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^ I CS
L
Archiv
der
Mathematik und Physik
mit besondereir Rückeicht
auf die Bedärfoisse der Lebrer an höheren
Unterrichtsanstalten.
Herausgegeben
von
Johann August Chrunert^
Pr«feu«r iB (rtibwild.
Neanandyierzigster Theil.
Mit sieben lithographirten Tafeln.
« m
•'• -«^ •- • •
Orelfeirald.
C. A. Koch's Verlagabnchhandluni^,
Tb. Kanike. "*
1860.
Inhaltsyerzeichniss des neunandyierzigsten Theils.
Nr. der
Abhaodlaog. Heft. Seite«
Geschichte und Literatur der Mathematik
und Physik.
VII. Rapport fait ä rAcad^mie Royale des icieii-
cei des Paji-Bas, Section Phjtiqoe, pr^ent^
dani la t^ance do 2& Janvier 1868 1. 81
XII. Anfrage and Bitte yon Herrn M. Curtse, Leh-
rer am Gymatiam in Thorn I. 120
XXII. Rehoel Lobatto, eine Lebenstkizze von
Herrn Profeitor Dr. C. J. Matthet, Sekretär
der Kon. Akad. der Wi«ientch. in Amtterdam Hl. 332
XX \1. Zwei Beiträge zur Biographie M. Johann Kep-
ler*8. Von Herrn Director Dr. Richard Pein-
lich am kai«. kön. Ober-Gymnatiom in Gratz IV. 460
Arithmetik.
I. Vertchiedene mathematische Bemerkungen. Von
Herrn Professor H. Grassmann in Stettin . 1. 1
II. Ueber die Formen der Zahlen, deren Quadrat-
wurzeln, in Kettenbruchen dargestellt, Perioden
▼on einer gewissen Anzahl Stellen haben. Von
Herrn P. Seeling In Hückeswagen ... 1. 4
IV. Lösung der Gleichung x^ + p^ + »* -i- u^ z=0 in
ganzen Zahlen. Von Herrn Professor H. Grass-
mann am Gymnasium in Stettin .... 1. 49
V. Ueber die Integrale von SinX^S^T, Cos^r*^^
und SinX*nCosj:»8<2r innerhalb bestimmter Gren-
zen. Von Herrn Hofrath und Professor Dr. Oet-
tinger an der Uoiversität in Freibnrg i. B« I. 51
Vi. Ueber eine Aufgabe aus der Lehre vom Grös-
sten und Kleinsten. Von dem Herausgeber I. 68
VII 1. Vereinfachte« Verfahren für die Ausziehung der
Cubikwurzel aus Zahlen. Von Hrn. E. A. Gou zy .
von Lausanne, Prof. a.d.KBntonssch. in Aar au I. 101
XII. Die Zerfällung der Form
in die Summe zweier Quadrate. Von Herrn
u
Nr. der
Abhandlung. Heft. Seite.
Franz Unferdinger, Lehrer der Mathema-
tik an der öiFentlichen Oberrealtchole am hohen
Markt in Wien I. 116
XV. Ueber einige Sätze Lionnet*t. Von Herrn
Dr. Ferdinand Meyer in Göttingen . . 11* 168
XVII. Ueber das Pell' sehe Problem and einige damit
zaaamraenhängende Probleme aas der Zahlen-
lehre. Von Herrn Hofrath and Professor Dr.
Oettinger an der Universität in Freibarg i.B. II. 193
XX. Die Elferprobe and die Proben für die Modal
Neon, Dreizehn und Uunderteins. Für Volks -
und Mittelschalen. Von Herrn Hermann
Anton in Wien III. 241
XXni. Relations eptre la diff^rence et la d^riv^e d'un
m^me ordre quelconque. Pnr Monsieur Pro-
fessear A. Genocchi k Turin 111. 342
XXX11. Aaflösang der beiden Gleichungen
Von Herrn Franz Unferdinger, Lehrer der
Mathematik an der öffentlichen Oberrealsohule
am hohen Markt in Wien. . . . • . . ., IV. 474
XXXill. Reduction von Are. tg($-|~^7) Buf die Normal-
form x-y-iy. Von Herrn Franz Unferdin-
ger, Lehrer der Mathematik an der öffentlichen
Oberrealschule am hohen Markt in Wien . . IV. 47B
XXXIV. Ueber einen casus irredncibilis in reellen Grös-
sen. Von Herrn Franz Unferdinger, Leh-
rer der Mathematik an der öffentlichen Oberreal-
schule am hohen Markt in Wien IV. 484
Geometrie.
III. Ueber einen Satz yon der Ellipse. Von dem
Herausgeber I. 45
VI. Ueber eine Aufgabe aus der Lehre vom Grös-
sten und Kleinsten. Von dem Herausgeber I. 68
XII. Ueber den Satz: Wenn ABCD (Taf.I. Fig. 7.)
ein Viereck im Kreise ist und die Sei-
ten AB ond CD sich in dem Punkte /*, die
III
Nr. der
Abhandlung. Heft. Seite.
Seiten BC and DA sich in dem Punkte G
schneiden, so stehen die beiden Gera-
den, welche die Winlcel F und G halbi-
ren, senicrecht auf ein4inder. Von Herrn
DirectorE. S. Noeggerath in Brieg inSchles. 1. < 118
XIV. Allgemeine analytische Auflösung der Aufgabe :
Den Kegelschnitt von gegebener Charakteristik
und gegebenem Brennpunkte zu bestimmen, wel-
cher eine der Lage nach gegebene Gerade in
einem in derselben gegebenen Punkte berührt.
Von dem Herausgeber H. 136
XVI. Zur Theorie der graden Linie. Von dem Herrn
GrafenL. T.Pfeil in Gnaden frei in Schlesien II. 178
XXIX. Schreiben des Herrn Conrectors Dr. B er mann
am Gymnasium in Liegnitz an den Heraus-
geber iber den Sats, dass die Höhendurch-
schnitte der vier Dreiecke des Tollstandigen
Vierecks in gerader Linie liegen III. 366
XXIX. Bemerkungen über die Krümmungsradien 8er
Kegelschnitte. Von Herrn Professor Dr. Li-
gowski in Kiel III. 367
Trigonometrie.
IX. lieber einen Irrthum, der sich in mehreren
Lehrbuchern der Trigonometrie findet. Von
Herrn Dr. A. M. Neil, Lehrer an der technischen
Schule in Darmstadt I. 104
XI. Les angles que les c6t^8 du triangle forment
avec leurs lignes de gravit^ respectives. Par
IM. Fasbender, Professeur au College Royal
de Thorn I. 115
XXIV. Zwei Beweise des von Herrn Professor Fas-
bender im Archiv Tbl. XLIX. S. 115. mitge-
theiUen Satzes. Von Herrn Professor Paul
Hacket in Böhmisch-Leipa III. 346
XXXIII. Rednction von Arc.tg(S-h/i7) auf die Normal-
form x-{-iy. Von Herrn Franz Unferdin-
g e r , Lehrer der Mathematik an der öffentlichen
Oberrealschule am hohen Markt in Wien . . IV. 478
IV
Nr. der
Abhandlung. Heft Seite.
Geodäsie.
XXI. Das Pendel als geodätiscbet Instrument. £in
Beitrag sur Beförderung des Studiums der
Schwerkraft. Von Herrn Franz Un f er din-
ge r, Lehrer der Mathematik an der öfPentlichen
Oberrealtchule am hohen Markt in Wien . . HI. S09
Mechanik.
X. Bemerkung lu einer Aufgabe in „M. E. Baryts
neuen physikalischen Problemen ** Von
Herrn Doctor am Ende, Lehrer an der Real-
schule In Sp rottau in Schlesien I. 110
XIII. Ueber die Bewegung eines materiellen Punk-
tes auf einer rotirenden Geraden. Von Herrn
br. H. am Ende, Lehrer an der Realschule In
Sprottau in Schlesien U. 121
XIX. Die Beschleunigung eines bewegten Punktes,
lerlegt nach *dem Radiusvector und senkrecht
zu demselben. Von Herrn Professor 6r. LI- \\
gowskt an der Tereinigten Ingenieur- und
Artillerieschule in Berlin (jetzt an der Marine-
schule in Kiel) II. 238
XXV. üeber den Schwerpunkt der Doppelpyramide,
des Fyraraidalstumpfes und der schief abge- IX;
schnittenen Säule. Von Herrn Dr. Most, Leh-
rer an der Realschule I. Ordnung in Stettin III. 351
XXVI. Ueber eine allgemeine Methode, geometrisch
den Schwerpunkt beliebiger Polygone und Po-
lyeder zu bestimmen. Von Herrn Dr. Most,
Lehrer an der Realschule I. Ordnung in Stettin III. 355
XXVII. Elementarer Beweis des vollständigen Ausdrucks
für die Dauer der Pendelschwingungen« Von
Herrn Professor Dr. C. J. Matthes in Am-
sterdam, Sekretär der Königlich Niederländi-
schen Akademie der Wissenschaften . . • • III. 358
XXX. Vollständige analytische Entwickelung der Be- n|
dingungen, welche erfüllt sein müssen, wenn
ein System von Punkten, an dem Kräfte wir-
i^
V
Nr. der
AblindloBg« Heft Seite.
keo, aitetitch sein «oll. Von dem Heraos«
geber IV. 389
Astronomie.
\IL Zar Berichügang (in Beiag aaf den Anfeats
Tbl. XLVII. Nr. XVII. yon Herrn Profeteor Dr.
Segnits). Von Herrn H. Schramm in Wie-
ner-Neustadt I. It8
^ Physik.
X. Bemerkung an einer Aufgabe in „M. E. Bar j'«
neaen pbytikalitchen Problemen.'^ Von
Herrn Doctor am Ende, Lehrer an der Beat-
•cbnle in Sprottau in Schlesien I. 110
XXI. Das Pendel alt geedätitchet Initrnment. Ein Bei-
trag cor Beförderung dec Stndiurot der Schwer-
kraft. Von Herrn Fraai Unferdinger, Leh-
rer der Mathematik an der öffentlichen Ober-
»
realtchule am hohen Markt in Wien . • . III. 909
XXVII. Elementarer Beweit de« TolUtändigen Autdruckt
für die Dauer der Pendeltcbwingungen. Von
Herrn Profettor Dr. C. J. Matthet in Amster-
dam, Sekretär der Königlich Niederländitchen
^' Akademie der Wittentchaften III. 368
XXXV. lieber eine Conttructien, durch welche man
tich die BewegungtKuttande einer Beihe tou
Punkten bei interferirender longitndinaler Wel-
lenbewegung Terantchaulichen kann. Von Herrn
Profettor Dr. C. J. Matthet in Amtterdam,
Sekretär der Königlich Niederländitchen Akade-
mie der Wittentchaften IV. 486
üebungsaufgaben für Schüler.
XVin. 128 algebraische Aufgaben aut Paul Hal-
ckent: Mathematitchem Sinnen-Con-
fect. Mitgetheilt Ton dem Herautgeber . II. 928
XVIO. Wenn die Diagonalen ^, d' einet Viereckt sich
gegenseitig in den Verhältnitten p:p' und Qzg'
theilen und 0 den tou diesen Diagonalen ein-
t,
VI
Nr. der
Abhandlang. Heft. Seite,
getchlostenen Winkel bezeichnet: lo ist das
Quadrat der dritten Diagonale des Vierecks gleich
iPQ—p'Q'y ipq' —P'qy ' >
und die Gerade, welche diese beiden Diagona-
len in den Verhältnissen mim' and nm' theilt,
^ theilt die dritte Diagonale in dem Verhältnisse:
• ^^P'^' — ^'n'pQ ^ m'npq' — mn'p'q
P'q' "Pq ' pq' —p'q •
J. J. Walker, M. A. II. 23T
XWIII. Mit Bezog auf Taf. II. Fig. 2., wo ABCD ein
beliebiges Viereck sein kann, findet zwischen ^
den durch a^ a' ; 6, ö' ; c^ c' bezeichneten 6e- ^
raden immer die Relation Statt: '^^
(ö*ö'«+^**'*+C«£:'«)(««+ii'«+d«+d'*-|-c«+r'«) , ' ^
M. Collins, B. A. O^/. 365
XXVIII. Wenn ^j^ die Somme der Arten Potenzen der .^ /•
Glieder der Reihe I, 2, 3, 4, .... it bezeichnet,
so ist:
»"+» = («+ 1)5. - ll±i>»5_, + (J?±Ü!?<?I±)5 -
* 1.2 «—IT 1.2,3 ♦'«-Z
(w4-i)ii(>i-i)(n-2) .
1.2.3.4 "*■••••
J. Wilson. III. 365
XXVIII. Eine Aufgabe aus der Stereometrie ond eine
aas der Wahrscheinlichkeits-Rechnong. Von
Herrn Oberlehrer Dr. W. Stamm er an der
Realschule in Dnsseidorf III. 366
Literarische Berichte *).
cLxxxxni I. 1
CLXXXXIV U. 1
CLXxxxv. in. 1
CLXXXXVI IV. l
*) Jede einzelne Nammer der Literarischen Berichte ist fnr sich be-
sonders pa^nirt von Seile 1 an.
• • • • I
Verschiedene mathematische Bemerkungen.
Voo
Herrn Professor H. Grassmaun
am GymnRsiiini in Stettin.
Bildung rationaler Dreiecke.
E» lat bekannt, dass, wenn in einem Dreiecke die drei Seiten
unter sich und zu einer der Hüben in rationalem Verhältnisse
stehen, sieb aus diesen vier Stücken eine grosse Anzahl anderer
StScke ergiehtj welche gleichfalls zu jenen in rationalem Ver-
hftitoisse stehen. Man bat solche Dreiecke passend „rationale"
genannt. Man pflegt sie durch Zusammensetzung zweier rationaler
rechtwinkliger Dreiecke abzuleiten. Allein, es ist zweckmässiger,
ihre Bildungsweise von dem rationalen rechtwinkligen Dreiecke
unabhängig zu machen, und die Bildung des letzteren in jene als
besonderen Fall einzuscbliessen. Dies geljngt aufs leichteste
vermittelst des folgenden Satzes, bei welchem die Seiten und
Winkel mit a^ b, c; a, ß, y; der halbe Umfang mit p, ferner
p — a, p^ö, p — c mit pi, p^* P99 die Radien des eingeschrie-
benen und der an die Seiten a, ff, c angeschriebenen Kreise
™^ Q» Qi> Qt9 9b bezeichnet, und unter den letztgenannten acht
Grossen die mit gleichem Index versebenen „entsprechende*^ ge-
nannt sind.
„Wenn man aus den zwei Gruppen p, pi, p^y p^ und ^, ^,
^ ps drei beliebige auswählt, die jedoch nicht alle derselben
Gruppe angehören, und unter denen keine zwei sich entsprechen
dürfen, so wird das Dreieck stets rational, sobald die drei so
gewählten Grossen in rationalem Verhältnisse stehen*'. Namentlich :
„Wenn fSr ein Dreieck p, pi, p^ in rationalem Verhältnisse
stehen, so ist das Dreieck rational, und umgekehrt jedes rationale
Dreieck lässt sich auf diese Welse ableiten".
TEeU XLIX. 1
»«Auch gilt dies noch in gleicher Allgeroeinheit , wenn ^ = 1
und pip%^^ angenommen wird".
Der Beweis folgt auf ganz elementare Weise entweder aus den
a p ß Q V Q
Formeln tang ^ = — , tang ^ = -^, tang k= -' verbunden mit
dem Satze, dass sich die Tangente der Summe rational durch die
Tangenten der Stücke ausdrücken lässt, oder iiocli einfacher aas
der bekannten Formel PiP^Pz = Q^P = 9^(p\ +/>« + /'«)* welche
unmittelbar z. B. p^ ans p, pit p^ rational aundröcken lehrt. Aus
Pi» Pt» Pz folgo dann aber die Seiten durch Addition je zweier,
p durch Addition aller drei, und A dann = 2pQia. Da man nun
die entsprechenden Formeln auch für p|, u. s. w. hat, z. B.
PPtPs = PiVi = Qi^ip^Pt^Pi)» v^ ^i<^^ die Grössen dereinen
Gruppe (pf pi ...) umgekehrt wie die entsprechenden der zweiten
(p, p|, ... ) verhalten, so ist damit der erste Satz erwiesen. Die
im zweiten enthaltene Umkehr folgt sogleich daraus , dass durch
die Grossen a, b, €, h (Hohe) die Grössen p, pi, p^, p^, ferner
der Inhalt, und also auch die Grössen p, p|, ... rational ausdrQck*
bar sind. Dass die Einschränkung PiP^^^Q*^ hinzugefugt werden
kann, ist darin begründet, dass im entgegengesetzten Falle p auf-
hört, Radius des eingeschriebenen Kreises zu sein. Auch kann
man den Beweis des Satzes darauf gründen, dass sich sind? und
cosar durch tang^ rational ausdrücken lassen.
Setzt man p = 1 so wird tK = — — ^, und die Seiten,
Höhen, Uöhenabschnitte, p|, p,, p^, die Schwerlinien, der Radius
des umschriebenen Kreises, Inhalt u. s. w. lassen sich dann aus
Pi und p^ so leicht ausdrücken, dass man daraus tredTliche Auf-
gaben für Schüler herleiten kann. Ist ß ein rechter Winkel, so
wird p, = p = I, aUo p, = ^z^i» « = P«+P8 = r^j , A =
Pi+Pi=P _;> <? =Pi+Pa = Pi+l» also «:6:c = 2/?i:(pi«+l):
(pi*— 1), was die bekannten Formeln für die rationalen recht-
winkligen Dreiecke darbietet.
Leicht kann man die RationalitSt der Dreiecke noch weiter
treiben, und z. B. dem Verlangen Genüge thun, dass ausser den
vorher genannten Stücken auch die Winkel • halbirenden Linien
rational sein sollen. In der That, wenn ABC das verlangte Drei-
eck ist und M der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises, so
hat man nur das Dreieck JUBC in der erst genannten Weise
rational zu bestimmen, so ist ABC in der zuletzt genannten Weise
erassmamn: Yersekiedene maihematiscke Bemerkungen, 3
ratioDaly wie sich am leichtesten daraos ergiebt» das« stod? und
eo8X durch tangjjr rational ausdrQckbar sind. Dnd auf gleiche
Weise konnte man die Rationalität auf noch höhere Grade treiben*
Angenäherte Konstruktion von n.
Entwickelt man n in einem Kettenbruche , so ist die zweite
brauchbare Annäherung (wenn «man als unbrauchbar diejenigen
beseitigt, in denen der nächstfolgende Nenner des Kettenbruches
gleich 1 ist) gleich 3 jj^ == 3J4I5929 Da nun 113 = 7<-f8*
Ist, so ergiebt sich daraus folgende angenäherte Rektifikation des
Kreisumfanges. Man umschreibe dem Kreise ein Quadrat ABCD
(Taf. I. Fig. l.)> und seif der Punkt in welchem ^Ifi vom Kreise
berährt wird. Man schneide von CD ein Stack CF= \CD ab,
liehe AFf errichte darauf in F ein Loth, welches AD in Cr
scbneide; ziehe GE, errichte hierauf In E ein Loth, welches vl£>
io H schneide, so ist die gebrochene Linie
BCDU = 3 j^ = 3.1416929 ....
des Durchmessers.
Denn DG^ xj» also AG = 1+57 '=^"Äi» ^^
also!
'"' — 4' 64 — 113'
BCDH = 3-1- j^ = 3.1415929 ....
des DnrcbmeMers.
(Werden fort^setzt).
Seeltng: üeöer periodische Kettenbrüeke
IT.
Ueber die Formen der Zahlen/ deren Quadratwurzeln,
in Kettenbruchen dargestellt, Perioden von einer ge-
wissen Anzahl Stellen haben.
Von
Herrn P. Seelin g
in Hückeiwagen.
Zieht man vermlttelat der Kettenbrilche die Qaadratwnrzel
aas einer Irrationalzahl A, so bilden die Kettenbrachsnenner eine
Reihe von dieser Form:
n; a, 6, c*... c, b^ a, 2n; a, b, c..,.c, b, a, 2n; u. s. w.,
wo n die in der Quadratwurzel enthaltene ganze Zahl bezeichnet.
(E gen 's Handbuch I, §. 288 ff.)
!• Einstellige Perioden.
Die einstellige Periode hat die Form : (n), 2ity 2ft» in, n. s. w.
Es ist also VA = n + j
2n+ j
2n +
2n-|-n. s. w.
Cm nun die Form der Zahl A zu finden« setze man VA ^ x.
Dann ist
1
X sz n + j »
2n + i
2n +
2n-|- u.s.w.
also
4'-
ftf.
für QuadratKuneln.
l
le — n ^
2»+-
2n+i'
2n-|-u. 8. w.
oder, da dieser Brach anendlicb ist,
1 1
X — n =
2« + 5--r7 1 2»+(x-«)
2»+(a: — «)
1 1
2n + (« — n) n + « '
also x*—n* = 1, und x*ssA = n*•^ 1. Z. B.:
VI0=3+^ . V65 = 8+^ j
6+-^ 16 +
I '"^.^ 1
6 + ft... „ „ 16+
6-t-u. 8. w. 16+u. «. w.
11« Zweistellige Perioden.
Die Fonn derselben ist: (it); a, Sit; a, 2it; a> 2n; u. s. w
Also ist
Vil=aÄW+ j
ö+ i
2« + j
2ii+n. s. w.
and
i 1
x-« = — j =— j
a+ j a+ j
2ii + 1 2fi +
g+4L. i ., ^ ^ a +
i
2n -f u. 8. w. " ^ 2ii + (or— II)
^ 1 _ n + or
^ + 2n + (ar-n)
folglich
2n
o(ar* — !!•)+«— n = n+;r, aar* = an*+2ii, or* = il = n*+ —
Es versteht Mich» dass — eine ganze Zahl sein muss.
SeeUng; üebtr periodttekt Kettenbrüche
N II II tl tl II II II II II II II II II II II II II
'1 II [( II II II II II II II II 11 II II II II II II "
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^% a% a-i a a » » a all a li
II II II II !l II II II II II II H II II II 11 n II
^ Aocaso
3 =^" =S
1 s SESösl
1 , SS ■ SS S =
1 8 SSfeSSSs;
s
— »-* — e
1
s s ssss;
S g 3SS S»
S S8 ög£S
123
143
132
123
s SS sassss
/tfr Quadraiwurtein.
III. Dreistellige Perioden.
Die Form derselben ist:
(n); a, o, 2n; a, a, 2n; a. s. w.
Also ist:
1
« +
.+!
2ii+-
und
j: — n =r
1
1 _1
j.* """7*
folglich :
2ii + (a: — n) n + x
1 a(n+x) + l
n + ap 1^ a'^in + a:) + a + (n+ar) '
a(n+jr) + l
(o» + l)(j:«— n«) + a(:r— n) == a(n + ar) + 1,
(a* + l)a?« = (o* + l)n« + 2an + l ,
^• = ^ = »•+-^2+7-
Da der Zähler dieses Braches angerade ist, so moss auch
der Nenner angerade, folglich a gerade sein.
Ist non ii = |a (also a = 211)9 so ist 3, r = 1, and A
= fi*-|-], also die Periode einstellig (Siehe I.). Ist aber n^ka^
so mnss es diese Form haben:
n = r(a«+l)+ia,
wo r jede beliebige ganze Zahl sein kann. Dann ist :
2an4^I 2ar(a«+l) + fl«+l ^ .,
^«+r - ^«+1 = 2ar + l.
Demnach bilden die Zahlen von der Form
»^ + ^f!fy = [r(a«+l) + |a]« + 2ar+l
folgende Reihen.
Seeling: Veber periodliche Kettenbrücke
(O
X
M
A
O«
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09
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fm»
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•**
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•^
09
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O)
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CO
1
und 80 werter.
für Quadratwurzeln.
IT« Vierstellige Perioden.
Form der Periode:
(n); o, 6, a, 2it; a, 6« a, 2n; u. s. w.
l
V-<4 = x = » +
.+i
*+!
1
2ii + -
1
a + —
6 +
1
1
fl + « — i
zn + u. e. w.
und
1
a: — n =
1 "" 1
fl + 1 a +
1 " '^ J
6+ i 6 +
1 ''^ 1
^+2n+(a: — n) ^ + (11+0:)
1 1
ar— it = —
^ . 1 a(n+ar) + l
— gft (« + a?) + 6 + (y? -f a:)
"" a»6 (n + ar) + a6 + 2a (n + a:) + 1 '
(a«6 + 2«)(a:*— n«) + a6(a:— n) +a:— n = a6(n+:r) + 6+n +a:,
ar ~il-.11 + ^2^^2a "" ** + a(fl6 + 2)
Hier kann zugleich sein:
1) a ungerade und 6 ungerade«
2) a ungerade „ b gerade,
3) a gerade „ 6 gerade.
Für jede hiemach zulässige Combination von Werthen ffir a
und b kann eine unendliche Reihe von Wertben für n, also auch
fttr Ay gebildet werden. Dasselbe gilt fiir die fünf- und mehrstei-
ligen Perioden. In den dahin gehurigen Tabellen sind natflriich
nur die ersten (einfachsten) Combinationen und die Anfänge der
Reihen aufgeführt.
10
Seettng: Oeber pertodUehe Kettenbrüehe
Tabelle flb«r fie Ttwitelligea Periedei.
1
1
I
1
1
2
2
2
3
3
3
3
3
4
4
4
6
I
3
4
5
6
2
4
6
1
2
3
4
5
3 16
2
4
6
I
,.4n + l
-.3« + l
«'+
»»•-»
8»_+3
5
Sn42
3
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7
7n + 3
n« +
4
5n4l
«•+
6
9«-^2
lÜ
13n+3
14
8n-|-I
n» +
««+
15
7n-H
12
20nf3
33
13»^^2
21
3?n4S
51
19n+3
30
9n-fl
»H
20
]7u-f2
25n+3
63
I2«+1
39
2.
17,
32.
I,
11.
21,
31
4,
2»,
2,
17,
32,
6,
41.
3.
23,
1.
31,
2,
52,
5, 8,
20,23,
35
3, 5,
13, 15,
23, 25,
9. 14,
34. 39
6, 8,
20,23,
35
13, 20,
48, 55
7, 11.
27. 31
7, 13,
37, 43
12, 22.
62, 72
11. 14,
26, 29,
7, 9,
17, 19,
27, 29,
19,24,
11. 14.
26. 29,
27,34.
15, 19,
19,26,
32, 42,
3. 17, 31, 45
13. 28. 43, 68
5, 17, 29, 41
18. 51
16. 37
11. 62
3, 33
11. 31. 61
2. 38
29, 81
32. 67
7.
215.
711,
3(11),
95,
315,
663,
23,
615.
8(11).
2>0.
720,
47.
1215,
15(11),
395,
2(1),
646,
6(11).
1802.
32,
312,
880,
14,
138,
390,
770,
96,
888,
34.
318.
890.
192.
1752,
62,
670.
55.
987,
155.
2751,
75,
427,
1067,
33.
189.
473,
885,
219,
1211,
78.
434,
1078,
4:»,
2387,
141,
777.
180.
1400,
504,
3900,
136
560.
1272
60,
248,
564.
1008
392,
1584
140,
568.
1284
776,
3120
252,
1016
377,
1885
1053.
5249
12(11). 305, 990. 2067
176, 799, 1872, 3395
28, 299, 868, 1705
335, 2632
266, 1392
128, 3883
11(11). 1110
126, 975, 2624
6(1), 1462
866. 6600
1036, 4612
für Quaäraiwur%ein,
11
Tabelle Aber die ?ientelligei Periedea.
5
2
5
3
5
4
S
5
5
6
6
2
6
4
6
6
lln + 1
30
32» +3
85
21nH-2
65
52n-f5
135
3l«+3
80
13w + l
42
25» -1-2
"78"
,.37«+3
1J4
1». 49
61, 146
13, 68
70, 205
67, 147
29, 71
28, 106
3, 117
368, 2419
3744, 21371
174, 4650
4927, 42104
4515, 21666
85a 6063
793, 11270
10(1), 13727
Setzt man a = 1 and zagleicb n = m— 1, ao ist:
/< s m* — 2m -f 1 -I-
2(1» -1) (6 + 1)+*
6-1-2
, . 2(m-I)(6 + l)-fÄ— 2i»(6-f2)-fft-f2 , 2m
"* + 6 + 2 \ ="* 6T2"
Die Perlode ist daon:
(ffi— I); I, 6, 1. 2(m— 1); I, 6, 1, 2(m— 1); n. s. w.
oder:
(»); 1, 6, 1, 2n; 1, 6, 1, 2ii; n. s. w.
Die folgende Tabelle enthält hierher gehörige besondere Fille
nebst Beispielen.
SeeUng; Veber periodacht Kettenbrücke
T. FBDfatelligfl Pcriodflu.,
Form dei Period«; (n); a, b, b, a, 2n; a, b, b, a, 2n; o. i. w.
V4 = x = n-^~
fl + -
A +
1
.+1
I
« + 5
_ 1_
« + -
6 + — 1
» +
1 1
«+i— , • »+ —
6+ i »+
• +
I
= 1
" +
'+T1 '+"-<^feHi
»+:
I
^<i&S(iifa-)-fA3-|-((n-fj;) + a.n-|-;r)fl
+2aA+a»+l)(jr«— B«) + {(!*•+ a + 4) (ä—m)
J - ^ - .. .ä»(°t*+°-ft)tt'+l
für OuadratwurnelH,
15
kaoD iQgleicb 6ein:
1) a ungerade ond 6 ungerade»
2) a gerade », b ungerade»
3) a gerade „ b gerade. (Z. B. : a=:2, ä=10, il=701.)
Tabelle Aber ixt foirfkteliigei Peri^deB.
1
1
1
3
2
1
2
2
2
3
2
4
3
1
3
3
4
1
4
2
4
3
.4
4
.^??LL2
, . 26it+IO
J7
13
24n+5
3, 8, 13. 18. 23,
28, 33. 38. 43. 48,
53, 58
«• +
29
, .46n+10
«' +
53
^. 6611 + 10
n^i
1U9
18it-h2
41
-.44nf 6
97
-.8611 + 10
185
,.144n+17
fi*+ —
305
13, 74, 185, 346,
657, 818, 1129, 1490,
1901, 2362, 2873, 3434
14. 31.
48
218, 1009, 2378
5, 18.
31. 44
29, 338, 985,
1. 30.
59
2(1). 926. 3530
». 62
89. 3898
68, 153
4685, 23546
7, 32
53. 1042
56. 166
3170. 27325
9, 50
85. 2522
55, 152
3050. 23173
30, 215
914. 46325
2,307
5(1), 94394
II— 1
Setzt man 6 := 1 and sngleicb n = 2a + 1 , also a = ^>- »
wo n angerade sein masn, so ist
^ - »•+(«+!)»+«'= » +^
16 Stttlim: üeber pertmlttcAe KelUnbräclU
Die Reihe der Wertbe füir diesee Fall iet:
a= \,% 3, i. 5, 6, 7, 8, 9. 10, II, 12, 13, 14, IS, 16,
n = 3, 5, 7, 9, II, 13, IS, 17, 19, 21, 23, 23, Z7, 29, 31, 33,
^ = 13; 29,93, 86,125, 173, 229,293,369, 44S, 533, 629,733,846,96S,I093,
U. 8. W.
Tl. Secbsfltellige Perioden.
Form der Periode:
(n); a, 6, c, A, a, 2n; o, A, G, A, a, 2r ; o. e. w.
.1
VA = x = n\-
<■+-
4 + -
und jr — n =s jt
» + «;
+ (*-«)
1 _1
= — I 1
«+ i o+
4 + !—, 6 +
'^o6(ii+i)+6+n+i
, ^■Kn^.J)^■»+■■■fJ
für Ottoärataur^eln.
oAc(ti4:r)+&c+c(«+a:)+a(B-f J) + l
fl6»c(«+x)+6*c+6c(n+ar)4-2nfi(n+j)-f2»-K«+j)
= (a*6»c{n+^) + obH + labe (n+a:) + 2a*A(n+a:)+2a*+2o(»+«)l
(o>6*c+2a*c+2o'>A+2a+c)(a:»-ii«)+(a6«c+2a6+fo+I)(ar-n)
= (o6'c+2o6+6c+I){ii+a:)+6*c+2A,
a»6<e + 'iabc + 2a^ + 2a + c
4-6(6c + 2)
_ 2»[(<i&+l)(6c + l) + a&3
Hier muss too den drei Kette DbruchsDenuern «, b, c »eoig-
stens Einer gerade sein.
Es kaoD nämlich zugleich sein :
1) a ungerade, b ungerade und c gerade, z.
B.: A= 21,
2) a ungerade, b gerade „ c ungerade,
, ^=59,
3) a ungerade, b gerade „ c gerade,
. ^= 22,
4) a gerade. b ungerade „ c ungerade.
, A=^ 19,
5) a gerade, b ungerade „ c gerade.
, A= 52,
6) a gerade, b gerade „ e ungerade.
, ^ = 131.
7) tt gerade, b gerade „ c gerade.
, A = 418.
TaMlc älicr die sechssteUigeii Periodea.
n
A
, 10, 16,
•a
21,
115,
275,
. 34
510,
817.
11%
, 17, 27,
■si
87,
1410
308.
759,
, 24,38,
52
111,
2760
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1485,
31, 49
183,
m.
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SttUng: Bebir p*rMU9eka KeUendrStha
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/Vr Quaäratwuruln.
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2
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. . 69R-I-10
•^-TT9-
||•^
n«+
«•+
79n + 12
130
139R+21
230
. l54n-l-24
^'+— 54r
1295+20
. 362n+56
586
1, 36
68. 163
50, HO
53. 130
33. 96
146. 321
91. 203
66. 183
2. 101
127, 406
144. 324
26, 54
19, 63
74. 165
34. 104
127, 316
24, 143
92, 222
17, 301
64, 311
124, 332
197, 782
2(1). 1326
4680. 26703
2541, 12190
2866, 17015
1118, 9300
21443, 103320
8360, 41386
4416, 33665
6(n), 10292
16243, 166200
20865, 106265
690, 2945
371, 4002
5520, 27323
1176, 10877
16203, 100040
590, 20532
8520, 49419
5084. 90783
4136, 96915
15453, 110430
38931, 612006
20
Seeling: üeber perioäitche Ketlenbrüche
a
3
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
c
4
1
2
3
4
1
2
3
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1
2
3
4
1
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3
4
n«+
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233n-f36
n
«M
377
28n+3
65
]9n-t-2
n^
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n^
n
9
n*
n
2,
n^
45
48n+5
115
29n+3
70
70n+8
153
53n+6
117
14211+16
315
89n+10
198
128n+15
273
lA3n+12
221
284it+33
611
18]ft+21
390
202n+24
425
aj^l69n+20
«*+
357
a . 474n+l>6
1003
, .305n+36
646
283, 660
44, 109
7, 62
55, 170
53, 123
13, 166
33, 150
62, 377
100« 298
66, 339
90, 311
101, 712
99, 489
63, 488
190, 547
385, 1388
2, 648
80264, 436008
1955
52
3048
2831
175
1104
3872
10045
4387
8142
10248
9847
3999,
3619Q
148407
50)
11928
2726
28971
15180
27632
22568
142299
88938
115080
96866
507275
239348
238376
299468
1927200
420210
Wenn a = 1 und c = 2, so Ist
il = n«+
,. 2n(26* + 4*+l) + 26» + 26
2Ä»+66 + 4
— a n(26«+46 + l) + 6« + 6
""^ ■*■ 6«+ 36+2
für Quadratumr%ein. 21
Setzt man nan n = 26;-|-2, wo n gerade ist, so ist
(26+2)(26« + 46 + l) + 6«+6
^~'* + 6«+36+2
^ 46»+13&»+I16+2^
— **+ 6«+36 + 2 — n +40 + 1.
Setzt Bian ferner n=:m — 1, so Ist m=26+3, «• = »•— 2m + l,
und ifi ungerade.
Dann ist
il = m«— 2m+46+2 = m«— 4.
Hier erhält man die Reibe:
bz=z 1,2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,12,13,14, 15,
n = 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32,
m = 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33,
A == 21,45,77,117,165,221,285,357,437,525,621,725,837,957,1085,
n. s. w.
TU. Siebenstellige Perioden.
Form der Periode:
(n) ; o, 6, c, e, 6, a, 2n ; a, 6, c, c, 6, a, 2ii ; n. s. w.
1
VA = jr = ii +
1
a + -
6+^
c + i
0 + i
*+i
a+.
1
2» -f n. s. w.
und d? — n SS *
a + 1
c^
0+^
"+2n + (^-n)
22 8€€Uno: Oeber periodiscAe Seuenbrüehi
1
j? —
.+1
n -|- «
1
o + j
*+ — i
c + — I
c+
1
= ~1
o + — J
6 + j-
"*"a6(n+»)+6+(n+x)
.+i
*"*■ flA(n+a?)-|-6+(n+x)
^■*"a6c(n+a?)+6c+c(n+a:)+a(»+a?)+ 1
.+!
(•6c+ctfl)(n+ar)+6c+l
^ *(a6c»+cH«c+aHl)(»+«)+6c«+c+6
"" (a6c»-|-cHflg^^qft^^l)(n^^g)^-6^-l•c^^6
""*'(aA«c»+6c»+2a6c+a6H6+c+a)(n+a?)+6V+26c+6»+l
(a6M^-^c^^>2q6c+ofe^^-6-|•e^•o)(l^^^a^)-^fe•c•^•26c-^6•^^l
"■ ( (a%«c«+2a6c«+2a«Ac+a*6«+2a6+2ac+a*+c«+l)(n+arn '
\ +a6V+2ii6c+aft*+a+*c«+c+A>
(ar«— fi«)(a«6 V+2a6c*+2a«6c+a V+2a6+2ac+a« +c*+l)
+(a:— n)(aft«cHJa6c+a6«+a+6c*+c+6)
/Hr Quadratmunetn.
2S
1)
«)
3)
4)
5)
+ <M*e*-f2a*6e-fa*-f2a6e>-|-2ac+c*-f4<*6*4-3a6-f-l
_ ..äit[c(afe-H)(6c+l)-fa(6c+l)+6(cA+l)H-(ftc-H)«-t-6»
~* [c(o6+I) + a]«+(a6+l>»
Hiar kann zngleicb sein:
« ongerade, 6 ungerade n. e ungerade, s. B : Asz 58, 73
• nagerade, b ungerade » e gerade, „ ^= 374
• angerade, 6 gerade „ e ungerade, „ Js 8S(), 314, 349
• gerade, 6 ungerade „ e gerade, „ Ä=i 202
a gerade, 6 gerade „ e gerade, „ il=:1301
(a = 14, 6 = 2, e =: 2).
TabeUe ibcr die flicbcutelligui PeriMlei.
1
I
1
1
I
1
1
3
3
3
3
1
16«+5 I
+ ,3 /,
345+Ip
^+29
60ii-fl7
1
3
3ln*-t
»H
«•»+
53
94W+26
85
I38N-f37
125
186n-HS0
4
5
6
7
1
3
5
r ^ 493
, L.64irHp
■" + 73
140R-f-29
+
173
244ii-t-65
229
36ii4-13
25
152« -HO
IÖ9
36411-1-125
265
(I?2n-|-22(
2a 33
27, 56
43, 96
la 101
8^ 133
76,249
72.301
17, 42
53, 161
245, 510
18, 511
62. 136
«|a"2|«V-=P^ 1,170
58. 425, 1130
761. 3202
1898. 9325
274, 10313
73, 17834
5858. 62269
5261, 90923
314, 1826
2777, 26146
60363.360801
349, 961818
3890, 18325
3(1), 29041
24
SeeUng: Veier pertföfieMe Ketumbrücke
Id der Dan rolgenden Haupt - Tabelle aiad die Ketteabmchs-
nenoer verzeicboet, welebe »icli bei der AasiieboDg der Quadrat*
wurzeln aus den Zableo bis 500 ergeben. In soweit im Torste-
benden aus den allgemeiDen Formeln för die ein- bis sechsstelligen
Perioden apedelle eiaracbe Formeln tat eine Reihe von Zableo
abgeleitet worden sind, sind solche in dieser Tabelle den darunter
gebSrigen Zahlen A beigefügt Wo eine Zahl durch zwei oder
mehrere solcher Formeln ansgedrSckt werden kann, ist der ein-
facberen de; Vorzug gegeben.
E« ist hier immer m^n-fl.
IS
■»•+2
4
4. S
19
4
2, 1, 3, I, 2, 8
»
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4
2,8
31
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4
1, 1, 2, 1, I. 8
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4
1, 2, 4, 2, 1, 8
23
m"-2
4
1, 3, I, »
24
■»•-l
4
1, 6
26
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5
10
»
«•+2
6
s, 10
fi
3. 2, 3, 10
S
2, 1, 1, 2, 10
6
2, 10
IS
1. I. 3, 8, 3, 1,
5
1, 1. I, 10
für Qttadratwur%eln.
25
A
Formel.
n
Periode.
Anz. d.
Stellen.
33
nfl-%m
5
1, 2, 1, 10
4
34
m«— 2
5
1. 4, 1, 10
4
35
ni«-l
5
I, 10
2
37
n»+l
6
12
1
38
nH2
6j 6, 12
2
39
n«+Va«
6; 4, 12
2
40
nH4
6
3. 12
2
41
6
2, 2, 12
3
42
»•+«
6
2, 12
2
43
6
1, 1, 3, 1, 6, 1, 3, 1, 1, 12
10
44
6
1, 1, 1, 2, 1, 1. 1, 12
8
45
m'— 4
6
1, 2, 2, 2, 1, 12
6
46
6
1, 3, 1, 1, 2. 6, 2, 1, 1, 3. 1, 12
12
47
m«— 2
6
1, 5, 1, 12
4
48
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6
1, 12
2
50
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7
14
1
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7.14
2
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4. 1, 2. 1, 4, 14
6
53
»«+4
7
3, 1, 1, 3, 14
5
54
7
2, 1, 6, 1. 2, 14
6
55
7
2, 2, 2, 14
4
56
nHn
7
2, 14
2
57
7
1, 1. 4. 1, 1, 14
6
58
7
1. 1. 1, 1. 1, 1. 14
7
5»
7
1, 2. 7, 2, 1. 14
6
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7
1. 2, I, 14
4
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1, 4, 3. 1. 2, 2, 1. 3, 4, 1, 14
11
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1, 6, 1, 14
4
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i»«-l
7
1.14
2
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16
1
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8, 16
2
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10
68
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3, 3, 1. 4, 1. 3, 3. 16
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6
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2, 2, 1. 7. 1. 2. 2, 16
8
73
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8
2. 16
2
73
8
1. 1, 5, 5, 1, 1. 16
7
74
8
1. 1, 1, 1. 16
5
75
m* — '/.m
8
1. 1. 1. 16
4
2*
22 8€€iino: Oeber periodiMCke SeuenbriUh$
1
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^■*"aAc(n+a?)+6c+c(n+a?)+a(»+a?) + l
.+i
(•6cjfrctg)(n4ar)+ftc+l
**" (a6c*+c«+«c+a6+I)(»+a?)+6c«+c+6
(a6c»-|-c•^-oc^^oft^-l)(n^^ar)+6c«-|•c^^^ '
(a6•c^-^ftc^■^2q6c^-ofe^+64g+fl)(>^^^a^)-^yc^^•26c^^6•^-l
( (aWc*+2a6c«+2a^+a%«+2a6+2ac+a*+c«+l)(n+ar)l '
\ -Hi6«c*-f2fi6c-fa6Ha-f6c*+c4-6>
(ar«— fi«)(a«6V+2a6c«+2a«6c+aW+2a6+2ac+a«+ cM-1)
•1
E Sil. K>4. a»
= 5». J. = i <^=s.
38901 ISIS
28
Seeting: Oeber pertodtsehe Kettenbrüche
160
161
162
163
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170
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189
190
191
192
193
194
195
197
!»• — 4
n*+l
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12
12
12
12
12
12
12
12
12
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
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13
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13
13
13
13
13
14
14
14
14
1. 1, 1, 5, 1, 1, 1, 24 8
1, 2, 4, 1, 2, 1, 4, 2, 1, 24 10
1, % 1, 2, 12, 2. 1, 2, 1, 24 10
1, 3, 3, 2, 1, 1, 7, 1. 11, 1, 7, 1, 1,2, 3,3. 1, 24] 18
1, 4, 6, 4, 1. 24
1, 5, 2, 5, 1, 24
1,7,1,1,1,2,4,1,3,2,12,2,3,1,4,2,1.1,1,7,1,24
1, II, i, 24
1.24
26
13, 26
8, 1, 2, 2, 1. 1, 3, 6, 3, 1, 1. 2, 2, 1. 8. 26
6. 1, 1, 6, 26
5, 4, 5, 26
4, 2, 1, 2, 4, 26
3, 1, 3, 26
3, 3, 2, 8, 2, 3, 3; 26
2, 1, 12. 1, 2, 26
2, 1, 1, 1, 3, 5, 13, 5, 3, I, 1, I, 2. 26
2, 2, 2, 26
2.4,1,8^ 6' 1.1. 1,1,2, 2,1. 1,1, 1,6,8, 1,4, 2,26
2, 26
1, 1, 8, 1, 1, 26
1, I, 3, 2, 1, 2. 1. 2, 3. I, I. 26
1. I. 1. 1, 26
1, 1, 1, 3, 4, 3, 1, 1. 1, 26
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28
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15
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16
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15
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15
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15
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16
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15
236
15
23;
15
238
15
239
15
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26
1, 1, 3, 1, l, 1, 6. 1. ), 1, 3, 1,
, 28
14
1, I, 2. 6, 1, 8. 1, 6, 2, 1, 1, 28
12
1,1,1,2,3,1.4.9,1,1,5,3,14,3,5,1.1,9,4,1,3.2,1,1,1.28
26
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12
2, 1, 1, 7, 10, 7, 1, 1, 2, 30
10
2, 2, 1, 14, 1, 2. 2, 30
8
2, 5, 1, 2, 4, 15, 4, 2, 1, 6, 2, 30
12
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2
1, 1, 9, 1, 5. 3,3, 1,1,3,3, 5,1,
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17
1, 1. 3, 1, 14, 1, 3, 1, 1, 30
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Seeting: Leber periotUiche KeUenörücke
243
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275
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5 1. 2, 1, 30
5 1. 3, 1, 1, 5. 1. 3. 10. 3. 1. 5. 1, 1,3. 1.30
5 1, 4. 3, 3. 4, I, 30
5 1, 5, 2, 1. 2. 2. 15, 2. 2. 1. 2, 5, I, 30
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5 1,9,1.1,1.2,1,7,4,2,2,2,4,7,1,2,1.1,1,9,1,30
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6 4, 32
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6 3, 4, 3. 32
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6 2. 2, 32
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6 1. I. 2, 1, 1, 32
6 1. 1, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 1, I, 32
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6 1. 2, 16, 2, 1. 32
6 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 32
6 I. 2, 1. 2, 1, 32
6 1. 3, 4, 1. 1, 6. 6, 1. 1. 4. 3. I, 32
6 1, 3, 1, 4, I, 3, 1, 32
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7 4, 3, I, I, 2, I, 1, 3. 4. 34
7 3, 1, 4, 5, 1, 1, 5, 4, 1, 3, 34
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1, 2, 1, 1, 2, 1, 34
1, 2, 1, 34
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1, 4, 8, 1. 2, 2, 1, 8, 4, 1. 34
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32
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1,2,1,1,3,2,6,1,5,5.361
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333
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18
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2
337
18
2, 1, 3, 1, 11,2,4, 1, 3,3. 1, 4, 2, 11, 1, 3, 1,2,36
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18
1, 1, 4. 1, 3, 1, 4, 1, 1, 36
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1, 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 1. 36
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1, 1. 1, 1. 36
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1, 1, 1, 2, 4, 1, 17, 1, 4, 2, 1, 1. 1, 36
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1, 4, 2, 2, 18, 2, 2. 4. 1, 36
10
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18
1, 5, 3, 3, 1, 6, 1, 3, 3, 5, 1, 36
12
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20
Periode.
1
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4, 4, 38
3, 1, 4, 1, 3, 38
3, 2, 12, 2, 3. 38
3, 5^ 5, 3> 38
2, 1, 18, I, 2, 38
2, 1, 2, 1, 6. 1, 2. 1, 2, 38
2, 1, 1, 3. 1, 2, 2, 4. 2, 2, 1, 3, 1, 1. 2, 38
2, 2, 2, 38
2, 3. 1. 4, 1, 3, 2, 38
2, 7, 3, 2, 2, 6, 12, 1, 4. 1,1,1, 3, 4, 19, 4, 3, 1.»
1,1,4,1,12,0,2,2,3.7.2,381
2,38
I, I, 12, 1, 1, 38
1,1,5,12,1,5,I,1,2AI,I8,I,3AI.I,5,I,12AI,1,38
1, I, 3, 19, 3, 1, 1, 38
1, 1, 2, 9, 2, 1, 1, 38
1, 1. 1. 1, 1. 3, 1, 2, 1, 3, 1, 1. 1, 1. 1. 38
1, I, 1, 4, 1, 18, 1, 4, 1, 1, I. 38
1, 2, 19, 2, 1, 38
1, 2, 3, 4, 12, 1, 8. 1, 12, 4. 3, 2, 1, 38
1, 2, I, 1, 1, 1, 2. I, 38
1 2 1 38
{, i, % 2. I, 1, 2, 19, 2. 1, I, 2, 2,3, 1, 38
1 3 1 38
M,'l, 2, 4, 1,1, 1,1. 12,1, 1,1.1,4. 2,1,4,1.38
1,6,1, 1,1,3,1,3,5,2,2,5,3.1,3,1,1,1.6, 1,38
1, 0, 1, 38
I 8 1 38
1,*12!3,'4,9,1.2, 1,2. 1. 1.2, 1,2, 1,9.4,3,12, 1,38
I, 18, 1, 38
1, 38
40
20,40
13, 2, I, 3, 1, 3, 1. 2, 13, 40
10. 40
8. 40
0, 1, 2. 4. 7, I, 4, 1, 7, 4, 2, 1, 6. 40
5, 1. 2. 1, 5, 40
5, 40
20
4
12
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0
6
5
0
10
10
4
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2
6
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8
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0
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20
21
4
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21
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2
10
2
2
14
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2
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Formel.
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421
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423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
436
436
437
438
439
440
442
443
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20
20
20
20
•20
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20
20
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20
20
20
20
•20
20
20
21
21
21
21
21
21
21
21
21
Periode.
14 7Z
Kai
4
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
I
1
1
1
1
1
1
1
l
I
1
J
1
1
1
,7
I
1
1
1
1.7
2
10
I, 1. 9, 1, 1, 2, 40
2, 1, 1, 1, 5, 4, 1, 12, 1, 4, 5. 1, 1, i; 2, 2, 40
4, 20. 4, 2, 40
7, 1, 2,3, 1, 2, 1, 19, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 7. 2, 40
40
1,13,5,1,3,1,2,1,1,1,2,9,1,7,3,3,2,2,3,3,»
7.I,9,2,l,l,l,2,l,3,l,5,I3,l,l,40l
1, 5, 2, 1, 3, 20, 3, 1. 2, 5, 1, 1, 40
1, 3, 4, 3, 1, 1, 40
1, 2, 4, 6, 1, 1, 1, 9, 1, 1, 1,5,4,2, 1, 1. 40
1. 1, 1. 1. 1. 40
1. I, 3, 2, 6, 2, 3, 1, J. l, 40
1. 1,40
2, 4, 1, 5, 10, 5, 1, 4. 2, I, 40
2, 2. 9, 1, 12, 1, 9, 2, 2, 1, 40
2. 1, 3, 1, 6, 8, 6, 1, 3, 1, 2, I. 40
3. 5, 1, 2, 7, 1. 19, I. 7, 2, 1. 5. 3, 1, 40
3, I. 1, 1, 3, 1, 40
4,4,2,2, 1,3, 13, 1, 1, 1, 1, 13,3, 1,2, 2,4, 4,1,40
4, 1,40
5, 1, 40
2,1,1,1,13,3,2,2.5,1,1,4.10,4,1,1^.2,2,3,13,1,1,1,2,7,1,40
9, 2, 9, 1, 40
12, 1, 40
19, 1, 40
40
42
21, 42
14, 42
10, 1, 1, 10, 42
8, -2, 2, 1, 3, 1, 1, '20, I, 1, 3, 1,2.2,8,42 I 16
7, 42 2
6. 42 2
5, 3, 1, 1, 1, 7. I, 5, 5, 1. 7, I, 1, 1, 3, 5, 42 17
4, 1, 2, 4, 2, 1, 4, 42 8
fär Quadraheuneln.
35
451!
21
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21
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i
21
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21
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«•+*/5»«
21
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21
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21
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21
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21
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21
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21
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21
463
21
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21
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21
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21
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21
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21
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22
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3, 1, 5, 3, 10, 3, 5, 1, 3, 42
3, 1, 1, 10, 14, 10, 1, I, 3, 42
3,3,1,13,2.3,2,1,1.4,6,1.7, 1,1.1,20, 1,1,1,)
7,1,6,4,1,1,2,3,2,13,1,3,3,421
3, 42
2, 1. 4, 1, 2, 42
2, 1, 1, 1, 5,2, 13, 1, 3, 1, 4, 1, 1, 4. 1,3, 1,13,2.5, 1, 1, 1,2,42
2, 2. 42
2, 2, I, 4, 21. 4, 1, 2. 2. 42
2, 4. 3. 1, 2, 10. 2, 1, 3. 4. 2. 42
2, 8, 10, 1, 1, 1, 1, I. 1, 1, 1, 10, 8, 2, 42
2, 42
I,I,I3,I,5,4,1,I.I,I,2,2,6,I,3,21,3.I,6,2,2,1,I,1,I,4,5,I,I3,M,42
1, 1, 5, 1, 1, 1, 5, 1. 1, 42
1. 1. 3. 2, 2, 2, 3, 1, 1, 42
1, 1,2,2. 1,2,5, 1.3, 1,20. 1.3, 1,6,2, 1,2,2, 1, 1,42
1. 1, 1. 1, 3, 3, 21. 3, 3, I, 1. 1, 1, 42
1. 1, 1. 2, 1, 1. 1, 42
1, 1, l, 10, 6, 10, l. 1, 1, 42
1, 2. 8, 2, 1. 42
1, 2. 2, I, 3, 4, 14. 4, 3. 1. 2, 2, 1, 42
1, 2, 1, 1. 1, 4, 5. 4. I, 1, 1, 2, 1, 42
1, 2. 1, 42
1, 3, 2, I, 1, 1, 6, 1, 1. 1, 2, 3. 1. 42
1, 3, 1, 6. 2, 6, 1, 3. 1, 42
1, 4, 2, 10, 2, 4, 1, 42
1,5.3, 1,4,10, 1,2,2.4,2,2,1,10.4,1,3,5,1,42
1,6,3.4,1,1,5,1,2,3,1,1.1.1,1,13,1,20,1,13)
1,1,1,1,1,3,2,1,5,1,1,4,3,6,1,421
I, 7, 1. 3, 2, 21, 2. 3. 1. 7. 1, 42
1, 9, 1, 42
1. 13, 1, 1, 1. 4, 4, 1, 1, 1, 13, 1, 42
1, 20, 1, 42
I, 42
44
22,44
14,1,2,4,1,1.3,2,5.1,6,1,1.21,1,1,6,1.5,2,3,1,1,4,2,1.14,44
II, 44
8,1,4,1,1,1,3,2,1,2.14,2,1,2,3,1.1,1,4,1,8,44
7, 2, 1, 4, 4, 4. 1. 2. 7, 44
10
10
10
34
2
6
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3
10
12
15
2
32
10
10
22
14
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10
6
14
14
4
14
10
8
20
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12
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13
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2
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2
28
2
22
10
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A
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u
491
22
6,3,4.8.1,1,1.2,1,1,21,1.1,2,1,1,1,8.4,3,6,«
22
49-2
22
9, 1. 1. 10. 1. 1, 9. 41
8
493
22
4. 1. 10. 3, 3, 10, 1, 4, 4<
9
494
22
4, % 2, 1, 2, 1, 2. 2. 4, 44
10
499
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22
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3, 1, 2. 4. 1. 1, '2, 2, 2, I, 1, 4, 2. I, 3, 44
16
4»?
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6
499
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2. 1, 21, 1, 2, 44
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22
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22
2. 1,1,1, 1,3,8, 1,2. 10.1.9, '2,14.2.9. 1.10,2,1
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sm
22
2, 2, 7, 14, 1. 4. 22. 4. 1, 14, 7, 2, 2, 44
14
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■22
2, 2, I, 21. 1. 2. 2, 44
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1. 1. 14, 1, 1, 41
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1,1,9.1,14,9,1,1,3,4,1.2, 1,1,1, I0,l,l,l,'2,l
1.4,3,1,1,5,14,1,9,1,1,44)
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6
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917
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22
918
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1, 3, 6, 3, 1, 41
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1.4, 11. 4. 1. 44
6
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90
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1,14,3.4,1,3,2,1,3,1,8,2,1,1,2,2,6,7,9,22,1
40
2,7,6,2,2,1, 1,2,8.1, 3, 1,2.3. 1,4. 3, 14, 1,44)
S
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für Quadratwuritlu.
A
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533
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6,1,3,2,1,1,1,2,1,14,1.2,1,1,1,2,3,1,9,4«
20
538
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23
4, 4, 1, 10, 1, 4, 4, 46
8
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23
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39
1, 1,S, 2.15,11. 1. 1,3.2, 1,4,2,8,1,5,1,3,46)
64S
23
3. 1, 1, 3, 1, 1, 1, 22, 1, 1, 1, 3, 1. 1, 3. 46
16
543
23
3, 3, 3, 1. 14, 1, 3, 3, 3, 46
10
544
23
3, 11, .1, 46
4
645
23
% 1, 8, I. 2, 46
546
23
2. I. % 1. 2, 46
547
23
2, 1,1,2, 1,3, 1.7. 15, 2, 6. 5.23. 5,e
7.1,2,1.2,1,1
548
23
2. 2, 3, 1, 6, 1, 10, 1. 6. 1, 3. 2. 2,
649
23
2.3.9,11,1,1,1.1,4,1,1.1.1,11,9,
5501
23
2, 4, 1, 2, 1, 1. 7, 4, 7. 1. 1. 2, 1, 4. 2.
551 !
23
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23
1,1,19,6,1,4,2,1,1,3,1,2,6.2,1.3.1,
1,5,15,
651
23
1, 1, 6. 4, 1, 1, 4, 6, 1, I, 46
555
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1, 1, 3, 1, 3, 1, 1. 4«
556
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23
23
23
1.1.2. 1. 1.1,3.3,2. 1,5,5,1.5,1.1.
1,8.1,1,19.9.6,1.2.3.3,1.1.1.2.
1, I, 1, 1, 46
1, 1, 1. 1. I, 4. 1. 1. 1. 1. I, 46
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1,1.1,4,19,1.1.4.1.2,1,4.1.1,15,4,1,
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»!«-■/.»■
23
1. 1, 1, 46
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1, 2, 9, 1, I. 2. 2. 2, 1, 1, 9, 2, 1,
568
33
1,2,2,2,4,1,6,1.22,1,6,1,4,2,2,
663
23
1, 2. 1, 2, 23, 2, 1, 2, 1, 46
564
»■-v.»
23
1. 2. 1. 46
566
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1. 3. 2. 1. 11. 9. 9. 11. 1, 2, 3, 1, 4
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1,3.1.3.1,1,8, l,-22, 1,8,1, 1,3,1,
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1, 4, 3, 4, 1. 46
m
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1, 4, 1, 46
40
Seeiing: Oeöer periodische Ketienbrüche
V401 =20+ ^
40-1-
40 -|- n. 8. w.
0
40
20
1
40
801
40
40
1
32060
0
1601
20« — 401.P = — 1
82060«— 401.1601«=-!
V26 = 5 +
10 +
10 + 11. 8. W.
5
1
0
10
5
1
10
51
10
10
515
6« — 26.1«=— 1
615«—26.101«=— 1
101
Für die xweistelligen Perioden f^iit die Formei: il = it*+
2ii
Ist n ungerade« «o ist n* von der Form 4m +1 Ist nun der
2it
Bruch — auch ungerade , so ist A entweder von der Form 4iity
ü
s. B.: 3«+ -^ = \% oder von der Form 4m+2, z. B.: 5»+y=30.
2n
Ist aber ft ungerade und der Bruch — - gei'ade» so hat dieser
2.3
die Form 4m+29 also ist A von der Form 4m+3« s. B.: 3*-|--»-=ll.
2it
Ist n gerade und der Bruch — auch gerade, so ist dieser,
*^ 2.6
also auch A, entweder von der Form 4m, z. B.: 6*+ -;^ =40, oder
2.6
von der Form 4m+% s. B.: 6«+ -^ =42.
2it
Ist endlich n gerade und der Bruch — ungerade, so ist dieser,
2.10
also auch A, entweder von der Form 4m + 1, z. B.: 10*+-V-=105,
2.6
*oder Fon der Form 4m+3, s. B. : 6*+ -7- =39. In diesen beiden
2ii
Fällen ist aber die ungerade Zahl, welche dem Bruche — gleich
ist, ein Faktor von n, folglich auch ein Faktor von A.
Hieraus folgt, dass die Quadratwurzel aus einer Primzahl von
der Form 4m +1 nicht eine zweistellige Periode geben kann.
Ueberbaupt gelten, wenigstens so weit die vorstehenden Ta-
bellen reichen, noch folgende Sätze.
I. Die Quadratwurzeln aus Primzahlen von der Form 4m + I
bilden Perioden von ungerader Stellenzahl.
II. Ausser den Quadratwurzeln aus den Zahlen von der Form
it*+l und aus den Primzahlen von der Form 4m + 1 werden Pe-
rioden von ungerader Stellenzahl nur gebildet durch Quadrat*
wurzeln a) aus dem Doppelten solcher Primzahlen (58, 74, 106,
tür QuadraiwitrteM.
41
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I
erunert: üeber einen Satt pon der SiUpse. 45
III.
Ueber einen Satz von der Ellipse.
Von
dem Herausgeber.
1. Eioe Formel zur Bestimmang der EotfernoDg zweier eio-*
ander paraUelen Geraden in der Ebene von einander findet sich
wohl Dar in wenigen Lehrbüchern der analytischen Geometrie;
ich will daher hier eine solche Formel fSr ein beliebiges Coordina-
tensystem mit dem Coordinatenwinkel a entwickeln.
Die Gleichungen der beiden einander parallelen Geraden
seieo:
1) y=i<a?+Ä, ytsAx + B\
Die beiden Durchschnittsponkte einer auf diesen beiden ein«
ander parallelen Geraden senkrecht stehenden Geraden mit den«
selben seien respective (uv) und (u'v'), so dass also nach 1):
2) v = Aui'B, e'rrJu'+ir;
•
3) e-.e' = il(tt— a'J+Ä— Ä*
ist Die Gleichung der durch die beiden Punkte («e) unJ (m^v'}
bestimmten Geraden ist:
^ ^/
*) y— <' = i;[z:j^/(«— *');
and da diese Gerade auf den beiden einander parallelen Geraden
senkrecht steht» so findet nach den Lehren der analytischen Geo-
metrie die bekannte Bedingungsglelchung:
6).
46 CruHert: Ctöer eine» Stti% to» der ßUpte.
S) >+(^+S)°"''+^i=? = °'>
statt, woniu sieb:
cTgiebt. Aas d«D beiden GleicbuDgen 3) and 6) «rhsit nwo (eicht:
u—u — - l+2^c08B + .4« '
,_ (fl-g')(H-^coag)
""" - l+2Acwa+A* ■
Beseichnet nan E die gesuchte Enlfernung der beiden gege-
benen, eionnder parallelen Geraden ron einander; so ist nach
den Formeln der aoalytlscbeD Geometrie**);
£:»= (M —«')•+ (p — o')' + 2(b —«')(» —e') cos «t.
also, wenn man die Werthe 7) von u — u' und p — p' in diese
Formel eioffibit, wie man leicht findet;
«- (B-B^B-ioa*
'^ — l-f2^C08«r-f ^a'
also ;
B. r •ii"««V"(Ä-fir_
°i ** - V"H-2^C08«+^«'
Ffir ein rechtwinkliges Coordinatensystem, nSmlich fülr « =
90°, ist:
«) ^=V"^f^'
3. Die beiden Seiten eines Parallelogramms seien a, a' und
die auf diesen Seiten senkrecht stehenden beiden Hohen des
Parallelogramms seien h, h' ; der von den Seiten, nnd also^anch
von den B5hen, eingeschlossene spitze oder stumpfe Winkel sei
hnet dann F den FIScbeninhatt des Parallelogramms,
Dotlich:
F = oa'sin^;
t aber:
neinn „Eleiuenle dgt aDs); tiaeb«B Geomeirte.
. O. S- M-
untTt: Veöer einen Sat» von der SUtpst.
h = a'ein A, h' = a sin A ;
AÄ'
und rolglich nach dem Obigen:
3. Man habe nnn zwei beliebige Darchmesser einer Ellipse;
die Apomalien*) der Endpunkte des einen Durchmessers seien
n, 11^:180''; die Anomalien der Endpunkte des anderen Dnrch-
messers seien u', u'± 180^; ohne Beziehung der oberen und un-
teren Zeichen auf einander. Die Gleicfanngen der beiden Be-
rfifarenden der Ellipse in den Endpunkten dieser DoTcbmesser
sind **) für den ersten Durchmesser ;
GosM sin» , Gosit sinu
und ffit den zweiten Durchmesser:
Goau' sinu' , eesu' sinu'
-i-»+-4-»='' — „~'+-5-» = -li
oder für den ersten Durchmesser:
* * . * * . *
y = — -«cot« +-: — • V = xcoltt ; — ;
' a ' sinu " a sinu
nnd rCr den zweiten Durchmesser:
" a 'smu' ^ a sinu'
Also sind nach I. 9) die Quadrate der beiden HSben des
dnreh die vier BerQbrenden gebildeten Parallelogranimsi
-.^JrJ
b* . «••inu^+ft'cos«''
Ilnu7
a'sln k' •+6* cos u'**
Tbl. XXIV. Nr. XStX. S. 3T2.
48 Grunert: Veber einen Sat% wm der EiUp$e.
Ist nan A der spitze oder stampfe Winkel zwischen den
Seiten des in Rede stehenden Parallelogramms^ so ist nach einer
bekannten Formel der analytischen Cieometrie*):
sinJ«=:
f-coti» cotu' J
(l + ~«cott««)(l+5cottt'«)
also, wie man sogleich fibersiebt:
a*A*sin(tf — ti')*
sin/l*=:
(a^sln tt* + 6*cos u*) (a^sin u' *+ 6*cos «'■)*
Bezeichnet nun F den Flächeninhalt des Parallelogramms,
so ist nach 2. and den vorstehenden Formeln :
4a«6« Aa%^ 1
a* sin !«■ + 6* cos u* * a* sin M'*+6*costi'* * sin i4*
4a«6« 4a«6«
a* sin a* + 6* cos tt* ' a*sini?*+6*cösJ?*
(a*sin ti* + 6*co8 te*)(g*sin t*'* + Äc^^)
also offenbar:
P = . I^"**^*/,! = 16a«*»cosec(«— «')*.
folglich:
F=:4a6.val. abs. sec(ti — u*),
M. s. Cantab in Edacatlonal Times. April 1866. p. 21.
bO. 1842.
*) M. «. meine „Elemeote der aoal/titchen Geometrie.
Tbl. I. $.95. S. 49.
Grassmann: lös. der Gleick. ar»-|-y*+»Htt*=o ingan%, Zahl. 49
Losung der Gleichnng ^'+^'4- ^'4-^^ = 0 in ganzen
Zahlen.
Von
Herrn Professor H. Grassmann
am Gymnasiom in Stettin.
Unter vier ganzen Zahlen müssen sieb mindestens zwei an-
geben lassen« die in Bezug auf den Modul 2 congruent sind. Es
gelte dies ffir x und y, so gilt es nach der Gleichung
(1). . a:« + y« + t»+u« = 0
auch für z und u. Man setze:
(•2) ....ar=a + e, y=za—c, z^ — b-i-d, u^ — b — d;
80 Terwandelt sich die Gleichung (1) in a'-f 3ac^ — 6' — 3bd^=0
oder
(3) — 3 — = 6rf«— ac«
Man überzeugt sich leicht» dass a und b, abgesehen von einem
gemetnschaftlichen Faktor , Quadratzablen sein mfissen. Man setze
daher :
(4) a = ma^, b = m/3*;
so wird :
(5) im«(a«— /3«)=:=(/5rf+ac)(/3rf-ac).
Hierin liegt die folgende Losung:
»^Man setze ffir a, ß, m drei beliebige ganze Zahlen, zerlege
Pss^m^a^^ß^ auf beliebige Art in zwei Faktoren/» und 9, und setze:
TheU XLIX. 4
50 Grassmann : Lös. der Giefch. x*-\-y^-\-%^-\-u^=^ ingan%. Zahl,
bestimme dann a und 6 durch die Gleichungen (4) und Xf^^z^u
durch die Gleichungen (2), wobei man die etwa vorhandenen Nen-
ner durch Multiplikation mit dem Generalnenner wegschafft: so
ist die Gleichung (I) in ganzen Zahlen gelöst.*'
Man kann die Nenner auch dadurch. entfernen, dass man für
d und c (nach ihrer Reduction) ihren Generalnenner ff bestimmt,
und für m, p, q ihr /^-faches, also mg^ pff^ qtj setzt. Man kann
daher, unbeschadet der Allgemeinheit, die gebrochenen Werthe
für c und rf, ebenso aber auch die negativen für a, 6, c, d aus-
schliessen, und annehmen, dass die zwei Zahlen a und ß, und
ebenso die drei Zahlen m, p, q keinen gemeinsamen Faktor
haben, indem ein solcher im ersten Falle zu m gezogen, im letz-
ten ganz unterdrückt werden kann. Beispiele mögen das Ver-
fahren erläutern.
Ist er = /? = I , so erhält man die selbstverständliche Losung
x^i^y^'-x^—y^^O. Ist a = 2, /3=1, so wird P=m^,2\=zp.q,
was vier brauchbare Zerlegungen gestattet, nämlich P=:2\m^.\
= 21.m* = 7m*.3 = 7.3m* (welche für fn=l paariveise zusam-
menfallen). Die erste Zerlegung giebt stets brauchbare Losun-
gen, wenn m angerade ist; z. B. für m=l, 3, 5 erhalten
X y z u die Werthe:
9—1 ]0 - 12
59 — 35 92 - 98
151 —111 258 —268;
die zweite (21. m^), wenn m ungerade, aber weder durch 3 noch
durch 7 theilbar ist, z. B. für m=5, 11, 13:
21 19 18 -28
69 19 60 -82
89 15 82 108;
die dritte (7fii^.3), wenn m ungerade, aber nicht durch 3 tbeiU
bar ist, z. B. für m=l, 5, 7:
5 3 4—6
63 —23 84 — 94
113 —67 166 —180;
die vierte (7.3m'), wenn m ungerade, aber nicht durch 7 theil-
bar ist, z. B. für m = 3, 5, 9:
17 7 14—20
37 3 36 — 46
95 -23 116 -134.
Oettinger: Veb. die In/effr.r, Sin x^dx, CoBX^dxu.Sinx^Cotx^dx.H
lieber die Integrale von
Sin^'Sar, Cosx^dx und Sin j;"*Cosj?"öar
innerhalb bestimmter Grenzen.
Von
Herrn Hofrath und Professor Dr. Oettinger
an der Universität in Frei bürg; i. B.
§. i.
Schon in Crelle*s Journal (63. Bd. S. 253 u. ff.) wurde auf
das Integral des dritten oben angegebenen Ausdrucks aufmerksam
gemacht und dessen Darstellung in allgemeiner Weise angedeutet.
Hierbei konnten, wie dies in der Natur der Sache lag, die Cigen-
tbumlichkeiten, welche die oben genannten Integrale bei dem
Eingehen in's Einzelne und je nach der Wahl der Intervalle bei
der Integration zeigen, nicht naher zu Tage treten. Es dürfte
sich aber wohl der Mühe lohnen, die bezeichneten Functionen
eingehender zu untersuchen und die ihnen inwohnenHen eigen-
thümlicben Eigenschaften näher kennen zu lernen.
Diese Integrale selbst wurden mehrfach von verschiedenen
Schriftstellern untersucht. Ihre Untersuchung erstreckte sich aber
vorerst nur auf die Grenzen zwischen 0 und ^tc, ü und n, 0 und
29r, woraus sich weder allgemeine Gesetze, noch ihre Eigenthüm-
lichkeiten erkennen lassen. Dabei erscheinen die für sie gefun-
denen Werthe unter so verschiedenen Formen, dass sie die
Uebersicht eher erschweren, als erleichtern, ohne besondere Vor«
tbeile für Entwicklung und Auswerthung zu bieten.
Wir steilen, um 'dies zu zeigen, die beroerkenswertbesten
Formen für den Sinus hier zusammen :
4*
52 Oe tun ff er: (Jeder die Inteffrale von
Sina:«*8a:=2^i« = 22« in|i; 1^1=271^^^
0 1
_ (I ^-n)~*i^Vgg Vn v%_
o
2(l+n)»l»*
Sämmtlicbe Aosdrficke io Nro. 1) und 2) sind nichts als verschie-
dene Formen für denselben Inhalt, entstanden durch den beson-
deren Entwicklungsgang der Darsteller. Sie leiten sich aus den
ersten Sätzen der Fakultäten-Theorie durch Anwendung der Glei-
chungen :
3)
a^\d =: a(a + rf)(a + 2rf)....(«-|-(ii — l)rf) = rf"
4)
a"+'»M=a(a + rf)....(a + (n — l)rf)(a + wrf)....(a + (M + m- \)d)
= a"l*'(a + nd)^\^
durch Einschieben oder Ausstossen der gleichen Fakultäten im
Zähler und Nenner, durch Umformen der Fakultäten mit negati-
vem Exponenten in solche mit positivem, oder mit positiver Zu-
nähme in solche mit negativer leicht ab. Man kann auch \p statt
n in Nro. 1) und i(p— 1) statt n in Nr. 2) setzen, wie Manche thun.
Dadurch verwischt sich der Unterschied zwischen einer geraden
und ungeraden Potenz des Sinus, und die Sache gewinnt nicht
an Einfachheit, denn alle oben angegebene Formen sind dann auf
fSinxPdx bezogen.
Sämmtlicbe hier angefahrten Formen, so wie die auf das eben
angegebene Integral bezogenen Ausdrucke finden sich in den Tabl.
d'Integr. döf. p. D. Bierens de Haan vom Jahre 1858 mit
Angabe der Darsteller, wo das Nähere nachzusehen ist
Hier ist die Kramp'sche Bezeichnungsweise für die Fakul-
täten (Nro. 3) und 4)) als die allgemeinere und zweckmässigere
gebraucht. Sie wird auch im Folgenden, 'namentlich wenn die
abgekürzte Schreibweise nuthig wird, beibehalten werden. Zur
Sio;r«8x, CoBX^dx u. Sin x^Co^xnQx inner ä.öestimmL Grenzen. 53
ümforrooDg und VergleichuDg unter einander dieoeo die von Kramp,
Gauss und Legendre gebrauchten Zeichen:
5). . . . 1.2.3.4....p= lPl» = J7(p) = IXp + l),
woroacb sich die von Legendre gewählte Bezeichnung als die
wenigst zweckmässige darstellt, obgleich sie vielfach benutzt
irird, worauf schon in Grell e*s Journal (Bd. 33. S. 1 u. ff.) auf-
merksam gemacht wurde.
§.2.
Bei näherer Untersuchung der genannten Integrale bemerkt
man bald, dass sie bestimmten Gesetzen und wiederkehrenden
Perioden unterliegen, je nachdem die Intervalle der Integration
gewählt werden, was eine ergiebige Quelle neuer Ausbeute abgibt.
Geht man von der bekannten Reductionsformel
l it-^1
1)..../Sinar«aar= Sina:»-»Co8a: + fS'mas^'^dx
aas, 80 verschwindet das erste Glied auf der rechten Seite für
jeden Wertfa von xzz,q\it^ bei ganzem, positivem oder negativem
9 1 die 0 nicht ausgeschlossen, und man erhält: s
Hier soll q^r angenommen werden, was jedoch nicht wesent-
liche Bedingung ist. Durch Wiederholung des in Nro. 2) liegen-
den Gesetzes entsteht:
ox r^i'^^'c. rs (n-l)(w-3)....(«-2r+l) /*v.|^_. _ ,
^ J n(n'-2),.„(n-2r + 2) J
Hierin ist, wie klar vorliegt, zwischen 2n und 2n-f-l zu unter-
scheiden. Setzt man nun In und dann 2it -f I statt n und r^=^n^
so hat man für diese VVerthe
4) . . . y Sm x^^x = 2.4.6....2n-y ^^'
Z*^*''«. « .... 2.4.6....2n /^«•i'^c. o
5) . . .y Sina:^^^'aa:=3^y^.^^^^yJ S,na:8x.
T,\7t T,\n
54 Oettinger : Deber die Integrale von
Aus Nro. 4) ergeben sieb folgende Integrale:
ß, /**'•'"«• 2.a . 1.3.5....(2>i-l)
Tx /'^•*''o. a f. I.3.5....(2n-I), ^ , ,
7). . .J Sina;«"ajj=— j-^y^-^^^^^
/^-«.iTT 1.3.5.... (2n-l), . ,,
8). . .# ^'"•^^^^'^"""^Ti'eT^^r^Ti — (9±''M'^=
/^+9.|;r 1.3.5....C2n~l)
2« <^^-
*9.4;r
Bei gleichzeitigein Zeichenivechsel der Grenzwerthe in Nro. 9)
wechselt das Zeichen auf der rechten Seite. Bei gleichen Zei-
chen der Grenziverthe in Nro. 9) geht das Integral in 0 über.
Die IntegraKverthe in diesen Ausdrucken uachsen bei bestän-
dig zunehmendem q in's Unendliche. Die Grenzen von Nro. 9)
liegen dann zwischen — oc und +qd. Wächst aber q und r gleich-
zeitig in Nro. 7) und 8), so ändert sich diess Gesetz bei gleichen
Zeichen der Grenzwerthe und die Integrale des Sinus mit gera-
den Potenzen behalten denselben unveränderlichen Werth, wenn
das Intervall zwischen den beiden Grenzen gleich bleibt. Man
bat daher:
nir\.)\7i 1.3.5....(2n-l) ,
10) . . .y S.n x^'^ix = --2-^-^—-— ,. t« ,
11). . y s.n x^-^x = — 2Ä:Qz:^hr- '■*''•
Die Werthe dieser Integrale werden bei beständig wachsendem
r nicht unendlich gross, sondern bleiben unverändert. Alle bis-
her aufgestellten Integrale zwischen den Grenzen 0 und ^tc, 0 und
7t ^ 0 und 27S leiten sich leicht aus Nro. 6) ab.
Auf die in Nro. 6) — 11) gefundenen AusdrQcke lassen sieb
die in Nro. 1. §. 1. angegebenen Formen anwenden, worauf jedoch
als etwas Ausserwesentliches künftig keine besondere Rücksicht
genommen werden wird.
Bei Untersuchung der Darstellung in Nro. 5) ergeben sich mit
Rücksicht auf /Sin xd:r = — Cos ;r andere Resultate für die Inte-
grale des Sinus mit ungeraden Potenzen. Da Cos( — x)=^Coaj^
Siiij;»d;r, Co%x^dx u. Sin^rmCosznd*^ innerh. öestimmL Grenzen, 55
ist^ 80 üben die Zeichen an den unteren und oberen Grenzen keinen
£inflo88 auf den Wertb der Intes^rale. Es ist daher unnuthig,
einen Zeicbenwechsel anzugeben , da derselbe in den bezuglichen
Ausdrucken den Werth des Integrals nicht ändert. Für InterTalle
?0D der Form \7C erhält man :
/(25+j)Ä 2 4 6 2«
^'"^'"'^'^^=i.a.s....(2«.n)'
i»
/»(«,+i)» 2.4.6.... 2«
13)... y S.n^'.+»S*=j 3 5 ^2^^.
Hierin kann r und q beliebig gewählt werden. Da zwischen
0 und In vier Intervalle von der Form {fc liegen, so ergibt sich
hieraus ein Cyclus von vier Perioden für die fraglichen Integrale,
and man erhält:
14).../
(^5+*)" ^. «..,. 2.4.6....2n
1.3.5.... (in + 1)'
2rw
'^^''^ S-.n.«»+.8x= ^•*-«--''
J ^""*^^'"'''"*"1.3.5....(2«+1)'
/-(^j+i+i)« 2.4.6....2n
-/ l.o.5*...(2n-|-I)
(2r+l)«
/^*^+*i^ ^. o^,o 2.4.6....2n
S.n:r«»+»aa:=- ,;3.5....(2n + 1)'
Sina:*"+*Sa: führen auf 0.
Erstrecken sich die Intervalle auf n, so erhält man:
.5).../
"'^•''' Sin.-t.S.=2. •^•"•«-•2''
I.3.5....(2/i + l)'
o
lÄx /'^*^+^>'' c,. • .,*N « 2.4.6....2»
2r;r
,^ /^(29+«)» ^. „^,^ ^ 2.4.6....2n
IT). . .y S'»^^^g^=-g'1.3.5....Cin+I)'
Allgemeiner drückt sich das in Nro. 16) und 17) liegende Ge
^tz so aus :
>6 Oettinger: Veötr die Integrale eoK
18).. /'"«*'" Si..-t.3.= » ^■*-0-^
'■|.3.5....(2n + l)'
">■ •/
_.3.5....Ci«+I)'
In Mro. 18) und 19) aind die Intervalle am ein ungerades »
verschieden. Die Integrale von Nro. 16)— 19) haben einen Cycliw
von iwei Perioden. Sind die Intervalle der beiden Grenzen um
ein gerades w verschieden, so fdhren ihre Werthe auf 0. und
es ist:
/(r-f2i|n /» (r-l-ai-l-l}»
Sina^+»3ar= / SinÄ»"+'aa:
= / Sin:r«-+IS*....=0.
Id Nro. 12)— 20) kann q und auch r unendlich gross tverden,
ohne dass sich die Integral werthe findero. Die Werthe der In-
tegrale des Sinns mit geraden und ungeraden Potenzen nnter-
scfaeiden sieb wesentlich von einander. Diese EigenthQmlichkeit
tritt besonders aus folgender Zusammenstellung hervor :
- l«+i|«'
/In lull /iln
/n {BIS /»» 2«1«
Sin3*'a;t=^.J«. J Sin;r«-Har=prfiü;
/In l«\i fit 2i.|«
Sina:«-3«=g^.i«, J S\fix^+^dx^~^^i^;
/«n im« /»Ja 2"i'
S\nx^dx=^^.\n, J Sin:c'"+»air=— jj^-jjä;
f" |"l« /*" 2"l"
'J"! / Sina;«-Är=:.^ff. / Sin *«»+"3x=2 . jlfiüi
Bit \n\i P*tt qn\%
S\nx*^x=^jf. J Sin:c*-+'ar=-2.j~5;
«IT l«» /»tn
Slnx^dx, Coux»Bxu, Siux^Co9X»dx inner/i.öe^dtnml. Grenzen. 57
Statt der Fakaltäten ^Sjä ^^^ IM-ii^ können nach §.1. Nro. 3)
die in $. 1. Nro. 1) und Nro. 2) angegebenen Ausdrücke substituirt
werden.
$. 3.
/Co8ar»8ar.
Gebt man von der Reductionsformel
1 n — 1
1) . . ./Co8;r»3ar = -Co8a:'»-*Sina: + fCoax^'^Sx
aus , 80 folgt aus den in §. 2. angegebenen Gründen :
Cos x^x = / Cos a:»-«8a: ,
und hieraus durch Wiederholung:
3)
y »(n— 2)(ii-4)....(n— 2r+2)^
Aus Nro. 3) leiten sich fCr gerade und ungerade Exponenten
folgende Integrale ab:
/q.in 2 4 6 2w /^9'h^
Co8 a*.+»a:r= ^-3-;-^^-^-^^-^ J Cos .rS^r.
Aas Nro. 4) folgt:
/»t»*"^ „.. . 1.3.5....(2«-1) ,
o
7)..J Co«x«-8*= + 2.4.6....2H ^^•*-''>-^^'
8) . . /-'•'' Cos.^.a.= - ^^:^^\.±r),.
9) . . .y Co8a:»"8ar= 2.4.6....2n ^^-
58 0e*ttin9€T : üeöer die Integrale von
Bei gleicbzeitic^em Zeichenwechsel der Grenzen in Nro. 9)
ändert sich das Zeichen auf der rechten Seite :
10). . . / Losa:'^"öa: = — ex m a li sl.TCf
T.\n
p-(r\.Y\n 1.3.5....(2ll-l) ,
ij)...y cos^'-axcr — 2. 4.0... .2,— *•*'*•
Die Werthe in Nro. 6)— 9) wachsen hei beständig zunehmen-
dem q in's Unendliche; bei beständig zunehmendem r bleiben sie
in Nro. 10) und Nro. II) uni^erändert. Aus der Vergleicbung der
eben erhaltenen Resultate mit denen in §. 2. folgt im Allgemeiiien :
Sin x^^^x = / Cos x'^^x.
Ganz anders gestalten sich die Ausdrücke für die Integrale
des Cosinus mit ungeraden Exponenten. Hier tritt, da/Cosardx
= Sinx ist, eine grössere Mannigfaltigkeit als bei denen des Sinus
auf, wovon folgende hier stehen mügeti :
13). . .J . ^^^^^"^^g^=J^1.3.5....C2nqT)-
0
/»*(*»+ 1)» ^ 2.4.6.... 2n
/»ICVH)» ^ , ..o . 2.4.6....2«
TTT
16). . .y Co8^W'8^=Tt.3.5„..(.^„^)-
TT!
Die Zeichen der unteren Grenzen in Nro. 15) und 16) haben
keinen Einfluss auf den Wertb der Integrale.
/*''' ^ ^ ^,^ -^ 2. 4. 6... .2«
17) J Cosa:^«+ia^= T 17375:^(5^+1) '
iQx /*''' ^ 2«4.ia . 2.4.6....2n
18) y Cosx^>-na^=±^3^ .
Die Zeichen an den oberen Grenzen in Nro. 17) und 18) üben
keinen Einflass auf den Wertb der Integrale.
Sin:r»6x, CQ%x'^dx u.S'inx^Cfi^x^dx innerh. bestimmt. Grenzen. 59
Für die vier Intervalle, welche zwischen 0 und '1% liegen,
erhält man nach den vorstehenden Darstellungen einen Cyclus
von vier Perioden mit der Zeichenfolge +,—,—,+ bei posi-
tiven Grenzen und der enfgenenj^esetzten Zeichenfolge bei nega-
tiven Grenzen, wie folgende Zusammenstellung zeigt:
19)
n In 9»» 1*2 P -4^ 2"l*
/ Cosar2»+^8ar= ,^1]^» J Cosa:2«+»e:r = -|^-i^;
Cosj:2-+ia:i: = -prn|2' J Co^x^n^^dx^ + ^^^\
\n -l^
—n
/In 2"1^ n—In 2"l*
Ferner ist:
20)../
21)../
^^^+*^'' r> o ^,0 O 2.4.6....2II
Cos:r*"f«3^ = -2.,3 5 ^^,^^,
(2Hi)^ ^ « .,. « 2.4.6....2n
Go^X^n^^^X^ + 2. y-^-g— ^-j-j-^.
(2r+D7r
Diese Integrale haben einen Cyclus von zwei Perioden, ßei
entgegengesetzten Zeichen in den oberen und unteren Grenzen ent-
stehen die entgegengesetzten Werthe:
•22)../
23). ./
(«9+1)^ ^ « .,^ ^ 2.4.6.... 2n
-(2r+J)»
(27+|);r 2.4.6....2n
Cos a:^+'8^ = - 2 . nX g::^- ^^j •
-(2r+i);r
Bei gleichzeitigem Zeichenwechsel in den oberen und unteren
Grenzen ivecbseln die Zeichen auf der rechten Seite a. s. w.
Die Integrale von der Form
/^n P (25+4)jr
Cosa;*»+*3a:, / Co«a;*«+iaar, u,s.w.
tn (2r+i)^
60 Oettinger: üeber die Integrale von
geben in 0 über. Bei beständig wachsendem q behalten die
Integrale den gleichen Werth.
§. 4.
/Sin o:**" Cos a:*"8jr.
Zur Darstellung der bestimmten Integrale ^^f^ vorstehenden
Ausdrucks dienen die Reductionsformeln :
1)
j j_ 1
fSmü^Cosx^x = j— Sinor"»-! Cos ar»+*+— r-ZSinar^-^Cosa^ao:,
2)
I „ 1
/Sin j:»» Qosx^dx =: — 7-Cosx»^*Sin j:"»+* H — — /Cosa?"-*Sinar«8ar.
Durch Wiederholung erhält man mit Rucksicht auf die za
§. 2. Nro. 1) gemachte Bemerkung :
Sina:"»Cosa:*3a:
-(m+«)(w + «— 2)....(m + n-2r + 2)y *'"^ ka>sx Oac
r.\n
(n-l)(n-3)....(n-2r + l) /•'•"• Cosx—'SInx-a^
-(m + n)(i» + n-2),...(m + n— 2r+2)J ^"'"^ aina?-öa:.
Auch hier hat man, wie früher , zwischen geradem und unge-
radem m und n zu unterscheiden. Daher sind vier Fälle zu un-
tersuchen. Setzt man nun 2m statt m, 2n statt n, ferner m und
n statt r, so geht Nro. 3) über in :
/q,\n
Sina:««Cosa:«"3a;
(2m — l)(2m— 3)....3.1
(2m+2ii)(2m+2n— 2)....(2w+2) J ^®*^ ^^
(2n-l)(2n-3)....3.1 ^ ^•*'' g-^^^g,.
Si,
(2m+2n)(2m+2n-2).... (2m+2) _
Beide Darstellungen liibren nach Nro. 12) $. 3. zu dem gleichen
Resultate, und man erhält mit Rücksicht auf die in $• 2. und §. 3.
erhaltenen £ntwickelungen :
Siaz"&z, Cotxi'Sx u.S\aX"CifX«dx ittner/i. 6esU/mnl.CreH»eH. g]
8)
/''■''■«■ ^' s-n 1.3.S....C2m-l).l.3.5....(2«-l) ./'»■i».
Hieraus «rgeben sich Tolgende Darstellungen:
Sin a*'" Cosa:*"3x^ ± Om+iii«" 9-4" '
■/'■"
2»+-ii
Bei gleichiei tigern Zeicheowecheel der Grenzen von Nro. 9)
trechselt auch das Zeichen auf der rechten Seite. Bei bestän-
dig zunehmendem q wachsen die Integral wert he tn's Unendliche.
Uie Grenzen van Nro. 9} liegen zwischen ±oc Integrale von
gleichen Intervallen haben einen unveränderlichen Werth, und
«■ iet:
10).
/,
2»f"i» ■
Hierin gelten gleichzeitig die positiven oder negativen Zeichen.
FSt ein onendlicb wachsendes r bleiht Nro. 10) unverändert.
Die Werthe der angegelwnen Integrale ktinnen durch Anwen
dang von f. 1. Nro. 3) auch unter anderen und folgenden Formen
dargestellt werden:
II) . . / SinÄ*".Co9X*'3a:=-
lteiri.l«"|i
= jaBfSn.l'"!'.!"!).
_ I— in.l— tu _
— 2.|iH^-|i 9—
Man kann auch in
rSckgehen. Geschieht i
hahenen Formeln nur v<
Ö2 Oe Hinge r: Veber die Integrale von
§5.
/Sin o:«» Cos a;2«+i dx.
Setzt man 2m statt m» 2n-f 1 statt n, dann m and n statt r
in §. 4. Nro. 3)^ so entsteht:
1)
(2wi+2n+l)....(2w+3)^
2w(2n-2)....4.2 /*''''^ ^. .„.
(2/n + 2m + I) .... (2/11 + 3),/
r.jTT
Beide DarstelluDgen fuhren auf die gleichen Werthe. Im zwei-
ten Falle ist /Cosa:Sina:2'"8jr=t^ — ^iSina;^»"+^ zu benutzen. Es
wird jedoch bequemer sein, die erste Form beizubehalten, da
die fraglichen Integrahverthe schon in §. 3. gewonnen sind. Durch
ihre Benutzung erhält man sofort:
Sin^r^m Cos ^^"+*a^=±p^:}:^^T2'
o
/±(2j+J)?r ]m|2 2n|2
Sin a:2m Cos a:2n+i dx =T^7H^2 '
,1
Sin ar«" Cos ar^-t» Bar =+|^-;4:Tja .
rn
Sino:^ Cosar2«+»a:r=i-p^^^r2>
T7C
/'* qn 1fR|2 9«i|2
Sin ^r^"» Cos x^n+i a^ ^ip^^^-;- -^_ - ,
±(2r+l)7t
7) . . . y ^ Sin ar^"» Cos or^n+i 3^=4.
lm|2.2"|2
*^lm+n+li2
±(2r+3)7r
In Nro. 4) und 5) haben die Zeichen der unteren Grenzen, in
Nro. 6) und 7) die der oberen Grenzen keinen Einfluss auf den
Werth der Integrale.
FCir die vier positiven Intervalle zwischen 0 and 2it erhält
Siox*Bx, Cnnx^&x u.Siax^Co»j^B3: (nnerA.6eg/tmml. Crfnsen. 63
man einen Cyclns rnn vier AusdrOcIien mit der Zeichenrolge -f,
— , — , +, und es ist;
r
liDa.2ii|t
« „ , ^ l""ia.2"i«
Sin i''"Cosa;""+' 9«= — ii;:fs;fii» •
, l"!«.?
Die Inlegrate dieser vier Intervalle für /.Sin;c''"Co»a;^''fl^
behalten nach $. 4. immer den gleichen Werth. Haben die Gren-
zen in Nrn. 8) das nesalive Zeichen, so entstellen dicselhe» Ans-
drücbe mit der enigegcngeselzten Zeiilienfoli;e: — , (-, 4, — .
Ferner hat man :
/(2,+!)'I
|nl2.'2"|1
Sin;t''"Cosa;'»+»ej:= + 2
Wechseln die Zeichen in den uberen und unteren Grenzen gleich-
zeilig, so wechselt auch das Zeichen auf der rechten Seite:
Sin ^E^^ Co
-(irfi)"
Bei gleichzeitigem Zeichen»
Nrn. 11) und ]2> wechselt auci
Seite, u. s. tv. Die Integrale vn
"/"
13) / Sin3;S"Cos^2B+i^
n. s. w. gehen in 0 Aber. Bei I
die vorstehenden Integrale den
04 Oetttnger: Ctber die Integrale von
Die angegebenen Werthe der Integrale lassen sich ancfa in
andere und folgende Formen umsetzen :
14)
n li»t«,2ii|» 2«" . !*"!' . l"l' . I»!*:»
_ 2««.(iii-H)"l'.l"l' _ 1— ili.l«|i _ l"-ti»
~ {»i+« + l)"+STiT»— 2.1-+-+ti» ~2{» + l)'H-W>*
/"
5- 6-
/SinÄ«»HCoBa:*'3^.
Setzt man 2ffl-f I statt m und 2n statt n, ferner tn und n
statt r in §. 4. Nto. 3), so entsieht:
= (2iM:2«+l)....(2n+3Jj__ S.n:rCosx*.a:r ■
- (2m+2« + l)....<2».+3)y '*"'*^ •*'•
Beide Darstellungen ffibren anf die gleichen Resultate. Wiblt
man die zweite Form als die zur Ableitung bequemere, so erhXlt
man mit Benutzang der in $. 2. gefundenen Resultate folgende
Integrale ;
2).
./'■
- Im+«+l!J'
FOr die vier Integrale von dem Intervall )r hat man:
Sin^a-'+>Cosa*'8a:i
■l
■l
■l
./"""■" Sin3r*-+'Co»Jr!"3:r=-
-»+i|a '
(2t-fi)i |"ia.2"l^
Si»:r*-+»Cos;^3^= jj^^,.
"Pf+D" ]Tita,2"W
Sinx»-+>Coa;ra-a:r=-p;^:^,.
Siiiz«ar, Cni x» S^ u.Sinr^ Cot x^Sx iritiera. iesUmml Cren%en. 65
Die Integrale von Nto. 3) — 6) bab«n einen Cyclas vnn vier
Perioden, Ferner ist:
/"
0.8. w. Die Zeichen an den oberen und unteren Grenzen haben
keinen Einflnss anf den Wertfa der Integrale ttnd jeder beliebige
Zeicbenwecfasel ist znlSasig. Die q kSnnen in Nro. 2)— 9) bis
in's unendliche wachsen. Der Werth der Integrale erleidet hier-
durch keine Aenderang. Aach hier LSnnen die Integral werth e in
andere Formen wie in Nro. 14) g. 5. umgesetzt werden, m nnd
n wechseln dann ihre Stelle.
Die ri«r iDlerralle von 0 bis 2» erzengen Tolgenden Cyclus :
10)
1.3....(ai-l).2.4..,
c
r
Sinj~i-+'Co8aa"8a;=
Sioa;*"+>Co«j:2-Sj;= -
.3.5....(2m + 2M + l) '
l.3.5....(2w— l).2.<.e....2m
l.3.5-..(2m + '2n+l) "
l.3.5....(2«-l).2.4.6.,.2ni
1.3.5....(2n.+2M+l) ■
1.3. 5.... {2m
3.S....(2b— l).2.4....2ni
.5.... {2m
2-.1.2.J
5.7.
Setxt man 2ffl-fl statt m, 2n + l statt t
riitt T ia Nro. 3} §.4., ao erhilt man:
Thdl XLITt.
66 Oeitinger: üeber die Integrale vmi
Si,
Sin ar«»+i Cos :r««H-i dx
'r.\n
2mC2m~2)....4.2 Z*«*»
= 75 — To — ■ o\ '/<> ■ 4% / Co8arSln«*H-*8j:.
(2iii-f2n-f 2) .... (2m+4)^/
Da nun
/
/
Q- r «.+iii Co8a:^+«
Sm a: Co8a:*"+*cj:= q , ^ •
Sin:r^>H->
Co8a?Sina:*~+*3ar= -5 — r-^-
ist, 80 röhren beide Daratellungen auf die gleichen Residtate^ ond
man erhält durch Substitution der sweiten Form, wenn zugleich
ergänet wird:
2) /''-^""Si
Sin;r««+iCo8a:«"+»84:
0
2«(2n-2)....4.2
""r2m + 2n+2)(2m + 2ii)....(2m+4) "^2m + 2
2n(2n— 2)....4.2x2m(2m — 2)....4.2 2«'|g.2*lg
"" (2m + 2n+2)(2m + 2«)....4.2 ^2«»+«+i|«
I.2.... f?i.l.2.3*. ••91
"" 2.1.2.3....(m+n+T7'
Hieraus leiten sich folgende Integrale von allgemeinerer Form ab :
Sin ar«»f 1 Cos .««"+»3^: = ^ \m^^i\\ '
m
4).../
(9-hl);r 1m|l |«|1
Sin aj*M-i Cosa:«^»aar=--|-j~ji.
Alle übrigen Integrale, deren Intervalle um n oder ein Viel-
faches von n verschieden sind, gehen in 0 über, wie diess bei
folgenden der Fall ist:
«)
Sioa*»+»Co«.T«»+»a;r; / Siiu*H-»C<M«*-M8;r...
m (r-H)»
Ffir die Integrale der vier lateiralle von 0 bis 2ir ergibt sich
folgendei Cyclusi
..../'■
/'
Sina!«-+>Co8J>+>3:c=s
/'
r
-2(iiH-I)(m+2)....(m+n + l)'
IHi.l'l)
1.2....II
— 2(m-H>....(m + n + l)'
Sinj:*»*-'Coaj*^'3jr=g l.>t«+i|»
1.2.3....H
Slna«-+»CoBa»'+'8a:= —
2(f>i-H)....(m + n + I)'
2. l»+«+i|i
1.2.3.-«
Die GrSsse n tritt nur in deo Integralen anf, wo gerade
Potenzen des Sinns und Cosinns Torbommen. Sie erscheint nicht,
wenn eine ungerade Potenz dieser Kreisfunctionen auftritt. Wegen
der hierher gehörigen, von anderen SchriflBteilem schon gegebe-
D«n Integralen sind Tables d'lnl^gr. d^fin. p. 0. Bierens de
Haan. Ämaterd. 1858. Tab. 53 u. (T. sn vergleichen.
68 Grunert: üeber eine Aufgabe aus der Lehre
VI.
lieber eine Aufgabe aas der Lehre vom Grossten
and Kleinsten.
Von
dem Herausgeber.
Vor eioiger Zelt wurde ich von einem meiner geschätztesten
und scharfsinnigsten mathematischen Freunde um meine Meinung
wegen einer Aufgabe aus der Lehre vom Grossten und Kleinsten
befragt, bei deren Auflösung allerdings die Bestimmung der ^r-
zeichen» mit denen man die Quadratwurzeln» auf welche die Auf-
losung fuhrt, nehmen muss, einige Schwierigkeit machen kann.
Je mehr und je häufiger in dieser Beziehung noch gefehlt wird»
und je leichtfertiger Aufgaben, bei deren Auflösung solche Zeichen-
hestimmungen — die nur zu oft selbst ganz unterlassen werden —
nothwendig sind, sehr oft noch behandelt werden: desto lieber
will ich die von meinem hochverehrten Freunde mir dargebotene
erfreuliche Gelegenheit benutzen, um mich über den In Frage
stehenden Fall hier auszusprechen, was vielleicht manchem An-
deren weit mehr als meinem sehr scharfsinnigen Freunde zu Nutz
und Frommen dienen wird.
Die Aufgabe, um die es sich hier handelt, ist die folgende '^) :
Es seien eine gerade Linie und zwei Punkte Pq und
^1 gegeben; man soll in der gegebenen geraden Linie
einen Punkt P von solcher Lage finden, dass die Dif-
ferenz PPo-'PPi der Strecken />Po und T^i**) ein Maxi-
rauni oder Minimum wird.
*) iL «. U.A. Tb^or^mes et Probleme« de G^otn^Crie eU-
mentaire psr Catalan. Paris. 1858.
^) E« handelt «ich hier also uro die Differenz PPq^PF^, nicht um
die Differenz PPi--PP^>
vom Crössten und Kleinsten» 69
Um diese Aufgabe aufzolOsen, legen wir ein rechtwinkliges
Coordioatensystem der xy zum Grunde, als dessen a;-Axe der
Einfachheit wegen die gegebene Gerade selbst angenommen wer-
den mag. Die Coordinaten der gegebenen Punkte Pq und Pi in
diesem Systeme bezeichnen wir respective durch ao> 60 ^^^ ^1»
6| ; die Coordinaten des zu bestimmenden Punktes P durch x, 0.
Dann ist nach den allgemeinen Formeln der anal3rtischen Geome-
trie:
wo die Quadratwurzeln natürlich nur absolut aufzufassen oder
positiv zu nehmen sind» weil bei den Strecken PPq und PPi na-
türlich hier von einer Entgegensetzung keine Rede sein kann.
Setzen wir nun
u^PPo-PPi.
so verlangt die zu losende Aufgabe, dass
1) u = V7i-ao)*+ V- V (x - ai)«+6i«
ein Maximum oder Minimum werden soll.
Durch Differentiation erhält man leicht:
und hieraus femer:
Die gemeinschaftliche Bedingung des Maximums und Mini-
mums ist:
8m «
8i = 0'
also nach 2):
.. J^—^O ^ ~ ^I _, Q
5)
Diese Bedingung ist erfüllt^ wenn die Bedingung:
erßlllt ist, und diese Bedingung ist erfallt, wenn die Bedingung:
70 Grüner t: (Jeder eine Aufgabe ans der lehre
6) («— Ho) V^— ai)*+6i* = (a:— fli) Vli^^«+V
erfflllt Uty weil aus dieser Gleichung offenbar die Gleichang 5)
folgt, wobei wir jedoch anzanehmen genothigt sind» dass keine
der beiden Grossen:
verschwindet
Wir wollen nao annehmen, dass die Gleichung 6), näm-
lich die Gleichung:
(x-ao)\/^ix^at)^+bi* = (ar-ai)V(j:-iio)* + V.
wirklich erfüllt sei: so ergeben sich daraus nach und nach
durch bekannte ganz unzweifelhafte Schlüsse die folgenden Glei-
chungen :
(a:-ao)*((^-ai)«+6i«| = (o:— a,)«|(a:-ao)*+*o*l»
6i*(ar— cio)* = 6o*(^— Ol)**
6i(x— «o) = dbAo(^ — Ol)»
biX^Oobi = db*o^T*ü<»i»
öiX^boX = «0*1 T*o«i>
(*i T fto)^ = «0* T Ml ;
und hieraus, unter der Voraussetzung» dass nicht
*iT6o = 0
ist:
^^ "^-"äTtäT"
Dies folgt aus der Gleichung 6), wenn man diese letz-
tere G leichung als erfüllt oder bestehend voraussetzt
Nun entsteht aber die Frage» welches Zeichen man in 7) nehmen
muss» wenn durch den entsprechenden Werth von x die Glei*
chung 0), wie es die gemeinschaftliche Bedingung des Maximums
und Minimums erfordert» wirklich erfüllt werden soll» was sich
nicht anders als dadurch entscheiden lässt, dass man 7) in 6)
einführt» und untersucht» in wie fern dadurch 6) wirklich erfüllt
wird.
Dass aus dem Obigen auch ganz von selbst hervorgeht» dass
nur für die obigen Wertbe 7) von x Maxima oder Minima §tatt
finden können» braucht wohl kaum besonders bemerkt zu werden.
vom Gröulen und KMmten.
g»^ T ^o«! _ fti(ai— Oq) ,
aUo:
(, ...... VH»i-"o)'-Kt,TWl.
(,-.,).+ V = iJ^^Tj^.
alao:
wo es DUD tb«r keinemvegs erlaubt ist, die Quadratwurzeln auf
der rechten Seite der Gleichheitszeichen theilweise wirklich ans-
smsiehen, well es Hieb hier, nie schon hervorgehoben norden Ist»
dnrchaus nur uro die absoluten Werthe dieser Quadratwurzeln
handelt, weshalb auch hier gar nicht die Frage entatehen kann,
mit welchen Zeichen man diese Quadratwnrzeln zu nehmen hat,
indem ja, weil es sich eben nur um die absoluten Werthe han-
delt, roD einem Zeichen -f oder — gar keine Rede sein kann.
Weil wir aozunebmen genüthigt sind, dass die Grösse fr|T6o
nicht verschwindet, so aeben wir ans den vorhergebenden Ans-
drScken von
dass die fernere nach dem Obigen unbedingt nothwendige Be-
dingung, dass keine dieser beiden Grössen vertichwindel, immer,
aber auch nur dann, errütlt wird, wenn keine
bfu b\ verschwindet, so dase wir also hiernacl
lOsung fiberhaupt vollständige Gfilligkeit besit
nähme geoSthigt sind, das» keine der drei Gi
''o. f*y, ö, T^ 6„
Alles hier Bemerkte berücksichtigend und
an» den Augen lassend, handelt es sich nun
chong:
72 Grunerl: Ceber eine Aufgabe aui der Lehre
_ A,(g,-Oo) 4/ Vl(«i-«o)*+(6,Tfto)'l
erffiUt ist. Offenbar wird aber diese Gleichung votlstSodiK
ersetzt durch die Gleichung:
also cJorch die Gleichong:
T6oV^ = — ^iVV oder db*oV6;^=6i^^Ä7,
und es kommt nun darauf an, za untersachen, ob und in wie fem
diese letztere Gleichung erfüllt ist^ wobei man immer zu be*
achten hat, dass V^6^ und V^6j^ nur die absoluten
Werthe dieser Grossen bedeuten und als solche auf*
zufassen sind, was uns nothigt, jetzt die folgenden Fälle sa
unterscheiden.
Wenn
*0
*.
positiv
positiv
negativ
positiv
negativ
negativ
positiv
negativ
ist, 80 wird die zu erfüllende obige Gleichung respective:
±*o.(-*i) = *i.(-Äo),
±6o.(-6i) = 6i-(+W;
also respective:
± Ml = — *o*i »
T *o^i = + *o*i ;
folglich muss man respective nehmen die:
ra« eröttien und XieituUn. 73
oberen
Dnleren i ^ ■ ■
> Zeicben.
abeten '
Doteren
AIro muM man offenbar die oberen oder unteren Zeichen
RchneD, jenacbdera 6<, nnd 6, gleiche oder angleiche Voneichen
haben. Wenn folglich b^ A| gleiche Vorzeichen haben, so mass
inai) nach 7) setaen:
'' "^-"'Äj-Äa '
wenn dagegen bf,, b, nngleiche Vorzeichen haben, so miws man
nach 7) setzen:
8-).
Im ersten Falle liegen die Punkte P^, /*, auf einer Seile
der gegebenen Geraden; im' zweiten Falle liegen die Ponkte
/V /*i auf verschiedenen Seiten der gegebenen Geraden.
, gleiche Vorzeichen haben, den
den oWgen Ausdruck 3) des zweiten Differentialquolienlen
D, so wird derselbe, fiberall die oberen Zeichen genommen:
(6o'i;(«i-''o)'+(fti-fto)*M f^n(gt-*'o)H(fr.-6o)']t i
\ (ft,-6o)« i \ (ft.-fto)' i
J(fl.-«o)« + (A.-&o)''lJ
t6o*)-* (6|')-^
i (&,-*o)» f i (6|-*o)* I
i (*.-*o') i
Wlfe
(V)-*-(V)-*-0,
74 Grunert: fjebtr eint Aufgabe aus der Lehre
(6,«)-t =1 (ft„«)-i,
also:
also:
entweder 6, — Ao = 0 oder Aj -f £„ ^ 0,
nas nicht der Fall sein kann, wena, wie jeUl tngenamraen wer-
den soll, keine der beiden GrOssen fr, — bf, und fr|-f-6o> also
&! T ^0 '■i'^l't verschwindet, man mag das obere oder das antere
Zeichen nehmen.
Daher verschwindet unter den nun gemachten Vorausaetsnn gen
der zweite Differentialquolient nicht, iiud ist positiv oder negativ
jenachdem
jenachdem also
oder
val. aha. 6| — val. abs. ba
positiv oder negativ ist, jeoachdam also
val. ahs. 6, > vai. abs. 6,^ oder val. abs. b^ < val. abs. bo
ist. Also ist im vorliegenden Falle, wenn iiämlicb Ag, 6, gleiche
Vorzeichen haben, die Differenz PP^ — PP^ TOr
OqAi bgüi
~~ bi—bo
ein Minioiam oder ein Maximum, jenachdem
val. abs. A| > vaL ab«, bf, oder val. abs. 6, < val' abs. b^
ist
ihren wir, wenn 6o, b^ ungleiche Vorzeichen haben, den
_ Opfei + b„a,
"^ b, + bo
obigen Ausdruck 7) des ziveiten Differentialquotienten ein,
) derselbe, tiberall die unleren Zeichen ^enonimeo:
vom GrOstlen und Kleintten.
t6o*[(«i-ao)'-«-(fe|+M*lä tft|*[(°i~Co)*+(ft|-ffto)'J) *
(fti + Ao)'
^^o^M (MÄ)S } ^*'^*( (M^« i
~ J («.-^n)«+(A.+ fro)' 1 ! ( (a.-go)«+(fc.+6<.)« » i
\ (4. + *<,)• ( \ (*i + *o)» J
(fto*)-i-(6i')-'
~ K«|-«'n)'+(6.+&o)'H'
t (A.+60)" f
Gaos aar dieAelbe Weise nie vorher eif iebt sich, das» auch
in diesem Falle, wenn nSmlicb 69, ft| ungleiche Vorzeichen babeo,
die Differenz VP^ - PP^ für
ein Hinimura oder ein Mazimam nird, jenachdem
Tal. ab«. 6, > val. abs. Aq oder val. abs. A| < val. abs. b^
ist.
Als G«samintTesnltat ergiebt sich daher dap folgende:
Wenn maa, unter der Voraussetzung, daas keine
d«r drei Grössen
w«der fSr das obere noch ffir das untere Zeichen in
der drillen Grösse, verschwindet. Im Folgenden die
• beren oder nnleren Zeichen nimmt, jenachdem bf,, bi
gleiche oder angleiche Vorzeichen haben, jenacbd<
also die Punkte Pf,, Pi auf einer Seite oder auf vc
■eliledciiem Seiten der Geraden liegen. In welnber d
gesuchte Punkt P liegen soll: so wird die Dirferenz
PPo-PPt
für
_ Ml T bpat
*iTfto
«ia Mioimnm oder ein Maximum, jenachdem
76 Grüner t: üeber eine Aufgabe aus der Lehre
val. abs. 6| > vaL abs. Öq oder val. abs. bi < val. abs. 60
ist.
Der dem vorsteheoden Werthe von x entsprechende Werth
von
ist nach dem Obigen offenbar:
Wir wollen nun, zu näherer Erläuterung des Vorhergehenden,
den in Taf. I. Fig. 2. dargestellten besonderen Fall betrachten.
Die beiden gegebenen Punkte sind Po und Pi, und Aß ist die
gegebene Gerade» in welcher der gesuchte Punkt P liegen soll.
Von Po >s^ Au^ ^'^^ gegebene Gerade die Senkrechte Po^ geßült,
und durch Po ist ferner mit der gegebenen Geraden eine Parallele
gezogen» aufweiche von P| die Senkrechte P| Q geföllt ist. Die
positive und negative Seite der gegebenen Geraden soll liezie-
hungsweise deren obere und untere Seite sein, die positive und
negative Seite des Punktes A soll dessen rechte und linke Seite
in der gegebenen Geraden sein. Wir setzen APQ=zb, P^Qzzß,
P^Q = a, wo in dem In der Figur dargestellten Falle /3>6 ist.
Die gehörig positiv oder negativ genommene Entfernung des
Punktes P in der gegebenen Geraden von dem Punkte A sei x.
In unseren obigen Zeichen ist nun:
00 = 0, 60 = — *; «i = «> bi=zß^b;
also:
61-60 = i5, 61+60 = /J-26;
und da nun in der Zeichnung PiQ^2.APq, also ^<26 ange-
nommen worden ist, so verschwindet offenbar keine der drei
Grossen 60» 6|, 6| T 60« Weil 60 negativ ist» dagegen, weil /3>6,
nach dem Obigen 61 positiv ist, so haben 60» 6| entgegengesetzte
Vorzeichen, und man muss also nach dem Obigen:
_ ao6|+6ofl| _ 0.(/?— 6) — «6 _ _
ab
61 + 60 "" /?— 6— 6 "~ /J-.26'
oder
ab
X =
26-/J
setzen, wogegen man nicht setzen darf:
vom Gross ten und Kleinsten, TJ
ao6t — bpüi ^ 0.(/?— fe)-t- «6 ab
""^ 6,-*o ■" ß-b^-b -J'
El» bt die DiffereoB PPq — PPi ein Miniroam, wenn
▼al. abs. 6| >val. abs. 60,
d. b. nach dem Obigeo» wenn
ß—b>b, /?>26, 26-/?<0
»t; dagegen ist die Differenz PP^-^PP^ ein Maximum, wenn
val. abs. 6| < val. abs. &o>
d. b. nach dem Obigen, wenn
/?--*< 6, /J<26, 26-iS>0
ist Da nun, wie schon erwähnt, in der Figur ^<26, folglich
^"^jS^O angenommen worden ist, so findet in diesem Falle ein
Maximom Statt Weil
06
26 — /J
QDd 26—/} > 0 ist, so ist x positiv. Weil ferner /? > 6 ist, so ist
26-./J<26-6, 26— /J<6;
also:
6
26-/?
>1.
ond folglich o? > a, so dass also der Punkt P jedenfalls auf der
rediten Seite von P^Q liegen muss, wie auch in der Figur an-
geooinmen worden ist.
Ich glaube, dass rücksichtlich der richtigen und ganz un-
zweideotigen Auflösung der obigen Aufgabe nie ein Zweifel übrig
bleiben kann, wenn man dieselbe auf die vorstehende Weise be-
handelt
Jedoch sind dem Vorhergehenden noch einige Bemerkungen
ober die Fälle hinzuzufügen, wenn die Bedingung, dass keine der
Crossen
*o> ^> ^i T ^0
verschwindet, man mag in der dritten Grossen das obere oder un-
seren Zeichen nehmen, nicht vollständig erfüllt ist
80 G runer t: (Jeder eine Aufgabe aus der Lehre
also, weil CPo = CPi istj:
PPo > PPx^
und folf^Uch die Differenz
positiv. Daher kaon offenbar, wenn P in den Mittelpankt C
mit, die dann verschwindende Differenz
PPo-PPi
weder ein Maximum, noch ein Minimum sein.
Wenn 6| -|-6o = 0 i^^* 00 ist &i = —^o» w^ folglich
*i — ^0 = — *o-" *o = — 26o,
wo also bx—b^ nicht verschwindet, und daher im Obigen:
61-60 - -26o -»(^o + «i)
gesetzt werden kann, sich folglich jetzt wieder frSgt, ob für diesen
Werth von x ein Maximum oder Minimum der Differenz
PPo-PPi
Statt finden kann. In der leicht durch sich selbst verständlichen
Taf. I. Fig. 5. ist P^^ = P[Qi und C der Mittelpunkt von Q^i.
Für x = i(ao-fai) föllt P in den Mittelpunkt C Liegt P in
CQo» ^^ ■st'
PPo<CPo, PPi>CPt;
also, weil CPq=^ CPi ist:
und folglieh die Differenz
PPo- PPx
negativ. Liegt P in CQ|, so Ist:
PPo>CPo. PP,<CPt;
also, weil C?\, = CPi ist:
tiem Gröstten «nrl h'Ufttiltn. 81
und folglich die Differenz
positiv. Daher kann offenbar, wenn P ia den Mittelpunkt C
(3ltt, die dann verscbwindende Differenz
weder ein Maximum , nach ein Minimum sein.
Ich hoffe, daas durch diese Betrachtungen die Nothnenai^
keit der im Obigen festgeiSlellten Bedingungen, daes keine der
drei Grössen
Ao. fti. *i ± Ao.
irelcheH Zeichen man auch in der dritten GrSsse nehmen mag,
verschwinden darf, mit völliger Deutlichkeit nachgewiesen sein
«rird.
Rapport fait fi TAcaddraie Royale des sciences des
Pays-Bss, Section Physic""
priMnti dans 1a seance du % Jam
Vorwort des Herausgebe
Wir glauben als bekannt voraussetzen zu
('ttasles an verschiedenen Stellen der „Cc
der rranzSsischen Akademie eine grosse Reih
sffeotlicht hat, durch welche verschiedene En
bivber immer und ohne Widerrede gewissen
Th*il XLIX. I
82 Happort fait ä i'Acad^mie Röyale des sciences des
tikern zugeschrieben worden sind, fflr andere Mathematiker in
Anspruch genommen werden , so wie denn u. A. der Rohm der
Entdeckung des Gesetzes der allgemeinen Schwere nicht New»
ton, sondern Pascal gebühren soll. In diesen Briefen kommt
nun abch Verschiedenes vor, %vas, wenn es begründet wäre,
wenn überhaupt die betreffenden Briefe echt sein sollten, auf den
wahrhaft grossen niederländischen Mathematiker, Astronomen und
Physiker Christian Huygens ein sehr zweifelhaftes Licht
werfen würde, namentlich rücksicbtiich der bekannten, den Pla-
neten Saturn betreffenden Entdeckungen dieses grossen Mannes«
Die Königlich- niederländische Akademie der Wissenschaften in
Amsterdam hat in dem nachfolgenden, von den Herren P. Har-
ting, F. Kaiser und J. Bosscha J^ erstatteten „Rapport''
die Rechtfertigung ihres grossen Landsmanns übernommen,
in einer so erfolgreichen und einleuchtenden Weise , dass nach
unserer Ceberzeugung über die vollige Falschheit und Grund-
losigkeit der gegen den trefflichen Huygens ausgesprochenen
Beschuldigungen nicht der geringste Zweifel übrig bleiben ksinn.
Wir halten daher diesen „Rapport" für ein sehr wiclitises
Actenstüek für die Gesclilelite der Matliematifc und
Astronomie» und glauben nur eine angenehme Pflicht zu er-
füllen, wenn wir ~- natürlich mit Erlauboiss der Königlich-nieder-
ländischen Akademie der Wissenschaften — durch Mittheilung
desselben in unserer Zeitschrift zu seiner sehr zu wünschenden
allgemeineren und weiteren Bekanntwerduog und Verbreitung bei-
tragen, da die Schriften der genannten Akademie nicht so ver-
breitet und bekannt sein dürften, wie es ihres wichtigen Inhalts
wegen jedenfalls sehr zu wünschen wäre. Jedem Bearbeiter
der Geschichte der Mathematik und Astronomie wird dieses
sehr wichtige historische Actenstüek, wie es uns scheint, auf
diese Weise am leichtesten zugänglich, und der Verbreitung sich
bekanntlich nur zu leicht einschleichender falscher Ansichten wird
— was wir sehr wünschen — dadurch kräftig entgegengetreten.
G.
M. Chasles a communique ä l'Acaddmie des Sciences de Paris
quelques lettres qui, si elles contenaient la verit^, jetteraient sur
Ohretien Huygens le blAme, de s'^tre approprie sciemment
une döcouverte de Galil^e» qu*il aurait fait passer pour la sienne.
L'Aeadömie Royale, Section Physique, nous a confi^ la tiche
dlnstmire ce point, et de d^fendre, s'il y a lieu, le nom bono*
rable de notre llkistre eompatriote contre one teile incriminatton.
C'ect avec empr««aement que nous novs eo aoquittons.
Pnps-Ba», SfC/ioti Phi/tiqut. isß
Avanl toDl il Taut remarquer, qiie nous nommes hora d'^tat-
de contester l'authentlcitä des l«ttreei dortt il eat qaealioD, eor
des motifs externes. Nona n'arooa pae vn ces lettres, et nous
^oroDs mäme, sl M. Cbanles les conaid^re cumme ori){tnale(>,
00 si eties fönt partie de Celles, dont il aeoue n« posn^er que
de« coplee (Camptet rertdvs du 16 Die). Si cette p#euve elait
indispenaable, il faadrait inviter M. Chaales, ä faire examiner les
Icttres snsdite9 par dea persAitnes experles et intparliales, aBn
de d^der si elles sont de l'öcritare niäme de« aatettra reputes.
«t pour le na» que M. Chasles ne poss^dit que dea copies, «i
Im exemplairea prImitifK pr^sentent dea garanties snfGsiHites
daatbealicil^. Tel examen cependaal nouo parail tout-ä-fait su-
perfio.
Lea lettre« meines, comme iioiis le d^moiitrerons, portent u»
caraclere ioteroe n'i manifeste de fauasetä, et ce qui «'est padse
dan« ['affaire doiit il s'agil, eat si cimpletement et si distincle-
meot connu par d'autres docnment«, qui n'admetlent pa« I'onibre
d'un doule, qu'il suffira, ce nou« semble, d'expnser ce qne ceux-
d aouB T^velent, pour renverser de fond en comble raccusation
porlea contre Huygens.
L'Acad^mie nous pardotmera, fu r»bjet grave de l'itivestiKa-
tioD dont eile nou« a cbarg^s, tl'^tre tsnt soil peu prolixea dans
cetle expositinn, alin de convaincre pleineinent mime les moins
initien daos l'hiistoire de cette epoqoe de la scienc«^. que le con-
teno des lettre» mentionn^es ne saurait ätre caulorme ä la verit^.
On sait que M. Chaslrs a produit devant TAcad^niie des
Sciences de Paris nne longue s6tie de letlres, qui d'abord ne
lendaient qu'ä d^mnntrer, qu'il lallait attribuer h Pascal, et non
a Nenton, la gloirt; d'aroir trouvä la loi generale de Paltructian
nairernelle qai doinine notre Systeme planätaire. Le noni de
ElDygen« «'y rencontre pour la premiere foi« de la maniire sai-
vsnte. II auralt »-crit (Camptet rendus, p. 543) ä Pascal one lettre,
dat^e du 1 Juin 1664, oü il faisait mentinn de la loi, que la qnan-
titj de mouvement d'un corps est proportiomieile
la masse par le carr^ de la vitesse, loi que Pas
communiqu^e. Dans cette lettre Huygen« dit: „1
cette regte, Monsieur, et plus il me paratt qu'elli
Tood en comble tous les principes de la statique, c
qe* et de l'hydraulique, et qu'elle contrcdit ouverl
p^riences les plos constaotes sor ces trois belies
physiqoe." Or il est connn par une lettre de Hu
Mars 1669, qui se troave dans le Journal des
84 Rapport fait ä l*Acad^mie Rof/ah den sciences des
p. 531, qu*en 1661 il a deduit cette meme loi de ses ezp^riences
du choc des corp«, et que, conjointement avec d*autres resultats
de son investigation, il Ta commaniqu^e dans une seance de la
Society Royale de Londres, quoique ce ne Wt qu'en 1669 qa'il
donoät les exp^riences elles-memes, aprds que Wallis et Wreo^
dont le dernier etant prösent avait enteiidu sa coromunication,
eassent publik leurs experiences concernant le meme sujet. Les
d^tails de ce travail de Huygens n*ont paru qu'aprds sa mort,
dans les Opuscula posthuma, T. II, p. 75. (Voir les Opera reli-
gua, Edition de 's Gravesande).
Dans cette lettre Huygens cite quelques savants, qui avant
lui se sont oceup^s de ce probl^me, noramement Galilöe, Des-
carte 6, le P^re Fabri et en dernier lieu Bore Mi. II n'est fait de
Pascal nulle mention, ce qu'il faudrait taxer de perfidie, si la
lettre produite par M. Chasles contenait la v^rit^, puisque dans
ce cas c'est Pascal qui aurait trouvä la loi principale, contestee
d*abord par Huygens, mais admise par lui plus tard, comroe le
resultat de ses propres experiences.
Donc il s'agit d*examiner, si la lettre petit ^tre attribuöe ä
Huygens? Nous ne le croyons pas, pour les raisons que voici:
Huygens lors de la date de cette lettre, Tan 1654, ne comp-
talt que vingt-cinq ans. En tout il n'avait publie que dem dis-
sertations sur des sujets de math^matiques, savoir: Theoremata
de quadratwra hyperboles, ellipsis et circuli et De cireuli mag-
nitudine inventa, II serait peu vraisemblable, quk cette äpoqoe
d^jä son nom füt fort r^pandu hors de sa patrie, si quelques
lettres qui existent*) ne prouvaient, que depuis 1652 II ötait en
correspondance avec quelques savants k T^tranger. Mais ce qui
est tout-ä-fait contraire ä ce que nous savons de Huygens et de
son style ^pistolaire, c'est le ton et le contenu de la lettre m^me.
Toutes les lettres av^röes de Huygens de ce teropslä se carac-
täriaent par une modestie exemplaire. A-t-il coo^u des doatcs,
il en döveloppe au large ses raisons. Le Huygens de la lettre
en questioD le prend sur un ton p^dant, presoroptueux. Sans
fa^on il d^claire la loi que Pascal lui a coraniuuiqu^e, en contra-
dictinn avec les principes ^l^mentaires de la physique et avec
les r^sultats de toute expörience; puis il r^p^te la m^me cbose
*) Voir les annotaUones, 5, 7, 8 et 15 au Disconrs rectoral de feii
le professeur Uylenbroek en 1838: De Falriöus Chrtsliano atque Con-
stantino Hugenio, artis diopfricae cultoribns, dan« le« Annalrs Arade-
mici Universiiatis Lagduno-Batavae, 1837—1838.
Paya-Bas, SecUun Phpiigne 85
encore en d'aulres teriiies, saus daign«r alleguer le iiioindre ar-
;;unient ä l'appui Je »nn opinion. Seulement ä la Gn de l'epitre
il dcniHude de« esplications, comme il se pourrait qu'il o'edt pas
bieo corapris. E»t-il posgible qu'un Pascal puisse ^Ire Iraite de
la soite pur le nieni« Huygens qui, lors de sa pröaetice ä Loo-
drea, pr^disposait lout le inonde en sa faveur par sa candeur et
«on ingenuiie *)"( E»l-il possible de croire qu'un tel honime ee
HoH apprAprie toul simplenienl la d^couverle d'autrui, apr^s l'avoir
rejel^ auparavani avec dedain; et qui plus est, en IÖ6I, Pascal
etanl encore en vie?
En eonime: quoiqne nous iie puissiona d^montrer le faux de
cetle lettre par dea preuves auatti concluantes et incoiilestablea
qae uous en avnns a untre diapoäitton puur d'autren lettrei^, du
moins uous pensons avoir aüa en ävidence la grande iiivraiaem-
blaiice, que Huygens l'ait jainais äcrile.
La secende lo» que le nom de Huygens parait dans cette
conlroverse, v'est dans quelques lettrea, oü il pnrte l^moignage
contre Newton, qu'on accuee d'avoir emprunt^ beaucoup d'ld^es
ä Pascal").
Nous uous alistenons d'änoiicer une opiuion quaut ä l>tutben-
licile de ces lellres, tout cnmme d'autres, d'oü il resuKeriiit que
Neirlou, dans aacorreapnndanc« avecHuy gen^, se Herait permis
ar^iarddeUescartes et Pascal de« expressions blessantes pnur
la memoire de ces savants, que Huygens aurait «^ommis i'inad-
Tcrtance de divulguer, ce qui par la suite suscila des d^sagrd-
DKots ä Newton, de la part nieme du roi Louis XIV, qui en
lemoigna so» nieeonlenlement ***) Tnute cette parlie de la col-
lection, nnn« la passerons boum silence, coniine ne nous regardant
pas dans ce nioment-ci, en laut qu'elle concerne la reputation de
NeH Inn, qui y parait compromiüe ; de niaint cäiri d^jä on a releve
quantit^ de choses invraiseiiiblables qui s'y trouvent accuniul^es.
Quant au rdle que Huygens aurait rempli dans cette a&ire, il
n'«»t qu'accessoire, celui d'uii iuterinedlaire. Et comme son hori-
neor n'est attaqne en rien par ces letlres, qu'elles soient autben-
tiques ou non, nous les laisMerons pnur ce <
Mat observer aeulement, qu'elles app»Ttienii
que plus avancee, savnir ä l'annee lüHl et
tnir Ujlctilirock, ll.iili'in. AiHi. ib.
") Complen reuUiix, 1". L\\, ji. hü.
"') Cumptmi lenüus, T. L\\, jui. SMi,
86 Rapport fait ä VAcatUmie Royale des sciences des
consequent n'ont aucun rapport au fait priiicipal, dont il faudra
noas occuper roaintenant en troisieme lieu.
Dans la «äance du 7 Octobre dernier M. Chasles produisit
plusieurs lettre«:, qui se trouvent iinprini^es dans ies Comptes
rendus, 11 y en a une, datäe de Florenee le 7 Juin 1641, sign^
Gaiilöe Galilei et adressöe ä Pascal, oü il est fait mention
plus d'une fois des satellites de Saturne. M. Cbasles en de-
dait ce qui suit:
„On voit que Galilee, ä qui Ton devait dejä la döcouverte
des qnatre satellites de Jupiter, avait aussi d^couvert des satellites
de Saturne; ce qui est reste ignore et ce qui ne dimioue point
le ro^rite de la d^ceuverte de Huygens faite en 1655."
Admettons un instant que cette lettre ait 4ie vraiment ^crite
par Galilee, reste ä savoir ce qu'il entendait par satellites. Or
c*est un fait gen^ralement connu, que Gallige a maintes fois de-
sign^ sous ce nom Ies deux fragments de Tanneau, qu*ii voyait
ä c5te de la planMe dans sa lunette defectueuse eucore. Si*l en
est ainsi, Ies satellites de Gallige n*ont rien de comiuun avec le
satellite de Huygens, et ne sont donc d'aucune consequence.
Mais M. Chasles est d'un autre avis, et en eflfet, il faut eo con-
venir, il y a lieu. Galilee dans sa lettre fait mention des temps
de r^volution, non seulenient des planstes Jupiter et Saturne»
mais aussi de ceux de leurs satellites, puis encore des masses
et des densit^s du Soieil, de Jupiter, de Satume et de la Terre,
dont il ajoute Ies valeurs caicuUes d*aprds ses donnees par Pascal.
Donc il paraitrait, que de cette lettre suppos^e authentique
on ne saurait conclure autre chose, sinon que le 7 Juin 1641
Galilee connaissit plus d'un satellite de Saturne. Nou» verroos
tout ä rbeure, combien il est iniportant, d'appuyer tout d'abord
sur ce point.
Ne perdons pas de vue non plus, avec combien d*egards en-
vers Huygens M. Cbasles s'exprimait, lorsque dans la s^ance du
7 Octobre il donna lecture de la susdite lettre de Galilöe, disaot
expressement que la decouverte de Galilee ne diminuait point le
raerite de la decouverte de Huygens faite en 1655. M. Cbasles
se serait-il servi des ra^mes terroes circonspects, s*il eüt connu
Ies lettres, que six semaines plus tard, le 18 Novembre, il a mon-
tr^es ä TAcademie? On s'en douterait fort d^apr^s le conteno
de ces documents.
Ces lettres sont au nombre de cioq.
La premiere est encore de Galilöe a Pascal et dat^e du
Paijs Bas, Sectio» Plii/tigns. 157
2 Nov«i»kre 1641, pur conäequeiit motni> d'uiie deini-aiinee poete-
r'wure B la precedente. Ru vnici l'exorde: „Je vom« eiivoye raes
deroiare« Observation» raileü svec uii nauvel inBtruiueot quo j'ay
imaginri; el je rous prieray d'en faire paft i tos aiuis, et entre
aatres au P. Boulliau, que je scay estre un B^avant astroDoine."
Le lesle de cette lettre traile de sujets ätraugers k ce qui oous
occupe ä pr^seot.
Les trota leltres qm »uirenl, na porlent que la date du mow,
Hns mill^sinie. Le 17 Jiiin BouUian ^critä Huygenti,et luicom-
luanique que Pai>cal'are9udeGalil^« uii instrument qui grossit
prodi^ieuiienieot les objetit, el au moyen duquel od aper^oit pris
deSaturiie quelque chose qui lui senible exlraordinaire. GalU^e
avait Tait cette iD^ine observarion, et malgrö la faiblesse de 6a
yw, il avait cru apercevoir uii satellite de Saturne, Taisant sa re-
volulioii autour de cette ploiieto, ainni qu'il l'avait marque en
nnle, dann Tespace de 15 joura 2'2 heurea \. Lui, Boulliau,
avait cfaerch^ mainte^ fois ä constaler la r^alit^ de ce fait, sans
yaroir reussi. Donc il riivoyail ä H uygena rinetrument, accom-
pa^n^ d'ant: Instruction faite par Galil^e lui-m^me. II poursuit:
„VnyeE donc par vous inesme, si plus heureax serex. Alorü la
gloire rous en appartiendra."
A cette lettre il y a une räponse de Huygens datee du 'i
Decerubte. L'envoi de Boulliau lai avait rite fort a^reable. II
avait ^tudiä et perfectiouoä TinHlruDieiit, au paint de grosüir les
objeU plus de cent foia. Puls s'en etaot servi, il avait reo» non
sealemeDt l'anneau, dottt il aeait dejä enfrcfenti Bo ulliau, mais
encote il avait dricouverf parfailenient le t«atellite que Galil^e di-
Kait aroir aper^u, et par uoe Observation continoeo pendant plus
de deox moia il s'etait convaiiicu que )e tenips päriodique de ce
utellite autour de la plannte etait en effel da 15 joura 'ii beurea t.
San intenlion aerait de doniier le nnin deGalilrio ä ce satellitp
de Saturne, mais avant de coiiimutiiqiier cette decouverte ä l.i
toäiti, il attend an (;<in!ieil de Koullian, dont il veut faire de-
pendre sa decision.
Or Boulliau repond äHuygens, ä lu dalc du 2'2 Uäcembre,
qu'il ne voit pu» 1' raison, pourquoi Huygen» iie
cette decourette pour Ini nienie. La ^jlnire de Gulil
apugee, et »ans uucun cloulc, ü'il vivuil encorc, il rc
glorilication, coninie n'nyatit donnä, pour ainsi dire,
Wie d^couverle, dont le roHultat appurteuail a (fuy
il ajoule; „Vous nie roiiipreiicz. Quant a nioy, au ■
affaire, voiiti pouvu^ coMipter »ur tna discrelian."
88 Rapport fait ä l'Acaäemie Royaie des sciences des
Cette discretion cependant parait ne pa» avoir ete ä Tabri
de toute epreuve. €ar dans une lettre alt^rieure^ adress^e a
Flanisteed et datee du 21 Avril 167. (manque le dernier chiffrf;
du fniil^sime), Boalliau raconte qu'au moyen d'un instrument
construit par Galiläe, Uuygens, apr^s l'avoir modifie, „noo seule-
ment d^couvrit Tanneaa de Saturne, mais aussi son satellite, au-
quel il donna le nom de Galil^e, pour ce que ce Tut ce dernier
qui Tentrevtt premi^rement. Mais la gloire eo resta äHuygens,
parceque c'est luy qui le d^montra."
Voilä la teneur des lettres en questiori. Avant de passer
outre, et de deniontrer rimpossibilite des faits qui y sont rap-
port^s, r^sumons ces faits.
8i ces lettres sont authentiques et contiennent la verit^, alors:
1^. Ed 1641 dejä Galiläe non seolement a vu le saieUite de
Saturne, roais il en d^termina le temps de r^volution. Doiic il
en avait observä tout ce qui se pr^te ä Tobservation, et c'est ä
lui qu'il Taut en attribuer la d^couverte;
2*^. Huygens savait cela, et au moyen de la iunette de Ga-
lil^e, k laquelle il apporta quelques ani^liorations, au point de
lui faire grossir cent fois les objets, il n*a fait que constater
cette döcouverte de Ga liiere, y coropris la p^riode de 15 jours
22 heures J, la faisant toutefois passer pour la sienne, conform^-
inent au conseil de Boulliau;
3^. Quant a Tanneau les temoignagei« de ces lettres se
contredisent quelque peu. Selon la lettre de Boulliau aFlani*
steed, ce serait encore au moyen de la Iunette de Galilee
que Huygens aurait decouvert l'anneau, et non revu^ comme sa
propre lettre Tindique, Impliquant que la decouverte de l'anneau
fut anterieure ä celle du satellite.
Taotdt nous reviendrons sur ce point. Ezaminons d'abord
de plus pres les deux lettres de Galiläe dans leur rapport avec
la premi^re lettre de Boulliau. Nous y rencontrons plus d'une
contradiction. Dans la premiere lettre de Galilee, celle du 2 No-
verabre 1641, il n'est fait niention que de Tenvoi d'observations,
et nullement de Tinstrunient au moyen duquel ces observations
furent faites. Cr Galilee est mort le 8 Janvier 1642, c'est ä dire
seulement dix semaines apr^s la date de la lettre. Donc si vrai-
nierit Galiläe avait envoye ä Pascal ta Iunette qui depuis, par
rinterm^diaire de Boulliau, vint entre les mains de Huygens,
cela doit avoir eu lieu dans les dernidres semaines de la vie de
Galilee, ce qui n'est guöre admissible.
