S. 8". Berlin 1906, Wilhelm Erast und Sobn. j(t 16,50, J
Das vorliegende Werk') gibt in neuer, zusammen fassender Beftrbeituog j^
die verschiedenen Beiträge des rUbralicb bekannten Verfassers zur technischen^^w
Mechanik und stellt so einen beträcbtlicheu Teil der Entwicklung dar, weicht^
diese Wissenschaft im letzten Drittel des vergangenen Jahibuadertfi i^ j
Deutschland genommen hat.

Auch heute noch, wo der wertvolle Inhalt der einzelnen Ahhandlange^^^
in das gebrSuL'b liebe Handwerkszeug der technischen Mechanik übergi
ist, dessen tägliche Anwendung kauni noch die Erinnerung an sei
finder weckt, rufen die einzelnen Teile des Werkes auch bei kundigen
tieferes Interesse hervor. Wer der technischen Mechanik ferner steht,
wird das Buch mit seinem reichen Inhalt ein kundiger Führer sein, w^^^_
er Ideenkreis und Machtbereich der techniacben Mechanik von erliöh^fc^^^
Standpunkte aus flberblicken will. Vor allem aber wird der in der ,^^^ai-
bildung begriffene Ingenieur aus dem Buche lecnen können, da überall ^^üu
möglichst elementare Behandlung selbst sciiwienger Fragen angestrebt L^st. i

Wird also ein Leser, der das Buch ohne die I'flicht verantworÜi
Äußerung zur Hand nimmt, es auch meistens mit Vergnüg»
vorausgesetzt daß er nicht an mehreren später zu erwähnenden recht
sachlichen Stellen Anstoß Dimint, so beündet sich der Kritiker wenig«
einzelnen Teilen des Werkes gegenüber in einer gewissen Schwierigkeit. I^
nämlich in vielen Kapiteln die Entwickelung auf einfachen VoraussetzonfiT*!
aufgebaut und mit den elementarsten Hilfsmitteln durchgeführt wird, so i^
es oft recht schwer, eine reinliche Scheidung dessen, was spezielles EigeDt««n
des Verfassers ist, von dem bisherigen Besitzstand der Wissenschaft rcw
zunehmen. Das hätte nun nichts zu sagen, wenn der Verfasser der 1«0*-
Ittufigen Meinung wilre, daß bei elementaren Dingen die Feststellung v^d
Prioritäten im weitesten Sinne des W'ortes eine Danaidenarbeit ist, die ^^^
besten unterbleibt. Aber Mohr denkt anders, wie ein augenfSUiges Beiäf»»*'
sofort zeigen wird. Wem überhaupt der Begriff der Beschleunigung tJ*'
geworden ist, muß ohne weiteres einsehen, daß, wenn die Geschwindigk*^
eines Punktes P durch «inen Vektor V dargestellt wird, die BeachlennigiL*^B

11 Dieic Besprechung iat abjjefaßt, bevor der offene Brief des Herrn M» ■"
enchienen w»r. Dersolbe hätte aber ohnedies unberOcköicbtiat bleiben '"''••^J
weil es im Interesse aller Beteiligten, namentlich aber des Herrn Mobr mL*™
liegt, daS dieses nach Inhalt und Ton eigenartige Schriftstück aU nicht rorliia«*"
betrachtet «erde

Bezensionen. 249

von ^ nichts anderes ist als die Geschwindigkeit von F. Deshalb hat
meines Erachtens niemand das Recht, diesen Gedanken als sein besonderes
Hi^ntum in Anspruch zu nehmen, und niemand die Pflicht, um die Zu-
weisung desselben an einen älteren Autor sich ängstlich zu bemühen. Da-
gegen hält Mohr folgende literarische Notiz fOr nötig:

,^ie im Abschnitt 6 dargelegte Auffassung der Beschleunigung eines
Punktes als die Geschwindigkeit des Endpunktes seiner Geschwindigkeitsstrecke
findet sich bei Schell S. 462 und offenbar unabhängig bei Mehmke S. 425."
Wie der Verfasser sich hier allzu gewissenhaft bestrebt, für ein All-
gemeingut einen Entdecker festzustellen, so wacht er auch mit Strenge über
die Gebiete, auf welchen er seine Fahne aufgepflanzt hat, und ganz im
Gegensatz zu dem schönen Glauben an die Menschheit, der in dem eben
«rwähnten Ausspruch Herrn Mehmke zugute konmit, läßt er sich bei der
Verteidigung seiner Ansprüche zu Urteilen über die Arbeitsweise hochan-
S'^s^hener Eachgenossen verleiten, die von Unbefangenen nicht anders
feziii als ungerecht bezeichnet werden können.

In der Literaturangabe zur Abhandlung IV über die Bewegung ebener

^^triebe, welcher wir das obige Zitat entnommen haben, sagt Mohr selbst,

^'^fi Williot im Jahre 1877 die Aufgabe gelöst habe, aus den Längen-

•*^derungen der Stäbe die Formänderung eines Fachwerkes graphisch zu be-

f^Unmen, d. h. einen Verschiebungsplan herzustellen. Nun beschränkt sich

J^ allerdings Williot auf den Fall, daß das Fachwerk aus einer Reihe von

^^t^^bdreiecken besteht, von denen jedes einzelne mit dem vorhergehenden eine

^^ite gemeinschaftlich hat. Aber die Ausdehnung auf die allgemeineren

^i^lle ist so selbstverständlich, daß es nicht der Hand eines Meisters bedarf,

*^**i dieselbe vorzunehmen. Wer die grundlegende Williot sehe Idee erfaßt

^^^»1, wird bei mäßiger mathematischer Begabimg all die weiteren Aufgaben

'-^^^en, ohne daß er Mohrs Führung bedarf. Auf das Prinzip kommt es hier

^■x^ da die Durchführung fast selbstverständlich ist. Deshalb hat Müller-

" X'eslau durchaus Becht, wenn er das ganze Verfahren nach Williot benennt.

Und da eine einfache Überlegung zeigt, daß man von den Geschwindig-

^^siten in derselben Weise zu den Beschleimigungen übergehen kann, wie

^Om Fachwerk zum Verschiebungsplan, so ist Müller-Breslaus Charakteristik :

»v^tfohr: Über Geschwindigkeitspläne und Beschleunigungspläne, Zivilingenieur

S87, zeigt die Anwendung des Willi otschen Verfahrens auf die Darstellung

Greschwindigkeiten und schließlich der Beschleunigungen kinematischer

^ durchaus zutreffend. Wenn Mohr im Gegensatz dazu glaubt die

tsache betonen zu müssen, daß Williot von Beschleunigungen und Be-

^oUeunigungsplänen nicht spricht, so liest er aus den Worten MüUer-

-^xeslaus etwas heraus, was meines Erachtens in denselben nicht steht.

Nach dem Gesagten muß ich den von Mohr — unter Hinweis auf

**»ige Figuren im zweiten Bande von Müller -Breslaus Statik der Bau-

«JDstruktionen — gegen den verdienten Meister der technischen Mechanik er-

w>benen Vorwurf, er habe Mohr sehe Zerlegungen und Zusanunensetzungon

"^■ttitit, „ohne seine Quelle anzugeben", für ganz unangebracht halten, gleich-

"^W ob Mohrs Abhandlimgen oder Müller-Breslaus Lösungen der be-

^''Bfaiden Aufgaben älter sind. Es läge doch auch durchaus nicht im Interesse

w Wissenschaft^ wenn ein Forscher bezüglich irgend einer Hilfsaufgabe,

^^B Lösung aus längst bekannten Prämissen ihm fast selbstverständlich fließt,

A'^T dn Mathematik und Physik. III.Beihe. XI. 17

250 Rezensionen.

zn der in solchem Falle doch höchst unökonomischen Arbeit eines literansehen
Quellenstudiums gezwungen sein sollte.^)

So sind wir nun medias in res geraten und müssen, um eise ge-
ordnete Übersicht über den Inhalt des ganzen Werkes zu erhalten, zuniobt
den Inhalt der ersten drei Abschnitte in Kürze angeben.

Abhandlung I behandelt das Gleichgewicht und die unendlich kkineo
Bewegungen eines starren Körpers. Sie gibt im wesentlichen den hdiilt
einer vom Verfasser im Jahrgang 1888 des Zivilingenieurs veröffentlichien Ab-
handlung über Streckensysteme. Nachdem der Verfasser zunftchst die grand-
legenden Begriffe der Schubgeschwindigkeit und des statischen Mom«Bt«
eingeführt hat, wird die Gleichwertigkeit von Streckensjstemen — welche
Drehungsgeschwindigkeiten oder Kräfte darstellen können — definiert Sodann
werden die Streckensysteme durch die sechs Koordinaten bezügüeh eines
Tetraeders festgelegt, und zwar wird vorausgesetzt, daß eine Ecke des Tetraeders
vollständig rechtwinklig ist, und daß die von ihr ausgehenden Kanten
gleich lang sind. Der Abstand einer solchen Kante von der gegenüberliegend6i&
wird zur Längeneinheit gemacht.

Hat nun ein Ejrafbsystem die sechs Koordinaten

X, F, Z, Z , F , Z ,

und ein Drehungssystem die Bestimmungsstücke

^ yj f^j ^\ y\ fi'j

so ist die Arbeit

Xx + Yy + Zz' + X'x + ry + Z' %.

Da nun die Arbeit offenbar gleich Null ist, wenn die Drehung um
Wirkimgslinie erfolgt, so besteht zwischen den sechs Koordinaten ein<
Einzelstrecke die Gleichung

ZZ'+ Fr + zz'=o.

Strecken lassen sich zu einer Einzelstrecke und einem Streckenpaare
sanmienfassen. Die Komponenten der Einzelstrecke sind

x+(r-2')j^, r+cz'-zOj^, z+cz'-r-)^,

und das Verschwinden dieser Ausdrücke ist die Bedingung dafür, daß ^ü
Kraftsystem sich in ein Kräftepaar oder ein Drehungssystem in eine Ver-
schiebung zusammenzieht. Zum Schluß behandelt der Verfasser die ^^^'
schiedenen Nullsysteme, d. h. diejenigen Systeme von Strecken, welche ftr
jedes andere System das Moment Null geben, und leitet daraus die ^*"
Ziehungen her, welche zwischen den Nullsystemen von zwei bis sieb^'^
Strecken bestehen.

V\ Nachträfflicher Zusatz: Schon vor dem Erscheinen der Mohr sehen ^"'
Handlung hat Müller-Breslau auf die Möglichkeit hingewiesen, die Theorie <^
Fachwerka mit Hilfe des Wi 11 iot sehen Verfahrens zu behandeln. Wer den Din^^.^
nicht einseitig und befangen gegenüberstellt, muß aus dieser Bemerkung ''^j.
Sicherheit schließen, daß Müll er- Breslau unabhängig von Mohr die hier ^
Frage kommenden Sätze und Konstruktionen gefunden hat, zumal die später^^^^
Ausführungen Müller-Breslaus weit über diejenigen von Mohr hinaußieiche^^

EeienBiooen. 261

Die zweit« Abhandlung ist eine Umflihrung in die graphische Statik,
bei welcher als besonders eigenartig uns die Lösung der Aufgabe, ein Seil-
polygoB durch drei Punkte zu legea, entgegentritt, welche ursprünglich
im Zivilingenieur 1886 S. 535 erschienen ist. Sie ist von den Koustruk-
tioneo, welche auf Anwendung der Culmann sehen Geraden beruhen, die kon-
sequ es teste, well bei ihr ohne Einscbaltuug eines Seilpoljgons, welches nur
einen Teil der zu befriedigenden Bedingungeu erfüllt, direkt die Culmannsche
Gerade für das auf gut Giüek geKeichnete und ITlr das gesuchte ScUpolygon
liestimmt wird. Der zweite Teil der Abhandlung bcschilfligt sich mit der
XiÖsuQg räuniltcher Probleme und steht im engsten Zusammenhang mit den
in der erst«n Abhandlung besprochenen Prinzipien.

In der Abhandlung IH — Geometrie der Massen betitelt — gibt der
^ eri'asser naoh einer kurzen Einleitung über die statischen Momeata und
den Schwerpunkt von Massen seine interessante Behandlung des Zusammen-
bajigs der Momente zweiter Ordnung ebener Massensysteme mit Hilfe des
Trägheitsschwerpimktes. Das Studium der entsprechenden räumlichen Ver-
oSItnisse geht aus von dem Zentrifugalmomente des Massen Systems in
uezug auf zwei Ebenen, welche beide durch den Koordinatenanfangspunkt
gehen sollen. Hftlt man eine dieser Ebenen fest und läßt die andere nach-
einander mit den drei Koordinaten ebenen zusammenfallen, so erhält ntan
«"ei "Werte, welche, als Koordinaten eines Punktes R benutzt, sämtliche
™ntrifugalmomente liefern bezüglich der festgehaltenen und einer beliebigen
*'><ier-en Ebene. Beschreibt man uUmlich eine Kugel, deren Durchmesser
■^" ist, so ist das Zentrifugalmoment für die feste Ebene und eine andere
'''^'^h A hindurchgehende Ebene das Stück, welches die Kugel auf dem in
* ÄTix beweglichen Ebene errichteten Lote absehneidet,

Tallen beide Ebenen zusammen, so geht das Zentrifugalmoment in das

''^eheitsmoment bezüglich der Doppelebene über. Für diejenigen Ebenen,

Solche die Gerade Alt enthalten, ist das Zentrifugal moment gleich Null;

~^s©lbeii sind konjugiert zu der festen Ebene. Nun geht der Verfasser

j^,**" zur rechnerischen Bestimmung der Hauptrichtungen, d. h. derjenigen

^^"^htungen AB, welche auf den zugehörigen Ebenen senkrecht stehen, ver-

~*-ttels trigonometrischer Auflösung der kubischen Gleichung für die Haupt-

^^eheitsmomente. Die Abhandlung schließt mit einer interessanten Kon-

^^^ktion des Trägheitsmomentes für eine beliebige Ebene und des Neigungs-

^'^''kela ihrer Strecke jlß zu ihrem Lote aus den drei Haupttrögbeitsmomenten.

^1« der geraden Linie OP^ X+ Y+ Z werden die Strecken ÖX ^ X,

^^ ^ T, OZ^ Z abgetragen und über XY sowie YZ als Durchmesser

^*^i30 beschrieben, deren Mittelpunkte B und C sein sollen. Änf den

toftlngen dieser Kreise liegen die Punkte T> und E, welche durch die

^»^Be der Winkel OBD und rC£ bestimmt sind, die doppelt so groß

^^'i als die Winkel, welche das Lot der fraglichen Ebene mit der i-Achse

^*^ä der £-Achse einschließt. Dann wird mit CD um C und mit BE um

. je ein Halbkreis beschrieben, deren Schnittpunkt F heißen soll. Dann

'St OF die Strecke AB, FOS der Winkel cp, welchen AB mit dem Lot

^er Ebene einschüeßt; und also ist die Projektion OG von OF auf OP

1 cLas Trtlgheitsmoment in bezug auf die Ebene und endlich GF das Träg-

m ^^tsmomeut in bezng auf die senkrecht zu ihr stehende Achse.

252

ßezeae

•

k

Was den labalt der vierten AbhandluDg ausmacht, ist schon o'
angedeutet worden. Nachdem für ebene Getriebe die PrinKipieB für
EntwerfuDg des Geschwind igk ei ts- und des BeschleunigungsplanB auaeisani
gesetzt sind, werden diese Regele auf einige Beispiele und Aufgaben
gewendet und die Lösung der letzteren erläutert. Femer wird auch tz:
für die Beschleunigung zweiter Ordnung ein Plan entworfen. Älsdaita^
spricht der Verfasser die Krümmung der Bahn und die Bahnevolut« ^
mit einem Getriebegliede verbundenen Punktes und geht schließlich in
zweiten Teil der Abhandlung zur Kinetik ebener Getriebe Über.

Einen ganz anderen Inhalt hat die fünfte Abhandlung mit der "^
Schrift: „Welche Umstände bedingen die Elastizitätsgrenze und den B
eines Materials?" Nachdem der Verfasser den Zusammenhang zwia
den Spannungen all der FlJtchenelemente, welche eine Hauptrichtung
halten, auf die elementar abzuleitenden Gleichungen

fl = -!-g-' + -i—^ ' co3'2<p, I = ' , ' sin 2y

lurückgeführt und die sich von selbst darbietende geometrische 3
struktion mit Hilfe eines Kreises beschrieben hat, behandelt er Uhnlich
hei den Trägheitsmomenten den Zusammenhang zwLichcn deu Spanou:*
sämtlicher Flächeoelcmeote eines Punktes.

Dann werden die älteren Hypothesen über die Erreichung der El. -»
zitätsgreuze und des Eintretens eines Bruches besprochen. Die iV^
Hypothese, welche die Erreichung der Bmehgrenze annahm, wenn eotir-'
die gröBte Normalspannung einen gewissen positiven Wert (ZugfestigV
öder die kleinste Spannung einen bestimmten negativen Wert (Druckfe- a
keit) erreicht, wird abgelehnt, weil daraus die zur Erfahrung im G*wi
satz stehende Beziehung folgen würde, daß die Schubfestigkeit das ge^^
triflche Mittel aus der Zug- und iius der Druckfestigkeit sein müBte. '3
andere Hypothese ist die, daß die Elastizitätsgrenze überschritten wS3
wenn die größte Debnimg einen Grenzwert überschreitet; hieraus wH
nämlich folgen, daß Zug, Druck oder Schub zur Erreichung der Elastizx''
grenze in dem Verbältnisse 1:4: 0,8 stehen, was mit den erfahrungamä&i
Verhältniszahlen 1:1: 0,5 nicht stimmt. Etwas haltbarer wird d
Hypothese, wenn sie dadurch ergänzt wird, daß nicht nur die größte Tf
tation unterhalb einer gewissen Grenze bleiben solle, sondern auch b
etwa auftretende Kontraktion einen gewissen Wert nicht übersteigen diU
Auch die Hypothese, welche nicht die größte Hauptapannung selbst, sond^
die Differenz zwischen den beiden äußeren Hauptspannungen als maßgeb«
für die Erreichung der Grenze ansieht, erscheint dem Verfasser nicht •
gemein zulässig, weil die zur Charakteristik des Span nun gszustand«! J
hörenden Kreise flu- die hauptsächlichsten Grenzfölle erfahrungsm&flig g*
verschiedene Größe haben.

Der Verfasser drückt nun seine Auffassung dahin ans, daß in ein*
Grenzfalle die Schubspannung an der Gleitfläebe einen von der Nora»
spannnng und der Materialbeschalfenheit abhängigen GröBenwert hiK
müsse. Deshalb sind Gteitfiächen nur solche Flächenelemente, welche '
Richtung des mittleren Hanptdrucks enthalten, und die Beziehung ftr ei*
Grenzfall wird zu einer Beziehung zwischen den beiden Bußeren &kS

drucken. Weiter gestaltet sich die Sache geometrisch folgendermaßen.
Man benutze die Normal komponente des Dmcks gegen ein Fiäehenelenieiit
der eben bezeichneten Art als Abszisse, die Tangential komponente als
Ordinate eines dem Flächcneleniente /ugeordupten Punktes, Die Gesamtheit
dieser Punkte ist ein Kreis, dessen Mittelpunkt auf der Abs^issenachse liegt
und durch seine Schnittpunkte mit der Abszissenachse die beiden ftußeren
Hauptspannungen markiert. Die oben gekenn Keichnefe Beziehung zwischen
Nurmalspannung und Tangentialspannung in einem Grenzfalle wird sich
geometrisch durch eine zur Abszisseuachse symmetrisch liegende Kurve
darstellen. Wenn nun ein Spannuugszustand unterhalb der Bruchgrenze
liegen soll , so muB jener Kreis ganz innerhalb der bezeichneten Kurve
liegen; nähert sich aber der Zustand mehr und mehr der Bruchgrenze, so
rückt auch der Kroisumfang mehr und mehr an die Kurve heran, um sie
dann, wenn der Grenzzustand erreicht ist, zu berühren. Die beiden Kreise,
welche der Grenzbeanspruchung auf Zug und auf Druck entsprechen, gehen
durch den Koiirdinatenanfangspiuikt. Und zwar liegt der Mittelpunkt dos
wsteren auf der positiven Seit« der Abszissen, wfthrend der andere auf der
negativen Seite der Absiissenachse liegt. Für diejenigen GrenzzustBnde,
welche zwischen diesen ebenbe zeichneten liegen, wird man mindestens
öBherungsweise annehmen dürfen, daß die Hüllkurve in ein Paar gerader
binien zerftüt, die dann also die gemeinschaftlichen Tangenten der eben
Mieichneten Kreise sein werden. Bei der Verdrehungsfestigkeit werden die
Widen äußeren Spannungen einander entgegengesetzt gleich, der Mittelpunkt
aes Kreises rückt in den Nullpunkt, und die Hauptspannung wird da<j Lot,
welches man vom Nullpunkt auf die gemeinschaftlichen Tangenten fBilen
«Mm. Die Schubfestigkeit wird das Stück, welches die Tangenten von der
ürdinat^nachse absebneiden. Daraus ergeben sich zwischen der Zug-, Druck-,
'eirdrehungs- und Schubfestigkeit folgende zwei Beziehungen:

An der Hand des vorliegenden Versuchsmaterials prüft der VerfaBser
*">e Ergehnisse und findet unter anderem /. B. in den Bachschen Er-
?^*>nissen für Gußeisen fc, ^ 16, k^ =^ 75, tj = IS eine bemerkenswert« Be-

»«tignng, msofem als ^,-^Y. = ifi + fft = 91^ ^^ '"*■

Nun folgt als sechste Abhandlung des Verfassers graphostatiache Dar-
^llung der „»««Te«" Lehre vom Krddmck, d. h. der von Rankine in die
'ssenschafl eingeführten Theorie des Drucks im unliegreuKten Erdreich.

4

Di,

Th,

Abhandlung beginnt mit einer abweisenden Kritik der Coulombschen

■leorie, welcher ich imi so weniger zustimmen kann, weil meines Erachtens

'^ Coulombsche Theorie in Verbindimg mit der von Poncelet in so geist-
'öller Weise geometrisch begründeten Konstruktion alles das leistet, was
" ner vorliegender Abhandlung geboten wird.

Die Coulombsche Theorie beantwortet die Frage nach dem Wider-
^«»»de, welchen eine Mauer im Falle des G l eici ige wich ts gegen den Druck
^*'" Erde muß leisten können, indem sie zunächst die Richtung des Brd-
Jj^cis ils gegeben annimmt. Solange Gleichgewicht herrBcht — - das ist
''•^Ulombs physikalische Grund Vorstellung, über die auch Rankine später

L

1

I Rezensionen,

s^in , und das Problem der Gleitflächenbestimiuuug kommt auf den einen
^puderfall hinaus, daß die Hinterseite der Maner vertikal und die Richtung
des Erddracks parallel der Gelände fläche ist. Die DnickTerteilung, auf
welche wir so geführt werden, ist aber gerade diejenige, welche Bankioe
bei der Betrachtung des unbegrenzten Erdreichs behandelt. Alles was sich
mit dieser Theorie erreichen läßt, liegt demnaeh innerhalb des Mach th ereich s
der Coulorabschen Theorie und der Poncoletsehen Konstruktion. Der
Verfasser gibt hier eine auf die Betrachtung des Spannungskreises gestützte
^aphisrhe Behandlung der Theorie -von Eankine und untersucht dann ihre
Anwendbarkeit auf das Problem der Druckbestimmung Rir Mauern. Nach
seiner Meinung reicht die letztere nur soweit^ als die Flllchen des gröBeren
Normaldnicks Mauer und Gelünde wirklich schneiden.

Ist für diese Bedingung die Wand nicht weit genug noch vom geneigt,
so achlägt der Verfasser ein In terpolations verfahren ein, welches dem Referenten
recht bedenklich erscheint.

Durch den Fuß der Mauer werden mehrere Ebenen gelegt, welche als
Sisterseite von Mauern gedacht dem Machtbereich der Rankinesohen Theorie
angehören. In ihren oberen Endpunkten werde senkrecht zur Geländefläche
der Erddruck aufgetragen. Dem Endpunkt der durch den Fuß der Mauer
gelegten Fläche aatürlicher Döschung wird die Ordinate Null beigelegt. Die
so gewonnenen Punkte werden durch eine Interpolationslinie verbunden,
Welche dann, so unbestimmt sie auch gerade für das in Betracht kommende
*5ebiet wird, die Größe des Erddrucks liefern soll. Als Richtung des Drucks
■^'ird auch hier die Senkrechte zur Mauer genommen, und der Angriffspunkt
*oU ebenso wie auch sonst im oberen Endpunkt des unteren Drittels der
Mauer angreifen. Wie weit das nun alles miteinander vereinbar ist, unter-
sucht der Verfasser nicht weiter.

Die Spannungen im prifmatischen Balken werden in der siebenten
Abhandlung mit Hilfe der in der Geometrie der Massen (Abhandlung III)
eingeleiteten Begriffe behandelt. Mit Hilfe des Mobrschen Kreises und des
■*- '"Ägheitsschwerpunktes wird zunächst die Beziehung zwischen Nullinie und
^'^ftangriffspunkt ermittelt, die auf die Bestimmung des Kerns als der Ge-
**öitheit der Angriffspunkte hinaosltluft, fllr welche die Nullinie nicht in
**ÄS Innere des Querschnitts eindringt.

Nachdem dann noch der Fall behandelt ist, daß der Angriffspunkt außer-
**^h des Kernes liegt und der Körper keine Zugkraft auszuhalten vermag,
K^ht der Verfasser zu einer Bestimmung der mit der Biegung verbundenen
**chub- und NebenkrUfte über, die ich für höchst bedenklich halte. Bei der
gewöhnlichen Biegungstheorip erhält, man die erste Näherung für den
^pann ungszu stand , indem man die bekannte Hypothese zugi-unde legt, daß
Jeder Querschnitt eben bleibt und jede Längsfaser eine den Querschnitt

("^i^ter rechtem Winkel schneidende Kurv. wird. Die Flächenelemente des
^iuersehnitteH eri'abren normale Spannung, alle Flilchenelement«, welche dazu
**!»itrecht stehen, erfahren die Spannung Null, Da man über zwei Größen ver-
"*'&gen kann — Dilatation und Krümmungsradius der Scbwerpunktslinie — , so I

«aiin man auch zwei von den drei statischen Bedingungen für den von einem 1

Querschniti begrenzten Balkonteil befriedigen; man erreicht, daß das Moment
«*nd die Normalkraft die richtigen Werte erhalten. Will man noch die dritte
■tatuohfl Gleichung befriedigen, so muß man von der erst«n Näherungsan nähme

255

^

256 Rezensionen.

übtr den Spannungsszut&nd iv einer zweiten Näherung übergehen. I^"
Verfasser betrachtet einen Teil des Balkens, welcher durch zwei uni
voneinander entfernte Qu^rechnitte tnid «ine auf dem einen Querachnitt se?**".
recht stehende, der Biegung.* achse parallele Ebene begrenzt wird. Die «-3^1
Gleich gew ich tsbedingun gen , nlimJich die Bedingungen, daß die bei. ^»e^
Komponentensumfliec und die Momentensumme gleich Null sein müs^^^^i
liefern drei Beziehungen fUr die zweite Näherung des SpaniiungszustaDc^iBS'
Die Momenten gl eichang liefert liie Gleichung der über die Breite des Balk—^^eos
genommenen SchubBpanoung8result9,nte für den Balken querschnitt und äif

senkrecht darauf stehende Ebene. Wollte man nun mit dem Verfasser stJBtill-
schweigend annehmen, daß für die Nonnalspannung die Genauigkeit der

ersten Näherung noch über Größen zweiter Ordnung hinausgeht, so blie V 'hm
tatsächlich nar noch xwei Größen zu bestimmen, näroliob jene eben er-

wähnte Schubspannungsresultattte und die über die Breite des Balkens ge-

nommene Normalspannung an der zur Bleguugsachse parallelen Eb^^^ene.
Dann würden also die beiden noch zur Veri'ögimg stehenden Gleichon_ -^gBn
ausreichen. Aber meines Erachtens ist durch nichts bewiesen, daß die

Normalspannung des Querschnitts beim Übergang zt«- zweiten Näher» nng

keine in Betracht kommende Änderung erRlhrt. Das ist jedoch nicht das

einzige Bedenken, welches ich gegen die Abli-itung des Verfassers h^- — ege.
Beim Ansatz der Gleichungen für die /.weite Näherung halte meiner Mein^ — — ""g
nach berücksichtigt werden müssen, daß durch die Biegung die beiden be-

nachbarten Querfichnitte gegeneinander geneigt werden, so daß die Spannun-^"gW!

erster Ordnung fQr beide Querschnitte nicht dieselbe Richtimg behalten, obJ

daß infolgedessen diese Größen auch auf die Normal Spannung der ^^su»
Querschnitt senkrechten Flächen wirken.

Die achte und die neunte Abhandlung geboren eng znaamraen; be=9'ii>
gehen aus von der Differentialgleichung EJy" ^ — M der elastis)?^ Jien
Linie. In der ersteren bildet die Bestimmnng der Sttit^momente eines fc=r^<*'*"
tinuierlichen Balkens den hauptsächlichen Gegenstand. Den Mittelpn^:*'*'^
dieser Beatimraung bildet wie immer die gewöhnlich mit dem Namen C J *
peyr<,ns bezeichnete Beziehung zwischen drei aufeinander folgenden '^'t^* ^
momenten, welche der Verfasser hier ableitet. Im Literaturnachweis 1l
Mohr hervor, daß die von Clapejron im Jabre 1857 mitgeteilte Foi
schon von Bertot 1655 veröffentlicht sei, imd daß dieselbe sich nur
den besonderen Fall gleicher Stützenhöhe beziehe; die allgemeinere Foi
welche die Höhenunterschiede der Stützen berücksichtigt , nimmt der ^"^^^^
fasser für sich in Anspruch. In der Abhandlung Nr, DC wird die elaatisc^'^ ^^
Linie als Seilkurve angesehen und von diesem Gesichtspunkt aus graphi^^* ]

behandelt. Denn wird die Keukung, welche eine irgendwo befindliche Last ,

an einem festen Punkt des Balkens hervorruft, aufgefaßt als Funkti^^^^.
der Abszisse der Belastungs stelle imd als Oi'dinatp an der Belastungssteff- '^TI
aufgetragen, so erhält man ein Bild der verschiedenen Senkungeo, welctf ^ ^_ i
eine über den Balken wandernde Last in dem Punkte C her>orruft, ei«*'
sogenannte EinfluBlinie der Senkung im Pimkte C für eine über den Balk^*"
wandernde Last. Dieses Hilfsmittel der BinffuBlinie, welches später in der
Statik der Baukonstroktionen zu so großer Bedeutung gelangt ist. wird dann
noch auf einige hierher gehörende Aufgaben angewandt.

Nachdem jum noch in Abhandlung X der vullwandige Bogenträger mit

Rezensionen, 257

■tpfergelenken bebandelt ist, geht der Verfasser in deD Abschnitten XI
I Sn zu den l'iebieten über, wo er die größten Erfolge zu verzeichnen
Ü zur Theorie des Pacbwerks. Ihm gebührt das Verdienst, als der erste
S^utsehl&nd das Prinzip der virtuellen Verrückungen auf die Lehre vom
älwerk mit dem größten Erfolge angewendet zu haben und so den Beweis
Blirt KU haben, daß wir in den allgemeinen Prinzipien der analytischen
{ih&Dik nicht bloß zusammen fassende Sätze von rein wissenschaftlichem
■tesse, sondern Waffen von der höchsten Brauchbarkeit bei der Bewältigung
hrieriger Aufgaben der techniacben Praiis besitzen. Ditß das Prin/ip der
|Oel]en Verrückungen auch auf kontinuierlich ausgedehnte Massen an-
lldbsr sei, ist allerdings von alters her bekannt. Man braucht nur an
g'fanges Ableitung der hjdroi^Ti am i sehen Gruu d gleich ungen oder an
Äirchhoffs aus dem Jahre 1850 stammende Untersuchung über die
Mischen Platten zu denken, um zu erkennen, daß die Anwendbarkeit des
Baips auf Spaünungskräfte schon längs! gesichert war. Die Gleichung
SPSp - ZSäs,

^Welche Mohr hier eine nicht ganz einfache Ableitung gibt, ließe sich als
Itittelbare Folge eines allgemeinen Prinzips mit wenigen Worten be-
laden. Also nicht in der Behauptung der Anwendbarkeit des Prinzips

virtuellen Verrückungen — die ist und war für einen Kenner der
Aanik meines Erachtens selbstverst&ndlich — sondern in der Ausnutzung
Volben zur Ableitung der Wechselbeziehung üwischen statäscbun und geo-
hischen yerbältnisson riibt das eigentliche Verdienst um die Theorie des
fcwerks. Für das statiscb bestimmte Fachwerk wird zunächst als Folge
Ltrinzips gezeigt, daß, wenn r^KJ, XjK^,...x^Kf die Spannungen sind,

' le eine äußere Kraft K^ hervorruft, die Verschiebung, welche der An-

punkt durch ganz willkürliche LängenUnderungen ^2j der Stäbe in

inng der Kraft erföhrt,

und ganz ähnlich ergibt sieb ffiv zwei gleiche und entgegengesetzte
be, welche in der Verbindungslinie zweier Knotenpunkte wirken, die
mmg der Knotenpunkte

^x — — Sa:,^/j.

Ruft also eine Spannung S'*' eines überzöhligen Stabes in den anderen
I die Spannungen 3:*5'*' f » '" 1, . . . w) hervor, so sind die von den
iD&ndemngen Jl^ hervorgerufenen Lilngenänderungen Jl,. der über-
I StSbe gegeben durch die Gleichimgen

Y Setxt man nun hierin für die Jl^ und ^/, gleich die wirklich stattfindenden
niandemngen, welche ja lineare Funktionen der Spannungen in den
.. Uhligen Stäben werden müssen, so erhalt man für die letzteren gerade
•iel Gleichungen, als unbekannte Grüßen vorbanden sind. Will man das
entliehe dieser Entwickelnng herausbeben, so muß man sagen, daß
leben den Spannimgen so viel statische Beziehungen bestehen, als das
n^erk nach Entfernung der überzähligen Teile noch Stfthe enthält; ferner

258

sind die Ltngentiideniiigeii in den fibenShligen Stltt>en lineare FmiktioBai
der anderen Langenlndemngen. Die Koeffizienten des Systems der stitiidiai
Gleichungen kOnnte man graphisch durch Krtfteplane, die des anderen dmd
Verschiehungsplftne feststellen. Drückt man dann die L&ngenindemngeD
sämtlich durch die Spannungen und die letzteren wieder durch diejenigen
der üherz&hligen Stftbe aus, so müßte man die hinreichende AnziJil toh
Gleichungen für die gesuchten Größen erhalten. Der Fortsdiritt, weldier
hier gemacht ist, besteht also in der Erkenntnis, daß die KoefiRsienten dar
statischen und der kinematischen Gleichungen ^eselben sind, so daB maa
entweder nur die Eraftpl&ne oder die Verschiehungsplftne zu zeichnen M.
Aber diese Arbeitserspamis ist nicht einmal das Wichtigste; erst aus dieser
Koefißzientengleichheit fließt für den Iferfasser als Folge jener berfihmte
Satz Yon Castigliano über das Minimum der Deformationsarbeit, der j& ii
der neueren Fachwerktheorie eine so hervorragende Bedeutung gewonnen hii
Meiner Überzeugung nach ist eine andere Reihenfolge die bessere, weil
man Castiglianos Prinzip aus dem allgemeinen Prinzip der virtuellen Ye^
rückungen viel leichter ableiten kann, wenn man sich nicht erst auf eine
längere Untersuchung über die formelmftßige Darstellung der stattfindenden^
Zusammenhftnge zwischen den in Betracht kommenden Größen einlAßt. Ao3
dem Prinzip der virtuellen Verrückungen

folgt sofort, daß, wenn P^ + ^P^, S^ + ^^< ein zweites Gleichgewicht^^
System von Ejr&ften und Spannungen för unser Fachwerk bezevshnet, audc^

ist. Sind nun x^ die Verlängerungen der Stäbe, y^ die Verschiebungen^
welche durch die P^ und die Temperaturänderungen hervorgerufen werden,
so sind x^y y^ Größen, welche den für ^s^y dp^ aufgestellten Bedingungen
genügen, und folglich gilt die Gleichung:

Läßt man die «TP^ = werden, so bezeichnen die 6'8^ irgend welche nut
den statischen Beziehungen vereinbare Variationen der Größen S^ und für
alle diese Variationen ist also der Ausdruck

EXi^S^-^O.

Die beiden Größen x^ und S^ stehen in einem von der Temperatur mit-
bestimmten Zusammenhang, man kann entweder S^ als Funktion von x^ und i
oder umgekehrt auch x,- als Funktion von S^ und t ansehen; mit Bücksicht
darauf dürfen wir schreiben

*i

XiS'Si = ^(x^Si) - S^S'Xi - ^{xiSi -fs^dx^ .

«»•

*i

Bedenken wir nun noch, daß der Ausdruck A = Z i S^dx^ die Deformations-

^.rbeit ist, welche bei der Temperatur t erforderlich ist, um das Fach werk

RezeDBionen.

259

aus dem Zustand (a^) in den Zustand l/j) überzoffiliren, so erhalten wir den
Satz: Für jede mit den statischen Bedingungen des Gleichgewichts verein-
bare VariatioD der Spannungen ist die erste Yariation des als Funktion der

Spajinungen aufgefaßten Ausdrucks
L B = £Xf.Si — A

mßeäüi NuU.
^^ Diese Wendung ist deshalb besonders wichtig, weil sie erkenuen I

dafi der Satz vom Miniuium der Deform ationsarheit keineswegs an

hf/ynogen- linearen ZusammeDhang geknüjift ist, dafl sich vielmehr,
Sommerfeld gelegentlich bemerkt hat, für jeden funktionalen Zu»

h&ng zwischen Spannung und Ausdehnung ein zu der Deform alionsarhelt in
einfacher Begehung stehender Ausdruck finden litßt, welcher — kurz ge-
sOigl^ — fär das richtige System der Spannungen ein Minimum wird. Bei
homogen-linearem Zusammenhang von der Form y,. ^«,6', wird B = j1, d. h.
die Deform ationsarbeit vrird selbst ein Minimum. Wird aber die Temperatur
her^cksichtigt, so daB der Zusammenhang zwar noch linear, aber nicht mehr
iomogen ist, wie oi' sich in der Formel

*,■ '.■

; +<;/((,

1 der '

\ ■^-T 1 S?i,. -snfl 8^1, \

MüUer-Breslau vorgenomnienen Ausdehntmg des Satzes
L der Deformationsarbeit auf die damals sogenannte ideelle
^^Äfomiationsarheit.

Ollgleich nun die auf den Fall der Teniperaturberücksichtigung he-

^^^ glichen Mohrschen Gleichungen 119) auf den ersten Blick als die gleich

^ titl gesetzten Ableitungen des Ausdrucks B nach den überzähligen Span-

" **-aigen zu erkennen sind, geht Mohr achtlos an dem eben erw&hnten

t^^tzc vorüber. Das müßte unbegreiflich erscheineii, wenn man nicht wüßte,

■""^e ablehnend sich Mohr von vornherein gegen die „Elastizitöl" verhatten

*^1, welche die Deformationsarbeit unter den Händen Müller-Breslaus nach

^^ «hrs Meinung unzulässigerweise hierbei entwickelt habe. Aber gerade die

E-TTveiteruQgsi^higkeit eines Begriflfs iät doch häufig genug die Quelle seiner

^^■■"iMenachafÜichen Brauchbarkeit. Und wenn Müller-Breslau den erweiterten

'>ati mit dem Namen Castiglianos belegt, so kommt darin wohl die be-

»■«citigte Anerkennuug fremden Verdienstes, aber nimmermehr ein lUigerecht-

'ertigteg Bestreben zum Ausdruck, „Ergebnisse der deutschen Wissenschaft

^Wlandern aiiKUeignen". Keinesfalls hat Mohr auf den in Frage stehenden

**** irgendeinen berechtigten Prioritätaaaspruch.

Ebenso wie bezüglich dieses Berühruogspunktes von Mohrs Arbeiten
'"'■ dem Castiglianoschen Satz, steht es um ihre sachliche Inhalts-
l^'tiieinschaft mit der um 10 .Tahi-e Hlt-eren, knapp gehaltenen Untersuchung
y"^ Maxwell. Um das zu beweisen, müssen wir in Kür/.e auf den In-
"»It des lebtteren eiogehen. Wie Mohr ganz richtig angibt, geht Maxwell
*'« Tun der nach Clapejron benannten Gleichung

iXKw -

^ZSJs.

i

Wenn mau nun ein einfaches, statisch bestimmtes Pachwerk betracl
von welcbem nur ein Knotenpunkt durch eine Kraft Ä beansprucht t»
so sind die Spannungen i!^ statisch durch die Kräfte K vollständig bestitoi
Je größer man nuD für einen einzelnen Stab den Faktor EF xaaA
rtesto geringer wird seine Verlängerung und mit ihr das Produkt S' .
Man kann sich dann diese Größe ffir alle Stabe bis auf einen direkt
auf Null berabgedrückt denken. Danu bleibt auch rechts nur ein GlieJ

Ist nun a die Spannung, welche die Kraft 1 in dem betrachteten Sta
berrorroft, so ruft umgekehrt die Längen Änderung 1 des Stabei
Richtung der Kraft die Knotenpunkts Verschiebung «■ = ö hervor. Von hier j
kommt man dRnn unmittelbar zu der Erkenntnis. daB, wenn q die Spann*
ist, welche durch die Spannung 1 eines überzähligen Stabes in irgend eir
der nicht überzähligen Stäl>e hervorgerufen wird, die Verlängerung 1
letzteren die Verlängerung q des ersteren hervorroft. Das ist dann ■
geradezu der Inhalt der Gleichung (13) von Mohr:

J{1-) x^Jl^ -T^'^lf V^'.'

welche wir eben als den Kern und den eigentlichen Uittelponkt
Mohrschen Theorie bezeichnet haben.

Was sind denn auch die hier betrachteten Längenäsderungen
einzelnen Stabe mit den durch sie bewirkten Verlängerungen und
Schiebungen anderes als virtuelle Veränderungen V Nur macht
Maxwell wegen des von ihm gewählten Ausgangspunktes die Mühe, 1
ihre physikalische Realisierbarkeit Betrachtungen anzustellen. Wenn Ui
femer meint, durch die Wort«

„die Natur des Clapeyronachen Theorems gestattet nicht ohne weitere*,
Betrachtung auf die Besümranng der Temperaturein Wirkungen ausindehn<
die Tragweite der Maxwellscben Ableitung unter die seinige hinabdracA
zu künnen, so befindet er sich meines Erachtuns im Irrtum. Denn sow4
die von den fiberzähl igen Spannungen und den äußeren Kräften in den Sttt
des einfachen Faehwcrkes hervorgerufenen Spannungen als auch die von 3
Stabverl an gerungen des einfachen Fachwerkes bcrvorgebrachtenVerlängerong
der überzähligen StBbe und Verschiebungen an den Knotenpunkten nnd dq
durchaus unabhängig von dem physikalischen Zusammenhange zwiscti
Spannung und Dilatation. Sie können deshalb, wie auch immer der 2
samirenhang beschaffen sei, genau so, wie es Maxwell vorgemacht hat,
einem Fachwerk realisiert werden, bei welchem Spannung und DiUtati
proportional sind, und infolgedcBsen auch Clapeyrons Gleichung gilt Du
ist aber die Gültigkeit des Beweises von Maxwell auch fiir den allgemeil
Fall gesichert.

Unmöglich kann femer Mohr dem großen englischen Physiker Maxwi
Kulrauen, daß ihm der eigentliche Inhalt seiner Gleichung

entgangen sein Bullte, Und dieser Inball ist offenbar das Arbeitsprintip
eine Gruppe der Kräfte, aus welchen das allgemeine System zusammengeM
werden kann , in bezug auf jede der besonderen virtuelleu Verrückanj

Bezenrionen. 261

ans denen die allgemeinste virtuelle Yerrfickung sowohl als die tatsächlich
ikattfindende sich durch einfache Komposition ergibt. Deshalb meine ich,
MftU er- Breslau befindet sich durchaus im Recht, wenn er bei der Bezeich-
Bung der grundlegenden Gleichungen für die Theorie des Fachwerks den
Kamen Maxwell zu £hren bringt, weil diese Gleichungen den von Maxwell
meist entdeckten Zusammenhang zimi Ausdruck bringen.

Und Mohr — wie groß auch seine von uns willig anerkannten Ver-
dienste um den Ausbau der Fachwerktheorie sein mögen — hat nicht das
Becht, auf Grand seiner um zehn Jahre jüngeren Abhandlung gegen diese
Beiddmung zu protestieren, weil es sich um eine Errungenschaft deutscher
Wissenschaft handele.

Am Schlüsse unserer Besprechung angelangt, geben wir der festen Zuversicht
Ansdniek, daß das vorliegende Werk recht bald eine zweite Auflage erlebe,
dsjnit es dann — befreit von den Schlacken unsachlicher Bemerkungen — bei
den Lesern ungetrübte Freude an dem geistvollen Schaffen des Verfassers wecke.
Berlin. Fritz Kötter.

E. SehunaniL Lehrbnoh der ebenen Geometrie f&r die ersten
drei Jahre geometriBchen UnterrichtB an höheren Schulen« Mit
87 Tertfiguren. IX u. 202 S. Stut^rt und Berlin 1904, Fr. Grub.
Preis gebunden JL 2,20.

Das Buch umfaßt das planimetriscbe Pensum bis zu der Kreismessnng,
te Proportionen am Kreise und dem Taktionsproblem des Apoll onins.
Min merkt ihm auf jeder Seite an, daß es aus der ünterrichtspraxis heraas
entstanden ist. Mit Erörterungen, denen der Schüler kein Verst&ndnis ab-
gewinnen kann, hält es sich nicht auf, sondern wendet sich lieber an seine
BttTe Auffassung und strebt vor allem das L<Vsen von Aufgaben an, Ton
denen ein reiches Übungsmaterial in Tortrefflicher Auswahl geboten wird.
Vielleicht ist der Verfasser aber in seinen Einschrftnknngen zu weit ge-
Sttgen. Daß z. B. die InkommensurabilitSr keine eingehende Behandlung
ttfthrt, wird man wohl allgemein billigen; daß aber das ExhaustionjiTer-
ftben zur Berechnung von x nur mit wenigen Worten angedeutet wird,
vig nianchem bedenklich ersdieinen. Vielleicht läßt sich der Verfahser herbei,
ki einer spftteren Auflage dieses Kapitel in einem Anhange anzufügen. Die
I^bs&tze erhalten f&r ihre Anwendung geeignete abgekürzte Bezeiehnnngen.
^ Yergleieh der vefscldedeoen Konstruküonen einer Aufgabe in bezog
^ ihre Einfachheit wird zwar nicht Lemoines Oeometrographie h^trao'
gviogen, deren Konstruktionen Verfasser ^ft TerblüiTend elegant*^ n«not:
^ohl aber wird häufig (wie aoeh schon ron anderer Seite gesebebeo; die
2iU der notwendigen Konstmktionsbnien als Maßstab für di« Kiniachh^dt
to Konstruktion gewählt. Einige unbedeotisnde Ausstellungen mofiifn tgr-
^timt werden: Figur 16 ist dorcfa eine andere zu ersetzen; S^u- 40, Z^U 2 t. u.
omft es wM ,3^übstnhr heißen, lemer Seite 70, § 115 IßG^ «4att AG*,

QBd in f^gur 58^ statt |: Seite 68 kr/mmt abwer;hs«]od ^f>/t aaf d^

^tngente^ und „anf die Tangente^ tot. Auf gotüm und knappes AtiMdrw.k
^ iriel Qewidit gekgi. Das Bath erscheint rorzügliisb geeignet, dem Aa-
^^^gwuiterricht in der Planimetrie xngrnukAtt g^rlegt zu werden.

B«riin. K, f/C*taciia.

^ric (J£rard, Le50U8 sur rölectricitö. II. Bd. 7. Auaage, gr. 8" (588 Sei»u^a-
12 fr. ungeb,, Paris 1905, Gauthier Villars.

Währeod der erste Band sieb mit den theoretiachen Grundlagen • ^ ^ n it
der Erzeugung von Elektrizität im groBen befaßte, behandelt der zvr«^-it«
Band in acht Abschnitten die Übertragung (I) und Verteilung (Hl ^3er
elektrischen Energie , die Anwendungen auf Telegraphie (III) , Teleph.o.x^Hi<
flV), Beleuchtung (V), auf die eigentliche Kraftverteilung durch Elekt::;^'*'
motoren (VI), ferner den elektrischen Bahnbetrieb (VII), die Galvanoplaat^-^^''''
Elektrochemie und Elektrometallurgie (VIII).

Dieser /weite Band, der mit dem ersten in nunmehr siebenter Auflii. ^^P
erscheint, verdient die Anerkennung, die wir seinem Vorläufer berec*^
geiollt haben, in noch erhöhtem Maße durch die einheitliuhe und tinm. "■ *""
mäßige Bearbeitung des au ßerord entlieh vielgestaltigen Gebietes der u W "^^
gewandten Elektrotechnik, Der Verfasser hat die hier sehr Bchwiehft-Ä^ng»
Aufgabe gelüst, in klarer eleganter Darstellung überall nur das Weseutlict^» 'Che
hervorzuheben und durch passende Figuren und Diagramme zu beleuchte *:^ J tan;
trotz der Masse der Einzelheilen wird das Intereiüae des Lesers wachgäbalt*'.^AtcB
und auf den cHchsten Abschnitt gespannt.

Das Werk faiit von Auflage zu Auftage den neueston Stand di
scLaftiiehen und industriellen Fortschritte eingenommen und gewfibrt
im wesentlichen voUstäadiges Bild des Zustandes, wie ihn die Entwickli
der Elektrotechnik einschließlich der neuesteo ErÜndungen geschaffen )i=:A~ ^^
Dabei ist es nicht etwa eine Sammlung von Bildern mit begleiten d^^:^^
Text, sondern es geht stets auf die theoretischen Grundlagen und &L^Kt^
berechnungen zurück und erhUrtut die Formeln durch Ausrechnung p^^^r4j
tisoher Beispiele. Das Werk dient dem Verfasser als Hilfsmittel bei sei^^op^
Vorlesungen als Professor und Vorstand des elektrotechnischen Instituts i/^,
UniversitBt Lüttich. Die lange Lchrerfahrung hat einen wesentlicJien Ä^cmteil
au dieser reifen Schöpfung.

Im einzelnen erwähnen wir, daß in der Beschreibung (p. 4aOÄ>
von Photometem meist französischen Ursprungs das viel gebrauchte vad
vortreffliche Pbotometer von Lummer und Brodhun fehlt. Bei der Schwung-
radberechnung eines Asynchronmotors (p. 689 ff.) würden wir es für zweck-
mäßiger halten, nicht von den Leistungen in Pferdestärken auszugehen, dia
erst mit einer noch unbekannten Tom'euzahl gerechnet werden müssen,
sondern von den Drehmomenten an der Motoraehae, die gana unabhSng»-5
von der Tourenzahl sich aus dem Belastungsdiagramm l'ig. 335 ergel« '*^-

Dieses Belastuugsdiagramm für eine Arheitsperiode ist das ursprüngUc^^^
gegebene; dann erst kann aus dem Drehmomentgesetz des Motors und d^^^^
dynamischen Grundgleichung für drehende Bewegungen der Anteil ^^^m,
Ijeifitung getrennt werden, der auf das Schwungrad und auf den Motor f&lly^-^V

Wir lassen eine kurze Inhaltsübersicht folgen, die nur flüchtig det ^^L
reichen Stoff skizzieren kann. Der zweite Band zerftUlt in acht AbschniU*-^'^''^
von insgesamt 46 Kapiteln. ^ ^

Der erste Abschnitt ist den ruhenden Transformatoren gewidmet, "Ü'-^^j
hochgespannte Wechselströme in soluhe niedriger Spannung umwandeln un<^-^v!
umgekehrt. Zunächst werden die physikalische Wirkungsweise, die Koo^-^j
struktioDsmerkmale und das Verhalten bei Parallelschaltung behandelt, auctf -^^
das Arbeitsdiagramm des Transformators für Strombelastung, Bpftnnung^^^^

pfiill und Phase nverachiebuug gezeicbnet; wir mücbten hier wie apUter die
fcthematiker auf die Vorzüge der graphischen vor der riichuerischen Be-
fndluDg von Wechselstromersuheinacgen hin weisen. Hieraul' wird ein
ir£ig«r Transformator geprüft und gemessen und ein neuer Entwurf voll-
indig durchgerechnet. Daran fügt sieh die Betraebtung der Induktiona-
uleit mit offenem magnetischen Kreis, die ja fär die Wellentt-legraphie
ofie Bedeutung erlangt haben.

Die Fernleitung and Verteilung der elektrischen Energie ist Gegenstand
s zweiten Ahschuittes. Spannungsabfall und Wärmeverlnst und der Einfluß
3 Widerstandes, kombiniert mit Selbstinduiction und Kapazität, werden
e den Dimeusionen der Leitung berechnet. Dann folgen die konstruktiven
l^ftbmngen der Uilfsapparate wie Schalter, Blitzableiter, Sicherungen und
In typische Anordnung an der Schalttafel einer mittleren Zentrale. Die
facbiedeneu Verteilungssysteme, Serien- und Parallelschaltung mit Speise-
l^lkten, werden gegeneinander abgewogen und die Wichtigkeit der Akku-

fktoren für Belastuugsausgleich beleuchtet. Bisher drehte es sich nur
Gleichstrom, Bei Wechselströmen ist nur Parallelschaltung der Strom-
t«nger und -Verbraucher in Anwendung, Nunmehr folgt die Berechnung
t* Gleich- und Wechselstromnetze mit Speisopunkteu und Ausgleichs-
tnmgen. Die Fernleitung der Elektrizität kann oberirdisch durch Drithte
f Masten oder unterirdisch durch Kabel geschehen; beide Konstruktionen
durch die Anwendung hoher Spannungen auch in geringen Details
: beeinflußt und deshalb durch zahlreiche Zeichnungen aus der Praiis
(achtet. Sehr starke Ströme bei geiicger Spannung, wie sie bei der
iteiluüg im Innern der Städte vorkommen, erfordern Maßnahmen ganz
., insbesondere was Kabelfabrikation und -Verlegung anlangt.
I Telegraphen- und Telephonleitungen werden als eine eigene Klasse
scher Leitungen einer besonderen Besprechung gewürdigt. Ein wichtiges
ent aller Stromführungen ist die Isolation; die Mittel sie herzustellen

1 prüfen, werden eingehend erörtert.
Der dritte Abschnitt behandelt die Telegrapbie. Der schädliche Einfluß
r Kapazität auf die Übertragung elektrischer Zeichen wird durch eine
tagt« mathematische Entwicklung nachgewiesen. Die Einfachtelegraphie
* Uorsetaster und -empfanger gewährt das typische Schema einer Tele-
'^^henleitung mit allen Nebcnap paraten. Darauf werden die Mehrfach-
tegnphen und automatischen Apparate von Hughes, Baudot u. a. beschrieben,
*i der submarinen Telegrapbie ist der Syphonre corder von Lord Kelvin
' 1 das Spiegclgalvanometer als Geber und Empfänger in Gebrauch. Die
' Ichtliche Erhöhung der Leistung der Telegraphenlinien durch die Patente
f Pupin findet noch Erwilhnung, der die Kapazität durch Einschaltung
K Induktionsspulen an bestimmten Stellen der Leitung teilweise neutralisiert.
" Der vierte Abschmtt enthält die Telephonie. Die Telephone von Bell,
1,, werden beschrieben, und besonders eingehend das Mikrophon,
Eriindung vou Hughes, nach Konstrulction und Schaltung erklärt. Dann
die Kinrichtung einer Telephonstation mit den Kabel Schaltungen,
^*Taiif werden die Ermüdungen in gleichzeitiger Telegrapbie und Telephonie
« damselben Draht gewürdigt. Ein Kapitel über die Einrichtung von
,*i«phonientralen und die veracbiedenen Vielfach Umschaltersysteme und ein
pO« Abriß der Telegrapbie ohne Draht nach Marooni bildet den Schluß.

Dpr Abschnitt V Über elektrisehe Beleuchtung schild.
verschiedenen Lampen, die Kohlen lad englülilitiupe, das Nernst- und Osio-i
licht, die QuecksUberlampe tod Hewitt und die gewöhnliühe BogenJ^^
mit Reguliermechanismus. Hierauf folgen die theoie tischen Grundlagen.
Photometrie und eine Beschreibung gebrauchlicher Photometer. t>
werden die pralctischen Dat«n tlber Lichtstärke und -verteiliuig der einzeft
Lampen gegeben und die Gesichtspunkt« für die Projektierung einer
leuchtung ins Feld geführt. Üaran schlii>0t sich ein Kapitel über GlektiiziU
Zähler uud die Aufstellung von Stromtarifen.

