Archiv der Mathematik und Physik

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m

Archiv

der

Mathematik und Physik

mit besonderer Rücksicht

auf die Bedärfoisse der Lehrer an höheren

Unterrichtsanstalten.

Herausgegeben
Ton

JTohoMn AuguMt Qrunertr

Prtfcttsr n SrdbwaML

Vi9«igpter JKhejL :

Mit drei lithographuten Tafeln.

Oreifturald.

C. A* Koch*s VerlagsbachhandluDg,

Tb. Konike.

186a

16246?

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Inhaltsyerzeichniss des vierzigsten Theik.

\r. der
Abhandlaiig.

IV,

V

VII.

X.

Arithmetik.

Heft. Seite

111. lalegrution der Differentialgleichung

Von Herrn Profet«or Simon Spitzer an der
Handelsakademie in Wien I.

Integration der Oilferenzengleichang

+-r«-2/'(.r+rii-2r) + ....+^i/(x+r)

in welcher JT«, ,^n— l» A'fi.2,...., A'i, Xq ganzealge*
brauche Functionen von X sindf und r eine
ganze positive Zahl bezeichnet.- Von Herrn
Professor SimonSpitzeran der Handelsaka-
demie in Wien I

Ueber die Anwendung der Formeln der sphä-'
rischen Trigonometrie auf die elliptischen Func-
tionen. Von Herrn Doctor Otto Boklen zn

Salz a. N. in Wärtemberg 1

Zar Integration linearer Differentialgleichun-
gen; die Riccati*sche Gleichung. Von Hern?
Profestor Engen Lommel in Schwyz . . .
Demonstration du th^or^me önonc^ aa tom. 39.
p. t20. de ce jonrnal. Par Monsieur R. Lo-
batto, Professeur de matheraatiqaes k TAca-
d^mie 4 Delft IL

1*

21

25

2T

101

163

11

Nr. der
Abhandlung. Hefe Seite.

/dx
}

for den Fall, dass p-{-qz=^n tat, unter n eine
ganze positive Zahl, welche grösser aU 1 ist,
nnd unter a nnd ß zwei von einander Terschie-
dene Zahlen verstanden. Von Herrn Simon
Spitzer, Professor an der Handelsakademie
in Wien II. 168

XIIL Nute über lirkeare Differentialgleichungen. Von
Herrn Simon Spitzer, Professor an der Han-
delsakademie in Vitien 11. 212

W\. Die Methoden von Tschirnhaus nnd Jerrard
zur Transformation der Gleichungen. Von dem

Herausgeber 11. 214

W. Note über Differentialgleichungen der Form

in welchen m nnd a constante Zahlen sind und
n ganz und positiv ist. Von Herrn Simon
Spitzer, Professor an der HandeUakademie

in Wien ^ . 11. 232

U^l. Zinsen oder Zinseszinsen ? Von Herrn Professor

Dr. Wittstein in Hannover II. 240

XVII. Bemerkung zu dem vorstehenden Aufsatze des
Herrn Professor Dr. Wittstein* Von Herrn
Dr. L. Oettiiiger, Grosshorzoglich Badischem
Hofratho und ordentlichem Professor der Ma-
thematik an der Universität zu Freiburg i. B. II. 243
XVIll. Die allgemeine Cardanischc Formel. Von dem

Herausgeber II. 246

XXll. Ueber bestimmte Integrale. . (Fortsetzung von ' .
Theil XXXIX. Nr. XXX.) Von Hrn. Dr. L. Oet-
tinger, Grossherzoglich Badischem Hofrathe
nnd ordentlichem Professor der Mathematik an
der Universität zu Frei bürg i. B lU. 355

XXIU. Allgemeine Auflösung der Gleichungen des vier-
ten Grades, nebst einigen Bemerkungen über
die Gleichungen de« fünften Grades. Von dem
Heraasgeber ^ ^ III« 394

III

Sr, der
AVlwndlooic. Heft. Seite.

XX%. Ueber bestimmte Integrale. (PorteetsuDg von

Tbl. XL. Nr. XXII.) Von Herrn Dr. L. Oet-

tinger^ Grossherzoglich Badischem Hofratbe

imd ordentlichem Profeetor der Mathematilc an

der UaiTersität xa Freiburg i. B IV. 474

Geometrie.

11. Zur Polyedrometrie. (Ein Kachtrag za einem
früheren Aufsätze Theil XXXVIIL Nr. XXIX.).
Von Herrn Job. Karl Becker in Zürich. I. 12

VI. Die allgemeinsten Gleichungen und Eigenschaf-
ten der kürzesten Linien auf den Flächen, be-
sonders insofern dieselben die Grundlage der
spharoidischen Trigonometrie bilden» Von dem
Herausgeber I. 93

Vlil. Ueber die zwischen den Seiten eines in den
Kreis beschriebenen regulären Fünfecks, Sechs-
ecks und Zehnecks Statt findende Relation.
Von dem Herausgeber 1. 127

VIH. Ueber den Beweis der drei Brüder für den
Ausdruck djfts Flächeninhalts des Dreiecks durch
die drei Seiten. (Mit Rücksicht auf ein Schrei-
ben Ton Herrn Dr. Paul Escher in VITion
an den Heransgeber). Von dem Herausgeber 1. 194
IX. Sur la forroation et la d^composition des equa-
tions ezprimant Ics cdt^s et les diagonales det
poljgones rögoliers. Par Monsieur Bujs Bal-
let, Professenr k Utrecht II. 1S9

"Xll. Essai d'une ezposition rationnelle des principes
fondamentaoz de la G^om^trie ^lömentaire.
Par Monsieur J. Hoüel, Professeur de Ma-
th^natiqnes pures 4 la Facultö des Sciences
de Bordeaux / II. 17I

X\I. Ueber die Normalschnitte des allgemeinen drei-
Azigen Ellipsoids mit besonderer Beziehung auf
höhere Geodäsie, namentlich auch über neue
merkwürdige Aufdrücke der grössten und klein-

IV

Nr. der
Abhandlung. Heft. Seite.

•ten Krümmungshalboiester und einen neuen

geometrisch merkwürdigen und für Geodäsie

wichtigen Satz Ton diesen Krümmungshaibmes-

sern. Von dem Uerauvgeber' . 111. 259

XXVI. Ueber die Berechnung des sphärischen Vierecks
im Kreise ans seinen Seiten. Von Herrn Pro-
fessor Dr. Knmbly in Breslau IV. 440

XXVI I. Ueber einige Eigenschaften solcher Tetraeder,
deren sechs Kanten eine Kug^l berühren. (Tan-
genten • Tetraeder). Von Herrn Dr. Gustav

Jnnghann in Gotha IV. 447

XXVIII. Ein geometrischer Satz. Von Herrn Gyranasial-

Oberlehror W. Fischer in Kempen . . . ^ IV. 460

XXXI. Geometrischer Lehrsatz. Von Herrn G. H a u s -
mann, Assistenten der Gewerbeschule in Er-
langen IV. 516

Mechanik.

I. Ueber eine Anwendung der imaginären Grössen
in der Mechanik. Von Herrn Professor Dr.
H. Dur^ge in Zürich 1,

Nautik.

XIX. Herleitung einiger Formeln zur Berechnung der

wahren Distanz zwischen Sonne und Mond. Von

Herrn Dr. Ligowski, Lehrer an der verei*

nigten Artillerie- und Ingenieur-Schule und am

. See -Cadetten- Institut in Berlin IL 250

Physik.

XXV. Neue Bestimmnngsweise des durch kleine Oeff-
nungen gebeugten Lichtes. Von Herrn E. Ba-

caloglo in Bncarest IV. 496

XXIX. Chemie nnd Geschichte der Himmelskörper
nach der Spectral -Analyse, Vortrag gehalten

Nr. der
>%blia]idIong.

Heft. Seite.

in der feierlichen Silxang der Kaiserlichen Aka-
demie der Witsensch. zu W ien am 30. Mai 1862
von Herrn Dr. A. Freiberrn t. Baumgartner IV.

463

Geschichte der Mathematik und Physik.

XXIV. Rede von den Verdientten der «chwedischen Ge-
lehrten nm die Mathematik und Physik. Zur
Fejer des hohen Gebnrtsfestes des allerdnrch-
laachtigsten Königs und Herrn Gustav IV.
Adolphs, im grossen Hörsaale der Universi-
tät Greifswald gehalten von J. F. Droysen,
der W. W. Doctor und Adj. der philos. Facnl-
tat, den 1. November 1799. Mitgetheilt durch
den Herausgeber IV.

XXXI. Wichtige historische Mittheilung. Von Herrn

Dr. Lindman in Strengnäs in Schweden IV.
XXXI. Ueber Loonhard Enler. Aus der Correspon-
dance mathömatique et physique de quelques
c^l^bres G^om^tres du Wlll^mo siede par
P. H. Fnss. Von dem Herausgeber ... IV.

399

515

61T

Uebungsaufgaben für Schüler.

XX. Geometrische Uebungsaufgaben von Herrn Dr.

O. Böklen in Sulz a. N. in Wnrtemberg . II.

26r

Literarische Berichte *).

CLVII I.

avin. u.

cux ML

CLX IV.

1
1
1
I

*} Jede einzelne Nummer der LiterarUchen Berichte ist für sieh be-

> •

• •

> • •

Ueber eine Anwendung der imaginären Grossen in

der Mechanik.

Von

Herrn Dr. H, Dur^ge,

Professor am eidgenössischen Poljtechnikain in Zürich.

■

■

r

t

i

Der geometrischen Interpretation der imaginären GrOssen ist
bekanntlich eine mechanische Deutung, wenigstens in einem spe-
ctelleo Falle, vorhergegangen. Fresnel war es, der schon im
Jahre 1823 die Gesetze der totalen Reflexion dadurch entdeckte,
dass er die bei derselben auftretende complexe Schwingnngs-
amplitude In einer solchen Weise interpretirte, dass dadurch eine
Cebefeinstimmung mit den Beobachtungen erzielt wurde. Diese
mechanische Anwendung der imaginären Grossen steht aber ver-
einzelt da, und es liegt nahe, sich die Frage zu stellen, ob Fres-
set'« Erklärungs weise ils eine Folge der jet^^t allgemein angenom-
«Kften geometrischen Deutung zu betrachten Ist, oder ob dieselbe
^ «ine davon verschiedene angesehen werden muss. Es soll
nuo m Folgenden untersucht werden, welche Folgerungen sich
AUS der Bestimmung der Lage eines t'unktes mittelst complexer
Grosaeo für die Bewegung eines Punktes ziehen lassen; dann
^vird sieh aber ergeben, dass einer complexen Scbwingungsampli-
tiide eine ganz andere Bedeutung beizulegen ist, als die von
Fr es De I angenommene, und dass daher die Erklärungswelse
des Jetztereo als eine von jener Deutung verschiedene betrachtet
verdeo muss-

Die Principien der Anwendung der Imaginären Grossen auf die

Theü XL. 1

a. ... . : ., O.^repe:^ Vefer eit}e ^ Hfipendung
•-' .- * ••/*:* * ' *•■* r ••*.** '* ^ •

' Afechkäik: ' sind' /'zwkr * schW frr der Atlhandlung von Sieb eck
,,Ueber die graphische Darstellung imaginärer Fanc*
tionen" (Crelle's Journ. Bd. 55.) angedeutet worden, es wird
aber vielleicht nicht überflüssig sein, sie hier noch einmal in be-
stimmter Weise hervorzuheben.

Die Bewegung eines Punktes in der Ebene ist vol^tändig
bestimmt 5 sobald die rechtwinkligen Coordinaten desselben als
Functionen der Zeit ausgedruckt sind; bezeichnen aber x und y
diese Coordinaten, so wird durch den coroplexen Ausdruck

t = x^iy

die Lage des Punktes angegeben, welche zweien zusammenge*
hörigen, zu derselben Zeit stattfindenden Werthen von x und y
entspricht. Sind daher die letzteren Functionen der Zeit,so kann
für jeden Augenblick der Werth von % , also auch die Lage des
Punktes angegeben werden. Wenn daher z aU complexe Function
der Zeit ausgedrückt ist, so wird dadurch die Bewegung in der
Ebene vollständig dargestellt. Die Zeit ist eine veränderliche
Grösse y welche ihrer Natur nach nur reelle Werthe annehmen
kann, da sich mit einem imaginären Zeitmomente wohl kaum eine
klare Vorstellung verbinden lässt. Bezeichnet man nun die Zeit
mit tf und mit a, 6, c u. s.w. reelle oder complexe Constanten,
so lässt sich jeder Ausdruck von der Form

(1) 2=:f{Ua,b, c, ....)

hnmer auf die Form

t=ix + iy

bringen, in welcher x und y reelle Functionen von t bedeuten.
So lange nun die Constanten a, 6, c, u. s. w. reelle W^erthe ha-
ben, wird immer ^ = 0, und die Gleichung (l) stellt dann eine in
der a?-Axe vor sich gehende geradlinige Bewegung dar. Gestat-
tet man aber den Constanten, complexe Werthe anzunehmen, so
kann durch die Gleichung (1), also durch eine complexe Func-
tion einer reellen Veränderlichen, jede beliebige Bewe-
gung in der Ebene dargestellt werden.

Das Differential dz stellt eine unendlich kleine, auch der
Richtung nach bestimmte Aenderung des Ortes des beweglichen

Punktes dar. Durch den Differentialquotienten -r., als dem Grenz*

werthe des Verhältnisses zwischen einer Zeitänderung und der
ihr entsprechenden Ortsveränderung, wird daher die Geschwin-

der imaginären GröMsen in der Mechanik. 3

d%keit io jedem Augenblicke, und iwar nach GrOsae und Rieh»
toDg zugleich angegeben. Da auch

dt ^ , .d^

df^Ti^^H

18t, Bo folgt zugleich, daas die Geachwindigkeit In jedem Punkte
der Bahn die Richtung der Tangente besitzt. Die Geachwindig-
kdt, welche mit v bezeichnet werden muge, Ist Im Allgemeinen
auch eine Function von t Bildet man wieder den Differential-

Quotienten -^« so Ist dieser der Grenzwerth des Verhältnisses

zwiachen einer Zeitänderung und der ihr entsprechenden Aende-
rung der Geschwindigkeit, und giebt folglieh die in jede« Augen-
Uicke stattfindende Beschleunigung ebenfalls nach GrOsse und
Ricbtoiig zugleich an. Nimmt man, wie in der Folge immer ge*
aefaehMi soll, die Masse des beweglichen Punktes gleich Eins

ao, so wird durch -j, oder ^ auch die in jedem Augenblicke
wirksame Kraft nach GrOsse und Richtung dargestellt.

Bei der Anwendung dieser Grundsätze hat man den Vorlheü»
dass man in allen Fällen^ in welchen die Kraft als eine Function
▼OD i oder z dargestellt werden kann, es nur mit einer einzigen
Diferentialgleichung zu thun hat, während sonst eine Bewegung
in der Ebene erst durch zwei Differentialgleichungen bestimmt ist.

Einige Beispiele mögen das Gesagte erläutern:

Es wirke gar keine Kraft auf den beweglichen Punkt.
Dann ist die Differentialgleichung der Bewegung:

vad nan erhält folglich durch Integration:

^ = 6, z = tt + 6/;

wom a und 6 zwei im Allgemeinen als complex anzusehende
wi/fkiiHiche Constanten bezeichnen. Ihre Bedeutung ergiebt sich
leicht; Dämlich a giebt den Ort des Punktes zur Zeit <sO, und
b die constante Geschwindigkeit nach Grosse und Richtung an.
Die Bewegung Ist daher gleichförmig und geradlinig; sind näm-
Hell A «nd B (Tat 1. Fig. 1.) die durch die complezen Werthe
von a und b g^ebenen Punkte, und O der ?Qullpunkt, so bewegt
och der Punkt in einer durch A gehenden, mit OB parallelen

1*

/
/

4 Durige^ Veber eine Anwendung

Creradeo so, dass in jeder Zeiteinheit eine Strecke gleich OB
durchlaafen wird.

Es wirlce eine nach Richtung und GrOsse constante
Kraft. Bezeichnet die complexe GrOsse c diese Kraft, so hat man

and folglich

<ffx_

^ = 6 + c<, z^a + bi^\cifi\

wenn a und 6 wiederum zwei willkürliche complexe Constanten
bezeichnen, deren Bedeutung sich leicht dahin ergiebt, dass a
den Ort des Ausgangspunktes und b die Anfangsgeschwindigkeit
nach Grosse und Richtung bedeutet. Durch die letzte Gleichung
wird, wie auf verschiedene Weise gezeigt werden kann, die
Wurf- Parabel dargestellt. Man kann auch durch eine Coor-
dinaten Verwandlung das Resultat sogleich in seiner einfachsten
Gestalt erhalten. Zunächst verlegen wir den Nullpunkt In den
Punkt A (Taf. I. Fig. 2.), indem wir z fSr z— a schreiben; da-
durch geht die Gleichung über in

z=6< + ic<«. *

Alsdann drehe man die:r-Axe so, dass sie mit der Richtung der
Kraft c zusammenfUlt; setzt man

wo g und C reell sind, so geschieht dies durch Multiplication
mit 0^'^, wodurch man

oder, wenn man

setzt,

z'=zb't + igfi

erhält; und dann haben z' und b' die nämliche Bedeutung in Be-
ziehung auf die neue :r-Axe, wie z und b auf die alte. Hierauf
kann man den Anfang der Zeit so .verlegen, dass die Anfangsge*
schwindigkeit senkrecht auf der neuen :r-Axe steht, also rein
imaginär wird. Setzt man

6'=/J + i/J',

der imeffindren Gröuen in der Mechanih. 5

80 hat man

und eneicfat daher das Gewünschte, wenn man die Fon einem
anderes Anfang gezählte Zeit i' so einführt» dass

9

ist; dadurch wird

dz'

5P = 0'+j«'.

und dann

/ = -^(i^+i|J') + <<»'<' +4S'«'*-

Setst man nan endlich noch

so kommt

ond derNnllpuDkt ist dann so verlegt, dass für ^=0 auch x'^sO
ist. Demoach ist nun

und folglich

^ 9

Die Bahn des beweglichen Punktes ist also eine Parabel, deren

Axe der Kraft parallel läuft, und die ihren Scheitel 'S (Taf.l.

Flg. 2.) im neuen Nullpunkte bat. Die Lage des letzteren in Be-

aehuog auf den Punkt A und die mit der Krafrichtung zusam-

nenlallende or-Axe ist durch die complexe Grosse

-^(W + t^O

gegeben; er liegt daher stets auf der Geraden AH, wenn ^ den
Halbirungspunkt der von B auf die ^-Axe gefällten Senkrechten

bezeichnet, und so, dass immer AS=z — ^.AH ist. Um für ver-

9

scfaiedene Zeiten die entsprechenden Punkte der Bahn leicht con-
strairen zu können , schreibe man die ursprängliche Gleichung :

/

/

6 Dur^ge: üeöer eine Anwendung

zieht mao dann aus B 6ine Parallele mit der^Kraft ^C and macht

BBi"^^ Bi B^ = B^B^ =....=: ^AC,

so sind Bt B^ B^f a. s. w. die Punkte, durch welche b' +igt
für ^ = 0, 1, 2, U.S.W, dargestellt wird. Zieht man ferner die
Geraden ABi, AB^, AB^, u. s. w. und macht auf denselben

A2^=z2.AB^, Az^zzzS.AB^, Az^=i.AB^, n. a.vv.,

so sind A, i?|, 2,2, Zs, Z4» u. s. w. die Orte des beweglichen Punk-
tes für 2 = 0, 1> 2, 3, 4, u. s. w.

Es wirke auf einen beweglichen Punkt eine Kraft»
welche zwar der GrOsse nach constant sei, aber ihre
Richtung dergestalt ändere, dass sie sich mit constan-
ter Geschwindigkeit drehe. Um etwas Bestimmtes zu ha-
ben, sei angenommen, dass die Kraft im Anfange der Bewegung
senkrecht auf der a:-Axe stehe und sich mit der coostanten Win-
kelgeschwindigkeit V) in negativem ;Sinne herumdrehe. Alsdann
ist, wenn ihre absolute Grosse mit p bezeichnet wird, Ihr Aus.
druck :

ip(coa tot — t sin tot) ;

ferner sei angenommen, dass der Punkt seine Bewegung aus dem
Nullpunkte und zwar ohne Anfangsgeschwindigkeit beginne. Man
hat nun

T^ = t|9(cos u>i — »sin wt) ,

und erhfilt demnach

dz ip , p

ji = -=- (sin u>t + i cos wi) + — t
dt u> ' w

ip ip

z = -^(— cosict + £sinirO+ «5

wenn man der obigen Annahme gemäss die wiilkärlicheu Con-

dz
stauten so bestimmt, dass für <=0 sowohl z als auch jtä ^®''

schwindet.' Hiernach wird

p p

x=:-^(wt — 8inwt)f y =: -^(1 — costui)-

Die Bahn des beweglichen Punktes ist also in diesem Falle eine

der imaginären Grössen in der Mechanik 7

Cyclo! de; der Radio« r des mit der WWelgeechwindfgkeit no
rolleodeo Kreises =-^; die ÜTraft p^zrto^ ist daher nichts an-

deres, als die durch das Rollen des Kreises im erseageDden
Puaicte erregte Centrifugalkraft.

Wir können nun, um zur Deutung einer coroplexen Schwin-
gQDgs-Amplitiide zu gelangen, in gleicher Weise auch die Schwing
gvogsgleichoDg behandeln. Wird ein beweglicher Punkt von dem
/esten Nnilponkte der EntfernuDg proportional angezogen, und
bezeichnet man die im Punkte £ins stattfindende Kraft mit — A:*
iro also k reell angenommen wird, so hat man

d!H

Das voUstindige Integral dieser Gleichung Ist:

(2) tzsiAeoBki + ßninkt

mit den willkflrllchen Constanten A und B. Diese Gleichung stellt
im Allgemeinen eine Ellipse dar. Setzt man nfimlich, um dies
m «eben:

A^gawg, B^^gcoBg;

80 erhält man:

(3) x=zQ8\n(g + U),

Dnd kann dann zunächst, indem man die X'Axe in die Richtung
▼OD Q dreht, die Grosse p reell machen.. Ist ferner:

^ = y+ty,

also

•0 Terlege man den Anfauig der Zeit, indem man

einrührt; dann ist

z = Q8\D(ktf +iy')

= pcos ty' sin kÜ + ip — r^ cosiM' ;

vnd da non

8 Durege: Oeber eine Anwendung

«y + e-y' sin tV eff — e-y'
co8iy'=: s — » — r- = ^ —

beide reell sind, so folgt:

j7 = pco8t/8inAf^ y = p^^

-„^iüi/eos*«'

und

(pcost/)* ■ Sin 1/ ^

t • •

sin tv'
also eine Ellipse mit den Halbazen qcosv/ and p — — , von

denen die erstere mit der Richtung von p zusammen föllt. Der
bewegliche Punkt befindet sich in den Scheiteln dieser Halbaxen

TT

ZU den Zeiten ^ = öa ^°^ =0, und da alsdann die Geschwindig-

sin ty
keiten die Werthe ^iqk — -— und Qkcosiy' annehmen, so siebt

V

man» dass in diesen Punkten die Geschwindigkeit senkrecht auf
der Halbaxe steht und der anderen Halbaxe proportionai ist

Die elliptische Bewegung geht In eine kreisförmige über, wenn

• • /

cos ly' = db ~—

ist; nun war aber

• • .'

A = p(sin y cos ty' + 1 cos y — r^) >

. . sin ty

B = p(cos y cos t*/ — t sin y — r^)

man erhält also für den Fall kreisförmiger Schwingungen:

A := p(sin y jt. < cos y) cos t'/ ,

B = p(cos y T » 8'n y)cos iy' ;
das beisst

Die Gleichung (2) verwandelt sich alsdann in:

% = ^(cos kt ^ t sin ^Q ,

und stellt wirklich einen Kreis dar, weil A durch eine blosse
Drehung der or-Axe reell gemacht werden kann. Nimmt man q
complex ^r+ir', g aber als reell an, so hat man nach (3):

der imoffinären Grössen in der Mechanik. 9

i = (r+tr')8in(^ + Ä<).

aod daher

-=^;

die Sduringangeo sind also dann geradlinig und gehen in der
Richtnsg von ^ vor sich.

Hiernach kann man nun übersehen, was eine Schwingung^*
fleicbnog bedeutet, wenn in ihr entweder die Phase oder die
Amplitude iroaginftr wird. So lange nämlich die Phase reell Ist,
bat man stets geradlinige Schwingungen; das Imaginirwerden der
Amplitude bedeutet nur, dass die Schwingungsrichtung nicht mehr
mit der :r-Axe zusammenfallt, während bei elliptischen Schwin-
gungen die Phase imaginär sein muss. Dies «timrot nun mit
FresneTs Interpretation nicht fiberein, da bei ihm das Imagi-
Därwerden der Amplitude eine Veränderung der Phase bedingt.

Was die Zusammensetzung mehrerer Schwingungen anbelangt,
80 findet man aus unseren Betrachtungen leicht die bekannten
Gesetze wieder. Haben zwei geradlinige Schwingungen dieselbe
Phase, so setzen sie sich wieder zu geradlinigen, in der Richtung
der Diagonale vor sich gebenden Schwingungen zusammen. Ge-
radlinige Schwingungen von verschiedenen Phasen aber geben
eUiptische Schwingungen, weil, wenn die Gleichung auf die Form
(3) gebracht wird, alsdann die Phase imaginär wird.

Wir schliessen hieran noch die Betrachtung des Falles, dass
die Grosse k imaginär ist Sei

^=cH-tV=p(cosg>-|-tsin9>);

dann ist die Kraft nicht mehr nach dem festen Nullpunkte ge-
richtet, sondern bildet, wie man leicht sieht, mit dem Radius-
Vector des beweglichen Punktes den Winkel %p. Man hat hier,
wie vorhin, die Gleichung

z:^ Aco%kt + BeXnkty^

die auf die Form

gebracht, und worin q durch Drehung der j;-Axe reell gemacht
vrerden kann. Fflhrt man dann

, ^ = y + ly' und ^ =^ c + tc'

10 Durege: üeöer eine Anwendung

ein, so erhält man

Hier werde nan wieder der Anfaog der Zeit verlegt, indem

gesetzt wird; ffibrt man ausserdem zur Abkürzung

c &
ein, so kommt:

(4) % = psin[c{« + «') + tc'<'].

Demnach ergiebt sich:

sin MJ *
ar = ^sinc(d-|- ^)cosic'^, y=:^cosc(d-f H) ;

Diese Gleichungen zeigen, dass die Bewegung jetzt n icht mehr in
einer geschlossenen Curve vor sich gebt, sondern dass die Bahn
sich spiralartig um den Nullpunkt berumwindet. Taf. I. Fig* 3-
giebt ein Stück dieser Bahn an, welche den Annahmen p = l>
9>=:10o^ p = l» ci^=^\n entspricht.

Da die Gleichung (4) sich auch in der Form

schreiben lässt, und danri, auf die Form %=l Aco^kÜ •{- BBinkf
gebracht, den GrOssen A und B reelle Werthe zuertheilt, so geht
hervor, dass man in dem Falle eines imaginären k durch eine
Drehung der :r-Axe und eine Verlegung des Zeit- Anfangs die
Gr5ssen A und B immer reell machen kann. Da dann ferner A
den Anfangsort und kB die Anfangsgeschwindigkeit bedeutet, bo
ist damit der Zeitanfang und der ihm entsprechende Anfangsort
so gewählt, dass die Anfangsgeschwindigkeit den Winkel zwischen
dem Radius- Vector des Anfangsortes und der Kraftrichjtung balbirt.
In Tat 1. Fig. 3. ist durch AK die Kraft und durch AG die Ge-
schwindigkeit angedeutet, welche in dem Punkte A, welcher der
Zeit ^ = 0 entspricht, stattfinden.

Die hier besprochene Art, die Bahn eines beweglichen Punk-
tes durch eine complexe Function der Zeit auszudrücken, lässt
auch eine einfache Anwendung auf die relative Bewegung in
der Ebene zu. Werden nämlich durch die Gleichungen

der imaffindren Gröfsen in der }feckanik. 11

die Bewegaogeo zweier Punlcte ausgedrOckt» so braucht man zur

BestomoDg der relativen Bewegung des einen Punktee gegen

den anderen nor in jedem Augenblicke die Lage des einen gegen

den anderen« diesen als fest gedacht» zu kennen. Die Lage des

Ponktes z^ gegen den Punkt Z| wird aber durch die Differenz i%—ii

aofgedrfickt; setzt man daher diese =2, so wird durch die Glei-

ehuig

die scheinbare Bahn ausgedrückt, in welcher die Bahn des Punk-
tes t% dem ruhend gedachten Punkte Z| erscheint. Hat man
s. B. zwei in concentrischen Kreisen von den Radien r| und r«
mit verschiedenen aber constanten Winkelgeschwindigkeiten ti?|
and w^ sich bewegende Punkte, und nimmt man etwa an, dass
xn Anfang der Bewegung beide sich auf der jr-Axe befinden,
so werden ihre Bahnen durch die Gleichungen

2i = ri(cos fCit + iBintOif), z^zz, rs(cos w^t •{- i sin to^t)

gegeben. Die scheinbare Bahn des zweiten Punktes gegen den
ersten ist daher:

< ^ {r^costr^t — Vi costOiQ -f-tXr^cos to^t — Vi Binwit) ,

and ans dieser Gleichung kSnnen alle Eigenthfimlichkeiten dieser
Bewegung mit Leichtigkeit abgeleitet werden.

12 Becker: Zur Fotpedrametrie.

. Zar Polyedrometrie«

(Ein Nachtrag zo eiaem firtiheren Aufsätze, Theil XXXVIII. Nr. XXIX.)

Von

Herrn Joh. Karl Becker

in Zürich.

Kurz nach der Veruffentlicbung meines Aufsatzes über Po-
lyeder (Tbeil XXXVIll. Nummer XXIX.) kam mir der ebeo er-
schienene zweite Band von Dr. Riebard Baltzer's „Ele-
menten der Mathematik*' zu Gesiebte, ein Bucb> das schon
seiner gründlichen Quellenangabe wegen Jedem empfohlen zu
werden verdient, der tiefer in die mathematischen Wissenschaf-
ten eindringen will. Die ausfSbrlicbe Behandlung der Polye-
der in diesem Werke veranlasste mich, dieses Kapitel ebenfalls
noch einmal vorzunehmen. So ist der vorliegende Nachtrag ent*
standen. Auch zu einer Berichtigung sehe ich mich durch das
genannte Werk veranlasst. Der Satz, dass Tetraeder, Hexaeder,
Octaeder, Dodecaeder und Ikosaeder die einzigen Polyeder mit
gleichvieleckigen Flächen und gleichvielseitigen Ecken seien, ist
nicht von Steiner, sondern von Gergonne aufgestellt und Im
Zusammenbang mit einer Reibe anderer Sätze dualistisch ent-
wickelt worden. Die betreffende Abhandlung findet sich im XV.
Bande von Gergonne's Annalen und ist auch von Steiner im
ersten Bande des Cr eile 'sehen Journals S. 366 neben anderen
Arbeiten über die Consequenzen des Eul er 'sehen Satzes er
wähnt worden.

Becker: Zur Foipedrametrie, ' U

1.

Hai eio einfach durchbrochenes Polyeder f Gräos-
i&cheo, nfimlieh /^ Dreiecke, /« Vierecke u. s. w., e Ecken, näm-
Udi e| dreiseitige, e^ Fierseitige a. s. w. nnd t Kanten, so ist:

e + f^k,

2Azs3e9 + 4e^ + 6e^+...,
Hieraus folgt leicht:

l26=:A+2/; + 3/; + ....

2
Sind alle Ecken a-seitig, also e = ea, so ist ihre Anzahl — 5./;

deoo die erste der Gleichungen II. heisst dann:

2f=:(a-2)e.

Siod alle Flächen 6-eckig, also f=fb9 so hat man aus der zweiten
der obigen Gleichungen:

Sollen zugleich alle Ecken abseitig und alle Fl&chen 6-eckig sein,
80 ergibt sich aus ^

die GMchong

oder:

(a-2)(6-2) = 4.

abz=^a + b).

woraus sich leicht dieselben Resultate finden bissen, welche ich
io meiner vorigen Abhandlung mitgetheilt habe.

Aus den Gleichungen II. entsteht durch Addition:
Hieraus folgt:

14 Becker: Zur Foipedromeirie.

Ein eiofach durcbbrochenesPolyeder ohne drei-
seitige Flächen und dreiseitige Ecken hat nur
vierseitige Flächen und viersei^tige Ecken.

Ist 6 = 6«, sind also alle Eckert a-seitig, so folgt aas II., weil

dann e= ö«/ist:

IV. 4/-=(a--2)(A + 2A + 3A+.-..).

I

Da mithin a — 2^4» also a^ösein mass, so hat man denSats:

Es ist kein einfach durchbrochenes Polyeder mSg*
lieh, dessen sänimtliche Ecken gleichvielseitig und
mehr als sechsseitg wären. /

Hätte ein einfach durchbrochenes Polyeder ausser a-seitigen

Ecken auch noch solche mit mehr als a Seiten, so wäre offen-

2/
bar e< — ^, also auch:
^a — 2

oder:

4/^>(a-2)(/i + 2/4+3/i+....).

Mao hat mithin allgemeiner:

Es ist kein einfach durchbrochenes Polyeder
m5glich mit nur solchen Ecken, die entweder
alle mehr als sechs Seiten, oder theils sechs,
theils mehr als sechs Selten haben.

Aus IV. folgt ferner:

Sind alle Ecken sechsseitig, so sind alle Fli-
ehen dreiseitig.

Sind alle Ecken fQofseitig, so Ist die Anzahl der dreiseitigen
Gränzflächen mindestens das Doppelte der übrigen, nämlich:

A=2/; + 6/i+8/e + ....

Sind alle Ecken vierseitig, so sind entweder alle Flächen
Vierecke, oder die Zahl der Flächen mit mehr als vier Selten ist
höchstens gleich der mit weniger als vier Seiten, nämlich:

Sind alle Ecken dreiseitig, so sind entweder alle Flächen

Becker: Zur FoipedrameMe. lö

sechsseitig, oder es finden sich sowohl FiSchen mit mehr, als
solche mit weniger als sechs Seiten, nämlich:

3/i+2/4+A=/r + 2/a + ....

Sind alle FIfichen b-Ecke, also f=fb, so erhält main aus II.
die GleichQDg:

V. 4e = (6— 2)(e, + 2^4 +3^5 + ....) >

vBd wenn alle Flächen b öder mehr als b Seiten haben, so
hit man:

4c>(Ä—2)(e,+2e4 + 3e5 + ....).
Daraus folgt aber: '

Es ist kein einfach durchbrochenes Polyeder
muglichy dessen sämmtlicbe Flächen mehr als
sechsseitig, odertheils sechsseitig, theilsmehr
als sechsseitig wären.

Aus V. folgt ferner:

Sind alle Flächen Sechsecke, so sind alle Ecken
dreiseitig.

Sind alle Flächen Ffinfecke, so ist die Anzahl der dreiseiti-
gen Ecken mindestens das Doppelte der Obrigen, nämlich:

Sind alle Flächen Vierecke, so sind entweder alle Ecken vier-
seitig, oder die Zahl der dreiseitigen ist mindestens ebenso gross,
^ die der mehr als vierseitigen, nämlich:

Sind aHe' Flächen Dreiecke, so sind entweder alle Ecken
iaehsseitig, oAei es Ist:

S^s +2^4 + ee = er + 2«^ + . . ..

Hat ein einfach durchbrochenes Polyeder e Ecken,
<leren jede von o n-Ecken, ß 6-Ecken, y c-Ecken, u. s. w. begränzt
ist, 80 das« also alle Ecken nicht bloss gleichvielseitig, sondern
«Hell auf gleiche Weise durch Polygone verschiedener Art su-
sanunengesetzt sind, wie diess bei den Archimedischen Polyedern
^ttFall ist, so bestehen für dasselbe folgende Gleichungen:

10 Becker:' Zur Polyedrometrie.

k=:e+f,

Hieraas folgt:

2a 2ß 2y

oder:

2 = «— —+p-jr-+y— - + ....

Dieser Ausdruclc lehrt, dass aaeb ftir die einfach dorchbrochenen
Polyeder der schon von Meyer Hirsch bewiesene Satz*) gilt,
dass nicht alle Ecken eines Polyeders von mehr als dreierlei
Polygonen eingeschlossen werden können.

Uro die Anzahl und Beschaffenheit der möglichen Polyeder
dieser Art zu bestimmen, bedarf man noch des folgenden schon
von Kepler**) bewiesenen and offenbar auch ffir die darcb<>
brochenen Polyeder gültigen Satzes:

Hl. 9, Wenn alle Ecken eines Polyeders auf gleiche Weise
von a a*eckigen, ß 6-ecki^en und y c-eckigen Flächen eingeschlos-
sen sind, und eine der Zahlen a, b^ c, z. B. a, ungerade ist, so
muss eine der Zahlen o — 1, ß, y mindestens 2 betragen.^**

Wenn man die von einerlei FlScben begränzten Polyeder
ausschliesst, so ergeben sich als' roOgliche Arten der Polyeder
von der vorausgesetzten Beschaffenheit:

1) Polyeder mit dreiseitigen Ecken, welche von einem a-Eck
und zwei 6- Ecken begränzt sind, wo b (nach Ul.) gerade sein muss.

FQr diese Polyeder hat man nach O. :

a ^ b

and die AuflSsongen:

*) Meyer Hirsch, Geoinetr. Aafg. II. S. 171.; vergl. such
Baltser, Elemente, II. S.211 nnd 212.

**) Kepler: Harwonice mundi, II. p. 17.; Meyer Hirsch,
Geometr. Aafg», II. S. 171.; Baltzer, Elemente, II. S.212.

Becker: Zur Pötpeär^meirie. 17

a=:3, Ä = ri,

a = 4, 6 = 8.

Ze e 2e

Polyed^ dieser Art laben e Ecken, o* Kanten» - a-eckige» -7-

6 -eckige Flächen, wo e unendlich viele verschiedene Wertbe ha-
ben hoB. Die ersteren lassen sich leicht aas den Polyedern mit
^»ckeekigeD FIftchen and dreiseitigen Ecken, die anderen aas den
P«(^eni mit vierseitigen Ecken and vierseitigen Fliehen ableiten

2) Polyeder mit drelseltigeD Ecken, welche von einem a*Eek,
eiDciii 6-Edc and einem c-Eck zusammengesetzt sind, wo a, b, c
gerade Zahlen sein roilssen.

^ + 6 + c = 2'

Man hat (II):

1.1.1

a

nnd die eiozige Auflösung :

a = 4, 6 = 6, . c = 12.

e e

Diese Polyeder haben e Ecken, 5 Fliehen, worunter j Vier-

e e 3^

ecke, g Sechsecke und 75 Zw5lfecke, und -^ Kanten, und lassen

acb leicht aus den Polyedern mit sechsseitigen Ecken and drei-
seitigen Fliehen ableiten.

3) Polyeder mit vierseitigen Ecken, deren jede von zwei
«•Ecken und zwei ft- Ecken begrinzt ist.

Man hat (II):

2 2 ,
a • 6

nd die einzige Anflosang:

a = 3, 6 = 6.

2e e

Diese Polyeder haben e Ecken, 2e Kanten, -^ dreiseitige, k

iecksseitige Fliehen, und lassen sich ebenfalls leicht aas den
Polyedern ableiten, welche nur sechsseitige Ecken haben.

4) Polyeder mit vierseitigen Ecken, welche von einem a-Eck,
zwei A-Edc^i und einem e*Eck begrinzt sind, wo 6 gerade sein

BOSS.

Man hat:

TkcU XL. 2

18 Becker: Zur Potffedrometrte.

und die einzige AaflSsiing:

a = 3, 6 = 4, c = 6.

e ' e ,

Diese Polyeder haben e EAeD, 2e Kanten, ^ dreiseitige, g v»«»^

^

bdtige, g »edißseitige Flächen, und lassen sich ebenfalls ans Po-
yedern mit nur sechsseitigen Ecken ableiten.

5) Polyeder mit funfseitigen Ecken, welche von 4 a-Ecken
und einem ft-Eck begränzt sind.

Man hat:

§+1 = 3.
a 0

nnd die einzige L58ung:

a ^3, 6 =5.

Die Healitfit solcher Polyeder sa constatiren, ist mir bis jetzt
noch nicht gelangen.

6) Polyeder mit funfseitigen Ecken, welche ?on 3 a- Ecken
und 2 ft- Ecken begränzt sind.

Man hat:

a 0
und die einzige Auflosung:

a = 3,< 6=r4.

Polyeder dieser Art, welche e Ecken, -^ Kanten, e dreiseitige

und zy vierseitige Flächen haben, lassen sich ohne Schwierigkeit

aus Polyedern mit nur sechsseitigen Ecken ableiten, wenn raCan
Hn jeder Ecke 2 Gränzdreiecke zu einem Viereck werden lässt.

Andere Polyeder von der vorausgesetzten Beschaffenheit sind
unter den einfach durchbrochenen nicht möglich.

Dem Sntze Hl. lässt sich der folgende, wie jener fär alle
Polyeder gültige Satz zur Seite stellen, der sich fast ebenso wie
jener beweisen lässt:

IV. Wenn alle Flächen eines Polyeders auf gleiche Weise

Becker: Zur Poipedrometrie. 19

fM a a-seitigen^ ß A-seitigeo, y c- seifigen Ecken umgeben sind,
nd eine der Zahlen a, b, c, i. B. a, ungerade ist, so nias9 eine
der Zahlen a — 1, ß, y niindec^ens zwei betragen.

Man bat ferner fOr Polyeder dieser Art ffir die GrSssen o,
6» c, a, /?, / dieselbe Relation II. *wie bei den vorher betrachte-
ten Polyedern, so aass jedem möglichen Polyeder, dessen sSmmt-
liebe Eeken von a a- Ecken , ß 6 -Ecken, y c- Ecken begrftnzt
nad, ein mOglicbes Polyeder entspricht, von dessen sSmmtlichen
Flidien jede a a-Ecken, ß /^- Ecken, y c-Ecken anliegt.

8.

Soll eio m-fach dorcbbroebenes Polyeder nur jr-seitige
oder mehr al« :r-seitige Ecken haben, so ist:

/•=*-.e+2(l-iii).

(l)

Nun ist

! =

^ 2A c xe.

and:

aUo:

mithin

2* ^ 9ff

V=3A—3« +«(1—111),

2A^3ife-3e+6(l — m).

0^*— 3e+6(l — m).

*i«. da * ^

2*

0=¥-3« + »(l-m),

od« eii4licb :

-

1 (8)

^ nm X ^7, so hätte man m ^ j^ •

12

Es Ist aber leicht einzusehen, dass diess nicht mOglich ist,
^«n zugleich In jedem Eckpunkte mindestens 7 FiSchen susam-

20 Becker: Zur Pölyedromeirie.

mentreffen sollen. Damit ist aber bewiesen, dass kein Po-
lyeder möglich ist» dessen sämmtliche Ecken sieben
oder mehr Seiten haben.

Ebenso lässt sich nachweisen» dass auch kein Polye-
der möglich ist» dessen Gränzfl&cben alle sieben oder
mehr Seiten haben.

4.

Herr Dr. Baltzer schliesst von den Polyedern» fSr welche
er den Euler 'sehen Satz als gültig annimmt, nur solche als
»»uneigentliche Polyeder^' aus» die entsteben» »»wenn man
Polyeder so zusammenstellt, dass weder eine FiSehe des einen
von einer Ecke des anderen» noch eine Ecke des einen von ehier
Ecke des anderen gedeckt wird/' Es ist mir zwar nicht gast
klar, was für Polyeder dazu gehören» oder nicht dazu gehören;
so viel scheint mir aber sicher» dass die von Herrn Dr. Baltser
selbst dazu gezählten Sterndodekaeder, von denen das eine von
zwölf Sternfflnfecken (oder hesser von fünf mal zwölf gleich*
Schenkligen Dreiecken) begränzt ist, die zwölf fflnfseitige Ecken
bilden, und das andere von zwölf gemeinen Fünfecken (oder ei-
gentlich auch von fünf mal zwölf Dreiecken), welche zwölf kör-
perliche Sternßlnfecke bilden» durchaus nicht unter jene Definition
passen wollen» obgleich sie allerdings» als Dodekaeder betrachtet,
dem Eul er 'sehen Satze nicht entsprechen» da sie» als Dodekae-
der betrachtet» 30 Kanten haben.

Nun gehören diese beiden Sterndodekaeder, welche nach
Herrn Dr. Baltzer nur „uneigentliche Polyeder" sein sollen
(was sie aber „eigentlich'' seien, darauf bleibt Herr Doctor
Baltzer die Antwort schuldig), aber auch in keine der Klassen
von Polyedern» welche^ ich in meiner letzten Abhandlung den
Eul er 'sehen gegenübergestellt habe. Es möchte daher scheinen,
als gehörten sie in eine ganz aparte, auch von mir übersehene
Klasse von Polyedern.

Bei meiner Untersuchung über die verschiedenen Arten von
Polyedern hatte ich jedoch, als sich von selbst verstehend, vor-
ausgesetzt» dass jede vollständig begränzte Ebene an einem Po-
lyeder als eine besondere Gränzfigur (Fläche) angesehen werde»
auch dann» wenn etwa mehrere derselben Theile einer und der-
selben Ebene sein und etwa ein sogenanntes Steropolygon bilden
sollten» und dass jede zweien Gränzfiguren gemeinschaftliche
Seite» weiche immer die Scheitel zweier Ecken verbindet, aia

Spiiter: integr. der Dif^erenüatgl. jy(»-)— |f(r-i)— jjMr«|f=o. 21

eise besondere Kante angesehen werde , auch dann» wenn etwa
mebrere solcher Kanten eine einzige Gerade bilden sollten.

Unter dieser Voraussetzung erweisen sich aber jene beiden
Sterndodekaeder nicht etwa als „uneigentlicbe Polyeder'^ son-
dern als ^^aneigentlicbe Dodekaeder'^ und »»eigentliche Pentakis-
dodekaeder" mit 60 dreiseitigen Flächen» welche bei dem einen
tt dreueitige und 12 zehnseitige» bei dem anderen 20 sechsseitige

und J2 fönbeitige Ecken bilden» so dass also dem Eni er 'sehen

Sabe Genüge geschieht.

leb bin ferner von der Auffassun|i( ausgegangen» dass ein
Polyeder ».ein von allen Seiten durch Ebenen begränzter Raum"
sei, und nicht etwa »»eine aus ebenen Polygonen zusammenge-
Mute Fläche." Diess halte ich für notbig zu erklären; denn
bei der letzteren Auffassung konnte man leicht auch von Polye-
dern reden» die sich selbst schneiden» wie man von Poly-
gonen, »»deren Perimeter sich selbst schneidet'^ eigentlich sagen
uHlsste» dass sie selbst sich schneiden; denn wo davon die
Rede \b\, versteht man unter dem Polygone und seinem Perimeter
eio ond dasselbe.