Faya-Bas, Seciion Physique, 89
Qaand on conipare les notes que, selon Boulll au, Pascal au-
rait re^uea de Galilee, avee la preiniere lettre de celui'ci, qui
De peut etre aot^rieure qua de quelques mois, il est Evident que
le« deux lettre« ae contredisent Tandis que dans la lettre du
7 Juin 1641 il 8'agit de satellites au pluriel, en tout cas de plus
d*an satellite, la lettre deBoulliau ne parle que d*un seal. Or
nana avons vu qn'en effet il y a lieu de supposer avec M. Chas-
les que Tauteur, qui que ce füt,«a vonlu desigaer, non les frag-
meoUt de Tauneau, niais de vrais aatellites. S'il en est aiosi,
GatiUe se cootredirait lni«m4me. II Taut que sa premi^re lettre
ou Celle de Boulliau soit fau^se. En tout cas la conclusion oü
arri?e M. C h a s I e s , ne «aurait dtre juste. G a 1 i 1 e e , qui, dans une
tiote ajoutee a la lettre du 2 Novembre, ou quelques semaines
plo8 tard, annonce la decouverte d*uo satellite de Satnroe, dont
il doone le teinps de r^volution, ne peut avoir attribu^ le 7 Juin
plas d*un vrai satellite ä la planete. Posons au contraire que
Ualilee, ou Tauteur inconnu de la premidre lettre, par le mot sa-
teliifeH ait design^ non de vraies lunes, roais l6s Fragments de
Panoeau, il faut necessairenient que la decouverte dont parle sa
note, ait et^ faite, et il est probable encore que la lunette ait *
et^ construite, entre le 7 Juin 1641 et le 8 Janvier 1642. Or il
e»t assez connu que Galil^e d^s 1637 perdit la vue sinou entiöre-
nient, du nioins presque en totaiitö. Glissons sur ce point comme
«uffidainroent ^clairci d'autre part. Sans contredit, la lettre iDÖme
de Boulliau en porte tämoignage, la vue de Galilöe, vieillard
alors usä par les veilles et les malbeurs, dg^ de plus de 77 an-
n^e8, avait beaucoup souffert. Admettant cependant que tous
Ke8 biograpbes, qui le disent compl^tenient aveugle des Tan
1637, aient exagärö sa cöcit^, et que Tinfirmite dont il ^tait affectö,
ne füt pas encore avanc^e k tel point pour le mettre hors d*etat
d'ecrire une lettre en 1641: est-il probable, que cette in6rmite
lui permit de travailler et surtout de polir des lentilles, occupa-
tion qui exige une vue nette et des efforts soutenus? En outre
sanrait-OD admettre, qu*avec une lunette qui en tout cas n'^tait
pas des meilleures, car sans cela Huygens n*aurait pas eu besoiii
de rameliorer, il eüt d^couvert un objet aussi mini nie qu*un sa-
tellite de 8aturne, et surtout qu'il eüt pu en di^terroiiier la p^riode
de revolution avec exactitude, tandis que Boulliau, qui ä coup
•ör ne nianquait pas d'habitude dans Tart d'observer, declarait
n'avoir rien pu voir par la meme lunette? II faut ne pas y regar-
der de trop pr^s, pour accepter de telles assertions. M. C b asles,
il est vrai, pr^tend que Galilöe dans ses derni^res observations
iat secood<^ par ses disciples fidöles Vivianl et Torrice lli; mais
t*il en fut ainsi, pourquoi avoir recours ä Tetranger, pour cod«
90 Rapport fail ä Vkcademle Royale des sciences des
8tater ce qu*il avait trouv^? OVilleurs est-il Fraisemblabie que
Galilee et ses disciples eus^ent cachö une d^couverte auAsi im*
portante k cette ^poque lä, que celle d'un satellite de Saturne?
Expo8ons niaintenaDt Tötat röel des choses, et nous verrons
que dans rbistoire de cette decouverte, teile qu'elle est Consta-
tee par des documents imprimes en partie depuis longteinps,
ou existarit en manuscrits, il n'y a d'incertitude nulle part« tout
etant clair et logique. Reniarq'uons d'abord que quand il s'agira
ici de manuscrits. de iettres deUuygens et deBoulliau, ces
pieces de conviction ont une tout autre significatioo que les auto-
{^raphes d'un coliectionneur, füt-ce mille fois uo savaiit distingue
conime M. Chasles. Les manuscrits de Huygens consisteiit en
ouvrages et journaux inedits et en correspoodances avec plusieurs
savants de l'Europe. 11s furent legues par lui a la Bibliotheque
de rUuiversite de Leyde, od depuis ils ont etä conserves reli-
gieusementy de sorte qu*il ne saurait etre question ici d*aucune
alteration ou Interpolation de pieces. Comine Tillustre defunt
Taiait dösire et test^, les professeurs de Volder et Füllen ins
* se sont d*abord occupes de livrer a la presse ce qui leur en seni-
blait le plus digne. Teile est Torigine des Opera posthuma,
dont la preroi^re Edition date de Tan 1700, et qui plus tard, en
17289 ont ^te räinipriniees et ajoutäes comme derni^re partie aux
Opera reliqua de Huygens^ dont les premiers Tomes avaieot
para en 1724, sous le titre de Opera oaria, par les soins de
*s Gravesande. II est vruinient beureux, que cette collecdon
des Berits de Huygens ait eu lieu ä temps, car les preniieres
^ditions de plusieurs de ses publications moins volumineuses
sont devenues excessivement rares. De T^crit dont U nous faudra
faire mention en premier lieu. De Saiurni Luna, oposcule
d'un peu plus de deux pages in 4^, jamais nous n*avons vu la
preroiere i^dition; eile a paru ä la date du 5 Mars 1656, et pro-
bableraent sans 4tre livree au commerce, Tauteur Tayant distribuee
aux principaux astrooomes de son temps. Mais nous avons eu
Toccasion de consulter la premi^re Edition du St/stema Sntttmium»
dont la dedicace au Prince Leopold de Toscane est dat^ du
5 Juillet 1659; eile ne diflf^re en rien de celle qui se trouve dans
les Opera varia, hormis que les fiuures qui laccompagnent, au
lieu d'etre gra?äes sur cuivre en plaocbes, ont ei4 taillees en
bois et intercal^es dans le texte. Quant aux autres manuscrits
et lettre« de Huygens, feu le professeur van Swinden en a
largeroent fait usage au pro6t de son beau memoire sur Huygens
Cinvenieur des horloges ä pendule, memoire qu'il presenta, il y
a plus d'un demi si^cle, au Corps prödece^seur de notre Section,
PayS'Bas, SecKon Physique, 9J
fa premiere Clause de Tlnstitut Royal den Pays-Bas^), et oü il
iDainUnt les droit« de Huygens ä l'hoaneur de cette iavention
d'une mani^re 01 evidente, que Votre Cooimission aura peine k
atteindre an modele aassi ezcellent
Pols Tun de nou«, en eonsuitant le Journal astrooomique que
Huygena a lais^ie, s'est tu ä m^nie de donner de plus amplen
detail« sor queiques-une« de ses decoavertes, et d*eu mettre au
joax d'autres, conime la rotation de Mars, que Huygens avait
observee ^). Ce Journal cependant ne commence qu'avec Tann^e
1657, et par consequent ne ooas a ^tä d'aucune utilit^ dans ia
qaestion pr^ente.
C'est surtout h, feu le professeur Uyl enbroek, que rbistoire
de^t sciences a de grandes obligations pour sa publication d*une
qaautitä de lettre«, ^crites par Huygens et alui adress^es, qu*on
trouve toutes dans la ßibliotbeque de Leyde. En premSer lieu
Dyle nbroek a publik une partie de cette correspondance, en deux
Yolanies qui parurent en 1833. Plus tard il annexa au Discour«
rectoral qu'il pronon^a en 1838, un grand nombre (T Annotationes,
la plupart emprunt^es au commerce öpistolaire de Huygens. Plu*
sleurs de ces lettres ont etö donn^es en entier, d'autres seule-
ment en fragroents. Nous en particulier, nous avons d'amples
raisons pour nous f^liciter de cet important travail, qui a grande-
roent factiitö notre täcbe. En effet ces annotations nous mettent
en ^tat de suivre, des le commencement, les efforts deCbr^tien
Huygens et de son före Constantin pour construire des ob-
jectifs. Vous nous permettrez d*en donner nn r^same succinct.
Huygens, jeune encore, vouait le temps qui lui restait de
ses ötudes de niathematiques pures, ä la Dioptrique surtout.
Ed 1652, k peine äge de 23 ans, il avait dejä composä sor ce
sojet deux livres, oü entre autres on trouve consign^e la loi qu'il
avait decouverte, de la converi^ence des rayoos lumineux qui ont
traversö une lentillesph^rique, limiteepardes surfacesconvexes^*'*).
Cette loi ätait la base de la thäorie des Instruments dioptriques,
des lunettes et des microscopes. II pensait qu'en construisant
des lunettes d*apr^s les principes de sa tbeorie, il les ferait meil*
*) Voir le« VetAanäeüngen, T. lU, p. 30,
•*) F. K H i 8 e r , tluii« le Tfjäsc/irifi voor de ^^/5- en Katuurhunäige
Wetemchappen^ linlilie par la \nie CiasRc de l'Inst. Royal des Pays-
Bm. 1848. T. 1, p. 7.
***) Lettre ä Taeqiiet du 16 D^c. 1652. Voir Uylenbroek, Ora-
liO, Ana 7 et 8.
92 Rapport fait ä l'Academie Royale des sciences des
teures que Celles qu'oii possäüait jusque lä. Afin d'apprendre
cet art, il s'adressa a differentes personnes dont il espörait pou-
voir profiter a cet egard : ies meilleurs pr^eeptes lui furent sugge*
r^s par Gatschof, professear ä Li^ge *).
11 se mit avec ardeur ä Touvrage, aide plus tard par sod
frdre Cons tau tin. Au conimencement il ne travaillait que des len-
tilles d'une distance focale peu consid^rabje, de sorte que ies
lunettes auxquelies elles furent adopt^es comme objectifs» n'^taient
pas fort longues **). Peu ä peu cependant il reussit a se pro-
curer pour Ies leutillcs de nieilteures platines; celles«ci etaient
d'acier, et d'autres Ies fabriquaient pour lui. Dans la correspon-
dance entre Cbr^tien etson fr^reConstantin vers la finde 1655,
quand le premier se trouvait a Paris, il est plusieurs fois fait
njerition d'uo certain Kalthof ou Kalthoven (on trouve Ies deux
noms) comme du fabriquant des platines d'acier. Ces platines
d'abord n^avaient pas la forme requise; quelquefois pour la leur
rendre, li fallait aux fr^res dix jours de travail. D'autres gens
encore qui Ies assistaient sout nomni^s dans cette correspondance,
comme Dir kou rhommedel'Achteroni, maitre Cornelisetc.***).
Les fr^res avaient beaucoup de peine a se procurer des morceaux
de verre qui leur cpnveoaient. II leur fallait des glaces de nii-
roir^ mais le plus souvent elles etaient trop minces, et se cour-
baient etant travaillees, de sorte que la forme etait manquee; ou
elles avaient des stries» Teffet d*un mälauge irr^gulier, ce qui
rendrait les images diffuses. 11s essay^rent des glaces d'une
fabrique de Uarlem, d'une autre de Bois-le*Duc, puis du verre
venitien et fran^ais, mais ce n'etait que rarement qu*ils r^ussis-
saient ä trouver ce dont ils avaient besoin.
Enfin pourtant ils parvinreot ä surmonter toutes les difficultes.
Le 3 Fevrier 1655 Ch rotten avait acbev^ son premier objectif
pour une lunette de longueur passable; la distance focale ötait
de 10 pieds. Bient6t il en eut un second de 12 pieds. C'est
avec ces lunettes que Huygens a fait ses premieres däcouvertes.
Le verre de 10 pieds. comme la Section ne Tignore pas, a etö
retrouve dans le cabinet de physique d' Utrecht-]-). C'est ä cette
lentille que se rapportent les niots suivants, qui se trouvent avec
*) Voir les lettre« ä Giitsrhof, dont la premidre porte la date du
4 Nov. 1652. Dylenhroek I. I. Ann. 10 et 16.
••) Voir la lettre a T. B. (Vior.cki. chcz Uylenhroek, l. I. p. 29.
*»♦) Uylenhroek. Ann. 18, 19, 20, 21, 22 et 23.
i) Pour les detHÜs de cette trouvailie voir l'Aföum der Natuur,
1867, |>. 274 et «iiiv.
PayS'Bas, Sectfon Physigne. 9S
d'autres notices de la main de Hoygens sur une feuille de pa-
pier detachöe parmi ses maouscrits *).
De phaenonipnis Satiirni f.i lannla Quäle priroom telescopiiim nieum.
Lent toperficieruni alteram planain ex ipeculo babebat, exili apertora.
Tanto mirabilius, anDiilain fuiiite reperiiim. Ililigentia mira in obser-
vando per hyenieni, tertia post mediain nocteiii vigenCe gela. Kz N'ea-
raei fpUtola de Gaisendo, qai moriens delegabat aniicis baac He Sa-
toroo ditquisitioneiD. De lanola mea Gastendo di versa.
Remarquona en passant que Gassendi est mort le 24 Oc*
tobre 1655.
t
Ces premidres lanettes deHaygens avaient an grossissement
d'eDviron 50 fois. Qaelque teinps apr^s il en acbeva une de 23
pieda de longaeor^ qui avait un groAsiasenient de cent fois. En
conimaniquaut cela^*)il ajoute inimediatement, que Gallige n*avait
pa atteindre qn*un grossissement de 30 fois. Andace vraiment
remarquable, qu*ä jaste titre on qualifierait d'effronterie, si Huy-
gens se füt sem d'une Innette de Galil^e, qu'il aurait seulement
perfectioon^e ! Huygens dit expressäment ***), que ce ne fat que
le 19 F^Vrier 1656 qu'il commenga k se servir de sa lunette de
23 pieds, c'est-ä-dire de celle qui grossissait les objets 100 fois.
Or c'est un fait connu, que dans une ro^me lunette, des points
Imnineux visibles a peine, se montrent beaucoup mieux par un
faible que par un fort grossissement. Si Ton suppose que Galilee
ait poss^^ une lunette qui supportait an grossissement de 100
fois, alors Huygens en lui donnant un tel grossissement, Taurait
g^t^ et non am^lior^e pour Tobservation du sateliite. Mais nous
eroyoDS avoir suffisamment dömontre. que Huygens n'avait nulle-
meot besoin d*une lunette de Galilee ou de qui que ce füt, puis-
quMI censtraisait ses lunettes luini^me.
Arr^ons-nous maintenant auz deux premieres decouvertes
iaites au moyen de ces Instruments.
SI la lettre susdite de Boulliau ötait authentique, il s'ensui-
vrait, que Huygens d^convrit premierement Tanneau et puis la
looe. Or c'est pr^cisement le contraire qui a eu lieu. Et se
pourraitil antrement? Pour s*assurer qu*un petit corps dans le
▼oisioage d'une plannte n'est pas une Atolle fixe, mais une lune,
on o'a qu'ä Tobserver pendant deux ou trois soirs. Quant a
*) Uylenbroek, Ann. 13.
••) Syslema Satumium, Opera varia, T. II, p. 538.
) Sys/ema Safnrninm, p. 541.
94 Happort fttil ä ticad^mie Royüle des sciences des
Tantieau, c'e$t tont autre cho^e. CeinMä exigeait des observa-
tioos saivies durant one longue a^rie de nioi«, afiii de conclure
des phases diff^reiites de son aspect, quelle en est la forme ve-
ri table et Fobliquitä sur r^diptique. Ceci ä lui seul sufBrait,
pour traiter de fable tout ce qu'en raconteiit les lettres produites
par M. C hast es. Mais tantdt noas fixeroDs Tatteution sar des
itiTraisemblances qui saatent aux yeax.
Le 3 F^vrier 1655 Huygeii« avait acheve son objectif de 16
pieds. AossitM qu'il en eut fait nne lunette, il la dirigea vers le
ciel. Le 25 Mars snivant, k 8 heures environ du soir *), il vit la
plannte avec ses denx bras ^pars de cbaque cdt^ eo ligne droite,
et ä i'occident ä une distance d'a peu pr^s 3 minutes une petite
Atolle, presque dans le ro^nie alignement que les deux bras, et
qu'il se ressouvint d'avoir vue d^jä pr^s de la plannte quelques
jours auparavant; il en conjectura que cette petite ^toile pourrait
bien ^tre une lune. Une autre petite etoile se inontrait de Tautre
cdte de la plannte a une distance un peu plus grande, et beau-
eoup au-dessous des deux bras. Le lendeniain, 26 Mars, la pre-
mi^re des petites ^toiles n'avait presque pas bougö, raais Tautre
a'^tait eloign^e de la planete a la double distance ä peu pres,
son mouveroeDt apparent ^quivafent au cbemin que 8atnrne avait
franchi dans le meme temps. C'en ätait assez. La premiere des
petites etoiles ^tait donc un satellite« qui apparfenait k la planete
et laccompagnait dans son orbite, Tautre ^tait une etoile (ixe. Le
27 Mars la difference s'ötait accrue encore. La premiere des
deux petites ätoiies s'^tait un peu rapproch^e de la plannte,
Tautre avait continu^ de s*en ^loigner.
Les jours qui suivirent, un ciel couvert ne permit pas d'ob-
servations; ce ne fut que le 3 Avril que Huygens put (es re-
prendre: la premiere des petites etoiles, disons la lune» ^e trouve
^tre arriv^e k l'autre cdte> ä Torient de Saturne» derecbef k une
distance de 3 minutes de la plannte.
De cette maniere Uuygens continua d*obserrer Saturne, cba-
que jour que le ciel ^tait propice, et de noter la place que la
lune occcpait**). Au beut de trois uiois, k l'exerople de Gallige,
il envoya k difförents astronomes Tanagramme suivante:
AdnioTere ocoli« distantia «idera nostri« vvvyvTT ccc RR H N B G x.
*) L'henre |ir(^cise est indiqiiee dan« Ic Sysfetna Salumium, non pa«
dans l'oposcule De Saturni Luna.
**) Vuir le registre de ccs observatiend chitis Ic Syaietna Siiiurn/vm,
1». 541— 5a8.
PayS'Bas, Section Physique. 95
dont ia permutation pri^sente le sen»:
Satnrnus lana aon circiiindncitur sexdecim diebuii lioriii qtiatnnr.
It ^erlFit ä Wallis en Ia lui envoyant:
Ferspicillum mihi napcr paraTi 12 peduiii Inngitiidine qui> vix ailini
pniMtaBCiiis reperiai exintimo, quum niiteliuc nemo viderit quud ego ub-
«frravi.
Suit Tanagrarome *).
Quoique Huygens ne divulguät pas tout de suite sa d^cou-
verte, Ia cacbant «ous le masqoe uslt^ en ce tempa d'one öoignie
de lettre« — et neu» verrons tant6t, qu*en verit^ le moyen n'^tait
pas mal choisi poar «'a^tsurer Ia priori t^ -* il n'beaitait pas ä Ia
communiqner h, diverses personnes.
II inoDtrait Ia lane nouvellement döcouverte h. ses amis **).
Ausai les derniers mots de Ia note mentionn^e ä Ia page 13 in-
diqaenty que deja peu de temps apres il donoa k Gassend i Ia
solutioo de aon ^aignie. 11 en agit de menie envers d'autres sa-
vants frao^ais. Vers Ia derniere moitiä de 1655 il se trouvait ä
Paris pour Ia premiere fois, aprds avoir obtenu le grade de Doc*
(eor en droit ä rAcadäinie protestante d'Angers. C'est alors
qu'il fit coonaissance avec divers savants, entre aatres avec Beul*
Hau, qu*il n'avait ^'diRnis rencontr^ auparavant Ces savants Tiu*
vitaieot ä publier sa däcouverte, comme le prouve une lettre ä
(»utschof *^^) a roccasion de l'envoi d'un exetoplaire de son livre,
lettre qui rend t^moignage en mdme temps de sa gratitude pour
des Services rendus:
De Satnroo obsorrationem noatram lilii mitto, vir praestantissime ;
te enim antore primnm perspiciUiB animum adjeci, tn mihi praert*pta
•rtia nobiliasimae anppeditaati. Crgo et profcntoa mei rntionem tibi
prae oronibna iit rcddttm aequfim est. In Gallia nnper a^cnti senKPre
Tiri aliqnot inaignet, nt noviim hoc phacnoinenon pnblici jnria far(*rem.
neqne aliaa mihi in mentem veniHset. . . .
L'opoaenle intitol^ de Sattimi luna observatio nooa, oü Huy-
gens donne tin apergu de sa decouverte est dat^ Hagae Com.
5 Mart. 1056. Donc il parut moins d*une ann^e apres Ia döcou-
verte, et neuf mois apres que Tanagramme avait ^t^ distribuöe.
Cet opüscule se termine par une anagramme nouvelle, que Huy-
gens proposait aux astronomes. La voiei:
*) Ü^lenbroek, I. 1. .4^7^.11.
♦•) ,,Oatendiqae amtcia.'' De Sadtnii Luna. Opera \aria, p. 724.
**•) Vylcnbrock, Ann. 16.
96 Rapport fait ä V.Kcademie Royale des scIences des
AAAAAAA CCCCC D BBEBB 6 B IIIIIII LLL MM NNNNKNHTfN PP Q.
RR S TTTTT Oüüüü.
Ce ne fut que trois ans plus tard, en 1659, que dans son
Systema Saiumium, il en publia la Solution:
Annulo cingitiir, tenni, piano, nasqaam cohaeroste, ad ecliptieam
inriinato.
De nature cependant Huygens n'^tait pas un homme myste-
rieux. S'il Teut ^t^ davantage, son invention des horloges ä pen-
dule ne lai aurait pas ^t^ escamot^ par Tborloger Douw ä Rot-
terdam, qui avaitattrap^ le secret, roönie avant que Huygens en
eüt demand^ lettre patente ; il s'ensuivit un proc^s, qui lui causa
beaucoup de dc^sagrements. Non vraiment^ les ^pith^tes de „can-
dide et ingSnu,** dont on lavait gratifi^, conime nous avons vu,
etaient bien m^rit^es, et il communiquait volontiers ses d^couvertes
ä quiconque s*y intöressait, avant de les avoir publikes. II en
agit ainsi par rapport ä la lune et k Tanneau de Satunie. Une
lettre de Huygens ä Boul Hau, a la date du 26 Döcembre 1657,
conservee dans la Bibliotheque imperiale de Paris, nous apprend
qu'il lui envoya une esquisse de Saturne avec son anneau, le
priant de la garder provisoirement pour lui. Vu ce qui pr^ede,
cette priere n*avait rien d'extraordinaire ; car c'^tait deux ann^es
avant que parüt le Systema Satttmium, dont la redaction Toccu-
pait alors. 11 est inconcevable, que M. Chasles dans la s^ance
de l'Acad^mie des sciences de Paris du 16 D^cembre dernier ait
pu citer cette lettre comme tendant k confirmer la correspion-
dance par lui produite de Huygens et Boulliau*).
II ressort de ce qui pr^c^de, que Thistoire de la d^couverte
*) La lettre de Descartesau R. P. Mersenne, que dans la Usance du
6 JanTier dernier M. Obaftlea a inToqnd {Comptes rendus^ T. LVI, p. 34)
ne proove pa« daTantage. Descartes y dit: ,.11 me aeinble qne tou«
in 'BTez antrefois niand^ qu*il (G a s ^ e n d i) a la bonne liinette de G a I i I ^ e ;
je TOiidrais bien s^voir «i eile est si excellente, qne Galilöe a Touln
faire croire et comment paroitsent maintenant lei satellitet de Satorne
par aon mojen.**
Est ee qne M. Chasles voodrait identifier cette Innette aver celJe,
que Hnygens aurait re^ne?
De ce qne Gassen di ait en ane lonette deGalil ^e, snp^rieure pent-
Atre k Celle qui lui fit d^cooTrir les aatcllites de Jnpiter, s'eosnit- il
Tenvoi d*une lunette k Hnygens? Voilä nne conclosion, ponr le meint
trös hasard^e. 11 est Evident d'aillcars que les satellites de Satnme dont
cette lettre fait niention. ne sont aotres que le« fragments de ranneau.
PayS'Bas, SecUon Physigue. 97
da MUellite de Satarne par Haygens est compl^teroent connue
JMqa'aox moiDdrea d^tails. Elle n'offre aucaoe de cea obacurit^s
qoe Ton rencontre ä Tordinaire partout, \k oü il y a quelque choae
4 cacber. Au contraire lea faita s'enchalDent de ia inanidre la
pliia Datorelle, ne laissant paa de place au doute. Riea que la
leetvre da la oarration simple et roinutiause falte par Huygens
ioi-m^roe, doit procurer k quiconque est aans pr^jug^s, rintiroe
convictioD, qa*ici il ne peut y avoir de r^tlceoce; que Huygens
oe cacbe paa la moindre chose» et qu'il est bien loin de s'appro-
priw clandeatinemeDt noe dikouverte, dont on lui aurait fait part
Haia il y a plus. Ezaminons un des faits pr^tendus d'un peu
plus pr^, et il paraitra de la mani^re la plus Evidente, que des
lettres qui cootiennent de telles choses« dolvent 6tre Toeuvre d'un
faeaaaire.
II auit de ranagramme susdite, que Huygens, trois roois
apr^ la d^couverte de la lune» lui assignait une pöriode de 16
joors et 4 heurea. Lora de la publication da son opuscule de
Satwmi Luna, neuf mois plus tard, quand durafit ce temps il
est aaaidüment eontinu^ ses observations, il corrigea ce chiffre.
II avait reconnu que le aatellite faiaait sa r^volution en 16 jours
prMs, ni plua ni moins. II y dit: „Tempus vero sexdecim die-
nmi tarn exacte circuitum planetae *) metitur, ut cum annus jam
et amplins a primis observationibus efSuxerit, nihil adhuc aut
ahiodare aut deficere deprehendatur, qi^oquo loco praedicimus ibi
8€ae in coelo aiataf N^anmoina il y revient encore trois ans
plus tard. Dans le Sifsiema Satumium**) il s'ätend au large
WT le probl^nie du temps de r^volution, et il finit par conclure
que la pi^riode synodique est de 15 jours 23 heures et 13 niinutes,
et la Periode sid^rale de 15 joura 22 beures et 39 minutes. Donc
le demier r^sultat, apr^s que las observations ont dure quatre
ans, diffäre de 1 heure et 21 minutes du second, et pas moins
da 5 beures et 21 minutes du premier.
Oron lit dans la pr^tendue lettre de Beul hau» que GaliUe
avait trouv^ que la lune faisait sa rävolution autour de la plannte
dans l'espace de 15 jours 22 heures } (4ü minutes), et dans
Celle da Huygens, que le temps p^riodique de ce satellite autour
de Saturne ^tait bien de 15 jours 22 heures }, comme Gaulle
Vnwhii dit.
*) Dans let prämiert temps Huygent d^signait «oovent Ic «»tellite
par la J^omination de plannte.
♦♦) p. 351.
Theil XLIX. 7
98 Happort fail il l'kcad^mie Royale des scfences des
On sait maintenant, que selon l«8 d^terminatioiifi de Bessel
et autres, qui ont eu ä leur dispoHitioii de« in^truinents bteii au-
trement parfait^, cette p^riode, apres des observations de nombre
d'aoD^es, est fixee k 15 juars 22 beures 41 miiiutes et 25 secon-
des. il n'est guere admUsible que Galilöe, apr^s n'avoir dbserve
qu'uDe demi annöe au plus, et Huyc^ens apr^s deux inois seule-
ment, aient d^termiiiö la periode dn satelÜte avec ane teile ex-
actitude. qu*elle ne diff^ät pas ni^nie d*une minute et demie de
la vraie periode, mais c*est absurde absolument de sopposer que
Uuy^ens, connaissant a pcu pr^s la vrale periode, y ait substitn^
dans ses ecrits k plusteiirs reprises des chiflEres tr^s dc^fectueux.
avant de se r^soudre entHi k publier ce qu*U savait 4tre exact.
Nous pourrions teriuiner ici riotre Rapport, si ce n'ötait, que
nous soniines encore en etat de röpandre quelque lumi^re sur les
relatious qui ont exist^ entre B o u 11 i a u et H u y g e n s. Nous avon«
vu d^jä, que dans la pretendue lettre deUuygensäBoulliau il
y a les mots: dont je vom ni entretenu, Le verbe entretenir,
il Taut en couvenir, peut d^signer une communicatlon ^pistolaire:
il est plus que vraisemblable pourtant, que Taute^ir de la lettre
fasse allusion ä une cogversation lors d*une rencontre personvelle.
Or il n'y a nul doute, que la premi^re visite de Huygens k Paris
ait eu lieu dans la derni^re moitie de 1655, quelques niois par
cons^quent apres qu*i1 avait decouvert le satellite. Depuis Huy-
gens et Bou 11 i au ne se revirent qu*en 1657, lorsqueBoull lau vint
en Uollande avec Tanibassade de de Tbou, ^ la fin du moih
d'Avrll*). Arriv^ ä la Haye, Boulliau ^crit ätiuygensla lettre
Huivante, la prcmi^re de 41 ktfres de Boulliau, qui furent conser-
vees par Huygens, avec des notices du contenu des lettres que
lui-m^me avait öcrites ^ Boulliau, et qui fönt partie de la cellec-
tion de inanuscrits, Mguee par lui a la Bibliotb^que de TUniver-
Site de Leyd^:
A la Hiiye, le 27 ATril, au «ulr 1657.
Monsieur
\ou« oxcnserez je m^asseKrc Im iM-cupatioo« dana lesqnellcN je we
trouTe, qui m'ont f'ut|>«^Nf!h<f «rallci* vous rrnitre en pcrtoon« les rj-
vilitez que j«? v««« doih«. et vous dotmcr de« le«iiioi'^nageii du rcM-
sentiinont que je roti8rrve d«* l'honnenr que vouh m*a%ez faict ptm-
danC To«ire s^jour a VurU, oü von« uraviez fairt la favmir de me
viiir quelquefoin. t'n attendaut que je m^acquitc de ce devoir, je
v»u8 etori« ce billet el je vout euToj^e un exeiuplalre de nion livre
•) Voir Wagen aar, Vaderiandsche Historie, T. XII, p. 449.
Pays-Btis, Seciion Phpiigue, 99
äe Spfraliätli, Voua ie recevrez comino uae niarque de rrttime
qoe je faU de vout et de Thonoeur de votre aiuitiö. Je von« anp-
l>lie aut«i de loe croire,
Monnieur
Vostre tr^a hnmble et trda ob^istant tervit.
Bonl I lau.
La premiere ootice de Huygens ayant rapport au cootenu
d'une lettre de lui k Boulliau, la voici:
2§. Döcembre 16&7.
A Mr Bottlliau
üe moD obaer?atioo de Saiurne et aa figure, qne je lui enfoye et
du aateilite, quU ne tuit pat Ie plan de l'aoaeau qui l'envimnne.
D^fence afln qu*il ne döconvre pat mon Hypothöte. De Thoroge
(8te) dn Grand Dnc. Que peut ettre 1'lnTcntion leur est Tenne d'icy,
«i c'et^ la uiienne, ce que je dötire de taToir. On grand horloge
ä Seevelinf^. Et ti Ton nVn fait pat encore k Paria.
Qaand on compare eette minute k la lettre d^pos^e dans la
Biblioth^qae imperiale, dont M. Cbasles a donn^ lecture dans la
s^ance de i'Aeadäniie du 16 D^cembre» il est clair, qoe nous en
avoDS Textrait de?ant nous. Sans auciin doute ce sera confirmä
par Ie reste de la lettre, que M. Chasles u'a pas fait impriroer.
Nous pouvons nons dispenser de relever la grande diff^ence
qui ezlste entre Ie ton de la lettre du vrai Boulliau et sa cnntre-
fa^oD. II n'y a rien dans cette lettre» ni dans aucune des autres
qoe renferme la collectiony qui puisse faire supposer Ie rooins du
nionde que jamats Boulliau ait et^ quasi comp^re de Huygens.
Non seulement Boulliau voit en Huygens un savant de baut re-
oom, mais il Ie consid^re conime Ie fils d'un diploroate intluent
Hollandais, k Tegard duquel il observe des forroes respectuenses,
et qu'il se serait bien gar.dö d'insulter par des insinuations nsal-
honndtes.
Veut-on connaitre Topinion du vrai Boulliau sur Ie vrai Huy-
gens, qu*on lise sa lettre du 9 Mai 1659. Boulliau lui mande
avoir reyn des nourelles du Graud-Duc de Toscane, qui paraSt
croire que Galilc^e ait devanc^ Huygens dans Tinvention dvs
faorloges k pendule *). Boulliau poufsuit:
*) Au Miijet de celte question, quoiqiie hors du cadre que nuu« nom«
aonimet trBc6, rentarquont que ai M. Boquilion qui, dana lea Anualej
du Conservaioire Imperial des arts et metiers de 1862, döfendit Ie»
droits de Gaulle 4 Tinvention des horlogca k pendule, eikt connu Tample
memoire de van Swinden, cito k la page 10, oü soot r.ommiiniqu^s toua
les dtfcunn^nta ofliciela et authcntiquea qui ont rapport k c ette prioritö,
k coup tur il serait revenu de son opinion.
7*
100 Rapport faii ä tAcaäHnie Royaie de» sciences des PajfM-ßas, tic.
J*aj retponda «or cela i S. A. «erenMe, que Je ■oitoU qne Ton«
tiendres k honneu r et qne voa« croires niMter de la gloire, «1 ▼ooe
ettes tomb^ dans let nietmea pent^ea qne Galilei a eoea, et qne
voat etiles «i homme d'honnenr et ti «incdre, qne ton« ne dearob-
berea jainai« la r^putation d^antrny ponr von« rattribner. Von«
aves de Teaprit an doli de Pordinaire fertile en de tröa belle« in-
Tentione, et atnti ponr youc «atisfaire et ponr Yone acqn^rir de
la r^nomin^e, Tona n^aves pa« liesoin de« InTention« d'antmy.
Lorsqae Boalliao öcrivait ces ligoes, assor^ment il ^tait bieo
loio de penser» qa'eo ce moment-la il rendait un tömoigoage k
Huygens qaif aprÖ8 od laps de deaxsidclesy aervirait ä prouver,
qa'lla ^latent d'hoDoötes geua tous les deox.
Ce n'est qne dana aa lettre da 21 Novembre 1660 que Boal-
liau ömet uo jugement sur le Systema Satumitan. La*döcouverte
da satellite, comme cboae av^röe depoia longtemps d4}k, il la
paaae aous atlence, mais il döclare oe paa ötre convainca encore
tont k fait qaant k l'anneaa.
Ce qoi est digne de remarqne eofin, c'eat que Bon II lau daoa
mainte et mainte lettre ezprime one grande impatience de rece-
voir des verrea de lunette, que Huygens lui avait promia. II lea
re^nt enfin et le 4 Avril 1659 il lul en manifeata aa gratitnde en
diaant ,»qae diamanta ni rubia ne Ini auraient 4i^ plus agr^ablea."
Voilä donc lea rdlea intervertia. An lieu d'avoir beaoin pour seB
d^ouvertead'une Innette de 6 alil^e, qneBoulliau luianraiten-
voy^e, c'eat Huy gen a au contraire qni fait parvenir iiBonlllaa
dea lentillea de Innette» pour leaquellea celni-ci lui ofire ses re-
merciementa dana lea termea lea pina chaleurenz.
Finlaaona notre tAche» ^n r^aumant Mona croyona avoir clal-
rement d^montr^:
P. qne lea lettrea produltea par M. Chaalea, leaquellea atta-
qnent la probit^ et la bonne renommöe de Chr^tien Uuygena,
manquent de tont caract^re interne qni prouve ienr anthentlcit^;
2^. qne cea lettrea aont en contradiction Evidente Tnne avec
l'autre ;
3^. quellea ne a'accordent nullenient avec d'antrea docnmenta,
dont la vMi6 n'admet paa le moindre doute.
P. lartlng,
F. laiser,
I. BaiMka i^.
eouMf: VertinfäeM. Verfahr, für il. AutxftA. ä.CublkKurt.aut Zahl.'XQX
Vereinfachtes Verfahren für die Ausziehung der
Cabikwurzel aas Zahlen.
Herra E. A. Gouzy, von LausADne,
Profmor an der Kaatani*cliiile !■ Aarau.
BekoiiBlIieh int die Ausziehnng der Wurzeln uis Zahlen nicht*
anderes Ms die Auflfisong der GletcfanDgeR von der Form :i:'"-(i=0,
wo m eine gaoae positive und a jede positive Zahl bezeichnen.
Wendet mau anf Gteicbunfien dieser Art das üerner'sche Ver-
fafareo ffir die AuMSsung numerischer tileicfaungeii an , ao bann
iu diesem speziellen Falle die Rechnung bedeutend abgekürzt
werden, indem hier die Trennung der Wurzeln keine Schwierig-
keiten bietet, und der Gang der Rechnung erffilll bis zu einem
gemasen Gtade den schon von Lagrange in der Vorrede zu
seiner „Rriaolution des ^quatlons nnm^riques" ausge-
sprocbeneu Wunsch, die Auflüsung der nuraeriscben Gleichungen
tnSchte. durch einen einbeitlichen Algorithmus in's Bereich der
Elementar-Matfaemstik gezogen tverden.
Bei Gelegenheit des Studiums der Theorie der hSheren Glei-
chungen im Jahre 18S1 dringte sich mir die Frage a
nicht möglich wSre, die Auflüsung der binomischen
dritten Grades, x* — a^O so au modifiüren, daas, oh
Theorie der Gleiehungen auszugehen, das Horner'acl
reu angetvendet werdeo könnte oder sich doch mit der
Methode der Gubikwnrielausziehuog in Einklang brinf
So fand ich nun nachstehende Vereinfachang, welc
Jahre 1853 den Herren ProfesBoren Vornz in Laui
Ch. Dufouf in Horgea, sowie später den He/ren f
102
• • a • * »
• • • • • t •
6ou%y: VereinfachM Verfahren
TeTqueni und Ca tat an in Paris mittheilte. Ich wurde midi
ülJtigens nie bemCssigt gefunden haben , dieses Verfahren zu ver-
öffentlichen, wenn ich nicht von mehreren meiner früheren Schu-
ler darum ersucht worden wäre.
Das in allen Lehrbüchern auseinandergesetzte Verfahren für
das Ausziehen der Cubilcwurzel als bekannt voraussetzend, be-
merke ich nur, dass der Vortheil der nachstehenden Methode in
der Vermeidung der jedesmaligen directen Bildung des drei-
fachen Quadrates der schon gefundenen Wurzelziffern besteht,
eine Operation, die bei etwas grossen Zahlen sehr weitläufig wird.
Um mich Im Folgenden kurzer fassen zu kunffen, sei zunächst
die Cubik Wurzel aus 157464 zu berechnen.
Das Schema der Rechnung ist Folgendes:
^137464
125
= a*
324.64
32464
0
(3a«6+3a6«+6»
( (3a«+3a6+6«)6
a b
54
3o« =75 . .
3a6=60.
6«= 16
324_324
3a« "" 75
8I16X4(=6)
Man übersieht leicht, dass schon bei dieser Anordnung der
Rechnung eine Abkürzung eintritt, indem man 3a^ -|- 3cr6* -|- 6'
unter die Form (3o* + 3a6+6*)6 bringt.
8
Es sei nun V 385828325 zu berechnen.
Das Schema der Rechnung ist folgendes:
^385828352
343
428.28 = (3«« + 3«6 + U^)b
302 48_
125803.Ö2=(3ä|H3öi6, 4Äi2)6,
125803 52
728
3a«=l47..
3ii6= 42.
6«= 4
Kmxi-b
6»= 4
3ai«=: 15562..
3aibi = 1728 .
6i«= 64
4aB^4^
3a« 147~^=*
125803
15552 "'^^^
1572544X8=:*,
für die Aus%iekung der Cubihwvrzei aus Zahien, 108
Nachdem roao« wie im ersten Beispiel, die beiden ersten
Ziffern a und h der Wurzel gefunden hat, muss nun zur AulBn-
dong der dritten Ziffer das dreifache Quadrat von n -|- 6 = a|
berechnet werden. Beachtet man, dass dasselbe eine Funktion
<ier bekannten Grössen a und b ist, so liegt der Gedanke nahe,
die schon gemachten Rechnungen für die folgenden Operationen
ZQ Nutzen zu ziehen.
Oiess erreicht man durch die folgenden höcht einfachen Trans-
formationen :
3/?,« =i 3(o + 6)« = 3/1« + ftoÄ + 36«,
3(o + /i)« = 3a« + 3a6 + 6«
-f 3a6 + 6«
-f A«.
Betrachtet man nun die rechte Seite der letzteren Identität, so
siebt maii, dass das zo bildende dreifache Quadrat aus drei
Theilen besteht, von denen der erste und zweite bereits berech-
net worden sind und dass der dritte das Quadrat der letztgefun-
denen Wurzelziffer ist, mithin sofort hingeschrieben werden kann,
^ddirt man also dieses Quadrat zu den übereinanderstehenden
schon geschriebenen Summen , so erhält man <las zur Weiterfiihrung
der Rechnung nothwendige dreifache Quadrat oder 3(a-f 6)«=:a|«.
In diesem Beispiel ist nämlich :
j= +3a6 + 6«
3a6 = 42 .
6«= 4
15124 { =3a« + 3aA + 6«
6«=__4 ^ = +6«
3a|«=J5552 =3{a + 6)«
Den Vortheil dieser Anordnung ersieht man noch deutlicher
ao folgendem Exempel, wo zum Heispiel die dreifachen Quadrate
yon 34, 345, 3456 zu bilden sind:
104
Neil: Oeber einen Irrtkum,
^41303330162263
27
~T43Ö8
12304
1999330
17S9626
239705162
214617816
25087346263
25087346263
Ö
34567
3a» = 27..
3a6^ 36.
6»= 16
S076
16
3a* = 3468..
3a6=s 510.
6«= 25
351925
25
X4
X5
3a< s 357075 . .
3a6 s 6210 .
6«= 36
35769636 \ X 6
36
3a> = 35831808 . .
3a6 = 72576 .
6*= 49
3583906609x7
Zum Schlosse bemerkeu wir noch, dass, weno man eine
Ziffer mehr als die Hälfte der Anzahl der zu bestimmenden Zif-
fern der Wurzel gefundeD hat, die fibrigen sich bekanntlich durch
eine abgekb'rzte Division sehr rasch berechnen lassen.
Uebcr einen Irrthum, der sich in mehreren Lehr
blichern der Trigonometrie findet
Von
Herrn Dr. A. M. Ntlly
Lehrer an der technischen Schule in Darmtladt.
Die eiofachen Formeln, welche zur Aufluaang der recbtwiii*
keligen sphärischen Dreiecke dienen, sind so beschaffen» dass
der sich in mehreren Leäröächern der Trigonomeirie findet. 105
die gesachten Stficke meistens durch Vermittelung des Sinus oder
Cosinos» seltener durch Tangente oder Cotangente gefunden wer-
den. Da aher nur durch eine der tieiden letzteren Funictiooen
ein Winkel in jedem vorkommenden Fall mit derjenigen Genauig-
keit erbalten wird» welche der Anzahl der bei der logarithmischen
Rechnung angewandten Decimalstellen entspricht» so finden sich
in manchen Lehrbüchern andere Formeln angegeben » worin die
Tangente des unbekannten Winkels erscheint Sind z. B. Hypo*
tenose a und Kathete c gegeben und die andere Kathete 6 wird
gesacht, so gewährt die Formel cos 6= -; nur geringe Ge-
nanigkeit, wenn b ein sehr kleiner oder ein wenig von zwei Rech-
ten verschiedener Winkel ist Wendet man aber statt der obigen
Formel die folgende an:
•
tg46 = Vtg4(a+c)tg4(a-c),
flo erh< man den Winkel h stets so genau, als man diess nur
irgend verlangen kann.
In allen den Fällen > wo der Sinus oder Cosinus des gesuch-
ten Stacks gleich deni 4}uotienten der Sinuse oder auch der Co-
•inase der beiden gegebenen Grossen erscheint» lässt sich leicht
eine der ebeif angefahrten analoge Formel zur genaueren Berech«
nong de» unbekannten Winkels aufstellen.
Dagegen lässt sich keine so bequeme Formel angeben» wenn
in der ursprOnglichen Gleichung statt des Quotienten das Produkt
der beiden Fnnktionen vorkommt. Ist z. B. die Hypotenuse a
und der Winkel B gegeben» so erhält man die dem letzteren
gegenäberliegende Seite 6 durch die Formel sin 6 = sinn sin J3.
Wenn nun b wenig von 90^ verschieden Ist» so zeigt ein Blick in
die trigonometrische Tafel so kleine logarithmische Differenzen»
dass die Genauigkeit» mit welcher sich b bestimmen lässt» weit
hinter derjenigen zurückbleibt» die man in anderen Fällen mit der
gleichen Tafel erzielt.
Hier soll die grössere Genauigkeit nach der Angabe mancher
Lehrbücher dadurch erreicht werden» dass man nach den Formeln
tg^rssinasinS» tg (45^ *-}»)=: Vtg(450—9>)
xnerst den Uülfswinkel ^ sucht und dann b bestimmt.
Dass diess eine ganz irrige Ansicht ist» wollen wir zuerst an
einem Beispiele zeigen und dann auch den Grund davon angeben.
Es sei:
106 Seil: Veber einen Irrlhum,
II = 88« 36' 0", ß=;89«30'0".
1. Zunächst benfitzen vrir Vega*« zehnstellige Tafel» am
einen recht genauen Werth von b zu erbalten.
log Ain a = 9.9998703393
log «in B == 9.9999834631
logRin^^ 9.9998538024
logßln(88o 30' 48") = 9.999853787-i
AV' r=i 547 (nümlich logarithmi^cbe Differenz für I")
Ä = 88« 30' 48",278.
2. Jetzt wollen wir sehen, fde genau dfr Winkel b mittelst
ftiebenstelliger Logarithmen gefunden wird.
m
lognina =3:9.9998703
logginJg = 9.9999835
log8in^=: 9.999853$
log ein (88« 30^ 40") = 9.9998533 /iM' = 0.6
6 = 88« 30' 48",33.
Dieser Werth Ist also um 0^,05 fehlerhaft
3. Berechnung von b mittelst des Uöifswinkels fp\
logtg<p = 9.9998538,
log tg (44« 69' 20") = 9.9998316, ^/l" = 42,1 ,
<p = 44« 59' 2Ö"273, 45«— g> =r-0«0' 34".727,
log tg (45« - 9) = 6.2262422 , *)
logtg(450— i6) = ».113121 J ,
logtg(0« 44' 36") r=: 8.1130853, ^l"rr:1623,
45«-.i6 = 0«44'36".221, A = 88«30' 4r',558,
Fehler von 6 gleich 0",72.
Statt kleiner eu sein, ist also dieser Fehler in Gegeotheil
14Mal gNisser, als bei .Amrenduog der ursprünglichen Formel.
*) Hier tat J\^ = 125891. Die zweite and dritte Differenx ■ind je-
doch ao groM, dftM «le beim laterpoUren nicht auater liebt gelsMea
werden dürfen. Statt deaaen iat ea viel beqaemer, die Holfamahl T an-
•xnwendeir. Ea Ut n&mlicb : logtg(45<» — 7)«rlogS4.72r-f f. Dteaa Zahl
T findet akh onter anderen aef der lettten Seile der Tafel Vega^Bvn-
miker, nämlich 7 = 4,6855749-^10.
itT ^ch in mehreren Lehrbüchern der Trigonometrie findet. 107
Um den Grund einsasehen, warum mau nach der letzten Me-
Ibmle deo Winkel b so nenig geeaa erhSlt, bezekline allgemein:
Jf{x) den Fehler der logarilhmiMben Funktion des Winkel»
j, ia Einheiten der leisten Üecimale ausgedrAckt,
/tx den entsprechenden Fehler des Winkels in Sekunden,
JV die logaritfamlacke Differenz von f{x) fflr eine Sekunde.
Zwisciien diesen drei Grfissen besteht, wie sich aus der He-
Ihode des Interpolirens anmitlelbar ergibt, die Gleichung:
Nimmt man im obigen Keispi«! ^tftfi^l, so ist w^eo <^l"=d2,I:
J^ = 0",024. Dieser kleine Fehler vergrSssert sich aber bei
lg(j5o_^), weil hier ^r = 125891, zu 125S9I xO,0'i4 = ä021,
Dnd wird bei tg(45<'-~iA) wegen der Wurselausziehiing gleich
1510,5. Fflr tg(45<»-l*) iit ^l"=1623 und Jb=x^^^^=r,m.
Hiernach bat ein Fehler von nur einer Einheit der siebenten Decioiale
in logtg^t einen solchen von 1510 Einheiten hei logtg(46*> — \b)
zur Folge, wodurch Winkel b um fast 2 Sekunden unrichtig ge-
fanden würde. Diese rfibrt davon her, dass die logarithmischen
Diferesien der Tangente bei 4Sfi ihren kleinsten Werth haben,
«ibreod sie bei sehr kleinen Winkeln ausserordentlich gross
"ind, folglich ein Fehler in logtg^ sich beim Uebergang zu
log Ig (45" — ip) stark vergrflssert zeigt
Die gleiche OnlersncfanDg in Bezug auf die Formel sin fr
=8ina8iD£ angestellt gibi, da ^i\nb:=\, jr = {ifi: Ab = Q^
= I",67.
Uebrig«ns IRsst sich ohne Schwierigkeit eine Formel abiriten,
um den Winkel b mit aller nur wQnscbens werth en Schbfe zu be-
nebnen.
in (45«
.ln(45»-|)=y
108 AV//: lieber einen IrriAvm,
Da ferner tg(45® — s)=4/ | , > -r* so erhält man ebenso:
Durch letztere Formel wird 6 i» allen Füllen sehr genau gefun-
den; wir wollen Indess zur Anwendung auf unser Beispiel die
andere benutzen, da sie einfaeherfist und ein fast ebenso genaues
Resultat gibt. Zur Erleichterung der Rechnung föhren wir de*)
Hulfswinkel ^ ein und erhalten dann die beiden Formeln:
*8*=cos4(a+Ä)' «n(450-2)=v2- cos* "
Nach unserem obigen Beispiel ist:
4(a-Ä)=-.0ö27'0", J(fl+Ä)=«^3'0",
logsini(a— ^ = 7.8950864.
logcosl(a-h iT) = a2195811
log tg* = 9.0755043.
logtg (250 20' 40") =9.6754550, ^r = 54,4
* = — 25^20' 49",062,
log;^=: 9.8494850
logcosi(a +ß)= 8.2195811
Compl. log cos * = 0.0439603
log sin (450— Ib) = 8.1130264
logsio(Oo 44' 35") =: 8.1128865, M" = 1623
450— 1« = 0» 44' 35^862, 6 = 88« 30' 48",276.
Dieser Werth unterscheidet sich von dem durch zebnatellige
Logarithmen erhaltenen um slo Sekunde.
Bei der Auflösung der ebenen Dreiecke kann auch der Fall
vorkommen, dass ein Winkel nicht mit dpr erwünschten Genauig-
keit gefunden wird. Bezeichnet man nämlich zwei Seiten de^»
Dreiecks durch a, 6, die denselben gegenüberliegenden Wir>t#»l
durch A, B, so ists
sio^ = Tsin^.
*) Im Anhang tu meiner fänfttelligen Logsrithnenlafel
(Oarmatadc beiDiehl 1866) findet sich fnr jeden derar eigen Fall
eine Formel angegeben, welehe eia genaue« Retnltat liefert.
der tick in mekrgren Lehrbüenern der THgonomelrle findet. 109
Wallt« man hier, wenn A nahe b«l 90° Ii«gt, nach den beiden
Fvrmeln
rechnen, nn wOrde man eben so weDlfc ein genaues Reaullat er-
balten, als beim «pblrischeD Dreieck. Bendtzt man dagegen die
tei«bt nacbznweieende Formel;
in(«»-M) = ±^ °-^
•H^-m^vt-'i
■• erhilt man dadurch A 8«br genau, »«na 6>a.
Beiapiel.
a=:3U27, i = 3543e, B = 89°48'!l(r.
Maa fiadet bei Anweadeng «iebeaalelliger LogariüinieM :
aiio^dS"— tS)=O.1(B0O46, dabei aia (45°— M) ^ ^ ^85436 '
logaiat«"— )<<) = 8.<IH!75II, A=«fiV «S'^m.
Die Reebaaug nacb der urapHlngliGhen Formel gibt:
Siebeaalellig: lagain ,< = 9.9998872 , .<<=88°4I'40",
Zebualellig: lagain^=9.9998871834, x<=S8°4l'38",72S.
lat dagegea A < a, so wird das Glied i(6 — a) negativ, und
dana wird häufig der Fall eiatreten, dass man den ZSbler nicht
mit der nCtbigen Genauigkeit erbslt, wean maa nicht gerade inr
Barecbnnng ron aaia'(45'' — jB) grossere Tareln benfltit
Baispiel.
a = 73«), ( = 4257, 0 = 39° 19' IT,
hig[iisia'(45°—(S)] =3.1904719, asin*(45a-l<l)= IIS60,5a03(l,
al.(4S»-M) = ^*^, l«gsi.(4!
^ = 86» ISK la»*)
Oiaaer Werth roa A lat nicht sehr geni
Iagain/< = II.999I8290M, Ä =
110 am Ende: Bemerkung %u einer Aufgabe
Berechnet man das Glied asiii*(46^— ^A) zehnatellig, «o indet
sich der Logarithmus davon gleich 3>190472Ü109 , «tozu der Nu-
merus 1550,500658 gehurt; dadurch wird
4,000658
8in " ■ "
rm(4Ö«— i^) = y^
4257
Wird jetst die Rechoung mit siebenstelligen Logaridimen weiter
geführt, so erhält man:
log sin (46<^— 4^) = 8,4865247 , ^ = 86« 29' 1 r',24X
Hier lag also die (Jogenauigkeit wesentlich darin, dass mit
siebenstelligen Logarithmen das Glied <zsln^(45 — 4^) nicht aof
die erforderliche Anzahl von Decimalsfellen berechnet werden
konnte. Es ist diess ein Misstand, der sich indess weder durch
Einführen eines Hulfswinkels, noch durch eine sonstige Umge-
staltung der Formel beseitigen lässt
Es bedarf wohl kaum der Erwähnung, dass man noch einen
zweiten Werth für A erhält, welcher den obigen zu zwei Rech-
ten ergänzt
Bemerkung zu einer Aufgabe in ,,111. E. Bary's
neuen physikalischen Problemen.*^
Von
Herrn Doctor am Ende
Lehrer an der ReaUcbole in Sproitau in Schlesien.
In „M. E. Bary*s neuen phjsikatischen Problemen
für die oberen Klassen höherer Lehranstalten etc.'' von
Dr. F. A. Kor sehet (Halle 1857) ist Seite 84. das folgende Pro-
blem behandelt:
In ..if. S. ßarif's neufU phytilknlischeH Problemea." Hl
„In einem Centrirupal-Apparal geht ()urch eilte
kleine, durch den Mittelpanbr durchbohrte Elfenbein-
kugel ein dOnner polirter Gisenstslt AB horizontal;
die Kugel kano mit weniger Reibung an dies«ni Stabe
f>lci(en. Man ^\ah\ dem System eiue gleichTörmige
Rataliofl^bewegunp um eine vertikale Aze> die durch
<1je Mitte des Stabes ftehl, und man siebt die Ku^el.
ilirch diese BewegunK aoReregt, «ich ^egen das *ine
AtJ Enden von AB hinbefreben. Man frafct, welches
ist dann die Trajectorie des Mittelpunktes der Kugel?"
Es wird dabei vorausjiesetzl, dans die Kußel klein genug sei,
damit in demselben Augenblick alle ihre Theilcfaen durch nabehin
gleiche Centrirugalbrärie sollicitirl werden. Aach wird dabei von
der Reibung und dem Widerstände der Luft abgesehen.
Die beiiregebene Lusung ist die folgende: „Es sei (Taf. I.
Fig. 6.) der Mittelpunkt des Stabes Ü angenommen; dieser Punkt
i*t fest, weil er in der Rotalionsaxe liegt: als Feote Linie nkhlen
*it die Axe des Siabes in seiner Anfangiilage AB. Wenn diese
Ale in eine beliebige andere Lage A'B' gelaugt ist, die mit AB
den Winkel 0 bildet, «el OM oder r der Radius-Vektor des be-
neglichen Mittelpunktes, r und Q sind die polaren Ci'ordinaten
der gesuchten Cnrve. Bezeichnen wir durch T die Zeit, die ein
Punkt des Systems gebraucht, um eine ganze (Jnidrehuug zu be-
schreiben; dictie Zeit sei bekannt. Uos Cenlrum der Kugel io
Keiner Lage 10 wird mit einer Geschwindigkeit MT oder -nT
nach der Tangente des Kreises beivegt, dessen üadius OcW ist,
oder mit anderen Worten, nach dem Perpendikel auf den Radius-
Vektor OM; zu gleicht^r Zeit bekommt dies Centrum eine Cle-
«chwIndlgkeU MF= ^ durch die <>Mtrlfii9«lknift. Ne»-
neu wir m die Winkelgeschwindigkeit -j^; die Resul (ante der bei-
■len rechtwinkligen veränderlichen Geschwindigkeiten mr, und u^
wird dann sein:
V"räV* + »i*r» oder mr VT+ m'
Polglich ist die tiescb windigkeil IttN dem Rai
porlional. Da sie ao gen seh ein lieh nach der an
gezngeneo Tangente gerichtet ist, so wird der W
"> den sie mit der Richtung der Cenlrifugal kraft
udcrer aein, ala der Winkel der Tangente m
112 am Ende: Bemerkung %u einer Aufgabe
Vektor, und man weiss, dass dieser Winkel genügt, um die Natur
der Curve zu bestimmen. Man hat:
mt 1
•«« = 13: = ::;
m"r m*
Der Winkel also, den die Tangente mit dem Radius «Vektor
bildet, ist constant; eine Eigenschaft, die die logarlthmiscbe Spi-
rale charakterisirt. Diese besondere Art Spirale Ist also die Tra-
jectorie des beweglichen Mittelpunktes.
Man würde als Polargleichung der Curve erhalten:
m6 := In - .
»"o
wo fo der Anfangsradins- Vektor ist und In die natürlichen Logs*
ritbmen bezeichnet.'^ —
So weit jene Losung. Man erkennt 'vsicht, dass sie unrich-
tig ist, weil sie ron der unrichtigen Voraussetzung ausgeht, das«
die Centrifugalbeschleunigung und die durch die Centri-
fugalkraft erzeugte Geschwindigkeit identisch seien.
Wir geben im Folgenden die LSsung der yorstehenden Auf*
gäbe und legen bei derselben ein rechtwinkliges Coordioaten-
System zu Grunde. Die Ebene, in der die Drehung der festen
Linie erfolgt, sei die der xy^ ^nd der Drehpunkt der Anfangs-
punkt der Coordinaten. Den Ra^üs- Vektor wollen wir mit r, die
Zeit mit t und den Drebnngswinkel, tou der Aze der x nach der
der y hin gerechnet, mit ^ bezeichnen. Bedeutet ferner ^ die,
die Drehung der festen Linie bewirkende Kraft und bezeichnen
tt und ^ die Winkel, welche die Richtung derselben mit den
Coordinatenaxen d?y resp. bildet, so hat man, wenn man die Masse
des materiellen Punktes =1 annimmt:
i?'X , cPki
9.C0S« s= -^js- und ^tCos/Ss-nr^*
Der Radius -Vektor r bildet mit den Axen x und y resp. die
Winkel ^ und 900—^, folglich Ut:
4r = r.cos^ und yr=:r.sin^.
Da nun die Richtung der die Drehung der festen Linie bewir-
kenden Kraft stets senkrecht gegen den Radius* Vektor gerichtet
ist, so ist:
cosa.cosd-fcosjJ.siu^ = 0,
In „M. E. Bnrp't neuen pkytihaUuken Problemen."
rolglicfa «DCti:
od«r:
Mm bat aber auch:
folglich :
dx , dy dr
n»d nach abermaliKer DifferciiUalioD :
'df^'dp <^dtj *\dt) T df^KdtJ '
welche Gleichung nach (1) sieb sn der foigenden vereinfacbt;
Hdii iit (aber :
m*m<i)-- <«
«0 dt das Bogenelement der Cnire bezeichnet, and
fulglicb hat man nnter Beoutiong voo (2) and (3):
S3 =
'{T
>F«leUere dadn.cb
, dasa man
die
Wir aetaen
3i
<l«r
=»
Tk.il xux.
114 am Ende: Bemerk. %u ein. Aufgabe in „Barp's physik. Problemen".
Das Follsiftodige Integral dieser DiffereDtialgleichiiig ist W-
kanotlich :
oder
g(«-ck)m ^nir=i V Ci + mV .
woraus man leicht durch Quadrirung findet:
Setzt man hier:
WO A und J3 ebenso willkürliche Constanten wie früher (\ und
C^ shid, so erhält man die einfachere Gleichung:
r = Je"^ + Äe-»< (4)
Es sind nun noch die Constanten A und B zn bestimmen.
Ist r=ro für <=0» so hat man:
Differentiirt mau (4) nach t, so erhält man weiter:
dt
^ zs Ame"^ -^ Bmer^. (5)
Da der Aufgabe gemäss der bewegte Punkt keine Anfangsge«
scbwindigkeit besitzt» so hat man noch nach (5):
woraus sich ergiebt:
Demnach ist die gesuchte Gleichung der Trajectorie:
oder, da ml=d:
r = iro(e* + s-*).
Faaiender: Lei anglet gueltaeöUidHtrkmgUflfrmmlm
Ijcs angles que leg cdt^s da trisngle forment avec
lears ligaes de gravit^ respectires *).
Par
M. Fasbendevt
Prufavicar aa College Rojal de Thorn.
S«ieDt A' , B', C les milienz des c6tis respeclivement op-
poMia anz sommets A, B, C üu triangle ABC. D^sigoons par
"i ßi Y nBpaetivemtat lea anglea AA'B, B^C, CC'A. Noim
am^!8inC=2BiB(0-fa):sina,
par cons^nent
"**»«- 2.inJ.amg.«in6- '
- a\n*B — laXnB.KoaC.sSnA
""'■"«''= äi&XihTß^iilC
Bln*C— 28inCco8^.siDfi
"'""8'= 1.mA..mB..mC
L>a somme des Itchh nam^ftteurs ^taDt ^ctite sous la fornifl
MnA.\amA'~t»u{B ' ""' ■■"'■" .... «n
•« treave 4lre ^gale i 2ei
it exista la relation sym^t
cotang M -|-
^<|nation qa'on peut r^uh
Coa(a+(J-
•) M. Tcrgt. ThI. XLVII
116 MisceUen.
XII.
Bliscellen.
Die Zerfallung der Form
in die Summe zweier Quadrate.
Von Herrn Frans Unferdinger, Profestor der Malhematik an der
öffentlichen OberreaUchule am hohen Markl in Wien.
Entwickelt man die beiden Potenzen (a-\-bt)^, (a — 6i)^, in
welchen m eine ganze positive Zahl und t die imagin&re Einheit
bezeichnet, nach dem binomischen Lehrsätze und multiplicirt die
Resultate» so folgt, wenn
,4 = a« - ( 2 ) «"•-•*• + (7) «"""^ ** - •• -
(1)... '
gesetzt wird,
(2) (a« + 6«)«»=^« + Ä«.
Jede ganze und positive Potenz der Summe zweier Quadrat«
zahlen kann also wieder als die Summe zweier Quadratzahlen
dargestellt werden. Z. B. fär a^l, 6=2» m=:7 wird
5^ = (29)» + (278)«.
In der Abhandlung: Ueber die Entwickelung von
Cos (ö + Öl + .... + Ö«-i) , Sin (Ö + öl + .... + Ön-i)
und über einen damit verwandten Satz aus der Theorie
mettta. 117
der Zahlen im 34. Theil dietm ArchivK No. VII. babeo wir
gezeigt, dass «in Prodod von der Form
P=(^+(i^(V+A')-(«.-i'+^-i')
im Allgemeinen Baf 2"-' verschiedene Arten als Summe sweier
Qaadrate dargestellt werden bann. So ist 2. B.;
861625 = (!■ + 2^ (3« + 4") (8« + 6«) (?• + 8")
= (21)« +(92«)'.
= (!«)"+ (9I7)'.
= (l88)« + (909)«,
= (280)" + (885)«,
= (3»7)» + (876)',
= (39S)« + (840)«,
= (435)' + (820)».
= (540)"+(766)».
In Verbindung mit dem Obigen folgt der Schluss, dass aucb
die Form
P« = |(.'+m<'>i'+ft')-('fc-i' + Ä^i')|-,
weDB m eine ganze positive Zahl bezeichnet, auf eben so viele
Arten als die Summe zweier Quadrate dargestellt werden kann.
So ist z. B.
(3) I(«'+|!»)(«,' + Ml'
= l(o>-|J^(H«-ft«)-4oo,|!|!,l'+|2o«<,,«-ft«)+2.,/!,(ii«-P)|s
= 1 2»?(«,'-A«) - 2o,ft (o«-P) !•+ |(„«_m (»i«-A«)+4««,^A I«.
■= t(l*+2^(3"4.4«lffi*4-6»ir7a4.8»n»
= (642^
= (3602:
= (4693;
= (63591
= (6T781
= (77451
= (79511
= a<s59;
118 3fisceiien.
Zur BerichtifUD^.
Von HerrD H. Schraniio ia Wiener-Neustadt.
In Tbl. XL.VIII. des Archivs S. 210. hatte der Herr Profes-
sor Dr. E. Segnitz einen meiner frGheren Aufsätze (ThI. XL VII.)
besprochen. Obschon der genannte Herr Verfasser mit meinen
Hesultaten im Ganzen einverstanden ist, so ist er doch bezQglich
der Berechnung des Einflusses des Mondes und der Sonne auf
die Gewichtsverminderung eines Korpers anderer Ansicht — Ich
stimme hierin dem genannten Herrn Verfasser vollkommen bei,
denn es ist ja jene von ihm ausgesprochene Ansicht nichts
anderes, als die bekannte Theorie, mit welcher Laplace in sei-
ner „Mechanik des Himmels" die Ebbe tmd Fluth erklärt
und den Einfluss der Sonne und des Mondes berechnet hat.
Ich hätte mich auch in meinem Aufsatze auf die von La*
place berechnete äusserst geringe Gewichtsverminderung der
ganzen Luftsäule als auf etwas Bekanntes berufen können, allein
es schien mir den Intentionen des besprochenen Artikels ange-
messener, die andere noch mögliche — wenn auch unrichtige —
Anschauungsweise zur Widerlegung der vorgebrachten Ansichten
über das Aneroid wählen zu sollen, um zu zeigen, dass selbst
diese Art der statischen Auffassung der Anziehungskraft, welche
die Gewichtsverminderung grosser erscheinen lässt, die besagte
Verwendbarkeit des Aneroides nicht bestätigt.
Uebrigens war mein flQchtig skizzirter Artikel eigentlich nur
fdr die Abtheilung „Miscellen^' in diesem Journale bestimmt.
Zwei Briefe des Herrn Directors E. S. Noeggerath in Brieg
in Schlesien an den Herausgeber über den im Archiv.
Theii48. Heft 1. S. 115. mitgetheilten Satz von Sylvester.
in Ihrem geschätzten Archiv der Mathematik u. s. w.
Band 48, Heft 1, S. 115 findet sich folgende Uebungsaufgabe:
„Wenn ABCD (Taf.I. Fig. 7.) ein Viereck im Kreise
ist und die Seiten AB und CD sich in dem Punkte
F, die Seiten BC und DA sich in dem Punkte
G schneiden, so stehen die beiden Geraden^,
Miicellen, 119
welche die Winkel F ond G balbiren, Aenkrecht
auf einander.''
Der Beweis dieses Satzes ist sehr einfach.
Es ist nämlich» mit Bezog auf die Wiukelbezeichnung in der
Figar:
d+/J = d' + /3, also d = d',
und well ^ == «^^ , so ist :
d + ij; = d' + ^', ' also a = «' ,
mithin:
F% = Fx,
and weil 9) = 9', so ist:
FO senkrecht auf 0&.
Verbindet man die Darchschnittspunkte u, x, y und t der
Balbirongslinien der Winkel F und G mit den Seiten geradlinig
miteinander, so entsteht ein Rhombus uxyz^ dessen Seiten paral-
lel den Diagonalen des Vierecks AB CD sind.
Denn es Ist:
/^ACFoj/^DBF, und daher AC:DB=CF:BF,
und /^ACGco^BDG, und daher AC:DB=: AGiBG;
mithin: CF: BF^ AGiBG.
Da nun
AGtBG=AxiBx und CyiBy^CFiBF.
•0 folgt:
CyiBy =^ Ax : Bx und daher or^ zft ^C
In gleicher Weise findet sich, dass ux'^BD,
Ich gestatte mir, diese Ergänzung des Interessanten Satzes
mitiiitheilen.
D.
In weiterer Erwägung des Sylvester* sehen Satzes gestatte
ich mir, mit Bezug auf die oben abgedruckte Einsendung noch
folgende Mittheilung :
Werden die frfiheren Annahmen und Bezeichnungen fflr Taf. I.
Rg* 7. belbehalteD und wird die Seite des durch die Schnittpunkte
der Halbirungslinien der Winkel bei G und F mit den Vierecks-
seiten bestimmten Rhombus uxyz mit a bezeichnet, so Ist:
120 Misceilen.
a^^zDu.Cjf-i-Di.Ax oder a^^ Au.Btf + Ct.Bx.
Dies folgt einfach aus nachstehender Erwägung. Es ist:
xu#AC und 2y:#DB,
daher :
Duitu^ DAiAC,
C!f'.2y=zBC:BD;
und hieraus : I. /H«. Cy = a* ACBD'
Ferner ist:
Axiftx:=z ABiBD,
Dz:u2=z DCiAC;
11 ^ . Tabjdc
also : II. X/t . Ax = a* aC~BD'
Durch Addition folgt:
r^ y> . »^ ^ ^DA.BC+AB.DC
Du.Cy-t'Di.Ax^za!' ^p j^^ »
und da nach dem PtolomSischen Lehrsatze ' jp ^f> ' = 1 :
^' Cy + Bz. Ax = a*.
Da» wie leicht erhellet» Du.Cy=Au.By und Dt.Ax^=-Ct.Bxy
so folgt nunmehr:
Anfrage und Bitte.
Kach einer im8 gütigst durch den Fürsten Boncompagni in Born mit-
geibeilten Notic enthUt der Codex Ottobonianus 1889 der Vaticatis eine
Geometrie, die mit den Worten beginnt: Geometria assecntita est
arismeticae nnd überhaupt wörtlich mit der bekannten nnd oft gedmekteo
Geometria specnlativa Thomae Bradwardini (s. B. Paris 1495)
übereinstimmt. In genanntem Mannscripte wird dieselbe aber dem Zeitgenosaen
des Bradwardin, Petras de Dacia oder de Dania, in der strictesten
Weise ingeschrieben. Da diese Thatsache ganz vereinzelt dasteht, so richte
ich an AUe, denen mathematische Mannscripte einzusehen Gelegenheit gegeben
ist, die Bitte, darauf zu achten, ob noch weitere Handschriften einer Geometrie
des Petrus de Dacia sich nachweisen lassen, nnd wenn dies der Eall, ob
die oben erwähnte Identitftt mit der Geometria speculativa des Brad-
wardin ebenfalls besteht.
Ich knüpfe daran die zweite Bitte, mir im bejahenden Falle eine etwmn
ausführlichere Notiz über das betrefitende Manuscript gütigst zugehen lassen an
wollen.
Thorn 7. Juli 1868. M. Curtze.
am Ende: Vtber tUe Bevegung einet mater. PuHktes etc. 121
Ueber die Bewegung eines materiellen Ponktes auf
einer rotirenden Geraden.
Von
Berni Dr. B. am Ende,
l^hrer nn it«r Ksaliehole in Sprollnii in Schleairn.
Eine gerade Linie rotire um ein» fe^lo Achse in
einer conslanten EntfernnDf; von derselben. Die Ge-
setze dariustellen, welche die Bewegung eines mate-
rielle» Panktex befolgt, der anf dieser Geraden ohne
Reibung gleiten kann.
a) Der materielle Punkt sei der Wirkung der Schtvere nicht
unterworfen.
1. Erste Methode. Den zur Lösung Her Tnrfltehenden
Aufgabe anssufiSbrenden Rechnungen sei ein rechtwinkliges Coo r-
dtnatensytttem {xi/t) zu Grunde gelegt;
A hezeicbne die Entfernung der rotirenden Geraden von der
B<itation sachte, als welche die Achs«
n beseichne den Drehnngstvinkel
«itiven Achse def x nach der negati
fserechnet werde, und falle am Beg
iernnngaliDie k mit der ;T-Avhse za»t
a sei der conatante Winkel, wel
der Ebene der xjr bildet und r die
von ihrem Durcbschnittspunkte mit
■nAterielten Punkte von der Haase m
122 ^'>> Ende: Veöer die Beweguno eines materiellen Punktes
t bezeichne ferner die Zeit, dt eine unendlich kleine daraot
folgende Zeit; or, y, z seien die Coordinaten des materiellen
Punktes zur Zeit t und x-t-dx, y-f%> z+dx die Coordinaten
dieses Punktes zur Zeit t+dt; o, p, q mögen die Winkel be-
zeichnen, welche die Rotirende, und 0|, p|, qi die Winkel, welche
die Richtung der von der rotirenden Geraden herrührenden and
auf den materiellen Punkt wirkenden Druckkraft <p mit den Coor-
dinatenachsen einschliesst.
Da diese Druckkraft stets rechtwinklig zur Rotirenden
wirkt, so ist:
cos o • cos 0| -^ cos p . cospi -|-cos q . cos gi =zO,
folglich auch:
q)r cos o • cos 0| -f gnr coBp . cos j^i -f (pr cos q . cos qi = 0.
Nun ist aber nach einem bekannten Satze der Mechanik:
tPx dt^fi d^z
g).cosOi=^» 9-C08pi=^» (P'Cosqi=^i
ferner Ist:
r.coso = r.cosa.sino = ^— A.cos 09,
r.cosp r= r.coso.cosfi» :=^-f A.sino»,
r.cos^ = r.sina = z;
folglich :
(A). . . (ä— Äcosa))^+(y+A8lna))^+z^ = 0.
Man hat aber auch:
Dilferentiirt man diese Gleichung nach f, so erhält man:
dx ^ dy dz dr
und nach abermaliger Differentiation:
(1)
DIfferentiirt man ebenso die Gleichungen:
07 = r.cosa.sincD-l-A. cosi», ^ = r.co8a.coso—- A.sino,
z ssr.slna;
anf einer roUrenüeii Cerfidm.
* . dr , , d
- = coBa.ainu 3^-f(r.co8(t.Gasi&~A.«ia«) -
§=<»"««'"a-''
cosd.sinu-f A
cos,»)
Mulicb
(B).
•(^■=
(t)'+
rj)
-ai)
=Q--— 4rl
+(*"+
r'co,»')
m
d.
S. .I..»h.». c
k-^I^Jl^b
olt -«J
<2.,.
iv:«i..
"0 ^ die absohlt« G«ech»'iDdigkeit nnd ^ die Winkvlgescbwia*
iiffctU des niaterielleii Punkles bedeutet. Mit Hilfe dieser Rela-
tim geht die Gleicbung (1) Ober in die folgende:
Dies in (A) eingesetzt liefert die Gtdcbang:
(3)
-A.coBio-T^ + A.sino.^
= (h*+r*€08u»)(^y ~2h
'dio\* „, dadr dh-
dt dt 'dfl
Die Differenttatian der ersten beiden Gleichangen in (2) er-
giebt:
— (rco»ttsino» + Acoei»)( -ttJ +(rc
3^=s«os«.e<«e.3^-2c<
~{rc«s«cos« — ABin»)(-jr) — (r
124 am Ende: Veber die Bewegung eines maierieiien Fun kies
Substituirt maD diese Werthe von -g^ und -ri in (3), 80
gebt (3) über in:
oder nach Division mit r:
-r.cos««(^-j|^^ --A.co«a^^=0,
oder:
(C). . . . 5^ = •••»»* «\rfi-y +A«»»«rf?-'
welche Gleichung die Beschleunigung des bewegten Punktes in
der Richtung der Rotirenden r ausdrückt.
b) Der materielle Punkt sei auch der Wirkung der Schwer-
kraft unterworfen.
2. Zweite Methode. Nach dem d*Alenibert'schen Prio*
cip müssen beliebige äussere KrÜfte, die auf ein beliebiges Sy-
stem von unter einander verbundenen Punkten wirken, bei ein-
tretender Bewegung im Gleichgewicht stehen mit jenen, welche
gleich und entgegengesetzt sind denjenigen Kräften, welche jedem
materiellen Punkte, wenn er frei wäre, die Bewegung ertheilen
würden, welche er wirklich erhält. Sind daher A, F, Z die Com-
ponenten der äusseren Kraft, welche im vorliegenden Probleme
auf den Punkt von der Masse m wirkt, so muss nach dem ge-
nannten Princip in jedem Augenblicke Gleichgewicht zwischen
dieser Kraft und jener bestehen, dereu Compooenten
d^x d^y dH
-nt^, -"»5^. -»13^
sind.
Erhält nun der materielle Punkt, dessen Masse der Kürze
halber im Folgenden stets = 1 genommen werden soll, eine vir-
tuelle VerrfickuDg, welche die Bedingungen des Systems nicht
verletzt, also in der Richtung der Rotirenden r, und geht der
Punkt in Folge dieser Verrückung ans der Lage ;r, y, t in die
von x+8Xf y+iy, z+Sz über, so erhält man mit Hilfe des d*Alem*
her t 'sehen Principes, verbunden mit dem Principe der virtuellen
Geschwindigkeiten, zur Bestimmung der Bewegung des materieUea
Punlites folgende Gleichung:
i»-+S'»^(S+0"=»-
auf tiner roUrenäen Etraden, 125
Id dem vorliegenden speci eilen Falle wirkt ausser der
Scbnerkraft keine andere Süssere Krall auf deo materietleD
Pnobl, folglich wird, neon die Schwerkraft in entgegengesetztem
SnDe mit der positiven Richtong der i-Achse nirkt, RIt unseren
•pMiellen Fall
JT^rO, F=0 und Z = —g
aein nnd die obige allgemeinere Gleichung flbergehen in die fol-
gende:
Ans den Gleichungen
x = rcoaa.8inn-|-A.cQsm, j = r.cos<i.co8» — ilsina, i=rsina
•rbltl man aber:
.,-*.C... j äf±*^.j ,,^.^
r ' ' r r
Setat man diese Wertbe oben ein, so geht die obige Glei-
cfauig nach Aufhebung von — fiber in die folgende;
(;r— A. cos «>jj5 + (s + A. sin 01)^ + i^+j7rsino=sO.
Wie mau tveilfl' ze verfahren hat, um x, y und i durch r nnd
■ luiodrilcken, ersieht man leicht aus dem Vorhergehenden.
Min erhSlt acbliesslich :
-a-v
Ua über die Winkelgea
bcftimmt worden ist, so ivi
tie von dieser Winkelgeschv
'Sllig nnbeslimmt sein. Ef
i« materielle Punkt im Rao
*b dass sie, welches auch
wF der OberflSche eines <
Denn dies ist bekanntlich
126 om Ende: üeber die Bewegung eines materieiien Punktes
schrieben wird^ auf welcher der materielle Punkt nach der Vor*
aossetzung gleiten kann.
Man wird daher, um bestimmtere Bewegungsgesetze dar«
stellen zu können» die Bewegung genauer charakterisiren mfisseii,
was offenbar dadurch geschiebt, dass man für die Winkelgeschwin-
digkeit bestimmte Werthe einffihrt. Wir wählen den einfachsten
Fall, wo diese Geschwindigkeit constant ist, in welchem Falle
die Hilfsmittel der höheren Analysis zur vollständigen DurchfiQh-
rung der Losung unserer Aufgabe völlig ausreichen.
Es sei also 3^ = ^y folglich m =. at. Dann verwandelt sieb
die obige Gleichung, da nun -^-2- = 0 ist, in die folgende eis-
fächere:
(E) ^ = a*cos«*.r— ^sina.
Zur Integration dieser linearen Differentialgleichung zweiter
Ordnung setze man:
dh
Dann ist:
folglich :
und:
3? = *"-
•' = Oleosa*, r — ^sinix.
dV'
2^=a«cosa«.r",
woraus sich leicht ergibt:
•' = il. €«*«•• « + £?.«-«<«'•«.
Andererseits folgt aus r'' = a'cosa'.r — ^slna:
r"fosina
mm MM% ^
a*co8«* '
und, wenn man in diese Gleichung den für r" gefundenen Wertb
einsetzt:
auf einer roürenden Geraden. 127
A
oder, wenn man beziehuogswebe Ci und C^ ffir -^ — -^ uod
-s 5 setzt:
(4). . . . r=C;i««»«^«+Cie--»*^«+-f^^.
• ^ ■ a"cos«"
Differentiirt man diese Gleichung nach U so resultirt:
dt
(5) . . . . ^ = a.cosa(Cie«*«^«— C^e-«««»»«).
Die Anfangswertbe von r and ^ dienen dazu» die Constanten
Ci und C^ zu bestimmen. Ist am Anfange der Bewegung , also
rar Zeit I = 0, r = ro» so erhfilt man mit Hilfe von (4) :
«> "=<='*'^*i^-
Der Winkel a m5ge zunächst <90^ sein, so dass die Roti-
rende r am Beginn der Bewegung mit ihrem oberen Ende der
positiven y» und z- Achse zugewendet ist^ und der materielle Punkt
befinde sich am Beginn der Bewegung auf dieser Seite der Roti-
renden. Da nun der materielle Punkt der Voraussetzung gemäss
ohne Reibung der Rotirenden entlang gleiten kann, so wird die
Geschwindigkeit ^ am Anfange der Bewegung nur von der ah-
Misten Geschwindigkeit des Endpunktes von A und von dem
^ Winkel a abhängen und unter der gemachten Voraussetzung po-
sitiv sein. Man erkennt, dass am Anfange der Bewegung
-jfjzz: an cos a
»ein wird. Folglich ergiebt sich aus (5) fQr ^ = 0:
aAcosff = a.cosa.(C^ — C^),
also:
ivoraos man in Verbindung mit (6):
r — (*'o "t" ^)<»* cog g* — ,y sin g
^ "" 2a* cos«*
128 am Ende: (Jeder die Bewegung eines maier ieileu Punktes
und
_ (yp — h)a^ cos g* — g sin a
^ "* -ia'cosa*
erhält Setzt man diese Werthe von Ci und C% in (4) and (5)
ein, so resultirt schliesslich^ da a< = cd ist:
(F)
_ (ro4-A)o«costt»— ^sina _, (rp— *)g*costt^~^sina _.^,
■ 2ii«cosa< ^ ■■" -ia^cosa«
a*C08a*
als Gleichung der Trajectorie des materiellen Punktes, und
(G)
5F =2a^JK''o+*)ö*cosa«-^sin«]e--a
( — [fro— Ä)a*co5«* — ^sin«]«-«'*^*'
als Ausdruck fiir seine Geschwindigkeit auf der Rotirenden r.
3. Allgemeine Bemerkungen Qber die Bewegang
des materiellen Punktes.
Ist (ro+A)a*cosa*>47sinff, so wächst r his in*8 Dnendliche,
d. h. der materielle Punkt entfernt sich mehr und mehr in posi*
tiver Richtung auf der Rotirenden r. Für sehr grosse t oder <o
nähert sich die Trajectorie unaufhörlich der Curve» deren Gleichung
(>*o 'I' A)a' cos a' — g sin a
ist, wo der Kürze wegen m fttr 2 *cosa^ gesetxt
ist, d. h. der logarithmischen Spirale im Räume.
lot (ru-|'A)a^coso* = ^sina, dann wächst r ebenfalls fortwäb«
rend und nähert sich unaufhörlich dem Werthe -^ s« d. b.
a* cos o*
die Bahnlinie des materiellen Punktes nähert sich immermebr
l .
einem Kreise, dessen Radius s ^V a^A'-f^'tga* ist.
Wenn (r^-f A)a'coso*<^sina ist« dann steigt der materielle
Punkt am Anfange der Bewegung ebenfalls noch. Bezeichnet d
die Differenz von ^sina und (r^-f A)a*cosa^, dann hat man:
a'cosa* *2a*cosa' i x >
auf einer röhrenden Geraden. 129
ood
dJ= " 2S^^^ici««— «-(i/+2a«Aco«««)«-««^«|.
dr •
Oieaer Ausdruck für j-, wird = 0 für
2acoaa ®V d /
d. k. fiir diesen Werth von t h5rt der materielle Punkt auf zu
steigen^ und er föllt von dieser Zeit an ohne Aufhuren.
bt dagegen a>90^ und erfolgt die Drehung in demselben
Sinne wie vorher, dann ist die Gleichung der Trajectorie die fol-
gende:
,„^ asina (r,, — A)a*co8a* — osina
a* cos a* 2a* cos d
(**o + ^)ö* c®® tt* — ysina _
2a* cos a*
wo jetzt a das Supplement des stumpfen Winkels u bedeutet.
Hau erkennt, dass, während fSr o<90^ am Beginn der Rota-
tion der materielle Punkt stets stieg, derselbe jetzt (lir a >90^
amgekehrt in allen Fällen zu fallen anfingt.
Om zu ermitteln, wie lauge das Fallen dauert, nehmen wir
wieder zuerst an, dass (tq — A)a*cosa*>^sina sei.
Man bat
Ä = ^i^^a S t(''o-A)«*cos««~^8ina]6«««-
— [(ro +Ä)o*cosa*— ^sina]e-"<^
folglich fOr ^ = 0:
i
— ' /(ro + Ä)a*cosa* — ^8ina\
"" 2a cos o ^\(ro — A)a*cosa* — gsina/
d-b. zur Zeit t ist die Geschwindigkeit des materiellen Punktes
= 0, and nun beginnt derselbe zu steigen und steigt ohne Auf-
boren weiter.
Ist (r^ — A)a* cos«* <^sin u und Ist d s= ^ sin a — (fq— A)a*cos «*,
Bo erbftit man:
130 «^ Ende: (Jeder die Bewegung einet materieilen Punktei
dr 1
dt 2acosa^ ^ / i»
folglich für ^=rO:
• _ 1 /d--2o«Äco8««\
d. b. t ist entweder negativ, nämlich wenn d — 2a*Aco8a*^0, oder
imaginär^ wenn <{~2a*A cos a*<0 ist» was offenbar die Bedentong
bat, dass die Geschwindigkeit des materiellen Punktes in diesem
Falle niemals = 0 wird , derselbe somit vom Anfange an oboe
Aufboren ßillt
Ist endlich (ro~A)<i'co8a* = ^sina» so fHllt der materielle
Punkt ebenfalls uDaufhörlich> nähert sich aber mehr und mehr —
denn erst Ar < = od wird r = -v « — »nit seiner Bahn einem
Or cos ar
Kreise, doch ohne denselben jemals zu erreichen.
4. Specielle Fälle.
a) Es sei A = 0.
Dann beschreibt die Rotirende einen Kegel mit kreisförmiger
Basis und die Gleichung der Trajectorie geht aber in die folgende:
aVoCosa* — ^sina osinet
2a* cos a* ' ' '^ a^coser
oder wenn man die hyperbolischen Functionen in bekannter Weise
zur Abkürzung benutzt:
aVoCos«* — osina ^ ^ , asina
r = — ^-jn « «O0(acosa) + -| a-
2a*cos«* ^ ^^a*cosa*
b) Es sei Z a == 0.
Für diesen Fall erfolgt die Bewegung des materiellen Punktes
nur in der Ebene der xy und die Gleichung (F) geht in die fol-
gende über:
während (H) die folgende liefert:
••o — * . »"0 + * -«
auf einer roiir enden Geraden, 131
Ffir To = 0 vereinfachen sich diese Gleichungen zu folgenden:
r= -I- A.5tn(o>) und r = — A.5in(o>).
c) Es sei A = 0 und ^ a = 0.
Dann resultirt die einfache Gleichung:
ml
oder:
r = To* £00(09).
d) Es sei ^ o = W^.
Es erhellet dann* leicht aus (E), wie aus dem Ausdrucke ffir
j.t welcher für « = 90® die vieldeutige Form 0.<x> annimmt,
das«:
itt
Man erkennt, dass in diesem Falle die Trajectorie eine auf
einen geraden Kreiscylinder aufgewickelte Spirallinie sein wird,
deren Windungen nach den Fallgesetzen sich mehr und mehr
TOD Mnander entfernen.
Siebt man auch von der Wirkung der Schwerkraft ab, so ge-
stalten sich in einzelnen Fällen die Resultate noch einfacher, als
die obigen.
Es bleibt nun noch Obrig, die Losung des Problems auch
f&r den Fall durchzuführen, wo die Rotation um eine der beiden
horizontalen Achsen erfolgt.
5. Dritte Methode. Sind x, ^, z die Coordlnaten des
materiellen Punktes in Bezug auf ein festes, dagegen x\ y\ z'
die Coordinaten desselben Punktes in Bezug auf ein nach einem
bestimmten Gesetze sich bewegendes Coordinatensystem, so gel-
ten, wenn er, ^, y die Coordinaten des Anfangspunktes des be-
weglichen Systemes sind, ganz allgemein die folgenden Besie-
hoDgen :
x = « + aar'+ Äy' + C2' ar' = a« + a'y + a"«— (aa + a'/J + al'y),
f = iJ + aV+6y+c'2' und y' = 6^+6'^ + *''«— (6«+6'/J+6'V)*
i = y+ii'V+6"y + cV x' =r car + c'y + c"i— (ca+ <?'/?+ i/'y).
Hieraus folgt:
132 a in Ende: Veöei die Bewegung eine» maierieilen Punlues
d^x d^a ,iPa ,d^b . .«Pc . d^x' . . cPy' . dh*
d!^v dfX
Berechnet mao ebenso j^ und -ja ond «etst man der
dl* dp
Kürze wegen:
S=o|i+a'i,|+a"t„
. d*y^ ,d*cl' ,d*b",d^c"
ist, so erhält man, wenn man ausserdem noch die AbkürsungeD:
edb \edb'\e'db'' = pdt, ade + a'dc' \ii'dc" = qdt,
bdo 4 b'da' ^b"dti' = rdt
einfflhrt, zunächst
(a+6+c)^+(«'+6'+c')^+(a"+6"+c")^
</•«' d*y' <?»
folglich unter BerOcksicbtigang der Relationen
und der Gleichungen, welche zwischen den GrOsseo a, a!, a'\ b,
u. 8. w. stattfinden:
auf einer rotirenden Geraden. 133
Sind daher K'^ Y\ Z' die ComponentcD der äassereo auf den
mtteriellen Punkt wirkenden Kraft, geschätzt nach der Richtung
der beweglichen Achsen, so liefert die im Vorhergehenden auf-
gestellte Bewegungsgleichung bekanntlich die folgende:
Dreht sich nun, um auf unser speclelles Problem wieder zu-
rfickzokoromen, die Rotirende r, welche in Bezug auf die y» und
X-Achse dieselbe Lage wie im vorigen Fall haben mlige, um die
z-Achse, wirkt ferner die Schwere in entgegengesetztem Sinne
mit der x-Achse und verfflgt man über die Bewegung des he*-
weglichen Coordinatensystems so, dass der Anfangspunkt desselben
mit dem Durchschnittspunkt der Rotirenden und der :r^-Ebene
zosammenföllt und seine Achsen stets den festen Achsen parallel
bleiben, so hat man:
X = -5^, F' = 0, Z' = 0;
ferner:
X ^ hcosfo-t-x', y = —Asincö +y, 2 = 2';
folglich:
«=
-A[co«a>(^) +sinco-5^]. ^=*[««n«>(-^) -cosi»^].
ferner:
;i = 0, 9 = 0, r = 0;
^ =s r.cosor.sinoo, y =r.cosa.co8(K), x'^r.sina;
folglich :
136 Grüner i: Leber eine Aufgabe von den Megelichniilen.
Allgemeine analytische Aoflosang der Aufgabe: Den
Kegelschnitt Von gegebener Charakteristik und gege-
benem Brennpunkte zu bestimmen, welcher eine der
Lage nach gegebene Gerade in einem in derselben
gegebenen Punkte berührt.
Von
dem Herausgeber.
Au8 meiner Abhandlung: Theorie der Kegelschnitte
nach einer neuen Methode analytisch entwickelt. Ar-
chiv. ThI. XXXI. Nr. Xlff. S. 67. §. 1. weiss man, was ich unter
der Charakteristik eines Kegelschnitts verstehe. Die Aufgabe:
Den Kegelschnitt von gegebener Charakteri-
stik und gegebenem Brennpunkte zu bestim-
men, welcher eine der Lage nach gegebene
Gerade in einem in derselben gegebenen Punkte
berührt
scheint mir in mehrfacher Beziehung von Wichtigkeit zu sein,
und begreift z. B., indem man die gegebene Charakteristik der
Einheit gleich setzt, ohne Weiteres den Fall der Parabel unter
sich, welcher bekanntlich in neuester Zeit bei den so überaus
merkwürdigen und wichtigen Arbeiten Schiaparelli's über die
Bahnen der Sternschnuppen, die alles in dieser Beziehung früher
Geleistete weit hinter sich lassen, eine sehr grosse Bedeutung
gewonnen hat. Ich beabsichtige daher in der vorliegenden Ab-
handlung — für jetzt durchaus nur aus theoretischem oder geo-
Grumert: üeöer eine Aufgabe von den KegeltckiäUen. 137
metriscbero Gesichtspunkte — eine ganz allgemeine» vorzogswelse
analytische Auflösung der in Rede stehenden Aufgabe zu geben,
indem ich mich dabei überall der in meiner oben genannten:
^Neaen Theorie der Kegelschnitte" entwickelten Formeln
bedienen werde, die ich daher hier als vollständig bekannt vor-
aojisetzen und die betreflfende Abhandlung, wenn ich mich auf
dieselbe zu beziehen genOthigt bin, in der Kflrze immer durch
N. T. d. K. bezeichnen werde. Ich habe bei der Auflosung der
Aufgabe vorzüglich die Entwickelung ganz allgemeiner analytischer
Formeln im Auge gehabt, die ja auch für die weitere Anwendung
M>lcber Aufgaben eigentlich nur allein, oder wenigstens vorzugs-
weise, Werth haben; und gerade zur Gewinnung solcher allge-
meinen analytischen Formeln leistet meine Neue Theorie der
Kegelschnitte^ wie es mir scheint, oft besonders gute Dienste,
was ich nun schon in mehreren Fällen im Archiv deutlich gezeigt
za haben glaube, und fernerhin noch in verschiedenen anderen
Fällen zu zeigen hoffe.
§.2.
Wir bezeichnen die gegebene Charakteristik des zu bestim-
menden Kegelschnitts wie gewohnlich durch it, die Coordinaten
des gegebenen Brennpunkts durch /*, g\ die Gleichung der ge-
gebenen Geraden sei:
1) i:ix+% + iV=0,
wo also Xf, JH, iV gegebene Grossen sind; die Coordinaten des
io dieser gegebenen Geraden gegebenen Punktes seien a:|, y^*
wo dann also :
2) Xxj + %i + A = 0
ist« Bezeichnen wir den von dem gegebenen Brennpunkte (fg)
nach dem gegebenen Punkte (^i^i) gezogenen, also selbst gege-
benen Vector durch r^ , so ist :
3) ri = V(a:,-/0«+(yi-i7)*.
Bezeichnen wir nun die Gleichung der dem gegebenen Brenn-
poDkte {fg) entsprechenden Directrix des zu bestimmenden Kegel-
schnitts durch:
4) Ax\By-^C^^,
so ist nach N. T. d. K. $. a 2). S. 79. die Gleichung des gesuchten
'^sgelschnitts :
ThtU XLIX. 10
138 Gruneri: üeber eine Aufgaöe von den KegeUchnitten,
uod wir haben daher, weil der Punkt {xiyi) ein Punkt dieses
Kegelachnitts sein soll, die Gleichung:
6) n^iAx, + By, + O* = (^*+ B*)t(a:, -/)« + (y, -^)*},
oder nach 3) die Gleichung:
7) ii«(^ar, + Bi^, f C)« = M«+Ä*)r«.
MitRGcksicht auf die Gleichung 6) ist nach N. T. d. K. $. 27. 1).
S. 132. die Gleichung der Berührenden des Kegelschnitts in dem
Punkte (^jyi):
8)
\n^A(Ax, + By, + C) - (^ + Ä«)(:r, - f)\x \
•k-\n^B{Aa:, + By^ + C)^(^« + Ä«) (y. -^)|y [ = 0
oder:
9)
^j..Bu^tg.^c:)_,^_^)}^ [=0.
Setzen wir:
10)
^ (Axt + gy, 4 C)
i?(^a;, + gffi + C)
C{Ax^ + gy, + C) .
so wird die vorstehende Gleichung:
11) ... . |n«ii— (a:,— Z)!.-!; \
und vergleichen wir nun diese Gleichung mit der gegebenen
Gleichung 1) der Berührenden im Punkte (^ijfi)» n&mlich mit der
Gleichung :
Gruneri: Veöer eine Aufgaöe von den A'egelschniUen, 139
Xa: + % + iV = 0,
ffo erhalten wir, wenn ^ einen gevrissen Factor bezeichnet, offen-
bar die folgenden Gleicbnngen:
12) . . . \ nh)-'(yi'-g) ziziiM,
woraus sich:
u = = — -
n«
13). ...<!. ,=e^wL±|Ln?
n'
ergiebt. Nan folgt aas der Gleichoiig 7), nämlich aus der Glei-
cfauDg:
durch Wurzelausziehung :
14) ^^.-H^ + C^ r,,
und da man die GrSssen u, v, w auch auf folgende Art schrei-
ben kann:
A Ax, 4 ßy, +C
g /<ar, f gy, + C
Va*+b»' Va*+b* ' ^
so erbSit man die Gleichungen :
» 'srA* + ß*'
15) \v = + ^.-7=£=.
r C
also:
10^
140 Grüner t: Ceöer eine Aufgabe von den Kegeitcknitten,
A i_ ****
V^JMTgi ^ * n" '
16) l , ^ =1:^?,
-.=£= = +—•
aus denen sieb :
17) ^:Ä:C=dbti:±«:dbtr,
also naeh 13):
18) AiB.C
ergiebt; and da nun A, B, C die gesuchten Coefficienten in der
Gleichung
Ax + By+C = 0
Bind, auf deren wirkliche Werthe es offenbar gar nicht, sondern
bfoss auf ihr gegenseitiges VerhSitniss ankommt, so ist klar,
dass es verstattet ist
Ä=±(f»ilf+yi-^),
zu setzen» wo es nun ferner hauptsächlich darauf ankommt, den
Factor fA zu bestimmen, wozu die beiden aus dem Obigen be*
kannten Gleichungen:
, r, A _ Ti B ^
führen, weil sich aus denselben, wenn man sie quadrirt und zu
einander addirt, die Gleichung:
«♦(a« + e«) = n«r,«,
also nach 13) die Gleichung:
20). . . (fiIi+a:i-/)«+Oiilf+y,-^)« = n«r,«
ergiebt, durch deren Auflösung der Factor (i bestimmt werden moss.
Zu dem Ende bringen wir diese Gleichung auf die Form :
(L«+»«)^«+2|L(j:|-./0 + if(yi-i^)lf» = (it«-l)rt«
Grvneri: üeöer eine Auftabe von den fegeieclMUen. 141
oder:
weO aber nach 2):
^ («I —f) + ^(yi - 9)
= (La:, + %, + 2V)- (!/+% + iV) = - (I/+ %+ iV)
tat, so wird dieae Gleichung:
Lf+Mg + ir (n«-l)n«
'' ~^ L«+ilf« **" I,«+Ä« '
and fiDhrt nun leicht xu dem Anodnicke:
21)
od«r:
22)
I»
wo daa doppelte Wurzelzeichen bekanntlich den Inbegriff der bei-
den Werthe bezeichnet, welche die Quadratwurzel haben kann.
(M. a. Coars d' Analyse par M. A.-L. Cauchy. I. p.9. p. 178.)
Setzen wir der KOrze wegen:
23, £ = ^t^±i?^.
wo der absolute Wertb von E die Entfernung des Punktes (fg)
TOD der durch die Gleichung:
eharakterisirten Geraden ist; so ist:
**^ "= — vwm — •
Ffir L* + M*=\ ist:
24*) E = I/+ Mg + lf
■od:
142 Grünen : üeber eine Aufgabe von den KegeischnUten.
25) fi == £ + 18^(n«- l)ri« + £«.
Au9 diesen Ausdrücken sehen wir, dass für n=1 and ft>1,
also im Falle der Parabel and Hyperbel, die Grösse ft niemaU
imaginär werden kann ; nur für n < 1 , also nar im Falle der Et>
lipse, kann fi imaginär werden, und die Reellität von jn, folglieh
fiberhaapt die Möglichkeit der Aufgabe, hängt in diesem Falle
davon ab, dass
dass also
(n«-l)r,« + £;«^0
^^(l-«*)ri*,
oder
26) !?!:^^^ = VT^TT»
ist, was also im Folgenden im Falle der Ellipse immer voraus-
gesetzt und jederzeit, bevor man in der Aafl«>sung weiter vor-
schreitety besonders untersucht werden muss. Auch gilt alles
Folgeode in dem Falle n < 1, oder im Falle der Ellipse, nur unter
der stillschweigenden Voraussetzung, dass die obige Bedingung
erföllt sei, was wir hier ein für alle Mal bemerken.
Zwischen den Grossen A, B, C finden gewisse Gleichangea
oder Relationen Statt , welche wir jetzt suuä'chst entwickeln ivotleo.
Nach 19) ist:
B=±iilli±(!/t-ff).
C=±^NT n^i -f) T giyi -9) ;
also oflfenbar :
27) Af^Bg^C=±ii(Lf+JUg + N).
Ferner ist:
Axi -f Bf/i + C
folglich, weil nach 2) und 3):
ist:
Gruneri: Deber eine Aufgabe von den KegelscbnUten. 143
28) ^ar,+%i + C=+r,«
Weiter Ist;
Hetzen wir nun der Kürze wegen:
.^(H*- i)r,« /LA+ % + jyy
so ist nach 22):
also:
folglich nach dem Obigen;
was unmittelbar zu der beinerkensivertheo Relation :
oder:
29) V^«+Ä« = nri
ffibrt.
Endlich haben wir nach 19), 28), 29) auch die folgenden
Relationen :
30)
n*A(Ax, ^By^ + C)^ (J«+ Ä«)(ar, -/)
= n*ri*(fiX + a:i— /^ — «*ri*(a:i —ß = ^n^rj'i,
n«Ä( Ja;, + ßy, + C) - ( J« + Ä«) (pr -g)
= n*r,«(f*;if +y, ~^) -n«ri«(y,— (7) = .ttn«r,«iV,
n«CM;r, +Äyi -f C) + (J«+ ^)l/'(^, -/•) +^(y, -9)\
144 Grüner t: Veber eine Aufgabe van den Kegelte kfrtuen.
Weil nach 23):
I/+ Mg + K=E Vi« + ilf*
ist, so kann nach 27) aod 28) gesetzt werden:
Af+ ßg+Cz=:±(iLE\nJTm.
31)
oder, weno wir den Werth von (i aus 24) einllQhren:
oder auch:
Bevor wir zu der folgenden Betrachtung übergehen, benner-
keu wir, dass wir bei derselben alles Das als bekannt voraussetzen,
was in der Abhandlung N. T. d. K. §. 5. bewiesen worden ist, und
uns darauf hier ein für alle Mal beziehen.
Wenn die Grosse
£:t£+^(««~l)r,«-f£«| oder ^ [^ + \|^(n«'-.|) + (-)' }
positiv ist, so haben nach 33) die Grossen
Af+ Bg + C und Ax^ + Byi -t C
gleiche Vorzeichen, was dem Falle der
Ellipse, Parabel, des ersten Zweigs einer Hyperbel
entspricht, jenachdem beziehungsweise
n<1, n = ], it>1
ist. Das obere und untere Zeichen liefert für Af-i- Bg -|- C respec*
tive einen positiven und einen negativen Werth, und man muss
also im Obigen überall respective die oberen und die unteren
Zeichen nehmen, was an sich ganz gleichgültig ist.
Wenn die Grösse
£|E + W(n«-l)r,«-rPl oder ^{^ + ^(n«- l) + (^y J
Grunert: üebtr eine Aufgabe van den Kegehcknitien. 145
oegatiT ist, so habeo nach 33) die GrOssen
^/'+ Bg + C und Aa:^ + Bpi + C
eo^egengesetzte Vorzeichen, was nach einem bekannten Satae
(m. 8. die Anmerkang am Ende dieser Abhandlung) überhaupt nur
dann Statt finden kann, wenn n> 1 ist, was dem Falle des zwei-
ten Zweigs einer Hyperbel entspricht Das obere und untere Zeichen
liefert ffir Af-i- Bg -f C respective einen negativen und einen posi-
tiven Werth, und man muss also im Obigen Qberall respective die
oberen und die unteren Zeichen nehmen, was wiederum an sich
ganz gleichgfiltig ist.
Im Allgemeinen ergiebt sich hieraus Folgendes:
Wenn die Grosse
El£+^(n«-l)r,« + £i| oder f {f + VT^^'" ^> + ©'}
positiv ist, so liegt der Punkt (^Ti^i) in einer
Ellipse, Parabel, dem ersten Zweige einer Hyperbel,
jenachdem beziehungsweise
it<l, 11 = 1, it>l
ist
Wenn die Grosse
E\E + W(n^^l)r,^ + LV oder | j^ + ^(n«-l)+(^)"}
negativ ist, so liegt der Punkt (d?i^i) in dem zweiten Zweige
einer Hyperbel.
Eine besondere Betrachtung erfordert nun noch der Fall, wenn
ist, welcher nur dann eintreten kann, wenn £ = 0 oder wenn
£; + ^(n«-.l)r,»+£;*=:0
ist
Der Fall £ = 0 kann nach 23) nur dann eintreten , wenn
Lf+JUg + NzizO
ist, wenn also der gegebene Brennpunkt (fg) in der durch die
Qeichong I) gegebenen Berflhrenden liegt Nun Ist aber leicht
146 Grüner t: Veb^r eine Aufgabe von den KegehchnUten.
zu zeigen, dass niemals eine BerGbrende eines KegelaobnitU
durch einen seiner Brennpunkte ^ehen kann.
Die Gleichung der Berührenden der Parabel in dem Punkte
Xiffi) derselben in Bezug auf das gewohnliche Coordinatensystem
ist bekanntlich:
oder:
y—yi^^^^^-^^i^'
y-yi-ixi^^-^'i)
Sollte nun diese Berührende durch den Brennpunkt, dessen Coor-
dinaten \p, 0 sind, gehen; so müsste die Gleichung Statt finden:
-y\ =c^(ip— ^i)»
woraus sich Xi = --\p ergeben und daher die Absrisse Xx nega<
tiv sein wOrde, was ungereimt ist, weil bekanntlich bei Zugrunde-
legung des gewöhnlichen Coordinatensystems es für negative
Abscissen keine Punkte der Parabel giebt.
Unter Zugrundelegung des gewohnlichen Coordinatensystems
ist bekanntlich die Gleichung der Berührenden in dem Punkte
{Xiyx) einer Ellipse oder Hyperbel:
a« * 6« ""*'
fiir die Ellipse das obere, ftir die Hyperbel das untere Zelohea
genommen. Sollte nun diese Berührende durch einen der Brenn-
punkte, deren Coordinaten — ohne Beziehung der Vorzeichen su
den vorhergehenden — bekanntlich ±6, 0 sind; so müsste die
Gleichung :
* «« — * »
also die Gleichung:
a* a
* -*" e e
Statt finden. Bei der Ellipse ist nun e=Vo*^6*, and es
müsste also die Gleichung
\^'-(=)'
Crunert: lieber eine Aufgabe von den Hegelschniiten, 147
Statt finden; es niüsste also
val. abs. :r| > a
sein, was ongereinit tst, da bei der Ellipse bekanntlich immer
val. abs. x^'Za
ist. Bei der Hyperbel ist ez=z\fa^ y b^, und es roiisste also die
Gleichung
g . J
Statt finden; es mfisste also
val. abs. a:| < a
sein , was ungereimt ist, da bei der Hyperbel bekanntlich immer
val. abs. ^^iTT o
ist.
Wenn also unsere Aufgabe möglich sein soll^ so ist der Fall
£=rO aui^zusch Hessen, es darf der gegebene Brennpunkt nicht
in der gegebenen Berührenden liegen.
Wenn ferner
ist, so ist:
also.
ond folglich :
E + tl^(n*- l)r,2 + £« = 0
E« = (n«-l)ri* + £«,
(n«-l)V = 0,
waa nnr der Fall sein kann, wenn entweder ri=:0 oder n = 1
ist. Wäre r|=0, so wurden die Punkte (fy) und (^Ti^i) zusam-
menfallen, also wieder der gegebene Brennpunkt in der gegebe-
nen BerOhrenden liegen , welcher Fall nach dem Vorhergehenden
ausgeschlossen werden muss, und daher bereits erledigt ist. Der
Fall n=:l ist der Fall der Parabel, in welchem die obigen Un-
terscheidungen Oberhaupt ohne Bedeutung sind, weshalb wir uns
jetzt nicht weiter über denselben verbreiten, später aber darauf
surrickkoromen werden.
148 Grüner t: üeöer eine Aufgabe von den KegeiichniUen,
$. 3.
Wir wollen oon die verschiedenen Bestimniungsstücke dei
Kegelschnitts entwickeln.
Bezeichnen wir den Parameter im Allgemeinen dorch p, fo
ist nach N. T. d. K. §. 18. 2). S. 107. :
also nach 27) and 29):
folglich :
34) p = vaLabs.^^<^^+^^ + ^),
und daher nach 23) and 24):
35). . .;. = val..ba.?^i^±B^i>^!±:^.
oder :
36). . H = vaL.b..2f{| + ^(„.-,)+(D'}.
welche Formel ganz allgemein ist und fflr alle drei Kegelschnitte gilt.
FOr die Halbaxen a, b und die Excentricitit e der Ellipse and
Hyperbel hat man nach N. T. d. K. $. 12. 18), 19), S. 99. die fol*
genden Formeln:
-_ n*{Af-\- Bg + C)*
" - (n« — 1)« (^« + Ä«) '
6«-Talttbo "'(-^Z^+^^ + g)'
0 _ vai. aos. ^^, _ ,j ^^a ^ ^ ,
*^~ (n*-l)*(A* + B*)*
also nach 27) and 29):
._ 11^ (Lf-t-JUg +]!!)•
"■ (n«-l)«r,* '
fts-^alab. f^^£±^S±IDl
»»-val-abs. („9_i)^^i »
,Ai*(Lf+ Mg+rf)* ,
*^~* (n«-l)«r,« *
Grunert: Veöer eine Aufgabe von den KegeUchniUen. 149
folglich :
a = val. abs. („,_i),^ .
37). . . . <6-vaI.ab.. ^^ y-j^j^^ZTi) '
(n«_|)ri
indem tnaa in der zweiten Formel dae obere oder untere Zeichen
nimmt, jenachdem n* — 1 positiv oder negativ ist
Nach 23) und 24) ist also:
38) . . / 6 := val. abs.
e ^ val. abs.
(«•- l)r,
Elü + ia^^— l)r,«+£*l
oder:
jr '-••'•. -»^v!{^v^<••-')+(a■}•
6
»><.^=.-— i.4^f{^#("-')t(Dl.
1= ™i.b..jt,.f{?+Vrc'-«H^)"}'
WO (&r das doppelte Zeichen in der zweiten Formel natCIrlich
ganz dieselbe Bestimmong gilt wie vorher.
Bezeichnen wir die zwei Werthe, welche p, a, b, e im All-
gemeinen haben können, respective durch
so ist nach dem Obigen:
40) pV = val.ab8.4(n«— 1)£^,
und:
150 Grunert: üeöer eine Aufgabe von den KegeUchniUeti.
o!cl* := val. abs. -« — \ »
41) \ h'b'' = £«,
e'c" = val. abs.
Bezeichnen wir die Coordinaten des dem Brennpunkte (/j|^)
zunächst Ke.^enden Scheitels durch f , g' ; so ist nach N. T. d. K.
§. 12. 14*), S. 97 :
nA{Af^Bg-\-C)
' '"" (w + l)M2+Ä2)'
nB(Af^Bg + C)
^ '^"^ (n-f l)(ja^.i52) •
Nach 19) und 27) ist:
A(Af+Bg + C) = ii((iL+a^,^n(Lf+Mg+N),
B(Af+Bg+0==(i(!JLjlf+y,^g)(Lf+Mg + N);
als» nach 23) und 24):
A{AfVBgV C) = (f*L+:r, -A)£;t£ + 1Ä^(«*-I)r^«+iS«l,
Ä(/f/^+%-fC) = (f4yif+3(|-^)i^lJ5; + 1Ä^(«2^1)r,a+£;«|;
folglich nach dem Obigen und nach 29):
42)
oder :
43)
' ''^ n(n + l)r,« '
V ^_ (i^J^+yi-ff)E\E+W(n^^\)r^*+'W\,
also nach 24);
44)
r-r=-^, {^-vxfe«iK-#(-->'<91}
(
Grunert: Beöer eine Atifyate van tieft liegeUchnUien. 15t
welche Fonnelo allgemein Tür alle drei Kegelschiiide gelten.
Bezeichnen wir die Coordinaten des Scheitels, welcher am
Weitesten von dem Breiinpunkte (,fg) en((ernl ist — natürlich nur
bei der Ellipse und Hyperbel — durch f\' , gi' \ ao Mt nach N. T.
d. K. §. 12. 14*),S. Ö7.:
/■ ' _ f _ _ "M^f+Bg+O
'' '~ (n— I)M« + fi») '
^, _ nB(Ar+ßg+C),
»' ~^" (b-1)("^»+^ '
woraus mau sieht, wenn man dies mit dem Vorhergehenden ver-
gleicht, dass die Ausdrücke von f\' — f, ffi' — ff aus denen von
P — f, ff' — ff erhalten werden, nenn man in denHelben n— I Tflr
n-\-\ setzt; also ist:
45)
Man kann auch sagen, dass .nach den Formeln N. T. d. K. %. 12.
14*). S.97.:
ist, worans Dasselbe nie vorher folgt.
Die Entreronngen der Brennpunkte von den ihnen zunächst
»senden Scheiteln sind nach N. T. d. K. %. 18. S. 108- ßr alle
drei Kegelschnitte:
P
2(« + I)'
Die Entfernungen der Brennpunkte von den am Weilesten von
ihnee entferDlen Scheiteln sind für die Ellipse und die Hyperbel
(n. 8. a. a. O.) :
152 Gruneri: üeöer eine Aufgabe von den KegeUekniUeu.
Beseichnen wir die Coordinaten des zweiten Brennpunkts der
Ellipse and Hyperbel durch fn g\\ so ist nach N. T. d. K. {. 10.
2), S.92.:
_2n^A(Af+Bg+C)
Jln^B{Af+Bg+€),
also nach dem Obigen offenbar:
folglich nach 44):
46)
i
Bezeichnen wir endlich die Coordinaten de* Mittelpnnkts der
Ellipse nnd Hyperbel darch F, G; so ist nach N. T. d. K. §. II-
3), S. 93.:
' -1 (n*—l)(A*-t-B') '
tflB(Af+Bff + 0,
^—»- (n*-l)(A*+B*y'
also nach dem Obigen:
Crunert: Veber rlae iufialie ton den A'egrlscImfifeH. 153
folrUcb lisch 44):
47)
§.4.
Bflseicbiien wir d«n Winkel, welchen der von dem gegebenen
Brvnnpnobte [fg) aaa nach dem fiegebenen Punkte {Xyy{) ftezo-
genc Vector r, mit dem positiven Theile der Aza der r eln-
«ehlieaat, indem wir diesen Winkel von dem poaitlren Theile der
Axc der X an nach dem posiriven Theile der Axe der y bin von
0 bin 380° dhlen, darch «i ; an ixt in vililiger Allgemeinheit:
^1 = /"+ n coen, , y, = ff +r, sin«, ;
Die Gieichnng der gegebenen Berflhrenden ist hekanntlicb:
L* + %4 -V = 0,
ond rolgiicb die (ileichnng des in dem Punkte {Xiy^) auf diese
BerShtende errichteten Perpendikels:
Mx-Ly-(ia.T, -IjSj) = 0.
BeBaichoet nun a den von der etnen der beiden von dem Paukte
(^i^i) *<i"gcbenden Ricblungen dieses Perpendikels mit dem po-
sitiven Theile der Axe der x eingeschlossenen Winkel, indem
msii diesen Winkel von dem positiven Tbeite der Axe der x an
nacb dem positiven Theile der Axe der y bin von 0 bis 300"
ObH; so ist
[x— x,)BinB:= (y— y,)co8tt
— ycoeof — (a:, sin«— y, cos«) Ä 0
154 Grüner t: üeber eine Aufgabe von den Kegelsehnilien.
die GleichoDg des in Rede stehenden Perpendikeb. Vergleicht
man dies mit dem Obigen, so sieht man^ dass man
J[r = cosa, M = s\Tia, VL« + illf« = l
setzen kann. Hieraus und aus dem Vorhergehenden ergiebt sich
nach 44):
48)
C080 )
Beseichnen wir den Winkel^ welchen die von dem Brenn-
punkte {fg) ans nach dem Scheitel {f'if) gezogene Gerade mit
dem positiven Theile der Axe der x einschliesst , indem wir die-
sen Winkel von dem positiven Theile der Axe der x an nach dem
positiven Theile der Axe der y hin von 0 bis 360^ zählen » durch
(o; so ist:
f'-f
cos CD =
„5„ ^, 9' —9 .
also, weil nach dem vorhergehenden Paragraphen:
Ist:
cos 09 = ^ t
P
p
Folglich ist nach 48):
Gruntrt: üeber eine Aufyabe von den KegelKknfilen. Iö5
49)
C08ffl = — -.-|cO««, + [-+\)^ (»»*-l)+(^ Jc08«^
)
{?,vr(»--.H(|y}.
8iDO = -?.^ J»in«, + [^ + ^ <»'-'>+(f) 1«"'«}
\^^*in^^m
wo oaeh 36):
50) . . . - = val.abs.
P
-i!+vr<«'-')+©"i
ist Man kannte also setzen:
.=-i.{,»..4?+vr(«'-»+(i)*n
X
.{^#(„.-.).G01
val.ab..£{|+Vr(„.-l) + 0}
,iD«=-J.|slD«,+[^ + ^(n«-l) + (^y^»ii.«
,.i.^..E{,^+vr(»'-"+(i)'(
folglich :
51)
cos»=tJ- {cos «I + [^ + W («'—') + (,:;)'l ***'«} '
II»
156 Grünen : Üeöer eine Aufgabe van äeti Kegehchnitien.
die oberen oder nnteren Zeichen genommen » jenachdera die Grosse
.•{f.v^(..-».(^)-!
positiv oder negativ ist
Aus 51) folgt onroitteli)ar:
52) tang»= - ^'» " ^'«'' '
COR
«.+{f+\ir(«>-i)4(f)>o.;
welche Formel gans allgemein ist. Es muss aber o> so genom-
men werden» dass
0 < 0) < W,
90« < w < 180»,
1800 < w < 270^,
270^ < w < 360«
ist, wenn die Formeln 61) respective liefern worden:
cosoo
sinoo
positiv
positiv
negativ
positiv
negativ
negativ
positiv
negativ
was sich nach den aus dem Torhergehenden sich ßanz von selbst
ergebenden Regeln immer leicht entscheiden lassen wird.
Mittelst 49) erhält man leicht:
53)
cos(«-«)=--?.|{cos(«-«,) + [|+y|^(n*«l)+(^y]^
also auf Shiiliche Art wie vorher:
Grunert: Veöer eine Aufgabe von den KegeltchnWen, 157
54)
8lD(a — a>) = =F-8in(«— «i),
die oberen oder die nnteren Zeichen genommen, jenaebdem die
Grösse
.{^#(^^^^^^)
positiv oder a^atlv ist.
Nach 54) ist auch:
55)
cot(«— »)=cot(«— «,) + |- + Vf (»*—*)+ \z) \ co8ec(«-«,).
Ferner ist nach 49):
56)
co.(«.-»)=-?.|{i+[^+vr(«'-')+(fy]««»(«-^)}
folglich nach 53):
67)
S=gE^=-{f.#<..-„.(f)-(.
Aas <)er ersten dieser beiden FArmeln folgt;
■iii(<^— »)--sia(tt— «d) _ "^^ "''W ^"*— ^^HnJ
«n(«,-») + sin («-») r,-£ __ ^jj^^W^
158 Grüner t: üeöer eine Aufgabe von den KegeUchnitten,
Nach einer bekannten Zerlegung ist aber:
-r-^ ( . . . ( = — tang4(a— ai)cot i(a + a,) — 0)1,
und folglich nach dem Vorhergehenden offenbar:
58)
taogt4(« + «,)-»l= -^— :SDZ^tangi(«-at)
oder:
59)
tofl K«+ «■) - »1= ^J^ ;r 7J6r'"«*<''~^>-
. + {| + #(.---H(f)|
Mittelst Berechnung eines HQlfswinkels £ erbfilt man:
( Ungl4(a + ai) — wl = tang(450-.Ötang4(a— ag).
Weiterer Ent Wickelungen und Umformungen dieser Formeln
enthalten wir uns jetzt der Kurze wegen.
Nach 4) und 19) ist die Gleichung der Directrix:
+ (liM + yi-g)y | =0,
also:
■^VLiLf-i-Mg-k-I^) )
Nach dem Obigen ist aber:
|ili+ar,— /•=t£;+'^{n«— I)r,«+JB«|tfo««+riCos«|,
[**+yi —9 = {fi + 'WCn«— l)r|« + £;«| sina +r, sin«!
nod:
erunert: üeber eine Aufjgabe von dm Kegeltektatlen. 159
also ist nach Vorstehendem die Gleichung der Directrix:
61)
{[E+'W(n*-'l)ri* + E^]co8a+ri cosoiKa: ~P i
+ J [£ + 1J^(n«— l)r,a + £«] sio « + r, sin o, Uy-g) |=0.
+ £( £+ Wc««- l)r,» + £»| '
oder:
62)
§. 5.
Wir wollen oun den Fall der Parabel, wenn nämlich n=l
ist, besonders betrachten.
Wir setzen:
L = cos«, ü = sin«, folglich VZ?TSf« =1; ^
so dass also die Gleicbang der gegebenen Geraden
o; cos « -f ^ sin « <f ^ ^ 0
ist; weil aber diese Gerade durch den Punkt (ari^O gebt, so ist:
jTi cos« + ^i sin « + iV = 0,
folglich :
iV = — (a:i cos« +yi sin«),
mid die Gleichung der gegebenen Geraden Ist also :
(x— a?i)cos«+(y— yi)»in« = 0.
Nach 23) 19« :
JE = — {(a:,— /^cos« + (yi -^)sin«).
160 Grunert: üeber eine Aufgabe von den Keget$ch$dUen.
Weil DUO it* — 1 = 0 ist und
'W(n«-l)r,«+£« = J:£,
80 wie beziehungsweise
^(«.-.)+0=±^
genetzt werden kann, so haben wir zwei Fälle zo betrachten, je-
nachdem man in diesen Formeln die oberen oder die unteren Zeichen
nimmt Der Fall £=0 ist aoszuschliessen, wie schon früher bb
§. 2. gezeigt worden ist.
Betrachten wir zuerst den Fall, wenn die oberen Zeichee
genommen werden.
Nach 25) ist:
^ = iE:+£; = 2£;.
Nach 35) ist:
, . 2JS(jB+JE) AE^
p = val.abs. =r •
Nac)i 48) ist:
E /E E\ /E E\
/•'-/'=- ^{eo.«, + ^- + -Jcos«j(-+-J,
E fE E\ /E E\
i^-i,= -y|sm«.+(^-+-Jsio«|(^-+-J;
also:
£• E
% /*'— /"=— — (cosai+2-" cosa)»
JE* E
^'— 5r= — — (sinaj -f 2- sino);
oder:
/-i,=-^f«i^+2^.inA
Weil
Mf+#'"-'+©")=<+f)=
2^
positiv ist, so ist nach 51):
Grunert: üeöer eine Anfgabe von den Keselichnitten» 161
also:
oder:
08«= — {co»«i + ( —+ -Jcoec),
cos 0» = — (costti +2— cos «) >
E
8ino>= — (flino^ +2- sina);
co8o>= — ( -* — -+2- eosa I»
8ID
folgficb :
oder:
Nach 55) tat:
E
sinai -f 2— 8ina
tangw = -^ ,
costti +2— coaa
— — + 2--8ina
^ — ^+2-co8a
cot(a — «) = cot(« — «i) + 2— C08ec(a— 0|) •
and nach 59) iat:
tang|4(« + «i) — 0))= T^taog4(a-«,),
1+2^
oder:
tangl4(a+ai)— a} = ^^_ tang4(a— a,).
Nach 62) ist die Gleicbnng der Directrix :
^E
(cos 0^+2- costf)(:r— /)
■ =0,
+ (siooi +2- sioa) (y— y) + —
162 Gruneri: Ueder eine Aufgabe von den Kegehchnitlen.
oder:
= 0,
oder:
= 0.
=0,
(^i — /"+ 2Eco8 «) (x — /)
+ (yi -^ + 2E8in «) (y — ^) + 2A'«
Nach 19) uod dem Obigen ist:
Ä= ± (2£; sin et + y, — ^),
C=:±{— 2J5;(ariCosa+y,8ina) — /'(ar,— Z')— ^(y,— ^)J;
und nach 28) und 29) ist:
also ist nach 9) die Gleichung der Berührenden in dem Punkte
I (2£cos a + art — /) — {x^ — /) I a?
+ t(2J5;sina +yi — ^r) — (yi— y)ty
+ { — 2£; (ar, cos a + y, sin a) — /(a?! — /) — ^(yi — y)
also offenbar:
o: cos a -fy sin o — (a:| cos a + yi sina) =: 0 •
oder:
(x — a:|)cosa4-(y — y])sino = 0,
oder nach dem Obigen:
Lar + ilfy + iV=0,
80 dass also in der That die Berührende in dem Punkte (ariyi)
mit der durch die vorstehende Gleichung charakterisirten » durch
den Punkt (ariyi) gehenden Geraden BusammenfUk^ wie es die
Bedingungen der Aufgabe erfordern.
Wir betrachten femer den Fall , wenn im Obigen die unteren
Zeichen genommen werden.
Nach 25) ist :
eruneri: (Jeder eine Außaäe von den KegelschniUeii. 163
Nach 35) ist:
p = val. abs. = 0.
Nach 48) ist:
^, ^ E /JE E\ JE E\
E, . /E E\ . JE E\
also :
r-f-Q. 9^-9 = 0 oder f^f, ^=^.
Nach Sl) ist:
(E E\
— — — )cosa} = Tco8ai,
oder:
fr eil
sin 09 s^lsinoi + ( ) sino|=:i-sinO| ;
C0BO = T 1-"/^ gj|,j,--3:ÖJ!Z?;
int, 0O lässt sich Dicht bestimmeo, welches Zeichea naii in den
Forhergebenden Fonaeln zu nehmen hat.
ISach 62) ist die Gleichvng der Directriz :
(E E\ f
-— ~^sinaK2^-^)> =0,
(ar--/)cosai-f (y— ^)suifti =0,
(«1 «/)(a:-^/-) +(iyi -9)(3-9) =«•
Die Gleichung des durch (fg) und (ori^a) gescügeien Victors ist:
alao
1
164 G runer t: Veöer eine Aufgabe ton den KegeUcknitien,
(yi -y)(a;— /)-(^i-/)(y-^) = 0;
aluo geht die Directrix durch den gegebenen Brennpunkt und
steht auf der durch (fg) und {xxy{) gehenden Geraden senkrecht
Nach 19) und dem Obigen ist:
und nach 28) und 29) ist wie vorher :
also ist nach 9) die Gleichung der Berührenden in dem Pankte
+ l(yi-^)-(yi-^)ly 1=0,
folglich :
0.ar + 0.y + 0 = 0 oder 0 = 0,
also ganz unbestimmt, so dass man diese Berührende auch mit
der durch {fg) und {xxyx) gehenden Geraden zusammenfallend an-
nehmen kann. Aus allem Bisherigen ergiebt sich, dass man in
dem vorliegenden Falle unsere Aufgabe in gewisser Rficksieht
als durch die durch die Punkte {fg) und {xiy{) gehende Gerade
aufgelöst betrachten kann. Jeder Punkt in dieser Geraden ist
von dem in ihr liegenden Punkte {fg) als Brennpunkt und der io
diesem Punkte auf ihr senkrecht stehenden Geraden als Direc-
trix gleich weit entfernt, was ja eben die Grundeigenscbaft der
Parabel ist; alle Berührende dieser Parabel würde man aber mit
Ihr als zusammenfallend und den Parameter als verschwindend,
die Gerade selbst auch als Aze zu betrachten haben.
Construiren lässt sich die wirkliche Parabel leicht, wie wir
jetzt noch in der Kürze zeigen wollen. In Taf. li. Fig. I. sei F
der gegebene Brennpunkt {fg) und P der gegebene Punkt {xxg\\
die gegebene Berührende sei P(?. Man mache ^HPG-=^^FPG
sa, ziehe durch F eine Parallele mit P£f, von welcher PG io
7* geschnitten wird, ftlle von P auf diese Parallele das Perpen«
dikel PQ und balbire 7Q in A, so ist A der Scheitel der zu
bestimmenden Parabel ; macht man nun AB = AF und errichtet
durch B auf TQ das Perpendikel MN^ so ist dieses Perpendi-
kel die Directrix der gesuchten Parabel, und nun Alles gegeben,
was zu deren Bestimmung erforderlich ist. Weil
Grünen : l'eder eine Aufgabe von den KegeischniUen. 165
ist, so i«t :
und folglich:
abo:
oder:
FP = FT,
FP> FQ
FQ < FT,
FQi^FQ <, FTi^FQ,
2.F©< TQ,
FQ<^iTQ,
Weil nan nach der Constraction AQz:ilTQ tut, so M:
FQ<,AQ< TQ,
ond der Punkt A liegt also immer z%vi(«chen F und T Weil fer-
ner AF<,AQ und AQ—AT \»t, so ist AF<, AT, und folglich,
weil AB =: AF ist, AB'^AT, woraus sich ergiebt, dass ß
immer zwischen A und T liegt.
Um die Uebereiostimmung der Resultate, zu denen die wei-
tere Betrachtung dieser Cnnstruction fuhrt, mit den frOber auf
allgemeinem analytischen Wege erhaltenen Resultaten zu zeigen,
wollen wir wenigstens die Formel filr den Parameter p aus der
Construction ableiten. Weil offenbar FP^iFT ist, so ist:
'>
ond weil nun:
ist, so bt:
alm> ist:
TP=:l.FP.co»a;
TQ=i TP. cos a
TQ=z2.FP.cosa^;
AQ=^iTQ=: FP.cosa«
Es ist aber :
PQ = FP.coB2tt = FP.cosa«— FP.sina« = AQ-^FP.sina»,
aUo:
AF=: AQ-'FQtrzFP.sma*;
oad wenn nun FK auf TP senkrecht steht, so ist :
FR
FK = FP.8\na, sina = j^;
siio nach dem VorbergeheDden:
Itk5 Grünen : Leber eine Aufgabe von den KegeUcknilten.
folglich :
In unseren früheren Zeichen ist offenbar:
FK^ = E*, FP=ri;
also:
4£«
p = *
was ganz mit unserem oben für p gefundenen Ausdrucke ilber-
einstiromt
Der Hauptzweck dieser Abhandlung war die Auflosung unse-
rer Aufgabe fSr alle drei Kegelschnitte durch ganz allgemeine
Formeln ffir jedes ganz beliebige rechtwinklige Coordinatensystem,
denn nur durch solche ganz allgemeine Formeln wird die Anwen-
dung der Aufgabe bei anderweitigen Untersuchungen in zweck-
mftssiger Weise möglich gemacht.
Anmerkung.
In §. 2. S. 145. ist auf den folgenden Satz verwiesen worden,
den wir nun hier besonders beweisen wollen.
Satz.
Wenn fiir irgend welche Werthe von p, g die Glei-
chung:
Statt findet, und mit Beziehung auf die Zeichen vor
den Wurzelzeichen in <lieser Gleichung
ist: so kann nur it>1 sein.
Beweis.
Weil in Folge der vorausgesetzten Gfeichung besiehuogsweiae
Grunert: Veb^r eine Aufgabe von den KegelschniUen, lb7
ist, also
Ap+ Bqi^C and Afi^ Bg+C
entgegengesetzte Vorzeichen haben ; so liegen nach einem bekann-
ten 8atze (N. T. d. K. S. 79. §. 4.) die durch die Coordinaten p , q
und /", g bestiraroten Punkte auf entgegengesetzten Seiten der
durch Gleichung
J^ + % + C = 0
charakterisirten Geraden, woraus sich, wenn wir die Entfernun-
gen de« Punktes (pq) von dieser Geraden und von dem Punkte
ifg) respective durch P und R bezeichnen, durch eine einfache
geometrische Betrachtung auf der Stelle ergieht, dass
P< ß, also ~ > I
ist. Nun kann man aber die vorausgesetzte Gleichung offenbar
auf folgende Art schreiben :
nnd nach bekannten Formeln der analytischen Geometrie ist:
folglich nach vorstehender Gleichung:
n^P* = Ä*, also w = p;
daher nach dem Obigen:
« > 1.
wie bewiesen werden sollte.
Dass hierbei vorausgesetzt werden niuss, dass A und B nicht
zugleich verschwinden, liegt in der Natur der Sache.
168 Meyer: üeber einige Säi%e Honnefs,
lieber einige Sätze Lionnet's.
Von
Herrn ür. Ferdinand Meyer
in Gottingen.
Das Maibeft der „Nouvelles Annales de Matböniati-
ques par MM. Gerono et J. Bourget, Paris 1868" eothült
unter den ,»Q'uestions^' einige niedliche, aus Lionnet's „Al-
g^bre'^ entlehnte Sätze, die mit der Theorie der Potensreste in
Verbindung stehen. Zwar sind diese Theoreme ohne Zweifel filr
den Ausbau der Wissenschaft von keinem Belang» aber am ihrer
selbst willen dürfen sie doch ein gewisses Interesse beanspruchen.
Da sie diese Eigenschaft mit einer grossen Menge anderer Sfitze
theilen, denen man gleichwohl auch bei uns ein Plätzchen in
mathematischen Zeitschriften einräumt» und da mit Ausnahme des
einen der Theoreme» des verallgemeinerten Wilson 'sehen Satzes*)»
mir nicht bekannt ist» dass sie schon anderswo bewiesen wur-
den; so hoffe ich» bei den geehrten Lesern dieses Archivs auf
Nachsicht rechnen zu dürfen» wenn ich die Beweise Im Folgenden
*) E« ist die« das Theorem 880 (a. a. O« S. 239.) :
,,/* ^tant le produit des entiers inf^rienrs et premiers k nn
Dombre A^, la difförence P^% est divisible par N lorsqoe N
D*est ni preinier, ni le double d*un nombre premier, oi aae
piiissance d'un nombre premier impair, ni le double d'one
teile puissance."
Elegant l&sst sich dasselbe mit Hülfe der Theorie der quadratischen
Reste beweisen, wie man in den von Dedekind herausgegebenen Vor-
lesungen Dirichlet's über Zahlentheurie sehen kann.
Meyer: (Jeher einige Sätze Honnefs, 169
roittheile. Dabei irerde ich mich der in der Zahlentheorie ge*
brSacblicheii Aasdrucksweise bedienen. IVegen dieser in den
elementaren Lehrbüchern der Arithmetik meistens jedoch nicht
üblichen Form der Behandlung solcher Sätze, zu denen die Li*
onnet 'sehen geboren, erlaube ich mir, namentlich im Interesse
der jüngeren Leser» denen vielleicht meine Entwicklungen einer
Beachtung nicht unwerth erscheinen sollten, vorher erst einige
der auf periodische DecimalbrOche bezüglichen bekannten Lehr-
sätze in der eleganten Form der Zahlentheorie kurz zu beweisen.
Die Lionnet'schen Sätze selbst sind folgende (a. a. O.
S. 239— 240) t
1. 1020 ^tant le dönominateur d*une fraction irröductible, pour-
qaoi le nombre des chiffres de la päriode engendr^e par cette
fraction sera-t^il Tun des nombres I, 2, 4» 8, 16» 32?
2. Lorsque la räduction d*une fraction t en döciroales con-
doit ä une p^riode de n chiffres, toute fraction irröductible dont
le d^nominateur ägale un multiple de b donne lieu k une pöriode
dont le nombre des chiffres ägale un multiple de it.
3. Lorsque la conversion de plusieurs fractions irröductibles
a a! fl"
7f r>» jTff' ^n decimales conduit a des p^riodes dont n^ n\ n",...
KODt les nombres de chiffres, toute fraction irröductible dont le
d^nominateur est ögal au plus petit comroun multiple des döno-
roioateurs 6, b' , 6''.... donne lieu k une periode d*un nombre de
chiffres ^gal au plus petit comroun multiple des nombres 9t, n', n"....
4. Lors>que la conversion en decimales d*une fraction irr^duc-
tible dont le d^nominateur est un nombre premier p conduit k
une periode de n chiffres, et que p^ est la plus grande puissance
de p qui divise 10" — 1, toute fraction irröductible ayant pour
d^Dominateur p^-^ß conduit k une periode de npß chiffres.
5. Lorsqn*un nombre premier est de la forme 1^2", Tex-
posant n est nul ou de la forme 2».