Der Abschnitt VI über elektrische Kraftanlagen in Fabiiken ■«
breitet sich zunächst über die Wirkungsweise von Gleiehstronimotoreo,
Verhalten in benug auf ijkononüe, Tourcnregulierung, über die An!aßappa»r^
und -methoden. Darauf folgen die asynchronen Wechselstrommehrpha^*
motoren, verschiedene Konstruktionstypen werden beschrieben, und e*
einfache Theorie ihrer Arbeitsweise, sowie Anlaß- und Begulierwiderata:*
gegeben. Nun wird das Kreisdiagramm des Dreiphasenmotors genauer ^3i
wickelt, und parallel dazu werden die charakteristischen Größen nach *
symbolischen Methode (komplex - imaginäre Zahlen als Vektoren aufgef*—
berechnet. Die Beschreibung der asynchronen E in pb äsen motoren, der Repukic^
nnd Weohselstroniserienmotoren schließt das Kapitel über die asyocl)ro:M
Wechaelstrommotoren.

Die Arbeitßweiae der Synchronmotoren bei Über- und Untererregad
und bei Parallelschaltung wird graphisch dargestellt Nun folgen speiL^
Apparate und Schaltungen wie drehbare Transformatoren aar Spannucia
erhöhung, Wechselstrom -Gleichstromnmformer mit gemeinsamer Wiekli-a
die Scottsche Schaltung aus Zweiphasen- in Dreiphasenstroro, Freqn^
Umformer, und die Schaltungen und Wicklungen von Heyland zur Komf»
sation der Phasenverschiebung und des Spannungsabfalls.

Des weiteren werden die allgemeinen Kriterien klargelegt, wa%A
Spannung und Frequenz, ob Gleich- oder Wechselstrom im einzelnen E
zu wählen ist. Höbe Spannungen machen eine Fernleitung von Elektri.zx
erat möglich durch Ersparnis an Leitungakupfer. Bei Gleichstrom big
nur die Serien schaltung von Thury in einzelnen Fällen eine Lösung. M
tirpisches Beispiel für eine Hochspannungs wechselstromzentrale sind ^
Niagarawerke. Wenn die Transportkosten von Elektrizitlil und Kohle gl^A
werden, ist der wirtschaftliche Wirkungsradius eines Elektrizitätswerkes j
allgemeinen erreicht. Nun folgen spezielle Winke für elek Irische Kraj
anlagen in Fabriken und deren Prüfung. SparschaJtungen mit weitgi^beD4
Tourearegulieiung, wie sie bei der Förderung aus Bergwerken verl»^*!
wird, sind bei Gleichstrom durch Spannungsregulierung auf verschieil^M
Weise möglich. Bei Weehselstromfernleitangen bietet bis jetzt nur ^^
Umwandlung in Gleichstrom nach Patent Ilgen eine praktische LOra^^
Der HocbspuDnungsasynchronmotor, der die Gleich ström raascb ine antreibt, f
mit einem Schwungrad gekuppelt, dessen lebendige Kraft, kombiniert i^*
einem erhöhten Schlupf des Asynchronmotors, eine gleichmäßige Beanspruchor^
der Zentrale trotz äußerst unregelmäßigen Kraftbedarfs seitens des FSni^^
motors ermöglicht, '

Der Abschnitt VII über elektrische Bahnen beschreibt die gebräuchlich 4
Typen von Straßenbabnmotoren und ihren Einbau in das Wagengest^

Kaeensionen,

265

mdet sich dann zur EiDriclitUDg und Schaltung der Eontroller und gibt
1 typisches Schema für die Strornftihning vom Leitungsdraht bis zur
ihieue mit allen Nebe nap paraten ; die Touxenregulierung durch Serien-
irallelschaltung der Motoren und durch Widerstände wird dabei erläutert,
ann folgen die konstruktiven Details des Oberleitungs- und verschiedener
ttt^rirdiscber Strom luführungasysteme mit geschlitzten Kanälen. Auch der
iioe Akkumulatoren betrieb wird beurteilt. Elektrischer Fern bahn betrieb
ietet sichere Ersparnisse nur bei Vorhandensein von Wasserkräften und
erweodiing von Wechselstrom. Die Versuche einzelner Firmen mit ein-
haaigen Wechsetstromserienmotoren und speziell deutscher Firmen mit
tvbstrommotoren werden eingehend beschrieben. Besondere konstruktive
Uaahmen erfordert der elektrische Betrieh von Grubenbahnen in Berg-
Kricen.

Den Schluß des Werkes bildet der Abschnitt VTll aber Elektrochemie
id -metallurgie, der die elektrolytischen Prozesse, die Wirkung des Flamm-
gens im elektrischen Ofen, die Gewinnung von Aluminium und anderen
stallen auf elektrischem Wege zum Gegenstand hat. Die Galvanoplastik,
> elektrische Schweifiung, die elektromagnetische Aufbereitung von Erzen
den hier ihren Ort. Die Beschreibung der elektrolytischen Herstellung
'"Bchiedener chemischer Stoffe, wie Chlor, Sauerstoff, Wasserstoff, Ozon,
Jziumkarbit, beendet diesen letzten Abschnitt des vielseitigen und doch
, and anziehend geschriebenen Werkes.

Mflnchan. Hans Linbenuahn.

Iirice d' Oca^e. Le caicul simpliflä par les procMös tnäoani-
[Ques et graphiq.ues. Histoire et deacription Bommaire des in-
I Btriiments et maohineB h, calculer, tablea, abaques et nomo-
I grammeB. 2' ädition, entidrement refondue et oonsidörablement

J BUgmentöe. Paris 1905, Gauthier -Villars. VITI + 228 S. gr. 8".

Der durch seine n omographischen Arbeiten rühmiicligt bekannte Ver-
18er gibt in dem vorliegenden, sehr lesenswerten Buche eine gedrängte
>ersicht über die mannigfaltigen Arten von Vorrichtungen, welche erdacht
>rden sind, um die Gedankenarbeit beim Rechnen zu erleichtem, zu ver-
fakdem oder ganz überflüssig zu machen,

I Nach einem kurzen Blick auf die Leistongen der historisch bekannt
pordonen Rechentalente, die durch ihre meist unbewußt ge[ibte Gabe, mit
Wen zu operieren, ihre Zeitgenossen in Erstaunen versetzt haben, geht
iDcagne zu den einfachsten Becheniustrumenten ohne besondern Mechanismus
jpt. Hier schildert er die schon im Altertum bekannten und noch heute
I finBland, China und Japan üblichen Rechenbretter, die zum Addieren
prauchten Rechenlineale, die Napierschen Rechenstßcke zum Multiplizieren
Bustelliger Multiplikanden mit einstelligen Multiplikatoren, sowie die auf
■bleiben Prinzip beruhenden Apparate von Genaille und von Troncet.
f Die beiden nächsten Abschnitte sind den eigentlichen Rechenmaschinen,
jOWdmet, die Hebel, Zahnrader oder sonstige Mechanismen benützen. Hier
^d zunächst die älteste Rechenmaschine zum Addieren besprochen , die
Kmctl als ISjähriger Jüngling konstruiert hat; die Abänderungen und Ver-
••flnuigen an dieser Maschine sowie verwandte Apparate werden mehr oder

I AnU. dgr Uilhamitili und Phj.lk. Ol. B»Un, XI. IH

Rezensionen.

]

weniger eicgeheDd, zum Teil nur der Vollständigkeit halber mit bloßer Nam^na-
nennung aufgeführt. Einen verhältnismäßig breiten Raum nimmt die &«■
handlung der Multiplikationsmaachinen ein, die Verf. in solche scheidet, welct*«
die Multiplikation durch wiederholte Addition leisten, wie es die Maschinen
Leibniz, Thomas, Maurel (der sog. Arithmanrel), Tschebyachef and
Odhner tun, und in solche, welche die Multiplikation unmittelbar ausfiilireii,
wie I. B. die von dem ISjabrigen Boll^ erfundene Maachme.

Von denjenigen Maschinen, welche zur Berechnung von Tabellen atis
Differenzenreihen höherer Ordnung dienen, werden recht eingehend <Üa
Maschinen von Scheutz, Vater und Sohn, und von Wiberg besproehen

Die nächste Gruppe der behandelten Rechenmaschinen bilden die Alge-
braischen Maschinen, deren Anwendung ihre Erfinder auch auf komplizierten
algebraische Operationen auszudehnen gesucht haben. So hat Babba^e
seiner Maschine die erstaunlich weitgehende Aufgabe zugewiesen, aus beliebig
vielen gegebenen Zahlen nach beliebig vorgeschriebenen Gesetzen neue Z&lilezi
automatisch zu bilden und sofort aufzudrucken. Leider ist diese wie ein
Wunder anmutende Maschine nur theoretisch sicher gestellt^ die praktisclie
Ausfilhrung konnte wegen des Todes ihres Erfinders nicht vollendet werdea.
In ähnlicher Weise ist der Spanier Torres bei seinen Arbeiten über algebra-
ische Maschinen dazu gelangt, theoretisch allgemein und vollständig die
Aufgabe xu IGsen, wie man durch Maschinen beliebige algebraische un^
transzendente Beziehungen herstellen kaim. Spezielle Maschinen zur LOsung
von Gleichungen gibt es in ziemlicher Annahl ; sie werden ohne nähere
Beschreibung von d'Ocagne bloß namentlich aufgezählt.

Im nächsten Kapitel gibt der Verfasser eine kurze Geschichte der
Logarithmen, der logarith mischen Skala und der Anwendung dieser Teilung
hei Stäben, Scheiben, Rädern und Walzen zum schnellen angenäherten MuJti-
pUzieren und Dividieren. Den Schluß dieses Abschnittes bildet eine interes"
saute Schilderung einer von Torres erfundenen auf der Logarithmenrechnong
beruhenden Maschine zum Lösen algebraischer Gleichungen.

Nach einem Hinweise darauf, daß auch alle Tabellen, wie z. B. die
Einroaleinstafeln , die Proportionalteile der Logarithmentafeln zu denjenig*"
Vorrichtungen gehören, die das Rechnen erleichtem, wendet sich der Verfos**^
seinem eigenen Arbeitsgebiete, den graphischen Rechenmethoden zu. *^
sucht hier zunächst einen scharfen Unterschied zwischen dem zeichnen"*''
Verfahren und der Nomographie festzustellen, indem er in Über ein stimin»*'^
mit seinen zahlreichen n omographischen Arbeiten es als Aufgabe der No**'^
graphie ansieht, gesuchte Zahlen aus fertigen mit Zahlen versehenen Zc-*"
nungen zu finden, die nötigenfalls überein andergelagert und gegenejna'*
verschoben werden müssen, während bei der zeichnenden Methode die -^7
Wendung von Zeichenmaterialien, von Zirkel und Meßinstrumenten das Ch**^
teristisohe ist. Indessen sind merkwürdiger Weise gerade die 3 Beispiele,
er als Erläuterung der zeichnenden Methode des Rechnens gibt, in he^""^
ragendem Maße geeignet, zu zeigen, daß ein wesentlicher Unterschied zwis*?»'
Nomographie und zeichnendem Verfahren nicht vorhanden ist, weil siel* .
dort vorzunehmenden Operationen mit Lineal und Zirkel einfach durch ^^.
Schar paralleler Geraden und eine Schar konzentrischer Kreise auf besonJ^^^ ■
durchsichtigen Bl&ttern ersetzen lassen. d'Ocagne muß selbst zugeben, ^^
die Trennung der beiden Methoden nicht immer mit Strenge durchzufö**^

Beüeneioiieii.

267

i& vielmehr die Grenze v.wuchen ihnen flüssig ist. Die von d'Ocagne
ox-gescblagene Einteilung der graphischen Methoden scheint mir daher nicht
GtAg; ja iuh halte es gar nicht einmal für wünschenswert, eine künstliche
ksheidewand zu schaffen. Denn die ganze Frage der graphischen Darstellung
i-Eier AbhüDgigkeit von Zahlen läßt sich unter einem einheitlichen Gesichts-
■uulct« ohne eine Beschrünbung hinsichtlich der dahei befolgten Methode
t^iiiandeln, wie ich in einem Vortrag vor der Berliner mathematischen

Pietlschaft (Sitzungsberichte 1903, S. 26) nachgewiesen zu haben glaube.
Im weiteren Verlauf der Erörterung gibt Verf. einen kurzen Abriß der
tcbichte der Nomographie und zeigt in Wiederholung der Ausführungen
seinen Hauptwerken, dem Traite de Nomographie und dem Essai synthe-
icjae des principes fondamentaux de 1a Nomographie, wie sich allgemein
L^r Zusammenhang zwischen vi V'ariablen durch !) bezifferte Kurvenscharen
la-ratellen läßt, wie man nach dem von Lalanne angegebenen Verfahren der
^Qa-morpbose oft krummlinige Scharen in geradlinige umwandeln kann; wie
i^cli Lallemand Scharen paralleler IJieraden einlacher und übersichtlicher
Lxu-ch 3 bezifferte Kurven und ein System von 3 festen Geraden auf be-
'*>ndeim Blatte aus durchsichtigem Stoffe ersetzt werden; wie gewisse Ver-
"Uifachungen und Verallgemeinerungen eintreten, wenn man die bezifferten
£iix-ven sowohl wie die festen Geraden unter Winkeln von 60** gegeneinander
*^*^Kt, wie es bei den sogenannten „sechseckigen Nomogrammen" der Fall ist.
Etwas länger verweilt d'Ocagne bei den von ihm zuerst eingeführten
Äechenblättern mit fluchtrechten Punkt-en (nomogrammes & points align^s),
*i*f die man geführt wird, wenn man ein Eechenblatt mit 3 Scharen gerader
Liiöien dadurch polarisiert, daß man ihm einen beliebigen Kegelschnitt zu-
'**^i3et und dann zu jeder Geraden den Pol und zu jedem Punkte die Polare
l^ouGtruiert. Eine dieser zahUosen möglichen Polarisationen findet d'Ocagne
■Uxh ümdeutung der Kartesischen Koordinaten in Parallelkoordinaten.

Den Schluß dieses Teiles bildet eine Erörterung darüber, wie man
■chenblatter mit mehr ab 3 Variablen darstellen kann, und ein Hinweis
if eine Veröffentlichung des Verfassers, in der er zeigt, wie alle denk-
«■«n Nomogramme sich nach der Zahl der in ihnen enthaltenen, nicht
Bxiffeiien Elemente auf 20 „kanonische Typen" reduzieren lassen.

Dem ganzen Werke sind als Anhänge beigegeben '2 Noten über die
'heorie der Rechenmaschinen von Tschebyschef und von Scheutz.

Bei der Fülle des in dem Calcul aimplifie bebandelten Stoffes konnten
Aturgem&B nicht alle Erscheinungen gleichmäßig ausführlich behandelt werden,
K>bdem es ließ sich nur Einzelnes besonders herausheben, wogegen anderes,
ielleicht nicht weniger Wichtiges, bloß leicht gestreift werden konnte. Es
* daher erfreulich, dafi diejenigen Leser, welche durch das Werk angeregt
Ad, sich über die eine oder die andere Frage näher zu informieren, einen
*lchen Literaturnachweis finden.

Femer ist es dankenswert, daß dem Buche schöne übersichtliche Zeich-
'Uigen beigegeben sind. Denu bei der knappen Darstellung namentlich
'^ Becheomaschinen ist es besonders für den nicht technisch gebildeten
>8er sehr schwer, sieh ohne gute Figuren ein, wenn auch nur ungefähres,
*i der Maschinen und ihrer Wirkungsweise zu machen.

Was den absichtlichen Verzicht auf das Arbeiten mit mathematischen
^S^ÜTen anlangt, so ist ea ja d'Ocagne meistens gelungen, ohne Mathematik

aoszukommen, und nur an weDigen Stellen nufi er bemerkea, daS sich dä.i
oder jene Behauptung nur durch mathematische Rechnung bewafarhei^-|
lasse. Ob aber diese freiwillige Verzichtleistuug auf die bequemere
dabei genauere mathematisclie Beti-achtung ratsa.ni ist, erscheint ^ ^ ^
zweifelhaft. Es iBßt sich jawohl annehmen, daß jeder Leser dieses «1^ ,„
Wesen nach mathematischen Buches die Mathematik doch soweit b eherrs t—^ u
daÜ er mit den elementaren Operationen, die notwendig werden, ausreich^^ud
vertraut ist.

Berlin. H. I'ürlb.

E. Jahnke, VorleeungeQ über die Vebtorenreohuung. Leip^^'S<
B. Q. Teubner, 1905.

Die Vektorenrechnung ist infolge ihrer wachsenden Bedeutung fOr ^'^'
matbematische Physik in den letzten Jahren von verschiedenen Auto^^^^
(Jahnke, S, VT) in besonderen Büchern behandelt worden, die in ers'"'^
Linie das Ziel verfolgen, in die physikalischen Anwendungen der ätrecl
tbeorie einzuführen. Das vorliegende Werk von Jahnke faßt de) ~
der VfktOTinrichnuni! in Keiteretn Sinne, indem es ihn sowohl mit di
baryzentriscben Kalkül von Möbins als mit den Methoden der Aosdehni
lehre von Graßmann in organische Verbindung setzt und auch die GromeC-^* ••
in weitem Umfange in den Anwendungsbereich der Strecke nreclinung hin^"- »-*
zieht. Hislofische Überblicke über die Beziehung der grundlegenden Ärbei" ^" ~
zueinander finden sich am Ende einzelner Kapitel des Buches angefügt. ■
willkommenen Erleichterung fOr deo Leser wird der Gegenstand im 1. .>
schnitt gesondert für die W)ene behandelt, während der 3. Abschnitt c
Raum gewidmet ist. In beiden Abschnitten wird die vorgetragene The«
nach den verschiedensten Richtungen hin auf Geometrie, Mechanik
I^gsik angewendet, teils in ausgeführten Beispielen, teils in Ändeutu>B.^^eo
und Aufgaben. Überall wird dem Leser eine reiche Fülle von Anreg^LM-x^
geboten. Im einzelnen gibt das ausfuhrliche Inhaltsverzeichnis über die fce-
handelten Gegenstände einen eingehenden Überblick, Es mag daher lB..±er
nur auf einii/e der hauptsUchlichsten Begrifle der Streckenlehre und Lfcvr«
Stellung zur analytischen Geometrie hingewiesen werden, um das Buch, w^'ib
Sberbaupt, so besonders auch solchen Studierenden aufs wärmste zu empfehl ^o,
die sich zuerst mit der analytischen Geometrie vertraut gemacht habeis. — )

1. Die Elemente der Theorie und ihre Bezeiehnnng:. Die Eien]M=»t<'
der Vektortheorie sind in der Ebene und im Räume Punklr und SlreeÜ^^^^
(Vektoren). Punkte werden mit A, B. 1', . . . bezeichnet (8. 1; 2; 24; 8^^^
Strecken sind entweder freie Strecken ft, b, p, . . ., die eine bestimmte \Ajl- — P
und Richtung haben, aber parallel mit sich beliebig verschoben wurd — '*"
können (S, 11; 94) oder geb\ntdnte Slrrcktn (Stabe) 0, i, p, ... die a --^f .
innerhalb einer bestimmten geraden Linie verschoben werden können (S, 2
XI 2). Im Räume tritt hienu noch die Ebenengröße (Blatt, Bivekto»^
eine Parallelogramm- oder DreiecksäiLche , die bei gleichbleibendem Inbi
entweder parallel mit sich im Räume {frrie EbenengröBe, S. 97) oder
einer bestimmten Ebene (^ebumletie Ebenengröße) verscbobeo werden

1) Au Dmckfchlom ist xu verbeaaen: S, h, Z, 9 v. u. „auf einen MaasenpiiniJ*^ "^
■tatt „auf den Schwerpunkt eines Masaeopunktei" ; S. 84, Z. 4 v. o. £, r-" ^^-^ ■

J

ResenBioiien. 269

(8. 113). In der Ebene ist der Dreieckainhalt (S. 37), im Baume der
IlBiraederinhäU (8. 114) eine posüaye oder negative ZMmgröße (Skalar,
S. 26).*)

8. StreckenreoluiIUlg. Auf diese Elemente werden die in geeigneter
Weise definierten BechenoperationeD der Addition imd Subtraktion, der
Multiplikation, endlich auch der Differentiation und Integration angewendet.
Dabei gilt als Grundsatz, mit den Elemmten selbst zu rechnen, ohne sie erst
dorcb Koordinaten darzustellen. Indessen werden auch die rechtwiukligen
kartesischen Koordinatensysteme (S. 37; 95; 123;*203) und die barjzentrischen
Koordinaten von Möbius mehrfach angewendet (S. 9; 93; 25; 119; 123).

3. Addition von Paukten. Punkte werden nicht schlechthin addiert,
sondern nur insofern ihnen ein bestinmiter positiver oder negativer Massen-
inkaJt zuerteilt worden ist. Als Summe zweier mit den Massen x^ und x^
beHafteter Punkte E^^ E^ soll ihr mit der Masse 0^ + x^ belasteter Schwer-
punkt P gelten (S. l). Diese Addition wird in der geraden Linie durch
die Gleichung:

(1) («1 + a;,)P ^x^E^ + x^E^

auB^^edrückt (S. 2). In demselben Sinne bedeutet die Gleichung:

(2) («1 + x^ + x;)P^x,E, + x^E^ + x^E^

u& der Ebene, daß der Punkt P der Schwerpunkt der Punkte E^, E^, E^
^ (8. 3, von 6) an; S. 5; 9). Entsprechendes gilt im Räume von der
Gleichung (S. 93):

(^) («i + «i + «8 + x^P^x^E^ + x^E^ + x^E^ + x^E^.

4. KartesisolLe und baryzentrisclie Koordinaten. Die Koeffizienten

^> x^, x^in, (2) sind die barjzentrischen Koordinaten des Punktes P inbezug
^^itf das Dreieck E^E^E^ (S. 9). Diese sind, wie die kartesischen Ko-
^^K^dinaten x, y ein besonderer Fall der allgemeinen Dreieckskoordinaten.
IHe letzteren gehen in die kartesischen über, wenn eine Seite, und in die
l^>^>7zentrischen, wenn die Einheitslinie des Koordinatendreiecks unendlich
^arn wird. Die Beziehungen zwischen x^, x^, x^ einerseits und x, y anderer-
seits lauten, wenn c^, 6|; a^, h^\ a^, 65 die rechtwinkligen kartesischen
Koordinaten der Ecken E^j jE|, E^ des baryzentrischen Koordinatendreiecks
«iiid (Staude, Analyt Geom. 1905 („A."), § 28, (4); (l)):

X — Ol«! + a^x^ + OjiTj iDx^ -» Ä^x + B^y + Cj

y^\x^ + \x^ + 63«, (5)| J^a:j — Ä^x + B^y + C,

1— «1+ x^+ x^ l2)Ä5=-^a; + -B,y + Cj,

^o A^, B^y ... die ünterdeterminanten der Determinante:

W

(6) D-

«8 ^3 1

,^ 1) Vgl. die weitergehenden Begriffsbildongen bei Study, Geometrie der
MJaaaieii.

t

270 Rezensioneii.

bedeuten. Nach (5) verhalten sich x^, x^, x^ wie die DreiedsUcb^
(A. § 15, (6)):

(7) «1 : a^ : a^ = ^^^z - ^E^^i • PE^E^
(8. 28). Entsprechend ist im Baume (S. 118):

iTj : jc, : arj : a;^ -= PE^E^E^ : PE^E^E^ : PE^E^E^ : PE^E^E^.

5. Beziehimg der Pimktadditloii znr Methode der abgekflnM

Bezeiclmimg. Da in der Gleichung (2) P, E^, E^, E^ Punkte und X|, a^ ^
Zahlen bedeuten, handelt es sich nicht um Gleichheit im gewöhnlichen Sins
S. 2, Anm.). Möbius selbst (Werke 1, 8. 51) nennt die rechte Seite tc
2) den Ätisdruck des Punktes P. Versteht man jedoch unter:

(8) P^xu + yv + ly JEi =- a,w + &<t; + 1 (»-i. %

die linken Seiten der Hess eschen Normalform der Gleichungen der Punkte F, -
in laufenden gemeinen Linienkoordinaten u, v (A. § 19, (16)), so foL
aus (4) durch Multiplikation mit u, v, 1 und Addition, unter gleichzeitig-
Hinzufügung des Faktors 1 » a^ + ^ + ^s ^^ ^^^ linken Seite :

(9) (a?! + x^ + x;)P^x^E^ + x^E^ + x^E^,

Diese mit (2) gleichlautende Gleichimg ist jetzt eine in u, t; identisc'

Gleichung (A. § 24, (14)). Da überdies nach (8) P^: — "j/ü* + v* der k.
stand des Punktes x, y von der Geraden u, v ist (A. § 19, (17)), so sil
die Gleichung (9) aus (Möbius 1, 8. 31; 37): Das lineare Moment J
Schwerpunktes P ist ifiibezug auf jede beliebige Gerade u, v gleich d
Summe der linearen Momente der Punkte E^. In demselben Sinne kai
die Gleichung (3) als eine in gemeinen Ebenenkoordinaten u, v, w identisc-
Gleichung gelten.

In dieser Auffassung stimmt das Verfahren der Addition von Punkt«
formell überein mit der Methode der abgekürzten Bezeichnung. So bedent
(A. § 20, (6)), mit:

(10) {x^ + x^)P^ « x^E^ + x,^,

P^ B die Normalform der Gleichung des Punktes P^, der die Strecke E^^
im Verhältnis — 05, : aij teilt (8. 1; 2); femer mit:

(11) {^1 + ^ + x^jP^x^E^ + (aJ, + x^)Pi,

P » die Normalform der Gleichung des Punktes P, der die Strecke jE^
im Verhältnis — (x, + x^) : x^ teilt (S. 9; 17), so daß der Punkt P ■
drei Weisen konstruiert werden kann (8. 17; Fig. 10). Ebenso sind (S- —
wenn -4 = 0, P == 0, 0=0, D = die Gleichungen von vier Punkten
der Normalform sind, (A. § 20, (7)):

(12) ^+-^=0, ^^^0; ^4^ = 0, ^ = 0; ^-0, ^-

die Mittelpunkte der sechs Seiten des Vierecks AB CD in der Normal^
und:

(13) 4±^_±£+? = o

Rezensionen. 271

ebexiso die Gleichung des Punktes, der die Verbindungslinie je zweier gegen-
fibeirliegender Seiten halbiert. Wegen der Invarianz des Ausdruckes (8)
(A>- § 28, (5)) sind diese Punktverbindungen von der Wahl des Koordinaten-
systems unabhängig, weshalb die Yektortheorie die Symbole P, ^, ^ . . .
Yon vom herein als die Punkte selbst au£faßt (S. 2). Dasselbe gilt von
den Entwicklungen im Räume (S. 89 ff.).

6. Differenz zweier Punkte und freie Strecke. Die Differenz zweier

Pmikte Ä und Ä' leitet zum Begriff der freien Strecke:

(14) w^^ÄÄ'^Ä'-A

über (S. 11). Bei Möbius (Werke 1, S. 62) bedeutet der Ausdruck Ä' — A
den unendlich fernen Punkt der Verbindungslinie ÄA' (S. 18).
Auch wenn, wie in (8):

(15) A^au + bv+1, A' ^au + b'v+1
gesetzt wird, kann:

(16) ^' - ^ = (a' - a)u + {b' - 6)t; «

*l8 Normalform f^er Gleichtmg des unendlich fernen Punktes der Geraden AA'
(A.. § 22, (10)) oder der freien Strecke AA' in laufenden Linienkoordinaten w, v
gölten. Denn die Koeffizienten a — a, 6' — 6 sind die Koordinaten der
freien Strecke (A. § 12, (4)), wie in -4 = die Koeffizienten a, b die
Koordinaten des Punktes. Die Gleichung:

(17) B-A^C-I)

^*®deutet (S. 11) die Gleichheit der Koordinaten der Strecken AB und DC
^^^d die Folgerungen:

(18) B—C^A-D, B + B^A + C

•Mithalten Eigenschaften des Parallelogranmis (S. 12). Wieder liest die
'Yektortheorie die Symbole A, B, C, B in (17) und (18) gleich als die
-^'^•nfec selbst.

Das Entsprechende gilt im Räume (S. 94), wo A' — A ebenfalls die
**^o Strecke ^^' bedeutet, deren Koordinaten (A. § 34, (4)) die Koeffizienten
*er Gleichung:

(19) A' -A^{a - a)u + (&' - b)v + (c' - c)ir -

^^ laufenden Ebenenkoordinaten u, t;, w sind.

7. Addition freier Strecken. Die Addition freier Strecken entspricht
^^ Begel vom Parallelognunm. Die Gleichung (S. 19):

(20) ai + o« + «I =

^^^^leutet, daß die drei freien Strecken ai, Ot^ Os sich zu einem geschlossenen
l^i^oieek zusammensetzen lassen. Für die Bedeutung (16), abgekürzt:

C^l) Ol -= ^jM + ^jv, Oi^ A^u + B^v, a^^A^u + B^v,

_ al^^Min die eine in u, t; identische Gleichung (20) das Verschwinden
^^tr beiden Summen der gleichnamigen Koordinaten (A. § 12, (15)):

(^2) Jj + ^ + ^ = 0, B^ + B^ + B^^O.

272

H«2eDHiaiten.

Zwischen irgend drei freien Strecken besteht eine Identität (S. 19):
(28) «,«1 + 0,0* + «ja» = 0.

Die Koeffizienten bestimmen sich (S. 47) mit Rücksicht auf (31):
(24) ■,,,.,:..-[«,».]:[«.»,] :[a,»,J,

WO [ajOj] — ^jBj — B,^,, [«jai], [_a,aj] die doppelten Flachen der
Dreiecke zwischen den nach einem gemeinsamen Anfangspunkt verlegte^*
Strecken sind (A. § 15, (5)).

Ein hesonderer Fall von (23) ist die Darstellung der freien Streck:*
durch die Ein h ei tss trecken ei, €%, deren Richtungen mit den Achsen de^a
kartesischen KoordinatensjrstemB übereinstimmen (8. 19);
(26) a = a,ei + o,ei.

Aach ein beliebiger Funkt A =^ x, y kann durch einen festen Punk^
-£ = ^i ^0 ""^ ^'"^ Strecke d dargestellt werden (S. 20):

(26) A'' K + o,ei + 0,6-,
entsprechend der Identität (vgl. (8) und (16)):

(27) xu-^yv+\^ {x^u + y^v + 1) + {(x ~ x^v + (, - y^v).

Im Baume besteht swischen irgend vier &eien Strecken eine IdentitSf
(S. 95; 102):

(28) a,ai + OjOs + «sag + a^a^ = 0.
Auch hier kann, wie in (19):

(29) at - A^u + B,t> + C\w

gedacht werden. Die Koeffizienten a,, a,, «j, a^ verhalten sich wie die
Etauminhaite der vier Tetraeder, die je drei der nach einem gemeinsamen
Anfangspunkt verlegten StrCL-ken (die äußeren Produkte, S. 103) hestünmeo
(A, § 39, (Q)).

8. Die gebundene Strecke. Unter dem äußeren IVoduÜ p = [^iP,]
Bweier Punkte P^ und P, wird die an die Gerade jPiP, gebundene Strecke
(Stab) l\Pf verstanden (S. 21). Sie ist durch drei gemeine Koordinaten u, r, g
bestimmt, die Koeffizienten der Gleichung:

(80)

9~»x+vy-i-»~

Ji y, 1
^ y, 1

der Geraden, an die die Strecke gebunden ist. Denn v ^ x, — x^, — u -• jTi — y,
sind die Koordinaten der freien Strecke, wUhrend s ^^ x^iff — Vi^ ^f
doppelte Fischeninhalt OPiP, ist (A. § 17, (2)), der für die gebundene
Strecke bei ihrer Verschiebung lElngs der Geraden unveränderlich bleibt.

Zwischen gemeinen u, t>, s und bary zentrischen (S. 36) Koordioatan
Uj, »,, Uj der gebundenen Strecke bestehen die Beziehungen (A. § 28, (6);

my- ,^ _,,„ + ., + ,

Rezensioiien. 273

die nit (4) und (5) der Bedingung:

(33') ux + vy + 8 ^ Uj«! + u^Xj + Wjä,

entspreehen. Hier sind A^, B^^ Cj; A^^ B^ C,; ^„ £3, Gg die Koordinaten
^er gebundenen Strecken e«i — [J^^], e« =» [£5^], eij — [JS^^ JSJJ des
Koordinatendreiecks (vgl. (5); (30)).

Wie in (2) jeder Punkt P durch die drei Ecken E^, JE^, E^ so wird (S. 26) in :

(.34) [P,PJ - [JE|£;]iH + [E,E,-]u, + [E, E,]u,

^^e gebundene Strecke durch die drei Strecken est) Cti, Cis dargestellt
^ueh diese Darstellung kann, wie (9), als eigentliche Gleichung aufgefaßt
^^en. Denn setzt man neben (30):

(35) ti^AiX + Biy + C^, (<«i. «, «)

80 folgt aus (32) durch Multiplikation mit x, j/, 1 und Addition:

(36) Dp - Ciui + ttut + Ctus.

Die baryzentrischen Koordinaten u^j f'^, u^ der gebundenen Strecke p sind
daher die Zahlen (Tensoren), mit denen die drei Strecken Ci, (t) Ct multi-
pliziert werden müssen, damit ihbezug auf einen beliebigen Punkt x, y die
Summe ihrer Drehungsmomente gleich dem Drehungsmoment der Strecke p
ist; denn p in (30) bedeutet das Drehungsmoment der Strecke u, v, s
inbezug auf x, y.

Die Addition der gebundenen Strecken geschieht durch Addition der
gleichnamigen Komponenten in den Seiten des Koordinatendreiecks
(8. 24; 146).

Im Baume hat die gebundene Strecke [P^Ps] sechs gemeine Koordinaten
(Plücker, Neue Geom. S. 29):

(37) «tt - yi^ - y^ei, hl - ^1«, - ^,«1, ht - «jy, - x^y^,

Ton denen — ij^, — ^, — ^94 die Koordinaten der freien Strecke PiPj sind,
und sechs baryzentrische Koordinaten: pmn =* ^^n^ — x^mX^n (S. 119). Der
Oleichung (36) entspricht die Gleichung (S. 119):

(88) p = tnpn + ttiPii + tuPit + ei4i>i4 + tuPti + es4i>»4,

die eine beliebige gebundene Strecke p durch die sechs gebundenen Strecken tmni
die Kanten des baryzentrischen Koordinatentetraeders darstellt. Auch (38)
kann als eine identische Gleichung in laufenden Linienkoordinaten l^^ gelten
(A. § 60, (8)) und folgt, wie (36) aus (32), aus den Transformationsformeln
Ar Linienkoordinaten (A. § 63, (27)).

9. Die gebundene Ebenengröße. Das äußere Produkt \P^P^P^ dreier

Pmnkie P^, P,, P, wird als gebundene Ebenengröße erklärt (S. 113). Sind
S^, Pij £i die gemeinen Koordinaten der Punkte P^, so ist die gebundene
EbenemgrOße durch ihre vier gemeinen Koordinaten u, r, w, 8, die Koeffizienten
dflr Gleichung:

(89) n '=^ ux + vy + WZ + 8 ^

X y g 1

Xi y^ Zi 1

«I y« ^1 1

aij y, r, 1

-0

374 Rezensioneo.

beBtimmt. Die drei ersten m. c, \o sind die Koordinaten der freien Drai^f****'
fläche (A. § 36, ("6)), die vierte s = 6- OFiP^F^ charakterisiert di> ^
hmdene DreiecksflSche (A. § 41, (2)). Ans den Gleichungen iwist^sJ'*"
gemeinen und bary^entri sehen Koordinaten m^, t/,, h, , «^ der gebund^ ^.
Ebenengrööe (vgl. (32)) folgt eutaprechend (36) identisch in x, y, i (S. \^ ^''
(4ü) ß ■ JI = E, . «, + E, . tt, + E, ■ «, + E. ■ «j.

(41) E, = -4,1 + Ba + C^s -t- A

und A^, B^, Cj, D^ die gemeinen Koordinaten der gebundenen SeitecebeM
des Koordinatentetraeders sind.

10. Produktbildungen and Detenninanten. Das äußere Produkt —

eieei Pimktm /", , P, in der Ebetir oder im Eiuime war eine gebund—
Strecke (30) und (37) (S. 21; 8. 112). Das Produkt eines Punktet
und einer freien Strecke Pj/'j (S. 22), deren Anfangspunkt immer nach
verlegt werden kann, ist ebenfalls eine gebundene Strecke:

(42) [P, Pj — PJ = L^iP,],
entsprechend dem Determinantenaatz (vgl. (30)):

(43)

Das Produkt »on iwei freien Sireckm PiP^ und PiPj oder von drn
Funkle}! P,, Pj. Pj in der Ebetir (8. 37; 26) ist eine Zahlengröße, der
doppelte F^heninhält des Dreiecks PjPjPg, die Determinante der Koordinaten
der beiden Strecken oder der drei Punkte:

(**)

^s - »1

Das Produkt von i

en Strecken FiF^ und PjF^ im Äaumc ist ein«
freie Ebenengröße (8. 97), deren Koordinaten «. v. w (A. § 36, (6)) die
Unterdet«rminanten der Matrii der Koordinaten der beiden Strecken sind:

(45) h-^' ''-'' '«-'•1-

I *. - ^ y» - ft 's - «1 I

Das Produkt aus drei Punkliti P,,
einer gebundenen Strecke [P, P^] i
Ebenengröße (39).

Das Produkt aus drn freien Strecken PiP,, P,Py PjP« (B. 103) ods
aus vier FunMen im Raumf (S. 114) ist eine ZahlgrÖSe, der sechsfaclie
Bauminhalt des Tetraedeo F^PJp^F^■.

\, Ff oder aus einem Ponkte P, und
Baume (8. 113) ist die gebund«ne

(16)

»i - »1 ». — Ji
«i - "a 9. - »1
*« - 't »4 ~ ?!

I

m

RezenBionen.

276

Regresswt Produkte sind: das Produkt von zwei gebundenen Strecken, ihr
Schnittpunkt (S. 76), von zwei Ebenengrößen, ihre Schnittlinie, von drei
Ebenengrößen, ihr Schnittpunkt (S. 159) Sind die Elemente der zweiten
der beiden Determinanten:

(47)

*l

Vi

1

«*i

«1

Vi

1

, j'~

«»

a%

y«

1

«»

Vi

Vi

8,

5.

8.

die TJnterdeterminanten der ersten, so entspricht die regressive Produktbildung
der Bückkehr von J' zu J mittels der Formeln (S. 76):

(48)

Vt

h

8.

= Jx^^

d'

ti

IL Das NnllsysteilL Die außerordentliche Leichtigkeit, mit der die
Stz-eckenrechnung arbeitet, mag nur an einem zufällig herausgegriffenen
Beispiel (S. 176) gezeigt werden.

Die Gleichwertigkeit zweier an einem starren Körper angreifenden
Ki"Äflkreuze AB, CD und A' B\ CD' wird durch die Gleichung:

(4:3) [^5] + \CD\ - {A'B-^ + [C'DT

'^^^s^dien d^ gebundenen Strecken (37) ausgedrückt Nimmt man A' ^ A
nn^ multipliziert ftuBerlich mit dem Punkte A^ so wird (vgL (39)):
[^-^J?]>=0, [^^'J9^ » 0, und folgt die Gleichheit der gebundenen

(SO) \A CD] - [A CD"].

^^^ KrafiBtreeken [CD] und [C'D'] liegen daher in einer durch A gehenden
^■'^^ne, und die Dreiecke ACD und AC'D' sind inhaltegleiclL

In ihnbeher Weiae wird der duale Satz und die übrigen Eigenachaften
IfuUsjrtems abgdeitei (S. 177 ff.).

O. Staude.

Kkug.

176. Wenn eioe ebene algebraische reelle Kurve n-ter Ordnung
teilen Doppelpunkt mit reellen oder konjugiert imaginären T&U'

genten liat und auBerdem noch einen reellen (n — 3) fachen Punkt B mit
(n — 2j reellen getrennten Tangenten, kann man daraus alleio noch
nichts Bestimmte» über die Zahl der eventuellen übrigen Doppelpunkte der
Kurve sagen. Wenn aber aus A keine reellen außerhalb Ä berührenden
Tangenten gehen und aus B zwei reelle außerhalb B berührende —
und mehrere als zwei solche sind jedenfalls unmöglich — dann wird die

I notwendiger'weise noch so vielFi andere Doppelpunkte haben mfisaen,
daß sie rational wird.

Welche Anderuntren im Satze treten
B konjugiert imaginär sind?

Es wird bemerkt, daß im obigen jede durch
als Tangente ku betrachten ist.

Kopenhagen. — — C. Jdbl.

177. Sind X, j(, e rechtwinklige Koordinaten eines Baurapankt«s, so
stellen die Gleichungen ^ _ ,( j. « i j. «^

I — c^X' + e,l + c,

bei nicht versch windender Determinante (abc) stets eine Parabel dar md

umgekehrt. Es sind dif ElemPtite dieser Parabel fLage ihrer Ebene, Lage

von Achse, Brennpiukt und Direktrii, Wert des Parameters) zu berechnen

Königsberg L P. W Fr Uetbs.

wenn 2n der Tangenten in
Spitze gehende G«nde

Vezmischte Mitteilungen. 277

B. LÖBnngen.

Zu 160 (Bd. X, 8. 329) (0. Meißner). — Die WahrscheinHchkeit, mit
p Würfeln im ersten Wurfe i^ Einser zu werfen, ist:

mm"--

Mit den übrigen p — t^ Würfeln sollen im zweiten Wurfe i, Einser ge-
worfen werden, die Wahrscheinlichkeit hiefür ist ebenso:

cvKm^"""-'

u. s. f. Im n-ien Wurfe endlich sollen mit p — ii — ig — • • • — »«— i Wür-
feln i^ Einser geworfen werden, die Wahrscheinlichkeit dafür ist:

fP — h — U- »,_i\ /ly» /ß\P— 1-'«- — »n

Bildet man das Produkt aller dieser Größen, so hat man die Wahrschein-
lichkeit dafür, daß die Einser genau in dieser Weise eintreffen. Die Wahr-
scheinlichkeit lautet

Nach dem n-ten Wurfe sollen noch q Würfel übrig sein, welche nicht eine
1 zeigen. Dann ist

(1*) »1 + H H + *n =-P - ö^-

Wenn man in W den Größen ^^ hi * * *) ^n ^^^^ möglichen, die Gleichung (l*)
erfüllenden, ganzen, nicht negativen Werte beilegt und über diese Werte
srnnmiert, so erhält man nach einiger Reduktion die Wahrscheinlichkeit:

(ö\»« + »1 + 2 »1 + • • • • + »•««
6/

W^

V

daß nach n Würfen noch q Würfel übrig sind, die nicht 1 zeigen. Nach
dem polynomischen Lehrsatze kann man dafElr schreiben:

W

£1 (Ar TA + l^\\ . . . + (iVT

lP-9
1

P-9

^(p-q)\q'M) l \6/J

demnach

Dies ist also die Wahrscheinlichkeit dafür, daß nach n Würfen noch q Würfel
übrig sind, die nicht 1 zeigen.

Bezeichnet man die Wahrscheinlichkeit, daß nach genau n Würfen
(und nicht früher) noch q Würfel übrig sind, die keine 1 zeigen, mit W„ ,
so zeigt eine einfache Überlegung, daß

ond daraus folgt

w •^..,-©(ri['-(i)"]'"-[-(i)-T"T

278 Vexmischte Mitteilangen.

Setzt man $ ==» 0, so erhält man aus (l) für die Wahrscheinlichkeit ir,,
daß das Spiel nach (höchstens) n Würfen zu Ende ist:

m ".-['-(DT

und aus (2) für die Wahrscheinlichkeit. TT^, daß das Spiel genan nach
n Würfen (und nicht schon früher) zu Ende ist:

c'T '^.-['- (1)7- ['-(in-

Außig (Böhmen). stud. math. J. KsuQ.

2. Anfragen nnd Antworten.

30. Schon lange habe ich eine Formel zur Berechnung des Winkels 6
gesucht, den die Mitteltransversale CF eines Dreiecks ABC und die Winkel-
halbierende CE einschließen. Neulich habe ich eine hübsche Beziehung
gefunden, die das Gewünschte leistet. Sie lautet:

worin a, ß, y die Dreiecks winkel sind. Diese Formel läßt sich auf ver
schiedene Arten, auch rein geometrisch, herleiten. Ist sie schon bekannt?

Breslau, im September 1906. 0. Gutbche.

31. Nach einer Bemerkung von B. Baltzer (Analyt. Geom. S. 98)
rührt der Ausdruck „Exzentrizität eines Kegelschnittes" von Kepler her.
Bei welcher Gelegenheit hat Kepler den genannnten Begriff eiogef&hrt,
und an welchen Stellen seiner Werke findet man Näheres darüber?

Gharlottenburg. P. Zühlke.

3. Kleinere Notizen.

Beispiel isothermiseher Lemniskatenseharen.

Die Figur stellt eine quadratische Einteilung der Ebene durch gewöht^'
liehe Lemniskaten dar. Bekanntlich hat sie drei Entstehungs weisen, a^^
denen sich die Haupteigenschaften ergeben.

1. Man denke sich die Ebene quadratisch eingeteilt durch zwei Ortts^^
gonalscharen von Berührungskreisen, die sämtlich durch den NullpucB-'
gehen. Die X- und Y-Achse seien die Zentrale und Potenzlinie der eirB-**
Schar, die z. B. durch die Punkte ± ^, dz -f» ± i» ± i» ± "4» * * ' der erste«r^
(und zugleich durch den Nullpunkt) gehen. Wendet man darauf

Abbildung ;? = |/Z an, so gehen die entsprechenden Lemniskaten
die Punkte 1 1 1 1 1

yo ~yi ~ v^2 ys y4

der reellen, bezw. durch die Punkte

• • • • •

yo yr y^ v^ y*

VemuBchte Hitteünngen.

279

r imaginBren Achse. Die erste Schar entepriclit den Kreisen, die ihre
ttelpnnkte auf der positiveD Hälfte der X-Achse haben, die andere denen,
I äe anf der negatäyen HBlfte haben.

Verhindet man einen beliebigen Punkt P eines beliebigen Kreises mit
, halbiert man den Neigungswinkel von MP, und macht man die Hal-
tende MQ znr mittleren Proportionale zwischen MP und dem Durchmesser
s Kreises, so erhBlt man in Q den entsprechenden Punkt der entsprechenden
mniskate. So ist e. B. in der Figur der Punkt B^ des Aber MÄi errichteten
lihkreises in denPonktCi der entsprechenden Lemniskate flbergegangen, weil
1 Winkelhalbierende JfC^ —YMB, ■ MAj =Vvf-^ —V\ gemacht ist.

'Hbigert man 3f C, über 3f hinaus um die eigene Lfinge, so findet man den Anti-
•lenpunkt C,, der ebenfalls dem Punkte B, entspricht. Statt des Winkels
JUAi =- e kann man nämlich auch den Winkel 6 + 360° halbieren.
B erste Halbierung gibt #= ifl, die andere gibt ö= {e+ IRO". Die
'XUtniktion ist also zweidentig. Daher entspricht dem Kreise eine aus
Oi kongruenten Hälften entstehende Lemniskate. Dies reicht xur Konstruktion
f ganzen Fignr') ans. Zur Konstruktion sollen einige Winke gegeben werden.

1) Durch ein Versehen ist diese Figur bereit« S. 812 der im 10. Bande ab-
^-nckten Notiz des Verfaisera: „Über eine besondere isotherm iache Spiegelung"

Veimiachie Mitteilungen.

Der Linienzug A, C, fi, .ffj L^ N^ 0^ • ■ ■ gibt, mit M verbunden, laul
ähnliche Dreiecke. Die genannten Punkte, die paarweise der ersten, zweit«
vierten, achten, ' • ' Lemniskate jeder Schar angehören, liegen also a

od

der Gleichung *lg r

-182

Ebenso gibt der von A^ ^Vy ausgehe!
Linienmg Lemniskaten punkte, die auf

einer logarith mischen Spirale

r = t " Der parallele von Ä^ —¥3 ausgehende und gegen M pi

spektiviche Linienzug J, C, B^ E^ /,„ N^ 0,^ - - - gibt Punktpaare der 2'
i«", 8"", 16"", ■ ■ - Lemniskate jeder Schar, die der logarithmischen Spir

r- ~-^^*
r =V j ■ e ' angehören.

parallele und perspekUviflche

logarithmischen Spirale r ^vj ■ g " liegen und der S'*", 6*™, 13

24"°, . . . Lemniskate jeder Schar paarweise angehören u. s. w. Diese Bemerlc
erleichtert die Konstruktion des Lemniskatennetzes. Man erkennt, daQ jede Lern,
kateuschar aus ähnlichen und perspektivisch liegenden Kur\-en besteht. J
Gerade durch M sehneidet jede der benachbarten Lenin iskateu^charen isogoc

Weil die beiden KreisscLaren eine quadratische Eint«ilung geben, g
dasselbe von den vier Lemniskaten scharen. Weil die „isogonalen Trajekt^ria
der beiden Kreisscharen wiederom Scharen von fierührungsk reisen sind, niüga
die der vier Lemniskateuscharen wieder Lemniskatpn durch den Nuilpaa
geben. Dies gilt z. B. von den Diagonal kurven unserer Figur, die ei
Bhnliche, durch den Faktor y2 vergröflerte, um 23-1-" gedrehte Figur g«b*
Die Schnittpunkte der Diagonalkurven geben die Punkte der Lemniskaten, C
man erhält, wenn man jedes der gezeichneten „QuaJrate" isotbermiscb in r:
Quadrate zerlegen, d. h. neue Kurven derselben Scharen einschalten will. — ]>
die Punkte C„ C„ T,, - ■ ■ auf der Geraden ö — 22^" liegen, ist atlbstverständli«

Auch folgende Bemerkung erleichtert die Konstruktion. Ist D, C
Schnittpunkt der Lemniskaten B, und J,, so gibt die Gerade H,3f ql
dratiache Eckpunkte i),, I)^, I)^, ■ ■ -, die Schnittpunkte der Lemniskaten dui
Bj und A^, B, und A^, Dj und A^,, ß^ und A^, ■ ■ ■ sind. Die Gerade D^
ist also eine Diagonale von Kechtecken, die man Dop pelquad rate neoC
kann. Ist £, Schnittpunkt der Lemniskaten £, und A^ , so gibt die Gera
E, M ebenso Schnittpunkte E^, E^, E^, ■ ■ -, die den Lemniskaten Ä, and -
£g und Äff , B^ und A^^ usw. angehören. Die Gerade £, M ist also Diagora
von Rechtecken, von denen jedes aus drei Quadraten zusammengesetjit
In entsprechender Weise sind auch Geraden vorbanden, die Diagonalen '
Rechtecken aus vierfachen, fttnffachen, . . . «fachen Quadraten sind.

Bekannt ist noch folgende Eigenschaft. Der um M gelegte Kr«is '^
Radius Yj schneidet die Lemniskate Aj dort, wo sie horizontale TangeO
hat. Die entsprechende Gerade M hat, wie sich zeigen wird, die Nei^
30". Das Entsprechende für die gleich großen Lemniskaten ist leicht *■
susprecben. Der betreflende Kreis geht durch die sog. Brennpunkte diM
Lemniskate, in hetüg auf die sie der Gleichung p, q^ — k genügt. Pflr di4
Lemniskate ist p'/ = (l — y'^)l'l -j-y'-J-) = y. Vür die zweiten Lemnisks^
ist p(5, = '- ^, - --- ?i = 7, fllr die dritten p,5, -^

Vi'

V!'

p.v. =

-yäft^j-^-tgj

Termisobt« Uittoilangon. 281

2. Die gesamte Figur entsteht auch durch Inversion aus der Figur,
die eine quadratische Einteilung der Ebene dnrcli vier Scharon gleichseitiger
Hyperbeln darstellt, die ihre Hauptachsen auf den Geraden & = 0, ■& = ,
ö = und Ö = -g- durch den Nullpunkt haben. Die Scheitelpunkte haben

die Entfernungen ]/Ö, VT, j/ä, Ys, ]/4, . . . von M. Der Krüuuuungs-

radius der gleichseitigen Hyperbel hat für den Scheitel die Lilnge der halben

Hauptachse Die entsprechenden Krlimmungsradien sind also der Reihe

nach ■(/Ö, yl, V2. yS, Yi, . - . Der Kriiramungskreis mit KadiuB j/l

schneidet die Achse an den Stellen 1 und 3. Er geht durch Inversion in

den Krümm ungB kreis der Lemniskate A^ für diesen Punkt über. Dieser

schneidet also die X-Aebse an den Stellen 1 und |, sein Mittelpunkt liegt

demnacJi an der Stelle H, ^= f - Der Kreis ist in der Figur angedeutet,

Wie der der Hyperbel hat er mit der Kurve vier aufeinander folgende

Punkte gemein. Seine Kenntnis erleichtert die Zeichnung erheblich. Für

oie Scheitel der kleinen Lemniskaten folgen die Lagen der entsprechenden

Krttmmungs mittel punkte so, daß die Beihe |, fVj, jVb' Wh ■ • ■ entsteht.

Jt^er der Krümmungsradien ist also gleich dem drittes Teile der Halbachse

jeder Lemniskate, also \, {Y^, |>^, ^V^, . . .

^ [Bei der Abbildung Z ^ — entsprechen einander Kreise, aber nicht die

^KJfittel punkte der Kreise. Dem Kreise j) — c um den Punkt u + /ii entspricht

^*** Kreis -=- Ya* + 6' = c, wobei der Itadiusvektor P^ vom Nnllpnnkte, der

*a^usveJrtor P vom Punkte . , . ausgeht. Dem Kreise 9 =- G, um den

_ Puött -

«m Nullpunkte, Q vom Punkte — - \ i - . ausgeht Demnach entspricht

Lemniskat« Ai oder p - 9 = J, wobei p von y J, q von —Yt ausgeht,

B Kurve -p^YW)' + ^° ' ^-Vi—lY+^^^l' ^^ ^0 """^ ^o identisch

"»l und mit R bezeichnet werden können, ist also ■^. 0^5 oder -_-= =^ I,

B Vektorengleichung der durch 1 gebenden gleichseitigen Hyperbel, wobei

Hadii vectores R, Q and P von Null — |— — "j/ä und ^p =— >^2,

■™o vom Mittelpunkt und den Brennpunkten der gleichseitigen Hyperbel

Ij '"^sgehen. So findet man aus der Vektorengleichung der Lemniskat« die ent-

|*"^chende der gleichseitigen Hyperbel, Aus Q- P=(V^ + 1) -(V'ä — l) — 2
P*i P.Q = R' folgen fßr die erste Hyperbel einfache Beziehungen zwischen
P »nd R be/w. P und Q.
I Die Bemerkungen über die geradlinigen Pimktreihen C„ Cj, Cg, . . .

^*.^»i Z)j, . . . und E^, E^, £3, - . . gelten auch für das System der gleicb-
"'*gen Hyperbeln. Der logarithmischen Spirale durch die Punkte A^, C|,
r

n

' Ä^, L^, X^, . . ., deren Gleichung r =- e " war, entspricht

282 VermiBohie Mitteilungen.

Ebene der Hyperbeln die Kurve ^ = « ** oder B — c * .Die Glei-

cbung ist identisch mit der ursprünglichen, d. h. diese Spirale ist eine
Invariante. Überhaupt bleiben Spiralen von der Form r '^ e^^ (die duidi
den Punkt 1 gehen) auch bei beliebigem Schnittwinkel durch das zu M

gehörige Strahlenbüschel unverändert, wie die Gleichung ^ ■= c"*® oder

R^^^ zeigt. Dagegen geht r «= Äe** über in JB =« j ^^ bleibt al»

nicht ungeändert und gibt nur eine geometrisch ähnliche Spinde.]
3. Die orthogonale Doppelschar paralleler Geraden

X = 0, ± 1, ± 2, ± 3, . . . r= 0, ± 1, ± 2, ± 3, . . .
geht durch die Abbildung Z — - , aus unserer Figur hervor. Dabei folgt

aus X 4- f F = 7 — I . .,

■-1

V - (ar« + y«)« ^ (a:- + y«)«'

den genannten Graden entsprechen also unsere Lenmiskaten

n) wriy = ^' ± ^' ± 2' ± 3' • • •

ni) WTyy = ^' ± ^' ± 2^ ± 3, . . .

Die Schar 11 gibt die Lenmiskaten mit horizontaler Achse (+ entsprechei^^^^
und vertikaler Achse ( — entsprechend), die Schar HI gibt die schrlf^^^
Lemuiskaten mit den Achsen ± 45^. Die Schreibweise ist die isothermisd:::::^^^^
denn die linken Seiten dieser Gleichungen genügen identisch der La]
Differentialgleichung A*u =» 0, wenn man die linke Seite gldch u

was also auf -^-^ + -^-^ = führt.

Die Diagonalkiuren der quadratischen Einteilung haben, wie ai
F± X= 0, ± a, ± 2 a, ± 3 a, . . . folgt, die ebenfalls isothermischen Gleichunf

^y (5q^* 'f' (i^rfe =" ^' ± "' =t ^''' ± *"' • •

Das System ist dem der Figur ähnlich.

