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Full text of "Archiv der Mathematik und Physik"

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{ 


A  r  c  ll  I  T 


der 


■athentatilc  und  PliyiMi 

mit  besonderer  Rücksicht    , 

auf  die  Bedürfnisse  der  üehrer  an 
hOhern  Unterrichtsanstalten. 


Herausgegeben 


von 


Johann  August  Grunert, 

Professor  zu  Greifswald. 


Achtzehnter  Theil. 


Mit  zehn  lithographirten  Tafelo. 


Oreifisurald. 

C.  A.  Koch's  Verlagshandiung 
Th.  Kanike. 


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«    •   •• 


Inhaltsverzeichniss  des  achtzehnten  Theils. 


Arithmetik. 

^r.   der  Heft.  Seite. 

ibhandloDg. 

IV.  Die  Differentiation  unter  dem  Integralzeichen. 
Von  Herrn  Oakar  Werner,  Lehrer  der  Ma- 
thematik zu  Dresden I.  39 

V.  Die  Umformung  der  irrationalen  gebrochenen 
Functionen  in  andere,  welche  einen  rationalen 
Nenner  haben.  Von  Herrn  B.  Sommer,  zu 
Coblenz        I.  44 

Xi.  Untersuchung  der  biquadratischen  Formen« 
Von  Herrn  Doctor  F.  Arndt,  Lehrer  an  der 
höheren  Bürgerschule  zu  Stralsund      ...     I.     *       111 

XIV.  Ueber  die  Ausgleichung  der  Beobachtungsfehler. 
Von  dem  Herrn  Professor  Dr.  J.  Dienger  an 
der  polytechnischen  Schule  zu   Carisruhe    •     II.  149 

XV.  Die  Auflösung  algebraischer  Gleichungen.  Von 
Herrn  August  Weiler,  Gymnasinllehramts- 
Candidaten  (Darmstadt.) II.  194 


IV 

Sr.  4er 
AMuHiJlug.  Heft  Seite. 


Trigonometrie. 

X\XV«    Einfiiclier  Beweis  der  Formela  für  nB(xJ-9} 


umi.  cot(ar±|r).  Voo  Herro  J.  J,  Astrand, 
Priimtlehrer  der Xathematik  xoGothenbarg 
io  Schwede« IV.  479 


jr.  «.  Mdb  Arithmetik  ^y.  XXX.  Heft  If.  8.  420. 


Geodäsie. 

\11,  Beetimmoog  der  ^eog;raphischeD  Breite  und 
liMge  aas  geodätisdien  MeMongen.  Von  dem 
Herrn  Profettor  Dr.  J.  Dienger  an  der  poly- 
tecbnuchen  Schule  an   Carlsrahe  •    •     .     •    I,  80 

XXXI.  £infiicher  Beweis  für  die  von  Alascheroni  ge- 
gebene Auflösung  der  Aufgabe :  die  Länge  einer 
an  ihren  beiden  Endpunkten  unzugänglichen 
geraden  Linie  zu  messen»  Von  Herrn  Dr.  J. 
R«  Boyman   zu   Coblenz IV.         452 

XXXV.    Zum  Winkelkrcuz.     Von  dem  Herausgeber    IV.        477 

M.  f.  auch  Arithmetik.  Nr.  XIV.  Heft  IL  Seite  149. 
Geometrie.  Nr.  XIL  Heft  1.  Seite  119. 


Mechanik. 

h    Aufgaben  aus  dem  Attractionscalcul«    Von  dem 

Herausgeber I.  l 

Vlil.  Ueber  die  Gleichungen  der  Bewegung,  Anwen- 
dungen derselben.  (Nach  Jules  Vieille  in  Liou- 
Tille's  Journal ,  Jnillet  1849.)  Von  dem  Hrn. 
Professor  Dr.  J.  Di  enger  an  der  polytechni- 
schen Schule  zu  Carlsruhe 1.  91 

XXii.     Wann  liegt  der  Schwerpunkt  eines  ebenen  Vier- 
ecks ausserhalb  desselben?  Eine  Gelegenheits- 


Nr.  der 
Abhandlung.  Heft.  Seite 

frage,  beantwortet  von  Herrn  Dr«  Wilhelm 
Matzka,  Professor  der  Mathematik  an  der 
UniTersität  zu  Prag HI.         352 


O  p  t  i  k* 

111.  Direkter  Beweis  der  Undulationstheorie  des 
Lichts  ans  der  Aberration  der  Fixsterne.  Von 
Herrn  Professor  Dr.  Riecke  an  der  königl. 
württembergischen  land-  und  forstwirthschaft- 
liehen  Akademie  sa  Hohenheim     ...•!•  33 

VI.  Ueber  den  Winkelspiegel.  Von  Herrn  Doetor 
Julius  Harimann,  Gymnasiallehrer  zu 
Rinteln I.  55 


Astronomie. 

XIII.  Ueber  die  Berechnung  der  Cometenbahnen. 
(Erste  Fortsetzung  der  Abhandlung:  Neue  Me- 
thode zur  Berechnung  der  Cometenbahnen.  Ar- 
chiv. Tbl.  XVU.  Nr.  IV.).  Von  dem  Heraus- 
geber          n.  121 

XXX.  Ueber  eine  gewisse  Klasse  in  der  Trigonometrie 
und  Astronomie  häufig  in  Anwendung  komm  en- 
derunendlicher Reihen.  VondemH  er  ansgeber    IV.         420 

Jtf.  «.  auch  Arithmetik,  Nr.  XIV,  Heft  17.  Seite  149, 
Optik,  Nr,  III,  Heft  I,  Seite  33. 


Meteorologie. 

XXIV,  Die  15  letzten  Winter  in  Berlin,  dargestellt 
und  besprochen  von  Herrn  Professor  Dr.  J.  Ph. 
Wolfers    in    Berlin IV.  361 


VI 

Nr.  der 
AblmndHiiig.  Heft.  Sc 


C  h  e  in  i  e. 

IX.  Auflösungen  der  Aufgabe,  bei  einem  Gas- 
gemenge Ton  Tiererlei  brennbaren  Gasen  die 
unbekannten  Glieder  p,  CXy  Cy*  und  Cy  zu 
bestimmen.  Von  Herrn  Professor  Zenneck 
zu   Stuttgart I. 


Uebungsaufgabefn  fflr  Schüler. 

X\XIV;    Von  dem  Lehrer  der  Mathematik  Herrn  Wer- 
ner zu  Dresden IV. 

XXXV.    Zu    beweisender  Lehrsatz.     Von    Herrn  J.  J. 

o 
Astrand,     Privatlehrer   der   Mathematik    zu 

Gothenburg  in  Schweden IV« 


Literarische  Berichte*). 


LXIX .   .  ^ I. 

LXX IL 

;    LXXI 111. 

LXXn.    . IV. 


k 


*)    Ich  bemerke  hiebei.   dass  die  Literarischen  Berichte  mit  bes 
deren  fortlaufenden  Seitenzahlen  versehen  sind. 


I 


r  1 

Infgraben  ans  dem  Attractionscalcul. 

Von 

dem   Herausgeber. 


Unter  den  vielen  ioteressanten  Aufeaben,  welche  der  At- 
nctionscalcnl *)  darbietet,  haben  vorzugiieh  zwei,  wegen  ihrer 
.iMsen  Wichtigkeit  ffir  die  physische  Astronomie  und  die  Theo- 
le  der  terrestrischen  Schwere,  die  Mathematiker  vielfach  beschäf- 
iRty  nSmlich  die  Aufgaben  über  die  Bestimmung  der  Anziehung 
slier  Kagel  und  der  eines  dreiaxigen  elliptischen  Sphäroids.  Es 
wMiki  mir  aber  wdnschenswerth ,  dass  theils  diese  Aufgaben 
PffTBehil,  theils  früher  schon  aufgelöste  nach  neuen  Methoden 
pekuideit  werden.  Ich  will  daher  in  einer  Reihe  von  Abhand- 
1,  weiche  durch  die  vorliegende  eröffnet  wird,  die  Resultate 
ler  mehrjährigen  gelegentlichen  Beschäftigungen  mit  diesem 
^eustande  vorlegen,  in  der  Hoffnung,  dass  dadurch  auch  andere 
Ihematiker  mehr  als  bisher  zu  dergleichen  Untersuchungen  und 
'leilungen  veranlasst  und  angeregt  werden.  In  der  vorliegen- 
Abhandlung  mache  ich  den  Anfang  mit  einigen  leichteren 
ifgaben^  die  aber  späteren  Untersuchungen  theil weise  zur  Grund • 
dienen,  und  an  die  sich  daher  einige  künf^g  noch  zu  ver- 
intlichende  Abhandlungen  zweckmässig  anschliesi^en  lassen 
rden.  Unter  den  hier  behandelten  Aufgaben  findet  sich  übri- 
IS  auch  schon  das  für  die  physische  Astronomie  so  wichtige 
iblem    von  der  Anziehung  emer  Kugel,    welches  ich  hier  auf 


*)    Ich  bediene   mich    dieser  zweckmässigen,     Toa  Herrn  Professor 
^>  Schi öm  i Ich    in   seiner  neuerlich  erschienenen  Schrift:     Der    At- 
ictionscalcul.     £ine    Monographie    v  on  Dr.  O.  Schlö  milch 
i.  w.     Halle,    1851.**     eingeführten  Benennung-. 

kil  XVIII.  1 


«ine  von  der  bisherigen  ganz  verschiedene  Weise  aufgelost  habe, 
«ine  Auflösung,  die  sich  wegen  ihrer  Anschaulichkeit  vielleidit 
vorzugsweise  ftir  Anfänger  empfehlen  möchte ,  wenn' ich  auch  gern 
zugebe,  dass  die  bekannten  allgemeinen  Formeln ^  welche  u.  A, 
auch  Herr  Professor  Schlömilch  a.  a.  O.  mittheilt,  kurzer  zum 
Zweck  führen. 


I. 

Wirkung  der  Anziehung  eines  Punktes  von  der, Masse 
fi  auf  einen  Punkt  von  der  Masse  Eins. 

In  Bezug  auf  ein  beliebiges  rechtwinkliges  Coordinatensystem 
seien  ;c.  y,  3^  die  Coordinaten  des  angezogenen  Punktes  von  der 
Masse  Eins;  die  Coordinaten  des  anziehenden  Punktes  von  der 
Masse  fi.  seien  a:,  y,  z;  die  Entfernung  der  beiden  Punkte  von 
einander  sei  r;  so  ist  die  Wirkung  des  Punktes  (J^yz)  von  der 
Masse  ft  auf  den  Punkt  (jcy^)  von  der  Masse  Eins,  wenn  wir  wie 
gewöhnlich  die  Anziehung  gerade  der  Masse  und  umgekehrt  dem 
Quadrate  der  Entfernung  von  dem  anziehenden  Punkte  propor- 
tional setzen: 

und  diese  Kraft  muss  man  sich  $ils  von  dem  Punkte  (fy^)  nach 
dem  Punkte  (xyz)  hin  wirkend  vorstellen,  weil  der  Punkt  .(aj^) 
auf  den  Punkt  (jcy3')  anziehend,  nicht  abstossend,  wirken  soU. 
Legen  wir  nun  durch  den  Punkt  (j:y3)  drei  den  primitiven  GottT- 
dinatenaxen  parallele  secundäre  Coordinatenaxen ,  zerlegen  die 
Kraft 

nach  diesen  secuüdären  Coordinatenaxen,  und  bezeichnen  die  ent- 
sprechenden Composanten  durch  X,  F,  Z,  die  von  der  als  von 
dem  Punkte  (jcy^)  aus  nach  dem  Punkte  (:Kyz)  hin  (i^ehend  gedach- 
ten geraden  Linie  r  mit  den  positiven  Theilen  der  drei  secundä- 
ren  Coordinatenaxen  eingeschlossenen,  180^  nicht  übersteigendeB, 
Winkel  aber  durch  9,  1/;,  xi  so  ist 

-A  =  ^cos9,     F=^costf;,     Z=:^cosx. 

Bezeichnen  wir  nun  aber  die  Coordinaten  des  Punktes,  (xgx)  ia 
diem  durch  den  Punkt  (jcy^)  gelegten   secundircn  Systeme  dovch 


.''i 


3 

« 

*  ^%  y'9  2';  ^  iBt  nach  de^  Lehre  Ton  det  Vcftwafidiiihg  der  Codr- 
dinaten  bekanntlich: 

m 

NoD  ist  aber  aligömeifi 

a;'=rcos9,    y=rcosif;,    2'=:rcosx; 
also 

ic  —  jf=''cosg?,    ,y — y=rcosi(;,    z  —  J  =  rcos;(; 
oder 

cos9)== >     cosi/;=^ —  ?     cosx  = • 

¥olg^ich  ist  nach  dem  Obigen: 

Bekanntiich  ist  aber  nach  den  Lehren  der  analytischen  Geometrie 


ab« 


^_      '       K^^— y) 


l  (^-ö«  +  (y-r)* + (x-j)«|ä ' 


r= 


.  ft(y-y). 


^  -  { (*-«« + (y-y)«  +  («-«^ 


II. 

Wirkung  der  Anziehung  einer  geraden  Linie  auf 
einen  Punkt  von. der  Masse  Eins. 

Die  GrSsse   und  Lage,  der   geraden  Linie,  deren  Anziehung 
aif  einen  Pankt  von  der  Masse  Eins  wir  jetzt  betrachten  wollen. 


«ei  durch  Uire  beiden  EodpoDlste  (abe)  und  (uibiCg)  bestimmt»  so 
dass  also 


X — -a      tr-^Ä      x  — c 


Ol — a    >6j— 6      Ci — c 


die  GleichuDeen  dieser  geraden  Linie  sind;  ihre  Länge  wollen 
frir  dnrch  li  oezeichnen. 

Theilen  wir    nun  die  gerade  Linie  in  n  gleiche  Theife,    and 
setzen  der  Kfirze  wegen   . 

n 
so  wie 

Ol— a      .     -Äi— 6      .      C|— c      . 

__=,.,  -^=tt.  -T-=»«' 

SO  sind  die  Goordinaten  der  beiden  Endpunkte  der  geraden  Linie 
und  aller  auf  derselben  liegenden  Theilpnnkte  von  dem  Punkte 
{abc)  an  nash  der  Reihe: 


a. 

^; 

a  +  i«^ 

*+»». 

c  +  ic; 

a  +  2ia. 

6+2«, 

eh^tc; 

a-f  3i0, 

6  +  3i», 

c  +  3ie; 

u.  s.  w. 

n.  s.  w. 

u.  s.  w. 

O  +  «»a= 

'ai> 

6-|-ntft=:6i, 

c  +  nic  = 

Bezeichnen  wir  die  Goordinaten  des  angezogenen  Punktes  wie 
früher  durch  ;r»  y»  );  die  den  Coordinatenaxen  parallelen  Gompo- 
santen  der  Anziehung  durch  Jf>  F,  Z;  die  Dichtigkeit  der  anzie- 
henden geraden  Linie  durch  S,  ihre  Masse  also  durch  dL,  sowie 
die  Masse  eines  jeden  der  n  gleichen  Theile,  in  welche  dieselbe 
getheilt  worden,  durch  il^  und  setzen  der  Kürze  wegen: 

X — je 

y — y 


••  «nd  nach  I.  die  Composanten  X,  Y,  Z  ofenbar  die  Grfimeirr 
depen  die  GrSssen 

8kq>^(.a)  +  ilv^a^U)  +  ihp^a-^'üm)  + ....  -{-ilv^ia  +  {n—\)i^ , 
ihp^ib)  +  Shp^Kb^iÜ  +  «iy^Cft+Si)  +  ..  +  ii<p,(«  +  (n-l)4) , 

•der.  weil 

n       Ol — a        Ol— V        Cj— c 
Mit«  die  GräDzen,  denen  die  Grossen 

iL 

;rz:^  »•  1 9y(«)  +  9>j(ö+*a)  +  9>j(fl+2ia)  + ....  +9y(fl+«ii)  I 

SL 

r— j4{9p(*)  +  ^^(ft  +  «*)  +  9|^(Ä  +  %)  + +  9>9(Ä+»u)  I 

8L 

mäk  nähern,    wenn  n  in^s  Unendliche  wächst.    Weil  aber  unter 
dieser  Yoraussetzung  die  Grössen 

^iraW^«i)>  6^**9>9(*i)^    ^^»>a<^i) 

•Smmtlich  der  Null  nähern»  so  ist  nach  dem  bekannten  Haupt*   , 
▼on  den  bestimmten  Integralen: 


a 


oder,   wenn  wir  die  Masse  unserer  geraden  Linie,  nämlich  6Lf 
durch  I*  bezeichnen: 


.1 
I 


« 


a 

C 

1  Wir  wollen  nun  das  Integral 


/' 


zu  entwickeln  suchen. 
Weil 


ist>  und 


üi — a^         ^' 

v=6+-^ —  (07  — a), 

c«  — c 

V  *'.  Ol— a^  ^ 

gesetzt  werden  k$inn;  so  ist,  wenn  wir  der  Kürze  wegen 

und 

a-;f=JFi»    *-^y=yi,    c-J=?,; 

*   setzen: 

,  "^^^"^^ ""  1 0^1 +^i)H  (Fl +i3^i)HTH+m)*^r^  • 

A.ber  dd:=:dori9  also 

und  folglich  5  weil  für  ar=a,  a:=ai  respective  ^1=0,  cTi^rij — «  'u 


oder  5  wenn  wir  der  Kürze  wegen 


+/5^i)*-K^i  +  y^i)^r^ 


a«i  ' 


7 


setzen 


■__Ji_  /*'' 


Es  ist  aber,  wie  man  leicht  findet: 

A  -  «/* = a+is^+y')  (XiHyiH»i'»)  -  (X,  + /Jy,  +  yJi)« 

also  /A — ^^,  eben  so  wie  /  und  A,  eine  positive  Grösse.    Daher 
ist  es  verstattet 

ZQ  setzen,  woraus 

also,  weil  A  und /% — g^  positive  Grössen  sind: 
folgt.     Nach  gehöriger  Substitution,  erhält  man: 


■od 


10 


oder 


oder 


[rf]=(ff&,-6ai)-(ci-ai)y+(6-^i)r, 
[f3] = (Aci  -cbi)  -  (6-61)  J + («  -C| )  y , 

[yj]  =  -  (61— y)c-.(y-  ^)ci— (6-6i)j , 
[Wf] = — (ci  -5)0  -  ( J-c)c,  -(c-  c,  )x 


setzen ; 


'     (F+G)(«i-fl)-(G+fl)j:, =-(*i-y)[)T]+(f,-5)[JX]; 
also  nach  dem  Obigen 

(       ■  (^  -y)ryy1-(Ci^?)W  _ 

Mn[rf]Hbf]^ )  {b-y)[jcy]-(c  -j)[vl 


\^(  a  -  rt«  +  (6  -  r)a  +  (c- J)" 
Es  ist  aber  auch: 

(*i-y)^y]-(ci-J)M=   (a-«i)!  («,-x)H(6,-y)H(ci-y)*! 

-  («1— rt  l  (a-ai)(«i  -^)+(6-6i)(6i  -y)+(c-Ci)(ci-j; 

+  («-JC)  t(«i-a)(«->:)+(*i-6X6-r)+(ci-c)(c-j) 
und  folglich,  wenn  wir  der  Kurze  wegen 

/»  =  (a -rt*  +  (6-y)»  +  (c-j)* , 

A=(«i-x)H(6i-r)H(Ci-J)*; 

ferner 

<?=(«,-«)  (a-^)  +  (6,-6)(6-F)  +  (ci-c)(c-J), 
<^=(«-«i)(fl,->:)  +  (6-6i)(6i-)')+(c-c,)(c,-j) 
setzer^,  zugleich  mit  V^crwechselung  der  Zeichen: 


/- 


9 


(Xi-t-ar,)Sx, _  V>-ff'-t-(g-*y,)ii 


Fährt  man  nun  fSr  k   «einen  ans  dem  Obigen  bekannten  Werth 
elo,  so  erhält  man: 

y'*    (yi+a;,)3xi       _.  /— g)Ci -Kg— Ay,)Ji 

aod  es  ist  folglich  nach  dem  Obigen: 

^    I»        \f-m      f-m  -Kgi-a)(g— *yi),f 

Es  ist  oun 

.      (q,-fl)«+(6.-6)«-Kct  -c)«. 
abo,  wenn  wir 

C= (fl,-a)):i +(6|-6)y,  +  (c,  -c)Jj . 
Ä=(a,-a)«+(6,^)« + (c^-c)* 

m 

«eden: 

^        r»  Cr  -  Ä 

Führen  wir  F,  Gf  H  statt  /*,  ^,  A  ip  den  obigen  Ausdmck 
TOB  X  ein ,  so  erhalten  wir  nach  einigen  leichten  Verwandlungen : 

FH-G*f         VF         ^  V  (iii-Jc)4(Ä|-y)H(ci-««^ ' 

Es  ist  aber»  wenn  wir  der  Kürze  wegen 

[ff]  =(a-ai)  (6-y)  -  (6-6,)  (a-jc) , 
[FJ] = (*-*,)  (c-j)  -  (e-ci)  (b-r) , 

M = (c-«i)  (o-rt  -  («-«i)  (c- J) ; 


• 


1^ 

Bezeichnen  wir  die  an  den  Spitzen  (abe)  und  (<r|6|C|)  liegen- 
den Winkel  des  zutschen  den  Punkten  (abc),  (oibiCi),  (icyi)  lie* 
senden  Dreiecks  ^  re^pective  durch  m  und  o»x ,  so  ist  nach  den 
Lehren  der  ebenen  Trigonometrie: 

2LÄcosa)=    (a— ai)«  +  (6-Äi)«+(c— Ci)« 

+(a-^jf)*+(ft-y)*+ (<:-«• 

-  («i-Ö*-(*i-F)*-(ci-J)«, 

2LßiCosa>i=    (a-ax)«+(6-6i)«  +  (c-c^)« 

+  («i-Ö«  +  (*i-y)* + (ei-«« 
-(a-0«-(6-y)«-.(c«j)«; 

also,  wie  man  leicht  findet:  • 

LRcoam  =— (ai— a)  (a-r)  -  (61—6)  (fr-Jf)  —  (c^— r)  (c— 5), 

JtÄaCosa)i=:— fa— ai)(fli— !f)— (&— *i)(*i  -F)— (<>-Ci)  (ci— |)  ; 
d.  i.  nach  dem  Obig^en 

XrjKcoso)  =  — Q>    LI?iCos(Ox= — Qi; 
folglich 

Z= j£ä  I  («1— ö)  (Ä— *i)  +  (a— ÖAcosa)+(ai— Öjtcos»i}, 
F=  3^  { (6i-6)(Ä-Ä,)+(6-r)LcosQ>+(6i-y)ico8a>i } , 

Z=  j^a  I  (^1— c)  (Ä— i?i)+(c— 5)Lcosa)+(ci— j)Xco8i»i } . 

Weil 

.  12 :  I2|  =  sin  Q)| :  sin  00 » 

/Z  :L  =sinQ)|:sin(Q)-f  <0i)> 
RiiL  =  smcn:  sin(a>  -|-  %) 

ist,  so  kann  man  mit  den  obigen  Ausdröcken  noch  verschiedene 
einfache  Transformationen  vornehmen,  bei  denen  wir  aber  jetzt 
nicht  verweilen  wollen.    Man  kann  auch 

L=  AcosG)  -|-  /2|Cosfü)| 

setzen. 

Bezeichnen  wir  die  Resuitirende  der  drei  Kräfte  X,  F,  Z 
durch  2(9  und  die   auf  gewöhnliche  Weise  genommenen  Winkel» 


13 

welche  deren  Richtung  mit  den  drei  Cuprdinatenaxen  einschliesst, 
dsrch  ^>  ^>  x;  so  ist 

2Cco8g>  =  X^    2(cosif;=r  F,    2Ccos%=  Z; 
ilso 

Wird  femer  der  an  der  Spitze  Off^)  des  Dreiecks  A  liegende 
Winkel   dieses  Dreiecks  durbh  B  bezeichnet,  so  ist 

'iÄÄjCose=    (o->:)*+(6-r)«+(c-j)« 

+  («i->:)H(6i-F)«  +  (ci-«» 
_(a-a,)«_(6-6j)«-(c-ci)a, 

also,  wie  man  leicht  findet: 

ÄJ^  co8Ö=(fl-jc)  (Ol— rt  +  (6— y)  (*i— y)  +(c-J)(ci^) . ' 
IlaAer  ist  nach  dem  Obigen: 

—  2Ä(Ä--Äi)co«a)« 
-f2£iZi  cos  neos  «icosd 

—  2iZAx(l — coso»*— coswi*— coswcoswicosö) 
We'd  aber 

cosö  =  —  cos(a)  +  Ol) 
\st,  so  ist,   wie  man  leicht  findet: 

1  — ^os  Q)*— cos  cox^ — cos  ocos  o)|  cosO = sin  cosin  co|  cosd , 
mA  folglich  nach  dem  Vorhergehenden: 

3S«=  %^rÄ  (Ä«siDa)*+/?i«sinö)i2-2ÄiB,sincasincöiC086) . 

Bezeichnen  wir    nun   die   in  Bezug  auf  h  als  Grundlinie  ge- 
iMnmene  Höhe  des  Dreiecks  ^  durch  H^  so  ist 

ff  = /biini»  = /i^isincji ; 


u 


also  ist 


Ä^=^Vr4-  (1-cosÖ), 


oder,  weil 


ist:      * 


T-~5S 


2sin2  ö2=:l-cosö 


und  folglich 


2A^ 


Aber  LH— 2^,  also 


Ä=^sin2  d> 


Nehmen  wir  jetzt  der  Kürze  wegen  die  Ebene  des  Dreiecks    ' 
^  als  Ebene  der  xy,  den  Punkt  {abc)  als  Anfang  der  (jJdyz),  und  - 
die  Linie  L  als  den  positiven  Theil  der  Axe  der  :r  an ;  so  ist  im   . 
Obigen  • ; 

a==0,    6.=.0,    c=0; 

ai=X,  6i=0,  Ci=0;  ] 

zu  setzen,  und  es  ist  folglich 

Jf  =     -£^2  ( Ä— /?!— Xcosö  +  (L— j:)cöS(o,  I , 

F= — ^TaFCcoscö  +  coscöi), 

Z=0.  i'^^ 

Es  ist  aber  allgemein 

;c=Rcosa), 
L-— jc=X — jRoos(ö=:iF?iCosc«}i , 
folglich 


13 

F=  —  j^  y  (cosw  +  coswi) , 

Nimmt  man  nun  die  positiven  y  von  der  Seite  L  des  Drei- 
eeks  ^  an  nach  der  dieser  Seite  gegenüberstehenden  Spitze  des- 
selben hin,  so  ist 


also 


t 


X- 


^ä  (»»"«  — s""«i)> 


F=  — TAä  (COSW  +  COSG}i)  , 

Z=0;, 
iolgUchy  weil  LÜ=i2/^  ist: 

^=     ^(sino)  — sinwi)  = -;|-  in  j,- (o— Wi  )cosy  (w  +  ©i) 

-*  |6t  U  t  1 

F=:  — 7r^(c0Sa)  +  C0SWi)=  — -^C08cj(a)  —  Wi)cOS7,(cö  +  (öi), 

Z=zO. 

Weil 

/2 :  ßj  =  sinwi :  sinw 
und 

'.    ist,  so  ist  auch: 

ft     X — (Ä — Rj)co8fo 
*^=  ~  2Ä R,        ""  ' 

Z=0; 


16 

oder 

„  ft     R-Ri  . 

., (i    L-j^R—Ri  )co8  Ml 

*^-~2Ä R  ' 

/ 

z=o. 

Weil  nach  dem  Obigen 

Xi^        r  z 

ist^  80  ist 

1  1 

costp  = "i » 

sinö^ 

C08^(a)— coi)co8rt  (©  +  G>i  ) 


008%^  0, 


Die  Gleichung  der  Richtung  der  Resultirendeu  in  der  £b 
der  xy  ist: 


also 


COSt^  /  X 

"^      '      cosy  ^        '^^ 


1 

y — y = — Cr— rt  cot  2  (®  ""  ®i ) 


oder 


y —  ßsinco  =  —  (a:  —  Rco8g>) cot  „ (od  —  ©i)  . 


Bezeichnen  wir   die   erste  Coordinate  des  DurchscTinitt^pu 
tes  der  Richtung  der  Resultirenden  mit  der  Axe  der  a:,  d.  i. 
der  Linie  L,  durch  p,  so  ist 

—  RsincD^^—  (p  —  /?cosco)cotij(G)  —  wj ), 


,  17 

»raus  leichi 

cos  ä  (  0>  +  Ol  ) 

/^=* — i — 

C0S5(CÖT—  «i) 

/ 

gt.     Also  ist  I 

r      ' 

cos^Cw +-CöiX 
£<— p=ftcOSCO  -h^lCOSOi  — /2 1 — : — "    ^    > 

^  ■      coscosin(«i       sinc^xCos^Cco  +  a,,) 

=  /ti  <  cos  ©1   4 — ; "T 

f  smocos  5  (o  —  a)|) 

COS  5(0 — föi) 


•     1/      IX               «inQ>i 
,    nn^C^  +  Wi) i 

SÜlir~f  COSgC«-«!) 


1   '  (  1 

cos^Cw  +  Oi)    |2sin,^(Q}  +  ß)i) _?!.5f?L 


=    Ä1 


1  '  "  1  l 

COS  5  (üo  +  coi )  2sin5(o)  +  c}|)cqsö  (w  — g>i)— slnwi 
sinco  1 ,  . 

..  COSn(ß) — Wi) 


so.  weil 


sino)  +  sincji=2sins-(ß>  +  Gh  )coS5-  (co  —  coi ) 


t: 


1  ^    .      \ 
cosir(D)  +  ai) 

L-p  =  ii^  — j — . 

.Weil  (ö+wi,  und  noch  mehr  der  absolute  Werth  von   (o — ©i, 

1  1 

mec  Jsleioer  als  180^  ist,  so  sind  cosö(o>+Wi)  wnd  cos^(ö>--a)i) 

\t\\  ^¥111.  2 


18 

'{^tets   positive  GrösseD.    Also    sind    auch  21  und  L'^p  positive 
Grössen,  und  weil  nun  nach  dem  Vorhergenenden 

p\L — p=iRiRi 

Ist,  so  erhellet  aus  einem  bekannten  geometrischen  Satze »  das« 
die  Richtung  der  Resultirenden  den  der  Seite  L  des  Dreiecks  ^ 
gegenüberstehenden  Winkel  Q  halbirt. 

'Weil  fi=:öL  ist,   so  kann  man  die  Resultirende  2C  auch  aaf 


folgende  Art  ausdrücken: 


Nun  ist  aber 


1  11 

A=z  ^  RRi8inO=:RR^  sin  5  6  cos  ^y  6 


also 


Ä  = 


1 
RRiCosn  ^ 


Weil  bekanntlich 


cos^ö=2V  Wt 


ist,  so  ist 


RR1CO8 le=lv^RRi{R+Ri+L)(R+Ri -X)  , 

folglich 

'28L 


X  = 


V^RRi(R+Ri+L)  (R+R^^L) 


.—  > 


Bezeichnet    man  die   den  Winkel  6  im  Dreieck  A  halbirende 
Linie  durch  f(,  so  ist 

l 

/?:?/  =  siu  ( ^  0 -f  (o)  :  sin 0) 

'  .1  1 

=  sin  öÖcotco  +  coSt^ö:!,  '        * 

m 

woraus  ' 


19 


1 


cot©  =:  ~ 


Ä-— WC08  ö  S 


higt.    Ferner  ist 


ttsin  rt  ö 


^=siiidcot(o-f  cosO:  1 , 


woraus  sich 


C0t(0r=i 


Risiwe 


ergiebt.    Also  ist 


^""""^"2^         ß-l?,cosö 


fcsm^^ 


/^isind 


w&raaDt  man  leicht 


2RRiCos^e=z(R+R^)u 


findet.    Also  ist  nach  dem  Obigen: 

28L 


Ä= 


(R+Ri)u ' 


Den  Fall,  wenn  der  angezogene  Punkt  in  der  an2;iehendeii 
geraden  Linie  liegt,  muss  man  nun  noch  besonders  betrachten. 

Die  gpegebene  anziehende  gerade  Linie  sei  AB=:L,  und  der 
angez<»gene  Punkt  liege  in  deren  Verlängerung,  etwa  über  den 
Punkt  B  hinaus.  Die  EtitT<^rnung  des  angezogenen  Punktes,  von 
dem  Punkte  B  sei  e,  Theilt  mau  die  Linie  AB=:L  in  n  gleiche 
Theile  und  setzt 

L      . 

_— =1, 

ji       ' 

.  so  ist  X  offenbar  die  Gränze,  weicher  die  Grosse 

dt  ^         dl  dt  ■-  öl 

•ich  nähert,  wenn  n    ins  Unendliche   wächst.    Also  ist  nach  der  * 
Theorie  der  bestimmt!^  Integrale: 

1  2* 


!20 


-»      ,   /»*      aar 


Für  ei'a:=v,  Sa:=dc  ist 


1 


e\  X 


uls(> 


»=^L--;^^= 


dL 


c     e+L        c(«+i^)     c(c+l/)' 


Für  ^ß=0,  (l  h.  wenn  der  angezogene  Punkt  der  Eodpankt 
D  der  Einie  AB==L  selbst  ist,  wird  ä  =  qc. 

Wenn  der  angezogene  Punkt/ in  der  Linie  AB^=^L  selbst, 
d.  h.  zwischen  ihren  Endpunkten  liegt,  so  wollen  wir  die  beides 
Theile  dieser  Linie,  ^  in  welche  dieselbe  durch  den  ange^ogenett 
Punkt  getheilt  wird,  durch  X  und  Xi  bezeichnen.  NeboiiMi  vfk 
dann  die  positive  Richtung  der  Kräfte  mit  dem  Theile  1  als  zu- 
sammenfallend an,  so  kann  die  gesammte  Wirkung  der  Linie  L 
auf  den  in  Rede  stehenden  Punkt  nach  dem  Vorhefgebeoden 
offenbar  desto  genauer ,  je  kleiner  €  ist,  durch 


ö(X—b)       ^ai— f) 


a 


th 


d.  h.  durch 


■B         B         X^Xi 


dargestellt  werden,   was  augenscheinlich 


giebt. 


/ 


Ich  erlaube  mir  bei  dieser  Gelegenheit  eine  allgemeine  Be- 
merkung zu  machen,  deren  weitere  Prüfung  mir  angenehm  sein 
irird.  Mscü  kommt  nämlich  bei  Aufgaben  des  Attractionscaiculs, 
überhaupt  bei  Untersuchuns^en,  denen  das  Attractioqs*  oder  Gra- 
vi tätionsgesetz  zum  Grunde  liegt,  sehr  häufig  iu  gewissen  beson- 
deren Fällen  auf  das  sogenannte  Unendliche.  Der  Gruml  hiervon 
scheint  mir  aber  in  dem  analytischen  Ausdrucke  des  Attrattions« 
gesetzes,  oder,  wenn  man^  will,  in  diesem  Gesetze  selbst  zu  lie- 
gen.    Denn  drückt  man,    wenn  im  Allgemeinen  ft  die  Masse  und 

r  die  Entfernung  bezeichnet,  die  Attracfion  durch  ^aus,    Solist 


\ 


21 

wohl  klar^  dass  dieser  Ausdruck  in  das  sogenannte^Uneiidlielie 
Abergeht ,^  wenn  man  r  verschwinden  lasst,  und  dass  dies  wohl 
aoch  anifje'de' Untersuchung,  der  das  Attractionsgesetz  zum  Grunde 
B^t,  ypn  Einfluss  sein  muss,  unterliegt  gewiss  keinem  Zweifel. 
Man  bat;  wie  es  mir  scheint,  diese  Bemerkung ,  über  die  ich  mich 
übrigens  jefzt  nicht  weiter  verbreiten  will ,  bisher  bei  Untersuchun- 
gen dieser  Art  nicht  so  iieachtet,  wie  es  hätte  geschehen  sollen. 
'  Ich  mochte  wohl  wünschen ,  dass  dies  kiindtig  mehr  geschähe, 
und  ^bin  wenigstens  der  Meinung,  dass  bei  Uutersuchun- 
gen,  denen  das  Attractionsgesetz  zum  Grunde  liegt,  mit  Rücksicht 
«af  das  vorher  Gesagte,  wenigstens  jedenfalls  besondere  Vorsicht 
za  enipfehlen  ist. 


III. 

Wirkung  der    Anziehung   einer  Kreisfläche  auf   einen 
P«nlLt  von  der  Masse  Eins,    welcher   in    der   auf  der 
Kreisfläche  in    ihrem  Mittelpunkte  senkrecht  stehen- 
den geraden  Linie  liegt. 

Man  nehme  die  Ebene  des  gegebeneu  Kreises  als  die  Ebene 
der  xy  eines  rechtwinkligen  Coordinatensystems  der  xnz  an, 
dessen  Anfangspunkt  der  Mittelpunkt  des  gegebenen  Kreises  ist, 
dessen  Halbmesser  wir  durch  r  bezeichnen ,  wollen.  Der  Theil 
der  Axe  der  x>  in  welchem  der  angezogene  Punkt  (xF$)  liegt, 
werde  als  der  positive  Theil  dieser  Axe  angenommen,  so  dass^ 
also  5  eine  positive  Grosse  ist.  Dies  vorausgesetzt,  betrachte  man 
ZüvGrderst  überhaupt  die  Anziehung  einer  auf  der  Axe  der  x 
senkrecht  stehenden  Sehne  des  gegebenen  Kreises  auf  den  Punkt 
07$)..  Bezeichnen  wir    die    erste   Coordinate  des   Durchschnitts- 

Snkts   dieser  Sehne  mit  der  Axe  der  x  durch  x  selbst,    so  ist 
'  diese  Sehne,  mit  Rücksicht  auf  11.,  oflfenbar: 

a^x,  6=+\^r^^=^,    c=0; 
fii=a:,  6i = — ^r^—x^ ,  c,  =0 ; 

Ako  ist 


Uglich 


« 


22 

Ferner  ist 

also 

Daher    sind    nach    II.   die  Composanten    der  Anziehung    unsc 
Sehne: 


0,  ' 

\K 4?(r*— ar^) . 


öder,  weil 


ist^  wie  man  leicht  findet: 

0,        , 

# 

Bezeichnen  wir  nun  die  Coqaposanten  der  Anziehung,  welche 
ganze  Kreisfläche  auf  den  gegebenen  Punkt  (xy$)  ausübt,  du 
iLi  Y,  Z;  so  ist  offenbar:  * 

—  r 

F=0. 


_J6         /^+'-  VfäZZjä 


Z  =  — 


23 


Weikuutt  aber  offenbar 


ist,  so  ist 


X= 


0, 
0, 


F= 


Z=- 


2d) 


V"rä+ja 


— r 


WO  es  nuo  auf  die  EntwickeluDg  des  Integrals 


/ 


5^  +  ^^ 


da; 


ankommt,  die  «ich  auf  folgende  Art  bewerkstelligen  lässt.  < 
Es  ist 


also 


S.r 


Ö^+a;«)  V^r^-a;^     t/  V^r«  —  x^  * 


-/^ 


öo: 


-Setzt  man  nun 


äa 


V^*  +  x^ 


=^  r=  M ,     also 


».2 


5*+ar^ 


SO  ist,    da  or  und  tc  gleiche  Vorzeichen   haben'und  bekanntlich  $ 
positiv  ist: 


X 


^u 


woraus  sich  leicht 


Sxzn 


Vi--i*** 


^dn 


tod 


24 

ergiebt.     Also  ist        >  -- 

3ar  3«'  \  . 


und  'folglich  nach  dera  Obigen 


X* 


I 

Setzt  man  nun 


1*  |. 


-    al»o 


so  wird,  weil  nach  dem  Obigen 


i8t: 


«0* 


Nimmt  man  nun  die  Bogen  zwischen  — ^- tt  und  +«  ^5  ^^  >^t 

du  A  .  A  •       äV"»^T?* 

=  Arcsinv  =  Arcsin 


— r —  =  Ai'csiiJf;  =  .irLeiiii -p        ..-     j 

V  1  - 1;^  .r\^)2  ^^a 

—77=-=:=:  =  Arcsmti;  =  Arcsin  —  ? 


also 


.  / 


/ 


23 


'    a  ,  ^g  &g  =  -T— r Arcsm  —-7.^==.==  —  Are  sin  -- ,. 


«od  folglicfa 


Daher  ist  Dach  dem  Obigen: 


oder 


i_0.     l-O.    z ^^^^__. 


X^O,   F=0,    Z=—2dn(l tttI 


l)»; 


V.       Vra+J 


0'" 


oder  auch  9  weil    « 


ft=Jr%,    d= 


ist: 


j:=o,   f=o,  z=~%Ci — 7-4^V 

t 

Dass  Z  negativ  herauskommt,  entspricht  ganz  der  Najtur  der 
Sache,  weil  man  den  Theil  der,  Axe  der  z,  in.  welchem  der  an-^ 
sezose\ie  Punkt  liegt,  als  den  positiven  Theii  der  in  Rede  ste-' 
iienden  Axe  angenommen  hat.' 


IV. 

Wirkung  der  Anziehung  einer  Kugel   auf  einen  Punkt 

von  der  Masse  Eins.' 

Wir  wollen  2uerst  die  Anziehung  betrachten ,  welche  ein 
Kagelsegmeut  auf  einen  Punkt  ausübt,  der  ausserhalb  des  Kugel-  ^ 
s^uients  in  der  geraden  Linie  liegt,  die  durch  den  Mittelpunkt 
fo  Kugel  geht,  und  auf  der  Ebene  des  das  Kugelsegment  begrän- 
icnden  Kugdkreises,  den  wir  die  Grundfläche  des  Kugelsegmepts 
■eonen  werden,  senkrecht  steht. 


26 

Deti  Anfang  der  Coordinaten  legen  wir  in  den -Mittelpunkt  der 
Kugel,   und  nehmen  das  von  demselben  auf  dfe  tirundfläebe  des  ' 
ICugelsegments  gefällte  Perpendikel  als  Axe  der  x  an,  indem  wir 
zugleich    den  Theil  dieser  Axe^    welcher  der  Richtung   von  d^r 
Grundfläche'  des  Kiigelsegments  nach  dem  angezogenen  Poilkle' 
hin  entspricht,  als  deren  positiven  Theil  annehmen.    Die  geborig    . 
als   positiv    oder  negativ  betrachtete  Entfernung  des  an^ezogenee 
Punktes  von  dem  Mittelpunkte  der  Kugel  sei  e ;    die  Entfernung 
der  Grundfläche   des  Kugelsegments    von    dem  Mittelpunkte   der 
Kugel,  welche  gleichfalls  positiv  und  ^negativ  sein  kann,  sei  e. 

Denken  wir  uns  nun  irgend  einen  auf  der  Axe  der'a:  senk-  . 
recht  stehenden  Schnitt  des  Kugelsegments»  dessen  gehurig  als 
positiv  oder  negativ  betrachtete  Entfernung  von  dem  Mittelpunkte  . 
der  Kugel  durch  x  bezeichnet  werden  mag;  so  föllt  sach  Dl.  die 
ganze  Anziehung,  welche  der  Schnitt  auf  den  gegebenen  Punkt 
ausübt,  upd  daher  oflfenbar  auch  die  ganze  Anziehung  des  Kugel- 
^segments  auf  diesen  Punkt,  in  die  Axe  der  x,  und  die  Wirkung 
'der  Anziehung  des  Schnitts  auf  den  gegebenen  Punkt  ist  nach 
HL,  wenn  r  oen  Halbmesser  der  Kugel  bezeichnet,  offenbar 

(        Vr2_a;4-|-<c_a:)«) 

woraus  sich,    wenn  wieder  7i  die  Anziehung  des  Kugelsegments 
^  bezeichnet,'  auf  der  Stelle 


— r 


ergiebt,  und  es  nun  auf  die  Entwickelung  des  Integrals 


> 


.  ü 


also  auf  die  JEntwickelung  des  Integrals 

e — a: 


f 


8x  ■'• 


ankommt.     Setzen  wir  zu  dem  Ende  e'^a:=zuy  dxz:z-—ou;  so  ist 

OX  r=l       , —       ■     ■-r==rzr==  ex  =  — ' 


Wr^-x^^-ie-x)^      '     Vr«— eH2e(e-ar)  V^ra-eH2cu* 


27 


I    ' 


und  ireon  w\t  nun 


ra^e*+2^i«=r*^    edu  =  vdc 


■elacii,  «o  wird 


t<dtf 


Vi«— e*+2eii 


2e^ 


abo 


€*+2eti 


^-i^^h'-^^-^'M 


r* — 'B^  —  eu 


3e* 


Vr«-T-c*+2cw 


V"r*+  e»— 2ea- 


Daher  ist  nach  dem  Obigen 


md  folglich 


=  e+r  + 


(«  +  r)  (r»— 2c«  +  er)     (r«— 2c«+«£)  Vc^+r«— 2e« 


3e« 


Sc« 


r»-2c»     (r*— 2c*+«)V"e«+r«— 2ee 


=•+-3?- 


3e« 


iIm 


28 


Will  man-  die  Anziehung  haben,  weiche  das  Kogehtgaiit 
auf  den  Mittelpunkt  seiner  Grundfläche  ausQht,  so  maas  naiai=t 
setzen; 'was  nach  leichter  Rechnung 


28n 


Ä=  -  ^  tr»  +  *»-(r*-t«)\^r«-«,*} 


3t* 


oder 


K  =  -  ^P>-  t  r«-,^  +  t«-(r-e)  Vf^C-lS) 


^  giebt. 

V 

Will  inan  die  Anziehung  hihen,  welche  die  ganze  Kpgel  uf 
einen  ausserhalb  liegenden  Punkt  ausübt,,  so  rouss  man  fn  de» 
allgemeinen  Ausdrucke  von  2{,  wo  e  die  Entfernung  des  angelo- 
genen Punktes  von  dem  Mittelpunkte  der  Kugel  bezeichnet»  esrr 
setzen,  was 


folglich  nach  leichter  Rechnung 


id 


Ttr* 


^""^  ;ic-^ 


giebt.    Der  Inhalt  der  Kugel  ist  r^r^^,  also,  wenn  wir  ihre  Masse 
durch  (i  bezeichnen. 


|Lt  =  ;v  Ör^TC  y 


folglich  nach  dem  Obigen 


Da  dieser  Ausdruck  von  dem  Halbmesser  der  Kugel  ganz  unalK 
Ixangig  ist,  d.  h.  eigentlich  seinen  Werth  gar  nicht  ändert,  wie 
i|^ross  auch  der  Halbmesser  sein  mag,*  wenn  nur,  natiirlich  unter 
Voraussetzung  derselben  Entfernung  e,  die  Masse  ^i  ungeandert 
bleibt,  so  erhellet,  dass  die  Kugel  auf  einen  ausserhalb  Ihr  lie* 
spenden  Punkt  ganz  so  wirkt,  als  wenn  ihre  ganze  Masse  in  ihrem 
Mittelpunkte^  concentfirt  wäre,  und  dass  dies  auch  von  einer  von 


\ 


29  « 

'vnrei  concentrischen  Kugel  flächen  begränzten  Kugelscbale  eiit^  er- 
^giebt~  sieb    bieraus    uumittelbar.      Dies  fiibrt    zu  dem    fo^ehdeii 
Satze: 

Die  Anziehung,  welche  eine'von  zwei  concentri- 
sclien  Kugeifiächen  begränzte  Kugelscbale  auf  einen 
ausserhalb  ilfr  befindlichen  Punkt  ausübt,  ist  jeder«« 
teit  ganz  dieselbe,  als  wenn  die  gerammte  Masse  der 
Kugelscbale  in  dem  gemeinschaftlichen  Mittelpunkte 
der  beiden  begränzenden  Kugelflächen  concentrirt 
wäre. 

•    Dieser  Satz  ist  fiir  die  physische  Astronomie  oder  Mechanik 
des  Himmels  wichtig,   weil    man  nach  demselben  bei  der  Theorie 
der  Bewegung   der  Planeten  um  die  Sonne,    insofern  man  deren 
'  Hassen  gegen  die  Sonnenmasse   als    unendlich   klein  betrachtet, 
*die  Masse  der  Sonne  in  dem  Sonnenmittelpunkte  concentrirt  an- 
nehmen kann. 

Wir  wollen  nun  auch  die  Anziehtfng  einer  Kugel  auf  einen 
hä  ihrem  Innern  liegenden  Punkt  betrachten,  dessen  als  positiv 
betrachtete  Entfernung  von  dem  Mittelpunkte  der  Kugel  durch  s 
beieichnet  werden  mag.  Legen  wir  durch  den  angezogenen  Punkt 
einen  auf  dem  durch  diesen  Punkt  gehenden  Durchmesser  der 
Enget  iKenkrecbt  stehenden  Kugelkreis,  so  theilt  dieser  Kagel- 
bm  die  Kugel  in  zwei  Segmente,  und  n^ch  dem  Obigen  ist  die 
als  positiv  betrachtete  Anauebung  des  grösseren  Kugelsegments 
•ffenbar 


3*a 


{  r3  +  «3  _(,.2  _  52)  y;a  _  j2|  ^ 


nod  die  gleichfalls  als  positiv  betrachtete  Anziehung  des  kleine- 
reo  Kogelsegments  ist 


2Ö7t 

3£ä 


{r8  —  £S_  (;•«— £«)  y,a  __  £2)^ 


wobei  sich  nach  dem  Obigen  von  selbst  versteht,  dass  die  Rich- 
iBBg  der  Anziehung  in  beiden  Fällen  mit  dem  durch  den  angezo«  . 
genen   Punkt    gehenden   Durchmesser    der    Kugel   zusammenfällt. 
Also  ist  offenbar  die  Anziehung  der  ganzen  Kugel: 

ILj  wie  sich  hieraus  auf  der  Stelle  ergiebt: 


30 

Rezeichnet  wieder  jii  die  Masse  der  Kagel»  so  \st 

(izzi^Sr^Tt,      also    8z=j^; 
folglich  nach  dem  Vorhergehenden  die  Anziehung 

78- 

Denken  wir  uns  eine  von  zwei  concentrischen  KugeMScIien 
begrSnzte  Kugelsehale ^  und  in  deren  Hühlune  einen  Punkt,  so  ist 
die  Anziehung,  welche  die  Kugelschaie  auf  diesen  Punkt  ausfibt, 
nach  dem  CNbigeii  offenbar 

'4  4 

5*f^— od6^=0, 

und  verschwindet   also,    was   zu    dem    folgenden   merkwfirdigeti 
Satze  führt: 

Die  Anziehung,  welche  eine  von  zwei  concentri« 
sch'ien  Kugelflächen  begränzte  homoeeneKugelschale, 
oder  ein,e  von  zwei  concentrischen  Kugelflächen' be- 
gränzte homogene  Hohlkugel,  auf  einen  innerhalb 
Ihrer  Höhlung  befindlichen  Funkt  ausübt,  verschwin- 
det jederzeii,  und  wo  sich  also  auch  dieser  Punkt 
innerhalb  der  Höhlung  befinden  mag^  sind  die  auf  ihn 
wirkenden  Kräfte  unter  einander  im  Gleichgewichte, 
der  Punkt  be4*indet  sich  folglich  überall  innerhalb  der 
HöhluVig  in  Ruhe. 

Hiermit  will  ich  diesen  Aufsatz  schliessen,  in  der  Hoffnung 
jedoch,  bald  wieder  auf  den  Attractionscalcul  zurückzukommen. 


31 


n/ 

me  Krftnimnni^stheorie   der  Kegrel- 
selmltte,  elementar  ^eometriseh 

begründet. 

Von 

Herrn   Planck, 

Repetenten  an  der  polyteclinischen  Schule  zu  Stuttgart. 


Mittelst  einiger  Lehrsätze  liber  Centralprojection  lässt  sich 
der  folgende ,  die  Krümmungstheorie  der  Kegelschnitte  enthaltende 
Satz  aufstellet].    (Taf.  I.  Flg.  1.). 

„Zw^  Sehneu  MP,  MQ  eines  Kegelschnittes,  die  symme- 
trisch* zu  dessen  Hauptaxen  liegen,  genuren  einem  Berührungs- 
kreis des  Kegelschnittes  im  Punkte  Jf  an.'^  ^    ' 

Das  Projectionscentrum  C  liege  in  der  Ebene,  die  man  durch 
den  Mittelpunkt  O  de^  zu  projicirenden  Kreises  senkrecht  zur 
Spur  der  Kreisebene  gelegt  hat.  Auf  dem  Schnitt  der  Kreis- 
ebene  mit  der  durch  C  parallel  zur  Grundebene  gelegten 
Ebene  nehme  man  zwei  Punkte  A  und  A*  in  « gleicher  Ent- 
fernung Yon  O,  und  ziehe  an  den  Kreis  die  Tangenten  AM^ 
Äff,  A'M' s  A^N\  Es  werden  alsdann,  wie  aus  den  Sätzen  von 
der  Polare  folgt,  die  Geraden  3§N',  M'N  sich  in  einem  Punkt  D 
der  AA'  schneiden,  der  zugleich  auf  dem  zu  AA*  senkrechten 
Dorebmesser  liegt.  Von  A'  aus  ziehe  man  eine  S<^ante,  die  den 
Kreis  in  P  und  Q  schneidet,  so  bilden  die  Geraden  N'A'/N'P, 
N'M',  N'Q  ein  System  harmonischer  Linien,  folglich  auch  die 
Geraden  JlfZ>,  MP,  MM',  MQ,  da  A'N'P^DMP  u.  s.  w.  Es 
projiciren  sich  nun  A'P  und  A'M'  als  parallele  Geraden,  und 
symmetrisch  gegen  die  Projection  der  Tangente  AM.  Die  Seh- 
■en  MP,  MQ  aber  projiciren  sich,  da  die  Projection  von  D  in 
iniendliche  Entfernung   fallt,    als   zwei  Sehnen    symmetrisch    zur 


32 

I  T 

Projection  von  3/M',  Es  werden  folglich,  nie  der  Winkel  der 
Tangente  AUf  mit  ÄJQ  dem  Peripheriewinkei  MPQ  gleich  ist, 
80  auch  die  Frojectionen  beider  \Vinkel  einander  gleich  sein,  und 
hiernach  int  die  Tangente  am  Kegelschnitt  auch  Tangente  an  dem 
die  beiden  Sehnen  enthaltenden  Kreise,  mithin  ist  dieser  Kreis 
Beröhrungskreis. 

.  Lässt  man  jetzt  beide  Sehnen  sich  um  gleichviel  drehen,  h\& 
die  eine  in  die  Tangente  ßillt,  so  geht  der  Herührungskreis  in 
den  Krümmungskreis  über.  Die  Sehne  MR^  nach  der  dieser  deo 
Kegelschnitt  schneidet,  ist  die  Projection  von  Ä'M,  Sie  ist  dem 
Durchmesser  zugeordnet,  der  mit  dem  der  Tangente  zugeordne-  « 
ten  symmetrisch  liegt:  construirt  man  den  Punkt  R  des  Kegel- 
schnitts, so  lassen  sich  mittelst  dieses  Punktes  beliehig  viele 
Sehnen,  wie  il/P,  IdQ  construiren,  da  RP  und  MQ  lAch  imiBer 
auf  demselben  Durchmesser  schneiden. 

Aus  den  Gleichungen  des  Kegelschnittes  und  des  BerQbrinigs* 
kreises  lässt  sich  der  erwiesene  Satz  auf  so  einfache  Weise' ab* 
lesen,  dass  es  uns  wundern  Rollte,  wenn  er,  da  er.  doch  immer 
interessant  genug  ist,  nicht  irgendwo  ausgesprochen  w&re.  Ver- 
legt man  den  Coordiuatenursprung  in  den  Funkt  Jf ,  und  bezieht 
den  Kegelschnitt  auf  Axen  parallel  zu  de)i  Hauptaxen,  so  heisst 
,  seine  Gleichung 

Ax^VCy^^Dx^Ey=:Q        (1.) 

Die  Gleichung  der  Tangente  im  Ursprung  heisst  Dx-\-flg^i 
folglich  die  Gleichung   der  Normale  Ex — ßif=^0. 

Die  Gleichung  des  Kreises  (wenn  JT,  Fsein  Slittelpuokt)  heisst: 

oder,  da  £X— /)r=0: 

^»+2,*-2JK^?^i^"=0.    •(IL) 

Durch  Verbindung  von  I.  und  II.  aber  erhält  man  eine  Gleichnng 
von  der  Form 

y^=7n^x^, 

eine  Gleichung,  die  zweien  dem  Kreis  und  dem  Kegelschnitt  ge- 
meinschaftlichen, symniietrischen  Sehnen  zugehört. 

Die  obige  Construction  des  Krunimufigsmittelpnnktes  Ist  ffit 
die  Scheitel  der  Kegelschnitte  nicht  brauchbar;  da  aber  fSr/dleM 
der  KFummungshalbmesser  gleich  der  Subnormale  Ist,  so  lassen 
sich  die  von  dieser  bekannten  Eigenschaften  benützen,  wie  b.  B. 
dass  bei  der  Hyperbel  jeder  Punkt  dieselbe  Subnornmie  hat  mit 
dem  zu  derselben  Abscisse  gehörigen  Punkt  der  Asymptote,  n.  dgl. 


33 


I 


III. 

■ 

INrelLter    Beweis    der    Undnlatlons- 
theorie  des  Iilelits  aus  der  Aberration 

der  Fixsterne. 

Von 

Herrn  Professor  Bfr.  Riecke 

in  der  königl.  warttembergischen   land-   und   forstwirthachaftliclien 

Akademie  zpHohonheini. 


0 

Die  sogenannte  Aberration  der  Fixsterne  besteht  im  Wesent- 
ficbeo  darin,  dass,  wenn  die  Erde  £  (Taf.«  I.  Fig.  2.)  in  ihrer 
Bahn  um  die  Sonne  sich  in  der  Richtung  von  £  nach  A  beivegt, 
MB  Stern  S  dem  Auge  nicht  in  der  Richtung  EtS^  sondern  in  der 
Bichtong  ES*  erscheint.  Dabei  beträgt  der  Abweichiingswinkel 
SES',  wenn  derselbe  seinen  grossten  Werth  erreicht,  nahezu 
ID  Sekunden  und  diese  Abweichung  findet  immer  auf  der  Seite 
g^en  lEA   zu  Statt. 

Wollte  man  zur  Erklärung  dieser  Erscheinung  davon  ausge- 
hcs,  da«s  das  Licht  bei  seinem  Eintritt  in  die  Erdatmosphäre 
■eben  «einer  eigenen  Bewegung  an  der  Bewegung  der  Erde  xbeil 
admeo  mfisse ,  so  wfirde  sich  daraus  zwar  auch  eine  Abweichung 
fM  d^r  Ric^litang  £5  ergeben ,  aber  nach  der  entscegens^esetztert 
Ute.  Tritt  nämlich  das  Licht  bei  B  (Taf.  I.  l^ig.  3.)  in  die 
Maftoioepbäre  und  stellt  BD  den  Weg  des  Lichts  in  einer  Se- 
bide«  JBC  (parallel  mit£^)  die  Geschwindigkeit  des  Erdkörpers 
W,  eo  mflsste  unter  jener  Voraussetzung  das  Licht  seinen  Weg 
■  ier  Diagonale  il?F  des  Paralleloci^rannns  fortsetzen  und»  wenn 
Ci  das  Auge  des  Beobachters  in  £'  erreichte ,  der  Stern  in  der 
Kchtnng  11' S"  erscheinen.  Fdr  den  Fall,  den  ich  hier  allein 
ktrachte,  dass  SE  senkrecht  auf  EA  steht,  wäre  dann 

tt  XVIII.  .  3 


* 


34 

cSBS"  _  IJF  _BC  _  Gegchwindigkeit  der  Erde 
*^*  ^  DBF~  'BB^WD^  Geschwindigkeit  des  LicEts 


beilfinfig   =  -j^gg  =0,0001 

lind  somit  der  Abweichangswinkel  SBSf,  wie  bei  deF  Abemtisi, 
nahezu  =21  Sekunden. 

Da  die  Beobachtung  aber  lehrt,  dass  die  Abweichang  beider 
Aberration  der  Fixsterne  nach  der  entgegengesetzten  Seite  Stilt 
findet,  so  folgt  daraus,  dass  die  Voraussetzung ,  wonach  das 
Licht  beim  Eintritt  in  die  Atmosphäre  an  der  Bewegung  der  EMe 
Theil  nimmt,  unrichtig  ist.  Man  sieht  sich  somit,  nie  diess  schon 
Fresnel  bemerkt  (vergl.  Gehler's  Wurterbuch,  Aftikel  UÄI^ 
S.  338.),  zu  der  Annahme  genöthiget,  dass  der  den  Weltraun' 
erRillende  Aether,  durch  dessen  Vibrationen  die  Lichtempin'dlm^ 
entsteht,  im  ruhenden  Zustande  verbleibt,  während  die  Erde 
sich  in  ihm  und  durch  ihn  bewegt.  Diese  Annahme  setzt  freilicfa 
eine  alle  Vorstellung  übersteigende  Porosität  des  Erdkurpers  nod 
eine  ebenso  alle  Vorstellung  libersteigende  Feinheit  des  Aethers 
Toraus.  Indessen  erfordert,  wie  Arago  bemerkt  (vergl. . Gehler's 
W^Grterl).  Art.  Licht  S.  339.),  auch  die  Erklärung  d^r  astrpDomi- 
sehen  Strahlenbrechung  die  gleiche  Annahme,  und  es  stimmt  sei-  ' 
ches  zugleich  mit  der  bekannten  Thatsäche  überein,  wonach  fast 
alle  Bewegungen  der  Uinimelskürper  genau  so  erfolgen »  als  eb 
sich  dieselb'en  im  leeren  Räume  newegten»  ein  Widersland  des 
Aethers  also  bei  astronomischen  Berechnungen  in  der  Regel  ab 
nicht  vorhanden  angenommen  werden  darf. 

Etwa^  befriedigender  fallt  die  Erklärung  der  Aberration  aas, 
wenn  man,  den  Aether  als  ruhend  annehmend,  nur  die  Bewegung 
des  Auges  dabei  in  Betracht  zieht.  Ist  nämlich  die  Axe  des 
Auges  AB  (Taf.  I.  Fig.  4.)  in  dem  Moment  gegen  den  Stern  S 
gerichtet,  in  welchem  der  Lichtstrahl  SA  in  das  Auge  tritt,  so 
wird  dieser  seine  geradlinige  Bewegung  im  Auge  fortsetzen,  wäh- 
rend das  Auge  mit  der  Erde  sich  in  der  Richtung  ^C/ertbewegt. 
Der  Lichtstrahl  triflft  also  die  Netzhaut  nicht  in  der  Mitte  n, 
sondern  in  dem  Punkte  B',  wenn  nämlich  das  Auge  sich  mit  der 
Erde  in  derselben  Zeit  von  A  nach  A'  bewegt  hat,  in  welcher 
das  Licht  von  A  nach  B'  gelangte.  Das  Auge  erhält  somit. dei 
Eindruck  des  Sternlichts  in  dem  Punkte  B  und  versetzt  dani 
den  Ort  des  Sterns  in  die  Verlängerung  der  Linie  BfA*.  Der 
Winkel  AB'A*  oder  SB* S'  ist  hiernach  der  Abweichungswinkei, 
und  zwar  findet  hier  die  Abweichung  übereinstimmend  mit  der 
Beobachtung  nach  der  Seite  hin  Statt,  nach  welcher  die  Erde 
sich  bewegt.  Auch  ist  hier  för  den  Fall,  dass  SAC  ein  Rechte 
Ist,  wie  früher, 

^-m^^, ^^' Geschwindigkeit  der  Erde 

®'  "'AB*  ""  Geschwindigkeit  des  Lichte* 


I  Eine  genauere  Ciiter.siichung  zei<;t  irxlci^seii ,  ilass  auch  il'rese 

§    Eiiliiruiig  der  Alierration  mit  den  Thatsachen  nicht  ganz  iibercin- 

M    «timnit,     indem    eicli    eine  grriseere  Geschtvindiskeit  des  Lichtes 

*     im  Auff«   diiraus    ergeben  würde,    als  nach  andern  unzweiielhaf- 

I      len    Erialiriingen    angenommen   werden    darf.     Aus   den  Verlinsle- 

nitigen  der  Jujiiterstrahanten  weiss  man  iiüinlieh,    diisa  das  Licht 

im     luftleeren     Raum     sich    mit    einer,  (ieschwindigkcit     von 

JJ560  Meilen  per  Sekunde  hetregt").     Diese  (leschnindigkeit  ver- 

iiiinderl  sich  alier,  so  wie  das  Lieht  in  ein  dichteres  Mittel  tritt, 

in    demselhcD    Verhiiltniss ,    wie  die   Sinus    der   ßrechiineswinkel 

Ah.CO  (Taf.  \.  Fifi-5.),  da    in    dem  gleichen  VerhSltniss    sich 

rite    Breite  der  Lichtwellen  AB,    BE  vermindert.     Da    nun    der 

(ttcl-liun^sexponent  heiiri    Ucbergang  des  Lichts   aus    dem  leeren 

lljioine   in  die  Feuchtigkeilen  des  Auges  (nahezu  wie  heim  Waa- 

''er)^^  4:3  angenommen  wenlen  darf  {vergl.  Gehler's  Wörterbuch 

IS^.   Bd.  \.  S.  S5-2.),  so  muss  die  Geschnindigkclt,  mit  der  sich 

&A»  laicht  im  Auge  hetvegt, 

=  f. 41560  =  31170  iVIeilen 


gesetzt  »Verden.  Berechnet  man  dagegen  diese  (leschnindigkeit 
durch  Division  des  We-s,  Mielchen  die  Er>le  auf  ihrer  »ah.i  um 
die  Sonne  durchschnittlieh  in  der  Sekunde  zurücklegt,  mit  der 
Tangente  des  Aherrationswiiikels,  »n  erhiilt  tuan  nach  Struve''*) 
eine  Geschwindigkeit  von  41510  Meilen  per  Sekunde.  Diese  Diffe- 
renz von  1034'J  IVIeilen  ist  viel  zu  groKs,  um  sie  aus  Reobuch- 
inngsCehlern  erklfiren  zu  können,  man  ninss  vielmehr  ohtge  Er- 
M^rting  der  Aberration,  wonach  die  daraus  berechnete  Licht- 
,'.'sch»vindigkeit  die  Geschwindigkeit  desselben  im  Auge  wäre, 
U  unrichtig  verwerfen. 

Das  Fehlerhafte  in  dieser  Erklärung  lag  offenhar  darin,  dassdie 
Alt  Mild  Weise,  wie  die  (Jritsse  des  Aberrationswinkels  von  den  As- 
tronomen gemessen  wird,  dabei  nicht  lien'icksicbtigt  worden  ist. 
iiwar  !-■<(,  »ie  Uekanat,  um  die  Grösse  der  Aberration  zu  bestimmen, 
«incfp'nsse  Zahl  der  verschiedensten  \VJn  keim  essungen  erforderlich, 
Mts  welchen  erst  durch  »eitlnutige  Rechnungen  der  Aberrations- 
ninkd  abgeleitet  nird,  —  indessen  kann  man  doch  fflrdengegcn- 
Mlrtigen  Zweck  die  Saclie  einfach  so  darstellen,  dass  man  zum 
B4>huf  tier  Winkelmessung  dem  Teleskop  diejenige  Kichtune'gibt, 
in  welcher  das  Bild  des  Sterns  mit  dem  Durchschnitt  des  Faden- 
kreuxes  in  der  lliihre  zusanmienf^llt.  Dadurch  wird  die  Sache 
>fltn  Auge  selbst  und  von  der  Geschwindigkeit  des  Lichts  im 
Ange  unabhängig,  und  es  tritt  nun  bei  der  Erklärung  der  Aberra- 
li«n   das  Fernrohr  mit  seiner  Röhre  an  die  Stelle  des  Auges. 


.   •)     Kadi  iIer»i;liol,     Vpigl-   Fi.ibrr'«   >i,lurld.rc.    1840,     Ilii  iJ  i. 
19. 
••)     IJehlcr"«  WÜrlerli.  1M5.  Sathrcgist.  r   S.  .l.'.:!. 


.15 


36 

Es  sei  AH  <Tar.  1.  Fi^.  6.)  die  Möhre ,  F  das  Fadefikrem 
und  ¥C  die  Richtung,  in  welcher  »ich  die  UChre  zugleich  nit 
der  Erde  be^vegt.  Wollte  man  nun  die  Axe  des  Rohrs  in  geia- 
der  Linie  nach  dem  Sterne  <$  richten,  so  sieht  man  leicht,  dass 
Icein  Bild  desselben  im  Fernrohr  entstehen  konnte«  Der  bei  A 
in  die  Röhre  eintretende  Strahl  SA  bleibt  nSnilich  in  der  gela- 
den Linie  SA^  während  das  Rohr  sich  gegen  C  hin  ÜHrtbewect» 
so  dass  in  dem  Moment,  wo  der  Strahl  nach  F  gelangen  H'Orae, 
das  Fadenkreuz  bereits  in  ¥*  sich  befindet.  Man  muss  also  dem 
Rohr  eine  solche  Neigung  gegen  SA  geben ,  dass  sich  FF  si 
AV  (Taf.  1.  Fig.  7.)  verhält,  wie  die  i^esch windigkeit  des 
Rohrs  2ur  Geschwindigkeit  des  Lichts.  Bei  dieser  Siellang  der 
Röhre  wird  der  Strahl  SA^   während   er  seine  geradlinige  Bewe* 

§ung  fortsezt,  immer  in  der  Axe  des  Fernrohrs  bleiben  und  m 
eu  Durchschnitt  des  Fadenkreuzes  in  F*  treffen.  Der  Abwei-^ 
chunsl^swinkel  SFS*  wird  aber  auf  gleiche  Weise,  wie  oben,  von' 
dem  Verhaltniss  der  Lichtgeschwindigkeit  zur  Erdgesshwindigkdt 
abhängig  sein. 

Nach  dieser  Erklärung  ist  die  Geschtvindlgkcit  des  Liclits, 
wie  sie  sich  aus  der  Aberration  berechnen  lässt,  seine  Geschwin-' 
digkeit  in  der  Luft^  —  während  die  aus  den  Verfinsterungen 
der  Jnpiterstrabanten  berechnete  Lichtgeschwindigkeit  die  im  lee- 
ren Räume  ist.  Die  Resultate  beider  Berechnungen  fitinraieii 
auch  mit  hinreichender  Genauigkeit  öberein,  wenn  man  erwägb 
dass  das  Licht  iii .  der  Luft  sich  in  demselben  Verhaltniss  lasg- 
samer  bewegt,  in  welchem  der  Sintis  des  Brechungswinkels  lu 
der  Luft  kleiner  ist,  als  der  Sinus  des  Brechungswiqkels  im  leerea 
Räume.  Da  nämlich  Struve  die  Geschwindigkeit  aus  der  AJi- 
erration  zu  41519  Meilen  berechnet  hat  und  der  Brecbunesexpa- 
nent  beim  Uebergang  des  Lichts  aus  Lullt  (von  mittlerer  Dichtig- 
keit) in  den  leeren  Kaum  =1,000294*)  iüit,  so  ergibt  sieh  daraus 
die  Lichtgeschwindigkeit  im  leeren  Räume 

:;=  1,000294. 4I?19=:41531  Meilen." 

Dieses  Resultat  ist  nun  zwar,  da  Uerschel  die  Geschwindigkeit 
des  Lichtes  im  leeren  Raum  aus  den  Verfinsterungen  der  Ju|)i- 
tersmonde  zu  41560  Meilen  berechnet  hat,  immer  noch  um  !29  Mei- 
len zu  klein.  Aber  diese  Differenz  liegt  noch  ganz  innerhalb  der, 
.beiderseitigen  Fchlergranzen,  welche  Struve  bei  seiner  Berech« 
nung  zu  2^  Meilen  angibt,  und  es  dd'rfte  also  in  dieser  Differeiis 
kein  Grund  liegen,  die  Richtigkeit  obiger  Erklärung  in  Z^reifel  m- 
ziehen.**) 


*)     Poiiillet-MnUers  Lehrbuch  der  Physik,  1845.  Kd.  3.  S.  890. 

*»')  ,  Narh  neueren  Untersuchungen  (vergl.  Fischer's  Natnriehre 
Rd.  2.  S.  S31.)  wäre  freilich  die  Difi^ercnz  der  beiden  Kesultate  äb^  die 
Lichtgeschwindigkeit,  wie  sie  sich  aus  den  ßeohachtungen  der  Jupiters- 
monde  und  der  Aberration   der  Fixsterne  ergibt,    viel  bedeutender,   näin- 

lieh  um  — -  kleiner,   d.  h.  die  Geschwindigkeit  fände  sich 


WP^ 


Hieraus  ergibt  tiich  ima  ein  direkter  Uetveis  lur  <li«  Uiidulu- 
lions(liP(irie  iles  Liuhts,  u;e^cnQI)cr  dtr  Neiit«ii'si.'lien  Eoiaiittti'ins- 
thcnrie.  Letalere  iniiss  uümlicb,  trio  bekutint  rar  ErklSrnng  der 
nptisdien  Er$olieinutiii;et>  eine  vermehrte  Gpsuhwititligljeit  des 
■  nichts  im  dichttsrcn  Mittel  niin«hineii,  u-hbreiiil  ilie  UuilniationK- 
ilieorie  gerade  umgekehrt  eine  Vermiiideruiig  der  tiesL-hivitidigkeit 
dabei  oraus setzt,  indem  naeh  dieser  Theorie  hei  gleicher  Zeit- 
tlauer  die  Breite  der  Lic-hliv^len  in  gleichem  Verhiiltniss,  »ia 
der  Sinus  des  Cewcgungauitikels,  nbiritnnit.  Diess  veranLisslc 
«choii  Arago  ku  dem  Wunsche,  mit' Shnliehe  Art,  nie  Whoat- 
s  lo  II  e  die  Gesehwiiidigkcit  der  Elektricitätsben'egnng  iii  den 
festen  IkSrperii  p;eme8sen  hat,  auch  die  Lichtgeschwindigkeit  in 
verschiedenen  Mitteln  messen  zu  hürinen,  um  so  auC  dem 
Wege  iler  Erl'ahrun^  einen  direkten  Beweis  Rir  die  Hiehti.i;keit 
iler  Uiidulatioiistheone  zu  erhallten.  Der  von  ihm  vnrgeschiHgene 
WrsiK-h*)  Ut  aber,  so  viel  liekannt  ivnrde.  bis  jetzt  iiicht  unse- 
slelll  norden.  Dagegen  bietet  nun  eine  Ver^leichung  der  Ge- 
ruch» indigkeit,  nie  sie  sich  aus  der  Aberratio»  der  Fixsterne  er- 
igibl.  mit  der  Geschwindigkeit,  wie  sie  sich  aus  den  Verfitisterun- 
ßeii  der  Ju[^terBlr3l>anlen  berechnet,  ein  solches  Mittel  aur  l'rHfung 
der  tliidubtionslheoria  dar.  JNach  obiger  Erklärung  der  Aherratiou 
erfajitt  mau  nünilich  auf  dem  ersten  Wege  die  LtchteeechHindigkeit 
In  der  atmosphärischen  Ltilt,  anl  dem  anderen  Wege  dagegen 
die  Lichtgeschwindigkeit  im  lurtleeren  Kannte  und  es  ist,  wie  es 
die  ündumtionstbeone  voraussetzt,  wirklich  die  erster«  Geschwin- 
digkeit geringer  als  die  letztere-  Auch  ist  das  Verbällniss  beider 
i-ejschwindigkeilen,  wie  oben  gezeiiit  wurde,  mit  dem  Brechungs- 
-  ■.)>onenlen  beim  Uebergangc  des  iLichts  aus  dem  leeren  Uaume 
Fl  Loft  »enigslens  nicht  iiu  Widersjirucb. 

In  den  LelirbOchcrn  der  Physik  wird  taat  durchaus  auf  die 
IHflTerenz  in  der  Lichtgeschwindigkeit,  wie  sich  dieselbe  auf  den 
angegebenen   7wei  Wegen    berechnet,  kein  Werlh  gelegt;    beide 


niiB  der  Abcrralinn  =  4I.M0  Meilen, 
ans  den  JuiiilcriinnndED  =  4[T2T  iMeileii. 
Oit>se  grosse  OilTBrpiii  dürfte  daEu  fiibren,  bei  der  Erblnritng  dur  Ali- 
irmliiin  nebrn  der  Hühre  aaeb  da«  Ubjcctiv^laa  des  Teliilnps,  iiiit- 
Itlnl  driivn  die  Winkt^lmoisUHg  gtaiilinli ,  io  Helrnrhl  xn  xicbcn.  UE^ 
-rn«ae  Ilefrnltnr  in  Unrpnt  liiit  eine  llrennweite  Tcin  13,5  Fdm  =  163  Znll 
•  Übjorlifs  —  I.3T  Z'ill,  »u  dur«hläul'[  da« 


■  an  162  Zoll    mit    ciiicj  Gnsrlininiligkcit  von  -— 4I1U  Mtileii. 

Die«  !:ilil  für  die  ganse  Slreebc  van  163,37  Znll  ein«  niiltlorf  Ge.~ 
•durindigkcit  vnn  4U>1R^  Meilen.  iilieruin«liinmend  mit  nbifimon  Slrm  u 
I«  thirfiat  all«   der  AlterrutiDn  gefundenen   I.ichlgeirhniadlglieU. 


38 


R&sultate  werden  vielmehr  als  übereinstimmend*)  bezeichnet  und 
der  seringe  Unterschied  den  nothyrendigen  Unvollkommenheiten 
der  Beobachtunffen  und  Messungen  zur  Last  gelegt*  Indessen  ist 
es  schon  zum  Voraus  auffaltend,  dass  von  den  verschiedensten 
Berechnern  die  aus  der  Aberration  abgeleitete  Geschwindigkeit 
immer  kleiner,  nie  grosser  gefunden  worden  ist,  und  aus  den 
neuesten  sorgfältigsten  Berechnungen,  bei  welcheu  zugleich  die 
Fehlergrärize  angegeben  ist,  zeigt  sich,  dass  die  Differenz  jedeB- 
falls  bedeutender  ist,  um  aus  einer  Ungenauigkeit  der  Recnnung 
sich  erklären  zu  lassen.  Dieser  Unterschied  ist  also  nicht  zuM- 
lig,  er  ist  vielmehr  in  dem  Umstand  wohl  begründet,  dass  die 
tieschM  indigkeit  selbst  in  beiden  FäJlen  eine  andere  ist. 

Eine  vollkommene  Uebereinstimmnng  6er  Beobachtdng  mit 
den  Voraussetzungen  der  Undulationstheorle  hier  aacbzuweisen» 
ist  allerdin'gs  schwierig,  —  denn  setzt  man  die  Geschwindigkeit 
des  Lichts  im  Vakuum  zu  41560  Meilen  und  den  Brechungsexpo- 
nenten för  Jjuft  selbst  zu  1,0003  >  wonach  die  Geschwindigkeit  de» 
Lichts  in  4^r  Luft  =  41547  Meilen  sein  müsste,  so  beträgt  der 
ganze  Unterschied  doch  nur  13  Meilen,. —  also  viel  weniger  aU  die 
Fehlergränzen  bei  der  Rechnung.  Zieht  pian  aber  andererseits 
in  Erwägung,  dass  die  Eraissionitheorie  eine  um  so  viel  grös- 
sere Geschwindigkeit  in  der  atmosphärischen  Luft  voraussetzt, 
so  muss  mau  doch  in  dem  Umstand,  dass  aus  der  Aberration 
jederzeit  eine  kleinere  Geschwindigkeit  des  Lichts  •  heret-bnet 
wird,  einen  vollen  direkten  Beweis  ffir  die  Richtigkeit  der  Undu- 
lationstheorie  anerkennen. 

Endlich  sei  noch  bemerkt,,  dass  nach  dieser  Darstellung  der 
Aberrationserscheinungen  zwar  aus  der  Gleichheit  des  Aberrations- 
winkels fdr  alle  Fixsterne  gefolgert  werden  darf,  dass  das  Lieht 
aller  Sterne  in  der  atmosphärischen  Luft  gleiche  Geschwin- 
digkeit besitzt,  —  nicht  aber,  wie  man  schon  folgern  wollte,  dass 
das  Licht  fiberaJl  im  Weltall,  von  welchem  nahen  oder  fer- 
nen Sterne  es  auch  komme,  sich  mit  derselben  Geschwindigkeit 
bewege.  Letzteres  darf  zwar,  unter  der  Voraussetzung  luftleerer 
Räume,  aus  der  thatsäeblichen  Gleichheit  seiner  Geschwindigkeit 
in  der  Luft  mit  Wahrscheinlichkeit  an£;enommen  werden,  aber  ein 
direkter  Erfahrungsbeweis  fiir  diese  Behauptung  liegt  in  der  Ab- 
erration  der  Fixsterne  nicht. 


0     Vergl.  Rvaüchlc,  Kosmos.  Bd.  l.  S.  92. 


air 


IMe  INIfereiitlatlon  unter  dem  Inte- 

gvalzelclieii. 

Von 

Herrn  Oskar  Werner^ 

Lehrer  der   Mathematik  zu  Dresden» 


IVeBD  das  Integral 

f(x,  y)  dxy 

y 

dosaen  Greazen  von  y  abhängig  sind,  biit  der  Forderung  gegeben 
ist,  ^•'iiach  y  einmal  zu  differentiiren,  so  hat  man  dazu  bereit» 
die  Formel 

gefoDden.  Der  Umstand  nun,  dass  man  diese  Differentiation 
nicht  weiter  setrieben  hat  und  dass  das  Gesetz,  unter  welchem 
die  höheren  Differentialquotienten  äts  obigen  Integrales  stehen, 
dnrch  geringe  Kunstgriffe  auf  einen  einfachen  independenten  Aus- 
dmck  gebracht  werden  kann ,  hat  mich  zur  Redaction  der  4'olgeii* 


genden  kleinen  Untersuchung  Uestiramt. 
VennitteM  des  Satzes 

du      il(uv)  dv 

oo?       da;  dx 

crireitem  wir  zunächst  die  obige  Formel  zu  folgender: 


,  I 


40' 


„    4/7^,  „  ^=/-^>., 


Y  Y 


dir^ny^y)]    d[rfiY,y)]   yjdtjYKff)    ^  df(r,y) 

"^  dy  ^y  dy       ^     '       dy 

Um  den  zweiten  Diffeientialquotienten  unseres  Integrales 
zu  erhalten,  diflferentiiren  i^ir  die  Gleichung  l)  «ach  y^  iTodorch 
wir  erhalten! 

4.tP[fV(rSy)l      rf«[K/(F,y)]      '^L'^ '^^    J 
Addiren  wir  hierzu  die  Gleichung 

dy  dy  dy* 

,   ^d^f{Y,y) 

df(x   «) 
welche  aus  1)  hervorgeht,  \venn  wir        j  anstatt     f  (x  ,   y) 

setzen,  so  erhalten  wir 

«i»[Fy(Fi,y)]      d^r/jY,  9)]         «P(F',  y)         <PA>^  y) 
■*"    "    %»  rfy«  '^  •      rfy*     ^''       dy*       ' 

Eine  weitere  Differentiirung  dieser  Gleichung  gieht  uns: 


41 

M*  .  M  — 


welche  mit,  der  aus  I7  für  — ^i"  anstatt /*(ar,y)3sich  ergeben- 
den Gleichung  ^  * 

durch  AdditioD  verbunden  sogleich  zu  der  Formel 

.pC?vi.F,y) 
fährt. 

I 

Wie'  wir  diesen  einfachen  Calcul  weiter  fortföhren  '  können, 
ist  klar.  Betrachten  wir  aber  die  Resultate  unter  1),  2)  und  3) 
einigermassen  mit  Aufmerksamkeit,  so  werden  wir  zur  Vermuthung 
hingeieitet,  dass  der  nte  Differentiaiquotient  des  Integrales 


tlai 

Y 


von  folgender  form  sein  werde : 


42*. . 

Um  die  volle  Gewissheit  dieses  vor  der  Hand  noch  hypotheti- 
schen Resultates  zu  haben,  differentüren  wir  dasselbe  nach  y» 
wodurch  wir  erhalten 

+ ^ — -: 

Aus  1)  leiten  wir  aber,   wenn  wir  f(a;,  y)  durch  ■      \  j^  ^     er- 
setzen, leicht  die  Cileichung  ^ 

d}fj^s         dt,"       "^    J^     ^y»+»     «* 

ab,  welche  zn  ihrer  VorgSngerin  addirt,  auf  die  Formel 


fuhrt.  Oasselbe  Resultat  gewinnen  wir  auch,  wenn  wir  in  4)  n-|-l 
für  n  se^tzen,  wodurch  das  in  4)  ausgesprochene  Gesetz  von  je* 
dem  Zweifel  frei  ist. 

In  dem  Falle  Y^=^a,  wo  a  eine  Constante  bezeichnet,   folgt 
aus  Gleichung  4) : 


t 


43 


5)         äp^J  f(^.y)dx 


_  fd-nx.y)^^'    d?>{Yf{Y,y)\  d-n y,  y) 

und,  wenn  Fsö,  aus  derselben  Gleichung: 

r^'^x^l,        iH  YY(  YK  },)}_       d'f{  n  y) 

Wenn  endlich  gleichzeitig   Y^  =  a  und  F=6  gesetzt  wird^  so 
erhalten  wir  aus  4)  die  bereits  bekannte  Formel : 


7. 


$/V(-,)^=/'-^^-^^- 


44 


I         I 


Die  llmforniuiigr  c|er  irratiotaalen  ger'^ 
brochenen   Vnnctioneii   In    andere«  i 
welclie  einen  rationalen  IVenner    , , 

hal»en. 

Von  '  ^ 

Herrn  B.  Sommer , 


Sil  Coblenz. 


*t 


L    Hat  man  die  gebrochene  Function  j^»  wo   der  ZShlef  ||^ 

ein  ganz  beliebiger  irrationaler  Ausdruck  sein  mag,   deissen  em»^2i 

zelne  Glieder  aber  keine  Separatnenner  'haben  spllen,  in   weichet, 

Wurzelwerthe  vorkommen,  so  findet  sich  in  jedem  Lehrbuche  dcf^'" 

Arithmetik  dargethan>  wie  man,  sobald  iV^  die  Form  r-f^V«  odfl^ 

^  '  Z  .  '^fe. 

aVa-|-^V/|3  hat,  eine  Umformung  von  ^  bewerkstelligt ^    in'  ircliiii, 

eher  ein  rationaler  Nenner  vorhanden  ist.  ,Man  ronitiplicirt  nSia- 
lieh  Zähler  und  Nenner  der  gegebenen  Function  resp.  mit  r — a%^t 
oder  fli/ö~ÄV/3.  • 

2.  Ist  Z  derselben   Bedingung    unterworfen,  d.  h.   ist  Z  eil 
irrationaler   ganzer   Ausdruck,    so  liisst  sich    auch  (ur  die  ausgc 
dehnteren  Formen  von  iV,  nämlich  für    r  +  aVa  +  ^V/5  und  selbi  '- 
r+aVa  +  6V/3  +  f;Vy  woch    die  verlangte  Umformung  ausfuhrai^ 
man  geht  dann  nur  successive  zu  Werke  und  schafft  eine  VS^urif'^.^~<i 
nach  der  andern  fort,   indem  man  sich  den   gegel>enen  Nennerjr'!<- 
zwei  gleich-  oder  doch  möglichst  gleichgliedrige  Ausdrücke  zerlij^ynr 
denkt,  die  man  dann   statt  wie  im  Nenner  iV  durch  Hh  2u  verUjW 
den,   substractiv  nimmt.  -.(^trv 


So  gibt  die  Multiplication  von  "xi 


r'jlif . 


45 


nit  dem  Factor. 


F=(r+|iiv'«)— 6V/3 
einen  Werth,  der  nur  noch  eine  Wurzel  enthält,  so  wie  fär 

mit 

als  Resultat  einen  Ausdruck  liefert,  der  nur  noch  zwei  Wurzeln  hat. 

»    ■  _ 

In  diesen  Fällen  kann  man  mithin  durch  fortgesetzte  Multiplication 
zuletzt  zu  einer  Umformung  kommen  ^  die  gar  keine  Wurzel  ent- 
hält 

Den  Factor  F  als  Differenz  zweier  möglichst  gleichgliedrigen 
darzustellen,  ist  unerlässlich ;  hätten  wir  z.  ß.  lür 

ihn  nicht  gleichgliedrig  gemacht,  sondern  etwa 

F=(r  +*aV«  +  6  V/3)— rv/y 

genommen,  dann  wurde  das  Product  F,  N  auch  wieder  drei  Wur- 
feein  enthalten,  die  ganze  Multiplication  hätte  dann  mithin  nicht 
das  Geringste  gienutzt. 

3.  Enthält  nun  aher  N  als  Glieder  vier  Quadratwurzeln  aus- 
.  iV  dem  rationalen  Gliede  r  oder  gar  noch  mehr  als  vier  Quadrat- 
[.  virzeln,  dann  iässt  sich  das  Verlahreo ,  nach  welchem  man  stets 

iise  Wurzel  weniger  erhält,   nicht  mehr  anwenden;    denn  man 

hat  mr 


also 


N=:r+aVa  +  bVß  +  cv^y  +  dVS, 


F=(r+a1/a+6Vi?)-<cV'y+rfV*) , 


_  « » 

Producte  F.JN  auch  wieder  vier  Quadratwurzeln,  indem  deren 
in  {r  +  aVa+bX/ß)'^  und  noch  eine  in  (cVy  +  dVS)^  enthal- 
sind.'    (Wir  nehmen  nämlich  r   als  von  Null  verschieden  an, 
wir  den  allgemeinen  Fall  betrachten  wollen).  —     Ebenso  lässt 
[■Äh  leicht  zeigen,  dass    bei  einem   2i}gliedrigen   Ausdrucke    die 
Htiplication   mit   der  Differenz    der  beiden  ngüedrigen   Werthe 
"^(inlicirt  (und  dies  ist  noch  der  günstigste  Fall)  nur  fiir  2n  =  2 
id  zi»=4  einen  Werth  gibt,  der  weniger  als  2« — l  Wurz^eln  ent- 
Üt,  d.i.  weniger  Wurzeln  als  der  gegebene  2ngliedrige  Ausdruck;  — 


46 

ebenso  das«  bei  einem  2n+l  gliedrigen  Ausdrucke  die  Multi|»iicatioa 
milder  Differenz  aus  einem  n-  und  einem  {n  + 1)  aViedngen  nur 
ftlr  2ii +l==:l,  oder  3  dies  nocb  gibt.  —  Wir  unterlasseo  es  dct 
Beweis  hier  weiter  auszuführen,  da  derselbe  sehr  leicht  ist,  so- 
bald man  nur  die  Anzahl  der  Combinationen  zur  zweiten  Klasse 
einföhrt.  * 

4.     Um  nun  einen  Ausdruck  ron  der  Form: 

der  n  Quadratwurzeln  enthalten  mag,  durch  Multiplicatioti  mit 
einem  noch  unbekannten  Factor  F  rational  zu  machen,  wSklei 
wir  F  von  der  Form:' 

+  (r,\^y  +  ZaV"^+....)    ^ 

+ ••  •■• 

+  ir  \cißy...,k* 

wo  mithin  die  erste  Heihe  alle  Combinationen  der  Wurzeln^ ent- 
hält,  die  in  JY  vorkommen,  zur  ersten  Klasüie,  jede  mit  eiDeii 
noch  unbestimmten  CoefKicienten  multiplicirt,  die  zweite  Reihe  die 
Combinationen  zur  zweiten  Klasse  u.s.  w.  bis  zur  nteir  Klasse. -^ 
Im  Ganzen  enthält  daher  der  Factor  F 


1  I  «  I  ^(^^— ^)  I  11 


d.  i.  2"  Glieder. 


Bildet  man  nun  das  Product  F.iV,  so  werden  hierin,  wie  ntai 
leicht  erkennen  wird,  nur  Wurzeln  vorkommen  können,  die  aoch 
in  F  vorkommen.  Macht  man  nun  die  Bedingung,  dass  alle  Coef* 
licienten  dieser  sämmtüchen  Wurzeln  verschwinden  sollen,  so  er- 
balten wir  hierdurch  '2" — 1  Gleichungen,  die,  weil  2"  unbekannte 
Coefßcienten  vorhanden  sind ,  noch  einen  dejselben  willkuhrticb 
anzunehmen  gestatten;  dies  letztere  werden  wir  wohl  am  geeig- 
netsten dadurch  benutzen,  dass  wir  ()=l  annehmen.  Der  nene 
rationale  Nenner  wird  nun  fiir  ^  =  1: 

r-\-aaxi  +  bßx^'i-  cya:^  +  ',JLvn, 

I 

wo  för  die  x  ihre  Werthe  aus  den  2" — 1  Gleichungen  einzusetzen 
sind.   ^ 

Die  o:  Werthe  sowohl  wie  diejenigen  aller  anderen  unbekannt 
angenommenen  Coefficienten  kunnen  aber  nicht  WurzelausdrOck? 
enthalten^  da  sie  sich  ja  sämmtlich  aus  Gleichungen  vom  ersten 
Grade  herleiten,  die  Constanten  aber^  welche  ih  diesen  Gleichungen 
vorkommen,  seihst  keine  anderen  als  rationale  Grössen  ^Ind. 


,47  ■   ; 

Bei8|piel.    Für 

ist 

F=  1  +  oTi  V2 + .t^  V3+y  V2.a* 

also 

F.iV;=(3+2a:i  +6a-»)  +  (3ari  + 1  +6y)V2+(3a:a+2  +2y)v'3 

+  (%+^a+2ar,)V6. 

Die  Coefficieiiteir  x^,  x^  y  ergeben  sich  daher  aas  den  drei  Glei- 
changen : ' 

3ar,+l+6y=0 
3xa+2+2y=0 
3;y +Xa-J- 2x1  ==  0. 

Die  erste  dieser  Gleichungen,  mit  2  multiplicirt,  hierzu  die  2te 
addirt  und  Ton  dieser  Summe  die  mit  3  mliltiplicirte  dritte  subtra* 
hirt,  gibt 

4 
ond  daher  aus  der  ersten  und  zuheften  nun 

_n  2 

^1— 15  *    ^3  — -"15' 
m  dfliss 

QQ       \q       71 

F.iV=3+2a;,+&f.= 3-tg- j^  =  j| 

• 

6.  Sind  unter  den  Quadratwurzeln ,  die  in  N  enthalten  sind, 
•Hdi  solche,  welche  Combinationsfo^men  von  andern  gleichfalls- 
Torkommenden  sind,  so  kann  man  diese  bei  der  Aufstellung  der 
Form  voo  F  als  gar  nicht  vorhandeu  ansehen;  so  z.  B.  hat  f6( 

ier  Factor  die  gan:|  ähnliche  Form 

fie  er  auch  haben  wurde,  wenn  das  Glied  cVo^  gar  nicht  in  N 
Ttrkinie,  oder  wenn  c=Ovd.  h.  ,wenn 


H'llre. 


0.  Enthftit  N  nun  aber  nicht  nur  Quadratvnirzeln »  sondeii 
auch  höhere  Wurzeln,  so  bleibt  das  Verfahren  docb  eanz  dasselbe, 
nur  wird  die  Form  von  F  etwas  ausgedehnter  werden.     Sei  z.B. 

m  n  p 

Dann  mflssen  wir  in  der  Form  von  F  bei  der  (3onibioation  der 

m        n 

Wurzelwerthe  Vf)c,  V"/?,...  auch  stets  diejenigen  Ausdriicke  be- 
rüclcslchtifi^en,  die  man  ans  jeder  einzelnen  ConüiinatioQsfprm  er- 
halt, wenn  man  an  die  Stelle  von 


m 


Va  setzt  y«*,  Va',....  v^«"»-M 
ebenso  tttatt 

V^/3  setzt  Vß^,  VP, V/J«-'; 

statt 

Vy  setzt  Vy*,  Vy', ....  V^^ ; 


und  zwar,  wie  sich  von  selbst  versteht,  ist  jeder  dieser  Ausdriicke 
mit  einem  eigenen  unbekannten  Coeflicienten  zu  mnitiplictren. 

m         n  ' 

So  sind  mithin  z.  B.  in  der  einen  Form  V^i.Vß  die  ForroeD 
enthalten : 


Es  wird  hiemach  der  Factor  F  die  Form  erhalten: 


I 


+ 


49 


^  WiV«-vß+y'2Vtt^vß+ 


• « *  • 


I  \ 


m       n  tn       n 

+    •.... 

Die  Anzahl  der  verscEiedenen  Wurzelwerthe  in  F  phi&  dem  einen 
rationalen  Gliede,  das  wir  ;Bchou  der  Einheit  gleich  gemacht  ha- 
ben, wird  daher 

1  +[(m-i)+ («-!)  +  (p-1)  + ] 

+  [(m-l)(«— 1)-K«^-1)(?,-1)+ ....] 
+ 

+X(»t-i)(«-i)(p-i) ] . 

Es  ist  aber  dieser  Weftb  nach  der  Algebra  nichts  anderes  als: 

[1  +  («•-!)]  [1  +  (n-l)]  [l  +  (p-in , , 

d.  i. 


m  «  9t  •  p 


•  •  • 


Der  Factor  F  enthält  mithin  m.n.p,..^  minus  1  unbekannte 
Coeffieienten,  die  >vir  ^anf  dieselbe  Art^  wie  in  Nr.  4.»  durch  ebenso 
Tieie  Gleichungen  ermitteln. 

Das  Verfahren  in  Nr.  4.  selbst  ist  nur  ein  besonderer  Fall 
▼OB  dem^hen  behandelten  für  m=:7i=/9=... 

Die  Bemerkung  in  Nr.  5.  lässt  sich   auch    hier    leicht"  über- 

m  m 

tiagen;    kommen  hier    z.  B.  Glieder  vor  wie  ya,  V<^^9****  uiid. 

m  n 

Combinationen    mehrerer   Elemente    wie  V«.   Vß^   etc.,    so   be- 

achten  wir  auch  nur  die  Werthe  Vci,  Vß  als  Elemente  ^  berück- 
nchtigen  aber  wohl^  dass  fär  jedes  Element  auch  seine  stellvertre- 
tenden zu  setzen  sind. 

Beispiel.    Für 

iV=3— 2V5 
wird 

und  ]yF=  (3-2.5Ä'a)  +  (3ari— 2)  V5  +  (Ora— 2^i  )W> 

iaher  für 

Tbcil  XVIII.  4 


50 

3xi-i=0,Sx2— '2X1=0, 

\ 

/ 

oder  , 

_2  4. 

^        o     10.4  13 

wird  der  neue  Nenner  werden:  J  — -g-:=  "*  9  * 

7.    Sind    nun    im    Nenner    auch    Glieder,    von     der    Form 

m  •  ^  . 

\f ^ 

V  a-\-yß  vorhanden,  was  wir  bis  Jetzt  als  nicht  stattfindend 
angenoihnien ,  so  lassen  sich-  indessen  auch  diese  wegechaffeD, 
sobald  wir  nur  dem  F  eine  solche  Form  geben ,  das«  wir  unter 

seinen  Elementen  ausser  V  ^-{-Vß  und  dessen  stellvertretenden 

m m 

PotenzenV  (a+Vft*»  — V  («+V/3)*~*  auch  noch  Vß  mit  seinen 

n  n 

Stellvertretern  v/5*j-.Vi3"~*  aufnehmen. 
Man  sieht  daher  hieraus,  dass  z.  B. 

m. 


N^^r+ay  a+Vß  +  bVß+ci^Y+dVß^ 
ganz  dieselbe  Factorfonn  bat  wie  der  Nenner 


r+ 


fW 


Man  behandelt  also  hier  V  «-f  Vi^  ^ie  die  Wurzel  aus  einem 
rationalen  Werthe,  nur  dass  man  noch  seine  innerhalb  stehende 
Wurzel  berücksichtigt. 

Analog  zählt  der  Ausdruck 

m    ^ 

für  die  drei  Elemente: 

4  /"      '     "  PA  /"  P  V 

jedes  mit  seinen  Stellvertretern. 


51 

8.  KommiBn  Wonieln  vor,  io  denen  6lch  die  innerhalb  stehenden 
Wurzeln  nicht  stets  bis  zu  Ende  erstrecken,  wie  z.  B.  bek 

m 


V — = — ^ 

80  gilt 'dieser  fflr  die  dr^i  Elemente 

-m 

l/^~       _  ^  ^         ^ 

jedes  mit  den' stellvertretenden  Potenzen. 

Man  sieht  hierans  und  aus  der  vorigen  Nummer,  dass  während 


n 


«+6Y  ß+cV(Y+d\/ö) 


die  Elemente  vertritt: 


V  ß+cVY+d\/d\  /    ß^cV  Y+dWV  y\^dvS,V^^ 


dagegen'  der  Ausdruck : 


a+bV  ß+cVy+dVd 


die  Elemente  bedingt: 


n 


^f  ß+cvv-^dv'ö,  V 


w+ftV  ß+cvy+d\/ö,  V  ß+cVy,  Vy,  v^- 


Hiermit  sind  alle  Fälle  vorgesehen,  die  in  irrationalen-  Aus- 
drucken vorkommen  können.  *—  Wenn  nun  auch  die  Ausfuhrung 
in  den  meisten  Fällen  eine  sehr  complicirte  ist,  da  man  so  viele, 
freilich  nur  lineare  Gleichungen  zu  losen  hat,  so  ist  es  doch  nicht 
ohne  Interesse  die  Möglichkeit  anheim  gestellt  zu  haben,  die  Irra- 
tionalität  gebrochener  Functionen  ganz  allein   auf  den  Zähler  zu 


4-» 


.1 


52 

werfen,  da  ja^  bekanntlich  bei  Brficben  der  Zflhler  viel  biegsamer 
ist  als  der  Nenner. 

9.  Das  Verfahren,  weiches  wir  gezdgt  hohen,  ist  oatürlich 
auch  gültig,  wenn  man  statt  der  Constanten  r,  a,  6,  .  .  .  er,  ß,  y 
Functionen  irgend  welcher  Variablen  hat.  Um  beouem  zu  rechnen, 
u*ird  man  sogar  sich  diese  Functionen  durch, solche  Buchstaben 
ersetzen,  dann  die  unbekannten  Coeflicrenten  ganz  auf  die  gezeigte 
Art  bestimmen  und  erst  dann  wieder  die  gegebenen  Functionen 
einführen.  Will  man  auch  hier  wieder  ^  =  1  annehmen  oder  will 
man  es  gleich  dem  kleinsten  Vielfachen  aller  Nenner  der  ermittel- 
ten Coetucieoten  annehmen,  um  /lämlich  diese  Coefficienten  selbst 
als  ganze  und  nicht  als  gebrochene  rationale  Functionen  zu  erhalt 
ten,  das  bleibt  natürlich  gleichgültic:;  am  vortheilhaftesten  dürfte 
es  indessen  auch  hier  sein  den  ^-Werth  gleich  1  su  wählen. 

Es  folgt  hieraus  z.  B.  för 

und  f  und  f*  als  rationale  Function  von  ar,  sobald  der  Zähler  aach 
nur  solche  Wurzeln  oder  deren  Combi nationen  enthält,  dass  die 
comnlicirteste  Wurzel  im  umgeformten  Ausdrucke  mit  ihrem 
Coefficienten : 


^V(a:-a')(a?-VO 


sein  wird,  wo  g)  und  FN  rationale  Functionen  sind  Vermittelst 
der  Zerlegung  in  Pattialbrüche,  die  wir  auf  den  Coefficienten  noch 
anwenden. künnen,  würden  wir  noch  weitere  Vereinfachungen  vor- 
nehmen können;  es  hätte  dies  Bedeutung  für  die  Integration  ge- 
brochener irrationaler  Functionen,  wenn  es  nur  erst  gelungen 
wäre,  das  Integral  von 

\f(x — «)  (x — cc') .... 

in  endlicher  Form  zu  ermitteln,  wenn  man  mehrals  zwei  Factoren 
unter  dem  Wurzelzeichen  hat. 

10.  Es  kann  zuweilen  geschehen,  dass,  wenn  man  die  zweite 
Factorform  von  Nr.  4.  oder  diejenii^e  von  Nr.  6.,  bei  welcher  ^=1 
ist,    benutzt,   man    för    die   unbekannten  Coefficienten   Ausdrücke 

von  der  Form  g  oder  ^  erhalt.  Geschieht  dies  nun  auch,  so  deu- 
tet dies  doch  keineswegs  dahin,  dass  ein  Factor  nicht  existirt, 
sondern  nur  darauf,  dass  die  angewandte  schon  reducirte  Factor- 
form (lür  Q^l)  unter  dieser  rediicirten  Form  nicht  aufgestellt 
werden  kann.     Es   ist  nämlich   die    zweite  Form  von  F  in  Nr.  4. 


53 

aus  der   ersten  hervorgegangen,  indem  man  q  herausnahm  jind 


schrieb 


(>[i  +  ^v«+^vH J 


ond  hier  nun  den  (^Werth,  als  ganz  rationalen,  nicht  mehr  berück- 
sicht^et  —  Ein  solches  Herausnehmen  von  q  ist  aber  nicht  zu- 
lissiff»  wenn  q  selbst  verschwindet,  wenn  also  mit  anderen  Wor- 
ten &8  ganz  rationale  Glied  des  Factors  /^gleich  Null  ist;  dann 
mfissen,  wie  man  dies  auch  aus  dem  Ausdrucke 

l+?-V«  +  ^  VIS +..... 

schone  ersieht,  wenn  man  trotzdem  die  reducirtt^  Form  von  F  an- 
gewandt hat,  sich  die  Coefficienten  unter  Formen  wie  g  oder  g    er- 

1  ' 

geben,  uhd  zwar  unter  tv,  wenn  sie  nicht  in  Wirklichkeit  in  ihren 

correspondirenden  Werthen  in  der  ersten  Form  von  F  verschwin- 
den, dagegen  unter  a»  wenn  ilire  correspondirenden  Werthe  ver- 
schwinden. 

Es  gibt  dies  ans  daher  die  Regei: 

Nimmt  bei^  der  /ruber  angegebenen  Re^el  bei  der  Bestimmung 
des  Factors  einer  also  alle  Coefficienten  Bruch  formen  mit  dem 
l^enner  Null  an,  so  hat  man  nur  die  Factorenform  in  der  Art 
so  modificiren,  dass  man  alle  Coefficienten,  die  unter  der  Form 

Q  erscheinen,  so  wie  auch  das  constante  rationale^Glied  1 ,  vyeg- 

lisst,  und  nun  die  Rechnung  mit  einer  kleineren  Anzahl  .von  un- 
bekannten CoefBcienten  vorzunehmen.  (Einen  dieser  Coefficienten 
kann  man  nun  wieder  der  Einheit  gleich  annehmen). 

.    Beispiel.    Für 

;  iV=3— V2-fV7 

wurde  för 

F=l -f  a?i  V2 -f  ar2V7+y  Vl4 

fiir  Xiy  x^  und  y  di6  Form  g  resultiren ;  wir  wählen  daher 

Zur  Bestimmung  von-  x  und  ^  resultiren  die  drei  Gleichungen : 


'I 


54 

3+7y=:0, 

l+3y— a?  =  0. 

Die  zweite  von  der  ersten  subtrahirt  zeigt  schon,  weil~sie  die 
mit  3  multiplicirte  dritte  is^  dass  diese  drei  Gleicbnngeo  in  Wirk- 
lichkeit nur  zwei  unabhängige  Gleichungen  sind. 


A 


Wir  finden 


3  2 

3^  =  ^— Ä  und  oc.  —  m 


so  dass  also 


jf'rrV/'i-lw-lvU 


wird  und 


iVF=~2-;;^.7=~4 


ist. 


Dies  Verfahren  findet  auch  seine  Anwendung^  wenn  statt 
constanter  Coefficienten  Functionen  verbanden  sind,  wie  dies  in 
der  vorigen  Nummer  berührt  wurde. 


55 


VI. 

Veber  den  UTinkelspieseL 

Von 

Herrn  Doctor  Julius  Hartmanjn, 

Gymnasiallehrer  zn  Rinteln. 


Der  Winkelspiegel  wird  von  den' Physikern  als  ein  unwichti- 
geres Instrument  gewöhnlich  nicht  sonderlich  beachtet;  daher 
sich  in  den  meisten  Compendien  über  demselben  entweder  nur 
korze  specielle  Fälle  berfinrende,  oder  gar  unrichtige»  —  well  zu 
allgemein  ausgedehnte,  —  Angaben   finden/)     Deshalb    erlaube 

«)  Z.  B.  Müller  (Pouillet)  2te  Auflage  1844.  pag.  356.:   »»Betrüge 
J_  111 

4er    Winkel   r>ä>-7A  ^^^  ganzen  Umfange«,  so  hätte  man  6,  8,  10  Bilder 

gegeben.'' 

Gelil^r.  WörterBoch.  Art.  Kaieid o  skop  ,  Ten  Brandes,  5.  Band 
p.  815»  enthält  nur  den  Fall,  wo  9  in  360<^  aufgeht.  Im  Art  Spiegel 
T.  Maneke,  8..  Band.  pag.  932,  ist  nur  Ton  parallelen  Spiegeln  die 

Rede. 

Clemens.  KSni^sberg  1839:  »,l8t  der  Neigungswinkel  n^^  so  ist  die 

.  -      ^         n-ij       360     ,               360            ^     .  ,     ,  ,360  . 

Aasahl     der    Bilder  — — 1,  wenn gerade  ist.  Ist ungerade,    90 

#•  zip  ## 

«■tstelsen 1  oder  Bilder,  jennchdem  der  Gegenstand  gleich 

ongleich  weit  Ton  dem  Spiegel  steht'S    Aber  wieviel  sieht  raant 
Koppe«     Essen  1847:  pag.  355.    „Wenn  9   in  360*^    nicht    aufgeht^ 
•ondern  zwischen  H  und  ll-f-l  mal  darin  enthalten  ist,  können  n  und  n'{-\ 
Bilder  erscheinen,  was   vom   Ort    des  Gegenstandes  abhängt.   Wenn 
•  in  360   ^mal  aufgeht,  so  siebtem  an  den  Gegenstand  n  mal*'* 

Mnncke.  1830.  p.  558.:  „Zwischen  einer  Neigung  von  180^  bis  0» 
p]  liegt  also  einr  der  Grosse  des  Neigungswinkels  umgekehrt  propor- 
tionale Menge  tob  Bildern.''  [??] 


56 

Ich  mir  ii»  Folgenden  einige  Bemerkungen  darüber,  namenUich  an 
zu  zeigen,  dass  in  den  meisten  Fllllen  ffir  einen  be stimmte D' 
Neigungswinkel  der  Spiegel,  je  usich  d^m^  Standpunkte  des  Au- 
ges, drei  verschiedene  Anzahlen  von  Bddern  gesehen  werden. 

Um  die  Erscheinungen  zu  sehen,  kann  man  sich  sehr  leicht 
einen  Winkelspiegel  anlertigen.  Man  befestige  die  Spiegel*)  — 
etwa-  in  Form  von  Rechtecken  von  2  und  4  bjs  5  Zoll  Seite  ge- 
schnitten —  auf  Rechtecken  von  Pappe,  die  am  obem  ond  vordem 
Rande**)  rahmenartig  überstehen  können,  durch  aufgeleimte  Pa- 
pierstreifen; und  klebe,  die  Spiegel  mit  der  spiegelnden  Seite 
aufeinander  gelegt,  über  die  Schnittlinie  ein  Stfick  Leinwand,  das 
das  Charnier  bildet.  Den  einen  Spiegel  befestigt*'^*)  man  nachher 
auf  der  Linie  MO^  eines  eingetheilten  Halbkreises,  wShrend  der 
andere  auf  der  Einiheilung  herhewegt  werden  kann.  Ein  Papp* 
streifchen,  rechtwinklig  umgebogen,  mit  einem  Schenkel  an  die 
Eintheilung  sich  anschliessend,"  und  mit  einem  Index  versehen,  auf 
dem  andern,  aufrechtstehenden,  eine  Oeffhung  senkrecht  über 
dem  Index  tragend,  dient,  den  Ort  des  Auges  zu  fixiren. 

t 

Im  Folgenden  wird  vorausgesetzt,  dass  die  Spiegel  von  der  Schei- 
tellinie  aus  nach  drei  Seiten  unbegrenzt  seien.  Die  in  prall  no* 
t'hige  Beschränkung,  kann,  ohne  der  Allgemeinheit  Eintrag  zo 
thun,  dadurch  unschädlich  gemacht  werden,  dass  man  nur  das  Auge 
nahe  genug  an  die  Scheiteliinie  und  dem  eingetheilten  Kreise  bringt 


§    1. 


Aus  dem^Reflexionsgesetz:  „Der  Ausfallswinkel  ist  dem  Ein- 
fallwinkel  gleich  u.  s.  w/^  ergiebt  sich  bekanntlich: 

(1)  Dass  das  Bild  At^ifer  einem  eben  en  Spiegel  so 
VT  ei t. liegt,  als  der  Punkt  vor  ihm.  —  Der  Ort  des  Bildes 
zeigt  sich  als-'Spitze  eines  Kegels,  dessen  Basis  die  Pupille  ist.  — 
Hier  soll  der  Einfachheit  wegen  bloss  die  Axe  dieses  Kegels,  mit 

Bauiiigartner.  8te  Aufl.  1815.  p.  550:  „D<»8halb  geben  solche 
Win1<els|)iegel  auch  nur  «— l  Bilder".  [V?]. 

fiiseni  ohr.  4tc  Aufl.  44.  p.  249:  „Ut  mon  der  nie  Thcil  von  360<>, 
80  entstehen  n—l  Bilder'  [??]. 

Lau Ue Schläger.  Figurentafcin  1841.  V.  Fig.  8:  „Es  erscheinen 
die  Bilder  s»  oft  (weniger  ein)  niiil  vervielfacht,  als  der  Kcignngswin^ 
ke!  in  3600  enthalten  ist**-  [??J  u.  s.  w. 

*)  Am  hesten  mctallne.  Gewöhnliche  gehen  Iceine  scharfe  Scheitel' 
linie  auch  doppelte  Bilder;    geschwärzte  Glasspiegel  zu  wenig  Licht. 

**)     Der  hintere  die  Scheiteliinie  hildcndo  und   der   untere  Rand  tnas- 
scn  ohne  Rahmen  sein. 

***)  Geschieht  dies  hloss  etwa  durch  2  ans  der  Linie  MO  henrorra- 
gende  Stecltnadelspitzen,  welche  in  die  Fapprahmen  eindringen ,  so  lässt 
sich  der  Spiegel  abnehmen,  aufklappen  lind  bequem  nnfbcwahrco. 


57 


vielcher  der  sehr  schlanke  Kegel  ohne  dies  fast  ganz  zasammen- 
nyit,-  in  Betracht^gezogen,  d.  h.  das  Auge  als  Punkt  betrachtet 
irerden. 

i2)  Aoge   ii|nd    Gegenstand    liegen    imraer  vor,   das 
Aintcr  der  Spiegelebeue. 


§.2. 

Bilden  zwei  Spiegel  RM  und  A31  (Taf.  II.  Fig  1.)  einen  Win^ 
kel  (=9?)  mit.  einander,  so  sind  die  vier  VVinkelräume  zwischen 
ihnen  und  ihren  Ervveijterungen  so  unterschieden,  dass 

I.  (ßilf^  vor     ßjf  und     vor    A3i 
II.  {AMR")    vor      -        .    hinter  - 

III.  (RMA')  hinter  -        -  '   vor,    - 

IV.  (R'MA')hinteT  -        -    hinter  -  liegt. 

(37  Auge  und  Gegenstand  müssen  daher  immer  im 
Raum  I.  (RMA)  zvt'ischen  den  Spiegeln  selbst,  die'  Bil- 
der aber  inll.  III.  und  IV.  liegen. 


§.  3.        . 

Ein  Gegenstand.  rPunkt)  ß  (Taf.  II.  Fig.  I.  und  2.)  zwischen 
RM  und  aS^  gibt,  im  Spiegel  RM  sich  spicc^Ind .,  hinter  diesem 
ein  ßild  6|.  Dies  vertritt  gleichsam  die  Stelle  eines  neuen  Ge- 
genstandes und  gibt,  in  J^yS^  sich  spiegelnd,  das  Bild  ß^*)  wobei 

Bbi  senkrecht  zu  RM  steBt  und  von  RM  haibirt  wird 
jSaöj  -       •    -  AM      '        -        •     AM 


§.4. 

'  *  Um  den  wirklichen  Gang  der  Lichtstralen  zu  übersehen, 
ziehe  man  (Taf.  U.  Fig.  2.)  vom  Ange  O  nach  dem  letzten  Bilde 
ß,2  die  Gerade  Oß^,  welche  AM  in  "2^  trifft.  Von  diesem  Punk^t 
muss  der  letzte  Stral  ins  Auge  gelangen.  Ferner  ziehe  man  von 
2^  nach  dem  vor)ier<^ehenden  Bilde  b,  die  22^/1,  welche  RM  in  2| 
trifft,  und  endlich  2iB,  'so  ist  B^i^^O  der  Gang  des  zweimal 
reÜectirten  Strales.  —  Es  ist  leicht  zu  zeigen,  dass  dadurch 
Winkel  2i2a^=  022^4  and  2a2iil/=Ä2i/^  wird. 


*y  Die  Bilder,  die  sich  hinter  Ji3f  -gebildet  hf^ben,  sind  mit  ö  (latei- 
lisch),  die  durch  Spiegelung  in  A:U  entstandenen  aber  mit  ß  (griechisch) 
»ezeichnet.     Die  angehängten  Zahlen  gt^beh  die  Zahl  der  Ueflexionen  an. 


58 


\   \ 


§.5. 

Das  Bild  §2  (Taf.  II.  Fig.  1.  und  2.)  kann  nnn  wieder  die  Stelle  ein« 
Gegenstandes  för  RM  vertreten  und  hinter  diesem  ein  Fild  ^ 
geben,  wenn  wieder 

ß^b^  senkrecht  zu  RM  steht  und  von  RM  halbirt  wird. 

Der  wahre  Gang  des  (dreimal  reflectirten  Strales  ergibt  sieb  wiede 
wenn  man  (Tat*.  II.  Fig.  2.) 

O63  zieht»  welche  RM  in  3^*  trifft 

Sal^s  •  •%  •  9  •  •  •  •     -^^  in  3^    - 

3a6i  ........    RM  in*  3i    -    und 

a^fi  zieht. 

Er  ist  ÄSiOaSsO. 

Ebenso  kann  63  wieder  als  Gegenstand  fSr  den  Spiegel  Ai 
gelten  und  hinter  diesem  ein  Bild  ß^  geben  u.  s.  w.  Der  wahr 
Weg  der  Lichtstrahlen  wäre  Biii^^^^^O.  u,  s.  w. 


$.  6. 

Wie  wir  hier  eine  erste  Folge  von  Bildern 

bi  ßi  63  ß^  ftft.-.. 
betrachteten»  die  dadurch  entstand»  dass  wir  abwechselnd 
zuerst  blos  RM  als  vorhanden  dachten,  worin  61 


,dann    blos  AM    -  -  -  '      ß^ 

dann    blos  RM     -  -  -  -      65 

sich  bildeten»  erhalten  wir  noch  eine  zweite  Folge  von  Bildern*] 
die  dadurch  entsteht»  'dass  wir  abwechselnd  (Taf.  II.  Fig.  1.) 

zuerst  blos  AM  als  vorhanden  ansehen»  worin  ßi 
dann  blos  RM    •  -  -  -      6/1 

dann  blos  /IM    -  -  •  -     ßm 

« 

sich  bildet. 

(4)  Die  beiden  Folgen  unterscheiden  sich  blosduxc 
den  A.nfangsspiegei. 


*)    Die  Bilder    der  ersten   Folo^o   sind    mit    arab  is  c  Ken,  die  d< 
zweiten  Folge  mit  römischen  Zahlen  versehen. 


59 


§.  7. 


> 


Alle  entAtefienden  Bilder  lieeen  im  Umfang  eioes 
[reifes  11118  Jlf  vom  Radi  US  MBf  indem  (Taf.  II.  Fig.  1.) 

MB,  und  Jf6i,  Mbi  und  Mß^,  Mß%=^Mb^    u.  s.  w. 

5^  Hjrpotennsen  je  -  zweier  congruenter  rechtwinkliger  Dreiecke 
'■^^  8iod.    Ebenso  ist 

MB=zMßj,    Mßi^mu  u.  s.  w. 


§.8. 


Die  in  §.5.  angedeutete  fortgehende  Entstehung  neuer  Bilder 
l  nicht  ohne.Ende.  Die  Fol^e  scnliesstsich,  sobald  ein  Bild  in  oder 
iBter  die  .Ebene  des  Spiegels  tritt,  in  der  es  sich  zunächst 
iegeln  müsste. 

Nuir  liegen*  die  lateinischen  Bilder,  b,  hinter  RM,  also  im 
laome  IlL  oder  IV.  Die  in  JH.,  welche  zugleich  vor  ^  AM 
«gen,  sehen  hinter  AM  weitere  Bilder.  Nicht  so^  aber  die  in 
iif  und  d^e  in  dem  Räume  IV.  liegenden.  Die  griechischen,  hinter 
iM  liegend,  sind  im  Raunie  II.  oder  IV.  In  IL  sind  sie  zugleich 
[ler  RM,  pflanzen  ^sich  ali^o  weiter  fort ;  nicht  aber   die  i  n  MR' 

'  dem  Räume  IV.  liegenden. 

(6)  Das  erste  Bild  einerFolge  also,  das  in  den  Schei- 
»Iranm  IV.^der  Spiegel  (die  Schenkel  desselben  mit- 
terechnet) geräth,  ist  das  letzte  (Schluss-)  Bild  die- 
ter  Folge.  ^ 


^  i 


§.  9. 

Dass  aber  von  den  aufeinanderfolgenden  Bildern  jeder  Folge 
i8  einmal  in  den  Scheitelranm  treten  muss,  sieht  man  leich^. 
die  Veibindungsfinien  (Taf.  IL  Fi^r.  l.) 

Bhx  /^s^s  ^465  senkrecht  zu  RM 

biß^  b^ß^k  Kß%  senkrecht  zu  AM 

I,  so  machen  je  zwei  benachbarte  dieser  Linien  denselben 
'  (Peripheriewinkel),  den  RM  und  AM  machen,  also  tp, 

(7)  Der  Bogen  zwischen  je  zwei  alternirendenBil- 
lr>  derselben  Folge,  wie 

bi  6s»  *Ä*5 >  ^ß^y  ßtß^ 


00 

ist  also  =2^.  Von  den  lateinischen  Bildern  6|  6365  z.B.  i 
jdaher  eines  einmal  uni  weiiiger  als  2q>  von  R^  abstehen.  — 
dieser  Abstand  nun  z=0,  ^(p  oder  =(p,  so  liegt  das  fragliehe 
selbst  im  Scheitelraume  und  ist  Schlussbild ;  steht  es  aber  w 
als  '9,  aber  weniger  als  2op  von  R\  ab,  no  liegt'  es  um  wenige 
l(p  rechts  von  A*  im  Kaum«  111;  es  entsteht  dann  noch 
folgende  (griechische)  Bild^  das  aber  dann  um  weniger  als  Itp 
von  A\  also  im  Scheitelraum  liegt. 

Ganz  Gleiches  gilt  von  den  Bildern  der  zweitep  Folge. 

(8)  Im  ScheitelwinJcelraum  (die  Sohe^ikel  mitger« 
liet)  gibt  es  daherlmmer  zwei  Bilder,  von  jederFo 
eines. 


§.  10. 

^    Ist  der  Gegenstand  B  von  Rfd  um  den  Bogen  y  entfernt, 
AM  aber  um  /=:g)->)p,  so  sind  die  Bogen  für  die   erste  Fe 


Rbi^y 
Rh^2q>  +  y 


Aß^=i3q>  +  Y 

Aß^=z6g)  +  y  u.  s.  v 


für  die  zweite  aber: 

Aßi=y 

Aßiii—2q)  +  / 

Aßr=i(p-l-y' 


Rbij=z<p  +  y 
Rbir  5=  39?  +  y' 


Bbf  i^=^(p  +/        u.  s 


§.  11. 

Was  von  einem  Punkt  B  gilt,  gilt  von  allen  im  Bogen  . 
Neben  einander  liegende  Punkte  werden  sich  auch  neben  einan 
liegend  abbilden,  da,  wenn  y  um  ^dy  zunimmt,  die  Bogen 
§.  lO.  um  ^y  zu  •  resp.  abnehmen.  Es  werden  sich  also  die  gJ 
iieihe  von  R  bis  A  (0^  bis  g>^),  der  ganze  Bogen,  im  Allge 
neu  ebenso  wiederholt  abbilden,  wie  der  Punkt  B,  Auch  wei 
die  Bilder  aller  Punkte  der  Stralen  MR  und  MA  in  den  Str 
von  M  nach  den  Bildern  der  Punkte  R  und  A  liegen,  also 


61 

f 

(9)  Fäqher (Sectoren)  mit  der  Eiiitheilungzulschcnx 
\  und  ^  eotstebeo. 


§.  12. 

Betrachten  wir  der  Einfachheit  wegen  neben' fi  nur  noch  ei- 
!;D  Pankt  Ä  im  Bogen  RAy  so.  entstehen  auf  Taf.  II.  die  Pigu- 
;Da  bis  8.,  Pig.3.  und  6.  fiir  die  erste  Folge,  Fig.  4.  und  7.  für 
ia  zweite  Folge.  Man  übersieht  dabei  sogleich , .  dass  bei  jeder 
»r  beiden  Folgen 

(10)  die  beiden  ersten  Fäcjier  (das  Ote  und'  Iste, 
te  und  Iste)  und  die  beiden  letzten  an  einanderstos* 
*n ,  durch  eine  Spiegeiebenie  resp.  deren  Erweiterung  getrennt 
ad  —  dazwischen  aber 

(11)  abwechselnd  allemal  eines  leer«  das  andere 
it  ^iner  Bilderreihe  erfüllt  ist  (vergl.  §.  lO.)»  dass  aber, 
eno  man  beide  zusammengehörfge  Folgen  auf  einander  gelegt 
enkt  (Taf.  IL  Fig.  5.  und  8.)^  wie  es  der  Wirklichkeit  entspricht': 

(12)  ein  Fach«  das  bei  der  ersten  Folge  leer  ist,  bei 
Ler  2ten  Folge  eine   Bilderreihe    enthält    und    umge 
(ehrt;  .  "  / 

(13)  ferner   dass  die  Ordnung  der  griechischen  Bilder  im 

Zeigergang*)  bei   erster  Folge:  QaßX  , 

zweiter  Folge      Xßaf^ 

[i«r  lateinischen  Bilder  im  Gegengang  bei  erster  Folge  rabl 

zweiter  Folge      Ibar 

\iAi  also  die 

||tiechischen  in  der  Ordnung  (Taf.  II.  Fig.  5.  und  8.) 

.0  '.  ^  0  9 

[fclatdnischen  in  der  Ordnung 

.,.(JK|ri  öl  6,  (4  |/i/)  buaij{rn\r^  a^  63(^1/1  f) 

0  9  0  y 

{eil,  wobei  die  eingeklammerten   in   einen  Punkt  zusammen faU 
nd  die  darunter  stehende  Gradzahl  enthalten,  und 


")   Zeigergang:     in    demselben    Sinne    herumgezäbU,     wie    die 
"*      einer  Uhr  nmlmifen;  Gegengang  im  umgekehrten  Sinne. 


62 

(14)  dass  die  geradstelligen  Bilder 
bei  der  ersten  Folge  im  Räume  II.  nnd  IT.  QhokB)  gitedyMb' 

•    zweiteo     -       •  III.  und  IV.  (rechts) 

die  ungeradstelligen  aber 

bei  der  ersten  Folge  in  III.  and  IV.  (rechts)  lateiliiseb 
'      •    zweiten      -      -    IL    •     IV.  (links)  griechisch 

sind. 

(15)  (Ferner  wird  man  bemerken,  dass  d  ie  gerad- 
stelligen  Bilder  EöeHhilder,  die  ungeradstelligei 
Cre^enbilder  sind.) 


$.  13. 

Dabei  aber  bedarf  die  Gegend    um  den  Scheitelwidk^lraHi 
noch  einer  näheren  Betrachtung. 

Wenn  man  180^= (79^+1?^  nimmt,  wo  g  eine  ganze  Zahl  nai- 
v^  (p,  nicht  aber  =0  sein  £oll^  so  hat  man  von  ^  an  Jm  Gegengang 

und  von  R  an  im  Zeigergang  allemal  g  Fhcher  (HanptrScher) 
(deren  erstes  allemal  das  mit  0  bezeichnete  zwischen  den  Spiegdi 
ist)  —  die  nicht  bis  an  den  Scheitelraom,  noch  weni- 
ger hineinragen. 

Das  dann  folgende:  ,,Endfach^'  reicht  für  r=9  bis  an,  für 
V'^tp  in  den  8cheitelraum  hinein.    Ist  nun  ' 

g  gerade  (Taf.  II.  Fig.  3.,  4.  und  6.,  (p=70^)%  so  ist  das  lefate 
Hauptfach  ungeradsteUig  (weil  das  erste  mit  0  besteichnet  ist) 
das  lil n d f a c b  also  geradstellig.    Dies  liegt  also  (14)  fiSr  die 

erste  Folge  hinter  AMA\  (auf  der  linken  Seite  von  AM^fj, 
ist  griechisch  und  endigt  mit  kg  (g)^)  (s.  J4.  und  13),  welches  v^ 
links  von  A'  liegt.  —  Für  v=:'cp  stösst  es  bis  an  ilfß';.fur 
v-^tp  liegt  ßJK'  in  diesem  Fache.  —  Der  Theil  des  Fachs,  (Bo- 
gens),  welcher  nach  links  von  ßlR^  liegt,  kann  sich  (als  griechisch) 
noch  einmal  in  3JR  spiegeln,  gibt  also  darin  noch  ein  lateini* 
nisches  „Schlussiach*'  (ein  ganzes  für  v^^fp^  ein  Stuck  för 
t?<g)),  welches  sich  mit  y>+i(0<^)  endigt.  Letzteres  liegt  t)^  rechts 
von  JK',  also  (p — v=^e^  links  von  A\  —  Für  die 


h 


*)  Zur   leichteren  Uebersiclit  sind    die    niit  g  riech  »sehen -Bildero 
erfüllten  Bogen  starker,  als  die  lateinischen,   die  der  ersten  Folge 
angehorigen   ganz    ausgezogen,    die    der    zweiten   aber    uoterbro-. 
chen  gezeichnet. 


63 


zweite  Folge  Ifegt  das  geradstellige  Endfaeh  hinter 
R'  (auf  der  rechten  iSeite  von  RMR')s  iBt  lateinisch  und 
gt  mit  Tg  (0^,  welches  £^  links  von  A'  Hegt. —  MA^  stusst 
y:=g>  gerade  an  dies  Fach,  fiir  v^cp  liegt  es  in  demselben.  — 

Theil  des  Bogen^,  welcher  noch  rechts  von  M  Af  liegt,  wird 
iesem  Spiegel  MA  ein  griechisches  S,cfalussfac6  geben, 
:hes  sicn  mit  Xg^t    (9^)  endigt.     Dies  liegt  v^  links   von  ^'. 

hat  also 

y^gerade:  erster  Folge  griechisches  Endfach  endigt 

mit  lg,      v^  links  von  A* 

lateinisches  Schlussfach  endigt  mit 

**ff+i  9  *^  Hnks  von  A* 

zweiter   Folge    lateinisches  Endfach     endigt  mit    * 

Tg,      B^  Wnki  von  A' 

griechisches  Schlussfach  endigt  mit 

Xg^i ,  v^  links  von  A'. 

ircii  ganz  ähnliche  Betrachtungen  findet  sich  fSr 

07)  (7  ungerade  (Taf  II.  Fig.  6.,  7.,  9-,  9)  =  480) 
nter  Folge  latein.    Endfach     endigt    mit  lg,  e^  links  von  A* 

griech.  Schlussfach  endigtrait^^-l-i,  1;^  .  .  •  .  .  . 

■iüer  Folge  griech.  End fach  endigt   mit     Qg,       t;^  .  .  .  ;  . 

latein.  Schlussfach  endigt  mit /^^-l^i,  €^ 

sich  also  für  beide  Fälle,  (d.  h.  für  jedes*  g>) 


08)  erster  Folge  Endfach  und  zweiter  Folge  Schluss- 
kcli;  ebenso  zweiter  Folge  Endfach  und  erster  Folge 
bUussfach  aneinander  anschliessen. 

(19)  Dadurch  enthält  der  Scheitelraum  gerade  zwei 

rilständige  Bilderreihen  von  0^  bis  qg^;  jede  theülweise  latei* 

'  und  theilweise  griechisch ,  aus  dem  Schlussfach  '  und   einem 

seines  Endfaches  bestehend,  um  t;,  resp.  um  e,  gleichsam 

unengefultet  und  auf  einander  gelegt. 

i'  ^^9  gerade  griechischft;®(t^f  l)..y^|g)*^..(£+l)£^|ariechisch 
\  lateinischÄvO lO^lO^i «^lateinisch. 

r^ ungerade  lateinisch  4£"(6:fl)..g)*^|g)ö((gp—l)...v^^ lateinisch 
,  griechisch  A^^ I OH  0^1 v^  Ag<'iechisch. 

l  QI))(Von  ilf  nach   X  und  nach   q   {q>^  und   0^)  entsteht 
kl  allemal  ein'e  Fachlinie  (Radius). 


u 


Will  man  j«tzt  bestimmen»  vrjeviel  Bilder  (deu  unBipriiii|;Udiei 
Gegenstand  mitgerechnet)  entstehen  können,  so  braucht  nai 
nur  nachzusehen,  wie  viel  mal  ein  bestimmter  Grad  th  den  t» 
^chiedenen  Fächern  zusammen  genommen  vorkommt. 