L
Bezeichnet k eine ganze Zahl grosser als 1, so lässt sich
^kaontlieh der echte Bruch r» den wir reducirt voraussetzen, in
^ioem Aggregat von nachstehender Form darstellen:
Theil XLIX. 12
i
1
170 Meyer: Veber einige Sät%e Honnefs,
Die Q bedeuten dabei Zahlen , welche sämmtlicb kleiner, als k
sind und die durch folgendes Gleicbungssystero deGnirt werden:
I I
Nun leuchtet sofort ein» dass entweder einmal einer der Reste
ß der Null gleich werden muss, oder dass dies niemals geschieht In
diesem letztern Falle» der nur fQr uns von Interesse ist, läuft dieRedi-
nung in's Unendliche fort. Da aber die Anzahl der ß huchstens nur
=6—1 sein kann, so muss nothwendig die Reihe der Reste von irgend
einem an periodisch wiederkehren. Sei also ßii=:ßr, wo 6— l^ii>r,
80 folgt wegen /}«A: = /?rA, dass Qi,^i = Qr^i, ^»4.2= ^r•^s»••••
6ein muss. Also auch die Reihe der Quotienten Qr-^i, Qr^^,,,^^»
muss sich periodisch wiedererzeugen , und zwar besitzt die Periode
n — r Stellen.
2.
Denken wir uns die Gleichungen 1) in der Form von Coo*
gruenzen geschrieben, bo erhalten wir offenbar das folgende System :
ak ^ ßi, (mod. b)
ak^=ßt,
2). . . i "*'~'^»'
akr = ßr.
Da nun a prim zu 6 sein soll, so muss, falls /?r=0 ist, notb*
wendig ^''^0 (mod.h) Statt finden, d.h. in der Zahl müssen die
sämmtlichen Primfactoren von 6 vorkommen, gleichwohl geht 1^
erst dann durch b auf, wenn diese Potenz die in 6 vorhandeoeo
Primfactoren mindestens ebenso oft als b enthält. Dagegen kano
eine solche Congrnenz niemals erscheinen, wenn die Primfacto-
ren von b nicht sämmtlicb in k sich aufzeigen lassen.
Meyer: Veber einige Sät%e LionneVs. 171
Bedenkt man jetzt weiter, dass aus der CöDgrueiiz
k^ = ßm (mod.6)
die andere entspringt:
ak^ = aßm^ßfif
wenn ßfji den Rest von aßm bei der Division mit b vorstellt; so
brauchen wir bei der fernem Untersuchung bloss die Reste der
Potenzen von k in Betracht zu ziehen.
Setzen wir nun vorerst voraus, dass k prim zu b ist und dass
k^ die niedrigste Potenz von k ausdrückt, die durch b dividirt
den Re9t I giebt, d. h. gehurt k zum Exponenten d für den Modul
6; so mnss wegen ak^^a (mod.b) im weitern Verlauf der Rech-
Dong die Reihe der Reste ß und folglich auch die der Quotienten
Q in der anfänglichen Ordnung wiederkehren. Und zwar besteht
die hierdurch erzeugte Periode offenbar aus d Stellen.
Bezeichnet aber k eine zum Modul b relative Primzahl, so
moss dem verallgemeinerten F er manschen Lehrsatze zufolge
stets die Beziehung gelten:
AupW = 1 (mod. Ä).
Die Function ip(b) stellt dabei bekanntlich die Anzahl sämmt-
licber zu b relativen Primzahlen aus der Reihe 1, 2, 3, ••.•& — 1
vor*). Da nun für eine zusammengesetzte Zahl 6 q>(b) niemals
= i — 1 ist, so kann offenbar der Bruch t bei seiner Entwick-
lung in die Reihe Qik^^ -f g^k"^ -{-.,,. niemals eine Periode von
6 — 1 Stellen liefern. Dies ist nur möglich, wenn 6 eine absolute
Primzahl ausdruckt. Für das Doppelte 2p einer solchen würde
die grosste Anzahl der periodischen Ziffern nur p — I heissen
können.
3.
kt A nicht relative Primzahl zu b, so besitzen beide einen
Quasten gemeinsamen Factor. Sei für k^ und b dieser gemein-
Mhaftliche Divisor /r, sei also k^=zkr»lr und b^=ibrJr, so er-
giebt sich aus den Congruenzen in 2., wenn man nach und nach
»■sl, 2,.... r setzt.
*) Sei d:=p^Pi^ipt^%:^, vro die p absolute Primzahlen bezeich-
B«o, to ist
K4)=«(i-^(i--J-)(i--/-)....=/»''-»(/'-i).;'i''«->(/'i-i)..
12*
172 Meyer: üeber einige Sdt%e Honnefs.
-p ^ 7^ = flfi (mod. 61)
•1 n
^ = ^ = 0, (mod.6,)
—- = ^ = 03 (mod. 6g)
-7- ^ 7- = «r (mod. Or)
Nuo sind «i » 03, .... ur sämmtlicb prim zu bn weil 0| prim zu 61,
o« prim zu öa,.... ist, b^» 6t»*— ^^^^ säromtlich noch den ge
meinschaftlichen Factor br einschliessen. Ferner ist k prim zn
Art wenn auch fBr ä''+*, 4»'+*,.... und 6 nur Ir den grussten ge-
meinschaftlichen Divisor bezeichnet, mithin drücken auch ctrfii
ttr+Sy •••• relative Primzahlen zu br aus. Daher müssen die Zah-
len '^Ti yr4-i.... in den Congruenzen
ak^ ^ (• Or ^ }^r (mod. 6r)
im Allgemeinen sämmtlich incongruent sein. Gehurt folglich für
den Modul br die Zahl k zum Exponenten dy so ist wegen
dt^^^-^r^d^fr (mod. 6r) notbwendig yr^^^=^yr' Demnach nifis*
sen von al^^ an die Reste yr% yr-i-i»**«- yr^^^x periodisch wie*
derkebren und sonach auch die ihnen entsprechenden Quotieoten
Stellen wir uns der nähern Einsicht halber k in der Form
Jc=^p^Pi^xp^^%..^x und b in der Form bz=p^pi^ip^*^t....br vor,
und setzen wir voraus, dass die Exponenten rn, mi,,,,. nicht
kleiner, als die ihnen entsprechenden m sind; so ist:
Die Quotienten ^|, ps,.... ^r in den Gleichungen 1) können da-
her nicht wiederkehren, dagegen müssen die Zahlen Qr-^i» pr-|-s»— •
•••• Qr-i-d eine Periode bilden. So würden für £=10 und 6=:2<^^
offenbar r=:co, wenn o > oj, vorperiodische Ziffern den perio-
dischen Qr-^i, pr-i-9».... Vorhergehen.
4.
Nehmen wir 6= 1020 s 22.3.5.17, so erhalten wir für die
zu b relative Primzahl k die Beziehungen:
Meyer: (Jeher einige Sät%e Lionnei's. 173
A>=](mod.4), A«=l (mod.3), JH=1 (inod.6), £1«=! (rood.17),
d. g.
A"=l (mod. 3.4.5. 17).
Die Zahl A gehurt sonach hticbstens zum Exponenten 16 in Be-
zog auf den Modul 1020. Daraus fotgt» dass ein redncirter Bruch
a
7 bei der Entwicklung in eine nach negativen Potenzen tod k
fortschreitende Reihe höchstens eine lözifferige Periode liefern
kann. Aus weniger als 16 Stellen wird die Periode hestehen,
wenn k zum Exponenten €2= 1^ 2, 4, 8 gehört.
Besitzen k und 1020 einen grossten gemeinschaftliehen Thel-
ler, so kann auch hier die Periode 16 oder weniger Ziffern ent-
halteo; vorperiodische Stellen aher können höchstens bloss 2
vorhanden sein.
t
FOr £ = 10 ist IOi«=I (mod. 17) und 10^1 (mod.a), also
IQt«^! (mod. 3. 17); irgend ein reducirter Bruch t muss daher
bei seiner Darstellung als Decimaihruch 2 vorperiodische und 16
periodische Ziffern zeigen.
Wie man sieht, bildet dies den Inhalt des ersten der Lion-
Bet'schen Sätze, wenigstens der Hauptsache nach.
5.
Der reducirte Bruch t liefere eine Periode von n Stellen,
d. h. es gehöre k fdr den Modul br zum Exponenten n, so gilt
die Congruenz
k* = 1 (mod. br).
FSr irgend einen andern irreductibelen Bruch sei mb der Nen-
ner desselben, wo m, wie wir voraussetzen können, eine relative
Primzahl zu k bezeichnet. Gehört nun in Bezug auf den Modul mbr
kntta Exponenten d, so folgen aus der Congruenz k^^l (mod.f?t6r)
die beiden andern A^ — 1^0 (mod. m) und k^ — 1^0 (mod.6r)*
Da aber Jl^^l (mod. br) der obigen Annahme zufolge Statt hat,
so ronss nothwendig
d^O (mod. n)
s^b. O. h. die Periode des reducirten Bruches —K besteht aus
^r Anzahl von Ziffern, die einem Vielfachen der Zahl n gleich ist.
174 Meyer: üeber einipe Säl%e Honnefs.
Wäre m nicht prim zu A, so würde man statt der Congruenz
k^^V (mod. fii6r) nur die andere k^^\ (mod. m^6r)» wo m^
Jetzt relative Primzahl zu k ist» in Betracht zu ziehen haben.
Dadurch kann (in -^) höchstens nur eine Aenderung in der An-
zahl der vorperiodischen Ziffern eintreten. FOr /:=10 wGrde in
diesem Falle die Anzahl der vorperiodischen Stellen des reducif"
ten Bruches -\ höchstens um so viel Einheiten erhöhet , als die
Zahl des grossten der Exponenten von 2 oder 5 in m enthält
Wählt man speciell den in der Praxis allein vorkommenden
Fall A'=10, so bat man den Lionnet'schen Satz 2.
6.
Machen wir jetzt die Annahme« dass b eine absolute Prim-
. zahl p bezeichnet und dass k fCir p zum Exponenten n gehurt
Ausserdem aber sei p^ die höchste Potenz von p^ welche noch
in k* — 1 aufgeht. Gehort in Bezug auf p^ k zur Zahl d^ so
folgt aus k^^\ (mod. />**) und A" — 1 ^0 (mod.p«, p), dass
d=:it sein muss. Schreibt man jetzt die Congruenz k^^\ (mod.p*)
in Form einer Gleichung A:"= l -f- ^*P°9 so lässt sich leicht durch
vollständige Induction zeigen, dass k^P^ — 1 durch p^-^ß aufgeht
d. h. in anderer Ausdrucksweise :
k^'P^ = 1 (mod. p^^ß).
Beachtet man aber noch« dass der Voraussetzung zufolge A und
p^ relative Primzahlen vorstellen müssen« so ergiebt sich als notb-
wendige Folge der Satz: k gebort zum Exponenten npß für den
Modul p^-^ß. Mithin muss die Entwicklung irgend eines reducir-
ten Bruches ~~^^ eine Periode von npß Ziffern liefern.
Nimmt man auch hier AsIO» so hat man den besondern Satz 4.
Lionnet's. FQr o = l scheint derselbe längst bekannt gewesen
zu sein, denn beispielsweise findet er sich in Franke's Lehr-
buche der Arithmetik. S. 206.
Wie es den Anschein hat« ist indess der Satz nicht auf eine
Prinizahlpotenz beschränkt. Denn sei in der Gleichung A^=l -|-tf6s
wo b irgend eine zusammengesetzte Zahl ausdruckt« so ergiebt
sich ganz wie vorhin« dass k für den Modul b'^^ß zum Exponen-
ten nbß geh5rt« wenn u nur prim zu b^ ist.
Meyer: Veber einige Sätxe LionneVt, 175
7.
Seien jetzt ör» Ar% br'f.^* die Factoren bezüglich voq 6, 6',
6'^,^, welche bei der Entwicklung der reducirten Brüche t> t» tt?»..«
die Anzahlen n» n\ n",.... der periodisch wiederkehrenden Zif-
fern bestimmen. Alsdann haben die Congnienzen 8tatt:
it" = 1 (mod. br) , *»' = 1 (mod. &/) , *"" = 1 (mod. ftr'O » -
••••
Bezeichnet M das kleinste gemeinschaftliche Multiplum der Zab-
ICD Ar» A/» br^.**-, so muss, wenn für M als Modal A zum Ex*
poDcnten d gehurt^ k^^l {moi.M) und daher auch
••••
k^ = 1 (mod. br), k^=l (mod. 6/), A^ s l (mod. ftr'O
sein. Daraus aber fliessen die neuen Congmenzen:
A. d^O (mod. n), e^^O (mod.nO» e^^O (mod. n^) ....
Stellt nun d den grussten gemeinschaftlichen Divisor zwischen n
und n' Tor, so ist €2^0 (mod. ^) und <2^0 (mod. y)» also auch,
> weil T und j- relative Primzahlen sind, €2 = 0 (mod. -^f )• ^''^
M
nn'
bedeutet jetzt d| den grössten gemeinsamen Factor zwischen -p
aod n''» so folgt ganz wie ob<en:
nn'n"
d = 0 (mod.-gä^)
nn'n'\,..
tt. s. f. Die Zahl d muss also die Form rf = t?. r^A a — besitzen.
..••
Andererseits aber folgert man aus den Congmenzen A, dass
d dorch das kleinste gemeinsame Vielfache -tt — ^ der Zahlen
a> nS n".... aufgehen muss. Denn aus den Gleichungen
rf = m(Tjd und d=:^mi(-jjd
ergiebt sich zunächst:
"5^0 (mod. ^ • -j) und hieraus e^ = 0 (mod. -v-).
Nehmen wir nun einmal an, dass fSr r Zahlen 94, n«, iis,....9tr
176 Meyer: üeöer einige Sätze Honnefs.
d durch das kleinste gemeinschaftliche Maltiplum iV derselben
theilbar ist; so sehen wir sogleich, indem wir die vorigen Zah-
len n und n! respective durch N und nr^x ersetzen, dass auch
d ein Multiplum des kleinsten gemeinsamen Vielfachen — r-^ der
Zahlen N und nr-^i bezeichnen muss, sofern nur d durch jede
der Zahlen it|, 91«, .... ttr, nrJ^i aufgeht Das Gesetz gilt also
allgemein« (Vergl. §.25. in Dirichlet's Zahlentheorie.) |
IVir erhalten daher für d die beiden Formen
, 911t 91 •••• . . nn 9t ....
mithin muss tt — eine ganze Zahl ausdrücken. Da nun d die
kleinste Zahl sein soll, fSr welche die Congruenz k^^l (mod.Af)
Statt findet, so folgt:
dz=i
nn'n" ,,.,
ddi ....
d. h. d ist dem kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen der Zah-
len 9t, 9t', 9t".... gleich.
a a' ii"
Wenn demnach Hie reducirten Brüche x» T>> 777.... bei ihrer
Entwicklung in die bekannten Reihen beziehungsweise Perioden
von 9t, 9t', 9t'^.... Ziflfern liefern; so besteht die Periode jedes re-
ducirten Bruches, dessen Nenner dem kleinsten gemeinsamen Mul-
tiplum der Zahlen b, b\ 6".... gleich ist, aus so viel Stellen, als
das kleinste gemeinschaftliche Vielfache der Zahlen 9t, 9t', 9t"....
Einheiten enthält.
Dies aber stellt, wenn man Är=10 voraussetzt, den Lion-
net'schen Satz (3) dar.
8.
Wir gehen nach diesen Bemerkungen zu dem letzten der im
Anfange mitgetheilten Theoreme Lionnet's über. Nach dem-
selben soll in jeder Primzahl von der Form 2" 4- 1 der Exponent
9t entweder =0 oder von der Gestalt 2^ sein. Da der erste Fall
nur auf die gerade Primzahl 2 sich bezieht, so können wir uns
im Nachstehenden auf die ungeraden Primzahlen p := 2« -f- 1 ^^'
schränken.
I. In der That hat man nun dem Fermat'schen Lehrsatze
zufolge die Congruenz
Meyer: (Jeder einige Sät%e lionnel's. 177
2«"— 1=0 (mod.2« + l).
Daraus aber erkennt man auf den ersten Blick , dass p entweder
in 2* — ] oder in 2* " -|- 1 aufgeben muss. Denn zugleich kann
in beiden Factoren von 2^ — 1 ;i nicht enthalten sein, weil sie
eine Differenz =2 besitzen. Mebmen wir nun an, p ginge in
2* +1 auf, so kommt durch Ausffihrung der Division:
(2«^*+ 1) : (2« + I) = 2*"""*-« - 2«"""*-«« + 2«""'-3ii...... + 1,
d. b. es muss einmal 2"~^ — m gleich Null werden. Mithin folgt
— - = r. Da aber r zu den ungeraden Zahlen gehören muss» so
kann r nur = 1 sein.
Ist hingegen 2^"^ —1 durch p theilbar, so muss entweder
2*^ +1, oder 2* — 1 ein Vielfaches von p darstellen. Findet
das Letztere Statt, so zerlege man diese Differenz der Quadrate
wieder in ein Product von zwei Factoren und wiederhole den frQ-
hern Gedankengang. Die Fortsetzung dieser Betrachtungen zeigt
alsdann deutlich , dass nothwendig einer der Factoren des Pro-
dactes
(2«""*+l)(2a"~*+l)(2«^"'+ 1)....5.3 = 2*" — 1
mit der Primzahl 2"-f 1 zusammenfallen muss, d.h. n besitzt die
Form 2«.
II. Diese gerade nicht mit Eleganz verbundene Form des
Beweises lässt sich beseitigen durch Innehaltung des folgenden
Weges. Offenbar nämlich ist:
2»=-l (mod.2«+l),
also
2«« = 1,
d. b. 2 gehurt fiir die Primzahl 2"-f 1 zur Zahl 2ft. Demnach muss
die Congruenz bestehen:
2" = 0 (mod. 2n).
ffieraus aber entspringt:
2»-i = 0 (mod.n),
eine Besiehung, die nur für n=2^, wo a'^n — 1, möglich wird.
178 Meyer: Deber einige Sätze Honnefs.
Bei Gelegenheit dieser Betrachtungen erlaube ich mir Docb,
auf eine hQbsche Bemerkung Stern 's aufmerksam zu machen,
die derselbe mir vor längerer Zeit gelegentlich mittheilte und die
merkwürdigerweise sich in keinem Lehrbuche zu finden scheiot.
Ffir jede Primzahl /»>3 gelten bekanntlich die Beziehungen:
p = ±l (mod.3) und p^±\, ±3 (mod.8).
Quadrirt man dieselben, so hat man p^ — 1^0 (mod.3) und
p' — 1^0 (mod.8). Mithin ist — und hierin besteht die erwähnte
Bemerkung — das Quadrat jeder Primzahl >3 von der Form 24n-|'l*
Obwohl die Elemente Hlr den Beweis dieser Wahrheit längst
in der Theorie der quadratischen Reste zur Verwendung kom-
men, scheint sie doch ganz dem Ei des Columbus zu ähneln.
Cebrigens gestattet der Satz — was freilich eine sehr wohlfeile
Weisheit ausdrückt — die Verallgemeinerung» dass» wenn r in
24 aufgeht y sieis
p«»- = 1 (mod. 24r)
und daher auch p^^l (mod. 12r) u. s. f. ist
Gottingen im Juli 1868.
Beriehtituut, In der 3ten und 4ten Zeile vom Anfamge dieeee Aufeoitcm m
„Aighbre*' etait „Aigebre'* eleheH,
XVI.
Zur Theorie der graden Linie.
Von
dem Herrn Grafen L, v. Pfeil
in Gnadenfrei in Schlesien.
Die grade Linie wird in den LehrbOchern überall als eio
einfacher Begriff betrachtet und behandelt. Bekanntlich föhrt
diese Annahme in ihren Consequenzen auf Wahrheiten^ welche
man als Grundsätze hinzustellen genSthigt ist, obscbon eine strenge
r. Pt^il: Zur Theorie der graden Linie, 179
Logik ihnen diese Stellung nur widerwillig einräumt. Es gilt die«
ees ganz besonders von dem die Parallelen betreflfenden Uten
Euklidischen Grundsatz. Man kCnnte indess auch andern Eigen-
schaften der graden Linie die Qualität des Grundsatzes bestrei-
ten, wie aus der folgenden Darstellung erhellen wird.
Jene Auffassung der graden Linie, als eines einfachen Be-
griffs, ist jedoch eine ebenso willkührliche, als unberechtigte.
Schon die Verbindung des Adjektivs mit dem Substantiv, grade
Linie, drückt den zusammengesetzten Begriff aus. Grade
bezeichnet, nach dem völlig correcten Sprachgebrauche, die Un-
veränderlichkeit einer Richtung; grade ist also an sich selbst
schon ein zusammengesetzter Begriff, enthaltend Richtung und
deren U n veränderlich keit *). Man geht grade aus, nicht
rechts, nicht links. An eine Linie denkt man dabei nicht. Der
Begriff Richtung und der Begriff Linie sind ganz gewiss ver-
schiedene. In der Linie liegt der Begriff der Länge, in der
Richtung nicht. Sind nun schon der Begriff Richtung und
der Begriff Linie verschiedene Begriffe, und ist der Begriff
grade an sich selbst ein zusammengesetzter aus Richtung und
Cnveränderlichkeit, so muss der Begriff grade Linie so-
gar aus drei Begriffen, Richtung, Cnveränderlichkeit und
Länge zusammengesetzt sein. Es ist mihin evident, dass der
Begriff grade Linie, als das Product aus mehreren verschiede«
nen Begriffen, ein zusammengesetzter Begriff sein muss, und es
ist darum ein logischer Irrthum, die grade Linie als einen ein-
fachen Begriff zu betrachten und zu bebandeln.
Mit dieser Auffassung stimmt auch die Erfahrung überein.
Es ist nicht noth wendig, die Richtung durch eine grade Linie
auszudrucken ; bekanntlich bedient man sich dazu auch des Kreis-
bogens. Eine Länge kann eben so gut an einer und durch eine
krumme Linie gemessen werden, als durch eine grade, Länge
nod Richtung, so wie Richtung und grade Linie stehen
mithin in gar keinem nothwendigen Zusammenhange. Auch in
der Anwendung also darf ein Begriff, welcher beide Begriffe,
grade und Linie, gleichsam zufällig in sich verbindet, nicht
als ein einfacher Begriff betrachtet und behandelt werden. Die
grade Linie muss vielmehr eben so definirt und ihre verschiede-
^ Der Aotdrock grade wird sogar auch in sittlicher Bedeatoog
gebfaoeht, um die Unveränderlichkeit einer Richtung sa bezeichnen.
Man spricht von einem graden Manne, von einem graden Charak-
ter. Gewiss hat man dabei keine Linie im Sinn. Vielleicht ist noch
l^eseidinender ein grader Kegel, grader Cylinder u.s.w.
180 V, Pfeil: Zur Theorie der graden Ufiie.
nen Eigenschaften massen eben so streng erwiesen werden, wie
dieses bei andern Gegenständen der Geometrie der Fali i^t*).
Geschieht dieses, so bietet der Beweis der verschiedenen
Sätze, welche, einer aas dem andern vollkommen logisch abge-
leitet werden, und auch der Parallelsatz nicht die mindeste Schwie-
rigkeit. GAcbieht es jedoch nicht, so muss die Unrichtigkeit in
der Prämisse alsogieich an den Tag treten, sobald die beiden
verschiedenen Begriffe, welche in der graden Linie verboo-
den sind, Länge und Richtung nämlich, gleichsam getrennt vor-
kommen. Dieses zeigt sich ganz besonders auffallend in dem
Parallelsatze. Es ist darum die Aufgabe, mit Festhaltung der
graden Linie, als eines einfachen Begriffs, den Parallelsatz erwei*
sen zu wollen, eine unmögliche, ebenso unmöglich, als es über-
haupt der Versuch sein würde, aus unrichtigen Vordersätzen
richtige Schlüsse zu ziehen. Die hier folgende Entwickelung möge
zur Erläuterung der vorstehenden Behauptung dienen. Es bedarf
übrigens kaum der Bemerkung, dass diese Entwickehing auf sehr
verschiedene Weise möglich ist, sobald man von der richtigen
Prämisse ausgeht und die grade Linie als einen zusammen*
gesetzten Begriff betrachtet.
Selbstredend sind in der vorliegenden Schrift nur diejenigen
Sätze angeführt, welche für das Verständniss nothwendig waren.
§. L
Erklärungen.
Der Raum ist ein einfacher Begriff. Länge, Breite und
Dicke sind ebenfalls einfache Begriffe. Ebenso ist der Ort
eines Dinges ein einfacher Begriff**).
§.2.
Erklärung. Veränderung des Ortes ist Bewegung***)*
*) Aach Karably, welcher doch aas praktischen Grändeo die Zahl
der geonetritchen Säise möglichst reducirt, hat sich Teranlasst ge-
sehen, in seioem Lehrboche 16. Aufi. $. 8, die grade Linie za defini-
reo. Er macht auch tod dieser Defioition, allerdings beschränkten Cre-
brauch, so §. 23 und §. 24.
^*) Ort ist hier io dem gewöhnlichen Sprachgebrauch, nicht in dem
geometrischen, Terstanden, die Stelle, wo sich ein Ding befindet,
nicht die Stelle, wo es sich befinden kann.
^**) Ohne Annahme der Bewegung ist jede mathematische De-
p. Pfeil: Zur Theorie der graden Linie. 181
Bei der Bewegung ist die Grösse der OrtsverSnderung und
deren Richtung, also Grosse und Rtchtung der Bewegung zu
unterscheiden. Grosse und Richtung sind einfache Begriffe^).
§.3.
Erklärung. Ein nach Länge» Breite und Dicke begrenzt
gedachter Raum ist ein geometrischer Körper. Einen Flächen-
raam oder eine Fläche denkt man bloss als Länge und Breite,
eioe Linie bloss als Länge. Betrachtet man bloss den Ort
eines Dinges und denkt diesen ohne Länge, Breite und Dicke,
80 ist dieser Ort ein Punkt Ein Punkt nach irgend einer Rich-
tnog fortbewegt, beschreibt eine Linie. Eine bewegte Linie be-
schreibt eine Fläche, eine bewegte Fläche einen Korper. Man
kann also die Linie als den Weg eines Punktes, die Fläche als
den Weg einer Linie, den Körper als den Weg einer Fläche be-
trachten.
§.4.
Erklärung. Eine grade Linie ist eine solche, welche in
allen ihren Theilen dieselbe Richtung hat. Oder auch:
Eine grade Linie entsteht, wenn sich ein Punkt so bewegt,
dass er immer dieselbe Richtung beibehält ^^).
doctinn ein Ding 4er Uamni^lichkeit. Wie will man nor eine Linie ziehen
oder verlängern, einen Kreisbogen betchreiben, irgend eine Figur con-
ilrniren, ein Dreieck auf das andere legen u. s. w. ohne Beweg^ang.
Bewegung aU blotte Orttveränderung anfgefatst, ist aus der Geo-
metrie nicht autzuschlietscn nnd sie int darum in allen ihren Conae-
ijoensen für die Erörterunf^ zu benatzen.
*) Wollte man Richtung erklären, etwa durch die grade Linie,
10 erklärte man das Einfache durch das Zusammengesetzte. Jedermann
woiM, auch ohne die unmögliche Erklärung, dass eine Bewegung, etwa
das Ziehen eines Kreises, in irgend einer Richtung erfolgt, ohne doch
daket an die grade Linie zu denken. Auch der Begriff der Grosse
iit eigentlich ein einfacher. Die gewöhnliche Erklärung: „Ein Ding,
das man durch Hinzuthun Tergrössern, durcb Hinwegnehmen verklei-
nern kann'' erklärt eben Grösse durch Grösse, denn was man hinzuthnt,
in Grösse, and was man hinwegnimmt, ist auch Grösse. Ueberdies
iit die Erklärung incorrect. Man kann einen Kreis u. s. w. nicht durch
Hiaiothiin oder Hinwegnehmen vergrössern oder verkleinern, ohne dass
or aufhört, ein Kreis oder doch derselbe Kreis zu sein.
**) Kambl^ definirt §.8.: Eine Linie ist der Weg eines sich lie-
vegeoden Punktes.
182 ^' Pf^ii' 7.ur Theorie der grarten Linie.
§.5.
Erklärung. Eine Ebene ist eine FISche» in der man nach
allen Richtungen grade Linien ziehen kann *), Alle Gegenstände
der Planimetrie werden als in einer Ebene liegend gedacht**).
§.6.
Erklärung. Linien berfihren (tangiren) einander , weno
sie einen Punkt geroein und an demselben gleiche Richtung haben.
§.7.
Erklärung. Linien schneiden einander, wenn sie einen
Punkt gemein und an demselben verschiedene Richtung habeo*
§.8.
Erklärung. Wird eine Linie so bewegt, dass sie an irgend
einem Punkt ihre Richtung ändert, so heisst diese Bewegung
eine Drehung der Linie. Die Drehung kann in dem Sinne
nach rechts oder in dem Sinne nach links erfolgen« Beide
Richtungen sind entgegengesetzt.
Die Drehung lässt sich am Einfachsten betrachten, wenn irgend
ein Punkt der Linie während der Drehung denselben Ort beibe-
hält. Die Linie dreht sich alsdann um diesen Punkt (Der
Drehungspunkt kann übrigens auch ausserhalb der Linie liegen,
sich sogar selbst bewegen«)
§. 9.
Folgerung. Die Drehung ist innerhalb bestimmter Grenxen
eingeschlossen. Die Linie Aß (Taf. IIL Fig. L), welche um den
Punkt C in dem Sinne ßß', also rechts gedreht wird, kann nach
einander die Lagen ÄCß\ A*CB* u. s. w. annehmen. Setzt sich
jedoch die Bewegung fort, so gelangt die Linie zuletzt wieder in
ihre ursprüngliche Lage ACB.
Eioe grade Linie \%% diejenige, welche in alleo ihren Ponktea die
Mibe Richtnng hat.
*) Es läset eich die Conttroction einer Ebene dortliun and deren
Richtigkeit erweiten, wenn naa an den Schenkeln eines Winkeis eise
grade Linie fortschiebt»
*') Vergl. Anmerkung za $• 10.
V. Pfeti: Zur Theorie der graden Uräe. 183
Die Lioie A^^ um den Pankt C etwa rechts gedreht» ver*
ändert ihre Richtang zonScfast bei C Ihre Theile A'C und B'C
fallen beide und zwar in allen Punkten rechts ihrer ursprünglichen
Lage. Das Stiick AC fällt oberhalb, das Stück B'C unterhalb
ACB; mithin fallen beide Theile der gedrehten Linie nach ent-
gegengesetzten Seiten ihrer vorigen Lage.
Setzt man die Drehung fort» bis ACB in die Lage A"'CB'^
gelangt ist» so fallen in dem Punkt C die Richtungen von ACB
nnd JIfCB'" auf einander; die beiden Linien berähren einander.
($. 6.). Die Richtungen beider Linien sind jedoch in dem Punkt
C einander entgegengesetzt. Wird die Drehung noch weiter
fortgeführt» so föllt zuletzt» wie gesagt» die gedrehte Linie wie-
der in ihre ursprüngliche Lage.
Es ist damit die Drehung vollendet und ihre Fortsetzung
würde nur eine Wiederholung sein.
§. 10.
ErkläroDg. Neigung ist die Verschiedenheit zweier Rich-
tungen.
Man kann sich die Verschiedenheit als durch Drehung der
einen Richtung gegen die andere entstanden vorstellen. Denkt
man irgend eine Richtung 6 aus der Richtung a entstanden und
bezeichnet ihre Verschiedenheit» also die Neigung von h gegen
a» mit Xf so wird man umgekehrt die Neigung von a gegen b mit
^x bezeichnen müssen *).
§.11.
Lehrsatz. Wird eine Linie gedreht» so verändert sie ihre
Richtung in allen Punkten und zwar überall um gleichviel.
Beweis. Es sei Taf. III. Fig. 1. eine Linie ACB und ihre
*) Der BegriiT entgegengcteUter Grotten wird In die Planimetrie in
der Regel nicht aufgenoraraen. Man hilft tich, wohl nicht ganz logitch
(v«rgl. §• 5.) , indem man tjmmetrische , also entgegengetetzte Figuren»
wie etwa die beiden Hälften einet gleichtcheniclichten Dreieckt, ant der
Constmctiont ebene heruntnimmt und umkehrt, um tie aufeinanderlegen
la können. Et tclieint jedoch, dat Verfahren würde correcter tein,
wenn man tchon in der Planimetrie den Begriff det „Entgegengetetz-
lmi^% det Sjmmetritchen entwickelte. Ohne dietes tritt in der Trigo-
Mmetrie ein tolcher Begriff völlig unTorbcreitet auf, wo tin — ;r=— *tinx,
(ug— 0;=— tangj;, während cot — j?=-|-€otx itt, u. t. w.
184 V, Pfeil: Zur Theorie der graden Linie.
Neigung in B gegen C sei q. Die Linie werde so gedreht, dass sie
die Lage A'CB' annimmt. Es wird die Neigung in irgend einem
Punkte B' gegen das gedrehte C ebenfalls q geblieben sein, weil
in der Linie selbst keine Veränderung vorgegangen ist Es habe
die Linie durch die Drehung ihre Richtung bei Cum eine GrSsse
A^x geändert» so ist die Neigung bei B' gegen die neue Rieh«
tung von C ebenso wie früher ^^q» gegen die ursprQnglicbe Rich-
tung von C, jedoch nicht mehr q^ sondern q-\zsc. Da aber B
gegen C um 9 geneigt war, also C gegen ^ um —9, so ist ^
gegen B um die Neigung von B' gegen C und um die Neigung
von C gegen B^ also um i^Ji^r — q:=i^x geneigt, also eben so
viel, wie die Linie in C gedreht worden ist. q. e. d.
§. 12.
Lehrsatz. Die Theile einer graden Linie sind selbst grade
Linien.
Beweis. Es sei Taf. Ili. Fig.2. AB eine grade Linie, CD
ein Theii derselben und E ein beliebiger, in diesem Theile lie-
gender Punkt. Nach der Definition der graden Linie (§. 4.) hat
die Linie in £ dieselbe Richtung wie in A. Da sie aber in C
und D und in jedem andern Punkt des Stockes CD ebenfalls
dieselbe Richtung wie in A hatte, so sind auch die Richtungen
in £, C und D unter einander gleich. Es ist mithin nach $. 4*
CD eine grade Linie, wenn AB eine solche war. q. e. d.
§. 13.
Lehrsatz. Berfihren zwei grade Linien einander, so fallen
sie in eine zusammen.
Beweis. Berühren zwei Linien einander, so haben sie an
dem Berührungspunkt gleiche Richtung nach §. 6. Es ist also die
Richtung der Linien im Berührungspunkt auch die Richtung beider
Linien in allen ihren Theilen (§. 12.). Beide Linien müssen dess"
halb In einander fallen, denn liefen sie an irgend einem Punkte
auseinander, so hätten sie an diesem Punkt verschiedene Rich-
tung, was nicht möglich ist Die beiden Linien fallen mithin io
Eine grade Linie zusammen, q. e. d.
§. 14.
Lehrsatz. Ist eine Linie vom Anfang gegen das Ende hin
grade, so ist sie es auch umgekehrt vom Ende gegen den Anfang hio.
r. Pfeil: Zur Theorie der graden Linie. 185
Beweis. Es sei Taf. III. Fig. 2. die Linie AB vod A gegen ß
bin grade. In der entgegengesetzten Richtung B gegen A föllt
der Punkt B der Linie BA mit dem Punkt B der Linie AB zu-
stmmen und in diesem Punkt haben beide Linien dieselbe Rieh*
toDg. Da aber die Linie AB in B dieselbe Richtung hat wie in
D, in E, in C, in A, so mOssen auch die umgekehrten Richtun*
gen, die Richtung der Linie BA in B, in D, in £, in C, in A
einander gleich sein. Es ist mithin BA grade, wenn AB grade
ist q. e. d.
§. 15.
Zusatz. Wird eine grade Linie um einen ihrer Punkte so
laoge gedreht, bis sie ihre frühere Richtung berOhrt, also in die
entgegengesetzte Lage kommt, so fällt sie mit ihrer ursprOngli*
eben Lage wieder in eine grade Linie zusammen.
§. 16.
Zusatz. Da die grade Linie in allen ihren Theilen^ vor*
trlrts und rfickwärts betrachtet, die gleiche Richtung hat, so
wird sie vorzugsweise zur Bezeichnung irgend einer Richtung an-
gewendet.
§. 17.
Erklärung. Winkel ist die Neigung zweier Linien an ihrem
Durcbschnittspunkt *). Gemäss §• 16. dienen zwei grade Linien
zar Bezeichnung Ihrer Neigung, also auch zur Bezeichnung von
Winkeln.
Indess wird auch der Kreisbogen zur Bezeichnung der Nei-
gung und des Winkels gebraucht, wovon später.
§. 18.
Willkfihrlicher Satz. Wenn in der Planimetrie von Win-
keln die Rede ist, so versieht man solche Winkel darunter, welche
von zwei graden Linien gebildet werden.
*) Kamhly §. 13.: ,,Ein gradliniger Winkel ist der Rlchtangsunter-
*chied (die Abweir.hang) sweier Ton einem Punkt autgehender grader
Liaieo."
M Krummlinige, geraitchtlinige Winkel. Unter einem Winkel schlecht*
veg Tertteht man nur einen gradlinigen Winkel.**
Theil XLIX. 13
186 P« Pfeil: Zur Theorie der graden Unie,
§. 19.
Postulat. Man kann einen Winkel an einem seiner Schen-
kel beliebig fortscliieben.
Wird Taf. III. Fig. 3. eine grade Linie CA um einen Punkt C
gedreht, bis sie wieder in ihre ursprOngliche Lage gelangt, so
hat sie dabei nach einander alle verschiedenen Richtungen CA',
CA' u. 8. w. und mithin gegen ihre ursprüngliche Lage CA alle
verschiedenen Neigungen angenommen, also alle verschiedenen
Winkel gebildet, welche überhaupt möglich sind. (cf. §. 9.)
Das Maximum der Neigung findet statt, wenn die ursprüng-
liche und die gedrehte Linie nach entgegengesetzten Richtungen
fallen, wie CA und CA"', mithin nach §. 15. eine grade Linie bil-
den. In diesem Fall ist die ganze Umdrehung halbirt. Der vierte
Theil der Umdrehung ACA" heisst ein Rechter Winkel. Die
ganze Umdrehung ist mithin gleieh vier rechten Winkeln.
§. 21.
Kreis. Der Kreis correspondirt mit der ganzen Umdrehung,
der Bogen mit dem Winkel. — Halbkreis, Quadrant.
Spitze, stumpfe, überstumpfe, übergreifende Winkel and
Bogen. Letztere sind solche, welche länger sind als die ganze
Kreisperipherie *).
5. 22.
Lehrsatz. Zwischen zwei Punkten ist nur Eine grade Linie
möglich.
Beweis. Es seien Taf. III. Fig. 4. il und ^ zwei Punkte and
zwischen denselben die grade Linie ACB gezogen. Wäre zwischen
denselben Punkten noch eine zweite grade Linie möglich, die
ADBy so muss diese die ACB in A und ß schneiden, denn
berührte sie dieselbe nur, so würde sie nach §. 13. mit ACB zu*
sammenfallen. .Man drehe die ACB so lange, bis ACB und ADB
einander in A tangiren, wobei ACB die Richtung AB' angenom-
•) Sie komnien bei der allgemeinen Theilung des Kreices Tor«
Archiv, Band 41, Heft 2.
r. Pfeil: Zur Theorie der graden Linie. 187
loeo haben wird. Es rouss aber alsdann ADB als grade Linie
in ihrer ganzen Länge auf AB' fallen , nach §. 13.» und da AB'
gaoz ausserhalb AB liegt (§. 9.)» also den Punkt B^ nicht trifft,
80 nioss auch ADB ganz ausser ACB fallen u;id kann mithin
auch den Punkt B ebenfalls nicht treffen. Es ist mithin zwischen
Ä and B nur die grade Linie ACB rouglich. q. e. d.
Anderer Beweis. Wäre Taf. Ili. Fig. 4. zwischen i4 und £
ansser der ACB noch eine zweite grade Linie, die ADB^ mög-
lich, so ziehe man dieselbe. Da sie die ACB in keinem Punkt
berubren kann, weil sie sonst nach §• 13. ganz auf dief^elbe fal-
len wurde y so muss ADB die ACB in A und B schneiden.
Die ADB wird mit der ACB in A den Winkel p bilden, in
i^ den Winkel — 7, denn verfolgt man die Richtung der ADB
Tou A gegen B hin, so befindet sie sich bei A links von ACB,
hinter B dagegen rechts von ACB, mithin auf der entgegenge-
setzten Seite von ACB. Die Neigung der Linie i4Z>^ gegen ilCi?
hat sich also von A bis B geändert uro p + g. Da nun die Nei-
^^ng der Linie ADB in A und in B gegen eine dritte Richtung,
die ACB, verschieden ist, so ist auch die Richtung der ADB in
A and in B verschieden, mithin ADB nach §. 4. keine grade
Liote. q. e d.
§.23.
Lehrsatz. Eine grade Linie kann nicht in sieb zurfickkeh-
rend sein.
ßeweis. Nimmt man in einer solchen, in sich zurückkeh-
renden Linie zwei beliebige Punkte an, so werden zwischen die-
sen beiden Punkten zwei Linien vorhanden sein. Diese Linien
warden aber, nach §. 12. und §. 14., grade Linien sein, wenn die
in sich zurückkehrende Linie eine grade Linie wäre. Es würde
also zwischen zwei Punkten zwei grade Linien geben, was nach
{.22. unmöglich ist. q. e. d.
§24.
Lehrsatz. Wenn von den drei Stücken, den Halbmessern
zweier Kreise und der Entfernung ihrer Mittelpunkte, zwei grus-
ter sind als das dritte, so schneiden sich solche Kreise in zwei
Pnnkten. — Beweis bekannt.
§. 25.
Lehrsatz. Wenn man mit zwei Halbmessern, deren Summe
13*
188 P« Pfeii: Zur Theorie der graden Unie.
gleich ist der Länge einer gegebenen graden Linie» aas den End-
punkten dieser Linie Kreise beschreibt» so beröhren sich die«e
Kreise in einem Punkt. — Beweis bekannt.
§. 26.
Lehrsatz. Wenn man mit zwei Halbmessern» deren Somne
kleiner ist als eine gegebene grade Linie» aus den beiden End-
punkten dieser Linie Kreise beschreibt» so schneiden oder berüh-
ren sich solche Kreise in keinem Punkt» fallen vielmehr ganz
aus einander. — Beweis bekannt
§. 27.
Lehrsatz. Liegt ein Punkt ausserhalb einer graden Linie.
80 ist die Summe seiner Entfernungen von deren Endpunkten
grosser als die Länge der graden Linie.
Bew^eis. Es sei Taf. III. Fig. 5, eine grade Linie ^f and
ein Punkt ausserhalb derselben sei C» so wird behauptet» es sei
AC+CB grosser 4ls AB.
Man beschreibe aus A mit dem Halbmesser i^C einen Kreis-
bogen. Fiele derselbe Ober AB hinaus, so würde ilC allein gros-
ser als AB sein» mithin um so mehr AC+ CB^ AB.
l^äre jedoch AC'^AB, so wird der beschriebene Bogen CD
die AB in D schneiden. Nunmehr kann man mit dem Halbmes-
ser BD den Bogen DE beschreiben» welcher den Bogen DC'm
D berührt. (§. 25.). Ein Bogen FG, aus B mit einem Halbmesser
BF beschrielben» welcher kürzer ist als BD, wird den Kreisbo-
gen DC und also auch den Punkt C gar nicht erreichen. (§. 26.),
Da demnach ein Bogen, welcher mit dem Halbmesser BC aus^
geliihrt wird, weder gleicli BD, noch kleiner als BD sein kann,
80 muss er grosser sein als BD. Ein solcher Bogen wird CH
sein. Es ist aber AD + HB=zAC+ CB>^ AB. q. e. d.
§. 28.
Lehrsatz. Die grade Linie ist die kürzeste zwischen zwei
Punkten.
Denn zieht man nach irgend einem Punkte C (Tat. lU. Fig. 6.)
der krummen Linie ACB die AC und BC, so ist» wie bewiesen
wurde, AC-\- BC'> AB. Ebenso ist» wenn man nach Punkten/^
und jEJ von A, C und B grade Linien zieht» AD + DC^ AC unA
CE+EB'^CB, folglich um so mehr AD+DC+CE+EB^ AB.
r. Pfeil: Zur Theorie der graden Unie. 189
Da« Gleiche gilt von graden Lioien» welche man nach Punkten
ivriaebeu A, D, C, E und B ziehen wGrde« Die mehr gebro-
chene Linie wird immer grosser als die weniger gebrochene. Es
moss demnach auch die krumme Linie ACD grOsser sein als
irgend eine gebrochene» welche zwischen einzelnen ihrer Punkte
gezogen wurde , folglich auch grösser als die grade Linie AB.
Geht mithin irgend eine gebrochene oder krumme Linie ilCA
durch die Punkte A und B, so ist sie länger als die grade AB'^).
q. e. d.
§. 29.
Erklärung. Parallele Linien sind grade Linien» welche die
gleiche Richtung haben» ohne doch zusammen zu fallen **).
§30.
Zusatz. Parallele Linien können einander nicht schneiden
oder berühren ; denn schnitten sie einander» so hätten sie an dem
Dorehscbnittspunkt» also überhaupt» verschiedene Richtung (§• 7.);
berührten sie sich» so fielen sie nach §. 13. ganz zusammen. In
beiden Fällen wären sie also nicht parallel.
§. 3L
Aufgabe. Durch einen gegebenen Punkt zu einer gegebe-
nen graden Linie eine Parallele zu ziehen.
^) Die gewöbalicbe, weit spätere Stellang diete« Satze« ist aller-
dbgt vollkommen gerechtfertigt, da er schon die Verbindang Ton drei
l^ndeo Linien , also das Dreieck, voraassetzt. Indess lässt sich der
Beweit» wie man sieht, auch hier schon fähren.
Eannbly stellt den Sats ans Zweckroässigkoitsgrnnden ebenfalls
weit firafaer» $• 12., als Grnndsats hin.
^^) Ich gebe sum Vergleich Kambly $.23.: „Grundsatz. Wenn
iwei grade Linien In einer Ebene so liegen, dass sie, wie weit man sie
toch Terlängert, einander nie schneiden, so haben sie dieselbe Richtung.
Erkläraog. Zwei grade Linien, die dieselbe Richtung haben,
heisseo parallel/*
Die Eaklidische Erklärung der Parallelen lautet:
Zwei in einer und derselben Ebene liegende Gerade heissen
einander parallel, wenn sie, so weit man sie auch nach bei-
den Seiten hin rerlängern mag, niemals mit einander zusam-
men treffen oder sich schneiden«
Die Eaklidische Erklärung und die von ihr abgeleiteten sind nicht
gut, wqjf sie auf einer Negation beruhen.
190 V. Pfeil: Zur Theorie der graden Uuie.
Auflösung. Die gegebene Linie sei AB (Taf.lll. Fig. 7.), der
gegebene Punkt sei C, Man ziehe durch C die £F, welche die
AB in G schneidet, und schiebe gemäss §. 19. den Winicel £C£
an si^inero Schenkel GE fort, bis sein anderer iSchenkel GB io
der Lage CD durch den Punkt C geht. Es ist alsdann CD \\ AB.
Beweis. Die Neignng von AB gegen EG ist gleich der
Neigung von CD gegen EGf denn man hat den Winkel EQh
an seinem Schenkel EG in die Lage ECD geschoben. Es i^i
also die Richtung CD ebensoviel gegen die Richtung EG ver
schieden, nie es die Richtung AB ist. Es sind darum die Rich-
tungen von CD und AB einander gleich, folglich sind auch (nacb
§. 29.) CD und AB parallel, q. e. d.
§. 32.
Zusatz. Es ist, um CD\\AB zuziehen, nicht nuthig, das«
die Linie EF durch den Punkt C geht; es genügt, wenn AB
unter einem andern Winkel gegeq C geschoben wird.
Um dieses einzusehen, ziehe man CD\\AB nach der vor-
stehenden Aufgabe, verlängere CD hinlänglich und ziehe if^
von solcher Beschaffenheit, dass sie die DC oder deren Verlän-
gerung in H schneidet. Nunmehr schiebe man den Winkel BGB
an dem Schenkel GH fort, bis GB mit HD zusammenfällt; e»
geht alsdann HD ebenfalls durch den Punkt C und ist || AB^\
§. 33.
Lehrsatz. Durch einen Punkt ist zu einer graden Linie nur
Eine Parallele möglich.
*) Diese, bei In^^ischer Correctkeit einfachite und best« Comiroc*
tion der Parallelen verdient gewiss die Aufnahme in jedes Lehrbuch,
ebensogut als irgend eine andre. Sie bietet den Vorthcil, dass sie lui-
mittelbar nach der Definition der Parallelen auch deren Möglichkeit
durch Conslruction darthut. Auf diese Art lassen sich die Parallelei
vor die Dreieckssätze stellen : ein unzweifelhafter Vortheil.
Die Methode, mit Lineal und Triangel Parallelen zu ziehen, scbeiol
verliällniftAinässig eine ziemlich neue und zwar eine deutsche Erfindong
zu sein. Den Engländern ist sie unter dem Namen ,, german parallel
ruie** bebannt. Man findet in alten, vorzugsweise englischen Roissteo-
gen noch bisweilen ein plump construirtes verschiebbares Parallelogramtn^
um damit Parallelen zu ziehen , anstatt des weit besseren deutschen Ap-
parates. — Den Alten scheint die Constrnction von Parallelen dsrct
Verschieben eines Winkels unbekannt gewesen zu sein, tonst hätt<
Euklid sie jedenfalls angeführt.
r. Pfeil: Zur Theorie der graden Linie, 191
Beweis. Es sei Taf.IILFig.a durch den Punkt C die /)£ || AB,
d. b. es habe (§. 29.) DE und AB gleiche Richhing. Wäre durch
detiselben Punkt C noch eine zweite grade Linie, die FG\\AB»
muglich, so müsste sie ebenfalls mit Ji? gleiche Richtung haben.
Da aber die Richtung von DE und ebenso die Richtung von FG
gleich der Richtung von AB ist, so müssen beide Richtungen
auch anter einander gleich sein, also auch in dem gemeinschaft-
lichen Punkte C\ Die Linien DE und FG müssen sich mitbin
in C berühren und sich decken nach §. ]3., d. h. sie bilden nur
eine und dieselbe grade Linie, q. e. d.
§34.
Lehrsatz. Werden parallele Linien von einer dritten Linie
geschnitten, so* sind die Gegenwinkel einander gleich.
Beweis. Es seien Taf. III. Figi.9. AB und CD zwei paraN
lel« Linien, beide durch EF geschnitten, so sind x und y Ge-
genwinkel. Da AB\\CDt so haben beide gleiche Richtung, mit-
hin gegen eine dritte grade Linie, also gegen EF, gleiche Neigung.
(§• 10) Die Winkel x und y sind jedoch die Neigung beider
Linien gegen £JF, folglich sind diese Winkei einander gleich.
§. 35.
Zusatz. Die inneren, auf einer Seite liegenden Winkel sind
gleich zwei Rechten* — Beweis bekannt.
§. 36.
Lehrsatz. Grade Linien, welche gegen einander geneigt sind,
•cbneiden sieh, wenn man sie genügend verlängert,. und zwar nach
der Seite hin, gegen welche sie convergiren.
Beweis. Es seien Taf. 11 1. Fig. 10. zwei grade Linien i4iB
and CDj welche nicht parallel, also gegen einander geneigt sind.
(§. 10.)- Man schneide sie in G und H durch eine dritte, die
£F, so bildet diese gegen beide die Winkel BHE und DGE.
Man ziehe durch G eine Parallele zu AB^ die GJ , so ist
^ JGE = ^ BHE. Es fallen aber die beiden Theile von CA
nämlich CG und DG, nach entgegengesetzten Seiten von GJ, —
Man verlängere nunmehr GJ und GD genügend und schiebe den
Winkel EGJ an dem Schenkel EF gegen H , so fallen überall
to den Lagen C J', G'J*', u. s. w. die beiden Theile von GJ
aof die entgegengesetzten Seiten von CD, und ebenso fallen die
192 tf. Pfeii: Zur Theorie der graden Linie,
beiden Theile von CD auf die entgegengesetzte Seite von GJ>
({. 9.)« Dieses wird auch dann der Fall sein, wenn der Punkt 6
in H und damit GJ auf AB föllt Es wird mithin CD die AB
schneiden, sobald man beide gehörig verlängert, q. e. d.
Dass die CD und AB auf der convergirenden Seite gegen D
und Bt nicht aber auf der divergirenden gegen C und A eioao-
der schneiden, folgt daraus, dass das Stück CG gänzlich auf der
jenseits von H gelegenen Seite von GJ liegt.
§. 37.
Zusatz. >V erden zwei grade Linien von einer dritten so
geschnitten, dass die Summe der beiden inneren, auf einer Seite
liegenden Winkel nicht gleich ist zwei Rechten, so schneiden die
Linien einander, wenn man sie gehörig verlängert, und zwar
nach der Seite hin, wo die Summe der Innern Winkel kleiner
als zwei Rechte ist.
Beweis. Es seien Taf. IIL Fig. 10. DGH+GHB<2R, so
ist GD gegen GJ um den Winkel DGJ geneigt Da aber
AB II GJ, so ist auch GD gegen AB um denselben Winkel ge-
neigt; folglich mflssen sich GD und AB nach §.36. gegen B
und D hin schneiden, wenn man beide genügend verlängert, q. e. d.
Der letztere Satz ist der berühmte oder vielmehr berfichtigte
Ute Euklidische Grundsatz. Ich glaube durch die vorstehende
Entwickelong dargethan zu haben, dass nicht dieser Satz allein»
sondern eine ganze Reihe von Sätzen, die §§• IL, 12., 13., R,
22., 23. ebenso wie die §§. 27. und 28., in gleicher Weise beweis-
bedflrftig und beweisfähig sind, als jener sogenannte Grundsatz,
dass jedoch die Schwierigkeit auch ßir die spitzigste Logik ver-
schwindet, so bald man von den richtigen Vordersätzen ausgeht
Oettinger: üeäer das Peii'iche Problem etc. 193
Ueber das Pe IT sehe Problem und einige damit zu-
sammeohängende Probleme aas der Zahlenlehre«
Von
Herrn Hofrath und Professor Dr. Oettinger
an der UniTertität in Freibnrg i. B.
§. 1.
Ist eine Auflösung der Gleichung
1) :r«-Jy« = ±l
gefonden und bezeichnet man die niedersten» ihr genOgenden Werthe
dorch p und q, wornach
2) t^^Aq^^±l
ist, so hat man zur Darstellung weiterer auflösender Werthe fBr
z und y in Nro. 1) bekanntlich:
3)
(y 4- gVAy + {p—gVAy
*= 2"^^^
_ . m(m— 1) _ , , ^ . in(m— l)....(m— 3) __4 - ^.
4)
_ (p-t-gVA)«'—ip—qVÄr
* — 2VA
, . in(»B— l)(m— 2) ^^ - . tn(m— l)...(m— 4)
= "v-»?+ — 1X3— '^»•^+ — rxiys — «•^"+
wenn iii = 2, 3» 4».... gesetzt wird«
•••»
194 Oet tinger: üeöer das Peitsche Problem
Unter den verschiedenen, zum Theil ziemlich verwickelten
Methoden, welche zur Auflösung des vorstehenden Problems ge»
geben werden, hat die angeCOhrte manche Vorzüge, namentlicb
auch den der direkten Entwicklung, wobei sich ein begangener
Fehler nicht fortschleppt. Die Darstellung der höheren oder spä-
teren Werthe für x und y, auch hei kleinen p und g^ ist aber
ziemlich umfangreich und mühevoll.
Eine andere, sehr bequeme Methode ergilit sich auf folgende Art.
Wird VA auf die gewohnliche Weise durch einen Kettenbruch
dargestellt, wornach:
- 1
5) . . . . V^ = Vm* + /> = m + — +J^
a^ •\r .... J^
ein
= m + K' {o-i , a^f .... ö«)
ist und K'(aj, Hj' — * ^») ^inen periodischen Kettenbruch von n
wiederkehrenden Elementen oder Gliedern bedeutet, die aus den
vorhandenen Tafeln entnommen werden können, so löst bekannt-
lich der (n — l)te, (2it-l)te, (3n— l)te.... Partialbruch die Glei-
chung Nro. 1. und zwar mit positiven oder wechselnden
Zeichen, jenachdem die Periode des Kettenbrucbs eine gerade
oder ungerade Glieder- Anzahl enthält.
Macht man nun von . den Gleichungen, welche ich in einer
Abhandlung Ober Kettenbrücbe in Crelle's Journal Bd. 49. S. 100.
und in diesem Archiv Bd. 43. S. 303. Nro. 10) — 12) mitgetheilt
habe, Gebrauch, so ergeben sich für die Werthbestimlnung der
genannten Brüche folgende Darstellungen, und zwar für einen
periodischen Kettenbruch von gerader Glieder-Anzahl:
6) K'(ai, a^, a^.,..an)
( (iV„ + Z„-i)r-i-(r~2)(iV« + Z«-i)^-» )
^ + (r-2)a(iV,+ Z«-!)»--* - .... )
für einen von ungerader Gliederanzahl:
7) K'ifl^, at,, ffg.... an)
I (A» + Zn-xT-" + (r-2) (iV, + Z„_i)'-» )
- iViTII l-*"-» + ( (2V„ + Z,-!)' + (r- 1) (^. + Z.-,)'-« \ J-
\ + fr - 2). (iV. 4- Zn-xY-* + .... )
n. einfge damit %utammenhäng, Probieme aus der Zahteulehre, 195
Hierin bedeutet Zn.i und Nn-i Zähler und Nenner des (n — l)ten
oder vorletzten und Nn den Nenner de8 nten oder letzten Par-
tialbruches der Periode. Für r künnen die Werthe 0, 1, 2, 3...,
also unendlich viele gesetzt werden. För r=?0 fSlIt das zweite
Glied in den Klammern von Nro. 6) und 7) weg und es entsteht
der (ii— l)te Partialbruch; für rzsl, 2, 3.... entsteht sofort der
(2n— l)te, (3ii— l)te.... Partiaihruch.
Setzt man nun der KOrze wegen:
Ptn + i&«-i = o und {r—m)p = r-n — >
80 ergeben sich sofort ffir die auflösenden Werthe x und y in
Nro. ]) folgende Bestimmungen:
8)
x_ ._Lr7 Sr^i^(r^2)^>-H(r-3)^Sr-ft-.(r..4)8^-H».,
y -"• + ;V„-il^''-*"" 'S^-(r-i)Ä^-H(r-2)4S^-^-(r-3)5Sr-«+. ■''
9)
x_ . JLrz j Sr-'+(r-2)S^-H(r-3)^»-H(r-4)35r~r....^
-_m+^^^^l^„-i i Är+(^_i)5r-2^:(^2)2Ä>-*+(r-«3)3Ä''-«...J-
Nro. 8) gilt för einen periodischen Kettenbruch von gerader,
Nro. 9) fOr einen von ungerader Gliederanzahl. Der aus diesen
Darstellungen hervorgehende Zähler gibt den Werth von x^ der
Nenner den Werth von y. Die Reihen der S brechen ab, wenn
ein Exponent von iS negativ werden oder eine Vorzahl in 0 liber-
gehen sollte. Die Werthe för V^ = ot + Ä"(cr,, o^. «s •••• «n)
kann man direkt bilden oder sie dem Canon Pellianus auct.
Degen. Hafn. 1SI7 entnehmen. DIess zeigt sich auf folgende
Weise. Es ist V14 = 3+Ä'(l, 2, 1, 6) und man erhält Z^=Z,
Aj = 4 , «4 = 27 und S = iV4 + Z3 = 30. Da dieser Kettenbruch
eine Periode von vier Gliedern hat, so wird aus Nro. 8):
x_^.,,^ 30^-i^(r--2)3(K-»-Kr-3)a30r-5_
_16 449 13455 403201
"~4' 120' 3596' 107760"*''
und man hat:
15«-14.4« = 225—224 = 1 u. «. w.
Für VI3 = 3 + Ä'(1,1,1,1,6) ist Z4 = 3, 2V;=s5, iVi = 33
196 Oettinger: Veber das Peii'seke Problem
and iS=:33-|-3 = 36« and da dieser Kettenbruch eine Periode
von f&nf Gliedern hat, so ist aus Nro. 9):
_ 18 649 23382 842401
"" 6 • 180* 6486 • ^Sm'
und man hat:
18« — 13,6« = 324-325 = — l u. s. w.
als auflösende Werthe mit abvrechselnden Zeichen fOr die Glei-
chung Nro. 1).
Diese AuflOsnngsraethode empfiehlt sich durch ihre Einfach-
heit. Hieran schliessen sich noch folgende Sätze.
Die Gleichung Nro. 1) mit abwechselnden Zeichen wird vob
allen Zahlen von der Form:
irt, £_ , Qm)»-^ V (r- 2) (2m)r-» + (r-3)^ {^my-^ + ...
lu; y-w»+ (2iiir+(r-l)(2iii)»-«+(r-"2),(2m)'-*+.^
aufgelöst, wenn VA = V^m*+ 1 bedeutet Hierin kann m die
Zahlen 1, 2, 3,.... und r=09 1, 2^....» also in doppelter Be-
ziehung unendlich viele Werthe bezeichnen.
Wird m=s3 und r = 0, 1,2, 3 gesetzt, so entsteht (Xkx VlO:
xji 19 117 m 4443 27379
y^l' 6* 3f' 22' 1406' 8668* '*
und man erhält:
3«-10.l« = 9-.10 = — 1,
19«- 10.6» = 361 — 360= + 1,
117«— 10.37«= 13689-13690 = — 1,
u. s. w.
Dagegen wird die Gleichung
11) «•— i<y«= + l
von den Zahlen der nachstehenden Formen aufgelöst:
i«v x_ (2m)^^-(r-2)(2m)r-»-Kr^3)>(2in)^-..
^^) y-^ (2m/-.(r-.l)(2m)'-«+(r-2),(2m)'^-.... '
filr Vil = Vm«— 1, und es ist Rir m=3 und V8:
11. einige damit %u$ammenhäng» Probleme aus der Zahieulehre. 197
ar 3 17 99 677
also:
y— 1* 6/ 35' 204
»•••• »
3»— 8.1« = 9-8= + 1,
17«-8.6» = 289—288 = + 1,
99«— 8.35« = 9801 -9800 = + 1.
a« 8. w.
Ferner durch folgende Zahlen:
,^ x_ (2m«)''db(2r-l)(2in«)''->-K2r~2)a(2m«)'-«db >»>
16) ^ ~m± ^[(2„|«)r±2r(2m«)'-H(2r-l)t(2fii«)'-«±....]
för Vii = Viii*±2;
,., x_ , (4mr db (2r-l) (4m)^-^ + (2r~2)> (4m)^"«± ....
14; y-^±2[(4m)r±2r(4mr-i + (2f-l),(4;ii)'-«±....]
filr Vil= Vm«±m;
,., a:_ , (2m)rdb (2r-l) (2iii)r-i -f (2r~2),(2m)r-«Jb.,..
lö) y— ^± (2iii)'-±2r(2m)'-i + (2r-J)«(2m)«-«db....
für VA = Vm«±2fii.
Fflr m können die Werthe 1, 2, 3.... fdr r die Werthe 0, 1,
2, 3.-. gesetit werden. Jede Form gibt nach m und r unendlich
▼iele Werthe. Diese SStze gründen sich auf die Darstellung der
Warsei -Ausdrücke durch ein- und zweigliedrige periodische Ket-
tenbrüche nach der Form:
16) Vil = Viii«I^=m±/f(l:~*, 2m; ±^, 2m;....)
P P
_^ , p[(2m)r-tJb(r~2)(2m)'-«.p-Kr-3)^(2m)r-^p«J:....]
"^ (2m)^±(r-l)(2m)'^-«./> + (r-2),(2m)^-4.p«±.... '
wenn p = l oder in 2m theilbar ist, und somit aus Nro. 16) ver-
schwindet, wie schon In der oben angefahrten Abhandlung (CreN
le'a Journal S. 114. u. ff.) angedeutet Ist. Diese Sfitze finden leicht
ihre Bestätigung. Setzt man m = 5, r=l» so wird aus Nro. 12)
V2i, ~=j|j, und es ist:
49«— 24.10« = 2401— 2400= + 1.
a: 26
Für m=:5, r = 0 wird V27 und V23 aus Mro. 13), und -=^*
-^•7-, und es entsteht:
198 Oeltinger: Veöer tias PetVsche Problem
26«— 27. 6« = 676-676=+ 1,
24«— 23.5« = 576—675 = + ).
X 441 X 161
Für m = 6, r=l wird V30, V20 und -=-57-» - = -:iÄ »««
y 44 y «jo
Nro. 14), und man erhält:
441«- 30.44« = 58081 - 58080 = + 1 ,
161« - 20. 36« = 25921 - 25920 = + 1 .
X 71 o: 31
Eben so erhält man V35, Vl5, - = tü» - =-5- aus Nro. 15) für
y XL y ^
111 = 5 und r=l, und es ist:
71« -35. 12« = 5041 — 5040=+ 1,
31«- 15.8« = 961—960= + 1,
u. s« w.
Setzt man in der zweiten Form Vm«— 2 von Nro. 13) iiii+l
statt m, so wird Vi4= V^fii|« + 2iii| — 1, und man erhält aus der
zweiten Form von Nro. 13) alle auflösenden Partialbruche für die
Zahlen der eben genannten Form.
Daraus lässt sich schliessen, dass alle Kettenbrfiche fSr Wur-
zelgrössen von der vorstehenden Form, auf die gewuholiche
Weise aufgelust, Perioden von gerader Glieder- Anzahl (vier)
haben. Man erhält daher aus der zweiten Form von Nro. 13) alle
Partialbrfiche eines gewöhnlichen Kettenbruches von ungerader
Ordnung (3ter, 7ter, llter,.... Partialbruch), also diejenigen Par-
tialbrüche, welche die Gleichung or«— ^^«= + 1 auflösen. Diess
ist in der That mit Ausnahme der Zahl 1 bei allen folgenden von
der genannten Form, also 7, 14, 23, 34,.... der Fall, wie man
sich aus der Schrift von Degen überzeugen kann, und man er-
hält z. B. für V14 die Werthe:
X 32»-— (2r — 1) . 32^"^ + (2r — 2)g . 32>^« — ....
y"^^ 4 [32'-2r . 32»^-» + (2r - \\ 32^-« —....]
15 449 13455 403201
]
4 • 120' 3596 * 107760
> ••*• ,
welche schon frfiher aus Nro. 8) abgeleitet wurden und die Rieh-
tigkeit des Gesagten bestätigen.
Die beiden Formen in Nro. 15) wurden der Vollständigkeit
wegen angegeben. Sie lassen sich^ wie man sich leicht über-
zeugt« auf die Form VA = yfm^ — 1 zurückbringen, wenn iii|
u, einige damit %usammeHhäng. Probleme nva der ZaAienieAre, 199
am die Einheit grosser oder kleiner als m gesetzt wird» und fal-
len dann mit Nro. V2j zusammen.
§.2.
kt die Gleichung
I) a:«— ^^« = db^
aofzolusen^ so kann dies bekanntlich geschehen, wenn sich unter
den Partial brachen eines periodischen Kettenbruchs:
\^A =z m-{- /C(ai, a29'"*oni 0^ ti^f^On)
in der ersten Periode einer befindet^ welcher der obigen Dar-
stellung genGgt, was aus den auftretenden Divisoren erkennbar
ist. Hat man nun die kleinsten auflosenden Werthe Itir x und y
aas der ersten Periode bestimmt, die durch
2) p^^Aq^ = ±ö
bezeichnet werden sollen, und ferner die des {n — 1)ten Partial- ^
braches, welcher der Gleichung
3) <«— ^tt* = db 1
^nilgt, so leiten sich die der Gleichung Nro. 1) entsprechenden
hohem Werthe aus denen der Gleichungen Nro. 2) und 3) auf
folgende Weise ab:
4) ar = />( Jt Aqu,
5) y=pu±qt.
Hierin gelten die oberen und unteren Zeichen gleichzeitig. Die
Darstellungen Nro. 4) und 5) ergeben sich bekanntlich durch Ver-
bindung von Nro. 2) und 3) mit einander und durch schickliches
Eiuchi^ben des Productes der sämmtlichen fünf in Nro. 2) und 3)
vorkommenden Werthe. Dieses Verfahren verdeutlicht sich auf
folgende Weise. FCir V7 hat man:
V7=:2+/f(l, 1,1,4; 1,1. 1,4;....)
5
Aos dem zweiten Partialbruche » h^t man:
5«-7.2« = 25— 28 = — 3.
g
Abs dem dritten ^ entsteht:
8«— 7.3« = 64-63=+!.
200 Oe Hing er: Debet dat Peil*$cke Problem
Darch EinfilhraDg von '^s» '^3 ergibt sich aas Nro. 4) and 5):
ar=:8.5db7.3.2 = 40^:42=: 82 oder -2,
y = 5.3j:8.2=]5J:16r=3I oder —1,
und es ist sofort:
82«-7.31« = 6724— 6727=— 3,
II 82 < 8
Benatzt man diese Werthe wieder und setzt ^=ö| und "^ö"
so wird aus Nro. 4) und 5):
8.82 ±7.31.3 = 656 ±651 = 1307 oder 6,
82.3±31.8 = 246±248 = 494 oder -2,
u. s. w.
Auf diesem Wege erhftit man sofort folgende auflGsende Wertbe
für Nro. 1), wenn 6=3 und A^=:7 ist:
s 5 82 1307 20830
y-'S' 3r 494' 7873'
Für die Gleichung Nro. 1) ist es gleichgQltig, ob die Werthe
flQr X und y positiv oder negativ werden. Man kann daher alle
Werthe positiv setzen. Die Werthe, welche aus dem negativen
Zeichen hervorgehen, können vernachlässigt werden, da sie auf
frflher schon gefundene zurOckfilhren.
Die angegebene Methode ist, wie man sieht, zuröcklaufeod
und hat daher den Nachtheil, dass zur Auffindung eines spätem
Werthes alle vorhergehenden gekannt sein müssen und dass da
einmal begangener Fehler sich fortschleppt.
Eine andere, diesen Missstand entfernende, unabhängige
Methode besteht in Folgendem.
Ist der die Gleichung Nro. 1) auflösende Partialbruch der
ersten Periode, der durch Pps:-— j- bezeichnet werden soll, ge-
funden, so I5sen auch alle PartialbrQche, welche in den spStero
Perioden die gleiche Lage haben, also der (pi-n)te, (p±2it)te,....
Partialbruch dieselbe Aufgabe. Die Beantwortung der vorliegen-
den Frage föllt daher mit Bildung der genannten Partialbriiche
aus den Elementen des periodischen Kettenbruchs für VA so«
sammen. Diess geschieht auf die im 43. Bande dieses Archivs
8. 324. u. IT. §. 7. angegebene Weise, und man erhält fOr den
(/9±(r±l)it)ten Partialbruch des Kettenbruchs
tr. einige damit Zusammenhang. Probleme aus der Zahlenlehre. 201
\/ A =s III + Rifli t o^f ...• Hu ; Ol, a^f ••••)
folgenden Ausdruck bei einer Periode von gerader Glieder-
Anzahl (n):
6)
PpMr+m = -K[zl (-)? -i-! — ].
Bierin bedeutet:
7)
Mr _ »-i-(r-2)5^-»-f(r— 3)«5^-»— (r— 4),5^-y + ....
Qr ~ iS'— (r— l)S'-» + (r— 2)jS'-4_(r-3)s«'-»+....
und
Bei einem Kettenbrucbe too ungerader Glieder« Anzahl ist:
9)
/W(r+i)- =^iK^-y 1^ ^]-
Uierin bedeutet:
nnd fär 5 gilt die Bestimmung von Nro. S). Die Zähler und Nen-
ner der nuthigen Partialbrflche sollen aus den oben angeschrie-
beneo Anfangs- Elementen und unten angeschriebenen Schluss-
Elementen des Kettenbruches für VÄ, vom ersten Elemente an
gerechnet, gebildet werden. Kurzer und bequemer geschieht
dies auf folgende Weise:
11 1
11) Die Werthe von Zp» Np und Np\\ werden aus den
zwei letzten PartialbrQchen des isolirt gedachten Ketteobruches
^(ffi,a«,....flp, ^p+i), die von ^Jt^j ^ptn ""^ ^P4it+i ^e^^eo
aas den zwei letzten PartialbrOchen des isolirt gedachten Ketten-
braches
ä(c^«, apj[^...an, ... ap-f-n-fi) oder K{ap^^, Op-fs«.. an» ^u «i—Op-fi)
geleitet. Der Werth von <$ kann aus den zwei letzten Par-
tialbrüchen des eben genannten Kettenbruches oder aus denen
TheU XLIX. 14
202 Oetttnger: Debet äa» Petl'seke Problem
des Kettenbracbes K(ai, a%, a^ .... a«) abgeleitet werden, wie
aus Nro. 8) hervorgeht.
Ist nach dieser Methode die Gleichung Nro. 1) zu beban-
deln, so lost, wie oben bemerkt wurde, der zweite Partialbmeh
von V7 = 2 + K(l,l,l,i; 1,1,....) die Aufgabe fär 6 = 3, ond
man erhält, da p = 1 ist, aus dem K{\, 1, 1) die Werthe ■m^=^i
and iV,' = 3 und aus KU, 1, I, I) die Werthe -m=i und -^V,
6
= 14, also 5 := 14 -|- 2 := 16, und es entsteht aus Nro. 6) , da
der Kettenbruch eine Periode von 4 Gliedern hat:
/'h-('+»)4 = 4[1 + 16^-» - (r--i) 1fr-» + (r-3), l6r-«^~3-
Setzt man nun im Nenner d^ zweiten Gliedes r=l, 2, 3;
so wird:
., I _31 _16 m Iffl— 1 7873
^~I6— 16' ' 16«— 1~256' ^~I6>— 2.16 ~ 4064*
16»— 2. 16 125474
*~16*— 3.16«+1 ~ 6476» °' *" *'••
und hieraus entsteht durch Einffibrung:
P, =4.
p, =j(i+-i-,)=i;,
/'lo — 4(»+ 2 3F-494'
^+9*16
/'i4-*(*+ 2 494^-7873'
~ ■* ' 2. 787y- 125474'
'* + 9.4064
*-» - «^*-«-^ ^ 2.125474^ - 1999711'
'*+ 9.64769
u. s. w.
Wird zn diesen Brflchen 2 gezählt, so erhält man folgeade aal^
ISsende Werthe flir das negative Zeichen:
u. einige damit xutammenMng. Probleme am der Zakieniehre. 203
jr_5 82 mi 20830 331973 6290738
y—2' W 494' 'W^* 125474 • 1999711*
Wendet man die Gleichuogen Nro. 6)— 10) auf
V13 = 3 + if(l,l,l,l,6; 1,1,1....)
an, 6o tust der 2te, 7te, 12te .... Partialbrocb die Gleichung
init abwechselndem Zeichen und man erhält aus J?(l, 1, I) die
Werthe Za = l, N^ — % N^=i und aus Ä(l,6, 1,1,1) die
Werthe zj=13, iVr=15, ivj = 23, 2vJ + zJ= 36, und fer-
ner, da die Gliederanzahl des periodischen Kettenbmches un-
gerade ist, aus Nro. 9):
PH.(rf i)5=i[I + ^^2^,^,36r-i-Kr-2)36r-H.J'
'J + I5(J^+ 36«' + (r-l)36^-« + ....^
FShrt man nun die angezeigten Geschäfte aus, so erhält man
flir die vorstehende Gleichung folgende auflösende Werthe:
x_l 256 9223 332284 11971447
y — 2' 71 ' 2668' 92159 ' 3320282 '••" °* *• ^'
Hieran schliesst sich die Bemerkung, dass das Zeichen in Nro. 1)
wechselt, wenn die Gliederanzahl des periodischen Kettenbruchs
ungerade ist und nicht wechselt, wenn sie gerade ist.
Nimmt man aber den Werth von b als bekannt an und geht
Ton ihm über auf den von A^ so ergibt sich aus der oben ange-
fllhrten Abhandlung (Grell e's Journal 49ster Bd. S. 114 u. ff.)
Folgende
12) Die Gleichung
wird aufgelöst von allen in der Form
X {iby + (2r~2)(4ft)r-i -h (2y -^^,(46)''-« ....
y - ^ "*• 2 [(46)'-+ (2r-l) {iby-H (2r-2), (46)r-« ^1
enthaltenen Zahlen, wenn VA = V ä* + b ist
c . . r. r o ^ ,^ or 3 45 627 9903
So ist rar 6=3: il = 12, -=j, ^, ygj, 252I'-
M «Dtsteht:
14*
und
204 Oettinger: üeber das Pell* sehe Problem
3«— 12.1=9— 12 = — 3,
45«— 12 . 13« = 2026—2028 = - 3,
u« s. w.
13) Die Gleichung
a:* — ^y«= + h
wird voD allen in der Form
£ __ (4ft)»-— (2r— 2) {\by-^ + (2r— 3)a (46)''-«— ....
y ^^ 2[(46)''— (2r-l)(46)''-H(2r-2)(46)''-«— ....]
enthaltenen Zahlen aufgelöst, wenn VA =s V^6« — h ist
a- . . r, A Q >i A ^ 3 27 267 2149
Hieraus ist för 6 = 3: ^ = 6, ■"=!> yi» jqq» mTö' **■*"
es entsteht:
27«— 6.11« = 729-726= + 3,
267«— 6. 109« = 71289— 71286 = + 3,
U. 8. W.
Ferner ergeben sieb folgende Sätze:
14) Die Gleichung
o;« - J^^« = - 26
wird durch die Zahlen der nachstehenden Form:
0? _ . , (26)r \ (2r-2)(26)r-i -K2r-3)>(26)r-«....
y - ^ "•" (26)»' + (2r- 1) (26)'^-^ + (2r -2), (26)^« .,..
aufgelöst» wenn VA = V^6«+26 bedeutet.
iri A Q .1 ^ 1« . a: 3 27 213 1677
Für 6 = 3 wird il = 15 und - = 2> n^* -gg. Igs"»- "»^
es entsteht:
27«— 15. 7« = 729—735 = -6,
213« — 15 . 55« = 45369 - 45375 =- 6,
u. s. w.
15) Die Gleichung
««— ily« = + 26
wird durch die Zahlen von der nachstehenden Form:
X _ (26)''-(2r ~ 2) (26)r-i + (2r-3)>(26)^-«-...,
y -«^ (26)^-.(2r-l)(26)r-i+(2r-2)a(26)'-«-....
u. einige damit xusammenhäng. Probleme aus der Zahlenlehre, 205
aofgelust, wenn Vi4= Vm*— 26 bedeutet
Für 6 = 3 wird V-4 = V3 und — =?> st i^f -.%r>-«- ond
y 1 5 19 71
man erhSit: ,
9«-3.5* = 81 — 76 = + 6,
33»— 3. 19» = 1069 — 1083= + 6,
U. 6. W.
16) Die Gleichung
wird durch die Zahlen von der Form:
£_ C^m»)»- J: (2r— 2) Qm»)''"^ -f (2r - 3)^(2m»)^-»db «■»
^ ""'"*iii[(2iii»)''±(2r-.l)(2m«r-» + (2r-2)a(2m«)r-»±....]
aufgelöst, wenn VA = Vm*±2 bedeutet Die obern und untern
Zeichen in der Gleichung und den Zahlen der vorstehenden Form
gelten gleichzeitig, so dass der negative Werth in der Gleichung
der Form Vm» + 2 und der positive Werth der Form Vm» — 2
entspricht - Unter den nämlichen Bedingungen geschieht diess
auch von den Zahlen folgender Form:
— 3)a(2m)»^-<>.2».^]
2)a(2iii)«'^.2»... '
£_ 2[(2m)»^-^ ± (2r - 2) (2m)^''-» . 2 -K2r ■
y — t» ± (2m)«'±(2r— 1) (2m)»''-».2 + (2r —
wenn gehörig reducirt wird. Die beiden letzten Ausdrücke sind
nur in der Anordnung von einander verschieden.
Die Werthe von m können willkührlich gewShIt werden. Setzt
man m=:2, so wird ^:=6 und dann ^ = 2, und man hat im
^ „ ^ ar 2 22 218 2158 ^ , , ^^
ersten Falle lur ~'=r> "y » "gg"» "gsr'""' "" ®® entsteht:
22»— 6.9» = 484 — 486= — 2,
218»— 6.89» = 47524— 47526 =— 2,
u. s. w.
Im zweiten Falle entstehen die auflösenden Werthe:
^_2 10 58 338
y — I* 7 * 41' 239'"'
und es wird:
10»— 2.7» = 100 - 98= + 2,
58»— 2.41» = 3364 -3362 = + 2,
n. s. w.
206 Oettinger: üeder das Peii'sche ProMem
In den Gleichungen Nro. 12)~16) ist r=Oy 1, 2» 3.... zu setzen.
Für r=0 föllt der begleitende Bruch weg. Zugleich zeigt sich,
da^s die hier gegebenen Darstellungen auf Auflösungen flBhren,
vrelche durch die gewohnlichen Auflosungsmethoden nicht gewon-
nen werden. So gibt der auf die gewuhnliche Weise dargestellte
Kettenbruch V2=3 1 -|- /f(2« 2, 2,....) keine der eben gefundenen
AuflOsunci^en» denn er I5st nur die Gleichung x'^ — 2^^=: J: L
Man kann die in Nro. 12) — J6) aufgestellten Sätze auch in
folgender Weise darstellen: die Zahlen von der Form:
a?_(46 + 3)& [4(26 4-l)« + 4&-H]&
'' ' ' y^ 46 + 1 ' (46 + l)«+46
9 . .• •
9 ...I
lOsen die Gleichung x'^-^Ay^^ — b fflr VArs V6*4*6. Dieje-
nigen von der Form:
,^ ar_(4fe— 3)6 [4(26- 1)«-- 46 + 116
'^^- • -y"" 46-1 ' (46-.l)«-46
losen die Gleichung a:«— ily«= + 6 für VA:=iVW^.
Diejenigen von der Form
,Q, £ «. (^* + 3)6 [4(6 + 1)« +26 -H]6
'y;. • .y- 26+1 ' (26 + l)«+26 '••"
losen die Gleichung a:«— 24y«=-26 för V2l = V6«+26.
Diejenigen von der Form
£ _ (26-3)6 [4(6--l)«-26 + l]6
^^ • -y"" 26- J ' (26— 1)«-26
losen die Gleichung a:«-ily«= + 26 filr Vi< = V6«— 26.
Diejenigen von der Form
91X J?_(2m» + 3)m 4m(m« + l)« + (2m«+l)m
^'^ y"" 2m«+l ' (2m«+l)« + 2m«
9 •• • *
I5sen die Gleichung a:«— 2^^«= — 2 flir V2l=Vm* + 2, und die-
jenigen von der Form
jr_(2m«— 3)iii 4m(m«-l)«— (2m«— l)m
-"^ y— 2m«-l ' (2m>-l)«— 2m« '•'••
I5sen die Gleichung x« — Jy« = + 2 ßr Vii= Vm«— 2.
Die Darstellungen Nro. 12)— 22) lOsen die in Frage stehenden
Probleme flQr ganze 6 und m ganz allgemein und unabhängig von
m, eMge äamii %H8ammenhäng. Frobleme aus der Zahlenlehre. 207
vorausgehenden Experimentireo, wie dies« die genrubnlichea
Methoden bei Darstellung der KettenbrQche voraussetzen» und
haben daber grosse Vorzüge vor jenen« denn sie geben auf jede
Frage bestimmte Antworten. Specielle Fälle ergeben sich sofort
ohne Schwierigkeit Durch die in diesem Paragraphen gewonne-
nen Resultate werden auch folgende Probleme gelöst:
23) ;r* = i<y«, Mod. ^h,
anter den zu Nro. 6)— 10), 12) und 13), 17) und 18) angegebenen
Bestimmungen ;
24) x^=Ay^, Mod. T26.
anter den zu Nro. 14) und 15), 19) und 20) angegebenen;
26) ^«s^y«, Mod. T2,
ooter den zu Nro. 16), 21) und 22) angegebenen. So ist in Nro. 16)
oder 22) m = 9 ßr die Determinante 79 zu setzen ; es ergeben sich
die auflösenden Werthe ~ = i» "fgr»— •» ""^ ®* wird:
9«-79.1* = 81— 79= + 2,
1431* - 79. 161« = 2047761 - 2047759 = + 2,
u. s. w.
§.3.
Sollen die Gleichungen
1) ;««-ily«=(-6)'*+S
2) a:«-i<y« = (-|-6)'+*
aufgelost werden, so dienen hierfür folgende zwei Methoden.
Die erste ergibt sich nach der oben angeflShrten Abhandlung
aus dem zweigliedrigen Kettenbruche:
3) Vi< = V^OT^^=m + /f(±^, 2m; 1^, 2m;....),
und die Gleichung Nro. 1) wird dann durch die Zahlen von der Form:
4)
x_ . 6H2my-^ -f (r— 2)(2m)'-».A + (r--3),0{m)'-».A«....]
- - m + (2m)' + (r — 1) (Sm)»-» . 6 + (r — 2), (im)«-«. 6«....
aorgelSst, wenn VA = Vm' + Ä aod 2ffl su 6 theilfremd ist.
208 Oettinger: (Jeder das Pell'sche Probiem
Die Gleichung Nro. I) findet ihre LGsang darcb die Zahlen ?oo
der Form:
£_ 6[(2m)'-^— (r->2)(2m)'-a. 6+(r~3)a(2m)'-^ . 6^...]
ö) y — "» - (2ii,)r «(y_ 1) (2m)'-«.Ä + (r — 2)a (2m)'^.6«-..
ffir V-^ =2 Vm* — 6 und unter der gleichen Bedingung Hir 2m ond
6. In beiden Fällen ist r=:0» 1» 2, 3.... zu setzen» fSr r=0
verschwindet das zweite Glied in Nro. 4) und 5).
Setzt man m = 4, 6 = 3, so wird V/^ = VI9» und es eot-
stehen für or«— 19y« = (— 3)»-+* die auflösenden Werthe:
5 — i 35 292 2441
y "" 1 ' 8 • 67 ' 560 '
folglich ist:
4*— 19.1= — 3,
35«- 19.8« = 1225- 1216 = 9 = (—3)«,
292« - 19.67« = 85264— 85291 = — 27 = (—3)»,
2441«- 19 .560« = 5958481 —5958400 = 81 = (—3)*,
u. s. w.
Wird 6 = 3 negativ gesetzt, so entsteht V13= Vl6— 3, ond
man erhält filr die Gleichung :i;«— %« = (-f 3)''+i folgende auf-
lösende Werthe:
£_4 29 2M 1673
.y ""!• 8 ' 6J ' 464 '— *
und es ist:
4«-13.1«=26— 13=r + 3,
29« - 13. 8« = 841 — 832 = 9 = (+ 3)«,
220«— 13.61« = 48400— 48373 = 27 = (+ 3)«,
1673 - 13. 464« = 2798929 — 2798848 = 81 = (+ 3)*,
u. s. w.
Diese Darstellungen sind deswegen bemerkenswerth , weil
sie auf Werthe fuhren» welche die Entwicklung der Kettenbrflcbe
nach der gewöhnlichen Methode nicht kennt, wie man sich leicbt
überzeugen kann» wenn man die Partialbrüche von
V19 = 4 + A:'(2,1,3, 1,2.8) und V13 = 3 + «'(1, l, 1, 1,6)
bildet.
Eine zweite Auflosung ßr die Gleichungen in Nro. 1) und 2)
gibt sich auf folgende Weise.
». einige damit Zusammenhang. Probleme aus der Zahteniehre, 209
Ist iSr einen Kettenbrucb von der Fonn
einPartlalbroch der ersten Periode gefunden , welcher die Gleichung
6) p'^^Aq^ — ^b
aoflüst und sind p und q die niedersten Werthe von x und y,
welche den Gleichungen Nro, 1) und 2) genügen , so hat man so-
fort durch Potenzirung:
{p^-^A^y = (T6r = (p + qvAyip-^qvAy.
Hieraus erhält man durch Vergleichung mit Nro. 1) und 2) zur
Bestimmung von x und y folgende Werthe:
{p-\-qVAy-{'{p-^qVAy
^f "^ — 2
«, {p'\-qVAy'-{p-qVAy
^) »= 2V2
für r=2» Sy 4....
Wendet man diese Methode auf Vl3 = 3 + A:(1 , 1, 1, 1,6)
an, so gibt der zweite Partialbruch eine Auflösung der Gleichung
7*— 13.2^=— 3, und es ergeben sich sofort folgende Werthe
fjlr X und y aus Nro. 7) und 8) :
x_l m 1435
y"^2' 28' 398'
und man hat:
?•— 13.2« = 49— 52 = — 3,
101«-13.28» = 10201 — 10192 = 9 = (-3)*,
1435«— 13.398« = 2059225—2059252 =r — 27 = (- 3)»,
u* s« w.
Wählt man ferner V7» so hat man aus Nro. 4) zur Auflösung
der Gleichung
folgende Werthe:
£_2 11 50 233 1^
y-"T' 4' 19' 88' 409
ud es ist:
9 •••• 9
210 Oettinger: üeäer das PeiTscke Problem
2«— 7.1* = 4— 7 = — 3,
11*-7.4« = 121 — 112=+9 = (-3)*,
50«-.7.19«== 2500—2527 = - 27 = (-. 3)»,
U. 8. W.
Aas dem zweiten Partialbruche 5=^» V7=:2+Ä'(l, 1, 1,4) er-
£ q
hält man durch die Gleichungen Nro. 7) und 8) folgende Wertbe:
£-5 63 645 5609
y^V 20' 206' 2120'
und es ist:
5«-.7.2 = 25-28 = — 3,
63«-7.20« = 2809-2800 = + 9 = (— 3)«,
645* -7.206«= 297026 -297052 = — 27 = (—3)»,
U. 8. VF.
Auch die zweite Methode filhrt auf andere auflösende Wertbe
als die erste, diess hängt jedoch von der Wahl oder der MSg-
lichkelt der niedersten auf losenden Werthe i^j in Nro. 6) ab.
Setzt man -^t> das Verhältniss der nächst niedern Worzd
aus Vil = V^iii*+f> = iw zur Einheit, so ergeben sich aus bei-
den die gleichen Werthe, wie man sich leicht fiberzeugen kann.
Noch eine andere, nicht unwichtige Anwendung lässt sich a»
den Darstellungen Nro. 1) — 5) ziehen. Der Werth von 6 ist unter
der oben angegebenen Voraussetzung im Verhältniss zu m unbe-
grenzt. Er kann grSsser als %n angenommen werden. Wählt
man nun den Werth von 6 so, dass er mit m* ein Quadrat bil-
det» und setzt Ä=2mr + r* in Nro. 4) und — 6=— 2iiir+r* hi
Nro. 5), so wird VA rational; VAz=Lm-\-T und VA^s^m-^t
und die ersten Theile in den Gleichungen Nro. 1) und 2) geben
in Quadrate fiber. Setzt man nun in diesen Fällen r=sl, 2, 3,....
und für b die eben bezeichneten Werthe, so ergeben sich fol*
gende bemerkenswerthe Sätze durch Einführung der Resultate
aus Nro. 4) und 5) und Nro. I) und 2):
9). • •(2m* + 2iiir + r«)«-[(m + r)2iii]«=(2mr+r«)«,
10). . •(2fii*— 2mr + r*)*— [(m— r)2fiil*=(2iiir-r«)«.
Diese Gleichungen l(toen folgendes Problem:
II) a?«— y* = 2«.
M. einige damit %usttmmenhänff. Proäieme aus der Zaklettiehre. 211
12). . [4iii»+3»ir(2m+r)]«— [(fii+r)(4iii*+2mr+r*)]«
= -(2mr + r«)»,
13). . [4m»-3mr(2m-r)]«— [(m-r)(4m«— 2mr+r«)]«
= + (2mr— r«)».
Hierdarcb wird folgendes Problem allgemein gelOst:
14) a;«-.y«=T*»,
15)
[8ai«+8m«(2mr+r*) + (2iitr + r*)«]« - [(m+r)4m(2m* + 2mr + r«)]«
=:(2iiir + r«)*,
16)
[8m*— 8in«(2mr— r*) + (2jiir — r«)«]«— [4m(m— r) (2m«— 2mr+r*)]«
= (2mr— r«)*
Diese zwei Gleicbnngen kCnnen auch in folgender körzerer Form
gescbrieben werden:
17)
[(4m« + 2mr + r*)* - 8m*]« — [4m (m + r) (2m« + 2mr + r*)]«
= (2mr+r«)*',
18)
[(4m«— 2mr + r«)«-8m*]«-[4m(m— r)(2m«-2mr + r«)]«
= (2mr— r«)*
Sie losen das Problem
19) ar«-y« = j*.
Anf diese Weise kann man fortfahren und zwei Quadrate ange-
ben, deren Unterscbied durch die fOnfte, sechste Potenz u. s. w.
AOfgedriickt wird«
Die Anflosung der Aufgabe Nr. 11) ist bekannt. Sie wird
Aber gewöhnlich auf andere Art dargestellt. Die übrigen in Nro.l3)
-*18) gewonnenen Gleichungen habe ich bis jetzt noch nicht irgend
wo entwickelt gefunden. Geht man von dem Ausdrucke (2m db**)!^
iof der rechten Seite in Nro, 9—18) aus» so entnimmt sich fol-
gender Satz.
20) Die Potenzen aller ungeraden Zahlen, mit Ausnahme
der Einheit» können den vorstehenden Gleichungen genOgen und
Als Auflösung für die Darstellung der Unterschiede zweier Qua«
diAte betrachtet werden.
212 Oettinger: Üeber das Peitsche Problem
Die geraden Zahlen haben diese Eigenschaft nicht and onr
bei Zahlen, welche durch 4 theilbar sind, wird die Aoflusinig
möglich sein, was sich aus dem obigen Ausdrucke leicht folgert,
wenn r = 2 gesetzt wird. In den Formen Nro. 10), 13)» 16) und
18) darf dann m und r nicht so angenommen werden, dass ein
Glied in 0 Obergeht.
Setzt man m=2y r=], so wird aus Nro. 9) — 18) der Reihe nach :
13«— 12« = 169 — 144 = 25 = 5«,
5«— 4« = 25-16 = 9 = 3«,
62«-63* = 3844— 3969 = — 125 = (-5)»,
14«-.13a= 196— 169 = 27 = (+3)»,
313«— 312« = 97969 - 97344 = 625 = (— 5)*,
41«— 40« = 1681 -1600 = 81 = (+3)*,
u. s. w.
Setzt man m=3, r=2, so erhält man aus Nro. 10)» 13) ond 16)
oder 18) der Reihe nach:
10«— 6«= 100—36 = 64 = 8«,
36»— 28« = 1296—784 = 512 = 8»,
136«— 120« = 18496— 14400 = 4096 = 8*,
u. s. w.
Hieran scbliessen sich noch folgende allgemeinere Bestim-
mungen an. Die Gleichungen
21) a;«— ^y« = -6,
22) or«— 2ly«= + 6
werden durch die Zahlen von folgender Form:
23)
x_ b [(2m)«^-^ db (2r-2) (2m)«'-» . b + (2r-3)a (2m)«^-g . 6« db >^0
y -m± (2m)«'-dt(2r-. l)(2m)«''-«.6 + (2r-2)2(2m)«'-^.Ä«±._
direct aufgel5st und zwar Nro. 21) durch V-4 = Vm«+6 ond die
positiven Zeichen in Nro. 23); dagegen Nro. 22) durch ^A
= V m«— 6 und die negativen Zeichen in Nro. 23). Ferner
unter der Bedingung, dass 6>1 und ohne Rest in 2m theil-
bar ist und die b aus dem Zähler und Nenner, was jedesmal
möglich, ausgestossen werden. Es entstehen dann folgende zwei
zusammengehörige auflösende Gleichungen:
24). . .a:«— ily« = — 6, V— (il— 26)yi«= + 6.
u* eintge damit Zusammenhang. Probleme aus der ZaMenlehre. 213
Setzt mao m=9, 6=6, so entsprechen diese Zahlen den
ebigeo Bedingungen und es ergeben sich für A die Werthe 87
und 75. Man erhält dann aus Nro. 23) für 87 die auflOsendeu
Werthe :
a:_9 513 28719
y^V 55* 3079'-"*
und es ist:
9«— 87.1*=8l— 87 = — (5,
513« -. 87.55« = 263169 -236175 = — 6,
28719«— 87.3079« = 824780961 —824780967 = — 6,
u. s. w.
Für V75 ergehen sich die Werthe:
£ _ 9 459 23859
y"-l' "ÖJ* 2755 '•'••'
und hieraus wird:
9«-75.1« = 81— 75 = + 6,
459«-75.53« = 210681 —210675 = + 6,
23859«— 75.2755« = 569251881 —569251875 = + 6,
u. s. w.
Setzt man m=:8, 6 = 4^ so erhält man fQr die Zahlen 68
und 60 die auflosenden Werthe aus Nro. 23) :
£_8 536 35368
y""l* 65' 6289 "•••'
und es ist:
8«-68.1« = 64— 68 = — 4,
536«— 68.65« = 287296-287300 = — 4,
u. s. w.
FSr V60 wird:
;r 8 488 30248
$ ••••9
y — 1 ' 63 • 3905
8«— 60.1« = 64-60= + 4,
488«— 60.63« = 238144—238140 = + 4,
u. s. w.
Wird aber Vi<= V^in«+6 auf die gewohnliche Weise in einen
periodischen Kettenbruch von der Form
V-4 = ii»+Ä'(ai, Ol» Oft. ...an)
entwickelt, so wird die Gleichung Nro. 21) von dem Oten» nten.
214 Oettinger: Debet das Peil' sehe Proödem
2iiteii.... Partlalbrach aargelOst und zwar bei einem Kettenbrudie
von gerader Gliederanzahl (ii)dorch die Zahlen von folgender Form:
a:_ 1
bei einem Kettenbrache von angerader Gliederanzahl (it) durch
die Zahlen von folgender Form :
X 1
26) -=m +
„ . JL (Z^ t ^-H(r-2)»-»-Kr-3)«5^W
fl| + 2v« ^ « ^ S*' + (r-.l)S'^«+(r+2),S^+J
Hierin bedeutet Oi das erste Element des Kettenbrnchs oder
1 SS
Ni ; die Werthe von Z«» Nn sind aus .den Elementen des Ket*
1 1
tenbrnchs K(a^, a^.o..an), Nn, Zn^i sind aus den zwei letzten
1 1
Partialbrflchen von K(ai, a^, a^.^.an) abzuleiten und 5=jY«-f Zn-i
zu schreiben. Der erste Werth fOr — oder fQr den Oten Partial-
MB
brach ist j; die Werthe für P«, /^» Ps«**** ergeben sich, weon
r=:0, l, 2, 3...« gesetzt wird. FOr r=0 ftllt der begleitende
Brach der 5 weg. Bei Kettenbrüchen von gerader Gliederan-
zahl bleibt das Zeichen von ö nnverftnderty hei denen von enge*
rader Gliederanzahl wechselt dasselbe.
Fflr A = 7 ist V7 = 2 + Ä'(1, 1, 1, 4), a|=l und tos
£(1,1,4) wird Z4 = ö, iV^ssQ, ans A:(1. 1,1,4) aber wird
z| = 2, iV; = I4, al«o S=14-{-2 = 16. Durch EiaffifaniDg die-
ser Werthe in Nro. 25) erhfilt man bei gerader Gliederanzahl die
Auflösungen :
£ __ 2 37 590
y — I' 14' ^'♦-*
und es ist:
2"— 7.1« = 4 -7 =-3,
37«— 7.14« = 1369—1372 = — 3,
S90>— 7.223« s= 348100 -348103 = - 3.
u* s. w.
Für i<=13 ist V13 = 3+Ä' (1,1, 1,1,6), oi = l, Z»=:13,
iV« = 20 aus «(1,1,1,6) und S = 33+3=:36 = JY' + Z' au«
5 5 4
ü:(1,1,I, 1,6). Durch Einführung hievon In Nro. 26) ergeben
sich die auflösenden Werthe:
u, einige damit nuaammenhdng. Probleme au» der ZaJUenleire. 215
£_3 11» 4-287
und es ist:
3»-13.P = 9— 13 = — 4,
1I9«- 13.33* = I4I61 - 14157 = + 4,
Die Zeichen wechseln wegen ungerader Gliederanzahl.
Die Gleichung Nro. 22) mit positivem Zeichen kann auch von
Kettenbrfichen aufgelöst werden , die nach der gewuholichen
Weise entwickelt sind. Diese ist jedoch nur dann der Fail^ wenn
in dem Kettenbrnche
VA = m + Ä' («i , «t » ^9 •••• ^n)
das erste Element ai = l ist. Der Iste, (n-f l)te» (2n-f-I)te,....
Ptrtialbruch gibt dann die gewünschte Aoflusiing» und zwar bei
eioer geraden Gliederanzahl durch die Zahlen von folgender Form:
^^ 1
iv' '^^"+*~ *--(r— l)S'-«+(r-2),S»-*— .J
bei rioer ungeraden Gliederanzahl darcb die Zahlen von der Form:
28)
X 1
?="•+*- ■ 1 ,,» ■■S^-'-Kr-2>g^»+(r-2). »-»+.::]•
N ■*■ S' + (r— 1) Sr-* + (r-2), Sr-*+^
Die S und r unterliegen hiebei den gleichen Bestimmungen wie
8 »
10 Nro. 26) und 26), N^ ist ans E(at, Ug), Z»fi und Nn^i sind
ios K(a^, a^^, .... am, Oi) abzuleiten. Bei Kettenbrflcben von
ungerader Gliederanzahl wechselt das Zeichen der b.
Betrachtet man die nSmIichen Fllle wie in Nro. 25) und 26),
Mistfiir V7=2-|-iC'(l, 1, 1,4), A^'=2 aus K(l, 1) und Zs=5,
s
iV|=6 ans iir(1 , 4, 1), also durch Einfflhrung dieser Werthe und
«=14+2 in Nro. 27):
X Z 46 717
y-I' I?' 271
Hiernach ist:
3«— 7.1« = 9— 7= + 2,
45* - 7 . 17* = 2025 - 2023 = -I- 2,
717*— 7.271> = 614089-614087 =i -f 2,
u. s. w.
216 Oeltinger: üeber das Pe IV sehe Problem
Fär V13 = 3 + Ä'(1, I, 1. I, 6) ist ^a=2 aus K(\,\\
3 3
iVi = 15, Ze=58 aas /f(l, 1, 6, 1) und 5 = 33+3 = 36. Dorcli
Einführung dieser Werthe entsteht aus Nro. 28) :
x_X 137 4936
y "^ 1' W ' 1369""'*
und hieraus:
4«— 13.12 =16 -13 = + 3,
137«— 13.38« = 18769 - 18772 = — 3,
4936«— 13.1369« :;= 24364096—24364093 = + 3,
u. s. w.
Zugleich ist zu bemerken, dass die Werthe der 6, welche
einerseits aus den Darstellungen Nro. 25) und 26) ^ andererseits
aus Nro. 27) und 28) hervorgehen, sich ohne Rücksicht auf das
Zeichen zur Summe 2m -fl ergänzen.
Wählt man, um diess zu zeigen, den Kettenbruch:
V21=4 + /f(l, 1,2,1, 1,8),
welcher die verlangte Eigenschaft hat, wornach a| =r 1 ist, so
' 3 3
hat man Ai = 2 aus Jif(l,l), Z,=l», iV, = 48 aas ^(2,1,1,8,1)
and .S=Z'+2V' = 7+103=110 ans *:(!, 1.2, 1, 1,8), und es
5 6
ist aus Nro. 27) :
£ — 5 527 57965
y""r 115* 12649'
femer :
5«-21.1= + 4,
527«— 21.115« = 277729— 277725 = + 4,
u. s. w.
Hierin ist Ä=4 positiv nach Nro. 22). Für ein negatives 6=6
nach Nro. 21) wird ai = l und iV«=60, Z« = 43 aus 1^(1,2,1,1,8).
Hiemach ergeben sich, da iS = 110 unverändert bleibt, die auf-
lösenden Werthe:
£_4 472 51916
y""T' 103* 11329* ••*
und es ist:
4«— 21.1« =16 -21 = — 5,
472«— 21 .103« = 222784 — 222789 = — 5,
u. s. w.
Die Werthe der beiden 6 ergänzen sich ohne Rücksicht auf das
Zeichen zu 2.4-i'l = 9 in den zwei letzten Fällen.
tf. eMffe damit tmammenhäng. Probleme am der Zahicniehre. 217
Die bisher behandelten Probleme lassen sich auch unter an-
derer nnd folgender Form darstellen:
29) ««=^y«, Mod.(=F6)'+S
wobei die zu Nro. 3) und 4) gemachten Bemerkungen gelten :
30) ^* = ^*, Mod.2«,
a:*^5f*, Mod.Htx',
x*^y^9 Mod.i*,
u« 8. w.
mit Röcksicht auf Nro. 10)— 18),
31) ai* = Ay^, Mod.TÄ,
mit Rücksicht auf Nro. 21)— 28).
Die in diesem und den vorhergebenden Paragraphen mitge«
theilteo Resultate haben den grossen Vortheil vor den Methoden»
wie sie sich in den Schriften fiber Zablentheorie und unbestimmte
Analytik vorGnden, dass die Werthbestimmnng der ö nicht von
Vomntersuchungen nnd Ezperimentiren abhängt , sondern beliebig
angenommen und zu jedem Werthe von 6auf verschiedene Arten als-
bald und nur mit geringer Ausnahme, wie in Nro. 27) und 28), die zu-
gehurigen Auflosungen und Werthe der ^angegeben werden können.
Die hieher gehurige Literatur ist in KlOgels mathemati«
schem Lexicon, fortgesetzt von Grunert, und in den Schrif«
ten Euler's, Legendre's u. s. w. nachzusehen.
Tabelle ier raftteeiieM ZdileMweiilie ier GldcliiMg
far A=z2, 3,.... 20 und 6=1, 2 10.
5
10
13
17
£ — 1 ? 7 17 41 99 239
y""!' r 6' 12* 29* 70* 169
«_2 9 M 161 682 2^
y'^V 4' 17' 72' aS6' 1292'
ar 3 19 117 721 4443 27379
y""r 6* 37* 228' J406' 8658'
£_18 649 M382 842401
y "" 5 ' 18Ö' 6485 ' 233Ö4Ö
x_i 33 268 2177 17684 143649 1166876
^-I' 8' W 528* 4289' 34840' 283009'
Thtil XLIX. 15
218
Oettinger: Vtber dat Pell'tehe Problem
««-/iy«= + J.
8
II
Ki
f4
15
18
19
20
X
y
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
9
2 7 26 97 362
I' 4' 15* 56' 209'
5 49 4^ ^1
2' 2Ö' 198' 980*
8 127 2^ 32257
5' 48' 765' 12192"
3 17 99 577
1' 6' 35' 204*
10 199 3970
3' 60' 1197'
7 97 1351 18817
2' 28' 390' 5432*
15 449 13455
1-20' 3596*
4
4
1'
31 244 192t
8' W 496*
17 577 19601
4 ' 136' 4620 *
170 57799 19661490»
39 ' 13260' ' 450836)'
9 161 3289 51841
5' 36' 64ft' 11592'
11
18
x*—Ay*=-'-Jl.
««-.Iy*:=+21
X 1
y~T'
5 19 71 26&
3' 11' 41' 153*
2
X 2
y-I'
10
T'
58 33&
41' 23»*
X 2
y-i'
22 218 2158
9 ' 89 ' 881 ■
7
X 3
»"1'
46
14'
717
271*
X 3
y"i'
63 1257
19' 379*
14
X 4
y-i*
116
3i'
3476
929*
X 4
140 4756 161564
y~i'
33' »21' 38081'
X 13
4433
lF = ^'
1017"
19 -=s
«. einige äamii tusammenkdng. Probleme aus der ZaMenieUre. 219
^-.4«= -3.
X
i
X
X
i
2 5 37 82 590 1306
r 2' 14' ZV 223' 494 '-'
3 45 627 9903
V 13' 181' 2521*' '
7 256 9223 332284
'2' 71 ' 2558' 92159 ""'
4 61 1421 20744
V 14* 326' 4759 ^""
xji 14 82 478 2786
jf""!' 5 • 29' 169' 985'"
x_Z 119 4287 154451
y^I' 33' n89' "4283f' ••
«_4 76 1364 24476
|"T' 17' 305' 5473^^'"*
Ä*-ily«=— 5.
a: 3 11 im 333 3027 9979
if'^r 3' 27' W 809' 2667'
£_4 35 292
^"V 8' ef'
2J[41
8 ' 67 ' 560 '
6
13
X
y
X
y
ar« - i4^«= + 3.
3 ^ 2^ 2149^
V 11' 109' 1079 '•••
4 13t 4936 177833
f 38 ' 1369 49322 ""•
12
13
X
y
X
y
10084
••••
4 52 724
1' lö* 209' 2911 '
11 399 14159 51011t
^'109' 392T' 14148r-
19
20
A
X
y
X
y
^ i~?} 213 i^
rV 7 ' 55 ' 433'
:c«-^y«= + 8. A
^ l^M 116 676 3956 Z
y^V 7* IT' 239' I59f *^
!_2 n 50 233 lim
y""r 4 ' 19' 88' 409*
X
y
x^-A^^—+5.
39 48 M)W~ 16311
"~2' TI' 691' 3742*
_5 85 1525 2736a
—y l9' 341 ' 6119*
3 9 3ir~~m
1' 5' 1<)' 71*
±*--^Ay^^i(i.
£
y
_5 35 2TO 2J6Ö 17045
•^T' 9 ' 71 ' 559 ' 4401
±«-.i4y«=3'^+^
lA
X
y
4 29 220 ITfö
t' ^' "öT' 464'
15*
220
Oetltuger: Leöer da$ Petl'ieke Problem
«•— i<y«=(— 5)'+i.
14
£_3 23 153 1033
»~T' 6* 41* 276"
11
x*-Ay*:sim\
—
V
4 ^ 196^1«
T' 8' "Sä"' 43?
A
ar»— i<f« = 7'+>
18
« 5 43 395 3649
y — r 10' 93" 860'
Ferner gehören folgende Gleicbongen und auflusende Wtrtk
sasammen :
X
y
X
y
X
y
X
y
_2 5 14 41 122
"-T' 4' 13* 4Ö' 121*
a;«_(2y)«=5>-+»
3 13 63 313 1S63
— I' 6' 31' 156' 781'
X
y
X
y
a,«_(3y)f=:7r+l,
4 '^ 172 1201 8404 x
V 8' 57' 400' ^Öi' .V
ar«— (4y)« =s 9^+».
5 41 365 3281
r 4Ö' W MF*
X
y
;t«-(2»)«=(-3)'+».
1 5 13 41 121 3«
"T' 2' 7' 20' "er' iä'
:t«-(3y)«=(-5)^>.
2 13 62 313 1562
I' 4' 21* 104' 521
a;«-(4y)«=(-7)H».
3 25 171 1201 84«
1' 6* 43' 300' 2101
a^— (5y)*=(— 9)M->.
4 41 374 3281 2»^
r 8' "53' «6* 6906
Hierin ist rs=0, 1, 2, 3.... zn setzen. Diese Werthe crgt
ben sich, wenn in den anflSsenden Gleichungen Air afl—Aj
=(— 6)H-i i4 = (m-f 1)* und 6=2m-{-l und in x*-~A^ «tat
ij = (iit— I)* und 6=::2fii— 1 geschrieben wird.
IT. einige damit %usammenhäng. Probleme aus der ZaAienlehre. 221
AuflOsang der Gleichang x^-^y^^zi^.
5«— 4« = 3*, 25-16 = 9,
13«- 12« = 5«, 169-144 = 25,
25«— 24« = 7«, 625—576 = 49,
41t_ 40« = 9«, 1681-1600 = 81,
61«— 60« =11«, 3721—3600 = 121,
85«— 84« = 13«, 7225—7056 = 169,
113«— 112« = 15«, 12769- 12544 = 225,
145«— 144« = 17«, 21025—20736 = 289,
181«— 180«= 19«, 32761—32400 = 361,
221« -220« = 21«, 48841 -48400 = 441 ,
10«- 8« = 6«, 100-64=36,
17«— 15« = 8«, 289-225 = 64,
26«— 24« = 10«, 676—576 = 100,
37«- 35« = 12«, 1369-1225 = 144,
50«- 48« = 14«, 2500—2304 = 196,
65«- 63« = 16«, 4225—3969 = 5^,
82«— 80« = 18«, 6724—6400 = 324,
101«- 99« = 20«, 10201—9801 = 400.
20«— 16« = 12«, 400—256=144,
34«— 30« = 16«, 1156—900=256,
52«— 48« = 20«, 2704—2304=400,
29«— 20« = 21«, 841-400=441.
Aafluiiang der Gleichung a?« — y« = 2',
niD aaf der rechten Seife das positive Zeichen genommen wird.
Durch Zeicbenwechsel entsteht ein negativer Werth der 2.
14«- 13« = 3», 196—169=27,
63«— 62« = 5», 3969—3844=125,
172«— 171« = 78, 29584—29241=343,
365«- 364« = 9», 133225 — 132496=729,
666«— 665« = 11«, 443556—442225= 1331 ,
1099«— 1098« = 13», 1207801 — 1205604=2197,
1688« - 1687« = 15», 2849344 - 2845969 = 3375,
2457«-2456« = 17», 6036849—6031936 = 4913 ,
3430« - 3429« = 19», 1 1764900-1 1758041 =6859,
463l«-4630« = 21», 21446161—21436900=9261,
36«- 28« = 8», 1296-784=512,
11-2«- 104«= 12», 12544-10816=1728,
2«J«- 252« = 16», 67600-63504 = 4096,
604«— 496« = 20», 254016—246016 = 8000.
76«— 49« = 15» , 5776 — 2401 = 3375 ,
185«- 158« = 21», 34225—24964 = 9261.
222
Oetlinger: L'eber das Pelt'sche Problem etc.
AuriüsuDf; der Gleichung üfl — y* = t*.
41»— 40» = 3*,
313«-r 312« = 5«,
1201«— 1200?= 7*,
3281»- 3280»= 9«,
7321»- 7320«= II«,
14281»— 14280« =13«.
25313«— 25312»= 15«.
41761»— 41760«= 17«.
66161»-66160« = 19«.
97241«— 97240« = 21«,
136«— 120* = 8«,
656»— 640« =12«,
2056»— 2040«= 16«,
5008*— 499-2» = 20«,
353»— 272» = 15«,
1681—1600=81,
97969-97344=625,
1442401 — 1440000=2401 ,
10764961-10758400=6561,
53997041 - 5382400= I464I ,
903946961 - 203918400 = 28561 ,
640747969 —640697344 = 50625 ,
1743981 121 — 1743897600 = 83521 ,
4245955921 —4245825600 = 130321 .
9455812081 —9435617600 = 194481 .
18496—14400=4096,
430336—409600=20736,
4227136-4161600=65536,
25080064-249-20064= 160000,
124609-73984=506-25,
1540081—1345600=194481.
1241»— 1160» = 21«,
Zu bemerken ist, dass (9r ((ieselben Weitbe von z verschie-
dene auflusende Werthe von x und y bestehen kunnen.
Vebungmufgnben für Schüler* 23ä
Uebungsaufgaben fiir Schäler.
Da die Mittbeilung aus dem ^Mathematischen Sifinen-
Confect** von Paul Ualekea entlehnter Aufgaben nicht ohne
Beifall aufgenommen worden ist: so will ich aus demselben alten
Boche jetzt zunächst noch eine Reihe unbestimmter Aufgaben
mittheilen, wenn auch unter denselben sich einiges Bekannte
findet, wo aber P. Haiken seine. Quelle immer angiebt. Ich
habe die Aufgaben hier %'on Nr. 1. an in ununterbrochener Folge
gesählt; bei Balken ist die Numerirung natörlich eine andere;
die erste Aufgabe hat bei ihm die Nummer 219. G.
TrebleoMta iBdetermiBSta«
Yen den unbeschrenckten Auffgaben.
• ^^
1. Findet drey Zahlen, wann man sie addirei^ oder mit
einander multipliciret, dass beydesmahl gleich viel komme? Fa-
cit 1. 2. 3. oder 3. 4. t^i und unzählige mehr.
2. Findet drey Zahlen in arithmetischer Proffression, deren
Samma eben soviel sey, als derselben ProducL Hievon aber
sey aasgenommen 1. 2. 3. als welche aus vorigem schon bekant
sind? Facit U. Ij. 2. oder i. 3^ 6. &c.
3. Findet 2 Zahlen von solcher Eigenschafft: Wann man sie
zusammen addiret, oder die erste durch die andere dioidiret,
daes beydesmahl gleieh viel komme? Facit H. }. oder jV K*
■sd unzählige mehr.
4. Man suche 2 andere Zahlen, wann man solche von ein-
uder subirahirei, oder die erste durch die andere dividitet.
224 Vebungsaufsaben für Schüler.
da»s beydesmahl gleich viel komme? Pacit \\. 2. oder iV \\.
oder 5}. 4. Und soviel man begehret.
5. Findet zwo Quadrat-Zahlen, wann man sie aääiret, oder
mit einander multiplicireU dass beydesmahl gleich viel kommet
Facit anendlich viel, doch setze nur f|. V* oder V/* Hl«
6. Findet zvro /?a<tona^- Zahlen, deren Summa eben soviel
sey, als die Summa ihrer Quadraten? Faci7 l. f., oder iV H»
und unendliche mehr.
7. Noch findet zwo rational Zahlen, davon die Summa der
Quadraten eben soviel sey, als die Summa ihrer Cubaruml Fa-
cti 1%. {l oder f. V- &c.
8. Man begehret die Zahl 2, in zwo rational Quadrüt-
Zahlen zu zertheilen. Facit ^5. U- oder töv* Ui- &c.
9. Man begehret die Zahl 6 in zwey ungleiche Theile zu
zertheilen, wann man jeden Theil zu der gegebenen Zahl 6 üd-
rftret, dass zwey rationale Quadraten kommen.
Facti Hh ilrtL und andere mehr.
10. Es ist eine Ordnung von gantzen und gebrochenen Zäh«
len, davon stehen die gantze Zahlen, wie auch die Zähler, is-
gleichen die Nänner, jedes absonderlich In arilhmetischer Prih
gre$$ion, und haben diese Eigenschafft: Wann man jede Zahl mit
dem Bruch einrichtet, so geben Zähler und Nänner Cathetus und
Basis, eines rechtwinckelten Trianguls. Ist die Frage nach sol-
chen Zahlen? und wie selbige gefunden werden?
Facit rV lil. ^iH. 3JJ. 4?!. oder \\. 2|. 3J. 4». 5iV.
11. Man hat eine andere Ordnung von Zahlen, da auch die
gantzen, wie auch Zähler und Nänner, jede besonders in aritkm.
Progression stehen, und wenn man jede gantze Zahl mit dem
Bruch einrichtet, so ist das kommende allemahl Hypolhenuso,
und der Nänner die Basis eines rechtwinkelten Trianguls. Wel-
ches sind die Zahlen? und wie werden selbige gefunden?
Facit 1}. 2|. 3^ 4|. 6,V
12. Drey Qiiacb*a^- Zahlen in arithmetiacher Progression su
finden. Facit 1. 25. 49. oder 49. 289. 529 &c.
13. Findet eine solche Qf<ai2ra/-Zahl, wann man deren Wor-
tzel dazu addiieU oder davon subtraAirtff dass eine Quadrat-
Zahl komme und restire. Facit ifi.
Vebungsaufgaöen für Scäüirr. 225
14. Findet 2 Quadrat-ZMetif wann man zum Quadrat der-
selbeo Summa jede besonders addiretf dass 2 rationale Quadrat-
Zahlen kommen? Facit sVrVi. Htit
15. Findet zvro Quadrat -Zahlen; Wann man von der einen
eioe gegebene Zahl, als jetzt 5» subtraAirei, und zu der andern
den ersten radicem addiret, dass wiederum zwey rationale Qua'
draten kommen? Facit Sf. J.
16. Es sind gegeben: 6a:x-i-2ix-i'^. Die soll man mit einer
solchen Zahl resohiren, dass eine rational Quadrat»Zah\ komme.
Was muss es für eine Zahl seyn? Facit 9. oder 2i &c.
17. Diese Quantitäten: Sxx+32x++39. sollen ein rational
Quadrat aus bringen. Wieviel muss x gelten? Facit 7^. oder
53). Und viel andere mehr.
18. Findet eine Zahl, wann man derselben Quadrat mit 10
multipUciret, und zum Producta die Zahl 6mahl, oder auch 9mahl
aiMtret, dass heydesmahl rationale Quadraten kommen? Facit Vo*
19« Findet zwo Zahlen; Wann man zu deren Producta
jede besonders addireU dass zwei rationale Quadraten kommen,
Qnd dass die Summa beyder Wurtzeln sey 6. Facit If. Vr • Die
27. des II. Buchs Diophanlu
20. Zwo andere Zahlen zu finden; Wan man von deren
Product jede besonders subtrahiret , dass zwey rationale Qua-
draten restiren, und die Summa ihrer radicum sey 6. Facit fy.
W. Die 28. des 11. Buchs Diophaniu
21. Findet zwo Zahlen» dass deren Summa» wie auch die
Samm ihrer Quadraten jedes ein rational Quadrat sey? Facit
1« 1»
22. Findet zwo Qt<ac{raf-Zahlen ; Wann man deren Summa,
durch die Summa ihrer radicum diciditei, dass ein rational Qua-
drat komme? Facit 1. 49. oder V- *t*.
23. Die beyden Latera von einem rechtwinckl. Triangul
Vk finden, also dass eines derselben sey ein Quadrat, und der-
selben Summa sey auch ein rational Quadrat Facit 400. 561.
oder 2047837. 2966284.
24. Der recbtwinckelte Triangul 3. 4. 5. hat diese Eigen-
•chaffr, dass der grossere Schenckel ist ein Quadrat, und wann
■an zu dem Inhalt den kleinern Schenckel addiret, kömmt auch
226 Veöungsaufgaben für Schüler.
ein Quadrat Einen andern recbtvi^. Triangul von gleicher Be-
flcbaffenheit zu finden? Facit sV«. 4 die beyden Schenkel, oin)
9n<T> der Inhalt i
25. Eine solche Quadrat»Zah\ zu finden, wann man deren
Radtcem, oder eine gegebene Zahl 2 darzu addiret, dass zwey
rationale Quadraten kommen? Facit lÜh
26. Findet eine solche Quadrat-ZM ; Wann man deren £a-
dicem oder eine gegebene Zahl 2 davon subtrahirei, dass zwey
rationale Quadraten restiren? Facit ItfJ.
27. Man finde eine solche Quadrat-ZM, wann man dieselbe
mit 14 mnltipliciret, und zum Product den radicem zu 5 mahlen
addiret; Oder wann man die Qtia(/ra^-Zahl mit 6 multipL und
zum Product den radicem zu 3 mahlen addiret, dass beyde
Summen rationale Quadraten seyn? Facit riir.
28. Findet zwo rationale Quai^ra^* Zahlen; Wann man von
deren Product jede besonder« «uöfraAiret , dass zwey rationale
Quac^ra^Zahlen restiren? Facit '«V. %V. Die 30. des II. Buchs
Diophanti,
29. Findet zwo Zahlen; Wann man derselben Summa zum
Product der Zahlen addiret, oder auch davon iubtrahiret, dass
beydes mahl rationale Quadraten kommen? Facit 3. 19}. Die
31. des II. Buchs Diophanti
30. Findet zwo Zahlen» deren Summa sey ein Quadrat, und
wann man diese Summa zu ihrem Producto addiret, und davon
subtrakiret, dass zwey rationale Quadraten kommen? Facit 1}.
7i. Die 32. des II. B. DiophanU.
31. Findet zwo Zahlen, deren Differentz ein Quadrat sey^
und wann man zu dem Product beyder Zahlen, gemelte Diffe-
rentz addiret, oder davon subtrahixet, dass zwey rationale Qua-
draten kommen? Facit 1}. 55.
32. Noch findet 2 Zahlen, deren Product ein Quadrat sey,
und wann man zu gemeltem Product, die Summa der Zahlen
addiret, oder davon subtrakiret, dass zwey rationale Quadraten
kommen? Facit Ü. W.
33. Findet drey Quadrat-ZMen, dass die Summa der bey-
den ersten auch ein Quadrat sey, und wann nau die dritte Qua-
drai'ZM von den beyden ersten jede besonders subtrakiret, dass
noch zwey rationale Quadraten restiren? Facit 9. 17. Vb**
Oebungstttifgaben für Schüier. 227
34. Man begehret drey Zahlen zu finden, nann man der-
selben Summ zu ihrem Produeio addifet^ oder davon #u6^aAtret,
dass zwey rationale Quadraten kommen? Facit l. 2^. 17}.
35. Findet zwo Quac^ra^- Zahlen; Wann man deren Summa
SU ihrem Produeto addiret, oder davon subtrahiret, dass zwey
raüonale Quadraten kommen? Facit WV* ^^fi*
36. Man begehret abermahl zwo Qtiadfra<- Zahlen zu finden,
wann man deren Differentz zu ihrem Produeto addirett oder
auch davon subtrahiret, dass die Summa und der Rest jedes ein
rational Quadrat sey? Facit «tV- ilS-
37. Findet eine Zahl, wann man eine gegebene Zahl a darzu
addiiet, oder eine andere gegebene Zahl b davon subtrahireU
dass eine Quadrab'ZM komme und restire.
38. Findet eine andere Zahl ; Wann man zwo gegebene Zahlen
a und b darzu addiret, dass zwey rationale Quadraten kommen?
39. Man zertheile eine gegebene Zahl a in zwey beliebige
Theile: Wann man zu dem einen Tbeil eine gegebene Zahl b,
und zum andern Tbeil eine gegebene Zahl c addiret, die beyde
Summen mit einander multipliciTet , dass das Product ein ratio^
nal Quadrat sey.
40. Zwo Zahlen zu finden; Wann man deren Product zu
der Differentz addiret, und auch davon subtrahirei, dass zween
rationale Cuben kommen? Facit if. iU
41. Von den beyden CtiA/c-Zahlen 8 und 27 thut die Diffe-
rentz 19. Man hegehret zwo andere Ctcfttc* Zahlen zu suchen,
deren Summa 19 thut. Facü 24641883. und 5341020992. jede ge-
tbeilt in 294079625.
42. Man begehret zwo Cubic - Zahlen zu finden von solcher
Eigenschafft: Wann man jede von einer gegebenen Zensi^Cubic-
Zahl, als jetzt 64 subtrahiret, dass die Summa der beyden Reste
ein rational Quadrat sey. Facit ViVr . irS?.
43. Drey C«6tc* Zahlen zu finden; Wann man jede von ei-
nem gegebenen Zensicubo^ als 64 subtrahiretf dass die Summa
der dreyen Reste ein rational Quadrat sey. Facit VoW* VoW- ^*
44. Es sind 4 ungleiche Cu6tc-Zahlen , thut die Summa der
beyden ersten» eben so viel, als die Summa der beyden andern.
FacU 1157625. 5359375. Summa 6517000.
287496. 6229504. Summa 6517000.
228 üeöungsaufgaben für Schüler.
45. Man finde vier andere Cti^tc-Zahlen« davon die Soniroa
der beyden ersten eben so viel that, als die Differentz der bey-
den andern. Facti 343. 2744. Saroma 3087.
4913. 8000. Differentz 3087.
46. Drey Zahlen in nrithmetischet Progress za finden, da^e
die Samma ihrer Cubarum, ein rational Cubus sey. Facti 3. 4.
5. oder 149. 256. 363.
47. Vier Zahlen in urtt^me/tscher Progression za finden,
dass die Snnima derer Cuborum ein rational Cubus sey. Fadi
11. 12. Vi. 14.
48. Imgleichen fOnff Zahlen in an^Am^tocher Progressioft
zu finden, dass die Summa ihrer Cuborum ein rational Cubus sey.
Facit 230. 243. 256. 269. 282.
49. Noch begehret man sechs Zahlen in ari^mefischer Pro-
gression zu finden, dass die Summa ihrer Cufiorum ein rational
Cubus sey? Facit 435. 506. 577. 648. 719. 790.
50. Findet drey Zens'Zensi'ZMen; Wann man die beyden
ersten addiret, und von der Summa die dritte subtrahirett dass
eine rational Quadrat-ZM restire. Facit 88529281. 1416468496.
1330863361.
51. Findet zwo Zahlen, deren Differentz sey 1. Das triptat
ihres Products sey ein rational Quadrat, und wann man das
Quadrat der grossem mit der kleinern Zahl multipiiciret, sey das
Product ein rational Cubus. Facit |f. Iff.
52. Findet eine Cti6tc-Zahl; Wann man zu derselben, wie
auch zu deren Wurtzel, eine Zahl t/ addiret, dass die erste Sumraa
wiederum ein Cubus, und die andere deren Radix sey. Fadi
der Cubus ist rtvIS?» dessen Radix ist U* Die Zahl y Ist {J.
Die 9. des IV. B. Diophantu
53. Findet solche vier Zahlen, wann man deren Summa mul*
iipliciret mit der ersten, dass ein Quadrat, mit der zweyten,
dass ein Cubus, mit der dritten, dass ein sursolidus, und mit der
vierten, dass ein Bsursolidtis komme. Facit ViVr* iHt- «Vvi*
«JIr* Deren Summa tbut «^.
54. Findet 10 ungleiche Quacf rot- Zahlen, wann man vom
Quadrat ihrer Summa, jede besonders subtrahirei, dass 10 ra-
tionale Quadraten restiren. Facit So viel man derselben ver-
langet
Oebungsaufyaben für Schüier, 229
«
55. Drey beliebige Zahlen in gantzeo zo finden, wann man
zu dem Producta solido das Planum von ihrer zweyen addiieU
das8 drey rationale Quadraten kommen. Facit l. 8. 49. oder 2.
24. 242. oder 3. 48. 675. und so viel man zu haben verlanget.
56. Noch findet drey Zahlen ; Wann man von dem Producta
soUda, das Planum von ihrer zweyen subtrahiretf dass drey ra-
tionale Quadraieo restiren , und zwar in gajitzen Zahlen. Facit
2. 9. 289. und andere mehr.
57. Findet solche drey Zahlen : Wann man je zwo derselben
miteinander multipliciret, und zu jedem Producta 45 addiret,
dass drey rationale Quadraten kommen. Man begehret hierauff
alle Facit in gantzen zu finden, und werden sich 14 Facit im
gantzen hervor thun.
58. Es sind zwo Enneaganal-Zah\en 46 und 24. Deren Diffe-
rentz thut 22. Man begehret zwo andere Enneaffonal'ZMen zu
finden, deren Di/ferentz auch 22 sey. Facit ^ti\ IL
59. Es sey gegeben die Decagonal'ZM 52. Man begehret
dieselbe in zwo andere rational Decagonal-Zikhlen zu zertbeilen.
K*MM*# 93 04 «000
60. Findet eine TV/^onaZ-Zahl ; Wann man deren Radicem
darzu addiret, oder davon subtrahiret, dass eine 7Vi^oita/-Zahl
komme und restire. Facit IiV* oder 2}. Und unzählige mehr.
61. Findet eine Pentagonal^ZM, wann man den Radicem
darzu addireU oder davon subtrahiret, dass zwo Pentagonal-
Zahlen kommen. Ifi. oder 3}(. und viel andere mehr.
62. Findet eine Octo^ona/ - Zahl , wann man den Radicem
darzu addiret oder davon subtrahireU dass zwo rationale Octagonal-
Zahlen kommen. Facit. (Nicht beigellQgt.)
63. Drey 7Vtj709ta/-Zahlen in ort/Ame/ischer Progression zu
finden, also dass die Summa derer Radieum auch eine Trigonal'
Zahl sey. Facit iVAV- Wd'aV. VrVaV. Sind 3 THgonal- Zahlen
10 arithm. Progression die Summa ihrer Wurtzeln thut lU ist
auch eine Trigonal^ZM, wie begehret
64. Drey TVt^oita/- Zahlen in ari(Aiite<ischer Progression zu
finden, deren Summa auch eine rational Trigonal-Zah\ sey. Fa-
cit ü. 15. 7',V. Summa thut 45.
65. Findet zwo P^itto^ona/- Zahlen: Wann man dieselbe ad-
dtret, oder von einander subtrahiretf dass zwo rationale Pento '
^onal-Zahlen kommen. Facit 5 und 7 und andere mehr.
230 Vebungsaufgaben für Schüier.
66. Findet vier Zahlen; Wann man von deren Sanima tub*
tra/Uret die Summa der Quadraten von a und b, oder von a und
c, oder von ö und c, oder von c und d, daes vier rationale Qua'
draien restiren. Facii tut« rVi. iif. idV-
67. Findet fünff Zahlen ; Wann man von deren Summa sub»
trahirei die Summa der Quadraten von a, b, c, oder von b, Cy d,
oder von c, d, e, oder von o, c» c/, oder von d, a, b, dass fünf
rationale Quadraten restiren. Facit i|. /s. 21* Iv* IS*
68. Findet eine QuadraUZahl, wann man 3 oder 5 darzu
addiret, dass beydesmahl wiederum rationale Quadraten kommen.
Facit A. oder *SJJJ!5".
69. Von dreyen Quadrat-Zühlen in atithm. Progtession sind
gegeben die beyden Extremen^ als 49 und 289. Mttn begehret
eine Quadrat-XM zu suchen, ^ann man dieselbe zu jeder be-
sonders additety dass zwei rationale Quadraten kommen. Fac^^^f*.
70. Findet drey Qtiac/ra^Zahlen; Wann man die kleinste
von den beyden grossem jede besonders subtrakirety dass zwey
rationale Quadraten restiren: Auch wann man die b£fyden Reste
addixet, die Summa halbiret, dass wiederum eine Qüädrat-TaiA
komme. Facit Vs*. Vi?. ^S^.
71. Drey Quac/rat-Zahlen zu finden, wann mah derselben
zwo zusammen additety dass drey rationale Quadraten kommen.
Facit 1936. 57600. 13689.
72. Noch findet drey Qtia<£ra^Zahlen^ wann man je zwo
derselben von einander subirahiret, dass drey rationale Quadraten
restiren.
73. Es wird begehret solche zwo Zahlen zu suchenj deren
Summa ein rational Quadrat sey; Und wann man ton dem Qua-
drat der Summe jede Zahl besonders subtruhiret, dass zwny ra-
tionale Quadraten restiren. Facit USS- Ulh
74. Man suche zwo andere Zahlen, deren Stirania ein tä-
tional Quadrat sey; und wann man zu dem Quadrat del* Summe^
jede Zahl besonders addiret, dass zwey rationale Quadraten
kommen. Facit i^Vv HiS*
75. Findet drey Zahlen a, b, c: Wann man zum Quadrat
der Zahl c, die Zahl a oder 6 jede besonders additety dass zwey
rationale Quadraten kommen. Darnach finde man eine Zahl dy
wann man damit die Zahlen a, 6, c multiplieiret, so kommen drey
Zahlen e, f, g; so man zu dem Producta ef die Zahl g addi*
Oebungzaufgaben für Schüler, 231
ret« oder auch davon iubirahUei^ dass wiederum zwey rationale
Quadraten kommeD. Faeit oti* 6tV c^. d6. e^l. f^. gl,
76. Man finde solche zwo Zahlen, deren Summa und Pro-
duct beydes rationale Quadrafen seyn, und wann man die Diffe-
reniz der Zahlen zu ihrer JSnmma addiret, oder davon subtrahiret :
Imgleichen die Differentz ihrer Quadraten zu gemalter 8unima,
wie auch zu deren Quadrat addiret, oder davon subtrahireU dass
allemahl rationale Quadraten kommen. Facit to- 1q- oder jW^-
iHi« und viel andere mehr.
77. Findet drey Zahlen in ort^me^scber Progre$non\ Wann
man zu jedem Product ihrer zween, eine gegebene Qt<ac{ra^Zahl
25 addiret, dass drey rationale Quadraten kommen. Fadt 5. 40.
75. oder 20. ISO. 280. &c.
78. Drey Zahlen in arithmetiBcher Progression zu finden.
Wann man von jedem Product ihrer zween 3 subtrahiret, dass
allemahl rationale Quadraten restiren. Facit 1. 4. 7. oder 2. 14.
26. oder {\. ff. \\\ &c.
79. Findet drey Zahlen in orttAme^cher Progression; Wann
man von jedem Product ihrer zween die arithmetische Differentz
subtrahiret, dass drey rationale Quadraten restiren. Fac. 2|. 15.
27}. oder 8. 56. 104.
80. Noch findet drey Zahlen in arithm, Progression; Wann
man zu jedem Product ihrer zv^een die arithmetische Differentz
addiret, dass drey rationale Quadraten kommen. Facit If. V/*
Vi\ oder 104. 780. 1456.
81. Man finde solche drey Zahlen, deren Summa sey ein
Quadrat; Wann man zwo derselben miteinander multipUcirets
irod zu jedem Producta die Summa addiret, dass drey rationale
Quadraten kommen. Facit 4|. 22|. 54. deren Summa ist 81.
ffi. Findet abermahl drey Zahlen, deren Summa ein Quadrat
sey: Wann man von jedem Producto ihrer zween, gemelte Summa
nbtrakketj dass drey rationale Quadraten restiren. Faeit 8}.
llOi. 170. deren Summa ist 289.
83. Man begehret zwo Quadrat-ZahXen zu suchen, deren
Smama auch ein rational Quadrat sey; Und wann man das Qua»
drat der Summa von einer jeden der beyden ersten Quadrat'
Zahlen sabirahiret, änsa z^ey rationale Quadraten restiren.
84. Findet two andere Qtuii^rat-Zahlen, deren Summa auch
232 l'ebungsaufgaben für Schüier.
ein rational Quadrat sey, und wann man von dem Quadrat der
Somroe jode der beyden ersten Quadrat-Zahlen subtrahireU dass zwey
rationale Quadraten restiren. Fac. •*^'***'/9oooooo» ''®*^%oooooo'
85. Findet drey Zahlen in onY^metischer Proffresnon; Wtim
man von den dreyen Rectangulis ab, ac, bc, das Productm
solidum abc subtrahiietf dass drey rationale Quadraten restim.
Facit V4- Vr %8-
86. Drey Zahlen in harmonischer Protjreuion zu finde»;
Wann man von den dreyen Rectangulis ab, ac^ bc, das Produc»
tum solidum abc, subirahitet, dass drey rationale Quadraten
restiren. Fac. "ye4o. "V400. "Vieo-
87. Noch finde man drey Zahlen in harmonischer Progres'
sion; Wann man zu dem Producto solido, die drey Plana ab,
ac, bc additet, dass ^rey rationale Quadraten kommen. Ist irie
das vorige, jedoch dass hier grössere Zahlen kommen.
88. Findet zwo Zahlen von solcher Eigenschafft; Wann man
za einer jeden besonders: zu ihrer Summa» wie auch zu ihrer
Differentz additet eine gegebene Quadrat^IttM, als jetzt 4. dass
vier rationale Quadraten kommen. Fac. 96. '^^/f5. Die 14. def
/F. Diophanti.