III.

Integration der Differentialgleichung

Xy{f)^y{T-\) ^ fnx^ = 0 (1)

Von

Herrn Simon Spitzer^

ProfeMor an der Handel« -Akademie in Wien.

Dif Integration der Gleichung (1)» in welcher r eine ganze
positive Zahl und m eine beliebige constante Zahl bedeutet» ist
»•kr leicht« Differenzirt man nämlich die Gleichung <l) einmal»
«0 erhält man:

22 Spit%er: Integration der Differentiaigieiekung

oder einfaeher:

yC^'+i) + iiu:y ' + 2my = 0. (2)

Die Gieicbuog (2) lässt sieb nach dar Laplace*schen Methode
integriren^ und man erhält mittelst derselben:

«»-+»

(3)

ue ^+1 ((^ e*i« + Cje*««« +.... + Cr+ie H-i**)^« ,

o

woselbst

winkfihrliche Constauten, and

die r -|- 1 Wurzeln der Gleichung

Ä»'+* =— m (4)

bedeuten. Damit aber das in (3) stehende y der Gleichung (i)
Grenfige leiste» muss zwischen den r-\-\ Constanten Q, C^ ... Cr^i
eine gewisse Relation bestehen, und die wollen wir nun aufsuchen.
Setzen wir zu dem Zwecke in (I) fär y den Werth:

y

0

so erhält man:

«H-i

=zSCI ue r+^du, (5)

sc/ e ^^^(k^a:u^^''k^^ur + muä:*)du-0, (6)

o
und diess soll identisch stattfinden. Nun ist:

/ mtiar^e*"" »•+* du= 1 ^~ e'^ ^^^ de'^
folglich hat man;

mied?*« r^^du^-^l -T-e H-»(l^t<^+i)dtt

xtffr)—g(T-i}-t-mx*t = o. aS

and die Glekfang <6) geht fibm- u :

Vomit^ der Gleichang (4) Ut aber

"=-1-

»d dnrcti dieas r«dudrt sich die Gleichuag (J) auf:

sc/*" e*"" H3-(Ar-iBr + y)dM-0. (8)

%n ist wieder:

((JgRcb hat man;

■nl die Gleicfanag (8) geht durch dieaa Ober in:

Knagge der Gleichnng (4) ist:

*'-> = -

**'

blglicli geht (9) «her in :

m=

0,

s «Dcfa SO geochrieben werden kann

d+^.+ -+^.=«- "")

24 Spitzer: iniegr, der Di/ferenüaiffL xp{r)'^p{r'-i)^mx*p:=o.

Es geoflgt also das in (3) stehende y der Gleiebnng (1), wenn
swischen den r-^l willkfibrlicben Constaoten Ci, C^»....»G+i
die in (10) aufgestellte Relation statt findet.

So ist z. B. das Integral der Gleichung:

ary^— /+m*«y = 0 (11)

von folgender Form:

ue »(CieM* + Cic*«»' + fie*.«*)rf«, (12)

0

woselbst kl, k^, k^ die drei Wurzeln der Gleichung

Ä:' = — fit

sind, und Ci, C^, C^ i^illkfibrliebe Constanten bedeuten, zwischen
denen bloss folgende Relation besteht:

die einfacher auch so geschrieben werden kann:

CiUi + C^+C^kn=zO.
Es Ifisst sich auch die Gleichung integriren:

xy" ^y' ^ Aofl^yi (13)

denn ffihrt man in selbe eine neue Variable | ein, mittelst der
Substitution '

so erhält man, da

*^- 4 " di^\ 1 )* d?

ist, folgende Gleichung:

(«+l)»a:«^+(m + l)(m-3)a; « ^ = Ja-,,

welche, wenn mann statt x seinen Werth In | einfiBhrt, die Ge-
stalt annimmt:

Spii%er: Jniegraiüm einer IHITerensten-GieUkmng. 25

welche GleichoDg nan leicht za iDtegriren ist*

Differeosirt mao die Gleldiiiiig (13), so kommt mao aaf die
Gkücbmig:

^ = Aüt^H:^' + my) , (14)

vekbe somit ebenfalls za den inte^rbaren gehOrt.

IV.

Integration der Differenzengleichung

Xmf{x-^m) + Jr«-i/l[ar+ni — r)+ J:»-9/l[a:+r» — 2r) + .... 1

.... + jri/(«+r) + AoA^) = 0, j ^'^

in welcher ^, -¥I,-.i, ^.i, ...•,-I^i, -1^^^ ganze al-
gebraische Functionen von x sind, und r eine ganze

positive Zahl bezeichnet.

Von

Herrn Simon Spitzer^

ProleMor on der Handel« - Akademie io Wien.

I ch habe Im 32steo Thelle des Archivs, Seite 334, eine neae
htegrations-Methode tat Differenzengleichangen mitgetheilt. Nach
dieser Methode ISsst sich aach die Gleichang (1) behandeln. Es
äset sich aber die Gleichang (1) aach einfacher integriren, and

/

26 Spitzer: IniegratHm einer DiferetiMen-GieickiMff.

zwar dadurch j daaa man statt x eine neue Variable £ elnftthrt,
mittelat der Sobstitotion

X = rj.

Beselchnet man daa Resultat dieser Snbstltotkm ki

respective mit

In» SM— 1» 9i— a» ••••» li » fiot

80 erhält man:

Setzt maD nun hierelo

/i[rÖ = F(|), .
80 erhält mao:

6.F(|+n) + 6-iF(5+n-l) + 4.,«iF(| + n^2)+.... '

.... + li^(l + l) + &>^l) = 0.

welche Glelcban^ elofacher als die vorgelegte Ist.

ßökien: Otker tUeAnwend, der Formein der epikdr. Trigan. eu* 27

V.

lieber die Anwendung der Formeln der sphärischen
Trigonometrie auf die elliptischen Functionen.

Von

*

Herrn Doctor Oiio ßökien

so Salz a. N. im Königreich Wärtemborg.

Wir bezeichneo mit q>, tf; und oo drei AmplitadeD, weiche der
GldchoDg für die Addition der elliptischen Integrale erster Art:

oder der elliptischen Integrale zweiter Art :

/ E(k, tp) +E(fi, if) = E(k, a) + k* sin ^sin 4^ sin o>

entsprechcDy so sind diese Amplitaden durch nachstehende Glei-
choDgen verbanden:

cos 9 == coswces^ + sin^sintf^VT—A^sinV»
cos i|; =^cos 0» cos 9 -f sin o sin 9 V^l — i^'sin *i|; ,

cos m := cos <p cos i(; — sin 9 sin^V^l^A*sin'o».

Wir führen nnn drei Hülfswinkel ein, <P, V, Sl, welche darcb
diese Werthe gegeben sind :

cos<P.= V^l — it*sin*9,
1) icos^'ir: Vi— it'sin^;,

cos Sl =— Vi— *««in»«;

28 Bohlen: üeber die Anwendung der FotmeUi

80 haben wir ffir die Amplituden 9» ^ and o> folgende Glei-
chungen :

icoB 9 =: 008 flo C08 tf; -{- ein 9 ein^ coe <P,
cos ^ = cos cj cos 9 \- sin o sin 9 cos ^^
cos flo = cos 9 cos tf; -l- ein 9 sin ^ cos A.

Man übersieht nun sogleich, dass» wenn q>» ^, cd die
Seiten eines sphärischen Dreiecks sind, die einge-
führten Hfilfswinkel <P, ^, Si die Winkel dieses sphft-
rischen Dreiecks sind; und swar liegen die Seiten ^,
tf;, o> der Reihe nach den Winkeln <P, ^, i$l gegenüber.

Aus 1) findet man:

Isin<P = Asin^,
sin^^s Asin^,
sin 52 = Ä;sino>;
also:

sin 9 : sin ^ : sin o =r sin <P : sin ^:sin SL.

Die Sinus der Amplitud^en verhalten sich wie die
Sinus der ihnen entsprechenden Hülfswinkel; was mit
dem Fundamentalsatz der sphärischen Trigonometrie überein-
stimmt: Die Sinus der Seiten verhalten sich wie die Sinus der
Gegenwinkel.

Wir führen nun cur Abkürzung folgende Bezrichnung ein:
so ist:

,-iö = i(sp+^— 0)); S— Ä = i(<P + 9'— Ä).

Ferner sei:

i V^sin t sin (i — 9) sin (i — tf;) sin (i — 09) ^ t,

( V -cosScos(S— <P)co8(S— «P)cos(S— Ä) = /;

(geometrisch betrachtet, ist 2t der Inhalt des Parallelepipeds, des-
sen Kanten die drei Kugelhalbmesser sind, welche nach den
Ecken unseres sphärischen Dreiecks gehen; 2J ist der Inhalt

der tpkärischen Tfi§onomHrie auf die eUipUMChen Functionen. 29

des Psrallelepiped« , dessen Kanten die drei Kugelbalbroesser
sind^ welche nach den Ecken seines Polardreiecks gehen); so
haben wir mit BenOtxang der Grundgleichungen der sphärischen
Trigonometrie folgende kleine Formeln - Sammlung» welche auf die
Amplituden der elliptischen Integrale und der von uns eingefilhr-
teo Bulfswinkel sich bezieht:

«)

cos

CO0

4/ sinfsin(f — 9>) . 4/^sin (<—-») sin (< — «).

' ^ sin ^ sin 09 ' ¥ sin^sino

T sin^siiK» ' ¥ sin9>sino>

cos

¥ sin^sinif; * ^ sin^ainif;

7)

COS

4rCOS(S-?0cO8(Ä-Ä) . , 4/ -C0SÄC08CÄ-<P)

"^ T sin «Fsin Ä - «^ Y sin ^sin Ä

,^ 4/"cos(Ä-<P)cos(Ä-Ä) . , 4r-cosScos(Ä-«P)

Vco8(«S~ <P)cos( S- y) aT -COS Scos(SSl)

8in<I>8in^ ' sini«-^Y ShT^^lülF

1«>

Der Modulus k ist durch folgende Gleichlingen gegeben:

8)

sin O sin ^ sinÄ

sin 9) "" sin ^ sin 0»

2i 8inj5sin9|smÄ_/.

"^ sin^sin^sino 37 "" £ *

9)
4Ji ^ sin 7 sin 1^810 m sin <P sin Vsin Sl ;

80 Bohlen: üeBer die Amtemhinff der Farmeim

2

10)

H)

12)

2

8io(«— -qp) =: TC08|<P8in|^8in|A,

2
8in(t — tf;) =T8ini<Pco8i^8inlil,

2

siD(t — (D) = T8iD4<I^8in4^co64*^;

cos <$ = — 2A8iD 49> S]n^i|i6rai40 y

C08(«$ — <P) = 2A:8iD^C08^C08^(D,
€08(5 — W) =: 2i^C08^8nii^C08^,

C08 (S — 51) = 2A C08 i9> cos ^ sin 4a> ;
cotgi9Cotgit(;cotgi« = -^^g'

Die Zahl solcher Formeln lässt sich mit Benützung der be*
kannten Gleichungen der sphärischen Trigonometrie noch sehr ver-
mehren.

Aus jeder Gleichung für das sphärische Dreieck läs^t sich
eine andere ableiten mit Hülfe des Polard reiecks» indem man Win-
kel und Seiten gegenseitig vertauscht und dafür die Supplemente
(Ergänzungen zu 180^) setzt. Hieraus schliesst man:

Jeder Gleichung zwischen den Amplituden q>, xff, m
der elliptischen Integrale und ihren Hfllfswlnkeln O,
W, Sl entspricht eine andere, indem man Amplituden
und Hülfswinkel gegenseitig vertauscht und dafflr die
Supplemente setzt. Also erhalten wir aus 2):

cos<P =^cos^cos.$2 -l-sin ^slnAcos^»,

13) \ co8^= — co8<PcosiA-|-8in<Psini$2co8^,

^ cos A = — cos <Pcos ^-f sin <Psin 9'' cos co.

Die dritte Hauptgleichung der sphärischen Trigonometrie lie-
fert uns folgende weiteren Formeln:

14)

äer tpäOrUekgm THponömeMe au/ä(e eUipti$chen fimettonem. 31

cotg^siD ^— coig <9iäiiA — cos^cos A as 0«
cotgV^sin^ — cotg^sin A — cos^cos AssO,
cotg9> sin 0» ~ cotg Osin ¥* — cos locos !F s: 0,
cotg 0» sin 9 — cotg A sin V — cos 9 cos !F = 0,
cotg 9) sin ^ — cotg ^''sin <P — cosoeos<P «sO»
cotg (D sin ^ — cotg Asin <Z> — cos «f; cos <I> = 0.

Hieran scbliessen sieb noch die Gauss 'sehen Gleichungen
und die Neper 'sehen Analogien:

cos — rt — cos — TT' COS — s — sin

2 .

16)

cos-Ä- ^®®5^ ^®*'5" '"""^

sin — rt — ^^^^^ — •*" — ö — **** — 5"^

cos-ä" cos -5 ^^^q" •*'*"5

cos — 5 — tg-7. — sin — jr— tg

2 "'" 2 T 2

16)

cos— 2— tg^ ••»— 2~ *»2

m_tl; 0 + 9 . flp — t^ ' <I>— 5»

cos— ^ tg — 2— «'**~2~ *^ — 2~

cos— 2— tg^^ «"»— ^— *g2^

Aus der Gleichung

sin9:sini^ = sin<Z>:sin W
folgt:

:i'

Um die Anwendung unserer Formeln zu zeigen» wollen wir
einige hierher bezögliche Aufgaben losen:

Es seien drei Amplituden gegeben, man soll den
zugebdrlgen Modulus k beritinmen.

32 Bohlen: üeber die Anwend. der förmein der epkdr, Trigan. eie.

Um diese Aufgabe zvt iBsen, klhiDte man eine det Amplitaden-
Gleichungen nehmen , z. B. die erste:

COS9 szcosocos^'f'Sin^sin^Vl — lfl8in*q)f

und aus derselben k durch die gegebenen Amplituden q}, ffß, a
bestimmen. Allein fdr logaritbmische Berechnung geeigneter ist
offenbar die Pormel 8):

sin 9 sin tf; sin 00'

Es ist der Hodulus k gegeben, eine Amplitude udd
die Summe oder Differenz der beiden anderen Ampli-
tuden. Man soll jede der letzteren bestimmen.

Wenn die Grossen k, a und (p-t-^ gegeben sind, so haben
wir nach 8):

sin A = ifcsino),
woraus sich Sl bestimmen Ifisst; nach 15) ist ferner:

£+^ . 9> + *

cos o — r = COS 75- • y COS 7% — = COS -TT • •

2 2 (0 2 2 , m

cos o sin -^

Hieraus findet man <Z> und W; und nach 8) ist:

sin 9 ^ T sin <Z> , siii^^Tsin^*

Man könnte auch aus s\nSl^=:ts\nm direct cos^^l bestimmen;
es ist nämlich:

,^ 4/"l + V"l-ife*sin««)
cos^A = \ s

Ist aber 9 — ^ gegeben statt ^p + ^f, so bringen wir nach 16)
diese Formeln in Anwendung:

CO» j sin ^

Grunert: DUai^emHm9t.Qieick,u.£^em$ckan,d,kür%.Unt$n€U.1^

VI.

Die aUgemeinsten Gleichungen und EigeuBcbaften der
kürzesten Linien auf den Flächen, besonders insofern
dieselben die Grundläge der sphäroidischen Trigono-
metrie bilden.

Von

dem Herausgeber.

$. 1.

Wir gehen voo der folgenden ganz einfachen geometrischen
Aofgabe aas, auf die wir den Beweis der Fandamental -Eigen-
schaft der kOrzesten Linie, welche dann anmittelbar zu den allge-
niehieii Gleichungen dieser Linie fiibrt, hauptsächlich gründen
werden :

Aufgabe.

Iro Räume seien zwei Punkte und eine Ebene ge-
geben; man soll in dieser Ebene einen Punkt bestim-
meD» welcher in derselben eine solche Lage hat, dass
er von den beiden gegebenen Punkten gleich weit ent-
fernt ist, und dass die Summe seiner Entfernungen
von den beiden gegebenen Punkten ein Minimum ist.

Auflösung.

Die beiden gegebenen Punkte wollen wir durch A und B und
die gegebene Ebene durch E bezeichnen. Weil der gesuchte
Punkt, der durch M bezeichnet werden mag, von den beiden
gegebenen Punkten A und B gleich weit entfernt sein soll, so
ist zuvörderst klar, dass dieser Punkt in der Ebene liegen muss,
welche auf der die beiden Punkte A und B verbindenden Gera-

TkcU XL. 3

34 Grüner t: Die aiS^emHnUem §ieickun§en und EiffenMckaften '

den in deren Mitte senkrecht steht, welche Ebene wir der Kurse
wegen durch E* bezeichnen wollen. Da nun aber der gesuciite
Punkt M in der gegebenen Ebene E liegen soll, so muss er ein
Punkt der Durchschnittslinie der Ebenen E und E' sein, welche
Durchschnittslinie durch L bezeichnet werden mag. Ich behaupte
nun, dass in Folge der Eigenschaft des Punktes M, dass die
Summe MA + MB seiper Entfernungen MA und MB von den
• beiden Punkten A und B ein Minimum sein soll, dieser Punkt
der Punkt sein muss, in welchem die Linie L von der durch die
beiden Punkte A und B senkrecht ^egen die Ebene E gelegten
Ebene, welche wir durch E" bezeichnen wollen, geschnitten wird.
Um dies zu beweisen, sei M' ein beliebiger anderer Punkt der
Geraden L, Man del^ke sich MA = MB und M'A = M'B gezo-
gen. Weil die Ebene E' auf der in der Ebene E" liegenden Ge-
raden AB senkrecht steht, so steht die Ebene E' auf der Ebene
E" senkrecht; nach der Construction steht aber auch die Ebene
£ auf der Ebene E" senkrecht; also steht die Durchschnittslinie
L der Ebenen E und E' auf der Ebene E" , folglich auch auf
den beiden in der Ebene E" liegenden, in dem Punkte M der
Geraden tt sich schneidenden, einander gleichen Geraden MA
und MB senkrecht. Folglich sind die beiden Dreiecke AMM*
und BMM' bei M rechtwinklig, daher

MA<,M'A, MBK^M'B;

also

MA + MB <:M'A + M*B,

und demnach offenbar M der Punkt in der gegebenen Ebene £,
welcher von den beiden gegebenen Punkten A und B gleich weit
entfernt ist, und für welchen die Summe seiner Entfernungen von
diesen beiden Punkten ein Minimum ist, wie behauptet wurde.

Hieraas ergiebt sich unmittelbar der folgende

IielirsatB.

Wenn A und B zwei beliebige Punkte im Räume
sind und E eine beliebige Ebene ist, und man legt
durch den Mittelpunkt C der Geraden AB eine hu( AB
senkrecht stehende Ebene £', durch die Gerade Aß
aber eine auf der Ebene E senkrecht stehende Ebene;
so ist der gemeinschaftliche Durchschnittspunkt M
der drei Ebenen £, E', E" derjenige Punkt der Ebene
£, welcher in dieser Ebene eine solche Lage hat,
dass er von den beiden Punkten A und B gleich weit

dtr kär%etUn IHtien auf den Flächen. 35

entfernt ist, sod dass die Samme JttA + MB seiner bei-
den einander gleichen Entfernangen MA ond MB vojo
den Punkten A und B ein Minimum ist.

Mb Crokebrung dieses Satzes gilt nun aber aucb der folgende

IielirsatB.

Wenn A und B zwei beliebige Punkte im Räume
siBd ond £ eine beliebige Ebene ist, und der Punkt M
ii der Ebene E eine solche Lage hat, dass er von den
beiden Ponkten A and B gleich weit entfernt ist, und
dafs die Summe IttA + MB seiner beiden gleichen Ent*
fernnngen ÄfA und MB von den Punkten A und B ein
Minimum Ist; so ist der Punkt M der gemeinschaft-
liehe Darcbschnittspunkt der Ebene E und zweier
Ebenen E' and E", von denen die erste E' in dem Mit-
telpunkte C der Geraden AB auf dieser Geraden senk-
reelit eteht, die zweite E" durch die Gerade AB senk-
recht gegen die Ebene E gelegt ist.

Beweis.

Weil nach der Voraussetzung der In der Ebene E liegende
Ponkt M von den Punkten A und B gleich weit entfernt ist, so
noM dieser Punkt M offenbar nothwendig in der In dem Mittel-
ptokte C der Geraden AB auf dieser Geraden senkrecht steben-
deo Ebene £S also In der Durchschnittslinie der Ebenen E und
£' liegen, da ja aus der Gleichung MA = MB auf der Stelle
folgt, dass die Linie MC auf der Geraden AB senkrecht steht,
folglich, — und mit ibr natürlich auch der Punkt M, -^ In der
Ebene E' liegt. Läge nun aber der Punkt M nicht auch in der
Ehene £^, und wäre also nicht der gemeinschaftliche Dgrch-
ichnittspunkt der drei Ebenen^ £, £', E" ^ so sei M' dieser ge-
ii«nschaftllche Durchschnittspuhkt; dann wäre nach dem vorher-
gehenden Satze

M'A^ M'B < MA + MB,

folglich MA -f MB kein Minimum , wie doch vorausgesetzt wurde.

§.2.

Zwei beliebige Punkte auf einer beliebigen Fläche wollen wir
^ jetzt durch die Kürzeste zwischen diesen beiden Punkten

36 € runer t: Die allgemeiwien Gleichungen uhd Eigenschafien

auf der Fläche mit einander verbunden denken ; so ist zovurderst
klar, dass auch jeder Theil dieser Kürzesten die Kürzeste zwi-
schen seinen Endpunkten auf der Fläche sein muss, weil^ ja,
wenn es zwischen diesen Endpunkten eine kürzere Linie auf der
Fläche als den in Rede stehenden Theil flehen sollte, es natur-
lich auch zwischen den beiden ersten Punkten eine kCii*zere Linie
auf der Fläche geben würde als die Linie, welche wir als die
Kürzeste auf der Fläche zwischen den beiden in Rede stehenden
Punkten voraussetzten, was ungereimt ist.

Ist jetzt ilf ein beliebiger Punkt in der, zwei gegebene Punkte
auf einer Fläche mit einander verbindenden Kürzesten auf dieser
Fläche, so denke man sich, dass in diesem Punkte zwei einan-
der gleiche Elemente MA und MB dieser Kürzesten mit einan-
der zusammenstossen ; dann muss nach dem vorhergehenden Frincip
der Punkt M unter allen auf der Fläche liegenden, von A und
B gleich weit entfernten Punkten derjenige sein, fOr welchen
MA -f- MB ein Minimum ist. Denkt man sich aber die Fläche
in der unmittelbarsten Nähe des Punktes M durch ihre Be-
rühningsebene in diesem Punkte ersetzt oder repräsentirt, so ist
klar, dass auch in dieser Berührungsebene der Punkt M eine
solche Lage haben tnuss, dass MA+MB ein Minimum Ist, wo-
raus sich nach den im vorhergehenden Paragraphen bewiesenen
Sätzen von selbst ergiebt, dass die Ebene AMB auf der Berüh-
rungsebene der Fläche in dem Punkte M, welcher ein ganz be-
liebiger Punkt der Kürzesten ist, senkrecht stehen muss. Weil
nun aber nach den Lehren der höheren Geometrie durch die
Ebene AMB bekanntlich die Osculations- Ebene der Kürzesten
in dem Punkte M repräsentirt wird ; so ergiebt sich aus den vor-
hergehenden Betrachtungen unmittelbar die folgende Fundamental-
Eigenschaft einer jeden Kürzesten anfeiner beliebigen Fläche:

In jedem Punkte einer Kürzesten auf einer Fläche
steht die Osculations-Ebene der Kürzesten in diesem
Punkte auf der Berührungs-Ebene der Fläche in dem-
selben Punkte senkrecht*).

•) M. «. ArchiT. ThI. \\X. S. 376. Nr VII.

Da die Haa|it- Normale einer beliebigen Cnrve im Räume bekannt-
lich die Durnbsrbnittslinie der Normal-Ebene mit der Oscnlatinot-Ebeoe
in diesem Punkte ist, und weil die Normal-Ebene offenbar auch immer
anf der Rerubrungs- Ebene der Fläche, anf welcher die Corre liegend
gedacht wird, senkrecht steht; so kann man auch sagen, ,dass in
jedem Punkte einer anf einer Fläche^ gezogenen Kürzesten
die Haupt-Normale dieser Kürzesten -auf der Bornhrnngt-

der kürtesien Unien auf den Flächen, 37

Aof diese wichtige Eigenschaft aller Kdnesten auf den Flä-
cben^ in der zugleich der Grund Kegl, aus welchem man die Kür-
testen auch geodlitische Curven genannt hat, läset sich nun mit
Hälfe der höheren Geometrie ohne Weiteres die Entwickelang
der allgemeinen Gleichungen dieser merkwürdigen Linien grün-
dcB, wie wir in den folgenden Paragraphen sehen werden.

§. 1

Die Glelebong der Fläche, auf viftcher wir uns die Kürzeste»
die wir jetzt im Allgemeinen betrachten wollen» gezogen denken,
fd, wenn r, 9, | die veränderlichen oder laufenden Coordinaten
bezeichnen :

1) /•(r,9,j)=0.

Eni beliebiger Punkt der Kürzesten sei (xyz), dessen Coor-
(floaten also, weil die Kürzeste auf der durch die Gleichung 1)
charakterisirten Fläche liegt, auch der Gleichung :

2) f{x,ff,z)=0

cenügen müssen; insofern wir aber fix^y^t) bloss als eine
Fooction der drei als unabhängige Teränderllcbe 6r5ssen ange-
sehenen Coordinaten x, y^ % betrachten, wollen wir im Folgen*
deo immer

3) u=:f(x,y,t)

setzen. Unter diesen Voraussetzungen Mst die Gleichung der
Berühmngsebene unserer Fläche In dem Punkte (;r^z) bekanntlich *):

4) . . . |(.-^)+|(p-v) + ^(?-x)=:0.
WO natürlich

Ebene der Fläche in diesem Pnnkle, oder auf dieser Fläcbe
•slbit, senkrecht «tehen liiuss. Da ferner bekanntlich der Krüm-
Biso^ - Mitielpankt einer Curve fär einen gewissen Punkt derselben
inmer in der diesem Pnnkte entsprechenden Hanpt- Normale liegt; so
ksan man anch sagen, dass in jedem Pnnkte einer auf einer
Fliehe gezogenen Kürzesten der Krdmronngs-Halbmesser
Bieter Kürzesten auf der Bernliriings-Ebene der Fläche in
Bietern Punkte, oder auf dieser Fläche selbst, senkrecht
•tehen mass. Alles dieses sind onr verschiedene Aosdrncke eines and
desselben Satzes.

•) ArchW. Thl. XXX S. 425. Nr. 61).

38 Grüner t: Die ailgemeinsten Gieichunffen und EigentckafUn

dtf dti 8»
dx* dy' St

partielle Differentialquotienten sind. Die Gleichung der Oscala-
tions- Ebene der Kürzesten in dem Punkte (oryz) ist aber*), wenn
y^ uns X, y, z als Functionen der einen beliebigen veränder-
lichen Orösse <p denken, was bekanntlich verstattet ist, weil
Xy y^ z als Coordinaten eines Punktes einer Curve durch zwei
Gleichungen mit einander verbunden gedacht werden müssen:

. /dl S^x dx 8h\. ,1 n

Weil nun nach §. 2. die durch die Glißichungen 4) und 5) charak*
terisirten Ebenen In jedem Punkte, (xyi) der Kürzesten auf ein-
ander senkrecht stehen müssen; so sind nach den Lehren der
analytischen Geometrie die Coordinaten x^y^z eines jeden Punk-
tes der Kürzesten der Gleichung:

dx \bq> * hq>^ dq> d<p^/

,^/Bz^ 3^_dx 8%\ V Q
dy \d(p ' dg>* dg> ' 5^/ (

Stt/a^ 8^ dy 3^x\

'^8z\d^'d^'^S^'S^J

unterworfen. Da aber die Kürzeste auf der durch die Gleichung I)
charakterisirteo Fläche liegt, so sind die Coordinaten x,y,z eines
jeden ihrer Punkte auch der Gleichung 2) oder nach 3) der Gleichung
ac=0 unterworfen, und als allgemeine Gleichungisn der Kürzesten
erhalten wir also die beiden Gleichungen:

du/djf^Sh_ & dhf\
dx\dq>'ag>^'^dip'S^y

ött/a« S^x ^dx SH\[

Ö) • • • • { ött/a« S^x dx SH

du fdx 3^ dy 3*a:\

dz \bfp * 8g)* 8^ * 8g)v

*) Archiv. ThI. \XX. S. 381. Nr. 24).

d9r MrMMem Untern auf den näeken. 39

WeU jedoch bokanntlich ")

m

BudxduBydudt ^

ist, so kaoD mao die Gleicbongeo der Kfirzeeten im Allgemeinen
avch qnter der Form :

7)

• • • •

du dx du dijf du 3* _|%
ati/% ^ dz 8^\

.du/dx 3*y_^ 3*^\

dtfgteUen.

Za besoodereo Zwecken wird man der zweiten dieser beiden
Gleicbmigen die Form :

^ /du dh du 3Hf\dx

\dy*S^ dt*S^/dg>

/du ^ du dH\dy f
+ V& 'dqfl^^'dqfl)^'{ -"

/du 8*5f ^ 8*x\ dl
^\dx IS^^d^d^Jd^

oder die Form :

Q\ /du dx^ du d^\d*x

^^ \Sj'dip''dz'dipJ^

geben.

- . /^ dx_du dx\dhf
^\dx'dq> Sx' dg>j8<p^

./du d^ du dx\BH

^\dx' dtp'' dy 'dq>)^

= 0

§. 4.

Am den beiden Gleicbnngen 7) erhalten wir, wenn G einen
fi«wiMen Factor bezeichnet:

0 ArehiT. Thoil XXX. S. -418.

00 G runer t: .eH^4aigem€HMen GlHekMngm und Eigemchaflten

W) < ^^ = G

dtp* lxBq>) + (a J + (4) J

Nun ist aber, wie sogleich erhellet:

891 LV8,)y ^\d<pj "*■ V89/ . J ~ V89) * d<p*^ 89) ' 89)«'^89) ■ 8 W '

also kann man die drei vorstehenden Gleichungen auch auf fol-
gende Art ausdrficken:

11)
8« _ ^ $ 8£ ± r/dxy /8y y . /8£ V-|

dx-^ldipdip L\dq>J ^ Vs^y ^ \B<pJ J

~ ^ 8^ [(af) + (ä^) + (ä^) ] i'

8r = *^t8^8^L(8^) ■'"(ä^/ ■'^Vä^) J

-^s^Cw "'"w "'■(4) 3^'

Bezeichnet s den von einem beliebigen bestimmten Anfangs-
punkte an gerechneten, bei dem Punkte (xyz) sich endigenden
Bogen unserer Kürzesten, so ist nach den Lehren der höheren
Geometrie bekanntlich in vr»Higer Allgemeinheit:

•^ • •• Q'Hny*c&<h)

iler künenien Unien auf den Flächen. 41

W18 nach 11) za den folgendeo Gleichungeo ffibrt:

14). . )^:=G^^.-.—^^(-X^.

dt \d(p'^' dq>^, S^yS^/ >*

Nimmt roao aber, was offenbar verstattet ist, den Bogen s
•elbst als unabhängige veränderliche Grösse an, und setzt dem-
infolge 9^«, so ist:

also nach 14):

Ans jedem der vorhergehenden Systeme dreier Gleichungen
kann man den Factor G eliminiren, wodurch man u. A. aus den
Gleichungen 14) die folgenden Gleichungen erhält:

16)

dm /d^ a«5 8^ ^\_^fS£ 3^$ _S^ Bs\

Si \dip ' 5^ 3y* ' 8g)/ ~~ 8]y \d(p ' Sy* 89* * dtpj '

du/dt S^ dh flsX _ 8tt/8y 3*5 S^ ds\
Sj \jS^ " dq>^ 5^ ' d<p/ ^ dz \ß(p ' S^ "" 5^ 'Sy/ '

du/dx Sß$ ^3h^ ^\^^f^ 3h ^S^ d$\^
S \5^ * Sy* 8^ * 8<p/ "" dx \ßip ' 5^ ^^'difj *

oder nach einer anderen Anordnung:

/8m 8^_8i« 3£\8*£_/8tt ^_3u 8^\8«
VSjp'Sqp ^*8g)/8<jp*'~v8j? 5^ Sy'S^vS^'

/^ ?i_?? ?i^?!i-^/^ 8«z 8tt 8V\ 8<
\8y * 89 81 ' 89/ 89* v8y ' 5v* 5* * 89V ^9 *
/8t» 8jr^8M dz\3»s_/Bu ^8« 3%\8i

00 Grunert: üfe*4aigem€insien eieickumfen und Sigengckaflen

du

■«) (!=<.•

■. . . '

d^/dx ^ . 3y 3^ & 8^\

ftg /8a?^yF 8y . 8*y 8g 8*i\
dg) \dip 'B<p^ dg> ' dqfi dg> ' dip^J

"8^ IXd^J + \di) + (s^/ J

• ■

Nun ist aber, wie sogleich erhellet:

a V L\B<pJ + Vs?)/ + va?»/ J ~ vav ' 89>* ^v ' a^« a^ ' a W '

also kann man die drei vorstehenden Gleichungen auch auf fol-
gende Art ausdrfickeo:

II)

t-"

lBq>'d<p IXSip) ^ ( 5^j + \dq>) J

~^ä^[G|) ^(ä^) ■'■(av) J>'

ay - ^ < av ■ s<p l\dq>) + (ä^y + (a9>/ J

-^.[(l)'+(l)'+(S)']|'

ar~^i4avL(4) ^S) ^(£) J

"^S^Lvai) +(aW "'■(aij J

S'

Bezeichnet s den von einem beliebigen bestimmten Anfangs-
punkte an gerechneten, bei dem Punkte (xyz) sich endigenden
Bogen unserer Kurzesten , so ist nach den Lehren der höheren
Geometrie bekanntlich in vr»Higer Allgemeinheit:

•^ ■ ■ (i)"=(i)"+a)'^(i)'-

^er kAr%e$ten fJnien auf den Flächen, 41

aiso

nach 11) za den folgendeo Gleichungen fObrt :

J4) . . , !??=Gi^.^.^_^/'-V^

' J 3y ( 3g) 3g) 3g)* 3g)* \3g)/ S *

3«__ <3z 3f ö^_3*«/8»Y^

^ ^ 3g)* 3g) '3g)*. ^^\dfp/ >*

Nimmt man aber, was offenbar verstattet ist, den Bogen 1
selbst als unabbSngige veränderliche GrOsse an, und setzt dem-
Bofolge qp = s, so ist:

3g)^'' 3g)«—"'
also nach 14):

3i« 3*a: 3tt 3«y du ^ÜH

^^> • 35-""^3?' % = "^S?' S^="^^8?'

Aas jedem der vorhergebenden Systeme dreier Gleichungen
kann man den Factor G eliminiren, wodurch man u. A. aus den
Gleichungen 14) die folgenden Gleichungen erhält:

16)

3tt/32 3^_3^ ^±\_^(^± ^_?? ^\
dx \3g) ' 3g)* 3g)* * 8g) / dy \3g) * 3g)* 3g)* ' 3g)/ *

dtf /3g 8*# 3*x 85 \ ^ 3m /3y 3*5 3*y 3i \
3y v3g) ' 3g)* 5^* * 89/ ^ 82 v3g) ' S^ 5^*3g)/ '

/8ar 3*5 _3^ ^"^^^^L/^ J^ _ ^ ^V
vSy * 5^ 8g)* ' 3g)/ "" 3a: V^V ^9* ^9* ' 89/ *

oder nach einiir anderen Anordnung:

' 17)

/du c^ 3ti 3?\S^_/3tt 8]^ 81« 3*ar\ 85
V8;i: • 8g)"" ^ • 3g)y dq>^^\dx ' g^""Sy ' 3g)*/ 8g) '

/8m 8£_3m ^Nö^^/?« 3*z_3m 8V\ 85

V3y * 3g) dz' dtp/dtp^ \dy ' §9* Sx * 3g)*/ S^ '

^?? ?f_?!^ ^'\^— /"?? 9^_8m ^\35
v3z*8g) 8a:* 89/89* v^'^y* 3*'39p*/S^*

8y

8»

dz

42 Grunert: Die aligemehuten GMckungen und Bigemckafien

Ad8 den .GleicbaogoD 15) ergeben sieb die drei folgenden
Gleichungen :

IQ ] du 8*2 8m 8*y ^

*^^ • • i^yä?""^ '&* = "'

du 8^ 8i^ ^^A

S'8?""ajr*3?—" "

Nach 16) hat man die Proportionen :

iö\ 8a.8tt.8i«

*^ dx'dy'dx

_^dx Bh 8^ ^.^ ^ ^ ^.|£ Sh^SIH &$
"^a^'8^"" V*3^*89'89*'"89«'89'8<p*89* 59**89>'

und aus 18) ergeben sich die Proportionen:

8u 8u du_S^,8^,SH

20) .... . gj-^-a, -a,«-8,«'8,«-

§.5.
Aus den beiden Gleichungen:

du dx du Sy du dz_^
di'd^^Fy'd^^dx'^"^'

(du d^ du 8^\dx
Sj'dq>^^dz 'i^Jdtp

/du 8*j? 8tt 8«i\% f _^
+ 1& '^~dx^)dip { ■""

/8ti 8^ du d^x\d%

+ VSi'5^'"8y*89«/59

I

folgt 9 wenn Cr wieder einen gewissen Factor beseichnet:

21)
8a:_„Caii/'&« ^ 9m i^x\ du/du S^ du 8*i\i •

9g_ C^/S« ^ du 8^\ ^/S« 3V 3»« 9*g'\>
dz <du/Bu S*x du d^\ du/d« d>z du dl*y\}

der kär%e9ten linien auf den FUlcken. 43

«der

9^

«9 < %=G

du/du S*x^ ^j.?? ^*^
dti/d« S*x du fi^ .3m 3»x\

-eifö)'-^(l)"+©']

S=«

8t(/8K 8^ 8u ^ . 8u 8"»\
Nim ist aber bekaootlich *):

du ^^ , ö^f 3*y ■ ^ 8*g

+gi«V89/ "^^vs^/ ■'"a^Väv/

welehe Gleichung auch auf folgende Art:

du 8*£P 8u ^^ , 8w 8**
898y« + 8y*8<p«+8i5^

= 0.

/8«M 8« ^H«^ 8y 3*u dx\dx
+ V8a:«'a9"^c|y8arS^ + 8Si8^8g>

/^^ ^ ^ 8y , j8«tt 8t\%
+ V8:p8f ^y + Sl^'S^ +8j8y'89y89

/8*M &r 8H1 8y ^ 8i \ &^
'*"V8x8z*89"*"8y8i8^ + 8?'8g>y89)

ilao offenbar aaf folgende Art :

du 8%r 8a §^j.?!f ^
Si8^+^V+82'5^

^/^\ 8a? . 8 /8tt\ 8y , 8 ^du\ &

= 0,

= 0

«) Archiv. Thoil IXX. S. 418. Nr. XV.

^

44 Grunert: Die ailgemeinsten Gleichungen und Eiffenschafien

llargestellt werden kann, so dass also nach 21):

23)

39>"" i du rS^/Bu\ Bx B /du\ By B /'Bu\ 82 "1

^ ^ BxLBg>\Ba:J'^^15^\BifJ'8:^'^8^\8iJS^J

89)

'^=^G

89* [(ay +(3^) +(8i) J

8ttr^/8tt\ 8^ ,l./8tt\ ?y .A^^ü^^l
^ 8y L8g) \BxJ • S^ + 8g> V.8y/ ' 89 + Bg>\BzJ Bg>J

l "^^2 LBg>\Ba:J'S^'*^Bq>\ByJ'Bg>^3ip\FtJ'BipJ

ist.

Multiplicirt man diese drei Gleichuogeo nach der Reihe mit

Bx By Bx_
B<p B<p Bip

und addirt sie dann za einander, so erhält man» weil bekanntlich

Bu 8^ 8u 8y Bu 8* ^ /^

8a: * 89) ' 8y ' 89) 82 ' 89) "~

ist, die Gleichung:

(äf ) + (4) + (4)

— /'$/'?^^* j^/^V t^Wt^x ^.dy S*}f dt 3h\
also:

Gl) +(4) +w

Multiplicirt man die drei Gleichungen 23) nach der Reihe mit

89 vW' 3vV3y/ 89)V82y

rf«- kSr»etten lAlen auf dm FtOeMen.

its ^ ;^- »i?

^ .IT ^14 . s\^

-;» «&

^ »I» ^- "'4-

°? Ä ^ "Jt

^i> ^rS roi™ "**'

^

iS "'* s^ "•

46 Grunert: Die aiigemeinsten Gieickungen und Bt§ens€kafteH

Setzt man quo die beiden so eben entwickelten ÄosdrGcke

1

von 7? einander gleich, so erhält man die folgende wichtige

Gleichung :

24)

dq>\dxj '89 + 89) \dyj ' 8g) + 5^ V 8zy • 8g)

0.

du 8^/8«\ , 8a 8^ /^\ 8« 8 /du\
dx'djpKfxJ '^ 8ff • d<p\dyj ^ 8x ' 8g>VS^

dip ' dq>^ d(p ' Bg)* B<p ' Bg>^

~ C0 * ®)' ^ (IT

Wir wollen der KSrze wegen :

8ctzen; dann ist:

BP_ 8 /8m\ 8^,l/8t«\ 8«.y 8/8ii\ 8«2

5^- ^\BxJ'B<p*'*'B(p\ByJ'^'^Bq>\BzJ'S^

Ö« /ati\ 85 . ^/8m\ §^ . J^/8m\ 8*
+ a^VSS/ ' Bg> + 8g>»V8j^y * 8y "^ 89« Vöz/ 'Bg^'

8Q ^8m 8 /Bu\ Bu B /Bu\ . 8m ^ /8t«\ >

g^=^^8i'8^V5iy"*'^*s^W'*"yx'89V8iyr

9^— ^ V89 ' 89« "*" Bip ' B(p* ■*■ 89 • 8g>V '.

89)

findet onn aber, weiches ein besonders wichtiger Fall ist, die
Gleichung :

dir käneiiem Unten auf dem Fiäeken. 47

Stitt, so kann man nach dem Vorhergebenden die Gleichvng 24)
ofetbir aof folgende Art acbreiben:

27) 1 ö^+i 3e_I ?Ä_0

Ans liieser Gleichung folgt aber :

alao;

oder:

oBd folglich auch :

«^^-''<=0'

jjS.PQ SR

tbo nach den Lehren der Differentialrechnung:

worana unmittelbar, wenn C eine Constante bezeichnet,

folgt, oder nach dem Obigen:

29)

(4) "•" (4) ■*■ (4)

= C.

48 Grunert: Die aUgemtiMten Gieiekungen und Eigenschaften

natürlich iromer aar anter der durch die Gleichvng 26) anage-
sprochenen Voraassetzudg, unter welcher also die Gleichung 29)
als ein erstes Integral der allgemeineo Gleichung 24) zu betrach-
ten ist.

Ffir FlSchen des zweiten Grades ist die Gleichung 26) jeder-
zeit erfüllt. In diesem Falle Ist nämlich:

also:

also:

und:

^=Fjr + % + 2C* + J;

d<p \dx) ' dip* + h<p \dy) ' d<p^ + dtp \dxj ' Bq>* ,

der kür%e&Un IMen auf dm Fidehen. 49

folglieb in ^t That:

_^/Stt\ 3jr 8* /8ti\ 8y 8« /ati\ 82
— 8<p» V8^A 8g> ■'■ 89« V8y/ 09"%* V 8V ■ 8g> '

wie es die Gleichung 26) verlangt.

§.6.
Aiu den Gleichungen der Kürzesten wollen wir jetzt

* & an

»

gaoE eliminiren. Zu dem Ende aetien wir:

hu S*x du Sßy du S*z

alao:

■od folglich:

du dh^ 8a 8^_d^ 8^'

dt ' 89* "" dx ' 89* 8y ' 89* *

du/d^ f^^dt 9^if\
dz \d(p * dtp^ S^ * ^V

8j^ 8tt 8y 8*jr /du ^ , 8m 82^8^

-~""^89"'8ar'8f^'5^"" V8y*8<p+&*8^J89«'

8m/8x 8^ _ 8£ dH\

dz \ß^ ' d<p* dg> ' 5^/

_ dx fdu dx du di\d^^ du dx dhf

aber bekanntlicb :

also:

du d^ du dy^ du dt ^^
dx* d<p^' dq> fz *^^ '

8a dg^^du 8*^_^__8a dx
8y ' 8g7 82 ' 89 "^ Säp * 89 *

du dx du dt^ 8a 8y ,

dx'^ dz' d<p 8jf ' 8<p '

^aher nach dem Obigen:
TbeU XL.

50 Grunert: Die aUgemeinsten^eteUhwigen und Eigenschaften

dz \dg> ' d(p*^ d(p ' dq>y ■" "" ^89 + 8^ V89) • 8«p« ""8«^ ' V/

du /dz d^x dx 8^\ dx du/dx dh/ 8y 8*:r\

82 \8<p ' 89* 89 ' 8^ V 8<p 8y V^^ * 89* dq> ' 89*/ "

Für die Kürzeste ist nun nach der zweiteh der Gleidinngeo 7),

du
wenn man diese Gleichung mit ^ niultiplicirt :

du du/dy 8^_& 8^\ 8ti 8« /8i 8«^_a^ 8^\
8ar * 81 \89> ' 89* 8g) * 89*/ dy' dz \d(p' 89* 8g) * 89*/

+ V8z/ V8g)'8«p«""89)'5^>/*

V \

also nach dem Vorhergehenden offenbar:

8i« 8y 8tt 8dr

dx'^ dy'dip

*'}\,dxj ^\dyj *\dtj ^\dip'd<p*~d^-d^J

= 0

/8t« fl£ 8« 3y\

=0.