* 

Zuerst  sieht  man  sogleich »  dass  ein  Hauptfach  ■  jeden  Punkt 
zwischen  0  und  97  enthält.  Hauptföcher  sind  es  aber  2g — l=i 
Im  Scheitelraum  kommt  jeder  Gradpunkt  zweimal  Tor.  — .  tSt 
die  beiden  ausserhalb  des  Scheltelrauraes  liegenden '  Stficke  der 

Endfächer  aber  muss  man  unterscheiden,  ob  i;=s  ist*) 

Ist  v^s  (wenn  q>  in  369^  eine  ungerade  Anzahl. von  Malei 
aufgeht),  so  erhalten  die  beiden  EndfachstOcke  zusammen  gerade 
einmal  die  ganze  Gradreihe  von  0^  bis  9^. 

Ist  t;<€,  so  fehlt  ihnen  zusammen  das  StSck  von  v  bis  i 
(Taf.  IL  Fig.  IL,  9=80»). 

Ist  t;>e,  so  enthalten  sie  zusammen  eine  ganze  (Gradreifae,  mi 
ausserdem  noch  die  zwischen  e  und  v  liegenden.  (Taf.  iL  Fis.  9. 
und  10). 

(21)  Zählen  wir  nnn  zwei  zusammenfallende  gleichlautende 
Bilder  nur  einmal,  so  entstehen,  wenn 

1)  t;<s  ist  (cp  in  360  zwischen  einer  geraden  und  die  folgende 
ungerade  Anzahl  von  Malen  enthalten  ist  s.  (Taf.  IL  Fig.  lf.)voi 
Punkten :  ^ 


zwischen  0  und  i;{ 
z witschen  s  und  (p\ 


Af 3  Bilder 


oder:   zwischen  0^  und  ^^ 


n  +  2  Bilder 


g> — ä  und  q>\ 


zwischen  v  und  s  J  .      ^   »^.. . 

,  II    J/^  +  2  Bider 

von       c  und  e  selbst  \      ' 


Q 


Ä  +  3 


zwischen^  und  <p  —  X 
von       I  und  g>— 5] 


n  +  l  Bilder 


von  0  und  cp  selbst  —^(=^+1)  Bilder    von  0  und  9       ^+1 


*)  In  der  angehängten  Tabelle  sind  für  die  yerschi^deiteo  9  der  S^ 
V  und  £  zur  bequemen  Uebersicht  angegeben,  ebenso  noch' die  n  um& g 
aus  der  Relation  :  360=  «9? -}"(>?  -"  wo  für  w=2^,  qz=2v~;  für  «=^-fl 
aber  p=2ü— 9  ist. 


63  ' 

2j  v=s  ist,  (ip  111^360  eine  ungerade  Ansaht  von  Malen  aufgeht) 
fon  Punkten 

zwischen  0  und  t  oder  vi 

zHischen  f  oder  t;  und  g>l  *  +  ^  ^•'•'«'' 

ti  +  1  Bilder 

roii^  oder  c     .....  Ä+2  Bilder 

-    :  von  ij  .  .  .  .  n  Bilder 

von  0  und  ^  .   ....   -^ —  Bilder         ' 

«+1      OM 


von   0  und  g)  .  .  .  .  —^Bilder; 


t\  v>£  ist,  (g)  in  360  zwischen  einer  ungeraden  und  der  folgenden 
,  geraden  Anzahl  von  Malen  enthalten  ist)  von  Punkten 


zwischen  0  und  €| 

:       .    ■  1     ( h+o  Bilder 

|.   zniseben  v  und  g>f     ' 


oder  zwischen  0  und  '   ^  -j 

>n-fl  Bilder 

zwischen     q      und  y' 


zwischen  €  und  i;  A  4-  4  Bilder 


zwischen  ^^  und  2±5  „^g   Bilder 


e  and  ti  A  4-  3  Bilder 


von        ö  und  5^-?  «+  .  Bilder 


N  0  md  9>  ^^  Bilder 


'  »von        0    und   <p  —5—  Bilder; 


J^*^<P9  (=0,  (qp  in  360  eine  gerade  Anzahl  von  Malen  aufgeht) 
Too.  Punkten 


keil  XVIII 


• , 


N 


66 


zniachen  0  nnd  9  A-f  3  oder  n  Bilder 
von  0  und  q>  —5 —  od^r  a  Bilder. 


§.  I». 

'  Haben  wir  rni  Vorhergeheoden  gesehen»  welche  Bilder  sich 
überhaupt  bilden  kOnnen,  so  kommt  es  doch  eigentlich  darauf  an, 
welche  von  ihnen  man  von  einer  bestimmten  Stelle  aas  (för  einen* | 
bestimmten  Oft  des  Auges)  auf  einmal  ilbersleht.  —  Von  dei 
auf  einander  fallenden  lateinischen  und  griechischen  Bildend  de« 
Scheitelranmes  wird  das  Auge  allemal  nur  eines  sehen,  aber 
welche,  bedarf  noch  der  näheren  Untersuchung. 

Damit  das  Auge  ein  Bild  sehen  kllnne»  muss  die  Grade  vom 
fraglichen  Bild  nach  dem  Auge  den  Spiegel  treffen^  in  welchem 
sich  das  Bild  zuletzt  gespiegelt  hat>  nach  unseren  Figuren  sind 
deshalb  die  - 1  a  t  e  i  n  rs  c  h  e  n  Bilder  nur  sichtbar ,  wenn  die  Ver- 
bindungslinien derselben  mit  dem  Auge  den  Spiegel  MR;  die 
griechischen  nur»  wenn  sie  den  Spiegel  ^.ii  trelen. 

Denkt  man  sich  durchs  Auge  und  den  Scheitelpunkt  fagentüch  1 
Scheiteln  nie)  M  eine  Gerade  (Ebene),  welche  den  Bitdf^rbcfen 
des  Scheitel  winkeis  in  5  trifft,  so  treffen  alle  Linien  von  Punkten 
auf  der  rechten  Seite  von  S  nach  irgend  welchen  ImSpiegeh^umL 
liegenden  Punkten  der  gedachten  Linie  (Ebene)  (als  Orten  des  Ab- 
ges;  den^piegel  RM,  von  Punkten  links  von  5  den  Spiegel  ^Jf. 

(22)  Wenn  der  Winkel  a,  den  die  gedachte  Linie  (Ebene) 
mit  df  m  Spiegel  RM  macht,  sich  Snderf,  und  das  Aui^e  sich  in  der 
Richtung  von  R  nach  ^  bewegt,  so  ändert  sich  auch  der 
Ort  Sf  mithin  wechseln  im  Scheitelraum  die  sichtbaren  Bilder. 

Dagegen  macht  es  keinen  Unterschied^  ob  das  Auge  in  jener 
Linie  (Ebene)  bei  unverändertem  a,  sich  bewegt,  und  dem  Schei- 
tel 9t  näher  oder  ferner  steht. 


§.  16. 

Sehen  wir  nun,  welche  Bogentheile  sichtbar  sind,  so  kommefl 
zn  den  h  ganzen  Hauptföchern  noch  die  piit  dem  Winkel  «  ver- 
änderlichen Stucke  der  beiden  End-  und  Schlussföcher  hinzu. 
Dariiber  hat  man  z.  B.  folgende  Uebersicht: 


67 


1)  fflr  g  gerade:  z.  B.  9=70«,  5^=2,  v=4l^,  €«=30o  (Taf.  II. 


CD 


II    II    K>- 


AI 

I 


09 

I 


1  I  I  II  II  f 


S8ä 
I  I  I  I  I^ 


s 


^oooooo 

1 1  ll  1 1 1 f 


?'  09 

• 

l!0 

• 

•53 

• 

P3 

9 

2* 

^5- 

o 
5- 

ooooo 

1 

1  H  1  i^ 

S|f 

J 

*        • 
• 

•^ 

I  Der  dem  Punkt  M  nächste  Bogen  im  Sctieitelvrinkel  eRthtilt  4i« 
wo  5  sirli  befindet,  wenn  das'Aiige  in  den  ^gleicbnamigen  Pnnkten 
—  Rechts  von  den  betreffenden  Punkten  (die  also  gewisser* 
n  die  Orte  des  Ang^es  reprasentiren)  «ind  daher  die  dann  jj^ezeich - 
(lateinischen),  links  die  starkgezetchneten  (griechi* 
i)  Bilder  zn  nehmen. 

In  den  allg'emeinen  Ausdrucken  die  Differenzen  nur   herab  bis  0<^, 
mmen  nur  hinauf  bis  q>^. 

Für  a^=9  bat  man  Ton  t  bis  «p 
-      a=y — 9  hat  man  Ton  t-|-o  bis  <f 

also  S-=tp'^a  n.  s.  w. 


68 


(23)  f«r  n  angerade:  z.  B.  9>  =  48o,  gznZy  v 
(Taf.  II.  Fig.  10.) 

II      II  II 


ss36^,  6= 


I 

I 


« 
^ 


Ol» 

I 


(Jti 


I 


I  I  1  I  I  I  M  i^ 


^  !>:)  ^  o  ^  Sc  !>& 

I  I  I  I  1  if 


OoOOOOOOttÖ 

I  I  I  II  I  I  I  i^ 


ooooooo 

I  I  II  I  I  f 


?3 

s 


J^5 

SPS- 

=    NN 

(B  — : 
^2.5 


W 

s 


•     CD 

— ^  QO 

cn  09 


Wie  man  sieht,  so  bt^schränkt  sich  der  Unterschied  zwisct 
den  Ffillen,  wo  g  gerade  und  ungerade  ist,  darauf,  dass  lal 
nische  und  griechische  Bilder  und  cp^a  und  o  ihre  Hol 
tauschen. 


§.  19. 


Solche  üebersichten  für  andere  cp  knnnen'wir  leichter  dui 
eine  Art  graphischer  Darstellung,  d.  h.  durch  Figuren  gewinn 
die  dasselbe  Gesetz  befolgen ,  aber  leichter  zu  cönstruiren  i 
abzulesen  sind.     . 


69. 


Zeichnefen  wir  nämlich  für  jedes  der  4  Fächer  (die  zwei  End- 
nndzweiSchlussfacher)  je  elii.Quudrat  von  der  Seite  =9>,(Taf.Il..Fig. 
12.  bis  15  und  IG  bis-l9)*)v  nähmen  auf  der  Grundlinie  gleichsanv 
zu  Abscissen  die  Winke!  a,  zu  Ordinaten  aber  die  für  das  frag- 
liche a  sichtbaren  Bogenstücke  (Orte  der  sichtbaren  Gegenstände), 
so  bekämen  wir  eine  Reihe  von  Ordinate»  für  die- auf  einander  folgenden 
Abszissen,  die  gezeichnet  eine  schralBtte  Stelle  des  Quadrats  ge- 
ben. Fällt  dann  die  Kreuzungslinie  von  aujid  einem  Winkel  /  (den^ 
der  Gegenstand  mit  dem  Spiegel  RM  macht),  in  eine  schraffirte 
Stelle,  so  ist  der  Gegenstand  sii^htbar,  sonst  nicht  Legt  man 
nun  diese  vier  Quadrate  auf  einander,  so  erhält  man  Taf.  II.  Fig. 
:£Q.  und  21.  (für  g  gerade  und  g  ungerade),  die  die  Bilder  in 
den  vier  Fächern  zusammen  repräsentirt. 

^25)  Es  zeigen  sich  darin  in  2  Ecken  I-,  in  d'en  beiden 
anderen/ 3,  iii  der  Mitte  2  schraffirte  Stellen  auf 
einander   liegend. 

Der  Unterschied  zwischen  diesen  ^  zusammengesetzten  Qua- 
draten für  g  gerade  und  ungerade  ist  der,  dass  v  un'd  b,  nicht 
aber  die  Gradbezeicbnung  umgekehrt  ist. 


5>  20. 

Mittels  eines  solchen  Quadrats  (natürlich  mit  Weglassung 
der  nun  unno'thi^en  Schraffirung)  (Tat.  II.  Fig.  22.)  beantworten 
«ch  dann  sehr  leicht  die  beiden  Fragen: 

4 

1>  Wenn  das  Auge  [für  g>=.70  z.  B.]  in  einem  bestimmten 
Grade  steht,  z.  ß.  ()4^  (von  RM  entfernt),  in  welchen  Bo- 
gentheilen  niuss  der  Gegenstand  stehen^  wenn  man  in 
jenen  vier  Fächern  1,  2  oder  3  Bilder  sehen  will? 

Die  Dreiecke  a  64  40,  so  wie  6  64'  30'  sind    gleich-  ^ 
schenklig»  dah^r 

64.«  =  64.  40=24  Grade 

&.64'=64'30'=34      - 

,Steht  also  der  Gegenstand  B 

zwischen    tf^  und  24^  (von  RW)  so  gibt  es    1  Bild**) 


240  unii  360 
36»  und  700 


2  Bilder 

3  Bilder. 


2)  Wenn  der  Gegenstand  in  einem  bestimmten  Grade  steht 
s.  B.  yr=]3,  wo  sieht  das  Auge  I..  2...  3  Bilder? 


*)    Die  Figuren   enUpreehen  Nr.  (23)  nnd  (24)  nach   den   glcicblaii^ 
teiiei  Buchstaben,  (ß)  {ö)  n.  s,  m. 
**)    S.  Nr.  (2T)  nml  (28). 


TO 

Es  i8t 

13  «1=13  40^=27  Grade 

M  13'=13'3(r=17  Grade. 

al«o  sieht  das  Auge 

zwischen  0<>  und  27<>  (von  RM), 3  Bilder 

'270  und  530    -        •        ...    2  Bilder 
530  und  7(K^    -        -        -  -    I  Bild. 

(^)  Zu  diesen  1,2  oder  3  Bildern  kommen  nun  a.lle- 
mal  noch  die  h  Bilder  in  den  Hauptfächern  (den  Ge- 
genstand B  mitgezählt)  hinzu,  so  dass  man  fir  alle 
sichtbaren  Bilder  A-f  I»  A+2  oder  h\Z  zu  nebmc^n  hat. 

Hiervon  machen  jedoch  die  Punkte  0^  und  fff^  (ab  Gegenstand 
angesehen)  eine  Ausnahme.  Wenn  man  diese  Punkte  an  der 
Grenze  der  Haupt-  und  End- Fächer,  (wo  sie  in  (23)  und  (24)  — 
bei  den  Quadraten  mitberucksichtigt  werden)  nicht  mitBählt,  so 
kommt  jeder  derselben  in  den  Hanptföchern  nur  {g — l)mal  vor, 
weil  immer  je  zwei  zusammenfallen. 

(27)  Für  die  Gegenstände  0^  und  tp^  hat  man  also 
statt  h  blos  g—X  zu  lesen. 

Einer  besonderen  Beachtung  bedürfen  auch  noch  bei  unsem 
Quadraten  die  Grenzfälle,  wo  die  Kreuzungslinien  in  die  Ecken 
oder  Grenzlinien  des  äussern  Quadrats  ooer  inneren  vRechteclcs 
fallen.  Man  sieht  nämlich  bald  (am  leichsten  an  Taf.  II.  Fig.  9.  und  10.) 

(82)  dass,  wenn  der  Kreuzungspunkt  fallt 

1)  in  die  Ecken,  oder  die  obere  und  untere  Grenzlinie 
des  äussern  Quadrats,  man,  wo  3  Bilder  angegeben  sind, 
nur  2  zu  nehmen  [weil  von  den  Punkten  0  und  9)  zwei 
gleichlautende  zusammenfallen] ; 

2)  in  den  Ecken   des    Rechtecks    (resp.   inneren   Quadrats) 

immer  2  zu  lesen;  [weil  für  das  Auge  Jn  0  oder  9 
2  Punkte  v  oderc;  für  das  Auge  in*£  oder  v  2  Punkte  0 
oder  ^  zusammenfallen] 

3)  in  den  Grenzlinien  des  Rechtecks  resp.  inneren  Quadrats 
die  gross te  der  zu  beiden  Seiten  angegebenen  Zahlen 
zu  nehmen  hat. 

In  praxi  modificirt  sich  dies  sogar  noch  weiter,  weil  die  hier 
mitgezänlten  Bilder,  welche  dem  Auge  gerade  in  der  Scheitellinie 
der  Spiegel  zu  stehen  scheinen,  wegen  Unvollkotnmenheit  des 
Apparates  nicht  leicht  wirklich  zu  sehen  sind.  Dann  hat  man 
also  in  den  Grenzlinien  und  Ecken  das  Rechtecks  z.  B.  immer  die 
kleinste  Zahl  zu  nehmen. 


71 


§.,21. 

DeD'Uebergang  ^dieser  Verhältnisse  bei  fliessendein  9  über* 
ieht  man  ans  der  Tabelle,  noch  besser  aber  durch  eine  Reih« 
^adrate  (Taf.  II.  Fig.  23.)  ' 

Bei  180^  hat  man  eine  nach  links  oben  gerichtete  Diagonale. 
ei  abnehmendem  q>  .kommen  an  den  Enden  derselben  zwei  Eck- 
"eiecke  cum  Vorschein;  die  Diagonale  verbreitert  sich  zu  einem 
ecfatecke.  —  Dl^  Eckdreiecke  werden  grösser,  das  Rechteck 
eifer,  die  früheren  Dreiecke  kleiner  bis  bei  120^  das  Rechteck 
m  Quadrate  geworden.  In  demselben  Sinne  geht  es  fort, 
s  Quadrat  wird  wieder  zum  Rechteck,  dessen  Längenrichtung 
er  jetzt  nach  rechts  oben  geht;  bis  bei  90  die  früheren  Drei- 
ke  fpuiz  verdrängt,  das  Rechtecki  zur  Diagonale  zusamroenge- 
hmolaen  und  die  neuen  Eckdreiecke  den  ganzen  Raum  einge-  "* 
Domien  haben  u«  s.  w. 


5.22. 

Ä.Is  Resultate  kann   man  also   znsaniinenstellen :  Wenn  q>  ip 
D^  -n  ganze  Male  mit  oder  ohne  Rest  enthalten  ist  und 

))  «4st  =2,  4,  e,  8...,(=4r— 2)  und  ^^=0; 

fO 

iO 

9=100,  90,  60,  4ö  u.  s.  w.     . 

>  sieht  das  Auge^  O  an  jedem  Ort,  vom  Gegenstand  B  an  jeg- 
liem  Ort,  ausser  in  0^  und  9}^,  nur  eine  Anzahl'  von  Bildern,  näm« 
:b  »,  s.  (27); 

(30)  n  Ut  =3,  5,  7,  9...(=  4z  Tl)  "«<!  ^=0 

9=120<>,  72«,  51?    40....  und  t;=E 

>  sieht  man 

a)  wenn  das  Auge  der  Mitte,  des  Bogens  näher  ist,  als 
der  Gegenstand  dem  nächsten  Spiegel,  7i(==A-|-2)  Bilder; 

6)  wenn  aber  umgekehrt  der  Gegenstand  B  dem  nächsten 
Spiegel  näher  ist  als  das  Auge  O  der  Mitte  des  Bogens, 
falls 

a)  fi  ungerade,  also  ■ , 

it=:42-l;  <p=:120,  öl^,  32^j..24. 


y 


\ 


> 


72 

I 

und 

1)  Auge  und  Gegenstand  in  derselben 
Hälfte  des  Bogens  sich  betinden  n-l 
(=H1)  Bilder; 

2)  Auge  und  Gegenstand  in'  eot^egenge- 
setzten    Hälften '  der    Bogen     sioa    n-fl 

(=:Ä  + 3)  Bilder; 

ß)  9  g^rftde,  also 

und 

1)  Auge  und  Gegenstand  in  dernelftieil  Hälfte 
sind:  n  +  l(=A+3)  Bilder*») 

2)  Auge  und  Gegenstand  in  /der  entgegenge- 
setzten Hälllte  «— 1(=A  +  1).  ' 

Als  specieller  Fall  von  a)Jiebt  sich  heraus: 

Steht  das  Auge  in  der  Mitte  desBogens,  so  sieht  fOr  jeden 
Ort  des  Gegenstandes  und 

Ist  der  Gegenstand  in  der  Mitte  des  Bogeos,  so  siebt  das  . 
Auge  an  jedem  Ort  n  Bilder. 

(31)  (p  lässt  in  360  einen  Rest. 

2 

a)  g  ist  ungerade,  7i=i42__2,  q>  zwischen  180*^  und 

900,  fVOo  und  45o,  36»  und  30^, 

1)  ^,  ^       .     j|  zwischen Ou.e 
^  Gegenstand) 

und    B  näher  an  O^i 

als  O  an  £»        (  „_i^^|i 

Auge  I  zwischen  v  {    Bilder 

^  Gegenstand  i       ""d  g> 

und^  näher  an  q>^ 
als  O  an  v^ 


*)  Die  erste  Anzahl,  wenn  n  gerade  =49—2;  die  zweite  (die  der 
ersten  gleich  ist)  wenn  71  ungerade  =^% — 1  ist. 

**)  Um  die  grösstc  Anzalil  \oti  Bildern  zu  selten,  wird  mau  also 
im  Allgemeinen:  für  y  gerade  Auge  und  Gegenstand  nur  nahe  genug  an 
dasselbe  Ende;  —  für  y  ungerade  aber  Auge  und  Gegenstand  nur  nahe 
genug  an  entgegengesetzte  Enden  des  Bogens  bringen  dürfen. 


/ 

I 


73 

^    Auge  J      .    ,       Ott.  vv 

O)    ^.  .        ,  f  Z\VI8CI1CII  .  l' 

'  Gegenstand'  {cu.g?) 

und  j?  gleich  nahe  oder  näherf     n  -f  ^ 
an  90  als  O  an  w«    .      f  —ä+I 

1^  ^"^®  }  .«.1«^!.^«  *«-9^  l  Bilder 

^>  Gegenstand  }*^'^'*^"  Ou.it 

und  B  gleich  nahe  «der  näher  | 
an  0«  als  O  an  6«  / 

In  den  Gegensätzen  dieserV     n-y-X 
'4  Fällte« d.h.  9,wenn i^ ehcnsof'       71 
weit  oder  weiter  von  0*^ah-(=A+2 
steht  etc.  '     Bilder 

?)  y  gerade,  w=42T|»  9  zwischen   90^    und    60^; 

50       ^ 
450  und  360;  300  „„d  25^  ähnlich  wie  fiir  g  unge- 
rade ,  nur  c  und  v  verwechselt.     (Vorige  Seite**)  • 
(32)  üeher  die  Grenzfölle  s.  §.  20.  Nr.  (27)  und  (28). 

Uebrigens  kdnnen  (29)  und  (30).  als  Bpecielle  Fälle  von  (31) 
angesehen  werden;  in  (30)  ist  t;=€=^,  in  (29)  v=g>,  «=0,  in 
heid^  ^=0. 

N 
»  «  '■ 

Diese  Resultate  lassen  sich  jedeiifaHs  anders^  symmetrischer 
oder  kurzer  zusammenstellen,  schwerlich  aber  wohl  die  einfache 
Uebersicht  gewährend  wie  die  Reihe  der  Quadrate  Taf.  IL  Fig.  2^. 


/ 

Einiges  Interess^  bieten  vielleicht  noch  die  Winkel  dar, 
unter  denen  der  vom  Gegenstand  ausgehende  Stral  die  Spiegel 
abwechselnd  trifft,  um  endlich  ans  A^ige  zu  gelangen. 

Fällt  ein  Stral  J^i  (Taf.  II.  Fig.  24.)  unter  ddm  Anfangs- 
Winkel  iS6i  /2=6|  ein,  so  der  reflectirte  6162  unter  dem  Winkel , 

der    hier  reflectirte  StraL  öb^ö^  trifft  den  Spiegel  /Silf  Wieder   un^ 
ter  dem  Winkel 


■  -  * 


u.  s.  w.  d.  h. 


74 

(33)  die  ReflexiouBwIiikel  eines  niehrmiils  gebro- 
chenen Strales  wachsen  bei  jeder  neuen  Reflexion  an 
q>.  —  Ist  der  Wjnkel  dadurch  grosser  als  90^  geworden»  so  kann 
man  auch  statt  seiner  die  Ergänzung  zu  180^  uehroen,  — n-obet 
fiur  Ein-  und  Ai^sfailsstral  verwechselt  wird,  —  dann  bimhit  von  da  an 
jeder  Reflexionswinkel  uro  q>  ab.  Vom  letzten,  End- Winkel, 
an  gerechnet,  aber  auch  allemal  um  q>  zu.  —  8o  lan^e  deir  Win- 
kel unter  90^  bleibt,  nähert  sich  der  Stral  dem  Scheitel  Jf ,  wird 
er  grosser,  so  entfernt  er  sich  wieder. 


Fdr    die  Wlnkelfolge   desselben    Strales   bat   man   also  nur 
n5thlg  den  Anfangs-  oder  End-Winkel  zu  kennen: 


§.  '24. 

Suchen  wir  die  Endwinkel   n».     Zuerst  (iSr  den  Fall,  da«8 
G^enstand  und  Auge  gl  eich  weit  von  M  entfernt  sind. 

Da  bn  ßn^  (Taf.  II.  Fig.  25.)  senkrecht  m  RR'  (resp.  ßn  b^^i 
senkrecht  zu  AU')  steht,  so  Ist  der  Endwinkel 

34)  iii=90»— 06,,/»..-i=W»~5Bog«i  Ofri-». 

Die  Werthe  dieser  Boiren  stellen  sich  aher  so  dar:  Sei  der 
frühere   Bogen  iSI2=y,  OK^=a,  so  hat  man,  wenn  zur  Ahkfir- 

zoog  gleich  d  f&r  -^^3^  und  <  für  -^^  geschrieben  wird,  fir  die 
erste  Fo^: 

^  OBßt=V^^ 


^)  •  ist»  wenn  wie  in  Taf. II.  Fig. 2.  B  mit/?,,/?«  atff  entgegeageMUter 
Seite  von  0  liegt,  uegativ.     i>er  Gleichförmigkeit  ia  (36)  wegea  i«t  kier 

^B  negativ  tlekon  geiaMrn. 


75 

t 

äObfSs3«p-^s     u.  «.  w. 

/ 

-  S«niit  werden  die  Eodwinkel: 

(3^  I,  =  Ol|Ä=90-(  +  rf) 

2,=  OV^=90-(+«) 

3,=  O3,Ä=90-(9)  +  «Q 

4^=  04^=90  -(g>  +») 

5,=  06,iZ  =  90  -  (29-f-<2) 

6^=O(5,^=90-(29>+«) 

8,=O^^=«0-(39>+») 

I 

II.    8.    W.  ' 

Für  die  zweite  Folge  setze  niao 

iytwKat,  beilSnfig   bemerkt,  t'  =  9> — «   nnd    «2'= — </  folgt);    so 
werden  die  Bogen 


(37)  \oB  =  \d! 


\oß,=j 


2  Oöii=ip+d' 


^lOßni^ip  ^  $* 


,j06if^=2g)  +  rf' 


\oßv^2q>^$f 


u.  s.  w. 

und  die  End Winkel 


76 

(38)  -  /i  =  0/(^ = 1)0  —  (+  tl') 

Hn=:OUnR=W—s' 

/  F/f  =  0/F/rÄ= 90-(9)  +  »0 
riri—  O  VlfiR  =  äO  -  Chp  +  «0 

I 

II.  s.   \v. 


§.  25. 

Daraus  erjs^eben  sich  auch  leicht  die  End-EntfcrnaDgen*) 
des  Mittelpunkts  71/  vomScbeitel  der  Enduiiikol 

(39)  Es  ist  nämlich  (Taf.  II.  Fig.  25.) 

lUOsinlUOon 2  » 

flu  Qin  lÜnön     ~"        sinitM. 

altso  z.  13.  namentlich  (»IS  und  36) : 

I 

(40)  ^Wl.=r.— ^  jy,,=  r.__^, 

^         cos('2g>frf)  cosC2g>  +  rf') 

i^ß  cos(3<3o  -\^(l)    _____  cos(3g)  +  rf') 

M%  —  T. T/J— .--f  MVIyiz=zr. — 7.^  .    /' 

^  tos(29?+*)  ''  cosC^qp-fs') 


')     EOi^cntlirh   deren    Projrelioncn    auf    di«:  Kbi^iic    dcf    fingeüiciltfi 
Ki'cisfs. 


// 


•  \ 


§.  26.      ^ 

Aus  dieseo  Endentfernuajp^en  folgen ,  weiter  leicht  die  vorher- 
enden Entfernungen  der  Mitte  M  von  den  Durchschnitten  des 
und  her  geworfenen  Strales  mit  den  betreffenden  Spiegeln: 
9  man  liat  z.  B 

Mn.Bmnn      '••c««2^*''      »'•««»gO*» 


(41)    Mn.-,=^^^^_^ 


ISO 


SinTln-i 


] 


sin(wn+gO 


r.cos^  Obn 


.  w.^  also  namentlich  z.  B.  (35),'  (36) 

2)     M%  =  r .  co8(ßg)  +  d)  sec(29 + s) 

^¥65  =iir .  cos(2g>  +  «)sec  (2^ + lO  > 


M6.= 


» 


C*) 


sec(g>+*) 

^#64  = 

1  \ 

8ec(g)  +  rf), 

secs . 
il/58=: 

0 

r 

seco? 

sec(g>— *) 

iRf5a  = 

c 

sec(g)  — d). 

sec(2g>--«) 

c 

sec(2g)— d). 

8ec(39— «). 

V 

^ 

ilf64=:  C 

J[f6s=         IC 
J!f6,=  C 

Üf6i=  C 

MA^^=zr  cos(2q()  +  rfj  8ec(g>  +  «) 

ilüSa  =  rcos(g>  +  f)sec(97  +  d) , 

43=  V  Msecs 

i8f3a=       C"'      ,  secrf, 

Mi^=  C"  sec(^— ») 

Jf3i=       C"        sec(g)-£/), 

il[f4i=:  .         C .         sec(29-Ä;. 


i  *)    Der  in    der  ganzen  Folge  vnrkoraroentle  Factor, rco8(39 4.  tff)  =^ 
tetzt.    Aclinliches  gilt  aucli  für  die  anderen  Folgen. 


^ 


78 

M2i=       a^       8ec(y-j). 


ilf  li  =rco8«8eeil 


(4S)  Für  die  zweite  Folge  laaton  die  entepredbende»  Lftige» 
wertlie  ganz  ebenso  ninr  mit  i'  statt  i  und  df  statt«' li. 

(44)  Diese  Auftrittsentfernungen  lassen  sidi,  da  sie  sich  wii 
eine  Folge  von  Secanten  verhalten»  aach  durch  (Taf.  n.  Fig.  %,) 
darstellen. 


§.  27. 

Wenn  endlich  Auge  und  Gegenstand  nicht  gleich  weit  m 
M  abstehen  z.  B.  M(yz=,R,  mB^^t  ist,  bo  hat  man  ans  dM 
Dreieck  MO'hn  (Taf.  IL  Fig.  25)  wegen 


und 


tg2(f*-v)=BS^*^ä^^ 


tg2(M+^)  =  tg(90-5O*^) 


d.en  Anfangswinlcel  n'n=0'n'nK 

(45)    n',=«  +  i;  =  a+(90    ^  OÄ„)-arctg  f^^cotgjoft«], 
was  für  Rr=zr  in  die  friiheren  Formen  übergeht. 


^^^^     T    it    l>     e    1     ■ 

e.                                 ^1 

I 

X. 

A  1  "   1    P 

V 

1      t 

_2. 

h 

n       Q 

1 

Sü 

1 

1 

'2 

u 

ßü 

i<i 

60 

T 

3 

6^nr 

m 

'> 

50 

3 

so 

;        6 

m 

; 

58 

G 

t    52 

; 

12 

174 

50 

12 

'    U 

24 

17j 
1 

lü 

53 
52 

18' 

21 

24 

32 

28 

:      36 

:      42 

48 

i 

1 

•20 

Slf 

2äJ 

23? 

3 

7     0 

■ 

Sl 

27 

24 

■■        3 
:      10 

■ 

50 

30 

20 

1 

■ 

30 

48 
47 
46 

36 
39 
4-2 

12 

S 
4 

i 

■■      24 
:       31 
:       38 

H 

40 

4ä 

,43 

0 

3i  3| 

:       45 

r» 

43 

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38 
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80 


VI*. 

B<;stiiniiiiiliir   der  seographis^^en 
Breite  nndXäni^e  ans  greodätlsehen 

llessnnseii. 


Von 


Herrn  Professor  Dr.  J.  Dienger 

I 

an  der  polytcrliniscbcn  Schale  za  Cnrisrulie. 


,' 


Nehmen  wir  die  Erd^  als  ein  Rotationsellipsoid  an,  in  dem« 
der  Halbmesser  des  Aequators,  b  die  halbe  Rotationsaxe,  neh- 
men wir  ferner  die  letztere  zur  Axe  der  ar;  die  Axen  der  y  und  2 
in  der  Aequatorebene ,  so  ist  die  Cüicichung  der  Crdoberfläclie 
(mathematisch   gesprochen) : 


(1) 


Die    geodätische    Linie    auf   dem   Erdsphäroid  ist  aber  eine 
kürzeste  Linie,  daher  ist  ihre  Gleichung,   neben  (1): 


•^-'-Y  '(©'+ 


dx     «^  d.v 


(ly- 


(2) . ; 


worin  c  eine  Konstante. 


Heissen  wir  Breite  eines  Ortes  auf  der  (mathematischen* 
Erdoberfläche  den  Winkel,  den  die  Normale  in  diesem  Punkt! 
mit  der  Aequatorebene  macht,  so  ist,  wenn  sie  durch  B  bezeicK 
net  wird: 


81 


8ini?= 


a*j? 


V6*(yH*^+a*^*' 


TS 


wobei  £  von  0  bis  ^   auf  der  nördlichen   Erdhälfte»    von  0  bis 

—  Q    &uf  ^^^  sudlichen  gezählt  wird.    Die  Länge   eines   Ortes 

fat  der  Winkel,  den  die  Ebene  des  durch  ihn  gehenden  Meri- 
dians (d.  h.  die  Ebene  durch  jenen  Ort  und  die  Erdaxe)  mit  der 
Ebene  irgend  eines  bestimmten  ersten  Meridians  macht.  Wir 
zählen  die  Länge  von  0  bis  360^  von  West  gen  Ost,  wie  wir  auch 
die  Richtung  von  der  positiven  Axe  der  z  zur  positiven  Axe  der 
'  in  derselben  Weise  zählen,  und  die  Axe  der  %  in  die  Ebene 
es  ersten  Meridians  verlegen.    Ist  X  die  Länge,  so  ist: 


i 


y 


«V'-S 


C08il= 


Vy«+** 


«v^' 


19nn  ist  aber,  wie  man  leicht  findet: 


ar= 


cr(l  —  e^)siag 
V"!— €'^sin*i? ' 


6«= 


a«—6« 


.2 


also  ist 


y 


V-     a:*     .  -        asinlcos^ 
6*  VI— /»«iaiTi2Ä 


V,      j;*         ,         acosXcosA 
1 —  -rs  •  <^OSA  =     , —       -     ==•  • 


testimmt  man  ß  so,  dass 


tg^=Vl-e^tgÄ=-tgÄ, 


tao  ergiebt  sich: 


ar=6sinj5, 

y  =  acosj?sinX,j 

z  =  acos|3cosA. 


w 


(3) 


lell  XTin. 


Ir 


6 


82 

Führt  roan    nun   die  nenen  Verfioderlicheo  l   und  ß  (die  redt« 
zirte  Breite  des  Ortes)  in  die  Formel  (2)  ein,    so  ist  dieselbe: 


a*co8*/3 


Y  6«cos«/J+a«8in2/J+Ä»co«vfö)* 


=  c. 


woraus  man  als  GleichiiDg  der  geodätischen  Linie  Eieht: 


\dßj  ""  a«cos«i3(a«co8«/J— c«)* 


(5) 


ß 


Die  Länge  dieser  Linie  zwischen  zwei  Punkten,  denen  die 
reduzirten  Breiten  ßi  und  ß^  (/?t>|?i)  zugehSren,  ist  also: 

/Yh(|)%(E)'(|)°^ 

Die  Konstante  c,  die  in  diesen  Formeln  vorkommt,  wird  dank 
die  anföngiiche  Richtung  der  geodätischen  Linie  bestimmt,  weidM 
Richtung  bekanntlich  bei  dem  uns  vorliegenden  Problem  imneii 
als  bekannt  angenommen  werden  darf. 

Ist  diese  anfängliche  Richtung  die  des  Meridians,  so  ist  an* 
(anglich    5]b=0,  d.h.  man  hat  c=0,  und  also  ist  die  Gleichang(!)! 

v^o  &  eine  Konstante.  In  diesem  Falle  ist  also  die  geodätiscke 
Linie  eine  ebene,  und  der  Meridian  selbst.  Was  die  Länge  as*! 
belangt,  so  i$t  in  diesem  Falle  aus  (6)  dieselbe: 

r^^  Vb^cos^ß  +ö2sin2j38/3=a  J     *  V"  1— e^cos«/?  Bß 

ß^  ßi 

^'ß 


=  a  /^         V"l  —  e^sxu^ßdß 


71 


-ß^ 


=o  [£(|  -  ft,c)  -  E  (|-/?«.c)  ]. 


83 


altgemeln 


/*''Vl— iPsin*g)89>= JB(g)i  ,k) 


Id  jedem   anderen  Falle  ist  die  geodätische  Linie  von  dop 
KTrfimQiaog. 


Sei  iP^J^i^  der  Anfangspunkt  der  geodätischen  Linie  (5)»    so 
die  Gleichungen   der  durch  diesen   Punkt  gehenden  Meri- 


.  »*'-V=o,  8!^+j'=i. 


^  nun   a  der  Winkel»   den  die  Meridiankurve  und  die  geodäti- 
Linie  machen»  so  findet  man  leicht: 


84 


on 


^ 


Q^!  Q5 


Q3|  CO 


H 


Id 


85 


Föfart  man  hier  die Winkeikoordinaten  (4)  ein»  so  ergiebt  sich: 


sin^a 


a«cos«/s(|)« 


6«cos«j3  +  a«8in«/3  +  a'cos V  (jk) 


koist 


acos|38ina= 


oW^g^ 


5XV* 


Y  6«cos2/J+a«8in«/?+a«coö«/j(|^) 


Vergleicht  man  dies  mit  dem  Früheren >  so  ist: 


acosj3sina=::c. 


(8) 


Ist  also  ß  die  redozirte  Breite  eines  Punktes  der  Erdoberfläche, 
Winkel,  den  die  durch  ihn  (gehende  geodätische  Linie  mit 
Meridian  macht,  so  ist  die  6russe  cosj^sincK  für  alle  in  die* 
geodätischen  Linie  liegenden  Punkte  konstant. 

Kennt  man  also  den  Winkel  «i ,   den  die  geodätische  L«nie 
jArem  Anfangspunkt  mit  dem  durch  jenen  Punkt  gehenden  Me- 
li macht  (ihr  Azimuth)  und  ist  pi  die  reduzirte  Breite  die- 
Anfangspunktes,  so  ist 


c=ocos|?isin€r| . 


(9) 


§.  3. 


Nachdem  nun  c  bestimmt  ist,  bietet  die  Berechnung  der  Länge 
geodätischen  Linie  keine  Schwierigkeit  dar.    Aus  Formel  ^) 
DQomehr : 


Imm 


J        yf   cos^/S'— cos*PiSin%|         ^  ^ 


s 


b^+u^eH\n^ß 


— -cos^jSisin^aj  — sin*^ 


.— «V,  cosjSd/? 


sinjS  =  cosy  V^l — cos*/5iSin*'ai , 


86 

was  immer  mSglich  ist,  dm  1— -co8*/^sioV|>0»  so  ist: 

<1 

1  (1— cos*ft8m'ai)sin*9  ^  "^^ 

=-r^^  Vi«  +  a«e«(l-cos«A8iii^i)  —  aV(l— cosVisin"«!)«! 

SP» 

worin  9^ ,  ip^  bestimmt  sind  durch 

sinj^i^os^i .  V 1— cos*ftsin*«| , 

sioß^  =  CO892  •Vi  —  cos^ftsin^i . 
Nun  Ist 

6«+aV(l  -co8«/3i8iD%|)=6>+aV— aVcos^AsiiAii 

=  a*(l— «•cos^ftsio««!)  * 

Bestimmt  man  also  7  und  yi  so,  dass 

cosy  =:  cos/?i  sinai ,     cosyi  =:  ecos/?i  sincr^ ;  < 

so  ist 

Vi— C08%sinX  =  siny,  V6*+  aV(l -cos«/5i8in««|)  =  osiiq 

und  9i,  92  's^>^d  bestimmt  aus 

siD/?|i=  siny.cos^i »    sin/?2=sin}f.cos9a ,  0 

so  dass  endlich 

=  »in„[^(...|i^)-£(^,|g)].  m 

Dadurch  ist  nun  unsere  Aufgabe  gelöst.    Hat  man  Tafeln 
elliptischen  Funktionen,    so   entnimmt  man    ihnen    unmittelb 


87 

Die  Eotwic&luDff  der  Näherungsformeln  ist  hier  Bichf  unsere 
kofgabe,  auch  ist  dieselbe ,  nach  den  mitgetfaeilten  genauen  For- 
Mb  leicht.  Man  wird  die  MäheruDg  nicht  ober  die  \rierte  Po- 
f.  (treiben. 


$.  4. 

In  der  Regel  liegt  in  der  Geodäsie  die  Aufgabe  nicht  so,  rielmehr 
teont  man  die  geographische  Länge  und  Breite  eines  Ortes,  den 
l^nkel  a^,  den  die  geodätische  Linie  von  diesem  Punkte  aus  an 
iben  andern  mit  dem  Meridian  des  ersten  macht,  so  wie  die 
hr  geodätischen  Linie  zwischen  beiden,  und  soll  daraus  Länge 
■d  Breite  des  zweiten  Ortes  linden. 

In  Formel  (12)  dürfen  also  als  bekannt  angenommen  werden  $ 
■d  ffi  neben  den  jedenfalls  bekannten  GrOssen  e^  y,  y|.  Daraus 
Rgiebt  sich : 

£(^,,   »)  =£(^,,    ») ?_.  .     (13) 


Tafeln  der  elliptischen  Funktionen  vorausgesetzt,  entnimmt  man 
t  den  hieraus  folgenden  Werth  des  Argumentes  9«^,  woraus 
(11)  sich  /?2  una  dann  nach  (3)  B^  ergiebt. 


Man  sieht,  wie  buchst  einfach  die  Sache  sich  gestaltet,  wenn 
Tafeln  der  elliptischen  Funktionen  besitzt,  und 
irfinscbenswerth  eben  desshalb  auch  in  diesem  Betreff  solche 
Id  sind. 

Die  Entwicklung  der  Näherungsforniel  für  9)2»  ^enn  man  die 
die  vierte  hinausgehenden  Potenzen  von  e  vernachlässigt, 
Eegt  aus  (13)  keiner  {Schwierigkeit.  Wir  kommen  vielleicht 
f  später  zurück  und  bemerken  hier  nur  noch,  dass  man  dazu 

Lagrange'schen  Umkehrungstheorems  keineswegs  bedarf,  wie 
gewöhnlich  geschieht»  sondern  mit  dem  Taylor'schen  Satze 
»mmen  ausreicht. 


$.  5. 


Eine  zweite  Frage  ist  nun  die  nach  der  geographischen  Länge 
des  zweiten  Ortes.    Die  Formel  (5)  giebt: 

•_  a*cos»ft  sin»tfi(6^cos»j3  +  g^sin^P  _  cos^(6^ +  fl*e^sinV) 
'  "•  a«cos«/J(a«cos2/3— a«cos«ftsin«a,)""  a«cos*/3  (sin*y— sin V) ' 


88 

« 

^  aj        T     siii*y — sid'p     cosp   •    *  ^ 

/*» 

worin  das  obere  Zeichen  gilt»  wenn  is>A],    das  untere«   wei 
A2XA] . 

Setzt  man  wieder,  wie  in  $.  3«: 

sin/3=8iD/co89, 

so  ist  das  in  (14)  vorkommende  Integral: 

cogy   />y.^  ,  8y 

a  ^/  '  /        ^    1— sin^osV 


cosy  /*y» 


&^H-  g'e^sin^y — «*e^in*ysin*y 


==8( 


(cos^-f  sin*ysin^)  V^6*  +  a*  Ain*/— a^c^sln^ysio^y 

Nun  ist 

^2  ^  a«62sin«y = a^sinVi . 
also  ist  obiges  Integral: 

c*s1n*y  . 

BezeicfiDcn  wir  allgemein 

/^^■i■        ^f^i      /2>7    ^"'^^  ^(9>,  w,  ^),  (15; 

t/^     (1  +  wsin^g?)  V  l  —  A-^sin^g) 
so  ist 

^9  sin^cpdcp 


r 


(1  +  n  sin^g?)  V^l — k^  sin«  9 


""  »»t/      (1  +  ye  sin^g))  V"!  — yt«  sin^^      '«</ (l+wsinVV"l-ifc«sin 


=  -F(9,  A')--  il(9>  w.  ^-). 


Darnach  ist  obiges  Integral : 


a» 


c*co8*y 


Ut 


1— e«cos2/3isin2ai  +  e«cos%sin2a,  1 

ist  endlich: 

(16) 

lit  nun  unsere  Aufgabe  gelöst  ist 

Die  genauesten  Werthe  von  a  und  b,   die  in  diesen  Formeln 
lomnien,  sind  bekanntlich: 

0  =  3272077,14  Toisen, 

6  =  3261139,33  Toisen. 

Die  Formel  (13)  setzt  voraus,  dass  ß^^^ßi^    Ist  aber    unige- 
rt  ßi<ßi,  so  erhält  man  statt  (12): 

.=-«sW,[£(^.,«)_£(^,/^);],        (12'). 


I  statt  (13  : 


£(^..,??!^)=*^(^.-£?üy:)  +  _^,        (13,) 


90: 

während   die  Fonnel  (16)    allgemeiD  gilt,    wenn  man  in  ihr  das 

apezialisirt»  wie  es  die  Differenz  i^ — li  erhsiseht 


Doppeizeichen  so 


Die  Formel  (16)  lost  auch  zugleich  die  AufgaKe,  dieieni^en 
Punkte  auf  der  Erdoberfläche  zu  bestimmen,  durch  welcne  eine 
bestimmte  geodätische  Linie  hindurchgeht.  Diese  Linie  schnei- 
det  nämlich  den  mit  dem  Aequator  parallelen  Kreisschnitt,  des- 
sen reduzirte  Breite  ß'  ist,  in  einem  Punkte,  dessen  Länge  l* 
bestimmt  ist  durch: 

(17) 
*     .      cosysioy^  Lf     ^^**  ^'»  sinyi^        ^^'    °  '   siny/) 


worin  9'  bestimmt  ist  durch  die  Gleichung: 


? 


smß'  =  sinycos^'  •  'S 


u 


i 


91 


Velber  die  Oleichnngren  der  Bewe- 
griinfp.    Anwendnngren  derselben. 

(Nach  Jules  Vieille   in  Liouville's  Journai,  Juillet  1840.) 

Von  dem 

Herrn  Professor  Dr.  J.  Dienger, 

an  der  polytechnischen  Schule  zn  Carlerahe. 


Sind  X9  y,  Zy  x\ die  3ii  KoordioateD  der  n  zusammeDse- 

jen  Punkte  eines  Systems  in  Bewegung ,  X^  Y,  Z,....  die 
lieselben  wirkenden  bewegenden  KriSe,  so  ist  die  Gleichung 
Bewegung: 

m  die  Masse  des  Punktes  (x,  y^  2),  ix^  dv,  dz  gewisse 
ideningen  der  Koordinaten  x,  y,  z  sind  und  aas  Zeichen  2 
Inf  alle  Punkte  erstreckt    (Poisson,  Mechanik.  $.  531). 

Angenommen  nun,  es  bestehen  zwischen  den  3it  Koordinaten 

3^2,  x',^..  die  i  Gleichungen 


I.=0,  M=Os  N=0, 


bnn  man  mittelst  dieser  Gleichungen  die  Grossen  j?,  y, ... 
Funktionen  von  3n  —  t  derselben  oder  anderer  Veränderlichen 
Irocken,  und  wenn  6,  g>,  flf,.„.  diese  3n  — i  unabhängigen  Ver- 
licben»  i  die  Zeit  ist,  so  wird*  man  allgemein  setzen  können: 

iw.    Ist  nun«  zur  Abkürzung» 


92 


so  u'ird  man  also  haben: 

da: 


=«  +  aö'  +  Oitp'  + ,        dx=  ade  +  iij  iy  + .... , 


dt 

^:^ß+bd'  +  b,tp'  + öy  =  bde+b^öq>+...„    \     (2) 


worin  a,  ß,  y  die  partiellen  DiferenEialquotienten  von  x,  y,  z  m 
Bezug  auf  t  bedeuten,  während  a,  b,  c,  ....  Funktionen  von  t,  6, 
ff, ...  sind. 


Da  man  hat 


SO  wird  die  Gleichung  (1)  sein: 

'-S(Xdx+Ydy  +  Zdt)=0  (3) 

Man  setze  nun  in  diese  Gleichung  die  Werthe  ans  (3),  so 
muss  man  schliesslich  die  Koeffizienten  von  öO,  S(p, ...  Null  seteen. 
Da  aber  diese  Veränderlichen  offenbar  in  derselben  Weise  in  die 
Gleichung  (3)  eintreten,  so  wird  es  genügen,  den  Koeffizienten 
von  S6  zu  berechnen. 

Man  findet  leicht: 

my*m'<s')hh''^*''^*o-^  ■■■■■• 


wo 


a^+ß^  +  Y^=G, 
aa+ßb^yc  =  H; 
a^  +  b^  +  c^=P, 


93 


Hieraus  folgt: 

+  (ff  +  P6'+  Q(p'+  . .  .)*fl'+- . .. 

Setzt  man  dies  in  (3),  so  verschwinden  'die  mit  öd*  behafte- 
1  Glieder  und  man  hat  als  KoeflSzienten  von  6$: 


kt  Dun  T  die]  halbe  Summe  der  lebendigen  Kräfte  des  Sy- 
tos,  so  ist 

•=i^"((fe)+@r+S)>-(i +«-+<+ ••■•) 


wird  (4)  zu 


Was  das  Glied 


'•\de'  J    dT 

dt        de' 


i:{XSa;+rSy-\-Zit) 


lugt,  so  sei 


2{Xdx+Ydy  +  Zdz) = 3  V, 


in  der  Regel  wird  aDgeDommen  werden  kOonen ,  und  man  hat 

dv 


2(XSx  +  Ydif  +  Zdt) =sr=-^de-i 

im  der  Koeffizient  von  66  in  (3)  ist: 

^•\W)     ST      8V 


St 


da     de  ' 


Man  sieht    hieraus,  dass  (3)    sich  in  folgende  3n  —  i  Glei' 

r 


94 


^'Vdd')     BT      8V 


dt    ~'M~  s$-^ 


<^) 


^_sr_Q  \  (5) 

dt         dq>        dg> 


<w) 


dt  8t       Sip 

Wenn  T  die  Zeit  t  nicht  entwickelt  enthSit,  so  findet  ma 

aus  diesen  Gleichungen,  wenn  man  sie  bezüglich  mit  80,  d^i 
8^«...  muitiplizirt; 

T—  F=Const  (8) 

bekanntlich  das  Prinzip  der  lebendigen  KrSfte  aussprechend. 

Von  diesen  Sätzen  sollen  nun  im  Folgenden  einige  Anwea- 
dungen  gemacht  werden. 

1.  Aufgabe. 

Man  soll  die  Bewegung  einer  schweren  geradei 
Linie  bestimmen,  die  sich,  frei  im  Räume  nm  eine* 
festen  Punkt  in  ihr  drehen  kann. 

Sei  (Taf.I.Fig.8.)0(der  feste  Punkt)  der  Anfangspunkt  der  KM^ 
dinaten,  die  Axe  der  z  vertikal  im  Sinne  der  Schwere,  ^A  die  Stange. 
Die  Veränderlichen,  die  den  Znstand  der  Bewegung  bestimmeoi 
sind  nur  zwei  an  der  Zahl,  nän\lich  der  Winkel  0,  den  ^1^  mit  der 
Axe  der  i  macht,  und  der  Winkel  A'OX:=:z^f,  den  ihre  HorizoD* 
talprojektion  mit  der  Axe  der  x  macht. 

Sei  M  die  Masse  der  Stange  (ihr  Gewicht,  dividirt  durch  die 
beschleunigende  Kraft  der  Schwere),  a  die  Entfernung  ihres 
Schwerpunktes  von  O,  r  die  Entfernung  Om  eines  Punktes  m 
von  O,  r'  die  Horizontalprojektion  OP  von  r.    Man  hat  ofleDber 

F=üffl^.cosö. 

==  ^  (ö'«  +  sin«Ö.  if/-«)  Jlf  (a« + 1»), 

wenn  MK^  das  Trägheitsmoment  der  Stange  in  Bezug  auf  eine 
Axe  ist,  die,  senkrecht  auf  ihrer  Richtung',  durch  ihren  Schwc^ 
punkt  geht.  (Poisson,  Mechanik.  §.  156.).  Die  Gleichung  (6) 
giebt  also 

e^  +  sin  «Ö.if;'*  =  C  +  -^  cos  6 . 

'    a 


05 

Setzt  man  eine  der  Geichnngen  (5)  hinzu»  so  wird  die  Auf- 
ibe  gelöst  sein.  Da  T  und  V  die  tf;  nicht  enthalten ,  so 
ähle  man 


ie  giebt 


dt  dil>       d^ 


\B^')=zO. 


.b. 


dt 


8^' 

sin«Ö.i(;'  =  6'  (8) 

Die  Gleichungen  (7)  und  (8)  losen  die  Aufgabe.  WSre  die 
Itange  ein  blosser  Punkte  dessen  Entfernung  von  O  gleich  /  wäre» 
0  wSre  K:=zO,  a=:l,  d.  h.  die  Stange  bewegt  sich  wie  ein  ein- 

iches  Pendel  von  der  Länge  /=a-| • 

Ans  (7)  und  (8)  folgt : 
(;..  dt      sin  6 


Y  (C  +  -|^cosÖ)sln2d— e« 

Sf _c^ 

8d"—  ./ ^ ' 

sin ö  Y  C+  -|^  cos  e)  sin H—C^ 

le  Formeln   auf  elliptische   Funktionen    zurückgeführt   wer- 
konnen. 

um  die  Konstanten  C  und  C  zu  bestimmen»  sei  (Taf.I.Fig.9.) 
Anfangswerth  des  Winkels  6^  CD  die  Richtung  des  Stosses, 
len  die  Stange  anfänglich  erhalten»  die  man  senkrecht  auf  ÄO 
imen  darf.  Die  Stange  wird  anfänglich  in  der  Ebene  OCD 
gen  zu  drehen,  welche  Ebene  man  als  die  von  zwei  Hanpt- 
der  Stange  in  Bezug  auf  den  Punkt  O  betrachten  kann 
Min»  Mechanik  6  380»  389).    Ist  o  die  Winkelffesehwindigkeit 

An&ng,   ii,v  die  Intensität  des  Stosses»  f-^OC,  so  hat  man 

Wo»  Mechanik  §  386) : 

(^vf 

"  — ill(a*  +  i:*)' 

Die  Anfangsgeschwindigkeit  9  eines  Punktes  m  der  Stange 


wo    810 


96 

iüt  ra.  Ersetzt  man  also  in  der  Gleichung  (7)  das  erste  Glie4 
-^  darch  afl,  so  ist 

a)2=C  +  ^cosa,  (9) 

wodarch  C  bestimint  ist.    Nach  (8)  hat  mau 

10  a  f  -wj-  j    die    Anfangsgeschvvindigkeit    der  HorizoDlalpnh 

jektion  dds  Punktes  der  Stange  ist,  dessen  Entfernang  von  0 
gleich  1;  ist  e  der  Winkel  der  Richtung  CD  mit  einer  Senbeck- 
ten  auf  der  Ebene  zOA^  so  ist  also 

sinaf-^j   =G)C0SS5  C=:cDC0SS8ina.  (W) 

Wir  stellen  nun  die  Frage,  wie  muss  m  beschaffen  sein,  di- 
mit  die  Stange  einen  geraden  Kegel  um  Oz  beschreibe? 

In  diesem  Falle  ist  beständig  O^za,  also  g^^Onnd  somit 

sin««  fc  +  ^f  cos a)  -  C«  =  0  . 

Diese  Gleichung  drückt  aber  nur  aus^  dass  -kt=0  ist  ßr 
ö  =  a,  d.  h.  im  Anfange  der  Bewegung.  Soll  es  allgemein  statt 
haben,  so  muss  man  die  Gleichung  '?v''g#  ^=^  damit  verbinden. 
Diese  giebt 

ff c^l 


cos  a       sin^a 


8in*a 


Diese  zwei  Gleichungen  geben  €=0,  Gy^=zg-i $  d.  h.  der 

Stoss  muss  senkrecht  auf  der  Vertikalebene  sein ,   die  durch  di0 
Stange  geht.    Aus  der  Gleichung  (8)  folgt «  dass  der  Kegel  mit 

CO  ' 

gleichförmiger    Geschwindigkeit  =   .   g     beschrieben    wird,    fr 

setzt  man  {o  durch  seinen  Werth ,  so  ist  dieselbe  V  — S. —  • 

V    /cosa 

Zur  vollständigen  Lösung  der  Aufgabe  bleibt  nun  noch  ^ 
Berechnung  des  Druckes  auf  O  übrig.  Zu  dem  Ende  denken  wir 
uns  in  O  eine  Kraft  angebracht,  die  dem  Drucke  P  direkt  ent- 
^n  wirkt;  alsdann  können  wir  die  Stange  als  frei  betrachten.  Sind 
Aj,  Fl,  Zj  die  Komposanten  von  P;  a:^  y^,  ii,  die  Koordinaten 
des  Schwerpunktes  derStange,  so  werden  die  verlornen  Kräfte  seio: 


97 

M^'»  M^>  iu(^^        „\ 

i  nun  die  verlornen  KrSfte  und  der  Druck  sich  im  Gleich- 
it  halten ,  so  hat  man  (Poisson,  Mechanik.  §.  261 .) : 

r^  +  M  ^=0,  [ (11) 

Xirszasin  Oco8  ij/f 
yi=zasin6s\nilf,       .  .  .  .  (11*) 
Zi=:a  cos  6. 

e  Gleichungen  (II)  bestimmen  JITi,  Yi,  Zi,  da  6  und  ^  als 
ouen  von  t  bekannt  sind.    Fiir  den  Fall  der  Bewegung  auf 

geraden  Kegel  ist  il/zn-. h%,  ö=a,  wenn -^/o  der  an- 

:he  Werth  von  ^  ist.    Man  findet  alsdann 


itfffcb* 

-r- — cos 

8m  a 


\sina   ■  ^"/      *      sina        Vsina      ^V  ^ 


2te  Aufgabe. 

lan  soll  die  Bewegung  eines  biegsamen  nnaus- 
baren  Fadens  bestimmen,  der  an  einem  festen 
te  0(Tar.I.Fig.lO.)  aufgehängt  und  mit  zwei  schwe- 
'unkten  m  und  m*  beladen  ist.  lülan  setzt  voraus, 
zu  Anfang  der  Bewegung  die  zwei  schweren 
:te  von  der  Vertikalen  entfernt  worden  sind,  ohne 
•ie  aus  einer  durch  O  gehenden  Vertikalebene 
18  getreten  wären,  und  dass  sie  sodann  sich 
it  überlassen  wurden  ohne  Anfan  gsgeschwin- 
\\t 

Ke  schwingende  Bewe&rung  eines  jeden  Punktes  hat  oflfen- 
I  der  Vertikalebene  yÖx  Statt,  die  durch  die  anföngliche 
des  Fadens  geht.  Sei  Om:=2a,  mm'zzzb^  mOy:=z6y  m'my 
ireon  my'  parallel  der  Vertikalen  Oy. 

lan  hat  fiir  m: 

ar=asind, 


t. 


y=aco8  6; 
XVlIf. 


98 

ff'zi^acoaÖ+bcoQtp; 
also 

F=:(m  +  mf)gacoa6  +  m'gbcosq>, 

r  =  2  [(»ii+m')a«ö'*+iii'6V*  +  2/ii'fl6co«(9-  6).e'(p 

Also  erhält  man  aus  (5): 
(m  +  mO  a  -g^  +m'6cos(9— ö)  ^  -m'ftsin(9— Ö)  gf  \^  g^  —  gj 

6g^  +  acos(<p-e)g^-a8in((p-Ö)^(^g^-  -g^J 

dB  /dq>\^ 
+  asin  (g)  -  ^)'si\JSiJ  +^s»^9>= 

Man  konnte  die  Gleichnne  (6)  in  Anwendung  bringe 
nar  vom  ersten  Grade  ist»  allein  obige  Gleichungen  entsi 
unserm  Zwecke  mehr. 

Angenommen,  die  Schwankungen  seien  sehr  klein ,  s 
man  die  Quadrate  von  6,  q>,  -ät  y  ^  und  die  Produkte  dies 
änderlichen  vernachlässigen  können »  und  findet  dann: 

(m+mOa-g^+m'Ä  g^  +  (m  +»iO  ^0=0 
.8^9).     8^0^  ^ 

Durch  Verbindung  beider  findet  man: 


8«ö 
ma  -g^  +flr(m  +  mO  Ö— 5rmV=0j 

8*0   .  ,  8«g>  .  ft 


( 


Man  findet  als  Integrale: 
ö=-4i00s<V^ri+J2Cos<Vr^  +  ^isin<V^ri+-B2SiniVVi 
9===2lif4iCos<V"ri+^fi2Cos^V^ra+^ifAisin<V^ri+Ä2|it2S*>n'Vl 

Als  A^s  Bi9  Bq  sind  wilikührliche  Kontanieu;  r^,  r^  sind  re 
positiv;  die  Wurzeln  der  Gleichung 

\(m  +  mf)g'^  mar]  (g — bv)  — m'agr=zO 

fft|,  (A^  sind  die  entsprechenden  Werthe,  die  aus  der  Gleicl 


99 


OT 


im     Da  för  <=0,-^  =  -g^  =0,  so  ist  Äi  =  Äa=0.    Sind  fer- 
X,  /?  die  Anfangswerthe  von  6  und  g),  so  ist 

US  2^1 9  A^  folgen,  so  dass  nun 

6  =^1  cos  ^  V^Ti  +  A^  cos  *  V^, 
9=^1  jitiCos^V^  +-^2f*aCos  <  V^r2 


(17) 


Man  konnte  die  Fräse  aufwerfen,    welche  Bedingung  erfüllt 
mfisse,  damit  jeder  Punkt  wie  ein  einfaches  Pendel  schwingt, 

.  damit  z.  B.  ^2^=^«    ^^   diesem  Falle  ist  ^|=a,  f»i  =  -^ 


aus  (16) 

r  =-^-, 

diess  in  (15)  gesetzt^  giebt  als  gesuchte  Bedingung : 

(wt  +iiiO  aa*+(«i  +  mf)  (b^ä)  aß  -m'6/S«=0.  (18) 

Ffir  a=/3  ist  diese  Gleichung  unmöglich,  da  alsdann  ffi6=:0 
I  sollte.    Sei  z.  B.  a=  b,  so  tolgt  aus  (18) 

b  Allgemeinen,  wenn  die  ^Bedingung  (18)  erfiUlt  ist,  hat  man 

Ö=acos<V^rJ',  9=/3co8iV^ri, 
bis  die  Schwingungsdauer  beider  Punkte  gleich  ist 

Zie  Aufgabe* 

kreisrundes  Rad  (Taf. I.  Fig.  11.)  hat  an    seinem 

einen  ringförmigen  Kanal,   in  dem  sich  eine 

le  Kuff  el  m  befindet,   deren   Durchmesser   gleich 

des   Kanals;   dieses  Rad  stützt  sich  in  B  auf  die 

ontale   Ebene  AOB  und  in  seinem  Mittelpunkt  S 

Jie  Vertikale  SO,   die    mit   der  Ebene  des  Rades 

Winkel  i?50 =«  macht.    Man  lässt  das  Rad  «o  auf 

horizontalen   Ebene   rollen,   dass    B  einen  Kreis 

Halbmesser  Ojff  mit  unveränderlicher  Geschwin- 

ceit   beschreibt.     Der    gerade  Kegel,  dessen  Axe 

Lvad   dessen    halber    Winkel    an    der  Spitze  a  ist> 

also  nach  und  nach  in  allen  seinen  Urzeugungs- 

1* 


lin 


100 

iinien    von  der  Ebene  des  Rades    berührt.     Man 
langt    die   Bewegung    des    Mittelpunkts   der  Kuge 
abgesehen  von   der  Reibung. 

Sei  OS  die  Axe  der  z,  und  es  gehe  die  Ebene  der  a:i  < 
SA,  in  welcher  Linie  das  Rad  den  Kegel  im  Anfange  der  fi 
gung  berühre.  Sei  SB  die  Beruhrungslinie  am  Ende  der 
U  SC  die  Stellung  der  Ebene  des  Rades,  die  in  diesem  Ai 
blicke  der  anfangliche  Radius  SA  einnimmt;  Sifi=:r  sei  der  I 
messer,  der  der  Kugel  zugehört,  und 

tnSO=:fp,  PSx^y\>, 

wenn  PS  die  Horizontalprojektion  von  Sm  ist. 

Sei  CSm=6  und  es  bedeute  K  die  bekannte  Geschwi 
keit,  mit  der  der  Winkel  AOB  beschrieben  wurde,  so  ist  a 
=zKif  und  da  arc,  AB  =^axc,BC,  so  ist 

BSC=Kt. 8in  a,  inSÄ=(9  — ATisin«. 

Bezeichnen  wir  also  mSB  durch  <o,  so  ist 

m  zs:  6  "^Kt  sin  €L  (1 

Aus  der  körperlichen  Ecke  SOmB  ergibt  sich 

cos  9  =  cos  ff  cos  CD.  { 

Ist  SB"  die  Horizontalprojektion  von  SB,  so  ist 

^=zPSB'  +  B'Sa:r=PSB'+BOA=PSB'+  Kt; 

aber   PSB'    ist    in  der   genannten  Ecke    der    Flächenwinke 
SO,  also  ist 

tePSB'=  ♦^" 


Sin  a 


und  endlich 


^=Ji:e  +  arc(tg=|,^),  C 


Man  bedarf  also  jetzt  nur  noch  einer  der  Gleichungen  (5),  d 
sich  bloss  um  die  Bestimmung  von  ca  handelt.    Man  findet 

F=  mgr  cos  g?  =  mgr  cos  a  cos  co  , 

-=i»(©v(i;+(D') 

oder  wenn  man  aus  (19)  und  (20)  substituirt : 

T=  2Wir2(Q)'2+  2sin  aATco'  +  (l  -  cos  %eos«(ö)  K^]  • 


101 

Vendet  man  nun   die  dritte  der  Gleichungen  (5)  an  und  in 
t^  nachdem  man  mit  2  ^  multiplicirt  hat;  so  erhält  man: 


r 

IS 


/3o\  . 

V  'Bt)^"'  Ä*rcos%cos2a)  —  S^cosacos  w  -f-  C=0,      (21) 


=/ 


"  m 


als  besonderer  Fall,  im  Anfange 


,  was  dasselbe  ist. 


ö=0,  gr  =iPsin  a. 

Statt  haben  wird,  wenn  die  Kugel  anfänglich  in  A  ist,  und 
I  sie  dort  eine  Geschwindigkeit  erhält  gleich  der,  mit  der 
den  Anfang  des  Rades  durchläuft. 

Alsdann  giebt  (21): 

C=  2g  cos  « — A'*r*  cos  ^a 

(22) 

t^S/rJ  V'(i  -cos  w)  [ÄVcosaa(l  +  cos  w)  -  2r^ cos «]  * 

it  man  hier  tg  ^<»=ii,  Ä^cos*« — «/cosa=a,  <ycosa=Ä,  so 
et  flieh 

I 

C'€  '^    = 1 

tg^fl) 

tetzt  man  hier,  um  c'  zu  bestimmen,  1=0,  co=0,  so  ist 
jt  und  tg  n  CO  ist   also    fortwährend    Null.     In    diesem    Falle 

k  würde  die  Kugel  die  Horizontalebene  nie  verlassen  und  sie 
Heden  Kreis  um  O  mit  der  Geschwindigkeit  Jarsin  er  beschreiben. 
M  allgemeinen  Falle  wird  t  (22)  durch  die  Quadraturen  ge- 
pi  werden. 


103 


AnflSsungreii  der  Anfi^abe,  bei  einei 
Oasgemenf^e  von  viererlei  brennbare 
6a9en  die  unbeliannten  Olieder  p,  Cü 
€)y'  nnd  Cg  zu  bestimmen. 

Von 

Herrn  Professor  Zenneck 

zfi  Stuttgart. 


Es  sei  das  Gasge  in|en ge  =  M  bestehend  dem  Volamen  im 
aus  Wasserstoffgas  =  y , 

Kohlenoxydgas  =  C2;> 
Einfachkohlenwasserstoffgas  =^Cy' 
und  Doppeltkohlenwasser- 
stoffgas z=z  Cy ; 
so  erhält    man  durch    Detonation   mit   Sauerstofigas  =0  i 
Eudiometer :  ' 

1)  Kohlensaures  Gas  aus  Cx  und  aus  dem  Kohlenstoff  i 
Cy*  und  Cy  mit  einem  Theil  von   O; 

2)  Wassergas  im  Augenblick  des  Verbrennungsprocesses  ai 
y  und  einem  anderen  Theil  von  O,  das  aber  bei  einer  Ter 
peratur  unter  80^  R.  sich  alsbald  in  liquides  Was«. 
verwandelt; 

3)  einen  Rückstand  von  dem  zur  Detonation  hinreichend  | 
nommenen  Sauertsoffgas  =  O'. 

Nach   Erhaltung  dieser  dreierlei  Gase  {=K+W+  O')*) 


*)    ^=  Volumen  des  kohlensauren  Gases.  ^ 

\Vz=z  Volumen  des  bei  80®  R.  besiehenden  Wassergases, 
ö'rs:  Volumen   des  von  der  Detonation  des  31  mit  0  zurfickgebT 


benen  Sauerstoffgases. 


^  103 

^^Beter  durch  diese  DetnriaHun  als  ein  Voluniea  =  li"  kann 
^^^fea  die  Voluminu  der  vier  in  JfJ  ^pgebenen  unbekannten 
^^Hi  (r=y  -|-  Cc  +  Cy'  +  Ci/)  unter  ge»  issen  Bedingongen  auf 
^^Bb  'Weise  bestimmen  und  zwar : 

^^)  Wenn  I)  das  Detonalionsprodukt  (==72*')  im  Endiometer 
bei  der  Temperatur  ^80"  lt.  erhalten  worden  ist,  so  dass 
man  li"  mit  dem  Wasser^as  ( IF)  messen  kann;  2)  das 
koldenisaure  Gas  (A')  mit  Aeztau^e  absorbirt  und  den  Rück- 
stand*) (R°-K=W+  0-)  miset;  und  3)  das  Wassergas 
durch  Erniedrigimg  der  Temperatur  verschwinden  lässt, 
so  dass  nur  der  messbare  Saue rc^toffrest  (O')  übrig  bleibt. 
B)  Wenn  sich  1}  M+0,  das  seinem  Gewicht  nach  =11"  ist, 
wSgen  lässt;  3}  das  nach  Verschnindung  von  W  ent- 
stehende ruckständige  Volumen  =:  R  gemessen  wird  bei 
L'iwend  einer  Teni))eratur;  3)  die  Kohlensäure'  K  absor- 
fbirtwird,  so  dass  nur  0'  =  K'  (letzter  ItÜ-^kstand)  zu- 
f  rikkbleibt. 

[iWeim  man  I)  das  lloppeltkohlenwasserstolT^as  Ca  mit 
r  ^lorgas  »bsarbirt,  che  man  jV  detnnirt  hat;  dann  2)  den 
[  l{üciiatiini\itJ'=y-i-CxfCff-  mit  0  Uetonirt;  3)  den  Riick- 
I  stand  R  nach  seinem  Volumen  misst  und  4)  die  Kohlen- 
\  BÜBre  K  absorbirt  u.  s.w.  ivie  bei  It). 


■  estimmangen  der 


vier  unbekannten  Gase  nach 
fahren   liei   A). 


I  eine  Einrichtung,    bei    welcher    der  Endiometer   in 
Ipem  Wasser  steht,  so  dass  das  entstehende  Wassergas 
r  Detonation  noch  in  seinem  Gaszustand'*^),  bis  man  ge- 
lbat, Meibt,  so: 
^etonirt  man  ßl  mit  O. 

Misst  den  Rückstand***)  7^"  nath  seinem  Volumen. 
'  Isst  diesen  Rückstand  erkalten,  so  dass  das  Wassergas 
~l  verdichtet  nnd  mau    dann    einen    zweiten    Rückstand 
I  erhalt. 
I  dieses  R  unter  Bemerkunj;  seiner  Temperatur, 
pluorbirt    hierauf  in    li  die  Kohlensäure  K  mit   Aezkali, 
I  Anas   nur  noch   0'=:  3lr  Rückstand  ^  ß'  übrig    bleibt, 
gemessen     wird ,     und    der     verbrauchte  ,  SnuerstofT 


-R' 


■lt. 


nOf^  dieser  fünf  Operationen    nnd    ihrer   Produkte   erbält 
I  äie  vier  Gleichungen -{-): 


=K+W-t-0-  Ut,  Kn  i.t  li"-~  A'=\i'-i-o: 

Thrrmnmeter  l><^»l.a>Jitrt  werden  kimncn,  [I<-Meii 
i  6Rramet«r«tnnil  luv  Reiluuliiin  des  Gaatalumens  auf  iei 
"  i  O«  Th.  und  28"  tlnr.  xu  ilitnen  bnt. 

r  vielmehr  da«  veränderte  ReHulInt  der  Oetnnatinn. 
I    Uam  «nr  BUdiiHE  ihrer  PniduklE  mit  0  furdern   i 
P'Hnlbr,  O'  da»  Doiniirlte   ii»il  Cy  das  Orrirnili,-  ilii-. 


und  aus  diesen  durch  Elimination  und  Substitution  die  vier  n 
bestimmenden  Gasvolumina: 

.V=r2*/  +  40'')— (4«  +  3fy)oder=:(2ilf+40)  — (3Ä0  +  fi), 
Ca:  =  (2Ä+lf)-20''.  .  oder=(ÄO +fi)— 20, 
Cy=(5Ä+5>F)  -  (2IU+60")  oder=(5ÄO  +  Ä0  -  (2ilf +60), 
C^==(^+4O'0-(3if+3H0oder=(ü/+4O)-(Ä«  +  Ä0; 

wenn  man  sie  nach  den  Grossen  JU  und  O,  sowie  nach  den  Ruck* 
ständen  R^,  R  und  R'  bestimmen  uill,  wahrend  Pogi^endorff 
bei  seinen  Formeln  zur  Auflosung  dieser  Aufgabe  in  seinen  Ad- 
naien  der  Physik  (Bd.  XLVL  p.  622)  zum  Theil  nur  mit  an- 
dern Zeichen*)  die  ersten  Gleichungen  aufgestellt  hat.  Da  luu 
aber  (nach  dem  angegebenen  Verfahren  2.^  den  Rflckstand  der 
Detonation  R^  nothwendig  seinem  Volumen  nach  messen**) 
muss,  wie  die  nachherigen  Rflckstände  RundR'  (nach  3— 5),  w 
sind  die  zweiten  Gleichungen,  welche  die  nach  diesen  RückstSi- 
den  bezeichneten  Grössen  enthalten,  zu  den  Bestimmungen  ros 
y,  Cx  u.  s.  w.  tauglicher. 


Cx  nnd  Cff'  gehen  mit  0  ein  ihnen  g'leicbes,  Cy  nhvr  ein  doppelte!  Toi. 
kohlen«.  Gnses;  y  liefert  mit  0  ein  ihm  gleiches,  Cff'  und  Cy  aber  dai 
doppelte  Vol.  Wassergas  ihres  Volumens. 

*)     Poggendorff  bezeichnet  p  mit  A, 

Cx    -     d, 

cy    -     C, 

II.  Cy    -     rf, 

31  mit  m  u.  0"     -     S  und 

giebt  die  Gleichungen ; 

rt=2/7i+4&  —  4Ä  — air, 

d=z        — 25  +  2A-fIF 

C=— 2///  — 65+5Ä'+r>ir, 

</  =  ;/i+45— IM  — 3ir. 

*'^)  Pogjsfendorff  sn^^t  bei  den  zur  Anaivse  erfordert ichea  0|ie- 
rationen  nur,  das4  der  UückstRnd  der  Detonation  zu  messen  sei,  bd 
der  sich  der  Wasserdampf  bilde  und  wieder  verdichte,  so  dass  miB 
das  dadurch  Vemchwundene  hU  Wusserdampf  anzusehen  habe,  akcr 
nicht,  dass  dieser  WusKcrdampf  noch  vor  seinem  Verschwindei 
mit  den  andern  Gasen  (K  n.  0*)  des  Ruekstands  gemessen  werden  bim« 
noch,  wie  dieser  Kiickstand  zu  messen  sei,  dass  dieses  nehmlirh  catwe- 
der  unmittelbar  (bei  der  oben  auj^ei^ehenen  Einrirhtun,?  des  Eudiometrn) 
oder  miltelhar  (nach  II.  vermittelst  Wägung)  dem  Volumen  nach  aiw- 
lu führen  sei. 


nngen  der  vier  unbckanntei 
dem   Verfahren  liei  U). 


Grüssen  nach 


Dar«:]!  die  Detnnulion  von  M  mit  O  entsteht  z»ur  eine  Ver- 
dernng  der  darin  enthaltenen  Gase  naih  denk  Volumen*), 
T  nicht  nach  dem  Gewicht,  so  luni^e  das  Wuseergns  sich  noch 
lit  zu  Wasser  verdichtet  und  mit  dem  Suerrirusser  vemiiacht 
-  und  unter  dieser  Bedingung  ist  daher  dem  Guivicht  ituch 
f  O=Ar+0'+ IK=K";  wenn  mim  daher  ^/+ O  wfigt*»),  so 
init  man  damit  auch  das  abtiolute  Gewicht  vun  R'»=M-\^0. 
Wird  nun  (nach  der  Geuidilsbestiuimuiig  von  J!f  +  O) 

M  mit  0  detonirt ; 
F  der  liiickstand  tt  nach  dein  Verschwinden  de«  W  hei  irgend 
püner  gegebenen  Tem[>eratur  dem  Volumen  nach  gemessen; 
Y  mit  Aexkali  alisnrtdrt  und  der  Kflckstand  /f'  gemessen; 
_>  geben  diese  Messungen  (2.  u.  3.)_  die  Volumina  von 
Kund  O,  und  also,  da  man  die  spec.  Geirichte  dieser  beiden 
"a»B  k^nnt,  durch  Miiltiplicatinn  ihrer  erhaltenen  Volnminu 
it  ihrem  üpecif.  Gewichte  auch  ihre  absoluten  Gewi  ch  t  e. 
iebt  man  nun  von  dem  absni.  Gewichte  des  l^"=Jlf  4  ^ 
)  Summe  der  absol.  Gewichte  von  K  und  O'  ab;  so  i^t 
rRest  dieser  Sublraction  {M -\- O)  ~  {K -\- O')  =  absol. 
,ieht  des  ir,  dessen  Volumen  venniticist  Division 
_is  übs.  Gewichts***)  durch  sein  specif.  Gewicht  (bei 
r  gegebenen  Temperatur)  erhalten  wird- 
kra  man  daher  (nach  2  —  3)  die  Votumina  von£,  O"  und 
W,  die  zusammen  =  W*  sind,  und  die  Volumina  von  V^'und 
Bt  wie  die  von  M  und  O  bestimmt  bat,  so  kann  man,  da 
W.=:0~R'  ist  (I.  5.),  die  vier  unbekannten  Griissen  nach 
|ea  obigen  (I.)  ersten  oder  zweiten  Gleichungen  bestimmen. 


unbekannten  Grössen 
Iren  bei  C). 

lEiitlialt  das  Gaegemenge  unter  seinen  viererlei  Gasen  Dop- 
Iniliuhlen  wasserstofi'gas,  so  ISsst  sich  dieses  bekanntlich 
rIi  Chlurgas,  welches  damit  das  sogenannte  Chloröhl  bildet, 
Hirliiten,   und  da   dieses  Produkt  sich    nur  bei  erhöhter  Teni- 


Bnlbüll,  811  fordert  k» 
mil  liofurt  mit  didaem 
lanmioeo   9  Vol.,   wäli< 

I  aeinera  Voloiiif 


*)  Das  Valiimen  veriaindcrt  sich  durch  die  Dtlonnlion;  dcan 
"  ~  8olc:lier  Gase  tiiii  .ji;  (jclcicbei 
inn  (nflch  1.)  eiii  (7"  =  6  Vv 
giä  Vol.  nnd  «in  A'=:4  Volumina 
^'0"  10  Voluniinii  betrogen. 
'  Oder,  da  man  diii  abo»!.  Gen 
H.  Qewicht  Iieatimmen  Itann  ,  nur  .V  allein  (eine  licliebige  Vot- 
*a)  Hch  Giiy-Luaaai''s  Mclhoitc  io  einer  lubulirten  Glaakugel. 
tF,  Jahrli.  W.  p.  239.) 
t  >|>ecir  Gewicht  dea  WaaBergaae*  {W)  i«t  (dio  aUnnaph. 
nl)  0,G233  nuch  Gay -l.uwac.  nder:  1.  rf.  CkK.  Wouergna 
%..  gr.,  »der  1000.  Clikeenlini.  dcaaclbeii  wÜ^'en  ::=0,8ua36 
(8.  Hl.  t>br«ik.  ehemiscUcs  Hulf^buch  p.  VA  —  i^.) 


106 

peratur  als  Gas  darstellt,  so  kann  man  jenes  Gasglte^ 
ivetiti  man  in  das  (iusgenienge  =?  M  nach  seiner  K 
lan^e  Chlurgas  elnstrümen  Ussl,  aU  noch  eine  Verniiitderunj 
Volaniens  von  M  bemerkt  wird,  und  wenn  man  nun  das  rfickstSJ 
Gasgemenge  -^M'  gleichfalls  geraessen  hat,  so  ist  das  Gaa 
Cy  (Doppel tkoblenwasserstoffgas)  =M — M'  und  M'=v-{-Cx\ 
dessen  (frei  Glieder  sich  vermittelst  Detonation  des  M'  mit  e 
2 — Sfachen  O  und  nach  der  Messung  des  ßSclcstandes  1 
durch  Absorption  der  Kohlensaure  mit  Aeicicali,  welche  j 
zweiten  Rückstand  =^R'  liefert,  ohne  llerücksichtigung  des' 
stehenden  Wasserdtimpres,  durch  folgende  drei  Gleichung«^ 
stimmen  lassen : 

1)  jtf'  ist  =y-^Cx-\-Cy'; 

2)  R        =«'+0--|- 
3? 


3)   R'        =M'-YO- 


-ä-^  —  3C;/',  tudem  dieElimiq 


2»)Cx. 


und  Substitution  auf  1*)  ^ 

~  3 

sei   z.  B.  M=UO.  M 
id  also  Cv=lÜ  Vol. 


und  3*)  Cif': 


30— (Jtf^SiP) 


ßil 


aber  =  100  Vol.  gefunden  I 

_  ,       -      -      -  -I  sei  M'  mit  0  =  300    Vol.J 

nirt,  ßr=253  Vol.  und  nach  der  Absorption  des  kohleng.   G] 
R  durch   Aezlauge  /^' =  17S   Vol.   gefunden    worden;    sd 


1)  ß-Ä'  =  80  Vol.,  also  »,=  100-80=20  Vol. 

jtf'+3«_8&3    20-fi'_775     ,      ^ ^„„  ^ 

^'  ^^  3  * 


=^-,alsoGc=2f 


3) 


20— (J7'+2fl')     COO— 450^150 


3 


H-,aIsoC5'= 


-1=50  V^ 


Würde  man  übrigens  bei  einem  solchen  Gemenge  aus! 
Gasgliedern  nur  wissen,  dnss  es  solche  brennbare  Gasflj 
f  halten  kann,  aber  nicht,  ob  es  nur  1,  oder  je  2  davou,  I 
j  alle  3  Arten  enthalte,  so  hat  man  doch  an  den  nächsten  Dej 
tions  -  und  Absorptionsjirodukteu  die  mltbigen  I 
nach  denen  man  linden  kann ,  was  fiir  ein  fall  von  den  i 
möglichen  Fällen  bei  dem  Gemenge  statt  tindet:  deun' 

1)  Ist  nach  der  Detonation  keine  Kohlens.^ure  (K)  a 
sorbiren,  so  war  in  AI'  blos  v  vorhauden,  und  wede^ 
noch  C./'. 

2)  Beweist  aber  die  Absorption  (mit  Aezlauge)  das  Daseinj 
Kohlensäure  und  zwar  ein  Volumen  K~JH',  so  enthlH 
nur  kohlenhaltige  Gase,  da  diese  all 


Bcw< 
*)  Ddc  Dclimaliontrerliist  ist 
B)   I»t  nun  A'=  l/'  =  2(Ä— fl),  , 


i«,.  ad  *i). 
=  M'  +  0~H. 

1  igt  -r—H  —  O  und  d^lier  inCKl 


107 

luineD  von  M*  gleiches  Volumen  Kohlensäure  als  Rückstand 

liefern»  und  zwar: 
a)    Wenn  K—2(R'^0)  ist,  so  ist  MT—Cx. 
h)    Wenn  K—O-R  ist,  so  ist  M'—Cy*. 
c)    Wenn  K  weder  =2(/2  — O),  noch  =  O  — ß  Ist,   so  ist 

^  Oder  zeigt  der  Absorptionsversuch,  dass  M*  zwar  Kohlen- 
sSure  enthält,  aber  ein  Volumen  (£),  das  kleiner  als  üf'  ist, 
80  beweist  dieses,  dass  das  Gemenge  theils  Wasser- 
8 toff gas (^),theils  irgend  ein  oder  beide  kohleohaltige 
Gase  enthielt,  da  bei  der  Detonation  y  sowohl  für  sich,  als 
aus  seiner  Verbindung  mit  C  in  Cy*  mit  seinem  zugehöri- 
gen Sauerstoff  (O)  verschwindet« 


a)  Wenn  nun  Jf  <Jf',  M'  aber  ==2(0-/20  ist ,  so  Jst  J!/'=.v 
-f  ßr,    da    man  au 
welche  nur  mit  der 

b)  Wenn  «<  ül',  M'  aber  =20+  ß'  — 3Ä  ist,  so  ist  M' 
=  V  -f  Cy'y  da  man  aus  jener  Gleicbuns  eine  andere  für  M' 
ableiten  kann,  deren  Glieder  nur  mit  der  Annahme  von  M' 


■\rCxy    da    man  aus  jener  Gleichung  eine  für   R*  erhälif, 

1er  Annahme  von  M'^^y-^-Cx  stimmt. 


=y-f  Cy  übereinstimmen. 


:=zO'^R,  also  IT'— --= ---=if'-h(?— Ä,  was  nnr  bei  Sl'^Cx 

SS  m 

ftatt  findet. 
\)  Iit  Az=:0-'R=M'.  80  ist  aoch   2J/'=:i^'-|-(?  — J?,  was  nur  bei 

M'  =  Cp'  statt  findet, 
e)  Da  beijr=if'  dieses  =(7jt,  oder  =ry'  oder  =  Cr -|- Cy'  sein  muss, 

M  kann  3f%  wenn  es  weder  =  Cx,  noch  =  (7^'  ist,  nur  ^zCx-l-Cy*  sein. 

Beweise  ad  3). 
i)  Wenn  if'=2  (ö— /?0  i«t,    so  ist~=ö  — Ä%  also 


3lf 
+  (^—•5 2Cy'  ist  (nach  der  obigen  Bestimmung  III.) 

Ja 

JlznM'  +  O'-  ^  -  2J/'  +  *^ 


2 


Ja 

y=2(.l/'— Ö+Ä); 


imd  2)  Cy*=^R  —  R',  da  die  Differenz  der  Gleichungen  Ton  Ä  und  Ä* 
=:Cjr'  ist.  In  obiger  Gleichung  von  M*  stimmt  also  das  Glied 
2(lf'— 0-f  A)  mit  y  und  das  Glied  R-^R'  mit  Ty'. 


108 


c)  stattfinden  können,  folglich  wenn  die  von  a)  nnd  b)  nicht 
6tatt  finden,  c)  statt  finden  muss. 

Ausserdem  sehen  die  ohisen  Bestimmungen  von  y=^IU' — (ß— /f*), 
O.^i^'^m-i'^O^rR')^^,  f^^lO-i^±m 3„eh    noch 

Kennzeichen  vom  Dasein  oder  Nichtdasein  eines  Gasgliedes  in 
M\  an  die  Hand ;  denn  da  jede  dieser  Gleichungen  aus  einem 
positiven  und  negativen  Theil  bestehl,  so  fehlt  in  M*  diejenige 
Grosse,  deren  Gleichung  nach  Uebersetzung  der  M%  O,  R  und  Rf 
in  ihre  Zahlenwerthe  =Nuli  wird,  und  diejenigen  sind  vorhanden, 
deren  Bestimmung  einen  gewissen  Werth  angiebt;  z.  B.  M'  sei 
=  100  Vol.,   O  =  200,  R  =  140,  und  Ä'  =120  gewesen,  so  ist 

ilf'-  (Ä— Ä0=10a-.20=80 ,  also2^  vorhanden ;  (^!:i^I^t^^2±J^ 

520-^520     n    I     /.  r  ui     ^       a  20-(^^  +  2/g^)      400-340 
= ö =ü,also  Cor  fehlend;  und « = g 

=20,  also  Cy*  vorhanden. 

Hat  man  etwa  über  Quecksilber  experimentirt ,  und  es 
zeigt  sich  auf  demselben,  oder  an  der  Wandung  des  Eudiome- 
ters,  kein  Tropfen  von  Wasser,  so  enthielt  M^  kein  y,  noch 
Cy\  sondern  nur  Ca:,  da  dieses  allein  kein  Wasser  liefern  kann; 
zeigt  sich  aber  Wasser,  wenn  auch  nur  in  noch  so  geringer 
Menge,  so  kann  M*  entweder  y  allein,  oder  Cy*  allein,  oder  beide 
enthalten  haben,  worüber  dann  obige  Kennzeichen  (1.  2.)  ent-^ 
scheiden.  '^ 


IW 


Problem  a. 

A\ictor 

Christianas  Fr.  Lindman, 

Lector  Strengnesensis. 


Invenire  Rhombum  maximiim  et  mioimum,  qui  in 
Ulipsin  datam  (axes=a,  by  a>6)  ioscribi  possit 

Qaia  latera  opposita  Rhombi  inscripti  sunt  chordae  inter  se 
imllelae,  diameter  quidumEllipsisutrumque  in  duas  partes  aeqiia- 
ksdividat,  necesse  est.  Cetera  latera  huic  diametro  parallela 
Mftt  (Euci.  1.  33).  quamobrera  a  diametro  conjugato  in  duas  par- 
Im  aeqaales  dividuntur.  Posito  i&^itur  diametro,  qui  sub  angulo=a 
IDo  majorem  seeet,==2a^  diametro  vero  conjugato,  cujus  angulus 
jh  axiu  majorem  sit=:a^  -=26',  et  a'>a,  aequatio  Ellipsis 

^Bsbrinatione  coordinatarum  ex  formulis 

y=a:Sina-f  2^Sina',a:'=a:Cosa+yCosa' 
irtatnr  in 


'^"^         a«'"    —a^Sin^a+Ä^CosV  ^  ■~"a2SinV+62CosV^*^ 

latera  Rhombi  quaesiti  axibus  parallela  sint  ab  iisque  aeaua- 
seceotur,  problema  propositum  in  inveniendis  quattuor  Elllp- 
puDctis  continetur,  quorum  omnes  coordinatae  valore  absoluto 
X  se    äquales    sint.        Qui    valor   facillime    invenitur     ess^ 


a'b' 


Va'H^'« 


110 


,  qaamobrem  latus  Rhombi    cujosdam    inscripti  est 


2a'b' 


V  «'«+6'« 


et  area=  F=^^,  ^;gSin(a'— c),  ....  (2) 


quia  alter  anguloram  ejus  est  :=a'— '«^    Si  a  habetur  variabilis  in« 
dependens»  invenitnus  ez  aequ.  tg«tga'= — — ,' 


SioV= 


64Cos«Ä 


a4Sin«a+6*Cos«a 


-,  C08V= 


cf^Sin*« 


a^Sio^o+AMJos««' 


^  -"a«Sin2a+6«Cos»a* 
qui  valores  cum  valore  ipsius  a'^  io  (2)  dueti  suppedltaot: 


'^  ~  (aHÄ«)(a«Sin««+ 6«Cos^)  ' 
unde  differentiatione  obtinetur: 

rfF_     4g«6«(flg~6g)«SincCos«        6«Cos«g—a«  Sinket 

At  vero  quum  fiat  ^-=0  et  j-2>0  pro  «=0  et  5^=0et  ■gjäS*' 

pro  tgg  =  —>  Rhombus  pro  hoc  valore  ipsius  a  maximus  est,  ft^ 

ilio  minimus.  Rhombus  maximus  construitur  coiijungeodis  inter  8^ 
punctis  extremis  axium  principaüum,  sed  Rhombus  minimus,  qv* 
est  quadratum^  si  puncta  extrema  diametrorum  inter  se  aequalim^ 
conjunguntur. 


Ilntersnchnns  der  Mquadratischen 

Formen. 


Von 


Herrn  Doctor  F.  Arndt, 

Lehrer  am  GjrniDasiani  zu  Stralsund. 


Wenn  von  den  beiden  biquadratiscben  Formen 

ttste  in  die  zweite  durch  die  lineare  Substitution 

x=aX+ßr,    y=yX+ir, 

.,  kurz,  durch  die  Substitution  a,  ßy  y,  d  übergeht,  so  hängen 
Coefficienten  der  zweiten  Form  von  denen  der  ersten  durch 
Gleichungen  [5]  ab,  in  der  Abhandlung:  „Ein  Satz  über 
jilre  Formen  von  beliebigem  Grade  und  Anwendung 
iiselben  aufbiquadratische  Formen.'*  (Th.  XVII.  pag. 
'  f.).    Wir  hatten  die  Gleichung 

ien,  wo  A  eine  rationale  Function  der  Coefficienten  der 
F  ist,  von  welcher  die  Natur  der  letztern  wesentlich  ab* 
.  Für  den  Werth  von  A  sind  verschiedene  Ausdrücke  ent- 
it  worden ,  nämlich 


112 

-  12ö26rfe«— 6fl6«cZ2ß-  lS0abc^de  +  8lac*e'-'J7ä^d* 

+l08b^cde+Uab^ce^^-6U^c^e , 

(•2)    A  =  81  Ai*  +  18/*2^-  +  9^^ — V  -  27/22  --  27%« , 
(3)    A  =  87/Äi;t  +  -27/»a*  +  9AiÄ««-V-27/i«— 27/^7«; 
ivo 

I/*=:66— ac,    £^=:6c— arf,    Ä|=cc— 6rf 
izucd — 6^,    k^zdd-^ecy    AssSAt-fAg 
ist,  und  auch 

Eine  nothwendige  Bedingung  für  die  Aequivalenz  von  F  tu 
P  ist  mithin  A=A'*  Bemerkt  man  aber,  dass  zur  Bestimmni 
von  a,  j?9  y»  ^9  die  Aequivalenz  vorausgesetzt,  sechs  Fundamel 
talgleichungen  gegeben  sind,  nämlich  die  schon  angegebenen  GIc 
chungen  [5]  und  die  Gleichung  {aB—ßy)^-=,i^  so  ist  ersichtlid 
dass  zwischen  den  CoefBcienten  von  Fy  P  mindestens  zwei  H 
lationen  statt  linden  müssen,  dass  also  ausser  der  Bedingoi 
A  =  A'  noch  eine  zweite  existiren  muss.  Diese  ausfindig  i 
machen,  ist  Gegenstand  der  gegenwärtigen  Arbeit.  Wir  kunm 
auf  mehreren  Wegen  zum.  Ziel  gelangen;  ich  betrete  zuerst  dei 
jenigen  Weg,  der  sich  mir  zuerst  dargeboten  hat,  und  werde  s< 
dann  einen  einfachem  zeigen. 

f ' 
I 

In  der  erwähnten  Abhandlung  habe  ich  eine  Correspondanl 
von  F  entdeckt,  nämlich 

<P=(6/*,  3<7,  A,3/,  6A), 

welche  die  Eigenschaft  besitzt,    dass  sie    durch   die  Substituti( 
«»  ßy  y>  ^9  mittelst  welcher  F  in  F*  übergeht,    sich  in  die  For 

verwandelt,    wo   die  accentuirten    Buchstaben   sich  auf  die  Fori 
F*  beziehen.    Bezeichnen  wir  also  die  Determinante  von  der  For 

(öA  3^>  A>  3i,  6A)  mit  Ai? 
die  von 


HS 

fö/',  3g',  h!y  3i',  W)   mit  Ai% 
so  hat  man,  beachtend,  dass  die  Determinaote  von  tp*  offenbar 


ist, 


:rkr2=(««-i5y)»Ai, 


(«d-jSy) 
oder 

(5)  Ai'=(a^-i3y)**Ai. 

Wird  nun  diese  Reiatioii  zwischen  den  Determinanten  der  Cor- 
Kspoudanten  von  F  und  F*  weiter  entwickelt,  so  wird  sicli  wie- 
gln eine  Relation  zwischen  den  Coefficienten  von  F  und  F^ 
ergeben,  welche  mit  der  Bedingung  A'=  («tf— iSy)^*A  nicht  iden- 
tisch sein  kann.    Weitere  Nachforschungen  haben  ergeben ,  dass 

hei  dieser  Untersuchung  nur  auf  die  Verhältnisse    —  >     ^ 

le,  und  die  letztern  Quadratzahlen  sein  mOssien.    Um  sich 

rm  direct  zu  überzeugen,    berechnet   man  am  einfachsten  die 

Ai  Dach  (2),  indem  man  die  Grössen  /*»  ^t  ^>  h%i  is  k 

andere  ersetzt,   welche  aus  6/*,  3^,  A,  3z,  6A;  gerade  so 

^\  sind,  wie  (%  g,  A,  i,  k  aus  a,  6,  c,  d,   e.    Herr  Con- 

W  a  s  m  u  n  d  hieselbst ,  ein  gewandter,  mit  tüchtigen  mathe- 

lea  Kenntnissen  ausgerüsteter,  Rechner,  hat  diese  fierech- 

tnsgeföhrt;  es  gelang  ihm  durch  mehrere  Umformungen-  das 

liss  -~  wirklich  auf  die  Form  eines  Quadrats  zu  bringen,    ' 

ieh  behauptet  hatte,  und  zugleich  ergab  sich  ein  b^merkens- 
far  Werth  von  ^,  wodurch  die  Bedingung  A' =  («^"H^Jf) **i)i 
in  zwei  einfachere  Bedingungen  auflösen  Tiess.  Da  aoer  dier 
ri  sehr  verwickelt  und  ermüdend  ist,  so  dürfte  es  zweckmüs- 
sein,  nun  eine  einfache  Methode  zu  zeigen,  durch  welche  man 
tBgedevtttten  Resultate  auf  eine  ganz  einfache  Weis«,  erhalten 

Ans  (3)  folgt 

^-(3Aj-_/,.^)3  ^  -.27(/tHAi7*-3^,A-/AaA-A,«Aa+Ai'); 

es  findet  sich,  indem  für  f,  g,  Ai,  etc.  ihre  Werthe  substitnirt 
ien, 

3Äi  —  Aa =3c2— 4Ad + ae ; 

ich,  wenn  man  zur  Abkürzung  ' 

iil  XVIII.  8 


114 

(0)  <8etzt: 

Berechnen  wir  nun  die  Werthe  ^i ,  i2|,   in  welche  ^»  A 
übergehen»  wenn  man  die  Form  F  durch  ihre  Correspondante 

9>  =  (6A  35r,  A,  3i,  Oifc) 

ersetzt.  <--  Es  ist  also 

^1  =  3A«—  'S&igl—fk) = 3(3Ai  -Ä^« = 3(3c«-4Ad+iiif)«, 

folglich 

(7)  ?;i=3t;2. 

Femer 

«1  =  - 18^*1  V  54/i« +54^,9«— 36/3Wfe+ A3, 

oder,  wenn  man  SA^-f^»  hih^^  +  fk  statt  A,  ^'  setzt, 

Äi =64/i«+54A|7*  -  162/»iA-54/-AaA-27Ai«A,~9A4  V+Ä»HS7V 

=-2A  +  (3Ai--AJ»; 

folglich 

(8)  Äirsts»»— 2i\=-tf»  +  84a«. 

Nach  (6)  ist  endlich 

woraus  durch  Substitution  der  Werthe  von  '^i,   Sli  aus  (7)  mul 
(8)  folgt: 

(9)  Ai  =  (54Ä)2A- 

Bezeichnet  man  jetzt  die  Werthe,  welche  den  Grossen  9,  A 
in  Bezug  auf  die  Form  F*  zukommen,   mit  ^^  Sl',  so  ist  ebeoio 

Ai'=(54Ä0«A'; 

es  war  aber 

folglich  kommt 

^^«  =  («6— /JyPÄ«, 

oder 


115 

eicht  man   ferner  die  Relationen 
eachtet 

gt 

Zf^^iaS—ßy)^,   oder  ty'=(a*H'y)V- 

^a  in  dem  Werth  von  Sl'  noch  das  Zeichen  unbestimmt  ist, 
t wickele  man  diese  Grösse  direct  mit  Hölfe  der  Fnndamen- 
ichungen  [5]  in  der  Abhandlung  Tbl.  XVII.  p.  409.  tt.  Um 
lechnung  abzukürzen,  braucht  man  nur  die  ulieder  wirklich 
irecbnen,  welche  in 

Ä=a«P+e*a+c»— ace— ^26cd 

mmen,  indem  alles  Uebrige  sich  aufheben  muss.  Man  fin* 
lann  in  Sl'  das  obere  Vorzeichen.  'Auf  ähnliche  Art  kann 
sich  Ton  der  Kichtigkeit  der  Gleichung 

:eugen,  wenn  man  3c'*— 46'd'+aV  berechnet  Das  Resultat 
rer  bisherigen  Betrachtungen    ist  also  Folgendes: 

IVenn  die    biquadratische    Form 
ie  biquadratische  Form 
ch  die  Substitution 

r|!;eht,  so  finden  zwischen  den  Coefficienten  bei- 
Formen  folgende  Gleichungen   statt: 

IS  =  ^c^-Ud  +ae,     is'  =3c'«  —  Wd'  +  a'e'y 
:«(P+e6«+c«— ace-26cd,  a'=:o'd'«+e'6'«+  c'3-aVc'-26Vd' 


116 

Ist;  und  wenn  man 

«etit,  so  folgt  noch 

Wenn  aUo  die  beiden  Formen  aequivalent  sind«  so  w 
die  drei  Glelchun|ij;en  is'  =  7S»  Ä'=Ä,  A'  =  A  «ta**  finden 
deren  beiden  ersten  die  dritte  folgt. 

Hiermit  Ist  der  erste  Anfang  zu  einer  Theorie  der  biqi 
tischen  Formen  gemacht.  Die  weitere  Untersnchung  der  / 
valeni  biquadratim^er  Formen  gehOrt  jsu  den  schmerigsten , 
über  nächstens  ein  Mehreres. 

Beispiel. 

F=a^  +  l'la^g^  +  12xg  +  li^=(i,  0,  2,  3,  5); 

er.  ß,  y,  d=— 5,  —2,  +3,  +1,  «Ä-/Jy=  +  t; 

F'sCailO,  80B,  309»  118,  45) 

A==7.   A'r=    2g3T9&IO— 29339550  \ 

+  29378880—58922502  j=7. 
+  29609629  ) 

^=17,^'=    286443—381371      ,. 

I    =   lim 

+94950  ' 

Noch  einlacber  als  bisher  lassen  sich  die  getandeoea  f 
tale  entvrickeln,  wenn  man  die  Fanctioo  F  als  Prodnct  ii 
Functionen  darstellt  Za  dem  Ende  bezeichnen  wir  die  VE^i 
der  Cileichang 

in*  +  4ÄI»  +  6ri« + 4<lr  +  r =0 

mit  T.  r.    V.    r*.  und  setzen 

Ajr^)  =  «J^  +  46xV+6rJry  +  4dLr5»+«3r« 
= «(x- Fjr^  v-r-  Ff ^  iJr-  7*w^  >-  T'y  . 

Ili«ff;»tt$  fi4drt 

«''=««*+4»«v+<«V^+^«7*+<7*=r«-  :  - 


H7 

Nun  findet  sich  : 


^Iich  hat  man,  wenn  zur  Abkürzung 

(T-TO*=f»>      (t-0«=^,      (t~0«=»-.      (t'-0*=*. 

'-5r)«=/n,   (r-ro«=^i,   (r-r'o*=ri,   (7^-.^')«=*,, 

setzt  ivird: 

'.die  GruisseA 

snbar  symmetrische  Functionen  der  Wurzeln  t^  x\  rf\  %***  sind, 
werden  sie  sich  durch  die  Coefficienten  der  Gleichung 

112*  + 4623  +  6«« +  4rfz+c  =  0 

iooai  ausdrucken  lassen.  Um  dies  mit  Leichtigkeit  zu  heu-crk* 
Uigen»  benutzen  wir  die  Tabellen  zu  »JMeier  Hirsch,  Samm- 
le von  Aufgaben  aus  der  Theorie  der  algebraischen 
eichungen.   Berlin   1809.    In  diesen  Tabellen   findet  man 

iirthe  der  Summenausdrücke  [ajSyd x],    auf  welche  sich  jede 

nmetrisdie  Function  zuröckfönren  lässt;  ein  solcher  Ausdruck 
aber  eine  Summe  von  Gliedern ,  die  man  findet,  wenn  man  alle 
mbinationen  der  Wurzeln  der  Gleichung  zur  mten  Klasse  bil- 
\^  wo  m  die  Zahl  der  Buchstaben  cf,  /?,  7,  £,...  x,  den  in  jeder 
lOplexion  vorkommenden  Wurzeln  die  Exponenten  a,  j$,  y,  ....x 
jit»  und  die  letztern  auf  alle  möglichen  Arten  perniutirt.  Die 
I  Tabellen  zu  Grunde  liegende  Gleichung  ist 


118 

o:"— 4ä*-*  +  ä««^«-  etc. 

so  das8  H'ir  zuletzt 

« 

-46      +6c      -Jrf       +£ 
a  a     *        a    *       a    . 

ätatt  A,  B,  C,  D  zw  setzen  haben. 

Man  findet 

* 

/?tt  +  ^e  +  r#=2[22J-2[112J  +  l2[Illl]=2ÄZ?— 6ilC+24Z> 
folglich 

(11) ....  a«(/>a+^+w)=24(3c«— 4Ä€i+ac)  =  24jy. 
Ferner  kommt 

=  2[44] + 6[224] +I08f2222]— 4[1341 +35[1133]-.24[1223] 
=2Z?*— 12^Ä«C+18^2C2+48Ä«Z>-144^CD+288Z)», 

folglich 

(12) a4(/>«tt«+^*<*+ra5a)=288(3c«— 46d+ac)a=288ö^. 

Aus  (II)  und  (12)  folgt  leicht: 

(13) a\pu.qt  +pu.rs+gtrs)  =  lU&c^-Ud+ae)^^,  144^«. 

Mit  der  Berechnung  des  Products  pujfLrs  habe  ich  mich  in  d 
Abhandlung:  „Ein  Satz  über  binäre  Formen  etc."  (Tbl.  XVl 
Nr.  XVll.  Heft  IV.  8.409.)  ausführlich  beschäftigt,  und  es  famlil 

(14) aHpu.qtrs)=^m^ . 

Da  nun  nach  (10)  ' 

o'Hpi  «1  +  7i  <i  +  »"i«! )  =  «*(/>M + y^ + w)  (ad — jjy)4 , 
a'  \pi  Ui,qi  ti  .Vi  Ä| )  =  a^(pu,  f/trs)  (ciS—ßy)  ^* 
ist,  so  folgt  nach  (II)  und  (14)  , 

^'=^(«5-j3y)4,     A'  =  A(«(5-"/?y)^^ 
ivie  oben  gefunden  worden.  —  Hieraus  folgt  weiter,  dass 

diejenige   kubische  Gleichung  sein  wird,    deren  Wurzeln /^k«  » 
rs  sind,  oder 


119 

ff*  ■r^t4fijff* + 1447$^ — 256A =0 

e  Gleichung  y  deren  Wurzeln  a^pu,  a^qt,  ä^s  sind.  Folglich 
Mt  8ich  jede  symmetrische  Function  der  drei  Corobinationen  pu, 
l,  rt  durch  die  Grossen  ^  und  A  Ausdrücken. 

■ 

Die  Natur  einer  biquadratischen  Form  hängt  nun  von  den  bei- 
en  Grossen  ^^  Sl  ab,  welche  wir  die  erste  und  zweite 
leterminante  nennen  können,  während  A=?$'^ — 27.$2^  eine 
BS  beiden  abgeleitete  Determinante  ist. 

Stralsund,  den  20  September  1851. 

(Fortsetzung  in  einem  der  nächsten  Hefte.) 


ithetteche   Beweise   der  Sätze    in 
XTI.  UTr.  XTIII.  und   UTr.  ILTJL. 

des  ArcliiYS. 

Herrn  Professor  Pross 

zu  S  tuttgart. 


XVIIL  Man  denke  sich  inThl.  XVI.  Taf.  IV.Fis.3.  an  den  Durch 

ipu  

staben  H  gesetzt,  so  ist: 


Schnittspunkt   der  Geraden  AM   und  BN  den  Buch 


f 


AC'.AD=NP.AP,  weil  ^ACDco^^ANP 
=iMN:AB,  weil  ^MNPoä^ABP; 

folglich  JlilN=^^~. 


XIX.  Man  denkip  sieh  In  ThL  XVI.  TafclV.  Fic.  5.  die  Gi 
Db,  De  und  Db\  Di'!'  gezogen,  so  sind  nie  Dreiecl 
nnd  b'c'D  ähnlich»  vreil  die.Wttfrkel  6  und  A'  al 
fangsvrinkel  auf  der  Sehne  AD  und  die  Winkel 
c ,  als  NeheAwinkel  der  gleichen  Umfangswinkel 
und  Dc'Af  gleich  sind;  es  verhalten  sich  al 
Hnhen  <Keser  Dreiecke  wie  ihre  Grundlinien  l 
b*&.    (q.  e.  d.). 


Anmerkung.  Diese  lieiden  wichtigen  Sätze  verdienter 
Lehrbficher  der  Geometrie  aufjgenommen  au  v 
und  zwar  der  erste  unter  der  Form: 

„Wenn  man  in  einem  Dreieck  ABC  (Jhl.  X> 
„IV.  Fig.  3*)  beliebig  eine  Transversale  J/>  zieht, 
yyhält  sich  die  Transversale  AD  zu  der  eine 
„schliesscnden  Seite  AC  wie  die  andere  eins 
9,sende  Seite  AB  zu  einer  Sehne  MN  des  ui 
»«Dreieck  beschriebeiien  Kreises,  welcher  ein  Um 
„winke!  entspricht»  der  dem  Winkel  ADV  glei 
„unter  welchem  die  Transversale  die  Gegensei 
„schneidet.'' 


Druckfehler. 

Theil  XVI.  Taf.  IV.  Fig.  5.  muss  in  der  zweiten  und 
der  drei  Figuren,  aus  denen  Fig.  5.  besteht,  an  den  zweit< 
teren)  Durchschnittspunkt  der  beiden  Kreise  der  Buchstabe 
setzt  werden. 


121 


XIEI. 

er  die  Berechnungr  der  Cometen- 

Ibahnen. 

Fortsetzung  der  AbhandluDg:    Neue  Methode  zur  Berech- 
nung der  Cometenbabnen/)) 

Von 

dem   Heraushieben 


Einleitung. 

nSchste  Zweck  meiner  Abhandlung:  Neue  Methode 
rechnung  der  Cometelnbabnen,  war  allerdings,  wiq 

dieser  Abhandlung  bemerkt  worden  ist»  die  Mittneilung 
ilig  directen,  d.  h.  hier,  gar  kein  Probireo  in  Ansprach 
len  Näherungsmethode  zur  Berechnung  der  Cometenbah- 
iese  Methode  legt  aber,  wie  aus  der  angefahrten  Abband- 
cannt  ist,  vier  Beobachtungen  zu  Grunde«  da  im  Gegen* 
s  eigentliche  sogenannte  Cometenproblem ,  wie  es  in  der 
nie  gewöhnlich  aufgefasst  wird,  nur  drei  Beobachtungen 
ruch  nimmt,  welche  auch  in  der  That  hinreichen,  um  die 
Res  Cometen  in  der  parabolischen  Hypothese  rollständig 
len  zu  können.  Mein  Zweck  bei  der  oben  angefahrten  Ab« 
g  war  nun  aber  auch  zugleich ,  durch  dieselbe ,  wenigstens 
tosten  Theile  nach,   diejenigen  Grundlagen   zu  gewinnen, 

zur  Auflösung  des  eigentlichen  Cometenproblems ,  nach 
gewöhnlichen  Auffassung  in  der  Astronomie,  erforderlich 
od  ich  will  nun  in  der  vorliegenden  Abhandlung,  die  der 
nannten  Abhandlung  zur  Fortsetzung  dienen  soll,  mich  mit 


ArchiT  der  Mathematik  und  Pbysik.  Tbl.  XVII.  Nr  IV. 
inil.  9 


1  «■• 


122 

der  Auflösung  des  eigentlichen  Cometcnproblems  lieschSftigen,  iro* 
bei  ich  zugleich .  —  mich  librigcns  durchaus  nur  auf  das  Nofb- 
ivendigsto  lieschränkond ,  —  einige  eigne  Ansichten  über  die  Lö- 
sung dieser  so  buchst  wichtigen  Aufgabe  den  Astronomen  nnd 
Mathematikern  zu  geneigter  Beachtung  empfehlen  mochte.  Die 
in  der  früheren  Abhandlung  gebrauchten  Bezeichnungen  werde  ich 
auch  hier  sämmtlich  beibehalten,  und  werde  Abänderungen»  die 
in  dieser  Beziehung  etwa  getroflfen  werden  sollten ,  sorgfältig  an- 
zeigen. 

Bevor  ich  mich  zu  der  Auflösung  des  Cometenproblems  selM 
wende,  will  ich  vorläufig  und  ein  für  alle  Mal  darauf  aufraerksan 
machen,  was  die  in  der  früheren  Abhandlung  gebrauchten  Sym- 
bole Ui9  ii.2>  t/3  eigentlich  bedeuten,  weil,  dies  zu  wissen  iral 
Ktets  vor  Augen  zu  haben ,  für  das  Folgende  von  Wichtigkeit  ul 
Nach  §.  8.  der  früheren  Abhandlung  hat  man  die  Gleichungen: 

Zi  =  — Misin^i',    22=-"%8in/?jj'*    23=— '«sSinA'» 

und  da  nun  bekanntlich  ßi',  ß^ ,  ß^*  die  geocentrischen  Breitao 
des  Cometen  in  den  Momenten  der  ersten,  zweiten  und  drttin 
Beobachtung  bezeichnen,  so  erhellet  auf  der  Stelle,  dass  tii»i^ 
t/3  die  negativ  genommenen  £ntfernungen  des  Cometen  vod 
der  Erde  zu  den  Zeiten  der  ersten,  zweiten  und  dritten  Beobach- 
tung sind.  Man  könnte  leicht  die  wirklichen  Entfernungen  des 
Cometen  von  der  Erde  in  den  drei  Beobachtungen  in  die  Rech- 
nung einführen,  was  aber  eine  Erleichterung  der  Rechnung  nicht 
herbeiführen  würde,  und  daher  von  mir  unterlassen  werden  soll* 
um  mich  desto  leichter  unmittelbar  an  die  frühere  Abhandlonf; 
anschliessen  zu  können,  wodurch  die  vorliegende  .Abhandlung 
wesentlich  abgekürzt  werden  wird. 

Immer  legen  wir  nun  im  Folgenden  bloss  drei  Beobachtungen 
zum  Grunde,  aus  denen  wir  die  ganze  Bahn  zu  bestimmen  suchen. 
Dies  vorausgesetzt,    werde  ich  zuerst  zeigen,    wie   das  Cometen- 

ßroblem  ganz  im  Alh^emeinen,  ohne  irgend  eine  Näherung  u 
[ülfe  zu  nehmen,  aufzulösen  ist,  'und  dann  die  Näherungen  an- 
geben, welche  man  sich  erlauben  darf,  und  zu  denen  man  Inder 
That  auch  meistens  seine  Zuflucht  genommen  hat,  um  sich  die 
Auflösung  möglichst  zu  erleichtern.  Dabei  wird  auch  insbesondere 
von  der  Auflösung  von  Olbers  die  Rede  sein,  deren  man  sich 
jetzt  in  der  Astronomie  fast  allgemein  bei  der  Berechnung  der 
Cometenbahnen  bedient,  indem  ich  wenigstens  im  Allgemeinen  die 
Hauptmomente  angeben  werde,  auf  welche  diese  Auflösung  zurück- 
kommt, übrigens  aber  das  Studium  der  in  meiner  früheren  Ab- 
handlung angeführten  wichtigen  Abhandlung  von  Olbers  selbst 
dem  eignen  Fleisse  des  Lesers  überlasse,  da  diese  Auflösung, 
nebst  den  ihr  durch  Gauss  zu  Theil  gewordenen  wichtigen.  Ver- 
vollkommnungen,  zu  allgemein  bekannt  ist,  als  dass  ich  es  zweck- 
mässig finden  könnte,  über  die  bei  derselben  in  Betracht  kom- 
menden Einzelnheiten  mich  hier  schon  jetzt  weiter  zu  verbreiten. 


12S 


I. 


um  suerat  die  allgemeiBe  Auflösung  des  Cometenproblems, 
:  dbne  eine  nur  näherungsweise  richtige  Voraussetzung  irgend  elMr 
i  Art  SU  Hfilfe  zu  nehmen,  kennen  zu  lernen,  so  haben  wir  nach 
"   {•  2.  der  früheren  Abhandlung  zuvorderst  die  CSdchoag 

wo  die  CoefBcienten 

^  3fi,  »!•  «!•  a>i,  «1,  &•  ®i 

^   wenn  man  dieselben  durch  die  geocentrischen  Längen  und  Breiten 

K  des  Cometen  in  den  Momenten  der  drei  Beobacfatun|eD  ausdrfidct, 
^  wie  aus  der  früheren  Abhandlung  leicht  geschlossen  wird,  wenn 
^    man  nur  bemerkt,  dass  ui  den  Zeichen  jener  Abhandlung 

^» 

2  s>i =-»!',  ei=-Ä,  5i=-Ä.  <Bi=fl 

i    ist,  die  folgenden  Werthe  haben: 

i 

=^    3li  = — Äjßisin  (La — ^)  «In/Zj ', 

;     351= — *8  ßisin(i3 — £i)8in  j?2', 
\    Ci  =  —  Äi  BftSinCii  — £a)sini53'; 

■     Ci  =  «iCos/Ja'cosft'  t  tangA'siD(aa'-Xi)-tang/^'sln(fl^'-JLi)  j , 
St  ==ÄaCosft'cosftM  tangA'siD(iii'-I.^— tahgA'sin(«i'--Lj)  | ; 

(Bi  =£ — cosft  'cos/Jj'cos  jjj'  I    tangj^i  'sin(ö2'— ctjO 

+  tang/^'sin(o^''r-aiO 
+tangft'sin(tfi'— «»0 

Femer  ist  nach  der  früheren  Abhandlung: 

Ai  =—  RxüOB^ai —  L{)cosßi\ 

^a=  —  ÄjCOsCoa'— 1*2)  cos/3a', 

-4i = — Ä3COs(«i'—  jL8)cos/?,'; 

9* 


<.     ■   '  •      .  ■   .   I 

.  I 


I  '     .11 


124 

Bi*= Ri*[l-  cos(ofj— li)*co«/Ji'«  I , 
B,*=zB,*ll—eoB(a,'—L^*co»ß,'*\ 

■      ■  ■  k 

«nd   * 

r,=V  (A-%)*+.^V 

'  ■  ■  ■  .  . 

80  wie 

*  ■ 

yi  c=  —  jB^siiiLi  —  tf|8ii)ai'cosj3|^ 
z,  =-tii8iDft'; 

^2 = T  ^sinX^-*  tC98iD(%^Gos/Sa^ 

a:s=i:— lZsCosX3  —  ti3C0803'cosj?3', 
^3  =  —  ßa  sinia  —  Uasinoa'cos/^s', 

Bezeichnet  man  nun  die  Sehnen  der  Cometenbahn  zwi8< 
dem  .ersten  und  zweitep»  und  zvyischen  dem  zweiten  und  dri 
Cometenorte  respective  durch  si^  und  52*3)   so  ist 

,a,3=V  (ara-^3)H(ya-2^3)^+(^a-^)* ; 
oder»  wenn  man  für  die  Coordinaten 

^i>  yi»  2:1;    ar«,  2(2»  ^;    ^3»  ys»  2:3 

ihre  obigen  Werthe  einführt«    wie  man  nach  leichter  Rechi 
findet: 


125 

Jr'iifi,cosC«,'— Z,,)-ßjC08C«,'— /,a)!cusi3i'a,     ^„^^  ^^,j^ 
l-SIfi^cosCcia'— Lj)— Ä,co8(tt,'— Zi)|co8(3i'iia     :.  i  1  .■,'/   ...rt. 
f.2|6inßi'siii(Ja'  +  eos(c;,'— Bj^osft'cosiSa'lMjaa+aiHws*. 
tjRa*+^3''— 2ßiff3cos(La  — Z,j) 

p-2t8iii^a'^inA'+co8(aj'— «3')cos^a'cosjJ3'it(ai^+«3''+i(g''. 

keictiDen  wir  nun  die  FlÜchenräume  dei  zwischen  der  Sonne, 
Ersten  und  zweiten  Cometenorle,  und  zwischen  der  Sonne, 
■reiten  und  drilten  Cometenorte  liegenden  Sectoren  der  als 
pra  hei  he  trachteten  Cnmetenbahn  durch  €>i,-g  und  ^,s,  den 
Ifter  der  Cnmetenbahn  aher  durch  p;  so  ist  nach  dem  he- 
JD  Lambert'schen  Ausdrucke  fiir  ilen  Flächeninhalt  parabo- 
iSectoren*): 


Ksw 


'12\   2 


■i(r,  +ra  +  s,^;-(7-,+ra-«i.,)'t. 


['•a+'"3+*i-3)'  — (rj+i-3-ii,3: 


ich  dem  dritten  Kepler 'schon  Gesetze  verhaltea  eich  die  Quä- 
le iler  siderischen  Umlaufs  Zeiten  der  Planeten  wie  die  Würfel 
Ir  Imlben    grossen   Axen   ihrer    elliptischen   Bahnen.     So   lange 
f  nun  die  Coineten bahnen  als  Parabeln  betrachtet,  kann  natür- 
er  Umlaufszeit  derselben  um  die  Sonne  nicht  die  Rede 
io  lanßie  verliert  also  auch    das  dritte  Kepler'sche  Ge- 
■oe  Anwendung.     Indess  kann  man  doch  dieses  Gesetz  mit 
Srissea  Mndißcation  auch  auf  parabolische  Bahnen  anwen- 
e  wir  jetzt  zeigen  wollen.     Bezeichnet  nämlich  T  die  Üm- 
1  eines  Planeten   und  a  die  grosse  Halbaxe  seiner  Bahn ; 
liach  dem  dritten  Keplerschen  Gesetze  der  Bruch 


.1  Planeten 
'  betiiea   vors 


L  •.  Archiv  riet   Mathem.   urri   Pbvsili.   Tbl.  XVI.   Nr.  XXXIX. 

man  in  der  Lnmbcrl'achi'n  Glcicbiin;;  daa  unlere  Zeichen 
1  hätte,  kann  hi'i  der  Itereclinnnf;  der  Cometenliafanen ,  die 
IT  anht   bei    einander    lii^g-ende   BeiiliBchtDngea   benotien,     nur 

er    ConiEtenbahn    in   Bettai.ht    sielien   Itnun,     nicht    vor- 


126 

•eisen  vrolien«  let  nrni  ferner  €(  ein  In  der  Zeit  t  von  dem  Ra- 
diue  Vector  dea  Planeten  beschriebener  Seetor  seiner  Baha,  m 
tat  für  dieaen  Planeten  nach  dem  aweiten  Kepler'achen  G^ 

Beize  der  Bruch  -r-  eine  conatante  Grusae»  die  wir  durch  l  be* 
seichnen,  und  daher 

aetzen  wollen,  wobei  wir  nochmala  beaonders  darauf  hlnweiMi^ 
daaa  X  nur  f&r  jeden  einzelnen  Planeten  conatant,  fiir  yerachie- 
dene  Planeten  veränderlich  lat.  Bezeichnen  wir  jetzt  den  Flidia* 
Inhalt  der  ganzen  elliptiachen  Bahn  dea  Planeten  durch  JE,  ao  iit 
nach  der  voratehenden  Gleichung 


E^sXTf  X=^» 


alao 


0="jf<« 


Weil  aber,  wenn  b  die  kleine  Halbaxe  der  Bahn  bezeichnet»  b^ 
kanntlich  E=:abn  lat,  ao  iat 


e=4^. 


und  folglich»  weil 


iat: 


T=:xai=:xaV« 


Bezeichnet  nun  p  den  Parameter  der  Bahn»  ao  ist  bekanntlich 


2^_  A 

a  "^^        Va 

alao  nach  dem  Vorhergehenden: 


=V?' 


=jVi'- 


Dieae  Gleichung»   iv eiche  bloss  von  dem  Parameter  abhängt»  iil 


127 

ler  olenbar  auch  auf  naraboli»che  Bahnen  anivendbar.     Druckt 
iD  dieselbe  nun  auf  folgende  Art  aus: 


•     1     f 


'  ergeben  sich  aus  dem  Obigen  In  den  Zeichen  der  früheren  Ab- 
indlung  die  beiden  folgenden  Gleichungen: 

V  ^  • 

X     ^1^  X 

'j-<«=*»'s=  ä*    /^=  iäi' (»'«+»'«+*««8)*— (»■a+»'3-*«.s)M. 


)ie  Grosse  r^  ist  eine  Constante,  welche  wir  durch  fi  bezeicb- 

leo,  also 

X 

ibeo  wollen.    Daher  Ist  nach  dem  Vorhergeheoden : 

r  f* 

r  f* 

bi  Werth  der  Constanten 

T^ 

li  daher  auch  den  Werth  der  Constanten 

X 

■it  man  aber  aus  der  Theorie  der  Planetenbewegnng  mit  gros- 
t  Genauigkeit,  so  dass  man  also  denselben  im  Obigen  als  eine 
faonte  Grosse  betrachten  kann;  es  ist  nämlich ,  alle  Zeiten  in 
Igen  ausgedrückt  angenommen : 

log|Ä =0,9862673. 

In  den  obigen  Gleichungen  ist  nun  offenbar  die  vollständige 
iiesuDg  des  Cometenproblems  in  der  parabolischen  Hypothese 


128 

enthalten.  Um  dies  jedoch  noch  in  etwa«  anderer  Weise  iwkt 
deutlich  zu  machen,  wollen  wir  mit  der  Gleichang 

2litti+25iMa  + <Eiii8 +  lBiWiiia+lBiMaU,+5iUi»i+(5i«ii%i%=0 
noch  eine  kleine  VerSndemng  vornehmen.    Wir  wollen  nämÜdi 

setzen.    Dann  wird  die  vorstehende  Gleichung: 

und  folglich»  weil  im  vorliegenden  Falle  offenbar  nicht  «^=0 
sein  kann: 

Wir  wollen  nun  setzen ,  dass  man  durch  irgend  ein  Verfahm 
zwei  MSberungswerthe  der  Verhftltnisszahlen  v,  w  gefunden  hitiik 
und  nun  deren  Genauigkeit  prüfen  wollte;  so  würde  man  ans  da 
durch  die  Beobachtungen  und  die  astronomischen  Tafeln  gtgAn* 
nen  Grössen  nach  den  obigen  Formeln  die  Grössen 

2{i,  »1,  €i.  SDx,  ffii,  5i>  CBi 
berechnen,  und  dann  durch  Auflösung  der  Gleichung 

die  Grösse  u^i  so  wie  mittelst  der  Formeln 

die  Grössen  Ui,  tu^y  v^  finden.  Hat  man  aber  diese  Grössen,  'so 
kann  man  mittelst  der  im  Obigen  gegebenen  Formeln  auch  die 
Grössen 

»"l»  »*2>   »'s    Ußd  *l»a»   *2»8 

finden,  und  dann,  indem  man  dieselben  in  die  beiden  Gleichunget 

r  f* 

(ra+r,  -\-H^)i  -  (ra+rg-W'  =  ^^=  ^ 

einfuhrt,  untersuchen,  wie  weit  diese  beiden  Gleichungen  erfiillt 
werden.  Ergeben  sich  diese  Gleichungen  als  genau  erfüllt,  so 
werden  die  zum  Grunde  gelegten  Werthe  von  r,  w  die  richtigen. 


129 

as  Problem  also  aufgelöst  sein,  ladem  schon  In  der  früheren 
idlung  gezeigt  worden  ist,  wie  die  Lage  der  Bahn  im  Räume 
imt  werden  kann,  wenn  die  obigen  Grössen  sftnmtlieh  b#- 
sind;  sollten  sieh  die  beiden  in  Rede  stehenden  Gleiehuo- 
3eh  nicht  vollständig  erfällt  ergeben  >  so  würde  man  die  Nfl- 
i^swerthe  der  Grössen  v,  to,  von  denen  man  ausginge  weiter 
Iren  müssen,  wovon  nachher  weiter  die  Rede  sein  wird.  Man 
i  auch  von  zwei  Näherungswerthen  von  »i,  u^  ausgehen, 
Efs  mittelst  der  Gleichung  0 

inen,  und  hierauf  ganz  wie  vorher  verfahren.  Uebrigens 
man  aus  dieser  Darstellung  mit  vollständiger  Deutlichkeit 
eben,  dass  durch  das  Obige  das  Cometenproblem  zu  einer 
imten  Aufgabe  mit  zwei  unbekannten  Grössen  v,  io  oder  Ui, 
;emacht  worden  ist. 

;h  will  nun  noch  einmal  die  Formeln  aus  dem  Obigen  zu- 
enstellen,  welche,  wenn  zwei  Näherungswerthe  der  Grössen 
gegeben  sind,  zur  Berechnung  der  entsprechenden  Beträge 
»rossen 

/•(t^,to) =(ri+rjrHi,a)2  -  (ri+ra-5|,a)8—  ^ , 

ig 
r 

wandt  werden  müssen.  Diese  Formeln  sind  nach  dem  Obi- 
in  der  Ordnung,  wie  sie  zur  Anwendung  kommen,  die  fol- 
en: 

^/?4l?3sln(I^-i3)sinft', 
—  R^Ri8m{L^  —  ii)sinj?a', 
=—  IZ|^stn(I/|— Xi2)sin|?3' ; 

pl^oosjTi^cosjSa't  tangj?2'sin(a|^— //g)  —  tangj?i'sin(oe2'— Z^)  1 , 
fcl^cosjJa'cosj^a'i  tangft'sin(«i'— Li)-  tang/Ja'sInCcfj'— i^i) } , 
^t^mß^'co9ßi'  { tangjJi'sin(aa'— La) — tangft'sinCai'— L^)  | ; 

i-^cwßi'cosß^'cosß^'  {    tangjJi'sin(fi(^'— «aO 

+  tangj?a's«n(a8'— «lO  }; 
+  tang/3s'sin(cr|' — «aO 


l 


Iitnriick  könnto  man  auch  Ui,  u^  oder  tt,,  U^  lu   unbekannte 
vihlen. 