89. Findet solche zwo Zahlen ; Wann man von einer jeden,
wie auch von Ihrer »Summa 9 und von ihrer Differentz, eine gege-
bene Quadrat'IiM, als jetzt 4. subtrahiret, dass vier rationok
Quadraten restiren. Fac. 20. ^«^Vs«. oder 5. ***Vi44. &c.
90. Man suche solche zwo Zahlen , dass die Differentz \hxet
Qtiadraten, ein rational Quadrat sey, und wann man dieselbe
von einer jeden Zahl, wie auch von der Differentz der Zahlen
subtrahiret, dass drey rationale Quadraten restiren. Fac. Vm- ^Vn*
91. Findet zwo Zahlen; Wann man zu einer jeden, wie
auch zu ihrer Summa, die Differentz der Quadraten, addirti;
Auch wann von besagter Differentz der Quadraten die Diffe-
rentz der Zahlen subtrahiret, dass vier rationale Quadraten kern-
uieu. ** ac 4«nr5 • iTi •
92. Man finde solche zwo Quadr. Zahlen , deren Summa
auch ein Quadrat sey ; und wann man zu dem Quadrat der Summe*
jede der ersten beyden Quadrat 'Zahlen addiret, dass wiederoro
zwei rationale Quadraten kommen. Fac. 1656369. 49280400. jede
getbeilt in 221533456.
93. Findet drey Qtta<frll^ Zahlen, wann man je zwo dersel-
Uebunffsau/paden fär Schüler, 233
ben mit einander multipliciret^ nnd zu jedem Producto die Qua-
draUZM 25 addiret, dass drey rationale Quadraten kommen.
FaC 4. 1«V570. *«"/576.
94. Drey andere Qtcaclra^-Zahlen zu finden, wann man von
jedem Produet ihrer zween^ die Quadrat-Zah\ 9. subtrahiret,
dass drey rationale Quadraten restiren. Facit 4. •^^^Vi^oo* **®*Vi«oa*
95. Findet solche zwo Zahlen, wann man zu deren Pro-
duet jede Zahl besonders addiret, und auch davon iubirahiret,
dass vier rationale Quadraten kommen. Facit **/24. und ******^Vn7eoo«
96. Findet abermahl zwo Zahlen ; Wann man zu deren Summa,
das Quadrat einer jeden Zahl addiret und auch davon 'subtrahi'
ret. dass vier rationale Quadraten kommen. Fac ^'^^/hssa*
474AS640/ ^ ^
97. Findet noch zwo Zahlen; Wann man zu deren Diffe»
renü, das Quadrat einer jeden Zahl addiret, und auch davon
snbtrahiret, dass vier rationale Quadraten kommen. Fac. '^ntss*
98. Findet solche zwo Zahlen, deren Summ sey ein ratio-
nal Quadrat: Wann man die Differentt der Zahlen, mit einer
gegebenen Zahl 2. und die Differentz ihrer Quadraten mit einer
andern Zahl 3. multipliciret, und die beyden Producta jedes be-
sonders zu ohgemelter Summa der Zahlen addiret, und auch da-
von subtrahiret, dass vier rationale Quadraten kommen. Fac
/iWI« /1Ö81-
99. Noch begehret man zwo Zahlen zu suchen, deren Summa
sei ein rational Quadrat: Wann man die Differentz der Zahlen
ditidiret in eine gegebene Zahl 2. und die Differentz der Qua-
drateu dividiret in eine andere Zahl 3. Die beyden Quotienten,
jeden besonders zu obgemeldter Summa addiret und auch davon
nbtrakiret, dasn vier rationale Quadraten kommen. Fac, '^^Visfis*
n»«. oder «*V5ooo. "V5000.
100. Findet drey Quadrat-ZMen; Wann man zu jedem
Producto ihrer zween, addiret die Summa der beyden selbigen,
oder auch die übrige dritte Zahl, dass allemahl rationale Qua*
draten kommen. Facit «%. «V». "%. Die 5. des F. Diophanti.
101. Drey rechtwinckelte Triangula zu finden in rational'
Zahlen, also dass das Produet der dreyen Perpendicularen , zum
Produet der dreyer Basen, sich verhalte wie ein Quadrat zum
andern. Aus dem Vieta.
102. Findet drey Quadrat*Z2Ai\en : Wann man zu derselben
Theil XLDC. 16
234 Vebungsauf^aöen für Schüier.
Product jede besonders ädditei» dass drey raiumale Quüdrakn
kommen. Faclt ^% «/le- **y8i- '^«« 24. des F. Diophanti
103. Findet drey Reebtwinckl. Triangul in ra^OYia/- Zahlen,
also dass das Product der dreyen Hypothenusen, zu dem iVo-
iltict der dreyer Baten, sieh verhalte wie ein Quadr. zom anders.
Aus dem Vieta.
104. Suchet solche drey Quadrat ' Zahlen ; Wann man voo
dem Product derselben ^ jede besonders subtrahitet, dass drey
rationale Quadraten restiren. Fac. ^^%^* *%. %> Die 25. des
F. DiophanU.
105. * Findet abermabi drey QuadraUZMen ; Wann man der-
selben Product von jeder besonders subtrahirei, dass drey raiu)
nale Quadraten restiren. Fac. ^/i^g. ^/m* %• Die 26. des F.
106. Zwo Zahlen zu finden; Wann man von einer jeden, wie
auch von ihrer Summ, und von ihrer Differentz, die Differentt
ihrer Qtiac/raten subtrahitet, dass vier rationale Quadraten resti-
ren. Fac. */24« **/ä4'
107. Findet drey Zahlen in arithmetischer Progression; Waon
man zu dem Producta solido abc die drey Plana ab, ac, bc
addiret, dass drey rationale Quadraten kommen. Fac. '^Viitoo-
•**Vl800« "^^yicoo»
108. Vier Zahlen zu finden: Wann man zu dem Produeto
der drey ersten abc, addiret die sechs reciangula, so von ihrer
zweyen gemachet werden, dass sechs rationale Quadraten kom-
men. Facit Vs- ^4$. Vit' '%•
100. Man begehret solche drey Zahlen zu finden, wann mtn
je zwo derselben zusammen additet, oder von einander subtrahittt,
dass sechs rationale Quadraten kommen. Facit 135102155010400.
541268135684000. 837829289028401.
110. Findet vier Zahlen von solcher Eigenschafft: Wann
man ihrer Zween von einander subtrahitet , dass 6 rationale Qua-
draten restiren. Facit 1. 519761693026. 2245727a30626. 5755474489260.
111. Einen rechtwinckelten Triangul zu finden, dass die
Summa der drey Seiten sey ein rational Quadrat, und wann man
zu dieser Summa den Inhalt addiret, dass noch ein rational
Quadrat komme. Fac. 144. 192. 240.
112. Zu finden unzähliche rechtwiockelte Triangula, dessen
Basen und ffgpoihenusen sind TVt^ona/- Zahlen, und die Cathe»
V€bun§9au/iaben für Seküier. 2Sä
tut ClMMe-Zableii; Auch vrann man die Baten qod Hypothrva--
samnlen tuiUUiett oder von eioander subtraAwet, daas raUonaU
Quadratßn komroen.
Diefe werden gefunden, wann man aus Zweyen an einander
stehenden TW^ona/- Zahlen, rechtwinckl. Triangtä fermiret, wie
folgends zu sehen.
TtigonaUs.
Bast»,
Catketui.
HypolAenusa.
I. 3.
6.
8.
10.
3. 6.
36.
27.
45.
6. 10.
120.
64.
136.
IG. 15.
300.
126.
325.
Dnd 80 fortan anendlieh.
113. Reehtwinckelte Triangtä zu finden; Wann man die
Hifpoih. und Bagit zusammen addirei, oder von einander sub'
trakitet, dass rationale Quadraten kommen, und dass CatAeius
aoch ein Quadrat sey.
Wann man zwo Qt£oi2r<i^Zahlen , so entweder nahe beysam-
men stehen, oder auch sonst nach Belieben genommen werden,
zu Gtniiuten setzet, so haben die recbtwinckl. Triang, so daraus
entstehen, wann sie balbiret werden, die begehrte Eigenschafft.
Cenituxvx. Hypoth, Bat. Caihet^
1. 4. 8i. 74. 4.
4. 9. 484. 324. 3&
9. 16. 168i 874. 144. &c.
114. Man begehret solche recbtwinckl. Triangul zu finden,
dass Cathetut sei ein Cubut; und wann man Hypoih. und Batit
additet, oder tubirahiret, dass auch rationale Cuben kommen.
115. Es sey gegeben ein rechtwinckelter Triangul 3. 4. 5.
Dessen Inhalt thut 6. Man begehrt einen andern recbtwinckl.
Triang. in ra/ionaZ-Zahlen zu finden, dessen Inhalt auch 6 sey.
116. Zween reehtwinckelte Triangul zu finden, deren Inhalt
gegen einander in begehrter Ration, wie p gegen q stehen.
FSr p=2, 9 = 3 giebt H. folgende rechtwinklige Dreiecke an:
40, 9, 41 und 10, 24, 26;
ferner]
14, 48, 50 and 16, 63, 65.
117. Es sind zween reehtwinckelte Triangul, vom ersten
that Hypoth. 5 und Basis 4. Vom andern thut Hypoih. 10. und
Bat. 6. stehen also die Producta Hypoth. und Bat. beyder Tri-
^nigul tR proportione tripla. Man begehret zwey andere recht-
236 Veöungiaufgaöen für Schüler,
wiDckl. Triang. zu finden , davon die Producta Hypoih. und Bn-
«ich auch in proporUone tripla gegen einander verbalteo«
Fac. Hyp. 481. Hyp. 962. Hyp. 481. Hyp. 7211.
Bat. 480. Äff*. 720. ^^^^ Äa*. 360. Äa#. 720.
118. Findet einen rechtivinckelten Triangttl von solcher
Eigenschafft: Wann man zu dessen Inhalt den einen Schenckd
addirei. oder von gemeltem Inhalt den andern Schenckel subtrü-
hirei, dass zwey rationale Quadraten kommen. Fact7 3807. 2176.
Byp. 4385. jedes geth. in 1215.
119. Einen solchen rechtwinckl. Triang. zu finden; Wann
man dessen Inhalt von jedem Schenckel subtrahiret, dass zwey
rationale Quadraten restiren. Fac. 207. 224. Hypoth. 3(fö. jedei
getheilt in 135.
120. Noch sey zu finden ein rechtwinckl. Triangul; Wann
man dessen doppelten Inhalt von jeder Seite subtrahiret , dass
drey raUonale Quadraten restiren. Fac. 2264592. 18325825. Byp.
18465217. jedes geth. in 20590417.
121. Findet einen solchen rechtwinckelten Triangiä; Waon
man zu dessen Inhalt jeden Schenckel addiret, dass zwo ratio-
nale Quadraten kommen. Fac. ^%g» "/19. *7i9* ^^'^ i^« ^®* ^^'
Diophanti.
122. Vier Zahlen zu suchen : Wann man je zwo derselben
mit einander multiplicitety und jedes Product von einer gegebe*
iien Quadrat 'Zah\ 25 subtrahiret, dass sechs rationale Quadra»
ten restiren. Fac. 2y^. ^%. »«/ö- "•*/5ia-
123. Findet solche vier Zahlen: Wann man von dem Pro-
ducto der dreyer ersten, subtrahiret das Planum ^ so von ihrer
zH'eye geniacbet uird^ dass allemahl rationale Quadraten restiren.
Facit 1. */a. "/48- '**^^7r6895t9.
124. Findet vier Zahlen, deren Summa ein rational Quadrat
sey, und wann man je zwo derselben zusammen addiret, dass
allemahl ein rational Quadrat komme. Facit 18884961. 37410048.
46935808. 53144208. Summa ist 156375025: Eine Quadrat-IM.
125. Man begehret vier Zahlen zu suchen : Waon man je
zwo derselben mit einander multiplicirety und von jedem Pro-
ducto die Summa der 4 Zahlen subtrahiret, dass sechs rationale
Quadraten restiren. Fac. 5V8* lOVa* l^Vs* ^^' Deren Summa
tbut 48V4.
126. Noch vier Zahlen zu finden : Wann man zu jedem Pro-
Oebungtaufgaben für Schüler. 237
dMcii 80 von ihrer zweyen geinachet wird, die Samma der vier
Zahlen addiret, dass sechs rationale Quadraten kommeo. Fae.
19. »*»/,4. «ow/jjg. »^w/„. Deren Summa that *«»•/».
127. Findet solche drey Zahlen; Wann man deren Summa
mit jeder Zahl multipliciret, dass drey rationale Qaadraten kom*
tuen: Und wann man zu dem Producto der beyden ersten Zah-
len, die dritte Zahl addiret, oder auch davon subtrahitetf dass
noch zwey rationale Quadraten kommen. Fac, die beyden ersten
176670583684. 29827017025. Und die dritte 92933522500. jede
getb. in 55770929760.
128. Endlich findet noch vier Qtf ai2ra/-Zahlen , deren Summa
auch ein rational Quadrat sey; Und wann man von gemelter
Samma den Radicem aus jeder der begehrten vier QuadraUZdh^
leo tubtrahiteti dass noch vier rationale Quadraten restiren. Facti
Die vier Qiiac^ra/- Zahlen sind:
579789456493196777793786856.
410599150950347260737490944.
2184271321780795359-27398400.
5816991 1317382352949350400.
Jede getheilt in das Quadrat von 47376996779025. Deren Summa
«t :;;?r»tnYHIf> Eine Quadrat^ZM.
Ist alles richtig und probiret*).
Wenn die Diagonalen d, d* eines Vierecks sich gegenseitig
in den Verhältnissen p\p* und q\q' theilen und B den von die*
seo Diagonalen eingeschlossenen Winkel bezeichnet: so ist das
Quadrat der dritten Diagonale des Vierecks gleich
g^'*(y-yO*<f'H'gV'(p-yO*tf^^-f2pp^yy^(p«-p^«)(y»-y^«)da^cos6
ond die Gerade, welche diese beiden Diagonalen in den Verhält-
nissen m\m' und n:it' theilt, theilt die dritte Diagonale in dem
Verhältnisse:
*) Zn Tielleicht gewänschten Erläuterungen ober die eine oder die
tadere Aufgabe bin ich sehr gern erböcig, so weit mir dieselben mög-
Hch sind. Es kommen in dem Buche manche UndeuUichkeiten vor,
oimenüich sind die Ziffern sehr undeutlich gedruckt, so dass Irrangen
^ onvermeidlich sind. G.
^8 Miueiien.
p'9'—pq ' P9'—P'9
J. J. Walker» M. A.
XTIII.
i 8 c e I 1 e
Die Beschleunigimg eines bewegten Ponlctes zerl^ nach den
Badiusvector und senkredit zn demselben.
Von Herrn Professor Dr. Ligowski an der yereinigten Ingenienr- und
ArtUlerieschule in Berlin.
Die Coordinaten des Punkte» seien x,y,2f der Radius?ector
r, der In der Zeit t durcblaofene Weg g nnd die Beschleunigoog
der Bewegung p, so wie endlich die Geschwindigkeit in der Bab
gleich f>.
Wenn die Differenzialquotienten nach i durch Accente angs*
deutet werden» dann sind bekanntlieh afy"i' die Componeoten
der Beschleunigung naefa den Axen.
Da pcos(|i, r)s=a/'cos(r, ar)+ycos(r,y)+i"cos(r,«), so Ist:
1) peo.(p,r) = ^::^±^^Lt^'.
Aus d;*-fy*-f 2* = r* ergiebt sich durch zweimalige Diferes>>'
rung nach ix
also:
und somit:
MitceUen. 239
,. , , (rT y« (r«)" »• „ $'*-r'*
i)...pcon(p,r)=-^ -=-^--=r"
Ans 1) ergiebtsicb die Beschieunigang normal ramRadiiuvector:
3). . . . p«lo(p, r)=J V rV-(af"a:+3ry + »"»)'
oder
4)
= V (ya' -y'2)'« + (ii' -i'o:)'« + (:ry' - :r'^)'«
Sind ü/y ilf» 2V die doppelten Flächeninhalte der Curven, welche
die Projectionen de« Radiusvectors in den Ebenen YZ^ XZ und
XY beschreiben 9 so ist auch
5) f^sin(p, r) = V L"«+ Üf'^ + A"«
Bewegt sich ein Punkt so, dass L\ M" und iV" gleich Null
siod, dann ist auch sin(p»r):=0» mithin cos(p,r)=:1, die Be-
^^ng ist also eine Centralbevregung. Aus L''=: jlf =:iV''=0
folgt, dass U ^ M' und N' konstant sind, mithin sind £, il/ und
i^ proportional der Zelt. Da noch L'a-^ M'y-^-N't^zü ist, so
liegt die Bahn des Punktes in einer Ebene, welche durch den
Anfangspunkt geht.
Für jede Bewegung in der JTF- Ebene ei^iebt sich aus 2)
und 5):
6) pcos(p,r)=r" — rq/^
Qod
7). . . rp sin (p,r) = ir'=:(rV/ = (2rV + »-9'>»
wenn 9 der Winkel (r, j:) ist.
240 Zur Beachtung. — Druckfehler,
Zar Beachtmig.
Es sind in der letzteren Zeit eine grössere Anzahl von Parai-
lelentheorien bei mir zur Veröffentlichung im Archiv eingegangeo,
jedenfalls veranlasst durch die Aufmerksamkeit, welche dieser
Gegenstand jetzt von Neuem erregt hat. Ich begnüge mich för
jetzt, den Aufsatz Nr. XIV. in diesem Hefte zu veroffentücbeo,
und zwar namentlich aus dem Grunde, weil derselbe vorzags*
weise — um so zu sagen — einen philosophischen Standpuokt
einzunehmen sucht, ein Standpunkt, welchem, wie ich von jeher
der Meinung gewesen bin, bei diesem Gegenstande eine gewisse
Berechtigung nicht abgesprochen werden kann. Von meinen eige-
nen sonstigen Ansichten fiber die Begründung dieser wichtigen
Theorie kann und darf natürlich hier jetzt nicht weiter die Rede
sein. G.
99 »9 $*
>• »» »»
Druck fe hier.
Theil XLIII. S. 389. Z.2v. o. statt „die Gleichung der
Bahn'' muss es heissen: „Die Gleichung der Berfihreo-
den der Bahn."
Einige Berichtigungen zu der Abhandlung
Tbl. XL VII. Nr. XXIII.
S. 269. Z. 16 V. o. statt 90<' lies 60^.
18 „ „ 90O „ 60».
10 V. a. „ „über** lies „unter**.
2
„ 281. Z. 12 V. o. muss der Bruch noch mit ^ multiplicirt werden-
„ 296. Z. 11 „ und Z.9 v. u. erhält das x unter dem Radical
im Nenner den Exponenten 3.
Theil XLVIII. S. 199. Z. 21 v. o. lese man statt „einer hal-
ben Stunde'*: „einer halben Sekunde."
Theil XLVIII. S. 204. Z. 19 v. u. soll es heissen: „in Folge
der Kompression der Luft und der Reibung etc." /
Anlon: Die Elferprobe u d. Proben für die Modul Senn, Dreizehn elc.2i\
Die Elferprobe und die Proben für die Modul Neun,
Dreizehn und Hunderteins.
Für Volks- und Mittelschulen.
Von
Herrn Hermann Anion
in Wien.
Vorwort.
In Lehrbüchern der Arithmetik findet man gewöhnlich nur die
Neanerprobe angegeben, seltener die Elferprobe, und beide nur
auf Rechnungen in ganzen Zahlen und Dezimalbrüchen angewen-
det Die Elferprobe verdient der Neunerprobe vorgezogen zu
werden; sie ist verlässlicher als diese und gestattet die Anwen-
dung auf Rechnungen in gemeinen Brüchen und auf Rech-
nungen in mehrnamigen Zahlen. Den Schülern der obern
Volksschul- Klassen und denen der untern Mittelschul- Klassen
dürfte sie ein bequemes Mittel der Selbstkontrolle bieten. Die
Elferprobe^ auf eine umfangreiche Multiplikation oder Divisjon in
gemischten oder mehrnamigen Zahlen angewendet, erfordert nur
einen Zeitaufwand von wenigen Minuten.
Nur in seltenen Fällen wird die Elferprobe unanwendbar und
kann dann durch die fast eben so leicht ausführbare Probe fSr
den Modul 13 ersetzt werden.
Die Probe für den Modul 101 ist zur Prüfung grösserer Wur-
zeliiehungen geeignet.
Die im zweiten Theil gegebenen, auf die Lehre von der Con-
^oenz der Zahlen sich gründenden Beweisführungen setzen beim
l'Cser kein höheres Ausmass mathematischer Kenntnisse voraus,
Als den Schülern der obern Mittelschul-Klassen geboten wird.
Vheil XUX. IT
24& Anton: Die Elferprobe und die Proben
Nicht uninteressant dürfte die Anwendung der Restproben aaf
Kettenbrüche, Perniutationszahlen und Kombinationszahlen gefvn*
den werden.
Der Verfasser fählt sich zum Ausdruck herzlichen Dankes
verpflichtet ffir das freundliche Interesse, welches Herr J. Kolbe,
Professor der höheren Mathematik am polytechnischen Institute
zu Wien» an vorliegendem Aufsatze genommen.
Wien, Juli 1868. Der Verfasser.
Inhalts-Terzelehniss.
Seite.
Bnter Tbeil.
A. Die Elferprobe:
L Die Probeoahl 249
n. Prfllnng von Bechnungen in ganzen Zahlen t4l
nL Frflftuig Ton Bedinnngen in gemeinen BrQchen . . . • • . S46
IV. PrOfong Ton Beehnongen in Desimalbrflcfaen fS9
V. PrOfong von Beehnongen in mehmamigen Zahlen 256
B. Die Kennerprobe S6I
a Die Probe ftr den Modal 18 SC4
D. Die Ptobe Ar den Modnl 101 269
Zweiter TheiL
Anftnchnng der Probeiahlen 271
Anwendung der Probezahlen :
L Vorbegriffe 275
IL Verbindung der Congmenien 279
m. Snbstitation der Beste 279
IV. Bechnnngen in gansen Zahlen 281
V. Congmenzwerte Ton ax 28S
VL Beehnongen in Brachen 287
Vn. Anhang :
1. Kettenbrflche 294
8. PermntationsMhlen 297
8. Combinationsiahlen S08
4. Prodokt der Wonelfaktoren 307
ft. Partialbraefae 308
f&r die Modul Neun, Dreizehn und Hunderteim. 243
Erster Tiiell.
A. Die Elferprobe.
I. Die ProbeialiL
Der Rest, der sich bei der Division einer ZabI durch 11 er-
^bt, heisse ibre Probezabi. Deninacb ist z. B. 5 die Probezabi
▼OB 82; denn 82 gibt, durcb 11 dividirt, den Rest 5. Jede darcb
II tbeilbare ZabI, z. B. 11, 22, 33, 44,.... bat die Probezabi 0.
Dm die Pz. einer zweizifferigen ZabI zn finden, branebt man
blos die nScbstkleinere dorcb 11 tbeilbare ZabI von ibr zu snb-
trabiren ; bo ist z. B. 63 weniger 55 gleicb 8, die Pz. von 63 somit 8.
Die Pz. einer mebrzifferigen ZabI kann anf folgende zwei
Arten bestimmt werden:
Erste Art. Man addire, bei der Einerstelle beginnend, die
1., 3.» 5., 7..... Ziffer, subtrabire von der Summe, falls sie grös-
ser als 11 ausfällt, die näcbstkleinere durcb 11 tbeilbare ZabI und
Qotire den Rest. Dann addire man die 2., 4., 6., 8 Ziffer, sub-
trabire von der Summe, falls sie grosser als 11 ist, desgleicben
die nScbstkleinere durcb 11 tbeilbare ZabI und subtrabire den
Rest von dem zuvor gefundenen Reste, — vorausgesetzt, dass
der aus den ungeradstelligen Ziffern bestimmte Rest grSsser als
der aus den geradstelligen bestimmte ist. Es sei z. B. die Pz. von
568974386 K 2
za soeben. Wir haben: 6 mehr 3 ist 9, mehr 7 ist 16, mehr 8
ist 24, mehr 5 ist 29; 29 weniger 22 ist 7, welchen Rest wir
seitwärts anschreiben. Ferner: 8 mehr 4 ist 12, mehr 9 ist 21,
mehr 6 ist 27; 27 weniger 22 ist 5. Diesen Rest 5 subtrabiren
wir von dem zuvor gefundenen Reste 7 und schreiben, 7 durch-
stieicbend, den Rest 2 daneben. Die gesuchte Pz. ist also 2.
Wenn der aus den ungeradstelligen Ziffern gefundene Rest
Ueiaer ist als der aus den geradstelligen gefundene, so addire
man die Ergänzung des letzteren, d.i. jene ZabI, die ihn zu 11
ergänzt, zn dem ersteren Reste. Ist z. B. die Pz. von
670694307 » 8
17
•
244 Anton: Die Elf er probe und die Proben
za suchen, so findet man 25 als Samnie der angeradstelligeri
Ziffern und 25 weniger 22 gibt den Rest 3; die Summe der gerad
steliigen Ziffern ist \1 , 17 weniger 11 ist 6. Der Rest 6 ktnn
nun vom Reste 3 nicht subtrahirt werden, daher addireo wir 5,
die Ergänzung von 6 zu 1 1 > zu 3 ; die gesuchte Pz. ist somit 8.
Ergeben sich gleiche Reste ^ so hat die gegebene Zahl die
Pz. 0; dies ist z. B. der Fall bei der Zahl
2618071709. 4 0
Die iSbmme der ungeradstelligen Ziffern ist hier 37; 37 weniger
33 ist 4; die geradstelligen Ziffern haben die Summe 4, 4 weoi-
ger 4 ist 0.
Zweite Art Man subtrahire die hochststellige Ziffer, also
die letzte Ziffer links, von der nächstfolgenden, den Rest von der
zweitfolgenden Ziffer u. s. f. Der schliesslich sich ergebende
Rest ist die Pz. Es sei z. B. die Pz. von
386543986 4
zu suchen. Man hat: 3 von 8 ist 5, 5 von 6 ist 1, 1 von 5 ist
4, 4 von 4 ist 0, 0 von 3 ist 3, 3 von 9 ist 6, 6 von 8 ist %
2 von 6 ist 4; die verlangte Pz. ist also 4.
Wenn irgendwo die Subtraktion unausführbar wird, indem
die zu subtrahirende Zahl grösser ist als die, von der sie sob*
trahirt werden soll, so hat man die Ergänzung der erstereo zur
letzteren zu addiren. Für die Zahl
291890213 10
ergibt sich z. B. die Pz. wie folgt: 2 von 9 ist 7, 7 von 1 ist
unausführbar, also 4 (die Ergänzung von 7) mehr 1 ist 5, 5 von
8 Ist 3, 3 von 9 ist 6, 6 von 0 ist unausführbar, also 5 (die Er-
gänzung von G) mehr 0 ist 5, 5 von 2 ist unausführbar, also 6
mehr 2 ist 8, 8 von 1 unausführbar, 3 mehr 1 ist 4, 4 von 3 un-
ausführbar, 7 mehr 3 ist 10. Die Pz. ist also 10.
Zwei unmittelbar auf einander folgende gleiche Ziffern kunoen
übersprungen werden. Es sei z. B. die Pz. von
728894070096 5
zu suchen; 7 von 2, 4 mehr 2 ist 6, von 9 ist 3, von 4 ist 1,
von 0, 10 mehr 0 ist 10, von 7, 1 mehr 7 ist 8, von 9. ist 1.
von 6 ist 5.
Ob die Anwendung der ersten Art oder die der zweiten pas-
sender sei, hängt lediglich von der Beschaffenheit der gegebenen
für die Modul Neun, Dreizehn und Hunder (eins.
245
Zahl ab. Zureckroässig ist es» die eine Art zur Kontrolle der
aoderD zu benutzen.
II. Prttftiiig TOD Rechnimgen in gansen ZaUen.
1. Addition.
436968
80324
3077283
786708
931740
5300
5000802
888215
11207330
2
5
2
0
10
7
9
4
_9
46
2
Man bestimme die Pzn. der Sum-
manden» addir^ sie, subtrahire
von der Summe die nSchstklei-
nerc durch 11 theilbare Zahl und
notire den Rest; derselbe muss
der Pz. des Resultates gleich sein.
2. Subtraktion.
83096732
—5741525
77354107
6
5469571
—29839^
2485585
3
4
9^
6
8
5
"3
Man suche die Pz. des Minuen-
des und die des Subtrahendes
und addire zur erstem die Ergän«
zung der letztern ; diese Summe
oder ihre Pz. muss der Pz. der
Differenz gleich sein. Wenn die
Pz. des Minuendes grösser als
die des Subtrahendes ist, kann
letztere auch von der ersteren
subtrahirt werden.
Die Anwendung der Elferprobe auf Additionen und Subtrak-
tionen wurde hier nur der Vollständigkeit wegen angeführt; sie
ist fast umständlicher als die einfache Wiederholung der zu prü*
fenden Rechnung.
3. Multiplikation.
10 7
74293x4836
359280948 *
4
Man bestimme die Pzn. der Faktoren und multiplizire sie
mit einander, die Pz. dieses Produktes muss der des Resultates
gleich sein. Also: 7x10 ist 70, die Pz. von 70 ist 4, die des
Resultates gleichfalls.
246 Anton: Die Elf erprobe und die Proben
Hat einer der Faktoren oder haben beide die Pz. 0» eoroms
die des Produictes auch 0 sein.
Ist das Produkt dreier Faktoren zo prfifen , so multiplizire man
die Pzn. zweier Faktoren und die Pz. ihres Produktes mit der
des dritten Faktors; die Pz. des zuletzt erhaltenen Produktes
muss der des Resultates gleich sein.
3 8 6
4359x7906x623
18023758842 '
1
Hier z.B. hat man: 3x8 Ist 24, die Pz. von 24 ist 2, 2x6
ist 12, die Pz. von 12 Ist 1, wie die des Resultates.
Soll das Produkt dreier oder mehrerer Faktoren bestimmt und
dann mittels der Elferprobe geprüft werden» so ist es zweck-
mSssig, noch vor. Beginn der Rechnung die Pzn. der Faktoreo
zu suchen; denn falls eine oder mehrere derselben 0 sind, ist
die Reihenfolge der Faktoren nicht gleichgiltig.
Es seien z. B. drei Faktoren gegeben, die wir mit I., IL, 111*
bezeichnen wollen; einer derselben, etwa III., habe die Pz. 0,
die Pzn. von L und U. seien von 0 verschieden. Hier muss so*
erst I. mit III. und deren Produkt dann mit II. multiplizirt we^
den, oder man muss zuerst II. mit III. und dann deren Produkt
mit I. multipliziren, wenn das Zustimmen der Elferprobe eineo
Schluss auf die Richtigkeit der Rechnung gestatten soll. Wflrde
man z. B. zuerst I. mit II. und dann deren Produkt mit III. mal*
tipliziren, so wäre zum Zustimmen der Probe nur die Richtigkeit
der letztern Multiplikation erforderlich, das Produkt von I. and
II. konnte ganz unrichtig sein.
Man entnimmt hieraus leicht die Regel, in jedem solchen
Falle nie zwei Faktoren, deren Pzn. von 0 verschieden sind, an-
mittelbar mit einander zu multipliziren.
Wird jede der einzelnen Multiplikationen geprQft, so ist die
Reihenfolge der Faktoren gleichgiltig.
4. Division.
2 10 6
86437534603:62413= 1384926.
Rest 23339
8
für die Modul Neun, Drei%ekn und ffunderteim. 247
Man roaltiplizire die P«. des Quotienten mit der des Divisors und
addire za diesem Produkte die Pz. des Restes, die Pz. der bie-
darch erhalteneu Zahl niuss der des Dividendes gleich sein. Also:
6 mal 10 ist 60, mehr 8 ist 68; die Ps. von 68 ist 2, die des
Dividendes ist auch 2«
Ist die Pz. des Divisors 0» so braucht man die des Quotien-
ten nicht zu suchen; die Pz. des Restes muss dann stets der
des Dividendes gleich sein«
Bei grosseren Divisionen ist es zweckmässig, die PrQfung
schon während des Verlaufes der Rechnung vorzunehmen; hier-
bei werden natürlich nur die bereits in Verwendung genommenen
Ziffern des Dividendes berücksichtigt.
5. Potenzirung.
820794« = 16 . .
7 5740
73863
328316
166503616x2
3330239232
6404004981 16
673702790436
5
Bian erhebe die Ps. der Basis zu derselben Potenz» zu welcher
die Basis erhoben wurde ; die hierdurch erhaltene Zahl muss die-
selbe Pz. haben wie das Resultat. Im obigen Beispiel ist 7 die
Pz. der Basis; 7* ist 49, die Pz. von 49 ist 5, die des Resul-
tate« ebenfalls 5.
2659' = 18799877179.
8 6
Im zweiten Beispiel ist 8 die Pz. der Basis, 8' ist gleich 512,
die Ps. hiervon ist 6, die des Resultates ist auch 6.
6. Wurzelziehung.
» 3 4
V 5448644138 s= 73814.
Rest 137542
9
Man erhebe die Pz. des gefundenen Wurzeltheiles zur Potenz
des Wurzelexponenten und addire die Pz. des Restes; die hier-
248 Anton: Die Elf erprobe und die Proben
durch erhaltene Zahl muss dieselbe Pz. habeo wie die Radtkaode
(die Zahl unter dem Wurzelzeichen). Im obigen Beispiel bat man
also : 43 ist 16, mehr 9 ist 25, die Pz. von 25 ist 3, überein-
stimmend mit der Pz. der Radikande.
3 ^ 6
V^573264761 14 = 3855.
Rest 37224739
Im zweiten Beispiele ist 5' gleich 125, mehr 2 ist 127; die
Pz. hiervon ist 6, die der Radikande ist auch 6.
III. PrBftmg von Reohmmgen in gemeinen Brüchen.
A. Die Zahl 5 gibt, mit 9 multiplizirt, das Produkt 45, des
sen Pz. I ist. Von zwei Zahlen, deren Produkt 1 ist, sa£;t man,
dass die eine die Reziproke der andern ist; da nun 5 mit 9 mal-
tiplizirt ein Produkt liefert, welches durch 11 dividirt den Rest 1
gibt, so wollen wir 9 die Restreziproke von 5 nennen. Ebenso
ist 5 die Restreziproke von 9.
Jeder der Zahlen von ) bis einschliesslich 10 entspricht eine,
aber auch nur eine Restreziproke. Wir haben nämlich:
für
>>
»»
>»
ty
»i
Idie
Restrezi
|)r.
1.
denn I X I
ut
1;
•2 ..
6.
„2X6
»»
12 u. d. Pz.
V. 12 ist 1;
3 ,.
4,
., 3x4
»»
12 „ „ „
„ 12 „ 1;
5 „
9,
„5x9
ti
'**^ »> 99 $»
„ 45 „ 1;
7 „
8,
„7x8
>•
5o „ „ „
„ 56 „ I;
10 „
10.
„ 10x10
»•
lüü ,, ,, ,,
„ 100 „ 1
B. Jeden echten oder unechten Bruch, bei dem Zähler und
Nenner kleiner als ll sind, kann man mit Hilfe der Restrez. seines
Nenners in eine ganze Zahl überführen. Wenn man z. B. Zähler
und Nenner des Bruches ^/j mit der Restreziproke des Nenners,
d. i. mit 8 niultipliziit, so erhält man den Bruch '%6 9 dieser
geht, wenn man statt der Zahlen 32 und 56 deren Pzn. 10 und
1 setzt, in den Bruch ^% über, statt dessen man einfach 10
schreiben kann. Wir nennen dann 10 die Pz. von %.
Um also die Pz. eines solchen Bruches zu finden, hat man
den Zahler mit der Restreztproke des Nenners zu moltiplisiren
und von dem Produkte die Pz. zu nehmen.
für die Modul Neun, Drei%ehn und Bunder teins. 249
Zur Uebung seien einige Beispiele angeführt:
Pz. von %? Die Restr. von 7 ist 8, 8 mal 9 ist 72, die Pz.
von 72 ist 6 ; % hat also die Pz. 6.
Pz. von %? 9 ist die Restr. von 6, 9 mal 2 ist 18, die Pz.
von 18 ist 7; die Pz. von ^5 '^^ also 7.
Pz. von %? Die Restr. von 4 ist 3, 3 mal 3 ist 9; % hat
die P*. 9.
Pz. von %? Die Restr. von 2 ist 6, 6 mal 5 ist 30, die
Pz. TOD 30 ist 8; % liat also die Pz. 8.
Pz. von Vio? 10 mal 7 ist 70, gibt 4.
Pz. von %? 9 mal 8 ist 72, gibt 6.
Pz. von Vö ^ 2 mal 1 ist 2.
Pz. von V9^ ^ inal 1 ist 5.
C. Ist eine gemischte Zahl gegeben , bei H'elcher sowohl die
ganze Zahl als auch der Zähler und der Nenner des beigefügten
Bruches kleiner als 11 sind (wobei übrigens dieser Bruch echt
oder unecht sein kann), so erhält man ihre Pz., wenn man den
Zähler mit der Restreziproke des Nenners multiplizirt, zum Pro-
dukte die ganze Zahl addirt und von der so erhaltenen Zahl die
Pz. sucht. Es sei z. B. die Pz. von 5% zu bestimmen ; die Restr.
des Nenners 8 ist 7; 7 mal 3 ist 21, mehr 5 ist 26, die Pz. von
iO ist 4. Die Pz. von 5% ist also 4.
Zur Uebung einige Beispiele:
Pz. von 273? Die Restr. von 3 ist 4, 4 mal 7 ist 28, mehr
2 ist 30, die Pz. von 30 ist 8; 'F/^ bat also die Pz. 8.
Pz. von lO'/r? 8 mal 3 ist 24, mehr 10 ist 34, gibt I.
Pz. von 4^2? 6 mal 1 ist 6, mehr 4 ist 10.
Pz. von 2V9? 5 mal 4 ist 20, mehr 2 ist 22, gibt 0.
Pz. von 1%? 7 mal 5 ist 35, mehr 1 ist 36, gibt 3.
Pz. von 7*7r? 8 mal 10 ist 80, mehr 7 ist 87, gibt 10.
D. Nun ist es leicht, die Pz. eines beliebigen gemeinen
Braches anzugeben, vorausgesetzt, dass sein Nenner kein Viel-
faches von 11 ist. Man bildet nämlich aus dem gegebenen Bruche
einen neuen, derart, dass man den Zähler und den Nenner durch
ihre entsprechenden Pzn. ersetzt ; die Pz. dieses stellvertretenden
Braches ist zugleich die des gegebenen Bruches.
So liefert z B. der Bruch ****%26ö7 ^^^ stellvertretenden
Bruch Vb' '^ 1®^ nämlich die Pz. des Zählers, 3 die des Nenners.
Die Pz. von Va «st 6, der Bruch **^*«/82657 hat also die Pz. 6.
250 Anton: Die Eiferprobe und die Proben
Falk der Nenner des stellvertretenden Braches 1 ist« Ist der
Zähler zugleich die Pz. des gegebenen Bruches.
Ist der Zähler des steÜTertretenden Bruches durch den Nee-
ner theilbar, so ist der Quotient die verlangte Pz. So bat z.B.
der Bruch ^^^/urg den stellvertretenden Bruch ^%\ 10:2 ist 5,
die Pz. des gegebenen Bruches ist also 5. WOrde man dbrigeas
den Bruch ^7i >° ^®' gewöhnlichen Weise umformen, so erhielte
man auch 5 als Pz. Der Nenner 2 hat die Restr. 6« 6 mal 10
ist 60» die Pz. hiervon bt 5.
Gestattet der stellvertretende Bruch eine KOrzung, so ist
dieselbe wohl zulässig, gewährt aber keine Vereinfachung.
Ist der Zähler des stellvertretenden Braches 0, so iiat der
gegebene Bruch die Pz. 0.
Wäre der Nenner des gegebenen Bruches ein Vielfaches von
11, so ergäbe sich 0 als Neoner des stellvertretenden Bruches;
fOr einen Bruch, dessen Nenner 0 bt, lässt sich aber iteine Pi.
angeben.
Ergibt sich der stellvertretende Bruch %, so gestattet der
gegebene Bruch eine Kürzung durch II oder ein Vielfaches vos
1 1 ; bezüglich der Pz. des durch die Kürzung gewonnenen Braches
gilt dann das Obige.
E. Die Pz. einer gegebenen gemischten Zahl kann, falls der
dabei auftretende Nenner kein Vielfaches von 11 ist, einfach da-
durch gefunden werden, dass man zunächst eine stellvertretende
gemischte Zahl bildet, indem man die ganze Zahl sowohl, als
auch den Zähler und den Nenner des beigefilgten Bruches durch
Ihre entsprechenden Pzn. ersetzt und dann die Pz. dieser stell-
vertretenden gemischten Zahl sucht ; dieselbe ist zugleich die Pi.
der gegebenen gemischten Zahl. So liefert z. B. die gemischte
Zahl 5034^%9 die stellvertretende gemischte Zahl 7%» deren Pz.
2 ist (5 hat die Restr. 9, 8 mal 9 ist 72, mehr 7 ist 79, gibt 2.).
Bezüglich des Bruches, der die Stelle des in der gegebenen
gemischten Zahl auftretenden Bruches vertritt, gilt das anter D.
Gesagte.
Beispiele:
Pz. V. 420UVf9? Stellvertr. g. Zahl: 10Vr> Prohezahl 9;
Pz. v.69«^A96r^ M ». - ^74» - 6;
Pz.v.286i%r» u u u 01%, „ 7;
Pz.v.684«*%y4? „ „ „ l«/t, M 7;
Pz.v.4ö«^/4g,? „ ., „ 2%, „ 2;
Pz. V. 372*%4, ? „ „ „ 9%, „ anangebbar.
für iUe Modul Neun^ Dreitehn und ffttnderleins. 251
F. Wir sind nun im Stande, die Elferprobe anf die vier
Species in gemeinen Brflchen anzuwenden. Hierbei ist aber steta
Toranegesetzt, dasa in der zu prOfenden Rechnung kein Bruch
Boflritt, dessen Nenner 11 oder ein Vielfaches von 11 ist.
1. Add
ition.
3728>Vi,
10%
3
5608
9
9
704"/«
0%
4
82"/»
8»/e
0
8I42"/ift
2^/4
2
1823««»/r,
18
9»/- .... 7
7
Blan bestimme die Pzn. der Summanden; die Summe dieser
Pin. rouss dieselbe Pz. besitzen wie das Resultat
2. Subtraktion.
7483^1^^ 3% 5
-378»oy|8ya 4^1^ 10
9»lio, 6
Die Pz. 5 des Minuendes, vermehrt um die Ergänzung 1 der
Sobtrabend-Pz. 10, gibt 6; die Pz. der Differenz 71041^/,,« ist
auch 6.
3. Multiplikation.
3745'7,e X ^1%
156905%, ....2«/,o» *
5<»l,. 8*|a
7x10
4
Im obenstebenden Beispiel haben die Faktoren die Pzn. 7 und
10; 7 mal 10 ist 70, die Pz. hiervon ist 4, flbereinstimmend mit
der Pz. des Resultates.
1289öi|e ....3Het5
9^15» 2, %
6x2x5
252 Anton: Die Eiferproös und die Proben
Im ziTeiteo Beispiel erscheinen drei Faktoren, Ihre Pzn. siod
^f %f 5; 6 mal 2 ist 12, die Pz. hiervon ist 1 ; 1 mal 5 ist 5.
Die Pz. des Produktes 12895i|o ist gleichfalls 5.
4. Division.
Man bilde einen Bruch, dessen Zähler die Pz. des Dividende«
und dessen Nenner die Pz. des Divisors ist und suche die Pz.
dieses Bruches. Dieselbe muss der des Quotienten gleich sein.
5376\:82i!ö=65««%gr«.
8»l8, 10; 5»!«, 7; lO»!,, 3.
^\, 3.
Hier ist 10 die Pz. des Dividendes, 7 die des Divisors. Der
Bruch ^\ hat die Pz. 3, fibereinstimmend mit der des Quotienten.
Ebenso wird die Prüfung ausgeführt, wenn eine ganze Zahl
durch einen Bruch oder durch eine gemischte Zahl, oder wenn
ein Bruch oder eine gemischte Zahl durch eine ganze Zahl divi-
dirt wurde.
72:»%=ll2»|j.
6; »!,. 9; 2i|,. 8.
Hier Ut 6 die Pz. des Dividendes , 9 die des Divisors ; %
bat die Pz. 8, tvie der Quotient.
7»^l48:15 = 8r8|^^.
7*l4. 8; 4; »\, 2.
Im dritten Beispiel ist 8 die Pz. des Dividendes, 4 die des
Divisors; ^|4 hat die Pz. 2, der Quotient desgleichen.
Jede Division in ganzen Zahlen kann auch in dieser Weise
geprüft werden. Das Seite 246 angegebene Divisionsbeispiel kun*
nen wir auch so schreiben:
86437534603:62413 = 1384928«»M9(^m,s.
2 10 6«|,o, 9
Die Pz. des Dividendes ist 2, die des Divisors 10; der Bruch ^!|o H^
fert die Pz. 9. welche mit der Pz. des Quotienten 1384928«388«|^^3
übereinstimmt.
G. Auch Rechnungen, in welchen ein Produkt, dessen Fak-
toren ganze oder gemischte Zahlen sind, durch ein anderes der*
X
{?
5 6»l8 39»l8
480
für die iladnl Neun, Drei%ehn und Hunderteins. 253
artiges Produkt dividirt erscheint, können mittels der Elferprobe
geprüft werden.
280*l5 5*l5, 8)
20 9r\.
94l»la 6^,3 r
X = 2791^,«
Dis obenstehende Beispiel zeigt die Prfifang eines Kettensatzes
oder einer nach der Re es ersehen Regel behandelten zusaromen-
gesetzten Proportion.
Die Pzn. der zur Linken auftretenden Zahlen sind 6 und 7;
ihr Produkt 35 hat die Pz. 2. Zur Rechten ergeben sich die
Pzo. 8, 9, 3; 8 mal 9 ist 72, die Pz. hiervon ist 6, 6 mal 3 ist
18, die Pz. von 18 ist 7. Nun bildet man den Bruch ^\^, dessen
Pf. 9 ist. Die für x gefundene Zahl 279^^1«! bat gleichfalls die
Px.9.
IT. Prlflnig Toii Reohnmigen In DeslmalbrBoheiL
Ä. Hat ein Dezimalbruch oder eine ganze Zahl mit beige-
fügtem Dezimalbruch eine gerade Anzahl Dezimalstellen, so
braucht man bei Bestimmung der Pz. auf den Dezimalpunkt nicht
Rficksicht zu nehmen. So hsft z. B.
0*6329 dieselbe Pz. wie 6329, nämlich 4,
000071058 „ „ „ 71068, „ 9,
623-48 „ „ „ 62348, ,. 10,
30431 „ „ „ 30431. „ 5.
Ist die Anzahl der Dezimalstellen eine ungerade, so kann
man sie leicht in eine gerade verwandeln, indem man rechts eine
Null anhängt, wodurch bekanntlich der Wert des Dezimalbruches
nicht geändert wird. So ergibt sich z. B. die Pz. von 29*34527,
indem man die von 29*346270 ohne Berücksichtigung des Dezimal-
punktes bestimmt; sie ist 9. Man fiberzeugt sich aber auch
leicht von der Richtigkeit der Regel:
Ist die Anzahl der Dezimalen eine ungerade, so bestimme
man zunächst die Pz. ohne Rficksicht auf den Dezimalpunkt und
nehme dann ihre Ergänzung; diese ist die richtige Pz. So gibt
z- B. 29*34527 , wenn auf den Dezimalpunkt nicht Rficksicht ge«
Bommen wird, die Pz. 2; ihre Ergänzung 9 ist die richtige Pz.
254 Anion: Die Elferprobe und die Proben
5 6
352-27 X 0-83407
293-8178390 *
8
Das obenstehende Beispiel zeigt die PrOfung einer Moltiplt-
kation; die Pz. des ersten Faktors ist 6^ die des zweiten 6, 5
mal 6 ist 30, die Pz. hiervon ist 8, Gbereinstimniend mit der des
Produktes.
B. Bei Divisionen hätte man eigentlich im Reste die Stel-
lung des Dezinialpunktes ersichtlich zu machen:
9 4 e^u, 5
25386:917 = 27.68375
7046
6270
7680
3440
6890
": 4710
0001 25
7
Hierdurch gingen im obenstehenden Beispiel der scheinbare Rest
125 in den wahren Rest 000125 über, dessen Pz. 7 ist. Die Pz.
des Quotienten 27*68375 ist 6; dieser ffige man den Bruch ^1« bei,
dessen Zähler die Pz. des wahren Restes und dessen Nenner die
Pz. des Divisors ist. Ffir 9i^\^ findet man die Pz. 5. Bildet man
dann den Bruch \, dessen Zähler die Pz. des Dividende« und
dessen Nenner die des Divisors ist, so sieht man, dass dieser
Bruch gleichfalls die Pz. 5 besitzt
7 5 6^15, 8
59 3826732:8134 = 0*00730054
24446
: 1 1 44732
\\\\ 40620
000008084
10
Im zfireiten Beispiel ist 10 die Pz. des wahren Restes 0*00008064,
6 die des Quotienten, 5 die des Divisors; 6^\ liefert die Pz. 8.
Die Pz. des Dividendes ist 7, der Bruch ^{5 hat gleichfalls die Pz. 8.
Wenn der Divisor eine ganze Zahl ist (und enthält er Dezi«
malen, so kann die Rechnung leicht so umgeformt werden, dass
er eine ganze Zahl wird), so kann man, um die Pz. des wabreu
Restes zu finden, auch nach folgender Regel verfahren:
für die Modul Neun^ Dreitehn und Bunder teins. 255
Tritt im Qviotient eine gerade Anzahl Dezimalstellen auf, bo
ist die Pz. des scheinbaren Restes zugleich die des wahren ; ist
aber die Anzahl der Qootient-Dezimalstellen angerade, so ist die
Ergänzung der Pz. des scheinbaren Restes die Pz. des wahren
Restes.
Im letzten Beispiele erscheinen im Quotienten 8 Dezimalen;
der scheinbare Rest 8084 hat die Pz. 10» welche in der That mit
der des wahren Restes übereinstimmt Im vorletzten Beispiele
enthält der Quotient eine ungerade Anzahl Dezimalen; die Pz.
des scheinbaren Restes 125 ist 4, ihre Ergänzung ist 7, und diese
ist, wie man sieht, wirklich die Pz. des wahren Restes.
C. Der bei einer Qoadratwurzelziehung bleibende scheinbare
Rest hat stets dieselbe Pz. wie der wahre Rest
10 8
V 532-43037 = 230744.
Rest 243464
I
In diesem Beispiel ist 8 die Pz. des Wnrzeltheiles, 1 die des
scheinbaren , also auch die des wahren Restes ; 8* mehr 1 ist 65,
die Pz. hiervon ist 10, übereinstimmend mit der der Radikande.
Bei einer Kubikwurzelziehung gilt die Regel: Erscheint im
gefundenen Wurzeltheile eine gerade Anzahl Dezimalen, so ist
die Pz. des scheinbaren Restes der des wahren gleich; enthält
aber der Wnrzeltheil eine ungerade Anzahl Dezimalen , so ist die
Ergänzung der Pz. des scheinbaren Restes die Ps. des wahren
Hastes.
3 7
V^O 01307243 = 0-235.
Rest 94555
1
Hier ist 7 die Pz. des Wnrzeltheiles, 10 die Pz. des scheinbaren
Restes, also, da im Wnrzeltheil eine ungerade Anzahl Dezimalen
erscheint, die Ergänzung 1 die Pz. des wahren Restes; 7' mehr
1 ist 344, die Pz. hiervon ist 3, Qbereinstimmend mit der der
Radikande«
D. Das folgende Beispiel zeigt die Prüfung einer zusammen*
gesetzten Proportion.
X 27\ 5\, 4{ß
ßj 5 0-38 2017 7P
^ j 10 2»|j 24% 20-8 1
5*1.0, 1
X =s87678-14: 703 = 124-67
Rest 645
256 Anton: Die Elferprobt und die Proben
Zur Lioken ergeben sich die Probezahlen 5 und 10» deren Pro-
dukt die Ps. 6 hat. Zur Rechten findet man die Pzn. 4, 7, 1;
1 mal 7 18t 7, 7 mal ist 28, die Pz. von 28 ist 6; der Brach
\ hat die Pz. 1. Das Resultat x erscheint als der Quotient einer
Division, bei welcher 703 als Divisor und 543 als Rest auftritt
Der Quotient hat die Pz. 5; die Pz. 4 des scheinbaren Restei
543 ist, da im Quotienten eine grade Anzahl Dezimalen erscheint,
zugleich die Pz. des wahren Restes ; die Pz. des Divisors ist 10.
Der Qnotient*Pz. 5 ist also der Bruch \q beizußigen; die Pi.
von 5%o 18^ !•
V. PrBftmg von Rechnimgeii In mahrBamlgeii ZaUen.
A. Die Pz. einer mehrnamigen Zahl ergibt sich in einer Weise,
die an den Rechnungsgang erinnert, der bei der Resolution einer
solchen Zahl auftritt Es sei z. B. die Pz. der Zahl
26 Tage 21 Stunden 50 Minuten
zu bestimmen. Behufs der Resolution dieser Zahl hätte man 26,
die Anzahl der Tage, mit der Rednctionszahl 24 (welche angibt
wie viel Stunden ein Tag hat) zu multipliziren und zum Produkte
die Anzahl der Stunden, d. i. 21, zu addiren; die so gefondene
Zahl miisste man dann mit der Reductionszahl 60 (die anzeigt
wie viel Minuten eine Stunde hat) multipliziren und zum Pro-
dukte die Anzahl der Minuten, d. i. 50, addiren.
Behufs Bestimmung der Pz. hat man nun statt aller in die*
sero Rechnungsgange erscheinenden Zahlen deren Pzn. zu nehmen;
es ist also die Pz. von 26 mit der Pz. von 24 zu multipliziren und
zum Produkt die Pz. von 21 zu addiren; die Pz. der so gefun-
denen Zahl ist dann mit der Pz. von 60 zu multipliziren, die Pt-
von 50 zum Produkte zu addiren und von der hierdurch erhalte-
nen Zahl die Pz. zu nehmen.
Man schreibe also über die Zahlen 26, 21, 50 die betreffen-
den Pzn. 4, 10, 6, ferner unter die Benennung „Tage'* die Pz.
der Reductionszahl 24, d. i. 2, und unter die Benennung „Stun-
den" die Pz. der Reductionszahl 60, d. i. 5, also:
4 10 6
26 Tage 21 Stunden 50 Minuten,
2 6
und verfahre dann wie folgt: 4 mal 2 ist 8, mehr 10 ist 18; die
Pz. von 18 ist 7; 7 mal 5 ist 35, mehr 6 ist 41 ; die Pz. von 41
ist 8. Die Pz. der gegebenen mehrnamigen Zahl ist also 8.
Alf die Modui Neun, Drei%ehn und ffunderieins. 257
Es aei die Resolution :
2 3 8 5 5
36 Ballen 3 Ries 19 Buch 16 Bogen =: 169911 Bogen
10 9 9 2
xa prQfen.
Die Zahlen 35, 3, 19, 16 haben der Reihe nach die Pzn. 2,
3, 8, 5; die Redaktionszahlen 10, 20, 24 haben die Pzn. 10, 9»
2; unter die Benennung „Ballen'' ist daher 10, unter „Ries"
ist 9 und unter „Bogen'' ist 2 zu schreiben. Dann bat man: 2
mal 10 ist 20, mehr 3 ist 23, gibt 1; 1 mal 9 ist 9, mehr 8 Ist
17, gibt 6; 6 mal 2 ist 12, mehr 4 Ist 16, gibt 5. Die Zahl
109911 hat ebenfalls die Ps. 5.
Es aei die Rechnung
10 7 8
582 iL Rh. 40 kr. 1 pf. x74 9x8
5 4 6
8 5
43117 fl. Rh. 38 kr. 2 pf.
5 4
10 prfifen. Um die Pz. des ersten Faktors zu finden, schreiben
wir Aber die Zahlen 582 und 40 ihre Pzn. 10 und 7, unter die
Benennung „fi. Rh." diePz. von 60, d. i. 5, unter die Benennung
Ja,^ die Pz. von 4, d. i. 4 selbst und haben dann : 10 mal 5 ist
90, mehr 7 ist 57, gilt 2; 2 mal 4 ist 8, mehr 1 ist 9. Der erste
Faktor bat also die Pz. 9; die Pz. des zweiten ist 8; 9 mal 8
ist 72, die Pz. bierron Ist 6. Das Resultat liefert gleichfalls die
Pz. 6; denn da bat man: 8 mal 5 ist 40, mehr 5 ist 45, gibt
1; 1 mal 4 ist 4, mehr 2 ist 6.
Man prüfe die Rechnung:
4 7
10^ 4 ^ 9 7 5
(32<>2' ffO X (26«0' 5") = 845 O^ 29 D' 16 D".
6t 4 1 3 1
Der erste Faktor liefert die Pz. 4 ; man hat nSmIicb über 32 die
Pz. 10, unter die Benennung „Klafter" die Pz. von 6, d. i. 6*
uod unter die Benennung „Foss" die Pz. von 12, d.i. 1, zu
Scheiben und findet dann: 10 mal 6 ist 60, mehr 2 ist 62, gibt
7; 7 mal 1 ist 7, mehr 8 ist 15, gibt 4.
Tli«a HIJX. 18
L
258 Anton: Die Eiferprobe und die Proben
Id ähnlicher Weise erhält man fär den zweiten Faktor die
Pz. 7; 4 mal 7 ist 28, die Pz. hiervon ist 6.
Im Resultat liefern die Zahlen 845, 29, 16 der Reibe naeh
die Pzn. 9, 7, 5; unter die Benennung D^ hat man die Pz. von
36, d. i. 3, unter die Benennung Q' die Pz. von 144, d. i. l, m
setzen und erhält dann: 9 mal 3 ist 27, mehr 7 ist 34, gibt 1;
1 mal 1 Ist 1, ipehr 5 gibt 6.
Bei der Prüfung der Rechnung
5 9
10^ 7 4 6
(320 4' 7") X 29« = 950 D** 6 D' 72 Q"
6 1 3
darf man nicht unmittelbar die Pz. von 29 in Rechnung nebuen,
sondern die von 29^ 0' 0", fSr welche man 9 findet (7 mal 6 ist
42, mehr 0 ist 42, gibt 9; 9 mal 1 ist 9, mehr 0 ist 9). Der
erste Faktor hat die Pz. 5, 5 mal 9 ist 45, gibt 1; das Resol
tat liefert auch 1.
In der Rechnung
7 1 t
3 ^ ^ '^ 4 6 4
(140 2' 9') X (20 5' T) X (2' 3") = 15«« I92Ä' 81 fC'
6 1 6 1 1 7 1
haben die drei gegebenen Faktoren die Pzn. 7, 2, 5; 7nial2i«t
14, gibt 3; 3 mal 5 ist 15, gibt 4. Im Resultate bat man 4, 5,
4 als Pzn. von 15, 192, 81; ferner kommt unter die Beneonoog
119 die Pz. von 216, d. i. 7, und unter die Benennung K' die Pi.
von 1728, d. i. 1; man erhält dann: 4 mal 7 ist 28, mehr 5 ift
33, gibt 0; 0 mal 1 ist 0, mehr 4 ist 4.
Man prGfe folgende Rechnung:
Wenn der Kubikzoll eines KSrpers 7 Loth 45 Gran wiegt
wie viel wiegen 6 K' 1538 K^'i
9 4
1 ^9
(7 Loth 0 Quentch. 45 Gran) X (6 K' 1538 K")
4 5 1
4 8 8
= 26 Ztr. 74 Pfd. 6 Lth. 1 Qu. 30 Gr.
1 10 4 5
rar die Modul Nevn, Drei%ehn und Hunderteins. 259
Beim «raten Faktor hat man unter die Benennung „Loth" die
Pz. von 4, d. i. 4» unter „Quentchen'* die Pz. von 60, d. i. 5,
la setien und findet dann die Pz. 9; der zweite Faktor gibt die
Pz. 4; 11x4 ist 36, gibt 3. Im Resultate hat man unter die
Benennungen „Ztr.", „Pfd.**, „Lfh.", „Qu." die Pzn. 1, 10, 4,
5 (oämKch die Pzn. von lüO, 32, 4 und 60) zu setzen und findet
daoD 3 als Pz.
In dem Beispiel
0
(23 Fass 4 Eimer 31 Mass 3 Seidel) X %\
5 2 1
225 Fass 9 Eimer 35 Mass V\^ Seidel
10 7 4
iat der Faktor 9% die Pz. 0, es ist mithin unnötig, die des zwei«
en Faktors zu bestimmen ; denn die des Resultates muss jeden-
tüs auch 0 sein.
Im Resultat ist zunächst statt des Bruches 2*19 dessen Pz. 1
10 setzen; unter die Benennungen „Fass", „Eimer" und „Mass"
lind ferner die Zahlen 10, 7 und 4, die Pzn. von 10, 40 und 4
Hl schreiben ; man findet dann 0 als Pz.
4n der Division:
4 10
9^27 ^ 5 3»|5, 8
8 Tage 20 Stund. 35 Min. 18 Sek.): 32 = 6 St 38 M. 36S|,o Sek.
2 5 5
«
tat der Dividend die Pz. 4, der Divisor die Pz. 10; hieraus bii-
len wir den Bruch *lio» dessen Pz. 7 ist. Im Resultate muss
nan zanichsl statt der gemischten Zahl 36'|,o deren Pz. 8 ein-
Bhren und findet dann gleichfalls die Pz. 7.
In der Rechnung:
9 2
5 9^4 2 ^6
27 Stand. 42 Min. 51*3 Sek.):(35 Stund. 9 Min. 23*05 Sek.)=078831
5 5 5 5
tt der Quotient das Ergebniss der Division:
2
9977130 : 12656305 = 0-78831 6«|a
Rest 3820545
3
18'
260 Anton: Die Elferprobe und die Proben
Im Oi?idend aod Divisor bat man zunSchat statt der Zahlen 513
and 23*05 deren Pzn. 4 and 6 einzufahren and findet daon 9 ib
Pz. des Dividendesy 2 als Pz. des Divisors; hieraus bildet mat
den Brach ^1^, der die Pz. 10 liefert. Die Pz. des Quotieotes
0-78831 ist 6; derselben fügen wir den Brach % bei, desMi
Zähler die Ergänzung der Pz. des scheinbaren Reates und dei-
sen Nenner die Pz. des Divisors ist; 6^1« gibt dann gleichfftlU
die Pz. 10.
B. Die Pz. einer mehmamigen Zahl entspricht > wie mu
sieht, der auf die kleinste Benennung gebrachten Zahl und kann
daher die Resolutions-Probezahl der gegebenen mehrnamigeo Zahl
genannt werden. Zuweilen ist es notwendig, sie derart arnzoin-
dorn, dass sie der auf die hSchste Benennung gebrachten ZaU
entspricht. Man multipllzirt zu diesem Zwecke die Pzn. sfinint-
lieber Reductionszahlen, derart, dass man vom Produkte zweier
die Pz. nimmt, diese mit der dritten mnitiplizirt u. s. f. Zu der
schliesslich sich ergebenden Zahl sucht man die Restreziproke
ond multiplizirt mit derselben die Resolutionsprobezabl ; die Pi.
dieses Produktes ist dann die gesuchte Reductions-ProbesaU-
So gibt z. B. die Zahl
3 3 5
09 Ballen 7 Ries 14 Buch 16 Bogen
10 9 2
die Resolutions-Pz. 6; die Reduktionszahlen 10, 20, 24 habea
die Pzn. 10, 9, 2; 10 mal 9 ist 90, die Pz. hiervon ist 2, 9 mal
2 ist 4« Die Restreziproke von 4 ist 3. Multiplizirt man die
Resolutions-Pz. 6 mit dieser Restreziproke und nimmt vom Pro-
dukte 18 die Pz. 7, so stellt diese die Reductions-Pz« der gege«
benen mehrnamigen Zahl dar.
Die Aufsuchung der Rednctions*Pz. ist z. B. notwendig» w<
man die Rechnung:
69 Ballen 7 Ries 14 Buch 16 Bogen =69M|„ BaUen
prüfen wollte. Die Reductions-Ps. der mehmamigen Zahl ist 7;
die gemischte Zahl 69%5 hat gleichfalls die Pz. 7.
Man prüfe die Rechnung:
Wenn 1 Pfd. einer Waare 9 Thir. 26 Ngr. kostet, was kMtet
5 Pfd. 23 Lth. 3 Qu.?
l *6
4^ 0 l"" 1 8 0
(9Thlr.2ßNgr.-Pf.)X(6Pfd.23Lth.3Qu.) = 56Thlr.l9Ngr.6>laP^
8 10 10 4 8 10
für die Modul Neun, Dreitehn und Hunderteins, 261
Die Resolations-Pz. des ersten Faktors ist 1, die des zweiten ist
9. Aus der Natar der Aufgabe geht aber hervor, dass vom zwei-
ten Faktor die Reduktions-Pz. genommen nerden mass« Man
hat also: 4x10 ist 40, die Pz. hiervon ist 7, die Restreziproke
voo 7 ist 8, 9 mal 8 ist 72, die Pz. hiervon ist 6. Der zweite
Faktor hat also die Reduktions-Pz. 6, 6 mal 1 ist 6. Das Resul-
tat liefert die Resolations-Pz. 6.
Folgeode Rechnung sei zu prüfen:
Ein Kapital trSgt in 2 Jahren 7 Monaten 19 Tagen die Intern
cMien 422 fl. 30*5 kr. S. W«; wie viel Interessen trfigt dasselbe
Kapital bei demselben Prozentsatze In einem Jahr?
7 «10
4 3 ^^8 6 9
(422 fi. 90*5 kr0:(3 J. 7 M. 19 Tg.)= 160 IL 20 kr.
1 18 1
Offenbar müssen hier 7 M. 19 Tg. in einen Jahresbrneh verwan-
delt werden; dies deutet darauf hin, hei der Prüfung dieser Rech-
nong vom Divisor die Reduktions-Pz. zu nehmen. Vom Dividend
und vom Quotienten braucht nur die Resolutions*Pz. (die übrigens
hier — da die Rednfctionszahl 100 die Pz. I hat — mit der Reduk-
tiooa-Pz. übereinstimmt) genommen zu werden.
Die Resolutions-Pz. des Dividendes ist 7, die Reduktions-Pz.
des Divisors ist 10; hieraus bilden wir den Bruch ^loi dessen
Pz. 4 ist. Der Quotient liefert die Resolotions-Pz. 4.
B. Die Keunerprobe.
Die Zahl II, welche den bisher besprochenen Proberechnun-
gen zu Grunde liegt, wird der Modul dieser Proberecbnungen
genannt Man kann nun auch eine andere Zahl als Modul an-
oehmen und hierbei erweisen sich die Zahlen 9, 13 und 101 als
die fangUclisten. Wir wollen zunächst die Neunerprobe erörtern.
Die Neuner- Probezahl einer gegebenen Zahl, d.i. der Rest,
den diese Zahl bei der Division durch 9 liefert, ergibt sich nach
folgenden ^wei bekannten Methoden:
I. Man addire die Ziffern der gegebenen Zahl, jedoch so,
dass mao, so oft die Summe gleich 9 oder grösser als 9 ausnilt.
262 Anton: Die Elfer probe und (He Proben
9 subtrahirt und nur den Rest weiterzahlt. Jede 9 und alle Zif-
fern, deren Summe 9 ist, können hierbei Gbersprungen werden
2. Man bestimme die Ziffersumme der gegebenen Zahl, dtn»
die Ziffersumme der Ziffersumme u. s. f. , bis man auf eine ein-
zifferige Zahl kommt. Dieselbe ist, wenn kleiner als 9, die g^
suchte Pz. ; findet man 9, so hat die gegebene Zahl die Px. 0.
Die Pz. eines Dezimalbruches oder einer Zahl mit beigeföf-
tem Dezimalbruch ergibt sich ohne RucEsichtnahme auf den Dezi-
roalpunkt.
Vergleicht man die Elfer- und Neunerprobe in ihrer Anweo
düng auf Rechnungen in ganzen Zahlen und Dezimalbrüchen, so
kommt man zu folgendem Ergebniss.
Die Neunerprobe und die Elferprobe haben den Uebebtand.
dass die Rechnung trotz zustimmender Probe unrichtig sein kaoD,
je nachdem nämlich der Fehler ein Vielfaches von 9 oder 11 ist.
Hierbei ist aber wohl zu beachten, dass bei zustimmender Elfer-
probe die Wahrscheinlichkeit, dass die Rechnung trotzdem un-
richtig sei, geringer ist, als in dem Falle, wenn sich die Neo
nerprobe als zustimmend erweist. Die Richtigkeit dieser Bebiup-
tiiDg ergibt sich aus folgenden GrOnden.
1. Der Fehler des Resultates ist stets an bestimmte Gren-
zen gebunden, mag nun das fehlerhafte Resultat im Vergleich
zum richtigen zu gross oder zu klein sein ; so kann man i. ß-
nicht wohl annehmen, dass der Fehler des Produktes sweief
Zahlen, von denen die eine fünf-, die andere dreizifferig Ist, eine
aus mehr als 9 Ziffern beistehende Zahl sei. Innerhalb besttmiD'
ter Grenzen gibt es aber weniger Vielfache von 11 als Vielfacbe
von 9.
2. Bei Multiplikationen und Potenzirungen ergeben sich leicht
Fehler aus dem unrichtigen Untereinanderschreiben der einzeloeo
Ziffernreihen ; die8e Fehler werden fast immer durch die Elfer-
probe, nie durch die Neunerprobe verrathen.
7 5 So sind z. B. in nebenstehender
573829 X 530978 Rechnung 7 und 5 die Neuner-Pzii. der
2809145 Faktoren ; ihr Produkt 35 hat die Pz.S.
1721487 Die NeunerPz. des Resultates ist auch
5164461 8. Wendet man aber auf diese Recb-
4016803 niing die Elferprobe an, so *! wird man
4590632 dnden, dass sie nicht zustimmt; das
30974141762 Resultat ist in der That unrichtig.
für äie Modul Setin, Dreizehn und Uunder(eini, 263
28714*= 4 ^ Pröft man nebenstehendes Beispiel
32 mittels der Neunerprobe, so findet man
64 4 als Pz. der Basis; 4* ist 16, die Pz.
392 von 16 ist 7; die des Resultates ist auch
49 7. Die Elferprobe trifft aber nicht zu;
574 das Resultat ist in der Tbat unrichtig,
i
22968
16
82656 J 96
Erscheint eine Ziffernreihe im Vergleich zu ihrer richtigen
Stellung um eine gerade Anzahl Stellen verschoben, so hindert
dies das Zutreffen der Elferprohe, so wie das der Neunerprobe
nicht; in der Regel hat aber eine solche Verschiebung eine der-
artige Verschiebung einer oder mehrerer späteren Ziffernreihen
zur Folge» dass die Elferprobe nicht zustimmen kann.
3. Fehlt im Resultate an irgend einer Stelle eine Null oder
wnrde der Dezimalpunkt um eine Stelle zu weit rechts oder links
gesetzt y ^o wird dieser Fehler nicht von der Neunerprobe , wohl
aber von der Elferprobe verrathen.
Fehlen im Resultate zwei Nullen oder Ist der Dezimalpunkt
um zwei Stellen verschoben» so zeigt freilich auch die Elferprobe
diesen Fehler nicht an» er tritt aber auch seltener auf.
4. Sehr störend wirkt der Umstand, dass 9 keine Primzahl
ist In Folge dessen haben » 9 als Modul vorausgesetzt, die Pro-
dakte 3 mal 1, 3 mal 4 und 3 mal 7 dieselbe Pz. 3, — 3 mal %
3 mal 5, 3 mal 8 dieselbe Pz. 6,-3 mal 0, 3 mal 3, 3 mal 6
dieselbe Pz. 0; femer haben die Produkte 6 mal 1, 6 mal 4, 6
mal 7 dieselbe Pz. 6, — 6 mal 2, 6 mal 5, 6 mal 8 dieselbe Pz.
3,-6 mal 0» 6 mal 3, 6 mal 6 dieselbe Pz. 0.
Hat daher bei einer Division der Divisor die Pz. 3 oder 6, so
iSsst der Quotient die Neunerprobe nicht nur dann als zustimmend
erscheinen, wenn in ihm ein Vielfaches von 9 als Fehler auftritt,
sondern auch dann, wenn dieser Fehler ein Vielfaches von 3 ist.
5. Auf Quadratwurzelziehungen angewendet bietet die Elfer-
probe einen nur wenig höheren Grad von VerlSsslichkeit als die
Neonerprobe. Denn fQr den Modul 9 haben
1* und 8« die Pz. 1,
2* 7« 4
4« 5« 7
0«. 3« „ «• „ .. 0,
264 Anton: Die Elfer probe und die Proben
während für den Modul 11
V and 10> die Pjl 1,
^ f$ " f> •• "»
6* •, e» ^ o 3
besitzen.
Aaf KublkwarzeliiehnngeD angewendet erweist sich die Eifer-
probe yerlSsslicher als die Nennerprobe, weil die dritten Potenien
der Zahlen von 1 bis incl. 10 dnrchaus yerschiedene Elferprobe-
zahlen haben» während nach dem Modul 9 die Potensen H| 4'
und 7' die Pa. 1, ferner 2», 5', 8' die Ps. 8 and 0«, 3', 6^ die
Pz. 0 besitsen.
Aas all dem folgt:
Es ist zweckmässig 9 eine Rechnaog in ganzen Zahlen oder
Dezimalbriichen zuerst mittels der Elferprobe ond nur im Falle
des Zustimmens dieser auch mittels der Neunerprobe zu prüfen.
Treffen beide Proben zo, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass die
Rechnung trotzdem uorichtig sei, im Allgemeinen nngeftbr der
99ste Theil jeoer Wahrscheinlichkeit, welche für das Vorhanden-
sein irgend eioes innerhalb der Fehlergrenzen gelegenen Fehler»
besteht
Die Haupt*Uebelstäode der Neunerprobe sind folgeode:
L Auf Rechnungen in echten Brüchen gestattet sie des-
halb keine Anwendung, weil man zu häufig in den Fall kommt,
ffir einen gegebenen Bruch keine Pz. angeben zu können; dien
tritt immer dann ein, wenn der Nenner des Bruches eine der
Zahlen 0, 3, 6 zur Pz. hat, weil fOr diese Zahlen keine Restre-
ziproken existiren.
2. Auf Rechnungen in mehrnamigen Zahlen istdieNea-
nerprobe in den meisten Fällen unanwendbar, nämlich stets
dann, wenn eine der Reduktionszahlen die Pz. 0, 3 oder 6 bat.
Die Resolutions-Pz. wird in einem solchen Falle aus dem S. 263.
unter 4. angegebenen Grunde wenig verlässlicb und die Redok-
tions-Pz. wegen mangelnder Restreziproke gänzlich unangebbar.
C. Die Probe fttr den Modal IS.
Die Pz. einer Zahl fllr den Modul 13 ist der Rest, der sieb
bei der Division dieser Zahl durch 13 ergibt.
für (He Modui Aeun, Drei%ekn und Uunderteins, 265
Mao präge sich mnlcbst die auf einander folgenden Vielfachen
von 13, Ton 1 mal 13 bis incl. 9 mal 13, also die Zahlen 13, 36,
39, 52, 65, 78, 91, 104, 117 genas ein. Dann fibe man sich, tob
Zahlen, die kleiner als 130 sind, die Pzn. anzugeben; die Ps*
einer solchen Zahl erhält man durch Subtraktion des nächst klei-
neren Vielfachen von 13. So hat jl B. 74 die Ps. 9, da 74 wenl*
ger 65 gltich 9 ist ; 123 bat die Pjl 6, da 123 weniger 117 gleich
6 ist
Sodann gehe man sur Bestimmung der Pz. irgend einer drei-
«isrigen Zahl Ober. Es sei z. B. die Pz. von 829 zu suchen;
•obtrabirt man von 82 das näcbstkleinere Vielfache von 13, d.i. 78,
80 ergibt sich der Rest 4; wird hierauf von 49 das näcbstkleinere
Vielfadie von 13, d. i. 39, subtrahirt, so erhält man 10 als Rest.
Die Pz. von 829 ist also 10. Man bestimme zur Uebnng die
Ps. von 372, von 752, von 408, von 170, von 500, von 318; sie
lauten: 8, 11, 5, 6, 1, 0.
Hat man nun die Pz. einer Zahl zu bestimmen, die ans mehr
als 3 Ziffern besteht, so theile man sie von der Rechten zur Lin-
ken in dreistellige Klassen und bestimme von jeder Klasse die
Pz. Dann snbtrahire man die letzte Pz. links (d. i. die Pz« jener
Klasse, die aus den hScbststelligen Ziffern besteht) von der
Dichstfolgenden Pz., den Rest von der zweitfolgenden n. s.f.;
falls eine zu subtrahirende Zahl grösser ist als die, von der sie
anbtrahirt werden soll, so addire man zur letzteren jene Zahl,
welche die erstere zu 13 ergänzt
Es sei z. B. die Pz. von 41283903670454 zu suchen.
2 10 6 7 12
41|283|903|670|454.
Ffir die einzelnen Klassen ergeben sich die Pzn. 2, 10, 6, 7, 12.
Non hat man: 2 von 10 ist 8, 8 von 6 ist unausführbar, also 5
(die Ergänzung von 8 zu 13) mehr 6 ist 11, 11 von 7 ist nnaus*
fflirbar, also 2 mehr 7 ist 9, 9 von 12 ist 3. Die gegebene Zahl
bat al«o die Pz. 3.
Zur Uebung:
7 5
Pz. von 59161 ? 59|161 , Pz. ssll ;
8 2 4
„ ,, 8379030? 813791030, ., slO;
5 5 9
70681958? 70I68II95S, „ s9;
9* f$
266 Anton: Die Elfer probe und die Proben
3 0 11
Ps. TOD 836481310? 835|481|310^ Pz.r=l;
9 2 6
„ „ 9938045? 919381045, „ =0.
Man kann die Pz. einer aus mehr als 3 Ziffern beateheBdeft
Zahl auch folgendermassen finden:
Man addire die ]., 3., 5...... Klasse, ebenso die 2. ,4.,6M-•
Kla88e, subtrahire die kleinere Summe von der grosseren nod
suche zur Differenz die Pz. Diese selbst oder ihre Ergänzmg
zu 13 ist die Pz. der gegebenen Zahl, je nachdem die SoBUie
der 1., 3., 5...... Klasse oder die der 2., 4., 6...... Klasse die
grossere ist. Hierbei ist vorausgesetzt, dass die erwähnte Diffe-
renz aus nicht mehr als 3 Ziffern bestehe; sollte sie aus nebr
Ziffern besteben, was Obrigens ziemlich selten der Fall seiB
durfte, so müsste man sie, wie zuvor die gegebene Zahl, in
dreistellige Klassen eintheilen, die Differenz zwischen der Suniffle
der ungeradstelligen und jener der geradstelligen Klassen sncheo
und von dieser Differenz dann die Pz. bestimmen.
Die dem Modul 13 entsprechenden Restreziproken sind:
] und 1 , denn I mal 1 ist 1 ;
14, und die Pz. von 14 ist I;
2
3
7.
9.
"9
3
99
7 „
9\
4
10,
9»
4
99
10 „
D
8,
>9
5
99
H .,
6
n.
91
6
>9
II „
1-2
12,
»t
12
»9
J2 „
27.
»9
99
9»
99
27 ., 1;
40.
99
»9
99
»9
40 „ 1;
40;
66,
99
99
99
99
66 „ I;
144,
99
»9
99
99
144 „ I.
Das Verfahren, die Pz. eines gemeinen Bruches oder eiii«r
gemischten Zahl zu finden, unterscheidet sich von dem Seite 249.
und 250. angegebenen nur dadurch, dass man die Pzn. für den Modol
13 statt der Elferprobezahlen in Rechnung nimmt. So liefert z. B.
5 I
die pemiscbte Zahl 83i508^>|,go zunächst die stellvertretende ge-
mischte Zahl 9^!|| ; dem Nenner II entspricht die Restreziproke
6; 6 mal 4 ist 24, mehr 9 ist 33; die Pz. von 3:3 ist 7. Die ge-
gebene gemischte Zahl hat al>o nach dem Modul 13 die Pz. 7.
Ist die Pz. eines Dezimalbruches oder einer Zahl mit beige-
fügtem Dezimalbruch zu bestimmen, so hat man zwei Fälle zu
unterscheiden.
1. ist die Anzahl der Dezimalen durch 3 theilhar, bo he-
für die Mndul Seim, Dref%ifhn und Himderfehis 267
stimme man die Pz. ohne Rflcksicht auf den Dezimalpunkt ; diese
Pz. selbst oder ihre Ergänzung zu 13 ist die verlangte Pz., je
nachdem die Anzahl der Dezimalen gerad oder ungerad ist
2. Ist die Anzahl der Dezimalen nicht theilbar durch 3, so
mache man sie durch Anhängung einer oder zn^eier Nullen theil-
bar durch 3 und verfahre dann nach der obigen Regel.
Enthält der Quotient einer Division, deren Divisor eine ganze
Zahl ist, Dezimalstellen > so gelten bezöglich der Pz. des wahren
Restes folgende Regeln: Ist die Anzahl der Quotient-Dezimalen
theilbar durch 3, so ist die Pz. des scheinbaren Restes oder ihre
Ergänzung zu 13 die Pz. des wahren Restes, je nachdem die
Anzahl der Quotient- Dezimalen gerad oder ungerad ist. Ist die
Anzahl der Quotient- Dezimalen nicht theilbar durch 3, so hat
man dem scheinbaren Reste ebenso viele Nullen anzuhängen, als
man den Quotient -Dezimalen anhängen musste> um ihre Anzahl
in eine durch 3 theilbare zu verwandeln; dann hat man nach der
ersten Regel zu verfahren.
Bei Quadratwurzelziehungen gilt die Regel: Man hänge an
den scheinbaren Rest so viele Nullen > als nuthig sind, die dop-
pelte Anzahl der Dezimalen des Wurzeltheiles zur nächst grosse-
ren, durch 3 theilbaren Zahl zu ergänzen; je nachdem diese Zahl
gerad oder ungerad ist, ist dann die Pz. des scheinbaren Restes
oder ihre Ergänzung zu 13 die Pz. des wahren Restes.
Bei Kubikwurzelziehungen besteht die einfachere Regeh Je
nachdem die Anzahl der Dezimalen im Wurzeltheil gerad oder
ungerad i.<t, ist die Pz. des scheinbaren Restes oder ihre Ergän-
zung zu 13 die Pz. des wahren Restes.
Die Anwendung der dem Modul 13 entsprechenden Pzn.
stimmt ganz mit dem überein, was bezüglich der Anwendung der
Elferprobezahlen gesagt wurde.
'^\,6 4M<,,2 0^19,3 Im nebenstehenden Bei-
5376*1^ :82«;ö = 65we|,^^ spiel ist 6 die Pz. des Divi-
dendes, 2 die des Divisors;
12 10 r« gibt die Pz. 3. Die Pz. des
5|376....7; 1197*2 ....9 Quotienten ist ebenfalls 3.
7H»i44X38»'c Auf das zweite Beispiel
2 ist die Elferprobe nicht an wend-
2|795»^lM4....0»;4, 11 bar. weil der Nenner 44 die
Elfer-Pz. 0 hat. Die Probe für
268 Anion: Die Eiferprobe und die Proben
^Uf 12*1« den Modal 13 anwendeDd, fin-
12x2 det man 12 ond 2 als Pxn. der
11 Faktoren; 12 mal 2 gldch M
hat die Pa. 11. Die Pi. des Produktes 2795»lte4 ist auch II.
{
6 4% 30»|.
9 4 0-680
4 12 4 10 1
X = 21667-8 : 4|676=4'|634|8^.,^8»|„ 10
Rest 16|S0^....3
3 6
'|,-..10-
In diesem Beispiele geben die Zahlen aur Linken die Pio. 6
nnd 9 ; an 0-68 hat man nimlicb eine Null ansuhlngen nnd findet
dann» den Oesimalpankt nicht berflcksiehtigend, die Ps« 4, deree
ErgSnzang 9 die richtige Pz. ist Zar Rechten hat man an li)318
xwei Nullen anzahingen und erhilt dann die Pz. 3. Die beiden
andern Faktoren zur Rechten liefern die Pzn. 1 und 11.
Zur Linken gibt das Produkt 6x9 = 54 die Pz. 2; zur
Rechten bat man 3x1=3» 3x11=33; die Pz. Ton 33 ist 7.
Nun bildet man den Bruch ''l^, dessen Pz. 10 Ist
Das ResuIUt 4*63482 gibt (nach Anhlngung einer Null) die
Pz. 8. Dem scheinbaren Reste Ist eine Null anzuhängen» da den
Quotient-Dezimalen auch eine Null angehängt wurde ; dann liefert
er die Pz. 3, welche zugleich die des wahren Restes ist^ da die
Quotient* Dezimalen zu einem geraden Vielfachen von 3 ergänzt
wurden. Die Pz. des Divisors ist 8. Man hat also der Pz. 8
noch den Bruch *|« beizufOgen; 8*,a liefert dann die Pz. 10.
Die Elferprobe ist auf dieses Beispiel nicht anwendbar « da
30*l9 die Elfer-Pz. 0 bat.
£ £ Im nebenstehenden Beispiel gibt
6 11 fflr den Modul 13 der erste Paktor
(58 Thir. 24 Sgr. 5 Pf.) X 69 die Pz. 9» der zweite die Pz. 4;
4 12 das Produkt 4x9 = 36 liefertdie
5 Pz. 10. Als Pz. des Resultates
41058 ThIr. 4 Sgr. 9 Pf.) ... . 10 ergibt sich ebenfalls 10.
4 6 4 12
9X4
TT"
rar die Modul Neun, DreiteAn und ttunderteins. 269
D. Tut Probe lllr den Modml IQl«
Will man so einer gegebenen Zahl die Ps. soeben, trelcbe
dem Modul 101 entapricbt, so theile man die Zahl von der Rech-
ten gegen die Linke in sweiatellige Klaaaen vnd addire die 1.^
3., 6 Klaaae, dann die 2., 4., 6. .... Klasae. Ist die Summe
der geradatelligen Klausen kleiner als die der angeradateHlgen,
so snbtrabire man erstere Summe ron letzterer und vom Reste,
MIs er grosser, als 101 ist, das niehstklelnere Vielfache von
101; der hierbei sich ergebende Rest ist die gesuchte Ps. —
Ist die Summe der geradstelligen Klassen grösser als die der
nngeradstelligeo, so addire man su letsterer ein derartig gewihi*
tes Vielfache von 101, dass die Summe grösser ausfklft als die
Summe der geradstelligen Klassen, und, um diese Summe ver-
mindert, einen Rest liefert, der kleiner als 101 ist; dieser Rest
ist die gesuchte Ps.
Es sei z. B. die dem Modul 101 entsprechende Pz. von
58002731608 aa suchen. Die Summe der nngeradstelligen Klas-
icifiAimmiiAiOfi ■*■* •** 2**5 *• ^®'' geradstelligen
5|8U|02|73|lö|W5 ^^ 23^ j,^ Diferenz beider ist 228;
98 16 251 hiervon subtrahlren wir das nächst-
73 2 —23 kleinere Vielfache von 101 , d. i. 202,
80 Ji ~22g und finden 26 als Pz«
251 23 —202
26
93|I5|69107187|03
Es sei die Ps. von 031569078703 zu suchen. Hier ist 25 die
Summe der vngeradstelligen, 249 die
der geradstelligen Klassen ; da erstere
3 87 25 kleiner als letztere ist, addiren wir zu
7 69 3^ 25 ein passend zu wählendes Viel-
15 ^ 328 fache von 101; dieses Vielfache Ist
25 249 —249 hier 303. Von der Summe 328 sub-
79 trahiren wir nun 249 und erhalten die
Pz.79.
BezQglich der Pz. eines Dezimalbruches oder einer Zahl mit
beigefligtem Dezimalbruch gilt die Regel: Ist die Anzahl der
Dezimalen durch 4 theilbar, so kann die Pz. ohne Berfickslchti-
gong des Dezimalpunktes gefunden werden; ist die Anzahl der
Deiimalen nicht durch 4 theilbar, so hänge man ihnen rechts so
viele Nullen an, als nOthig sind, um ihre Anzahl zur nächst höhern,
terdi 4 theilbaren Zahl su ergänzen, und bestimme dann diePx«
ohne Rücksichtnahme auf den Dezimalpunkt.
270 Anton: nte Et fer probe und die Proben
Enthält bei einer Division, in welcher der Divisor eine ganze
Zahl ist, der Quotient Dezimalen , so bange man dem sebeinbareo
Reste so viele Nullen an, als nutbig sind, die Anzahl der Quo*
tient- Dezimalen zur nächst höhern durch 4 theilbaren Zahl zu
ergänzen ; die Pz. des so geänderten scheinbaren Restes ist dann
der des vi^abren Restes gleich.
Bei Quadrat- und Kubikuurzelziebungen gilt die Regel : Man
hänge dem scheinbaren Reste so viele Nullen an, als uuthig sind,
die zwei-, beziehungsweise dreifache Anzahl der Dezimalen des
Wurzeltheiles zur nächst huhern durch 4 theilbaren Zahl zu er-
gänzen; die Pz. des so geänderten scheinbaren Restes stimmt
dann mit der des wahren Restes Qberein.
Es sei die Knbikwnrzelziehung
V^5l236-3037294n = 3714148,
'000
Rest 20695918390208o
mittels der Probe fQr den Modul 101 zu prüfen. Wir haben be
zfiglich der Pzn.
fär den Warzeltheil:
fiBr den Rest:
für die Radikande:
00 80 51
80 20 267
40 29 118
14 14 101
90 83 —200
37 30 —71
37 94 252
91 95 67
36 12 47
61 —94
6 2
5 71
58
267 200
118
filr 58»+67:
58« = 25
80
64
3364
64-33 = 31
31x58
174
1798
67
1866
65—18 = 47.
Der Wurzeltheil enthält 5 Dezimalen, wir müssen also 3 Nnlleii
anhängen und finden dann 68 als Pz. An den Rest ist eine NaH
für die Modul Seim , Dreizehn und Hunderteins. 27 1
aozobängeDy denn die dreifache Anzahl der Worzeitbeii- Dezima-
len» d.i. 3x5= 15 wird durch 1 zur nächst huhern, durch 4
tfaeilbaren Zahl ergänzt; als Pz. des wahren Restes ergibt sich
dann 67. Nun ist die Pz. von 58* -f 67 zu suchen ; als Pz. von
58» ergibt sich 31 ; das Produkt 31x58 = 1798 gibt, um 67 ver-
mehrt« die Zahl 1865, deren Pz. 47 ist. Den Dezimalen der Radi-
kande bat man eine Null anzuhängen und findet dann die Pz. 47.
Zweiter Theil.
Es ist nun unsere Aufgabe, die im ersten Theil aufgestellten
Regeln mathematisch zu begründen, und zwar zunächst jene,
welche sich auf die
Aufsuchung der Probezshlen
beziehen.
Die erste Regel, weiche fiir die Ermittlung der Elferprobezahl
angegeben wurde, dann die erste Regel beziiglich der Neuner-
probezahl, ferner die zweite Regel für die Aufsuchung der dem
Modul 13 entsprechenden Pz. und endlich die Regel bezflglich
der Pz. für den Modul 101 ergeben sich unmittelbar aus der Un-
tersuchung über die Tbeilbarkeit der Zahlen.
Was die zweite Regel bezüglich der Elferprobezahl anbelangt,
80 bedenke man, dass das angegebene Verfahren lediglich eine
Division durch II ist, bei welcher es sieb jedoch nicht uro Be-
stimmuDg der Quotient-Ziffern, sondern Mos um Aufsuchung des
Restes bandelt Ist a.W-y-b eine zweizifferige Zahl und a^b,
*o stellt 6 — a den Rest dar, welchen der Divisor II liefert;
deon man hat;
g.lO-f& _a.ll — a-|-& b — a
bt a < A, so hat man :
ajO+6 a.ll-a4^6 (a-l).ll-|-ll-a-t.6 (ll-a)+6
^Tl — II - n =(«-l)+ n '
^•b. in diesem Falle wird der dem Divisor II entsprechende|Rest
ge&mdeB, wenn man die Zahl, die a zu II ergänzt, zu b addirt.
272 Anton: Die Eiferprobe und die Proben
Nun «ei
a.lO— H*.10^* + c.I0— » + d.IO»-*+.^+*.IO+/
eine n*sMFerige Zahl. Die Division derselben dareli 11 b^inot
belranntlich mit der Division der xweizifferigen Zahl a. 10-1-6 nod
es stellt 6 — a oder (11 -^11)4- 6 den biebei sich ergebenden Rest
Vi dar. Hierauf ist r|.10-fc durch 11 zu dividiren; e — r^ oder
(11 — r|)-f c ist der entsprechende Rest r^y welcher die Zahl
rflO-l-d 'bilden hilft, u. s. w. Das Seite 244. angegebene V«^
fahren erscheint also gerechtfertigt
Zwei unmittelbar aufeinander folgende gleiche Ziffern kSnnes
übersprungen werden. Bezeichnen wir sie mit g und den vor
ausgehenden Rest mit Tm$ so hat man, wenn g^tm iet,
wo rarfi gewiss <^ ist, und dann:
f ii»4. « = ^ — Tmi-i = ^ — ^ + r« = r»
För g^tm let r^fissO,
Fflr g<,tm l»t rM4.i = (ll— r.,)-f^> wo tw^^x gewiss >^ ist, und
Tm\% =s (11 — r,»4.i) +^ = 11 — 11 + Tm—g + ^ = r«.
Man hat also in allen drei Fällen taifa = r«, d. h. die zwei
g kOnnen übersprungen werden.
Bezüglich des dem Divisor 13 entsprechenden Restes gilt
beiianntlich die Regel: Man theile die gegebene Zahl von der
Rechten zur Linken in dreistellige Klassen und bilde die Summe
Si der ungeradstelligen und die Summe S^ der geradstelligeB
Klassen. Ist erstere Summe gr5sser als die letztere, so gibt die
Differenz 81 — iS«, durch 13 dividirt, denselben Rest, wie die
gegebene Zahl, d. h. 1^ — 5^—13 F ist die gesuchte Pz., wobei
V so beschaffen , dass 5i — 5^ — 13 F entweder 0 oder positiv
und kleiner als 13 ist. Ist aber 5i < S^, so kann man leicht
eine ganze positive Zahl V von der Beschaffenheit auffindesy
dass 1^ -f 13F' — S^ entweder =:0 oder positiv und kleiner als
13 wird; iS|-f 13F'— 5, stellt dann die Pz. der gegebenen Zahl
dar. — Es ist nun einleuchtend, dass man in s&mmtlichen Klas-
sen die Vielfachen von 13 gleich ausscheiden kann, indem man
die dem Modul 13 entsprechenden Reste dieser Klassen in Rech-
nung bringt. Ist $1 die Summe der Reste, die den ungeradstel-
ligen Klassen zukommen und j^ die Summe aus den Resten ^f
für die Modul Neun, üreixehn und Bunderteins. 273
geradstelligen Klassen « so stellt Mi—s^ — 13r oder «|-fl39' — s«
die gesuchte Pz. dar, wobei die Bedeutung von v und v' leicht
dem Vorigen zu entnehmen ist. Es handelt sich nun darum« die
Regel zu begründen« nach welcher wir die Pz. aus den Resten
der Klassen bestimmten; die Richtigkeit dieser Regel iSsst sich
in jedem einzelnen Falle leicht nachweisen. Es enthalte z. B. die
g^ebene Zahl fünf Klassen; r|« r^, r,« r^, r^ seien deren Reste«
Yon links gegen rechts hin gezählt.
Angenommen« es sei der Reihe nach r« ~r| = d| « r« — <^i = d^
r4— 1{2=:<2| und T^'^d^r=id^, so hat man:
^4 = fft - |r4— [rs — (r»— ri)] |
oder
Nehmen wir femer an« es sei r^-fClß— r|) = c/i« r^ — di^dg,
r4-|-(13— i2s) = c28 und r^ — d^^^d^, so ist:
d4=r5-|r4 + 13-[r.-(r. + l3-r|)]|
oder
rf4 = (r5+r,+ri) — (r4+r,)-2.l3.
Sei endlich etwa r^ — ri = di« rj+(13 — rf,) = d^, v^ — d% = d^
uid r^ — <2|=:<{4« so folgt:
rf4 = f5-ti'4-[r, + 13-(r.-r|)]|
oder
rf4 = (r5 + r, + ri)-(r4 + rj + l3.
Man ersieht aus diesen drei und allen andern Fällen die
Oebereinstimmung mit der Regel« dass der gesuchte Rest
entweder =:f| — <« — 13.e (wo v auch =0 sein kann) oder
==^ — Sff 13.e' sein muss.
Obwohl die Neunerprobe nur eine untergeordnete Rolle spielt«
wollen wir doch der Vollständigkeit wegen den Beweis ßlr das
zweite Verfahren« die Neunerprohezahl zu finden« hier folgen
lassen. Es sei:
die gegebene Zahl des dekadischen Systems. Ihre Ziffersnmme
5 ist somit z=zAi -f il«-f ili-f-....-|- Jn-s-fi!«— i-f '^n* Setzt man:
TheU XLIX. 19
274 Anton: Die Eiferprobe und die Proben
Ji,.10«-»+ A-ilO^* = -^^ZiC^r+i.lO')
und schreibt der Kurze halber statt der obigen Symbole der Reihe
nach ^0» ^^n**- ^«-Sf so erhält man leicht die Ausdrücke:
A ^7 T. A _ -^1 — -^t A - ^2—^9
ül — ^ — ^ , ^« IQ » «I IQf > ••••
Man hat also:
^n j2>a ^11 ^'s
+ io»-»""io*-»'''io»-*"" lo*-* "•■ I0«-*
==Z— 9^jg^ + j^ + .... + p^ + j^3 + AJ« (m
Die Betrachtung der Polynome ^|» ^2»»-^»-8» ^«-s '^'''^ v*^^'
dass die in Gleichung (m auftretenden Brüche ganze Zahlen shid,
dass man also schreiben kann :
S=Z — 9iV,
wo N eine ganze > positive Zahl ist
Ist die Zahl S zwei- oder mehrzifferig und S' ihre Ziffer-
summe^ so hat man jS' = jS— 9iV'; ist es notig, auch noch von
S' die Ziffersumme S^' zu suchen, so ist S^' =s S^^gN". Ge-
setzt, es sei S" < 10, und werde etwa mit $ bezeichnet, so
hat man:
1 = 5'-9iV" = S— 9iV'— 9iV" = Z-9iV-92V'— 92V"
= Z— 9(2V+iV' + A"'0,
oder, wenn man N+N' +N" =s M «etzt, * = Z— 9ilf, wo Jlf
eine ganze, positive Zahl bezeichnet
Dividirt man Z durch 9, so ergibt sich ein Quotient Q und
ein Rest ^, der kleiner als 9 Ist; man hat also:
fär die Modul Neun, Dreitehn und Hunderteins. 275
Ana der Gleichung $=iZ — 9M folgt:
CS ninss also
* + 5=« + §
9%m, welche Gleichung in dem Falle, dass t <9 ist, nur dann
besteben kann, wenn sowohl
M ^Q als auch 1 = 9
ist Ist t=9, so bat man:
und diese Gleichung kann nur besteben , wenn
M^\=^Q und ^ = 0
Ist. Ist also die durch Bildung von Ziffersummen erhaltene Zahl
I kleiner als 9, so' stellt sie den dem Divisor 9 entsprechenden
Rest dar; ist « = <7, so ist jener Rest gleich Null.
Wir kommen nun zur Bedründung der Regeln, welche sich
auf die
Amwendong der Probesahlen
belieben. Die betreffenden Beweise ruhen auf der Lehre von der
CÜMif^rvens der Kahlen« Wir berufen uns hierbei auf das
Werk: »^Elemente der Zahlentheorie. Von Dr. Her-
mann Schwarz. Halle 1865.*' und gehen von den Seite 25,
M und 27 gegebenen S&tzen aus.
L TorbegrUfe.
Wenn die Differenz der ganzen Zahlen A und B durch die
ganze« positive Zahl p theilbar ist, so sagt man, A und B sind
coagraeat nach dem Modul p^ und schreibt:
A^B (mod. p).
So sind z. B. die Zahlen 93 und 27 congruent nach dem Modul
19*
276 Anton: Die Eiferprttbe und die Proben
11, denn 93— 27 =166 ist durch II theilbar; 48 und 685 sind con-
graeot nach dem Modul 13, weil 685— 48 = 637 durch 13 theil-
bar 18t. Man hat also:
93 = 27 (mod.ll),
48 = 685 (mod.l3).
Zwei ganse Zahlen, deren Differenz durch eine dritte ganze,
positive Zahl nicht theilbar ist, heissen incongruent in Bezo^ I
auf diese Zahl ; so sind 93 und 27 Incongruent nach dem Modol
20. ZunSchst haben wir folgende Sätze:
1) Zwei Zahlen A und B» die nach dem Modul p congment
sind, liefern, durch p dividirt, gleiche Reste.
Die Zahl A gebe, durch p dividirt, den ganzzahligen Qne-
tiententheil to und den Rest r<j9; v>' und r' seien die aoalogeo
Grossen fdr B. Aus den Gleichungen
p ^p
— =10'+—
P P
1
folgt dann durch Subtraktion:
A-^B , . T'-'r'
p p
A ß
Da wir angenommen , dass A^B (mod. p) ist, so muss
eine ganze Zahl G sein. Ist r' von r verschieden« so stellt
, da der Zahlenwert von r— / jedenfalls kleiner als p ist,
einen echten Bruch dar. Die Gleichung
P
kann demnach nur bestehen, wenn rszr' ist; d.h. A ond B
rofissen, durch p dividirt, gleiche Reste geben.
2) Umgekehrt besteht die Folgerung : Geben zwei ganze Zah-
len A und B, durch eine ganze, positive Zahl p dividirt, gleiche
Reste, so sind A und B nach dem Modul p congment. Denn
Ist rsr', so ist ssto— to', d.h. A^B ist theilbar durch
P
p» also A^B{moA.p).
3) Ist eine der nach dem Modul p congmenten Zahlen A und
I
für die Modul Neitn, Drei%ehn und Hunderteini. 277
B fcleioer als p, 00 stellt sie den Dlvisionsrest der andern dar.
A r
Denn ist —^tt-f-« aber B<p, so hat man:
p * p ^r-'
= t©+ *
P P
aod diese Gleichung kann nur bestehen ^ wenn t^zB ist.
4) Ist umgekehrt eine der zwei ganzen Zahlen A und B der
DiTisionsreBt der andern für den ganzen, positiven Divisor p, so
muss A^B (mod.p) sein. Jede Zahl ist also ihrem» einem
beliebigen Divisor entsprechenden Reste congruent, diesen Divi-
sor als Modul vorausgesetzt.
Beispiele.
Zu 1) Es ist 24 = 59 (mod. 7), da 59—24 = 35 durch 7
dieilbar ist; durch 7 dividirt geben 24 und 59 den nSmiichen Rest 3.
Zu 2) Durch 12 dividirt geben 46 und 22 denselben Rest 10;
iD der That ist 46 = 22 (mod.l2), denn 46— 22 = 24 ist durch
12 thetibar.
Zu 3) Die Zahlen 47 und 2 sind congruent nach dem Modul
15, weil 47-2=45 durch 15 theilbar ist; wie man sieht ist 2
der Divisionsrest fflr den Divisor 15.
Zu 4) Durch 8 dividirt gibt 53 den Rest 5, die Zahlen 53
ood 5 sind nach dem Modul 8 congruent, da 53 — 5=48 durch
8 theilbar ist.
Es können übrigens auch negative Zahlen in die Untersuchung
eiobesogen werden. So ist z. B. .
Zu 1) 17 = — 13 (mod.5),
denn 17— (—13) = 30 ist durch 5 theilbar; 17 und —13 liefern
Mch gleiche Reste, denn man hat:
oder
*7 0^2 , . -13 ,.2
^=J + g uDd -g-=-3 + g
5^=4 + -^- und -g-=-2 + -g-.
Zo 2) Die Zahlen —28 nnd —73 lierern, durch 9 dividirt,
denselben Rest — 1 ; in der That ist
— 28 = — 73 (mod.9),
da -28— (-73) = 45 durch 9 theilbar ist
278 Anton: Die Eiferproöe und die Proben
Zu 3) Es ist 39^-12 (mod. 17), da 39-(- 12) = 51 Oeit-
bar durch 17 ist; — 12 kann auch in der Tbat als UivIsioDfftft
▼OD 39 betrachtet werden , denn man hat:
^-3 + =i?
17-^+ 17 •
Man kann (ibrigens auch sagen: 39 und —12 geben, durch 17
dividirty denselben Rest 5, denn es ist:
!7 = ^ + I7 ""^ T7" = ""* + l7-
Zu 4) Die Zahl —47 gibt, durch 18 dividirt, den Rmsi -11;
in der That ist
-47 =-11 (mod. 18),
da —47— (—11) = — 36 durch 18 theilbar ist
S) 8ind A und B theilbar durch p, so ist A — B wk
theilbar durch p, die Zahlen sind also nach dem Modal p eot-
gruent und können auch ihrem Reste 0 congruent gesetzt wer
den. FOr
Ist also
So Ist c. B.
A B ,
— = IT, — = 10
P P
A = B = 0 (mod.p).
26 =-39 = 0 (mod. 13).
6) Sind zwei Zahlen A und B einer dritten Zahl C oack
demselben Modul p congruent, so sind auch A und B nach deo
Modul p congruent. Aus
folgt nämlich:
P P
wobei G und G' ganze Zahlen sind. Hieraus findet man :
A-C B^C A-^B
P P P
J — B ist also durch p theilbar, mithin:
A^B (mod. p).
= G^G\
für die Modul Neun, Dreizehn und Hunder teim, 279
n. TerUiidiiiig der OMignieiiien.
Wir kommeD nun zu dem ivichtigen Satze:
Zwei Congruenzen» die sich auf denselben Modul beziehen,
kSnnen gerade so wie Gleichungen durch Addition, Subtraktion
und Multiplikation verbunden werden. In Zeichen:
60 ist auch
A± M = B±N (mod.p)
and
AM = BN (mod.p).
Aus den gegebenen Congruenzen folgt:
p p
oder
Hitfaua folgt:
{A±M)^{G±G')p^{B±N),
AM = {GG'p + BG' + NG)p + fiZV;
iOder:
^^^^^=zGG'p+BG'+NG;
d. b.
P
A±M=B±N
AM = B1S
\ (mod.p).
Aas dem Satze für die Multiplikation zweier Congruenzen
folgt, dass man die Congruenz A^B (mod.p) itnial mit sich
selbst multipliziren kann. Man erhält dann:
A*^B^ (mod.p).
Eioe Congruenz kann also wie eine Gleichung zur uten Potenz
erhobeo werden, n als ganz und posltlr vorausgesetzt.
m. SobsUtatlon der Reste.
Slod fp{A, B,.... T) und ^(A', ff,.... V) ganze, rationale
280 Anton: Die Eifer probe und die Proben
Funktionen der ganzen positiven Zahlen A, J9,.... 7, A\ B ^ ^.. T
(d.h. Ausdrucke, in welchen diese Zahlen als Addenden^ Sob-
trah enden, Faktoren und Basen von Potenzen, deren Exponenteo
ganze positive Zahlen sind^ in Rechnungsverbindung erscheineo),
und sind a, &,....<, a\ V ^ ....i die Reste, die sich bei der
Division dieser Zahlen durch p ergeben, so muss, wenn
g>(^, Ä, •••. T) = ^{/l', B', ...• T)
ist,
9(0, 6,.... 0 ^ ^(a', h\ .... 0 (mod.p)
sein. (Uiebei bezeichnen 9)(a, 6,....Q und ^(a', 6',...«0 Aiu-
drQcke, die in derselben Weise von a, 6, .... < und a', 6^.... f
abhängen, wie die gegebenen Ausdrücke von ^4, fi, .... T und
Die Funktion 9)(^, i?, .... T) kann stets In einen Ausdntck
verwandelt werden , dessen sämmtliche Bestandtheile Monome sind.
Die Glieder, in welchen die Zahl A erscheint, kennen die Form
^A, ±MA, ±J", ±]SA»
haben, wobei lU und N Monome bezeichnen, die sich aus deo
Zahlen B, C, .... T irgendwie zusammensetzen.
Wir nehmen an, A sei grosser als p und gebe, durch p diTi-
dirt, den ganzzahligen Quotiententheil w und den Rest a, so da»
±A = ±a±wp
ist; hieraus folgt:
±MA::^±iaa± Mwp,
i:^«==±a«db[(j)a--*ir+Qa»-^V+-(j)««^-V-*+«^
= db a" ± Fp
und
:JtNA^ = ±Na*±NVp.
Hieraus ersieht man, dass die Grossen
± A und ± «»
Jb UA „ Jt Ma,
±A» « ± fl",
± NA* « db N^
nur um Vielfache von p differiren. Ersetzt man in ip(A, i?,.... 7)
die Zahl A durch a, so muss also die Differenz
fAr die Modul Neun, Dreizehn und ffunderieins. 281
(p(A, B, .... T)— g>(a, Ä, .... T)
gleichfalls ein Vielfaches von p, inithio durch p theilbar sein,
d. b. es muss die Congroenz bestehen :
q>{A, Bf .... 7) ^ 9)(a, B, .... T) (mod.p).
lo ähnlicher Weise kann man nun In fp(a, £,.... 7) die Zahl
B durch b ersetzen und hat dann
^(a, Bf .... 7^ ^ vi^^f A,.... 7^ (niod./i).
So fortfahrend findet man:
^Af Bf .-T)^ 9(0, Bf ... 7*= 9(0, 6» ... 7^ ^ ... ^9(0, 6, ... Q (med. j9)>
also auch:
9(i4y Bf .... 7)^ 9>(a, 6» .... f) (mod.p).
Ebenso ergibt sich:
'^{A'f Bf .... V) = ^(a', 6', .... O (mod.|»).
Somit muss« wenn
q>(Af Bf.... T) = ip(A'f fi',.... 7")
ist,
tpiOf b, .... 0 = ^(o\ 6', .... O (mod.p)
seiD.
IT. ReobnimgeD In giosen Salden.
Mit Hilfe dieser Formel lassen sich sehr einfach die Regeln
h^ründen» welche für die Prüfung der Addition, Subtraktion,
Multiplikation, Division, Potenzirung und Wurzelziehung in gan.
xen Zahlen aufgestellt wurden, sowie die Regel bezfiglicb der
Resolvions-Probezahl einer mehmamigen Zahl.
Erwägt man, dass die Pz. einer Zahl nichts anderes als der
einem gewissen Modul entsprechende Rest ist und dass con*
graente Zahlen, durch den Modul dividirt, gleiche Reste liefern,
so ist klar, dass die Congruenz zweier Ausdrflcke die Gleichheit
ihrer Probezahlen ausdrfickt.
Sind Af Bf C, Z>, .... A, iS, T ganze positive Zahlen und
a, 6, c, <2, ....r, i, t ihre Reste nach dem Modul p, so bestehen
folgende Relationen:
1) bt J-fB-fC-f .... = £, so ist:
282 Anton: Die Etferproöe und die Proben
a -f 6 •^ c -f .... ^1 (mod. p).
2) Ut A'-B^D, 80 ist:
a — 6^,d (mod.p)«
oder wenn man hierzu die Congrueoz p^O (mod.p) addirt:
ö + (p — ft) ^ d (mod. p).
3) l8t A . B. C... = T, 80 ist :
a»b*c .... ^ t (mod.p).
B
4) Ist A:B=C+ß, also:
fiC + i2 = il,
80 ist:
bc + r^a (mod.p).
5) Ist A'=zB, 80 ist:
a"^A (mod./i).
»
6) Ist Vil— i2=Ä. also:
so ist:
6* + r ^ a (mod. p).
7) Es seien J', B\ C, D' die eiozelnen Zahlen eioer
roehrnamigen Zahl und B, C, D ihre Redoktionszahlen, so dass
A' die Zahl mit der höchsten Benennung bezeichnet» B' die Zahl
mit der nächst niedem Benennung (von welcher B Einheiten eioe
Einheit der höchsten Benennung ausmachen)» C die Zahl mit
der zweitniedern Benennung (von welcher C Einheiten einer Ein-
heit der nächsthShern Benennung gleich sind) u. s. w. ; ferner sei S
die auf die niedrigste Benennung gebrachte Zahl. Es besteht
also die Gleichung:
[{A'B + B')C+C]D + D' = S
und daher die Congruenz:
[((/b + 6') <? + <|rf + rf' =? * (mod. p).
Ist nun
a'b +b' ^Wi <p (mod.p),
tO|C i-c' ^to^ <p (mod.p),
w%d i-df^w^^p (mod.p) ;
für die Modul ^eun. Dreizehn und ffunderteins. 283
80 stellt die Zahl w^ die dem Modul p entsprechende Ps. der
mehmamigen Zahl dar, ond man hat« dem Satz IIL gemSss,
fog^s (mod. p).
Diese Congmenz rechtfertigt die Regel fOr die Prüfung einer
Resoiation.
In ähnlicher Weise ergeben sich die Regeln fllr die Fälle,
in welchen mehmamige Zahlen mit ganzen anbenannten oder mit
mehrnamigen Zahlen multiplizirt erscheinen.
So entspricht s. B. einer Flächenberechnung die Glelchang:
[{A'B+B')C+C][(A''B + B")C+C"] = (UM+M')J!f+lS\
nnd dieser die Congruenz:
[ia^b + b')c + c'][((^'b + V')c + &'] = (emi'm')n+n' (mod.p)
oder
fio% . w^' ^ w^" (mod. p) ,
wo Wf, fD^ nnd w%' die Pzn. der einzelnen mehrnamigeo Zahlen sind.
▼. Oengmeiiswerte von ax.
1) Ist die ganze positive Zahl a < p nnd relative Primzahl
so p, so wird das Produkt ax^ wenn man x der Reihe nach den
p Werten 0, 1, 2, 3, ..••p — 2, p — 1 gleichsetzt, eben diesen p
Werten, abgesehen von der Reihenfolge nach dem Modul p,
coDgment.
Es seien m und n zwei beliebige Glieder der Reihe 0, 1, 2,
3,....p^-2, p— 1 und etwa n>}it, also n = iii-ffft; ferner sei:
_ y >(mod.p).
a.n ^a« <p /
Es lässt sich nun zeigen, dass am und On verschieden sein müs-
sen. Wegen n = fit-f f* ist
sonit, dem Satze Ili. gemäss,
0« S iim-f <if^ (mod. p) oder Ofi ^ a% — Om (mod. p).
Wäre nun aüsam» eo müsste ofA^O (mod.p), d. h. a/ii
nOsste durch p theilbar sein ; weil ik::^n — m gewiss < p und
0 aoch <p Ist, wäre die Tbeilbarkeit von a^ durch p nur in
284 Anton: Die Elfer probe und die Proben
der Weise denkbar , dass p io die FaktoreD q ond r zerlegbar
and q iJh a, r in ^ enthalten wäre. Dies steht aber im Wider-
spruch mit der Annahme^ dass a relative Primzahl za p ist;
Qu ist somit von am verschieden. — Den p Werten für x müsneii
also p verschiedene Werte für ax^ säromtlich kleiner als p, ent-
sprechen» also, abgesehen von der Reihenfolge, sämmtliche GBe-
der der Reihe 0, 1, 2, 3^ .... p — 2» p — 1.
Hieraus folgt: Ist a^p und relative Primzahl zu p, so gibt
es nur eine innerhalb der Grenzen — \, p gelegene Zahl d
von der Beschaffenheit, dass das Produkt aa' einer bestimmten,
innerhalb jener Grenzen gelegenen Zahl y nach dem Modul p
congruent wird.
2) Ist a<p und haben a und der Modul p den grossteo
gemeinsamen Theiler 9, so dass a^^a'q und p:=qr ist, so er
gibt sich aus der Congruenz
afi^Qn— am (mod. p) ,
dass a« stets dann =am ausfallt, wenn fi = 9r ist Denn dann
ist a(iL = avr = a'v,qr=i a'v.p = 0 (mod.p), somit
a« — am = 0 (mod.p),
und da a« und Om kleiner als p ist, kann diese Congruenz nur
bestehen, wenn an = am ist
Setzt man in oj; fSr :r die Werte 0, 1, 2, 3,o.. r — 2, r— Ii
so wird ax r verschiedenen Werten nach dem Modul p congruent
Denn sind g und h zwei Glieder obiger Reihe und ist etwa hyg»
also h=^g + y, und ferner:
a.h^ah^p )
so findet man:
ay^ ak — Og (mod. p) ,
wo ayzsa'qy nicht theilbar durch p^=^qr sein kann, weil yssh^g
kleiner als r und a' relative Primzahl zu r ist (Wäre a' nicht
relative Primzahl zu r, so wäre q nicht der grosste gemeinsame
Theiler von a und p,) — Es ist also au von Og verschieden , d. b.
den obigen r Werten von x entsprechen r verschiedene Werte
von ax.
Für x=r, r + 1, r + 2, .... r + ^, .... 2r— 1 erhält man för «
die Werte:
I
für die Modul Neun , Dreizehn und Htmderteins. 285
at =: a!qr == a^p = 0 ^ Oq,
fl(r + I) = «nr + a =: o'p + a.l ^ iii,
a(r + 2) = ar + a.2 = a'p + o.2^ cia»
(mod, p) ,
a(r+g) = ar-f-o^ = a'p + ag = Og,
a(2r— 1) = iir+a(r— I) = a> + a(r— I)=#ir-i,
woraus man ersieht > dass sich die savor gefundeneD r Werte voo
ax iD derselben Reihenfolge wiederholen.
Dasselbe findet statt» wenn man fiir a: die Werte 2r» 2r-f 1,
.... 3r — 1, dann 3r, Sr+l, ..., ir — l^o. s. w., und schliesslich
(9— l)r, (q — I)r+1,.... gr — l=:p — 1 substituirt.
Man kann leicht zeigen, dass jeder der r Werte a^, Oi, a%
.». ffif .... <ir-i mit alleiniger Ausnahme des Wertes ao=:0 ein
Vielfaches von q ist. Um dies etwa für og zu beweisen, sagen
wir: Jede Zahl, die durch p dividirt den Rest ag liefert, muss
die Form vp + Og haben, wo 0 eine beliebige ganze Zahl bezeich-
oet. Wir haben also : .
a.g = vp + ag,
somit
ag = ag-^tp = qia'g-^vr)
oder
Wire nun Og kein Vielfaches von q, so wfire -^ ein echter
oder unechter Bruch, und dieser mfisste der ganzen Zahl a'g—vt
gleich sein; dies ist unmöglich, ag ist also jedenfalls ein Viel-
faches von q. Dasselbe gilt von allen andern Gliedern der Reibe
Haben also a undp den grossten gemeinsamen Theiler 9=-»
80 ergeben sich fSr oor, wenn man fflr x alle Glieder der Reihe
0, 1, 2, 3, .... p — 2, p — ] substituirt, abgesehen von der Reiben*
folge die r verschiedenen Werte 0, 9, 2^, .... (r — l)^» die sich
9mal In derselben Reihenfolge wiederholen.
Hi^atis folgt:
Ist aK,p und ntcbt relative Primzahl zum Modul p, son-
dern azna'q und p=zqr, so gibt es innerhalb der Grenzen — 1,
286 Anton: Die Elferproöe nnd die Proben
p entweder q Zahlen n'» a'-f-**» a'-f 2r» .-. a'-|-(9— l)r von der
Beschaffenheit, dass ihr Produkt mit a einer bestimmten inn«-
halb jener Grenzen gelegenen Zahl y nach dem Modal p con-
graent v?ird, oder es ezistirt gar keine solche Zahl.
2) Ist
A^B (mod.p) und AC^ BD (mod.p),
so Ist die Division der letztern Congruenz durch die erstere nur
dann gestattet» d. h. man kann nur dann behaupten» dass die
Congruenz
C=D (mod.p)
bestehen muss» wenn A und B relative Primzahlen so p sind.
Setzt man
A^ B^a^ (mod.p) und C^C'^p (mod.p),
80 geht die zweite unserer gegebenen Congmenzen über in :
ac = aD (mod. p).
Femer sei ac^aD^e^p (mod. ;9). Ist nun A, also auch
a, relative Primzahl zu p, so ist c die einzige Zahl zwischea
— 1 und p von der Beschaffenheit» dass das Produkt ac der
zwischen — 1 und p gelegenen Zahl e congrnent wird. Dass oD
ebenfalls congrnent e ausföllt» ist daher nur in der Weise mög-
lich» dass D und c um ein Vielfaches von p differiren» dass also
D:=s^vp + c ist; denn nur dann Ist:
aD = a(i:rp + c) = ±atp + ac^ac=e (mod.p).
Es mnss also nothwendiger Weise
d. h.
Cs/> (mod.p)» also auch C^D (mod.p)
sein.
Ist aber A^ also auch a» nicht relative Primzahl zu p, soo-
dern a^=^a'q und p^zgr, so existiren ausser c noch q — 1 aa-
dere Werte c-l-rt c+2r, .... c + C^ — l)r zwischen — I und p von
der Beschaffenheit» dass ihr Produkt mit a der Zahl e congnient
wird. Daher kann D zwar möglicherweise der Zahl c, möglicher-
weise aber auch irgend einem jener g — 1 andern Werte con-
grnent sein» so dass die Congruenz
für die Modul Neun, Dreizehn und Hunderteins- 287
e^D (mod.p), also auch C^D (mod.p)
wohl in Sgl ich ist, aber nicht mit Bestimmtheit gefolgert wer-
den kann.
3) Ist a < p and relative Primzahl za p, so kommt unter
den p verschiedenen Werten 0, 1, 2, 3y....p — 1, welchen tue,
abgesehen von der Reihenfolge » nach dem Modul p congruent
wird, wenn man für o; jene/? Werte substituirt, nothwendiger Weise
einmal der Wert 1 vor ; es gibt also einen , aber auch nur einen
zwischen 0 und p gelegenen Wert für x, er heisse a» fQr welchen
aa^l (mod. p)
wird. — Je zwei innerhalb der Grenzen 0, p gelegene Zahlen, deren
Produkt der Einheit nach dem Modul p congruent ist, wollen
wir Restreziproken nennen.
Jeder Zahl, die relative Primzahl zu p und kleiner als p Ist,
entspricht also eine, aber auch nur eine Restreziproke.
Ist p eine Primzahl, so ist jede Zahl, die kleiner als p Ist,
relative Primzahl zu p, somit entspricht jeder solchen Zahl eine
Restreziproke. /
Haben a und p den grössten gemeinsamen Divisor ^, so hat
a keine Itestreziproke. Denn die allgemeine Form aller Zahlen,
die durch p dividirt, den Rest I liefern, Ist trp-f 1; wären also
a und a Restreziproken, so müsste aa=:zwp -{-l, oder wegen
a^a'q und p^^qn
a'qa = wqr -f I oder q {a'a — irr) = 1
sein« Diese Gleichung enthält aber einen Widerspruch : die linke
Seite ist durch q theilbar, die rechte nicht; es kann also keine
Zahl a geben, fflr welche ria^l (mod. p) wäre.
TL Bedmungea In BrBoben.
1) Es sei der Modul p eine Primzahl und -j ein echter
oder unechter Bruch; bezüglich der Reste 6 und a, die den Zah-
len B and A nach dem Modul p zukommen, wollen wir anneh-
mea, dass 6>0 und a>l ist. Nun bilden wir den Bruch -
tmd maltipliziren Zähler and Nenner desselben mit a, der Rest-
reziproke von a, so dass er in den Bruch — übergeht. Setzen
wir hier statt btt jene Zahl tf <p, ftBr welche die Gongruenz
288 Anton: Die Eiferprobe und die Proben
ba^u (mod. p)
besteht, ond statt aa den Wert 1 , dem au nach dem Hodol p
Gongraent ist, so geht — Ober in den Bruch t, statt dessen wir
einfach u schreiben. Die so gefundene Zahl u heisse die Pro-
bezahl des Bruches ^ nach dem Modul p.
Ist a = 1 , so ist 6 unmittelbar die Pz. von -x-
h a
Ist a in 6 enthalten, etwa -=A\ so ist b' die Ps. von -j-
a A
Bestimmt man nämlich dieselbe auf dem zuvor angegebenen
Wege, so hat man zunächst den Bruch — , wo Ao=6'iia^6M
=:6' (mod.p) ist.
• Gestattet der Bruch - eine Abkürzung, so kann dieselbe,
wie sich leicht zeigen läset, wohl vorgenommen werden, gewährt
aber keine Vereinfachung.
Ist 6 = 0, ^a > 0, 80 hat ^ die Pz. 0.
Ist A > 0, a = 0, so lässt sich für -j keine dem Modul p
entsprechende Pz. angeben.
Ist endlich 6 = 0 und a=:0, so gestattet -r eine KQrzung
durch p oder ein Vielfaches von p ; bezQglicb der Pz. des dorcb
die Kürzung erhaltenen Bruches gilt das Zuvorgesagte.
Ist C-f -j eine gemischte Zahl, so ersetze man zuerst die
Zahlen C, B, A durch ihre Reste c^ b^ a nach dem Modul p,
so dass man die stellvertretende gemischte Zahl c-^- erhält, mal*
tiplizire dann 6 mit a, der Restreziproke von a, und suche den
Rest, welchen die Summe c-^ba nach dem Modul p liefert. Ist
c-fAo^2<p (mod.p),
SO wollen wir z die Pz. von C'-f "^ nennen.
2) Es lassen sich nun einfach die Regeln begründen, die fSir
die vier Spezies in gemischten Zahlen bezuglich unserer Probe-
rechnungen angegeben wurden.
für die Blodul Neun, Drei%ehn und Bunder teins. 289
A) Ist
80 folgt:
AA^iA^C^ + ly + ^J, {A^C^ + /?,) = AiA^(AC+ B),
somit laot III. die Congruenz:
aa^ (tfi Ci -|- 6| ) -f Olli (a^c^ i-b^^aiO^ (ac + 6) (rood. p).
Moltiplizirt man dieselbe mit dem Produkte aaio^, wo 0,01,02
die Restreziproken von a, 0| , a^ sind, so hat man:
ao. a^a^(ai O] . c-f 61 0| ) -f 00 . Oi 0| (o^o^ . c + b^a^ ^ a|0| . o^o^Cooc-l-Ao)
(mod. p).
Aas dieser Congruenz ergibt sich wegen
ao.c-|- 60^ c-f Ao ^ z, ]
^1**! • <?i + 6| Ol ^ Ci + 6iOi ^ Xi , > (rood. p)
«»«fCt+AiOj ^ «2 + ^»«« ^ ^ )
und wegen ao^aiO| ^030^^ 1 (mod.p) laut 111) die Congruenz:
ij + ij ^ 2 (mod. p).
Dass der Beweis auf beliebig viele Summanden ausgedehnt
werden kann» ist selbstverständlich.
B) Ist
80 bat man :
somit:
(C,+£^)-(r,+J*) = (C+^),
(C, + J) = (Ci+^*) + (c+ f ).
ii^z^-t- 2 (mod. ;y) ,
Qod wenn man hier beiderseits 2^ subtrabirt und dann die Con-
gruenz p^O{mod.p) addirt:
=1 4 (/? — 2«) = 3 (mod.p).
C) Ist
Theil XLIX. 20
290 Anton: Die Elf er probe und die Proben
80 folgt:
a(ai<?i + Ai) (««<?«+ 6«) = üio^iac + 6) (mod.p),
aa(ii|a|.c-|'Ai<<i)(a2fl%><^2~l-6aa2) = ajO|.o^a,(aa.c-|'6a) (mod.p)»
Z| . Za = z (mod. p).
D) Ist
so ist:
somit:
Z| ^ z^.z (mod. p).
Multiplizirt man hier beiderseits mit {^, der Bestreziproke voo
z^, 80 hat mau:
Z|i^ = zs^.z (mod.p).
Ist noii Z|{a = 2'<p (mod.p), so hat man:
z'^z (mod.^).
wo z'
offenbar die l'z. des Bruches — darstellt.
3) Bezuglich der Pz. eines Dezimalbruches oder einer Zahl
mit beigefügtem Dezimalbruch ergeben sich namhafte Verein-
fachungen.
Ist /7 = 9, so ist 10*^1 (mod. 9), wobei it eine beliebige
ganze, positive Zahl Ist Ist daher die Pz. von ^+|7w = — ' irfw
zu suchen, so hat man einfach die von C.10"-|-£, d. h. die Ps.
ohne Berücksichtigung des Dezimalpunktes zu bestimmen.
FGr p = ll ist 10>=l (mod. II), somit auch (10*)» = 1«
(mod.ll) oder 10*"=1 (mod.ll); die Pz. von C+j^=^^^-^
ist also der von ClO^-f ^ gleich.
Aus 10*" =1 (mod.p) folgt 10*«+» = 10 (niod.p). Der Bruch
B C. 10**»+* + B
C-h|yvg„,|= ' ifl2n-i-i ?*^^ daher zunächst den stell vertre-
tenden Bruch rg, wobei fSr z' die Congruenz
für die Modul fieun. Dreizehn und Uunderteins, 291
C. 10*H-i + Ä = 2' < p (mod. p)
besteht. Die Restreziproke von 10 ist 10» ist daher
zMO^ z </i (mod. p),
so ist z die Pa. von C-t- \mmiV
Es lässt sich nun leicht zeigen, dass z = ll — %* ist, indem
man nachweist, dass allgemein
a(p — l)^p — a (mod.p)
ist Man hat nämlich:
a{p — 1) = ap — ö = (a — l)p + p — a^p^a (mod.p).
Mithin muss auch hier
zM0 = 2'.(ll — l) = ll-z' (mod.p)
«ein.
Hiermit sind die Seite !2ö3. aufgestellten Regeln erwiesen.
Für p=13 beachte man, dass 10^^ 1 (mod. 13), somit auch
10^^ 1 (mod. 13), und dass ferner 10^^12 (mod. 13), also auch
10«"+» = 10»(*»+i) = 12 (mod. 13) ist. Die Pz. von
B C.IO^ + B
^ + lO«« — 10««
ist daher unmittelbar die von ClO^-^-B; die Pz. von
ist jene Zahl, weiche die Pz. von C.Vfi(^^^)+ß zu 13 ergänzt.
Ist in C+T?j=^ der Exponent m kein Vielfaches von 3, so hat
B B 10^
man C+ |7g^=C-|- i/^w^-f? hier wähle man « so, dass m4€=6n
oder =3(2n-fl) wird.
FCir p = 101 bedenke man, dass ](H^1 (mod. 101) ist; es
Ut also auch 10«"^ 101 (mod. 101). Mitbin ist die Pz. von
uonittelbar die von C.lO^-f ^.
20*
äSti Amt0m: Die Eifer probe und die Proben
bt ia C 4- ijw ^^^ Exponent m kein Vielfaches von 4 , so hat
*^^ ^^ ri)M^^^l?i^ä+« ' ^^ ^^^ ' ^^ wählen kann, dass
«i4't = 4ai wird
Es #rgehe sich bei der Division von ß durch A der gaai-
MkKge Qiiotiententbeil C und der mstellige Dezimalbruch |^f
itrsef der der mten Quotient- Dezimale entsprechende scheinbare
R
Rtat R\ dann Ist tq^ der wahre Rest und man hat:
R
A -^+10«+ A '
^
B ty R
Bezeichnet ti die Pz. von -j, z die von C^+iqj^, z' die von |^
«nd u die Bestreziproke von a, so kann man zeigen, dass, weoii
man t-f s'a^z"<p (mod.p) setzt,
u^z" (mod.p)
Ist. Aas der obigen Gleichung folgt nämlich:
10«.Ä=^(C-10«+ />) + «.
Setzt man:
10»=/<p (mod.p) und 6M0« + /> = l'<p (mod.p),
so muss die Congruenz
l.b^a.l' +r (mod.p)
bestehen ; multiplizirt man dieselbe mit o^, wo a und X die Rest*
reziproken von a und / sind, so erhält man:
Ik.ba^ aa.FX+rX.a.
Wie man leicht einsieht ist nun:
ba^u
) (mod.p),
rX^ z
und iX^aa ^ \
somit :
if^2-|-s'o^ (mod.p) oder u^J' (mod.p).
für die Modul Neun , Dreixekn und Hunderleins, 293
Hierbei stellt %*' die Pz. der gemischteD Zahl z-f — ^^^'
Bezuglich der Pzn. der wahren und scheinbaren Reste bei
Wnrzelziehungen beachte man, dass, wenn wt^ der wahre Rest
\s%, m bei einer Qnadratwurzelziehung doppelt, bei einer Kubik*
Wurzelziehung dreimal so gross ist als die Anzahl der im Wur*
zaitbeil erscheinenden Dezimalen. Die betreffenden Regeln erge-
ben sich dann aus dem« was Ober die Pzn. der DezimalbrQche
gesagt wurde.
4) Es kunoen nun auch , wie die Im ersten Theil enthaltenen
Beispiele zeigen, ganze Zahlen, gemischte Zahlen, Dezimal-
brfiche und mehrnamige Zahlen in Rechnungsverbindung auflreteB.
Die Beweise für die betreffenden PrOfungsverfahren sind dem
Gedankengange nach so einfach und doch in der schriftlichen
Darstellung so weitläufig, dass wir sie hier übergehen wollen.
Nur der Aufsuchung der Reduktions- Probezahl einer mehr-
namlgen Zahl müssen wir noch gedenken.
Angenommen, A' » B\ C, />' und A^ B^ C, D haben die
N
Seite 282. angegebene Bedeutung und A' -t- jj2 Ist die gemischte
Zahl, welche die auf die höchste Benennung gebrachte mehr-
oamige Zahl darstellt, so besteht die Gleichung
BCD -^^ ^ M
oder
{[{A'B-^B)C-i'C']D^iy\M:==(A'M^IS)BCD.
somit auch die Congruenz
{[(a'6+6')c + c']d+rf'|ni = (ii'm + n).6cd (mod.p).
Ist nun
WiC + c' ^ fTf <p > (mod. p) ,
to^d ■\-d' ^lw^K^p 1
80 stellt Wi die Resolutionsprobezahl nach dem Modul p dar und
man hat also:
103 . m ^ {a!m -f n) bcd.
294 Anton: Die KIferprobe und die Proben
Ist ferner bed^t <,p (rood.p) und t die ßestraziproke tw '
t, fi die von m, so erhält man dutcfa beiderseitige MalttpÜltatMD
mit nx:
mfi .f»,T = (a'iRft -f- Kf() tt (med. p).
Setzt man onn:
».,=»■<, l(„„d.rt.
und a iRf» + np ^ d + «(» = j < ;» )
Ro stellt u' die Reductions-Pz. der gegebenen mebroamigen Zahl
N
nnd I die Ps. von ^' + jü dar, und man hat:
«p* ^ I (raod. p).
Ebenso einfach ist die Entwickelung in denFSIIen, <*o melir-
nami)^ Zahlen, för welche der Natnr der Anfftabe nach die.Rc-
dnkUons'Pz. zn nehmen ist, mit andern Zahlen in Rechnang^
Verbindung erscheinen.
vn. Anhang.
Zam Schluss wollen wir zeigen, wie sich die Restproben aif
einige RechnnngsopeTationen der Algebra anwenden lassen. .
1. Keltenbrüche.
Es sei--
B b,
+ ? _
7=»7 + ?.+?,
II zunächst Eeigen, dass , nenn i| die Ps. der gemiscb-
-f — nach dem Modul p bezeichnet, der dem Ket-
;+?.x*.
für die Modul Neun, Dreizehn und HunderUim.
Bekaitnllicb gehl
2»r;
-iv^.
.n^.+JV.-,.*
-1
in
B
3 =
W.
ober, wenn man
o.-i+^ .toll
a.-i elnflihrt
ibo:
fl_Z.
Oi>-
... + *.
J—i
*"
o, * ■"'
-+iV»_,.6,_,
ß 1 ;V^« . (a,-i . o. + 6») + iV_ . o, 6«-i I
= JtZ,_j(fl,_ia, + *«) + Z_.a„ft„-i).
Ist r der Rest von a» nach p and 9 die Restreziproke von r,
so stellt, wean wir den Rest von au-i.au -fön mit ( hezeichneD
and jp^ij <p (iDad.|)) setzen, i| die Pz. von <im-l-f — dar.
Substitoirl man also in obiger Gleichung f3r am-\-an-\-b» den
Wert t und für Rb den Wert r, mnltipliiirt heiderseits mit 9 und
berücksichtigt, dass
A— , . 6^1 . r« = iV«-g . 6.-1 1
und I (mod.p)
Z.-,.6,-i.re=Z,-,.6._, 1
Ist, so erhSli man die Congruenz:
ßtiV—«.i, +Ä._j.6»_,| = ^iZ,_a.i, +Zi^^.A.-i| (mod.;»).
Hier sind die eingeklammerten Bestandtheile zur Rechten und
Uaken offenhar Z&hler und Nenner des Bruches -r, , es ist also:
BA' = AB' (mod.p).
Sind nun a, b, a' , b' die entsprechenden ResI
RHtreziproken von a ond a' , so besteht wegen
bn' = ab' (mod. p)
«lie Congmenz
ba.a't^ ^ aa.b'a' (mod. p)
oitt
ba = bW (mod. p).
296 Anlon: Die Etferprobe und die Proben
Hier ist offenbar der Rest tod ba die Pz. von -^
von b'it' die Pz. von
Tvirklicfa gleiche Probezableu.
Nun kann man in --r, die gemischte Zahl nm-s-f ~— dmct
ihre Px. u, sodann die eemiscbte Zahl dn— s-|--^— durch ihte Pl
if ersetzen, und kommt, in dieser Wei^e fortfahrend, endlick
«i-a
ergibt ; der Bruch -^ liefert dann die Pa. >■, welche der v«
* . ■ I. .
-j gleich seio mnss.
* = ^ 12
. .. .. Ä «5819 , .
und man habe -^f — ^^^^ gefunden. Um dies Ergebnis« h
prüfen, schreiben wir Qber die Zahlen 12 und lll und unter dir
Zahlen 17, 15 und 25 ihre Pzn. nach dem Modul II und sagn,
beim untersten Cliede des Kettenbruches beginnend:
«^? 12 . 2
i8 "
ibe von 3 ist 4; 4 mal 7 ist 28, mehr 4 ist 33.
ist lU; die Restrez. von 10 ist 10, 10 mal 2 »1
29, iribt f; 7 hat die Restrez. 8, H mal 3 ist %
gibt S; die Restrez. von 8 ist 7, 7 mal I iol 7.