Allgemeiner entsprechen den Geraden Y=^ ÄX-\-k oder Y—AX

und ihren Orthogonalen Y -\- -zX =^ k^ die orthogonalen Lemniskatenscha

. ^2xy _ x*-y* _ , , -^xy 1_ a;« ~ y*

^ (^' + yy (X' + yy (X* + y-y ^ A(x*+ yy ^•

Nehmen die isothermischen Parameter k und A;^ Werte an, die einer
mischen Reihenfolge angehören, so entsteht eine Einteilung in kleine JiM^zzm si-
liehe Rechtecke", bei geeigneten Reihen in kleine Quadrate, was wiii ^IV.«r
eine der unsrigen ähnliche Figur gibt.

Daß jeder Kurve f{X, Y) = der Z-Ebene eine Kurve

^ ^l(x'+yy' (x^ + yyj "

der Lemniskatenebene entspricht, ist selbstverständlich.

Vecmiaciite Mitteilungen. 283

Dem Kreise II =■ c um den Nullpunkt der Z-Gbous entspricht
A^tr Kreis -j — C der Lemnis katenebene, der Geraden S = y durch den
N'wxllpunkt der Z-Ebene entapreohen die Geraden — 2* = ^ und — 2y
H- 380» = y. Denn es ist Ü (cos 6 + i sin 0) - ^Vcob aft + <»'" 8»)
^= ^[cosC— 29)+»flin(— ae)], also ö= — 2* aber zugleich »±360"=— 20.
Der Kurve f{R, Ö) = der 2-Ebene entsprechen also die Kurven
E.') /-[p, - 2e] - und /■[^\, - 2# + 360"] -

oder /•[p, — 2(* — 180°)] — 0,
denen die zweite gegen die ei-st« um 180" gedreht ist.
Der log. Spirale R = e''® z. B. entspricht die tog. Spimle , = e~ '*'
o^«r r — /' der i-Ebene, die mit der erstgenannten identisch ist, so daß
na a,ii in ihr dieselbe Invariante bat wie oben. Außerdem entspricht
der ersteren auch die um 180" gedrehte /.weite Spirale. So geht a. B. die
diorcli die Punkte A^, C„ B^, A',, L^, N,, . . . gehende Spirale der Lemniskaten-
«l>C!iie in die log, Spirale der Z-Ebene über, welche die Koordinatenachsen
abwechselnd in den Punkten +1,-2,-4,4-8 «sw. schneidet, die mit
^er vorigen identisch ist. Man bemerke, daß die untere Hälfte der Parallel-
ebene und der erste Quadrant der Lern ni skate neben e einander entsprechen.
5. Denkt man sieb die lern niskatis che Einteilung durch die besprochenen
Einschaltungen bis ins Kleinste fortgesetzt, so geht jeder nm M gelegte
'^'^is durch lauter Quadrate von gleicher Größe, während jede Gerade die
Biae Lemoiskatenschar in Punkten paralleler Tangeuten schneidet. Dafür
^d bekanntlich maßgebend der absolute Betrag und die Abweichung des
"^ffcrentialqaotienten der abbildenden Funktion.
Der Differentialquotient von Z = -j ist

Z' - "," oder e(co8 9 + i sin .p) - ^^^^^^^^i^i^a»)

^*' absolute Betrag des Differential quotienten ist also p =— -3 , die Ab-

^^»chung ^ = 180"— 39. Der eine Ausdruck ist konstant flir jeden Kreis

*** den Nullpunkt der e-Ebene. Er leigt an, daß den Quadraten, die er

^'■^^iert, in der Z-Ebene solche entsprechen, welche —-fache Seiten haben.

***a sind aber die letzteren gleich groß, also folgt; Die Quadratseiten

^ ^ * «res Lemniskstengebildes sind proportional der dritten Potenz

Ahstandes von M, sobald die Einteilung bis ins Kleinste

So ist 7,. B. das V ergrüß enmgs Verhältnis bei A^ gleich ^ a

^ Die Lemniskatentangente für jede Stelle P muß, wenn MP die

^ ^ignng e hat, um ISü" — 3& gedreht werden, um in die Lage

■^ *- der I^emniskate entsprechenden Geraden zu gelangen. Für

^

lik

4

284 Vermischte Mitteilungen

Ci I. B. ist die Neigung von ÄTC, =■ -" , also muß man um 180"
drelien, damit die dortige Tangente der Lemniskate j1, in die aenlrec »*>*
Lage gelange , die die entsprechende Gerade der / - Eb<?ne hat. Dura
folgt, daß die Tangente selbst die Neigung 90" + -g hat, also parallel i

Geraden ^ durch M ist. Im unteren Teile der Figur ist statt «

Tangente die ParaUele C,' C" gezogen, welche nun die Berührende der heit
Ovale ist, die dort die andere Schar schneiden. So hat man neae Pun'
und Tangenten der Lemniskaten scharen gefunden.

umgekehrt kann man z. B. fragen, wo die Lemniskat« A^ hnriTjint — — -m^
Tangenten hat. Für solche setae man 180" — 39= 270", " "

Die Geraden ± 30° und der Brennpunktkreis um M {mit Radius MA^ — l— --^
geben die hetreffenden vier Punkte an. Auf JlfP, und MP^ lieg»
die entsprechenden Punkte für die ganze Schar,

6. Eine der physikalischen Deutungen ist die folgende: Man denke » p "ft
den ersten Quadranten der Ehene als hoTnegene dünne leitende Platte, J,r^ ""^p
ihrer Ränder leit« man Elektrizität ein und leite diese im Punkte M ^b.
Die Lemnifikaten der beiden die Ränder orthogonal schneidenden Sch^^^K'en
sind für den stationären Zustand Stromlinien, die Orthogonalschar gibt <jje
Niveaulinien, d. h. die Kurven konstanten Potentials. Da in allen KaiL^len
gleichviel Elektrizität strömt, ist die Stromdichte proportional den I)imensiov:afl)
der kleinen Quadrate, also umgekehrt proportional der dritten Potenz des -^b-
standes von M. Die Kreise um 3T sind Kurven konstant«r StromdLcftsl«,
also Intensitätskurven, die Geraden durch M sind Kurven konstanter Strc^ai-
richtnng. Die Sache ilnJert sich nicht, wenn man die Platte durch ^e
Halblemniskate A^ begrenzt.

Das „Vertäu schungsproblem" kommt auf folgendes hinaus: Man l^^it*
in der Nachbarschaft von M Elektrizitilt ein und dicht dabei aus. t^i«
Stromkurven werden die Lemniskaten der orthogonalen Schar, die NiveaulinJ^*"
sind die vorigen Stromlinien. Die Kreise und Geraden behalten ihre Bedeutn^*^^

7. Ähnliche Behandlung lassen alle Abbildungen der orthogona^^ *"
Parallelenscharen dui-ch Funktionen von der Form Z = z*' zu, wobei "
zunächst eine ganze Zahl sei. Bei sämtlichen treten die Geraden durch N^^*
als Kurven paralleler Tangen tenrichtungen und die zugehörigen Kreise ^]^J*
Kurven konstanten VergröBerungs Verhältnisses auf, auch spielen ^^^^^T,

Clogarithmi sehen Spiralen durch den Punkt + 1 ihre Rolle als Invariant^^^
An Stelle der vorlirtendea Lemniskaten 2"' Ordnung treten bei negativ«
Exponenten solche n*" Ordmmg, bei positivem dagegen kardioidische Kui
■fsteme, im Falle m — 2 wirkliche Kardioiden.
In meiner Arbeit über die Abbildung Z "^ e und die Lemniakal
«"' Ordnung, Crelles Journal Bd. 83, hatte ich ebenso, wie in meinen a*
gonalen Verwandtschaften, den Fall der beiden Parallel scharen nicht b*
rilck^ichtigt, der durch die Ähnlichkeit der entatehenden Kurven besonde.
instruktiv ist Auch bei der Abbildung der Strahlen durch M und d.
konzentri sehen Kreise, auch für die zugehörigen Scharen log. Spiralen b
halten die konzentrischen Kreise und Strahk-a den Charakter als Kurv^'
gleicher Stromstärke und Stromrichtung.

j

I Vermiacbto Mitteilungen. 285

6, Eina physikalische Angelegenheit ist der eigentliche Grund zu dieser

A.T-t»eit gewesen. Herr Prof. Adr. OuÄbhard hat um das Jahr 1881 in den

CI«3»iiptes Rendus der Academie des Sciences eine Reihe von Arbeiten über die

aEi^c:li ihm benannten Farbenringe veröffentlicht. Seine Deutung als Linien

konstanten Potentials fand bei Holmholfcs volle Zustimmung. Von anderer

a>l£:a.c]emisrber Seite wurde sie angefochten. Die Kurven wurden als Inten-

sit:.ät5kurven bezeichnet. Bei den hier genanoten Abbildungen zeigt sich nun,

d^l5 die Intensitatskun'en konzentrische Kreise sind. Die gegnerischen Be-

Ix^uptungen sind dadurch geschlagen, denn Gu^bhards Ringe zeigen nichts

■^"on. Kreisen. Helmholtz, mit dem ich auf der Königlichen Schul konferena

■von 1890 nusaromenkam, sprach mit mir eingehend über das Unbegründete

j^raer Gegnerschaft, Er teilte mir mit, daß er drei seiner Assistenten nach-

^i-i»»tider mit endgültiger Pi-Ofung der Sachlage betraut habe. Jedesmal

»iber hätten Änderungen in der Lebenslage der Herreu die Vollendung der

A.rl>eit gehindert. Er selbst wollte sie nun in die Hand nehmen , da er

ja. am 2. Mär» 1882 in der Berliner Akademie über die Angelegenheit

zAistimmend gespTocben habe. Sein Tod hat dies verhindert. So ist denn

^er ihm von gewisser Seite gemachte Vorwurf, er habe Intensitjits- und

I*otentialkiirven miteinander verwechselt, unerledigt geblieben. Über den

V"orwurf selbst hatte er nur ein bezeichnendes Achselzucken und die Bo-

nae^kung, dab der Beweis dafilr nicht gegeben sei.

Schon in der Zeitschrift für Math, u. Ph, Bd. 42 (1897) habe ich durch
«ine Abhandlung „Über einen Satz der Funktionentheorie und seine An-
■vrendimg auf isothermische Kurvensyateme und einige Probleme der math-
Phjsik" die Anregung zu einer Austragung der Meinungsverschiedenheit
gegeben und für ganze Reihen solcher Probleme die Niveaulinien und die
inte» Sita tfi kurven angegeben. Auch dorn jetzigen Leiter der Annalen für
Mali, und Physik reichte ich eine solche ein. Dieser wollte jedoch den
Streit nicht noch einmal anfachen. An dem Problem selbst haben E. Mach,
^ ■ Voigt. H, Meyer, V. Volterra, Roiti, Margules mit verschiedenem Erfolge
gearbeitet, H. Weber in einem die Gegensätze versöhnenden Sinne. Erledigt
'St aber die Sache nicht.

Einige Arbeiten schließen sich an Riemanns Behandlung der Nobiliscben

r arbenringe an, in der jedoch auf die Polariaationswirkong der Niederschläge

"t^ht eingegangen wird. Die Versuche Guebhards haben ein anderes

" _*Tangement. Man sieht die Ringe entstehen und auseinanderlaufen, wie

le Wellen nach dem Einwerfen eines Steines in mbiges Wasser. Plötzlich

toejj^ die Ausdehnung und die Weiterbildung hört auf. Die Niederschlüge

•*«n einen Gegenstrom hervorgerufen, der die elektrische Strömung in der

?-***ersten Flüssigkeitsschicht vollständig aufhebt. In die Platte dringt

^.^i»». wie Helmholtz auseinandersetzte, überhaupt nichts mehr

** • Das physikalische IntensitUtsgeset?, für das Eindringen büßt seine Wirkung

^^ ^ diesem Grunde ein. Das Problem ist also vom Biemannschen ganz und

j^ *" "verschieden. Meines Wissens sitzen bei diesem die Spitzen der Elektroden

g-^""^ *36r M etallplatte, und der Kontakt l)leibt erhalten. Bei Guebhard schweben

g ^j; über dem Metall, und gerade unter ihnen bilden sich massige Nieder-

ji ^»Sge, die schließlich jedes Eindringen in die Platte verhindern. Die

■^^^ '■^■risaüoiis Wirkung ist also bei Guebhard das Entscheidende, bei Biemann

I *-*>^ lie gauz vemachlBssigt.

L

Vermischte Mitteilangen.

Jedenfalls sind die Gii^bbardschen Ringe den Potentidknrren auffallen
ähnlich, wahrend sie von den Intenaitätskurven doruhaua abweichen. Di
Ähnlichkeit in gewissen Feinheiten ist eine oft so auffallende, daß m»
wohl irgend einen grundsBtzIichen Zusammenhang annehmen muß. Gcni
bei dem hier dargestellten Problem ist ein einfaches Uoteracheiden beid
Kurvenartcn möglich.

Finden Abweichungen statt, ao ist dies besonders in den Fällen, h
denen die Tbeorie unendlich große Platten beansprucht, nichts Überraschendi
auch dann, wenn die Form der Platte, die homogen und fiberall von dt
selben geringen Dicke sein soll, mit der Form des Glastrogs nicht ttberei
stimmt. Und Abweichungen werden ja auch bei der Kircbhoffscben B
stiuunungsmethode der Niveaulioien beobachtet. Man vgl. die Arbeit d
Herrn Geffroy im Programm 18B4 des st. Realgymnasiums zu Kßnigsbei

Herr Harald Bohüta von der Kgl, Maacbiaenbausebule in Hagi
machte aaf inline Anregung Versuche und benutzte dabei den Platinti«!
als GcfaS und Platte zugleich und erreichte gerade bei niedriger Flüssigkeit
sSule, die das Problem möglichst zu einem zweidimensionalen macht, 5<1
gute Hcsult&te. Ich möchte mir den Vorschlag erlauben, sie auch in ein«
halbkugel form igen Platintiegel zo macben und in die Flüssigkeit einen nid
leitenden konzentrischen Körper soweit einzutauchen, daß man eine konza
trische Rugelschicht als Flüssigkeit bat. Dann würde man die stationli
Strömung in der KugelflSche, sp5ter etwa auch in einem Troge, der eina
halben Toros (Wulste) entspricht, nach Gu^bhards Methode für den Ton
prüfen können.

Im übrigen scheint es an der Zeit zu sein, den betreSenden elektr
Ijtischen Vorgang endlich soweit zu prüfen, daß mau eine Theorie d
Elektrolyse, die bis jetzt doch auf schwachen Füflen steht, erhält und dab
auch die Frage der Guebhardschen Ringe besser zu entscheiden versucb
ab mit dem \mbewiesenen Schlagworte „Inten Bit» tskurven". Der Math
matiber steht der Angelegenheit unparteiisch gegenüber und wird am
wofalbegründete negative Urteile zu schätzen wissen. Da es sich aber g
rade um Helmholtz handelt, iahlle ich mich »ur vorliegenden Anregoi
verpflichtet. Sonst würde ich wahrscheinlich den obigen elementaren Sonds
fall nicht vorgelegt haben.

Hagen i. W. G. Holzhüllek.

4, Spreohsaal für die Encyklopädie der matliematiBctieii WisBonsoh&ftA

[EänscnduBgcn für den Sprechnaal erbittet Franz Mejer, Königsberg i. P"
Maraunenhof, Herzog Albrecht-AIlee ST.]

5. Btii der Redaktion eingegangene Bnolier.

Anum, A., Theorie der geometrischen Konstruktionen. Sammlung Schubert

Leipziff 190e, GöBcben. Vlll u

»^CT

Abhdiii, W., C. Q. .1. Jacobi als Politiker. Ein Beitrag in seiner Biogr
Leipzig 1907, B. H Tenbner. 46 S. Jt

Aniiotkb, H-, Cours d'astronomie. Prenii^re iiartie: astroiiomio theori(]ne.
ISOG, A. HarmBiui. 2S1 S.

I

a.'uatre pour l'an 1907 publik par le biueau des longitudei. Paris l'J
"Villara. fr. 1,60.

Arithmetique grapbiqae. ImtroductioD ä l'^tade des fonctionB srith-
Knetiqnee. S95 S. b. 7,50.

x:»-^ >:x.>urr , W., Phjailialische Mcaanngsmcthodeii. Sammltmg Göschen Nr. 301.
I^ipzig J90Ö, GOachen. 145 S. Ji 0,80

^xovDT, F., Differential- und iDtegraliecbnung- 3, Anfinge. Webers illustrierte
JBandbflcber Sr. 167. Leipaig 1906, J. J. Weber. 367 S. M 8.

]S<f>>sf CD, A., Lotabweicbuagen. ^ft IQ: AstroDomisch-geodütiBcbea Netz I. Ordnnug
Kifirdlicb der europälHchen Längengiadmesautig in 63 Grad Breite. Veröffent-
Xichnng des Kgl. Preuß. Geodät. Inst. Berlin 1906, P. Stankiewicz. Iö4 S.
A:*^tu-t.otiK, M., Lefons sur la viscosit^ des liquides et des gm. 1* partie: gea6-
z-alites, »iscoBite des litiaidea, Paris 1907, 6 authier- Villars, 228 S fr. 9.

X>T7B:x>t, F., Rec-heicbee anr l'^laBUcite. Paris 190Q, Ganthier-Villars. 808 S. b. 13.
E>a3:B^(iE,H., Elemente d, Theorie d, Punktionen einer komplexen veriLnderlichen GrOBe.
B. Auflage neu beatb. von L. MAtmER. Leipzig 1906, fi. G. Teubner 397 3. „HC 10.
""^- -«v-AKDsoH. H., Woher kam das Loben? MOhr.-Ostrau 1906, R. Papauschek. 60 S.
u>», J. Ch., Tbeor; of tbe algebraic fnnctions of a complei variable. Berlin
1906, Majer und Maller- 186 S. JC 12.

IM», L., Gesammelte mathernfttische Werke. Heranag. v. R. Fuchs u. L. Schlesinger.
E. Band: Abhandlungen ^1876— 1887). Berlin 1906, Mayer & Malier. 186 S. JK 80,
" , Die Anwendung der Interferenzen in der Spektroskopie und Metrologie.
Die Wissenschaft Heft 17. Braunachweig 190B, Vieweg u. 8. 16'J S. JC 6,20.
Cz^-rcEB, E., Lehrbnch der darstellenden Geometrie 1. Leipzig 1906, Göacben. 321 S.
^^z^LKDt, H-, Technik und Schule. Beiträge zum gesamten Unterrichte an tech-
nischen Lehianatalteu. In zwanglosen Heften herausgegeben. 1. Band 1. Heft.
XeipEig 1906, B. G. Teubner. 61 S. JL 1,60.

Oc»^, A., Sor rhypocjcIoTde i'i trois rebroosBementa, Hriissel 1906, Ha;ez.
GstejreA™, F.. und Lindt, R. Das Ph.vsikaliaclie Praktikum des Nicbtphyaikers.
Theorie und Pnuiia der vorkommenden Aufgaben lur alle, denen Physik Hllfe-
-witaenschaft ist.* Leipzig 1905, G. Thieme. 386 S. JL 6.

iKLiB, F., Der Lehrplan filr den Unterricht in Naturkunde. Leipzig 1906,
B. G. Teubner. 44 3, ^K 1,00.

O., and Spie«, P. Elemente der Astronomie und mathematischen Geographie.
6. Aufl. 73 8. M 1,20.

"Ļis, K., Lehrbuch der Mechanik. I. Teil; Kinematik. Sammlung Schubert
Nr. 87. Leipzig 1906, Göschen. XVI u. 838 8. ,« 8.

«^■":*i,ua<E, H., Kurze Anleitung zur Berechnung von Flachen und Körpern für
Schule und Präzis. Leipzig 1906, E. E. Mejer. 53 8. .« 0,80.

^ *=» ^.üiDijjia, G., Elementare koemische Betrachtungen über das Sonnensystem und
Wideilefifuug der von Kant und LapUce aufgestellten Hypothesen über dessen
EntwicUungsgeechichte. Leipzig 190(1, B, G. Teubner. 98 3. .« 1,80.

"^ «^^»"üMcarsEB, Das Pendeln parallel geschalteter Wechsel ström maac hin en. Sammlung

eloktro technisch er Vorträge, Herauageg. tod Voit. Leipzig 1908, Encke.

^•^*-«:raniss , Grundriß der Experiment alphyaik und Elemente der Chemie sowie der

istrononiie und matbemati Heben Geographie, Heruuageg. reu Heruks und Spies.

, K. Aufl. Berlin 1906, Wjnckelmann u, S. 512 S. JL 6,60.

"-"-"•«RR, F., Höhere Analjsis. Erster Teil: Ditferentialrechmmg. Sammlung Göschen

„ Nr. 87. 3. Aufl. Leipzig 1900, Göschen, 204 S, JL 0,80.

^^^"*«»oaFF, A., Die Zuatandsgleicbung der Dimpfo, Flüssigkeiten und Gnae. Leipzig

g_ »a06, B. 0- Teubner. 61 S. JL 2.

*-'~^3t^ Y ., Fragen und Aufgaben aus dem Anfangskapitol der Planimetrie, Mönchen

^ jl»06, K. Oldenbüurg. 48 B. Jt 0,80.

**Jt.\jj der Gegenwart; herausgegeben TOn P, Hi.vnkbehc: W. v. Dyck, Die Natur-

'^'issenschaftliche Hochachulauabildung, — K. Kiuepeltn, Naturwissenschafllich-

*^chiuBche Museen. — 0, S. Witt, Naturwissenschaftlich- techniache Aus-

L_^ ^'Wllungen. Send erabdrücke. Leipzig 1906, B, G, Teubner.

'^^^•■»TB, Prosper de, Essai aur le carre m&giqae de i^ ä JT nombres. Paris 1906,
L *^«nthier-Villara. 38 8.
■^^^»1, F., Die Aussichten der Gastiubine. Eine eingehende Studie vom Stand-
T^uokte des Turbinenpraktikers. Rostock lUOü, E. Volckmaun. 6» S. Jt. l.

L

288 Vtinuiacht« Miltoilunf^n.

Lbscdanowhky, H., GememTemtändiiche erste Einföhtiuig i

mbtik und deren Anwendung. Wien It)07, C. Fromme. 86 S.
L&UBSHT, H., La g^omätrie analjtic^ue gänärale. Paris l'.iUü, A. IlemiAiui.
Mach, E., Space and geometry in the light of pbj'iiiulu^icH), oijbIi

pbjsical mqniry. Froni the Uennan by Tb. J. Mc IJomuM«. C

The open Court pnbUahing Company. HS S,
Mahleh, ii., PhysikäliBche Purmelsammlnog, tianimluag GÖHcben Nr. lS6i. |

LeipsiK 1906, Oöecben. 1S2 8.
lliA.n.i.iiT, E., LatroductioD ä la Ibeorie des nombrcB transcendanta et des p

arithmetiqnes dea fouctioas. Parie lüOÖ, Gauthiec Villars. 274 S.
MEiiBHKB, 0., Die meteorologüi^lien Elemente und ibre Heobacbtiuig, Leipi

B. 0. Teubner. 94 S.
Hakuekli, ä.. Die Interpolation und ibre Verweailung bei der Benatxnug c

HteliunK matheraatiscber Tabellen. Soiotburn 1906, Zapfel. 116 S.
-UüLUia, a., Lehrbuch der Mathematik auf den Gymnasien und Realachuleo.

Eube für bayeriBohc Lehranstalten , herausgegebeu zusammen mit M. Zwi
oip«i)r 1U06, B. G, Teubner, I, 18ö S., Jt 1,60; H, IW S., Ji 2.
Müt-LKK, H. und KrTNKWHKr, M., AufgabeoBammlung, Aufgaben (ür bayet
Lebranstalten. Herausgegeben zusammen mit M. ZwxaGKa. Leipsig i
B. G. Teubner. 276 S. JC

Nei'beko, J., Notes Hur l'hypocycloide n tioia lebronssements. Brüsael 190C, Hi
FiiTiTBois,G.,TafehiunbeBt. Integrale. Leipdgl906, B.G. Teubner. XUu.IfiAS. J
PiCABD, E., et SiuART, G., Tbeorie des fouctious algäbriques de deux i

dependantes. Paria 11)06, Gauthier-VülaTs. 62S 3.
Beib, Tb., Die Geometrie der Lage. Zweite Abteilung. 4. Au9.

A. Kröner. 386 3.
RicuAKZ, F., und Kömo, W. Zur Exinnerung an Paul Drude. Gießen 1

Byuukro, R. Elektron, der erste Grundstoff, Lund 1006. ObliasoiL 30
Sahllka, .1., Erklärung der Gravitation, der Moiekidarkrikite, der W&rme, d

der magnetischen und elektrischen Erscheinungen aus gemeinsamer U

rein mecbaDtfichem atomistiscbem Wege. Wien 1007, C. Fromme. 176 ft^
ScHAFUKiTLiü , P., Syntbetiaohc Geometrie der Eegeliubnttt«. Leipxig' !

B. G. Teabner. 96 S.
ScmirrEas, G., Lehrbuch der Mathematik fOr Studierende der Natur .. .^-.

und der Technik. Einfuhrung in die Differential- und Integralrechtiiing i

in die analytische Geometrie. Leipzig 1906, Veit u. Co. 682 S. J"

SuTH, D. E., Htstory of modern mathematics. Mathematical munographa 1

4. Anü. New York 1906, J. Wiley & Sons. 81 S,
Stbeceeu, K., Einheitliche Formelzeichen, Bericht des Ausschusses dea eleli

techniachen Vereins. S. A. aus ETZ. Berlin 1906, Springer.
Stuwaebt, M., Lea nombrea paaitifa, expoaä dea th^riee modemea de rnrithniA

älementaire. ßund 1906. E. v. GoetJiem.
Tnuiiu!, U., Leitfaden der Mathematik fär Kealunstalten. Erster Teil: Die Dnt«

atufe. Dritte Auflage. Leipzig 1907, E. Freytag. 128 S. Jt

Vessiot, f., Lefona de gdom^trie suptirieure, Lyon 1006, Delaroche et Schneider. 1
Weinsteih, B., Die philoBOphieohen Gmndlageu der Wissenschaften. Vorlest

gehalten an der DniverBität Berlin. Leipzig 1908, B. Q. Teubner. 543 8. . ..
Weitbbkcbt, W.. Ausgleiebuiigsrechnung nach der Methode der kleinsten Quodn

Sammlung Göschen Nr. 302. Leipzig 1906, Göschen. 180 8. ~ "'

WuoHKL, E., Übungsbuch zur Arithmetik und Algebra. Erster Teil : Pensuj

und L'uteraeknnda, Elfte Auflage. .V 8,30. Leiter Teil: Pensum der Oberseknii^l

und Prima des Gymnasiuma. Sechste Auflage. RosUick n)06, H. Eoch. jK l.U.|
WHunEL, E., Übungsbuch £ur Arithmetik und Algebra enthaltend die Fonn

Lehrsätze und Auflüsungsmethoden in systematischer .4zi Ordnung und i

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Wbobkl, E., Leitfaden der Stereometrie nebst einer großen Anzahl von üb""~

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MK 206 xaiigaialBbBittii FI|ora».
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6Mbm ifl filAltncn;

^nfctiung
jiim 58afßfmafifd)i'ii ^Inteviij^t

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(ParabollBche BewcgunK. StArungcn der Ceres und der Palü«
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ARCHIV
IR MTHEMATIK IIM) PHYSIK

[ MIT BESONBEKEtt KOOKBICHT AUF Uffi BEWOMNISSE

HcHBlEiriiET iMi nnuini J. A. ijatmotT.

DBITTB BSIOK.

'umnüiMiiKiuniiTi'. HEU litouiisii lAtnujimoiiES nssKLuouin'.

W. PBASZ KBTBB

K J&WfKB

4

(lAmi < Mffpr

LEIPZia UND DEELIS,
1907.

1

ABOHIV DEK UATHEUATIE UND FHTSIK.

■ .U)u f-:.; rll» H«d»ti

li, M«ciiaknpu. apt

i AatMktMoa SO ml

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INHALT DBS VOKLIBaSNDEN HaTTSa.

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-1&

iWllMi

Geradlinige Polygone extremen Inhalts.

Von E. Study in Bonn.

Die Frage nach allen geschjossenen Polygonen von gegebener

aitenzahl. gegebenem Umfang und extremem Flächeninhalt scheint

pachtet ihres elementaren Charakters noch nicht erschöpfend

pntersucht worden zu sein. Nach der modernen Anschauungsweise

iSmlich hat ein geschlossenes Polygon von endlicher Seitenzahl, auch

seine Seiten einander durchsetzen oder überdecken, immer

binen bestimmten Flächeninhalt, und dieser ist eine sowohl positiver

»tiver Werte fähige Größe, deren Vorzeichen abhängt von

üneni dem Polygon zugeschriebenen üralaufBainn, nämlich von der

wie die Ecken zyklisch aufeinander folgen. Man findet nun

^bbaltl, claB jedes extreme Polygon regulär sein muß, daß nämlich

leine Ecken auf einem Kreise liegen und in gleichen Abständen auf

Binander folgen. Die Frage aber, oh ein solches reguläres Polygon

bitsächlich eine extreme Fläche hat, scheint bis jetzt nur behandelt

Worden zu sein für den P'all der einfachen Poljgoue der älteren

Slementai^eometrie, die die Ebene in zwei Teile zerlegen. Zwar

Uli Weierstraß in einer Vorlesung über Variationsrechnung vom

[Jahre lH7y, die dem Verfasser durch eine Ausarbeitung bekannt ge-

Vrorden ist, seiner Untersuchung den erwähnten modernen Begriff des

theninhaltes zugrunde gelegt. Er scheint jedoch nur nach Extremis

rxtremoTum gefragt zu haben, so daß von ihm die überschlagenen

|*oljrgone nachträglich wieder ausgeschlossen werden. Unmittelbar er-

HcbÜioh scheint fltr diese nur so viel zu sein, daß ein reguläres Polygon

nit z. B. positivem Flächeninhalt nicht einem Minimum dieses Inhaltes

otsprechen kann, und daß ein Stempolygon (wie das Pentagramma

mysticum) mit stumpfen Winkeln zwischen aufeinander fc

Horieutierten) Seiten auch nicht zu einem Maximum des F hieben in halte s

rehören kann.

Wir reproduzieren zunächst den Gedankengang von Weie
»weit er die durch einmaliges Differentiieren zu erlangenden Be-
dee Extremums betrifft. Allerdings handelt es sich dabei

AnU« dar Malhimitlk and Phjalk. in. BaUu. XI. 30

J

290

E. Stddi;

am eiitG Methode, die einer Ausdelinung auf Probleme ähnlicher
Ar t nicht fähig zu sein scheint. Diese Methode ist aber ein walires
Eabinetstückchen analytischer Eleganz und verdient daher allgemeiner
beknnnt zu werden. Die weitere Entwicklung bildet dann eine An-
wendung gewisser zyklischer Determinanten; sie dOrfte, als ein Beispiel
zur allgemeinen Theorie der Maiima und Minima^ auch dann einiges
Interesse behalten, wenn es gelingen sollte, mit einer wesentlich ein-
facheren Betrachtung zum Ziele zu kommen.

1. Sind (aTj, j/i), . . . (a:„, if^) die rechtwinkligen kartesischeii
Koordinaten der Ecken ii^end eines geschlossenen Polygons, so ist
(lesseo doppelter Flächeninhalt, auch dem Vorzeichen naeh, gegeben
durch den Ausdruck

(1) 2F -= a.',yj - a^y, + x,,v, - j-gi/, H \- x^Pi - x^p^.

Setzen wir dann

(2) ' s, - t/fc-i,-,)' + (»,-»,.,)',

wobei modulo » kongruente Indizes als äquivalent zu eracfat^n sind
und ffir die Wurzelgröße das positive Vorzeichen zu wählen ist, ter-
stehen wir femer unter 5 irgend eine positire Konstante, so wird
di« Forderung eines unveränderlichen ümfangs des Polygons (1, 2, ..1)
ausgedrückt durch die Gleichung

(3) s^ + s, -1- - • ■ + s, - s = 0.
Ist dann

(4) G = 2_F+f|s, + .-- + s,-«},

^— -= 0, oder

(5)

nach Elimination von £, nnd unter Zuziehanj^ der Bedingung (3), n"^
wendige Bedingungen fQr einen extremen Wert der Größe F.

Der erwähnte Gedanke von Weierstraß besteht nun darin, die
Gleichungen (5) dadurch übersichtlicher zu gestalten, daß man sJ« ™
zweien zusammenfaßt und als Gleichungen zwischen kompletten GrÖBän
dustellt. Setzt man nämlich

": = (^j - ^i-x) + (yi - yi-.)',

(6)

die GlflichuDgeii (ö) aber laaaen sich schreiben:
Man hat also

1-;:^-

-«1 1 +

(8) 'U.-"',-

Die Seiten des zu BOchendeD Polygons haben demnach alle dieselbe
Länge — ■' Die Gleichung (1) nimmt jetzt die Form an

(«) " V=^-"-

Die Paare aufeinnnder folgender Seiten des Polygons schließen
daher alle denselben Winkel ein, Dan Polygon ist folglidi regviär.

2. Wir betrachten zunächst wieder ein beliebiges geschlossenes
Polygon, mit den poeitiven Seitenlangen -S'i, . . . s,. Anf den geradlinigen
Träger der iten Seite dieses Polygons fällen wir vom Anfangspunkte
der HoordiaatL'D aus eine Senkrechte, und dieser schreiben wir eine
Bolche positive Richtung zu, daß durch deren im positiven Sinne aus-
geführte Drehung um einen rechten Winkel die dem Umlaufssinne
des Polygons entsprechende positive Richtung der Polygonseite erhalten
wird. Der Träger dieser Polygonseite erhält dann eine Gleichung der Form
(10) eoB 0j ■ a; + sin W, ■ ;/ - ;,^ = ,

worin &^ den mod. 2^ bestimmten Winkel zwischen der positiven
Kicbtnng der a-Achee und der, wie angegeben, orientierten Nonnale
bedeutet, jij aber den Abstand der orientierten Polygonseite vom
Anfangspunkte der Koordinaten bezeichnet, gemesacu im positivea
Sinne der Normale. Der gemeinsame Endpunkt der Aten und der
(i + l)teB Polygonseite erhält nun die Koordinaten x^, yi, wofern

I sin (©j ^ , — ©j 1 ■ i/j = — /)j cos Ö; ^ , + Pi ^. , cos Ö^

292 E. Study:

gesetzt wird. Für die Länge der Seite 8^ aber ergibt sich der positii»

Wert

Si - (Vi -Vi^i) • cos ©;i - (xj, - Xj,^^) . Bin »^
oder

Wie übrigens auch unmittelbar evident, wird demnaoh der Umfiuig des
Polygons, wenn kein gestreckter Winkel Ox^i — Sj^ Torkommt^ gegeben
durch den Ausdruck

(13) s -^ftg H=^' + *» ^S^)ä'

während für den doppelten Flächeninhalt 2JP<-i- ^P^Si sich die eben — ^^
falls leicht geometrisch abzuleitende Formel

(14) 2^=^2'{(P^*i+i''')**«^^*'-(P^+i-''-^*«^^^V^'^/

findet. Ist das Polygon insbesondere regnlär, und yerlegt man de^oi
Anfangspunkt der Koordinaten in seinen Mittelpunkt, so kann man

der Regel tg ^"^"^ ^ t, Pi^p setzen, wodurch die ein£Ach<

Gleichungen

(15) s^2npt, F^npH

entstehen. Ausgenommen ist nur, bei geraden Werten der 21ahl
der triviale Fall ö;i+i— ö^ = ^^ ^^^- ^Jr. Das Polygon reduziert sL^^^^
dann auf ein n-mal überdecktes Stück einer geraden Linia
Flächeninhalt ist gleich Null und kann also nicht Exiaremum se
Wir dürfen diesen singulären Fall fernerhin ausschliefien.

Wir gehen jetzt zu einem dem singulären Polygon ,,benachbart^
Polygon über, indem wir

setzen. Da bei der Variation des Polygons die Summe der Wiim^^^^'
arctg {t + rj^ konstant bleiben muß, so hat man, bei hinreieh.^^^v^'
kleinen Werten von Vif ' * 'Vn

(16) (1 + <«)^,, -t2v\ + ---0,

und da auch der Umfang des Polygons konstant bleiben soll, so isi

außerdem, zufolge (13),

(17) 2,,.^,, + 2<.^Ä,+J',,(Ä, + A,^,)-0.

Geradlinige Polygone exlremen InhitltB. 293

Unter Benutzung dieser Formeln erhält mau für den vierfacliäii
rachs A^AF der Polygonfläche den Ausdruck

p. "Z^i + ' .^C" + '"")■ - !- ■l't*'" - *■)' + ■ ■ •.

ie nicht biDgeschriebeuen Glieder in den als hinreichend klein

BnnszuBetzenden Orößen ij^, Aj von höherer als der zweiten Ordnung

bd. Bezeichnen wir also schließlich mit 2@ den im positiven Siane

Jessen en Winkel zwischen zwei aufeinander folgenden Seiten des

mtierten regulären Polygons, so erbalten wir die Gleichung

2z/F.sin20 =

\

^2ö.^>?^

2®-2-A^ + 2^/.,/,i^, + .

Iran Inhalt wir nun näher zu untersuchen haben werden. Es kommt
tbei offenbar zunächst an auf das Vurzeicheu der rechts in (18)

rihenden quadratischen Form, dereu Argumente durch die Gleichungen
SB) und (17j Tcrbunden sind, für hinreichend kleine Werte dieser
«gumente. Wählen wir diese uuu so klein, daß wir ihre Quadrate
pd Produkte vemachlüssigen und die Reihe (16) schon nach dem
n Gliede abbrechen dürfen, so liefern uns die Gleichungen (16)
(17) die einfacheren Beziehungen

genügt, das Vorzeichen der quadratischen Form in (1^) nnter
liser Voraussetzung zu bestimmen. Diese quadratische Form aber
kt sich zusammen aus einer deliniten und zwar negativen Form, die
p von den Größen ij^ abhangt, und einer zweiten quadratischen Form,
I nur von den Größen h^ abhängt.')

Sollte eich also finden, daß auch diese zweite Form definit ist,
1^ würde das betrachtete reguläre Polygon eventuell einem Extremum
■ Flächeninhalts entsprechen, nämlich dann und nur dann, wenn
|efa die zweite Form nur negativer Werte fähig wäre. Findet sich
jleitens, daß die zweite quadratische Form indefinit (semidefinit) ist,

• positive Werte nicht annehmen kann, so liefern die quadratischen

1) Übiigene ist es niltzlbh xu
I ihr die Uleichuog

^f -sinae^-

bemerken, daß die Gleichung ^"ft = l) und

l^t nur in der Grenze, sondeni allgemein gilt,
llntliche ZuwBcbae ij gleich Null aetet

k

294

£. Study:

Glieder allein noch keine Entscheidung. Findet sich endlich, daß die
zweite Form sowohl positiver als negatiFer Werte fähig ist, so kaiu
kein Extremum vorliegen.

Es wird nun die aus den Orößen h^ zusammengesets^te quadratisebe
Form definit sein oder semidefinit, oder endlich indefinit, aber niclt
semidefinit, je nachdem die Oleichung (n — l)ten Ghrades

2cos2ö — p, -1 , ,

— 1 , 2cos2® — p, —1 ,

, — 1 , 2cos2d — (>,

-1

1

1

1

y

0, -1, 1

0, 1

Ö, 1

• • •

. -1, 1

2cos2©— p, 1

. . . 1,

O,

deren Wurzeln Qu » - - Q^-i sammtlich reell sind, ausschließlich positi
von Null verschiedene Wurzeln, oder auch verschwindende od
endlich negative Wurzeln zuläßt.

Um den Wert 0{q) der angeführten (n + l) -reihigen DeterminaiL
zu ermitteki, schreiben wir r an Stelle von 2 cos 29 — p und addi
dann die n ersten Reihen zur letzten. So ergibt sich

(r - 2) . 0(q) = - w

r -1

~ 1 r - 1

0-1 r

-1

-1

Die nur n- reihige Determinante rechts in dieser Gleichung
eine sogenannte Zirkulante. Ihr Wert kann, wie bekannt, lei
dadurch berechnet werden, daß man sie mit einer zweiten
minante, nämlich mit dem Differenzenprodukt der nten Einh<
wurzeln multipliziert. Setzt man, unter e irgend eine nte EinhM*-^-
wurzel verstehend,

qp(£) = r-£-5»-S

80 ergibt sich als Wert der Zirkulante das über sämtlliche n "^e
Einheitswurzeln erstreckte Produkt

t

als Wert der vorgelegten Determinante erhält man also schließlic

Die Wurzeln der Gleichung *(pj -= i
'VVerte

f

^ie GrdB«ii

Hat also die (nach Y
Zahl k keinen der Werte 1,

- 2 C08 c

übriger

verschiedene >

so finden sich unter den Wurzeln Pj
Immer negative: Keines der übersrhlaffenen, insbesondere auch heines der
'"t^rfofk iimlaufmen ri\gtdärm PoliKjmie gehört zu einem Extrrmum des
^iäclwninhaltes. Ist aber Ä = 1 oder /: = » — !, so liegt der zweite
*^er oben unterschiedenen drei Falle vor. Dann hat man es mit einem
einfachen Polygon zu tun, das die Ebene in zwei Teile zerlegt. Die
^'-JgehÖrige quadratische Form ist offenbar negativ- sein i de fin it. Wollten
""^ jetzt auf dem betretenen Wege weitergehen, ho würden auch die
"lieder höherer Ordnung in dem Ausdruck von jJF zu berücksichtigen
sein, und eine solche Untersuchung würde schwerlich sehr einfach
*iis1allen, angesichts des Umstandee, daß anscheinend viel einfachere
I*robleme ühnlicher Art schon ernsthafte Schwierigkeiten bieten.

Hier setzt nun, wie man sagen darf, glücklicherweise, eine andere
Aj-gumentation ein, derzufolge für den Fall einfacher Polygone die
-^^^stmz regulärer Extreme im voraus erschlossen werden kann, so
«l^fi eine weitere Untersuchung entbehrlich wird, Weierstraß hat
^xich dieses, in der erwähnten Vorlesung, ausfOhrlicb dargelegt. Da
Aber die hierbei angewendete SchluBfolge gegenwärtig Gemeingut aller
"la thematiker geworden ist, eo glauben wir nicht weiter auf den
'^«genstBnd eingeben zu sollen.

Die entsprechende Frage der Variationsrechnung wQrde die sein,
**" eio mehrfach umlaufener Kreis eine extreme Fläche hat. Sie igt
'tti Ä.ugenblicke im negativen Sinne zu beantworten.

i

296 Paul Stacwel:

Angenäherte Bereclmung eines Bogens,
von dem man den Sinns nnd den Cosinus kennt.

Von Paul Stäckel in Hannover.

1« Für die Berechnung eines Bogens x kleiner v^b \%y Ton d(
man den Sinus und Cosinus kennt, hat Nicolaus Cusanus ft i n e

Näherungsformel angegeben, die in modemer Bezeichnung besagt, d «ß

der Bogen x nähenmgsweise gleich

8 %mx

2 4- COBO?

ist. Hiervon ausgehend hat E. Lampe, Mathesis (2) 7 (1897), S.j^^O
eine Reihe weiterer Näherungsformeln entwickelt, indem er die A^iif^
gäbe stellte, in den Ausdrücken

LJ^x) = a; — (a^ sina; + o, sin 2x + a, sin3:r H h »„ sin na:)

und

Jj ^ [Xj *^ X ■ [

«

die Koeffizienten Oj, o^, . . ., a^; 6^, 6,, . . ., 6„ und c^, c^, , . ., c^ so
bestimmen, daß die Entwicklung nach Potenzen yod x mit
möglichst hohen Potenz beginnt.^) Während Lampe die Ermitteln^^g
von L^(x) für beliebiges n und von L^ri^) für kleinere Werte von ^
und r mittels der Methode der unbestimmten Koeffizienten durchgefßt*^ ^
hatte, habe ich in einer kürzlich erschienenen Note, Maihesis (3) 6 (190^^)y
S. 89 y gezeigt, daß man LJ^x) auf einem anderen Wege £E»t ab-^*'*
Rechnung finden kann, und daß sich dabei eine merkwürdige Ei}$^^'
Schaft der Funktionen L^{x) und L^^ri.^) ergibt. Da es mir inzwisel»^^

1) Einer freundlichen Mitteilung Lampe 8 entnehme ich, dafi nach A. Anb^^^Jt
J. de mam. spec. (4) 2 (1893), S. 184, 198, (4) 3 (1894), 8. 202 der N&heroi»«^
ausdxuck L^ ^ schon bei I. Newton vorkommt, und daß, ebenfalls nach A. Aul> ^J«
El Progreso mat (2) 2 (1900), S. 289 Chr. Kramp die N&herungsausdrac^ke
■^i %^ i>3 21 -^8 3 ^i^d X^ 3 aufgestellt und die obere Grenze der Abweichung ^^
Winkel bis zu 60® bestimmt hat. Aubry verweist dabei auf den fünften 3^^^
der Annales de Gergonne vom Jahre 1814. Dieser Band enthält in der Tat a»'^'*^
nomische Abhandlungen von Kramp, jedoch hat Lampe in ihnen jene Fonxs^^^
nicht entdecken können. In diesem Zusammenhange mögen endlich auch ^'^
eleganten Rechnungen in Erinnerung gebracht werden, die J. Fourier in seiner
Tfieorie analytique de la chaleur, Paris 1822, Section VI, § 207—218 angestellt loAt

kjDgenftherte Berechnung eines Bogens, yon dem man Sinns n. Ck>sinns kennt. 297

jungen ist, die BetrachtoDgen noch weiter zu vereinfachen, erlaube
ch mir, den Lesern des Archivs meine Ergebnisse mitzuteilen, die fOr
Übungen in der Differential- und Integralrechnung mit Nutzen Ver-
wendung finden können.

2. Setzt man

o; = 2w,

30 wird:

L^ (2m) = 2m — (a^ sin 2m + «2 sin 4m + Oj sin 6m + • • • + a^ sin 2 nu\

und es ist daher

— J^* =-2— (2ai cos 2m + 4 a^ cos 4m + 6% cos 6m H \-2na^iio%2nu).

B^nnt aber die Entwicklung von L^(^u) mit der möglichst hoben
Potenz von m, so gilt dasselbe von der Ableitung nach m. Nun ist
C08 2aM. eine ganze rationale Funktion des Grades 2 a von siuM, mithin
wird die Ableitung eine ganze Funktion des Grades 2n von siuM.
Unter allen ganzen Funktionen 2 n^ Grades von sin m beginnt aber die
Entwicklung der Funktion

A sin* " M,

wo A eine Konstante bedeutet^ mit der höchsten^ nämlich der
2||ten Potenz von m, folglich ist

du '

Uso

L^{2u)^A Tsin^-MrfM,

^o A eine noch zu bestimmende Eonstante bedeutet. Um die In-
tegration auszufahren; hat man die bekannte Formel

-*-« - h CT) + ^t^- D" („ - J - 2a«

a — 1

9SU benutzen^ und erhält sofort:
imd hieraus:

n

2n \ sinao;

(1) i.w - ^ o '+-j-.2<-- ')■ (.- .) -:

298 Paui« Stäokbl:

Der Koeffizient von x in L^{x) soll gleich 1 8ei% miäiin ist

^ 2^*"'-^ . n \n\
^"" (2n)I '

und 80 ergibt sich schließlich:

n

genau wie bei Lampe.
Da die Ableitung

dL^ix) 2*" . n! nl . ,. a:
dx (2n)! ^"^ 2

ist; also stets positive Werte hat, wächst der Fehler, den man b^ehi
^enn man x durch

n

2 • n! n! "^ / i\a-i/ ^** \ ainaflc
(2n)! ^ ^~ '^ \n — «/ iT"

aal

ersetzt, mit wachsendem Xy bei kleinem x aber wird er näberungswei»-
gleich dem ersten Gliede sein, das in der Entwicklung dieses A
druckes nach Potenzen von x hinter x selbst wirklich auftritt. Di
Glied hat die Form C^a:*"+^ Um den Koeffizienten C^ zu bestimm«

braucht man nur zu beachten, daß die Entwicklung von "T* nac

Potenzen von x mit —CJ2n+ l)ic** beginnt, folglich ist:

und daher

p nl n! ^

* (2n + l)! '

bei Lampe war (7„ nur für n =» 2, 3, 4, 5 bestimmt worden.

3. Um angenäherte Werte des Bogens als Funktion der *^^^u-
gehörigen Werte des Sinus und Cosinus zu finden, ersetzt Lampe in

LJ^x) sina:, sin 2a;, sin 3a;, ... durch ihre Werte in sina? und ec^^^x
und erhält so

LJ^x) ^ X •— sino; (^ + A^eosx + A^ cos* x + Ä^ gob^x

+ • • • -h -4.„_i cos"~^ä;);

für n =» 2, 3, 4, 5 führt er die mühsame Rechnung wirklich ixMjrcb.
Aus der Formel für die Ableitung von L^{x):

^"^^ ~~d^ ' - ~"(2iör~ ®^^ 2

tg'en&herte Berechnung eines Bogens, von dem man Sinus u. Cosinus kennt. 299

»r ergibt sich ein einfaches Verfahren, die Koeffizienten 4o; ^u • • •
^.urch Bekursion zn ennittehi. Es ist nämlich einerseits nach (3):

dx ^ (2n)! ^ ^ '

«^Jxdererseits nach (2):

€i Ij (x)

— - ^"^ ^ = 1 — cosa;(-4o + Ä^ cosa? -{- -4, cos^a: + • • • + Ä^_^^ cos^^^a?)

(1 — cos^a;) (A^+2A^ cobx + 3ä^co8^x-\ h(»— l)^„_.i cos^-^a:),

y^uxd durch Yergleichong der beiden rechten Seiten ergibt sich, da die
HIoeffizienten der einzehien Potenzen von cosa; übereinstimmen müssen,
System linearer Gleichungen:

»^»-i-l— a; (2n)I '

(.-i)4.-.-(-i)-(n-'"(4'"''

(.-2)4.-.-c-i)— (;)^;,-+(»-i)^.„

»u kommt noch, bei Yergleichung der absoluten Glieder, die Relation:

^*^« man zur Prüfung der Rechnung benutzen kann.
4. Wenn man in

h^ sin X -{- b^ Biu^ X -{- ' - ' + 6^ sin na;

i«.r(^) = ^-

"»'■^ '^ Cq -\- e^ cos X -}- c^ coa 2 X -{ f- c^ cos ro?

^-*^er und Nenner nach Potenzen von x entwickelt, so beginnt die
^t Wicklung des Nenners mit dem Gliede

^0 + ^1 + ^ + • • • + ^r;

als von Null verschieden vorausgesetzt werden möge; bei der
immung von Cq, c^, ..., c^ nach der Methode der Reihenentwicklung
unbestimmten Koeffizienten ergibt sich in der Tat immer eine
Null verschiedene Summe dieser Koeffizienten.

300 Paul Stäokxl: Angenäherte Berechnung eines BogenB.

Soll jetzt die Entwicklung von L^^ix) nach Potenzen von x mit
einer möglichst hohen Potenz von x beginnen, go gilt dasselbe von der
Ableitung nach Xy die sich als ein Bruch mit dem Nenner

(Cq + Cj cos a: + c^ cos 2a; + • — \' c^eos rx)^

ergibt, während der Zähler sich als eine ganze Funktion von cosa; des

Grades n+r darstellen läßt; denn wenn m eine ganze positive Zahl

ist, so wird cos ma; eine ganze Funktion des Grades m von cosx,

sinma? aber gleich sina: mal einer ganzen Funktion des Grades m — 1

Ton cosa?. Die Entwicklung der Ableitung von L^^(x) nach Potenzen

von X beginnt aber, weil Cq+ c^-\ + c^ von Null verschieden is^

mit derselben Potenz, wie die des Zählers, folglich muß man daf&r

sorgen, daß diese mit einer möglichst hohen Potenz von x anfängt

Setzt man wieder

a; = 2w,

so wird der Zähler eine ganze Funktion des Grades 2 (n + r) yo
sinu, mithin muß er die Form

Ssin«(»+'-)M

haben, wo B eine noch zu bestimmende Eonstante bedeutet
Hieraus folgt, daß die merkwürdige Formel gilt:

dL (X) 5 8in«(«+'')f

ist z. B. n = 2, r » 1, so erhält man:

«« • . • « V 192 sin« —

/ — ®"^* + Bin 2a;\ 2

dxV 18 +'12~C08 «~/ "" ~" (18+12 008 0:)* '

Aus den von Lampe gefundenen Funktionen Ln,r{pc) kann maa so
interessante Aufgaben der Differentialrechnung entnehmen; um ^^
Auftreten des halben Bogens zu vermeiden, wird man gut ttm, rp=» 2 t«
einzufuhren. Dagegen ergibt sich auf diesem Wege nicht die unmi'trtei-
bare Bestimmung der Eonstanten &i, . . ., 6^; c^, . . .,c^; B. Man köo^*^
zwar den Ausdruck (4) für die Ableitung von L^^rix) dazu benut^^^
allein die Gleichungen, die man erhält, sind so verwickelt, daß ol**^®
Zweifel die Methode der Reihenentwicklung mit unbestimmten Ko^^'
zienten den Vorzug verdient.

Hannover, im Juni 1906.

£. Lahpb: Nene Formeln zur angenäherten Berechnung eines Bogena. 301

Einige nene Formeln
ZOT angenäherten Berechnung des Bogens ans dem Sinns.

Von Emil Lampe in Berlin.

4

Seit der Veröffentlichung des Aufsatzes, zu dem Herr Stäckel in
dem Yorangehenden Artikel eine elegante Vereinfachung in der Herleitung
der dort gegebenen Formeln mitteilt, habe ich in Verallgemeinerung
der Beziehung, auf welche sich die Huygenssche Näherungskonstruk-
tion ffir die Länge eines Kreisbogens zurückfahren laßt, einige neue
Formeln ffir meine Übungen in der höheren Mathematik aufgestellt,
die ich bei dieser Gelegenheit zu gleichem Gebrauche fär andere Lehrer
abdrucken lasse.

Man setze das Produkt:

(o»_ !)(«*_ i)(o._ 1) . . . (o«-- 1) = P.,
also

P,~a^-h P,-(a«-l)(a*-l), P, = (o« - 1) (a* - 1) (o* - 1),
So ist:

"Vr- 1 — sm X -h a sm — I — » x =- k • • • .

3cfc-(sma? — a'-| — r sm - + a® sm -y)=» x + . ^. H y

^^^amx+a»^,— jsm--a«-,--^sm^ + a^'sm^)-:r-jn:^^
^(sinar-a» J^ sin ^ + a^ ,--l,-'-lr} sin 4

;4- (- Bin « + o» . ii?^ sin * - o» • ^^ '- • «— i sin *

+ « • 7?^- • Si^i «° ä - « • ««—1 8»» äJ + «" «"^ äs)

302 Edmititd Landau und Otto Tokpijtc:

Diese Formeln erweisen sich als besondere f^e der folgenden:

/ j\n / _ifi 4 _ _2n 4 ^2«-2

P

n

\ a* — 1 a a' — 1 a* — 1 a'

• Ra — la — la — 1. x

a* — 1 a* — 1 a* — 1 o"

4-a — la — la — la — i. z

+ a* • • —Y — -- • — i — . e — T— • — 8 — r— sin —

' a* — 1 a*— 1 a*— 1 a"— 1 a*

Setzt man a « 2 und a; gleich einem aliquoten Teile von x, desse:
Sinus bekannt ist^ z. B. \7C, \7t usw.^ so lassen sich die Sinus yo
s^7 4^; 8^^ **- l^^^^b^ berechnen, und man kann daher die Torstehende;
Formeln zur angenäherten Berechnung von n benutzen.
Für a « 2 lauten die obigen Formeln:

i(- sino; + 8 sin f) = o; - ^^ + • • -,

^(sin X — 40 sin I + 256 sin |) = a: + ^^j H ,

^5(-sina: + 168sin|-5376sin| + 32768sin|)-a?-^^ + .- •,
i^(8ina;-680sin| +91392 sin J -2785 280sin| + 16777216sin^J

8835

a:"

Berlin, den 7. März 1907.

über die größte Schwankung einer analytischen Fnnkti»

in einem Kreise.

Von Edmund Landau in Berlin und Otto Toeplitz in Oöttingen -

1. Es sei q>{x) eine für \oc\^R reguläre analytische Funktic^
Es sei D ihre größte Schwankung auf der Grenze, d. h. der grö
Wert von | fp(a) — 9(6) | für [ a | = jR, | & | «= iJ. Dann ist, wie E&
Schottky^) bewiesen hat, 2 D

1) „über die Wertschwankungen der harmonischen Funktionen zweier reeli^^-"
Veränderlichen und der Funktionen eines komplexen Arguments", Journal für ~
reine und angewandte Mathematik, Bd. 117, 1897, S. 263.

die größte Schwankung einer analytischen Funktion in einem Kreise. 30S^
^j wie E. Landau^) bewiesen hat, sogar

» fragt sich nun, ob die Konstante -^ durch eine noch kleinere

etzt werden kann^ und; wenn dies der Fall ist, welches die kleinst-
^ghche Eonstante ist. D. h. es fragt sich, welche Eonstante a den
iden Bedingungen genügt:

1) Jede fär | a; | ^ jR reguläre Funktion erfüllt die Beziehung

2) Es gibt bei gegebenem d > eine Funktion q>{x), welche in
^^inem Kreise | ^ | ^ ii regulär ist, und für welche

9>'(0)|>(a-*)|

xst.