ISO 

BJ^'R^  { 1— cos«-  L^^co»ß^^\, 

Ä,*=/i9«ll  — C08(«,'— X3)«C08Ä|'«|; 

-f  2 1  i?|  cos(cf| '— ii)  —  /?2Cos(a| '— ia) )  cosjJj  '«x 
+  2 1  /?2Cos(aa'— ia) — ÄiCos(öj'— I#i)  I  cosß^'u^ 
—2  { 8iiJi?i'sini?a'+cos(ai'— OjOcosft'cos/Ja'  I  WiWa+  «1*  +  ii«* 

+  2 1  /?aCos(aa'— L2)--/?3Cos(aa'— ij) )  cosß^'u^ 
+  2  {  fisCOSCttj'— ig)  — l?2Cos(a3'— i«) )  cosß^'u^ 
—  2 1  sin/?2's»n/?3'+cos(a2'— «aOcosjSa'cosj^a' )  M2t*3+t/2*+tf8* ; 

f{v,w) = (ri+r2+*i,2)*  — (n  +r2— 5i  ,2)^ J^*  > 

Ein  Uebelstand  bei  dieser  Art  der  Auflusun«)^  i^t  es  freilicli,  cl 
t/2  durch  eine  Gleichung  des  zvieiten  Grades  bestimmt  wird,  v 
sich  eine  allgemeine  analytische  Entscheidung,  welchen 
beiden  Werthe  von  2^2  nian  zu  nehmen  hat,  nicht  geben  iässt 

Ist  es  gelungen,  die  genauen  Werthe  von  v ,  w  zu.  findeo« 
berechnet  man,    um  eine  Probe  för  die  Richtigkeit  der  Rechä 
zu  haben,    noch  die  8ehne  51,3  zwischen  dem  ersten  und  dri 
Cometenorte  mitteist  der  Formel 


ISl 

+2 1  ÄiCos(ßji'— Li)— IZjCosCffi'— jPa))  WsA'iTi 
+2 1  /ZjCosCöi'— ia)—  ÄiCoaCo,'— Xi)  J  cos/Ss'trs 

■  I  ■  ;        ' 

d  untersocht,  ob  die  Gleichung 

Mt  ist 
Den  Werth  einer  Grusse  von  der  Form 

(r+*+*)l--(r+e~»)> 

inn  man,    wie  es  mir  scheint,   xvreckmissig  auf  folgende  Art 
wedioen.    Es  ist 

(r+p+')«-(»+^')«=(H-H«)*  jl-(S^O*f  * 
■1  kerechnet  man  nan  den  Hflifswinkel  ip  mittelst  der  Formel 

jederzeit  mSglicb  ist,  so  ist 

sich  Alles  mit  Hatfe   der  Logarithmen  leicht  berechnen  ISsst. 
tennte  auch  den  Uülfswinkel  ^  mittelst  der  Formel 

•-♦=(^)'=  yf^^ 

,   nnd  bfttte  dann 

(r+«+«)i  — (r+e— *)i=(r+^+«)lcos^. 

lan  den  ersten  oder  den  zweiten  Weg  einzuschlagen  hat, 
•ich  immer  danach  bestimmen,  welcher  der  beiden  Winkel 
'  ^   mittelst  der  Tafeln  am  genauestten  berechnet  werden 

Znrorderst  ist  nun  die  zweckmässi^ste  Methode  anzugeben, 
veidier  man,  wenn  man  schon  zwei  den  Grossen  e,  w  nahe 
ade  Werthe  durch  irgend  ein  Verfahren  gefunden  hat,  sich 
nd  nach  zu  den  genauen  Werthen  dieser  GrOsseo  erheben 


ISS 

kann.    Da  man  aber   «chon  Mfthemngswarflie  derChrSgseo 
kennt,  8o  kann  man  sieb  immer  leicht  drei  Systeme 


diesen  GrOssen  nahe  kommender  Werthe  bilden.  Ffir  dfes€ 
Systeme  berechne  man  nach  der  vorher  gegebenen  AnieitoDj 
Grössen 

Nach  den  Principien  der  Differentialrechnung  ist  aber,  wenr 
senauen  Werthe  der  Grossen  o»  w  durch  diese  Symbole  «< 
bezeichnet  werden,  näherungsweise: 

/(t?+3r,io+3io)=/(r,f»)+     g^     ör  +       '^ —  dw, 

« 

folglich,  weil  nach  dem  Obigen 
sein  soll,  wenn  wir  der  Kurze  wegen 

setzen : 

/(r  +'3«?,M?  +  3f<?) = a8ö  +  ßdw , 

9(t? + dVfW  +  8m?)  ==  y8(?  +  ddw . 
Setzen  wir  nun  successive 

8r=a— r,  du>^=b — to; 
8ü=a'  — I?,  8io  =  6'  — lu; 
de^a" — r,      dw=^b" — lo; 

so  erhalten  wir  aus  dem  Vorhergehenden  die  beiden  folgei 
Systeme  von  Gleichungen: 


13S 

A  Äa(ii  — »)  +  /J(6  — w). 


Bd 


Ä  =  y(ii^r)+Ä(6-w), 


hs  diesen  Gleichungen  erhält  man  mittelst  leichter  Rechnung : 

A'Bf'^Ä'B = (««-/?/)  l  («'— r)  (6''-&)— (a''— r)  (6'-to) } , 
il'^B— Ji?"=(a*-/Jy)  {(a''— r)(6— w)  -(a-i?)(6"-iü)|, 
JB'— i4'J?=(««-/Jy)|(a-o)(6'--i«>)-  (a'-©)(6-w) ) 
lier 

»ridrt  mau  diese  Gleichungen  nach  der  Reihe  mit  a,  af,  a^ 
äddirt  sie  dann  zu  einander^  so  erhält  man: 

aiAß''--A"B')  +  aXA''B—AB")+a"(AB''^A'B) 
=  (ad-ßy)  \  a(6'-6")  +  a'(6"— 6)  +  o"(6-60 )  v 

=  («*~  ßy)  { (a-öO  (6—*") — (fl-a")  (*— *')  I  • 

Splicirt   man  dagegen    die  drei  obigen  Gleichungen   nach  der 
'^  mit 6 5  b*9  b**  und  addirt  sie  dann  zu  einander»  so  erhält  man: 

KA'B'—A'B') + Vi.A'B'-AB")  +  V^AB'-^AB) 


h{AB"'-A'B')  +  b\A'B-AB")  +  6"(^B'-ii'jS) 
=^(a8--ßy)  { (a'-a')  (6-6")  —  (a-a'O  (6-6') }  w  • 


136 

i 
sei»  d.  h.  indem  man  annimmt»  dass  die  Beobachtungen  so 
bei  einander  liegen,  dass  für  die  von  dem  Vector  des  Goi 
zwischen  der  ersten  und  zirelten  und  zwischen  der  zweiten' 
dritten  Beobachtung  beschriebenen  Sectoren  ohne  merklichen 
ler  die  in  denselben  liegenden  geradlinigen  Dreiecke,  deren 
tzen  die  Sonne  und  die  Oerter  des  Cometcn  in  seiner  Bahn  m 
gesetzt  werden  kunnen.  Gestattet  man  sich  nämlich  diese  Vo 
setaune,  so  bat  man  in  den  Zeichen  der  früheren  Abhandlang  d 
Formeln: 


„2  =  —         gsiny»  4  Ta,3/gatfi         ^ 


i 


■!'>. 


oder  auch :  ü 

__      e  sin  j3^3  +  fa  ,a»i  -f  Tg,3&)  u^  ; 

r 
■    1^ 

_  ©sin/J'i  — (n^K^i  -f  ra.3&0«a . 


fc 


wo 

© = — i?2 1  Ti,2ß3siD(ia— ij)  — Ta,8/?i  sin(ii— ia)  i ; 

Ä  = — R^cosß'i  CQsß'^  { tangjJ'asin  («' j  —  ia) — tang/S'i  sin(a'a—  I/^) ) , 
/ri=— Äjcosjj'acos/J's l tang/?'3sin(a'a— i2)-tang/3'2sin(a'8— ia)),.  . 
Äa=— ßjCosjS'jCos^'i  {tang/3'i8in(a'3— ia)— *angj?'3sin(a',— ia)h:.-? 

Ä  =— ÄiCosj3'aCo»/^'s  ltang|3'3sin(a'a— ii)— tangjS'asinCa'g— Zi)| , 
Äi=— ß3Cos/J'aCos/J'8  { tangj3'8sin(a'a  — ia)-  tang/?'2sin(«'3— ij)  1 ;    - 

R'  = — /?iCOs/3'iCosj3  a  { tangjS  a8in(a'i  — Li)— tangj3'i8in(a'2— üj)  It 
Ä'i=— Äjcos/S'icos/S'a  t  tangj3^a8>n(«'i-"^)-"tang/?\sin(a'2 — ^s) )  P' 

Sl  = — cosj3'iCosj3'aCos/3  3  {    tangj?^i  6in(a'2^«'3) 

+  tangi3'asin(a'3— «',) 

+  tangjS'asinCa'i— a'a) 
ist. 


136 


a^a'       a-^a" 


-füllen  oder  derselben  entsprechen* 

Wie  man  sich  dieser  Methode  znr  soccessiven  Annäbernng 
I  bedienen  bat»  bedarf  einer  weiteren  Erläuterung  an  diesem 
rte  nicht. 

Ceberblickt  man  alles  Obige  nochmals «  so  wird  man  zugeben» 
ass  die  vorhergehende  Methode  zur  Bestimmung  einer  Cometen- 
aho  allen  Ansprüchen  Tollkonimen  genügen  würde ,  wenn  man 
lar  im  Stande  wäre,  in  allen  Fällen  erste  Näherungswerthe  der 
Srussen  Vy  w  mit  Leichtigkeit  zu  finden.  Wie  man  aber  nach 
ieiner  Meinung  sich  am  besten  solche  erste  Näherungswerthe 
fieser  Verhältnisszahlen  verschafft,  werde  ich  erst  weiter  unten 
luseinand ersetzen.  Die  Grosse  v^  wird,  wie  schon  erinnert  wor- 
den ist,  freilich  durch  eine  quadratische  Gleichung  bestimmt,  und 
hat  hUo  im  Allgemeinen  zwei  Werthe.  Hat  man  nun  keine  ande- 
Kn  Kriterien,  mittelst  welcher  sich  entscheiden  lässt,  welcher 
feser  beiden  Werthe  genommen  werden  muss,  so  wird  sich  frei- 
leb nur  der  Weg  einschlagen  lassen,  dass  man  fär  jeden  dieser 
keiden  W^erthe  die  Beträge  der  Functionen  f\v,w)  und  9(v,to)  er- 
ittelt,  und  untersucht»    für  welchen  der  beiden  Werthe  von  t^ 

Gleichungen 

f{VyV))  =  0 ,     g>(p,to)  =  0 

der  grussten  Genauigkeit  erfüllt  sind. 

Hehrere  der   obigen  Formeln  würden  durch  Einfähning   von 

rinkein  und   andere  Transformationen   sich  zur  numerischen 

eknang  vielleicht  noch  etwas  beauemer  einrichten  lassen,  wobei 

iidess  jetzt  nicht  verweilen  will ,  da  jedem  nur  einigermassen 

ten  Analytiker  und  numerischen  Rechner  dergleichen  Abkür- 

en  sich  immer  leicht  von  selbst  ergeben.     Es  kommt  mir  für 

kier  besonders  nur  darauf  an,  die  Methoden  im  Allgemeinen 

|düzziren>   und  in   muglichst  deutlicher  Darstellung  dem  Leser 

die  Augen  zu  führen,   indem   ich  die  weitere  Ausführung  im 

Ineo  späteren  Aufsätzen  ^  vorbehalte. 


II. 


Ihn  kann  das  Cometenproblem,  welches  im  Vorhergehenden 
^e  Aufgabe  mit  zwei  unbekannten  Grossen  sich  darstellte» 
[ÖBer  Aufgabe  mit  nur  einer  unbekannten  Grösse  machen, 
man  sich  bei  demselben  eine  nur  näherungsweise  richtige 
eiznng  gestattet,  nämlich  die  Voraussetzung,  dass  in  den 
der  irfiberen  Abhandlung 


136 

sei,  d.  h.  indem  man  annimmt,  dass  die  Beobacbtansen  so  mIk 
bei  einander  liegen,  dass  für  die  von  dem  Vector  des  Conwtn 
zwischen  der  ersten  und  zireiten  und  znischen  der  zweiten  uf 
dritten  Beobachtung  bescbrielienen  Sectoren  ohne  merklichen  Feb 
ier  die  in  denselben  liegenden  geradlinigen  Dreiecke,  deren  Spi* 
tzen  die  Sonne  und  die  Oerter  des  Coinetcn  in  seiner  Bahn  sind, 
gesetzt  werden  können.  Gestattet  man  sich  nänilicb  diese  Vonos* 
Setzung,  so  bat  man  in  den  Zeichen  der  frflhereu  Abhandlong die 
Formeln: 

.,,  _       Ösin/J'j  +  Ta,3Ä2«i 

Uli  —  — 


Qsin/g^fl  — Ta,8irM|  . 
Ti^aÄi 

oder  auch: 


««•  = 


_  «sin/g^t— fa^K\  -f  Ta.3&0tca . 
^■^  r„a(Ä-Ä//a) 

wo 

ö= — Äa  t  ^i»2ß3sin(^a-"^a)~'*^a»8^isin(ii— /^)  i ; 

Ä  = — Äacos/J'i  cos/J'a  { tang/3'asin(«'i  -La)  -  tang/J'isin(a'a-  IJ I , 

/ri=— ßaCosj3'aCO«/5'8 1  tangjS'jsinCa  a— ia)-tang/S'2siD(a'8— La))» 
Äa=— /23Cos/S'3C08^'i{tang/3'i8in(a'8""i2)— ^^ngi^'asinCa'i— La)!; 

Ä  =— Äicos/S'acos/J's  ltang|3'3sin(a'a— Li)— tangj3'asin(a'3— Lj)), 
Äi=— ßjcos/j'acos/j',  { tang/S'38in(a'a  — L3)-  tang/S'asinCa'j— Ls)  1 ; 

R'= — /?iCos/3'iCosj3'a{tang/S'aWn(a'i— Li)— tang/5'i8in(a'a— Li)|, 
Ä'i=— Ä3Cos/3'xCos/5'2  { tangi3'a8in(a'i— L3)— tang/3'isin(a'a— Li));] 

Sl  = — cos/S'iCos/S'aCos/S's  {    tang/^'i  sin(a'2— a'3) 

+  tangi3'asin(a'8— «',) 

+  tangjS'asinCa'i— a'a) 
i8t. 


137 


Ninniit  man  nun  entweder  ui  oder  1/9  aU  anbekannte  Gros- 
«*)  an,  und  keimt  «chon  einen  Näherangswerth  einer  dieser 
Bitoen,  so  kann  man  untersuchen ,  wie  nahe  dieser  Werth  der 
RTakrheit  kommt,  wenn  man  mittelst  der  obigen  Formeln  re- 
fective  entweder  u^,  iu  oder  Ui ,  u^  bestimmt ,  wodurch  man  also 
i  kctaen  Fällen  zur  Kenntniss  von  «1,  u»,  t^  gelang;  dann 
ie(irQ0sen  Ai,  A^  und  £i^  B^^  mittelst  ii^t  Formeln 

i,  =— J2jCos(ai' — ii)cos/?i' 
[«i*=Äi»{  1— COS(tfi'— ii)«cosft'«) , 

'  =  «,«{  1— C08«-i3)«COSi?8'^} 

timmt;  und  hierauf  r^,  r^,  51,3  mittelst  der  Formeln 

i=V(Ja-i£3)«  +  iV; 

,»=  Äi^  +  JBj«— 2ßiÄ8Cos(ii  — £a) 

+  2j  ÄiC08(ai'— ii)  —  fisCOsCflfj' — L^]C0BßiUi 
+  2  { ßgCOsCfl^i'— £3)  —  ÄiC08(a3'— ii)  Vcos/?3'ti3 

— 2  { sinjSi'sinft'  +  cos(ofx'— «aOcosft 'cosft'  I  «i  Wa+iiiH«»* 
it  Dann  kann  man  untersuchen ,  wie  weit  die  Gleichung 

(ri+r,+»inO»-(»-i+»-3-»i..)»=^ 

ist,  und  wird  auch  auf  dem  Wege  der  successiven  Mähe- 
Bitteist  der  bekannten  Methoden  den  genauen  Werth  von  u^ 
«1,  und  dann  auch  mittelst  der  obigen  Formeln  die  Werthe 
ifiy  113  oder  »1,  «3    zu  ermitteln  im  Stande  sein,    also  zur 

liss  Ton  Uly  u^,  tts  gelangen  kunnen. 

Beiecbnet  man  noch   r^y  s^^y  52,3  mittelst  der  ans  dem  Obi 
kekanniteo  Formeln,   so  kann  man  zur  Probe   der  Rechnung 
noch  untersuchen,   wie  weit  die  Gleichungen 


lri+n»+fi^l  -  (ri+rj-ti,«)i  =  ^ 


(r«+r3+i^,8)i  -  (r2+r3-*a,8)i= 


sind. 


^  Natürlich  könnte  man  Bich   anch  leicht  Formeln  für  tt,  als  nn- 
ArÖMea  ^ntwickela. 


xnii. 


10 


Bringt  mhn  diese  Anfiffsung  aof  Ihre  eififaebste  V& 
macht  Ui  ssiir  ofibefcaiinten  GrQsse,  so  ist  dieselbe  gan2 
folgenden  Formeln  enthalten: 

1 

if=-rJ!«cosft'cosi3a;{tangPa's»w(o4'--i2)— tangftyin(i%'--l 
JK^  =  —  /ü^cos/^s'cosj^a'  { tangP3'sio(a2'— ia)-  tang/Ja'sInCofa'— 1 

ö=  T  ^a  !ri,2Ä3sin(i2— £a)— T2,8ßj|Sin(Z|— ia)); 
6sinj3a'— ^^fl>3^«i . 

»•8  — ^ 9 

Ti,aA.i 

^1  = — RiC08(ai-'Li)casßi, 
^3  =— ÄgCosCof,'— i3)cos/?3'; 

i?i«= Äj»{  1  — cos(ai'-ii)*co«A '« }  =  ß,«  -  ^1« , 
/?,»  =  Äj«l  l-cos(ai'-i,)«co«jSs'»}  =  Ä,»  -  A,^i 

r,=\^(^3-«»)»+^; 

»i.»*=  ^i'+ßs'-'ißißsCosCLi  -  L,) 

+2  { Ä,cos(«i'— Li)  —  Äjco8(«i'— Xj) )  cotißi'ui 

+  2  {  ÄsC0s(«5'— ij)-«Ä,C0S(«3'— i,)  !  COS/Ss'«j 

— 2  t  sinjSi'sin^s'  +  cos(ai' — a3')cosßi'coBßa'  \  «^itj  +  «l*^ 

(«•iH- r,+«j.,)l- (ri +r8-i„s)J  =  ^  • 
Bemerken  will  ich  noch»   dass,  weil 

=ri2+r3*~2(^xa:3  +2^13(3+2123) 

ist,  das  Quadrat  der  Sehne  ,1,3,  wie  man  leicht  findet,   ai 
folgenden  Ausdruck  gebracht  werden  kann: 

ii,8*=ri2+r32-2ÄiÄ3Cos(jLi-jL3) 

—  2Ä3COS(cfi '— L3)C0S|?i  'Ui 

— 2ßiCps(a3'—Xi)cosj?3't/3 

—  2  tsin/5x'«in/?3'+cos(cfi'—cif3')cosjSi 'cos/53'  I  UiU 


139 


üass  ähnliche  Ausdrücke  auch  ftir  die  Quadrate  der  Sehnen  #1,9 
I  gelten  und  im  Obigen  statt  der  dortigen  Ausdrücice  in  An  wen- 
iBg  gebracht  werden  künnen,  versteht  sich  von  selbst,  ^an 
inn  dieselben  überall  statt  der  oben  angegebenen  Ausdrücke 
ibstituiren,  ivenn  man  es  ftir  zweckmässig  halten  sollte. 

Die  Fra«;e  bei  dieser  Auflösung  bleibt  nun  zuletzt  auf  ähnliche 
.rt  wie  in  1.  nieder  die,  wie  für  Ui  oder  ui,  jenachdem  man  das 
ine  oder  das  andere  als  unbekannte  Grosse  annimmt ^  erste  Nä- 
Kfunpwerthe  gefunden  werden  können,  worauf  ich  weiter  unten 
Brflckkommen  werde. 


III. 


Noch  etwas  verernCacht  wird  die  vorhergehende  Auflösung, 
non  man  sieh,  wie  wohl  zuerst  Oibers  gethan,  und  dadurch 
V  Astronomie  mit  der  Auflösung  des  Sometenproblems  be- 
"^eokt  bat>  welche  gegenwärtig  fast  allgemein  bei  der  Berech- 
lg  der  Coroetenbahnen  in  Anwendung  gebracht  wird,  noch  eine 
eite  nur  näherungsweise  richtige  Voraussetzung  gestattet:  wenn 
nämlich  die  Zeiten  T|.2,  r^,^  als  so  klein  voraussetzt,  dass 
für  die  von  dem  Vector  der  Erde  in  diesen  Zeiten  beschrie- 
en Sectoren  ohne  merklichen  Fehler  die  in  denselben  liegen- 
geradlinigen Dreiecke  gesetzt  werden  können,  deren  Spitzen 
Sonne  und  die  Oerter  der  Erde  in  ihrer  Bahn  sind.  Unter 
f  Voraussetzung  ist,  wie  aus  der  früheren  Abhandlung  (§.6.) 
unmittelbar  ergiebt, 

0  =  0; 

die  Auflösung    unserer  Aufgabe  ist  dann  vollständig  in  den 
iden  Formeln  enthalten: 


—  £2^0^/^!  'cos/?a'  t  tang/?a'sin(ax'--i*)— tarigjSi'sin(a.2'— X4) ! , 
1=— üJaCos/Jjj'cosft'  { tang/?3'sin(aa'— X/jj) — tang|Sa'sin(a3'  — L^) }  *, 

noch  kürzer,    weil  man  im  Folgenden  bloss  das  Verhalüiisj« 
Grossen  K  und  Ki  gebraucht: 

K       cosßi'    tangP2^sin(tfi'— Xfl)— tang<3i'sin(ttj|^— /4t), 
£i""  eosß^'  '  tang/33'sin(ajj'— X^a)— tangjJ^  sin(«3'— Iiji)' 

fa»3     fC  ^ 

«3==—    -jp  «1; 


y||  «=  —  RiCO»(ai  — Li)COBßi', 


10* 


140 

— 2/?i  008(03'— 2ii)coff|53'ii8 

—  2  { sin  A  'sin  183'+ cosC«! '  -«sOcosft  'cosft'  |  u^Ui ; 

in  +  ra  +  Äi,3)--  (ri  +  rj— jr^a)*  =  ^  • 

Noch  wollen  wir  zu  diesen  Fonncin  bemerken ,  das«,  ffd 
nach  dem  Obigen  &=:0,  und  nach  der  früheren  Abhandlang 

ö = — J^a  l  Tx  ,2ßjsin(L2— ^3)— T2,tÄi8in(Li— ij)  j , 

also 

Ti^R^s\i\(L^—L^)  — 1:2,3  Bisin(L£—L2)  =0, 

folglich 

T2,3 A3     sin(L2  —  X3) 

Ti,2"~  ii?i  '  sin(//i  —  7^2) 

■ 

ist,  im  Obigen  auch 

—  ^    ^    s'"  (^a-— A>) 
"3  —  ifi  •  Äi  •  sin  (Xi— L2)  ^'^ 

gesetzt  werden  kann.    Weil  nur  näherungsweise  6=0  ist,  M 
natürlich  auch  alle  diese  Ausdrücke  nur  näherungsweise  richtig. 

Die  am  Ende  der  in  II.  gegebenen  Auflösung  aufgevrorfeil 
Frage  sieht  natürlich  auch  bei  der  hier  gegebenen  x\uflösung  ihitt 
Beantwortung  noch  entgegen. 

Die  hier  gegebene  Auflösung  ist  in  den  Principiendil 
Auflösung  des  Cometenproblenis  von  Olbers.  Meine  obigen For 
mein  sind  jedoch  nicht  mit  den  Formeln  von  Olbers  identiscki 
namentlich  bringt  Olbers  statt  der  wirklichen  Entfernungen -Hhi 
— «3  des  Cometen  von  der  Erde  in  der  ersten  und  dritten  Beot 
achtung  die  entsprechenden  sogenannten  curtirten  EntfemonM 
desselben  von  der  Erde  in  Anwendung,  worunter  man  die  aoub 
Ebene  der  Erdbahn  projicirten  wirklichen  Entfernungen  verstellt 


IUI 

idettB  nicht,    ob  ich  ilurin  -^eruJezu  einen  besonder«!» 

ericcMieM   soll.     Auch    bin    ich   seitist    noch   zweirelhari, 

T  dnrch  Eiulühriitig  iler  üiveiten  iihherunKsiveiaen  V«- 

F    aUerdiHtta    bewirkten   Abkürzung    der  Hechnun!^    de» 

^«rth  beilege»  snil,  den  Olberäund  Aiiitors  dtirselhea 

Bcheiuen,  so  dass  ich  es  vielleicht  nicht  lieber  vorsle- 

*,  bloss  beider  ersten  näherungsir eisen  VoraiisseUung, 

Bl  der  in  II.  gegeliciieiiAuOrisunß,  stehe»  zu  bleiben,  da 

Jehraufuand    von  ReclimiDi;,    den  diese  Auflösnni;  erfor- 

der  That  nicht  so  sehr  erheblich  zu   sein  scheint,    daes 

^urch  deij selben  geradezu   betvogou  fnhlen    sollte,     die 

enani^keit,  welche  die  Auflösung  in  II.  nothvrendig  ^e- 

188,    und  wirklich  auch  gewährt,    aufzugeben,    worüber 

-  durch   die    aux   vielfachen    praktischen   Auwendungeu 

Erfahrung  sicher  entschieden  nerden  k&nw. 


jntine  nun  wieder  auf  die  Aulliisung  in  1.  zurück.  Matr 
.erfniiern,  dass  wir  dort  dabei  stehen  blieben,  dass  wir 
dsss  es  nur  daranT  ankam,    zwei  erste  INhheruns;swerlhe 

uiibckunnteu  Grössen  r,  w  zu  kennen,  wo  betuiintlich 


Methode  nachzuweisen,  wie  solche  erste  ISSheruiigs- 
Verhältnisszahlen  c,  lo  gefunden  werden  können,  sind 

.  noch  schuldig  geblieben,   und  wollen  jetitt  versuchen, 

lld  abzutragen. 

aus  der  Theorie  solche  erste  N^herungswerlhe  von  v, 
ihmen,  scheint  uns  unniö<{tich.  Alan  mnss  dazu  noth- 
>bacbtungen  zu  Hülfe  nehmen.  Deshalb  wollen  wir 
imen,  dass  man  ausser  den  drei  zur  Kestimnitnig  der 
Hngt  erforderlichen  Beobachtungen  noch  zwei  Beobach< 
Bf  von  denen  die  eine  zwischen  der  ersten  und  zwei- 
dere  zwischen  der  zweiten  unil  dritten  jener  drei  unlie- 
lerlichen  Beobachtungen  liegt;  diese  beiden  Beobach- 
IMI  wir  respective  die  erste  und  zweite  Hülfsbeobacb- 
|e  erste  und  aweite  intermediäre  lienbachtung  nennen. 
niMdiäre  Beobachtungen  sich  zu  verschaffen,  wird  bei 
mit  welchem  jetzt  jeder  neue  Comet  beobachtet  wird, 
paals  Schwierigkeit'  haben.  Die  beobachtete  geocen- 
Ig^e  "wl  Breite  des  Cnnieten  in  den  Momenten  der 
'  Üiwelten  intermediären  Beobachtung  wollen  wir  re- 
rtb  A,  b  und  a',  b';  die  enlsprechenden  Lungen  Her 
t  L,  L*  bezeichnen:  die  Ziv i sc lien seilen  -zwischen  der 
itbeobaehtun«  und  der  erst«n  Htilfsbeobachtung ,  swi- 
ersten   Hüirsbcobachtung   und   der  zweiten  Ilauptlieob- 


142 

aefatang  seien  t|^,  f«,);  und  die  Zn'ischenxelten  zwl«elien  d 
zweiten  Hauptbeobachtung  mid  der  zweiten  Hfilfsbeolmchtufig,  n 
«eben  der  zweiten  Hfilfsbeobacbtung  und  der  dritten  Hauptbeobif 
tiine  seien  l'i^,  C's^.  Nehmen  wir  nun  an,  dafts  die  drei  Uani 
beobacbtungen  nur  durch  massige  Zwischenzeiten  T|^y  t^b  von  ei 
ander  getrennt  sind ,  so  wird  man  auf  die  beiden  folgenden  System 

Erste  Hauptbeobachtung  y   erste  Hülfsbeobacbtung,   zweite  Ilaii| 

beobachtung ; 

■ 

Zweite  Hauptbeobachtung,  zweite  Hülfsbeobacbtung,  dritte  Haa| 

beobachtung; 

die  beiden  in  III.  gebrauchten  nur  näherungsweise  richtigen  Vi 
aussetzungen  anzuwenden  berechtigt  sein/  und  wird  daher  na 
den  aus  lll.  bekannten  Formeln,  wenn  wir  der  Kürze  wegen 

cosfe^    tangbsin(aa'-"L) — tangfe'sinCa— L) 
*  ~"  cosft '  '  tang/?i'sin(a— L) — tangb8in(ai'— L)* 

cos/gg^     tangb^sin«— l/)--4ang/3aVm(ft^~L0 

^  ^  cos/?3'  '  tangjSg'sinCft'— L')— tangb'sin(as'— LO 

•I 

setzen,  die  folgenden  Gleichungen  haben: 


*2»3  *1>2 


% 


Vergleichen  wir  nun  diese  Gleichungen  mit  den  Gleichungen  ^ 
ft$o  ergiebt  sicli ,  dass  wir  als  erste  Näherungswerthe  c 

setzen  können,  und  diese  ersten  NiHherungswerthe  werden,  w« 
die  Beobachtungen  nur  zweckmässig  gewählt  sind,  meistens  scb 
der  Wahrheit  ziemlich  nahe  komtiien.  Wie  man  von  diesen  erat 
Näherungswerthen  weiter  zu  gehen  hat,  ist  aus  I.  bekannt,  w 
darüber  hier  nichts  weiter  zu  sagen. 

Mancher  wird  die  Frage  aufwerfen,  ob  es  überhaupt  elf 
guten  Methode  entspreche,  dergleichen  Hülfsbeobachtungen  II- 
vorher  in  Anwendung  zu  bringen,  d.  h.  im  Allgemeinen  mehrt 
obachtungen  zu  benutzen  als  zur  Auflösung  des  Problems  unl 
dingt    cribrderlicli    sind.    Diese  Frage  vnirde    ich   unbedingt  h 


"IT 


untworleo,  nenii  ich  oder  eirt  Anderer  eine  xweeliDiässige 
Khearie  eiitdoitimeue  Metltude  zur  Auflinduiig  erster  ^iilie- 

te  der  obii;eii  Verhlillnif-ti/tihlei)  anzugcbeniin  Stande  n'jijrii. 

dies   alter   nicht  niüglich  ist,    niuns  ich  hei  der  obigen 

Kefaen  hleilien.     Auch  hat  man  zit   hedeuheu,    da«s    ja 
n   Hi'ilf'elieahuchtungen    gar  nicht    hei   der    eigentlichen 
de«  Probleniä  gebraucht,    »oiidern  eben  nur  zur  Erniit- 
)ter   Näheningsnerthe   der    gesuchfeit  tirüssen    benutxt 
ist  man    erst   in  de»  Eesilz   solcher  ersten  Näherungs- 
komiueii,  so  werden  liei  der  ferneren  Auflösung  des  Pro- 
'  beiden  HQlletteobachlun^en  gar  nicht  in  Anspruch  ge- 
Diiil  um  vorläufig  nur  erste  Näfaerungsnerthe  zu  Gndeu, 
doch   ivohl   auch  verslattet  sein,     sich    vorläutig    an    nur 
Bweise  richtige   Voraussetzungen  zu  halten ,    fvenn  dann 
srnere  Auflösung  sich  bloss  vüllig  streng  richtiger  Sätze 
kIu    als  HüirsHiiltel   bedient,     wie    in  I.  geschehen    ist. 
«fl    in  der  Tbat  die  meisten  IVIatbeniatiker,    welche  Auf- 
fär  daa  Cometenproblem   gegeben  haben,    mehr  als  nur 
baohtungen  benutzt,    wobei  ich  u.  Ä.  nur  an  die  uament- 
^r&nkreich  sehr  belipble  Aiillrisung  von  Laplace  zu  erin- 
Dcbe.     Ollters  fordert  freilich  nicht  mehr  als  drei  Beob- 
!ten,    aller  er  nimmt  doch,     wie  wir   gleich  nachher  sehen 
i,  auch  zu  einem  Resullate  der  Beobachtung  seine  Zuflucht, 
,    vom    rein    Iheoretischen  Standpunkte   aus  die  Sache  he- 
t,    im    Grunde   doch  wohl  ganz  «lasselbe   ist  wie  der  oben 
^hlagene  Weg.     Freilich    haben   wir    oben  noch    die  Forde- 
eslcilt,     dass  die  Zwischenzeiten  %t^,    t^.s   nicht  zu  gros» 
Iten ;    das  ist  allerdings  eiu  IVIangel ;    da  es  aber  vorläufig 
'  die  Erniltlelung  erster  Na herungsiverthe  ankommt,  so  wer- 
ijben  schon  eine  ziemliche  Grosse  erreichen  hiinnen;  und 
l  man,   wenn  m.in  die  Auflösung  1.  mit  den  Auflösungen 

E leicht,  zuitugeben  nicht  abgeneigt  sein,  dass  das  Feld 
Ung  der  Auflösung  I.  niiiidestoiis  doppelt  so  gross  ist 
dd  der  Auflösungen  II.,  ill.,  namentlich  der  die  meisten 
niigsweise  richtigen  Voraussetzungen  sich  gestattenden 
lil. ,  was  jedenfalls  der  Auflösung  I.  auch  einen  Vorzug 
Biden  anderen  AulICsungen  sichern  dürfte. 


Anflüsungen  II.  und  III.  kam  ts,  wie  man  sich  noch 
I,  zuletzt  noch  darauf  an,  einen  ersten  Niiherungs- 
_Ji  zu  finden.  Dazu  weiss  ich  nun  keinen  anderen 
den  von  Olbers  angegebenen.  Diesen  Weg  will  ich 
rs  einander  setzen,  jednch  vorläufig  nur  seinem  atlge- 
ein  nach,  ohne  mir  im  Geringsten  mir  das  Ansehen 
'oTlen,  als  hätte  ich  durch  das  Folgende  die  schöne 
c  jienannten  hochverdienten  und  von  mir  hochverehr- 
ersi-'höplt,   was  ich  vielmehr  späteren  Aufsätzen  noch 


1 


^ 


1 


Die  Siinime  r, +r3  der  Entrerimngen  iles  Coniefeti  ' 
.Sonne  in  der  ersten  und  dritten  Beobachtung,  eagt  Olbe 
bünrie  nicht  kleiner  als  l  sein,  wenn  die  scheinbaren  EatTti 
gen  des  Cometen  von  der  Sonne  nur  grJisser  al»  30^  sindf 
aul  der  anderen  Seite  habe  die  Erfahrun}!;  gelehrt,  dass  die 
«ichtbaren  Comelen,  sehr  wenige  Ausnahmen  abgerechnet, 

halb  der  Marsbahn  sind,  deren  grosse  llulbaxe  1,^     ist,     v 

sieb  ergebe,    dass   r^  +  r^    fast  immer  Heiner  als  3  sein  w 

"     b   sei  "  ■  ■  ,.     ..     .      <i 

Filhre  niai 
(jleicbuDg 


:i  z  immer   ein    genanorter  »erm  aer  >aumme  ti' 
nun  diesen   ersten  NSherungsiverth  von  ri+rj  lii 


ein,  so  enthalte  dieselhe  nur  die  unbekannte  Grilsse  «|tg. 
welche  sich  daher  mittelst  der  Torherjicb enden  (jleicbunffi 
erster  JNäherunij^werth  finden  lasse.  Habe  man  aber  auf 
Weise  einen  engten  Näherungsiverlh  von  «,.g  ermittelt,  so 
sieb,  wenn  mnn  die  Auflösung  II.  anwendet,  mittelst  der  l 
nach  U|  und  u^  auf'zalOseuden  Gleichungen 


Wa  = 


3i'«i 


+  2;ff,cos(«,'— Li)-ff3cos(«,'— i-Ji 

+  21  fl3COs(K3'— Lj)— /v',cos(b3'— Z,,)  I 

—  Slsin^i'fiiopa'+cosfctt'— «a'Jcosj^i'cosjSa'lMiWa+Hi'+ttaj 

(renn  man  die  Auflösung  [Tl.  anwendet,   mittelst  der  beiden 
»1  und  «3   aufzulösenden  Gleichungen 

+  2lfilC0s(Ki'-ii)— ffjcosC«!'— i3)lcosft'M, 
+  2\  R^cosios' —L^)  —  RiCos{as'—Li)  ]  cos^j'i/j 
— 2|sio^,'siüj33'+cos(ni' — a3')cosft 'cos/3,' ImjWs+Ui^+Hj' 
der  erste  Naherungstveith  von  w, ,  dessen  man  bedarf,    findl 

Dies  ist  ihrem  allgemeinen  Princip  nach  die  voi^ 
bers  im  Astronomischen  Jahrbuche.  1S33.  S.  35  I.  a 
gelten«  Methode,  auf  deren  weitere  ]iraktische  Ausluhruiif>^i 
wie  ihr  dieselbe  in  meisterhafter  Weise  von  ihrem  Crheber  \ 


145 


wn  worden  ist,  ich  mich  jetzt  nicht  einlasse,  in  der  Ülteren  Ab- 
bmndlaDg  Aber  die  leichteste  und  bequemste  Methode 
die  Bahn  eines  Goineten  zu  berechnen.  Weimar  1797. 
Neue  Ausgabe  1847.  geht  Olbers  von  ganz  willkiihrlicben 
Voraussetsungen  filr  die  eine  unbekannte  Grösse^  auf  welche  das 
Problem  von  ihm  zurückgebracht  wird^  aus,  wie  man  aus  den 
iortaur  Erläuterung  der  Methode  gerechneten  Beispielen  sehen  kann. 

Weil  bei  der  vorhergehenden  Methode  die  Bestimmung  der 
[Uoe  $1^  aus  der  Gleichung 

m  Hanptmoment  bildet,  so  will  ich  jetzt  noch  zeiges,    wie  sich 
riese  Gleichung  nach  meiner  Meinung  am  besten  auflösen  lässt. 

Weil  Tjy  r^,  i|,3  die  drei  Seiten  eines  ebenen  Dreiecks  sind, 
ist  immer 


'3 '^ ^1+^8» 


■d  man  kann  also 


sin  CO  = 


'l'3 


n  +  ra 


m     Dadurch  wird  die  aufzulosende  Gleichung 

(n  +r3+*ji,8)'  — (ri+ra— 5|,8)i=:^ 
die  folgende  Form  gebracht: 


eft 


s 


121 


(l+sin»)S-(l-8i„«,)|=-j^-^. 
Uaber,  wie  man  mitteist  leichter  Rechnung  findet  : 

(cos  5"  G>  ±  sin ^j  cd)*  =  1  db sin« 
10  kann  man  die  obige  Gleichung  auch  auf  die  Form 

(cos  j  »+sin  2  a))3  -(cos ^  a>-sin  ^  co)«  =  j^^J^^ » 

r,  wenn  »an  die  beiden  Cubi  auf  der  linken  Seite  des  Gleich* 
:heii8  entwickelt,  auf  die  Form 


.   1 


.   1 


'^1  >3 


feos^M'sing  »  +  2b\uq<o'  =  ^^^:^^ 


bringen.'  Setst  in««  nun 

■   *  *  i  ■  •  ■ 

cos5(o*=l  —  sin  5  CO*, 
so  nird  die  vorsteheode  Gleichung: 


>         •    '  •• 


•       I  •  i . . 


siiiö»-— 48inoC»'=    .      ■ — Ti 


oder 


(sin  2«     J        3 


.   i 

sin  £7  CD 


V2    -^        4  •      V2    ""       8ffV2.(ri+r3>l  ' 
Weil  Xi,s  <^i  +^8  '*st,  80  ist 

und  folglich 

(ri+r,+x,„)K2Hr,+r,)J. 

■ 

Also  ist  um  so  mehr 

(ri+r3+xi,s)«  -  (ri+r3-x„3)J  <  21  (n+rg)« , 
und  daher 9  weil 


(^4  r3+*i,8)'  -  (n  +»-3— *i  »3)*  =    „ 

r 


ist: 


oder  *    \ 

Slii ^  1 

2^V2.(r,+r3)l  ^^• 

Daher  ist  man  berechtigt 

2U  getzen,  wodurch  wir  nach  dem  Obigen  die  Gleichung 

1         ^  1 

('"ä"^     3   *'"•>"        1 


147 


die  Gleichung 


1     ^  »  .    t 

n        Sin  r%  (0 


N        3     ""'2*"    .  1    . 


"4"'  ^Vl"  +4s'"'Ö^0 
ten.    Nach  einer  bekannten  goniometrischen  Formel  ist  aber 

13      1        1 

leiclit  man   diese  Gleichung  mit  der  vorhei^eheuden ,   so  er- 
sieh : 


.    1 

— ;5 — =sinn0,  sin  2  («>=8in  öd.VSf 


""2"       .1.     .1  .    1 


man  hat  a1«o  zur  Berechnung  von  X|,8  nach  dem  Obigen  die 
snden  sehr  bequemen  Formeln: 

t'  11 

I  aber 

cos  5  (ö*=  1— 2sin  ö  Ö*  =  cos  s  6*— sing  ö*=cofiÄ  ö 
n-orans  sich 

sina)=:2sin  zy  g>cos  5  ai=:2 V2.6iH 7|  6  V  cos  ^  0 

l)t,  so  kann  man  die  Formeln  zur  Berechnung  von  Si^^  auch 
bigencle  Art  darstellen: 

T  1    4 I        2~ 

"^=J^ftV2.(r'+r8)S '     *i'3=2v2.  (r,+r,)sin  3  öy  C0S3  Ö  • 

I  die  Gleichung 

kxoeauf  Xt)3  als  unbekannte  Grösse  immer  nur  eine  reelle 
ifire  Wurzel,  die  kleiner  als  Vi-i-r^  ist,  haben  kann ,•  lässt  sich 
h  aaf  folgende  Art  zeigen.  Sind  nämlich  überhaupt  s  und  s 
i  reelle  positive  Grossen ,  die  unter  sich  ungleich  und  beide 
Ikt  als  Ti-^-r^  sind;  so  ist,  wenn  wir  s  als  die  grossere  dieser 

fcn  Grossen  annehmen: 

ii 

(r,+»^+*)§>(r,+r,+«)J, 


148 

in  +r3 — *)ä  <  (»-1  +  rj — »)} ; 
also 

(r,+r3+»)S-  (r,+r,-»).J  >  (r,+r3+«)S— (r,+r,-s)S, 

woraus  unmittelbar  erhellt ,  class  es  nicht  ziTei  reelle  positive 
Werthe  von  Si,^,  die  kleiner  als  rj^-f^s  sind,  geben  kann«  (Ür 
welche  die  Grösse 

ein  und  denselben  Werth  erhält,  wodurch  die  oben  ausgespro- 
chene Behauptung  erwiesen  ist. 

Die  eine  reelle  positive  Wurzel  der  Gleichung 

r 

welche  unter  ri-\-r^  dieselbe  nach  dem  Vorhergehenden  nur  habea 
kann,  erhält  man  aber,  wenn  man  in  den  Gleichungen 

den  Winkel  d  positiv  und  kleiner  als  00^  nimmt,     was  vermuge 

der  ersten  dieser  beiden  Gleichungen  ofifenbar  verstattet  ist.  Dana 

1  -2  . 

sind  nämlich  offenbar  auch  .-»  6  und  i^  6  positiv  und  kleiner  als  90^» 

und  die  Formel 

1    aI       iT" 

*4,3=2v^.(ri  H-r3)sin2  0\  cos^j  6 

liefert  also,  die  Quadratwurzeln  positiv  genommen,  für  ^1,3  ewea 
reellen  positiven  Werth,  welches  der  gesuchte  ist 

Wie  schon  oben  bemerkt  worden  ist,  habe  ich  in  dieser  Ab- 
handlung zunächst  und  hauptsächlich  den  Zweck  vor  Augen  ee< 
habt ,  die  zweckmässigsten  Auflösungen  des  Cometenproblenis  la 
Allgemeinen  zu  skizziren  und  in  einer  Generalübersicht  dem  Leser 
vor  die  Augen  zu  fuhren.  Die  hin  und  wieder  noch  nöthige  Aas* 
feilung  der  iietreffenden  Formeln,  um  ihnen  zur  Anwendung  bd 
numerischen  Rechnungen  eine  möglichst  bequeme  Gestalt  xo 
geben,  werde  ich,  insofern  sich  die  vorliegende  und  die  frühen 
Abhandlung  über  das  so  wichtige  und  wegen  seiner  Schwierigkeit 
so  höchst  interessante  Cometenproblem  des  Beifalls  der  geehrtes 
Leser  des  Archivs  einigermassen  erfreuen  sollten,  vielleicht  noch 
zum  Gegenstande  einiger  späteren  kürzeren  Aufsätze  machen,  wo 
denn  zur  besseren  Erläuterung  auch  vollständig  ausgerechnete  Bei- 
spiele nicht  fehlen  sollen ,  indem  diese  Beispiele  mir  zugleich  eine 
passende  Gelegenheit  darbieten  werden,  zu  zeigen,  wie  die  sämmt- 
lichen  Elemente  einer  Bahn  zu  bestimmen  sind,  was  freilieb,  wenig- 
stens in  Bezug  auf  die  Neigung  und  die  Länge  des  Knotens,  schoi 
aus  der  früheren  Abhandlung  mit  hinreichender  Deutlichkeit  erbel- 
let, und  übrigens  in  seiner  weiteren  Ausführung  keinem  mit  der 
wissenschafllichen  Astronomie  gehörig  vertrauten  Leser  unbekannt 
sein  kann. 


149 


ber  die  Ausgleichung:  der  Beobach- 

tan^sfehier» 

(Methode  der  kleinsten  Quadrate.)- 

Von  dem 

Herrn  Professor  Dr.  J.  Dienger 

an  der  polytecliniitchen  Schule  zu  Cnrlsriilie. 


Die  Grandsfttze,  um  die  es  sich  in  diesem  Aufsatze  handelt, 
allerdings  schon  seit  geraumer  Zeit  festgestellt*  so'  dass  es 
jetzt  mehr  um  die  Methode  der  Darstellung  und  dei^  Bevreise 
lein  Tvird,  als  um  jene  selbst;  trotzdem  aber  scheint  es  mir, 
I  gerade  die  Nachweisung  eben  jener  GrundsKtze  sehr  Vieles 
iFflnscheo  übrig  lasse.  Ich  habe  es  desshalb  im  Folgenden 
■cht,  eine  folgerichtig  dnrchgeföhrte,  zusammenhängende  Dar- 
lug jener  Grundsätze  und  der  auf  sie  gebauten  Lehren  zu 
M.  Die  Grundansicht,  von  der  ich  ausgegangen  bin,  ist  die 
Hagen,  wie  sie  auch  Wittstein  ih  seiner  Uebersetzung 
Raviefs  Differential-  und  Integralrechnung  befolgt  hat.  Dass 
.ti&em  schon  mehrfach  bearbeiteten  Gegenstande  die  Lehrsätze 

aeasind,  versteht  sich  von  selbst;  es  war  auch  nicht  meine 

it,  dergleichen  neue  zu  erfinden,  sondern  bloss  die  vorhan- 
|ii  in  mathematisch  strenger  Weise  zu  begründen.  Die  paar 
''aus  der  Wabrscheinlicnkeitslehre,    die  angewendet  wurden, 

aicii  in  jedem  elementaren  Lehrbuch  dieses  Zweiges  der 

'ifischen   Wissenschaften. 


§1. 

AOenosere  Beobachtungen  sind  mit  Fehlem  behaftet,  und  es 
ttt  geirissermassen  unm^iglich ,  diese  Fehler  durchaus  zu  ver- 


150 

meiden,  zum  mindesten  haben  wir  keiq  Mittel,  diess  xu  erkeDnen, 
80  dass  wir  aUo  jedenfalls  auf  Fehler  rechnen  mfissen.  Diese 
Fehler  werden  mehr  oder  weniger  leicht  begangen  werden,  je 
nachdem  sie  kleiner  oder  grosser  sind.  Je  mehr  ein  solcher  Fcfi- 
ler  möglich  ist,  desto  eher  wird  er  begangen  werden,  desto  eher 
wird  man  also  darauf  zählen  können,  dass  er  zum  VorscheiB 
komme;  je  grösser  er  ist,  d.  h.  je  weniger  er,  bei  guten  Be* 
obachtungen,  mö|;lich  ist,  desto  weniger  wird  man  auf  ihn  zählen 
dürfen.  Ueber  eine  gewisse  Grunze  hinaus  wird  es  bei  geoaoen 
Beobachtungen  möglicher  Weise  keine  Fehler  mehr  geben;  ebei 
so  wird  man  auch  annehmen  dürfen ,  dass  ein  jeder  Fehler  pon- 
tiv  oder  negativ  vorkommen  kann,  d.  h.  dass  man  eben  so  leicht 
{iber  den  wahren  Werth  des  durch  Beobachtung  Gesuchten  fdh 
len  könne,  als  unter  denselben. 

Man  setzt  natürlich  voraus,  dass  die  Beobachtungen  «elliit 
mit  so  viel  Sorgfalt  als  möglich  angestellt  seien,  so  dass,  m 
den  wahren  VVerfh  k  einer  durch  Beobachtung  zu  bestimmen- 
den Grösse  zu  finden,  man  zu  ihrem  durch  Beobachtung  gefunde- 
nen Werthe  A*|  nur  noch  eine  sehr  kleine  Grösse  A:'  hinzuiiSsen 
muss.  Diese  Bedingung  ist  durchaus  nothwendig;  schlechte  Be- 
obachtungen können  nicht  durch  die  Methode  zu  guten  gestempelt 
werden. 

Jeder  Fehler,  der  einer  Beobachtung  anhaftet,  kann  betrach' 
tet  werden  als  das  Ergeh niss  einer  grossen  Anzahl  sehr  kleiner 
Fehler,  durch  deren  Zusammentreffen  er  entsteht.  Jede  Beobach- 
tung lässt  sich  nämlich  offenbar  zerlegt  denken  in  eine  sehr  grosM 
Anzahl  Operationen,  deren  jede  mit  Fehlern  behaftet  ist;  die 
Summe  aller  dieser  ein/einen  Fehler  ist  nun  der  Beobachtung^' 
fehler,  der  begangen  wurde.  Es  wird  daher  erlaubt  sein,  im  AU* 
gemeinen  jeden  Beobachtungsfebh^r  anzusehen,  als  entstanden 
durch  Summirung  einer  unendlich  grossen  Anzahl  unendlich  klei- 
ner gleicher  Fehler,  die  wir  Elementarfehler  nennen  wollen. 
Jeder  dieser  Elementarfehler  kann  positiv  oder  negativ  sein.  Diese 
Voraussetzung  zugegeben,  entwickelt  sich  nun  die  gesammte 
Theorie  leicht. 


S.  2. 

Sei  tt  der  Elenientarfehler  und  sei  m  die  Anzahl  der  Elemen- 
tarfehler,  indem  wir  alle  diese  Elementarfehler  gleich  gross  vorasn- 
setzen.  Jeder  dieser  m  Fehler  kann  positiv  oder  negativ  sein. 
Aus  der  Lehre  von  den  Verbindungen  findet  man  f^r  die  Anzahl 
der  möglichen  Verbindungen: 

wenn  alle  Elementarfehler  positiv  sind  ....  1,    und  also  der  ganie 

Fehler  mct\ 

wenn  m — 1  Elenientarfehler  positiv  sind,  1  negativ  ist  ....  m,  nnd 

also  der  ganze  Fehler  (m — 2)a; 


151 

IM— 2  Eiementarfehler  positiv ,  2  negativ  sind  ... — j-^  — »    "^^ 

also  der  ganze  Fehler  {m—4)tt; 

m — 3  Eiementarfehler  positiv ,  3  negativ  sind  ...' TWk * 

und  also  der  ganze  Fehler  (m--6)cr; 


alle  negativ  sind  1,   und  also  der  ganze  Fehler  — nuc. 

\s  ist  offenbar  erlaubt,  m  als  gerade  Zahl  anzusehen  und 
r?i=2}t  zu  setzen.  Nun  ist  klar,  dass  ein  Fehler  in  dem 
se  möglicher  sein  wird,  als  die  Anzahl  der  Verbindungen, 
I  die  er  entstehen  kann,  grosser  ist.  Heissen  wir  also-  alU 
in  V  den  Beobachtungsfehler,  a:  seine  relative  Müglichkeit, 
it  man  folgende  Uebersicht: 

2m(2«-1)....(»i+1) 


0 


±2« 


±ia 


1.2 n 

2it(2yi-l)....(n-f2) 
1.2 (n-l)      ' 

2w(2w— 1) (n+3) 

1.2 (n— 2)       ' 


±2n« 1. 

Die  Zähler  der  zweiten  Reihe  haben  nur  insofern  eine  Bedeu- 

U  als  sie  die  Verhältnisse  der  Möglichkeiten  der  betreffenden 

mchtungsfehler   ausdrücken.    Ein    Gesamnitfehler   ±2na,    im 

tötniss  zum  Fehler  0,  wird  also  möglich  sein  im  Verhältniss 

,      2«(2n-l)....(n+l)      ^.        ^  -u      j  j 

'  ^  ^^ TS Erinnert  man  sich ,    dass  n  unend- 

,  l.2....n 

leross  ist,  so  ist  dieses  Verhältniss  unendlich  klein,    also  ist 

tloiier  ±2na^  im  VerhftJtniss  zum  Fehler  0,  so  viel  als  unmOg- 

i  Ganz  bestimmt   wird  :man  dies»   im  Allgemeinen  aber  'niir 

lebem  unendlich  grossen  Fehler  behaupten  dürfen,    so  dass 

^  als  unendlich  grosse  Zahl  ansehen  müssen. 

Sei  nvn  Sq  die  (absolute)  Möglichkeit  eines  Fehlers  0,  s  die 
(I  Fehlers  r=2rcf,  r'  die  eines  Fehlers  (2/'  +  2)a,  so  ist  nach 
■  Obigen : 


:t5ß 

2n(afi— !)....(«  fr+l)  2n(2n^l)...,.(n+rj-Ü 

9  •      £  _  lA..(n— r)  g^       •        l,2..-.(n-rl.l) 

V"^    2Ä(&i-l)....(n+l)     •       *o~    2ii(2n-l)....(«+l) 


1.2 n  1 2 91 


Sei  nun 


ü'  — u=^r  =  2a,    *' — s=^//s; 


m  ist 


• 

• 

s'-s      ds 

r 

Nun  ist  aber: 

• 

• 

5'-S 

't 

'  «-^     A-. 

t  =  2raz=:rJv^    r  = 


also 

Js         s         iv  +  /1v  As  2v+Av 


Nun  ist  AVf    so  wie  ^.«^  unendlich  klein,    nz/<7=2nfi(  uneni 
gross,    also  nJc^  im   Allgemeinen  endlich  und  positir,     so 

wir  seinen  Werth    =  p  setzen  wollen.     Daraus  folgt  also : 

1  ds 

worin  c   eine   willkührliche  Konstante   ist.     Für  i?=0  ist  sz 
also  endlich: 

*=:50.C-**«'*.  (1) 

Diess  ist  nun  der  Ausdruck  der  relativen  Möglichkeit  e 
Fehlers  v,  in  Besug  auf  einen  Fehler  0. 


S-  3. 


Suchen   wir    nun  die  Wahrscheinlichkeit,     dass  gei 
ein  bestimmter  Fehler  begangen  worden  sei.  Es  ist  von 
herein  klar,  dass»  da  eine  unendtiche  Zahl  von  Fehlem  mögl 
ist,  die  Wahrscheinlichkeit,  dass  gerade  ein  einziger  bestimi 


153 


ami  dieser  Meng*  begangen*  worden,  iinmidiich: klein-sei»  wird; 
dafiir  aber  wird  das  Ver b&ltniss :  der  Wahrscbeiniiehiceiten  zweier 
•oleher  bestimmter  Fehler  ein  endliches  nnd  offenbar  gleioh  sein 
dem  Verhfiltniss  ihrer  relativen  Möglichkeiten.  Sei  also  ioa  die 
(unendlich  kleine)  Wahrscheinlichkeit,  dass  gerade  der  Fehler  0 
b^angen  worden,  so  ist  die  Wahrscheinlichkeit  w,  dass  gerade 
der  Fehler   v  begangen  wurde: 


fo^tüQ.e-**»', 


(2) 


worin   also  io  die  Wahrscheinlichkeit  ist^   dass  v  der  Fehler  der 
gemachten  Beobachtung  sei. 

•  '  ■ 

Nach  den  Grundsätzen  der  Wahrscheinlichkeitsrechnurig  ist 
aber  die  Wahrscheinlichkeit,  dass  von  einer  ge^vissen  Anzahl  Er- 
eignisse, von  deren  jedem  man  die  Wahrscheinlichkeit  kennt, 
irgend  eines  eintreffe,  gleich  der  Summe  der  Wahrscbeinlichkei- 
toi  der  einzelnen  Ereignisse.  Daher  ist  die  Wahrscheinlichkeit, 
JbbBS  irgend  ein  Beobachtungsfehler  begangen  worden  sei,  ütOf^e-^^^*, 
worin  das  Zeichen  2  andeutet,  dass  man  die  Summe  aller  GrCs- 
■en  iOoe~^***  nehmen' soll  für  alle  müglichen  Werthe  von  v.  Nun 
^\it  aber  gewiss,  dass  irgend  ein  Beohachtungsfehler  begangen 
iwrde.    Daher  hat  man: 


■''■ 


so  dj 


folgt: 


2?Wo«-***'=l.       '      '  (3) 

•      -.1   ■ 


/OD 


h^v^Sv 


— OP 


?t  s=\ 


eit  eil 


SS  irei 

von 
m  «i  g  I  i( 
estimi 


iber  bekanntlich 


|kk  also 


Uglich 


/V*'^"a.=^, 


-ao 


tr=-^e-»'«'*ap. 


W 


GHkise  drückt  also  die  (theoretische)  Wahrscheinlichkeit 
dM  9  der  Fehler  sei,  den  man  in  der  gemachten  Beobach- 
kgangea  habe. 


xnii. 


11 


154 

Nacb  d«tt'  ahgefflbrten  Sahie  der  Wahrsehehüiclikeitoi 
nang  folgt  daians,  4ama  dieWahrsebeiBlIchkeit,  das«  der  bei 
genachten  BcofaUchtnog  begangene  Fehler  zwiecben  a  uii 
(/»>«)  liege,  iet: 


v^. 


a 


Diese  Grösse  (5)  druckt  somit  auch  die  Wahrscheinlichkeit 
dato  der  gemsicbte^  Beobachtungsfehler  die  GrSnsen  er  und  fi  i 
Gberschreite.    Daraus  folgt,  dass  die . WabrseheinMchkeit  a  pi 
dass  bei  der  gemachten  Beobachtung  kein  Fehler  vorkomme» 
sen  absohiter  Wertk  a  übersteige»  ist: 

Ä     /*«  ■  2Ä     /*« 

'J^  /      r-^'^'dü=^J    e-^**d9,    «>0.  (6). 

— «  0 


5.  4. 

Das  Integral,  das  wir  so  eben  gefanden  haben,  ist  fiir  un 
Untersuchungen  sehr  wichtig.  Man  hat  Tafeln  dafür ,  und  nan 
lieh  hat  Encke  in  dem  Berliner  astronomischen Jabrbuche 
1834  zwei  solche  gegeben.  Setzt  man  in  (6)  Ar  =  ^,  so  wird  j« 

Integral  zu  -y--   #     e-^^Bt,    woßr  nun  Encke  eine  Tafel  g 

2      /*?* 
ben.    Eine  andere  hat  er  für  -7=    /       e-^Bt  gegeben,  wo 

V  TCtJ 
e 

^=0-4769360  (§.  5.). 

Man  ersieht  aus  (6),  dass,  je  srusser  A^  ist,  desto  unw 
scheinlicher  grossere  Beobachtungsfenler.sind.  Daraus  folgt,  < 
von  zwei  Beobachtungsweisen ,  für  welche  A^  verschieden  ist, 
jenige  die  bessere  ist,  für  die  A^  grösser  ist.  Daher  kommi 
dass  man  A  für  das  Maass  der  Genauigkeit  der  Beob 
tungsweise,  der  es  zugehört»  nimmt.  Für  verschiedene 
obachtungsarten  wird  also  A^  Teränderiieb  sein,  aber  kons 
für  Beobachtungen,    die  nach  derselben  Weise  gemacht  wer 


§.5. 


Verm«^  der  in  fi.  4.  erwähnten  Tafeln  wird  es  leicht  £ 
iori   über  die  Wahrscheinlichkeit  des  Vorkommens  besti: 


pnori 


w 


M b adi hin ?s fehler  zu  entscheiden. 
»  Tafel; 


f 

^Hdie  Wahrscileiiilichiceil 
B&,  seinem  absoluten  Wi 
B699707.     Offenbar  bann  mitn  diess  ai» 
lEt,  von  10000000  besHueenen  Beobachti 
?__  1J3       j        113 

-  -7-  und    +  -7-  • 


Z.  B.  filr  t.A  =  M3  giebl 


2      /'>i3 


3 


(lass  der  begangene  Beobachlungs 

he  naeli,  nicht  über    — r—   liege,  ist 

(iiess  auch  so  erklären,  dass  man 

iigKfeblern  liegen  8S9Ü707 


ter  Werth  von  cÄ,  für  den  obiges  Integral  a  ist,  Ist  von  he- 
uiderer  Wichtigkeit.    Mao  findet,    dass  alsdann  d/i  =  0-4769360. 


telche  ZabI  wir  im  Folgenden  mit  p  be 
r  ebenso  r  den  Werlh  von  g,  den  »ir 
)  dass 


wollen.    Heissea 
aua  dieser  Gleichung  er- 


Vif '"''""="■'■ 


m 


Bist  nun  eine  Grüsae,  so  beschaS'en,  dass  für  den  bestimni- 

jVerth  A  es  eben  so   viele  Fehler  geben  wird,  die  zwischen 

pii  -|-r  liegen,    als  ausserhalb  dieser  Grunzen.     Man  heiset 

^n   r    den    wahrscheinlichen   Fehler    der  Beobacb- 

Aode,    der  das  Mass  der  Genauigkeit  A  entspricht.     Aus 

weichung  (7)  folgt,  dass  je  grösser  letzteres  ist,   desto  kiel- 

\l  wahrscheinliche  Fehler  sein  wird    und  umgekehrt.    Klan 

kwcb  sagen,     dass  r  der  Fehler  sei,    für  den   die  Wabr- 

'^'";«t  des  Uestehens  oder  Nichtbestehens  gleich  gross  ist. 

,  so  ist  A  leicht  darnus  bestimmt.     Weiss  man  2.  B.. 

Ü  einer  gewissen  Beobachtiingsmethode  ein  Fehler  von  2" 

9  Mcht  milglich  ist,   als  bei  einer  anderen  ein  solcher  von 

'Imra  man    r  =  *2,    r'— 1   annehmen  und  findet  A:A'^1:"J, 

n^  ivreite    Beobachtungs weise    ist   doppelt    so    genau    ala 


I  F  eine  Funktion   gewisser  Veränderlichen  ,t,  j/ 
na  riarch   die  Gleichung;       '  '        i<  '    "       1         ' 


136 

FzsaZ'\-bif+et  + ,  (8) 

M'orin  a,  6,  c,  Konstanten  sind.    Seien  ferner  x,  ^,  z, 

aus  Beobachtungen  zu  bestinunen »  und  nehmen  wir  an ,  man  wlsw, 
das«  ttk 

u=?ai,    6=6jL,    cz=:ci, ,  sei  F=ii\, 

a=02*    b'='b%9    c=c^, ,    ,9  F'=']M%^ 


wo 

Ol»  bifCi,  ;    a^f  1^2*  ^9  •••—    u.  s.  w. 

entweder  Konstanten  sind»    die  man  zum  Voraus  kennt,   eder  A 
durch  die  nämlichen  Beobachtungen  bestimmt  sind,   durch  welche 
Ml,  ilf^,  bestimmt  wurden.    Man  wird  somit  haben: 

aiX  +  biy+CiZ'\-  =Miy 

a^a:  +  63^  +  c^z  +  =  M^ ,  (9) 


wo  es  sieb  um  die  Bestimmung  von  07,^,2  handelt    Wann 

die  Werthe  der  Grössen  a,  6,  c,  ,  m  durchaus  genau  wären, 

so  würden  von  den  Gleichungen  (9)  so  viele,  als  Unbekannte  vor- 
handen sind,  genügen  zur  Bestimmung  dieser  Unbekannten,  adi 
die  etwa  noch  weiter  vorhandenen  Gleichungen  müssten  durch  die 
Werthe  dieser  gefundenen  Grössen  erfüllt  sein.  Diese  Voraue- 
setzung  ist  aber  unzulässig  (§.  1.).  Nun  ist  klar,  dass  wir,  bä 
der  Unvermeidlichkeit  der  Beobachtungsfebler,  uns  der  Wahrheit 
immer  mehr  nähern  müssen  ,  je  mehr  genaue  Beobachtungen  niu 
macht;  desshalb  wird  man  in  unserni  Falle  mehr  Gleichaogen 
haben,  als  zur  unmittelbaren  Bestimmung  von  x,  y,  z,  ...  gerade 
noth wendig  sind,  und  es  muss  also  eine  Rech nungs weise  gesacht 
werden,  die  jede  Beobachtung  nach  dem  ihr  zukommenden  Werthe 
mit  in  Anschlag  bringt. 

Wir  haben  so  eben  vorausgesetzt ,  dass  die  Gleichungen  (9) 
aus  einer  einzigen  Gleichung  (8)  entspringen.  Diese  Voraus- 
setzung ist  aber  keineswegs  unerlässlicn ;  im  Gegentheil  ist  es 
gleichgültig,  woher  die  Gleichungen  (9)  stammen,  und  wir  werden 
desshalb  nur  annehmen,  dass  man  ein  System  (9)  von  Gleichun- 
gen (des  ersten  Grades)  aufzulösen  habe,  in  dem  mehr  Gleichun- 
gen als  Unbekannte  vorhanden  sind. 


187 

Man  kanii  z.  B.  allgemefii  annehmen^ -rfas» 

F'= o'or  +  bfy  +  c*2  + ...... , 


od  dass  ftir 

o"=:fla»  6"=*«»  c"=cjj,  ...*..  :  F"=:üfa, 

ind  man  erhält  so  die  Gleichungen  (9)  freit  allgemeiner. 

Sei  nun   A,    das  Mass  der  Genauigkeit  (§.  4.)  jftlr  die  B^öb- 
idituDgsmethode ,    aus   der  die  Grössen  in  der  ersten  Gleichune 

Serhalten  worden ;  h^  eben  so  fiir  die  zweite  u.  s.  f. ;  sei  wei- 
k/q  die  Wahrscheinlichkeit  ehies  Fehlers  =0  fÖp*  die  erste 
Methode,  tr'o  ^^^  ^'i^  zweite  u.  s.  f.»  so  ist  die  Wahrscheinlich* 
*"**  eines  FehlersiiP— il/i=rj : 

fc'o«-**'"'*    (§.  3.), 
fc  einen  Fehler  F"-Üf2= «2: 

ist  die  Wahrscheinlichkeit  >   dass  alle  diese  Fehler  zugleieh 


len: 


fB'^w\w"'o ....  e-(*i*«^.*+*2'r2.,+fi,»r,»  +.....). 


nchdem   man   nun    eine  Annahme   macht!  .üJiier  &   wahron 

der  Unbekannten  x,  y,  z^  ,  werden  die  Werthe  von 

'» ^...,  also  auch  der  Fehler  va^v^  ^.«.ymch  äodecn.-  Jede 
Annahme  kann  demnach  angesehen  werden ,  als  eine  Ur- 

\tj^  deren  Wirkung  das  Bestehen  der  bestimmten  Fehler  v^p 

ist    Da,  bei  wiükührlicber'  Annahme,  ä:»  y,  z,  alle 

(reellen)  Werthe  von  — oo  bis  +  od  haben  können,  so 
es  gomit  eine  Unendlichkeit  solcher  Annahmen,  und  min.  ist, 
den  Grundsätzen  der  W^ahrscheinlichkeitsrechnung,  die 
cheinlichkeit,  dass  eine  bestimmte  dieser  möglichen  An- 
gerade die  rechte  sei,   ein  Bruch,    dessen  Zänler  gleich 

der  Wahrscheinlichkeit  der  Fehler    unter  der  Annahme  des 

»08  jener  Werthe  von  Xy  y,  2,  ,  und  dessen  Nenner  die 

aller  der  ähnlichen  Wahrscheinlichkeiten  für  alle  möglichen 

kme  von  x,  y,  2, ist,  d.  h.  die  Wahrscheinlichkeit,  dass 

"e  ein  bestimmtes  System  der  ar,  y,  z, ....  das  rechte  sei,  ist: 


e-(A.«»i«+Aa«»i  HA  j  «•»•+ ) 

wo  das  Zeichen  ^  eine  fthnliche  BedeutuDg  wie  früher  hat  Die 
0er  Ausdruck  ist  auch  gleich: 


fff 


e-(*i«»iff>»«»««-f*3»»ft»"»^)83;3y8x..... 


zizkdxdtfiz...  e-(*i«»i«+*«*«'«*+A3«».«+. — ),  (10) 

worin  t  bestimmt  ist  durch  die  Gleichung 

Aus  der  unendlichen  Anzahl  aller  möglichen  Hypothesen  fibe 
die  wahren  Werthe  von  x,  y,  z,....  wird  man  nun  die  auszuwih 
len  haben ,  deren  Wahrschemlichkeit  ein  Maximum  ist ;  d.  h.  mai 
wird  das  System  der  x,  y,  », auswählen ,  flirdasdie  Grösse 

e-(*i*«'i»+»i»»««+AÄ*»i«+ ) 

ein  Maximum»  folglich  die  Grosse 

hi%^+luiW  +  ff5W  + =  Ä  (12) 

ein  Minimum  ist.    Hierin  liegt  der  Grund  der  gebräuchlichen  Be- 
nennung der  Methode  der  kleinsten  Quadrate. 

Man  wird  also  haben  mOssen: 

?ß-o    ^^-0    ^-0  m^ 

SJ--0,  ^^0,  -gr-O,  ,  (13) 

d.  h. 


Ai«ri^+ vt.^+ A.*.;,^+  .:..-o. 

*  ^ 


A»«^^+^««^^  +  Vi^s^+...^=0, 


ist 


I:-. 


802 8Pa .       8i>a 


r  werden  die  Gleichungen  (14): 


man  nun  zur  Abkürzung:  « 

Ai«fli*i  +  Äa«aa62+ Äa'ösft»  + =  L^*«*] ' 

Vfli^i  +Äa«flaCa+ Aa^^'a^a  + =[**««]»  (1») 

lält  man  die  Gleichungen: 


ÜM 


[Ä«<ibj«  +  [A«6«]y  +  [A«Ac]i + =  [A«Jtf6] . 

[A«ac]«  +  [Äi«6c]y  +  [Aac«]*  +  .....  s=[*»iliFc]i  (16) 


I 


aus  denen  nun 'ikr,  jr,  r, ....    itu  bcistimnien'lBihd.  -  Fflr  den  besc 

deren  (allerdings  häufigen)  FalU  dass  Ai=As=A3=: ,  wen) 

die  Gleichungen  (16)  zu: 

[o']a:+[oi]j+[ac]a+ z=:[Ma], 


i  »1 


[ac]x  +  [6c]!f  +  [c«]«  + .....  =  [Mv] .  (17) 

1   •    »  '   •.  .«v  :  '         •■  *.       .     —   . 

N  t 

Seieo  gn  g^^»  g^^ Zahlen,  so  bestimmt ,  dass 

hy^ih^ih^^i =gi''g%igz' 

«0  werden  die  Gleichungen  .(16)  *2u :       . 

|>a«]a:+[^a6]^+[5rac]2  + z=.[Mag\y 

lgac\x  +  [gbc-\y^-[gd^]z  + =  {Mcg] ,         (15<) 


Sind  4/|,  ^2» ganze  Zahlen,  was  man  immer  einrichten  kan 

60  sieht  mau,  ()ass  das  Gleichungssystem  (18)  auf  das  (17)  i 
rückkommt,  wenn  man  nur  bei  der  Ableitung  des  Systems  (1 
aus  den  Grundgleichungen  (9)  jede  dieser  letztern  so  viel  n 
zählt,  als  die  ihr  entsprechende  Zahl  g  angiebt.  Daher  rührt  i 
Benennung:  j^^ewicht  einer  Beobachtung,  die  man  den  Zc 
len  g  beigelegt  hat.  Da  die  Gewichte  blosse  Verhältnisse  tfii 
so  ist  es  weit  bequemer,  dieselben  statt  der  Genaui^keitsmae 
einzufahren.  Ist  altgemein  r  der  wahrscheinliche  Fehler  (§.  S 
der  dem  Genauigkeitsmass  h  entspricht,  so  ist: 

1  1         1  ,tm 


§.7. 

Wir  haben  in  §.  6.  vorausgesetzt,  dass  die  GrundgleichtingC 
(9)  die  lineare  Form  haben.  Jede  andere  Form  kann  aber  ak 
diese  zurückgeführt  werden.    Gesetzt  es  sei: 


r'=z(p"(xy  y,  s,  ,  a,  6,  c ), 

■ .    ■'  ■"     • 

nan  habe  wie<Uh:  (lir 

a=ai,  Ä=6|,  r=:fi, ,  F'=3/i, 


i 


y 


• 


'  ähle    man   n  '  der    dadurch  zu  erhaltenden  Gleichungen  aus 
1  n  die  Anzahl   der  Uebekannten  x^  y,  z,    .....  ist)  und  be- 


en  sehr  kleine  Grössen  sein,    deren  die  erste  fibersteigende 

itz  vernachlässigt  werden  kann. . '  Ist  also  F|  der-  W^& .  von 

ir  .T=aro,  y^yoi  »=«ü»-5  ^2  ®^®"  ^^  der  v#n  JP'fiirAtse- 
the,  so  ist: 


'•=Fi+^'s7^+y'7!;r-+*'^+ 


8^0  c^     *   Sx, 


■•> 


0 


•    •         .  ■  I  >  1    ■      ■  '        .  .  "  I  I     : 


r    » ■ .  .  t  ■     •   ,  1  ■. 


.  1 


aus  folgt  9  dass  man  zur  Bestimmung  von  x*y  y'ffZ\  ....dieFor- 
D  des  f.  6.  hat,  vrei^n  man  dort  ändert:    .  ; 


Mi,a,    b,    «?,......,    a;,  y,  V, . 


■  .«/.'.••.■•».»■  i.  ■ 

iglich  in: 

iiil  ■■;'.■/■■■..•!'■■• 

'^■'■-    S.-     ■„■   'dV  'BF     SF  '.'  ',■' ,  ■.■••  ■■• 

*"""'    d^o'  Wo'  ^'  '    ''»'9'  *"-^i 

lits»  nMH.faüt: 

(21) 
aF  8F  T       .  r    8F  SF  -|   ,  ,  r    8F  SF 


8F  8F  n  ,  .  r  8F  SF  -1  ,  ,  r    sr  öf  t  , . 


8F  8F- 


aP  SFn    ,  .  r   8F    8Fn   ,t     8F   8F  -|  ,  . 

'ä^o  ^ J ^  +  L'^  Wo  ¥o J ^  +  b  %^  SIT  I *  +. 


163 

[aF  aF-i  , ,  f  SF  aFT  ^ .  r  bv  dw-t , . 


worin 


F«=9"(^09  jfo»  ^> '  ^39  ^»  ^»  •••••)  a»  s*  w.  • 

ist,  und  wo  gans  wohl  fp'ssg/'.,.,  aein  kann. 

Sind  noch  Bedingongsgleichnngen  vorhanden,    so  ist  die  Be-^ 
bandhing  wie  bekannt. 


§.8. 

Angenommen  man  habe  für  die  Grt^ssen  iV,  N*,  •^•.  .die  wak- 
scheinlichsten  Werthe  n,  n^....,  ganz  unabhängig  von  ell- 
ander gefunden  9  und  seien  r,  r',  .-••  die  wahrscheinlichen  FeUff 
dieser  wahrscheinlichsten  Werthe.    Sei  nun: 

1)  V=ttN,  c;  eine  Konstante,  und  man  suche  den  wak^ 
scheinlicbsten  Werth  von  V,  so  wie  dessen  wahrscheinlichen 
Fehler.  Sei  h  so  beschaffen,  dass  hr=Q  (6.  5.)  und  sei  fii  der 
wahre  Werth  von  N,'  so  ist  die  Wahrscheinlichkeit  eines  Fehlen 
iV— ni=v,  indem  man  N  einen  willkührlicben  Werth  beilegt: 
«'o^"*^"*  (6.  3.)-  Also  wird,  nach  dem  in  §.  6.  aufgeführten  Grund- 
satz der  Wahrscheinlichkeitsrechnung,  die  Wahrscheinlichkeit 
dieser  Annahme  für  N  sein: 

-y^ =  Äc-Ä^f^SiV,      k  I      e-**»»8iV=  1 . 

—OD 

Diese  Wahrscheinlichkeit  muss  ein  Maximum  sein ,  wenn  man  Jf 
seinen  wahrscheinlichsten  Werth  n  belletet,  d.  h.  man  muss  haben 
t?=iV— n  (also  für  «^  den  Werth  n  wählen),  so  dass  die  Wahr» 
scheinlichkeit,  dass  ein  gewisser  Werth  N  der  rechte  sei,  ist 
Ä:ß-**(^-»)"  8iV.    Was  k  anbelangt,  so  findet  sich: 

/«  Vir  h      ,« 

^^HHN^n)2  SN  =Z -^ ,      also    A=y~Ä« 

—  ac 


16S 

»mir  die  Wahrcreiietiilichkeit,   das«  der  beetfinnite  Wertb  N 
eilte  sei: 


'    Vir 

y 

li  V=::aN^  iV;=:— ;  also  ist  diese  Wahrscheinlichkeit:   . 

a   . 

«v  » 

agleich  auch  die  Wahrscheinlichkeit  ist^  dass  ein  bestimm- 
erth  V  der  wahre  Werth  dieser  Grosse  sei.  ^  Diese  Wafii;- 
ilicbkeit  ist  ein  JllazimuQi  fQr  y=:zan,,  also  ist  der  wid^rr 
luchste  Werth  von    F  gleich  ««•     .  .  ..     . 

Tie  Wahrscheinlichkeit  eines  Fehlers  e  ist 


DuiD*  leicht   nach  %.  3.  findet.     Daher  Ist  (J.  6.)  der  wahr- 

k'      ■ 
olicbe  Fehler  r^  bestimmt  durch  ri-=  q ,    d.    h.    man    hat 

rr,  so  dass  der  wahrscheinliche  Fehler  von  F  ist  ar,  wenn 
er  wahrscheinlichste  Werth  von  F'isl.  ^ 

I)  Sei  nun  V=iN+  N',  und  man  sucht  eben  so  den  wahr- 
dchsten  Werth  von  F  mit  dem  wahrscheinlichen  Fehler 
t  Bestimmung. 

Men  h,  hf  bestimmt  durch  die  Gleichunsen  rh=iq,  r'h'^iQ, 
t,  wie  oben  9  die  Wahrscheinlichkeit,  dass  ein  bestimmter 
%  19  der  wahre  Werth  dieser  Grösse  sei: 

V  « 
fo,  dass  N'  der  wahre  Werth  dieser  zweiten  Grösse  sei: 


Wahrscheinlichkeit  also,  dass  diese  zwei  W^rthe  zugleich  die 
n  seien«  ist 

^  ^-Ä*(A-ii)«~*'*(A''-.ii')«  dNdN' . 

n 


184 


-    Du  A'^F-WV/ito  icHiinmari  also  auch  «ageh»  die  Wahndwb 
lichkeity  dass  iV  und   V — iV  diti  wahren  Werthe  seien,  sei 


i"'  g-At(A--«)«-A'»(r-.V-ii')«ajV'g2V>. 

n 


Diese  GrSsse  druckt  also  auch  die  Wahrscheinlichkeit  ans,  Am 
zwei  bestimmte  Werthe  N  und  V  die  wahren  Werthe  dieier 
Grossen  zu  gleicher  Zeit  seien. 

Um  die  Wahrscheinlichkeit  ?u  haben,  dass  der  (bestiBUBtib 
aber  willktihrlich  angenoniitietti;)  Werth  V  der  wahre  sei,  «M 
auch  imnfer  jY  sei,  muss  ofan  die  Summe  der  Werthe  obifpR 
Grösse  nehmen,  indeAi  man  jy  alle  Werthe  von  -—od  bis  I-ob 
beilegt.    Diese  Summe  ist 

• 

-OD 


und  diese  Grosse  druckt  also  die  Wahrscheinlichkeit  aus,  daü-B 
der  bestimmte  Werth  V  der  wfdire  Werth  sei,  was  auch  S  wfk^^ 
d.  h.  also  unabhängig  von  iV.    Nun  ist  aber: 


Ä«(iV-w)*+A'«(r-iV-*0*=(A^+A'*)  (jV- 


A'«F+A«ii— *^\> 


AH*^ 


) 


also  wird  obige  Grosse  zu: 


—X 


AA' 


Vn^Vh'^Vh"^ 


*f*L(r-«-n')2 


Diese  Wahrscheinlichkeit  ist  ein  Maximum  für  Vz=in'\-n'  mii 
somit  ist  der  wahrscheinlichste  Wertli  von  V  gleich  n  +  «'. 

Sei  h^  das  Mass  der  Genauigkeit  dieses  Werthes,  so  wird 
man  wie  in  Nro^  U  finden,  dass  die  Wahrscheinlichkeit  für  eiMt 
beliebigen  Werth  von   V  ist 


IM 

iB  haben  wir  aber  gefiiiiclen , ,  dass  diese  Wahrscheinlichkeit  ist 

lo  bat  m^n 

.  .  *  ■  .         " 


A,= 


VA»+A'ä 


enn  r%  der  vrahrscheinliche  Fehler  von  F=sn-|-n'  ist,  so  ist 
ts=p>  also 

3)  Sei 

ra  a  und  ß  Konstanten  sind.  Der  wahrscheinlichste  Werth  von 
ilf  ist  an  (Nro.  1.),  von  ßN':ßn*\  die  ws^rscheiniichen  Fehler 
W  «r  und  ßr'.  Also  ist  (Nro.  2.)  der  wahrscheinlichste  Werth 
Nt  F:  an-{-ßn\  mit  dem  wahrscheinlichen  Fehler 

4)  Sei 

J|!f  =  aZV+/3A^'+yA^". 

wahrscheinlichsteD  Werth e  von  «2V,  /^iV',  yiV"  sind:  an,  ßn', 
^ro.  1.),  mit  den  wahrscheinlichen  Fehlern  ar,  ßr* ,  yr**, 
ist  der  wahrschemlichste  Werth  von  aN-\rßN':  an  ■\-ßn*  mit 
wahrscheinlichen  Fehler 

STa^r^  +  ßh^     (Nro.  3.), 
lach  der  wahrscheinlichste  Werth  von 

F=  (aN+  ßN')  +7iV"     gleich    an  +  ßn'  +  yn" 
dem  wahrscheinlichen  Fehler 

5)  FShrt  man  so  fort,  so  sieht  man,  dass  der  wahrschein- 
le  Werth  von 

F = aN+  ßlS'  +  yA^''  +  SN"^  + 


IM 

mit  dem  wahrscheinlicheD  Fehler 


Wir  haben  hier  V  als  lineare  Funktion  von  N,  iV', ...... 

nommen.    Im  allgemeinen  Falle,  da  also 

r=f{N,]S',N'\  ), 

wird  maii  immer 

*  _.  ■        ■ 

annehmen  können /und  dabd  voraassetzen  dürfen,  dluss  ^A*, 
....  sehr  klein  sind.    Ist  nun 

ri=A«> «'.»". ). 

so  ist  dann: 

Die  wahrscheinlichsten  Werthe  von  JN,JN', sindoff« 

Null,    also  ist  der  wahrscheinlichste  Werth  von   V  gleich  V 
dem  wahrscheinlichen  Fehler 


my-<m'''<m 


§.9. 


Die  bisher  bewiesenen  Lehrsätze  liefern  uns  nun  die  M 
die  wahrscheinlichen  Fehler  der   durch  die  Gleichungen  des 

bestimmten   Grössen  ac,    y^    z, anzugeben.    Seien  r^,  i 

die  wahrscheinlichen  Fehler  der  Grössen  Mi,  M», ,   die  d 

die  Beobachtung   unmittelbar  gegeben  sind,    und  nehmen  wi 
dass  die  Auflösung   der  Gleichungen  (18)  oder  (16)    des  §.  6 


geben  habe: 


-=n^i  +ra^2  +  y3^3+ 


167 


SO  hat  nutn«  nacli  dem  aÜgemeinen  Lehraatze  des  §.8.,  als  waht' 
acheinlichen  Fehler  von 

ar:VlSPj,  von  yiVpV].   von  xcVQ^«]  u.  s.  w., 

ire  das  Zeichen  [ah^]  eine  Bedeutung  hat,  die  in  6.  6.  erklärt 
wvrde.  Wenn  man  die  Gewichte  statt  der  wahrscheinlichen  Feh- 
ler einfahren  wollte,  so  hätte  man  nach  §.  6.: 

ri«:r^«:r3«: =  —  ;  —  :  —  :....., 

9i  9%  9t 

«d  wenn  R  und  G  der  wahrscheinliche  Fehler  nnd  das  Gewicht 
VM  jc  ist: 


«koiMstantp  also,  da  jB=:V'[a*r«]: 


G= 


m' 


irt  natürlich  die  Grossen  g  und  £?  auf  dieselbe  Einheit  des  Ge- 
«iehtes  bezogen  sind.  Eben  so  ist,  in  Bezug  auf  dieselbe' Ein- 
^"'^  da^  Gewicht  von 


'm 


von   ^•-z::ri^^i 


ra 


Gesetzt  man  habe  eine  lineare  Funktion 

Q=q(^Vqiy  +  ya*  + 

CMtaseil  X9  jf,  2, ,  so  ist  also  nach  (22): 


■  > 


Ö=   (qo^i  +  qißi  +  %Yi  + )^i 

H-C^'«««  +  qiß^  +  ^27«+- -O^a 

+  («'««a  +  yifc +^ay»  + )^3 

+ , 

riiio  nacii  dem   allgemeinen  Theorem  des  §•  8»  der  wahrschein- 
Ute  Fehler  von  Q : 


%f» 


(»t»«!  +  9i  A  +  VsTi  +  •i^-)*'i*+ (7<l «« + 9i  A + W«  + '•— )^' 
+  (9««»  +  9ißt  +  Wa  +  ■••)*'•»*+ .  ' 

•  +  qinP'r*]  +  2yi^2[i»y>«}  + ....  (  (23) 


.;  ..  .\ 


Wenn  alle  Beobachtungen ,   durch  die  3/| »  31^9 ^^^^ 

ivorden  sind,  von  gleicher  Genauigkeit  wftrHi,  so  i^ären  dieG 
sen  r| ,  r^j  ••••  Me  gleicfar,  «nd  wenn  also  r  der  wahrscheinli 
Fehler  dieser  Beobaehtungsmethode  wäre^  so  hätte  man  fiir 
mahrscheiiiKchen  Fehler  von  ^r»  y»  x,.... : 

rVT^J,     rVm>    r\r\^],  .,...    , 

■ 

lind  der  «'{üirscIieinUche  Fehler  von  Q'wäre: 

r\/|9o*[tt*]+29..9j  [«/»]+2?o9a [«)']+•.-     \ 

+  *in^l  +2?,y«[M+ 

+  ya«[y»]  + 

Wir  wollen  nun  ein  paar  besondere  Fälle  untersuchen. 

■**:i)':Sei(M)""  ."  '-■    ■  ■'" 

d.  h.  sei  eine  Grosse  a:  unmittelbar  durch  Beobachtung  zu  best 
nien.  Man  hat  also  (§.  6.)  alle  a=l,  b=:ic=:^  -  =0,  also  [5 
=  [g]  und  folglich 

wenn  m  die  Anzahl  der  Beobachtungen  ist.  Das  Gewicht  voi 
i«t.da.     a=^y 

1  1 .       ^ 

Sind  also  Beobachtungen  gleich  gut,  so  kann  man  eine  da 
mit  der  Einheit  des  Gewichts  ii\  Kechnung  bringen,    also  set 

und  hat  dann 


169 


m 


mit  dem  Gewicht  m,  oder  dem  wahrscheinlichen  Fehler     , 

Vm 

Diess  ist  die  bekannte  Regel  des  arithmetischen  Mittels. 
Bei  m  gleich  senauen  Beobachtungen  derselben  Grusse  ist  also 
das  arithmetiscpe Mittel  der  wahrscheinlichste  VVerth  dieser  Grosse. 
Zugleich  haben  wir  hierin  eine  weitere  Bestätigung  des  in  §.  6. 
AoTgefiShrten,  dass  ein  Gewicht  nny  das  einer  Beobachtung  (Be- 
stimmung^ zugelegt  wird,  bedeutet,  die  Beobachtung  sei  gleich 
m  Beoba^tunf^eo  zu  rechnen,  denen  das  Gewicht  1  beigelegt  wird. 
Der  wahrscheinliche  Fehler  ist  aber  nicht  der  mte  Theil  des  wahr- 

scheinliehen  Fehlers  jeder  Beobachtung,    sondern  nur  der  V^te 
TheiL 


2)    Sei 


so  ist,  wie  so  eben 


F=oa:, 


^t  dem  wahrscheinlichen  Fehler: 


» 


'1 


Ci^«*] 


] 


Fttr  ^1=5^2=.,..  ist  r^'=r^'=:,.:=z.r ,  also  der  wahrscheinliche  Feh« 
Nr  Ton  XI 


VKl 


3)    Sei 


ecgiebt  sich: 


f  =  ax-\rby. 


_  [!ib'»][mga\-[abff\[Jllbg] 
ia^aWb9\-[abg][Ma9\ 


Iktht 
Tbeil  Xnil. 


12 


170 


[«Va]  = 


1/3^']  = 


P'-[aV][6«^]-l«Ay]l«fty]'  

[^aa]«[68gar»]_2[flay][a6y][«6y«r«]+[a^]«[oVi*l 


m 


För  rir=r«  =:...•  =  r  ist: 

u,  s.  w. 

Wir  wollen  eine  Bemerkung  über  eine  praktische  Frage  be- 
fugen, da  sie  sich  leicht  durch  das  Gegebene  lösen  lässt.  ÄDge- 
nomnien  man  messe  zwei  Linien  L  und  /  mittelst  desselben  Maas* 
ses  k  und  habe  bei  jeder  Niederiegung  der  Messstange  X  einen 

wahrscheinlichen  Fehler  r  zu  fürchten.    Sei  m^z-y»     so  ist  also 

X=A  +  il  +  ^+ .. ..  (m  mal), 
also  nach  §.  8.   der  wahrscheinliche  Fehler  von  L: 


] 


■t. 


rV^m  =  rV   r-  > 

eben  so  der  wahrscheinliche  Fehler  von  /:  r\  y- .  Nehmen  wii 
nun  an^  man  habe  bloss  1(1 '^L)  gemessen^  mit  dem  wahrscbeio- 

liehen  Fehler  rV  t-»  und  man  habe  (etwa  vermittelst  eines  geo- 
dätischen Dreiecks)  L  berechnet,  und  gefunden  L  =  plf  so  wird 
jetzt    der    wahrscheinliche    Fehler    von    L   sein    (§.  8.   Nro.  1.): 

pr\  j-,  während  er  im  ersten  Fall  nur 


Vf  =  r\f^-^f 


war.    Misst  man    also  /  nur  einmal,    so  ist  der  wahrscheinliche 
Fehler  dieser  Messung  rV  r-,  und  also  der  jeder  andern  Linie, 


171 


dieaos  der  ersten  geschlossen  und  pmal  90  gross  gefunden  wird, 

^eich  pr\  y-.    Gesetzt  nun»    man  habe  /  /? mal  gemessen  und 
WS  den  Ergebnissen  das  arithmetische  Mittel  genommen ,    so  ist 

kt  wahrscheinliche  Fehler  dieses  Mittels  rV  -y- ,  also  der  gros« 


sero  Linie  L : 


'-Vis-='V?='VI- 


Daraus  ergebt  sioh^  dASS,  wenn  man  aus  einer  ^^messenen  Basis 
eines  Dreiecksnetzes  /  eine  ;imal  so  grosse  Seite  schliessen  will 
mit  derselben  Geinauigkeit,  i^s  hätte  man  sie  einmal  gemessen, 
man  die  Basiis  ;»mal  messen  muss. 


§.  10. 


Man  kann  die  wahrscheinlichen  Fehler  der  Unbekannten  ;r, 

)}:, einfacher  bestimmen,    als  diess  so  eben  geschehen  ist, 

wie  in  folgender  Weise  erhellen  wird. 

Gesetzt  man  habe  aus  den  Gleichungen  (18)  z.  B.  gefunden: 

E  [Maff]  +  F[mg]  +  G[Mcß  -f .... 
^-     E[acg]  +  F[bcg]  +  G[c^ff]+ ....     ' 

[■«in  £,  F,  G, weder  M  noch  c  enthalten.    Die  Form,    die 

m  Werthe  von  z  gegeben  wurde,  ist  keineswegs  willkührlich. 
Wen  man  weiss,  dass,  wenn  P  der  allen  Werthen  der  Uebekann- 
^^»y»  z^.  geipeinsphaftlielie  Nenner  ist 9  man  den  Zähler  von  z 
feUten  wird,  wenn  man  überall  c  mit  M  vertauscht,  und  Pkeiu 
leithSlt  (Supplemente  zuKlugels  Wörterbuch,  zweite 
^thlg.    S.  53.  ff.). 

Wäit  Jlfssa,  80  wäre  in  (18)  offenbar  2=0,  d.  h.  man  bat 

*[«*i73  +^[«^1  +  G[iic^]  + ....  sr  0  \ 

'^"^  «^ '      Elabg]  +  F[b^g}  +  Gl^cg]  + ....  ;=0:|  (23) 

E[adg]+F[bdg]  +  G[cdg]  +  ..,.=0.] 


^^Ut  also  P  der  Nenner   in  dem  Werthe  von  z,    so  ist  der 
MBrient  von: 

12* 


172 

V  V  c* 

Ml  gleich  pöi^r,  +  p  615^1  + pCiSTi  + , 


also  nach  §.  9.  der  wahrscheiDliche  Fehler  von  z: 

pV  {(£«15^1  +Fbiyi  +  Gr,^,  + )^r^^ 

+  (Ea^2  +  ^^^2  +  Gc^2 +»—)^a*  + } 

=  ~  V  £  { JE  [a^r«^«]  +  F[a6«7*r«]  +  G  [acg^]  + } 

+  F{£[a%V]  +  F[6V*]  +  G[6c^«/-«]  + } 

+  G{£[ac(^V]  +  F[6c^V2j  +  G[cV^  +  ...) 


Nun  ist,  wenn  r    der  wahrscheinliche  Fehler    einer  Beobachtung 
vom  Gewichte  1  ist : 

also 

demnach   obige  Grosse: 

r 

+  F{£[i7a6]  +  F[^6*]  +  G[5r6c]  +  .... } 


d.  h.  wenn  man  die  Gleichungen  (23)  beachtet^   gleich  rV  p . 
Man  folgert  daraus  leicht,  dass,  wenn  man  aus  (18)  zieht: 

X  =  A'[Mag]  +  A\Mbg\  +  Ä"[M€g\  +  ... , 
y=B\Mafj]  +  B'\Mbg]  +  JB^'C^I/c/;]  +....,  (24) 

2  =  eC^/a^]  +  e'[ill/6^]  +  C"[Mcg]  + 


173 

id  weon  r  dieselbe  Bedeutung  hat,  wiesa  eben,  die  wahrschein- 
:hen  Fehler  von  x^  y^  2,....  sind: 

r\Gf,      T^fW,     rSfC\  (25) 

Wfiren  alle  Beobachtungen  gleich  genau,  s*)  konnte  man- alle  ^=1 
sizen  und  r  wäre  dann  der  wahrscheinliche  Fehler  einer  solchen 
eobachtung. 

Will  man  die  Gewichte  von  x^  y^  z,....  kennen ,  so  seien  die- 
ilben  Gif  Cr«,... ;   also: 

^., L.i       r-* 


lien  so 


B" 


"»—"»5»        "3  — 7w»*"» 


h,  die  Gewichte  von  x,  y,  x, ....  sind: 

111 


(26) 


lo  ganz  ähnlicher  Weise  kann  man  den  wahrscheinlichen  Feh- 
er einer  linearen  Funktion  Q  der  Grossen  J?,  iy,  z>  —  bestimmen. 
Han  bat  (*23)  fiir  das  Quadrat  dieses  wahrscheinlichen  Fehlers 
erhalten : 

+  ^1  f^oNr*]  +  qi[^r^]  +!72[i^yr2]  + , 


n  also  A\ J8',.....  u.  r.  w.    dieselbe   Bedeutung    wie  so 

tko,  80  ist«  wie  diess  aus  §.  9.  unmittelbar  sich  ergiebt: 


[A^}=r^A',    [ß^r^^=:r^Bf\    [y«r*]=r2C«', 


VMiir  obige  Bedeutung  hat.  Um  die  Summen  [aßr^^^  L^;'^^] '  •  ••* 
■  erkalten,  bemerke  man,  dass: 

[  «1  =  Aa^gi  +  A^igi  +  A^'cigi  + , 

ßi  =  Baig,  +  B%,gi+B'''cigi+ , 

Yi  =  Ca^gi  +  C'fti^r^  +  C'cigi  + , 


ab» 


174 

+  il"  { Ä'[a6i^]  +  Ä"[6«y V]  +  ««[ftf j7«r«]  + ....  \ 

+A'"{B'[acg^^]+  B'lbcg^]  +B"'[e^gh-^]  + ...  \ 
t 

=    r^A'{B'[a'^]+B"[abg}+B«'[acg]  + i 

+  r^A"  { B'labg] + «"[ö^^p]  +Ä"'[6c|?] + | 

+ rs^'"  { B'[acg] + Ä"[Äc^]  +  B"'[c^g] + ....  1 

wenn  man  beachtet,  dass  nach  (23): 

B'[a^g]  +B"[abg]  +  B"'[acg]  + =0, 

B'labg]+B"[b^g]  +  B"'[f>cg]  + =1 , 

B'lucg]  +  B"ibcg]  +  B'"[c^g]  + =0, 

Man  hätte  offenbar  den  Ausdruck  für  [cißf^]  auch  so    ord: 
können : 

rW'  { A'[a^g] + A''[ab9]+A"-[acg]  +  ....) 

+r^B"{A'labg]+A"[b^g]+A'"[öcff]  + ....  i 

+  r^B^lA'lacg]  +  A"[bcg]+A"'[c^g]+.... ) 


=r^B', 


da 


A'  [d'g]  +  A"[abff]  +  A"'[acg]  +  ....= 1 , 
A'[abg]  +  A"[b^g]  +  A"'[bcg]  + .. .  =0 , 
A'[acg]  +A"[bcg]  +  A"'[c^j]  +  ....=0, 


Demnach  ist 


175 

I«j»r«]  =  r»J"=iaÄ'  und  aaob  A"=:B'. 
anx  eb«n  so: 

[«yr«]=T«^"'=r»C",  also  A"'=C; 

Isu  endlich  ffir  das  Quadrat  des  wahrscheinlichen  Fehlers  von 

<?=  Joa?  +  9iy  +  9«*  +  —  •■ 

Voi^yo^'  +  ?i^"+yail'"  + ....) 

+  %r«(^.Ä' + qiB"+g^B"'  + ) 

+  9,r«<9„C  +^iC"  +9aC"  + ) 


I 


Man  kann  diess  auch  noch  in  folgender  Weise  aussprechen: 

Denken  wir  uns  an  die  Stelle  von  [Mag],  [Mbg],   [üffigr], .... 

B  den  Gleichungen  (18)  gesetzt  q^,  gi,  q^^ und  man  habe 

ilfidann  x^^  yi,  Zi, fär  x,  y,  z,....  gefunden»  so  ist: 

Xi  —  A'q^  +  A''qi+A"'q2  + , 

zi  =  Cq,  +  C"q^  +  C"'^a+ 


iboist  der  wahrscheinliche  Fehler  von  Q: 

ryTqoXx  +^1^1  +  q%H  +  — .  •  •  (28) 

bt  G  das  Gewicht  von  Q,  uo  ist 


G= T T V-  •  (29) 

In  allen  unseren  Formeln  ist  nun  noch  ein  Element,  r,  das  noch 
nbestimmt  ist^  es  ist  diess  der  wahrscheinliche  Fehler  für  eine 
Beobachtung  vom  Gewichte  1.  Natürlich  ;üelit  die  Unbestimiiit- 
kit  dieses  Elements  auch  die  der  wahrscheinlichen  Fehler  von 
f j  3f,  %,,.,,  mit  sich.  Die  Gewichte  oi,  g^,..  können  als  bekannt 
i^eDommen  werden.    Wäre  z.  B.  il/i  bestimmt  durch  nf|  gleich 


176 

gute  Beobachtungen ,  M^  durch  m^  solcher  Beobachtungen  u.  s.  w., 

80  wäre  g^zizm^,  ^a=^a» (§•  9*)-    Uebrigens  ist  es  in  der 

Regel  immer  misslich,  eine  Schätzung  des  Gewichts  vorzuneh- 
men ^  so  dass  es  vorzuziehen  ist»  Beobachtungen  von  gleicher 
Genauigkeit  (also  vom  Gewichte  1)  anzuwenden,  so  oft  die  Um- 
stände diess  erlauben.  Eine  Schätzung  des  Gewichts  einzelner 
Beobachtungen  gegen  einander  ist  schon  darum  missiich,  weil 
man  sich  gar  zu  gern,  dem  Vorurtheile  hingiebt»  Beobachtungen 
als  minder  genau  zu  betrachten ,  deren  Ergebniss  bedeutend  ab- 
weicht von  den  übrigen.  Auch  ist  es  bei  geodätischen  Beobach- 
tungen z.  B.  fast  unmöglich,  den  Einfluss  aer  Witterung,  Ermfi-  . 
düng  u.  s.  w.  in  Rechnung  zu  bringen. 

Der  Werth  r  ist,    wie  man  aus  dem  Obigen   ersieht,    nicht 
nöthig,  wenn  man  sich  bloss  damit  begnügen  will,  die  Gewichte 
der  gefundenen  Grossen  zu  kennen  (immer  Oi ,  ff^y—»  als  bekannt  ] 
angenommen).  Will  man  aber  die  wahrscheinlichen  Fehler  kennen,  ■ 
deren  Kenntniss  noth wendig  ist,  um  ein  Crtheil  fallen  zu  können  ■ 
über   die  Genauigkeit  der  erhaltenen  Resultate,    so  muss  r  be- 
stimmt werden.  Diess  geschieht  nun  aus  den  gegebenen  Beobach- 
tungen in  folgender  Weise. 

■I 

-i 
§.  11. 

Seien  wieder  A^,    h^,-"   die  Genauigkeitsmaasse  (§.  4.),    die 
zu  den  Beobachtungen  gehören ,  deren  Gewichte  gi,  g^, ....  sind  ;«s 
h  das  Genauigkeitsmaass  für    eine  Beobachtung  vom  Gewicht  I^f« 

so  ist  (§.  6.  und  §.  5.): 


hi^=gih'',    h^^gji'^. 


Unter  der  Annahme,  dass  h  einen  bestimmten  Werth  habe,  war* 
die  Wahrscheinlichkeit  des  gleichzeitigen   Bestehens    der    Fehler 

Hi  ^a> (S-  ö.)' 

also  ist  die  Wahrscheinlichkeit,  dass  h  der  wahre  Werth  dieser 
Grosse  sei,  nach  dem  bereits  mehrfach  angeführten  Grundsatze 
der  Wahrscheinlichkeitsrechnung : 


SP~^      /»OD 


—OB 


wenn  k'  j      Pdh=:l.  Nun  ist  (§.3.): 

-X 


177 

•'^ ü  =  ^y —  Sri  >  ^*'o  =  77=  8ra »   «'"'o  =  77=  3*?8 > 

V  w  V  TT  y  n 

1. 

V  «  V  «  V  7t 

aus  ergiebt  sich  leicht,  dass  die  Wahrscheinlichkeit,  dass  der 
eDomraene  Werth   von  h  der  wahre  Werth  dieser  Grösse  sei. 


in  kl  bestimmt  ist  aus  der  Gleichung 


—OD 


Ä«c-*«(«»«)8Ä=l. 


in  wird  also  nur  denjenigen  Werth  von  h  wählen  iiiüssen ,  '  für 
1  obige  Grosse  ein  Maximum  ist.  Differenzirt  man  nach  h ,  so 
[iebt  sich: 


m 


Mia  m  die  Anzahl  der  Beobachtungen   (vielmehr  der  Grundglei- 
ngen  (9))  bedeutet. 


i/"ra 


Man  pflegt  die  Grösse  V  ^ — -  den  mittleren  Fehler  der 

Mbachtung  vom  Gewichte  1  zu  nennen;  bezeichnen  wir  ihn  mit 
10  ist 


r=«jV2  =0^744897,«.  (31) 

Tfaeo  die  Beobachtungen    von    gleicher    Genauigkeit,    so  wäre 

ß^=....  r=tly  und  r  der  wahrscheinliche  Fehler  einer  der  Be- 
tungen.    In  diesem  Falle  ist: 


=  Y  ^,    Äa  =  oV.    r=: 0-6744897.«. 


(32) 


178 


§.  II 


Der  Wertb  von  h,  den  wir  so  eben  gefanden,  ist  nur  d 
wahrscheinlichste;  ob  er  der  wahre  ist,  können  wir  nicht  entschi 
den.     Die  Wahrscheinlichkeit  für   einen  beliebigen  Werth  A  v 

Sei  nun  A^  die  durch  die  Formeln  (31)  bestimmte  Grosse^  nämln 
hi=:—~;  hi-i-Jh  ein  Werth  von  A,   so   wird  mithin  die  Wal 

scheinlichkeit ,    dass  Ai-fz/A  der  wahre  Werth  von  A  sei,  wei 
Jh  wiilkührlich,  aber  bestimmt  ist,  sein: 

ri(hi  +^A)'»e-(*i+^Ä«)(r^2) , 

Die  Grosse  Jh  wird  man  immer  sehr  klein  annehmen  dflrfen,  i 
der  wahre  Werth  von  A  nicht  viel  verschieden  sein  kann  vonii 

m 
ferner  ist   [^*]==sira>  ^'®®   '®*  obige  Grösse: 

Was  rj  anbelangt,  so  ist  tiiese  Grösse: 

,  .,  .„ ?(^A) 8(^A) 

/    h^^e  ''.e  ^Ai  'e(^A)     Ai'-e  * -^=- 


—00 


also  die  Wahrscheiniichkeit,    dass   ^A  die  wahre   Verbesseno 
von  A|   ist: 

.e  Ä.»'    'a(z/A).  (33) 


AiVtt 


Der  Ausdruck  (33)  hat  dieselbe  Gestalt,  wie  (4)  in  §..3.;  w 
^h  drückt  auch  den  Fehler  aus,  den  man  begeht,   wenn  man 
für  den  wahren  Werth  von  A  nimmt.     An  der  Stelle  von  A  in  I 

ist    in   (33) :Y    t-^;  woraus  nun  wie  in  §.4.  folgt,  dass  derwal 
scheinlichste  Werth    von  ^A   Null   ist,     und  der  wahrscheinlic 


179 


■  Fehler   dieser   Bestimmung :     R  =;  ^— .  Mau  kanu  also  1  gegen 
I  1  weiten,  dass  der  wahre  Wertb  von  h  zwischen 


ghi 


'■+Ä='-('+vt) 


■d 


*i 


ghi 


l=*-('-^)'  •=« 


4760360 


lesthalten  ist.    Ist  also  Vi  der  Werth  von  r,   bestimmt  durch  die 
iFtnoelo  (31)  >  so  sind  die  Gränzen  von  r' 


j+-4= 


=,(.,_9=,(.,«^), 


V: 


771 


man  die  höhern  Potenzen  von  ■  !L=  vernachlässigt. 

V  rn 


§.  13. 


Dm  den  mittlem  Fehler  s  (§•  11.)  zu  bestimmen  >  müssen  wir 

wahren  Werthe  der  Fehler  Vi,  v^,  ....    kennen,    d.  h.  die 

en  Werthe  der  Grössen  a:,  y,  z,....     Diese  aber  kennen  wir 

lebt  nicht ,  indem  wir  ja  bloss  die  wahrscheinlichsten  Werthe 

Iben  gefunden  haben.    Wohl   sind   wir    der   Ueberzeqgune, 

diese  wahrscheinlichen  Werthe  von  den  wahren  sehr  wenig 

ichen,  aber  gerade  diese  etwaige  Abweichung  zu  bestimmen, 

uns  die  Mittel.  Wir  werden  uns  also  abermals  darauf  be- 
iken  müssen,  die  wahrscheinlichsten  Werthe  dieser  Abwei- 

iD  SU  untersuchen. 

Seien  also  Jx,  Ay^  ^2,.,. .    die  Verbesserungen,     die   den 
"^en  von  x,  y,  z,....,  wie  sie  aus  den  Gleichungen  des  §.  6. 

U-ond  die  wir  mit  otq,  ^q,  fi?o> bezeichnen  wollen,   zuzu- 

D  sind.    Alsdann  ist 

»  =  (^o+^^)«  +  (9o+-^y)*+(2o+^2:)c  + --M, 

welcher  Formel  die  Werthe  von  i?i ,  t?.^, erhalten  werden, 

I  man    den    a,  6,  c,....,    M  die  Zeiger   1,  2, beisetzt. 

uichiBt 

gxP'  =  5r(a:oO  +^0*  +  »0  «  +    ..—  ^i)^ 
+2^(<l:r„+6yo+c-o+-—  — ^  (a^x^rbAy\cA%-\r  ..  ..) 

+  giaJx-i-bJy-^cJz  +  ....)*^  • 


180 

Nun  ist: 

[g(aa:^  +%d+<»o  +  ...  —  M)(ada:+6Jjf^cJz  + ....)] 
=    /!lx{xo[a^g\  +  y^\abg]  +  z^[acg\  + ....) 
+  ^yi^olP'bg]  +yu[6V]  +  ^o[bcg\  + ....) 
+  /i%{xo{acg\  +y..[6c<7]  +  ««[c^^r]  + ....) 

:  =0, 

wenn  man  beachtet,  dass  Xo^  yo»  *0  9**-  aus  den  GleicbuDgeo 
bestimmt  sind.     Demnach  ist  * 

[5^0^]  =  [9K^]  +  Uf(adx+bJy+cJ%  +  ...)*] ,  (3 

worin 

[^o„a]  z=  [g(ax^o + %o  +  cäo  +  •..  —  ^)*]  • 

Der  zweite  Theii  der  zweiten  Seite  der  Gleichung  (34),    den 
durch  i^^  bezeichnen  wollen,  kann  in  eine  Summe  zerlegt  wen 
die   quadratische  Theile   enthält.    Man    habe  z.  B.  nur  die 
Korrektionen  Jx,  Jy,  J»,  Ju,  so  ist 

Slz=(Jx)^[a^g]+2Jx/fy[ab£f]+/1y^[b^g]  +  2JxJ%[acg\ 
+2JyJ9[bcg]+J»%c^g]  +  IdxJuladg]  +2JyJu[bdg] 
+  2J»Ju[cdg]  +  ^u^d^g] . 

Setzen  wir  nun: 

Jx[a^g\  +  ^y[abg]  +  ^z\acg]  ^  Ju[adg]  =  g?i , 
so  ist 

worin  ^| ,  ^2>**^6  »icht  von  Jx,,..Ju  abhängen.    Sei  eben 

AiJi/i-A^^i  +  A;nJu=(p2, 
ssio  ist 

Sl^^-^~=B,Az^+2ß^AzAu  +  B.,Ja^, 
für 


Ä--F^-T- 


181 


9i*        Vi*      <Ps^  _ 


VI  V»  'va    fi  yf-,« 


f?enn 


^^"[a^gV  A,  +  B^  +  C 

Man  sieht  leicht ,  dass  allgemein ,  vi  elches  auch  die  Anzahl  der 
s«o  Jx,  ^ty,  Jz,,,.  seif  man  setzen  kann: 

n  9>|y  g)^,...  lineare  Funktionen  von  z^or,  Ay,  Az...  sind»  und 
'  <pi  von  allen,  g)^  ^^i^  allen  ausser  der  ersten »  (p^  von  allen 
er  den   zwei  ersten   u.  s.  w.    Da  Sl  immer  positiv  ist,    was 

I  dx,   ^y,  Az seien,     und   diese   Umformung   eine  rein 

&»che  ist,  so  überzeugt  man  sich  leicht,  dass  ki,  k^,*^..  po- 
e  Grossen  sein  müssen. 

Es  handelt  sich  also  um  den  wahrscheinlichsten  Werth  der 
me  i2,  den  man  erhalten  wird,  wenn  man  für  q>i*,  a>^^, 
....  ihre  wahrscheinlichsten  Werthe  setzt.  Cm  diese  selbst 
'  ZQ  finden ,   bedürfen  wir  noch  einer  weiteren  Untersuchung. 


§14. 

Angenommen,  die  Wahrscheinlichkeit,  dass  ein  willköhrlicher, 
r  bestimmter  Werth  von  ac  der  wahre  Werth  dieser  Grdsse  ist, 
k 

77r=:.r-**'*Sa:,    worin  dx  die  unendlich  kleine  (konstante)  Zu- 
V  « 

■e  von  X  ist.  Suchen  wir  nun  die  wahrscheinlichsten  Werthe 
jT  und  j^.  Zuerst  sieht  man,  dass  zwei  Werthe  von  x»  die 
dl,  aber  von  verschiedenen  Zeichen  sind,  gleich  wahrschein- 
sind.  Daraus  folgt  ferner,  wie  in  §.  5.,  dass  von  m  Wer- 
I  Ton  X  ihrer 


2m 


0 

k  k 

lehen  — t    und   -fr    enthalten  sein  werden;  eben  so«  dass  es 


2m 


k  k' 

ai  werde,  deren  absoluter  Werth  zwischen  ^   und   -r-    Hegt. 


182 


Man   wird    also  folgende  Ueber«icht  bilden   können,    die 
richtiger  sein  wird,  je  grösser  m  ist  (wenn  tt  unendlich  kh 

Zahl  der  Werthe  von  x,    deren  absoluter  Zahlenwerth  zv 


0  und  ^: 


0 


Zahl  der  Werthe  voii  x^   deren  absoluter  Zahlenwerth  zti 

a        j  2« 
•r  und  T-  ! 


2«!     C^     ,-.         2ot 


Zahl  der  Werthe  von  x^   deren  absoluter  Zahlenwerth  zw 
2a        ,  3a 
A    und  J-: 


.2a 


Was  die  Summe  der  Werthe  jeder  einzelnen  dieser  ^ 
lungen  anbelangt,  so  ist  sie  offenbar  Null,  da  gleich  vi« 
gleich  grosse  positive  und  negative  Werthe  darin  sind;  a 
die  Summe  aller  m  Werthe  von  ^x  auch  Null,  folglich  au 
arithmetisches  Mittel,  d.  h.  der  wahrscheinlichste  Werth 
(§.  9.)  ist  Null. 

Nicht  so  verhält  es  sich  mit  a:*,  da  dieses  immer  posii 
Man  hat  nun  wieder  dieselben  Abtheilungen,  wie  so  eoen; 

ersten  Abtheilung  ist  x'^  immer  0,    in  der   zweiten    p»  in  d 

ten  ■  ,2    j  m  der  vierten     v ^  "  »«"  ^'  ®-  ^'  bis   oo  m  der  1 
Also  hat  man: 

Anzahl  der  Werthe  von  x^  zwischen  0  und  a^: 

2m 
—  fr-^'^o^y  Summe  derselben:    0; 


V" 


n 


183 


izahl    der  Werthe  von  x^  zwischen  t^   und  —j^  : 

— F=«"-«*a,  Summe  derselben: -t^I  x  J  c~"  a; 


nzahl  der  Werthe  von  x^  zwischen   "  äi-  und  ^^  • 
— =re-C2«)«a,  Summe  derselben:  T>=(x  )   r-(^«)*a; 

(3a)®  (4a)* 

LDzahl    der  Werthe  von  x^  zwischen       . ^     und   ■  ,^    : 

—prrie— (3«)'a,    Summe  derselben:  —f^xt)  c^^"^*«; 


Darans  folgt  für  die  Gesammtsumme  aller  Werthe  von  x^y  wenn 
■an  dieselbe  gleich  durch  m  dividirt,  also  das  arithmetische 
Kttei  nimmt: 

— =  [0.e-0«+(la)2e-«« +(2a)«ß-(2«)« +(3a)2«-(3«)»  \ ....] 


O 

ist 


2       /*• 


jxe-^^^x  =  —  o  6-** , 


2 


o  o 

bo  ist  endlich  der  wahrscheinlichste  Werth  von  x^^i 

2V^  1 


ihWlt'^  2A* 


184 


§.  15. 


Wir  haben  in  $.  0.  gesehen ,  dass  die  Wahrscheinlichkeit  d 
gleichzeitigen  Bestehens  der  Fehler  r j ,  «s,....  (§.  11.)  Ist 

worin  c  eine  Konstante  ist.  Diese  Fehler  entsprechen  denWertJM 

Daraus  folgt,    dass  die  W^ahrscheinlichkeit,  die  Werthe  Jx,  ij 
^e,...  seien  die  wahren  Verbesserungen  von  Xq,  y^^  Zq, isl 


— 3D 


—OD 


:  r/Y^.'^e--^^^dJxdJ^dJil.,.=  l . 


Fuhrt  man  für  Sl  den  in  $,  13.  gegebenen  Werth  ein,  so  bal 
man  das  vielfache  Integral  zuerst  umzuformen  für  die  neuen  Ver 

änderlichen    <jp] ,    (p^,    93» Da  diese  letzteren  durch  linean 

Funktionen  von  Jx,  Jy,  Jz,.,..  gegeben  sind,  so  wird 

9  JxS  /lyd  Az ....  =  c8g?i  ^^>^^% .. , 

wo  c  eine  Konstante  ist.    Daraus  folgt,  dass  die  fragliche  Wahr 
scheinlichkeit  ist: 

(35) 


—OD 

wo  k  bestimmt  ist  durch 


im 


Die  Grösse  (35)  drückt  also  die  Wahrscheinlichkeit  aus»d«8s 
illkfihrlich  gewählte  5  aber  bestimmte  Werthe  von  (pi,  q>2y9>af  •••« 
e  wahren  Werthe  dieser  Grössen  seien.  Will  man  die  Wahr- 
heiniichkeit  haben,  dass  der  bestimmte  Werth  g?]  der  wahre 
Wth  dieser  Grösse  seS^  was  auch  q)^,  <Pz9""  seien,  so  muss 
an  (35)  integriren  nach  q>2  9  9>8***  zwischen  den  Gränzen  —  gound 
OD.    Also  ist  diese  Wahrscheinlichkeit: 

.     -OD 


orm 


"""OD 

itegrirt  man  aber  in  der  Gleichung  (36)  zuerst  nach  tp^,  9)3, .... 
t  ergiebt  sich 


h^TK 


Im  ist  endlich  die  Wahrscheinlichkeit  von  q>i : 


mithin  (§.  14.)  der  wahrscheinlichste  Werth  von  (pi^i  'oTaX"* 
so  erhält  man  für  die  wahrscheinlichsten  Werthe  von  q>^y 


)    MM  • 


1  1 

endiieh  den  wahrscheinlichsten  Werth  von  St: 


■  +  ' 


1 


n 


R  die  Anzahl  der  Grossen  x,  y,  z, ist.    Nun  ist 

1 


2Ä2 


=  6»,     [gv^]'-mt^; 


1  XVIIL 


13 


■ » '-. 


IS6 

«Im  hat  man: 


«  ■ 


(X 


wodurch  nun  endlich  definitiv  der  Werth  des  mittlem  Fe 
bestimmt  ist.  [j^&o^]  hat  hier  die  in  $«  13.  festgestellte  Bedeu 
m  ist  die  Anzahl  der  Grundgieichunsen  (9)  in  §.  6.,  und  n  U 
Anzahl  der  durch  die  Formeln  des  |.  J8.  zu  bestimmenden  ' 

sen  Xy  y,  z, ,    insofern  als  diese  Grossen  wirklich  von  c 

der  unabbängig  sind^  so  dass,  wenn  z.  B.  zwischenden  n  Unbekai 
X»  y»  2  9—'  noch  r  Bedingungsgleichängen  beständen,  aU 
Wanrseit  nur  n — r  Unbekannte  vorhanden  wären,  auch  n  — 
die  Stelle  von  n  in  (37)  träte. 


$.  16. 

Seien  ii^i,  w^y  toa,....,  tom  die  wahren  Werthe  unbeka 
Grossen;  6|»  e^,  «&,...•  6m  ihre  durch  Beobachtungen  gegel 
Werthe  mit  den  Gewichten  5)r|,ot 5* •^•^m^  bezogen  auf  ein 
stimmte  Einheit.  Abgenommen  ferner,  die  Grossen  WifW^f 
müssen  den  Bedingungsgieichungcn 

Fi(wi,iv^, )=0/ 

/^aK,trj, )=0,t  (38) 


genügen,  die  zur  Abkürzung  mit  Fi,  F2,....  bezeichnet  w 
mögen.  Es  ist  keineswegs  erforderlich  und  wird  im  Allgcm 
auch  nicht  der  Fall  sein ,  dass  von  den  Gleichungen  (38)  jed< 
Grössen  w  enthalte.  Setzen  wir  endlich  noch  voraus,  das 
Differenzen  to— c  sehr  klein  seien,  was  man  wohl  immer  a 
men  dürfen  wird,  da  wir  annehmen,  die  Beobachtungen  sei 
genau  als  möglich,  und  sollen  nun  so  aussegiichenwc 
dass  die  Bedingungsgleichungen  (38)  erfüllt  sind. 

Sei  nun 

so  müssen  diese  Werthe  den  Gleichungen  (38)   genügen. 
Beseichnen  wir  nun  die  Grössen: 

^    r.SFi        dFi 


187 

wz^e  durch  Vi,  Oi,  ast ••••.; 
oz=ze  durch  n^y  bi,  62  »••••f 


2'    Bwi\  S^' 


ri^lt  man  aus  (38)  folgende  lineare  Gleichungen : 

%  "l"  ^1^1  +  ^2^2  "l"  ^3^3  +....= 0 , 
n^  +  CiXi  +C2ar2 +  03^:8 +....= 0, 


(39) 


Da  Xi,  0:2  9  0:3 , ....  oTm  die  Fehler  der  Beobachtungen  für  die 
ssen  ^5  d.  h.  für  die  durch  Beobachtung  als  wahrscheinlichste 
rthe  der  Grossen  w  gefundenen  Werthe  sind,  so  folgt  daraus, 
t  (§.  6.)  die  Summe  [jga;^]  ein  Minimum  sein  muss-  Man 
also: 

tande  nun  keine  Bedingungsgleichung  zwischen  den  Grossen 
0:2, „.,  so  folgt  hieraus 

begreiflich.    4Jl>er  die  Bedingungsgleichungen  (39)  gebep: 
bidxi  +  b^dx2  + ....  +  bm  dam  =  0  J 

C\dXi  +  1^80:2  +  »•..  +  CnSxm  =0,1 


10  fugÜch  manche  der  Koeffizienten  Null  sein  können).  Multi- 
len  wir  nun  die  Gleichungen  (41)  mit  noch  unbestinmiten 
Bbienten  ki,  Ic^,...,  kr,  wo  r  die  Anzahl  der  Bedingungs- 
liUDgen  (38)  ist,  und  sind  ßi,  ß^»  /^s—*  ^^^  Werthe  von 

dFr         dFr        SFr  -.. 

ÖU>i  01D2        01^3 

«"ird  man    die  so    multiplizirten    Gleichungen  zu  (40)  addiren 

dann  den  Koefüzienten  von    dar|,  80^2^ oxm  Null   setzen 

iorch  erhält  man 

18» 


188 

^'a^a+fla^i  +M»+  ••••  +/^2*r  =  0, 


Kennt  man  die^  Grössen  k,  so  geben  diese  Gleichangen  die  Gi 
sen  X.  Um  die  k  zu  bestimmen,  wenden  wir  die  6l^cbmi| 
(30)  an.  Man  ziehe  nämliGh  aus  (42)  die  Werthe  der  Grosses 
und  setzö  sie  in  (39) ,  so  erhält  man,  wenn  man  zur  AbkQni 
setzt: 

9i  9%  9m        1^9-^ 

folgende  Gleichungen: 

[f]*.+[f]*.+[f]*-+-+[CI'^=-'i 

&']*>+ 111*.+ [f]*-+ +Cf]*'=- 

die  nun  zur  Bestimmung  der  Grüssen  k  gerade  hinreichen.  A 
(42)  folgen  dann  die  Werthe  der  Grössen  Xy  also  endliche 
ausgeglichenen  Werthe  von  Wn  m^«.... 

Was   die  Summe  \jgx^'\  anbelangt,    so  ist  sie  sehr  leicht 
bestimmen.    Die  Gleichungen  (42)  geben  nämlich ,    wenn  man  < 
erste  mit  .r j ,  die  zvreite  mit  x^,*,,,  muitiplizirt,  sie  addirt  und« 
Gleichungen  (39)  beachtet: 

I  ffx^]  =  ?/,  kl^rn2,ff2 + . ...  +  WrA>=  \_nU\ .  (44; 


(43) 


189 


§17. 

Es  ist  klar,  dass  die  uns  im  Augenblicke  beschäftigende  Auf- 
be  aneresehen  werden  kann,  als  hätte  man  bloss  m — r  Grössen 
8  m  Beobachtungen  zu  bestimmen,  weil  vermöge  der  r  Glei- 
ongen  (38)  nur  m — r  Grössen  unabhängig  bleiben.  Daraus  folgt 
15.)»  dass  der  mittlere  Fehler  £  einer  Beobachtung  vom  Ge- 
chte  1  ist: 


=^M=y[!^.  (45) 


Der  wahrscheinliche  Fehler  R  dieser  nämlichen  Beobachtung  ist 
(V2^,    also  der  wahrscheinliche  Fehler  einer  Beobachtung  vom 

iewichte  gi'-r^.    (§.  9.). 

Gesetzt  nun,  man  solle  eine ^ Grösse  u  aus  den  Beobachtun- 
i«  berechnen.  Es  ist  klar,  dass  man  zu  derselben  auf  verschie- 
I  BCD  Wegen  wird  gelangen  können,  je  nachdem  man  eine  Verbin- 
kffi  der  Werthe  Cg ,  e^,....  anwendet.  Einer  dieser  Wege  wird, 
baie  Grössen  e  nicht  genau  sind,  der  vortheilhafteste  von  allen 
ji^*'    Sei  die  Verbindung  der  beobachteten    (noch  nicht  aus- 

'  dienen)  Werthe  e,   welche  die  vortheilhafteste  von  allen  ist, 

fichnet  durch 

tt=if;(ei,  ei,.-..)*  (46) 

Arend  eine  andere  durch 

tt=g)(«i,  ^2,....)  (47) 

^Mlehnet  werden  mag.      Nun  sind  die  wahrscheinlichen  Fehler 
k  Grossen  ei,  e^,.,,,  (da  ihre  Gewichte  ^i,  ^a,*..  sind)  gleich 

R  R 


iit  nach  6.  8.  der  wahrscheinliche  Fehler  von  u,    wenn  die 
iifarag  (4d)  angewendet  wird : 


R\fm    <^ 


-a 


190 

Der  wahrscheiDÜche  Fehler  von  h,   wenn  (47)  angewendet  wird, 
ist 


4m 


(49) 


wenn 


d(p  _d(p 

Nun  ist  klar,  dass,  wenn  man  statt  der  Grossen  e  die  wahren 
Werthe  w  setzen  würde ,  offenbar 

sein  mOsste,  da  es  alsdann  offenbar  gleichgültig  ist,  auf  welchem 
Wege  u  erhalten  wird  —  immet  muss  dasselbe  Resultat  zun 
Vorschein  kommen.  Nicht  so  ist  es  freilieh ,  wenn  für  die  w 
bloss  ihre  durch  Beobachtung  gefundenen  wahrscbeinlichsten 
Werthe  e  gesetzt  worden. 

Aus  der  Gleichung  (50)  ergiebt  sich  aber,  dass  die  Differeu 

i(;(ei,  62,....)— 9'(^i»  ^2>*-)  (SO 

verschwinden  muss,  wenn  an  die  Stelle  der  e  die  td  treten.  Ueber 
die  w  seihst  steht  uns  gar  keine  Entscheidung  zu  Gebot,  wir 
müssen  die  e+x  ($.16.)  statt  derselben  annehmen,  da  diese  leti- 
teren  Grössen  ohnehin  auch  den  Bedingungs^leichungen  (38)  (resp. 
(39))  genügen.  Die  Differenz  (51)  muss  also  verschwinden,  weno 
an  die  Stelle  der  e  die  e-{-x  treten.  Diess  ist  der  Fall,  wenn 
diese  Differenz  die  Form 

«1  ^1  +  ^^2  +  ...  +  ^rFr  (52) 

hat,  worin  ai,,„ar  noch  unbestimmte  Koeffizienten  sind,  und  io 
den  Grössen  F  statt  der  w  die  e  gesetzt  sind.  Die  Werthe  der 
Grössen  F  sind  also  sehr  klein.  Es  ist  klar,  dass  es  noch  uo- 
zählig  viele  Formen,  ausser  (52),  geben  wird,  die  derselben  Be- 
dingung genügen.    Ist 

eine  solche,  und  bemerkt  man,  dass  die  Werthe  von  F^,...  Fr  sehr 
klein  sind,  so  wird  sich  diese  Grösse,  nach  dem  Taylor'schen  Satze, 
offenbar  unter  die  lineare  Form  (52)  stellen  lassen,  da  sie  ver- 
schwinden muss,  wenn 

Fi  =  0, ...,    Fr  =  0. 

Also  ist  die  Form  (52)  allgemein.  Daraus  folgt  nun,  dass  die 
vortheilhafteste  Verbindung  der  Grössen  e,  um  u  zu  erhalten, 
aus  der   bestimmten  (47^)  erhalten  wird  unter  der  Form: 


191 

....+  arFr(#'i,  Cjt,...).  (53) 

■  •  I  -  •  ■ 

Daraus  folgte    wenn  die  GrOssen  a,  b,  c»....  dieselbe  Bedeutupg 
haben   wie  in  §.  16.: 

•  •  ■  • 


Da    aber     (53)    die    vortheilhafteste    Verbindunt;    darstellt,     so 
mass  der  ihr  zugehörige  wahrscheinliche  Fehler  (43)  ein  Minimum 

sein 9  d.  h.  ai,  o^,...,  «r  sind  so  beschaffen,  dass  1  —  1  ein  Mi- 
nimum ist.    Man  hat  also 


da 
d.  h. 


T[f]=«-4m=» iif]-" 


(56) 


^j4-(i,)+^J-  (L.^+..+  —  ^(i»)=0 


wotaus,  wenn  man  (54)  beachtet,  folgt: 

woraus  nun  die  a  bestimml  werden.  Daraus  erhalt  man  die  L 
vermittelst  (54),  und  dann  den  wahrscheinlichen  Fehler  der  vortbeil- 
baftesten  Verbindung  der  Grössen  e  vermittelst  (48). 

Wir  haben  bereits  oben  bemerkt,    dass 

zusammenjfallen  müssen,  wenn  man  statt  e  setzt  e-^-a:.  Nun  ist 
aber 


192 

also,  da 

=9(€l,  ea»-)  — («1«!  +  *i«a  +  <?i«3  +  —  +  Ai«^)*i 

—  («2«!  +  *2«2  +  Ca«3  +  ••••  +  ßil^)^ 

=  9  (^1  9  «2»  •••)  ~"  ^1  (^1^1  +  ^2^2  +  ••••) 

—  Cf2  (^1^1  +  *2^2  +  •••) 

=  9(^1,   e2,....)  +  «lWi+C<2W2  +  «3W3+-- »  (^ 

wenn  man  die  Gleichungen  (39)  beachtet.  Es  folgt  diess  übrigens 
auch  unmittelhar  aus  (53),  da 

Hätte  man  statt  der  beobachteten  Werthe  e  die  ausgegliche- 
nen e-{-a:,  die  vrir  als  die  wahren  anzunehmen  gezwungen  sind, 
angewendet,  so  wäre  es  ganz  gleichgültig  gewesen  ,  welchen  Weg 
man  zur  Bestimmung  von  u  eingeschlagen  hätte.  Hätte  man  also 
den  bestimmten  (47)  gewählt,  so  wäre 

u  =  (p(ei+a:i,  Ca  +  a:2,...)=9(^i>  ^a »•••)  + 'i^i +^2+ ••-  (^^ 
Nun  erhält  man  aus  (42),  wenn  man  die  erste  mit  — ,  die 
zweite  mit  -^,....  multiplizirt  und  addirt: 

U^]  +  [^']  Äi   +  [  J  ^  + ..  [^']  kr=0, 

und  wenn  man  hier  aus  (55)  die  Werthe  von  I  ~"  1'  1  "~  |>'"' 
einsetzt : 


193 


}ania5  folgt  nun»  unter  Beachtung  der  Gleichungen  (43): 

Lh.  die  Formel  (57)  giebt  denselben  Werth,  wie  (56).  Neben- 
lei  folgt  daraus,  dass  [La:]=:0  ist,  so  dass  die  vortb eilhafteste 
rerbindung  der  e  so  bescnaffen  ist,  dass  sie  denselben  Werth 
3r  u  giebt,     als  wenn    man  statt  der  e   die  6-|-^    angewendet 

latte. 