^ibt 4~; Hie Restrez von 4 ist 3, 3 mal 7 ist 3),
B „...OL *>^'Ö V,
z. von . ist somit W. Uer Bruch sgüngh "*'
Pz. 10.
für die Modul Neun, dreizehn und ßimderle/m. 29'
Zeifct «ich, dai>B die Elferprobe unanwendbar »ei, indem eines
itt z gleich 0 wird , »o versuche man die Probe nach dem Modal
13. Es «ei z. B.
"645313'
Resirez. von 10 lat 10, 10 mal 1 ist 10. mehr 7 int 17, gibt &;
die Resirez. von 6 ist 2, 2 mal 1 ist 2, mehr 9 ist II, ^bt.6;
füi 0 existirt keine Restreiiprnhe, die Elferprobe Ist also unstalt-
hafL Nach dem Modul 13 liefern die Nenner 18, 29, 21 die Pen.
5, 3 und 8, nnd man hat:
B_\ 1 Restreziproken ror 13 :
^"!+m+J,I , 2 und 7,
5 " T ^**^ 4 .. »0.
l % 5 „ 8.
*■ 6 „ 11.
Die Restrez. von 8 ist S, mehr 3 ist 8; die Restrez. von 8 ist
5, mehr 9 ist 14, gibt I; 1 mehr 3 ist 4; die Restrez. von 4
ist 10, mehr 5 ist 15, gibt 3; die Restrez. von 2 ist 7, mehr 2
ist y ; die Restrez. von 9 ist 3. Der Bruch -j hat somit fär ^=13
2 7
die Pz. 3.
' 645,313 *
8 I
Ä und diesem entspricht die Pz. 3.
2. Perniulationszah
Ist p eine Primzahl, so ist {p —2)1 =
Congmenz zu erweise», müsueo wir zunücl
a innerhalb der Grenzen t und p — I liegt
a*^r (mod.p)
i*f, r von 1 verschieden sein mnss. W8r<
208 Anton: DU ElftTprobe und die Proben
a*^l (mod.p),
HO mSsote a* — 1 = (a — 1) (a + 1} theilbar durch p sein, was zu-
folge des Umstandes, datis sowohl a — 1 als auch a-^t kleiner
als p ist, nur müglich vriire, wenn sich p In Ewei Faktoren zer-
legen Messe, von denen der eine in a — I, der andere in a -f I
«olhallen trSre. Dies widerspricht aber der Anoabme, das« p
eine Primzahl ist ; a* kann daher unmllglich der Einheit nach dem
Modul p coDgrnent sein.
Wir haben frOher gezeigt, dass jeder innerhalb der Grenzen
— \, p gelegenen Zahl eine Restreziproke entsprechen niiiss.
Dies gilt natGrIicb auch för die Grenzen I, p — !• Aas dem OIh-
gen ersehen trir, dass je zwei innerhalb der Grenzen 1, p — l
gelegene Reslreziproken von einander verschieden sein VBsseo ;
die p — 3 verschiedenen Zahlen 2, 3, 4, ....^ — 3, p — 2 mOssen
daher " ^ Paare von Reslreziproken darstellen (p — 3 ist, ds
p eine Primzahl, also ungerad, stets eine gerade Zahl), es ronsa
somit
(p— 2)t = 1 (mod.p)
sein Hieraus folgt durch beiderseitige Multiplikation mit /> — I
die Congriienz
{p — \)\^p — I (mod.p).
Nun sei R = ep-f a und a<p. Angenommen, auch v sei
kleiner aU p, so kann man nl zerl^en in die Faktoren
l.2.3....(p-I)p = ^,.p,
(p + l)(p + 2)....(2p-I)2p = ^,.2p,
{2p + I)(2p + 2)....(3p-l)3p=^,.3p,
l(p-l)p + llt(B— 2)p + 2|....(rp— I)rp = A.ep,
(rp + l)(cp+2)....(cp + a-l)(pp + fl) = ^;
man hat also:
-^ = (li .Aa.Af-AfA.tA
id p eine Primzahl, so sind sSmmfliche Faklarm
'rimzahlen zn p ; dassellie gilt von den Faktoren
, A^,.... Ar. Demnach ist nl durch keine hSherc
s durch p' theilbar.
I in den Produkten A^, A, Aw sBmmtlicbe
rar die Modul Xeun, Orelae/m und llunäemins. 299
Faktoren durch ihre positiven Rest« nach dem Modul p, so gebt
jedes dieser Produbte \b Ai Aber, man hat also
<4s = vf) = .... = /i« = ii, = (p — 1)! = p— I (mod. p).
Femer ist:
^= l.2.3....(a-l)a = a.' (mod.p).
Es besteht roilhin die Congruens
n1
Ist ii = t>p + fl, wo a <,p, aber vy p, etwa t=:v'p + a
(a' <p anftenommen) ist, so hat man, c' <p voransgeaeUt,
wo y«' =(ij'p + lj(c> + 2)._.(o> + <i' ist. Es ist also:
-^Sff = Ai.A%.Ai....A,.A.v\Ai .A^.Ai....Af.A'.ti't,
woraus sich die Congruenz ergibt :
^^ = (p — 1)'+»' . «! a'tvi ü'I (mod.p).
Welch« Formel man erhielte, falls auch v'>p w£re, ersieht
man aus dem Vorigen. — Bezüglich ip — I)* beachte man, dass
(p-I)« = p«-2p+I.
p '
d. b.
woraus sich die Congruenzen ergeben ;
wo M eioe beliebige ganie positiTe Zahl ist.
(rood. 13).
3ö0 Anlon: Die Elferprobe vnd die Proben
Beispiel.
17! = 355687428096000.
Zunächst entwerfe 1! ^ 1 1! ^ 1 \
man sich die seitwärts 2! = 2 j 2! = 2
stehenden Tabellen für 3! = 6 j 3! = 6
1! bis (/i — 1)1, deren 4! = 2 | 4! = )1
Bildungsgesetz sich aus 5! ^ lOf . a \\\ 5! ^ 3
dem Begriff der Fakto- 6! = 5 \ ^"^*'- *'^' 6! = 5
rielle ergibt. 7! = 2 I 7! = 9
8! = 5 I 8! = 7
9! = 1 9! = 11
10! = 10/ 10! = 6
ll!=l
12! =12 •
Nun ist 17= 11 -I- 6, also fOr p = l ist o = l, a=6, mitbin:
17»
jY = {p— l)ö! = 10-6! = 10.5 = 6 (mod. 1 1).
In der That findet man:
^ = 32335220736000 = 6 (mod. 11).
Ferner ist I7=13-h'^> also für /9t=13 ist r=l und a-i
somit :
17'
ii- = (p-.|)a! = 12.4! = 12.11 = 2 (mod. 13) .
und wirklich findet man :
1^, 1 9 12 2 0
ij = 27|360|5711392|000 = 2 (mod. 13).
Behufs Prüfung der Gleichung
sei n:=ivp^ay a=^up+b, ß^twp-i-c» und die Grössen a, b,c,
V, u, w seien säromtlich kleiner als p.
Der Gleichung
n! ^ p^ .(Ai A^ ...» Av) Av\
analog hat man die Gleichungen
«! Ä p''.{AiA^....Au)Bid und ß\ ^ p^.(AiA^....Aw)Cuf\,
für ille Voäul Seun, Dtel%ehH tinil IltiiithrUliii.
Ä=Ciip+l)(i(p+2)....(«;*-ft) onH C= (wp+l) («.p+2)....(«^+c)
FShrl man die Ausdrück« fSr nl, al und ß\ in die (ileicbung
a!^!M = n! ein, dividirt beiderseits zuerst durch p^" und dann
dorcb p'-CH-'»), so erh< man die lileichung:
(Al i4, .... A„) (^, J, .... A,) £6'u! toi ^(„^,, = ( J, W,.,.. 4.) JpI.
ZunScbal louss nun gezei;;t tverden . dass b f lo nicht > n
sein kaoD. Der Natur der Sache nach ist
a±ß=n
P <P
p s p
Gilt hier das obere Zeichen, so Tolgt u + to — v. Gilt das
untere Zeichen, so muss iti den F&llen, wenn A + c>a und
6 -f C = u ist, selbstverständlich u -|- w < v sein ; aber auch dano,
venn b + c ^ a ist, Itann u + w nicht > r sein, denn wSre dies
der Fall, wäre etfva u + w = v + S und S eine ganze positive
Es ist also e — (u -f to) entweder der Null oder einer positi-
vsn Zahl gleich, und p'— (H-» iet, wie die Belracbtang aller in
An Gleichung erscheinenden Faktoren lehrt, die huchsle Potenz
TOD p, durch die JU tbeilbar ist.
Unsere Gleichung fSbrt auf die Gongnienz
(p_l)-+-.6Iclal«I^;:^^V) = (P-»)'-'^'-' '—■ "'
Da (p— I)H-" entweder =1, oder ^p — 1
uad «l relative Primzahl su p ist, und da fern
die Grüsse el durch itltel tbeilbar sein muss
-li+'Kal-i—,
uiwi
302 Anten: DU Elferproie und die Priiötn
b\c\=g<,p \
gV=\ I (lood. p),
und a\y ^ i '
so gebt obige CangraenE durch belderseilige Haiti pliludoD ail y
Sb«r in:
wobei I die Probesahl dea Braches ttii heseicheet
Der Gleichung
n!
a\ßiy\..
^ M (y = xp ■\-d und x uad d <,p angenommen)
entspricht die Congruenz i
wo t die Pz. des Braches ,) ,^ — darstdit.
Beispiel.
lo der Gleichuof; ,^^ = jtf sei /tf = I412I49200 geTuDd«
worden. Die Elferprobe anwendend, hat man:
35 = 3.114^2. also t> ^ 3, a=s2,
28 = 2.1146, .. M = 2, 6 = 6,
4 = 4, „ iD = 0, c = 4;
es Ut also V— (ii-f«')=3— (2-f 0) = 1, und mao hat:
11 =
'-' 5üf '
Tabelle aaf Seile 300. fiher In ^, ea entspricht iha f
Ps. 9. Ferner ist nrni=3, man hat also:
^ = 9.3.10 = 6 (mod.ll).
Thal 6ndet man, dass n = l3*i377:!OOdieEirer-Pi.0btl.
filr die ilodul Neuu, ßreHehn und Hvnrierieins- 303
Wenden wir auf Att* Beispiel auch die Probe fOr den Modul
13 an, »o haben ivir;
35 = 2.l3-(-», al8u c = 2, o = 9,
28 = 2.13+2, „ 11 = 2, 6 = 2.
4 = 4, „ w=0, c = 4;
eaist«oniit e -(u+w) = 2— (2 + 0) == 0, 13» = l , «Iho:
^^'■m = ' (n.od-13).
wobei I die Pz. des Bruches qi-ji ist. Dieser Bruch geht aber
(D ^-p. . und hiefflr ergibt sich die Pz. 7. Man aberzeugt sich
leicht, daas 14I2I4»2()0 virlclich die Pz. 7 besilst.
3. Corabinationszahlon.
0=
IS und n^vp-\-a, r ^ v>p -(- b
wobei wir annehmen «vollen, dass die Zahlen n, b, v, «e sHminl'
lieh kleiner als p seien. — Ferner* ttünnen wir annehmen, dass
r nicht grösser als jn sei; denn wSre etwa r'^)», so hatte
man ( ')^( — ')' ^'* ^^'"'' " — t^^r gesetzt, r gewiss
Bichl grÜBser als Jn ist. — Hieraus folgt, dass, wenn wir min«
deatess n > p voraussetzen, to nie grösser als e — 1 sein kann.
Ut « ^ 0, so muss e = 1 sein , »eil sonst n auch < j> wSre, os
ist somit dann to = e — 1. Für jeden von Noil Terecbiedeneu
Wert von w mnss e mindestens = 2to sein ; r ist nSinlich hSeh-
stens :=in, n also mindestens = ^=^iv>p + 2b, und da n auch
= vp + a ist, ersieht man, dass d mlndeetena = 2ti> sein rons«.
Fflr w=l ist mithin t mindestens =2, also to höchstens =e— 1.
FOr jeden die Einheit fibersteigenden Wert van u folvt aus
2i0 "T V und to > 1
dnrch SnbtraktiM die Ungleichheit
w < p— 1.
£« ist also, n>p vorausgesetzt, wirklich to
304 Anton: Die Eiferprobe und die Proben
Wir haben nun drei Fälle zu unterscheiden:
A) a>6, B) a=6, C) a<6.
A) Für a>6 ist (n— r) = (r — ic)/? + (a— 6); der Formd
\rj r!(it— r)!
entsprechend haben wir die drei Congruenzen
P'
-I
-^ = (p — l)» 6! w\ ) (mod. p).
-; = (p-;l)«'a!rf
^^^H
Dividiren wir in der Gleichung
if.r!(n— r)!=:n!
beiderseits durch p*.p^~^=^p*f so erhalten wir die Gleichang:
mf **' (r— to)! n!
pip pV—W pV
und hieraus die Congruenz: •
iir.(p-I)«'6!w!(p— l)'^«'(a— 6)!(©-ii»)! = (p-l)»aft>! (rood.p).
Die Grosse (p — l)«'=(p— l)».(p — 1)»-» ist entweder ^1 oder
^p~l; dap — 1 relative Primzahl zu p ist, so folgt , dass im
letztern Falle die beiderseitige Division durch (p — 1)' gestattet
ist. Da a>6 und o > tr ist> niuss a! durch b\(a — 6)! und v!
durch to!(o — w)\ theilbar sein. Da die genannten Divisoren rela-
tive Primzahlen zu p sind, darf man die Division wirklieb vor-
nehmen, man hat also:
oder
B) Fflr 6 = a geht ^^) ober in (^) = ^» «nd man htt för
diesen Fall
für ate Modal Hern, Drel%elm und BunderMns. 305
C) FBr a < 6 ist :
{«-r) = (t-«-l)p + (p + a-&)
~~i = (p-l)-'-Up-^a~ö)l(v-u-l)i <mo<i.p).
AHB jtf.W(R— r)l = nr folgt:
M tI (n-r)t _ wl
nnd bieraos die Congroens:
-■{p—l)*W«i!(p— !)•-•-'. (p + o—6)!((.—w-I)l=(p-l)'aIi)!
(inod. p).
Wenn nun in den Fonneln
nss Dp-t-o. ^ — (p — I)fl!rl (mod.p)
p=l setxt, «o erbfilt man:
Difidirt nun nun in unserer zuvor erhaltenen Congnienz beider-
«dts dnreb (p— 1)^' = (p-I)".Cp~l)"---', fahrt dann snr
Rechten statt (p — l)a! den Congruenz-Wert -^— — ein und
ietzt [c-— l}Ic statt ei, so erbilt man;
|.4t(p + a-A)f«l(e-l-w)! = ^.{p + a)l(tJ-l)!i. (mod-p).
Oa nnn ft<p-|-a nnd u nlcbt grOaaer als ti — 1 ist, so mnss
ip + a)i durch it(p + a— 6)1 und (c— I)! durch iot(e — 1-to)!
tbeilbar sein; die Congmenz ist durch die genannten Divisoren
wiiUieb diridirbar, man hat eomit;
p ~p'6ICp + a~4)fw!(i!-l — »)!■
(m.
?4 etOC:')' '-->
Wir haben demnach folgende Zusammenstellunf
TkȟILIX.
306 Anton: Dte El/irprobe und die Proben
IstrTüt ;> eine PrirozabI, n = ti;>-f a, r = «p-^-b, loit
aind die Zahlen v, w, a und b BSmmtlich kleiner al« p, ao bünu
, '='«>'^ 0=00
'°'°='' 0=6)i >(«.d.p,.
Beispiel.
Man prQfe ^jgj = « = 17672631900. Die Elferprobe «
wendend haben wir;
«=37=3.1144, also v=3. a=4,
r=I8=l.ll+7, „ «,= 1, 6=7.
Hier ist 6>a, also die dritte Formel
an benützen. Man hat:
md ds m = iailI.I2.]3.14.IS und I2.13.U.ISB4I (m'' "I
ist, so folgt;
' fK\_m« , , „
\\\7) = 'mi <■»«''•")■
Der Bnicb jjy Jiefort ooaeisr TsMIo f/aMM dm Bnicb ^'
dem die Pz. 2 zukommt Demnach ist:
j] = 2. 2.3=1 (mod.p).
92900 hat In der Tbat die P>. I.
= 13 hat man:
= 37 = 2.13 + 11, alao e = 2. a=ll.
= 18 = 1.13+5, „ 11 = 1, e = 5.
Fär die Modut Seun, DretzeAn umd BuHdertttm. 307
W^en a>i haben wir die Fonnel
O-OC) <"-'">
unwenden ood findeo
^^ ''' ( B 7 ^ fil6! ' ^'"^ letitem Brache entspricht dei Brach
s-K nnd diesem die Pi. 7; somit ist
tf=7.3=l (mod.l3).
4 9 7 3
Wisman sich Idcht Oberzengt. hat Jf = 17!672|63I|9(M wirklich
die Ps. I.
4. Produkt der Wurzelfaktoreo.
Man prfife die Richtigkeit der Gleichnng
(a:+2) (ar-5) {x~T) («-2) (x+3) (ar-I)
= »• — lOc» + 4i^ + 146a* — 137a:» - 424s + 420.
Man wShIe ßir z einen Wert, fär den keines der Binome zur
Linken =0 wird, etwa «=3, und bilde sich dann die Tabelle:
Wmod. 11).
Die Gleichung
5.-2.— 4.1. 6.2=3«-10.3»+4.3*+146.3«-137. 3^424. 3+420
gflbt dann, wenn man statt der Goeffizienten
TOD 3 die Pzn. einfflbrt, fiber in die Congi
5.— 2.— 4.1.6.2 = 3-10.1 + 4.4+3.
= 3-10 + 5 + 4—1-
Ffihrt man statt der negatiren Zahlen die
30S Anton: Die Elferprobe u. d. Proben für die Modul Kenn, Drei%eknete.
positiven Reste ein, also -f 9 statt — 2, -f 7 statt -4, -f 1 statt
— 10, 10 statt — 1 ood 4 statt —7» so hat man:
6.9.7.1.6.2 = 3+1 + 5+4 + 10+4 + 2 (mod.ll)
und überzeugt sich» dass diese Congruenz richtig ist; sie fie-
fert nSmlich die Gongruenz:
7 = 7 (mod.ll).
In derselben Weise kann die Probe Rir den Modul 13 ange-
wendet werden.
5. Partialbrfiche.
Man prüfe die Gleichung
2-3ar + 5a?« 20 . 326 47
(2-6ar)(7+3ar)(4-7ar) — 123(2— 6:p) ^ 2501 (7+3a:) 183(4— 7^)*
Wir setzen etwa ^=2 und haben dann für die einzelnen BrOcbe
folgende dem Moflul II eptsprecbende Umformungen:
2— 3ar+5a:« 2—6 + 20 J16_ 5
(2— öar)(7+3a:)(4— 7ar)' — 8.13. — 10* 3.2.1' 6* *"•
20 20 A ® 7
123(2— öar)' 123.-8* 2.3' 6* ^'
326 326 1^ l K '
250I(7 + 3a:)' 2501.13' 4.2' 8' ^''
^7 47 3 3
183(4— 7ar)' ""183.-10* " 771* ""7' ""^' ^•
Man sieht, dass wirklich
10 = 7 + 5 + 9 (mod.ll)
Ist.
Cnferdinger: Da$ Pendel al$ geodätisches Instrument. 309
Das Pendel als geodätisches Instrament
Ein Beitrag zur BefBrderung des Studituns der Schwerkraft
Von
Herrn Franz Unferdinger,
Lehrer der Blathematik an der Öffentlichen Oberrealschnle am hohen Markt
in Wien.
Die Anwendung von Beoh»
achtungen zur Bestimmung un-
bekannter Grössen ist nur dann
von jeder Willkür frei, wenn
die malhematische Form der
beobachteten Quantitäten gege-
ben ist, BesseL
Vorwort.
In den Jahren 1863 und 1864 habe ich in den Sitzungs-
berichten der k. Akademie der Wissenschaften in Wien zwei Ab»
handlangen: „Aufstellung einer neuen Pendelformel und
Darlegung einer Methode, aus der Länge des Secun-
denpendels in verschiedenen Breiten die Fliehkraft
und die Form und Grosse der Erde zu bestimmen*' und
,yVergleichung der Pendelformel mit den Beobachtun-
gen*' (Bd. 49) puhlicirt, deren Inhalt im Wesentlichen mit dieser
Schrift übereinstimmt Jedoch erstrecken sich hier die Verglei-
chuDgen auf eine grossere Anzahl von Beobachtungen und ist die
Methode in eine zum praktischen Gebrauch besser geeignete und
präcisere Form gebracht. Die Paragraphen 5. und 8. sind neu
hinzogefügt
Angeregt durch die grosse Unternehmung der internationalea
Commission fOr die mitteleuropäische Gradmessuog zeigte sich
SlO Onferdinger: Da9 Pendel aia geodätisches Instrument.
in neuerer Zelt im wissenschaftlichen Publikum ein lebhaftes
Interesse für Alles, was auf die Form und Grosse unserer Erde
Bezug bat, und so hoffen wir, dass auch diese kleine Schrift bei
den BefSrderern und Freunden der Geodäsie keine ungünstige
Aufnahme finden wird.
Wien, 15. August 1868. Der Verfasser.
9. 1.
Einleitung.
Clairaut in seiner Theorie de la figure de la terre
(Paris 1793) betrachtet die Erde als eine Masse von conceDtri-
sehen und gleichliegenden eilipsoidischen Schiebten, deren Dich*
tigkeit in jeder Schiebte gleichförmig und einer Potenz der Aeqni-
torialaxe derselben proportional ist. Mittelst dieser noch dorcb
einige aus den analytischen Schwierigkeiten entspringenden Ein-
schränkungen modificirten Hypothese gelangt derselbe fllr die
allgemeine Form der Länge des Secundenpendels zu dem Ans*
druck a-f ASin*9, worin a, b Constante und 9 die geographische
bezeichnen.
Die Richtigkeit dieser Form vorausgesetzt, war man nun seit-
her bemüht, durch zahlreiche, an festen Observatorien und vos
Reisenden ausgeführte Beobachtungen in verschiedenen Breiten
die Werthe der Constanten a und b zu bestimmen.
Ich stelle hier einige solcher Formeln zum Vergleich zusam-
men, so wie ich sie in verschiedenen Werken gefunden habe;
auf ein gemeinschaftliches Maass reducirt geben sie für die mittlere
Zeltsecunde als Schwingungszeit die Pendellänge in Pariser Liniei:
439132+2-4990 (Sing?)«
140 4991
260 4998
228 3891
318 2483
298 2817
Die drei ersten Formeln beruhen auf 15 Beobachtungen und
folgen ans dem Resultate von Laplace (Trait^ de mäcani-
que Celeste, Lib. III., p. 150.), je nachdem man die Länge des
Secundenpendels für Paris annimmt zu 440*559 P. L. nach Borda
oder 440*567 nach Biet, Arago oder zu 440*687 nach Kater,
wie Bessel sie angibt in den Abhandl. der Berlin. Akad. 18X.
k
Vnferdinger: Das Pendel als geodätisches Instrument. 311
Die vierte and fSnfte Formel sind von J. J. LIttrow gerech-
net aus je 9 und 17 Beobachtungen (Astronomie Bd. 1. p. 338.
ond Vnries. über Astron. Bd. 2. p. 30.)» su welchen bereits die
sorgfaltigeren Bestimmungen von Kater und Sabine beniitst
wurden.
Die letzte Formel, jene von Sabine, ist das Resultat eines
grossen, auf Veranlassung des Board of Longitude ausgeführten
Unternehmens und hat unter allen den meisten Anspruch auf Ge-
nauigkeit *).
Bezeichnet f die Flugkraft, g die beobachtete (von der Flug-
kraft entstellte) Schwerkraft und stellt / die beobachtete Länge
des Secundenpendels am Aequator und /' jene am Pol vor^ so
bat Clairaut unter Voraussetzung der oben bezeichneten H3rpo-
tbese f3r die Abplattung der Erde die Formel gefunden:
Dorch Anwendung obiger Ausdrücke für die Lfinge des Secun«
deopendels erhält man hiermit aus den drei ersten öö^, aus dem
(ooften 5^, aus dem sechsten Ausdruck ngg » &ber die zehn Grad-
messungen geben nach BesseTs Rechnung
Um ein Urtheil über diese Resultate zu gewinnen, ist es
nQtzlich, daran zu erinnern, dass eine mathematische Formel
eigentlich nichts anderes ist, als der sichtbare Ausdruck einer
bestimmten Ideenverbindung. Ist diese letztere falsch, der Natur
der Sache nicht angemessen , so können weder die geschicktesten
Praktiker ond die besten Beobachtungen, noch die Methode der
kleinsten Quadrate, zu einem erspriessiichen Resultate führen:
9fan zwingt die Naturerscheinung in eine Form, welche ihr fremd-
artig ist In seinen „Untersuchungen über die Länge des
einfachen Secundenpendels für Königsberg^' (Abhandl.
der Berl. Akademie 1826, p. 16.) sagt Bessel: „Die Anwendung
von Beobachtungen zur Bestimmung unbekannter Grossen ist nur
dann von jeder Willkür frei, wenn die mathematische Form der
beobachteten Quantitäten gegeben ist.*'
*) An account of experimentt to determine the lirae« of Vibration«
of ibe pendolom in diiferent latitodet by E. Sabine 1825.
312 Vnferdinger: Das Pendel als geodätisches InstrumenL
§.2.
Ableitung einer neuen Pendelformel.
Sei g^ die absolute, ffir die nicht rotirende Erde giltige
Schwerkraft an der Oberfläche der Erde in der Breite q>, und g^
jene am Aequator. Die Erfahrung bat gezeigt , dass g^, mit der
Breite 9 veränderlich ist. Da wir das Gesetz dieser Verände-
rung, welches von der Vertheilung der Dichtigkeit im Erdinaen
abhängt 9 nicht kennen ^ so setzen wir:
(1) i^, = i^o(^)'(i + ^<»H^V* +....).
wobei
(2) fi = Smtpy
a den Halbmesser des Aequators des Erdsphäroides» q den
Radiusvector zur Breite q> bezeichnet und A^ A\..., CoefGcieo-
ten bezeichnen, welche durch die Erfahrung (aus den Beobach-
tungen) bestimmt werdeo sollen. Der Factor (— J ist deshalb
beibehalten worden, um der traditionell gewordenen Ansicht, dass
sich die Intensitäten der Schwere an der Oberfläche der Erde,
wie umgekehrt die Quadrate der Entfernungen vom Mittelpunkt
verhalten — Raum zu geben, sich durch die Erfahrung zu be-
wahrheiten. In diesem Falle müsste ^ = ^'=....=0 werden.
Da Q nach den Lehren der Geodäsie ebenfalls als eine nach
fA^ geordnete Reihe mit constanten Coefficienten dargestellt wird,
so ist der Ausdruck (1) fOr g,p eine allgemeine Form, welche
jede stetige Function zu repräsentiren vermag, folglich auch die
Abhängigkeit der Intensität der Schwere g,p in der Breite <p i^on
der Breite q>.
Findet ein solches Gesetz der Abhängigkeit, wie die Glei
chung (1) darstellt, nicht statt, so werden die Constanten
A, /!',...., zu verschiedenen Zeiten bestimmt, verschie-
dene Werthe zeigen, und wir können alsdann mit Sicherheit
schliessen, dass die Massenvertheilung im Erdinnern (dnrcb Be-
wegung oder Entmischung) anomalen Veränderungen unterworfen
ist. Sind hingegen die Werthe ^, ^',...., zu verschiedenen
Zeiten bestimmt, constant, so druckt die Gleichung (1) ein
Naturgesetz aus, dessen Consequenzen uns sichere physi-
kalische Ansichten schaffen werden über den Dichtezustand de^
Erdinnern.
Vnferdinger: Das Pendel als geodätisches Instrument, 313
Bezeichnet l^ die Länge des Secandenpendeb zar lotensitSt
g^f so ist bekanntlich:
oder nach (1) :
(3) ^ = SG)' <' + ^J**+^V*+-).
Diese Formel fOr die Pendeflfinge in der Breite q> berficksichti-
get nur die Form der Erde, welche durch q bestimmt wird, nicht
aber die durch die Rotation entstehende Flugkraft.
Setzen wir als Form der Erde ein Rotations -Ellipsoid (um
die kleine Axe) mit der grossen Halbaxe a und der ExcentricitSt
e voraus, so ist, wenn a als Maasseinheit genommen wird:
**^ * - I+(l_e«)tgV'
bezeichnen wir die Abplattung eines solchen Körpers mit o, so
wird diese aus e bestimmt durch die Gleichung:
(6) a=:l^VT^^,
ond wir betrachten daher in unserer Untersuchung e statt o als
die unbekannte Grdsse.
Die Pendelformel (3) hat nun folgende Gestalt:
Ist ^ die Flugkraft am Aequator, so ist /oCos'g)^) die in der
Richtung der Schwere genommene Flugkraft in der Breite q> und
/o— /()Cos*9? = /o^inV ^^i* Unterschied der Flugkraft am Aequa-
tor und in der Breite g>, gQ — /o die wirkliche, von der Fiugkraft
entstellte Schwerkraft am Aequator und g^ — fo+fo^'^^^^ die
wirkliche Schwerkraft in der Breite q>, oder, wenn v das Ver-
hiltniss der Flugkraft zur absoluten Schwerkraft am Aequator
beieichnet :
<^ '=k-
I
(8) 9v = 9o(i-*)0+ih;,Sm^<p)-
Wird die letzte Gleichung durch it* dividirt, so iat ^ = L9
314 Vnferdtnger: oat Pendel ai» geodäUscAet Inttrument.
gleicb der wirklichen beobachlelen Pendellfinge in der Breite 9
and ^=1^, wenn la die PendeltSn(;e bezeichnet, welche der ab-
solaten IntensilAt g^ entspricht, nnd man hat:
(9) iT = <,{l-v)(H-~;SinV)-
Für äne nicht abgeplattete ruhende and gletchfürmiga Erde i«t
aber lt,^lqi, ftir eine nicht abgeplattete rotirende Brde kann mm
daher schreiben:
L9 - /,(! — *■){! + yr^SinV)-
Ist aber die Erde abgeplattet, so hat l^ den Werth aas (6), und
man hat, da auch
(10) ■aiö=i' = i.
gleich der wirklichen LSnge des Secun de c pendeis am Aeqvator ist:
(II) i,=i»(l+-4|''+^'l'«+.-.)(l+,4;l'')|=Js|^Z^'
oder, wenn man die auf A^* folgenden Glieder fortllast:
(12) t, = i.(i+-<c')(i + nr-,i'*)t#T(i=?)V-
Die wirkliche Länge des Secandenpendels in der Breite 0
wird in jene der Breite qp verwandelt, indem man dieselbe Bit
den drei hier gegebenen [''actoren multiplicirt. Der erste Factor
besieht sich auf die DichteverbSitnisse im Erdinnern, der awoile
snf die Flngbraft, der dritte auf die Abplattung.
Diese Formel hat vor der empirischen a4 6Sin'9 den Vor-
~ dass gie den physikalischen Zusammenhang daratellt, wel-
wischen der GrUsse , Form und Kolationszeit der Erde nad
Inge des einfncheo Secundenp endeis besteht. Indem so die
ng als eine Function ihrer Ursachen erscheint, habe icli
IQ znnSchst die Aufgabe gestellt, zu nntersachen, in wiefen
m Stande ist, die bisher gemachten Bastimmungea von
Hängen durch diese Formel darzaatellen , nnd zwar mit dan-
I Daten ffir das ErdspbKroid, welche Bessel aas sehii
eeanngeo abgeleitet hat.
ünferdinger: Da$ Pendel ais geodätisches Imirument. 315
§. 3.
Entwlekelmig von Lg £9» In eine Beihe naeb Potenzen Ton fu
Nach Bessel's Recboaog (Astron. Nachrichten No. 438»
1S41) ist
der Radius des Aequators a= 3272077*14 Tois.,
die halbe Urodrehungsaxe 6=3261139*33 j,
Excentricität des Meridians e = 0*08169683.
Hit diesen Daten und der Rotationszeit der Erde T = 86164*. 1
mittl. Zeit finde ich fQr das Verbältniss der Fluglcraft zur abso-
loten Schwere am Aequator:
(13). . . . J=: 289*413, Igj3^== 7*5399857,
indem ich die in {. 1. mitgetheilte PendellSnge für den Aeqaator
von Sabine als Näberungswerth einführe. In Verbindung mit
den Lingen von
Berlin g)=52O30'16" . . • 440-7390 P. L. (Bessel),
Guldenstein 9>=54 13 6 . . .440*8061 „ (Schumacher),
Königsberg 9=54 42 51 . . .440*8179 „ (Bessel);
welche als die sorgfaltigsten Bestimmungen dieser Art zu be-
trachten sind, finde ich aus der Pendelformel (12):
(14) Lo = 439*2965 P.L., ^=—(HKM9248= -203:^39 ')•
Um die Formel (12) zum Rechnen praktisch einzurichten,
sehreiben wir dieselbe nach (4) in folgender Form:
(16). ... . L, = ^(l+^^«)(H-j^,»«).
nehmen beiderseits die Logarithmen und entwickeln im zweiten
Theil nach Potenzen von fi*:
(16)
lgif = lgA>-2lg(>-üf(il-v)^«~iüf(il«+i^ft*-iitf(i<»-v»)/»^
wobei A bereits negativ genommen ist, zur Einfachheit v statt
I gesetzt wurde und ilfs= 0*4342945 den Modul des Brigg-
316 Vnf erdinger : Das Pendel als geodätisches Instrument.
sehen Logarithmensystems bezeichnet. Führt man die abigen
Constanten (13) und (14) ein, so folgt:
(17)
IgLy =:2-6427568 — 2tlg^ + (6-5004) f** + (4'595)fi« + (l-750)|i«|.
Die in den runden Klammern stehenden Zahlen bezeichnen die
Logarithmen der CoefScienten. Den Logarithmus des Radio»-
vectors nehme ich aus Encke's astronomischem Jahrbuch fiSr
1852, welcher Tafel auch Bessel's Sphäroid zu Grunde ii^
Will man unabhängig von dieser Tafel sein» so kann man auch
Ig^ nach Potenzen von fi* entwickeln, denn es ist bekanntlich:
,_ 1^-VV
wenn e*(2~6^) = 6'* gesetzt wird, und man hat:
(18) 21g^=-J!f(e'«-««)ft«-iüf(c'*-€*)fi*-iüf(c'«-e«)f*«,
oder mit Bessel's «^^=00066744:
(19) Ig ^ = 10 -.(715825) fi« - (5-1578) fi*— (3-173) f*«,
wo wieder die KlämmergrOssen als die Logarithmen der Coefi-
cienten zu verstehen sind; Die Einluhrung dieser EntwickelangeD
in (16) und (17) gibt allgemein:
(20). . lgiy = lgLo+ üft(e'«-««)-(.4^v)|fi«
+4ilft(e'*-«*)-(il*+v«)|f**
+ i Art («'« - e«) — (^'^ v") I A
oder speciell fiir das Bessel'sche Sphäroid mit v und A aus
(13), (14):
|(c'*— 6«)— (J-v) =(7-71368),
(e'4— €4)_(^« + y«) -- (5-9831),
(6'«— c«)-(il»— V») = (4-297);
(22) ig Ly =2-6427568 + (7-35 I47)ft« + (5-3198)|ü*+ (3-457)fi«
Nach dieser Formel ist die am Ende der Abhandlung folg^ide
„Tafel ffir. die Länge des Secundenpendels in Pariser
Linien*' gerechnet, sie geht von lO' zu 10' der geographischen
Breite von 0^ bis 90<^ ; die Spalte d gibt die Differenz Ar lO' der
Breite in Einheiten der vierten Deciroalsteile.
Die Formel (22) gibt ffir 9 == 90^ als Gewichtszunahme vom
Cnferdinger: Das Pendei als geodätisches Instrument, 317
Aeqaator bis zam Pol |gT7| G., die empirische Formel voo Sa-
bine gibt j^^^g G.
Yergleieliimg der Pendelformel (22) mit den BeobacbtimgeiL
Die am Ende der Abhandlung angeschlossene ,, Tabelle der
beobachteten Pendellängen etc.'' habe ich aas den in den
Noten bezeichneten Quellen zusammengestellt und alle Maasse auf
Pariser Linien, wovon bei 16^^ C, 443*296 gleich einem Meter bei
0^^, reducirt Zur Verwandlung der englischen Zolle in Pariser
Linien hielt ich mich zunächst an die Gleichung : 1 Meter bei 0^
=39-37079 Zoll englisch bei 62oF. (Phil. Trans. 1818, Kater).
Die Spalte B — R gibt die Abweichungen von meiner Formel und
zwar Beobachtung weniger Rechnung.
Alle auf die einzelnen Angaben der Tabelle bezüglichen Be-
merkangen habe ich in den zugehörigen Noten zusammengestellt.
Die mangelhafte Rednction auf den leeren Raum, die Unsicher-
heit der Ausdehnungs-Coefficienten und Maassvergleichungen haben
sicher den stärksten Antheil an den in der Differenz B — R zu-
rückbleibenden Beobachtungsfehlem *).
§.5.
Besnltate der Yergleichnng.
Theilt man die Gesammtheit der Beobachtnngsorte in drei
Klassen, je nachdem sie im Inneren der Contlnente, am Rande
derselben oder im Meere liegen, so erhält man folgende drei
Gruppen :
*) Durch Verordnong vom 12. Febroar 1812.
318 Onfer dinget : Dat Pendel aU geodäUichee ImtmmenL
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J
Onf erdinger: Das Pendel ais geodäüsehes Insirument. 319
W&hrend io der ersten Gruppe positive und negative Fehler
eioander ausgleichen, seigt die zweite Gruppe nach Ansaht und
Grfisse ein entschiedenes Vorherrschen negativer und die dritte
Gruppe ein entschiedenes Vorherrschen grosser positiver Fehler.
Die Pendelheobachtungen zeigen also an den Küsten
eine kleinere und auf den Inseln eine grössere Inten-
sität der Schwere, als die ellipsoidische Rechnung
unserer Pendefformel angibt. (Sabine: Pend. Exper. 1825.
p. 237. — Humboldt: Kosmos Bd. 4. p. 28. — Fischer: Un*
tersuchungen über die Gestalt der Erde. Darmstadt 1868. p. 249.)
§.6.
Ihis Pendel als geoditisehes Instrament.
In den vorhergehenden Paragraphen betrachteten wir die
Grosse und Gestalt der Erde, so wie die Intensität der Schwere am
Aeqnator als bekannte Quantitäten und suchten die in verschie-
denen Breiten gemessenen Pendellängen durch diese Grossen,
me die Wirkung aus ihren Ursachen darzustellen. Wir wenden
uns nun zur umgekehrten Aufgabe, betrachten e, v, Lq, A als
unbekannt und setzen eine Methode auseinander, um aus den in
verschiedenen Breiten mit Sorgfalt gemessenen Längen des Se-
cnndenpendels die Abplattung, die Flugkraft und die Intensität
der Schwere am Aequator ohne die Voraussetzung einer H3rpo-
these zu bestimmen.
In der Gleichung (20) sind nun die Coefficienten der Poten-
ten von [k unbekannt, wir bezeichnen dieselben mit ic, o» to und
schreibeD :
0=— lgI/y+IgIro+fi«ti+fi*»-ffi«tr;
^ch IgXro ist jetzt unbekannt; führen wir einen Näherungswerth
Igl^ ein durch die Beziehung:
(23) lg£o = IgI^+^,
wobei A die unbekannte Correction des Nähemngswerthes be-
zeichnet, so lautet die Gleichung (20) nun so:
(24). • . 0=— Ig£y+lgI^ + ^+fi«ti+fi*i?+fi«w,
in welcher ^, u, r, fo die unbekannten Gr5ssen sind. Jeder be-
obachteten Pendellänge entspricht mit der zugehörigen geogra-
phischen Breite eine solche Gleichung. Da die Auflösbarkeit
solcher Gleichungen von derselben Form ausschliesslich von der
Verschiedenheit ihrer Coefficienten abhängt, so wird nothwendig.
320 Onferdinger: Das Pendel als geodätisches InsirumenL
för fA und Lf mugUchst stark differirende Wertbe za erhalten,
d. b. die Pendellängen müssen in sehr Terschiedenen Breiten ge-
messen werden. Die Auflösung einer geeigneten Gruppe solcher
Gleichungen nach der Methode der kleinsten Quadrate führt zur
K^nntniss der wahrscheinlichsten Werthe von J, u, v, w, wo-
durch auch Lq aus (23) bekannt wird.
Dividiren wir die Werthe von u» v, to der Ordnung nadi
durch M, IM, iM, wobei üf den Modul des Brigg'scben Loga*
rithmensystems bezeichnet, und bezeichnen a, b, c die Quotien*
ten, so ist nach (20):
. (e'«--6«)-(^-v) =ö,
(25) j (6'*— 6*)-(il* + 1'«) = Ö,
Bezeichnet man die ersten Glieder, welche nur e, die Exces*
tricität des Meridians enthalten, der Ordnung nach mit £|, £{, Ei,
so gibt die Elimination von A und v:
3(Ei— a) (E^-b) - (Ei-a)» = 2(£;i-c),
welche Gleichung nur mehr die Unbekannte e enthält Werden
statt El, E^, £3 wieder ihre Werthe eingeführt in e, so erbSit
man nach einiger Rechnung:
c*(l — c«)jc*+a6« + 4(a«+6)} — i(o'+3fl*+2c)=0
oder
(26)
e8-.(l-.a)e«— i(2a— a«-Ä)c*— i(a« + 6)u«+i(a»+3a6+2ir)=0;
durch Auflösung dieser Gleichung wird e bekannt Alsdann siod
aber auch Ei, E^, E^ bekannte Grössen und aus (25) folgt:
(27) 1 ^+^=V2(£;,-6)-(Ei««)*,
( A — V = El — a,
wodurch auch A und v berechnet werden können.
Dm den Einfluss eines Fehlers in der beobachteten Pendel-
länge L^ auf die Genauigkeit der zu bestimmenden Grössen £0*
A, V, e beurtheilen zu können, differenziren wir die PendeUb^
mel (12) nach diesen Grössen und erhalten:
(28). . . .dL^ = dLo-i-[i^Lo(dA'i'dv + 2ede),
und hieraus wird ersichtlich, dass zur Bestimmung von I^ 9ät
Onferdinger: Das Pendei ai$ geoddtUekeM Imtrumeni. 321
Breiten geeignet sind, dass hingegen ein and derselbe Fehler
dL^ in L^ einen om so stärkeren Einflnse auf die Conetanten A,
V, e ausübt^ je kleiner die Breite ist» das« also Oberhaupt zo
Icieine Breiten zn vermeiden sind.
5.7.
BesUmmong der OiQsse der Erde.
Die wirkliche > von der Flogkraft entstellte Schwerkraft g am
Aeqnator wbd dorch die Gleichung ausgedrflckt:
(») g^goi}-"»^);
Don ist aber für das Secondenpendel am Aeqoator:
oder da nach (7):
«^ •=!•
wenn fo die Fliehkraft am Aequator vorstellt»
endlich:
(30) /o = I«o«*i^'
and da nun in dieser Formel alles bekannt ist, so kann hiermit
die Flogkraft am Aequator berechnet werden. Bezeichnet T die
Rotationszeit der Erde (den Sterntag) in mittleren Zeitsecundeo
and a den Halbmesser des Aequators» so ist bekanntlich:
/o = "-y»"»
und durch Gleichsetzong mit (30):
V
(31) a^iLo'P.j^
V
in Pariser Linien» wenn Lq in diesem Haasse ausgedrückt ist
oder wenn 7= 86164«. 1 mittl. Zeit und Lo in Pariser Linien
ausgedrückt bleibt:
(32) aToisen =2148222 A)J3;,'
ThtU XLIX. 28
322 Dnf erdinger: Das Pendel als geodälischet Initrument.
eio merkwürdiger Ausdruck zur Berechoong des Erdradios aos
der LSoge des Secundenpeudels und dem Verbältniss derScbvnug-
kraft ssor Schwerkraft am Aequator >)•
Um zu beurtbeileu, in wiefern man boffen kann, aus Pendel-
beobachtongen den Wertb von a abzuleiten, differenzire icb dieie
Gleicbung bezüglich a» Lq und - und erhalte, nachdem in der
Differenzialformel Iro=^^'3 Par. Lio. (nach Sabine) und -=289
gesetzt wurde:
(33). . . . daToisen =:7448dLo—ll346d(^f
üLq in Pariser Linien ausgedrückt
Gesetzt, der durch unsere Methode aus den Beobachtungeo
abgeleitete Wertb der Länge des Secundenpendels am Aequator
sei sicher auf ein Tausentel Pariser Linie, also
und der Nenner in v noch bis auf eine Einheit der ersten Dech
male, d. h.;
so folgt da = 1127 Tois. oder 1142 Tois., je nachdem beide Feb*
ler gleiche oder ungleiche Zeichen haben ^).
Solche Resultate aus der Rechnung sind jedoch nur zu er-
warten, wenn die einzelnen Beobachtungen L^p nahe bis auf die-
selbe Grenze von 0^^001 Par. Lin. verlässlich sind. Ein solcher
Grad von Genauigkeit kann nicht von Reisenden, sondern oor
von festen Observatorien, und auch nur dann erreicht werden,
wenn man die Bestimmung der Länge des Secundenpendels mit
Berücksichtigung aller störenden Einflüsse unternimmt, wie sie
B es sei iür Königsberg und Berlin durchgeführt hat.
Die Länge des Secundenpendels ist (selbst abgesehen von
allem Vorhergehenden), so wie Länge und Breite, Radiusvector
und Meereshuhe für jedes feste Observatorium eine wichtige
geographisch -astronomische Constante.
Dass die Intensität der Schwere an einem und demsdbeD
Ort keinen Veränderungen unterworfen ist, ist durch nichts be-
wiesen. Während die Physiker unablässig bemüht sind, an über
den ganzen Erdkreis verbreiteten Observatorien die magnetischen
CnfenUnger : Da» Pendel alt geodätiiehei /natmmml. 323
KralUnseemngen der Erde mittelst kostbarer InstnitDenle tSglich,
ja BtOodlich EU beobachten, nm ia der wecbselnden ErscbeinDng
Gesetz and Znsammenhang zu finden, hat man für die erste mate-
rielle Action unseres Planeten, welche auf alle NaturvorgSnge
bestimnieDden Eiofluss flbt — ICt die Schwerkraft — noch nichts
gethao. Ja es seheiot unter den Physikern eine stehende An-
sicht zn sein, dass dielnlensilät der Schwere an jedem Ort eine
constante Grüsse sei, und doch kann die Wissenschaft diese
Meinung in den Sdiatz ihrer Wahrheiten nicht eher aufnehmen,
als sie durch genaue Beobachtung geprüft, jedem Zweifel entrückt ist
Es ist nothwendig, die Schwerkraft zum Object contiaair-
lieber Beobachtung zu machen; und gerade so wie Gauss für
den Magnetismus PrScisionsinsIrumente geschaffen hat, deren
Empfindlichkeit keine, auch noch so schwache Regung entgebt,
so ist der Bessel'scbe Pendelapparat ßhig, bei sorgfältiger und
regelinSssiger Beobachtung jede Veränderung der Schwerkraft
anzuzeigen.
Mögen daher diese wenigeu Zeilen, wenn sie in die maass-
gehenden Kreise zu dringen vermögen, fflr Alle, welchen die
nülhigen Hilfsrotttel zu Gebote stehen, eine Anfforderung sein, das
schwingende Pendel nach Bessel's glänzendem Vorbilde fleis-
sig za beobachten nnd ein Unternehmen zu beiiirdern, ebenso
nichtig fiSr die Wissenschaß, als ehrenvoll für die Betheiligten.
«.8.
Das BeTerdoBsprobleiB In Zahlen.
Dm die in $.6. und §.7. dargestellte Methode zur Bestim-
mnng der geodätischen Constanten e, A, v, a an den dort auf-
gestellten Formeln durch Zahlen zu erläutern, also am die theore-
tische MSglichkeit dieser Bestimmung darzulegen, geben wir von
folgender Pendelformel aus:
(34). . . . lgZ,, = 2-6427568 + (7-3ßl«65)^»
+ (5-3198344) ((*
+ (3-4572798) (»•')
und betrachten die darin vorkommenden CoefEcienten als er
durch die in §. 6. auseinander gesetzte Methode.
Nach (2S) folgt aus diesen Coefficlenten :
»•
324 Vnfer dinget: Das Pendel aU geodätischea Inslmmeni,
a = 0-05172282, Ig a = 77136822,
(35). . . ]* = 009617895, Ig* = 5-9830801,
c = 0-(h979779 , Ig c = 4-2966168 ;
moltiplicireD wir die Gleichong (26) mit 100* aod setzeD snr Ver-
einfachuDg:
(36) 100.e« = :r,
so sind die Coefficienteo derselben:
100(l-.a) = 99-48277,
^j^ j I00«.i(2a-a«— 6) = 5110816,
^ * ' ^ 1008.J(a« + Ä) = 61-46573,
100*. i(a» + Sab + 2c) = 9317208,
und die Gleichung zar Bestimmong der Ezeentricitfit des Meri-
dians laotet nnn:
(38) «*-99-48277Ä»-5M0816a:»-61-4657ar+9317208=O.
Man erkennt leicht, dass zwischen 0*6 und 0*7 eine Wurzel die-
ser Gleichung liegt*), und die Auflosung nach der Homer-
sehen Methode gibt:
(39) ; 0? = 0-66744;
hiermit wird nach (36):
(40) e« = 0O066744,
und aus den Gleichungen (27) folgt mit diesem Werth von «*:
il + v = 0-008392054, il = 01)04924800,
il - V =5 0-001457546, v = 0003467624,
lgv = 7-5399857.
Seit der Bemerkung in §. 2. (16) steht In der Pendelformel y
•^** r^' ""* ®® '** ^^^^ ^®** ^^^^ gefundene Werth zq ver-
stehen. Die Gleichung (32) gibt hiermit:
(41) » =: atnoe» Toisen.
*) Ein« zweite Wurzel ist nahe gleich +100, die beiden anderen
■ind Imagiair.
ünftrdingtri Das Pendei als geoddriseäes Insinauai. 325
ITot^ sam Text.
h 313. 0) SUU Cm «^ m»U wegen de« elliptuchea Meridiane der
Erde in nller Strenge eteben Coe^.^ ■= — ^ •^^\'» ^^^^ 9'
die geocentrieehe Breite bexeichnet Die Fliehkmft ändert die
Richtong de« Bleilotliei nicht, «ondem nar die Inteneität der
Schwere.
». 315. 1) Ohne die Einfuhrnng der Grösee A «ind die beobachteten
Pendellangen darch da« Beseel' «che Ellipeoid nicht daratell-
bar. Wollte man die Nothwendigkeit de« A dorch eine Cor-
rection der Form de« Meridian« allein erklären, «o wäre im
Sinne der Gleichong (1) der corrigirte RadineTector :
wobei A poritiT so nehmen i«t Hieran« folgt fnr die corri-
girte Abplattung:
a'^a — ^A,
d. h. die Abplattung mn««te am nahe ^^ Termlndert werden,
wa« no«nläs«ig ist Die Kothwendigkeit de« Factor«
\-{-A(ik* in der Pendelformel (15) i«t al«o nicht in der
abweichenden Form de« Meridian«, «ondern in der
Inteneität der abeolnten Schwerkraft auf der Ober-
fläche der Erde begründet.
>. 317. *) Einige Beobaclitnngen, x. B. Ton St. Thema« und Maran-
faaro oder Aecension, Sierra Leone und Trinidad (alle dem
Aeqnator nahe) scheinen anindenten, da«« die Linie gleicher
Pendellängen nicht xusamroenfäUt mit der Linie gleicher Brei-
ten; hieran« roussto man «chlieteen, da«« A keine Conetante i«t,
«ondem eine Function der geographiechen Länge. Geht man
Ton der Pendellänge au«, welche dem Punkte entspricht, wo
der erste Meridian den Aeqnator «chneidet, «o hätte man «tatt
A SU «etsen yt[l-f/t^)]« worin /(X) eine Function der geogra-
phiechen Länge bezeichnet. Doch «ind wir noch weit Ton dem
Zeitpunkte entfernt, wo die Schärfe der Me««ungen solche
Schla««e in quantitativer Besiehung mit Sicherheit gestatten
werden. ^
w 322. ') Ist a' der Radio« eine« Koqier«, de««en Ma««e jener der
Erde gleich und dessen Form und MassenTertheilnng jener der
Erde ähnlich l«t, so folgt nach dem New ton* «eben Attrac-
tionsgeeets für die Länge de« Secundenpendel« auf «einem Aeqoaior :
I«t dieeer fingirte HimroeUkörper halb «o gro«« al« die Erde«
«o gibt der Aoedruck t*59 £o> ^^ «' doppelt «o gro«« 0*63 L^.
326 (Jnferdlnger: Das Pendel al$ geodätUchee Imtrument.
Das Pendel ut alflo fähig, Aeodemiigen in der Groste der Erde
ansoxeigen.
p. 329. ^) Hiernach fände man a bis nahe auf den 2800ten Tb
«einer Groise, eine Bestimmang, welches es mit anderen, u
astronomischen, wohl aufnehmen kann. Sollte s. B. die
femung der Sonne bis auf denselben aliqnotischen Theil sidi
sein , so musste die Sonnenparallaxe sicher sein auf 0*003 Bo-
gensecunden. n ist aber wahrscheinlich schon in den Hmrfer
teln unsicher. (S. Brünnow, Sphär, Astron. p. 399.)
p. 323. ^) Airy leitet aus 13 Beobachtungen von Sabine (Flui
Trans. 1826. P. HL p. 548., On the figure of the earth.) fol-
gende Pendelformel ab:
Zg^rr 391164— 0*]0146Co«29-f0<00106Gos49 Zoll eogl.,
auf unsere Form umgewandelt lautet dieselbe:
lg Lg, == 2*6427631 +(7-33545)/»« + (5*9466)/«« P. L.
Er findet daraus , dass die Erde etwas angeschwellt ist um dk
Breite Ton 45<> im Vergleich mit einem Rotationsellipsoid t»
ihrer Aeqnatorlal* und Polaraze. Allgemein betragt die A»
Schwellung in der Breite 9
-f 0'000064.ilSiD «9 Cos *9
wenn a den Halbmesser des Aequators beselchnet.
Noten zu den beobaehteten PendeUSngen.
Die Längen No. 2, 4, 5, 6, 7, 8, 1 1, 21, 34, 46, 48, 49, 51 sind g«
nommen aus den Philosophical Transactions 1821, P. H«, 1
P. Hl., No. 3, 14, 15 PhiL Trans. 1823, P. H., No. 9 FhiL Trans. 1
P.I., No. 16, 17, 30, 31 Annalen der Wiener Sternwarte Bd.1
(alte Folge), No. 3ß Abhandl. der Berliner Akademie 1836, No.
41 Abhandl. der Berl. Ak. 1826, No. 40 Briefwechsel awiscbe
Gauss und Schumacher Bd. IL, p. 278, No. 10, 12, 18, 19, 20,2
23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 32, 33, 35, 36, 37, 39, 42, 43 Arago'a s&niiit
liehe Werke, deutsch ▼. Hankel, Bd. 14., No. 44, 45, 47 Sabii«
Phil. Trans. 1828—1831.
Die geographische Länge beiieht sich auf den Meridiaa tob Grea
wich und ist meist ans einem Position« -Verseichniss von mir hins^
fugt, da in den Quellen diese Angabe fehlt. In der Spalte „Anise
kong *' ist der Punkt näher beseichnet , aufweichen sich die Länge betieb
5) Insel Aecension.
Sabine findet die Länge =0»*9911949=:439*3927 P. L.
Dnperrey „ „ „ =0*9911397 =439*3871 „
Die Tabelle enthält den Mittelwerth.
Cnferdinger: Da$ Pendel als geodäthcheB Imlrumem. 327
15) Bio Janeiro.
Capt Hall flodet die Länge = 39-04381 Zoll engt
Fester „ „ „ =39-04368 „ „
Die Tabelle enthält den Mittelwertb.
16) Paramata«
Bnmker findet die Länge := 39*07696 Zoll engl.
Donlop „ M >» =39*07751 „ „
Beide Beobacbter weichen unter sich ab nm 0*007 P. L*
Die Tabelle enthält dae MitUl.
Verwaodlongtialil nach Bremiker 1 Zoll engl. =(1*0515197) P. L.
30) Wien.
Pendel Ton Corles gibt die Länge =37*73216 W. Zoll =0»^39350,
Pendel Ton Bepsold „ „ „ =37*73315 „ ,, =0*9333615.
Die Tabelle enthält das Mittel.
Die beiden Angaben weichen Ton einander ab um 0*0119 W. L. (!)
Verwandlnngtxabl nach Vega-Stampfer 1 W. Zoll =0«i02634168.
Später gab Stampfer an 1 W. Zoll = 0*^026342579 = (8*4206582) ond
mit dieeer Zahl findet man ^--A=-f 0*0581 P. L.
Die Bednction auf den leeren Baum nach BeeeeTe Formel an-
gebracht.
Vergleicht man die in der Tabelle angeeetste Länge mit der Bech-
ooag nach Sablne'e empirischer Formel, eo wird i?— .ff = -{'^'^^^*
Eioe ältere Bestimmung der Wiener Pendelläng^ yon P. Liesganig
01M)967 (Pariser Länge =1 gesetit; s. Laplace, Mec« cel. Tom. II.
p.147) gibt ^^/f = — 0*0051 P. L. Dabei galt fnr Paris die Angabe
▼on Bor da: 39*12805 Zoll engl, und snr Maassverwandlung die Glei-
chnng 439*21 P. L. = 89*00733 Zoll engl.
81) Paris.
Peodellänge 1) . . . 0«i-9938784= 440*5824 P. L. (Knnzek.)
2) 190= 5660 „ (Laplace.)
3) 493= 5694 „ ) ,• , ,.,,
4) 678= 5774 ,. } (J* J- I-"ro w.)
5) 440.6872 „ ^
6) 5593 H > (Bessel.)
7) 5674 „ ^
8) 5772 » \ .. .
9) 5920 „ J(Arago.)
Die erste Angabe stammt aus Littrow's Astronomie, I. Bd. p. 338.
2) entspricht der Angabe Ton Laplace an dem unter 30) beseichneten
Ort. 8) ist das Besnitat tou Bor da (1790) nach der Angabe Littrow's,
Verl., Bd. n. p. 30. 4) ist das Besultat Ton Biet, Mathieu, Bou-
▼ •rd (1808) nach derielben Quelle. 5) ist die Bestimmung Ton Kater
nach der Angabe Bessel's. 6) soll das Besultat Ton Borda sein nach
der Angabe BesseTs. 7) das Besultat von Biet, Arago nach dem-
328 Onferdinger: Das Pendel als geodätisches Instrument.
•elben (•. Abhandl. der Berliner Akad. 1826). 8) uDd 9) dnd die
Angaben in Arago's aammtlichen Werken, deaUch tob Han-
kel, Bd. U. p. 56 und 57. (!)
Die Tabelle enthält die Angabe 4), 8).
SabineU Formel gibt für die Breite Ton Parit 440«59I8 ond laeioe
440-Ö950.
34) London.
LittrowU Angabe Ton Kater^c Bestimmung auf Metre umgewan-
delt mit (2*646694) gibt 440*691» vergl. mit der Tabelle; aber Rater
•elbst gibt an 89*13829 Zoll engl. =440*6782 P. L. (!)
35) Malnlnen.
Die Angabe von Littrow 0^.9941295=: 440*686 (Vorl. Bd. ü. p.90)
ctimrot nicht mit jener von Arago a. a. 0. 994«*<"*115, welche der Ta-
belleniahl an Grunde liegt. Hiernach würde /?—i?=— 0*0050.
88) Berlin.
Die Reduction aor« Meer -|- 0*0036 warde gerechnet nach der For-
mel Ton Laplace A' = X-f XA(1— '|^), X beob. Pendellange» h Höhe
in Theilen des Erdhalbroessert , q die geognostiache Dichte de« Bodeae
(le* Berl. Sand =118 Pfd.), D mittlere Dichte der Erde =5*48, Hake
über dem Meere 17*8 Toiaen.
40) Güldenstein.
Nach allen Correctionen und auch mit Rücksicht auf die Schwere
des swischenliegenden Bodens auf das Meer redncirt, wie 88).
41) Königsberg.
Die Reduction auf's Meer -f ^'^^^ 2*^ ohne Rücksicht auf die
Dichte des Bodens gerechnet. Seehöhe =11*2 Toiaen*
Die Beobachtungsreihe Ton Bessel amfasst 61 Tage.
Sab ine's Formel gibt mit der Breite von Königsberg 440*8179
genau daa Resultat der Beobachtung. (!)
43) Portsoy.
Littrow a. a. O. gibt die Breite um lo' grösser.
48) Uammerfäst.
Die Pendellftnge stimmt nicht mit der Angabe von Arago Bd. 14,
p. 54, 995M»*531 =441*3149 P. L.» hiermit wird IT — i7=— 0.025H.
Genf.
Ezperiences f altes aGenöve aToc le pendnle a roTersioa
par E. Plantamour. (GeodTO 1866, 4<^, 108 p.) In dieser sehr
sorgfaltigen Arbeit findet sich für die Seehöbe tou 408» die Pendel-
lange Ton Genf =440*3408, die Rechnung nach meiner Fonnel mit
9=46oil'59^'4 gibt 440*4864, also IT — i? = -.0*1456. (I)
Vnf erdinger: Dat Pendel al$ geoddttsekes Imtrument* 320
Prag.
Lippieh bettimnite mit einem neoen Apparat die Beachleanfgoog
der Sciiwere fär Prag =9">*8075, hiermit fiodet man die Länge dee
Secandenpendela = 440*5060 P. L. Die Bechnang nacli meiner Formel
Bit 9=5005' 19'' gibt 440-6417, aleo 5— A=:— 0*1357* (!)
Hie alte Beetimmong ^=:9>i-8101 gibt 440*6230 P. L., felgllch
5— Ä = — 0*0187.
Naclitrag.
Dm den Einflnss za erkennen , welchen eine VerSnderitng du
der Abplattung a anf die Pendellfinge L^ ausübt, differenziren
wir die Gleichung für Ig £9 nach p, welches letztere von e, respec*
tife Ton a abhängt. Indem wir die übrigen GrOssen als Conslänte
betrachten; es wird:
(a) dLip = -dQ.
Wenn 9 die geographische Breite zum Radiusvector q bezeich-
net, so ist:
(b) «=l^{VpH2ctg9)V(l-^*)+V^«-2ctg9V(l-p*)l;
hieraus folgt:
<.) ^^ ^ (.-.). ,^-(,-.).i
und
(d). . . . ' ^ — -'Qiz:z^%'^(}:z^irzr^dQ.
Setzen wir der Kürze halber:
60 wird nun :
m «i^-^-t-
In der nachfolgenden Tafel fSr die Länge des Secnndenpen-
lels wurde <^= 000.153 ^^ Grunde gelegt Geht der Nenner die-
les Bruches über in 299*1 53 -fit, wobei n eine positive oder n^a-
^e Zahl bezeichnet > so ist die entsprechende Aenderung von a:
330 Onferdtnger: Da$ Pendel als geodälitehet Imtnunera.
(g)
A« = —
n
(299)« '
hiermit geht die Gleichnng (0 über In:
(b)
dli.= -?^.
n
4tp
^ •e(299)«'
Nach dieser Formel wurde das folgende TäfelebeD gerechoet
fflr n:=-f 10,1 welches wir noch beifügen, am der Tafel für die
LSnge des Secandenpendels eine erweiterte Brauchbarkeit sn
geben. Bezeichnet man diese Cotrection mit e, so Ist jene zur
1 ftC
Abplattaog 299153+^ gehörige jg.
<~
^
q)0
dL^
d
0
-00000
-07
5
007
23
10
030
33
15
063
46
20
109
59
25
168
66
30
234
75
35
309
78
40
387
84
45
471
81
50
552
82
55
634
75
60
709
71
66
780
59
70
839
43
75
882
41
80
923
39
85
962
36
90
-0<»98
i
Einldtnng 310
Ableitung einer neuen PendeUoraiel SIS
EntwicUnng Ton Iglf in eine Reihe nftch Foteuzen Ton f* . . . SIS
Vergleichnng der Feudelfonnel (SS) mit den Beobaehtnngen . . . 317
Hemltate der Vergleichnng SIT
Das Pendel tla geoduische« Inetmmeut 319
Bettimmang der OrOue der Erde SSI
Du Beveraonsprabletu in Zahlen 333
I nun Text 325
1 m den beobachteten FendeUlngen 336
treg 839
1 Air die L&nge dea anfachen Secondenpendeli.
ideUJüigent
332 Matthes: Rehuel Lobatto, eine LeberusM%%e,
Rehael Lobatto, eine Lebensskizze ^)
▼on
Herrn Professor Dr. C. Jf. Matthes,
Sekretär der KooigU Akademie der Wicsentchaften in AniaterdaiD.
Rehael Lobatto wurde den 6ten Jaoi 1797 aus eloem
Portugiesisch -Israelitischen Stamme^ von Alters her rGhmlich be-
kannt, zn Amsterdam geboren. Früher in Lissabon angesiedelt
wurden mehrere Mitglieder dieses Geschlechtes, Glaubensverfol-
gung befärchtend, bewogen, nach Brasilien zu emigriren, tod
dort kamen sie im Jahre 1604 nach Amsterdam herüber.
Die Matter unseres Lobatto war eine da Costa, derao
Vater, sehr bewandert in der Kenntniss sfid - europSischer Spra-
chen, nicht geringen Eioflass auf seine allererste Bildung gehabt
za haben scheint, nach der Fertigkeit zu urtheilen, womit er fremde
Sprachen zu lernen föhig war« Und dass ihm dieses in so hohem
Grade gelang, bewies seine VirtuositSt in dem Spanischen und
Portugiesischen. Auch die Italiänische Sprache blieb ihm nicht
fremd. £nglisch und Latein machte er sich spSter zu eigen.
Und wie er sich Im Franziisischen eine wirkliche Meisterschaft
zu erwerben vermochte, davon zeugt der correkte und gediegene
Styl seiner in dieser Sprache verfassten Schriften.
Schon sehr frühe zeigte Lobatto auch grosse Anlagen för
das Studium der Mathematik. Folgendes wird von ihm erzählt.
*) Da diese Lebenstkizse eiDet der autgezeldiDeUten Mathematiker
im Literarischen Berichte nicht mehr Platz finden konnte, so habe ich
sie, om sie mogiichst schnell zum Drock za briogen, In's Archiv selbst
aufgenommen , was in ähnlichen Fällen auch früher schon geschehen ist
G.
Matthe$: Rehuel Lobatto, eine Leöen$8ki%%e, 333
als er noch ein kleioer Knabe von 10 bis 11 Jahren alt war. Der
Lehrer, bei dem er zur Schule ging, übte sich mit Lust und
Eifer in der Mathematik und war Mitglied einer Gesellschaft jun-
ger Leute, alle Israeliten, in der man sich gegenseitig Aufgaben
zar Losung vorlegte. Von dem, was in diesem Kreise verhandelt
wurde, pflegte er seinen Schulkindern wohl Etwas roitzutheilen.
Und so geschah es, dass der junge Lo hatte für eine der gel5s-
ten Aufgaben eine kürzere und eben so richtige LSsung gab.
Dies hatte, als die Gesellschaft davon in Kenntniss gesetzt wurde,
zur Folge, dass man das Kind unter die Mitglieder aufnahm,
obschon dasselbe lange noch nicht das festgesetzte Alter hatte.
Es währte kein Jahr, da hatte er schon einen Preis gewonnen,
und somit sich der ihm gewordenen Auszeichnung würdig bewiesen.
Den ersten Unterricht in der Mathematik erhielt Lobatto
von dem bei uns wohlbekannten Litwack, der eine ganz eigene
Art gehabt zu haben scheint, um ein mathematisches Talent zur
Entwickelung zu bringen und zu dauernder Anstrengung und
ThStigkeit anzureizen.
L.obatto war erst ffinfzehn Jahre alt, als er sich schon unter
van Swinden's Zuhörern befand, wie es ein sehr ehrenvolles,
spSter von diesem ertheiltes Zeugniss darthut, worin er Lobat-
to*s besondere Anlagen för exakte Wissenschaften, seine edeln
Prinzipien, seltenen Geistesgaben, grossen Fleiss und grenzen-
losen Eifer erwähnt Auch in der Vorrede der zweiten Ausgabe
seiner Geometrie spricht er dem vielversprechenden jungen
Manne seinen Dank aus für Mittheilungen, die er bei der Be-
arbeitung dieser Ausgabe benutzt hatte.
Diese Empfehlung war es hauptsächlich, die ihn im Jahre
1816 zu der Anstellung als Commis bei'm Ministerio des Innern
verhalf, mit der Aussicht zu Höherem, wobei er obendrein, was
dem jugendlichen Gelehrten sehr zu Statten kam, viele Zeit übrig
behielt, die er seinen geliebten Studien widmen konnte.
Zu dieser Zeit wurde der berühmte Staatsmann Falck auf
ihn aufmerksam, der ihm seitdem stets seine Hochachtung be*
wahrte und später, als er sich aus der diplomatischen Sphäre
zurückzog, um einer wohlverdienten Ruhe zu geniessen, unter
Lobatto's Leitung das Studium einzelner Theile der Mathe-
matik wieder aufzunehmen suchte.
Sein Aufenthalt in Brüssel im anderen Jahre gab Veranlas-
sung zu seiner Bekanntschaft mit Herrn Quetelet, woraus eine
hersliche Freundschaft entstand, die zu einer vielttitigen Zusam-
334 Matthes: Reäuel Lobatto, eine Leöensski%ze.
roenwirkung führte, deren Fruchte der Correspondance mathö-
matiqae et physique zu Gate kamen. In dieser berubrnteo
Zeitschrift machte Lobatto seine neue Methode zur dlreltteo
Berechnung der Aussermittag- Breiten bekannt, die er schon im
Jahre 1824 de Gelder mitgetheilt hatte.
Im vorhergehenden Jahre war er mit seinem mathematischen
Allerlei (Wiskundige mengelingen) als Autor aufgetreten. Von da
an wurde die Reihe seiner veröffentlichten Schriften, besonders her-
ausgegeben oder in gelehrte Journale aufgenommen, bis an seinen
Tod niemals unterbrochen.
Kehren wir nun aber zu seinen Lebensbegebenheiten zurück.
Indem er beim Departement des Innern an Rang «nd Gebalt
emporstieg, wusste er seine Umstände mitunter noch zu verbes-
sern durch Privatunterricht und einen Cursus in Geometrie und
Perspektive, den er an der Zeichen«Akademie im Haag übernahm,
wo er verblieb, bis der Stifter und erste Direktor der neu errich-
teten Delft'schen Akademie, Lipkens, ihm am 20. Oktober 1^2
die Professur der höheren Mathematik an derselben übertrug.
Dass diese Wahl eine überaus giflckliche war, lehrte die Zu-
kunft. Mit ganzer Seele widmete Lobatto sich seinem neneo
Beruf und erwarb sich bald die aufrichtige Zuneigung von Colie-
gen sowohl als Zöglingen, die ihm unvermindert verblieb. Nor
eine Stimme war über die Vortrefflichkeit seines Unterrichts,
über die unermüdliche Geduld, womit er den Schwächern unter
seinen Lehrlingen zu Hülfe kam, über das Interesse fär den Cn-
terrichtsgegenstand, das er bei mehr Begabten zu erwecken und
zu erhalten wusste, mit einem Worte über seinen belebenden nnd
anregenden Vortrag. Je länger, je mehr fühlte er selbst sich von
seinem Wirkungskreise angezogen, dermassen, dass er den Rnf
an die Universität zu Utrecht, als Wenckebach 1847 verstorben
war, nicht anzunehmen sich entschloss.
Im Jahre 1864 wurde die Delft'sche Akademie aufgehoben, am
einer polytechnischen Schule Platz zu machen; dabei ernannte
man Lobatto zum Honorar -Professor. Früher schon ward er
Ritter des Niederländischen Löwen -Ordens, Ehren -Doctor bei
der Universität zu Groningen, Mitglied des ehemaligen KOnigl.
Niederländischen Instituts und seit ihrer Stiftung auch der Kunigl.
Akademie der Wissenschaften zu Amsterdam, mehrerer anderer
gelehrter Gesellschaften nicht zu erwähnen.
Werden bescheidenen, wohlwollenden, rechtschaffenen Hans
näher zu kennen das Glück hatte, seien es Verwandte, ZSglinge,
MatlAes: Rehuel Loöatio, eine LebenMihi%%e. 335
Freunde, Mitbürger ^ Alle sind darüber einig, dass nicht nar die
Wissensehaft einen ausgezeichneten Priester verlor» sondern auch
ein höchst achtuogswerther Mensch dahinschied.
Von den vielen guten Lehrbfichem, die er verfasste, verdient
besonders seine Sammlung von Aufgaben zur Uebung in der An-
wendung der Statik und Hydrostatik hervorgehoben zu werden.
Ausserdem machte er sich sehr verdient durch seine Theilnahme
an den Arbeiten der hiesigen mathematischen Gesellschaft unter
dem Wahlspruch : indefessus labor vincit omnia, welche sei-
ner fortwährenden Mit^virkung — er war mit dem Laufe der Zeit
deren filtestes Mitglied geworden — sehr Vieles verdankt.
Von grossem Nutzen Hir's allgemeine Wohl waren seine Be.
roohungen auf dem Gebiete der Statistik. Im Auftrage der Lan-
desregierung redigirte er von 1826 bis 1849 ein Jahrbfichlein,
eingerichtet wie das Franzosische Annuaire du bureau des longi-
tades. HauptsSchlich beabsichtigte man damit sowohl die Ver-
breitung überhaupt nützlicher Kenntnisse unter allen Klassen der
Gebildeten^ als die Veröffentlichung interessanter Data« die Nie-
derlande betreffend, in Bezug auf Bevölkerung, Zahl der Ehen,
SterbeföUe, u. s. w. Weswegen, nachdem er vierundzwanzig Jahre
lang sich diesen Arbeiten gewidmet hatte, ihm die Redaction ent-
zogen wurde, ist mir unbekannt geblieben. Auf eine Kritik, die
mehr Verschiedenheit in den statistischen Beiträgen verlangte,
erv^iderte er lakonisch : „ Der Kritiker hat Recht, was die Sache
anlangt. Ich darf aber blos solche Statistik mittheilen, worauf
man sich stützen kann.'* Dank gebührt Lobatto dafür, dass
er dabei gewissenhaft verfuhr. Dadurch haben die Folgerungen,
zu denen er geführt wurde, Werth, und es gelang ihm, Sterbe-
tafeln zu entwerfen, denen man trauen durfte, und die eine sichere
Grundlage lieferten für Statuten von Lebensversicherungen, mit
deren Verfertigung und Beurth eilung er beauftragt wurde.
Wenn es auf scharfsinnige und sorgfältige Rechnungen an-
kam, so nahm die hohe Regierung Lobatto in Anspruch, und
sie hatte Recht. Im Jahre 1841 wurde er vom damaligen Finanz«
minister Herrn Rochussen ersucht, die nothigen Rechnungen
für dessen bekannten Conversionsplan auszuführen. Und obschon
darüber in und ausser der Generalstaaten-Versammlung sehr ent-
gegengesetzte Meinungen sich kundgaben und man den Entwurf
am Ende nach heftigem Streite fallen liess, so erkannten doch
auch die Gegner den gediegenen Gehalt der wissenschaftlichen
Gründe.
Vier Jahre zuvor war er mit LIpkens und Uylenbroek
336 MattheM: ReAuei Loöaiio, eine Lebeni$kt%%e.
nach Paris abgeordnet worden zur Vergleiebung und Berichtigung
des beim Departement des Innern in Verwahrung befindlidMB
Normalmaasses. Die Stärke Lobatto's bestand aber weniger
in der praktischen Anwendung der Mathematik, als in hShereo
theoretischen Untersuchungen. Da war er erst Recht zu Haose,
wie es die vielen tOchtigen Abhandlungen von seiner Hand auf
diesem Gebiete beweisen; Lagrange war sein Mann!
Wo der Abt Moigno, eine vollkommen urtheilsfthige Auto-
rität, die erstaunlichen Fortschritte erwähnt, welche die Integral-
rechnung in unserer Zeit gemacht hat, — ffir unüberwindlich ge-
haltene Schwierigkeiten fanden ja ihre LSsung, — zählt er unter
den vielen Mathematikern verschiedener Länder, „qui rivalisaient
d'activitö et de bonbeur*', auch unseren Lobatto auf. Dnd Rir-
wahr, wenn man seinen Antheil an diesem edleji Wettstrnt auf-
merksam verfolgt, muss man ihm Bewunderung zollen wegen dec
ihm eigenen Kurze, womit er die Probleme behandelt; meistens
weiss er einfachere und direktere Wege aufzufinden, um zu deo
zu findenden Resultaten zu gelangen. In der Methode ist er elo
Meister. Der zehnjährige Knabe von früher ist nun zum Manne
gereift, der den Koryphäen der Wissenschaft auf dem Fnsse folgt
und zeigt, wie sie mit geringeren Mitteln und auf leichteren und
kürzeren Wegen das Ziel hätten erreichen können. Hier ist es
Poisson oder Fourier, dort Legendre, weiter Plana, deren
Beweise er abkürzt und vereinfacht, wodurch bedeutend an Ein-
sicht in die Verkettung und gegenseitige Beziehung der verschie-
denen Theile des wissenschaftlichen Gebäudes gewonnen wird.
Sehr merkwürdig in dieser Hinsicht ist seine Theorie des
Caractöristiques, im Jahre 1835, mit noch zwei Abhandlno*
gen als Fortsetzung, vom König!. Niederländischen Institute he^
ausgegeben. Unter Karakteristiken versteht man bekanntlich ia
der mathematischen Analyse gewisse, einer Function vorgesetzte
Zeichen oder Symbole, womit angedeutet wird, welche Operatio-
nen man mit der Function vorgenommen hat Es sind also Be-
ziehungsbegriffe, welche sie vorstellen; für sich selbst und getrennt
von den Functionen, wozu sie gehören, bezeichnen sie keiot
Grössen. Doch hatten Lorgna und Ar begast sie behandelt
als wären es wirkliebe Grössen, und hatten sie den Regeln un-
terworfen, die für solche gelten. Indem sie in den resultirenden
Ausdrücken ihren ursprünglichen Sinn wieder herstellten» battes
sie in überraschender Weise tiefere Wahrheiten entdeckt, welch«
auf andere Weise nicht so leicht gefunden werden können. Diese
schienen aber anderweitiger Prüfung oder Bestätigung nicht ent-
behren zu können, und somit wollte man der angewandten Methode
Matikei: Rekuei Loöauo, eine Leöensskitte. 337
keinen hSheren Werth beilegen« als jedem fionstigen mnemo-
technischen Kunstgriff, der zur Erinnerung an bekannte Formeln
ans behOiriich ist ; weshalb Mathematiker vonA ersten Range fast
gar nicht darauf achteten. Denn aus Analogien, wären sie noch
so in die Augen fallend, Hessen sich in der Mathematik keine
folgerechten Schlösse ziehen, wie denn auch die Resultate, zu
denen sie führten, bisweilen unrichtig oder ungereimt schienen.
Lacroix aber ahnte schon, dass für diese Analogien wesent-
liche GrOnde bestehen mussten« Lobatto war so giGcklich,
diese GrGnde, von Servois Anfangs aufgefunden, zur weiteren
Entwickeinng zu bringen und das gebrechliche and unsichere
Werkzeug so zu schärfen und demselben so zu seinem guten
Rechte zu verhelfen, dass es jetzt ein vielvermogendes und er«
laubtes Hfilfsmittel darbietet, wodurch man eine Menge Schwie-
rigkeiten zu umgehen im Stande ist und durch welches somit die
höhere Analyse in mancher Hinsicht und in vielen Fällen verein-
facht und verbessert worden ist. Besondere Dienste leistet die
Anwendung dieses Hfilfsmittels der Integration linearer Gleichun-
gen mit vollständigen und partiellen Differentialen, welche bei
theoretischen Untersuchungen auf mechanischem , astronomischem
Qod physikalischem Gebiete oft vorkommen.
Die Natur der Speculationen, in denen Lobatto am meisten
•ich aoszeichnete, verbietet, hier auf nähere Details einzugehen.
MSge diese oberflächliche Charakterisirung der Richtung, worin,
Qod des günstigen Erfolges, womit er vorzüglich wirksam war,
svr Ueberzeugung genügend sein, dass die Wissenschaft und das
Vaterland in dem würdigen Manne einen grossen Verlust erlitten
haben.
Es war in der letzten Sitzung der Kunigl. Akademie der
Wissenschaften zu Amsterdam im Monat Januar des Jahres 1866»
welcher er beiwohnte, dass die peinliche Qual, welche ihn in das
Grab brachte, sich zum ersten Male zeigte. Anfangs Hess sich
das Schlimmste noch nicht befürchten, bald aber ward eine chi-
rurgische Operation unumgänglich befunden, welche zwar das
Leben ein Paar Tage fristete, dennoch aber keine anhaltende
Besserung herbeizufnhren vermochte. Den 9. Februar verschied
er nach sehr schmerzlichen Leiden, welche er mit gelassener
Geduld trug, in einem Alter von nahe neunundsechzig Jahren.
Das vollständige Verzeichniss aller von Lobatto herausge-
gebenen Schriften ist folgendes:
1823. Wiskundige Mengelingen.
^ Recaeil de probl^nies d'Aii*^bre, compos^ ä Tusage des
Ath^n^es et Colleges dan» le:^ provinces ro^ridionales.
Th«ii XI.IX. 23
338 Mattäes: Rehuei Lobatto, eine Leöensskitze,
1825. Recberches snr la soiumation de quelques series trigon
mötriques. Delft, P. de Groot. 1»27.
1826^49. Jaarboekje van het Koningrijk der Nederlandeo.
1827. Gronden der Sterrekunde, oaar het Fransch vao A. Que
telet
— Sur les valeurs moyeoDes des norobres (Quetelet» Con
math. et phys.)*
— Nouvelle mäthode pour calcnler la latitude par deux hao
teurs du soleil, prises hors du märidien. (Quote I et. Cor
roath. et pbys.)*
1829. Bescbouwing van den aard, de vordeelen en de inrigtlog de
maatschappijen van levensverzekering enz. Amsterdam 183t
1830. Overdeinrigtingen berekening van duurzaroeweezenfond^er
1832. Note sur riot<^gratioo de la fonction . p (Crellej
Journal.)**
1833. Verzameling van formules en tafelen ten dienste der \^i»
kundigen.
— Over de rectificatie van de Ellips en Hyperbool (Nie«wi
Verband. K. N. Inst. D. IV. bl. 115).
— Over de ontwikkeling der differentiaal-co^flieienten een«
funetie door middel van bare eindige differenti^n (Nieirwi
Verband, van het Wisk. Genootschap : Een onvermaeüi
arbeid körnt alles ie boten).
— Over het integreeren der differentiaal-uitdrukking:
dx
V(a^ + aar' + ßx^ + ya: + ö)'
(Nieuwe Verb. Wisk. Gen.).
1834. Tafeis hevattende de quadraten en cubieken der getali^»
van 1 tot 10000, de quadraat- en cubiekwortels der getai
len van I tot 1000, voorts de priemgetallen en de zood«nie«
deelbare, welke geen veelvouden van 2, 3 en 5 zijn.
— Note sur les difförentielles partielles de la fonction —^-z*
(Grelle s Journal, Bd. XI. S. 169).
— Memoire sur la th^orie des caracteristiques eni- \ i^ v- u
ploy<^s dans Tanalyse math^niatique. j '
— Memoire »ur Tint^gration des äquatiniis lineai- ( ■ 1
res aux diff^rentielles et aux difförences Gnies. i
— Mf^moire sur riritegrafion des equations lineai- 1 »j^
res aux diff^rentielles partielles ä trois variables. 1
1836. Gronden der sphaerische driehoeksmeting.
1837. Sur Ie d^veloppenient des coöfficieDts diff^rentiels d*on#
Maithes: Rehuei Lobatto, eint Lebens%M%%e. 339
fooction ao moyen de ses diff<^rences finies, et rt^ciproque-
nient (Cr eile's Journal, Bd. XVI. S. 11).
1837 Note sur le eaicul des rooments d'inertie d'un EllipsoTde
boiDOg^oe par rapport ä ses trois axes (Crelle*s Jouroal»
Bd. XVI. S. 76).
— Sur rintägration des equations
g^^^ = 0 et g+^6^»v = 0
(Crelle's Journal, Bd. XVÜ. 8. 363).
1839. Proeve eener nieuwe handelvrijze ter bepaling van den
inhoud der vaten.
1840. Note sur Tevaluation de la surface totale de TEIlipsolde ä
trois axes in^gaux (Journal de Liouville, T. V. p. 115).
1842. Verklaring eener nieiiwe en vereenvoudigde handelwijze
Toor het trekken van den cubuswortel zoo uit volkomen
als uit onvolkomen cubiekgetallen.
— Chartographie of Handleiding tot het ontwerpen van alle
soorten van land«, zee- en hemelkaarten, naar bet Uoog-
duitsch van J. J. Littrow.
— Recherebes sur la distinction des racines reelles et ima-
ginaires dans les Equations numöriques, pr^c^döes d*une
nouvelle d^monstration du tb^oreme de M. Sturm.
1843. Leerboek der regtlijnige en spbaerische driehoeksmeting.
1844. Note sur une propri^t^ relative aux racines d^une classe
particuli^re d'^quations du troisi^nie ordre (Journal de Liou-
ville, T. IX. p. 177).
— Sur quelques nouveaux caract^res propres a reconnaitre
rimaginaritä de deux racines d'une equation numöriqne.
situ^es entre des limites donn^es (Journal de Liouville«
T. IX. p. 295).
1845. Lessen over de boogere Algebra.
1846. Memoire sur les fonctions ellipttqnes de premi^re et seconde
espece. (Verband. Kon. Ned. Instituut^ Deel XII).
-^ Note sur les equations d*equilibre d'un Systeme de forces
dirig^es d*une mani^re queiconque dans Tespace. (Journal
de Liouville, T. XI. p. 193).
1847. Note sur la d^termination des axes principaux d'un corps.
(Journal de Liouville, T. XII. p. 117).
1848. Over bet bestaan van drie hoofdasf*eii gaande door eenig
punt van een vast ligchaam. (Tijdschrift van bet Kon. Ned.
Instituut, DI. I. bl. 166).
— Betoog der fornnilefi« vaii Euler voor den overgaog van
bet eene regtboekige coürdinatenstelsel tot bet andere.
(Tijdschr. Kon. Ned. Instituut, D 1. bl. 254).
23*
340 Matthes: Rehuel Lobalto, eine Leben9$Hi%%e.
1849. Verhandeling over de zamenstelling en bet evenwigt Tan
een stelsel krachten werkende op een vast ligchaam. (Ver-
band. Kon. Ned. Instituut, Derde Reeks^ DI. I.).
— Over de inhoudsberekening en de bepaling van bet zfvaar-
tepunt eener uitgestrekte klasse van ligcbamen volgens
eene enkele formale; eene bijdrage tot de Stereometrie.
(Nieawe Verband. Wisk. Gen. DI. II. p. 121).
1850. Bijdrage tot bet onderzoek naar de stabilitelt de« evenwigts
bij drijvende balken. (Tijdscbr. Kon. Ned. Inst., DI. IIL
bl. 247).
1861. Lessen over de differentiaal- en integraalrekeuing. 2 Dln.
1854. Memoire sur Fint^gration des ^qaations unfaires du premier
ordre aax diff^rentielles partielles k quatre variables. (Vor-
hand. K. Akad. DI. I.).
1856. Verzameling van vraagstukken ter oefening in de toepassing
der gronden van de Statica en Hydrostatica. Amsterdam 1857.
— Over de betrekkingen» welke bestaan tusscben de co^ffi-
cienten eener boogere magtsvergelijking in x en die van
bare afgeleiden in (x — p). Verslagen en Mededeelingen
Kon. Akad. DI. IV. bl. 208).
— Over de beweging van een ligcbaam om eene vaste as eo
om een vast punt (Arcbief van bet Wisk. Genootsebap,
DI. I. bl.I.,89).
1858. Over bet berekenen van den tegenstand der wrijving bij
eenige enkelvoadige en zamengestelde werktaigen. (Archief
van bet Wisk. Genootscbap, DI. I. bl. 201, 317).
— Note sar Fint^gration des ^qaatlons diff^rentielles :
ar«(a-6a?)d^ - 2a:(2a-6j?)«fa:rfy + 2(3ii-6a:)yAr«=6aMa:«,
rf^+Ji<ir« = 0,
afld^y^ixdxdy + ^ydx* = —y^ —
(Granert's Arcbiv, Rd. XXX. S. 292).
— Note sar l'^valuation des integrales
fxydm, fxzdm, fyzdm, fx^dm, fy^dm, fx*dm
ponr ane pyramide triangulaire, dont la hase est sita^ daos
le plan des xy, une des aretes ötant prise pour axe des x.
(Granert's Arcbiv, Bd. XXXI. S. 249).
1859. Sebreiben etc. (Analyse d*oü se d^duit la construction da
rayon de courbure dans les sections coniques. donn^ par
Matthe»: Reäuei Lobatlo, eine Leöensski%%e. 341
MM. Paucker et Lamarle). (Grunert*s Archiv, Baod
XXXII. S. 121).
1860. Over de waarschijnlijkheid van geniiddelde uitkomsten uit
een groot aantat waarnemingen. (Archief vao het Wisk. Gen.
DI. II. bl. 96).
— Over eenige eigenschappen eener bijzondere klaase van
afgeleide fuDcti<$n. (Verslagen eii Mededeelingen, Kon. Akad.
DI. X. bl. 255).
1861. Note aar la r^duction des integrales doubles, qui expriment
le volume et la surface totale de TEIlipsoYde. (Verslagen
en Mededeelingen Kon. Akademie, DI. XIII. bl. 193).
1802. Demonstration de la formale de rUuilier poar ezprimer
la valear de Fexc^s sph^riqae en fonction des trois cdt^s du
triangle. (Granert's Archiv, Band XXXIX. S. 240).
1S63. Bijdrage tot de theorie en de opiossing der hooge magts*
vergelijkingen. (Archief, Wisk. Gen. DI. II. bl. 235, 371).
— Demonstration d*un theor^me algebriqae. (Grunert's
Archiv, Bd. XL. S. 163).
1864. Memoire snr une methode d'approximation pour le calcnl
des rentes viagöres. (Verband. Kon. Akad. DI. X.).
1865. Demonstration du theoröme de M. Beltrami. (Grunert's
Archiv, Bd.XLIII.S.234).
* Remarques sur une Solution donnee par M. Eilles de
Munich, du probl^me relatif k la cubature d'un cylindre
droit coupe par un plan incline sur sa base. (Grunert's
Archiv, Bd. XLIII. S. 235).
— Bijdrage tot het vormen der vergelijkingen, welker worteis
de zijden en diagonalen der regelmatige veelhoeken doen
kennen. (Verslagen en Mededeelingen, Kon. Akad. N.Reeks,
DI. I. bl. 33).
— Remarques sur une formule de M. E. Reboul, pour eva-
luer le prix d'une assurance de survie. (Archives Neerlan*
daises des Sciences exactes et naturelles, T. I. p. 46).
Der Herausgeber des Archivs spricht dem Herrn Professor
Matthes fSr die obige Lebensskizze eines der trefflichsten Mathe-
matiker und eines durch grusste Reinheit des Charakters und
Herzens buchst ausgezeichneten Menschen seinen vrSrmsten und
innigsten Dank aus, und wird dem von ihm so hochgeachteten
Lo hatte stets das dankbarste Andenken in seinem Herzen be-
wahren. G,
342 ßenocchf: Belatiotu enlre ta diffirenee
XXIII.
Relation» entre la diffS^rence et la d^rivee d'an meme
ordre quelconqae.
Par
Monsieur Professeur A. Genoechi
ä Turin.
Dans le calcul diff^rentiel on fait asage plusiears fois de
cette proposition: que le quotient diffäreotiel -r^ est la limite
de -T^ poar //j: = 0. Mais la dömoostration qu'en donnent la
plapart des aateurs parait obscure ou peu concluante, tandis
qu'oD peut la döduire d'une g^näralisation , interessante par eile-
m^me» de la relation tr^s-connue:
(1) A^+A)-A^) = */"'(* + ÖA),
C'est pourqaot je vais ezposer ici cette .gänäralisation.
Je oomme A, Af, A«».... les accroissements saccessib« ^gaiix
oa in^ganx, de la variable indäpendante x, et je fais:
/ ^ = /i(^ + AO-A(^) = Mx),
^^ = M^ + Aa) -ft(x) = Ux) ,
etc.
On a d'abord, si la d^riv^e f\x) est continae de x k x + h, la
formule
c*est*2i-dire la m^me formule (1) ci*dessns» oü ß dösigne un nein*
tt la diricit ttnn mime ordre queUonqut. 343
re coniftris eatre 0 et I. Appliqnant «nsaite la farmitle (1) ^ la
tnction fxix), on aara
dhi = A(:r + A,)-/,(a:) = A,rt'(:r + e^A,), 0<fl, < 1;
lais l'expression de /i(z), elant diffärentite, donne
I d'aprAs (1) on a ausBi
onc
U'{x\ fl,A,) = A/"(^ + ÖA + Ö,A,),
t par Suite
^ =; AAj/"(3:+ÖA + «iA,).
)d Biippoae que la d^rir^e f{.x) soit continue ie x k z-f A-fA|.
Noua aurona ^galement :
^»y =/;Ca: + A,)-A(a;) = A^a'(a: + fl,AJ,
r,'(a)=/i'(x+A,)-/i'(*)=«A,/;"(a: + Ö,A,),
/^,» = n^ + A) -n^) = Ar(:r+ eA),
/i' (^+ ötAO = A,/i"(a: + 9,A, + Ö,A,).
U"{.x + fltAi + OA) = ^"(^ + ÖA + ÖA + M«)-
!t enfin
z/»y = A A, A,/*(a: + ÖA + 9, A, + öaA,).
' II est Tisible qu'on Iransrormera de la mdme maDiäre
^=ft(ar + A,)-A(.r) = A,A'(;i:+e8Ä,),
Et qae pat ce proc^d^ on Irouvera successivement d'autres rala-
■ons compiiaes dans la formale g^a^rale
(3) ^ = AAi....A„_i/t-)(i + ÖA+«,A,+....+e«.
1'^* cnefEcients 6, di,....dB-i aont tons censto [
nears \ l'anlt«; et la d^rlv^ /<")(-z) est aappoa^i
*'' + A+A,+....+A»_i.
On tire de lä
jj-^^ =/«(x+öA + e,A, + .... + 9,.,
344 Genocchi: RoiaHons entre ia difference
et* en faisaot teodre vers zöro tous les accroissements A» Ai » h^ .
OD conclat :
00 encore
dans le cas particalier de A = A^ = .... =r An^i = dx, Cela sap-
pose qae Ia döriv^e f^{pc) soit continue dans le voiainage de Ia
▼aleur attribu^e ä x.
Od peat troaver une aatre relation qai ne renfennera plus
les coefficients inconnues d, d|,...., employant des iot^rales
multiples. On a» en effet»
^y = A« + A) -A^) = A^ ' f\x\hi)dU
o
et de proche en procbe:
^^ = Ay*[/''(ar + At+A<)-n^ + A<)]<ft
o
4> O
o o
0 0 0 .
ainsi on pourra poser» en gönöral»
^"y:=AAi...Aff-i / / - / /^(a;+A<+...+Aj,-ieii-i)Ad(i^
d o 0
La valeur de cefte integrale sera une moyenne entre toates
les valeurs de /"«(^r -f A< -h -f Aii-ieii.i), et comme celle«-d
ont pour limite commune /^(j?) lorsqoe les accroissements A, At »^«
s'^vanoulssent, on retrouve le th^or^me que./'C^r) est Ia Knute
du rapport
AA| .... An—l
et In dertvie d'uti mime ordre gueUmtfue. 345
J'ajonta qne les fnriDoles (3) et (4) roamiuent des exprvs-
sions da terme coropMmentKire de la forniDle d'interpolation dite
de Neivton; car an a identiqoeroeDt
en npposant
et toatoe lea diff^rences ^taat prises par rapport h y avee Jjf=h
coDstant: or cette ögaMM n'est, au fond, que la forniule d'inter-
polation accompagnee d'un teriue compl^mentaire , et comme
oä la d^rivto se lapporte k x et les diff^rencea i g, od pourra
tranaformsr ce terme 4 l'aide de« forinulea que je viens de rappeler.
En se bornant ä la diSdrence preiniöre, on trouTera
oü ^X(,:=h; cette dqaation pennet d'apprdcier l'erreor de la
rögle des parties proportionnellea, c'est-ä-diie de la pro-
pwtion
fix) — f(s<,) _x-x„
pni9qa'il en räsulte qve l'erreur dans la ddlennlnatlon de f(s)
■era ior^rieure k la plns graade valenr de '
■j tftaat le maximnm dn prodoit (x—x^(h—x+i
poM h^x—xo>-0- OK peut faire varier 0 de 0
^^Uacket: Zwei Beweise des von Bern» Professor Passbender
Zwei Beweise des von Herrn Professor Fassbender
im Archiv Thl. XL1X. S. 115.*) mitgetheilten Satzes.
Von
Herrn Professor Paul Hacket
in Bdhmif ch-Leipa.
Der Satz, um den es sich bandelt, ist folgender:
Die Winkel, welche die Schwerlinien eines
Dreiecks mit den entsprechenden Seiten in den
Mittelpunkten derselben einschliessen, babeo,
nach derselben Richtung genommen, die Eigen.
Schaft, dass die Summe ihrer Cotangenten gleich
Null ist.
I. Trigonometrischer Beweis.
Wir haben in dem ebenen Dreiecke ABC» dessen Seiten wir
entsprechend mit a, b, c, ferner die drei Winkel, welche die
Schwerlinien mit a, 6 und c bilden, mit o, a' und o/' bezeichnen;
endlich mögen die Winkel oo, 00', oo" heissen, welche die CE
mit Cß, die AD mit AC und die BF mit AB bilden; folgende
Relationen :
(1)
a=: 180^— (fi-hflo), also 8ina = sin A.coscD-f cosB.sIno,
femer:
(2)
a' = 180^ — (C+w')j also sino' = sinC.cosDo'-fcosC.sincDS
*) M. Tergleiche ThI. XLV111. Nr. WXlll. S. 471. (S. 473. ist ein
Druckfehler.)
im Arcäiv ThL XUX, S H5. mUgetheiUen Satzes. 347
idlich:
(3)
'^ = 180^— (A -I- n") , daher sin o" = sin 2< . cos co" -f cos A .sio m''.
Efceoso :
(4)
c.sina . - a.sina' , , ., 6.sino"
sin (0 = —5 — t sin © = — öT — and sin a> = — 5- —
Briogen wir die Gleichung (1) aaf die Fonn:
sin tt — cos B . sin co = sin B . cos cd
«xod qnadriren» so erhalten wir:
sin'a — 2sina.sin(K).cos^-f cos*£.sin*(o =: sin'^.cos'co,
oder, statt cos*» = 1 — sin*(o eingeführt,
sin*a — 2 sin a. sin 00. cos A -f- cos *^. sin '(0 = sin*£ — sin*A.6in*co
oder
sin'a — 2sina.sln o.cosJ? -f (cos'^-f 6io*fi)sin*io = sln*^»
iDithiD
sin'a — 28ina.6ina).cosfi'f sin'o = sin'fi.
Fuhren wir nun statt sinoo aas (4) den Wert ein und reduziren,
so erhalten wir:
»
sin'« =
4a* — 4ac.cosÄ+c*
1
oder, weiren coseca = -; — :
* ^* sin o
„ 4a*— 4ac.co8Ä + c*
cosec*« = T-s — —-mn 5
4a*.sin*Ä
daher , wegen cot* o = cosec*a — 1 :
, 4a* — 4ac.co8Ä+c* — 4a*.sin*ß
4a*sin*Ä
oder
4a*(l — sin*fl) — 4ac . cosfl-f c* __ 4a*cos*Jg~4ac . cosfl-f c*
^**^ = 4a*.sin*^ "^ 4sin*^ '
oder
/2aeo8B — cV
L
^^Hachel: Zwei Beweise des von Herrn Professor Fassben
daher :
oder auch:
2a CO« B— c ^
c— 2aco8g
cot ff SS — 5 ; — BT" (O)
2asiii^ ^'
Werden die Gleichungeu (2) and (3) analog behandelt» 80 erhal-
ten wir sogleich :
^ , 2i^cosC — a ^
oder auch
und
oder
^ . a — 26co8C ^
eot«" = 2££??4=^ (9)
2c8inif
e„t«"=*=?££2^ a(»i
2c8inif ^
Durch Addition der Gleichungen (5), (7) und (9) ergibt sich:
, , ,, üacoaB — c . 26co8C — a . 2cco8il— Ä.
cot« + cot ff' + cot ff = — ö ; — ö 1" QiL « ^ + — ö — ^TT"'
' ' 2i?sin^ 2o8inC 2c8inil
oder, wenn wir die positiven Glieder zusamnienachreibeD ood
reduziren, so auch die negativen » erhalten wir:
cote+cot«'+cote"=coti< +cotÄ+cotC^ {2iB+2^SH2+2ra
Nun ist aber:
c sinC b sinfi a e\nA
a"^8in2l* c~~8inC* b sinA'
dies eingeRihrt und auf den gemeinschaftlichen Nenner Alles io
der Klammer gebracht, ergibt sich schliesslich:
cot«+cot«'+cot«"=cot^ + cotß+cotC^- {^rin^'^Dgt'in*^
Es ist aber
cot^ + c«tfi + cotC= 2sin^.siDg.stDC
im Archiv TM. XLIX. S. il5. mUgetheiiten Satzes. 340
nach Jaeobi's Anhang zum 8ten and 9ten Buche von J. H. van
Swinden'a Elemente der i^eometrie, A. 727, Zus. 1. Formel 804,
daher :
cot« > cota' f cota" = 0.
Analog gehen die Formeln (6), (8), (10) dasselbe Resultat, nur
anders geschrieben :
. f , n sin*i4+sin*JB-f-sin*C , ^ . . ,„. ^^,
cot« + cot«' +cot«" = 28ii.^.8iDg.ginC ~^'"'*^ + •="* *+•="' ^>-
Uebrigens lässt sich Ja cobTs Formel 804 wie folgt nachweisen :
Wegen A^B^C— 180^ erhält man:
COt/< + C0tÄ + C0tC=C0t2< + C0tÄ— C0t(i4+Ä)
^ . ^_, ] — COti^.COti? cotM+cot«ß+cot^.cotÄ+l
= cot^ + cotl?+ ^^t^_,.eotÄ = cot^-fcot£r
COS*/l C08*fl C08 2<.C08^ -
SnM ■•■ 8in«ß "*■ sin ^. sin i? + *
cos A COS Ä
sin A sin /f
Wird Zähler und Neuner des Bruches mit 2sinM.8in*fi multi-
plizirt, Bo erhält man dann:
2cosM.sin*g+2sinM.cos*g+2cosil.sinil.cos^.sin^-|-2sinM.sin«g
2sini4.sin A.(sin^.cos^-f cosil.sinf)
oder
cosM.sin»g+slnM.sin»g+cos»g.8lnM-|-smM.sin<g-f8ip«(il-f^)
2sin24.sinfi.sinC
_sin*g.(sinM+co8M)-fsinM.(cos<fi4-sin»g) + sin»C
2sini4.sinfi.sinC
wegen 8in(il-f fi) = sinC, und wegen sinM-fcosM=sin*fi-|-co8*fi
=1, endlich:
»^. 4»^ 4^ 8in«i4j^8in«fi + sin«C
C0ti4 + C0tfi+C0tC= — rri — 3 — ;^-5 — !-Ä>— •
2sinii.smfi.sinC
II« Analytischer Beweis.
(Fignreo s. Taf. IV.)
Legen wir durch den Winkelpunkt A des Dreiecks ABC
350 Hacket: Beweise eines v. Hrn. Prof, Fassbender mitgeth. Sa/%es.
(Fig. I. — 111.) als Ursprung ein rechtwinkliges Azensystem »o,
dass die verlängerte Seite AB die Abscissenaxe vorstellt, so
haben wir die bekannten Ausdrücke:
die Koordinaten von 24.... (0, 0); von J7....(y»0); von C...(a, /Q;
des Mittelpunktes der CB hier />.... O^f lß\
99 tt f9 »f AB»,..£,,..Hy»0);
AC....F....Ha, 4/J).
9> >t
«9 »t »9 99
99 99 99
•9 99 99
Die Gleichungen der drei Seiten des Dreiecks sind daher:
R R
von Aß ,,..y^0, AC ....y^=^,a: , CÄ....y =:— ^.(jt — y);
von der Schwerlinie CE.,,,y — i3=ö~^.(^ — cf);
Aij ,»,mySS ; ,X9
^ a + y
Bezeichnen wir den Winkel der CE mit AB (= der Abscis-
senaxe) mit a^, den Winkel der AD mit Ci? durch o' und mit
der Abscissenaxe durch q, endlich den Winkel der Schwerlinie
BF mit AC durch o", und ebenso mit der Axe der x durch ff,
und endlich den Winkel der CB mit der Abscissenaxe dorch •«
so gelten folgende Relationen:
2ß 2« — y
tang«<> = 2^— , mithin coto^ss-^g-^, . . . (a)
_J ß_
t i. i ^ ^-{^y ^—y 2ßy
tang«' = tang((>- «) = ^^ = ,^a^.yi_pm »
a* — y*
mithin :
cota^ = 2/?y ^ <^^
femer :
/3 ß
_«— 2y g 2/gy
tang«-' == tg(cT-^) = — -y- === ^^^^
also:
Veber dm Schwerpunkt der fioppelps/ramiite ,
cot«" = ^^
Iddirt man die Ausdritcke (a), (b), (c), ea erhalt man:
'm
Ueber den Scbwerpookt der Doppelpyramide, des Pyra-
midalstuinpres und der schief abgeschnittenen Säule.
Herrn Dr. Most,
I der ReaUchale I, Ordoortfc t
(fignrsD I. Taf. IV.)
I. Der Schwerpuokt einer Doppetpyraniide Tällt zuaanimen
mit dem derjenigen Pyramide, welche über d«r genieiDBcbartlichen
GrundflSche der heitfen gegebenen errichtet ist und deren Spitze
mit den Spitzen der gegebenen in einer Geraden liegt a)a entge-
gengesetzter Punkt zu dem Schnittpunkt diener Geraden mit der
gemeinschaftlichen Grundfläche.
Beweis. Gegeben zwei Pyramiden (Fig. 1
A und B tiber einer gemeinschaftlichen GrnndflSc
pnnkt C sei; wird der Inhalt der Pyramiden he
tg bezeichnet, eo kOnnen dieselben in Bezug
samen Schwerpunkt er^etit werden durch die i
C, wenn dieselben betastet gedacht werden n
bezflglieh von ^] , Jf^, tO'i -I- i^; sucht man n^
352 Mosi: (Jeder den Schwerpunkt der Doppelppramide,
Punkte A(\ii) and B(ii%) den Schwerpunkt» so ist AB im Ver-
hältnlss von ti:%, d.h. im VerhSitniss der Huhen AEiBF n
theilen. ist nun G der entgegengesetzte Punkt zu D, in welchem
AB die Grundfläche trifft, so verhält sich:
AG:BG=BD:AD=zBF:AE = i^i^.
Der Schwerpunkt der Doppelpyramide wird also bestimmt als
der der beiden Punkte; C belastet mit i(ii+i%) und G belastet
^'^^ iih'i'h)» ^« ^* ^^ ^'^^ zusammen mit dem einer Pyramide,
deren Spitze G ist und deren Grundfläche Czum Schwerpunkt bat
2. Der in dem vorigen Abschnitt angegebene Satz bebSlt
noch Bedeutung, wenn die eine Pyramide an» der anderen heraus-
geschnitten ist. Ist nämlich EAFB der Durchschnitt einer sol-
chen negativen Doppelpyramide, so föllt deren Schwerpunkt zu-
sammen mit dem der über der Grundfläche EF bis zur Spitze G
errichteten Pyramide, wenn G der entgegengesetzte Punkt zu D
in Bezug auf AB ist.
Beweis. Ist C wie frfiher der Schwerpunkt der GrundflScbe
und setzt man Pyramide EAF^=^%i, Pyramide EBF=zi^, so kano
man in Bezug auf den zu bestimmenden Schwerpunkt S, nacli
einem leicht verständlichen Algorithmus, fiir die Doppelpyramiile
setzen :
3. Die Analogie von !• mit der gewohnlichen Construction
des Schwerpunktes beim Viereck leuchtet ein. Ist in einem Vier-
eck FAEB (Fig. m.) C die Hälfte von FE und FAE = ii,
FBE = ti, so erhält man fOr den zu bestimmenden Schwerpunkt Si
(ti+y.« = ji,..<+ji,.Ä+f(t|+ii).c
= 4(«i + i2).G+l(i, + y.C,
wenn G der Gegenpunkt zu D in Bezug auf AB ist. Der Schwer-
punkt des Vierecks fällt also zusammen mit dem eines Dreiecks
über FE und der Spitze G, oder auch über BD und der Spitze
G, wenn CH=CD ist, d.h. wenn H der Gegenpunkt zu D io
Bezug auf F und E ist *).
4. Um den Schwerpunkt eines Pyramidalstumpfes zu fioden
lege man durch die beiden Schwerpunkte F und G der Grund-
flächen den Querschnitt AßCD (Fig. IV.), so dass sich AB, DC
*) Verölet« he Arirhiv K«l. 42. |iag 285.
des Fyramidaiitumpfes und der schief abgesckntUenen Säule. 353
uod FG in E schneiden; nan errichte man in E ein Lotb EK
= EC, flille von E das Lotb EL auf KD und von L die Lothe
LM und XiV; dann schneide man von EF und EG die vierten
Theile bezCiglich mit FH und GJ ab und mache die durch H
ond J gezogenen Parallelen HP uod JO bezüglich gleich MK
and ND, so ist der Schnittpunkt 5 von OP mit GF der ver-
langte Schwerpunkt.
Beweis. Bezeichnet man den Inhalt der Pyramide AED
mit t], den der Pyramide B EC m\i i^, so ist:
(i,-i,).« = t|.Ä-t,.J.
es ist also S ausserhalb HJ so zu finden * dass sich verhält :
SHiSJ = ^:t| = EC^:ED^=MK:ND.
5. WShIt man die gemeinsame Kante, in der sich die Ebe-
nes der GrundflSchen und des Mittelschnittes einer schief abge-
schnittenen Sfiule schneiden, zu der einen Haupttrfigheitsaxe des
Mittelschnittes, so ist der in der zweiten HaupttrSgheitsaxe in
Bezug auf die erste genommene Sebwingungspunkt des Mittel-
Schnittes der Schwerpunkt der Säule.
Beweis. Man denke sich die Säule parallel ihrer Längs-
richtung in unendlich dfinne Elementarsäulen dmJ zerlegt, wo doD
den Querschnitt und / die Länge bedeutet; die Mitten aller die-
ser Elemente liegen in einer Ebene, dem Mittelschnitt; es kann
also die ursprüngliche Säule ersetzt werden durch ihren Mittel-
schnitt, wenn die in demselben liegenden Mitten oder Schwer-
punkte der Elementarsäulen belastet gedacht werden mit dem zu-
gehörigen d(o,L Die Ebenen der Grundflächen und des Mittel-
schnittes schneiden sich in einer gemeinsamen Kante, normal zu
derselben lege man Ebenen durch die Säule; Fig. V. stellt eine
derselben vor, welche die Säule in AB CD, die bezeichnete Kante
in £ und den Mittelschnitt in GF schneidet. Der Mittelschnitt
wird durch die Elementarsäulen auch in Elemente zerlegt, welche
mit du^x bezeichnet werden mögen. Nennt man die beiden spitzen
Winkel, welche die Normalen des Mittelschnittes und der Grund-
fläche mit der Längsrichtung bilden, bezüglich a und /3, so wird
der Neigungswinkel heider Ebenen BEG=za\ß\ bezeichnet man
nun noch die Entfernung der Elemente dmi von der durch E
gehenden Kante mit Xy so kann man setzen:
, . , ^sin(o-f/3)
aco = d(Oi cos tf, / = 2 5 — x,
' cos p
Theil XLIX. 94
354 Most: Veöer den Sekwerpunki der Doppelppramidet etc.
Es kann also die ursprüngliche Sänle ersetzt werden durch ihreo
Mittelschnitt, wenn jedes Element desselben belastet gedacht
wird mit
^8iD(a + |3)co«a
cosp *
da a und ß fitr alle Elemente constant sind, so wird man den-
selben Schwerpunkt erhalten, wenn die Elemente c^ooi mit den
zugehörigen x.dtoi belastet gedacht werden. Fig. VI. stelle nno
den Mittelschnitt mit der dazu gehurigen Kante, welche als F;Ai«
genommen war, vor; die X-Aze boFtimme man so, dass dash-
tegral farydwi, über den ganzen Mittelschnitt genommen, der
Null gleich wird, wodurch die beiden Azcn HaupttrSgheitsaxeo
werden. Die Coordinaten des Schwerpunktes £ und 17 fQr deo
Miitelschnitt, dessen Elemente mit xda}^ belastet sind, bestini
men sich nun durch die Gleichungen:
_^fx*d€o^ ^^^ fxydwi _ ^
fxdmi ^ fxdmi '
die erste Gleichung bestimmt aber auch die Abscisse fSr den
Schwingungspunkt des Mittelschnittes fdnx in Bezug auf die
F-Axe FG9 und die zweite Gleichung zeigt an, dass der ge
suchte Schwerpunkt in der JT-Aze HJ liegen muss.
& in einzelnen Fällen ist der Schwingungspunkt leicht n
construiren, z. B. bei einem Kreise mit dem Radius r, desseo
Centrum um a von der ürehungsaxe absteht, wird die Entferning
r*
des Schwingungspnnktes von letzterer durch o^j- bestimmt; ßr
die Construction des Schwerpunktes verdient noch berficksicbti|t
zu werden , dass bei einer Säule oder einem Cylinder die SchvriB
gungspunkte aller Schnitte, welche durch dieselbe Drekangsaxe
gelegt sind, in einer Geraden liegen. Hat man also einen kreii-
förmigen Cylinder, der so abgeschnitten ist, dass die Schnitt
kante AB (Fig. VII.) der beiden Grundflächen rechtwinklig wm
Cylinderaze liegt, so wird der Schwerpunkt folgendermassen pje-
Funden : Man lege durch AB normal zur Cylinderaxe einen Kreit-
schnitt mit dem Centrum C, welches um CD von AB abstellt:
nun halbire man den zu AB parallelen Radius CE in F, ziebe
DF und errichte in F auf DF ein Loth , welches die verläageHe
DC in G schneidet, dann ist G der Schwingungspunkt des Kre»
Schnittes in Bezug auf die Axe AB\ nun lege man durch G eiae
Parallele mit der Cylinderaxe, welche die Grundflächen in B nod
J schneidet, dann ist der flalhirungspunkt S von HJ der ver-
langte Schwerpunkt.
Matt: Mtthoäe, eeemttr. den Sehmerp. beUet.PolvB-*lc. %u beitlmm. 355
7. Denkt man sieb die Saale oder deo Cylindet Dnendlicb
dOnn, so gebt derselbe in ein Trapes Aber; es folgt also daraus,
dass der Schwerpunkt des Trapezes ABCD (Fig. VIII.) der
Schwingongspankt der Strecke FG in Bezug auf den AorhSoge-
pnnkt £ ist ; es ergiebl sieb damit eine einfache Constrnction für
die Anfgabe, in einer Strecke FG mit dem Aufbängepunkt £ den
SchwiDgungspankt zn finden: Man ziehe durch Fund Cr paral-
lele Linien BC und AD, mache FB = FC, ziehe EBA nnd
ECB, schneide von FD und GB den dritten Theil mit FB nnd
JG ab, so ist der Schnittpankt S von HJ onAFG der verlangte
Schwingnngspnnk I.
Ueber eine allgemeine Methode, geometrisch den
Schwerpunkt beliebiger Polygone and Polyeder zu
bestimmen.
Herrn Dr. Moat,
I der RBSlichDle 1. Ordnniig in S
(Figuren i. TU. V.)
1. Ein« allgemeine Methode, den Schwerpunkt beliebiger
Vielecke und Vieiflachuer zu constroiren, Ifisst sich auf die Lti-
snng folgender Aufgabe grOnden :
Zu zwei beliebig belasteten Punkten A nod i
pnnkt S gegeben, die Verscbiebnng des Letzten
wenn die Punkte A und B mit ihren Gewicht)
oder im Räume beliebig verschohep werden.
Constr. (Fig.!.) Uan ziehe SC || Bfi| un
356 Most: Oeöer eine aiigemeine Methode, geometrisch den
ist Si der Schwerpunkt der Punkte Ai und By. — Offenbar ist
AxBi in demeelben Verhältniss getheilt wie AB^ so dass die
Belastung der Punkte Ai und Bi dieselbe sein kann, wie die der
Punkte A und B,
2. In einem n-Eck ist der Schwerpunkt des nach Abschoei*
düng eines Dreiecks gebliebenen (n — l)*Eck8 gegeben, man soll
den Schwerpunkt des n-Ecks finden.
Constr. (Fig. II.) In dem Fßnfeck ABCDE sei S4 der
Schwerpunkt des Vierecks ABCE; man ver^vandle das Ffinfeek
in ein Dreieck, so dass
FCG=z ABCDE, FCE = ABCE und ECG = ECD
ist; bestimmt man nun die Schwerpunkte der vier Dreiecke
FCG FCE ECG ECB
durch :
so hat man nur nach 1. die Punkte £4' und 1' in die Lage ^4
und $ zu verschieben, um mit der neuen Lage S^ des verscho-
benen Schwerpunktes S^' den Schwerpunkt des Fdnfecks zu er-
halten. — Man übersieht, dass die Strecke S^$ durch S^ in den
Verhältniss von ^CDEiU^BCE getheilt wird.
3. Den Schwerpunkt eines beliebigen Polygons su finden.
Constr. (Fig. III.) Durch den leicht construirbaren Schwe^
punkt eines Dreiecks oder Vierecks kann man nach 2. den eines
Fünfecks und somit eines Sechsecks u. s. w. finden. Man schneide
das Sechseck durch Diagonalen in Dreiecke, deren Schwerpunkte
'i> 't* 's* '4 sind; man verwandle das Sechseck in ein Dreied^
und bestimme die den obigen gleich belasteten Schwerpunkte
*x * h' 9 h' » V ^°^ ferner noch:
5|^ als Schwerpunkt zu Si und %'»
Äi— 0' „ „ „ $1 , 1^ und ij',
Ä1-4' w » 0 «1'» H'» V nn<äl «*'.
welche letzteren leicht al« Schwerpunkte der bezüglichen Som-
mendreiecke gewonnen werden können. Nun verschiebe man
gemäss 1.:
ii' und s^' mit dem Schwerpunkt iS|^ nach i| und s^,
wodurch Schwerpunkt Si^^ erhalten wird,
^1^ und 5s' mit dem Schwerpunkt Sg^^' nach S|-^ und s^,
wodurch Schwerpunkt Sg^^ erhalten wird.
Sekverptinkl beUebtger Folj/gtme und Fatpeder tu beuimmen. 3ä7
Si-g' und (4' mit dem Schwerpunkt i$i— 4' nach Si-^ und t^,
wodurch Schwerpunkt S^—^ erhalten wird,
dann ist jSi-« der Schnerpankl des gegebenen Sechsecks.
4. Nach der angedeuteten Methode kann mit beliehiger An-
nihernng auch der Schwerpunkt krummliniger Figuren leicht ge-
wonnen werden, so dass die Methode fOr Zeichnangea der Praxis
vielleicht hranchbar sein künnte; Fig. IV. zeigt die Bestimmung
du Schwerpunktes für ein symmetrisches Flächenslifck, etwa
för den Querschnitt eines Schiffes. Si~t ist der Schwerpunkt
der einen Hälfte, also 5 der des ganzen Schnittes.
5, Da sich jedes Polyeder in Tetraeder zerlegen und dann
is ein Tetraeder umwandeln ISast, analog wie sich ein Polygon
in ein Dreieck verwandelD läset, so ist die bezeichnete Methode
anch auf Körper anwendbar, denn die in I) angenommene Ver-
schiebung der gegebenen Punkte kano eine beliebige im Räume
«ein. Gegeben sei (Fig. V.) ein Körper ABCDEF, bestehend
ans drei Tetraedern \=DABC, U=EADC, m = FADE,
beiQglich mit den Schwerp. f,, t±, <|.
Mao lege durch F eine Ebene parallel mit ADE, welche die ver-
lingerle CE in G schneideti lege dann durch E und G parallele
Ebenen zu ADC, welche die verlSngerte SC in B oaA /schnei-
det, dann ist :
ADCH = Tetr. II, ADHJ = Tett. III,
ADBH = Telr.l + Telr. II . ADBJ = Tetr. I + Tetr. II + Tetr. III,
deren vier Schwerpunkte leicht in t^ , jj', Si-^'t iS|-a' s» be-
ttlmroen sind. Bezeichnet man jj gleichzeitig mit 1,', ao hat man
folgende Verschiebungen gemäss I. vorzunehmen :
ti' und jg' mit dem Schwerpunkt 5,-s' nach ij nnd tg,
wodurch Schwerpunkt S,-^ erhalten wird,
<Si-«' and Ma' mit dem Schwerpunkt S,-^' nach S^-^ und ig,
wodurch Schwerpunkt Si-, erhalten wird,
dann ist Si-i der gesuchte Schwerpunkt.
Die angedeuteten Conslructionen sind solche,
deacriptive Geometrie leicht handhabt; in Fig. VI. istc
pnnkt gefnnden, wenn die Projectionen des KSrpers
gegeben sind.
358 Mattäes: Elementarer Beweis des vollständigen Ausdrucks
Elementarer Beweis des Yollständigen Ausdrucks far
die Dauer der Pendelschwingungen.
Von
Herrn Professor Dr. C. J. Matthes in Amsterdam,
Sekretär der Königlich Niederländischen Akademie der WiMentcbaftee.
(Figur 8. Taf. V.)
1. Wir oebmen die Reihe:
welche den Kreisbogen als Function seines Sinns ausdrückt, als
bekannt an; aus dieser Reihe ergiebt sich:
2»— i+3-2-|-g-2.4 + 7-2.4.6-r v«;
Noch hat man:
11 _1 . 1 1 . 1 1.3 , 1 1.3.5 , ^.
2'2''""3 + 5'2 + 7'2:i"*"9'2T476"*" ••' * * ' "^'
^3 1 11 1 1 1.3 1 1.3.5
2.4'2"~'6 + 7'2"'"9*2.4"'"ll*2.4.ö+'" * ' ^''^
1.3.6 II 11 2 L3 Jl^ 1.3.5,
2.4.6*2^-7"'"9*2"'"ir2.4+13'2.4.6+— '•'^*^
u. s. w.
Diese sämmtllchen Reihen, welche man In KlflgeTs mathe-
matischem W5rterbuche Tbl. I. S. 624. §. 9. vorfindet, ^^
gar leicht aus der ersten abzuleiten. Multipllzirt man die erst«
Reihe mit i, so erhSlt man:
für die Dauer der Pendelwkwingungen. 359
I 1 _1 I 1 11 1 iJ . 1 1 1.3.S
2'2''-2 + 3*2'2 + 8'2*2.4 + 7*2*0:«+ •••
Jedes Glied lässt sich aber in einer offenbar convergirenden Reihe
mnfechreiben, wie folgt:
I_l 2 1 1 2 1 1 3 2 1 13 6 2
2-2*3 + 2 '3' 5 ■*■ 2 '3' 8*7"*" 2*3*5*7* 9 +
111 1112^11132 111352
3*2*2- 3*2 2S^3'2*2'5*t + 3*2'2*5*7*9+
1 1 1.3_ 1 1 1.3 2 I I 1.3 5 2
5 2*0- 5*2*0*7 ■'■S'fO 7'»+
1 I 1.3.5 1 1 1.3.5 2 .
7*2*2.4.«"- f*2*0:B*»''" •
1 . 1 1 . 1 1.3 . 1 1.3.5
Samme =3+52 + fO + gOTF + ••
Ebenao Ist;
1.3 1 3 11 1 3.1 3 1^131.3 13 1.3.5
2:4*2"=4'2*2''-S*4 + 5'4*2 + r4*0 + 9*4*0:6+""'
13 134 1314 13134 13135 4
5*4-3*4*6 + 3*4*5*7 +5*4*5 7"9 + 3'4*öT9*n +
13 1 13 14.131 34^13135 4
5*4*5= 5*4*2*t + 6*4*2*r9 + 5*4*2*7*9*n +
1 3 l^_ 1 3 04 131^5 4
7*4*2.4- t * 4*2.4*9 + 7*4*2.4*»*11 + —'
1 3 1.3.5 13IJL5 4
9*4*2.4.6" 9*4*2.4.611 +
_ 1 . 1 l ^ 1 1.3 ^ 1 1.3.5^
Smnme = g +^g + 5.5-^ + n*0:6+'-
u. s. w.
2. Sei nun HN=:h die Hohe» welche das Pendel, dessen
LSnge =1, im Ganzen herabfällt, ond theilen wir diese
Strecke in 2n gleiche Theile HG=zGF=rFE.... Die Bewegung?,
deo Bogen gf, /e....aiV entlang, wird gleichförmig angenommen
während der Zeiten <i» <a, ^..-^sn—i, mit einer Geschwindigkeit,
welche die Masse hatte am Anfange eines solchen Bogens.
Folglich moss, wenn man na od setzt, die Summe li-f^-f-^
— -I- lsii.i = iT sein.
360 Matthew: Elementarer Betteis des volUtändloen Ausdrucks
Der kleine Bogen de wird in der Zeit tn durchlaufen ; ed ood
cb werden respective in den Zeiten tn-i» U-^-i zarOckgelegt; ft
und ba in den Zeiten tn^^, tn-{-2f u. s. w. Man findet diese Zet>
ten, wenn man die Länge der Bogen durch die Geschwindigkeit
bei'ni Anfang dividirt.
Diese ist
bei rf =^V(gh);
„ . und c = ^(^gh) und ^ ('^%»)j ]
.•^.. » =V(^V) •• VC-fV>
FGr die Länge der Bogen bat man:
ed _EDxl'.eß_..j f_«_^__L__t
c6 ~CBx/:cC~*\ U(n±') , n±\ Af'
*~ 2n "2/
/■e _BExhfF _ .1 {hl 1 >
1 "■"" <^ • V%«
2n '2/
also:
•-»•2/
'~ 2n "2/
2« 2/
somit :
'• = äVC')"-«a'-'
=sva)"+'» ^o»a)"-^^»(4)ViMn
/dr die Dauer der Pendettchwingimo"*-
gl» :
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•lt!=]r»|r 7 ]-!«|r!°|r i
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:+ MI — K
iF+ + +
j«l a. »I t» oji «
15
21 a- gl »•
+ +"
362 MattheB: Elementarer Beweis des vollständigen Ausdrucks
Die Anzahl Zeitwerthe (1), (II), (III).... (N), dereo Summe
maB zu nehmen hat, \%i offenbar =n, und diese Somme bekommt
man als Function der Potenzen von ör^ ^i® ^^ ^^^^ gehört Eis
bleibt nur noch übrig, die nemlichen Potenzen zusammen zu fos-
sen, in der Voraussetzung n=i cfi, dass die verschiedenen Glie-
der der verlangten Reihe herauskommen.
3. Man findet:
Erstes Glied =y (^) {^,^(««^1) * V(«^4)- V[nM«-l)l}
1 1 1.3 1 I.3.S 1
1 4 . 1.3 16 . 1.3.S 64
+ « + **n» + 2.4n» + 2.4.6'n' + —
j. * . 1 («-»)', '3 {n-\)*\SS (ft-1)« i
+S+*- n» '2.4* n» +2.4.ff n'^ "•"-)
/\(2n-l . , 1 -1-2« -t- ...(»— 1)«
L3 l-^2H-.•^^-(»-l)*. 1.3.S H-2»-f...-Kw-l)« . I
■*"2.4' «• ■'■2.4.6' i? +~|
L 3^ ^ l
■»■2.4.6 V'" — )
=VG>>+**+*o+*-2^5+-~''
flir ftsoD
=WG>
ZweitesGUed =4«^ ©•^*>*(s)-
für die Dauer der PendtltdMingungeH,
■s -e.
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364 Malthes: Veber die Dauer der FendeiscAwfngnpffen*
•59
II
II
II
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CQ|<^
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I
I
n.
I
Vtbungtaufyatt» f^r SchÜUr.
XXVIII.
Uebongsaargaben für Schüler-
Hit Being auf Taf. II. Fig. 2., wo ABCD ein beliebitt«B
Viereck sein kann, findet zwischen den durch a, a'; b, b'',c, e'
bezeichneten Geraden immer die Relation;
(a* a'* + Ä' *'» + €" c'«) (a* + o" + 6» -f 6'* + c« + c'«)
= 2(o*a'«+a'*a*+6*6'«+i'*A« + «*c'«+c'*c«)
+ a«6*e* + c«*'«c'« + a"A»c'« + a"f*t*
.Statt.
M. Collins, B. A.
Wenn Sk die Semme der Aten Potenzen der Glieder der
Reibe 1, 2, 3, 4 n bezeichnet, eo ist;
«■+1 =(» + !) &-
1.2 *■-
.. + !!
+ i)»<ii-i:
1.2.3
's.-.
(n+1),
.(n-l)(«-
■2)^
-. + ....
1.2.3.4
J Wi
Uon.
Ea lat I. B.
I>=l = 9.$,
-?Jsi, = 2.1-J
1.1 =2-1.
• = 8 = 3. S,-?^S, + j^Si =3.11-3.3 +
3«s=8l = *-^— i72*t+i72;;3^~0
= 4.36—6.14+4.6—1.3
= 144—84 + 24—3.
366 MiscßUen,
Angaben von Herrn Oberlehrer Dr. W. Stammer an der
Sealschule in Düsseldorf.
Autjgahe ans der Stereometrie«
Ein Tetraeder zu konstrairen, in welchem die gegenilberlie-
genden Kanten senkrecht auf einander stehen , wenn gegebe^ Ist
entweder eins der vier Dreiecke oder eine der vier EU^ken.
Aufigabe ans der Wabraelietiillelikeltfl-Reeliniuif^.
Die 104 Karten von zwei Whistspielen werden in 13 Haaf«^
zu je 8 Karten gelegt. Welches ist dann die Wahrscheinlichkeit,
1) dass ein bestimmter Konig oben au liegen kommt? (l)
2) dass ein bestimmter Konig allein oben liegt und kein
zweiter KOoig? (zwischen tV nnd ^4^)
3) dass Oberhaupt ein KSnig (oder mehre) oben liegt?
(zwischen } und H)
M i 8 c e 1 1 e n
Schreiben des Herrn Conrectors Dr. Bermano am Gymna-
siom in Liegnitz an den Heransgeber über den Satx»
dass die Höhendarchschnitte der vier Dreiecke des voll-
ständigen Vierecks iu gerader Linie liegen.
Dass die HOhendnrchschnittspnnkte der vier Drei»
ecke des vollstSndigen Vierseits in gerader Linie lie-
gen, Ifisst sich auch folgendermassen ganz elementar darthon.
MitceUtn. 307
Von P in Taf.ll. Fig.3., dem sTFeiten OnrcbschnittspDDkt der
den bCBagten vier Dreiecken nnischrrebeneD Kreise *), ßüle man
auf die Seilen nnserea Vierseits ABCD die Lothe At, Pß, Py, PS.
Dann liegen, wie leicht ersichtlicb, nach einem bebannlen Satz
die Fusspuaicte v, ß, y, 6 In derselben Geraden {L). Sind nnu
H, Bi, a,. N) die UShendurcbechniltHpiinkte, ao ist z. B.
Py=HR = H,Fi; denn H*=jtfiV, ff,«, =flf,iV„ weil ^iVCF,
wie iMcbt nachweisbar, doreb CD, N^DHi durch DF haibirt
wird **}, nnd wenn man S|5diirch P parallel FC zieht, ^RMy
^ SPli, indem Z PNS=i PCE (Peripheriewinkel auf Bogen />£),
^RyM=^R- PCE, w«il C, i, y, P in der Peripherie eines
Kreises liefce». =lR — PI«E = TfPS; dann ist also RM = Sllf,
Py=Sia = MN-NS=UB-MR=RH nnd analog Py=iR,Ht.
mithin, da RR^ nichts anderes ata die Linie (X.) ist, Hfff parallel (L)
nnd Ton P doppelt so weit aJs letztere entrernt. Da ein Gleiches
sich ebenso von der Verbindungslinie zweier beliebiger der vier
Höbendarchschniltapnnitte erweisen ISsst, so liegen diese in der-
selben firaden iL'), die von P doppelt ao weit als (L) entfernt ist.
Benierknngeti über die Krümmangsradien der Kegelschnitte.
Von H«rni Profeiior Dr. Ligowiki in Kiel.
Ist P ein Punkt einer Parabel, « der sugehSrige Brennstrahl,
dann ist, wenn die Tangente durch P als F-Axe und der Darch-
niesaer dorch diesen Pnnkt als J^- Achse genShIt wird, dieGlei-
chong der Parabel bekanntlich:
y« = 4fx.
Konstrnirt man einen Kreis, in welchem 3^ Sehne ist nnd die
F-Axe Tangente wird, dann ist, wenn R der Radius dieses
Kreises und u der Abstand der Sdine von der Tangente lat:
,« = w(2R-ii).
Beseicbnet man durch 7 den Winkel zwischen den Azen, sn
*) Der bekannte Sati. dBM die Tisr Kreiao lieh
ten Punkt« irhnelden , kHnn la folgender Weiae darg
siehe Pß, PC, PD, PF. %o in Wioliel FPD^FBfl,
alM FPn\DPC oder FPC'=-iR~A\ analog BPl
das SB BeweUpnde folgt,
••) Da Winkel NCD =■ HED =. Uva.
368 Miscelien.
u
Darch Einführung von x und y in die Gleiehnng der Parabd
erhält man:
4p
2Ä — M=:
Sin 9
Für u=0 wird der oben Iconstruirte Kreis der Krfimnangskreis
des Punktes P, demnach ist, wenn r der KrOmmuDgaradius ist,
2o
r -= -; — » also ist auch : 212 — a = 2r.
sin^
Diese Gleichung giebt folgenden Satz:
Konstruirt man über einer Parabelsebne einen Krat,
welcher die der Sehne parallele Tangente berOhrt, dann
ist von dem Durchmesser dieses Kreises, welcher seok-
recht zur Sehne steht» der, der Tangente abgewendete
Abschnitt gleich dem Durchmesser des KrSromungskreises,
welcher dem BerGhrungspunkte der Tangente entspricht
Sind A und B ein Paar conjugirte Halbmesser der Ellipse
oder Hyperbel und tp der Winkel zivischen beiden, dann ergiebt
sich durch dieselben Konstruktionen, wie bei der Parabel» der
Krümmungsradius für den Scheitel des Durchmessers ^A :
r = -T—* — •
dsin^
C T unert Analpt. EtUKicket. der Befüngune. atial. Syttemt t. PunHl. Z
Vollständige analytische Entwickelung der Bedingungen,
welche erfüllt sein müssen, wenn ein System von Punk-
ten, an dem Kräfte wirken, astatiscb sein soll.
Von
dem Heraiisge.ber.
(Figuren anf Tnr, VI. nnJ Taf. VU.)
Einleitung.
Die Entwickelnng der Bedingnnf en , welche erfüllt »ein mOs-
HGD, wenn ein System von Punkten, an dem KrSfte wirken, asta-
tiMch sein soll, wie man dieselbe in einigen Werken Ober die
Statik findet, acheint mir rCckeichtüch der Slrenjse, Allgemeinheit
und analyti«icfaen Eit^^anz noch Vieles xu wünschen Gbrig la l&a-
■eu. Deshalb habe ich in der vorliegenden Abhandlung eine neue
volInlSndige Entwickelung dieser Bedingungen zu geben reraucht,
welche in allen ihren Tbeilen einen vorzQglich rorlheÜhanen fort-
wSbrenden Gebrauch von den allgemeinen analytischen Relationen
macbl, welche ich in der Abtheilung I. in Hyutematiacher Folge
znsammengestellt habe, und auf die ich mir daher Rchon hier
besonders aufmerksam su niachei) und hinzuweisen erlaube.
I.
Relationen.
Wir werden in dieaer Abhandlung vielFi
gewissen GrSseen machen, awlschen denen
tionen Statt finden, welche im Folgenden gl
Wendung finden werden ; detthalb wird es swei
Relationen hier zuerst zusammenzustellen, i
Entwickelungen auf dieselbe» verweisen zu
Thiil XLIX.
370 Grunerl: Analytische Enlwichelung
die im Ganzen keiner Schwierigkeit nnterliegenden Beweise die*
8er Relationen fast ganz dem Leser auszuführen überlasaen.
Wenn wie gewöhnlich *)
Kräfte bezeichnen« ihre Angrifiispunkte durch die Coordioaten
^o> yo» *6» ^i> Vi* H\ *«» y%t Hl ^9» ys» «t5-—
bestimmt sind, und die von einer der beiden Richtungen ihrer
Richtungslinien mit den positiven Theilen der Axen der x, 5, z
eingeschlossenen, 180^ nicht dbers teigenden Winkel durch
«o> ßo. yo; ^ifßi>Yi'f ^» ß%» Y*'> «s»Ä>r8;--
bezeichnet werden; so wollen wir, indem
P; a, y, z\ a, ß, y
allgemeine Repräsentanten der vorhergehenden Grössen bexeidi-
nen, im Folgenden
L = Pcosa, M^Pcosß, 2V = Pcosy
setzen, und dann weiter die folgenden Bezeichnungen einföhren»
wobei man nicht übersehen wird, dass man in dieser ganzen Ab-
handlung zwischen schief stehenden X, F, Z und gerade stehen-
den X, Y, Z wohl zu unterscheiden hat:
h
Yim = £L. 2;%— ZM.ZLy,
Zim = £L. EMz — ZM. Zla ;
JK«»= EM.ZNx-ZN.ZMx,
F««,= ZM.ZNy-^ZN.ZMy.
Zmn = ZM. ZNi — ZN. ZMz ;
Xmi = ZN. ZLx - ZL. ZNx,
Yni^ ZN.ZLy-ZL.ZNy,
Zni= ZIS, ZLz — ZL. ZNz.
11.