Es ist jedenfalls

^ 1

da fOr eine lineare Funktion

(p{x) — ao + a^x

und beliebiges jR >

D = 2i?|ai|,
also

ist. Femer ist nach Herrn Schottky

a:^-- 0,636...

und nach E. Landau

a<4- --0,577...,

also

0,5^a^0,577...
Es ist uns nun die Bestimmung von a gelungen, und zwar ist

1

2'

1) „Über einige Ungleichheitsbeziehungen in der Theorie der analytiBcheD
Fanktionen'S Archiv der Mathematik und Physik, 8. Reihe, Bd. 11, 1906, S. 85.

304 EDMUifD Landau und Otto Tokplits: '

wie wir im Folgenden beweisen wollen. Die Behauptong lautet also:
„Wenn q>{x) für |a:| ^iJ regulär ist, so ist

(1) k'Wl^iJ."

Anders ausgedrückt: ,,Wenn

q>(x) = tto + aio; H

f&r I X I ^ iZ regulär ist, so gibt es ein Zahlenpaar a, b^ f&r welches

|a|-JB, :6|«JB
und

(2) l9(a)-9>(6)l^2JB|a,|

Wir werden sogar zeigen, dafi (2) stets ffir ein passend gewähltes
Zahlenpaar a, b erfüllt isi^ das den Bedingungen

|a| = JB, 6 = — a'
genügt.

In der Tat ist für \x\^B die Funktion

2x

= % + a^s^ + OgO?* +

regulär; da der absolute Betrag einer für \x\^R r^püären Funkt
seinen größten Wert des Gebietes | x | ^ iZ in mindestens einem Pnn
der Peripherie | a; | =» iZ erreicht, gibt es ein a, für das

|a!«iZ,

(p{a) — fp{—a)

2a

^!«l

1

ist, also

was zu beweisen war.

2. Diese Tatsache läßt sich auch durch folgende Schlüsse begrüis^^d^eo^
bei deren Ausführung uns eine Mitteilung des Herrn Fej^r über" ein
anderes Problem^) beeinflußt hat. Es ist

2xivX0) = J^f^ dx,

1) Dasselbe bezog sich auf Funktionen reeller Variablen.

^^^^muKung einer analyügchen Funktion in einem Kieise. 805
^o X den Kreis Re^* in positivem Sinne durchläuft, also

2/r

2xiq>\0) » ^U{Be^')e-''*d^,

— n

n

%H

- fipi- Be^'')e-«'de l\{- Be^'')e-^*de,

—n

folglich

in

daher, wenn D' das Maximum von 9 («) — 9 (— «) | fttr | a | — ü
V>^zeichnet,

3. Nachdem wir diese Beweise der Relation

S^ftiiiden hatten, vermuteten wir, daß in ihr das Gleichheitszeichen nur
^^ die lineare Funktion

vUiid beliebiges B) gilt, daß also f&r jede andere Funktion und jedes B

k'(0)l<i5

3^* Wir teilten den Inhalt der obigen Nummern 1 und 2 sowie diese
. ^^xuutung Herrn Hartogs mit und verdanken ihm folgenden Beweis
j^xxer Tatsache, also des Satzes:
„Wenn

00

»-0

^ \a!\^R regulär und

1 D

«i|-2Ä

^* 80 ist

'^'«lÜT d6r Mathematik und Phjriik. m. Beihe. XL 21

306 S- Landau u. 0. Toeplitz : Die größte Schwankung einer analyt. Funktion niw.
Aus der Vorraussetzung folgt wegen

»^^|(=:^ = a, + «,^ + «5^ + ---
zunächst; daß

ist, da sonst in einem passend wählbaren Punkte der Peripherie

9(«) — 9(— ö)

2a

>Kb

also

2)>2iJ|aJ

wäre. Demnach ist

(p(x) — q> {— x) ^ 2a^x.

Wenn (p(x) nicht aQ + a^x ist^ ist q>'{x) nicht konstant; daher
läßt sich; falls o^ + ist^), a so wählen, daß {a| »ü und*) ä^f'ia)
nicht reell ist. Wird «,

»1=0

gesetzt; so ist fiir reelle d*

9)(ae^0 - 9(-- a)|* == i9(ac^') - 9>(a) + 2aai |«
= {9)(ae^') — 9(a) + 2aai} {<^(äc-^^ — 9(«) + 2äai},

^ aie^'^'^)' {ae^^ [^{äe~^'') — ^(ä) + 2ääi}

= 2« {aie^>'(ae'*^0 (^(äe-^'^O- ^(«) + 2aäi)}.
Der Wert dieser Ableitung für 0* = ist

- 29i (ai>' (a) • 2ääJ = 4jB«3i {iä^(p' (a)),

also von Null verschieden.. Daher gibt es ein reelles ^y für welches
; ^>{ae^^ _ cp (_ a) » > I ^{a) - cp (- a)i* - 41?« | o, |«,

Xae^*')-9)(-a)|>2JJ|ai|

ist, sodaß, entgegen der Voraussetzung,

I)>2R\a^\
wäre.

1) Für a, = ist die Behauptung trivial.

2) z bezeichne im Folgenden die zu z konjugierte komplexe GrOße.

H. Wulutkee: Abrollen von Kurven bei g^eradliniger Bewegung eines Pimktee. 307

4e Wir wollen nunmehr folgenden allgemeineren Satz beweisen:

„Wenn (p{x) f&r |x|^jR regulär ist und D^ die größte Schwankung

D

von q>{x) für \x\^r bezeichnet^ wo 0<r^B ist, so nimmt -y^

mit wachsendem r niemals ab, d. h. für < r < r ^ i? ist

(3) ^i^"

Hierin ist die in 1 und 2 bewiesene Relation (1) enthalten, da
offenbar

(4) üm^t = 2 y'CO)!

ist und aus (3) und (4)

B

2y{oy^-^~

folgt

Die Behauptung (3) beweisen wir folgendermaßen. Die Funktion

zweier Variablen

<p(x) — <p(xy)

X

ist für 1^1 ^iZ, |y|^^ regulär; das Maximum ihres absoluten Be-
trages f&r |a;| «r, |y| == 1 ist also kleiner oder eben so groß als das
Maximum ihres absoluten Betrages für ' a: | = r, | y | =» 1, wo < r < r ^ Ä
ist, womit die Relation (3) bewiesen ist.

Den 7. Oktober 1906.

Das Abrollen von EniTen bei geradliniger Bewegnng eines

Punktes.

Bemerkungen zu dem Aufsatze gleichen Titels von P. Eokott [Archiv (3) 11,

1906, 60—63].

Von H. WiELEiTNER in Speyer.

An der angefahrten Stelle hat Herr Kokott mehrere Beispiele
(gegeben fBr den Fall, daß eine Kurve auf einer andern abroUt, wo-
\ei ein fester Punkt der Ebene der ersten Kurve eine Gerade be-
schreibt. Es war dem Verfasser dabei offenbar entgangen, daß alle
^ese Beispiele, mit Ausnahme vielleicht von Nr. 7, bereits bekannt sind.
Sie sind, mehr oder minder explizit, %. H. enthalten in E. Gesüros
Vcflesimgen über natürliche Oeotpietrie, Loipsig (Teubner) 1901. Da sie

308 H. Wii

aber mich dort nur gelegeutlich auftreten, ist es für die Leser des
Archive vielleioht von Interesse, wenn ich im folgenden, unter Her-
vorhebung eines alle Beispiele umfaesenden Satzes, der bei Herrn Kokett
ebenfalls fehlt, eine Zusammen Stellung versuche, wie sie unserer beutigen
Kenntnis entsprechen mag.

Das Band, das alle derartigen Sätze verknüpft, ist das Theorem
von Habich^);

Wenn bei der Abwicklung einer Kurve K o«/" einer Geraden V m
in der Eliene da- Kurve fe^er Puidi P '-ine Kurve A iesc/ircifi/, so laß
die Fußputikthirve <t> von K in hezug auf P. icenn ste auf A nh-
roüt, den Punkt P die Gerade V beschreiben.

Ist nun K eine Sinusspirale'), P ihr Pol, so wird A zu einer be-
stimmten Ribaucourschen Kurve, * ist aber wieder eine andere
Sinusspirale, und so erhalt man als Spezialfall des Habichscheo
Theorems den Satz:

Rolli eine Sinuss/iirale vom Index n auf einer Ribaueoursciien Kurte
vom Index 2n — 1. so beschreibt ihr Pol die geradUnige Dirrkirix </«■
hixieren.

Diese beiden Sätze, im Verein mit der Nr, 7 des Herrn Kokott,
die sieh nicht recht einfügt (s. unten Nr. 7) geben zn folgenden Bei-
spielen Veranlassung, wo bekannte Kurven aufeinander rollen.

I, Ist K ein Kreis, so beschreibt ein beliebiger Punkt P seiner
Ebene eine Zykloide (1. verachlungoue — 2. gespitzte — 3. geschweifte). |
<t> ist dann eine Pascalsche Schnecke (I. mit Knoten — 2. mit Spitze = 1
Kardioide — 3. mit isoliertem Punkt). P ist der Doppelpunkt der I
Schnecke; er beschreibt die Direktrix der Zykloide (^K okott Nr, 2 und 3). \

2a. Ist K ein Kegelschnitt (1. Ellipse — 2. Paiabel — 3. Hyper-
bel), so beschreibt ein Brennpunkt P eine Delaunaysche Kurve (,1, elliii-
tische — 2, gemeine — 3. hyperbolische Kettenlinie). Die Fußpunfct-
kurve ist ein Kreis oder im Falle 2 eine Gerade (Kokott Nr. 6).
P ist uin beliebiger Funkt der Ebene des Kreises oder der Geraden.

2b. Es sei P der Mittelpunkt eines Kegelschnittes K. Dann
ist A eine Sturmsche Kurve. <3> ist eine Boothsche Lemniskate, deren
Mittelpunkt P ist Spezieller Fall: K gleichseitige Hyperbel, OBeraouIÜ-
sche Lemniskate, A Ribaucoursche Kurve vom Index 3 (^Kokott Nr. 1).

3a. K sei eine Zykloidale (gespitzte Epi- oder Hypozykloide).
Der Mittelpunkt P des Basiskreises beschreibt eine Ellipse A. Die

11 Suf /es TOvieiUs. — Mathesis S, 188-.!, U6-118.

•i) bez. Definition und Eigeuachaften dieset nnd der oudereD hiex crwähDlen -i
Kurven sehe man du Bnch von M. Loria. SpriirBr K«rvni. Leipzig (Teubner) 190*.—^

J

Das Abrollen yon Knrren bei geradliniger Bewegung eines Punktes. 309

Füßpunktkarve <t> ist eine Btemformige Trochoidale (Rosen -Karre
(Kokott Nr. 6)).

3 b. K sei eine gewöhnliche (gespitzte) Kreisevolyente^ dann ist A
eine Parabel, <t> eine Archimedische Spirale (verschlungene Kreisevolvente).
Dies ist der von Herrn Kokott unter Nr. 7 erwähnte spezielle Fall.

3 c. Ist K eine Pseudozykloidale^) (1. Parazykloide — 2. Hyper-
zykloide) , so beschreibt der Mittelpunkt P des Basiskreises eine Hy-
perbel A mit r als (1. reeller — 2. imaginärer) Achse. Die Fußpunkt-
kurve ist eine spezielle Pseudotrochoide (1. Differenzenspirale —
2. Summenspirale). SpezieUer Fall: K eine Pseudozykloide , A eine
gleichseitige Hyperbel; ehenfEÜls zwei Arten.

4. Rollt eine logarithmische Spirale K auf einer Geraden F, so
beschreibt der Pol P der Spirale eine Gerade A, deren Neigungs-
winkel (D gegen F durch die Gleichung tg <o =» A; gegeben ist, wenn
die Gleichung der logarithmischen Spirale in Polarkoordinaten q = Ce^^

ist (t> ist zu K kongruent.^)

Bemerknng. Die logarith mische Spirale kann als zwischen Para- und
Hyperzykloiden stehend betrachtet werden (Oestro S. 68). Die Hyperbel A ist
dann in ein Linienpaar ausgeartet; die Hyperbelachsen yertauschen sich beim
Übergange.

5. Die Sinusspirale vom Index n = -| ist die sogenannte Tschirn-
hausensche Eubik (Loria S. 401^ 614 und 666). Der Pol F teilt die
Strecke vom Knoten bis zum Scheitel der Schleife im Verhältnis 8:1.
Dieser beschreibt beim Rollen auf einer Geraden nach einem Satze von

Bonnet eine Ribaucoursche Kurve vom Index — .— r = — 2, d. i. eine

Parabel. Gleichzeitig ist die Tschirnhausensche Kubik die negative
Fußpunktkurve einer kongruenten Parabel für den Brennpunkt als Pol
(Salmon-Fiedler^ Höhere Kurven, 2. Aufl. Leipzig (Teubner) 1882,
S. 135.) •) und A sind also zwei kongruente Parabeln, P der Brenn-
punkt der einen (Kokott Nr. 4).

a. Wenn eine gleichseitige Hyperbel auf einer Sinusspirale A
vom Index n = — 5 rollt, so beschreibt der Mittelpunkt P der Hyperbel

1) AuflfElhrliche Literatorangaben bei E. Wolf fing, Über Pseudotrochoiden,
Zeitschr. Math. Phys. 44, 189—166, 1899.

2) Der Winkel co -» 45% den Herr Kokott irrtümlich als für alle log.
Spiralen geltend hingestellt, entspricht nur der Spirale 9 = Ce^.

8) Bei Loria (S. 86/87), der bei der Fälle des Stoffes offenbar die Identität
der so definierten Kabik mit den an den anderen zitierten Stellen behandelten
Kurven übersah, wird sie als ^Trisektrix von Catalan^c aufgeführt. Anßerdem
teilt mir Herr E. Köstlin mit, daß der von Herrn Loria (S. 93) flüchtig erwähnte
Ort der Mittelpunkte aller Kreise, die eine Parabel berühren und durch deren ^
Brennpnnkt gehen, ebenfalls die Tschirnhausensche Kubik sei.

310 ^- Wielbitner:

eine Gerade F (Gesäro S. 96). Die Yermittelnde Kurve K ist hier die
negative Fußpunktkurve der gleichseitigen Hyperbel in bezug auf den
Mittelpunkt, eine wenig beachtete Linie.

7. In Nr. 7 stellt Herr Kokott einen Satz auf, den man so aus-
sprechen kann: RoUt eine Spirale höheren Grades <t> mit der Gleichung
in Polarkoordinaten q^ ^ a"0 auf eiuer Parabel höheren Grades A mit

der kartesischen Gleichung x =» "~ xi ^T? ^^ beschreibt der Pol P

der Spirale (q «» 0) eine Gerade F. Es ist interessant hier die
Kurvenfamilie K zu bestimmen, die im Sinne des Habichschen Theo-
rems vermittelt. Das sind die negativen Fußpunktkurven der Spiralen
höheren Grades in bezug auf den Scheitel, Kurven, die fElr ein all-
gemeines n offenbar noch nicht untersucht sind. Ich will daher
wenigstens ihre Gleichungen aufstellen.

Das Lot auf einem Radiusvektor hat die Gleichung

(1) a: cosö -f y sinö^aö".

Sind also u und v Plückersche Linienkoordinaten, so ist

— i —1

(2) aw = — ö " cos ö, av — — ö * sin ö,

woraus sofort die Gleichung in Linienkoordinaten folgt:

(3) a^Viu^ + v^y • arctg - - 1.

In kartesischen Koordinaten erhält man eine Parameterdarstellnng;
indem man (1) nach differenziert. Dies gibt die Gleichung

(4) — X mn -\- y cos d ^- aO " •

Nimmt man hierzu (1), so ergibt sich für die gesuchten Kurven

1— n 1— n

(5) x^^d "^ (nd cos ö — sin Ö), y = ^ ö ** (n ö sin ö -f cos ö).

Man erkennt hier f iir w = 1 sofort die gewöhnliche Kreisevolvente,
die negative Fußpunktkurve der Archimedischen Spirale q ^ a^
(Nr. 3 b).

Um eine Darstellung in natürlichen Koodinaten s (Bogen) unfl
R (Krümmungsradius) zu bekommen, berechne man -r^ aus (5) u^^
bedenke, daß d als Tangential winkel genommen werden kann (höcfc

Dm Abrollen von Kurven bei geradliniger Bewegung eines Punktes. 311

atens abgesehen Yon einer additiven Eonstanten); sodaB 12 -* ^ gesetzt
erden darf. Man erhält

<«)

1 — 8«

dx a

^ ^e - 8mö(l-tH-«»ö»)

1 — 2n

äy a

dB n

— ^ö « cosö(l -n + n*d«)

'cmd hieraus ^^ oder

<7) B-Je~^(l-n + n«e«)

Diese beiden Gleichungen (7) und (7*) geben eine Parameter-
-darstellung in natürlichen Koordinaten; es genügt aber schon eine^
^twa (7), um die in Rede stehenden Kurven zu charakterisieren. Wenn

nun der Exponent gleich einer positiven ganzen Zahl g (0 ein-
geschlossen) wäre^ so wäre gemäß dieser Darstellung die fragliche Kurve
«ine {ß + 2)** Bjreisevolvente.^) Zu diesem Zwecke ist nur n =» , zu

nehmen, also gleich einem Stammbruch. Wie wir schon Jl, ist

«uch noch der Fall ^ == — 1 mit einschließbar^ welcher der ersten Kreis-

^Volvente entspricht. Die als Ort des Mittelpunktes P des Orundkreises

^om Radius a antretende Parabel höheren Grades hat dann die Glei-

^Imiig 07 + 3) a:^"*"*«^"*"*. Dieser Satz ist aber nur ein spezieller Fall

^:ine6 allgemeineren Theorems^ das ich in der nächsten Nummer auf-

^%ellen will.

8. Es sei die abrollende Kurve eine algebraische Spirale mit
er Gleichung

(> =* «0 + ^1 ^ + ^ ^* + ' • • + ^1. ^•

Der Pol P (^ =- 0), der für die Spirale ein n-facher Punkt ist,
oll eine Gerade F beschreiben. Dann hat man für die feste Kurve A
^^nach dem Verfahren des Herrn Kokott (fdO = dx, also

^9) x^a + aoe + \a,e^+ ... +-±^a.Ö-+S

^äazu
<9*) y = ao + a^ö + 0^0* + • . • + a^Ö".

1} Vgl. H. Onnen, Diactission d'un iysUme de apiraHes d'aprh leurs ^quations
^ssentkUes. Arch. N^rl. 10, 1876, S. 861—879.

312 H. WlBLEITHMi:

Diese beiden Gleichungen geben eine ParameterdarBtellung der
Baeiskorve A^ die hiernach eine algebraische^ sog. »rational-ganse Kurve <^)
(n + 1)^' Ordnung ist. F ist identisch mit y «- 0. Um K zu erhalten,
suche ich wieder die negativen Fußpunktkurven von (8). Man hat
die beiden Gleichungen

(10) I ^^<>®* + y^*'"^ + %*H h«,*"

1— a:sin d + y cos — 01 + 20^0 H t-na,«""*

und hieraus

ÄJ — (»o + ^^H |-a^*")cosö — (ai + 2a,ÖH |-na^*""*)sin*

(ao + OiöH han*")8iaö + («1 + 2a,d + - + na„ «"-^cos«,

femer

(") i:

(12)

de — K«o + ^<h) + («1 + 6a,) e + • ••+(«,-, + «(»-1) ««) fl"-'

^ - [(«0 + 2a,) + (o, + 6«,) e + . • • + (a,_, + » (h-1) aj fl-»

+ o,_ 1 ö"- ^ + a, «"] cos d,
also

(13) ^ = B = (ao + 2a,) + (ai + 6a,)« + ---

Das ist aber die natürliche Gleichung einer ganz allgemeineii
n^ Ereisevolyente. So haben wir nicht nur den Satz, daß die Fuß-
punkikurve einer n^ Kreisevolvente in hezug auf den MiUdpunki des
Grtmdhreises eine algebraische Spirale von der Oleichungsform (8) is^
sondern vermittels des Habichschen Theorems auch den folgenden: BolU
eine w'* Kreisevolvente auf einer Geraden, so beschreibt der Mittelpunkt
ihres Ghrundkreises eine rational-ganze algebraische Kurve (» + 1)^ Ordnung.

Unter diesen höheren Ereisevolventen ist besonders eine eingehender
betrachtet worden, nämlich ein spezieller Fall der zweiten, d. i. die
sog. Sturm sehe Spirale (oder Spirale von Norwich) mit der natür-
lichen Gleichung

(14) 9a^=-{R + 2ay (R - a).

Da man für jß — ^ = ± jai erhält, sind ihre beiden Spitzen

imaginär und sie hat ungefähr die Form einer Archimedischen Spinde.

Indem ich nun

ü = a(ö-/t)(ö-t/)

1) S. A. Brill, Über Singularitäten ebener algebraischer Kurven und
neue Kurvenspezies, Math. Ann. 16, 348—408, 1880, bes. § 1.

Das Abrollen yon Kurven bei geradliniger Bewegung eines Ponktes. 313

setze, mit der Bedingung, daß s ^ f Rd für » ^ bezw. 6 => v

gieidi ± jüi werde, bekomme ich schließlich (i ^ — v yij dabei
(15) B^a{\ + e% s = fö(3 + n

^^ox^us in der Tat durch Elimination von wiedef (14) folgt Infolge-
^^SBen erhalt die rollende Spirale, die Fußpunktkurve der Sturm sehen
®l>iTale, die Gleichung

Das ist eine Galileische Spirale. Für die Basiskurve erhalt man
Darstellung
<:X-^) ^«^|ö(3-Ö»), y==-a(l-e«)

hieraus

) 9aa:» = (y + a)(y-2a)l

Das ist aber eine Tschirnhausensche Elubik, deren Pol in o; — 0,
^ — \a liegt, wie man durch Transformation zu der bekannten
^*X^ichungsform leicht feststellt.

Denmach hat man die Sätze: BoUt eine Sturmsche Spirale auf einer

, 80 beschreibt der Mittelpunkt ihres Grundkreises eine Tschirn-

sensche Kubik. — BolU eine bestimmte Galileische Spirale auf

geeigneten Tschirnhausenschen Kubiky so beschreibt ihr Pol {q » 0)

G^ade.

Bemerkung. Nimmt man als feste Kurve eine rational-ganze algebraische
xirre von der speziellen Gleichnngsform

t erhält man fOr die rollende Kurve

0) e^ai + a^ löge + 2 a,e + |a,e* H 1- — ^- a^e»»- »,

rorans man die schon erwähnten Resultate für die logarithmische Spirale
as On BS 0) und die Archimedische Spirale (Oj = a, = • • == a« = 0)
^^rieder ablesen kann. Allgemein aber scheinen weder die Spiralen (20) noch ihre
^^legativen Fußpunktkurven behandelt zu sein.

Jede Bewegung kann bekanntlich umgekehrt werden. Es hat zuerst

^^. Chasles darauf hingewiesen^ daß^ wenn ein Punkt P einer bewegten

^bene c auf einer festen Ebene rj eine Kurve f beschreibt^ bei der

>migekehrten Bewegung^ wo rj als beweglich, s als fest gedacht wird,

die Kurve T immer durch P geht.*) Demnach kann man das Habichsche
Theorem in folgender Weise umkehren: Wenn fiei der Abteickkaig eiwr
Kurie K nttf einer Geraden f ein in der Ebene von K fester Punkt P
eine Kurve A heschreÜtl, und es roüt A auf der Fußpitnltikurvee <t> von P
in besKff auf K ab, so geht die mit A featverbundene Gerade F iniuwr
durch P (Cesävo § 6>*). Wir können bo jedem der oben aufgeführten
Sätze einen dnalistisChen gegenüberstellen.
Speyer. 2H. Nov. 1906.

Über singulare Punkte von Raumkurven.

Von Otto Biekhakn in Brunn.

Darstellung gefunden
G (j-, y, 5) =
als Unabhängige hinstellen und die

^

Wir wollen Raumkurven betrachten, die
haben:

Fix,y,z) = 0:
und wollen etwa die Variable .r
Kurve in der Umgebung ihres Punktes (xg, i/g. £g) durch die beiden
Reihen darstellen:

Diese Reihen haben die EigeoBchaft, die Gleichungen F — 0, G —
identisch eu erfQllen, d. h. es wird

F ("=,»,'

) = (^'. + AO.

fj-«.)+

i.m,('-

«,)•+■. .=s «, i

Gfe»,

)-(«)- + lT(i),

{' - 1.) +

h.'m,i'-

».)■+■■== «. 1

Mu li>t deaMb:

1

m^-m.^

(if).©.

^m.m-

M

(m-fa+

(ifua

^m.m.-

m

(a

-0.+^(S)

,(a+^

mMx^

(1"^).©^ 1

+(").©>

m{m

+(^0.

fl

(m

-a.+^'O

.©.-^^

m.a^

(P).C)! fl

+(ma+

lf).(S).

+(!?).(£).

^H

i) Aprri-u hktvrique rtr, Paris 1876, S. Mtt,

^H

^ d

^bI

über ringal&re Punkte von Raumkniven. 315

und kana ans dem ersten, bezw. zweiten Paare dieser Gleichungen im
allgemeinen die ersten bezw. zweiten Ableitungen von y und z nach x
an der Stelle (x^y y^y #0) eindeutig bestimmen ^ usw.

Wenn aber diese Bestimmung nicht eindeutig möglich ist^ so heiße
der Punkt ein smguiärer Punkt. Diese Definition ist von der sonst
üblichen rerschieden, wenn nämlich die Art des Verhaltens der
Schmi^^ungsebene an verschiedenen Stellen der Kurve in Betracht ge*
zogen wird.

In dem singu&en Punkte unserer Art muß also, wenn wir die
Ableitungen von F und O nach Xj y, b an der Stelle {x^ y^, z^ mit
F^j F^, F^j G^, O^j G, bezeichnen, die Determinante

F^ G, — F, Gy

verschwinden, und damit eine Unbestimmtheit des Gleichungensystemes
^^ \d) ^ y^7 (ä~) ■■ ^0 eintrete, muß noch eine der beiden Deter-
minanten

F^G^ — F^G,, F^G^ — F^G^

null sein. Doch wir sehen, daß dann, wenn die erste und eine der
beiden letzten Determinanten verschwindet, auch die dritte null sein
muß. Die singularen Punkte sind somit die Punkte, für welche diese
Determinanten und die Funktionen F uod G gleichzeitig verschwinden.
Nun aber können wir sagen, daß die Ranrnkurve an einer singa-
laren Stelle mehrere (wenn auch imaginäre) Fortschreitungsrichtungen
besitzen wird, und daß deshalb an der Stelle {Xq, y^, Zq) nicht am Ende
bloß ein Paar von Werten fär die zweiten Ableitungen von y und z
nach X besteht. Wenn zum Beispiel neben dem zweiten Paare der
früheren Gleichungen die Determinante

F^G,— G^F,

gleich null ist, so müssen zum Eintritt der Unbestimmtheit der Lösungen
noch die folgenden zwei Determinanten verschwinden:

-f« + 2F,,yi + 2F„z', + F^^y-* + F„z-^\ F,

G,. + 2 G,,yö + 2 G.X + G,,y^ + &. .'o\ G.

■f X, + 2 F^^y, + 2F,,z', + F,,yö* + F„z;\ F^

I G,, + 2G.,yo + ^G.A + G„yö* + G.A\ G,

Danach sind aber die Fortschreitungsrichtungen und somit y^, Zq in
einem singularen Eurvenpunkte durch zwei Gleichungen zweiten Grades
ZQ bestimmen, und es gibt darum in einem solchen Funkte vier Fort-

316 Otto Bibbmanii:

schreihingsrichtungmy bei welchem einflekchsten Falle eines singolaren
Punktes wir stehen bleiben werden.

Ob aber in einem singolaren Eurrenpunkte vier reelle Forfc-
schreitongsrichtungen existieren können^ oder ob nnr zwei oder gar
keine solchen bestehen^ dafür sind ans den Resultanten der zuletit
in Rede gebrachten zwei Gleichungen in y^ und m^ Aufschlüsse zq
erholen.

Diese Resultanten sind ganze Funktionen vierten Ghrades in y^ und
jeffl, etwa

beziehungsweise

die sich mit Rücksicht auf die Relationen

^(f,g,-f,g:)-o,
rJKG,-F,G:)~o

auf eine veränderte^ aber — soviel ich ersehe — nicht vorteilhaftere
Form bringen lassen.

Aus der Resultante ist zu ersehen, ob und wann der einzelne
Koeffizient an einer der singulären Stellen null wird, und unter welchoi
Umständen an einer besonderen singulären Stelle die in zusammen-
gesetzter Form anzugebenden Nullstellen der Resultante reell oder
komplex sind.

Zur Beurteilung der Eurvenbeschaffenheit in einem singulären
Punkte sollen danach nur die folgenden Bemerkungen gemacht
werden:

I. Es sollen drei Eoeffizienten der Resultante in y^ an einer zn
untersuchenden singulären Stelle verschwinden.

la, Ib. Wenn die aufeinanderfolgenden Eoeffizienten a^^ Oi, c^ null
sinä, Uq und a^ aber ein gleiches Zeichen haben, so muß es vier kom-
plexe Nullstellen für die erste Ableitung y^ geben, und der Kurvenpunkt
wird ein isolierter; wenn aber a^ und a^ von entgegengesetzten Zeidien
sind, so gibt es zwei und nur zwei komplexe Nullstellen derselben
Ableitung, und die Eurve geht darum durch den singulären Punkt in
zwei reellen Zweigen hindurch.

Nun können auch die Eoeffizienten a^, a^, a^ oder a^, Oj, a^ endlich
ttg, ag, a^ verschwinden und entsprechend werden:

I. 2 a. Zwei Wurzeln null und zwei komplex, wenn sgn o^ « sgnöf
ist. Aber:

über nngalftre Punkte von Baumkurven. 317

L 2b. Es werden zwei Wurzeln null und zwei reell, wenn
8gn a^ » — 8gn o^ ist.

I. 3. Im nächsten Falle ist eine Wurzel null, eine zweite reell
und die weiteren zwei sind komplex, also geht die Kurve in zwei reellen
Zügen durch den singulären Punkt.

L 4. Es sind drei Wurzeln null und die vierte ist reell, sodaß
jetzt von dem Eurvenpunkte vier reelle Kurvenzüge ausgehen, von
denen aber drei die gleiche Fortschreitungsrichtung haben.

n. Jetzt lassen wir zwei der Koeffizienten Oj, o^, a^, a^ verschwinden.

II. 1. Fallen zuerst zwei aufeinanderfolgende Koeffizienten aus,
so gibt es mindestens zwei komplexe Wurzeln, und der singulare
Kurvenpunkt wird ein „Knotenpunkt", durch den zwei Zweige gehen,
oder er wird ein isolierter Punkt.

Bevor wir weiter den Fall setzen, daß zwei nicht aufeinander
folgende Koeffizienten null sind, sprechen wir von dem Falle, wo in
der Resultante nur ein Koeffizient verschwindet.

lU. 1. Haben die Benachbarten dem verschwindenden Koeffizienten
gleiche Zeichen, so gibt es mindestens zwei komplexe Nullstellen, und
der singu^re Kurvenpunkt ist wie früher ein Knotenpunkt, oder er ist
ein isolierter Punkt.

nL 2. Haben die dem verschwindenden Koeffizienten benachbarten
Koeffizienten der Resultante ein ungleiches Zeichen, so gibt es vier
oder zwei oder keine reelle Nullstellen, und es gehen entsprechend viele
reeUe Kurvenzüge durch den singulären Punkt hindurch.

IV. 1. Wenn die Koeffizienten a^ und a^ null aber öq, a^, a^ alle
gleich bezeichnet sind, so wird es vier komplexe Wurzeln geben.

rV. 2. Existiert aber in der Reihe der Zeichen von a^, a^, a^
ein Zeichenwechsel, so kann der Kurvenpunkt entweder ein Knotenpunkt
oder ein isolierter sein.

rV. 3. Wenn zwei Zeichenwechsel in der Reihe der Zeichen der
letzten Koeffizienten bestehen, so kann der Kurvenpunkt entweder ein
isolierter oder ein Sjiotenpunkt von der früheren Art oder ein Punkt
«ein, durch den die Kurve viermal hindurchtritt.

V. 1. Wenn a^=- a^^^ 0, sgn Uq «= sgn o, ist, so wird der sin-
gulare Punkt ein solcher, durch den zwei reelle Kurvenzweige hin-
durchgehen.

V. 2. Doch wenn o^ = a^ « 0, sgn a^ =- — sgn o, ist, so gehen
möglicherweise vier, auf jeden Fall aber zwei reelle Kurvenzüge durch
den singulären Punkt.

Wenn die bisherigen Sätze keinen Aufschluß darüber erteilen, wie
viel reelle Züge durch den einzelnen singulären Kurvenpunkt hindurch-

318

f SoBÜaBLKE;

gehen, wenii also /,. B, der Resultante Überhaupt keine ülieder fehlen.
80 kann nur die Anwendung des Sturnischen Satzes zeigen, wie viele
reelle oder komplexe Fortschrei tu nga rieh tuugen existieren.

Die Untersuchimg der Diskriminante hat zu lehren, welche der
reellen Züge mehrfach i^hlen.

Der Schnitt einer Fläche mit zweifachen Flächen ponkten , unter
denen der biplanare, uniplanare, isolierte Punkt, der konische Knoten-
punkt, das Dornende und das gemeinsame Ende eines Doppeldomes
existiert'), mit einer anderen Flache gleicher Art zeigt die Terechieden-
artigen Vorkommnisse der singulären Punkte von Itaumkurven, die hier
allein gesetzt wurden.

Brunn, 12. Dezember 1905.

Über Krümmungskreise von Kegelschnitten.

Von Rudolf ScHii.ssLEii in Graz.

(Mit e

[ Figureotafei.)

Fast alle Konstruktionen des Krümmungsmittelpunktea für einen
Kegel Schnittpunkt 7) lassen sich nach Pelz mit Hilfe der Steinerschen
Parabel herleiten; diese berührt alle Geraden, die zu den Strahlen des
Büschels p normal konjugiert sind, insbesondere die Achsen des Kegel-
schnittes, die Normalen zu den Leitstrahlen in den Brennpunkten, die
Tangente und Normale von 71 und zwar letztere im Krümmungemittel-
punkte,"j

Auch die häufig bei elementaren Konstruktionen, z. B. bei der
Bestimmung des Schattens ins Innere einer Kegelfläche oder des aeo-
tralcn Schattens der Kugel oder der zentralen Projektion des Kreises
auftretende Aufgabe: „die Achsen eint^s Kegelschnittes zu finden,
wenn zwei Tangenten mit ihren Berührungspunkten und der Mittel-
punkt bekannt sind", läßt sich auf die Steinersche Parabel zorüc^-
führen.') Der Satz, daß die normalen konjugierten Geraden zu den

1) Archi? der Mathematik und Physik, (3) 5, 245, „Über die tweifachBn
Punkt« TOD Fl&chen", von Otto Bierniann.

3) Steiner-ScliiOter, die Theorie der Kcgelscbaitte lS9ä pag. SU6. Ctkni,
83'nth. geoiD. Theorie der Krünmmiig 1886 png. 21. Pelz, die Krnmmungthiitb'
mesger-Kdaatniktioneii der Kegelschnitte als Korollarien eioea SteiDeitclien
Satte«. {.SitEungsber. d. Kgl hShm. Ges. d. W. tSldi

S) Pelz, Zur wteseusch. Behundlutig d. orthog. Aionometrie IH. pag. 11.
(Sitzungaber. d. K. Akud. d, W. 188i). PeU, Beiträge tnr wIbs. Bebandtnng d ,

J

(j^ber ErämmnngskreiBe von Kegel scbDitten. 319

Strahlen eines Büschels p eine Parabel umhUUen, gilt nämlich auch,
wenn p nicht ein Punkt des Kegelechnittes ist'); dann gehören zu
den Tangenten dieser Parabel: die Achsen des Kegelecbnittes, die Sym-
metr&len i/",, H^ der durch p zu den Brennpunkten gezogenen Strahlen,
die Berührungseehne der aus p na den Kegelschnitt ge/.ogenen Tangenten,
die Symmetrale der Berührungspunkte (j, /, dieser Tangeuteu, die Kurven-
normalen in den Berührungspunkten t^, /, dieser Tangenten, die Normalen
zu pf und pf in den Brennpunkten /' und f\ die Leitlinie dieser
Parabel ist der durch p gehende Durchmesser des Kegelschnittes, und
der Brennpunkt der Parabel wird als Diagonalecke des durch die
Achsen und Symmetralen II^, H^ gebildeten Vierseites erbalteu. Dieser
Brennpunkt liegt auf dem Kreise, welcher durch p und die Berührungs-
punkte (,, /j geht und ist zu p bezüglich t^^, i^ harmonisch konjugiert;
ebenso liegt er auf dem Kreise durch p, f, f und ist zu p bezüglich f, f
harmonisch konjugiert.^}

Im folgenden soll für diesen Satz eine elementare Herleitung
gegeben werden, um die daraus sieb ergebenden einfachen Resultate
auch jenen zugänglich zu machen, welche mit der projektiven Geome-
trie nicht vertraut sind.

1, Bringt man (Fig. 1) die Normalen zweier Punkte t^, (, eines
zentralen Kegelschnittes mit der Hauptachse in o^, o, zum Schnitt, so
sind o, und o^ die Mittelpunkte zweier den Kegelschnitt doppelt be-
rührenden Kreise mit den Radien O^t^ und Oj(,. Ihr Ähnlichkeitskreis K.
(d. L der Kreis, welcher die beiden Ähnlich keitazentren zu Endpunkten
eines Durchmessers hat) geht durch den Schnittpunkt p der Kurven-
tangenten in /j und /j und trennt die Brennpunkte harmonisch'), ist
also durch p, {. f eindeutig bestimmt.

Bringt man die Normalen in /, und i^ mit der Nebenachse in o[, o,
zun Schnitt, so sind o\ und oj die Mittelpunkte zweier die Kurve

orthog. AxoD. pag. 4. (SitznngBber. d. Kg!. bSliin. Gea. d. W. 1885). Pelz,
Ober die Bestimmung der Achsen vou Zentralprojektionen des Ereisea. (Sitzungs-
ber. d. Kgl. böhm. Ges. d, W. im72}.

I) In dieser Form apricht den Satz schon Cbaales aus (Traitä lies Bectioiu
coniques p. 14&). Steiner fand, daB die Normalen zweier beliebiger Punkte
«ines Kegelsohnitt*), ihre VerbindungaHnie und die Achsen Tangenteu einer Parabel
Bind (Steinet-SehrCter. pag. 20ft), Auch bei der Konstraktion von Kegel-
achnittnormalen aus einem Punkte gelaugte Sleiccr £ii dieier Parabel (Oes.
'Werke II. tüW, und ebonBo Chasles.

!) Pelz „Ober die Acheeabe Stimmung der Kegelach nitte." (Sitznngaber. d.
V Ahtd. d. WisB, 1876). Pelz „Über die Auheeobeetimmung von Zentralprojek-
tiunea der Flüchen S. (irades- (Sitzangaber. d. k. Akad. d. Wisa. IST3).

320

doppelt berührenden Kreise mit den Radien o',l^ und "i',; ihr Äim-
lichkeitskreis K' geht durch den Schnittpunkt p der Tangeoteu Ton 1^
nnd /j nnd durch die Brennpunkte, ist also durch p, f, f eindeutig be-
stimmt. ')

Die beiden Almlichlceitakreiae K und K' schneiden sich in p und
in einem Punkte .'', welcher identisch ist mit dem Brennpunkte der zum
Punkt« p gehörigen Steinerschen Parabel; daß er die diesem Brenn-
pimkte zukommenden Eigenschaften besitzt, ergibt sich elementar aus
folgender Betrachtung.

Jeder der beiden Funkte p und n' hat als Punkt einoB Ähnlichkeits-
kreises zweier Kreise von deren Mittelpunkten Entfernungen, welche
sich wie die Kreisradien verhalten und wie die Lungen der Tangenten
an beide Kreise. Demnach ist

pi, _ 0, (, ^ Oi''i ^ f>\0{ ^ ^ ^ ?£}.

daraus folgt die Ähnlichkeit der Dreiecke sOyo[ und 50,o^ und die Gleich-
heit der entsprechenden Winkel. (Die Kreise über so^o^ und 8o\o'^
gehen durch », deu Schnittpunkt der beiden Normalen in ty und t^.
Femer folgt die Ähnlichkeit der Dreiecke st^o^ und s(,«, aus
der Gleichheit der Winkel bei o, und «, und dem gleichen Verhält-
nisee der in o, und Og zusammenstoßenden Seiten; daher ist 8t^o^ = s^fi^
oder der Kreis K^ über ;)',^, welcher auch n enthält, geht durch «;
wegen s(, : st^ — {o^t^ : ",(,) = p(, : pt^ sind s und p auf dem Kreise K
begüglich tj, ^ harmonisch konjuyieii.*) Mithin schließen die Geraden pa

1) Vergl. meiDe Abhandlung „über Kreise, welche Kegeleuhnitte dopp«ll
berühren" (Archiv d. Math. n. Phys. (8) S, 1—12, l'.IOa).

2) Definiert man eine Gruppe vou vier Bjeiapuntten abcd viie hannoniiii'.h,
wenn ac -. ad = be : bd ut, ao folgt duaus (Fig. V): 1) Die Winkelhalbierenden
in a und b tretleu cd in deoHeiben Punkten o und o, , ivelche cd harmoniich
trennen; der Kreis aber oo^a enthält aut-h h; — oder äi die Winkelbai bieMndan
von a und b schneiden den Kreis in den Endpunkten d, d, des ?,ii d nortnftleo
Durchmessen; um daher zu a bezüglich cd den harmonisch konjngierUn Punkt 6
zu finden, sucht man für das vollstündige Viereeit, dessen Seiten die Winkel-
halbierenden in a. die (ierade cd und deren Symmetrale sind, da» Diagonaldtviieit;
eine Diagonalseite iel die Gerade, welche a mit dem Halhierungspunkte m von ed
verbindet, die gegenüberliegende Diagonalecke i^t 6; — oder 3) o ist der ROhea-
■chnittpunkt des Dreieckes (f, if,», ; dann aind die Hohen die Winkolsjmmeitrales
des aus den Höhen fufipunkten gebildeten Dreieckes, d. h. dab = eam => drb
oder cab ^= dam -^ cdb, und amd ^ limb; jede dieser Gleichungen kann tat
Koiutrnktion von b verwendet werden : — oder 4) bringt man eine WinkelfaalbiertMiiia
von a mit ed und ihrer Symmetralen zum i^chnitt und legt durch die Schnittpunkte
nnd m einen Kreis, so geht er durch b; — oder 6) die Tangenten in n anil b M

^m

und pk (wo h der Halbieruoj^spunkt vou f,t^ ist) mit den Kurven-
tangeiiten aus p und daher auch mit den Geraden pf und pl" gleiche
Winkel ein; da ph ein Durchmesser der Kurve ist und also durch m
geht, bilden auch die auf dem Kreise K' liegendeu Punkte p, s, f, f eine
harmonische Gruppe, was auch unmittelbar daraus folgt, daß p uud s
die Schnittpunkte der beiden AhnlichkeitakTeiae K und K' sind. Das
waren aber die Eigenschaften, welche früher vom Brennpunkte der
Steinerschen Parabel hervorgehoben wurden.

Diese Resultate führeu zu folgenden Sätzeu: „Legt man an alle
Kegelschnitte mit den Brennpiinfden f, f aus dem Tunkte p die Tangenten-
paare und durdi jedes Paar l^t^ der Berührungspunkte und p einen
Kreis K^,, so scJtneiden sich alle diese Kreise in einem Punkte s, welcher
auf dem Kreise dvrch pff liegt und su p hezüglidi /', f und beeiiglicli
aller Paare von BfriäimtufSpunl-ten harmonisch kon'/u^iai ist."

^Für alte Kegeischnitte, icelrlw zwei Gerade in densdhen Punkten t^, l^
berühren, Hegen die Brennpunkte mit dem Schnittpunkte p der beiden
Gerodet» auf Kreisen, welche sich noch tn einem Punkte s schneiden;
s liegt auf dem Kreise durch pfit^ und ist mt p ftezüglich (,, ^ und be-
züglich aller Paare von BrentipmiKien harm-misch konjugiert."

Daraus ergibt sich zufolge der Eigenschaften einer Gruppe hur
Oioüischer Punkte am Kreise die Achsen konstruktion eines Kegels chnittea,
^^ean zwei Tangenten mit ihren Berührungspunkten l„ ^ und auf dem
*a t,tf konjugierten Durchmesser der Kurvenmittelpunkt »i gegeben
Kind: Man sucht zum Schnittpunkte p der Tangenten auf dem Kreise j)/,/,
^en hamiouiachen Punkt s bezüglich ^j^,; der Winkel pms wird durch
^ie Achsen halbiert.

Es .sei noch erwähnt, daß die Berühningsaehne i,/, den zu t^l^
ItoDJugierten DurchmeBser in zwei Teile trennt; auf dem Teile, welcher
^en Schnitt der Tangenten enthält, Hegen die Mittelpunkt« der üyper-
leln, auf dem anderen die Mittelpunkte der Ellipsen. Für die einzige
Tarabul, welche unter deu die beiden Geraden in (, und (, berübreniien

1 — . ,

^B •ohneiden ed im Halbierungepunkt« o von oo^ (wegen o,oa ^- 0,a(i); a und b liegen

^B mit dieaem Schnittpunkte auf einem Kreise, welcher durch den Kieiamittelpunkt m

^B ood m geht; der Kteie, welcher deu gegebenen in a normal schneidet und seinen

^B Hittelpunkt auf cd bat, geht durch b; — oder tt) Errichtet mnn in o eine Normale

^B auf ao, Bo schneidet sie die Seiten ac uud ad in den Punkten 1 und 3; die Drei-

^H ecke n 13 uud d^i-d sind ilhnlich &1h gleichschenklige Dreiecke mit gleichem

^B Scheitelwinkel, ebeuBO die Dreiecke aob und il,mb wegen Gleichheit der Winkel,

^B aUo sind die Vierecke cd, db und lalb ähnliche Fignren, d. h. ia2i> ist ein

^B Sthuen Viereck, der Kreis über a 13 t^welcher in ao seinen Mittelpunkt hat) gebt

^H durch b, woraus sich wieder eine Bestimmung von b ergibt iiaw.

^M A.ctui der iUlücm.lik und Pbyiik. UI. K«>Iie. XI. 29

I

J

RoDOLf Schübhlgb:

Kegelschnitten vorkommt, halbiert (wie später bewieBen wird) der
Brennpunkt die Strecke ps.

a. Verbindet man (Fig. 1 ] den Schnittpunkt » der Kuireimormalen
von /j und l^ mit p, so erhält man einen Durchmesser des durch s
gehenden Kreises K^\ daher ist psn ein Rechter, also für alle konfokaleo
Kegelschnitte konstant; bringt man die zu pf und pf in f und f er-
richteten Normalen zum Schnitt, ao erhält man einen Punkt r des durch
N gehenden Kreises K', und es ist psr ein Rechter d. h.:

..Legt man an alle KegelschnÜie mit den Brennpunkten f und f
aus einem PanJcte p dir Ta»ffenienpaare und in deren Berührung^puTikten
die Kwvennormalen, so schneiden sidi diese Nonnalenpaare auf einer
Geraden, welßhe den Kreis über pff in dem zweiten Endpunkte des durch
p gehenden Kreisdurchmessers und in dem zu p bfzüglich ff harmonisch
litmjugierien Punkte s schneidet."

Wählt man insbesondere unter den konfokalen Kegel scboitten jeoe,
welche durch den Punkt p gehen, so fallen für diese die Tangenten-
berührungs punkte /, und /, mit p zusammen, die Kormalen in /, und J^
werden unendlich benachbart, ihr Schnittpunkt wird zum Kriimmangs-
mittelpun/äe ji des PunJitesp; dieser tcird demnach auf der Kurvennomialen
von p durch die Gerade atisgesclinitien, wddie in s auf sp normal statt
oder durch jenen Kreis K^, welcher in p die Kurve berührt und durch s
gäU (Fig. 3).

Ana den Eigenschaften der harmonischen Punktgruppe psff er-
geben sich eine Reihe von Konstruktionen fiir den Krümmungsmittel-
punkt (Fig. 3):

Sind nicht die Brennpunkte sondern die Kegel seh uittachsen und
ein Kurvenpunkt p samt Tangente 2' gegeben, so verbindet man p mit
dem Kurvenmittelpunkte m und sucht zu dieser Geraden je die sym-
metrische bezüglich einer Achse und der Tangente T; die so erhaltenen
Geraden schneiden sich in s\ die Xormale in s zu 5j) enthült den
Krümmungsraittelpuukt.

Der Kreis K^, welcher in p die Kurve beriibrt, durch s geht
und (i enthält, schneidet die beiden Leitstrahlen pf und pf in den
Punkten 1 und 2, sodaB 12 durch o, den Schnittpunkt der Kurven-
normalen und Hauptnebse, geht.') Da 12 normal zu po, und ;* 1 nornial
KU ;'/' ist, gibt dies die bekannte Konstruktion von (i: Maa bringt die -«
Kurvennormale mit der Hauptachse in o zum Schnitt, zieht durch «^
die Parallele zur Kurven tan gen te bis zum Schnitt 1 mit einem Leit»,^-.
strahle und errichtet auf diesen in 1 die Normale; diese enthält (i.

1) Yg\. die'Ajimerkuii(

J

Die Dreiecke pso' und pom sind älmlicli, da die Winkel bt;i p

I fleicfa sind und die Winkel bei wt und «' gleich smo sind; Sfi ist

Donnnl zu sp, ond oii normal zu op; daher teilt /i die Strecke o'p im

gleichen VerhältnisBe wie <i die Strecke mp, d. h. dft ist parallel der

Nebeiiachse. Dies gibt eine bekannte Konstruktion des Krümmungs-

nittelpunktes : Man bringt die Kurvenno rmale von p mit der Haupt-

whse in o zum Schnitt, zieht durch o die Parallele zur Timgente, bis

den Durchmesser mp in d trifft; durch d zieht man die Parallele

■ Nebenachse, so schneidet diese die Kurvennormale im Krümmungs-

Ktittel punkte.

Bringt man den Kreis über mnso' mit sr in x zum Schnitt, so

ind die Dreiecke ü'to und (}»'o' kongruent, weil aöo' =xS'i' ^^pso-^ot/vi

Bestimmt man zu x den symmetrischen Punkt y bezüglich des

Durchmessers oo', ao sind die Dreiecke oyo' und o'nio kongruent, d. h. oy

ist parallel der Nebenachse und o'ii parallel der Hauptachse; die zu xs

aymmetrische Gerade yp steht auf der zu ps symmetrischen Geraden piii

normal. Dies lit-fert die folgende bekaniits; Konstruktion von p: Man

^Lbringt die Kurrennormaie mit den Achsen in o und o' zum Schnitt,

Bliebt durch o und o' die Parallelen zu den Achsen und fällt vom

^■Schnittpunkte y dieser Parallelen die Normale auf den Durchmesser mp]

^KStese Normale enthält p.

^P Diese Beispiele zeigen die Möglichkeit, eine Reihe bekannter ein-
facher Konstruktionen fiir den KiUmmungsmittelpunkt elementar her-
zuleiten. Umgekehrt liefern diese Konstruktionen wieder die Lösung
der Aufgabe: „einen Kegelschnitt zu konstruieren, wenn ein Krümmungs-
!■ kreis k mit st-inem Berührungspunkte ]> unter den Bestimmungselementen
|,tuftritt." Einige Fälle seien angeführt (Fig. 3):

Gegeben /■ mit p und der Kurvenraittelpuukt m. Man kon-
Krtraiert über pp den Kreis K sucht zu pm die bezüglich pp sym-
I^etiisch liegende Gerade und bringt sie mit K^ in s zum Schnitt;
Kdie Achsen des Kegelschnittes halbieren den Winkel pms. Liegen m
ind p auf derselben Seite der Tangente von p, so erhält man eine
■Xllipse, sonst eine Hyperbel.

2. Gegeben />' mit 2* und eine Achüe. Man bringt die Tangente
Imd Kormale »on p mit der Achse in ( und n zum Schnitt; der Kreis K
[über In als Durchmesser schneidet den Kreis K^ über pp in s; die
bezüglich der Normalen symmetrisch liegeude Gerade trifft die
Achse im Kurvenmittelpunkte m. Man erhält eine Ellipse (Hyperbel),
3 j- und « auf derselben (verschiedener) Seite des durch p gehenden
parchme^sers P von K liegen; für die Parabel liegt s in P.

324

3. Gegeben /. mit p und ein Brennpunkt f. Man kooBtriiieri
über jtfi als Durchmesser einen Kreis K^,, schneidet ihn mit pf und
zieht durch den Schnittpunkt die zu pfi normale Sehne; sie trifft pfi
in einem Punkte der Hauptwchse, den Kreis K^ in einem Punkte de«
zweiten Leitstrahles. Man erhält eine Hyperbel, wenn f und fi auf ent-
gegengesetzten Seiten der Tangente T von p liegen, oder wenn f inner-
halb des Kreises jt gewühlt wird, welcher den Krümm ungskreis in p
von innen berührt und zum Durchmesser den halben Kriimmungsradiu»
besitzt; man erhält eine Ellipse, wenn f mit p. auf derselben Seite von T
aber außerhalb des Kreises r liegt, und man erhält eine Parabel,
wenn f unendlich fem ist oder auf dem Kreise x liegt (wie spater
gezeigt wird).

4. Gegeben Ic mit p, der durch p gehende Durchmesser D und
die Achsen rieh tun gen (Fig. 4). Die zu D bezüglich der Normalen
symmetrisehe Gerade schneidet den Kreis über pfi in s; m wird nuuj
80 auf 7) bestimmt, daß D und sm mit der Achsenrichtung gleicbc^^l
entf(egengesetzte Winkel einschließen.') ''

1) Wenn man « ela Brennpunkt der Steinetichen Parabel anuebt, wclcb«
voD alleu konjugierten Normalen zw den Strahlen des Büscbela p eingehüllt wird,
und die ParabeleigenBchaft benutzt, daB jeder Kreia, der einem TangeutMidreiEckt
amichricben i«t, durch den Brennpunkt geht, so kann auch die Konstruktion eiaM
EegeUchtiittea durcbgefSbit werden, wenn auBer dem Krümmungskreiae k nil
Berilhmngspunkt p gegeben aind; a) Eine Tangente A mit Berührungspunkt«
(Fig. 5). Zu den Tangenten der Steinerschen Parabel gehören die Tangent« T
nud Nomale N von ji, dann die Normale xu pa durch den .Schnitt, vod T
und A; der diesem Tangenten dreier ke umHcbriobeoc Kreis xchneidet den Erei« Km
(dessen Durchmcaser pft ist) in s; der durch p gehende Kurve ndarcbaieaser D ist
ejmmetriscb xu pg bezüglich X; der durch den Subnitt von T und .4 gehendM,!
Kurvend UTchmeMer D halbiert pa; daraus ergeben sich ni und die Achsen, b) Zwst '
Tangenten A, und A, (Pig, 6j: Verbindet mau ihren Schnittpunkt a mit p, m.
erh&lt man den Pol x von ap als Schnitt von T mit drr zu ap bezüglich J,, J,,
baimunisch konjugierten Onraden, d. h. schneiden A^ und A^ die Tangente Tf
in X, und x,, so ist x zu p bezüglich x,:r, harmoninch konjugiert. Die Nonnabi
durch X EU ap ist Parabel tan gcnte uud bildet mit TN ein Dreieck, detaen un-
Bchriebener Kreis den Kreis Kp io i schneidet; die zu ps bezilglicb iV b jmmetriach* '
Ijerade ist ein Kurven durch messet D; einen zweiten erhält man z. B. mitt«U der^
Polaren von x, ; diese steht auf der durch x^ gebenden Tangente T, der Steiner-
Bchen Parabel normal und trifft Ai im Berührungspunkte a, ; der durch x, gehend*
Kurve nd uiehm esBGT ü, halbiert pa,. (J, wird leicht gefunden, da der Brennpankt tp
and die Leitlinie D der Parabel gegeben sind: Man sucht auf D dea Punkt t,J
sodaB z,i, ^ j:,s ist; 't\ steht dann auf s«, notmal, oder pa, ist parallel zu >i,l.
C) Zwei Punkte q, und q, (t^g. T). Die Gerade q,q, schneidet J in q; fili g lÜl|,
sich die Polare Q finden, da «ie durch p geht nud q^q, iu dem zu q hatmoni*eh||

konjugierten Punkte achi
Parabeltangente und bildet

idet.