Es ist aber bekanntlich *) :

"-^XdvJ ^dy»\d(pj ^dt*\di^J

. n 8*tt 8fr 8^ , „8H« ^ ^.oS«a 8z 8a:
"*■ '^ 8a:8y * 89 • ^ + ^8jr8* ■ 89) ■ 8<p + ^&ä« * §^ • 8^ '

^J maltiplich*t, and

8ti 8t _ /du dx du ^\
dz * 8g» "~ V8^ * 89 % 89/
setzt:

*) Archiv. Theil \XX. $.418.

der küruUen Linien auf den Fiäcken, 51

\02/ da:* \Oip/ ' \oz/ oy* \dq>J

S^/du Sa: du ^V . ^/S^V Ü?L ?? ^
^ dz^Kdi'dtp^dif'dipJ ^^\dzj ' dxdy' dq>' dq>

q.Su/ dhi dy 8*ff dx\ /du Sx du dy\
dz \dydz * ftp dzdx * dq>/ \dx ' 89 9y ' d<pj '

iIm, wie leicht erhellet:

ca« ^ 8H< /8iiy ^_8tt SM ^ 8t«&i 8Hi )da! dy
\dx * dy " öl* \82/ ' dxdy dx' dz' dydz "^ dy'dz' dxdzydg)'dq>

,i/duy 8ht /duy dhi du dji d*u\/dyY
^l\BiJ '^^W '^^ By'dz'dydz^\dq>J '

ferner ist, wie nian sogleich flbersieht:

30)

8(3« /a«\»> \JSxJ 'dz* dx'Sz'dxSx
dtldz''\SiJ 5- /du\*

fdu\* Sht 8tt 81« Shi

(g)

du du 8*u du Bu B*u du du d*u

8(^.8« du} dx'dff"Si»~dx'dx'dsdt~'dydx'^t
ix\dt ' ^ ' Bjf $ ~ /duy /du\' '

\BxJ W

abo:

(i"y-=Ki'y -8-.+ (rV 1 [p'CrYW^y

\m/ (.\ot/ dx* \oxJ ox\_dt \ax/ j*f\dipj '

X9f/^Y ?^ j.(^yt^^Y dr-du,du du-\\dx dy

^^\\dxj d:^^\dxj K^J •8*L8*'äi"^J>8^a^

< /8tt V* 3^ /du\* 8 rdu , /8«y-| ) /8yy .

=0,

52 Grunert: Die oUgemHnsten Gietehnnsen und Bigentckaften

und man bat folglich nach dem Obigen für die Kürzeale offenbar
die folgende GleicbuBg:

31)

\dij iK9iJ +Vv "^W Hä»*5^"'ev*w

/du Bx du By\
\ßy ' Bip dx' d<p/

</3aV 3»« . /duy BiBu /Buyi'i/BxY
y l\BxJ 'BxSy^\BxJ \Bi/J '8t{.Bi'BxBiJSBq>'B(p>

durch welche, in Verbindung mit der Gleichung ti=r09 die Kür-
zeste vollständig charakterisirt wird.

Wenn die Gleichung n = 0 unter der Form

^ — AsCfV) o<Jer 2— /•(x,,v) = 0
gegeben ist, so ist

u^Z'-fix^y)
zu setzen, und es ist folglich:

3ti _ _ 9xf{x, y) _ _ 8*5
ox ox dx

Su ___dyf(x, y) ___^dyZ ^

Sy dy dy '

du ,

5F = ''

8ar«"" aa:»' dy*'^'^ By^ * 31«—"*
8^ __a^«z ^=0 ^=0-

also nach 3Q):

folglich wkd die Gleicbang 31) der Kfirceaten:

= 0.

der Mnette» Unim tmf im Ftäeken. 53

32)

Sctit man aber, was natürlich verstattet ist, q>;=x, also

Bx _. 3*« _ «

M gebt die Torstehehde Gleichung in die Gleichung :

33)

(B^ a.» By\^B^.^^jtL ^ . yi(^lX X
K^"^' U)\Bx*^^BxBy' B»^ B^KBx) 5

=0

über.

8.7.

Nach diesen allgemeinen Entwickelungen wollen wir jetzt zu
der besonderen Betrachtung der Rotationsflächen fibergehen.

Wenn wir die Axe der | als Drebungsaxe annehmen und Z
«ae Function von z bezeichnet » so kann man sich im Torliegefi-
deo Falle die Gleichung u = 0 immer auf die Form :

34) . . . Z« = ar« + y« oder 4?* + y*-Z«=:0
gebracht denken, und kann also:

35) fi = j:« + 3^« — Z«

setzen; folglicb ist:

»«_2, a«_ 8«_ BZ

Bx = ^' Bj,-^^' äi -^Si"

Nach 10) ist nun offenbar Im Allgemeinen:

8^'&^ "*" 8^'8y«"^8^'g^

aiia^ 8ti^ ??^?!? 8m a^ du s^ Su sh

_8a?'g^'""8y'8y» 8^'8y« gi ' S^ 82 ' 8y» "^ g^ ' 8y«
"" du dy §ti 8a: ~5tr"8i du dy du dx 8« 82 '

^89 8|y * 89 8^ ' ^ cb * 89 8z * 89) 8a? '89

54 G runer t: Die aiigemein$len Gleickungen und EigeiuckafUn
also im ▼brliegendeii Falle:

dtp ' 8<)p* 8<p 8^* 8<p * ö^* 3^* ^ 3g)*

?a^V77% Y~78» V = a» a« "

Nun ist aber, wie map sogleich übersieht:

a(p

a£ a*x ay a^ a« a**

AT/a« Y /a^ Y . / s» Y — äy ' 5y* "*" äy ' äy« "*" gy • gy*
i' W "•'W/ W/ ~ir/äS\v 7ay\* . /a«v'

v(ä^;+(S)+(8^;

also :
8<p ' 8y«"*' 8y ' 8y> "^ 8y ' 8y»_ 8y Y V8y/ ^ \d<pj ^\dipj .

(I)+(I)"+(D' ' \r(|)-+(|)v(g)- '

ferner ist, wie man leicht findet:

ay ^^a^) ~ ^ a<p^ ~ ^ a^»» ~ ^ a^)« *

so dass man also nach dem Vorhergehenden für RotatloDsfläcben
die folgende Gleichung der Kürzesten hat:

8 i.r7^^y ^ /ay V . /3*V 3 / ^y ^*v

also :

c

a« a«, a */ /ajrv , /a^x« , /a*v
*§^ "«' a^' • äv \ vaW ■•■ \äy/ ■•" vöy/

-v'ciy+'c^^dr-a^i-»^'

8:r,
89^

= 0,

folglich auch :

"1 -»!>'

1^ kür%eBUm LMen auf den Flächen. 55

also nach der Differentialrechnung:

woraus unmittelbar

oy ex

also auch, wenn C eine Constante bezeichnet:

9y dx
37) . ... -. "S^'^S^ ^c

\l &)'*&)■*&)'

oder:

38i...|-4=cvr(|)-v(|x7^7

folgt.

Ana der Gleichung

ergiebt sich, wenn man der Kürze wegen

dZ

^'=az

setst :

also:

ZZ' - - o--
Biß 8y 8y

and folglich:

56 G runer t: Die ait§emeinsten Gieicäungen und Eigenschaften

y*

Daher hat man nach 38) die folgende Gleichung:

= c,<z.-^[^)%(|)-]+,zz.|-,|^,,

welche man leicht auf die Form : ^

/dry ^^ dtp dx_ c«iz«(i + y«) - x^\'^x*z*z'^^aty

oder, wenn man auf bekannte Weise die Grösse auf der linken
Seite des Gleichheitszeichens zu einem vollkommenen Quadrate
ergänzt, nach einigen leichten Transformationen auf die Form:

/dx ^' &V

_ \dg> z StpJ c«(i + z'*) /dzy

'^^> • • ar>-Z» "-Z«(C«-Z»)A39/

bringt, welche Gleichung also fiir alle Rotationsflfichen gilt.
Setzt man nun aber
40) d:=Zu,

so ist:

Bx yBv dZ_ dv JZ ^__Bv_ dt

und
also:

folglich Dach 39):

fe). _ CHi+z»*) /dzy
»•-1 ~ z«(C»- z^va?)/

der kürzesten LMen auf den Flächen, 57

oder:

Ans dieser Gleichung erbellet anmittelbar, dass 1 — o* and
Z* — CT* immer gleiche Vorzeichen haben mfissen. Weil

ist; so ist:

also 1 — «*, and daher nach dem Ohigen auch Z* — C* positiv.
Folglich ist:

ac

Äp CV 1 + Z'» &

also:
oder:

41, ... . -^j^^=±-^^.^^_a,.

In welcher Gleichung, weil Z und Z' Functionen von z allein
sind, die veränderlichen Grossen gesondert sind, die Integration
dieser Gleichung aUo auf blosse Quadraturen zurOckgefährt ist.

Anf die Form 41) hat Euler die Gleichung gebracht in der
Hetbodus inveniendi iineas Maximi Minimive proprie-
tate gandentes. Lausannae et Genevae. 1744. pag. 141.

§.8.

Fflr Rotationsflftchen kann man auch setzen:
42) . . . ar = rcosg>, j^=rsin9>, 2 = /)[r);
also:

58 Grunert: Die aiigemeimten 6ieickmt§en und Eiffemtkaften

dx dr

g^=co89g^-r6iny,

^=8mg>g^ + rco8<p,

dz _dz dr dr .

d^ dx .

89 "~ ^ 8^ ""

folglich :

ood:

also nach 37):

= C.

>A'»+ll+[Ar)]«l(|y

woraus man, wenn man auf beiden Seiten quadrirt« nach einigen
Rednctionen leicht die Gleichung :

/dry _ r« J^— C»
\dq>J -^TflT^W?'
oder :

/dvy _ c« i+]Ar)J!

\dr) ~ 1* r*—C* '
also:

oder:

«,..... 8, = ±^V^l+!^

12

tfhftit» wo wieder die verftnderlichen CirOasen gesondert sind.

§. 9.

Endlich kann man über den Fall der Rotations-Flichen auch
noch das Folgende bemerken.

Man setze:
45) . . » = A«*+y*) oder ,-./ltj3+yt) = o.

der Mgnestem IMm auf äeu FlOeken. ^

also:

« = * — /(ar^ + y«).
and folglich:

du_ df(x*+g*) dt

dx~ dx " S»*

aber

also:

Nun ist aber nach 18):

du 8*y 8u 8*:r ^

abo nach dem Vorhergebendeo offeDbar:
oder:

folf(lich:

<^0+i-^)-(*^+r^>=o.

oder

3 8jf 3jr, rt

aUo, wenn C wieder eine gewisse Constante bezeichnet:
«V 8y 8* «

§. 10.

Wir wollen jetst das allgemeiDe dreiaxige ElUpsoid» dessen
GWchoog

60 Grüner l: Die aU§emeinsten Gieiehungen tmä EigemckafUn

«) ey+ay+e)'=>

ist, besonders betrachten.

In diesem Falle niflssen wir also

'•) ■ ^©■+(0"+C)'-'

setzen; aacfa soll im Folgenden , was bekanntlich verstattet ist:

50) dr = acos9)COS^» ^':=:6siu9cosif;, z=:csin^
gesetzt werden.

Hierans ergiebt sich sogleich:

; du 2a: 2cos9>cosi/;

51)

and:

52)

Bx a* a

Bu 2y 2siny cos ^

8ti_2x 2 sin»,

82 ""c»"" c '

8^5^-0, g^,~0, g^g^-O.

Aus 51) folgt unmittelbar:

63) {

) >■

V ^^^

*^v

a

j ^'

l 6

J ^\ c

Ferner

ist:

-

m

8»*
■o«c*~

8«int|»*

m

3*w

= 0,

©^

d*u

■6V~

88lo^,
6«c« '

und:

tkr k§r%e$ten LMen auf den Ptdcken. 61

&r* 8 coa y* cos ^*

o*c* a*c^

/duy /duy 8 rSi« du aii"|

du du dhi du du dlhi du du 8Hi

S5 * 3y * S* 3a: ' 02 ' 2]y3i 8y ' 3i * dxdz

du du 3*tt _^ &gy 8 sing? cos <p coa ^*

/duY d rdu /duy-1/duy dhi du du dht _ /duy 8hi
Kdi) -SiL^AV J~W 'd^^%'dz'Wi-\dyJ 3?

also

8y* Ssio ^9* cos tl>* ,

8 8

= -53(co8 9'cos^ + 8in^*) = -5^(l— 8ing)*co8^^

/duy ^,/duy /duy drdu du dul
KdiJ 'dxd,y^\da:J ' \d^) FiLdz'dx'dtfJ

Sxy 88iD<pces<pco8 1^

\di) W^Adif) 'dzVjz\^) \

^b^^iXb) +(c) $-*v'''"(a/

\

8 8

= T5^C8ing)*co8t/;* + 8iD^*) = P^(l— C08g>'c08^*).

Folglich wird im vorliegenden Falle die Gleichung 31), wenn
Bwa das dortige q>^x setzt:

= 0

62 Grunert: Me aU^emeimte» 6Me»tm$im unä Bigetuckafte»

* (^ m\U' -(f)"i *^%*kH^'m \ s

oder:

SS)

(D'K5)'-^(«XJ)'@ , .

wozu nat3rli«;b noch die Gleichung

©"+a)'+G)"='

kommt.

Zu einer anderen Gleichung, welche als das erste Integral der
vorstehenden Gleichung 55) zu betrachten ist, führt die Gleichung 29).
Setzt man nämlich das dortige 9> = ;r, so ist nach 81):

S9W/ "" ö^ W/ "" **'8^ *
A /?ü^ — A /^?!f\ — ^ :?£•

aUo:

d /^du\ dx ±/^\ ^ . A^?!f^ ^

folglich nach 29):

57)

der kärtesUm LMen auf den Piäcken.

63

wo statt \C io 29) hier C geschrieben worden ist. Zu dieser
GleichoDg kommen naturlich noch die beiden Gleichungen:

d««n zireite sich aus der bekannten allgemeinen Gleichung

9u dx du dy du dl

mDittelbar ergiebt.

Nach 50) ist nun aber auch :

dx * ^

g-= ~ a(8iii 9)cosif; -f cos 9>sintff K^,

du fUii

g-= 6(cos9>cosi^-8in9sin^g^,

dx ^d^

^= ccosif^g^;

^, me »an leicht mittelst 51) findet:

du dx du dy

dy' dg> Si * 8g»

=-- 2cos V; t cos i(;Q sin 9« + - 008^«^ +sin9 cosip sinV;(^? -- -) g^

Femer ist:

d^x
5^

= - a I cos^cosi/;— 2sin gpsini/; g| +cas9C08i^^g^y+cos9«int g~ |,

^--6t8in9cost(;+2cos9mnt/;|^ + 8in<pcost/i(|^)%sinipslnt^
^f wie man leicht findet:

^ ist aber :

64 Grunert: Die ailgemetniten Gleicktmgen und Eigetuehafien

(1 — sin 9>* cos t/;*) (sin q> cos t/; + cos 9 sin 1/; ?^)*
— 2sin9>co89>cos^(siDqpcost/;-f cos9>sinif; k— )(cos9>co8if; — sio^sin^,^)

V +(1 — co8 9>*co8tj;*)(co8 9Cos^ — sio^sintf;^)*

8^ . 8^

= (sin fp cos i(; + cos 9 sin t|; g^* + (cos 9 cos ^ — sin 9) sin ^ g— )•

8t^ 81^

— cosv*t8in9)(sin9>co8V'+cosqpsinvg— )+cos9)(cos9)CosV— sin^sln^K-)!*

(8tf;\« /8tp\*

g— 1 — cos^*=siDt/;*(cos^*+ ( K— I \,

and wir haben also, wie man leicht findet, nach 31) die folgende
Gleichung :

- cos 9>*cos ^ + 7 s'n 9> cos ^* + - • - sin tf;* 1
X{cos^«+(l+«in**)(g^) +8in^cosif^^|
— cos^lcos^f rsin9>*+-co«'9)*) +sing)cos9sin^f t — -Jg-I

xico8,(,«+(gy)=o

oder:

59)

^cosi/;* — I T I sin 9) cos 9) cos ^'jp

+ sini(;^r|sin9)* + -cos9)Mcos^*+ ^^^^ + ®*'"**)5 (g^)

^G""a)*^''^''^*^'^"^*(8^)

+ cost/;^^gSin9)«+-cos9)«^cos^«+-.-sint«^g^=0.

Für das Rotations -Ellipsoid ist, wenn die Drehiingsaxe die
Aze der z ist, a = 6; also nach 59):

60)
(^ysin^cos*« + sini|i(co8t»+(^y(l+«in**)l(g^y

+ cos^|cost* + r^) • sint(;*)^ = 0

dir kürteHen Linien auf den FldcAen. 05

o4er:
61) . . • . eo9^*\8\n^^^J +co8tJ;|^l

Setzt man:
Ö2)

M ist

also:

För die Kugel ist « = 0, also :
64) . . . siiii^co8i^«+28iDtf;^g^y + co8iJ;^=-0.

abo

i«t» so ist ffir die Kugel auch :

also:
65) slD^co« t* + Ssin^ (^Y + cos^'^^Ä' = 0.
Es iat aach, wie man leicht findet:

TktU XL.

Oft Grunert: Die aiigemümten eietckungen und Etgensckaftem
also für die Kugel nach 64):

Leicht erhält man nach dem Obigen:

S /du\ 2 aar 2, . . . d^^

d^\di) = ^-g^^-äC-'n^^^^Ä^+eos^sini^^g-),

a /8tt\ 2 8y 2. , . . ,9*x

also:

5^ V&/ c**39) c 5^

8g) V8^/ * dg> ^^\^J'oq> ^^\JzJ ' 5^

= 2(8in9)€o8;^ + cos9)8in^g--)*

8ti;
•4-2(cosqpeos4; — sin^sltitpg-)*

+ 2co8V^(g)

= 2|C08

^'^(Z)>-

and folgKch nach 20):

67)

(cosqpcos^V . /sinopcost^V . /«'"^N*?. o./^^\*»

a*(sin 9 co8 ^ + cos qp sin i/; 15- )*
+ 6*(co8g)C08^ — sin 9 sin ^K-)^ .

wo statt i'C in 29) hier C geschrieben worden ist.

Fdr die Kugel» wenn nlTtolich a = 6 = tf ist, ffffaren die Glei-
chungen 57) und 67) beide auf die Gleichung Ca*=^\.

I

der kürzesien Unten auf den Flächen. ffj

5. 11.

Die Gleichung der Berflbrangsebene einer F^läche in dem
PoDJcte (j[ifz) ist bekanntlich:

68) . . ; g(r_,) + |(n-y)+|"(,-x)=0.

md die Gleichungen der Berührenden einer Curve In dem Pankte
(xyi) sind :

^^ 8£ - 8^ — & ^•

dg> o^ dg>

Die Gleicbangen der durch den Anfang der Coordinaten mit der
Berübrendeo in dem Punkte (xyz) parallel gelegten Geraden sind :

d<p 0(p ofp

Bezeichnen wir das von dem Anfange der Coordinaten auf die
Berübrangseliene in dem Punkte (an^z) geföUte Perpendikel durch
Pf «A ist nach den Lehren der analytischen Geometrie :

du 9u Su ^

"I ■ • ■ • '' - ^Sny , /Buy , /duy .

Ist nun die Fläche ein Ellipsoid, so ist nach dem vorhergehen-
^ Paragraphen bekanntlich :

also:

8tt_2^ 3tt_2y ??_^.
dx -fl«' dy'^ö^* -dz "^c«'

folglich nach 71):

*) Arcbir. Tbl. \\\. S. 4t5. Nr. 61) an« S. 367. Nr. 8).

68 Grüner i: Die allgemeinsten Gleichungen und Eigenschafien

Bezeichnen wir den Darchschnittspunkt der durch deo Aofaog
der Coordinaten oder den Mittelpunkt des Eüipsoids parallel mit
der Berührenden der Kurzesten in dem Punkte (0:^2) gelegten Ge-
raden mit dem Ellipsoid durch (XY2^\ so bat i|ian zur Bestim-
mung der Coordinaten X, F, Z die folgenden Gleichungen :

^=ä^=&=^' (ä) t w ^w ^^'^

d<p 0(p v(p

aus denen sich leicht:

l

73) . . . G=±

also

1:= +

da:

Bq>

t a*\dq>J ^b*\dq>J ^c*\8(p/

74) . . .' F= +

▼ a*\d(p/ o^\dg>/ c^\€(p/

Z=±

aASq>J ^bAStpJ ^c*\dipj

ergiebt. Bezeichnen wir nun ferner den nach dem Punkte (XYZ)
gezogenen Halbmesser des Eüipsoids durch i2, so ist

also :

75) . .«-m/ l^dxy i/dy\\i/Bxy

oder:

7ü\ »-« — q^\8y/ 6* V8y/ c»V8y/

der Mrtetien Unten a^f den Fidchen. fjfy

i«t aber

(ai) =(äi) +(4) +(äj) '

also Dach 76):

'^ "-o»Wö9>/ ■'■ft'WW *c*V.ä9'ä^/ '

:,.... /^-.=i(|)-4.(|)- +■(!)■.

Weil bei dem Elllpsoid:

Sht_2 ö^_2^ ^_2
Si«— o«' a^«"*«' 32« — c«'

■•t; so bat man die beiden folgenden Gleichungen *):

»w. y^a^ j a^ 1/a^y i/%\' j^/axv
-^■39«"''6**ag>«'''c>ay«+o«Vag>/ ■*^*»va<»>/ "*"c«W/ ~

oder, wenn man s ffir ^ setzt:

«»•l?+*«*äJT?a7~"'
?ä? + Ä* aj»+c«a*«+a«vä7y +*»w +?w ~"*

Far die Kurzeste kann man aber nach 18) oder 20), wenn G'
einen gewistien Factor bezeichnet:

a*«~*' a« ^*' i?'

a^-*'ay-'**' *•'

*) Archiv. ThI. XXX. S. 418.

70 Grünen : Die aligemeituten Gieieäungen und Eigentchafien

setzen y und es ist folglich nach der oben stehenden Gleicbtuig
und nach 72) und 77):

woraus :

78) .^ 2G'=:«;gi

folgt.

Bezeichnen nir den KrQnimungshalbmesser der KOrzesten in
dem Punkte (xyt) durch K, so ist bekanntlich *)i

IP

\m^mo'\

(dx S^x dy 8*y 8x 3h\*
oder, weil

ist:

-, 1

Nach dem Vorhergehenden ist aber:
8^ a«^ ay a^ dz 3^z_.^jSu dx Bu dy Bu Bz\

Bs'Bs^ +arai« + aia*2-^^ VäS'^+^'ai + ai'aiy—"

und

also nach dem Obigen^

«» 1 P*

und folglich:
79) 4C'« = ^.

*) Archiv. ThI. X\X. S. 4Ul. Nr. 41).

der kiir%e$ien IMen auf 4ien Flächen, 71

Vergfeicht man non die deichungen 78) und 79) mit einander,
50 erbSIt man:

80) £> = /%

oder die stetige Proportion :

«I) />:Ä=Ä:lt.

Weil

bt, 80 Ut nach 72) und 77) :

ab« nach 4ein Obig«n:

vnd folglich nach 78):

Daher haben wir die beiden fotgenden Gleichungen :

8» - '^ \a* d$ +A« 8* +c4'8»^'

" 8«

u> denen durch Addition die Gleichung:

oder

«Im

8.Pfi

=0,

72 Grüner t: Me aUgem^nstm GMekunoen tmä EigenscAaftem

uad folglich, weon C ebe gewisse CoDstante beseicbneC die
merkwürdige Gleichung: '

82) : . . . . PR=C

folgt.

Well nach 72) ahd 77):

"^vWW^'

ß = — F=

^fiw^^m^m

ist, 80 ist nach 82):

v^(S)"<*r<Ä)- YiS)vi®%5^ = ^,

oder:

84)

m<ff<m ir.©v.@)- +i.©-(=c...

Weil nach 80)

»-^

ist, so ist nach 82) :

86) 1» = ^*. /»lt=C«

Wenn Ä^Ä^^ ein auf der Oberfläche des Ellipsoids vod KSt
zesten eingeschlossenes Dreieck ist, die von dem Mittelpunkte
des Ellipsoids auf dessen Berfibrungsebenen in /l, , ^, A eeftll
ten Perpendikel respectiq; durch P,, />„ p„ „„j jj^ | "
roungshalbmesser

in A^ von ^*^« durch J»,
-^81 Mii

^

w ^8

»9

^«8 " Äi

'82

der kAr%men Umm auf dem Fideken, 73

lehnet werdeo, 80 ist nach 85):

Jll8=p-8» ^1 — ']^ •
J^l = JOS » *»• — p » »

offenbar :
86) HisNasÜBi ^l^sVtil'tf

g- 1 oder ^g- 1 multipli-

[, so erhält man die Gleichungen :

87)

= c.(|)'.

l®'+(iir+Ö)'U^(l)'4@)--^KI)'i

§. 12.

«

Wir wollen nun wieder setzen:

88) . . j;=saGOS9>cost|;9 y=6sin9>cosip^ 2 = csini|i; ^

also:

g-= — a(8iö9cost|' + co8<psinipg-),

89) . . . { ^^^ 6(cosg)cost|; — sing)sint/;g— ),

Qod:

dz atj;

g--=— a(cos9)8int|> + sin^co8ip g-),
90) . . . < ^r= — 6(sin9>8lntp — cosqjcostf; gr),

ai

gj^= eeosti;;

74 Grunert: OU aUjßetneimUn 6i€Uhun§en uMä Etgentckaften
folglich :

und, wie man leicht findet:

.^a"+^(l)"+r.(l)'='"*--(®"-

.^(|)'+KI)'+?(l)"='*-*f4)'-

Also haben wit nach 87) die beiden folgenden Gleichungen:

91)

Die erste dieser beiden Gleichungen stimmt mit der Gleichung 67)
ganz fiberein.

Für das Rotations- Ellipsoid^ wenn die Drehongsaxe als Axe
der z angenommen und folglich a=:6 gesetzt wird, werden diese
beiden Gleichungen:

92)

Nach 47) ist für das Rotations -Ellipsoid, wenn C eine Coo-
staute bezeichnet 9 die natfirlich nicht mit der im vorhergehenden
Paragraphen eben so bezeichneten Constante verwechselt wer-
den darf:

*?-»& = ^'

also, wenn man auf beiden Seiten mit k- multiplidrt:

4er MrwfDP« Uiüen amf 4m Fiäektn. 75

«08 88) and 89) ergiebt sieb aber leicht allgemein:

dy Bx

ibo fSr iks Rotations -Ellipsoid:

Bod ibiglicb naeb dem Obigen:

^ • • Cgi = ««co8*>, CgJ = a«co8^g|;
also:

diff a*cos^* 3^
W^eo der zweiten der GleicbuDgen 02) ist folglicb:

also:

95)

(co«^\* /'siii^'X*
a J ^\ e J

fl*^co«^«-j(^-^; +C-C-; 5

Einfiicbere Formeln erbält man auf folgende Art. Nach 93) ist :

§i) •

ud nach 89) ist f&r das Rotations -EUipsoid:

76 Grunert: Die ^UigemelniUn ßMekum^en mmd Etffen9eMa/ten

also :

o*cost* = C*|a«co8 ^ + (o«sint' + c'cos^*) C^J l

und folglich:

oder:

woraus sogleich:

t ^2 ^tangifi«+l

^> vs^; =55-55 — -—

7^co8t(;«— l

folgt. Verbindet man diese Gleichung mit der zweiten der Glei-
chungen 93), 80 erhält man:

^■■- e)"=

oder :

98)

^C08i|;*— 1

/d$y_ 7faC0St/;*(^^tangif^« + Ij

^cosV^— 1

Mit diesen Formeln wollen wir die Formeln 95) vergleichen,
um zugleich ein Kriterium für die Richtigkeit unserer R^ebnoDgeo
zu haben.

Es ist» wie man sogleich übersiebt:

ö*^cosi^«-J(-^j H-V"/ 5=(^l^-55+?)^^***-?
und

also nach der zweiten der Gleichungen 95) oiFenbar:

c*(a*^-^ + -i)costp«-l

ad folglicb:

ro8{'=±

Bf

■ s.

W«Dn nan o den 180" nicht Obenteigenden Winkvl beMlcb-
Mt, welcho die durch die Wiakel £, t), C ^"i £', V> f bestimm-
Itii Riebtangen der beiden vorher betraditelen Geraden mit ein
■der einaebHesMD, ao ist bekanntlich:

coe«^G08£co«£' -f conifcosV + coaScosC,
' ^o nach 101) and 107):

76 Grunert: Die allffemeinsten BMcMmgen und Btgenscka/ten

sein. Weon aber aosserdem diese Gerade die Axe der ; eebnei-
den soll, so inuss gleichseitig jr=0» t^=0 sein, was nach dem
Vorhergehenden anmittelbar zu der Gleicbang:

X

i:_^ ^ __ y

cos£ cos 17 cosf cos 17

oder: ^cos$ — orcosi^sO ffihrt Also ist, wenn G einen ge-
wissen Factor bezeichnet:

101)

-• du ^ du ^ du 3tt

folglich , weil cos £* -|- cos ij* -f cos {'s:! ist :

oder, wie man leicht findet: '

103) ^

also:

104)

cos£ =db

du

V^^^^^sj)' + (!)• + (ST^^*!-'

du

«i08»J=dt

dtf . du

Liegt nun auf der Fi&che eine beliebige Carve, so sind die
Gleichungen der BerOhrenden dieser Curve In dem Punkte {xf^i
wenn 9, wie gewöhnlieli bei solcben allgenieiiien Betraektungeoi

4er kar%e$l€H Linien auf den Flächen, 79

^■e beliebige verSoderliche GrSase beceichoet, von welcher
X, y, X abhiogig gedacht werden t

c(p d(p C(p

iib6 es ist bekanntlieh:

«A^ Bu Sa . du du du dx ^

Bezeichnen wir die 180^ nicht Qbereteigenden Wihlcel^ welche
eine der beiden Richtungen dieser Berfihrenden mit den positiven
Theilen der Coordinateoaxen einschliessty durch S'» V> {'; so ist,
wenn C einen gewissen Factor bezeichnet:

107)...co»{' = G'|^, cosif' = G'|^, cosr=iG'|^;
also , weil cos E'* + cos ^ * + cos £*• = 1 ist :

VQ-<4)'+(S)'

and folglich:

dar

I

cos{' = dt

>[W<fJ<Ü

10W)-.-< C081|'=± ''

\m'^(X)'*m"

coaJ^=±

dz

v^r*(i)'+(ir

Wenn nun w den IBO^ nicht übersteigenden Winket beaeicb-
net, welche die durch die Winkel £, 17, t und S\ rf^ C bestimm-
ten Richtungen der beiden vorher betrachteten Geraden mit ein
ander einscMiessen, jbo ist bekanntlich:

costt=cosScosS' -f cos^cosV -|> cos^cost^,

also nach 101) und 107):

80 Gruneri: Die aiiffemeimien Cieiekunien und StfenMcAa/Un

oder:
cos

also nach 103) and 108):

110) cos 10

d.r dv dz du , Bu du du Bz

Es ist aber auch:

sin (b* = 1 — (cos£cosf ' + cos i/css V + cosfcos £*)*
= (cos|* + cosiy* + cosf;*) (cosj'* + cosiy'* + cos(;'*)
— (cos S cos I' + cos iy cos fj' + cos i cos f)*,
also nach einer bekannten arithmetischen Transformatioo :

sin w* = (cos J cos iy' — cos iy cos S')*
+ (cos 17 cos J* — cos f cos V)*
+ (c6s{;cos J' — cos Jcosf)*,

nnd folglich nach 101) und 107) :

oder;

. r^ Öii . 3u . 8tt 9ar . , 3x . dxdu^

dtt 02 dtf dj? du dy

Nach 106) Ist: ^•§^=-gi-g^-^-g^« also offenbar:

, a* aor.aa , a« a«,aa . a« . au . an^a«

der kirMesien LMen auf den Fideken. 81

folglicb oacb dem VorhergebeDden , wie man segleieh übersieht:

also nach 103) and 108) :
111) sin CO =

(uy*mxm
-'<-+^fö)"+(i)"+©']-<'i-»i'-'.

wo man das obere oder untere Zeieben zn nebmen bat, jenach-

dem die GrOsse

dy dx

pocitiT oder negativ ist, weil oo zwischen 0 und 180^ liegt.
Ffir Rotationsflächen ist nach {. 9« :

3ii 8m /v
ntd fblgTicb nach 111):

IIS) .m.=± *Si-»8i

s^^^^m^w^n

oder:
1J3) 8ln»=± '^~^^<P

«0 man immer das obere oder untere Zeichen zu nehmen hat,
jenacbdsm die GrGsse

^ hx

P<>>i^ oder negativ ist

Theil XL. 6

82^ Grüner t: Die aligemeinsten Gleichungen und Eigenschaften

Setst roan 9=1, so wird för Rotations -FiSchen:

dy dx

iljx • ^ CS ^ CS

wo man das obere oder untere Zeichen zu nehmen hat, jeoach
dem die Grosse

positiv oder negativ ist.

§. 14.

Das Vorhergehende wollen wir nun auf das Ellipsoid» ins-
besondere auf das Rotations -Ellipsoid, immer für die Axe der:
als Drehungsaxe, anwepden. •

Filr das Ellipsoid überhaupt ist nach §. 11., wenn P seine
bekannte Bedeutung hat:

und

du du „/I I\

also:

Bu

Bx^*

<«-+»-'[©"-(|)'+(l)"]-<'|-

folglieh nach 111):

115)

8^ dx

oder:

dy dx

116) smci>=+ r' "":==*

V^,c.H,.,-(i,-i)''^vHI)i'

der Mtr%e9im Unten auf den Fidchen, 8S

das obere oder untere Zeicheo genoromen, jenachdem die Grösse

dtp ^S^
poeiti? oder oegativ ist.
Seht man nnn aber:

117) jr = acos9C08^9 y:=zbnmq>cosipf zscsin^;

so ist oach $. 12.

also:
„jK . oft cos »•

oder, wton man den Bogen $, was offenbar verstattet, ist, sich
imner so genommen denkt, dass fp and $ gleicbzeitig zanehmen
aod ibnehmen :

im ö6cosi>f«

llV). . . SIO(0 =

|V'<''-^(i-p)>'V

Fdr das Rotations -ElUpsoid, weicbes wir jetzt allein betrach-
ten wotleo, ist also:

a'cos ^*

1»)

sinio=:

I^^My»

bt nQD die auf dem Ellipsoid angenommene Corre eine Kflr-
z«ste, so ist bekanntlich nach 47):

folglicb :

hy dx ^ ^3t

^ nach dem Vorhergehenden :

Wl) a«cost|;«=C^;

^er Bach 120) :

^®) sini»=-7====r.

^iit aber nach 117) für das Rotations -Ellipsoid:

6*

> 1

V

84 Gruneri: Die aUffemeinMten Cieichungen und Siffent€kafi€n

or» + y* = a* ca»ij^*,

also, insofero bekanntlich tfi immer swisehen —90^ ond \^^
genommen wird:

Va?*+y* = acoei/;,

und folglich nach 122):

123) aco8^6ino9 = C,

wobei wir bemerken wollen , dass die Conatante C stets positi
ist» weil tp zwisehen —90^ und -i-W^^^m zwischen 0 und 180^*
liegt, so dass also cos^ und sinoo stets positive Grossen siod.

Aus der Gleichung 123) folgt

cos lif = — : — , tangfü* = Tssln «* — 1 ;

also:

124) tangt=±V ä»'»«*— 1'

indem man das obere oder untere Zeichen nimmt, jenachden f
positiv oder negativ ist. Durch Differentiation nach o folgt aus
der Gleichung 123) :

dti;
cos '^ cos 10 —'sin if^sin od tt ^ 0 >

also:

dii;
125) g- =cott^cotcö,

und daher nach 124):

y ^sino« — 1

das obere oder untere Zeichen genommen, jenachdem ^ positiv
oder negativ ist.

Nach 96) und dem Vorhergehenden ist:

\dm/ \d^) \dmj a** cosecoo* — 1 xdca) '

also, wenn man

127) «• = "

ff«

der kärtetten Linien auf den Fidehen. 85

setzt, wie man mittelst leichter Rechnung indet:

und folglich nach 126):

VW ^"a^ . , , "" "; ^ r '

t Tssio «■ — 1 1 r coaec «■

als«:

>»)•••• fe=±

1 5 6*coaeco>*

-4i

1——^ cosecoo*

wo die Beatimmang wegen des Vorseicbens nachher gegeben
werden wird.

Nach 121) und 123) ist:

also:

d<p'

- C

c

Sinei'

di
128):

Bs

i

dq>

C d(p
sin oal^' Sw*

. C

Jl

= e'cosec od"

ar

Md folglich nach 128):

' d(D sin OD* %i ,1^- .

W I ö cosec 00*

wo in den Formeln 128) und 120) die oberen und unteren Zeichen
auf einander zu beziehen sind.

Wie nun aber in diesen beiden Formeln die Zeichen zu neh-
men sind, kann auf folgende Art ermittelt werden, wozu jedoch
Doch die folgende Annahme nothig ist. Wir wollen nämlich den
zwischen 0 und 180^ liegenden Winkel o) von jetzt an immer so
nehmen, dass derselbe^ von dem durch den Punkt (gn/;) gelegten
Meridiane des Rotations -Ellipsoids an gerechnet, nach der Seite
bin, nach welcher die Winkel q> von 0 bis 360^ gezählt werden,
und, von der Kürzesten an gerechnet, nach der Seite der positi-

86 Orunert: Die aiiffemeiniien GieicAunffen und Eigemchafun

ven ^ bin liegt; dann erheUet durah eise sehr einfache Betraeh-
tung, dass d^unddi, welche nachdem Obigen bekanotlich immer
gleiche Vorzeichen haben, mit d^ gleiches oder ungleiches Vor-
zeichen haben» jenachdem o)<90^ oder a>>9U^ ist. Nach der

Gleichung 125) ist g— positiv oder negativ, jenachdem cottf; und

cot 09 gleiche oder ungleiche Vorzeichen haben. Alles dieses
vorausgesetzt« unterscheide man nun die folgenden Fälle:

I. tp positiv, cot^ positiv.

1. (o<90^y cot OD positiv; k~ positiv; 8^ und do» haben
gleiche Vorzeichen ; dg) und di haben mit di^ gleiche Vorzeichen;

dg) und di haben mit doo gleiche Vorzeichen; ^ und o- sind
positiv.

2. oi>>90^, coto negativ; p- negativ; d^ und do» haben un-
gleiche Vorzeichen; dg) und di haben mit d^ ungleiche Vorzei-

eben; d^ und di haben mit doo gleiche Vorzeichen; «p und k^
sind positiv.

II. tf; negativ, coti/; negativ.

diu

1. oo<90^, cot 09 positiv; ^ negativ; d^ und do9 haben un-
gleiche Vorzeichen; d^ und di haben mit d^ gleiche Vorseicbeo;

d^ und dl haben mit do9 ungleiche Vorzeichen; ^ und k- sind
negativ.

2. 09>90®, cot 09 negativ; k~ positiv; dif; und do9 haben
gleiche Vorzeichen; dg> und di haben mit h^ ungleiche Vorzei-

chen; dg> und d* haben mit do9 ungleiche Vorzeichen; g-^ und g-
slnd negativ.

do) dj

Im Allgemeinen sind also g— und k~ positiv oder negativ,

jenachdem tp positiv oder negativ ist, und man hat also in den
Formeln 128) und 129) die oberen oder unteren Vorzeichen zQ
nehmen, jenachdem tf; positiv oder negativ ist.

Mach 128), 126), 129) haben wir also die folgenden Formeb:

dir k9tr%Mm LMen amf Om Fiäcken, 87

I— «• -s-cosecw*
^

1 f cosec «■

3"^ cotitt

C»

I
l

1 ^cosectt'

fr« stets die oberen oder anteren Zeichen zu nehinen sind, je-
Bachdem ^ positiv oder negativ ist; mit derselben Beetimmang
wegen der Vorzeichen kann man diese Formeln, weil C bekannt-
lich positiv ist, auch auf folgende Art schreiben:

l~e«-^coseca>«
1 j^coseca*

d'^ Ccosoj

J31). . . { d^^^ . .f C« ,

asinco^w 1 jcosecoo*

\

8«,-±sina,«Y l-^fcosee«« '

Anmerkung.

Rfieksichtlich der Gleichung 122) ist noch zu bemerken, dass
dieselbe für Rotations -Flächen im Allgemeinen gilt, und auch zu
eineiD beroerkenswerthen Satze von diesen Flächen überhaupt
^liTt. Nach 114) ist nämlich ftir Rotations - Flächen Clberhaupt:

dt/ dx

we&B man das obere oder untere. Zeichen nimmt, jenachdem
Grösse

88 Grunert: Die oiiffewiHtMen GleUkun^en und &gen»ckafien

8tf dx

X

OH ex

positiv oder negativ ist bt nun aber die betrachtete Curve eine
Kürzeste auf der Fläche, so ist nach 47):

dy dx

also:

C

indem man das obere oder untere Zeichen nimmt» jenachdem C
positiv oder negativ ist. Bezeichnen wir nun den Halbmesser des
Parallelkreises der Fläche in dem Punkte der Kürzesten, welchen

der Winkel o» entspricht, durch r, so ist offenbar r s= \^a^+y*,
also nach dem Vorstehenden:

C

132) sin(ö=±-, rsiow = i:C;

immer mit derselben Bestimmung wegen des Vorzeichens wie
vorher. Sind nun Oberhaupt für zwei beliebige Punkte der Kür-
zesten Tq, »o und r| , (0| die Werthe von r, co; so Ist:

Tq sin «0 = ± C, Ti sin o>i =: db ^;

die oberen oder unteren Zeichen genommen, jenachdem C positir
oder negativ ist; also Ist:

133) roslno9o = Vi^vitti.

Wenn A^AiA^ ein von Kürzesten gebildetes Dreieck auf un-
serer Rotations- Fläche ist, so wollen wir die Halbmesser der Pa-
rallelkreise auf dieser Fläche in Aq, Ai, A^ respective durch fo*
Tif r« bezeichnen; ferner sollen die 180® nicht übersteigenden

Winkel, welche die Kürzeste A^A^ mit den Meridianen in ^o»
Ai einschliesst» durch cooi» Q^io» ^'^ 1^ nicht übersteigenden
Winkel, welche die Kürzeste AiA^ mit den Meridianen in A\i A%
einschliesst, durch lOi« , ' 00^ ; die 180® nicht übersteigenden Win-
kel, welche die Kürzeste A^A^ mit den Meridianen in A^^ Aq
einschliesst, durch (o^o» ^0% bezeichnet werden; dann ist nach 133):

ro sin eooi = ^i »*» Wio .
Ti sin o>|) = r^sin co^i >
r, sin ittgo = ^0 sin Q>oi ;

dir Mnet/Mi UnHn etmf den Fideken, 80

weklie« durch Mnltiplicatton aaf beiden Seiten zu der bemerkens-
werthen, für alle Rotations- Flächen geltenden Gleichung:

134). . . 8inc0oi0iD(O|tsioaiM = sincO|oain(O9|8ln(»os

Ührt

§ 15.

Wenn wir zwei zasammeogebörende bestimmte, und insofern
als coostant zu betrachtende Werthe von id, ^ durch coo» ^o ^^'
xcieboeo; so haben wir nach 123) die folgenden Gleichungen:

136) ... a sin »o ^^^ % = ^» o'ii^ ^ cos ^ 2= C;
aot denen sich unmittelbar die Gleichung:
13Q) sincoocostf/o = slnoocos'^

ergiebt.

Fiärt man für das bekanntlich positive C den Ausdruck

C= a sin «o^cos ^q
io die Gleichungen 130) ein, so werden dieselben :

137)

8y ■ 4/^'" °^*^ g*sin Oq'cos^o*

8« "~ If sin w* — sin a>n*cos ti»«* *

3^ sin (»o cos t/;o co t eo

d(o Vsi n 00* — sin »a* cos i^a* *

0)0* cos ^0'

8f sin 0)0 cos % aTsIu o)^ — g*sin fl)0*cos'^o*

8« sin o* w sin o)*--*sino>0*cos^0^ '

io denen man die oberen oder unteren Zeichen zu nehmen hat,
j«nachdem i|/ positiv oder negativ ist.

Wegen der Gleichung 136) ist aber:

sin CD* — sin 0)0* cos 1^0'

• . -1 — C0S1/;* , .
= sm o)0«costt;0« ^^^^^ = 8ina)o«co8%«tangi/;« ,

V^sino)* — sino)0^cos^0*=:dksino)0GOS^otaog^,

90 Grüner t: Die aUgemeinsten Gleichungen und Bi§en»ekaftm

indem man das obere oder antere Zeichen nimmty jeaachdeiB ^
positiv oder negativ ist; femer ist:

sin »* — e*sln i»o*cos t!;«* = «id o^'cos tt;»^ «^ »

und folglich nach dem Vorhergehenden:

sin (0* — e'sin flOp^cost^p* 1 — «■cos-^*
sin 61* — sin(Do*cosi/;o* sin^*

also:

Vsin o* — «"sin coo^cos i^q*
sincD* — 8ina>n*cos(2;A^ ""

V 1 — c*cos^'

a)o*cosi(;o* sint/;

indem man das obere oder untere Zeichen nimmt, jenachdem ff;
positiv oder negativ ist Daher hat man nach 137) die folgenden,
gar keine Zweideatigkeit wegen des Zeichens lassenden Formeln:

dq> V l — e*cosi|;*
da» sin^

138) . . . < s— =cotcocott|;9

ds sincgpcos^o^y^ -^

5— = c— ; m-; — r V I — e'costi;*'

cm smo9*sin^ ^

§. 16.

Die im Vorhergehenden entwickelten Formeln können durch
Einföhrong gewisser Hiilfsgr5ssen noch in einer sehr bemerkens-
werthen Weise transformirt werden, welche wir jetzt entwickeln
wollen, und zwar, ohne, wie es sonst zu geschehen pflegt^), uns
an geometrische Betrachtungen anzuscUiessen, nach rein analy-
tischer Methode, wobei wir, was wohl zu beachten ist, immer
die Gleichung' 136), nämlich die Gleichung

• sin (Dp cos t^p = sin o> cos 1/;

als erfüllt oder bestehend voraussetzen.

Unter dieser Voraussetzung lässt sich die Grusse P immer
so bestimmen, dass den beiden Gleichungen:

{sin ^p = sin ^ cos P — cos m cos tf; sin P,
sin ^ = sin i^pcos P -f cos copcos ij/p sin P

*) M. i. Archiv. Tbl. XXII. S. 95.

der kür%esien Unten auf den Flächen, 91

ugifidi ^eaSgt wird, wie anf folgende Art geieigt werden kann
Ans diesen beiden Gleicbangen folgt durch gewöhnliche algebrai-
uh% Elimination sogleich :

cos flOp sin 1^0 cos % + cos oo sin '^ cos i|;

"^ cos (Oq cos '^fiS\n^'\- cos o> sin 1^0 ^^^ '^ '
140) ■

. o sin 1/;» - sin tpp^ .

ceso>ocos^o^>'*'^ ■f-cos(»sin'^ocos^
oder, wenn wir der Kurze wegen :

_ coscöpsinif/QCOsi^Q + coso>sint/;cosi/;

cos fiOn cos ilfQ sin ^ -f- cos o sin i\f^ cos 'ti; *
141)

jjf sin»* — 8101^0*

V *^ cos (Oo cos 'f/o sin i\f 4- cos lo sin V^o cos tf;
»etzen: ,

lU) C08P=: 17, 8inP= ü'.