Man  schliesst  aus  diesen  Entwickelungen ,  dass,  wenn  man 
ibe  Grösse  u  berechnen  soll,  und  man  dazu  irgend  einen  Weg 
ebschlägt,  dieser  gleichgGltig  ist,  vorausgesetzt 9  dass  man  die 
mgeglichenen  Beobachtungen  e-i-x  anwende.  Das  so  erhaltene 
Resultat  föllt  zusammen  mit  dem,  das  man  erhalten  hätte,  wenn 
Ban  die  vortheilhafteste  Verbindung  der  beobachteten  Grossen  e 
agewendet  hätte. 

Der    wahrscheinliche    Fehler    des    so   erhaltenen   Resultats 

it  (48): 


«\^m 


Damit  ist  nun  die  Theorie  der  Ausgleichung   der   Beobach- 
fehler  geschlossen. 


Bemerkung  des  Herausgebers. 

h  diesem  Aufsatze  haben  in  den  Potenz •  Exponenten  runde 

Muern  ()  gesetzt  werden  radssen,    wo  eigentlich  eckige  [] 

[letzen  gewesen  wären,   weil  in  der  Druckerei  solche  eckige 

^nern  augenblicklich  nicht  in  der  erforderlichen  Kleinheit  vor- 

m  waren  9  und  der  Abdruck  der  obigen  lehrreichen  Abhand- 

nicht  aufgehalten  werden  sollte^    Es  wird  aber  dies,    nach- 

H  hier  besonders  bemerkt  worden  ist,    Undeutlichkeit  hof- 

Dicht  hervorbringen. 


194 


•  ■•/■-■■  ■!*  1* 


I    • 


j  •  » •  •  » 1 '  • ". :  1  1  ■  ■ 


Die  Anflüsnnf^  alj^ebraisclier  Olei* 

cliiing^en. 

Von 

Herrn  August  Weiler, 

G^ninasialiehranits  -  Candidat^. 

(Dariiistadc,)  .     ' 


1.  Wenn  mehrere  Grussen  in  einer  Abhängis;keit  zu  eini 
der  stehen,  nach  welcher  der  einen  bestimmte  Werthe  entspi 
che»;  nachdem  man  jeder  andern  einen  solchen  beigelegt  n 
und  wenn  es  darauf*  ankommt >  jene  erstem  Werthe  herzul^ti 
so  muss  vor  Allem  die  zwischen  den  Grössen  bestehende  j* 
hänsigkeit  in  algebraischer  Form  dargestellt  sein.  iNachdem 
in  emer  Gleichung  ausgedrückt  worden^  worin  die  fragliche  GrSii 
mit  den  andern  durch  Addition,  Subtraktion^  Multiplikation«  j 
Vision  y  Potenzirung,  Wurzelausziehen  u.  s.  w.  verbunden  erscbei 
stellt  sich  die  Algebra  die  Aufgabe,  einen  Ausdruck  zu  besti 
men,  welcher  an  die  Stelle  der  Unbekannten  eingesetzt,  der  C^ 
chung  identisch  genügt;  oder  dieselbe  dergestalt  umzufornb 
dass  die  unbekannte  Grösse  unmittelbar  als  Zahl  hervorgeht» 
dem  sie  in  einfachster  Gestalt  ohne  irgend  eine  Verbindung 
andern  Grössen  die  eine  Seite  der  Gleichung  einnimmt,  währtf 
auf  der  anderen  Seite  nur  Gegebenes  vorkommt.  —  Die  Alg^ 
umfasst  hiernach  ein  ausserordentlich  weites  Feld.  Allein  n 
sieht  sich  genöthigt,  dasselbe  in  verhältnissmässig  enge  Grän' 
einzuschliessen,  weil  nur  in  deren  Bereiche  die  erwähnte  Abs? 
mit  lohnendem  Erfolge  erreicht  wird.  Man  betrachtet  naml 
nur  diejenigen  Gleichungen,  die  aus  mehren  Gliedern  besteks 
deren  jedes  durch  eine  ganzzahlige  Potenz  der  Unbekannten 
bildet  ist.  Doch  auch  diese  Gleichungen  können  bis  jetzt  in  iB 
Allgeraeinheit  noch  nicht  betrachtet  werden;    der  Erfolg  zieht 


^r  195 

^^^Bcn  nach  eiiKcr  zosamnien.  Im  Folgenileu  will  ich  versucben, 
^^H^,iRugli,cli»t  vollst^iidigeo  Ueberbltck  iilier  tlieäe  U ot ersuch uu- 
^^Heu  peben ,  insoiveit  solche  bei  Ueiiiitzuii^  der  algebraischen, 
^^^Utbm Ischen  und  trigonometrischen  Funktionen  zu  einem  Ke- 
^^^He  führen.  Zugleich  >vill  ich  mich  bemühen,  dass  ans  der 
^^Hfnanderfol);«  und  Darstelliiiigstreise  des  Gegen s tan il es  erkannt 
^^He,  wie  die  benutaten  HülfsoiUtel  nichts  weiter  aurdecketi  kOn- 
^^H  damit  vorlieeende  Abhandlung  den  Eindruck  eines  in  sich 
^^^wchlossenen  Ganzen  iik  dem  Leser  zurücklasse. 

^^^p.  Zuerst  ab«r  mag  Einiges  über  die  sogenannten  imaginS- 
^^^nGrOesen  vorausgeschickt  werden.  Es  kann  nicht  gelaugnet 
^^Ben,  dftss  aus  der  Abhängigkeit  z\riachen  mehreren  Grusseii 
^^Br  Umständen  Tür  die  eine  Grösse  kein  Werth  bervarceht, 
^^Hld  man  den  anderen  gewisse  Werthe  beigelegt  hat.  Wenn 
^^^^  nach  derjenigen  Grosse  gefragt  wird,  welche  mit  sich  selbst 
^^^Bplizirt  werden  muss,  damit  a  entstehe,  so  sind  wir  gewiss, 
^^^K  keine  GrSsse  der  Art  gefunden  wird,  sobald  man  sich  unter 
^^Bien  negativen  Werth  denkt.  Denn  es  siebt  keine  Zahl,  de- 
^^IrQuadrat  negativ  ist.  Wenn  es  nun  aber  gelingt,  aux  der 
BBElchiing,  welche  eine  solche  Abhängigkeit  vorstellt,  die  frag- 
ucfae  Griisse  lu  entwickeln,  so  gilt  der  gefundene  Ausdruck  auch 
unter  den  vorerwähnten  Bedingungen.  Dieser  sti'llt  dann  aber, 
tveil  >l<  der  Tbat  kein  wirklicher  Werth  möglich  ist,  etwas  Un* 
taugliches  oder  Imaginäres  vor.  Die  Allgemeinheit  der  algebrai- 
schen Eü t ni ekel un gen  führt  demnach  nothwendig  auf  imaginäre 
Orussen,  \nn  welchen  sieb  die  bis  dahin  vorkommenden  mittels 
des    uuQiöglichcn   T — 1  darstellen  lussen. 

Demnach  kilnnte  uns  die  algebraische  Form  eines  solchen 
Werthes  durchaus  gleichgiiltig  sein,  wenn  dieser  stets  nur  in 
nackter  Form  verlangt  würde,  weil  ein  iniaginJirer  Werth  an  und 
für  sich  keine  Bedeutung  hat  Allein  gar  oft  wird  ein  solcher  in 
vreitere  Rechnungen  eingeführt,  in  deren  Verlaufe  das  Imaginäre 
wieder  .ausfällt,  so  dass  dem  letzten  Resultate  eine  wirkliche  oder 
reelle  Bedeutung  /.ukommt,  während  einzelne  Theile  der  Rechnung 
unter  imaginärer  Form  erscheinen.  Aus  diesem  Gesichts|iiinkte 
betrachtet  sind  die  imaginären  Ausdrucke  nicht  allein  brauchbar, 
(loiidcrn  sie  sind  der  .lllgenieinbeit  algebraischer  Eatwickelungen 
11 II entbehrlich,  indem  mit  ihrer  Hülfe  verschiedene  Resultate, 
ivelche  in  einem  naliirlicben  Zusammenhange  stehen,  auf  einem 
gemeinsamen  Wege  erhalten  vTerden;  wahrend  jedes  einzelne 
dieser  Resultate,  wenn  in  der  Rechnung  das  Imaginäre  vermie- 
den werden  sollte,  auf  einem  besonderen,  oftmals  mühseligeren 
Wege  hergeholt  werden  müsste.  zHischen  denen  keine  andere 
\'crbiiidung  aufgefunden  werden  kann. 

3.  Wenn  eine  Gleichung  eine  reelle  AI>hSngigkcit  zivischen 
verschiedenen  Grilssen  ausdrückt,  obschon  Imaginäres  in  dersel- 
Ijon  seine  Stelle  Ondet,  so  muss  durch  die  gehörigen  Reduktionen 
•ins  ImaginSre  wegfallen.  Diese  Reduktionen  sind  keinen  Schwie- 
rigkeiten unterworfen,  und  man  erkennt  deshalb  leicht,  ob  sich 
das  Imaginäre  in  einem  vorliegenden  Ausdrucke  auHiebt.  Wenn 
V"— 1    als  Faktor   verschieclener  Glieder  erscheint,    so  wird  man 


196 

es  als  gemeinsaroeii  Faktor  aasscheiden;   und  das  IroagiDÜre  wird 

nur  dann  verschwinden,  wenn  der  Faktor  von  V^^  sich  aufNnil 
zuHIckfilhrt. 

ar=ra»+(Ä+cV^l)(6— cV^ini) , 
auf  diese  Weise  verändert,  wandelt  sich  um  in 

Ehen  so  geht 

o: = log(a+ 6  V^)  +  log(a-Ä\^:ii) 
oder 

a:=log[(a+6V^)(a-  6\^^)] 
über  in 

a:=log(a2-f  Ä*). 

Wenn  V  —  1  als  Exponent  mehrer  Glieder  eines  Ausdrucks 
oder  in  sonst  einer  andern  Zusammenstellung  vorkommt,  welche 
in    ihrer  vorliegenden  Form   nicht   gestattet,    den    gemeinsamen 

Faktor  V^ — 1  auszuscheiden,  so  mifsste  man  die  betreffenden 
Funktionen  in  Reihen  entwickeln,  so  dass  V" — 1  nur  als  Faktor 
verschiedener  Glieder  dieser  Reihen  auftritt;  und  die  Gleichung 
wird  dann  in  der  That  eine  reelle  Abhängigkeit  ausdrücken,  wenn 

sich  wie  vorher  die  Gesammtheit  der  CoefHizientcn  von  V"-— 1  auf 
Kuli  zurückführt.  Allein  man  wird  ein  weit  vortheilhafteres  Ver 
fahren  einschlagen,  wenn  man  bemerkt,  dass  die  nach  dem  Ver- 
schwinden von  W^ — J  zurückbleibenden  Reihen  auf  andere  ver- 
wandte Funktionen  zurückführen,  für  welche  wir  uns  in  der  Al- 
gebra kürzerer  Zeichen  bedienen.  Für  die  logarithmischen  und 
trigonometrischen  Funktionen  lassen  sich  alle  hierher  gehörigen 
Reduktionen  aus  den  nachfolgenden  einfacheren  herleiten. 


Es  ist 


y2  y3 


r/^-i  =  l  +  y\A-l~|--f3\^- 


^    2.3.4  ^  2.3.4.5  ^      ^      

~^      2  ^  2.3.4      ••+^>^      2.3  +  2.3.4.6     —^^* 


=  cosy-f  V^ — Jsi 


smy, 


I 


107 

Mao  hat  also  die  Beziehang 

€y^^^=cosy+V^8iny,     1. 

und  durch  Vertauschen  von  y  gegen  — y  eine  andere 

e-yVzi=cosy — V^— Isiny,    2. 

welche  beiden  Gleichungen  alle    vorher   erwähnten   Reduktionen 
in  sich  einschliessen.    So  geht  die  Gleichung 

mit  deren  Hülfe  über  in 

2cosaz=%, 

da  hier  az  die  Stelle  von  y  vertritt. 

Beide  Beziehungen  lassen  sich   in  einer  andern  fiir  den  Ge- 
brauch oft  vortheilhafteren  Form  darstellen.    Man  hat  nämlich: 

a  +  ßV^l  =V  a«  +  ß^.s^^^  *'" '«  « ,    ...V. 

«_^V^=V^+^.5-^i*"'sf,    ...2'. 


welche  mit  den  vorigen  identisch  sind.    Denn  setzt  man 


arctg|  =  y. 


•o  ist 


Die  Gleichung 

1  ~i 

%•  B.  geht  wegen  der  letztern  Beziehungen  über  in 

.  y 

arctg- 

oder 

3^  =  2tglogai. 
l>ies    Resultat    wird   erhalten,    wenn  man   a  mit  z,  ß  mit  y  ver- 


108 


tauscht,  sodann  in  1'.  beiderseits  den  Exponenten     ^1=)  in 

den    Exponenten        r,. —    giebt,    und  so  beide  Gleichungen 

2V  '" —  1  *  '    ■ 

einander  multiplizirt. 

4.  Wenn  die  Unbekannte  z  in  einer*  Gleichung  auf  i 
ersten  Grade  vorkommt,  wenn  sich  also  die  Gleichung  auf 
ifffnm  ;s  +  fl:=0  bringen  lässt,  so  giebt  sie  derUnbekannteo  i 
Werth  2  =  — a.  Man  nennt  eine  solche  Gleichung  eSiie  Gleich 
des  ersten  Grades.  Allgemein  spricht  man  von  einer  Gleich 
des  nten  Grades,  wenn  n  die  nöQhste  Potenz,  aufweiche 
Unbekannte  z  erhoben  vorkommt,  nachdem  alle  negativen  Pol 
zen  aus  der  Gleichung  entfernt  worden  sind.  Sie  kann-  dargesi 
werden  unter  der  Form: 

2»  +  ai2«-i  +  flfja««-* + ...  +  an=0 . 

Führen  wir  das  Produkt 

aus,    das  aus  n  Faktoren  bestehen  soll,    so    erhalten    wir 
Gleichung: 

in  deren  letztem  Gliede  das  Zeichen  +  gilt,  jenachdem  n  gen 
oder  ungerade  ist.  Die  Vergleichung  zeigt  die  Identität  die 
Resultates  mit  der  oben  angeführten  Grieicfcung  des  Titen  Grad 
wenn  man  folgende  n  Beziehungen  bestehen  lässt: 

ai=  —  (a  +  ^ +/  +  ..), 


ßn^db^j^y»»»« 


Das  Bestehen  dieser  n  Beziehungen  ist  aber  immer  möglich,  ^ 
darin  die  n  unbestimmten  Grössen  et,  ß,  y,.,  vorkommen;  i 
man  kann  demnach  die  allgemeinste  Gleichung  des  iiien  Gra 
als  das  Produkt  von  7i  Faktoren  z — a,  z  —  ß..,  ansehen.  Di 
Grössen  a.  ß,  y....  sind  zugleich  die  gesuchten  Werthe,  wel 
der  Gleichung  genügen;  denn  vertauscht  man  z  mit  irgend  ei 
unter  ihnen,  so  geht  einer  jener  Faktoren  in  Null  über,  und 
durch  die  Multiplikation  aller  Faktoren  entstehenden  Gleich 
wird  identisch  genügt.    Eine    Gleichung 

giebt  also   7i    im  Allgemeinen  unter  sich  verschiedene  Werthi 
welche  man  die  n  Wurzeln  der  Gleichung  nennt,  und  welche 


199 

kannt  sind-»  Mbald.lnaii  die:  fileiehon^  iodas  Produkt  von  uVMar 
toren  aufgelöst  hat. 

Die  eben  geföhrte  Betracli  tu  Ausweise  giebt  uns  einen  klaren 
Aufschluss  über  die  Zahl  der  Wurzeln  einer  Gleichung ,  und  über 
die  Art  des  Vorkommens  derselben.  Sie  gestattet  uns  tamsS^t- 
dem,  mancherlei  Schlösse  zu  ziehen  in  Bezug  auf  die  Beschaffen- 
heit der  Wurzeln.  So  z.  B.  sehÜessen  wir,  dass  imaginäre Wur- 
^   sein  nur  paarweise  vorkommeny  kßnnen,    und  zwar  nur  unter  der 

Gestalt  ttd:j3V^ — 1,  sobald  die  Glieder  Oi,  a^»  03.—  der  entspre- 
ehenden  Gleichung  alle  reell  sind.  Denn  hur  unter  dieser  Form 
der  imaginären  Wurzeln  giebt  das  Produkt 

den  Terschiedenen  Potenzen  von  2  reelle  Faktoren.  Die  AusfSb- 
mng  giebt  nämlich 


I , 


j.  Wenn  alle  Wurzeln  einer  Gleibhung  bekannt  sind,     so  kann  sie 

^^  ki^roacb    stets  in    das    Produkt  von  n  Faktoren  des  ersten  ub^ 

:  zweiten  Grades  in  Bezug  auch  z  aufgelöst  werden,  in  denen  keip 

rS  imaginäres    Glied   vorkommt,    indem  man  das  Produkt  je  zweier 

;~  sogenannten  konjugirten  Wurzelfaktoren 

r  „  z-tt-ßV^  und  z-«+iJV^'  ' 

ausführt. 

Allein»  um  die  Wurzelwerthe  selbst  zu  erhalten,  dazu  erscheint 
uns  diese  Betrachtuilgsweiäe  verhältuissmässig  weniger  brauchbaf. 
Denn  wollten  wir  in  dieser  Absicht  die  oben  gegebenen  n  Bezte- 
liuDgen  benutzen,  und  daraus  eine  andere  herleiten,  in  der  nur 
•ine  der  Unbekannten  a,  ß,  ^,...  vorkommt,  so  müsste  man  auf  die 
Gleichung  des  nten  Grades  zurückkommen,  weil  die  Unbekann 
ten  symmetrisch  vorkommen,  und  jede  Beziehung,  welche  man 
4als  flir  die  eine  geltend  herleitet,  ebenso  für  die  andere  besteht 
Wir  müssen  vielmehr  zu  mancherlei  Mittein  unsere  Zuflucht  neb- 
MBetk,  um  mOglicbst  einfach  und  bestimmt  das  Ziel  zu  erreichen. 

,  .  .    5.   .Pie.  n&ehBteAniache  Gleichling  ist 

Vertauschen  wir  darin  z-f -0     S^^o   y»    so    verwandelt  sie 
sieb  in 


200 

und  indem  wir  beideneito  die  Wurzel  aagsiehen,  entsteht 
adn  daraus 


Auf  dieselbe  Welse  lösen  wir  die  allgemeinere  Gleichung 

Denn  durch  Vertauschen  von  z-f  ~  gegen  ^  Terwandelt  sich  die* 
selbe  in 

Um  aber  die  n  Wurzeln  dieser  Gleichung  zu  erhalten,  bietet fiick 
folgendermassen  eine  Beziehung  dar.    Vertauscht  man  in 

jfyV^rizscosy+V — Isiny 
die  Grosse  y  ^^^  ^Y»  ^^  hat  man 

£±nY^rz^  =  cosny  +  V^ — 1  sinjiy . 

Erhebt  man  in  der  erstem  Gleichung  beiderseits  zur  Titen  Potenz, 
so  entsteht  eine  andere  Form: 

f+nyVzä  =  (cosy  +  V^ — Isiny)« . 
Man  zieht  daraus  die  erwähnte  Beziehung 

(cosy  +  V^— Isiny)«  =  cosny  +  V^— Isinny. 

Die  obige  Gleichung    lässt  sich  aber  auch  anschreiben  unter  den 
Formen 


201 


id 


^=(aa-(j)")  (cos(2»+l)«+V-lsin(2i+  1)«). 


■    '..» 


nachdem   (~ }  — o^  positiv  oder  negativ  ist,  wenn  wir  uns  unter 

eine  ganze  Zahl  denken.     Daraus   gehen    nun  unmittelbar   die 

ifurzelo 


n 


»=ve)-«^(-¥+^^^'»'^) 


der 


i\*i 


y=M  «a-  {-)   (c«s  —^ +  V^-1  s.n  — ^-J 

■ 

ffrror.   Denn  erhebt  man   in  diesen  Beziehungen  beiderseits  zur 
ka  Potenz,  so  kehren  die  vorigen  Gleichungen  zurück. 


Statt  i  setzt  man  nach  und  nach  die  Zahlen  1,2,  3...t  ein, 
»•durch  jedesmal  ein  anderer  Wurzel werth  hervorgerufen  wird, 
^t  man  den  Zahlenwerth  i  noch  weiter  anwachsen,  so  kehren 
bWurzelwerthe  in  der  nämlichen  Ordnung  wieder^  und  dies  je- 
Mnal,  so  o(l  i  um  n  Einheiten  zugenommen   hat. 

n 

Im  Allgemeinen  bedeutet  V^  w'^ verschiedene  Werthe,  näm- 
die  n  Wurzeln  der  Gleichung  z^^=cfl.  Allein  in  den  obigen 
trocken  wird  diese  Bedeutung  überflCissig ;  wir  denken  uns 
iter  den  einen  positiven  reellen  Wurzeiwerth. 

Indem  wir  erwägen,  dass 

cosy  =  cos(27C — y) ,     siny = — sin(27r — y) , 

I  sich  die  beiden  Wurzelausdrucke  für  y,  weil  unter  den  n 
Ehiedenen  vorkommenden  Winkeln  je  zwei  in  der  erwähnten 
ehang  zu  einander  stehen,  auch  unter  folgender  Gestalt  an- 
Kibeo : 


»=V  (?)"-"■("' x±  ^^-'4') 


Wll. 


u 


202 


n 
worin  man  statt  t  nach  and  nach  die  Werthe   1»  2,  3....  o" 

n+l 
1,  2,  3... — ^    SU  setzen  hat,  je  nachdem  n  gerade  oder  i 

rade  ist. 

Die  Faktoren   des  zweiten  Grades,  in  welche  sich  die 
chung  y«=:a  zerlegen  lässt,    sind  demnach 

2* — 2a"zcos —  +  a" 


oder 


2«— 2(  — a)«2cos  ^ — S"^+(""^^" ' 


je  nachdem  a  positive  oder  negative  Bedeutung  hat. 
6.    Die  allgemeine  Gleichung  des  dritten  Grades 

erhält  nach  dem  vorhergehenden  Verfahren    nur   unter  der 
dingunj 


'g 


(fj-f-o 


ihre  Losung.    Die  allgemeine  Losung  macht  ein  anderes  Ve 
ren  nothig.    Man  hat  die  Beziehung 

cos3(t = 4cos^o;  —  3cosa . 
Daher 

_       3  .   cos3c^ 


'COS 


a-jCos.3FX"-4- 


Fur  die  kubische  Gleichung 


8      3 

2^  —  T  2  =  a 
4 


gilt  daher 


z = cos  TT  arc  cos4  a 


20» 

f^orzelaasdrack.  Wenn  man  fiir  arccos4a  ein  /  gefunden »  so 
Tcosla  auch  gleich  ^iTt  +  Vy  worin  i  irgend  eine  ganze  Zahl 
?llt,  indem  allen  diesen  Bogen  der  nämliche  Comnus  ent- 
it    Ea  ist  also 

z  =  cos — o"    > 

ie  drei  Wurzeln  der  Gleichung  werden  erhalten ,  wenn  man 
i  nach  und  nach  die  Werthe  !>  2,  3  setzt. 

er  Auflösung  der  allgemeinen  Gleichung 

2*  +  QiZ^  +  Gg^  +  ^la  =0 

nun   weiter  kein    Hinderniss    im  AVege.     Denn  wir   fuhren 
auf  die   eben   eeloste   Form   zurück,    indem  wir   z  gegen 
c  vertauschen.     Wir  erhalten  dadurch 

3     3£+_fli   «^    3c^+ffi.2c+q2         c^+oicHo2C+a3 _Q 

tie  beiden  Grossen  Ci  und  c  bestimmen  sich  aus  den  Be- 

Dgen 

3c +«1      ^       .  3cHfli.2c+aa  3 

=ü  und  « = — "T"' 

Ci  Ci»  4 


rstere  giebt 


c 3", 


lann  die  andere 


ibk&rzend 


iwir 


a^ 


"1  JL 


O.  Endlich  folgt 


14* 


204 


oder  abkürzend 


2» 


V^(^)" ' 


wenn 


*  =  ""^(^)'+^2^-^^^- 


Für  die  Gleichung 

gilt  demnach 

1  b 

y=co8  ^arccos 


\f(^r 


oder,  nachdem  man  einen  Bogen 

b 


y=:arccos 


^V(l')' 

gefunden  hat» 

Dieser  Ausdruck  erscheint  unter  imaginärer  Gestalt »   wen 
imaginär,  wenn  also 


oder  auch,  wenn 

6 


^V(l) 


>1 


20S 

•iden  Fällen  geben  wir  dem  ImaginlreD  die  Form  «-f/lV'-^ 
.  die  nfimliche  Umwandlang.    Da  oämiich 

— ^^=2cos-2"Cosrr — 2sin-^sm  j 

=  cos-7r-[(cosy  +  V^— lsiny)T  +  (cosy — V— lsiny)i] 

+  V*—  Isin  -TT-  [(cosy  +  V'— lsiny)i — (cosy — V^— Isiny)*]» 


ner 


^m' 


""' Y'~# ' 


lit  der  Ausdruck 


=-'h4' 


bt        2in  +  y 


3  <=°*     3 


ID 


i>fMQ'-m 


3  + cos -5 


+v^i-V"ßy-(t)*] 


^zi.,.^[^»+yrm.3(|yr 


a       _ 

3 


-V^I-VCT^I- 


M  die  drei  Wurzeln  der  allgemeinen  Gleichung  herTorgehen, 
iBan  statt  i  nach  und  nach  die  Zahlen  1,  2,  3  einsetzt  Von 


i 


den  .Wurzeln  ist  demnach  in  einem  der.  oben  genannten  F&ile  i 
eine  reell,  /lämiich  diejenige,  welche  manfQr  t=3  erhält  Sie 


■=-s'+vi+vGy-(ir 

7.  Um  das  nämliche  Verfahren  auf  eine  Gleichune  des  »t 
Grades  anwenden  zu  können ,  muss  vor  Allem  die  Reine  bekao 
sein ,  welche  cosny  durch  Cosinus  des  einfachen  Winkeis  y  ai 
drückt.    Wegen 

(cosydbV  — Isiny)"  =  cosny  +  V— Isinny 
hat  man 

*icosny=(cosy+V^— lsiny)"-f-  (cosy  —  V^lsiny)" 

indem  man  abkürzend 

M=  cosy + V" — 1  siny 
und 

V  =  cosy — V^—  1  siny 

setzt.    Da  nun 

2cosy=M  +  ü, 

so  wird  die  in^Frage  gestellte  Reihe  bekannt  sein,   nachdem 
Coeflizienten   a,  ü,  e...  der  Reihe 

(wf  r)"  +  «(m+ü)«-2  ^  ^(M-|-r)'»-4  + ...  +  k(u\-v)  =  ü^  + 1?» 

so  bestimmt  worden,  dass  dieser  identisch  Genüge  geschieht, 
nun  wegen  uv  =  l  das  Glied 

so   ergeben   sich    nach  und  nach  jene  Coeffizienten,    wenn  i 
um^^m  geordnet  worden,  und  die  Reihe  selbst  Ist: 


207 

(2co8y)*  —  «(2co8y)"-* 

iernach  löseo  wir  die  aligemeine  Gleichung 

ion   diese  so   beschaffen,    dass  sie   durch   Vertauschen   von 
i-  -^  gegen  y  sich  verwandelt  in : 

-«ijr-«  +  —  -2-  J'"^— ^ 273 3»"  «+.".-4=0, 

«m  bt  nod  6  beliebige  Grossen.    Denn  vertanscht  man  y  mit 
Y  — ,  80  geht  die  Gleicbuog  Ober  in 


"m 


i  man  erhält  daraus  auf  der  Stelle: 

:r:=2cos-  arccos 
n 


^¥ 


s,  nachdem  ein  Bogen 


b 
y  =  arccos rf==^' 

2' 


■^'i 


gefunden  ist^ 


-.2\/"^  —  2t»+  y 


^=:;5W    -=-COS  — - 

I  endlich 


208 


=2— -i-|.2\/  —cos - 

n        1   71  n 


Dieser  Wurzelausdruck    erscheint    unter    imaginärer  Ges 
wenn  V  -^  Imaginär,    wenn   al^o  6i    negativ,    oder  auch  v 


Hm 


>i. 


In  beiden  Fällen  bringen  wir  denselben  durch  die  folgende  R 
nung'aufdie  Form  a  +  j^V— J» 


Man  hat 


2cos *-  =  2cos — cos^ 2sm  —  sin — 

n  n         n  n         7i 

=  cos  —  I  (cosy  +V^— 1  siny)«  +  (cosy — V^— Isinj 
+  V— -Isin — I  (cosy+V^ — J  siny)«— (cosy — V^ — Isiny) 


Da  weiter 


cosy=: 


4  m ' 


^"'Y"<&"' 


so  verwandelt  sich  jener  Ausdruck 


2  =  --^+2\/  —cos -^ 


in 


99» 


V 


-i*'"^L\u^m-m- . 


n 


V  Rö)*-  C)"] 


n 


^^"■■'-üfi^^Q'-CiJ 


n 


-  VI + v^ar- (iri 


n  man  nach  und  nach  statt  i  dieWerthe  1,  2,  3...7t  zusetzen 
damit  alle  Wurzelwerthe  zum  Vorschein  kommen.  Der  erstere 
zelausdruck  giebt  nur  reelle  Wurzeln;  der  andere  nur  imagi- 
j  mit  Ausnahme  der  einzigen 


n 


=-S  4MQdHif 


n 


Q  n  eine  ungerade  Zahl  ist. 

Die  Formen  dieser  beiden  Auflösungen  mochten  im  ersten 
enblicke  als  sehr  verschieden  er^chemen.  Die  Aehnlichkeit 
M:ben  den  beiden  Auflösungen  ist  aber  augenfällig,  wenn  wir 
Bedeutung  einer  Wurzelgrösse  festhalten,  und  darnach 

er  der  jener  Bedeutung  entsprechenderen  Gestalt 

IMellen,  weil  dann  in  beiden  Aufl^iscingen 

1  1      -log 

cos  -arccos    und    £"   ° 
n 

einander  entsprechen. 

Der  letztere  Wurzelausdruck  lässt  sich  nach  und  nach  in  an- 

Formen  bringen ,  unter  denen  sich  diejenigen  durch  Einfach- 

aoszeichnen,    für    welche  n    irgend  eine  Potenz   von  2  ist. 

'  Umwandlung    kann    nämlich    im   Allgemeinen  ausgedrückt 

n  durch  die  Gleichung: 


sto 


+ 


I 


1 


-k 


211 


deren  zweiter  Theil  durch  Quadriren  des  ersten  Theils ,  und  dann 
Wiederausziehen  der  zweiten  Wurzel  hervorgeht.  Wenn  darin 
Torerst  «it=n»  und  n  eine  Potenz  von  2,  so  erhalten  wir  nach 
und  nach 


vl+V"(l)'-G'7+v^^V(i)-öJ 


&    Um  die  allgemeine  Gleichung  des  vierten  Grades 

'z*+aiz3+ 0222+ 032+04=0 

losen,   sehen  wir  sie  als  entstanden  an  durch  die  Multiplika- 
der  Faktoren 

(2«— Ci2-C)(2«  — rfl2— d). 

Vv betrachten  demnach  z^  als  die  Unbekannte,  für  welche  sich 
ie  beiden  Werthe  CiZ-^-c  und  cLz+d  ergeben  müssen.  Diese  bei- 
fa  Werthe  sind  die  Wurzeln  der  quadratischen  Gleichung 

2*+(Ol2-202H(i'+fl2)2«  +  a3*  +  «4=0, 

Hrin  z'  eine  noch  unbekannte  Grosse  vorstellt,  weil  nämlich  das 
weite  Glied  OiZ — z'  die  negative  Summe,  das  dritte  Glied 

(2'+aa)»*+a82+a4 

Im  Produkt  der  Wurzeln  Ciz+c  und  diz+d  vorstellt. 


212 

Man  erhält  übrigens  durch  Auflösen 


2« 


und  die  Grosse  2'  bestimmt  sich  aus  der  Bedingung^,  dass  < 
beiden  Wurzeln  z^  die  Gestalt  CiZ-{-c  und  eliz+tl  haben  niuss« 
was  zutrifft,  wenn 

oder 

ein  vollständiges  Quadrat  ist  in  Bezug  auf  i,  oder  wenn 

Aus  dieser  Bedingung  erhält  man  zur  Bestimmung  von  2'  c 
Gleichung 

2'» + fl22'a+  (difla— 4a4)2'+ ai2a4-4€raa4 + «3* =0 . 

Nachdem  man  ein  2'  bestimmt,  und  in  die  obige  Gleichung  eing 
setzt  bat,  geht  sie,  weil  dann 


:\  j(ax2- 


20M2'+^t)l*-ff32-ff4 


Über  in: 


oder,  indem  man  abkürzend 


yf(:^y-,-a^=5 


setzt,  in: 


T2;+flr3 


^'+(|±*>-^T^^=0. 


213 

Daraas  aber  erhalten  wir  die  rier  Wurzeln: 


V 

V 


4) 

"^      4 

Ol 

26 

1 

'^ 

,  «'-«a 

2 

:'+«3 

dche  Ansdriicte  keiner  Veränderung  mehr  bedürfen,  indem  unter 
en  drei  Werthen  z'  in  allen  Fällen  ein  solcher  vorkommt,  welcher 


G'/--«. 


seil  und  positiv  macht,  so  dass  unter  jenen  äussern  Wurzel- 
eichen  keine  imaginäre  Grösse  vorkommt.  Wenn  wir  nämlich 
ie  Gleichung 

t*+ 012^  +  ^22^+032  + 04=0 

urch  Multiplikation  der  Faktoren  2^— Cji — c  und  2^ — diz-^d  ent- 
tanden  ansehen,  so  ist 

nd  daher 


V2y  — *— ^2= — 4 cirfi  = 


1^  aber  stellt  die  Summe  zweier  Wurzeln  der  Gleichung  des  vier- 
ten Grades  vor,  dt  die  Summe  der  beiden  andern  Wurzeln;  und 
nie  immer  diese  Wurzeln  beschaffen  sein  mögen,  so  ist  doch  in 
iBen  Fällen  wenigstens    eine  Zusammenstellung  möglich^   welche 

^    und    dl    von     V — 1    frei    lässt.    Die   Wurzelgrösse 


V^ft-Y-..-.. 


kann  demDach  in  allen  Fällen  für  reell  gelten. 

Dass  die  Grosse  z'  aus  einer  kubii^chen  Gleichung  hervor- 
gehen müsse,  dies  konnte  vorausgesehen  werden.  Denn  eine  Glei< 
thoDg  des  vierten  Grades  lässt  sich  auf  dreierlei  Art  in  zwei  qua- 


i 


214 

dratische  Gleichungen  zerlegen,  indem  die  vierWurzelo  «,  ß^j, 
dnur  auf  ebenso  viele  Arten  in  Gruppen  von  je  zwei  vertheUtwe^ 
den  können.    Diese  drei  Gruppen  sind: 

aß,    yS, 
ay,    ßS, 

a8,    ßy. 

Aus  dieser  Betrachtungsweise  geht  hervor ,  dass  die  Zeri^ 
gung  in  zwei  Faktoren  für  Gleichungen  ^  welche  den  vierten  Grad 
übersteigen^  nicht  mehr  mit  Hülfe  einer  Gleichung  von  geringerem 
Grade  erlangt  werden  kann.  Denn  wollte  man  z.  ß.  die  GleicboDg 
des  sechsten  Grades 

in  die  beiden  Faktoren 

i^— Ca«^— Ci«— c    und    a^— c/a^^— rfi«— d 


%' 


zerlegen»  so  würden  wir  diese  Gleichung  anschreiben  unter  der 
Form : 

wir  würden  also  zwei  unbekannte  Grössen  »'  und  a"  einfübren, 
damit  die  Zulässigkelt  der  Wurzeln 

»3—^2^2^^12  +  0    und   z^=zd2,'^^i-diZ-l-d 

entstehe.  Allein  wollten  wir  nun  die  beiden  a'  und  a"  so  bestiffl- 
men,  dass  in  der  That  den  beiden  Wurzeln  a^  die  verlangte  Form 
zukommt,  so  würde  man  aut  Gleichungen  des  zehnten  Grades 
geführt 9  weil  eine  Gleichung  des  sechsten  Grades  auf  zehnfache 
Weise  in  zwei  Faktoren  des  dritten  Grades  zerlegt  werden  kann. 
Die  Vertheilung  der  sechs  Wurzeln  a,  |S...J  in  den  beiden  Fak» 
toren  würde  in  Folgendem  sich  darstellen : 

aßy  ,  8eS,  1.  ays  ,  ßd^,     6. 

aßd  ,  ye^y  2.  ayl  ,  ßhz,    7. 

aßt  ,  y^S,  3.  aäa  ,  /JyC,     8. 

^ßl  9  7^««  4.  «dS  ,  ßyt,     9. 

ayd  ,  ßB^y  6.  «ff  ,  ßy8.  10. 


215 

9.  Indem  wir  die  bisherigen  AufloAmgeweisen  mit  eioander 
trbiodeD,  können  die  B'edingungen,  unter  welchen  die  Gleichung 
»8  fiten  Grades  mittels  algebraischer,  logarithmischer  und  trigo- 
imetrischer  Funktionen  auflusbar  ist,  noch  etwas  erweitert  wer* 
m.    Wir  bestimmen  nämlich  die  Wurzeln  der  Gleichungen 

ä2»  -f  aiÄ"  +  02=0, 

»3«+aia*»  +  a2«"  f  cra=0  u.  s.  w.; 

mn,  nachdem  man  die  Wurzeln  »"  dieser  Gleichungen  aufgefun- 
Hk,  bleibt  im  allgemeinsten  Falle  die  Lösung  einer  Gleichung 

(ese  Gleichung  kann  aber  angeschrieben  werden  unter 

»«=  VaH^(cos(2i«+y)+ V^sin(2w+y)) , 

rorint  irgend  eine  ganze  Zahl  vorstellt,  und  y  einen  Bogen,  dessen 
Wnus  gleich  77=====,  und  dessen  Sinus  gleich  77:===:^  •  Denn 
■  ist 

cos(2t^ + y) = cosy 
nd 

Kese  Form  aber  liefert  ohne  Weiteres  die  n  Wurzelwerthe. 
Re  sind: 

hn  erhebt  man  beiderseits  zur  nten  Potenz,  so  kehrt  die  letz- 
Ine  Gleichang  znrfick,  weil 


=co8(2i7r  +  y)+V^— 1  sin(2{7C  +  y) . 


i     Die  n  Wurzelwerthe  kommen  zum  Vorschein ,  wenn  man  statt 
(.Bich  und  nach  die  Werthe  1,  2,  3...»  einsetzt. 

10.    Wir  lusen  endlich  die  Gleichungen 
2cos2ita:  +  cii.2cosnd? + ^a = 0, 
2cos!3nx+ai.2co82nX'i-a2'^cosnx-{'as=0,  u.  s.  w.; 
■ttin  die  folgenden  Abkürzungen  vorgenommen  sind: 


216 

icos2nx 

a      t    «    «     *i^2w-3   „    ^       6,3  (2w— 4)(2n— 5)  ^    ^, 
Oi^        +2»     2  (2m)2  2.3  ^• 

2cos  Sno; 

^»  +aw      2  (3w;5a  2.3  + 

Denn  diese  Gleichungen  vom  Grade  2n,  Sn  u.  s.  w.  verwandeli 
sieh  wegen 

co82wa:=:2cos*iia:—  l , 

cos3n:r=4cos^wa:— 3cosn:r,  u.  s*  w. 

bezüglich  !o  die  Gleichungen  des  zweiten  ^  dritten  n.  s.  w.  Grades: 

(2cosna:)^+ai.2cosna;  +  0^ — 2=0, 

(2coswa:)3  +  ai(2cosn.T)^+(o2 — 3).2coswa:+03 — 2iri=0. 

Nachdem  aber  die  Wurzeln  2cosw:i:  der  letztern  Gleichungen  be- 
stimmt sind,  bleibt,  da  jene  im  Allgemeinen  die  Form  a-i-ßV-l 
haben ^  eine  Gleichung 

^      ^^  ^  n      2  n'-         2.3  "        +  •- 

deren  Losung  nach  dem  Früheren  die  Form 

=2i/  -*  cos  (2i;ri —  arc  cos  — -         —  1 

darbietet;  und  die  weitere  Aufgabe  besteht  darin,  diesen  Wurzel- 
ausdruck   in  allen  Fällen  unter  die  Form  Ä-\^B\^ — l  zu  bringen. 

In  dieser  Absiebt  betrachten  wir  den  Bogen,  dessen  Cosinus  gleicli 

4'& 


% 


als  die  Samme  d^r  Bog^^n  y  und.  d,  und.  bestinimen  beide  Bo- 
80,  dass  die  Gleichung  ' 


h  das  Bestehen  der  beiden  Gleichungen 


/ 


cosycos5=- 

■      '      .2 


a 


sf&y 


sinvsinj  = \-r      .     • 


vreo" 


«digt  ist.    Aus  diesen  erhält  man  aber  die  neuen  t 

cos*y.cos^5  = — ^.  ;^      1. 

4 


m 


<l-cos»y)(l-co*«5)=-yg^.    ....^.,....    2. 


dorch  deren  Subtrahiren  eine  dritte: 

cos^  +  cos^S=-^  +  -^,+l,     3. 

^  in  Verbindung  mit  der  ersten  unmittelbar  die  quadratische 
iung 

lestimmung  von  2cos^7   und  2cos^d  liefert.    Diese  Grössen 


\nn.  15 


218 


"^^W'iW 


Vir       «•  ß^  T**        a«      ' 


2cos«J-    ,.'^,  _  +  — tA . 


(^y  <^)' 


Daraus  gehen  wieder  hervor: 


■Y 


r  "    I    ^    -iT-i-  '^  ' 


weil  nämlich  die  beiden  Ausdrücke: 


and 


219 

61 N» 


(I) 


-ij+ 


/J' 


©)' 


ider  identisch  sind. 


Nachdem  so  die  Bogen   /  und  d  n.lher    bekannt   geworden^. 
'  dieselben  einzuführen  in  den  Wurzelausdruck 


=^v?- 


cos 


2i7f-\-y-\-ö' 


n 


inen 


Eine   genauere  Betrachtung   der   obigen  Ausdrucke  lässt  uns 
,    dass  för  ein  positives  (-^)     ebensowohl    cos^    als 

anter  allen  Umständen  positiv  bleibt,  dass  also  cos/  und 
b/ reelle  Bedeutung  haben;  dass  aber  siu^ö  stets  negativ,  uäh- 
|m  cos^8  positiv  isüt,    dass  also   cosd  und  sind  imaginäre  Grus* 

vorstellen.     Um   dem   Imaginären   die   gewünschte    Form   au 

lü,  setzen  wir,  wie  schon  Irüher: 

8  , 1  * 

'     2cos-=(cosJ+V---Isind)"  +  (cosd— V^I  sind)«, 

I 
ß  1  1 

SV— Isin  ^=(cosd+V^  sind)»— (cosd—V^  sind)«; 


M  erhalten  somit  aus 

2  =  2V  —  1  cos cos sin am  —  I 

V    n  L.  H  n  n  nj 


ki  gesuchten  Wurzelausdruck  unter  der  Form 

in  die  Bedeutungen  von  A  und  B  hervorgehen  aus  den  Be- 
in 


15* 


220 

+v'((j)"+(i;+©T-e)-- 
+V((i)-+0y- (!)■;+ Kl)"-    ■ 

Wenn  jedoch   —   einen  negativen  Werth  erhält  >  so  erkeni 

wir,  dass  umgekehrt  cos*5  und  s\n^ö  beide  positive  Werthe,  a 
zngleich  reelle  Bedeutung  annehmen;  dass  aber  sln^y  negi 
bleiht,  während  cos^  stets  positiv.    Weil  demoach  für   ein  ne 

~  1    der  Winkel  y  eine  imaginäre  Bedeutung  erhält, 
Beizen  ivir:     • 

1  1 


2  cos  *-  =  (cosy+ V^ — lsiny)*+(cosy— V  — 1  siny)" 


und 


2\^^  sin  ^ =(cosy+ V  — Isiny)»— (cosy — V  — -1  siny )" ; 


n 
und  erhalten  aus 


oi/^r       2i7r+d        y         ,    2m+d   .    y  "1 
2=21/       I  cos cos^^ sm sm  —  1 

den  gesuchten  Wurzelausdruck  unter  der  Form 


n  n 


Z=:COS 


.j^tirVV4^+,Vf'+VVr¥-f§] 


n 


worin  Ax  und  ßj  die  folgenden  Bedeutungen  haben: 


221 


*iV 


Wenn  /?=0>  so  geht  der  erstere  Wurzelausdruck  ftir  ein  po- 
—  )    wieder  über  in 


2  =  2V   -^-cos ^r 

In  n 


m 


a 
co8y  = 


v©-  ■ 


0X  <  m-' 


wenn 


^V(^)" 


<i. 


bt  dagegen 


"     >i. 


V(^)" 


Mrwandelt  sich  der  erstere  Wurzelausdruck  in 


• 


222 


a 


~ )  aber  g 
jS  =  0  in  allen  Fällen  in  den  letzteren  über. 

11.  Dies  mögte  wohl  Alles  sein,  was  uns  algebraische 
rithmische  und  Irigononietrische  Funktionen  über  die  An 
algebraischer  Gleichungen  geben  können.  Eine  allgemeine  ] 
ist  darnach  nur  für  die  Gleichungen  des  zweiten ,  dritten  ui 
ten  Grades  möglich:  alle  höhern  Gleichungen  aber  bleiber 
löst,  wenn  deren  Glieder  nicht  besondere  Bedingungen  eii 
Nun  müssen  aber,  was  die  Auflösung  der  Gleichungen  mi 
Unbekannten  betrifft,  noch  die  Untersuchungen  angereiht  v 
darüber,  wie  man  den  Grad  einer  Gleichung  vermindert. 


223 

le  Beziehung  zwischen  zwei  oder  mehreren  Wurzeln  derselben 
kannt  int. 

Vorerst  haben  wir  dabei  die  Frage  zu  beantworten,  wie  sich 
Be  Wurzel  bestimmen  iSsj^t,  welche  den  beiden  Gleichongen 

as"  +  ai«»-i+ <ia*"~*  +  • .  +  a«=0 
id 

ezflgfick  Tom  nten  und  mten  Grade  gemeinsam  ist. 

Indem  wir  beachten ,  dass  z  in  beiden  Gleichungen  als  die 
fWiche  Grosse  angesehen  werden  kann,  können  wir  durch  Eli- 
ibatioD  der  höchsten  Potenzen  von  z  zwei  andere  Gleichungen 
iUen,  welche  in  Bezng  auf  das  gemeinsame  fragliche  z  von  ge- 
pgerem  Grade  sind. 

■ 

Um  dies  deutlicher  zu  zeigen,  nehmen  wir  beispielweise 
liSfi-f-3  an,  sodass  die  obigen  Gleichungen  dargestellt  sind  in: 

a«*  +  iiiz*^*+a2»*~*  +  -.. +  fl«=0 ^ 1. 

62H-2  +  6i2«+i-f62z«  +  ...+ft„+,=0.     .^ 2. 

mnitipliziren  die  erste  mit  bz^,    die  andere  mit  a,  durch  Ab- 
entoteht  dann  die  Gleichung  vom  (n-|-l)ten  Grade: 

(«x6— a6i)2«+*  +  (cra6— «*2)2'*  +  --  — «&n+a=0 3. 

Fffon  jedoch  a  und  b  einen  gemeinsamen  Faktor  haben,  so  dass 

"lo'tt  lind  b=b*n,    so  multipliziren  wir  die  obigen  Gleichungen 

flglicb  nur  mit  b'z^  und  a\  weil  wir  im  andern  JFalle  der  neuen 

mng  des  (n-|-l)ten  Grades  den  gemeinsamen  Faktor  fi  gäben. 

L    Eine  Gleichung  vom  (n-f  l)ten  Grade  erlangen  wir  auch  durch 
DniBafion  von  ^.    Diese  wäre: 

3. 

Dnrcli  Elimination  von  d"+^  aus  t.  und  3.  leiten  wir  aber  eine 
long  4.  her,  in  welcher  n  der  höchste  Exponent  von  %  ist. 

Wenn  aliso  zwei  Gleichungen  vom  nten  und  tnten  Grade  ge- 
rn sind,  80  leiten  wir  auf  dem  bezeichneten  Wege  eine  zweite 
lg  vom  nten  Grade  her,  so  dass  nun  vorliegen : 


o»«+ai»»-i+iia*''"H-..+««=0 


I 


22« 

und-.  .  ..  *■  "    ■    .      ,.  ■..»■,.        ,."■.  .  .'•  i! 

Diese .«btr  geben,  Todem  man  das  einemal  t^,    das  anderem; 
eliminirty  ein   anderes  System  Gleichungen  vom  (n-|-])ten  Gr 

(«1  c  —  aci)a»*-^ + {a^c  —  «02)2""*^  + +  OnC  —  acn = 0 

und  *  .  ; 

Man  könnte  aneh,- nachdem  die  eine  Gleichnng  diese«  Sys' 
gevfonneh,  sogleich  diesemit  einer  des  vorhei^hended  Sy^ 
zur  Elimination  von  ^9  oder  2"  verbinden,  lim:  die  zi^Vite ^ 
chung  dieses  Systems  zu  erhalten.  Man  wird  das  eine  oder 
andere  Verfahren  einschlagen,  jenachdem  eine  kürzere  Rechi 
dieselben  empfiehlt. 

Es  ist  einleuchtend,    dass  man,    so  fortfahrend,  -endlich 

System  von  Gleichungen  erhält,  in  welchen  2  nur  auf  dem  ei 
Grade  vorkommt*  Dasjenige  a,  welches  gleichzeitig  den  urspi 
liehen   Gleichunjjen   vom    wten  oder  mten  Grade  genügt,     ge 
zugleich  allen  Gleichungen,   welche  aus  diesen  beiden  hergel 
worden  sind.    Es  genügt  daher  auch  den  Gleichungen  des  lel 
Systems    vom   ersten   Grade.     Da  diese   aber  überhaupt  nur 
Vt'urzel  enthalten,    so  werden  sie  identisch  sein,    und  jenes 
durch   dieselben   bekannt.     Wenn  die  ursprünglichen  GleicHu 
zwei   Wurzeln    gemeinsam    enthalten,     so    werden  diese  iden 
sein  mit  (\en  Wurzeln  desjenigen  Sy4?tenis,  in  welchem  z  auf 
zweiten  Grade  vorkommt;    und  dessen  Gleichungen  werden  < 
selbst  identisch  sein.     Aehnüches    gilt    für    eine   grössere  Ar 
gemeinsamer  Wurzeln.     Umgekehrt  lehrt  uns  diese  Untersuch 
dass  in  zwei  Gleichungen  von  höherem  Grade  eine,  zwei  u. 
Wurzeln  gemeinsam  sind,  wenn  die  Gleichungen  des  letzten, 
letzten  u.  s.  w.  Systems  identisch  sind. 

Der  Einfachheit   halber  nehmen  wir  ein  Beispiel  vor,  in 
ehern  die  Coefüzienten  von  z  durch  Zahlen  vertreten  sind. 

Die  Gleichungen 

20-24  +  423  —  422-1-42  —  4  =  0 1. 

und 

52^— 42Hl-22-^— 82  +  4=0  2. 

geben  durch  Elimination  von   2^  die  Gleichung 

24+423  +  82-4  =  0     3. 


225 

und  auti  dem  ersten  Systeme  1.  und  3.  erhält  man  nach  einander 
die  beiden  Systeme : 


=  0. 


22  +  2^0^ 
22  +  2=0^    ' 

Die  gemeinsamen  Wurzeln  sind  demnach  z=JhV^2, 

Die  Bestimmunsj  einer  oder  mehrer  Wurzeln,  welche  einer 
beliebigen  Anzahl  Gleichungen! boherehGrades  gemeinsam  zukom- 
men, ist  hiernach  keinen  weitern  Schwierigkeiten  unterworfen. 
Man  setzt  nämlich  an  die  Stelle  zweier  Gleichungen,  am  vortheil- 
baftesten  der  beiden  Gleichungen  des  niedersten  Grades,  jene  an- 
dere,  welche  deren  gemeinsame  Wurzeln  enthält.  Diese  wieder 
III  Verbindung  gebracht  mit  einer  dritten  der  vorliegenden  Glei- 
chungen lässt  sich  auf  die  nämliche  W^eise  behandeln,  und  man 
vermindert  so  immer  mehr  die  Anzahl  der  Gleichungen.  Die  ge- 
meinsamen Wurzeln  des  letzten  Gleicbungenpaares  kommeo  dann 
auch  allen  übrigen  Gleichungen  zu. 

12.  Wenn  nun  eine  Beziehung  bekannt  ist,  welche  zwei  oder 
mehrere  Wurzeln  einer  Gleichung  verbindet,  so  ist  man  stets  im 
Stande  eine  zweite  (Gleichung  herzuleiten,  welche  mit  der  ursprüng- 
lichen eine  oder  mehre  Wurzeln  gemein  hat,  die  dann  nach  dem 
Vorhergehenden  gefunden  werden.  Wir  betrachten  hier  mehr  bei- 
spielweise die  einfachste  Beziehung,  durch  welche  zwei  Grössen 
mit  einander  verglichen  werden*  können.  Wir  nehmen  an,  dass 
zwei  oder  mehre  Wurzeln  der  Gleichung 

ö2"  +  Oi2"-i  +  €r2*""^  +  - •  +a«=0  1. 

ID  dem  Verhältnisse  1:6  zu  einander  stehen. 

W^enn  a  eine  Wurzel"dieser  Gleichung,  so  ist  hiernach  auch 
to  4^1110  Wurzel;  und  man  bat  zur  Bestimmung  desjenigen  x,  für 
welches  eine  andere  Wurzel  öz  besteht,  die  zweite  Gleichung 

'      a6»i"f  c^6«-^2«-*  +  ffjj6«-V--2+ ....  |-€r„=0 2. 

fl 

Wenn  nun  die  erstere  Gleichung  p  Wurzein  2~  a  und  y  Wur- 
zeln z=:öa  enthält,  so  mus«;  die  andere  q  W'urzeln  a  enthalten; 
and  beiden  gemeinsam  müssen  /?  oder  q  Wurzeln  zzzza  sein,  je- 
nacbdern  pöder  q  die  kleinere  Anzahl  vorstellt.  Man  erhält  diese 
durch  die  allmählige  Bildung  jener  verschiedenen  Systeme.  Das 
nächste  System   wäre: 


226 

und 

cri(6  -  l)6«-i2"-i  +  #ra(Ä«— 1)6«- V-«  +  «,(6»— l)*—»««-»  + 

....  +  a«(6»-.l)=:0. 
Es  sei  z.  B.  bekannt,  dass  die  Gleichung 

Wurzeln  enthält,    welche  in  dem  Verhältnisse  1:2  zu   einaDder 
stehen.    Ua  nach  dem  Obigen  6=2,  so  hat  man: 

1528  +  722—31+5=0. 

4,»_62a+352  +  4ö=05' 

II82*— 5372—655=0^ 
1312« +69s— 62  =  0^' 

2+1=0. 
2  +  1=0^ 

daher  kommen   die  Wurzeln  2  =  —  1  und  2= — 2  vor. 
Für  die  Gleichung 

24+62» -292«+ 122+ 12=0 
sei  6= — 3  bekannt.    Man  findet  dann  die  System« 

6023-422«-582  — 12=0i 
54i3 — 174x2 + 84s + 80  =:=  0  ^  * 

32« -32  — 2=03 
32«— 32-2  =  0^' 

Die  beiden  Wurzeln  der  Gleichung 

3.2_32_2  =  a 

sind  demnach  mit  — 3  zu  multipliziren,  und  man  kennt  die  vier 
Wurzeln  der  obigen  Gleichung. 

13.  Wenn  6  in  — 1  übergeht,  so  verdoppelt  sich  die  Anzabl* 
der  in  beiden  Gleichnngen  eines  Systems  gemeinsamen  Wurzeln. 
Denn  wenn  die  Gleichung 

02«  +  OiZ'^-^  +  fla:"-«  + ....  +  «r„  =  0 

p  Wurzeln  a,  und  (j  Wurzeln  —cc  hat^  so  kommender  GleichuDg 

ab^zn  +  ai6»-i2"-i  +  aaö"""^^""'^  +  ••••  +  flii=0 

für  6=  —  1,  q  W^urzeln  a  und  p  Wurzeln  —  a  zu.  Gemeinsam 
werden  demnach  sein  p  oder  q  Wurzeln  a ,  je  nachdem  p  oder  f 
die  kleinere  Anzahl  vorstellt ,  und  eben  so  viele  Wurzein  —  a. 


227 

Die  Gleichang 

I.  B.  giebt  als  erstes  System  die  beideo  identischen  Gleichungen 

2x4 +  2« -6=0. 
2z4  +  sa_6=0. 

Wenn  alle  positive  Wurzeln  einer  Gleichung  auch  mit  dem  nega- 
üven  Zeichen  als  Wurzela  vorkommen,  vrenn  also  die  Gleichung 
nur  gerade  Potenzen  von  z  enthält,  so  kann  dieselbe  nach  dem 
eben  eingeschlagenen  Verfahren  nicht  mehr  auf  einen  niederen 
Grad  gebracht  werden.  Wenn  man  aber  z^  mit  y  vertauscht,  so 
kommt  der  Grad  der  Gleichung  auf  die  Hälfte*  herab.  Auf  diese 
Weise  föbrt  man  die  Gleichung 

2z4+z«— 6=0 

über  in 

Wenn  6=1,  wenn  also  gleiche  Wurzeln  vorhanden  sind,   so 
werden  die  Gleichungen  des  nächsten  Systems  In  der  Form : 

a{b»  -  l)z*-i  +  ai(6«-i— l):«-a  +  GaC*""^  - 1)*"""'  + 

+  <i«^i(6-l)=0, 

«i(*  - 1)  (bz)»-^ + a^ib^ — 1)  (6z)«-«  +  a^(b^  —  1)  (iz)'«-^  ^ 

+  a„(6»— 1)=0 

nnbranchbar,  weil  durch  Einsetzen  von  6=1  alle  Glieder  in  Mull 
ibergehen.    Wenn  wir  aber  erwägen,  dass 

so  flSbren  wir  jene  Gleichungen,  nachdem  man  aus  beiden  den 
Mmeinsamen  Faktor  6  —  1  gestrichen  hat,  über  in  die  folgenden 
Formen: 

noz«-*  +  (n— l)fliZ«-2  +  (n-2)fl2Z«-8+  •"  +  on-i  =0 
md 

öl«"-*  +  2iia2"~*  +  Sagz"-'  + ....  +  «cr„=0. 

•Um  non  die  obige  Betrachtung  über  die  Gemeinschaft  der  in 
diesen  beiden  Gleichungen  vorkommenden  Wurzeln  auch  hier  in 
Anwendang  bringen  za  kunnen,  stellen   wir  uns  vor,  irgend  ein 


228 

Verhältniss  b  zwischen  zweien  Wurzeln  Ser  vorliegenden  Glei- 
chung sei  in  die  Einheit  übergegangen;  und  wenn  viele  gleiche 
Wurzeln  vorkommen,  so  stellen  wir  uns  vor,  jede  einzelne  dieser 
gleichen  Wurzeln  sei  aus  einem  andern  Verhältnisse  zu  irgend 
einer  a  unter  ihnen  in  das  Verhältniss  der  Einheit  übergegangen. - 
'  Wenn  aber  zwei  Wurzeln  a  und  ß  in  einem  Verhältnisse  6  zu 
einander  stehen,  so  dass  a6  =  j3,  wenn  zwischen  den  Wurzeln  a 
und  y  die  Beziehung  ab*=^y  besteht,  zwischen  den  Wurzeln  a 
und  0  die  Beziehung  «6"=^  u.  s.  w.,  so  werden  die  Gleichun- 
gen eines  Systems  die  Wurzel  ß  oder  y  oder  8  gemeinsam  haben, 
je  nachdem  man  das  Verhältniss  />,  b'  oder  b*'  gelten  lässt.  Wenn 
nun  aber  die  Verhältnisse  6,  b*,  b'\,.  gleichzeitig  in  1  übergehen» 
und  man  also  wegen  der  Annahme  6=1  gleichzeitig  die  Verhält- 
nisse 6,  b',  b** .,.  gelten  lässt,  so  müssen  die  beiden  Gleichungen 
eines  der  obigen  iSysteme  gleichzeitig  die  un<;leichen  Wurzeln  ß, 

y,  8 in    sich    aufnehmen.    Wenn  demnach   eine  Gleichung  m 

gleiche  Wurzeln  enthält,  so  kommen  deren  m— •!  den  GleichungeD 

ai««-*  +  2a22«-2^3fl32n-3^  .^,  ^  wa„=0 

gemeinschaftlich  zu. 
Es  sei  z.  B. 

Man  erhält  daraus  nach  und  nach  die  Systeme: 


22^4z  +  4z=:0^* 


Da  nun  die  Gleichung 


i'^— 4^+4  =  0 


die  Wurzel   2=  —  2  zweimal   enthält,    so  kommt  diese  in  der  ur- 
sprünglichen dreimal  vor. 

14.     Wenn  unter  den  Wurzeln  der  Gleichung 

02«  +  flri2'»-i  +  a2-""'^+ +  «n=  0 

solche  vorkommen,   welche  bezüglich  durch  z  und  —  sich  ausdrü- 

cken,  worin  b  eine  bekannte  Grösse ,  so  ergeben  sich  diese  mittels 
eiber  zweiten  Gleichung 


229 

Kommen  p  Wurzeln  a  und  9  Wurzeln  —  vor,  so  kommen  jenen 

xwei  Gleichungen  p  oder  q  Wurzeln  a  gemeinsam  zu,  je  nach- 
dem />  oder  q  die  Kleinere  x\nzahl,  und  man  gelangt  endlich  zu 
einem  System,  welches  nur  diese  Wurzeln  enthält.  Für  den  Fall 
6=1  aber  sind  gemeinsam  /?  oder  q  Wurzeln  a,  und  ebensovieie 

Wurzeln  —  ^    so  dass  der  Grad  der  Gleichung,    aus  welcher  sich 

diese  bestimmen,  doppelt  so  gross  ist  als  vorher.  Dasselbe  gilt 
für  6=— 1. 

Für 

ist  &  =  «-l  gegeben,  und  man  erhält  hieraus  und  aus 

jö  _  1223  _42a__j_|.  1=^0 
die  nächsten  Systeme: 

23_222— 16z+5=0r 

22  +  32— 1  =  0j 
2a  +  32-l  =  0r 

Die  Wurzeln  a,  und  — ^~    ergeben  sich  also  aus 

2^  +  32-1=0. 


1 


Wenn  zu  jeder  Wurzel  a  einer  Gleichung  auch  eine  Wurzel 
--  gehört«  wenn  also  die  Gleichung  ungeändert  bleibt,  indem  man 

darin  %  mit  —  vertauscht,   so  vermindern  wir  den  Grad  der  Glei- 

z 

chnng  auf  eine  andere  Weise.    Sie  erscheint  unter  der  Form : 

112"  + «12»-^  +  flra:»-2 _|.  _  .^  ^^j2 _j.  „jj  ^ a-_ 0, 

und  wenn  n   ungeradje,    so  crenögt  offenbar   als  Wurzel  2=  — 1. 
Dorch  Dividiren  mittels  z+1  bleibt  also  stets  eine  andere  zurück, 

irorin  n  gerade.    Wenn  zu  jeder  Wurzel  a  eine  Wurzel ge- 

terty  so  gilt  die  nämliche  Bemerkung.     Für  ein  ungerades  n  lässt 


230 

sich  dann  aber  der  Faktor  x — 1  abscheiden ,  weil  2=1  eine  War- 
ze! ist«  und  es  bleibt  wiederum  reine  andere  Gleichung,  worin  n 
gerade.  Diese  beiden  Gleichungen,  welche  durch  Division  mittels 
z — 1  und  z-f-1  entstanden,  können  dargestellt  werden  unter  den 
Formen: 

?-i  ? 

a(2«+l)+fli2(«»-2dtl)  + +  «r«    2*    (2*±l)  +  ai.i*  =  0, 

wenn  n  =  4{,  und  i  eine  ungerade  Zahl,    und  unter  den  Formen: 

**— 1  * 

a(2«  ±  1)  +  012(1"-«+ 1)  + ...  +  o»    2«    (22±l)+««2^=0, 

5-1  2 

wenn  n  =  2i.  Da  weiter  je  zwei  Wurzeln  dieser  Gleichungen  zum 
Produkte  ±1  haben,  deren  Summe  y  aber  unbekannt  ist,  so  las- 
sen sich  dieselben  in  Faktoren  von  der  Form 

zerlegen;  und  die  Elimination  von  2  mittels 

muss  auf  eine  neue  Gleichung  ftihren ,  welche  in  Bezug  auf  y 
vom  Grade  0-  ist.  Die  Elimination  selbst  fuhren  wir  am  vortheii- 
haßesten  aus  mit  Hülfe  der  beiden  Beziehungen: 

^  (2«-2  ±  1)  (22  +  1)  =2«  +  1  +  (2"-4  +  1)2« 

und 

(2«-2  + 1)  (22  4-  1)  =  2«  4. 1  4-  (2«-4  4.  1)^2  ^ 

von  denen  die  erstere  für  n=-ii,  die  andere  für  n  =  2i  Geltung 
hat.    Wegen  22+1  =  ^2  entsteht  dann  nach  und  nach: 

24+1  =  (3^2  :j:c2)^2, 

28+1  =(2^4+^4.9)24, 

2W+l  =  (3^ö  +  5^3  +  5^)2Ö   U.    S.    W. 

So  verwandelt  sich  die  Gleichung 

624  +  3523 + 62x2  +  352  +  6 = 0 
in  die  Gleichung  des  zweiten  Grades 


«(j»-2)  +  ;i5y+fi-2=zÜ, 


()(,*+ 33^ +  50=0. 


15.  Zur  VervoUstBndigim^  unserer  Betrachtungen  bleibt  tincli 
■lie  Bestimmung  von  'iwei  und  melir  L'nbektinnten  aus  eben  so  vie- 
len Gleichungen  eines  hiiheren  Graden.  Die  Aufgabe,  zwei  Un- 
belcnnnle  :  und  y,  die  unter  einander  geniengt  in  zwei  Gleichun- 
ceii  »-on  hüherem  Grade  vorkommen,  «o  zu  bestimmen,  dass  sie 
beiden  Gleichungen  Genfige  leisfen  ,  lässt  sich  zurückluhren  auf 
die  Reelimmitng  einer  Unbekannten  aus  einer  Gleichung.  Denn 
wenn  wir  die  beiden  Gleichungen  vorstellen  durch; 


y(:''  +  J,i"-»  +  Jei'-a  +  .,..+J„=0  .. 


ß;'"  +  iS,:">->  +  Äii'"- 


..  +  ßw.  =  0.   . 


nrin  A,  Af.B ,  Bi-...  verschiedene  Potenzen  der  andern  ün- 
leUannten  y  enthalten,  so  kiinnen  wir  durch  Elimination  der  ver- 
'■^cliiedenen  Potenuen  von  i  dieses  System  nach  und  nach  in  andere 
iiiterführen,  in  welchen  der  Grad  von  i  immer  niederer  ist.  Wir 
gelangen  endlich  durch  Elimination  von  z  aus  denjenigen  zwei 
Gleichungen  ,  in  welchen  dieses  nur  auf  dem  ersten  Grade  vor- 
kommt, zu  einem  Verhalten,  das  frei  ist  von  t,  und  wel{:hes  alle 
diejenigen  Werthe  y  als  Wurzeln  enthalt,  Rir  welche  es  ein  oder 
mehrere  Werthe  i  giebt,  die  gleichzeitig  mit  einem  jener  y  den 
beiden  ursprünglichen  Gleichungen  genügen.  Man  könnte  also 
nnch  und  nach  diese  Wurzeln  »  in  die  Gleichungen  1.  und  2.  ein- 
setzen ,  und  dann  diejenigen  :  fiestimmen,  welche  diesen  beiden 
so  verwandelten  Gleirhnngen  gemeinsam  sind.  Allein  so  wfirden 
nns  nur  mancherlei  Cmtvege  ans  Ziel  bringen.  Vortheilhafter  wpr- 
Jen  wir  nach  folgendem  Plane  die  zusammen  gehörigen  Wertht 
y  und    t  erhalten. 

Wir  scheiden  vor  Allem  den  gemeinsamen  Faktor  der  Glieder 
A.  Af  ....B,  Bi....  ab.  Diejenigen  y,  welche  denselben  auf  Null 
bringen,  genügen  beiden  Gleichungen  1.  und  '2.  unabhängig  von 
einem  Iiestimmten  z.  Die  solchen  y  entsprechenden  2  bleiben  dem- 
nach gnnK  willktihrlich.  Wenn  nur  die  eine  der  Gleichungen  1.  und 
S.  einen  solchen  Faktor  hat,  so  giebt  die  andere,  wenn  man  statt 
nach  and  nach  die  jenen  Faktor  auf  Null  bringenden  Werthe 
'tt,  die  entsprechenden  :.  Deren  Anzahl  kommt  also  dem  hrich- 
&ponenten    gleich,    mit  welchem  z   in  der  letztem  behaftet 


[^Hierauf  leiten  wir  durch  Elimination  einer  Potenz  vor 
;  Gleichung  ab,  ganz  so,  »ie  dies  geschehen  nius 
UDd  nach  j  zu  eliminiren,  scheiden  aber  den  gemei 
,  welcher  nur  y  enthalt,  sogleich  ab.     Da  dessen  W 


232 

y  die  letzte  Gleichung  identisch  auf  Null  bringen,  so  schliessen 
wir,  dass  durch  die  nämlichen  VVerihe  y  die  beiden  Gleichungen 
1.  und  2.  identisch  sein  müssen.  Diese  geben  dann  die  gleichzei- 
tig entsprechenden  Werthe  z.  Auf  diese  Weise  fahren  wir  fort, 
die  durch  Elimination  der  verschied'ehen  Potenzen  zon  z  entste- 
henden Gleichungen  von  ihren  Faktoren  in  y  zu  befreien,  wobei 
dann  die  solchen  y  entsprechenden  %  immer  aus  denjenigen  bei- 
den. Gleichungen  hervorgehen,  welche  die  letztere  mit  jenem  Fak- 
tor von  y  behaftete  Gleichung  lieferten,  indem  diese  durch  Ein* 
setzen  des  bezüglichen  y  beide  identisch  werden.  Pie  letzte  Be- 
ziehung endlich,  in  welcher  kein  z  mehr  vorkoöimt,  giebt  dann 
noch  oiejenigen  Werthe  y^  welchen  nur  ein  einziges  x  gleichzei- 
tig entspricht,  das  man  aus  der  Gleichung  des  letzten  Systeme« 
herleitet,  worin  z  nur  auf  dem  ersten  Grade  vorkommt. 


L    Es  seien 
Daraus : 


|j 


(2^^  +  3)z-(3^2-%=0f    —  ^• 

y4_8y2_9^0.    3. 

Aus  3.  erhält  man  die  Werthe  y ,  und  aus  2.  dann  die  zuge 
hurigen  z. 


2.     Es  seien: 


2^+2^ — yz  —  y'^^.i)  \ 


Daraus : 


f 


(%+l)22_yz  — 2^«=0.    2. 

(16^2-23,-1):  +  (8/-63,-l)y  =  OJ 
(82,2-6^-1)2 +  (%-l)y=0  i    '*• 

3,(42/3_t2i,2+33,  +  l)=0 4. 

Die  Gleichung  4.  giel)t  die  Werthe  y  und  eine  der  Gleichuagen  3. 
die  zugehörigen  z, 

22  +  (y-3)2+y2_3yH-2=0| 


Daraus : 


(y-l)z-2y  +  2=0 2. 


23» 

sgen  des  gemeinsamen  Faktors  y—l  genügt  dieser  Gteichung 
and  man  erhält  das  zugehörige  z  aas  z^ — ^2z=0.  Die  Ver* 
f  von  2  —2=0  mit  l  giebt  ;y*— y=0,  woraus  9=0»  dem 
2=2  entspricht. 

««  +  2(y+l)i  +  yH2»=0, 1. 


%-4)i«-2(y2-73^+4)»+2^5-6j^«  +  8y=0 3. 

n  Gleichungen  1.  und  3.   erhalten  wir  dann 

3y(y-l)«--Fy^+V-4y=0 4. 


fe6ieiiitani}r  Fa^9f^wt^l),«fehi  4*P  W#fÜ|0 -yssi»  fnd 
und  die  zugehori^fen'' \Verthe  s  ergeben  sfcli  dann  D'ezüg* 

s 

2«+22=;=0    und    2«+4i  +  3=0. 

..   . . 

Abscheiden  jenes  Faktors  bleibt  aber  als  Gleichung  4. : 

32+y  +  4=0. 4'. 

erbindung  von  4'.  und  1.  giebt: 

(5y  +  2)2  +  3y«  +  6y=:0 5. 

mit  4V  wieder: 

y«-3(-2=0. 
Mien  Werthe  y=:  — 1  und  y=r2  finden  ihreWerthe  ii  atis  4: 


'      li 


r 


.'  t 


"•    ■       :  .  , 


a  xviii.  16 


234 


■••■?'•:   'H.-I    .    •■  :..-  =  i 


-'i\ 


SUlnfaelie  Berecliniuier  der  Zahl 

Ton 

Herrn  C.  Hellwig, 

:        -  Mi  .-  "  " 

Lehrer  der  Mathematik  za  Furstenwalde. 


Man  denke  sich  in  dnd  um  einen  Kreis  mit  dem  Halbm 
R  die  regelmässigen  Vielecke  von  n  und  2n  Seiten  beschri 
Die  Seiten  der  eingeschriebenen  Vielecke  von  n  und  2n  ^5 
mögen  bezüglich  mit  Sn  und  ^2"/  ^^^  ^^^  umschriebenen  ent 
chend  mit  Sn  und  S^n,  und  die  Lothe  vom  Mittelpunkt  des 
ses  auf  die  Seiten  Sn  und  a^»  ebenso  mit  Vn  und  r2n  bezei< 
werden.  Wir  wollen  Formeln  aufzustellen  suchen,  mittelst  < 
S2n,  Sn  und  S^n  aus  Sn  berechnet  werden  können;    dadurch 

sen  wir  zu  Näherungswerthen  von  7t  gelangen,  indem  tttt f 

qn,Sn  für  A=l,    um  so  mehr  mit  n  übereinstimmt,    je 
ser  n  ist. 

Aus  den  in  der  oben  angedeuteten  Figur  vorhandenen  r 
winkligen  Dreiecken  entnimmt  man  leicht  die  folgenden 
Ziehungen : 

(1)  r2„^=/2^-j52„2, 

(2)  %,*  =:(/?-r„)«  +  |s.^, 


235 


(3) 


j«««=Ä«-r,» 


Di«  Elimination  von  -r-*»*  aus  (2)  und  (3)  fährt  su: 


(4) 


4 
1 


ij,„*=.yft«— 5-Ä,r„, 


woraus  man  in  Verbindung  mit  ())  erhält: 


ra.«=^iP+i^Ä.r, 


oder 


(5) 


»•ji» 


=*V2+2  S 


Wegeo  Aeholichkeit  tod  Dreiecken  der  Figur  hat  man  ferner  die 
Proportionen: 


(6) 


Js»  s  o  1«=:  ß:  T^n 


■nd 


Hleraiu  ergiebt  sich: 

«0  WM 


rn'R^^aSni  S"  An» 


***=Ä*' 


(9) 


ud  ebeoM 


(10) 


rn 


»Jf«  —  -""•1*. 
»Vi 


Für  iZ=l   verhandeln  sich  die  Werthe  von  r^n,  a-^«,  Sn  und 
•SiH  in  die  folgenden: 


(11) 


r 


2U 


(12) 


(13) 


Tn 


r(i4) 


52n== 


_*««  J 


r^n 


Diese  FormelD  verwenden  wir  in  der  Weise  zur  Berechnung 
von  n,  dass  wir  von  eiiienv  bestimmtea  •  Wcrtiie  von  r«  nnd  Jb  / 
ausgehen  9  daraus  r2ii>  #2«»  '^•m  '^2»  bestimmen  und  hieraus  wie- 
derum r4}i9  #4119  '$411  finden  u.  m.  f.  l^iiamt  man  n  =  6,  geht  also 
vom  regelmässigen  eingesfchttebenen "Sechseck  aus,  so  hat  man 
bekanntlich  s^  =  l  und 

re=:  1-^3  =  0.8660254. 

Mit  Hülfe  dieser  Werthe  gelangt  man  bei  Anwendung  siebenstel- 
liger Logari^thmen  zu  folgendem  Schema  für  die  Berechnung  von  n: 

.      ■  .     '  ■  ■  ■    •     1 1 .  • :  ■  ;         .     .  :   ■   ,     •        '      .  ■      ■  1  f     ■     .        '   «  ■  ' 


^re  =  0,4330127 

2^     =0,6 

ria«  =0,9330127 


ria   =09659254 

2)0,4829627 
0,5 

ra4*  =0,9829627 


r24    =0,9914447 

2)0,4957223 
0^j5 

r^^  =0,9957223 


r^    =0,9978589 

2)0,4989295 
0,6 

r^^  r=  0,9989295 


r«6    =0,9994647 

2)0,4997323 
0,5 


log.l    =1  -1 

log.re  ==0,9375806-1 

log.ria«=l,*Ö8876— 2 

2) 

Iog.ria  =0,9849437-1 
0,30103 


0,2859737 
log.Si2  =0,7140263-1 
log-ra^^^l  ,9925370-2 


2) 

log.r24=P  0,9962685-1 
0,30103 


I 


log.5«  r=0,0624694 


»r 


log.Äi2=0.72900826-l 


log.  Ä24  =  0,4204593-1 


0,2972985 
log.524  =0,4167278-1 

log.r482r-f  1,9981382 -2 

2) — ' 

»og.r48  =0,9990691-1 
0,30103 

0  3000991 
log.A-48  =0!ll66287— 1  |log.iS48  =0,1175596-1 

log.r962=l,9995348-2  : 

log.roe  =0,9997674—1 
0,30103 


0,3007974 
log.*^e  =0,8158313-2 


log.. Sgö  =0,8160639-1 


nt 


■  / 


»997333 


■  ■  '  I 

4999331 
5 

5390^1; 


099664 
4999832 


9999912 

4999956 
5 

9999956 


,999998 

1,499999 
^5 

),999999 


:<  .X 


•.  I 


iij 


lo(^.T^«2*s:  1.9998838rrr? 

2) 

loe.riM  =0,9999419—1 
. .;      .        0,30103 

»,9009719 


log  Si9a  =tiO;514«5Q4~2 
1og.rjg4«dfcl^;9d99ro9f^ 
fog.fsM  äO,9999854-I'1 
;  0,3010154  , 


:'»< 


I    I'  ■      i 


■ ;      #         ■ .  ■  ■      .  ■      . 

I .  I  •        •  « 


I 


t 

I 

..    u 


Hhi*  i?io,2i38440-2  iog:*,M  M);i»&858e-^a 


'<>8rm*=1.9999924-i-2    ' 

.  :        <1\  ■ '    I  ■    I        H    I  ■  ■  ■  I    ■  I 

löfe-»'r68  =^0,9999962-1 
0,tM)M»  _ 

fi;3öl02e2 
iog.«r68  =  0,9128178-3 


.1 


log.ri5je»=l,9999982-2 

2) 

log.riaM  =0,9909991-1 
0,30103 

0,3010291 
•»g-»i536  =0,6117887 

•<>g-»"80Ta*=l  9*^9996-2 
0,30103 

0,3010298 
'»g'sm  =0,3107589 


1  i«; 


log.Sre8  =0,9128216-3 


log.Ä,5,5=0,6ll7896-3 


log.i%or«=0,3107691-3 


Darchschnittswerth  folgt  aus  dieser  Berechnung 


ui  hierzu 


log.  5  =0,3107590  —  3. 


log.l536=3, 1863912 


)bt  sich 


log.  TS  =  0,4971502. 


238 

Diesem    Logarithmus    eutspricht   die    Zahl   3^14159»    welche 
in   der   That    den   Werth   von   n    auf   5   Decimalstelieo   richtig  ; 
angiebt. 

Die  mitgetheilte  Berechnung  scheint  mir  hauptsächlich  zwei    . 
Vorzuge  zu  oesitzen^   nämlich  dass  sich  einmal  die  meisten  der  ' 
darin  vorkommenden  Zahlen  einfachen  Grenzen  immer  mehr  nähern» 
indem   die  Werthe  von  r^  und  r  der  Einheit  und  die  Summe  der 
Radieniogarithmen  mit  0,30103  dem  Logarithmus  von  2  zustreben» 
oder  docb  wenigstens  eine  gegenseitige  Annäherung  zeigen,    wie 
die  Werthe  von  logf  und  logiS,   und  dass  zweitens  das  Auf- 
suchen  der  vorkommenden  Logarithmen ,    so  wie  der  Zahlen,  zu 
denselben   sehr  bequem  geschieht  deshalb ,   weil  man  von  log.r^ . ' 
an  kein  Blatt  in  den  siebenstelligen  Logarithmentafeln  mehr  um- 
zuwenden  braucht.    Dabei   ist  der  Mechanismus    der  Rechnung 
der  einfachste,    den  es  geben  kann,  und  bietet  keinerlei  Schwie- 
rigkeiten  dar,    weshalb  auch  jeder  mit  den    noth wendigen  Vor-  ^• 
kenntnissen  ausgerüstete  Schuler   mit  Leichtigkeit  in  den    Gang 
der  Rechnung  sich   hineinfinden  wird. 


'■*  -^ 


239 


XVII 


Mlscelle 


Eine  gelegentliche  Veranlassung  föhrte  mich  neulich  einmal 
wieder  auf  die  Bestimmung  des  Inhalts  der  dreiseitigen  Pyramide 
ans  drei  in  einer  Ecke  zusammenstossenden  Kanten  und  aen  von 
doiselben  eingeschlossenen  Winkeln.  Wie  leicht  diese  Aufgabe 
darch  die  sphärische  Trigonometrie  zu  erledigen  ist,  weiss  Jeder; 
«  kam  jedoch  auf  die  Anwendung  der  blossen ,  ebenen  Trigono- 
metrie an 9  und  da  die  Auflösung,  welche  ich  fand,  mir  sehr  ein- 
beh  scheint,  die  Aufgabe  sich  auch  wohl  zur  Uebung  für  Schuler 
^et,  so  will  ich  meine  Auflösung  hier  mittheilen.  Taf.  I V.  Fig.  1. 
wird  für  sich  verständlich  sein»  und  nur  kurzer  Andeutungen  zu 
Btfer  Erläuterung  bedürfen. 

Die  gegebene  Pyramide  sei  ABCD=^P,  Die  Kanten  ^Z>=«, 
BD=zb,  CD=c  und  die  Winkel 

^ADC=a,    j^BDC=ß,    j^ADBz=iy 

Mien  gegeben.  CE  sei  auf  der  Ebene  ADB,  CF  und  FG  seien 
u(  Aü  und  BD  senkrecht,  und  EF,  EG,  DE  seien  gezogen. 
Man  setze  der  Kürze  wegen 


so  ist 


^FDE—tp,    j^GDE=^; 


P=:  j  A^DÄ.  C£= J  a6.C£.  siny 


Femer  ist 


V 


£F = ccosaiang9) ,    £  f'=  DE .  sin^ ; 

£G=  ccosjJtangif; ,    EG=  ZiE.sint/; . 

Also  ist 

EF cosa    iangq> sin^ 

I  EG     cosß  '  i&ng'il/      sinif;' 


woraus 


cos«    cosif; 

cos/3  *  C0S9»        ' 

also,  weil  i/;  =  y  — g)  ist: 

■«     ">■ 

CO««   cos  (y— y)      cos»  ...         , 

1= ä  •  — i—  = V  (cosy  +  siny  tanso) , 

cosp        cos(p  cosp  ^      /  •        /       s>^/ » 

und  hieraus  •    '  ^  •     .      .. 

cosß — cosacosy 

tango)  =  — . - 

°^  cososmy 

folgt.    Daher  ist  nach  dem  Ohigeii 


^      cos5-£^sacosy 
siny 

und  weil  Dun  hiernach 

ist,  so  ist,  wie  man  sogleich  findet: 


CE  =  -- ; —  V  1— -cosa* — cos/S^ — cosy*  +  2cosacos|3cosy , 
also  nach  dem  Obigen 

P'z^.'^abc^X — cosa*— cos/S* — cosy*  +  2cosacosjSco8y, 

oder  nach  einer  sehr  bekannten  Transformation  der  GrGsse  ui 
'    dem  Wurzelzeichen : 


P=g a6c y  sin^^C«  +  |3+y)sin.2(i3+y-a)sin2(y+a— ^)siD2(a+i5- 


welches  die  bekannte  Formel  ist. 


tu 


Erweiternngen    der    Inte^al  ■ 
recbnungr. 

Von 

dem   Herausgeber. 


Einleitung. 

B  der  ItitegralreclinuDg  geht   man  hekanntüeli  von  einer  Ao- 
Etod  Integralen  ans,  welche  anniittelbar  aus  der  Differential- 
ViDg    entnonimeo    werden,     und   nichts  Anderem  sind  als   die 
bbrongen  der  in  der  letzteren  Wissenschaft  eenonneneo  Diffe- 
Uromieln,    iu    der  That  aber  die   eigentliche  Grundlage   der 
limten    Integralrechnung  bilden.     Hat  man  einmal  diese  Inte- 
irmeln  auCgestellt,     so    besteht  streng  genommen   die   ganze 
B  Integralrechnung,  insorern  sie  di«  AuHindung  der  Integrale 
ntwickett  gegebenen  Differentiale  betrifft,  in  nichts  Weiterem, 
t  der  Zurück Jiihrung  der  übrigen  zu   entwickelnden  Integrale 
jene  anmtttelbar  aus    der  Differentialrechnung  entnommenen 
tale  durch  geeignete  Transformationen,  Subslitutiooen  u.  6.  w., 
""  1  Integral  kann   jederzeit  als  gefunden  betrachtet  werden, 
_S  sich  auf  jene  Fundamental-Integrale  zurückführen  läset, 
^ich  oft  mit  grossen  Schwierigkeiten  verbunden  sein,    und 
■  Aufwand  analytischen  Scharfsinns  erforden  kann.     Je  mehr 
liehen   Fundamental -Integrale  man  nun  aus  der  Differential- 
Ug  entnehmen  kann:  eine  desto  breitere  Grundlage  wird  der 
nbechnung  geboten,  und  ein  desto  grösseres  Feld  der  Auf- 
bog geeigneter  Mittel  zur  Reduction  anderer  integrale  auf  die 
knten  Fundamental-Integrale  wird  dem  mathematischen  Scharf- 
j^erJtffnet.  Ich  glaube  daher,  dass  man  diesen  einfachen  Weg, 
fralrecbnung  zu  erweitern  und  zu  vervollkommnen ,  zu  früh 
Men  hat,  wenn  auch  allerdings  manche  Versuche,  denselben 


zu  betreten,  gemacht  ivorden  sind, 
stets    klar  bewus!<t  gewesen   ist, 
eigentlich  suchte. 


ohne  (lass  itiiin  sich  vielletc| 
iis  man    eigentlich  viollte  t 


Insbesondere  hat,  ohne  anderer  Trüberer  Versuche  jetzt  wm 
ter  zu  gedenken,  Euler  versucht,  die  B5gen  der  Ellipse,  d 
Hyperhel  und  der  Parabel  in  die  Integralrechnung  einzululhre 
dieselben  in  ganz  ahnlicher  Weise,  wie  man  schon  lange  rot  iU 
die  Kreisbiigen  gebraucht  hatte  und  bekanntlich  auch  jetzt  nof 
gebraucht,  zur  Uarstellung  der  Werthe  gewisser  Integrale  zu  M 
nutzen,  und  auf  diese  als  neue  Funilamentul-Intesrale  geivonV 
nen  Integrale  sodann  andere  Integrale  durch  analytische  Tran 
formatioaen  und  Substitutionen  zurückzuführen.  Die  in  vieI?DBeiif 
hungen  merki^ürdige  Abhaadliiug  Euters,  welche  ich  hierbei  fl 
Sinne  habe,  findet  sich  in  den  Novls  Commentariis  Acadj 
iniae  scientiarum  Ininerialia  Petropalitanae 
pro  anno  17S4.  Petroiioü.  17fiÖ.  p&^.  1.  und  bat  dea  Tit^ 
De  reductinne  (nrmultvrum  iutegraiium  ad  rectific 
nem  ellipsis  ac  hyperboUe.  Ich  kann  nicht  unlerlas»  . 
merkwürdigen  Wnrte,_niit  denen  Eiiler  diese  Abhandlung  einig 
tet,    hier   aniuliihren.     Er  sa^t  nftmlich:    „Egregia  i 

3uae  acutissimi    Geometrae  Maclaurtn  et  U'Alemberlj 
uctSnne  inrmularuni  integralium  ad  rectificitionem  Ellipst 
perbolae    sunt   commentali;    cum  in    üs  nun  solum  insigi' 
genii  Sfiectetur,    sed  etiam  haud  eiieua  spes  affulgeat, 
ficBtionibns  in  calculo  aeque  commoae  utendi,    atque  adfatn 
circulares  et  logarlthmos  adhibere  sumus  solili.    Nullur 
dubium,     quin    haec    investigatiu   a  summis  Genmetris  tarn  fe| 
euccessu  suscepta  latissime  pateat ,    ntque  uherrinios  fructas  r 
quando  sit   allalura;     quamvis   enim  iam  plurinium  in  hoc  r 
Sit  praestitum,  minime  tarnen  totum  argumentum  quasi  ex6auatff 
est  censenihim.     Nam  poslquam   lonce  diversa  methodo 

Eerveni,    ut  tam  in  Ellipsi  quam    in  Hj-perhola  dirersos  arcus'iri 
nire  pntuerim,    quarum   differentiam  geometrice  ass^ignare   tiot 
de  quo  quidem  laudati  viri  dubitasse  vldentur,  hinc  na»  levlv'll 
,^^.r.  ;n  t^n^t^Hnn-  i,.,'.„g  argument!  expectari  poterit.     Imprirf 


i  desiderari  videtiir,    cuius  t 
I  expritni  qneant. 


1  tractatioi 
autem   hjc  idoneus  signandt  moilu« 
arcus  elliptici  aeque  commode  i 

iogarilhmi   et  arcus  circulares  ad   insigne  Analyseos  incrementtd 
per    idonea  signa  in  caiculum  sunt  introducti.    Talia  signa  n 
quandam    caicuti    speciem   suppeditabunt,    cuius  hie  quasi  priil 
elementa  exponere  cnnstitui." 


Seinen  Ziveck  und  den 
genen  Weg  noch  weiter  a 
dass  man ,  eben  so  wie  ma 
in  die  lntegralrechnun<c  de 
stimmten  constanten  Werth, 
liches  Verfaheeii  auch   bei  i 

schnitte  befolgen  müsse,  labrt  dann  Enler  fort;  „^uemadt 
autem    onines   arcus  circnlares    ad  circulum,   cuius   radius  onill 
aaqualis  dtatnitiir,  reCerri  solent,    ita  eCiani  pro  omnibus  sect'Hf 
htw  coiiicis,  (juas  in  caiculum  recipcre  volumus.    niensuram  qfi 
dam  fisam  unitate  exprimeiidani  assumi  conveniet,  quae  ad  oid 


zur  Erreichung  desselben   i 
ideutcnd,     Beieltet  von    der  Adm 
1  bei  der  Einlührung  der  Kreisb(L 
a   Halbmesser    des  Kreises  einen  | 
nämlich  die  Einheit,  beilege,  t' 
Gebrauche  der  Bü^en  der  i 


Rh*«»! 


^  le  pertineat.  Perspiciiutn  aurem  est ,  hanp  mensnram 
nsverso  tribui  non  jmsse,  cum  is  in  parabola  necessano  liat 
■■'■'irua,  in  byp«rbola  autem  iiegativmn  valorem  coneeqoatur ; 
ii>  parum  airs  coningatus  ad  hoc  institulum  est  accommoda- 
-.  ifuippe  qai  in  parabola  quoque  üt  inÜnitus,  et  in  byperbola 
..:.<reni  adeo  imaginarium  adipiscilur.  KeKnquitiir  igilur  parame- 
Bt,  cutj  qnomiiius  perpetuo  vator  fixiis  trthui  oneat,  nihd  plane 
betat,  et  quoniam  pro  circuln  parameter  abit  in  diametrum,  huius- 

-      -■  ■■  ■  r  in  «<i 

unitate  exprimatDr." 

Ich  habe  auc'j  diese  letzteren  Worte  Euler's  hier  angefahrt. 
'tit  sich  im  Verfolg  dieser  ALbaudlung  zeigen  wird,  dass 
^  deo  in  denselben  auscesprocheneii  Ansicbten  über  die  An- 
■knte  einer  bealimmten  Gtüsse  als  Einheit  wenigstens  nicht  un- 
edbigt    beistimmen  kann. 

Es  ist  bekannt,  dass  Euler's  so  eben  besprochene  merkwfir- 

.F'  Abhatidinng   die  hauptsächlichste  und  nächste  Veranlassung 

r.carbellung  der  Theorie  der   ellitifisnhen  Functiinen  gegeben 

lienn  Legendre,  der  eizcntÜche  Begründer  derselben,  sagt 

-inem  Traitä  des  fonctions  eüipti  q  lies.   Tome  1.    Pa- 

'^.  18 "2 3.  4.  Avertissemenl  p.  VI.   VII,:  II  ne  sera  pas  inu- 

il"  pour  rhistnire  de  la  Science,  de  faire  remarquer  ici  que  cefte 

i'uielle  branche  danalyse  h  laquelle  l'Auteur  a  dnnnB  le  nom  de 

riii^orie    des  fonctions    ellipliques,    est  fondee  en  grande 

lii:  stir  les  böses  etnbbes  dans  le  chan.  V.,  conceniant  la  forme 

'Ins  simple  de  ces  fonctions  et  Icur  division  en  trois  especes; 

■  est  resulle  un  Systeme  de  nomenclatiire  et  de  notation ,  propre 

(iresenter  ces  fonctions  dans  les  usages  ordinaires  d'analyse, 

.  l'acilitec  la  recherche  de   leurs  proprietös.     Euler  avait  privU 

>  I  aide  d'une  notation  convenahie,  le  caicul  des  arcs  d'ellipse 

iitrea   franscendanfes  analo^ues,  pourrnit  devenir  dun   usage 

!]iie   aussi    general  qne  celui    des  arcs  de  cetcle  et  des  loga- 

|"'i«(*);  mais  si  on  excepte  Landen,  qui,  par  la  d^couverte 

™n   thi^orime,     aurait  pu  s'ouvrir  des  routes  nouvelles,    per- 

iii;  ne  s'est  mts  en  devoir  de  realiser  la  prddiction  d'Eider,  et 

r'  "I  ilire  uue  l'Aateur  de  ce  Traite  est  reste  seul  h  s'en  occu- 

-;   [an  17S6  ou  il  a  fait  paraitre  ses  premi^res  recher- 

'^rcs  d'ellipse,  jusqu'a  I  epoque  actnelle.  Cetfe  espece 

i<;nt  a  retarde  sans  doute  les  progreij  de   la  Theorie 

-    ellipliques;    mais  l'Auteur  par  des  efforts  renonvel- 

ifjds    mCervalles  de  temps.    est  parvenu  enfin  ä  com- 

■n:    entierement    cette  theorie,    et  ä  en  rendre  rappli- 

par  des  tables    fort    «Jtemiues  dont  il   a  execute  lui- 

les  calciils." 


i  Im  (laroies  d'Euler   (Novi  ( 

BmIi  BUtoni  hie  idoneiia  si 
Ir,  üdIds  »IIP  arGii«  (tlti|ili< 
Pf"'"'  - 


DiegrosscÄusbilduDg  der  Theorie  der  elliptisciien  Functinnei 
welcher  dieselbe, ohne  im  \VegentlicheD  den  ursprünglich  van  Le, 
Are  inseiner  ältesten  Schrift  überdiesenGegeristandiAIenioiri 
les  tr  anscendantes  elliptiques,  oü  l'on  donoe  des 
tfaodes  r»cile!s  pour  comparer  et  evaluer 
dantes,  qui  comprennentles  arcs  d'ellipse,  et  qui 
tecontrent  frequeniment  daus  les  appiicatio 
cul  integ^ral.  Lu  ä  la  ci-decant  Acadeiine  <li:s 
en  avril  1792.  Par  Adrien-Marie  Le  Gendre.  A  P 
L'an  deuxieme  de  la  R^puliliqae.  i".  vorgezeiclinelen 
zu  verlassen,  geführt  Hordeu  ist,  niuss  Jeden  Analytiker  mi 
STössten  Bewunderung  erfüllen;  und  es  ist  diese  Theorie  za~ 
das  schünste  und  lehrreichste  Beispiel  der  flrliirschuDg  der 
einer  wicht^en  analytischen  Grüssenforni  nach  allen  mDgli 
Seiten  und  Richtungen  hin.  Mit  besonderei  Bezugnahme  ai 
oben  angefahrten  Worte  Euler's  hat  sich  mir  aber  schon 
die  Frage  aufgedrängt,  ob  sich  dem,  wasEuler,  trie  esscl 
eigentlich  im  Sinne  natte  und  beabsichtigte,  namentlich  tau 
Bezug  auf  den     „idoneus  signandi  modus,  cuius  ope. 

cus     elliptici     aeiiue     commode     in     calculo     

queant,     ac     iam     iogarithmi     et     arcus    circul 

ntroducti.       T 


alo 


.itabunt. 


speciem  suppe 
quasi  prima  elementa  exponere  consmui" 
vielleicht  auf  eiue  Weise  entsprechen  liesse,  die  bei  mOf,  _ 
Einfachheit  dem  Verfahren  ganz  analog  näre,  vielches  lUM 
Einführung  der  Kreisbogen  in  die  Integralrechnung  befolgt, 
dies  niüdich,  so  würde  man  dadurch  eine  Reihe  neuer  Fo 
mental -lutegrale  erhalten,  auf  die  man  andere  Integrale  i 
zuführen  suchen  müaste.  Wie  ich  diese  Frage  zunächst  fOr 
Ellipse  zu  bcanttrorten  und  möglichst  zu  erledigen  gesucht  I 
werde  ich  in  dieser  Abhandlung  zeigen,  indem  ich  mir  vorbeh 
spSferhin  auf  die  Hyperbel  und  die  Parabel,  ja  auch  noch 
andere  Curven  zuriickzubommen.  Die  Hyperbel  ist  freilich  ei 
lieh  schon  unter  der  Ellipse  enthalten;  indess  scheint  es  in 
vorliegenden  Falle  besser  und  angemessener  zu  sein,  so  wif 
Ellipse,  auch  der  Hyperbel  eine  besondere  Betrachtung  za 
men.  Ich  werde  lür  jetzt  aber  nur  hauptsächlich  die  FundA 
tal-Integrale  entwickeln,  welche  sich  mir  bei  dieser Untersu« 
ergei)en  hüben,  und  erst  späterhin,  wenn  ich  wenigstens 
die  Hj'perhel  und  die  Parabel  in  ähnlicher  Weise  wie  die  Ei 
untersucht  haben  werde,  die  fernere  Untersuchung  der  Inte 
unternehmen,  welche  auf  jene  Fundamental-Integrale  sich  i 
führen  lassen.  Dann  wird  sich  auch  erst  entscheiden  lassen 
wie  fern  der  Titel,  welchen  ich,  ohne  übrigens  dadurch  in 
ringsten  ein  gewisses  Aufsehen  erregen  zu  wollen  dieAbsicl 
haben,  dieser  Abhandlung  gegeben  habe,  gerechtfertigt  ersd 
d.  b.  in  wie  fern  die  in  derselben  entwickelten  Integrale  wi( 
als  Erweiterungen  der  Integralrechnung,  deren  dieselbe  f  ' 
noch  sehr  bedürftig  ist,  zu  betrachten  sind.  Daher  bitte  ich 
schon  Jetzt  um  eine  nachsichtige  Aufnahme  und  Beurtheiluna 
vorliegenden  Abhandlung,  bis  erst  weiter  fortgesetzte  Untersuc 
gen  einen  sicheren  Maassstab  für  die  Beurtheilung  des  Wer 
derselben  abgeben  werden. 


245 


Erste    AbtheiluDg' 

§1. 

Wir  wollen  uns  zwei  beliebige  coiijuG;irte  Halboiesser  eioer 
mipse  denken  9  die  wir  als  positiv  betrachten  und  mit  Rücksiebt 
Verenf  durch  a»,  bn  bezeichnen;  die  Durchschnittspunkte  dieser 
flonjueirten  Halbmesser  mit  der  Ellipse  seien  respective  An,  ßni 
mA  der  tod  denselben  ein  geschlossene ,  180^  nicht  übersteigende 
Winkel  werde  durch  on  bezeichnet.  Sind  nun^  wenn  wir  an,  bn 
dl  die  positiven  Tbeile  zweier  Coordinatenaxen  betrachten,  in 
iesem  seinen  Anfang  im  Mittelpunkte  O  der  Ellipse  haben- 
icD  Coordinatensysteme  Xn,  yn  die  Coordinaten  eines  beliebigen 
hnktes  der  Ellipse;  so  haben  wir  nach  der  Theorie  dieses  Ke- 
jdschnitts  bekanntlich  die  Gleichung 


I) 


(S)"+(Ö'=' 


[^  Denken  wir  uns  nun  aber  einen  Bogen  der  Ellipse ,  welcher,  bei 

Pankte  An  als  gemeinschaftlichen  Anfangspunkt  aller  Ellipsen* 

anfangend  9  bei  dem  durch  die  Coordinaten  Xn,  yn  bestimm- 

Pankte  (xuyn)  der  Ellipse  sich  endigt,  indem  wir  diesen  ßo- 

immer  als  positiv  oder  als  negativ  betrachten,   ]enachdem  er 

Au  an  durch  den  180^  nicht  übersteigenden  Winkel  AnOBn 

:h  nach  J?«  bin,    oder  von  An  an  durch  den  180^  liberstei- 

Winkel  AnOBn  hindurch  von  Bn  abwärts  genommen  wor- 

ist,  und  bezeichnen  mit  Rücksicht  hierauf  diesen  Bogen  durch 

ii  10  können  wir  offenbar  die  Grossen  --  ,  ^     lederzeit     als 

an       On     ** 

a 

tionen  dieses  Bogens    oon  betrachten,     and  wollen  dieselben 

e     a  e    a 

unter  dieser  Voraussetzung  respective  durch   ^nfon,    Sn(On 
meu^  also 


2) 


ar«       «  «       yn       «  « 

■--  =  xDnOin  9     mT^^  *^n  (On 
an  On 


Uer  Buchstabe  e   ist   in  diese  Symbole  deshalb   aufge- 

SD  worden,  um  anzudeuten,    dass  dieselben  der  Ellipse  an- 

m;  dies  konnte  überflüssig  scheinen,  wird  sich  aber  als  noth- 

lig  erweisen,  wenn  es  späterhin  darauf  ankommen  wird,   die 

>,  Hyperbel  und  Parabel  von   einander    zu    unterscheiden. 

ISymbolen  haben  wir  nun  nach   1)  die  Gleichung: 


3) 


(0»Wn)*  +  (SnW«)2=  1  . 


24« 

Nehmen  wir  den  Punkt  Bn  als  Anrangspnnkt  aller  Ellipsen 
an»  und  bezeichnen  einen  bei  Bn  anfangenden,  bei  dem 
die  Coordinaten  Xn,  yn  bestimmten  Punkte  (jtnyn)  der  Ellips 
endigenden  Ellipsenliogen ,  Indem  wir  denselben  als  positi^ 
als  negativ  betrachten,  jenachdem  er  von  dem  Punkte 
durch  den  180^  nicht  übersteigenden  Winkel  BnOAn  hii 
nach  Ah  hin ,  oder  von  Bn  an  durch  den  J80^  übersteis 
Winkel  BnOAn  hindurch   von  An  abwärts  genommen  word 

durch    CO«;    so    ist   In  ganz    ähnlicher   Bezeichnung    wie 
offenbar 

4)  —  =  ISnC»n,     r-=SnWn; 

also  nach  2): 

ea  e   b  e    a  €     b 

5)  @iiO>ii  =  SnODii »       SnOn  =  @ii(Om  ; 

folglich  nach  3): 

6)  (e«Q)n)«  +  (S„a)„)2=:l. 

Ich  will  nun  besonders  die  Gleichung  3)  ins  Auge  fassec 
'  zuvörderst  die  Differentialquotienten  der   als  Functionen  v< 

e     a        e   a  a 

betrachteten  Grossen  &nODnf  SnCDn  In  Bezug  auf  con  als  una 
gige  veränderliche  Grösse   entwickeln. 


S-  2. 


Weil  nach  dem  vorhergehenden  Paragraphen 


(e««n)2  +  (S„W„)2=l 


ist,  so  ist 


e    a         e    a  e    a        e    a 

©nWn.SßnCö/t  -|-  SnCöw.ÖS|iCi)n=:0. 


Nach  den  Lehren  der  höheren  Geometrie  ist  aber  offenbar  i 
liger  Allgemeinheit: 

a 

d(x>n^=  dxf?  +  dyt?  +  2cosan8a:ii8yM  ; 
und  weil  nun  nach  dem  Obigen 


247 


e    a 


e     a 


arn=^€hi&nOiny     yn==bmSnG)n  ; 


•Im 


e    a 


e    a 


dXu=:  OjiddnCOft  9     S^n  >=  lPnSn(On 


W;  80  ist 


e    a 


e    a 


e    a       e    a 


dah?=zanHß^n(On)^  +  bn^(dSnCS>n)^+  2a„6„COSa«8ÄnWi,8S«a)i, 


Nidi  dem  Vorhergehenden  ist  ferner 


e     a 
SnOJn 


ibo,  wie  man  nach  gehöriger  Substitution  leicht  findet: 


(861.«^)*= 


e   a  a 

(S«Wn)*8c»fi* 


e    a 


e    a 


e    a      e   a 


OnHSn  Wi,)'»+6„«(0„Q)„)2—  2an6«cosa„  ©„©n  S«(0« 

-llolglich  ist  offenbar  mit  Beziehung  der  oberen  und  unteren  Zei- 
anf  einander: 


0    c 


e    a       a 
SnOOndoOfi 


f 


an^Sn  ^)«+6»2(en©n)2— 2fln6nCOSa„0„^  SnW„ 


e    a       a 
®na)n8a>n 


\   On^iSn^ 


e    a  e    a     e   a 

W«)*+Än^(©»C»n)*-^2a»6«COSa«©nW»  Sn  Wn 


[wo  sich  nun  fragt,  wie  in  diesen  Formein  die  Zeichen  zu  nehmen 
iiiid.  Mittelst  einer  sehr  einfachen  Betrachtung  erhellet  aber, 
iiu8  immer 


e   a 
«     «  j      SSnOOn 

©noo»    und 

d(On 


Vorzeichen  haben,  woraus  sich  ergiebt,  dass  man  in  den 
Formeln  die  unteren  Zeichen  nehmen ,   und  daher 


218 


€    a       a 


^y'e.a  e    a  e    a     e 

M ' 


aii^(Sti(il>n}^-|-6ii*(&n(Dii)*— 2aa6«C08«tn@aWnSa(«t 

7)' 


e    a       a 

,a5  "  ©i»cö«3c»« 

OOiiCOii  = 


Y  on«  (S»w«)«+ 6„2<e«2h.)«— 2a«6«cosa«©«w«S»c^ 


setzen  moss. 

Weil  bekanntlich 


(©nW„)«  +  (S«w«)a=l 


ist  9  so  ist 


a««(S«««)«  +  bffl  (©«  w«)« = c„2  -'(a„«-Ä«2)(0„^)« 


=  6n*  +  (cin«-6««)(S„«„)«', 


akoy  wenn  wir 


8) 


^^=V^rr^2,  ?!?=>v^i+i- 


2 


setzen : 


oder 


Folglich  ist  nach  dem  Obigen  auch: 


«1 


249 


e    a     a 


•Y  1— «««(eiiWfi)*— 2co8«»V^l-ep* .  e«cä9«S«c»« 


€  a 
l8S|iO«=: 


e    a       a 


*«V  l+««*(S«»i.)«-2casa,\^l  +  €„«.  e«w«Sn©« 


oder: 


ic6iiC9ii 


e    a       a 
SnCOndcO« 


6,y  i+««*(s«cJL)«—  2cos«« v^i + Bf?  .e»«»  s*«©L 


e  a 


e    a       a 
&ii(Ondoi>ii 


■V.- 


e    a 


e    a     e    a 


««V  1— e««(e«a)«)*— 2cosa„V^l— 6«2.©«Q)«S«co„ 


tder: 


e     « 


e    a       a 
SnCOnScOn 


V 


e    a 


e     a    e    a 


*«*  +  aJ^ei?  (Snfl»«)*— 2a«6«COS€fn0ii  C0nS«(0n 


es       a 


f 


€   m  e     a    e    a    * 


250 


/  I  e    o      a 


3ei|Cön  = 


Ve    a  e    a     e    a 

12)     " 


e    a       a 


J.  3. 


Wir  wollen  dud 


e    a  e    a 


13)  Tna:«=-;^-^>        'inWn= 


©nOte  SnOn 


setzen  9  wo  also 


e    a       e   a 
14)  TnG)n.1nGhi=l 

ist.    Dann  ist  nach  den  Regein  der  Differentialrechnung: 

e    a  e    a 

«    «    SSnCOn        ^      «S^TiöOn 
c    a  vOtiCöii ^ OnCOn — 

d  TnOn  öcön  dcOn 

a  ^~-^  9 


^^n  (0„a)„)2 


oder 


e    a  €    a  e     a  e    a 

STnOn  __        1         SSnCOn  «Sw  COn       S^nCOn 

a  e    a    *        a  e    a       '         ä        * 

8(071  QnCOn       dcOn  (@7i(0n)        8o)„ 


Also  ist  nach  dem  vorhergehenden  Paragraphen 


251 


e  m 


8».        Y  flm*(Sm^)«+6«2(0jIö„)2-.2a«*«co8a«d.^^ 


( 


e   « 


e«CD,'     y  a,«(S«w«)''+A»«(enO)«)«-2o«6»coso„e»o»»S,o)« 


e   a 


): 


e    a 


e    a 


e    a    B    a 


d.  u,  weil 


e   m  B   a 


(©»««)« +(S„«n)«=1 


ist: 


15) 


e   a 

ar«©« 

doOn 


e     o 
(©HO«)* 


Y 


ea  B    a  b     a       b    a 

afi^S«Wn)*+6n*(0„(Oi,)*— 2a«6nCOSa„®«»«  Sn  COn 


oder 


16) 


B    a 


a 

Scoft 


(e.t»»)«  Y  a««(S„^)«+6ii«(©„»„)«— 2an6 


B     a       B    a 
fiCOSOfiGnOOfi  Sn  (On 


«der  auch 


17) 


e    a 
dTnO» 


a 
3<0n 


(©•»I.)*  a«Y  l-««*(©nw«)2— 2cosa„V  1~€„«  .  e,»^  S«^ 


a 
8wn 


(©••hl)«     *.Y   1+^1.^(8«  ^)«-2c08a„\^l  +  £„*  .  enWn  i. 


o 
(On 


252 


Weil  nach  dem  Obigen 


e    a       e    a  e    a  ^    a 


ist,  80  ist 


— o =  —  (T«C»n)-2. ^— 

dfOn  ddün 


oder 


sin««               (dnm)^     efnWn. 
li ^^ 1 — Z —  • ZL        9 


e    a 


StOu  (Snön)*      BoOn 


also 


e   a 

lö)  J— 

ScOii 


] 


(8n  C»«)2   Y    rt„«(SftW«)«  +  6n2(en^)*-2a„6„COSan®«Wn  S„^ 

oder 


19) 

e    a 

I 

a 
doDn 

(SnOn)«  y  fl„*(S„w„)H6n^(®nW«)*-2a«6„cosa„epWnS„a^ 

oder  auch 

e    a 
20)  oXnCOn 

a 
1  San 


(S„a)„)2  a„y  1— Cß2(0„a)„)2— 2cosw«\^l— c„2".®n(»n-S„«„ 


a 
1  dcon 


(SnCDn)^     6„Y    l  +  fn2(S^nW„)2— 2c0S«„Vl  +  fn2.e««nSl 


a 
COn 


253 


§.4. 
Setzt  man 


«a  e   a  ea  ea 

1)  Svna>fi  =  l  —  &nOin,        ©r«C30ii  =  l  —  SafDn  ; 


0  ist 


e       a  e   a  e       a  e    a     ' 

2)  9Siriia>fi=--d3ficon,     8®v«c»n=— SSn»«; 

od   diese  Differentiale  können  daher  aus  §.  2.  unmittelbar  ent- 
ommen   werden. 

Setzt  man 

e     a  1  e       a  } 

23)  Sc«C30ii=:-7-r-,      QCnmn  = 


&fi  <0n  SfiCOn 


[>  ist 


ea  ea  ea  ea 

ScaCOii=(©«a)fi)-^,     ©c««n=(S«a)«)-^;    ^ 


bo 


oSCaQ})»  = ^-^ >      d@Cnßhi= JT'a > 

(©«««)«  (S«ca„)« 


ibo  nach  §.  2. 


254 


o 

CD 


a 

I- 

11 


a 


II 


CO. 
a 

8  o 


a 

8  « 

a 


a 


a 


lO 

o 
a 


a 

10 


{« 


® 

a 

8  » 

a 

CA« 


a 

8  e 

a 


a 


a 
a 


Q5 


a 

8  e 

a 


« 

o 
a 


I 


(9^ 

a 

8  o 

s 

8  o 


8  e 

a 


Q> 

QJ 

®. 

2^» 

o 

o 

a 

a 

8  o 

a 

1«^ 

II 

1 

II 

^. 

f^ 

a^» 

,^* 

a 

a   «^ 

8  a 

8  » 

1« 

f» 

a 

a 

> 

^ 

a 

a. 

» 

^ 

^ 

CC« 

CA 

a 

a  * 

8  a 

1« 

19 

IS 

+ 

+ 

Q« 

a^ 

a 

8    e. 

1» 

05 

1^ 

8  e 

a 

>*• 

8  a 

1 

1 

a 

lO 

l>S 

& 

a 

a 

©• 

a 

a 

n 

o 

o 

» 

72 

p 

Q 

a 

®« 

a 

a 

8  « 

8  e 

a    0 

a 

a^ 

a^ 

a 

a 

8  Ol! 

S  0 

a 

2* 

2115 


O 
Gl 


<5> 

II 

SP«* 
II 

1 

a 

,^» 

'f 

f 

,f- 

a 

19 

Ol  A 


I 

o 

o 

OD 

? 


(9« 

a 

8  » 

a 

a    * 

a 


8  • 

a 


8 

CA« 

a 

8  « 

a 


o 


«V» 


0^ 

a 

*  i 

CO« 
a 

8  e 

a 


8  e 

a 


§.  5. 


^zeichnen  wir  die  beiden  Halbaxen  der  Ellipse  durch  Oq, 
e&  TOD  denselben  eingeschlossenen  Winkel  also  durch  Oq; 
o^=:90o,  cosaQzzzO,  und  die  im  Vorhergehenden  entwickel- 
Ärmeln  vereinfachen  sich  daher  in  diesem  Falle  sehr. 


256 

Es  ist: 

27) 


e    a       a 
«    «  ®oCOo8fl)o 

V«    a  e    a 

ao»(S, 


9So(no= 


'(Soob)'  +  V(eo»o)' 


e     m     m 


3'Öo®o="" 


y  ao*(So<"-^*-^*'*''^-'^^' 


►coo)HV(©o«by 


8To«ö= 


(©0^)*  V"o*(SoC^o)*  +  V(eo^)* 


«  «  1  8(^0 


8to«6= 


e    a  .  / 

(So»o)*   Y 


flo'(So«>b)*  +  V(eo«»o)» 


e   a       « 


8SVo  CQo  = 


V«o«(So«o)*  +  V(®o^)* 


e    a       a 


8ÄVo(öo=— 


Ve    a  e    a 

«ü^(SoWc 


.Wo)*  +  V(®o«o)* 


e    a 


**      «  ToWo  8q)o 

e    a  e    a 


-0^0 


*(SoWo)*  +  V(©o«o)^ 


e    a                                        a 
^      «   _     ?oWo 8ooo . 

~  9 


80co(af,=— TU   -     r j 


e    a 


oder 


28). 

e   a       a 


0^0(00=       ' r-  Ja* 


«      •      •        ■  .  '■■  .. 


«4  •    .  SoWoSob 


«  •  1         ^^_„    8«i) 


3T6«io= 


y      ■■      -   • ■■     ■■  -  -j 


ai,4=--T^  ^"^     •■ 


(»o»o)*    OoV  t  -  c„«(eo«o)» 


!        ■  •  ! 


e   a      « 


dßvQOJiQ'^i 


'  ffoV^'-'^o*(®o«ü)^ 


e    a  •  ■      •    « 


©0%  fl„Y  l-Co^CSoWo)* 


■    I      ■         .;. 


f  . 


•  » 


■     •■         .  I    ■     :      .        .    .  ..  ;  ■  k    •.        1 

■'  >  1  0     A  CS 


29) 

e    Ä       a 


*  "  ©o«o3<Oo 


>^ 


*oV  l  +  eo«(So^)» 


« xvni.  13 


288 


e  m 


BiX^ _^^8^ 


V  l  +  »o' 


*(So^)» 


'~~T — • •  —.  9 


e   a      a 


ÖSVo»o  = 


bo^  1  +  h*  (ßo^T^ 


e   a      a 


SCvo^^o^"" 


dSc0Ci}o=       ^  ^    • r-  =-•> 


e    a  r 


e    a 


1  +eo»(S.a.o)« 


e    o  .  a 


S®CoWo= 


owq — —    e 


^0    bo\ 


e     a 


SoO>0    bo\    1  +£o*(Soaio)* 


Für  den  Kreis  ist  ao  =  6o9  also  «o=^o=0,  wodurch  sich 
obigen  Formeln  noch  mehr  vereinfachen^  und  auf  die  bekanc 
goniometrischen  Differentiale  zurückkommen. 


$.  6. 

Einen  bei    dem   Punkte  An   anfangenden  Bogen  der  Elli[ 
dessen   im  Vorhergehenden    durch    das  Symbol    Sn    bezeichn 


259 


Fonctioii  die  GrOase  x  ist»    d.  Ii.  den  Werth  x  hat»    wollen  wir 
jeiit  dorch 


ArCfiSii(=ar) 


keieichnen»  so  dass  also 


e     a        e 


Sa  { ArcmSii  (s^))  3=ar » 


•ier»  wenn  wir 


a         a       e 

aHi=ATCii8ji(=ar) 


wtieD» 


e   a 

Sfia>«=a? 


kt:  woraus  nun  auch  von  selbst  die  Bedeutung  ähnlicher  Symbole 
■  Bezug  auf  die'  übrigen  oben  eingeführten  Functionen  der  ellip- 
fecben  Bogen  erhellen  wird»  was  hier  nicht  weiter  erläutert  a« 
werden  braucht. 


$.  7. 


Setzen  wir  daher 


a        e 


os=ArciJSs(=«)» 


ist 


6     a 
X=rSfilDfi, 


i  ad  folglich  nach  7): 


101     • 


9«  Olli 


Äi     y  <!•«(&  ».)*+6«*(6.w«)*— 2a«6«cosan@«ah.  S««» 
k  ist  aber  nach  den  Lehren  der  Differentialrechnung 


a           a 
8<0n 3(0n    _8£ - 

"T* —  8^''"«"'  —  *» 

don  dfi>a 


IS* 


26a 

Scon        -         8^ 
CCOn 


•'..  .  '. 


und  folglich  nach  dem  Vorhergehenden: 


a        e 

dx 


=  ^4-V 


e    a  e    a  e     a      e  a 

an*(SnC0n)*+6n*(^nfl>fi)*— 2an6nCOSa«®n»n  SnWn 
©nWn 


•  •  r 


Weil  aber  bekanntlich 


(©«».)*+ (S,»,)a=s.;, 


e    a  e    a 

ist,  so:  ist  ■■!..■       •■■  .     • 

I 

WO  das  obere  oder  untere  Zeichen  zu  nehmen  ist»  jenachdem 

e    a  B        e        e 

0„a)n=  ®n  { ArCnSn  (  =  a: )  } 

positiv  oder  negaüv  ist.    Also  ist,    immer   mit  derselben  Best 
mung  wegen  des  Vorzeichens : 


a         e 


30)  8Arc„S„(=a:) 


oder 


a         e 


30*)  8Arc„S„(=.r) 

.  6„V  1  +  En^a:^  T  2cosa„ V 1+7^ .  xS^C^^^^^  ^ 

-±  vr^^ ^" 

Folglich  ist  auch   umgekehrt: 


e    a 


MS 


I=(®.0.,)*+ 


SO  ist 


I  =  (e««.)»  1 1  +  (f„S,)«  1  =(i  +  a;»)  (©„»„)« 


ist  '  -^     ■     '        ':'        ■     ■ 

e    a  e    a    e   a  e    a 


f  • 


e    a  a: 

Beziehung  der  oberen  und  unteren  Zeichen  auf  einander ;  folg" 
allgemein: 


.  I        •  .  t 


daher 


e    a  e    a  ■  ■.      ..eaea. 

a»*(Si«(ö«)*+6n*(©nO>i«)*— 2an6nCOSa«0n(ö*iSn(Oit 

6n^ — 2anbnXC0SCCn  +  gw*i?^ 

loist  nach  dem  Obigen: 

38) 

oAtg« T« (=a;)  = r^ ■  ■' ..—ll:^ — ■ ox, 

H  folglich  umgekehrt: 

^■'    ..  3Ö) 


292 


und  folglich  oach  7): 


6    a 
Bx  Sn(On 


a 


e    a  e    a  e    a     b    a 


8««  Y  «n2(Siia)n)*+6««(ef»Wi.)«-2a«6»cosa,e»©«S«w« 

Nun  ist  aber  nach  den  Lehren  der  Differentialrechnung: 

a            a 
8(ön      8»ii       8^  I 


aUo 


8wn I       Bx 

0(011 
und  folglich  nach  dem  Vorhergehenden: 


8Arcnen(=>r) 
da; 


Weil  aber  bekanntlich 


(0««n)^  +  (S„«„)«  =  l 


ist^  SO  ist 


e    a  e    a  e    a 


WO  das  obere  oder  untere  Zeichen  zu  nehmen  ist,  jenachdem 

e    a  e       e  e 

SnWrt  =  Sn{Arc„@n(  =  ^)) 

positiv  oder  negativ  ist.     Also  ist^   immer  mit  derselben  Bec 
mung  wegen  des  Vorzeichens: 


34) 


ses 


dA.Tei^(=x) 


V^l-a:* 


Sd; 


der 


34*) 


dArc«  ®«  (=a:) 


_  _  g«V  1  -.e««r«  T  2  cos«.  Vi  —  e,* . » Vi  —  «» 
Folglich  ist  auch  umgekehrt; 


35) 


Arc«Ön(=a:) 


/V  «»*  — (flii*-6,«)a;«T2«i.6aCOscM.ar  V  1  —  a:\ 


ritr; 


35*) 


Arcn®»(=a:) 


— e««a:«  T  cos«»  Vi  ~  c«« .  jr  Vi  -  afi 


STl-a:^ 


dar. 


Seizt  man  x:=eoaq>9   und   nimmt ,   was  offenbar  immer  rer- 
st  i8t5  q>  80,  dass  siog)  positiv  ist»  so  ist 

8j?=s  — 8iD9d9>,      VI  — a:*=sin9 ; 


36) 


idii(=cos9)=±/89Van^sin9>'=F'iafi6iiCOsansin9Cos9-f6n^cos^^ 


Setit  man  ^r^sing),  und  nimmt ,  was  offenbar  immer  Terstat- 
bt»  ^  Bo,  dass  C0S9  positiv  ist,  so  ist 


da  =  cosijpdg) ,       Vi  —x^  =  coscjp  ; 


SM 

also 


37) 


§.9 


Wir  woUeu  nun 

■ 

1 

i   • 

* 

a          a         e 

setzen  9  so  ist 

:    ■■   '■     ■  •     :■::.    .;>. 

1  '             ' 

e    a 

und  folglich  ^lach 

15): 

'    ^                 ♦•,..'■ 

c. 

8a;             1 

•  - 

-  .1 

Scou      (enwn)*  Y  a„«(S„w„)H6n*(@nW„)^-2a«6„cosanenü)J 
Nun  ist  aber  nach  den  Lehren  der  Differentialrechnung: 

a              a 
8 CO» dcOn        ^X    - 

""ö"  —   ^x    *    "^ 

Swn  8a)n 


also. 


=:  1  : 


dx «     ' 

dOn 

und  folglich   nach  dem   Vorhergehenden: 


o         e 


8ArcnTw(=:::r) 
So: 

=  (enw»)^y   an*(S„'ö„)2+6„2(0„^)2_9a„6„COSaneHW;,S„©^^ 

Weil  aber 


MS 


l=(e«0),)>+(S,a)„)*=(®„a)„)«  J1+(_t4-J  ]' 


*  ®«0)|l 


so  ist""  ■ ;     .     . 

.1  «  '. .         ■ 

1  ist 

e    a  e    a    e    a  e    a 

Snfßn  *==  &iilOiiTnl»«  =  xQnCDn, 


\  ' 


Beziehung  der  oberen  und  unteren  Zeichen  auf  einander ;  folg 
I  aUgeraein: 


I  daher 


e    a  e   a  ■  .      ,  e    a     €    a      . 

a»*(S«a)»)*+6«*(©«(ön)*— 2an6nCOSa«0n(öiiSnö)it 

10  ist  nach  dem  Obigen: 

38)  ■       ■  •    "='    '•■ 

id  fblgiich  umgekehrt: 

^i:    ■  .;  .  ■         .  •■ 

l       ..  39) 

!     .£i  /        .  _  /*  V^6w^2a«6wj:co8jgw4-an^J??  a 
AtciiTic(:=^  «1=/ ^ > ~ '  c;ir . 


206 

Durch  CoDirtriictioD  kann  man  das .  Integral 

STSn^—^anbnJtCOSan-^'an^X^ 


f- 


(l+a;2)VHa;« 


dx 


auf  folgende  Art  finden ,  wobei  wir  annehmen  wollen,  dass  x  po- 
sitiv sei. 

Mit  den  eonjugirten  Halbmessern  an^=  OAn»  bii=iOB%  (TaCIll 
Fig.  1.)  und  dem  Coordinatenwinkel  ctn^-AnOBn  beschreibe  nun 
nach  einer  aus  der  Lehre  von  den  Kegelschnitten  allgemein  be* 
kannten  Aufgähe,  fiir  die  man  schoii  mehrere  elegante  Aufliisiifi- 
gen  hat,  eine  Ellipse.  Soll  dann  der  elliptische  Bogen  Aifi 
einen  Werth  des  obigen  Integrals  darstellen ,  so  muss»  wenn  wir 
BC  mit  OBn  parallel  ziehen, 

BC     OC^_OAj^  BC 

^-^  OBn  '  OAn~  OBn'  OC* 

also 

OAn .  BC_      ^^ 

I 

sein;  d.  h.  es  muss 

OCi  OAn=BC:x.OBu 

sein.  Ziehen  wir  nun  durch  An  eine  Berührende  der  Ellipse, 
welche  bekanntlich  mit  Oßn  parallel  ist.  und  die  Linie  Oft 
welche,  über  B  hinaus  verlänfi;ert,  die  durch  An  gezogene  Be- 
rührende der  Ellipse  in  D  schneidet;  so  ist 

OCiOAn-BCiAnD, 

also  nach  dem  Obigen 

AnD  =  x.  OBn  =  6«ar. 

Dies  führt  unmittelbar  zu  der  folgenden  Construction : 

Durch  den  Punkten  ziehe  man  eine  Berührende  der  beschrie- 
benen Ellipse,  welche  mit  OBn  parallel  ist,  schneide  anf  dieser 
Berührenden  von  dem  Punkte  An  aus  ein  Stück 

AnD=x,OBn 

ab,  und  ziehe  durch  den  Mittelpunkt  Oder  Ellipse  und  den  Punkt 
D  die  gerade  Linie  OD,  welche  die  Ellipse  in  dem  Punkte  B 
schneidet;  so  ist  der  elliptische  Bogen  AnB,  und»  wie  leicht  er- 
hellet, überhaupt  jeder  bei  An  anfangende  und  bei  B  sich  eodi- 
gende  Bogen  der  beschriebenen  Ellipse  ein  Werth  des  Integrals 


Wf 


f- 


V^bifl^^^iJkit.reo9«h  -f  «n'Ä*  -  ■  ' 


(l  +  ir*)Vl+ar« 


dx. 


Diese  Constraction  weiter  zu  verfolgen »  ist  jetzt  nicht  meine 
Absicht,  und  auch  hier  nicht  nothig,  da  Jeder  sogleich  selbst  be- 
fireifen  wird,  worauf  e«^*  bei  derselben  und  l>ei  andeiei  ähnlichen 
Constructionen  ankommt. 

Setzt  man  a=tang9),  und  nimmt»  was  offenbar  immer  ver- 
«tattet  ist,  9  so,  dass  C0S9  positiv  ist,  so  ist 

l+a:*=secg)*,    VTf^=:secg),     (l+a:*)V  1+a;*  =secg)'; 
femer 

^bf? — 2on6iiarcosofii+öii^j:* 


=  sec^  V'ofi^sing)^ — 2an6«cosansin9)Cos9)  +  An^os^^ 
und 

dx  = 2  =  secgj^y . 

CV9Ur 

Also  ist 

ff         • 

40) 

AresTff(=tang9)  =  /  89 V"a«*sin9)*— 2iin6iiCOSoiisin^cosg)+6«*cos9*. 

Setzen  wir 

ünX — AnCOSOffi 

und  nehmen  wieder,  was  offenbar  verstattet  ist,  q>  so,  dass  cosg) 
positiv  ist,  so  ist 

bn,  ,      .^      X  x       *»    cos  (Cfn— y) 

x^  -  (cos««  +  smorn  tang9)  = ^^^^—  , 

1    .      «       ffn^COSy^  -I-  6n^C0S(«n  —  9?)' 

^  +^  = a„^089>*  ' 

(i  +  ar»;t  -  --  on'cosys 

Femer  ist 


also 


und 


öa?  =  ^-— : —  • n » 


an        cosg}^ 


also 


«    Ar-r-A—ri — i : 5— 0        Afi^sinan*        ÖCP 

O^V  bf?-'2anbnXC0BCLn-\-a»^X^=: ITTZTs  ' 


an  COS9}' 


da; 


Folglich  ist 

(l+a;2)\^l+^ 

also  nach  dem  Obigen 

41)  ArcfJ  =  *"   -«(«'• -'^) 


an  COS9} 

8(p 


=  "-'''"^^^''""'^  fw,Hos9^V> 


bn^cos(an—q))^\i 


Für  ^0=90^  sind,  wie  schon  froher,  Oq,  Öq  die  beiden  Hai 
axen  der  Ellipse;  also  unter  dieser  Voraussetzung: 

42) 
oder 


43) 
Are.  i(=  ^  tang,p)  =  aM.^f.-^-^-ß^^-^ 

m 

—  a  2A  9/_ £? 

~    "    "J  1 6«'-'  +  (a„«-  6„»)cos9)*h" 
_*1  /*         8y     

6 .  J  (1  +  «« 


*cos9)*)i 


2U  • 


r. ; 


Es  ist  schon  oben  erinnert  worden ,  dass  es  in  dieser  Abhand« 
hig  nicht, meine  Absicht  ist,  mich  sehr  viel  mit  Transformationen 
ier  gefundenen  Fundamental  -  Integrale  zu  beschäftigen ;  deshalb 
bkt  man  für  jetzt  4^  vorstehenden  Transformationen  nur  als  bei- 
kofige  Bemerkungen  zu  betrachten. 


§.  10. 


Wir  setzen  nun /ferner 


(Oa  =  Are  A^tn  (  =  Or)  • 

liist 

e    a 

l<  folglieh  nach  18) : 

dx:    


■'  ..  I 


a 
8(0« 


■'        <■'  ■     '' 


(S«»»)«    y  tf„2(8nWn)*  +  6a*(®n(ön).*~2an6„COSa„0a«„SnJlh. 

';..■■■>'.■. 
i        '     ,  •■       .       .  -- 

ist  aber  nach  den  Lehren  der  Differentialrechnung 

a  a 

8(0« Sön      Sa:  - 

ScOii  dcOn 


S70 


a 

da«      ,       8.r 

-    ^»M        I         •  - 


und  folglich  nach  dem  Vorhergehenden: 


a        e 
8ArCn^n(==ar) 

da; 


=  —  (S„S)n)*V  a«*(S«^)*+6*«(e««n)^--2an6«cosa„6«On  S„  JL 


Weit  aber 

1  ==  (0,».)«+(S«».O*=(S.««)«  J1+(t^"J  j . 


also 


ist,  so  ist 


l  =  (Snk)«{l  +  (L^)«)  =  (l  +  a:«)(Sn(^)« 


(Snlnd^^Y+J^.    S„^=±yX+P* 


Nun  ist 


e     a  e    a    e   a  e    a 

also 


®»»»=±V7T^' 


mit  Beziehung    der   oberen   und   unteren  Zeichen   auf    einan« 
folglich  allgemein 


e     a   e   a 


X 


und  daher 


e    a  e    a  e    a       e    a 

fln^CSn  ö)«)^+6n^(®nWn)^— 2an6nCOSan  ©nCön  S«a>„ 

__  an^j--2an6n*rcosan+6n^^* 


271 


AIm  ist  nach  dem  Obigen: 


44} 


oArciiXii(=^)=: r öa:. 


nd  folgfieb  umgekehrt : 


Are«X«(=ar) 


=-/- 


45) 
(1  +  x^)S\  +0:« 


da:. 