Xim = ZLy.ZMz — ZMy. ZLz,
Yim = ZLz . ZMx-- ZMz. ZLx ,
Zim = ZLx.ZMy-^ZMx.ZLy;
«) Ich Terweite «n für aUeMal auf roeifleAlihandl.Thl.XLVl.No.\lIL
der Bedingungen aatatUcher Systeme von Punkten. 371
X«»= ZMy. ZNz — £Ny, ZMi,
¥««=: ZMx.ZNx-'ZJSz.SMx,
Z«. = EMx. ZNy — £JSx, EMy ;
X«/ = ZNy. ELz — -TLy . XiVz,
Yni = -SiVr . -SXo:— XLx . ZNx,
Zni = £Nx.£Ly^£Lx.ENy;
wo die Bedeutung alier SommenzeicheD ganz von selbst erbel-
len wird.
Zwischen diesen durch
Ximf »im, Zim'f ^mut 'rnn» Znmy Xnlf l»/» Zni
und
X|m9 Yim» Z/an; Xnm, Yta«, Zmi»; Xfü» Tu/, Zu/
bezeichneten Grössen finden nun die folgenden leicht zu bewei-
senden Relationen Statt:
III.
£N.Xim+£L.X^ + £M.Xni = 0,
ZN. Ylm+ZL. r„m+£Jlf. Yni = 0,
JSiV.Z/in+ ZL.Zmn + -Süf.Z«! =0.
IV.
ENx.Xlm^ £Lx.Xmm+ZIUx.Xnl — 0,
SNy.rim+ £Ly.rmn+£My.rni=^0,
£Nz . Zum + £Lz . Z««+ 2:^2 . Zw = 0.
V.
-SiVy .X/m + £Ly. Xmn + ZMy.Xni = 0,
JSiVor.Z/«, + ^L:r.Zmii + ZMx.Zni = 0.
VI.
2;iV2 .X/„+ ^L2.Xm«+-SÄ2 .x,a = 0.
2Nx.Yim^£Lx.Ymn+ ZJUx.Ynl = 0,
2;iVy .Zim + 2?iy .Zmn + 2!%. Z«/ = 0.
VI!.
SLx.Xim + £Ly.Yim-^£Li.Ztm = 0,
2;il/a:.X«„+2;%. Y,mi + -Silfi.Zm« = 0,
-SiVar . Xni -f £Ny.Y„i + ZNz.Zni = 0.
25*
372 eruneit: AnatpaKie EiiMekilttng
VIII.
i;«i.x,.+ i%.yi. + i»,.zi. = 0,
iJV».X..+ iiV}.Y„ + iAr..Z.. =0.
i£i.X,f +£4j.Y.i ^^l^Zia =0.
IX.
Nach I. ist:
XlmXl. ^ Fl. Vf. + Zlmlt.
= (£L.£lllx — £l«.£Lx)\im
+ (XL. ZlUg — Xitf . XLy) Th,
+ (XI. X«. — X« . Xli) Zi,
= Xl.(X«».Xi. + X«j.Yi. + XAI..Zi.)
-X».(X1j:.X». <-Xi,.Yi.+ Xi..Zi»).
also nach VIII, and VII., zugleich mit gehöriger Verlauschuiiit
iler Zeichen:
X,. X/. 4 Fa. Yi. + Z,. Z,. = 0,
Xm.X„ i- r„Y_ + Z_,Z„ = 0,
Ai X., + r« Y., + Z,a Z j = 0.
X.
XL* .X„ + XL».Y„ + XL. .Z_,
= X«*.X.j + X%.Y.i + XA>i.Z.t
= XÄ» .Xa. + XJVy.Ya. + XJV..Z1,.
XI.
*.F„- r„A_= X«.(XL.Z„+X«.Z,j+XJV.Za.),
KbZ.. -Zl.)'„=:X«.(XL.X,„+XiH.X,l4^XA'.Xb).
Ztw,Xmm~XbmZ^= X«. (XL. Y,.„+ XJf . Y^+ XiV. Yb,);
■(•.F.!— F..X.i= XJV.(XL.Z.,+ X«.Zu4XA.Zi.),
" ~ z„F,,= xw.(xi x.,. + x«.x.i+xa.Xj,).
X„ 2.1= XJV.(XL.Y™+ Xa.Yj+XJVYi.):
y,iXi. = xI.(XL z™ + x«.z./+ xjv.Zi.1.
Z,iFi„=XL.(XL.X„ + XiW.Xj + X/V.X».).
X«iZi. = XL.(XL.Y..H- Xif.Y,/ f.X/V.Ya.},
fler Bedingungen asiatischer Systeme ton Punkten, 373
XII.
iNi.'irh 1. lind Xi. ist:
^Im ( • UM Znl — Zm% ' w/)
+ ZNiZL.ZMy— 2M.2Ly)(i:L.Y„^+£M.Yni + ZN.Yim)
^ 2K.(2L. ZMz — SM. ZLi) {ZL.Zmn + EM,Zni^ZN.Zim).
Der Factor von SN lässt sich offenbar auf folgende Art dar-
a^telleii:
ZL. ZL.(ZIUx.Xnm + ZMy,Ymn + ZMz.Zmm)
+ ZL.ZM.(ZMx.Xni + ZMy.Y^i + -rüfx.Z«/)
+ 2L. i:iV.(2:y|far.X/m + ZMy.Yim + -Silfz.Zi«)
— 2;i»f.2;L .(2:Lj:.X«, + -SLy.Y«« +2:/.2.Ziw.)
— 2:ilf.-Si^.(2:La:.X„/ + -TLy.Yn/ + l^Lz.Z«/)
— 2;Ä.2;iV.(2:La:.X/m + ZLy.Yim + ZLz.Zbn),
lind %^^ii nun nach Vll. und VIII.:
ZMx.Xmn + ZIÜy.Ymn + ZMz.Zmn = 0,
2;;!lar.X/m + ZiVy.Ytm + Z/ifz. Zhn = 0;
ZLx.Xni -i- ZLy.Ynt -i- ZLz.Znt =0,
^L2:.Xi,„ + ZLy.Yim + -21-2. Z/m = 0;
und nach X. :
ZUx.Xni + ZMy.Yni + ZMz.Z^i
=: ZLx.Xmn+ ZLy.Ymn+ ZLz.Z
mn
ist; ffo hat man offenbar die folgenden Relationen:
V 'j
374 G runer ti Mialytiscke Entwickeinng
Xlm( Ymm Zni — Zmu F«/)
+ Tlm(ZmnXnl — XmnZnl)
+ Zlm{Xmn Ymi " Tttm Xnl)
= Xmn ( fnl Ztm — Znl Tbn)
+ Ymn^ZnlXlm'^XnlZtm)
^ Zmn(Xnl Tim — TniXim)
= An/ ( Yim Znm "" Zlm YmiO
+ YnliZlmXnm — XlmZmn)
+ ZnliXlmTmn— Yim Xmn)
= 0.
XIII.
Nach XI. ist offenbar:
Ximi YmnZnt- Zmn Yni)^ Xmu{ YnlZbtr-Zni F|m)+Xiii( YlmZmn-Zim F»,)
= (2L.Xmn+ £I^.Xni+ £N.Xün)*,
yim{ZmnXui'-'XmnZnl)-i-Ym»(ZnlXlm—XnlZlm)-i-Ynl(ZtmXmn—X4mZmMi
= (£L.Ymn + ^M.Yni + 2:iV. Y/«)*,
Z/m(Amii Ynl- YmnXHl)-{^Zmn(Xnl Yim" YnlXlm)^7^ni(Xim Ymn- YimXjmi)
= (ZL.Zmn + 2M.Zni + £JS .Zim)*.
XIV,
X/„.Y™n- Y/mX„.„ = 2Mz.(2JUa:.X„i+ ZMy.y^^ SMi.Z^),
YlmZmn - Z/«Ymn = SMx .{ZMx.Xnl \ 21^^ .Ynl + SMz.Zni),
Zun Xmn ~ X/mZmn = 2My,{ZMx.X^l + EMy.Ynl + l^i^I- Z«/) ;
Xm« Y„/ - Ym« Xnl = -SiVx .(2:jy:r.Xfa,+ -TiVy. Yto + SNz.Zbm).
Ym, Z„/ ~ Zm« Y„/ = 2Nx,(2ISx. Xim + 2Ng.Ylm + ZlSx.Zbm) .
Zmn Xnl — Xmn Znl = 2Ny . {2Nx . X/m + -S/Vy . Yfa, + 2;^2. Zfa.) ;
Xnl Yim — Y«/X/i„ = SLz.{2Lx.Xmn + 2?Ly.Ymii+ 2Lz, Zwm),
YniZim - Z„/Y/m = 2L.r(2;Lar.Xm« ^ £Ly.Ymn + 2Lz.Zmm),
Znl Xlm — X»/ Z/m = 2Ly.{2ljX ,Xm'i + -^Ly.Y»«, + 2:Lz. Z«ni).
rf*r ßmllnguiigen asiatischer Sifslerne mn Funklfn. 375
XV.
= (iiVi.Xi.+ iJV}.Yj.+ iWj.Zj.)«,
X_(Y jZi.-Z«Y„) + Y..(Z.Äi.-X.,ZU + 2..(X,jy^- Y.,X»,)
= (ZL;r.X„ + ity. Y™ + Zi..Z™)«,
X,u(Y»:Z-,-Zl.Y„)+Yj(2i.X..-XtZ„)+Z.rtXi.Y„-Yi.X_)
= (iAf:r. X,i + SlUg.Yni + ZMt.Z,i)*.
Alle drei tirSssen sind natürlich einander gleich, wobei auch
X. zu vergleichen ist.
XVI.
= l(it)« + (£«)' + (£JV)'ll(£ti)» + (£««)>+(iiV»)«|
— iZL.ZLx^SlU. SMx + £K.£Nx)*,
( yi-)« + ()"-.)• -KF.!)»
= 1 (£L)»+ (i«)" + (JEiV)'l I (iljl)H (i«,)'+(£JVj)«l
— (Zl.ilj + i«.Z/»j+ iW.IJVj)',
(Z,.)' + (Z..)' + (Zw)'
= K-SI-)' + (ijW)' + <-SiV)'l l(iir)' + (i«0' + (iWr)'l
— {SL.Zti + £M.ZMx + ES.SSi)^.
XVII.
(Xi.)' + (YW + (Z,.)'
= K-St»)' + (£%)' + (£iO'l l(^«Jr)'+ (iWjj' + ti"')'!
-i£Lx.2Mxi-£Ly.Z«g+ ZU.SMt)*,
(X„)'+(Y™)' + (Z„)'
- (Z«a: . .EiVÄ + imy . SKj/ + i*t. £JVr)«.
(X,j)« + (Y,j)> + (Z^)«
= \(Xrix)'+(i:flg)' + (iff!)«l KU:!)" + (««)'
— (Zffj;. £I.:c + £Ny. ZLy + XiVi. £Li)»
XVIII.
Well
376 Grünen: AmtipitKät Snütlcktlum
££:c.(£/,.X_ + £«.X.i4^£lV.Xi.|
+ ELy.{i:L.V„ + iH.Yj + iff.Vi.)
= ££.(£L>.X„fi;%.Y„4^£Li.Z„)
+ S».(£/.».X,j + £lj.V., + it..Z.i)
und nacb VIII. und VII.:
ii*.Xj tily.y., + i;ii.Zw =0,
ist, so hat man, su);leich mit nehuriger Vertaaschanft der Zeicbea,
di« folgenden Relationen :
£L3:.(£L.X_4^£«.X.I +£IV.Xi.)
+ Xi}.(Zt.Y„ + i«.Y.i +£ff.Yi.)
+ £ti.(iJ[,.Z.. + i».Z.i +£W.Z/.,)
= ZL.(Z£2:.X„+Z£9.Y„4-££i.Z,m).
iM».(ii.X„.ti».X,l +ilV.Xi.)
+ £%.(JEt.Y„+i«.Y., +i;A.Yi,.)
+ £«:.(.£I..Z„ + £«.Zm +£W.Zb)
= ij».(i*;i-.Xj + 2«j.Y.I+i«..Zj),
XiVi.(2Z,.X,.„ + 2:*.X./ 4-£A.Xj«}
+ £Ks.(£Ij.Y„ + 2W.Y.1 + i/V.Yi.)
+ £ff..(2l.Z„. +2W.Z.1 +£iV.Z/.)
wo naeh \. die drei GrSaaen:
ZMii.XM + .£%.Y,t 4^ £«i.Z.i,
2iV.r.Xi. + 2%.Yi. +iÄ,.Zi,
einander gleich sind, und also jede derselben in alle drei obige
Gleichnnsen eingeftlhri rrerden kann.
XIX.
irei Relationen IX. kann man aaeh noch die folget'
en;
Jiri.xi„ ^ ri.Ti.4^ Zi,>Zi. = 0,
/Irr UeilltiBititnen osHtltüchrr Sysitmt ran PniiUen. 377
= -£!«. li:Lx.X„^£L).Ym,i^£U.Zm.),
Jr„X<.+ n.Ti.4Z-Zl.
= !;«.(£«». Xi. + iÄ'j.Ti. > aVj.Z,.),
X_, X„ 4^ I'„Y_ 4 Z„Z„ = 0,
A„X.i+r_T.,fZ_Z.,
= - zw. (Z»i . X.f + £«j . y.i + £«! . Z.i) ;
XiXtt. + l'^Yi. I Z.iZt.
= - £l.(£JV.r.Xi.+ £Äj,.Ti.+ i;iVi.Zi.),
x^x„ ^ r,iY„ t z,iz„
= £ff.(£I.x.X„ f fl^.T» -f £I.i.Z„),
Jr.iX^ + I'.;V., + Z.,Z., = Ol
iTO wieder zD beachten ist, daiie BBL-h X. die drei (■rSeaen:
SLx.Xm»-^ SLy .¥«.+ ZLi .Z«,
£«2.X,i +£Afj, Yw +£Af:.Zd,
^JV3^.Xi-+iiVs.Ti. +2ff..Zi.
unter einander gleicli sind.
XX.
Zd den drei Relationen IV. Itann man auch noch die folgen-
deo hinzunifEen:
zLx. r„ + SMi. r,ü + av». r,,
= - (SL.Zmi, + ZM.Z^ + "" ~ -
ZLx.Zmn-^SMx.Zrd-iS'
= £L.Y„ + £JI.Y,i + J
£L)i.X„ + ZIII).X.,^£
= £Z..Zw. 4 £itf ■ Z«/^. £J
iiä(.z_i+r»,.z., + i;,
= -(£L.X„+r».X,,i +
378 Grüner t: Analytische Entwickelung
ZLz. Xnm + EMl.Xnl V 2ISz,Xim
= - {EL.Ynm + -S^.Y„/+ -SiV.Yfa,).
-sLx. Y„^ + 2;ii!f2. Yni + l:^x. n»
17I.Z. Z»M + SMz.Zni + ^iVi. Z/m = 0.
XXI.
ZLy,Zlm — ELz.Yhn = EL *Xhn%
ZMy. Zim - -S^x. Yim = -Si^.Xip,;
ZLz^Xim ^ZLx,Zim = 2?L.Y/m,
ZMz.Xum —ZMs.Zlm = ZJU.Ylm'f
ZLx. Ytm "SLy.Xim = 17L.Zfa.>
zyi/a:. Yim — ZMy.Kim = -SÄ.Z/m;
^.Vz.JT»« — i:Är.Z„, = 2:iV.Y„«;
ZMx. Ymn — ZMy.Xmn = EM ,ZmfHy
ENX. Ymn — ElSy.Xmn = 2:iV. Zmn ;
2?^^ . Zmn — -SMi . Ymn = ^^ • X»,«.
ENy .Zmn — ENz. Ymn = EN.Xmn\
ENx. Yni —ENy.Xni = EN.Zni,
ELx. Yni - ELy.Xni = EL.Zni;
ElSy . Zni - 2;iV2 . Yni = 2:Ar. X»/,
ELy.Zni --ELz.Yni — EL.Xni;
EJSz . Xni — l^A^a:. Zn/ = EN. Y„^
^£«z . ^n/ — ELtx . Zn/ = EL . Yti/.
n.
Allgemeine Bedingungen fOr asiatische freie Systeme
von Punkten.
§. 1.
Ein. System von Punkten , an denen beliebige Kr&fte wirken.,
der Btdlnffungen aitalisc&er Systeme von Ptinkten- 379
beiast asiatisch, wenn diene KriFle unter einander im Gleich-
geirichte aind und im Gleichgeivichte bleiben, in welche Lage
man auch da» System der Punkte bringen mag, unter der Be-
dingung jedoch, dass in allen Lagen des Systems die Kr&fte
selbst und ihre Richtungen ungelindert bleiben.
Die nothwendigen altgemeinen Bedingungen fOr ein astatisches
vüilig Treies System nullen wir nun im Folgenden aufstellen, in-
dem wir f^r die an den Punkten des Systems wirkenden KrSfte,
die Coordinaten ihrer Angriffspunkte und die Bcstimmungswinkel
ihrer Richtungslinien üherati den früher eingeführten gans ähn-
liche, und deshalb ohne »eitere Erläuterung für sich veratfind-
licbe Bezeichnungen gebrauchen werden.
Wenn in Bezug auf ein beliebiges festes rechtwinkliges Coor-
dinatensyslem die Coordinaten im Allgemeinen durch r, t). } be-
zeichnet werden, so sind ftir beliebige, an einem freien Systeme
von Punkten wirkende Krfifle die nolhivendigen Bedingnngsglei-
fhungen fCr den Znstand des Gleichgetvirhts bekanntlich:
znax-Ln) =0,
S{ISxt — Mi) =0,
z{i,i -m =0;
welche Gleichungen also als erfGlIt vorausgesetzt werden.
Wenn man das System der Angriffspunkte der KrSfte paral-
lel mit sich seihet verschiebt, natürlich ohne die KrSfle und ihre
Richtungen zu Bndem, so werden offenbar die gleichnamigen
Conrdinaten aller Angriffspunkte gleiche Veründerungen erleiden,
welche wir durch o, A, c bezeichneh wollen, und die notbwendi-
gen Bedinguugsjileichungen für den Zustand des Gleichsewichta
bei der neuen Lage des Systems sind also nach den
Gesetzen der Statik:
ZL = i\. £ia = 0. 219=0;
i|iV(6+i))-W(c+i)i=0,
380 Cr UV er t: Auttly tische Entwh'Helnng
nSM — bZL + Sim—Lxi) = 0,
cZL — fl2;2V+ £(L} - m = 0;
folglich wegen der drei ersten Gleichungen:
welches dieselben Gleichungen sind wieidie, von denen wir aus-
gingen. Da nun diese Gleichungen erffillt sind» so sind die
Kräfte offenbar bei jeder parallelen Verschiebung des Systems
ihrer Angriffspunkte im Gleichgewichte, was sich flbrigeos auch
ganz von selbst versteht und nicht einmal unbedingt die vorher-
gehende Auseinandersetzung erfordert hätte.
Von solchen blossen parallelen Verschiebungen der Systeae
werden wir daher auch Oberhaupt im Folgenden nicht weiter reden,
sondern nur von Drehungen derselben , wie wir sogleich weiter
^sehen werden.
5.3.
Es sei nun (artr) ein beliebiger fester, in Bezug auf das
System der X, t^, } durch die Coordinaten «, v, w bestimmter
Punkt Im Räume. Durch diesen Punkt legen wir ein beliebiges
rechtwinkligstes Coordinatensystem der x, y, t, welches in dem
Systeme der Angriffspunkte der Kräfte als fest gedacht wird ond
sich mit dem Systeme der Angriffspunkte dreht, wenn dieses
letztere, ohne die Grossen unV) Richtungen der Kräfte zu ändern»
um den Punkt (uvw) beliebig gedreht wird.
Wenn nun ftlr alle Drehpunkte und alle Drehungen des
Systems der Angriffspunkte um dieselben die Kräfte sich im
Gleichgewichte beßnden, so finden fllr alle Drehpunkte und alle
Drehungen des Systems der Angriffspunkte nach den allgemeioen
Gesetzen der Statik und nach den allgemeinen Formeln der Lehre
von der Verwandlung der Coordinaten mit Anwendung allgemein
bekannter Bezeichnungen die folgenden Gleichungen Statt:
tter BtüiiigtmgeH ttiittiltcker spiume eon Punhlen,
I Ä[«+«co«(ji)+yc<i«(ifsr)+ico8(yi)] i
l — L[D-fa?co8(tfjr)'f-yco«(Q^)-f:cos(i}i)J '
^ j ff [r +«coB(lja:)+3rco«(ljj) +:co8(flj)] \ ^
t -JV[«+;rcf.s(Tx)+yco*{r#)+ico«(«)] *"
also :
Kj'Jif tl-fli I
-f cnB (rx) . ^M« -|- CUM (Xg) . S.Vg + cn« (ri) . ■S'jtfi > = 0 ,
— CO« {u jf) ■ SLx — cu» (t)jf ) . ^Lg — cos (tu) . 2Lx )
vSSS — tojM \
— CAH (^} . 2Mx — CO« (}y) . Xtf jr — coa (ji) . 2iUt )
— co«(ra:).2'JVa:— C08(|'y).-2'Ay — coa(n)-'Sffz |
lolglleh wegen der drei crBlen Gleichungen:
CO« (rar) . JÄj; + coB (rj). J*y + CM (xi) . -^j** >
=0,
COs{ltj).JA'a;+Cu8(lJj). JjVy + cnBCflO-^ff* 1 _i,
— coB f}x) . JJVx— cos (}jf) . 2My — com (ji) . Jjf * J
CM (f^) . -72^ -f cos (}y) . -^I^ ■(- cos (f t) . ^.
— cos ijx) . ^Nx - cos (Ijf) . J'iVy— CM (JW) . Jj
Man bringe nun das System dei Angriffspunkt
in ein« solche Lage, dass der positive Theil der ,
gerichtet ist mit dem positiven Theile drr Axe d
bar immer müglich ist, und drehe hierauf du
griffeplink le uro die Axe der i , his Her positive
der X gleich gerichtet ist mit dem pnaitiven The
r, WS8 offenbar wiederum immer möglich ist Dl
382 Grunert: Analytische Entwickehmg
zwei Fälle eintreten» indem der positive Theil der Axe der jf
gleich gerichtet sein kann entweder mit dem positiven oder mit
dem negativen Theile der Axe der 9. Jeden dieser beiden Fälle
wollen wir jetzt besonders betrachten.
I. Wir nehmen an» dass man das System der Angriffsponkte
durch Drehung in eine solche Lage gebracht habe, dass die posi-
tiven Theile der Axen der x^ y» % gleich gerichtet sind mit den
positiven Theilen der Axen der r» 9« 7. Dann ist offenbar:
cos(ra:) = 1 , cos(jr^) = 0, cosdri) = 0;
cos(i)a7) =: 0, cos(t;jy) = 1» cos(i9z) = 0;
co8(;a:) = 0» cos(f^) = 0, cos(f2) = 1;
folglich nach dem Obigen:
ZMx—£Ly = Qy
SNy — ZMx = 0,
ZLi "ZNx^O.
Nun drehen wir das System der Angriffspunkte um die Axe
der Xy bis die positiven Theile der Axen der y, z gleich gerich-
tet sind mit den negativen Theilen der Axen der 9» j,.was offen«
bar immer möglich Ist; dann ist;
cos {xx) = 1 , cos (ry) = 0, cos (iri) =s 0 ;
cos(9a?)^0, cos(%)=:— l, cos(9z)=0;
cos(fa:) =0, cos(jy) =0, cos(j2) = — 1;
folglich nach dem Obigen:
ZMx + ZLy = 0,
ENy — 2M% = 0,
Endlich drehe man das System der Angriffspunkte in seiotf
ersten Lage um die Axe der y» bis die positiven Theile der Axea
der or, % gleich gerichtet sind mit den negativen Theilen der Axe»
der X* "ii vi^as offenbar immer muglich ist; dann ist:
cos (ra:) =— 1 , cos (}iy) = 0, cos (jr*) = 0;
cos {t^x) = 0, cos (t)y) = 1 , cos {Xfi) = 0 ;
cos(|j:) = 0, cos(jy) = 0, cos {}%) = — 1 ;
folglich nach dem Obigen:
der eed/MBingen aataütcher Su^lemi eon Punklen. ^'A
zsy + zm = 0,
zu -£Nx=0.
Aus diesen drei Systemen von (ileicbungen folgt durch Ad-
dition und Subtraction :
ZJUx = SLs = 0,
ZNg = £Mi = 0,
£Lx =Sl>lx = 0.
Folglich sind unsere allgemeinen GleicbniiKen :
c<m(jcs). ZMs -cnaittx).£Lx = 0,
cos (1,1) . JEJVi - CO« öj) . ZMg = 0.
cos(}x).£Lx~coa(xx).ZNi =0.
Nun drefae man das System der Angriffspunkte in seiner ersten
Lage um die Axe der t, bis die positiren Theiie der Axen der
'> S gleich gerichtet sind mit dem positiTen und negativen Theile
der Axe der if, j; so ist:
cos (jj) = — 1 , cos {tfx) = I ;
also nach dem Obigen:
SMy + £Lx = 0.
iheht man aber ferner in dieser Lage das System der Angriffs-
pankte um die Axe der x, bis der positive Tbeil der Axe der s
gl«cb gerichtet ist mit dem positiven Theile der Axe der x; so ist:
co8(jrf) = 1, coH(l)ar) = I ;
also nach dem Obigen:
ZXy-£Lx = 0.
Aus diesen beiden Gleichungen folgt darch Addition und Sub-
traction :
Dreht man das System der Angriffspunk
Lage um die Axe der x, bis die positiven T
y> I gleich gerichtet sind mit dem positiven n
der Axe der f, q; so ist:
cos (tfi) = — I , cos (ft/) = I
also nach dem Obigen :
£Nt -f £jtfy = 0.
384 Grunerf: Aiutlpitsche EtHwickeiung
Dreht man aber ferner in dieser Lage das System der An-
griffspunkte um die Axe der //, bis der positive Theil der Ax«
der i gleich gerichtet ist mit dem positiven Theile der Axe dar
9; so ist:
cos (t^x) = 1 , cos (jjf) = 1 ;
also nach dem Obigen :
Aus diesen beiden Gleichungen folgt durch Addition und Sab-
traction :
SKx = HMy = 0.
In seiner ersten Lage drehe man das System der AngrifliB-
punkte um die Axe der y^ bis die positiven Theile der Axeo der
Zy X mit dem positiven und negativen Theile der Axen der jr. |
gleich gerichtet sind; so ist:
cos(p:) = — 1, cos(rz) = 1;
also nach dem Obigen:
XLx + ZVt = 0.
Dreht man aber ferner in dieser Lage das System der An-
griffspunkte um die Axe der Xy bis der positive Theil der Axe
der X mit dem positiven Theile der Axe der j gleich gerichtet
ist; so ist:
cos(;;r) = I » cosOrz) = 1 ;
also nach dem Obigen:
Hhx^Etfx-^.
Aus diesen beiden Gleichungen folgt durch Addition und Sub-
traction :
Zhx r= Zm = 0.
Hiernach ist also:
-SLj:=0, 2;Ly=!0, -TLxssO;
ZMx^Q, £My = 0, 2:ilf2 = 0;
Zur Erläuterung des Vorhergehenden kGnnen Fig. h bis Fig. 9.
dienen.
iL V^iT nehmen nun an, dass man das «System der Angriffs-
punkte durch Drehung in eine solche Lage gebracht habe, ämmm
der BtätHtimgen aitoMtcIter Spileme ton Punkten. 385
die positiv«!* Tbeil» der Ann der x, t gleich g«rlditot sind mit
den poBitiren Tbeiiep der Axen der r, ;, d^egen der positive
Tbeil der Aze der g gleich gerichtet ist mit dem negativen
Tbeile der Aze der q. Dann ist:
cosCrjr) = 1, cosdy) =0, cos(ri} =0;
■ co«(ftr)=0, coe(nsf)=-l. cos(iji)=0;
coa<^)£=0, coa(fif) = 0, cos(}i) = l;
folglicb nach dem Obigen:
Smx + £l}f = 0,
üifg +sm=Q,
SLi -Äffir=0.
Nnn drehen wir das System der Angrlbpnnkta um die Aze
der X, bis die positiven Theile der Azen der y, i gleich gerich-
tet sind mit dem positiveo und negativen Theile der Aze der
tf, \, was offenbar immer mOglicb ist; dann ist:
cosCr^r) = I. cos(f;y) = 0, cas(n) = 0;
cos(ir:r) = 0, cas(t^) = 1, cos(vi) =0;
ios(jj;)=0. cosO,) =0. eosftt) =-I;
To^icb nach dem Obigen:
£Mx~SLs~^.
SNy + SMt = 0,
£U +£lVx-0.
Endlich drehen wir das System der Angrifepankte in seiner
«rsten Lage um die Aze der g, bis die positiven Theile der
Axen der x, t gleich gerichtet sind mit den negativen Theilen
der Azen der f, J, was offenbar immer möglich ist; dann iat:
coe(jrÄ)=-— I, cos(jry)=!0, cob(») = 0;
cos(lt:r) =0, co8(l^)=— I, cos(Qi)= 0;
coB(}x) ^0, cos(fjr) = 0, COS(})
folglicb nach dem Obigen:
£IUx - £ly = 0,
£NyZJUz=;iO,
£Lz -~£Nx=fi.
Ans diesen drei Systemen von Uleichnngen
tioa nnd Sabtraction:
Tli«ii XLIX.
386 Grunert: Analpüscäe EntwUkelung
ZMx =5 £Ly = 0,
ENy = ZMz = 0,
ZLz = ZNx=Q.
Folglich sind unsere allgemeinen Gleichungen:
üOB{j:y).ZMy -^cos^x^x) . ZLx = 0,
cos(9|), XiViz; — cos(;^) . ZMy = 0,
cos {yt) . ZLx — cos (r «) . ENz = 0.
Nun drehe man das System der Angriffspunkte In seiner eritteo
Lage um die Axe der z, bis die positiven Theile der Axen der
^> y gleich gerichtet sind mit den positiven Theilen der Axen
der 9» r; so ist:
coB(^y) = ] , cos (vor) =: 1 ;
also nach dem Obigen:
Dreht man aber femer in dieser Lage das System der Ao*
griffispunkte um die Axe der x, bis der positive Theil der Axe
dcff y gleich gerichtet ist mit dem negativen Theile der Axe d«
jr; so Ist:
cos(r^) = — 1» co8(t;ar) = 1 ;
also nach dem Obigen:
ZMy + ZLx = 0.
Aus diesen beiden Gleichungen folgt durch Addition und S«b-
traction :
£My = ZLx = 0.
Dreht man das System der Angriffspunkte in seiner ersten
Lage um die Axe der x» bis die positiven Theile der Axen der
y^ % gleich gerichtet sind mit den negativen Theilen der Axea
der ?» 9; so ist:
cos(t>z) = — 1, cos(fy) = — I ;
also nach dem Obigen:
ZNz - ZMy = 0.
Dreht man aber ferner in dieser Lage das System der Angriis*
punkte um die Axe der y^ bis der positive Theil der Axe der z
gleich gerichtet ist mit dem positiven Theile der Axe der 9;
so ist:
der Bedinffutigen astaUsc/ur System» von Ptmktm. 387
cob(iji)= I, cos{i^) = — I;
also nach dem Obigen ;
ZNx + ZMy = 0.
Aue diesen beiden Oleichungeo Tolgt durch Addilino und Sub-
trutioo :
2ffi = £MS = 0.
Dreht man das System der Angrifi'pDnkte in oeiner ersten Lage
um die Axe der y, his die pnsitiren TbeiJe der Axen der x, z
mit dem negativen und pottiliven Ttieije der Axe der J, T gleich
gerichtet sind; so ist:
cos (jä) ^ — I , cos («) ^ I ;
also nach dem Obigen:
£Lx + £Nt = 0.
Drebl man aber ferner in dieser Lage das System der Angriffs-
paskte um die Axe der i, bis der positive Theil der Axe der x
gleich gerichtet ist mit dem positiven Theile der Axe der };
M ist:
cOB(fz) = 1, cos(n) =: 1 ;
also nach dem Obigen:
Aus diesen beiden Gleichungen folgt durch Addition und Sub-
traction : •
£Lx=£m = 0.
Hiernach ist also wieder;
SLx=0. SLszszO. EU^Q;
£Nx = 0, 2
Znr ErlXnternng des V
Pig. fi*. dienen.
Aus allem Vorhercebend
Wenn fflr alle Lag<
ponkle zwischen den
findet, so ist:
388 Grunerl: Anaip tische Enütickeiung
ELx =0, ZLy =0, ZLi =0;
2:iVir = 0, 2:iVy = 0, SNi = 0.
Offenbar lässt sich dies aber auch umkehren, und man kann
den folgenden Satz behaupten:
Wenn
ZLx = 0, SLy = 0, ZLz = 0;
£Nx-0, SNy^O, 2Nt=0
ist; so findet für alle Lagen des Systems der Angriffs*
punkte zwischen den Kräften Gleichgewicht Statt.
Sind nämlich die vorstehebenden Gleichungen sämmtlich er-
f&llt, so ist fiir alle Punkte (uvw) und alle durch Drehung an
(uvw) herbeigeführte Lagen der Angriffspunkte offenbar:
uZM - vZL
+ cob(xx).ZMx + cos(xy).ZBSy + co8(X2).£Mz J = 0,
— CO» (tfx) . ZLx — cos (py) . ZLy — cos (pz) . ZLz
vZN'-wZM
+ coaOttc).£Nx + co8(ny).£ßiy + coa(pz).Zfix J =0.
— cos (}x) . £Mx — cos (}y) . ZMy — cos {}z) . ZMz
u)£L-u£N
+ eoB(}x).2:Lx + co8(}y).JSLy + co8(}z).£Lz J=0;
— eoB0rx).2Nx--cos(ty).2Ny — cos(n). -^iVt
also:
( ilf[tt+ J?cos(jrar)+ycos(ry) + tcos(n)J )
\ — i[ü + Jrcos(t?jr)+ycos(t?y) + 2cos(nz)] j "" '
^ f iV[r + ar cos (nx) + y cos (t?y) + 1 cos (pz)] \ _
l — /i#[io + a;cos(pr) +ycos(jy) +2Cos(|z)] / "" '
^ r jL[tr + arcos(fa:) +ycos(jy) + rcos(fx)] \ _
l — iV[tt + jrco8(ra:) +ycos(r^)-f zeo8(n)] I "~ *
der Sed/Hffuiiffen atfatttcher S)/»temt von PuaUen. 360
welchen die aus dem Obigen bekannten BedingangsgleichnngMi
den Gl eichte Wtchta sind, tromit also der Satz beniesen ist.
Wir können daher jetzt den folgenden Satz aiusprecfaen ;
Die ii*thwenAlf en Bedingangen, dasB fQr alle
Drehpunkte und alle Drehungen des Syetema der Ap-
icrifruponkte um dieselben zwischen den an deaaslben
«wirkenden KrSften Gleichgewicht Statt Hndet, dass
als« das System der Angriff» punkte astatiocb ist, sind:
£L = 0, ZM =M, ZN = 0;
£Lx=0, XZ^=0, XZi =0;
SNx = 0, SN)/ = 0, Slfi = 0.
Die Anzahl dieaer nolhwendigen BeditiguagagleicbnngeD ist
xwülf; fOr jeden aatalischen Znstand eines freien Systems veo
PoDkten mGssen dieselben sSmmtlicb erfSlIt sein.
m.
Herstellnng des astatischen Zostandes eines nicht
astatiscben freien Systems von Punkten durch Hinsn-
ffigUDg einer Kraft
{.1.
Wir schicken der LSsnng dieser Aufgabe die folgende ein*
fache arithmetische. Betrachtung roraoe.
Wenn die drei Gleichungen :
«rffillt sind; so ist, wie aas denselben i
plication folgt:
Offiix = 6oa,x,
(1,69z =: btO^X.
a^bnX ^ bfO^.
Wenn nun nicht x = 0 ist, so folgt ans
390 G runer t: Analytiscfie Ent Wickelung
Wenn 4r = 0 ist, so ist wegen der drei als erfüllt vorausgesetz-
ten Gleicbnogen:
«0 = 0» «1=0, at = 0:
and die vorstehenden Gleichungen gelten also offenbar auch ia
diesem Falle noch. Daher k%nn man jetzt schliesseoy dass, wenn
die drei Gleichungen:
erfiint sind, daraus immer die drei Gleichungen:
folgen.
Wenn umgekehrt die drei Gleichungen:
Oo^i = öoOi , aib% = biO^, aJfQ = b^a^
als erfüllt vorausgesetzt werden ; so ist auch fdr jedes x :
a^biX = bQÜiXf
a^b^ = 6102^,
also:
Oq . 6| j; = iii • 60J? 9
Wenn die drei Grossen b^, 6|, b^ nicht zugleich verschwin-
den, so wird immer mindestens eine nicht verschwinden. Diese
nicht verschwindende unter den drei GrOssen 60 • 619 b^ ni5ge
etwa bo sein. Dann kann man immer x so bestimmen» dass
öo = b^x
ist, nämlich mittelst der unter der gemachten Voraussetsung fir
X immer einen endlichen, völlig bestimmten Werth liefemdeo
Formel :
bo
Wenn nun Oq und folglich auch 60^ nicht verschwindet, so fol-
gen aus den Gleichungen:
dtr Bedtnguagen aUaHscUer Syiteme von Punkten. 391
die Gleichunfen :
Ol = b^x, Og — AgZ ;
so daM also:
Oo = b^, O) = h^' Cs = ^
nnd folftlicb x io endlicher rüllig beatimmter Form so besthnmt
ist. dmu diesen drei deicbuiigen zugleich genOgt wird. Wenn
aber o» verschwindet nnd folglicb anch x=a \»t, an folgt ans
■l«n Gleichungen:
«oft, Ä ftofli , (1^0 a 4,a„,
weil bf, nicht verschtrindel ;
a,=:0, a, = 0;
und die GleichuDgen:
Ol = biX, Ot = A|X
sind also fOr a;=0 auch eifQIIl. Folglich sind ancb in diesep
Falle iSr den obigen Werlfa von x die drei Gleichnngen:
n^ = 6^, Ol = biXt Og = Asj;
sngteich erffillt. Wenn also die drei Grfissen Aqj ^» ^ nicht
ingteich verschwinden, so kann iiQr x immer ein endlichet TSUig ba»
stimmter Wertb angegeben werden, durch welchen die drei Glei-
chnngen :
aB = boX, ai=bix, 0, = *^
zugleich erfOlll werden. Dass die« im Allgemeinen niiAt mt^
lieb ist, wenn die Grössen bf,, ^> b^ sftmmllich verschwinden,
ist für sich klar nnd bedarf keiner weiteren Erliaterang. Wenn
ODter den drei Grössen bf,, bi, b% die Grösse bf, nicht Terschwin-
det, so ist
der Werth von *, durch welchen den drei
ao = *o*. aissb,x, 0^ =
Eoglflich genSgt wird.
Uiemacb sind also die nothwendigei
die drei Gleicbongen:
392 orunert: Anatptische EnfwUketung
sich durch denselben endlichen ySIlig bestimmten Wertti too x
erf&üeo lassen: dass die Grossen b^^ bi, Ag nicht sSmmtUdi
verschwinden nnd die drei Gleichungen
«0*1 = b^ai y aib% = ^lOt» aJ>Q = b^^
erffiilt sind.
Wenn von den drei Gleichungen:
00*1 = Ao^i f Oib% = 6iaj, 0^60 = 4i«o
swei erf&llt sind» also etwa:
ist; so ist:
folglich :
Ol*I 'Ätflo = «1*1 ««t^o-
Wenn nun nicht a|6|=0 ist, so folgt hieraus:
flt*o = *tflo>
und es ist also auch die dritte der drei obigen Gleichungen erflUlt
Wenn ai6i=0 ist» so sei
üi =0« bi nicht =0;
dann hat man w^en der Gleichungen:
«0*1 = *0Ol » «lÄf = ftiOt
die Gleichungen:
0061= 0, 6,fi2 = 0;
also» weil 61 nicht verschwindet:
00 = 0, 0^ = 0;
so dass also:
o%bQ = bfßQ,
und folglich auch die dritte Gleichung erßillt ist. |
Wenn a^bi =0 ist, so sei ferner:
Oj nicht =0, 61 =0;
dann hat man wegen der Gleichungen:
aer HedtttgungtH astatitchtr SgUemt eoii Punkten. 39ä
die tileichaUKeD :
ftofl, = 0, a|6a = 0;
^80, weil Ol nicht verschwindet:
6f, = 0. «, = 0;
ao daM also:
and folglich wieder auch die dritte GleichunK erfüllt wt.
Wenn ()|fr, = 0 nod
01=0, fr, =0
■»t, ao ftelteo die Gleichungen;
niT alle Wertbe von u«, 6o; n«. Ati *>i"' '*"■ f^^" ''eiden vor-
stehenden Gleichangen iBaat sieb alao rdckaichtlich des gegen-
seitigen Verhaltens dieser vier Grössen gar nichts acbliesaen,
also auch die dritte Gleichung
0,6(1 = *a«o
nicht folgern.
Wenn also von den drei Gleichungen :
«0*1 = frft«! . "i*« = *ifl«. a«*o = *»''o
xwei, etwa die beiden ersten, nSmIicb die Gleicbongen;
effallt aind, ao folgt aus diesea beiden Gleichungen inuner die
dritte Glcicbang;
<H*o = *»«o.
wenn nnr die GrSssen Oj , 6| nicht
Insofern das frfiher hetrachteti
wollen wir nan versuchen, durch
aatatiecfaen Zustand berbelsaflifaren.
durch R; die von einer der beidei
linle mit den positiven Thelien der
394 Grüner t: Analytische Enlwickeiung
senen, 180^ nicht fibersteigenden Winkel durch 6^ m^ ü\ di«*
Coordinaten ihres Angriffspunkts durch Xy Y, Zi und seilen der
Kfirze wegen:
Rcosß ^= H, Aco8(D=:!Py Acosc5 = 9.
Unter diesen Voraussetzungen wird der astatische Zustand nach
<lem Vorhergehenden (»ekanntlicli durch die folgenden notbwendigen
ßedingungsgleichungen bedingt :
i:mx+vx=o, 2:%+pf^o, 2:üfi+vz = 0;
I:Nx + SX = 0, £Ny+Sy=0, 2Ni+SZ=0.
Aus diesen Gleichungen, dieselben als erftlllt vorausgesetzt,
ergeben sich die folgenden Gleichungen:
ELx^XZL, ZLy^YSL, 2Lt = Z£L;
£Mx=X£M, ZMy^YZM, 2Mz=Z2Jlt;
i:iSxz=X2]S. £Ny=Y£N, ZNi^ZZlS.
Es erhellet aber auch auf der Stelle, dass umgekehrt, wenn
diese letzteren Gleichungen erfüllt sind, jederzeit auch die erste-
ren notbwendigen Bedingungsgleichungen erRillt sein werden, wie
es erforderlich ist, wenn der astatische Zustand wirklich Statt
finden soll.
Es wird daher darauf ankommen, die Coordinaten JT, F, Z
80 zu bestimmen, dass die Gleichungen:
2Lx=X£L, 2Ly^YZL, ZLz=ZSL\
ZMx^XEM, SUy^YSM, SMz^ZZM;
2Nx = X2]S, i:r9y = Y£N, £Nz = Z£N;
also so, dass die Gleichungen:
£Lx=:X2L, EMx^XEM, ZNx^^XSN;
ferner die Gleichuogen:
ZLy = TZL, ZMy = Y£M, ZKy = YEN-,
endlich die Gleichungen:
dtr Bttüngiingen atlaUscher Sifsleme ton Pnnktni. 395
ZLt:=ZZL, £«z=Z£M, SKt=Z£N
sämmtlich erfällt werden.
Nach dem im vorhergehenden Paragraphen Bewiesenen ist
diese Bestlminiin^ immer dann, aber auch nur dann, m9];lich,
wenn die Grüf>een
SL, SM, SN
nicht «Bramllicfa verschwinden, and die Gleichnngen:
SL . EMx = Sm. SLx.
£».zyxss£l!f.£iax.
£N.2Lx= ZL.ZNx;
EL.SMy^SM.SLy,
SM.ZNy=iSN.SMy,
Zn.SLy =£L.£Ny;
SL.HMx^SM.ZLt.
sja.sm = £]s.£Mz.
£N.£Lx = £L.£Nz
Statt finden ; und wie unter diesen Vorauasetzuneen die in Rede
stehende BentinimunB auszufahren ist, ist im vorhergehenden
Paragraphen gleichfallH gezeigt worden; auch haben wir dort ge-
a»hen. dass im Allgemeinen aus je zwei Gleichungen der
drei vorhergehenden Systeme dreier Gleichnngen die dritte folgt,
8o dass also die Anzahl der obigen Bedingangs gleichnngen eigent-
lich nicht neun, sonder» nur sechs ist.
Weil nach dem Obigen:
ß« = 3P+P« + S«= (£L)* + (£m* + (-2^)»
wt, so erhSIt man zur Bestinimong von R und 9, n, ö uomit-
telbar die folgenden Formeln:
£L
£M
cosn:=T
cosÜshF
£N_ .
VTsü)* +(■£*>• +(-£-0')»'
396 Grüner t: Analytische Enfvicheiung
in denen die oberen und unteren Zeichen «ich auf einander be-
stehen. Auch diese ßeAtimmuiig ist nur dann mittelst der vor-
stehenden Formeln möglich , wenn die Grossen
EL, EM, SN
nicht sSmrotlich verschwinden , und diese letztere Bedingung kans
man offenbar auch dadurch kürzer ausdrücken, dass man sagt,
dass die Kraft H nicht verschwinden dürfe.
Den Punkt (XYZ), in welchem man die hinzuzufügende
Kraft R wirken lassen muss, hat man den Centralpunkt des
Systems*) genannt.
§ 3.
Eine besondere Betrachtung verdient noch der Fall» vremi
die Richtungslinien der an dem ursprünglich gegebenen Systeow
wirkenden Kräfte sSmmtlich unter einander parallel sind.
In diesem Falle ist es offenbar verstattet« die sfimrotlicheo
Winkel in einer jeden der drei folgenden Reihen:
«0> «I» ^9 «s» «4» ••••♦
ßo* ßi» ßi* ßi* l^*»—;
yo» y\f Yt> Y9> y4'--
als unter einander gleich anzunehmen und beziehungsweise durch
a, ß, y zu bezeichnen. Dann ist offenbar:
£L=^coßaEP, 2M=zcosߣP, EN^cosyEP;
ELx = cos aZPx , ELy = cos aZPy , ELz = cos uEPz ;
EMx=^co%ßEPx, EMy^cosßEPy, EMz^coaßEPt;
ENx = cos yEPx , ENy = cos yEPy , ENi = cos yEPi.
Weil nun wegen der Gleichung
cosa*+cos|P + cosy*= 1
die Cosinus cosa, cos/}, cosy nie sämmtlich verschwmden, so
verschwinden offenbar die Grossen
EL, EM, EN
dann nicht sämmtlich, aber auch nur dann nicht sämmtlich, wenn
*) Aach Attatitcher Mittelponkt
der Bediiigungen aalnllschtr Sytltme. mtn Punklen- 397
SP oicbl verscti windet, und dieoe Kedini;rinfr muss als» im vor-
lügenden Falle als errollt vorausftesetil werden.
Die im vorhergehendeil Paragraphen geruudeiien Bedingnng8-
gleichnngen aind in die»eni Falle:
comaSP.CM'ßSPx = cosßZP.coaaZPx,
cwßSP.cwfSPx = cw/SP .mtßSPx,
coaf£P.eo»a£Px = coKoSP.&MyZPx',
KtMaZP.caaßZPy = cotßSP.cofiaZPg,
cmßSP.eosyZPs = conyZP.cnaßSPg,
comf£P.coaaSPjf = eosaSP.coayZPg;
coea£P.cwߣPx = camßSP.coatiSPi.
coußSP.cwyZPt =KrMySP.coaߣPz,
cwfSP.eimaSPi = vomaSP .caajZPi-,
and daher immer erfGIIt, sn dasti alaa im vorli^enden Falle
bloaa die einzige Bedingung erfüllt sein niasn, dass SP nicht
vemchwiBdet.
Ffir R und cos 9, cnsm, cosü erhilt man die folgeodeD
AosdrQcke ;
Ä = ± V"(coec««+coe/P + cos)^(£i^'r^±V^ÖZ^«;
cos a£P ^ cos ßZP _ ^ cos vEP
coafl=T j — _— , cos BB = T -7==== , cosu = T —.J-^ ;
^ Vcz^ V^{XP)« V(XP)«
A=-l:val.abe. £/<;
cosQ-T """^^
•^^""^val. ab». £/>•
^ cos Ö.Z/»
™""==f^si:7b7rzp'
_ ^ cos vi:/»
coa€>=T,,i„,;, .gp-
Ist X/> positiv , 80 Ut :
fi = ± XP;
cosA^fcoscr, cos(a^Tcos|S, coi
Ul SP negativ, so ist:
R = ^ Zp;
398 G runer t: Analylizcke Enlwickelung
co8d:= J: CO0O, cosco = J:C08j3, C08c5s: j: cosy.
AUo ist immer mit Beziehung der oberen und unteren
auf einander:
co80:=Tcoso, C08a> =: f C08/}, co8C5 = 'fcosy;
woraus sich ergiebt, dass die Ricbtungslinie der Kraft R immer
den Richtungslinien der sämmtlichen gegebenen Kräfte parallel ist.
Die aus §. 2. bekannten Gleichungen :
ZLx = X2L, ZMx=zXZM, 21Sx = X£N;
ferner :
und :
£Lt = ZÜL, ZMz = ZSM, ZNi = ZZN
werden in diesem Falle:
cosa^Pr = JTcosa^P, cosßSPx = XcoaߣP,
cosyZPx = XcoByZP\
femer :
coso^/^ = YcoBaZP, comߣPy= FcoaßZP,
cos y^/V = ^^^^ y^P 5
und:
cos aZPz = Z cos aZP, cos ßSPx = Z cos ßSP,
cos y£Pz = Z cos y£P ;
folglich, wobei §.1. zu yergleichen ist, weil
cosa, cosßt cosy
niemals zugleich verschwinden und nach der Voraussetzung anek
ZP nicht verschwindet:
ir^^EfL v^^^y 7^^'
•" SP ' '^ "" SP * "" ZP •
woraus sich nach froheren bekannten Sätzen ergiebt, dass der
Punkt (XyZ)t in welchem man die dem gegebenen Systeoie
paralleler Kräfte hinzuzufügende denselben parallele Kraft wirken
lassen muss, der Mittelpunkt oder das Centrum der gege-
dtT Bedingungen aatattscher Sytiemt ran PunHlen. 3S
benen parallelen Kräfte isL lu diesen Punkt gebt also ii
riuliegendeD Falle der CentralpDnkt des Systems Aber.
nr.
Herstellung des astattschen Zostaiides eines nicht
astatischen freien Systems von Punkten darcb Hin-
snfSftung einer Kraft und eines Krfiflepaars.
j. 1.
Wir beseichnen die dem SyMenie binzuzuffisende Kraft durch
K; die 180** nicht flberst eigen den Winkel, «reiche die eine der
(leiden Richtungen ihrer Richlungslinie mit den pnsiliven Theilen
der Coordinatenaxen einschliesst, durch 0,(o, tS; die Coordinaten
ihres Angriffspunkts dorch X, Y, Z. Die 180° nicht Oberstei-
genden Winkel, w-elcbe Gbe reinstimmen de oder gleichstimmige
lUchtongen der Richlungslinien der Krlfle des Kräftppaars mit
den positiven Theilen der Coordinatenaxen ei nschli essen . bezelcb-
Den wir durch 6, , m, . ü| ; die Coordinaten der Angriffspunkte
der beiden KrSfte des Kräftepaars (rollen wir durch Xx, F, , Z|
nad Xi, Y,, Z, ; und die an dem Punkte (^gKiZ,) wirkende
Kraft des KrSftepaare durch Hx bezeichnen. Der Kflrse tcegen
setzen wir:
Acosd = X, Acosu = !p, Acosö = 5;
R\ cos 6| ^ Xi , Aj cos ui ^ 9>i • ^1 *=o* ü, = S, .
Dnter diesen Voratis Setzungen sind die Bedinguogsgleicbungen
fDr d«n astatischen Zastand des Systems offenbar:
2L+Z+JFi-Ä,=0, £iWfV+y,-Vi=0, ^iV+S+S,-Si=0;
2;i3: + arA + JE,;ir,-j,x, = o,
iLy +XF + 2,F,— ».V, =0,
£Ci +xz + x,z, — s,z, =n*
£Jtfx^ TfX + Vi jr, — i»,x, =
j«ff+yF + y,r,-v,Y, =
£N:r+SX+5,Xi-Sj\, =
i:iVj, + SF+5,>-,-s,Y, =
SNii^SZ f5iZ.-5,Zi =
400 Grunert: AttalpUtehe BntwteketHng .
also , wenn wir der KOrse wegen ;
setzen :
£L+X = 0, £M+p = 0. 2;iV + 5 = 0;
£Lx+MX+XiX'=0, £Ly+Xr+Xir'=0, SLx^MZ-^XiZ' =0,
2Mx+9X+lf,X'=0, -r%+VF+V,F'=0, 2:j|fe+VZ+»,Z'=0.
£Nxi^SX+StX'=0. -SAy+5F+5,F'=0. ^iV:+5Z+5,Z'=a
Die GrSssen
». V, 5; »i. Vi. 5i; X, Y, Z; JC», F', Z'
mOssen so bestimmt werden, dass diesen sämmtllcben GIcicfani»»
gen genfigt wird.
5.2.
Sogleich erbllt man:
X = '-£L, lf=s — £M, Ssz — £^i
and hat dann, wenn man diese Werthe in die flbrigen Gleiehnn-
gen einflibrt, die folgenden Gleichungen:
£Lx-£L.X^XtX'.
£Ly = £L. F-», F',
£Lx =£L.Z—XiZ'',
£Mx=£M.X-ViX'.
£My = £M.Y-lfiT',
£Mt=£M.Z—TftZ';
£Nx = £N . X~ZiX' .
£Ng = £N.Y—Str'.
£Nz = £N.Z—9tZ'.
Stellt man diese Gleichungen auf folgende Art zusammeii :
£Lxss£L.X-XiX',
£Mx=£M.X-V,2r,
£Nx=i£N.X-SiX';
der Bttüngungen attaasclur svileme Pen Punkten. 4oi
£iai/=zM.r-t,r', .
iffy=i-W. F-S,f";
XU = il.Z— I,Z',
und «liniinirt dann aus der ersten , zweiten , dritten Gruppe reepec
li*e A. X'i r, r-, Z, Z'; so erhält man die drei folgenden
<iieicfaungen :
+ £»a:.(£JV.I, -£i.S,) ! =0,
+ i«i.(iI,.T, —£».*,) )
ilj.(i».Si— iJV.M 1
+ i»j.(iAM, -£1.$,) j =0,
+ XA>.(Z1 .?, - ZM.I,) \
XLi.fZM.S, -ZK.lf,) j
+ xaii.izn.t, — ii.Si) j = 0;
+ ZKx.(ZL.1', -iW.it,) )
aJse:
iZM.£Nx — 2:y.£Mx)Mi
+ (iff. ZI» - £L . ZiV*)y,
+ (Zi .£«!-£«. it»)$,
(ZW.ZJVy — ZJV.ijtfy)!, i
+ (i:iV.XLj -2t.ziVy)y, 1 = 0,
+ (SL.£Mg — Zltl.ZLs)S, )
(£M.£Ki —xn.SM,)!!,
^{ES.£Lt -ii.iff.)»,
+ (il . £«. - i« . £Li) S,
roigiich in der frBiier eingerBhrten abitfirzenden Bez<
X„t, + ii», t *1-Si = 0,
K™I, + »'.iti, t I'i.s, = 0.
Z..I, f Zd^i f Zi„S, =sO.
Th.U XUX.
402 Crunert: Analytische Enlv?ickelung
Daher mü'sseo IF|, !P|, 5i so bestimmt werden, das« dieiien drei
Gleichungen genügt wird.
Nach Rel. 111. finden bekanntlich immer die drei Gleichungen:
rmn£L+ rnl£M+ YbnSN = 0,
Zmn£L + Znl£M-{^ Z/„ 2?iV = 0
Statt. Setzt man non, indem ii. eine beliebige nicht verschwin-
dende Grosse bezeichnet:
80 ist:
(i II (i,
und folglich wegen der vorstehenden Gleichungen:
r C' r
Vmn^ + F„/^* + Ylm— = 0,
also, wenn man mit ii multiplicirt :
ÄmnXi + AniPi + XbnSl = 0»
Zmml^l + ZnlVl + ZbnSl = 0;
and die zu erfüllenden Gleichungen werden also durch die obige«
Wertbe von IF|, P|, Si wirklich jederzeit erfüllt.
Es fragt sich nun aber, ob diese Werthe von J^i, Jf^, g^
die einzigen sind, durch welche sich die in Rede steheodeo
Gleichungen erßillen lassen, eine Frage, die auf folgende Art
beantwortet werden kann.
Zu dem Ende nehmen wir an, dass die Gleichungen:
^»m^l + XniVi + ^ImSi = 0,
F«„J?, + YnlVl + rimSl = 0,
ZmnXi + ZniVi + ZbnSi = 0
wirklich Statt finden , und leiten dann aus denselben leicht die
folgenden Gleichungen ab:
der Bedingungen asiatischer Sgsteme von Punkten. 403
{Xtm Finn— f'/iii ^m«) 3f i = (Xnt Tim" YnlÄlm)Vl»
(YhnZmn-ZunY^)!^ - {YnlZun— ZnlYlm)^!*
{ZlmXmm--Xim Znm)$l =■ {ZniXlm — XulZtm)Vi;
(Xmn Yni — YmmXnijVi = (Xba Ymm — YlmXwm)Sl*
(YmnZni - Zmm Ynl)Vl = (Yün Zmm— Zl„, F«n)5|,
(ZmnXnl — XmmZnl)Vi = (Zlm Xmn — Xim Zmn)Sl »
(Xmi Ybtt — Yni Xim) 5l = i^mn Yni — YmnXni)3^i *
(YniZim - Zni Ylm)Sl = (Ynm Zni - Zi». Yni)X^,
(ZniXim -XniZim)5i=(ZwmXni " Xmn Zni) Hi.
Aus Rel. XL ergeben sich aber sogleich die folgendeo Glei-
cbongen :
(Xim Ymn - Ylm Xmn) £L = (Xni Ffo. - Yni Xim) £M,
(YbnZmn-Zim Ymn) EL = (F«|Zfa.-Z«/ Ylm) -Süf,
(Zl« Xmn - *« Zm„) l?!» = (ZniXim- Xni Ztm) S^
(Aimi Yni— YmnXni) ZM= (XimYmn—YimXmniZN ^
(YmnZnl-ZmnYni) £Mz= (YimZmn-ZimYmn)£N,
(ZmnXni - XmmZni) -Süf = (ZimXmn-XimZmn) ^N;
(Xni Ylm — Yni Xim) £N = (XmnYni-- Ynm Xni) ^L,
(YnlZim-ZniYim)£N=(YmmZni''ZmnYni)£L,
(Zni Xim -Xni Zim) 2N = (ZmmXni-Xmn Zni) £L.
Wenn die Grosseo:
Xim Ynm — Ffi» Xmn > Ylm Zmn'^Zlm Ymn $ Zlm Xmn — Xbn Zmn $
Jr«wi Yni — Ymn Xnit Ynm Zni — Zmn Yni, Zmn Xni '^'Xmn Zni',
Xmi Ylm —Yni Xim, Yni Zlm -^ Zni Ybn, ZniXim — XniZhn
nicht sSmintlich verschwinden, so muss wenigstens eine dersel-
ben nicht verschwinden; ist non etwa
YniZim — ZniYlm
404 eruneri: Anntyllschn EnttBichehtng
diese nicht verechtrindende GrÜsse, on haben wir nach dem Obi-
gen die Gleichungen:
( F.J Zta. - Zi ri-m = ( Fta z«. - Zto r«,) »„
( Ynl Zim - Z.1 Ytm) 5, = (Y^Za~Zm. Ya) f ,
and:
{Y^Zb^~Z^Yi«.)£U = {Y^Z^-Zi„Y^SL.
iT^Zb„-Z,iYb,)ZN = {Y„Z„~Z„ YyJiSh;
alao:
yto. z«. - Zta r« _ _. Y^z^~z^Y^^
und:
i^il. ZW:
y-,zi-z».rw.
Setzen wir nan, was versUttet ist:
so ist;
oder;
also nach dem Obigen:
», = ^ZM. 81 = C^W
;licli;
I, = f£L, Jl, = f £», $, = (liiV.
■er sind diese Werthe die sar Erfüliung der Gleldnmgvs;
Xnli + X^*, f 2«,$, = 0,
r„t, + FiV, + F,.S, = 0,
Z.,I, + Z,il>, + Zta $, = 0
»ndigen Werthe von Xi, 9i> Si< **eiin die Gritesen
iUt Beilinguniien atlnlhcher Si/it^tnf ton Ptinktm. 405
Xmr^-ri.X^. rt,Z„-Z,.Y„, Zi.X„-Xi.Z„:
x^Tni-r^x^, r„z^~Zm.rM. z^x^-x^z.,-,
X„ Tl. - r., X„, T., Zt. - Z„ Tl.. Z.I X,. - X., Zi.
nicht sSoiinIlicb veracbwinden.
FOhrt man non die TorRtehenden Werlhe von X|, Vi, 3, in
die nbigen nieichungen iwieclien den Ceordinateii X, T, Z and
den GrCseen X' , Y' , Z' ein, so werden diese Gleicliun(;en :
ill =(Z — pZ'jÜ!
£«i = (Z-pZ')i«;
iW»=(X-|. «')£«.
£Ki=(Z-fZ')ZNi
oder in anderer Anerdnnng;
ii» =ii.(;t— (.X'),
£Jf» = £lll.(X-i.X').
ESx = s«.(X~fX'y,
SLs =iL.(r— nF').
2Ä, = ijr.(r— (.Dl
£ii =iI,.(Z— ,.Z'),
i*i =i«.(Z-,.Z'),
iifc =£N.(Z-iiZ');
wo nun die, GrüsBen
jr-,.;r, f-hF', z
so Iieetininit werden milseen, daaa diesen
^n f^nflgt wird, naa nach einem trüber
aber anch nar dann, mOgiich iat, wenn di
£L, ZU, £K
nicht aimmtlicb veracbwinden, nnd die Gl
4()6 Crunerf: Anatyttscne Entwichetuno
£M.EJSxz:zZN.ZMx,
ZN.ZLx=EL.ZNx;
£L.2Jliy:=£JU.£Ly,
EM. ENy = EN. EMy,
Ey.ELy ^EL.ENy;
EL . EMz = EM. ELz ,
EM,ENi = EIS.EMz,
EIS. ELz = EL.ENz
erfüllt iiind.
Verschwindet etwa EL nichts so ist zu setzen :
wie frOher allgemein bewiesen worden ist.
Offenbar lassen sich nnn X, Y, Z beliebig anoehnien Qod
dann X\ Y\ Z' mittelst der Formeln
*=J<^-^). ^-J««--^). ^'-Jc^-t'
bestimmen, oder man kann auch X\ F', Z' beliebig annehmen
und dann AT, F, Z mittelst der Formeln
jf=^^' + ^, y=i^y'+-^^ z=iiZ' +
ELz
EL
bestimmen.
FOr A| , F, , Zi und Xj , Yj , Z| lassen sich alle Wertbe
setzen, welche den Gleichungen:
genOgen. '
Zur Bestimmung von R, coeS, coso, cosq ergeben sich ans
dem Obigen leicht die Formeln:
Ä = ± V (EL)^ + (EM)* + (EN)* ;
EL
cos ö = T /■ n t
^ V^(2;L)«+(2:Äf)H(i?iV)*
der Bedingungen astati$cher Systeme von Punkten. 407
CO»M = f
~:i — •
SN
^ V^(2?L)« + (JS/lf )« + (2;iV)«
welche anter den gemachten Voraossetzungen für die zu bestim-
rnenden Grossen endliche völlig bestimmte Werthe liefeni.
Eben so leicht erhält man fiir Ri, cos^i, coscO|, coscS| aus
dem Obigen die folgenden AusdrOcke:
/?, = db ^ SfJZLf + (£M)^ + (JSiV)*;
''''* " * V (-sL)* + (-SiH)« + (:rA)^ '
cos COi = 4- , — -— V — «
cos Ol = + ^. 5
welche unter den gemachten Voraussetzungen für die zu bestim*
menden Grossen ebenfalls endliche völlig bestimmte Werthe liefern.
Man wird nicht übersehen, dass wir im Obigen im vorlie-
genden Falle unter der Voraussetzung, dass die Grössen
I^lm Ymm — Yhn Amn » Mim Zmn — Zbn »mn 9 ^tm Xmn — ^Im Zwm 5
-^mm 'nl — «mn ^n/» «mn Znl — Zum «wl» ^mm ^ni'~~ -Am« ^nl 9
XniYlm'^yHiXtmf YnlZlm — ZniYlm, Zni^lm — XnlZun
nicht sämmtlich verschwinden, zu denselben Bedingungsgleichun-
geo gelangt sind, welche erfüllt sein müssen, wenn sich' der
astatische Znstand eines nicht astatischen Systems von Punkten
bloss durch Hinzufügung einer Kraft soll herbeiführen lassen.
Für die obigen neun Grossen kann man auch ihre in Rel. XI.
gegebenen Ausdrücke setzen.
$. 3.
Wir wollen nun den Fall betrachten, wenn die Grössen
JiIm Mmm ~* 'Im Xmn > «im Zmn "~ Zim 'mn > Zbn ^mn — -A /m Zmu 9
Xmm Mfü — Ymn ^ni* «um Zml^" Zmn Ynl» Zmn Xnl — ^mn Zni ;
Xni Ylm — YnlXimy YulZlm — Znl F/», Znl Xhn — XniZbn
sämmtlich verschwinden.
408 Gruneri: Analytische EtUwickelung
Aas den Gleicbuogen
£Lt ~2:L.Z = -JF,Z';
£Ny-£N.r^-s,r\
leitet inat), ivenn dieselben als erfüllt vorausgeselst werden, dardi
Multiplication die folgenden Gleichungen ab:
{ZLx-'£L.X){ZMySM. Y) = (ÜLy-ZL. Y){£Mx'^2M.X\
(2Ly-£L . F) (SMz - £M. Z) = (ZLz^ZL.Z) (EMy—ZM. F),
(SLz''£L.Z)(£Mx'^£M.X)=:(£Lx-£L.X)(I:Mz'-£M.Z):
{ZMx-SM.XUZNy-ZN. F)= (EMy^-EM.YnZNx—ZNJ).
{SMy-2M. Y)(£Nt^£N.Z)- (£Mz-£M.Z)(£Ny^2N.n
(£Mt'-ZM.Z){ZNx^2N.X) = {ZMx^2M.X){ENi-ZIf.D\
{£Nx'-2N.X){£Ly^£L.¥) = {£Ny'-£N.r){ELx-ZL.D.
(£Ny-2W.F) (ZLx — ÜL.Z) = (£Nz ^£N.Z)(£Ly - 2i.f),
(£Nz--£N.Z)(2:Lx-- ZL.X) = (2:iVa:— 2:^.Z)(2:Lz — 2:L.Z);
also, wenn man die Produete entwickelt, aufhebt was sich taf-
heben lässt, und die frOher eingeführten abkürzenden Beseicbooi'
gen gebraucht:
Ffai.^— ^/m.F= Z|m>
Zfai.F— Fim.Z =Xfa,,
Xtm .Z —Zlm . Jr= Yfai ;
Mum»X — 4tmB*F= Zam»
Zum • Y — Zimt* Z = A,«« ,
Xmn*Z — ZjMia^= Y111119
/w .r-T»i.F=z^,
Z«/.F— Fiii.Z = Xai,
Xul*Z ^^Znl.X = Y«i.
also :
der Bedingungen attaäecher speteme van Punkten. 409
Ferner erhält man aus den oben als erfällt vorausgesetzteo
Gleichungen die folgenden Gleichungen:
(ZLa: ^£L .X)r = (ZLy - ZL .F)X\
(ZLy - HL .F)Z' = (£Lz - £L .1)7',
{ELt -'EL.Z)X' = (2:Lar— EL .X)V ;
{EMx'-EM.X)Y' = (EMy—EM.nT,
{EMy -^ EM .T)Z' = {EMt — EM.Z)Y' ,
(EMz — EIV.Z)X' = (EMa: - EM.X)Z' ;
(ENx - EN.X)r =r {EWy^ EN.r)X\
(ENy -EN.DZ' =(2Wz— EN.Z)F\
(ENz '^EN.Z)X' =(ENx'~EN.X)Z';
EL .(Xr'-rX') = ELx .r ~ ELy .x\
EL .(FZ' --Zr) = ELy .Z' — ELz .¥' ,
EL .{ZX'-'XZ') = ELz.X' — ELx.Z' ;
EM.{XY''-rX')= EMx.Y' ^EMy.X',
EM,(7Z' —ZY')^ EMy.r -^EMzY^
EM.iZX'-XZ') = EMz.X' — EMx.Z';
EJS.iXY'-YX')^ ENx.r-^ENy.X',
EN.{YZ' ^Zr) = ENy.Z' —ENz .Y\
EN .(Zr '-XZ')= ENz .X' — ENx.r \
und hieraus :
EL .{EMx.Y' - EMy.X') ^ EM.(ELx.Y' - ELy.X').
EL .(EMy.Z' - EMz .Y') = EM. (ELy .Z' --ELz .O,
EL . (EMz .X' — EMx.Z') = 2?^ . (ELz .X - -SLo: . Z') ;
2:j|f.(:SiVar.r — :S%.A^') = EN.(EMx.r-EMy.X'),
EM.(ENy.Z''-ENz.r) =: EJS, (EMy.Z' --EMz .Y'),
2M.(ENz.X' --ENx.Z') = EN.(EMz.X' -^EMx.Z')-,
EN.(ELx.Y'—ELy.X') = i:L.(2?iVi.r - ENy.X'),
EN.(ELy.Z' --ELz.r) = EL.(ENy .Z' -ENz .Y'),
EN.(ELz.X* --ELx.Z') = 2?L.(2:iVz.-r' — l^iVor.Z');
also:
410 Grüner t: Analytische SnMckehmg
YimX'^Xtm T', Zto r = Fto Z', Xu»Z> = Zta jr ;
Y^X « Jr«. F', Z«.F' = Y^Z', XnmZr = Z«. JT' ;
YaX' = jr«i F', Zirf r = YntZ', jr«iZ' = z.^ j'.
Es mflssen folglich X\ F% Z' 00 bestimint werden, dass diesen
nenn Gleichungen vollständig genfigt wird. Dies kann unter der
gemachten Voraussetzung nur dadurch geschehen, dass man, wenn
y, A, fA beliebige nicht verschwindende GrSssen bezeichoes,
entweder :
X'=^vXim. ]r==vrim, 7/^vZim;
oder:
^' = AJr«., r^XTmu. Z' = kZmn;
oder:
setzt. Denii setzt man etwa:
und fBhrt diese Werthe in die obigen neun Gleichungen ein, so
werden dieselben:
lZimYnm=krimZmm,
XXim Zwm = IZbn Xmn ;
AMwmXmn^i AXm» «aMi»
^Zwm Ywm S= A TmnZmmf
lXwmZmm=XZmnXmm;
AFfliJTjiM = XXuiTmmf
XZniY^ =:kY^Z^,
XX^Z^ ^XZ^Xmn;
und sind also offenbar sftmmtlich erftlllt, weil unter der gemach-
ten Voraussetzung:
Fin JTflHi SS 2Um Ywm,
Zim Ymm= YtmZ^.
Xim Zwm = Zim Xmm;
YwmXmm ^ Xmm Ywm»
^^mm Ymm ^ Ymm Zmm*
XmmZmm^^ ZmtmXu
iter Bedittgungen auaUtcher Systeme von hmkltn.
Xml Zmm = X^Xmm
Offenbar kSonts man die GrSsaen v, i, ft aacb TcrachwiDden
lauen nud also
^' = 0, F'=0, Z' = 0
itlxeD, welchen Fall wir aber avsscblieMen wollen.
Ferner mOssen die GrSsaen X, T, Z so begtimtnt werden.
Ata» den swiachen denselben Statt findenden obigen neon ültä-
ebangen vollaländig genügt wird. Dies nStbigt nns, ansnneh-
nen, daas die GiüBsen 2L, ZM, SN nicht sSnuntlicfa ver-
uhwinden, und das5 also wenigstens eine dieser drei GrSasen
nicht verach windet.
Dnter der Voransaetznng nnn, daaa etwa ££ nicht verschwin-
det, willen wir zonBchst X, Y, Z so beatiniinen, daas den drei
ersten der neun zwischen diesen Grössen Statt findenden Glw-
chnngen, oXmlicfa den Gleichungen:
Yb,.X~X^.T=Z^,
Zfa.r-rto.z = Xi-.
.Xfa.Z-Zi».X = Tto
geaSgt wird. Nach Rei. XXI. haben wir aber die folgenden
Gleichnngen :
.F/.. SLx—Xbm. SLg = ££.Zb.,
Ztm.£Ls—Yim.2ll = £L.Xtm,
Xlm-SLl -Z,m.SLx=ZL.Ylm%
also, weil nacfa der Voranssetznng £L nicht rerscbwlnilnt dSn
GlncbungeD :
Vergidcbt man diese Gleichungen mit den au erRillen
chungeo, so ei^iebt sich, dass man, um diese letzteren
gen an «rfflUen :
412 G runer t: Analytische Entwiekelung
^-"ZT' ^-'EL* ^^'eL
zu setzen hat.
Nach Rel. XXI. hat man ferner die Gleichungen:
Xni.ELz — Zni.ELxs 2L,Yni;
also:
2Lx ZLy
folglich für die obigen Werthe von X, ¥, Z:
Zia./"— /W.Z =X«/,
^ni.Z — Z«/.^ = Y«/;
80 das8 also auch diese Gleichungen erßillt sind.
Es frSgt sich nun bloss noch, ob die obigen Werthe roD
X, T, Z auch die drei Gleichungen:
Fmn • X^Xwm • Y = Zimmf
Zmn'M — /iiiit*Z = AfMi» ^
erffillen.
NuD findet man aber leicht mittelst ReL I.:
Zmm. £Ly — F«.. £Lx = - (SJU.Xm + SN.Xim),
X^ . £Lx — Zm, . £Lx= - {£M. Y«/ + £N. Y«,)
oder:
Ym».£Lx -Xm,. £Ly= £L.Zm,-{£L.Zmn+£M.Znl+£N.Z^.
Zmm. £Ly - Ymm. £Lx=£L.X„,- (£L.Xmft^£IU.Xa+£NJiim).
X„n.£Lx-Zm,.£Lx=i£L.Ymm-i£L.Ym»+£M.Y^+SN.Ybd'
der Bedingungen asiatischer Systeme van Punkten. 413
Weil aber nach der Voraossetzong die Grossen:
verscbwioden and £L nicht verschwindet , so ist nach Rel. XI.:
2L.Zmn + £M.Znl + -SiV.Zfi» = 0,
also nach dem Vorhergebenden:
r^. £Lx - Xnm. £Ly ^ EL.Znm,
Zmn.£Ly-ymn.£Lt=z2L.Xmn,
Xmm. ^Lz-^-Zmm.^Lx^ HL. Ymn;
folglich :
• ZL'^ '^''2L '-^'^'
£Lz ZLx
• «iv — ^mn • vr —" * «wi
abo:
JKflHi • Z — • i^flui . Ji ^ Yi
80 dass folglich auch diese drei Gleichungen erfSlIt sind.
Daher sind also alle neun zwischen den GrOssen X, Y, Z
Statt findenden Gleichungen erfüllt , wie es erforderlich ist.
Endlich sind nnn noch die Grössen Xi, Pi, 9i so zu he«
«timmen, dass den neun Gleichungen:
2Lx^2L.X = ^XiX',
£Mx^£M.X=^-PiX',
EMy^EM. Y^^lfiT\
2Mz--ZM.Z=^''lf^Z'\
2:Nx''£N.X=--SiX\
ZlSy^ZN.Y=^-'i^Y\
2Nz''£N.Z^-^9iZ';
414 Grunert: Analpasche EnMckelung
d. h., wenn man för X^ V, Z ihre oben gefondeneo Werthe an-
föhrt» so» dass den neun Gleichungen:
ÜL.MiX'r^O, üL.X^F'zrzO, EL.MiZ'^Q\
£L.ViX'=^-Xim, -SL.ViF'zr-Fi«, -SL.y,Z'=-Zi.,
vollständig genügt wird.
Wir wollen nun annehmen, dass es unter den drei Beiheo:
XüH» Tim, Zbn;
Xmm» »mm» Zmul
Xni, Tnl, Zni
eine gebe, deren drei Glieder nicht sämmtlich verschwinden.
Wenn nicht sämmtliche drei Glieder der Reihe:
JiiM» Tim, Zim
verschwinden 9 so setze man, was nach dem Obigen verstattet ist:
X'=^vXim, r^vYim, Z'^zvZu»;
dann müssen ]ti, Pi, Si so bestimmt werden^ dass die nton
Gleichungen :
vüL.XtmXi—O, v£L.rimXi=0, vSL.Zunli=Q\
vSL.XlmVi-'-XlM, vi:L.rbmVi=-rim, v£L.ZlmVi^-Zlm;
vSL.XünSl^ Xnl, v2L.rimSl=^ Ynh vZL.ZlnSi=^ Z^
vollständig erfüllt werden. Die ersten drei Gleichungen werden
durch J^|=0 vollständig erfäUt« Die zweiten drei Gleichungen
werden durch
vollständig erfOllt. Wenn nun Xim das nicht verschwindende
Glied der Reihe
XiMf TiMf Ztm
ist, so setze man:
^ _ 1 A^
^^-^i^ZLXin'
wodurch die erste Gleichung des dritten Systems dreier Gleichen-
Ten im Obigen erRlUt wird. Nach der Voraussetzung ist aber:
also:
der Bedingungen aetaUscher Sgtteme von Punkten* 415
XfU Ylm = TnlXimf XnlZim = ZulXim l
j^ Ybn = Tmif -g- Zbn = Z»/;
and folglich , we I
ist:
80 dass also aach die beiden letzten Gleicbnngen des dritten
Systems dreier Glelehangen im Obigen» and daher alle neun
GleichuDgen vollstSndig erfOllt sind» wie verlangt wurde.
Wenn nicht sämmtliche drei Glieder der Reihe
Terschwinden» so setze man» was nach dem Obigen verstattet ist:
Ä'=^XXnm, Y' = XY^, Z' = XZnu.;
dann roflssen X|» !|^|» 5i ^o bestimmt werden» dass den neun
Gleichungen
X2L.XmmXi=0, XZL.YmmXi^O, A-SL.Zm«», =0;
ISL.X.^tr^'-Xlm. X£L.YmJ?^z^-Ytm. XZL.ZmJf^^'-Zbnl
X£L.Xmn5l= Xnl, X-SL.F»«5|= Ynh XSL.ZmmSl= Znl
vollständig genfigt wird. Die ersten drei Gleichungen werden durch
Ii=0 vollständig erfSlIt Wenn nun Xmm das nicht verschwin-
dende Glied derv Reihe
XwM» Ywm» Zmn
ist» so setze man:
M 1 Xim
^^'='^X£LXZ'
wodurch die erste Gleichung des zweiten Systems dreier Gleichun-
gen im Obigen erRlIlt wird. Nach der Voraussetzung ist aber:
also:
j? — Ymm = Ybn» jü — Zum = Zim »
I
j
416 Grunert: Anaiptiscäe EnMckeiuno
und folglich, weil
'Ahm
ist:
so dass also auch die beiden letzten Gleichungen des zweitm
Systems dreier Gleichungen im Obigen erfüllt sind. Endlich setze man:
k2tLä Jkmn
wodurch die erste des dritten Systems dreier'Gleichungen im Obi-
gen erfflilt wird. Nach der Voraussetzung ist aber:
also:
■y * fim = «n/f "y Zmn ^ ^n/»
■Amn Amn
und folglich, weil
-y — = k£Ij,Si
ist:
XSL. FnniSi "-- 'nl$ X£L.ZmnSl = ^«/J
SO dass also auch die beiden letzten Gleichungen des dritten
Systems dreier Gleichungen im Obigen erffillt sind. Daher mi
jetzt alle neun Gleichungen vollständig erffillt, wie verlangt wurd«.
Wenn nicht sämmtliche Glieder der Reihe
verschwinden, so setze man, was nach dem Obigen verstattet ist:
dann mfissen Xf, Tfi, Si so bestimmt werden , dass den neon
Gleichungen :
fkZL.XfdXi = 0, ^2rt. Fn/JTi = 0, i^ZL.ZniXi = 0;
llüL.XniVl^^—Xlm, ll£L.YniVl = -yim, l^£L. ZniVi^-Zba'.
lii:L.Xmßi= Xnly fl-^X».Fnl5l= F«|, fil^L. Z^/gj = Zml
vollständig genfigt wird.
Die ersten drei Gleichungen werden durch ll^i=0 vollständig
ßlllt Wenn nun Xpi das nicht verschwindende Glied der Reibe:
der Bedingungen asiatischer Systeme von Punkten, 417
181, 80 8etze man:
1 Xln,
ll£L' Xnt '
wodarch die erste des zweiten Systems dreier Gleichungen er*
Rillt wird. Nach der Voraassetzang ist aber:
also:
j^ Ymi = Yim» y- Znl = Zbm ;
and folglich, weil:
ist:
SO dass also auch die beiden letzten Gleichungen des zweiten
Systems dreier Gleichungen erfBllt sind. Die dritten drei Glei-
chungen werden oiTenbar durch
▼ollstSndig erffillt» und es sind also jetzt alle neun Gleichungen
▼ollstfindig erflillt, wie verlangt wurde.
Wie R, cos 9, cos», cosc5 und JS|, cos^i» cosoi» cos^i
zu bestimmen sind, erhellet von selbst und Ist im Obigen schon
öfters gezeigt 4orden. Auch was sonst etwa noch zu bemerken
wäret erhellet aus dem Vorhergehenden von selbst und bedarf
einer weiteren Erläuterung hier nicht.
Wenn es unter den drei Reihen:
XiMf Yim, Ztm\
Xwm$ Iflm» Zwm9
Xmif Yml, Zui
keine giebt, in welcher ein nicht verschwindendes Glied vor-
kommt, wenn also die vorstehenden neun Gr5ssen sämmtllch
verschwinden, so ist nach Rel. L:
ZN.ELx^ZL.SNx-,
Tlieil XLIX. 88
418 Grunert: AnalpUtcHe Entviekelung
£M.£lSj/= ZN.EMy,
sy.ELs =£L.£N!H
£L.SJat=:£9I.I!Lx.
zitt.2m = £is.zm.
iN.£Lx = £L.syt;
welches nun wieder die Bedingunffsgleicbungen sind, die errailt
sein mfissen, wenn der astatische Zustand eines freien Systemi
von Punkten durch Hiniuffignng nur einer Kraft sieb soll hcr-
slellen lassen.
§.4.
Wir haben in dan beiden vorfaergebenden Parngraphea aas
den in §.1. anfffestellten Gleichungen, durch welche der aata-
tiache Znataod dea Syatema der Pankte bedingt wird, unter der
Vorauaaetzang, daas dleae Gleichungen erföllt aind and wirklich
Statt inden, rarachiedene Gleichangen abgeleitet, ana dene« wir
jetat weitere Felgerangen ziehen wollen. Uieae abgeleitetea
Gleichungen sind die folgenden;
A.
x_iXt + Jr.il>, + J(<.Si=a,
r„», + Fj», + ri.s, = 0,
remer:
B' »
rt.x' = x,.r. Zi.r'= i-aaZ', icz' = zi.X;
r„X' = Xmir. z„r=r^z', x..z' = z^X';
Y.tX' = x^ r, ZmT' = r.,z\ jc.iZ' =z,u*'i
und:
C.
ri..X-.\,„.r = Zi„,
Zi..r-ri..z = Xi..
Xi..Z-Z^.X=Yi.:
r„.x-x„.r = 2^,.
z_.>-f„.z = x„,
x„.z-z„.x^y„:
der Bedingungen asfatischer SjfSteme von Punkten,
419
Fiii. X — Xtd* y = Ziii,
Xnl* Z — Ztnl* X = Yn|.
Wenn man die Gleichungen A. nach der Reihe mit:
YnlZlm-ZnlYlm
ZniXlm—XmiZim
Xnl Thm — Ynl Xhm
YtmZmm-Zb^Ym^
Zim Xnm — Xim Zmn
Xkm Ymn ~ *im Xfmn
Ywm. Zni — Zmm 'nl
Zwm Xnl — Xmn Zni
Xnm Ynl — Ynm ^nl
moltiplicirl und dann lu einander addirt, ao erhält man die fol-
genden Gleichungen:
Xnm(YnlZlm—ZnlYim)
+ Ynm(ZnlXlm-XnlZün) [ », = 0,
-i-ZnmiXnlYim-YnlXbn)
Xnl(YlmZmn-ZlmYmn)
+ Ynl(ZlmXmn^XimZ„„,)\ ^ = 0,
+ Zul(Xlm Ymn-- YlmXmn)
Xlm ( Ymn Znl — Zmn Ynl)
+ Ylm(ZmnXul'-XmnZnl) J $| = 0;
+ Zlm(Xmu Ynl — Ymn Xnl)
welche nach Rel. XII. wirklich immer identisch erffillt sind.
Aus den Gleichungen B. kann man sehr viele verschiedene
andere Gleichungen ahleiten, von denen wir jetzt nur die folgen-
den bemerken. Stellt man nämlich die Gleichungen B. auf fol-
gende Art zusammen:
XlmT^ YlmX'
YnmZ' = Zum Y'
Z^X' ^ÄnlZ'
Xnl r = F.I X-
Yb^Z' = Zlm Y'
ZmmX = J^rnnZ
Xnm Y = YmmX
Ynl V = Znl Y'
Zlm X' = Xlm Z'
und multiplicirt dann die unter einander stehenden Gleichungen
in einander, so erhält man, wenn der KSrze wegen
U'^X'Y'Z'
gesetzt wird, die folgenden Gleichungen:
XlmYmnZnl V = Xmn YnlZlm 0' = XnlYlmZmnü',
aus denen nur dann, wenn das Product ü' nicht verschwände,
die Gleichungen:
42ü Grüner t: Analytische Entwickeiung
Xlm YrnrnZnl = Xmn YnlZkm = XniYlmZmK
Tolgen wdrden.
Stellt man 'die Gleichungen C. auf folgende Art zosammen;
Zim . y — Yim . Z = X|m $
Znm * * — Mmn»Z = Aim«,
Xbn . Z — Zlm . A = Y|m»
Xmm • ^ ~" /^m« • X = l m« »
Xni . Z — Z«; . X = Y«/;
F/«, . X — Xbm . F = Zlw,
ronIHplicirt dieselben dann beziehungsweise nach der Reihe mit:
rnlZbrn — ZnlTtm
«1» Zfnn — Zlm Vmn
x^Yni-r^x^
XmiFlm-- TmiXkm
Xlm'mn — VimXmm
Znm Xni — Xmn Zji/
ZnlXbn — Xni Zim
I ZimXmu-'XimZmn
und addirt sie hierauf zu einander, so erhiilt man die Glelchangen:
Xim(¥mmZni-Zmnyni) + X«,( F«/Zfa, — Z„/ Ffa.)
+ Xnl( YimZmn-Zlm Ymn) = 0,
Yim(ZmmXnl — Am« Z«|) + Ymn(ZniXim —XniZim)
+ Tnl (Zlm Afiifi — Xim Zmn) =" 0,
Zto(^». F./- F„,^,,i) -I- Z,,»(jr.{ Fb.- F.{Tb,)
+ Z,a(A:to, F,,,- Fta jr,«) = 0;
also nach Rei. XIII. die Gleicbangen:
£L.Xm, + ZM.Xm + £2V.Xa, = 0.
EL.Y„ + EM. Yni + EN.Yim = 0.
2L.Z„n +£M.Z.i+£N.Zim=:Oi
and folglich nach Rel. XI. die Gleichungen:
Xlm Ym.- YlmXm» = 0. FteZ».-Zta Y^ s 0.
ZbmXwm — XbnZmm = 0;
Xmm Ynl~ Ym,X,l = 0, Y^Znl -Z^Ynl = 0,
ZmmXnl-XmmZ.I = 0;
der BeiUnpungen astafitcAer Stttenu wm Punkten. 421
ZmtXim — XmlZtm = 0.
Aach ist nach Rel. XX.:
£La!.Xmm + 2Ma;.X,u+£]Sx.Xim = 0,
£Lx.Zwm-i-£Mx.Zni-^£Kx.Zim =0;
£Lg.Ämm+£lll9.X.i-i-£Ny.X^ äO.
ZLy. rm. + £Mg. r„+£Ny. Fh. = 0,
£L9.ZmM+£Jlly.Zni^£rfy.Zim =0;
£Lt.Xnm + ^üf».^,|+^^» .Xbn=0.
£Lx. r». + £Mt . r,i^ £Nt . Fto = 0.
£Lt.Zmn+£Jllt.Z^+£yx.Zlm = 0.
Wenn man die Gleichungen C. auf folgende Art anordnet :
Zhm • F — Fta, . Z = Xlm,
Xam • ^ ^ Zum .X ^ I taai
Fnl .X—Xnl. T = Z«/;
Zam' F— Yam.Z ^ Xaa>
JTat.Z— 2«|.^ =Yia, •
Ffai. JT— Jf(hi. Y = Zim;
Z^.Y-Y^.Z =X.i,
JTta.Z-Zte.ir =Yi«,
F«^jr-jr«..F=Z«i;
nod dieselben hierauf nach der Rrihe mit :
x^x^ v
X,! Ybnü'
Xm,Zlmü'
XimX^Ü'
XimYmmU
XmlZmmV
XlmXm,V'
ir-F«, v
XlmZ^V
Ym a«. ü'
Ffc, F«, O'
FfaZ,». C7'
Ffc. Jf^ V
Ffc. F«iü'
FiZirfü'
Y^XlmV
F«. Frf ü'
Fl Zfa V
Z^X.1 V
Zim Ynl O'
Z«. Zm, v
ZnlXi^ü'
Z«, Ffa C7'
z,»iZiriC;'
ZteJK-c;'
Znl YmmD'
ZimZnl V
mnltipfieirt, so erhilt man die folgenden Gleichungen:
98*
[ erunerl: /knulvotche BtiMeMelHnf
iu.Xuz^e'.r-Xt.x.,ru,v.z = x„Xu&.v.
Xm.XMTt,V.Z—X^VimZ..VX = X^Ym^—V,
Xm.r^z,mB'.r-Xm.rimT^V'z= r^x^Xu,v'.
X_ Fl. I-u C. »- ¥„ l\,Z„ V'.X= li. l-,nY_ V.
r,.rMZ^V'.x- x^r^z^v'.r - ri.2_zwD';
x.,Zi.z^B'.r—x.irimZinV'.z = z..x^%i.d'.
X„T.,Z^O'.Z- r^Zi.Z^V'.X = Zi. T.iY„V'.
r^Zi.ZM.v.x-x.,Zi.z^V'.r =Zi.z»z.iO':
x^x,iz„v'.r-xi.xjr^v'.z = XimX^Xm.D',
Xt.x,jrm.V'.z-Ximr„z^V'.x = Xi.r^Y„B'.
X^rimZ.,V'.X-Xi.X.iZ..C'.r=X^Z^Zt.B';
x^r^Zm.B'.r-x^r,.r„B'.z^ ri.^.iX_c-.
rimrm,ZuB'.x-Xi.r„z^v'.r= r^z^Zu-B'-,
X,mZm.Z^B'.r—Xi.Tm.Z^B'.Z = Z^XimTl—V.
X^Y^Zm.B'.Z-T,.Z„Zi,V.X=2Z^Tt.1^V',
ri.z^z^B'.x^Xi.z„z^B'.t = z„ZmZi.b':
Xi.x^z.iB'.r-Xu.x^r„B'.z = i[i.x^x„B,
1.x,. Fj D'.Z- A- FjZi. O'.i = i_ F.1 Vi. C,
b F..2.|[7<. j;~.&i.2»Zu C. F= Xi.Zd Z_ C;
».F_Zut;'.F^A-,.r».FjB'.Z= F«*.X.,0'.
i.F_F^'t;'.Z-F_Fi,Zn, ■D'.jr= F«,rjT».D'.
_iF,i,Z,.P'.A_jr_F,.iZi.t;'.F=F„Z»,Z_iD';
_ZbZ^v.F-jr_ F.I Zt. i7'.z = Zi.jf„x^ir',
i.r»ZM(7'.z^F_ai.z>iC'.J^=iZ^4'_rb(i',
..Z,.&iC.Z— X_Z>,Z^ 17'. r= ZbZ,aZ_«'.
der Bedingunffen astatUcker Spsieme von PunlUeit^ 423
Wenn man die Gleicbunge« in jedem^ dieser nenn Systeme
dreier Gleicliungen zu einander addirt und dabei die aoe dem
Obigen bekannten Gleichungen
berücksichtigt, so erhält man die folgenden Gleichungen:
(JUir«<Xto+A.i rj»T»„-i*^»i.Zi..z»/)i7' =r 0,
( Firf Jr«. Xa. + Ffa, F,a Y«i + Ffa, Z»«,Z.,/) £7' = 0,
(Xun XnlX^ \ Xim Y^Yni + XnlZmnZlm) ü' = 0,
(n»XiX«,+ Yb^ F««Y,a-» Y^ZniZimW = 0,
(Z^AteX«,-!* Zum. FteT«!^ Zm„ Z«/Zi..)£7' = 0;
{XhnXnmXnl-{'Xmn YnlYlm -{- XimZniZmn) ü' = 0,
( Y„ XlmXniA^ Ymn YnlYtm + Yni Zun Znm) ü' = 0.
(Zin, jr,MX«i -I* Z«/ Fi».Ti»^ Za» Z„/ Z».n) £7' = 0;
wobei ntan su bemerken hat, dass nach dem Obigen:
Xlm Ymn := YimXwm, YimZmB = Zürn ^jm, ZimXmm = XlmZmu^
Xwm Yni = YmnXnip Ymn Zmi = £mi Fr/, ZmmXni = Xmm Znl\
Xnt Ylm = YniXim. Yni Zim = Z«./ Fto, ZniXim ^ XniZbm
ist.
i. 5.
Wenn die Grossen:
Xi^, Ykmf Zbml Xwm, Fam, Z»»; Xmi, Yml, Zni
nicht sämmtlich rerschwinden , kann man den astatiscben Zustand
des Systems der Punkte auf folgende Art herstellen.
Da wenigstens eine der vorstehenden Grössen nicht ver-
schwinden wird, >se sei etwa Xim diese liicht verschwintlende
Grösse. Dann werden die aus dem vorhergehenden Paragraphen
bekannten Gleichungen:
Fap.JT— iffa,. F= Zftn,
Ate «^ Z^— «"tZln» . JP ^=
424 Gruneri: Anaipüscäe Etitwichelung
erföllt, wenn man ftlr ein beliebiges X die GrSssen F, Z dardi
die Formeln:
A/m Alm
bestimmt; und aus den beiden obigen Gleichungen folgt:
F/mZ/m.A— XlmZim» F= ZlmZlm,
XlmYlm^Z — YimZbH'X^ YimYimi
also durch Addition:
ir/m(z&». r- Fi«.z) = - (Ffa,Yi«+Zfa.Zim),
folglich nach Rel. IX.:
Xim(Zlm- F— Vim-Z) = JTAnXAn,
also» weil Xim nicht verschwindet:
Zlm. F— Ylm» Z = X|m»
so dass also auch diese Gleichung erföllt ist , und folglich die drei
Gleichungen :
Zhm . F— Ylm • Z ^ X|m »
Xim.Z —Zlm^X = Yfa,,
Fim.A^Ain. F= Zlin
zusammen bestehen.
Diese drei Gleichungen reprSsentiren offenbar eine gerade Lini«.
Die aus dem vorhergehenden Paragraphen bekannten Glei-
chungen :
YbnX'^XtmY', XlmZ':^ZlmX'
werden erfiillt» wenn man f3r ein beliebiges X' die Grossen Y',
Z' durch die Ausdrficke:
F' = ~^jr', z' = f=jr'
Xim Xim
bestimmt; und aus den beiden obigen Gleichungen folgt:
XlmZimr=^XimYimZ':= YlmZimX' ,
also» well Xkm nicht verschwindet:
ZimY'^YimZ',
der BedtHfunffem attaOteher 89$teme tan PtmMlea. 425
so dass alao auch diese Gleichung erfiQllt ist, ond folglich die
drei GleichuogcD:
rb„x' = x,mr',
Zj«F'= YtmZ',
zosamroen besteben.
Diese Gleichungen reprSsentiren eine durch den Anfang der
Coordinaten gehende gerade Linie.
Nimmt man jetst, was verstattet ist, X' als nicht verschwin-
dend an, so kann man:
ZL.X—ZLx
*> = — X' '
SM.X-ZMx
V. = jp .
-. SN.X-ZHx
setsen; und es frSgt sich nun, ob durch die im Vorhergehenden
angegebenen Werthe auch die flbrigen noch zu erflSlIenden Glei-
chungen, nSmIich die Gleichungen:
ZL*-ZL.Z = -»,Z';
EMy-SM.T^ — TftY',
2?il/i— 2?;V.Z= — V,Z';
ZNy-SN.Y=-9^Y',
i!m-£rf.z = — 9iZ'
erfOllt werden, wie es erforderlich ist, wenn der astatische Zu-
stand wirklich hergestellt werden soll.
FOhrt man die obigen Ausdrücke von F. Z; Y', Z' ; JF| in
die beiden ersten Gleichungen ein, so werden dieselben:
2Li,-£L.{^^^X-^J = y ^X .
^I.-ZL.(^iC + ^ = -
£L . X — £Ijx Ztm ^f .
also:
2L!f.2Cim—SL.(Yh,.X'-Zbn)zs~(i:L.X-2Lx).Yim,
SLt .Xim-SL.{Zim.X-\- Yta) = -{SL.X- £Lx) . Zi» ;
28»*
4at crunert: Atuttsuaclte eulu^ckgliDig
rolglieh :
ZLx. Ti^-SI^Xi. = SL.Zi.,
SLi.Xim — £Lx.Zt.= ZL.Iu.;
welche Gleicbuogeti nach Rel. XXI. wirklich erllalll sind.
Fahrt man die obigen Ausdrücke von Y, Z% ¥', Z'; V,
die beiden zweiten Gleichungen ein, so werden dieselben:
^"i-^"\11L''-& le AI.*'
^*— =«(t*+K)=--
folglich ;
Smx. Yb.-Ziay.Xim = XW.Zta,
£lUz.Xb,-£Jtlx.Zb^^ Sia.Yi^;
welche Gleichungen nach Rel. XXI. wirkticfa »rfillt sind.
Fahrt man die obigen Ausdrficke von T, Z; F', Z'; S, i
die beiden dritten Gleichungen ein, ao werden dieselben:
2iV.
--(l£--^=--"-^^'t:-'-.
iJfs.j:>,-i;j».(Fi.j:-z»,)=_(zff.j:_iivi)i'i.,
SIft.Xlm-£N.^ZimXtYi.)=—(lS.X-ZK:r)Zim;
llich:
ZKc. F,.— ZiVs.jIi. = av.Zi..
SSi.Xm —^Kr.Zu, = ZA'.Ytoi
i ist aber, wie man leicht findet;
h.Xi.— £Nj:.Zi. = ZJV.Yi,-(Zi.r„+Z».Yj+ZW.riJi
der Bedingungen astatiacher Systeme von Funkien. 427
und die beiden vorhergebenden Gleicbungen werden folglich nur
dann erfOllt nein, die hier gegebene Auflösung wird also auch
nur dann zum Zweck fQhren, wenn die beiden Bedlngungsglei-
cbungen:
£L Z„ + 2JU.Zni + SlS.Zu, = 0
erfallt sind.
Die Gleichungen den Arm» des Paar« sind offenbar:
(F,-Y,)(ar-Jr,) = (i:,-X,)(y- F,).
(Z, - Z, ) (y - F.) = ( r, - YO (X- Z,).
(A-, - Xi) (t - Z.) = (Z, - Z,) (x-XOi
also :
F'(x-jr,) = J['(y-F,),
z'(j,-r,) = F'(x-z,).
X'(x-ZO =Z'(a;-Jf,);
und folglich wegen der aus dem Obigen bekannten Gleichungen;
Y,„X' = Xlm¥',
ZlmY'^ TlmZ',
XbnZ' = Zla,X'
offenbar :
Xim(z-Z,)^Zun(üP^XO
oder:
Zlm-y— Ytm.Z= ZlmYi — VimZi,
Xum • I — -Z/m. a; = XlmZi — Z/m -¥| ,
Flw.ar — Jlffm.y = F/m^i — A/m F|.
Nach dem Obigen kann jeder Punkt in der durch die Gleichungen ;
Zlm-y — Tim^X = Xim,
Xlm't — Zlm.J? = Yim$
Vlm-X — ATfai.l = Zfai
charakterisirten Geraden, welche nach den vorhergehenden Glei-
chungen offenbar dem Arme des Paare parallel und eine bestimmte
oder feste Gerade im Systeme ist» als Angriffspunkt {XYZ) der
Kraft R angenommen werden. Diese durch die vorstehenden
428 G runer t: Analyllsche Entwtckeiutig
Gleicbuogen cbarakterisirte bestimmte oder feste Gerade im Systeme
bat man die Centrallioie des Systems *) genannt.
Die vorbergebende Auflösung ist im Wesentlicben die AuP*
tosong, weiche Brocb in seinem'zwar, wie es scbeint, nicht nacfa
Verdienst bekannten, aber in vielen Beziehungen sehr zur Beachtao^
SU empfehlenden ^^Lehrbuche der Mechanik. Erste Abtbei-
lung. Berlin und Christiania. 1849. §. 57.*' gegeben hat.
Die von Duhamel in seinem bekannten ,, Lehrbuch der ana-
lytischen Mechanik. Uebersetzung von Scfalomilcb.
Erster Band. Leipzig. 1858. S. 66. — 8. 68. '* gegebene Aaf-
losung halte ic bför sehr mangelhaft, und dieselbe hfitte jedenfalli«
durch eine andere ersetzt werden sollen. Ich unterlasse der Kflrte
wegen eine ausfiShrlichere Discussion dieser Auflösung, die übri-
gens mittelst der von mir in dieser Abhandlung entwickelten For-
meln leicht, wenn auch nicht ohne einige Weitläufigkeit, gegebeo
werden kann, und will nur im Allgemeinen bemerken, dass die
von Duhamel gegebenen Formeln, wenn sie anwendbar sein sol-
len, offenbar voraussetzen, dass in seinen Zeichen die Grossen
^i> ^9 l'> V' ^ nicht verschwinden; da aber (»S. 67. der Ueber-
setzung) :
gesetzt worden ist, so dSrfen a, Oi nicht verschwinden, und die
Auflösung setzt also voraus, dass die Grössen a, O], 6i, e; nSm-
lich in unseren Zeichen die Grössen Fim, Zu/, AT/m, Xmi nickt
verschwinden, wozu denn noch die beiden Bedingungsgleichungeo:
aöc = 0|6|C|,
a,c, (^|Äi-FF,) + ac(Ä|Cl -/>/),) + «c, (C,4i -£iBi)=0**)
kommen. Ueber diese beiden Duhamel' sehen Bedingungsglei-
chungen, welche in unseren Zeichen so lauten:
Xlm «mn Z«/ = Änl mtm Zmn >
'ImXniAmn + 'Im Imn I nl + 'mn ZniZilm ^ 0 ;
s. ro. den vorhergehenden Paragraphen. (S. 423.) Diese Bemerkungen
über die auch wenig symmetrische Duhamel' sehe Auflösung mögen
för jetzt hier genügen. In der neuesten Ausgabe des Werks von
Duhamel, welche ich im Original allein besitze : Courade M^ca*
*) Auch Astntiache Mittellinie.
**) Nach Verbesterung eine« Fehler« in der Uebersetzang.
der Bedingungen mtnlixcher Systeme von Punkten. 429
niqae» par M. Duhamel. Troisieme Edition. Tome pre-
mier. Paris. 1862. — Tomesecoiid. Paris. 1863., findeich
ein Kapitel über den hier behandelten Gegenstand gar nicht.
V.
Herstellung des astatiscben Zustandes ei*nes nicht
astatischen freien Systems von Punkten durch Hin*
zuffigong einer Kraft und zweier Kräftepaare.
§1.
Wir bezeichnen die dem Sytiteroe hinzuzufügende Kraft durch
R"^ die 180^ nicht öbersteigenden Winkel, welche die eine der
beiden Richtungen ihrer Richtungslinie mit den positiven Theilen
der Coordinatenaxen einschliesst, durch 0, a>, o; die Coordinaten
ihres Angriffspunkis durch X, Y, Z, Die 180^ nicht überstei*
genden Winkel, welche Obereinstimniende oder gleiehstimmige
Richtungen der Richtungslinien der Kräfte des einen Kräftepaars
mit den positiven Theilen der Coordinatenaxen einschliessen,
bezeichnen wir durch d|, a>|, 0| ; die Coordinaten der Angriffs-
punkte der beiden Kräfte dieses KrSftepaars wollen wir durch
A^i , F|, Z| und X|, Y| , Z| ; und die an dem Punkte (^| F|Z|)
wirkende Kraft des Kräftepaars durch Ki bezeichnen. Für das
zweite Kräftepaar bezeichnen wir die den vorhergehenden ent-
sprechenden Grössen durch 6^, (o^, Q^; Jf^, F«, Z«; X«» Y^^
Z^; Rt' Der Körze wegen setzen wir:
Rco86z=X, Rcoam ^P^ 12 cos 6 =5;
Ri cos dl = X| , Rf cos (0| = Pi , ß| cos 0| = 9| ;
R^co862 = ji^2> i^s^^^ ^« = V%f 12s COS Q^ = 9t;
und:
Ä'=jr,-X,. r' = K,-Y,, Z'=Z,-Z,;
X SS X^ — Xg, ¥^ ^ Fj — Yj, Z = Zf — Z(.
Ganz auf ähnliche Art wie frflher erhalten wir nun, wenn der
Kflrze wegen noch:
430 Grunerl: Anati/lhche Entwtckeluug
gesetzt wird, die folgenden Gleichuogen :
ZiVx+5* + 5* = 0. -Siyy+5f45,= 0, 2A'» + 5Z+5. = 0.
Die GrSssen: ^
», V. 5; -y. F, Z:
»,. Vi. 5i; -X'. F', Z'; Jl^. y,, 5,; Jf", Y", Z"
müssen so bestimmt werden, dass diesen sSmnitlichen Gleichun-
gen genügt wird.
5.2.
Sogleich erhält man:
und kann nun di« oliip*n Gleichungen auf folgende Art darstellen:
Ms=^£L.X--£La:, Icy =^ ZLY—üLy, JP« = 2; iL . Z - 2:tx ;
T^j, = EM, X - ZMx, p,, = ZM. F- ZMy, l^^=z£MZ ^£Mz;
S, = EN.X—ZNx, $y = ZiW Y-Z]Sy, $»= ZN.Z-^ZNz.
Auit den Gletrhunceii des vorhergehenden Paragraphen, nfim-
lich aas f\en Gleichungen:
MiX'+M^X'z=Mx, 3r,r f3r,F'' = ]Py. 3r, Z' + JF^Z" = Jf.;
Vi^^'+Vt^"^Vs. P,F' + P*F"=Py, p,Z' + P,Z" = V.;
Si X' + 5jA"= Ji-, 5| F' + $4 F" = 5y, 5| Z' + SaZ" = S«
folgen die Gleichungen;
«,( F'Z" ~ Z' F") f J^(Z' JT" - X'Z") i I.(Ji:' F" - YT) = 0,
p,(F'Z"-z'ro+9y(Z'A"— ir'z")+y«(-X'r'- F'jf'o =o,
5,(F'Z"-Z'F")+5y(Z'Ä"-i'Z'') + 5.(;rF"- FX'O =0;
also« wenn mao ßlr
der ßet/ftifftitiffeti asfaliiCher Syttemr ton Punkten. 431
l?z> Xy> SF«: l^t, )>9, I*«; %x, Sy. $(
ihre obigen Werthe einfilhrt, die (>leichutigen :
2:lx. ( r'Z"-z' F*") 1 2;Lir.(Z' A'"- ä'Z") fi:L».( jf' r'- y'X')
= -Z:L.|Jr(F'Z'— Z'F")+ f(Z'A"— Jf'Z") + Z^X'Y"- PA")!,
i:iifx.(rz"-z' F")+2:yifj.(Z'jf"- jf'z")+i;iWi.(Jf' r'- F'A")
= siM.\X(yz"—z'Y")\ y(Z'X"—x'z") + z(X'r'— f'A")i.
2;iVx.(F'z''-z'F")^-^^y.(Z'jr'-Jf'z")+l;iVl.(A'^'-F'l:")
= £N.\X{Y'2f'—Z'Y") + Y(Z'X"-X'Z') + Z(X'F"- F'JTOl;
denen aUo jedenfalki genügt werden muas.
Nun haben wir aber nach Rel. XVIII. die folgenden (xfeicbnngen :
£Lx.(£L.Xmn + 2M.X.I f SN.Xb.)
+ iLy.(2L.Y». + ZM.Y„ + £N.Yi^)
f ITLz .(i:£.Z». + -Sitf-Z« + 2y.Zim)
= 1;£.(2:£x.Xm. + SLp.Ymm + ZLi.Z«,),
i:jfa;.(2;L.x«,+ 2?ii/.x,i+ lr^.x«,)
+ .EAfy .(ZL.Ym. i^£M.Y^-i^£If.Yim)
+ £Mt.i£L.Zm, + £M. la + £111. Zh.)
= .EJf.(.E^a:.X,rf + £My.Y„ + ITilli.Zw),
i:iV2-. (££. X». -I- ITAf . X.i-f -S^i^. Xi.)
, -^■£liy.{£L.Y^-\-£lll.Y,,-^£ll.Yim)
^£Nx.(£L.Zm,+£M.Zia+£N.Zim)
= 2W.(2A*.Xh. + £Ni,.Yb, + £Nz.Zim);
wo die GrSsaen :
£Lx . Xm. + £Lg .T«. + £Lx .Z».
-S»«. X.! + £My.Y,i + -SÄ» . Zu,
£Nx.X,m +£Ny.Yi^ i^iVi.Z«.
einander gleich aind; also wird den zu erRillendeD obigen Glei-
chungen offenbar genügt, wenn man. indem n eine beliebige nicht
yerscbwindende Grösse bezeichnet:
430 Grüner t: Analf/tische Ettfwickelwig
gesetzt wird, die folgenden Gleichungen:
2;ilfx+pJlC+V, = 0, 2:%+l|>F+|>y = 0. 2?i!f24PZ + y. = 0;
Die Grossen:
». y, $; JT, r, Z;
«i, Vi. 5,; X'. y. V\ ^, Pt. 5t; -^". »"'. 2"
müssen so bestimmt werden » dass diesen sämnitlichen Gleichun-
gen genQgt wird.
{.2.
Sogleich erhält man:
und kann nun die ohigi*n Gleichungen auf folgende Art darstellen:
S, = 2:/v.ir— 2;/V:c, 5y = 2;/V. F-2;^y, s«=:2:^^.z--^^2.
Aus den Gleirhunt^eu des vorhergehenden Paragraphen, nim«
lieh aus den Gleichungen:
MtX'+M^X'z=Ms, ir,F' f3r,F'' = J^. ]P,Z' + Jf,Z" = aF.;
folgen die Gleichungen:
«,( F'Z" - Z' F") f J^(Z'^" - Jf'Z") i X,{X' Y" - ¥'X") = 0,
fx(r'Z"-z'r')+T!>g(Z'X"—x'z")-\-ip,{X'r'— rx'^ =o,
SMi¥'^'-Z'r")+9y(Z'X'-X'Z') + S,(X'¥"- rx") =•;
also, frenn man üDr
der ßei/ingungeti as/alise/ier Sffttemf vov Pnnklfn. 431
Iti, Xy, 7c»: 1^,, |>y, )*•: $i, 5,, $.
ihre obigvn Werthe einrilhrt, die (»leichungen :
sLx. ( Y'H'-z' r') 4 i;Lif.(Z'.r- jt'z") f i:L*.(J!f' r'- K'A")
SMx\ TH'-Z' r")+£Mif.iZ'X"-X'Z"H2:iHx.(X' T'- T'X")
= ZU.\XiY'Z"—Z'Y")^ Y(Z'X"—X'Z")iZ{X'Y"— Y'X')u
ZNx.iY'Z'-Z' »■") t-£JSy.(Z'X"-X'Z"H2]!fx.(X' Y"- Y'X")
= Zß/. I JK F'Z" - Z' F") + Y(Z'X" - X'Z') + Z(X' Y"- Y'X")\ ;
denen also jedenfalls ^niigt werden musa.
Nun haben wir aber nach Rel. XVIII. die folgenden Gleichungen :
SLx.iSL.Xm, + 2M.X.I f Slf.Xim)
+ ZLj,.(ZL.Y^ + ZM.Y,t + SN.Yin,)
+ ULt .(2:i,.Z».+ ^;if.Z.i + ZW.Zbn)
= ir£.(££;r.X». + SLj/.Ymn + l^Lt.Z««),
IJüfar . (2:L . X«, + 2;il/. X,/ + ^^. Xto.)
-fX«x.(Z£.Z«, +iiir.Z.a + ^iV.Zj«)
= Xilf.(i^a:.Xrf + SMy.Y^ + ^Jlfi.Zw).
l:^J: .(ZL.Xm,-\^ZM.\ni-\- ZN. Xte)
, +2;iVy.(2L.Y«. + Zilr.Y.;+^^.Yto)
+ ZNz . (ZL. Z— + ZM. Ziri + X/V . Zb.)
= ZN. (ZNx . Xta. + ZN,, . Yta + ^^i . Zfa.) ;
wo die Grusaen:
einander gleich «ind; also wird den zu erfüllenden obigen Glei'
chungen offeobar genOgt, weno man, indem (i eine beliebige nicht
verschwindende GrSeae bezeichnet:
432 Crunerl: Anatptlsehe Entteickeluttg
Y'X' - Z' F' = yi(Zl. \nm + -Eilf .X.a + ^^.Xj.),
Z'X'—X'Z" = ^(irL.Y«. + 2?» .Y,u + 2;iV.Yj«),
X' T'- F'Ä"= ^(IJL.Z«» + SM.Z^ + ^iV.Zta,)
und:
JK ( TU'— Z' Y") + F(Z' X" - Ä*'Z") + Z( JK' F"— F' JT)
= ^(2:iar.X««+ ZJiy.y»,+ Xtt.Z,«,)
setst
Weil aber:
Jf'(F'Z"— Z'F") + Y' (Z'X'—X'Z") +Z'iX'Y"— Y'X') = 0.
X"iY'Z''—Z'Y")+ F"(Z'J["-Jf'Z")+Z"(A'F"- F'Ji:")= 0
ist, 80 haben wir offenbar die Gieichnogen:
(SL.Xmm + £M.X,t+ i:N.Xim)X'
+ (ZL. Y«. + Ziir. Y„i + ZN.Yim) F' J = 0,
+ (ZL.Z«, + 2M.Z.i+i:ii.Zim)Z'
(SL.Xmn + 2m.Xnl+ SN.Xlm)^'
+ {£L.Ym, + Züf . Y./+ i:iV. Yto) F' J = 0;
+ (iL.Z«, + -Sjlf.Zi+2:iV.Zfa,)Z"
8o wie nach dem Obigen die Gleichung:
i2L.Xm> + £M.Xni+ SN. Xto) X
+ (SL.Ym. + -SAf .Y«i+^^. Yfc.) F
+ (2;t.Z«i + £M.Zni+ SN.Zim)Z
= ZX-x-X«. + SLy .Y„ + £Iä .Z»
= EMx.Xni -f SMy.Ynl +£Mt.Znt
= iAa: . Xta + £]Ss .Zfa, + XiV».Zi>.
Diesen Gleichungen entsprechend mOssen also die Grössen:
X', Y', Z'x X', Y", Z"; X, F, Z
bestimmt werden.
Wir wollen nun annehmen, dass die Grössen:
der Bedingungen astaUseker Sptteme von Punkten. 433
2:L. X«. -f SM. Xw + ZN.Xb»,
2L.Ym. + £M.Y„i + SN.Yim,
ZL.Zmm -f SM.Z,, + ZN.Zlm
nicht •ämmtlich verschwinden, und dass etwa die GrSsse
2L.X«. + -S^.X.i+ iiV.Xfa.
nicht verschwinde. Dann bestimme man X' , Y' , Z'; X", Y", Z"
80, dass den beiden Gleichangen:
(iL. X», + SM. X,i + SN. Xim) X'
+ (SL.Y^ + 2JU.Y„ft-2N.Yim)Y' J =0,
+ (SL.Z^ + ZAf.Z»/ + £N.Zbn)Z'
(2L.X„-i-2M.X.i+2N.Xi„)X"
+ (2L.Y^ + SM. Y„ + 2N.Yb,) Y" }=0
+ {2L.Zn„ + 2M. Zn, + .SiV.Zta) Z"
genfigt wird und die Grösse Y'TP'—Z'Y" nicht verschwindet.
Weil nun aus den beiden vorstehenden Gleichangen sich die
Gleichangen :
iSL.X^ + 2M.X.I + 2N. Xte) {X' Y"- Y'X')
= (2L.Z^ + 2:i/.Z.a + .SiV.Z/«) {Y'Z"-Z' Y"),
{2L.Y^ + .TÄ.Y^ + 2N.Yun) {Y'ZT' - V Y")
= {2h . X». + .Eüf . X»i + iiV. Xfa.) (Z'X" - X'Z") .
{2L. Zmm + 2IU.Znl + iiV.Zi») (Z'A" — JT'Z")
= (.SL. Y«» + 2M.Y,i + SN. YL) {X' Y" - Y'X")
ergeben, so ist wegen der gemachten Voraus Atzung :
v/ vn xri vt, _ 2L.Zmm+ 2M.Znl + 2N .Zhm , -, — , y, „,.
XY ^Y K - 2L.X^+2M.Xn, + 2N.X,^ ^'^ ^"^ '^ ^'
yi-V" VI ff 2L.YmH-{- 2M .Ynt-\-2N .Ylm ,t,,r„, wv"\.
ZX -XZ - zL.X^^2M.TC,t^2N.Xu. ('^ ^ -Z K ),
folglich, wenn wir
F'Z"-z'r' = f*(2?L.x«„ + -Sil! .x„/+ 2;^.Xl«)
setzen» wo ^ nicht verschwindet, weil Y'Z" -^ Z'Y" nicht ver-
schwindet, offenbar:
Theil XLIX. 29
I
Z'X"
f'
XZ"
X' Y"
»*
F'X"
434 Orunert: Analfittache Entwlcketung
Y'Z"- Z' F" r= ii(SL.X„ + SM.Xa + ^^.X|.),
Z'X!'-X'Z" = ^(^L.Y«,„ + iitf.Y,ü + -SiV.Yto).
X' F"- Y'X!' = ^(2L . Z», + -Süf . Z,a + 2N. Za») ;
also:
vtnni 2,' Y"
£L.Xmn + i:M.Xnl + 2iV. Xfa =
2L.y«. + ^ilf. Y„i + ZN.Yim =
1:L. Zm. 4^ ^Af . Z„i + £N. Zfa =
Hat man nun X, Y, Z so bestimmt, dass der Gleichung:
(2;L . Xm« + ^Üf . Xnl + i:N.'Klm)X
+ (iL. Y™. + 2ia.Y„, + 2iV. Y,„) F
+ (üL.Zmn + 2;il!f.Z«i + 2N.Zlm)Z
= ZLx .Kmai-2Ly .Ym + SLx.Zmn
= ZMx.Xni +2My.Yni + 2]Uz.Z,i
= 2Nx . Xbn + -EiVy . Y/« + XiVi. Zfa
genügt wird; so ist, wie sich auf der Stelle durch Substitntioo
der vorhergehenden Ausdrücke in diese Gleichung ergiebt:
jf ( FZ"— Z' F') + Y{Z'X"—X'Z") + ZiX' F" - F'JT)
= ii(2Lx . Xmn + ^;% . Y«, + 2Lt . Z«,)
= ^(2?Jf2;.X,a ^SMy.Yni +2Mx.Zni)
= K-S^«-Xto +^%.Yta +-SiV*.Zfa,).
Hieraus, in Verbindung mit dem Obigen, geht also gans unswei-
deutig hervor, da«s unter den gemachten Voraussetzungen, weno
man X', Y'. Z'; X", Y", Z" so bestimmt, dass den Gleicbangeo:
{ZL.X^^Zia. Xni + £N. Xim) X'
+ (-St. Y™. + ZM.Ym^^ 2N.Yi„) F' J = 0,
+ (2L.Zmn + 2M.Zni^£N.Zb„)Z'
(2L.X^ + 2M.X^+ 2N.Xim)X"
+ (2L.Y„-t^2M.Yni^ 2N. Y/„) F" J = 0
+ (2L.Zm, + 2M.Zni + ^iV.Zfa.)Z"
genügt wird und Y'Z"-~Z'Y" nicht verschwindet; remer X, Y,
Z so bestimmt, dass der Gleichung:
der Bedingungen astartsciier spsteme von Punkten. 435
{SL.Xmn + EM. X.I+ SN.Xbn)K
+ {SL.Y„, + 2Ä. Y.I+ £N.Yün) Y
+ (-SL.Z™, + EM. Int + l^iV.Zta) Z
=zELx.X,^^-ELy.Y„n^ELi.Zm*
= EMx.Xni + EMy.Yni + EMt.Zni
s= ^A^ar.Xfa. + ENg.Yim + -SiVj.Zfc,
genfigt wird: dann allen drei obigen zn errsllenden Gleichungen
ztrioehen den Grössen
X'. F. Z'; X", V", Z"; X. Y. Z
Tollsländig genfigt wird.
»
Die Grössen
Xx, Xy, X,; Tpx, Py, p,; Sx, 5y> 5«
lassen sich nun mittelst der oben fiSr diese Grössen gefundenen
Ausdrücke durch X, F, Z berechnen.
Aus diesen Ausdrficken, mit Rfieksicht auf die zwischen
X, Y, Z Statt findende Gleichung, erhalten wir leicht die folgen-
den Gleichungen :
(EL.X^ + .gyn .X,i+ EN.Xbn)Xx
+ (ü . Y„„ + EM. Yni + EN. Yta) Xy
+ (EL.Zmn + EM.Z„i + EN. Zfa.) X,
= EL.(ELx.Xm,-^ ELy.Yn^ + ELt.Zmm)
- ELx .(EL.Xmn + EM.Xni + EN. Xj»)
- ELy .(EL.Y„„ + EM.Ynii- EN.Ybm)
- ELz .(EL.Z„„ + EM.Zni+EN. Z/») ,
{EL.X^-I^EM.X.,+ EN.Xtm)Vx
+ (EL.Y^ + EM.Y,! + EN.Yk,)T^y
+ (EL.Zm, + EN. Zn, + EN. Zfa,)p.
= EM . (EMx . Xni + EMy . Y,, + EMi . Z,/)
- EMx . {EL .Xnm ■\^ EM .Xm^ EN . Xi»)
^EMy.{EL.Yn»^^EM.Y,,^EN.Ybn)
-EMt.{,EL.Zmm ^^EM.ZniA-EN.Zt^,
436 Grüner t: Analytltche Enltoiekelung
(ZI, . Xm. -I- SM. Xa-^SN. Xfa.) 5,
+ (2L. Y«i+ SM.Y^ + SN. Yfa,)5y
= 2;iV.(2;iVar.Xta + ^^y.Yfa. + SNz.Ztm)
— £Nx . (2L .Xmn + SM.Xnl-t^ £N. Xtm)
- £Ny.{SL.Ynm + SM.Ym + ZJV.Y*.)
also nach Rel. XVIII.:
(ZL . X», + 2:^ . X,i + -S^. Xto,)X,
+ (ZL.Y«,+2itf.Y,; + -SiV.Yto)», J =0,
+ (2:L.Z«» + SM.Z^ + ZiV. Zto)X.
(ZI,. X»,+ SM. X,i + ZiV.Xto.)!»,
+ (ZL. Y«. + -S1#.Y,u+ ZA'.Yi«)!», J = 0,
^{ZL.Zmni^ SM.Z,I+ 2N.Zlm)V,
(SL.X^ + SM.Xnl+2]S.Xlm)Ss
+ (2L.Y^+2M.Ynii-2N.Ybi,)S9 J = 0.
+ {2L.z^ + zai.Zni + 2:^.Zto)5.
Immer unter der Voraussetzung, dass die Grosse
2L.Xm, + £IU.Xnt+ SN.Xtm
nicht verschwindet, bestimme man nun die GrSssen 1F|> 1^ so,
dass den Gleichungen
X,F'+JE,F" = »„ *, Z' + «,Z" = je.
genOgt wird ; dann ist :
( {£L .Y„^+21II.Y.i+SN.Ybn)T' \
*M +(£L.Zmm+£M.Z,U + £N.Zlm)Z' f
( (2L.Y^ + SM.Y.I+ £N,Yb„) ¥" ^
'^^X +(2L.Z„n+£M.Z,i+2N .Zb»)r 1
= (2L.Y^ + 2ai.Y„i+2N.Yim)Xg
+ (2L.Zmu + 2M.Z,i + 21!f. Zfa,)«..
der Beätnffungen astaiiscäer Spsieme von Punkten. 437
also nach dem Obigen:
+ (2;i.x«„+2;^.x„l+^^.X/m)ilF.x"
und folglich, weil der in allen Gliedern vorkommende Factor
nicht verschwindet:
60 das« also die drei Gleichungen:
erfüllt sind. Ganz auf dieselbe Art verßihrt man bei der Bestim-
moog von ^19!^%% 5i> ?s> so ^^^^ a's<> """ ^1^ Gleichungen:
sämmtlich erfQllt sind, wie es erforderlich ist.
Offenbar sind nun alle Gleichungen erfQllt, welche erfiSlIt sein
mfissen, wenn das System der Punkte astatisch sein soll. RQck-
sichtlich der Bestimmung von /2, cosd, cosoo, cosc5; /2i, cos^i,
co8o>|, co8c5|; i?s, cos^s, cosoo«, C0SO2 und von Xx^ F|, Zi ;
X|, Y|, Z|; X^y F«, Z^; X«, T«, Z^ ist hier nichts weiter zu
sagen.
Wenn die Grössen:
-TL. Xm»+ 2;itf . x«/+ 2;iv.Xim,
2:/..Y«„+2?ilf.Y./+2W.Yfa.,
sämmtlicb verschwinden, werden die Gleichungen:
= 0
440 Crunert: Analpttsche Entwtckeiunff
+ (2L.Ynm + ^M.Ynl+^N.Yim)y
+ i2L.Zmn +^M.Zni + ^N.Zlm)2
=:2Lx.Xmn + ^Ly .Ymm+ SSLz .Znm
= ^Mx.Xmi+^My. Yni +2Ml.Znl
=^ 2Nx .Xlm+^Ny .Ylm +^Nz.Zbn
charakterisirte Ebene, in welcher nach dera Obigen immer der
Angriffspunkt (XYZ) der Kraft R angenommen werden muss,
hat man die Centralebene des Systems*) genannt.
Wenn überhaupt
ilor + Äy + Ci + Z> = 0
die Gleichung einer Ebene ist und (ooAo^o)» (^i^i^^i) z^ei Ponktr
sind, so ist die Bedingung, dass die durch diese beiden Punkte
gehende Gerade der Ebene parallel ist, die, dass die durch det
Anfang der Coordinaten dieser Geraden parallel gelegte Gerade
in die durch den Anfang der Coordinaten mit der Ebene paralM
gelegte Ebene hineinfällt, was, wie man leicht findet, analytisch
durch die Gleichung:
^(«o-«i) + Ä(&o-&i) + C(co-C|) = 0
ausgedrfickt wird. Weil wir nun nach dem Obigen die Glei-
chungen :
(2L.Xnm + ^M.Xni + ^N.Xim)X'
+ i^L.Ymm+^M.Yni + ^N.Yim)r >=0,
+ (2L.Zmn +^M.Znl + ^]S.Zim)Z'
(JL.Xfn^+^M.Xnl + ^N.Xün)^'
+(-^L.Y««+J'üf.Yn/+-yiV.Y/„) r' J = 0;
+ (2L.Zmm +^M.Zni+^N.Zim)Z"
also:
(2L.X^ + ^M.Xnii-^N.Xtm)(Xi^Xi)
+ i^L.Ymn+2M.Yni+^N.Yim)iri^Y0 ^=0,
i^L.Xmm+2M.Xnt+^N.Xbn)(X^'-X^
+ {2L.Zmn+^M.Zni+^]S.Zlm)(Z^ — Z^
*) Auch Attatitch« Mittelebene.
der Bedingungen astatischer Systeme von Punkten. 441
Ilaben ; so ist klar, dass die Arme der beiden Kräftepaare immer
der Centralebene parallel eind.
VI
HerAtellnng des astatischen Zustandes eines nicht
asiatischen freien Systems von Pankten, für welches
ist, durch Hinzafägung dreier Krfiftepaare.
Wenn wir uns für die dem Systeme hinzuzuitigenden Kräfte-
paare ganz ähnlicher Bezeichnungen bedienen wie früher, und
auch wieder der Kürze wegen:
Ri cos $1 = Xit Ri cos flO| = !Pi , Ri cos c5i = 5i ;
R^cosS^ = Jpj, R^cosm^ = (>,, A^cosOs = Sti
RsCOSd, =J^,, ^8^08 008=^3, f^, COS o, = 5, ;
Jl = Af — Xf, Y == #3 — 13, Z = Zj— Z^;
X!" = Aji — Xs , F*^ = Fj — Y3 , Z^ = Z3 — Z3 ;
y, jf'+V,Ä"+?>,ii:"' = Vs, p, F'+p,F"+i>,F''= !»y,
P,Z' + P8Z"+p,Z"'=l>x;
S, X'+»,Ar'+5,;r*' = 5t, 5, F'+S, F"+5s F" = 5y,
5,Z' + S,Z"+5,Z*' = 5.
setzen, so haben wir die folgenden Bedingnngsgleichungen zu
erfüllen:
SLx+l^x^O, SLyi^Xy=:0, ZJLi+Jr. = 0
2:ilfa: + p, = 0, 2;% + 5>y = 0, I!Mz^V* = 0
wobei man naturlich zu beachten hat, dass nach der Vorausset/iiiig
ist.
29*
442 Grüner t: Analp tische Enttcichelunff
Diese BedingungsgleichuDgeii sind nach den obigen Furmeln:
X'Xi + X"Xt + X'"X, = - £Lx,
Y'Xt + F"*, + F«'JE, = -2Ly,
Z% + Z"«a + Z«!, = — 2L2;
X'Vi f if"V, + A'"?), = - 2;»a:,
rj», + F'p, + F"v, = - ^%,
Z'J>, + Z"V, + Z*TI>, = - SMt;
X'Si + -X"5« + X'S, = - ^iVx,
r'S, + F"$,+ »""S, = -:SNy,
Z'Si + Z"S» + Z-^S, = - 2N2.
Uni nun diese neun Gleichungen sämnitlich zu errulleri, kann
man offenbar die Grössen :
X', r, Z'; Ä", F", Z"; A*^, F"', Z*»
ganz wilikuhrlich annehmen, und hat dann die Grossen:
mittelst der drei vorstehenden Systeme dreier Gleichungen de»
ersten Grades zu bestimmen.
Setzt man der Kürze wegen :
Ä = x'( r'Z''- z" v^) + F'(Z"^'*- A"Z'o + z'(jir' f*'- f"j*)
= A"( F-'Z'- Z'^F') + F'^Z*^^'- A'^ZO + Z'^CJC^'F-F^J:')
= J[*^(F'Z"-Z'F") + F'*(Z'A"-A'Z") + Z'*(j:'F"-F'jr),
so erhält man durch die Auflösung der obigen Gleichungen ohne
alle Schwierigkeit die folgenden Formeln:
^l-- — ' Ä *
_ ( r'Z'^'-Z^' Y'^SMxV{Z''X'"-X!'Z'")ZIUy-{-(X' F^- T'X'^EMi
( Y'Z'^'^X!' ¥"') ZNx +^ Z" A'"- X'^Z") 2NyH^' V- r'X^ZlUi
5i = ö. '
( Y^Z'—Z"' r)ZLx-\-{Z"'X!''X'"Z')2Ly-\-{X'' F'— Y''X')£Lz
3F,= -^
^ ( Y^Z'-Z'" Y)£MxHZ'"X- X'"Z')SJUy + (X'" F~ F^AQXif:
P,= ^ .
_ ( Y'^Z'—Z"' Y')EISx-{'(Z'^X'—X'"Z')ZNy{-{^'^ Y'^ Y'^X')£Ni
"- j^ '
der Beiilngungeu attattither Systeme t>on Punkten. 443
__ (V'Z"-Z'Y'')£Mx\{Z'X"-X'Z")£!asMX'r'~Y'X!')SMi
,__ {T'Z"-Z'r')SNx-\-(Z'X"-X'Zf')ENyHX'Y"-Y'X")ENt
Sollte J2 verschwinden, in w«>lchem Fall» die roriitehendeD For-
meln iit bestimmten Resullalen nicht fahren, so würde man die-
sen Fall dnrch Annahme anderer Werthe IQr
X'. y, Z'; X". Y", Z"; X", Y". Z"
Ificht vermeiden kSnoen.
Alles Weitere, was räcksichtlich <1er »bigen LSaung nncb zo
liemerken wjire, bedarf nach den Trfiheren, in äbnlicben Fällen
eepebenen Lrisuiigen einer besonderen Erläuterung nicht und
versteht sieb von Melbril.
vn.
Astatiacher Zustand eines um eine feste Axe drehba-
ren Systems tod Punkten.
Wenn ein System von Punkten um eine feste Axe drehbar
■Kt, und wir sagen, dass dasselbe astatisch sei, so kann der Sinn
hiervon offenbar nur der sein, dase tvir annehmen, dass dia ao
den Punkten des Systems wirkenden Kräfte In allen den Lagen
de* Systems, in welche sich dasselbe durch Drehung um seine
Ale bringen ISsst, unter einander im Gleichgewichte sind, so
dass in allen diesen Lagen die Wirkungen der Kräfte eich gegen*
seitig vollständig aufheben , wo natürlich alle früher rücksichllich
der Richtungen der Kräfte und der Kräfte selbst gemachten Vor-
aassetiuneen auch je(«t noch gClIig bleiben.
Ura nun zuerst ffir ein um eine feste Axe drehb
von Punkten die allgemeinen Bedingungseieichungen
»chen Zustande» in dem obigen Sinne aufzustellen,
die feste Axe als Axe der } oder x »n, und crhaltei
ganz ähnliche Betrachtangen wie frfiher hei ganz freie
was einer weiteren Erläaterong hier nicht bedürfen
444 Grunert: \naly tische Euf Wickelung
wir tt=0, r=0, cc = 0 setzen, die positiveo Theile der Axen
der f und z zasammenfalleo lassen, und die positiven Theile ^Ki
Axen der 9 und y so annehmen, dass man sich, uro von den
positiven Theile der Axe der x durch den Coordinaten winket (19)
hindurch zu dem positiven Theile der Axe der 9, und vod dem
positiven Theile der Axe der x durch den Coordinatenwinkel (J7y)
hindurch zu dem positiven Theile der Axe der y zu gelangen, in
gleichem Sinne bewegen muss, die folgenden Gleichungen:
£tif[:reo80ra;)-f ^cos(jr^)] — L[a?cos(t|ar}-|-^cos(i^)]) = 0,
Z\N[xcos{^x) -fycos(t^^)] — Afx) == 0,
Z[L%^ N[xcob{xx) +yco8(ry)]| =0.
Wenn wir annehmen ^ dass das System im obigen Sinne asta-
tisch sei, so müssen diese Gleichungen fQr alle Lagen, in welche
man das System durch Drehung um die Axe bringen kann. Statt
finden.
Bringen wir das System durch Drehung um die Axe in eine
solche Lage, dass der positive Theil der Axe der x mit dem
positiven Theile der Axe der jr, der positive Theil der Axe der
y mit dem positiven Theile der Axe der u zusammenfällt, so ist
offenbar :
cos(rjr) = 1 , cos(yy) = 0; cos(t^a:) = 0, cos(i^) = 1 ;
also nach den obigen Gleichungen :
-2:(ilfar— Lv) = 0, 2:(Ay— iVi) = 0, 2?(Lz— iVx) = 0.
Bringen wir das System durch Drehung uro die Axe in eine
solche Lage, dass der positive Theil der Axe der x roit dem
positiven Theile der Axe der 9, der positive Theil der Axe der
y mit dem negativen Theile der Axe der x zusamroenfUlt, so
ist offenbar :
cos(jra:) = 0, cos{xy) = — I ; cos(t?Är) = 1, cos(t|jy) = 0;
also nach den obigen Gleichungen :
2;(%4L.r)=:0, ^(iVar-ilf:) = 0, 2:(Lx + iVy) ^ 0,
Bringen wir das System durch Drehung um die Axe 10 etae
solche Lage, dass der positive Theil der Axe der x roit den
negativen Theile der Axe der r, der positive Theil der Axe der
y mit dem negativen Theile der Axe der 9 zusaromenC&llt, eo ist
offenbar :
dtt Bedtngungen Mlatiscker sytleme van Ptmklfn 445
co»(r^)= — 1, coB(rq) = 0; GO8(q3r)=0, co«(^) = — I;
also nach den obigen Gleichungen ;
Brinf;en wir das System durch Drehune: um die Aze in eine
solche La^e, das« der positive Tbeil der Axe der x mit dem
neitstiven Theil der Aze der i}, der positive Tfaeil der Aze der
y mit dem positiven Tbeile der Aze der X susainmeiitällt; so Ist
offenbar :
cos(rÄ) = 0, co«(rj) = l; cog(t)Ä) = — I, cos(it#) = 0;
also nach den obigen Gleichungen:
i(ilf.¥ + I«r)=0, E{Kx\mt)=Q. £(lt~Ng) = 0.
Zur Briiuteninfc des Vorhergehenden können Fig. I** bis
Fig. 4"* dienen.