EsUt

DUO:

17» j rtit — (cosflgosintj/pcosil/o f cos a? sin t^ cos i/;)*-Ksin '»*— sin i^/p*)*
~ (cosflOpCosi^psiDtli-f-cos (Dsinif;oCOS»)*

and der Zähler dieses Ausdrucks ist:

(cos »o «In ^0 cos i/zp + cos m sin » cos -»)* + (sin »• — sin i|;o*)*

= (siny^ — sinyo*)*

+ cos i9|,*sin vo* cos y^p* + cos »* sin v^ cos V*

—CO» cop* cos ^p* sin v»* — cos w' sin V'p^cos v*

+ (cos cDp cos Vp sin V + cos co sin Vp cos V')*
= (»in ^ — sin v'p*)(sin v* — sin ^■— cos Wp^cos Vp*+cos w*co8 v*)

+ (cos ttp cos V'p sin v -|- cos oo sin y^p cos y^)*
= (sin v^— sin Vp*)(cos Vp*— cos y^— cos Wp^cosyp* + cos oo^cos y*)

4- (cos oop cos Vp sin y -f cos o) sin y^p cos y)*
= (sio y»* — sin yo*)(«iö Wp*cos yp* — sin ©■ cosy*)

\ (cos iDp cos Vp sin y + cos co sin yp cos y)*
^ (cosiDoCOsypsiny -f cesMsioypCOsy)*,

92 Grünen : Die allgemeinsten Gleichungen und Eigenschaften

wegen der oben als erRillt oder bestehend voraoegesetsten Glei-
chung 136); aUo:

woraus sich unmittelbar ergiebt, dass P immer so bestimmt wer-
den kann, dass den beiden Gleichungen 142) oder 140) zugleicb
genügt wird. Auch ist es verstattet» P als positiv anzunehmen, ood
sich nur zwischen den G ranzen 0 und 2n verändern zu lassen,
wenn man sich bei der Bestimmung von P nur an die folgenden
Regeln hält:

u

V

positiv

positiv

0<P<in

negativ

positiv

\n<,P<,n

negativ

negativ

n<,P<,\K

positiv

negativ

i»<P<27f.

Zur Bestimmung von P kann man sich jedoch Formeln ent-
wickeln, welche bei dieser Bestimmung eine grossere Bequem-
lichkeit wie die Formeln 140) gewähren. Aus der ersten dieser
beiden Formeln ergiebt sich nämlich leicht:

1 + cos P = 2 cos 4P*

(cos a>o cos t^o -f cos cp cos t>;)(sin y + sin ^p)

cos o>o cos ^0 ^^^ ^ ~(~ ^^^ ^ ^^^ ^0 cos ^

1— cosP=2siniP»

(cos a>o cos t^o -- cos o cost(;)(sln ^ — sin ^p) ^

cos CDo cos ^0 S*'> ^ "f cos CD SIO t^p COS t^

also nach sehr bekannten Zerlegungen:

143)

- -j, (cos ooq cos vo + cos o> cos %u) sin \{^ -f v'o) cos4(v» — v>o)
' ^ cos o>o cos V'o sin v^ -|- cos co sin V'o cos y

. 1 wm. (c®s ^0 CO» Vo — cos (D cos v) cos i(v^+^o) »in i( V — Vo)

sin tP* = ; ; : •

* cos Oo cos Vo^"^ V' -f cos 00 sin Vo cos v

Nach der zweiten der Gleichungen 140) ist:

144)

2sin 4(v> + v^o) CO» i(y + Vo) «'p 4(y— V'o) cos Ky/— y^o)

smiPcosiP=: : — ; 1 ; •

^ ^ cos (Oo cos V'o «in V' + cos o> sm Vo cos v

der hür%eiten Unien auf den Flächen, 93

Ao8 dieMn Gleichangen folgt durch Division:

145)

CQg »o COS yp — COS (D C08 v tang^y — ^p)

tang* — ^^jg flj^cos Vo + cos cocos v ' tang4(v' + Vp)

und:

,^_ 2cosi(y^ + yo)sini(y— yrp)

^^ * cos »p cos ^p 4- cos o> cos %p '

146)

cos fljp cos v>p — cos oj cos y

tangiP — 28in iCv' + Vp) cosWv'— Vp) *

Nun ist aber nach 136):

sincopCOSYpp
cos tl; s= i %

tlso, wie man leicht findet:

sin (od -|- fl9p) cosufp

cos »oCOSV'p'-i- cos oocos V' := -r- t

** sin CO

sin((D— o>p)cosvp.

COSOOoCOSVo — cos »cos V = : »

folglieb nach 146) und 146):

ur, ♦ ,p> __»«»(«> T- (Dp) tangKv^ — yp)

IM) . . . «ang*/--^.^^^^^^j.^^^g,^^^^^j

and:

, ^ _ 2sin 10 cos t(y + v>p) sin i(y — yp)

"^* sin(i)D-|-o>p)cosVo

148)

ip sin(a> — a)o)cosyp

"g « — 2 sin w sin \(s> + yp) cos 4(v— Vo)

Weil 0<iP<^Jst, so wird mitteist der beiden letzten For-
Beh P ohne alle Zweideutigkeit bestimmt.

h Shnlicher Weise kann man die Grosse Q immer so he
stiBmeD^ dass den beiden Gleichungen:

WS). . . j

coscDpr^cosflocesQ-)- siniosinv'sinQ,
cos CO = cos oopcos Q — sin copsin Vo s'i*> Q

sogleich geofigt wird. Aus diesen beiden Gleichungen folgt:

94 Grüner t: Die allgemeinsten Gleichungen und Eigenschaften

f sin Wo coö ooo sin y»© + s'"* ® ^^^ ^ siny»

^ Sin Q)oCos 0) 810 Vo + «*n » COS cdosm V
150) ^

COSCJq^ — cos 00* ,

8 "" — sin (Oo cos (0 810^0 + sin 09 cos »o sin y'
oder, wenn wir der Körze wegen:

151)

__^ sinioocoscftosinyo-t-sincocoscosiny
sin ooo cos c» sin y© + *'•" cd cos a>osin v '

cosoap* — cos CO*

sincooCOsoDsin^o -l-sinocosoosinv'

seteen :
152) ...... cose=F, sine=F'.

Es ist nun

i

v% V2 — (8'"»<Po c<>s»)^) sinv»o+sin «o cos co sinv/)*+(cosa)o* — coso*)*
^ (sinoooCOSDDsinv'o't'^io oocoscoosinv)*

und der Zähler dieses Ausdrucks ist:

(sin »0 CO® '"'o 81" ^0 "f 8in oo cos cd sin i^)* + (cos ddo* — cos oo*)^
= (coscoo — cosco)'

+ sin Wq* cos ODo^sin -^o* + *'*" w*co8 oo'sin i/;*

— sin ooq'cos ca'sin %■ — sin co'cOs coo'sin i/;'

-f (sin CDo COS OD sin i^o -f sin o>cos Wq sin i^)*
= (cos o(\>— cos Go)*(cos oöo*— cos 0»* + sin ooo^sin tj^o* ~ sin oo'sin tfß*)

+ (sin ooq cos 09 sin t^,, + sin oocos (Dq sin tf;)*
= (cos flOö* — cos a>^(8in oa* — sin ooo* + sin o»o* sin ^o* •• *'*" o»* ^in '^«)

•4- (sin odq cos 09 sin ^o ~f sin O9cos a>o sin i(f)^
= (cos »o* — cos 09*)(sin w* cos if;* — sin od©* cos ffi©*)

•4- (sin fl9oC08 osint^o -f-sin O9cos oAosin tf;)*
= (sin 09ocos oosin iI^q -f sin 09 cos o>o sin t^)*,
wegen der Gleichung 136); also:

F«+F'« = l,

woraus sich ergiebt, dass Q immer so bestimmt werden kann,
dass den beiden Gleichungen 152) zugleich genügt wird. Aucb

der künesten Unien auf den Fldchen. 95

iit 60 Ferstatlet» Q als positiv anzunehmen, und sich nar zwischen
dei GriUiien 0 and 2^ verändern za lassen, wenn man sich an
die fofgenden Kegeln hält:

V V

positiv positiv 0 < Q < 4»

negativ positiv 1^ < Q < ^

negativ negativ ^ < Q < i^

positiv negativ i^ < Q < ^^s.

Formeln, die eine leichtere Berechnung von Q gestatten, er-
geben sich aof folgende Art. Es ist nach der ersten der Glei-
ebingeo 150):

, . ^ „ , .^ (sin loo sin % + «"^wsin '^) (cos cd + cosiuo)
' ^ *^ smo>ocoso>sint|;o -f-sincDcoMo\>sint|;

1

— ö— 2 I wvfc — (*'" ^0 ^'P ^0 — •*" »^'P ^) (cog » - cog »o) .

tv— 8ina>ocosa)sin^o + *''*o)cos«0ö8inif;

also ucb bekannten Zerlegungen :

153)

^ (sin coosintj/Q -f sin oi)sint(;)cosj(fli>o + a?)cosj(ft>o — eo)
^ sincooCosoosin'^o-l-sincocosflDosin^

. ^^ __ (sin coo sin t^/p — sin ojsin t/;) sin t(a)o + co) sin t(a>o — co)
*^ sincooCOScDsint^o + s^A^coscDosintf;

Nach der zweiten der Gleichungen 150) ist:

154)
. 2 sin ^(flgQ+tt») cos t((»o-f ») sini(wo--«)cos i(a>o - m)

8111 K/COS *W = : ; — ; — ; — ; ; — ; .

*^ siniOoC06Q)sini^o'l'g|'><^coso»osintp

Aos diesen Gleichungen folgt durch Division:

155)
4 j^^ sinoo^sin'^ — siofljsin^^ ,, . x^ ,/

nnil •

tan ;o^ ästn{(a)o + a))sinKo>o--a))
®*^ sinQ9k)Sint(;o-f atncDsinti; '

156). . ;

m— sin ohq sin % — sin cosin t^
^ * 2 cos i(a)o + Q>) cos i(oo^ — «)

96 Grunert: Die aUgemHmten GMckunpen und Sigenichaflen

mittelst welcher zwei letzten Formelo das zwiscben 0 und » lie-
gende iQy also aach Q, ohne alle Zweideutigkeit bestimmt wird.
Auf ähnliche Art wie oben gestatten diese Formelo aber noch
die folgende Umgestaltung. Es ist nfimlich nach 136):

sin a>A cos tf;»

sin CO =: ^^-— — - %

cos^

also:

.... . . sin(Posin(^o-t-»)

sm (»0 sin t(;o + sin cosin t(; = -^^ ,

sin fOQBiWk (^0 *~ ^) .

sin o\) sin ^q — sin cosin ^ =:

cost|;

folglich :

157)

taogie*= S^^^5taogi(a)6 + a>,)taiigKab-».)

und:

, Q _ 2co8t^sini((ao + io)sinji(co^ — cb)

^ sincDoSin(if;o-f ^)

158) {
taneiO = siniOosin(t(;o— 1|;)

^" 2cost^cosi(o\)-|-(D)cosi(o\> — »)*

Wir haben jetzt also das folgende System von Formeln :

sino>ocosipo == sino>cos^;
sin 1^0 = sin ^ cos P — cos a» cos t^ sin P,

159) ^ co8ov>= coscDCosQ-f sii^^i^sio^slnQ;

sin if; =: sin ^^cos P + cos cdoCOS ^q sin P,

cos 00 = cos coq cos Q — sin CQo sin ^ 0 si*^ Q-

Wie P und Q zu bestimmen sind . erhellet aus dem Obigen ;
beide Grossen liegen nach den obigen Bestimmungen zwischen
0 und 2n.

Aus den vorstehenden Gleichungen lassen sich verschiedene
Relationen ableiten, von denen wir jedoch, als für das Folgende
von Bedeutung, nur auf einige aufinerksam machen wollen, die
jetzt entwickelt werden sollen.

Aus der zweiten und dritten der Gleichungen 159) erhält man.

der kür%e$ten Utäen auf den Fldchen, 97

irenn mao dieselben mit cosP und cosQ ronitiplicirt, sogleich die
Gletcbaogen :

sin^— tXn^f^cos P = (sin ^ sin P ^ cos o» cos tf; cos P) sin P,
cos (D — cos floo cos Q = — (cos Msln Q — sin o>sin Hf cos Q) sin Q ;

iUo nach der vierten und ffinften der Gleichungen 159):

I cos 0)0 cos 1^0 = sint^sinP-l-eosoocqs^cosP,
sin Oosinif^o = cos o>sin Q — sin cosin ^cos Q.

Gaaz auf ähnliche Art erhält man aus der vierten und flQnf-
tra der Gleichungen 159) , wenn man dieselben mit cosP und
cos Q moltiplicirty die Gleichungen:

nnt|ro^8in^cosP = — (coso>ocos^o^^*'' — s\nilfQ9\nP)BioP,
€o«fli^-7-co8 ocosQ = (sin coosin fjfQ cos Q + cos odq sin Q) sin Q ;

alco nach der zweiten und dritten der Gleichungen 159) :

> cos iD cos tb = cos flOb cos if;o<^os^ — sintüo^niP.
sin flo sin ^ = sin (Dq sin ^q cos Q -f cos i»o fiiB Q,

§. 17.

Dorch Differentiation der ersten, vierten» fQnften der Glei-
chongen 159) erhalten wir:.

sin (osin t^d^ = cos cd cos t/;d(o ,

cos ^fl^ = (cosoo^cos 1^0 o* ^"* **•** t/;o8in P)dP,

sin (o8o> = (sinioosin'^ocos Q-f-coscoosin Q)dQ;

also nach 161) :

!sin cosini|)d^ = cos cDCostf/do»,
d^ = COS4DdP5
d(D = sin ijjdQ.
Hieraus ergiebt sich sogleich:
163) sino>dP=co8^Q;

ferner:

{8^ = cot flo cot ^flo = coscodPzr cotoocos'if/dQ,
dm 2= tango»tangtt;d^ = sio'^dQ = siniotang^P.
Tktu XU r

98 Grüner t: Die adigemeinsten Gleichungen und Eigenschaften

Wendet man diese Gleic^bangeo auf die Gleichungen 138) an,
so erhält man die beiden folgenden Systeme von Gleichungeo:

8infiaoCOfitt;o = sincocos'^,

ag,-..^Vt-e«co8t(;^.8P,
^ cos t(; ^

und:

sinwocos^^ —^—-

sudioeosi^ ^

sin coq cos iffQ = sin o cos t^ ,

89= Vi — 6«cosi|>«.ae,

Q sincoocostj/o ./-= = .. ^^

^' "^^ sincp« "V7l— e«costt;a.8Q;

folglich, wegen der crimen Gleichung in diesen beiden Systemen:

iÄ«\ J Q sinfl(V)Cos^^/ri^ — 5 -5 K^

166) .. . ^ ög) = — ^^g^i — VI— 6«co8i;/*.3P,

8f = a Vi -- 6«ces i//« . dP;

und:

sincDoCost^o = sin 00 cos t^,
166). 1 3g)= Vi— e*cost(;*.3Q,

3' = «II~^^^ Vi— e«costf;«.aö ,

Man bestimme nun zwei Hölfswiokel Uq, «o ^^^ ^^^^ den bei
« den Gleichungen:

f smiiocosro = 8m^o*
167) <

l cos Uq cos Vq = cos a>0

co8if;o

genügt wird, wozu sich aus diesen Gleichungen unmittelbar die
Formein :

168) .... ^ '^"'•^

^*.o« — ^""^O C08WgC0S%
C08 VA —— "1 zur ■ — —

sin Uq cosuq

ergeben, u«d nur die Frage entsteht, oh die Bestimmunj^ Fon fv>
jederzeit möglich ist, was nur dann der Fall sein wird, wenn

der Mär»e9i§M IMen auf dm Flächen, 99

V sin Ho/ <
ist. Es ist aber:

gln^« _ *»"gV __ c»«o>o^ _ »in t/zp«

^ 1 + taog «0* j tan£if^ sin i/Zo« + co« (»o*coat|?o*^'

also

sin t^o*

sinxxo* ~ **" ^^ **" *^*^* o>o*cosi/;o* = 1 — sin coo^cos t/Zy« •

woraus sieb ergiebt, dass (^~j~^} nie grösser als die Einheit

sein kann , wie es erforderlich ist, wenn die Bestimmung von »©
jederzeit möglich sein soll.

Weil nun nach 159):

sin ^ = sin ij/p cos P + cos cop cos % sin P
ist, so ist nach 167):

sini/; = cos 9o sin (tio + P),
also:

cost^* = 1— cost?o*sin(Mo + P)*
und ,

1 — ^«cos ^* = 1 — ^ + «^cos Vo^sin («0+ i^*

= (I - e«) 1 1 + YZZ^ cos Po*sio(tto +P)* I

~ ^' ■*" — p— co8ro«sin(Ko+P)«|
oder^ vrenn wir

169) .«=--^*

setzen :

6«
1 --««cosif;« = ^{ 1 + a«cos V»in (mo + P)«} .

Also ist nach 165):

sin ooocosif/o = sin 09 cost|;,

170) ja^ = -.ma>oCosi/;o l,eos.o»sin(^;+?)/g^-

ds = ^ Vi + €» COS Vsin («o + P)* . 8P;
woraus man zugleich Obersieht, dass q> und $ mit P, welches nach

100 Grunert: Die ollgemeHut Gleich. u . Eigenschaft, d. kür%. Linien eu\

dem Obigen immer zwischen 0 und 2n liegt, stets gleichseitig
zunehmen und abnehmen.

Für 9 = 9^, if; = if;^j ist nach 140):

cosP = +l, sinP = 0; also P = 0;

und rechnet man nun q> und s von dem Punkte (q>o'fpo) als Anfang
an, so ergeben sich aus 170) unmittelbar die folgenden Formeln:

171)

sin »0 cos if/o = sin cd cos '^y

9,=-sinö,oCost|;oy 1 - cosro*8in(«o+P)* ^^'

-bC V 1 +a«cos VsinCtto + A*)*- 3iP;
o

wo nun Alles auf blosse Quadraturen zurü'ckgefiihrt ist*).

Schlussbemerkung.

Es ist keineswegs meine Absiebt gewesen, in dieser Abband*
lung die Theorie der kürzesten oder geodätischen Linien zu
erschöpfen; vielmehr habe ich, wie auch die Ueberscbrift ans-
dröcklich besagt, für jetzt nur d i e Gleichungen in mehrfach eigen*
thömlicher Weise und vollständiger als dies bis jetzt geschehen,
entwickeln wollen, welche hauptsächlich der spbäroidischen Trigo-
nometrie zu Grunde liegen, und bitte die Abhandlung namentlich
aus diesem Gesichtspunkte zu betrachten und zu beurtheilen. Es
sind aber in neuerer Zeit noch so viele höchst merkwürdige allge-
meine und speciellere geometrische Eigenschaften der geodätischen
Curven entdeckt worden, wobei namentlich auch deren Verhältniss
zu den Krümmungslinien besonders zur Sprache kommen muss,
dass ich es mir zur besonderen Aufgabe machen werde, diese
Eigenschaften, nach gewissen Kategorien geordnet, in besonderen
Abhandlungen, welche sich der vorliegenden und meinen früheren,
die Flächen überhaupt und die Curven auf den Flächen, insbeson-
dere die Krümmungslinien, betreffenden Abhandlungen anschliessen
aod in denselben Jhre Grundlage finden werden, einer eingehenden
Behandlung zu unterwerfen.

•) Diese schnii früher (ThI. XXI!. S. 100) von mir gcfi^ebenen Formeln
habe ich hier in ihren Grnndla^en breiter und TolUtäncfiger entwickelt,
WA« wohl durch die grosse Wichtigkeit derselben gerechtfertigt erscheinrn
dürfte.

*. * *•• * •. • ••• ••• •• ••

♦•••••• . . • z • •

• •••

• • •

• •• •

• • «?

Lommei: Zur tntigr. Üniarel^ bi/TerenkhliiHchwkoen Wr.

• • • ■ • •

Hrr-

TU.

Zur Integration linearer Differentialgleichungen; die

Riccati'sche Gleichung.

Von
Herrn Professor Eugen Lommei

in Schwyz.

§.1. CoDstructioD derjeDigeo linearen Differen-
tialgleichung, welcher

y = z^. I ''%«•'(© - «)/*-! . (ü — ßy-^ .dv^i^.J (1.)

all partikulSres Integral genügt.

Durch Differentiation der vorstehenden Gleichung nach z er-
halten wir zunächst:

^=zz^. r %»•.«.(«— tt)A*-i.(ü—j5)»^».dr

sodann

(3.)

= 1^.7, + 2l2*-i Ji + X(X-l)x^-» . J.

Ldst man diese drei Gleichungen nach J, J| und J^ auf, so
^bt sich :

« " -

.' • 102 ' l^^wim^kf Zuf'lniehMmU/ißeMrey4>fff'epeh/ialffleUAimpen;

J = z-Ky, (4.)

J,=z-A.g_;,-A-.i.y, (5.)

J, = x-A.0«2Ai-A-^.3f+Aa + l).z-^«.^. (6.)

Addirt man nun die Gleichungen (4.) und (5.), nachdem die
erstere mit — («v+j^fi-), die letetere da«;egen mit |» + v multipli-
cirt worden ist, so erhSit man:

(7.)

J "* e*^[(ii + v)v - (av +;j3ft)} (r — «)/*-* . (v - jS)"-» . dv

Berücksichtigt man aber, dass
[((i + v)v — (av + |3fi)](r - a)M-i.(r — jS)^-^rfr = d[(v — a)^.(t? — ft^J
ist, so hat man nach der Methode der theilit'eisen Integration:

(8.)

/ *** «*•[(/* + v)o — («v + /3|*)1 (» — «)'*" ' • (» — ^)''~* • dv

Sind nun (i und v positive Zahlen , so kann man v^ =z a und
f)^ = ß setzen; alsdann verschtvindet zur Rechten das vom Inte-
gral-Zeichen befreite Glied, und die Gleichung (7.) erscheint, wenn
man den jetzt aus (8.) sich ergebenden Wertli des Integrals dort
einföhrt, in der folgenden Form:

/

(9.)

ß
e" . (v — tt)!' .{v — ß)" .dp

Addirt man ferner zur unveränderten Gleichung (6.) die Glei-
chungen (4.) und (5.x erstere mit aß, letztere mit — (a-^^) mal-
tiplicireod, so erhält man:

tue RtccaWsehe GMehung. 103

(10.)

/

Die Wertbe ^ur Rechten In den Gleichungeo (9.) und (10.),
einander gleich gesetzt^ liefern endlich, nachdem man noch mit
2^-l-s flialtiplicirt und nach Differentialquotienten von y geordnet
hat» die verlangte lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung:

(II.)

+ (X(i+l-^-v) + (A(a+/3) — «V— iJfi)2 + ajfe«]y=:0.

So lange f& und v positiv sind, wird derselben durch das par-
tiknläre Integral

y^i>'j e*^(v — a)/*-i . (v - jS)"-' . dv

(12.)

genagt.

Denkt man sich in der Gleichung (II.) V, (i\ v' an die Stelle
von i, fi, V gesetzt, so wird die neue Gleichung durch das Integral

y-^^'f «»•(» -a)^'-».(t>— /3r-* . dv (13.)

a

erflttlt, «veno nur fi' und v' positiv gedacht werden. Die neue
Gleichung wird aber mit der (II.) identisch, wenn man die Gros-
%em X\ ^\ V ans den Gleichungen

^'(a + W — av'-/3fi' = A(a + ft — «v — /J/Ä,
il'(V+l-K~i'0=K^+l— fi-v)
bestiinait. Mau findet (ausser l' = k, ii'=zfi, v' = v):

^' = l-v,
V=l-^.

104 Lommel: Zur IrUegration iinearer Differentialgleichungen;

Substituirt man diese Werthe id die Gleichung (13.), so hat
man als zweites partikuläres Integral der Differentialgleichungen.)
das folgende:

y = z M-i-Ai-i' . / e*\v - «)-» . (f> — /3)-A* . dv.

(W.)

Dasselbe gilt für alle Werthe von fA und v, welche zwischen
— OD und -f I liegen« weil für diese ft' und v' stets positiv sind.

Wenn daher f& und v beide positiv und kleiner als
1 sind, so ist:

(15.)

a

+ Ct.2Hi-/i-f. / e^^.{v-a)-^.(v'-ß)-f^.dt>

das vollständige Integral der DifferentialgleichungClI-)-

§. 2. Für |ii-f v = l wird das zweite partikuläre Integral (HO
mit dem ersten (12.) identisch, und die Gleichung (15.) kann jetzt
nicht mehr das vollständige Integral der Differentialgleichung (11-)
liefern. Alsdann wird ihr aber, ausser durch (12.), auch noch
durch das partikuläre Integral

(16.)
y =>z* 1 e*^(v — «)^-» . (v — ßy-^ . log [z(v — a)(v - jj)] . dr = x^ • F

a

genügt. Um dies nachzuweisen, constroiren wir zu diesem Inte-
gral die entsprechende Differentialgleichung und vergleichen die-
selbe mit der obigen (11.). Man findet aber aus (16.) durch Dil-
ferentiiren nach 2:

(17.)

nnd

(18.)

$^ = 1* . F. + 2Aj*-» . F, + Ki-1)«^» . F+ 2»*-» . 7, + (2i— 1 )«*-»• J'
wo zur Abkürzung

die Rtccatt'sehe eiHchung. 106

F, statt J «••.».(»— «)/^i. (»—/»)•-», log [i(c—«)(e—|J)]rfr

m

himI

F3 statt J «*».r*.(ü-a)/'-^(r — /J)^i.logfi(r — a)(ü — /3)]rfi?

gesetzt worden, während J und J^ die nämliche Bedeutung ha-
ben wie Im vorigen Paragraphen. Löst man jetzt die Gleichun-
gen (!«-) h\s (18.) nach F, Y^ und F, auf, so erhält man :

F = »-*.y, (19.)

Fl = «-* . ^ — lz-^>.y - x-i . J, (20.)

(21.)
F,=r-i.2j-21*-A-».^+i(A+l),-A->y_2z-i.J,+,-«j.

Nun werde die Gleichung (19.) mit — (av + /3/*), die Gleichung
(20.) dagegen mit |»+v multiplicirt, und zu Ihrer Summe beider-
s^is noch 2J|~(o-|-/?)J hinzugezählt, so kommt:

(22.)

J ^ . [(M+«')»-^««'+/^^)] («—«>«-».(»— /3)»-Mog[2(tJ-a)(tj - ß)ldt

m

^J «•«'(2«— a-/3).(tj— «)M-i.(t>— /J)»-t.iit,

a

= (f*+v)2-^.^-X(f*+ir)2-A-i.y

— (av + j5^>t-^.y+2Ji-(« + ßJ-(^ + v)i-iJ.
Nun ist aber

[(l* + v)«—(cw + /3fi)].(o— «)/*-!. (u-/3)^».log[2(D-.«)(t,-.i5)]iic

+ (2» — a— /J) (r - a)A*-^ (c — /S)»-i . rfü

=rf((r-a)A*.(r-^)^.log[i(tJ-a)(t>-ft]).

Wendet man daher in (22.) zur Linken die Methode der
tbeilweisen Integration an, so erhält man naeh Eioföhrung der
Grenzen:

106 Lammet: Zur InUgralion linearer Di fferentialgMchungen;

(23.)

/

+ (a + ß)z'-KJi-(^ + v)2-'^.J.

Das nämliche Integral gebt aber auch hervor, wenn man die
Gleichung (19.) mit aß, die C20.) dagegen mit —(ct + ß) moltipli-
cirt, und ihre Summe zur unveränderten (21.) hinzuzählt. Man bat
demnach für eine und dieselbe Grösse zwei Ausdrücke gefunden'
welche, einander gleichgesetzt, die folgende Differentialgleichoog
geben :

(24.)

+ [A(A+l^fi~ V) +(A(a + /3)-av~/3rt2+al32«]y = (fi+v-l).2A.J.

Da diese Gleichung für ii + v=l mit der Gleichung (11.)
ideii tisch wird, so ist hiermit bewiesen, dass in diesem Falle die
Gleichung (16.) als partikuläres Integral unserer Differerrtialglei-
chung (11.) genügt. Man kann daher, wenn fi4-v=l ist, und
fi und V beide positiv sind, für die Gleichung (11.) das
vollständige Integral

(25.)
9 Ä Cit^ I e»«'(© — ay^-i . (© ^ ßy-^ . dv

a

^C^t^.f^ e*^.(v^ <»)M-i . (p-ßy-^ . log [2 (o - «) (o — ßj\ dv

a

angeben.

§. 3. Wenn u positiv ganz un4 gleich m -|- 1 und ebenso v
positiv ganz und gleich n -f 1 ist, so liefert jeder der beiden
Granzwerthe des Integrals

y—i^l e»». (p - a)"» . (©— /5)"rfo

ein partikuläres Integral der Gleichung (11.).

Beaeichoet Baulich 9(0) eme beliebige FobcÜm voa t>, m
ist bekanntlich:

die Riecati'scke Gieichung. 107

«emi aater ip^^\v) der Ate DiflfereotkJquotient von tp nach t> ver-
standen wird» und das ^uromenzeicheD 5 vor de^ii eiogeklanimer-
ten Aundinck andeutet, dass in denselben st^tt des deutschen
Bachstaben a Null und jede positive ganze Zahl nach und nach
eintosetzen und schliesslieh' Hie Summe aller so entstandenen
Glieder zu nehmen sei. Nun ist im obigen Falle

Setzen wir in diesen Ausdruck r -f- A an die Stelle von o und
entwickeln nach Potenzen von A, so ist (p^^){t>) nichts anderes als
der Qoeh mit a! multiplicirte Coefficient von h^ in dieser Entwik-
kelon^. Man findet aber durch Anwendung des binomischen

Lehrsatzes :

(r — a + Ä)«».(» — ^ + A)"

nL_^^ .(c-«)«-fc.{c-i3)-<.ÄH.J.

Demoacb ist:

ffo die untergesetzte Gleichung h-\-f=' fi ausdrückt, dass statt h
Qod c Dor solche positiv ganze (oder Null-) Werthe gesetzt wer-
<ien dürfen, welche a zur Summe geben.

Setzt man nun hierin a an die Stelle von v, so verschwinden
älie Glieder der Summe mit Ausnahme desjenigen, fär welches
^=fli und folglich c=:a~m ist, und man erhält:

''^'^W = (fl-m)!'<«'-<^>'^'"'-

Da c nicht negativ werden kann, so darf a in dieser Formel
*v solche Werthe annehmen , welche gleich oder grösser als m
Qod. Wir kunnen daher in derselben m-fA &o die Stelle von a
^en, und dem neuen a wieder, wie früher» Null und jeden po-
^^en ganzen Werth beigelegt denken. Die so umgestaltete Formel

108 Lamme i: Zur JnUgratfon linearer Di/TerentialgMchungen;

g,(«H^)(p) = (-!)•-«. ^-^^^31^1 0»-«)"-« (».)

liefert uns, (är o = a, alle Differentialquotienten von 9, vom Juten
an bis zum (iii-)-n)ten ; alle Differenttalqaotienten nämlieb von einer
niedrigeren als der mten Ordnung verschwinden für 0 = 0,
während diejenigen von einer höheren als der (m-|-n)ten OrdnoDg
ohnedies Null sind.

Setzt man diesen Werth von 9^""-N)(o) in den Ausdruck xur
Rechten der Gleichung (26.) ein, nachdem man daselbst eben£dl«
a mit m-t-a und 0 mit a vertauscht hat» so ergibt sich der untere
Grenzwerth des Integrals (12.) , wenn der constante Faktor
( — 1)~+".(/3 — a)" als unwesentlich weggelassen wird» in folgender
Gestalt:

3" = ''"•^L a!(/?-a)-'-'-"-'-'J-

(28.)

Dieser Ausdruck soll nun, wenn man ihn in die Differential*
gleichung (11.) an die Stelle von y substituirt, diese Gleicbang
identisch machen. Um dies nachzuweisen, bezeichnen wir die
Summe In vorstehendem Ausdruck der Kurze halber mit Z, und
finden aus

die Differentialquotienten

dl

und

= e«» . Z* + 2«e«« . 2" + cV» . £ ,

wo 2^ und £* die erste und zweite Ableitung der Summe 2
nach z vorstellen. Diese Ausdrücke » in die Differential gleichung
(11.) substituirt, bringen dieselbe auf die Form:

(29.)
i«r*-.(/J— a)i«2:' + (m + «+2-.2A)i^— (/J-«)(m— i + l)i2:

+A(i— l-si-.«)i: = 0.

POhrt man hier In den Ausdruck zur Linken statt £^ JB* und
X* die obige Summe aus (98.) und Ihre Ableitungen ein, so ninunt
derselbe, unter ein einalgee Summeoseiehen gebracht» sunSehst
die folgende Gestalt an:

(m+a)!ii*»i-^

aie RiccatfiChe Gleichung. 109

(jl— I* — a - 1) (iL — in - a — 2)2^-"»-«-i ^

^t^irS?- 1 +('«+«+2-2i)a-«.-.--i),*-— ].

l + i(i — 1 — m - b)!*-»»-«-» '

Diese Summe läBst sich leicht in die beiden folgenden zerlegen :

roo denen die eretere offenbar auch so:

_gr(m+« + l)!n»+M-i ,_^,_n

geccbriebeu werden kann. Sondert man jetzt von der zweiten
Smnae das erste Glied dadurch ab, dass man suerst 0 und dann
t-t-l u die Stelle von a setzt, so wird dieselbe, weil eben jenes
«rate Glied Null ist:

+ ^L aHß-aY •* J"

Sie ist demnach der ersten Summe gleich and entgegenge-
setit, ond der Ausdruck zur Linken in (29.) ist wirklich der Null
gieicb. Der Eingangs des gegenwärtigen Paragraphen ausgespro-
chene Satz ist somit fflrden untern Grenzwerth des Integrals (12.)
erwiesen. Der Beweis für den obern Grenzwerth ist dadurch
^r ebenfalls geliefert, indem derselbe aus dem Vorigen hervor-
gebt, wenn man nur durchweg o mit ß und m mit n vertauscht.

Sind daher fi und v beide positiv ganz und resp.
gleich fii-f l und gleich it-|-l, so genügt der Differen-
tialgleichung (11.) folgendes allgemeine Integral:

(30.)

,=c....5['-^y:-;--'"----]

+ci.rf..s[(-i)..&±*i;^j!^'.^-.-.].

Sind dagegen fi und v beide negativ ganz und be-
mhlich gleich— n and gleich — m (wo m oder n oder beide
zugleich auch Nail sein kOnnen), bo genfigt jeder der Grenz-

110 Lommel: Zur Integration linearer DifferenUtUgleickungen;

werthe des Integrals (14.) fflr sich der Gleichaog (II.),
und ihr allgetneines Integral ist das folgende:

(31.)

tt^..>..5[,-.).."-^'>;i-:--'-..H-].

Der Beweis hierfür kann ganz in derselben Weise wie vor-
her gefuhrt werden.

§. 4. Wenn man in der Gleichung (IL) il=:0 anoimmt, qod
nachher mit z wegdividirt, so geht dieselbe über in die folgende:

(3-2.)

x-^ + [<*+«'-(« + «»]-ä + [-«'-jS^ + «p*].y=a

Es ist dies die nSmliche Gleichung, welche Herr Spitzer in
seinen trefflichen „Studien über die Integration linearer
Differentialgleichungen*' so meisterhaft behandelt hat. Ihre
Integrale ergeben sich^ unter den nämlichen Bedingungen für
jit und V, aus den oben för die Gleichung (11.) aufgestellten, wenn
man daselbst il = 0 setzt.

Sind daher fi und v beide positiv und kleiner als 1, so genoet
der Gleichung (32.) das allgemeine Integral:

(33.)
e*^{v — a)/^i . (r — ßY"^ . du

a

+ C^ . i^-ß-^ . / e«.(D — a)-^ . (17 —ß)-^ . dv.

a

Wäre zugleich fi K v = I , so müsste als allgemeioes Integral

(34.)

yz=iCr.J e'^{t) — a)i"-i • (c — /J)^-i . dv

a

•k-C^f <?•".(»— a)^-*.(t?-/3)'^Mog[2(r-a)(t)-/5)].dr

a

genommen werden.

die MceaU'sehe SMckun§. . Hl

Siod ferner fi und v beide positiv gani und beziehlicb gleicfi
n-l-l und gleich n-f 1» so hat mao

(3Ö.)

aU illgeineines Integral. Wenn dagegen ^ ond v beide negativ
gani oDd resp. gleich — « und gleich — m (oder auch Null) sind,
so genfigt:

(36.)

+ Ca.e/'».SL(-.J)« J^—^^ .,m-aj.

Zfl derselben Gleichung (32.) und ihren Integralen (33.) bis
(36.) /»elawgt man auch, wenn man in (II.) ;1 = |[a + v--1 annimmt,
ood naebtr8glich ^ durch 1— v und v durch 1 — jü ersetzt.

§. 5. Nun denke man sich in den Gleichungen (11.) und (32)
anter 2 eine beliebige Funktion von ar, und setze demgemäss

and

dz^^ z'^ 2'«"'

*fo die Ableitungen von y und 2 nach x durch Accente angedeu-
tet «ind. Jene Gleichungen gehen alsdann in die folgenden aber:

(H.a.)

'V+[(f»+ V- 2A)w'«- (a + /?)2V« -- 2V]y'

+ Wi + i — ^— v)x'» + (A(a + /?) -^«V — /?|[*)22'»+«/J2V% = 0,

(32.a.)
^Y+[(«*+v)2'« - (a+ i8)t2'«-22 V + [-(«i'+i5fi)z'»+ «/3w'»j^ = 0.

E« genfigen denselben natürlich noch die nämlichen Integrale,
'»wehe in den vorhergehenden Paragraphen för die Gleichungen

112 Lommei: Zur In^gration itnearer Di/Ter enttaigieickungen;

(11.) und (32.) angegeben worden 8tnd, wenn oor aocli in den
Integralen statt z die obenerwähnte Funktion von x gedacht wird*).

Man kann nun die Gleichungen (H.a.) und (32.a.) vortheilbaft
benutzen» um aus ihnen unzählige lineare Differentialgleichungen
nicht blos zweiter, sondern auch höherer Ordnungen saromt ihren
Integralen abzuleiten, bezeichnet man nämlich, sowohl in (H.a.)
als in (32.a.), die Coefficienten von y*', y' und ^der Reihe nacb
mit Z^, Z| und Zq, so dass jene Gleichungen jetzt in der Gestalt

Z^"-\-Z,y'-\-Z^y = Q (37.)

erscheinen, und differentiirt diese Gleichung nmal nach :r, so er-
hält man nach dem bekannten Theorem des Leibnitz:

(38.)

Bricht nun diese Gleichung, ffir irgend eine bestimmte Funktion

d^y
X von ar, mit t— ab, so setze man

d^v

man erhält alsdann eine lineare Differentialgleichung der (it-f 2~m)ten
Ordnung in w sammt einem ihr genügenden Integral (39.), wenn
nur in (39.) unter y das jedesmalige Integral der, Gleichung (37.)
verstanden wird.

*) Die ßexiehungen zwischen den beiden Funktionen y und 8, welche
durch die Differentialgleichangeji (H.a.) und (32.a) und ihre Urglei-
chungen autgedrückt sind, bestehen natürlich fort, welche der beiden
Funktionen man auch als Unbekannte ansehen mag. Ordnet man daher
z. B. die Gleichung (32.a.) nach Differentialquotienten von s, indem mtn
% als unbekannte, y als beliebig gegebene Funktion von x betrachtet,
so genügen der nichtlinearen Differentialgleichung

noch immer die Integrale des $. 4.. wenn in denselben unter y die aiin-
liche gegebene Funktion reo X verstanden irird. -

die Riccatf sehe Gleichung. 113

Wie nätzlich aber dieseit Verfahren för die Integration linearer
Differentialgleiehimgen sei, möge aus den folgenden Beispielen
erkaont werden.

$.6. Setzt man zuerst in Gleichung (II.) z-=x, so dass

Z, = (^ + V - il)x - (« + ß)x*,

Zb= a(i+l — **— v) + Wo+/S)— «v-|S(»)a: + aßx*

wird, 80 ist die neue Gleichung von der ursprünglichen (11.) nicht
verscbieden. Substituirt man aber ihre Coefficienten Z^, Z^ und

2^ io die Gleichung (38.)) so bricht diese mit , ^^J^ ab, und man

gelangt, , ^_g =iw setzend, zur folgenden linearen Differential-
gleichung vierter Ordnung :

(40.) .
^r««r"" + [(f* + V — 2A + 2n) o: - (« + /3) a:«J w'"
r A(A + l-fi-v)+h(fi+v-.2A + n-l)T
L+((Jl--2ii)(a + ß) — av~i5|it)ar + a/Jar« J"'
+«[(il— n + 1) (a + ß) - «v- /?fi + 2aßxyo' + a/Jn(n — 1)«, = 0,

vqp welcher man jedesmal, unter den nämlichen Bedingungen ffir
ft Dod V, ein partikuläres Integral mit zwei willkOhrlichen Con-
staoteo findet, -wenn man das betreffende allgemeine Integral der
Gleichimg (11.) (n— 2) mal nach x differentiirt.

Für a = 0 geht die Gleichung (40.) fiber in die folgende Glei-
<^kaiig dritter Ordnung:

(41.)

ar«tc'"+ [(f* + v-.2A+2ii)a: — /3ar«]io''

+ [it(it+l-f»-v)+nOi + v-2A + «-l) + /?(;i-^^2n)arV

+ ßn{k — 1[*— n +- 1) w = 0,

welcher z. B. in dem Falle, dass ^ und v gleichzeitig positiv und
kleiner als 1 sind, nach Gleichung (15.) das folgende partikuläre
integral genGgt: ^.

o
Tkta XL. 8

114 . Lommei: Zur Integration tinearer 'DifTerentialgteichungen;

Ffihrt roao io dasselbe vermittelst der Gleichung v=:|^ die
oeue Veränderliche u ein, and nimmt die in beiden Gliedern «ch
ergebenden constanten Factoren mit in die willkürliehen Coastan*
ten hinein, so nimmt es die folgende etwas bequemere Gestaltan:

(42.)

Natürlich kann auch in den übrigen Fällen, in welchen oben
das Integral der Differentialgleichung (11.) angegeben wurde, ein
partikuläres Integral der Gleichung (41.) in derselben Weise ge-
funden werden.

Setzt man In (41.) auch noch

so sieht sie sich auf die folgende Gleichung zweiter Ordnung zorfid'

(43.)
«^' +[(v— n+ 2)ar— /»««Jw'+Hl — f»)— /?(« + l)a:] w = 0,

f

welche ebenfalls unter den nämlichen Bedingungen, wie die Glei-
chung (11.)« si<!li integriren lässt. Setzt man aber in (11.) NaU
statt a, X statt 2, 10 statt ^, A| statt A, ^| statt ^ und V| statt r,
00 dass sie jetzt die Gestalt

(11'.)

x*to*'+[(f*,+Vi-2Ai)j:-^j:«]ir'+[Ai(A,+l-fi,^Vi)-j?(^-A|)j:]ir=0
annimmt, so coincidirt diese Gleichung mit der (43.), wenn mao

setzt. Der Gleichung (11'.), welche aus der GJeicboQg
(II.) für 0^0 hervorgeht, entspricht daher das allg«*
meine Integral:

(44.)

rf» /•*

= ^ / e^«[Ci ;r«+/'-».tiM-».(l ~tt)»-'HCia:«-«'.ii-» (l-ii)-4

aar\j

o

wenn nur A| negativ echt gebrochen und == fi — l, feroel
ffti positiv (unecht) gebrochen und z=n + fi und Vt o«'
gativ gebrochen und gleich — n-|-v gedacht wird.
Wenn dabei gleichzeitig ft -f v = 1 stattfindet, so gilt (nach (25.]
das folgende aligemeine Integral:

die Riccatfsehe Gletckung. 115

(46.)

Wäre ferner in der Gleichung (11'.) A| = — 1, fA^ positiv gans
qimI gleicb -{-n and V| absolut genommen eben so gross aber n«-
^v, Därolicb gleich — n (also fi = v=:0), so hfitte man za der
jetugeo Gleichung:

xw" + (2 — ßx)w' — i5(n + l)ic = 0 (46^)

aos (31.) das folgende scheinbar allgemeine Integral:

welches sich jedoch ersichtlich auf das blos partikuläre

nrücknehi Das andere partikuläre Integral wäre dann noch
mittelst der bekannten Methode der Variation der willkürlichen
Coosdnten hinzu zufinden*

Maa setze endlich in den obigen Werthen von Z^, Z^, Zq
^bII statt X, , so dass aus ihnen die Coefficienten der Gleichung
(31), oimlich :

Z^ = X,

Zi =^ + v — (a+/J)x.

Zq = — kv — ßfA-^-aßx I

bmorgehen, and wende auf diese jetzt die Gleichung (38.)' an.
Maa kommt dadurch auf die folgende Gleichung dritter Ordnung:

(48.)

jrtc*+[|[* + v+n — (« + i3)ar]ia"
-f [— av— l?!^— n(a + j3).+ a/Jar] w' + a/3nto = 0,

liereo Integrale aus denjenigen der Gleichung (32.) erhalten wer-
^ wenn man dieselben (n~*l)mal nach x differentiirt, übrigens
&ber die Bedingungen beibehält^ welche in §. 4. für diese Integrale
gegeben sind.

Nimmt noan auch noch a=:0, so geht die vorige Gleichung
iodi« folgende zweiter Ordnung über:

a?io*' + (fi+i/+n--/Ja:)w'— /J(fi+fi)w=0. (49.)

8*

116 Lommel: Zur Integration linearer DifTerentialgletehungen;

Diese ist ein spezieller Fall der Gleichung (32.) fQr Noll statt
a und n-f fA statt fi. Ihr Integral wäre z. B. in dem Falle, dass
|[i and V beide positiv umi kleiner als eins sind, das folgende:

(50.)
fp = ^ y*e/»»*(Q.i«»-».(I—u)''-»+Cia;i-M-».ti-»'.(l— !«)-/•].«/«,

0 •

§. 7. Man nehme ferner i:=,x\ so ist nach (H.a.):

Zi = 2[2(f* + v — 2A) — l]ar*— 4(o+/J)a:«,

Zo =8A(A+i— fA — v)ar»+8[A(a + ß) -av-/Jf*]j:« + 8aj5ar''.

Nun werde o = 0 gesetzt and mit 2ar' wegdividirt, so dass man

o:« statt Za,

[2(|[*+v-2A) — l]ar— 2/Ja:» statt Zj
und

41(A + 1— fi— v) + 4i?(A— |[*)ar« statt Zo

erhält; durch Anwendung der Gleichung (38.) auf diese letzto'ei
CoefBcienten ergibt sich folgende lineare Differentialgleichnng
vierter Ordnung:

(51.)

a:*w'''H[C^(f* + V + » — 2A) — 1)0:— 2/Jx8]fo'^

+ [n(2(fA+v-2A)+n-2)+4A(X+l-f*-i;)+2/J(2(i-fA)-3n):r*lw'
+ Ißn [4(A— f*)— 3(n— l)]o;w' +2/Jn(n - 1) [2(A— fi)— « +2]ir=0,

welcher in dem Falle z. B., dass fi und v beide positiv and klei-
ner als 1 sind, das partikuläre Integral mit zwei willkfirlicbea
Constanten

(52.)