TN

Normale durch

I dieser Polaien Q titj]
1 umscbriebroer I

laicD Q iiijj
broer KteU

J

3. Eh soll noch erwähnt werOen, welche VeriiDderimgeii die vorau-
gehenilen Betrachtungen fflr die Parübel erleiden.

Bringt mau für zwei Parabelp unkte ([, /j, deren Tangenten sich
in p schneiden, die Normalen mit der Pnrabelachse in o, and o^ zum
Schnitt, so sind Oj und o, die Mittelpunkte zweier die Parabel doppelt
berührender Kreise mit den Radien Oj(, und o^f^. Ihr Ahnlichkeits-
kreis K hat den Brennpunkt f zum Mittelpunkte UJid geht durch p.')
Der bei zentralen Kegelschnitten auftretende zweite Ähulichkeitskreis
mit dem Mittelpunkte auf der Nebenachse zerfällt hier in die unendlich
ferne üerade und die Gerade pf. Kn hoU nämlich gezeigt werden, daß
der zweite Endpunkt s des Durchmessers pf von K die Eigenschaften
des Brennpunktes der Steinerschen Parabel, welche zu p gehört,
besitzt. ^)

Die Schnittpunkte der Tangente und Normale eines Parabel-

pnnktes f, mit der Achse liegen zu f sj'mmetriBch, daher ist (Fig. 8)

fl ■= fo^ und wegen i*/' = s/" ist so, parallel p\ d.h. t^o^s ein Rechter

und aus denselben Gründen t^o^s ein Rechter. Für s als Punkt eines

AhnlichkeitskreiBea ist sn, : so^ — o^f^ :Ojt^; daher sind die Dreiecke sfjOj

und st^o^ ähnlich und st^o^ =s(jOj, d. h. t^st^n und p liegen auf einem

Kreise K^. Da auch p dem Ähnlichkeitsk reise angehört, ist p(, :ptf

= Oj (, : 0,/j = s(, : s/j (wegen Ähnlichkeit der Dreiecke s(,Oj und s(,o,);

daher bilden psl^t^ eine harmonische Gruppe, und s ist durch p(,(,

eindeutig bestimmt.

^L Für die Parabel gelten also die Sätze; „Unter allen Kegelschnitten,

^Blvelclie atcei Gerade in denselben Punkte» t^, t^ berühren, gibt es eine

^ Parabel; ihr Brennpunkt f halbiert die Strecke ps, wenn s der zu p

ftarmonisch konjugierte Punkt heziiglick (,, (, auf dem Kreise durch pt^t^ ist."

„Legt man an alle Parabeln mit demselben Brennpunkte f aus dem

I-Punkte p die Tangentenpaare, so liegt-n die Paare /, ^ von Berührungspunkten

mit p auf Kreisen (K^), w^che eine gemeinsame Sehne ps besitzen, deren

u£olbierungspiinH f ist."

('den KxfU Kp in » echneidet; die zu ps besüglich N Byrnmetrische Gerade Ö, iat
1 Kurvi'ndurcbuieeeeT; um einen «weiten DnrchmesBcr D zu erhalten, sacht man
, B. den Fol x von pg, , wekher uaf der za pq, normalen Porabeltangente lie^
(nebt man durch s eine P&rallele zu pq^ und Bchneidet sie mit 1) in «,. so muB
xt, "= X» sein); der duri:b j: gehende Uurchmesaer />, halbiert pq,.

II) Vgl. die früher litierte Abhandlung „über Kreiae, welche KegeUcbnitte
doppelt berühren."
2) Vgl, Pelz ,J)ie Krümmnogahalbmeaaer- Konstruktionen" pag. 18. Die Uit-
tinie der Steinerschen Parabel iat der durch p geheude Durohmeaeer der ge-
gebenen Parabel, also ihre Achge die Scheitelt angente der Steiuerachen Parabel,

BcDOtr Sobühblsb: ÜbM ErUmmiiDgakieiH i

„Wenn man an edle Parait^n mit dem Srennpunkte { in dm
Punktepaaren /„ /„ deren Tangenten sich in demseWi^ Punkte p schneidm,
die Normalen sieht, so liegen die Schnittpunkte dieser Normalenpaare
auf einer Geraden, trelche pf in s normal schneidet, icohei f der Halhir-
rnnffspiinkt von ps ist."

Wählt man insbesonderu jene Parabel, velcbe durch p geht, so
erhalt man ein Paar uDendlich naher Kurvemiorinalen, deren Schnitt-
punkt der KrümmungBmittelpunkt n von p ist; p liegt auf der Normale
in s auf /IS oder auf dem Kreise K , welcher in p die Kurve berührt
und durch s geht (Fig. 9i. Dies ist die bekannte Konstruktion der
Krümmungsradien für Parabel punkte: die Normale in f auf p/' schneidet
die Parabel normale des Punktes p in c, sodaB pc der halbe KrOmmunga-
radius ist, oder der Durchmesser des Kreises, welcher die Parabel iu p
berührt und durch /' geht, ist gleich dem halben Krümmungsradius.
Auch andere Bestinimungsarten des Kriimmungsmittelpunktes lassen
sich leicht herleiten:

Bringt man die Normale des Punktes ji mit der Leitlinie Z^ in b zum
Schnitt (Fig. 9) und zieht den zur Achse parallelen Leitstrahl pg, so
sind die Dreiecke pgb und pfc kongruent, also pb, d. i. das Stück der
Normale zwischen p und der Leitlinie, gleich dem halben KrUmmunga-
radins.

Errichtet man in f zur Parabelachse die Normale und schneidet
sie in a mit der Kurveonormale von p, so sind die Dreiecke
afo und cfp kongruent, daher ao ^ pc; d. h. für jeden Parabel-
punkt ist daK Stück der Normale zwischen der Achse und der
zur Achse normalen Geraden durch f gleich dem halben Krümmungs-
radius.

Umgekehrt liefern diese Resultate ein Mittel für die Konstroktion '
eJDer Parabel, wenn als Bestimmuugsstück ein Kriimmungskreia k mit
dem Mittelpunkte ft und dem Radius p auftritt. Es sei außerdem
gegeben :

I. Der Berührungspunkt ]i tmd die Achse n rieh tu ng. Der nicht
zur Achse parallele Leitntrahl schneidet den Kreis K , dessen Durch-
messer p/n ist, in s; f halbiert die Strecke ps.^)

1) Tet der BvrühmogBpunkt p aad eine Taogentc A gegeben (.Fig. 10), so litht
man durch p eine Parallvir A^ tu A und »acht in A^ dm Pol o, beECtgUcb drr
Parabel; a, liegt auf der Tangente T von p, uud zwar wird ^ durcb A b«1bifTt.
Dip Normale von a, nuf A, ist eine Tangente der Steinerschen Parabel und bilde!
mit T und A' ein Urri«eit, dcBnen amachriebener Kreie den Kreid Kp aber fp
\a I Bchueidi't; pg wird durch f halbiert.

d

L. S^AMoirtn: ftrMifie^ K«H^>ii^K^^ ^^^

2. Die Leitlime L (Rg, 9\ Dw $.\\m KTÜPnm\i\s^\<m% K^\Ht^iH?t\^hv^

Kreis y dessen lUdius -^ beliigt, schn^'uM fM^ \M\iM^ (H ^t ^^ ^S\^

halt den Berühningspnnkt p d«6 Krümmungiikr^iii^Mt ^kinun PY^{\\\
8ich die Parabeltangenie in p, das Leitttnüiknpiiai^ v^m f) \\\\\\ \\h
Brennpunkt f. Die Aufgabe ist sweideutiK uml itilit nut- liOdUMK^M«

Hu
wenn der Abstand der Leitlinie L von jü nicht ^HiBur nln ^^ Int: Htlf

So

X Ton [i die Entfernung ^% so ist k dor KrdmintiiiKikff^in itn NcliMil:^!

der Parabel; und diese ist eindeutig bestimmt.

3. Der Brennpunkt f. Man sucht jenen Krnis, (li^SNen (InreliffiMi^^f
gleich dem halben Krümmungsradius ist, welc^hsr duriili f fft^hh iin*\ Ir
berührt; sein Berührungspunkt mit k ist dor gi^stiolttf* Ut*ti\hrmfti^
punkt |) mit der Parabel. Oder man sucht J9ii#» H^hn^ fm Ir^ «r^l^fr^
durch f im Verhältnisse 1 : 3 geteilt wird; der dwn blärfi^^rf A^<#^>rw^t*#
angehorige Endpunkt ist der BeHlhmngsfmnkt p ttm Vnfntml tfi^
Au^l^abe ist zweideutig und ist nur mtfffiiehf w^ti f ifiti^hnih 4^
Ereisringes liegt^ weleher dorefa k und Am hmr/Attitif^hmt Kt^ ttrH,
dem halboi Badiw be g ie mt wird. f;«r UfM^^, Kf^§ l«t fhf 0f&f^
farische Ort der Bie i mpua kle jener Farabehi^ tfh w^Jw>» k A^HfMtrffrrrtf^
kreis des SAäbth utL

Graz. Nfyfeoiber 190S.

Iei (ion 5. Btoufe IfV»^ ^#9«- 7^^^\^^ ^ i^l W rr^

Herr Matthi««5ii^ ^ns«» krtHnr^ i>w 4f#r 9'<^rA^yfr¥ß& 4^ jf**f^
brtfde ^srilhiitlidit; »ter to <?nfT||0vf ÄWMrfrniH^rn It4»!-^*n^fvr'li«*^ >J'^**^
dem dsr Werr TfarfiMMr ü^ im fWtrhtw*}»^ rof» ?^»yr^<r*' ;mf*:?i^*»-^^*
Sii» iibsr rüe pmcMÜsi^tMif BfHt^wbrfW^fH^ j>>4kw#*^flf^h /vr^nm^n^Oi^^^
Uli üBlwieM in .«fl^^Mr .\rf wn >^H^:Ai<in> /w^t ?M ^ ^'-^^ ^*^
Iheoim» VI xmi VU rfhtm In f^^mn ^» fK^* f*v r«if%f.r»r,*<^. w^»
TeiüuHn im Werte»* ..OK^ fi<i' rfo'H^f^m H^v^nn^^^*»*' «^ >i.*># .*,,*
FMsang etwa» zn ^i^innp^^nf iHr»^.

Das Theorem VI lautet:

VI. „Wenn iimerlialb der Peiiode einea Kettenbruches, wekher
durch die Entwicklung einer Irrationalen zweiten Grades entsteht, in
der Gleichung der vollBtändigen Quotienten (Ü) 2£, dnrch D^ teilbar
wird, HO ist der Quotient [d. h. 2E, :2)J gleich dem unvollatändigen
Qaotieiiten a^, die Periode gyiumetrisch und a, der Anfang oder die
Mitte derselben."')

Der erste Teil dieses Satzes ist nur richtig, wenn die quadratische
Form ij)^, E^, — JJ,_i) nicht nur ambigue, sondern auch reduziert ist,
und folgt für diesen Fall direkt aus der Theorie der quadratischen
Formen. Z. B. ist (6, 15, — öO) eine ambigue, aber keine reduzierte
Form und die positive Wurzel der Gleichung 6:r* — SOa; — 50 —
enthält 6 (nicht 5) Einheiten.

Waji aber den 2. Teil betrifft, so ist allerdings für die poeitive i
Wurzel der Matthiessenschen Gleichung Öa"* — 15x— 13^=0 die
Periode (3, 1, 2, 2, 1), welche bei Verschiebung des Anfangspunktes
die symmetrische Gestalt (2, 1, 3, 1, 2) annimmt; aber für die positive
Wurzel der Gleichung x^ — 124j- - 121 - ist die Periode (124, l,
■iO, 2, 30, 1), oder verschoben (2, 30, 1, 124, 1, 30), und dieselbe läßt
sich (im Gegensatze zu derjenigen der oberen Gleichung) weder so
ordneu, daB sie aus einem Einzelgliede und einer geraden Anzahl
anderer besteht, noch auch so, daß um ein einzelnes Mittelglied die
anderen nich symmetrisch anordnen lassen. '

Das Theorem VII sagt aus;

VII. „Wenn innerhalb der Periode eines Eettenbruchea, welcher
durch die Entwicklung der irrationalen Wurzel einer quadratischen
Gleichung entsteht, i^,==ö„„i wird, so ist die Periode symmetrisch i|
und besitzt zwei gleii:he mittlere Glieder und umgekehrt.'* ||

Dieser Satz kann nicht als vollständig bezeichnet werden, denn '
bei der Matthiessenschen Gleichung öj:*— 11j;~Ö = ist die
Periode für die positive Wurzel allerdings (2, 1, 1, 2) mit zwei gleichea
Mittelgliedern, bei der Gleichung 17 j:' — I4i — 17 ■— ist sie aber ,
(1, 2, 36, 2. I) mit einem einzelnen Mittelgliede.

Soll aber nur darauf Gewicht gelegt werden, daß bei den Olei- 1
chnngen angegebener Art symmetrische Perioden oder solche mit einem
Sehlufigliede (bez. Aniangsgliede) entstehen, so ist zum Beweise daflir
das Serretsche Theorem IV vollkommen ausreichend.

1) Die OL (») dea Herrn MatthieuBeD für den voUetäDdigen Qaotienten t,^^ I
Uuteti

D.xi— 3E,x,— D,_, = o.

J

Penodiflche Ketienbrüche. 329

Bei den Zahlenbeispielen am Ende der Abhandlung sind die
Perioden übrigens nicht Uar erkennbar, ebenso wie der Ansdrack, da&
^e symmetrische Periode auch ein oder stoei Endglieder^ haben kann.

Doch soll gern anerkannt werden , daß schon der Hinweis des
Herrn Matthiessen auf die beiden besonderen Formen seiner Glei-
chnng (9) Ton Wichtigkeit ist

Alle beiüglichen Fragen werden Tollstandig und präzise mit Hilfe
der Lehre Ton den quadratischen Formen beantwortet, nnd ich lasse
die BesuUaie meiner Untersuchungen hier folgen.

1. Wir bezeichnen einen Eettenbruch als echt oder unecht, je
nachdem er die Form

oder g +

a + ^ • o +

beritst Die Periode rein periodischer Kettenbrüche beginnt im ernten,

Falle mit a, im zweiten mit g.

Wir geben femer folgenden rier Periodenarten die beigesetzten

NamoDi:
ö«, fl,-i, " f <h^ ^> ®i> • • 'f ^m-if ^m tfduufe UmkehrperuMik f
a^, a,_i, — , «1, o^y o^y «1, . . -, <^n^if *• flodie Umkehrfßeriode,
a., a,_i, . - ., «1, «t» <^> ' - -f <*»-if <*•» ^ scharfe AhMußjMtriotlHf

Man eikennt dabei leielii, da£ eint; sebarfe Umkijbrp^ri'xl^; dun:b
Veriegong des Pmodfffianfaigs txk einer iSaeben K\mk\\iXt^fuAn^ und
nmgekdnt, wird, da2 aber eine flaebe Vmkehrp^rU^, mwiM t^iim
scharfe AbadünBperiode bei solebo' V^erlf^guiig deit ^*i(r'^Ml^nmif^il^(u
ihren Chankter m/Ai ändert

Aue Perioden allgemeinerer Art Umß^i mr in dttr Ueimnutmi^
asjfmtndrimke P^riuim zuattounen.

2. Ein echter Ketbonbrudb luit r^fitMor (w^AmrtMr ^mImit ÜHJuU^r) Hfu-
kelirperiode liflt sidb durdb dk p^milvtt )N^r/M *:iftJer ^il/^i^'hui^ vom

(A) Mt^^tU iZ-O

(B) M'^^-'iMp^^ - N^^h

worin M[l + 2p) — N positiv aeiii muß, eummiereD. In diesen Glei-
chungen bedeuten M, L, N, Mp, '2p positive ganze Zahlen.

Dieselben Hütze gelten auch für die sogenannten „crsl-en Wurtdn'^ a
der Form {M, L, — M), welche wir eine rezipj'olie nennen wollen, und
i2 der Form {M, Mp, — N), welche eine ambiffur heißt, nur daß die
Kettenbrüche nicht echt, sondern unedtt sind.

Läßt aith die quadratische Gleichung mit ganzen Koeffizienten:
(1) Py'+2Qy + B~0

TermÖge der Substitution p — — ^j- , worin a, ß, y, d ganze Zahlen,
und aS — ßy ^ ±\

a) auf eine Gl. (Ä), aber auf keine Gl. (B) zurückführen,

b) „ „ „ (B), „ „ „ „ (A)

c) „ „ „ (A) und anoh auf eine „ (B) „ ,

d) weder auf (A) noch auch auf (B) „

so bilden die periodischen Teile der Kettenbruchentwicklungen für die
Absolutwerte der Wurzeln der Gl. (1)

ad a) eine flache Umkehrperiode,

ad b) eine scharfe Abschluß per iode,

ad c) eine scharfe Umkehrperiode oder

eine flache Abachlußperiode, je tiach Wahl des Perioden-

ad d) eine asymmetrische Periode.

Die Gl. (1) kann in den ersten drei Fällen auch mit einer GL (ÄJ
oder einer Gl. (B) identisch sein.

3. Bezeichnen wir mit D die Determinante der Form (M, L, — 3f),
beziehungsweise der Perm (M, Mp, — N), also

D = M'+ U, bez. D - JlfV + 3f iV,
und mit ff den Teiler der betreffenden Form, und stellen die QL
(C) fii_/j„s__^t

auf, so ist diese bekanntlich mitunter für t und w in ganzen Zahlen
lösbar, in anderen Fällen nicht lösbar. Dies Verbalten ist auch für l
den vorliegenden Gegenstand der Betrachtung von entscheidender-^
Wichtigkeit; es gelten die Sätze:

Die positive Wureel der Gl. (A) oder die erste Wurwel a dem^-
reeiproken Form besitzt, tcenn (Cj lösbar ist, eine scharfe, wenn (C) tw
lö^ar ist, rine flnehf f'mkihrperiode.

PeriodiBche Kettenbrüche. Hftl

Die positive Wurael der Gl. (B) oder die erste Wurzel Sl d^r
ambiguen Form besitat, wenn (G) lösbar ist, eine flachey wenn (C) nicM
lödkMT isi, eine scharfe Absddußperiode.

Insbesondere folgt hieraus:

Die Kettenbmoheniwicklung Ton Yt) — k, wenn X die gröftte in
Yd enthaltene ganze Zahl ist, besitzt eine flache oder eine nchAtte
Abschloßperiode, je nachdem die Gleichung t^ ~ Du^ »-i — 1 in ganzen
2^1en f&r t nnd u lösbar ist oder nicht lösbar ist.

Das letztere ist immer der Fall, wenn sich I) nicht in die
3nmme zweier Quadrate zerlegen läßt, also z. B. wenn D die Oestdt
41+3 hat.

4. Wird nun gefragt, welche Art der Periode dem Absolutwerte
einer Wurzel der allgemeinen Gleichung

worin P, Q, R ganze 2iahlen sind, zu eigen ist, so ist zunickst rormus-
zusetzen, daß die Determinante D der Form (I\ Q, H) positir ist^ da
anderenfalls die Wurzeln der Gl. (2) imaginär sind. Dann seh« mm
nach, ob unter den reduzierten Formen zur Determinante />, wtAf^m
^er Form (P, Qj R) äquiTalent sind, sich eine n^zjproke rom Anmmhen
{M, Ly — M), mit der ersten Wurzel «, r>def (- - JU, L, M ) findet
oder eine ambigue Tom Aussehen (M^ Mp^ N) mit der ersteo
Wurzel fl, oder (— Jf, Mp^ X), In d^n ersten (>eiden K&llen Imf^tm
^e Entwicklungen beider Wurzeln der dl (2)^ a^M^/Jot ^monuMUf in
die Periode Ton o, in den letzten beiden FlUl^n in die Vnr'uA^ fofi U
aus, welche im Torigen Paragraph thMritkisrimtfri mn4 Tritt k^in^^r
dieser vier FSIle ein, so habe» die Wurzeln roft (*/) nutfmtnpirimtUit
Perioden.

ZusaU. Ist die Form 'P, Q, H) %iiu\ß\^}m^ wt tülü si<« mt'ii iitmn*!
in eine ihr iqnifalente reduziert«, tißmfMn mnidifu^ V*ifin ifuii$ifoHniHi*ii,
und man kann too romlMT^iD die 4ftfU4',iiMni4in4o OI«•i^hu/l|^ l^'f ttut
stellen und ans ihrer l/jtimrk^t <^r H$^*hllM,nriiHi ttut ihi ion^on
Paragraph angegebenen Behlfisüe ZMfU« ';

E*>o»o, wenn 'P, ^, /T,. t^ig^ rt^Aiffroits^^ Kom#» h^

Königsberg, April V^A

te beiden Filk. ob ^i« iM^^ffHtH^tHfit- // ^\o$nof »»in ^i'»it«i «•*•* • '" f<» ^' '"■ • i

Eknbt Eckhabdt:

Analytisch-geometrische Ableitung der Realitätsbedingnngen
für die Wurzeln der Gleichungen vierten Grades.

Von Ernst Eckhardt in Homburg t, d. H.
(.Schlufl.)

ö. In der bisherigen Untersuchung der Gleichungen vierten
Grades mit Hilfe der Pascalschen Schnecke mußte zunächst der Fall
|6|>2f,eJ und zugleich a*+12c>0 auBgescMosaen werden. Er
läßt sich durch die Konchoide des Nikomedes erledigen. Bei ihr
tritt an die Stelle der kreisförmigen Basis der Schnecke die Gerade L.
Die von L aus auf den durch den Pol P, Fig. 1, gehenden Strahlen
abzutragende Strecke sei wieder e und PQ = 2r das von P auf L
gefällte Lot. Nimmt man P als Anfangspunkt der Koordinaten, di^
Richtung von PQ als negative x-Ächse und das Lot in P auf P Q^
als if'Acbae, so lautet die Gleichung der Konchoide: j|

_^^ {x* + y') ■ (x + 2r)» - e'x'. \

formfttioii dienenden SubBtitutionakoei&ienteu ccnoen wir a, ß, /. i. und d«—^

Quotienten 2Q' : P' bezeichnen wir mit fi.

I. ni ungerade.

P*
D <; ~ Man wUhle £ als puitive angerade Zahl, bo daß

C'i><^

(£ + 3)'i)> — ;

daiin

iBt.

f =

-s":

j. = 2, « = -

m. l-,. -If-

D>

P'

Man

wühle £ als poBitive ungerade Zahl

?.<..

Y8+ä)'>-0i

dann

itt:

C =

r, r-

. 0, c= 1. *

-1, !(1-|. -..

n. w gerade.

D < P' Man wühle : als poBitive ganze Zahl, bo

C'IXl".

U + Xyi) > P'i

Q ist; (i -. — a ;; ^=-1,0 = — -^, * — Y . 3 p -= — II

D^P'. Man wähle i; als positive ganie Zahl, bo daS
P'E'<D. P'<£+l)'>V;
n ist: fi — ac; }p = 0, ff = I, e = \, a(;=(i — m.

J

Die Realitfttibediiigiuigen f3r die Waneln der Gleichungeii 4. Grftdes. 333

Wählt man dag^^n die Mitte Ton PQ zum Aüsgangspimkt, so
erhalt sie die Form

oder

^ + (»• — ^ - ^^^ + 2r(y* + e^x + f^{y^ - <?* + r*) = 0.

Diese Eurre besteht bekamitlich ans zwei sich ins Unend-
liche erstreckenden Zweigen. Ist e > 2r, so hat sie eine Schleife
mit P als Doppelpunkt. Für e < 2r ist keine Schleife vor-
handen^ P ist ein isolierter
Punkt. Ist 6 = 2r, so erhält
man in P eine Spitze.

Ist eine Schleife vor-
handen, so ist die größte
Ordinale y^ dieser Schleife
Meiner als e — 2r.

£:£r -r-'

7

Fig. 1.

Fig. 2

Zum Beweise beschreibe man mit PQ, Fig. 2, um P einen Kreis-
bogen und ziehe durch P ein Strahlenbüschel , das den Bogen in
K^, K^, K^ , . . und die Gerade L in Q^, Q^, Qs - " schneidet. Ist nun
P^i — e, so wird der imtere Teil der Schleife dadurch erzeugt, daß
man auf Q^P, Q^Py . . , von Q^, (?,... aus die Strecke e abträgt.
Schneidet man nun von K^, K^y . . . auf den Strahlen dieselbe Strecke e
ab, so liegen die Endpunkte S^, S^y S^ . , , auf einem Kreise mit dem
Radius e— 2r um P, und dieser Kreis schließt nach seiner Entstehung
die Schleife völlig ein; es ist also in der Tat yi<e — 2r.

Hieraus folgt, daß jede Partdlele riir x-Adtse, für die y* ^ #* — 4r*,
die Schleife nicht schneidet; denn da e>2r, so ist steta 4fir >■ 8f*
nnd also c*— 4c*> (e — 2r)*. Für x = ergibt sich aus d^r EiureD-
gleichung yj = p* — r*. Da nun e* — r' > e* — 4r*, so kann auch eine
Parallele zur a:-Ächse im Abstünde J( = ± V'e* — r" die Schleife nicht
treffen.

Nach diesen Festetellungen kann die Untemuchnng der Gleichung
x^ + ax* -}- bz + c ^ für den Fall D < {ft > 2r,eJ_,) und
a' + 12c > durchgeführt werden, h kann alä positiv vorausgesetzt
werden; wäre es negutiv, so brauchte man bloß x durch ^ i tu
ersetzen, um wieder einen positiven Koeffizienten zu erhalten.

Identifiziert man nun die Koeffizienten der Gleichung der
Konchoide mit denen der gegebenen Gleichung vierten Grades, so
erhält man zur Bestimmung von r, e, y die Beziehungen

y»-e*-2r»-a; 2f(ff' + e')-fc, r»(y» - e»+ H) - c.

Die hieraus gefundenen Werte von r und e bestiniineD die
Konchoide. Die zu ± t/ gehörigen Absziseen stellen die Wurzeln
der biquadratischen Gleichung dar. Man findet zunächst

rU-\[-a--Vä*~V\^c), e
Es sei nun

7. a < 0, c > 0, a* — 4c ^ 0, fc > 2r,(^_,. — Da r, , unter diesen
Bedingungen imaginär ist, so kommen zur Bestimmung von e nnd y
nur die reeUen Größen r^ , und e, , in Betracht Von r, , wird aar
Konstruktion nur das positive r, gebraucht. Aus e* — y* — ^_, nod

■ + »'-j

ergibt aicli

6+_!r,

D>

!,, "1 - 4r, ■ *■ 47r

&>2rjej, oder i) < 0, so sind e aud y reell, r, und e bestinameo
die Konchoide, und da wegen c>0 y'>e' — H ist, so trifft die
Parallele im Abstände y zur x- Achse die Kurve nur in xwei reellen
Punkten. Ihre Abszissen sind die Wurzeln der biquadratiacbeii
Gleichung.

Die Parallele im Abstände — y würde zwei symmetrische Punkte
mit denselben AbGzissen ergeben.

Wiegen yi* '> yi Bind beide negativ. Unter den gegebenen liedingitngät
hat also die Gleichung vierten Grades nur ewei reelle Wurzeln.

Ob die Kurve eine Schleife hat oder nicht, braucht wegen y'>e*—r*
gar nicht untersucht zu werden.

Die Realitötsbedingangen ffir die Wurzeln der Gleichungen 4. Grades. 335

8. a<0, c<0, a* + 12c>0, 6>2r,eJ,. — Es sind jetzt

sowohl rf 2 und ej^, als auch r*^ und ^ ^ reell. Da aber der Fall

— 2r3^4 < 6 < 2r3^4 bereits erledigt ist, so werden zur Berechnung

von c* und y* wieder bloß r^ und e^ ^ verwendet. Die sich ergebenden

Ausdrücke sind dieselben wie in Nr. 6 und müssen gleichfalls reell

und positiv sein. Die Eonchoide existiert also. Aus

r* < cf , < 4rJ , oder rf < e^ — y* < 4r*

:fb1gt nun, daß e^r^^ daß also der eine Zweig der Kurve die o;- Achse
links von schneidet.

Die letzten Ungleichungen lassen fenier erkennen, daß

Die Parallele im Abstände + y kann also wieder nur ewei reelle
Punkte aus der Eonchoide ausschneiden, mag diese eine Schleife haben
oder nicht. Ihre Abszissen sind die Wurzeln der biquadratischen
Gleichung, sie haben wegen y^ <yo das entgegengesetzte Zeichen.

9. c>0, ft^i2r,cf^,| und 1) a > und a*-4c^0, oder

2) a < und a* — 4c < 0. — r , ^ wird imaginär, r^ ist reell,
«».,<0.

Infolge der Beziehung h ]> ; 2r^ ^ , | müssen auch jetzt die Aus-
drücke ffir 6* und y* reell und positiv sein. Die Eonchoide ist also
ebenfalls reell und wird wegen c* — y* = cj2<0j y*>c*>e^ — r*
^Ihirch die Parallde im Abstände -f y nur in zwei reellen Funkten mit
9^isgaiiven Abszissen geschnitten.

Ist b^\2ri^^\, also e»0, so fallen die beiden Zweige der
Eonchoide mit der Geraden L zusammen, die Parallele im Abstände
^ liefert daher zwei zusammenfallende Punkte mit den Abszissen
5r «- — r^.

Faßt man die Resultate unter Nr. 7, 8^ 9 zusammen, so kann
man sagen:

Im FaUe a* + 12c> und 6>|2riejj| oder D<0 hat die
hiquadrätische Gleichung nur zwei redle Wwrzdn,

10. a* + 12c < 0. — Zur Erledigung dieses Falles muß erst der
Verlauf zweier Eurven festgestellt werden, die durch Verallgemeinerung
eines Grenzfalles der Pascalschen Schnecke und der Eonchoide des
Nikomedes entstehen.

a) Die der Hauptuntersuchung zugrunde liegende Pascalsche
Schnecke nimmt fOr e^2r die Form an

8 = j^ — 6r^3^ + ^r^x cos a - 3r* = 0.

336 Gbnst E(;i[BAitDT:

Diese Kurve bat in P, Fig. 3, eine Spitze and besteht aus eioeai
einfachen Zuge oline Schleife. Von « = bis n^lSO* nimmt x
der Konstruktion der KuiTe gemäB
stetig zu. Betrachtet man nun die
Kurve

5 = ,S' - /■* - U .

wo k reell und positiv sein soll,
muß S[ = ganz außerhalb von S =
liegen, da S im Inneren von S -
negativ ist.

Femer kann S, = nicht an»
einem zweifachen getrennten oder zu-
summen fallen den Zuge bestehen, da da^
absolute Glied von S, = negativ ist UJid .S'[ = also nicht zwei^
positive und zwei negative Wurzeln haben kann.

Wohl ahei- k-inyite. eine ScJilnfe vorhanden sein. Um das zu ent -,

scheiden, bilde man

r'x + 2r'

H3r* + *'

tg# =

4

te «^B«
e v^^3ii.
t^ -m^

wo & der Winkel ist, den die Tangente in irgend einem Punkte
Kurve mit dem Radiusvektor x bildet Wäre nun eine Schleife ^e-m
banden, so müßte 9 sicher einmal verschwinden, der Zähler aldo ^4" -
werden können. Dies ist a}>er nicht möglich, da }^'^0.

Für a^O" und c = IW wird «■ = 90", während x bis
seinen kleinsten und größten Wert erreicht. Der Nenner von ^ bl^ xbf
wegen z>r stets positiv, x nimmt also von « = 0" bis o — l^^O*
stetig zu.

Da d nicht Null werden kann, so kann auch die fOr klerüe
Werte von k^ sicher vorhandene Weudetangente nicht durch gelm«a.

Si =■ bentdi/ als'i ans einem einfachen S = einacldießem^itn
Zuge ohne Spitee (Fig. 3).

b) Für p = 2r wird die Konchoide des Nicomedes durch d/e
punktierte Kurve in Fig. 4 dargestellt. Sie hat in P eine Spitze und
ihre Gleichuu^ lautet:

äi-t^»'-

'")»■ + 2r(y» + 4r")i + r'lj' - 3r".l - U.

i

Ableitung d. Bealit&tabedinguiigen fär d. Wurzeln d. Gleichungen 4. Grades. 337

Ist k eine reelle positive Größe^ so ergibt sich wie in a), daß die
Knrve Cj = C — t* = die punktierte Kurve einschließt.

Sind y und y^ die zu dem-
selben X gehörigen Ordinaten der
Kurven C und C^, so gilt von
a; =» — 3r bis x^ + r die Beziehung

yl='y^ + (xTw ^* ^^^ ^' ^^

den Intervallen rc« — r bis ic = + r
und a; = — r bis — 3r stetig abnimmt
von (»* bis 0, so' ist dies bei y\
in derselben Weise der Fall von

oo* bis r-, •
4r'

Die Entscheidung über den
Verlauf von C^ in den Intervallen

■^20

X = r his r -\- x^

vand

a

—■ 3r

X

1 >

o

r + I iCj I und — 3r —

X.

Flg. 4.

ie Abszissen der Schnittpunkte von
\ mit der or- Achse sind^ gibt die
Ableitung

^?) 2 __

dx ' ^ {x + r)* *

[{x+r)f,^-2{x-ry\x{x+r)-2r^]^

Die rechte Seite bleibt , wie
Tnan sich durch Einsetzen leicht

tiberzeugt, für jeden Wert von x^r und ebenso für jedes j; ^ — 3r

ifc*
negativ. y\ nimmt also stetig weiter ab von -| bis 0.

Diese Art der Untersuchung setzt die stetige Abnahme von y^ als
bekannt voraus. Will man unabhängig von y* den Verlauf von C^ fest-
stellen, so muß man nachweisen, daß der Ausdruck in der äußeren
Klammer auf der rechten Seite nicht verschwinden kann, daß also die
Gleichung ^^ ^ ^y^^ _j_ ^^^^ _ ^^ . ^^^^ + r) - 2rn =

nur imaginäre Wurzeln hat. Ersetzt man in ihr yf durch x aus C^ = 0,
so erhält man ^ _^ ^rx" - lOf^x + 7f^ + t* =

ArohiT dar Mathematik und Physik. HL Reih«. XL 28

338 Ebnst Ecjlhabdt:

und hieraus die reduzierte Form

rr* - \r^x* - 9r^x + Uffr^ + t* = 0.

Ihre Diskriminante ist

272) = 4 . 12»(12r* + Jc^Y - 108« • r*(32f^ + **)*

= 4 . 12»[(12r* + ¥y - 12f^(12r* + |**)«].

Da nun

(12f^ + t*)» > (]2r* + f **) . (12r* + |ft*)*,

so ist umsomehr

(12f^ + Ä*)» > 12f^(12r* + |t*)*
und also D > 0.

Da nun außerdem a < 0, c > 0, a* — 4c < 0, so hat die betrachtete
Gleichung in der Tat nach Nr. 4 vier imaginäre Wurzeln-

Der Ausdruck A in der äußeren Klammer auf der rechten

Seite Ton -^— kann also sein Zeichen nicht wechseln, und da er

fttr X = positiv ist, ist er überhaupt positiv.

Daraus folgt aber, daß yj in den Interyallen — r bis r + ' a^ |
und — r bis — 3r — x^l stetig abnimmt von c»' bis 0.

Aus -/- = — T- , — V schließt man femer. daß för v, —

-^ » — cx) ist, daß also die Kurve C^ die Abszissenachse rechtwinklig

schneidet.

Die Kurve (7^ = bestdU also atis einem linken und reMen an-
fachen Zweige ohne endliches Maximum oder Minimum.

Es sei nun

11. a^O, c<0, a* + 12c < 0. — Durch Identifizierung der
Koeffizienten der Kurve C^ == mit den Koeffizienten a, 6, c der
biquadratischen Gleichung erhält man zur Berechnung von r, k, y die
Beziehungen

y3-6r« = a, 2r(y« + 4r*) = fc, rV - 3r*) - t* « c.

Hieraus folgt für r die Gleichung ^^ + ja** "" «d '^ ^' Da 6 wieder

als positiv vorausgesetzt werden darf, so liefert die letzte Oleichu
stets einen positiven reellen Wert für r, der ein positives yj > 6
und also wegen c < auch ein positives k^ im Gefolge hat.

Durch r und /c* ist die Kurve C^ = bestimmt. Auf dies^T*

Kurve entsprechen t/i = + ^a + 6r' jß:^^;cf Punkte, deren Abszissen die
Wurzeln der vorgelegten Gleichung sind.

Ableitung d. RealitätBbedingaiigen für d. Wurzeln d. Gleichungen 4. Qrades. 339

Für die Ordinate + y^ des Anfangspunktes gilt r*(yo — 3r*) — Ä* = 0,
för + y^ ist r*(yj — 3r*) — Ä* < 0, demnach muß yj < yj sein. Die
eine der obigen Abszissen ist also positiv, die andere negativ.

12. a < 0, c < 0, a* + 12c < 0. — Man gehe aus von der
Emre S^^O und setze ihre Koeffizienten gleich den entsprechenden
der vorgelegten Gleichung. Dann ist

6r«=|a|, 8r«cosa = 6, 3r* + Ä*=|c!,
also

8

Da a« + 12c - - 12äj* < 0, so ist t* > 0. Durch r und k^ läßt sich
5j -s konstruieren, und solange —; — ^ ^ 1, oder 8a*+ 27&^ ^ 0,

schneidet jeder Strahl unter dem Winkel a einen positiven und einen

n^^tiven Radiusvektor als Wurzel der Gleichung vierten Grades aus.

Ist 8a» + 276« ^ 0, so führt die Kurve C^ = zum Ziele. Wie

unter (10) folgt zunächst aus ^""^^""20= 0> daß stets ein positives
reeUos r vorhanden ist. Für 8 1 a j = 27 6* ist r « |H und für

8i a I» < 27&* wird r > -jV* • Dann ist aber auch y* -= 6r* - a [ >
und folglich auch wegen a* + 12c = y* - 12Ä:* < die Größe t* > 0.
Ferner hat man wie in (10) yj > y*.

Der reellen Ordinate y entsprechen daher in der aus r und k
gezeichneten Kurve C!^ = zwei Punkte mit einer positiven und
einer negativen Abszisse als Wurzeln der Gleichung.

In den Fällen a = 0, a*+12c<0 hat also die biquadraHsche

Gleichung nur zwei reelle Wurzeln,

Da auch hier die Diskriminante negativ ist, so kann man die
luiter Nr. 5 bis Nr. 12 gewonnenen Resultate zusammenfassen und sagen:

Ist die Diskriminante der biquadratischen Gleichung negativ^ so hat
diese Gleichung stets zwei und nur zwei reelle Wurzeln,

Homburg v. d. Höhe.

28'

B. Schröder, Die Anfangagriinde der Dlfferentialreobaung und Inte-
gralrectmung. Für Schüler von höheren Lehranstalten und Fachschulen,
sowie zum Selbstunterricht. Mit zahlreichen Übungsbeispielen uod
27 Figuren im Teit. ^11 u. 131 8. j^t. ö. Leipzig 1905. B. G. Teubner.
JC 1.60.

B er in seiaeiu Vorwort sagt, von der Freiheit
den preußischen Lehrplänen von 1901 gel&ssen
• unter seiner Leitung stehenden, seit Ostern l!t05
7,u Groß- Lichterfelde in die Anfangsgrunde der -
Obwohl er diesen Versuch erst ein- oder zwei- -

Der Verfasser hat, ^
Gebrauch gemacht, die ii
ist, und hat die Primaner d
ausgebauten Oherrealschuli
höheren Analysis eingeführt

1

mal gemacht hat, obwohl also die Prans ilett Unterrichts, auf die er sich«:#^
stützen kann, nur kiin ist, hat er doch nicht gedacht; Nooum prematur iir»-^
annum, sondern hat, was ja immerbin dankenswert ist, seinen Lehrgang _^^
veröffentlicht.

In ähnlicher Weise, wie ich es seit fast zwei Jahrzehnten an <le^a>^g
Breslauer Oberrealschule zu tun pflege, fahrt der Verfasser den Differeozeirx'^^
quotienten ^ - der Funktion y =

= f(x) ein, definiert die erste Ableitu»
= und leitet dann in flbe=

•f'{x) = Y~ ^'s seine Grenze ffir Ai -
sichtlicher, klarer Weise die Gesetze für die Differentiation aJgebraiscta
und transzendenter Funktionen her. Zur Übung im Differenzieren ftkgt
111 meist ziemlich einfache Aufgaben bei, die er fast durchweg mit eia
oft sehr ausführlichen Lösang versieht. Nach meiner Meinung w=
es besser gewesen, das nur bei einer kleinen Anzahl von Übungshrf
spielen zu tun, bei den übrigen aber das bloße Resultat oder gar k^
Lösung zuzufügen. Es ist zu befürchten, daß durch die Art, wie ^~
Schröder vorgeht, zwar eine mir etwas handwerksmfiBig erscheinende Gg.
schicklichkeit iin Eechnen erzielt wird, daß aber die rechte EinsichM
die äußerst fruchtbaren Methoden der Inliaitesimalrechnung fehlen ^^^ini
Das rein mechanische Kinsetzeu in bestimmte Formeln tritt- zu seiar ä
den Vordergrund, und das will mir nicht behagen. Vorzuziehen ist at
wenn man durch etwas schwierigere Aufgaben die Primaner zum Nachdenlea
anregt und die Findelust in ihnen weckt. Nun zu einigen Einzelheiten/
Daß sich Funktionen wie y = x'"yx>' am bequemsten differenaersn Imsm,

wenn man sie auf die Form // = r " bringt, wird nicht schon l»i
Aufgabe 22, sondern erst bei Aufgabe 28 erwähnt. Bei den Beispirfai
zur Differentiation impliziter Funktionen vermisse ich den Hinweis darBuf,
daß man auch ohne Benutzung der partiellen Differentialqnotienten dnrdi

Rezensioneii. 341

unmittelbares DifferenzieTen leicht zum Ziele kommen kann. So ergibt sich bei
der Aufgabe 105 aus x^ — y*(2 a — ar) = sofort 3 x* + y* — 2yy' (2a — x) = 0,

DToraus man y' — ^ ;» zl \ ß^^®^ Aufgaben wie Nr. 8 auf S. 59 lassen
sich bequemer lösen, wenn man die logarithmische Ableitung — bildet
Ist jer » 2|/2px • (a — 2 x), so ist die zu untersuchende Funktion f{x) = x(a — 2x)*;

man hat also -i-r = ^— gleich Null zu setzen und erhält x ^=^ ia.

f(x) X a — 2x ® *

Die Lösung der Aufgabe 10 auf S. 60 ist wenig elegant. Aus
8 =» 1 « folgt, wenn man a als unabhängige Variable wählt,

,^x dS a^ina h%inp dß

^ ^ da cos'a cob*/? da

Aus a tga + h tgß «= c ergibt sich

(U) — i- + -TT^ • T^^ =* ö , also — ^,^ • j'^ = ^^ , •

^ -' cos"« coß'p da ' C0B*p da cob'«

Setzt man diesen Wert in (I) ein, so erkennt man, daß sin a » sin ^
sein muß.

Bei den Aufgaben zur Bestimmung des Wertes von Ausdrücken, die
eine unbestimmte Form haben, hätte der Verfasser auf die in vielen Fällen
sehr empfehlenswerte Benutzung von Reihen hinweisen sollen. Besonders

das Beispiel auf S. 42 ^V\ = « ~ lecte das nahe, denn wenn

'^ ip (x) X* sm X ^ '

man schreibt

,(.) *'(»-i.'+-)+-'(^-f;+ •)' 2-..

p

«Vi»

ivorin P und Q ganze Funktionen von x sind, so erkennt man auf der Stelle,
daß sich för x =- der Wert 2 ergeben muß.

Das sind ja alles kleine Mängel, bedenklich aber ist, daß der Verfasser
bei der Begründung der Lehre von den extremen Werten auf S. 53 den

Satz aufstellt: Die Funktion y ^ /*(x) besitzt ein Maximimi oder Minimimi

dtj
an deigenigen Stellen, in welchen .- = /^(x) = ist. Aus den voraus-
geschickten Auseinandersetzimgen folgt nur: An einer Stelle, wo ein extremer

dii
Wert eintritt, muß ;; - = sein. Der Verfasser weiß doch sehr wohl, daß

nicht alle Wurzeln der Gleichung f'(x) = größte oder kleinste Werte
Ton f(x) zu liefern brauchen; er hätte sich also vorsichtiger und sorgfältiger
ausdrücken müssen, um Mißverständnissen vorzubeugen.

Die Art, wie der Verfasser in die Integralrechnung einführt, ist im
allgemeinen zu billigen. Auch hier fehlt es an Aufgaben, die zu eignem
Kachdenken anregen, auch hier erscheinen mir die beigegebenen Lösungen
hin und wieder etwas umständlich. Die auf S. 102 behandelte Quadratur
der Zissoide wird viel einfacher, wenn man x = 2r sin^ u setzt, denn man

erhUt dann sofort, Ba'isin* uda. Die Integration läBt sich leicht a.us-
fthren, denn ea ist

4 sin *M = (1 — eo8 2w)* = | — 2 cos 2m + J cos 4m.
Mithin ist ßa'Ain* u da = 2a* (|« — sin 2« + | sin 4u).

Auch bei der Quadratur der Zykloide auf 8. 105 iat es besser, lu
schreiben /cos'y dg = \fO- + '^**^ 2y)d# "^ ^<p + ^ain 2io. Für die Kar-
dioide, die Im § 48 behandelt ist, ziehe ich der TOm Verfasser gewihlt«n
Polar gleich ung r = 2a(l + sin qi) die Form r — 2a(l — cos ip) ¥or, denn
bei der Quadratur kommt man dann auf /jr*dy = Sa'/dn* - il^ und
kann nachher verfahren wie bei d«r Zissoide.

Mit der Sprache des Buches kann ich mich nicht durchweg einverstanden
erklären. Mich stört schon die unzeitgemäße Vorliebe für das BeUti*
welcher und das „Faulheitspronomen" derselbe, das doch endlich einmal
ausgemerzt werden miißte. Geradezu unangenehm benlhren mich Wendungen
wie folgende: Wenn eine Funktion y = ^(x) gegeben ist, so haben wir ia
der Differentialrechnung gelernt ... (8, 86). Wo sind in ähnlichem Vee-
hältnis stehende Operationen schon angetroffen? (S, 88.) Wennausmultipü-
ziert und zusammen gefaßt ist ... (S. 71).

Es soll mich freuen, wenn bei einer hoffentlich erforderlichen neuen
Auflage des Buches der Verfasser einige der Winke beachtet, die ich hier
zu geben mir erlaubt habe.

Breslau 0. Oittsche.

Heinrich Weber, Josef Wellstoin und Walter Jacobsthal: Bnoyklo-
pädie der elementaren GeomeMe. Mit 280 Textfiguren. Xlf o.
604 S. gr. 8. Leipzig 1905, B. 0. Teuhnar. JC 12. — .

Das Buch bildet den zweiten Band der ,3ncyklopadie der Elementkr-
matbematik. Ein Handbuch für Lehrer und Studierende", von Heinrich
Weber und Josef Wellstein, mit dem Nebentitel „Elemente der Geo-
metrie". Bei der Anzeige des ersten Bandes, der von Weber allein be-
arbeitet war (Archiv (3) fl, 369), ist der besondere Charakter der EdzjUo-
päilie der Elementarmathematik gewürdigt worden.

Das ei-ste „Buch" des neuen Bandes über die Grundlagen der Geometrie
iot von Herrn Wellstejn verfaßt. Im zweiten „Bnche", das die Trigono-
metrie erledigt, ist die ebene Trigünometrie und die Polygonometrie von
Herrn Weber geschrieben, die sphärische Trigonometrie von Herrn Jacobs-
thal. Das dritte „Buch", das die analytische Geometrie und St^reometn*
enthalt, hat Weber zum Verfasser; nur der Paragraph 83, die analytische
Sphärik, rührt von Jacobsthal her.

Noch weniger al$ bei dem ersten Bande entspricht bei dem zweitaa.
der Inhalt dem Titel einer Enzyklopädie der elementaren Geometrie- Di^
„zahllosen Satze und Sätzchen der Elementargeometrie über Dreieck and
Kreis, Tetraeder und Kugel" werden in der Vorrede etwas geringschStzi^
bei Seite geschoben. „Unter Ausscheidung alles zurxcit noch Isoliertan
and dAram Unfnichtbaren sollte nur das geboten werden, was io den Ab-

Mi

Wendungen anf Medyunk nnd Phjsik sich als nlltzlidi cfcai nzui muÖL jl
der h^eren Maikeinstik fortlebt In diesem engem B«me^ wweht n
erster Linie Yertielang nnd Belebung des Gegettstandes an^vRnie. T^r-
tiefäng dnrdi aosfülirlielie krhisehe Behandlnng imA der yn^kuium ntd
ericenntnistbeoRÜsd«! Seite^ Bdebong durch Anwendnngvs^ dse fibr «ömb.
dritten Band Torbehallen sind.*^ — Hag man fiber ^ neiKt« Dptäwms^
geometrie vxtaktkj wie man will, so dnrfke in «ner Enzjklopidie •fiar «lie»
mentarm CSeometne die Sadie doch nidit in einer FnAnoce • S. ZSZ «bpcä
eine Yerwdsong anf Pascals Bepertorinm abgetan werden.

Da JndiMgii der dritte Band Anwendungen bringen foU. darf sma
hoffen, daB dort noch manches Platz finden wird, was der Kinfer des W«ft«a
nach dem Titd des s elbfn in dem gegenwärtigen Bande TcrgeUieh masktL
Doch Rauben wir, daß die £tftiusdbnng. welche die Dnrdbskhl des tot-
hegenden Bandes bei rielen h a f e t g e ru fen hat, dnreh den sa «rvaneadai
nidit TÖÜig b ea ü tigt werden wird. Der Oberlehrer, der ffir teisMs üactcr'
rieht sofort Terwertharen Stoff soeht. wird eben einsehen mfiasen. da£ das
Ton den Yerfiusem Tcrfolgt^ Ziel niefat in dieser Bidbtong liegt.

Die bsiilen Leiter des Unternehmens. Weber und Welletein. haben
als rniiimitHriihiii dem Stoff unter dem Gecichtsponkte behaadcdt, datf
sie dem miinfUgen xmd dem schon im Amte befiuBdliehen Obesiefazer du
Stand der ■ifirhiftiirhrii Foivchung ftber elementar-geooKrtiiiicbc; Fragen
in der Gegenwart haben darvtdUen vollen. Ob da» Weric ebenste inrfTfifi,1kTn
wire, wenn die bcsden Autoren selbst einige Zxeit dw ßehuiunterri«^ in
ier Gnonetne crteih bitten, mdehte Keferent berwealdin, der Tie- seinesi
Eintritt in die Tnehniaefe Hodiaehak 24 Jahre lang ab OUtiehrer titig
gewesen ist

Nach dieser unumwundenen Aufterung <U;r B^^deniuaa, du; sädb auf den
^Ifangid an Ü b e f f anstimniung rwia»;b«sii Titel uiid Inhalt Usueheo, mOge nun
^ber auch gieich die Anerkennung lo^ren. da£ dat Werk nkaht bU;0 den Mathe-
-Knatifcer anf das lebhafteste zntcreatsierei. mvt, ^Mt^^irii fiAftfhtMA^A }hf^

der etwas au der EnMxtsLBJsÜMKM^M; efiaüreo wÜJ, ui»d zwar kiiMr

dem iiiififhtrsi Bfäsfurif-. d«K der O^iMttrtrie,

Von den «63 T euneiv en wefdes tOinii^ dwr «^rsUci li^;i , ahM> tttt^hf als

^äie HÜfie, durch das «vte bnec. fioer d*« (ßr^^i^huMt 4m O^k/im^^^^tu; iua-

^leflÜlt: Ton dieasn eotlaliei: nur <ü«^ bestMi ^2^0 t/is ^/j a^t d»«- m^mtÜn'Am

Plsiiimiitiii Die nkaSenküdiM«^ Oe^ci^^i^: w^U'Mm au iMI^AUm Jtätrimh'Uri

nur TOtt fTUWiinw! Liebfiabefu a«' ^jßt>f^ai^M4t^i *Ui$ yotmAt^uy ^,4*wAUii

ist nach dem Eau^^tißsuäifL <^ Hn\t*'t^'¥'JUiHt h*u'^*4^- ./>HM«')lMy/^«i

die Vj«;«iM. r^/tinknf ^iilhi^fi* it0-^t4*n m''U ua^ uttUfUt

alte ffwWwssrr JEiomsl aa^ Au^ft* Uti^^i' mt* *U*f iut^i*'tt't* v4.fUf-*i*MfKt ii*»'^-
.„Niefatouküdisehe G^iomeifv; ri^;#< h^M*4f^,M* i^m^,«-!«' I/^-m' t^i)/!«««-^^. //i^r-.i.^i
srhaWifii e Bewegung na* 'AbtuM^ tUm «.«»»U-, ^'#^« w^^^t/4l« ;r/'ilM(>f#ft
ffinA^ des Band« M^ixdiul^. u«^; «*^ >^i ««lll^ itinnh^hiu*^ M»UUi4il/.4>, «^^i
nichts weniger ak »suctiCf'ßykAtt^'^* m' , httn^^tt' n* iinifutnUht )^int**' MrÜAs
Seiten des Gf^geasutf^i^i^ ^«<^«y^^4«)i i^^^il /;«i> /i^N.<ifi/<fl«^i.> Mt<<l ^^/«« 't««''
SU gehen SDCfat. J(a#r imi#' »44044*4^0 htt» h* lßnht,iMi^,\i »* »miinn Mninttny -»-ttt
ab der Verfsaser. wje v#Uj^ M4t4U*th/if )^t it* t "«fi m« If-/«^ m^»«' Mmi^i«

344 R«zeiiiioii6ii,

Raumlehre abweichende Äuaicht durch einen „Nachtrag zu den Gmndlagen
der Geometrie", S. 689 biB 691, /.von Ausdruck gebracht hat, so ist die
ganze Schreibweise bo natürlich und frisch, führt so einfach in die ver-
wickelten Betrachtungen hinein, daß die philosophische Vertiefang, auf die
dieser Abschnitt berechnet ist, gewiö bei allen Lesern erreicht wird, die
den Stoff selbsttätig durchdenken. Der alte Orundsat/. von Descartes: de
Omnibus dubitare wird mit Erfolg auf die Prinzipien der Geometrie an-
gewandt, die man so lange als von jedem Zweifel unangefochten, als du
Gewisseste im menschlichen Geist« betrachtet hatte.

Gerade wie in diesem ersten Buche die prinzipiellen Seiten der Geo-
metrie so beleuchtet sind, wie sie gegenwärtig den sich um sie bemühenden
Forschem erscheinen, so hat Herr Jacobsthal in der sphärischen Trigono-
metrie, die den YerhältnismäBig groSen Itaum von 100 Seiten einnimmt,
aufier der älteren Möbiusacheii Auffassung die Grundgedanken der Studj-
sohea Abhandlung aus dem Jahre 1893 über die sphärische Trigonotnetrie
auseinandergesetzt und ist damit etwas aus dem Rahmen der Elementar-
geometrie herausgetreten. Obgleich diese Bereicherung des Inhaltes an airh
wertvoll ist, darf man wohl fragen, ob nicht andere, unberüuksichtigt ge-
bliebene Teile der Elemeotannathematik nötiger gewesen wären.

Hinsichtlich der von HeiTn Weber verfaßten Abschnitte der ebenen
Trigonometrie und der analytischen Geometrie sowie der Stereometrie ist
aus dem Giünde weniger -m bemerken, weil sie sich mehr in den üblichen
Grenzen halten. Die Aufnahme der analytischen Geometrie der Ebene und
des Raumes in die Enzyklopädie der Elementarmathematik wird in der
Vorrede damit begründet, daij die Kegelscbnittslehre, „dieses schönste und
höchste Gebiet der Elementargeometrie, von den verschiedensten Seiten her
in Angriff zu nehmen" sei. Die Grenzen, bis zu denen vorgegangeu bt,
sind etwa auf unseren Oberrealschulen erreichbar, während man in Frank-
reich in den „Classes de mathematiques speciales" viel weiter geht. „Ein«
iusanimenbangende Darstellung der Kegelscbnittslehre würde über den
Rahmen unseres Werkes hinausgegangen sein."

Im einzelnen wird mancher Änderungen wünschen. Wir wollen hiar
eine Kleinigkeit erwähnen. Auf Seite 275 wird der Bruch 3 sin ip : (2 + cosy)
in eine Potenzreihe von (p entwickelt. Statt bei dieser Gelegenheit dis
Methode der unbestimmten Koeffizienten nebenbei mit zu beweisen, hlltte
das gewöhnliche Division sscbema genügt. Der Koeftizient von <p^ ist infolge
eines Zeichen fehlere falsch als 1/360 bestimmt, während er in Wahrheit 1,'1Ö12
ist. Außer der einen an dieser Stelle mitgeteilten Huygensscben Konstmk-
tion für die angenäherte Darstellung der Länge eines Kreisbogens hfitt« die
andere, die bloß erwähnt ist, ebenfalls Platz finden sollen, weil bei ihr
das erste Feblerglied bedeutend geringer ist (^7^680 statt (pV'SO), wie
aus dem Texte von Huygens schon hervorgeht Das Lob der auf S. 17ff.
vorgeführten Steinerschen Liuearkonstruktionen ist zwar objektiv begründet;
wenn aber, wie in einer Jüngst veröffentlichten Programm schrift des Herrn
Zühlke nachgewieüen wird, Lambert lange vor Steiner dieselben Ge-
danken durchgeführt hat, so muß diesem älteren genialen Forscher wenigst«ns
ein Teil des Lobes zugesprochen werden,

um mißverständlichen Auffassungen vorzubeugen, soll am Schlüsse
nachdrücklich erklärt werden, daß Referent es für sehr wünschenswert, ja

J

Reeenaionen. 345

dringliL-h erachtet, daB alle Lehrer der Elementargeoroeirie sit-h mit den
prinEipieUen Erörterungen dieses Bandes der Enzyklopädie bekannt machen.
Nat&rlich soll damit durchaus nicht gemeint sein, daß diese ErOrt«rnn^en
- tum Gegenstande des Schulunterrichts gemacht werden.