Wir haben daher die folgenden Gleichungen :
£Mx-£Lg = 0. ZNs-£Slt = 0, £Lt—£Nx = 0;
ZMy+Zlx^O. 2:yx~£Mt = 0, £L>-f£Ay = 0;
ZMx—i:Ls=Ü. £Ny + ZMx = 0, 2Lt + £Nx=0i
£My + £Lx=0, £Nx^£Alt = 0, £Lx~£N}f =0;
aus denen man leicht die folgenden Gleichungen ableitet:
£Lt = 0, £Jllt = 0. £Nx = 0. £Ay = 0;
£Lx^£Ms = 0. £Mx~£Ls — Q
Daher haben wir jetat den folgenden Sats :
Wenn das System in dem obigen Sinne astatisch
ist, so ist:
££ = 0, £M=0, £y = Qi
£Lt = 0, £#i = 0, £Nx = 0. £Ns = iii
£Lx + £lUg — 0, £jax—£Lg = 0.
Dies Ifisst sich aber auch omkehren und nii
genden Satz behaupten:
Wenn
£L = 0, £M^0, £A = 0;
2Lt=0. £Mi = 0, £lix=^0, £l\
£Lx+£IUg = 0. £Mx~'£Ly =
Ist, so iat das System in dem obigen Sii
446 Grüner i: Analytiiche EtUwickeiung
Um dies zu beweicteo, bemerke man zuvorderst, dass» wie
sich aus einer einfachen Betrachtung von Fig. 1*^ bis Fig. 4***
auf der Steile ergiebt, allgemein:
(W) = (t^y). (ry)+(i;:r) = 360«— 1800=1800.
also:
cos(jr^) = cos(t^j^), cos(ir^) = — cos (90:)
und folglich:
cos(jra:) — cos {t^y) = 0, cos (r^r) + cos(t?a:) = 0
Ist.
Hieraus und aus der Voraussetzung ergiebt sich nun:
Z\M[xcob{xx) +ycos(Ty)] — L[xcos(9ar) + y cos (tjy)] I
= cos {xx) ZMx + cos (xy) ZMy
— cos {y^x) ZLx — cos {ny) ZLy
= cos {xx) ZLy — cos (ry) SLx
— cos (»ar) ZLx — cos (tjy) ELy
= t CQS {xx) — cos {x^y) \ ELy — | cos {xy) + cos {nx) \ ZLx
= 0,
E t N[x cos {t^x) +ycoB {py)] — Mt \
= cos(t>a:) 2Nx + cos(t?.y) ZNy — 23ti = 0,
£{Lz'—N[xcob{xx) + ^cos(r^)])
— 2Lz — cos {xx) 2Nx - cos {xy) ENy = 0 ;
und es ist also:
ZL = Q, ZM^O, 2?^ = 0;
£\M[x cos {xx) + y cos (jr.v)] - L[x cos (i^a:) + y cos (t>y)] 1=0,
2? t -^[.r cos {tfx) + y cos {tfy)] — Ät I = 0 ,
.TlLx — iV[a:cos(jrx) -|- ^ cos (rty)] ) = 0;
woraus nach dem Obigen das zu Beweisende unmittelbar folgt
Wir können daher nach den beiden Torhergehenden Sitze«
jetzt den folgenden allgemeinen Satz aussprechen:
Die aiotliweiidi^en Bedingungen, dass unser um
eine feste Axe drehbares System von Punkten in dem
obigen Sinne astatisch sei, sind:
2Ls=0, 2M=:(f, £N=:0;
äer BeiHngiingen asiaHschtr Spiteme tan Punkten. 447
SLa: + SMy = 0, SMx - ZLn = ü.
§. 'i.
Wenn der nicht Stall findende a»>tati»che Zustand des Systems
dadurch herbeigeführt werden aoll, dasn man demselben «ine an
ilem Punkte {XYZ) wirkende Kraft R beifügt: so müaaen, »enn
man die von einer der beiden Richlungeit der Richtun(;slinie die-
ser Kraft mit den pnsitiven Theilcn der Cnordinatenaxen einge-
nchiosKenen , 180" nicht äbersi elften den Winkel dnrch 8, a, ü
bezeichnet, und der Kflrze wegen:
ßcn8Ö=:3F. Äcosö> = 5t, fico85 = S
s»lit, nach dem vorhergehenden Paragraphen die GrSssen it, p,
S; ■¥, Y, Z so bestimmt n-erden, dass den neun Gleichungen:
ZLx + ZWy + JA + 51 F= 0,
SMx-SLif +1>A-Jtr=:0
genfigt wird. Aus den drei ersten Gleichungen folgt unmittelbar:
i = -EL, !> = --£«. S = -ZiV;
nnd ea siod also nun nur noeh X, T, Z so as bestinmen , dass
den sechs Gleiehangon :
SLi = ZSL, sm = ZSM, £Nx = X£N, XiVy = YEN;
£Lx + 2*y = XSL + Y£M,
SJUx—ZLy =X2
l^enügt wird.
Nehmen tvir diese Gleichangen
denselben leicht die folgenden Gleicl
SL.2Mi = 2.
SN,{£Lx + EMji) = SL
SN. (SMx ~ SLjfi = SM
448 Grunert: Analytische Entwiekeinng
{EM.ZNx--ZN.ZlUx)-{-{ZN.ZLy--EL.ENy) =0,
ZL. ZMz - ZM. ZLz = 0;
also in bekannter Bezeichnung:
Diese drei Bediiigongsgleicbangen müssen also noth wendig
erfüllt sein, wenn die Bestimmung von X, ¥, Z in der angege-
benen Weise möglicb sein soll.
Wenn nun diese drei Gleicbungen erföllt sind und keine der
Grossen ZL, ZM, ZPi verschwindet » so können X, Y, Z immer
in endlichen völlig bestimmten Ausdrücken dargestellt werden,
was sich auf folgende Art leicht leigen lisst.
Man setze:
"*- 2JS' '-SN'
80 ist: '
SN. {XSL + YSM) = SL. SNx + SM. SNg,
SN.(XSM—rSL) = Sm.SNx-SL.SNy;
folglich, weil nach der Toraoasetiang :
SL . SNx + SM. SNg = SN. ( SLx + SMy) ,
SM.SNx—SL.SNy = SN.^SMx-SLy),
ist:
SN.(SLx +SMy) = SN.iXSL + YSM),
SN.^SMx—SLy) = SN.(XSM— TSL);
also, weil SN nicht verschwindet:
SLx + SMji = XSL + rSM,
SMx- SLy — XSM— TSL;
wie es sein mnss.
Ferner setze man:
^^ ZL'
so ist auch :
ZLz,ZIU ZL.ZMt
^-^ ZL.ZM'^ ZL.Zm*
weil nach der Voraussetzung
der BeiUngungen astaatcher Sj/tteme von Punkten.
Ul, alao, weil SL nicht varscbwiadel ;
Z =
SM'
es ist folglich :
SLx = ZSt, £Mz = ZSM\
wie u sein mn«s.
Durch di» angegebenen endlichen vüllig bestimnilen Werthe
"OD X, T, Z nerden also alle zur Bedingung des astatischen
Zustand es des Systems nolh wendigen Gleichungen vollstSndig
erfdtit, und dieser Zustand kann daher unter den gemachte» Vor-
aDssetcungen immer durch HiniufCgung einer Kraft an dem
Systeme herbeigeRthrt w«-den.
Die nicht der geringsten Schwierigkeit nnlerltegende Behand-
lang der FSlIe, wenn unter den GrSssen ZL, £M, SN rer-
«bwindende vorkitminen , künnen wir der Kürze wegen fOglich
dem Leser tiberlassen.
Der vorher bestimmte Punkt {XYZ) ist der Astatische
Mittelpunkt in Bezug auf die i-Axe genannt wurden. (M.
8. die Üeberselzong der Mechanik von Duhamel. Thi. 1.
S. 73.)
j. 3.
Der Betrachtung des Falls, wenn ein System vnn Punkten
durch Hinzufagung einer Kraft und eines KrSftepaars astatiscb
eemacbt werden soll, schicken wir zuerst die folgenden allge-
meinen Bemerkungen voraus.
Ans drei Gleichungen von der Form:
ax + 6y + ci =0,
a'x + 6V + c'i = 0.
leitet man leicht die drei folgenden Gleichung
I a (b'<r — t^b") + a' (*"c — c"A) + a" (6c'-
I b {^a" — a 'c") + b' {(f'a - a"c) + b" (co' -
t c (a'6" — 6'«") + c' (o"« — b"a) + c' {ab' -
Thril XLIX.
452 € runer t: Analytische Entwickeiyng
80 haben wir die folgendeD Gleichungen:
= XZ'ZL + YZ'ZM - {ZSL - ZLz) X'-^^ZZM— EMi) T' ,
{SMx^ZLy)Z'
= XZ'EM— TZ'ZL-^iZEM- EMz)X' -{-(ZZL^ZLi) Y\
(XZN-^ ENx) F' = ( TZJS^ ZNy) X' ;
oder:
(Z2L-^Lx) X + (Z2M—2M2) F + (2Lx'\^2My—X2L^ TsM)Z'
= 0,
(Z2M'-2Mz)X^^(Z2L^2Li) r + (2Mx''2LyX2M+ V2L)Z'
= 0,
( Y2N—2Ny)X''^{X2N^2Nx) F = 0.
Weil nun die Natur eines Kräftepaars offenbar erfordert, daas
die Grossen
X = Xi^ — Xj f # i= ij — Yj 9 Z ^^ 2>i — Z|
nicht sämmtlich verschwinden, dass nSmlich nicht zugleich
Xi'^Ax* M = Y| , Zi ^ Z|
sei» so folgt aus den vorstehenden Gleichungen nach dem Obi-
gen die Gleichung:
(2Lx + 2My - X2L^ T2M)
X{(Z2L^2Lt)(r2]V—2Ny)'^Z2M^2Mt)(X2N'-2Nx)] _
+ i2Mx'-2Ly--X2M+ T2L) ^
X I ( r2l!f'^2Ny)(Z2M--2Mz) + (XsN-^JSNx) (Z2L^2Lz) ]
Entwickelt man nun diese Gleichung und ordnet dieselbe
nadi X, T, Z; so findet man sovSrderst leicht, dass die
2PZ, r^Z, XTZ
enthaltenden Glieder sSmmtiich verschwiBdeD.
Der Coeffident von X* ist:
-'2L.2N.2Mz + 2M.2N.2Lz
= ^2N.(2L.2MX'^2M.2Lz)=:^2N.Z§m.
Der CoefBdeot von F* ist:
2M.2W.2Lz — 2L.2N.2Mx
— --2N.(2L.2m—2M.2Lz) = — 2N.Ztm^
drr Be/HttguHBtt aautUKher spileme von f^nJueK. 452
Der CoerBGi«Dt voif XT ist:
iL.^.sLi-^M.iN.jMi 1 _
Uer Coefficient von ¥Z ist;
21.£ff.(iti+£«j) + 2i.i«.ÄVj — SÄ.ilW.IÄi
+ Zai.SS.{ZMx—£Iy) - ZL.ZH.Zlfs-SL.SL.SK^
= £L.{£lf.£Lx—£L.£lfi)
-£«.(£». £Kx— £N. SMx)
+ SN .i£L. SMg — SM. SLg)
= EL.Xm-Sa.X^+SS.Tim.
Der CoefGcient von XX ist:
— SII.£!l.l,£Lx*£llly)^EL.£L.ZSy—SL.£ia.ZSx
+ ii. ^^.{ij/i - £ij) + i» .£«, 2iVj+ £L. r». £ffi
= -£L.(EN. ZLy— ZL. ZKy)
+ ZM.(,ZM.ZIIy—£ri.Ziay)
+ £N.(£L. ZMx - za. ZLx-)
=—zL. Tm* zu. r.,i-z«.XiM.
Der CoefBcient von X ist;
ZN.ZMi.{ZLx*Zlll!l) — ZL.I,ZU.ZIIy-ZSl2.ZNx)
— ZN.ZLi.iZMx-ZLs)—ZM.iZNy.Z»x+ ZNx.ZU)
^—Zn.iZU.ZMx^ZMt.ZLx)
— ZMil.Zll.Zlly— ZU. ZMj)
+ ZL:.(ZN.ZLy -ZL.ZNy)
+ ZIIx.{ZL.ZM,-ZIII.ZLx)
= -ZN.Yim-Zm.r„-tZLi.TM+ZSx.Zim.
Der CoefScient von K ist;
— ZK.ZL>.iZLxi-Z]»y)—£Al.iZL,
— ZN.ZMt.iZMx- ZLy)\ ZL.{ZNi
=: ZN.iZLy.Ziai—ZUy.ZL,
+ ziaz.(.zM.zKx—z!s.zm
-ZLi.fZK.ZLx-ZL.ZKx)
+ ZNy.(ZL.Z.Vi — ZM.ZL!)
= ZN.Xim+ZM:.X^-ZLx..-
454 Grüner t: Analyäsche Entwickehmp
Der CoefBcient von Z ist:
-^ {EL . 2Ny — £M . 21Sx) {ZLx + ZMy)
-^(SM. i:Ny+ 2L . SNx){ZMx'-ZLy)
a EL.iZNx.ZLy-^ELx.ZlSy)
— £M.(2Mx. ZNy-SNx. Zl^y)
— ZNx. (-SL. EMx - EM. ZLx)
— 2Ny.(£L. 2:%— J?;» . l^Ly)
Das von X, Y, Z unabhängige Glied i«t:
(2:La: + 2?%) (2:Lz . ZNy- EMz . ENx)
+ {ZMx - -SLy) (2;2Vy . ZMz + 2:2Vj;. 2:t2)
= — ZLt . (-SiVo: . ZLy — 2:iar. IJiVy)
+ ZMz {£Mx, ESy-^ £Nx. 2My)
— ZNy.{ZLy. SMz - ZMy. ZLi)
+ -SAi.CJSJtz. 2:)!fa:- ZMz. ZLx)
=1- ZLz.Zni^ ZMz.Z^^ ZNy.Xim+ ZNx.Yim.
Daher ist jetzt die Gleichang zwischen Ä, Y, Z :
2:2V.Z/„.(^«+F«)
+ (ZL.Yni-ZM.Y^^ZJS.Äim)XZ *
--{ZL.Xni- ZM.X^+ ZN. Ffa.) YZ
+ (ZN.Yim'-ZLz.Yni-^ZMz.Y^-ZNx.ZbM)X ) = 0.
^(ZN.Xim - ZLz. Xni + ZMzXnm + ZNy.Zi^ Y
-^(ZL.Zfa'-ZM.ZmH—ZNx.Xim'-Zr9y.Yim)Z
+ (ZLz.Znl-'ZMz.Zmm+ZNy.Xlm-ZNx.Ylm)
Diese Gleichung repr&sentirt im Allgemeinen eine FiSche des
zweiten Grades*)» auf welcher also der Punkt (XYZ) jedenfalls
angenommen werden muss, und die Möglichkeit unserer Aufgabe
wird hauptsSchlicb davon abhängen , dass diese FiSche des zwei-
ten Grades wirkliche^ Existenz oder Realität besitzt» folglich nicht
Imagioär ist Für
*) Dait diese Fläche im Allgemeinen sa den Flächen dee zweiten
Gradee gehört» welche einen Mittelpunkt haben, ist ane der allgemei-
nen Theorie dieaer Flächen (m. •. Tbl. \LV. Nr. V.) eogleich ertichüicfc.
der BedinouHgen fisiatUcAer Spatem* van Punkten. 455
geht die obige Gleichung id die Gleichung;
SLi.Z^—ZMi.Zm,-^ SNy.Xim — £:Nx.Ybm = (i
fiber, und wird also auch nur dann Slall finden künneo, weiio
diese letztere Gleichung oder die Gleichung:
erfüllt ist; ist dies aber der Fall, so wird die obige Gleicbung
durch alle beliebigen Wertbe von X, T, Z erfallt werden.
Hat man nun aber X, F, Z auf diese Weise bestlminl, so
wird deo drei tileicfaungeo ;
(ZSL - sLz) X' + (zsja— sm) y'
+ (SLx + £My — XSL— TSM)S = 0,
{ZZat—SMt)X'-~{ZSL-£Lt) T'
+ (£Mx — £Ls — X£M + Y£L) Z' = 0.
( TUN — £Ns) X' — (XSN — SXx) F = 0
nach dem Obigeo durch:
X' = G(.X£N— £Nx) {ELx + XWj— XSL— YSM).
r^G{YEN—ZN3)iZLx-\-SHIy — XSL~YZ»),
Z' = - C t (,Z2L—2Li) (.XsN—^Nx) + ( FjüV- jAy) {Z2M—2Mi)\
genügt, was man auch fOr G setzen mag.
Die weiteren Bestimmungen ergeben sich ans dem Obigen
«on selbst und künnen fQglich dem Leser Qberlaasen werden, um
WeitliuGgkeiten hier zd vermeiden.
S. 4.
Wenn
£1 = 0, ^»=0, zK=a
ist. kaDD uan den astatischen Zastand des f
infQguDK zneiaT KräHepaaTe herbeifüliTen, wo
derlich ist, dasa in bekannter Bezeichnung de
£Li + I,Z'+*,Z" = 0, i«! + (),Z'
it» + £% + 1, i' + », F' + *,X" +
i«i— i%+|),a;'— i,F'+»,j;"—
J
456 Grünere: Analytische EntwUhelung
genfigt wird. Zo dem Ende kann man X' , Y\ Z'; X', K". ZT
willkuhrlich annehmen und bat dann zur Bestimmung von JF^, 1^^
5i ; ^%» 9s> 5t sechs Gleichungen des ersten Grades, die In
Allgemeinen immer lösbar sind.
§. 5.
Man kann auch nach den Bedingungen fragen • welche erfStlt
sein müssen, wenn ein System von Punkten in allen Lagen, in
die man dasselbe durch Drehung um eine feste Axe, iv^lcbe wir
wieder als Axe der z annehmen, bringen kann, sich in Ruhe
befinden soll. Weil nach den allgemeinen Lehren der Statik der
Zustand der Ruhe eines um eine feste Axe drehbaren Systems
bekanntlich nur durch eine Gleichung vollständig bedingt wird,
so haben wir, wie aus §. L sogleich erhellet, fdr alle in Rede
stehenden Lagen des Systems nur die eine Gleichung:
Z[ M[xQo^{xx)-\-ycoB{ty)\ — X[arco8(t?a:) + ycos(t>^)] | = 0
zu erfüllen, woraus sich durch ganz ähnliche Betrachtungen wie
a. a. O. die beiden Bedingungsgleichungen !
SLx + SJUy = 0, SLi/'-'ZMx = 0
ergeben.
Sind diese Bedingungsgleichungen nicht erffillt, so ffige mio
dem Systeme eine an dem Punkte (XYZ) unter den Winkeln
6, (0, (5 wirkende Kraft R bei, und hat dann, indem der Kurze
wegen :
RcobB = X, Rcoam =^P, Rcobq = 9
gesetzt wird, die beiden Gleichungen:
2?Lar + 2:% + JPJC + p F = 0,
oder:
oder:
2»+ TJfz=,^ZLx — SMy,
rX—Xl^s= ZMx'-ZLy.
Aus diesen Gleichungen folgt:
(3P + V«) -y = - (2?ia: + 2?%) JP + (2:Ly - l^iüf ;r) y ,
der Bedingungen mlaatcber Sffslftne von fnnkun. 457
nnd:
(X* + ¥*)X^-~(ZLx + 2My}X~(.£L3—£Mx) F.
(X*+ r*)p=—(SLx + SMy)r+(SLs—£Mx)X',
(£I.x-i-Zmy)X~(£L3~2!Hx)V
*« + P»
(£Lx+SM7/y9-HSLs-ZMx)S
iP + P» '
(SLx + £!aj,)X + (2Ls~£Ma:)Y
(SLx+2]Hy) Y — {ZLf/-SMx)X
p _ _ A*+ J» ■
Man kann also X, T^ n-illkahrlich annehmen und mittelst der
vorstehenden Formeln X, V bestimmen, oder man kann auch
X, Y willkQhrlich annehmen und mittelst der vorstehenden For-
meln 2, |l bestimmen; der will bahrt ichen Annahme anheim ge-
stellt bleiben immer Z und S-
Aus den voTslehenden Formeln folgt sogleich :
jr'+ Y*7^i£Lx + £M!/)* + (£Ly-£jax)*
nnd
aF* + Jt» = i£Lx + £Sl!i)*+(£Ls-£Mx)*,
also:
Die Gleichung
X*+ F» = (ZLx-t-SMy)* + (£Lff~£Mx)*
entspricht einer geraden CylinderllSche mit der Axe der t oder
der resleo Aze als Aze.
vm.
Astatischer Znstand eines um ein
baren Systems von
Wenn ein System von Punkten am
bar ist, 80 wollen wir diesen Punkt all
annehmen; soll nun das System astatii
allen Lagen, in welche man das Syetei
festen Punkt bringen kann, die Kr8fte
458 Grnnert: Analytische Entwickelung
gewichte sein, folglich ihre Wirkungen sich gegenseitig vollstän-
dig aufheben, so wird man mittelst der bekannten sechs aJIge-
meinen Bedingungsgleichungen des Gleichgewichts, gani eben so
wie früher bei völlig freien Systemen, indem man tfs=0, v^O,
to=:0 setzt, immer su den Gleichungen:
cos ixx) . EMx + cos {ty) . EMy + cos (n) . EMi \ _ ^
— cos (t^x) , 2Lx — cos {t^y) . £Ly — cos {tfz) . ELz )
cos (t^:r) . 2Nx + cos (t?y) . ZNy + cos (92) . ZNx ) _ ^
— cos {}x) . ZMx — cos (|y) . -S^^ — cos (jr) . -T^x )
cos (jar) . 2?I»a: + cos (|y) . i^Ly + cos (|z) • -TLz \ — - n
— cos {xx) . -TiVa: — cos {ty) . -^2Vy — cos {tz) . i^iVir )
gelangen, weiche dann femer ganz durch dieselben Betrachtuo-
gen wie frOher zu den Bedingungsgleichungen:
ZLx=zQ, £Ly = 0, SLz=iO;
2Mx=0, 2My=:0, SMzzizO;
I:Nx=zO, £Ny = 0, ENz^O
führen, so dass dieser Fall von dem früher betrachteten Falle
ganz freier Systeme nicht verschieden ist. I
Soll aber das System der Punkte sich nur bei allen Lageo«]
in welche man es durch Drehung um den festen Punkt bringeJ
kann, in Ruhe befinden; so wird man, da der Zustand der RuM
eines um einen festen Punkt drehbaren Systems bekanntlich schoJ
durch drei Gleichungen vollständig bedingt wird, wie früher b<
ganz freien Systemen zu den drei Gleichungen:
cos (xx) . £Mx + cos (xy) . £My + cos (rz) . £Mz )
— co8(px), 2 Lx— cos (tfy). 2 Ly — cos {t}z).£Lz i
cos (t^x) . ENx + cos (py) . 2Ny + cos (i):) . üNz \ ^ ^
— cos (jar) . 2Mx — cos (}y) . EJUy — cos {}z) . ÜJttz )
cos (}x) . £Lx + cos (}y) . £Ly + cos (}z) . 2Lz )
'^coa(xx).£Nx-'C08(;ry).£Ny—'COsixz).2Nz j
gelangen, aus denen dann ferner durch ganz ähnliche Betracht
gen wie bei v5llig freien Systemen die Bedingungsgleichoogen
der Btdlngttngm aiiailtelter sjiueme ton Punkten. 459
£Lx=0, XXy=0. -StizzO;
sNx = 0, £ifs = 0, sm = 0
olgeo.
Sind diese Bedingungsgleicbungen nicht erfisllt, ao niuas man
<ie EU erfüllen eachen, indem man dem Syateme KrSße oder
ttäflepaare hinzaragt. Wir begnügen una, am nicht zn weitlfiofig
a werden, (är jetzt in dieser ßeiiehnng mit der Bemerkung,
lass dies im Allgemeinen durch Hinzoftigung dreier KT8fle, oder
Qcb Krirtepaare, mSglich sein wird, weil man unter dieser Vor
ussetiung oenn Gleichungen von der Form:
SLx + XX + SiX'+XtX" =0,
sLs + ir+ X, r + *,r" = o.
SL% + iz + », Z' + X^Z" = 0 ;
£!Ux^VX + }f,X' + V,X" = 0,
Zm + PZ + Jli Z' + VaZ" = 0 ;
syx +SX +SxX'+ s.x* = 0,
£iV* + 5Z + S, Z' + 5,Z" = 0
tfralüsen bat, welches dadurch geschieht, dasa man etwa
I, V, 5; X^.Vt,Sti *«. V«. 5.
Hlkflhrlicfa annimmt und dann
X. X', X'; T. T'. T"i Z, Z' . Z"
tiiebangsweise mittelst der drei Gleichungen des ersten Grades:
Zt^e+XX+XiX'+XtX" = 0,
SJUx+VX+ViX' + ^X" = 0,
üNx + 5^ + 5i -X' + 5.X" = 0:
SLy +3EK + », F' +aF,r' = 0,
' ZIa
SM
atimmt.
Mehr in's Einsel:
>^den Fall hoffen v
460 Peinlich: Zwei Beiträge
Zwei Beiträge zur Biographie M. Johann Repler's.
Von
Herrn Director Dr. Richard Peinlieh
am kais. kOn. Ober -Gymnasium in Grats.
H. Johann Kepler'« Btenatzenirn^«« bet «elnent Ah*
Bui^e aus den Innerdflterreicbiiclien KrliUlndem.
L Yeranlassimg »im Äbsng.
Bei der allgemeinen Ausweisung evangelischer Kirchen- ood
Schulpersonen aus Gratz am 28. September 1598 war auch M. Job.
Kepler nicht verschont geblieben und hatte sich mit seinen Schick-
salsgenossen nach Petanicza in Ungarn gezogen. Allein seine
Verbannung dauerte nur einen Monat, da ihm seine gelehrten
Freunde unter den Jesuiten die Erlaubniss zur Rflckkehr nacb
Gratz erwirkten. Wie sehr ihn aber auch anfänglich diese Ge*
staltung seiner Verhältnisse befriedigt hatte» ebenso anbehaglich
fand er nachgerade seine Lage, als er sich In der öffentlicheo
Uebung seines Glaubensbekenntnisses gehemmt sah, und alles
darauf hindeutete, dass sich die Verhältnisse fär die Bekennet
der Augsbnrger Konfession in nächster Zeit nicht gOnstiger» son-
dern nur noch schlimmer gestalten würden. Das Jahr 1000 hatte
noch nicht begonnen, als er schon darauf sann, sich auswärts
eine neue Heimat zu schaffen *).
*) Eine genaue Daratellung von Kepler'« äntteren und Innerei
Erlebnieeen in dieser Zeitpertode bis tu seiner Antweieang von Grati
%ur Biographie M. Johann Kepier*s, 461
Aber bevor es seinen auswärtigen Gunnern gelangen war, ihm
eine sichere Stätte auszumitteln, griff das Geschick selbst mit
raoher Hand in seine Verhältnisse, indem er die ersten Tage des
Monates August 1600 den Befehl zur Auswanderung erhielt.
Zu jener Zeit war nämlich die landesfurstliche Reformations-
Kommission von ihrer Rundreise im Lande wieder nach der Haupt-
stadt zurückgekehrt und begann dort ihres Amtes mit allem Ernste
zu walten; insbesondere war es nun auf die landschaftlichen
Beamten und Bediensteten abgesehen. Einer nach dem andern
vvurde vor die Reformations- Kommission berufen und zur Erklä»
Hing aufgefordert, ob er katholisch werden wolle. Wer diese
verweigerte, erhielt den Befehl, binnen 6 Wochen und 3 Tagen
seine liegenden Güter zu verkaufen oder zu verpachten und mit
Hinterlassung des zehnten Pfenniges die innerusterreichischen
Länder zu verlassen *).
Auf diese Aufforderung hin erklärten sich anfangs fast alle
bereit, lieber in die Verbannung zu gehen, als von ihrem Bekennt-
oisse zu lassen, zumal, da sie hofften, es werde der Vermittlung
der Landschaft endlich doch gelingen, den Erzherzog Ferdi-
nand H. nachgiebiger zu machen. Als sie aber sahen, dass diese
Hoffnung eitel war, und der Verordnete Herr Hans Sigmund
^ago zu Wagensberg Ober persönliche Nachfrage bei Hofe
den Bescheid erhalten hafte, es habe unbedingt bei der Aus-
Schaffung zu verbleiben, da wurden dennoch viele wankend und
selbst solche, welche bei der Landschaft schon ihren Austritt aus
dem Dienste gemeldet und eine Gehaltsabfertigung genommen
oatten, suchten entweder um Erstreckung des Auswandernngs*
termines an, welche sie auch erhielten, oder fassten den Entschluss,
nachzugeben und sich in die Verhältnisse zu fögen **),
"odet sich in der ebenso aatfuhrlirh, alt begeistert fceschrielienen Bio-
gi'aphie: „Johann Kepler von Dr. Edmnnd Reitlin^er anter
Mitwirkung von C. W. Neu mann und dem Herausgeber C. Grnner.**
Stottgsrt J868. I. Tbl. S. 170 u. ff.
*) Die Torliegende Arbeit ist f^rosstvntheils auf Grnod der Original-
ftitten im Landhaus-Archive zu Graft verfasst; die ohi^^e Angabe beruht
aof den Daten im landsch. Registratorbnche Tom J. 1600 (Arrh.-Nro. 840).
**) Die landschaftlichen Beamten, welche den Answandernngsbefehl
erhielten und anfanglieh gleich abziehen wollten, waren: der Bocbhal-
t^ Wolf StrobI, der Einnehmeramts-Gegenschreiber Joachim Ein-
Paeher, der Registrator Karl VIechter, die „Raitdiener«« Stefan
Schäbl und Hans Friedrich Reotter, der „KansleiTerwandte''
Alexander Neff und der „WeSspott«< Mathias Ertl. (Anweisnnf '--
462 Peinlich: Zwei Beiträge
Unter denjeuigen aber, welche der Verbaonuog sich xn lui
terziehen vorzogen » war Kepler.
fälligen Gehalte« nnd einer Jahretbetoldnng alt Abfertigmig toi«
SO. Aug. 1600). — Sie zogen aber nicht ab, auf landschaftliche Intcr-
cettion wurde ihnen und auch den unten Benannten der AoawanderaBf»«
terinin bl» Neujahr erttreckt, „wenn sie aich betcheideo yerhaltca maA
auch an Sonn- und Feiertag die katholi«che Predigt hören wolltea>
Dagegen tCeiUen nie die Bitte (4. Okt. 1600): „weil dort die Tage knn,
Winter und schlechte Wege wären, insbesondere wegen Weib osd Kind
um Aufschub bis Frübjabi' oder bis zur Osterzeit, aber mit den Pre-
digthören möchte man sie verschonen." Da der Einnehmer Hr. Sebt-
stian Speidl und der Gegenschreiber Einpacher bereits die BewS-
ligung erhalten hatten bis Frühjahr zu bleiben, so finden sich aossM-
den früher genannten nur noch nachstehende Beamte beim Geaodbe
unterschrieben: der Bauschreiber Simon Walters torfer, Dr. bsc4
Christ. Wexius und sieben niedere Beamte, die Schraonen-Prokvra-
toren M. Sfatth. Fettauer, M. Job. Seb. Hess, M. SebasL Hani-
mann und die Gerichtspersonen i Jakob Reiter, Adam AmtaiaBi
und Hans Mein hart. — Unter den in Verbannung ziehendea befind»
sich in der Zeitperiode der zweiten Hälfte des Jahres 1600: Ür. Ada«
Venediger, welcher gleich die ersten Tage im August augeabücklic^«
die Stadt und binnen 14 Tagen die sämmtlichen Länder des Ermhen»*
^e% für immer yerlassen musste, da er .,per se constans alio« q«o^^
ad se venientes et consilium ab eodem in hoc rerum statu petentes ad
eandeni constantiam adhortari sit solitus. '^ (Zuschrift an die Verord-
neten Tom 7. August 1600). — Jakob Pittner, war 21 Jahre Laades-
Profus«; — Balih. Neff, früher Schreiber bei der SchranBenkaasIri,
zuletzt furstl. Einnehmer zu StadI in Obersteier; — Karl HofsteCter.
landschaftl. Meister Koch; — Mathias Feder er, war II Jahre laad-
schaftl. Buchfübrer (d. i. Buchhändler); — Matthäus Herpp, St«di*-
sns Theologia; *- Haas Strobiberger, seit 23 Jahren Apotheker za
Grata; — Paul Mayr, furstl. n.-ö. Kammerkanzlei-Beamter; — Stefao
Grienpeck, geschwomer Proknrator bei den Schraanen za Grmta, sts
Sohn des ebenfalls im Exil befindlichen Gratzer Rathsbärgerm Weif
Grienpeck (bereite 1587 wegen der Religion in arge Strafe TerfaDca);
— Dr. med. Christ Gablkhoyer, landschaftl. Phjsiker, Brader da
Obersekretirs ; — Dr. med. Kaspar Nester, Physiker; — Marx We-
nig, seil 1575 erah. Bnchaenmeister nnd Bnchaeogieseer, we^ea der
Religion entlassen oad aelt 1591 landschaftl. Büchseagieaser (bat ^^Stacfc,
Metallgeschnta , Mörser gegossen and das dazu aothwendige Palvcr gt-
macht'*)« — Haas Schneller, seit 98 Jahren laadschaflL Ze«gwart
~ SirooB DietI, 13 Jahre EinnehmeramU- Beamter, 1593 Heftriegt-
bochhaltaags-Adjoakt, zaletzt Kriegszahlamts -Verwalter; -* Eraami»
Fischer, laadschaftl. Grenz- nnd Kriegssekretär, ein Gratzer Birgcf*-
sehn, Bmder des intelligenten, aber allza hitzigen Stiftapradiger«
M. Balth. Fischer (der deshalb hereiu 1595 Terbaoal w#fdaa war)
%ur BtograpUe St, Johann Kepltr't. 4^
In dem lan dach ^ft lieben Expedilbuche *) vom Jahre 1600 findet
sieb unter dem VI. August verseicbnet;
„M. Jobann Kepler einer ebrsame» Landachafl in die Hie-
ben Jabr lang bestellter Mathemalilitia snppliciert die Verordneten,
weil er von ibrer fürstl. Ourcblaucht Reli(;ionB- CommissSren um
willen das« er sich zur pSbütischen Religion nicbt bekennen wollte,
gänzlich ausgeachaffi worden, ihn des Dienstes gnädigst zu er-
lassen and neben gehübrlichen TGatimonlum mit gnädiger Abfer-
tignng zo bedenken."
„Rath"*')!
„Der Herren Verordneten Bescheid ist hieranr im Falle der
Supplikant Gber ibr gegen Bof bescbehenes Anbringen neben
andern einer ehrsamen Landschaft Officieren trider Verboffen im
Lande länger nicbt wflrde künnen erhalten werden, ao solle er
aaf dies sein geborsames Anlangen seines bisher gehabten Dien-
stes wirklich erlassen sein, dem aacb zn günzlicber Abrertigung
eine Halbjahrs- Besoldung aus dem Einnehmeramte auf sonderba-
ren Ratbschlag zu richten nnd das begehrte Testimoninm bei der
Kanzlei an fertigen gewilligt ist."
Wie schon angedeatet, war di« Intercession der Verordneten
bei Hofe fruchtlos. Kepler hatte mittlerweile fflr die GOter sei-
ner Fran einen Pächter gefunden, behob am 30. August die „hin-
terstellige" rlerleljährige GehaltsgebOhr pr. 60 fl. und einen halb-
jährigen Gehalt pr. 100 fl. ***), erhielt am 4. September sein
Dienstesaeugniss und schied wenigeTagedarauf von Gratzffir immer.
Von seinem AbschiedsgeRihle geben die Worte Zeugniss, die
er (9. September 1600) an seinen Gclnner und frOheren Lehrer
Michael Mlistlin, Professor der Mathematik an der Universitlt
TSbingen schrieb : „Schwer treffen mich diese Anordnungen, aber
ich hätte nimmer geglaubt, dass es so süss sei, ftlr die Religion
und Scfavisgenoba dei gloiohfalla 1586 verwie««sea HaaptpMIor« lu
Grats Dr. Jeremiaa Homtiarffer.
*) Im LaadhsDi-Archlte Nro. IM
**) Abkäranog TOn „Ratbiehlag
***) Blanelinieranili-Aaigabenbui
Lant diecM Bnchoa behob er aoch ■
(Ebreogab«) *oa 250 B., «eiche ibn
snr ErgölEDDg aeiner gehabten Hübe
dai h. Abendnabl", eine Troeticl
lae 81, Tom 23. Sopt. 1599) onll «oni
Werii aagewendete Vnhoaten votlrt b
464 Peinlick: Zwei Beiträge
und (lir die Ehre Christi mit seineo Brödern Schaden and Spott
zu leiden, Haus» Hof, Freunde und Vaterland zu verlassen.*'
2. n. Jobann Kepler'« Testlfflonlnm imd Oommendatfonsschreiten.
Wir N. einer ehrsamen Landschaft des Herzogtums Steier
Verordnete bekennen und thun hiermit kund vor roänniglich , nach-
dem Fürweiser dieses, der ehrenfeste, wolgelehrte Magister
Johannes Keplerus, von wolgedachter steirischer Landschaft
in allhiesiger viel lange Zeit her wol bestellt ge^vesenen Augsbor-
ger Confession zugethanen christlichen Kirche und Schule zu einem
professore publico und Mathematico wirklich beateilt an-
und aufgenommen worden, hat er M. Kepler neben solcher
seiner „ordinari*' ihm anbefohlenen roathematiscben
auch „historicam und ethicam professionem treues
Fleisses und mit stattlicher Dexteritfif verrichtet,
sich auch sonst in vita et moribus so wol verhalten, inmassen
einem getreuen Professor gebührt, dass eine ehrsame Land-
schaft und wir in derselben Namen hieran wol zufrieden, aach
ein besonderes gnädiges Gefallen gehabt und aller-
dings gern gesehen und gewGnscht hStten, dass er Kepler bei
gemeldeter seiner Professton unbetrfibt hatte verbleiben „mugeo."
Weilen aber Ihre fu'rstl. Üurchl. Erzherzog Ferdinand zu Oester-
reich etc. unser gnädigster Herr und Landesförst vorgedachter
steirischer Landschaft evangelisches Kirchen- und Schulwesen
„verschiner" Zeit ganz ernstlich und „unter ainsten'*
eingestellt und neben andern allen Kirchen- und Sebul-
Officieren und Dienern auch Förweiser dieses M. Kep-
leruro relegirt und ansgeschafft, so haben wir im Namen
„oft wol ernenter" einer ehrsamen Landschaft Augsb. Confession
zugethanene ihm Kepler solcher seiner gehabten Schulprofession
gleichwol dazumal erlassen müssen, nichts weniger
aber bei hochsternennter fOrsti. Durchlaucht anserm
gnädigsten Herrn ihm saivum redeundi conductum durch
gehorsamste Intercession und dass er als einer ebr>
samen Landschaft Mathematicus allhier verbleiben
möge unterthfinigst gebeten und erlangt. Wann er
aber jetzt unter der in diesem Lande Steier und des-
selben fürstlichen Hauptstadt Grätz „exercierenden
allgemeinen vnserer seligmachenden Religion reiner
Augsb. Confession betrüblichen Reformation" wegen
beständiger derselben Religion offener Bekenntniss
gleichfalls wieder relegirt und ausgeschafft worden,
und uns auch solches seines ehrlichen Abzuges wegen am offene
Mir Biographie M. Johann Kepler'i. 465
Kundsckafl nnd IntercessioD zd mehrerer seiner BefDrdemng ge-
boreamlich gebeten, demnach haben wir ihm sein billiges Begeh,
ren nicbt rervreigern »ollen, sondern es gelangt hierauf an alle
uDcl jede was WGrHen und Standes oder Wesens die „sein" nnd
mit diesem unseren offenen Schreiben ersucht irerden unser frennd*
liebes Ansinnen und Bitten, die wollen von noigedachter einer
ehrsamen Landschaft und unsertwegen innen mehrberührten ezn-
lirenden gelehrten Mann und erfahrenen Mathematicom
M. Jobannem Keplernm bestens befohlen sein lassen, ihm
auch seiner QuaiitSten wegen alle geneigte Beförde-
rung gnSdig und wirklich erweisen, wie solches der mild-
reiche Gott laut seiner Zusage gewissüch belohnen, und wir im
Namen einer ehrsamen Landschaft und für unsere Person gegen
mXoniglich eines und anderen Standes und Würden nach in glei-
cbem und mehreren Füllen za bescbulden wolgeneigt erbietig and
willig, auch er M. Kepler hinwiederum zn verdienen gehorsam
and beflissen sein „w[erdet." Dessen zu wahrem Urbund haben
wir dieses Testimonium und offenes Commendations- Schreiben
mit unseren hier anhangenden Amispetscbanen und hier „unter-
gezogenen" Handschriften verrertigt and belcrSFtigt. Gegeben nnd
bescbehen zu Grfiz in Steier den 4. Seplembris anno 1600.
3. Bemerkungen n Eepler's TesUnionliuai
a. Das vorliegende Zeugniss (welches hier seine erste Ver-
Tiffentlichnng durch den Druck erhält) ist eine Abschrift des 8mt-
licben Konzeptes, das im Land haus-Archi ve au Gratz befiod-
licb ist. Die AbschrifV wurde zwar wortgefreu, aber nicht nach
der Schreibweise des Originales genommen, da diese im vorlie-
genden Falle keine Wichtigkeit hat, mit Ansnahme derjenigen
Würter, welche durch Moderniairung ihren eigenthOmlichen Zeil-
charakter verloren hStten; derlei AusdrOcke sind auch durch An-
ffihrungazeichen bemerklich gemacht. — Das mit gesperrten
LfOtlern hervorgehobene ist apetiell fiBr den gegenwartigen Fall
koDsipirt, wfibrend das fibrige die gewöhnliche Fassung von
Zengnissen nach einem Amtsformutar ist, das fBr alle solche
Fitle in der landschaftlichen Kanzlei in üebnog stand. Aef " '
Zeugnisse und Erapfehlnngen erhielten alle iBodschaftlicfa
diensteten beim Abgänge aus ihrer Amtsstellnng, so z.
Rector der Sliftsscbule Johann Regina (23. Oktober IS»
Conrector der Stißsschule Ensebias Schenk (30. April
der PrSceptor der VI. Klasse Leonhard Kbün (9. Mai
ja selbst die Stipendiaten der Stinsschde Balthasar Kl
boden (18. Mai 1599), Isaak Khopp (7- Juli 1599} n.a.K
Thill XLIX. 31
466 Peinlieh: Zwei Beiträge
weon die Landschaft Grand hatte mit dem Verhalten des Haa*
nes anzofrieden sa sein, wie es beim Scbulprficeptor Bai Ihm-
sar Heuchelhaimb der Fall war, lautete das Zeugniss (16. Hirx
1600) einfach und trocken, „dass er sich der GebOhr nach ver>
halten habe.*'
b. Die Charakteristik von Kepler^s BerufstbStigkeit ist wohl
mangelhaft und unzulänglich, denn, um nur eines anzuführe«,
lehrte Kepler im Jahre 1595 nach einem Berichte der Kirche«-
und Schuiinspektoren vom 3. Jänner 1596 (im Landbaus - Archive
befindlich) auch „auf guethaissen Domini Rectoris Aritbroeticaai
wie auch Virgilium vnd Rhetoricam sechs stund in der wocb«a
in superioribus classibus/' — Diese Mangelhaftigkeit des Zeug-
nisses schreibt sich daher, dass man bei der Landschaft des
vollen Vi^erth Kepler's zu jener Zeit wohl noch nicht kmnnt»
und dass derjenige Mann, welcher die genaueste Kenntnis« oiid
Einsicht von der Berufsthätigkeit der Lehrer in der Stiftsschale
hatte, der gewesene Land - Schranneoschreiber und Kirchen- und
Schulinspektor Dr. Adam Venediger vor kurzem selbst aas
der Stadt und dem Lande verbannt worden war. Das Konz^it
des Zeugnisses Ist aus der Feder des landschaftlichen Ober^
Sekretärs Herrn Hans Adam Gabelkbover *), welcher wenige
Tage vorher (2L August 1600) den Auftrag erhalten hatte, sich
wieder zur Dienstleistung zu veriiQgen, da der zweite Sekretär
(unter dem Titel Grenz- und Kriegs-Sekretär) Erasmus Fischer
ebenfalls den Auswanderungsbefehl erhalten hatte.
c. Es ist auffällig, dass Kepler keine besonderen Empfeh*
lungsschreiben an ausländische Potentaten oder andere einfluss-
reiche Personen Gberkam, wie solche andere aus dem Lande ver^
bannte landschaftliche Beamte mit Leichtigkeit erhielten, wie s. B.
eben Erasmus Fischer an den Churfflrsten von Sachsen, imd
als er im Jahre 1604 zum zweitenmale abgeschaflt wurde, auch
an die Reichsstädte; wie Dr. med. Christof Gabelkhover an
Herzog Friedrich zu Wfirtemberg und an die landscbafH. Ver*
ordneten im Lande unter der Enns (10. Aug. 1600); Leonhard
Khfin an Philipp Ludwig, Pfalzgrafen am Rhein, und an des-
*) Hana Adam Gabelkhover zu Gabelkhoven, seit 15S8 Ober-
Sekretär, war in den Ilochverratlit-ProseM des landschaftl. Agenlea im
Prag Hans Georg Khandelberger verwickelt, ain 3. Okt J599 ge-
fänglich eingezogen and anf dem Schlutaherge verwahrt, am 11. Jan
ISOO jedoch unter der Bedingung freigelatten worden, eich aber Aal-
forderung alsogleich wieder la stellen. Im J. IS02 wurde dereelbe
steierm. Landstand ernannt. (Akten im Landhaus-ArchiT.)
zur BioorapMe M. Johann Kepler' t* 467
sen Bruder Otto Heinrich, so wie an die Landschaft ob der
Enns (2. April 1600); M. Joh. Seisins, geschworner Schrannen-
Adyolcat an Dr. Marx Gerstenberg, Kanzler des Hirstlichen
Administrators von Chnrsachsen und an den Chnrf&rsten von Bran*
denbnrg (30. Juni 1601). ^- Es ist daraus zu schliessen, dass
Kepler keine solche Empfehlungsschreiben verlangte, da seine
Absicht war, zunächst zu dem Astronomen Tycho Brahe am
kaiserlichen Hofe zu Prag zu ziehen, von welchem er dringend
eingeladen worden war, und wenn es ihm dort nicht gefiele, in
seine Heimat zurückzukehren und sich um eine kleine Professur
(parvam professiunculam) umzuschauen. (Brief an Mästlin vom
9. September 1600.)
d. Was die Ausfertigung des Zeugnisses betrifft, so ist schliess-
fich noch zu bemerken, dass damals nachbenannte Herren als
Verordnete fungirten: Hans Sigmund Wagn zu Wagensberg
and Wöllan; Hans Friedrich Stadler von StadI zu Liech-
tenegg, Riedkersburg und Kornberg; Hans Adam Schratt zu
ffindberg und Donnersbach; Christoph G all er zu Lanach;
Dietmar Rindschait zu Friedberg und Schiechieiten *).
a
Tersach sar Iiösun^ der Fra^e» in welchem Hanse
9E« Johann Kepler sn Grats wohnte*
Nachdem M. Johann Kepler, durch die steierischen Land-
stände Augsburger Cnnfession an die Stelle des 1593 verstorbe-
nen M. Georg Stadius als Landschafts -Matheroatikus berufen,
im April 1594 nach Gratz gekommen war und gleich seinem Vor-
gänger einige Lektionen in der obersten Klasse der landschaft-
lichen Stiftsscbule hatte fibernehmen mOssen, wurde ihm auch
ein Theil von dessen ehemaliger Wohnung^*) im Stiftscoliegium
angewiesen. Diese lag fast in der Mitte des zweiten Stockwer-
kes im mqrseitigen Trakte nahe bei dem alten runden Stadtthurme,
der bei dem Umbau der älteren Bürgerbastei im Jahre 1579 stehen
geblieben, und da die Landschaft die Mauern auf ihre Kosten
überbaute ^^*) , stillschweigend in das Eigenthum derselben fiber-
^) Veraeichntts der Verordneten (von 1578 an) im Landhant- Archive.
**) Stadiu»' Wohnung bestand 1587 aun 2 Stuben, 2 Kammern and
2 Köchen. (Einnehmeram tt-Aoagabenboch ▼. d. J. im Landhans-Arch.)
***) Landtchafti. Hcgittrat.-Bach ▼. J. 1578 und Baoaniterechnung vom
468 Peiniiek: Zwei Beiträge
gegangen war. Als aber Kepler am 27. April 1597 Fraa Bar-
bara» die Vi^itwe des landschaftlichen Baazahlmelsters Marx fod
Müller geheirathet hatte, übersiedelte er in die Wohnung der-
selben in der Stempfergasse im Hause des Georg UartniaQD
Freiherrn von Stubenberg, welches in dem Hochseits- Einla-
dungsschreiben an die landständischeo Verordneten ausdrficklicfa
benannt ist*).
Dass er in dieser Wohnung verblieb geht aus einem Gesuch
hervor, das Kepler am 30. Juni 1597 an die Verordneten rich-
tete, um ein Quartiergeld zu erlangen. Die bezügliche Stelle
lautet: ,,Eur. Gnd. vnd Hrl. werden vnterthunig von mir erin-
dert: demnach mir von Einer Er. La. (ehrsamen Landschaft) in
meiner Bsoldung freye Wonung zugesagt, ich auch diselbe in da-
Stifft biss zu verschinen Aprilen sampt der Beheizung gehabtt.
Aber von ermelter Zeitt hero in eine andere meiner Hausfrao
zust&ndig Zimmer, wOllches järlichen vmb 52 fl. ausgelassen wor-
den, eingezogen, darumben dan mir die Haussbesserung vnd was
der Obrigkeit davon gebfiret, sampt Vnterhaltung meines Stieff-
tuchterls auffliget *'**).
Welches Haus ist aber derzeit das besagte?
Antwort: Das Haus Nro. 147, derzeit Prathengeyer'a
Erben gehSrig.
Zur Begründung dieser Angabe muss vorausgeschickt werden,
dass es im 16. Jahrhunderte in der Steiermark drei Linien der
Freiherren von Stubenberg gab, nämlich
1. die des Wolf Herrn von Stubenberg auf Kapfenberg,
Muregg und Frauenberg;
Jahre 1579 im Landbaua - Archive. — Die Baatei vom Admooterhofe bie
sam Marthore, and am Grillbnbel bia snm eicernen Thore war birger-
lieh, die Stadtgemeiflde hatte fnr ihre Erbaaong, Erhaltong and Ver-
iheidigang sa aorgen. — Auf einer Abbiidang von Grati von der Weel-
•eite an« aoa dem 18. Jahrhunderte ttt dtecer Thnrm noch zu ■eben.
*) Dietea Schreiben iat im Landhaat-Archive und wurde zaeret ver-
öffentlicht in meiner „Geechichte der evangelitchen SCifteachnle.** (Jah-
reabericht dea Gyronaainrot sa Grats, 1866, Seite 80.)
**) Daa Geauch itt im Landhant-Archiv und vollatindig abgedmdit
inDr.Edm.Reitlinger'a „JohannKepler.'' (Stuttgart 1868.) I.Thl.
Seite 159. — Kepler'a Fran hatte auch noch einen erwachsenen Stief-
•ohn ans der ersten Ehe Mnller's, der etwas liederlichcD Charakters
war and onter besonderen Gerhaben stand. (Akten in der landsch. Re-
gistratur V. J. 1598.)
%ur Biographie M, Johann Kepler'». 469
2. des Georg Herrn von Stuben berg auf Warmberg and
3. des Georg Hartmann Herrn von Stabenberg auf
Stubegg und Gutenberg,
alle drei waren oberste Erbschenken in Steiermark *).
Ebenso gab es im 16. Jahrhunderte drei Stuben her g'sche
FreihSuser zu Gratz*^).
Ueber das för den vorliegenden Fall wichtige gibt Aufschluss:
„Karl Mayer's Versuch Ober steyermarkische Alterthflroer und
einige merkwürdige Gegenstände.*' (Grätz, Widmanstätten, 1782.)
Darin heisst es S. 98«:
„E>n eben so alter Stein ist in der StSmpfergasse zur linken
Seite in dem Hause Nro. 107 rückwärts im Hof bey Anfang der
ersten Treppe zu sehen , auf welchem zwei Männer, zwei Weiber
and zwei Kinder in erhobener Arbeit vorgestellet sind'' u. s. w.
Dann auf Seite 99.: „Gleich beym Eintritt in diesem Haus
ist neben dem Thor ein anderer grosser Stein zusehen, auf wel-
chem das Wappen eines aus dem stubenbergischen Geschlechte
nach dem Geschmack der vorigen Jahrhunderten erhoben gear-
beitet; über diesem ist folgendes zu lesen:
1563. H. V. STVBENBERG. H. ZV. GVTENBERG. VND. STEIERSBERG.
OBERSTER. ERBSCHENK. IN. LAND. 8TEIER.«
Der bezeichnete Romerstein ist zum guten Wahrzeichen
immer noch an seiner Stelle; der Stuben her g'sche ist heut zu
Tage nicht mehr an seinem Platze, was aber keinen weiteren
Eintrag macht, da der vorhandene Romerstein die Identität des
Hauses hinlänglich erweiset**^).
Auch dass die alte Nummerirung 107 mit der neuen 147 zn-
sammenföilt, lässt sich darthun.
Im hiesigen Joannenms-Archive befindet sich (unter Nro. 1159)
*) Verzeichnits der tteierni. Herren und Landleiite, wahrschein-
lich fliegen Ende des 16. Jahrbnndertes angelegt, im Landhaus-Archive.
**) Verzetrhnist der dem landschaftlichen Adel gehörigen Häuser
xn Gratz, welche befreit und nicht befreit sind, vom 7. August 1573,
im Landhaus-Archive.
***) Der Stein mit dem Wappen und der Inschrift hefand sich noch
vor wenigen Jahren an der rechten Seite unter dem Thorbogeo des
Hauses. Er wurde im Jahre 1863 oder 1864 (?) von der Eigenthnmerin
de« Hauses an Josef Grafen ▼. Trau tmannsdo rf 'überlassen, welcher
denselben herausnehmen Hess, um ihn als ein Denkmal des Geschlech-
tes der Stabenberg aufzubewahren.
472 Peiniich: Zwei Beiträge
€%
Welt'' — und ,,fiber die Ursache der Schiefe der Ekliptik
forderten ebenfalls nicht die ständige BenOtzung eines astroao-
mischen Thunnes.
Um aber seiner Berufsaufgabe als Landschafts-Mathematiker
2U entsprechen» nämlich jährlich den Kalender nebst Prog«
nosticon zu verfassen, brauchte Kepler keine eigenen fJlinnieU-
beobachtnngen zo machen» zu dieser Arbeit liefern Sternkarten,
astronomische Tafeln und grössere astronomische, afttrolo^tsche
und kalendarische Werke» welche die empirischen Cyklen ent-
halten, das nOthige Material.
Da aber einmal ein zur astronomischen Observation geeig-
neter Bau in der Stempfergasse Ihegt und Kepler in dieser
Gasse im anliegenden Hause wohnte, so ist es leicht erklärlich,
dass die Phantasie einer späteren Zeit beide mit einander in
Verbindung brachte.
Nachschrift des Herausgebers.
Wegen der hohen Bedeutung des grossen deutscheo Astre-
nomen und Mathematikers, über welchen jede Notiz von Interesse
ist, habe ich im Obigen nicht nur die vorzOglich intereffsaAle
N^. I., sondern auch N<>. H. abdrucken lassen, wenn diese letz-
tere Nummer auch vorzugsweise von localem Interesse i«t; de«B
mancher Reisende, der In dem herrlichea Steiermark auch nach
dem wunderschönen Graz kommt, wird gewiss gern das Hans
N^. 147 in der Stempfergasse, die Wohnung des grossen deotschen
Mannes, aufsuchen. Herr Director Dr. Peinlich verdient gros-
sen Dank fiir die vorstehenden sehr verdienstlichen MittheilaDgeo,
wobei wir noch bemerken wollen, dass auch in dem „Jahres-
bericht des kaiserl. konigl. Ober-Gymnasiums zu Graz.
1866." von demselben Herrn Verfasser, welches eine Geschichte
des genannten Gymnasiums enthält, sich noch manche werthvolle
Notizen fiber Kepler finden. Aus dem Verzeichniss der Lelirer
der früheren Stiftschule, jetzigen Gymnasiums, seit Eruffoiiog der
Schule am 1. Juni 1574 bis zum Schlüsse derselben am 28L Sep-
tember 1598, sieht man, dass Mag. Johann Kepler Professer
der Mathematik an der Stiltsschule war vom April 1594 bis warn
Jahre 1598.
Auf S. 21. wird Folgendes roitgetheilt: „In der
sehen Abtheilung kam Logik, Metaphysik, Rheterik mA
aur BtograpMe M. Johann Kepler't. 473
altklaasiscb» Lebtfire, nameDtlich aucb griecbischfl, inm
Unterrichte, nucb nardon CffeDlIicfae DispuIatioDeo fibar eatspre-
chende Thesen vorf^enoDimen. Endücb war auch Gelegenheit
gegeben, Mathematik zu slndiren, welche der jeweilige Lanil-
Pcharis-MatheniatikuH lehrte. Magister Job. Kepler hatte aber
ebenso wie sein Vorfahrer Mag. Georg Stadiu« wenig oder
Kar keine Zuhörer für die mathematische LeLtion, was jedoch
nicht ihm , sondern nur den Zubürern sur Last Relegt werden ttann,
„weil Matheraaticum Btu<lium nit jedermans thuen ist" — Da-
mit er jedoch seine Beiinldnng nicht umsonst verzehre, wurde
ihm mit Gulfaeissen des Reictors Arithmetik, Vergilius und Rbe-
toricB sechs Stunden in der Woche in den oberen Klassen za
docieren aufgetragen, „was er auch gehorsam tbnt, bis etwa
auch in Mathemalicis publice ta proGliren mehre gelegenheit fOr*
feit." (Aas einem Berichte der Inspektoren ?om 3. JHnner 1590.)"
mit der folgenden erklErendeo Note:
„Es war Sache des LaDdachaftsmatfaematikers alljSbrlich den
Kalender berausiugeben, der unter dem Titel „Calendarium vnd
Prognosticon" erschien, die Landschaft zahlte faiefGr an Georg
Stadins 32, an Job. Kepler jedoch nur mehr 20 fl. Honorar
(„Ergetzlicbkeit"). Bekann termassen war Kepler aber gerade
in seinen ersten Kalenderprophezeiungen sehr glücklich gewesen.
Kepler setzte auch die von seinem Vorgänger Stadius seit
llit)7 herausgegebene Jshresschrilt: „Historien und Naliviteteo
der Herren und Landleute des Fürstentbuins Steier Augsburger
Gonressinn" fort, die zufolge Landtagsbeschlusa vom J. 1688 mit
ÖO El. jährlich honorirt irurde. (Leider gelang es uns nicht, weder
ein Exemplar des Kalenders, noch der Historien und Nativiteten-
Stellung nur Einsicht zu bekommen, und es ergeht hiermit das
freundliche Ersuchen an alle Leser, Aulschluss zu geben, wenn
ihnen fiber die Existenz der betreffenden Bflcher etwas bekannt
wäre.). Ueber den „Kalenderstreit (IS83) in Steiermark" findet
sieb ein sehr interessanter Bericht vom Archivar des hiesigen
Joanneums Professor J. Zahn in den „Mittheilungen des histo-
rischen Vereines ßr Steiermark", 13. Heft, S. 126. — Wir
ben una zu diesem trefflich geschriebenen Aufsatz nur die w
Notie zu fügen, dasa vermöge „Rathschlag der landsch. V
neten" vom 24. Dezember 1583 der erste amtliche Akt nac
nähme des neuen Kalenders der Auftrag war, den Lands«
Offizieren (d. i. Beamten, Kirchen- und Schnlpersonen) un
GISubigern die zehn Tage, die durch den neuen Kalendt
Oktober 1583) auszufallen hatten, an der Besoldung und i
luteressen vom J. 1S83 abzuzieheD, (Registrat Bncb v. d. J. p.
470
Peinlieh: Zwei Beiträge
ein Manuskript vom Jahre 1731 mit dem Titel: ,, Genaue Beschrei-
bung der ganzen 1. f. Hauptstadt Grätz geschehen 1728*S worin
sämmtliche Häuser der Stadt mit ihren Bestandtheilen , damaligeo
und vorhergegangenen Besitzern nebst den Hausnummern Gasse
fGr Gasse genau verzeichnet sind.
Die Stempfergasse weist zwar darin die Hausnummern 266
bis 275 auf, allein neben dieser Bezeichnung befindet sich daselbst,
wie auch bei einigen anderen Gassen, eine zweite mit Bleistift
gemachte > also offenbar aus späterer Zeit stammende rektifizirende
Bezeichnung, wobei die mit Bleistift geschriebene Zahl 107 auf
das Haus Nro. 274, der Beschreibung nach links von der Her-
rengasse das zweite Haus, weist, welches jetzt Nro. 147 fiibrt.
Zur deutlichen Uebersicht diene die nachstehende Zusammen-
stellung *) :
I
a
o
CO
Hansbeiitser
Hansnammer
vor 1728
imJ. 1728
Yor 1837
derzeit
1731
1770
vor
1837
1837
1868
CO
00
60
g:S
J3
0
a
o
e
Gräfin
Dietrichstein
Gr&fin
Dietrichstein
Lentner
Frh. V. Abele
Wildenstein
Rindsmaol
SchOnbach
Galler
Hanberisser
Prathengeyer
Y. Foby
Schweighofer
Goriupp
Pratheng.
Erben
Miskaj
Gründl
273
274
275
276
108
107
106
105
124
123
122
121
140
139
138
137
148
147
146
145
Die Wohnungsbestandtheile des Hauses Nro. 274, respektive
Nro. 147, dessen ganzes Aeussere Gbrigens zeigt, dass es seit
seiner Erbauung im wesentlichen unverändert blieb, waren nach
der oben erwähnten Haosbeschreibung wie folgt:
„Im 1. Gaden (Stockwerke): 1 Stuben, 1 Kammer, 1 Stuben,
1 Vorhaus; rechts 1 unterschlagenes StGbel, überm Gang 1 Stu-
ben, 1 Kammer. *'
„Im 2. Gaden: 1 Stuben, 1 Alkoven, 1 StQbel, 1 Vorbau«
gew5lbt, 1 Stuben, uberm Gang 1 Stuben, 1 Kammer, darüb^
der Dachboden.'*
Mag daher die Wohnung Kepler 's im ersten oder zweiten
Stockwerke gewesen sein, wahrscheinlich jedoch im letzteren, da
^) Aof Grundlage der Anfachreibangen bei dem bieaigen Magictrate
nnd der oben citirtes „Beschreibung.**
%ur Biographie M. Johann i^epier's. 471
im ersten Stubenberg sein Absteigequartier gehabt haben dürfte,
80 entspricht doch jedenfalls der von Kepler angegebene jähr-
liche Miethsbetrag den Zeitverhältnissen.
So zahlte z. B. die Landschaft ffir die Wohnung eines ver-
ehelichten Stiftspredikanten im Hause der Witwe Picka (im Klo*
stergassel, jetzt Franziskanergässchen) im Jahre 1579 und später
jährlich 52 fl. Miethe; für die kleinere Wohnung eines anderen
Stiftspredikanten im Wilh. Galler 'sehen Hause in der hinteren
Schroiedgasse (jetzt Raubergasse), bestehend aus 1 Stube» 1 Kam-
mer und Gewölbe, J Köche, Vorhaus, Kelter, Bodenantheil und
„Krautkellerl«' im Jahre 1578 die Jahresmiethe mit 35 fl.*).
Eis erübrigt noch der bisherigen, auf Vermuthungen beruhen-
den Annahme zu erwähnen, welche Kepler*s Wohnung in jenes
Haus der Stenipergasse versetzte, welches sich noch jetzt durch
eine thurmartige Erhöhung auszeichnet, das v. Miskay*6che
Haus Nro. 146.
Da es unmittelbar an das besprochene Hans Nro. 107 stSsst,
80 steht dem gar nichts entgegen^ anzunehmen, dass Kepler
nach der Aufhebung und Sperrung der Stiftsschule den so nahe
gelegenen und für Himmelsobservation ganz geeigneten Thurm
benützt habe, zumal er nach seinen eigenen Aussagen zu seinen
Beobachtungen in Gratz sieh eines ganz einfachen, von ihm selbst
koustruirten hölzernen Apparates bediente^ indem er nicht das
VerroSgen hatte, sich kostbare Instrumente anzuschaffen**). —
Teleskope gab es ohnehin noch nicht.
Aber es erhellt auch aus den bekannten Arbeiten Kepler 's,
dass er eines eigenen astronomischen Observationsthurmes nicht,
oder doch nur selten bedurfte. Uebrigens stand ihm auch (Ür den
Fall des Bedarfes die Im Stiftscollegium hergerichtete Räumlich-
keit mit ihren Apparaten zu Diensten.
Was nämlich das Hauptwerk dieser Zeitperiode „Das Ge-
heimniss des Weltbaues" betrifft, so beruht dasselbe ganz
auf der Konstruktion a priori und hatte als reines Produkt des
genialen Denkens am Studirtische durchaus keiner Observation
der Gestirne nuthig.
Die übrigen Werke aus dieser Zeit: „Abhandlungen über
den Magnef — „die Weisheit Gottes in der Erschaffung der
*) Aot den Aotgabebächern dieser Jahre im Landhaus-ArchiTe.
**) Frisch, J. Kepleri op. omD. I. pag. 69 and Dr. Reitlioger,
J. Kepler 1. Seite 181.
474 Peinlich: Zwei Beiträge %ur Biographie M. J o kann Kepier't.
and auf S* 30. findet sieb folgende Notus :
,9 Ale eine interessante Zugabe mag bier Platz finden des
Magisters Job. Kepler Hocbseits-Ladschreiben ,,an einer Er. La.
des Uerzogtbaros Steier Herren Verordente" — ,, . . . . gib Enr
gnaden hiemit gehorsamlich zuuernemen, das Ich micb aus son-
derer schieckbung des Allmechtigen aucb mit Ratb meiner be*
freundten zu der Erntugentbafften Frauen Barbara, weiland des
Ernuessten Herrn Märzen Müllers» einer Er. La. in Steir gewe-
sten Pauzalmaisters seetigen binterlassnen wittib mit ebelicher
Pflicbty biss aufs Priesters Band versprocben. Ich dann meinen
hochzeitlichen Erntag auf 27. laufenden Monats Aprilis in des
woligebornen Herrn Herrn Geurg Hartmann herrn v. Stubmberg etc.
behaussung albie in der Steropfergassen (liebts Gott.) zu halten
entschlossen, u. s. w. (Gräcz 12. April 1597.) '* — Er erhielt Fon
der Landschaft einen silbernen Trinkbecher im Werthe von 27 fl.
als Hochzeitsverehruog."
Was sich etwa noch aus dem Programm mittheilen lassen
dfirfte, findet sich im Wesentlichen schon oben in N^. I.
(1). . {
Aoflosung der beiden Gleichungen
ao(^*— y')— 2*0^^ + oio:— Aiy + a, = 0,
Ao (a?*— y*) + 2aoary + b^x + a,y + A, = 0.
Von
Herrn Franz Unferdinger,
Lehrer der Mathematik an der öffentlichen Oberrealtchule am hoh<
Markt in Wien«
Die vorstehenden Gleichungen sind merkwürdig durch die
mancherlei Transformationen» welche zur Kenntniss ihrer War*
zeln fahren, weshalb wir uns erlauben, ihre Auflösung in Kürze
mitzutheilen.
€nf er dinget: Aufldtung nweier Gleichungin* 475
V^ird die erste Gleichung mit Oq» die sweite mit 60 vnnlti-
»licirt and addirt, ferner die erste Gleichung mit 6^, die zweite
ait Oq multlplicirt und die obere von der unteren subtrahirty so folgt:
(2)
flo*-f *o*) («"-y*) + iflo^i + Ao*i) ^ - («0*1 -fli*o)y + (ao««+*o*«) = 0,
K^o*-* *o*)^y + («0*1— «i*o)y + («0«! +Mi)y + («o*«— ««*o)=0,
welche Gleichungen insofern einfacher sind, als die erste kein
Slied mehr mit xy^ die zweite keines mehr mit ;r*— y* enthält.
Zunächst transformiren wir die beiden letzten Glieder der ersten
rheile der Gleichungen (2) mit Hilfe der Identitäten:
Köo*+*o*)(floOs+ Mi)= 8ooAoK*t+fli*o)+4(ao'-Ao*)(«o«i— *oAt)#
*(flro*+*o*)(«'o*i-««*o)=-— 8^*o(flo««"-*o*a)+4(flo'-*ü*)(oo*i+fli*o)»
oder wenn man hierzu beziehungsweise addirt:
0=:2(ao»-*o*)«i*i-2(ai«-Äi«)iio*o+2(fli«-*i«)flo*o-2(flo*-*o*)fli*i.
4(iio*+*o')(ooa« + M«)
=(«o*-*o*)(«i''-*i')-JK«i*o*i-2iio*ol2a|6i-4(iio4Ä+a,6o)|
- (no«— 60«) {ai«-*i« - 4 (floa, - M«) U
=2(/ro*-^')fl|*i~2(cii«-*i«)oo6o+2«o6otoi«-*i*-4(aoa,-6o*t)J
- K'-V) {2ai*i -4(00*, + fli*o)l;
hierdurch wird, weil
(aofli +*o*i)*— («0*1 -"«i*©)* = (flo*— Ao*)(fli*— *!*) + 4aoOi6o*i »
2(aofl|+Mi)(«o*i— «^1*0) = 2(ao*— *o*)oi*i— 2(iii«-6,*)aA.
(3)i
. . 2(iiofl|'F6oA,)(ao6,-fl|6o)+ 2<iofto^ - (oo'-fto») B
aoÄ«-Mo= 4(00« +*o«) •
wenn zur Abkürzung gesetzt wird:
4(Oo*«+flt*o)-
Durch Substitution der Werthe aus (3) in (2) erhalten letz-
^^^ { Ä = 2aA^
476 Vnferdinger: AuflOtung %meler eieiehungen.
tere Gleichungen folgende Gestalt, wenn man gleichzeitig beido-
seits durch Oo'-l-^o' dividirt:
a*—«*4. £«3 JlMl -. _ «0*1 -«1*0
(gpfli +Mi )* — («ofti —Ol *»)*
2ao*oß±(£o!ilM^ _ n
~ -4(«o» + V)« ~
(flo«-6o«) ß-2agM _ ft
Ffihrt man zur Vereinfachung zwei HilfsgrSssen a, ß eis mitti^!
der Gleichungen:
_ gpOl + Ml a _ gpfti — «1*0 .
" - 2(00« + V) ' '^ ~ 2 (ao*+ *«•) '
80 erbSlt man:
(*+«)»-(y+ft«= 4(flo*+6««)* '
(6). . <
2(x+«)(y+« = 4KMA«)* •
hierdurch sind die gegebenen Gleichangen (1) in solche von be-
kannter Form transformirt Ans denselben folgt nan mit Leich-
tigkeit, wenn
(6) ^»=ril«+Ä«,
und die Verbindung mit der ersten in (5) gibt:
, ^ V- , ao*(g + ^) + *o*(»- i<) 4-200*0«
(ar+«)»=i 4(ao«+6o«)«
(8). . ^
wobei es freisteht» für ^ aus (6) den positiven oder negatifüi
Wurzelwerth zu nehmen. Zur weiteren Reduction untersdiddeD
wir zwei Fälle iff>0, J?<0 nach (4) und snbstituiren dem est-
sprechend nach (6) JB= + VV'^^^«, Ä=— V^« - Ä^ in (8);
hiernach erhält man im ersten Fall:
Vnferdtnger: Auflösung tweier eietchungen. 477
(9) Ä>0 ^ _* "'
^"^^-* 2(«o»+V)
m zweiten Falle;
(10) Ä<0 . "'
*+'*-* 2(aoH6o«) '
vobei die Vorzeichen immer so zu wShIen sind, dass die zweite
Sleichung in (5) erßillt wird. Also ist:
' -(oQgi -t-Mi)J:lqoV \{Q-^A)-^b„yrW^)\
, 2(ao« + 6o»)
(11) für Ä>0 \ , ^
»- 2(V+*o*)
_ -(«0«! ■\- ftpfti) J:lqoV|(g+^-»o^l(F^)»
„, 2(ao«+V)
(12) förjB<0^ ^ .
_ -(ao6i-a,feo)J:{goV^j(g-^)+^oVl(H-^)l.
y- 2(ao« + V)
wobei
(6) ^±V"to,«-6,»-4(floa,-6o6a)l»+t2o,6|-4(«o*,+aA)l'.
(4j ( J=o,«— 6,"— 4(«roOj— Äoft«),
\Ä=2a|6,— 4(ao6a + ö,6o).
Dm die im Allgemeinen nmstlndliche Discnssion in Betreff
der Vorzeichen zu ▼ermeiden, ist in jedem praktisch gegebenen
Falle angezeigt, die Rechnang bis zn den Gleichungen (5) za
f^ren and die weitere AnflSsang dieser dem Wertb und Zeichen
ihrer zweiten Theile anzupassen.
480 Vnf er dingen ReducUan von Arc.^d+iij)
Zur BestiroiDoog tod x ans den Gleichangen (10) ist, wean
wir unter dem Symbol arctgC den kleinsten Bogen verstehen,
welcher zar Tangente i gehurt» die Unterscheidung zweier Fille
Dotbwendigy je nachdem $ and 1 — $*-*i7* gleiche oder ungleiche
Vorzeichen haben. Dabei wollen wir den kleinsten Bogen « wel-
eher den absoluten Werth des Braches | ^ ^ zur Tangente
hat, durchaas mit a bezeichnen. a<i?r.
Erster Fall, g und I — £*— 17* haben gleiche Vorzeichen.
tg2;r ist positiv, also entweder:
^ = ''' \ oder |2x = -« + «.
In der ersten Annahme ist x positiv, also mass auch £ positiT
sein, in Folge dessen auch I — ^ — 17*; man hat:
21
(13) ar = iarc.tg^_g^_^.
In der zweiten Annahme ist x negativ, also muss auch | ne*
gativ sein, endlich auch I — P—fl*; man hat:
2|
(14) ar = — i^-Harc.tg^_^_ a«
Zweiter Fall. | und I — ^ — 17* haben ungleiche Vorzeichen.
tg2j; ist negativ, also entweder:
^=-"' ] oder |2^ = »-«.
0?= — Ja, ) l x:=in^{a.
In der ersten Annahme ist x negativ, also muss auch | negativ
sein, aber 1 — ^ — 17* ist jetzt positiv; man hat:
— 2|
(15) g = — Jarc. tg I _ a_,5*
In der aweiten Annahme ist x positiv, also muss | pomtt?
sein, aber I— |*— 17* ist jetzt negativ; man hat:
— 2|
(16) * = *«— 4a'c-^rZl«^^'
Setzt man die fBr x und y gefundenen Werthe in die Glei'
T (1) und bedenkt, dass
auf die Narmatform x + ig. 481
Arc.tgC= £iT-|-arc.tft£,
wenn k eine beliebige ganie Zahl bezeichnet, so gelangt tarn za
folgendem Resultat:
Fflr |>0 und 1— S«— ij«>0 ist:
(17) Arc.tg(|+i,)=*«+arc.tgp:^^+Jilp|ji^gi
Für |<0 und 1-J«— »j«<0 iBt:
(18) Arc.tg(Hi*;)=*«-iit+arc.tg,_^^^,+iilgp±^j^'-
Ffir S<0 und i-|«— »j">0 ist:
(19) Arc.tg(S+.-^)=A«-an:.tgj^^^+Jilgp±^t
Fflr |>0 und I — |»— )j»<;0 ist:
(20) Are ls(H.-i?) = *t+4«-4arctgp^3^.+iilgg±[l±^;.
Versteht man unter Arc.tgf irgend einen Bogen, dessen Tan-
gente £' ist, HO bann man diese vier Formeln in «ine zusammen-
fassen und schreiben;
(21) Arc.l(,(s+.-n)=*A,».lBj:;^,+ J,lg?ii|i^;.
Diese letztere Formel findet sich bereits bei Raab« (DiTfe-
rentiai- und Integralrechnung, Zfirich 1839, BH. 1., p. 109),
jedoch ohne Ableitung.
Ffir die Grenzßllle, wenn eine der beiden GrOssen l oder
1—1*—*;* versch windet, ist noch folgende Analysis nothwendig;
Ffir 1^0 gehe man auf die ursprünglichen Gleichungen (5)
nnd (6) zurOck; ace der ersten folgt:
Sin2x = 0, 2a: = 0 oder n, ä = 0 oder \n;
482 Vnferdinger: Redueüan van Arc.iff(t+iii)
Hiermit wird besiehungsweiae :
2« 'Ji;
und gemeinschalUicb :
Es ist also:
(22) fßr l-i,«>0 Arc.tg(ti;)=*« + iilg(|^)\
(23) fflrl-iy«<0 Arc.tg(ii?)=*7r + i«+J,lg(}i^'.
Ffir ]—{<— 17^=0 gibt die GleichuDg (10) tg2^=: J: od, also:
^^\n oder —4«, x = J» oder — iw, Sin2d:=l oder —I;
biermit erbält man aus der Gleichung (5), da Cos2x=:0,
1 1? j I iy
tf = r» r = r oder ti=— u, t7=— j^;
da nun ti immer positiv sein mnss, so entspricht das erste Wertb-
paar dem Falle £>0, das zweite dem Falle £<0.
Hiermit findet man in beiden Fällen:
Es ist also:
(24) fSr iy«=l-|« und g>0 Are. tg(t+«^)=i^» + J^+4tlg({~)»
(28) ffiri7<=:l-.{S und S<0 Arc.tg(H«^)=*«-{^+i«lg(j3^
Seh lom lieh hat im ersten Hefte des 14. Jahrganges seiner
Zeitschrift p. 77 ebenfalls ^ber den Werth von Arctg(£-f tf)
Untersuchungen angestellt^^ner die von ihm entwickelten For-
meln 6) and 7) gelten nur filr positive Werthe von (, in welches
Falle sie mit den unserigen (17) und (20) Gbereinstimmen.
Setzt man in den Gleichungen (17), (18), (19), (20) ifsO
und zugleich k^=zO, wodurch Are. tg{:=arctg{: wird, so erbilt
man folgende reelle cyclometriscbe Transformationen:
(2«)
auf die Normaiform x-\-iji,
' Kl £>0. I-S*>0 arc.
IBT £<0, 1— i«<0 arc.
(Br E<0, I— £*>0 arc.
für {>0, l-£*<0 arc.
Di« Toa Scblümilcfa a. a. 0.
arctg(J = iarc.lgy
arc.tg^== in — arc.tg
ualerlicgeo also noch der Bed'iDgi
Anmerkang eu
Unter der Voraaaeetiung ^'
Werth
in + Uli
wahrend bei SchlSmilch a. a. 0
Von der Richligketf meiner '
milch gegenflber, kann man siel
übertengen.
Nimmt man beideraeila die '
inng eiostweilen :
,, v + i ■ . .
Um l,t
belniintUcb :
>««■) = i|
Wslich;
.-,=-
•eil «bei
«•'=:4I
(wegeo ij":
484 Vnferdinger : Oeöer einen casus irreducibilis in reellen Grössen,
iy-f- 1 , 1?— 1
tri
''^~' 12 + 1 iy-l -' (^ + 1)1^(^-1)« -«'?•
ly — 1 i; + l
Ueber einen casus irreducibilis in reellen Grossen.
Von
Herrn Franz ünferdingery
Lehrer der Mathematik an der öffentlichen Oberrealschole am hohes
Markt in Wien.
Bezeichnet k irgend eine reelle positive oder negative Grosse,
80 bat die cubische Gleichung:
(1) a:» + 3Äx — (1+3A:) = 0
augenscheinlich die Wurzel :ri=:l, und die Division mit deo
Wurzelfactor x — 1 in das Gleich ungstrinom führt auf eine qua-
dratische Gleichung« deren Wurzeln sind:
/o, , _-HV -3(1-1-4^) -l-V-,3(l-i-4Ä).
letztere sind imaginär, so lange A> — j.
ßedieot man sich zur Auflosung der Gleichung (1) der Car-
d an' sehen Formel , so liefert dieselbe nach kurzer Rechnung
den Werth :
«1= v^Ti +3Ä+(i+*)VT+4Ä| + V471 +3*-(l+il) VTmFi.
Unferdinger: Ctöer einen casui irredveU
uod derselbe iat offenbar reell, wenn A>
diniping hat die Gleichung (I) nach (2) n
und diese iai gleich 1, alüo auch;
(3) l=V"4iH.3A+(l+A)V 1+4*1 + Vln
So ist z. B. (Sr k=\:
1 = VJ^Vi + Vl=
oder fSr £ = 3:
1 = V'5+lVI3+ V^5^
Macht man in der Gleichung (3) 1+4
Quadrat durch die Substitution £r=:c(l
identisch.
Für A = — i bleibt, wie die directe
Gleichung (3) noch richtig. Für *:= —
druck rechts gleich —2 und die Gleichun
a:«-3a: + 2 = 0.
deren Wurzeln 1 ,
1, -2 sind.
Um die raerktrardige Gleichung (3) a
Form zu bringen, setzen wir it = 2i — I
(4) 1 = V3,
-l+.V8r^+ V3,
für , > !.
Denkt man sich anter t eine ganz
kein *ollstSndiges Quadrat sein, weil — 3
Kst za 8 ist
486 Natthes: lieber die Bewegungsznstände einer Heike
Ueber eine Construction, durch H'cicbe man sich die
BewegungszDstände einer Reihe von Punkten bei inter
ferirender longitudinaler Wellenbewegung veranschao-
lichen kann.
Von
Herrn Professor Dr. C. J. Matihes in Amsterdam,
Sekrelär der Königlich Niederländisnhen Akademie der WiMcnschaflen.
(Figur auf Tafel VII.)
0
leb beabsichtige hier die Mittheilung einer CoDstraction, durch
welche mao sich die jeweiligen Bewegungszustände einer Reihe
▼on Punkten bei interferirender longitudinaler Wellenbewegung
anschaulich machen kann. Die gewuhnliche Vorstellung sich he*
deckender SinusoKden ist allerdings sehr geeignet, die Geschwin-
digkeit der Elemente sammt ihrer Richtung in einem gegebeoeo
Augenblick zu veranschaulichen. Die Verschiebung der Theilchee
aus ihrer Gleichgewichtslage lässt sich mitunter daraus ersehen.
Will man aber die Beschaffenheit der Bewegung fSr einen ande-
ren Augenblick darstellen» so ist man genothigt, eine neue Figur
zu zeichnen und dieses jedesmal zu wiederholen. Um Solches a
vermeiden sah ich mich nach einem anderen HOlfsmittel um» on
für jeden Punkt zu jeder Zeit die Phase sogleich mit Sicherheit
herauszufinden. Dies gelang mir auf nachfolgende Art und Weise.
Wenn die Peripherie eines Kreises, mit der Amplitude
als Radius beschrieben, die Zeit einer ganzen Oseillations-
dauer T vorstellt, sind bekanntlich die Ordinaten den Ge-
schwindigkeiten proportional und die Abscissen die wirklicbeD
Verschiebungen aus der Gleichgewichtslage. Theilt man nun die
Zeit T in so viele Theile, als es Punkte 0, 1, 2, 3.... auf der
Wellenlänge X giebt, und rechnet die Zeit von dem Momente, wo
der Punkt 0 in Bewegung geräth , so ist klar , dass der Punkt 1
- T später dieselbe Phase durchläuft, der Punkt 2 wiederun
- T später u. s. w. Dieses macht nur einen geringen Unterschied
in der Anwendung der Figur. Man braucht nur fiir Punkt 1 die
Zeit statt von A an, wie fär Punkt 0, nunmehr von ilf, und ekm
80 Rir Punkt 2 von h ab und so weiter zu zählen.
Gilt es, das Entstehen einer stehenden Welle aus der Be-
gegnung einer fortschreitenden und mit abgeändertem Zeichen
von Funkten bei inurferirender longitudinater Wellenbewegung. 487
zurückgeworfiBnen zu erklären , so zähle man filr diese letztere die
Zeit FOD G ab in rGckgängigem Sinne, wie es das Pfeilchen auf
dem äusseren punktirten Kreise anzeigt; für Punkt 1, 2, 3....
respective von F, E,D».. ab; so finden sich augenblicklich und
fast ohne Mühe die Knoten, Bäuche und alles Uehrige heraus.
Zum Beispiel man verlangt für Punkt 5 die Abweichung von der
7
Gleichgewichtslage fCr - T zu kennen, so zählt man von ff an
in alphabetischer Ordnung sieben Kreisbogen ab, also bis zu C,
and desgleichen sieben Kreisbogen für die entgegengesetzte Be-
wegung von B ab in negativem Sinne, so gelangt man bis zu G;
es ergiebt sich von selbst, dass die Sehne CG dem Durchmes-
ser BB parallel läuft. Die Abstände — yi und -f/Za sind also
die Verschiebungen links und rechts, deren Summe =ya — yi iat.
Dies ist aber offenbar die Differenz der Projection von PG ver-
mindert um die Projection von CP, oder die Projection von
(iCG-fP2V) weniger der Projection von (iCG—PN), also die
doppelte Projection von PiV, oder, was auf das Nemliche her-
auskommt, von ON, Es leuchtet ein, dass in den folgenden
8 9
Zeitmomenten - T, -T, u. s. w. die Verschiebung des Punktes
n n "
5 der doppelten Projection gleich ist von OQ, OE, OQ, ON,
0, OS, Or, OL, OT, OS, O, ON. För die Punkte 3 und 9
7
findet man in ähnlicher Weise vom Zeitroomente - 7^ an :
n
für 3: +2y,, +2^„ +2^8, +2^„ +2^,, 0,
— 2yi, —2^2, -2y,, -2yj, -2/y, . 0, +2ifi;
ftir 9: -2yi, -.2y„ -2^,. -2^2, -2yi , 0.
+ 2yi. +2^2. +23r„ +2y., I 2y,. 0, ^2y^.
Dies sind also Bäuche, 0 und 6 dagegen Knotenpunkte, und
gleichfalls ist bewiesen, dass die verschiedenen anderen Punkte
zwar eine verschiedene Amplitude haben, die gleichzeitigen Ver-
schiebungen zweier Punkte aus der Gleichgewichtslage aber stets
im nemlichen Verhältnisse stehen.
Ganz ohne Hölfe trigonometrischer Transformationen lässt sich
mittelst unserer Figur die Grundformel fSr die theoretische Be-
stimmung der Fortpflanzungs-Geschwindigkeit erhalten. Man braucht
ja nur von drei neben einander liegenden Punkten in der stehen*
den Welle die Abstände des mittleren Punktes von den beiden
anderen filr einen gewissen Moment aufzufinden, um daraus ab*
zuleiten, um wie Vieles dieser mittlere Punkt von dem einen
benachbarten weiter abgekommen ist als von dem anderen. Wäh-
len wir dazu die Punkte 7, 8, 9, so ersiehet man aus der Figur,
488 Matth es: üeb, die Bewegufig$%u$tände einer Reihe r. Punkten etc.
dass sie, z. B. für den Zeitmoment -7, alle drei von ihrer Gleich-
gewichtslage rechts verschoben sind» respective um ^|, 23f£,%|.
Die Distanz 7 bis 8 ist also um 2(^2 — ^i) grosser gevrordeo,
die Distanz 8 bis 9 um ^{yz^y^* Somit hat man:
(7 bis 8)- (8 bis 9) = 2[ry2-^i)-(y3-y«)]='42ya-(ys+yi)=«-
Der Punkt 8 wird folglich von der Elasticität afßcirt und nach
seiner Gleichgewichtslage hingezogen mit einer Kraft, deren Aus-
druck wir erhalten, wenn wir u durch den Abstand der Punkte
in der Gleichgewichtslage dividiren, =-> und multipliciren mit c,
dem Maass ffir die Elasticität, oder der Kraft, welche den ge-
nannten Abstand aufs Doppelte bringen oder auf die Hälfte redo-
ciren wurde. Nun ist:
oder, wenn man statt der Sehne GH den Bogen GH nimmt
wegen der Grosse der Zahl n, wodurch dieser Bogen üherau«
klein wird:
« = 4.j;.20F=45^(2y,).
Hieraus ergiebt sich die Kraft für den Abstand 2y^ des Punktes
8. nemlich
n
und somit, wenn m die Masse des Punktes bedeutet, die Inten-
sität für die Einheit des Abstandes Ä:= r.
mnA
Da nun n Punkte die Wellenlänge ausftillen, so hat man auf
die Längeneinheit y Punkte, und —r- stellt die Dichtheit d der
Reihe von Punkten dar. Wir bekommen also:
Xn^ e
folglich, da T=:2n\l r, und die Geschwindigkeit c = -s, ist:
''=4^*=V5'
UterarUctur Befiehl CLXXXXill.
Literarischer Bericht
CLXXXXIII.
Ich freue miGb, den folgenden Nccrolog (m. 8. Literar. Ber.
Nr. CLXXXV.) mit Genehmigung seines hochverdienten Verfas*
sers, des Herrn Geheimraths Dr. v. Marti us in München, und
der Königlich Bayerischen Akademie der Wissenschaften, den
Lesern ^des Archivs roittheilen zu können. G.
Carl Georg Christian von Staodti
ordentlicher Professor der Mathematik an der Universität zu Erlan-
gen, geb. den 24. Jan. 1798, ist am 1. Juni J867 gestorben.
In die Wahlen , welche die mathematisch-physikalische Classe
im vorigen Jahre vorgenommen, hat ein schwarzes Verhängniss
eingegriffen. Sie wählte zu ihren auswärtigen Mitgliedern den
ausgezeichneten italienischen Zoologen Filipe de Filipi, der
»ich eben auf einer wissenschaftlichen Entdeckungsreise in Asien
befand, und derselbe starb dort in dem fernen Hongkong am Tage
der Wahl. Sie wählte v. Stau dt, der ihr als correspondirendes
Mitglied schon länger angehurt hatte, und ehe die von der Ge-
sammt*Akademie bestätigte Wahl die Allerhöchste Genehmigung
ehalten hatte, ward unser trefflicher College aus dem Leben ab-
gefordert.
Die Akademie beklagt in ihm eines ihrer bedeutendsten Mit-
glieder. Sie musste wünschen, dass dieser schöpferische Kopf,
dessen tiefsinnige ernste Forschungen eine neue Phase in der
Entwicklung der Geometrie bezeichnen, noch lange sich möge am
Gedeihen seiner geistigen Aussaat erfreuen können!
V. Stau dt stammt aus der ehemalig freien Reichsstadt Rotben-
Wg an der Tauber, wo sein Vater Georg, Sprössling einer
alten Patricierfamilie, als Raths-Consulent, gleich den Vorfahren,
TW.XLIX. Hfi.l. 1
2 Literarischer Hericht CLXXXXIÜ.
an der Verwaltung einer jener kleinen Republiken Tbeil genom-
men, die dem deutschen l«esamnit- Vaterlande nicht wenige c^aat«-
männiscbe Talente, Gelehrte und Künstler geliefert haben. In
den Schulen seiner Vaterstadt vorgebildet trat er 1814 in das Gym-
nasium zu Ansbach, welches ihn mit der £hren -Medaille ausge-
zeichnet entliess. Schon dort hatte er mit Vorliebe das StudioBi
der Mathematik ergriffen, und während eines mehrjährigen Asf-
enthaltes in Guttingen sah er sich nicht bloss durch die Lehr«
des grossen Mathematikers Gauss gefordert, sondern von des
verehrten Meister» Anerkennung und Lob beglückt. Man erzSbit
sich, dass dieser, wonn er die Losung einer von ihm gestellten
Aufgabe aus den HSnden des lieben Schillers entgegennahm, ihm
dagegen seine eigene Bearbeitung öbergab, mit der heiteren Be-
merkung, er rechne auf gegenseitige Befriedigung. Er promovtrte
1822 in Erlangen, wurde nach einer in MObchen glänzend be^an*
denen Prüfung noch in demselben Jahre Professor der Mathema«
tik am Gymnasium in M^ürzburg, 1827 an jefies von Nfirnberg
versetzt und 1835 ordentlicher Professor der Mathematik .an der
Erlanger Universität. Hier hat der sanfte, wohlwollende Mann,
ein Vorbild der Berufstreue, einfacher Sitten und strenger Tagend,
das Stillleben eines in seine Forschung versenkten Geistes ge-
lebt. Er beherrschte seine Wissenschaft mit seltener Klarheit
und vermochte auch einen grösseren Schulerkreis durch populäre
Vorträge weiterzuführen. Es liegt aber in der Natur der Sache,
dass nur Wenige der Fähigsten und Eingeweihten dem Lehrer
auf die Hüben einer so ernsten W^issenschaft folgen, welche neben
intuitiver Geisteskraft die Energie des Charakters verlangt, auch
bei fortgesetzter gleichartiger Arbeit nicht zu ermüden. Nicht
alle Lehrer der Mathematik verstehen so wie v. Stand t den an
sich trocknen Vorträgen einen lebensvollen Reiz zu verleiben, in-
dem jene Probleme praktischer Natur angedeutet werden , welche
durch verschiedene mathematische Methoden von verschiedenen
Seiten beleuchtet, leichter und sicherer der Losung entgegenge-
fahrt werden können. Üeberall aber, wo sich seinem in die Tiefe
strebenden Scharfsinn ein schwieriges Problem darbot, ergriff er
es mit unverdrossenstem Eifer und fand in der Arbeit eine barm*
lose Befriedigung.
Auf dem Gebiete der reinen Analysis bat sich v. Sta«dt
vornehmlich durch eilte kleine, aber höchst werthvolle Arbeit über
die „Bernoullischen Zahlen" ein bleibendes Gedäcbtniss er-
Vorben, worüber sich ein ausgezeichneter Analytiker, Herr Coli.
Seidel, folgendermassen ausspricht: „Bekanntlich bat man ßr
•e Summe einer beliebig langen Reihe der aufelnaiidet folgenden
Uterariscker Bericht CLXXXXIII, 3
oaturtiebeB Zablen 1,29 3.... eine höchst einfach^ Formel, welche
diese Svaime giebt, ohne die wirkliche AdditiQQ zu erfordern.
AehiUiebe Femielii lassen sich aufslellen für beliebig lange Reihen
der Quadrate, der Gaben, und all^^emein beliebig hoher Potenzen
dieser Zahle«. Diese Fornteln nehmen aber rasch aii Complica*
lioii au» indem in ihnen Brüche von eigenthümlicber Zusammen-
setzung, die nach dem Namen Jacob Bernoulli's genannten
Zahlen, auftreten. Diese Zahlen haben vielfach das Interesse der
Mathematiker in Anspruch genommen, einerseits, weil die ver-
steckte Art der Bildung ihrer Zähler und Nenner das Nachdenken
reizte; andererseits, weil sie in der nämlichen auffallenden Ge«
stalt in Untersuchungen ganz verschiedener Art wiederkehren, so
dass sie überhaupt eine grosse Rolle in der Analysis spielen.
Die Versuche, eine Obersichtliche Gesetzmässigkeit in ihrer Zu*
Kammensetzung herauszufinden, blieben lange ohne Erfolg und fast
ohne Hoffnung, — bis es v. Staudt gelang;, zunächst fiir ihre
Nenner die schone Gesetzmässigkeit ihrer Bildung klar zu legen.
Seine Dissertation über diesen Gegenstand, verbunden mit ande-
ren Untersuchungen fiber die Summen der vorbin gedachten Zah-
lenreihen, ist 1840 erschienen. Ohne Beweis hatte v, Staudt
seinen Satz schon vorher Einzelnen mitgetheilt. '^
Ein anderer Fachgenosse und Verehrer v. Staudt's, unser
Herr College Bauern fei nd, schildert seine glänzenden Leistun-
{^en auf dem Gebiete der Geometrie mit folgenden Worten: „In
früheren Jahren hat v. Staudt mit Vorliebe die analytische Geo-
metrie betrieben , und durch einige kleinere Abhandlungen gezeigt,
wie sehr er feinen Blicks seinen Gegenstand beherrsche. Seit
einem Menschenalter wandte «r sich der neueren synthetischen
Geometrie zu^ um deren Grenzen zu erweitern und ihren Inhalt
in ein wohlgefägtes System zu bringen. Diess System ist in der
1847 erschienenen „Geometrie der Lage'' entwickelt, und in
den von 1849 bis 1860 veruffentlichten „Heiträgen zur Geo-
metrie der Lage'' erweitert und befestigt worden. In neuester
Zeit erst fand es die verdiente Anerkennung, indem es zur Grund*
läge der ,, graphischen Statik'' gemacht wurde, wodurch sich
die bisher auf dem Wege der Rechnung ermittelten Grossen und
Richtungen der in Bau- und Maschinen-Constructionen wirksamen
Kräfte mit ausreichender Genauigkeit durch Zeichnung finden
lassen. Eine noch weitere Verbreifung und Anwendung steht der
Geometrie der Lage bevor, sobald sie auch zur Grundlage der
»descriptiven Geometrie" gemacht wird, wozu sie ganz geeignet
erscheint.
Die neuere Geometrie geht, wie die alte, von den einfach-
4 Literarischer Bericht CLXXXXIIL
8ten, räumlichen Vorstellungen aus und gelangt, wie diese, ohne
von den Hiilftsmttteln der Rechnung mehr aU Verhältnisüe beixn-
ziehen^ bloss durch entsprechende Conibinationen jener Vorstel-
lungen zu einer fortlaufenden Reihe von evidenten 8ätseD. Wi9
beide unterscheidet, ist nur die Art und Weise, wie entwedfr
die einfachsten Vorstellungen selbst oder die daraus abgeleiteten
Resultate mit einander verbunden werden. Während in dieser
Beziehung die Geometrie der Alten fast ßir jeden Satz eines be-
sonderen Beweis -Apparates bedarf und hiedurch theiliveise als
eine Sammlung von glQcklichen Einfällen und Kunstgriffen erscheint,
fShrt die neuere Geometrie ein möglichst grosses Gebiet von
Resultaten auf wenige Grundverbindnngen der einfachsten Vor-
stellungen zurilck.
Den Grund zu dieser neueren Geometrie legte im ersten Vier-
tel unseres Jahrhunderts Poncelet durch seinen Trait«^ des
propri^t^s projectives des flgures, worin er zeigte, wie
man gewisse Eigenschaften einer Figur auf eine andere Gbertragen
kann, und dass, unter Zugrundleeung der Perspective und des
Cotitinuitätsprincipes, die Theorie des Kreises ausreicht, die fast
zahllosen Eigenschaften der Kegelschnitte wie mit einem Schlage
systematisch abzuleiten. Seine Theorie Ae» polaires reclpro-
ques, wonach mitHflIfeeinesKegelschnittes jeder Figur eine andere
gegenübergestellt werden kann, deren Ecken und Seiten beziehungs-
weise den Selten nnd Ecken der ersten entsprechen, führte aof
das in der Geometrie allgemein herrschende Gesetz der üoalitSt,
vermöge dessen jedem Satz, der eine Abhängigkeit zwischen
Punkten, Ebenen und Geraden ausdrückt, ein anderer gegenüber-
steht, in welchem die Punkte und Ebenen des ersten durch Ebe-
nen und Punkte des zweiten, die Geraden aber wieder durch
Gerade ersetzt sind.
Mit Hülfe dieses Gesetzes und das heikle ContinnitStsprincip
vermeidend, gelangte Steiner zu seiner „Systematischen
Entwickeluog der Abhängigkeit geometrischer Gestal-
ten von einander." In diesem Epoche machenden Werke sind
metrische Relationen nicht vermieden.
V. Staudt nun hat sich hievon in seiner „Geometrie der
Lage" gänzlich unabhängig gemacht, und alle von Steiner und
Anderen vor ihm aufgestellten Resultate, welche aus der gegen-
seitigen Lage auf einander bezogener Gebilde folgen, durch blosse
Betrachtung der Lage dieser Gebilde abgeleitet.
Hierin liegt der Unterschied zwischen der „Geometrie der
Lage" und der „neueren Geometrie", und zugleich der
Grund, warum die Darstellung von Staudt noch abstracter nnd
Ulerarischer Herichl CLXXXXUI. 5
philosophischer erscheint, als die seiner Vorgänger» deren For-
tschungeii er in neuer Form wiedergibt Die wesentlichste Erwei-
terung der bynthetiHcben Geometrie aber, welche v. Staudt
verdankt wird, besteht in der nach neunjähriger Arbeit gegifickten
Erfindung feines Weges, auf dem sich das Imaginäre evident und
sicher behandeln lässt. Diese Erfindung und die mit grusster
Strenge durchgeföhrte Scheidung der Lugen- und Grussenverbält*
nisse geometrischer Gebilde sichern v. Staudt einen hohen Ehren-
platz in der Geschichte seiner Wissenschaft, ja, es gibt Mathe-
matiker, die die Ehrfurcht vor dem „Vater der alten Geometrie^'
auf ihn übertragend, ihn den modernen Euclides nenned mochten.*'
a t e 0 c c I.
Am 25. Juni 1868 starb in Livorno Senator Mateucci; der-
selbe war am 20. Juni 1811 zu Forli geboren, hat also ein Alter
von nur 57 Jahren erreicht, und doch hat diese Zeit hingereicht,
dass er bei seiner fast fieberhaften Tbätigkeit und Arbeitskraft
so Grosses leistete, dnss sein Name ein europäischer wurde.
Seit 1840 wirkte er als Professor der Physik an der Universität
zu Pisa, wo er namentlich die Lehre von der Elektricität und dem
Magnetismus^ sowie die elektrii^che Telegraphie durch seine zahl-
reichen Endeckungen bereicherte und turderte. Das Vaterland
ehrte seine Verdienste durch vielfache Auszeichnungen: nicht
nur war er Mitglied aller bedeutenden in- und ausländischen Aka-
demien und gelehrten Gesellschaften, er wurde auch Vicepräsident
des obersten Unterrichtsraths und im Jahre J862 trat er im März
als ünterrichtsminister in das Cabinet Ratazzi, in welcher Stellung
«r bis zum L December desselben Jahres verblieb. Von 1859 an
widmete er sich vorzugsweise der Politik; er schrieb viel fär die
italienische Sache und nahm lebhatlten Antheil an den parlamen-
tarischen Kämpfen, in welchen er vielfach mit Erfolg als Ver-
mittler zwischen den schroffen Parteigegensätzen auftrat E^ ist
zu bedauern, dass er dieserhalb der Wissenschaft nicht mehr
seine ganze Kraft zuwenden konnte; doch verfolgte er fortwäh-
rend lebhaft alle Fortschritte i\eT Physik und zeigte sich als edel-
müthiger Beschützer junger Kräfte, von denen viele es ihm ver-
danken, dass sie ihre Studien vollenden und jetzt als Lehrer
jener Wissenschaft thätig sein können, welche den Namen Ma-
teucci als den eines hervorragenden Forschers unsterblich be-
wahren wird- Seine sterblichen Ueberreste werden seiner Anord-
nung (gemäss in Pisa beigesetzt werden. (Aus Zeitungen
entlehnt; wir bitten um einen ausführlicheren Necrolog.)
Ulerarischer Bericht CLXXXXIU.^
Geschichte und Literatur der Mathematik und
Physik.
Bullettino di Bibliograria e di Storia delle scienie
materoatiche e fisiche, pubblicato da B« BonconipagBi.
Roma 1868. 40. (Vergl. Literar. Ber. Nr. CLXXXXl. S.9.)
Tomol. Marzo 1868. Sulla Epistola di Pietro Peregrioo
di Maricourt, e sopra aicuni trovati e teorie magneticbe del se-
colo XIII. Memoria seconda del P.D. Timoteo Bertelli Barna-
bita, p 65. — La premi^re id^e du tälögrapbe magn^tique; par
G. A. Vorsterman van Oijen. p. 100. (Die erste Idee de«
magnetiseben Telegrapben bat der Herr Verfasser dieser inter-
essanten Notiz, Herr G. A. Vorsterman van Oijen in Aar-
den borg, der bistoriscben vrissenscbaftlichen Studien sieb eifrig
widmet, in folgendem bei Jacob van Biesen in .\rnheim 1636
erscbienenen Bucbe von Wynantvan Westen, mathematicien
et joueur d*orgues ä Nimegue, gefunden: Rc^cr^ations matbe-
matiques, contenant plusieurs probl^mes emprunt^s
k Tarithm^tique, ä la g^ometrie, ä Tastronomie, a la
geograpbie, a lacosmograpbie, älamusique, älapby*
sique, ä Toptique, k la catoptrique, k Tarcbitecture, a
la gnonionique etc.)
Tomol. Aprile 1868. Sulla Epistola di Pietro Peregrino
di Maricourt o sopra alconi trovati e teorie magneticbe del secolo
XIH., Memoria seronda del P. D. Timoteo Bertelli Barnabita
(Continuazione). p. 101. — Sur TAstronomie de Boece sig-
nalöe par Monsieur le Dr. Maurice Cantor; par M. Maximi-
lien Curtze. p. 140.
Arithmetik.
Logarithmiscb-trigonometrische Tafeln mit sechs
Decimalstellen. Mit besonderer Rflcksicbt fär den
Schalgebrancb bearbeitet von Dr. C. Bremiker. Neue
verbesserte und vermehrte Stereotyp« Ausgabe. Erste
Lieferung (die Logarithmen der Zahlen von 1 — 100006
enthaltend). Preis 12i Sgr. Berlin. Nicoiaische Ver-
lagsbuchhandlung. (A. Effert & L. Lindtner.)
Der um die Bearbeitung genauer, zugleich vorzügliche Sicher-
heit mit Leichtigkeit bei dem Gebrauch verbindender logaridi-
UurarUcher Bericht CLXXXXIU. 7
roisch-tri^onometrischer Tafeln bekanntlich sehr verdiente Herr
Herausgeber hat sich — wie schon in unseren Anzeigen der früV
heren Ausgaben des vorliegenden Buchs von uns bereitwilligst
anerkannt worden ist — durch die Heraasgabe dieser sechsstelligen
Tafeln jedenfalls ein besonderes Verdienest erworben, da solche
Tafeln das Mittel zwischen fünf- und siebenstelligen Tafeln halten,
und oft mit ganz besonderer Bequemlichkeit in Anwendung ge-
bracht werden. Ob nun aber für den Gebrauch auf Schulen,
nach ziemlich allgemeiner Beseitigung der siebenstelligen Tafeln,
fünf- oder sechsstellige Tafeln mehr geeignet sind, ist wohl noch
eine offene Frage, wenn auch die Ansichten erfahrener Lehrer
jetzt den ersteren mehr als den letzteren günstig zu sein scheinen,
wodurch aber natfirlicb der grosse Werth sechsstelliger Tafeln
für sehr viele Rechnungen an sich gar nicht geschmälert werden
kann, wie auch schon vorher erwähnt worden ist. Wir haben
Häher die vorliegende neue stereotypirte Ausgabe dieser Breroiker-
»chen sechsstelligen Tafeln mit besonderer Freude begrfisst, sehen
den weiteren Lieferungen mit Verlangen entgegen, und empfehlen
»e von Neuem zu sorgfältigster Beachtung.
Geometrie.
La science absolue de Tespace ind^pendante de la
vörit^ ou dela fausset^ de l'Axiome X( d'Euclide (que
Ton ne pourra jamais ^tablir a priori); suivie de la
quadrature geom^trique du cercle, dans le cas de la
fausset^ de TAxiome XI. Par Jean Bolyai, Capitaine
au Corps du G^nie dans l'arm^e autrichienne. Pr^c^d^
d'nne Notice sur la vie et les travaux de W. et de J.
Bolyai, par M. Fr. Schmidt, Architecte k Temesvar*).
Paris. GauthierVillars. 1868. 8<>.
Da die Schriften J. Bolyai's (m. s. Archiv. Thl.XLVlII.
Nr. XVfH. S. 216.) in vielen Beziehungen sehr mühselig zu lesen,
tind nicht leicht zu verstehen, auch sehr schwer zu erhatten sind,
so bat sich Herr Professor HoQel in Bordeaux durch diese
Ueberselzung jedenfalls ein sehr grosses, nicht genug anzoerken-
oendes Verdienst um alle diejenigen erworben, welche Bolyai*s
georoetri«ohe Untersuchungen näher kennen lernen wollen, wes-
halb vAx auf diese Schrift recht dringend aufmerksam machen und
dieselbe zn recht sorgfältiger Beachtung empfehlen.
*) Jetzt in Pest
8 UlerariscUer Bericht CLXXXXUL
Bei dieser Gelegenheit bemerken wir noch, dass Herr HoGel
in den „Nouvelles Annales de Mathematiques 2^ s^rie.
t. Vit. 1868 '^ auch eine, mit erläuternden Zusätzen versehene
franzosische Uebersetzung der sehr verdienstlichen Ontersucboii'
gen des Herrn G. Battaglini in Neapel über die Göom^trie
imaginaire de Lobatschewsky*), veruffenüicht hat, welche
für alle die, welche des Italienischen weniger kundig sind, gewiss
ein sehr angenehmes Geschenk sein wird.
Die Theorie der Kegelschnitte in elementarer Dar-
stellung. Auf Grund von Universitätsvorträgen und
mit Benutzung hinterlassener Manuscripte Jacob Stei*
ner's bearbeitet von Dr. E. F. Geiser, Dozent am
Schweizerischen Polytechnicum. Leipzig. B. G. Teub-
ner. 1867. 8». (Erster Theil von Jacob Stei ner's Vor-
lesungen über synthetische Geometrie).
Herr Dr. Geiser verdient jedenfalls vielen Dank för die
Herausgabe dieser Vorlesungen, die — wie dies nicht anders er-
wartet werden konnte — sehr viele interessante und lehrreiche
Betrachtungen über die Kegelschnitte auf constructivem Wege
enthalten , und in dieser Beziehung die beste Empfehlung verdie-
nen. Nur aber glauben wir bemerken zu müssen, dass wir
nicht der Meinung sein können, dass dieses Buch seiner ganzen
Passung nach sich auch eigene, etwa dem Unterrichte in der Lehre
von den Kegelschnitten nach synthetischer Methode — dessen
Einführung uns allenlings von jeher sehr wünschenswerth erschie-
nen ist — als Lehrbuch zu Grunde gelegt zu werden, was ja aacb
schon in der Natur von „Vorlesungen^' liegt. Dazu roüssten
wir unbedingt eine andere Fassung und Darstellung wGnscheo,
wodurch aber der Werth der Schrift an sich natürlich nicht geschmä«
lert wird. Wir können hier nur noch den Hauptinhalt angeben«
was auch hinreichend zu sein scheint, da das Buch gewiss bald
in vielen Händen sein wird. Klntleltniiip. Kap. L Der Kreis.
Kap. II. Der geometrische Ort. — Die Keipelsclmitte la
«pesleller Behandlunipswelfle. Kap. III. Die Ellipse.
Kap. IV. Die Hyperbel. Kap. V. Die Parabel. — C^emein-
same Behandlung der Keipelü^cluiltte* Kap. VI. Brean-
punktseigenschaften der Kegelschnitte. Kap. VII. Der Kegel-
schnitt als Projection des Kreises. — Ueber den zweiten Theil der
V^orlesungeii über synthetische Geometrie nächstens Weiteres.
*) Giornalp di Ma trnia tich e, I.V. p. 217.
uterarischer Bericht CLXXXXIIL 9
Mathematificbe Uoterbaltungen. Herausgegeben
▼om Oberstudieoratb Dr. Riecke. Zweites Heft. Stutt-
gart. 1868. 8».
Was wir im Literar. Ber. Nr. CLXXXII. S. 4. tiber das erste
Heft dieser „Matbematiseben Unterbaltungen'' gesagt
babeoy gilt aucb von diesem zweiten Hefte. Bei aller Anspruchs*
losigkeit entbält dasselbe eine Reibe vorzugsweise geometriseber
(docb auch aritbmetiscber) LebrsStze und Aufgaben mit ibren oft
sinnreichen Beweisen und Auflösungen^ welche namentlich von
Lehrern bei*m Unterrichte zweckmässig benutzt werden können,
wodurch eine neue Empfehlung des Buchleins zur sorgfältigen
Beachtung gerechtfertigt erscheint. Möge der ehrwürdige» von uns
hochgeachtete Herr Verfasser uns noch mit recht vielen Fort-
setzungen erfreuen !
Mechanik.
Aufgaben Aus der analytischen Mechanik von Dr.
A. Fuhrmann» Assistent för Mathematik und Vermes-
sungslehre an der KOnigl. polytechnischen Schule zu
Dresden. Mit einem Vorwort von Dr. O. Schlumilcb.
In zwei Theilen. Erster Tbeil: Aufgaben aus der ana-
lytischen Geostatik. Mit in den Text eingedruckten
Holzschnitten. Leipzig. B. G. Teubner. 1867. 8o.
Wir glauben, dass diese Sammlung statischer Aufgaben alle
Beachtung verdient, und sehen dem Erscheinen des zweiten Theils
mit V^erlangen entgegen. Der Hauptinhalt ist folgender: Ein-
leitung. Aufgaben über die Bestimmung der Masse und des
Gewichtes ungleichförmig dichter Korper. — « Cap. I. Aufgaben
über das Gleichgewicht eines vollkommen freien Punktes. — Cap. H.
Aufgaben über das Gleichgewicht eines unvollkommen freien Punktes.
— Cap. in. Aufgaben über die Bestimmung des Schwerpunktes
von Linien, FiSchen und Körpern. (Sehr reichhaltig, aus neun
Abtheilungen bestehend, für Parallelcoordinaten und Polarcoordi-
naten). — Cap. IV. Aufgaben über das Gleichgewicht von belie-
bigen Kräften an einem Systeme von Punkten. (Stabilität, Gleich-
gewicl\|t biegsamer Fäden). — Cap. V. Aufgaben über die An-
wendung des Princips der virtuellen Geschwindigkeiten. — Cap. VI.
Aufgaben über die Anziehung der Linien, Flächen und Korper.
Die Lehre von der Elasticität und Festigkeit mit
besondererRücksicbt auf ihre Anwendung in der Tech-
nik, für polytechnische Schulen, Bauakademien, Inge-
12 Literarischer ßerichl CLXXXXllL
A. Mühry. Mit einer lithograpbirten Tafel. — AusserHem
eine grosse Anzahl von Literatur- Berichten und kleinerer Mit-
theilungen. — Die grosse Wichtigkeit dieser sehr schonen Zeitscbrifi
tritt immer mehr hervor, je weiter sie fortschreitet.
Vermischte Schriften.
Annali di Matematica pura ed applicata. Diretti da
F. Brioschi e L. Cremona (Presso il R. Istituto Tecoieo
superiore di Milano) in continuazione degli Annali giä
pubblicati in Roma dal prof. Tortolini.). 4^. (8. LiCerar.
Ber. Nr. CLXXXXVIII. S. 14.)
Serie IK Tomo P. Fascicolo 3«. (Febbraio 1868.)
Jordan: Sur la stabilit^ de l'^quilibre des corps flottants (conti-
nuazione e (ine), p. 193. — Brioschi: La soluzione generale
delle equazioni del quinto grado. p. 222. — Schläfli: Sülle re-
lazioni tra diversi integrali definiti, che giovano ad espriniere U
soluzione generale della equazione di Hiccati. p. 232. — Schläfli;
AIcune osseivazioni intorno alle funzioni di Laplace. p. 243. —
Cremona: Rappresentazione di una classe di superGcie gobbe
sopra un piano, e deterniinazione delle loro curve assintotiche.
p. 248. — Schramm: Les invariants et les covariants, en qua-
litö de crit^res pour les racines d*une ^qiiation. p. 259. — Neu-
mann: Sul baricentro di curvatura delle curve algebriche. p. 2W.
— Neumann: Sul baricentro di curvatura delle superficie alge-
briche. p. 283. — Pubblicazioni recenti, ricevute dai Direttori
degli Annali.
Serie IK Tomo R Fascicolo 4^. (Maggie 186&)
Curtze: Notes diverses sur la sörie de Lambert et la loi des
nombres premiers. p. 285. — Codazzi: Sülle coordinate corvi-
linee d*una superficie e dello spazio. p. 293. — Geiser: Sutle
normali all* ellissoide. p. 317. — Beltrami: Delle variabili com-
plesse sopra una superficie qualonque. p. 329. — Gordan: Ap>
plicazione della Memoria „Sulla rappresentazione tipica
delle forme binarie" all' equazione niodulare della transfor*
mazione di quinto ordine* p. 367. — Betti: Sopra la deternii-
nazione delle temperature variabili di una lastra terminata. p. 373.
— Pubblicazioni recenti, ricevute dal Direttori degli Annali.
Giornale di Matematiche ad uso degli stodenti delle
universiti italiane, pnbblicato per cura del Professore
G. Battaglini. Napoli. (S. Liter ar. Ber. Nr. CLXXXII. S.2i)
Uterarischer Bericht CLXXXXUL 13
Maggie eGiagno 1868. Sülle perturbazioni planetarie; per
R. fiel Gro88o. p. 129. — Recbercbes sur les surfaces du se-
conci degr^ qui se coupent suivant deux courbes planes ou qui
sollt envelopp^es par deux cones comnions; par G. Stammer.
p. 153. — Sülle Serie a termini positivi; per U. Dini. p. 166. —
8ui determinanti cubici; per E. Padova. p. 182. — Nuova es-
fo^tzione della teoria generale delle curve di 2^ ordiiie in coor-
dinate trilineari; per E. d'Ovidlo. p. 190.
Tidskrift frir Matematik ocb Fysik, tillegnad den
svenska Elementar-Dndervisningen, utgifven af D:R.
dSrani Dillner, Docent i Matematik vid Upsala Aka-
denii (Hufvudredaktor); D:R. F. Iir. üoltinaii, Lektor
vid Stockbolms hugre Elemen tar-Läroverk; D:R. T.
Rolkeri TliAlen, Adjunkt i Fysik vid Upsala Akademi.
Upsala, W. Scbultz' Boktryckeri. 1868. 8».
Das erste Heft dieser neuen niatbematiscben und pbysikali-
8chen Zeitscbrift haben wir im LIterar. Ber. Nr. CLXXXX. S. 17.
angezeigt. Jetzt liegen uns vor:
Haftet 2. Mars 1868 and Haftet 3. Maj 1868.
Im Allgemeinen sind diese beiden neuen Hefte ganz auf die-
selbe Weise eingerichtet wie das erste Heft, und enthalten na-
mentlich wieder eine sehr grosse Menge interessanter einzelner
Sätze und Aufgaben, neue tbeilweise sehr elegante Beweise und Auf-
iusungen, woraus auch deutsche Lehrer sehr vielen lehrreichen Stoff
rOr ihren Unterricht entnehmen können, und die wir daher wiederholt
auf diese neue sehr verdienstliche Zeitschrift aufmerksam machen.
Wir hoffen aus diesem reichen Inhalt Manches noch im Archiv
mittheilen zu können. Ausserdem enthalten diese beiden Hefte
Portsetzungen in dem ersten Hefte enthaltener Aufsätze, wie
z. B. des historischen Aufsatzes von Herrn Hultman, des Auf-
satzes über M« Faraday von Herrn Thal^n, des Aufsatzes
über den geometrischen Caicul von Herrn Dillner, des Aufsatzes
über die Lehre vom Grössten und Kleinsten von Herrn Ho Im-
gren. Ausserdem flndet sich ein Aufsatz Über den berühmten
Lord Rosse von Herrn Thal^n, ein verdienstlicher Aufsatz
Über die strengere elementare Behandlung der Lehre von den
Wurzelgrossen von Herrn C. F. E. Björling (.j:t), ein Problem
der descriptiven Geometrie von Herrn Wackerbarth, ein Be-
weis des Kräfteparallelogramms von Herrn Dillner, und vieles
Andere, welches Alles besonders namhaft zo machen uns hier
leider der Raum fehlt. Hinweisen wollen wir jedoch noch auf
14 Uterarischer üerlcht CLXXXXUI.
einen Aofsata ober die Maxima isoperimetrischer Producte tod
Herrn Dillner, wobei wir bemerken^ dass unter einem isoperime-
trischen Prodoct ein Product mit TerSnderlicheii Factoren ver>
standen wird, dessen Factoren eine constante Samme habeo;
wir glauben, dass die hier über Maxima solcher Producte roi^e*
theilten Sätze, überhaupt die ganze hier zur Anwendung gebrachte
elementare Behandlung dieses Gegenstandes, alle Aufmerksamkeit
und weiter ausgebildet zu werden verdient.
Mögen diese der Beschränktheit des Raums wegen eine
weitere Ausdehnung nicht gestattenden Bemerkungen dazu dienen,
die Aufmerksamkeit deutscher Lehrer auf diese gewiss alle Be-
achtung recht sehr verdienende neue Zeitschrift hinzulenken.
G.
Sitzungsberichte der Konigl. bayerischen Akade-
mie der Wissenscbfiften in MOnchen. Vergl. Literar.
Ber. Nr. CLXXXXIL S. 23.
1868. I. Heft Hl. Enthält in den Kreis des Archivs gehv-
rende Aufsätze nicht, aber treflfliche, von dem hoehverdleiiteii
Herrn Geheimenrath Dr. von Martins verfasste Necrologe voo
C. G. C. von Staudt, M. Faraday, D. Brewster.
1868. 1. Heft IV. Bauern feind: 1) lieber eine neue
Eigenschaft des Prismas der Camera lucida. S. 491. — 2) Oeber
ein neues Spiegelprisroa mit constanten Ablenkungswinkeln. S. 496.
(Beide Aufsätze fflr Physik und Geodäsie sehr beacbtenswertb).
— Nägeli: (Jeher selbstbeobachtete Gesichtserscheinungen. S.dOS.
Die „Accademia Pontificia de' Nuovi Lincei*' in
Koro hat die folgende Preisaofgabe gestellt , welche wir so schleu-
nig, als es uns irgend möglich ist, hier mittbeilen. G.
PROGRAMME POOR LE PRIX CARPI.
L'Acad^mte, daos le but de conf(^rer le prix annutJ, fond^
par la gön^reuse disposition testamentaire d'un de ses membres
ordinaires, feu le chevalier docteur Pierre Carpi, prppose de
d^velopper le th^me suivant.
T H 6 M E.
Comparer eatre etles les maröes des prindpaiix ports de Um-
tes las c6t*s italiesnes, apprMer «t «xpliquer leurs difförenoes.
Wer arischer BerfcAi CLXXXXIIL 15
I^CLAIRCISSEMENT.
Gallige s'ej^t ocoape du flux et du reflux de la mer *). Mais
de »on tenips, c*esf ä dire eii 1616, on ne connaissait oi leis vraies
doctrines 6ur rattraction universelle, ni Tanalyse supörieure; il
ir^fatt done pas possible d'indiquer les prinripales cauees du ph^-
nuniene »igrial^. Malgre cela, cet illustre Linceo, chercbait a
reconiiai tre "**") , il y a de cela deux si^cles et denii , les raisons
probables, qui foiit que le flux et le reflux de la mer sout plu»
sensibles dans TAdriatique et surtout k Venise, que sur les cötes
d« la mediterran^e. II en räsulte que notre thdme a öt^ en par-
tie con^u par le glorieux röfonuateur des doctrines d'Aristote.
L'^tude du tb^me propos^ devra ^tre bien döveloppee; Ton
evitera n^anmoins tout ce qui n'appartiendrait pas rigoureusement
a la question, sans aller jusqu'ä supprinier ce qui peut aider ä
la clartö et ä la force des d^nioustrations. II sera d'une grande
Utility a l'anteur de connaitre les travaux aux quels se sont livr^s
mr les niarees les pbysiciens geo^raphes, par exeropfe: Hum-
boldt, Wbewell, Lubbok, Bergbaus, Germar, Thom-
son, Maury, Dessiou, Cbazallon .... et m^jpe les göometres
modernes: Laplace, Delaunay, et autres.
L*auteur devra puiser aux sources officielles, ou au moins les
plus dignes de foi, les observations sur la cobtemporanöit^ des
niar^es, sur leurs differences de temps, et faire connaitre oü il a
recueilli les observations. fl devra aussi indiquer les intervalles
qui separent la haute maröe de la culmination lunaire, et aussi
t^ hauteur maxinia, minima, et moyenne ordinaire, extraordinaire,
aux syzygies et aux ^quinoxes, sous Tinfluence de certains vents
et lors des plus grands changenients de la pression atmosph^ri-
que etc. L'on devra exposer en g^neral toutes les circonstances
physiques ou göograpbiques qui modifient la marche ordiuaire des
mar^es et en fouruir les explications. II est n^cessaire surtout
de bien indiquer les causes des diff^rences, qui s'observent entre
les roar^es des principauz ports de toutes les cdtes de litalie.
Eofin il est recommand^ de developper Targument aussi au point
de vue de Tanalyse n(iath^matique, en se guidant pHncipalement
sur ce qu'a publie ä ce sujet Tillustre Laplace dans sa m^a-
*) l)n traUö luanutcrtt sur ce phänoiu^ne physico-göographique, ge
troove A^la biblioth^qa« dn Vatican; il contient un fronti«pir.e aoto-
grapbe tr^s intöressnnt de Galiläa.
•*) Le opere di Galileo Galilei, t \^. Fireose 1842, p. 498,
«t t 2«. Ftreate 1843, p. 400.
16 Literarischer Bericht CLXXXXIIL
nique Celeste. Mais si Tauteur troove que Dotre th^me, par sa
nature m^me, ne permet pas l'application de l'analyse, il devra
exposer clairement les difficultäs qoi 8*y opposent.
Bien que le thdme coDsiste rigoureusement k demander sioi'
plement t'etude et Texpositioo scientique des mar^es dans le«
priocipaux ports dltalie, par la raison qu*ils offrent uo plus grand
iiiteröt, iieannioios» on recevra avec reconoalssance les observa-
tioos et les ^tudes sur les maröes ä toute autre poiot des c^tes
italiennes pris soit dans les iles» solt sur le continent.
CONDITIONS.
P. Les m^moires sur le th^nie propos^ devroot ötre r^diges
Ott en Italien , on en latin , ou en fran^ais : nulle autre langue n'est
adinise.
2^. Cbaque memoire portera sur son frontispice nne Epigra-
phe, qui sera r^p^tee äText^rienr d'une enveloppe cachet^, dan«
laquelle se trouveront le nom et l'adresse de Tauteur.
3^. On ouvrira seulemeut Teoveloppe correspondante au me-
moire qui aura obtenu le prix.
4^. 8i les auteurs, qui auront obtenu une mention hoDorable.
dösirent que TAcad^mie publie leurs noms, il faudra qu'ils eo
fassent la demaode, dans les quatre mois qui suivront le jour,
dans lequel le prix aura et^ d^cernE; ce terme expir<^» les eove-
loppes seront brnl^es sans ^tre d^cacbet^es.
5^. L*Acad^mie a d^cid^ que, ä Texception de ses trente
membres ordinaire^i» chacun, quelle que soit sa nationalit^, poorra
concourir pour ce prix.
6^. Cbaque memoire, avec Tenveloppe cachet^e correspon-
dante, devra ötre envoyö franco k TAcad^mie, avant le demier
jour du roois d*octobre 1869, date de la cldture du conconrs,
7^. Le prix sera d^cern^ par rAcadämie, dans le mois de
janvier 1870 et consistera en une medaille d'or, de la valeur de
mille licres,
8^. Le memoire couroonä sera publik, enti^rement ou par
extrait, dans les Atti de FAcadömie, et Tauteor en recevra ein-
quante exemplaires.
Rome, 12 juin 1868.
Le President
B. VlALB Pr£LA'.
Le secrStaire
P, VOLPICBLLI.
DriokibUer. im Literar. Ber. Tbl. XL VIII. Nr. CliXXXXlL S. 23. mos»
es unten in der Note (am Ende der Seite) ftatt „grossdana" beissen : „grossoUoa**.
llUrarUeker Berieki CLXXXXIV.
Literarischer Berieht
CLXXXXIV.
Am SOsteo December 1866 starb in Darmaladt — so meldet
die „Beilage zar Allgemeinen Zaitung. Nummer 20t
vom 2-2. Jul! 1868" — der Grossherzoglich Heaaiacbe Gehelmralb
Dr. Christian Leonhard Philipp Eokhardt
Wenn anch vomgavreiae im praktiachen Staatadieoste, hat der-
selbe sich doch auch als Matfaematiker einen sehr geachteten Namen
erworben, weshalb wir diese uns erst jetzt zngekommene Nacb-
rlebt von seinem Tode hier noch aufnehmen. Er war geboren am
Isten Juli 1784 zu Dauernbeim in der Wetlerau, nnd ist Heraua-
geher mehrerer geachteter mathematischer Schriflen, u. A, auch
elftes „Lehrbachs der Analysis". Vorzflgüch aber bat er
sich durch die geodfitische Aofnahme seines Vaterlandes,
haupts&cblich Behufs der Kalaetrirung desselben, und ein für die*
selbe entworfenes sehr wohl darchdacfates VermessDiigssystem ver-
dient gemacht, so nie durch mehrere dahin eioscblagende Abhand-
lungen. Auch unser „Archiv der Mathematik und Physik"
verdankt ihm die in Tbl. XXV. Nr. Vli. S. 113. abgedruckte sehr
werthvolle Abhandlung:
„Ueber den Einfluss des Vordertbeils undHln-
terthella der Scbifr« aaf den Wlderstani
Waasera"
und der Heransgeber wird ihm stets ein dankbares Andenki
Wahren. Er soll ein noch nicht ganz vollendetes grosseres j
tlsches Werk" hinterlassen haben, welches naher zu li
gewiss von besonderem Interesse sein wflrde, um beurlhei'
ThLXLIX. HfL9. »
2 LUerariicker BericfU CLXXXXIV,
kODoen» ob es sich vielleicht zur Heraasgabe eigne, da ao gnt^
nautischeo Scbriften, nameotlicb solchen, die den Bau der Schiffe
betreffen oder auf denselben Bezug haben, immer noch kein Deber-
fluss vorbanden ist G.
Notice snr J.-A. Tlmmermanft
xoembre de rAcad^mie'*),
n4 ä Bruselttt, ie 99 aotfl 1801, mtrt ä Omdy U 9 —ptumkrt 1864**).
Les matb^matiques, plus qu*aucune autre science, semblent
modifier les tendances et les babftudes de ceux qui les coltiveot:
elles donnent parfois au geste et ä la physionomie quelque chose
de distrait; on voit que l'esprit est absorb^ par les id^es qui Ie
pr^occupeot. Le vulgaire, trompö par cette apparence, confond
aisöment ee qu'il nomme paresse d'esprit avec le travail de Tio*
telligence: quelquefois m^me ce semblaut d'apathle est portö a
un point extreme; on sait par ezemple que l'ingänieux et savant
Ampere poussait la distraction jusqu'ä donner k ceux qui ne le
connaissaient pas compl^tement, le change sur Testime que de*
Talent inspirer l'^tendue et la profondenr de ses coonaissances.
Les pröoccupations de Timmermans n'allaient saus doute pas
jusque-lä; mais elles ötaient parfois assez sensibles.
Notre jeune math^maticien avait fait ses preroi^es Stades 4
l'Athön^e de Bruzelles; son attention s'ötalt particuli^remeot tonr-
n^e vers les sciences; et il montrait dds lors qu'il pourrait pai^
courir avec succ^s la carri^re qui s'ouvrait devant Ini. II n'ar^
qu^ dix sept ans quand il se rendit k l'Universitö de Gand, dsM
le but de donner suite k ses ötudes.
II venait de se former dans cette ville une r^union de jeunes
^tudiants qui» sous le nom de SocietS PhilomaUque, avaient form^
un petit cercle d'une quarantaine de membres, afin de proc^der
avec plus d'ordre et plus d'ardeur dans leurs travaux. (T^ttalt un
enseignement mutuel qu'lls comptaient faire, en dehors des ^tudes
universitaires: les plus forts aidaient ceux qui Tätaient moins
et ces derniers prötaient tous leurs soins k eeux qui entraient dans Is
earri^re. Cette raanr^re de travailler excitalt T^mulation, et devait
*) Cette notice a 6t^ loe eo s^snce publique de la datee de« edeocc«,
le 17 ddcerobre 1867. (Et Iflt hier überall von der Aktdemie der Wia-
•enscheften in Brüssel die Rede. G.)
**) Le lendeinsfti moorait k Broielles M. Jean KIckz, dgaleawt
membre de rAcad^mie royale de Brozellee, et profesteor de la tkt/oM
des sciences a l'Universitd de Gand.
Uter arischer Bericht CLX XXXIV. 3
n^cessatrement prodaire d'exceUeots ri^sultats. Tiromemiaos fut
an dts membres les plus assidus de cette petite röooion: il ^talt
pen causear, maU son euprit ^tait toojourM actif. iSes jenoes ea-
loarades sentaient nöaiinioin« qoe lears voes pouvaient ^tre mal
coniprisesy et exciter des d^fiances ches leurs professeors. Pour
tdcher de pr^?enir le mal» ils iriTitereut M. Garnier k venir parmi
eux» k \^H ^clairer de ses conseiU, et k deveoir leur prösident
honoralre. La sociötö avait tootefoiK 8011 pr^aident effeetif, et
deoz TiceprMdenta, qui ötaient MM. Lemaire et Timroermaos.
Malheureoaement M. Garnier comprit mal fia position: il arri«
vait de France, oü il avait ^t^ 8acce8cii?emeut remplac<^, dans
pluateura places brillantea» par Fourier» Poiason» et d'autrea aa-
▼anta do premier inörite. Au Heu d'appuyer la deniande falte k
Tautoritö locale*) par ceax qui Fa^aient appel^ k lea diriger» 00
erat voir qo'il voolait lea röduire a une «orte de servage. One
r^Tolte a'organiaa, la aoci^tö fut diasonte par aea fondateora
m^mea; et, comme toujoura, dea exc^a auivirent cea premi^rea
manifeatations. Ou alla nidme jnaqu'ä brüler publiquement lea
oavragea de M. Garnier, et k d^aerter a^s le^oaa: tootefoia ai la
jeuneaae e^t Tive, turbulente, quand on bJease sa droiture, eile
rerleut vite ii dea aentimenta plua i^quitablea; le calme ne tarda
donc paa k renaitre; et celui dea jeunea ^tadianta qui^ le premier,
prit le grade de deeteor en aciences, dödia aa disciertatfoii an
pr6f^aaeur frangals. Comme preuve de la reeonciliation qai Teoah
de a'^tablir, toua lea profeaseura de la facult^ dea aciencca fiirent
ro^me invit^a courtoiaement an banquet qui auivit \h promoUan^).
Ce mot de promotion rappeile anjourd'hui dea uaagea tout k
fiüt diflMrenta ötablia dana la collation des gradea scientlGquea.
Aotrefola le candldat, comme le docteor, aobintsait sea examena
devant lea profeaaeura de aa faculf^; II ätait bien connn de 99m
examinatenra, qui Tavalent auivi pendant toutc aa marcbe, et qai
^) II fallaiC alort raotorltation do bourgmeslr« et de In B^gence
paar poovoir «e r^onir en toci^t^.
•^) II «it 4 remarquer qiie la pliiparC de« membre«, aortoaC le«
preniera inecrits «or la litte, ont fait partie, par la suite, de Tenieig-
aemenC •nperieur, et oaC obteau de« gradea brillant« dan« la carri^re
mlllUire. Voyem la notico aar Jean-tiuliiaume' Garnier daaa notre
oavrage: Sciences mathtmatiquee et phpsiques che% ie9 Beiges. Elle
a 6t6 dcrite en grande partie par M. Garoie.* Iiii-n^ioe ( I vol. ia-B*,
Braxellea, dies Tbiry-Van Boggenboudt). Vojei particoli^rement le«
pagea fift et 235.
a»
4 Uterarischer Bericht CLXXXXIV.
a^aient po appr^cier F^tendae de ses connalssances ; 11 arti
de lä qae Texamen ötalt une c^r^monie de pea dlmportaace,
r^leve avait obtena raasentimeot de ses mattres. La prono
publique constituait en quelque sorte la conGrmatloD officielle
la r^ception qui d^ja lul avait ^t^ faite, officieusemeot, avaot
cörömonie. Pour ceux qut, par une sorte de pr^omptioo»
latent s'affranchir de cette espdce de tutelle» il y avait de
risques ä courir. Ce patronage pouvalt sans doote laisse
sirer: mais je ne pense pas qu'il ait prösentö des incooT^ie&to
röels; tandis que souvent, d'apr^s rorganisation actuelle, les»«^
leurs el^ves» iotioiid^s devant des juges ioconnus» laisseot k d^
sirer par uo ezc^s de modestie et de timiditö*}.
Timmermans se trouTait ä Gand depois peu de temps, fon-
quil fut couronnö, le 4 octobre 1819, par l'universitö de cetti
ville, pour ud memoire de concours sur la th^rie g^o^rale <li
la composition et de la rösolution des forces et des roooyemeats^f
On coD^oit que cet ourage, qu'il composa peu de temps aprii
son entröe daos les cours nulyersitaires» o'expose pas des vms
bien nouTelies ; on y trouve cependant des preuves de rinteUigenee
avec laqnelle il convenait d*en faire. II partage son oavrage o
deux parties: la preml^re traite de la composition et de la r^s«-
lution des forces; la seconde, de la composition des mooTemeols.
Dans la prämiere partie, il essaye une diteonstration nooTelle do
Parallelogramme des forces et de la d^termioation de la HgA-
tante: s*il ne r^ussit pas entidreroent dans ses essais, II y faitu
moins preuve de savoir et d'aptitnde; il s'exprime d*aiUeors avcc
la modestie d'un jeune bomme qui peut aspirer ä marcber €m
pas forme sur le terrain dont il cotoie les abords.
A Toccasion de sa promotion an grade de doctenr en sciencei
mathtoatiques et pbysiques, il publia un memoire Interessant m
la figure de la terre***). C'dtait un snjet curieux qoi loi pe^
*) J*eB poorrai« citer de norobreui eienplet: je me boraeral 4 fv^
ler de celoi de M. Scbaar^ l'oo de« ^l^ve« iee ploe n^ritaaU q«*ai»(
prdeenU« so« UBivereil^e, et qal faillil d'sbord dire rejetd par im jwrj
par eoite d'on eic^e de timiditd.
^*) Generaiis iAeoria campositionis ae resoiuiionis Pirium wsaim»-
gue, a iegiümis prineipiis deducta, sucdneie expomainr, ei tätmü
exempUs iitustretur; in^« (M^moires de ronipersiii de €mui, isift-
1819).
**^ De flffurd ierrme ium kpdrosiaiicae legibus, tum obsermUiesi'
aus detertninatd, par A. TiniaiemiaBt, l*' ao4c 1821.
UttrartMher Beritht CLXXXXIV. 5
etfait d'aborder lea parties les plus intereaMotes de la m^caniqa«.
il But le« traiter avec anccis.