<^-"

^—l^y e^"*[Cia:«tiM-«(I-«)''-'+Cia:«(A+i-M-»)B-»(l_„)-/,jda

O

entspricht.

Setzt man in (51.) 2(A— fi)— n+.2 =0, und bestimmt X aus
dieser Gleichung, so erhält man eine Gleichung dritter Ordnung
sammt partikulärem Integral.

die Riccaifsehe Gleichung. . 117

Wird in den obigen Co^fBcienten aoch noch A ^ 0 gesetzt,
und nochmals mit x wegdividirt, so dass jetzt

X statt Zt»

2(|* + v)— I-2ßjP statt Zj
and

— 4/?fAa: statt Zo

herrorgeht, so erhält man durch. An wendang der Gleichung (38.)
die folgende Differentialgleichung dritter Ordnung:

(53.)
x«*+[-2(f*+ v)+n— l-.2j8ar«]ii7"— 4/J(fi + «)ario'— 2j8n(2^+n-l)tc=0
sammt einem partikularen Integral:

(54.)

w = ^^^iii /^*«/»«'»[CiuM-i(l-ti)'-i+C;^«-«(A*^^^ -tt)--»]dtt.

o

Nimmt man in obigen Coefficienten auch noch fA-f v= i» so
kGoneo dieselben nochmals mit x wegdividirt werden, und man
erhält:

1 statt Z,,
— 2ßa: statt Zj,
-4/Jfi statt Zo;

welche Werthe, in Gleichung (38.) eingesetzt, zur folgenden Dif-
ferentialgleichung afweiter Ordnung führen:

w" = Ißxw' + 2/J (2ft + n) 10. (56.)

So lange jn positiv und kleiner als \ ist, genOgt ihr das all-
geseine Integral:

(66.)

o

§• 8. Von der Gleichung (32.a.) ausgehend, setzen wir zzzzx^
imd a^^O, und erhalten, nachdem noch mit 3a:^'wegdividirt wor-
den ist, die Coefficienten:

Za = a:,

Zi=3(f* + v)— 2— 3/S;r»,
Zo= -9/?^«;

118 Lommel: Zur InteffraUon Unearer Differentialgleickungen;

welche, nach Gleicbang (38.) behandelt, die folgenide Differential-
gleichang vierter Ordnung:

(57.)
xu>'"' + [3(fA+ V) + n -2— 3/5ar»]fr*'-»9/J(^+«)j:*io''— 9/J«(2^ + ii-l)^

— 3/3ii(n~l)(3fA + n-2)fo = 0

sammt einem partikulären Integral (fär jt* ^ n ""^ ^ ^ 0 ^

(68.)
w = ^^/* ^/'"'•[Clu^-Hl -«)"-*+ C'aar»-»0"+'')u-''(l—tt)-'']4f

0

liefern.

Nimmt man in den obigen Coefficienten auch noch ft-|-v=!,
80 kann man dieselben nochmals mit x wegdividiren, und bekonnt

1 statt Zo,

— 3/Ja;« statt Zi,

— 9/Jf*ar statt Zo.

Diese Werthe, in Gleichung (38.) substituirt, fuhren auf <ii€
Gleichung dritter Ordnung: *

t©«'=3i5j:2ti7''+3i5(3ft + 2n)j:tr' + 3j8ii(3fA+n — l)tr, (59.)
welcher der> zwei willkQrliche Constanten enthaltende Ausdruck

(60.)

. fo =j^^J <?^«''[CiuM-i. (I — tt)-/*-* + Cia:«-I. (l — u)-'']*«

o

unter der Voraussetzung GenGge leistet, dass fi positiv und klei-
ner als ] ist. — Die Gleichung (59.) ist aber dieselbe, welche
Herr Spitzer im Archiv Tbl. XXXVIII. S. 134. construirt bat

%, 9. Es werde, ebenfalls in Gleichung (32.a.), z-=±x^^ a=^
und \fk'\'V^=i\ gesetzt, so werden ihre CoefficIenten :

Z.= l,

Zj= — 4/3a:»,
Zo = — 16/?^«.

Durch Substitution dieser Werthe in Gleichung (38.) resoltirt
die folgende DifferentialgletcbaDg vierter Ordnung:

(tfe mecateuhe OMekung. 119

(öl.)

«"- = Aßa*v>"' + 4^ (4f» + 3n) x*w" + Aßn (8fi + 3« - 3)«»'

+ 4ßn{n-I)(4^+n-2)»,

21 welcher

(62.)

tis partikallres Integral geh5rt, wenn nor ^ positiv und kleiner
als ! gedacht wird.

\, 10. Gehen wir wiedemm von der Gleichung (H.a.) aus, und
seUen in deraelhen 2=jr'^, so werden ihre CoefBcienten sunftchst:

Z. = -;

Z,= 0»+v— 24-r2)ar-»-(« + /J)«-«,

^ = - l(Jt + 1 _^— v)x-« — (i(a 4- 18) — av - /J|[*)ar-^— «/»«-•.

Niarot man jetzt a = 0 und multiplieirt alle drei Ausdrücke
ort -j', so erscheint:

a:> statt Z«,
ßo: - (fi+ V — 2Jl- 2)0?« - statt Zj

DIHJ

/5(A-^) + i(il + l— f*— v)^ Statt Zo.

Wendet man auf diese Werthe die Gleichung (38.) an, so er-
iült man die Differentialgleichung dritter Ordnung:

(63.) xhc"* + [/Ja: + (2;ir + 2 + 3» — f* - v)^«]tc''

+[/l(ii + l«^) + („(4i+3« + 1-2|[* -2v) + 1(1+1— f* -v))j?]ic'
+ «[(11— l)(21+n-^— v) + l(l + l-|»-v)ltr=0,

ud ein partikuläres Integral derselben :

(64.)

= ^^j e ' [Cix-^/«-*(l-t«)»-»+Cia:H-»'-i-ltt-»(l-ti)-M]dif.

0 ^

Setzt man in -den obigen' Coefficienten Z^» Zi, Zo auch noch
^^Mf 90 hissen sich dieselben mit x wegdividiren, und es geht

Z^ in al^9
Zx in /J+(2+f»-v)j:
und 2^ in Kl— i^)

»=

120 Lommel: Zur Integration linearer DilTerentialgleichunpen ;

« über. Aus diesen Werthen ISsst sich durch unsere Methode die
Differentialgleichung zweiter Ordnung:

(65.)
a:*u>" + [lJ+(2n + 2+ f* - v)j:]fr'+ [n{n + H-fi-v) + fA(l — v)]ir = 0
ableiten, deren allgemeines Integral

(66.)

10 = ^ / . e'[C,a:-»M.ttM-i(|— tt)i'-i+ Cijr'-i.tt-i'(I— tt)-Mjrfir

0 •

ist, wenn fi und v beide positiv und kleiner als I gedacht werden.

§. 11. Es werde ferner in (ll.a.),s = a:l gesetzt» so erhält
man :

' Zi=J(f* + v-2A + l)j:-i-i(a + /J),
Zo = U(A+l-^-v)a:-l+J(A(a + /3)-afi-^v)j:-*+»a/J:

Nimmt man jetzt a=z — ß und v=z ^ und multiplicirt alle drei
Coiefficienten mit 8x1, so kommt: ,

4a:* statt Z^,

2[2fi-2Jl + IJa; statt Zj
und

A(A + 1— 2ft) — |3*a: statt Zq.

Substituirt man nun diese Werthe statt Z^, Z| und Zq io die
Gleichung (38.), so ergibt sich folgende Gleichung dritter Ordnung:

(67.)

ixhv'" +*2[2^— 2A + 4n + l]arw"

+ [2ii(2^— 2A+2n— 1) + k(k + 1 — 2^*) -ß^x]w' ^nßho- 0.

Es genOgt derselben, so lange fi positiv echt gebrochen ist,
das partikuläre Integral:

(68.)

Wird in den obigen Coefficienten auch noch 1 = 0 gesetEt,
80 kann man dieselben mit x wegdividiren ; bedient man sich als-
dann der Bo umgewandelten Coefficienten, so fährt unsere Me-
thode zu der Differenttalgleichang zweiter Ordnung:

^ tUe Riccatt'sche GMchUftg. 121

4aw"+2(2fi+2n + l)fr'— /5«to=0, (69.)

welcher anter der Bedingung, dass ^ positiv und echt gebrochen

ist,

ao.) '

—1
aU allgemeines Integral genOgt. Für fi = i würde dasselbe je-
doch auf ein partikuläres Integral zusammenschrumpfen ; das all-
geoeine Integral erhält man in diesem Fall, von der Formel (26.)
amgeheod, in folgender Gestalt: ^

"^^d^J y^==loR[C,(l-««)Va:]du. (71.)

§. 12. Gehen wir unmiltelbar von der Gleichung (32.a.) aus,
indem wir daselbst zz=x—iy a = — ß und v=:fi setzen, und
schliesfilieh mit — &r^ wegmultipliciren, so findet sich:

Za = 4ar»,

Zi=— 2(2|* — 3)ar*,

Qod daraus, mit Hilfe der Gleichung (38.), die folgende Diflferen-
Halgjeichuog dritter Ordnung:

(72.)
4xV==2[2fi--6n-3]a:*tc''+[4n(2fi-3n)a:+j3«]frH-2«(ii-lj[2|ii-2n

Derselben genügt, unter der Bedingung eines positiv echt ge-
brxhenen fi, der Ausdruck

, (73.)'

w = ^äy "^^ e^[C^ (1 - «»)/*-! + C;x^-4(| - ti«)-/*]dti
—1
^partikuläres Integral.

{.13. Setzen wir endlich in Gleichung (32.a.) 2=log:r, so kommt:

log:r .

Z,=

X

\ogx

^0 = :;:a — + — zs~-

122 L^mmei: Zur hOefrmHtm ämemrer D§f€remiUI§UkAma9em;

WlUt man diid fi=r=0, und diridirt sodiuui ah -^ weg,
00 erfcilt Brno die Difereetialgleiclioiig:

:rV-(« + /^-l)^ + «ftr = 0., (74)

welcher omck Fonael (36.) das allgemeine Int^nl

y=<^Ä«+Ci*^ (75.)

genSgt Sefxt mao, noch weiter spezialisireod, a-f^sl» also
/)= 1— ff» 80 hat man fiir die oeoe Gleichong:

jpV'+(i-«)«gr = 0 (TR.)

das folgende allgemeine Integral:

y^(\^^C^-: (77.)

Wollte man aof die Gleichaog (74.) das Verfahren der Formel
(38.) anwenden, so wfirde man zn keiner neuen Gleichong gelan-
gen, indem Hie (74.) ihre Form beibehält, wie oft man sie aock
difierentiiren mag.

g. 14. Die Riccati'sche Gleichung. Setxt man in (32.a)
2 = j:*, 6o ergibt sich:

Z, = ai[m(/» + »-l)+l]a*— •-ii^a+^)at»— •,
Zo = — m»(«ir+^p)j:^-»+ft»a/SiH— ».

«

Man wähle jetit a = — ß^ v = ^ nnd m =: | q » so bleibt

wenn man noch noch darch mjfl"^^ wegdindir^ nor noch

l sUtt 2^,
0 sUtt Zi,

-(ra^o**"^"*^ *^" ^^

fibrig. Snbstitnirt man diese Coefficienten in die Gleichung (3ia.)*
nachdem man noch

4tt i^

ni2;i=^ oder ** = 2Fm' ^^^

und

P = l-2^ oder P = j^ (79.)

gesetst hat, so erbilt man die bekannte Riccati'sche Gleichung :

die RiccmU'sck0 Gleichung, 123

y' = ^.y, (80.)

deren yollständiges Integral sich demnach aas Gleichung (33.)
nach wenigen Umformungen wie folgt ergibt:

=/

(81.)

+1 •»v^ »iü

—1

Dieses Integral, in welchem | statt x^^^ steht» gilt» so lange
k
^^^ WTxTa P<^^>^>^ od^ kleiner als 1 ist; dieses trifft aber zu:

1) fSr jeden positiven Werth von k und 2) fOr jeden negativen
W^rth von k zwischen — 4 und — oo.

Macht man in die Riccati'sche Gleichung (80.) die Substitution

I = ar*+*, (82.)

«f* geht sie fiber in die folgende: '^

d»y Ar+1 dy \ _ . ^

^•rf|«+Ä + 2 5|'"(A+2)«-^-^' ^^-^

welche mit der Gteichung (69.) in §. 11. fibereinstimmt » so lange

rTÄ positiv und grösser als \ ist. Diess findet Statt zwischen

k^ — 2 und it = — 4, und man hat in diesem Falle das vollstln-
dige Integral der Riccati*schen Gleichung nach Formel (70.) in
felgender Gestalt:

(84.)

d^ /'+! ^!^
^^d^J «*+*[Ci(l-«'V-* + Ci.S*-^(l-t««)-M]di«.

Dabei rouss n als positiv ganze und f^ als positiv echt ge-
brochene Zahl aus der Gleichung

bestimmt^ und nach vollendeter Differentiation vermittelst der Glei-
chaog (82.) X an die Stelle von | znrückgeffihrt werden.

Die Formel (84.) verliert jedoch ihre Geltung für f» = i, d^ h.
wcan

A + l.

jq^=ii+i, (88.)

124 Lommel: Zvr InUgraUan iinearerDi/terentialgleickungen;

also gleich eioG^r positiven ganzen Zahl wird; alsdann kann nutn
aber das Integral der Formel (71.) entnehmen, und erhält:

y^^wj y^3^-*<^ßt^(^"-«**)Varfi*, (87.)

wenn nur n als positive ganze Zahl der Gleichung (36.) gemäss
gewählt wird.

Die Formel (84.) wird ferner unbrauchbar» wenn fi in (85.)
gleich Null ist, wenn also

^ = « + i (88.)

gefunden wird, unter n wie bisher immer eine positive ganze Zahl
verstanden. Findet man aber aus (88.)

in

A = —

i^l'

und setzt diesen Werth statt k in den Ausdruck ö7~~n » welcher in

(78.) mit ^ bezeichnet war, so ergibt sich, wenn man nachträg-
lich statt n lieber n -|- 1 schreibt.

Das dortige fi ist also in diesem Falle positiv ganz, und das

Integral der Riccati'scheo Gleichung ergibt sich in geschlossener

Gestalt aus Formel (35.), wenn man daselbst a:= — /S^Sn-f Ii

i_

111 = n, und 2 = a; •M-^ setzt, wie folgt i

- (90.)

^^•^ "^L 2a.C2n + l)« J*

Dieses Integral gilt nicht nur, wenn n aus (89.) als positive
ganze Zahl gefunden wird, sondern auch noch f&r n = 0, d.h.
fÖr Ä = — 4.

Nun setze man noch in Gleichung (83.) y = |^+^.yi, so geh
sie Ober in die folgende:

die Riccati'sche Gleichung. 125

irelcbe mit der Gleichong (69.) übereinstimmt, so lange ttt^ po-
sitiv and grusser als \ ist, d. b. wenn k zwiscben 0 und —2 liegt.
Hah findet demnach znnMcbst ^i aus Formel (70.) und daraus.

aachdem man vor dem Differentiationszeicben £^+* nacb Gleichung
(82.) durch x ersetzt bat:

(92.)
^^x.-^^J • c*+^ [Ci(l-ii*)A'-i+<;,£»-A*(l-tta)-A*]rf„.

—1 I

Diese Formel gibt also das vollständige Integral der Riccati'-
schen Gleichung, wenn k zwiscben 0 und — 2 liegt. Dabei muss
aber » als positiv ganze und fi als positiv gebrochene Zahl aus
dfr Gleichung

n+^+4=|i| * (93.)

bestimmt, und nach vollendeter Differentiation vermittelst der
GleichuDg :

£ = a:*+« (82.)

X an die Stelle von | zurflckgefiihrt werden. Die Formel (92.)
▼erliert jedoch ihre Brauchbarkeit, sobald aus (93.) fi =: 1 gefunden
'Hrd, wenn also

ifc + 3

Ff2='*+^ (94.)

eine positive ganze Zahl ist. Alsdann benutze, man zur Auffin-
doDg von^i die Formel (71.); man erhält:

aavf
y= ^1^'^y ^' ^;^j3=tog[Ca(l-u*)VS]&i. (95.)

Die Formel (92.) verliert ihre Geltung anch noch in den Fäl-
len, wo

also fi=:0 sich ergibt. Dann ist aber

2it-2

126 Lommel: Zur Iniegr. Hnearer Dt/terentialgMchumoen etc.

k
Wird dieser Werth in den Aasdruck o, a gesetst, welcher

in (78.) mit fk bezeichnet wurde, so findet man, wenn auch hier
n durch it-f 1 ersetzt wird:

= -n. (98.)

Das ^ der Gleichung (78.) ist daher jetzt negativ ganz» uod

man erhält, Indem man a= — /?= — (2« + l), mzzzn und i=a:*»+*
in die Gleichung (36.) substituirt, das allgemeine Integral der Ric-
cati'schen Gleichung in geschlossener Form:

(97.)

Dieses Integral gilt nicht nur, wenn n als positive ganze Zahl
ans (96.) sich bestimmt, sondern auch, wenn n=0, d.h. AsrOist

Es wSre somit die Riccati'sche Gleichung für jeden reellen
Werth von k vollständig integrirt, mit Ausnahme des speziellen
Falles, wo j^=: — 2. Ffir diesen Werth wird aber die Riccati'sche
Gleichung identisch mit der früher behandelten ,(76.), ond gebt
aus dieser hervor, wenn man

(I-«)«=l
setzt und daraus

« = i(l±V5)

bestimmt Dieser Werth, in Formel (77.) eingeführt, liefert

y = Ci. a:4(i+V5) + C^ . arid-vö) (98.)

als vollständiges Integral der Gleichung

^" = y. (99.)

MtsctUen. 127

Till.

Miscellen.

üeber die zwischen den Seiten des in einen Kreis beschriebe-
nen regulären Fünfecks^ Sechsecks und Zehnecks St^tt findende

Relation.

f I

Von dem Heraasgeber.

t m

Der Beweis des bekannten Satzes» dass die Differenz der
Quadrate der Seiten des in einen Kreis beschriebenen regulfiren
Flnfecks nnd Zehnecks dem Quadrate des Halbmessers des Krei-
ses gleich ist, macht in der Elementar -Geometrie immer einige
Schwierigkeit. Dadurch ist neuerlich Herr Rector Dr. Grebe In
Casssl, indem er zugleich ganz zweckmässig den von ihm zu
den schönsten Sätzen der Elementar- Geometrie gezählten Satz so
tosdrückt: »»Wenn in einen Kreis regelmäse>ige Polygone von
&)f» sechs und zehn Seiten beschrieben sind, so ist das Quadrat
der Fönfecksseite so gross als die Quadrate der Sechsecksseite
ond der Zehnecksseite zusammengenommen '* in 'einer zu dem
ürnfzigjährigen Doctorjubiläum des hochverdienten Gerling
in Marburg verfassten Gratulationsschrill*) veranlasst wor-
den, den Satz in die Stereometrie, nämlich in die Lehre von den
^iSren Kurpern zu verweisen , wo er sich allerdings auch ganz
leicht und gewisseVmaassen von selbst ergiebt. So gerne ich
auch das Verdienst der zugleich noch manche andere lehrreiche

I

*) Bemerkung aber einen Ltehraatc der Geometrie, dem
Herrn Geheine Hofrath Dr. Chr. Lodw. Gerling ii. ■. w. am
21. Mai 1862, dem frohen Gedäch tnitttage an die vor fanf-
i'ig Jahren erfolgte Doctor - Promotion, als Zeichen der
liiebe and Verehrang gewidmet von Dr. E. W. Grebe, Rec-
tor der Realachale in Caaael. Caaael, 1862. 4^.

128 MUceUen.

/

BemericoiigeD enthaltenden kleinen Schrift ansaerkennen bereit
bin , 60 kann ich doch der vorstehenden Ansicht nicht ganz beistim-
men, indem ich vielmehr der Meinung bin, dass man dej! ganzeo
Gegenstand überhaupt aus einem allgemeineren Gesichtspunkte
auffassen sollte. Nach meiner Ansicht sollte man sich nSmlidi,
ganz abgesehen von den regulären Vielecken, die ailgemeioere
Frage vorlegen : welchen Bedingungen zwei Sehnen eines
Kreises, von denen die eine den einfachen, die andere
den doppelten Bogen umspannt, unterworfen sind,
wenn die Differenz ihrer Quadrate dem Quadrate des
Halbmessers des Kreises gleich sein soll. Diese Frtge
wollen wir jetzt zu beantworten versuchen.

Wir denken uns also eine Sehne in einem mit dem Halth
messer r beschriebenen Kreise, und bezeichnen dieselbe durch s.
Dieser Sehne entsprechen zwei Bogen des Kreises, die einander
zur ganzen Peripherie ergänzen. Bezeichnen wir nun die Sehne
des halben entsprechenden Bogens im Allgemeinen durch «|, so
haben wir, wie aus Taf.,1. Fig. 4. auf der Stelle erhellet, die fol-
gende Gleichung:

1) ,,« = i,«+(rTVr«~i*»)*,

wo das obere Zeichen dem von der Sehne s umspannten Bogen,
welcher kleiner als der Halbkreis ist, das untere dem von der
Sehne s umspannten Bogen, welcher grösser als der Halbkreis
ist, entspricht. Diese Gleichung bringt man durch Entwickelunf;
des zweiten Quadrats auf der rechten Seite des Gleichheitszei-
ehens leicht auf die Form :

2) i,«=2r(rTVr*-Jj»)

oder :

3) j.2rV^r«— ii»=2r»— #1«,

woraus sich ferner, wenn man diese Gleichung quadrirt, sogleicli
die Gleichung:

4) fi*— 4rVi«+T*j«=0

ergiebt.

Soll nun j*— i|*=sr*, also fS = f|*-f r* sein» se mnss nach
vorstehender Gleichung sein:

s,« — 4Ai* + Ai« + i4 = 0.

Miicelim. 129

also:

5) . . . . (i,* + ri,— r«)(i4*-Vii— r») = 0
Folglich ist:

• j entweder ii* + ri| — r*=0,

y) . , , , ?

' oder ii*— rJi — r*=0;

oder:

7)
oder:

\

entweder i,* = r(r— ii),
oder ii« = r(r + ii);

8) . . . .

.2

entweder r : «j ^ ii : r — i , ,
oder r:i| =s#|:r + f,.
Durch AuflSsnng der Gleichnng

*i* + rii — r*=:0 oder i|« + rii=r
io BtKag aaf s^ als unbekannte Grosse erhält man :

ii=±4r(V5Tl),
MgKeh, weil «i nicht negativ sein kann:

V6— 1

'i = — 2 — ^'

NkH dem Obigen ist ««=:r* + ii*, «t»o, wie man leicht findet:

, 6-V6 ,
* — 2

Ans der Gleichung

ii* — r«i — r*=:0 oder ii«— .rii=r*

erhält man, wenn man dieselbe wieder in Bezog auf ij als on-
MuDQte Gr5sse auf Idst :

*x = ±4r(V6±l),
folglich, weil i^ nicht 'negativ sein kann:

V5+1

TlitU XL, 9

130 MisceUen^

und, weil ** = r*-|7«i* ist, wie man leicht findet:

Nehmen wir beide Fälle zusammen , so int mit Beziehung der
oberen und unteren Zeichen auf einander:

a 5TV5 . VöTl

9) . . . . 1*= — :f^f *i= — 2~"''* •

Man fiberzeugt sich leicht, dass wed^r «, noch $i den Durch-
messer 2r Gbersteigt, 'und dass also die beiden Sehnen s und ij
in den Kreis immer wirklich eingetragen werden können.

Naturlich entsprechen die oberen und unteren Zeichen in den
vorstehenden Formeln respective den FSlIen:

ii* + r*, — r* = 0 und i,* — r«i — r* = 0,
oder:

*,«=:r(r-«i) und ii«=sr(r + »,),
oder:

r:ii=ii:r — *i und r :i| =«| :r + *|.

Setzen wir:

« 5-V5.- V5-1

*•= — 2"**' '»~ — 2 — ^'

so ist, wie man sogleich fibersieht:

* > r, ii < r;

also nach dem Obigen:

r < f < 2r, *i < r.
Setzen wir:

. . 5 + V5 . V5 + 1

*• = — 2— r«, i,=— 2^-r:

so ist, wie man eben so leicht fibersieht:

« > r, *| > r;
also nach dem Obigen :

r<f <2r, r <i, <2r.
Im ersten Falle ist:

V5— 1\» . 3-V5

r«.

Misceiiem. ISl

abo:

2r«~i,«= — 2 ** »

Qid diese Grosse folglich positiv; iio zweiten Falle dagegen Ist:

also:

2r._,..= L-r^V

ood diese Grosse folglich negativ. . Wegen der Gleichung 3) ge-
hurt also die Sehne $i im ersten Falle der Hfilfte des kleineren,
im zvreiteo Falle der Hälfte des grosseren der beiden von der
Sebne I umspannten Bogen an.

Wir wollen nun in beiden Fällen die Sehne Si durch Con-
stnctioD bestimmen, indem wir dieser Construction die beiden
aas dem Obigen bekannten Proportionen :

r : «I = «I : r — s^,
r:*, =:*i:r + «i

zu Grunde legen. Zu dem Ende machen wir in Taf. I. Fig. 5. die
Linie AC dem Halbmesser r gleich, errichten in A auf AC ein
Perpendikel AO=:ir, und beschreiben aus O als Mittelpunkt mit
AO als Halbmesser einen Kreis, welcher von der durch C und
0 gelegten Geraden in den Punkten ß und ß' geschnitten wird;
»0 ist $iz=zßC in Bezug auf die Proportion

risi = «i :r — «i ,

ood i, = JB'C in Bezug auf die Proportion

Man kann auch noch aus C als IVlittelpunkt mit den Halbmessern
ÄCund ß'C Kreise beschreiben, von denen die gehörig ober
C hinaus verlängerte AC in D und D' geschnitten wird, wo
<iaon .'luch *| = CD in Bezug auf die Proportion

«nd «I = CD' in Bezug auf die Proportion

■rt- Dies kana mittelst bekannter Säfoe ^op dem Kreise und den
hoportionen sehr leicht auf folgende Art jbewiesen werden.

132 MisceUen.

Es ist nach einer bekannten Eigenschaft des Kreises:

BCiAC=ACiRC;

also:

oder

ferner :

BC.AC—BC^ACiB'C'-.AC,

BCiAC'-BC^: AC: BC,

.^ 5 BCC BCC AC-BC
"'^'^ CD^i CD'l AC-CD

AC:CD=: CD: AD;

ACJ-^:AC=:AC^B'C:BC,
B'C :AC=AC+B'C:B'C\

"^^'l CD'^} CD'i AC + CD'

oder

AC;CD'=:CD':AD';

womit offenbar die obigen Behauptungen vollständig bewiesen sind.

Wir wollen jetzt annehmen, dass in Taf. I. Fig. 6. der Punkt
D in dem Halbmesser AC des beschriebenen Kreises nach dem
Vorhergehenden so 'bestimmt sei, dass

ACiCD^ CD.AD

ist, lind wollen dann Si=^CD = AB als Sehne in den Kreis ein-
tragen, worauf wir ^C und BD ziehen. Weil nun

AC:CD=CD:AD,

also

AC:AB=^AB:AD

ist, so sind die Dreiecke ABC und ABD ähnlich, und es ist
folglich das zweite eben so wie das erste gleichschenklig, also
AB=^ BDsz CD, woraus, wenn wir den Winkel ACB am Mit-
telpunkte des Kreises durch x bezeichnen, auf der Stelle folgt, dasfi

^BAC=:^ABC = ^ADB=z2x,

and dass folglich 5a: = 180^, also a;=:36^, nämlich der sehnte
Theil von 360^ ist. Also ist AB, und daher auch Sg, die Seite
des In den Kreis beschriebenen regulären Zehnecks, also s die
Seite des in den Kreis beschriebenen regulären Fflnfeeks, die

BHsceiieni 13S

man erhält, wenn man den Bogen A'B gleich dem Bogen AB
macht und AA' zieht. Es ist 2^7 = 720.

Ferner wollen wir annehmen, dass in Taf. I. Fig. 7. der Punkt
2) in der Verlängerung des Halbmessers AC des beschriebenen
Kreises Ober den Punkt C hinaus nach dem Vorhergehenden so
bestimmt sei, dass

AC:CD=CD:AD

ist, and wollen dann S| = CD= Aß als Sehne in den Kreis ein-
tras^en, worauf wir BC nnd BD ziehen. Weil nun

AC:CD=CD:AD,
also

AC: AB — AB: AD

ist, so sind die Dreiecke ABC und ABD Shnlich, und es ist
folglich das zweite eben so wie das erste gleichschenklig, also
AB=BD'=. CD, woraus sich, wenn wir wieder den Winkel
ACB am Mittelpunkte des Kreises durch x bezeichnen, auf der
Stelle ergiebt, dass

^BAC- ^ABC= ^ADB = a: — (ISQO-a-) = 2a: - 180<>,

folglich

ar + (2x- 180«) + (2j:— 180^) = 5a:-360o= 180«,

also öjr = 540^, a:=108^ ist. i erhält man, wenn man den Bo-
gen A'B = AB macht und AA* zieht, wobei man zu bemerken
hat, dass 2x=:216o ist.

In beiden Fällen findet aUo mit Bezug auf Taf. I. Fig. 6. und
Taf I. Fig. 7. die Relation:

AA'^- AB^zzzr^

Statt.

Die leicht durch sich selbst verständliche Fig. 8. auf Taf. I. hat
gedient, die Richtigkeit des Vorhergehenden praktisch zu prü-
fen, wobei ich nur bemerken will, dass immer 72^ -f 108^= 180^
ist. Dass die beiden rechtwinkligen Dreiecke, deren Seiten
s, <i, r sind, einander ähnlich sind, erhellet leicht, weil

VÖ-1

f. H

V£^+* j ,.V6-1 V5+1 ,

r= — s — T\T oder !• — « — == — » — 5*

ist, fvie sogleich daraus hervorgeht, dass offenbar

134 mscellen,

V5-^l V5 + 1

= 1

ist. Ueberbaupt sind die gleichen Verhältnisse der drei Seiten
der beiden ähnlichen Dreiecke:

V"5 — V6 V5-1 aTs + vS V5+1

oder:

2*2 ~~ If 2*2

Ich komme yielleiebt späterhin auf die Beanlii^ortung ähnlidier
allgemeinerer Fragen wie die obige zurück, und empfehle für jetit
nar das Vorstehende der weiteren Beachtung der Leser.

Ueber den Beweis der drei Briider für den Ausdruck de»
Flächeninhalts des Dreiecks durch die drei Seiten.

Von dem Herausgeber.

Hek'r Dr. Paul Escher in Wien hat mir schon vor gerau-
mer Zeit, und weit früher als der in Tbl. XXXIX. Nr. XI. S. 186.
abgedruckte Aufsatz von Herrn Kinkelin in Basel mir zuging,
för das Archiv eine ziemlich ausffihrliche Anzeige des folgenden,
mir übrigens ganz unbekannten Werkchens eingesandt:

Eben^ Geometrie. Ein Leitfaden beim Unter-
richh Von Rektor F. von Kieser, Vorstand der
königlichen Realschule in Stuttgart. Vierte
Auflage. Nach des Verfassers Tode amgear-
beitet und vermehrt von W. G. F. Bohnenberger.
Professor am theologischen Seminar in Blaa-
beuren. Stuttgart, Verlag von Adolph Oetin-
ger. 1859.

Aus verschiedenen Gründen, die weiter kein Interesse für die
Leser des Archivs haben können, habe ich aber diese Anzeige
nicht abdrucken lassen. Jedoch will ich jetzt, da ich gern jeder-
zeit allen meinen Correspondenten und Mitarbeitern so viel als
irgend möglich gerecht zu werden suche, bemerken, dasa der
Herr Einsender in derselben den verstorbenen Kies er als einen
der trefflichsten Lehrer bezeichnet, eben so wie den jetzigen
Rector der mathematischen Abtheilung der polytechnischen Schale

Mii/cetien, 1S5

in Stattgart, Herni Dr. Bernhard Gugler, deeseu persun-
Ticbe Bekanntschaft gemacht zu haben, zu meinen eigenen ange-
nehmsteo Erinnerungen aus dem Jahre 1856 gehurt. Weiter sagt
(Udd der Herr Einsender über das Kieser'sche Buch sehr viel
Rühmliches, bemerkt, dass er sich enthalte, einzehie interessante
Partieeo aus demselben auszuheben , so viel Veranlassung dazu
das ausgezeichnete Buch auch biete, and föhrt dann wörtlich fol-
gendermaassen fort:

„Doch kann ich mich nicht enthalten, den Leser wenigstens
ait einer darin vorkommenden Neuerung bekannt zu machen, die
^ohl iD und fiir sich schon verdient, in weiteren Kreisen he-
kaoot zu werden, und die zugleich hinlänglich erkennen lässt,
zo weichen Erwartungen das besagte Buch in constructiver Be-
liebang berechtigt.*'

„Bekanntlich lässt sich die Formel fdr den in den drei Sei-
ten eines Dreiecks ausgedrückten Flächeninhalt desselben sowohl
algebraisch, als trigonometriseh herleiten. Eine rein -geometrische
Herleitung derselben besassen wir aber früher nicht, und so kam
es, dass Lehrbücher der Geometrie, welche bei ihren Entwicke-
longen weder algebraische , noch trigonometrische Kenntnisse vor-
aussetzten, die besagte Formel für den Dreiecksinhalt entweder
gar nicht enthalten oder den Leser erst in einem eigens hiezu
anfgestellten Anhan)^ damit bekannt machten. In dem Nachlasse
Kieser's fand sich nun eine reio - geometrische Entwickelang
dieser Formel vor , welche von Prof. Bohnenberger in die vierte
Aoflage des Kies er* sehen Buches aufgenommen wurde und
welche ich hiermit im Auszuge folgen lasse. "

^Beschreibt man zwei Kreise, von denen der eine in Taf. 1.
Fig. 9. die drei Seiten AB y AC und BC eines Dreiecks ABC
beiiehongsweise In den Punkten />, E und F, der andere die
eine BC dieser Seiten und die Verlängerungen der zwei andern
AB QDd AC in den Punkten V, U und J berührt, und verbin-
det man den Mittelpunkt O des ersten Kreises mit den Punkten
A, B, C, D, E «nd F, den Mittelpunkt Q des zweiten Kreises
nut den Punkten A, B, C, G, H und J durch gerade Linien;
90 ist klar, dass ^^e AQ mit der AO zusammenfallen, QB senk-
recht auf OB und QC senkrecht auf OC stehen muss/'

„Bezeichnet man ferner der Kürze halber die Längen der
^ei Seiten AB, AC und BC des Dreiecks ABC mit c, b und
«> die Länge seines Umfangs mit s, seinen Flächeninhalt mit Ay
and die Längen der Radien OD und QH mit ti und r^, so findet
1^ zunächst, weil

136 Miseellen.

Fläche ^i?C= FKche .<0Ä + Fläche ^OC 4- Fläche BOC

ist, dass

._££i , Ä.ri a.r, .o + 6 + c

^- 2 +"2" + "2~= 2 -^i'

d. h. da88

I) J==\.s.r^
sein mass.

BerQcksichtigt man ferner, dass

BG^BH, CG=:CJ

ist, so findet man, dass

AB + AC^ BC^ AB + AC+ BG+CG

-AB + AC+BB+CJ

=:^AH + AJ

^2. AH,

also

II) die Länge von AH= i±*±f -- i,

2

und

III) die Länge von BH^ls—c
ist. Ebenso ergibt sich aber, weil

AEz=zAD, BF=zBD und CF=CE

ist, dass

AB + BC'-AC^AB + BC-iAE+CE)

-Aß + BC-'iAD+CF)
=^BD+BF

= 2.BD

und dass

AB + AC-- BC= AB + AC'-iBF+CF)

==AB + AC^(BD+C£)
'-AD-y^AE

-2.AD,
dass also

IV) die Länge von BD=^!-^^j^ z^^s ^ b
und

iH9C€item. 1S7

»> 6 + c — a

(V) die LiDge von AD^ 5 — = Jj— *a
. Bedenken wir endlich, dass wegen der Aehnlichkeit der
eiccke AQH and AOD

QHiAH^ODiAD, d. h. r,:if =:ri:(if— a),

«iii w^en der Aehnlichkeit der Dreiecke BQH und BOD

BHiQB=iODiBD, d.h. (4i-e):rt = r, :(Jf-6)

sieb TerbSit, so finden wir sogleich die weitere Proportion:

(4j-c):4# = r,«:[af-a)af-6)],

IQ« welcher folgt:

4,.r|*= (4i-a)(4#-6)(4#-c).

Wir erhaken sonach (vergl. Nr. 1)) :

2f«= (4,)«.r,« = 4f .(4#-a)(4f-6)ttJ-c),
also

J = V 4j.(4f-a) (41-6) (4f-c),

w. z. b. w."

So weit Herr P. Esc her. Ohen habe ich schon bemerkt,
da8s die von demselben mir eingesandte Anzeige des Rieser-
sehen Buchs sich schon geraume Zeit vorher, als ich den in
Tlil.XXXLX.Nr.XI.S.186. abgedruckten Aufsatz des Herrn Ein-
kelin in Base! erhielt, in meinen Händen befand. Diesen letz*
teren Aufsatz theilte ich namentlich deshalb mit, weil er eine
Dibersetznng aus einem seltenen, auf der Baseler Bibliothek
befindlichen Manuecript ist. Denn sonst ist der Beweis der drei
Brfider fär den Ausdruck des Inhalts des Dreiecks durch die drei
Sdten, mit dem, wie man leicht sehen wird, der in des verstor«
benen Kieser Nachlass aufgefundene und durch Herrn Professor
Bohne nberger mitgetheilte Beweis dem Wesentlichen und der
Hauptsache nach ganz übereinstimmt, iSngst bekannt. M. s. z. B.
des berfibmten Jesuiten Christoph Clavius „Geometria prac*
tiea. Logduni iei07. 40. p. 168—161."; wahrscheinnch wird
der Beweis sich auch finden in D. Scbwenters 5,6eometriae
practicae novae et auctae Tractatus II. Norimb. 1823.
4^. p. 111— 118.'' Ferner findet sich derselbe auch anf p. 40. und
p>4]. der „Geometria , practica*' des Leonardo Pisano,
durch deren Herausgabe der Ffirst Baldassarre Boncompagnl
in Rom sich, so wie durch seine Pnblicationen über Leonardo

9*

lj|8 MiseeUen,

PIsano flberhaopt, und andere wichtige Werke« ao aehr verdi<
gemacht hat mid immer noch fortwährend macht« waa von
Mathematikern nicht dankbar genug erkannt werden kann. D^
ich in meiner Anzeige des genannten schonen Werks im LH
riachen Berichte Nr. CLIV. S. 2. nicht besonders darauf hiot
daas der Beweb darin enthalten sei, hatte «etnea Gnmd einl
darin« weil ich den Beweis filr hinreichend bekannt hielt; d(
er findet sich« ausser in den oben genannten älteren W^
ken« im Wesentlichen nameatüch auch in dnem sehr bekanni
besonders wegen seiner ungemein vielen« höchst schätzenst
then« von der gr5ssten Gelehrsamkeit zeugenden ausffihrliehj
historischen und literarischen Excurse ausgezeichneten neoi
Buche eines trefflichen wflrtembergischen Mathematikers« der,
viele seiner Landsleute« wobei Ich nur an die Namen von J.
F. V. Bobnenberger. Camerer« Hauber, J. F. Pfaff^ o.
zu erinnern brauche, einer der grussten Kenner der syntfaetiscliea|
Geometrie war, nämlich in: ««Ebene Trigonometrie nti
Anwendungen und Beiträgen zur Geschichte dersel«
ben. VonPfleiderer. Tübingen 1802. S. 109.'' — WeUd«
Beweis aber doch nicht so bekannt zu sein scheint« wie ich glaobte
voraussetzen zu dürfen, und weil er allerdings verdient« bet'm
Unterrichte benutzt zu werden« so habe ich weiterer Bekanntwer*
düng desselben wegen die Riese r*sche« ziemlich einfache Da^
alsUiiQg» wie sie mir von Herrn Dr. E ach er sogesandt wordeo
iat« im Obigen gern mitgetkeiit

*) ProfeMor in Helnstidt nnd Halle, aber Warienberger tob Ge-
burt aad Scbjiler4er KariMchule, mein eigeaer Mir uBvergeMÜcfaer Lehrer.

Berichtigaag.

I» Btik Pval Oe((iager*s Aafaata: «^Cetar lnHwte h
lmv%la*^ ThL XXXIX. stallt S. tti Z^l.w.m. Jm der Fennl Nr. 9)

Bups B&liot; FerwiiU. et äieampoi, de$ iguai. de$p0l9i.niuUeri. 139

Sor la formation et la decomposition des ^qaations
eiprimant las c6t^s et les diagonales des polygones

r^galiers.

MoDsiear Buy$ Balloi,

Profeifear 4 Utrecht.

§. 1.

Ikemmpotiiian des 6quaiian$ numMques en faeieurs.

I. Dans one note publice par rAcadömie Royale des seien-
de« d* Amsterdam j'ai nioDtrö qa'on peut trouver les factenrs d*iine
^Qttion alg^brique« slls ODt des coeiBcients entiers, en dlsco-
^Dt les diviseurs des derniers tennes de l'^qnatlon et des ^qua-
tioDs qii*oo en därive en augnientant et eo diminaant les racines
<vcces6ifement d'ane et de plasieurs onitäs.

2* Seit f{x) one ^quation, il faut en tont cas pour Tapproxi-
>atioD des racines former les ^quations /t^ + l), \f{x-{'2), etc.
8» g^n^ral je forme fix --3) et flx+S). Cela fait on a par one
nople addition des coefficlents les valeors des derniers termes de
/t*-2), /K^ + l), /][a: + 4), c.a.d. A-2), A+ 1), A+ 4). Par
^ soQstraction des coefficients d'ordre pair de ceox d'ordre im-
P^ (corome en cherchant la divisibilit^ par le nombre onze) on
Peit former /t-4), A— 1), A+2). Eo ajootant*/](— 3), ^0).
/(-fS), on a one soite:

«-^). A-3), /^-2), A-1). m^ /ri). /i2), m. m^

VT 81 r^oation fix) a des factenrs, sopposons deox: fp{x) et
t(*)> on aora:

A-4)ar=9<-.4)XlK-4), /(-») = 9(-3) Xif;(-3), etc.
TkÄ XL. 10

140 ßups Bailei: Sur ia formtUton ei ia dicrnnpostüan des

Ces nombres fp{ — 4), g)(— 3), fp{ — 2), etc. seront des nombres
entierSy si l'öquation q>{x) a des coefficients entiers. Le rikipro-
qne ne sera pas vrai en gen^ral; niais on ponrra ^voir sll a lien
dans nn cas particulier. 11 faot voir si qi{-~4), q>( — 3), q>( — 2), etc.
fonoent une serie arithmötique du premier, du deuxiöroe» do
troisi^me, du quatri^me ordre. J'ai doiinö des r^gles facil^ poor
cela. Donc si cinq valeurs con^^cotives : 9?(0), 9>(l)> 9>(2)y ^(3),
q>(i) forment une teile s^rie du quatri^me ordre, ii y a uo facteoi
9>(a:) du quatriöme degr^, et od peut simplifier röquation f(x) en
divlsant Ainsi une ^quation du hniti^me degT<^ peut ^tre r^lie
m^me quand les conditions connues entre ies racines ne sont
pas satisfaites.

Ces T^gles sont beaucoup plus commodes que celles qii*oB
tronve dans les Disquisitiones arlthmeticae de H. Gaoss.

3. Pour donner uo ezemple, ce qni ne sera probablemeot
pas superflu, seit donn^ r^quation qut se trouve aiissi
cette note (page 145.):

««— iar»+54:r*— 113ar»+ lila:«— 45ar+6 = 0=:/)C:r),

OD trouve:

f/(-i). m). m> r(^. fm. n*)

341 6 1—15 1

341 a ponr diTfsenrs 11 et 31, les divistfars des antres nombr«
sont ^1 et db B* Pv Ia relatioD

on a: fip)=f[g) mod. (p— 9).

Si donc U y a un facteur ^jt), il laut que

<K— 1) = 1KI) ^ t(3) mod. 2, ip(— 1) = if;(3) mod. 4,
t(- 1) = *(2) mod. 3, ^- 1) = t(4) mod. 5.

^4)s^)mod.a

Soit ^— ^) = 11, il Amt avoir:

t(2)=-l, ♦(4)= + l, ^1) = +1.
pour ^K3) on peut opter entre —1 et —6,
„ «Q) ,• „ « ., +6 „ +1.

En effet les raleurs correspondantes congraentes sont -|-^
a^ee — I et -fl avec— 5, dooeoa n'a ik esscyer qn'ime «e^le fai«'

^gtuiiümi äet cöU$ et des äiagmuOet äet poippmes f^gtiUen. 141

*(-!), iKO), *(1), ^), *(3), -^4)
11 6 1—1 —1 +1

6 4 2 0—2

2 2 2 2

n y a dooG nn factear

^(0) = i5 = 5, '<;(l) = l + « + <J=l;

(Tob il resulte :

« = — 5, ß= + 6.

Atwt:

^(a:) = :r« — &r + 5 = 0.
Ensiiite on obtient par la division :

/(Ä)=(a:«— 5a?+6)(jr*— 7«»+ I4r«— &r + 1) =0.

§.2.

FmMÜan Jks iquoHonB relatives aux eöUs des polygnes de
SetSy de 7 et 9, de iS et 17 c6tes et applicaüan de la

paragraphe pr^eidente.

J. Dans la dite note j*ai d^composö une ^qoation da nea-
vi^ et uoe auhre du dizi^me degrö en moDtrast les difficaltös;
nuiii apr^s cela j*ai appliqaö la m^tbode ä la solatioD de plu-
sieors ^nations exprimant les relations entre les cöt^ et Its dia-
goDiies des polygones r^guliers. C'est cette appiiquation par
ttfwiie on troave cee c^täa d*nne nonvelle mani^re que j*ai
HiooDear d[offrir avec plus de detail.