Berlin. E. Lampb.

W. Haaber. Statik. 1. Teil: Die Orundlehren der Statik staner Körper.
148 S., 82 Figuren. 1903. II. Teil: Angewandte (technische) Statik.
148. S-, 61 Figuren. 1904. I^eipzig, G. H. Göschen. (Samml. Göschen
Nr. 178 und 179).

Das erste BBndchen behandelt den auf die einfachsten Gegenstände
beschränkten Stoff in 6 Kapiteln : I. Kräfte der Ebene mit gemeinsamem
Angriffspunkt. 11. Kräfte der Ebene , die in verschiedenen Punkten eines
starren Körpers angreifen. III. Kräfte des Raumes mit gemeinsamem An-
griffspunkt. lY. Kräfte des Raumes, die in verschiedenen Punkten eines
starren Körpers angreifen. V. Von der Schwerkraft und dem Schwerpunkte.
VL Von den Widerstandskräften und ihrer Bestimmung.

Das zweite Bändchen erledigt, den gewaltigen Stoff in 7 Kapiteln:
L Starre Stabverbindungen mit beliebiger Belastung. IT. Ebene Fachwerke.
m. Spreng- und Hängwerke. IV. Standfestigkeit der Mauern (Pfeiler).
V. Standfestigkeit der symmetrischen Tonnengewölbe. VI. Theorie des Erd-
druckes. VII. Vom Gleichgewicht der seilartigen Körper.

Überall wird außer der analytischen Behandlung auch die graphische
gelehrt. Schon im ersten Händchen ist immer die Richtung auf die tech-
nischen Anwendungen gewahrt, wie das vom Verf., einem Dipl. Ing., zu
erwarten ist. Dos /weite Bämkhen enthalt ja überhaupt nur techniacha
Anwendungen in knappster Darstellung. Auf dieser praktischen Seite liegt
das Gute des Werkchens. Schwächer und vielen Einwänden ausgesetzt sind
Stellen, welche die prinzipiellen Grundlagen streifen. Auf S. 7, Bd. heißt
ee „Kraft bezeichnet die Ursache einer Bewegung oder Bewegungsänderung",
und gleich nach nachher auf S. 8: „Die Kraft ist Äußerung der Wirkung
des Stoßes auf den Stofi." Alles, was hier über Kraft, Schwere, Gewicht
gesagt ist, bedarf der Richtigstellung oder schärferen Fassung.

Das Literaturverzeichnis am Ende des II. Bandes hat merkwOrdigs
Ltkcken. Es fehlt z. B. das große Foppische Werk (der Name des Autor»
bei zwei andern seiner Schriften ist falsch); Schell, Routh, Lorenz,
Tallqvist usw. sind gar nicht genannt.

Berlin. E. L.^mpe.

Niels Nielsen, Handbuch der Theorie der Zylinderfunktionen. XIV u.

408 S. gr. 8. Leipzig l!tÜ4, B. G. Teubner. JC 14.—.
Herr W. Ostwald hat sich gelegentlich darüber geäußert, wie ein
Handbiict' beschaffen sein soll. Es soll das vorhandene Wissen so vollstSndig
und genau als möglich zusammenfassen. Demgemäß wird es nur von solchen
benutzt werden, die bereits über die grundlegenden Kenntnisse des Gebietes
verfügen. Der Leser muß das, was er sucht, ohne Schwierigkeit finden
können, und er muß über den Stand der Wissenschaft an der betreffenden

L

f^a Rezeniiofien.

HMh rrfirJi/}pfend noterrichtfrt werden. Ein Handbuch wii^ daher auch nidit
ffrrtlanfend ^eles<^n odfr studiert, sondern man schlftgt ee nach, wie der Be-
darf f*n yorlangt. — Wir fahren fort und glauben sagen zu dürfen, daB der
Autor nirh vorerst in den Besitz der gesamten Literatur zu versetzen ge-
nötigt ist. H. Nielsen gibt 15 enggedruckte Seiten (389 — 404), gefüllt
mit den Titrein von Abhandlungen, die sich auf die Zylinderfunktionen be-
xiffhon. Daü er sie alle gelesen habe, behauptet er selbst nicht. So gibt
er an, flan Werk des lieferen ten: „Studien über die Reduktion der Potential-
gtpioliunK atif gewöhnliche Differentialgleichungen^ sei als „Programm; Berlin
t89B** erschienen, wilhrend es doch 180 Seiten umfaßt und im Verlage
von Georg lleinior selbständig als Anhang zu Heines Handbuch der
Kuflrlf^ttktiofim verO£fentlicht worden ist (S. 394). Referent hat daselbst eine
DoHnition der Zylindcrfunktionen verschiedener Ordnungen aufgestellt (S. 120);
er hat dio ir»Ti>fv/«^/'*^-Funktionen als von der zweiten Ordnung von den
Funktionen dos parabolischen Zylinders (Weber, Baer, Haentzschel) und
do8 eifiiitischm Zylinders (Mathieu, Heine, Lindemann, Haentzschel,
Stirchinger, H. Bruns) als von der dfitien Ordnung unterschieden. Das
ol>en erwiihnte umfassende Literaturverzeichnis weist den Verfasser auf diesen
UnterschiiMl ausdrtlcklich hin. Hr. Nielsen aber lehnt diese Bezeichnungen
ab« er nennt sein Buch kurzweg ein Handbuch der ZyUnderfunktwnen^
während es in Wirklichkeit nur ein Handbut^ der KreUtgUnd^rfunktionen
iitt. Sind wir aber über diese Einschränkung des behandelten Themas einig,
so stehen wir nicht an, dem hochgelehrten Verfasser miser Komplimaot flb^
die von ihm geleistete susamm^cnfassemdc DarMdiung einar so gewaltig an-
||neschwx>nenen Lit^rstur zu machen. Denn wenn derselbe auch im Vorwort
behauptet, daß von den 27 Kapitehi im ga&sen 33 das Ergebnis eigener
Vntflrsuehfimgen wüivn^ so liegt wohl hier eine Art von SelbstUiisehiuig vor.
Wir miVhten das Werk als eine schöne Komposition, die von einer bloßen
K1^mpilÄ1i^^'n weit entfrmt if:!. bezeichnen.

Wn* in 4^ er Thrv^rie der hvpcrxreoTnetnscben Beihe von GauB zu Hanse
\<U xvei& ds6 oine Proiteihmc de^^:elbeTl möglich ist Den im allgemeinen
g»^lt^nd^T» K^nilt^ten. wii- sie Gauß, E. EL Kummer n. jl entwickelt haben«
tivton Äti die Seite die FuDe. Iti Offnen die Stelle x =— 1 eine wesentlich
Mnfi>il?iiv isl (Gftuß, Artikel i-h — 46, Lohn*tein, Hefften Borchardt,
Ppit7<^r. MiobsfUen, Winter . wo also da* zweite paxtünliie Integral
ryyyc loonr't^hfn'fsehf J ^stf'ttphris bosityU und weit«- diejenigen Fille, wo beide
4 vr ■•/ •?•>// 'Y;v Jvfep'nJf /ihehrm^ieht Vuftkt tonen sind CR. A. Schwan«. Die
1^l1V.lvn1^?^lc■lo!.•hIlM>: dor rmiktnonen de? Ermsuhnäerf I&ftt sk^ unter die ^
•^. 1 ),\^v>iy^<>Tnr>in!>i4'h<'i. f\o\ht siihjiiimiereTi: nur ist alles viel ennfiacher dort.^
rO ^i.'v V»- i«^i ^^ v»iv d»*r f'ine ParRmoTer r bei der Besse lieben Trans — -^
",n.>,..^f. >,v>'r*T.«i.'» . (\h)uK (ht T>reiToi)nnp: r beliebig: r mut iwsitive
•/^lil 1 n^^ H»iirtf «»inev inijonwieT. Zahi T»er letale Fall, von Poissoi

1 1 < 1 '>r.!i'lt. iv^ f!(*rioiii^r^. ifi den: dif- gegebene 'niffnrfiniililfni fciiiiji ii
7 ..M. M*V/r'*o^'/ TS1 r.r lüS: tünh unabhftiigic fvr sieh
.>«..«.. .n ,H,>n.i.. Iv" Hhe: 1 piiijtzahlifr. ^ ist die ^elk x — t^

" .1 .^.f.v ;Vm r'^*^. nurr.ik'ulUrer. Intepml 7^ s icbHrill sich

.1 I,. n t> i .«.K« >t|^T, \ , ),Ti. }. M>j(i^ht ZvlinderfnnksiaL ]~* ^rt all
v.-<i -..v 'M. ! ii .i'- >^t'^h> — >: hat Befecmfi rMnt 18^9

1

i<

.(. . •-. i-,\t ),.;*.rti«.f/M \nf^niuT)de: rersciuedetten ftftem pncttkaliRt

1^

' Integralen, — et sind die smiikoiwirgenleH Entwicklungen oder asymplolinchm
Seihen, — die swei bis dahin noch fehlenden logaritb misch ttnatetigen und
asymptotischen xwitm partikulären Integrale hinzugefügt. Das Handbuch
weiß nichts darüber zu berichten; was ea von den ersten partikularen Inte-
gralen gibt, zeugt aber von wenig Klarheit; die skizzierte Dreiteilung kennt
es nicht; im Gegenteil, alles läuft durcheinander. Der Referent rermiBt ein
Hervortreten der Fu cha - T b o la eschen Theorie der Differentialgleichungen,
wodurch ein klarer Zuaanunenbang zwischen den einzelnen Kapiteln verbürgt
worden wäre. Denn in dem Falle „v beliebig" tritt doch offenbar dem
Testen partikulären Integral: /''"'(x) das zweite; I'-~'^(x) als mit ihm ein
. Fundammtaleiistem im Fuchxsrhcn Sinne bildend an die Seile. Anders denkt
l'Br. Sielsenl Nach ihm kann /'~*'(a;) keine ZuUndetfunMon darstellen;
Vn^ie muß aus der Theorie der Xyliniierfunktioften verbannt ww-rfen.'" An
f Beine Stelle tritt bei ihm das nicht- fundamentale Integral: F'''(x) '=
-^—z — r (cos(vjr)7'''(j') — 7'~*'(j)). Dadurch kompliziert sich der Aufhau
des Eandbucbeü; Entwicklungen werden in den Vordergrund gertlckt, die nur
ein Anrecht haben, als Folgerungen evwühnt zu werden.

Ich glaube also sagen zu dürfen, dafl die Ostwaldacben Kriterien für
ein Handbuch auf das vorliegende nicht Tüllkommen zutroffen. Dennoch
wird man es dankbar anerkennen müssen, daß der Autor eich in das weit-
schichtige Material mit solcher Liebe vertieft hat; für die ntLchäte Zukunft
irird das Handbuch die beste Auakuaftstelle sein für alle, die auf dem
Gebiete der Zylinderfunktionen, in dem von mir oben angegebenen weitesten
ßinne des Wortes, tätig zu sein gedeuken.

Über den Inhalt der 27 Kapitel hier einzeln zu berichten, darf ich

Mir wohl versagen. Der eri^le Teil gibt in 1 1 Kupiteln die Fundamental-

eigenscbaften der Kreis -Zylinderfunktionen; ihre Darstellung sowohl durch

L tteihen als durch bestimmte Integrale. Im iwntcn Teil wird in 7 Kapiteln

I fiber bestimmte Integrale nüt Zylinderfunktionen gehandelt. Der dritte Teil

"iafert Entwicklungen analytischer Funktionen nach Zylinderfunktionen in

[ Kapiteln, endlich der vierte Teil in 4 Kapiteln Darstellungen willkürlicher

iktionen durch Zylinderfunktionen. Ein Anhang vermittelt Hilfsformeln

1 der Theorie der Gamma funkt! on, der hypergeometrischen Funktion, dar

Xugelfunktionen und der trigonometrischen Reiben. Das oben erwähnte

Xiteraturrerzeichnis und ein alphabetisches Register bescblieBcn das Inhalt-

Teiche Werk, für dessen Abfassung die mathematische Welt dem Veri'asser

zu großem Dank verpflichtet ist, was ich nicht unterlassen will hervorzuheben

^^^rota der Ausstellungen, die zu machen ich mich genötigt sab.

^B Berlin, 18. Januar 190G. E. Hakntzbohel.

^KXugeDio Beltrami, Opere matematiohe. Pnbblicate per cura della
■ Facoltik di scJcuze della li. UuiversitÄ di Roma. Tomo I, 1902. Tomo II,

* 19U4. Milaoo, Hoepli.

Die italienischen Mathematiker haben dem allzu früh der Wissenschaft
entrissenen Beltrami, dessen Name in den Annalen der Mathematik längst
einen Ehrenplatz behauptet, ein wahrhaft würdiges Denkmal errichtet, indem
sie die sSmtlichen wissenschaftlichen Arbeiten d^s hervorragenden Forschers

1

348 KeienBionen.

in einer ächön auBgestatteten Gesamtausgabe zusamniengeat«llt haben, tod
der Tina die beiden ersten Bände vorliegen. Die mathematische Welt ist
den Veranstaltern und Förderern dieses Unternehmens, unt«r denen die
Mutter nnd ilie Witwe Beltramis, der inzwischen ebenfalls hingeschiedene
Cremona und die Herren Tonelli und Castelnuovo an erster Stelle ge-
nannt werden, zu lebhaftem Danke verpflicbtet. Die Werke Beltrsmis in
der neuen Ausgabe bilden durch den hohen Wert der hier vereinigten Ab-
handlnngcn sowie durch die vorzügliche Ausstattung, au der wesentlich die
sehr leistungsfähige mathematische Druckerei zu Palermo bel«iligt ist, ein«
Zierde jeder mathematischen Bücherei,

Es braucht an dieser Stelle nicht auf die Bedeutung Beltramis ein-
gegangen zu werden, die in verschiedenen Zeitschriften eingehend gewürdigt
worden ist; im ersten Bande der vorliegenden Ausgabe findet sich ein Ne-
krolog von Cremona. Um aber die Bedeutung der vorliegenden beiden
B&nde ungefähr zn kennzeichnen, sei auf die hervorragendsten Stücke ihres
Inhalts hingewiesen. Der erste Band enthlilt u. a. die im Giornale di matematica
veröfTentlichten Untersuchungen Über die Anwendungen der Analysis auf die
Geometrie, die Abhandlungen über die Verbiegung der Begelflächen und
über die geodätische Abbildung, den Versuch einer Interpretation der nicht-
euklidischen Geometrie und die Theorie der ESume konstanten KrfinunuQgs-
maBes. Aus dem zweiten Bande sei die allgemeine Theorie der Differential-
paraineter, die bisher schwer zugänglich war, sowie eine ausgedehnte Arbeit
über die Kinematik der Flüssigkeiten hervorgehoben.

Liebhaber der Variationsrechnung seien auf eine Notiz über geodStische
Linien, S. 366 des ersten Bandes, verwiesen, in der eine durchaus moderne
Auffassung der Jacobi-Hamiltonschen Methode in Verbindung mit den
Aufgaben der Variationsrechnung angetroffen wird.

Breslau. A. Knesek

Jnles Tannery. Le^ons d'algdbre et d'anal;se ä roaoge des älövea
des clasBes de mathämatiques späoiales. 2 tomes. VII und 433,
636 p. Paris 1906, Gauthier-Villars.
Für den mathematischen Unterricht in französischen Lyzeen ist 1904
ein neues Programm ausgearbeitet worden, welches die ZnrückdrSngnng
rein abstrakter Entwicklungen, die Beschränkung bei Ableitung sogenanntfir
allgemeiner Fonnebi fordert-, Anwendungen auf numerische Beispiele und
deren völlige Durchrechnung betont und frühzeitige Darlegung der Elemente -
aus der Infinitesimalrechnung in den Vordergrund stellt. Dieses Programms^
hat in Deutschland lebhaftes Echo geweckt, da anch bei uns seit Jahrei
Bestrebungen im Gange sind, den Schaler frilhzeitig mit dem Funktion^— *
begriff und den Grundbegriffen der Differential- und Integralrechnong b^t-
kannt zu machen und gleichzeitig das Rechnen mit Buchstabengleichungen^
das Entwickeln von sogenannten allgemeinen Formeln einzuschränken. D&#
vorliegende Werk ist geeignet, von dem neuest.en Kurs im mathematisch«)
Unterricht der claases speciales ein ungefähres Bild zu geben, und dÜrfW
daher in Deutschland besonderer Beachtung begegnen. Offenbar hat Herr Juln
Tannery schon lange vor der amtlichen Festlegung nach diesen Grnid-
siltzen unterrichtet, wie ja auch in Deutschland lange Zeit, bevor der noci

aadauemde Kampf um den neuesten Kurs eatbranct ist, an einer ganzen
Reihe von Mittelschulen (ich erwShne in erster Linie die Oberrealschnlen,
j. B. die Friedrichs -Werderache und die Luisen stadtische Oberroal schule m
Berlia) bereits Differential- und In tegralre Löhnung gelehrt worden sind.

Was an dem Werk auf den ersten Blick in die Augen fallt, ist die
ungewöhnliche Breite der Daretellung, die in der Methode des Verfassers,
alles sagen zu wollen, begründet ist. Herr Tannerj le^. Wert darauf,
den Leser auf ächwierigkeiten und Lücken in der Ableitung eines Theorems
aufmerksam zu machen and ihu anzuleit«^, wie die Bedenkeu xu beseitigen,
wie die Lücken auszufüllen sind, oder aber, falls dies über die Grenzen des
Vortrages hinausgehen würde, dem Leser die Lückenhaftigkeit des Beweises
zum Bewußtsein zu bringen. Im mündlichen Vortrag dürfte es nicht sowohl
aus Mangel an Zeit, denn aus methodischen Gründen untunticb sein, bei
der EinffihruDg des Schülers in ein Gebiet alle diese Dinge zur Sprache zu
bringen. Der Verfasser hat wohl auch mehr den Lehrer im Auge, der zur
eignen Orientierung und zur Vorbereitung seines Vortrags das Buch zur
Hand nimmt. So dürfte derjenige, welcher es etwa unternehmen wollte,
die Theorie des Irrationalen Tor der Klasse so vorzutragen , wie sie auf
den ersten 58 Seiten des Werkes dargelegt ist. beim Schüler eher das
Gegenteil von Freude und Lust an arithmetischen Untersuchungen erwecken.

Im zweiten Kapitel wird bereits die Ableitung eines ganzzahligen
rationalen Ausdrucks von einer und mehreren Variablen definiert und für
'ien Fall einer Variablen geometrisch gedeutet. Die nächsten Kapitel be-
handeln die Division von Polynomen, die gebrochenen rationalen Ausdrücke
(wobei die h omographische Relation n = - - eingehend besprochen wird),
den grOBten gemeinsamen Teiler, das Imaginäre, das Fandamentaltheorem
der Algebra, den binomischen Satz, Gleichimgen ersten Grades nebst einer
kurzen Einf^rung in die Determinanten, und endlich die Eliminations-
tncthoden von Euler, Sylvester und B^zout.

Der zweite Band beginnt mit dem Grenzwert und der unendlichen
Heihe. Als Anwendungen dient die Aufgabe, die Summe einer Reihe, deren
"Glieder mit beliebiger Annäherung berechnet werden können, mit gegebener
Annäherung zu bestimmen. Sodann wird die Stetigkeit einer Funktion
«iner reellen Variablen erörtert und die Ableitung einer solchen, durch eine
konvergente Reihe definierten Funktion eingeföhri Es folgen die Ent-
wicklungen von Maclaurin und Taylor mit den üblichen Anwendungen
sowie das durch den Flficheninhalt definierte, bestimmte und das unbestimmte
Integral nebst Anwendung auf die linearen Differentialgleichungen, während
das algebraische Pensum mit der Üntersuchimg der symmetrischen Elementar-
funktionen einer algebraischen Gleichung beschlossen wird.

Diese Inhaltsaufzäblung lüQt schon erkennen, daß die Vorlesungen des
Herrn Tannery für den Primauuterricht an deutsehen Mittelschulen nicht
unmittelbar verwertet werden können, sie dürften vielmehr noch unseren
Studenten in den ersten Semestern wertvolle Belehrung bieten. In diesem
Sinne ist der Gewinn, der dem deutschen Oberlehrer aus Boreis Algebra
ftr seinen Unterricht zufließen dürfte, sicher größer und unmittelbarer,
Immerhin bietet das Werk auch für den Primnunterricht eine Fülle von
^^ Winken und eine Fülle von Anregungen und — was noch gamicht erwähnt

I

3&0 ReieaBlonen.

worden ist, was aber als ein besonderer Vorzug der VorleBimgen hervorgehoben

zu werden verdient — eine beträchtliche Zahl von Übungen und Beia-pielen,

die ein über die Mittel sehn Ibedürfnisse hinausgehendes Interesse beanspruchen.

Bprlin. E. Jahske.

H, Zimiuermaun. Die Kniokfestigkeit einei Stabes mit elastiMher
Queratützimg. 44 S. Berlin 1906, W. Ernst u. S. Jl 2.—.

Für die Beanspruchung eines geraden biegsamen Stabes, der in seiner
ganzen Länge ununterbrochen elastisch in der CJuerrichtung gestützt and
mit beliebig gerichteten Krliften belastet ist, hat der Verfasser in den
Berliner Äkadeniieberichten eine LSsung mitgeteilt, die auch den Knickfftll
als Grenze einschließt. Dieser Grenzfall wird im vorliegenden Heft be-
sonders untersucht. Die allgemeinen G rund gleichun gen werden für achtüg
verschiedene Beispiele numerisch durchgerechnet.

Dabei erbebt sich die — den Mathematiker interessifrende — Frag«
nach dem Wertepaar q, ic, das dem Gleichungssystem

k ©in gw — q BiD w — 0, k (Jof qte — cos w =
zu genügen bat, wo die zweite Gleichung aus der ersten durch Differen-
tiation nach «' entsteht und k ^ -r — { gesetzt ist. Der Verfasser bemerkt
dazu: „Die mir zugänglichen Fachschriften enthalten nichts Brauchbares
hierüber; es mußte daher erst ein geeignetes Verfahren entwickelt werden",
und fügt hinzu, daß er auf eine Beschreibung des Verfahrens aus Baum-
mangel verzichten müsse. Es ist nicht recht ersichtlich, weshalb das wohl-
bekannte Verfahren nicht anwendbar sein solle, das in der Tajlorschen
Entwicklung einer Funktion von zwei Variablen seinen Ursprung hat.
Berlin. E. J.uiske-

OeavrsB de Charles Hermite publi^ea bous lea aaspioea de rAoad&nle
des BOienceB par Bmile Fioard. Tome I. Paris 19Ü6, Gautbiei^
VUlars.
Das Archiv hat ganz besondere Ursache auf das Unternehmen hin-
zuweisen, von dem jetzt der erste Band erschienen ist. Hat doch Hermite
(1822 — 1901) der Neugestaltung des Archivs, die wenige Monate vor
seinem Tode zustande kam, sein Interesse bekundet durch ÜberBendung
einer Notiz über die Auflösung der Gleichung sn ^ ■" c - D, sn .f, und ist diese
Notiz, welche das Archiv der mathematischen Welt vorlegen konnte, doch seioa
letzte Arbeit gewesen. Gleichzeitig erhielt der eine der Herausgeber, welcher
das Glück hatte, seit mehreren Jahren mit dem großen Franzosen in regem
Briefwechsel zu stehen, ein Schreiben, wnrin Hermite seinem Unmut Lnfl
macht über neuerliche Bestrebungen, bereits in den mathematiMheo
Elementarunterricht die äußerste Strenge einzuführen. Auch dieMi
Schreiben ist in dem ersten Bande der nenen Reihe abgedruckt. Voraiu-
geschickt ist dem vorliegenden Bande eine wissenschaftliche Würdigung
Hermites in Gestalt einer Vorlesung, die der Herausgeber als Nschfol^r
seines Schwiegervaters an der Sorbonne wenige Wochen nach dessen Tixl«

Bezensionen. 351

gehalten hat. Hatte doch Hermite nicht gewünscht, daß an seinem Grabe
Beden gehalten würden!

Der Band beginnt mit zwei Aufsätzen des Schülers Hermite am College
Louis -le- Grand, von denen besonders der zweite über die algebraische
Auflösbarkeit der Gleichung fünften Grades auch heute noch weitere Ver-
breitung yerdient. Hieran schließen sich die Abhandlungen über die Trans-
formation der elliptischen und abelschen Transzendenten, die etwa bis zum
Tode Jacobis reichen, mit welchem ja der französische Meister in einem
bedeutsamen Briefwechsel gestanden hat. Es folgen dann die arithmetischen
Untersuchungen, zu denen ihn die Disquisitiones und die bezüglichen
Ja CO bischen Arbeiten yeranlaßten: die Einführung stetiger Veränderlichen
in die Theorie der quadratischen Formen ist der Grundgedanke, welcher
die lange Beihe der arithmetischen Abhandlungen beherrscht.

Endlich finden noch die wichtigen Arbeiten aus der algebraischen Theorie
der binären Formen Platz, wo Hermite u. a. das berühmte Beziprozitäts-
gesetz mitteilt: Jeder Eovariante einer Form m*^ Grades, die inbezug auf die
Koeffizienten dieser Form vom p*^^ Grade ist, entspricht eine Eo Variante,
die inbezug auf die Koeffizienten einer Form p^^'^ Grades vom m**° Grade
ist. Her mit es Entdeckungen im Gebiet der Invariantentheorie sind mit
denen Cajlejs und Sylvesters so eng verwachsen, daß Sylvester das
Wort prägte: „Wir, Cayley, Hermite und ich, bildeten damals eine in-
Tariante Dreieinigkeit.'^

Interessant ist noch, ftlr den Historiker, die bekannte Tatsache, daß sich die

r ds

Weier Straß sehe Form des elliptischen Inteirrals / -/-~^~- bereits bei

Hermite findet in der Abhandlung: Sur la theorie des fonctions homogenes
a deux ind^termin^es, Crellesches Journal, Bd. 52, S. 8.

Beigegeben ist dem Bande ein ynindervoUes Jugendbildnis des großen
Franzosen I

Berlin. E. Jahnke.

Holzmfiller^ 6. Die neueren Wandlungen der elektrischen Theorien
einaohließlioh der Elektronentheorie. Zwei Vorträge. 119 S. Berlin
1906, J. Springer.

Der Verfasser hat den Inhalt zweier in mehreren Bezirksvereinen des
Vereins Deutscher Ingenieure gehaltener Vorträge in Form einer Broschüre
kurz zusammengefaßt. Indem er auf die Sprache der höheren Analysis, wo
es nur anging, verzichtet, bietet er eine leicht faßliche Einführung in die
neueren Anschauungen über elektrische Vorgänge. Vorausgeschickt ist eine
Darlegung des Newtonschen Potentials und seiner Bedeutung fUr die Me-
chanik, Elektrostatik und Magnetismus, sowie des logarithmiscben Potentials
in seiner Bedeutung für die Bewegung der Elektrizität in dünnen, leitenden
Platten, für stationäre Wärmeströmung und für das elektromagnetiscbe Feld
eines geradlinigen elektrischen Stromes. Hieran schließt sich ein Über-
blick über die elektromagnetischen Femwirkungsgesetze von Biot, Savart
und Laplace, von Ampere, Weber, Riemann, Helmholtz, Glausius
und Graßmann. Es folgen die Theorien der Äthervermittlung, welche sich
an die Namen Faraday, Helmholtz, Maxwell und Hertz knüpfen. Mit

beaonderem Geschick weiß der Verfasser die Maxwellscben Vorstellungs-
bÜder über elektromagnetische und elektrodynamische Strom Wirkungen klar
EU legen. Den Schluß bildet ein auaführliehea Kapitel über die Elektronen-
theorie, wo sich der Leser bis zu den neuesten Forschungen von Hutherford.
Kaufmann und Lorentz orientieren kann.

Berlin. __ _____ ^ Jahnkb.

Hütte. Des IngenieurB Taschenbuch. Herausgegeben vom akademisches
Verein „Hütte^'. 19. Auflage, 2 Abteilungen, 1334,926 8. Berlin 1905,
W. Ernst und Sohn. jT 10.—.
Annnaire pour l'an 1906 public par le Bureau dea longitndes. Paris 1906.
Gauthier -Villars. Fr. 1,50.
Das Standardwerk des Technikers ISÖt steh in gewissem Sinne als
Soitenstttck ?,um ,fAnnuaire" bezeichnen, das alljährlich von dem Burean
des longitudea, einer öchöpfung des großen Napoleon, herausgegeben wird.
Dieses, ein Oktavbändchen von ungefähr 900 Seiten, erfreut sich in Frank-
reich auBeroidentl icher Verbreitung. Es ist nicht bloß auf dem Tisch des
Technikers, Physikers und Mathematikers zu finden; auch der Laie nimmt
es gern zur Hand, weniger allerdings um in dem Verzeichnis der physi-
kalischen und chemischen Konstanten nachzuschlagen; was ihn anzieht, das
sind die angehängten Abhandlungen, welche, von hervorragenden Gelehrten
verfaßt, im edelsten Sinne des Wortes populäre Darstellungen wissenschaft-
licher Ergebnisse bieten. So enthält das diesmalige Annuaire die Abhand-
lung: Lea eclipsea de Soleil. Instructions sommaires snr les observations
que Ton peut faire pendant ces ecüpses aus der Feder von Herrn G. Bigourdan.
Erfreut sich die „Hütte" einer gleichen Verbreitung? Nun, das ist
schon aus einem rein HuBerlichen Grunde nicht zu erwarten. Kostet doch
das Annuaire 1 fr. 50, das zweibäadige Werk der Hütte 16 ^■^. Diesem
PreisonlerschieU entsprechend ist allerdings der Stoffumfang der Hütte ein un-
vergleichlich größerer. Umfaßt doch die Hütte alle Gebiete der Technik: Wfime.
Festigkeitslehre, Stoffkunde, Maschinenteile, Ki-aftmaschinen, Arbeits maschinen,
Vermessungskunde , Hochbau , Lüftung nnd Heizung, Wasserrei-sorgung,
Städteentw&sserung, Straßenbau, Statik der Baukonstruktionen, Brückenbau,
Schiffsbau und Schiffsmaachinenbau, Eisenbahnwesen, Eisenhüttenkunde,
Elektrotechnik, Gasfabrikation asw., wobei hervorgehoben zu werfen ver-
dient, daß die einzelnen Abschnitte zum Teil aus der Feder allererst«
Autoritäten herrühren. Für alle diese Gebiete werden die Resultate der
neuesten experimentellen und theoretischen Foi-schung mitgeteilt. In
letzterer Beziehung geht die Redaktion der Hütte vielleicht raanohmol
stuweit, insofern als auch Ergebnisse der Theorie mitgeteilt werden ohne den
Zusatz, daß sie als noch nicht genügend gesichert angesehen werden können.
Doch nicht etwa bloß als Nachschlagewerk leistet die Hütte ausge-
zeichnete Dienste. Den Fonneln ist ein zwar knapper, doch den Wissenden
hinreichend orientierender Test beigefügt, sodaß die Hütte von den Studie-
renden vielfach als Itepetitorium benutzt wird.

Was den Mathematiker besonders interessiert, sind die beiden voran-
gestellten Abschnitte über Mathematik und Mechanik. Sie sind mit be-
sonderem Geschick abgefaßt und können, vom Standpunkte des Technikers.

Rexensionen. 353

als recht YoUstandig bezeichnet werden — bis auf eine Lücke. Als eine
Lficke muß es bezeichnet werden, wenn der Name Vektor nicht einmal er-
wähnt wird. In ein modernes Handbuch der Technik gehört dieser funda-
mentale Begriff nebst einer kurzen Anleitung zu seiner Verwendung.

Berlin. E. Jahmke.

H. MfiUer und F. Pietiker^ Beohenbuoh für die unteren Klassen
der höheren Iiehranstalten. Vorstufe zu den Aufgabensammlungen
von Bardey und MüUer-Eutnewsky. Ausgabe C. Heft 1: Für
Sexta, Heft 2: Für Quinta, Heft 3: Für Quarta. Je VI S. und ins-
gesamt 252 S. 8^ Heft 3 mit einer Boppeltafel: Reproduktion eines
Staatspapiers. Leipzig und Berlin 1906, B. G. Teubner. G^h. JL 0,80;
JL 0,80; 1.—.

H. Mftller und A« Bieler, Beohenbaoh für Knaben -Mittelsohnlen.

Im Anschluß an das nxathematische ünterrichtswerk von Prof. H. Müller.
Teü I: Für die 4 unteren Klassen. 4 Hefte. IV u. 52, IV u. 56, IV u, 52,
IVU.52S. 8®. Leipzig und Berlin 1906, B.G. Teubner. Geh. je Jl 0,50.

— Arithmetisohee Iiehr- und Übungsbuch für Knaben-Mittelsohulen.

TeU 1: Bis zu den Gleichungen zweiten Grades mit mehreren Un-
bekannten einschließlich. Teil 2: Reihenlehre, Zinseszins-Bechnung und
Anfangsgründe der Trigonometrie. VI u. IV u. 194 u. 6 S. Tabellen.
Leipzig und Berlin 1906, B. G. Teubner. I. geb. Jl 1,60, 11. geh. Jl 0,40.

H. MfiUer und M. Zwerg^r^ Die Mathematik auf den G-ymnasien
und Realschulen. In Verbindung mit dem Verfasser für bayerische
Lehranstalten herausgegeben. Erster Teil: Lehraufgabe der 5. und 6.
Gymnasial-, bez. der 3. und 4. Bealschulklasse. Zweiter Teil: Lehr-
aufgabe der 7. und 8. Gymnasial-, bez. der 5. und 6. Bealschulklasse.
VI u. 138 S. u. VI u. 162 S. 8®. Leipzig 1906, B. G. Teubner. Geb.
Jl 1,20 u. 2,00.

H. Mfiller, M. Kntnewsky und M. Zwerger, Sammlung von Auf-
gaben aus der Arithmetik, Trigonometrie und Stereometrie. Im

Anschluß an die Teile A I und A II der Müller und Eutnewsky-
schen Aufgabensammlung und in Verbindung mit den Verfassern für
bayerische Lehranstalten herausgegeben. Vni u. 276 S. 8^ Leipzig
und Berlin 1906, B. G. Teubner Geb. Jl 2,60.

Bas H. Müll ersehe ünterrichtswerk, über das wiederholt zu berichten
war, ist durch verschiedene Neuausgaben erweitert worden.

Das Rechenbuch für die unteren Klassen der höheren Lehranstalten
von H. Müller und F. Pietzker ist in einer Ausgabe G erschienen, in
der das sachliche und methodische Beiwerk beschränkt und dafCLr einiges
andere etwas erweitert wurde; dazu gehören die Dreisatzaufgaben, dann
Ton den abgekürzten Rechnungsarten die Multiplikation imd endlich die als
Denkübungen bezeichneten Aufgaben. Das sehr zu empfehlende Rechenbuch
hat an Brauchbarkeit noch gewonnen, wenn auch das f&r die abgekürzten
Rechnungsarten Gebotene zu dürftig erscheint. Die Teilung in 3 Heflie ist
dankenswert. Verfehlt ist es, „HunderteP^ statt „Hundertstel'^ einführen zu
wollen.

Arohiv der MAihemftlik and Physik. lU. Belhe. XI. 24

r in Anlelmiing an
_ n 4 Teilen fttr die i

erstes Schuljahre und ein arithmetisches Lehr- und IJbungsbuch in 2 Teilen
fflr die obersten Mittelschulklassen. S. 177 — 193 der Arithmetik bringen
als Anhang die Anfangsgründe der Trigonometrie, Mögen die Bücher Segen
stiften! Sie sind ihrem Zweck entsprechend gestaltet und bevorzugen als
Aufgabengebiete das in der Interessensphäre der betrefienden Altersstufe
Liegende. FreiÜch dürfte, indem die neunstufige Muster -Mittelschule iss
Auge gefaSt ist, für die meisten Yerhältnisse zu viel geboten s

Für bayerische Gymnasien und Realschulen hat Zwerger an H. Müllers
Mathematik die durch den verminderten Umfang des Pensums ermöglichten
Kürzungen und einige Umstellungen vorgenommen. Wesentliche AndenmgeQ
sind vermieden. Bei der für die bayerischen Gymnasien ja erst in neuester
Zeit angesetzten Einfüining in die analytische Geometrie dtr Ebene er-
scheint manches, da es keine rechte Duroharbeitang erfahren kann, über-
Büssig, Soweit es die geringen Stundenzahlen für Jtechncn und Mathematik
in Bayern zulassen (in der 4. Klasse des human istischen Gymnasiums =• U III
sind es 2 Wochenstundenl), wird Zwerger-Mfiller mit Nutzen für die
Einführung in den Lehrstotf verwendet werden können.

Geeignetes Übuugsmaterial für bayerische Lehranstalten bringt dum
Zwergers Bearbeitung der Müller-Kutnewskyschen Aufgabensammlung,
die auch warm empfohlen werden kann. Wenn die einfacheren Gleichungen
ersten Grades an einen früheren Platz gestellt sind, Nr. 11 statt Nr. 19,
Bo künnte darin noch weitur gegangen werden an Stelle der bisher bei den
früherpn Nummern zugeiilgten Hinweise. In Nr. 67 hätte Zwerger auch
Aufgaben über das Körper zeichnen bieten oder zum mindestep auf 8. 11)5
des zweiten Teiles vom Lehrbuch Bezug nehmen sollen.

Der Druck ist in allen Teilen des H. Müllerschen Unterrichtsirerkes
ein ausgezeichneter.

Gera, E. KcL.i.urii.

F. Schütte. Anfangsgründe der daratellonden Geometrie für Oyin-
nasien. 42 S. 8". Leipzig und Berlin 1905, B. G. Teubner. Oeh.

Jt U,80.

In klarer Darstellung werden die Elemente der Orthogen alprojektioo
behandelt, dann einiges von der schiefen Parallel- und von der Zentral-
Perspektive. Wenn Verfasser das in § 2 der Einleitung gebotene Allgemeine
über das Projizieren etwas weiter ausgestaltet hätte, so würde die Behand-
lung des Stoffes leicht dem noch mehr Rechnung haben tragen können, da&
die darstellende Geometrie zugleich eine schöne Anwendung an sich trockener
stereometrischer Lehrsätze bildet. Die Bezugnahme auf den Strahlensati
im Räume hätte mehrfach gute Dienste leisten können; so würde sich auf
S. 12, wo bewiesen werden soll, daB bei der Parallel projektion die Bild-
strecken im Verhältnis der Strecken stehen, die Benufzimg einer Winkel-
fiinktion erübrigt haben.

Die getroffene Stoffauswahl kann im gan;nen als für Gymnasien geeignet
anerkannt werden. Die Figuren sind nicht durchweg vorbildlich.

Gera- E. K[

Rezensionen. 355

F. Sogel^ Das Beohnen mit Vorteil. Eine gemeinfaßliche, durch zahl-
reiche Beispiele erläuterte Darstellung empfehlenswerter Vorteile und
abkürzender Verfahren. IV u. 38 S. 8®. Leipzig 1905, B. G. Teubner.
Geh. Jl 0,80.

In knapper und klarer Darstellung werden Angaben darüber gemacht,
wie man Zahlenrechnungen vorteilhaft gestalten kann. Auf die Frage der
Fehlergrenze bei abgekürzten Rechnungen und solchen mit ungenauen Zahlen
wird, wenn auch nicht erschöpfend, eingegangen. Die Schreibart 8. 23
Beispiel 114 405 : 286 === 2 usw. bis 27:5 = 6 wäre zu vermeiden gewesen.

(Jera. E. Kullrich.

H, Starke. Experimentelle ElektrisitätBlehre. Mit besonderer Berück-
sichtigung der neueren Anschauungen und Ergebnisse. Mit 275 in den
Text gedruckten Abbildungen. XIV u. 422 S. Leipzig und Berlin 1904,
B. G. Teubner. Jl 6. — .

Ein vorzügliches modernes Lehrbuch der Elektrizität. Als Ausgangs-
punkt der Darstellung dient allenthalben das Experiment; doch wird zur
Vertiefung des Verst&idnisses in weitgehendem Maße auch auf die mathe-
matische Theorie der Erscheinungen eingegangen. In dieser glücklichen Ver-
bindung der experimentellen und der theoretischen Methode liegt ein besonderes
Kennzeichen des vorliegenden Werkes. Zur Deutung der elektrischen Er-
scheinungen werden ausnahmslos die neueren Anschauungen herangezogen,
die an die Namen Faraday, Maxwell, Hertz, Arrhenius, H. A. Lorentz,
J. J. Thomson usw. geknüpfb sind.

Berlin. E. Aschkinass.

J. Ritter TOn Geitler. Elektromagnetiflohe Sehwingangen und

Wellen. (Sechstes Heft der Sammlung „Die Wissenschaft".) Mit 84
eingedruckten Abbildungen. VIII u. 154 S. Braunschweig 1905,
F. Vieweg und Sohn.

Das Buch ist ungemein lebendig imd klar geschrieben und liefert ein
wohlabgerundetes Bild unserer Kenntnisse von den elektromagnetischen
Schwingungen sowie ihrer wellenförmigen Ausbreitimg im Baume. Es bildet
das sechste Heft der unter dem Gesamttitel „die Wissenschaft" imVieweg-
schen Verlage erscheinenden Sammlung von Monographien. Den ftlr diese
Werke vorgeschriebenen Grundsätzen entsprechend behandelt der Verfasser
sein Thema in durchaus gemeinverständlicher Weise — mathematische Formeln
fehlen fast vollständig — , ohne daß die Exaktheit der Darstellung dadurch
beeinträchtigt würde. Der Hauptinhalt gliedert sich in vier Abschnitte,
von denen die ersten drei die Namen von „Michael Faraday", „James
Clerk Maxwell" und „Heinrich Hertz" als charakteristische Überschriften
tragen; im vierten Abschnitt werden die neueren Forschungsergebnisse be-
sprochen, die nach dem Auftreten von Hertz zu Tage gefördert wurden.

Inkorrekt sind auf S. 118 die Zahlenangaben (Wellenlängen) über die
Ghrenzen des sichtbaren Spektralgebietes.

Berlin. E. Aschkinass.

24 •

356

J. Walleutiii. Einleitung in die theoretiaolie Elektrizit&tBlehre.

(A. u. d. T.: B. (";. Teuboers .Sammlung von Lehrbücheni auf dem Ge-
biete der mathematischen WissenBcIiaftcn mit Einschluß ihrer Anwecdungun
Band XIV.) Mit 81 in den Teit gedruckten Figuren. X u. 444 S.
Leipzig 1904, B. G. Teubner. M 12.—.
Das Buch ist im Anschlüsse von Vorlesungen ausgearbeitet worden,
die der Verfasaer vor längerer Zeit an der Technischen Hochschule in Brüan
gehalten hat. Es behandelt iu filnf Kapiteln die Elektrostatik, den Magne-
tismus, die Theorie der dekirischtn Ströme, den Elektromai/netiamus und die
TIii'M'it der galvanischen und Mofinetolndtiktion.

Die ganze Anlage des Werkes enUpricht leider nicht dem modernen
Standpunkte der Wissenschaft. Dies xeigt sich schon äuBorlich darin, daS
die Lehre von der Elektrostatik ein volles Drittel des gesamten Textes ein-
nimmt, wahrend die Ableitung der Maxwell-Hertzschen Gleicbungen erst
nahezu am Ende des Buches zu finden ist. Es wird sehr viel .gerechnet";
doch fehlt ea vielfach an genägender Exaktheit bei der Einführung and
Verwendung der fundamentalen Begriffe.

Berlin. E. Ascukikass.

Chr. Scbuiehl, Die Elemente der ephäriscben Aatronomie und der
mstbematischen Oeographie. Nehst einer Sammlung gelSster und
ungelöster Aufgaben mit den Resultaten der ungelösten Aufgaben. Zum
Gebrauche an höheren Lehranstalten und zum Selbstatudium- VTIT n.
110 S. H". Gießen 190Ö, EmÜ Koth. Ji 1,60.
Im Mittelpunkt des Interesses steht die Aufgaben behandlung. Es wird
eine aus der Schulpraxis hervorgegangene reichhaltige Sammlung von Auf-
gaben geboten. Zu ihrer Auflösung werden die nötigen Anweisungen ge-
geben. Dabei wird auch sot^ltig auf die Untersuchung der verschiedenen
goniometrischen Lösungen bezüglich ihrer ^'erwend barkeit im vorliegenden
sphärischen Dreieck eingegangen. Gerade diese Betrachtungen, mit denen
man schon frühzeitig bei den Aufgaben der ebenen Trigonometrie beginnen
muß, sind recht beachtenswert.

Bezüglich der Besultate fehlt in dem empfehlenswerten Buche die An-
gabe, mit wievielstelligen Logarithmentafeln die Berechnung erfolgt ist.
Stichproben ergaben dem Referenten mehrfach sowohl für ßnf- aU filr
siebenstellige Tafeln Abweichungen in den Sekunden.

Gera. E. Kcllkich.

>V. Mevius. Methodik des UnterrlohtB im Beohnen nad In dar

Raumlehre. (Methodik des Volks- und Mittelschuluntertichts roo

H. Gehrig.) IV u. 144 S. 8°. Leipzig und Berlin 1905, B. G. Teubner.

Geh. jK 1,80.

Mevius will zur Vervollkommnung des Volks- und Mittelschulunterrirht)

im ßechnen und in der Raumlehre beitragen. Er behandelt unter Anführung

eines gWlßeren Teiles der einschlägigen Literatur die „Einfiihrnng'' und dir

„besondere Methodik" beider Gebiete. Grfißere Sorgfalt wäre zu verwenden

gewesen auf mathematisch korrekte Schreibart. Man findet: 3 + l = 4-t-l— 5;

357

8:1 = 2-12 = 24; | = 0,33^ (!) = 0,33 (währead auf lievseiben Seit«
ausdiücklich hervoi^ehoben wini i>0,33}; 0,il=i; S^m^^M; f = l\M;
2 ^^ '^. In stilistischer Beziehung ist unrichtig „diviilieren mit", „enthaltensein
mil"; nicht Üblich lat „die tangena". tianit verunglückt ist der Satz: „In
der Aufgabe 35,8 X 9 kann der 1. faktor durch Multiplikation mit 10 in
rine Multiplikation einer ganzen Zahl mit 9 vorwandelt werden".

In methodischer Hinsicht sucht Mevius AusohluB an die höherf-n Schulen,
80 bezOglicb der Behandlung der Dezimul bräche und der Geometrie, für die
bftbache Hinweise anfgenommen sind, z B. auf das stereoraetrischu Zeichnen.
Im einzelnen ist es verwimderJich , d:i6 S. 22 die übliche Teilbark eitsreget
fflr 11 nicht abgeleitet wird. Das Interpolationav erfahren fflr die Berechnung
von Quadratwurzeln ist recht roh und nicht geeignet, das methodische
BerechnuDgaverfahren zu ersetzen. Die beiden experimentellen Nachweise
der Formel für das Rugelvolumen sind un mathematisch.

Gera. E. Kullhicfi.

E. Scbnize und F. Palii. Hathematische Aufgaben. Ausgabe für
Gymnasien, Erster Teil. Aufgaben aus der Planimetrie und Arith-
metik für die Unterstufe (Quarta bis Untersekunda einschl.) von
E. Schulze. Vin u. 196 S. »'>. Leipzig 1905, Dürr. Ji 2,40.
Die Sammlung soll alle Gcbiel« der auf unseren höheren Schulen zu
behandelnden Elementarmathematik umfassen und zwar im Anschluß an
Borks Mathematische Hauptsätze, heiuu agegeben von Nath. Der erete Teil
der Ausgabe für Gymnasien bietet, den preuQischen LehrplUucn von 1901
folgend, Aufgaben für die Quarta bis Untersekunda humanistischer Gym-
nasien alten Stiles. Wenn 44 Seiten der Planimetrie gewidmet sind und
152 der Arithmetik, so kommt darin die leider vielfach Übliche Bevorzugung
der arithmetischen Aufgaben zum Ausdruck. Eine Vermehrung empfiehlt
■ich namentlich bezfiglich der praktischen geometrischen Aufgaben, von
derea immer energischerer Forderung iilr den neuzeitlichen mathematischen
Unterricht die Verfasser im Vorwort ja selbst berichten. Auch ist die
Anwendung bestimmter Maßzahlen bei geometrischen Aufgaben noch weiter
durchzuführen. In der Arithmetik sind auch eine Reihe mündlich zu
lösender Anfgaben aufgenommen. Sie sollen ebenso der ersten Einübung,
Wie der Wiederholung, auch In höheren Klasaen dienen. Wo man etwa
nuf mündliche Aufgabenstellung verzichten muB, bieten sie brauchbaren
Übnngsstoff. Aufgaben, bei denen das GeRihl aufkommen könnte, „die
Xiösung sei nur mit besonderer Erfindungsgabe mSglich," werden vermieden.
Möge dem Wunsche des Verfabsers gemäü das Buch Lust und Liebe
zur mathematischen Arbeit in den Schülern erwecken helfen, indem es dazu
»beitrage, daß die produktive TUtigkeit heim Aufgabenlösen neben der rezep-
[tiven hei der Lehrsatzbeb an dl un^' voll zur Geltung komme.

Gera. E. Kullkich.

[ Fr. Haacke. Entwurf eines arithmetiaolien Iiohrganges für hbhere
Sohulen. Mit 4 Figuren, j3 S. gr. S, Leipzig 19U4, B. G. Teubner. JK 0.80.
Mit manchen Ausführungen in der Einleitung dieses Werkebens kann
l man sich einverstanden erklHren: so z. B. empfiehlt der Verfasser, das

358

ReEensioiieti.

Hauptgewicht im arithmBtischen Unterricht nicht auf die Fertigkeit im Um-
formen kompÜiierter algebraischer Ausdrücke zu legea; er fordert femar
mögliuhst frühzeitige Eiufübrung des Funktionsbegriffs Qnd Aufnahme der
Elemente der Infinitesimalrecbnong in den Lebrplan. Leider aber lüßt sein
Lefargaog selbst so ziemlich alles zu wünschen flhng. Der Schttler soll,
nach der Meinung des Verfassers, nicht den Begriff der reinen Zahl gs-
winnen, sondern darf sich die Zahlen nur in Verbindung mit zahlbaren
Dingen vorstellen. Da ist es dpnn kein Wunder, daß der Verfasser den
Begriff des Ni-gatiren tilr so schwierig hält, daß der Schiller mit ihm erst
bekannt gemacht werden darf, nachdem er sämtliche Operationen mit Ein-
schluß des Radiziereus und Logarithmierens kennen gelernt bat. und auch
dann noch scheinen unüberwindliche Schwierigkeiten vorzuliegen, denn die
Darstellung des Rechnens mit negativen und vollends mit Imaginären Zahlen
ist — im Anschluß an Dührings Spekulationen — derartig unklar, dafl
nur die verwirrtesten Schüler sich dabei beruhigen können. Auch sonst finden
sich Unklarheiten und sachliche Fehler in solcher Zahl, daß man die Schüler
nur bedauern kann, die nach diesem Lehrgang unterricht«t werden.

Straßburg i. E. Paul Epsteik.

F. Kleio. über eine Eeitgemäße Umgestalttuig des mathematisobeii
TJnteiTiohteB an den höheren Sohulen. Vortrfige gebalt«n bei Ge-
legenheit des Ferienkurses für Oberlehrer der Mathematik und Physik.
Glittingen, Ostern 1904. Mit einem Abdruck verschiedener einschlägiger
Aufsätze von E. Götting und F. Klein. IV u. 82 8. 8". Leipuig
und Berhn 1904, B. G. Teubner. jK. 1.60.
Es ist in höchstem Maße erfreulich, daß das Interesse der üniverwtita-
und Hochschullehrer an dem Unterricht unserer höheren Schulen ein immer
regeres wird. Eine neue Betätigung dieses Interesses bringen die Ostern 1904
beim Ferienkursus in Göttingen gehaltenen Torträge von F. filein. in
denen dieser warme Freund und Förderer aller Fortachritte im mathematisch -
physikalischen Schulunterricht , über seine früher auf die realen Anstalten
beschrankten Wünsche hinausgehend, fordert, daß der mathematische Unter-
richt aller'j höheren Lehranstalten die elementare Differential- und Integral-
rechnung umfassen soll. Klein erörtert die Möglichkeit und die Notwendigkeit
dieser Forderung, Für die Abgrenzung des speziellen Umfanges der in
behandelnden Gebiete rechnet er auf die Mitarbeit der praktischen Schulmänner.
Der Wiederabdruck dreier Aufsätze von Klein und eines von Götting,
die nach der hiatoriscbeu Seite recht viel des Interessanten bieten , dient
im besonderen zur Unterstützung der Ausfilhrungen bezüglich der Realan-
stalten.

Gera. E. KuixiuCH.

1) Für die Refonngjmnasien settt Klein dabei voraus, daS die Betchrankuns
anf 3 Stunden Mathematik in der Oberstufe an sich nicht haltbar ist, ond das
die Erhöhung auf i Wochenstonden erfolgen mnS.

1. Aufgaben nnd Lehrsätze. Lösungen.

A. Aufgaben und LebrHltze.
178, Es sei die fülgeode partielle Differentialgleichung vierter Ordnung

\dq' cp' dpdqdpdq dp* dq*)

Leg' \6pl cpdq dp dq dp' \dq/ J'

wo 9 eine unbekannte Funktion der unabhilngigaa Veränderlichen p, q
bedeutet und

I

~V \dpdql 3p' dq'

ap',

Bezüglich dieser Differentialgleichung, zd deren Integration die aratfin
Anlfiufe Ton Herrn Julius Välyi stammen (In au gural- Dissertation, Kolozs-
ind deren allgemeine Lösung erst unlflngat Herrn Wilhelm
Kapteyn') gelungen ist, soll der folgende Satz bewiesen werden:

Betrachten ioir p, q, 9 als i/eiröhnlichf. I'unktkoordiruUen im Baume, so
Jestattet die vorgelebte partielle Differentialgleichung vierter Ordnung jede

Itoldte projektive Tranaformalion , dir den Punkt p = 0, g — 0, *— -oo i
»erd

l*f€rändert J

Budapest.

JosBP KürschAk.

179. Die Abschnitte
eiecks errichteten Loten,

den in den Endpunkten einer Seite eines
den Fußpunkten bis zum Schnitt mit den
gegenüberliegenden Dreiecksseiten gerechnet, erscheinen vom Mittelpunkt des
Inkreises und der Ankreise unter je gleichen oder supplementären Winkeln.
Kieser einfache und, wie es scheint, nene Satz gilt auch für sphärische
, I>reiecke und Ist vom ParaUeleuaxiom unabhängig.

Charlottenburg. 0, Pdnd,

., Phys. (3) 9,

360 Yennischte Mitteilungen.

B. LSsiingeii.

Zu 182 (Bd. IX, S. 303) (M. Peche). — Wenn man von allen Punkten
P einer Kreisevolvente aus auf den Normalen eine Strecke PN >— l und
auf den Tangenten nach der Seite der Spitze hin den Radius des Grund-
kreises PT^ a abträgt, so umhüllt NT wieder eine Kreisevolvente.

Dritte Lösung. — In natürlichen Koordinaten ^, 8 (Krümmungsradius
und Bogen; vgl. Cesaro-Kowalewski, Vorl. über ncUiürliche Geometrie^
Teubner 1901, bes. § 15 u. 16) ist die Gleichung der Kreisevolvente auf die
Spitze bezogen ^' -» 2 a«. In bezug auf das Koordinatensystem der Tangente
und Normale in P hat die einhüllende Gerade die Gleichung

Q ^ Ix — ay + al ^ 0.

ist (nach s) zu differenzieren, wobei -j-"" — — 1» "T"^ '^ setzen

ist (Cesaro § 12). Dies ergibt sofort

Q' ^ ax + ly — qI ^ 0.

Aus G und G' erhält man für die Koordinaten 2:, y des Berührungspunktes
der Enveloppe

(1) x = aXiQ-l), yXifl + a") ''^-
Hieraus j ^ j j

d« ™ ds^ ds da '

Nun hat man aber (Cesaro § 12)

ds ds ^ ' ' d« °** d« ' p '

und man erhält ohne viele Mühe -3- — -7-» jt^ — «^1 tgö«--r^ = —

ds l ^ ds ' ^ 9x a

(selbstverständlich), x* = \-j-] + VT') """F' ^^^ wenn nun s' und ^'
die Koordinaten der neuen Kurve sind, ds' =^ ai/ jd^, daher

(2) s'^aY^s.