Notre janne aatenr rM;nt le tilre de docleur. le l*' aodt 1822.
s rnt Vera cette ^poqufl qa'il fut oomm^, au College rnyal da
■od, proresseur de niath^maliquen, en rem place ment de M. Le-
itre, qui venait d'Atre appeiri, eu la möme qualitä, profoBsear
rAlh^n^ royal de Tournay, et qui Tot remplac^. nua seCDnd«
«, par Timmernana , quand, pina tard, il paaaa comme profea*
ar i l'UniveraiW de Li^ge*).
Qoaiid arriva la r^volution de 1830, TlmmermaM, comme tant
tutre«, abandnnna la paiaible carriire de» scieDces, poar ae mAler
X moDTemeuta pnlitiques et mililairea; il devint capitaine da
nie**). Toulerois cette ardeur müitaire ne peralsta paa chea
jeaiie bomme dont ia premüre paesion dbdt celle de l'^lade.
!Ja, avanl le commencement da regime actuel, il pröaenlait k
cad^mie royale lea travaux Bcientifiqae« qui occnpaienl loua »bm
sira. On troure, d^ la page 5 de nos BulUtüu dont oo eom*
in^t la publicatioD en 1823, lea mots sDivaota, qui tdiaolgneot
'il u'aTail point mfeonnu ce pais^aant appui poor lea travanz
elleetnela de la natinn. „Le aecrdtaire perpätnel (M. Dewea)
t I» leelure d'on rapport snr denx m^maireB de M. A. Timmer*
ne, capitaine da gtfnie, concerDant la Theorie det presHont et
tiont, et quelqaea-nnea dea appiicationa de cette thdorie. Cea
hercbea, qui aupposent des connaissances tres-^tendnes en
ilyse, reposeut aur un principe arbitraire: il admet que le po-
one formi par sea pointa d'appui, est döcompoad dans tons
trianglea possibles, et qne le pnida pent dtre consid^rtf comme
porld par chacnn des triangles qoi passent sons lui. La charge
cbacnn de cea trianglea est le poida AWiai par le nombre
trianglea. Quant k la position da poids d'application dana
*) Cette ancrBMlan dri pnifpairun an V.oWi^t taya\ da Oand i
% ramarqBsble pnr rinfluence qii'atle parul eiercer
■eiencea. Ed 1I))4, je nia Iroiifsia «etil profeaicu
Mmatiqnea et phyaiqae«; Ton ni*adj<iigiiit blenldt M
B qne la ancceaainn panr lea aciencea prtaenta
Leniair«, TimcDerniana , Lefratifoia, Hnreaba, Schal
•nt fail pnrlie da i'Acad^nile rojale dea acieacea,
e maniöre boeorable pir lanra 4crit«, maU dont I
**) TimmermHiu fnt donc ■neceaaiTement comtnandaa'
*illaa de Tonnai et d'Oatende , avant d'avoir ixi ap
rofeuear 4 ITniverait^ de Gaod.
6 lilernrhcher Bericht CLXXXXIY.
cbaque triangle, eile est coniiue. On cotigoit doQC la possibiii
d*exprimer analytiquement la pres^ion exerc^ sur chaqae pont
Cea travaaz, quoique ayant re^u l'approbation de rAcademie, i
forent cependant pa8 imprim^s dam« ses Memoire«.
Le premlcr öcrit de notre auteur, qoe l'Acad^oiie royale i
s^ra dans 6«in recueil, Tut celui sur la forme la plus anntfagm
ä donner aux ailei des monlins ä vent Ce travail obtint lepr
do concoars annuel et Tut publik, en 1831, dans le buiticne n
lume des M^moires couronnäs: il Tut re^u avec faveor et TAc
d^roie, ep 1833, adinit son aatear parnii ses membre» ordinair?
en m^me temps qa'elle proc^dait ä l'^lection de MM* de Gerltd
et de Stassart^ qui ötaient alors pr^sidents de la Chambre it
repr^sentants et do S^nat
L'auteur avait montr^ qoe les secrets de la haute analy«« i]
^taieot familiers. il commence son mömoire par quelques eei
sid^rations interessantes sur la nature de la question. »»Pami k
diverses inventions arabes que les Crois<^s nous irent ceooiiti
k leor retour d'Orieot, dit-il, a la fln du onzienie si^le, aoco«
Sans contredit, na rendo de plus grands Services k Tindiuitri
que Celle des moulins mus par la force du veot. C'est sorta«
dans les pays de plaine, comme la Flandre et la Uollaode, qo'ei
peut le niieoz appri^cier toos les avantages de ces ing^nic««
niachinesy parce que la position g^ograpbique de ces pap, ^
long des cdtes et k Tembouchure des grands fleuves, permetrv«
ment aux babitants de mettre k profit la force niotrice de l'ei'
a cause de la largeur ordinaire des rivi^res et de leur pea ä
pente. Aussi est-ce dans ces provinces que les moulins k vent il
acquis le plus baut degr^ de perfection. Coulomb , dont le ^
obserrateur s*exer^a successivement sur tootes les brancbol
la physique et de Pindustrie» composa plusieurs memoires cm^
sur les avantagcs de ces roacbines et Tut conduit, en examii^]
les moulins ^tablis dans ces cnntrees, k un r^ultat corieox.
remarqua qu*en Flandre, tous les moulins produisaient, k foH
de cbose pres, la m^me quantit^ d'effet, nialgr^ certaines
rences assez läg^res dans le m^canisroe et dans la dispos
des eogins. Appliquant k cette Observation la tb^orie de«
anmOf il en conclut que cette quantit^ d*effet ^tait la plus^j
possiblcy et qu^, par cons^quent, toute disposition nourelle
les proportions du moulin, ne tendrait qu*a diminner cet
Cette application d'une tb^orie nbstraile des mathematlqoefi <
proc^de iiidustriel ent peut etre k la fois une des plus simpl^J
des plus ing^nieuites que Ton ait faites. Cette question,
räe sous le point de vue pratique, doit donc ^tre regard^
Üterartscher Bericht CLXXXXIV. 7
Fesolue depuift long temps. On peut inline afßrmer avec fonde-
nieot qae les monlins k vent ue son plus susceptibles d*uo per-
fectionnement de quelqoe importance; niais il o'en est pas de
iD^me de leur th^orie raath^matique : un grand nonibre de g^o-
in^tres c^l^bres, tels qae d'Alenibert, Euler, Lambert» Lulofs» etc.,
etc., y ont, k la v^ritä« consacr^ leurs veilles» et cependant, mal-
gr^ les travaux de res grands bommes, le probl^me reste encore
presque entidrement k rc^s^oudre.*' L'auteur ne se dissimule pas
les difficultc^s qui se pr^icentent; aussi estime*t*il qu'il servira la
science s'il parvient a apianir le sentier qui doit condoire k la
parfaite Solution de la question.
II r^digea un autre mömoire^ ^galement pr^sent^ ä TAcad^roie
vers la meine ^poque, qui ne regut point de publicitä. Cet ouvrage
avait plutdt pour but de faire connaftre les tendances et les tra-
vaux de Taiiteur que de doter la science de rechercbes nouvelles
et directenient applicables: c*est une Theorie maih^atique de
f komme et des animaux, considMs comme moteurs et machinet*
Mals rAcademie donna place, dans les tomes XV et XXI de ses
Al^moires (1842 et 1847), ä deux de ses Berits qui m^riteot une
attention speciale: l'une traitait des Solutions Minguliir es des ^qua-
tions diffirenÜeUe^ , et l'autre, Des axes principaux d'inettU ei
des eentres de percussion*),
La th^orie des Solutions singuli^res des ^quations diff<$ren*
tielles, d^duites de la Variation de la constante arbitraire qui en*
tre dans leur iotögrale, est, sans contredit, cororoe le remarque
l'auteur, une des plus ing^nieuses et des plus öl^gantes concep*
tions de Lagrange: aucune brauche ne l'emporte sur eile, sous
le rapport de la simplicit^ et de la g^n^ralit^. Cependant eile
n*est pas exempte d'un inconvenient qu'elle partage avec la plu*
part des th^ories purement analytiques. Timmermans a cherch^
les caract^res de l'existence des Solutions singuli^res dans la com-
position de T^quation diff<drentielle, et II a consid^rö ensuite les
<^ond!tions analytiques comme des cons^quences decette composition.
Dans son ^crit sur les axes principaux d*inertie, l'auteur ne
perd Jamals de vue Tobjet principal de son ötude, et il <^vite cer-
taines propositions, m^mejmportantes, qui le dätourneraient de
sa marcbe. II commence par pr^venir que son travail a sp^cia-
lement pour objet la recherche des conditions analytiques et g^o-
*) Timmermans re^al, le 14 d^cemlire 1838, une des premi^rea 66-
corationt de Tordre de Leopold qui forent donnöei a l'Universit^ de Gand ;
le 26 octobre 1860, il fat 6\ewc ao grade d*officier.
8 liier arischer Bericht CLXXXXIV,
metriqaes» poor qu'uoe droite donn^e de positioo dans on corps
y sott an aze d*inertie principal relatirement k Ton de ses poioto:
il s'occope eosuiCe de la dätermination de ce point, qiiaiid il es-
Ute, et de la recherche des propri^t^s dont il jouit.
En reotraiit dans la carn^re de renseigDement, en 1836« Tim-
luermaDs, par le nombre des obligatloDs qui lui ^taient Impos^es
comme professear k Tüniversit^» aiosi qu'|i TEcole do g^oie cinl,
dat n^essairement se trouver arr^t^ daos ses recliercbes g^ome-
triques; cot vit D^aomoins qn'll savait utiliser le pea de loislrs
qai lui restaient II composa saccessivemeDt, outre ies ouvrages
mentlonDf^ plus haut, divers ^rits de m^rite qui fureot autogra-
phi^ pour servir de texte k ses le^ons. L'uo ^tait an TxaiU
de mScanigue taHonneUe, 1 volume io-S^, 1856, et le second ^tait
an TraitS de calcul diffirentiel et intSgral, 1 volame in-S^, dont
il fit parattre ane seconde Edition, imprimi^e en 1860: k la fin de
Toaviage, on trouve nn aper^u sar le calcul des variations. Ces
deux Berits ^taient destin^s k servir de texte aax le^ons donntfes
par Ini dans Ies coars de TUniversit^, en m^me temps qu'i ceox
de r^cole da göoie civil.
Hais ce fut surtout k TAcad^mie royale des sciences qall
donna uoe grande partie de son temps. On peat consulter i cot
^gard Ies soixante-trois volumes in*8^ des Bulletins de l'Acadteie,
k la rMaction desquels il prit part» d^s leur naissance eo 1838.
A la page cinqui^me du premier volume, il y präsente ane No-
tiee sur Ies pressions et Ies torsions; puis« on trouve diffäreots
Berits Sur le parallelogramme des farces, par Simon Stövin; Svr
Ies axes dinertie; Sur la convergence de la sirie de Maelawrm;
Sur diffdrents phdnomhies mStSorologigues, etc. Ce qui montre
mieux encore, Ies Services qu*il rendit k la Compagoie» c'est le
uombre consid^rable de M^moires k Texamen desquels il fut ap*
pelö ä prendre part
Les travaux des Beiges, d^s la fondation de rAcad^mie,
s'ötaient toum^s vers les math^matiques et lenrs applications. Le
Journal consacrö k ces rechercbes, la Correspondance matkSma»
tigue et physigue de BruxeUes, entreteuait cette utile tendance,
qui semble exiger uo centre spi^cial pour ^tre cultivöe avec soin.
En la parcourant« on peut connaitre les g^om^tres qui prirent pait
k ce niouvement si utile dans un pays oü les sciences, pendant
pr^s de deux si^cles, avaient 4t6 en quelque sorte condamn^es
au silence.
Ici encore, je dois me borner k citer les titres des prlndpaia
articies que Timmermans vouhit bien ins^rer dans ce reeaeil; M
LlterarUekar Bericht ChXXXXlV. 9
cvuldtfn BVBc soiD le principe des vilessea rirtuellea, s( U re-
vint ja8qa'& Irois fais aar ce snjet iniportant; il examina snccea-
■iTemflnl la thäarie das cnniqaeB, des ongleU coni^uea et des po-
lygones; la tb^rie des caustiquea, et plusieura «atres partiea
importantes dea acieoces, en Taisant preuve dans aes difftfrentes
recherches d'ane grande ärudilion malhdmatique et d'une Aude
approrondie de« diffirentea Ih^oriea qui s'jr rapporlent. Pendaot
qnelque (empa le« göomilrea B'occnp^rent de la 7'A^orJB d«
cautü^tiei lecondaires, qui eDbatltuait avec avanUge aux lignea
eauttiquei, lea conrbes qai aotit leors d^veloppantea, et üs redui-
»irent celte tb^orie aaaez erobarraasania pour lea calcula, i de»
caaatntctioDB g^ii^ralenient simples, en snbstitnant la g^ro^trie
ä l'analyse. On tiouve dans la Corretpondance mathimatiqut
qaelqae traces dea recbercbes de notre g^mitre sor ce sojet.
En dehnrs dea sentimenta d'estime que Timmermans avait
vaifAi comme savanl, ses concitoycDS voalarent ^galement lai
trimoifiaer leur cnnsidtfration comtne bomme polilique. II Tut ap-
pat6 k faire partie du coDseil conmunai de la ville de Gand, et
il 8ul j iQontrer lea qnalit^a lea plus estimables comme ciloyen
entiteemenl d^vou^ k ses deroirs. D'une rigiditri s^vAre dans sa
cpoduite et d'une loyautä ä toute ripreuve, il conservait dans le
monde dea faabitudea tranquiUes, ailencieusea ; aemblut Mter les
cvacours bruyants et ne prendre plaisir qu'anx r^unions iBilmea
oh Ton peut s'ezpriraer avec tonte fraucbise et aans avnir k craindre
le* Muceptibilit^a ombrageuses.
Timmermans commenfait aa aoixante-qnatriime anntfe, qoaad
■prto plusieura atlftqnea ancceasives d'apoplexie anxquellea sdd
Tigonrettx terapörament loi avait permls de rriaister, il finit per
■nccomber le 2 d^cembre 1864. Les paroles qui furent pronon-
c^ea 8ur aa tombe tömoigneDt, de mani^re la plus boaorable, com-
bien la pertd que lea scieoces Tenaient de faire 4tait appröci^e et
qnela ragret« il inspirait ä aea aroia*).
A. Quetelet.
Liste du sarragM de Jeaa-Aieiii TiMmermau.
T&AVAUX ACAD^HIQUES.
Tb^rie matbAnatique de l'faomme et des aaimauz, coi
*) Cinq disBOOM fnrsDt prononcris, )inr MH. Dange ot Wagi
fcMeat« 4 rDnlTeralU, Dnpret, membra de rAcadfinEa rajal«
giqne, Scboilaert, lienlesaiit-colonal du g4nie, et Enillc Bo«ie,
rUsiTerdi«.
10 LUerarfscher Bericht CLXXXXIW
coninie moteurs et roachine8. {Memoire non pubHi, amqful
FAeademie a aceorde une wention honorable^)
Recherche» »ur la forme la plus avatitagease k donoer aox alles
des nioulins k vent. (Memohes couronnes; iu-49, t. VIII, 1833.)
Nouvelle th^orie math^niatique des pressions et des torsioiM.
(Pr^sentie ä F Academie en 1829.)
Memoire siir les Solutions singuliöres des ^quations diffi^rentiefies.
{Memoires des tnembres; t. XV, 1842.) *
Recherches sur les azes priiicipauz d'inertie et sur les centre»
de percussion. (JU^moires des tnembres; t. XXI, 1848.)
M^niiHre sur rint^gration des ^quations linöaires aux derir^e«
partielies, a coeflScie»ts variables. {Memoires des membres;
t XXVIIf, 1854.)
Note sur la eonvergence de la sörie de Maclaurin. (BuUeiimst
\re s^rie, t. XIII. Ir" p,, I84Q, p. 53 )
Notes sur la corivergence des s^ries. (Bulletins, I^'^s^rie, t Xflf,
I*-« p., 1846, pp. 140 et 682.
Snr le parallälogranime des Forces de Simon St^vin. (BuUetins,
I«-« särie, t. Xfl, 1846, p. 313.)
Note sur une extension d'un th^or^me de M. Cauchy. (Bulletins,
K« särie, t. XIII, 2«p., 1846, p. 17.)
Les principaux Rapports acad^miques dus a M. Timmebmavs
sont les süivants:
Sur un memoire de M. Stacquez relatif ä la mesure des sorfaces.
(Bulletins, l^^ s6ne, t IV, 1^37, p. 81.
SüT un ro^jnoire en r^ponse a la question du programme de cod-
cours de la classe des sciences pour 1839 relatif k Tanalyse
alg^brique. (Bulletins, V^ s^rie, t. VI, I«p., 1839, p. 37^)
Sur un memoire de M. Martynowski, relatif aux formes des ^qua-
tions des lignes du second ordre. (Bulletins, V^ s^rie, f.
VIII, l'^ep., 1841, p. 116.)
Sur un memoire en r^ponse ä la question du programme de con-
cours de la classe des sciences pour 1841, relatif a Tanalyse
algi^brique. (Bulletins, V^ s^rie, t. VIII, ]r«p., 1841, p.376.)
Sur deux mömoires en räponse k la question du programme de
concours de la classe des sciences pour 1844: £tude snr les
surfaces de la thSorie des points singuliers des conrbes. (Bsi-
letins, ^« s^rie, t. XI, l'-'p., 1844, p. 291.)
Sur deux ro^moires en r^ponse k la question du programme de
concours de la classe des sciences pour 1846: £tude sur les
surfaces de la ih^orie des points singuliers des courbes. (Bnl*
letins, l**« s^rie, t XIII, 2«p., 1846, p. 112.)
Uterarlicher Bericht CLXXXXIW U
8ur un travail de MM. J. Mareska et J. Donoy, relatif k un ap^
pareil de ThUorier modifi^^ par la prSpatathn de Facide
carbonique lif/iiide et solide et sur les proprUtit de ce corps.
(Bulletim, 1^^ sMe, t. XII, V^ p., 1845, p. 294.)
Sur une iiote de M. Mohl relative ä la tb^orie des paralleles.
(Bulletins, ^« s^rie, t. XIV, 2«p., 1847, p. 12.)
Sur un memoire de M. A. de Lavetaye, concernant la m^taphy-
sique du calcul diffi^reiitiel. {ßulleünSf l'*^ s^rie, t. XIV,
2* p., 1847, p. 13.)
Sur un memoire de M. Scbaar relatif k la th^orie des r^sidus qua*
dratiquej«. (Bnlletins, V^ s^rie, t. XVI, 2«p., 1849, p. 545^
Sur une nofe de M. Henri Brückner relative k une formule nou-
velle exprimant r^lasticit«^ de la vapenr d'eau. (Bulletins,
K« s^rie, t. XVI, 2»p., 1849, p. 253.)
Sur un memoire de M. Liagre relatif ä la valeur la plus probable
d'un c6t^ g^^odöjcique commun k deux triangulations. (Bul'
letins, ^* Serie, t. XIX, U« p., 1852, p. 511.)
Sur un memoire de M. Lainärle, intitule: Solution d^un coup
singulier du Jeu de dorne. (Bulletins, l*"« s^rie, t. XIX, 2«p.,
1862, p. 475.)
Snr un memoire de M. Ernest Quetelet relatif aux medianes.
(Bulletins, K« sörie, t XIX, 3* p., 1852, p. 272.)
Sur une note de M. If^naee Carbonnelle, intitnU: Theorie gSomS-
trique du parallelofframme de Watt (Bulletins, 1**' s^rie,
t. XX, 2« p., 1853, p. 4.)
Sur nn memoire en r^ponse k la question du programme de con«
cours de la classe des sciences pour 1853: Exposer d'une
maniere methodique tStat de nos connaissances dans tintä"
grntion des Squations aux dericees partielles des deux pre*
miers ordres, etc, (Bulletins, I'"* s^rie, t. XX, 3« p., 1853,
p. 375.)
Sqr un memoire de M. Ernest Quetelet relatif aux foyers. (Bul*
letins, Ve ^^r\e, t. XX!, K*p., 1854, p. 456.)
Sur un memoire de M- Meier, intitule : Expos^ d'un principe con*
cernant tintersection des surfaces, avec application ä la re-
cherche des propriet^s des surfaces du second ordre. (Bul-
letins, 2* 8erie, t. IV, 1858, p. 6.) ' ,
Sur un mörooire de M. Steichen, concernant les cinq poly^dres
r^guliers. (Bulletins, 2« s^rie, U VI, 1859, p. 152.)
Sur un note de M. Pb. Gilbert, concernant la tb^orte de ^qua*
lions differentielles lin^aires. (Bulletins, 2^ aMe, t XI, 1861,
p. 176.
Sur un memoire de M. Steichen relatif k la tb^orie des roues a
palettes. (Btdletins, 2« s^rie, t. XV, 1863, p. 406.)
12 UUrariiCher Bericht CLXXXXIV. .
8ur deuz ootices de physiqoe de M. le marquis Anatole de Ca-
ligny. (BuUeÜns, 2« s^rie, t. XVI, 1863, p. 474.)
Sur un memoire de M« Vander Menabragghe relatif k quelques
propri<^t^s des polygones räguliers. {BuUetint, 2* s^rie, t. XVII,
1864, p. 84.)
OUVRAGES KON PUBLUiS PAR L*AGADiMIE.
Generalis theoria compositionis ac resolationis virium rootnaoique,
etc. Memoire couroonö par TUniversitö de Gand, le 4 octobre
1819. {Mem. de rUniverriiS de Gand, 1818-1819, lii-4o.)
De figora terrae. Dissertation publik k Toccasion de sa promo-
tion au grade de docteur en sciences.
Rechercbes sur la th^orie des courbes, döduite de la considöra-
tion de leurs rayons de courbure successifs. Lille, 1828.
Tratte de roöcanique rationnelle. Bruxelles et Gand, I8SÖ; in 8^.
Traitö de caicul diff^rentiel et de caicul int^al. Bruxelles et
Gand, 1860; ln-8o.
H. Timmermans a publik, en outre, difförents articies dana
les Annales belgiques, la Correspondance matb^matiqne, les An*
naies math^matiques de Gergonne, les Mömoires de la Soci^t^
des Sciences de Lille.
Sir David Brewster,
Vice-KAniler der UniTersitit za EdiDborg, aoBw&rtiges Bütglied unserer Akm-
demie*) (seit 1850) und fast aller andern in beiden Hemisphären, Ritter des k.
Preoss. Ordens ponr le M^te und der Ehrenlegion.
Von Herrn Gebeimenrath Prof. Dr. Ton Martins in Mönchen.
In Sir David Brewster tritt uns eine jener ebrwfirdtgen Ge*
stalten entgegen, welche ein langes Menschenleben mit wichtigen
wissenschaftlichen Leistungen erRlIlt haben, indem sie ein giflck-
liebes Talent mit dem andauerndsten Fleisse verbindend, stets In
einer und derselben Richtung gearbeitet haben, onverrückten
Blickes verwandte Probleme im Auge und mit unermfidlichem
Eifer ihr Ziel rastlos verfolgend. Auf solche Weise ist Brewster
gewissermassen der Schupfer einer neuen Wissenschaft geworden,
der Lehre von der Polarisation des Lichtes» welche er, bald nach-
dem die Hauptthatsachen von Malus entdeckt worden waren, nach
allen Seiten hin durch Experiment, Raisonnement und Rechnung
weiter entwickelt hat
Er Ist am II. Desember 1781 in Jedburg in Schottland ge*
boren, studirte in Edinbnrg zuerst Theologie, wendete sich aber
^ Der Kgl. bnyer. Akademie der Wiseensehaften in Miineheo.
UlerarlscAer Bericht CLXXXXIV. 13
unter dam Einflüsse seiner berflbinten Lebier Dngald Steward,
Robison and Playfair den pbystksliscben WisMnscbsften zu. In
Jahre 1800 rerfolgte er auf den Bobnen Newton'n und Grimaldt's
die EracbebiuDgeD der Inflexlon des Lichtes, and spfiter hat er
furiwfibrend die Natur dieses Weltagens erforschend namentlicfa
die Polarisation, ihre Modificstiooen und Beziehungen su der Form
und den flbrigen Eigenschaften reflectirender oder refrangirender
KOrper nach Breite und Tiefe des Gegenstandes so sehr beJeach-
tct, daas nun wohl mit Recht behaupten darf, die Doctrin sei
von ihm wShrend einer swei Uensehenalter umspannenden Thä
tigkeil in eine neoe Phase eingeführt worden.
Er hat den Znsamnienhang zwischen der Forni der Krystalie
und der Zahl der Azen der Üoppelbrechung dargethan. Ihm ge-
hören die Entdecliang der elliptincben Polarisation und der Fluo-
reacens, sowie viele andere, die sich auf die Structor der Kry-
stalie beziehen. Wir beben unter ihnen die merkwürdigen
Licbtfigaren hervor, die er an unveränderten und an leicht geStiten
Kryatallen beobachtet hat, und die, nach unseres Collegen v. Ko-
beU'B Vorschlag, die Brewster'schen Lichtfiguren genannt werden.
In zahlreichen sei bststSnd igen Schrirten und akademischen Ab-
handlungen hat er die Optik Iheoretiech und praktisch weiter ge-
führt. Sein Trealise of Optica ist ein Lehrbuch, das sich durch
die Einfachbeil und Klarheit der Darstellung auszeichnet. Brew-
sier beherrschte seine Wiseenschan mit jener Freiheit, die anch
schwierige Probleme leicl>lfasslicb darznstelien vermag. Er war
ein popalSrer Scbriflsteiler. wo er es sein wollte, wie in den
Lettres on naiaral nagle (1824). nOchtern und von tiefer Reli*
giüsitSt wollte er dnrch das Licht der Wissenschaft falsche Vor-
stellungen berichtigen, den Aberglaaben beseitigen. Hehrere seiner
Erfindungen haben auch praktischen Werth nnd allgemeine hs-
Wendung gefanden, wie z. B. seine componirten Linsen für die
Belenchlang der Lenchtthfirme.
Dem grosseren Publikum ist er besonders als Erfinder des
Kaleidoskopes nnd der verbrei totsten Form des Stereoskope« be-
kannt geworden; aber aeine wesentlichsten Erf
der Wissenschaft.
Neben sahlreicben Arbeiten lunSchat anf den
Optik verdankt ihm die Lltteratur auch mehrere |
tene Schriften Ober grosse Mathematiker und Phyi
Newton, Euler, Robison und als M&rtyrer der Wii
lil^ Tycho de Brahe nnd Kepler geschildert und in
Aber den Glauben des Phlioaopben und die Bofnung
14 Uierariscäer Bericht CLXXJSXIV.
hat er, gleich Fonteoelle, auf die Pluralität der Welten biDgewie-
sen. Die Encyclopädie von Edinburg wurde viele Jahre lang Ton
ihm als Herausgeber geleitet. Vom Jahre 1819 an hat er in Ver-
bindung mit Jameson das Edinburgh philosophicial Journal und
dann das Edinburgh Journal of scienee gegründet, eine Reihe
von 26 Bänden.
Dem ausgezeichneten und uneigennützigen Forscher bat die
Anerkennung seiner Zeitgenossen nicht gefehlt; schon am Anfange
dieses Jahrhunderts ernannte ihn die Universität zu Aberdeen
zum Doctor juris« die königliche Societät zu London krönte seine
Entdeckungen über die Polarisation mit der Copley- und der
Rumford-Medaille. Die Akademie der Wissenschaften zu Paris
ernannte ihn zu einem der acht auswärtigen Mitglieder und die
grossen litterarischen Köfe'perschaften der Welt beeifertea »ich,
ihn Ihrem Kreise einzuverleiben.
Als eine Seltenheit müssen wir noch hervorheben, dass
Brewster bis in das höchste Alter nicht blos seine intuitive Gei-
stesstärke bewahrt» sondern dass er sogar noch feine Beobach-
tungen angestellt« für welche die physische Sinnenkraft gemeinig«
lieh schon früher erlischt. Noch im verflossenen Jahre hat er In
den Denkschriften der Roy. Society von Edinburg eine Abhand-
lung über die Farben der Seifenblasen und eine andere On the
Flgures of equilibrlum in liquid Siros veröffentlicht« deren letztere
die seit vielen Jahren fortgesetzten Arbeiten Plateau's über den-
selben Gegenstand mit einigen neuen Beobachtungen bereichert,
und noch im Herbste 1867 präsidirte er öfter den Sitzungen jener
akademischen Gesellschaft«
Bei grusster Erregbarkelt eine harmlose« in sich befrledefe
Seele ond eine expansive Menschenfreundlichkeit erhOheli die
Würde dieser geistigen Kraft und mit Inniger Thellnahme empfing
unsere Akademie die Nachricht von seinem Hinscheiden« welche
sein Sohn (aus erster Ehe mit der Tochter von James Macpher^
sons« der durch die Bekanntmachung der Osslanischen Gedichte
berühmt geworden) Lieutenant Colonel Macpherson aus Allerly-
Melrose (Roxhurgh-Shire) mit folgenden Worten gegeben bat:
J'ai la douleur de Vous informer de la mort de mon p^re« Sir
David Brewster« qui a eu Heu ici le 10. Fevr. 1868 aprte nne
conrte maladle« dans sa 87tiöme ann^e« et dans une parfaite pe^
Session de toutes Aes faoult^ jufrqu'au dernier instant. II B*esC
eadormi dans use profonde paix et dans Tesp^rance ferme da
salul parlait en J^sus Chriüt.
Uierarltcker BerUhl CLXXXXIV.
Gescliichte und IJteratur der Mathematik und
Physik.
Ballettina di Bifaliograris e di Storia delle sciense
tuateniBticbe « risiche, publtticato da B. Bancompagoi.
Roma. I«6& 4f. (Vgl. Literar. Ber. Nr. CLXXXUI. S. 6.)
Tomo I. Maggio 1868. Noiice aar Ludolphe van Caten.
P«r M^ G. A. Vorsterman Van Oijen. p. 141. Diese
sehr gelehrten aiMRihrlicheD, von Herrn B. Boncompagni mit
Tielen lehrreichen Anmerlmngen begleiteten Notizen Gber den he-
rühmten Kreia-Quadrirer infiasen ffir alle Lehrer der Mathematik
von dem grüssleii Inleresae aein. — Textea anciens sur lea ver-
res camburants par r^rractian. Extrait de deuz ieltres adreMte^
par U. Th. Henri Martin a. U. B. Boncompagni en date
de Rennes 23 et 26 Mara 18A8. p. 167. — De l'Aatronomie et
de« Matb^matiquee chez lee Cbinoia. Lettre de M. L. AM. S^-
dillot a. U. B. Boncompagol. p. 161. — Teorica delle fun-
ziool di variabili complesae e^poata dal Dott. Feiice Caaorati,
Prof. di calcolo differeniiale • integrale nella R. Üniversiti dt
Pavia. Volume primo. Pavia. TipograGa de! fratelli Foai. 1868.
Angezeigt von Herrn Carlo Maria Pluma. p. 167. — Ftaica
del globo, epazi, climi e roeteore. Corso completo di GeograGa
fisics e di Meteore] ogi a . del Profeseore Gerolamo Boccardo.
Genova coi (ipi del R. I. d«i Sordo mnli. 1868. Angezeigt von
Herrn Ginseppe Serra-Carpi.
Tomo I. Glugno 1868. Intorno ad nna fermola del LeEb-
oiz. Nota del Prof. Placido Tardy. Rettore della R Univer-
sitä di Genova. p. 177. mit aehr vielen Noten dea Herrn B. Bon-
compagni. Ea betrifft dieser lehrreiche Anfsatz die genvbnlicb
oscb Job. Bernoulli (m. s. z. B. Principiorum calcull
difr. et int exposltlo eleroentaris, autore S. L'Builier.
16 Uterariicker Bericht CLXXXXIV.
Analyse der Handschrift. R. 4^. 2)
Knelldis explleatlo» der Kunigl. Gymnasialbibliothek
Bu Tborn. Von E. L. W. M« Curtse. Leipzig. Drack ?ob
B. G. Teubner. 1868. SP."*)
In dieser mit grosser Gelehrsamkeit Terfassten, 60 Seiten oh
fassenden Schrift hat der Herr Vf. von der Ton ihm auf der Bi-
bliothek des Königl. Gymnasiums su Thorn aufgefundenen merk-
wQrdigen und werth vollen Handschrift, Aber welche schon ts
Tbl. XLIV. S. 371 und S. 501. des Archivs vorlSufig berichte!
worden ist, aosfilhrlich Kenntniss gegeben, wobei er durch des
um die Geschichte der exakten Wissenschaften so hoch verdiente»
Herrn Fürsten Baldassarre Boncompagni in Rom sehr we-
sentlich gefördert worden ist, was mit dem grSssten Danke an-
erkannt werden muss. Wir kSnnen hier natfirlich auf eine aus-
fahrlicbere Angabe des reichen Inhalts dieser Schrift uns natürlich
nicht einlassen, folgen aber nur unserer vollkommensten Cebtf-
seugung, wenn wir sagen, dass wir dieselbe filr ein Muster solcher
literarischen und literar-historiscfaen Schriften halten, und der Ge*
lehrsarokeit, der Umsicht und dem Fleisse des Herrn M, Cur Ixe
unsere vollkommenste und wSrmste Anerkennung sollen. Ihn auch
auftordern machten, sich öfters Arbeiten dieser Art zu widmen, so
denen er recht beftihigt zu sein sehein t. So wie durch diese
ftlr die Geschichte der Mathematik sehr werthvolle Schrift whrd et
Ihm auch durch spätere Arbeiten dieser Art mOglich sein, dies«
wichtige Seite unserer Wissenschaft, die bisher immer noch nicht
Berücksichtigung genug gefunden hat, zu ftirdem, was jedeneit
mit dem grossten Danke wird anerkannt werden mfissen, isd
namentlich auch von unserer Seite in vollem Haasse bereitwil-
ligst geschieht und geschehen wird.
Arithmetik.
Ceber die beiden Integrale
«•+;r-' X ' J Cosnx^'
Von Franz Cnferdinger. (Separat • Abdruck aus den
Programme der Öffentlichen Oberrealschule Im Gal-
vagnihof in Wien. 1868.). a
*) SoDderabdmck aot der Zelttchrif t fAf Msthematlh sii
Phy«ik. SapplemeothefC lom 13. Jahrgang.
Uttrarischer Bericht CLXXXXIV. 17
Die beideo obigen Integrale lasseD sieb durch Substitution
aof einaoder reduciren, namentlich wird daa zweite durch Ein-
führung einer neuen Veränderlichen
j = e»i_Co8^+ iSinx
1 /^ ="+!-" A
(gebracht, so dsas ea aUo nur auf die Eutirickeinng dea allge-
meinen littegrala
■okoromt, welche in geschlossener Form lu geben der nficbste
Zweck dieses lesensvverlhen und TTerthvollen Programraa ist. in
welchem der Herr Verfasser zugleich eine ausgebreitete liennl-
niss der Integralrechnung und Acialysis überhaupt an den Tag
legt. Aus seinen EntuicLelungen zieht der Herr Verfasser meh-
rere bemerlienswerthe Fnlgeruitgen und leitet aus den allgemei-
neu Integralen auch verschiedene mehrfach wichtige beslimmt«
Integrale ab, so dasa wir dieses Programm Oberhaupt der Beach-
tung unserer Leser recht sehr empfehlen künnen.
Geometrie.
€li Eiementi d'Euclide con noie, aggiunle ed eser-
cizi. Ad uso de' Ginnasi e de' Licei. Per cura dei
Professor i Enrico Betti e Francesco B risse hi. Flrens«.
Snccessori Le Monnier. 1868.
Es liegt uns hier eine sehr treue und überaus sorgfSItige
italienische Uebersetznng der sechs ersten BCIcher and des eilf*
ten und zwölften Buchs der Elemente des Euktides vor, welche
iwei der bedeutendsten und berühmle8ten italieniscl- — **-"
tiker, die Herren E. Betti in Pisa und F. Brioe
laad, Teranatallet haben. Unter den vielen ilalien
setzangen ist dieser neuen Uebersetznng die Ausgabe
zu Grunde gelegt worden, aber andere neuere vorzf
Setzungen, namentlich die auch in Drutschlnn«! allgen
englische von R. Simson, sind nttht unberückstcht
Fflr Alle, die an den Fortschritten des geomotr
richts lebhanes Interesse nehmen, und dessen Hau
wit ««Ibst, io seiner grössteu Strenge und Evidenz
18 LiterarUcher Bericht CLXXXXIV^ ,
Qbertroffeneo Mustern ^ welche die griechischen Cieometer uns
hinterlassen haben ^ finden» ist es gewiss im höchsten Grade er
Treulich und erhebend » wenn zwei so bedeutende Mathematiker,
wie die Herren Betti und ßrioschi, von Neuem das Zeugnis«
ablegen y dass sie kein geometrisches Lehrbuch kennen» welche«
besser als die Elemente des alten Euklides als Grundlage fSr den
geometrischen Unterricht auf Gymnasien und Lyceen diene«
konnte, da es doch bekanntlich in Italien eine nicht geringe Menge
sehr guter geometrischer Lehrbücher und viele UebersetznBgei
vorifiglicher fran losischer Werke giebt. »yProfondamenle eoiH
vinti*' — sagen die Herren Herausgeber in der Vorrede — »»che
soltanto dalle eroinenti qualitä di precisione e di cbiarezza che
distioguono la Geometria Euclidiana, si ponno sperare per lo svi*
loppo intellettoale dei nostri giovani quei risultati, in vista dei
quali presse totte le nazioni civili Tinsegnamento della geometria
tiene posto tanto iroportante nella pubblica educazione; ci siaroo
accinti a questa pubblicazionCy col ferroo intendimento di miglio<
rarla via via che nuove edizioni straniere, e l'esperienza che s'andri
facendo nelle nostre scuole» ne additino la convenienza. Noi al»bi-
amo fiducia che I professorl dei Licel vorranno aiutarci in quest^opera,
ed accetteremo con grato animo le loro osservazioni ed I loro sog-
gerimenti. ''
Sehr zweckmässig ist es aus fOr Jeden, welcher der griecbi-
sehen Geometrie kundig ist, bekannten Gründen, dass die Her
ren Herausgeber die Schriften Archimed's über die Ausmessung
des Kreises und der runden Körper beiffigen werden.
Dm aber endlich die ältere Geometrie mit den neueren An
sprächen des geometrischen Unterrichts möglichst in Einklang sa
bringen, sind jedem Buche der euklidischen Elemente eine sehr
grosse Anzahl geometrischer Sätze und Aufgaben zur Uebong
der Schfiler angehängt, die wir, so wie die mehreren Steiles ^et
Uebersetznng beigefilgten sehr lehrreichen Anmerknngen der Be-
achtung der Leser recht sehr empfehlen.
Wir wünschen von Herzen, dass die Absichten, welche die
trefflichen Herren Herausgeber bei der Publicafion dieser ausge-
zeichneten Uebersetznng haben, vollständig erreicht werden mögen!
Dann wird der geometrische Unterricht gewiss auch die Früchte
tragen, die Pascal in seinen „Pensäes^' ihm beilegt, bidett
er von der Geometrie sagt: „La G^omdtrie seule sait les veil-
tables rdgles du raisonneroent, et, sans s'arr^ter aux r^es des
syüogismes qui sont tellement naturelles qu*on ne peut les igno-
rer, s'arrdte et se fonde sur la vöritable m<^thode de condnirs le
raisonnement en toutes choses qne presque le monde ignor», ei
Ulerarhcher Berieht CLXXXXIV. 19
qa'il eAt si aTantageax de aavoir, que nons voyons par ex-
pi^rience qo'eiitre esprita ögauz et tootea choaea
pareillen, celiii qui a de la Gi^omötrie l*emporte et ac-
qoiert noe rigueur toute noavelle", ein Aussprach, den die
Leiter der Schulen sich stets vor Augen halten und recht lu
Herzen nehmen mochten I
Bericht der Gewerbeschule zu Basel. 1867 — 68.
Baael, Biichdruckerei G. A. Bonfantini, Peteragaaae 40.
1868. 40.
Dieses Programm enthält als wissenschaftliche Abhandlung:
Beiträge zur Stereometrie von Job. Schmiedhauser.
und zerßUlt in die folgenden drei Abtheilungen:
I. Vom Obelisken und dem Tetraöder.
II. Ueber das regelmfissige Fünfeck.
III. Von den regelmässigen Polyedern.
Der Herr Verfasser hatte nicht die Absicht» Eigenes zu geben,
sondern mehr die: Bekanntes» jedoch weniger Bekanntes, was
in den meisten Lehrbuchern nicht vorkommt, aber für den geo-
metrischen Unterricht von Wichtigkeit ist, zu sammeln und den
Lehrern dadurch zur Benutzung bei'm Unterrichte zu empfehlen
und dieselbe mit Leichtigkeit rouglich zu machen.
Der Inhalt der ersten Abtheilung ist einem Kollegienheft von
Steiner Über Stereometrie, welches dem Herrn Verfasser von
Herrn Professor Kinkelin in Basel zur Benutzung überlassen
wurde, und einer Abhandlung von Steiner in dem Crelle'schen
Journal entnommen, ist jedenfalls am wenigsten allgemein bekannt
und enthält vieles Scbune, was jedem Lehrer recht sehr zur
Beachtung empfohlen zu werden verdient; die zweite und dritte
Abtheilung sind van Swinden's Elementen der Geometrie ent-
nommen. Die Darstellung des Herrn Verfassers Ist überall dent«
lieh, streng und sehr wohl geordnet, und je mehr wir immer
gewünscht haben, dass mathematische Schulprogramme sich immer
allgemetner vorzugsweise die Verbesserung des mathematischen
Unterrichts zur Aufgabe machen mochten: desto mehr glauben
^ir auch dieses Programm der Beachtung der Lehrer empfehlen
zu dürfen.
Physik.
Zeitschrift der Gsterreichischen Gesellschaft für
20 Wernrischer Bericht CLXXXXIY.
Meteorologie. Redigirt von €. Jelinek and J. Haon.
(S. Literar. Ber. Nr. CLXXXXIII. S. 11.)
Von dieser werthvollen Zeitschrift liegen uns wieder vor:
Band III. Nr. 15. bis Nr. 20., aus denen wir die folgenden Aaf-
Sätze hervorheben: Luftdruck und Druck der trockenen Luft.
Von Professor v. Lamont. — üeber „Pendulation*' eines Win-
des. Von A. Muhry. — Das Aäroklinoscop und Regeln» mittelst
desselben die bevorstehenden Aenderungen des Windes mit eini-
ger Wahrscheinlichkeit vorherzusehen. Von Dr. Buys-Ballot.
Uebersetzt von Dr. C. Jelinek. •— Ueber ein zweites registri-
rendes Metall- Thermometer und einen Wind - Autographen von
F. Pfeiffer. Von Ernst Mayer. — Ueber die Reduction der
Kapeller'schen sogenannten Stations* Barometer mit unbeweglichem
Boden. Von Dr. C. Jelinek. — Ueber die Theorie der Land-
und Seewinde. Von A. Muhry. — Ueber Regenwahrscheinlicb-
keit in einigen Theilen Europas. Von W. Kuppen. — Eine sehr
grosse Menge der interessantesten kleineren Mittheilungen und
werth volle Literaturberichte zieren auch diese Nummern.
Vermischte Schriften.
Giornale di Matematiche ad uso degli studenti delle
universita italiane, pubblicato per cura de! Profe^i-
sore G. Battaglini. Napoli. (S. Liter. Ber. Nr. CLXXXXJU.
S. 12.)
Luglio e Agosto 1868. Nuova esposizione della teoria
generale delle curve di 2^. ordine in coordinate trilineari; per
E. d'Ovidio. p. 193. — Nota sur una rete di biquadratiche;
per C Sardi. p. 217. — Intorno ai sistemi di rette di secondo
grado; per G. Battaglini. p. 239.
Tidskrift für Matematik och Fysik, tillegnad den
svenska Elementar-Undervisningen, utgifven af D:R.
Göran DlUner, Adjunkt i Matematik vid Upsala Akt-
demi (Hufvudredaktur); D:R. Frans ITIlh. Haltmaa,
Lektor vid Stockholms Hugre Elenientar-Läroverk; D:R.
T. Robert Thal^n, Adjunkt i Fysik vid Upsala Aka-
demi. Upsala, W. Schultz' Boktryckeri. 1868. 8.
Von dieser neuen schwedischen , sowohl dem Unterrichte, ab
auch der Wissenschaft wesentlich nutzenden Zeitschrift, die Ib
uterarischer Bericht CLXXXXIV. 21
Haftet 3. Mai 1868 in den Literar. ßer.Nr. CLXXXX. S. 14.
und Nr. CLX XXXIII. S. 13. angezeigt worden ist, liegen ans zii
unserer grossen Freade wieder zwei neue Hefte, nämlich :
Haftet 4. Juli 1868 und Haftet 5. September 1868
vor. Das 4te Heft enthält zuerst die Fortsetzung der aus unseren
Anzeigen der früheren Hefte bekannten Abhandlung des Herrn
F. W. Hnitmann fiber die Geschichte der Arithmetik in Schwe-
den, die vieles Interessante darbietet; ferner die Fortsetzung der
sehr werthvoUen Abhandlung des Herrn G. Dillner über den
geometrischen Caicul; endlich eine Abhandlung des Herrn R. Tha-
Un (wahrscheinlich für jetzt nur den ersten Theii einer später
fortzusetzenden grosseren Abhandlung) über die verschiedenen
Einrichtungen der Luffpumpe, jetzt insbesondere über die Ein-
richtung der Pumpe von Deleuil in Paris und über die von Ba-
bin et an der Luftpumpe angebrachten wichtigen Verbesserungen.
Ausserdem enthält auch dieses Heft, wie seine Vorgänger, ver-
Hchiedene interessante Sätze oder Aufgaben, vorgelegt von den
Herren Hultman und €. F. Lindman, und bewiesen oder ge-
iCstt von den Herren C. M. Frykberg, Knut Wicksell, S. B.
S. Cavallin, Schülern höherer schwedischer Lehranstalten.
Den Schluss des Hefts bilden wiederum Anzeigen einer grösseren
Anzahl neuer Schriften, und besonders interessant ist uns auf .
S. 189. ff. die Mittheilung der bei dem Maturitätsexamen von 1868
gegebenen mathematischen Aufgaben gewesen, die hier von einem
nicht genannten Schüler des Gymnasiums zu Weste ras bearbeitet
sind und ein sehr vortheilhaftes und sehr erfreuliches Zeugniss
von dem sehr guten Zustande des mathematischen Unterrichts
auf den höheren schwedischen Lehranstalten ablegen.
Das 5te Heft enthält eine interessante Abhandlung des Herrn
F. W. Hultman über die geometrischen Verhältnisse bei den
ßienenzellen; die weitere Fortsetzung der Abhandlung des Herrn
G. Dil In er über den geometrischen Caicul; ferner eine werth-
volle, sehr zu beachtende, ganz elementar gehaltene Abhandlung
über die Krümmungshalbmesser der Kegelschnitte von Herrn
V. Saxild (Adjunkt an Kongsbergs Middelog Realskole); eine
sehr intereressante Beschreibung der auf dem Observatoriuib in
Upsala in Thätigkeit befindlichen selbstregistrirenden Apparate;
endlich verschiedene interessante geometrische Sätze, u. A. von
dem Lieutenant Herrn Job. P. Tor eil, und Literaturberichte über
eine grosse Anzahl von für den Unterricht im Rechnen bestimm-
ten Lehrbüchern.
Wie schon früher mehrmals von uns erinnert, liefern aach
diese neuen Hefte das schönste Zeugniss von dem grossen und
22 Liter arischer Bericht CLXXXXIW
allgemeinen Interesse, welches in Sch^veden an dem Sfndhia
und der Forderung der mathematischen und physikalischen Wis-
senschaften — wie schon von den frOhesten Zeiten her — auch
jetzt noch die ganze gebildete Welt nimmt; von der ungemeio
grossen Sorgfalt , mit welcher der mathematische und physika-
lische Unterricht auf den höheren schwedischen Lehranstalten
gepflegt wird und von der Trefflichkeit der betreffenden Lehrer;
so wie endlich von dem grossen Werthe, welchen die koni^l.
schwedische Regierung auf die fortwährende Forderung und Ver-
besserung dieser für die tfichtige Ausbildung des jugendlichen
Geistes so wichtigen Unterrichtszweige legt, und die hOchst um-
sichtige und kräftige Unterstützung, welche sie denselben Sber-
all zu Tbeil werden iSsst. ^
Auch in Deutschland , so wie Oberhaupt im schwedischen
Auslande, werden alle Lehrer der Mathematik und Physik «ehr
viele Belehrung aus dieser Zeitschrift, sehr vieles ihrem Unter-
richte Forderliche aus derselben entnehmen, und den Zustand
zweier der wichtigsten Unterrichtszweige in einem durch sehr all-
gemein verbreitete Bildung so sehr ausgezeichneten Lande gewiss
mit grossem Interesse kennen lernen können, weshalb wir die-
selbe wiederholt der allgemeinsten Beachtung recht sehr za
empfehlen nicht unterlassen.
Sitzungsberichte der kaiserl. Akademie der Wis-
senschaften in Wien. Vergl. Literar. Ber. Nr. CLXXXX.
S. 19.
Band LVI. Heft III. Koutny: Construction des Oorcii-
scbnittes einer Geraden mit den Kegelschnittslinien. S. 303. —
Friesach: Ueber den Einfluss des den Schall fortpflanzen den
Mittels auf die Schwingungen eines tonenden Korpers. S. 316. ^
Schell: Ueber die Bestimmung der Constanten des Polarplani-
meters. S. 325. — v. Littrow: Bemerkungen zu nachstehender
Abhandlung des Herrn Dr. Astrand: „Neue einfache Methode
für Zeit- und Längen bestimmung'^ S. 345. — Astrand: Ne«e
einfache Methode für Zeit- und Längenbestimmong. S. 350. —
Czerny: Ueber Blendung der Netzbaut durch Sonnenlicht (Mit
3 Abbildungen.). S. 409. — Weiss: Berechnung der Soonea-
finsternisse In den Jahren 1868—1870. (Mit 4 Karten.). S. 429. —
Seil ml dt: Ueber Feiiermeteore 1842—1867. S. 499. — Hann:
Der Einfluss der Winde auf die mittleren Werthe der wichtigere«
meteorologischen Elemente zu Wien. S. 533. — Stefan: Ueber
einen akustischen Interferenz -Apparat. S. 561. — Handl: Sei-
dige zur Moleculartheorie. S. 569. — Oppolzer: Die Constan-
1 der Pr&cession nach Le Verrier. S. 579. — Brflcke: Debar
UurarUcMer Baieht CLXXXXIV. 23
den Einßas« der StroaMMtaier auf die elcklrUche CrregMig der
Maskalii. S. 5«.
Band LVI. Heft IV. and V. Jelinek: UeberdieRedgc-
Hon der BarometvrstXndfl bei Geßunbaroroetern mit Feränderlidiem
Niveaa. S. 655. — Weyr: Ein Beitrag >nr Theorie tran«vernl-
magoetiscber FlficbeD. 8. 669. — Bollsmanii: Ueber die An-
lahl der Alome in den GasmolecGlen und die innere Atbeit in
tiaeen. S. 68». — Hann: Die thermlBcben VerhXlIniMe der
LttftstrÜmtinKen auf dem Obir (6*288 Par. I^um) in KSrnlben. (Mit
einer Tafel.)- S. 721.
. Sitaungvberichle der KShIkI. BGbminchen Geeell-
scbaft der Wissenecharten In Prag. Jahrgang 1867.
Januar — December. (S. Literar. Bericht Nr. CLXXXV.
S. IS).
Beide Befle (Janaar bis Juni und Juli bis Uecember) enthal-
ten sehr viele interessante, namentlich na turniesenschaft liehe Auf-
sStze, von denen aber hier nur die folgenden — als In den Kreis
des Archivs gehörend — namhaft gemacht werden blinoen:
G. Schmidt: Ueber die physikalischen Conatanten des Was-
setrfampfes. (Nene Bestimmung dieser Conslanlen.)- Janoar — Joni.
S. 49. — Dastig: Ueber einen Fall von RolhbMndheil (Dalto-
nismus) vom psychologischen Gesichtspunkt. Juli — December.
S. 16. — A. Posdina: Kritik der neuesten Telegrapbensysteme.
Juli — December. S. 63. Leider Ist aber dieser Vortrag, bei
welchem sich eine Debatte swischen dem Vortragenden und Herrn
Veseiy Ober die Vorlheile des Steinheil'scben Systems entspann,
nicht mitgelbeill, was lu vrSuscben gewesen wSre.
Afinalt dl Matemalica pura ed appllcata. dlrettl da
F. BrioBchi e L. Cremona (Presse il R. Istilnto Tee-
nico Superiore di Mili
gii pubblicati in Koi
terar. 8er. Nr. CLXXX:
8. 14." heissen muss: „
Serie 11*. Tono 1
Reye: Sngli assi di
secondo ordine. p. 1. —
rime d'Abel k la compai
d'un ellipBoTde. p. 13. —
degl' integrali euteriani di
S«i prodotti iofintti. p. 21
carvÜigDee qnelcoaqnes.
24 Literarischer Üericht CLXXKXIV.
latera coDtinent polos respecta quatuor sectionum conicarum con*
iugatos. p. 65. — Booth: Sur la rectiflcation de quelques cour-
bes. p. 81. — Pubblicazioni receDti, ricevute dai Oirettori degli
Annali.
Anzeigre.
Verlesangen aber Phjslk
von
Dr. TsovoR »iBRaa,
o. ö. Professor der Physik am k. k. polytechnischen Institut in Wien.
Uro den zahlreichen Zuhörern am polytechnischen Institute zu
Wien im Studium der Lehr^ei^enstände eine Erleichterung zu
gewähren, hatten sich im Studienjahre 1867^68 Comites gebildet,
welche sich zur Aufgabe gestellt, die Vorträge zu stenografiren
und dieselben sodann mit Zustimmung der betreffenden Herrn
Professoren autografiren zu lassen.
Die rege Theilnahme, welche dieses Unternehmen insbeson-
dere für die Vorträge aus der Physik sowohl von Seite mehrerer
Herrn Professoren, als auch von Seite der Hörer dieses Gegen-
standes und anderer Techniker gefunden hat, bestimmte das
Comite eine zweite Auflage dieser autografirteu Vorträge zu ver-
anstalten und derselben eine solche Verbreitung zu verschaffen,
welche diesen Schriften nach dem gleichstimmigen Ausspruche
bewährter Fachmänner gebührt
Ueberbaupt liegt es im Interesse der Wissenschaft, dass
diese autografirten Vorträge in Anbetracht der darin enthaltenen,
auf grundlicher Forschung des als Fach-Autorität im Gebiete der
Physik allgemein bekannten Herrn Prof. Pierre beruhenden neuen
Prinzipien und überraschenden Resultate, und der Reichhaltigkeit
des Materials überhaupt, auch in weiteren Kreisen Eingang finden.
Indem wir den Prospekt dem geehrten in technischen Fächern
wirksamen Publikum zur Einsicht vorlegen, laden wir zur Tbeil-
nähme am Abonnement ein.
Die zweite Auflage erscheint in 2 — 3 Gruppen, deren jede
zwölf Serien zu 6 Bogen, mit in den Text gedruckten Figuren»
enthalten wird.
Der Pränumerationspreis für eine Gruppe (72 Bogen) beträgt :
für Wien 3 fl. ö. W. — Für das Inland mit portofreier Zusendung
3 fl. 80 kr. ö. W. — Für Deutschland 2 Thlr. 16 Ngr. (4 fl. 26 kr.
südd. W.) — Für die Schweiz II Frcs.
Anträge sind an das „Comite der Physik'' im polytech-
nischen Institute in Wien zu richten. Die Absendung der Exem-
plare erfolgt von je 2 zu 2 Serien.
Wir haben die un« znj;c<*>andte vorstehende Anzeige sehr gern hier
mitgetheilt , indem wir überzeugt sind, dast der hoc:hgeachtete Name
de« Herrn Professor Pierre etwas sehr Vursögliches erwarten lätst.
Nur der beengte Raum verhindert ans, den uns gleichfalls mitgetheil*
ten Inhalt der Isten Gruppe hier mitzutheileo , dessen Reichtham und
technische Richtung unter vorher ansgcsiirochenes allgemeines Urtheil
vollttändig bestätigt. G.
Uterarluker Berlchl CLXXXXV.
Literarischer Bericht
CLXXXXV.
Anglist Ferdinand MOUns«
Am frühen Morgen des 26. September diesea Jahres ;(I868)
scblosseo sich Tfir immer die Augen eines Hannes , dessen An-
denken den Freunden geoaiefriscber Porschong für alle Zeiten
nnvergeazlich sein wird.
Nach den grossartigen For (schritten, welche die Analysis seit
den ZeiteD Newton'» und Leibnisens gemacht, trat das In-
teresse fär die reine Geometrie, welche noch von Newton so
hoch gehalten wurde, mehr und mehr zurüclc, und wenn auch noch
im vorigen Jahrhunderte einzelne, namentlich britische Mathe-
natiber, wie Msclaurin, Robert Simson, Matthew Ste-
wart, die geometrischen Metboden der Allen mit Erfolg auf die
•chwierigsten Probleme anwandten, »o gelangte doch gegen Ende
des Jahrhunderts die Analysis fast ausschlieszlich zur Hcrrschan.
DasE die reine Geometrie nicht glnslich in Vergessenheit gerietli,
■ondern vielmehr neu gekrHftigt auf (""" «-••"■—«-*—• —!--">-'••"''-
liehen Ringens wieder erschien un<
deckang eilend, auch thieraeits wiei
auf die analytischen Methoden wirke
liehen das Verdienet einiger wenig<
grOsztentbeils in die erste Hfilfte
Poncetet in Frankreich, HSbioS;
in Deutschland haben sich das Ve:
Neubelebung der reinen Geometrie e
sie einfach die gangba reu Methoden
sondern indem sie die Keine neuer
TU.XUX. Hfi.8.
2 fMeroHiCher Bericht CLXXXXV.
Schriften vorfanden^ in ungeahnter Weise entwickelten und da*
durch den Untersuchungen der reinen Geometrie einen grossen
Tbeil derjenigen Allgemeinheit verliehen, die man bis dahin lür
einen ausschliesziichen Vorzug der Analysis anzusebn geirobnt
war. Welcher von diesen Männern die groszartigste, folgenreichste
Thätigkeit entwickelt hat, — wer von den jetzt Lebenden ver-
mochte diese Frage zu entscheiden? Späteren Forschern wird es
ohne Zweifel vorbehalten sein, die verschiedenen Methoden der-
selben zu verschmelzen und zu ergänzen und mit den so getvon-
neuen Hilfsmitteln ein selbstständiges Gebäude der reinen Ge-
ometrie aufzuführen.
Die Thätigkeit jener Meister selbst ist gegenwärtig abge*
schlössen. Schon vor einer Reihe von Jahren (1. April 18fö)
schied Steiner^ eine Fülle von Arbeiten hinterlassend, die noch
auf lange Jahre Geometer und Analytiker gleichmäszig beschäfti-
gen werden; im vorigen Jahre starben von Staudt ('2. Juli 1867)
und Poncelet (23. üecember 1867); als der Letzte der kleioeo
Schaar endlich ist Mubius heimgegangen, dessen Erinnerung
diese Zeilen gewidmet sind.
August Ferdinand Mobius wurde geboren am 17. No-
vember 1790 in Schulpforta bei Naumburg. Das alte Cystercten-
serkioster im reizenden Saaltbale, welches als Landesschule eine
Reihe der berfihmtesten Männer, Klopstock, Fichte, Ranke,
Ebrenberg, Fr. Thiersch, C. F. Naumann u. a. herange-
bildet hat, war auch die Jugend- und Bildungsstätte unseres M6-
bius. Sein Vater, Johann Heinrich Möbius, wirkte als
Lehrer der Tanzkunst an der Landesschule; seine Mutter war eine
Tochter des Pfarrers Keil in Kötschau bei Merseburg, eines
Nachkommens des jüngsten Sohnes des Reformators Luther,
des chursächsicheo Leibarztes Dr. Paul Luther. Deshalb
wurde auch der grosze Geometer in der Säcularschrift von Nobbe,
„Stammbaum der Familie Luthers*' 1846 als , Jetziger Sesior
der 207 lebenden Lutberiden'' bezeichnet.
Schon frühzeitig erwachte in M«ibius die Vorliebe für mathe-
matische Studien ; anfangs beschäftigte er sich nur antodidaktiscb
mit seinem Lieblingsgegenstande, ein Jahr vor seinem (15. De*
cember 1803) erfolgenden Eintritte in die Landesschule aber er*
theilteihm Friedrich Thiersch, der damals Alumnus io Pforta
war, Unterricht in der Mathematik. Schulpforta stand damals
unter der Leitung des verdienstvollen Rectors II gen (1802—31),
dessen Lieblingsschüler Möbius wurde. Die Mathematik ward«
damals in Schulpforta nicht ganz vernachlässigt, denn schon 1725
UlerarlscAer BerteAt CLXXXXV. 3
war In der Person des Mag. Hfibscfa (1726 — 73) ein besonderer
Lehrer fiQr diese Wissenscfiari an (ter Anstalt angestellt worden
und Xa der Zeil von 1775 bis 1819 bekleidete Job. Gottlieb
Schmidt die Stelle eines Matbematikufi. Am 25. März \9ßfi verliesz
Mitblus die Landesscbule und begab sich auf die Uoii eraitlit
Leipzig, um hier dem Studium der Rechte obzuliegen. Indessen
Terliesx er dieses Studium bald , um sich ganz seiner Lieblings-
wifisenechah, der Mathematik, zu widmen. Er bOrte nun die Vor-
lesongen der Professoren von Prasse, (lilbert und AI oll weide.
Nachdem ihm 1813 ein grwszeres, vom Baron Kregel von Stern-
hach geslirteteK Reisestipendium zuerkannt worden war, ging er
oacb Güttingen, wo er ein Jahr lang alu SchGier von Gauez ver*
weilte, dann wandte er sich nach Halte, am bei Job. Friedr.
Pfaff ei» Privatissimum über Integralrechnung zu hüren. Uie
gewObnIlcfaen matbematiacben Vorlesungen, welche damals au
UniversitSten gehalten wurden , bewegten sich ufimlich fast nur
im Gebiete der Elemente der Wisaenachafit und ins Besondere
waren damals öffentliche Vorlesungen über üiffereetial- und Inte-
gralrechnung niL'bt Üblich. Mollweide hat es stets fQr unmüg-
licb erkUrt, einer grösseren Schülerzabl diese Disciplinen zu leh-
ren und erst unter seinem Nachfolger ist in Leipzig die höhere
Analysis in das Gebiet der V orl es ungs gegenstände eingetreten.
In Halle erhielt Mübius auch eine Anstellung als Hilfslehrer
am Pldagoginm, die er jedoch nicht lange bekleidete. Denn
iiachdem er 1814 von hier aus in Leipzig die Magister- und Doclor-
wOrde erlangt, habililirte er sich im April 1815 an letzterem Orte
als Privatdocent. Seine bei dieser Gelegenheit veröffentlichte Schrift
„De computandis occultationibusfixarum perplanetas"
wurde iu der Gelehrtenwell sehr günstig aufgenommen Schon
im folgenden Jahre wurde Mübius zum ausserordenllichen Pro-
fessor der Astronomie und zum Director der Sternwarte ernannt
und trat dieses Amt am I. Mai 1816 mit einer Rede über die
Fortschritte der .\nalysis durch die Astronomie an. Zugleich
veröffentlichte «r die Schrift „De minima * ariationeazimntbi".
MSbius ist der dritte in der Reihe der Astn
Leipziger Sternwarte. Diese selbst war noch nicht all
Veranlassung zu ihrer Einrichtung hat der Wtcner Astn
Hell gegeben, der im Jahre 1769 durch Leipzig kam,
des Schlosses Pleiszenburg bestieg, von dem aus ma
Aussicht auf die flache Umgegend genieszt, und dabei
fessoreu der Universität die Bemerkung machte, da
keinen tauglicheren Ort zur Errichtung einer Sternwai
4 Ulerarticher Bericht CLXXXXV.
habe. Gestützt auf diese Erklärang richtete die Universität an
die choraSchsiche Regierang die Bitte um Erbauung einer Stern-
warte, welche auch gewährt wurde, und nach mancherlei Ver-
zugerungen wurde der Bau in den Jahren 1787 — 90 nach dem
Entwürfe der Professoren Bortz und Hindenburg vom San*
director Oautbe au8gefShrt. Am 2. December 1791 wurde Chri-
stian Friedrich RSdiger zum Observator und auszerordent*
liehen Professor der Astronomie ernannt. Es zeigte sich indessen
bald, dasz die mit einem Kostenaufwande von etwa 18000 Tbaleni
erbaute und eingerichtete Sternwarte viel zu wOnschen flbrigliesz.
Es war ein eigner Unstern, dasz in einer Zeit, in welcher man be-
reits anfing, die Unzweckmäsziglceit der Anlage astronomischer
Observatorien auf hohen Thfirmen einzusehen, die Leipziger
Sternwarte noch in altem Stile angelegt wurde. Dieselbe besteht
ans einem groszen runden Salon, der auf dem Thurme des Schlos*
ses Pleiszenburg in 36 Meter Höhe über dem Schloszhofe befind-
lich und mit einer Galerie umgeben ist Jetzt» nachdem die Uni-
versität seit 1861 eine den Forderungen der fortgeschrittenen
Wissenschaft entsprechende neue Sternwarte im Johannistbale
besitzt, wird der alte Thurm nur noch der Femsicht wegen be-
sucht, auch sind noch einige geodätische Messungen in neuester
Zeit dort vorgenommen worden. Als Rüdiger die Sternwarte
übernahm, fehlte es zunächst an Instrumenten, und als im Jabre
1803 der sächsische Gesandte am englischen Hofe, der als Lieb*
haber der Astronomie bekannte Graf Moritz von Brühl, der
Leipziger Sternwarte den gruszten Theil seiner Instrumente hin-
terliesz, stellte es sich heraus, dasz dieselben nicht aufgestellt
werden konnten. So kam es, dasz die Sternwarte ohne aufge*
stellte Instrumente blieb; zu Zeltbestimmungen wurde ein Trougfa»
ton 'scher Sextant benutzt und verschiedene in Zachs monat-
licher Correspondenz verzeichnete Beobachtungen von Stembe-
deckungen und Finsternissen wurden mit transportabeln Fernrohren
angestellt. Die nun folgenden Kriegsjahre lieszen keine Verän-
derungen der Sternwarte zu; 1809 starb Prof. Rüdiger ond von
1811 bis 1816 übernahm Moll weide die Uirection, doch traten
auszer einigen Erwerbungen für die Bibliothek der Sternwarte
keine Veränderungen auf der letzteren ein. Im Jahre 1816 er-
hielt Moll weide die Professur der Mathematik und Mobiua
übernahm die Leitung der Sternwarte, die nun lange Zeit der
Schauplatz seiner Thätigkeit blieb. Ueber ein halbes Jahrhaudert
lang hat er die in unmittelbarer Nähe des Observatorinms hoch
über dem Eingangsthor der Pleiszenburg gelegene Wohnung inne
gehabt.
UttToriKhtr Bericht CIXXÄXV. 5
Mit dein AinUantritte von MCbius begannen wichtige Ver-
inderungen uiid VerbeMerungen der Sternwarte. Noch im Som-
mer dea Jahres I8IÖ begab er eich auf eine wisaenscbarUtcbe
Reise, um die EÜnrichtung der vorzflglicberen unter den damaligen
deut»chen Sternkarten kennen zu lernen. Er besichtigte dabei
die Observatorien in Gotha, TDbiogen, München, Wien, Ofen nnd
Prag. Als er nun durch Reacript rom 22. Januar 1817 aufgefor-
dert wurde, Vorschläge su machen, „wie nunmehr die Sternwarte
XU mehrerer Gangharkeit ta bringen und für ihren Zweck nutz-
barer zu machen sein möchte", beantragte er verschiedene baa-
licbe (Jmguderungen, von denen die Errichtung eines Beobach*
tungaraumes auf dem Öallicben Theile der den Benbachtungssalon
nmgebenden Galerie die wichtigste war. Dieser Beobacbtunge-
ranm wurde mit einer von Süd fiber das Zenith nach Nord gehen-
der Meridianapalle versehen und anter dieaer wurden die beideB
vorafiglichslen Instrumente aua dem BrQhl'scfaea Nachlasse, ein
Passageinatruroent von Ramsden nnd ein Troaghlon'scber
Vollkreis aufgestellt. Ende 1820 war der Bau vollendet und die
Aofslellung der Inslmmente erfolgt nnd nun wurden die Zeitbe-
alimmnngen am Passageiostrumente gemacht, am Trougbton*
sehen Kreise wiederholt, die Breite bestimmt und Beobachtungen
eiDzeloer Planeten und Kometen vorgenommen, sowie mit den
tranaportabeln Fernrühren eiiiaelne besondere Erscheinungen h^
obachtet.
Die ersten Arbeiten der neu eingerichteten Sternwarte hat
MSbiua verüffentticbt in der Schriß: „Beobachtungen auf der k.
Uni versitSIa- Sternwarte zu Leipzig mit vorangeschickter Beschrei-
bung der jetzigen Einrichtung dieser Sternwarte", Leipzig, 1823.
Die späteren Beohachlungen sind in Schuhmachers „Aalrono-
nischen Macbrichlen" verzeichnet.
Von Schriften astronomischen Inhaltes, die MSbins verfaszl
hat, sind auazer einigen Programmen und Abhandlungen zu nen-
nen; „Die wahre nnd die scheinbare Bahn des Halley'schen
Kometen bei seiner Wiederkunft im Jahre 1835, anschaulich dar-
gestellt und faszlich erklärt" (2te Aufl., Leipzig 1840), „DieHanpt-
s8tze der Astronomie, zum Gebrauch bei seinen Vorlesung'
Gebildete zusammengestellt" (3te Aufl., Leipzig I8S3) und
Elemente der Mechanik des Himmels, auf neuem Wege ohni
höherer Recbnnngaarten dargestellt" (Leipzig IH43). Das i
genannte Buch ial in mehr ala einer Beziehung bemerken«'
Möbius entwickelt in demselben zunächst die wichtigsten
der Dynamik und zwar durch geometrische Betrachtungen;
6 Uterarischer Bericht CLXXXXW
leitet er zugleich die für die «reitereii Untersuchungen unenlbehr*
liehen Elemente der Differentialrechnung aus dem Begriffe der
Bewegung selbst her. Besondere Beachtung verdient aber die
hier von ihm gegebene Theorie der epicyklischen Bewegung, die
im weiteren Fortgange der Schrift sich als höchst fruchtbar er-
weist. Letzteres kann nicht befremden» wenn man bedenkt, dass
diese, in populären Schriften freilich vielfach mit Verachtung be-
bandelte Theorie, in der Astronomie auch heute noch eine sehr
wichtige Rolle spielt, freilich nicht in ihrer geometrischen Ge-
stalt, sondern in ihrer analytischen, als Entwickelung der Functio-
nen in Reihen, die nach den Sinus und Cosinus der Vielfaciien
des Argumentes fortschreiten. Es wäre zu wünschen, dasz bei
elementarer Behandlung astronomischer, namentlich aber «neb
physikalischer Probleme, die epicyklische Bewegung öfter be-
nutzt wOrde, als dieses der Fall zu sein scheint. Den Hauptge-
genstand des erwähnten Werkes bildet die Darstellung der Pia*
netenstorungen , die hier mit den einfachsten Hilfsmitteln der
höheren Analysis behandelt werden.
Die mächtigsten und folgenreichsten Leistungen von M5bia«
finden viir aber auf einem anderen Gebiete, als dem astronomischen,
auf dem Gebiete der Geometrie. Dasjenige Werk, durch welche»
M Tibi US zuerst seine geometrischen Ideen veröffentlichte, nt
„Der barycentrische Caicul, ein neues Hilfsmittel zur analytischen
Behandlung der Geometrie'* (Leipzig 1827). Wie die Angabe auf
dem Titel des Buches sagt, ist der Hauptgegenstand desselben
allerdings die Darstellung einer neuen analytischen Methode.
Während bis dahin nur -Parallel- und Polarcoordinaten in der ana-
lytischen Geometrie gebräuchlich waren, bestimmt Mubius die
Lage eines Punktes in der Ebene durch die Gewichte, die man
drei festen Fundamentalpunkten beilegen muss, damit ihr Schwer-
punkt in den zu bestimmenden Punkt fallt. Um in analoger Weise
einen Punkt im Räume zu bestimmen, sind vier Fundamentalpunkte
nöthig. Wie bekannt ist diese Bestimmung eines Punktes später
auch von anderer Seite in rein geometrischer Fassung, ohne sta-
tische BegrQndung, mit Erfolg in die analytische Geometrie eio-
gefQhrt worden. Von grüszerer Wichtigkeit aber, als dieses Coor-
dinatensystem, erscheinen ftir die reine Geometrie die In den
„barycentrischen Calcul*' enthaltenen Untersuchungen über die ge-
ometrischen Verwandtschaften der Figuren. Alöbius kann wob!
als der eigentliche Schripfer dieser ganzen Theorie hingestellt
werden, denn er hat zuerst die schon den alten Geometem ge-
läufigen Begriffe der Aehnlichkeit und der Aehnlicbgleicbheit e^
weitert zu dem Begriffe der Colliueation. Allerdings sind aocb
Uterartscher Bericht CLXXXXV. ^
collineare Fifturen schon fraiier behandelt worden. Wenn man
diejecigen Untersuchungen, die sich unmittelbar aiir die Per-
spektive alfitzen, unbeachtet ISatt, so ist zunächst daran zu er-
ionern, dass Nen ton im Lemma XXII des ersten Buches seiner
Priocipien die AuFgalie „Ficjuras iD alias ejusdem geiieris mutare"
bebanilelt und daselbst eine Auflusunj; gegeben hat, iveiche col-
lineare ebene Figuren, allerdings in einer beslinimlen Lage, lierert.
Aber auch die ganz allgemeinen analytischen Ausdrücke TQr zwei
collineare Systeme, genau in der Gestalt, wie sie spfiter in dem
bekannten Werke von Ludwig Immanuel Magnus sich vor-
finden, sind lange vor Mübius von Waring aufgestellt worden.
Was den Uotersuchungen des barycentrischen Caiculs Gber diesen
Gegenstand ihren Werth verleiht, das ist die valiige Allgemein-
heit der AulTassung. Grosze äorgrall hat Mübius im barycen-
trischen Calcul auch der Theorie der DoppelscboittTerbältnisM
oder, wie man jetzt nach Steiners Vorgange zu sagen pflegt,
der Dnppelverbällniese, gewidmet. Entgegen den Versneben an-
derer Geometer, diese zum Tbeil ariibmetiscbe Theorie ganz aus
der Geometrie zu verbannen, hat er auch in spSterer Zeit bei
seinen Vorlesungen fiber neuere Geometrie dieselbe stets zum
Ausgangspunkte genommen, und gelegentlich darauf hingewiesen,
dasz einlache Rechnungen, die an den Elementen der Figuren
aelbst vorgenommen werden und sich nicht auf Dinge beziehen,
die den Figuren an sich fremd sind, wie die Coordinaten, keines-
fregeti au» der Geometrie zu verbannen seien, da durch sie die
Anschaulichkeit der Betrachtuniien nicht gestürt werde. Haupt*
siel bei allen seinen UnlersucbuDgen war ihm immer, die Anscfaaa-
licbkeit der alten Geometrie zu verbinde» mit der Allgemeinheit
der analytischen Methode. Eines der wichtigsten Hilfsmittel tur
Erreichung dieses Zieles ist das nachmals sogenannte „Princip
der Vorseichen", welche») Mübius auf den ersten Seiten seines
barycentriscbenCak'uls auseinandergesetzt und seitdem stets con-
sequent angewandt bat.
An die Untersuchungen des harycentr Ischen Calcola achlleszen
sich sablreiche Arbeiten späterer Jahre, die meist in Crel'*'-
Joornal, sowie in den Berichten und Abhandlungen der kOnt
aSchsischen Gesellschaft der Wissenschaften abgedruckt
Bei Begründung der letzteren, der er vom Anfang an ange
hat, schrieb er die Abhandlung „Heber eine neue Behandli
weise der analytischen Spb&rik" (Abhandlungen bei Begrfin
der Kgl. sfichs. Gesellsch. der Wissenscb. am Tage der i
honderljäbrigen Geburtsfeier Leibnizens, herausgegeben
der Ffiistl. Jshlonoweki'scben Gesellscb-, Leipzig 1846).
8 UterarUcher Bericht CLXXXXV.
dem hier angegebeneo sphärischen Algorithmus hat er dann einen
frachtbaren Gebrauch gemacht in der Abhandlung ^Ueber die
Grundformen der Linien der dritten Ordnung'% die den ersten
Band der Abhandlungen der roath.- physischen Classe der sichs«
Gesellschaft der Wissenschaften eröffnet. In dieser Arbeit iiat
M5bius gezeigt, wie man auf sehr einfache Weise die Terscbie-
denen Gattungen der ebenen Curven dritter Ordnung zu unter-
scheiden vermag, wenn man dieselben als Projectionen sphäriseher
Curven betrachtet Von den übrigen zahlreichen geometrisehen
Arbeiten musz hier noch erwähnt werden „Die Theorie der Kreis-
verwandtschaft in rein geometrischer Darstellung^^ M Ob ins bat
hier die nächst der Aehnlichkeit einfachste unter den isogonalen
Verwandtschaften, die neuerdings auch in der Analysis eine nicht
unwichtige Rolle spielen, mit einer geometrischen Klarheit and
Schärfe behandelt« die als musterhaft gelten kann, und welche
diese Abhandlung zu einer höchst werthvollen macht, trotzdem
dasz ein Theil der in ihr enthaltenen Resultate schon froher durch
den verdienstvollen Magnus auf analytischem Wege abgeleitet
worden ist. Eine weitere Aufzählung und Analyse der geometri-
schen Arbeiten M Ob ins' wfirde an dieser Stelle zu weit föhren.
In innigem Zusammenhange mit seinen geometrischen Unter-
suchungen standen die Arbeiten fiber Statik, die zum groszea
Theil in dem „Lehrbuche der Statik'' (2 Theile, Leipzig 1837)
niedergelegt sind. Dasz aber MObius auch auf andere Probleme
die Ihm eigenen geometrischen Methoden mit Erfolg anzuwenden
wuszte, davon zeugt u. a. seine „Entwickelung der Lehre von den
dioptrischen Bildern mit Hilfe der Collineationsverwandtschaft'*
(Berichte ober die Verbandl. der k. s. Ges. d. Wissensch. Math.-
phys. Classe« 1835); schon fünfundzwanzig Jahre vorher hat er
denselben Gegenstand im Creiie'schen Journal mit Anwendung
von Ketten brSchen behandelt und umgekehrt aus den dioptrischen
Sätzen wieder verschiedene bemerkenswerthe Eigenschaften der
Kettenbrache abgeleitet (Cr eile's J. Bd. V»und Vi).
Die akademische Thätigkeit von Mubius war eine ziemlich
vielseitige. Seine Vorlesungen über Astronomie waren in frdbe-
ren Jahren sehr besucht, nicht blos von den Studirenden der
Mathematik oder Astronomie, sondern auch aus dem Kreise an-
derer Facultäten. FOr Mathematiker von Fach wuszte er nament-
lich in solchen Vorlesungen, die ein kleines abgeschlossenes Ge-
biet behandelten, durch Eigenthümlichkeit der Darstellung» Kla^
heit und Schärfe der Entwickelung in hohem Grade anregend m
wirken, und auch solche Zuhörer, denen der materielle Inhalt einer
Vorlesung im Wesentlichen schon bekannt war, lernten eine Menge
Uierariscker Bericht CLXXXXV. 9
neuer Gesichtspunkte und Ideen kennen. Auch den elementar-
sten Problemen wuszte er eine neue Seite abzugewinnen. Es
verdient dabei hervorgehoben zu werden» dasz seine Vorlesungen
•ich nicht auf die Gebiete der Astronomie» Geometrie und Statik
beschränkten 9 sondern» dasz er» abgesehen von Vorlesungen über
Analysis auch die Elemente der Zahlentheorie wiederholt vorge-
tragen hat.
Die hohe wissenschaftliche Bedeutung der Arbeiten HG bius'
ist von allen Seiten schon lange anerkannt worden. Die Aka-
demien zu München, Guttingen und Berlin wählten ihn zu ihrem
Mitgliede und auszerdem gehörte er der Fürst!. Jablonowskl-
schen und» wie schon erwfihnt» der 1846 gegründeten kgl. sächs.
Gesellschaft der Wissenschaften an. Zum ordentlichen Professor
wurde er indessen erst im Jahre 1844 ernannt» nachdem er einen
von Jena aus an ihn ergangenen Rnf abgelehnt hatte. Am 11. De-
cember 1864 feierte er sein goldenes Doctoijubiiäum. bei welcher
Gelegenheit ihm das Comthur-Kreuz des kgl. sächsischen Albrecht-
Ordens verliehen wurde» und bald darauf» am 19. April 1865, sein
50jähriges Docentenjubiläum.
Bis an's Ende seiner Tage bewahrte er die volle Klarheit
seines Geistes und erst in den letzten Jahren konnte die Be-
schwerde des Alters ihn abhalten» seine akademische Lehrthätig^
keit zu üben.
Mubius starb am 26. September 1868 früh nach 1 Uhr. Von
seiner ihm schon vor einer Reihe von Jahren im Tode vorange-
gangenen Gattin hinterliesz er zwei Sühne» von denen der eine
als Professor der skandinavischen Sprachen an der Universität
Kiel» der andere als Director der ersten Bürgerschule in Leipzig
wirkt» und eine Tochter» die mit dem Astronomen D*Arrest in
Kopenhagen vermählt ist
Den Charakter des Geschiedenen hat an seinem offenen Grabe
Prof. Bruhns treffend geschildert» wenn er denselben einen herr-
lichen Menschen » eine kindlich reine und fromme Seele» einen
trefflichen Sohn» Gatten» Vater und einen herzlichen aufrichtigen
Coilegen nannte*
Leipzig. Heinrich Gretschei.
10 UUr arischer BeiicM CLXXXXV,
Geometrie«
Lehrbuch der ebenen Geometrie zum Gebrauche
bei dem Unterricht in Real- und Gymnasial-Anstalten
von Dr. Christian Heinrich Nagel« Rector der Real-
Anstait in Ulm, u. s. w. Mit Anhang I. Zwölfte ver*
mehrte Auflage. Mit 200 in den Text eingedruckten
Holzschnitten. Ulm. Wohler'sche Buchhandl. 1869. SP.
Dieses bereits in zwölf Auflagen erschienene und auch in*s
Ungarische und Italienische übersetzte Lehrbuch der ebe-
nen Geometrie verdient ganz den ihm zu Theil gewordenen Bei-
fall wegen der Einfachheit der darin befolgten Darstellung, der
sehr zweckmässigen Anordnung der Sätze und der dem Zwecke
des Buchs als Schulbuch angemessenen Strenge der Beweise,
welche sich übrigens bei einem in Würtemberg — wo von
jeher die reine Geometrie sich sehr würdiger Vertreter erfreuet
hat — erschienenen geometrischen Lehrbuche und seinem so ge-
achteten und längst bewährten Verfasser ganz von selbst ver-
steht. Ganz vorzuglich machen wir aber alle Lehrer auf den
Anhang I. (besonders paginirt S. I. — S. 74.) aufmerksam, in
welchem dieselben eine grosse Anzahl sehr bemerkenswerther,
zum Theil nur wenig bekannter oder neuer Lehrsätze und Auf-
gaben finden werden, die ein treffliches Uebungsmaterial fiSr
Sehüier darbieten und hei dem Unterrichte die zweckmässigste
Anwendung finden können. In diesem Anhange enthält Abtbei-
lung L 50 Lehrsätze und 20 Aufgaben; Abtheilung H. enthält
56 Lehrsätze und 30 Aufgaben; in Abtheilung Ul., Abth ei-
lung IV. und Abtheilung V. sind resp. 46 Lehrsätze und 37
Aufgaben, 50 Lehrsätze und 40 Aufgaben, 15 Lehrsätze und 2&
Aufgaben enthalten, Alles sehr zweckmässig geordnet und zur
Forderung und Belebung des geometrischen Unterrichts in jeder
Weise geeignet; wie reichhaltig der Inhalt dieses Anhangs 1.
ist, werden die Leser aus den vorstehenden Angaben entnehmen«
Sehr wünschen wir im Interesse des geometrischen Unter-
richts, dass der Herr Verfasser sein am Ende der Vorrede gege-
benes Versprechen 9 diesem Lehrbuche als zweiten Theil ein
besonderes Lehrbuch der sogenannten neueren Geometrie
in durchaus elementarer Weise folgen lassen zu wollen, recht
bald erfüllen möge.
AstroDomie.
Kalender für alle Stände. 1869. Herausgegeben voo
Uter arischer Bericht CLXXXXV. \\
Karl V. Littrow» Director der k. k. Sternwarte in Wien.
XXXIX. Jahrgang. Mit einer Sternkarte. Wien. Carl
Gerold's Sohn. S^.
Der vorige Jahrgang diene«, neben dem gewöhnlichen Kalen-
der, eine überaus brauchbare und zweckmässige, jedem Liebha-
ber der Astronomie und namentlich auch allen Lehrern der
Mathematik und Physik wiederholt im höchsten Grade zu empfeh-
lende astronomische Ephemeride — welche dem Liebhaber der
Astronomie Alles in der grossten Vollständigkeit und Zweckmäs-
sigkeit bietet, was ihm für seine Zwecke nur irgend wünschens-
werth sein kann — enthaltenden Kalenders ist von uns im Liter.
Ber. Nr. CLXXXVill. S. 7. angezeigt worden. Ausser der Ephe-
meride und der höchst vollständigen, alle neueren Arbeiten sorgfäl-
tigst berOcksichtigenden „Uebersicht des Planetensystems'^
(No. ni.) nebst den „Neuen Planeten und Kometen" (No. IL)
enthält dieser 39ste Jahrgang — dem wir noch recht viele eben
so schöne Nachfolger wünschen — wieder einen sehr interessan-
ten und verdienstlichen Aufsatz: „Sternschnuppen und
Kometen" (Nr.I.). — Wir haben im Liter. Ber. Nr. CLXXXVIIL
S. 4. von Schiaparelli's merkwürdigen und wichtigen Ent-
deckungen über den Zusammenhang der Sternschnuppen mit den
Kometen, durch welche zuerst der allein richtige Weg
vorgezeichnet worden ist, den man bei diesen Unter-
suchungen fernerhin zu verfolgen hat, mit aller hier
zulässigen Ausführlichkeit Nachricht gegeben. Diesen Arbeiten
des trefflichen, hochverdienten italienischen Astronomen hat sich
nun der Adjunct der k. k. Sternwarte in Wien, Dr. Weiss,
in würdigster Weise angeschlossen, und ist zu Resultaten gelangt,
mit denen auch die weiteren Entwickelungen, die Schiaparelli
seinen Untersuchungen gegeben bat, in mancher Richtung zu-
sammentreffen.
Schiaparelli leitet nämlich — um über den merkwürdigen
Gegenstand hier wenigstens Einiges, so weit es der Raum er-
laubt, zu sagen — die Sternschnuppenfälle aus kosmischen Wol-
ken von 80 lockerem Gefüge ab, dass dieselben, wenn sie in die
Attractionssphäre der Sonne gerathen, durch deren Anziehung
zu parabolischen Strömen von geringem Querschnitte, aber sehr
grosser Länge ausgedehnt werden, während dichtere Kerne einer
solchen Meteorwolke, die natürlich in der Bahn des parabolischen
Stromes einhergehen müssen, da sie ja nur speclelle Körper
desselben sind , uns in der Nähe ihres Periheles als Kometen er-
scheinen können.
So scharfsinnig auch diese Theorie genannt werden muss
14 Literarischer Bericht CLXXXXV,
gen: Sur les soniroes des ß^ries divergentes, par
R. Hoppe. Upsal. 1867. 4^. — Surfaces ögalemeDt illa-
minies, par R. Hoppe. Upsal. 1867. 4^. — Memoire
tfur la determinatioD des longueurs d'onde des raies
niätalliques, par Dr. Rob. TbaUo. Upsal. 1868. 4<>.
Besonders auf diese letztere^ in das Bereich der 8pectraU Analyse
gehörende, mit der grussten Sorgfalt und Genauigkeit angestellte
Beobachtungen und Rechnungen enthaltende Abhandlung roacbeo
wir die Physiker recht sehr aufmerksam. Dieselbe ist in mehr-
facher Beziehung als eine gemeinschaftliche Arbeit der Herren
R. Thalön und A. J. Ingstrum zu betrachten und zerf^lt in
die folgenden Abschnitte.: Introduction. — Instruments. — Methode
d'enregistrement. (Comparaison entre ie spectre normal du soieil
et celui de refraction suivant Techelle de 11^. Kirch hoff. — LfOn-
gueurs d'onde des raies principales de Fraunhofer, determio^s
par M. Ingstrom.) — Explication de la planche (limites de«
couleurs dans Ie spectre, par M. Listing.) — Comparaison des
rösultats. — Note sur l'ezistence probable du titane dans Ie so*
teil. — Loogueurs d'onde des raies brillantes des metaux, expri-
m^es en dix-millioni^mes du millimetre. — Eine sehr schön aus-
geführte Steindrucktafel mit der Ueberschrift : „Spectres des
m^taux dessin^s d'apr^s leurs longueurs d'onde'* ist beigegeben.
Sitzungsberichte der konigl. Bayerischen Akade-
mie der Wissenschaften zu München. Vergl. Literar.
Ber. Nr. CLXXXXIll. S. 14.
1868. II. Heft I. und 1868. 11. Heft II. enthalten io de«
Kreis des Archivs gehörende AufsStze nicht ; jedoch machen wir
auf eine in dem zweiten der beiden vorher genannten Hefte S.396.
von Herrn Seidel gegebene Notiz „Ueber das Mannseript
einer Abhandlung von Fraunhofer'' aufmerksam, und wfin-
sehen sehr, dass die königlich Bayerische Akademie der Wis-
senschaften durch recht baldige Veröffentlichung dieses — wa»
er auch enthalten möge — gewiss sehr merkwürdigen Nachlasses
des grossen Mannes sich den ivSrmsten Dank aller Mathematiker
und Physiker erwerben möge.
Sitznngsbericbte der kaiserl. Akademie der Wis«
senachaften in Wien. Vergl. Literar. Ber. Nr. CLXXXXIV.
S. 22.
Band LVU. Heft 1. und II. Mach: Ueber die physiolo-
gische Wirkung räumlich vertheilter Liehtreize. (IV. Abhandl)
Ulerarischer BericM CLXXXXV. 15
S.U. — Pranghofe r: Beiträge za einer Abel'schen Gleichung
und zo einem Satze von Parseval. S. 29. — Waflsmath:
Ueber die Strome in Nehenschliessungen zusammengesetzter Ket-
ten. S. 47. — Schell: Geometrischer Beireis des Lehroann-
schen Satzes Ober die Lage des Standortes in Bezog auf das
Fehlerdreieck. (Mit 1 Tafel.) S. 67. — Exner: Ueber die Maxima
und Minima der Winkel , unter welchen Curven von Radien durch-
schnitten werden. (Mit 7 Holzschnitten.) S. 75. •— Handl : Ueber
eine neue Art der Beobachtung an Heberbarometern. S. 109. —
Fritsch: Die EisverbÜltnisse der Donau in den beiden Jahren
im'l/i und 1863/4. S. 115. — Oppolzer: Ueber die Bestim-
mung einer Kometenbahn. S.219. — Niemtschik: Studien Ober
Flächen , deren zu einer Aze senkrechte Schnitte ähnliche Ellip-
sen sind. (Mit 1 Tafel.) 8. 246.
Band LVII. Heft III. Weiss: Beiträge zur Kenntniss
der Sternschnuppen. S. 281. — Oppolzer: Deflnitive Bestim-
mung des Planeten (58) ,,Concordia." S. 343. — v. Haidinger:
Der Meteorstein fall vom 30. Jänner 1868 unweit W^arschau. S. 405.
— Wa SS muth: Ueber die Abhängigkeit des erregten Magne-
tismus von den Dimensionen der Magneti.«irungsspirale. (Mit 2
Holzschnitten.) S. 443. — Weyr: Studien aus der höheren Geo-
metrie. (Mit 1 Tafel.) S. 449. -^ Koutny: Construction der Ke-
gelschnittlinien aus Punkten und Tangenten. (Mit 2 Tafeln und
3 Holzschnitten.) S. 469. — Stefan: Ueber Schwingungen von
Saiten« welche aus ungleichen Stucken bestehen. S. 517. —
Pierre: KravogTs elektromagnetischer Motor. (Mit 3 Tafeln.)
S. 532.
Giornale di Matematiche ad uso degli studenti delie
ooiversitä italiane, pubblicato per cura del Profes-
sore G. Battaglini. Napoli. (S. Liter. Ber. Nr. CLXXXXIV.
S. 4.)
Setterobre e Ottobre 1868. Intorno ai sistemi di rette
di secondo grado; per G. Battaglini. p. 257. — Nuova espo-
sizione della teoria generale delle curve di 2^. ordiiie in coordi-
nate trilineari; per E. d'Ovidio. p. 259. — Saggio di interpre-
tazione della Geometria non-euclidea; per E. Beltrami. p. 284. —
Soll* integral seno e l'integral coseno; per D. Besso. p. 313.
Annali di Matematica pura ed applicata» diretti da
F. Brioschi e L. Cremona (Presse il R. Istitnto Tee-
16 Uierariicher Bericht CLXXXXV.
nico Saperiore di Milano) in continuazione degli Anoall
%\k pabblicati in Roma dal prof. Tortolini. A^. (Siehe
Literar. Ber. Nr. CLXXXXIV. S. 23.)
Serie IK Tome IR Fascicolo ^. (Ottobre 1868.)
Schlaefli: Sopra ana eqaazione a differenziali parziali del
primo ordine. p. 89. — Uermite: Sor le developpement ea
aörie des integrales elliptiqaes de premi^re et de seeonde esp^ce.
p. 97. — Cayley: Note sor quelques torses sextiques. p. 99.
— Codazzi: Sülle coordinate cnrvilinee d'una superficie e dello
spazio. (Memoria 2«.) p. 101. — Neu mann: Tbeoria oova
phaenonienis electricis applicanda. p. 120. — Reye: Sopra le
curve gobbe di quart' ordine e prima specie, e i loro ponti dln-
tersezione con superficie di secondo grado. p. 129. — Hab ich:
Sur an Systeme particulier de coordonn^es. Application aox cao-
stiqnes planes, p. 134. — Trudi: Sulla forma quadratica de'
fattori irriduttibili delle equazioni binomie. p. 150. — Jordan:
Memoire sur les groupes de mouveroents. p. 167. — Pabblicaztoni
recenti, ricevute dai Direttori degli Annali.
A n z e ] g e.
Preis-Verzeichnis 8 physikalischer und
chemischer Apparate und Geräthschaften
von C« A. Gruel in Berlin, Mechaniker und
Techniker, Friedrichs-Strasse Nr. 206.
Wir glauben Lehrer auf dieses im Fache der
Elektricität , des Galvanismus und Magnetismus, der
Optik, Akustik, Meteorologie, Wärmelehre und auch
der Mechanik sehr reichhaltige, uns vor Kurzem zuge-
sandte Yerzeichniss aufmerksam machen zu dürfen,
da uns die Preise sehr massig gestellt und die Appa-
rate wohl namentlich auch für den Schulgebrauch be-
rechnet zu sein scheinen« G«
Uteraritcher Bericht CLX XXXVI.
Literarischer Bericht
CLXXXXVI.
Job. Jos. Ign. von HofltaiaiiB.
Mit aufrichtigstem Danke haben wir die folgenden uns neuer-
lichst von befreundeter Hand gfitigst mitgetheilten Schriften ent-
S^g^n genommen:
Biographische Skizze von Dr. Job. Jos. Ign. v. Moff-
mann. Zweite, vermehrte Auflage. Aschaffenburg.
Verlag von C. Krebs. 1863. 8^.
Worte bei der feierlichen Beisetzung des Herrn
Dr. Job. Ign. v. Hoffmann, quiesc. k5n. bayer. LyceaU
Directors und kOn. bayer. Hofraths, am 2. Februar 1866»
von J. Dechelmann, Kaplan. Aschaffenburg. Schipp-
ner*sche Druckerei. 1866. 8^.
Wenn auch diese beiden Schriften schon vor einigen Jahren
erschienen sind, so bringen wir dieselben doch auch jetzt noch
gern hier zur Anzeige, weil gerade Schriften dieser Art, welche
flQr Geschichte und Literatur nicht ganz ohne Bedeutung sind,
sieb dessenungeachtet nur zu oft der Beachtung gänzlich ent-
ziehen und ganz in Vergessenheit gerathen, und weil beide
einen um das gesammte bayerische Cnterrichtswesen , insbeson-
dere aber um den mathematischen und naturwissenschaftlichen
Unterricht hochverdienten Mann betreffen, der — zugleich als
vielseitiger mathematischer und naturwissenschaftlicher Schrift-
steller der filteren Generation jetziger Mathematiker wohl bekannt
und von denselben aufrichtig geachtet — es wohl verdient, dass
ihm bei Gelegenheit der Anzeige der obigen Schriften hier auch
jetzt noch einige Worte dankbarer Erinnerung gewidmet werden.
J o h. J o s. 1 g n. V. H o f f m an n wurde zu Mainz am 17. März 1777
geboren und hatte also, als er am 30. Januar 1866 aus dieser Zeit-
lichkeit schied, das hohe Alter von 89 Jahren erreicht.
ThLXLIX. Hft. 4. 4
2 Uierofiseker Bericht CLXXXX7I.
AU ihm seine Vaterstadt Mainz, nachdem er dort die philo-
sophischen und juridischen Studien absei virt hatte ^ durch die
Besitznahme der Franzosen minder werth gevrorden «rar, verliess
er dieselbe am 24. November 1800» um sich in Aschaffenburg, dem
damaligen Zufluchtsorte des kurfGrstlich- mainzischen Hofes und
der Behörden» einen entsprechenden öffentlichen Wirkungskreis
zu gründen. Da mehrere in diese Stadt geivanderte Professoren
der Hochschule Mainz ihre Vorlesungen fiber die Lehrfacher der
Philosophie, Theologie und Jurisprudenz mit lohnendem Erfolge
fortsetzten, so erwachte in dem jungen Manne der lebhafte Wunsch,
als öffentlicher Lehrer in einem seiner bereits früher mit grossem
Eifer betriebenen Lieblingsföcher der Mathematik und Physik
aufzutreten. Nach gehöriger Legitimation wurde ihm unter dem
KurfQrsten Friedrich Karl Joseph v. Erthal diese Erlaub*
niss zu Theil. Die ersten Proben seiner LehrthStigkeit waren
von so günstigem Erfolge begleitet, dass er bereits im Jahre \90fi
als Supplent und bald darauf, nach eingetretenem Tode A%b kar-
ffirstUchen Professors der Physik, Dr. Jos. Bergmann, so
dessen Nachfolger ernannt und ihm im Jahre 1806 das Lehrfach
der reinen und angewandten Mathematik an der Karls-Universit&t
übertragen wurde. Nachdem er im Jahre 1807 das Forstlehr^
Institut mitbegründet hatte, an welcher Anstalt er als Direktor
und Professor volle 25 Jahre wirkte, Ist ihm in Würdigung sei-
ner Verdienste um das Schulwesen im Jahre 1811 von dem geist-
vollen und den Wissenschaften gewogenen Fürsten Primas Karl
Theodor von Dalberg der Charakter eines grossherzoglicbea
Ober«Schul« und Studienrathes und die grosse goldene Civilver-
dienstrnedallle ertheilt worden. Das folgende Jahr sah ihn als
Direktor des philosophischen Lehrinstituts, welches nebst der
theologischen und juridischen Fakultät einen Bestandtbeil genann*
ter Universität gebildet hatte. Drei volle Jahre lang, von 1815
—•16 bis 1817 — 18 hatte er durch die Uebertragung der Vorträge
über Psychologie und Logik zu seiner Professur der Mathematik
und Physik in jeder Woche 28 Vorlesungen zu halten, eme qo-
gewuhnüche physische und psychische Anstrengung, die noth»
wendig war, um dem philosophischen Lehrinstitut seine Integrität
zu bewahren. Dem ihm mit Anfang des Studienjahres 1818—19
gewordenen Auftrage, die grossherzogliche Gymnasialanstalt der
neuen, von der früheren Gestaltung sehr abweichenden Form ent-
-sprechend einzurichten, genügte er in seiner vierjährigen Führung
des Rektorates dieser Anstalt. Zum Beweise der Zufriedenheit
mit seinen geleisteten Diensten erfolgte im Jahre 1821 die Er-
nennung zum k. Hofrathe und im Jahre 1837 von Seite der kOn.
Universität Wflrzburg die Verieihung des philosophischen Doktor*
Uierarischer Bericki CLXXXXfI. %
Diploms. Ebenso hatten sieben gelehrte Gesellschaften Diplome
Ihm Zugesendet. Seit 1849 zierte die Brost des Verewigten das
iUtterkreuz I. Klasse des k. Verdienstordens rom hl. Michael,
seit 1866 das Rifterkreaz der bayerischen Krone nnd ist Ihm am
20. Dezember 1856 in Erwägung der angewohnlich langen Dienst*
seit nnd seiner mit Trene, Eifer and ausgezeichnetem Erfolge
geleisteten Dienste das Ehrenkreaz des k. Ladwigsordens feier-
lich überreicht und endlich nach dem vollendeten 46. Dienstjahre
als Direktor und nach abgeschlossenem 56. Jahre als Professor
unterm 3. Juli 1858 der fiSr's Ende dieses Schuljahres erbetene
Ruhestand ßr seine mit Auszeichnong geleisteten Dienste ver-
liehen worden.
Der gesegnetste Theil seiner TbStigkeit war ohne Zweifel
der als Vorstand und Lehrer. Dnbeugsamer Rechtssinn verband
sich in ihm mit seltener BerzensgGte zu schuner Eintracht; als
Lehrer naneatlith besass er die unschätzbare Gabe der Hitthei-
lung in eminentem Grade. Von der Wurde und Kraft der roathe-
inatiscben Wahrheit, welche, da die sichtbaren Dinge nach Maass,
Zahl und Gewicht geordnet sind, zugleich Weltwahrheit ist, selbst
im hoben Alter noch durchdrungen und jugendlich begeistert,
verband er im Vortrage mit der Gründlichkeit der Entwickelung
und Beweisführung jene Lebendigkeit und Anschaulichkeit, jene
durchsichtige Klarheit und Eleganz, welche filr diese Wissen-
schaft eben so sehr gewinnt, als ihr Mangel von derselben ent-
fremdet Und so sehr hatte durch den langjährigen Umgang mit
ihr die Mathematik seinem innersten Wesen sich verbunden, dass
^et dieser Wissenschaft eigen thümliche streng methodische Gang,
ihre Exaktheit und Konsequenz nicht allein seinem amtlichen Wir-
ken, sondern auch seinem gesammten Leben und Streben das
Gepräge strenger Gesetzmässigkeit, Pünktlichkeit und Ordnung
veriieh.
Dem Glauben seiner Kirche hing er aus Ueberzeugung mit
unwandelbarer Treue an. Die Gesundheit, Regsamkeit und Frische
des Geistes und Körpers verblieb selbst in hohem Greisenalter
noch dem stattlichen und stets aufrechten Ganges einherschrei-
tenden Manne, insbesondere bewahrte er sich die ihm elgentbüm*
liehe Schärfe und wolkenlose Klarheit des Geistes fast bis zu
den letzten Lebensstunden.
Die erste der beiden obigen Schriften ist auch deshalb von
literarischem Werth, weil sie ein vollständiges Verzelchniss aller
von J. J. L V. Hoffmann vom Jahre 1801 bis 1869 herausgege-
benen Druckschriften, an der Zahl 42 und fast sänirotlich matbema-
4 Liierarltcher Bericht CLXXXXVL
tischen and physikalischen oder wenigstens verwandten Inhalt«,
mit ausföhrlicher Charakterisirung derselben, enthält, und in einem
Nachtrage die auch noch nach 1859 während seines Ruhestandes
von Hoff mann ausgearbeiteten» aber wohl nicht durch den Dmck
veröffentlichten Abhandlungen verzeichnet.
Nicht wenige der veröffentlichten Druckschriften betreffen die
Theorie der Parallelen und das Ilte euclidische Axiom und sind
flir diesen Gegenstand unstreitig von literarischer Bedeutung;
schon Klägel im mathematischen Wörterbuche (Tbl. III. Artikel
Parallelen. S.728 und S.739) gedenkt derselben. Auch eineUeber-
setzung oder Bearbeitung der fOr die Geschichte der Arithmetik
nicht unwichtigen Schrift von Delambre: »»Ueber die Arith-
metik der Griechen" (Oeuvres d'Archim^de parF. Pey-
rard. A Paris. 1807. 4^.) befindet sich unter den veruffent-
lichten Schriften.
■
MGge die jfingere Generation sich an solcherTrene
und Hingebung ein Muster nehmen!
In der Nacht vom 4 zum 5. Januar 1869 starb in München
an einem Herzschlag der Lycealprofessor
Karl Knhiii
Mitglied der kSnigl. bayerischen Akademie der Wissenschafleo«
noch im kräftigen Mannesalter, da er erst 50 und etliche Jahre
zählte. Er war seit einer langen Reihe von Jahren am Cadetten-
corps und zuletzt an den militärischen ßildungsanstalten Professor
fllr höhere Mathematik und Physik gewesen. Seine werth vollen
Arbeiten fanden allgemein die gebOhrende Anerkennung. Die
allgemeinste Hochachtung und die Liebe seiner zahlreichen Schü-
ler folgen ihm in's Grab.
Wir hoffen dieser vorläufigen, Zeltungsnachrichten entlehnten
Notiz bald einen ausführlichem Necrolog des trefflichen, in vielen
Beziehungen verdienten Mannes folgen lassen zu können. G.
Am 9. März 1869 starb
PrefesMr A. TeUkftDpf ,
Director der Realschule in Hannover, Verfasser geschätzter
nathematischer LehrbOcher.
Uier arischer BerUhl CLXXJCXVL
Geschicilte uod Literatur der Mathematik und
Physik.
Bullettino di Bibliografia e di Storia delle setense
materoatiche e fisiche, puhblicato da B. Boncompagni.
Rotna. 1868. 40. (Vergl. Literar. Ber. Nr. CLXXXXIV.
S. 15.)*)
Toinol. Laglio 1868. De T^ole de Bagdad, et des tra-
vauz seientifiqaea des Arabes. Lettre de M. L. Am. S^^illot
i D. B. Boncompagni. p. 217. — Introduetion k Tart analyti-
qoe par Fran^oia Vi^te. Traduit par M. F. Ritter, p. 223.
(Fran^ola Viete, aeigneur de la Bigotiire, avocat» poia con-
seiller ao parlement de Bretagne^ roaitre des reqo^tea et enfia
membre du ConseÜ priv^, dessen Schriften bekanntlich aasser-
ordentlich selten sind, war geboren 1540 zo Fontenay-le*Comte
(Vend^) and starb 1603 so Paris. Herr M. F. Ritter, Ing^
niear ao Corps imperial des Ponts et Chauss^es, hat bei seinem
Aufenthalte in Fon ten ay in sehr verdienstlicher Weise es unter-
nommen, die Schriften Vieta's zu übersetzen, und Herr Bon-
compagni hat mit seiner bekannten grossen Liberalität sogleich
die Hand zur Veruffentlichung dieser verdienstlichen Uebersetzun«
gen in seinem trefflichen ,, Bullettino" geboten. Die vorlie-
gende Uebersetzung von „Francisci Vietae in artem ana-
lyticam Isogoge", einer kleinen, aus 9 Blättern bestehenden
seltenen Schrift ist nach der 1591 zu Tours bei Jamet Met-
tayer erschienenen Original- Ausgabe derselben gemacht und hier
mit vielen lehrreichen, zum Theil von Herrn B. Boncompagni
herrObrenden Anmerkungen begleitet.)
Tomol. Agosto 186S Premiere s^ie de Notes sur fa
Logistique spöcieuse par Pran^ois Viete. Traduit par M. F. Rit«
ter. (Auch dieser Uebersetzung der Schrift: „Ad Logisticem
speciosam Notae priores" sind sehr viele besonders lehr-
reiche Anmerkungen beigegeben, auch von Herrn B. Boncom*
pagni selbst. Herr Ritter sagt pag. 245.: „Ce livre renferme
les formules le plus habitu^llement employöes par Vi^te dans ses
ouvrages et Ton y trouve notamment les d^veloppements de sinmx
et cosfiM? en fonction de »\nx et de coso^, qui ne sont pas autre
chose que les formules dites de Mol vre, du nom de leur second
*) Im Literar. Ber. St. CLXXXXIV. S. 15 Z. ft nraee et 3!r. CLXXXXIII.
S. 6 ttatt Nr. CLXXXUI. S. 6 heUteo.
6 Ulerarischer Berickt CLXXXXVL
inventeur." — ,,De tous les ouvrages de Vi^te^ c*e8t le plus
difficile, noii k coinprendre« mala ä rendre en fran^ais, en raison
de la prolixit^ des ^noncös et de la nomenclature incornniode des
puissances. Poar en rendre la lecture nioins fastidiease j*ai mis
en note les principales formules trouv^es par Fauteur, exprim^es
au moyen des notatioos modernes.'' — >^Le coniplement do livre
„Notae priores" Intitulö ,»Ad Logisticem speciosani Notae
posteriores" ^tait döjä perdu du temps des Elsevier etc.")
Tomol. Settembre 1868. Intorno alia vita ed agli scritti
di Wolfgang e Giovanni Bolyai di Boljra, matematici ungheresi.
Nota del Dott. Angelo Korti. p. 277. — CompUinents de Iv^-
mtftrie fondös sur la Perspective formant suite ä tous les Trait^
de G^om^trie ^lömentaire. Par M. Poudra. Paris. Librairie
niilitaire» maritime et polytecboique. ]868. 8^. Extrait par Taa-
teu^ — Catalogue des travaux de Mr. Noei Germinal Pou-
dra. (Ein reiches Verseichniss der in Deutschland im Ganzen
wenig bekannten Schriften des vorzOglich durch seine Heraus-
gabe der Schriften von Desargues hochverdienten Herrn Poadra.)
Tomo I. Ottobre 1868. Maniere de compter des anciens
avec les doigts des mains, d'apr^s un petit po^nie in^dit arabe
de Cbems-Eddin et Mossouli, et le Tratado de mathe-
maticas de Juan Perez de Moya, imprim^ k Alcala de Qe-
nares, en 1573. Par M. Aristide Marre. p. 309. — Sulla
Epistola di Pietro Peregrino de Maricoort» e sopra aicuni trovati
e teorie magnetiche del secolo XHI. Memoria seconda del P. D.
Timoteo Bertelli Barnabita. (Conti nuazione.). p. 319.
Intorno ad una formola del Leibniz. Nota del Prof.
Placido Tardy, Rettore della^ universitä di Genova.
Estratto dal Bullettino di Bibliografia e di Storia delle
scienze matematiche e fisiche. Tomo I. Giagno 1866.
Roma. Tipografia delle scienze matematiche e fisiche.
Via Lata No. 211 A. 1868. 4«.
Diese in mehreren Beziehungen , sowohl in historischer Rück-
sicht, als auch durch verschiedene analytische Entwickelungen
sehr lesenswerthe und zu beachtende Abhandlung betrifft die ge-
wuhnllch nach Job. Bernoulli (m. s. z. B. Principiorum cal-
culi differentialis et integralis expositio elementaris,
auctore S. THuilier. Tubingae. 1796. 4». Caput IV.
De Serie Bernoulliana.) benannte Reihe:
/
Uier arischer Bericht CLXXXXVL 7
wie sie hier in ihrer arsprfinglichen Form ausgedrückt worden ist,
und ist von uns schon im Lite rar. 6 er. Nr. CLXXXXIV. S. 15.
kurz angezeigt worden.^ Die von Herrn Tardy — nebst verschie-
denen« schon oben bemerkten, wohl za beachtenden analytischen
Entwickelungen — gegebene sehr lehrreiche Geschichte dieser
Reihe ist von Herrn B. ßoncompagni noch mit einer sehr gros*
sen Menge der sorgfältigsten und gelehrtesten literarischen Noti*
zen begleitet worden. Wenn uns auch die Beschränktheit des
Raumes leider das Eingehen in weiteres Detail hier verbietet« so
benutzen wir doch sehr gern diese Gelegenheit« nachstehend
einige uns gütigst mitgetheHte, mit besonderem Danke von uns
entgegen genommene Bemerkungen zu dieser verdienstlichen Schrift
absichtlich ganz in derselben Fassung, in welcher sie uns mitge-
tbeilt worden, im Nachstehenden noch folgen zu lassen:
p. 7. lig. 6 — II. God^froi Guillaume Leibniz« dans un post-
scriptum k une lettre adress^ par lui au cöl^-
bre göom^tre Guillaume Fran^ols de TUdpital,
marquis de Sainte Mesme, datäe de „Hanovre
30. Sept. st. n. 1695 *'« a donnä pour la premidre
fois la formule suivante
(I) 3«^=8«.TaO|^ + ja«-»:r.a»y+^Y^a«-«a:.8«y
+ — — I a\ 8«-'<a:.9*y etc.
= a«a:.y + Y3«-»x.8y + ^y^a«-«ar.8ay etc.,
rapportäe avec d'autres lettres par Lacroix
(TRAIT^ II DU 11 CALCÜL DIFFERENTIEL ||
ET II DU CALCÜL INTJ^GRAL etc. TOME l«'.
II PARIS, etc. 1810. p.260« lig. 8), et a fait re-
marquer Tanalogie de cette formule avec la for-
mule Neivtonienne
p. 7. lig. 9. God^froi Guillaume Leibniz dans le post-
scriptum cit^ ci^dessus a Indiquä que la for-
8 Uterariicher Berieht CLXXXXVL
inule (1) est vraie pour e quelcoiiqae. Mr. Tardy
dans 8on möinoire intitulö Intorno ad aoa
forroola del Leibois (p. 11^ lig. 12—22; p. 12)
d^montre cette formule pour le cas d'on iodice
fractionnaire.
p. 7. lig. 10. Godefroi Gaillaume Leibnii dans le mtoe
post-acriptam a remarquö que >^8l e sil qoan-
Utas negativa =—n coDvertetar 8« in /**% c'est-
ä-dire qae si 0= — n od a
(^ J «y = y/ *-i%/ *
,-^±lW""._.H»±M5aa^/-.
{
p. 3. lig. 10. Godefroi Gaillaaroe Leiboiz a donoö la
p. 4. lig. 1—8. rorroole (1) et indiqo^ Tanalogie clt^e ci^deseos
des formules (1) et (2) daua un memoire intitnl^
,,G. G. L. II Symboliamna ineniorabilia'' etc., pa-
bli^ dana levolamo intitul^ «,MISCELLANEA||
BEROLINENSIA etc., BEROLIM etc.
MDCCX.«
p. 9. lig. 1 — 2. Lagrange, a l'&ge de 18 ans, a troav^ par
loi-m^me les forroulea (1) et (2), et remarqotf
Tanalogie citöe cl-desaua, aans aavoir que ce»
forroolea et cette analogie avaient M6 indiqo^
aot^rieuvenient par Leibniz. Lagrange a
enauite indiqu^ cette formule et cette analogie
dana an opuscule tr^a rare intitul^ „LETTERA ||
DIljLCIGl DE LA GRANGE TO0RNIER||
TORINESE II ALL* ILLUSTRISSIHO
SIGNOR CONTEIJGIULIO CARLO DA
FAGNANO etc., IN TORINO, MDCCLIV etc."
Cinq exemplalres de cette edition aont indiqu^
p. 9. lig. 33—39. dans les lignes 23 — 33 de la page 9 de la note
citäe cl-dessus de M. Tardy. Cet opuscule a
ötö reimprim^ dans le volume intitulö „STORIA
LETTER AR! A || DlTALlA, etc. VOLUME X,
etc. MODENA, MDCCLVU, etc.<<
Mechanik.
Lebens de M^canique analytlque. Par M. TAbba
Uterariicher Bericht CLXXXXVI. 9
Moigoo, redig^e« principalement d'apr^s les ni^tho-
des d'Augastin Cauchy, et ^tendus aux travauz les
plaar^eeots. Statique. Paris, Gauthier- Villars. 1868. 8^.
Id dieaeni Buche hat Herr Moigno die verachiedeneD Ar-
beiten Cauchy'a üher Statik, welche sich id mehreren, jetzt
gro8(stentheils sehr schwer zu erhaltenden Sammelwerken, nament-
lich den bekannten verschiedenen ,,Exercices" zerstreut finden,
zusammengestellt und so viel als mOglich zu einem systematischen
Ganzen vereinigt, wodurch er allerdings eine sehr dankenswerthe
und wichtige Arbeit geliefert hat. Er hat sich dabei aber nicht
bloss auf die Arbeiten Cauchy's beschränkt, sondern damit sehr
viele wichtige Arbeiten anderer Mathematiker vereinigt, wodurch
natürlich der Werth des Buches nur erhübet worden ist. Auch
vieles mehr der Geometrie Angehörige hat er aufgenommen, in-
sofern dies in der Statik Anwendung findet. Hierdurch ist es
denn aber gekommen , dass das ganze Werk eben auch mehr den
Eindruck einer Sammlung verschiedener wichtiger Arbeiten, als
:«ioes in ganz streng systematischer Folge fortschreitenden, das
f&r das GebSude der Statik unmittelbar Nothwendige liefernden und
in dieser Beziehung die Wissenschaft erschöpfenden, in sich abge-
iBeblossenen Lehrbuchs macht, und — so zu sagen — nicht als aus
einem Gusse gearbeitet erscheint; ja Herr Moigno scheint die
ganze Arbeit selbst mit verschiedenen Unterbrechungen zu verschie-
denen Zeiten angefertigt zu haben. Dadurch wird aber die Wichtigkeit
und Verdienstlichkeit des Werkes — aus dem oben deutlich genug
hervorgehobenen Gesichtspunkte betrachtet — keineswegs geschmä-
lert, es enthält ungemein vieles sehr Schöne, und Niemand, der ein
ausföhrliches und weiter als gewöhnlich gehendes Studium der Statik
2U machen beabsichtigt, wird dieses Werk fernerhin entbehren
können, so wie dasselbe denn auch namentlich für die sogenannte
mathematische Physik von nicht geringer Bedeutung ist. Die
folgende Angabe des Hauptinhalts der einzelnen Vorlesungen —
bei welcher wir uns aber haben grösster Kürze befleissigen müs-
sen — wird das vorhergehende Urtheil gewiss bestätigen : I. Döfi-
nitions. K^sultante de deux ou plusieurs forces appliquöes ä un
point matäriel. II. Propriötös absolues et relatives des compo-
santes et de la r^sultante de plusieurs forces appliquöes a un
point mat^riel. Projections. Moments Unfaires. Relations entre
les rooments Unfaires de la rösultaote et des composantes. III. De-
termination de la r^sultante d'un nombre quelconque de forces
appliqu^es au m4me point. De son intensitö, de la direction du
sens dans lequel eile agit. IV. ^quations d'^quilibre d*an Systeme
de points liös invariablement entre euz et sollicitös par des forces
10 Uterariscäer fiericAi CLXXXXVI
quelconqaes* — V. Conditions d*^ailibre d'un Systeme iovariable
qaelconqae. VI. Coroposition et conditions d*^qailibre d'un «yst^me
de forces paralleles. VII. Corps pesaot oa souniis k Taction de
la pesanteur. Vtll. Centres de gravitä. IX. Des i^randears coe-
xlstantes et des rapports difförentiels (besondere, Cauchy eigen-
thamlicbe Theorie). X. Conditions d'^qailibre d'un Systeme de
forees agissant sur an corps ou ensemble de points liös invaria-
blement entre eux, avec des Intensit^s et dans d^ directioiis
toujoars les ni4mes, quelle qae soit la position occupöe par les
Corps. (Astatischer Znstand der Systeme.). ' XI. Conditions d'^ui-
libre d*un Systeme de forces appliqa^es k des points liös entre
enx par des lignes inflexibles niais mobiles, on flexibles mais io-
extensibles. XII. Recherches des ^quations g^n^rales d'^ulübre
d'un Systeme de points matöriels assujettis k des liaisons quel-
conques et sollicit^s par des forces aussi quelconques. (Princip
der virtuellen Geschivindigkeiten.). XIII. Application des ^quations
g^nörales d'^uilibre sous leurs formes primitives, ind^pendam-
ment de la considöration des vitesses virtoelles. XIV. Do chan*
gement de coordonn^es dans les question de ro^canique. XV. Mo«
ments^ d*inertie d'un Systeme de points. XVI. Moments d'inertie
et rayons de gyration. XVII. Theorie de l'attraction universelle,
proportionnelle aux masses et en raison inverse du carr^ des
distances. XVIII. Attraction des sphöroides. XIX. Theorie gön#-
rale du potentiel (sehr ansnihrlich). XX. Application du potentiel
k r^tablissement des lois des ph^nom^nes du magnetisme ter*
restre. XXI. Theorie gön^rale de Tölasticit^. XXII. Pression«
et dilatations dans les corps ^lastiques.
Die graphische Statik von K. Culroann, Professor
der Ingenleurwissenschaft am eidgenossischen Poly-
technikum in Zfirich. Mit 235 in den Text gedruckten
Holzschnitten und 36 Tafeln. Zürich. Meyer & Zeller. ^.
Wir müssen gestehen, dass wir durch den Titel dieses erst
jetzt zu unserer genauen Renntniss gelangten, mit besonderer
Erwartung von uns in die Hand genommenen , — (beiläufig gesagt
sehr theuren , der Preis ist 6 Thir. 20 Sgr.) — Buchs und durch
dessen Inhalt in mehrfacher Beziehung getauscht worden sind, wobei
wir jedoch auch dessen Verdienstlichkeit in gewisser Rficksicht
keineswegs in Abrede stellen wollen und selbst von mehreren
Partieen mit Interesse nähere Kenntniss genommen haben. Wir
glaubten eine — mit ausgedehnter Benutzung and Verwendung
der Lehren der sogenannten neueren Geometrie, welche wir freu-
digst begrOsst liabea wdrden — mögUchst rein geometrisch gebal-
Uieraritcher Bericht CLXXXXVL 11
tene wissenschaftliche, streng systematische Darstel-
lung und — auf dem genannten Wege — neue Begrün-
dung der Lehren der gesammten Statik su finden, wosu
der Titel und anderweitige su unserer Kenntniss gelangten Ur-
theile wohl berechtigen durften *), Dagegen können wir — auch
bei dem besten Willen — in dem ersten und zweiten Abschnitte,
die wohl vorzugsweise als der theoretische Theil des Buchs be-
zeichnet werden dürfen, nicht viel mehr finden, als geometrische
Constructionen verschiedener statischer Probleme, z. B. Schwer-
punkts-Bestimmungen,. Bestimmungen von Trägheitsmomenten
u. s. w., wie man dieselben in den verschiedenen statischen Lehr-
büchern und in einzelnen Abhandlungen schon in sehr grosser
Anzahl, und zwar nicht selten in durch grossere Einfachheit und
Leichtigkeit vor den hier gegebenen sich auszeichnender Form,
antrifft, bei denen allerdings einige Lehren der sogenannten
neueren Geometrie hin und wieder Anwendung gefunden haben,
die jedoch meistens nicht viel mehr als die Kenntniss der filteren
Geometrie erfordern und die zugleich algebraische Rechnungen
vielfach in Anspruch nehmen. So wenig wir — wenn auch manche
nioht uninteressante Construction — ffir uns absolut Neues nur
wenig angetroffen haben, kann von einer rein geometrischen,
streng wissenschaftlichen, systematisch geordneten Darstellung
der Lehren der Statik gar keine Rede sein. Indem Alles mehr
sich In Einzelnheiten verliert, die aber, wie schon bemerkt, bin
und wieder nicht ohne Interesse sind. Nach dieser Ausffihmng
glauben wir uns, der Beschränktheit unsers Raumes wegen, einer
aosffibrlicberen Angabe des Inhalts der beiden ersten Abschnitte
füglich enthalten au kennen.
Die übrigen, bei Weitem den grOssten Theil des Buchs ein-
nehmenden Abschnitte sind mehr praktischer Natur, und hier
glauben wir allerdings, dass dem Praktiker mehrfach durch ge-
dgnete, für die von ihm zu erreichenden Zwecke hinreichende
Genauigkeit gewfihrende Constructionen unter »die Arme gegriffen
wird, weshalb wir diesen Theil auch allen Praktikern recht sehr
zur Beachtung empfehlen. Der Hauptinhalt dieser Abschnitte vom
dritten bis achten ist folgender: Der Balken. — Der continuir-
liche Balken. — Das Fachwerk. — Der Bogen (GewOlbtheorie).
<— Der Werth der Constructionen. — Theorie der Putterroauern. —
Für die Leser, denen das Archiv vorzugsweise gewidmet ist,
werden diese Anführungen hinreichen.
*) Ancb io der Vorrede betont der Herr Verfsüer ganz beeondert
die soigedehote Aowendang Torsageweiee der Geometrie der Lage.
12 UierariscAer Berichi CLXXXXVI.
Astronomie, Geographie und Nautik.
Trait^ des Projections des cartes g^ographiqoes,
repr^sentation plane de la Sphäre et do spböroTde, par
A. Germain, ancien ^löve de l'^cole polytechnique,
ingönieur hydrographe de la marine, membre de la
soci^tö de g^ographie. — 1. Partie. Theorie des pro-
jections. II. Partie. Cnnstruetion et usage des prin-
cipales projections. Accompagnöes de ]4 planches
graväes. Ouvrage approav^ par S. Exe. M. le Ministre
de la Marine et des Colonies. Paris. Arthur Bertrand,
äditear. 21 rue Hautefeollle. 8^.
Dieses neueste Werk Gber die Theorie der verschiedenen
Kartenprojectionen ist bis auf die Arbeiten der jGngsteo Z^t
fortgeführt, und muss allen denen, welche sich eine genaue, mathe-
matisch und theoretisch gehurig begründete Kenntniss dieser
wichtigen Theorie und ihrer praktischen Anwendung verschalen
wollen, gegenwärtig vorsugsweise zur Beachtung empfohlen wer-
den, wobei wir es als einen besonderen Vorzug erkennen, daisa
der Herr Verfasser die oft schwierigen und tiefere Kenntnisse
der Analysis und der höheren Geometrie erfordernden matheiat-
tischen Theorieen möglichst zu vereinfachen und den BedfirfniMw
der Praxis näher zu führen gesucht hat, wenn auch dabei hin und wie-
der etwas von analytischer Eleganz und Allgemeinheit verloren geso-
gen sein mag. Die Arbeiten von Lambert und Gauss haben
eingehende Beachtung gefunden, und wenn wir sagen, das« aos-
serdem alle sonst noch zur Anwendung gekommenen Prbjections*
arten bebandelt worden sind, wird ein näheres Eingehen auf den
Inhalt hier nicht weiter erforderlich sein.
Eine Jahreszahl ist auf dem Titel nicht angegeben ; das Buch
scheint in der That schon vor ein Paar Jahren erschienen zu
sein, ist aber erst jetzt zu unserer genauen Kenntniss gelangt;
— nachdem wir dieselbe mit Interesse von dem mehrfach ver»
dienstlichen Werke genommen hatten, glaubten wir dasselbe aocb
jetzt noch hier nicht ohne unsere Empfehlung lassen zu dfirfeo.
Physik.
Jahresbericht aber die KDnigsstädtische Real-
LUerariscker Bericht CLXXXXVl, 13
schale — (au Berlin) — vom 25sten September 1868.
Berlin 1868. 4».
Dieses seinem Zivecke in vorzüglicher Weise entsprechende
Schulprogramm enthfilt in dem wissenschaftlichen Theile unter
dem Titel „Das Stereoskop *' eine möglichst allgemein ver-
ständlich gehaltene Darstellung und Erklärung der stereosko-
pischen Erscheinungen mit ausfOhrlicher, sehr sorgfältiger und
genauer Beschreibung der betreffenden Instrumente , von Herrn
Oberlehrer H. Martus, so dass wir in der That allen denen,
welche sich Ober diesen merkwürdigen und wichtigen Gegenstand
in angenehmer Weise belehren wollen^ In der That ein besseres
Hfiirsmittel nicht empfehlen können. In einer Einleitung liefert
der Herr Verfasser eine sorgfältige Geschichte der Erfindung und
Vervollkommnunfi; des Stereoskops, mit besonderer Würdigung der
Verdienste von Wheatstone, ßrewster, Mbs^er, Talbot,
Ni^pce de St Victor, Duboscq, wobei natürlich auch — wie
schon die vorstehenden Namen zeigen — die Fortschritte der
Photographie nicht unberücksichtigt bleiben konnten. Hierauf
folgt: I. Der Bau des Auges. — II. Grundgesetze aus
der Lehre vom Lichte. — III. Lauf der Lichtstrahlen
im Innern des Augapfels. — IV. Das stereoskopische
Sehen. — V, Beschreibung der Stereoskope. — VI. Er-
gebnisse. — Drei sehr sorgfältig gezeichnete Figurentafeln
sind der besseren Veranschaulichung sehr forderlich.
Möge dieser verdienstlichen Schulschrift die verdiente Be-
achtung in reichstem Maasse zu Theil werden.
Jahrbücher der k. k. Central-Anstalt für Meteoro-
logie und Erdmagnetismus. Von Carl Jellnek und Carl
Fritsch, DIrector und Vice-Director der k. k. Central«
Anstalt für Meteorologie und Erdmagnetismus. Neue
Folge, III. Band. Jahrg. 1866. Der ganzen Reihe XI. Band.
Mit einer lithographirten Tafel. Wien. Druck der k. k.
Hof- und Staatsdruckerei. 4^.
Wenn unausgesetzte regelmässige Veröffentlichung solcher
Beobachtungen, genaue Reduction und übersichtliche Zusammen*
Stellung derselben, um mit möglichster Leichtigkeit Resultate
daraus sieben zu können, überhaupt jedwede den neueren Anfor-
derungen der Wissenschaft gerecht werdende Berücksichtigung,
dergleichen Publlcationen einen vorzüglichen Werth verleihen : so
gebührt diesen Jahrbüchern der k. k. Centralanstalt fiSr Meteoro-
logie und Erdmagnetismus jedenfalls eine der ersten Stellen, und
14 Uterarischer Bericht CLXXXXVL
der Dank der Wissensebaft fGr den ihr ans denseiben erwacb-
aendeo angemein grossen Nutzen Icann und irird nicht ausbleiben.
Aas unseren froheren Anzeigen des I. und II. Bandes der oeoeii
Folge im Literar. Ber. Nr. CLXXXVI. S. 10. und Nr. CLXXXIX.
S. 10. ist die auch in dem vorliegenden, treflflich ausgestattete!
HL Bande ziemlich unverändert beibehaltene Einrichtung im AQ-
gemeinen bekannt, so dass darüber hier nichts weiter zu sagen
ist. Dass aber das Interesse för Meteorologie nicht abgenommen,
sondern vielmehr gewachsen ist, geht schon daraus hervor, dass
die Zahl der Stationen von 128 anf 141 gestiegen ist und sich
immer mehr Ober den ganzen Kaiserstaat ausbreitet ; den grGssteo
Antheil an diesem Zuwachs hat Ungarn, woselbst neun neue
Stationen Verbindungen mit der k. k. Centralanstalt anknSpftea,
während nur zwei Stationen ihre Thätigkeit einstellten. Rflckstcht*
lieh des besonderen Inhalts — ausser den regelmässig mitge-
theilten Beobachtungen — bemerken wir nur, dass der zweite
Abschnitt u. A. die Constanten, welche zur ZurQckftibning eines
auf irgend einer Stunden -Combination beruhenden Temperatur-
Mittels auf ein 24st(lndiges erforderlich sind, ferner neue nor-
male Monatmittel der Temperatur ffir 92 Stationen in Oestef-
reich , sämrotlich auf 24standige Mittel zurückgeführt und für deo
18jährigen Zeitraum 1848—1865 geltend, enthält; — der vierte
Abschnitt enthält normale Tagesmittel fiSr Luftdruck osi
Temperatur för dieselbe 18jährige Periode, eben so normtie
Monatmittel des Luftdrucks, welche der Berechnung der Ta;»
mittel zur Grundlage dienten; — unter den 26 Stationen, wekbi»
die Witternngs-Aenderungen Ober dem Gebiete der osterreicb»-
scben Monarchie durch die Abweichungen des Luftdrucks md
der Temperatur veranschaulichen sollen, erscheinen aucli Miii*
eben und Rustschuk, wozu die Herren Director v. Lamost
und Consul v. Martyrt das erforderliche Material mittbeilten; —
der sechste Abschnitt enthält eine sehr scbätzenswertlie Arbeit
des Herrn Director Karlinsky in Krakan aber die dortigen
Temperatur-Verbältnisse nach 40}ährigen Beobachtungea ; — aus-
ser den beiden Herren Directoren gebührt auch den Herreo Kuhn,
Steinwender, Gumpoltsberger und den Hilfsarbeitern bei
der k. k. Central -Anstalt besonderer Dank.
Wichtig für die Meteorologie Oesterreiehs sied aadi die
folgenden :
Resultate aus den im Jahre 1867 auf der Sternwarte
zo KremsroOnster angestellten meteorolegiscIieB Be-
UierarUeher BerUhi CLXXXXVL 15
obachtaDgen. Von Dr. Augostin Resibaber, Abt QDd
Dtrector dar Sternwarte. Lioz 1868.
irelche eine äusserst lehrreiche and Interessante ZasamroeDstel-
lang der Resultate aus den Beobachtungen der genannten wich-
tigen speciellen Beobachtungsstation liefern, durch deren regel-
mässige Publication (m. vergl. z. B. Literar. Bericht Nr. CLXXVIII.
S. 16.) Herr Abt Reslhuber sich ein besonderes Verdienst er-
wirbt. Fflr solche kürzere, die Bedörfnisse des gemeinen Lebens,
das Wetter, die Vegetation, u. s. w. mit Umsicht und grosser
Sachkenntniss berücksichtigende Zusammenstellungen kann die vor-
liegende als Moster dienen und ist Liebhabern besonder« zu
empfehlen.
Vermischte Schriften.
Giornale di Matematiche ad uso degli studenti delle
universitä italiane, pubblicato per cura del Professore
G. Battaglini. Napoli. (8. Literar. Bericht Nr. CLXXXXV.
S. 15.)
Novembre e Dicembre 1868. Sülle perturbaiioni plane-
tarie. Monograßa per Remigio del Grosso. (Vedi Vol. Vi.
pag. 152.). p. 324. — Sulla separazione delle radici delle equa-
zioni numeriche; per A. Zinna, p. 344. — (Jn teorema su* De-
terminanti; per C. Sardi. p. 357. — Euclide come testo di Geo-
metria elementare; per J. M. Wilson. Versione dall' inglese di
RR. p. 36L — Parole del prof. Hirst sull' introduzione agii
Eiementi di Geometrie del prof. Wright. Versione dali' inglese
di R. R. p. 369. — Dimostrazione di nn teorema di Geometria
elenieotare; per V. Jannt. p. 371. — Bibliograßa. p. 372. —
Solle progressioni a due e a tre differenze; per N. Jadanza.
p. 375. — Programm! di Concorso. p. 380.
Genua io e Febbraio 1869. Nova esposizione della teoria
generale delle curve di 2^. ordine in coordinate trilineari; per
E. d'OvIdio. p. l. — Sülle progressioni a due e a tre diffe-
renze; per N. Jadanza. p. 17. — Teoremi di aritmetica; per
C. Sardi. p. 24. — Decomposiziooe di un* equazione di 4^. grado
fra due variabili in due fattori raziouali di 2^. ; per V. J a n n i. p. 28.
— Art. Bibliog. Teorica generale delle funzioni di Tariabili com-
plesse del prof. F. Casorati; per E. Beltranii. p. 29. — Sülle
equasioni trascendenti ; per A. Vecchio. p. 42. — Sülle pro-
16 Uierarischer Bericht CLXXXXVl.
poniooi e progressioni ; per A. Vecchio. p. 43. — Corri«po&-
deDza. p. 50. — Intorno ai sistami di rette di 2^. grado; per
G. Battaglini. p. 55.
Annaii di Materoatica para ed applicata, diretti da
F. Brioschi e L. Cremona. (Presse iJ R. Istituto Tec-
nico superiore di Milane) in continuazione degli An-
nali gia pubblicati In Roma dal prof. Tortolini. 4^*. (8.
Literar. Ber. Nr. CLXXXXV. S. 16.)
Serie IK Tomo IR Fascicolo 3^. (Dlcerobre 1808.)
Jordan: Mi^moire sur les groupes de mouvenients (continoa-
zione). p. 177. — Genocchi: Intorno ad an teorema die Caa-
chy. p. 216. — Cayley: Addition ä la Note sur quelques torses
sextiques. p. 219. — Reye: Sopra le curve gobbe di qoart*
ordine e prima specie (continuazione e (ine). - p. 222. — Roberts:
Sar Texpression la plas simple de certaines fonctions des dii^
rences des racines d'une ^quation du cinqui^me degr^. p. 224.
— Beltrami: Teoria fondamentale degli spazii di curvatara
costante. p. 232. — Genocchi: Intorno ad alcane forme di
numeri primi. p. 256.
Sitzungsberichte der Kunigl. Bayerischen Akade-
mie der Wissenschaften in Mfinchen. Vergi. Literar.
Ber. Nr. CLXXXXV. S. 14.
1868. II. Heft ill. V. Stein heil: Beitrag zur Geodäsie.
S. 465. (Enthält ein sehr lesenswerthes Referat über eine Mess-
Stange in Gestalt eines auf der Eisenbahn rollenden Rades —
also über einen Wegmesser oder auch Basisniesser — wnd Ver^
suche eher die von dem Apparat gewährte Genauigkeit. Wir
halten den Apparat fSr sehr wichtig und machen unsere Leser
auf den sehr beachtenswerthen Aufsatz aufmerksam.)
1868. II. Heft IV. v. Steinhell: Vergleichung der Lei-
stung des BesseTschen Längencomparators mit der des Fdbl-
spiegel - Comparators von St ein heil. S. 494. (Auch dieser Auf-
satz ist sehr beachtenswertb und lehrreich.)
1869. I. Heft I. enthält keine in den Kreis des Archivs
gehörende Aufsätze.
Bemerkung.
Eine Menge Anzeigen wichtiger Schriften haben der Gnia-
Unglichkeit des Raumes wegen leider fOr das folgende Heft lo-
rfickgestellt werden mflssen, in welchem sie aber bestimmt er*
scheinen werden. G.
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