2. La fonnation de ces ^qoatlons est Ms einple. Le cM

360^
<h polygone de n cAtös est la corde de ; les diagonales sont

I ^ . c 360« ^ 360» , ,, 360«
leicoides de 2x , 3x , ..., («— l) x: -t:^'

360«
Par nn procMö ^Umentaire on dMnit la corde de 2x (x)

360«
^ la corde de la moitiö des degr^, c. a. d. de la corde de (e)

par la formale:

ar*=:e«(4— ©«) (1)

10 •

142 Buv9 Bailot: 8ur ia /brmation el la decampoHttan des

3000 3000

Si y est la corde de 4x , z celle de 8x , u celle de

n n

WX*^— * on a de mdme:
n

y« = :r«(4-ar«), (2)

,«=y«(4-5^), (3)

t«« = z«(4-tt«), (4)

etc. ^

3. Le Dombre n des cMäs du polygooe ^tant Ici toujoars

360^ 360^ 360®

snpposö Impair» en formant la s^rie -— , 2x-^f 4x-jj-»-*

Qi^$rio ^

2» X , Texposant (m) deviendra t6t ou tard tel qne 2» ± ^

360^
est multiple de n. Alors la corde de 2*X— - est la meme

360^
que celle de , c a. d. : Cette diagonale est redeveoue c^

da polygooe. Car on a :

et

2*4-1 2« ^ 360^

fi Ä *•

II II M

360® jQQo

Dans le triangle «kiuilat^ral : corde de 2X--7- =cordede -g-'

360® 300^

„ le pentagone regulier : „ „ ^^"5" ~ •* ** "T '

• ^ 0^360® 360»

., le septagone „ „ „ Bx -7-= .» » -f"»

I» . « 360® 360^

»»lenn^agone „ „ „ 8x-g-= »» >» X'

» !• polygone de quinae c6t^ : ^ „ lOx-jg* = « " TS"'

„ le polygoM d» dix-«*pl c«W8 : „ . I6x^= » » ^'

etc. etc.

Don« sl 11 = 3, OB pose « = « et Toa obtoit r^qaafion qvi
earactMse le triaagle 4quilat^raL

Sl iisS, OB a rsjr; doBc par rAiauMtmi de x entre (2)
et (1)» OB obtioBt r^quatioB qii oaraclMse le peatagoM r^ier.

^guaikmi de$ cöM ei de$ äiaganaln des poipgmue riguUere. 143

Si ii=:7 on =9» on a o=:x> donc en ölimiiiant x ei y •iitre
(3), (2) et (1), on obtient T^kinatloD caraGt^risant le septagon*
etreno^gone regoliera. Si ii=15 oa =17» on a v = ti, ainsl
par r^imination de x, y ei i entre (4), (3), (2) et (1) on obtient
reqoatioD qni caract^riae lea polygones r^guliers de qainse et de
dix-Mpt cdt^.

4 Le Tösultat de ces ^liminations est:

Poir le triangle : a:* = fj«(4— e*), 9 = ;rdonne: a:*— 3 = 0.

Pov le pentagone: y* = i?*(4 — r*)|4 — r*(4— e*)), e = f donne:

Le factenr y* — 3 se r^p^te ici et partont paisqne le c6t^ da
triangle se retrouye toutes les fois qa'on prend la corde de denl
/bis 9 qnatre fois, 2^ fois son arc.

3f*~~%'-|-5 =0 donne ie c6t^ et la diagonale dn pentagone

r^Ber.

5. Potfi' les polygones röguliers de 7 et 9 c6tös on a:

v=2 donne:

2^-.l&w+ 1042W-.3ö2i«+660x«-e72«*+33eb«— 63 = 0
= (2«— 3) (iM— ISz^+efe«— 1572« + 1892«-1052«+21).

I't Premier factenr est encore le factenr ponr le triangle. Le
*«€oiid factenr doit renfermer les öquations du septagone et de
reon^one. Tftcbons de les söparer. Pour faciliter le calcni öcri-
T01I8 Z ponr i' de sorte qne nons avons:

Z« - 13Z» + 65Z* — 157Z3 + 189Z« - 106Z + 21 =0.

Cctte ^qnation aoit design^e par f(Z)^0, on a:

A-1)= + 56I, /W = + 21. /r+l) = + l. A+2)=-l.

«:

/1[-1)= + 981=- 19x:-29,
AO) =+ 21=- 3x— 7,

AI) =+ 1=+ lx+ 1,

/t2) =- 1=- 1X+ I,
/1[3) =+ 3=- 3X— 1.

A4) =+ 1=+ lx+ 1.

144 Bnpa Baliot: sur la /brmatton ei ia ä^ernnpoHtim äes

Chacone de cm deux s^ries verticalM de divisemra fonoe ane
särie afithm^tiqoe da troisi^me ordre* On pose donc:

^(2S) = Z^ + aZ* + bZ -t c =0,
dane laqaelle:

^(0) = -7=c, ^(l):;=l = l + a + 6+c, i(;(2)=l=8+4a+26+c.

II en r^sulte des valeurs entiöres poiir a, b et c:

a = — 7, 6 = 14, c = — 7. ♦

Donc Z»— 7Z«+14Z— 7 = 0 ou a«-7z*+14ia— 7 = 0 est on
des Tactenrs de l'öquation f(Z).

L*autre facteur s'obtieDt en divisant ou bien en analysant
i'autre saite de diviseurs:

-19, -3, + 1, -1, -3, +1.

Ce facteur est :

«• — 62* + «»« — 3 = 0.

Celai-d est requation de Teanäagone« car [es valeurs -|-1 de
*(1) et —1 de ^(2) indiquent qu'elle a une racine entre (I) et (2),
ce qui doit dtre pour l'enn^agone et nou pour le septagone, doot
requation est donc le premier facteur:

«•— 72« +142« -7=5 a

6. En dernler lieu on troave par rdlimioatioo de ar, « et :
entre (4), (3), (2) et (1):

tt«= ©«(64 - 33r« + 672e^ — 660p« + 352»8— 104pio+ 16r»— t?")
X (4— 64e« + 33t^— 672r« + 660©«— 352©w + J04t>»— 16©" + r^«).
ti=© donne:

!«»<>— 32tiw + 464ttW — 4032i«w + 23400«« - 95680u«o + 283360»"

— 615296ii"+980e28t|M-.lJ36960i«»+940676ti>o— 637472II«

+ 20165211« -. 45696af« -h 5440ti« - 255 = 0.

II fant y aToir pour facteors t^^3 et u*— 6««+5, parceque
le triangle et le pentagona dohrent «tre compris dans T^^ination.
Si Ton preßte de cette remarque, on peut öcrire les trois factenrs
expitcttement;

(a«— 3) (ai*— SuH^Xti««— 24ai««+252ti«o.l521aciH5832ici«^14824ifi*
+25313iii^2883aii'o+8]%Siii-g809iiH 2ö84ii«^^40ai^

äfVtftfM» 4» CÖM9 es des dirngmuiiee de$ poipffonee riguiten. 146

Le ienim Tactoar seit Msigntf ^m -j^V), «prto «v*ir pot<
i^= C7. Poiaqn'oB n« eherohe pa« des fiMteara d'nn degt^ pbis
devtf qse da qnafrUme, il snflit d'avoir ee« dnq valeim :

X(-l)=lI»701=3571x 31,
X(0) = 17= 17x 1,
2(1) = 1= Ix 1,

X(2) = 1= Ix 1.

Z(3) = 5= -lX-6,

X(4) = 1= IX 1. •

La premiöre colonne de dirisenre ne se laiMe piiu däcom-
pM«; nais la seconde forme an« s^rie arithmtftiqae dn quatridme
ordre qai condait au facteur :

M»— 7m« + 14ii*— 8u« + 1=0.

L'tatre factenr s'obtient par la division. Ainsi od a:

{II?— 2C) («•— 5m« + 5) (u«-7u«+14t««— 8m»+ 1)
XöiM-17«»* + 119ui*-442iti« +936»«-1122ti«-f 714i»^a04«H17)

= 0.

Le factenr avant dernier donne les cordes de -^ , 2 X -jzt's

.JOfi o 360O .. , ,^^3600 ,«_360o „ 360^
4X-jg, 8x -jg- ou bien de 14x-jg-, 13x -jg-, llX^jg-»

7x-^. Les antres diagonales du polygone de qninze cdtes

Mut jmm^ee par le trlangle et le pentagone; par le trtangle novs

3Q0O 3600

aTODs les cordes de ^X~t^» '^^"15"' P^"" '® Pentagone cel-

, . , 36(K> ^ 3600 ^. . ,^ 360« ,, 360^

7. J*avais esp^r^, j'eo conviens, qne le dernier factenr se
scratt laiss^ decomposer de rndme en denz factenrs dn hnititoe

^^6 avec des coelBclents entlers« pnisque les cordes de 'yf*

^^3m . 360® ^ 3600 ,^ ^3600 360^ ^

^^"Yf > ^^"17 * ^^TT** «'X"Jf — ^[7~ lorment mi sy-'

^•m. ♦ I ^ ^ o 3800 ^ 3600 ,-, 3fl0« „, ^360o
«eme et qne les cordes de 3x-j7 , 6x -j^, 12x -jf-, 24x -jy»

(8^ ^•"'^-.^^ 3600 _ ^ ^ . ., . ♦

^^ "^ s o X -w en fonnent un antre ; mais il n est pas ainsi.

146 Bups Ballot: Sw ia fomuUUm H la dieompäfttkm di9

U paratt donc qoe seulement qnand i'^quation apparüettl 4 detx
oa 4 plusiears polygones^ eile ae compose doii üacteor poiir cinr
can, maia qa'an facteor apparteaant ä nn m^me palygone ne m
laisse plus döcompoaer« bienque les diagonales forment des sy«
st^mes distincts qui pour cela semblent ind^pendants les ans des
autres, inais ne le sont pas. C'est heureux que M. Gauss ait
moDM comment construire un polygone de dix-sept c6t^.

Poar les antres polygones en peut de la m^me mani^re for
mer les öqaations exprimant leur caractöre, mais on ne peat plus
les räsoadre aatrement qae par le th^or^me de M. AbeL Pour
le polygone de onze cdt^s on trouverait son equation facteur d'aoe
^quation du 62^* degre qiii renfermerait les equatlons des poly-
gones de 31 et de 33 c6t^s et celle du triangle comme toujoors.

Pour tous ces polygones donc jcette mäthodo est beaucoop
plus simple que celle de M. Gauss et la seule praticable.

§.3.

Cansidirations g6om6iri<jiue$*

1. Pour obtenir ces minies öquations on aurait pa se ser?ir
d'ttbe autre m^hode qui pourtant au fond ne differe qae peo de
la pröcödente. On consid^re un triangle rectangle ayant poar
hypotenuse le diam^tre passant par un des sommets da poly-
gone; le nombre des c6t4s ^tant toujours impair^ ce diam^tre
aboutit au milieu de l'arc oppos^ au dit soromet^ Tun des cath^
tes solt la corde qui sous-tend un demi-arc du polygone, le
second cath^te s'en auit. Le tböor^me de Pythagore nous four-
nit r^quation desiräe.

Pour donner un seul exemple de cette möthode» chercboi»
l'öquation du pentagona. Seit son c6t4 däsign^ par a, alors la

corde du demi-arc est ▼ '2 — V4— o* et le diam^tre eat ^^
comme toujours; le second cathöte du pentagona sous-tendant

deux arcs est egal k: aVi — a*; de sorte que noas avons:

4 = 2— V4— a« + a«(4-a«),
Ott, apr^s avoir d^velopp^ et d^composä:

a«-8a* + 20a«— 15 = (a«— 6o« + 5)(oa— 3)=0,
comme pröcödemment.

Pour le septagone et renn^agone le second catböte sous-teo*

4fU€iitm dm cöti» ei des dfoionmies des pelppones r^Uers. 147

drait qnatre arc«; poor les polygones de qaiose et de dix-sept
cMb il en sons-tendrait hoit; poar ceox de onie» de trente-Qn
et de trente-troia cM4a aeise arca^ etc. Ce triangle fooroirait le
noyen de troaver F^quation des polygonea de qnatorze, de dix-
bau t6ti6Bs etc. A la fin de cette note noas continnerona cette
rtclMrclie apr^ avoir introduit «ne aotre oomendature.

U ftot avoaer poartant qne cette conaid^ration pöche contre
Vharataie et rnnitö de m^thode sans quelle pr^aeote aacon
aTiotage compensaot, car toojours od a troavö reaniea dans nne
ifu&oü Celles de deox ou de pluaiears polygonea.

2. Par d'autrea coDSidörationa od peut parveoir k ferner
sepu^meDt les ^uationa de pluaieurs polygoDes, de aorte qo'oD
^fite riocoDv^nieot de la d^conipositioD en facteara.

Od aalt que le c6t^ da peDtagooe est ögal k la pIns graDde
partie de la diagoDale divisöe eo raison moyeoDe et extreme.

Soitlecdtö =a, alors la diagonale = a V 4 — a*. Od a donc:

a = JaV4=o'^(— 1 + V5).
Apr^ a? Dir dövelopp^ od trouve :

3. M. F. Marteoa» bachelier ös scieDces exactes, a appel^
moBatteatioD sor la propriätö aaivante du septagone iDscrit regulier.

Od almagiDe le septagone AB.... G; les diagoealea AC» A£,
AD et CE. Le poiet dintersectipn de ces deux derniöres seit J7.
U est belle de voir qne les triangles ADE et DEB bou\ aem-
Uables et isoc^lea ; doDC od a :

AE:DE=DEiDH

oa:

DE^=AExDB

AD--AH,

DE*=^ AExiAE^AC).

DE est le c6t^ (a), i4C sous-teud deux arcs, AE eo sous-teud

qaatre.

Par coDS^quent:

oa:

148 Bup8 Bailol: 8nr ia farmaiUm et im d^eampaHilM am

on bien:

a«-7a4 + 14a«-7 = a

4. Toatefois quelqae ^l^gante qae soit eette dernidre sah-
tioB je pröföre d'appliqner h ton«* les polygones le m4me th4or^
coneernant le trap^se: La somme des carrös des cMb non panl-
Mem est <^ale ä Ia somme des earr^s des dli^nales meins I0
doaUe prodnit des c6t48 paralleles.

Dans le pentagone (ABCDE) od a le trap^ze ABCD, daof
lequel :

AB*+CD^:=AC* + BD^ — 2BCxAD.

AB = CD s= BC=a (c6t6 do pentagone)»

AJ)=zAC=:BD (soos-tendant denz arcs) = a V 4— a*.

Ob a doDc:

2a«=2a«(4— o«) — 2a« VT^^,

ou aprte avoir siroplifiä:

Poor le septagone {ABC.... G) on prenne encore le trap^xe
ABCDt

AB==BC=CD^a,
AC^=^BD (soos-tendant deux arcs) =aV4— c«,

AD (qul soQS-tend qnatre arcs) =a(2 — a*)V4 — ri*.

Par cons^nent:

2a«=:2a«(4-a«)— 2o«(2— a«)V4— o«,

oa toute rödactien faite:

a«r-7a«+14a«— 7 = 0.

Ponr l'enoöagone {AB ....J) nons prenons ^galeroent le tn-
p^ze ABCD; dans lequel i4Z> (comme cdt^ du triangle ^nila'
t^ral) =V3.

Nous avons donc:

2a« = 2a«(4— a«)— 2aV3,
aprte aTotr d^^elopp^:

a« — 6a* + 9fli» — 3 = 0.

efßmlUmi da eöMs ei des diagmaies des polpgonee r^guüers. 149

Ob arrive an mtoe r^oltaf en chotsbsant le trap^ze ÄCDJ^
dang leqael AJ et. CD sont des cAt^s de renoäagone, AD et CJ
des thüs do triangle» AC \h Gorde de deux arcs et DJ Celle de
qoAlrearca de TeBDiktgoiie. Ce trap^ze donne donc:

2a«=:6-2a«(2— a«)(4— a2).

5. On peot cboisir encore d'aatres trap^zes (except<^ poar
le pntigooe)^ mal« älors en gön^ai od troove des öquations d'nn
degitf plas Aes^, parceqa'il s'Introduit uo on plasienrs factears
Lagers anx polygones en queetlon. Nons ne nons occuperons
paa de ces factears ^trangers parce qu'U faadrait nne ötade spe-
ciale poar les niotiver dans tous les cas. II va sans dire qa'oo
peot toujoars les rendre explicites par la möthode d^velopp^e
daos la §. i. Par ex. prenant poar le septagone le trap^ze ACEF
00 a:

2a«(4— fl«) = 2o«(4-a«)(2— a«)« — 2a«V4— a«

(flio _ 12a» + 64a« — 1 12a* + 105a« - 35) = 0
= (a«— 7a* + 14a«— 7) (a*— t5a«+6).

Preoant poar l'ennöagone le trap^ze ACDF on a:

2a«(4-a«)=6— 2a«(2— d«)V4— a«,

oa:

aio — 7a» + 12a« + 6a*— 24a« + 9 = 0
=(a«-6ii*+9a«-3)(ii*— a«— 3).

Ras eompHqo^ encore est F^naÜon obtenae par la coniA-
^Mm da trap^ze ABEF, qai donne:

2a«— 2a«(4 - a«) (2- a«)«— 2a(2 - a«) Vn^ V3,

0«:

a>«-I6o« + 104aw— 350a« + e43a*— 624a* + 286a«— 48=0
= (a«— 6a* + 9a«— 3)(a«- I0a*+36a*— 47a«+ 16).

Ponr le polygone de ooze cdt6B {ABC....L) on prenne le
^>^ ABCD, dans leqael la corde AD soas-tend halt ares.
Ob a donc :

i^=?i^(4-.a«) -ii^(2-a«) VT::^^^ V4-a«(4--a«)(a-a«)«.

150 Buys Baiioi: Sur ia ftfrmation et ia jUampattHmi äe$

aM^ lea» -f 104aio -. 352a« -f 660a<»- 671a« + 330a«— 55 sO
=:(a»o— IIa« + 44a«— 77a* +66a«— 11) (a*— 6a«+5).

Povtt le polygone de treize G6t^8 (AB ...,N) noss preaoot b
trap^ze ABFK^ dans leqael Ia corde AB soos-tend un arc, les
cordea AK^ KF et BF quatre arcs« AF et BK holt arcs. Oi
trouvera :

(aw-lla«+44a«-77a« + 55a«— 11)

X(a"-13aw + 66a«— 166a«+182Ä«— Öla«+13)=a

Pour le polygone de quinze c6t^8 (AB....P) nous preoontle
trap^ze ABCD, dana leqnel AD (soos-tendant troia arcs) est le

c6t^ do pentagooe == i VIO — 2V5. Neos obtenona :

2a«=:2a«(4-.a«)— aV10-2v6,

on:

a»— 12aW + 54a«— lI3a« + llla«-46aHö = 0.

Le c6t6 et Ia diagonale du pentagone doivent ^tre compria daos
cette öqnation qae noas ayona adalys^e page 140. Noua ravoiif eo
effet tronv^ divisible par

a*- 5a« + 5 = 0,

de Sorte qae noas avons:

(a«-.7a«+ 14a*— 8a«+ 1) (a*— 5a» + 5)=:0.

Poar le polygone de dix-nenf c6t^8 (AB .... T) neos prenoiis
^gpilement le trappe ABCD, dans leqoel AB, BC et CO so«*
tendent nn arc, AD setze arcs, AC et BD deox arcs.

Noas trooTons:

(aM- 13a«> + 65a«— 156a« + 182a*— 91a« + 13)

a»«— 19a>« + 152ai*— 666a»+ 1729aW
2717a« + 2508a« - 1254a* + 285a

4 a»' — i»a'' + loza"— oooa«-f J/zya*" j
^ * -2717a« + 2508a«-1254a*+285a«-19l™*^*

6. R^capitulons les ^qoations troav<^es:

(3) Triangie r^gotter a«-3=0.

(5) Pentagone „ a* — 5a« + 5=0.

(7) Septagone „ a«— 7a* + 14a«— 7=0.

(9) Enn^one „ a« — 6a* + 9d« — 3=ea

iguaUons den cMs et des dtaganales des polpgones riffuüers, 151

(II) Polygone de onze c6t^9 (ti<>— lla*-|-44a«— TTo^H-Söa*— II

=0.
(13) „ ^ treize „ a»— 13a w + 66a» — 156a« + 182a*

-.91a«+13=0.
(15) „ y, quiDze „ a» — 7a« + 14a« — 8a« + 1 =0.

07) „ „ dix-sept „ a*«— 17a>«+119a»— 442äW+935a«

-1122a«+714a«-204aH17=a

(I^ „ ,. dix-neof „ a"-19a»«+162aM-666a*H1729a«>

—2717a« + 2508a«— 12ö4a*
+ 286a«-19=a

Poor loa polygones doDt le nombre de cAt^s est an norobre
premier, ces ^quations comprennent ootre les G^ttfs tootes les
diagoDales; maie poar ceux dont le nombre de cdt^s est com-
po8^ ces ^nations ezdaent ces diagonales qui sont elles-mdmes
des tMs de polygones. Donc poor coropl^ter les i^qgations des
polygoDes de oenf et de quinze cotös il faodrait multiplier celle-
»ipii««— 3=0 etcelle-ci par (a«— 3)(a«-5a« + 5)=^a

§.4.

fr^ftitUs des pob/gones JPun nombre 2n ei 4n de eöUs rela-

>

^wmetU aux propriMs des polygones d?un nomhre impair n

de eöUs.

L Je venx appeler le d^cagone dipentagone^ le pol3rgone de
qnitone edtös diseptagone; conform^roent tont polygone qni a
^enz fois antant de c6i68 qu'un antre polygone sera un dipoly-
Sone k r^ard de celni-ci et uo hi^mipolygone k Tögard dun
troisitoe qni en aura quatre fois antant. De plus on pent snp-
primer dans ce cas les syllabes poly.

Comme il o'y a pas ou plutdt on ne parle pas de dtgone au
>«D8iisael» le mot digone n'offre aucune ^quivoqne. Ces neu-
^€va noms introduits, plusieurs tbeor^mes de g^omötri^ Flamen-
^e seroot ^noncäs beaucoup plus facilement. Ainsi on a :

l Le c6t^ du digone est la moyenne proportionnelle entre
^ diam^tre et la flöcbe du gone.

H* Si a est le c6tä da h^migone, b eelui du gone, c
^ da digone on a:

c«=2— VT=^, a«=6«(4-6«)

158 Bn9$ BaiiQt: Sur ia f&nuoimn ei ia dUcmmp99iiim 4eM

III. L'aire da digone ioscril est Ia moyenne proportiooMlh
entre les aires des gones inscrits et etrconscrits ete.

De plas OD poorrdt noniBier exclosivemeot polygones tm
figares dont les cAt^s ne se coapeot pas aa dedans d'elles m^meik
en les separant ainsi des polygooes ^toU^ «^galemeot r^gofiert
et form^ si Tod veut par les diagonales da polygooe prises sa^
cessiyenieDt dans od mdroe sens comme cordes d'arcs öganx.

Alors on a one famille de polygones proprement dits cob-
preoant «oe seole esp^ce, puls une famiire de polygones 4i<Ai&
coatenant aotant d'esp^ces qu'il y a de diagonales diff^rentes ao
sens usoel du mot, oatre celles qai formeraient les h^raigooes
dans le cas oü le polygooe gen^ral aurait an nombre pair de
odt«^. Dans ee cas done il y aurait ane troisitoe familk de
pol3rgones qai n'anrait qoe Ia moitiä, le qoart, etc. da nonbre
de c6i^

Ces trois famiUes seraient comprises daos le genre gose,
qa'on poovratt dire penta-, septa-, poly-gone g^n^ral all est
qaestion d'an genre d^termin^, Tavantage de rintrodoction de ce
mot gone ne se faisant sentlr qoe si Ton enonee des resoHiti
coromans aax^ polygones de n'importe qael nombre de cAt^. Eb-
core poarrait-on distingaer les anigones, dans lesqaels ce Dom-
bre serait impair et les didigones oü il serait de Ia forme 4«,
de Sorte qae toas les didigones sont des digones. Parmi les
anigones noas appellerons primunigooes ceox doot les oooh
bres de c6t^s sont des nombres preoiiers.

2. Gelte noroenclatnre admise on a qaelqaes tfaöor^mes dans
one forme noavelle«

En reprenant Ia coosideratioo* de page 146 on Tolt qae les
cAt^s X des digones se d^rivent des cAtfo 5 des gones ptf
Ia formale: ;r* = 4 — y*, et corome rMproqaement y^tsi— «•*
00 troavera T^qaation des cdt^s des digones par eette soMi-
tatioo dans T^aation des anigones et rMproqaemeoty tasA
qae eette sabstitntion dans T^aation 6es didigones reprodoifft
Ia mtee ^qnatfioa; donc les eqaations des didigones aeiit das
fooetloBs sym^iqoes de or* et de d — a^.

Da reste on pent les obteoir en eabstitaant ^*(4 — ^ ^ ^*
Noas troavons poar les digones:

(4) Tdtragone a«— 2s=0.

(6) Hexagone i^-lsft

(8) Oetogone o*— 4a«+2=ft

N

igimmm dm eötit et des iftaffonales de$ polppones n^iüers. 158

(I^Mcügoae o«--3a*-^1=:0.

(I?) Do(Weagone . o*— 4a*+l=:0.

(14) Diseptagone a«— 6a*+6a«— 1=0.

(W) Dioctogone a» — 8a« + 20ii*— 16a« + 2=0.

(18) DieDü^agone a« — Oa^ + Qa«— 1 =0.

(9) Didäcagone a» — 8a« + I9a« — 12a« + l=0.

(22) Polygone de vingt-deuxc6täs aW-9aH28a«-35aHI5a«-l=0.

(30) „ „ freute „ a«— 9a« + 26a*— 240« +1=0.

(S) „ „ trente-deax „ a»«— I6ai* + 104ai«— 352aio

+ 660a«— 672o« + 336a«

— 64aa + 2=0.
etc.

Nova fidaoDs obaerver qae cea ^qaationa des digonea aont
toatea Ineomplötea c. a. d. qu'ellea ne reoferroeDt paa lea öquationa
des gooes dont lea c6t^a aoDt dea diagonalea de cea digonea.

P. e. L'^qoation (30) ne contient paa (15), (10), (6), (5), (3).

Si Ton diatingne iea didigonee , od a pour eox en forme aymä-
frifloe eo a* et 4 — a*:

(4) Tätragone a«— (4— a«) = 0.

(8) Octogone (a^)« + (4— a*)«— 12 = 0.

(12) Dodikiagone . . . . (a*)* + (4— a*)«- U = 0.
(19) Dioctogone: t(a«)«+*M(4— a«)» + 21 — 34 = 0.

etc.

f^ choiai cea formea pour ^viter la r^p^tition dea formnlea
^es qa'ellea aont imm^diatement apr^ la subatitation.

3. Lea donblea apotb^mea dea nnigonea äquivalent aux c4t^
des digonea et reciproquement. Ou ce qui revient ao roäme:

Dana lea digonea on a tbujoura un triangle central da m^nie
^e qn'on dea trianglea centraux de l'unigone.

Dans lea digonea on peut distinguer dea rectanglea formäa par
^ €6(ea du digone et de runigone correapondant, dout leB valeurs
*^Bt lea radnea dea deux äquationa repräaentant ce digoae et cet

SI donc on multiplie enaemble lea airea dea divera rectanglea
l^oBc chacun contient les quatre trianglea centraux mentionnöa
^ ^ deux ägaux) du digone, ce produit aera ägal au produit
^ demiera tennes dea ^quationa du digone et de runigone.

154 Bmfs Bailot: Swr ia flnmaäm et ia Meompottäm äe$

Ainsi le prodait des deox rectangle« diStfrente qv'oB peot
fonner daos le döcagone est ^gal k V5, pnisqoe les deox deroie»
termes des ^uations reiatives ao pentagooe et an d^agoDe est 5.

Le produit des aires des trois divers rectaogles da septagooe
est ^gai k V7; pour TeDDäagooe ce prodait est V3.

L'octogoney Thexagone qui oot deox esp^es et le t^tragooe
le didigone qai n'a qa*une seule esp^ce, ont leors rectangles re-
spectivement egaux k deox fois, ooe fois» deox fois le carrö da rayoo.

II est facile de moltipÜer ces exemples, seolement il fant nn
peo d'atteotioD surtuot qoand ce n'est pas le dooble d'un Doabre
preniier qoi exprime le norobre de c6t6» des digones.

§. 5.

EtpuMtions des eordes JCun multiple ^fuelean^pte JParet e»

faneüan des eardes JCun iel are.

1. Dans toot ce qoi pr^^de neos ne neos soromes serri»
qoe de Ia doplicatloo de l'arc (r^itärö s'il le fallait). II est dair
qoe neos aorions po appliqoer Ia triplication » Ia qointaplicatioo eCc
Comme par ce moyen noos poovons otiliser des trap^ses qoi
n'^taieot josqo'ici d'aocone otilit^^ nous poovons esp^rer, qoe oms
poorrons troover des formoles poor toos ces gones» oü laHtapE-
catii>n ne noos condoisit pas ao bot, comme poor le polygone de
dix-sept c^t^Sy oo il est impossibie de troover on trap^ze, oo mtoe
si Ton pr^före de se servir do tbeor^me de Ptolöm^, on qoadrila-
t^re inscrity poor leqoel le nombre d'arcs soos-tendos par \ti
edtis et les diagonales se troove dans Ia Serie g^m^triqoe 1 » %
4, 8 etc.

Do reste les relations entre les cordes (y) des arcs 3a» ^
7a et Ia corde de l'arc a sont assez simples et corienses potr
les r^prodoire ici et poor montrer comment on peut les otiliser.

Ed choisissant on trap^ze ioscrit dont les c6i48 soos-tendeat
a, a, a et 3a, et en appliqoant le m4me tbäor^me dont noos aooi
sommes servis dans ce qoi präc^de, on obtient Ia formole potf
Ia corde do triple de larc. Celle -cl conooe on cboisit le trapto
dont les. c6i4B soos^tendent 2a, a, 2a et 5a de sorte qo'on troafe
Ia corde do qoiotople de l'arc et ainsl do reste.

La corde de l'are simple S03rant toojoors x on troove:

« » 9»

w » >»

n n 99

n n $9

» M

^fMftont äe$ eMs ei des tüaffomties des polfp&nes r^ffuUers. 155

Ucerdede trois ares =3a:— «•= — «(j:*— 3),

einq „ =5j: + 5a:* + a:*= + :r(«*— 5a:'+5),
sept „ = 7ar-— 14j:»+7ar* — a:^

=— .T(jr«— 7««+ 14»«— 7),
oeof „ = +ar(a?«— «a:* + 9a:«— 3)(«*— 3),

onse „ =— ar(j:*®— na:»+44Ä«— 77a:*

+ 55a:« -.11),
treiie „ = + ar(x»- 13a:W+66x«— 16&r«

+ 182a:«-9Lr«+13),
« ^ quinze „ = —a?(a:«— 7a:«+I4ar*— &r*+l)

X(«*— &r«+5)(««— 3X
„ dix-sept „ =+ar(a:»«-.17arM+119a:M— 44acW

+ 935««- 1122xH714a:*-204«*+17),

« „ „ dix-fieuf „ =— jK«"'-19«w+I52irW-.66&rM

+ 1729a?w>-.2717««+ 25(»r«

— I254ar*+28&r*— 19),
etc. etc.

DoDc OD a ik droite lea formales exprimaot lea cdtäs et lea
(iiagODales des polygonea multipli^es par -{-x oo — x aelon qoe
1^ polynome est d*an degr^ An oa in — 2. Od od trouvera la rai-
MD fais la formatioD mtoe de cea ^quatioDS. La corde de neof
SYcs a eo ontre poar factear j;*— 3, parce qne le c6t^ du tri-
ugk est diagoDale de TeoDäagoDe. Pour la rodme raisoD la corde
^eqoinze ares a CDCore les facteors (x^ — 3) et (a:*— 5a:*+5).

2. Ces cordes doDD^s, pour trouver l'^qaatioD da polygone
<ledix-8ept cM^a (AB....R), od peut se servir du qoadrllat^re
AJKO, daoa leqael JK sooa-teDd ao arc, AO e| £0 qoatre
^^9 JO cinq ares, AJ et AK bait arca. II faot alora otiliaer
le tk^rtoe de Ptol^mäe.

On n'aora aacooe difficalt^ k d^river par cette appllcation lea
^^nteoa des polygooes de 9, 12, 15, 18 cdt^ de cellea des
Hygonea de 3, 4, 5, 6 cAtöa.

L'^qnatioD du polygoae de 15 cdt^s se troove lodiffäreoimeot,
«B tobstitiiaDt k a daos la formole du pentagoae Sx-^x^, ou bieo
^ la formale da triangle 6x-^6x^ + x^.

Celle da polygooe de 21 cAtäs lodlfföremmeDt, eo posaot dans
^formole da aeptagooe a=3dr — a:* oa bieo daos la formale da
^gle a^lx^-Ux^+Jx^-- x^. Eo faisant ces sabstitations od
^<Hwera dana le premier cas :

ThiUXL, 11

156 Bui^8 Bailot: Sur la /brmaiion et la äicmnpOtttlOH 4»

ar"— l&rW + 13ß^M— 647«»+ 12fl9:r*o— IfiSöx» + 149te*— «5lr«

+ l26jr»-7=:0=(ar«-7^+14a:«— 7)
X (a:"- lla:i<> + 44ar»— 78;rH«>x*— l&r«+ 1) ;

dans le secood cas:

;,u _ I4^u + 77;i.io«.210a:« + 294a:«— 196x* + 49«« - 3 = 0
=:(«»-3)(j?M-ll«w+44j:«-T8a:«+60«*-l&r» + l).

Si on di^sirait l'^quatioo de ce polygone avec toutea sea diago-
nales H faadrait maltiplier la premi^re formole par «* — 3=^0, o«
la aecoode par a:«— 7jr*+ 14«*— 7=0.

3. Ce qu'il y a d'extrdmeroent simple c'est qu'en combiDaot
lea r^aaltats de la daplication, de la triplicatioo etc. des arcs, oo
parvtent plus facilement qoe par aacune des m^tbodes pr^ödco-
tes aoz öqaatioDs des polygones.

Aiusi en exprimant qae les cordes dq double et da triple de
l'arc da pentagone sont Egales > ainsi que les corde da triple et
da qaadraple de l'arc da septagone, les cordes da qaadrapie et
da qalotuple de l'arc de TenD^agoDe etc. etc., oo torobe Immödia-
tement sar les formales cbercbäes.

Poar le polygooe de onze cdt^s, on a la corde de eioq am
ögale k Celle de siz arcs. Done:

(3«— «»)V4— (3«— «»)«=«(5— 5«« + «*),

(9— 6«« +«*) (4—9«« + 6«*—««) = (6—6«* + «*)*,

«^0— ll««+44««— 77«*+66«*-ll =0,

Gomme auparavant. Et poar second exemple posant la corde de
qainze arcs ^gale k celle de seize arcs^ ce qai donner» le poty-
gone de trente et an c6t^s, on troave:

«»-31««» + 434«*<»-3627«**+ 2016ü««*-.78430«*o + M98Ote"

- 447061«w+66(J858«»*-700910«»*+520676«w-280338««

+ 82212«« - 14756«* + 1240«»— 31 = 0.

Les eqaations qa'oo obtient par cette mötbode contteDnent
toatea les diagonales du polygone; si donc le poiy§one n'est pa0
pvimnnigoaet T^oation se laissera d^corapoaer ea denz on pla-
sleors polygones. P. e. L'äqnation da polygone de 31 odtde rei-
fennera celles da triangle et da septagone.

^qu&Umu an €4a$ ei d$9 4la9muik8 äes poiy§0tte$ räguäers, 157

Pmt obtaiir Im ^oüiaii« des pol3rgenes od pavt oatnrella-

neit soorent varier r^gallsatiaD de deax cordes, male alore en

troQfera fräqnemiieDt plo»d*oB polygone k la fois. P. e. Bo poaant:

earde de ^hise arca = corde de alz area, on obtiendra lea dqoa-

tioM des polygonea de 21 c6t^s et de 9 c6i4s. Poor avoir iVqua-

tum du polygone de 21 c^t^s seal, on devra poaer: eordededix

arct 3 eorde de onze arcs. Eo gön^ral poor obteair r^qaaüan

do polygone de 2n-|-l c6t^ on posera: corde de n arcs ^ corde

detfl «res» et dans ce cas od aura r^oation eo ro^me tempa

cMBpl^te et saos factear ötraDger k la qtiestioD. Car l'^aatioD

arondeses roembres du (n-f 1)"^ degrö; Ton de B9b membres con-

tiMl le radieal V^4 — a\ pQisqoe n ou n-fl est Tan des deas
pt»; twm deux cee raembres ont le faeteur m par leqoel eo peol
difiMT, reste donc apres i'^^vation an carr^ ane ^iialion de
degr6 2». De plus il n*y a qu'on seol polygone poar leqnel cette
coodi6on i llen.

8. 6.

Cmpßraison des iquations relatives aux divers polyganes,

Apr^ avoir donn^ tant de formales ponr divers polygones
ü est temps de proci^der k one autre reoberche. II ne faut pas
se perdre dans la pluralitä, il faut cbercber Tunitö. C'est ce dont
riuHiiiDe De pent pas et oe doit pas se passer. Voila qoi neos
^ imp^rieusenieDt impos^ surtont dans les matbömatlqoes» la
bogue de la raison par excelleoce. Une cbose doit ^tre ^tudi^
«ou plusienrs fomes, de tons les cAt^ poor la bien connaitre»
poifl k raison d'^tre de cette cbose peot et doit ^tre cbercb^*
Qüoiqae la mati^re seit loin d'dtre öpois^, j'al röossl k troorer
ce qae je cherchais : des rögles pratiques poor däriver T^quatioo
^^ polygone de Celles des polygones d^jä connos. Aprös toot
je crois avoir offert aoz savants l'occasioD d*y fixer lenr attention.

Eo Premier lieo il neos a frapp^ que dans les formules poor
le acptsgooe et polygooe de onze cöt^s, les coeiBcients k Tex-
ceptioo do premier, qoi est natorellement toujoors Tunitä, sont
«iWisibles par 7 et 11. De plus si Ton 6te le preroier terme, Töqoa*
tionsera divisible par a*-— l.

Od troQve poor le septagone:

^nx le polygone de onze c^tös :

aio_ii (|,^_ 1) (a6_3g4 + 4|,«— I) = 0.

158 Bujßs Baiiai: sur ia fommikm ei la d^cmnpeMüUm äu

Cefi deiix propri^l^^ se retri«y«iit cIms Im ante«» pruMDigt*
Des» souvent mdme comme cbez le septagone r^uatloBy apfte
qu'oD a dt^ le prämier terme, ae treove diTisible par (i^*^!)*.
SeuIemeDt je ne aaia pa^ trouver k cette aingolarit^ ona sigaif-
catioD eaaentielle.

Une autre Observation exprime mieux le caractöre de tH
^quations. Je Texposerai dans l'ordre dans leqael je Tai falte>
d'abord moins jnste, puis plus exacte, pour faire Toir dans celte
exposition comme dans toute la böte, la roanldre dont j*al mdl*
m^me tronv^ les v^rit^s contennes. La r^dactlon pourrait 6tre
plus coDcise 81 je la refuisais» mais il Importe de savoir coroment
CO a procäd^. Voilk pourqnoi j'ai donn^ des caicols malntenait
moias n^cessaires» mais quo j'ai fait r^llement k pea prto daat
Tordre daos lequel j'ai ecrit cette note.

Or d'abord il m avait frapp^ que je pouvais ^rire les halt
premidres ^quations dans cette forme:

(3) triangle (4— a«) = l,

(4) carr^ (3— a*)=:l,

(5) pentagone . . . . (2-ö«)(3— a«) = l,

(6) bexagone (2'-a*) = l,

(7) septagone . . (l-o*)(2-a«)(4— a«)=:l,

(8) octogone (l-a*)(3— a«) = I,

(9) ennöagone (1 — a«)(l— a«)(4— a*) = l,
(10) däcagoiie .... (1— a«)(2— a«) = l.

C*^tait curieux que daus ce cas toujours le premier meiabre
avait de ces factenrs simples (1 — a*), (2 — o*), etc.

L'öquation (9) offre cette Irr^gularitö qu*il y a deux factenrs
ägaux» mais ce n'est pas un primonigone. Je m'imagioals ose
Interpretation. Poortant apr^s avoir tronv^ les ^uations de pla*
sieurs polygones d'un plus grand nombre de cdtes et surtout apr^
avoir ^crit la paragraphe 5> je vis que je m'ätais tromp^ sur la
slgnlfication de ces frappantes analogies, que j'avais efflear^ et
non pas toncb^ la vörit^.

En effet en ögalisant le premier membre de la formale d'un
n-gone neu plus k 0 teile qu'elle ^tait, mais k Tunitä apr^ l'avoir
aagment^ de cette m^roe valeur, j*avais inconsclemment et non
pas tout-^-fait en r^gle admis la oondition que la corde de 3, S, 7
arciEt ^qaivalait k la corde de Tarc simple. Ainsi j'avais plot^
exprim^ au premier membre de l'^quation (car il faut que le secoiid
seit 0) Tensemble des ^uations des pol3rgones qul satisfont k

igugOmi» äe$ €M9 ei dB$ tttMfßmuiiit de» poippones r^üen. 159

Mtte ^qofttion qae r^atfon de ce tt^gdse. Cependant il reatait
oM liUBeolfe. Quelle ätait la raison qne bod paa toaa lea gonea
qo'on a?iit le droit d'atteodre s'y troavaieot r^llement et poor-
qooi ^tait-ce qoe j'en troavaia d'aatrea en ögallsaot k rnnlt^ po-
titire, lea aatrea en ögaliaaot k Tunit^ negative? On poarrait
fiipposer qoe lea polygonea poor lesqoels la corde de n foia l'are
doDDiit nne on pluaieurs chrconvolutlona plua on arc, fonrniraient
TinCMlenr ^gal Ä -f 1^ et qne ceox ponr leaqnela la corde de n
fottfirc donnait nne on pluaienra ciroonvolutiona moina un arc
fovniraient on facteor ögal ä — 1» mala cela n*eat paa toot-k-fait
nai. Ce qoi est certain c'eat qu'en ^alisant i -|-1> on treuve
qoelqoes-QB8 des polygonea qui aatiafont k la condition lodiqu^
etpirmienx aoasi le diam^tre: o* — 4=0 (le digone par ex-
cdJeoce) et enauite en ^galisant k — 1 lea aotrea. C'eat ce qoe
pronre U liste suivante.

Doiic, quoique je ne sache paa encore m'expliquer le ponr-
qooi de ces anomalies apparentes qnant au signe, je donneral
tont k rbeore des regles pratiques.

Poor eviter lea formulea on pent introdoire la notation £(2)
poiii(i*-4), E(3) ponr (a«— 3),* £(8) ponr <i*-4a*+2, E(pi)
afliiera röqoation du polygone de n c6t^ on peut voir lea
^qutioiis aox pagea 150, 151 et 152, 153 Indiqu^a par le m^me

Hais lea ^quatlona dea nnigonea qn'on pose ^galea ä ±1»
dmnt ^e compldtes (voyer page 151), nons prendrons ponr les
^tioDs compl^tes la notation Qp), qnoiqne ponr lea prlmnni-

gwei C{n)=E(ny.

On a donc: on ai Ton vent:

Z V-\^Z'Zt (C(5))^+i^(2).E(4x^(a,.E(e)=o.

Q7) =+i~E&).E(4).m (C(7))«=+l=£(2).£(3).f;(4).£(6)j;(8)

~ ' =0.

P7) =-l=£(3).£(8)=0,

C[9)=+l=£(2).£(4).iB(I0)=0, ***=•

0(9)=:_lsE(5).£(8)=O,

<'(1I)= + 1=E(2),£(3).£(6).£:(10)=0,

<^l)a-l=£(4).£(6) .£(12)=0,

'fl3)s + ls£(2) . E(S).E(fi) . £(14) ssO,

C(13)8: -.l5£(4) . £(7) . £(12) =>0>

160 Buy9 Ballot: Svr ta farwuMm st la dicampamim äu
C(15)= + 1=£(2).£(4).£{8).JE(U)=:»0,

C(17)= + ls£(2).£:(4).^E(6).E(8).£:(18)=0,

C(17)=- 1=£:(3).£:(9).£(16)=:0,

G[19) = + 1=JB(2).JB(5).£;(6).JB(10).JS;(I8)=0,

C(19)=;:-l=£(3).£(4).£(9),£(20)5^0,

C(21)«j= + l=JS(2).i;(ö).i;(10).JB(22)==xO,

C(21)=-1=JB(4).£(1I).£:(20)=0,

C(31)= + lsf:(2).JB(4).£(6).£(8).iE(10).£;(16).JB(30)=0,

C(31) = -1=JE;(3).£:(5).E(15).£(32)=0.

Oo vott qu'en effet tous ies gones, pour lenqaeU n feto l'art
est ^gale h, uoe ou plusieors r^volotions enti^res plas oa isdu
DO seol arc> aont repr<teent^s. II va sand dire que poor parrenir
& ces d^compositions il n'est n^cesaaire de eoiTre la methode it-
diquöe dans la paragrapbe 1. que partiellement, car od sait qoel-
lea aont Ies ^aations qD'on peat atteDdre comme facteare. Elle
est poartaDt tr^s otile, car cd fomiaDt f^aatioD ä deconpo«er
#^, Fir-l), F(-fl), OD peu» rejeter ^ priori toates Ies ^qaatitM
pour lesqaelles /1[0), A-~^)> A+') "® •<*"* P*^ factears rüpec-
tireoieDt de fXO), F(— 1), F(+l).

Je disa!9 qa'oD peat atteDdre tels facteors, je serais teot^ <)<!
dire qa'oo peut Ies d^teriDiner d'avaoce. Au oioins y a-t-U coome
j'ai däja dit des r^gies pratiques bien qae encore empiriquei. Bn
premier Heu £(2) (diam^tre) se trouve toujours avec -^-l.

Si (Xn) est dp degrö 4m, alors E{n -^ 1) ee tronFC avec -1-1
£(11— I) avec— !• Au coDtraire £f -rt— J, ^(-j— )> ^("S
etc. se trouvcDt avec « 1 c'est h. dire de Tautre c^X6 que Ein\^)

£r^-^), Ey—j-j, ^\^J ^^^' ®® trouveot avec 1-1 <**

Tauteur c^\6 que £(n— 1). Pour Ies antres harmouie» qn® jH
trouv^es je Ies d^elopperai tout ä Theure par un oouvel exempl^
Si C{n) ^%i du degr^ 4m ^2, alors TiDverse a lieu. C'est k dire
£(n + 1) se trouve avec — 1 etc.

Ed considöraut bieu la liste des cordes des mqltiples d'oa vi
de page U5. od s'expliquera facUement pourquoi £(n-|-l) se troovc
aotdt du cAt^ de -f 1> tautAt du cAt^ de — I. Car il est ^videol
que r^quatioD : corde n arcs = corde arc dolt o^essairement i^
Der eotre autre le polygooe de ii-f 1 cAt^, or la corde den arc«
k pour sigue -f ou — seloD que n est de la forme 4fi^l ^*

^atlMs dea eät^s et des diapmales des potpgones t^guHets, 161

4p-). Mais p<nir lea ailtres £ Javone que j« n'ai pa« trourö
li Rk€isH^ de la dtspoaittoD.