Femer ist (Cesaro § 15) — =» — I" j"» demnach

(3) q'^^9'

Aus (2) und (3) läßt sich mit Hilfe von Q^=^2as leicht q und 8 eliminieren,
und es ergibt sich schließlich als Gleichung der gesuchten Enveloppe

Dies ist in der Tat wiederum die Gleichung einer Kreisevolvente, bei d«r
die Bogen wegen (2) ebenfalls von der Spitze aus gezählt sind. Der Radius
des erzeugenden Kreises ist aber

a«

a = -- — : — = a cos u.

Daher ist dieser Radius gleich der Projektion von PT auf NT. Beide

Kreise haben auch denBelben Mittelpunkt. Denn für die Spitze der neuen

EvolTeat« erhält man aus (l) die Koordinaten, die auf Tangente und

^^Nonnale der Spitze der ursprünglichen Evolvente bezogen Bind:

Si-

.' + (*

."+(■

lie Spitze
dann auf

Auf den Hittelpankt des ursprünglichen Kreises bezogen, hat also

flie Polarkoordinaten a' und 6. Der Hadiusvektor «' liegt aber

der Geraden G, d. b. die Spitze der neuen Evolute steht zu dem um den

ursprünglichen Mittelpunkt mit a' als Radius beschriebenen Kreise senkrecht.

Dieser ist also gewifl ihr erzeugender Kreis, und sie ist gegen

ExeiseTolTente um den Winkel = arctg— gedreht

Speyer. H. WiEtErrNER.

ff

r

Zu 145 (Bd. X, S. 197) (P. Epstein) ist noch von Herrn F. A. Mflller
(Aechaffenburg) eine Lösung eingegangen, die mit der von Herrn J. West-
lund mitgeteilten (Bd. XI, 8. 150) übereinstimmt, sowie von Herrn stud.
math. Wieferich (Münster i, W.) eine Lösung, die mit der von Herrn
er gegebenen übereinstinmit. Red.

2. Anfragen and Antworten.

Zu 29 (Bd. XI, S. 166) (0. Meissner). — The general forraula
the reversion of series may be derived from Bürmann's Theorem — see,
instance, Schlömilch's Competidittm der höheren Anali/sis, Bd. II, p. 21,

3 Aufl. — and from the Multinomial Theorem. Using the notation of

I qoery, we toaj write:

,.IgIg'!..-9<'-"!

(-1)'"'

X'h^

"-i +« + 2(('+---{t.-l)3''-^

r'ftnd the aummation includes all possible seta of values of q, q' etc. that
■ «stisfy (a), q, q' etc. being reatricted to zero or positive integers, also q = 1.

The results are given in detail to nine terms in Cagnoli's Trigonometry
l'^p, 46 French ti-anslation, 2""* edit.); t« eleven terms in the Penntf Cydopaedia
l%rtirle on Reversion of Series, and to siiteen by E, B. Seitz in the Maihe-
1 Snof/col Visitor (formerly pablished at Erie, Pennsylvania) Vol I, (1878) no 3.

Washington. W. D. Lambert

sucht sich trotz
1 koostruiBren —
r ein unnötiger
gworfen sollte!
1 elektrischer Strom
liegt er quer in
schon vorhande-
nen Felde, so rerstirkt
er es auf der einen und
schwächt es auf der an-
deren Seite seiner Bahn;
mit anderen Worten, er
drängt die vorhande-
nen Kraftlinien auf eine
Seite seiner Bahn lu-
1 (s. Fig.). Die
2 US amm e n gedrängten
Kraftlinien wirken aber
auf den Stromleiter lu-
rQck, um ihn ins schwB-
chere Feld abzudrängen; dies fühlt man sozusagen beim bloßen Anblick
der Figur. Daraus ergibt sich ohne weiteres die Drehrichtung einet
Motors: nämlich vom stärkeren Feld ins achwachere.

Die Richtung der induzierten EMK eines Generators ergibt sich
aus der einfachen Überlegung, daß sich der Anker dem elektromagnetischen
Zuge entgegen, d. h. ins stärkere Feld hinein bewegt; der induitierte
örkt also das Feld vor sich.
Behält man diesen Sachverhalt vor Augen, so braucht man kein^
andere Richtungsregel auSer der zur Bestimmung <!<
gehörigen Richtungen von Strom und Feld. Hierzu empfiebtt i
statt der Ampereschen Sehwimmregel die weit bequemere Regel der recht»-
gängigen Schraube Maiwolls oder die „der geschlossenen Rechten''. Dien*
lautet: „Ein Strom in der Richtung des gestreckten rechten Dai
zeugt um sieh ein Feld in der Riclitung der gekrümmten Finger". Eteispiel:
Strom — zum Leser, Feld — nach oben (in der Papierebene}: das Strom-
feld verlauft dem Uhrzeiger entgegen, das ursprüngliche Feld wird tiso
rechts verstärkt, daher der Leiter nach links abgedrückt. Folgt der LeiUt
wirklich diesem Druck (Motor!), so wird eine EMK vom Leser weg (die
„Gegen-fJff' des Motors") induziert, weil der dieser EMK entsprecheiid«
Strom das Feld vor sich — hier also links — verstärken müßte,

1) Abdruck ans „Elektrotechnik und Maschinenbau", Zeitschrift dea Elektr-»-
technitchea Verein» in Wien, Organ der Öaterr, Vereinigung der ElektriiiUt'-
werke, 100(1, H. SU.

Der Leser wird gebeten, das hier empfohlene Verfahren an zwei oder
drei selbstgestellten Beispielen einzuüben; er wird dann schon ohne Zweifel
die beiden Yorztige desselben bemerken; erstens ist es bequemer als die
Flemingschen Regeln, da man dabei nur einen Finger (den Daumen),
nach Fleming dagegen drei zu orientieren hat; zweitens ist es anschau-
lieber, da es unmittelbar die tatsächlichen Torgänge vor Äugen führt.

Alle übiigen Regeln erscheinen demgegenüber inhaltslos und daher zu
künstlich. Aus diesem Grunde ist das hier besprochene Verfahren ganz
besonders in didaktischer Hinsicht zu empfehlen, wie der Verfasser aas
eigener Erfahrung mitteilen kann.

»Brftnn. J, K. Sumbc.

über MnlUpUkatlonstafeln.
Jedem. Berufsrechner ist bekannt, daB die Logarithmen, so Bfltzlich, ja
notwendig sie für zahlreiche Fälle sind, in manchen anderen entweder
gsnz versagen, weil auch die Anwendung von 7 Stellen das Resultat nicht so
genau ergibt, wie man wünschen muQ, oder daß die Arbeit mit ihnen unter
Umständen doch erheblich unbequemer ist als das unmittelbare Zahlenrechnen.
In solchen FSUen sind besondere Multiplikation stafeln , Quadrat- und
Benproken tafeln erwünscht. Da jedenfalls manche von unseren Lesern gern
Dnd viel rechnen, wollen wir einmal die uns bekannt gewordenen neueren
Tafeln, besonders der ersten Art, die übrigens auch das Diridieren, Wurzel-
ansziehen usw. erleichtern, in zwangloser Reihenfolge betrachten.

Will man ein „Großes Einmaleins" aufstellen, also eine Anzahl von
ausgerechneten Produkten in eine Tafel bringen, so kann man je nach dem
Zwecke die Grenzen enger und weiter stecken; man kann ferner für Multipli-
kator und Multiplikandus dieselbe Grenze oder für diesen eine 10, 100,
lOOOmal höhere setzen. Den ersten Fall, welcher dem kleinen Finmaleins
entspricbt, finden wir in dem Werke von A. Henselin verwirklicht
(Rechentafel, enthaltend das groQe Einmaleins bis 9Dd x 999, mit einer
Einrichtung, die es ermöglicht, jedes gesuchte Resultat . . . blitzschnell zu
finden. Berlin S., Otto Elsner 1897.) Es hätte hier fast eine Million von
Produkten untergebracht werden müssen, wenn nicht einerseits die Ver-
tanscbbarkett der Faktoren die Zahl auf gut die H^fle herabminderte,
andererseits die Multipla von 10 bei den Faktoren wegbleiben konnten.
Immerhin bleibt etwa eine halbe MUlion meist sechsstelliger Zahlen übrig,
deren Unterbringung auf 110 Doppelseiten gleich 220 gewöhnlichen Seiten
L eine sehr tüchtige typographische Leistung war. Allerdings ist das ge-
■ iundene Buch fast 40 cm hoch und etwas über 16 cm breit. (Preis 6 Mark.)
f Das raache Greifen der richtigen Seite wird durch Kegisterze ttel ermöglicht.
Wir haben dieses schon ausgestattete Buch sehr häufig benutzt, weniger
beim regelmäßigen Arbeiten als wenn es galt, möglichst rasch das Produkt
von zwei dreistelligen Zahlen zu haben. Auf einem gewöhnlichen Schreib-
tische bat es nicht gut Platz, dagegen kann es bequem in einem Bücher-
gestell quer über der Reihe angebracht werden. Die Zilfern sind alle von
gleicher Höhe; diese beträgt, den Durchschuß mitgerechnet, 3,56 mm. Die

tänsgesperrten Ziffern sind fettgedruckt. Fehler haben wir in diesem und ^^^H

den nachher zu besprechenden Werken bisher weder gesucht noch gefunden. ^^^^|

364

mischte Mitteilungea.

Die Verleger haben meistens Preise für solche Entdeckungen ausgelobt'); um
aber den Preis zu verdienen, müSte man schon auf einen glücklichen Znjall
rechnen, da niemand i^ioe Tikfelaammlung voUstftndig in solchem Sinne
durcharbeiten wird.

Nur lOOOOO Produkte haben mehrere Bücher. Sehr handlich ist dat
von H, Zimmermann herausgegebene, unseres Wissens die erste Arbeit
dieser Art, welche gegenüber den (uns hier nicht vorliegenden) Tafeln von
Crelte einen erheblichen Fortachritt aufwies. (Rechentafel nebst Samm-
lung häufig gebrauchter Zahlen werte. Entworfen und berechnet Ton
Dr. H. Zimmermann, Geh. Banrat. Berlin, Wilh. Ernst & Sohn. 1891.
8".) Auf jeder Doppelseite gehen die Multiplikanden um 10 weiter, die
Multiplikatoren immer von 1 bis 100, Am Fuße jeder Seite stehen gewisse
Funktionen der Multiplikanden, nilmlicb a^; a°; 0,5wo; 0,25««*; y«;
yä; 100 : a; logit. Man findet also aUe diese oft gehrauchten GrSBen
dort, wo die Argumente stehen, nicht in besonderen Tafeln, Überhaupt ist
die Tafel gut gearbeitet, besonders auch in typographischem Sinne; wir
haben damit gern und viel gerechnet. Die Ziffer ist die ungleiche ,^ag-
lische" Logarithmen Ziffer; ihre Höhe beträgt 3,4 mm einsehlieÖlieb Durch-
schuß; Format des gebundenen Buches 25 x 16,5 qera. (Preis 5 Mark.)

Es versteht sich, daß solch«? Tafeln auch die Multiplikation von Zahlen
mit mehr als 2 oder 3 Stellen ermöglichen; eine Tafel wie die letit-
genannte gestattet ein recht bequemes Interpolieren und Aufhauen längerer
Produkte. Mit einer neueren Tafel, die gleichfalls 100000 Produkte gibt.
aber den Multip likandus bis 10000, den Multiplikator nur bis 10 gehen
läßt, haben wir noch nicht arbeiten können. Ob diese Begrenznog des
Multiplikators praktisch ist, stellen wir dahin. Jedenfalls ist auch diese
Tafel ziemlich gut ausgestattet. (Rechentabelle zum Gebrauch bei der
Multiplikation und Division. Von Eirik Briem. Kristiania, H. Aschehoug
& Co.; für Deutachland und Österreich A. Twietmeyer in Leipzig. Preia
geheftet 8 Mark. Format 16,5 x 25 qcm.) Die Züfern sind noch größer
als bei dera letztgenannten Buche und dabei gleich hoch. Zu wünschen wir«
eine Kennzeichnung der Seiten durch sehr kräftige Kopfzahlen wie bei
H, Zimmermann; die Seiten müßten dann allerdings höher sein, da man
schon jetzt Not haben wird, das Buch ohne arge Verengung des oberen
Randes einbinden zu lassen.

Eine Tafel, die sogar bis 10 x lOOOOO geht, kennen wir nur aus d«p
Ankündigung des Verlegers. {A Table of producis, h^ Ihe faciors 1 to 9,
of all numbers from 1 to 100000 it-c., by S. L. jMundy. London. K C.
a i(- E. LayUt: Brice 5 sJi. i", Leinenhand.) Wieder bis 100 x 1000
geht ein uns gleichfalls nur im Prospekt, jedoch mit Druckprobe, ror-
liegendes Werk eines deutschen Katasterbeamten. (Rei/kentafel zur Ana-
fDhrung der Multiplikation und Division zweier Zahlen. Von dem kg).

II Schon Bremiker hat (S, XIV des Vorwortes zur Tstelligon VegaBchen
Logarithmentaret) betont, daS diesea Verfahren die EomuilBtoren — and daan
auch wohl die blofieu Benutzer — „verblenden", d. h. in falsche äicfaerheit wiegen
kann. Ea ist trotzdem ein ffutea llittel. Nur sollten alle auch in weniger rer-
breiteten Tafeln eotdeckteu lehler gleich bekannt gemacht werden, etwa in den
Astrouomisohen Nachrichten, der Zeitechrift fSr Venu egg ungaweeeo und Uinliclini
Zeutralorganen; nicht bloS in den Bpät-.'rea Auflagen der Bacher selbst

I

I

Vermischte Mi ttei langen.

Steuerinspektor I m g a r t zu Buxtehude. Vermutlich Seibatverlag. Preis
4,50 Mark oder etwas hßher.) Die Anordnung ist nicht ao praktisch wie
bei H. Zimmermann, obxchon die glpichniSBig hohen lüffem grCBer (etwa
3,B mm einschließlich Spatium) und so auch die Seiten höher und breiter
aasfallen. Dann gehört diesem Typus noch ein nur scheinbar davon ab-
weichendes Buch an, dessen Verfasser gleichfaUs praktischer Rechner ist.
(Abgekürzte Multiplikations-Rechentafeln fOr sämtliche Zahlen von
2 bis lOOü. Entworfen und herausgegeben yon J. Ernst, kaiserl. Kassen-
kontrolleur a. D., Kassen- und Bechnungsreyisor des Kreises Kreuznach.
Braunschweig 1901, Fr. Vicweg & Sohn, Preis in Leinenband 5 Mark.
Höhe 24,7, Breite 18,5 cm, Dicke 3,5— 4 cm.] Das Buch gibt flir die
Multiplikanden bis 1000 die Produkte mit den 99 Multiplikatoren 10, 20,
30, . . ., 990, außerdem mit den neim Einem. So können die Produkte
mit dreistelligen Zahlen bequem aufgebaut werden. Die Einrichtung ver'
langt schon wegen der rielen Nullen einen ausgiebigen Raum, und da in
löblicher Weise auch am Durchschuü nicht gespart ist, haben auf jeder
Doppelseite nur vier Multiplikanden Plati: gefunden, so daB nun das Werk
ein halbes Tausend Seiten bat. Die gleichhohen Ziffern sind gut lesbar;
es sind die von der Schlömilchschen Logarithmentafel her bekannten. Daß
ein Werk von dieser Größe und Ausstattung gebunden für 5 Mark abgegeben
werden kann, zeugt von der Leistungsfühigkeit des bekannten Verlages.

Der Namensvetter eines der vorhin genannten Autoren hat in die
Tabulierung der Produkte ein neues und fruchtbares Prinzip, das des Auf-
bauens aus zwei Zahlengruppen, eingeführt. (Rechentafeln, große
Ausgabe, bearbeitet von Ludwig Zimmermann, Coblenz, Liebenwerda
1896, Verlag des Technischen Versandgeachäftes von R. Reiß. Gebunden
5 Mark. Breite 20,5, Höhe 26,3 cm. — Rechentafeln, kleine Ausgabe.
Zum Gebrauche für Schule und Praiis bearbeitet von demselben. 2. Auf-
lage. Ebendort 1897. Gebunden 2 Mark. Breite 15, Höhe 21,4 cm.
35 Seiten.) Zu erkennen ist das neue Prinzip aus nachstehendem Beispiele A.

to— 9569

A.

OlTa S'* 5 6|7|89

6ß0

661 1 663 1 663 üB4 566 56« | 687

568

"'

» 711 130 181 asa 283 334 385 4S8 487
M Bl 183 1186 337 3B9 Sil ; 89.'! 446 497
U fti 136 1 188 241 2S4 347 | 400 453 60«

660
120
680

611 l6G2 713' 784 815 S86 ' 917
172 -dii 276,328 380 433 1 484
733,786 839,892 946 998 | 1051

968
536
1104

1019
668
1167

Es ist dieses der Anfang von Seite 115 der großen Tafel, die das
Ablesen der Produkte aller der vierstelligen Zahlen, die 56 in der Mitte
haben, mit den Zahlen von 51 bis 100 gestattet; die danebenstehende
Seite 114 gibt natürlich die Produkte der genannten vierstelligen Zahlen
mit 1 bis 50. Es ist z. B. 51 x 2560 = 130560, und die beiden Gruppen,
«US denen diese Zahl besteht, werden abgelesen. Dann hat 51 x 3560
zwar eine andere , um einen leicht ersichtlichen Betrag vergrößerte erste,
aber dieselbe zweite Gruppe; es ist =181560, Ebenso ist 52x2564
= 133328; 52 x 3564 -= 185328 usw. Andererseits ist 51x1567
=-79917; 51x1568 = 79968, nämlich um 51 größer;
51 X 1569 = 80019, „ „ 51 „ .

A

366

VenuiBcht« Mittel Ituigen.

Das letzt« Beispiel lehrt die Bedeutung der fettgedruckten Ziffern der
Tabelle kennen. Die 1, womit Üe aunächst unter 569 stehende Ziffer an-
bebt, gehört zur ersten Gruppe und vermehrt deren Betrag um 1 , ver-
wttndelt also 79 in 80- Dieser Full ist übrigens relativ selten. Mao sieht,
d&B nun die Produkte aller vierstelligen Zahlen mit allen zweistelligen
bequem ablesbar sind. Im EiuzeLfalle faßt man die beiden in Betracht
kommenden Spalten am besten mit zwei Fingern der linken Hand, wa.s bei
der mäßigen Breite des Buches durchaus bequem ist. Die Seite sucht man
natürÜL-h mit Hilfe der beiden mittleren Zahlen, anch dann, wenn eine der
äuHeren eine Null ist. Diese Art des Aufscltlogens lernt sich rasch. Wenn
mau die kleine Ausgabe der Tafel benutzt, die nur bis ICKI x 1000 geht,
ao stehen die beiden letzten Ziffern des dreistelligen Multip likanduB am
Kopfe der Seite. Die übergreifende Ziffer der zweiten Gruppe kann jetal
grlißer als 1 ausfallen. Das Täfelchen B itit ein Ausschnitt aus dieser
kleineren Rechentafel:

382 1 133 iBt
SSO 442 494

397 450 I 503

I 52 6a Ci4

^lOl I 1G2 203|254
|l03 lail 209:263

366 40T
3l3 3«4
368 431

Viertelquadrata

der gant«D

N

1

2

8

4

6

6

7

•

»

1

2

4

6

9

12

16

M

SB
100
22Ö

SO
110
210

se

121
256

43
133
272

49
144

289

56
166
306

61
169
8S1

72
163
S13

Bl

19fi
801

W
SlO
880

400
626

800

420
650
930

441
676
961

462
703

992

484
729
1034

606
766
1066

629
7S1
1080

662
812

1122

576
811
1166

aoo

870
1190

1326
1600
202Ö

1260
1G40
2070

12B6
1681

2116

1332
1722

2162

13G9
17114
2209

U06
lfi06
2266

1444

1849
2304

1182
1892
2352

1521
19»e
2101

1660
1980
Sl&O

10

260O

seeo

2601

2652

2701

2766

2809

2868

2U16

2970

H 58 26 79

^^ Wie man bemerkt, t^llt das in der Tafel weggelassene Viertel

^H selbst aas der Bechunng. Ist man dagegen, weil die Summe über äO<3l

^H hinausgeht, genötigt, zur zweiten Formel zu greifen, so ist Vorsicht gebotexx__

^H Das T&felchen wirkt hier allerdings kaum mehr erleiubtemd. Es ist ~~

^H^ läT X 67 ^ 10519, und das Schema der Rechnung ist folgendes:

2025
■5259'— 10519.

Yennischte Mitteilangen.

367

Es sind also hier die Produkte von 1 x 1 bis 100 x 1000, oder doch
ihre Bestandteile, auf 10 kleinen Doppelseiten untergebracht.^) Man liest
ab: 53 X 657 =- 34821.

Betrachten wir zum Schlüsse noch ein indirektes Verfahren, das gleich-
falls zur Konstruktion von Tafeln Anlaß geboten hat. Es ist

n. a6-2[|a«+ 1^'- J (a - 6)«J.

Die erste Formel gestattet uns, wenn wir die Viertelquadrate aller
Zahlen bis zu einer gewissen Grenze aufgestellt haben, ziemlich schnell alle
Produkte zu bilden, f&r welche die Summe der beiden Faktoren jene Grenze
iiicht überschreitet. Stellt man z. B., yne es in nachstehendem Tftfelchen
geschehen ist, die Viertelquadrate der Zahlen bis über 200 zusammen, so
kann man sicher und ziemlich schnell alle Produkte bis 100 x 100 daraus
herstellen. Das Quadrat einer geraden Zahl ist durch 4 teilbar, das Quadrat
einer ungeraden Iftßt, durch 4 geteilt, stets den Rest 1; das Viertel ist
also mit dem Anhängsel 25 behaftet; man bemerkt aber, daß dieses in der
Tabelle einfach weggelassen ist. Die Benutzung gestaltet sich wie folgt:
Es ist 157 X 41 zu berechnen; femer 98 x 47. Man erhält 6437
und 4606.

Zahlen von 1 bis 209.

N

1

8

O 1

1 ,. 1

4

5

6

7

H

9

10

8600

8660

8601

8668

8704

8756

2809

2862

2916

8970

11
12
18

S086
8600
4886

8080
8660
4890

8186
8781
4866

8198
3788
4488

8849
8844
4489

8306
3906
4556

8864
8969
4624

8422
4082
4692

8481
4096
4761

8640
4160
4830

14

16

16

4900
6685
6400

4970
6700
6480

6041
6776
6661

6118
6858
6648

6184
5989
6784

5256
6006
6806

5829
6084
6889 '

5402
6162
6972

6476
6241
7056

6550
6320
7140

17
18
19

7885
8100
9026

7810
8190
9180

7896
8881
9816

7488
8878
9818

7569
8464
9409

7656
8556
9506

7744
8649
9604

7832

8742
9702

7921
8836
9801

8010
8930
9000

80

10000

1 10100

15

4

10801

7

1

10808

10404

10506

98
47

10600

10712

10816

10 980

19
11

8 9
6 -3

-6

801
364

437

145
51

525
65

- 460

6

. i^5iff ,®?^*^ ^**^"* außerrlem «ine Reziprokentafel, eine QuaHrattafel,
eme Kabiktefel, iwei Tafeln für den Übergang von j?mi auf r/>s und von tan auf
«ee, Ma flnofaien ü»w Auch die anderen genannte Werke enthalten no^h die
eme oder andere TabeUe aufier dem ffanptheiitandteil. - Die Ziffer in beiden
L. Zimmermannschen Bfichem ist die Ugarithroenziffer.

368 Vermischte Mitteilungen.

Wir erwähnen dieses zweite Verfahren hier nur der Vollständigkeit
wegen. Es ist, und das gilt auch für größere Tafeln solcher Art, darum
gefährlich, weil man die Summe und Differenz der beiden Faktoren von
links nach i'echts aufschreiben kann, wogegen auch ein geübterer Rechner
vorziehen wird, eine algebraische Summe, wie die in der II. Formel auf-
tretende, von rechts nach links hennstellen. Dann fllhrt man die Ver-
doppelung natürlich wieder von links nach rechts aus. Dieser zweimalige
Wechsel wird leicht Fehler verursachen. Dagegen ist die Tafel auch zur
Multiplikation von gemischten Brüchen brauchbar, wenn, wie das die Praxis
manchmal bringen wird, außer den Ganzen nur Halbe auftreten. So wird
man die Beispiele 83,5x47 = 3924,5 und 83,5x47,5 = 33(16,25 wie
folgt reebnen:

47

47,5

4325
324
3901

4290-
324

3924,5

Es versteht sich bei so kleinen Zahlen, daS man weder die Faktoren a
und b, noch die Größen a 4- 6 und a — b wirklich niederschreiben wird.
Die Faktoren hat man ja doch vor sich; man bildet im Kopfe die Samme,
schreibt deren Viertel quadrat nach dem Täfelchen auf usw.

Nach dem geschilderten Prinzip sind nun sehr große Tafeln aufgebant>
Ein deutsches Werk^) dieser Art, das in den siebziger oder achtä^r Jahren
erschienen sein soll, ist uns leider nie zu Gesichte gekommen. Dagegen
besitzen wir die Arbeit eines schon vorhin genannten englischen Versicherungs-
Hathematikers. (^Table of Qwirier - Sifunns of all inttger numbers tip to
100000, by wliU-h thc produci of two faviors d'c. By Samuel Linn LauMdy.
London, Ck. li- E. LayUm 1856. S". 21 sh. in Leinenband.) Da das
Prinzip bereits erl3ut«rt worden ist, geben wir nur die zwei Beispiele
27 646 X 22619 — 625 324874 und 62 735x46533 = 2919 247755; daa
erste ist nach der I., das zweite nach der II. Formel gerechnet Die Bei-
spiele sind der Einleitung des Werkes entnommen.

27646

62735

983920066

22619

46533

541330022

50265

631642556

16202

65626201

5027

6317682

2-1459623877 ■

625324874

-2919247755.

Tafel der Viertolquadrate aller ganzen Zahlen von t btt
1 Multiplikationen, Quadriemnffen und

1) J. ülatei
200000, welche die Anaführung . , - , ,

Ausziehen der Quadratwnrzeln bedeutend erleichtert und durch vorzOghche Korrekt-
heit fehlerlose KeBultoW verbürgt. Wien: A. Holder. XVI a- 206 S. *•, 1887,
Von dieser Tafel ist auch eine englische und eine franzÖBiscbe Ausgabe
Vgl. Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, Bd. 19 u. Stf.

Red

VermiBchte Mitteilungen.

a reclmen seil

B^ Würde

27
64
6

nit dor größeren Tafel

2261=61047
„ = 144704
„ =- 135 66

27646

27640

6

22610=625076060
9- 248 760
9= 54

625:124874.

I

In der einen wie in der amieren Tafel hat man zwei Seiten auf-
zuschlagen. Formel II. verlaugt bei der Tafel der Viertelquadrate sogar
drei fieiten. Auf richtige An Setzung der Stellen bat man bei beiden
Metboden wobl zu achten. Will man die Quadrattafel zum Dividieren
benutzen, so gehört eigentlich eine Reziprokentafel dabei, und über die
Genanigkeit ist nicht sofort ein Urteil möglich; jedenfalls ist hier der
Vortug auf Seiten der bequemen neueren Maltipükationatafeln.

Münster in Westfalen. J, Plasbmann.

BemerkuDK in den X-Knrren des Herrn Lesser.

In der Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen
Unterricht 35, 378 (1904) ftihrt Herr Lesser unter dem Namen der
£-Kurven die Kurven von folgender Entateliungsart ein; „Ist P(u, c) —
die Gleichung einer Kurve in schiefen oder k artesischen , oder in Polar*
koordinaten, und sind die Variabeln " und v selbst wieder Punktionen einer
dritten unabhängigen Verilnderlichen " ^ fi(t), *'^"/'s(Oi ^^ verstehen wir
unter der Z-Kurve der Kurve P die Gesamtheit der Endpunkte aller Normalen-
Strecken, deren Länge durch den Differential quo üenten n = ds/dt bestimmt
ist" In Band 36 derselben Zeitschrift, wo eine Fortsetzung der bezüg-
lichen Untersuchung gegeben wird, bekennt der Verf. 9. 242, daß diese
Definition der sogenannten /.-Kurven unzulänglich isti „Da s die Bogen-
länge der Kurve I' darstellt, während t die ganz beliebig wählbare Un-
abhängige bedeutet, ist der Differential quotient df/dt eine Funktion von l,
und daher die /.'Kurve von der Wahl der unabhängigen Veränderlichen,
also auch von der die Kurve P darstellenden Gleichung P(t) ^ abhängig."

Dies hätte unter anderem berücksichtigt werden sollen bei der Behand-
lung der Hjperbel als Beispiel 12 in der ersten Abhandlung, wo S. 393
gesagt wird: „Eine kleine Lberrasehimg bringt uns die Hyperbel"; es wird
nSmIich bei der gewählten Tariable / ein Resultat erzielt, das gar nicht
mit dem fär die Ellipse erhaltenen in Parallele zu stellen ist. Ein solches
ergibt sich aber sogleich, wenn man die Koordinaten der Hyperbel in der
Form darstellt: x — iicht, )/ = ftsh(, wo ch den Hyperbelkosinus, sh den
Hyperbelsinus bezeichnet. Dann ist nämlich ds/df — n ^ V"^sh*t 4- b* ch*t
Bezeichnet man femer den spitzen Winkel, den die Hyperbelnormale mit
der a- Achse bildet, mit ß, so hat man dx/dy = tg |3 = a sh t/h ch (, woraus
»I sin ^ = a sh (, « cos )3 = 6 ch ^ folgt. Trtgt man nun m auf der Hyperbel-
normale vom Punkte P auf der Hyperbel aus nach dem Innern der Hyperbel

AKhI. d.r ll>t)isn»llk und Phjrtilt III Kolba XI. 86

hin bis Q ab, ao dal
Q: J=(« + fc)chf, t,
Eogenannteti X-Kurve:

Vermi Bebte Mitteilungen.

PQ ^^ n igt, Bo aind die Koordinaten |, i] tdo
-{b — a) sbf. D&rauB erh&lt miui als Gleichung d«r

also eine konzentrische und koaxiale Hyperbel mit den Halbachsen a -\- b
and ± C* — fl)- Trägt man die Strecke « von P aus auf der Normale
nach dem Äußeren der Hyperbel ab, so folgt ab Gleichung der ,^Karve":

-b)'

(« + b,'

' 1.

Wenn man die auf der Hand liegonde Parameterdarstelliuig ßr die Koordi-
naten einer Hyperbel anwendet: x = n/cos (, !/=■(>■ tgl, so fließt dai%as
hingegen eine Kun-e höherer Ordnung als „i-Kurve". Dieses Beispiel be-
weist zur Genüge, daß die „L-Euiren" eben gar nicht als besondere Kurvea-
gattung definiert sind.

Eine andere Frage, die auf 8. 378 der ersten Abhandlung des
Herrn Lesser zwar erwähnt, aber nicht beantwortet ist, mOge auch noch
erledigt werden, nämlich: wann ist n gleich der L^ge der Normale vom
Kurvenpunkte P bis zum Schnittpunkte mit der x-Achse?

Es sei X = /'(O. .V = vCO- ^S" « = Vl"{ty+ V'(')'- D'ß L&nge der
Normale ist aber auch « = j^yi + y'' =- -jj^ Vf'W+V(i?'- D»« gesucht*
Bedingung ist somit ^(l) =- /"('), oder aber die gesucht« Paramet«!^

Man setze also dxjdt fOr y in die kartesische Gleichung der Kurve
ein; dadurch erhält man eine Differentialgleichung ttlr x. Durch lotegtstion
dieser Gleichung folgt x als Funktion von I, danach y — dxjdt. ti den
folgenden Beispielen ist c die Integrationskonstante.
I. Scheitelgleicbung der Parabel y* — 2px:

3! = ij''' + c(y^ + c», y-pt + cyi^.
n. Mittelpunktsgleicbung der Ellipse x*/(i*-|- y*/ft'^ 1:
X = aiiB^c ■>(- bt j<i), y = 6 cos(c + 6l/a).
HI. Mittelpunktagleichung der Hyperbel x^ja* ~ yjb* — 1:

i — ach(c+ 6(/a). j/ = fc 8h(c + 6(/o).
IV. Zykloide: j — c + o (( — sin /), y — a (l — cos ()■

Definiert man dagegen eine Parabel durch die Gleichungen x — 2p'.
]f — ipyt, so erhSlt man als Gleichung der „/--Kurve":
2;'Ul + 2j>) = (., + 2p)»-(-V.

Wählt man ferner die Darstellung j" — 2j3 cotg*/, y — 2p cotgf, wo t dar
Winkel des Radiusvektor vom Scheitel mit der Hauptachse ist, so folgt:

*pt/» = s'a-2p). I

I

Diese Resultate folgen ohne erheblichen „Aufwand an Zeit und Raum'^
doTcb die .^ewShuliche Bebaiidlungsweise"; man bedarf also nicht zur Ans-
rQstong des „Hilfsmittels der Vektorenrechnung", um einzusehen, daB die
J. - Kurven unzulänglich, oder viehnebr gar nicht definiert sind.

Berlin. E. Lampe.

Über rationale Tetraeder.

Fflr die Aufgabe, Tetraeder von kongruenten Seiten zu finden, in welchen
die Kanten, die Seiten und das Volumen rationale Malizahlen haben, be-
stehen, wenn man die Ecken mit 0, 1, 2, 3, sowie die Kanten Ol and 23

mit o, 03 und 31 mit h, 03 und 12 mit c bezeichnet,
beiden partikulären LJJsangen, in denen q das Quadrat eii
bedeutet:

1) a = 2-5(«+l)(e~l)(3« + 3g+l),
b = (27 + 3)(4(f+l)(g» + 2, + 2),
c - {g -h 4) (3? + 2) (2y» + 2g + 1} ;

2) a = {g+25}(2g+l)(l6g*+9g + 26),
6 = 2 (-/ ~ 3) (g + 4) (609' + 58r/ + 25) ,
c = 7 (g -M){9g + l) (2g» + 2g + 25),

. die folgenden

r rationalen Zahl

Über lile ^lelc)i«eiltge Hyiierbel.

Bei der Parabel wird bekanntlich der Winkel zwischen den Brenn-
strahlen der Berührungspunkte zweier Tangenten durch den Brenn strahl
des Tangentenschnittpunktes halbiert. Deutet man die Punkte der diesen
Satz geometrisch darstellenden Figur (Fig. 1) als Repräsentanten des kom-
plenen Arguments z = x + iy, so geht durch die konforme Abbildung
mittels der Funktion w '^ u -\- ia =-^ ye die Figur der ;-Ebene in eine
intsprecbende Figur der w-Ebene über (Fig. 2).

Zwischen den beiden Ebenen besteben hierbei folgende Beziehungen;
Jede Parabelschar, deren Brennpunkt mit dem Nullpunkt der s-Ebene zu-
sammenfällt, wird in der ic-Ebene 10 eine Schar paralleler Geraden Über-
geführt, Nun gehört aber ^u jeder Parabelschar die gemeinsame Achse
als unendlich schmale Parabel; daraus folgt, daß allen durch den Nullpunkt
der z-Ebene gebenden Geraden in der if-Ebeue ebenfalls durch den Null-
punkt gehende Gerade entsprechen; die Neigung gegen die reelle Achse ist in
der IC-Ebene halb so groß wie in der r-Ebene. Jede Schar paralleler Ge-
raden der e-Ebene geht in der tc-Ebene in eine Scbar gleicb^itiger Hyper-
beln fiber. Die zur Parallel enacbar gehörende Nullpunktagerade wird dabei
in das Asymptotenpaar der Hyperbelschar umgewandelt.

Durch Anwendung dieser Regeln ergibt sich Fig, 2 aus Fig. 1 in ein-
facher Weise: Der Brennpunkt geht in den Nullpunkt 0' ober, die
Parabelachise BOC in den rechten Winkel B'O'C, das Acbsensystem der

372 Vermiioht» Uitteilang«iL

W-Ebena Dia Panbel SÄE, walobe die Achae OC bei A Mokrecbt
Bchn«idet, wird zur 0«radaii D'A'E', welche O'C bei Ä' Benkreoht tchneidat.

Die Tangenten T^T, and T^Zj, welche bei T^, 7, die Pftrabel DAE be-
rühren, bei Kl, Kf die Achse OC und bei Z, einander sohaeidan, waida

umgewandelt in die gleichseitigen Hyperbeln T[T', nnd T^T'„ weld
Z',, I't die Gerade D'A'E' berühren, bei K'^, JC, die Achae O'C m

YermiMhte MittoOniigeiu 373

T^ einander sdmeideiL Die Geraden R^OS^ und R^OS^^ welche den Tan-
genten T|2. und T|T, parallel sind, gehen in die Asjmptotenpaare R[0'8[
und R^O'sl d«- Hyperbeln T[T'^ und T'^T'^ über.
Nach dem oben zitierten Satze ist nun

f fir Fig. 2 folgt somit

Daraus l&ßt sich unmittelbar der Satz ablesen:

Legt man an zwei konzentrische gleichseitige Hyperbeln die gemein-
same Tangente, so wird der Winkel zwischen den Verbindungslinien des
Zentrums mit den Berührungspunkten durch die analoge Verbindungslinie mit
^em Hyperbelschnittpulikt hidbiert

Fallt man in Fig. 1 Ton auf die Tangenten die Senkrechten OK^
und ON^^ so entsprechen ihnen in Fig. 2 die Geraden O'N^ und O'N'^^
welche die Hyperbeln bei iV^^ und N'^ senkrecht schneiden, also die Achsen
4er Hyperbel darstellen. Nach einem bekannten Satze ist nun in Fig. 1

mithin in Fig. 2

Es ergeben sich hieraus die EoroUare:

L F&llt man Yom Zentrum zweier konzentrischen gleichseitigen Hyper-
beln auf die gemeinsame Tangente die Senkrechte, so werden die Winkel
zwisdien dieser und den Verbindungslinien des 2^trums mit den Be-
rührungspunkten durch die Hyperbelachsen halbiert

n. Der Winkel zwischen den Verbindungslinien des Zentrums mit den
JBerfihrungspunkten ist gleich dem doppelten Winkel zwischen den Hyper-
belachsen.

nL Der Winkel zwischen den Hyperbelachsen selbst ist qp » ^ ~~ {"'^ß)^

wenn man mit o, ^ die Winkel bezeichnet, welche die äußeren Asymptoten
mit der gemeinsamen Tangente bilden.

Aus der Tatsache, daß in Fig. 1 bei einer Wanderung der Berührungs-
punkte mch N^j N^ auf der Scheiteltangente bewegen, folgt fibr Fig. 2:

Die Scheitel aller konzentrischen, eine gegebene Gerade berührenden
l^idiseitigen Hyperbeln li^^ auf der zugehörigen Hyperbel kürzester Achse.

Ghailottenburg. E. Hufka.

Die ParalMkurre der Kl#th»lde.

Die Klothoide mit da- natfirlidien Olmchung f^a^fs, wo f der
Krümmungsradius, 8 der Bogen, hat im Anfang^unkte O der Bogoi
moen Wend^mnkt [5 = ± 0, p =- ± c»], ferner zw« asymptotiadifl
Ponkta M und JT [Tangentialwinkel fp^s^/2a^, ^^i^ g*««^ » Ar

374 Venniichte MitteilnngeD.

» = ± 00; p -- 0] mit den Koordinaten x = y — ± -s-V»-') Diw Parallel-
kurve Bcheint noch nicht betrachtet worden zn sein. FOr sie ist

(1) s'^S + ltp, p'_p + I,

wenn I den Abstand bedeutet (Cesäro, Not. &., § 19. — Loria, 8. 64S).
Hieraus ergibt sich sofort

und durch Einsetzen

m , «■(»»•-1)

oder tungeredmet

(2') f'-^ + '±|^.V«'+2i»'.

(S) -■^/'L' _ l^tl^

wie ftlr eine Parallelkurre selbstTerstBndlioh.

Nach (2) und (2*) ist s' eine eindeutige Funktion von f', hing^en
ff' eine zweideutige Funktion von s'. um dieses Abldng^kaitBTariiKltnis

besser zu übersehen, zeichnet man sich (2) in ein rechtwinkliges Koordinaten-
system (9. die Kurve 3. Ordnung der Neben6gur).

1) Vgl. Loria, ^MU Kttrvm (B. G. Teubner ISOS), 8. 467. — Cei&to,
Natürliche Geometrie tß- G- Teubner 1901), S. 16. — Ceiiro, AlgiAraitaie Atuiti/ti*
(B. G. Teubner 1901), 8. 808.

YenniBchte Mitteilungen. 375

Nun ist für «'= ± zunächst ^ =* ± ^^5 ^®8 &^^ ^^^ Wendepunkt
im Anfeuigspunkte 0' der Bogen. Wenden wir uns nach rechts, so nimmt
if' mit steigendem s' ab bis zu I, denn für 5'«» -|~ <^ ^^ q' =» l. Da
aber wegen (3) auch <p' » 00, so hat die Kurve um M einen asymptotischen
Ejreis mit dem Radius ly dem sie sich von außen nähert. Nun gehen wir
Ton 0' nach links, d. h. wir nehmen s' negativ, dann geht q' von — 00
bis fttr s'= — m = — o*/2/. Dies ist wegen (2*) zugleich ein Minimum
für s'. unsere Kurve hat hier eine Spitze, die wir im Texte mit S be-
zeichnen wollen, mit der Tangentenrichtung 9'= a'/2/^ Je kleiner also l
ist im Verhältnis zum Maßstab der Klothoide, desto mehr Windungen um
M' wird der von 0' nach links gehende Zweig machen bis zur Spitze.
Von der Spitze S aus muß s' wieder vorwärts gezählt werden (vgl. immer
die Nebenfigur) bis zu einem Punkte 0'\ för den absolut genommen
0'8 =^ 80". In 0" ist s'=-0, ^'= jl. Der Punkt ist aber sonst nicht
ausgezeichnet auf der Kurve. Im weiteren Verlaufe wächst s' wiederum
nach 4~ <^9 ebenso <p\ während q^ wie oben dem Werte l zustrebt. Die
Kurve hat also einen zweiten asymptotischen Kreis um M\ dem sie sich
von innen immer mehr nähert

Die Veränderung des Zeichens von l bewirkt nur eine Vertauschung
der Punkte M und M\

Speyer, 1. August 1906. H. Wieleitner.

Zur Theorie der konjugierten Tangenten.

Saie: Konstruiert man um einen Flächenpunkt als Mittelpunkt ein unend-
lich kleines dreiachsiges Ellipsoid, von dem zwei Achsen in der Tangential-
ebene liegen, so liegen die Punkte der Schnittkurve, deren Entfernung von der
Tangentialebene ein Extremwert ist, in zwei konjugierten Normalschnitten.

Beweis: Wir machen die Haupttangenten zur x- und ;^- Achse, die
Flächennormale zur jsr- Achse. Dann ist fCLr die Umgebung des Nullpunktes
die Flächengleichung

wo ^1 und ^ die beiden Hauptkrümmungsradien sind, die Gleichung des
EUipsoids

(2) a^iX^ + a^y^ + a^z^ + 2 a^^xy + a^^ = 0.

a^ muß von der 2. Ordnung unendlich Mein sein, da x und y von der
1. Ordnung unendlich klein sind. Wenn wir y aus beiden Gleichungen
eliminieren, so folgt

Die Differentiation dieser Gleichung nach x ergibt, für -^ — e\

öder mit Benutzimg von (l)

Für einen Extremwert von s ist erforderlich, daß /'— 0, also

(3) ^y (oiiPi - OmP.) - «IJ {^*ft - S^Pi) = O'

Setzen wir endlich y — « tg tc, so nimmt unsere Bedingnngsgleichung die

folgende Gestalt an:

(4)

tg't» + -

-°"'M

! dieser Gleichung ergeben.

Für die beiden Winkel vi und w', die sich i
ist also tgic-tg«'= ', oder

(5)

d. h. die Bichtungen w imd w' sind konjugiert, w. z. b. w.

Für eine Minimalfläche ist die Gleichung (4) unabhängig von p^ — — p,.

Geht das Ellipsoid in eine unendlich kleine Kugel über (a,j ^ a,j — > n^,
o,, = O), so geht Gleichung (3) flber in ar^fp, — pj) = 0, d. h. es i«t
a: = oder y = 0, die konjugierten Normalscbtiitte fallen also mit den
Hauptnormalschnitten zusammen. Wir erhalten die

1. Folgerung: Konstruiert man um einen Flächenpunkt als Mittelpunkt
eine unendlich kleine Kugel, so liegen die Punkte der Schnittkurve beidei-
Flächen, für die die Entfernung von der Tangentialebene ein EiTremwerl
ist, in den beiden Hau ptnonna! schnitten.

Betrachten wir positiv gekrümmte Flächen, so gibt es in jedem Flttchen-
punkt zwei koi^ugierte Tangenten, die einen kleinsten Winkel einschliefien.
Ihre Biohtungan ergeben sich aus den Gleichungen

(6)

^'=1-' %»=+Vl;. '.«-"-vi!-

Setzen wir
flber in

nun in (2) «„ = 0, ns»=0, "sa = 0. so geht die Gleichung

(7)

2«„xy + «„=u

und steDt,

wenn a,ja„<0, einen geraden hyperbolischen Zylinder dar.

Gleichung (4) geht dann in die Gleichung (6) über. Wir erhalten so die
2. Folgnvnij; Die Punkte der Schnittkurve des geraden hyperboliäuhen
Zylinders (7) und einer positiv gekrümmten Fläche, für die die Entfernung
von der Tangentialebene ein Extremwert ist, liegen in denjenigen kon-
jugierten Normalschnitten, die den kle instmöglichen Winkel einschließen.
Berlin, August 1906. W. JiNicsES,

9i4

4 Spreehsail flr Üe SieyklofUto isr ■athMitttrHi WitüisekiflM.

[Emaendangen for den Spreehnftl erbittet Frans Mejer, EÖB]gsb«ig i. IV^

ManMDieBlio^ Hersog Albreeht> Allee 27.]

Zu HAH.

p. 77S, note 4S. II j a Hea d*ajout«r U noaTelle et derniere rMaclMi
de Taateur, eontenant de nombreux remaniements et parae s<»as le titz^
Calad de G^n&aiimitiom, Piris, Hennann, 1899. H. FnnL

5. Bei dar Sadaküoii eiigegaBgone Btdier.

Ahbbhs, W^ Briefwechiel iwüchen C. 6. J. Jaoobi und M. H. Jaoobi Leiptig 1907«

B. G. Teabner. 282 S. .4L 7.50.

AitronomiMher Kalender fclr 1907. Hng. t. der Sternwarte in Wien. Wien 190?«

K. Gerold. 151 S. JL 2.40.

Babchamkk, K., Lehr- nnd übungBbuch der darstellenden Geometrie för Obeneal-

•chnlen. 2. Aufl. Wien 1907, F. Tempsky. 208 S. UC 3.20.

Bblab, A., Neueste Erdbebennachrichten. Jhrgg. VI, Nr. 3. Beilage der MonatMohnfl

„Die Erdbebenwarte^. Laibach 1906/7, y. Kleinmajer u. äkmberg.
BoüAsn, R, Baset phjriqnes de la Miuiqae. Nr. 28, Scientia. Paris 1907, Gauthier-

Villars. Fr. 2.

Bboooi, N., Trait^ des aesoranoes sor la vie avec developpements sor le calonl des

probabilit^. Paris 1907, A. Hennann. 306 S. Fr. 7.50.

BaüscH, Die Beleaehtongsarten der Gegenwart Leipzig 1906, B. G. Teabner.

164 S. JL 1.25.

Chavdlkb, G. H^ Elements of the infinitesimal calcnlns. 3' edit New York 1907,

J. Wiley k Sons. 319 S. jt 2.

Cbavts, P., Arithmetik und Algebra zum Selbstunterricht L Aus Natur and

Geisteswelt. .€ 1.25.

CiuBBB, E., Vorlesangen über Differential- und Integralrechnung, 11. 532 S. <€ 12 . —
CsuDMocHowsKi, W. S. ▼., Das elektrische Bogenlicht. Seine Entwicklung und seine

physikalischen Grundlagen. Leipzig 1906, S. Hirzel. 698 S. .€ 29.—.

DsioBKK,0., Die Grundlagen der MechanÜL Berlin 1907, S. Mittler u. S. 345 S. .€7.~.
Enzyklopädie der math. Wiss. Band V,. Heft 2: B. Gans, Elektrostatik und

Magnetostatik. — F. Pockels, Beziehungen zwischen elektrostatischen und

magnetostatischen Zustandsänderungen einerseits und elastischen und ther-
mischen andererseits. Leipzig 1907, B. G. Teubner.
FBLGKvnAOKR, W., Theorio, Konstruktion und Gebrauch der feineren Hebel wage.

Leipziff 1907, B. G. Teubner. 310 S. UK 8.— .

FisoHKB, 0., Kinematik organischer Gelenke. Braunsohweig 1907, Vieweg u. S.

Heft 18 aus „Die Wissenschaft''. UK 9 . — .

Gauss, C. F., Gesammelte Werke VII. Leipzig 1906, B. G. Teubner. .€ 80.—.
€kBB8, W., The scientific papers. Vol. I: Thermodynamics. — Vol. 11: Dynamics,

vector analysis and multiple algebra, electromagneUc theory of light London

1906, Longmans, Green and Co. 24 sh. and 18 sh.

Habtwio, Th., Das Stereoskop und seine Anwendungen. Nr. 185 aus Natur und

Geisteswelt. Leipzig 1907, B. G. Teubner. .^ 1 .^/|

Hbnbici, J., und Tbkutleih, P., Lehrbuch der Elementargeometrie. IL Toil.

3. Auflage. Leipzig 1907, B. G. Teubner. /^ ^-^^

Hesse, 0., Vorlesungen aus der analytischen Geometrie der geraden Linie, dos

Punktes und des Kreises in der Ebene. Vierte Auflage von S. Gundelfinger.

Leipzig 1906, B. G. Teubner. 251 S. «^^ **•— •

HocBVAB, F., Lehr- und Übungsbuch der Arithmetik für die unteren Klassen.

6. Aufl. Wien 1906, F. Tempsky. ^ __ .

HowMAHH, C, Das Abelsche Theorem fOr die elliptischen Integrale. Inaug. Disa

Leipzig 1907, B. G. Teubner. 47 S. a j. j j i.

KüBLBB, J., Das Gleichgewichtsverhaltnis der Materie zum Weltraum und die dadurch

bedingte stufenweise Entwicklung. Leipzig 1906, B. G. Teubner. 80 8.

378

yermiacbte Mitteilungen,

Laufe, R, Die EntbüUungBfeier des Hauck-Deakmala. Leipdg 1906, B. G. Tenbner.

14 S.
LXbka, W., Lehrbuch der Agtronotnte und der niftth. Geographie. I, TeiJ^ Sphl-

rJHche ÄBtronomie. 3. Aufl. Bremerhaveu 1U07, L. v vaogerow. .«. 6, — .

LovE, A. E., Lehrbuch der ElftBtizität. Deutsch von A. Timpe. Leipiig 1907,

B, G. Teubnet. 664 S. JL lö.— .

LäiFE, M., Rechenaufgaben mit auegefülirteu Beispielen aus der ÄrbeiterTereichernng.

Leipzig lUOT, J, Kiinkhardt. JC 0.60.

LüWK, H., ÜNOER, F., RicHTEB, M.. FraktiBcbes Rechnen fi'lr Realschulen und ähn-
liche Lehranstalten. Drei Hefte. Leipzig löOT, J. Elinkhardt. je .« ISO.
MEHmEL, C, Schöpfungen der Ingeuieurtecbnik der Neuzeit. 2. Aufl. Nr. S8 ktu

Natur und Geisteswelt. 143 S. .«1.36.

Hevbb, K., Natnriebre (PhTsik und Chemie) für höhere Mädchenschulen, Lebreriiuieii-

aemiuare und Mittelschulen. Leipzig 19n6, G. Freitag, i. Aufl. JC !.S0.

HEVEKnoFFEB, W., Gleichgewichte der Stereomereo. Leipzig I90G, B. G. Tftubnsr.

71 8. .« 2.40.

Mülles, H., Tierstellige Logarithmentafeln. Leipzig 1907, B. G. Teuboer. Jt 0.36.
NtFBivHiK, F., ToUs^di? gelöste Maturität« aufgaben aus der MatbeiiiKtik. Für

Schnler der obersten Klassen au Realschulen und Gymnasien, mwie Kom Belbit-

stndium. Wien 1907, F. Deuticke.
Nielsen, N., Theorie des Integral logaritbmns and verwandter Transzendent«!!.

Leipzig 1906. B. G. Tenbner, 106 8. JC S.60.

0«QOOD, W. F., Lehrbnch der Funktionentheorie, Erster Band, zweite Hälfte.

Leipzig 1907, B, G. Teubner. JC 7.iiO.

Pietzkeb, f., Lehrgang der Elementar- Mathematik. Teil 1; Lehrgang der Unter-
stufe. Leipzig 11)06, B. G. Teubner. 818 8. ji S.SO.
PoiRCAEä, H, Lecous de mäcanique ci^ORte. Tome H, 1" partie. Däveloppiemeat de

la fonction perturbatrice. Paris 19U7, Gautbifir-Villars. 165 S. Fr, S.

RtoLLQT, .1., Les carräa magiques. Paris 1907, Gautbier-TilUrs. 119 8. Fr. 6.

RünEMBBno, R., Energie der WirbelstrOme in elektrischen Bremeeo und Djuamo-

maschinen. Band X der Sammlung elektrotFchniacber Vortr!lge. Stattgart 1906,

F. Elike. 102 S. .« .t.fiO.

RuTUKBroBD, E., Die Radioaktivität. Unter Mitwirkung des VerfoMerE erf^ite

autorisierte deutsche Ausgabe von E. AschkinaB. Berlin 1907 , J. Springer,

697 8. Ji 16.-.

ScBxm, K., Praktischer Unterricht in Chemie. Zum Gebrauch täi da« Laboiatoriuni.

Leipzig 1907. B. G. Teubner. 79 S. .« 1.40.

ScBtJLEK, A., Aufgaben- Sammlung ana der Arithmetik nebst Anwendungen auf daa

bfirgerliche Leben, Geometrie und Physik 1, Teil. Leipzig 1907, B. G. Tenboer.

19* 8. JC 8. SO.

ScBUSTEB, M., Geometrische Aufgaben und Lehrbuch der Geometrie; Planimetrie,

Stereometrie, ebene nnd ephüriache Trigonometrie. Ausgabe B. Zweite Auflage.

Leipzig 1906, B. G. Teubner. 118 S. Jt 1.80.

SiDEBiiBEBUKB, Ä., Übungabuch zur Algebra. Erste Abteilung. Filnfte Auflage b«a[b.

r. A. Schmid. München IU08, Th. Ackermann. 106 S, jtL S.Sft.

Btefhin, P., Die technische Mechanik 11. Festigkeitslehre und Mechanik def

flüssigen und gasßrmigen Körper, Leipzig 1906, B. G. Teubner. S8S >. JC T .—.
Slabt, Otto von Gnerickc. Feetvortrag aus AnlaBderQrundsteiuleguQgdeiDeatscIieti

Mnseunia zu Mönchen. Berlin 1S07. J. Springer. 28 S, JK l>.«0,

Thibue, H., Leitfaden der Mathematik für Gymnasieu. Erster TeiL Die Unterstnfe.

a. Aufl. Leipzig 1907, G. Frejtag. IIIS 8, JC a.M.

Thohtson, 8, P., Petrus Peregduus de Mariconrt and bis Epiatola de Mogn«!«.

Proc. Brit. Acad. l,^ndon 1U07. Bnt. Academy. 3S S.
Vateb, R, , Die neueren Wärmekraitmoschinen. Zweite Anflage. L«ipug I90T,

B, G. Teubner, 149 3. .« I.Si

Vbblsm, U , and Lemrks, N. J. Intvodnction to itifioitesinial analysis. Fnsctioiu ot

one real variable, 1« edit. New York 1907, J. Wiley & Sons. .> 1

Wihtee, W., Stereometrie. Lehrbuch und Aufgabi-ii Sammlung für Schulen. Tiert^^

Auftage. München li>06, Th. Ackermann. 116 S. JI l.M^ _

WiTTENBttiEH, J., Aufgaben aus der Technischen Mechanik. 1. Bond: Allgemeta^

Teil. 770 Aufgaben nebat LCaungen. Berlin 1901, J. äpringei-. JC b.)m

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Sdifissler.jOM

Lith u. Druck v Eschebach & Schacter, Leipzig.

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ALLE RRGHTK,
KINSCHLIK88LICH DES 0BBR8ETZUNGSRECHT8 , VORBEHALTEN

Inhaltsverzeiclmis.