Setzt  man  drsaeetg),  und  nimmt»  was  offenbar  immer  ?erstat- 
fkt  ist»  9  so,  data  ain9>  positiv  ist,  so  ist 


|I-|-d^=co8ec9^,    Vl+j:*=co8ec9,     (l+a:*)Vl+Ä=eosec9'; 

■ 

ffBroer 


=r  coaec^V^ai^in^'— SanfrüCosttitsin^cos^  -|-  6«^  cos9^ 


8ar  =  — 


8 


8y 
ing)^' 


ist 


46) 


i%i(=dr}  =  /  89  V^aa^sing)^ — 2aii6iiCosaii8in9COS9>  +  ^^099^  • 


wir 


6iia?—  gnCOscTn 

ffaSlDan 


=cot9. 


nehmen  wieder,  was  offenbar  verstattet  ist,  9  so,  dass  sing) 
iat>  so  iat 

fl« ,  ,    .  ,   V      c«    sin  («„  +  g)) 

'     «=  T-  (cOSOfn  +  SIDtffi  cotg))  =  T- lü,— — ^  » 

On  Oft  singj 


,      bjhintp*  +  a«^8in(i»i.  -f  y)*     • 
,,  .     -,.      |6,«8iny«+a.»8iii(tt«  +  y)«!' 

Ferner  ist 

,  .,   . 

»In*  —  2aji6fiJ:cosart  +  6n*a:*  =  (bno:  —  CnCos««)* +anVnian'' 

:.  .        ■    !  .        '      .   ■ 

also 


^ 


.  f    !         .  !         j  • '. .  . :  I         .      .     . 

und 


8j?  = i .   — H  9 


__      rrnSincxn      09 

An        '  8109?* 


also 


I  ■  .■. 


SxSf  On^-'^anbnaco^ccn  -f-  bn^a:^= ^ — 7-  •  ^^3  ' 


Folslich   ist 


'o 


X^ttn^  —  2anön:rcosan  +  bn'^X^  r, 

2/    2   •  2      _ -^ 

also  nach  dem   Obigen 

47)  Arc„Lh«-».?^^^^?^)j 

^  (      6n        Sing)       I 

2A  2  •       2   /^  5y 

Für  «0=90^  sind,  wie  schon  früher,  Qq,  b^  die  beiden  F 
axen  der  Ellipse;  also  unter  dieser  Voraussetzung: 


ArcoXo  l  =  ^  cotg>)  = 


273 

48) 


Sy 


oder 


49) 


Are. "5o^^=  ^ cot,»^  =  ao^6^y  [a,^-(a„i-b,^)ainv*]l 


dtp 


^/ (1  —  Co*sing)*)i 


6^ 

«0 


Bq> 


fo*cosg)«)i ' 


Setzen   wir 


ist 


ibo  nach  24) : 


k 


e    a 

6     a 


^ 


§.11. 


a  a       e 

a)n = ArciiSc«( = x) 


e    a 
X=SCn(0n9 


e    a  e     a  e    a     e    a 

afi*(Sna)«)*+6n^@naJn)*— 2an6nC08an©nC3DnSnfi)ii 


bt  aber  nach  den  Lehren  der  Differentialrechnung: 


a             a 
S<On ScOii        Bx   - 

•    "~  Sät  *     «    ""    * 

dcOn  doOn 


itai  XVIll. 


19 


274 


OCDn 


und  folglich   nach  dem  Vorhergehenden: 


a       e 


8ArcitScii(=£) 
dx 


9    m 


P5_(n_4  /  e    a  e    a  e     a      e    a 

=  tVV  fl«*(Sn«)„)«+6„2(©„con)*— 2a„6«cosa„e«a)«S„G)„ 


Tmco» 
Weil  aber 


e       a  I  e    a  \ 

Scncpn  =  a:r=-^-j- ist,    so  ist   ®na)n=  — 

QnCDit 


und  folglich 


e    o  e    a  'i;^ 1 

(S„i»«)«=  1  -  (3,0),)«=  — Tä- 


Also  ist 


e     a 


folglich 


e    a 


vro  mau  das  obere  oder  untere  Zeichen  nehmen  muss,  jenach« 

e     a         e       e  e 

TnCi>«  =  Tn(  ArC„SCn(  =  ^)  ( 

positiv   oder   negativ   ist.     Immer  mit  dieser  Bestimmung   we 
des  Vorzeichens  ist  also 


e    a 


=  + 


und 


275 


e    a  e   a     e    a  ^  rjfl \ 

S«Q>n=  ®«C0RT«(O|i=db Z * 

X 


also 


an*(Safi>«)*+6«*(©„cöfi)*— 2a«6«cosa«©n(öfiSnO}« 

Polglicb  ist  nach  dem  Obigen: 

50)  aArc„Sc5„(=ar) 


ud  umgekehrt: 


a         e 


^±/arV^är 


öl)  ArcnScn(  =  x) 

V'br?  +  üf?  {x^-l)  T2an6neosgnV^^^^  p^ 


'Welche  Formel  wir  jetzt  der  Kürze  wegen  nicht  weiter  umgestal- 
ten wollen. 


§.  12. 


Wir  wollen  nun  ferner 


Mtzen^  80  ist 


a         a        e 
(On  =  ArCjiGCfi  (=  x) 


e       a 
X  =  QcnfOn  , 


;vid  folglich  nach  24): 

r 

19* 


276 


«    a 


doh,  S„  ©„  Y  a„«(SnW«)H»ii*(©««i«)*-2a«6„cosa,ei.^i 

Nun  ist  aber  nach  den  Lehren  der  Differentialrechnung: 

a  m 

don      dcofi       dx  . 


a  g^    *       a 


also 


a 

dcDn      «     da: 
-7;—  =1: 


CO}» 

und  folglich  nach  dem  Vorhergehenden: 


a         e 

8ArcnCcn(=>r) 

3a: 


e    a 

8 


Weil  aber 


^«W«    ▲  /  e    m  e     a  e   a       e    a 

TIT"  Y    ffn*(Snfi)n)*  +  6ii*(®na)n)*-2an6nCOSa»0„a)„  S„C3 


®CM(ön=a:  =— 7-5 ist,    so   ist     SnWn  =-: 


und  folglich 


e     a  e    a  ^2 \ 

®„G)„=:1  —  (SnCOn)^  =  — -2—  ' 


X' 


Also  ist 


e    a 


•SnWn 


folglich 


c    c 


wo  man  das  obere  oder  untere  Zeichen  nehmen  muss,  jenachi 


277 


%n€Dn=  Xn  \  ArC«0C«  (  =  O? )  j 


mUit  oder    negaliv  ist    Immer  mit  dieser  Bestimmung  wegen 
«8  Vorseichens  ist  also 


0    a 


=  ± 


e    a  e    •    e    a  V"^^  ^~  i 


iko 


OnHSn  a>«)*+6«*(0na)n)*—  2a«6nCOSan  ©nWn  S„Wn 

an*+6n?(?^l)T2a„6„co8a„V^a^ 

^;2  ^ .1..  • 


X 


Felglidi  ist  nach  dem  Obigen: 


62) 


a        e 

3Arc«©Cn(=a:) 


Hmgekebrt: 


53) 


a  e 

Arcn0en(=ar) 


=.:ffl_JL_\raifl+bnH^^-l)  T 2an&i»costf« V  ar« - 1  g^ 


$.  13. 


Sei  jetzt 


«         a        « 
fiOn  =  ArCnS  Vn(= J?)  ^ 


278 

also 


SO  ist  nach  22)  und  7): 


«    a 
OX  SnGhi 


8««  Y  ««^  (^«  o)n)2+ ön«(0na)«)2— 2a„6„cosa„@„a>n  sjan 


Nun  ist  aber 


a           a 
doOn SoOn      Sx    - 

ScOn  9cOn 


also 


a 

OOÜn 

und  folglich  nach  dem  Vorhergehenden: 


a         e 

SArCn  Svn(=a:) 


So: 


^V 


ea  ea  e      a       e    a 

~r~i  'V    an^(SnO)n)^+bn%^nO)n)^—2anbnCOSan^n(On  S/i  CO, 

SnCOn 


Weil  aber 


«       a  e      a  e      a 

SvnCOn=^=l  —  ©nCOn,      also      @n(ön=l  —  ^ 


ist;  so  ist 


(Snw„)2=  1  -  (0„wn)2=  1  -  (l^a^)^=  a:(2-.r) , 


und  folglich 


e    a 


wo  das   obere  oder  untere  Zeichen  genommen  werden  muss, 
nachdem 


270 


e    a  •       a       e 


positi?  oder   negativ  ist.    Ferner  Ist 


ea  ea  e    a    e    a 

«ii*(SnCOfi)^+  6fi*(S>nü)ii)*  —  2anÖnC0San®nCi)nSna)n 


folglich 


54)  8Arc„Sv„(=;r) 


\faf?x{t^x)  +6«*(1  -x)^  T  2an«6neosa„.(l  -  j:)  V^a:  ( 2  -  x) 
.4.1 ^.^^^^_,,,^ g^ 

ler  umgekehrt: 


a       e 

55)  ArciiSvn(=a:) 


/^y^a„*a:(2-a:)+6„2(l— a:)«T2ci„6„cosan.(l-:r 


-:r)V"a(2-a:) 

8j:. 


§.  14. 


Sei   endlich 


•  a  e 

COn  =  Arcn©  Vn  (  =  a:)  ^ 


•0 


e       a 


B  ist  nach  22)  und  7) : 


8x  ®nCOn 


■^i«         ^  Ml^ ^ , 

'••  Y   a««(S«CO«)2+6n*(@nWn)*-2a„6aCOSan0«(öiiSnWn 

kn  ist  aber 


280 


a  a 


also 


a 
dcOn       t         Sx 

0(0n 

folglich  nach   dem  Vorhergehenden: 

a         e 
SArc«©Vn(=£) 

dx 

—  __  4  r  e    a  e    a  e    a     e    a 

""  *;."       V    On*(Sii(ön)*  +  6»*(«3«a)rt)*— 2a«6«COSa„©nO»SnG)n 


Weil  aber 


e       a  e    a  e    a 

®V||CO«=a:=l — SnfiOii»    also    SnC)n  =  l  — a: 


ist;  60  ist 


(0n w«)2  =  1  -  (S„«„)2=  1  -  (1  - a:)2  =  o:  (2-0:) , 
und  folglich 

e    a  

0nG)n  =  ±Vo:(2— .r), 


WO  das  obere  oder  untere  Zeichen  genommen  werden  muss^ 
nachdem 

e    a  e       a  e 

©„Q)„=z:  0„{  Arc„ev„(  =  o:)  i 

positiv  oder  negativ  ist.     Ferner  ist 

e    a  e    a  e    a     e    a 

ün^SnCün)^  +  ^«^(SnWri)^— 2«n^/»COS0f/i@nCö«SnCan 


folglich 


281 


66)  dArG«®v.(=:r) 


tder  umgekehrt: 

f  57)  Arc«0v„(  =  a:) 

_  ry/  6i.%(2— a:) + a«2(l— a:)2 + 2an6„cosa« .  (1— a?)Vi(2^ 


Zweite  Abtheiluiig. 


$.  15. 

• 

Es  ist  schon  im  Ohigen  bemerkt  worden ,  dass  weitere  Ent- 
rickelungen ,  Anwendungen  und  Umformungen  der  in  der  vorherge- 
lenden  Abtheilung  gewonnenen  Formeln  jetzt  nicht  zu  meinem  Zwecke 
gehören.  Dagegen  würde  aber  das  Vorhergehende  sehr  unvoli- 
ständig  sein ,  wenn  es  nicht  mügiich  wäre ,  für  die  im  Obigen  ein- 
eeführten  Functionen  der  elliptischen  Bogen  eine  ähnliche  Theo- 
rie zu  entwickeln 9  wie  dieselbe  die  Mathematik  schon  seit  langer 
^it  för  die  sogenannten  goniumetrischen  Functionen  der  Kreis- 
bogen besitzt.  Freilich  stehen  der  E^twickelung  einer  solchen 
Theorie  für  die  aus  dem  Obigen  bekannten  Functionen  der  ellip- 
tischen Bogen  mancherlei  Hindernisse  im  Wege;  indess  halte  ich 
dieselbe  nicht  för  unmöglich ,  und  will  versuchen,  in  dieser  zwei- 
ten Abtheilung  der  Torliesenden  Abhandlung  die  Grundlagen  zu 
fBtwickein,  auf  denen  nach  meiner  Ansicht  aiese  Theorie  aufge- 
führt werden  muss.  So  weit  auch  das  Feld  neuer  mathematischer 
Untersuchungen  mir  zu  sein  scheint,  welches  durch  die  im  Fol- 
genden entwickelten  Fundamentalsätze,  wobei  ich  mich  absicht- 
fich  ganz  elementarer  Methoden  bedient  habe ,  eröffnet  wird ,  so 
werde  ich  mich  doch,  meiner  Absicht  in  dieser  ganzen  Abhand- 
hing gemäss,  für  jetzt  eben  nur  auf  jene  Fundamentalsätze  be- 
schränken, indem  ich  die  weitere  Entwickelung  der.  Theorie,  wel- 
cher dieselben  zur  Grundlage  dienen  sollen,  späteren  Abhandlun- 


282 

gen  vorbehalte,  zugleich  aber  auch  die  geehrten  Leser  des  Arcl 
ersuche,  diesem  Gegenstande  ihre  Aufmerksamkeit  zu  widn 
Wenn  ira  Folgenden  einiges  ganz  Bekannte  über  die  Berühren 
und  die  Durchmesser  der  Ellipse  vorkommen  wird,  so  bitte 
deshalb  um  Verzeihung;  es  ist  theils  der  hier  angewandten  . 
thode  der  Entuickelung  wegen,  theils  um  den  späteren  Sätzen  < 
mögliehst  leichte  Verständlichkeit  zu  sichern,  mit  aufgenomi 
worden. 


§.  16. 

Die  Gleichung  der  Ellipse  in  Bezug  auf  das  System  ihrer  1 
den  Axen  ist  bekanntlich : 


■)     (2)'+(2;-- 


Mo 

• 
Um   nun  die  Gleichung  der  die  Ellipse    in   dem  in  ihr  liegen« 
gegebenen  Punkte  (X^Vfi)  Berührenden  zu  finden,  nehme  man 
der  Ellipse  einen  zweiten  durch  die  Coordinaten  Äq^JXq,  F(,-fz 
bestimmten  Punkt  an,  und  denke  sich  durch  die  beiden  durch 
Coordinaten  Äq,   Yq  und  ÄQ-^■JX^y,    Yiy+JYQ  bestimmten  Pun 
eine  gerade  Linie  gezogen,  deren  Gleichung  nach  den  Lehren 
analytischen  Geometrie  bekanntlich 

?/o  —  F,)  =  jj^     (Xe  —  Xq) 

ist.    Weil  die  durch   die   Coordinaten   A^,     Yq    und    A'^j  +  J 
Fo  +  ^lo  bestimmten  Punkte  beide  in  der  Ellipse  liegen,    so 
ben  wir  nach   1)  die  Gleichungen 


und 


durch  deren  Subtraction  sich  die  Gleichung 

also  die  Gleichung 

iX„JXo-\-JXo^-       «..«' 


283 

ifcr  die  GleidiaDg 
•giebi    Hierans  folgt 

nd  die  Gleichung  der  durcli  die  beiden  Punl<te  {X^Y^  und 
{X^-{JXq,  Yff\-JY,i)  gehenden  geraden  Linie  ist  fulglich  nuch 
dem  Obigen; 

LSsst  man  nun  jdX^  sich  der  Null  nähern,  so  wird  auch  /lY^ 
eich  der  Null  nähern ,  und  die  beiden  durch  die  Coordinaten  JTo» 
Tq  und  Xq-^JILq^  Yq+JYq  bestimmten  Punkte  der  Ellipse  wer- 
den immer  genauer  und  genauer  mit  einander  zusammenfallen, 
die  durch  den  Punkt  (^0^0)  stehende  ßertihrende  der  Ellipse 
wird  aber  offenbar  als  die  Gränze  zu  betrachten  sein ,  welcher  die 
dnrch  die  Punkte  (XjYq)  und  (X^y+ JXq,  Yq+JYq)  gezogenen 
geraden  Linien  sich  immer  mehr  und  mehr  nähern,  wenn  man 
JXq  sich  der  Null  nähern  lässt.  Also  wird  die  gesuchte  Glei- 
chung der  Berührenden  der  Ellipse  in  dem  Punkte  (XqYq)  die 
Gleichung  sein,    welcher  als  ihrer  Gränzgleichung  die  Gieichang 

^  Äo^   2X0  +  JX„ 

lieh  nSherf ,  wenn  man  sich  JXq  der  Null  nähern  lässt.  Da  aber, 
wenn  ^Xq  sich  der  Null  nähert,  auch  JY^  sich  der  Null  nähert, 
80  ist  die  Gränzgleichung  der  vorstehenden  Gleichung  offenbar 
die  Gleichung 

b,,'^Xo 

Wo      •«   ü 

"  I 

imd  diese  Gleichung  ist  also  die  gesuchte  Gleichung  der  Berüh- 
renden der  Ellipse  in  dem  Punkte  (XqYq)  derselben. 


§.  17. 

Durch   den  Punkt  (X^^Yq)  der  Ellipse  ziehe  man  jetzt  einen 
Dorchmesser  derselben,     so  ist  der  diesem  Durchmesser  conju- 


284 

^rte  Durchmesser  der  Ellipse   bekanntlich  der  durch  den  Punkf  ^ 
(^Fq)  gehenden  Berührenden  derselben  parallel.    Diese  beideo  " 
conjugirten  Durchmesser  nehme  man  jetzt  respective  als  die  Axeo 
der  Wn,  yn  eines  schiefwinkligen  Coordinatensystems  der  Xnyn  m, 
welches  seinen  Anfang  im  Mittelpunkte  der  Ellipse  hat^  wie  über-  i 
haupt  alle  hier  zur  Betrachtung  kommenden  Goordinatensysteme.  | 
Sina  nun  Uy  v  in  dem  Systeme  der  beiden  Axen  der  Ellipse,    d.  i 
h.    in   dem   rechtwinkligen  Systeme  der  ^o^o'     ^^^    Coordinateo  ^ 
des  Fusspunktes  der  Coordinate  yn  auf  der  Axe  der  orn;    so  ist» 
wie  sogleich  erheilet: 

und ,  wenn  a:^ ,  y^  in  dem  Systeme  der  beiden  Axen  demselbeä  | 
Punkte  der  Ellipse  wie  Xm  yn  in  dem  Systeme  der  beiden  coo*  j| 
jugirten  Durchmesser  entsprechen:  v 

Da  aber  In  Bezug  auf  das  System  der  beiden  Axen,  wenn  wir  ; 
jetzt  Xqj  Vq  als  veränderliche  oder  laufende  Coordinaten  betrach-.  ' 
ten^  die  Gleichungen  der  beiden  conjugirten  Durchmesser  offenbtf  f 

yo  =  Y"  ^O        Wnd      ^o  =  —  ~2V~  ^o 

■A 

sind,  wobei  man  den  vorhergehenden  Paragraphen  zu  vergleichen  * 
hat;    so  haben  wir,   wenn  jetzt  xq,  i/q  wieder  ihre  obige  Bedeu- 
tung haben,  offenbar  die  beiden  Gleichungen 

v=Y-u  und   ?yo-i?  =  -7-2F-(a:o— w). 

^0  "0    ^o 

Aus  den  Gleichungen 

b  ^X 

"0     ^0 


ergiebt  sich 


yn^  =  jl+  -^yA  (^0  -W)^=  ^~4F;;2 ('^0— m)*. 


also 


____«0^'o.yn 


285 


''  WO  wir  mis   die  Quadratwurzel  im  Nenner  positiv  oder  negativ 
fesemmeD  denken  woUen.  Verbindet  man  dies  mit  der  Gleicnung 


SO  erhält  man 


^o 


—U=-7=^^i 


Viio*Ko«+  60*2:0*' 


yo-^=— 


bo^Xf^f 


VV^o^  +  Äo^Ac*^' 


I  «ro  man  die  Quadratwurzel  in  den  Nennern  sich  positiv  oder  ne- 
gativ genommen  zu  denken  hat,  dieselbe  aber  in  beiden  Formeln 
stets  mit  demselben  Vorzeichen  nehmen  muss.  Ferner  folgt  aus 
den  beiden  Gleichungen 


y 


sogleich 


*-*=^*+¥«i«*= 


-*0 


also 


=  > 


wo  man  fsich  die  Quadratwurzel  im  Nenner  positiv  oder  nesativ 
genominen  denken  kann.    Verbindet  man  dies  mit  der  Gleichung 


^^0 


io  erhält  man 


X^t 


V^Z?+Fo» ' 


YqXh 


v  = 


srÄoHYo"' 


wo  man  die  Quadratwurzel  in  den  Nennern  sich  positiv  oder  ne- 
giÜv  genommen  zu  denken  hat,  dieselbe  aber  in  beiden  Formeln 
,il^  mit  demselben  Vorzeichen  nehmen  muss.  Weil  nun  nach 
I  dem  Obigen 


286 


ist  9  80  ist 


^O^n bo^Xoyn 


also 


2o ^  ^w  ,  Oq  Yo?ln 

und  folglich  9  wenn  man  quadrirt  und  addirt: 

also,  weil 
ist: 


=  1. 

Setzen  wir  nun,   die  Quadratwurzeln  positiv  nehmend. 


3)  c/„=VAo^+  Fo^  6„=  --^  VVFo2  +VAo^; 

so  wird  die  vorstehende  Gleichung: 


287 

(reiches  die  Gleichuns  der  Ellipse   in  Bezug  auf  die  beiden  con- 
ogirten  Durcfamesser  ist. 

Für  yn=0  ist  a:n  =  db«n,  und  für  arn  =  0  ist  yn^iJibn,  wor- 
[is  man  sieht,  dass  an,  bn  die  Hälften  der  beiden  conjugirten 
'orchmesser  sind,  welche  wir  als  Axen  der  Xn,  yn  angenommen 
iben,  so  dass  also  die  Gleichung  der  Ellipse  in  Bezug  auf  zwei 
iliebige  conjugirte  Durchmesser  ganz  von  derselben  Form  wie 
e  Gleichung  In  Bezug  auf  die  beiden  Axen  ist. 

Sind  Xny  Tn  die  Coordinaten  eines  beliebigen  Punktes  der 
liipse  in  Bezug  auf  die  beiden  in  Rede  stehenden  conjugirten 
urchmesser  alsCoordinatenaxen,  so  findet  man  ganz  auf  dieselbe 
rt  wie  in  dem  vorhergehenden  Paragraphen,  dass  in  diesem 
fsteme 

ie  Gleichung  der  durch   den  Punkt  (XtFn)  gehenden  Berühren- 
en  der  Ellipse  ist. 

Bezeichnen  wir  die  Coordinaten  des  Durchschnittspunkts  die- 
er  Berührenden  mit  der  Axe  der  Xn  durch  {xi^,  (yn);  so  ist, 
ie  man  mittelst  der  vorhergehenden  Gleichung  leicht  findet: 

<^->= b^Xn '     ^"^=^' 

her  nach  4),  weil  der  Punkt  (XiFn)   in  der  Ellipse  liegt: 

ibo  nach  dem  Vorhergehenden: 

6)  (ar„)=-£^,    (^n)=0. 


§.18. 

In  Taf.  HI.  Fig.  2.    seien   jetzt    0A=««,^   OBn^bn   und 

.,=:af^fi,  OÄn-f-i  ==  An-i-i  zwei  Systeme  conju^irter  Halbmes- 

ler  um  den  Mittelpunkt  O  beschriebenen  Ellipse.     Von  den 

ikten  An  und  An^\  in  der  Ellipse  an  seien,  indem  im  Folgen- 

immer  die  oberen  Zeichen  dem  Falle  Fig.  2.  a.,    die  unteren 

len  dem  Falle  Fig.  2.  b.  entsprechen,   die  elliptischen  Bogen 


^ 

AnA„^l  =  m, 

+  4B+iAfa  =  « 

'.fi 

1 

abgeschnitten . 

.  wo  dann 

=  l»nH  Wnfi 

1 

ist.     Durch  ^„j,  und  ^„fj  seien  mit  Oß„  die 
und  A«^B'.    durch  A„^,  sei  mit   Oß„+i   die 
gezogen.     Dann  ist 

r'arslUlen  ^, 
Purallele   A^ 

1 

^ 

OB         '      ' 

,  --t^=L:. 

i 

ma 


Zieht  man  nun  noch  durch  B"  die  Parallelen  f'C  und   B'L 
spective  mit  OBa  und  OAni  so  ist 

04h-i;0ä"=  OB.OC^A^iBtB'C; 

abo  nach  dsm  Obigen 


folgt 

Bezeichnen  nir  nun  die  Coordinaten  in  dem  Systeme  der  i 
jugirten  Halbmesser  a»,  bn  Oberhaupt  durch  xn,  y-,;  die  Ooc 
naten  des  Punktes  An^i  in  diesem  Systeme  durch  Xn,  Y^; 
ist  nach  5)  die  Gleichung  der  geraden  Linie,  ia  welcher  det 
OAn-^i=an^x  coDJugirte  Halbmesser  OBn^i-=s,bn-\-i  liegt,  in  i 
Systeme  der  x»^: 


289 


Bezeichoeo  wir  die  Coordinaten  der  Durchschnittsjpunkte  dieser 
Uoie  mit  der  Ellipse  in  dem  Systeme  der  ;rtt9n  der  Kfirze  wegen 
imeh  Xn,  yn  selbst;  so  hat  mad  zu  deren  Bestimmung  die  Glei- 
efcBBgen: 


denen  sich 


x,-\»  ,   6,ajf,a   ra?«-^«      a,2F„a+6««J:„2ra:V 


«»«r»« 


CfJ='^ 


,al6o,  weil  der  Punkt  (XnYn)  in  der  Ellipse  liegt,  und  folglich 


ist: 


M.rnJ-^'     ^  =  ±''^"  =  ±^'''- 


anYj- 


bn 


pebt.    Verbindet  man  hiermit  die  Gleichung 


Xn9 


erhält  man,  mit  Beziehung  der  oberen  und  unteren  Zeichen  auf 
Inder: 

JBiemach    ist  offenbar,    wenn  wir  Bn-\-iE  mit  OBn  parallel 
'  'len: 


OEz=T-»An  +  lB,  Bn-\-lEz=. — 'OB\ 

On  ^  an 


nach  dem  Obigen 


On 


e    a 


OE=T-»bnSn<Ou,    Bn-^lE= 


bn  ^    ^ 

--  •  ün^nOhi ; 
On 


MJlLVin. 


20 


290 

Nun  ist 

also  nach  dem  VorhergehendeD : 

e    m  €     a  e         a 


e   a  6     «  e         a 

1 :  anSnGDfi :  ^nSnOOn  =  +  Sn+KOn-l-i :  B"D  l  An^^D ; 


folglich : 


e    a    e        a  .    e    a    e        a 

B"D  =  +  anSfiGOn8n-|.10i)f|.f  1 ,  Anr^^D  =  J: bn^nfXhJ^n^ltOn^l^ 

Es  ist  aber 

also  nach  dem  Obigen: 

e       a         a  e     a     e         a  e    a    e         a 

ttn0n(Wn+  Oln4-l)  =  «rn07i(ön®n4-iein+l  —  anSnWnSji-j-iWn+l, 

ea  a  e    a    e        'a  e     a    e         a 

bnSn{(On  +  Wn+l)  =6nS„C)n0n+lCön-|-l  +  ÖnSnWnSn+lWTi+i; 

folglich 

!e      a  a  e    a     e  a  e    a    e         a 

©tt(ß>n  +  (W«  l-l)  =  ©nWnSn+lWn+l  —  SnWnSji-f-iOOn+l, 
ea  a  ea6  a  eaea 

Sn((ön  +  Wn+l)  =Siiain@n+lG)n+l  +  ©nWnSn+lCOn+l  • 

Weil  bekanntlich 


e      a        a 

^    «        «  S„(a)  +  a)„+i) 


T„(a}n+Wrt+l)=:-— - 


a 
@n(a}/t  +  <»n+l) 


2»1 


e       a 


SnicOn  +  ß)n+l) 


;  so  ist  nach  7) 


e  a     e         a  e    a    e 

e      a 


T«(coi«+i«B+i)= 


SnOJii@n-t-lfi)n4- 1  +  @nM>tSn-|-iCJh-t-l 

_,^  ■  ■  ■ 


e    a    e  a  e    a   e         a 


®nß^i®n+ia>n+l  —  Siifi)A8n-|^lfi)ti+l 


SnWnSn+lWfi+l  +  CnOOnSn+lCOn+l 


>,  wenn  man  im  Zähler  und  Nenner  des  ersten  Bruchs  mit 


e    a     e         a 
®nG)ii&n4-l(anfl, 

Zähler  und  Nenner  des  zweiten  Bruchs  mit 


e    a     e        a 
SnOOnSft+lOn-fl 

dirt: 

T„(C0»  +  a)n+l)= ^-^^ i y 

1 — TfiOnTn^-KOiiil 

e    a    e  a 


f  «t»  (CO«  +  ©n+i)  =—^-5 ; 5 


Die  Formeln  7)  und  8)  sind  diejenigen  Formeln .  auf  welche  nach 
»er  Meinung  die  Theorie  der  in  dieser  Abhandlung  eingeführ- 
I  Functionen  der  elliptischen  Bogen  gegründet  werden  miisste, 
IS  aach,  nachdem  nun  bereits  die  obigen  Grundlagen  dieser 
ieorie  gewonnen  woitien  sind,  einer  wesentlichen  Schwierigkeit 
ix  anterliegen  durfte,  ohne  dass  für  jetzt  eine  weitere  Ausfüh- 
%  dieses  Gegenstandes  meine  Absiciit  ist. 


20* 


292 


§.  19. 


Wir  wollen  nun  zeigen »  wie  das  Vorhergehende  sich  auf 
Rectification  der  Ellipse  anwenden  lässt,  bemerken  aber«  d 
wir  dabei  verschiedene  We|i:e  hätten  einschlagen  können«  den 
genden  Weg  jedoch  deshalb  gewählt  haben,  um  uns  so  viel 
möglich  der  Methode  anzuschliessen,  welche  man  bei  der  Rc 
fication  des  Kreises  in  Anwendung  zu  bringen  pflegt. 

Der  Kürze  wegen    nehmen  wir  im  Folgenden  die  Gross« 
positiv  an.    Lassen  wir  dann  den  durch 


e 


ArCnTn(=a:) 

bezeichneten  elliptischen  Bogen  den  z (irischen  den  Schenkeln 
Winkels  ccn  liegenden  elliptischen  Bogen  nicht  übersteigen, 
ist  nach  I.  39)  offenbar 


e  p: 


A        -T  /         N       /^^  V/^n^— 2qi»6narC0SCfn  +  ün^X^  ^ 

ArcjiTn(=:a:) = /     ex . 


(l  +  x^)VT+^ 


Wenn  nun  x  kleiner  als  die  Einheit  ist,    so  ist  nach  dem  Bi 
mischen  Lehrsatze 

«.    ,      ,      3   «      3.5    .      3.5.7     ^ 
(1 +  a:2)-2  =  1-2^^ +  2.4^   •^23:6'^    +••' 

und  folglich  nach  einem  aus  der  Integralrechnung  bekannten  Sal 
immer  unter  der  Voraussetzung,  dass  x  kleiner  als  die  Einheit! 

9)  Arc„T„(=ar)  =      ß      dx Vön^^2anbna:cos a„ + ä^^ 

o 

Q        /^x 

—  ^   /     x^dxV^bn^—^anbnXCosan-i-an^x^ 


3.5    px  

0 
—  9~4~ß    /      X^OX^bj? — 2anbnXQOSan-\-aT?3fi 


0 


293 

Es  kommt  also  hierbei  vorzüglich  auf  die  Entwickelang  des 

■,  die  sich  auf  verschiedene  Arten  ausfuhren  ISsst.  Hier  wird 
•  zu  meinem  Zwecke  genügen ,  nur  auf  die  folgende  Methode 
inznweisen. 

Man  setze 

,^.  ^  anX  —  bnCOSda  On  . 

10)  tansop  =  — 7 — : =  7 — ; or«— cotcfn* 

'  ®^  OnSman  OnSinOn 

ier,  wenn  noch 

11)  cotd=7 — i —  X 

psetzt  wird: 

lox  *  ^a  *  sin(cfn  — ^) 

12)  tang9=cotd-cotan=  ^,^^^^,^q^ 

I 

pttdst  welcher  Formeln  sich  9  leicht  berechnen  lässt.    Dann  ist 

Änsino«       ...         V 
0?=  — (cot«n  +  tang^), 

Ufl 

folglich 5  wenn  man  nur,  was    offenbar  immer  verstattet  ist, 
iwischen  —5^  und  +0^  nimmt,  wie  man  leicht  findet: 


13)  ;r*8a:  V6n^^2a„6„arcosa„  +  af?x^ 
^n*^-^incifnH*    (cotctn  +  taugy)*  ^ 

"~  fln*"l"*  *  COS^'  ^ 

6iiH-«sinof«2   sin(aq  +  y)*  ^ 

«»*+*  cosqp*+^       ^' 

rch  ist  das  Integral 

/  x^dxyTbt?' — 'iOfiÄnarcosan  +  On^ar* 

auf  das  Integral 

'  tangg)/* 


3  ^9 
cosqp'     ^ 


294 

zurückgeffihrt,  welches  sich  auf  folgende  Art  entwickeln  lässt. 
Nach  einer  bekannten  Reductionsformel  ist: 

siny/*""*        fi— 1 /*siny/^^  p. 


sincp^' 


•*        |ii—  1  /*sinyA^~^(siny^-4-cosy^)  ^ 


3cosqp'*+* 

siny-"-^        ft—l  /^   siny/^  ^         fi — 1  /*sinyA*-^ 

—  3cös^+^        3J    ^;S^^8^^^     3,y   ^^^1^^ 

__  tangyM-i       |ii-l /^tangy.«      _  f^— 1  i^tangy/^-^ 
3cos9}^  3  ^/    C0S9)'    ^         3  ^/       cosqp'     ^* 

also 

14) 

/tang^^  tangyM— 1  jit  — 1  /^tangg)A*-2 

cosg)'    ^ ""  (f*+2)cos9)'        it*  +  2^       cosg)*     ^' 

Aus  dieser  Relation  ergiebt  sich: 

/tansjq?  ^     _  tanijcp^ 1 
cosqp^  ^      Seosgo^  ~~  Scosy^ 

/tangg?^^    __  tangg?^       1    P     dg) 
cosg)^     ^      4cosqp^       4^    cos(p^   * 

/tangy3      ^  tangy-^      2   Ptangq) 
cosg)^    ^      5cosg)^      5^    cosqp^   ^ ' 

/tangy^  ^    _  tangy^_^  3    /*tang^ 
cosg)^     '^       6cosqp3      Ö^/     cosg?'*^' 

/tangqpö      tangy*       4    /*tan^9^  « 

11.      s.      w. 


U.      S.      W. 


SO  dass  es  also  jetzt  bloss  noch  auf  die  Entwickelung  des  Inte 


/ 


COS(p' 


295 

Diommt    Es  ist  aber  bekanntlich 


/dtp     _    siny     ,[   P 
COS9»  ""  2casg)«  +  2j 


0 


lurch  nun  die  obigen  Integrale  vollständig  entwickelt  sind^  und 
ler 

Arci.fn(=a:) 

ner  gefunden  werden  kann,  wenn  nur  x  kleiner  als  die  Einheit 
,  was  hierbei  immer  vorausgesetzt  wird. 

Nach  I.  43)  ist  auch,  wenn  wir 

ArcoTo(=--tang9), 

ier  der  Voraussetzung,  dass  tangg?  positiv  ist,  nicht  grosser  als 
I  elliptischen  Quadranten  nehmen. 


d  weil  nun  «o^sinoo^  immer  kleiner  als  die  Einheit  ist,    so   ist 
ch  dem  Binomischen  Lehrsatze 

(1  —  Co*sing)*)-i 

•t      •      "  •      •  9        •      "•"  A      •  Am       3.5,7  Ä     •  «     • 

=  1+5 eö*sm9*  +  2;j ^o*»»n9>*  +  cjjg «o  smg?»  +  ..-., 
»  nach  einem  bekannten  Satze  der  Integralrechnung 


296 


1»)  Arcofo(=^tang9)) 

«0 


^3.5.7     .P9.     ^^     ,       I 


wo  man  zur  Berechnung  von 


/  Bmcp^d^ 


die  bekannte  Reductionsformel  hat: 

17) 

/,  siny'^-^cosy       A— 1  /*  .     .   ^ 

Bezeichnen  wir  jetzt  den  zwischen  den  Schenkeln  des  Winkel 
liegenden  elliptischen  Bogen  durch  Em  so  erhellet  aus  dem  Obi| 
lind  aus  den  bekannten  Eigenschaften  der  conjugirten  Durchn 
ser  der  Ellipse  sehr  leicht  die  Richtigkeit  der  folgenden  Zerlegu 

18)  £„  =  Arcnf  „(=1)  +  Arc„T„(=l) ; 

und  um  also  En  zu  berechnen ,  kommt  es  auf  die  Berechnung 
beiden  Bogen 

Arc„f„(=l)     und     Arcnf„(=l) 

an.  Wir  wollen  bloss  die  Berechnung  des  ersten  zeigen ,  welc 
hinreicht,  da  die  Berechnung  dieselbe  bleibt,  man  mag  den  el 
tischon  Bogen  von  dem  Endpunkte  An  des  Halbmessers  an  o 
von  dem  Endpunkte  Bn  des  Halbmessers  bn  anfangen  lassen, 
bekanntlich  das  Erste   bei  dem  durch 

Arc„fn(=l) 
bezeichneten  Bogen,  das  Zweite  bei  dem  durch 

Arc„f„(  =  l) 
bezeichneten  Bogen  der  Fall  ist. 
Weil  nun 


297 


_2  *^3  3+2 


*     2  3       *     3a 

t,  so  erhellet  aus  der  ersten  der  beiden  obigen  Gleichungen  8)  in 
18.    auf  der  Stelle  die  Richtigkeit  der  folgenden  Zerlegungen: 

19) 
Arc»T«(=  1)  =  Are„f«  (=  ^  )  +  Arc„+iT„+i  (  =  ^ ) 

er 

20) 

Arcnf„(=l)  =  Arc„f„(=g)  +  Arc„+if  n+i  ( =^2 )  > 

d  die  elliptischen  Bogen  auf  den  rechten  Seiten  der  Gleichheits- 
ichen  in  diesen  Gleichungen  wird  man  nach  9)  mittelst  conver- 
ender  Reihen  berechnen  könnnen,  wenn  man  nur  On^i,  An-fi» 
i.i  aus  den  gegebenen  an,  ön,  ccn  und  a:  berechnen  kann,  was 
Der  im  folgenden  Paragraphen  im  Allgemeinen  gezeigt  werden  soll. 


§.  20. 


In  Taf.  III.  Fig.  3.  sei 


bo 


An^xB  ^  OB        On     An^iB 

bn  On  bn         OB 


An^xB         OB      OB      1    Ari^xB. 


z=zx 


On 


9 —  •  7  > 

On         X  Qu 


nd  weil  nach  der  Gleichung  der  Ellipse  in  Bezug  auf  ihre  conju- 
irten  Durchmesser  bekanntlich 

t,  80  ist 

OB  1  An^xB oc_ , 


298 


folglich 


0Ä=-7i^.     A.^,B=     '""' 


a 


Weil 
und 

^  AnOBn  =  «n 

ist,  so  ist  offenbar 

anH^=  0^»+ A+iÄ«+2-OÄi4«+iÄ.cos««, 
also  nach  dem  Vorhergehenden : . 


2 . ^ , 


««+1  -  iq:^ 

folglich 

Van*+  2an6i»a;cosaii  +  Ä»*a:* 
21)  «"+t= y^=^^ . 

Nach  §.  18.  ist: 

also  nach  dem  Obigen: 

und  weil  nun 
ist,  so  ist 

also 


22)  6«+, 


V^l+^2 


299 


Ans  21)  und  2!2)  folgt  auch  sogleich  die  bekannte  Gleichung 

23)  a««  +  6»2=  a«+i2  +  6„+x». 

Nach  $,  18.  ist  die  Gleichung  der  geraden  Linie  >  in  welcher 
der  conjugirte  Halbmesser  OBn^i  liegt,  in  dem  Systeme  der  con- 
jugirten  Halbmesser  OAn,  OBni 


Xn, 


d.  i.,  weil  nach  dem  Obigen 

OB an_ 

An\\B         bnPC 

ist: 

_       bn 

Bezeichnen  wir  also  den  Winkel  AnOBn-\-x  durch  oi,   so  ist  nach 
den  Lehren  der  analytischen  Geometrie  bekanntlich 

bn  sinca 


•der 


anß>       sin(an — o^ ' 


sin(«ji— a>)       .  ,  anx 

-  =SinanC0tG9  —  cosorn  =  — 


smco 


bn' 


woraus 


cotcD  = 


ftnCOSOfn  —  OnOS  .  bnSmUn 

7 — i ,      tangoo  =  7 

6||SinO||  °  OnCOSffn — anX 


Mgi  Bezeichnen  wir  ferner  den  Winkel  AuOAn^i  durch  q,  so  ist 


ibo 


OB :  An^i  B=an:  bnx  =  sin(ait  -~  q)  :  sino , 


sin(aii— Q)        ,  ^_  an 

r-^= =  smanCOtG)  —  COSOTji  =r  7 , 

SinO  OnX 


ad  folglich 
coto 


^        g«  +  &itJ?COSttn 
bnX&lTi€tn 


tangd)  = 


6n^sinan 


an  -f  bnXCOSOn 


Nim  ist  tt^|  =  a> — o,  also 


300 

tangoo  —  tangS 
tangan+i  =     i  ^  tangG)taDgo     ' 

und  folglich  nach  dem  Vorhergehenden,  wie  man  mittelst  leicht 
Rechnung  findet: 

Q,. (l+a:^)anMincgn 

lA)  tanga«+i  —  anbncoson—  (aj?—bT?)x — UnbuX^oBOn ' 

Man  hat  daher    zur  Berechnung  von   On+i ,   bn^i ,  «n-f  i  ^^ 
den  gegebenen  an,  bn,  an  und  a:  die  folgenden  Formeln: 

__  V^(Zn^+2tinbnXC0San+  b-^X^ 


(l+a?^)fln6«sim>g» 

tanga„+i  —  ö„6„cosa«— (a«*— 6»2)a?— an6«a:*cosa«  ' 

Für  n=0  ist  «o=W)^,  also 


^^  VI  \x^ 

26)  )        ,  VV±«Z^ 

*  V^l+^2 


Für  ar  =  5  ist  z.  B.   in  diesem  Falle: 


27)  {  5«o6o  5^ 

l  '  \6o        «0/ 


Für  a;  =  ö    'st  in  demselben  Falle: 


301 


i«i  =  V  — ior—     6i -\  ^lö"— ' 

1 

^)  )  lOao^o  10 


\6o      Co/ 


In  dem  Falle»  wenn  n^O  ist,  kann  das  Integral 


^Teiches  in  diesem  Falle  in 


P'  x^dx'^bo^-Va^^x'^ 


abergeht,  auch  auf  folgende  Art  berechnet  werden. 
Nach  einer  bekannten  Reductionsformel  ist: 

o 


;«_a 


6i7o 


o 


—  lOflo« 


u.    s.    w. 


302 

•Setzt  man  nun 


wo 


M     n 

=:6o*secK*=: — ^-5- » 


gesetzt  worden  ist>  und  u  zwischen  — ^^  und  -^-q  ^    genomi 
werden  soll,  so  ist 


folglich 


S"         ^0^1,.        Q^«.*o      ^"    . 

COSM*         Oq  Oq     COStt* 


und 


Setzen  wir  nun  allgemein 

29)  [k]x  =r''xkd.x\rb^+^^ , 

a 

so  ist  nach  dem  Obigen 

r9i  — -^   sinz^      iVrni 

^^J^"-4c/o3'cosm4      4ao^'-"Jx, 

u.    s.    w. 


303 


und  nach  9)  ist: 


Arcofo(=a:) 


31) 
[0],-|[2],+  |^[4]: 


3.5.7 


Dass  die  Grossen 


[0]x,     [2]x,     [4]x,     [6]:r,   ..., 

insofern  x  positiv  ist,   sämmtlich  positiv  sind>    erhellet  aus  der 
Form  des  bestimmten  Integrals 


[k]jc=  fx^dx^fbo^^^uo^x^ 


anf  der  Stell^. 


§.21. 


Es  ist  schon  früher  erinnert  worden  >  dass  es  jetzt  nicht  meine 

e 

Absicht  ist,    eine  vollständige  Theorie  der  im  Obigen  durch  Sn, 

•         e         e 

S«»  T«,  %n9  u.  s.  w.  bezeichneten  Functionen  zu  liefern,  indem 
Ich  durch  diese  Abhandlung  hauptsächlich  nur  zu  weiteren  For- 
Mhnngen  über  diesen  Gegenstand  anregen  wollte.  Indess  kann 
ieh  nicht  unterlassen ,  zum  jSchluss  noch  Folgendes  zu  bemerken. 

Wenn  nämlich 

Miebige  aufeinander  folgende  Halbmesser  der  Ellipse,  und  wie 
gewöhnlich  deren  cenjugirte  Halbmesser 

OÄ«,    OÄ+i,    OÄ4^,  ....  0&4^ 

■ 

ttnd,  die  respective  durch 


«d 


On»     öii+i  >     ön-|-2>     flii+a»  ••••  ön-fm 


bn»     An+l  >     ^«+2»     A«4-3,  ....    On-fm 


Ikieichnet   vFcrden;    so  bezeichnen  wir  in  ähnlicher  Weise  wie 
[hber  die  elliptischen  Bogen 

AmAn^lf  An-^-iAn-^^»  ^ii-fa^n-|-3>    •••.    ^n-fm— i  ^«-l-m 

ittpective  durch 


304 


a  a  a  a  a 

Dann  ist,  wie  man  leicht  durch  Miiltiplication  findet: 

e     a         e     a        . e  a  e  a  

(©nWn  +  SnCOn.V  — 1)  (0n+i(On+i  +  Sn+i  (ön+i  .V — 1) 

e    a     e  a  e    a     e         a 

coe  a  e     a    e        a  /— — 

+  (»SnWfiSn+i  (On+i  +®nCO«SB4.i(iOn+i)V  — i)  , 

also  nach  §.  IS.  7): 

e    a  e    a 


(@nC3i)n+S|tCön  .  V^~l)(®«+ia)n4-i+Sn+i(öiH-i.  V^ — 1) 

CO  a  e       «  «  • 

=  &n((Xin  +  Wn+i)  +  Sn  (Wn  +  On+i)  .  V— -1 .  f 


Set/t  man  nun  diese  Multiplication  imaginärer  Factoren  we 
fort,    so  erhalt  man  auf  ganz  ähnliche  Art  wie  bei  dem  Bewc 
der  nach  Moivre  benannten  Formeln  in  der  Goniometrie  die 
gende  Gleichung: 


e    a  e    a 


32)  (®«ß}„+S„a)«.V-l) 

e  a  e  a 

X(0n+i  Gta+i  ±  Sn+i  üOn+i  •  V  — t) 

c  a  e  a  

X  (0n+2Cön-|-2  +  Sn+2  ^«+2   V  —1) 

e  ä  e  a  

X  (071+3  »n+3  ±  «^«+3  «ö«+3  •  ▼   -"  '  ) 

U.      S.      W. 


X(0n+m-iG}n4-m-i  +  Sn+ni-i  Wn+m-i  »V^— 1) 
e       a       a  a  a 

—       ®n(ö}n+Wn+i  +  Wn-f2+— +«»n+w-l) 

€      a         a  a  a  

+  ^«(ß>n  +  WÄ+l  +  «n+2+— +<»n+m-i).V  — 1. 

Hätte  man  die   elUptischen  Bogen 

a  a  a  a  a 

tön,       Cönj-ij       t3/2-|-2  »       W/i  J-3  ,    ....    Cön-f-m— 1 

SO  bestimmt,  dass 

e      a  e  a  e         a  e  a 

071  Wn=  071+1  0)«+!  =  (2„42^n+2=  •••  =  ©w+m-i  Wn+m— 1 

wäre,  was,  wie  sogleich  erhellen  wird,  durch  eine  einfache  g 
metrische  Construction  möglich  ist,  so  würde  wegen  der  G 
chung  I.  3)  auch 


305 


SfiaHi=S«+i  tOK^i  :=  S84^a)A44  = ...  ==  Sn-f  m-i  eon-f-m-i 

«ein,  und  die  obige  Gleichung  32)  würde  sieh  daher  unter  dieser 
Voraussetzung  in  die  folgende  verwandeln: 


e    a 


e   a 


33)  (e«w„  ±  SnW«  .  V-l)"» 

B     a  a  a  a 

=      &ii(0)m  +  (On+i  +  (ÖH+a  +  •••  +  eOn+m-i) 

e       a        a  a  a 

±S«(a)«+a)B+i  +  «»f«  +  -  +  Wü+in-i).  V  — 1  • 


Man  kSnnte  sich  hier  noch  eine  Menge  anderer  Fragen  vor- 
legen  5  wie  z.  B.  die  Entwickelung  der  buberen  Differentialquo- 
fienten  von 

ea  e    o  e    a  e   a 

SnCOs,     &fiC9fi5     TnCOn»      $iiGOn>  U.   6.  W. 

a 

in  Bezug  auf  On  als  unabhSngige  veränderliche  Grosse  mittelst 
Aer  in  der  ersten  Abtbeilung  gefundenen  ersten  Differen- 
tialquotienten dieser  Functionen,  wodurch  dann  zugleich  mittelst 
ks  Maciaurin'schen  Theorems  die  Entwickelung  der  obigen  Functi- 

a 

tuen  in  nach  Potenzen  von  con  fortschreitende  Reihen  gegeben  sein 
wfirde,  von  denen  die  bekannten  cyclometriscben  Reihen  beson- 
lere  Fälle  sein  mfisisten,  u.  dergl.  Aber  alle  diese  Untersuchun- 
len  mass  ich  späteren  Arbeiten  aufbehalten ,  und  wurde  mich 
BT  jetzt  nur  freuen,  wenn  ich  durch  das  Obige  vielleicht  auch 
ittderen  Mathematikern  Veranlassung  geben  sollte,  diesem  Gegen- 
ibnde  ihre  Aufoierksamkeit  zu  widmen. 


Tkeil  1VI1I. 


21 


3oa 


Heber  die  independente  Bestimmiui 
der  Coefttcleiiteii  unendlicher  Reihe 
und  der  Facultätencoefflcienten 

insbesondere. 

Von  dem 

Herrn  Professor  Dr.  O.  S  c  hl  o milch 

za  Dresden. 


Einleitung. 


Wenn  man  darauf  ausgeht  eine  gegebene  Funktion  eim 
Variabelen  in  eine  Potenzenreihe  zu  verwandeln ,  also  eine  Gl< 
chung  von  der  Form 


F(x)=zAo+Aia:  +  A2X^+A:iX^+, 


aufzustellen,  so  bieten  sich  zur  Bestimmung  der  CoefBcienten  i! 
Ai ,  A^  etc.  zwei  Wege  dar.  Man  benutzt  nämlich  entweder  irgei 
eine  Eigenschaft  der  Funlction  F(x),  gewöhnlich  eine  Beziehui 
zwischen  ihr  und  einem  ihrer  Differentialquotienten,  um  zunäcli 
eine  Recursionsformel  für  jene  Coefficienten  zu  erhalten,  und  suc 
dann  von  dieser  aus  zu  einer  independenten  Formel  zu  gelange 
oder  man  hält  sich  an  das  Theorem  von  Mac  L aurin,  ae 
zufolge 

Fi^O) 
Ak  = 


1.2.3....>fc 


ist,  und  bestimmt  nun  Ak  dadurch,  dass  man  erst  F(^)(x)  e 
wickelt  und  hierin  07  =  0  nimmt.  Beide  Methoden  sind  aber  m 
fern  mangelhaft,  als  sie  oft  genug  in  ein  Labyrinth  von  Rechnu 


ineioliibreD,  aus  welchem  die  gesuchte  iiidejien deute  Form  der 
ieilieDcoefücienten  Dicht  mehr  herauszulinden  ist,  und  als  besten 
i-:»*!«  dafür  wird  mau  gewiss  die  bekannte  Thatsac he  gelten  las- 
L'ii,  dass  es  unzählige  Keihenentwickelungen  giebt,  deren  CnefG- 
lenten  noch  gar  nicht  independcnt  bestimmt  sind,  obschon  die 
u[iktionen    an     sich    unter     die    weniger    comidicirten    gehüren, 

(i£n)  ■  [i +](!+»)] '  Ltot^T-  "''  ■'"'s'- 

!'<  r  Grund  dieser  Erscheinung  liegt  übrigens  nicht  tief;  der  Ueber- 
11^'  von  einer  llecursianrormef  zur  in<Iependenten  Formel  ist 
iiilich  einerlei  mit  der  Integratiim  einer  Gleichung  zwischen  end- 
lieri  Differenzen,  also  mit  einer  Manipulation,  die  bekanntlich 
'iiiLT  «inige  Umstände  verursacht,  vienn  man  nicht  zu  grüsnereu 
iiKdn,  n'ie  z.  B.  zu  bestimmten  Integralen,  greifen  will;  ver- 
<iit  man  dagegen  die  Ausführung  der  successiveti  Differenzia- 
li  von  F(3r),  so  geht  man  zwar  einen  sehr  direliten,  aber  oft 
?;^erst  beschnerlichen  Weg,  weil  begreiHichern'eise  /'Wfa:)  ein 
mickellerer  Auisdruck  als  das  eigentlich  gesuchte  f^^l(ü)  sein 
I  luss,  und  es  bekannt  genug  ist,  dass  selbst  einlache  Funktionen 
jlltunter  sehr  verwickelte  hühere  Differenzialquotieiiten  geben. 
B  Schwierigkeit  Iftsst  sich  offenbar  dadurch  vemieiilen,  dass 
^«icht  nuf  die  Entwickelung  des  alleemeinen  Differeozial- 
Renten  F^^Hx)  ausgebt]  sondern  gleich  von  vorn  herein  den 
plalisirten  Differenzialiiuotienten  fl*){0)  zu  bekommen 
diess  ist,  da  man  in  Ueziehung  auf  Null  nicht  differenzi- 
mn,  nur  müglich,  indem  man  den  fraglichen  siiezialisirten 
enxialquotienlen  auf  die  gleichfalls  spezialisirten  DifferenziaU 
«rten  anderer  und  «war  eiot'acherer  Funktionen  zurückführt, 
Bieses  Verfahren  fortsetzt,  bis  man  auf  so  einfache  Funktio- 
%l5sst,  dass  sich  ihre  spezialisirten  Differenzialiiuotienten 
Jetbai  entwickeln  lassen.  Wie  leicht  dieser  Gedanke  in  vie- 
nllen  ausführbar  ist,  niügen  die  nachfolgenden  Untersuchun- 
Hlgen,  die  einigen  Reichthum  an  Reihenentwickelungen  dar- 
1  and  zugleich  für  verschiedene  nichtige  Coellicienten  (z.  B. 
(■Cultätencoefficienten  nebst  ihren  Spezialwerlhen  — 
nntli'schen  Zahlen  —  u.  dergl.)  die  mdepen deute  Be- 
nig liefern. 


U(^)/  " 


fir  uns  unter  cp(j:)  eine  Funktion,   die  für  sich  allein 
t  des  Theoremes  von    I\Iac  Laurin  in  eine  Potenzenreifae 


308 

ist,  80  hat  man  identisch 

und  wenn  nun  Oq  nicht  Null  ist,  die  Funktion  9)(a^  also  für  a;= 
nicht  verschwindet,  so  kann  man  den  zweiten  Faktor  rechter  Hu 
in  eine  Reihe  verirandeln,  die  mit  der  Einheit  anfängt  und  dm 
Potenzen  von  x  fortschreitet.  Da  es  sich  mithin  immer  nur  t 
eine  £ntwickelung  von  der  Form 

handelt,  so  dürfen  wir  ohne  Beeinträchtigung  der  Allgemeinlic 
voraussetzen,  dass  sich  in  dem  Ausdrucke  (—7 — r)  dieFuolA 
(p(x)  für  x  =0  auf  9(0) =1  reduzire. 

Bezeichnen  wir  q>(x)  kurz  mit  y,  so  ist  mittelst  des  Biooaii 
theoremes 

(-L-Y-  ± i 

=  l  +  (-w)i('/-l)+(-n)-2(2^-l)''+  ..••  +  (-«)t(2^-l)' 
+  (-»)H-iCy-l)*+'+  (-«)Ha(y-l)*+*+ 

und  wenn  man  sich  im  zweiten  Theile  der  Reihe  für  « — t  seil 
Werth  a^x-i-a^x^-i-....  gesetzt  denlct,  so  erhält  man  ein  Kesiil 
von  der  Form 

\9(^)/       2/" 
- 1  +  ( -  n)i(y-})  +  (^n)^(y-\)^  + ....  +  (^n)k(y-l)' 

wo  es  auf  die  Werthe  der  Coefficienten  L,  3J,  N  etc.  nichts 
ter  ankommt.  Die  vorstehende  (ileichun<^  difTerenziren  wir  k 
in  Beziehung  auf  :r  und  setzen  dann  a:=0;  es  verschwindend 
die  mit  L,  ßl,  IS  etc.  behafteten  Glieder  und  bleibt 


309 

[Dt 1 1+  (-«), (1,-1)  +(_„)2(y _  1)H....  +  (-«)t(y-l)*! ] (;,=0) . 

Die  eingeklammerte  Reihe  ist  einer  für  unsere  Zwecke  wichtigen 
nsformation  fähig,    die  darin  besteht,    dass  wir  die  Potenzen 
y — ]  auflösen  und  alle  entstehenden  Glieder  nach  den  Poten- 
von  y^fpix)  ordnen.    Man  findet  nun  auf  der  Stelle 

l+(-»)i(y-l)+(-n)a(3r-l)«+...+(-«)t(y-l)» 

=  1 

+(-«)i[l«y-li] 
+(-«)« [2oy»-2iy +2«] 

+(-»)8[3oy*— 3iy*+3ay— 3,] 
+ 

+ (-«)t[Äa»*  -  *iy*-*+%*-*  - .".+ (-  l)**t] 

id  dnrch  Vereinigung  aller  gleichartigen  Glieder  entsteht  hieraus 
e  neue  Gleichung 

2)         1  +  (-«)j(y_t)+(-n)a(y-I)H....+(-«)»(»-l)* 

orin  irgend    einer  der  mit  S  bezeichneten  Coefficienten,    etwa 
i,  durch  folgende  Formel  bestimmt  wird: 

Si  =  (-n),-^  —  (-«)ff  1  (i+l)x  +  (— n),+a(i+2)a  —  .... 
...  +  (-l)»-.(_n)t(t+Ä=Öi^f . 

Keser  Ausdruck  lässt    sich  bedeutend   zusammenziehen,    wenn 
lu  die  bekannten  Gleichungen  beachtet: 

(-»)i+i = (-»)i  ^^^.         (»-+1)1 = *4-^ . 

/      ^  (-")-»•  (-n)-»-l        ,..„.  _ (»•+2J(»+1) 


an  erhält  dann   für  St  die  neue  Form: 
5i=(— n)i  11+  -j-  + Yä, ■•"  '■■■ 


(n  f  t)(n+t+l) ....  (n-f  ^— 1)~1 
••+  1,2....(Ä— J)  I 


310 

and  durch  Snmmirung  der  eingeklammerten  Reihe*) 

(»+i41)(n-t-»+2)...(n+A) 
*  =  ^~^'* 1.2.3..(A-0 ' 

oder  endlich,  indem  man   durchgängig   Binomialcoefficienten 
positivem  Exponenten  benutzt: 

&  =  (« l)f  («+t-l)£  (n+ A:)*-.£ . 

Die  Formel  2)  gestaltet  sich  nun  bei  umgekehrter  Anordnung 
Glieder  rechter  Hand  wie  folgt : 

1  +  (-w)i(y-l)  +  (-n)2(y~l)*  +  •...  +  (-«)*(y-l)* 

=  (-!)*  [(n+k^i)k(n+k)oy^  -  (n+k'-2)k-i  (n + k\y^'^ 

wobei    die  Reihe    soweit    fortzusetzen   ist,    bis    sie    von  se 
abbricht. 

Substituiren  wir  die  obige  Formel  in  die  Gleichung  1),  d 
renziren  jedes  einzelne  Glied  und  setzen 

3)  [/>yj(o)  =  [ö*g)(a:)»](o)  =  Öä, 

so  gelangen  wir  augenblicklich  zu  der  Formel 


*)     Bezeichnet  idrii  mit  Ar  den  Ausdruck 

1.2.3... r  ' 

60  findet  man  sehr  leicht  die  Beziehung 

_  «(«+!)  (g+2)...(fl4-r) 

Ar^^-Ar-  1.2  3....(r+l)  " 

Für  r=0,   1,  2,  {q — I)  und  durch  Addition  aller   so  entstehe 

Gleichungen  ergiebt  sich,  indem  man  A^  für  1  rechnet: 

,_g  ,  a(<t+l).     .«(«4-l)...(g-|-y— 1) 

^'-*— i+^:5-+-+ ix::^^ » 

oder  vermöge  der  Bedeutung  von  Ar  : 

m"*"      1.2     "''*•■*'  1.2.3.. ..(7 

_(g+l)(flr+2)...(g+y) 
1.2 q 

wovon  im  Texte  für  a=^n-\-i  und  ^=Ar — i  Gebrauch  gemacht  wordci 


311 


4) 


L      9>(^)"J(o) 


=  (-l)*[(»t+*)o(it+*-l)*Öt-(n+*)i(n+A-2)*-i<?k-, 

+  (n+A)2(n+*-3)*-aQt-^  - ,.. .] , 


weiche  die  Entwickelung  von 


1 


aogiebt,  sobald  man  dieDif- 


lenzljalqiiotieDten  von  g>(j:),   g>(^r  ^^^-  ^^^^  wenisstens  die  ftir 
jp=0  eintretenden  Spezialwerthe  derselben  finden  kann. 

Ein  passendes  Beispiel  hierzu  bildet  die  Annahme 

9>(a:)=2(e'  +  l), 
wo  die  Bedingung  9(0)sl  erfcUlt  ist    Setzt  man  nämlich 

w  tet 

Ft=(-1)*  [(«+Ä)o(«+A-l)te*-(n+A)i(«+*-2)*_,  Qk-^ 

+  (n+Ä)a(«+A-3)»_,et-,— ...] 

■d  man  bat  zugleich 

=  ^[M*+Ai(A-l)»  +  A,(A-2)* +...]. 

Ffir    n=:l  gäbe  diess   eine   independente  Bestimmung    der 
BcnooUi'schea  Zahlen. 


§2. 

Entwickelung   von 


\^(:x:)) 


Wir  setzen  hier  voraus  ^    dass   ^(^)  eine  mit  ^  gleichzeitls 
verschwindende  Funktion  ist,    welche  ausserdem  die  Eigenschaft 

kvilzt,  dasa  ^^  ftir  ar  =  0  in  die  Einheit  übergeht,    wie  z.  B. 
^«)  eine  Reihe  von  der  Form 


312 

bildet.    Wenden   wir  die  Formeln  des    vorigen  Paragraphen  aul 

den  Fall  9(^)=  ■   an,   so  ergiebt  sich  sogleich 

»1/ 

und  darin  ist  Qh  durch  die  Formel  bestimmt: 


*=W=^)l.,- 


Man  kann  derselben  eine  andere  iForm  geben ,  welche  nur  die 
Differenziation  einer  Potenz  von  i/^(a;)  aliein  verlangt.  £s  ist  näm« 
lieh  identisch 

mithin  bei  (A-f^)roal*iger  Differenziation,  indem  man  die  bekannte 
Regel  für  die  Differenziation  der  Producte  anwendet, 

...  +  (A+Ä')äA(ä-1)...2.1.Z>^  (^0 

Für  :r=0  verschwinden  linker  Hand  alle  Glieder  mit  Auje 
nähme  des  letzten  und  es  bleibt 

(A  +  ä)ä.1.2..A.  [-Ö*(^^)*J,)  =[D*+»^(a:)*](o) 
oder  endlich 

Vr\  X   )  Jm~  (A  +  i)(Ä+2)....(Ä+Ä)  • 

Der  Werth  von  Qh  erhält  demnach  folgende  Gestalt: 

[Z)Hti/,(^)ft](o) 
-''         '^*  —  (Ä+1)  (/fc+2)...()t+A)  ■ 


313 

Nehmen  wir  beispielweis 

^(a:)  =  c'  —  1, 

wodurch  die  für  i(/(a;)  angegebenen  Bedingungen  erfällt  sind, 
ist  nach  Nro.  1)  jeder  Coei'ücient  in  der  Entwickelung 


so 


3) 


\e'-\J 


n 


nun  u 

—  ^o        1  ^  +  1.2'*'       1.2.3^    ^ 


'(0) 


augenblicklich  bestimmbar,  nämlich 

4)  Ä=(-I)*[Z><-,^)-]^ 

=(n+k)o(n+k-l)kQk-(n+k)i  (n+k-2)k-i  Qk-i 

+  (n+ *)a(«+A— 3)t_a  Qt-, 

md  darin  gilt  iiSr  Qh  die  Formel 

*'*-  (Ä+1)(*+2)...(A+A)  ' 
mIct  bei  Ausfährang  der  angedeuteten  Differenziatioa 


5)        ÖA  = 


Ad  die  Formeln  4)  und  5)  knüpfen  sich  einige  sehr  bemerkens- 
wertbe  Folgerungen,  die  wir  im  nächsten  Paragraphen  aus  einan- 
der setzen  wollen. 


$.3. 

Die  Facaltätencoefficienten   und  die  Bernoulli'schen 

Zahlen. 

Ffihren   wir   fflr  die   sogenannten  Facultätencoefficienten  die 
lUgende  Bezeichnung  ein: 


1) 


a:(x+l)  (ar+2)(a:+3) ....  {x+ii-l) 


to  ist  es  sehr  leicht  eine  Recursionsforinel  liir  dieselben  zu  ent- 
l'eekeD.  Indem  man  nämlich  die  Facultät  des  nächst  hühercii 
lindes 


zu 

ar(a:  + !)(«  + 2)....  (« +n— 1)(«  +  n) 

r 

einerseits  im  Ganzen ,  andererseits  als  das  Produkt  aus  a?-fnui 
der  früheren  Facaltät  ansieht,  hat  man  die  Gleicbang 


1+1  n+l  «+1  n-fl 


und  aus  dieser  fol^t  durch  Identifieirung  der  beiderseits  zu  3^^ 
gehörenden  Coefficienten: 

n-fl       n  n 

2)  Ck—Ck+nCic^. 

n 

Um  nun  zu  einer  independenten  Bestimmung  von  Ck  zu  gebaf« 
geben  wir  folgenden  Weg. 

Bezeichnen  wir  die  BernouUi'schen  Zahlen    ^ »    t^,  tqi  ete 

mit  Bi,  B^s  B^  etc.  so  gilt  bekanntlich  ßlr  alle  zwischen -ii 
und  -|-2n;  hegenden  x  die  Gleichung 

a  1 

+  1.2^        1,2.3.4^+  1.2....6^       •"' 

dieselbe  9  aus  welcher  Laplace  eine  independente  Bestimmu 
von  Bk-i  (k  gerade)  herleitete,   indem  er  die  in  der  Formel 

postulirte  /: fache  Integration  mittelst  eines  sehr  speziellen,  i 
eben  auf  die  Funktion  x:{e^ — L)  passenden  Kunstgriffes  ausfubi 
Denkt  man  sich  beide  Seiten  der  Gleichung  3)  auf  dientePot« 
erhoben,  so  ergiebt  sich   ein  Resultat  von  der  Form 

(/*.      \n       n         n              n               n 
^—^)  =Ao-A^x^  A^x^-A^x^+ , 

wo  es  nun  auf  die  Bestimmung   der  mit  A   bezeichneten  Coc 
cienten   ankommen   würde.    Um   für  dieselben  zunächst  eine  1 
cursionsformel   zu   erhalten,    differenziren  wir  die   Gleichung 
wobei 


315 


^e* -i)~*^\e*-l)     Le'— 1 ""  ( e'-l)«  J 

= « (c*  - 1)«  <^  -*)-«  (e*-l)»+i 
lu  setsen  ist,  und  multipliziren  darauf  mit  x',  es  wird  so 

»(Ä)<-)-»(irl-,r 

=  —  1  JiX  +  2  JaT*— 3^3^:8+4^43:*— ... . 

Linker  Hand  kann  man  die  Formel  5)  zweimal  benutzen,  einmal 
geradezu 5  das  andere  Mal,  indem  man  n  +  l  an  die  Stelle  von  n 
treten  lässt;  föhrt  man  diese  kleine  Rechnung  aus  und  vergleicht 
uchher  die  Coefficicienten  von  a:^,  so  findet  man  die  Recursions- 
fonuel: 


6) 


n  Jjk=(n— /:)2<jb  +  nJ*-i . 


Besondere  Aufmerksamkeit    verdienen    die   n  ersten    Coeffi- 
denten  in  Nro.  6),  för  welche 

k=0,  1,  2,....(m— 1), 

iko  überhaupt  kleiner  als    n  ist.     Setzt  man  nämlich   fär  die- 
FaU 


T) 


Ak= 


1 


n 

Tlky 


(«-A:)(«-Ä+l)(n— /:+2)...(w— 1) 
w  verwandelt  sich  die  Gleichung  6)  in  die  folgende : 

«4-1  n  « 

n  n 

deren  Vergleichuns  mit  Nr.  '.{)  die  Identität  von  7lk  und  Cib 
Man  hat  demnach  die  bemerkenswerthe  fttr 

2«  >  o:  >  —  2j;r 
geltende  Formel: 


8) 


(Ä)- 


gfbßj. 


(\ 


a?  + 


Q 


7t 


,.         ,      (-1)"-'G.-i      .„_. 


-.!•"  "^  (n-l)(«-2)'"       '••  ^  (w-l)(n— 2)  ....2.1 
+  (— l)"[Jl„a:«-^2<n+ia:'«+i+  J„+2a:«+2  ~....J. 


316 

Will  man  eine  independente  Bestiaimun^  sämmtlicher  mi 
bezeichneten  Coefficienten «  so  ist  nach  Nro.  ö)  unmittelbar 

WO  sich  linker  Hand  die  Differenziation  nach  den  Formeln  4)  i 
5)  des  vorigen  Paragraphen  ausfuhren  lässt.  Für  /:  <  n  giebt  di 
die  independente  Bestimmung   der   Facultätencoellßcienten ,     d« 

n 

man   hat  nach  Nro.  7)  und  vermöge  der  Identität  von  Hk  und 

f  nkC    ^    VI  (-1)M.2.3...A-        " 

L^Ke"- 1)  J(o)  ~  (»»-1) («-2)...(n-*)  ^*' 

d.  i.  umgekehrt  bei  Benutzung  der  Symbole  ^r  die  Binom 
coefBcienten: 


9) 


^*=<«-^w-»)*[KÄn«)'  *<"• 


Dagegen  ist  für  n=l  und  ein  gerades  /:>!  nach  Nro.  4): 

.10)  Bu-.^(-A)^-^\_D^(^;)\- 

Mittelst   der  Formeln   4)   und   5)  des    vorigen  Paragraphen  erl 
man  nun  aus  Nro.  9)   folgende  independente  Bestimmung  der 
cultätencoefficienten : 


11)  C^=  (w-l)*[(n+A-)o(w+^'-l)iteit-(w+A-)i  (?i+A'-2);t-i  Q 

worin  Qh  nach  der  Formel  bestimmt  wird  : 


12)  Qä= 


(A'+l)(A-+2)...(A'+/0 


Für   n  =  l   und   ein  gerades  k  folgt  daraus  für   die  Bernoi 
sehen  Zahlen  die   Formel 

13)        ßk-i  =(-1)^^-^  [(Hl)oQk-(k+}),  öit-i+(A+l)2«it-t2- 

VVir  geben  im  nächsten  Paragraphen  einige  Reihenverwaiid 
gen  5  bei  denen   die  Facultätencoefücienten  vorkommen. 


317 


§.  4. 
Ent Wickelung  von 

fid +  .)]".    und    [j^%-Ji 


I.    Denkt  man  sich   beide  Seiten  der  fiir  l>:r> — 1  gelten- 
den Gleichung 

1(1  -j-x)  =  x — z^x^  +7^a;^  —  .... 

auf  die  mte  Potenz    erhoben ,    so  entsteht  ein  Resultat  von  der 
Form. 


1) 


m 


m-l-l  m-f2 


[1(1  +a?)]'"=^o^'"  —  -4ia:"»+i  h  Ä^x"^^^  — ... , 


worin  noch  die  mit  A  bezeichneten  Coefücienten  zu  bestimmen 
WSren.  Man  gelangt  zu  diesem  Zwecke  >  indem  man  die  analoge 
deichuDg 

m-|-l  m-|-2  m-f-  3 

[1(1  +ar)]"H-i  -.  ^^n,+i_  jja:'»+«  +  A^x^^^  -  ... 

Aferenzirt  und  das  Ergebniss  mit  {l-i-x)  multiplizirt ;  man  tindet 
hierdurch 

(m  +  l)[  1(1+0:)]'» 

wi-f-l  wi-fa  «n+3 

=(1 +a:)  [(/II+ Oi^o^n» -(m +  2)^ia:"« +1  +  (wi +  3)^2^«+^  — ...] . 

Indem  man  linker  Hand  die  Gleichung  1)  benutzt,  rechts  die  an- 
gedeutete Multiplikation  ausführt  und  nachher  die  Coeflicienten 
vergleicht,  erhält  man  die  Recursionsformel 

(m+A+l)  Ak  =(iw+l)  A  +  (m+*)  A-, , 
weiche  mittelst  der  Substitution 


m-\-k 


t=-,- 


1 


(/M  +  l)(»i+'2)...(m+it) 
■  die  folgende  fibergeht: 


Ak 


2) 


2lfc  =  2lfc  +  (m+A-)  ;?U_i . 


I 


iin  der   Tergleicbung  derselben  mit  Nro.  2)  des  vorigen  Para- 
^phen  folgt  augenblicklich 


mithin 


31K 


m-tk 


(iM+l)(m+2)...  (?»+/:)* 
Substituirt  man  diess    in    die  Gleichung  1)  und  beachtet, 

m 

^=1    sein    rauss,    so   hat    man    für   l>a;>-— 1    die    Re 
enti^ickelung 

m4-l  m4-2 

3)   11(1+^)]-=  o:»-,^,  ^-.+»  +  ^-^^j~^)  ^^-- .. 
oder  auch 

^  L     ^     J  mfl     '  (m+l)(//i+2) 

Von  diesen  Gleichungen  kann  die  erste  dienen ,  um  eine 
Potenzen  von  1(1 -|-^  fortschreitende  Reihe  in  eine  andere  i: 
setzen,  welche  nur  Potenzen  von  x  enthält*   Als  Beispiel  nel 
wir  die  Sold  ner'sche  Formel  fdr  den  Integrallogarithmus  von 
Setzt  man  nämlich  dem  Taylor'schen  Theoreme  zufolge 

5)  li  («+i)= li(a)  +  j  ^iz  +  ^  A^zH  \  A^z^  + .... 

so  i$t  durch  Differenziation 

^^  1(0+^  =  ^1  +  ^2-  +  ^32^  +    •  • 

Soldn er  bestimmt  die  Coefticienten  A  recursiv;  will  man 
independente  Formel  dafür  gewinnen,  so  beachte  man,  dass 
linker  Hand  stehende  x\usdruck 

_   1  1 


'  \a 


ist,  und  benutze  letzt  die  Formel  3),  indem  man  ar=:"undr 
2,  3  etc.  setzt.     Ordnet  man  hierauf  alle  Glieder   nach  Pot( 


319 


OD  z  and  vergleicht  die  so  entstehende  Reihe  mit  der  unter  Nr.6) 
orkommenden,  so  findet  man  sehr  leicht  eine  independente  For- 
lel  för  einen  beliebigen  Coefficienten  Aic 

n.     Aus  der  Gleichung  4)  ergiebt  sich  durch  A;  malige  DifTe- 
enziation  und  nachherige  l^^llificirung  von  xi 


m-fXr 

(-1)*  c* 


(m+l)(in+2)....(m+Ä) 


■1  »£»tß»»»»K  f 


der  kilrzer  ausgedruckt: 

t^enn  es  sich  nnn  darum  handelte  den  Ausdruck 

/ X       \n 

im  eine  Potenzenreihe  zu  verwandeln ,  so  wurde  man  setzen  können : 


(l(l+«V 


n  n  n 

!l  +  y  a;+  j-2  xH  1723  ^'  + 


ides  Wt 


^=[Km-+-i))l.,- 


lässt  sich  das  Theorem  4)  in  §.  1.  anwenden,  indem  man 

l(l  +  a:) 


<p(x)  = 


X 


it;  man  hat  dann 


:(-l)*[(n+*)o(n+*-l)*e*-  (n+A-)i  (n+k--2)k^iQk^i 

+  (n+kh  (n+Ä:-3)*-ae*-a 

Qh  nach  der  Formel 


-— «..J  f 


(0) 


bestimineD  sein  würde.  Vermöge  der  siebenten  Formel  ist  nun 


320 


a 

mithin,   wenn  man  diesen  Wertb  in  die  Formel  fSr  Ak  einsefa 

^'  "*"-        (24)7       *'*  (2Ä:r[)*  *-* 


(«+*)a(»i+*-3)t_a2*7« 


(2A-2)t 


Ck- 


•••• } 


und  diess  ist  insofern  eine  independente  Bestimmung  von  Ak,  a 
die  FacnltStencoeflficienten  nunmehr  independeiit  bestimmt  sin 
Die  Bedingungen,  unter  welchen  die  Gleichung  8)  richtig  bleil 
bestimmen  sich  leicht  aus  der  Bemerkung,  dass  zunächst 


__£_{ "_  r 1 T 

Hl  +  X)^    ~Lj_jj_l(l_t£)j       J 


gesetzt  werden  kann,   wenn  nämlich  die  Determination 
10)  1  >  1  _'il±£>  >_i  „der  2>  ^+-^>  >  0 

t 

erfällt  ist.    Denkt  man  sich  weiter  in  der  obigen  Reihe 

X  2       '3        4 

gesetzt,  so  muss  die  weitere  Bedingung 

11)  1>^S-1 

statt  finden;  nach  Ausführung  der  angedeuteten  Potenzirun»! 
würde  man  nun  die  Reihe  8)  wieder  erhalten  und  es  gilt  letzte 
daher  für  alle  x,  welche  den  Bedingungen  10)  und  11)  gleichze 
tig  genügen;  hieraus  findet  man  leicht 

12)  l>.r>— 0,8, 

111.  Aus  der  Gleichung  8)  lösst  sich  noch  eine  auf  den  I 
tegrallogarithmus  bezügliche  Formel  ableiten,  die  nicht  ganz  oIh 
Interesse  ist.    Für  7?=:1  ist  nämlich 


321 


13) 


JTT^=^  +  Y  ^+  ß^*+ ra  **+  " 


l>a:>— 0,8 


irobd  die  CoeUßcientenbestimiunng  durch  die  Formel 

ugegeben  wird.     Multiplizirt  man  die  Gleichung  13)  mit  da:  und 
bt^irty  so  folgt 


15) 


J  1(1  +  ^) 


dx 


—X  h j^o?«  +  i^/ga:»  +  j^4  a:«+  

Dm  linker  Hand  die  Integration  auszuführen»  setzen  wir 


nthin 


l(l+a:)  =  2. 


a:=:e*  —  1     und    dx=zdz; 


ei  wird  dann 


=  li  (««»)  —  li  (c»)  +  Const. ; 
lin,  wenn  der  Werth  von  e'  wieder  eingesetzt  wird: 

Iß)  li  [(X  +  x)^]  -.Ii[l  +0:]  +  Const. 

—  -.4.  4L^a  4.  -^^3  4.  __^?_  ^4-L 

Dm  die  Constante  zu  bestimmen,  lassen  wir  j;  in  Null  uberge- 
und  haben  dann 


;17)  Lim{li[(l+ar)»]— li[l+a:]|  +  Con8t.^0. 

iTheU  mil.  22 


322 

Der  Grlnzwerth   auf  der  linken  Seite  bestimmt  sich  durch 
Wendung  der  bekannten  Formet 

li(«)= 0,5772156 +  1(1«) 

l]tt^l(lM)« 

+i  1  +2  O 

man  findet  fiSmlich 


li  [  (Hx)^  ~\\\1  +x] = I  [21(1  +ar)]  - 1  [1(1  +a:)  ] 

•2-1  1(1 +a:)    .  2«-l  [1(1 +a;)]»  .  2^  [l(l+a:)]» 

"T         1        +~2~        1.2       +     3         1.2.3      +••" 


wo  die  rechter  Hand  vorkommende  Differenz  IcQrzer  durch  12  s 
gedrficlct  werden  kann.  Für  a;=^0  geht  die  rechte  Seite  in 
über,  und  die  Gleichung  17)  wird  demnach 

12  +  Const.  =  0 ; 

mit  Nr.  16)  verbondeo  giebt  diess 

18)  \xl{V\  xf\-\^W^' x\ 

""'"^  J  +  1.2^   +  J.2.3^   ^•••' 
wobei  wie  früher  x  zwischen  1  und  —0,8  enthalten  sein  muss 


§.5. 

Die  Facultätencoefficienten   mit  negativem 

Exponenten. 

Versteht  man  nach  Cr  eile's  vortrefflicher  Bezeichnung  un 
(r,  +1)«  die  Facultät 

z(z  +  l)...(2+n  — 1), 

so   muss   man    bekanntlich  ^     um    nicht    inconsequent   zu  werde 
unter  dem  Symbole   (r,  + 1)~"  den  Ausdruck 


323 


(z— 1)  (z— 2)(t^) ...  (2— «) 

begreifeii*);  dieser  lässt  sich  offenbar  in  eine  nach  Potenzen  von 
--  fortschreitende  Reihe  verwandeln,  sobald  2>n  ist,  und  man  wird 
daher  entsprechend  dem  Früheren  zu  setzen  haben: 


1) 


] 


(5-I)  (z— 2)  (z— 3;...(2— w) 
— «  1       -«     1         -»1 


£• 


Z»+« 


j«+2 


ider  f&r  2  =  ]7 ,   wo  nun  /?  <  —   sein  muss : 


2) 


(l-^)(l-2/S)(l  -3/J)...(l-M|S) 


•*.  • 


LDitse  Gleichung  Erhält  eine  zur  Bestimmung  der  Coefficienten  C 
jkaochbarere  Form ,  wenn  man  sich  zunächst  an  folgende  fiir  ganze 
psitive  n  und  beliebige  a  geltende  Gleichung  erinnert: 


1.2.3...71 


5.1  a(o+l)(a+2)(a+3)..(a+n) 

^a       ö+l^«+2       a+3^-' 

m  welcher  ich  im  Qten  Theile  des  Archivs  S.  377.  (von  Formel 

1 

flLab)    ein^n    elementaren  Beweis  gegeben  habe.     Für   a=  — ^ 
"it  die  vorstehende  Gleichung  in  die  folgende  über: 


(*-l)»l.2.3...n.Ä» 

(l-.ft(l-2ß)(l-3«...ii-ni5) 


=  no — ni 


r 


+  »a 


+  »s 


1_  ^  -r  '•«  i^2ß  ^  '•»  1—3/?      • 


••  > 


wenn  man  die  Gleichung  2)  zu  Hülfe  nimmt: 


')    Sopplefliente  lom  mathem.  Wörterbach;  Artikel  Facultät. 

22* 


324 


Der  GoefBcient  Ci^ereiebt  sich  nun,  indem  man  beiderseits  (niijni 
differenzirt  und  nachner  ^=0  setzt,  nämlich  man  hat: 

(-.l)»1.2...n.l.2-(n+*)a 
= — «i.l.2..(«  +*).!»+*  +  ifa.l.2..(«+*).2"+*-... 
oder 

3)  C*=:t^^^  [-nxl»+*+nÄ2H-*-.nj3«+*  +  ...J. 

1  •  ^  ••••II 

Bei  umgekehrter  Anordnung  der  eingeklammerten  Reihe  ist  endl' 

4)  ci.=  ro':::^!  ' 


wobei  £  nicht  kleiner  als  n  sein  kann,  wie  aus  Nro.  1)  unmit 
bar  hervorgeht. 

Die  so   eben    entwickelte   Formel    weist  unmittelbar  auf 
Zusammenhang  zwischen  den  Facultätencoefficienten  positiver 
negativer  Exponenten  hin.     Schreiben  wir  h  für  n,  so  ist  näiD 
durch  Vergleichung  mit  der  Formel  12)  in  §.  3.: 

^*  -  (;fc  + 1)  (k+'2)  ..,(k+h)  *  1.2...Ä 

1.2  •..Ä  7*  1       -Ä 


(k+hXk+h-lUH})  ^'-(^+A)a 


mithin  nach  Formel  11)  in  §.  3.: 


32$ 


8) 


ß= 


(• 


(2Ä-2> 


Ao8  den  Facuitätencoefficienten  negativer  Exponenten,  die  nach 
1er  Formel  4)  unmittelbar  bestimmt  werden,  lassen  sich  also  mit- 
teist der  vorstehenden  Relation  die  Facultfttencoefficienten  positi- 
rer  Exponenten  herleiten. 

Wir  geben  schliesslich  noch  eine  kleine  von  n==— «4  bis 
[ts-f  9  gehende  Tabelle  der  FacnltfttencoefBcienten,  von  welcher 
ife  Einnchtung  unmittelbar  klar  sein  wird: 


'^#**: 


.     ^. 

»  = 

-  rv 

-  111 

-  11 

-  1 

c  = 

. 

1 

1 

c,= 

10 

H 

3 

c,  = 

63 

25 

7 

f,  = 

350 

00 

15 

c.= 

1701 

301 

31 

c.= 

7770 

806 

63 

tl  = 

39105 

3025 

127 

c  = 

149750 

9330 

255 

c,= 

627501 

28501 

511 

317 


+n 


l+UI 


+IV+V 


85 
2-25 


21 

■28 

175 

323 

735 

1900 

16-24 

0769 

17« 

13133 

720 

13068 

5010 

546 
4536 
2244U 
67284 
105066 
100584 
40330 


|fc'»!iM,-.»^lfili.|-.l 
I  t  .  ■* 


CTttpibfnatorische  Darstellung  der  : 
IkMuMri^erthe    eines    Kettenbrucli 


Herrn  F.  Bartholomäi 


Wild  eiQ  Ketteubrnch 


nach  der  genOfaDlicheD  Art  in  einen  gemeinen  Bruch   renn 
BO  erhält  man : 

t     PlPiPiPi}HP6^■PlPiPtPi  +  P\PxPiP6      1 
■ß«=  <A-PiPiPtp6^ PiP^PbPi^^ PiPiP&Pf\rPiPi  \ 

(+Pi;'4+PiPe+p3P*+;'3P6+;'fiPa  +  i     ) 

iPiPiPiPbPii^  PiP^P*  \ 

+  PaPaPfi  +  PiPbPt  V  PtPuPa  l  ■ 
+  P»  +  P4-fP«l  ) 


329 


Kb  er^iebt  sich  nun  sogleich ,  dass  der  Zähler  sowohl  als  der 
Nenner    eine  Summe   von  Produkten  aus  den  Partialnennern  ist, 
dass  diese  Produkte  Combinationen    aus  den  Partialnennern  sind, 
und    dass  diese  Combinationen  nach   einem  bestimmten   Gesetze 
gebildet  werden  müssen.    Indem  wir  das  Gesetz  aus  unserm  Falle 
empirisch  zu  bestimmen  suchen ,  bemerken  wir,  dass  zur  Bildung 
des  Zählers  sämmtliche  Partialuenner,    zur  Bildung  des  Nenners 
BOT   die  Partialnenner   vom   zweiten  bis  sechsten  beitragen;    wir 
bemerken,  ferner,  dass  der  Zähler  nur  Combinationen  der  sechsten, 
vierten  und   zweiten  Klasse,    der  Nenner  nur  Combinationen  der 
fünften,  dritten  und  ersten  Klasse  hat,    und  dass  bei  der  Bildung 
der  Combinationen    beim  Fortschreiten    zur  nächsten  Complexion 
das  nächstfolgende  Element  übergangen  wird.    Wir  erhalten  dem- 
Bach  Combinationen,  in  welchen  eine  Klasse  —  das  Wort  im  wei- 
testen Sinne,  nämlich  auch  für  die  Klassen  einer  Klasse  gebraucht 
-*  um  die  andere   übersprungen   wird.    Nennen  wir  solche  Com- 
Kaationen  alternirende,    so  erscheint  der  Zähler  des  reducirte^ 
Kittenbnichs  als  Inbegriff  sämmtlicher  alternirenden  Combinatio- 
aea  vom  ersten   bis    sechsten  vermehrt  um  1,     der  Nenner  als 
Samme  sämmtlicher  Combinationen  der  Partialnenner  vom  zweiten 
Mb  sechsten.    Bezeichnen  wir  also  die  alternirenden  Combinatio- 
laeo  der  ntten  Klasse  aus  den  Partialnennern  vom  rten  bis  zum 

ittea  durch  C,  so  ist 

r.t 

fi  4  2 

c  +  C  +  C  +  1 

«,  1.5  T^'fi         1*6 

^6  = 1 iJ T 

c+  c  +  c 

^6        2*6        2.6 

ist  die  Symmetrie  des  Baues   im  Zähler   durch  das  letzte 
gestört.      Der    Fortgang    der  Klassen    führt    uns    darauf, 

|1=C  zu  setzen.    Dadurch  wird 
1.« 


0 


Ä  = 


«         4        a        o 

c  +  c+  c+  c 

1,6         1.6  1'6         ^'6 

A  3  1 

c+  c  +  c 

2.6         2.6         2.6 


feoD  ffir  hiemach  die  allgemeine  Formel  aufstellen,    so 
wir 


erhal- 


A.= 


2n       2n— 2    2n—4  2  O 

C+C+C+...  +  C+C 

1.2n        1.2«        1.2n 1.2n    1.2w 


2n— 1      2fi— 3    2n— 6 


1—1      2fi— 3     2n— 6  3 

c+  c+  c  + ....  +  c  + 

I   A^  A   A^  A   A.  A  «»^ 


a.2A       2.211      2.2n 


2r 

r 
C 

2.2n        2.2/1 


330 

I 

«»4-1         an-1  2jf-J  3  1 

C+C+6+... +    C    +    C 

j;j  l.(2ii4-l)    l(gn-fl)     l.(2n-fl)  2.(2n+l)  1.(2»+!^  ^ 

/%n+i  —       2»  2»-2       2n-  4  2  o        > 

c+c+c...  +     c+c 

«.(2n+l)   2.(2ii4-l)    2.(2m+1)  «.(2n+l)     l.(«ii+l) 

wobei   C=l    zu  setzen  Ist.    Diese  Formeln   lassen  sich,    di 
Bildungssatz  an  sich  klar  ist,  verein  fachen.,  wenn  wir  den  Inbc 
s&mmtlicher   aiternirenden   Combi nationen  der   Partialnenner 
rten  bis  zum  tten  durch  C  bezeichnen.    Denn  dann  erhält  m; 

T.t 


■t^n —     y^      ....      (1) 

2.1» 

Es  entsteht  nun  die  Frage,  ob  diese  empirisch  gefundene  Fo: 
richtig  ist. 

II. 

Aus  dem  Begriff  der  aiternirenden  Combinationen  ergiebt  i 
dass  dieselben  sowohl  vom  rten  bis  zum  ^ten,  als  auch  vom 
bis  zum  rten  Gliede  alterniren: 

C  =  C  .  .  .  .  (2) 

T.t  t.r 

Die  Fragen  nun,  welche  uns  hier  in  Bezug  auf  die  alte 
renden  Combinationen   angeben,  sind: 

1)  wie  aus  den  Combinationen  der  Elemente  vom  2ten 
72ten  die  Combinationen  aus  den  Elementen  vom  Iten  bis  i 
oder  allgemein,  wie  aus  den  Combinationen  aus  den  Elemei 
vom  rten  bis  tten  die  Combinationen  vom  (r— l)ten  bis  zum  i 
abgeleitet  werden  können; 

2)  wie  aus  den  Combinationen  der  Elemente  vom  Iten 
nten  die  Combinationen  der  Elemente  vom  Jten  bis  zum  (w-(-l 
oder  allgemein,  wie  aus  den  Combinationen  vom  rten  bis  i 
Elemente  die  Combinationen  vom  rten  bis  zum  (<-|-l)ten  Elem< 
gefunden  werden  können. 

Die  Elemente  seien  (?i,  c>2,  e^,  e^....en,  Cn-^i  und  die  ein 
nen  Combinationen  niös^en  als  Produkte,  der  Complex  dersel 
als  Summe  der  Co)nbinationen  angesehen  werden  —  was  oflfer 
erlaubt  ist,  da  das  Produkt  und  die  Summe  immer  wieder  im 
gemein  combinatoriscben  Sinne  genommen  werden  kann. 

Nun  wird  offenbar  C aus  Cerhalten,  wenn  allen  Complexionen  vc 

i.u  2.n 

das  Element   ei   vorgesetzt  wird   und   von  den  Com]>lexionen 
C  diejenigen  beibehalten  werden,    welche  nicht  n)it  Cn  anl'anj 

2  n 

d.  h.  es  ist 


33t 


C  =  ei.C  +  C (3) 

l.fi  2.11  3.11 


SO  ist  allgemein 


C  =  Cr-i .  C  +  C 

rr-l).f  r.t     (r+l).tj 

C  =  er.  C  +  C 

r.t  (r+l).f    (r+2).f 


(4) 


le  Formeln,  wie  leicht  ersichtlich,  nur  dann  richtig  sind,  wenn 
1  gesetzt  wird. 

liermit  und  wegen  des  Satzes  (2)  ist   zugleich  die    andere 
i  erledigt    Es  ist 

C/  SS  O  •  Cn     i"   ^     ••••••   \y) 

l.n     l.(ii~l)  l.(ii«>t) 

C=  C  .  et  +  C   (6) 

r.t     r.(C-l)  r.(f-2) 

ei  nun 

1  (7) 


Ä,=p,  + 


P*  + 


+ 


1 


C 


B'n  =    -^     (8) 


i  sich  C  auf  den  Zeiger  pi,  p^,  p^,  p±,....p%  bezieht.  Durch 
«sive  Anwendung  des  Satzes  (3)  erhalteD  wir: 


C       pi.C-k-C  c 

2  n  %n  2.11 


c  c  c  . 


3.11  2.fi  3.11     4.n  ,      4.n 


3.ra 


332 


C 

1.« 


4.n 


—  1.    p  — 1. 

3.« 


4.11 


4.n    ö.a 


ft  + 


c 
c 

0.n 


U.     8.     W. , 


woraus  folgt: 


^«=Pi+^-+l 


(9) 


Ä+  1 


/>4.+ 


mithin  ist  B'n=Bn  oder  die  Gleichung  (I)  ist  richtig.    Zaiei«|| 
selben  Resultat  gelangt  man»    wenn  man  den  Kettenbmcli  ^ 
richtet. 


III. 


Unser  Satz  hat  ein  doppeltes  Interesse.  Einmal  nSmücli  iit 
es  sehr  leicht,  mit  Hfilfe  der  alternirenden  Combinationen  jedei 
Näherungswerth  des  Kettenbruchs  unmittelbar  zu  finden;  zweitetf 
aber  ist  die  combinatorische  Auflösung  unserer  Aufgabe  die  ur- 
sprüngliche, d.  h.  unmittelbar  aus  der  Natur  der  .VerbindoDg 
der  Partialnenner  abgeleitete.  Sie  muss  also  auch  die  bekannte 
dependente  Auflösung  enthalten. 

Sind  Bn-\9  Bn,  Bn^i  drei  auf  einander  folgenden  Näherung»- 
uerthe  des  Kettenbruchs,  und  setzen  wir 


-ßn— 1  = 


Bn      = 


Zn 


so  i«»t 


333 


1.(11+1)     1.»  l.(«-l) 

2v»+i  =s  c  =  c.pfi4.|  +  c  =  iVn.^M+i-f  a;-i; 

«.(«+1)    «.»•  «.(«-1) 


ithio 


IV, 


Für  die  BenutzuDg  unserer  Formel  zur  wirklichen  Berech 
Bg  der  Näherangswerthe  dfirfte  sich  folgendes  Schema  empfeh- 
I.  Es  sei  z.  B. 


4  +_!_ 
6+  1_ 
3+1 
2 


Nenner    15    4    6    3    2 
12    3    4    5    6 


334 


335 


Der  PascaFscbe  üelirsatz   in   seiner 
Anwendung  auf  die  f^eometriscbe 

Analysis« 

Von 

Herrn   Planck, 

Repetenten    an  der  polytechnischen  Schule   zu  Stuttgart. 


1. 


^  Der  Pascal'sche  Lehrsatz  lässt  folgende »  seinen  Beweis  und 
"^  Verstand niss  erleichternde,  und  zugleich  för  die  geometrische 
lysis  sehr   fruchtbare  Fassung  zu. 

Lehrsatz.  Wenn  AB  und  A'B^  Projectionen  einer 
[nd  derselben  Sehne  eines  Kreises  auf  eine  und  die- 
lelbe  Gerade  von  zwei  Punkten  Cund  O  des  Kreises 
liBsind^  so  ist  von  jeder  andern  Sehne^  von  welcher 
iidemselben  Sinne  AB  eine  Projection  ist,  auch  A'B' 
line  Projection. 

Beweis.     Zu  der  Geraden^    auf  die  projicirt  wird^   und    die 
den  Grundschnitt  nennen^  ziehe  man  Parallelen  durch  die 
inkte    Df    E   einer  Sehne    des   Kreises.     Diese   Parallelen 
[en  (Taf.  IV.  Fig.  2.)    den  Kreis  in  F,    G,    und  FE,     DG 
"m  den  Grundschnitt    in  M  und  N,     Ist   nun  AB    eine  Pro- 
ton DE  vom  Punkt  C  des  Kreises  aus,  so  sind,  weil 

ACB=zDFE  =  B3IE=AND, 
Dreiecke  ACB,  BUIE,  AND  einander  ähnlich,   und  man  hat 


l) 


AB 


AB 


Diese  AuRilrtickc  behalten  ibren  Wertli,  fulglicli  die  1 
und  N  ihre  Lage  fiir  jede  andeie  Sehne,  fod  irelchei 
Projection  betruthtet  werden  kann.  Somit  ist  das  Systet 
Sehnen,  ffir  nelche  AB  gemeinschaftliche  ProjecKon  ist, 
anderes,  als  das  echon  durch  die  Punkte  M  und  IS  besti 
System  von  Sehnen,  oder  es  ist  überbau  {it^edeProje 
einer  Sehne  dieses  Systems  zugleich  eine  gen 
Bchaftliche  Projection  aller  andern  Sehnen 
Systeme. 

Eine  zweite  Erzeugungsart  für  ein  solches  System  tob 
neu  ergibt  sich,  wenn  man  in  Taf.lV.  Fig.  2.  no^b  AE  und 
zieht,  die  den  Kreis  in  H  und  J  achneiden ,  und  bedenkt,  das 
auch  eine  Projection  von  CH  und  CJ  ist,  dass  somit  diese 
nen  dem  System  der  Sehne  DE  zugebüren.  In  der  Idenlitä 
eer  zweiten  Erzeugungsart  mit  der  unmittelbar  aus  dem  i 
sprochenen  Satze  Tolseiiden  liegt  auch  die  Identität  dieses  ! 
mit  dem  Pascal'schen   Lehrsatz. 

Zugleich  zeigt  diese  zH*elte  Entätehungsweise  eines  Syi 
wie  man,  irenti  drei  Sehnen  gegeben  sind,  die  Gerade,  di« 
als  Urundschnltt  zugehört,   finden  kann. 

Als  unmittelbarer  Zusatz  ergiebt  sich  noch,  dass,  wen: 
Sehne  eines  Systems  durch  den  Pol  des  Grundschnittes 
alle  andern  Sehnen  des  Systems  durch  diesen  P*l  geben  m\ 
weil  alsdann  nach  der  Lehre  von  der  Polare  die  Punkte  i 
N  zusammenfallen. 

Auch  verdient  bemerkt  zu  werden,  dass  im  allgemeinen 
wenn  ein  Endpunkt  der  Projection  einer  Sehne  gegeben  ist, 
andere  Endpunkt  eine  doppelle  Lage  haben  kann,  während 
Tflr  eine  durch  den  Pol  gehende  Sehne  nur  einen  zweiten 
punkt  der  Projection  erhält.    Jede  Projection  einer  durch  de 

Sehenden  Sehne  kann  als  Projection  der  Sehne  von  zwei 
enen  Punkten  des  Kreises  aus  betrachtet  werden. 


II. 

Ertte  Httupta-ufgabe.  Die  gemeinschaftliches 
zweier  .Systeme  von  Sehnen  zu  finden,  deren  j 
durch  seinen  Grundschnitt  und  eine  der  Projecli 
gegeben  ist 

Oder:    Einem  Kreis    ein  Viereck  einzubesc 
dessen  vier  .Seiten  durch    vier    gegebene  Punkte  g 
sollen. 

Aufliisung.     Man    denke    sich    die    eesnchle    Sehne    al 
Ljwtden  Grundschnitte  so  projicirl,   dass   der  Schnittpunkt   Ö 


337 


1!iii  geineiiisoliartlioher  Emlpunkt  der  Prujecliorien  ist  iJie 
loderu  Endpunkte  P  unil  (i  (Taf.  V.  Fijf.  l.)  werde»  sich 
istimmeii,  da  das  Sysleni  der  gesuchten  Sehne  in  Bezug 
le  Grund  schnitte  s;e^e))e[i  ist.  Schneidet  PQ  den  Krein 
id  S,  OK  und  ÖS  al.er  in  T  und  V,  so  uind  RV  und 
:1  gemeinschaltli(.'he  Sehnen  beider  Systeme.  Als  beson- 
all  erscheint  die  Aufgabe:  Die  Sehne  eines  Systems 
den.  die  durch  eine«  gesehenen  Punkt  üShe. 
iät  nämlich  jede  Sehne,  die  durch  den  gegebenen  Punkt 
.  .11  fiegehenem  System  in  Bezng  auf  die  Polare  des  Punk- 
ts. EineAufliiaung  dieser  Au  fu'abe  nnter  der  Form:  Einem  Kreis 
in  Dreieck  einzubeschreihen,  dessen  Seiten  durch  drei 
egehene   Punkte  gehen    sollen,     lindet  man  z.  li.  in  van 


I!et  Auflösung  der  Anfgabe:  die  Sehne  eines  Systems 
II  finden,  die  einer  gegebenen  Geraden  paraHel  sei, 
ilt  an  die  Stelle  der  Polare  der  zu  der  gegebenen  (ieraden  eenk- 
•ihte  Kreisdurchmesser,  die  Construction  bleibt  aber  »vesentllch 
leselbe. 

Uebrigens   lassen    sich  die  beiden  letzten  Aufgaben  unabhän- 

ig  von  der  Hauptaufgabe  ziemlich  einfach  mittelst  Eienutzuog  der 

unkte  M  und  jV  lüsen.    Namentlich  wird  man  die  zum  Grund- 

i'bnitt   parallele   Sehne  eines   Systems  dadurch  erhatten, 

-   man    von  M  oder  A' Tangenten    an   den  Kreis,     und  durch 

i.n  Berührungspunkte  Parallelen  zum  Grundschnitt  zieht- 


iMlttelst  des  Bisherigen  ist  man  im  Stande,  wenn  eine  gege- 
■Ai  Sehne  so  projicirt  werden  soll,  dass  die  Projeclion  eine  ge- 
iiLne  Bedingung  erfülle,  der  gegebenen  Sehne  eine  andere  von 
ii^elben  Sysleni  zu  snhstituiren ,  welche  eine  für  die  Lösung 
<  jedesmaligen  Aufgabe  bequemere  Lage  hat. 

Ilieber  gehören  folgende  Aufgaben  : 

ll  Eine  Sehne  so  zu  projiciren,  dass  die  Projection 
'"".  gegebene  Grösse    habe. 

Auflösung.    Alan  substitnire  der  gegebenen  Sehne  die  zum 
schnitt  parallele  Sehne  dessellien  Systems.    Den  Punkt  des 
■  .  i    j. .    _  ..--i-^„  .„  j —  verlangter  **'"■"- 


ich  diese  Sehn« 


,  wird  mau  erhalten,  wenn  man  ein  Stück  gleich  dem  ge- 
ilten auf  dem  Grundscbnitt  beliebig  auftragt,  über  dieser 
iiiiiltinie  «in  Dreieck  construirt,  dessen  Seiten  durch  die  End- 
i>k<e  der  Sehne  gehen,  und  durch  die  Spitze  dieiieB  Dreiecks 
■  ^  Parallele  zum  Grundschnitt  zieht. 


I  Will. 


l^ 


1 


338 


£i»e  LüBung    der  Auifjabe  für  ütsit  Fall,    Hass  es  ^'^^b 
I  Qrundscbniit  {tiirullele  Sehne  des  üysteme  ^r  nicht  j;ibt,  (d 
r  Sali  wird  eiDlreleo,    wenn   die  beiden  Enduunlite  der  gegel 
rS«hne  auf  verecbie denen  Seiten  des  Grundscbnitte  liegen) 
'  S  IV.  foigen. 


Iren,     das»    di« 
Punkt     dea     Gr' 

:s  getheilt   wird. 


£)    Eine    Sehne   so    zu   proji 

rJ6ction     durch     einen    gegebene 

Schnitts  in  gegebenem  Verbal  tn 

Auflüsnng.     AncU  hier    ist  die  bequemste  Lage  der  iS 

dieienige,  welche  zum  Grundacbnitt  parallel  ist.     Man  wird 

Senne  in  d*m  gegebenen  VerhällniRs  IhpÜen,  den  TheilungH 

I  durch  eine  Gerade  mit  dem  gegebenen  Punht  des  Grundscti_ 

l  rerbinden,  und  vom  Schnitt  dieser  Geraden  imd  des  Kreiset 

fäle  Sehne  projiciren. 

Eine  zweite  Auflösung  namentlich  fiir  den  Fall,  dasa  es 
liram  Grundschnilt  |iarallele  Sehne  des  Systems  gibt,  ist  folg) 

Man  Bubstituire  der  gegebenen  Sehne  diejenige,  welche 
den  gegebenen  Punkt  des  Grundschnittea  geht.  Es  sei  (Ti 
Fig.  2.)  DE  diese  Sehne.  F  der  gegebene  Punkt,  Aß  die 
suchte  Pro jectiou.  Wählt  man  dann  den  Punkt  Gauri>£sD, 

DF:FG=AF:FB, 

so  ist  BG  parallel  zu  AC,  und  folglich 

GBE  =  ACF, 

demnach  der  Punkt  B  leicht  zu  bestimmen. 

Wenn    die  Entfernung    eines  Endpunktes   der  Projection 
Grundschnittes  zur  Entfernung  des  andern 


einem  Punkte  di 

puiiktes 


indem  Punkte  des  Grundschnittes  ein 
benes  Verbältniss  haben  soll,  so  hat  man  nur  die  EntferDun; 
beiden  gegebenen  Punkte  in  dem  gegebenen  Verbältniss  za 
len,  um  auf  die  bereits  gelüste  Aufgabe  zuriickztikouimen. 
die  beiden  Punkte  des  Grundschnitts  diejenigen,  in  denei 
Grundacbnitl  dem  Kreis  begegnet  (Taf.  V.'  Fig.  3.),  so  ISasI 
die  Aufgabe    Ibigendermassen    fassen : 


ahs_ 
Grüsae  hab 
Verhültnis' 


s  soll  eine  Ge 
3if*'winkel   a. 


ogen 


n  Punkt  sich  f 
b1  u,  ß,  Y  bildende  Gera 
OD  welchen  das  mittler- 
fihrend  die  beiden  andei 
einander  stehen. 


auf  wel 
leidend 
drei    St 
ne  gege 
n  gegel)  c 


r  Aufgabe,  in  etwas  anderer  Fomi  gefasst, 
icra  Archiv  eine  Liisung  gegeben  w  irden. 


käme  nun  die  Aufgabe:     eine    Sehne  eo 


^dass  das  Rechteck   a 


tiden  Stücken, 


cbe    die   Projection  durch    einen  gegehei 


es  Grundschnittes  geth 
übe.   Von  di«ser  Aufgabi 
Igeoden  besondern  Fall  i 


,. ebene  Gn'lssa 
irir  mitteilst  des  £ish  er  igen  bloss 
1  im  Stande, 


3)  Eine  Sehne 


gegebenen  Sehne  auf  eir 


Auflösung.    Man  suche  die  Sehne  vom  System  der  ersten, 

'aa  durch  den  Schnittpunkt  der  zweiten  und  des  Grundschnit- 

.i.  L^cht.     Pntjicirt  man    die  gefundene  Sehne  so,    dass   Me    mit 

lier    eigenen    Projection  auf  einem  Kreise  liegt,     so    liegt  diese 

fojection  auch  mit  der  zfveiten  der  gegebenen  Sehnen  auf  einem 

!rei9e>    urd  die  Aufgabe  ist  gelöst.     Der  Punkt  aber,     von    wel- 

K~m  ans  alle  Sehnen  sich  so  projiciren,  dass  sie  mit    ihrer  Pro- 

'^in   auf   einem    Kreise  liegen,    ist  der,    in  dem  die  Tangente 

:ilel  zum  Grundschnitt  ist. 


Die  in  1.  für  AN  und  BM  gefundenen  Ausdrücke  behalten 
n  Werth  nicht  nur  für  iede  andere  Sehne  des  gegebenen  Krei- 
,  lon  fve\eheT  AB  als  Projection  betrachtet  tvcrden  kann,  sou- 
n  sie  behalten  ihren  Werth  auch,  vi'enn  man  ^ß  aU  Projection 
r  fiehne  eines  anderen  Kreises  (von  einem  Punkte  dieses 
is)  betrachtet,  für  welchen  die  Produkte  AD>cAC, 
[Ex£C  ihren  Werth  beibehalten.  Die  geometrische  Bedingung 
entweder,  dasH  der  zneite  Kreis  dem  GrundschnitI  in 
eeltien  Punkte  begegnet,  wie  der  erste,  oder  dass  derlUitlel- 
pt  des  zweiten  Kreises  mit  dem  Mittelpunkt  des  ersten  in 
rnodschnitt  Senkrechten  liegt,  und  die  vom  Fuss- 
ta  dieser  Senkrechten  an  die  beiden  Kreise  gezogenen  Tan- 
a  der  Grüäse  nach  gleich  sind. 

•nach  enveitert  sich  nnser  Hauptsatz  dahin,  dass  durch  den 
wen  Kreis  und  den  Gnindschnitt  ein  System  von  Krei- 
ifiiHid  durch  den  Punkt  M  oder  iV  in  Bezug  auf  jeden  die- 
i  ein  System  von  Sehneu  bestimmt  ist,  deren  jeder 
d  dasselbe  System  von  Projectionen  zugehört. 

Inrcli  ist  man  in  den  Stand  gesetzt,  in  Füllen,  wo  sich  in 

gebenen  Kreise  keine  die  Lös~ung  der  Aufgabe  wesentlich 

rode  Lage  einer  Sehne  ermitteln  liisst,  auf  einen  anderen 

^  Gberzugeben,  und  sich  dort  die  bequemste  Lage  der  Sehne 

kSysleius  herauszusuchen.  Dabei  »erden  folgende  zwei  Haupt- 

dnir  Anwendung  kommen.     Man  wird   entweder   1)  dem  ge- 

I  Kreis^  denjenigen    des   Systems  isubstituiren ,    der  die  in 

T  iV  errichtete  Senkrechte  berührt,    oder  man  wird,    wenn 

23* 


340 

diess  nicht  möglich  ist,  2)  dem  s^egebenen  Kreis  denjenigen 
Systems  substituiren ,  dessen  Mittelpunkt  im  Grundschnitt  \n 
Im  erstem  Falle  lässt  man  an  die  Stelle  der  gegebenen  Sei 
des  gegebenen  Kreises  den  zum  Grundschnitt  parallelen  Dur 
messer  des  neuen  Kreises  treten,  im  zweiten  Fall  einen  Dur 
messer,  dessen  Lage  gegen  den  Grundschnitt  von  der  Lage  i 
Punktes  M  (oder  N)  abhängt. 

Als  erstes  Beispiel  kann  die  Losung  der  Aufgabe 
in  111.  fiir  den  schon  besprochenen  Fall  dienen.  Man  findet  i 
dem  System  zugehörigen  Durchmesser  des  neuen  Kreises^  y 
Taf.V.  Fig.  4.  zeigt.  Ist  AB  die  gesuchte  Projection  des  Dur 
messers  VE,  und  O'  die  Mitte  von  AB,  so  sieht  man  leic 
dass  OCO^^=AOD ,  dass  somit  das  Dreieck  OCO'  gegeben 

Man  wird  bei  dieser  Gelei^enheit  bemerken,  dass  jede  P 
jection  des  Durchmessers  DE  als  Durchniesser  eines  Kreises  1 
trachtet' werden  kann,  der  den  Kreis  O  unter  dem  Winkel  AC 
schneidet.  Ebenso  kann  die  Projection  des  zum  Grundschnitt  par 
lelen  Durchmessers  eines  Kreises  als  Durchniesser  eines  Kreii 
betrachtet  werden,  der  den  ersten  berührt. 


V. 


Zweite  Hauptauf  gäbe.  Die  gemeinschaftliche  Pr 
jection  für  zwei  gegebene  Sehnen  zweier  Kreise  i 
finden. 

Oder:  Ein  Viereck  zu  construiren,  wenn  gegeb« 
eine  Diagonale  der  Lage  nach,  die  ihr  gegenüberli 
genden  Winkel  und  vier  Punkte,  durch  welche  die  vi 
Seiten   gehen    sollen. 

Auflösung.  Nach  IV.  wird  die  Aufgabe  auf  eine  der  di 
folgenden  sich  zurückführen  lassen.  Es  soll  die  gemeinschaftlidl 
Projection  gefunden  werden 

1)  für  die  zum  Grundschnitt  parallelen  Durchmesser  zwei 
Kreise; 

2)  für  den  zum  Grundschnitt  parallelen  Durchmesser  ein« 
Kreises,  und  einen  Durchniesser  eines  zweiten  Kreises,  dess< 
Mittelpunkt  im  Grundschnitt  liegt; 

3)  für  zwei  Durchmesser  zweier  Kreise,  deren  Mittelpun 
im   Grundschnitt  lieut. 

Nach  der  Schlussbemerkung  zu  IV.  aber  lassen  sich  die 
Aufgaben    folgendorniassen  fassen: 

1)  Einen  Kreis  zu  construiren,    dessen  Mittelpnii 
auf    einer    gegebenen    Geraden    (dem      Grundschni^ 
liege,  und  der  zwei  gegebene  Kreise   berühre. 


341 

2)  Einen  Kreis  zu  construiren^  der  einen  gei^ebe- 
,en  Kreis  berflhre»  einen  zweiten  unter  gegebenem 
Kinkel  schneide,  und  dessen  Mittelpunict  auf  einem 
(cgebenen  Durchmesser  des  letztern  iCreises  liege. 

3)  Einen  Kreis  zu  construiren,  der  zwei  gegebene 
Kreise  unter  gegebenen  Winiceln  schneide,  und  dessen 
Mittelpunkt  auf  dem  gemeinschaftlichen  Durchmesser 
keider  Kreise  liege. 

Die  elementare  Lösung  von  Aufgabe  1)  wird  als  bekannt  vor- 

ssetzt  werden  dürfen.    Aufgahe  2)  wird  man  mit  Leichtigkeit 

den  Fall  zurückfähren,    wo  der  gegebene  Winkel  ein  rechter 

Am  meisten  Schwierigkeit  macht  Aufgabe  3).     Sie  lässt  sich 

die  Form  bringen:    auf  dem   gemeinschaftlichen  Durchmesser 

(r  Kreise  einen  Punkt  zu  bestimmen,    so  dass  die  Differenz 

TOD    ihm    an    die    beiden   Kreise    gezogenen  Tangenten   eine 

lene  Grösse   habe.      Sind    (Taf.  V.  Fig.  5.)    OP  und     O'P 

Halbmesser  der  beiden  Kreise,     Q  der  gesuchte  Punkt,    so 

leiden  die  mit   den  Halbmessern   OQ  und  O'Q  beschriebenen 

sbugen    auf  den    in  P   und  P'  errichteten    Scheiteltangenten 

rei Stöcke  Pi?,  P'R'  ah,  gleich  den  von  Q  an  die  beiden  Kreise 

[enen  Tangenten.    Macht   man  jetzt  PS=:0'P^,    ST  gleich 

Vifferenz    der   Tangenten,    so    ist     OR  +  RT=  0R+  O'R' 

:00'.    Man  hat  sonach  über  OT  als  Grundlinie  ein  Dreieck  zu 

liren,    dessen  Spitze  auf  der   in   P  errichteten  Scheiteltan- 

liegt  und  dessen  beide  andere  Seiten  zusammen  gleich  00' 

eine  bekannte  Aufgabe  der  Eleraentargeometrie. 

Als  besonderer  Fall  unserer  Hauptaufgabe  erscheint  z.  B.  der 
ade:    Ein  Viereck    zu   construiren,     wenn    gegeben 
Diagonale  der  Lage  nach,  mit  den  ihr  gegenüber- 
[eodeo  Winkeln  und  Ecken.    Man  kommt  auf  diese  Au f- 
!,  wenn  die  beiden  ursprünglich  gegebenen  Sehnen  dem  Grund- 
parallel und  der  Grösse  nach  gleich  sind. 

Die  Haaptbedeatung  unserer  Aufgabe  wird  sich  im  Folgenden 


9l 

il 


VI. 


Wirwerden  nun  die  ein  System  von  Projectionen  cha- 
^erisirende  Bedingungsgleichung  aufsuchen,  und 
fM  besonders  den  Fall  berücksichtigen,  wo  man  ein  System 
{Kreisen  hat,  die  den  Grundschnitt  schneiden. 

•ei    (Taf.  VL  Fig.  1.)   DE  die  Sehne,    welche    projicirt 
md  im  Uebrigen  Alles,  wie  in  I.,  so  hat  man 


1)     AN=i 


ADxAC 
AB 


2)      B3I= 


BE><BC 
~~ÄB~' 


342 

»  .  

Sind  JZ und  jS  die  Punkte»  in  welchen  der  Grandschnittdem Krak 
begegnet,  so  Ist  ' 

ADxACzuARxAS,     BExBC=:BRxBS ,  ^ 

und  man  hat  ' 

Qx     AKT    DUM     Ai>     wii^     ARxAS'-BRxBS 
3)    AN-^BM^z  AB'—lUN^ ^fg ' 

oder 

MjNxAB=  ABxAB-ARxAS+BRxBS 

=  (AR+BR)  (AS'-BS)-ARxAS+BRxBS 
siBRxAS'-ARxBS.  I 

Setzt  man  AR^a,   BR=:ß,  BS=:y»    MgWch    ÄS=:j5+y 
hat  man 

«+p 
Äs-ürjv=2^; 

woraus 

RS+MN      ß(a+ß+y)       AS,  AR 
*^     RS—MN^        ay         ^  BS' BR' 

Für  den  Fall ,  dass  die  Punkte  R  und  S  zwischen  M  und  N 
gen ,  erhält  man  ebenso 

MJN  +  RS      AS .  AR 
MN-RS-'  BS'  BR' 


VII. 


Die  in  VI.  gefundene  Bedingungsgleichung  für  ein  System  fÄ 
Projectionen  enthält  nicht  nur  einen  neuen  Beweis  für  alle  N 
Bisherigen  aufgestellten  Sätze,  sondern  sie  gibt  denselben  aaCS 
erst  ihre  wahre  Bedeutung.  Es  ist  nemlich  das  durch  die  Gleichofl 

AS  AR  _ 
BS'BR  —  ^ 


343 

aumenproGfaene  Verhältniss  kein  anderes »  als  dasjenige,  welches 
in  der    neueren  Geometrie   unter   dem  Namen    eines   an  härm  o- 
schen  Verhältnisses  vorkommt,  weil  es  fiir  K=l  zu  einem 
I '  harmonischen   Verhältnisse    wird.     Man  wird    hiedureh    auf  eine 
t    Dene,TomKreis  unabhängige,  rein  linjeäreErzeugungs- 
I    art  eines  Systems  von  Projectionen  in  dem  bisher  bespro- 
chenen Sinn  ningewiesen.    Dieselbe  ist  im  folgenden  Lehrsatz 
enthalten. 

• 
Wenn  (Taf.  VI.  Fig.  2.)  AB  die  Projection  einer  be- 
grenzten Geraden  DE,  die  «verliängert  den  Grund- 
schnitt in  jS  trifft,  von  einem  Punkte  C  einer  Geraden 
ans  ist»  die  den  Grundschnitt  in  R  trifft,  so  findet  für 
jede  Lage  des  Punktes  C  auf  dieser  Geraden  die  Glei- 
chung Statt: 

AS   AR_ 
BS'  BR—^^ 

Der  Beweis  soll  hier  ganz,  wie  in  VI.,  geführt  werden.  Man 
liehe  durch  D  und  E  Paralielen  zum  Grundschnitt,  die  die  Ge- 
rade CA  in  F  und  G  treffen.  FE,  DG  treffen  den  Grundschnitt 
in  M  und  iV.    Dann  ist»  wie  leicht  zu  sehen, 

n     Ai^     ARXAS  ^^     ^,,_BRxBS 

■nd  da  nun  Alles,   wie  in  VI.,  bt,  so  wird  man  auch  die  dort 
gefimdene  Gleichung 


AS   AR        RS  +  MN 
BS'BR-^  ÄÄ-üfiV 


wieder  erhalten. 


Hjn  kann  bei  dieser  Gelegenheit  einen  Lehrsatz  der  neueren 
Geometrie  herleiten,  den  wir  für  unsern  Beweis  hätten  benutzen 
binnen.    Es  ist,  wie  die  Figur  zeigt: 


ilso 


^^     DSxEG  ^^     ESxDF 


SNDS     EG 
SM"  ES^  DP' 


Schneidet  CR  die  Gerade  DE  \n  Q,  so  ist 


EG_EQ 
DP-^  DQ' 


I 


nd  fbtglicli 


344 

SM"  ES'EQ' 

MuD  ist,  wie  icirht  zu  sehen, 

UN^SiV,    SX=l(RS+3iy),     SM=l{RS^MA^ 

und  man  erhält  demnach  die  Gleichung 

IJS  DQ      KS+MN      AS  AR 
E S'  EQ-^  RS'-MIS'^  BS'  BR ' 

Man  vergleiche  hierüber  die  Geometrie  von  Kunze. 


vni. 


Da  sich  nach  VII  die  Aufgabe ,  eine  begrenzte  Gerade  voo 
einer  zweiten  gegebenen  Geraden  aus  auf  den  Grundschnitt  son 
projiciren,  dass  die  Projection  eine  gegebene  Bedingung  erf&He^ 
auf  die  Aufgabe  zurückltihren  lässt,  eine  Sehne  eines  Kreises  veo 
einem  Punkt  dieses  Kreises  aus  in  der  verlangten  Weise  zu  pro* 
jiciren,  so  sind,  wie  man  sieht,  mit  den  bisher  für  den  Kreis 
gelösten  Aufgaben  eben  so  viel  analoge  für  den  Fall 
gelöst,  wo  statt  des  Kreises  und  der  Sehne  eine  uube 
grenzte  und  eine  begrenzte  Gerade  gegeben  sind. 

Besonders  bemcrkenswerth  erscheint  hier  die  Aufgabe,  einem 
Dreieck  ein  Dreieck  ein  zu  beschreiben,  dessen  Seiten 
durch  drei  gegebene  Punkte  geben  sollen.  In  Taf.  VI 
Fig.  3.,  wo  JJ,  E,  F  die  gegebenen  Punkte  sind,  ist  ^i?  sowohl 
eine  Projection  von  DE,  als  DF,  und  folglich  mittelst  der  zwei* 
ten  Hauptaufgabe  zu  bestimmen. 

Es  lü'sst  sich  aber  sogar  die  allgemeine  Aufgabe:  Einem 
neck  ein  weck  einzul)  c schreiben,  dessen  Seiten  durch 
n  gegebene  Punkte  gehen  sollen,  nach  den  aufgestellten 
Principien  lösen.  Da  jedoch  die  Lösung  praktisch  nicht  wohl 
brauchbar  ist,  so  möge  darüber   folgende  x\ndeutung  genügen. 

Wenn  AB  und  BC  zwei  verschiedenen  Systemen  angehö- 
rende, den  Endpunkt  B  aber  gemein  habende  Projectionen  sind, 
so  wird,  wie  leicht  einzusehen,  zwischen  den  Punkten  A  und  C 
eine  Abhängigkeit  derselben  Art  Statt  finden,  wie  zwischen  ^-l  und 
B  oder  B  und  C,  d.  h.  auch  AC  wird  einem  bestinnnten  System 
von  Projectionen  angehören.  Um  dieses  System  geometrisch  zu 
bestimmen,  hätte  man  zunächst  irgend  drei  Lagen  von  AC  zn 
zeichnen,  und  dann  die  Aufgabe  zu  lösen,  wenn  drei  Projectio- 
nen von   einem  System  gegeben  sind,    das  System  von  Kreisen, 


345 

\i  welches  sie  sich  beziehen ,  zu  findeo.  Die  Lusang  dieser  Auf- 
ibe  enthält  der  Satz»  dass,  wenn  AB  und  J'B'  Projectionen 
ner  und  derselben  Sehne  DE  sind,  ADA':=iBEB'  ist. 

Betrachtet  man  nun  z.  B.  (Taf.  VI.  V\^.  4.)  das  Viereck, 
essen  Seiten  durch  die  Punkte  Dj  E,  F,  G  gehen  sollen,  so 
ehurt  AC  sowohl  zu  einem  unmittelbar  gegebenen  System  als 
rojection  von  Z>£,  als  auch  zu  einem  mittelbar  gegebenen  Sy* 
tem,  weil  AB  und  BC  gegebenen  Systemen  zugehoren.  Dem- 
ach  ist  man  wieder  auf  die  zweite  ftauptanfgabe  zurOckgeführt, 
nd  wird  diess  ebenso,  wenn  es  sich  um  die  allgemeine  Anf- 
abe  handelt. 


IX. 

Wir  sind  nun  mit  den  Hauptan Wendungen  zu  Ende,  und  ge- 
len  noch  zu  einieen  besonderen  über,  zunäch^it  fiir  den  Fall,  wo 
5e  Punkte  A^  N,  B^  S  harmonisch  liegen,  oder  wo  es  sich  um 
ie  Projection  einer  durch  den  Pol  des  Grundschnittes  gehenden 
lehne  nandelt. 

Zunächst  fallt  in  die  Augen,  dass  mit  den  bisher  gelosten 
Lv^aben  eine  Reihe  von  Aufgaben  in  Bezug  auf  die  Con- 
Iruction  eines  Systems  harmonischer  Linien  gelost  ist. 

Eine  Reihe  neuer  Anwendungen  aber  eröffnet  sich  durch  fol- 
[enden 

Lehrsatz: 

Wenn  man   alle    Projectionen  einer  durch   den  Pol 
ffs  Grundschnitts  gehenden  Sehne    von   einem    will- 
Ihrlich   angenommenen    Punkt    aus    wieder  projicirt 
tfeine  Gerade,  die  parallel  ist  zur  Verbindungslinie 
les  Punktes  und  des  Fusspunktes  der  vom  Pol  auf 
!■  Grundschnitt   gefällten  Senkrechten,    so  ist  das 
Ferbältniss   der    ersten   Projection    zur  zweiten    von 
instanter  Grosse. 

Beweis.   Ist  P  der  Fusspunkt  der  Senkrechten,  folglich  die 
von  RSg  so  lässt  sich  die  Gleichung 

AS   AR_^       ,      AS_AR 
BS'BR-^^'  ^^®''  BS-^BR 

1er  Fonn  schreiben 

AP±PR  _  AP-PR        ,        AP+PR_  PR+BP 
SP+PR  "•  PR—BP     ^"^^"^     AP--PR  "PR'-BP' 

erhält  man  unmittelbar 

^=^   oder    APxBP=PR^. 


346 

Fffr  den  Fall,  dass  der  Grandschnitt  den  Kreui  nicht  trifl»  9M 
man  leicht  aaf  directem  Wege,  indem  man  die  durch  den  N 
parallel  zum  Grandschnitt  gesogene  Sehne  projicirt: 

APxBP=zP'n, 

wo  FT  die  von  P  an  den  Kreis  gezogene  Tangente  ist 

Ist  nun  (Taf.  VI.  Fis^.  5.)  O  der  Punkt,  von  welchem  in 
die  Projection  AB  projicirt  wird,  Q  der  Schnittpunkt  der  zaOP 
Parailefen  und  des  urundschnitts,  ab  die  Projection  ?oo  ABt 
und  zieht  man  durch  A  eine  Parallele  za  OP,  die  den  Pr^ 
jectionsstrahl  Ob  in  C  trifft,  so  ist 

1)    AB=AC^.  2)    ab  =  AC^  =  AC^p 

und  folglich 

^    AB  _  APxBP 
^^      ab  -^  OPxPQ' 

ein  constanter  Ausdruck,  da  das  Product  APxBP  coDstaatitf 

Für  den  Fall,    dass  der  Punkt  O  selbst  auf  dem  Kreise» 

fenommen  wird,  und  O'  der  zweite  Schnittpunkt  von  OP  mit  den 
Teise  ist,  ist  sowohl  PR^,  als  P'n=:OPxO'JP,  unddieGle)' 
chung  3)  nimmt  die  Form  an 

.,    AB      O'P 

^)    l[b==PQ" 

Mit  Hilfe  dieses  Satzes  wird  man  folgende  Aufgaben  luseo: 

I.  Durch  einen  gegebenen  Punkt  zwei  Gerade  s^ 
zu  legen,  dass  sie  auf  zwei  gegebenen  Geraden  zwei 
Stücke  von  gegebener  Grösse  abschneiden. 

II.  Durch  einen  gegebenen  Punkt  zwei  Geraden 
legen,  die  mit  einander  einen  gegebenen  Winkel 
machen  und  auf  zwei  gegebenen  Geraden  zwei  Stucke 
von  gegebenem  Verhältniss  abschneiden. 

Man  wird   in  beiden  Aufgaben  den  gegebenen  Punkt  ab  dea 


struiren.  Bei  der  ersten  Aufgabe  handelt  es  sich  dann  danA 
durch  den  Pol  eine  Sebne  zu  legen,  die  sich  von  O  aus  ingese-j 
hener  Grösse  auf  den  Grundschnitt  projicirt  (Aufgabel)  in  IHh 
Bei   der   zweiten  Aufgabe  wirci  man,    äa  die  Projectionsstrabki' 


$1 


I 


347 

einen  gegebenen  Winkel  mit  einander  machen  sollen»    dorch  den 
Pol  eine  Sehne  von  gegebener  GrSssje  za  legen  haben. 

Eine  direktere  and  hfibschere  AaflSsung  von  Aufgabe  I.  ent- 
hält folgender  Lehrsats. 


X. 

I  Lehrsatz. 

Wenn  der  Grundschnitt  den  Kreis  im  PunkteP  be- 
rührt,    und  es    werden    von    einem  willkübrlich  ange- 
nommenen Punkt  O  aus    alle  Projectionen   von  einer- 
I     lei  System  auf  eine  zu  OP  parallele  Gerade  projicirt» 
80  ist  diese  zweite  Projection  von  constanter  Grösse* 

^  Beweis«    Die  Gleichungen  1)  und  2)  in  I.  geben  in  diesem 

Fall 

Arr+B1U=AB'^2MP=       Jg^ , 

woraus,  da  AB=:AP^BPy 

APxBP 


MP=z 


AB 


Non  ist,   wie  in  IX, 


md  sonach  hier 


t  ^,^Of>xPQ 


MP 


Der  Lehrsatz  lässt  eine  andere  Fassung  zu,  wenn  O  selbst 
p  aof  dem  Kreise  liegt.  Lässt  man  nemüch  alsdann  ab  sich  fort- 
j  bewegen,  so  werden  Oa  und  Ob  lauter  Sehnen  von  einerlei  Sy- 
I    stem  ans  dem  Kreise  ausschneiden 

Durch  Comblnation  dieses  Lehrsatzes  mit  früheren  Aufgaben 
nnd  Lehrsätzen  lässt  sich  nun  noch  eine  Reihe  von  Aufgaben 
IfiseOt  die  wir  nicht  namentlich  aufzufahren  brauchen. 


Anhang. 