D*apr^ GM dono^s tAcboDs de former C(23), ätant da degrö 22,
£(24) M trou?e avec -1, £(12), C(23)= + 1 C(23)=— I

£(6), £(3) se trouvent doDc da

=

S5S

ciM de -1-1, 8 «tant le tiers de

£(12)

£(24)

^. E^ se trouve de faatre cdM

£(6)

£(8)

(-1), £(4), £(2) dD c«M d« -|- 1.

£0)

£(11)

£(34) «>Dt da *4M de —1,

£(4>

£(22) K troove ave« -f 1, dtmc

£(2)

£ai) wec —1.

£(22)

New ivoDfl dotic :

C(23)= + I s £:(22).£(I2).£(6).i;(4).£:(3).i:(2)=:0,
0(23)s— 1 s£(24).£(ll).£(8)(s:0.

Ponr y^fier le rösaltat on n*a qo'ä effectuer les ronltiplicationa
^ei.4'iH[24).£(ll).£(6), ce qoi d^nnait peor les qofttre prettiiera

(,ts^234^ + 23ft(i>«-^ 1311a« -f ....

Cei troif oombres ätant divisibles par 23, et Täquation du degr^
^ j'y troiivais utie garantie süffisante de la justesse du r^ultat.

Si Ton troovait ces rögles trop difßciles ä saisir on pourrait
sÜDplenent poser t ^

(0(23))« .
=+l=£(24).£(12).£(6).£(3).£(8).£(4).£(2).£(22).£(lI) = 0.

A droUe se trouTent done les nombres 24 et 22 avec toas leurs
^^ars; toutefois 2 conunao diviseur des deux ne se pröseute

qn'oDe fois.

Ed r^sum^:

1. On pevt former les ^uatioos de tou» les primiinigeDes.

2. De ces ^quations se d^rivent tres facilement Celles qni
▼alentpont les dlgones, les didigones et ponr les polygones döot
k Bo&ibre des cdtös est divisible.

3. On pent y parvenir par nne m^thode porement analytiqne
^ bien en se serrant de la propri^tö du quadrilat^re on du tra-
?^ inscrits, laienx encore en ^alisant les cordes de denx arcs.

Dans le premier cas on obtient toujours une öquation qni
^*>^t deox oo plnsieors factenrs dont chacun vaut ponr on

ItliBupiBaiiot: Formai. ei däcampo$.deäigttai.4e»poiif ff. NiuUert,

polygoDe qa'on peot d^terminer d'aFance. Dans le «econd cta
on troave tths sonvent T^atioD desir^ au degr^ esseatiel; Mf
▼ent anssi eile contient. ootre le faeteur desirö on aatre qni n's
pas tonjoure iine aigoification connue, bienqae tr^s sooreDt cet
antre faeteur ezprime la relatioo des cAtäs et des diagonales d'n
polygone plus simple.

4. Quo! qu*il en seit» on peut toujours s^parer les bdevi
de cette ^quation par un proc^dö möthodiqne et sdr ({. I.) q«
d'apr^s ce que nos recherches dans la paragrapbe 6. ent rnonH
n'est plus indispensable» mals qui mtfrite Tattention par sa les-
veaut^ et parce que c'est lui quI a frayö et apiani la route.

6. Le carr^ du premier membre de l'öquation des c^t^ tn
unigone (2n -f 1) ^alisö k Tonit^ positive donne Tensemble con*
plet des ^quations relatives aux polygones qni ont la corde de
2fi-f 1 fois Tarc ^gale k la corde de Farc simple, y eomprisl'^-
tlon du diamötre.

6. Le earr^ du premier membre de l'^quatlon des c4t# d'oD
digone (de 2n c6t^s) ^galis^ k Tunit^ positive donne le prvdoit
des deux ^quations compUtes des polygones de 2n + l ti ^t
2it — 1 cdt^s.

Cette derni^re conclusion est r.ezpression plus gönörale de
l'änonc^ pour les polygones de 2"* dt 1 cdt^s, car de cette oa-
ni^re on ne trouve les cAt^s des autres que comme diagoDiles
de ces derniers. L'avant-deml^re expression du caract^re eo eit
une relation analogue, comme on en pourrait trouver bien iinr
tres encore.

La propri^tä que dans les ^uations des primunigones totf
les coeflficients des termes suivant le premier sunt divisiblef pv
le nombre des cdtös» est d*lmportance dans la tböorie des nombrei-

U s'en suit que le produit de C(m) et de C(n) et le prodoi^
C(p)XC(q), si m-f 9t=:p-f 9» ont en commun le ^econd coeffi*
dent; mals on volt> ce qui est tr^s remarquable, qu'ils ootei
commun plusieurs coelBcients. Comparez p. ex. C(ll) X C(5) a^e(
C(7)XC(9) p. 143. et p. 160., C(13)x C(I9) avec C(15)xC(17), etc-

Lobaito: D^m^msL du M9r^m.inome^ au i. 89. pJ20.de ceJourfLlQS

Demonstration da th^or^mex enonc^ au tom. 39. p. 1 20.

de ce Journal.

Par

Monsieur E. Lobatto,

Profes8«ar de niath^matiqae« k rAcadömie ä Delft

Eo posant

Az=zaaf-'bb' — c&, D = b& + i:b',

B=bV - ccf --aa', E = ca' + ac',

C = cc'- aa! —66' ; F = a6' + a'6;

00 aura:

= (a* + 6» + c«)(a'»+6'« + c'*)(aa' + 66' + cc')> («)
20. (A+B)(B-{-C){Ä'{'C)''1DEF

Noos alioDS prouver eo premler lieu la seconde partie du th^o<
r^, ce qui facilitera la dämonstration de la premi^re partie.

On a d'abord

J + Ä=-.2cc', 2l+C=— 266', Ä + C=— 2aa'

^ 4. ^ + C= - (aa' +66' + c^).
Us faleora de iD, £, F condnisent aox relatioos suiyantes:

i? ^ (J + B) (Ä+C) = (ac'-.a'c)«, [ (I)

F«-.(B+C)(il + C) = (a6'— a'6)«. )

164 Loöatto: D&mmuiraHon du tkiorime

On a d^ailleors:

DE = cc' (ab' + a'b) + d^a'b' + c'^ab ,
donc

/)£;F= cc' {ab' + a'6)» + (c«fl'6' + c'Hb) {ab' + a'b)

= cc' (a6' + a'A)« + aa' (6«c'« + 6'*c«) + M' (nV* + a'M).

expresslon qni peut s'^crire encore sons la forme snivante :

DEF= cc'{ab''-a'by^ + aa' {bc'-^b'c)^ + bb' {ac' — o'c)«

+ Saafbb'cc',
on bieo

WEFz=: ^{A + B) {ab' - a'6)»— (B + C) (6c' -6'c)*

-(2l + C)(ac'-a'c)a-2(2l+B)(Ä+C)(4+C)

+ (il + Ä)(Ä + OM + C).
OD vertu des relationa (L), d'oü Ton dädait

{A'l'B){ß+C){A+C)'-2DEF={A+B)F^+{B+OD'+{A+C)P

ce qu'il fallait prouver.

D'apr^s la valear obteoue ci dessns pour 2DEF, la qnantit^

ABC— Am — BE^ — CF^ + 2Z>£;F

ae ehaogera en

Poaant poar abr^ger

A+B + C = — (aa' + 66' + cc')=«,

on auta

A=s + 2aa', Ä=t + 266', C=«+2cc'.
Donc

ai)

ilÄC= f • + 2 (aa' + 66' + cc') «« + 4 (aa'66' + aa'cc' + 66'cc') i

+ 8aa'bb'cc'

=— #»+4(aa'66'+aa'cc'+66'cc')«— (il+iS)(i<+C)(B+0'
Or, II räaulte des relations (!)

inm»et mt um. 9». püf. it9. de <e Jwmnutl. 105

iHÄHF»s(*e' -6'c)»+(oe'— «'«)» + («4'—a'A)»

+4(ao'M' +aö'cc'+66'cc')
= (o« + 4« + c«) (a'« + A'« + c*«) — «•

+ 4 iaa'bb' 4 aalee' -f bb'eef),
d'oa l'oB dMnit l'^nation

(i<+Ä+ C) (/)«+£«+F«) = (a« + Ä«+ c») (o'«+Ä'«+ c*«)»-»«

+ 4(aa'66' + oo'cc' + W'««*)*.

Soütnyant cell« ci de r^quation (II), od obtiendra:

=-(.<«+6«+c«){a'«+6'»+c'»)«-M+Ä)(>ß+C)(.<+C),
og bieo
4BC-(4+Ä + 0(ö»+£»+'^) + ('^+Ä)(Ä+C)(i<+C)

= (o« + 6« + c«) (o'« + 4'« + c*«) (ao' + W + cc')-

Au deux relatioDB («t), (ß), qni noos venons de prouver con-
fimiAneot an thtfor^me propos^, oo pent joiodre cBcore nne troi*
siew qoi d^coale imm^iatement de« ^qnations (I).

Ed effet Celles ci doanent:

D«— fiC=(6c'— 6'c)«+ ^-f-^(B+ C),

£« — JC = (flc' - a'c)* + Ä« + Ä(-<< + C) ,

F«— i<B=:(aÄ'-.o'6)»+ C*-\^C(A-\^ B).

Done:

1>»+JB> + F»— (i4B+BC+i4C)

=(6c'— 6'c)«+(oc'— o'c)«+(o6'— o'Ä)*+(^+B+ C)*

=(6c'-6'c)«+(ac'— o'c)«+(o6'-a'Ä)H(««'+W+cc')* '
=(o*+ *•+ c") («'• + *'* + c**) ,

'n PoD tire, en ayant tfgard k l'^qaation (a), ceile ci:

(A + B-hC)\D»+E'+F*—AB-BC'-AC\
+ ABC—AD^-BE*— CF«+2D£F= 0,

(|>i> <tuit d^?elopp^, se r<daira k l'^quation (ß).

0 est ais^ de cMclaie de ce qirf pr^cAde, que les six qnan-
^ <i>6, e, a',6', c',ae poorroot 4tre exprimöe« en fooction de

166 Lobatto: DemonHration du lAäor^me

A, B, C, D, Ey F, qn a moins qoA ces 4erni^es qoaotit^ ne
soient li^es entre eiles par r^quatioo de condition (/?). Mais, dans
ce cas inline on ne pourra obteoir que les rapports entre les qaan-
tit^s a, b,Cy a', b', c', une d*entre elles restant enti^remeDt iodö-
termio^e, auasi qa*on va le voir par lanalyse suivante.

En profitant des relations
les valears de D, E, F fourniront les öquations:

Posoiis pour simpli6er

a b am,

c ' c * b n

les equations pr^cedentes se ehangeront en:

ou bien:

*' + g(^ + C)+^(Ä+C)=Ö;

" ^ A + B^A+B-^'

m« 2ot F ,g-fC_-

dont les deux premi^res saffisent pour d^terraiDer les rapports
m et n. Oo eo tire respectivemeot:

„ _-D±V{D^-{A-\-B){A-^C)\

A + B

^_—E±V{E»-(A+B)(B + 0\,

I

dumei au tom. 39, pag, i20. de ce JournaL 167

or, pmsqiie Im deuz valeiiril de n ont ponr prodnit i I ^g= -X —,»
9e8ti$?ident qne ces valenrs fourniront alternativement les rapports
^ et p* De m^me les deux valeurs de m donoeront les rapports

' et -• Od pourra aiosl disposer.arbitrairement de la qaantitö

e; qnnt k la valeur de c' » eile se trouvera alors d^termin^e par

la fradion - — 75 — . La Taleur de — , d^duite des valeurs ob-

temies ci dessus ponr m et ft, devTa^s'ldentifier a?ec celle fournie
par U derni^re des ^quations (III), savoir

m_— FJ:VtF« — (^ + C)(^+C)|
n— A + C

d'oü Ttolte r^qaation de condition

-D±v\I^^(A + B)iA + C)\'-' A + C

laquelle oe pourra difförer de la r^lation (ß). II parait difBcile
aopremier abord de prouver Tid^Dtit^ de ces deux ^quations, ä
caose des radicaux qui^-entrent dans F^quatioD que nous venons
fobtenb. On pourra y parvenir cependignt sans trop de peiiie^
eo proc^ant de la maniöre suivante.'

Si i'on sabstitue k cette öquatton ces deox ci:

E^V\E^^(Ai-B)(Bi-C)] -F- VtF»~(il-fO(g+C))
D^V\D^--(A+B){A+C)]'-' A+C

E+V\E^-(A+B)(B+C)] -F-fVlF«~(^+C)(g+C)}
D+viD^-iA+BXA+C)]-^ l+C '

i 8'accordent entre elles, et qu'on en prenne la somme, on

DE-v\Lß^{A+B)(A+C)nE^''(A+B)(B+C)\ — F

(A + B)(A + C) "^A+C

OQ bieo

W''(A+B)(A + C)\\E^^{A+B)(B+C)\:=:\F(A+B)+DE]^.

J^Teloppaot cbaqae membre de cette ^uation, il viendra apr^s

*^action:

iHB)*(A+C)(B+C)-'I)^(A+B)iB+C)'-E^(A+B)(A+C)

= F^(A + 5)« + 2DEF{A + B).

168

8pit%er: Ermitüung des ItUeffraies f-z r-; rr-.

DiTtsant par Yn faoteof A + B, od retombe finatement aar F^fat-
tioD de coodition (/}):

z=zIJß(B + Q + E^iA+C) + F^iA + By.

Cette derniöre d^daction pourra en ni^me tema itte cooaider^
caame ooe nonvelle dteOMtratloii de l*^iiation dont U s'agit

Ermittlung des Integrales

J (^-.«)i»(a:~|5)f <^^

für den Fdl, dass

p + gzsn

ist, unter n eine ganze positive Zahl, welche grösser
als 1 ist, und unter cc und ß zwei von einander yer-

schiedene Zahlen verstanden.

Voo

Herrn Simon Spitzer^

ProfeMor ao der HaodeU- Akademie in Wieo.

Wir aetaen daa Integral (1) in folgender Form vorana:

/

/dx

160

soeben sodaoo Co, Ci, C«, ...., €ii^i «o so btsümneo, dasa

die Gleicbaog (3) ideotisch wird.

Durch Differeoairen der Gleichimg (3) «rbiit man :

(i— y)(Cp-f Ctj: + C;aa^ + .... + G.-.«a?«-«)

und befreiet man diese Gleichnog ron den Brflchen, so erbllt
■n, gleich ordnend:

1= aßA_[|5(t-p) + «(l-7)]Co

+x{2aßCt—lß(2-p) + a(2-9)] Ci + (2-p-q)Co\

^^{3aßC-{ß(Z-p)+a(?-q)]Ct-\-&-p-q)C,]

+

+a:^»{(n— 2)«/JC;m^— [P(ii-2-p)+«(n-2--»)]C;,^ 1

+ («-2-p-j)C_4i

+a^'l-[/S(n-l-p)+«(n-l-v)]Gi_«+(«-l-^-9)C;-,|,
nd diese Gleichung zerfiillt in folgendes System Ton Gleichnngen :

0=2«^(;- [^(2-p) + «(2-?)] Cl + (2 -p-9) Co.
(t3.^£i-[/J(3-p) + «(3-9)] Ci + (3-3B - j) Ci ,

0=(t-2)o|}Gi_«— [/J(n-2-p)+«(>i-2-jr)]GH-8+(»i-2-|>--flr)C;-4,

»=-[^(B-l-p) + a(n— l-v)]C;_«+(»-l-p-y)G._,;
*u welchem im Allgemeinen

t/Q» C/j» t/«» ••••. Cii— s

kttinint werden kDnnen. Sollten sich in speciellen Flilen ans
^ so eben anfgestellten Gleicbongssysteme keine AnflSsnngen
^ f^f Ci, C^, ....,CW-a ergeben, so weist diess darauf hin,
^ das htegral (1) nicht die in (2) vorausgesetzte Form bat.

170 t dx

*'" Spit%er: ErmiMung des Jnugraies J j^—^^^j^^—^^.

So ist z.B. Air p + 9=2:

dx Cf^

{x - a)f {x - /3)f "" (a:— «)P-i (a:— ß)r-» '

/

woselbst Co sieh aus folgender GleichiiDg ergibt:

und diess liefert eineo endlicbeD Werth für Co» mit AusDahme des
eiDzigeo Falles, wo

ist. Sei ferner ji-f 9=3, dann hat man:

/dx Co-\-CiX -.

{x-ayr{x-ß)9 - (a;-a)P-i {x -ß)t-^' ^

woselbst Co und Ci auch aus folgeirden Gleichungen ergeben:

0 = [?(2-p) + «(2-g)lCi + Co. i

L5st man selbe alif, so findet man fiSr C^ und Cg Brüche, dem
gemeinschaftlicher Nenner die Form hat:

«/^+[?(l-P) + «(l-9)]-[/^(2-p) + «(2-^)1.
und ist dieser etwa gleich Null, so ist

dx

/i

(X'-a)P(X'-ß)9 -
nicht gleich einem Ausdrucke der Form:

Boüei: Friwcipes ftmdamenUtux de ia 6^omHfie Mmeniaire. 171

Essai d'ane exposition ratioDnelle des principes fon-
damentaux de la G^om^trie ^I^mentaire.

Par

Monsieur J. Hoüely

Profetseor de Math^matiqnes pures k la Facnlt^ des Sciences de Bordeaux.

IntroductioB.

Depots longtemps Us recberches scientifiqnes des math^ma-
ÜdeDa snr las principes fondamentanz de la G^om^trie ^l^mentaire
se soot concentr^s presqae exclusivement sur la thöorie des
paralleles; et si, jusqu'ici, les efforts de tant d'esprits ^minents
n'ont tbooti ä aocun r^sultat satisfaisant, il est peat-ötre permis
^eo conclare qu'en poAuivant ces recherches, on a fait fausse
roQte, et qu'on s'est attaquö ä un probl^me insoluble^ dont on s'est
^^%M Tiniportance, par suite d'idöes Inexactes sur la nature et
^'ofigine des vörit^s primordiales de la science de l'ätendae.

La sonrce de cette errear est, croyons-nous, dans le fanz
point de Tue methapfaysique oü Ton s'est plac^, en consid^rant
U g^m^trie comme une scieoce de raisonnement pur, et ne tou-
^t admettre parmi ses axidmes que des T^rit^ n^cessalres
et da doniaiDe de la pure raison. On a ^t^ conduit alnsi ä attri-
inier aaz azidmes une nature toute differente de celle des autres
▼^ril^ g^om^triques que l'ezp^rience nous r^?öle en defaors de
toate tftude scientifique, et que le g^omdtre rattache ä ces azidmes
comme cons^quences.

Cepeudant la G^om^trie, comme la M^canique et la Physiqne,
ipour objet Tätude d'une grandenr con^^r^te, l'^tendue, affec-
^t DOS sens d'nne certaine maniöre ; et c'est seulement par les
'^&üons des .seos que nous ayons pn connaitre les propriöt^

Tktil ZL. J2

173 Boüei: Saat dtune expvsiiiim raüannelle de$ prindpa

föDdatnentalefl de cette esp^ce particuli^re de grandear. Ces
pri^t^s, iDd^finlssables et ind^montrables, sont les termes de
paraison Obligos auzquels nous ne pouvons qae rapporter
autres propriät^Sy ä Taide du raUonnement abstrait.

AiDsi ies sens seuls pea?ent nous mettre en relation af<
räteudue» et iU nous en fönt connaitre d^jä un grand nombre
propri^t^s, sans emprunter le secours de la logique d^do< '
Panni ces propri^t^s, Ies unes sont telleoient simples, tellemt
faoiles ä constater, que la force de Tbabitude» jointe k la
tton constadte de l'Ecole» a bien pu faire oublier leur y€i
origlne, et le röle essentiel qu'ont jou^ les sens dans Icvr di
▼erte. On a confondu» sous le nom d'axidmes, ces w
avec les v^rit^s abstraites, qui se rapportent ä la science
grandeurs en gtfn^ral ou ä Taritbroötique universelle *).

D'antres propriet^s, enseign^es ^galement par rexp^rlence,
jonissant de la m^me certitude imm^diate que les pr^c^nl
se d^dulsent n^annioins de celles-ci comme cons^quences» et
lesa class^s» sous le nom de tb^or^mes, k cdt^ des
plus cacb^es, que le raisonnement seul pouvait faire apercevoil

Le partage de ces vMt^s fondamentales en axidmes et
or^raes est, jusqu'ä un certain point, arbitraire. Ainsi, V
deoz de ces v^ritös sont ^ des cons^uences r^iproques Tooe
l'autre, on peut prendre celle des deux que Ton voudra
axidme, Tautre de?eoant alors un th^r^me.

Le nombre des axidmes peut varier, suivant Tordre qoe l'i
adopte daus la Subordination des propositions. II y a ce|
an mlnimum, au-dessous duquel ce nombre ne sauratt
r^dult, comme le prouvent les tentatives infructueuses auxqa<
neos faisioAs tout k Theure allu&ion.

Nous nous proposons, dans ce travail, de präsenter qoelqi
consid^rations sur le nombre et la nature des axidmes n^i
res de la G^omötrie ratiounelle. Nous aTons du examiner, k cel
occasion, les id^es qui ont servi de base aux ]£l^meot8
Legendre, et qui dominent encore dans la plupart des
modernes^ auxquels celui de Legendre a servi de type.
y reconnaitre de nombreuses inexactitudes, il nous a sufB d*<
faire la comparaison avec les principes d'Euclide et les di«

•) Ainsi, parm) les douze propositions qn'Bnclide d^gne du noa
w^md fvwou^h !«• trob dftmi^ret seides appart^imeixt sp^dalement ^ lA
trit. Lm aept premibva t'appUqneiit % tonte espto de grandenr.

f^mäatmentamx de ia B^mHrie H^emMre. 173

niios des gtaa^tres qai «nt sa se p^o^trer ' de rMrprit im l'in
Btrtel rnntenr des anciens Elements.

L'ooTrage d'EocIide loi*iii^niie, qoelqae sopöriorit^ qoe Ton
doiTe lai reconpaitre aar nes saccesaeara, ne noaa a paa para a
Fabri de toote critiqoey et noua avona cm ponvoir y aignaler de
l^^re« imperfectiona^ qoll aerait d*ailleura aiaä de faire diapa-
rittre, aana altörer aa fond Fadniirable enchalnement dea vMtea
qoe reofenne ce chef-d'oeuvre de logiqae.

Llmnenae aacc^a qn^oot ea lea El Omenta de Legeodre,
a lear apparition, n'eat paa du aeolement a la reooroiD^e acienti-
6qae de cet illnatre analyste. II tieot aoasi aax eniinentea quali-
t^ de pr^ciaion et de clarte qui diatingaent la redactioo de ce
fiFre, oo raoteor a ai bien au reprodoire la forme et le atyle dea
f^m^trea de TantjqaUö. lUalhearenaement, Legendre« entrainö
par Texerople de aea contemporaina , n'a paa ao coaaenrer dana
tonte leur paretd lea möthodea vraiment g^oni^triquea dea Aaciena,
et il lea a profond^mentalter^ay ea y in^lant lea procMee arith-
•Mqaea de TAaalyae moderne.

Cbes Bacilde, la G<k>iii^trie forme nne acience compl^te, qal
ae aoflH i elle-m4me, et n'inroque nofle part, dans aea dömoa-
strafioiia, le aeeoora de la acience dea nombrea. f^ent plntdt
Celle • ei qui eropmntera k la g^ro^trie aea denomtnationa, et qal,
rendae aenaible aazyeox par le moyen dea figurea, ponrra fonder
sea preniera principea »ar ane ^Tidence toat intuitive«

Legendre, au contraire, introduit a cbaque iuatant dana aea
raisonnementa dea couaiderationa qoi auppo^ent lea grandeara
g^m^triqaea remplac^a par dea nombrea. C'eat ainai qu'il parle
de prodoit de lignea raultipliees par des lignea ou par dea aorfa*
cea. Dana lea d^monatrationa oo il üM oaage dea proportiona,
il appliqae imm^iatement aux proportiona entre lignea dea th^o-
reme« d'arithm^iqae ^tablia aeolement pour lea proportiooa entre
oombres rationnela, et l'extenaion aacaa dea incommenaurablea, qa*U
cToit denontrer par an artifice imite dea geom^trea aociena, ne peat
^tr^ Joatifiee« tant que Too n*a par defioi avec plua de pr^ciaioo
l>gml!l^ de deox rapporta entre quantitea incommenaarablea. Noaa
alnaiaterona paa darantage sur lea defaata de cea mötbodea, qai
asjoard^hoi aont en partie abandonn^ea.

Nooa noaa occuperona plas particali^rement dts propoaitiona
foodamentalea du premier LiTre> qai ae rattachent imm^diate-
meat max axidmea. Comme noaa l'avona d^jä fait entendre^ ai
X^m m'vnki d'autre bot qae de mettre bdra de doate cbacone dea
riritte ftfoMdtriqaea, od poorralt faife «n bien ploa karge a|>pel

174 äoüel: Essai d*une exposUion raiiormeiie des pHndpes

k l'exp^rience» en supprtniaot la plopart des d^monstrations dau
cette partie de la g^omötrle, et prenant pour axidmes le pbis
grand nombre des propositions ^nonc^es. Nul horome de bon aens
aujourd'bui ne se donnerait la peine de r^futer an sopbiste oiant
qae, pour aller d'un point h uoe droite, la perpendiculaire seit
plus courte que Toblique; et ce n'est pas Tevidence qui maoqoe-
rait k cette proposition pour dtre rangle parini les axidmes de
la g^om^trie.

Mais l'aateur d'un trait^ de g^ometrie ne doit pas seulement
chercber h convaincre Tesprit da lecteur; il doit cfaercher a
l'^clalrer; et^ s'il ne s'attache pas k ^tablir avec soin fencha^
nemeot et la Subordination des propositions > il arrivera ä ras-
sembler des vörit^s qui resteront Isoldes et steriles. Fante de
connattre le lien qui les unit, le lecteur ne sera nullement pr^
parä k passer des v^rlt^s connues k d'autres plus cachäes, et il
aara perdu Toccasion de se familiariser^ sur des ezemples sim-
ples» avec les proc^d^s de recberche de la g^om^trie.

11 Importe donc de bien pr^ciser d'abord quelle eat la natare
des a»6me8, et de les r^duire au plus petIt nombre possible.
Pour nons guider dans cette recberche» nous ne perdrons jamais
de Tue cette maximei» trop souTent m^onnne» que les verit^s
simples doivent pouvoir se d^montrer simplement, et
qoe ce que Ton gagne en rigueur dans les raisonne-
mentSy on doit pouvoir aussi le gagner en simplicit^.
Sl quelqu'un des premiers principes de la science ne peut se 66-
duire d'une roani^re courte et facile des principes pr^^demment
posfte» on aura lieu de croife qu*il n*en est pas une consöquence,
et qu'ii est lui*mdme an axidme ind^montrable. II faut done se
d^fier des d^monstrations longues et compliqn^es» par lesqueties
on a souTent touIu ^tablir des propositions que Ton ne voulait
pas admettre parmi les axidmes. Par un examen approfondi» od
finit g^n^ralement par constater qu'il en est de ces d^monstra-
tions comme des appareils ing^nieux au moyen desqaels on esp^
quelquefois r^aliser le mouvement perpötuel. II s*en faut de bien
pea que i'appareil ne marcfae; mals il ne marcbe pas. — D'aa*
tres fois, on s'aper^oit que la proposition k d^montrer n*aTait pas
M rattach^e k celles dont eile est naturellement la cons^qoence.

Sl neos appliqaons ces consid^rations k Texamen des trait^
de gäom^trie qui ont paru jusqu'ä ce Jour» nous verrons sans potoe
qa*ils laissent tous k d^irer sous ces divers rapports.

Aa point de vue de la riguear des d^ductions et da cheix
des axidmes» aucuntraitö» Josqo'i präsent» n'a sorpassö les J^ltf-

fimdameniaux de ia GiamHrte il^meniaire. 175

icoU d'Eoelide» roalgrö qaelqaes points dtfectaen, qall se-
"^tM de corriger. Si les d^moostratioDS d'Euclide n'ont pas
joon la shnplicit^ qui semble rögner dans ies -ouvragea mo*
ce la tient bien moios au fond mdme de cea d^monatra-
^k la forme doginatiqae adopt^e par l'auteur» qoi se pr^«
lit avant toat de fermer la boucbe k des aophiatea qae ia
avait le fort de prendre au aärieux. De \k son babitnde de
■ioMafrer toojours qu'oDe cbose ne peut paa ne pas dtre, att
haf^bür qu'elle est, et de faire Toir en mtoe temps poar-
|«tl«lle est, et connuent on a et^ condait k reconnattre sod
Oklflite. II sufBrait souvent de quelques läg^res modifications
fonteaifowier les raisonaemen ts indirects d'Euclide en rai-
MMfonte directs. On ne peut d'ailleurs lui faire uo reproche
h B'iToir pas usö dans certains cas des procM^ beaueoup plus
ttorti d« Tanalyse moderne.

Ob est forcö de convenir aussi qne l'ordre des propositions
da Premier Li vre d'Euclide est loin d'dtre satisfaisant II semble
<tae Taateor alt rang6 ses propositions, sans avoir ^ard k leur
ifaipliett<$ ou ä leur iroportance» et en simposant pour seule coo-
'te qne la dtoonstration de chaque proposItion ne s'äppuy&t
1i6 SBT les propositions qui la pröc^dent *).

11 r^salte de \k que la lecture d'Euclide n*est pas sans
qoelqoe difBcultö pour les commen^ants» et cela ezplique» jusqu'ä
n cerUin poiot^ Toubli oü il est tombä dans les ^coles fran^aises.

Et oependanty pour un g^om^tre iotimement p^n^tr^ de Tesprit
derigoeor qui r^goe dans cet admirable ouvrage^ et joignant k
^la h connaissance des ressources de la science moderne« rien
neserait plus a*ys^ que de tirer du li?re des l^Uments un trait^
*iMsi conect pour le fond des id^es, et d^barass^ de ce que la
forme offre d'aride et de rebutant. II lui suffirait de subordonner
'^ propositions k un ordre plus rationnel ; de remplacer autant
^Qcpossible les d^monstrations par Tabsurde par des d^mon-
"^oss directes, plus simples et plus lumineuses; et enfin d'in-
^(xpeT, qaand il y a lieu, le grand principe des limltes, qne
^ Anciena n'avaieni os^ forrouler dans toute sa g^näralit^.

t Kons ponroDS citer , comme exemple k Tappui de cette assertion , la
^^^ti<m 13, qii'Eaclide d^montre avec un grand appareü de logiqne, et
^ place api^ d'antrc« propositions beauconp moins rimplcs. Potur nous, cette
^'''P^tioii exprime seolement qne les denx parties d'nn demi-tonr fönt le demi-
^ «ntier, et 11 eüt presqne suffi de T^noncer en t6te dn Livre. On eüt pu
***Wr alors la d^onstration de la proposition 6.

It
t

I

't

176 Uoüel: Essai d'une sxposiÜoH ratiouneUe des pn'ndpes

Sans vouloir eatrepreodre uoe tAche aussi knigoe» je nt hm
perai ici k soumettre aux autears^ qui seraient dUpoaes k tm
courir a cette oeavre ei utile, le r^aultat de mes recherch«i «v
le« preiui^res propositions d'Euclide.

Je me suis efforc^ de d^imiter avec plus de pr^cisian lai
axidnies purement g^omätriqnea^ en les rattachant k lern ori^
axp^rimentale. Parini lea v^ritäa qa*Eaciide a rassembl^es «Mi
le nom de notiona comrounes^ nous avoos d^jä fait remtr^tcr
qae lea aept premi^rea appartieiinent a la acience ^es grandavs
en g^n^ral. Lea deox aaivantea (les axidroes 8 et 0) ne aont fu^
k propreroent parier, deaaxidmes, tnaisdes d^finitions. L'axitee
8 est la döfinition de Tögalit^ de deux grandeara g^mötHqoe«;
raxidme 9 est la d^finition du mot plus grand que, ou la dtf*
nitlon de rin^galit^ de deux grandeurs quelconques.

Les trois derniers axidmes sont classes, dans TeditioD de
Peyrard« parini les demandes (ah^iiftra). Mais nona peisoi»,
avec R. Sirason et Lorenz, que le mot deinande a cbei £«-
clide un sens qui ne se rapporte pas a la nature des efiooc^
en question, et nous leur conserverons le nom d'axidmes. Cee
trois axidmes, contrairement aux pr^cedents, appartieonent pro*
prement ä la science g^omötrique.

Les demandes sont au nonibre de trois. Nous proposoo«
d'en ajouter une quatri^me, dont Euclide fait souvent un usage
tacite, quoiqu'il senible avoir voulu d*abord F^viter k Taide des
propositions 2 et 3. Nous deroanderons quune figure invariable
de forme puiaae dtre transport^ d'une maniöre quelconque dans
'8on plan ou dans l'espace*).

Les premiöres propositions du premier livre pourront se da«
ser d'aprds les divisions suivantes:

1^. Propriöt^s des angles ayant mdme sommet.

29. Propriät^ des angles ayant des sommets diff^reots (tbeo-
rte^es paralleles).

30. Propri^t^s d'un triangle. — l^galit^s et in^galit^ dans
un triangle.

40. Coroparaison de deux triangles. — Cas d'ögallt^. — ^
d*in^galit^.

m

Viendraient enanite les propri^t^ des quadrilat^rea et des
polygoaea en gän^ral.

Mon but n'ötant nullement de r^diger le commeDcement d*an

•) ¥07. Note I.

fimämmeiUmttx dt im GHnMrtt H^mmMrt. 177

triit^ dMsii|iie, j« me «vi« attach^ i ia diacasskHi das prioclpaa'
Ü la eoraparaison dea m^thodea, aana cberchar k proportianaar
ks d^fdoppemeots aoivaot'la r^golarit^ didactiqoe.

J*expoae, an forme de commentaire aar lea 32 premi^rea pro*
pocftiona d^EocIide, Tesquiaae d'on plan aulvaat leqael on poar-
itU reconstraire plus r^guli^reroent eette partie da prämier
Litre. J'ai eaaay^ de montrer comment» en ne perdaot jamala
it Tve rorigine dea id^a g^om^triqvea^ et rapporfant toajoora
dnf» propoaition k aa v^ritable aource, on introdait daoa la
tMtiit plua de clart^ et de g^nöralit^, tout en reatant plua prte
d«t i{»pKcationa pratiques, et l*on eat toat pr^par^, par l'analogie
des proc^dda» k Tdtude dea grandes mdtbodes de la noayelle

L*appendicey compos^ de plasiears notea trop longuea paar
troorer pUee dana le texte, eat termin^ par qaelquea r^flexiooa
sar llioportanea de l'enaeignement de la gdomdtria ^Idroeataire,
8Qr les noyenH de rendre cet enseignement plas fhictaeiui an
dovble poiot de Toe de la tbdorie et dea applicationa, et aar lea
imtag«8 qae la gdomötrie präsente aor l'analyae abatraite,
conae preni^re pr^paratioo k l'dtude dea partlea pha dlav^ea
<ie8 Biatb^roatiqaea.

Emi d*iuie expoaition rationnelle des priacipet de ia Q<oiid

trie dl^mentalre.

§. 1.

La G^m^trie eat fond^ aar la notion Ind^finlsaable et dx-
P^inentale de la aoliditd onf de rinTarlabilit^ dea figarea*).

Elle eropmnte, en outre, k Texp^rience an certaio nonibre de
<)oin^qae l'oa appelle axi6niea. — Noaa Terrona qae lea axid«
"»«• de la g^oni^trie peuvent ae rMaire k qaatre.

5. 2.

On appelle aar face la limite de deox portiona de l'eapace.

Nooa noaa dievona k i'idde abatraite de aarface par la conai-
^Mi^Vk d'aoa anveloppe oa cioiaao matdrialie, doat mmxu Hirn-
lOBi iad^iiiiinenl l'dpaiaaear.

•) Voy. Note L

178 Hoüel: Essai d^une emposUUm raäOfmeile des principes

La limite cle deux portiona d« sorfaoe a^appeile liC^Be.

Deax surfaces qui se reDcontrent se lirnitent reciproquemoit.

L'interaection de deux surfaces et donc une ligne.

Od a'eat ^ieTÖ k Tid^e abstraite de ligne seit par la cooaid^
latioD d'une tige tres-mince^ soit par celle de la rencontve de
deux cloisoDS» on de la trace laissee aar la superfieie d'an oor|M
par le contact d'une autre aurface.

La llinite de deax portions de ligne a'appelle point.

Une ligne peut ^tre limitee par sa rencontre avec uoe aor-
face ou avec ane aatre ligne.

Ainsi rintersectioD de deux lignes ou d*uue aar face et d'ose
ligne eat un point.

L'interaection de trois surfacea est aussi an point«

L'id^6 de point est venue de la consid^ration d*on corps,
dont les dimensions ^taient ind^finiment r^duitea.

§.3.

Noas avoDs däfini les mots snrface, ligne, point, en pv*
tant de Tid^e de surface pour arriver jasqu'au point.

Od peut suivre Fordre inverae, en introduisant plus explio*
temeot Tidöe de mouvement ^).

On dira alors, en partant de Tidäe de point, comme id^
primitive, qu'une ligne est l'ensemble des positions occup^es soe
cessivement dans Tespace par an point qui se roeut.

De ni^me, on peut consid^rer une surface comme Tensemble
des positions occupäes successi/vement par une ligne qui se de-
place, et qui en m^me terops peut changer de forme.

Tontes ces id^es peuvent ^tre rappel^es par lea repr^ten-
tations materielles qui leur ont primitivement dono^ naissance.

§. 4.

L'^tude des lignes et des surface constitue Tobjet de 1>
g^om^trie.

Od donne le nom de figure k un ensemble qnelconque de
poInts, de lignes ou de surfaces, consid^r^ comme Invariable de forme.

♦) V07. Note IL

ßtUfmuntmtaf de im SSamHrie H&meniaire. 170

I« — Trois pointe sofflsent» en g^ntfral, poor fixer
diBs Tetpice la potition d*iiiie figore.

$.6.

L'ezptfrieDce Dons apprend cependant que, lorsqn'une fignre
se iieot «D toarnant autoar de deux de aea points, aappoa^a fixea»
il y 1 QD enaemble de pointa» altu^a aar ane certaine ligoe« et
qn Ttttent immobilea peDdaat qae iea aatrea ae döplacent

C*s pointa acut diapoaite aur la roate qae auWralt uo rayon
lombMX pour paaaer de Tun dea pointa fixea k Tantre (en aap»
poMBt cea deox pointa aita^a dana un m^me miliea homogene).

Lt Hgne qoi contient toaa cea poiota, et qoi noaa apparaft
ctsne la trajeetoire habitaelle dea rayona lamioeax, a*appelle la
ligne droite. Dodc

Axi4aM II. — U exiate one Hgne, appel^e ligne drolte,
doit la poaitloo dana l'eapace est compl^tement fix^ par Iea
ptdtioBs de deax qoelconqaea de Bes pointa > et qai eat teile qae
Mt porÜoB de cette ligne peat a*appliqaer exactement aar ane
aid» partlen qoelconqae» d^ qae cea deax portiona ont deax
poitts coonnniia *)•

Ainei, d'an point k an antra , on ne peat mener qa'ane a^ale
igM droite **).

Deox lignea droitea qai ont deax pointa commana, coTncldent
dui tonte lenr ^tendne» qaelqae loin qu'on Iea prolonge aa-deU
de cea deax pointa.

En d'antrea termea, on admet qa'ane ligne drolte peat Atre
proloDg^ ind^finiment dana Iea deux aena, et qa'elle ne peot
r^tre qae d*ane aeale mani^re.

§.6.

Sl, en joignant deax pointa d*ane aarface par ane ligne drolte,
la partie de la droite compriae entre cea deax pointa ae troaye
''an certaln cdt^ de la aarface» on dit qae la aurface eat concaye
de ce e6i4, on convexe da cdt^ oppoa^.

L*exp^rience noaa montre certaine anrfacea» comme celle dea
MBX tranqaillea» qai ne aoot concayea d'ancan cAt<$, et aar Iea-

•) Voy. Hole HL
^ Ceit, toiia ane aatre forme, Taxidme IS d'Bnclide.

180 Hoüel: Essai tfune exposlUan ratimmelie du prineipes

qaelles ime ligoe dralle , mea^e eatra deox de ieoff« poüto/Vap-
plique dans toute 6on ^teodae.

Une teile surface a'appelle une surface plane oa un plan.

Soient A, B, C (Fig. 1.) trois points d'one surface plane.
Si Ton Joint le point C a an point quelconque A de la droite AB,
la dcoite CA sera^ ainsl que la droite AB, comprise tont entike
dans la surface. Si Ton fait mouvoir le point A tout le long le
la droite AB, la ligne CA prendra une Infinite de positions, qai
par leur ensemble engendreront la surface.

Ainsi la surface plane peut dtre consid^r^e comme engeodr^
par le mouvenient d'une droite fournant autour d'un point fixe, et
glissant le long d'une droite 6xfi qni ne passe pas par ce point

Si Ton fait tourner un plan autour de deux de ses poiots A
et B, 0U9 ce qui revient au m^me, autour de la droite AB comne
cbarnidre> jusqu'ä ce qu'un point C du plan, non situ^ sur la droite
AB, vicnne rencontrer Tancienne position du plan en un poiot C,
situö de Tautre c6t4 de AB par rapport k C; TancieDDe pesitin
pou?ant Mre consid^röe corome engendr^ par le mouvemeat it
OA le long de AB, et la nouvelle par le mouFement de CJ le
long de la m^me droite AB, il est clair^ que ces deux positioni
ne formeront qu'une seule et m^me surface, puisque leors ligaes
g^n^ratrices coincident dans cbaque position ; en sorte que la sur-
face retourn^e coTncidera avec son ancienne positioo.

En g^nöral , si Ton donne k deux plana trois points comiponfit
non en ligne droite, le nidme raisonnement fait Toir que les deox
plans coTncideront dans toute leur ^tendue. Donc

AxtAine III« — II existe une surface teile qn'une ligne droite,
qtn passe par deux quetconques de ses points, y est renferm^
tout entidre, et qn'une portion quelconque de cette surface pent
Mre appliquöe exactement sur la surface elle-mdme, seit direc-
tementj soit apr^s qu'on i'a retourn^e, en lui faisant faire une
deroi-r^volution autour de deux de ses points. Cette surface est
le plan.

Par trois points non en ligne droite, ou par une droite et an
point situ^ hors de cette droite, ou encore, par deux droites qoi
se conpent, on peut toujours faire passer un plan, et Ton o'en
peut faire passer qu'un.

5.7.

Lorsque deux droites se rencontrent, on dit q.Q'eUes fonnent
uD angle.

fotulmmaUtmx 4e Ut 649meiri€ MmemMrt. \%y

Oo peul wt lepi^sant^r lui angU coawff la qaaiitM plv« ml
Doins graode dont il iaut faire toarner aoe droite MrtMir d'an im
»es pointo poar la faire passer d'ane position k ane autre, en sup-
postot que le moavemeot s'accomplisse dans le plao mene par les
den positioDS.

Oo pect passer de la posifion AB (Fig. 2) ii la positioo AC, en
tooreaat dans an sens ou dans l'autre : Taiigle d^crit n'est pas le
m^ dans les deox cas.

§. 8.

PMr aller d'an point if ä un autre point Bt en soi^anl une
\\pt droite, il faut eonnattre P la direction de cette droite,
2^lalongaear de la portion de cette droite comprise entre les
deox points.

Ponr d^termlner la direction d'uqe droite» on commence par
iroigraer an plan passant par les denx points A, B, et dans ce
plan aoe droite fine AC, nien^e par le point A. La direction de
U droite AB sera connoe» si Ion donne Tan gl e CAB qn'elle
fiitavee la droite fixe AC, c'est-ä-dire, la qoaatit^ dont il laut
tooraer, dans le plan ABC, suivant an sens coavsau, poor
pasMf de la position AC k la position AB.

Si Ion donne eosnite la distanee AB, c^est-i^ire» la quaa-
tite dont on doit s'avancer sur ia droite AB, on aara eain la
poiitioo da point B.

§.9.

n est facUe de s'expliqaer poarqaoi Ton a pris la ligne droite
pon iqesorer les distances , le plan poar mesurer les angles«

1^ (Test que d'abord, par deax points donn^s, on peut too^
joors mener ane ligne droite, de m^me qae, par deax droites
dona^es , on peat toajoors faire passer an plan. — II poarrait n'en
H** ^e de m^nie, si Ion prenait ane ligne coarbe oa ane sar-
beo coniqae de forme donn^e.

2^. En second liea, toate portion de ligne droite on de plan
ptat Atre saperposee ä ane ligne droite oa ä an plan, de sorte
^t Ton peat constater imm^diatement T^galit^ oa Tini^gallt^ de
'^n distäacaa oa de deax angles.

§. 10.
LoTsqn'ane droite, apr^ aVoir toarn^ toujoars dans le m^OM

182 Uoüel: Stsai d*9me exj^tiiion raUotmeiie des prineipes

Bens 9 rerient k soo aneieane poaition» on dit qa'cUel» aocompli
«1 toar entier.

Lorsque la droite vient se placer sar son proloogemeot, ob
dit qu'elle a fait un demi-tour.

Lorsqu'elle s'arr^te de mani^re k former avec sa premiere
Position et le prolongement de celle-ci deox angles ^gaux, ellea
däcrit un quart de tour ou angle drort, et sa nouvelle poa*
tion est dite perpendiculalre ä la premiere.

Le prolongement de la perpendiculaire est anssi nne perpen*
dicalaire.

La premiere droite est anssi perpendicnlaire k la 8e(M>nde.

Tons les angles droits sont ^gaux.

On a pris pour unitö de mesnre angulaire le quart de toor
ou angle droit"*).

§. 11.

On appelle cercle une ligne conrbe trac^ sur un plan» et
dont tous les points sont k la m^me distance d*ün point fixe, ap-
pel^ centre.

Si Ton fait tourn^r une droite dans un plan autonr d'un de
ses points, ebacun des autres points de la droite d^crira daos
ee mouvement un cercle.

La distance constante d'un point du cercle au centre s'apptil^
rayon.

Si Ton fait tourner un cercle dans son plan autour de soo
centre, le cercle ne cessera pas de coTncider avec lui-mdme.

Un diam^tre est une droite passant par le centre, et ter-
mln^e de part et d'autre au cercle.

Si Ton fait faire k un cercle un demi-tour autour de son centre
et dans son plan, de teile sorte qu'un diam^tre donnö revienoe
coYncider avec son aucienne position, on voit que Tune des deox
parties du cercle viendra coTncider avec Tautre. Donc un diam^tre
divise le cercle et la portion de plan qu'il entoure, chacun, eo
deux parties Egales.

Si Ton fait faire k un cercle un demi*toar autour d'un de ses
diam^tres, jusqu'ä ce que son plan revienne coTncider, par re*
tournement, avec son ancienne position, le cercle coYncidera

•) Voy. Note IV.

/^ndamemaux de ia eäomiirie ^kmmtalre, 188

«fec M-nitoe» ce qal donne one second« d^momtrmtion
h propri^^ pr^cMeite.