, Seit«

Xenizot, A., Über das Foucaultsche Pendel 78 — 81

Tleck^ A.) Über die Darstellung ganzer Zahlen als Summen von positiven

Kuben und als Summen von Biquadraten ganzer Zahlen 2 — 9

FnchS) B.9 über lineare homogene Differentialgleichungen dritter Ordnung

mit nur wesentlichen singulären Stellen . 46 — 60

Gflntsche, B*^ Heronische Dreiecke mit einer rationalen Mittellinie . . 27—38
Haentzschel) E.^ Über die Genauigkeit geometrischer Konstruktionen . 64 — 57
Hessenberg) G., Über die Projektion des räumlichen Punktgitters . . . 64—70
JolleSy St*9 Die Grundzüge der Fokaltheorie linearer Strahlenkongruenzen 61 — 53
Koebe^ P*^ Herleitung der partiellen Differentialgleichung der Potential-
funktion aus deren Integraleigenschaft 39 — 42

Koebe^ P.^ Untersuchung der birationalen Transformationen, durch welche
ein algebraisches Gebilde vom Range Eins in sich selbst übergeht, in

bezug auf ihr Verhalten bei der Iteration 67 — 64

ILoppe^ M., Die Kongruenz x^^x (mod 10") 74—78

Xampe^ E.^ Über angenäherte Winkelteilungen mit Zirkel und Lineal . 17 — 27

Meissner, O.« Über systematische Fehler bei Zehntelschätzungen . . . . 70—72
Bothe, B*9 Über die Bekleidung einer Oberfläche mit einem biegsamen

unausdehnbaren Netz 9 — 16

Sehafheitlln, P.^^Die Lage der Nullstellen der Besselschen Funktionen

zweiter Art 82—98

Skatseh) B., Ein Apparat zur Demonstration des astatischen Gleichgewichts

in der Ebene 42—46

Zfihlke, P.) Ausführung elementargeometrischer Konstruktionen bei un-

gilnstigen Lageverhältnissen 16 — 16

Mitglieder -Verzeichnis . . 94 — 96

Siebenunddreißigste Sitzung am 26. Oktober 1906 1

Achtunddreißigste „ „ 29. November „ 1

Neununddreißigste „ „ 13. Dezember „ 17

Vierzigste „ „ 31, Januar 1906 17

Einundvierzigste „ „ 28. Februar „ 89

Zweiundvierzifrste „ „ 28. März „ 39

Dreiundvierzigste „ „ 26. April „ 89

Vierund vierzigste „ „ 30. Mai „ 73

Fünfundvierzigste „ „ 27. Juni „ 78

Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft.

Herausgegeben vom Vorstände der ftesellsoliaft.

44. Sitzung am 30. Hai 1906.

Vorsitzender: Herr Knoblaugh.

Anwesend: 38 Herren.

Wissenschaftliche Mitteilungen:

Herr Sdndor: Beitrag zur Theorie des Fachwerks.

Herr Kötter: Über die Mohr sehe Lösung der Aufgabe, ein Seilpoljgon
^urch drei Punkte zu legen.

Der Vorsitzende berichtet, daß das Grabdenkmal fCLr Weierstraß
(s. S. 1 des laufenden Jahrganges) ausgeflihrt und auf dem St. Hedwigs-
IKh'chhof, Liesenstr. 8, aufgestellt worden ist. Über einem Sockel aus grau-
l)lauem bayrischen Syenit erhebt sich ein 2 Meter hoher Obelisk aus poliertem
schwarzen schwedischen Granit, auf dessen Vorderseite unter einem yon
dem Kirchenvorstande vorgeschriebenen Kreuz die Worte

Karl Weierstraß

geb. 81. Ootober 1815

zu Ostenfelde

gest. 19. Februar 1897
zu Berlin

in erhabener Blockschrift eingemeißelt sind.

Die Gi-abstelle liegt schräg hinter dem Wohnhause des Kirchhofs-
Inspektors, fast am Ende des ersten hinter diesem Hause nach rechts ab-
gehenden Weges.

45. Sitzung am 27. Jani 1906.

Vorsitzender: Herr Knoblauch.
Anwesend: 32 Herren.
Wissenschaftliche Mitteilungen:

Herr Schafheitlin: Zur Theorie der Besselschen Punktionen (s. S. 82).

Herr Kötter: Über eine Zweiräderwage.

SitKungsberiohte d. BurL Math. Ges. V.

74 Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft.

Die Eongraenz o^ = x (mod 10").

Von M. Koppe.

1. Aus den Lösungen der Kongruenz 7?=^x (mod 10") für w =» 1, nämlich
x » 0, 1, 5, 6 lassen sich durch Vorschiebung je einer Ziffer die Lösungen
für n ==» 2 , daraus ebenso die fQr n = 3 etc. ableiten. Um diese Ziffem-
Systeme von rechts nach links durch HinzufQgung je einer Ziffer zu bilden,
sind von Tedenat, Palmström, Valentin verschiedene Rekursionsformeln auf-
gestellt worden.^) Im folgenden zeige ich, daß es auch möglich ist, von
der n-ziffrigen Zahl filr den Modul 10" sofort auf die Zahl von doppelt
soviel Ziffern für den Modul 10*" überzugehen.

In der Kongruenz x^ ^x oder x (x — 1)^0 (mod 10*) sind die Fak-
toren X und (x — 1) teilerfremd, daher muß einer von ihnen die Prim-
zahlpotenz 2* enthalten, während gleichzeitig 5* entweder in demselben oder
in dem andern Faktor aufgeht. Im ersten Fall wird a: ^ oder ^ 1 (mod 10*),
im andern Fall kann sein

x = (mod 5*), x = l (mod 2*), also rc = jp • 5®, a? — 1 = ^ • 2*,

folglich jp • 5* — ^ • 2* = 1 , woraus

|, = 57, g^= 13916, a: = 890625 (=a:i)

x^ — x^x{x— l) c=p . g . 10« = 793212000000

also, ohne große Multiplikation

a;; = 793212890625

Es kann auch sein x ^= (mod 2«), x^l (mod 5«), oder für a: == 1 — |

1 = 1 (mod 2«), I = (mod 5«) ,

so daß I mit dem obigen x^ übereinstimmt. Folglich

x^ = l—x^ = 109 376 (mod 10«).

Diese Auflösung, schon bei Fran9ais und Gergonne zu finden, wird für das
folgende benutzt.

Die Wurzeln der Kongruenz x^ ^ x (mod 10") fttr w > 6 müssen auch
der vorigen Kongruenz genügen, also in 000000, OOOOOl, 890625,
109376 auslaufen. Ist x eine auf 5 auslaufende Wurzel, so ist also

X = 10«y + 890625 = 10^ + Xy^

x^ — x^ lO^y + 10«y (2x^ - 1) + a:J — a:i = (mod 10").

Hier ist es gut, n «=» 12 anzunehmen, um die quadratische Kongruenz auf
den ersten Grad zu reduzieren. Setzt man a?j — aj^ =^7 • 10«, so folgt:

{2x^ — l)y+pq^O (mod 10«).

Da sich bei der Auflösung dieser Kongruenz und ähnlicher immer sym-
metrische Kettenbrüche ergaben, so erkannte ich, daß der Faktor, mit dem

1) S. die Aufsätze von Zühlke, diese Berichte, IV, S. 11 und S. öU.

33. Sitzung, 29. März 1906. 75

sie zu multiplizieren ist, um den Koeffizienten von y auf 1 zu bringen,
nicht erst gesucht zu werden braucht, sondern mit dem Koeffizienten (2a?i — l)
übereinstimmt. In der Tat folgt:

(4rcJ - 4jc + 1) y + {^x^ -l)pq = (mod 10«),

und da xl^x^i

y = (l — 2x^) pq (mod 10«)

= 21857 • 793212

= 918212.

Demnach x = 918212890625 =jp' • 5^* = g' • 2" + 1

p' = 3761, q' = 224137059.

Wird dasselbe Verfahren auf dieses 12 stellige x angewandt, so erhält man
als Lösung von x^ ^ x (mod 10**)

x^ = 977392256259918212890625

^°^ x^ = 022 607 743 740081 787 109 376.

Bisher ist dieses Ziffersjstem immer nur auf 20 Stellen bestimmt worden,
zuerst von GergODue.

3. Als Beispiel eines andern Wertes fELr X betrachte ich die Kongruenz
x^ ^ X (mod 10**). Für w = 3 hat sie Zühlke durch rekursorische Bestimmung
der von rechts nach links sich anreihenden Ziffern gelöst, während sie Palm-
ström für beliebiges n direkt löste, wobei eine Unterscheidung vieler Einzel-
fälle nötig war. Es sei n = 6. Da in der Kongruenz a;(iC* — l) = (mod 10*)
die beiden Faktoren x und (a?* — l) teilerfremd sind, so muß die Primzahl-
potenz 2* in X oder in (x* — l) aufgehen, ebenso die Primzahlpotenz 5*.
Das gibt folgende Fälle

I x = (mod 2«, 5«)

n x^ = l (mod 5«), a; = (mod 2«)

in a;* = 1 (mod 2«), a: = (mod 5«)

IV a^ = 1 (mod 2«, 5«).

Fall I. Es folgt a; = (mod 10*).

Fall IL Ist g eine primitive Wurzel für den Modul 5*, so kann man
X ^ g^ setzen und erhält

45 = (mod 9(5«))

= (mod 4 • 5^)

1 = (mod 5*^).

Also I = 0; 5^ 2 • 5^; 3 • 5*^ (mod 4 • 5^). Daher hat x ^ g^ vier Werte,
die man leichter erhält, wenn man die Kongruenz a;* ^ 1 durch den Ansatz
X ^ Uq -^ a^ ' 6 + a^ • 5^ -\- a^ ' b^ -\- a^- 5^ -{- a^ ' 6^ sukzessive fttr die Moduln
5, 5*, 5^ etc. zu lösen sucht, wodurch sich Oq a^ o^ . . . nacheinander ergeben.
Man findet ^ = ^ 1^ + 1 068 (mod 5«)

oder kurz ^ ^ ^ ^^^^ ^6)

76 Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft.

AuBerdem muß sein x ^^ u - 2^,
folgUch u . 2« = a (mod 5«)

ü = 1 709 a (mod 5*)

= ± 1709, ± 2913 (mod 5«),

folgUch ir =- w • 2« = ± 109376; ± 186432 (mod lO«).

Die negativen Zahlen können durch Hinzufügung von 10^ positiv gemacht

werden.

Fall in. Um 07* ^ 1 (mod 2*) zu lösen, kann man ± o; = 3^ setzen. Man

erhält

45 = (mod 16), S = 0, 4, 8, 12 (mod 16)

rc = ± 1, ± 17, ± 33, ± 49 (mod 64)
oder kurz x = |3 (mod 2«) .

Außerdem muß sein x ^v ' 5\ also

v b^ = ß (mod 2*)
v = 7ß
= ± 7, ± 9, ± 23, ± 25 (mod 2«)
a: - t; . 5« = ± 109 375, ± 140625, ± 359375, ± 390625 (mod 10«).

Fall IV. Aus a^ = 1 (mod 5«) und aus a^ = 1 (mod 2*) folgt nach dem
vorhergehenden

a? = a = ± 1, ± 1 068 (mod 5«)

a; = |3 = ± 1, ± 17, ± 33, ± 49 (mod 2«).

Diese Kongruenzen lassen sich zusammenfassen in

X = 109376 a + 109375 j3 (mod 10«),

d. h. im einzelnen, wenn man nach den Endziffern ordnet,

X

= 000001

422 943

045 807

031249

250001

172943

295807

281249

218751

204193

327057

249999

468 751

454193

077057

489999.

Das ist nur die Hälfte aller Zahlen. Man erhält sie alle, wenn man unter
jede noch eine neue Zahl schreibt, die um 500000 größer ist als die alte.

Im ganzen haben wir (l + 4 + 8 + 32) = 45 Zahlen erhalten, für
welche x^ ^ x (mod 10«) ist. Unter diesen findet sich keine mit der En-
digimg 307, obwohl diese bei Zühlke als Lösung der Kongruenz für den
Modul 10' auftritt. In der Tat, sucht man durch x = 1000 iCj + 307 der
Kongruenz für den Modul 10^ zu genügen, so findet man schon die unlös-
bare Kongruenz 74 + 72 x^ = (mod 100), für den Modul 10* ergibt sich
noch eine mögliche Lösung 4 + 2ari ^ (mod 10) also x^ = 3 oder 8.
Es spaltet sich also die Ziffemreihe 307 (für n =» 3) in die Zweige 3 307
und 8307 (für « = 4), eine weitere Anreihung von Ziffern für höhere
Moduln findet nicht statt.

88. Sitzung, 29. März 1906. 77

3. Viel einfacher ist der Fall X=12, also x^^^x (mod 10*) oder
x(x^^ — 1)^0 (mod 10*). Unterscheidet man wieder 4 Fälle wie oben, so
wird aus x^^ = 1 (mod 5*) gefolgert x ^ g^, 11| = (mod 4 • 5**), S = 0,
x^ 1 (mod 5*). Aus x^^ ^ 1 (mod 2*) folgt, wenn rc = j: 3^ gesetzt wird,
1 1 1 = (mod 2*), S = (mod 2*), x = l (mod 2«). Hiernach hat die obige
Kongruenz nur dieselben Lösungen wie die zuerst betrachtete Kongruenz
x(x — 1)^0 (mod 10*). So wird es immer sein, wenn (X — l) die Faktoren
2 und 5 nicht enthält

4. Der Grund für das von Zühlke gefundene Kuriosum über die 20****
Potenzen liegt darin, daß 20 = <p (5^) ist. Es läßt sich folgendermaßen
erweitem: Die lOO**®** Potenzen aller Zahlen endigen nur auf 000; 001;
376; 625.

Ist X ungerade, so ist x^ ^ 1 (mod 8), folglich x^^ ^ 1 (mod 8), dagegen
für gerades x ist x^^ ^ (mod 8), also

x^^ = a (mod 8), wo a « 0; 1.

Da 9)(5') ^100 ist, so ist fELr Zahlen x^ in denen 5 nicht aufgeht,
x^^ = 1 (mod 5^), für andere ist x^^=0 (mod 5»), also

x^^ = ß (mod 125), wo j3 = 0, 1.

Wird der Rest irgend einer lOO**®** Potenz (mod 1000) mit r bezeichnet, so
ist also

r= { ^(mod 8), r= { J (mod 125).

Daraus r(r — l) = (mod 8), r(r — l) = (mod 125),

also r{r — l) = (mod 1000), d. h. r^ = r (mod 1000). Diese Kongruenz

hat aber nach 1« nur obige 4 Lösungen.

5. Zusatz, Für ein beliebig wachsendes n genügen der Kongruenz
x^ ^ X (mod 10") nur folgende „Zahlen", deren Ziffern sich eindeutig nach
links beliebig weit fortsetzen lassen:

I a?i — .

..000000

IV

a;8=...000001=y*

I x, = .

..186432 — a

Xg =. . . . 2 1 8 7 5 1 - - / - 1 — 2 j3

«« = •

.. 890624 = a^ = j3-l

a?io=-...922943 = y

x^-.

..109376--a*=l-j3

a;ii=...704193 — — /

^5 = -

..813568=» — a

Xi,— ...295807=/

I X,^

... 890625 = j3

Xij— ...077057 — — y

a^ = .

.. 109375 = -|3

:ri^-... 781249 -y* = 2/3 — 1

dPi5««...999999 = — /.

Alle diese Zahlen lassen sich durch Kongruenzen niedrigeren Grades de-
finieren, insonderheit ist

a(a« + l) = 0; ^(^ - l) = 0; (y + l)(/ + l) = (mod 10*),

also «* = — «, j3* = j3, y* = 1 (mod 10*). Ist ß (aus 1.) bekannt, so
findet man a und y aus quadratischen Kongruenzen:

a«... 499879186 432
y = ... 581 907 922 943.

Sitiungsljericlite der Berliner MathematiBcheii Geaellschan.

Ist x^ ^x, so bilden die Reste der Potenzen x, «', x\. .. Periodea
(iL— 1) GüederD. Genügt x keiner ähnlichen Kongruenz für einen kleineren
Wert von i, so ist ciie Periode primitiv, nicht in kleinere zerlegbar. Unter
den obigen Werten von x sind primitiv für l ^= ä: x = ^ a, + )', + y".
Von den ausgeschlossenen sind primitiv für il = 3:z^— 1, ß — 1, — ß,
± y*. Endlich primitiv für 1 = 2: a; = Ü, 1, 1 — (3, fJ.

Es ist im allgemeinen unmöglich, daß eine „Zahl" x einer linearm Kon-
gruenz Ax^B (mod 10*) genüge. Denn dann würde folgen B{B*—A*)'^0
(mod lO""), also auch £(£* — -i*) ■= 0, fi = 0, ±A, demnach i = 0, ± 1,
d. h. X •= x^, Xs, a;,^. Daher können die übrigen Zahlen x auch nicht
jjeriodisck werden, denn das zur Umwandlung von periodischen Dezimal-
brüchen in gemeine Brüche dienende Verfahren würde Rlr sie eine lineare
Kongruenz ergeben.

Für ein bestimmtes endliches n gibt es außer den M-zifferigen Resten
der obigen Zahlen (mod 10") noch andere Wurzeln der Kongruenz x^ ^ i
(mod 10"). Diese stimmen mit den unter III und IV aufgefülirten Zahlen
in den letzten (« ~ 2) Ziffern überein, sind ihnen also für den Modul 10""*
kongruent, sie lassen sich aber gar nicht oder nur um eine Ziffer (sn
Lösung lür den Modul lO"*') nach links hin verlängern.

Über das FoncaultBolie Pendel.
Von A. Denizot.

I

1. unter dem Foucanltschen Pendel werde ein Fadenpendel verstanden,
dessen Schwingungen infolge der Versuchsanordnung sehr nahe in einer ver-
tikalen Ebene erfolgen. In der Entwickelung der Theorie der scheinbaren
Drehung der Schwingungsebene eines solchen Pendels kann man vor allem zwei
Richtungen unterscheiden: Die von Liouville und Poinsot so sehr betonte
„geometrische" Methode, an welche sich verschiedene elementare Ablei-
tungen des bekannten Gesetzes geknüpft haben, und die zuerst von Binet
vorgezeichnete „dynamische" Methode, welche iu verschiedener Behandlung
ganz allgemein in die Lehrbücher der analytischen Mechanik übergegangen ist.

2, Bei der geometrischen Methode liegen die Verhältnisse am ein-
fachsten an den beiden Erdpolen: Setzt man voraus, daß die absolute (wahre)
Pendelbewegung im Raum in einer unveränderlichen Ebene geschieht, so
ergibt sich ohne weiteres als Erfahrungstatsache ihre relative (scheinbare)
Drehung gegen die Erde. An einem Ort« unter beliebiger geographischer
Breite ergibt sich folgende entsprechende Betrachtung: Einerseits kann die

r Drehung der Erde um ihre Achse ttlr einen an dem Orte sich befindenden
■Seobachter durch eine Drehung um eine durch den Aufhängungspunkt des
Tendels zur Erdachse parallele (instantanel Achse ersetzt werden, anderer-
L nits hat der Pendelkörper das Bestreben, stets nach derselben Richtung zu
schwingen, ßegenüber dem Beobachter an dem Ort wird sich diese unver-
änderliche Bewegungsrichtung um die instantane Achse mit der Winkelge-
schwindigkeit der Erde, and zwar im entgegengesetzten Sinne der absoluten
Erddrehung, also auf der nördlichen Halbkugel wie der Zeiger einer üfar

Diese Winkelgeschwindigkeit (m) der Erde kann nun als Vektor

(d. h. eine nach dein Polaratem gerichtete Gerade von der Länge a) in
zwei Komponenten zerlegt werden: nach der Vertikalen und der Tangente
an den Meridian des Ortes. Beim FoucaultschcD Pendelversuch kommt es
auf die zuletzt genannte Komponente nicht an; in bezug auf die Vertikale
des Ortes {tpj erfolgt die seheinbai'e Drehung mit der Winkelgeschwindigkeit
b) sin tp in dem vorher bezeichneten Drehsinne.

!t. Die dynamische Methode hat zum Ansgangspuukt gewisse Be-
wegungsgleichungen, welclie als die Ursache der Erscheinung die zusammen-
gesetzte Coriolissche Zentrifugalkraft hervortreten lassen. Diese Methode
bildet einen unfiberbrückbaren Gegensatz zu der geometrischen. Deim naoh
der geometrischen Anschauungsweise erfolgt die Drehung der Schwingungs-
ebene beständig in ein und demselben Sinne, was aber nur möglich ist,
wenn sich der Pendelkörper selbst stets lo ein und demselben Sinne um die
Vertikale dreht. Die Riehtiing der Coriolisschea Kraft dagegen kehrt sich
jedesmal mit der Umkehr der Bewegungsrichtung des Pendels um. Außer-
dem ergibt die Coriolissche Kraft in den ümkehrsteUen gar keine weitere
Abweichung, während die geometrische Methode, entsprechend der Beobachtung,
hier die größte Abweichung aufweist; das Umgekehrte ist beim Durchgang
des Pendels durch die Vertikale vorhanden.

4. Der Gegensatz zwischen der geometrischen und der djnamisclieiti
Methode verschwindet, wenn statt der verstßmmelten die vollständigoa,'
Poissonscben Bewegungsgleichongen für relative Bewegung an der Erd-
oberfläche betrachtet werden. Nach dem allgemeinen Theorem von Clairaat
und ('oriolis bat man zu den von außen wirklich wirkenden Kräften noch
gewisse fingierte Kräfte hinzuzufügen (vgl. Ann. d. Phys, IB, 299, 1905).

Die von außen auf das an der Erdoberfläche schwingende Pendel wirkendea
Kräfte sind folgende: 1. Die (Newtonsche) Erdattraktion. 2. Die Faden-
tension, die durch die Normalreaktton einer ideellen KugeUcbate vom Radius
gleich der Fadenlänge des Pendels ersetzt werden kann. 3. Andere ßußere
Kräfte, wie der Luftwiderstand, Erdmagnetismus. Besonders werde betont,
daß irgend eine Zentrifugalkraft als eine auf den Körjier von außen wir-
kende Kraft nicht vorkommt.

Als die im Sinne des Theorems von Clairaut und Coriolis fingier«'
ten Kräfte sind folgende anzusetzen: 1. Die auf den Aufbängungs-
punkt des Pendele (Koordinatenanfang) wirkende Kraft; sie ist
Dumerisch gleich der an diesem mit der Erde fest verbundenen Punkt»
angebrachten Zentrifugalkraft, welche durch die Rotation der Erde um ihre
Aiihse erzeugt wird. 2. Die instantane Zentrifugalkraft (eigentlich
Zentripetalkraft); sie ist gleich dem Produkt aus dem Quadrat der
Winkelgeschwindigkeit der Erde und der Entfernung von der ioatantauen
Achse. 3. Die Coriolissche Kraft; ihre Grüße ist für die Masseneinbeit
gleich — 2 0) !' sin i öl , c) , wenn noch c die relative Geschwindigkeit dea
Körpers und (wic) der Winkel zwischen den Vektoren ca und c ist; ihre
■ Richtung ist senkrecht zu den genannten Vektoren, und zwar nach rechta
von der Bahn.

b. Es ist ohne weiteres ersichtlich, das die erste fingierte Kraft
der Newtonschen Erdattraktion zusammen als die an dem Orte hemohendft
Schwere definiert werden kann. Dagegen darf man die zweite ßngierts

I
I

endft^l
iert« ^1

Sitznn^bericbte der Berliner HathemktiBchen OeRellichafl.

Kraft nicht zur Schwere hinzufügen, was zwar vielfach geschehen ist, jedoch
mit dem Begriff der Schwere, als der Bewe^ngsarsache des KOrpera un-
vereinbar ist. Nur dann, wenn der Körper gegen die Erde in relativer
Ruhe, d. h. wenn er ein Teil der Erde ist, ist eine Zentrifugalkraft vor-
handen, um welche die Newtonsche Erdattraktion an dem Kßrper verriogert
wird und deren Äusdmck der Form nach gleich der Sujnme der beiden
ei-sten für relative Bewegung geltenden fingierten Kräfte ist Bei unserem
Problem liegt aber die Sache anders. Die oben definierte Schwere kann
auch als die wirkliche Bewegungsursache des Körpers angesehen werden,
wie man sich dieses an der Betrachtung speitieller Beispiele vergegenwärtigen
kann. Ein z. B. im Koordinatenanfang ohne Anfangsgeschwindigkeit herab-
gelassener Körper bewegt sich unter dem Einfluß der Newton sehen Erd-
atti'aktion und dem Impuls, den er im Moment des Luslassens von der
rotierenden Erde erhält; dies verhält sich genau ebenso, als ob der Körper
ein Trabant der Erde wäre. Von einer wahrend der Bewegung auf den
Körper wirkenden Zentrifugalkraft ist aber ganz und gar keine Rede. lo
der Rechnung treten nun die beiden erwähnten Ursachen der Bewegung als
die an dem Ort herrschende Schwere anf, d. h. als die Resultante aus der
Newtonschen Gravitation und der durch die Erdrotation am Koordinaten an fang
erzeugten Zentrifugalkraft, Diese beiden Ui'sachen treten hei allen Problemen
auf, deren Enistehungsgeschiohte an die Erde gebunden ist Vom Stand-
punkt der Theorie der relativen Bewegung erscheint die hiennit zusammen-
hängende Definition der Schwere als die Resultante aus der Erdattraktion
und der auf den Koordinat«nanfang wirkenden Kraft.

Die vorliegenden Auseinandersetzungen bildeten den Gegenstand pole-
mischer Erörterungen mit den Herren Rudzki und Tesaf (Ann. d. Phys.
18, 1070, 190Ä; 19, 613, 1906). Wie ich (Ann. d. Phys. 19, 868, 1906)
bereits gezeigt habe, ist Herr Teaaf durch eine unrichtige Interpretation der
instantanen Zentrifugalkraft zu dem Ergebnis gelangt, daß diese fingierte
Kraft eine Folge der wirklichen Drehung des Körpers um die instantane
Achse ist. Gesetzt nun , daQ es sich mit dieser fingierten Kraft im Sinne
des Herrn Tesaf verhielte, so läge kein Grund vor, diese Zentrifugalkraft von
der Schwerkraft zu trennen, was jedoch Herr Teaaf (Physikalische Zs. 7,
199, 1906) tut, wahrend Herr Rudzki das Gegenteü verfangt.

6. Die instantane Zentrifugalkraft und die Coriolissche Kraft haben
in der relativen Bewegung eine selbständige Bedeutung. Ist die relative
Geschwindigkeit der fortflehreitenden Bewegung des Körpers gleich Null,
so tritt allein die instantane Zentrifugalkraft auf. Denkt man sich z, B.
am Nordpol einen Körper in absoluter Ruhe (Umkehratellen eines Pendela),
so wird er ftlr den mit der Erde fest verbundenen Beobachter eine schein-
bare Kreisbewegung ausfähren, und zwar im entgegengesetzten Sinne der
absoluten Erddrehung, woraus der Zusammenhang mit der instantanen
Zentrifugalkraft ersichtlich ist.

Man übersieht, daß es bei Erscheinnngen, deren Verlauf an dem Be-
obacbtungsort mit vcrhältnismäBIg groüer Geschwindigkeit und in kurzer
Zeit sich abspielt, berechtigt ist, die instantane Zentrifugalkraft unberück-
sichtigt zu lassen. Die östliche Abweichung eines freifallenden Körpers,
die Rechts ab weichung eines Geschosses, der ßechtsdruck einer Lokomotiva
auf die Schienen, das Buys-Ballotsohe Gesetz in der Meteorologie sind i

4:i. SitEun^, 3G. April 190(1.

81

weiteres durch die Coriolissehe Kraft zu erklären, Die instantBne Zentrifugal-
kraft wird bei diesen Erscheinungen nur eine unbedeutende Rolle spielen;
die durch das Experiment kaum nachweisbare südliche Abweichung eiuea
frei fallenden Körpers könnt« wohl auf diese fingierte Kraft zurückgeführt
werden.

7. Was nun die Berechtigung der beiden zuletzt genannten fingerten
Kräfte beim Poucaultschen Pendelversuch anlangt, so ist kein Grund vor-
handen, die instantane Zentrifugalkraft, wie es bisher geschah, allein des
Quadrats der Winkelgeschwindigkeit der Erde wegen zu vernachlässigen.
Allgemein könnte uiaa zunächst sagen, daB die Erscheinung am Foucaultschen
Pendel eine Folge der relativen Bewegung ist, die erst vollständig sowohl
durch die Zentrifugalkraft wie durch die Coriolissche Kraft bestimmt wird.-
Allein die Coriolissche Kraft hat auf die Bewegung selbst gar keinen Eii^
fluß. Da nämlich die Bewegung des Pendels genau dieselbe ist, wie die,
welche der Pendelkörper auf einer mit der Erde fest verbundenen Kugelschale
verzeichnen wärde, so spielt die Coriolissche Kraft in bezug auf eine vor-
gezeichnete Bahn nur die Rolle einer Reaktionskraft, aber nicht die einer
die Bewegung bestimmenden Kraft. Wird insbesondere durch die Versuchs-
anordnung angestrebt, daB das Pendel in der Vertikalebene schwinge, d. K-
daB der Pendelkörper sich stets auf der Peripherie eines vertikalen Kreises
bewege, so liegen die Verhältnisse genau ebenso: die Coriolissche Kraft be-
einflußt nur die nonnaie Reaktion der vertikalen Kreisbahn und bat auf die
Bewegung des Pendelbörpers in der Vertikalebene absolut gar keinen EinSufi.
Die Scbwingungsdauer z. B. ist gegebenenfalls allein abhängig von der
instantanen Zentrifugalkraft, nicht aber von der Coriolisschen Kraft, deren
Arbeit gleich Null ist.

Das Auftreten der instantanen Zentrifugalkraft hängt mit der schein-
baren Drehung der erwähnten Ebene um die instantane Achse zusai
von dieser Drehung kommt infolge der Versuchsan Ordnung vor allem in
Frage die Komponente nach der Vertikalen des Ortes, und zwar im Betrage
des Produktes der Winkelgeschwindigkeit und des sinus der geographischen
Breite. Gewisse Abweichungen von dem Sinusgesetz können vielleicht aucb
darauf zurückgeführt werden, daß das Pendel die Möglichkeit hat, sich noob!
um eine andere Achse als die Vertikale m drehen.

Vergleichen wir nun diese, auf Grund der aügeraeinen Bewegungs-
gleichuagen gewonnene Interpretation mit der eingangs erwähnten geometrischen
Methode, so sehen wir, daß zwischen beiden kein Gegensatz besteht.

8. Herr Tesar hat zu wiederholten Malen versucht lu zeigen, daß bei
dem Foucaultschen Pendelproblem die Coriolissche Kraft die Rolle einer
primären, die instantane Zentrifugalkraft die einer sekundären Ursache spielt;
diesen Anschauungen neigt auch der Referent meiner Arbeiten in den Bei-
blntt«rD zu den Annalen der Physik (1906) zu. Meine diesbezüglichen Er-
widerungen, in welchen ich darauf aufoierksam mache, daß Herrn Tesafs
Rechnungen auf ein perpetuum mobile hinauskommen, werden hierbei g&r
nicht beachtet.

Charlottenburg, Juli 1906.

I

82 Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft.

Die Lage der Nnllstellen der Besselsclieii Funktionen zweiter Art.

Von Paul Schafheitlin.

In einer früheren Arbeit^) habe ich gezeigt, daß die erste positiTe
Nullstelle der B es sei sehen Funktion erster Art Jjx) für einen Wert des

Argumentes x eintritt, wofür x >yn(ft + 2) ist, vorausgesetzt, daß der
Index n eine reelle positive Zahl ist, und habe ähnliche Werte für die Lage der

ersten Nullstellen von -^ und -^— f ermittelt; im letzten Abschnitte jener

Arbeit ist bewiesen worden, daß für ganzzahlige Werte des Index die erste
positive Nullstelle der B es sei sehen Punktion zweiter Art Tjx) nach
a; = w + y, aber vor der ersten Nullstelle von Jjx) liegt.

Von Schläfli^) ist schon bemerkt worden, daß jede einzelne Nullstelle
von Jjjc) eine stetige Funktion des reellen positiven Index n ist, die mit
wachsendem Index stets wächst.

Hier soll gezeigt werden, daß für die positiven Nullstellen der
Besselschen Funktionen zweiter Art Yjx) ebenfalls der Schläflische Satz
gilt, und daß für jeden reellen positiven Wert des Index die erste positive
Nullstelle von Tj^x) nach rc = n liegt.

§ 1.

Die Besselschen Funktionen oder Zjlinderfunktionen sind Lösungen
der Differentialgleichung:

(1) z':{x) + ^ z:ix) + (i - ^~) z,{x) -

und genügen den Funktionalgleichungen:

(2) ~ 7.Sx) = Z,_lx) + Z,^,(x),

(3) 2Z;(x) = Z„_,(a;)-Z„^,(a;);

der obere Strich soll eine Differentiation nach dem Argumente x be-
deuten, während die Differentiation nach dem Index oder Parameter n stets
in der bekannten Bruchform geschrieben werden wird; das Argument wird
häufig der Kürze halber weggelassen werden. Argument und Index sollen
auf reelle positive Werte beschränkt sein. Durch Addition und Subtraktion
folgt aus (2) und (3):

Es ist:

X

\ { g)„(0 Zlii) ) = ^^nZ.Z'n + ^>'nZl

dt

1) Joum. f. Math. 122, 291)— 821; 1900.

2) Math. Ann. 10, 137—142; 1876.

46. Sitzung, 87. Jnni 1906. 83

also mit Benutzung von (4) und (5):

(6) dt (9'-^*) = 29>,^-2._i + [q,;, - ?j- <p,) ZI,

(7) Jt'^'VnZi) = - 29).Z.Z.+, + (,,: + ?^9..) Zl,
demnach auch:

Durch Addition von (6) und (8) und alsdann von (7) and (9) folgt:

dt

Multipliziert man die letzte Gleichung mit einem von t unabhängigen Faktor
X und addiert beide Gleichungen, so ergibt sich:

^^\<fn{l-\■ i)zi + ^^zi.^ + kq>,zu,] - j,p;(n-i)-^(i_i),,,jz»

+ (9»: .+. -7^ 9'-) Zl-^ + (Xfp'n - *Y- ^f) ^- + '-

um die aus (2) und (3) folgende Gleichung:

(10) '^-'-§^zi.,-zl,.

auf die letzten beiden Glieder obiger Gleichung anwenden zu können, be-
stimme man tp^ durch die Beziehung

/ 2n — 2 / 2n-l-2

^n -T ~t ~ ^* — ^9^« ' 1 — ^9^»«

oder 9

if>:{\ + A) - -(in - n + i + 2)g), = 0,

und dieser Differentialgleichung wird genügt durch

Setzt man

so ist:

2n — v'

und es geht obige Gleichung über in:

d
d

4(«+ l) fr*' Zldl - v(in' - v') ff

Die hier gegebene Ableitung dieser Formel rührt von Lomme]') her, wenn
auch in dieser allgemeinen Form die Gleichung (11) von ihm nicht auf-
gestellt worden ist Durch Spezialisierung des Faktors v und der Grenzen
a und b ergeben sich aus (H) viele zum Teil schon bekannte Integral-
formeln; wird eine der Grenzen Null oder Unendlich, so bleibt natürlich
die betreffende Integralfomiel nur gültig, falls alsdann die rechte Seite einen
bestimmten endlichen Wert hesitut. Um dies /.u entscheiden, beachf« man,
daß die Potenireihe, die die Besselsche Funktion erster Art Jj^x) definiert,
mit dem Cliede l^l =^ beginnt und entsprechend die Besselsche Funktion

zweiter Art F,(a:)') mit I— ) ■ -■ Für ein unendlich großes Argument

konvergieren beide Funktionen gegen folgende Werte:

-VI,'-

an + I

wobei die Wurzel hier wie im folgenden -stets absolut zu nehmen ist; der
Index soll positiv oder Null sein. Aus (11) folgt dann för v =^ und
endliche Werte von x:

JtJt{i)dt = ^i \ (2 - '-T') ^.v) + ■';- .w + -^J+'W!

oder vermöge (4) und (5)

(12.) /'«o^'=?i(>-::)^.'w+(S)T

I

Die entsprechende Formel;
(12b) JfS

1 1 TSdl .

^i(>-a«+(i5ri

li Zur Theorie der BeaselBchen Funktionen. Math, Ann. 14, 530; 1879.

3) Um Mi&veratUjidnigaen vorzubeugen bemerke ich, daß Nielsen, Handbuch
der Zjlinderfunktionen , Leipiig, Teubner 1M04, mit demaelbeu BuchsUben di^
ohige Funktion, jedoch mit iimgekehrltm Vorzeichen ber.eichnet.

Buchstaben ni^^^

46. Sitnmg, i7. Juni 1906. 85

gilt nur för M < 1. Diese Formeln rdhren von LommeP) her. Ffir
»* = — 1 ergibt sich:

<13a) (4.' -!)//■$

Ist ft > ^ , so darf hierin x » gesetzt werden , und man erhält

OB

(13-) P''^'^

«(4n« — 1)

In der entsprechenden Formel:

OD

(13b) (4»'-ijJr.'^;

muß X stets größer als Null sein.

Für V = 2w und endliche Werte von x folgt:

X

(14a) 2(2n + l)Jfi-^^j;dt = a:«"+«(/« + /,Vi)»

(14b) 2(2n+ 1) A*"+ir«df = a:«» + «(r,«+ r|+ ,) - ~^- /In Jlft.

Schließlich liefert die Annahme v = — 2n für n > |-:

(15a) 2(2« - 1)J/»-^ . ^^.L_(7«+ /.«_0

und speziell ^

(2n - 1)J /« -^_^ « ^^-—^ . ^(^ _ 1) jj(n - i) '

In der entsprechenden Gleichung:

(15b)

2(2n - l)/ri-,^L-, - ^v^-i(y-*+ ^--)

muß a; stets größer als Null sein. Die Formelgruppen (14) und (16) sind
im wesentlichen auch schon von Lommel angegeben, wahrend die Formeln
(13) bisher der Beachtung entgangen zu sein scheinen, und gerade aus
ihnen lassen sich wichtige Folgerungen über die Größe der Besse Ischen
Funktionen ziehen.

1) Math. Ann. 14, 628; 1879.

86 Sitznngsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft.

§ 2.

Da im folgenden der Verlauf der B es s eischen Funktionen für größere
Indices betrachtet werden soll; kann der Fall n < |^, der für (13 a) und
(13 b) einen Ausnahmefall bildet, außer acht gelassen werden. Es Iftßt
sich (I3a) leicht mit Hilfe der Formeln (2) bis (5) unter anderen in
folgende Formen bringen:

OD

(16a) (4«»-l)yV4'-*-x((2-?*^)7» + 2(/:)« + |/.7;)

(16b) ' =*._^l(iv. + J^)*+2(l-J)/.» + (J,')*)-

Da die linke Seite dieser Gleichungen für alle positiven reellen Werte von
X eine positive Größe ist, die nach (13a) kleiner als ist, so ist stets

TT

der in geschweifter Klammer stehende Ausdruck rechts ebenfalls eine

4
positive Größe, die kleiner ist als — •

Genau die entsprechenden Gleichungen gelten fdr Y^\ jedoch ist
hierbei zu beachten, daß für sehr kleine Werte von x das Integral über
alle Grenzen wächst. Es kann demnach der in der geschweiften Klammer
stehende Ausdruck auch negative Werte annehmen; aus (16 b) sieht man,
daß für x> n der betreffende Ausdruck stets positiv und dann natürlich

auch kleiner als — ist.

nx

Die rechten Seiten der Formeln (l2) bis (16) vereinfachen sich wesent-
lich, wenn x eine Nullstelle der Be sseischen Funktion oder ihrer ersten
oder zweiten Ableitung ist; dann lassen sich nftmlich sämtliche Bessel sehen
Funktionen vermöge (l) bis (5) durch eine einzige derselben ausdrücken.
So ergibt sich z. B. aus (16 b):

00

(17) (4«»-l)|V,*^'->-2x7»_i=*-2rc(/„')* «r /» = 0,

X

00

(18) (4««-l)J>.»^*=*--x(2-^-*'^')j* für /^(x) = 0.

X

Die entsprechenden Formeln gelten für Y^.
Es ergibt sich nunmehr aus (l6b):

I. Istx>ny2, so ist \JJ<:y±und |rJ<]/-±.

Aus (17) folgt:

II. Ist «7^ = 0, so ist sowohl |«/^„_i|, |<^n + iK cUs auch \Jn\<Y — ,

%md ud Y^ = 0, so ist sowohl \ Y^_^ |, | T^^j |, als auch \ Y!,\ < 1/

45. Sitzung, 87. Juni 1906. 87

Zwischen den Funktionen J und Y bestehen die Relationen:

y.j: -JnY; =— .

Mit Rücksicht hierauf folgt aus 11:

m. Ist J„=^0, 80 ist I r„|>T/-?-, und ist r„«0, so ist \JJ>']/^'

Aus I. und III. erkennt man, daß die Werte sowohl von /. als Y„
fUr x> ny 2 zwischen den zwei im Unendlichen zusammentreffenden gegen

die X-Achse symmetrischen Zweige der Kurve IIL Ordnung xy^ = — liegen;

daß dagegen die entsprechenden , Zweige von xy^ == — an bestimmten
Stellen, wie groß auch das Argument werden mag, überschritten werden.

§ 3.

Bezeichnet man die rechte Seite in (ll) zur Abkürzung mit 5,, und
bedeutet p eine beliebige positive ganze Zahl, so ist •

h

4(2i)-v- 1) fr-^P-^^Z^dt

a

b

- {2p - v)(2n + 2jp- v)(2n - 2^) + v) Cf'^P'^Zldt — - S^^^^

oder wenn zur Abkürzung:

(2jp _ v)(2n + 2p — v)(2n — 2jp + ») (^ "" 2 / V** "^ ^ "" 2/ V'^^'^V

"p-

i(^ip — v-

-1)

P-

2

gesetzt

wird:

b
a

■ip+iZÜdt-

6
a

-2p-

'Zidt-

s
i(ip-

-v-l)

Erteilt man hierin nacheinander p die Werte 1, 2, 3, 4, . . ., multipliziert
die betreffenden Gleichungen mit 1, a^, a^aj, cfic^a,, . . . und addiert,
so folgt:

6 * p

a a *^ * 2

Nun ist:

I

«1«2 • • • «i-1

«(-J)"!"-*) "('-i-()"("-'+i)

88 Sitzongsbericbte der Berliner MathematUcben Gesellschaft.

Hiermit geht die vorige Gleichung über in:

b

(19) ff-

a

_ "(-^^)" (" + f-)n(p-^),r(.+,-r)
„(_ J)„(._|)n(,_l±i)„(._p_, + |)

dt

Wählt man hierin oo als obere Integrationsgrenze, so wird der hier-
von herrührende Teil von S^^^j^ für v — 2A < — 1 nach (11) verschwinden;
wählt man femer eine NuUstelle x von Z^ als Integrationsgrenze, so wird
der hiervon herrührende Teil von S^^^x werden 2a;*""^^+^Z*-.i. Bei
dieser Annahme über x ergibt sich aus (19) für v = 0:

OC OD

X

p-1

"*" 4n '^'— ' ^ n{X + ij n(n — X — I) ' x«^ '

und mit Benutzung von (17) für v =« — 1:

00

^^^^ * ■ /i(p - 1) //(« -p-\)J ^" t«p

__2^_ j "-S^ UQ. - \ ) U{n + X - \) J^

~V^ -'l^ /JiII(n-r-i) 'x«"

Bleibt in (20) nun i? <C tt, so sind beide Summanden rechts positiv;

es stellt alsdann der zweite Simimand eine untere Grenze für den Wert

des links stehenden Integrals dar. Ist n eine ganze Zahl und p == n^ so

wird der erste Summand wegen des Divisors 71 ( — l) vei-sch winden, und

es gibt der zweite Summand genau den Wert desselben Integrals an. Ist

n eine gebrochene Zahl, und liegt p zwischen n und « + 1, so wird

n{n — p — l) und damit der erste Summand rechts negativ, und in diesem

Falle stellt der zweite Summand eine obere Grenze der linken Seite dar;

liegt p zwischen ft + 1 und w -)- 2, so erhält man wieder eine untere

Grenze, usw.

Ahnlich ergibt sich aus (21), daß der Subtrahend rechts kleiner ist
2

* 1

als — - , wenn i> < w + j ist. Wenn n die Hälfte einer ganzen Zahl und

2

j? = « -f Y ist, so wird der Subtrahend genau gleich -—= ; in diesem Falle
ist also nZ]i-\ eine rationale Funktion mit rationalen Koeffizienten der

46. Sitzung, 27. Juni 1906. 89

Nullstelle von Z^, Abgesehen von diesem speziellen Falle ist der Subtrahend
rechts größer als — = , wenn p zwischen n + ^ ^^^ ** + f liegt; er ist

kleiner als - ~ , wenn p zwischen w + f und » + f Hegt, usw.
Aus diesen Überlegungen folgt:

Cy^dt ^y^ ^ V nxn{n + x) i

J "" t ^ 4n ""-* * ^ n{X + ^) /7(7i — i — 1) * i2i »

X Jl=0

wenn Zjx) =» und w ^ J9 < n + 1 ist, und es ist:

V^z,-i^^' 2j "Innln-x-i)-'^''

wenn Zjx) = und r ^ w + ^ ^^®^ w + f < r ^ w + f ist.
Aus beiden Ungleichungen folgt:

/oo) /V«*"^ ^ ^* _m/i(n + ;) 1 . ^/i(z-i )n(n+ z-i) i

^ ' J " l^iHx^ 'W{l+i) /i(n— X— 1) a:Wj^ ifl /7(n — i — ^) a;«*
Nun ist:

n n

folglich ist stets:

nx JI(X - i)

na + 'i)^ hl

Femer ist:
und:

;^:-+fcfr ("•-•.)(»■- ::)-[«'-('-;n.

folglich ist unter der Voraussetzung, daß sämtliche Klammergrößen positiv sind:

Tl{n + l)_ n{n + X~\)

n{n -z — 1) "^ ^ ' n(w — X — ^j *

Zieht man aus der im Zähler stehenden Summe in (22) den Faktor n
heraus, so ist alsdann jeder Summand des Zählers nach den eben be-
wiesenen Ungleichungen kleiner als der entsprechende Summand des Nenners,
wenn alle Summanden positiv sind; der Bruch ist daher echt, wenn die
Anzahl der Summanden im Nenner mindestens ebenso groß wie im Zähler
ist. Setzt man « = w + e, wo m eine positive ganze Zahl und e einen
positiven echten Bruch bedeutet, so ist dies der Fall, wenn f ^ |- ist, weil
dann ^=.r = w+l in (22) gesetzt werden kann. Ist aber € < v> und
setzt man ;> «= i» + 1 , so muß man, um die nötige Anzahl Glieder im
Nenner zu erhalten, r == tn + 2 setzen; dann ist allerdings sogar die Anzahl
im Nenner um eins größer als im Zähler, aber das letzte Glied ist negativ.

Sitzungüherichte d. Berl. Mftth. Qts. V ^

90 Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft.

Jedoch läßt sich zeigen, d&ß die Differenz der beiden letzten Glieder im
Nenner größer ist als das letzte Glied des Zählers, wenn x^tn-\-B ist.
Das letzte Glied des Zählers lautet:

und die beiden letzten des Nenners:

.4.-^^[("+.)'-a[(".+.)'-a-[c»+.)'-(»-{)']

^r 2i» + 2' X* J'

Die einzelnen Faktoren dieser Glieder sind im Zähler kleiner als im Nenner;
durch einfache Ausrechnung findet man, daß auch der letzte Faktor oben
kleiner ist als der entsprechende des Nenners, multipliziert mit der ge-
schweiften Klammer, wenn man in ihr x = m -\- e setzt. Sonach ergibt
sich allgemein:

Es ist

wenn Zj^x) = und x^n ist.

§ 4.

Die erste Nullstelle von Y^(x) liegt für ganzzahliges n nach a? =— w + j,
wie ich früher bewiesen habe^); hier soll gezeigt werden, daß für ein
ganzzahliges n^2 diese Nullstelle nach « + 1 liegt. Es ist nämlich :

00

(24) "1 Yjx) = (^^ - log J) U.) +2'(- 1)^(; + ^tTt) '^"^^^

+

-i- 1 r r,.^ V "(^ -J) 5^j?(" +i = i) (^V^

-r 4 «'»W,^ - n(2i - 1) n(:n — X) " \x)

1

n

l

Nach dem dort geschilderten Verfahren ist zu zeigen, daß

jt« - log (» + 1) - -^^y. + i^)/„(^)

vermehrt um die beiden letzten Summen in (24) positiv ist für x — n-\-l.
Es ist*):

log (n + 1) = log (n + {) + log 2^; Ji < log (n + {) + ^J;^^ •

1) Journ. f Math. 122, 317 tf.; 1900.

2) Gauß, Werke 187G, Bd. 3, pag. 164, Formel GG.

46. Sitzung, 27. Juni 1906. 91

Femer ist: i|;(n) > log {n + \)y

also: j

i/;(n)-log(n+ 1)>-2M=^*

Aus den im Anfange meiner erwähnten Arbeiten befindlichen Formeln
zwischen den Besselschen Funktionen und ihren Ableitungen ergibt sich
leicht, daß für Jn{x) = die Gleichung besteht:

J„' + 3 = -i-/j4n(«+l)(n + 2)(n + 3)-(5n*+15n + 12)x* + a?*}.

Da für die erste Nullstelle von Jn sowohl J^ wie Jn + i positiv sind, so
muß die Klammer negativ sein; ist n ^ 2, so ist sie für a; =» n + 1 noch
positiv; es liegt also fiir n ^ 2 die erste Nullstelle von J^ nach a; = « + 1.
Die letzte Summe in (24) ist also für r == n + 1 und n ^ 2 positiv,
ebenso die vorletzte. Läßt man daher die letzte Summe außer Betracht
und nimmt von der vorletzten nur die 2 ersten Glieder, so findet man,
daß der zu untersuchende Ausdruck größer ist als

1 n — 1 n 4n(n — 1) n(6n" — In — 4)

2n + l (n + 1)* ' (n + 1)* ' 3(n + l)« 3(2n + l)^n + l)»'

und dieser Bruch ist für n ^ 2 positiv. Daher liegt die erste NüUstdle
von Yjx) für gcmzzahlige n ^ 2 nacfi x = n + 1 ; für n = oder 1 «acÄ

a; = n -j- j.

Es ist

JL T / 2 ^ T / 2 f cos d/ 1

Y'^(x) = 1/ — • cos a: und T^{x) = 1/ — { f- sin a; } •

Hieraus erkennt man, daß die erste Nullstelle von F« bei a; == — und

die von Y^ für o? > |^7r sich befindet; aus beiden Werten sieht man, daß
auch für diese beiden Indices die erste Nullstelle nach w + j, sogar nach
w + 1 liegt.

§ ö.
Die Besselsche Differentialgleichung (l) läßt sich in der Form schreiben:

Differenziert man sie nach dem Index n^ so folgt:

~d~t\:d'ndt\'^ t dn ^ t ^*
Aus beiden Gleichungen ergibt sich weiter leicht:

d*Z,n dZ^ d ,^^rs 2n

oder

also ist:

'n dt r ä^^iJ ~ "a~n' dt ^^^""^ T ^«

(.5) ^-/■S^/-[.^.,^^|-''at-4.

d»

92 Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft.

Die Grenzen a und 5 in dieser Gleichung können beliebig gewählt
werden, mit der Beschränkung jedoch, daß beim Auftreten der Grenze
Null nur Besselsche Funktionen erster Art unter Z^ verstanden werden
dürfen.

Wählt man x so, daß J„(x) = ist, so erhält man aus (25):

Variiert man nun in Jjx) sowohl x als n, aber so, daß J„{x) konstant
seinen Wert beibehält, so ist:

(27) -^ . dn + ^/^ dx^O

^ ^ dn ' dx

dn dn ' dx

Ist Null der konstante Wert von Jj^x\ so erhält man aus (26) und (27):

X

Aus dieser von Schläfli^) herrührenden Gleichung folgt, daß, vom
Index Null beginnend, die einzelne Nullstelle der Besselschen Funktionen
erster Art als Funktion des Index betrachtet stets wächst, da die rechte
Seite der Gleichung durchaus positiv ist. In solcher einfachen Weise läßt
sich der entsprechende Satz für die Besselschen Funktionen zweiter Art
nicht ableiten, weil eben die Grenze Null hierfür nicht gewählt werden darf.

Aus dem in § 1 gegebenen asymptotischen Werte von Y^ folgt für
ein ins Unendliche wachsendes Argument

Y'n{x) = - y^ cos (x - -"J"- n) ,
Bei Benutzung dieser Werte erhält man aus (25):

OB

wenn x Nullstelle von Yj^x^ ist, und hieraus:

QC

dY.

d

^^^-{l-2nfYr^):.YU

und nach derselben Überlegung wie oben für. «7^ ergibt sich hieraus:

1) S. z. B, Graf u. G übler, Theorie der Hess el sehen Funktionen, Heft I,
pag. 112. Bern 1898.

45. Sitzung, 27. Juni 1906. 93

Wenn x eine NuUsielle von Yjx) bedeutet^ so ist:

X

Nun ist § 3 Formel (23) bewiesen worden, daß das rechts stehende
-*^^^tegral kleiner ist als — , sobald x ^ n ist. Wenn also die erste Null-
Stelle von Yj^x^ größer als n ist, so wächst wegen (29) diese und erst
^echt jede folgende Nullstelle mit wachsendem n. Für ein ganzzahliges
** ^ 2 ist in § 4 gezeigt worden, daß die erste Nullstelle größer ist als
**"+-!. Geht man von einem beliebigen ganzzahligen Werte von «, z. B. 2
^^s, so ist hierfür die erste Nullstelle größer als 3, folglich beginnt die
Kurve, welche diese Nullstelle darstellt, vom Index 2 an zu wachsen und
^^eil>t in dem ganzen Intervall von 2 bis 3 beim Wachsen, weil die Null-
®*^^lle sicher stets größer als der Index bleibt; erreicht dieser den Wert 3,
*^ hat nach § 4 die Kurve sicher den Wert 4 überschritten, und aus dem-
^^^-t^^n Grunde wie oben bleibt zwischen 3 und 4 die Kurve beim Wachsen,
*'^- s. f. Auch für kleinere Indices als 2 ist durch die Kenntnis der Lage

Nullstellen von Y« und Y^ am Schlüsse von § 4 ebenfalls das
^-cshsen der ersten Nullstelle nachgewiesen.
Somit ergibt sich schließlich:

Jede einzelne positive Kidlstclle von JJ^x) und Yjx) wächst mit
^'^^ ^:^sendem Index.
Und:

Die erste NuUsteUe von Yj^x) liegt nach a; = n und vor der ersten
^^-^IstelJe von Jjx).

Aus der Gleichung:

^^'^) YJ ,—JY = —

*"^ nx

^Igt, daß weder Y^ und J^_i noch J^ und Y^_i gleichzeitig verschwinden
^^nnen; denn im ersten Falle wäre

Yn il<l/^ und \JJ<V-

2^

x
^«ch § 2 n, folglich wäre

Xmd nicht gleich — , wie (30) verlangt, und analog im anderen Falle.

Früher habe ich bewiesen^), daß die erste Nullstelle von Yj vor jtt, die
erste von Jq nach ^n liegt; somit erhält man den Satz:

Die erste NullsteUe von Y^ liegt aucli vor der ersten von J^-i' ^^^^
n'^ 1 ist.

Für w = 1 fallen beide zusammen, weil Yi=J_x ^^t.

2 2

Berlin, den 27. Juni 1906.

1) Joum. f. Math. 122, 313/314; 1900.

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Mitgliederverzeichnis.

Schur, Privatdozent Dr. J., Berlin NW. 52, ThomasiuBstr. 2.
Seiffert, Oberlehrer A., Charlottenburg, Spreestr. 9.
Seiiwanow, Prof. Dr. D., St. Petersburg, Fontanka, 116, log. 10.
Singer, Dr. 0., Berlin NW. 52, Helgolander Ufer 6.
Skutsch, Prof. R., Dortmund, Münsterstr. 38.
Steinitz, Prof. Dr. E., Berlin W. 60, Nachodstr. 88.
Thiel, Oberlehrer G., Berlin S. 69, Urbanstr. 25.
Tropf ke, Oberlehrer Dr. J., Berlin NW. 6, Marienstr. 14.
Valentin, Oberbibliothekar Dr. G., Berlin W. 62, Burggraf enstr. 6.
Vogler, GRR. Prof. Dr. Ch. A., Berlin W. 10, Kaiserin Augustastr. 80.
Wallenberg, Prof. Dr. G., Charlottenburg, Grolmanstr. 21.
Weingarten, GRR. Prof. Dr. J., Freiburg i. Breisgau, Schillerstr. 22.
Weiß, Oberlehrer Dr. F., Gr.-Lichterfelde Ost, Parallelstr. 10.
Weltzien, Prof. Dr. C, Zehlendorf, Prinz Handjerystr. 3.
Zacharias, Oberlehrer Dr. M., Berlin NW. 62, Melanchthonstr. 5.
Zühlke, Oberlehrer Dr. P., Westend, Spandauerberg 4.

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