(.     ^     Die   im   Vorhergehenden  bewiesenen   Hauptlehrsätze  lassen 
sich    in    einen   Lehrsatz    zusammenfassen.     Wenn   man   die 


x= 


F  = 


Ä(V-0  ^^  6'(a:i2_-«2) 


^'""    '2pö'^cc^-2a\ 


'2pö  +  a^'--2aa:^y+:r^y^  '  ""    2/)6'+a2--2a'a:i+:ri2 


Wir  schreiben  jetzt  die  beiden  Gleichunijen  an    -y^=  -y>   und 
Y=r  P,  und    erb  alten  hieraus : 

1)  2/y66'Cro-.ri)(^o^i+«2) 

2)  2/?Ä»/>'  (.To — o-, )  (xo  +  a:i ) 
woraus  durch  Elimination  von  /; : 


348 

Sehne  DE  eineg  Kegelschnitts  von  der  Peripherie 
des  Kegelschnitts  aus  auf  eine  Gerade  projicirt,  die 
dem  Kegelschnitt  in  den  Punkten  R  und  iS  begegnet, 
so  ist  die  Abhängigkeit  zwischen  den  Endpunkten  J, 
i?der  Projection  durch  die  Gleichung  ausgedrückt: 

AS  ,AR_ 
ßS'  BR'^'^' 

Um  diesen  Satz  auf  dem  Wege  der  analytischen  Geometrie  mug- 
liehst  einfach  zu  erhalten,  nehmen  wir  zu  Coordinatenaxen  die 
Gerade  RS  und  den  der  »Sehne  RS  zugeordneten  Durchmesser. 
Die  Gleichung  des  Kegelschnitts  wird  sich  dann  in  der  Form 
anschreiben  las^ien: 

Die  Coordinaten  der  Endpunkte  der  gegebenen  Sehne  seien  (a,ft) 
und  (a*,  t*)y  die  Abscissen  der  Endpunkte  der  Projection  aber 
Xq  und  Xi,  Um  die  zwischen  Xq  und  Xi  Statt  findende  AbhSih 
gigkeit  zu  erhalten,  kann  man  die  Bedingung  anschreiben »  dass 
die  beiden  projiclrenden  Geraden  dem  Kegelschnitt  in  einem  und 
demselben  Punkte  begegnen.  Die  Gleichungen  dieser  Geradei 
neissen 

(a — x^  (y  —  b)  =  b{x — o) ,    wobei    a*  —  o* = 2p6  +  ^6* , 

(«'--^i)(y— 60=Ä»'(a— o'),    wobei    a'2— a«=2/?6'  +  ^&'a. 

Es  seien  (A',  l')  und  {X\  P)  die  Ceordinaten  für  die  zweiten 
Schnittpunkte  di(?ser  Geraden  und  des  Kegelschnitts.  Dann  fin- 
det man  durch  eine  einfache  Rechnung: 


I 


319 

^ro«-««)[(aro+:r,)(2a«jr4-«'(a:,2+aa))-(j:oa:i+a«)(.Ti«-2ii'jri+a^ 

-  (.ryari  +  a«)(aro2  -  2a^o  +  «*)  ] =0 . 
Diese  Gleichung  reducirt  gibt 

—  6'[«(^i  —  OTo)  +  «2  —  a-o^i]  J  =0,. 

und  wenn  man  mit  den  unbrauchbaren  Factoren  wegdividlrt,  erhfilt 
man  endlich 

4)  XqXi j^^^,    (a:o— ^i)-tt2=0, 

eine  Gleichung,    deren   geometrische  Bedeutung  leicht  za  erken- 
nen ist. 

Zn  bemerken  ist  noch ,  dass  in  der  vorausgesetzten  Gleichung 
des  Kegelschnittes  der  Fall  nicht  enthalten  ist,  wo  die  Gerade, 
auf  die  man  projicirt,  parallel  zu  einer  Asymptote  ist.  Die  Be- 
dingunjgsgleichung  fiir  die  Projection  uird  aber  in  diesem  Fall 
besonders  einfacn:  namentlich  ist  bemerkenswerth ,  dass  die 
Projection   der  Sehne    einer  Hyperbel  auf  die  Asym- 

Stote  selbst  von  constanter  Grosse  ist.    Man  kann  diesen 
atz  leicht   aas  der  in  X.  bewiesenen  Eigenschaft  des  Kreises 
durch  Centralprojection  desselben  herleiten. 

Die  Um kehrune  unseres  Hauptsatzes  ist  folgender,  sehr  leicht 
direkt  zu  beweisender  Satz.    Der   geometrische   Ort   eines 
Punktes,   von  dem  aus  eine  begrenzte  Gerade  sich  auf 
eine  zweite  Gerade  so  projicirt,    dass  die  Projectio* 
nen    ein    gegebenes    System   von  Projectionen    in  dem 
bisherigen  Sinne    bilden,    ist   ein  Kegelschnitt,    von 
dem   die    begrenzte  Gerade   eine  Sehne  wird.     Wird  ein 
auf  diese  Weise  gegebener  Kegelschnitt  von   einer  dritten  Gera- 
den  in    den  Punkten   r  und  s  geschnitten,    so  gehurt  nach  dem 
Hauptsatze   jede  Projection   ab  der   gegebenen  Sehne  auf  diese 
Gerade  zu   emem  bestimmten  Svsteni  in  Bezug  auf  die  Punkte  r, 
s.    Diese  Punkte  wird  man  in  jedem  einzelnen  Falle  mittelst  der 
zweiten   Hauptaufgabe  bestimmen  können,     und   sucht  man  dann 
weiter  eine  Lage  von  ab,    die  einem   unmittelbar  gegebenen  Sy- 
stem von   Projectionen  zugehört,     so  hat  man  folgende  wichtige 
Aufgabe  gelöst: 

Durch  zwei  gegebene  Punkte  zwei  Gerade  so  zu 
legen,  dass  sie  auf  zwei  gegebenen  Cveraden  zwei 
Stficke  abschneiden,  welche  gegebenen  Systemen  von 
Projectionen  zugehören. 

Ein  besonderer  Fall  dieser  Aufgabe  ist  z.  B.  der,  wenn  ver- 
langt wird,  dass  die  beiden  gesuchten  Stücke  eine  gegebene  Grösse 
haoen  sollen. 


Zum  Schlüsse  miige  hier  noch  foli^einle,  mit  den  im  Vorhe 
sehenden    behandelten  Aufgaben   verwandte  Aufgabe  ei        ™ 


Man  aoll  ein 
e  Seiten,  als 
lander  mache 


Viereck   construiren,    in  dem  sovolip 
die  Diagonaf  en  gegebene  Winkel  mlf 


Bei   der   Aiiflüsung    sind  zwei  Maupffdlle  zu  unterschddea 

I.  Einet  der  Winkel  des  Vierecks  ist  ein  übers  tum  p  fei,  odei 
einspringender. 

Es  sei  (Taf.  VI.  Fig.  6.)  ABED  das  gesuchte  Viereck,  des- 
sen Seiten  AO,  HE  sich  in  C,  und  dessen  Diagonalen  AR,  BD 
eich  in  G  schneiden.  DE  und  AB  schneiden  sich  in  F.  Uu 
Dreieck<4fi/> betrachte  man  aUParalleliirojectlan  eines  ziveltenUrd 
ecks,  mit  dem  es  dieGrundlinie.^figemeinliat,die  drei  Transversa'"' 
AG,  bC,  HF  aber  als  die  Prnjeclionen  der  drei  Hrihen  des  l< 
(ein  Dreiecks.   Man  nird  dieses  Dreieck  zeichnen  kiinoen 

man  durch  C  und  G  Parallelen  zn  DF  zieht,    die  die  Gl _^ 

in  c  und  n  treffen,  und  die  Schnittpunkte  der  in  c  und  g  erridi- 
teten  Senkrechten  mit  dem  Alter  ^Zf  beschriebenen  Ualbkrels  con- 
strulrt.  Heissen  diese  Schnittpunkte  C  und  G',  und  schneldeo 
AO,  BG'  sich  in  D%  BC  und  AG'  in  £',  so  ist  das  Dreieck 
ÄBD  mit  seinen  Transversalen  eine  Paratlelprojeclian  des  Drei- 
ecks ABiy  mit  seinen  Hüben ,  nnd  dernuach  GG'  parallel  zu  CG. 
Die  Aufgabe  wird  daher  sein,  das  Viereck  ABGG'  zn  conslrei- 
ren.  in  Hekhem  ausser  der  Seite  AB  die  Wii|kel  AGB,  AGB 
und  die  Richtung  ven  GG'  gegeben  sind,  und  In  dem  überdies« 
G'g  zu  Gg  sich  verhalten  soll,  wie  Oc  za  Ce.  Ein  diesem  Viel- 
eck  ähnliches  wird  man  bekommen,  wenn  man  ein  VlerMl: 
A'B'CO  construirt,  in  welchem  A'CB-=^\m..  und  A'CH'^AGB 
ist.  Kolgllch  ist  die  Aufgabe  keine  andere,  als  die  am  Schlun 
zu  V.  erwähnte  und  mit  der  zweiten  Hauptaufj^abe  gelöste,  filr 
welche  man  jedoch  in  diesem  speciellen  Falle,  noch  eine  eleCf 
chere  Lüsung  erhält,  wenn  man  sich  fQr  das  durch  die  Gleichnnj 

AcXcB=Cc'' 

bestimmte    System    von   Projectlonen    nach  IX.    einen  durch  it\ 
Punkt    C  gehenden  KreU   verschafft,    und  dann   eine  Sehne  «< 
System    sucht,     die    sich  von    C    aas   unter  dem    Winkel  Ai 
projicirt. 

II.  Die    Winkel    des    Vierecks    sind    alle    kleiner    als    i»e!   ' 
Rechte.     Uie    Autliisung    wird    in    diesem    einfacher     scbeioeDdeti 
Falle  leider  compllcirter. 

Es  sei  ABEli  wieder  das  gesuchte  Viereck  (Taf.VII.  Fic-ll 
und  die  Bezeichnungen,  wie  vorher,  so  wird  II  .... 

eck  ABD  als  Parallelprojection  eines  Dreie 
und  DF  als  Projection  der  Hr.he  D'F,  aber  nicht  mehr  AG  w\ 
BC  als  Projectionen    der  beiden  andern  Hüben.     Dennoch  bleil^ 


351 

e  Construction  im  Wesentlichen  dieselbe,  wie  im  vorigen  Fall. 
^Sblt  man  nemlich  den  Punkt  C  wieder  so,   dass 

»  wird  anch 

G'g^^AgxBg 
erden,   weil  alsdann  das  Viereck  ABEiy  ein  Kreisviereck  ist 

{BE'F  =  BCc  =  BAD') 
id  somit 

BCg^BDr^BAG*. 

g  wird  sich  also  das  Viereck  ABG*G  durch  eine  der  Torigen 
ms  analoge  Construction  zeichnen  lassen.  Zu  bemerken  ist 
»cb«  dass  die  Aufgabe  sich  in  folgender  merkwürdigen  Form  fas- 
»  Ifisst  Ein  Parallelogramm  zu  construiren,  dessen 
leT  Ecken  auf  vier  in  einem  Punkt  sich  schneidenden 
eradeo  aufliegen,  und  dessen  Seiten  gegebene  Win- 
b1  mit  einander  machen. 

Macht  man  nemlich  (Taf.  VII.  Fig.  2 )  AF,  AG  parallel  und 
eich  den  Seiten  CB,  CD  des  Vierecks  AB  CD,  so  ist  FBDG 
n  Parallelogramm,  weil  FB  gleich  und  parallel  GD  ist. 

Interessant  fiir  die  beschreibende  Geometrie  ist  der  Fall,  wo 
eaea  Parallelogramm  ein  Rechteck  ist.  Zieht  man  alsdann  durch 
sn  Schnittpunkt  der  vier  Geraden  eine  Gerade  parallel  zu  einer 
BT  Seiten  des  Rechtecks,  so  wird  man  diese  Gerade  als  Spur 
iaer  Ebene  betrachten  kCnnen,  in  der  zwei  Gerade  liegen,  von 
«Ichen  daa  eine  Paar  der  gegebenen,  (das  der  Spur  näher  Regende), 
ia  Projection,  und  das  andere  die  Umklappung  in  die  Grund* 
bene  vorstellt  Man  hat  somit  die  Aufgabe  gelöst:  Die  Ebene 
weier  in  der  Grundebene  sich  schneidender  Geraden 
V  finden,  wenn  gegeben  ist  1)  die  Projection  der  Ge- 
aden  und  2)  ihre  Ümklappung. 


352 


"Wann   liegl;  der  (ichwerpnnkl;   eii 
ebenen  Viereckes  ausserhallb  des 

selben? 

Eine  Gelegenheitsfriage 

beantwortet  Ton 

Dr.  Wilhelm  Matzka, 

Prof.  der  Math,  an   der  Prag^er  UniTcrsItät. 


1.  Sei  in  einem  Viereck  .4^C/>(Taf.VlI.Fig.3.)  eine  innere! 

selbe  zertheilende)  Diagonalere  gezogen,  undselen  indenen 

henden  Theildreiecken  ABC,  ACD  die  Schwerpunkte  F,  G  dad 

1  1 

bestimmt,  dass  man  EA^^EC,  EF=^EB    und    EG  =:  ir 

machte.  Dann  ist  bekanntlich  die  Strecke  FG  eine  sogena 
Schwerlinie  und  wird  durch  den  Schwerpunkt  M  des  ga 
Viereckes  zertheilt.  Soll  nun  dieser  Schwerpunkt  ausser 
Viereckes  Fläche  fallen,  so  muss  diess  schon  mit  einem  Tl 
dieser  Schwerlinie  FG  der  Fall  sein;  was  aber  nur  gesch< 
kann,  wenn  das  Viereck  an  einem  Grenzpunkte  der 
theilenden  Diagonale  AC,  etwa  an  C,  einen  eingel 
den  Winkel   hat. 

2.  Man  ziehe  auch  die  äussere  Diasfonale  ^Z),  und  ve 
gere  bis  zu  ihr  noch  die  innere  Diagonale  AC,  welche  s 
auch  die  Schwerlinie  FG  in  H  schneiden  muss.  Damit  3 
Aussen  Winkel  BCD  liege,  muss  auch  schon  H  darin  lie 
folglich 

EH^EC 


353 


Bein.     So  wie  qoq 


EF-^EB, 


ist  auch 


daher  soll  sein 


^^f^>£;c. 


ilso 


CJ  —  WC     d.  L       CJ^CA 


Der  Schwerpunkt  f ä 1 1 1 demnach  nur  dann  ausserhalb 
des  Vierecks,  wenn  die  Verlängerung  seiner  inneren 
Diagonale  bis  an  die  äussere  mindestens  so  lang  als 
die  innere  selbst  ist. 

3.  Man  bestimme  nun  auch  die  Schwerpunkte  der  Dreiecke 
ABB,  CBD,  deren  Unterschied  das  Viereck  ABCD  ist.  Hiezu 
seht  man  aus  der  Mitte  O  von  BB  die  Transversalen  OA,  OC 
■nd  macht 

:h  P,  Q  die  verlangten  Schwerpunkte  sind.  Die  durch  sie 
.de  neue  Schwerlinie  PQ  des  Viereckes  mnss  sofort  die  frü- 
Schwerlinie  FG  in  dem  verlangten  Schwerpunkte  M  schneiden. 

4  Nun  ist  PQWAQ  folglich,  so  wie  OP=jOA,  auch  ON 

^jPJ,   daher  JN=z^OJ;    ferner  wegen   FG\\BB    ist  HM 
JN,    Es  ist  jedoch  unter  der  Voranseetzung ,    dass 


BJ^JB 


U  die 


if 


her 

id  XTm.  24 


m: 


AlMn 


folgiieii 


imd  endlich 


1  ;tflii  ^h*   i?J^ 

ijDzsHG    md    IjB^HF, 


I  ■ 


amzsHG^HF, 


1  4 


was    eiM  hSchsf   einfacli«  Bostimnvu- das   Sebi 
pnokte«  M  anf  du  Achwerlinie  JPC  diiM^tat 

B.    Daidt  jrtrt  jr  in  dm  WljdGd /Cl>  ifiyi«»  mim 


'  «i  f    t  »i;  :    i"  ■ .       ■  -  .    f    .    .  ; 


wflfd#n«   AlMn 

"*>C»     ,».M     n*^!  ?■:'..  ffr.»: -1  j     *ji''   <\  *A    f;f>V    C»    f^Mii' . 'i    !,      jj.: 

nnd 


/emer 


CH-EH-^EC, 


EH=:\eJ=\{CJ-\^  CE)=\{CJ  ^\cä) 


und 


£C=5C4; 


daher  ist 


CH=\(CJ-CA) 


uod  somit 


„,      JD   CJ—CA 


355 

ndet  man  dies  qkit  dem  oben  gefuDdeneii 
Folgt 

_^      JB   .       CA 


lun 


[en,   so  muss. 

JB^  CA 
JD=  CJ 

d.  h.  damit  des  Viereckes  Schwerpunkt  ausser 
>s  —  in  den  Aussenwinkel  seines  eingehenden  Winkels  — 
,  muss  zwischen  den  Abschnitten  JB ,  JD  und  CA, 
meiner  beiden  Diagonalen  die  Bedindungsver- 
;huog  bestehen;. 

JB^CA 
JD—  CJ* 

.  Diese  Bedingung ,  von  der  sich  leicht  ersehen  lässt,  dass 
ir  die  gestellte  Forderung  zureicht^  lässt  sich  noch  auf  man- 
M  brauchbarere  Weisen  ausdrücken.  Z.  B.  wenn  man  die  Punkte 
,  J,  B  feststellt,  so  kann  man  leicht  JD*  so  construiren,  dass 

JB       CA 
JD^  CJ 

etwa  indem  man  AA' -^JB  macht  und  .^'C  bis  />'  in  der 
is^erten  BJ  führt.  Dann  verwandelt  sich  obige  Bedingung  in 
infachc 

JD  ^  JD\ 


)a  ferner  auch 


JD^JB 


soll,  so  muss,  wenn  man  JB'=^JB  abträgt,  die  noch 
relnde  Spitze  D  des  Viereckes  nothwendig  auf 
innerhall)  der  Strecke  B'D*  gewählt   werden. 


f 


336 

7.     Soll  insbesondere  iler  Schiverpunkt  M  in  der  Seil 
CD  liegen,  niuss  HM=Hh  werden,   also   JD=JD'  oder 


JD.JB  =  CJ:CA 
I         Mb,  mitbin  D  \a  D"  lltgeii.  —  Dutit  «r  «nf  dU  T«rtt»gkrt 

-■■'  J/>=y»  =  >*'''^^'-'''' 

Hin,  folgUch  iJls^S^.Wn.,^  9aa«r  eedHch  »ardUSpiti 
C  f4ll«D,  nuiM  »öbH  Meh  £«=0.  lUJÄck  CJt^CA  Mia;«! 
in  T»r.  Vü.  Flg.  4.  ■  ;  i> 

8.  Eine  andere  liequeme  Gonstruction  eines  so 
chen  Viereckes  inijchte  ivohl  die  folgende  leicht  erkiärbai 
sein.  Man  wnhit  FG  (Taf.  VII.  Fig.  5^,  auf  ihr  den  l'unkt  d 
und  ansserihr£.  Aufdenverl.inaerlen  £i^£Gmachtnian  FB^dfi 
und  CD^iEC;  dann  auf  Fft  die  Fff=GM.  und  zieht  dieifi 
—  Fiilirt  man  nun  die  J)V  bis  sie //£  in  C  trifft,  und  :9chneidl 
man  EA'^EC  ab;  so  liegt  des  Viereckes  A'BC/J SchwenttiA 
ßlm  der  Seite  CD.  —  Wälilt  man  alter  C  zwischen  E  und  C 
und  seiineidet  EA^EC  ab;  so  liegt  der  Scbireruunkt  Mit 
Viereckes  ABCO  ausserhalb  desselben.  —  Ist  M  die  Milti 
der  FG,  so  fällt  //  auf  ihn;  daher  wählt  man  C  im  Allgemein«! 
zwischen  E  und  //,  ivonach  des  Viereckes  Schtrerpunkt  aol 
seiner  inneren  Diagonale  liegenwird.—  Verl«gt  man  jeilmi 
insbesondere  C  nach  //  oder  Ja  selbst,  so  fällt  er  auf  dit 
Spitze  des  eingehenden  Vierecksvvinkels,  09f.  VII 
Flg.  4.).  *«v-V^-^ 


357 


eber  die  CoyTerse  des  Satzes:  Im 
leichscbenkliKen  Dreiecke  sind  die 
le  Basiswinkel  nach  i^leiclieni  Ver- 
äitniss  theilenden  TransTcrsalen  ein- 
ander gleich. 

Vun 

Herrn  C.  Schmidt, 

Lehrelr  an  der  höheren  Rürgperschnle  zu  Stolpe. 


Im  Archiv  Tbl.  XVI.  S.  201.  fl  finden  sich  zwei  Beweise  für 
len  Satz:  8ind  die  Transversalen,  welche  zwei  Dreiecks  winke! 
lub  gleichem  Verhhitniss  theilen,  einander  gleich,  so  ist  das 
Dreieck  gleichschenklig.  Da  dort  auf  eine  „Aufforderung'^  in 
cbem  früheren  Theile  des  Archivs  hingewiesen  ist,  so  will  ich 
nch  einen  Beweis  des  angeführten  Satzes  mittheilen.  Derselbe 
«iterscheidet  sich  von  jenen  beiden  dadurch,  dass  er  nicht  andere, 
jkt  Schnlgeometrie  fremde  Sätze  vorausschickt 


Lehrsatz,    Werden   in   einem  Dreieck  zwei  Winkel 

Iiirch  Transversalen  nach  demselben  Verhältniss  ge- 
keilt und  sind  diese  Transversalen  einander  gleich, 
•  ist  das  Dreieck   gleichschenklig. 

In  Bezug  auf  Taf.  IV.  Fig.  3.  ist 

^  ^  V  11    * 


358 


worin  —  eineD  echten  Bruch  darstellt, 
n 

Thes.     AB  =  AC. 

Beweis.  Man  trage  ^ß  als  ^BCF  in  C  an  BC,  ma 
CF=BE  und  ziehe  BF.    Nun  ist 

i\BCF^/>^CBE, 

und  wegen  der  Voraussetzung  BD=  BF.    Man  verbinde  Z> 
F,    so  ist  i\BDF  gleichschenklig  und 

jilBDF=z^BFD=e, 

Angenonimenj  ß  sei  >  y,   also  ß=^-\-  ö,  worin  ö  positiv. 

Nach  der  gemachten  Annahme  drücken  wir  nun  die  Wir 
CDF  und  CFD  durch  dieselben  Stücke  aus,  um  eine  Verg 
chung  derselben  möglich  zu  machen. 

Im  ^CDB  ist 

also  nach  unserer  Annahme 


=  2Jt — y y n  —  £. 


Im  ^  VFB  ist 


^CFD=:2R  —  ß-^'^y--s, 

^      n  ' 


also  nach  der  nämlichen  Annahme 

=  2Ä-y^5--y-.£. 
'  n* 

Durch  Subtraction  der  zweiten  Werthe  finden  wir  den  ünterschi 
der  Winkel  CDF  und   CFD,  nämlich 

^  CDF-  A  CFD  =  d  -  '^  d. 

n 

111 
Da   6  positiv    und      -  ein  echter  Bruch  ist,   so  ergiebt  sich 

ACDF'^Z.CFD, 


350 


folglich  in  dem  A  CDF  CF'>CD,  folglich  in  den  beiden  Drei- 
ec&n  CBF  und  CBD,  in  denen  zwei  Seitenpaare  gleich,  das  dritte 
aber  ungleich: 


CBF^^CBD, 


oder 


also  y>/3»  was  unserer  Annahme  /3>y  geradezu  widerspricht. 
Ebenso  wenig  kann  y>/3  angenommen  werden,  weil  daraus  fol- 
gen würde:  |?>y.  Es  ist  also  /3=y,  das  Dreieck  ABC  also 
gloichscbenklich. 

Anmerkung   1.    Der  Satz  gilt  auch,    wenn   die  Transver- 
[Wlen    die  Verlängerungen  der   Seiten   treffen,    wobei   dann 

'■mm 

[—  ein  unechter  Bruch  wird.  Der  Beweis  bleibt  wesentlich 
Ifanelbe. 

Anmerkung   2.    Den  einfachsten  Fall  erhalten  wir^    wenn 
|die  Transversalen  die  Winkel  halbiren.     Im  Beweise  erscheint 

[dann  a  an  der  Stelle  von  —  • 
25  n 


380 


BfflrichtigoDgen  za  der  Abhandlung  ThL   XV lU 
Nr.  XVm.  in  diesem  Hefte. 


S.  203.  Z.  S.  Statt  «v^  setze  man  a^^. 

S.  264.  Z.  4.  V.  u.  Statt  %n  setze  man  in- 

S.  371.   Z.   6.   V.    u.     Statt    AxcnXt,i=x)     setze    niBii    bee 

AicBXii(=cot9'),    obgleich   vorher    x=cotqD    gesi 
woideo. 


^ 


1 


Berichtigungen  zu  Theil  XVII. 


8.  324. 

I 


a—T 


S.  363.  Z.  &  setie  man  ygCooJS  für  x^omB. 


Berichtigong  zu  Theil  XVI. 

8.  230.  nnd  8.  221.  moss  man  ab  vaA  a'V  (tbenJI  in  bc  und  : 
nmindern,  nämlich  im  sweiten  Absätze  .auf  S.  S 
nnd  in  den  btiden  ersten  Absätzen  auf  8.  221. 


Oben  in  diesem  Hefte  (ThI.  XIII.  Heft  II 
Seite  352.  muss  die  Nummer  des  Aufsatzes  nicht  X} 
sondern  XXH.  sein. 


361 


Die  15  letzten  ITInter  in  Berlin, 

dargestellt  und  besprochen 


von 


Herrn  Professor  Dr.  J.  Ph.  Wolf  er  s 

in  Berlin. 
(Za  diesem  AaCsatze  gehören  Taf.  VIII.   and  Taf.  IX.) 


Bereits  vor  länger  als  4  Jahren  habe  ich  im  zehnten  Theile 
dieser  Zeitschrift  einen  kleinen  Aufsatz  über  strenge  und  gelinde 
Winter  abdrucken  lassen,  seitdem  aber  mich  ferner  mit  diesem 
Gegenstande  beschäftigt.  Damals  lagen  11  Winter  zur  Untersu- 
chung Vor,  jetzt  ist  deren  Anzahl  auf  15  eestiegen,  aber  auch 
ausserdem  habe  ich  die  Grundlagen  dieser  Untersuchungen  gegen 
damals  zu  vervollkommnen  gesucht.  Während  ich  früher  die  Tem- 
peratur-Curven  vom  15.  November  bis  zum  15.  März  ausgedehnt 
Aatte.  erstrecken  sie  sich  jetzt  vom  1.  Novbr.  bis  zum  ßL  März, 
in  den  Schaltjahren  bis  zum  30.  März,  so  dass  sie  einen  Zeit- 
raum von  150  Tagen  umfassen.  Aus  einem  in  dem  erwähnten 
Aufsatze  angegebenen  Grunde  hatte  ich  damals  die  Mitfagstenipe- 
lituren  eingezeichnet,  während  ich  jetzt  die  mittlere  Temperatur 
eines  jeden  Tages  aufgetragen  habe ,  so  wie  sie  in  den  Beobach- 
tongen  der  hiesigen  Königlichen  Sternwarte  abgedruckt  sind. 
Hierbei  habe  ich  mir  eine  kleine  Inconsequenz  zu  Schulden  kom- 
neu  lassen,    welcher  ich  aber  wegen  Anlage  dieser  Beobachtun- 

5en  nicht  ausweichen  konnte.  Vom  1.  November  1836  bis  zum 
I.  December  1840  habe  ich  nämlich  das  Mittel  aus  drei  zu  pas- 
■•nden  Stunden  abgelesenen  Thermometerständen,  hingegen  vom 
IL  Januar  1841  an  ^as  Mittel  aus  dem  maximum  und  minimum  an 
jedem  Tage  benutzt.  Wesentliche  Unterschiede  werden  aus  die- 
ser loeoDgruenz  nicht  hervorgehen. 

Die  hauptsächliche  Erweiterung  dieser  Untersuchungen  scheint 
Bir   aber    im  Folgenden    zu    bestehen.      Früher    hatte    ich    nur 


Tkeil  XVIII. 


25 


3M 


T«k«lle    A. 


1810 

1841 

1 

1812 

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25 

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17 

16,8 

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25 

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16 

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Tabelle   A. 


1843 

1844 

184S 

SuiDlne  der  Tempe- 
ralur 

Samme  der  TeiDpe- 
rstnr 

Summe  derTompe- 

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12,6 

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353)3 

löB 

ans  der  Betrachtung;  der  Formen  der  Curven  Schlüsse  al 
ziehen  versucht.  Diess  «ird  auch  jetzt  eeechehen,  "mdessM 
werde  ich  dabei  die  Zahlenwerthe,  aus  "clcben  jene  Curven  her- 
vorgegangen sind,  benutzen,  um  niittebt  derselben  fester  zu  be- 
f;ründen,  ob  ein  einzelner  vorliegender  Winter  zu  den  fitrengeo 
oder  den  nicht  strengen  gezählt  werden  musn.  Hierbei  »ar  nun 
zunächst  zu  ülierleEen ,  auf  welche  Weise  diese  Zahlen  zu  benut- 
zen wären,  da  ich  jetzt  eben  so  wenig  wie  in  meinem  früliern 
Aufsatze  die  mittlere  Temperatur  des  ganzen  Winters  als  Grund' 
läge  annehmen,  sondern  wiederum  dielMenge  der  ununterbrochen 
stattgefundenen  hohen  oder  niedrigen  Temperatur  im  Auge  behid- 
ten  wallte.  Es  schien  mir  daher  am  angemessensten,  die  einzel- 
nen Stfiebe  der  Corve  in  qnadriren,  welcbe  Arbeit  nicht  scbwic 
rig  sein  konnte  und  wodurch  ich  ein  Resultat  erhalten  ntuBstt, 
welches,  wenn  auch  weniger  anschaulich,  die  Stelle  der  Curve  ver- 
treten konnte.  Diese  sogenannten  Thermometercurven  sind  keine 
geometrische  Curven,  sondern  gebrochene  Linien,  die  Linie  du 
Gefrierpunktes  ist  die  Abscissenaxe,  ivelcfae  nach  dea  Tagen  ra 
gleiche  Intervalle  gethellt  ist,  so  dass  man  es  hei  dieser  Quadri- 
Tung  nur  mit  Trapezen  von  gleichen  Höhen  und  einzelnen  Drei> 
ecken  zu  thun  hat.  Auf  diese  Weise  sind  die  Zahlen 
worden,  welche  dem  Inhalt  der  durch  die  Curve  und  die  Abscif- 
Fenaze  begrenzten  Flächen  proportional  sind,  und  welche  ich  in 
den  folgenden  Tabellen  unter  der  Ueherschrift  Sum  me  derT«a-, 
peratur  aufgeführt  habe.  Die  Bedeutung  der  algebraischen Zd| 
chen  ist  von  selbst  klar,  das  jedem  Flächeninhalt  entsprechen^ 
Zeitintervall  ist  stets  in  Tagen  hinzugefügt,  so  dass  es  leicht  iä 
die  einem  einzelnen  Tage  im  Mittel  entsprechende  TemperRlB 
menge  zu  ermitteln.  Hierbei  habe  ich  es  vermieden,  Bruchthffll 
des  Tages  einzuliibren ,  vielmehr  nach  dem  Augen maasse  eintl 
bestimmte  Anzahl  ganzer  Tage  angesetzt,  wobei  die  in  dieser  | 
Hinsicht  begangenen  Fehler  ganz  unbedeutend  sind. 

Wenn  ich  nun  sogleich  eine  Zusammenstellung  der  auf  die«  | 
Weise  für  die  einzelnen  Winter  erhaltenen  Resultate 
Reihefolge  gebe,  worauf  die  weitern  Untersuchungen  begründet  J 
werden  sollen,  so  m< ige  man  sich  nicht  darüber  wundei  '^ 
mitunter  ganz  unbedeutende  Zahlen  von  einem  oder  eini^enZ 
theilen  aufgeführt  sind.  Diese  waren  einerseits  von  \^ichti^ 
in  Uezug  auf  die  zu  ziehenden  Schlüsse,  Andererseits  . 
nach  dem  Verzeichniss  der  Beobachtungen  nicht  als  znfSItfH 
unbedeutende  Grlissen  anzusehen,  sondern  es  finden 
Zeit  mehrere  Ablesungen  in  diesem  Sinne  statt,  deren  mitl 
Resultat  nur  in  Folge  von  Ablesungen  im  entgegengesetzten  Sitti 
so  klein  ausßllt.  In  dieser  Bedeutung  bitte  ich  es  zu  versteh^ 
wenn  ich  mich  spSter  des  Ausdrucks  eines  cntschi 
Plus  oder  Minus  bedienen  werde.  Ehe  ich-  nun  die  Tabelle  i 
folgen  lasse,  deren  Bedeutung  nach  den  vorangehenden  Beffle| 
kungcn  klar  ist,  »vill  ich  noch  erwähnen,  dass  ich  der  KBr 
wegen  jeden  einzelnen  Winter  nach  der  Jahreszahl  des  bi  d«^ 
selben  fklleaden  Januars  bezeichnet  habe. 


3« 


T«k«ll*   A. 


1837 

1838 

1839 

jummc  der  Tempe- 

äawme der  Teiiiite 

Samme  der  Ten  pa- 

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1840 

1841 

1842 

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Samme  der  Tempe- 

Summe  der  Tempt- 

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Ta- 

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1843 

1844 

1848 

iunmo  der  Tempe- 

Snmme der  Tempe- 

Summe der  Tempe- 

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19 

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1847 

1848 

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Snmme  der  Tenipe- 

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1849         1         18.50 

1831 

Suirnuc  der  Tera[ie- 

Summe  der  Temjie- 

Summe  der  Temiie- 
poratur 

+     T.-     _ 

Ta- 

+    ,T.-,   -    |T. 

+    iTu-i    -   |Tu- 

F" 

IL 

-SL 

'  Ire 

Ue 

1  SP 

180,9  48 

150,6 

27 



100,0 

19 

0,1 

1 

78,5 

15 

2.2 

3 

«,7   16 

0,3 

1 

42,8 

10 

5.2 

5 

27,7 

■».3 

6 

130,7   37 

0,0 

1 

14,6 

6 

l.'i 

2 

64,5 

13 

1.0 

2 

3,9 

3 

1.8 

2 

20.9 

6 

10,2 

6 

22,5 

8 

6,5 

5 

3,0 

3 

0,8 

1 

0,5 

' 

162,3 

28 

5.9 

4 

0,7 

1 

14,5 

6 

1,0 

160,9 

0,1 

1,5 

1 
41 

1 
2 

23,2 
12,4 
2,8 
9,8 

7 
5 

6 

26,4 

12,4 
5,S 
6,3 
2,9 

21,6 
0,6 
1.8 

96.0 

9 
8 
S 

3 
8 
1 
1 

20 

17,8 
10,6 
0,3 
2,6 
0,2 
2,4 
17,S 
4,8 

8 
5 
1 
2 
1 
3 
8 
5 

»unuue 

3^ 

Tli 

T^ 

■37 

^;} 

■73 

3337r  771339.8,1031  69.91  47 

Au  den  BanUatM  ««mt  TabalU,  wiMe  IkiUiih  wl 
Cnrvn  ehw  DebtwiA*  dar  VcrOdloH;  d«  Teniwnlar  flbe 
guieii  Wistor  dubiefat,  «gibt  äkh  db  RdfcnMn  der  ei 
MB  Wliter.  weleke  «*  i*iM4|  •ttMr't^  obea  enrUiDtei 
Tage  «wdeBnn 


K 

Tabelle 

B. 

,.) 

■ 

Winter. 

lIcliersrlintR 
derTenipcrat. 

im  Mitlcl  für 
1  T.s. 

( 

^^ 

181« 

+  421,4 

+  2,81 

'i 

1851 

+  «9.« 

+  1,80 

•* 

^^^H 

)841) 

+  223,1 

+  1,49 

18« 

+  223,1) 

.1,49 

,     ^ 

1844 

+  219,9 

..1,47 

: 

1843 

+  196,0 

-  1,31 

i- 

Bi? 

+  149,5 

+  1,00 

Ü 

1839 

+ 118,1 

+  0,79 

J 

*Jk' 

1840 

+  115,8 

+0,77 

i 

^ 

1818 

+   63,4 

+  0,42 

l 

IV" 

1850 

—   36,8 

—0,25 

V. 

1847 

-   43.1 

-0,29 

^m. 

1841 

-   47,0 

-0,31 

^K. 

1838 

—  148,8 

-0.99 

] 

iP" 

184ä 

—  250,4 

-1,67 

Wollte  ich  diese  Discassion  der  Torbandenen  und  bere 
ten  Beobachtangen  beibehalten,  und  daraus  Schlüsse  eiehei 
würde  man  mir  mit  Recht  einwerfen  kGnnen,  dass  ich  einer 
wiJIkflhrlicheo  Zeitraum  ais  Dauer  des  Winters  angenommen 
Auf  der  andern  Seite  erschien  es  mir,  nach  den  graphisch  v 
Zahlen  Fortlegenden  Resultaten,  noch  weniger  als  zweckm 
mich  auf  die  genühnlich  zum  Winter  gezählten  drei  Monati 
cember,  Januar  und  Februar  eu  beschränken.  Auf  diese  1 
wäre  ich  nämlich  gezwungen  gewesen,  fast  in  allen  Jahren 
bedeutenden  TheiT  der  Betrachtung  zu  entziehen;  ich  ba 
daher  vorgezogen,  die  Dauer  jedes  einzelnen  Winters  so  zi 
stehen.  daH  er  sich  vom  ersten  bis  zum  letzten  entschie 
Frosttage  erstrecken  soll.  Natürlich  wird  auf  diese  Weis 
Dauer  der  einzelnen  Winter  von  einander  verschieden ,  alle 
werden  so  eine  feste  Anschauung  von  ihrem  wirklichen  V 
gewinnen-  Indem  ich  nan  nach  ilem  Verzeichniss  der  Bec 
tungen  diejenigen  Frostlage  hinzufüge,  welche  ausserhall 
1.  Novbr.  und  31.  März  liegen,  nSmUch 


1837  bis  zum  10.  April 

1838  ,.      „      1.      „ 

1839  „     „     3.      „ 


3G9 


]«40  vom  29.  October  an 
1850  bis  zum  I.  April, 
ir  fo|r;cnde  Zusammenstellung  der   einzelnen  Winter: 


»eile   C. 


Win- 

Sommed. 

re»p.r.l. 

Uülicr- 

Dauer 

tee 

,T.- 

I'a- 

«cilUM 

in  Ta- 

+ u. 

— 

K" 

il.Temp. 

gen 

rm 

240,l|tl>7 

64,4 

36 

+175,7 

143 

1842 

■248,9  8ä 
165.31  68 

122,9 

43 

+126,0 

126 

1891 

69,9 

47 

+■  95.4 

115 

1837 

243,2 

86 

1.38,6 

52 

+104,6 

138 

1840 

2«3,6 

99 

177,7 

56 

+  115,9 

155 

1846 

86,3 

46 

55.7 

23 

+  40,6 

69 

1849 

187,3 

59 

159,6 

371+  27,7 

96 

1839 

183,9 

76 

132,5 

58l+  31,4 

134 

1844 

116,7 

58 

9.3,2 

45 

+  23,5 

104 

1850 

185,2 

54 

324,2 

78 

-139,0 

1.12 

1847 

86.» 

39 

265.5 

77 

-178,6 

116 

1848 

83,7 

27 

293.9 

57 

-210,2 

84 

1838 

49,1 

42 

382.1 

69 

-333,0 

Hl 

1845 

14,6 

141394,8 

109 

-380,2 

114 

1841 

31,2 

17 

352,1 

78 

-320,9 

95 

Mitlul 

■  i  Tag 


+  1,23 
+  J.OI 
+0,83 
+0,76 
+0,75 
+0,59 

+o.'jy 

+0,23 
+0,23 
—1,05 
-1,54 
-2,50 
-3,00 
—3,34 


Winter  sind  hier  nach  dem,  einem  einzelnen  Ta^e  im 
ommenden,  Uelierschu^^s  der  Temperatur  geordnet.  Ob 
lussion  die  richtige  sei,  wage  ich  nicht  zu  behaupten, 
dififle  sie  sich  der  Wahrheit  mehr  nähern,  als  die  vor- 
B.  aus  welcher  Tabelle  B.  abgeleitet  norden  ist.  Ehe 
die  einzelnen  Winter  Betrachtuneen  anstelle,  erlaube 
folj^ende  Bemerkung  voranzuschicken.  Bei  der  noch 
:ii]gen  Anzahl  der  vorliegenden  Winter  halte  ich  es 
stvecbmäs&Ig ,  aus  den  Zahlen  der  6.  oder  S. 
I  TaheUe  G.  die  mittlem  Wertlie  herznieiteii;  sondern 
jetst  unter  einem  strengen  Winter  einen  solchen  ver- 
L  .welchem  die  Wertbe  dieser  Rubriken  negativ  sind,  also 
.iiberiviegciid  statihnilet,  hincesen  diejenigen  Winter 
Ige  nennen,  in  welchen  diese  Manien  po^iitiv  sind. 

r  Tabelle  B.  erschien  der  Winter  von  1848  als  ein  nicht 
wogegen  ein  Blick  auf  die  Curve  oder  auf  die  Tabelle 
dasB  er  durchaus  zu  den  strengen  zu  zählen  sei,  nie 
auch  in  der  Tabelle  C.  zeigt. 

in  der  Tabelle  B.  an    der  Spitze  der  nicht  strengen  sfe- 

Winter   von    J846   nimmt  in  der  Tabelle  C.   erst  die  6le 

~  i;  diess  rührt  aber  nur  von  seiner  auffallead  kurzen  Dauer 

man  aus  der  7.  Kubrik  erfü^ht.     Bestimmt  man  aus  den 


370 

9  ersten  Wertheii  dieser  Kulirik  die  mittlere  Dauer  eines 
streuen  Winters,  so  lindet  man  dieselbe  gleich  l'iO  Tagend 
hin  ist  der  Winter  von  1840  um  St  Tuge  kürzer.  Fügt  in 
dem  hier  aufgeführten  üelierschuss  der  Temperatur  -jf-'U), 
Werth,  welcher  nach  Tabelle  B.  den  fehlenden  51  Tagen  i 
men  würde ;  so  würde  man  fiir  120  Tage  den  Ueberschuss  + 
aläo  im  Mittel  für  1  Tag  +1,50  erhalten. 

So  wie  in  der  Tabelle  C.  der  eben  besprochene  Wintt 
1846  sich  wegen  seiner  auffallend  kurzen  Dauer  nicht  so  g 
darstellt,  als  er  wirklich  war;  würde  umgekehrt  der  Wint« 
1849  als  ein  weit  strengerer  hervortreten,  wenn  die  drei  l 
unbedeutenden  Frostperioden  nicht  eingetreten,  also  seine  1 
nach  der  oben  aufgestellten  Erklärung,  geringer  geweser 
Betrachtet  man  nämlich  den  Verlauf  diesex  Winters  in  de 
belle  A.,  so  sieht  man,  dass  die  erste  Kälteperiode  ununterbr 
^  Tage  gewährt  bat,  und  dass  die  Summe  der  dieser  P< 
entsprechenden  negativen  Temperatur  150.6  beträgt,  ei 
menhSngende  Menge,  wie  wir  sie  nur  in  den  strengen  W 
linden.  Ziehen  wir  einmal  nur  die  beiden  ersten  Kältepei 
dieses  Winters,  nebst  der  zwischen  ihnen  liegenden  Wärraep« 
in  Betracht,  so  erhalten  wir  folgende,  der  Tabelle  C.  < 
chende  Darstellung: 


1S49|  i 


).7l  16  155,8   32 


—106,1 


48 


-2,21 


In  diesem  Sinne  habe  ich  in  meinem  frübern  Anfsatsp 
Mrengen  Wintern   snlche  verstehen  wollen,    in  denen  eine 

5' eriode  von  lüngerer  Dauer  stattfände,  ohne  Rücksicht  1 
bsolute  mittlere  Temperatur  des  ganzen  Winters.  Wir  *< 
inten  sehen,  dass  diess  in  der  Regel  auch  in  strengen  ^ 
itatllinden  wird,  da  es  aber  bis  jetxt  noch  schwierig  eem  ^ 
\fis  Maass  einer  Kälteperinde  anzugeben,  wonach  ein  Wim 
^In  strenger  oder  nicht  strenger  betrachtet  werden  mfisstt 
gebe  ich  von  meiner  damaligen  Erklärung  ab,  und  werde 
■vehr,  wie  oben  bereits  geschehen,  die  ganze  Summe  Aer' 
i'eratur  in  Betracht  ziehen.  Ehe  ich  diesen  Gegenstand  veit 
ill  ich  noch  bemerken ,  dass  der  unmittelbar  vorhergehende 
ter  von  181^  einen  ganz  ähnlichen  Verlauf  wie  der  oben  b 
,  jedoch  in  grosserem  Maassstahe  gehabt  hat.  Wir 
AÜmlich  die  Kälte  fast  ganz  in  eine  Periode  von  51  Tage 
fint,  und  zwar  beträgt  deren  Summe  nach  Tabelle  A.  2^0,2. 
an    den    beiden  Curven    nimmt    man  sogleich  diese    Aehnll 

Wir  haben  oben   au9  den  9  nicht  strengen  Wintern   ^ 
lere  Dauer  eines  einzelnen  gleich    l'JO  Tagen  gefunden,       ' 
erhalten  wir  aus  den  6  letzten  nach  Tabelle  Cdie  mittli 
eines    strengen  Winters    gloicb    109  Tagen.     So   wohl    unte 


m 

8ttenf;eii.  als  unter  alten  IS  hier  aufeelührten  Wintern  ist  der 
*an  1845  Beinern  Gange  nach  der  auffaltendete,  weshalb  ich  befiel 
daes  eine  besondere  Besprechung  desselben  Entschuldigung  fin- 
den werde.  Während  in  den  5  übrigen  strengen  Wintern  der 
Januar  stets  sehr  kalt  war,  fällt  in  diesem  eine  hcden- 
leode  Kälteperiode  in  den  Decemher,  eine  zweite  weit  be- 
tfiithtlichere  in  den  Februar  und  März,  wogegen  der  Januar  so 
celinde  war,  nie  man  ihn  sonst  kaum  in  einem  nicht  strengen 
Winter  findet  Dieser  Winter  ergibt  ferner  sowohl  die  grösste 
Snmme  der  negativen  Temperatur  überhaupt,  als  auch  den  gtoss- 
len  Ueberschuss  der  neealiven  über  die  positive  und  er  erscheint 
niir  desfibalb  in  der  Tabelle  C.  nicht  als  der  strengste,  weil  eben 
die  Kalte  in  zwei  «eit  von  einander  getrennte  Perioden  fiel  und 
w  seine  Dauer  eine  griissere  wurde.  In  meinem  frfihern  Aufsätze 
bezeichnete  ich,  bloss  nach  der  Ansicht  der  Curve,  diesen  Win- 
ter als  eine,  mittelat  des  gelinden  Januars  zusammenhängende, 
Verbindung  zweier  strengen  Winter.  Nimmt  man  diese  Zerlegung 
des  Winters  in  zwei  Theile  nach  dem  Princip  vnr.  wonach  die 
Tabelle C.  gebildet  worden  ist,  so  erhält  man  folgende  Darstellung 
"  iset  Theile,  jener  Tabelle  entsprechend: 


2 


Winler 


B  d.  Temperst. 


llcljer-    I  Dauer 


I  Mittel 


r  erste  Theil  würde  daher  unter  den  strengen  Wintern  in 
^lle  C.  die  vierte  Stelle  einnehmen,  der  zweite  hingegen  den 
Ißaten  Winter  darstellen. 

Btat^hdem  wir  nun  die  15  Winter  in  der  Tabelle  C.  nach  ihrer 
j  in  einer  bestimmten  Reihenfolge  geordnet  haben,  nullen 
^pde  zwei  Fragen  zu  beantworten  versuchen: 

Unterscheiden  sich  die  strengen  Winter  charaiilo ristisch 
von  den  nicht  strengen? 

Sind  diese  Unterschiede  bereits  am  ersten  Theile  der 
Curven,  oder  der  den  letztern  in  der  Tabelle  A.  entspre- 
chenden Zableiiirerthe  zu  erkennen? 

bin  e»te  Frage   wird   zum  Theil  schnn  durch  die  in  der  Ta> 
|C  enthaltenen  Resultate  bejahend   beantwortet,     ausserdem 
'i  auch  der  bereits  erwähnte  Umstand ,  dass  in  den  stren- 
iVintern  die  niedrige  Temperatur  mehr  kus aromengedrängt  ist, 
I  »Uft  ohne  Unterbrechung  stattfindet,  während  in  den  nicht  stren- 
gen Wintern  in    der  Kegel  mehr  einzelne  Kälteperioden  von  kür- 
:ci  Dauer  und  geringerer  Summe  der  negativen  Temperatur  vor- 

[D,     Dm  diesB  durch  Zahlen  zu  erläutern ,    führe  ich  für  die 
In  Winter  die  Zahl  der  Kälteperioden,  die  gtüsste  dersel- 


374 

Da  die  lotste  Periode  am  28,  Janaar  endet,  eo  kann  man  mir  eil* 
werfen,  dasa  ich  erat  nach  dem  Verlauf  des  grosatenTheileadegWi» 
ters  meine  Vermuthnng  hätte  auaaprechen  kCnnen.  Hierauf  «mi) 
dere  ich ,  dass  ein  Schluss  bereits  nach  der  ersten  kleinen  i\kl| 
entschiedenen  KSlteperiode^muglich,  jedoch  gewagt  gewesen  wbi^ 
ich  im  Allgemeinen  aber  diesen  Winter  zu  den  Ausnahmen  jSUe^ 
was  auch  in  meinem  frühem  Aufsatze  bereits  der  Fall  war,  nJ 
worüber  ich  oben  schon  einiges  bemerkt  habe. 

Im  Winter  von  1837  trat  der  erste  Frost  am  23.  Novonk« 
ein,  und  ohne  dass  hier  die  Zahlen  der  Tabelle  A.  zu  Hülfe  ||e- 
rufen  werden  dürfen,  zeigt  ein  ßlick  auf  die  Curve,  dass  bereib 
im  ersten  Drittheile  desDecembers  seine  nicht  strenge  Beschaffei* 
heit  nach  der  hier  aufgestellten  Regel  entschieden  war. 

In  dem  Winter  von  1840  kamen  die  bereits  am  28.  und  3L 
October  stattgefuodenen,  wenn  auch  nur  eintägigen  und  gerioees, 
doch  entschiedenen  Kälteperioden  zu  Statten,  um  die  ebenulb 
nur  geringe  eintägige  Periode  am  1.  December  zur  Geltung  a 
bringen.  Ganz  entschieden  zeigte  sich  die  nicht  strenge  mtv 
dieses  Winters  in  der  Qtägigen  Periode  hoher  Temperatur  ?oi 
22.  bis  zum  31.  December. 

In   dem  schon    oben,    seiner  auffallenden  Kürze  wegen!» 
sprochenen  Winter  von  1846  trat  die  erste  Kälte  am  13.  Jiece»|  ^ 
bei  ein,  und  es  folgten 

f 

auf  3  Tage  mit  —6,5  2  Tage  mit  +  2/2 

1      „      „    -0,5         15    „        „    +27,2, 

also  gegen  4  Tage  mit  —7,0    17  Tage  mit  +29,4. 

Die  letzte  Periode  endet  am  3.  Januar,  indessen  ersieht  mai 
aus  der  Curve,    dass  bereits   am  25.  Decbr.   seine   nicht  strenge i> 
Beschaffenheit  entschieden  war. 

Der  Winter  von  1849  gehört  zu  den  Ausnahmen ,  ich  hata 
oben  bereits  erwähnt,  in  wiefern  er  zu  den  strengen  gezählt  wc^ 
den  kann  und  werde  später  zeigen,  dass  er  auch  das  charakte- 
ristische Mericmal   eines  solchen  in  seinem  ersten  Theile  enthält 

In  dem  Winter  von  1839  trat  die  erste  Kälte  am  19.  Noveu- 
ber  ein,  und  es  folgten 


auf  11  Tage  mit  —38,9      19  Tage  mit  +53,7; 

am  18.  December  war  daher  entschieden,  dass  er  ein  nicht  stren- 
ger sein   werde. 

In  dem  Winter  von  1844  trat  die   erste  Kälte  am  11.  Dcce* 
ber  ein,  uüd  es  folgten 


k 


375 

auf  2  Tage  mit  —0,0         22  Tage  mit  +65,0. 

It  es  gewagt  gewesen  sein  würde  ^  diese  kurze  Kälteperiodö,  und 
ben  so  die  eintägige  am  5.  Januar  gelten  zu  lassen;  so  trat  der 
niseheidungstag  erst  am  18.  Januar  ein,  wo  die  grusste  und 
!rar  Otägige  Käteperiode  dieses  Winters  bereits  zu  £nde  ging. 

Indem  ich  nun  die  zwei  Winter  von  1S42  und  1849  aus  den 
Dgegebenen  Grflnden  zur  Seite  lasse,  ergeben  die  7  übrigen  nicht 
bwngen  Winter  folgende  übersichtliche  Hlomente: 


Winter. 


1843 
1851 
1837 
1840 
1846 
1839 
1844 


Erste  Kälte. 


Novbr.  5 
„  17 
„  23 
Octbr.  29 
Decbr.  13 
Novbr.  19 
Decbr.  11 


Tag  der  Ent- 
scheidung. 

Decbr;    7 

„        11 

3 

„  31 

,.  25 

„  18 

Jan.  18 


Letzte  Kälte. 


März 


99 


April 
März 
Febr. 
April 
März 


28 
11 
10 
28 
19 
3 
24 


Wir  haben  nun  die  strengen  Winter  zu  betrachten,  und  zwar 
frat  im  Winter  1850  die  erste  Kälte  am  20.  November  ein;  es 
iMgten 


auf  1  Tag  mit  —  0,1  1  Tag  mit  +  0,1 

„    9  Tage  „  -27,7  1      „    „        00 

gegen  10  Tage  mit  —27,8  kommen  2  Tage  mit  +0,1. 

Am  2.  December  trug  ich  hiernach  kein  Bedenken,  mich  f?Ir 
He  strenge  Natur  dessellien  auszusprechen. 


Im  Winter  von  1847  trat    die  erste  Kälte  vom  17.  November 
tk,  es  folgten 

anf    1  Tag  mit  —  0,7       13  Tage  mit  +44,2 
„  20  Tage  „    -59,5         3      „       „    +  4,4; 


gegen  21  Tage  mit  —60,2  16  Tage  mit  +48,6. 

Am  24.  December  war  seine  strenge  Natur  entschieden. 

Im  Winter   von   1848   trat  der  erste  Frost  am  15.  December 
IIB}  and  es  folgte  sogleich  eine  Periode 


Tfp 


voa  51  Tagen  mit  —200,2.  ^^M 

B  fand  am  23.  und  '24.  December  statt,  n-o  die  T 
r  tiar  bis  — 2*'  stie|E,  wesshalb  in  diesem  Falle  die 
aber  Aualfunft  geben  konnte,  düss  man  am  24.  0 
Vinter  als   einen  strengen  anzusehen  habe. 

1838  trat  die  erste  KSlfe  am  IL  Dec 
in    zunächst    mehrere    ivechGelnde     Pef 


aaf  2  Tage  mit  —  1,5  1  Tag    mit  +0,1 

„  1      „      ,,  7,9  3    „        „        8,5 

„  3      „      „        inO  3    .,        „        7,0 

1  f  kommen  7  Tage  mit  +15 

bet        inte  man  die  strenge  Natur  als  enl 
on  1845   trat  die  erste  Kälte  am  29.  Noti 

a  e  mit  —84,8  2  Tage  mit  +2,3. 

Die  letztern  sah  ich  schon  damals  als  die  kritischen  au,  und 
ihrem  Verlauf  schloss  ich  am  2Ü,  December  auf  einen  str 
Winter,  der  dann  aacbi  wie  oben  hnprocheiit  im  Febrna] 
März  aich  einstellte.  . 

In  dem  Winter  von  1S41  trat  die  erste  Kälte  am  L  D' 
ber  eip,  es  folgten 

auf       1  T&e    mit  -    0,2  B  T^e  mit  +8,9, 

dann  25  Tage  mit  —133,6. 

Wahrend  dec  jetiten  Kfilte|>eriade.,fand  die  Krisis  am.  20 
21.  December  statt,  wo  jedoch  die  Temperatur  nur  bis  an 
sti^,  und  am: 22.  December  konnte  man  die  clreiige  Natu 
entschieden  ansehen. 

Die  6  strengen  Winter  ergeben  nun  folgende,  der  ohigei 
sprechende  Uebersicht: 


377 


Winter. 


1850 
1847 
1848 
1838 
184Ö 
1841 


Erste  Kälte. 


NoTbr.  20 

„        17 

Decbr.  15 

..  11 
Novbr.  29 
Decbi.    1 


Tag  der  Ent- 
scheidung. 

Decbr.  2 
24 
24 
27 
20 
22 


ff 


9f 


99 


ff 


ff 


Letzte  Kälte. 


April     1 
März  13 

April     l 
März  23 


ff 


In  dem  Winter  von  1849  trat  die  erste  Kälte  am  20.  Dcbr. 
in,  und  es  folgte  eine  Periode 

von  27  Tagen  mit  —150,6. 

Am  23.  und  24.,  so  wie  am  26.  und  27.  Decbr.,  stieg  die  Tem- 
eratur  bis  an  und  über  — 2^,  und  diese  beiden  Erscheinungen 
mssten  als  entscheidend  für  die  strenge  Natur  dieses  Winters 
elten.  In  wie  weit  man  diesen  Winter  wirklich  als  einen  stren- 
m  betrachten  kann,  ist  oben  besprochen  worden,  wesshalb  ich, 
m  Wiederholungen  zu  vermeiden,  abbreche  und  nur  noch  be- 
lerke,  dass  die  zwei  Winter  von  1842  und  1849  hier  als  Aus- 
■hmen  angesehen  worden  sind. 

Ehe  ich  diesen  Aufsatz  schllesse,  erlaube  ich  mir,  noch 
itnige  kurze  Bemerkungen  zu  machen.  Sein  Inhalt  ist  eine  wei- 
tere Ausfuhrung  der  in  meinem  frühem  Aufsatze  angestellten  ße- 
trachtungen,  und  jetzt  wie  damals  betrachte  ich  sie  als  einen 
fersnch,  die  Erscheinungen  auf  eine  neue  und  wo  möglich  frucht- 
|riDgende  Weise  zu  deuten. 

Ferner  habe  ich  hervorzuheben,  dass  eben  so,    wie  allein  in 

triin  angestellte  Beobachtungen  zu  Grunde  liegen,  auch  meine 
blusse  nur  für  Berlin  gelten  sollen.  Für  andere  Orte  müssten 
ftniiche  Untersuchungen  dejr  dortigen  Beobachtungen  angestellt 
Verden ,  um  für  sie  Schlüsse  zu  ziehen,  und  sollte  diess  in  Folge 
der  Mittheilung  meiner  Untersuchungen  geschehen ;  so  würde  es 
Bir  zur  grossen  Freude  gereichen. 


Theil  XVUI. 


26 


378- 


n  a  c  II  t  r  a  g. 

Der  vorstehende  Aufsatz  war  bereits  vor  dem  Anfai 
letzten  Winters  ffeschrieben ,  sein  Abdruck  ist  aber  bis  je 
Bügert  worden;  daher  dürße  es  nicht  unangemessen  sein, 
trachlung  dieses  blichst  tnteressaiilen  Winters  hier  nach 
folgen  zu  lassen.  Die  erste  KSite  trat  am  18.  November  i 
bis  zum  6.  December  schien  der  Winter  eher  denCbaraktf 
strengen,  als  eines  nicht  strengen  annehmen  zu  wollen, 
Tom  6.  bis  16.  December  statfgefnndene  hohe  Tenijpera 
Entscheidung  für  einen  Winter  der  letzten  Art  betbeirührt 
Zahlenangaben,  der  obigen  Tafel  A.  entsprechend,  sind 
g^nden: 


1832 

Jiimmo    iler  Temiic- 

ralur 

1 

+  r.r 

- 

Ts- 

r 

«,•2 

16 

15,2 

y 

r 

3,8 

7 

3,8 

3 

44,9 

10 

0,4 

2 

2,0 

2 

1,7 

2,B 

3 

3,6 

4,3 

3 

0,1 

71,0 

24 

0,1 

0,2 

I 

0,1 

61,2 

21 

5,3 

1,4 

1 

0,4 

O.I 

1 

12,8 

6 

9,8 

4 

2,4 

3 

2%0 

12 

0,1 

I 

e.5 

3 

Summe 

2ea,y 

m 

TW 

15 

379 


Hiernach  nhnmt  dieser  Winter,  wenn  mau  die  150  Tage  vom 
l.  November  bis  zum  30.  März  in  Betracht  zieht,  in  der  Tafel  B. 
lie  dritte  ^Stelle  ein,  indem  wir  haben: 

Winter.    Ueberschuss  der  Temperatur.    Im  Mittel  für  1  Tag. 
1852  +223,9  +1.49. 

Rechnen  wir  hingegen  wie  oben  die  Dauer  des  Winters  vom  ersten 
bis  zum  letzten  entschiedenen  Frosttage ,  so  nimmt  derselbe  in  der 
TaCel  €•  die  oberste  Stelle  ein,  indem  wir  nämlich  haben: 


Winter 


1852 


Samme  der  Tempe- 
ratur 


+ 

217,2 


Ta- 

89 


—    Ta- 
ge 
46,01  42 


Ueberschuss 
der  Tempe- 
ratur 


+ 171,2 


Dauer  in 
Tagen 

131 


im  Mittel  für 
1  Tag 


+  U1 


Wir  wollen  hier  bemerken ,  dass  er  unter  allen  16  betrachteten 
Wintern  die  kleinste  Summe  der  ne(;ativen  Temperatur  enthält, 
imd  da  er  fär  die  Tafel  D.  die  folgenden  Werthe  hat : 


Winter 


1852 


Anzahl  der 
Kälteperio- 
den 

13 


Daner    der 

gross  ten  in 

Tagen 


1 


Summe  der 
Temperatur 

—  15,2 


M  nimmt  er  auch   in  Bezug  auf  die  Angabe  der  letzten  Rubrik 
die  oberste  Stelle  unter  den  nicht  strengen  Wintern  ein. 

Ueber  seinen  Charakter  hatte  ich  mich  am  20«  December  ent« 
schieden  ausgesprochen  nach  folgenden  Daten: 

Auf  9  Tage  mit  — 15,2  folgten    7  Tage  mit  +  3,8 
3    „        „  3,8        „       lü     „        „        44,y 


99 


»9 


9f  >9 


0,4 


9> 


99  99 


2,0 


demnach   kamen  gegen  14  Tage   mit  — 19,4,    19  Tage  mit 

+  80,7. 


26* 


380 

Vier  Tage  friiher  am  16.  December  hatte  sich  der  Charakte 
des  Winters  auch  schon  entschieden  herausgestellt,  da  ich  abe 
erst  am  20.  die  Beobachtungen  eintrug ,  sprach  ich  mich  auch  ersi 
an  diesem  Tage  aus. 

Zum  Schluss  folgen  hier  noch  die,  der  obigen  Zusammen- 
stellung entsprechenden,  Werthe  dieses  Winters: 


Erste  Kälte  Tag  der  Entscheidung  Letzte  Kälte 

Nov.  18.  Dec.  16.  März  27. 

Berlin,  April  9.  1852. 


381 


Zur  nifferenzenrechnanfüf. 

Von 

Herrn  Professor  Dr.  O.  Schlomilch 

sn  der  polytechnischen  Schule  su  Dresden. 


Man  hat  sich  längst  schon  mit  dem  Zusammenhange  zv^ischen 
kn  Differenzen  und  den  Differentialquotienten  derselben  Funktio- 
eo  beschäiligt ,  namentlich  die  Fragen  erörtert^  ob  >sich  nicht 
f^f[x)  durch  /(ar),  f'(a;)y  fix)  etc.,  oder  umgekehrt  p^)(x) 
beb  f(a)9  ^f{pc) ,  ^f{x)  etc.  ausdrucken  Hesse,  aber  man  kennt, 
OTiel  ich  weiss,  keine  Methode,  mittelst  welcher  sich  derartige 
ieziehungen  rasch  entdecken  lassen;  ich  theile  hier  ein  solches 
^erfahren  mit,  welches  gleichfurmig  auf  jede  Art  des  Zusammen- 
ftDges  zwischen  Differentialquotienten  oder  Integralen  einerseits, 
nd  Differenzen  oder  Aufstufungen  andererseits  passt,  mithin  ail- 
emein  genug  Ist.  13m  aber  auch  seine  Schattenseite  nicht  zu 
erbehlen ,  will  ich  gleich  bemerken ,  dass  es  die  Gültigkeitsgrän- 
eo  der  entwickelten  Formeln  unmittelbar  nicht  angiebt,  dass 
ko  z.  B.  die  Convergenz  der  vorkommenden  Reiben  in  jedem 
peziellen  Falle  a  posteriori  zu  bestimmen  sein  würde. 

Wenn  q>{u)  eine  beliebige  Funktion  von  u,  und  x  eine  will- 
ftrliche  Constante  bezeichnet,  so  ist  der  Werth  des  bestimm- 
01  Integrales 


/ 


b 


Ine  Funktion  von  x ;  setzen  wir  also 


f 


983 


1)  /    e^^(p{u)du=:f{x). 


fio  folgt  jetzt  durch  beiderseitige   n malige  Differenziation 
Ziehung  auf  x\ 

a 

Andererseits  hat  man^  Jx  immer  =1  gesetzt, 

a  a 

d.  i.  bei  ZnsüÄimenBfehtihg  der  Integrale: 

Jf    (e''—\)e'^''(p(u)du=\Jf(x) , 

und  wenn  man  dasselbe  Verfahten  des  Differenzenbildens 
wiederholt : 

a 

Aus   der   Vergleichun^  der  Formeln  2)  und  3)    ergiebt   sie 
folgende  Bemerkung:  Hat  man  irgend  eine  analytische  Bezi 
in  welcher  einerseits  u  oder  verschiedene  Potenzen  von  u, 
rerseits  e^ — 1   oder  Potenzen  dieses  Ausdruckes  vorkomme] 
det  also  eine  Gleichung  von  der  Form 

4)  Aq  +  AiU  +  A^u^  +  A^u^  + .... 

=  Bo  +  J5a(£«-1)  +  ^.i(c«-l)2  4. .... 

statt,  so  braucht  man  beiderseits  nur  mit  e^^(p(ü)du  zu  m 
ziren  und  zwischen  den  Gränzen  u=:a  und  u=b  zu  inte 
um  sogleich  ein  Resultat  von  der  Form 

Aof(x)  +  A,Df(x)  +  A.,D'^f(x)  + 

=  Bof(x)  +  B,Af(,x)  +  B^J^fix)  +  ....; 

also    eine    Beziehung    zwischen    Differentialquotienten    und 
renzen    zu    erhalten.     Wir    wollen    diess    an    einigen    Beis 
zeigen. 


383 


L    Entwickelung   von   ^f{x). 

Da  sich  e*  in  eine  Reihe  von  Potenzen  entwickeln  lässt,  «o 
nss  dasselbe  mit  e**— 1  und  (e**— 1)"*  der  Fall  sein;  setzen  wir, 
lZ^..k  imiber  mit  k^  bezeichnend, 

(e»-l)«  =  ^  «»  +  ~^^.  u^^^  +   7^^  ««+«  + .... 
^         '         m  '   (m  +  1)  "    (m  +  2) 

)  ist  nach  dem  Theoreme  von  Mac  Laurin 

* 

^fc=[i[>*(c«-l)'»](tt=o) 

pd  wenn  man  den  Binomischen  Lehrsatz  anwendet  >  so  findet 
ich  bei  wirklicher  Differenziation 

6)  Ah = »iow»* — wij  (m— 1)*  +  ?ii2(»i— 2)*— .... , 

romit  die  CoefBzienten  A  bestimmt  sind.  Aus  der  Gleichung  5) 
igiebt  sich  jetzt  durch  Multiplikation  mit  e'^q>{ti)du  und  inte- 
[ratioD 

boit  ist  die  Aufgabe  gelöst,  irgend  eine  Differenz  durch  Diffe- 
■tialquotienten  auszaoriicken. 


^  II.    Entwickelung   von  D^f{a).^ 

Dass  eine  Gleichung  von  der  Form 

Iiteb^   mfisse, .  erkennt    man    leicht  mitteist  der   Substitution 

frlzzv  oder  ti=l(]4-f);  denn  es  ist  dann 

i 

m  Anderes   als  das  Resultat    einer  Poienzirung  von  der  he- 
|M«n  Gleichung 

l(l+r)  =  fj-^t«+Jt?8  — jr*+.... 


t 

■  mitod  ein  CoelUzietit  /li,  wStd 

B,=|0>[1(1+.)]"1,,.„,  =  |  »•(!»■)"}  ,„„ 
Diese  üifTereiiiciatioa  iässt  eich  mittelst  des  Tlieoremes  ausfulire« 
0)  fl'AI») 

=  |r  [  Vi-icl.«)-  4/''-'i(ii)  +  eS/i-xw- ]. 

worin  C  die  Fakulläteocoeffizienlen  von  (i,  -f')"  bezeiclinen,  abi 
aus  der  Gleichung 

10)  (i.  +  l)"  =  ia  +  1)Ci  +  -i)....(:  +  «-l) 

bestimmt  werden  kiintieii.  tiieriiach  firnlet  man  (vir  u^zk,  /(y)^ 


unter  der  Racksichf,  Aobb  k^m  i<jt: 

ßt=(-l)*-"1.2.3. 

.m.Ck-^. 

Die  (Jleichung  8)  lautet  jetzt 

X 

"     —  ^{^  — IJ—        .T  (C        U    +     +7 

»+l)('»+2) 

und  jiach  dem    lieschriebeneii  Verfahren    folgt  augenblicklich  a» 
tleri«eltien 


11)      fl-/-W=(i4'"/-W  - 


fUr  in=2  kann  man  dem  Resultate  die  Ferra  geben: 


385 

/f     1     1\^A^) 

■*^  Vl■*■2^3/~4~"■~••• 
>iess  Alles  ist  sehr  bekannt»  wenn  auch  auf  anderem  Wege  und 
iwar  von  Laplace  mittelst  symbolisclier  Formeln  bewiesen  Wor- 
ten.   Nen  dagegen  diirfke  das  Folgende  sein. 


/»OD 

III.    Entwickelung   von    /     e''^f(jx\i)dt. 


<» 


Setzen  wir  ähnlieh  wie  früher 


14)  f{x)^j    e-'»g>(u)cfM, 

a 

woraus  die  folgenden  Formehi  hervorgeben: 

15)  .     /    i««c--^9(tt)dM=(— l)«/)«^^:), 

a 

16)  /    (I— 6-«»)"e--«'g)(tt)rfM=:(-l)«^YG^)5 

«o  lässt  sich  nach  Nro.  14)  auch  f(x\f)  durch   ein  Integral  aus- 
drücken und  es  ist  dann 

f^e-*f{x  +  t)dt  =  je'*  dt  j     c-(*+')''y(tt)rftt 

/h  /»OD 

a  o 

/*  1 

e-*^g>(u)du  j^^  • 

a 

Man  übersieht  nun  leicht,  dass   eine  Reihenverwandlung  von  der 
Form 

17)  j^=l+  p^(l-e-')+^(l-e-'')'»+  ... 


^^" 

38«                                 1 

mSRlich  sein  mus»;   deon  fOr  1— c~-'=t<,  &]so  u  =  -l(l-^ 
giebt  sich                                                                                 '  "       ■ 

10) 

1— l(l-fl)~    ^I'"T2'  '   "^ 

ivus  nffenliar  c;anx  in  der  Ortliiung  ist.     mittelst  der  Gleichung 

,9)  y 

er-'ax^t)dl  =  ni:)-'^^nx)  +  -^'^rt»)  -....  \ 

>    Um  iiocb 

i)ie  ICoerGzienteD  A  zu  beBtiiiiiucn,  setzen  wir  in  Nro. 
iid  baben 

nib)='-t'+r""--.           . 

folgLich 

1 

A,-i  i)>[ß' ,_,;,+.,],„.,      ] 

=  <-')' [«'-r^],„. 

Uie  Ausfii 

hrung  dieser  Differenziation  mittelst  der  Formel  9)  gie 

A,=(.-\)<'[CJi  -  C,(*-l)'  +  IW-V  -■••■]• 
Bezeichoen  wir  wie  folgt 

20)         ^      A=*'(i-(i-l)'fc, +(i-2)'4— -.. 

Bo  ist  ^k=:( — l)Vk>   und  mithin  geht  die  Formel  19)  in  die  f< 
gende  Aber;  ..    , 

21)  J"',-'f(x+l)dl=f(x)  +j^Jm  +  ^'S^A») 


Will  man  .ix  nicht  ^1,  aondern  =A  jaetzen,  so  findet  man  ei 
apiecfaend 

22j'    'y'Vv(*+»ot«=nx)+^^/(«)+iz/v<«) 


Vfthlt  man  f(x)  so,  dass  sich  die  linker  Hand  postulirte  Integra- 
ion,  sowie  aie  rechts  yorkommepden  iHfferenzeD ,  ausfuhren  lässt, 
so  gelangt  man  unmittelbar  zu  neuen  Theoremen  >  wie  z.  B.  für 
f(x)=siRX9  f(a:)=co8x  u.  dergi».     '.    >■ 


/OD     ■ 
fix  +  fjcostdt, 

0 

Zufolge  der  Formel  14)  erhält  man  zunächst 

/OD  /»OD  /»* 

f(:c+{)co8tdt  =  I     costdt  I     e-^^-^^>ip{u)du 

€r-^<p(u)  du  I      e-^costdt 

a  0 

/»  U 

e-'^(p(u)duj^^s 


ud  wenn  hier  eine  Reihen  Verwandlung  von  der  Form 


o 


insgefuhrt  wird,     so   geht  die   vorige  Gleichung  in  die   folgende 

tter: 


jene   Reihenentwicklung   näher    zu   untersuchen,  setzen  wir 
1—6""= — 2;   es  ist  dann 

i+[i(i+j)]a-  r  '—  '£  *  +•••• 

ud  mitbin  bestimmen  sieb  die  Coeffizienten  A  Aach  der  Formel 


=<-»>*-*['"  I+fer],«.,. 


imen  wir  in  Formel  9) 


F                                               388 

^      II 

i.    ..i   .^.',  .,■,  n,i 

und  beacliteii,  dass  in  diesein  Falle 

,,„,,.1        ^-""''■^■^-■"'u>.fh 

ri+l)Arot«i.il 

'    '^^        (i+s^)ii"H-'>         '^ 

ivird.  so  findet  sich  bei  umgekehrter  Anordnung  der  Glieder: 

'26)  At=:VCi,-i~3Ct-i+5'Ck-i,  — 

Niuimt  man  in  Formel  2-i)  .4.r=A,  eo  ist  allgemeiner 

Ein  Beispiel  hierzu  bildet  die  Annahme 

man   erhält    nämlidi,    nenn  in  den   Differenzen  Bchliesälich   x= 
gesetzt  wird ; 

=  - ^(i!-*'-l)  +  ^(«!-4»'_2e-*'4  1) 


+  ^(I-3,+35<-,«)+... 

worin ,  wie  sich  von  selbst  versteht,  ij  ein  positiver  Seliter  Brul 
sein  muss. 


389 


/OD 


.1.   .: 


Unter  Benutzung  der  Formel  14)  findet  sich 

lf(x+t)smtdt  =  /  ^siBtdt  I     er}^^f)^(p(u)du 

o  0  a  '  ' 

/b  .    ^^ 

«-*«  (p(u)  du  I     er^ginidt 

a  o 

/*  i 


»tzeo  wir  eine  Reihenentwicklung  von  der  Form 


•••  • 


108,  SO  geht  die  obige  Gleichung  in  die  folgende  über: 
ry(a:+i)8\ntdt=f(a;)  -^  Jf(x)  +  ^ ^/(^r)  - ... . 


Für  1 — 6"""  = — z   nimmt  jene  Reihenentvrickelung  die  nach- 
mde  Form  an: 


l+[l(l+z)]» 
es  ist  mithin 


Ai     .  Ai 

T 


man  sieb,  dass  för 


/(y)= 


1+»* 


WkuDte  Formel 


392 

So  allp;eroein  bekannt  dieses  Verfahren  ist^  so  scheint  man 
einen  Umstand  dabei  übersehen  zu  haben ,  der  nicnt  ohne  ^ 
tigkeit  ist  und  namentlich  bei  bestimmten  Inte&^raleo  ganz  h 
ders  erwogen  sein  will;  es  kann  nämlich  vorkommen,  da^ 
nach  X  aufzulösende  Gleichung  a:^^q>(y)  mehrere  Wurzeli 
sitzt,  wie  es  schon  bei  einer  in  Beziehung  auf  x  quadrati 
Gleichung  der  Fall  sein  würde,  und  es  entsteht  dann  von  i 
die  Frage,  welche  von  diesen  verschiedenen' Wurzeln  (i 
weitere  Rechnung  zu  nehmen  ist.  Handelt  es  sich  z.  B.  un 
Werth  des  Integrales 


t/V2ra;  — a:«^"^' 


so  kann  man  setzen 

und  hieraus  folgen  für  x  und  dx  die  Doppelwerthe : 
entweder 

a:  =  r  +  V"r»— y*,    mithin    da? =—-7^=^=:^; 
oder 

Im  ersten  Falle  geht  das  obige  Integral  in  das  folgende  übe 

ri,(^  -^J)  =z  -  Aresin  ^  +  Const. 
und  man  hat  dann 


A 


dx  ~  ^  kxQ,^\i\2—I^ ^  +  Const. 


^iLrx  —  x'^ 
Im  zweiten  Falle  erhält  man  auf  gleiche  Weise 


f: 


aA) 2  ^'^  =  +  Aresin  ^^^-TT^ "^  -1-  Const. 

V  hx  — x^  r 


Welche  von  beiden  Formeln  die  richtige  ist,  entscheidet  sicli 
leicht  durch  Differenziation,  und  man  wird  finden.,  dass  jed 
beiden  gefundenen  Formeln  gebraucht  werden  kann,  nämÜc 
erste,  wenn  man 


393 

SBddie  zweite,  wenu  man  dieselbe  Wurzel  =r  —  x  setzt.  In  der 
Anrendang  auf  bestimmte  Probleme  wird  man  aber  aus  der  Natur 
liM  Gegenstandes  jederzeit  wissen,  ob  jene  Wurzel  =a: — r  oder 
=:r— d?  zu  setzen  ist,  und  dann  bleibt  auch  keinß  Wahl  mehr 
nrischen  den  beiden  erhaltenen  Infe^ralformeln.    So  kann  man  in 

gern  Falle   durch   Differenziation   emerseits    und    durch    genaue 
irteroDg   seines    Probiemes    andererseits   sich   vollständig   ori- 
entiren. 

Ganz  anders  wird  die  Sache  bei  bestimmten  Integralen;  hier 
gehen  die  Substitutionen  bekanntlich  nie  rückwärts  (von  y  nach 
x)  sondern  immer  nur  vorwärts,  indem  man  zugleich  die  Verän- 
deronsen  anmerkt,  welche  die  Integrationsgränzen  erleiden,  und 
eine  Probe  durch  Differenziation  ist  am  Ende  gewöhnlich  gar  nicht 
aosffihrbar,  weil  man  es  in  den  meisten  Fällen  mit  solchen  Diffe« 
renzialformeln  zu  thun  hat,  die  sich  unbestimmt  nicht  integriren 
lassen.  Um  die  hier  entstehende  kleine  Schwierigkeit  an  einem 
recht  frappanten  Beispiele  zu  zeigen,  betrachte  ich  das  Integral 

Setzt  man  x'^'\-2ra:=y,  so  folgt 
nithin 

ist  femer  x  gleich  der  unteren  Integrationsgränze  —  3r  geworden, 
10  bat y  den  Werth  9r^— 6r2=3r^  erhalten,  und  ebenso  entspricht 
der  oberen  Integrationsgränze  x-=-{-r  die  obere  Gränze 

y=r2  +  2r«=3r2; 
■an  hätte  demnach 

-3'  3'"* 

Der  Werth   eines  zwischen  gleichen  Gränzen  genommenen  Inte- 

ees  ist  aber  im  Allgemeinen  die  Null,    und  so  gelangt  man  zu 
i  offenbar  widersinnigen  Resultate,    dass   für    jede   beliebige 
vfonktion  f  das  fragliche  Integral   der  Null  gleich  sei.  —  Um  em 
^ Viielitiges  Ergebniss  zu  erbalten,    niuss  man  hier  folgend ermassen 
■•cUiessen.    Wenn  x  das  Intervall    — 3r    bis   +r   durchläuft,    so 
Wert  sich  der  Ausdruck   y==a:*+2ra?  in  der  Weise,     dass  er 

Theil  XVllI.  2T 


394 

wfthrend  des  Intervalls  —  3r  bis  -^r  abnimint»    för  xrs:^-^r  m 
Minimum  erreicht  und  daraufarrss^-r  bis  a:=-fr  wächst;  dabei  wi 


fBr  0?=— 3r   „    y=  +  3r«. 

Sieht  man  w  als  Abscisse,  j(  als  Ordinate  an,  so  kommt  je 
zwischen  — r^  und  -f-3r^  lieeende  individuelle  Ordinate  zweiir 
vor,  einmal  als  sehörig  zu  emer  zwischen  — 3r  und  i— r  liege 
den  kleineren  und  dann  entsprechend  einer  zwischen  — r  und  -| 
enthaltenen  grosseren  Abscisse;  eine  Ausnahme  hiervon  mac 
nur  die  Ordinate  +t'^,  die  blos  einmal  vorkommt  Zerlegen  v 
jetzt  das  Integral  Nro.  1)  in  folgende  Integrale: 

2)  ß       f(x^  +  2rar)  dx  -{^  j     ^ f(x'^\^tx)dx , 

so  enthält  das  erste  Integral  alle  vorhin  als  kleinere  bezeichnet( 
Xi  und  das  zweite  Integral  lediglich  die  grosseren  x\  hierai 
folgt»  dass,  wenn  in  beiden  Integralen  ar^-f-2rar=^  gesetzt  wir 
umgekehrt  für  das  erste  Integral  in  Nro.  2)  nur  die  kleinere  Wi 

zel  a:=r— V  r^  +  y    und  für  das    zweite    nur  die  grössere  Würz 

a?=r+V^r*  +  v  zu  gebrauchen  ist.  Nach  dieser  Bemerkung  v€ 
wandelt  sich  me  Gleichung  2)  in  die  folgende: 

Kehrt  man  im  ersten  Integrale  die  Integrationsgrfinzen  um,  gie 
ihm.  also  das  entgegengesetzte  Vorzeichen,  so  lassen  sieh  nu 
mehr  beide  Integrale  zu  einem  einzigen  zusammenziehen,  nämlic 

und  dieses  ist  die  richtige  Transformation  von   Nro.  1). 

Das  so   eben   auseinandergesetzte  Verfahren  dient  gleichfö 
mig  auch  zur  Umwandlung  des  allgemeinen  Integrales 


/ 


f[g>(x)]dx; 


man  hat  nämlich  vorerst  zu  untersuchen,  wieviel  Maxima  und  W 


395 

nima  der  Funktion  yzgiq>(x)  swiscben  die  Integration^äiizeft  a 
und  ß  fallen;  treten  diese Maxima  undMioiroft  für  xts^^^  ^f^==¥s» 
etc.  ein ,  so  ordne  man  die  Grossen  fii  y  (i^  etc.  nach  ihrer  Grosse, 
so  dass  c(<^«  <fi«....</?  ist,  zerlege  das  gegebene  Integral  in 
eine  Reihe  anderer  integrale ,  welche  die  Integrationsgränzen  :r=tt 
bis  a;=fti,  x  =  (ii  bis  xz^fi^  ^^^'  umfassen ,  und  substituire  in 
den  einzelnen  Integralen  diejenigen  Umkehrungen  der  Funktion 
y=q>(x)f  welche  den  zugehörigen  Intervallen  entsprechen.  — 
\Vir  geben  hierzu  einige  Beispiele  von  möglichst  allgemeinen 
Formen, 

I.  Es  sei  zunächst  das  dem  vorigen  ziemlich  ähnliche  Integral 

J=  lf{xH'^rx)dx, 

— r 

zu  transformiren»  so  hat  man  zunächst 

—OD  — r 

and  vermöge  derselben  Substitutionen  wie  vorhin 


fiv) 


dy 


V^r«  +.V 


Setzt  man  noch  yz=.r^Zy   so  erhält  man  durch  Vergleichung  der 
verschiedenen  Formen  des  J 

/^  P^  f[r^z)dz 


-OD  -1 


Will  man   das  Wurzelzeichen  rechter  Hand  vermeiden,    so  kann 
man  z=ii^— 1  setzen,  und  hat  dann 

5)  r'^f(x^+2rx)dx = 2r  C^firHu^ - l)]cZtt . 


A>U8  den  gefundenen  Crleichungen  lassen  sich  leicht  allgemeinere 
Formeln  dadurch  herleiten,  dass  man  mehrmals  in  Beziehung  auf 
die  willkuhrliche  Constante  r  differenzirt;  da  die  Ausführung  die- 
ser Operation   nach  den  von  Herrn  Dr.  Hoppe  und  mir  gieich- 

2T* 


39« 

zeitig  bekannt  gemachten  Formeln  nicht  die  mindeste  Schwierig- 
keit hat,  80  kann  ich  sie  füglich  übergehen. 

II.    Das  SU  transformirende  Integral   sei 

/>  a 

f(cx+  -)dx. 

Da  y=:ca:+—   für   ar=V  —  sein  Maximum  y=2V^ac   erreicht, 
so  zerlegen  wir  wie  folgt: 

/T    e  a  /••  a 


Aus    y^^cx-i-—  ergeben  sich  umgekehrt  fSr  x  die  Werthe 

X 

durch  dereo  Substitution  man  erhält: 

I     /»aVS  « 


Kehrt   man    im  ersten  Inte.&:rale  die  Intec^rationsgränzen  um    und 
vereinigt  dann  beide  integrale,  so  wird  einfacher' 


cj  _  '^^  XTv^-^Aac 


Eine  noch  bessere  Gestalt  erhält  das  Integral,  wenn  man 

\y^  —  Aac  =  2 
setzt;  es   wird  nämlich  schliesslich 


6) 


ficx+-)dx  =  -J    fiSTi^+t^dz. 


r-  I 


n. 


397 

Diese  Formel  lässt  sich  wiederum  durch  mehrfache  Differenzia- 
ttonen  in  Beziehung  auf  a  oder  c  verallgemeinern,  womit  wir  uns 
jetzt  nicht  aufhalten  wollen. 

Nimmt  man  in  Nro.  6)  z.  B. 
80  ergiebt  sich 

0  0 

Eine  andere  Supposition  wftre 

/'(t«)=F(t«a— 2ac); 
sie  giebt 

8)  /**F(c«a:«  +  ^)<fo=J^  f^  F  (:lac  ^  x^)dx , 

0  0 

ich  schon  früher  einmal  bekannt  gemacht  habe. 
IIL    Als  drittes  Beispiel  diene  das  Integral 


J^=^  I      f(coax  +  tan^ .  sinj:)il^ , 


worrn  ^  einen  constanten  Bogen  des  ersten  Quadranten  bezeich- 
nen mSge.    Wollen  wir 

coso;  -f  tan^.sin^=^ 

setzen 9  mo  ist  zunächst  zu  erinnern,  dass  die  Gleichung 

^=: — sinj?-f  tand.cosjr=:0, 

d.  h. 

tana;=tand 

svreiWorzeln  besitzt,  welche  in  das  IntegrationsinterTall  0  bis  2tc 
fidlen;  diese  Wurzeln  sind  x=^^  und  xr=zTc+^)  die  erste  macht 
■  y  sa  einem  Maximum  nämlich  secO,   die  zweite  giebt  das  Mini- 
iniim  — seo^.    Wir  zerlegen  nun  wie  folgt: 


400 


Die  Bezlehnnip  der  Ellipse    auf  ili 
zwei    gleiclien    coiUu^rten    Durc 

messer. 


Von 

Herrn  Doctor  Kosters 

xa  Warendorf. 


unter  den  verschiedenen  metrischen  Relationen  zur  Bes 
mung  eines  Kej^elschnittes  gibt  es  auch  eine,  welche  in  sehr 
facher  Weise  die  Ellipse  und  Hyperbel  auf  zwei  gerade  Linien 
zieht.  Sind  nämlich  zwei  gerade  Linien  L  und  Li ,  welche  , 
unter  einem  Winkel  (29?)  schneiden,  der  Lage  nach  gegeben, 
ist  der  Ort  des  Punktes,  dessen  Abstände  a  und  ß  von  den  2 
gegebenen  Geraden  im  Quadrate  eine  konstante  Summe  oder  D 
renz  p^  geben,  nämlich: 

eine  Ellipse  oder  gleichseitige  Hyperbel. 
Betrachtet  man  nun  den  Fall,  in  dem 

so  ist  der  Ort  eine  Ellipse,  für  welche  durch  einfache  ( 
struction  sich  die  einzelnen  Punkte ,  so  wie  die  Achsen  nun  le 
bestimmen  lassen.    Es  ist: 

der  Halbmesser  der  gleichen  conjugirten  Durchmesser 

r 


sin2(p  ' 


401 


5   grcisse  Halbachse 


"■"  V2.«ing>' 


2  kleine  Halbachse 


6-— £— , 
V2.cos9> 


&  Excentrizität 


^  =  Ä  •  V'acos'iy  , 


it  Parameter 


**» = vää^  •  *•"«'' = ****"«'' ' 


e  Leitstrablen 

'  sing)  *  sin9 

Dieser  Beziehung  der  Ellipse  als  Ortslinie  auf  zwei  feste 
eraden  entspricht  folgende  Betrachtung. 

Eine  Ellipse  wird  gebildet  durch    die  Peripherie  eines  Krei- 
SS,   indem  sich  alle  auf  einem  Durchmesser  senkrechte  Sehnen 
ihrem  Fasspunkte  um  einen  gleichen  Winkel  drehen. 

Sind  (Taf.  X.  Fis^.  1,)  AB  und  QZ>|  z%vei  senkrechte  Durch- 
lesser  des  Kreises  M,  und  dreht  sich  jede  auf  AB  senkrechte 
ehne,  z.B.  PEi,  wie  MCi,  in  ihrem  Fusspunkte  um  den  Win* 
A  fp9  so  bilden  die  so  verschobenen  Punkte  der  Peripherie  des 
Preises  in  ihrer  neuen  Lage »  z.,  B.  E  und  C,  die  Ellipse. 

Dieses  iSsst  sich  auch  also   nachweisen. 

Die  Coordinaten  (,v,  y)  des  Punktes  E  für  die  Coordinaten- 
ichsen  MA  und  MC  sind  gleich  den  Coordinaten  (Xu  y{)  des 
Penktes  £«  des  Kreises  für  die  rechtwinkligen  Coordinatenachsen 
HA  und  mCi.  Ist  nun  r  der  Radius  des  Kreises  My  so  ist  seine 
Odchang  bezugs  der  Coordinatenachsen  MA  und  MCi : 

Mglich  die  Gleichung  der  Ellipse  bezugs  der  Coordinatenachsen 
mA  und  MCi 

Füllt  man  nun   von    einem  beliebigen  Punkte  (u:,  y)  der  Ellipse 


402 

Senkrecbten  et  und  ß  anf  MA  und  MC,  so  ist»  wenn  der 
kel  AMC=2(p  gesetzt  wird: 

«2  ^.  ^  ^  r^siii^q) . 

Dieses  ist  die  Gleichung,  von  der  wir  ausgegangen»  wenn  ms 

* 

sctzi  Bei  dieser  Darstellung  der  Ellipse  lassen  steh  leich 
den  Eigenschaften  des  Kreises  entsprechende  für  die  Ellips 
leiten »  z.  B. : 

Jede  zwei  senkrechte  Durchmesser  des  Kreises  werden 
conjugirte  Durchmesser  der  Ellipse. 

Wie  im  Kreise  jede  zu  einem  von  zwei  senkrechten  D 
messern  parallele  Sehne  vom  andern  halbirt  wird»  so  wird 
in  der  Ellipse  jede  zu  einem  von  zwei  conjugirten  Durch me; 
parallele  Sehne  vom  andern  halbirt. 

Wie  beim  Kreise  jede  im  Endpunkte  eines  von  zwei  ; 
rechten  Durchmessern  zum  andern  parallele  Gerade  Tangenti 
Kreises  ist,  so  ist  bei  der  Ellipse  jede  im  Endpunkte  einet 
zwei  conjugirten  Durchmessern  zum  andern  parallele  Gerade 
geilte  der  Ellipse. 

Es  gibt  für  jeden  Winkel  (i/;)   der  Drehung  der  Sehne 
bestimmte  Ellipse  über  AB  und  CD,  als  den  zwei  gleichen 

jugirten  Durchmessern.  Wächst  der  Winkel  ip  von  Obis  ry  »   so 

die  Ellipse  alle  Gestalten  durch  vom  Kreise  bis  zur  geraden  J 
als  Gränze,  deren  Länge  =2rV^2  . 

Im  zweiten  Quadranten,  d.  h.  wenn  der  Winkel  if;  von  ^y  b 

wächst,  dehnt  sich  die  Ellipse  wieder  bis  zur  Peripherie 
Kreises. 

Bei  der  Drehung  der  auf  AB  senkrechten  Sehnen  des  1 
ses  (Grundkreises)  beschreibt  jeder  Punkt  seiner  Peripherie  i 
Kreis,  und  ist  in  jeder  Lage  ein  Punkt  einer  Ellipse;  sonül 
gen  also  die  entsprechenden  Punkte  sämmtlicher  Ellipsen  ii 
stimmten  Kreisen.  Die  Scheitel  jeder  zwei  conjugirten  Di 
messer  bewegen  sich  bei  Aenderung  des  Winkels  'ip  in  zwei  J 
sen,  welche  sich  in  dem  festen  Durchmesser  AB  berühren, 
für  deren  Radien  q  und  Qi  man  die  Gleichung   hat: 

FCr  die  Scheitel  der  Achsen  ist  noch  ausserdem 


403 


Femer  die  Tangenten  der  entsprechenden  Punkte  sämmtlicher 
lipsen  (aus  dem  Grundkreise  M)  drehen  sich  um  einen  festen 
lokt  in  dem  Durchmesser  AB,  und  daher  sind,  wie  die  Ordi- 
ten,  aa^h  die  8ubtängenten  s  der  entsprechenden  Punkte  unter 
^h  gleich  nnd  zwar  ist; 

5  —   —  • 
X 

Wenn  die  zwei  gleichen  conjugirten  Durchmesser  der  Lage 
.ch  und  ausserdem  p  oder  ein  I^unkt  der  Ellipse  oder  eine  Tan« 
mte  gegeben  sind,  so  ist  die  Ellipse  bestimmt  und  der  Nach- 
MS  inrer  Eigenschaften,  sowie  die  Constructionen»  zeichnen  sich 
er  durch  Einfachheit  aus. 

Sind  L  und  Li  der  Lage  nach  gegeben  und  ausserdem  ein 
nnkt  E  der  Ellipse,  so  findet  man  leicht  den  Gnindkreis.  Man 
ehe  die  Ordinate  EP,  und  PEi(=PE)  senkrecht  auf  ^^,  be- 
treibe  dann  aus  M  mit  MEi  einen  Kreis,  so  ist  dieser  der 
rmdkreis  der  J&llipse.  Zieht  man  ferner  den  Durchmesser  MHi 
idlann  HxO'^AB^  und  OH(=zOHi)  parallel  zu  DC»  und  dann 
tH,  80  sind  MH  und  ME  die  Halbmesser  zweier  conjugirter 
torcbmesser.  Durch  die  Verbindung  der  durch  den  Grundkreis 
^stimmten  Scheitel  der  zwei  gleichen  coniugirten  Durchmesser 
rhSit  man  ein  Rechteck,  welches  der  Ort  des  Punktes  ist,  des- 
sn  Abstände  a  und  ß  von  den  zwei  conjugirten  Durchmessern 
iMagonalen)  die  constante  Summe  p  geben ,  nämlich : 

Ihrer  Einfachheit  wegen  mögen  die  folgenden  zwei  Aufgaben 
el5st  ^werden. 

1.  Sind  L  und  Lt  und  ein  Punkt  E  der  Ellipse  gegeben,  in 
S  eine  Tangente  an  die  Ellipse  zu  ziehen. 

Man  ziehe  EP^Li  und  PEi(=zPE)  senkrecht  auf  X,  ziehe 
HEi,  and  EiG^JuEi,  verbinde  G  mit  E,  so  ist  GE  Tangente 
kr  Ellipse. 

2*  Sind  L  und  Li  und  ausserdem  eine  Tangente  Q  der 
m%  gegeben,  den  Berührungspunkt  in  Q  zu  finden;  oder: 
Punkt  in  Q  zu  finden,  für  den  die  Summe  der  Quadrate  der 

fanroogen  a  und  ß  von  L  und  Li,  nämlich 

a^  +  ß^s 

1<^  Himmam  ist. 


404 

Man  ziehe  ilfFi(=^F)  senkrecht  auf  ü,  verbinde  J 
6%  fölle  ME^-^GYi,  unä  JEiP-^L,  ziehe  PE  parallel  a 
80  Ist  E  der  verlangte  Punkt 


Vergleicht  man  den  Grundkreis'  der  Ellipse  noch  mit  den  l 
über  den  zwei  Achsen  beschriebeoen  Kreisen,  so  ist  jeni 
Ort  des  Punktes ,  der  zu  den  beiden  letzten  Kreisen  gleicli 
tenz  hat 


Anmerkung.  Beschreibt  man  aus  dem  Halbirungspunkf 
Centrallinie  (=r2ift)  zweier  Kreise,  deren  Radien  JB  und  r 
einen  dritten  Kreis  mit  dem  Radius 


,=v 


— 25 wr» 


80  Ist  dieser  der  Ort  des  Punktes  >    der   zu  den   beiden    c 
Kreisen  gleiche  Potenz  hat 


405 


merkunsen  sn  den  Elementen  der 

Arithmetik. 

Voo  dem 

Herrn  Doctor  R.  Baltzer, 

Oberlehrer  an   der  Kreuzschule  sa  Dresden. 


I.    Zu  den  Wurzeln. 

Vie  Elementarlehre  von  den  Wurzeln  vereinfacht  sich  ein 
l,  wenn  man  von  der  Wurzel  aus  einer  Potenz  ausgeht» 
o  wie  man  in  der  Lehre  von  den  Quotienten  besser  die 
ion   der  Producte  an  die  Spitze  stellt.    Die  Gleichungen 

n n  m 

Vo^  =  ( V^a)»«==  a« 

st  man  durch  Potenzining  mit  n,  und  zivar  die  letztere  zu- 
t  unter  der  Voraussetzung,  dass  m  durch  n  theilbar.  Die 
rangen 


ffi n 

um  A  /"  "  ▲  /    m 


e    durch  Poteozirung   mit   mn  bewiesen   vi^erden,     und  aus 
(abgesehen  von  den  Vorzeichen ,  als  welche  man  die  Wur- 
ius  1  betrachten  kann) 


mn 


^a^^P  =  V^aP 


406 


fol^t.  SO  wie  die  Entwickelung  von  W^äb  und  V^öTA,    bestäl 
dann  9  dass 

1  m 

n  n 

adäquate  Ausdrücke  für  Va^  und  V^a*"  sind. 

Was  das  Vorzeichen  anlangt,  so  ist  in  übrigens  Sorgfalt 
Darstellungen  noch  zu  finden»  dass  dabei  die  Entstehung  des 
dicanden  in  ßetracht  komme,  dass  also 

^{a-bf'—a'-b  (nicht  6— o) 
eindeutig,  dagegen 

zweideutig  sei.  Z.B.  Heis  Sammlung  $.  48.  Dagegen  muss 
merkt  werden,  dass  so  lange  der  Radicandus  denselben  W 
hat,  auch  die  Wurzel  dieselbe  ist,  und  zwar  n deutig  wie  j 
wte  Wurzel.  Nun  ist  über  die  IdentitSt  von  (a— ä)^  und 
a^ —  lab -X- b*^  ein  Zweifel  nicht  miiglich,  folglich  hab^n  beide  1 
mein  dieselbe  Quadratwurzel,  welche  eben  so  gut  negativ  als 
sitiv  genommen  werden  kann.  Dass  überhfSbpt,  wenn  a  eine 
sitive  Zahl  und  a^ziza^  man 

n  n 


n 


ZU  setzen  habe,  wobei  Vi  wie  ein  Vorzeichen  erscheint,  ist 
der  kritischen  Schule  hinreichend  besprochen ,  und  sollte  a 
von  den  elementaren  Darstellungen  nicht  ganz  mit  Stillschwei 
übergangen  werden. 


li.    Zu    den    Logarithmen. 


Der   Mangel   eines   bequemen   Ausdrucks    für  die   Zahl , 
welcher   /•:   potenzirt   die  Zahl  a  giebt,  ist  oft  genug  beim  Ür 
richte   empfunden    worden,    wie  verschiedene  Versuche   anzei; 
x\ni  jcebräuchlichsten   ist  der   Ausdruck    „Logarithmus   vo 
zur  Basis  k"  und  die  Bezeichnung  eine   der  folgenden: 

k  k^ 

log«,    loga,    log(A)a. 

Nach  der  bei   Functionen  mit    einem  Parameter  üblichen  Schi 
art  könnte  man  das  Zeichen 


407 

log(A:,  a) 

brauchen,  vrelohes  -jedoch  mit  den  vorigen  Zeichen  die  unbe- 
enie  Länge  in  Schrifi  und  Rede  zum  Theil  geraein  hat,  obgleich 
dem  Druck  mehr  £U8agt.  Der  in  J.  H.  T.  Möller's  Aritnme* 
k  S.  287«  angenommene  Ausdruck  ,,  Hoch  zahl  von  a  durch 
exponentiirt"  ist  zwar  zur  Bildung  von  Lehrsätzen  nicht 
igeschmeidig ,  allein  die  Bezeichnung  dafür 


ird  schvrerlich  Eingang  Gnden,  weil  sie  den  bereits  feststehen- 
;n  Zeichen  loga ,  \a  für  den  gemeinen  und  natürlichen  Logarith- 
en  von  a  sich  nicht  anschliesst. 

Von  jeder  Bezeichnung  verlangt  man  billig,  dass  sie  nicht 
nr  für  Schrift  und  namentlich  für  Druck  leicht  ausführbar,  son- 
ern  dass  sie  auch  in  der  Rede  leicht  wiederzugeben  d.  h.  les- 
•r  sei.  Diesen  Forderungen  entspricht  die  erste  Bezeichnung, 
obald  man  k  nicht  über  log;  sondern  links  oben  an  log  stellt: 

*loga*) 

tod„£-Logarithmus  von  a"  ausspricht  (etwa  wie  nte  Wurzel 
■8  a).     Die  Zeichen  * 

^^loga,    log.vulg.a,    ioga 

ibd  als  gleichgeltend  zu  geben,  sowie 

«ioga,     log.nata,    Ina,    la. 

n  Termisse  ich  in  den  elementaren  Lehrbüchern  die  Bemer- 
j,  dass  *ioga,  und  nicht  ^^logcr,  natürlich  heisst,  weil  er 
m  eine  unmittelbare  Berechnung  zulässt,  während  andere 
künstliche)  Logarithmen  nur  durch  Probiren  aus  Wurzein  der 
ksis  oder  durch  natürliche  Logarithmen  bestimmbar  sind. 

Ferner  gebort  auch  in  ein  Elementarbuch  die  Anmerkung,  dass 
k  Logarithmen  vieldeutig  sind  wie  die  Wurzeln ,  nur  unendlich- 
Irätig,  dass  wenn  a  eine  positive  Zahl  und  k*-^=^ai  vermöge  der 
üsmiel  f&r  4oga6  man 

*loga=a  +  *logl, 

*logÄ:  =  l+*Jogl, 

*log(-o)=«+*log(-l) 


*)  Diese  Bczeichnunj!;',  die  ich  Hrn.  Prof.  Schldrailcli  mitgctiicilt, 
It  von  demselben  bereits  mit  der  Aufnahme  in  dessen  neue  Ausgabe 
er  algebraischen  Analysis  (S.  8.)  beehrt  worden. 


408 

«u  setzen  habe,    dass  aber  *Io^l  einen  andern  reellen  Werth 
Null  nicht  zulä^st ,  während  Mog(— 1)  durchaus  imaginär  ist.  Sol 
Aussichten  erniuntetn  zn  weiterem  Studium. 

Aus  der  Definition  wurde  ich  zunächst  ableiten ,  dass 

CiWogft=:6*loga, 

indem 

a  =  ifc^loga ,    6  =  A^log* , 

folglich  jede  der  beiden  Potenzen 

Ferner 

Moga 

indem 

Dann  folgen  die  auf  den  Numerus  bezuglichen  Formeln  fiir 

Mog<i6,     *logg,    ^logafr, 
denen  noch  beizugeben  sind 

^og(a+ö)  =Moga  +  *Iog  (}  +  '^  > 

*log(a — b)  =*^loga— *Iog -.  [a>6]j 

1— - 
a 

um  zu  dem  Gebrauch  der  Gauss'schen  Hülfstafeln  anzuleil 
welche  nach  der  neuen  Einrichtung  (wie  sie  bereits  1844  vor 
H.  T.  Müller  in  den  buchst  zweckmässigen  vierstelligen  Tal 
gegeben  worden)  bei  dem  Argument  loga  —  log6  die  zur  Er) 
gung  von  log(a-|-6)   und  log(cr  — 6)  nuthigen  Correctionen 


log  (l  +  -j   und   log  j 

a 


darbieten.  Vergl.  die  vortrefflichen  Beispiele  in  Heis  Sanimlu 
§59.,  welche  übrigens  noch  die  altere  Einrichtung  berüdvsichtij 


4Öd 


hlL    Zu  den  Verhältn 


nd  Fro|iortionen. 


Das   VerhSltnisB    einer  Grüsee  A   zu    einer  §ileic  hart  igen 
^  tat  —  es  ist  fabelhaft,  mit  wie  verschiedenen  WencTuo- 

^.i  verschiedene  Schriftslei  1er  fortfahren,    denen  man  zum  Theil 
nicht  undeutlich  ein  senisses  Unliefiagen   bei  diesem  DeGuitions- 
eexchäft  anmerkt.    Ich    will  die  Leser  des  Archivs  nicht  mit  An- 
führijngen  behelligen,    jeder  lindet  in  seiner  Bibliothek  Beispiele. 
Die  Quälereien  haben  einen  doppelten  Ursprung;  beim  Vater  Eu- 
klid e  s  darin,  dass  ilie  Irrattonalsahlen  noch  kein  Bargerrecht  unter 
Jen  Zahlen  halten,  bei  den  Neueren  darin,  dass  man  angefangen 
halle  von    arithmelischen  Verbällni^sen  im  Gegensatz  zu  geome- 
Itischen    zu    reden    und    dass  man   nun  ein  Abslractum  aus  zwei 
Insserst   verKchiedenartigen  Begriffen  bildete.     Warum  hUite  man 
licht  auf  Eulerl     In  der  Algebra  I.  §.  380.  steht  geschrieben: 
lEio  arithmetisches  VcrhitUniss  ist  nichts  anders  ah  die  Differenz 
tiriscben  zwei  Zahlen.  Welches  letztere  Wort  IQglicher  gebraucht 
rird,  so  dass  das  Wort  Verhällniss  nur  allein  bei  den  sogenann- 
en  geometrischen  Verhältnissen  beibehalten  vFird."    Und  S.  440.: 
J>as   geometrische  VerhSlIniss  ziiischen  znei  Zahlen  enihalt  die 
LntivDrt  auf  die  Frage,   nievielmnl  die    eine  Zahl  grosser  sei  uls 
He    andere,    nnd    wird  gefunden,     «enn  man  die  eine  durch  die 
udere  dividirt,     da  dann   der  Quotient  die  Benennung    des  Ver- 
Iftltnisfies  arixeigt."     Es  ist  also  deutlich  zu  lesen,  woran  ausser- 
latb    der  Elementar  buch  er    doch    Niemand     mehr    zweifelt:    das 
Verhällniss    zweier  Griisseu  ist   eine  Zahl.     Euklides 
icheute  sich  freilich  in  diesen  Satz  einzustimmen,  denn  er  konnte 
tit-Be  Zahl  nicht  in  allen  Fällen  vollkommen  angeben;  wir  künneii 
-   auch    nicht,    haben   uns   aber  mit  der  Begrenzung  derselben 
Flügen  gelernt.  Schade,  dass  der  tildtliche  Streich ,  den  Enler 
.,<l:is  arilhmetische  Verhällniss"  geführt,  nicht  auch  dessen  Genos- 
,. die  Beneimung  des  geometrischen  Verhältnisses"  (Name,  An- 
L:<'r,  Exponent)  gelroffen  hat;  denn  alle  Quälerei  hat  ein  Ende, 
III  man  stutt  dieser  Ausdrücke  keinen   andern  als  eben    „Ver- 
iiiiss"    selbst   braucht.     (Wenn  ich  nicht  irre,    ist  in  franzDsi- 
"  N    Büchern    hier    und  da  .-t  als  le  rapport  de  la  circnnf^rence 
iliametre  bezeichnet).  In  der  That  sind  die  Differenz  von  xvvei 
-sen  und  ihr  Verhällniss  himmelweit  verschieden  ,  denn  erstere 
<'iiie  Grösse,  letzteres  eine  reine  (abstracte)  Zahl,  so  rein  als 
»ultiplicBtnr  nur  sein  kann.    Aus  zwei  solchen  Begriffen  einen 
iciosamen  höhern  herauszupressen,    ist  undankbare  Mühe. 

-.  Auf  die  Erklärung  des  Quotienten  hat  nach  meiner  Mei- 
..i'l;  in  den  Elenienten  1)  der  Nachweis  desselben  filr  die  ver- 
.l.iedenen  Fälle  durch  Bildung  der  Brüche,  2)  die  Bedeutung 
i.s^elben  zu  lolf^en.  Die  besseren  Lehrbücher  sagen,  das  Dtri- 
Jieu  habe  bei  benannten  Zahlen  (Grössen)  eine  von  zwei  Bedeu- 
iingen,  Messen  oder  Theilen.  Auch  abgesehen  von  Anwendiin- 
■rn  kann  gesagt  werden;  der  Quotient  bedeutet 
ItK'U  Will.  2fi 


410 

entweder  den  sovielten  Theil  des  Dividendus^  als  der  Divis 
angiebt; 

oder  das  Verhältniss  des  Dividendus  zum  Divisor.,  d.  h.  d 
Zahl,  welche  angiebt >  wievielmal  der  Divisor  im  E 
videndus  enthalten^  oder  das  Wievielfache  der  DU 
dendus  vom  Divisor  ist. 

Wenn  nun    von    zwei   Grossen  A  und  B  die  erste  a  solch 
Theile  hat /deren  die  andere  6  hat,  so  ist 


A       B 


folglieh 


Ä=^^B, 


Q, 

d.  b.  das  Verhältniss  von  ^  zu  £  ist  t->    A  verhält  sich    zu  1 
wie  aib  u.  s.  w*). 

3.  Die  Unklarheiten  im  Besfriff  ^^  Verhältniss '^  zeigen  sici 
nicht  selten  bei  Definitionen  der  Mechanik  und  Physik.  So  steh 
Pouillet-Müller  Physik  1.  §.84.  ,,Das  Verhältniss  zwiscbei 
Raum  und  Zeit  heisst  die  Geschwindigkeit  der  gleicbfunnt 
gen  Bewegung.*'  Brettner  Physik  §.33.  „Geschwindigkeit  dei 
feewegung  ist  das  Verhältniss  des  Raumes,  den  ein  Körper  durch« 
läuft,   zu  der  Zeit,    die  er  dazu  nüthig  hat."     Lame   cours  de 

f)hysique  §.  21.  „On  donne  le  nom  de  vitesse  au  rapport  de 
'espace  parcouru  divise  par  le  temps  employe"  u.  s.  w.  Gleich- 
wohl zweifelt  im  Ernst  Niemand  daran,  dass  (ausser  im  Witz) 
vom  Verhältniss  ungleichartiger  Grössen  nicht  gesprochen  werden 
könne.  Die  Geschwindigkeit  einer  Bewegung  ist  gar  nicht  ein 
Verhältniss,  sondern  ein  Theil  der  durchlaufenen  Bahnstrecke,  wie 
anderwärts  oft  genug  richtig  gesagt  ist.  Gleichartig  mit  Geschwindig- 
keit ist  die  B  e  s  c  h  1  e  u  n  i  g  u  n  g  einer  Bewegung,  welche  gewöhnlich 
mit  dem  unpassenden  Namen  beschleunigender  Kraft  belegt  wird. 
Nur  die  Geschwindigkeit  (des  Wachsthums)  einer  Fun- 
ction, welche  mit  der  Variablen  gleichartig  ist,  kann  ein  Ver- 
hältniss genannt  werden,  nämlich  das  Verhältniss  ihrer  Aende- 
derung  zur  zugehörigen  Aenderung  der  Variablen,  welches  beim 
Verschwinden  dieser  Aenderungen  sich  ergiebt  (Fluxion ,  Deriva- 
tion, Differentialverhältniss).  Ist  die  Function  unglelchartifi:  xmi 
der  Variablen,  so  kann  unter  ihrer  Geschwindigkeit  nur  ein  Theil 
von    der  Aenderunsr    der   Function   verstanden    werden,     und  die 


')     Die  hier  entwickelten   Ansiditen  habe  ich  einer  kleinen  Schrift 
Rechenbuch     für    den    Standpunkt    der    Mittelschule.      1850 
KU  Grunde   gelegt. 


^windißlieit  ist   gleichartig  mit  der  FuDction,    nie  lÜe  üciie- 
ffgS'GescbiFindigkeit  mit  der  durchlaufnen  Uahostrecke. 

Üicliligkeit  und  spccifisches  Gewicht  werden  ge- 
'tilliidich  relativ  verstanden  als  die  Verhältnisse  von  Masse  und 
lieivicht  eines  Kürpers  zu  Masse  und  Geuitht  eines  bestimmten 
kiirpers  von  i;leichem  Velum.  Beide  sind  dadurch  von  iudividuel- 
l'ii  Mast^einheilen  frei  und  Tür  einerlei  Materie  gleich,  weil  das 
Gewicht  der  Masse  proportinnal.  Müh  kann  indessen  Dichtigkeit 
ijiul  specifixches  Gewicht  einea  Körpers  auch  als  Masse  und  Ge- 
'iiht  seiner  Volumeinheit  darstellen.  Dieselbe  Bewandtniss  hat 
-^  mit  Wärmecapacität  und  specifischer  Wärme  und  mit 
lit'len  anderen  Begriffen,  welche  ursprünglich  allerdings  Verhält- 
nisse sind,  wie  Atomgewicht,  Luftfenchtigkeit ,  Bre- 
cliungsverhältniss,  Ermpfiiid  11  chkei  t  einer  Wage.  Ab- 
plattung der  Erde,  Excentricitäl  einer  Ellipse,  Wahr- 
scheinlichkeit u.  s.  w.,  deren  Deünitionen  in  den  Lehrbüchern 
mm  Theil  Doch    mehr  Schärfung  erbalten  können. 

4.  Das,  was  man  bisweilen  „Maeszahl  einer  Grüsse" 
iifnnt,  iüt  nichts  anderes  als  ..daa  Verhältniss  der  Grosse  zur 
^la.sse inheil",  wolUr  man  abkürzend  „Grüsse"  sagt.  Z.  B.  in  der 
iLigel  „Das  Parallelogramm  ist  das  Product  aus  Grundlinie  und 
'liiie",  steht  Parallelogramm  ulM  Verhällniss  seiner  Fläche  zur 
^ladrateinheit,    Grundlinie  statt    deren   Verhfiltniss   zur  Längeti- 

''iriheit  u.  s.  w.  In  der  Regel  „FIfiche  und  Umfang  sphärischer 
Pidarfiguren  ergänzen  sich  zu  4"  stellt  Fläche  statt  Verhältniss 
ilcrselben  zum  sphärischen  Octanten,  Umfang  statt  Verhältniss 
(leaselbep,  zum  Bauptkreisquadraiiten.  Die  Mass;eablen  der  Grüs- 
Geu  sind  also  bei  richligem  Gehruuch  des  Wortes  Verhältniss 
eine  überDüssige  Erlindung. 

Das  Reciprnke  einer  Grösse  d.  h.  das  Verhältniss  der 
Mnsseinheit  zur  Grösse  kann  die  Kleinheit  desselben  genannt 
ipiden.  iu  der  Tbat  ist  die  Kleinheit  einer  verschwindenden 
iiriisse  ^  CO,  einer  unendlichen  Grüsse  :=0.  Die  Kleinheit 
li  «jAbslandes  zweier Pliiikle  heisst  ihre  „N&he"  (Herschel  on 
lii;ht,  art.  247.  spricht  von  der  Brenn-Nähe  einer  Linse.  Z.  B. 
iiL-  Krümmung  einer  Curve  ist  der  Kleinheit  des  Krümniungs- 
r.idius  oder  der  N.ihe  Ihres  Krümmungsmitletpunkts,  die  Massen- 
'^iiiiebung  dem  Quadrat  ihrer  Nähe  proportioual   u.  s.  w. 

>  > 

5.  Die  Bemerkungen,  dass.<4:£=l,   je   nachdem    A=:B    (die 


Ausdrücke    „steigendes  u 
benl;  dass  A:C=B  :C, 

d  fallendes  Verhältniss"  s' 
je    nachdem  A=B,     und 

nd  auTzuge- 
um gekehrt ; 

h,M   A 

B,  wenj: 

s  wed« 

r  eine  gan 

e  Zahl  noch   ei 

Bruch  ist. 

■loch   zw 

■sehen  —  u 

nd  ^    falle,  für 

eine  beliebige  g 

nze  Zahl  n. 

froporl 
L.hrsal 

auch  m  ei 

onenlehre , 

beruht: 

e  ganz 
deren 

e  Zahl  i.st; 
weitere  En 

—    eröffnen  die   allgemeine 
Fällung  vorzüglich    auf  dem 

412 

Zwei  Verhältnisse   sind  gleich,    wenn  sie  diesel 

ben'Näheruneswerthe  haben  ( —  und  für  beliebig 

n,  und  ein  dazu  gehörigeiä  m). 


Beweis.-   Es  sei 


n       ^      ^    n 

n       ^      ^     n        ' 


so  ist 


folglicli 


(A:B)-(C'.D)<^!^-(C:D)<"'+^      *" 


n         ^         '  ^     »  n 


Diese  Differenz  muas  Null  sein,  denn  von  Null  verschieden  wäre 
sie  nicht  kleiner  als  —  bei  beliebigem  n.    Also  ist 

A:B  =  C:D. 

Diese  Schluss weise  führt  auf  allgemeine  Sätze  der  Geometrie 
über  das  Verhältniss  von  Strecken,  Flächen,  Räumen,  Winkeln, 
Krümmungen,  wobei  auf  Incommansurabilität  dieser  Grössen  Rück- 
sieht zu  nehmen   ist. 

6.  Aus  dem  Lehrsatze  folgt  zunächst  die  Zusammen- 
setzung der   Verhältnisse 

A:B=z(A:C):(B:C). 

Beweis«    Es  sei 

n       ^      ^      n 


so  ist 


^(ß:Q<^:C<^t2(^.0, 


folglich  u.  s.  w. 


Nun  ist 

l:(B:C)=C:B, 


413 

also  auch 

A:B=(A:C)(C:B). 
Wenn  z.  B. 

A:C=P:Q,     C:B=R:S, 

80  ist 

A:B=(P:Q)(R:S).. 

Von  der  Zahlengleichung— •-==--  entlehnt   mau    die    kürzere 
Schreibart  PRiQS  statt  (P:Q){R:%,  und  erhält 

AiBzuAC'.BC, 

Hier  in  dem  gegebenen  Beispiel 

A:B=PR:QS. 

An  sich  nämlich  ist  ein  GrSssenproduct  bedeutungslos ,  weil  der 
faitiplicator  nur  eine  Zahl  sein  kann;  wodurch  nicht  ausgeschlos- 
en  ist,  das«  in  bestimmtem  Sinne  eine  Grösse  als  Product  von 
irussen  dargestellt  werden  kann*  (Vergl.  4.). 

7.    Hierauf  gründen  sich    die    bekannten    Eigenschaften    der 
infachen  Proportion  (Gleichung  von  zwei  Verhältnissen) 

A:ß=C:D. 

khreibt  man  dafür 

iA:B)(D:Q=l   oder  AD:BC=zl, 

M)  ergiebt  sich 

AD=BC, 

•ras  mit  dem  Grossenproduct  zugleich  Bedeutung  gewinnt.    Ande- 
rerseits folgt  aus  der  gegebenen  Gleichung 

{A:B)(B:C)  =  (B:C){C:D), 

ib.  Dach  dem  Obigen  (6): 

A:C=:B:D. 


KMese  Proportion  hat  dann  Sinn ,  wenn  C  gleichartig  mit 
»Zahl  ist;  jedoch  hört  sie  im  zweiten  Falle  auf,  eine  I 


Aoder 
Propor- 
ia  dffentifchen  Wortsinne  zu  sein ,  da  ^:  C  dann  nicht  mehr 
Verwtüiiia,  sondern  einen  Theil  von  A  bedeutet. 


M' 


* 


Die  Glelcbong 


aagis^ii^"^ 


bedarf  nach   dem  Begriffe   des   Verb^ltDiues    feines   Beweises, 
soadetD  Ist  Ergebuisä  der  Definition.  (Verfl.  T-A  =  a). 

8.   Nicht  hinreichend  scheint  niir  in  den  meisten  Lehrbüchern, 
deren  Propoitionenlehre  einen  starlcen  Beischniaclc  von   Scliolastik  | 
hat,     die   vielfache  Proportion  gewürdigt.     Welche  Eleganz 
dieselbe   dem    Caicul  zu  verleihen   im  Stande  ist,  '  itann  man  iw-   ■ 
Gonders  aua  Slüliius  Werken  ersehen, 

Wenn  nämlich  A.B=FG,    B:C=G:B.    so  ist  (fi)    A:t> 
=  F:H.    Man  vereini»!  diese  Proporttoneii  in  der  Gleichung^ 


A:BxC=F:G:U 


'Kotät  auch    (nach  7) 

A:F=li:G=C: 

geschrieben  werden    küiinle.     Uie  Haupteigenschaften  der  vte 
eben  Proportion 


A.Ii.€=F'.G'.n 


sind  folgende. 


a.  Es  ist 

AL:BL:CL  =  F:G.H. 

b.  Es  ist 

ÄL:BM:CN=FL:GM:BN. 

c.  Wenn  noch  L:M.N—P:Q:R,  also  auch 

FL:GMtBIV=FP:GQ:I/B. 

so  ist 

AL-.BM:  CN=  FP:  GQ :  IJR. 
Daher  ioäbesondere 

A'^.B'^:C^=F^:G-^:IP  u.  a.  w. 
A.    Es  ist 

Ax^^Bs^Ci:Ap\Bq^^OT=zFx^^Gy^Hz:Fp^Gq^Hr. 


\ 


415 

Dies  eri^iebt  sich  am  einfachsten,  wenn  man  Aa:  mit  F:A, 
/  mit  GxBy  u.  6.  w.  multiplicirt. 

Wenn  alsa  z.  B.  F+G=Ii,  so  ist  A+ß=C,  Oder  wenn 
t+By  +  Cz=zO,  so  istsLUch  Fx+ Gy-\- Hz ^=^0.  Und  umgekehrt, 
DD  aL  +  BM-\-CN=0,  so  kann  man 

ALiBMiCN^-^viliv-l, 

tzen,  wobei  — v  das  durch  die  gegebene  Gleichung  unbestimmt 
lassene  Verhältniss  ALiBM  bedeutet. 

9.  Während  ich  so   eben  meine  Verehrung  fiir  die  Proportion 

unbestimmten   Gleichungen   zu   erkennen  gegeben,    kann    ich 

ht  umhin  meine  Einstimmung  mit  denen  zu  versichern,  welche 

der  sogenannten    Regel  de  tri  die  Proportionen   ni'cht  feiden 

^en.    Wenn  m  Pfund  a  Thaler  kosten,  so  schliesst  man  leicht 

lue,  dass  1  Pfund  —  Thaler  und  n  Pfund  —  Thaler   kosten. 

)  altherkömmliche  Regel  de  tri  antwortet  dagegen  auf  die  vor- 
sgte  Frage:  n  Pfuna  kosten  x  Thaler,  bildet  die  Gleichung 
i=n:m  und  löst  dieselbe  auf.  Wenn  eine  so  directe  Methode 
die  erste  zum  Ziele  fiihrt,  so  ist  die  indirecte  algebraische 
thode  mindestens  liberfliissig.  Dass  aber  die  directe  Methode 
g  ist  auch  in  den  zusammengesetzten  Fällen  allen  Ansprüchen 
genügen,  kann  von  dem,  der  sie  versucht  hat,  nicht  in  Zweifel 
ogen  werden.  Den  nähern  Nachweis  davon  findet  man  z.  B. 
neinem  oben  erwähnten  Rechenbuche. 


Bemerkung  zur  Theorie  der  Hetten^ 
brüche- 


Herrn  Professor  Dr.  Schlümilcli 


Enthält  ein  Kettenbruch  nur  positive  Glieder,  so  besitzen)]!«    , 
Naherungsbriichc  desselben  die  folgenden  sehr  bekannten  Eigen- 
schaften : 

1)  Jeder  Naherungsbruch    ungerader  Ordnung    ist    grüsser 
und  jeder  Nnhernngsbruch  gerader  Ordnung  kleinei 
alle  folgenden  ]Näherungsl)rüche ; 

2)  die  Näherungsbröche   ungerader  Ordnung  werden   immer 
kleiner,  und  die  gerader  Ordnung    immer  griiseser; 

und  es  folgt  hieraus,  dass  bei  unendlichen  Ketlenhrüchen  det 
obigen  Art  son-obl  die  NäherungsbrOche  ungerader  als  die  gera- 
der Ordnung  sich  bestimmten  Grunzen  nähern  niiisseo.  Bezeich- 
nen vi'ir  also  den  Käherungsbruch 

bi 


mit 


I  fmden  die  Gleichungen  alatl: 


417 


1)  Lim^5^  =  Gi      und    ,Lim^  =  Ca, 

worin  Gi  und  G^  ein  paar  endliche  positive  Zahlen  bedeuten. 
Für  Gi=:G2  heisst  der  unendliche  Ketten bruch  ein  convergen- 

ter,  för  Gi^G^  ein  divergenter,  und  man  kann  nur  im  ersten 

l^alie  sagen  y  dass  der  Kettenbruch  einen  bestimmten  Werth 
labe,  während  er  im  zweiten  Falle  eine  symbolische  Darstellung 
wei  er  Grossen  ist.  Jedenfalls  wäre  es  nun  interessant,  entschie- 
leo  divergente  Kettenbruche  kennen  zu  lernen,  und  zugleich  die 
aideo  Gräozen  6\  und  (?2  a  priori  zu  bestimmen.  Man  kann 
lerzu  o.  A.  auf  folgendem  sehr  einfachen  Wege  gelangen. 

Nach  einem  bekannten  Satze,  dessen  Beweis  man  in  §.  80. 
er  zweiten  Auflage  meiner  algebraischen  Analysis  findet,  gilt 
B^ode  Gleichung: 

H)  *1  ^  **" 


*.+ 


(W 


a 


U-to+-^ 


tm  T  *»n — ^1 

k  welcher  t^^  f|,  ^,  etc.  vuHig  beliebige  Zahlen  bedeuten;   man 
hitet  hierans  leicht  die  noch  etwas  bequemere  Formel  ab: 


^  Uq        Ui     ^    V^  ^        '     Um 


To 


«6  + 


ro«!— ritio+ 


»•ora(Mi)* 


^  ^      *  ^      raM3-r3W2+      ,    rm-ar,«(?<m-i)^ 

•..~f ' 

Tm—iUtn — TmUm  — i 


diese  Formel  für  jedes  m  gilt,  so  kann  man  m  auch  ins 
leodlicfte  wachsen  lassen,  ohne  irgend  einen  Irrthum  besorgen 
mfissen;    denn  bezeichnet  man  die  8umme  der  m  ersten  Glie- 

.der  Reihe  mit  Sm  und  den  mten  Nnherungsbruch  des  Ketten- 

:he8  mit  —  ,  so  ist  nach  No.  2)  immer 

qm 

3)  5.  =  ^"', 


*I8 

itiiil  ea  findet  aho  »wischen  dem  Kottenbruclie  und  der  I^ 
eine  fortwäbrende  Uebereinstimmun;;  statt,    wie   iveit    man 

geben  m{ige.  Divergirt  nun  die  Reihe,  ^o  niuss  auch  der  Ke 
mcb  divergiren,  und  hier  ist  besonders  der  Fall  Itit  un: 
ZWeck  brauchbar,   tro  man  die   Reihenglieder 


i(u        Wi 


»'2 


awar  fortwährend  abnehmend  nählf, 

«■erden  zu  Innseii,  denn  es  gehurt  di 

welche  zwei  verschiedene  Summen  hetiitzen,  je  nachdi 

j^erade    oder    ungerade  Gliederzabl    vereinir;t.     Diese  beidi 


ine  sie  jedoch  unendlich  I 
die  Reihe  in  die  Klasse  il 


scbiedei 


I  der    nnendliehen  Weibe  sind  dann  die 


ind  a^. 

.  B.  hat  man  «ach  No.  2) 


1 


^ 


s„=(i  +  j-)-(l  +  j)  +  (i  +  5-)--.. 

+(-»T-<l+^). 

woraus  sich  FSr  ein  ungerades  m  ergiebt: 

mithin  fGr  unendlich  wachsende  n 

LimÄzii-i  =  l  +  J  ~~  2"''  3"~ 

=1  +  12 

and  diess   ist  nach  No.  3)   zugleich  der   GrSiizMcrth  ^on    - 
G|.    Dagegen  hat  man  fSr  ein  i^erades  m: 


419 

'>«n- u+ ^  -  2  +  3 —  ••••     2«' 
LimjS2n=j—  o  +....  =  12 

Inddiess   ist  zugleich  Lim—^zG^^    Der    unendliche  Ket 
leobrach 


3  13 
1+  — 


4.2» 
1+ 


1  + 


1  +  etc. 


ivergirt  also  in  der  Weise,  dass  sich  seine  Mähe- 
ongsbrücbe  ungerader  Ordnung  der  Gränze  1 -f- 12 
nd  die  gerader  Ordnung  der  Gränze  12  nähern. 

Behält  man  nur  den  Theil  des  Kettenbruches  bei,  welcher 
ach  einem  und  demselben  Gesetze  fortschreitet,  so  würde  für 
en  Kettenbruch 

3.P 


4.23 
1+  — 


5.3» 
1+  — 


Ö.43 
^"'■l  +  etc. 


2  2 

ri  =  j5 — 1  und  Gg=  l'4-i2~"^  ^®**"* 

Nach  demselben  Verfahren  lassen  sich  unzählige  Kettenbrüche 

2       4 
higer  Art  entwickeln    (z.  B.  wenn   man   von  der  Reihe    t  --'  0 

h? —  etc.  ausgeht);   einen  besondern  wissenschaftlichen  Werth 

nt  dasselbe  natürlich  nicht,  nur  höchstens  in  so  fern,  als  es 
■mer  wfinschenswerth  ist,  von  einer  blos  logischen  Distinktion  (ent- 
leer Cr^  =  G^  oder  Gi  ^  62 )  ^^^  empirische  Realität  nachzu- 
reiseD. 


XXX. 


WdM*  eine  gewisse  Klasse  in  derTil 

|||«BMiietrie  und  Astronomie  häufig  ii 

JUMrendnng  kommender  unendlichei 

Reihen.  "" 


dem    Herausgeber. 


1d  der  ebenen  nnd  fuhärisclien  Trigonometrie  und  in  da 
Astronomie  iiird  liätiliger  liebraucb  gemacht  von  gewissen  nnend 
liehen  R«iben,  von  denen  Eocke  in  den  AstronomiBche; 
nachricli  t  etj,  Nr.  562.  eine  sute  /usaramen Stellung  geliefeii 
bat.  Diese  Reihen  sind  ursprünglich  von  Lagrange,  üelaia 
bre  und  Legendre  gefunden  tvorden,  ii'orüber  man  ausser  eiaei 
Abhandlung  von  Lagrange  in  den  Memoires  de  Berlia 
1776.  vorzii^liuh  dieMethodes  aiialytiques  pour  ladete 
mination  d'un  arc  du  nxjridien,  par  J.  B.  J.  Delambr 
p.  04.    Obiiert^atiuns    sur  quelques 


^1- 
.  An  VII, 

l'ar  A.  M.  Li 

gendre  (im  vorsiehenden  Werke}  p.  3.  und  Exercice 
de  calcul  integral  par  A.  M.  Legendre.  T.  II.  Pa4 
1817.  4.  p.  238.  nachselien  kann.  Einige  dieser  Reihen  sind  ^ 
Fu  nd  amen  talreih  cn  zu  betrachten,  aus  denen  die  übrigen  Amt 
geeignete  Trans rormulionen  und  Stibstilutionen  mit  Leichti^kfl 
abgeleitet  werden  krmnen;  und  nur  von  diesen  Fundameatalreih^ 
soll  im  Folgenden  die  Uede  sein,  weil  die  Ableitung  der  übri^ 
Reihen  aus  denttelben,  wie  gesagt,  einer  Schwierigkeit  (^ 
-  Dicht  unterliegt,  und  als  hinreichend  bekannt  vorausgesetst  wi 
den  kaon. 


■nun  die  Eiitnickelung  jener  Fundamentalreifaen  betrifft, 
inan  sich  dabei  rorzugsiveise  vier  verschiedener  Metho' 
Kdienen,  DÜiuIich  entiveder  der  Methode  der  unheetimm- 
ttienten ,  oder  der  bekannten  imaginären  Ausdrücke  der 
1  Cosinus  durch  die  entäprecheoden  Bugeti,  oder  des 
.  vielmehr  Maclaurin'scneu,  Satzes,  oder  endlich  der 
Ltinn,  ja  auch  wohl  der  UiffereDtiation  gewisser  unendlicher 
I,  deren  Summen  anderweitig  schon  bekannt  tsind.  Die  An- 
ng  der  Melhode  der  unbeslimmlen  Coefliiiienten  ist  hebantit- 
inier  sehr  misslicb,  und  giebt  uns  last  nie  Aurschluss  über 
Dvergeuz  oder  üivergen»  der  betreffenden  Reihen,  weshalb 
;fa  von  den,  der  neueren  strengeren  fiesründung  der  Ana- 
luldigenden  Mathematikern  meistens  gemieden,  oder  wenig- 
lar  mit  grosser  Vorsicht  angewandt  wird.  Von  der  Anwen- 
der imaginüreii  Ausdrücke  der  8inus  und  Cosinus  durch 
Dgen  gilt  im  Ganzen  dasselbe  wie  vorher,  und  ausserdem 
t  die  Einmischung  des  Imaginären  bei  einem  an  sich  en 
1  Gegenstände ,  der  sonst  gar  nichts  mit  dem  Iraaginä- 
n  bat,  einer  guten  Methode  nicht  eben  sehr  zu  ent- 
I  .Gegen  die  Anwendung  der  Integralrechnung  ist  ^n  sich 
^erinnern,  wenn  man  sich  nur  vorher  von  der  Conver- 
[nnendlicheti  Reiben,  welche  man,  nachdem  man  sie  mit 
i  Differentiale  multiplicirt  hat,  integrirt,  gehSrig 
ein  Umstand,  der  freilich  nur  zu  oft  noch  ganz 
I  gelassen  wird,  was  jedenfalls  sehr  zu  tadeln  ist.  Uie 
>  der  Differentiation  unendlicher  Reihen  ist  im  AtJge- 
werflich,  da  es  jetzt  wohl  von  gründlichen  Analytikern 
Inerkannt  ist,  dass  die  Uifferentiation  unendlicher  Rei- 
gelbst  dann,  wenn  dieselben  convergetit  sind,  keines- 
lem  gültigen  Resultate  ftihrt.  Und  somit  bleibt 
ich  nicht  etwa  noch  anderer  »ipecieller  Metho- 
ben will,  über  die  ich  mich  aber  jetzt  nier  nicht  weiter 
Ekann,  nur  noi^b  die  Anwendun;r  des  Taytor'schen  oder 
nHaclaurin'schen  Theorems  übrit;.  Aber  auch  hierbei 
lele  Verstösse  gegen  eine  gute  und  strenge 
:,  und  viele  Schriftsteller  scheinen  das  Maclau- 
in  der  ihm  hauptsächlich  durch  Cauchy  gege- 
ben Fassung  noch  ^ar  nicht  zu  kennen,  oder  ahsiclbt- 
in ,  oder  in  seiner  Anwendung  auf  einzelne  Fälle 
nicht  versucht  zu  haben.  Denn  nur  allein  durch 
Utige  Discussion  des  sogenannten  Restes  der  Maclau- 
_  teifae,  welcher  Rest,  möchte  ich  fast  sagen,  den  eigent- 
Wendepunkt  zwischen  der  alteren  und  neueren  Reihen- 
iis  bildet,  wird  es  möglich,  über  die  Grunzen  der  Gültig- 
lines  mittelst  der  Anwendung  des  Maclau rin 'sehen  Satzes 
nencn  Resultats  ein  sicheres  Ürtheil  zu  tollen,  und  wer  bei 
iclien  Untersuchungen  die  sorgfältige  Betrachluna;  des  Re- 
nterlSsst  oder  gar  iiir  unnüthig  nält,  stellt  sich  hei  dem  ge- 
rli^en  Zustande  der  Analysis  dadurch  seihst  eiu  Zeugniss 
ischer  Ignoranz  aus.  Freilich  macht  die  Beurtheilung  des 
5  nicht  selten  besondere  Schwierigkeiten,  schon  deshalb, 
M  die  Kenntnis»  des  allj^emeinen  Ausdrucks  des  nten  Diffe- 
Iquolieoten  der  zu  entwickelnden  Function  voranssetzt,    in- 


422 


iellen  W^ 


ilem  man  bei  der  Aiiwenüuiii;  des  Maclaurin'scbei 
alleren  Weise  sich  mit  derKeniitniss  d«r  specielU 
Uifferentialquotientea  der  zu  enttrickelnden  Function  bä 
durfte,  welche  dieselben  erhalten,  wenn  man  die  unab] 
veränderliche  Grüsse  verscbivinden  VaseU  Aber  oben  i 
vreil  man  die  allgemeinen  Werthe  der  Differenliakjuotienti 
nen  mus».  ist  die  Anwendung  des  Alaclaurin'sclien  Satzed 
ner  neueren  Fnrm  schon  eine  Quelle  vieler  interessanlef 
meiner  Untersuchungen  iilier  die  hnhereti  DifferentialitUil 
geworden,  welche  wesentlich  zur  Erweiterung  der  OiSii 
rechnun^  beigetragen  haben,  so  dass  man  auch  schon  ded 
methodischer  Rücksicht  sich  der  genauen  Untersuchung  A 
stes  in  keinem  Falle  entschlagen,  ja  derselben  vielmq 
eifrigst  hingeben  sollte,  wo  sie  irgend  sich  aid  ncitfawend 
bietet.  Endlich  ist  auch  die  Anzahl  der  Eicispiele ,  weld 
namentlieh  Anliingern  in  der  Differenlialrechiiutig  Itir  dl«  i 
düng  des  Restes  bei  der  Beurtheilung  der  Ciiuvergenz  1 
treSendcn  Reihen  vorlegen  kann ,  noch  keineswegs  sebJ 
und  es  kann  daher  auch  aus  diesem  Gnmde  sorgndtigfii^ 
Buchungen  über  die  Anwendung  des  Restes  der  Maclanril 
Reihe  ein  wühl  begründeter  Werlh  nicht  abgesitrochen  wed 


m lassung  i 


ind  ähnlichen  Betrachtungen]! 


ich  dieselben  auch  früher  schon  angestellt  hatte,  gab  mid 
iicb  wieder  ein  kurzlich  erschienenes,  wenn  es  auch  nan 
in  Rücksicht  auf  genetischen,  der  so  überaus  lehrreicB 
schichte  der  herrlichen  AVissenscbaft  möglichst  sich  ansc^ 
den  Enfwickclungsgang,  wenigstens  für  mich.  Viele*«  a 
sehen  Übrig  lässt,  doch  in  mehreren  Beziehungen,  w!e  U 
anzuerkennen  bereit  bin,  verdienstliches  astronomisches 
buch,  nämlich  das  Lehrbuch  der  sphärischen  1 
nomie  von  Dr.  F.  ßrännow.  Berlin.  1831.  8.,  wo  lol 
--8.  25.  die  für  die  Astronomie  sehr  wichligen  Reihen,  ud 
sich  die  vorliegende  Abhandlung  beschSftigen  wird,  nachj 
den  entwickelt  Gnde,  die  von  den  neueren  Fortiich ritten  d 
lytischen  AVissenschail  auch  nicht  das  Geringste  ahuen.  n 
gen  der  Cnnvergenz  und  Divergenz  der  betreffenden  HeiH 
Leser  ganz  in  Üngewissheit  lassen.  Ja  auf  S.  25.  diese« 
wird  sogar  in  gegenwärtig  als  veraltet  r.u  belracbtenderj 
der  TayTor'scben  Reihe  ihre  völlig  allgemeine  Anwendbarb 
Keuem  vindicirt,  wenn  dieselbe  nicht  etwa,  wie  Lacrotx,] 
coeuT  lind  andere  franzüsische  Mathematiker  sich  bäuGgo 
drücken  beliebten,  in  gewissen  ganz  specielleu  Fällen,  vi 
aber  von  jenen  Mathematikern  nur  wenig  allgemein  Genq 
beigebracht  wurde,  „en  ddfaut"  sei,  so  wie  sich  denu  1 
dem  Cours  complet  de  Math^matiques  pures  pari 
coeor.  Troisienie  edition.  T.  II.  Paris.  I828.  p.  28^ 
ein  eigner  Abschnitt  findet,  welcher  üherschrieUen  Ist:  „Da 
oü  la  S^rie  de  Ta  ' 
Dasjenige,  worauf  e 
keinen  Aufscblut     ^. .  _ 

Herrn  Verfasser  des  (i     ^  _..^ 

den  Jüngern  der  Wissenschaft  einzureden   versuchten  Befaq 
Aber  die,  mit  Ausnahme  gewisser  ganz  bestimmterFälle,  voll^ 


nie  edition.  X.  II.  Fans.  IBSS.  p.  2»^ 
litt  findet,  welcher  üherschrieUen  Ist:  „Da 
Ta;rlor  est  en  delauf,  der  aber  Chi 
es  hier  eigentlich  ankommt,  wahrlich  so  gut 
1  giebt,  Xlm  die  völlige  Nichtigkeit  der  \i 
des  obigen  astronomischen  Lehrbuchs  iu\ 


M 


423 

meine  GGltigkeit  des  Tavlor'schen  Satzes  in's  Licht  zu  setzen, 
braucht  man,  vreiter  abseits  liegende  Fälle  für  jetzt  bei  Seite  las- 
tend« nur  an  die  allgemein  bekannte  Reihe 


Arctanga?=a:  — go:'  +  5^*""  f^'^  + 


in  eriDnem.  Denn  entviickelt  man  diese  Reihe  mittelst  des  Mac* 
lanrinschen  Satzes  in  älterer  Weise  ohne  gehurige  ßerücksich- 
tiguDg  des  Restes,   so  bindert  in  der  That  nichts,    die  Reihe  als 

SDZ  allgemein  gültig  anzunehmen,  und  dennoch  zeigt  eine  sorg- 
tige  Uiscussion  des  Restes  derselben,  dass  sie  nur  von  a'=— 1 
bis  x=  +  l  gültig  ist.  Solche  allgemeine,  auf  keiner  sicheren 
Basis  ruhende,  und  vor  dem  Richterstuhle  strenger  Wissenschaft- 
iidikeit  Jetzt  nicht  mehr  Stich  haltende  Aussprüche,  wie  wir  aut 
&  26.  des  genannten  Buchs  finden ,  sind  daher  namentlich  für  mit 
den  Fortschritten  der  Wissenschaft  nur  noch  wenig  vertraute  An- 
filnger  höchst  gefährlich,  und  sollten  deshalb,  namentlich  in  für  An- 
fibiger  bestimmten  Büchern,  sorgfaltigst  und  gänzlich  vermieden 
werden. 

Die  im  Obigen  mehr  erwähnten,    insbesondere  für  die  Astro- 
nomie sehr  wichtigen  Reihen   will  ich  nun  im  Folgenden  mittelst 
ihB  Maclaurin*schen  Satzes  in  völliger  Strenge,  aui*  eine  den  neu- 
tren  Ansprüchen  der  W^issenschafl  gehörig  genügende  Weise  zu 
etatwickeln  suchen,    und  beabsichtige  dadurch  zugleich  einige  na- 
'kentlich   für  Anfänger  in  der  Differentialrechnung  lehrreiche  Bei- 
niete  der  strengen  Anwendung  des  Restes  der  Maclaurin'schen 
Flteihe  zu  liefern,  ausserdem  aber  dem  strengen  Vortrage  der  Leh- 
nten der  Astronomie    einigermassen   forderlicn  zu  werden,     indem 
kh    die  Bemerkung    nicht    unterdrücken    kann,     dass    man    sich 
m    dieser     herrlichen      Wissenschaft      bei     den     in     derselben 
'liofiff  vorkommenden  Reihenentwickelungen    immer  noch    gerade 
•m  Wenigsten  mit  den  neueren   strengeren  Methoden  zu  befassen 
lud  dieselben  zu  kennen  scheint.     Bevor  ich  aber  zu  den  in  Rede 
[ftehenden  Entwickelungen  selbst  übergehe,    halte  ich  es  in  die- 
'lem  Falle  für   nöthig,    die  verschiedenen'  Formen,    unter    denen 
kan  jetzt  das  Maclaurin'sche   Theorem    darzustellen   pflegt,    im 
Nachstehenden  anzugeben ,  indem  ich  wegen  der  Beweise  mir  auf 
liKinen    Leitfaden   für  den  ersten  Unterricht  in  der  bu- 
nkern Analysis.    Leipzig.  1838.  zu  verweisen  erlaube.      Man 
^kann  Dämlich  das  Maclaurin  sehe  Theorem  auf  die  folgenden  ver- 
lehiedenen  Arten  ausdrücken: 

L    Wenn  die  Functionen 

A^).  A^).  n^)>  rv), .... /"^«K^) 

ron  jr=0  bis  x=^x  sämmtlich  stetig  sind,     und  q  eine 
'Qwisse     positive    die    Einheit    nicht    übersteigende 
rSsse  bezeichnet;  so  ist  immer 


424 


sich»  weon  n  wächst,  der  Null  immer  mehr  und  mehr 
nähert,  und  derselbe  beliebig  nahe  gebracht  werden 
kann,  wenn  man  nur  n  gross  genug  annimmt;  seist 
immer  < 


Z'C^)  =  AO) + j-  /'(O)  +  172  A0)+  i^rm  + 


III.  Wenn  die  Function  f(x)  nebst  ihren  sämmtli«  i 
chen  Differentialquotienten  von  ar=0  bis  x=rx  stetig  ] 
ist,  und,  indem  q  eine  gewisse  positive  die  Einheit  j 
nicht  übersteigende  Grösse  bezeichnet. 


der  absolute 


Werth  von  f^^Hga:),  wie  weit  man  auch  n  wachsen  las- 
sen mag,  doch  niemals  eine  gewisse  bestimmte  end- 
liche positive  Grösse  übersteigt;  so  ist  immer 


^ ^.    .  cc^   ^..«.  .     x^ 


fix) = f(0)  +  j /'(O)  +  1^2  /"(O)  +  JJ3  r'(0)  + 


••••• 


IV.  Wenn  die  Function  f(a;)  nebst  ihren  sämmtli- 
chen  Differentialquotienten  von  a:  =  0  bis  x-=.x  stetig 
ist,  und,  indem  q  eine  gewisse  positive  die  Einheit 
nicht  übersteigende  Grösse  bezeichnet,   die  Grösse 

sich,  wenn  w  wächst,  der  Null  immer  mehr  und  mehr 
nähert,  und  derselben  beliebig  nahe  gebracht  werden 
kann,  wenn  man  nur  n  gross  genug  nimmt;  so  ist 
immer 

fix) = /-(O)  +  \  f'{0)  +  f 2  /"'(O)  + 1^3  rm + 


42i> 


Welehen  dieser  vier  Sätze  man  bei  Entwickelungen  der  Fancti- 
ooen  in  Reiben  am  Zweckmiissigsten  in  Anwendung  zu  bringen 
hat,  muss  in  jedem  einzelnen  Falle  besonders  beurtneilt  werden. 

Hiernach  wollen  wir  nun  zu  dem  eigentlichen  Gegenstande 
dieser  Abhandlung  übergeben,  und  bemerken  nur  noch,  dass  man 
dia  im  Folgenden  enfwickelten  Resultate  wenigstens  theilweise 
allerdings  auch  noch  auf  anderem  Wege  in  völliger  Strenge  erhal- 
ten kann,  wie  aus  unserer  Abhandlung  Tbl.  Vlll.  Nr.  XXV. 
Alleres  allgemeine  Binomialtheorem  zu  ersehen  ist;  aber  die  An- 
weudang  des  Restes  der  Maclaurin'scben  Reihe  zu  zeigen,  indem 
besonders  auch  astronomiscben  Schriftstellern  die  Anwendung  des 
Maclaurin'scben  Satzes,  wenigstens  in  älterer  Weise,  sehr  geläu- 
fig zu  sein,  und  in  dieser  Wissenschaft  sich  besonderen  Beifalls 
SD  erfreuen  scheint»  war  mit  ein  Hauptzweck  der  vorliegenden 
Abhandlung,  aus  welchem  Gesichtspunkte  man  daher  dieselbe 
hanptsächlich  zu  beurtheilen  haben ,  und  dies  zu  tbun  gewiss  auch 
gern  geneigt  sein  wird. 


§.•2. 


Zuerst  wollen  wir  uns  die  Aufgabe  stellen,  wenn 


1)    tang.y  =  j^ 


xcosa 


ift,  den  Bogän  y  in  eine  nach  den  mit  positiven  ganzen  Expo- 
lenten  behafteten  Potenzen  von  x  fortschreitende  Reibe  zu  ent- 
iwickelp,  wollen  jedoch  beider  allgemeinen  Entwickelung  der  Diffe- 
imitialquotienten  des  ßogens  y  nach  der  veränderlichen  (vrösse  .r 
iie  allgemeinere  Gleichung 

o\    f  _  a\-f)a:sina 

'         O''  ■"  a'  -|-  b'xcosa 

betrachten,  von  der  die  Gleichung  1)  ein  besonderer  Fall  ist. 

Setzt  man 

3)    6sina=rsin|Lt,     6'cosa  =  rcosfA; 

erhält  man  zur  Bestimmung  der  Grössen  r  und  fi  die  bekann- 
[len  Gleichungen: 

4)    r  =V7/^sina2"+~6'^cösa2 


d;    sid^  =  —  smoTj      cosft=  -7  cos«,      tang.u  =:  t-, taug« 


heil  XVni. 


29 


^^%t 


436 


it  man  aber  auf  diese  Weise  r  und  p.  bestimmt,   so  lässt  sii 
die   Gleichung  2)  auf  die  Form 

o+rxsinfi 

0)     tan  SV  :=  -j—, 

'  "•'       o'  +  rvTCO^fi 


Zuerst   erbält  man   nach  den  bekannten  Regeln   der  Differei 
lialrechnuiig  auf  der  Stelle: 


Sj-  (n'  -f-r^cos^)' 


Belcanntlioh   ist  aber 


und  ftilglich  nach  dem  Vorhergehenden: 

^ r(«'8infi —  ocosft)cosy2 

Sj:  (a'  +  r^coßfi)* 

Aus  der  Gleichung  6)   ergiebt  sich  aber 

a'ainy — aco6f/^rx(»\nfi.eo8y — cosfisin^), 

d.  i. 

a'sin^  —  itcosy  —  r:tsin()i—i/) , 
folglieh 


a-B>uy-acosy 

und  daher. 

wie  ma 

leicht  findel: 

fl  +  r 

(fl'siufi  -  flC08^)Biny 

(a'sinu — acoBii)co8V 
a'-i-roKOBu,  = ^T-7 !^-  .  " ; 


427 

Nach  6)  ist  nun 

^  '       ^^  (a' +  rarcosf*)* 

also  wegen  der  uomitteLbar  vorhergehenden  Gleichung: 


cosy^ 


sin(f4— ^) 


2 


(a'  +  r^rcosfi)*      (a'sinfi — acosfi)^ ' 


folglich  nach  dem  Obigen: 


[Also  ist 


'        dx      a'sißfA  —  ctcosfA ' 


8)      (a'sin^— acosfi)  ^  =  rsin(|ti-y)«. 


folglich  durch  fernere  Differentiation: 

(a'sinfi  -  acosf*)  g^  =  —  2rsin(fi — y)cos(fi  -  »)  g'^  > 

i.,   wenn  man  fSr  den  ersten  Differentialquotienten   von  y  sei 
~  obigen  Werth  einfährt: 

(a'siofi  —  acosfA)^  ^  =  —  2r*sin(f4-y)3cos(ft— y) , 


9)     (a'sin/*—  aco8f»)»g^^=—  l.r«sin(;i— y)2sin2(fA-y) . 
Diferentiirt  man  nun  wieder,   so  erhält  man: 

(s'aiof»  —  aco8ft)S  gf j  =    1.2r'8in((*— y)cos{(*-y)sin2(j*— y)  ^ 


aar» 


da; 


+ 1 .  2r»sin(^-  jf)«cos2(^  -y)f^ 


dy 
:L8r%in(fi^-y)  { 8in2(jti-y)eos(jti— y) + cos2(fi— y)sin(f*— y)  I  g^ 


^y 


Urtao(fi^)sin3(f*-.y)  gl 


29* 


4% 


[ 


lÜ)     (ii'^mn  —  noosfi)^ ;p^  =  1.2r'sm(ft — }/)^»\n3(fi— ^) . 
Die  l'ernere  Differentiation  siebl: 

(a's'mp,  ~  «cosf»)»  ^^ 


=  —  1.2..1r''sin(m—s)ajsin3(^—3f)cos((»—y)+(;ofl3(f.—y)sin(ji -:</)]] 

und,    wenn  man  nun  für  tleii    ersten  Dtffereiilial()uolienten   i 
seinen  obigen  Werth    pinfiihrt; 

1 1)     (n-sinfi-acosp.)*  ^  =-l.Ü.3T*sm{(i-~y)*d(,i(^-y) . 

Ellen  so  ergiebt  sieb  neiter: 

(fl'sinft— flcos(t)*g^ 
^     l.-2,3.4r«siti(fi-j)'cos(^-y)8in4(^-y)|| 


=  I.2.3.4r«sin(ft-y)3ain5(,x-.V)^J. 


l'ij     (o"«!!!;!  — acosn)*g^=  1.2,3.4r*sin((i— y)^inS((i— ^) . 


429 

i'sinfi— iico«|ia)  *  g-  =    rsin  (ft— y)sin]  (fi—t/) , 
i'siD/*— flcos|x)«^a=—  l.r«8in(|x-3^)«siii2(|x-^) , 
fsm(Mr--aco8(i)^  g^3  =     1.2r»siii(ft— ^)3siii3(|x— y) , 

iViDfi^  acosfi)^  ö%  =    1.2.3.4r*sin(f*— ^)*sin5(|x  — y) , 

JaiBfi — acosfA)*g-^j= — 1.2.3.4.5r*sin(fA— ^)^sin6(|x~^) , 

u.    s.    w. 

Hieraius  ergiebt  sich,  dass,  wenn 

13)     y=f(a;) 
putzt  wird, 

14)  ^(^)=r«Eifp»)!i5i(*^j?). 

''    '  ^  -^         (a^sinft — ricosjLi)^ 

pd  ffir  jedes  die  Einheit  fibersteigende  n 

I 

I»    /T>)fj;)=:(    l>>i .  l'2.3..(n-l)r''sin(fi-3^)nsinn(/t~,y) 
I   '    '     ^  ^      ^      '  (a'sinf*— acosjM-)» 


Von  jetzt  an  wollen  wir  den  durch  die  Gleichung  2)  bestinim- 
Bogen  y  immer  zwischen  — ^n  und  +0^  nehmen. 


Für  x^O  ist  nach  2) 


tengy  =  ^  > 


n 


.ly  =  Aretang  ^ , 
setzen  wir  nun,   indem  wir  u  zwischen  —  5  tc    und    +  0  ^ 


(fj'sin^t  —  acnsfi)' 
unil  fiir  JcilcEj  die  Eiuheit  üb  erste  igen  de  »: 

,i„,,ih_/     ..,,    ■    l.2.3..(»-I)r'Mn(f*-»)'-«ii"'(ft-i.> 

Weil  iiliei 

tnngu=  —  ,        fi  — «'langH 


iisinfi  —  acosp,  r=  n  - — ;' i 


/■'(0)  =  — coau8iiil(tt— mJ,  I 

und  für  jodcs  die  Einheit   Übersteigende  n :  1 

/T")  (0)=(— 1)— >.1.2.3..(n— J)  (^  coßi()"sinn{f*— w) . 

Bezeiclinea  wir  den  Werth,  welchen  ^=f{x)  erh^t,  we 
indem  ^  wie  gewübniich  eine  gewisse  positive  die  Einheit  ni 
fibeTsteigcnde  GrOsse  bezeichnet,  qx  iQr  x  gesetzt  wird,  da 
o;  so  ist  nach  dem  Obigen-  ' 

'    ^^  >     *■      '      •  (a'ainft— acosf»)" 

oder 

-  .,     ,      ,     ,,      .   l"2.3.,(ii— l)r"cö»«"sin(ii— p)"sinn(jt — r) 

/t.i(»i)=(-i)"-'. „-..i.t^-.). 

Folglich  ist 


)ra;co8nsin((t  —  p)i  "  siniUft — v) 
a'sin((i— »)      !   '         Ji 


und  aus  dem  Satze  §.  1.  I.   ergieht  sich  daher,    immer  unter 

Voraussetzung,  dass 


431 


a-\-ba:sioa 

®^      a'  +  6';rcosa 

]Bi,   und  der  Bogen   y,     so   wie   auch  der  Boceii'  u,  zwischen 

1,1 
—  Ä^  und  -f  5^  genommen  wird,    die  Gleichung: 

1.^  .  rcosMsinl(it— ti)    x 

17)  ar=a+ ^5-*=^—    1 

r^co8ti*sin2(ft — u)   x^ 
J2  •  2 


a 


r*co8ti*sin3(fi — u)  x^ 
+  ^  "3 


a 


i4cosK*sin4(fi — u)   x^ 
a'4  •  4 


u.    s.    w. 


i\  -a  r"~^costi"~^sin(n  —  1)  (ft  —  i^)    o:"-^ 


a 


Ffir 


a?sintt 
tangy=j3 


xcosa 


ist 


a=0,    a'  =  l;    6=1,    6'=~l. 
Also  ist  in  diesem  Falle 


r=V6«sina2  +  6'«cosa2=l . 


Weil  ferner 


h    .  .  b' 

mnfi  =:  —  sma = sina ,      cosfi  =  —  cosa = 


—  cos« 


nty  so  ist  offenbar 


l'n  setsen;  und  da 


|x=7r  —  a 


a 


M=Arctang-7=  Ärctan^O 


IP 


ist    lind    zivischen   —^71  uiiil    -1-:,.-c  geuumiiii;»    wcrdun  muss,  e 
int  M=0.     Also  ist  nach  17)    in  diesem  Folie; 


nlß  +  %-8in2a  +%svh3B  +  T^sir]-ia+.. 


..+^irjsin(w-l)«4  j 


:sir.(«  +  c)|  -  slim(«+£) 


Weil  bckaiintlicli  in  dem  varlies-erulen  Kalle 


zu  setzen  ist ,    «o   ist 

lang«  +  fangt - 
iirid  fotglicli 


io(A  +  c)_        tan^a 

1  — p.ccoaa 


Nun  ist  nach  dem  Vorhergehenden 
1 


(I — '^coetc)^ 


l  +  tangc"       (ßa:sinn)' -f-  (^ — ^cnsa)^  ' 
nehmen  wir  aber  fernerhin  ati,  dass 

ist,  so  ist  die  Grüsse  1— o;rco8(i  offenbar  positiv:    cosn  ist  an 
positiv,   neil  v  nach  dem  Obigen  zwischen  ~ä^   und  -f  ^nlie| 


also  ist 


'  I 


folglich 


lind  der  Rest 


aBiH(tt  +  v)  1"   sin«(tt+p) 
Bin«        !    '        « 


433 


der  Reihe  18)   kaim  daher  auf  den  folgenden  Ausdruck  gebracht 
werden : 


i 


X 


"  sinw(a+t?) 


\  "  sinyi(o 


\  V^(^arsina)*  -|-  (1  —  ^orcosa 

Nach  §.  I.  IV.  kjänn  man  aber  diesen  Rest,  wie  leicht  aus  dem 
Vorhergehenden  erhellen  wird,  auch  auf  folgende  Art  ausdrücken: 


I 


(!-»)* 


J  ""'• 


a:sinw(a  +  i?) 


V^(^a:sina)*  +  (1  — ^a^cosa)^  V(^arsina)2  +  (1  — ^arcosa)^ 

kt  nun  a;cos«  negativ,   so  erheilet  aus  der  Form 

X  P'    sin7*(a-f  r) 


V  (^a?sina)2  +  (1  —  ^arcosa)*  ' 


n 


des  Restes  auf  der  Steile,  dass  derselbe  unter  den  gemachten 
Voraussetzungen  sich  der  Muli  bis  zu  jedem  beliebigen  Grade 
nihert,  wenn  man  n  in's  Unendliche  wachsen  lässt. 

Ist  dagegen  arcosa  positiv,  so  ist 


^ircosa  ^  Qi 


al8o 


1- 


pjrcosa,^  1  —  9; 


und  da  nun  offenbar 


ist,  so  ist 


V^(j)»rsina)2  -f  (l — ^arcosa)*       1  —  qx  cos« 


V^(^a-sin«)*+()  — ^arcosa)^  ^  l  —  9, 


also,  weil 


lel,  die  Gosse 


-l<.r<+l 


V^(9a:sina)* + (1 — ^orcosof)* 


|ri>8ser  als  der  absolute  Werth  von  (]  —  ^Xy    wobei  man  zu  be- 
iKhteo  hat,  dass  die  GrOsse 


V^(9a:sina)*-{-  (1 — ^cosa)^ 
Memate  verschwinden  kann,   weil,  wenn  dies  der  Fall  wäre. 


134 


Hein  würde,  was  niclit  niilglich  ist,  neu  der  absniute  Werth  m 
X  kleiner  als  die  Einheit  iat.  Hieraus  ergielit  sich,  dass  der  ih 
solute  VVerth  von 


_(l-(0^ 


'  V  (e3*Bina)*  -f  (I  —  fxcoBuy 

sich  der  Null  bis  zu  jedem  beliebigen  tirade  nähert, 
in's  Unendliche  «'achsen  lasst.     Weil  aber 


nieniaU  verschwinden  kauu,  so  kann  offenbar 
xsioH(a-{-v) 


V  ( parsin«)'  +  (  1 — ga-coso)* 

nicht  in's  Unendliche  wachsen,    wenn  «  in'e  Unendliche  wächst 
Mail  kann  auch  leicht  den  kleinsten  Werth,    welchen  die  Gtöm 

(e:irsino:)« -f  (l  —  QXCoaa)^=:  I  — 2pa;coso  +  p*:c* 
Oberhaupt  annehmen  kann ,  bestimmen.  Denn  setzt  man  ga:^^ 
W=^l  — Sjia'cosoH-  p*:r* 
=:  I  — ''2wcosa  +  w', 
so  ist 

-g^=2(«,~C08«) 


wo  also  der  zweite  Üifferentialquotient  stets  positiv  ist.     Soll  in 
erste  Differential<luotient  verschwinden,  so  muss 

w  —  cos((=;0,     Hi  =  cosn 

sein,  welchem  Werthe  von  w^qx  das  Minimum 

1  — 2co8tt*  +  cos«*=l— coso'^iiisiiiw^ 

unserer  Function 


i 


435 

W=z  (gxsina)^  +  (1 — Qxcoea)^ 

eotspricht.  Da  der  absolute  Werth  von  w=^qx  unter  den  ge- 
machten Voraussetzungen  immer  kleiner  als  die  Einheit  ist,  so  ist 
die  Gleichung  ti}=co5a  nur  statthaft ,  wenn  nicht  costt^  +  l,  also 
nicht  sina=D  ist,  so  dass  also,  wenigstens  wenn  nicht  sina;=0 
ist  5  der  kleinste  Werth  des  Nenners 

V^(9a;sina)*+  (1 — Qxcoaci)^ 
des  Bruchs 

:rsinn(tt  + 1>)  "" 


V  (^a?sina)*  +  (1  —  ^arcosa)* 


der  nicht  verschwindende  absolute  Werth  von  sincx  ist.  Hieraus 
sieht  man  nun,  wenigstens  wenn  man  für's  Erste  den  Fall  sioa=ü 
ausschliesst»  dass  der  Rest 

i(l— ^)a:  '  1  «-^  a:sinn(a  -f  v) 

V^(^sina)*+(1 — ^a:cosa)*i         V(pa:sina)*  +  (1  —  ^.tcos«)* 

siqh  der  Null  bis  zu  jedem  beliebigen  Grade  nähert,  'wenn  man 
n  iD*8  Unendliche  wachsen  iässt. 

Wenn  also 

ist,  und  der  Fall  siDa=0  für's  Erste  ausgeschlossen  wird,  so 
nähert  sich  der  Rest  der  Reihe  18)  immer  der  Null  bis  zu  jedem 
beliebigen  Grade,  wenn  n  in's  Unendliche  wächst.  Daher  ist  in 
einer  hinreichend  bekannten  Bezeichnung: 

/y  X  sc  SEt 

19)    y:=Ysinla  -|-  -^Ai&ti  +  -^sinSa  +  -j  sin4«  + 


t-l<a;<  +  l}. 

Dass  aber  diese  Gleichung  auch  für  sina=0  gilt,  erhellet  auf  der 
Stelle  3  weil  wegen  der  Gleichung 

^sina 
tangy=:j^ 


orcoso 


der  Bogen  y  verschwindet,  wenn  sina=:0  ist,  ein  Resultat,  was 
sich  für  8ina=:0  auch  aus  der  Gleichung  19)  ergiebt,  da,  wenn 
sma  verschwindet,  auch  die  Sinus  der  sämmtlichen  Vielfachen 
Ton  a  verschv^inden. 


ir  ivolleii  ieUl  <Ii{'  lieiilen  Gleichiingf 
•20) 


i  1— ;rCf)St(^  UCO&f/ 


r  anDehmen   tverdei 


Durch    UivUiou  erhält  man   aus  den  beiden  Gleichungea  W) 
Hilf  der  Stelle: 


21)    taiig^  = 


und   wenn  man   diese  Gleichungen  quadrirt   und  dann  zu  einander 
addirt,  so  erhält  man,  beachtend,   daxs  u  jtOHitiv  sein  »oll. 


22)       «-V"(iMnc«)«  +  a- 


23)      «  =>/'l—-2xcosa  +  x* . 
Setzt  UI3U  in  der  Gleichung  2)    des   vorhergehenden   Paragraphen 

au  ist  nach  3)  und  4) 

r— 1;    sinf(==sinn,  cosfi;=— cosa; 

und   daher   wegen   der  Gleichung  2])  nach  14) 


also    fi^ 
und  lä): 


24) 


ag=.-M.+,jr 


25)    sin«''|j=I.2.3..(«-l)«in(a>s)"sin«(«+y). 
Nun  ist  nach  20) 


4S7 

sina  coscc 

also,  wie  man  hieraus  leicht  findet: 


26)    u  =  - 


sina 


sin(  a  +  y)' 
wo  wir  immer  annehmen  können ,  dass  y  mittelst  der  Gleichungen 


siny=: 


:rsmcf 


'    1 — j:coscr 


xsma 


u 


,    cosy  = 


u 


tanff?/=:T 


a:cos(x 


tro  u  den  Werth  22)  oder  23)  hat^    so  bestimmt  sei,  dass  u  po- 
sitiv  ist,  weil  man  in  den  folgenden  Fällen: 

o^sina  positiv,        1  —:rcosa  positiv; 

a:sincK  positiv,        1  —  orcosa  negativ ; 

jcalna  negativ,        1  — oleosa  positiv; 

^sina  negativ,        1 — otcosck  negativ 

respeelive  y  nur  so  zu  nehmen  braucht,  dass 


2  n<y<^y 


1 


1 


Ut. 


—  2^>2^>  — 

Dies  vorausgesetzt,  ist  nun 

d\u      h\u    du 


n 


1     du 


Sa:  "du     dx^n'di 


Aber  nach  26) 


du 
dx 


'  du 

—  sinasin  (a + y)-*cos  (  «  +  y ;  J- 


d.  T.  nach  24) 


du 

gJ  =  -cos(a  +  y), 


4Sg 

und  daher  nach  dem  Vorhergehenden: 


in(«  +  y}cos(c.  +  3,) 


■28)     sin«  ^  =  -  sin(ri  +  i/)cos(a+i/) 
Hieraus  Brp;iebt  sich  durch  feraere  Differentiatin» : 

5u 
-  cos(«  +  y)coa(a+y)  ^  ,  ,^^ 

I»  ™ 

;^  =  -sin{a  +y)«!  cos(«  +  j)cos(k  +y)  —  sin(o+y)9in(o+y; 


d.  i.  nach  24) 


,9*1" 


folglich 

29)     sina«  ^  =  —  l-^'nC"  +  y)»C082(«  +  j) . 
Differentiirt  man  nun  wieder,    so  erhSIt  man: 

^''"''S^=     »•28infa+s)»8in2(«+y)g 

—  1.2sin{(r+y)c(i8(o+ff)cos2(K+y)^. 
d.  i.  nach  24): 
8intt'g^=— 1.2sin(«+y)'tco8(«+y)co«2(«-f^)-s"n(«+y)sin2(B+y 

folglich 

30)    8in«»5J"=-t.28iD(«4ff)»cos3(»+y). 
Die  fernere  Differentiation  giebt: 

-  1.2,38ia(.+s)'co.(i.+s,)co«3(«+y)|«  , 


439 

.  i.  nach  24): 

= — 1.2.3sin(a+^)*{  cos(cif +y)cos3(«+^) — 8in(a+y)sin3(a+y) } , 
»Iglich 

31)    sio«*  ^  =  —  1.2.3sin(a  +  y)*cos4(a  +  y) . 

Wie  man  auf  diese  Art  weiter  gehen  kann,  erhellet  hier  schon 
lit  völliger  Deutlichkeit,  und  es  ist  also: 

sina  K —  =  —  sin(«+y)cos(a+y), 

sina«g^  =  —  l.sin(a  +  y)^co82{a  +  y) , 

BHu 

sina»g^  =-— 1.2sin(a+y)»cos3(a+y), 

sino^  ^  —  ""  l-2.3sin(a  +  y)*cos4(a  +  y) , 

u.    s.    w. 

sin««^-^  =—  1.2.3...(n— l)sin(«+y)«cosii(«+y) , 

U.      8.      W. 

Für 

32)    f(x)=\u 

33)  f^^a^^^^^'^f^+yl'^^^+yK 

'     '  ^  '  sma 

für  n>l:  ' 

34)    /Hg)  _      ^  -2.3..(n— l)sin(«+y)''cosn(tt-|^) 
f    '     ^  '  sina»« 

Für  a:=0  ist  1— a:cosa=:]  und  folglich  positiv;  also  ist  y=0 
:r=09  und  folglich 

/•(0)=50,     /•'(0)=— cos«. 

n>]  ist 


440 


I 


/■('')C0)  =  -i.2.a..(»-i)cc 


Bezeichnet  man  denWerth  voay=:/Xa:),  welchen  diese  Gr 
erhiilt.  wenn  innti  ^.i;  Rir  .t  setzt,  irurcti  v;  so  ist  für  »>!; 

/•I'.i(par)  ^  _  1  ■ü.3...(H-^)siN(tt+p)"cosw((.+pJ 
Also  ist  nach   $.  f.  I.  j 

^— -j-coslo:  —   .)-  cusiia  —   «  cosök  —  t-comk— ... 
i"-'  j.rsin(«+f)/"    <.-oB»(tt-fr) 

—  ;r:ri''"*'f"-i)''—  r  ainw     (  ' ü ' 

Diiss  über  t'fir 


sich  bis  KU  ]«i\i-.»  Irelieliif^en  Grude  der  Null  nähert,  nenn  n  ii 
Unendliche  wuchst,  kann  uuf  ganz  ähnliche  Art  <;ezeigt  »erdi 
wie  in  §    2.  Uusselbe  von  (t«ni   dortigen  Kcste 

I       sinn       (    '  n  ' 

was  wir  daher  hier  nicht  wiederholen  wollen ,  und  fSglich  i 
Leser  iil)erlassen  können. 

Also  ist 

36)     lu  =  lV"(a;8intt)a+(l-a:cosa)ä=l'V^l-23rcosof+.T* 

=:  —  s-cosla—    (f-cos2o:  —  -ö-cosSa — ■-.-^084« — 


yS^ü,  nach  dem  Obigen 


ist,  so  ist  nach  dem  vorhergehenden  Paragraphen: 


441 

X  iX*^  SC^  <i*4 

57)      ^=:7-8iiila  +  -^sinSa  +  -^sinSa  +  -j  siD4a  +  .... 

i^odarch  man  jedoch  nur  den  zwischen  —  5  tt  und  -F  0  ^  "  liegen« 
den  Werth  von  y  erhält ,  welcher  der  Gleichung 


orsinoc 
tans:^  = 


^         ] — 'Oleosa 

genügt.  Hieraus  aber  in  allen  Fällen  den  wahren  Werth  von  y 
abzuleiten,  welchem  ein  positiver  Werth  von  u  entspricht,  hat 
nach  den  im  Obigen  für  die  Bestimmung  von  y  gegebenen  Re- 
geln nicht  die  geringste  Schwierigkeit,  und  bedari  hier  keiner 
weiteren  Erläuterung. 

Auf  diese  Art  sind  nun  die  beiden  Gleichungen 

a:8iucr=ttsin^> 
1  —  ;rcosa  :=  ticos^ 
rSr  — l<j;<+l  vollständig  durch  Reihen  aufgelöst. 


§.  4. 


Hat  man  die  Gleichung 


38)     tang^y^artang^«. 


80  setze  man 


39)     tangv== j~j ; 

dann  ist«  weil 

I  tang^a  +  tangu 

tang(2a  +  ti)= j 

\  1 — tang  2  atangtt 

I 

I  ist,  wie  man  leicht  findet: 

1  BuA  XVIII,  30 


I 


1       äTI  1 


n  +  sinatanggo) 


tang{-^«  +  K)  = 


tang(2<i+ii)  =  ±atang2Ö, 

und  folglich  nach  3S): 

40)     taDg2S  =  +tMg(2ß+w)- 

Wie  man  sich  dieser  Formeln,  in  Verbindung  mit  §.  1.,  zur  Ent- 
Wickelung  von  y  in  nach  den  Potenzen  von  -^r-.     fortschreitende 
Reihen  bedienen  kann,    ivlll    ich  hier  nicht  »eiter  erlnutern, 
dieser  Gegenstand  au«  der  ebenen  und  sphärischen  Trigonomelria     i 
und  aus  der  Ästruuoinie,  bekannt  genug  ist. 

Bemerken  will  ich  indess  noch, 
die  Gleichung 


i  man,    ivenn   überhaupt 


41)    tang5=(i  +a:tangß 

gegeben  ist,  allgemeine  Ausdrücke  der  Differentialquolienten  vo» 
y  in  Bezug  auf  x  als  unabhüogige  veränderliche  Grüsse  leicht  auf 
folgende  Art  finden  kann. 


8tangy   By -%^l/ 


42)     co|ß.^  =  cosy'. 


Folglich  ist 


k 


443 


=7  •— 2tangaco8y  ^iny 
= — tangaco6^^siD!2^ , 

so 

43)     cota*  g^=  —  l.cosy*sin2y . 
leraus  ergiebt  sich  ferner: 

cota*  §3  =  —  l.2co8y^cos29f  # 


+  L2cos^siD^sin2jf  K^ 


=  —  1  •2taDgacos^^(cos^cos2^ — ainyain^y) 
= ' — 1.2taogacofi^'co$3^9 


Iglich 


44)    cota^rp%  =  —  1.2co6^'cos3^  • 
UTereDÜirt  man  von  Neuem,  so  erhält  man: 

cote»0=    1.2Ä;osy»8iD%  ^ 

+  l,2.3cos^^sinycos3y  ?sp^ 

=  1.2,3tangaeos^(cosysin3y  +  sin^cosd»^) 
=  1.2.3tangacos^sin4^9 

»Iglicb 

4ö)    cota*  g-^  =  1.2.3cos^6in4^ . 
Iben  so  ergiebt  sich  ferner: 

cota*^=     12.3.4cosy4cos4y|j 

—  1.2.3.4cosy'sin^sin4y  Ä^ 

=  1.2.3.4tangacos^^(cosjycos4^ — siD^6in4^) 
= 1.2.3.4taDgacos^^cos5^9 


80* 


,.?!» 


11 


4G)    cot«'>j5~^=1.2.3.'icosj/*cos% 

Wie  man  auf  diese  Art  weiter   cplien  kann,    unterliegt  mchl 
geringsten  Ztveifel ,  und  es  ist  daher : 

in 

coltt'  g^  =  —  l.cosy'sin'2j , 

1:01«*^=:     l.'2.3coay*ßin4j, 
cottt'g-^  =     l,2.3.4coB)/*cos5y, 


colß*"a-j^  =(—])».  1.2. 3...{2n—l)coBy»"sin2wy, 
eot«»*H=^j^{_I)i<.I,2.3.„.2nco8s*M-icoB{2n+  1)^, 


Sei  jetzt 


5.5. 


48)    tangy^tangB-t-i^i 


49)     j,— =:cosycosy. 


443 

Iglich  ist 

=  —  1 .  cos,^^sin2^ , 

+  1.2cosjfsin2rsin2sr^ 
=  —  1.2cosi^'(cosycos2y  —  siiis^sin2if) 

cH^  dt/ 

8^=        1.2.3cosy3sin3yg| 

+  1.2.3cosy*sinycos3yA- 

=  1 .2.3cosy*(cosysin3y  +  sin^co83i^) 
=:  1  •2.3cos2f  ^sin4^ , 

2^5=:     1.2.3.4cos3f4cofl4y^ 

—  1.2.3.4cosj^^sin^siD4^  g— 

=z  1 .2.3.4cos^^co85y »  * 

U.      8.      W. 

zen  wir  also 

50)    y=A^). 


ist 


51) 

f  (x)=     cosycosy, 

f"  {x)  =  —  l.cos^%in2y , 
/»"  {x) = — 1.2cosy 'cos3y , 
fy{x)^    1.2.3cosyVm4y, 
/  ^(a:)=    1.2.3.4cosy*cos5y , 

u.    8.    w. 


ut 


1 


/ia»)(a;)  =  (~l)".1.2.3..(2»— IJcosy'-BmSni/, 
/i^''+'l(.rl  =  (— l)''.1.2^...2MC0By*H-»cos(2»+l>y, 


Ffir  ^=0  lat  y=o,  und  hczeichuen  wir  den  Werth  n 
ivelcben  diese  Gru.sEe  erhiilt,  neau  muii  p:z  für  x  setzt,  ij 
i»t  ao  ist 

/■[«"l(ja;)=(— 1)".1.2.3..(2b— l)coBp*'sin2n'), 

/■(a^')  (p^)  =  (-I)''.1.-2.3..2«coboS»+1co8(2«+1)b  ; 


n-elche  tirüssen  sich  anter  Her  Voraussetzung,  dass  der  alwt 
Werth  von  x  nicht  grüaser  als  die  Einheit  ist,  offenbar  dei  I 
bis  zu  jedem  beliebigen  Grade  nlihern,  vienn  man  n  in's  Um 
liehe  ivachsen  lasst.  Ist  also  der  absolute  Werth  von  ;):  oicblf 
ser  als  die  Einheit,  so  ist  offenbar  nach  §.  1.  11.: 


52)    y  =  «+j 

—  ^  co8a*8in2a 
—V  cosa^:os3Qt 


Eine  ähnliche  Reihe  kann  man  (St 

63)    cot^^cotu-fo; 

entwickeln,   was  wir  dem  Leaer  aoBzuführen   fiberlassen. 
man  aber  die  rerstehende  Gleichung  unter  der  Form 


l 


447 

dar»  80  ergiebt  sich  die  sesnchte  Reihe  unmittelbar  ans  52) ,  in- 
dem man  nämlich  auf  diese  Weise ,  immer  unter  der  Voraus- 
setzung,  dass  der  absolute  Werth  Von  x  nicht  grosser  als  die 
Einheit  ist,  leicht  erhält: 

54)     ^=tt — T-sinasina 

x^ 
+  o"  sina*sin2a 

—  -«-  sina'sinSa 

+  -r  sina^sin4a 

x^ 
— g~  sina^in5a 

+ 


$.  6. 
Weil  die  Reihe 

Im*        «vS         '**9        1*4         <«*A 
f        mU  f        «Cr     f        tßf     y        «fr     y         tM/     f       ••••• 

liir 

-l<ar<+l 

Ikkanntiich    conTergirt,     so    convergirt  unter  derselben  VorauS' 
{Mraog  fBx  jedes  m  aach  die  Reihe 

1,    XC08CD,    x^cos^f»,    a;^cos3o),  ...^. 

m  hat  daher  eine  gewisse  Summe ,   welche  wir  durch  f(m)  be« 
iMichDen,  also 


f((o)  =  1  +  ^cosoo  +  ar*cos2c»  +  ^^cosSco  + 

{~l<a:<+ll 

wollen.  Daher  ist  nach  einem  bekannten  Satze  der  Integral- 
mong^,  immer  unter' der  Voraussetzung ,   dass 


*)   IL  a.  meioe  Elemente  der  Differential-   und  Integral- 
leliBnng.    ThI.  IL    Leipzig.    1837»    §.8.     Dieser  Satz,    welcher 
'  'iluch  seiner  greeten  wissentchaftlichen  Bedeatong  dem  Taylor- 


m 

r 

448 

n 

1 

ist  iKul  n  eine 

betieblgeii  Bogen  bcieiehiiet: 

irin'üchen  SiiWf  nn  din  Seite  gese 

tirÖBseii  K„,  U,  ,  V,,  r/, ,  >/«,— 
füt     zwei    gewi.se    Grande 

it  «erden 
..   Funcl 

mau, 

OD    X 

trhrn  unil 
nämüch 

Wen 
X     sind 
Gleicbi 

Mnclu 

»Igenll 

n  die 

><nri 

»=«.  +  !/,+«,  +  «,  +  «.  +  .. 

AA  11  II 

A  II A 11 

■  Uttfii 

det; 

a  ist  inme 

r  HU  eil 

/V 

=/' 

„.«./ 

<  < ) 

./'., 

Rück.ichllicTi  der  Anwendung  dieses  SbIm»  oben   im  Teile  tu) 
fest  lu  halten,   Jass  die  Gleichung 

' 

/■(«,)  =  l  +  I-^"» 

+j;»eO»Ba.+  «»coi3 

.+...., 

1-1<I<+1I 

nn  nnr  die  Bedingung 

rällt  Ut,    für  jedes  es  gilt,    le  due   bIu  tatch  nach  unaeretn  i 
tze  die  Gleichung 

/»Ol  /»(O 

■\-X*  i     co«3<udra-^ir*/      Gp«4B;dEH 


erföIU  Ut.  Deim  aneh'  die  In  alleit  aolcbea  Fällen  nie  bei  Seite  i 
sende  Bedingung  der  SWigkeit  aller  TOrkomtn enden  Gtfiesen  iw 
den  betreffenden  OrinieD  erfüllt  eein  rnnse,  Tcntebt  «idi  van  ael) 


44» 


/     /(»)3o>  =  /     So  +ar  /     coscodco  +  ^*  /     cos2a)8«i> 

•  0  0  o 

;r'  /    cosScodeo  4-^  /     cosicoda) 


+ 

# 

+  • 

d.  i. 


/«        ,  1.1.  1 


0 

Nach  19)  ist  aber,  wenn  wir 

.     ^           a;sinoo 
Arctang  -i 

zwischen  —  qTC  und  +ö^  nehmen: 

Arctangi =  5  arsinco  +  a  a:*sin2«»+  « ^r^sinS»  + ... 

°1 — orcoso     1  2  3 

V  Also  ist  nach  dem  Vorhergehenden: 

/^>v  VA  .  *     ^  arsino 

/(a>)8a>=  0)  +Arctang Y3^^^  . 

0 

JMfferentiirt  man  nun  auf  beiden  Seiten  nach  co,  so  erhält  man: 

_,  ^     ,    .   8   A     X  arsinoo 

A«)=l+g"^Arctang3^:j^^. 

Mittelst  leichter  Rechnung  erhält  man  aber 

8    .  a^sinoo    ^^     xcoBfo^x^ 

d^  Arctang  j^^^^^^  —  l—iarcos©  +  a:« ' 

Also  ist  nach  dem  Vorhergehenden»  wie  man  leicht  findet: 

1 — arcoscj 

'  ^"^  —  l-.2a:cosw+ar*  ' 

=«* 
•  und  weil  nun 


/'(»)=  l+arcosß>  +  ir*cos2c»+a:'cos3«»  + 
i,*  {-l<a:<  +  l) 

«  ist»  so  ist 


»  +  :c*cos2(o  +  ^'cosSoj  ■)- .. 


Multiplic'irt  man  auf  beiilen  Seiten  dieser  Gleichung  mit  2 
zieht  dann  auf  beiden  Seitun  die  Einheit  ab,    so  erhält  man 


5«) 


bekanntlich    convergirt,     so    convergirt   unter    derselben    Vorai 
Setzung  für  jedes  u  auch  die  Reibe 

xsinio,     x'ain2a},     xH'inSca,    a!*8mia),  .... 

und  hat  daher  eine  gewisse  iSummei   die  wir  durch  /{o)  bezeii 
nen,  also 

|-1<^<  +  1) 

setzen  wollen.    Also   ist  nach  dem  im  vorhergehenden  Parag 

Shen  angewandten  Satze  aus  der  Integral recbnung,    immer  ui 
er  Voraussetzung,  da«8 

-l<ar<+l 

ist  und  I»  einen  beliebigen  Bogen  bezeichnet: 


/     f{n)ha=    :£  f    Binada  +x*  I     sinSiaSio 
+x'  j     BinSwSB+j:*  /     Bin4a>8i» 


} 


451 


d.  i. 


/ 


to 


f(f»)dm 


=—  I  xco8(o  —  zy  ^*cos2«  —  ^ot^cosSg) — t  ^cos4«»  — 


+  1« 


Nach  35)  ist  aber 


1 

^  —  I  accoBm 


+  2* 


a 


1 

3 


+  5«» 


+  1^ 


und,  wenn  man  a=0  setzt: 


lV(l-a:)«=l(l-a;) 
jÄT     2^^     3'^      4^ 


AIbo  ist 


Jf{m)Sa)=\VT^2xcos(o  +  o;*  -  1(1  -a?). 


<Li. 


/"' 


V^i — 2a?cos(d  +  a;* 
folglich»  weon  man  auf  beiden  Seiten  nach  oo  differeotiirt: 


A«>)=-^l 


l-a; 


Weil  nun  aber«  vrie  man  leicht  findet: 


3  .___!=£ 


orsincQ 


1— 2:i:cosa)  +^* 


itt,  80  ist 


xsmta 


1 — ^2^C0SQ>  -{-x^      '      '^ 

danach  dem  Obigen: 


452 


il~±Ecoaa>  +  x^)- 


=  1  +  S7r^'  + 


l„j,o,. 


metrie  und 


i-l<3:<;+l!. 

Dies  miichteu  etwa  die  tviditigsten  rn  der 
sphärischcQ  Astronomie  vorkam  inenden  Reiher 
mit  vilHiiier  Strenee  zu  cntnickelu  versucht  habe,  um  zugleich  | 
ein  Beispiel  für  die  Aiiiiendung  des  Maclau rin'scben  Satzes  in  < 
seiner  neueren  Gestalt  zu  geben. 


XXXI 

Einfacher  Beweis  für  die  von  Flasche* 
roni  gegebene  Auflösung  der  Anfi^abe 
die  liänge  einer  an  ihren  beiden  Em 
punkten  unzugänglichen  geraden  l 
nie  zn  messen. 

Von 

Herrn  Dr.   J.  R.  Boyman 

EU   Cobleni. 


Von  dem  vielfach  bewährten  mathematischen  Lehrbuche  deü^ 
Herrn  Uerauggebers  dieses  Archivs  ist  so  eben  der  ersten  Ab^' 
theiluDg  Eweiter  Tbeil   (Lehrbuch    der  Mathematik  für  dir 


1  Klaseeu  büherei  Letiranetalteii  von  Job.  Aug. 
t.      11.   Tb  ei  t.     Ebene  Geometrie.     Brandenburg. 
)  in  viertel  Ausgabe  erscbienen,  nelcbe  wiederum  mit  meh- 
iZusätzen,    namentlich    über   die  Tbeorie  der  Transversaiea 
Anwendang,    bereiubert  ist  und  vor  andern  äbniiohen 
1  sieb  dadurcb  tvcsentücb  auszeichnet,  dass  in  dertsel- 
^'•n    auf  das  Praktische  gebührend  Rifcksicbt  genommen   und  ins- 
-rindere    der   Gebrauch  des  Winkelkreuzes    gelehrt  worden   ist. 

Um  die  Antveüdung  dieses  fCir  die  elementare  Feldmesskunst 
ebenso  brauchbaren,  als  in  seiner  Construction  einTuchen  Instru- 
nii^ntes  zu  zeigen ,  ist  iu  dem  Anhange  S.  2S4.  des  genannten 
Lehrbuches  unter  andern  von  der  Aufgabe:  „Die  Lßnge  einer  an 
ihren  beiden  Endpunkten  unzugänglicnen  geraden  Linie  zu  mes- 
sen" mit  Hülfe  des  Winkelkreuzea  eine  elegante  Anllüsung  gege- 
lien.  Herr  Professor  Grunert  erwähnt  zugleich,  dass  die  gege- 
bene Auflösung  der  Schrift:  „Solutions  peu  connnes  de 
lÜfferens  problemes  de  Göomt^trie  pratjque,  pour 
-ervir  de  Supplement  aux  Trait^s  connus  de  cette 
"^ritince;  recueillies  par  F.  J.  Servois.  A.  Metz.  Ao 
Ml  p.  75."  entlehnt  sei  und  dass  Servois  selbst  sage,  dass 
(liesc  Auflüsnng  schon  von  Mascheroni  in  der  Schriit:  Pro- 
lilemi  per  gfi  Agrimensori  con  varie  Soluziuni.  Pavia 
IT'.I3.  Probl.  III.  S  Ol  uz.  13."  gesehen  worden  sei;  bemerkt 
Aet,  dass  der  für  diese  Auflösung  beigefügte  Beweis  von  ihm 
«elbst   berriilire. 

Indem  ich  nachstehend  die  Äulliisung  der  genannten  Aufgabe    ' 
mit  denselben  Worten  des  Herrn  Professor  Grunert  folgen  lasse, 
Kbe  ich  einen  andern  Beweis,  welcher,  wenn  auch  keinen  andern 
Vflizug,  doch  den  der  grossem  Einfachheit  und  Kürze  haben  wird. 

Au  flösun  g.  Wenn  JUX  (Taf.X.  Fig,  1.)  die  zu  messende  Linie 
U.  M  suche  man  anf  dem  Terrain  drei  Punkte  A,  B.  C  von  solcher 
..:e  auf,  dass  die  Winkel  MAN,  MBN,  MOS,  unter  denen  in 
listen  Punkten  die  zu  messende  Linie  erscheint,  dem  Winkel 
'-^  Winkelkreuzes  und  daher  naturlich  auch  unter  einander  gleich 
■'lud.  Dann  messe  man  die  Linien  AB,  AC,  und  suche  mit  dem 
Winkelkreuze  in  der  Linie  BC  den  Punkt  D  auf,  welcher  in  der 
l-inic  BC  eine  solche  Lai;e  hat,  dass  der  Winkel  ADC  gleicb- 
liills  dem  Winkel  des  Winkelkreuzes,  also  auch  den  drei  Win- 
kdii  JUAN,  JUBN,  laCN  gleich  ist.  Misst  man  hierauf  noch 
>\'\>:  Linie  AD,  so  ist 


J\IN: 


AB.AC 

'-      AD 


Beweis.  Die  Richtigkeit  der  vorstehenden  Formel  ergibt 
Mrl.  einfach  durch  fulqende  Betrachtung.  Da  die  Winkel  MAN, 
"ß.'V.  itfCJV  einander  gleich  sind,  so  liegen  die  Punkte  Jtf.  N, 
'■  R.  C  auf  einer  Kreislinie;  daher  ist 


^^fulgt: 


i^l&NFo^ii^BAF, 


MNiAB=^FM:BF  ....    l) 

Auch  sind  als  Peripherieivinkel  anf  demselben  Dogen  die  \ 
ACB .  A!3B  einander  el^i<^li ,  und  da  nach  der  Constmctiai 
die  Winkel  ADC,    MBN  i^leich  sind,   so  ist 

\ACD(>ä^_FiVB, 


AC:AO=:FM:BF  .  ...    2) 
indung  von  I)  und  2)  erhält  man  nun: 

M!S:AB  =  AC.AD, 
!  ZU  beweisende  Formel  sich  sofort  ergibt,  dSii 
AB.AC 


M^^- 


AB 


Dau  Herr  noctor  Boymnn  in  Cnblonz  bei  Alifassaiijt  dea  ' 
AafBBtxes  vnn  den  In  Tht.  Will.  Heft  I.  nbgedrncklen  Bsiiirrl 
des  Herrn  Professor  l'roHs  in  Slullgart  durcbaui  keine  Kenntniag 
konnte,  halte  ich  für  meine  Pflicht  liier  in  bezengen.  Dasa  icl 
Herrn  Dr.  Bojmnn  für  die  nbige  MiClhcilnng-  eu  besnndFiem 
verpflichtet  bin,  nnd  nnbedin^t  anerkenne,  das«  der  ohig'e  Hewe 
dem  TOn  mir  a.  a.  O.  gegebenen  Hewelae  durch  greasere  Einfn 
sieb  auszeichnet,  vird  mir  Jeder,  der  meine  Sinnesart  kennt,  auci 
meine  Veraichorutig   glauben. 


He. 


el 


45d 


Jübriss  eines  Beweises  fOr  den  sof^e- 
nannten  elften  Euklidischen 

Grundsatz. 


Von  dem 


Stadirenden  der  Theologie  Herrn  H.  Th.  Horlych 

aus  Schleswig -Holttein  zu  Bonn. 


Alle  diejenigen  Erklärungen  ^  Lehrsätze  ^  Aufgaben  u.  s.  w., 
lue  snabbängig  sind  von  dem  sogenannten  11.  Axiom  des  Euklid 
nd  in  den  meisten  Ausgaben  der  Planimetrie  schon  vor  diesem 
[gestellt  werden,  setzen  wir  hier  als  vollkommen  begründet 
I  ImaoSy  indem  es  uns  hier  allein  darauf  ankommt,  die  Entbehr- 
[Idikeit  dieses  sogenannten  Grundsatzes  nachzuweisen,  ohne  uns 
Mf  die  aligemeinere  Frage  einzulassen,  ob  Grundsätze  überhaupt 
Niss'q;  und  unentbehrlich  sind  in  der  Mathematik. 


Erster    Satz. 
Iq  einem  Dreieck  ist  die  Summe  der  Winkel  nicht 

Beweis.    In  dem  Dreieck  ABC  (Taf.X.  Fig.  2.)  sei 

BC>AC>  AB 

^  folglich 

j^BAO  ^ABC>  ^ACB; 

VM  CoBstmction    und    Beweis   fGr  die  beiden  andern  möglichen 
nile,  das8  zwei  oder  drei  Seiten  und  folglich  auch  zwei  oder  alle 


Ml  VnAti  glatflh  idid,   wA  einer  Icteinen,    sich  aus  der  Sacbt 
Milwt    ergtbmit»  Vcrfaiiierung  folgt).     Dann    soll    gezeigt  wer 


^im,  dwa 


^BAC  +  jiABC-i-^SCA'^iR 


ist.  Zn  dem  Ende  halbire  man  AB  in  J,  ziehe  CJ,  Terl.'(nger< 
diese  bis  DJ:=CJ  »t  upd  üiche  /J^,  in  dem  ^a  eiitstnndenet 
^DAC  balbire  man  AC  in  K,  »iehe  DK,  verlSn^re  diese  bii 
KE  =  DK,  ziehe  AE.  Im  li^DAE  halbire  man  diTun  DA  in  Z 
siebe  LE,  mache  LF^LE  und  ziehe  FA  u.  s.  «*.,  indem  mai 
von  den  beiden  fraglichen  Neite.n  eines  durch  solche  Constructiai 
entstandenen  Dreiecks  immer  die  nicht  zuletzt  entstandene  Seit 
halbirt. 

Aus  der  Construction  folgt  nun  durch  einen  einfachen  Scbluss 
l:i,BJC^\DA.T,    A,4£Ar^iO/i:C,    u.  B.  IV.; 

die  Winkelsunime  in  ^DA.I  ^  \AJC  =  der  Winkelsiimne  i 
A  B-/C+ A -^^C"-  und  2fi  auf  beiden  Seiten  abgezoeen:  Win 
kelsumme  in  Ai'--*C  =  der  \n\ABC,  in  S,DAE  i^AEFu.s.  w 
Bezeichnen  wir  diese  Winkelsnmmc  im  ersten  Dreieck  durch  S,  in 
zweiten  durch  S'  u.  b.w.,  so  ist  also  S=  S'=S"  u.  s.  w.    Dem' 

SemSss  sollen  A,  A',  A"  u.  s.  w.  den  hei  A  liegenden  Winkd 
er  verschiedenen  Dreieike  und  Z,  Z',  Z"  n.  s.  w.  die  Suni» 
der  beiden  übrigen  bezeichnen.     Es  ist  dann 

A'—A-^^ABC.    A"=A'+^DCA    o.  s.  w. 

A  +  Z  =  A'+Z'=A''-\-Z''  u.  8.  w.  =S, 

Z'  =  Z-^ABC,    Z"=:Z—^DCA  u.  s.  w. 

Nach  der  Annahme  ist 

^ABO^ACB, 

und  aus  der  Construction  folgt: 

^DCA>^CDA  u.   B.  w.; 

Z>2Z',    Z">2Z",    Z">2Z"'  u.  s.  IV.; 

Z>2Z'>4Z''>8Z"'     u.  s.  w.; 

Z'<,lz.     Z"<.^Z,    Z"'<yZ,  Z"<  j^^Z,  u. 

Es  ist  hieraus  klar,  dass  Z  durch  lange  genug  forlgesetn 
Construction  kleiuer  gemacht  werden  kann  als  jede  bestimmt 
gebeneWinkcIgrüsse.  Wäre  nun  S  etwa  um  ;c  grösser  als '27^,  so  — __ 
man  die  Construction  so  lange  fort,  bis  jz-^Zt")  ist;  da  nun  liO^Jil 
i=iS  ist,   so  wäre  M 


457 

da  doch  A  als  Winkel  eines  Dreiecks  immer  <2jB  ist.    Also  ist 
S* nicht  >2Ä,  w.  z.  b.  w,- 

Folgerungen. 

1.  Der  /  Aussenwinkel  ist  nicht  kleiner  als  die  Samme  der 
beiden   inneren  ihm  gegenüberstehenden  Winkel  eines  Dreiecks. 

2.  Zwei  Winkel  eines  Dreieckes  sind  zusammen  <2i2. 

3.  Die  Summe  der  Winkel  eines  Viereckes  ist  nicht  >4jB. 

4.  Zwei  gerade  Linien  in  einer  Ebene,  die  von  einer  dritten 
10  geschnitten  werden ,  dass  die  Summe  zweier  innerer  Winkel 
u  einer  Seite  =2/2  ist,  schneiden  sich  nach  beiden  Seiten  hin 
rerlängert  nie. 


Zweiter  Satz. 


Sind  drei  gerade  Linien  in  einer  Ebene  gegeben, 
lie  sich  nie  schneiden,  so  schneidet  die  mittlere  jede 
jinie,  welche  man  sich  gezogen  denkt  zwischen  zwei 
»eliebigen  Punkten  der  beiden  äussern. 

Beweis.  Wenn  ich  zwei  gerade  Linien  AB  und  CD  (Taf.  X. 
ilg.d.)  habe,  die  sich  nie  schneiden,  so  ist  klar,  dass  eine  dritte  EF, 
[ie  keine  Tön  beiden  schneidet,  entweder  zwischen  diesen  beiden  lie- 
;en  muss  oder  ausserhalb  und  zwar  entweder  nach  der  Seite  von 
7Z)  hin:  dann  ist  CD  die  mittlere;  oder  nach  der  Seite  von  ^^ 
liii:  dann  ist  AB  die  mittlere;  auf  jeden  Fall  also  liegt  unter 
Irei  sich  nie  schneidenden  Geraden  in  einer  Ebene,  eine  von 
bnen  zwischen  den  beiden  andern;  in  unserm  Falle  sei  EF  die 
aittlere  zwischen  AB  und  CD.  Von  einem  beliebigen  Punkte  L 
n  AB  ziehe  man  nach  einem  beliebigen  Punkte  A^  in  CD  eine 
lerade  KL,  dann  soll  bewiesen  wenden,  dass  EF  die  KL  schneidet. 

Von  einem  beliebigen  Punkte  O  in  EF  ziehe  man  nach  den 
dankten  H  in  AB  und  G  in  CD  gerade  Linien,  wo  //  und  G  allerdings 
leliebig  aneenoniinen  sein  sollen,  aber  so,  dass  sie  auf  derselben 
leite  von  KL  liegen  wie  O.  Da  nun  OB  ganz  auf  einer  Seite 
on  EF  Hegt,  weil  zwei  Gerade  sich  nur  einmal  schneiden  kon- 
leo,  und  ebenso  06r,  so  folgt,  weil  H  und  G  nach  der  Voraus- 
letsang  auf  verschiedenen  Seiten  von  EF  liegen,  dass  auch  die 
Linien  OH  und  OG  auf  verschiedenen  Seiten  von  EF  liegen, 
ftorch  diese  Coastruction  erhalten  wir  also  das  geschlossene  Fünfeck 

Theil  XVUI.  31 


438 

OHLKG,  in  welchem,  als  in  einem  baBtimmfen  endlicheaFiinreel^ 
kein  Punkt  vnn  O  iinuiiilllch  entTernt  sein  kann;  verlängert  um 
uIbo  £F  nach  iler  Seite  von  LK  hin,  so  mnss  EF,  weil  je* 
Gerade  sif^fa  bis  ina  Unendliche  verläncem  läset,  einmal  eineoeill 
des  Filnfecks  schneiden;  OH  un»!  OG  kann  £F  nicht  schneide 
denn  die  schneiden  sich  in  O,  HL  und  OK  schneidet  EF  ua» 
der  Voraus  setz  anf;  nicht,  also  schneidet  EF  die  Rinfte  Seite  Li 


Dritter   Satt. 


In  einem  Viereck,  in  irelchcni  an  der  Grundtiui 
zwei  rechte  Winkel  äind,  die  von  der  Grundlinie  a 
zivei  einander  Bleichen  Selten  eingeschlossen  wi 
den,  sind  alle  Winkel  —li,  nUo  die  Summe  =4B. 

Beweis.  In  dem  Viereck  ^ßC/>  (Taf.  X.  Fig.  4.)  sei  .^ßi 
Grundlinie  angenommen, 

*  ^DAB—^ABC=R  und  AD=BC; 

es  folgt  leicht,  dass  dann 

^ADC=^DCB 

ist;  man  soll  beweisen,  dass 

^ADC=j^DCB=:R 

ist.  Da  sie  nun  nach  dem  Vorigen  nicht  grösser  als  ß  seinkdn- 
nen,  so  nehmen  wir  uo,  sie  seien    <ß.  etwa   ^K — x. 

Man  verlängere  AB  über  B  beliebig  weit  hinaus  uod 
schneide  von  B  an  auf  der  Verlängerung  die  Stiicke  BE^EG 
=  GJ  u.  B.  w.  =AB  ab;  errichte  durch  £,  G,  J  u.  9.  «.  Per- 
pendikel EF=GIi==JK  u.  s.  w.  =AD=BC,    dann  folgt  leicbl 

DB^CE^FG  u.  s.  vv. 

Dana  ergänze  man  den  j^ADC,  der  nach  der  Annahme  ^fi-i 
ist,  zu  einem  Rechten  durch  die  Linie  7>/',  die  man  sich  hlnlän^ 
lieh  weit  gezogen  denke.  Verlängert  man  DC  über  C,  Cf 
fiber  F  n.  s.  w.  hinaus,  so  folgt  leicht,  dass  DC  von  DF  nach 
dieser  Seite  hin  nicht  geschnitten  werden  kann,  weil  DT  die  DC 
in  D  schneidet;  aus  der  Beschafieuheit  der  Winkel  bei  C  folfft, 
daes  VF  zwischen  AB  (ivir  denken  nns  alle  Gerade  bis  ins  un- 
endliche verlängert)  und  DC,  FH  zwischen  AB  und  CF  u.  s.  u. 
nach  dieser  Seite  hin  liegt  Da  DT  nun  nicht  Z>C  nach  dieser 
Seite  hin  schneidet,  so  schneidet  es  um  so  weniger  CF,  FH,  HU, 
u.  fi.  w.  nach  dieser  Seite;  der  Kürze  halber  nennen  wir  die  eben 
besprochene  Seite  rechts,  die  entgegengesetzte  links.    Verlängert 


439 


inlis  üiicr  C,  /',  //  u.8.  w. 


CBCD  +  ^BCF=^EFC+j:LEFH  u.  8.  w.  =2A'— är: 

maa  folgt,  dass  die  Verlan  gerungen  von  CA',  FH  u.  s,  w.  nach 
Sifs  Tina  links  um  einen  Winkel  ^^a:  toii  DC  und  FII  u.  s.  w. 
peichen,  diese  also  mit  den  Perpendikeln  BC,  EF  u.  s.  w. 
Winkel  =^R-\-x  bilden,  also  nach  keiner  Seite  hin  AB 
jneiden,  nachdem  ersten  Satze.  Da  die  Linien  CF,  FH  u.  s.  w. 
jchDT  nach  rechts  nicht  schneiden,  so  bleiben  also  nur  die 
n  Fülle  mü^lich,  erstens,  d!iesCF,DT  und  AB,  FII,  DT  und 
.  w.  sich  nie  schneiden,  oder  zweitens  CF  und  J)T, 
I  nnd  DT  schneiden  sich  nach  links  hin.  Im  ersten  Fall  ist 
I  jedenralls  nach  der  Consiruction  nicht  die  mittlere  zwischen 
"nnd  DT,  also  ist  entweder  DT  oder  CF  die  mittlere.  Ist 
mittlere,  so  muss  sie  CB  zwischen  C  und  B  schneiden 
bdem  zw  ei ten  Satze,  dann  ISge  aber  DT  zwischen  AB  und  DC 
^  rechls'hin,  welches  gegen  die  Construction  ist.  Wäre  aber  CF 
mittlere,  so  müsste  sie  ^ü  zwischen^  und  D  schneiden,  dann 
Ate  ihre  Verlängerung  mit  BC  einen  Winkel,  der  kleinervals 
bx  wäre,  obgleich  wir  aus  unserer  Annahme  und  der  Con- 
pttion  nachgewiesen  haben,  dass  dieser  :^R-\-x  ist.  Es  bleibt 
pnach  nur  der  zweite  Fall  übrig,  dass  CF  nach  links  DT 
eidet,  und  folglich  FH,  HK  u.  s.  w.  ebenso.  Man  verlän- 
'emnach  diese,  bis  sie  BT  beHehungs weise  in  P,  Q,  R 
:  schneiden,  dann  erhält  man  die  Ureiecke  DCP,  PFQ, 
PjR  u.  6.  w.    Es  wäre  dann 

^PDC=x,    ^DCP=2.x; 


^PDC+^DCP+^CPD=  oder   <2« 

i  dem  ersten  Satze,  also  3a7<2ff ;  ferner  im  ^FPQ,  ^FPQ 
Äussenwinkel  vom  \PDC=   oder  >3a:,    jCPFQ='ix,    also 
fcSA.     So  erhält  man  nach  nnd  nach  3x,  Sa:,  Ix,  9x,  ILc  u. 
<2A,  also 


2    2    2     2     2^ 
"^3'  5'  7'  Ü     II'  "^ 


vv.  U, 


Bus  erhellet,  dass  x<i  als  jede  noch  so  kleine  bestimmt  i 
^ne  Griisse  ist.  x  hat  demnach  gar  keine  Griisse,  son 
[gleich  0  und  ll  —  x~R,   also 

^ADC=^DCB=R, 


Anmerkung. 

Wir  liaben  in  vnreteb enden  Säticen  der  Kurze  halber  nnr  am 
(iang  lien  Beweise»  im  All^eiti^inen  gegeben  und  diesen  a 
ftusgefdlirl,  dnsa  wir  hoffen  konnten,  der  Kundiee  werde  <la» 
Üelirige  mit  Sicherheit  urgän»eii  künnen.  Vermittelst  des  letztn 
Satzes  nun  in  Verbindung  mit  dciu  ersten  und  dessen  unmittef 
baren  Folgen  schreitet  man  mit  Leichtigkeit  bis  zum  Beweise  dr~ 
sogenannten  elfte»  Axioms    des  Euklid  vor. 

Vermittelst  Ergünzong  7,0m  Rechteck  beweist  man,  dass  ä 
Summe  der  Winkel  im  rechtwinkligen  Dreieck  =2/.'  ist;  durdl 
Zerlegung  in  zwei  rechtwinklige  Ureiecke  betveist  man,  äass  iü 
Summe  in  jedem  I>reieck=3i£  ist,  vnddureh  Zerlegung, in  zwei  Dr^ 
ecke  beweist  man,  dass  in  jedem  Viereck  die  Htminte  d«r  Vi\» 
licl  =iR  ist.  Und  hieraus  wird  j«dcr  leicht  die  gleich m äs sif;* 
Annäherung  um  gleich  viel,  auf  gleich  grosse  Eiitlernung  solcher  mfl 
Linien,  wie  unser  sogenanntes  Axiom  dieseltien  voraussetzt,  bs- 
weisen  künncn,  woraus  wieder  mit  Nnlhwendigkeit  folgt,  äial 
sie  sich  entweder  treffen  oder  schneiden  mSssen.  Wir  erlaubet 
■in»  nur  noch  darauf  aufmerksam  zu  machen,  dass  der  eigentlich 
KnMen  des  Beweises,  wenn  wir  so  sagen  dürfen,  nach  unsetev 
Meinung  nicht  so  sehr  im  dritten  Satze  liegt,  obgleich  dipi« 
schwerer  ist,  als  im  zweiten,  indem  hier  gerade  das  Schneid» 
zweier  Linien  unter  bestimmten  Bedingungen  bewiesen  wird,  ati 
alle  Versuche,  die  Schwierigkeit  dieses  sogenannten  Axioms  u 
Iflsen,  immer  und  immer  wieder  daran  scheitern,  dass  das  Schnei' 
den  der  zum  Behuf  der  Lösung  betrachteten  Linien  nicht  streif 
nachzuweisen    ist. 


Nachschrift  des  Herausgebers. 

Ich  bin  zwar  kein  Freund  neuer  Parallelen theorien,  und  babe 
schon  mehrere  mir  Eugesandte  Versuclie  dieser  Art  nicht  in  du 
Archiv  aufgenommen.  Bei  dem  vorstehenden  Aufsatze  glaubte  ich 
aber,  da  er  mir  manches  Eigentbümliche  zu  enthalten  scheint 
um  so  mehr  eine  Ausnahme  machen  zu  müssen,  weil  der  S«t 
Verfasser  mir  schreibt,  dass  zwei  comiietente  Richter,  Herr  Pro- 
fessor fieine  und  Herr  Doctor  Beer  in  Bonn,  sich  günstig  übet 
denselben  ausgesprochen  haben.  Eine  Kritik  von  meiner  Seitt 
an  diesem  Orte  ist  unzulässig  und  unangemessen,  und  ich  man 
dieselbe  daher  ganz  den  Lesern  überlassen,  bitte  aber  dabei  nicÜ 
zu  vergessen,  dass  der  sehr  l»escheidene  Herr  Verfasser  seinti 
Aufsatz  nur  einen  „Abri  ss"  eines  Beweises  des  eilften  Euklidi- 
schen   Grundsatzes  genannt  hat. 


X 


461 


Vetter  eine  Anigahe  in  der  Kreis- 

theiliiiiiir* 

Von 

Herrn  Doctor  F.  Arndt, 

Lehrer  an  der  Realschule  zu  Stralsund. 


Ganss  zeigt  in  der  siebenten  Seetion  der  Disq.  Arithm., 
hss  für  jede  positive  ungerade  Primzahl  n  das  Polynom 

ich  auf  die  Form 

FF— w(-l)i^»-J)ZZ 

iriiigen    iSsst,    wo    F  und   Z     ganze  Funktionen    von    x   vom 
r'är')        Grade  sind.   Die  Kreistheilung  selbst  liefert  nur  eine 

knrtige  Zerlegung^;   wir  wollen  hier  untersuchen ,    ob  diese  Zer- 
^mg  auf  mehrere  Arten  gemacht  werden  kann? 

Eisenstein  sagt^  dass  die  Beantwortung  dieser  Frage  wich- 

J;  sei  för  den  Beweis  des  F  er  manschen  Satzes,    von  welchem 
,  uler  und  Dirichlet  specieile  Fälle  behandelt  haben.    (Grelle 
lournal.  Band  27.  p.  8&). 

Die  Sjreistheilung  ^ebt  bei  dieser  Zerlegung  von  den  Wer- 
te der  beiden  Perioden 


462 

aus,   wo  r  eine  beliebige  Wurzel  der  Gleichung  X=^0  ist 
eriife  Sununen^eichen  sich  über  alle  Werihe  von  ß,  welch 
dralisclie  Reste  von  n,  das  andere  eich  über  alle  Werthe 
«elclie  quadratische  Nicht-Roste  von  n  sind,  erstrecitt     Fi 


I 


,^(2-l)=m,    (-1)-"  =  ^ 
ist  belianntlich 

p+p'=—i,     j>p'^^(i  —  HS) 
Sind   nun 

X'  =a;'"+ da;"'-*  + ...  -(-  Om-i^  -f  «»^0, 
^"  =  a;'"+ M'*-' +  "•  +  6".-ia;  +  6m  =  0 

die  Gleichungen,  deren  Wurzeln  resp.  die  Glieder  in  p,  p 
so  dass  also  X^X'X"  sein  niuss,  so  lassen  sich  die  Coe; 
ten  a?.,  bi.  bekanntlich  folgend ermassen  ausdrücken: 


a}.=lix-{-^xp^'S.xp', 
MO  ^jl,  S&Ä.  <£;,  ganze  Zahlen  sind,  und  es  kommt 


Mt.    Mun  ist 


./li = W + 6i  =  2?Ii  —  95i  -  ei , 
ai  — 6i     -.       ft. 


rolglich 


4j:=4X'jr';=(2:'+jr")''-(J:'— ^")». 

4Jr=  FF-beZZ, 

Z  =  a™->+ßaa:"^*+ + J?™ 

^i  nun  umgekehrt 


463 


wo  die  Coefficieitten   in  T,   Z  ganze  Z<ableD  sein  sollen«    Die 
MnKiplication  zeigt  zunächst,  dass 

[1]   ......  J(^o*-««^o*)=I 

ist.    Es  ergiebt  sich  ferner 

[21  ...•  -X=i(a?«+aia:'»-i+...  +  am)X(a:'»+6ia?«-^+...+6»)> 


wo 


«A= 


•4er 


w 


*A=  j(ilo^A— enÄoÄA)—  j  (AoBx'-^BoAx)Vsn=fX'-g}LVsn ; 
[4]    Ja=-4oA+«wBo^a,    ÄA=i<ofl'A  +  J?oA» 


|Re  WarzelD  der  Gleichung 

a^  +  flia:"»-*  + ....  +  am=0 

■mI  nach  [2]  Wurzeln  der   Gleichung  Xz=zO,    fassen    sich   also 
[bdi  Potenzen   einer  beliebigen  Wurzel  r  der  Gleichung  X=0 

icken;  man  bezeichne  diese  Wurzeln  mit  r^i,  r^i,.,.,r  '"und 
[frfihnlwhe  Weise  bezeichne  man  die  Wurzeln  der  Gleichung 

ar»  +  6ia*«-H  —  +  6m= 0 

ii»,  fV«,  r^"»,  und  setze 

jP  =1^1+1^.  + +  r^« 


r 
I 


ferner  sei,  wie  oben, 

p=r».+r'>. +  ...  +  /-, 


P-H'=-'ih  =  ~l,      /,=.ji 


=-|±Jv. 


täV«»! 


IP— j1-ä 

n'o  die  Zeicben  sich  auf  einander  beziehen,  aber  uiiliestimiut  t 
Hieraus  folgt 

P~P'=—2giViri,    p—p'=±Vm,     P~P'=±2gt(p-p- 

oder 

[6] P-P-±ZgiP=fig,p'=0. 

Setzen  wir  nun  in  den  Ausdrücken  vun  P,  P",  p,  p',  x  t 
T  und  bezeichnen  die  residtirenden  Funktionen  von  x  mit  Px, 
Pit  p'kt  BO .  verschwindet  die  Funktion 

<f.=P.-P'^^,'ls^p.^1g,p'^ 

IBr  Ä=r  ([6]),  ist  folglich  durch  x—t  theübar,  ebenso  wi« 
folglich  nius»  das  grösste  gemeinschartliche  Maass  von  «px  un 
eine  Funlilion  von  x  sein,  die  höchstens  vom  (n — 2)ten  Grade 
wird,  da  gii  durch  ^  theitbar  ist,  und  Jf  für  ^t— Onichtverschwii 

Dieses  gritsste  gemeinschaftliche  Maass  hat  nun  nothwe 
rationale  CoefGcienten ,  wie  sich  aus  der  eewObnlicben  MetI 
seiner  Bestimmung  ergiebt,  folglich  ist  S.  durch  eine  algebraii 
Funktion  von  nieclerem  Grade  als  X  selbst  mit  rationalen  C( 
cienten  tbeilbar;    dies  ist  aber  nicht  möglich,    ausser   wenr 


4«5 

dentisch  der  Null  gleich  ist.  (Gauss  Disq.  Arith.  8ect. 
IUI.  art.  341.).  Da  aber  die  pämiiche  Potenz  von  x  nicht  zu- 
^eich  in  pxy  p'x  als  Glied  vorkommt >  so  ist  ersichtlich,  dass  q>x 
licht    identisch   =  0   sein   kann,     wenn    nicht   2^i  =  ±  1 ,    oder 

entweder    Px'-P'x-{^px—p'x    oder    Px-^P'x—px-i-p'x 

identisch    =0« 

Jnter  der  ersten  Voraussetzung  müssen  die  Glieder  von  P'x 
Imrotlich  Glieder  der  Summe  Px-i-Px  sein,  aber  P'x  hat  mit  Px 
ein  Glied  gemein,  wie  leicht  ernellt,  folglich  ist  Px  mit  px» 
be.iSo  Px  mit  p*x  identisch,  also  auch  P*  m\tp,Pmitp'  identisch*  In 
er  andern  Voraussetzung  findet  man  auf  ähnliche  Art,  dass  P 
it  p,  P*  mit  jp'  identiscli  ist,  d.  h.  wenn  man  sich  X  in  die 
actoren 

a;~4-aia?»"-^+....+am,    a?"»+ fiia?»»- *+.... +6m 

» 

)  zerfällt  de'nkt,^  dass  die  Coefficienten  aA>  6a  allge- 
ein  unter  der  Form 

rscheinen^  so  ist  nothwendig 

s=  (a?— 4^0  (a?-rÄ«)  —  (ar— r  *»»)X(a:— r^i)(a?-r^.) ....  (a:-r^») , 

h.  man  findet  die  durch  die  Kreistheiiung  selbst  ge- 
ebenene  Zerlegung  von  X 


Setzt  man  nun 


ax+bx=AXy        /       =Ba; 


f  Y=2x^ + «"»-1  +  A^x^-^  + ....  +  Am , 
l  Z  =0:«»-^  +  Bg^-«  + +  Bm ; 

ist  r4JC=FF— £iiZZ   die    durch  die  Kreistheiiung  gefundene 
lg.    Aber  nach  [3] 

aA  +  6A=2/A,      ax—bx=^gxV^ny     fx^^Ax, 

1  {p'-p)^X. 

^^  ""2      Vm      ' 
man  diese  Werthe  von  fx»  gx  io  [4],    so  erhält  man. 


" 

«8 

" 

1 

■        beachlend,  ilass  p'— p  =  ±v'«t  iet: 

1 

iix 

=  .5AÄJ±5nrB.B,. 

:i| 

[8] 

\bi 

=  5  «0*1+  l-^oBJi 

1 

»0  die  Zeiche 
die  Gleicbeitg 

n  sich  anf  einander  beziehen. 

und 

M, 

A^^~inB„'=i 

gebunde 

njind 

Es   ISest  sieb   fereer  zeigen ,   dass  Ax  j  Bi. 
ganze  Zahlen  sind.    In  der  Tbat  erbeilt  Bogleie 
beide  gerade,  oder  beide  ungerade  sein  tuüäsen; 

in  alle 
h.  da» 
sodann 

I  1 
Ä 

Al=2!tj_Oj-Si,    Bj=Sj 

-©;. 

folglich 

Al  +  Bj=2(3(i-aSj). 

also   A( 
Hieran» 
Werlbe 

,  Hl  ebenfalls   znsleich  gerade,    oder  zusIeJch  ung< 
folgt    aber   nnmillelbar,     dnis  die  durch  [8]  bestin 
voll  Ax,  ]ix  ganze  Zahlen  sind. 

Umgekehrt  soü  erwiesen  werden, 

iX=  TT'—mZ'Z- 

■   seinmnss,  wenb  man 

r=4,I-+^,a:"-'  +  ....  +  j(., 

Z=B^-icBia:—i-t....+Bm, 

Jil'—inBJ'=i 

setzt,  und  die  CoelteefenteD  Ax,  Sx  nach  [8J' bestimmt.  —   I 
Tbat  folgt  ans  [7j  in  Ve^iiidung  mit  [3]:   . 

!r =\A,rilmB,Z, 
1  1 

Z'=.2«o>'±ä'«oZi 

und  hiernach  findet  sich 

rr'—tnZ'Z'  =J(Jo»-  «iJ^o»)  i¥y~enZZ)  =  4X. 


407 

Das  Endresultat  unserer  bisherigen  Untersuchung  ist  also  fol- 
gendes: 

Wenn 

42r==  YY—znZZ 

die  durch  die  Kreistbeilung  gegebene  Zerlegung  des 
Polynoms  ^X  ist,  so  findet  man  alle  möglichen  Zerle- 
gungen dieses  Polynoms,  nämlich 

4Z=  FF-£7iZ'Z', 

vermittelst  der  Formeln  [9],  oder  auch  die  Coefficien- 
ten  AXi  ßx  der  allgemeinen  Zerlegung  und  dieCoeffi- 
cienten  Aa»  Ba  der  besondern  Zerlegung  (welche  die 
Kreistheilung  giebt)  mit  Hülfe  der  Formeln  [8],  in- 
dem Jq,  iffo  beliebige  Werthe  der  Gleichung 

bedeuten. 

Die  Gleichung 

kat  mit  Ausnahme  von  n=3  nur  die  Wurzeln  ^=2,  £o=0 
[offenbar  genOgt  es,  Aq,  ^  als  positiv  zu  betrachten),  folglich 
lach  [9]  F'=F,  Z'==±Z,  daher  die  Zerlegung  in  dem  Falle 
1^3  (med.  4.)  nur  auf  eine  Art  möglich  ist.  —  Fiir  n=:3  aber 
kann  man  Ao=:2,  Bq=:0;  ^=1,  Bq=sI  setzen,  und  erhält 
lach  [9] 

Y^zIytIz,     Z=Iy±Iz; 

die  Kreistheilung  giebt  Y=2a:  +  1,  Z=l,  folglich  Y'^x^h 
Z'^zx+l,  wie  Herr  Eisenstein  richtig  bemerkt,  aber  auch  noch 
r=x+2,   Z'=x. 

In  dem  Falle  n==1  (mod.  4.)»  wo  £=1,  genügen  der  Gleichung 

^viendlich    viele  Systeme  ganzer  Zahlen,    weshalb   die  in  Rede 
.Vkdieade  Zerlegung  alsdann  auf  unendlich  viele  Arten  möglich  ist 


i  InBezup  auf  die  Zerlegung  von  4X  in  YYsnZZ  mit  Hülfe 
|iM Ii^gtheilang  sind  noch  einige  Bemerkungen  übrig,  um  die- 
len Gegenstand  vollständig  zu  erledigen. 


die  Gleichung,  deren  Wurzeln  r"-,  r"' ,  r"»,. 
Potenzsummcn  dieser  Wurzeln  bezeichne 
elc.     Es  ist  also  S.io=p;   ferner 


I  mit  S.fo,  S.u^,  S, 


,J=rJ.il,  +  r'.».  +  .. 


Tolglich  S.ti^=p  oder  ^p',    jeiiacbdem  i  »uadratiscber  Rest 
j«,  oder  Nic;htrest  von  n,    oder  jenachdem  Ind.   ■   '       '      ' 
oder  ungerade  ist. 


oder  jenachdem  Ind.  l  (niod.  71)  gern 


Altt  Uill'e  der  Relationen 


P  +  P'= 


pp'=  j  (1— tie),    pp=  —  p~^l—tu) 


ist  es  Dnn  sehr  leicht,  die  Coerficleuten  n,,  a^,....am  durch 
Newton'sthen  Gleichuageu  zu  berechneu.  Bringt  man 
auf  die  Porm 


so  folgt 


bk=7i  +  fdp', 


wo  Ax,  Bx  die  allgemeinen    CoefSciebten    in    den    Polynomen 
und  Z  sind. 

il.  Man  branchf  diese  Coefficienten  nur  bis  zur  Hfilfte  iB 
berechnen.  Um  dies  uachzuiveisen,  werde  ein  allgemeiner  Ssllf 
über  die  PeTrioden  beniesen,  «eichen  Gauss  bfoss  audeatt^ 
(Disq.  Aritbm.  urt.  34ä.)- 

VjS  sei  n— 1  =  6/", 

{f.  Ä)  -  m + [iff^]  +  [i.?^] + - + [iff  ^-^'1 . 


das  Zeichen  [; 


L')     Bedeniet 
der  letzte  CoefGoi< 


3:/+«ia^-»  +  a3a^-^  +  ....(— 1);.1=0*) 


(et   F  Am  Produkt  der  Wuraclii 


r  GIcichtiDg,     »a   i*l 


409 

e  Gleichung,  deren  Wurzeln  die  Glieder  in  (/*,  X)  sind. 

Ist  nun  P.  f  gerade ,   so  ist  allgemein 

X^(i/+^>«=A#/l(«-i)y^=-A^«  (med.  n), 

ilglich  kommt  in  der  Periode  (f,  X)  jede  Wurzel  mit  ihrer  reci- 
roken  zugleich  vor,  also  hat  die  vorhergehende  Gleichung  die- 
elben  Wurzeln  wie  die  folgende: 

a^  +  ccf^ionf"^  + ....  +  ciiX  4-1  =  0, 

laber 

der  die  ersten  Coefficienten  sind  den  letzten  in  umgekehrter  Ord- 
ong  gleich. 

29.    Ist  f  ungerade,  so  sei 

(9) a/f  aia?/-H„.,  +  a/-ia:— 1=0 

ie  Gleichung,  deren  Wurzeln  die  Glieder  in  (/,  X), 

(90  .. ..  a^+ßiof-^  +  ....  +  ßf-io;-^  1=0 

ie  Gleichnng,  deren  Wurzeln  die  Glieder  in  (/,  —Xy. 

Die  Wurzeln  der  Gleichung  TQ')  sind  die  reciproken  Werthe 
sr  Warzehi  der  Gleichung  (9),  also  werden  (9)  und  die  folgende 
leichung 

a:/— /3/_ia/-»— ....— fta;  — 1=0 

e  nämlichen  Werthe  haben,  folglich 

a/-i  =  — /?!,     a/-2=  — /52>    etc. 

a  man  nun  die  Coefficienten  ß  findet,  wenn  man  in  den  Aus* 
vcken  für  die  Coefficienten  a,  welche  bekanntlich  auf  die  Form 

A  +  a(f,  1)  +  ai  (/•,  g)  +  ....  +  a.(/,  g^-^) 

»bracht  werden  können,    überall  (/*,  — ft)  statt  (/*,  ft)  setzte   so 
idet  man  die  letzten  Coefficienten  der  Gleichung  (9),  wenn  man 
den  Werthen  der  ersten  Coefficienten  die  vorhergehende   Sub- 
itation  macht,  und  die  Zeichen  verändert. 


„,=(-.y/'./'=/ii5-'^  =  r'^«  =  l. 


iglich  a^=(— ly. 


Wenden    wir  diese  Bemerkungeo  an  auf  die  obige  Gleicbfl 

a;'-  +  fl,:r"-H +  a„=0, 

so  üodet  sJcU  für  ein  gerades  m: 

"     p—p  p'-p 

i.  i. 

[10]    ^^=/*™-*„    B^  =  B,«-,r, 
woraus  folgt,  Aass  man  nur  die  CoefGcienten 

A^,  Ai, Ay    ;    «2,  »3 Bi 

a"  «" 

zu  berecboen  braucbt. 

Für  ein  ungerades  m  erliall  man 

p  -p        '^       '^       v'-v  "       "         J 

folglich  1 

[II]    ^;<=-.i„_p,    B;<=B«_^; 
troraus  folgt,  dass  man  nur  die  CoefGcienten 

A»  ^» '*>(»-n    *«'  ^ *l(m-ll 

•  *        ■ 

zu  berecfanen  braucbt 

III.    Der  CoefGcient  ax  ist  =(—T)^aXi  wo  ai  dieSumnie  alh 
Cvmbiaationen  der  Glieder  in 


p=ri'.  +  r«.+ +r* 


m(m—l) (m  —  X  + 1) 

1.2 m 


Glieder:  setzt  man  r 


4T1 

>  moss  > 

ein ,  da  die  Aggregale-  p  mid  jp'  je  m  Glieder  enthalten ;  folglich 

271a+(«-1)(»A+€a)  =2mA,     22lA-»A-€A=2mA-n(OA+€A), 
d.  i. 

-4a^(— iy-2i»A  (med.  n), 

wie  Legendre  zuerst  bemerkt,  aber,  wie  ich  glaube ,  nicht  streng 
nachgewiesen  hat.  (Theorie  des  Noinbres.  Tom.  IL  p.  194.). 
Wenn  Legendre  aber  ferner  behauptet,  dass  man,  um  die  ^  zu 
bestimmen,  in  der  vorhergehenden  Congruenz  statt  2mx  den  klein- 
sten Rest  dieser  Zahl  nach  dem  Modul  n  (unter  ^n  liegend)  set' 

Ben  müsse,  so  ist  dies  unrichtig.  Es  trifft  diese  Behauptung  frei- 
lich zu  bis  nss37,  aber  fOr  grössere  Werthe  von  n  verhält  es  sich 
ftnders«  wie  man  aus  der  nachfolgenden  Tabelle  ersehen  wird. 

Man  findet  in  dieser  Tabelle  die  Coeflicienten  aj,  Og^^a^  etc.;  A^^A^^ 
etc.;  /?a»  B^  •tc.  von  w==31  bitHn. .  .79  berechnet,  wo  der  Zeiger  nach  iL 

die  Zahl  5(m—l)  oder  ^m  nicht   zu  übersteigen  braucht.      Die 

Coefficienten  bx  findet  man  sogleich  aus  den  Coefficienten  ax,  in 
fiesen  p  mit  p'  verwechselnd.  Legendr e's  Tabelle  reicht 
lis  n=§9. 


Tabelle 


r  Coeff  icienten  ax  t 


nnd  ilerCoefncienten  A}.,  Bi  der  Polynome  Y. 
Zerlegung 


4A'=rr-C-l)"HZZ; 


berechnet    nach     de 


". 

A, 

«, 

2p+S 

-11 

2 

8 

1 
-1 
-2 

U 

~Z~% 

—  5 

-1 

«  = 

37 

o,       1 

A, 

B, 

ir 

II 

-2p-3 

-  4 

V, 

%?i3 

13 
-5 

— 1 

3 

^+11 

—  1 

— 2w— 5 

-  t 

^+6 

II 

-1 

-  4 

2 

1 


A 

B, 

-p    [ 

Jl 

-2p--  7 

It 

2 

-4p--  6 

4 

-3»-l;: 

21 

3 

-4p  i; 

:« 

4 

— 6p-(-  8 

22 

() 

-4p+l« 

-4p-H3 

34 

4 

-6p-|-  7 

2U 

n  = 

43 

o. 

A,\lh 

1 

-5 

-10    0 

:|±.; 

6-2 

Ifl 

2 

-211 

2 

-^?H-i3 

-4 

-4 

-3^! 

—15 

3 

3p- S 

-  7 

-3 

-P-m 

-*»l 

1 

m 


■?2:f_fii)  1 

3p-  aU  9-3 

^-t-  5       n— 4 

^+16     29-3 

-»«+18     37     I 

_^+  8|    20    .1 

-16     i 

11-r  ■ 


»= 

S3 

".  .    1-4,1«. 

7 

14 

0 

"?+  6 

-  « 

ü 

« 

-4 

-  7 

-14 

(1 

-4 

II 

p-f-K 

IS 

-1 

s^ia 

-1', 

1 

•u 

-2 

-P-« 

1 

-P-« 

1 

l^^§ 

-£-1 

,       n=61 

«.         ^. 

*1 

—  j, 

i     1( 

II 

~^+17~3S 

3 

-'< 

-#-13-2» 
ä?+53     63 

6 
-  3 

-  A-2I  -3ä 

1 

&-f39     72 

-« 

-lft-32  -N 

III 

7p+4(      8S 

—  7 

-li^-s:  -62 

-IS. 

ll$+4<      » 

II 

llp+sa     9S 

-II 

-13,^-17-81 

13 

,  M7— 89  6 
J4p.H2  liS-14 
-Sp-H<>,  IW      8 


•      n  = 

71 

f' 

A    «. 

-H 

-  17     1 

-•26  -a 

-    5-6 

5y    If 

31 -& 

iS-2 

64     2 

-.ffi-^27 

VIlrf+11 

60     6 
331  U 

-8S     9 

^'13 

-106     2 
-  91-3 

-70-6 

-  «-8 

-  16—8 
■if+  t-    3l-7 


p 


' 

„=?3: 

A^B^ 

3. 

B^ 

1-% ' , ' 

—  P 

i  fA  .1 

19     1 

-  j)-10 
%.-13 

—  19 

28     4 

-  29 

—  3 

-    7p+  27 

61     7 

6p+15 

24 

—  6 

-  12;)+  J7 

106   M 

=  ^11 
-32 

09 

8             ' 

•   0 

-  5Öi.+I96 

US   SO 

251   27 

—  4 

-  64 

3B   40 

Ip+13 
-V+35 

19 

7 

442   50 

75 

-6^+240 
.    -  7^+287 

-  I4p+385 

544  04 

-jUp-39 

-67 

11 

652   78 
iWllS  • 

'  9p— 58 
-  8p+79 

-125 
81 
166 

— '9 

-113i,+43r. 

-ISÖ-39 

-60 

18 

•    -124p+463 

1050124 

7w— 65 

—137 

—  7            -4 

-131»+491 

1113131 

ß»+50 

187 

-13             < 

— 134H+515ill64|I;}4 

-14p+48 

110 

14 

-13»f,+50!l!ll58|l38 

-14p-83 
ISp-ÜS 

-152 

14 

f 

-148 

■ 

-18 

K,  ' 

<f  ■-■    •• 

t 
• 

M 

..<  :_ 

.1? 


^^ 


-"^  ■-«<•. 


V 


•  •• 


^ 


r". 


Uelranss  -  Anfgraben. 

Von  dem  Lehrer  der  Bfathematik  Herrn  Werner  zu  Dresden. 

0 


1) 


FolgeDdeft  ist  za  beweisen: 

• 


-■—1       n  »-1 

==(a+2^ii5rco8v4^)(V#+2V^#s^+irfrJ|... 


^  '^  .»-1        «»  *»-! 


a"—*     a* 


>% 
'  ^ 


*  (Vo+2t^.cos,^,+V*)t 


2) 2*-^ aftsinSg? 


^(V-a-2  V"a6.cos|iri+4r6)      ^ 
2(a+2V:Äcosy+6)     2«(^a+2V'a6.cos|+V-6) 


2» 


^-  •  #        •  Va6.sin^-i 


•    •  2»(v;cr+2Vd>.cos|iz.-i+i^6) 

woraus  für  41=6= 1  die  bekannten  Formeln 


32* 


V 

8100)  w      ^jtp         w  q> 

3)  -—  =€08  TT«  CO»^.   cos  ö  cos  5L  > 

erhalten  werden,  welche»  vr4^  man  n  ins  UnbegrSnzte  wachsen 
lässt,  in  die  folgeaAsn  fibergehen: 

siD9 q>  'J^J^ 9)  t 


5)  — ^=C085-.   COSj.  COSg-... 


6)  __cot9«=2tgf^^tgjM-ytgg.+ 

Ferner  ist  zu  beweisen,  dass  innerhalb  der  Grenzen  der  Ctn- 
versenz 

1^.  V  '^  Bif^^^'  _        (22~|X^)2/(2^)-(4g--^^)^/(^) . 

wobei  in  den  Formein  7)  und  9)  fix)  die  Eigenschaft  f(—^)'=f(^) 
und  in  den  Formein  8)  und  10)  fix)  die  Eigenschaft  f(—x)= — fitt^ 
besit^Sen  muss.  Die  erste  Forderfing  erfüllt  man.  Wenn  f{x) 
=^g>(x)-\-<p('^x),  und  die  zweite,  wcmi  f(x)=zg>(x)—q)( — x)  gesetzt 
wird. 


i 


4W 


■a- 


Ä 


iscellen. 


• 


Znm  WinkelkreiuP 

Von  dem  Heraoigeiber. 

•   *  O 

Will  naQ  mit  dem  fitlschen  Wlbkelkreiii?  dessen  Wjpkel  a 
hl,  den  FlScheninbalt  dndl  Dreiecks  ABC  (Taf.  X.  Fig.  5^ 
bestimmen  I  so  steile  man  das  Winkelkreuz  in  einer  Seite  BC 
ifiB  Dreiecks  ABC  so  auf,  dass  die  eine  Visiriinie  in  die  Rich- 
WBg  der  Seite  BC^tällt,  und  die  andere  genau  nach  der  Spitze 
'.ÄgsÄdsktet  bt  Ist  dann /)  der  Punkt  der  Seite  BC,  in  welchem,  um 
Imovma  bewirken,  das  Winkelkreuz  aufgestellt  werden  muss,  so 
eleo  etwa  ^  ADC=sa  ist,  und  bezeichnet  A  ^^n  Flächen- 

It  des  Dreiecks  ABCfso  ist 

A  =  ^ADC  +  ^ADB  =:|c/>  .ilD.sina  +  ^BD.AD.Ana 

=  \  (BD^  CD).AD.sina  ==  ^  BCAD.sina . 
Miiet  qmn  also  BC=:a  und  AD^^d,  so  ist 


nach  wekher  Formel  sich  ^  berechnen  lässt^  wenn  man  ^Cund 
AD  gemessen  hat  und  den  Winkel  u  des  Winkelkreuzes  kennt. 


Die  Kenntniss  dieses  Winkels  Ist  dud  ypn  genakbesonderer 
Wichtigkeit,  and  um  zu  derseObn*ini  gelafig9l,  seheint  fo^ndeg 
Verfahren  das  zweclonässigste  zu  sein.  Man  messe  die  drei^WliM 

BC—a,    CAznb,    AB^c 

d4A  Dreiecks  ABC  mit  aHer  nur  möglichen  Crenauigkeit  mit  Majyi- 
stäben,  und  eben  so  die  Linie  AD=d,  wobei  es  zugleich  dar- 
auf ankommt  9  das  Dreieck  ABC  wsoS  einem  völlig  ebenen  horizoo- 
talen  Boden  «mzunehmei^  Wird  dann  der  Kürze  wegen  wie  ge- 
wöhnlich '    i   .         * 

§esetzt,  so  ist  bekanntlich  m-   ■  ^      *■ 

\-^  siS'-a)  (5—6)  (5-lf , 

•  * 

also  nach  dem  Obigien  ! 

1  - '. 

2  odgpa = jkf  sis-^a)  (5—6)  («— c)  > 

folglich  ,sF    ^ 

mitteUit  welcher  Formel  sina  berechnet  werden  kann.    Stellt  man 
das  Winkeikreuz  in  den  drei  Seiten  des  Dreiecks  ABC  auf  und 
wiederholt  das  obige  Verfahren,   so  kann  man  shicc  auf  drei  ver- 
schiedene Arten   bestimmen,    und  nimmt  dann  zwischen  den  drei  ; 
für  sina  gefundenen ,  jedenfalls  immer  einigermassen  von  einander  > 
verschiedenen  Werthen  auf  gewöhnliche  Weise  das  arithmetische   ; 
Mittel,    welches  man    als  definitiven  Werth  von  sin«  betrachtet»  J 
wenn    nicht   durch  noch    öfter  wiederholte   Bestimmungen  dieses  4 
Sinus    eine  Aenderung  des    in  Rede   stehenden   Wertns   bedingt^ 
wird.  Hat  man  aber  auf  diese  Weise  sina  »so  genau  als  möglich  be- 
stimmt,   so  kann  man  nun  sina  als  einen  constanten  Factor  be- 
trachten, den  wir  durch  2[i  bezeichnen  wollen;  dann  hat  man  zur 
Berechnung  des  Flächeninhalts  A  in  allen  Fällen  nach  dem  Obi- 
gen die  Formel 

Ist  cc  wenig  von  90^  verschieden,  so  ist  2fi  wenig  von  der  Ein- 
heit verschieden,  und  setzen  wir  also  2(i=zl — 2£,  wo  f  immer 
eine  sehr  kleine  Grösse  ist,  so  ist 

\  =  ^xa(l  —  e,  ad , 


Ä     *  '1 

wo  i*ad  die  sehr  kMoe  (jpnrqptiön  ist»  welche  von  ^^d   abgezo- 

g«iL>feerdte  muss,  am  d^  richtigen  Flächeninhalt  A  zu  erhalten. 

9 

Na^rU^h  tonn  man  mittelst  der  Formel 


8ma= ^p-    j 

^  aa 

t 


4> 


i|ch  den  Winkel  a  selbst  bestimmen;  nur  ist  dabei  hnmer  eine 
(SipQdere  ^Bestimmung  nothig,  ob  a  spitz  oder  stumpf  ist ,  was 
brch  den  Sinus  sieht  uDmittelbao^entschiedeD  wird;  durch  eio- 
lehe  praktische  V|plEiltfungsarteii  5  die  wk  hier  nicht  zu  erläutert 

ßnchei^  wird  man  daRlber  immer  leicht  eine  Entscheidung  geben 
Den.  0  ^  G. 


o 


A 


Herr  J.  J.  Äs t r an d ,  Privatlehrer  »der  Mathematik  zu  Go- 
benlyirs  in  Schweden  /  den  die  Leser  des  ArchTvs  schon  aus 
hl.  HL  S.  420.  und  Tbl.  XIII.  S.  398.  kenmn»  hat  ihir  folgen- 
BD  hSchst  einfachen  Beweis^er  Iftkaniiien  Rrmeln  für  sii||^::^) 
ad  co8(j;i:y)  mitzuthmlen  d9(j|^te  gehabt. 

In  teif  Dreiecke  ABC  (Taf^  X.  Fig.  6.)  ziehe  man«  BD 
odbredht  auf  ACmCE  senkrecht  auf  AB»  EG  senkrecht  auf 
^^,  EF  senkrecht  auf  AC;  so  ist 


EB.  sinA+EC.cosA 

-  BC 

*  _  BOJi^awA + B  CsiüBcosA 

—  ^^         BC 

=s  sin^ilcosA -f  cos^sinJS  ^ 


EB .  cns.A  —  EC.&iaA 


^  BC.cwBcosA—BC.maBsmA  i 
^  ^  BC 

ä  die  Formeln  für  sin(vi— B)  und  cos(J-ß)  leiohl  erl 
werden.  C  im  Obige»  bedeutet  den  AuseenwJnkel  des  Dr( 
^C  hei  dem  Puiifete  C.        ^ 

*      * 
Ausserdom  hat  Herr  J.  J.  Ästrand  n^r  noch  folgenSeD 
mitzulheilen  die  bfite  gehabt: 


r  Zahl  ^— i 


esr'+(i|"-'  + +  ''S+o  ] 

ist,  e»  ist  D  immer isuch  ein  Divisor  der  ändernd 
ser  beiden'Zahlen.  a  ^^ 


Drikdtfehler. 


s.  4A. 

S.  441.  Z. 


.ie.  setze  aa%Taf'.  ^-'i^»'-  statt  TM X.  I 
.  0.  setze  ma^ 'tanBMir<'tstt  tangjr. 


fm 


^Ko^'^ 


Litcrariii^clier  RerlelLt. 


iSysteme,  liClir-  und  IVSrterbüclier. 


Uie  Lehren  <Ier  vollgliiii 
r  ileri  Sellixtuiiterricht  i 
eilt.    Zwei  Theile.    Wien. 


iiceii,  reinen  Mathematik 
us»mnie»ge»tellt  vnn  V. 
I85i    8.    (»Thlr. 


Uer  Herr  VeiTusser  dickes  «icti  illier  die  ^esammte  sügenannle 
reine   Mathematik . Iiis   zur  l)iffer<:iiliul-,    Integral-  und  Variations- 
rei^hnunc  v  er  breitend  eil  Werks  iieginnt  die  Vorrede  mit  den  Wor- 
\ea:     „Ich    hulie    mir  die  Anl'gahe  gestellt,    einen   aufinerkfiamen 
\,e»er  \n   ilcu  Stand   zu  setzen,    die   reine  Mathematik  in  ihrer 
'iilUtSndigen    jetzt  ^eii  Biitwicklung    richtig  zu   beii 
Mieilen    und  ku   verstehen."    Leider  müssen   ivir  nun  ftb^  d 
)iimnr  erwidern,    ditss  der  letzlere  Zweck  durch  das  vorliegehda  J 
Werk  auch  nicht  im  Entfern  testen  erreicht  wird.     Dasselbe  stel^  | 
imI    einem  ganz  vecultetcn  .Standpunkte,    und  der  Leser  bekommt  1 
'l.i'ltirch  nielit  im  Geringsten  einen  nur  einigermassen  richtigen  B^  i 
i'lD'  ton  dem  gegenwürtigen Zustande  der  reinen  MalheniatiK  nacn    | 
»i'lhode.    Form  und  Inhalt.     Dasselbe  enthält  aberhatipt  nur  die 
Iliri^cH'iihalicIisten  Dinge,  vielfach  nach  Methoden  dargestellt,  dioj 
u\  ale   ahgethan   und  antiquirt  betrachtet  werden  messen;     uoi|f  1 
i'   die    häutig   eingestreuten  historischen  Notizen  und  Einleitung  j 
j^ii  betrifft,    so  machen  dieselben  gleich   auf  den   ersten  Anblick 
den  Eindruck,    dass  der  Herr  Verfasser  wnhl  schwerlich  hei  derai 
Studium    irgend    einer  Purlie  der  reinen  Mathematik  bis  zu  den 
(Quellen  eurSckge^angen  ist,    womit  freilieb  die  auf  S.  6.  sich  fin- 
dende Phrase:  ,.Die  eigentlich  als  Wissenschaft  ausgebildete  Ma- 
(heiiiatfk  kaim  abo,  da  sie  in  einer  besonderen  Form' besteht,  und 
d.i   diese  Form  nichts  an   sich  Nothwendiges ,    sondern  ein  mehr 

lUinil    WIM.  m 


M82 


oder  weniger  Zufälliges,  ilurcli  gei>clti(.'lil liebe  Thatsai 
tes  ist,  (lurclmus  nur  richtig  erlusHt  und  l)eurtheilt  werden 
man  den  geechivlitliclien  kiitM'icklniig^anji!  in  lleräckaid 
zieht"  —  niciit  in  lieeo »(lerem  Einklänge  stellt.  Vor  diei<:M 
rischen  Expeutoriiliiineii  des  Herrn  Verfassers  mftchtea  wi 
naiueiitliclt  Aiifiinger,  denen  diia  Uuch  vielleicht  in  die  HSl 
'Ion  sollte,  warnen,  <Ia  diesellien  niehrl'iicher  Bericfati({uiig 
dtirl'en  suheineii.  Uas  hier  auageeprochene  allgemeine  urth< 
diese»  BuL-h  zu  beweisen,  fehlt  un^  hier  der  Kaum,  we» 
ist  die  Uedeutuns  dieses  freilieh  sehr  umrani>reichen  Werk« 
gross  genug,  dass  nir  einem  solchen  Beweise  einen  gri 
Kaum  zu  widmen  uns  veranlasst  fühlen  »ollten;  wir  isils« 
sere  geehrten  Leser  daher  bitten,  ein  Urtbeil  sich  selbst 
den,  und  hoffen,  dass  dasselbe  im  Wesentlichen  mit  de» 
gen  Qbereinstiiiinien  wird.  Micht  selten  nimmt  der  Herr  Vt 
das  Ansehen  an,  dass  er  die  Malbematik  von  einem  phi 
phischen  Stan  d  |titnb  le  aus  unschaue.  Dagegen  hiü> 
mit  aller  Ächtung  vor  der  Philosoobie,  an  sich  gar  nichta 
wenden,  sind  aber  ducU  auch  der  Meinung,  dnas  eine  mM 
losopbische  Anschauung  oll  nur  sehr  wenig  dem  entsprict 
man  in  der  Mathematik  „Strenf/e"  nennt;  wenigstens 
wir  namentlich  in  neuerer  Zeit  schön  ülters  die  Erfahrung  g< 
dass  niuiiche  fichriflsleller  ein  blosses  vagen  philosopj 
Gerede  an  die  Stelle  wuhrer  mii  thematisch  er  Sfreuge  zu 
trachten,  nud  sich  einbilden,  dadurch  dus  Wahre  in  Aeti 
matik  erfassL  zu  haben.  ~  Scliliesslich  ztvei fein  wir  sehr,  dt 
vorliegende  4)  Thir.  kostende  Buch  sich  einer  besondereji 
tnig  erfrenen   werde. 


Aritlimctik. 


Dieser  Band  der  Aniialen  der  k.  k.  Sternwarte  zuWienJ 
in  seiner  ersten  Abtheilung  ein  alten  Freunden  der  lUaltK 
blichst  werthvulles  und  zuß;leich  buchst  merkwürdiges  Ge^i 
Wir  lassen  den  schon  so  vielfach  verdienten  Herausgeber 
von  Littrow,  eelltst  reden:  „Das  erste  Heft  des  vorfii 
Bandes  enthült  eine  Arbeit  von  Herrn  Zacfaarjas  Daser 
Tafel  der  natürlichen  Logarithmen  in  derselben 
debnung  wie  Vegas  Tafel  dor  Brigg'acfaen  Log: 
Ich  glaubte  diese  Tafel,  da  es,  so  viel  mir  bekannt 
her  keine  soklie  giebt  und  dieselbe  in  gewissen  FSlIen  von  D 
ist,  dann  aber  auch  desühalb  bekannt  machen  zu  sollen, 


^^pki  heM'iinHeruDi^svTÜrdigen  Zifferrecfiiier ,    ilpissen  ^lek-hrn  c« 
P|^T«gel>eri   und  itent  micli  iitiüere  Anstsilt   üereitis  -^rnsse  num«- 
"•efe  Arbeifeii  verdankt,    in  der  WissenKthuf't  ein  UenlcniuJ  zu 
crhuKen."     All«r(I)n<rH  Iteüitxeti    wir  ntich    keine  Tafel  <kr  natitrli* 
(bea  Lafjarrfhmeii  in  solelier  Vtdl^tändiskeit  vrie   die  ruHie^enda] 
iiml   von  tielrhcr   "ro^een  Wichtigkeit  dieselbe  daher   für   die  ge- 
URimte  Mnlhemalik,    insbesondere  aber  f(ir  die  Intef^ralrechninif, 
M  nie   iiiiL-h  liir  vido  Theile  der  Physik  ist,     braucl>t  hier  nicnt 
n.llier  uns  einander  gesetzt  zn  werden.  Die  Tafel  reiuht  ron  1  üiÄ 
lOöOOO.     nnd  hat  ganz,    und  -^nr  die  Einrichtung   der  Vega'scben 
Tal'i^l  der  Brigg; When Logarithmen,  ivadureh  »ir  viilli<:  flberhnbe» 
werden ,    Gher   dieseüie   hier  etn.ih    Weiteres   zu  heriebteti.    Herr 
Oase  saift  in  der  Einleitung:  „Diese  Tal'el  irurde  mit  der  grüss- 
ten  So^f'ult  »erethnet  bis  auf  10  Stellen,    um  auch  hier  die  sie- 
hente  Stelle  torrekt  zu  haben.  Die  Korrektur  habe  ich  selbst  be- 
"Mgt,    den  fertigen  Abdruck  nochmals  durchgerechnet  und  dabei 
Tolgende  ü  Druckfehler  entdeckt  „ —  (die  nun  an£e|;eben  iverden^ 
ltii>r  ab<>r  von  keinem  Interesse  für  die  Leser  sein  kiinnei),    wes- 
halb wir  auf  das  Huch    selbst  venveisen)  — "    und  glaube    nacb 
lieber    Verbesserung    die   Tafel   als   vullknnimeir  korrekt  crklSreii 
■M  kr.ntien."  —  Du^s  Herr  Unse  selu  bewunderungswardiges  Ta-, 
iil  y.üt  Berechnung  dieser  schönen  Tafel  angeivandl  hat,  verdient| 
'    uriisste    Anerkennung;     gnur.  beeonderer   Dank  gebütirt  aber 
li    der    Kaiserlichen   Akademie  der  Wissenschaften    in    Wien, 
,    so  viel  wir  wissen,     sie  es  ist,    die,  yeniss  ganz  in  Ueber- 
limmung  mit  der  kaiserlich  nsterreichischen  Regierung,  Herrn 
-■^e    die   Mittel   durgebiiten    bat,     sein    ungemeines    Talent  mit 
I)'.':  der  Fiirderung  der  Wissenschaft   widmen  zu  künnen;    unJ 
r  vordientc  Herr  Herausgeber  der  Aimalen  der  k.  b.  äternivarte 
<||  ilurch  die  Publication  der  Tafel  in  den  Aniialen  seiner  Stern- 
>.irle  zur  mi'jglichst  schnellen  Verbreitnng  derselben,  die  auf  dem 
.\c-ie    des  gewühnlichen   Buchhandels    in    gleicher  Weise    wohl 
i'IiMerltcli  zu  erreichen  gewesen  sein  müchte,    jedenfalls  wesent- 
iili  1>c  iget  rag  eil ,  also  auch  dadurch  sich  gerechte  Ansprfiche  auf 
''■n    wSrmslen    Dank    der  Mathematiker    erworben.      Äxo^e    Herr 
iriKC    sein  Talent   nnch  zur  Herstellung  recht  vieler  solcher  Ar- 
"itcn,    wie  sie  die  Mathematik  noch  vielfach  bedarf  (worauf  wir 
lliVicbt   ciiimul  s|iäterhin  zurückkommen)  anwenden,    und  dabei 
'  i^ihrende  Unterstützung  finden,    ohne  welche  solche  Arbeiten 
iilich  giir  nicht  ansznfiihren  sind.     So  viel  wir  aus  der  Einlei- 
I-    (N.  Hl)   entnehmen,    ist  die  Tafel  auch  in  besonderen  Ab- 
liGcken,    die  daher  gewiss  auch  mit  besonderem  Titel  versehen 
»erden,    zu  haben,    worauf  wir  die  Mathematiker  aufmerksam  zu 
inlerlassen  können,    da  gewiss  .leder  sich  gern  so 
ch   in  den  Besitz   eines  so  wichtigen  Werkes  set- 


p;  zweite  Ueft  dieses  Bandes  der  Annaten  ist  asti'onomi 
Itibalts,  und  liefert  eine  wicbtl^ie  Vervollständigung  der  ii 
■ÜrCberen  Berichten  angezeigten,  nun  vollendeten  Piazzi 
Celeste,  durch  deren  Herau^-gabe  sich  Herr  voi 
r  um  die  Astronomie  insbesondere  gleichfalls  so  sehr  ver 
Waichtbal,  nämlich:  tiülfsmitteltnrtfeduction  roi 
ftl  Storla  Celrsle,    und  zwar:     I.  Bestimmun»  de 


^884 

Fiidenintervalle   an   l'inixi'a   Mittnc;! 
Kune».  —    II.  Kniiittuluns  <ler  lUrriictMiuä-Cunstaa 
tilr    Palermo    uuä   Piazafä    Ueniiaishtungen,    vn 
llvrntteiic   (eine  Achline,    Kr  die  Thcnriv   0er  ll«rraclii 
lach  ivichtige  und  allgemein  interessante  Arlieit,    die  wir 
i^chtung  besonders  «n)|>rehl(tiO.  —   Hl.  Tulel  zur  R«i 
der  von   Pi.izxi     in    den   Corsi  üeoliachteten    Sterni 
auf  mittlere   für  den  Anfang   «les    lietr<^rrenden  Juhi 
^ach  «len  Tultults  Kezi  o  montan  is  berechnet  vnn  < 
Uormtein.    —    IV.   Uie    Länge    vun    Palermo    aus   i 
Sternkedeclfungcn  berechnet  von  Ur.  F.  Schnuki 

Vcrhnndelin^  over  do  Methode  der  kleinste! 
(traten.  Cerste  Afdeelin^.  lüerste  GeOeelte.  Doi 
J.  Verdam,  Hoosleeraar  aan  de  U  ni  verijiteit  te 
den.     Groniniijen.     IHSO.    4. 

In  diesem  grossen  und  aus^exeichneteu  Werke,  dessen  ( 
Abtheilung  von  214  eng  gedruckten  Quartfeiten  uns  vorliegt, 
absichtigt  Herr  Professor  Verdam  ei'ie  ausRihrllche  UarHt^ 
der  Methode  der  kleinsten  Quadrate  zu  geben,  und  dieselbe^ 
l'iihrlich  durch  Anwendungen  zu  erläutern.  Jedenfalls  Tst  a 
Werk  Aas  grössle  unti  ausführlichste  über  Hie  in  Rede  stell 
wichtige  Rechnun^smethode,  was  wir  bis  jetzt  besitzen,  nmtl 
der  Beachtung  ulier  derer,  die  der  hnlländtschen  Siirache  M 
chend  mSclitig  sind  und  sich  mit  der  Methode  der  kleinsten 
drate  und  Ihren  .\nwGndungen  vollständig  bekannt  niacbeo 
dringend  empfohlen  werden.  In  der  vorliegenden  ersten  At 
lung  hat  der  Herr  Verf.  ganz  vorziiglicli  auch  auf  die  Anwe^ 
der  genannten  Metliode  bei  der  Berechnung  geodätischer  Mei 
gen  Rücksicht  genommen,  und  ausserdem  niuss  noch  besoi 
nervorgehüben  werden,  da.is  dieses  treffliche  Werk  sieh 
bloss  auf  die  Methode  der  kleinsten  Quadrate  einschränkt, 
dern  eigentlich  auch  Hist  alle  .alteren  und  neueren  Methode 
Betrachtung  zieht,  welche  zur  vorlheilbuflesten  und  zweckfliS 
sten  Berechnung  der  Resultate,  die  sich  aus  angestellten  ^ 
achtungen  ziehen  lassen,  In  Vorschlag  gebracht  worden  sin^. 
müssen  wir  uns  leider  darauf  beschränken,  den  Hauptinha^ 
vorliegenden  ersten  Abtheilung  anzugeben,  und  werden  nicht 
men,  auch  den  Inhalt  der  Fortsetzung  unseren  Lesern  mitzD 
len,  sobald  dieselbe  erschienen  und  uns  zugegangen  sein 
Der  Uauptlnhalt  der  ersten  Abtheilung   ist  aber  folgender: 

Eerste  Afdeeling.      Verklaring    van    het    d« 
van  het  begrip,  en  van  de  beginseln  der  tnethode. 
wikkeling  der  rckenwijzen,     der   voorschriften   of 
regcls,  welke  de  melhode  bevat  of  aan  de  band  g( 
Aanwrjzing,    door   vorbeclden ,    yao  het    gebriiik 
Vorschriften  on  regcls,   —  enz. 

Eerste     Hoofdstuk.      Iteschouwingen     tot    inleiding. 
Tweedc  lloofdstuk.     üvcr  den    rege),   gegrond  op  het  b« 


I  de  niclltuile  iler  kleinste  i{iia<lra(en,  en  ilienende  om  ilc 
H{(elijki(iiiitii ,  ter  bepaling  vuii  uraarsdiijnlijke  ivaurden  van 
"~(ie  ek-meiiteni  te  votmepi  uit  eeno  reekä,  van  Itiieaire  ver- 
^ny  npj^eiuaakt  door  iiiid'del  der  uitkomxten  van  geUjbsoor- 
iarnenungen ,  aan  irclke  (Mn  zelfde  ^raad  van  naauwken- 
-nrofdt  Inecekend.  Toe|iassin^eii  vnn  dezen  regel  op  ^«!■ 
kn,  iti  vielke  aVechU  een  element  onbekenil  \s;  —  vnrbeelden 
Wertoe  lietrekkelijk,  enz.  -  Oerd«  Hoofd^ttik.  AleenieeiiB 
i^ilnasini;  der  eindvergelijkingpii ,  volt^ens  den  hmifilregiil  van  de 
itiethnde  der  kleinste  quudrateii  gevoniid.  Bepaliiif;  vaii  algeiiieene 
rnmiiilen  of  tutdtukkiiieen,  dnor  iielke  de  som  van  de  tweede 
wagtm  der  oTerblijveiiite  feilen  kan  berekcnd  worden.  —  Vierde 
Hoordstuk.  Uiitbindina;  van  eeiiü^e  viorstellen,  «n  ontirikkeling 
wn  berckenitiiien,  tot  tae|iafisiiif;  der-gronden,  reptls  en  r«rrnulen,  in 
ilevnnrgaandehaofdstnkkenbepanlil,  onrvouwd  olafpeleid. —  Vijfde 
Hoofdetuk.  Over  de  reketiivijze ,  welke  )>;evol!;d  nined  worden, 
niQ  den  hooldre^el  ran  de  niethode  der  kleinste  qiiadraten  te  kun- 
nen  tnefiufisen,  indicn  de  gegebene  functien  ntet  algebraisch  zijn. 
iij'  onk  niet  lineair,  tcn  opziirte  van  de  te  bepulen  elementen. 
VooTbeelden  tot  ophelderin^,  eni.  —  Zeede  Hoofdstuk.  Uver 
de  rekenwijze,  liij  het  loepa«:sen  des  tiool'dregels  van  de  melhode 
der  kleinst«  qnadraten  te  vollen,  bijaidien  er  voorwaarden  be 
ttaitii  of  seslt'ld  zijn,  aan  «velke,  met  de  {jptalwaarden  van  groot- 
heden,  die  nien  zai  l>epalen ,  striktelijk  moet  worden  voldaan. 
ICegels  van  (jauss  en  van  Hansen.     Voorbeelden,  enz. 

Es  würde  uns  zu  (;r(isscr  Freude  pereichen,  wenn  es  uns  ge- 
:!.!«n  sollte,  durch  die  vorhergehende  kurze  Anzeige  die  Äuf- 
:i' rk.samkeit  der  Mathematiker,  Aslrnnonien,  (leodäten  und  Phy< 
Kiiier  auf  dieses  Werk  hinzulenken,  welche  dasselbe  jedenfalls  m 
hobera  Grade  verdient.  Wir  haben  schon  froher  «Her  einigemal 
Nif  die  grosse  Gediegenheit  der  Schriften  holländischer  Mathema- 
liker  hinzuweisen  Gelegenheit  genommen,  and  das  vorliegende 
Werk  gleht  uns  dazu  eine  neue  höchst  erfreuliche  Veranlassung. 
I'ii;  Erlernung  der  hnlländischen  Sprache  ist  namentlich  für  einen 
t'oMlschen  im  Ganzen  so  leicht,  daas  die  geringe  darauf  ver- 
wandte Mülie  jedenfalls  den  reichlichsten  BrriatK  In  der  vielfachen 
Kßlehrung  lindet,  welche  man  aus  Werken  wie  das  obige  schüp 
'•■u  kann.  Mögen  sich  daher  die  Mathematiker  dasselbe  nochmals 
[i'i'ht  vielmals  em]>fohlen   sein   lassen! 


ktisclie  Oeometrie  und  praktisclie 
nicchanik- 

«cbvisches  Uilfs-  und  Handbuch  für  Gewerbtrei- 
Von  Dr.  Julius  Schadeberg.  Zwei  Theile. 
[4a  Auflage.     Halle.     (Ohne  Jahreszahl),    ü. 


r 


Üieses  Werk  enthält  eine  selir  iirtitise  Men^  Ans^alieii.  ' 
fein  uml  Kepel»  aus  der  Ms.ish-,  Mfiiis-  und  fienkliUkunde,  ., 
iler  Arithiiielik,  ebenen  tiiicl  künierlithen  fiennietrie ,  aus  der  31 
ehnnik  unil  auch  aus  der  Physik,  ilie  »ugleich  in  den  (lie  V« 
inelrie  und  Mechanik  betreffenden  Parlieen,  wn  es  nuthig  i 
durch  eingedruckte  recht  ^te  Holzschnitte  erljiiilirt  sind.  1 
Werk  scheint  nns  cd  vollstündi^  xu  nein,  d;iss  Mir  wirklich  I 
nichts  aiizugetien  ivfis«ten,  was  der  Pruktiker  in  denwellieit  i 
■tehlich  suchen  dfirtte,  tveim  em  auch  vielleieht  zweckniiisMft ' 
»esen  wäre,  noch  ein  Paar  Tahetlen  atur  zu^anint' 
Zinsrechnung,  der  Reu  t  en  rech  nun  g  n.  e.  iv.  heJKulägei 
diesellien  auch  freilich  litreni;  genommen  nicht  in  dieiies  Tontn( 
»eise  IGt  GewerhlreiheM<le  liestimmli:  Werk,  so  Hfirdcii  sia  i 
auch  manchem  anderen  Abnehmer  dentielben  ani>enehm  gewM 
sein,  und  die  Vollstündickeit  noch  erhöhet  buhen.  Wir  siitd  i 
Meinung,  dnss  dieses  Werk  allen  denen,  welche  ia  dem  Fal 
sind,  praktische  Anwendungen  der  Mnfhcinatik  zu  machen,  r 
sehr  empfohlen  zu  werden  verdient;  ja  es  bat  unn  beaser  gefat 
als  nmnclic  andere  Werke  dieser  Art,  die  bekannter  gewiti '' 
und  mehr  Eingang  gefunden  zu  haben  scheinen  als  das  vn 
gende.  Wenigstens  ist  uns  selbst  dieses  Werk  eben  erst  jti 
bekannt  geworden,  und  wir  wünsrhen  daher  durch  diese  Anse)| 
zu  Keiner  weiteren  Verbreitung,  die  es  ult«  zu  verdienen  sebeq 
Einiges  liei zutragen 


Astronomie. 

Die  Anzeige   des    34ston    ThelU    der    Annalen    der  k. 
ernwarte  in  Wien  a    o.   unter  der  Rubrik  „Arithmeti 

Eben  so  die  Anzeige  des  Werkes  von  Herrn  Professor  Vi 
m  aber  die   Methode  der  kleinsten  Quadrate. 


Over  de  Bata 
Arrondissementf 
1848.    8, 


Physik. 

IS  en  het  Wegen,  doo 
-Jjker  te  VVinschnlen. 


Dieses   schon   im  Jahre   1848  erschienene,    347  Seiten  sl 
Werk  des  Herrn  Arrondisser.ients  Jjker  (i.  A.  Veneniu  ist  teii 
erst    jetut  zu   unserer  Kenntniss    gelangt,    jedenfalls    aber    eii 
nachträglichen  Anzeige  in  unserm  literarisclien  Berichte  sehr  wei 
Unstreitig  ist  dasselbe  das  ausführlichst o  Werk  über  die  versdili 


887 


1)  Efnrfchtuiigen  der  Waage,  über  die  Theorie  derselben,  über 
ilie  verschieden  eil  Methode»  des  Wagens  und  über  die  fiiuherheit, 
welche  dieselben  zu  «enähren  im  Stande  sind,  tvnbei  vori  der 
Metbnde  der  kleinsten  tjuudrute  vielfach  Gebrauch  gemacht  ivur- 
ileti  ist.  Drei  sehr  schün  und  siiuber  ausgeführte  Kujilertufeln 
ilieneii  sehr  nur  Erläuterung  der  mit  grosser  ISorgl'uIt  entwickelten 
Tbenrie  der  verschiedenen,  die  meiste  Sicherheit  beim  Wägen 
^währenden  Einrichtungen  der  Wauge.  Wenn  man  bedenkt,  dass, 
namentlich  hei  dem  jelzigen  Zustande  der  Chemie,  die  Waage 
las  Hnnntinstrunient  der  Chemiker  ist,  dass  die  Waage  aber  auuh 
lii  der  Physik  und  in  vielen  anderen  ISaturnissenschaftcn  allein 
ias  geeignete  Hüllsmittel  zn  vielen  feineren  tJntersuchun«en  all 
riebt,  nenn  man  endlich  die  grosse  Uedeutung  derselben  fürHau- 
lel  und  Wandel  überlegt,  so  nird  man  leicht  die  Wichtigkeit  eines 
M^beii  utisführlicheii  Werks  wie  du.'«  obige  erkennen,  wenn  das- 
wlbe  namenlliih  mit  su  vieler  Sorglalt  und  so  grosser  Sachkennt- 
tisB  verfasst  ist,  wie  das  uns  vorliegende  Werk  des  Herrn  Ve- 
■  ama,  aus  welchem  vielfacbe  Belehrung  geschiipllt  zu  haben,  wir 
KJbst  mit  besonderem  Uiinke  erkennen  Wir  machen  daher  alte 
Saturfnrscher  und  alle  diejenigen,  \telche  sich  mit  i-enauen  Ab 
Übungen  zu  beschSI'tigen  haben,  und  mit  den  nDthigen  matbe- 
ii.-schen  Vorkenntnissen,  die  übrigens  die  sogenannten  Elemente 
:  wenig  übersteigen,  ausgerüstet  sind,  drnigeiid  auf  das  vor- 
tuende, jedenfalls  sehr  ausgezeichnete  Werk  aufmerksam,  und 
filnsuhen  sehr,  dass  dasselbe  in  den:  vorher  nShet  bezeichneten 
El«ise  so  allgemein  wie  miiglich  bekannt  werden  nioge,  wobei 
irlr  als  »ich  von  selbst  verstehend  annehmen,  dass  dasselbe  .inch 
Rlr  jeden  Mathematiker  an  sich,  der  Theorie  wegen,  des  Inte- 
ressanten sehr  viel  darbietet. 

Ein  „Aanhangsel"  des  Herrn  F.  J.  Stamkart  (>lnlh. 
Ibg.  et  Phil.  Nat.  Doctor,  Lid  van  de  le  klasse  van  het  Koiiiglijk 
Nederlandsch  Istifut  eu  Arrodissenients  Jjeker  te  Amsterdam), 
ron  welchem  einige  ächriFten  verwandten  Inhalts  im  Liter.  Ber. 
LV,  ?ß3.  mit  verdientem  Lob  angezeiiit  worden  sind,  enthält  unter 
lern  Titel:  „Onderzoek  of  het  steunpnnt  en  de  0|ibangpnnten  in 
Hne  regte  lijn  zijn  gelegen.  —  Onderzoek  naar  de  evenwijdigheid 
iet  punten.  —  Onderzoek  uaar  de  gelijkheld  der  armen,  en 
nieuwe  hefialing  der  hoeken  y  dnnr  weging.  —  Jets  overhetdonr- 
hiigen  van  de  evenaars  van  halansen  (|i.  3^6— 347.),  über  alle  hier 
lenannte  («egenstände  auch  sehr  viel  Interessantes  und  Belehrendes 

Müge  diese  kurze  Anzeige  da/u  beitragen,  das  schiine  Werk 
les  Herrn  Venema  auch  iinsserhnib  Holland  in  weiterem  Kreise 
lekaunt  2U  machen ! 


i 


r    le   cli. 


at  de    In   Belg 


Qu 


1851. 

Die  ersten  Theile  dieses  sowohl  für 
I  allgemeiner  nietenritlogischer  Beziehur 
och  verdienten  Herrn  Vis.  sind  früher  vo 
|ba  namentlich  auch  dieser  Theil  die 
HUten  der  Meteorologen  linden. 


s)iheriques.    Par  A.  Quetelet, 


^  wichtigen  Werkes  des 
1  uns  angezeigt  worden, 
sorgfältigste   Beachtung 


888 


Bemerkung. 

In  BezuG;  auf  die  im  Liter.  Ber.  Nr.  LXVI.  S.  856.  fibei 
Maclaurin'sche  Reihe«  welche  in  dem  dort  angezei&^en  B 
d^s  Herrn  Professor  Franke  dem  berfihmten  en&lisctien  Mi 
matiker  F.  Stirline  beigelegt  wird,  gemachten  Bemerkunge 
nachzutragen,  dass  Cauchy  in  den  Legons  sur  le  caicui 
ferentiel.  Paris.  1829.  4.  p.  257.  sagt:  ,«M.  Peacock  a 
marque  que  le  th^ordme,  generalenient  attribu^  au 
ometre  anglais  Maclaurin,  avait  et^  donn^,  des  l' 
par  son  compatriote  Stiriing,  dans  fouvrage  intit 
Lineae  tcrtii  ordinis  Newtonianae,"  Auf  diese  Be 
kung  Cauchy*s  könnte  siöh  vielleicht  die  von  Herrn  Prof« 
Franke  gebrauchte  Benennung  ,,Stirlings  Reihe*'  grfin 
Die  von  Peacock  angeführte  ISchtift  Stirlings  können  wii 
der  nicht  einsehen;  auffallend  bleibt  es  aber  immer,  dass  S 
ling  in  der  weit  späteren  Schrift:  „Methodus  differenti 
etc.  Londini.  1730.*'  von  der  erwähnten  Reihe  einen  best; 
ten  Gebrauch  eigentlich  gar.,  nicht  mächt,  wozu  gerade  c 
Schrift  wohl  hätte  Gelegenheit  darbieten  können.  Cauchy  s< 
nennt  übrigens  die  Reihe,  obiger  Bemerkung  ungeachtet,  in  al 
seinen  Schriften  stets  „le  th^or^me  de  Maclaurin"  und 
wir  glauben  ganz  mit  Recht,  da  es  uns  nicht  gut  und  immer  e 
gewagt  zu  sein  scheint,  solche  allgemein  recipirte  Bezeichnu 
eines  wichtigen  wissenschaftlicheu  Objects  mit  einem  Malt 
iirKJern.  Jedenfalls  scheint  es  uns  aber  wiinschenswcrth ,  di 
hislorisch  und  literarisch  wichtigen  Gegenstand  vollständig  a 
klaren,  wozu  die  Leser  des  Archivs,  denen  noch  grössere  \i 
risclie  Hiilfsmittel  zu  Gebote  stehen  als  uns,  aufzufordern, 
nächste  Zweck  dieser  Zeilen   ist. 


889 


Llterarlsiclier  Berielit 


Arithmetik. 

AlleemeineZablenlehre  nach  strenswissenschaft* 
lieb"*  ^ *■'">•'>■'>'>   •><>»••*>'>:''«<'      ^^Uc*  a:..«^    A..l....»<> 

en 
■i 
■an, 

Lehi 
My,  Sgr. 

Dieses  grosse,  weitläufige  und  allerdings  vieles  Eigenthüm- 
liche,  namentlich  eine  grosse  Anzahl  von  Rechnungsvortheilen 
nithaltende  Werk  ist  nach  dem  Tode  des  Verfassers  von  dem 
Herrn  Dr.  G.  Eisenstein  herausgegeben  vrorden,  und  muss 
wegen  seiner  Eigenthümlichkeit  und  Reichhaltigkeit  namentlich  in 
der  angedeuteten  Beziehung  jedenfalls  zur  Beachtuns  empfohlen 
werden«  ohne  dass  viir  uns  hier  auf  eine  weitere  Besprechung 
desselben  einlassen  können. 

Die  algebraische  Analysis  von  Dr.  Edmund  Kiilp, 
Professor  der  Physik  und  höheren  Mathematik  an  der 
höheren  Gewerbeschule  zu  Darmstadt.  Als  freie  Be- 
irbeitnng  eines  Theils  der  höheren  Algebra  des  fünf- 
len  Buchs  von  Francoeur's  vollständigem  Lehrcurs 
ler  reinen  Mathematik.  Darmstadt.   1851.  8.    1  Thlr. 

Dieses  in  einer  einfachen  und  sehr  verständlichen  Sprache 
[eschriebeoe  Buch  schiiesst  sich«   wie  auch  der  Titel  besagt«  an 

land  XnU.  70 


das  bekannte  Werk  von  Francoeur,  von  welchem  beki 
der  Herr  Verfasset  eine  jtute  Uebersetzung  faerauEgegeb 
an,  und  ist  daher  auch  im  Allgemeinen  in  dem  Geiste 
Werkes  verfasst,  wenn  auch  allerdings  manchen  neuerenTI 
wie  z,  B.  der  Convergenz  und  Divergenz  der  Reihen,  dei 
vergenz  und  Divergenz  der  Producte  mit  unendlich  vielen 
ren,  u.  dergl.,  Rechnung  getragen  uordcn  ist  Jedoch  ist  I 
gemeinen  der  Geist ,  in  »elchein  dieses  Buch,  das  z.B.  noc 
Tiellaub  von  der  Methnde  der  nnbestimmten  Coel'ficienten  Gel 
macht,  geschrieben  ist,  ein  Siterer,  was  auch  der  Uerr  Vei 
mit  lohensHerlher  Offenheit  und  Bestimmtheit  in  der  Vorre 
durch  erklärt,  dass  er  sa^t,  dass  ihm  hauptsächlich  Eulei 
troductio  in  Analysin  iniinitorum  als  Leitstern^  { 
habe,  weil  ihm  dessen  Klarheit  und  Einlachheit  am  Meisl 
sage;  und  welchem  Mathematiker  sollte  denn  auch  diei 
seine  Zeit  uniiberlrelllicbe  Werk  nicht  zusagen!  vrenn  freili 
Strenge  der  neueren  Mathematik  jetzt  andere  Ansprüche 
und  machen  niuss.  Dabei  hat  aber,  wie  schon  erinnert,  Ai 
Verfasser  d^aa  Neuere  keineswegs  vollständie;  ignoriit,  und  I 
ja  wohl  ein  solcher  Mittelweg,  wie  der  Herr  Verfasset 
schlagen  hat,  iür  Lehranstalten  wie  die,  wie  wir  wissen, 
len  Beziehungen  ausgezeichnete  höhere  Gewerbscbule  in 
Stadt,  welcher  der  Herr  Verfasser  seine  Kräfte  mit  Erfolg  v 
unter  den  jedesmal  obwaltenden  Verhältnissen  z\veckniässi| 
wenn  nur  nicht  höhere  wissenschaftliche  Ansprüche  gemacl 
den,  als  die  durch  den  jedesmaligen  didakliuchen  Zweck  g 
fertigten,  was  hier  in  lobenswertherWeisedurchaus nicht  geB 
Die  allgemeine  Theorie  der  Gleichungen  (ebenso  die  Wahn 
lic'hkeitsrechnung)  hat  der  Herr  Verfasser  nicht  aufgenomn 
verspricht  darüber  bald  eine  besondere  Schrift  heraus! 
Diese  Theorie  ist  ja  auch  für  vorherrschend  praktische 
wenigerwichtig;  was  solchen  Zwecken  besonders  zu  dienen 
Ret  ist,  hat  der  Herr  Verfasser  in  zweckmässiger  Anordni 
sammengestellt,  wobei  u.  A.  auch  da«  für  die  Anwendung 
Naturwissenschaften  so  wichtige  Internolationsproblem  mit 
nicht  fehlt.  Dem  binomischen  und  polynomischen  Lehrsata 
"Differenzen reihen  und  höheren  arilhmetisi-hen  Reihen,  den 
nären  Gnissen,  den  Expunentiai grossen  und  Logarithmen, 
auch  den  trigonometrischen  Reihen ,  ist  besondere  Aufmerlü 
gewidmet  worden. 

Drei  Vorlesungen  zur  Einleitung  in  die  Difl 
tlal-  und  Integralrechnunc.  Gehalten  zur  Eröf' 
der  Wintervorleaungen  1850-1831  von  Dr.  Tb. 
stein.     Hannover.     1831.     8.     "'/a  Sgr. 

Drei  ^opulSr  gehaltene  recht  ansprechende  Vorlesunge 
die  Geschichte  der  Entwicklung  der  Differentialrechnung  u 
Wesen  dieser  Wissenschaft  und  der  Integralrechnung  Im 
meinen. 


Cleometrie. 


;  Geometrie  de^  Euklid 


I  der   Geometrie    für    . 

'   ni88  dieser  Wisseii» 

ollen.     Von  Dr.  E.   S. 

Mit  550  einsedrc 

f851.  8.    2  Thir.   15  Si 


.s  Wesen  derael- 
amit  verbundene  systema- 
von  mehr  als  tausend  geo' 
die  beigefügte  Anleitung 
ung  derselben.  Ein  Hand- 
lle,  die  eine  gründliche 
[^hal't  in  kurzer  Zeit  eriver- 
Unger,  Professor.  Ztveite 
ükten  Holzschnitten.   Le'ip- 


Dieses  Buch  ist  aus  seiner  ersten  AnOtfge  bekannt.  Drei  Bei- 
1  in  der  neuen  Ausgabe  hinzugefügt  worden;    „die  har- 
Bonischen  Proportionalen  und    ihre  Anwendung    auf  das  vullkom- 
■ge  Viereck,   auf  die  harmonischen  Eigenschaften  des  Kreise» 

t 

■Tnaf 
ünie.     . 


naiytische  Geometrie 
(der  Mathematik  an  de 
>rtafeln.     Halle.     1851. 


onDr.L.  A.  Sohncke,  ord. 
Univ.  zuHalle.  Mit  zwülf 
8.     2  ThIr. 


Inhalt  dieses  recht  sehr  zu  emp 
^alytischen  Geometrie  ist  folgender:  I. 
11.  Kreis.  lU.  Kegelschnitte.  IV.  L 
Biom.  V.  Oberflächen  der  zweiten  Ordne 
(ICiirze  Andeuluue  über  Curven  und  Flächi 
■  Excurs   Über  Projection.  —    Eki 


-   Das  Buch    . 
liiilicbe  Bemerkungen, 
^unctionen. 

l 

IKhen  au! 
Rliube 


Bhlenden  Lehrbuchs 
Coordinaten.  Gerade 
nien  und  Ebenen  im 
is.  Randbemerkung 
n  hühPrer  Ordnung), 
dtschafi   der 


(hält  auch   manche   interessante  eigen- 
wie    z.  B.   S.  74.  über  die   elliptlRchen 


Astronomie- 


;eii.    18 


Hofra 


Erde   und   die  Zeiten   des 
Erde  van  Dr.  Gotthüf  Heinrich  von 
h  und  Professor   in  München.     Erlan- 
ThIr.  24  Sgr. 


Dieses    Werk    des    verehrten   Herrn    Verfassers  ist  als   eine 
^Hbche  Umarbeitung  seiner  bekannten  „Geschichte  der 


892 

tur"  zu  betrachten,  und  ^anz  in  der  bekannten ,  jedes  reine  I 
müth  an  Sprech  er  den  Weise  des  Herrn  Verlasse  r»  verrasst,  übq 
bis  ZQ  der  neuesten  Zeit  lortgel'ührt,  und  in  bhrilicber  Weise  1 
der  „Kosmos"  in  verschiedenen  Anhängen  mit  vielen  lilen 
sehen  IN  ach  Weisungen  ausp;estattet,  tvelche  die  bekannte  gro 
Gelehrsamkeit  des  Herrn  Verfassers  von  Neuem  bekunden.  1 
empfehlen  deshalb  dos  Werk  den  vielen  Freunden  der  Muse  . 
Herrn  Verfassers  zu  sorefältigsleT  Beachtung,  und  sind  überE« 
dass  Keiner  ohne  Dank  für  die  vielfache  aus  dem  Werke 
schupfte  Belehrung  von  demselben  scheiden  wird. 


Physik. 


Der  mechanische  Theil  der  Naturlehre.  Von  B 
Oersted.  Mit  218  in  den  Text  eingedruckten  üi 
schnitten.    BraunschHpig.     1831.    8.    "2  Thir. 

Die  vorliegende  Uebersetzung  der  mechunrschen  Naturle 
des  berühmlen  dänischen  Naturforschers  ist  von  Herrn  L.  SL 
angefertigt  worden,  und  in  jeder  Beziehung  sehr  zu  entufet 
Das  Werk  selbst  ist  mit  grosser  UeutUchkeit  verfasst,  in  t 
sehr  ansprechenden  Sprache  geschrieben,  und  verschmähet 
nestvegs  die  Anwendung  der  Mathematik,  ohne  über  die 
Elemente  der  Arithmetik  und  Geoinelrie  hinauszugehen, 
mit  i'ast  gfinzlii.'her  Ausschliessung  der  Trigonometrie,  si 
eigentlich  nur  die  Begriffe  der  goniometrischen  Functionen  bei 
werden.  Das  Buch  verdient  daher  alle  Empfehlung  und  der! 
Uebersctzer  Dank  für  dessen  Uebertragung  auf  deutschei 
Die  Holzschnitte  sind  sehr  schön.  Die  Lehre  von  den  sogen 
ten  Imponderabilien  enthält  das  Werk  nicht,  sondern  i 
eigentlich  mechanischen  Theil  der  Physik- 


Lehrgang  der  mechanischen  Naturlehre  für  hObi 
Unterrichtsanstalten  von  Dr.  G.  Karsten,  Profesi 
der  Physik  an  der  Universität  zu  Kiel.  Zweite  Abthi 
lung.   Mit  4  Kupfertafeln.    Kiel,   1831.  8.  -2  Thlr. 

Der  erste  Theil  dieses  Werkes  ist  im  Literar.  Ber,  Nr.  L 
S.  810.  angezeigt  worden.  Der  vorliegende  zweite  Theil  enl 
Wärmelehre.  VVellcnlehre.  Akustik.  Optik.  Eine  dritte  Abthei 
soll  die  „Literaturnachvveisungen"  enthalten.  Die  frühere  V 
weise  Bestimmung  des  Werkes  für  den  Unterricht  an  Marines 
len  lallt  nach  der  Aufhebung  der  Marineschule  in  Kiel  jetzt 


893 


Termisclite  Schriften* 

ittheilunsen  der  iiaturfarschen  ci  eii  Gesellschaft 
TD.    Nr.  156  — '218. 

(M.  vergl.  Literar.  Ber.  Nr.  L.  S.  (HU.). 
Jeber  diese  stets  vieles  BernerkeiiRwertlie  enthaltenden  Mit- 
.sngen  ist  zuletzt  im  Liter.  Ber.  Nr.  L.  S.  CÖl.  Naebricht  ge- 
pn  worden.     Wir  liefern  jetzt  eine  \ti7.eiy;e  des  unsere  Leser 
ngsweUe    ititeressirenden    Inhalts   der  Nmiimern   15ti   bis  'il8 
Jbe  zulallig  vempütet  worden  ist,    aber   Imniei'  des  Interessan- 
inoch  jjenug  darbieten  wird. 
,       K.  Wolf,     Versuche   znr  Vergleichuns  der  Erfahrun^swahr- 
iclieinlichkeit    mit   der    mathematischen    Wahrscheinlichkeit     Nr 
156-157. 

Derselbe:     Notizen    zur    Geschichte    der   Mathematik    und 
■    Physik  in  der  Sch>vel/,     Nr    156-157. 

C.  Brunner,   Sohn:     Ueher  den  Einfluas  des  Magnetismus 
auf  die  Cnhäsion  der  Fliissi|>;keiten.     Nr.  156—157. 

R.  Wolf:   SonnenUeckeii-Beobachtungen  in  der  ersten  Uül/le 

des  Jahres  1840.  —  Sternschnunpenbeohachtnnsen  vom  8.  bis  II. 

August  184IJ.  -  Notezur  Methode  der  kleinsten  Quadrate.  Nr.  160—161. 

Derselbe:  Slernscbnunpenheobaebtungen  vom   II. — 13.  No- 

tember  184!r.     Nr.  166. 

H.   Itründli:     Ueber  arilhmelisches ,  geometrisches  und  har- 
monisches Mittel.    Nr.  166. 

(Arithmetisch -^eometrisehes  Mittel  ist  diejenige  irrationale 
Grfisse,  der  man  sich  immer  mehr  und  mehr  nähert,  wenn  matt. 
lim  awei  verschiedenen  Zahlen  p  und  ij  ausgehend,  zuerst  das 
irithmetische,  dann  das  geometrische  mittel  berechnet,  und  aus 
diesen  zwei  Gliedern  nieder  dieselbei 
■Timmen  fallen. 

Uiezu  henierkt  Herr  Schläfli:    Je  nachdem  p^ij/  oder  q'^p 
hat  das  arithmetisch-gcomelrische  Mittel  den  Werlh 


I  DlitlelgrüSE 


losC 


P     +\  p'^ 


I'as  arithmetisch -geometrische  Mittel  ist  bekanntlich  von  Gauäs 
iu  die  Arialysts   elngeltihrt.  G.) 

K.  Wolf:  Versuche  zur  Vergleichung  der  Erfabrungs Wahr- 
scheinlichkeit mit  der  matbematisclien  Wahrscheinlichkeit.  Dritte 
Versuchsreihe.    Nr.  166. 

Derselber  Sonncndecken-Beoliachtungcn  in  der  zweiten 
Hälfte  des  Jahres  184'.).  —  Das  Beobachtungsjahr  184«  (auf  der 
Sternwarte  in  Bern.)    Nr.  167-168. 

Derselbe:  Bestimnmug  der  mittlem  Kraft  in  Druck  und 
Zug.    Nr.  !67— 168. 


G.  Valentin:    Einige  Bemerkungen    über  den  Winterscbl« 
des  Slacheli^els.    Nr.  174-175. 

(Herr    l*rof.    Sacc   in    Neuchatel  hat  entdeckt,     dass  die 
Winterschlaf  verfallenen  Murmelthiere    an  Küruerge wicht  zuneb 
men,  bis  die  von  Zeit  su  Zeit  durchgreifende  Harnentleerung  tf' 
Schwere  des  Thieres  von  Neuem  herabsetzt.  Herr  Valentin  h 
dieses  Gesetz  auch  beim  Stachelieel  vollständig  bestätigt  gefundea 

K.  Wolf:  Notizen  zur  Geschichte  der  iVIathematik  und  Physl 
in  der  Schivei«.     Nr.  174—175.  ^ 

Derselbe:    Versuche  zur  Vergleichung   der  Erfahrungen': 
schein  lieh  keit  mit  der  mathematischen  Wahrscheinlichkeit.    Vierb 
Versuchsreihe.     Nr.  176  -  177. 

F.  May  von  Rued:  Die  Himmelstiebel.  Nr.  178. 

R.  W'ilf:  Einige  Uenbachtungen  des  Zu diakul lichtes  im  I 
jähr  1850.  —  Beobachtungen  von  Nebensonnen  am  27.  Mai  ISC 
—  Höhe  der  Stermvarle  von  Bern.    Nr.  179. 

Derselbe:  äonnenflecken-Beobachtungen  Inder  ersten  Hill 
des  Jahres  1850.     Nr.  180— 181. 

Ueber  eine  bibliographische  Kuriosität.  Mr.  I 


-181. 


Derselbe 


0er  Juli- August-Sternschnuppenstrom 
Länge   dl 


Sternwarte  von  Bern.  —   VerscWi 
November -SternüchnuppeDscbvvan 


Nr.  182, 

Derselb.  __.^. 
dene  Bemerkuiin;en.  — 
von  1850.     Nr.  18;J  — 184. 

Derselbe:  Notizen  zur  Geschichte  der  Mathematik  uad 
sik  in  der  Schneiz.    Nr.  183—184. 

H.  VVydIer:  Die  Knospenlage  der  Blätter  in  libersichlliclM 
Zusammenstellung  mit  einer  Tafel.  Nr.  183 — 187.  (Lehrreich  m 
interessant.)  ^^ 

M.  Perty:  Üeber  den  geförbten  Schnee  des  St.  GotfbaH 
vom  16.  — 17.  Febr.  1850.    Nr.  188—192.    (Sehr  interessant.)      /^" 

C.  Brunner,  Sohn:  Aphoristische  Bemerkungen  über  c 
Productionskraft  der  Natur.     Nr.  188—192. 

R.  Wolf:  Versuche  zur  Vergleichung  der  Erfahrungswal 
scheinlichkeit  mit  der  matheniatischen  Watrscheinlicbkeit.  Hat 
trag  zur  vierten  Versuchsreihe.    Nr.  193-194. 

Derselbe:  Zusatz  zu  der  Bestimmung  der  mittlem  Kraft 
Druck  und  Zug  in  Nr.  KW.     Nr.  193—194. 

Derselbe:  Versuche  zur  ITergleichung  der  ErfahrungewabF 
scheinlichkeit  mit  der  mathemat^chen  Wahrscheinlichkeit.  FänA 
Versuchsreihe.     Nr.  197  — 199. 

Derselbe:  Notizen  zur  Geschichte  der  Mathematik  nndPb; 
sik  in  der  Schweiz.  (Ein  verloren  geglaubter  Brief  Lamberts  I 
Johannes  Gesner.  S.  Lamberts  deutschen  gelehrten  Briefwechrt 
Tbl.  II,  S.  177.).    Nr.  197  >- 199. 

Derselbe:  Notizen  zur  Geschichte  der  Mathematik  und  Phi 
sik  in  der  Schweiz.  (Zwei  interessanle  Briefe  aus  Cristnph  Jezli 
Correspondenz,  die  mehrere  mathematische  Bemerkungen  enthal^^ 
ten,)    Nr.  201-202. 

C.  Brunner:    Beitrag   zur  Eudionietrie.  (Eine  neue  eudi 
Irische  Methode.).     Nr.  2Ö1— 2(B. 

R.  Wolf;  Sonnenflecken-Beobachtuneen  Inder 
des  Jahres  1850,    Nr.  206—207. 


ei  ten  Half» 


r 

^ifc  in 


trselbe:  Notizen  zur  GcEichicbte  der  Mathematik  tinil  Phy- 
der  Schiveiz.  (Auszug  aus  Jnhann  II  Beruoutli's  Reise- 
joörnal    vom  Jalire  17*5.  Mehrfach  interessant.)-    Nf.  206—207. 

Ij.  K.  von  Fellenberg:  Darstellung  aschenfreier  Filter. 
Nr.  208  —  20«. 

lt.  Woll:  Notizen  zur  Geschichte  der  Mathematik  uad  Phy- 
sik in  der  Schweiz.  (Ein  Brlel'  Johann  I  Hernnulli  an  Gegner). 
Nr.  -208-20'. 

Derselbe:  Ueber  die  Vertheilunp  der  Fixsterne.  (Eine  inte- 
ressante craiihisehe  Darstellunt;  der  Vertheiluni;  der  Fixsterne.) 
Nr.  yiO--2ll. 

C.  Fischer- Ooster:  Noch  Einiges  über  die  Theorie  der 
absoluten  Wärme  und  die  Formel  fßr  die  Schneegränze  (vergl.  123 
—  12ti.).    Nr.  210  — -ill. 

(Die  Formel  des  Herrn  C.  Fischer-Ooster  für  die  Seh  nee- 
gräDze   ist  frtl<ien<le: 

Veno  S  die  Hlihe  der  Schneegränze  über  dem  Orte  bezeich- 
net, von  dem  II'  die  Summe  der  absoluten  Wärme  ausdrückt,  und 
wenn  k  und  A'  der  Werthe  der  H.ihe,  bei  welcher  das  Thermo- 
meter um  1"  fällt,  sowohl  unten  als  bei  der  SchneegrSnze  in 
Toisen  anzeige»,  so  ist 


Vjl— 19      h+h- 


S={\^W  —  K)(h+h-) 


wobei  der  Werth  von  h  und  h'  veränderlich  ist,  und  wo  der  vnn 
/(',  obgleich  unbekannt,  doch  durch  eine  vorläuüge  Berechnung 
leicht  t;efunden  werden  kann,  indem  man  ihn  zu  SS  Toisen  in 
niirdlichen  und  zu  100  Toisen  in  südlichen  Ländern  provisorisch 
aiHiimmt  und  ihn  dann  detinitiv  aus  der  nachfolgenden  kleinen  Ta- 
belle bestimmt,  die  Herr  C.  Fisher-Ooster  nach  Zachs  Ta 
belle,  »o  mit  die  Barumeterstünde  angegeben  sind,  berechnet  bat; 
Die  Temperaturabnahme  von  1'^  erfolgt  n&mlich  in  einer  abso- 
luten Höhe  von   circa: 


m 


tfflO' 

bei  81,4  ToLren 

1822 

„     82,8 

KHl 

„    84.3       „ 

mm 

„     8fi,0 

4B-1I 

,.     87,7       „ 

»»»1 

„     89,4 

7U44 

„     91,2        „ 

8244'    bei     93,0  T 
9500      „      95,1) 
10820      „      97,1 
12230      „      89,3 
13716      „    101,5 
15294      „    ltt),8 
10974      „    100,2 

Bisen 

nd  Phy 

I 

Biden  Mathematikern  vorzuziehen,  und  die  Johannes  Ber 

selbst  über  die   berühmte  Chatelet   setzte.     Sie  war  geboren   den 


R.  Wolf:  Notizen  > 

liu  der  Schweiz.  (Sehr  interessante  Notizen  über  Ann 

i    Reinhart    von    Winterlhur,    welcher  gelehrten  Dame 

iel  Bernoulli  das  Zeugniss    gab,    sie  sei    (Clalraut,  Euler 

'nige  wenige  Andere  ausgenommen)  last  allen  mit  ihr  leben- 

atfaemati' 


12.  Juli  1730  UD<1  slarh  den  5.  Januar  I7W.).  —  Feruerer  Beiti 
zur  Kenntniss  alter  Schweizer  Kaientier.  Nr.  210 — 211. 

Derselbe:  Notizen  zur  Geschichte  d erMathematik  und  PI 
sik  in  der  Schweiz.  (Herr  Wolf  weiset  in  diesem  interesa 
ten  Aul'satze  nach,  dass  das  schöne  Princip,  auf  welches  sieb' 
Planimerer  von  Wetli  (m.  s.  Liter.  Uer.  Nr.  LVl.  S.  774.),  nS 
lieh  die  Flächeomeasung  durch  Umschreibung,  erfindet,  schon 
Jahre  l}42Gdurchden damals  in  Bern  belindlicReuTburgauerJobi. 
nes  O^tpiküfer  aufgefuiideu  n'orden,  und  dass  der  Planimeter  v 
Wetli  im  Wesentlichen  durchaus  nicht  i'oii  dem  Oiipikofer'Bcfa 
verschieden  sei.  Uieser  Aufsatz  enthält,  überhaupt  mehrere  sehr  lel 
reiche  Bemerkungen  über  diese  l'lunimeter,  aiildie  wir  die  Leser,  w 
che  diese  Instrumente  iiüberkenaeii  lernen  wollen,  besonders  aufmei 
sam  machen.  Auch  die  beigelügte  Zeichnung  dient  sehr  zur  b< 
seren  Erläuterung  der  Sache).     Nr.  213— 2J5. 

Derselbe;  Uelier  eine  am  10.  August  1850  in  Aachen  u 
Bern  gleichzeitig  beobachtete  Feuerkugel.   Nr.  213 — 215. 

D«rselbe:  Ueber  das  Sehen  der  Sterne  bei  Tage  tma  tief 
Schachten.  —  (Nach  sorglälligen  Nachforschungen  bestätigt  üi 
Wolf  das,  was  über  diesen  öfters  «ur  Sprache  gebrachten  Gege 
stand  A.V.Humboldt  im  Kosmos  Tbl.  111.  i$.  71.  sagt.  nSl 
lieh,  daes  die  ganze  Sache  illusorisch  sei,  vollkommen.).  Nr.213— ä 

Derselbe:  Soniienflecken- Beobachtungen  Inder  ersten  Bäl 
lies  Jahres  1831.  —  Beobachtungen  des  Zoiliakallichts  im  Ftfi 
iahr  1851.  —  Beobachtung  der  (iiartlalen)  Sonnen  Unstern  las  k 
28.  Juli  1851.  —  Sternscbouppen-Heobachtungea  im  August  IS 
Nr.  216-218, 

Derselbe:  Notizen  zur  Geschichte  der  Mathematik  und  W 
sik  in  der  Schweiz.    Nr.  216— 2JS. 

Ausser  den  obigen  Aufsätzen  enthalten  diese  Mittheilungi 
noch  eine  grössere  Anzahl,  oft  recht  interessanter  Briefe  ältfl 
schweizerischer  Gelehrten,  hauptsächlich  Mathematiker  und  Nati 
forscher,   die  sämmtlicb  Herr  R.  Wolf  niitgelheilt  hat 

The  Cambridge  and  Dublin  mathemafical  Journi 
Edited  bv  W.  Thomson,  M.  A.,  F.  K.  S.  B.  Vergl.  Lit( 
Her.  Nr.  XXV.    S.  847. 

Nr.  XXVII.  On  Dunücate  Surfaces  of  Ihe  Secood  Order.  I 
Johu  Y.  Rutiedge.  —  On  the  Cunduclion  of  Heat  in  Cryst* 
By  G.  G.  Stokes.  -  On  the  Velocity  of  Sound  in  Liquid  n 
Solid  Bodies  of  Limited  Diuiensions,  especially  along  Prisiu» 
Masses  of  Liquid.  By  W.  J.  Macquorn  Ranline.  —  On  t 
Connexion  of  Invnlute  and  Evolute  in  Space.  By  Professor  I 
Morgan.  On  a  Mechanical  Esperiment  connected  with  the  F 
tation  of  the  Barth.  By  Henry  Wilbraham.  —  On  the  Ind 
Symbol  of  Homogeneous  Functions.  By  B.  Carmichael.  —  M 
thematical  Notes:  I.  Lettre  to  the  Editor.  By  O.  Buole. 
II.  Proposed  (juestion  in  the  Tbeory  of  Probnbililies.  By 
Booln.  — III.  Solutions  of  Some  Elementary  Problem  in  Geoi 
try  of  Tliree  Dimensions.  By  W.Walton.-  IV.  OntheGenei 
Theorv  of  As>iociatet  Algebraical   Forma.     By  J.  J.    Sylvesf 

(l^he  Next  Number  will  be  Published  on  the  Ist  of  Februii 


897 


JLlterarlisclLer   BerlclLl;. 


Simon  Lh  Ulli  er  gehurt  unstreitig  zu  den  ausgezeichnetsten  Ma- 
thematikern der  neueren  Zeit,  scheint  aber  (wenigstens  jetzt)  lange 
nicht  so  allgemein,  wie  er  immer  noch  verdient,  bekannt  zu  sein.  Mein 
jDir  unvergesslicher  Lehrer,  Johann  Friedrich  Pf  äff«  stellte 
Ij  h  a  i  1  i er  sehr  hoch  und  empfahl  das  Studium  seiner  Schriften  jungern 
Mathematikern  angeleseutüchst.  Ich  selbst  verdanke  diesen  Schrif- 
ten sehr  viel  und  greife  noch  jetzt  öfters  mit  besonderem  Wohl- 
l^fallen  nach  denselben.  Dass  Lhuilier  ein  sehr  hohes  Alter 
erreicht  hatte,  war  mir  bekannt;  über  seine  näheren  Lebens 
iinistände  ist  aber  wenig  bekannt  geworden.  Desto  mehr  Freude 
machte  mir  eine  von  Herrn  R.  Wolf  in  Bern  in  einem  der 
neuesten  Stücke  der  „Mittheilungen  der  naturforschen- 
den Gesellschaft  in  Bern'',  welche  immer  viel  Lesens wer- 
tbes  enthalten,  gelieferte  Lebensbeschreibung  Lhuiliers;  und 
da  die  genannten  „Mittheilungen''  wohl  nicht  in  die  Hände 
vieler  Leser  des  Archivs  kommen  möchten,  die  Lebensbeschrei- 
bung eines  so  ausgezeichneten  Mathematikers,  wie  Lhuilier 
war,  aber  allgemein  von  grossem  Interesse  sein  muss,  so  erlaube 
ich  mir  diese  Lebensbeschreibung  auf  den  nachfolgenden  Blättern 
den  geehrten  Lesern  des  Archivs  mitzutheilen.  iSeines  Lehrers 
Xj^sage,  der,  so  viel  ich  weiss,  nichts  Mathematisches  ver- 
öffentlicht hat,  gedenkt  Lhuilier  in  fast  allen  seinen  Schriften 
init  der  grössteu  Achtung  und  Dankbarkeit;  die  Leser  werden 
^iese  Gefühle  wärmsten  Dankes  auch  im  Folgenden  ausgespro- 
csheo  'finden ,  und  sich  daran  gewiss  ebenso  erfreuen  wie  ich. 

G. 


Sand  XVIil.  7] 


Simon  lihnilier. 


unter  den  seh iv ei zeri sehen  IVIathem atikern  neuerer  Zeit  ni 
der  Genfer  Simon  Lhuilier  unstreitig  eine  der  ersten  Stellen 
Nicht  nur  hat  er  sich  aU  elementarer  "Schriftsteller  in  den  Ge 
ten  der  Algebvu  und  tieomelrie  wohlverdienten  Ruhm  ei 
und  als  lang;iähriger  Lehrer  in  seiner  Vaterstadt  schüne  Resul 
erzielt,  ~~  seine  Arbellen  in  der  Palygonomelrie,  Polyedrome 
Isoperimetric,  Differential-  und  Integralrechnung,  etc.  sichem 
aucli  in  der  Ueschichte  der  Wissenschall  eine  ehrende  St 
indem  sie  derselben  theils  neue  Uiscinlinen  Cufügten,  theüs  W 
lise  Theorien  besser  begründeten.  In  den  Besitz  des  gnlei 
Theiles  von  L h u i I  i e r s handschriftliehera Nachlasse gekonuneo, t 
ich  es  daher  von  nicht  unhedeutendem  Interesse,  nach  und  i 
Einzelnes  ans  demselben ,  was  entweder  historische»  Werth 
oder  noch  jetzt  zum  Ausbaue  der  Wissenschaft  dienen  kann,  « 
teren  Kreisen  vorzulegen.  Zur  Einleitung  mag  folgende  JÜ 
über  Lhuilier   und  seine  gedruckten  Arbeiten  dienen. 

Simon-Antoine-Jean  Lhuilier  ivurde  am  24.  April  I 
zu  Genf  geboren.  Schon  frühe  zeigten  sich  seine  Anlagen 
die  mutheuiati sehen  Wissenschaften,  und  erlaubten  ihm  nicht 
die  Ideen  eines  Anverwandten  einzugehen,  der  ihm  einf  " 
seines  Vermiigena  unter  der  Bedingung  den  geistlichen  Stanl 
ergreifen,  vermachen  wollte.  Der  vorzQglicfae  mathematische! 
terrlcht,  welchen  damals  in  Genf  Louis  Bertrand,  der  sich  äa 
sein  D^veloppement  nouveau  de  la  partie  eleme 
des  Math^matiques  als  wGrdigerSchüler  Eulers  ertvii 
rend  langen  Jahren  ertheilte,  warvnngrusser  Wirkung  auf  den  flei 
gen  JQngling, —  und  umgekehrt  war  Bert  ran  d,  der  Lhuilier  ft 
nähern  Umgang  zuTheil  werden  Hess,  liber  dessen  Fortschritt^ 
erfreut,  dass  er  _iha  zum  Voraus  als  seinen  einstigen  NaJcb 
ger  bezeichnete,! Von  noch  grosserer  Bedeutung  fürLhuilien 
es,  dass  er  sich  die  Zuneigung  des  ihm  verirandten  berSha 
Naturphilosophen  George-Louis  Lesage*)  envarh,  der 
sofort  mit  Rath  und  Unterricht  beistand.  In  einem  BrucbstB 
eines  grossem  Briefes,  das  ich  unter  den  erwähnten  Maninsci 
ten  vorfand,  erzählt  Lhuilier  Folgendes: 

„Mes  relations  avec  Mr.  Lesage  datent  du  mois  deJuin  17 
J'avais  le  bonheur  de  sorlir  du  College  ä  la  töte  de  ma  Tol 
Mr.  Le  Sage  apprit  lo  triomphe  de  snn  jeune  parent.  Pouss^ 
la  g^nörositö  de  snn  caract^re  qui  le  portait  ä  se  rendre  t 
auxjeunes  gens  qui  connaissaient   tout  au  moins  de  Tapplicat 


idit  (pour  la  premiere  fois)   cbez  mon  pere  pour  faire  iim 

J'etats    abseilt.     Je   fus  envoye  cliez  lui.     II  m'ac- 

bontö,    et  me  perniit  de  venir  "le  voir  luniÜivremeul. 

„Penilant  le  cours  de  nies  etndes  de  belles-letlres ,  il  m'aida 
(  aes  conseils,  et  il  nie  fouruit  Jes  moyens,  par  \es  livres  qu'il 
loe  mit  entce  les  inains,  de  joindre  ä  ces  etudos  celle  de  rArilh- 
nietique  comme  preliminaire  uux  etudes  matheiiialiques.  II  (rouva 
«;bez  moi  de  rapplication  et  de  la  faciltte  ä  acquerir  la  routine 
du  caIcuL     II  m'acIniU  aussl  k  une  le^on  particuliere  de  Geonielrie 

Sratique.  Enliri  il  me  pnt  chez  lui  peadant  trois  du  quatre  mois 
'6te  qu'il  passa  tt  la  campa^iie  et  ce  fiit  Ik  qu'il  consacra  uae 
partie  de  »on  temps  k  m'mitier  k  l'^tude  de  l'Alg^bre,  qui  me 
dotina  beaucoup  plus  de  pdne  qiie  iie  paraissait  annoncer  la  faci- 
lite  nvec  laquelle  j'avats  appris  l'Arithmetique.  Je  iireflfor^ais  de 
conipeiiser,  bien  faiblemeat,  leu  soins  qu'il  me  donnait  en  lui 
servant  de  copiste. 

„De  retour  ä  la  ville,  il  vontribua  ä  me  placer  conime  pre- 
cepteur  thez  Mr.  Rilliet-Plantamour,  oü  je  suis  reste  a  peu  pres 
deux  ans.  Pendant  nies  etudes  pbiiosophiques,  il  s'appliqua  ä 
m'aider  de  ses  dlrections  et  de  sea  conseils.  II  m'admit  aux  le^ons 
de  Phyäique  qu'il  donnait  encore  pendant  une  partie  des  annees 
1768  et  l;ß9,  et  il  poussa  la  complaisance  juaqu'ä  reroir  les  ex- 
traits  etendus  que  je  faisats  de  aoa  cours. 

„Vous  savez,  Monsieur,  combien  iI  citait  rtiserv^  ä  donnerdes 
conseils  sur  les  objets  qui  n'etaient  pas  imraediatement  litteraires. 
Aussi  n'a-t-il  eu  uucunepart  a  ma  retraite  de  l'^lat  ecciesiastique 
auquel  on  me  croyait  destinä.  II  approuea  seulemeiit  la  suspeu- 
aion  de  ma  resoiution  pendant  une  ann^e,  que  j'emnioyai,  toti- 
jours  )ious  ses  directions,  ä  poursuivre  les  eludes  philosciphiques 
«n  m^me  temps  que  je  continuai  d'assister  aux  le^ons  de  Physi- 
i|ue  de  Mr.  de  Saussure  (donl  j'aurais  ^te  prive  pendant  nies  Stades 
tiubliques  de  ^hiloeophie).  Pendant  cette  annee  il  contribua  beau- 
coup a  nie  faire  retirer  un  parti  lacratif  des  connaissantes  qu'il 
ni'avait  donuees.  II  m'adressa  des  disciples;  le  bonheur  que  j'a- 
vaVs  d'^lre  son  el6ve  insnirait  de  la  conllance.^t  je  fus  chargd 
eotr'autres  par  lui  de  dooner  des  leyons  preparatoiree  ä  ses 
coars  sur  W  connaissances  math^maliques  qu'its  eiiigoaient 
et  dont  il  m'avait  donne  le  fableau.  Je  cnis  voir  pendant 
cette  ann^e  qu'il  m'avait  dnnnö  un  ätat,  capable  de  sufGre  ä  mes 
besoins  et  a  cenx  de  ma  mere;  c'est  la  part  inditecte  qu'il  a  eue 
ä  ma  retraite  des   etudes  pubüques. 

„Pendant  les  annees  qui  se  sont  ecoul^es  dds-Inrs  jusqu'a 
inoD  depart  de  Geneve,  il  m'admit  librument  aupres  de  lui,  meme 
pendant  les  heures  consaerees  ä  ses  trnvaux  pattieuliers.  Je  lui 
parlais  de  mes  occupations,  et  il  m'aidait  par  ses  directions  et 
par  ses  secours  litteraires  qu'il  me  fouriiissait. 

„Pendant  ce  temps,  il  a  ete  quelq^uefois  question  de  coope- 
rer  ä  la  publlcation  de  ses  ouvrages;  je  le  desiraia  vlvement  et 
dans  le  debut  je  concevais  de  l'esperance.     Je  ne  tarda!  paa  d'^- 


a  l'unt  fnit  plusieiirs  de  ses  arois,   condni 


L 


Ai 


MA 

Berait  dirSdle.  Vous  savez  c<tmbi«D  de  fols  U  n  variä  snr  ees  pl: 
dfl  Gnmpn«iU(tn  et  eur  len  ä|>oque8  ausqucllea  il  en  cimmencei 
la  rL^lai;tli>n.  Cetle  vaccillutiun  n«  «'uccordait  pa»  avec  mon 
jiatieiicB,  et  je  dun  ölro  convulncu,  ciuoitjunvec  bleu  liu  tc^iti, 
que  je  Hfl  pourrai«  pas  contrilmcr  k  lui  remlre  uii  service  pu  H 
quel  aeul  )c  pnuvum  rnrcinnaitre  en  partim  Ics  nliligattoii«  i)ue 
lul  uvuia.  '  Piritre  niani^ro  ile  vivru  eliiit  d'allluura  si  difl^tn 
qu'elle  apportoit  iin  gturid  ob^lude  k  cette  vommunniit^  de  traviil 
jni  luujuura  ^l4  tr^a  mntiiipux;  nia  jiiiirii4^e  «luit  finic  pour  dw 
travaux  porlicüliers  tonque  la  Mieniie  ii't^tait  pus  t^imintenc^ 
et  I«  reate  de  la  joiirn^»  HeTnil  £tru  consacr^  ü  luon  «tlat  ^nvieag 
comme    reaeource  pccuniaire. 

„  Arriv^  k  V&ftti  iiii  un  jeune  bommc  «utn«  fortiine  forme  ni 
tuTellcmenl  desprojcta  pour  s«  fniro  un  eort.  —  ratlc;tiä  d'un  etm 
de  vie  petiibte  qui  ne  tittllt>raiaait  paa  inim  impntienc»:  Je  li 
Gommuiiiquai  le  A^h'it  qiic  j'uvais  de  trourer  en  dehurs  qn«!« 
place  qui  eut  le  dniilile  avuntage  d'^tre  pliin  lucrutive  et  am 
päiiiltle.  II  e'en  pr^senta  unc  ucca«ioii  en  1775.  II  re^ut  de  8« 
ami  Pfleiderer  les  pro^ruminea  de  la  commiasion  d'ediicalion.  r 
iX  Ria  lea  cnmmuniqua,  Je  liii  üa  coniiaitre  moii  ülaii  avant  i 
renvcyer,  II  euf  diiuir«  quo  j>u»ee  ecril  sm  la  Phy&ijpie;  r"' 
je  iie  pouvais  nie  persiiuder  que  «es  priiicipes  de  Physique  g 
rale  dusAcnt  occuperdans  retüsei^iienieiit  deniand^  nne  place  lu. 
conaid^ruble  pour  nue  Ißur  dävelomiemetit  eut  rendu  prubabi«! 
BUcc^s.  et  je  n'avais  pas  aase«  cultive  \e»  parties  de  lu  phy^A 
qut  ine  paraissaient  essentielles  duiis  i;et  enselgnement  pour  qtf 
pendatit  le  peu  de  mois  qui  restaient  encore  jusqu'ä  la  linduö^ 
CQurs,  je  puase  me  flatter  de  faire  sur  la  physique  un  trarail  i 
me  proniit  le  äucces.  J'envnyai  donc  nion  plan  relatif  aui  H» 
th^niatiqueH ,  et  dans  le  billet  cachete  je  lu'iuscrivais  cou 
disciple. 

Eiae  kleine  Arbeit 

J)     Lettre  en  reponse  aux  objections  elevees  contra  la  £J 
vitation    nenionieniie    [Journ.  encyclop.  Fevrier   lii^ 

ausgenommen,  debQtirte  L)i  uilier  rolt  dieser  Preisschrift,  die  »idi 
grüastentbeils  auf  allgemeine  Arithmetik  bezogen  zu  haben  stheinl 
Ein  für  ihn  dficklicber  Umstand  irar  ea.  das»  Christoph  Frlf 
drich  Pfleiderer  (173Ö— 1821),  der  von  1763—1766  als  Se» 
ler  und  Mitarbeiter  bei  Lesage  in  Genf  genesen,  und  flurch  L^ 
1766  Tiuch  Warschau  an  die  vom  Könige  Stanislas  August  an 
gestiftete  Militair-Aeadeinie  als  Professor  der  Mathematik  vni 
Physik  empfohlen  ivorden  war,  in  der  zur  AbfasRung  und  Prü- 
fung von  Schulbüchern  im  Königreich  Polen  niederi^esetxten  Co» 
tnission,  welche  jenen  Preis  ausschrieb,  als  eines  der  thiitigi-tti 
und  einllussreichsten  Mitglieder  sass.  Pf lei  derer  fand  iinlbtvenil^ 
an  der  in  Lesagle's  Geist  geschriebenen  Arbeit  ein  bcsondert* 
Wohlgefallen,  —  sie  wurde  gekrönt,  erschien  als 

1)     Arithmetiqiie    ponr    les    Ecoles    palatinales.      VarMonc 


901 

|.  gleichzeitig    nucb    in  polnischer  Uebersetzung'l.     Der  Künig 

I  Holen   Hess  den   jungen   Verfasser  für   seine  Arbeit  beglQck- 

undder  FGrst  Czartorinski  lad  ihn  ein  nach  Warschaa 

n,    um   seinen  Sohn,    Her  in   epiiterer  Zeit   das  Haupt 

E  emigrirten   Polen  werden   sollte,  zu  unterrichten.     Lhuilier 

i  der  .Einladung,  und  die  lan^e  Reihe  von  Jahren,  welche  er 

n  tfirstlichen  Hanse   zubrachte,    bildete  nicht  nur  die  ^liick- 

I  Epoche  seines  Lehens,  sondern  war  nach  (Sr  die  Wissen- 

von  reicher  Ausbeute.  Zunächst  erschien  1781  in  den  Ber- 

r- Memoiren  sein 

3)  Memoire  sur  le  minimum  de  clre  des  alvöoles  des  abeil- 

Ics,  et  en  particulier  sur  un  minimum-raininiorum  reta- 
tif  ä  cette  mutiere, 

■reichem  er  nach  dem  ürth eile  von  Professor  Maurice  diesen 
lenstand  Tollkomraen  erschöpfte^).  Dann  folgte  sein  grösse- 
fWerk 

4)  De  relatione  mntua  capacitatis    et  terminorum  figurarum, 
geometrice  considerata.     Varsoviae.  1782.   4". 

tiches  mehr  als  ein  halbes  Jahrhundert  später  der  cnmpe- 
)  Richter  in  diesem  Gebiete  der  Mathematik,  Herr  Proles- 
iiner  in  Berlin  ,  noch  folgendes  Urtheil  fällte«)  :  „Alles,  was 
■ne  Vorgänger  auf  elementarem  Wege  über  diesen  Gegenstand 
«eistet,  von  den  uns  überlieferten  ersten  Anfängen  der  Grie- 
pn  bis  auf  die  Fortsetzungen  und  tiefere  Begründung  durch  R. 
^soa  und  Andere,  hat  Lhuilier  mit  grosser  Umsicht  zusam- 
pngefasst,  mit  seltenem  Scharfsinne  verbessert,  ergänzt  und 
Tträchtlich  erweitert.  Leider  scheint  öfter  sein  WWk  cilirt, 
f  die  darin  herrschende  Methode  richtig  verstanden,  oder  gehü- 
1  gewürdigt  und  befolgt  worden  zu  sein;  denn  alle  seine  Nack- 
iger sind,  soviel  mir  bekannt,  mehr  oder  weniger  von  seiner 
Ifaehen  natürlichen  Betrachtungsweise  abgewichen;  sie  nah- 
kndcrn  künstlichen  Hülfsmitleln  Zuflucht,  und  beschränk- 
1  sich  überdies  anfeine  viel  geringere  Zahl  von  Aufgaben  und 
Dadurch  verschwand  aber  auch  immer  mehr  uie  schöne 
pfftchbeit  der  Beweise,  der  innige  Zusamnieohang  der  Sätze 
Mt  dem  Bewusstsein  der  Gründe,  durch  welche  derselbe  be- 
Igt  wird."    Zwei  nach  Petersburg   gesandten  Abhandlungen 

I  ,  B)  Sur  les  pyramides  isop^rimetres  [Nova  Acta  IIIJ, 


J*)  Kach  ninatndn  ltl.263.  wären  ancli  rnn  ihm  verfatsto  E lernen ti 
Kiflm^trie  gehiiint  und  veröfTentlicht  worden.  IJelierlinu|it  iit  ei  mir 
■t  gnnz  klar  gowiirden,   wai  Alles  in  Lhuilier'a  Sendung'  nach  Palen 

iTn    aiir    ritiülruciinn    pattliqnc    par   De  )a   Rtve.     Genev« 


6)  TheoTÖme  snr  les  centres  de  gravite  [Nova  Acta  IV] 

e  seine,  nach  Ucurlheilunc  vod  einer  durch  Lagjrangeprl 
"      '     '         '     Berlin  gekrönte  l'reischrii't 


7)  Exposition  elementaire  des  priocipes  des  calcuU  si 
rieurs  qui  a  remporte  le  prix  propnsä  par  l'Acad^i 
royale  des  sciences  et  belies  -  lettres  uour  i'aoDee  1' 
Berlin.    4». 

in  welcher  er  auf  d'Alemberls  geistreiche  Mee  der  Grenzen 
sirte,  auf  welche  man  auch  in  der  neuesten  Zeit  nieder  allgetni 
zurüclElcumnit.  Nach  Montucia')  hatte  ei|;entlich  die  Berliner  A< 
demie  die  Entwicklung;  der  Theorie  de  TinUni  niathematique  v 
langt,  —  aber  Lbuilicr  gerade  die  gebotene  Gelegenheit  beoul 
diese  Theorie  zu  bekämpfen  und  ihr  die  der  Limites  zu  a  ' 
tuiren.     Dann  erschienen  wieder  mehrere  kleinere  Arbeiten; 

8)  Examen  du  memoire  sur  lex  pnids  et  mesures,  oh  ToB  . 
propoee  le  moyen  d'avoir  des  etalons  ou  modales  de  ml 
eures    et   de   poids    qui  soient    regl 
certains  et  in 


[Joi 


9) 


Theoreme    sur  les  solides  ulai 
Berlin.  A.  1786  et  1787] ; 


redeil  par  des  princii 
ncycl.  Juillet  1783]; 

'Superficiels     [Menj 


10)  Sur  la  decomposition  en  factenrs  de  la  somme  et  de 
difference  de  deux  puissances  a  exposants  quelcon«)! 
de  la  base  des  logarilhmes  hyperbnliques,  dans  le  i 
de  degager  cctte  däcomposition  de  tonte  idee  de  ViH 
[Mem.  de  Berlin.  A.  1788  et  1789]. 

Am  Ende  seines  Aurentlialtes  in  Pulen  Tasstc  der  nnermSdlii 
Lhuilicr,  dcssenLeistungen  bercitsdie  Academien  in  Berlin  i 
Petersburg  verunlasst  hatten,  ihn  zum  Correspondenten  zu  ern 
uen,  den  Plan  zu  seiner  Polygonometrie.  Voll  von  seinem  £ 
würfe  kam  er  nach  Tübingen  zu  seinem  Freunde  Pfle.ltderor,  i 
schon  1781  als  ProfeKSor  der  Mathematik  und  Physik  in  sein  ' 
terland  zurückgekehrt  war.  Dieser  machte  ihn  auf  die  betreffe 
den  Arbeiten  Lexell's  aufmerksam,  die  eben  In  den  Petersbur] 
Memoiren  -«Fächiencn  waren.  Lhni'licr  verglich  sie  aufmerks 
mit  seiner  eigenen  Arbeit,  lies»  aber  dennoch  nach  seiner  Rä 
kehr  nach  Genf  sofort  die  Schrift 

11)  Polygonomelrie,  ou  de  la  mesitre  des  (igures  rectilien 
Et  Abrege  dlsop^rimetrie  el^mentaire.  Genese  1789. 

erscheinen,  in  der  Einleitung  das  Resultat  jener  Vergleicbi 
seinen  Lesern  in  folgenden  Worten  mittheilend:  „Je  trouvai 
„effet  quelVIr.Lexellavait  execute  leplanque  je  meproposais,etqn 
„parttculier  il  avait  trouve  tes  memes  propositions  londamentah 


Iteodunt  je  vis  bieiili^t  que  mon  proceile  differait  aesez  du  sie», 
I  par  lu  forme  des  diviciions  et  subdivisions,  soit  par  la  nia- 
,iiiere  dont  j'tituis  [larvenu  ä  ces  [iropositions  l'ondamentalefi,  soit 
spar  les  cotiRtmctions  nue  je  develloppais,  soit  par  les  rellexioüB 
.^omölnques  auxijuelles  j'etais  amene,  pour  que  le  travaü  de 
.Mr.  Lexell  ne  Aüt  pas  m'engager  ä  suppnnier  le  niien.  La  d^- 
,  iL-rmiaation  de  la  surlace  d'une  Geure  rectili|;ne  dans  sen  cöt^s 
.iit  sea  angles.  et  tes  applications  de  la  forniule  elegante  par  la- 
,<|i]ellc  eile  est  exprimee,  est  une  matiereque  je  crois  entierenietit 
.neiive  et  qui  m'eiit  prupre.'-  Dass  Lhuiller  seine  Arbeit  nicht 
■n  hoch  über  die  Lexell's  stellte,  mag  folgendes  Urlheil  Moii- 
ucl.'i's*}  bezeugen;  „  Le  cit.  Lhiiilier  säumet  ä  des  r^gles  seni- 
, Mahles  ä  Celle  de  la  trigonometrie,  le  caicul  des  etiles  et  dea 
..Btigles  de  tout  polygone  reetiligoe ;  c'est  un  coin  ,  pour  aiiisi  dire, 
,4u  vaste  et  immense  champ  de  la  göomötrie ,  oü  Euler  et  Lexell 
,BVaieiit,  ä  la  verite,  fait  quelques  incursions,  luais  oü  le  cit. 
„Lhuilier  est  enlre  prornnd^ment,  et  dont  il  a  tire  une  ample 
,,iiioiss(>n  de  verlies  nouvelles  et  utiles."  Lhuilier  war  ühri&ens, 
sline  es  zu  tvissen,  noch  mehr  mit  Masch  eron  i  als  mit  Lexell  auf 
Iteeem  Felde  zusammengetroffen;  doch  aueh  Mas'cheroni  aoer- 
lianntesein  selbstatändiges  Verdienst,  indem  er  in  der  Vorrede  zu  sei- 
nen Problem!  per  gli  agrimensorF)  sagt;  „J'avais  publik,  eii  1787, 
uparmi  les  additions  au  cniirs  de  niatbemaliques  de  Mr.  Bossut, 
„UD  pelit  iiiemoire  intituj^:  Mdthode  pour  la  mesure  des  po- 
„lygoiies  plans.  Deux  ans  apres,  Mr.  Lhuilier  publia  ä  tie- 
i.oeve  sa  Polyganometrie.  Je  reconnus  en  la  lisant,  noii  seu- 
flUment  que  mon  ouvrage  renfermait  tous  ses  problemes,  mala 
uqne  mes  solutions  analyliques  m'avaient  conduit  aux  mämes  for- 
iimules,  et  que.  nous  avions  suivi  nns  ä  pas  la  meme  carriere. 
„Un  accord  aussi  parfait  avec  ce  celebre  geometre  Tut  pour  moi 
i.d'nn  ^rand  |)rix,    et  la  preuve  la  plus  complete  que  mon  trarail 

J>DUvait  elre  de  quelque  utilite.  Au  reste,  l'ouvrage  de  Mr.  Lhui- 
Eer  nc  fait  pas  seulement  honiieur  a  son  dtuditio» ;  il  l'a  enrichi 
„iledcimonslrntioiis  geometriques  qui  lui  appartientient,  et  de  beau- 
„Coup  d'exemples  d'un  bon  choix  qul  «daircissent  ses  m^thudes." 
I)er  isoperimetrische  Anhang  ist  ein  Auszug  aus  seiner  oben  be- 
'^(iru  eben  eil  Kelatio  rautua. 

Noch  sollteLhuilier  kein  ruhiger  Aufenthalt  in  seinem  Vater- 
l:ktitle  vergönnt  sein.  Bald  nach  seiner  Rückkehr  nach  Genf  wurde 
seine  Vaterstadt  so  sehr  in  die  Stürme  der  franzüsischen  Revo- 
lution vernickelt,  dass  er  es  rathsam  fand,  lur  einige  Jahre  zu 
Pflei  derer  nach  Tübingen  zurückzukehren.  Er  benutzte  diese  Zeit, 
in  welclier  ihn  auch  die  Royal  Society  of  London  mit  ihrem  Ui- 
iilume  beehrte,  zu  einer  gimz  neuen  Bearbeitung  seiner  Berliner 
t'reissthrift ,    die  dann  unter  dem  Titel 

12)     Principiorum  catcnli    differentialis   et  integralis    eipositio 
^'        elementaris   ad    norniani  dissertationis   ab   Acad.  acient. 


gäbe.     Paris   IH03.     8", 


903 


r 


904  ' 

Refi-  Prussica  Ä.   17S6  praeinii  hotiore  decorotue  4 
rata.     Tubiogae  1795.    4'^.  • 

erschien,  und  seinen  bereits  erivorbeneo  Ruhm  durch  ihre' 
heil  und  Strenge  nicht  wenig  steigerte.  Maurice  glaubte  jed| 
seinem  mit  Aluntucla^)  übereinstimmeDden  Lobe  beifügen  si 
len:     „Mab    cette   rigueur   est  accumpagn^e   de   lon$;ueurs 


4 


I 
I 


„uurait  pu  äviter,  et  döuourvuo  de  cette  elegance  d'exposi  , 
„laquelle  les  ourrages  de  Lagrange,  surlout,  ont  accoutum 
»g^ometies. " 

ick,  und  publlcirtei 


13}  Examen  du  mode  d'^lection  prnpose  ä  la  conTentioi 
tionale  de  France  eu  levrier  17ir3  et  adopte  a  GtM 
Geniyel794.    8". 

11}     Catechisme  d'Aritbmetique  destine  aus  ^coles  primi 

deren  letztere  mir  einjigdurcb  Maurice*"}  bekannt  gewordef 
welcher  von  ihr  sagt:  „Ce  Cat^hisme  etait  une  espece  de! 
„de  force  dun  homme  fort  habiie;  mais  n&  inmie,  presquai 
»sitee,  en  a  fait  peu  ä  peu  abaudonner  l'emplgi."  t 

Im  Juli  1795,  bald  nachdem  L  hui  Her  einen  Rnf  als  Prol( 
der  hühern  Muthematik  an  der  Universitht  Lej'den  ausgesch^ 
hatte,  erhielt  er  die  Professur  der  Mathematik  an  der  AcaA 
EU  Genf,  — wie  es  ihm  Bertrand,  der  sivh  nun  zur  Ruhe  s« 
längst  prophezeit  halte.  So  sehr  er  eich's  aber  auch  angel 
sein  liess,  den  ihm  übertragenen  Unterricht  aufs  Beste  zu  ge 
so  wenig  wurde  dadurch  seine  literarische  Thätigkelt  gestört, 
nächst  begrüsste  er  die  Royal  Society  of  London  mit  seiner 

15}  Mani^re  ^l^raentaire  d'obtenir  les  suites  par  lesqu 
s'expriment  les  quantites  exponentielles  et  les  fonci 


dann  die  Berliner  Academie  tbeils  mit  seiner 

10}  Solution  alg^briüqne  du  prohl^me  suivant:  A  un  ci 
donne,  inscrire  un  nolygone  dont  les  cöt^s  passent 
des  points  donnes  [Mein,  de  Berlin  1796]  ; 

theils  in  Verbindung  mit  Pierre  Prövost  mit  zwei  Abhandlui 


'y     In  dem  schon  enrälinten  Discoura,   pag.   G. 
"}     in.  262. 
'•}     Dhccm,    p,g.  7. 


^. 


905 

17;  Sur  les  probabilites  [Mem.  de  Berlin  1796.] 

18)  Sur   I'application  du  caicul   des  probabilitäs  ä  la  valeur 
du  temoignage  [Mem.  de  ßerlio  1797.] 

Zu  Lhuilier^s  vorzüglichsten  Werken   gehurt  unstreitig  die 

19)  Anleitung  zur  Elementar- Algebra.     Zwei  Theile.    Tübin- 
gen 1799-1801.  80., 

welche  nach  dem  Verfasser  eine  neue  Bearbeitung  seiner  zwan- 
[lig  Jahre  früher  polnisch  herausgegebenen  Algebra  sein^  und  dem 
[Gange  folgen  soll,  welchen  Lesage  beim  Unterrichte  Lhui- 
Hers  einschlug;  sie  wird  mit  Euler's  Algebra  die  Mehrzahl  von 
Werken  dieser  Art  überdauern.  Die  in  diesem  Werke,  in  Ver- 
vollkommnung des  Euler'schen  Verfahrens,  auf  die  für  jeden 
jWerth  von  m  und  n  erwiesene  Richtigkeit  der  Beziehung 

C"r)=GXS)  +G!:i)CD+  <oXO 

te  Ableitung  des  allgemeinen  Binomischen  Lehrsatzes^ ^)  ver- 
it  besondere  Beachtung.  —  Am  1.  April  1800  (11  germinal  an 
kamen  seine 

80)  Theoremes    de    polvhedromätrie     [Memoires  prösent^s. 
Tom.  1.] 

der  Pariser  Academie  zum  Vortrage  und  fanden*  eine  sehr 
ifige  Aufnahme,  da  es  Lhuilier  nicht  nur  gelungen  war, 
vor  ihm  bekannten  Eigenschaften  der  Polyeder  zu  verallge- 
lero,  sondern  ihnen  eine  grosse  Anzahl  neuer  Eigenschaften 
ißgen.  Manche  dieser  Eigenschaften  entwickelte  bald  darauf 
berühmte  Carnot  in  seiner  Geometrie  de  position^^),  sich 
sh  mit  folgenden  W^ orten  verwahrend,  Lhuiiier's  Arbeit  be- 
t  xa  haben:  „Cette  partie  de  mon  ouvrage  etait  ä  i'impres- 
ion,  lorsque  j'appris  quil  existait  depuis  longtemps,  sur  le 
)me  Bujet,  un  Memoire  manuscrit  de  Simon  Lhuilier  de 
i^e.  Ce  Memoire,  depose  au  secr^tariat  de  i'lnstitnt  natio- 
»  contient  en  effet  le  principe  fondamental  enonc^  ci-dessus, 
11  qne  diverses  consequences  importantes  que  i'auteur  en  a 
InitM  avec  sa  sagacite  ordinaire.  11  est  de  la  nature  des  v^- 
M  math^matiqnes'  d'^tre  souvent  decouvertes  k  peu  pres  en 
De  temps  par  diff^rents  moyens  et  par  differentes  personnes; 
je  ne  puis    qu'etre   flatt^   de  m'dtre   rencontr^   avec  Je  cit. 


'M    Siehe  Satz  47 — 50  meines    Taschenbuches   für    Mathe- 
lAtik  ond  Physik. 

'*)    Paris  1803.  4®,  ^  während  Lhuiliers  Abhandlang  erst  1805 
Dracbe  koin. 


[iistement  celebre  par  nn  grand  nambre  d'extiell« 
-    Eine  neue  Bearbeitung  von    LhuUier'e   Alg^ 
unter  dem  Titel 

1\)  Eientenls  raisonnes  d'Algdbre.  2  vol.  Geoeve.  Iä04.  8". 

auf  dem  er  sich  nnter  Anderm  als  Mitglied  der  Güttinger  Aca 
demie  und  als  Profesaeur  honoraire  de  Math^matiuues  sublimee 
ä  l'unlveTsltö  de  Leyde  bezeichnet.  Während  dem  Drucke  dieses 
Werkes,  am  m  Uclober  1803,  starb  Lesage,  so  dass  ihai 
Lhuilier  noch  in  der  Vorrede  eu  demselben  ein  kleines  MonU' 
ment  ettichtcn  konnte,  von  dem  folgender  Theil  hier  aufgenom- 
'  Hien  werden  mag:  „Au  nioment  ou  j'ecris  cee  lignes,  quej'ariose 
„de  mes  regrets  et  de  nies  larmes,  les  lettr«8  viennent  de  perdie 
,,le  veritable  auteur  de  rouvrage  que  je  publie,  G.  L.  Lesage, 
„mon  parent  et  mon  guide  dans  mes  preniiereK  ((tudes.  II  est  le 
„fruit  des  legons  et  des  directions  que  j'ai  eu  le  hnnliear  de  re- 
„cevoir  de  cet  habile  inathematicien  ,  qui,  ä  la  profondeur  et  i 
„l'ötendue  des  connaissances ,  joignait  l'esprit  le  plus  philosoplii- 
„que;  oui  a  coneaur^  sa  longue  vie  a  la  recherche  de  la  verite  et 
„k  sonder  les  niysterei^  de  la  nature;  qui  a  m^rite  la  reconnais- 
„sance  de  ses  compatriotes  par  les  Services  litleraires  qu'il  & 
„rendu  ä  un  grand  nombre  d'enlre  eus;  qui,  par  ses  instrudioiUt 
„par  ses  directions  et  par  ses  conseils ,  a  contribne  ä  enIretenJi 
„et  ä  repandre  dans  natre  pntrie  le  godl  des  connaihsances  dÜIu 
„et  la  quiture  de  la  saine  philosophie."  —  Das  letKte  grüsaere 
Werk  unseres  Lhuilier  narEii  seine 

22)  Elements  d'analyse  g^on»!trique  et  d'analyse  [algebrique. 
appliqu^es  a  la  reclierche  des  lieus  eeometriques.  Parii  i 
1S09.    4«. 

welche  er  seinem  frühern  Schüler  Czartnrinski,  damaligen 
kais.  russischem  Minister  des  üffentlichen  Unterrichts,  ividnietei 
Sie  enthalten  eine  Abhandlung  über  den  Punkt  der  mittlem  Ent' 
fernungen,  eine  freie  Uebertragung  von  Sinisnns  Wiederlierste^ 
lung  (Ter  ebenen  Oerter  des  Äpollonius,  etc.  etc.,  kurz  ein  AtH 
serordentlich  reiches  Material  für  den  durch  den  Titel  anL'edeut<< 
ten  Thcil  der  Geometrie.  —  Bald  nachher  begann  GergonnJ 
seine  verdienstliche  Herausgabe  der  Annales  de  mathematiqad 
pures  et  appliquees,  und  fand  für  die  drei  ersten  Bande  inLhu.1 
lier  einen  seiner  fleissigsten  Arbeiter.  Es  würde  zu  weit  ßhreAt 
alle  Probleme  mitzutbeilen  ,  die  Gcrgonne  seinen  Lesern  vorleete> 
und  bei  deren  Losung  !sii:h  Lhuilier  betheiligte;  es  mögen  daitel 
nur  einige  selbstständigero  Arbeiten  demselben  hier  aufgezahlt  vef 
den ,  die  in  den  Annales   erschienen : 

23)  Analogie  entre  les  triangles  rectangles,  rectilignes  e' 
spheriques   [Vol.  I.]. 

24)  Recherche  du  plan  de  la  plus  grande  pmjection  orthl 
gonale  d'un  Systeme  de  surfaces  donnees  de  gtandei 
sur  des  plans  donnes  de  posilion  dans  Teepace  [\'ol.  !■• 


907 

25)  Dötermioation  du  c^ntre  dea  moyeaDe&  distanqes  du 
triaiigle  sph^rique.  [Vol.  If..J 

26)  Lieu  aux  sections  coniques  [Vol.  II.] 

27)  Eclaircissements  siir  le  troisi^me  et  le  sixieme  eas  de 
la  trigonometrie  sph^riqae.  [VoK  II.] 

28)  Solution  d*un  probl^me  de  corobinaisons.    [VoJ.  1I|.] 

29)  Demonstrations  diverses^  du  th^or^me  d'Euler  sur  les 
poly^dresy  et  examen  des  divers  cas  d'exceptioo  aux- 
queis  ce  th^ordme  est  assujetti.    [Vol    HL] 

30)  Memoire  sur  la  possibilite  et  la  construction  des  polye- 
dres  r^guliers.     [Vol.  III.] 

31)  Solution  d'un  probl^me  de  prababUite.    [Vol.  III.] 

Warum  L h u  i I ie r  mit  dem  Schlüsse  des  1812  erschienenen  drit- 
ten Bandes  plötzlich  verstummtet^),  ist  mir  unbekannt  geblie- 
ben ,  —  immerhin  hatte  er  seine  litterarische  ThÜtigkeit  bis  in  ein 
bohes  Alter  bewahrt.  Seine  Lehrthätigkeit  war  noch  ausdauern- 
der, —  erst  1823  im  Alter  von  73  Jahren  verlangte  er  seine  Ent- 

.  lassung;  bis  auf  diese  Zeit  erfüllte  er  seine  Pflichten  mit  so  gros- 
ser Gewissenhaftigkeit,  dass  er  sich  sogar  bei  Gichtanfälien  eher 
in  sein  Auditorium  tragen  liess,  als  seine  Lectionen  versäumte. 
"Von  seinen  Schülern  (zu  denen  auch  Guizot  längere  Zeit  ge- 
horte) zeichneten  sich  manche  in  wissenschaftlichen  Laufbahnen 
aas,  —  namentlich  ist  Sturm,  schon  seit  fielen  Jahren  einie  der 

-  Zierden  der  Pariser  Academie,  zu  erwähnen,  um  den  sichLhui- 
lier   besondere  Muhe  gab. 

Trotz  so  langer   öffentlicher  Thätigkeit,    war  es  L  hui  Her 
'    noch  vergönnt,  von  einem  Sohne  und  einer  Tochter  gepflegt,  eine 
'    längere  Reihe  von  Jahren  in  verdienter  Ruhe  zuzubringen.    Nicht 
dass  er  darüber  die  Wissenschaften  vergessen  hätte;    im  Gegen- 
iheile  zeigen  seine  Manuscripte  wie  ihn  dieselben  noch  immer  be- 
schäftigten,   wie  namentlich  seine   frühern  Arbeiten  in  der  Poly- 
l^onometrie  und  Polyedrometrie  bis  in  seine  letzten  Tage  fast  be- 
. ständig  vor  seiner  Seele  schwebten,  —  versuchte  er  ja  noch  sogar 
ZVL   wiederholten  Malen   seine  Gedanken   weitern  Kreisen  vorzu- 
legen : 

32)  Expressions  de  la  capäcite  d'un  polyedre  dans  ses  414- 
ments  ext^rieurs  [Bibl.  univers.  1828.] 

33)  Elements  de  la  doctrine  generale  des  polygones  et  des 
polyedres    [8  S.  in  4«  ohne  Titel.] 


^^)  Nach  Mittheilung  meines  I.  Freundes,  Herrn  Ingenieur  Denz- 
1er  in  Zürich,  der  die  Gate  hatte,  alle  20  Bände  der  Annalen  für  mich 
durchzusehen. 


Si)  DiscuGsions  gtintSralns  de«  doctrines  de«  polygones  et  «les 
|)Dlv^dres,  par  le  urofesecur  Lhiiilier,  plus  qu'ocloge. 
iiaire     [3  S.  in  4"  ohne  TitelJ. 

Uoch  verdunkelte  s'icU  natürlicli  nach  uail  nucli  sein  [;eistif*u 
Auge,  und  in  einzelnen  Aujienbliclien  ttut  der  Unterschied  x.m- 
sehen  vunnals  und  jetzt  trabe  vor  seine  Seele,  ho  das«  er  ein 
mul  mit  xittcroder  Hand  niederschrieb: 

Je  snie  hors  de  snison. 

Qu  tie  veut  jilus  dun  ätre  octogenaire. 

Je  suis  voisiii  de  perdre  la  raison. 

Je  suis  un  poids  i|ui  surcharge  la  terre. 

Kr  Mrhicd  von  unserer  Brde  am  28.  März  1840,  in  einemAlter 
vuii  'leinahe  !<0  Jnhren.     Ehre  seinem  Andenken! 


h 


4 


Drackfehler. 

In  der  Ucberschrift  des  Aufsatzes  Nr.  XXXfIl.  in  diesem 
HeRe  (ThI.  XVIII.  8.  ^Ül.)  in  einem  Theile  der  Exemplare  musa 
es  statt   „die  Basistvinkel"    heissen:  2 

„die  die  B.aaisninkel". 


[jiterariiselier   Bericlit* 


Bteme,    Iiebr-    und  l¥8rter1>ücher. 


Unter  diese  wissenschaftliche  Ruhrik  gehört  der  Voliständig- 
Bjseines  Inhalts  wegCQ  auch  das  folgende: 

iTaschenbuch    für    Mathematik    und    Physik,      Zum 
^en  Gebrauche  entworfen   von  Rudolf  VVolf     Bern. 
be    Buchdruckerei.      1832.     Kleines  Taschen- 
hformat. 

^ir  glauben  die  Leser  des  Archivs  auf  dieses  Taschenbuch 
Uatheinatik  und  Physik  aufmerksam  machen  zu  müssen,  weil 
Bnler  den  meisten  ähnlichen  Biicbem  jedenfalls  einen  sehr 
pvollen  Platz  einnimmt,  und  vor  denselben  Sich  In  mehreren 
ihungen  vortbeilhaft  auszeichnet.  Die  meisten  Bücher  dieser 
Hellen  nur  Formeln  zusammen,  nelche  bei  jiraktischen  und 
bischen  Anwendungen  häufig  vorkommen,  und  sind  deshalb 
JKeitem  vorzugsweise  nur  auf  den  Gebrauch  von  Praktikern 
■Technikern  berechnet.  Dagegen  hat  das  vorliegende  Buch' 
^jedenfalls  viel  mehr  den  eigentlichen  wissenschaftlichen  Ma> 
ntatiker  und  Physiker  im  Auge,  und  dient  ihm  als  Erinnerunga- 
:fa  an  die  Lehr.^ätze,  Formeln  und  Aufgaben,  welche  er  bei 
seinen  wissenschaftlichen  Untersuchungen  am  Häufigsten  und  am 
Meisten  braucht,  weshalb  es  namentlich  auch  Lehrern  der  Mathe- 
matik und  Physik  an  höheren  Unterrichtsan stalten  zur  Beachtung 
emi>fohlen  zu  werden  verdient,  um  so  mehr,  weil  es  sich,  fUr 
Banrt  XVIII  r2 


910 


<liesen  Gebrauch  p;anz  zweckniüssif;,  für  Jetzt  nur  anf  die  de- 
inentaren  Theile  der  beiden  auf  dem  Titel  genannten  Wiswi* 
Schäften  erstreckt.  Es  iimfasst  in  dieser  Weise ,  verhältnissmii- 
sig  in  gleicher  Vollständigkeit,  die  Arithmetik  und  Algebra,  ebeM 
und  körperliche  Geometrie ,  die  analytische  Geometrie,  die  Kegel- 
schnitte, Goniometrie,  ebene  und  sphärische  Trigonometrie,  Poly- 
gonometrie,  iStatik  und  Mechanik  fester  und  flüssiger  Körper,  Ani- 
stik,  Optik,  Wärmelehre,  Magnetismus,  Electricität  und  Galfi- 
nismus,  Geodäsie,  Projectionslehre  (polare,  perspectiviec]ie,'| 
orthogonale  und  Schatten-Projection) ,  und  in  ziemlicher  VollstSn- 
digkeit  die  Astronomie.  Ausserdem  sind  folgende  Tafeln  beiee- 
geben:  Potenztafel,  Logarithmentafel,  trigonometrische  Taiel, 
Sehnentafel,  ^fafel  der  Vielfachen  von  tc,  hiterpolationstafel, 
Zeittafel,  Ortstafel,  Kefractionstafel ,  Planeten-  und  UometenttTel 
Sterntafel  mit  der  Präcession.  Den  Beschluss  macht  eine  biBto- 
risch-literarische  Tafel,  in  welcher  die  wichtigsten  Entdeckongei 
und  literarischen  Erscheinungen  auf  dem  Gebiete  der  Mathenuuk.j 
und  Physik  chronologisch  verzeichnet  sind.  Das  Gaoze  umfuit 
nur  152  Seiten  und  fiberschreitet  also  den  Raum  eines  Taschei* 
buchs  durchaus  nicht.  Wir  wünschen ,  dass  es  dem  Herm  Vc^ 
fasser  gefallen  möge ,  auch  für  die  höhere  Mathematik  ein  lim- 
liebes  Büchlein  zu  liefern. 


% 


Arithmetik. 


Sammlung    von   Beispielen    und  Aufgaben   aus    der  '^ 
Differen  zial-   und  Intej^ralrechnung  mit  Verwandlung 
der  Functionen  von  F.  W.  Hesselbarth,  Dr.  phil.    Zweite 
verbesserte  Auflage.    Leipzig.     Arnold.     1852.    4. 

Indem  wir  diese  Schrift  aus  ihrer  ersten  Auflage  als  hinrei« 
chend  bekannt  voraussetzen,  wollen  wir  nur  noch  bemerken,  das« 
wir  in  der  That,  auch  bei  dem  besten  Willen,  nichts  zu  ihrer 
Empfehlung  zu  sagen  wissen. 


Transformation  und  Ausmittelung  bestimmter  In- 
tegrale. Abhandlung,  welche  bei  der  Hoch  verordne- 
ten philosophischen  Fakultät  der  Kaiserlichen  Uni- 
versität zu  Dorpat  zur  Erlangung  der  Magister  würde 
eingereicht  hat  und  üffentüch  vertheidigen  wird  Dr- 
Ph.  P.  Helmling.    Mitau  und  Leipzig,    lieyber.    185L  4. 

Eine  sehr  gute  Gradualschrift,  die  zu  allgemeiner  Beachtung 
empfohlen  und  weiter,  als  es  bei  dergleichen  Schriften  gewöhn- 
lich geschieht,  verbreitet  zu  werden  verdient.   Es  beschäftigt  sieb 


911 

leielbe  mit  der  Entwickelung  der  Integrale,    ivelche   unter  der 
H|gemeinen  Form 


o 


e-^\fix).da! 


Iriien ,  wobei  ein  Integral  dieser  Form  der  Herr  Verf.  als  gefun- 
m  betrachtet,  wenn  es  auf  ein  anderes  von  der  Form 

e-^'^dx,    oder  1    e-'*dx,    oder  /    e^'^dx 

I 

rtckgeföhrt  ist,  und  wenn  überhaupt  bei  dem  reducirten  die  me- 
lanische  Quadratur  bequemer  angewendet  werden  kann.  Haupt- 
(chlich  ist  yermittelst  der  sogenannten  Methode  der  Variation 
ir  €onstanten  die  Auswerthung  bestimmter  Integrale  von  der 
itegration  vollständiger  oder  reducirter  linearer  t)ifferentialglei 
langen  abhängig  gemacht,  und  dadurch  sind  viele  Integrale  auf 
liebe  von  einfacherer  Form  und  anderen  Gränzen  zurückgeführt 
orden.  Die  Schrift  enthält  einen  grossen  Reichthum  bemerkens- 
brther  Formeln,  und  ist  auch  Anfangern  in  der  Integralrechnung 
tr  üebung  in  dieser  Wissenschaft  recht  sehr  und  mehr  zu  em- 
S^hlen,  als  viele  unserer  Sammlungen  von  Beispielen  aus  der 
kegralrechnung.  In  der  Vorrede  spricht  der  Herr  Vf.  dem  Herrn 
hilbssor  Minains  seinen  Dank  für  mehrfache  ihm  von  demsel- 
!n  gewordene  Belehrung  aus,  und  bemerkt  auch,  dass  das  von 
m  entwickelte  Integral 


t .  ■ 


f 


r«  +  x'^ 


hdür  firfiber  von  Herrn  Collegienratb  C lausen  für  den  speziellen 
lll  r=il,  a=l  entwickelt  worden  sei.  Solche  Inauguralschriften 
Achte  man  allen  Universitäten ,  selbst  manchen  grossen  und  weit 
IrfihiBteren,  wünschen.  Möge  der  Herr  Verf.  bald  einen  seinen 
lilqfkeiten  entsprechenden  Wirkungskreis  finden! 


Ueber  die  bestimmten  Integrale  von  der  Form 


J       N' 


I  denen 
jBr=/+  VcoB^tp  +  rsinV+2mco89>sin9+2iii'sin<p'+2iii"cosg) 

jrt.  Von  A.  Wiehert,  Oberlehrer  am  Gymnasiuoi  zu 
Kkftita.  (Programm  des  Gymnasiums  zu  Konitz  vom 
Wttfl  Anglist  1S51.).    Konitz.    1851.    4  < 

72* 


mit  klaren  Ent^ickolung  ^«iHclicn  den  (irfinzen  0  und  2n  Mcbdir 
ilcrr  Verf.  in  dieser  sehr  leKtiiisivcrlheij  und  einen  ^uten  Uellnf 
Kur  Integralrechnung  lier^rnden  Schutsctirirt ,  die  einer  welum 
VcrlirttilnnK,  vHa  dergleichen  Schrißen  ceivühnlich  linden,  etit 
werth  iot,  lieschKltigt ,  fär  den  Fall  näntlKh,  dass  N  fiir  k«MK 
reellen  Werth  von  rp  versclitviniiut.  Aut;b  giebt  der  Uen  \eÄ 
die  Mittel  an,    um  tillgemdn 


/cofiiq>.Scp  /'si 


xR  finden,  vrenn  i  und  /r  ganze  positive  Zahlen  sind.  Die  Alt 
thüde  der  Lusune  ist  eine  dreifache ,  du  jene  Integrale  einmal  dncdi 
Transformation  des  Nenners  If ,  dann  durch  ZerfaUiing  decisellw 
in  Fncloren  und  durch  Reihenentwicketuni;  gefniiden  werden  tä» 
nen.  Jede  dieser  Methoden  wendet  der  Herr  TP.  an,  nod  wsa) 
die  Identität  der  Uesultate  nach.  Die  Traneforniatioii  des  N^ 
ners  in  die  Form 

iV  =  /:  4  jt'sin*ip  +  A"cos^Tf 

schickt  der  Herr  Verf.  nach  C  G.  J.  Jacohi  in  Crelle's  Jonr 
nai.  ßd,  II.  und  Vlli.  voraus.  Die  Schrift  legt  von  dem  analyti seien 
Sobarfsinue  des  Herrn  Verfassers  ein  sehr  vortheilbaftes  Zeugo» 
ab,  und  verdient  jedenfalls  recbt  selir,  von  den  Mathematibn 
allgemeiner  beachtet  zu  werden.  Auch  vorgerückteren  jungen  Mf 
tfaematikern  wiTd  sie  eine  sehr  gute  Uebung  in  der  Integralrech- 
nung gewähren.  Miigeii  diese  weuigen  Worte  ihr  zu  binrelcfKC 
der  Empfehlung  dienen! 


S^^ 


Geometrie. 


Beitrüge    eu    einer    systematischen    Entwickelnlfl 
Äer  Geometrie  aus  der  Anschauung.  Von   C.  ß.  KossciJ 
hrer  der  Mathematik  und  Physik  am  Gymnasii 


■bausen.     (Programm    des    Gyrnnasiame    zu   Nord-  - 
"^    -     on  Ostern  l»3ä.).    Nordhauseii.   1852.  4. 

;  Beitrüge,  welche  uns  mehr  einen  philosophificberi 
^  lathematischen  St,in(l))unkt  einzunehmen  scheinen,  ge- 
i3e  die  streng  ivissenüchafttiche  Geometrie  fTirdern  werden,  müs- 
sen wir  dahin  gestellt  sein  lassen.  Vielleicht  aher  können  Leh- 
ret liei  dem  ersten,  vorzüglich  auf  die  Anschauung  hasirteu  geu- 
netrisuben  Unterrichte  Gclira-ich  von  denselben  machen,  und 
mCgen  eie  daher  in  dieser  Beziehung  immerhin  zur  Beachtung 
«mpfohlen  werden.  £iii  strenger  eulclidiscLer  Geist  hat  uns  nicht 
aus  denselben  entgegen  getvchet;  Hch  in  diesem  zu  bewegen, 
'ir  ja  aber  auch  nicht  die  Absicht  des  Herrn  \fs.,  da  er  aus- 
iii'llich  die  Entwickehing  der  Geometrie  aus  der  Anschauung 
-  meinen  Zweck  bezeichnet. 


Die  Gleichheit   und  Aehnliuhkeit  der  Figuren  und 
ÜL'  Aelinliclikeit  derselben.     Ein  Suiiplement  derEle- 

<  utargetimotrie  von  Dr.  Richard  Baltzer,  Oberlehrer 
.  <ler  Kreu?:«chule  EU  Dresden.  Dresden.  G.  (Jchün- 
i<l  (C.  A.  Werner).     18Ö2.     8. 

Die  von  Miibius  in  die  Geometrie  eingeführte  Lehre  von 
I.  Nerwundtschuflen  der  Fii^ren  ist  bekanntlich  als  eine  wesent- 
iiM  Enieilerung  dieser  Wissenschaft  zu  betrachten.     Bisher  ist 

<  L'  j.ehre  meistens  nur  von  dem  Standpunkte  und  mit  HütfQ 
;    analytischen  Geometrie  behandelt  norden,    und   in  die  Lehr- 

lief  der    synthetischen   Geometrie    hat  dieselbe    noch    keinen 

lilcii  Eingang  gefunden,    ist    überhaupt  noch   nicht  Gemeingut 

'  sogeiianuten  Elemente  geworden,  (vohin  sie  doch  offenbar  ge- 

it.    da  sie  recht  eigentlich   in  das  Wesen   der  Geometrie    e^m^ 

ilt.  und  gleich  beim  Eintritt  in  diese  Wissenschaft  dem  Lehr^ 

ue   sich  (luTbietet,    da  ja  schon  in  der  euklidischen  Genmetrie 

■  iimtlich    die  Üongruenz,    die   Gleichheit   und  die  Aehnlichkeit 

Figuren  besonders  scharf  hervortretende  Hauptabscfanttte  bil- 

ii.     Der    Herr  Verf.    der  vorliegenden  Schrift  hat  es  nun  unter- 

innien,  die  Lehic  von  den  Verwandtschaften  der  Figuren,  von 

oiMu    allgemeineren    Standpunkte    aus,    bloss  auf    dem 

1  je  der  synthetischen  oder  sogenannten  elementaren  Geometrie 

livhandeln,  überhaupt  diese  Lehre  in  den  Kreis  der  Elemente 

ziehen,     und   hat  dabei  milden  beiden  Verwandtschaften  der 

Liihheit  und   .\ehnlichkeit,  und    der   Aehnlichkeit,    den  Anfang 

ii.iiht,    wobei  er  sich  keineswegs  bloss  auf  ebene  Figuren  ein- 

hniikt,    sondern  auch  die  Gebilde  des  Rnnms   überhaupt,    ins- 

..iiilere  auch  sphärische  Figuren,  in  den  Kreis  seiner  Betrach- 

■     ■■cht.     Wir  halten  diejies  Unternehmen  für  ein  sehr  ver- 

und  "ünscben  sehr,    dass   die  vorliegende    Schrift, 

.rieb  von  den  Lehrern  der  Mathematik,  die  wohl  vcr- 

... .,       .'     ■  i>liing  finden    und    hei   dem  geometrisuhen  Unterrichte 

t..>.-itlen    mr>ge.      Alle    Bemühungen,     die    Itesultate    atis 
^esicbUpunkten  unlemommener  Forschungen   so  viel  als 


In  sehen  wB 
Schrift   si 


lUiigllcIi  in  den  Kreis  der  Bogenaniiten  Elemente  zu  tünhi 
ivir  immer  für  sehr  verdienstlich  gehalten,  und  wünschen 
dass  der  geehrte  Herr  Verfasser  der  vorliegenden  Schri: 
Müsse  dergleichen  Arbeiten  auch  fernerhin  zuwenden  niög«^ 
durch  er  geivins  um  die  Wissenschaft  in  methodischer  Rückj 
sich  wesentlich  verdient  machen  wird.  Wir  sehen  der  Fortseti 
seiner  Arbeilen  auf  diesem  Felde  mit  Verlang! 


Ueher  Parallel-  und  tiegcntr; 
linigen  Dreieck,  vom  Gym 
grarain     des    Gymnasiums 
1852.    Greifswald.   C.  A.  Ko 
1832.    4.      Preis  9  Ngr. 


;u    Greifsvvald    »on    Ost 
h's  Verlags  b.  (Th.  Kuoi; 


Wenn  von  den  Endpunkten  B  und  C  einer  Seile  ßC  « 
ebenen  Dreiecks  ABC  aus,  man  sich  entweder  anf  der  Seits 
selbst,  oder  auf  deren  VerlSngerungen  über  B  und  C  hinauf 
liebige  aber  gleiche  Stßcke  BD  und  CE  abgeschnitten  d 
etwa  durch  den  Punkt  ö  und  die  Spitze  A  des  Dreiecks  - 
die  Ecktrnnsversale  AD,  und  dnrch  den  Punkt  E  mit  t 
eine  Parallele  EF  zieht:  so  nennt  der  Herr  Verf.  i 
den    Programms    die    Linie   EF  die    ira   der  Eck  transversale  1 

fehiirige  Paralleltransversale;  jenachdeni  der  Punkt 
urch  welchen  £F  gezogen  ist,  in  der  Seite  AB  seihst  od« 
deren  Verlängerung  nach  der  einen  oder  nach  der  andereii  r 
hin  liegt,  heisst  EF  eine  innere  oder  äussere  Paratldtf 
Tersale.  Was  der  Herr  Verf.  unter  Gegentrans verealen 
steht,  muss  man  S.  ]0,  der  vorliegenden  Schrift  iselhal  r  "  ' 
da  dieserBegriffnur  im  Fortgange  der  Untersuchung  selbst 
werden  kann,  nnd  sich  daher  hier  in  der  Kürze  und  ohne  f  _ 
wohl  deutlich  machen  lässf.  Von  solchen  Parallel-  und  Gb 
transversalen  hat  der  Herr  Verf.  in  diesem  Programm  e..  _  _ 
von  Sätzen  bewiesen,  die  dem  grösseren  Tbeile  nacli  neu' 
recht  bemerkenswerlh  sind,  und  von  Neuem  den  BeHeia  litf 
wie  reich  an  merkwürdigen  geometrischen  Beziehungen  etRi 
einfache  Fi^ur  wie  das  ebene  Dreieck  ist.  Die  sämmtlichen  S 
stehen  in  einem  inneren  Zusammenhange  unter  einander,  nnt 
Herr  Verf.  hat  durch  diesen  Aufsatz  zugleich  seinen  Seht 
Stoff  und  Materialien  zu  geometrischen  Uebungen  darhieten  i 
len,  indem  er  es  für  zweckmässig  hält,  den  SchQlern  der  t" 
Klassen  von  Zeit  zu  Zeit  eine  kurze  geometrische  Abbantl 
welche  eine  Reihe  von  Sätzen  in  systematischer  Folge  61)01 
zum  Privat>itudium  vorzulegen,  worin  wir  ihm  völlig  heistllhli 
und  der  Meinung  sind,  dass  dergleichen  Uebungen  zur  Kr&fttJ 
des  mafhemaliscnen  Geistes  wenigstens  eben  so  zweckmXsst^' 
wie  zur  eignen  Lösung  den  Schülern  vorgelegte  einzelne  gtf"^ 
irische  Aufgaben,  indem  man  nach  unserer  Ueberzengunr' 
früheren  langen  Erfahrung  in  letzterer  Beziehung  ja  nicht  »u 
gehen  darf,  und  sich  immer  auf  nur  leichtere,  die  KrüfEf" 
Schüler  in  keiner  Weise  übersteigende  Aulgaben  besclirii 
muss,  deren  Lösung  zugleich  so  viel  als  möglich  nach  eine? 
stimmten    mathematischen    Methode    folgerecht   mit   Leichllfj 


915 


^. „-führt  werden  kann,  und  nie  dem  y er (uhcer lachen  Glück  zu- 
fiiligen  Fiudens  anheim  gestellt  hieibt.  Ho  ungemein  IVeigeliig 
man  irüher  mit  dem  Aufgeben  einzefner  geometrischer  Prableiiie 
in  den  Schulen  "ar,  so  scheinen  doch  tu  neuerer  Zeil,  so  neit 
unsere  Erfatining  und  Kenntniss  in  diesen  Dingen  reichen,  viele 
lunsicblige  Lehrer  mit  Itecht  davon  theilweJse  zurückzukommen, 
und  öfters  Stoff  zu  geonietrisctieu  Uchungen  in  eoluben  Arbeiten 
lu  suchen,  nie  der  Herr  Verf.  in  diesem  Programm  ihn  in  recht 
Weise  darbietet. 


Die  Üehandlungsn-eise  des  Uesenelandes  ist  fßr  den  zn  er- 
reichen beabsichtigten  Zweck  mit  Recht  eine  gemischte,  theils 
geometrische,  theils  trigonometrische;  dnd  so  einfach  der  Gegen« 
stand  anch  an  sich  ist,  so  sind  wir  doch  überzeugt,  dass  nament- 
lich solche  Leser  des  Archivs,  «reiche  ffir  das  immer  bessere  Ge- 
deihen des  mathematischen  Unterrichts  sich  interessiren ,  von 
dieser  euipfehlenNwerthcn  Schulschrift  mit  eben  so  vielem  Ver- 
KRüi^en  nie  wir  nähere  Kenntniss  nehmen  werdeu;  müge  <)iesp|l>e 
dnher  deren  Beachtung  und  gewiss  erfoli;reicben  Benutzung  heim 
Uuterritjhte  bestens  empfohlen  sein. 


ZnsKtze  7.n  dem  Florentiner  Problem.  Von  M.  W. 
Drobisch,  Mitglied  der  Königl.  Sachs.  Gesellschaft 
iler  Wissenschaften.  Aus  den  Abhandlungen  der  ma- 
tbeniutiscb-nhvsischen  Klasi^eder  Kiiniglich  Sachsi- 
«chr-n  Gesellschaft  der  Wissenschaften  zn  Leipzig. 
Leifzig.     Weidmann.     185'X    8. 

Das  von    Viviani    den  Geometern  seiner  Zeit  vorsel«sfe  sfi- 

•enannte    Florentiner    Problem    (Aenigma  Florentinnm)    ver- 

iiiRgte  auf  der  Oberliäcbe  einer  Kugel  eine  Curve  zu  finden,    die 

nuadrirhure  FIftche  entweder  einscbliesst,  oder  deren  Flfiehei 


tnn  einem  angeblichen  Theile  der  Kugellläche  hinwesj-if 
einen  iinadiiritaren  Rest  übris  lässt.  Statt  der  sphärischen  Curve 
h;IIi^I  l;:iiin  mnn  auch  deren  Projection  auf  die  Ebene  eines  gross- 
1(11  Krcisfs  suchen.  Auf  diei>em  Wege  hat  Enler  gezei^,  dass 
n  BiifiiiUkh  viele  Lösungen  des  Problems  giebt.  Viviani  selbst 
blt':  ileii  geometrischen  Satz  gefunden,  dass  ein  Über  der  Ebene 
tines  i;rri<^(cn  Kreises  der  Kugel  errichteter  Cylinder,  der  zur 
ilusi.s  fitien  über  dem  Halbmesser  der  Kugel  als  Durchmesser 
lii>silirii.-lit'nen  Kreis  hat,  die  KugelOäehe  in  zivei  Oeffnnngen 
<luii'hlirirlit .  deren  Fläche,  von  der  sie  umscbliessenden  Hallikngel 
liin"'-j  u''"ommen,  einep  Rest  übrig  lässt,  «etcher  dem  Quadrat 
iW- Kiiiii^Idurchniessers  gleich,  also  quadrirbar  ist.  Theils  andere 
iMiniiiii~,lie  Salze,  theils  Erweiterungen  der  vorhergehenden, 
11.-  M.MifucIa,  Bnssut  und  Nie.  Fuss  pefunden.  Den  Be- 
(iieser  Mathematiker  schliessen  sich  nun  die  unter- 
wies Elerrn  Verfassers  der  vorliegenden  Abhandlung  auf 
'■\  oiiie  an.     Dabei  ist  es  weniger  seine  Absicht ,  das  Pro- 

.M>   allgenieiiier  Weise,    wie  Euler  that,    zufassen,    als 

iiBulit,  »ie  die  drei  vorher  genannten  Mathematiker,    neue  be- 


9ie 

merketiswe ritte  specieHe  geometrische  Beziehungen  zu  Gnilen, 
ihm  auch  Ui  ausgezeichneter  Weise  gelungen  ist,  indem  er  i 
lietrachtungen  vorzüglich  an  die  znar  sehr  einfache,  bisher 
nnheachtet  gebliebene  Bemerkung  anschliesst,  tlass  die  sp 
sehe  Cnrve,  »eiche  die  tjuadrirbare  sphärische  Fläche  begr 
auf  die  Ebenen  von  drei  auf  einander  senkrecht  stehenden  f 
ten  Kreisen  der  Kugel  projicirt  werden  kann,  und  daher  i 
drei  der  AuTgalie  genügende  ebene  Curven  giebt;  ist  nnn 
der  letzteren  gegeben,  so  sind  es  auch  die  beiden  andern, 
es  führt  daher  jede  Auflösung  des  Problems  durch  eine  so. 
von  dem  Herrn  Verf.  die  quadrirende  genannte.  Curve  in 
zu  zivei  andern  conijesen  Auflösungen  durch  quadrir 
Curven,  die  in  den  bezeichneten  beiden  andern  Ebenen  lii 
Wir  halten  diese  Abhandlung  für  einen  sehr  guten  Beitra] 
höheren  Geometrie,  und  n-ünschcn  sehr,  dass  sie  namentlich 
von  jungen  Mathematikern  zur  Uebung  in  der  Anwendang 
höheren  Analysis  auf  die  Theorie  der  jcninini^en  FlScben  flc 
benutzt  tverden  Aiuge,    ito: 


Tahulae  curvarum  quartae  ordinis  „ 
asymptDtis  rectis  et  linea  fundamental  recta  praec 
Tum,  uuas  delineavit  et  expositione  illustravit  Al 
stufi  Beer,  Phil.  Dr.  Cum  XXXV  Tabulis.  Bonnae,  * 
A.  Marcum.     1852.     4.     2  'f  hlr. 

Mit  diesen  35  Tafeln  hat  der  Herr  Verf.  den  lUathemal 
ein  sehr  angenehmes  Geschenk  gemacht.  Die  auf  denselbe 
lieferten  graphischen  Dar.itellungcn  der  auf  dem  Titel  nähe 
zeichneten  Curven  des  vierten  Grade«  sind  äusserst  lehrreicJl 
interessant,  und  bieten  zu  weiteren  Betrachtungen  mannigfal 
Stoff  dar.  Je  vernickelter  diese  Curven  theilweist  '  ' 
schwieriger  ihre  Gestalten  bloss  aus  ihren  Gleichui 
nen  sind,  desto  lehrreicher  sind  diese  Zeichnun; 
Tafeln  vorangeschickte  Einleitung  enthält  Alles, 
Verständniss    nölhig    ist,     und  das  Werk   darf  dahet 


des  Archivs  In  jeder  Beziehung  z 


r  Beachtung  bestens  empfu 


m 


Af^tronomie* 


Beobachtungen  und  Wahr 


ftn-arte  zu  Kunigsberg.    Kün 
■  Sgr. 


rg.    Voigt.    185-2. 


»er  Abdruck  eines  in  der  ofayelkalLich  -  rikonomischen   Ge- 
in  Kiinigslierg   am  l'i.  Nuvemiter  1851   gehalteoen  Vor- 
th&lt  eine  eehr  gute,     für    jeden  Gebildeten   interessant« 
menatelliing  aller  an  vcrschieilenen  Orten  und  von  versihie- 
■  Beobachtern   bei  der  vorjährii^en  i;rns8eii  Scinnenßnsterniss 
* '        Beobachtungen   von    allgemeinem    naturtvissenscbaftli* 
esse,    weshulb   wir   unsere  Lener  recht  sehr  auf  dieses 
ten  aufmerksam  machen.     Auf  Mittheilungen  aus  demeel- 
wir    hier    natürlich    nicht    eingehen,    Hollen    indeea 
EU  bemerken   nicht    unterlassen.    Bekunulljeh    ist  dia 
^  .    welche    rilcksithtllch    der  totalen   SoniieoGnsterDisse 
nletsisen  Stande  der  Sache  zu  beanttvorten  ist,  folgende; 
■  die    Corona    und    die   sogenannten  Protube- 

er  Prominenzen  der  Sonne   oder  dem  Monde 
l-'Ueber  diese  Krage  8|iricbt  der  geehrte  Herr  Verf.   S.  'J5. 
mdermassen  aus:    „Es  findet   zwischen    den  Pro- 
en  und  den  Sonnenflecken  ein  unverkennbarer 
inhang  statt,  und  sowohl  die  Protub  eraiize  n, 
die  Corona,     gehören    der  Sonne,   und  nicht 
..de  an."  Ganz  in  demselben  Sinne  haben  diese  Frage 
alle  vörurtheilsfreien   Beobachter,     welche  EUgleich  die 
fVekraume  uns  sich  teigenden  Erscheinungen    in  der  un- 
I  Grossartigkeit,  in   der  sie  in   der  Wirklichkeit  ~-  d.  h. 
'    aie   selbst  —  auftreten,    aufzufassen    im   Stande  sind, 
,  und  nuch  den  verschiedenen  eingetretenen  und  sorg- 
lAbteten  Ümständcß  kann  auch  über  die  Beantwortung 
"  i  etehenden    Frage    in    obiger    Weise   in    der    That 
mehr    sein.     Kann   es  au'^h  hier  natfirlieh  nicht  der 
läher  zu  begrfinden,  —  ivas  auih  in  der  That  gar 
,    da  Jeder,    der   die    verschiedenen  erschienenen 
ich    mit  Aufmerksamkeit  und  ohne  Vorurtheil  ge- 
ganz   von   selbst  zn    den    nbigen  Schlüssen  kommen 
jo  will  ich  doch  die  Leser   bei  dieser  Gelegenheit  na- 
I  auf  einen  Bericht  eines  sehr  awsgezeichneten  Beubaih- 
i  Herrn  Hofrath  Otto  v.  Struve  in  Pulkowa,  über  die 
tong  der'vnrjithrigen  grossen  Sonnenfinsterniss  ku  Lomsa 
ff  aufmerksam  machen,  welcher  der  Akademie  der  Wissen- 
"  I  St-  Petersburg  am  8.  Aug.  v,  .1.  vorgelegt  worden  ist, 
I  im  Bulletin  de  la  Classe  Phys.-Math.  de  l'Acad. 


918 


srsh.  1851.  Nr.  217.  ündet,  auci 
Untethallungeii.     ISr.'i.    " 
und  Nr.  '20.,    luider  jedoch   nur   im  Auszüge,  mitgetbeilt     _ 
iet.     In    diesem    ausge^eithneteii    Berichte    hat    Herr   Utto 
Struve  die  obige  Frage  gleichfalls  sorgfaltig  dlsculirt,  und  li 
aus  Beinen  Beobactitun<ren    mit  rüHiger    Bestimmtheit  die  ' 
Folgerungen  ab:  „1)  dass  die  Prominenzen  oder  Prt 
ranzen    dem    Sannen  kör  per    angehürige    T  heile 
»'eiche  bei  der  Bewegung  des  Monde>«  vor  der  So 
Bcbeibe  auf  der   einen  Seite  allniälig  hervarlreten  tii 
auf  der    entgegengesetzten    ents|irechcnd    verschw 
den;    2}    dass  auch  die  Corona  ein   integrireilder  Thi 
des  Snnnenkörpert  und   getvis^ermassen   aU  < 
Photosphäre    der  Sonne    umgebende   Atniosph 
zusehen  ist."  —    Gut  auch,  dass  die  Beoliacbtungen  aller 
nrlheils freien  Benhachfer  dies  uninderlegiich  herausgestellt  h«ii< 
Denn   können    die  Astronomie  und  Physik  noch  irgend  Hör 
haben,   über  die  eigentliche  Natur  uneers  Central kOrners  nä 
Aulschliiss  zu  erbalten,  so  ist  dieselbe  nach  unserer  Ueberzeu! 
allein    auf  die    Uünflige  sorgfältige   lieobacbtung    di 
Sonnenfinsternissen   vorkommenden  F.r^cbeinungen ,     und- 
umsichtige  IMscussion  der  bereits  vorhandenen  Beobaa*  " 
gründet,    ivobi^i  man  auch  noch    immer  mehr,    als  bis 
Geschehen,  historische  Nachforschungen  anstellen 
liehe  Erscheinungen   nicht  schon  frQher  beobachtet  uniH 
ben  worden  sind. 


apnd 


Wir  haben  schon  früher  öfters  auf  die  Griindücbkeit  und  ; 

Bossen  Umfang,  durch  welche  sich  die  auf  den  bollandlsc' 
liivcrsitäten  erscheinenden  Dissertationen  oft  sehr  vortheill 
auszeichnen,  hingewiesen.  Dies  ist  au<:h  bei  der  vorliegeol 
Inauguralscbrift  der  Fall.  Der  Herr  Vf.  hat  in  derselben  fast  1 
för  das  Kepler'sche  Problem  gegebenen  Auflösungen  zusamji 
gestellt,  lieurtheilt  und  durch  numeriscbe  Beispiele  erläutert.  L 
meiste  Raum  ist  mit  Recht  der  von  Bessel  mit  Hülfe  der  C 
rier'scben  Reihen  gegebenen  Außüsung  ijewidmet,  deren  Eis 
thümlichkeit  eben  hauptsächlich  in  der  Anwendung  dieser  i 
gen  und  merkwürdigen  Reihen  auf  den  speciellen  Fall  der  K 
sehen  Aufgabe  liegt,  und  die  deshalb  auch  in  unseren  Sui)p{ 
menten  zum  mathematischen  W  Ürterliuc  he.  Thl. 
S.  aOO.  Art.  Bestimmtes  Integral,  von  uns  entivickeltivtii 
ist.  Vielleicht  ist  es  für  den  geehrten  Herrn  Verf.  nicht  a 
Interesse,  wenn  wir  ihn  darauf  aufmerksam  zu  machen  uns  «l.^^— 
hen,  dass  schon  früher  in  Deutschland  eine  von  ihm  nicht  gelov 
zu  sein  scheinende  Dissertation  über  das  Kepler'sche  Prob] 
erschienen  ist,    die  den  Titel  bat:     Kcpleri  Problema  ce 


uecimen  academi 

cumina«güralede«olu 

atis  Keppleriani 

anctor   Combertus  P 

Roferodamensis. 

Lugduni-Batavorum 

Is.     1851.    4. 

Coinmenlatio    iinam    »mpl.   Pb.  ord.  cans.  etc.  pu- 

ilefendet  W.    H.    Detniolilt.     Gottingae.     1798.    4. 

teilte    kann    eich    aber   mit    der    ftiisgezei ebneten    Schritt    des 

Verls    sar  nicht  mesnen,    und   ileTseliie  wurde    für  seinen 

jck  in  ihr  nur  wenljt  Ausbeute  gefimden  hiiben.     Allen  denen, 

khe  sich   mit  der  Kepler'scben  Aufgabe  und  deren  verschiede- 

I  AutJ<i$uni;en  ausriihrlich  bekannt  machen   trollen,     empfehlen 

rdie  vorliegende  Schrift  recht  sehr  zur  Beachtung. 


Index  Lectionum  in  Lyceo  Reein  Hosiano  Bruns- 
ensi  per  aestatem  anni  MUCCCLII  a  die  XIX  A  pri  Ms 
tuendarum.  Praemiesa  est  Ur.  Laur.  Feldtii  cnm- 
atin  de  Gaussii  formula  Paschali  analytica.  Ad- 
im  e^t  tiibulae  paschalis  ab  aono  18S0  ueque  ad 
m  ^000  suecimen.     lirunsbergac.    Heyne.    4^. 

[in  diesem  sehr  verdienstlichen  Prosiramra    hat  Herr  Professor 

,  dt  in  Braunsberg  einen  Beweis  der  Hegel  zurBerechnung  des 

jerfestes  geliefert,  die  tianss  schon  im  Jahre  1800  im  zweiten 

.121.  der  Monatl.  Correspon  d  enz  ohne  Beweis  mit- 

.    ind  eine  von  ihm  berechnete,  von  1850  bis  'JUOO  reichende, 

wrtafel  beigefügt,  weshalb  wir  alle,  welche  an  dieser  (iaus«ischeii 

'  "        '         ',   des  Osterfestes  das  derselben  gebührende 

[uf  diese    lesenswerlbe    Schrift    aufmerksam 

rt'ollen  vi'ir  nur  noch,     dass    Gauss    in    der 

stronomie    und    verwandte    Wissen- 

i.  158.    eine  Berichtigung  seiner  Regel  be- 

luf  die   er  durch  den  verstorbenen  Prolessor 

iJr.  Titlei    aus   Erlau   zuerst  aufmerksam  gemauht  ivorden  war. 

letzteren   Gaussi'schen  Aufsatz  scheint  der   geehrte  Herr 

^  des  vorliegenden  Programms  nicht  gekannt  zu  haben. 


Interesse  nehmen, 
ntarhen.  Bemerken 
Zeltschrirt  für 
scbaften.  Tbl.  1. 
bannt  gemacht  hat. 


h  Annalen    der  k.  k.    Sternwarte    in  Wien.     Nach   dem 
ehi  Seiner  k.  k.  apost.  Majestät  auf  öffentliche  Ko- 
leransgegeben    von  CarJ  von  Littrow,     Director 
ternwarte    u.   s.    w.     Dritter   Folge    Erster   Band. 
Gedruckt  bei  Sommer.     1851.     8. 

vMit  (tiesem  Bande  beginnt  der  verdienstvolle  Director  der 
Pner  Sternwarte,  Herr  C.  von  Littrow,  die  dritte  Folge  der 
Isten  des  nnter  seiner  Direction  stehenden  Instituts,  tvoliei 
leich  das  Format  veründert  worden   ist,     indem   die    Annalen 

ehr  wie  bisher  in  (juart,    und  noch  früher  in  Folio,    snn- 

n  jetzt  an,  nach  dem  Vorgange  anderer  ähnlicher  Werke, 
und  zeitgemüss  in  Octav  erscheinen,    gedruckt    auf  sehr 

I  »itaiken  Papier   mit  sehr  scharfer  und  deutlicher  Schrift. 

Sern  froheren  Berichten  über  diese  Annalen  kennen  die 
ter  unserer  Zeitschrift  das  grosse  Verdienst,  welches  Herr  C 


vou  LIttrow   okh  durcli   die   nun    vollendete   Herausgabe 
PiaxxiWbeii  neoliachtiiii<ien  erworlien  hat.  und  wvrili^n  aiicli  mU 
aen,    Anns  diescH   Wi-rk,    indem    e»,    z.  It.    vnii    lleTm  I'tilvMor 
Peters  In  Küiii^n  ber^r  bei  Meinen  b«l(.iini(eii  »iciiüneii  ArWiivn 
Über  die  plxNterne^,    als  (irundla^e   verschiedener   nstroiiniiiisrlifr 
llnterKudiunften    benutzt    worden    ist,     der    Wleaeiisühü ll    vli»" 
mimclie  eihiitie  Pnichl  gctruKen  hat.     Durch    die  Herunac^iliK  ilit 
vnriioaendcn  ersten  Bandes  3er  dritte»  Folge  dur  AimitlvTi  iTi'lrM 
«ich  Herr  0.  v.  Litlrow    ein   neues   JihnliL'beic  Verdienst  um 
Wissenschal't,    indem  er  in  demselben  die  erste   Hälfte  eiues 
Herrn    W.  üellxen    ans  den  bekannten  Arselan.lerüihen  Zi»i 
ubgeleileten  Stcrncutalug»  unter  dem  rulgenden  Titel  [lublicirf: 

Arj^elanders  Zonen. Beobachtutißeit  vom  45.  bied 
Grade  nördlicher  Ueclination,  in  mittleren  Pnsttian] 
für  184-2,0  nat-h  gerader  Aurstei^unK  geordu«<  tl 
Wilhelm  Oeltzen,  Aasistenten  der  Wiene  •■ 
Erste  Abtheilung  (0*  bis  II*. 34™). 

Ueber  die  Entstehung  dieser  Arbeit  spricht  sich  Herr  C;  IM 
Littroiv  in  der  Vorrede  auf  folgende  Art  aus:  ,.der  ee«eni 
Band  der  Annalen,  in  der  vollittändigen  Heihe  der  A>äV.. 
der  l'nlgende,  bereit»  unter  der  Presse  belindliube,  gehen  d 
awi  den  ersten  Argelander'schen  Zonen  abgeleiteten  SW 
katalog,  dessen  Anfertigung  sich  Herr  \V.  OellzeB  zur  Ti' 
oben  Aufgabe  gesti^llt  bat.  Als  Herr  Ueltüen  im  Spathi 
1^0  in  <ias  PerHoiiul  des  hiesigen  OI)servat'>riunis  trat,  ' 
bereits  einige  Monate  isich  mit  diesem  tiegen&taiide  ■ 
Die  buchst  umsichtige  Anlage  des  Ganzen  be^itinirate  « 
ihn  zunächst  zur  Vollendung  dieses  Tbeila  (reiter^r  Vm 
gen,  in  denen  er  begriffen  ist,  /.v  errauiifem  und  ihm  ^1 
Blkn  mir  zu  Gebote  stebeoden  Mitteln  um  so  raebr  zu^  ., 
Icnmmen,  als  damit  eine  nichtige  Vorbereitung  fiir  dasi. 
früher  von  unserer  Anstult  gefasste  und  eben  angebahnte  Vm 
ben  ergänzender  Zonenlteobacbt engen  geliefert  "ird."  —  Wit' 
ben  diese  Worte  hier  angeluhrt,  neil  aus  denselben  sich  trfji 
dass  das  Verdienst  der  «irkliiben  Anfertigung  die 
Herrn  W.  Oettaen  gebBhrt.  Aber  auch  Herr  C.  von  LI« 
machte  die  Austiihrung  der  Arbeit  in  verhaltnissmäs^^BA'l 
Zeit  dadurch  nir>glicb,  dans  er  Herrn  Oeltsen  der  7ft(AliiL 
an  den  allgomeineii  Gescbliflen  der  Sternivarte  entboli,  iinÄ'4 
die  bekannte  grosse  Liberalittit,  mit  «etcher  der  k.  fc.  'S^teiM., 
»che  Unterrichtsminisler.  Herr  Leo  Graf  von  Thun,  ExceU<i 
alle  wissenschaftlichen  Unternehmungen  unterstützt,  viii 
mnglicb,  Herrn  \V.  Oeltzen  für  die  mechanischen  Aiisfii 
noch  einen  Hülfsarbeiter  beizugeben,  nxB  ein  neuer  Beweis  i»l. 
die  k-k-üsterreichische  Stau tsregierung sieh  die  Fijrderungd'^i 
Wissenschaften  nach  allen  Seiten  und  Kichtungen  hin  an 
sein  iKsst.  Ueber  die  Art  der  Berechnung,  die  Kinrirltln 
den  Gebrauch  desCataloes  enthält  einedeniüelbet)  vuranu«: 
^ehr  deutlich  verfasste  Einleitung  allei«  Krforderlirhe. 
sehen  sehr,  dnsa  es  dem  verdienteu  Herrn  Berechner  und  t 
ansgeber  bald  geüjigcn  möge,    duis  mathematische  und  astrotw 


KT 


Puklicitni  mit  dem  zweiten  Tbeile  Jieeer  verdienstlichen  Ar- 
beschenken, noraa  ja  auch  kein  Zweilel  nein  knnn,  da 
ribe  laut  der  Vorrede  eicnoii  uuter  der  Presse  ist.  Schliees- 
temerken  wir  noch,  dtiss  ca  bei  derHerauH^ahe  diesesNtern- 
i^s  keitieswega  die  Absicht  sein  kannte,  das  treßliche  Ori- 
welches  derselbe  bearbeitet,  gleichsam  ?.u  verdrängen,  son- 
dern nur  dessen  Benutzung  zu  erleichtern  und  ilbersichlticher  zu 
mncheti,  was  auch  nach  unserer  (Jeberzeugun^  durch  denselben 
TnHstündig  erreicht  wird,  da  der  Catalog  in  niriglicbst  lebemligem 
Zosatnnien  hange  mit  dem  urs|irünglichen  Werke  erhalten  H'urdea  ■ 
das  man  natürlich  bei  dem  Gebrauche  des  Catalogs  immer  zugletcB  I 
Kur  Hand  haben  wird.  Wir  miiseen  uns  hier  leider  mit  diessW  ] 
kurzen  Andeutungen  begnügen,  und  wünschen  schüi 
das  verdienstliche  Werk  recht  bald  in  den  Händen  aller  Astrono- , 
ntn  beßnillich  sein  und  häutig  benutzt  werden  miSge,  was  jeder 
tnlls  za  schiinen  Resultaten  führen  wird.  Den  zweiten  Thel{' 
werden  wir  nach  seinem  Erscheinen  sogleich   anzeigen. 


tdeni  I 
rhei|(J 


Vcrmisclitc  Schriften- 


ISi  ticungsherichte    der   Kaiserlichen   Akademie  dei.  j 
Wissenschaften    zu    Wien     (S.  Literar.  Her.   Kr.   LXVi 
8. 847.).  ;; ' 

Jahrgang  IS51.  VI.  Band.  1.  Heft.  S.  43.  Puchet: 
Nene  Methode  {ihutographiscbe  Bilder  auf  Glas  zn  verfertigen. —  | 
>^.  ii3.  liochleder:  Ueber  eine  bituminöse  Substanz.  —  S.  58^  , 
Sobrütter:  Ueber  das  Aeqiiivalent  des  Phosphors.  —  S.  88/ 
Magnetische  Ueclinationsbeobachtungen  vom  Bergamte  am  Dürren- 
%eN[e.  —  S.  W.  Boue:  Drei  Wasserhosen  im  Monat  August 
I  ifiSS  auf  dem  See  von  Janina  in  Albanien. 

Jahrgang  1851.  VI.  Band.  2.  Heft.  S  149.  Burg: 
'  <  her  die  vom  Civil-lnsenieur  Kohn  angestellten  Versuche,  den 
■  tiilluss  wiederholter  Torsionen  auf  den  Moleeularzustand  des 
'^c  b  mied  ei  seil  s  auszumitteln.  —  S.  152.  Spitzer:  Ueber  die  geo- 
metrische Darstellung  eines  Systems  höherer  Zahlen  gleich  uoeen. 
~~  8.  ISS.  Militzer:  Hilfstalelu  der  Rediiction  gemessener  Gaa- 
I  ntlnmina  auf  die  Temperatur  0"  und  den  Luftdruck  760""".  —i 
^fapAÜ6.    Doppler:     Ueber    die  Anwendung   der  Syrene  und  des 


922 

aktistischon  Flugrlldcb«'ns  stur  Bestimmung  des  Spanmin^^adw 
dAr  t\'atie)erilüm[>te  unil  iler  omprimirten  Lult.  — ■  ^  214.  Schril* 
ter:     Uetier  die  Ue«timmutj[>  ileo  Aeiiuivalents  des  Nelens.   — 

JahTfcang  1851.  VI.  Band.  3.  Heft  S.  253.  Stamiifer: 
ComisaigiiHÜericbt  über  die  Einführung  genauer  AlkobolomelRr. — 
S.  W&.  StAmpfer:  UeltKr  Veraiicbe,  welche  sich  auf  die  A^ 
kung  der  Caftlllarität  beKiehen.  —  {j.  '2^.  Tfaonias:  Beobachtn- 

EMI    aber  ßenisee  Erschein utinen,    welche  sich  au  deo  Kry«tall- 
iit«eii  verschiedener  Tfiiere  benbacbten  laeseu.  >—    8-  313.    Mo- 
Uni  FaUilä  di  uo  eaperimento  di  Matteucui. 

Jnhrgaug  1851.  VI.  Baud.  4.  lieft.  S.  430.  Santini: 
Ueber  de»  Biela'scheti  Cometen.  —  S.  461,  GintI:  Der  transp«^ 
table  Telegraph  für  Eiscnbubnzßge. 

Jahrgang  1851.  VI.  Band.  K.Heft.  S.  554.  Bnl 
lieber  eine  von  ihm  erfundene  und  lusammengestellte  Arbeit!- 
luupe.  —  S.  555.  Stampfer:  Ueber  einen  in  der  Werkslältc  il« 
k.  k.  tiolylechni sehen  Instituts  verfertigten  Theodoliten  für  Mark- 
scheider, der  sieb  auch  vorzüglich  zum  Gebrauche  auf  H-issen- 
scbaniicben  Reihen  eignet.  —  ä.  557.  Natterer:  Ueber  Gaa- 
Terdichtungsversuchet  —  >S.  571.  Pohl:  Cbemisch-physlkali^ctie 
Notizen.  —  S.  ßOl.  Mayer:  Ueber  das  mechanische  Aequivaleul 
der  Wärme. 

Jahreang  1851.  VII.  Band.  I.Heft.  S.S.  Kun 
Uebersichten  der  Jahres-  und  Monalsmiltel  aus  den  wahr«iid 
eines  Zeilranmes  von  20  Jahren  in  Lcmbcrg  fortgeführten  meltn- 
Tolagischen  Beobachtungen.  -  S.  I6Ü.  Doppler:  lieber  Decli- 
nalionsbeobacbtungen  aus  iilterer  Zeit  in  Freiberg  in  Sachsen.— 
S.  162.  Doppler:  Ueber  den  Einlluss  der  Beilegung  auf  dieln- 
tensität  der  Tüoe. 

Jahrgang  1851.  VIl.  Band.  2.  Heft.  S.  228.  Stampfet: 
Ueber  die  am  23.  Juli  (1851)  bevorsteheode  Sonne uGnsterniss. 

Jahrgang  1851.  VII.  Band.  3.  Heft.  8.386.  Freyer; 
Ansflug  auf  den  Terglnu  zur  Zeit  der  8nnnenßnsterrii«s  am  98. 
Juli  d.  J.  —  8.  389.  Haidinger:  Das  Interferenz-Schachbrett- 
muster lind  die  Farbe  der  Polarisationsbijschel.  —  S.  407. 
Inmbus:  Die  Sonnenlinsterniss  am  28.  Juli  IS.'tl.  —  S.  411. 
Singer:  Bestimmungen  der  elektrumotorischen  Kraft  einer  gal- 
vanischen Kette.  —  ».  412.  Fritsch:  Ueber  die  Temperata^ 
verhüllnisse  und  die  IVlenge  des  Niederschlflges  in  Böhmen.  — 
S.  449.  Weisse:  Meteorologische  BeabachtiinE>en.  —  S.  453, 
Boue:  lieber  die  wunderbaren  donnerartigen  Detonationen,  vä- 
che  die  heurigen  Gewitter  und  ungeheuren  Regengüsse  zwiacben 


> 


923 


20.   und  26.  September   zu  VQslan  mehrmals  begleiteteu.  — 
•   464.    Briicke:    Deber  Meyers  optischen  Versuch.   —  8.  455. 
Ritzer:    Zusätze  zu  seinen' Arbeiten  über  höhere  Gleichungen. 

—  S.  471.  Skuchersky:  Die  Theorie  der  Theilungspunkte  als 
«itrag  zur  Lehre  von  der  freien  Perspective. 

Jahrgang  1851.     VII.  Band.    4.  und  5.  Heft.    S.  563. 

ou^:  Ueber  die  Nothwendigkeit  die  Erdbeben  und  vulcanischen 

onMchiiii^ngeD  genauer   als    bis  jetzt   beobachten    zu  lassen.  — 

«  684.  Stampfer:    Ueber  die  kleinen  Planeten  zwischen  Mars 

nd  Jupiter.  —    S.  756.-  Derselbe   über   denselben  Gegenstand. 

—  S.  776.  Boue:  Ueber  das  Erdbeben,  welches  Mittel-Albanien 
Kl  October  d.  J.  so  schrecklich  getroffen  hat.  —  S.  801.  Kr  eil: 
»«rieht  über  die  Broschüre:  Instruction  for  taking  meteorological 
bservations  at  the  principal  foreign  stations  of  the  Royal 
■  ngiDeers. 

^f ■  ■    ■         . 

Mittheilungen  der  naturforschenden  Gesellschaft 
BiBern.    Mr.  219-230. 

(M.  vergl.  Literar.  Ber.  Nr.  LXX.  S;  893;) 

■*        I      ■    . 

i        '  ■ 

L.  R«  Fellenberg,  Analyse  des  Mineralwassers  von  Blu- 
MDstein.    Nr.  219.  und  220. 

R  Wolf,  Simon  Lhuilier.    Erster  Artikel.   Nr.  221.  bis  223. 

C.  Brunn  er.  Chemische  Notizen  (Darstellung  von  reinem 
'"  llber  aus  Chlorsilber.  —  Ueber  Fällung  von  metallischem  Kupfer 
vd  Bereitung  von  Kupferoxyd).    Nr.  225. 


k  f.  . 


C.  Brunn  er,  Sohn»;  über  die  wichtigste  Arbeit,  welche  wir 
s  der  Geologie  der  Alpen  besitzen.  Nr.  227.  und  228. 

R.  Wolf,  Sonnenflecken-Beobachtungen  in  der  zweiten  Hälfte 
«s  Jahres  1851.  —  Beobachtung  der  totalen  Mondfinsterniss  am 
m.  Januar  1852.  —  Beobachtungen  über  das  Alpenglilheii.  Nr.  229. 
nd  230.  ^    * 


'•st 


Preisaufgaben  der  kaiserlichen  Akademie  der  Wis! 
''  schaflen  zu  Wien. 


Was  sind  Dnirk-  iiiid  Wärme  -  Ca paci tat  bei  Gasen,  die 
ausserhalb  der  NSbe  dei  Litjuefaction  befinden,  fiir  FudcUi 
der  Dichte  und  Teniperalur  ? 

Termin  der  Einsendung:  31.  December  1852.  Pr 
SOO  Uucalen. 

(S.  Sitzungshe richte  der  matbematisch-natiiTwiäsenscbafllii 
Klasfe.     1851.    Band  VL    Heft  5.    ä.  683.) 


Nene)  mSglichst  eenaue  und  umfassende  Bestimmung  der 
neteffmaeseu,  namenllicb  der  nicbHgeren  Havptplaneten. 

Termin  der  Einsendung:     31-  December    [SÖ3.   Pt 
300  Duc&ten. 


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OCT  4     193T