Deox cercles de mtoe rayon coTncident n^cessairement, d^s
le Tod bit coTncider leurs plana et leurs centree.

ii

§. 12.

Taodia qa'ane droite tourne antoar d*an de aea pointa, aop-
pose fixe» coaaidörona le cercle däcrit par un qaelconque dea pointa
mobiles 3e la droite.

Peodaot que la droite accomplit an tour entier, eile parcourt
le cercle entier.

Lorsqn'elle falt an demi-tour» eile parcoart le dem! -cercle.

Si OD !a fait toamer d'anglea ögaux k partir de deux poaitlona
AB, AB' (Fig. 3), lea arcs d^crita BC, B'C aeront ^gaax.
" Czt, b\ Von fait toarner le cercle aatoar de aon centre jaaqa'ä
ce qae AB' vienne ae placer aar AB, l'^alit^ dea anglea fait
Toir qne AC tombera aar AC, et par aaite lea arca BC, B'C
(ievront coTocider.

Si an angle eat ^gal k la aorome oa k la difference de deaz
tntrM, Tarc correapondant au premier angle aera ^gal ä la aomme
00 i la difförence dea arca correapondanta aox deux autrea anglea.

De Ii röaalte qae

1^. Cn angle droit comprend entre ^^b cdtäa un quart de
cerde oa quadrant.

2^. Si an angle eat multipllö par un norobre entier qaelcon-
qne, l'arc correapondant eat multipli^ par le m^nie norobre entier.

3^. ' Si an angle tsi diviaö par un nombre entier qaelconque,
Tire correapondant esi divia^ par le mtoe nombre entier.

4^. SI deux anglea ont entre eux un rapport qaelconque» lea
vei correapondanta önt entre eux le ro^nie rapport.

DoQc l'arc conipria entre lea cAtöa d*un angle varie proper*
tioQDellement k cet angle *).

*) Bn d'antres tennes, si Ton prend poor luiit^ d*arc Tare corre^randant
^ V^sa^ d'angle, en ex^cotant les Operations n^cessaires poor r^ralnatiori ira-
'^qne de l'angle» on se trouTera ex^cater en m6me temps les op^tions qoi
^^^B^oiient ^ r^ralnation mun^qne de Tarc, et Ton arrirera de part et d'antre
^ate r^raltat

184 Hoüel: S$9ai tPune expotitiom rathnmeiie de$ prineipes

Si l'oo yeut done comparer an «igle ä son nwiM, pou? •»!•
ver ä sa repr^sentation nain^rique, il revient a« m^me de eos*
parer Tarc correspondant ä cet angle a?ec Täte correspondant I
TuDitö d'angle» et que Ton prend naturellement poor anite d'arc.

L'unitö d'angle ^tant Tangle droit, Tunit^ d'arc sera le quadrani

On exprime cette correspondance en disant qu'uo angle ae
centre a pour mesure l'arc compris entre ses cdtös»

L'avantage de la Substitution des arcs de cercle aux angies
consiste ä offrir une repräsentation plus facile ä saistr, et ä faci-
liter les Operations graphiques que Ton dolt exäcuter sur les ahgleg.

§. 13.

Une droite AD (Fig. 4.), qut en rencontre une autre» fnt
avec les deux parties AB» ^C de celle-ci deux angies dont la
somme est Tangle CAB:=> un deml-tour ou deux angies droita*

Ce deux angies sont dits soppUmentaires, et chacao d'eni
est le suppUment de lautre.

Si Ton ajonte deux angies supplementaires, il est clair qes
lenrs c6tä8 non communs seront en ligne droite.

Si deux droites se traversent mutuellenient, les angies oppo-
säs par le sommet sont ^gaux, comnie ayant m^me sappl^ment
— On pourrait encore d^roontrer cette ägalit^» en retoarnant h
figure de mani^re que cbacun des cdt^s de l'angle suppl^men-
taire coromun vint coTncider avec l'ancienne position de Tautre
cdte, auquel cas les deux angies en question seraient ameni^ a
coYocider *).

On peut encore änoncer la m^me proposition, en disant qoe
les deux arcs 'de cercle compris entre deux rayons et entre 'ei
prekmgemenfar de ces rayens, sent ^gaux entre eux.

§. 14.

Deux droites quelconqnes, rencontr^es par une troisl^mei
formeot avec celle-ci buit angies ^gaux deux ä deux et snppl^

1

*) Kot» feront im cootiirael usage de 06 proc^d^ de retonrnement,
toilea lea fois qn'il ■'agira de d^montrer l'€galit^ de denx parties d'nne mliw
figure. — On pent prtenter ce proc61€ antrement, en conceTant qne Tob pü*
e& deox la fignre antomr de ton axe de 9jm€bn^y qni est id la biasaetrke, dt
l'angle snppl^mentaire.

/tmimmaUamc de la eiomiMe «Umenlatre. Igj

■calilrw. dcox & dfftz, «f amquels. ponr tu d^signer pina ful-
laeiit, OB * doDD^ les noms de correspondants, d'aller-
aei-ioteroca, d'internsa d'an mAne cAte, atc

St Ton Slippos« qu'une qnelcoBque des clnq relalions snivaD-
tes ait liea:

l".- Aoglea camsp<Hidanta 1

^> „ alterneii-InternM l ^gans,

3". „ altmies-«xternea J

4*. AiMtles internes d'nn mime t6ti t

!•. „ eitern«. „ „ „ I »"PPl«>»="fi"".

Iw qntr« aolre« reUlions ont nfeeaaairament I'ien.

Lorgqae cea cinq relations ont lien, lea droites CD, EF na
peirmt aioir aacun point commua (Fig. 6.)- — ConcaTonai en
efet, que la moitM de ganche da la figure soit rendae mobile,
et qn'aülBi fasse faire un demi-tonr, dans son plaUi aatour da
nilien J de la droite AB. Loraque le point A sera arrivri eo B
«t If poiot B en A, an vpit aia^meot que lea deux moitirfs de la
i;<i» cofDcideront dans teus ieurs peiols, quelque loin qne ron
iuppose lea dtoitea prolong^es. II ne saurait donc y avolr an
ptutdt eeocoura des droites daes ooe des moititfa de la figuie,
uni qa'it en exist&t nn antre daos l'aalre moitiri; et corome l'exi-
ftcDte einnllantfe de denx points de renconire est contraire k ta
nitart de la ligne droite, il s'ensuit que les deuz droites n'ont
iDTUD point comniuu *).

Dane, si foB fait glisser UD aoKle, de grandenr invariable,
le i»Dg d'un de ses cdt^a suppoa^ fixe, le c4t4 mobile se d^tach«
ulijrement de sod ancicnne position, et ne conserve plea arec
efi« Mtan peiat coidiumi.

Denx droites siiu^es daaa le m^nie plan, et ne poavant se
tcDUDlier, si loin qu'ou les prolange l'une et l'autre, aont dites
P«tll«le8.

ÜDsi denx droites qni forment avec une troisUme des angles
utisf^saat i l'DDe des cinq conditions ci-dessus, sont paralleles.

Ed particnlier, denx droites perpendiculaires ä une troiaiÄine
»Kt parall^es entie ellea.

En d'aatrea lermes, par an point donnri hora d' une droite *"
'^ penl pas mener plus d'un e perpendicnlaire ä cQtte droite

II r^lle de ce que aoaa venons de dire que, par un

^Dnpin, O^on^trie et H«caniqne, turne I, p. 31.

186 Uoüel: Essai itune exposilion raUamulie des prtne^fes

pris hors d'une droite» on peut toiyours ni6D«r nne paralMe a
cette droite *).

La parallele ^tant menöe, si on la (tat toarner tant soit peo
autour de l'an de ses points» eile finira par atteindre la premi^
ligne, lorsqu'oD les proloDgera suffisamment Tone et l'autre; de
Sorte que la position de parall^lisme est aolqae., Cest-U m
nouveau principe, qai ne sembie pas 4tre renferm^ dans les axi^
mes präc^dent8»^et qae dous önoncerons ainsi:

Axiome IV. — Par ud poInt donn^, on ne peut mener qa'mt
senle parallele ä une droite donn^e.

U r^nlte de \k qae

1^. Deux droites paralleles ä une troisi^me sont paralleles
entre elles.

2^, Deux droites paralleles ätant rencontr^es par une s^canter
les angles formös satisfont aux cinq relations da paragrapbe
pr^cädent.

En particnlier, toute perpendicalalre ä l'ane des paralleles eit
perpendicalaire a lautre.

Donc» par un point donn^ bors d'nne droite, on peut toajonra
mener nne perpendicalalre ä cette droite. — Car si AB (Fig. 6.)
est ane perpendicalaire menäe ä la droite donn^e en an qod-
conqae de ses points» la parallele ä AB, menäe par le point
donne C, sera la perpendicalaire demand^fe. — Noas avons dVü*
lears vu, dans le paragrapbe pr^cedent, que cette pärpendicahite
est la seule qui puisse etre abaiss^e du point C sur la droite AB»

S. 16.

Deux angles qui ont les cdt^s paralleles et dirig^s dans ie
meme sens sont egaox. — On le voit en les comparant k Tangle
forme par Tintersection de leurs cdtes prolonges.

Reciproqnement, deux angles etant ägaux et diriges dans le
meme sens, si leurs premiers cAtes sont paralleles, leurs secood»
cAtes seront aussi paralleles.

n resulte de Ik que, etant donnö un Systeme quelconqae de
droites, si Ton transporte ce Systeme dans son plan, de maniere

*) Voy, Note V.

f^ndameniOHX de la GHnmtrie äiimentaire, ]87

qo'one des droites da Systeme reste constammetit paraltele k son
ancienne poaitioo, chacane des aotres droites restera ögalement
parallele k son ancienne position.

Od dit, dans ce cas, que le Systeme a subi un mouvement
de traaslation parall^lement k lui-m^roe.

PIos gen^ralenient, si les deux c6t6s d'un angle tournent, dans
le meme sens, chacun d'une ni^me qoantite angulaire^ autoar de
deu qnelconques de leurs points^ la grandeur de Tangle n'aura
pas ehang4$. — Et räciproqnement, si Ton traosporte an angle
dans 800 plan^ sans le retourner^ chacun des c6t4s de l'angle
fera le mdme angle avec son ancienne position.

£n particolier, deux angles qui ont les cdt^s perpendiculai-
res, cbacon k chacun, sont ägaux ou suppl^mentaires.

Si Ton fait toarner an Systeme de droites dans son plan,
autoor d'on poiot quelconque qui lui seit invariablement li^, toa*
tes les droites ferout avec lears anciennes positlons respectives
deaai^les ^gaux, dont la valeur commune est dite l'angle de
Tetatioo da Systeme.

§. 17.

ikni droites concoarantes formeot avec une troisidme des
ugiet alteniea- internes inögaux, dont le plus petit est celui qol
eat dirig^ yers le point de concours,

En d*aatres termes, si Ton prolonge an c6tö d'un triangle,
Tan^e extörieur ainsi form^ est plus grand que chacun des angles
interieors non adjacents.

Cette proposition est presqae Evidente, si Ton s'appaie sar
laxidme IV. En effet, si, de la position de parallälisme, od fait
pa««er la droile AB (Fig. 7.) k la position AB*, en la faisant
tooner autout du point C, de roaniere qu*elle rencontre la droite
^E tn G; il est clair que, dans ce mouvement, Tangle BCF
^on augment^, tandis que soo alterne- interne CFD sera rest^
coDstaot Donc, puisqu'on avait, avant le mouvement, BCF
^CFD, OD aura, aprös le mouvement, B'CF^ CFD, — De
a<me, ACF<,CFE.

On voit en m^me temps que la valeur commune des diffö-
Tcoee« »CF--CFD, CFE-ACF est ^gale k l'angle G que
f^otentre elles les droites A'B et DE. Donc l'angle ext^-
neor, formö par le prolongement d'un c6t^ d'un tri-
^^gle» est ^gal k la somme des deux angles intiSriears

TTieU XL. 13

188 Hoüel: Eisai d^une expeHtioH raUotmelie des prtnelpes

BOB adjaceBts, et la somme des trots angles du triangle
est egale ä deux anglea droita.

§. 18.

Si la roaBi^re pröcädente d'ätablir ie thäoreme aur rinögalit^
dea angles alternes- internes forroäs par des droites concourantes
est la plus directe et ia plus simple, on ne peut nier cependaot
qu'elle ne s'appuie sur nn axi^me dont ce theoreme ne depend
pas necessairement» et il semble alors plus logique de retabfir
sans Ie secours de cet axi6me. C'est ce qu*a fait Euclide (prnp.16),
et sa d^nionstration peut ^tre präsent^e comme il suit:

Seit ABC (Pig. 8.) Ie triangle donn^. Je dis que Tangle
ACD est plus grand que son alterne- interne BAC, — En efet,
joignons B au roilieu E de la droite AC, et faisons tearner Ie
triangle EBA autour du point E, jusqn*ä ce que EA vienae 8*ap-
pliquer aar son prolongeroent EC, et par suite Ie point ^ sur ie
point C. L'autre c6t^ EB de Tangle BEA viendra auaai s'appB-
quer sur son prolongement. La ligne BA partira donc du pciot
C ponr aller reneontrer BEF dans Tintörieur de Tangle ACD*
Donc Tangle ECF ou BAE sera contenu dans Tangle ACD,
Donc enfin Tangle A est moindre que son alterne- interne ACD.

Par la ro^me raison, I es deux droites AB, AC ätant conpees
pv BCi Tangle ABC sera moindre que son alterne- interne
BCG, ou que son correspondant ACD=^BCG.

Donc l'angle extörieur ACD est plus grand que cfaacon des
angles ext^rieurs non - adjacents.

En d'autres termes, dans un triangle, chaque angle est moin-
dre qae Ie Supplement de Tun quelconque des deux autres.

Donc la soraroe de deux quelconques des angles d'uo tri-
angle est moindre que deux angles droits.

Tout triangle a au moins deux angles aigus.

Deux droites partant d'un m^me point ne peuvent ayoir ose
perpendiculaire commune.

Si Ton möne, d'un m^me point, k une droite donn^e, uoe
perpendiculaire et üne oblique, Foblique fera un angle aigu avee
la partie de la droite qui va du pied de Toblique an pied de Ja
perpendiculaire.

§. 19.
Aprte avoir ^tabli ces io^galittfs ind^pendamment du qua-

flmdamemiaux de ia Giom^tfie H^menUtire. ]g9

triiiD« axldme, on d^montrera» corane Enclide (prop. 32), Im
th^^mes d'^galitö fond^ sar cet axiöme.

Si Ton prolonge un c6i4 d'oii triangle, Tangle extäriesr est
^i « Ia fionmie des deox Interieurs oon-adjaceDts.

La sonme des trois angles da triangle e^i ^gale k deax
aiflei droits.

Dans un triangle rectangle, ies deux angles aigos sont com*
pUseDtaires.

Deoi angles d'mi triangle, ^tant donn<$s, d^termineDt le troi*

n^oa.

5. 20.

Dl trlaagle Isoso^le % — Soit ABC (Fig. 9.) un triangle iso-
scele, dins lequel AB = AC. Retournons le plan de ce triangle,
eo Inf fiusut faire une deoii - r^volution autour de Ia blssectrice
10 de i'angle A; ou, ce qui re%*ient au rnöme, plions Ia figure
en deox, en faisant tourner une des moitiös autour de AD comme
ckani^e. On voit alors qne Ies deux moiti^s de Ia figure se
recoarrent parfiaitement.

Si Ton ne veut pas d'abord introduire Ia bissectrice, on eom-
meDcera par faire vuir que le triangle retournä A'C'B' peut se
plaeer sar sa premiöre position ABC* Alors Ia bissectrice de
l'ftBgle C'A'B" coTncide avec celle de Tangle BAC, le railieu de
C'B^ ivee le milieu de BC, etc. Donc

TUoreme. •— Dans un triangle Isosc^le, P Ies angles oppo-
6^ an cdtös ^gaux sont ^gaux ; 2^ Ia bissectrice de l'angle au
»oBiDet est perpendiculaire k Ia base ; 3^ eile partage cette base
eo deux parties Egales.

Autre enonce, — Si, d'un point pris faors d'une droite, od
n^ae k cette dreite une perpendiculaire et deux obliques ögales
^tre elles, !<> ces obliques s'^artent ägalement du pied de Ia

*) Cett \ tort qne plnsienrs anteurs irao^s se pennettent d'^crire, au
'^^^ de r^tymologie, isoc^le pour isoscble. C'est Ia m6me n^gligence
*}^ 11 l'oa ^crfrait c^ne ponr sc^ne. Koiu dirons en passant qae plnsienn
>>>^ moti da laagag« matb^matique sont g^n^ralement ddfignr^B ^r nn nsage
^1 mtlheveiuement, tend de plus en plus k prdyaloir. O^aadaatf Bpuilgr^ ton-
ttiltt antorit^ qa*on ponrrait nons citer, noiis persisterona tonjonrs 4 dira
1^ diiaine, hypoth^naae, parall^lipip^de, etc., mis ponr dixaine,.
^TPOt^naie, parall^ldpip^de, etc., conititucnt de TAritaM«« fante» d'or-
tbgitphe.

13 •

190 Uoüei: Btsai ftune exposftion rationnelie des prindpes

perpendicuiaire ; 2<^ elles sont ^gaiement inclinees snr la perpen-
dicalaire; 3^ elles sont ^galement inclinees sor la base doDoee.

DoDC tout point ä ^gale distance des exMniit^s d^une droite
appartient k la perpeodiculatre ^lev^ sur le tnilieu de oette drohe.

Si donc chacun des deux points i4 et ^ de la dreite AB
(Fig. 11.) est äquidistant des extr^mitös C et D de la droite CA
AB sera perpendicuiaire sur le milieu de CD,

Autre 4nonce, — Si Ton joint^ dans ud cercle, le centre aox
deux extr^mit^s d'une corde^ \^ les deox rayons feront avec la
corde des angles ögaux; 2^ la bissectrice de Tangle des dem
rayons (laquelle est aussi la bissectrice de Tarc) est perpendico-
faire k la corde \ 3^ eile partage cette corde en deux parties Egales.

Donc^ si deux cercles ont deux points conimuns, laligoedef:
centres est perpendicuiaire sur le milieu de la corde commune.

Remarque. — La bissectrice de l'angle A (Fig. 9.) satisfait
ä quatre conditions:

l^. Elle passe au point A.

2^. Elle partage Tangle A en deux parties Egales.

3^. Elle passe au milieu D de BC

4^. Elle est perpendicuiaire ä BC.

Or deux de ce» quatre conditions, combinöes convenabienieBt,
d^terminent compUtement la droite AD. De \k r^sultent aotant
de räciproqnes du tb^oröme pr^cädent. Ainsi, dans un triangle
isosc^le,

La droite qui Joint le sommet au milieu de la base est per-
pendicuiaire k cette base, et bissectrice de l'angle au sommet;

La perpendicuiaire abaiss^e du sommet sur la base partage
cette base et Tangle au sommet, chacun, en deux parties Egales;

La perpendicuiaire äleväe sur le milieu de la base passe an
sommet, et partage l'angle au sommet en deux parties egales.

— On peut önoncer encore ces räciproques comme il suit:

Dans un cercle, la droite qui Joint le centre au milieu d'unt
corde est perpendicuiaire ä la corde et bissectrice de Tarc;

La perpendicuiaire abaiss^e du centre sur une corde est bis-
sectrice de la corde et de l'arc;

La perpendicuiaire ^leväe sur le milieu d'une corde passe par
le centre et par le milieu de Tarc.

fandamttilaux dt ta Siomitrle tUauHtaire.

$. 21.

Considdrooa roaintenant un triangle qni a denz aagles eganz,
te> denx anales tftant nricessairenienl «igua.

Ed retaarnant le triangio et lappliquaDt sur son ancienne po-
iHtOD; ou «Bcore, en pliant la figore autonr de la perpendlcalalre
ätT#e aar le milleu de la base *), on voit qn« les deiix moiMs
d( li figore coTncident l'uhe avec Tautre; par cons^qaetit, le tri-
anele est isoscAle.

Aube enonce. — Deaz obliques ägalement iuclinees mir la
ban lont Egales, et par suite s'^cartent ^galemeot du pied de
la perpeDdicnlaire.

Aulre ^onc4. — 8i deox droiles. cooptfes par une troiai^ne,
fonnent arec celle*ci dea aogleü } . { d'un m£me cät^

icorreapondanta t

alleriieii- internes | auppl^men fairen, les

alteraes- externes j
troLs droites formenl nn triangle isoscile.

Soil eofin mi triangle, daos leqael le sommet se trouve aur
la perpendiculaire ^lev^e au milieu de la baae.

En retournaat la figure, ou en la pliant autour de la perpeu-
ilicBlaire, on voit que le triangle est laoBcele.

Aiosi un triangle, dans lequel la perpendicalaire älev^ au
nilieo de la base passe par le sommet, est isoscele.

Autre enonce. — Tout point de la perpeniiiculaire ^lev^e snr
le milieu d'une droite est äquidistant des deux extr^mit^ de
cette droite.

Autre Enonce. — Deux obliques qui s'ecartent ägalemeut du
pied de la perpendiculaire sout egales.

— De cette proposition, jointe ä sa r^cipioque du §. S
'Halte que la perpendiculaire rilevde sur le milieu d'une
est le lieu g^omtftriqne des points ^uidistants des deux
mitris de cette droite.

*) Cette peipeadicnlure rencontre Im dcnz cät^ i
(itiönw IV «t Qorollaire«).

192 Boüel: Essai d*une exposilion rattofmelle des principes

En d'autres termes» c'est le lieu g^om^trique des centres des
cercles qai passent par les exträrait^s de la droite.

§. 23.

InitaUtAs danft nn triangle qneloon^ve. — Si deux cdtes AB,
AC (Fig. 10.) d'uD triangle sont indgaux, au plus grand cötd AB
est oppos4 un plus grand angle C.

Voy. Euclide l, la

Autrement, en retournant le triangle, et le plagant sur soo
aneienne positjon (ou, ce qui reTient au m^me, en pliant le tri-
angle autour de la bissectrice ^D de l'angle au sommet), od
forme le triangle BDC , dans lequel Tangle AC'D, extdrieur au
tiiangle» est plus gr«iid que langle intdrieur non adjaeeut B.

— Rdciproqueraent, si deux angles d'un triangle sont in-
dgaux, au plus grand angle est opposd un plus grand cdte. —
(Euclide I^ 19).

§. 24.

Dans un triangle» un cdtd queleonque est moindre que la
sorome des deux autres. — (Euclide 1, '20).

II s'ensuit que, dans un triangle, un c6td queleonque est plus
grand que la diffdrence des deux autres.

CoroUahres, — Dans un polygone, un c6td queleonque est
moindre que la somme de tous les autres.

En d'autres ternies, une ligne droite est plus courte qu'ane
Hgne polygonale ayant les mdmes extreroites.

Un Gontour polygonal convexe est plus court qu'un contour
polygonal queleonque qul l'enveloppe en aboutissant aux mtoes
extrdmitds.

Un contour polygonal fermd et convexe est moindre qu'un
cbntonr polygonal queleonque qui Tenveloppe de toutes parts *).

§.25.

Si d'un point od ro^ne k une droite uae perpendlcolaiffe et
diverses obliques,

*) Poar la oomparaison des longaeurs carriligiies anx longaeurs rectUIgnes,
voy. Note VL

flnuiametaanx de la GiomitHt il^entatre. 108

V^. La perpendiculalre est plas cmrrte qae tonfe oblique;

2^. Si deuz obliques s*^arteot in^galement du pied de la
perpendieulaire, celle qui s'en ^carte le plus est la plus longue.

Auire enonce, — Si la bauteur d*un triangle ne tombe pas
an nilieu de la base, au plus grand segment est adjacent un plus
graod €6tä.

Pour d^montrer cette proposition, si les obliques sont de c6tös
dill^rents de la perpjsndiculaire, on conipare Tune d'elles k une
oblique ^gale ä l'autre, et menöe du m^me cdt^ de la perpendl-
colaire que la premi^re. Le triangle forma par les deuz obKques
aalors uo angle obtus, oppos«^ k Toblique la plus äloign^e; done
Celle -ci est la plus lougue.

Od peut encore änoncer cette proposition alnsi:

Tout point bors de la perpendiculalre ^lev^e sur le miKeu d*une
droite est plus rapprocb«^ de celle des deux extr^it^ de la drelto
qui est situee du ro^me cdt^ que lui par rapport ä la perpendi-
culalre.

§. 26.

R^ciproqueroent, dans an triangle non isosc^le, la bau-
teur est plus rapprocbee du plus petit cdte.

Äuire inonce. — De deux obliques inegales, la plns lengue
s'ecarte le plus du p'ied de la perpendiculalre.

Autre enonei. — Tout point inägalement dbtaet des deux
eitremites d'une droite, est bors de la perpendieulalre ^levöe sor
le milieu de cette droite, et il est du m^me c6t^ de cette perpen-
diculalre que celle des extr^mitäs de la droite dont 11 est le plus
rapprocbö.

§.27.

Gas d'egallti des trlangles. — \^. Deuz triangles sont egaux,
lorsqn ils ont un angle ^gal conipris entre deuz c6t^s egaux, cba-
cun a cbacun. — (Euclide I^ 4.)

2^. Deux triangles sont ^gauz, lorsqu'ils ont un c6tö ägal
adjacent k deuz angles ^gaux, cbacun k cbacun. — La dämon-
Btration donnöe par Legend re (liv. I» pr. 7) est plus simple que
celle d Euclide (1,26).

3<>. Deuz triangles sont ^gauz, lorsqu'ils ont les trois cAtös
^gaux, cbacun k cbacun. — Adossons les deuz triangles (Fig. 11.),
de maniöre que leurs soromets C, C se tronvent de cdtäs diff^

194 ffoüei: Enai d'une exposiifon raliomieUe des principes

rents de la base commune AB. Cbacun des points J, B i^tant
equidistant des points C et C, la ligne AB est perpendicnlaire
sur le milieu de CC. Si donc on replie la figure .autour de JA, '
Je poiot C tombera en C.

— Autrement, la perpendieulaire AB sur la base du tri*
angle isosc^le ACC ^tant bissectrice de l'angle au sommet» on
a CAB=^BAC', ce qui ram^ne au premier cas d'^galitä.

— On peut dire encore que^ les triangles CAC , CBC ^Unt
isosceles, on a Tangle ACC = ACC, Tangle BCC = BCQ
d'oü ilCC'±ÄCC' = /4C'CdkÄC'C, c'est-ä-dire ACB — AC'B,
etc.

§. 28.

Denx triangles rectangles sont ^gaux, lorsqu'ils ont deux
cdtito de m^me nom ^gaux, cbacun ä chaeun.

P. Si ce sont les deux cötes de Tangle droit, on est dans
le premier cas du paragraphe präcädent.

2^. Si ce sont l'hypot^nuse et un autre c^tö» on adosse les
deux triangles rectangles, de maniöre h, fbrmer un triangle iso-
sc^le» que sa bauteur partage ea deux triangles ^gaux.

— Cette derniere proposition est un cas particulier de la
suivaote : ^

Deux triangles sont ^gaux, lorsqu'ils ont deux cdt^s egaax
cbacun k cbacun, et Tangle oppos^ au plus grand de ces denx
cAtäs ägal.

§. 29.

Si deux triangles ont un angle inegal compris entre deux cötes
ägaux cbacun h. cbacun^ au plus grand angle est oppose un plus
grand c6tä. — (Euciidel, 24.)

— Räciproqueroent, si deux triangles ont deux cdtes ^gaux
cbacun ä cbacun et le troisiöroe inegal ^ au plus grand cdt^ est
oppos^ un plus grand angle. — (Euclide 1, 25.)

fanämneniaux de ia Giomiirie eUmentaire. 195

Appendice.
Vote I.

Sur l'inyariabilit^ des figores.

Toute la geom^trie est fond^e sur Tidäe de riiivariabilit^ des
fonnes. Od commence par adniettre qu'il existe dans les figures
ane certaine propri^t^^ qui subsiste lorsque €1^9 figures se trou-
veiit transport^s dans ooe antre rögioo de Tespace.

Cette propriet^ ne saurait etre d^finie en termes geomötri-
qoes, Sans petition de principe. L'id^e d'invariabilitä de forme
noas vient de l'exp^rience. Apr^s avoir acquis Tidöe de grandeur
OD d*etendue par la consideration du mouvenient (voy. la Note
8uivante), nous constatons que certains corps, eeux surtout qui
offrent au toucber le plus de r^sistance, nous präsentent toujours,
de qnelque roani^re qu'on les däplaee , des dimensions et des con-
ügnrations que nous jugeons ^tre les iDöme«, c'est-ä-dire, qui^
appreci^» d'apr^s le mouvenient de Toeil, en tenant compte de
Teloigneraent plus ou moins grand, nous causent des impressions
tooJGors identiques. Nous donnons ä ces corps le nom de corps
solides.

N0Q6 däpouilloDS ensuite, par abstraction, ces corps de tou-
tes les parties dont la consideration ne nous intärease pas; on,
si Ton Teut, nous supposons ces parties parfaitement translucides
et p^netrables ; et Fensemble des parties conserv^es ou restöes
mibles coostitae ce qu'on appelle une figure g^om^trique.

ITote U.

Sur le mouvement g^om^trique.

C'est par suite d*une confusion d'id^es que plusieurs geome-
tres Teulent bannir des ^läments de g^omötrie la consideration
da mooTement.

L'idäe du mouvement^ abstraction faite du temps employe ä
i'accomplir, c'est-ä-dire, l'ldee du mouvement g^omätrique
^t%\, pas une idäe plus complexe que celle de grandeur ou d'^ten-
dae. On pent m^me dire» en toute rigueur« que cette idäe est
ideotiqne avec celle de grandeur, puisqne c'eat precisöment par
le mouvement que nous parvenons ä Tidäe de grandeur.

196 Hoüel: Essai (Time expoHHon raiimmelie des principts

Ce moaveroent gi^omötrique, qu'une ^qaivoqoe de langage a
fait confondre avec ie roouveroent dans le temps, objet de U
cin^roatiqae, ne peat pas d^pendre d'une aatre science qiie de
la g^om^trie pure.

II est avantageux d'introduire cette idöe de moavement geo-
metrique le pla8t6t et le plus explicitement possible. Od y gagBe
beaucoup sous le rapport de la clart^ et de la priScieion da lan*
gage^ et Ton ae troave mieux präparö ä introdaire plus tard dini
le mouvement les notions nouvelles de temps et de vitesse.

Cest d'ailleura ce que toua les auteurs foot a leur waa et
malgre eux; et il serait diCficile de trouver une seule dämonstra-
tion d'ane propositioo fondamentale de göoin^trie, dans laqoeile
n'entre pas Tidöe de moavement g^omötriqae, plus ou moins d($gaii($6.

UTote III.

Sur la d^finition de la ligne droite. ,

Supposons un observateur piac^ au milieu d'une vaate piaioe.
11 aper^oit de loio an point, et veut se transporter en ce point

L'instinct le porte ä marcber dans la direction suivant
laquelle ce point lui envoie ses impressions lumineuses. La preove
que ce proc^dä est instinctif, c'est qu*il est suivi par tous les
aniroaux.

L'exp^rience, aid^e de !a r^flexion, lui apprend plus tard
qa'en suivant cette route, il accoroplit le trajet en moins de temps
que s'il se füt ^cartd de la direction des rayons lumineax.

De lä cette vMii vulgaire , mais assez complexe au point de
vue geomötrique: La ligne droite est le plus court che-
min d'un point ä un autre. C*est cei ^noncd que les auteart
de la plupart des traitds de g^omötrie ont cru pouvoir preodre
pour döfinition de la ligne droite.

En discntant Forigine et la v^ritable signification de cette notion
du sens coromun, nous verrons sans peine que rinscription d'öne
teile proposition en tdte des ^Idments de göomätrie indiqoe qae
i'on n'a pas suffisamment analysä les id^es tres- simples qai &•
rappofftent ä cet objet.

Certaios pbiUsopbes de l'antlqaitd, au direde Procfus, ttm*
lant railler agr^blement la 90^ proposüien d*EacIide> prdtendai-
ent qae les ftnes eux-mdmes Fadmettafent sans ddmonstraüod'

fondameniaux de ia Geomeirie ^tenuniaire, 197

On peat r^pondre h cela qoe le« knea, eo suiTant teile route plo«
tK que teile aotre pour atteindre leor but^ De «e pr^occupent en
aucone fagon de la longaear du chemin. Leur iostlnct lea porte
i roarcber dans la ligne suivant laquelle l'objet impreeeionne leurs
sens, et cette ligne sera la ligne droite, parce que c'eet la route
que suiveot la lumiöre^ le son, etc. 11 n'est paa iniposalble»
d'ailleurs^ que lea animaux fassen t quelquefois acte d'intelligence,
eo adoptant le chennin que Texperience leur a montr^ ^tre le
plus court.

Cest dooc l'exp^rience, aidee de la memoire et de la r^flexion,
qoi noos apprend que le chemin rectiligne est, toutes choses Ega-
les d*ailleure, le plus tot parcouru.

Le jugemeot coneordant^ que Tod forme en apprMant a«
eonp d'oeil la longueur du cbemin, doit 4tre rapportä ä laro^me
origine, poieque Tidee de grandeur» que neos transmet immddia-
teroe«t le sens de la vue (abstraction falte des notions fournies
par les autres aens, ainsi que par la memoire et la räflexion), n*a
paa d'aatre source que le mouvement^plus ou moina eonsid^raUe
que doit ex^cuter Taxe de Toeil pour parcourir tel oo tel contoiir.

U noos paratt donc stabil que Tadoption du cbemin rectiligne
a une origine primitivement instinetive et irräfldcbie, et que sa
propri^t^ de minimum, qui en a fait conserver Tusage, noua a
ii^ ri^r^lf^e par l'expärlence.

Examinona maintenant de plus pr^s quelle est la sigoification
de ce jogeroent , quelle en est l'exacte Interpretation gäometrique,
apr^s qn'on fa, pour ainsi dire, ^pur^ par ta facultö d'abatrac-
tion, et d^pouilie de toniea lea chreonatanees pbysiquea qni aTaient
aeeompagD^ aa formation.

Le cbemin de direction constante*), que nous parcou-
roDs en suivant le rayon lumineux» nous conduit k Tid^e d*une
ligne de direction constante, en remplagant, par la pen's^e» notre
Corps par un point, c'est-ä-dire, en r^duisant ind^finiment les
dimensioos de notre corps par rapport ä ce qui Tenvironne ; ce qui
donne k l'idäe de cbemin une pr^cision de plus en plus grande.

En appliquant le m^me proeedd d'abatraction aux autres cbe-
mipa poaaiUea, on a du continaer d'abord^ sans a'en rendre compte,
a meanrer la longnenr du cbemin par le nombre des paa , le temps
in parcoara par le temps employ^ k faire un paa ; Tid^e de temps

*) Nous jag«oas que la direction est constaate, pavoe que doiu n'avons
lait anoan effi^rt pour iiDprimer Ik nolN' oorpi im moiiTMiieait de rotstioii.

1

198 ffoüei: S$9ai dtune expoHtion raiionneiie des principe^

ii'^tant ici, du reste, qa'une id^ aoxiliaire, qui doit ^tre elinii-
näe k la fin de Top^ration intellectoelle. Daos le langage abstrait,
cela revient k supposer le mobile däcrivant un polygone, et a ad*
mettre, eomme un fait d'exp^rience, qa'an c6te d^uo polygone est
moindre que la somme de tous les autres.

Pour aller plus loin, pour acquörir des notions relatives i la
longueur des lignes coarbes, on est Force de recourir k un nouveaa
procede, au proeed^ du passage k la limite, qui remplace U
comparaison directe, devenue impossible.

II ne suffit pas, en effet, de faire appel ici a Tid^e vague que
chaeun a ou croit avoir de la longueur d'une courbe. On peut
bien^ il est vrai, d^finir nettement ce quon entend par uo arc
plus grand on plus petit qu'un antre, lorsque ces deux arcs soot
compt^s k partir d*une origine commune. Mais deja, d^-
qu'il ne s*agit plus du cercle ou de rhälice, il n*est plus posaible
de comparer directement deux arcs de la m^me courbe, lorsqa'ils
ne sont pas coinptös a partir de la m^nie origine. A plus^ forte
raison cette comparaison eit-elle impossible, lorsque Ton conai-
d^e des arcs pris sur des courbes diff^rentes.

II faut bien, cependant, que Ton trouve un rooyen de suppleer
k cette comparaison directe, sans quoi, en disant que teile ligne
est plus ou moins longue que teile autre, on ne ferait que pro-
noncer une phrase absolument vide de sens. Voyons donc
quels moyens peuvent proposer ceux qui se refusent k invoqaer
le principe des limites.

1^. Le temps employä par le mobile pour parcourir un cer-
tain cbemin. — Mals il faut alors supposer tacitement que la vi*
tesse est la m^me dans les deux cbemins que Ton veut compa-
rer. Qu'est-ce maintenant que la vitesse? Ou, si Ton renonce ä
d^finir la vitesse, en "fadmettant au nombre des quantit^s primi-
tives, qu'est-ce que deux vitesses Egales t •— De quelque roa-
niere que Ton essaie de r^pondre k cette question, on se troo-
Vera toujours oblig^, tot ou tard, de passer par les notions de
limites, et Ton n'aura fait que reculer inutilement la difficult^, en
introduisant des auxiliaires inutiles, pour faire une comparaison
qu'on anrait aussi bien pn faire directement.

2^. On applique un fil flexible sur la courbe, puis on le re*
dresse. — On suppose ici le fil inextensible. Qu*est-ce dooc
qu*un fil inextensible, dös qu'il cesse d'ötre en ligne droite on
d*ötre appliqu^ sur la m^me courbe? Toutes les diSfinitions qae
Ton peut tenter de donner du ph^nomöne physiqne de Tallonge-
ment d*un fil curviligne, reviennent, en definitive, k dter ä ce fil

fimdameniaux de ia Giemitrie HHnetUaire. 199

(sappos^ infiniment niince) son caract^re de coarbe coDtioae , pour
en faire an polygone ä c6t^8 tres-petits, et ce n'est que dans
le passage k Ia limite qae Ton arrive ä supposer ces c^tes lafi-
Diment petita. On voit donc que, Ia eneore, on n'a fait quob-
seorcir Ia question en Ia conipliqaant de notious physiques ^ran-
gires.

Teiles 8ont les difficaltes insurmontables que Ton rencontre,
lorsqa*OD veut definir Ia plos simple des figures de g^omätrie au
moyen d*une de ses propri^t<^s secondaires, qui n'est, au foud,
qouB theor^me d'one nature assez conipliqu^e, et exigeant, pour
k\xt compris, Ia connaissance präalable d'un grand nombre d'au-
tres propositions.

NoQS disons que Ia propri^t^ de min im um de Ia ligne droite
est une propriet^ secondaire. En effet, aueune des propositions
fondamentales de Ia g^om^trie ne repose sur cette proprl^t^, du
moins qnand od prend, pour arriver k leur dämonstration, Ia Toie
Ia pfns directe et Ia plus naturelle.

La propriäte dont il s'agit a son analogue dans toutes les figu-
res sym^triques, sans que cependant od ait Jamals songä ä Ia
prendre comme definition pour une autre figure que pour Ia ligne
droite. Que dirait-on, en effet, d'un auteur qui d^finirait le cercle
comme Ia courbe d'aire maximum parmi celles d'un p^rim^tre
donnö? II serait diflicile de däduire siroplement, de cette d^fini-
tioD, les propriötes fondamentales du cercle. Et cependant c'est
ce meme proced^ que Ia plupart des auteurs suivent pour Ia ligne
droite, et Ia force de Thabitude nous emp^die seule d'en sentir
r^trangetö.

L'origine de cette pr^tendue definition de Ia ligne droite re-
monte ä une fausse Interpretation d'un passage d'Archim^de.
Lorgque ce graod g^om^tre vouluty le premier, aborder les pro*
blemes de Ia rectification du cercle et de Ia quadrature de Ia
spbere, il lui faliut bien definir ce qu*il entendsCit par longueur
d'nne ligne courbe ou par aire d'une surface courbe. Pour y
parrenir, il posa comme des principes certaines propositions,
snr lesquelles il s'appuya comme sur de nouveaux axidmes :

P. La ligne droite est Ia plus courte de toutes celles qui
ont les m^mes extrömites.

2^. Un contour convexe est moindre qu'un contour qui Ten-
veloppe eo s appuyant sur les memes extr^mit^s.

3^. La surface plane est Ia plus petite de toutes celles qut
soDt termin^es au mime contour.

Etc.

200 Boüel: Essai itune exposition raHormelie des principe^

On peot ais^ment montrer, comme cbacan sait, qne la m^tliäde
d'ezhaustion , employ^e par les Anciens dans leurs dömonstn-
tioos» est identiqae, pour le fond, avec la m^thode des limites,
par laqaelle les Modernes Tont remplac^e. La limite d'ane qotn-
titö variable n'est d^termin^e, en effet, que par l'exciusion de
toutes les valenrs de la variable^ autres que celle qae Tod ne
peut d^finir directeroent« et que la variable ne peut en genifnl
jamais atteiodre ; et ce proc^dö est pr<^cis^ment celui de la m^*
tbode d'ezhaustion.

En suivant le m^roe ordre d'tdf^es, od reconnaftra fadleneit
que les principes que nous venons de rapporter^ ötant Interpr^*
täs d'apr^s les id^s modernes« ne sont autre ohose qae des
d^finitions de la longueur d'une ligne courbe« ou de TairedW
surfaee courbe. Ainsl Archim^de, ne pouvant däfiuir directe-
ment la ligne droite qui reprösente uoe longueur curviligDei a
df^fioi Celle -Ol comme quelque-chose plus grand que touslescon-
tours rectilignes inscrits, et plus petit que tous les contours rec«
tilignes circonscrits. Comme od peut faire en sorte que dem con-
tours rectilignes, pris dans chacune de ces deuz sdries, soieot
rendus aussi peu diff^reuts que Ton voudra Tun de i'autre« il cd
r^sulte que ces deux s^ries tendent vers une limite comrouoe, qoi
est la longueur de la courbe. On voit donc que nous sommes
arriv^s k la d^finition moderne de la longueur de Tarc de conrbe,
sans faire autre chose que de traduire et de dävelopper rid<^
d'Archim^de, et que les principes que nous avons cit<$8, loin
de contenir une d^Gnition de la ligne droite, servent an contraire
k däfinir« an moyen de la ligne droite, la longueur de la fignc
courbe.

On peut reraarqner en möme temps que les autenrs qui ont
fait cette confusion au sujet de la ligne droite« auraient dA, poQt
rester cons^quents avec eux-möroes, prendre le troisi^me principe
pour d^finitioD du^ plan« les propri^täs exprimäes par les prin*
clpes 1 et 3 ^tant compl^tement analogues.

Mote IT.

Snr rnnit^ angalaire.

Les diverses fonctions trigonoro^triques« ie sInns« la tan*
gente, etc.« sont d^finies d*abord pour le premier quadrant« daos
l'intervalle duquel elles parcourent enti^rement la s^rie de leor«
valeurs nnm^riques. C'est par Tintroduction des signes -f et — '
qae Ton parvient k donner« auz angles non compris entre Ic^

f^näamenumx äe ia Giojmitrtt iUmmUmtre. 201

nmites 0 et ö» ^^0 fonctions trigonom^triques^ qui ne sont au-

tres qae celles de certains angles du preroier quadrant« prises
avec des signes conveDables. On sait, en effet, que, pour obte-

Dir les fonctions trigonomätriques d'un angle < 0 ou > o> on com-

neDce par ajouter ou retraoeher le norobre de quadranU n^cea*
sair« pour raroeoer Tangle doonä ä dtre compris dana le prämier
qnadriot, de sorte qn'il «uffit d'avoir uoe table dea fonctions tri-
gonoBätriqnes dreaa^ aealenent pour le premier quadrant

Si Ton exprSroe maintenant nn angle en prenant le quadrant
poBT uDit^, et le soumettant ä Ia diviaion decimale» Tangle «e
conposera d'une partie enti^re, positive ou negative > et d'une
partie d^inoale, que Ton pourra toujours supposer positiTe*).
Lop^ration de Taddltion ou de Ia soustraction des quadrants sera
alors conopl^teroent analogue ä ceile du changement de caract^-
rbtiqae dans las logarithmes döcimaux. C'est d^jä lä un premier
a?aatage du cboix de Ia vöritable unitö angulaire.

Si, comme quelques auteurs Tont propose, on prenait le cercle
entfer pour unit^, le quadrant serait repr^sent^ par Ia fraction
0,25, et, pour opärer Ia r^doction d*un angle au premier quadrant,
00 serait oblig^ d'alterer les deux premi^res d^clroales, ce qui
serait beaucoup moins simple dans Ia pratique.

L'adoption» eomme unit^ angulaire, du centi^me de quadrant
oa grade n'a d'autre raison d'^tre que le däsir de se rapprocher
da dfgr^ sexag^simal. II n'en peut r^sulter aucun avantage s^rleux,
naia seolement une complication dans Täcriture, et une perp^
tselle eonfusioD des d^r^s nouveaux, des minutes nouvelles,
etc. a?ec les degr^s anciens, les minutes anciennes, etc.

Noufl a?ons signal^ une premiöre analogie entre Ia division
d^cimale do quadrant et les logarithmes döcimaux du Systeme de

*) KoiiB ferouB obaenrer k ce propos qae Ia Dotation des caract^ristiqaes
B^gitires, teile qn'elle est actnellement nsit^e en France, nons semble de bean-
coip pr^ü^rable, poiir Ia oommodit^ et Ia bri^et^, k Ia notation cmploy^ par
^ g^ometres allemands. Elle pennet, en outre, de r^senrer les signes -|- et
— , plftc^ en ayant da logarithme, poor indiqner le signe da nombre
(tsgarittoMiib) dont le logarithme i^rdiente Ia ralear nam^riqne, toite daas
Q s^iti^me particulier de nnm^ration. Ce mode d'indication est plus clair et
^^ fQJet ans erreors qne Temploi de Ia lettre n, placke, d'aprbs Ganss,
^U snite dn logarithme, poar indiqaer qae le nombre doit 6tre pris ndga-

202 ffoüel: Essai d*une expositüm raüonneffe des principes

Briggs. La raison de cette analogie est facile k salsir. Si Tod
consid^re une exponentielle k exposant coniplexe,

la partie reelle de Texposant est nn logarithme r^el, le coefficient

de V — 1 un arc de cercle; de sorte qu'on peut regarder les arcs
de cercle comme des logarithmes imaginaires. ^ D'aprös cela, si
Ton tapporte les logarithmes au Systeme dreimal, les d^place*
ments de la virgule dans la valeur num^rique de Texponentielle
röpondront k des changements de la seule caract^ristiqae; et,
d*apr^s la nature des exponentielles reelles » qui ne sont pas des
fonctions periodiques, la caract^ristique pourra prendre toutes les
valeurs entieres, de — oo ä +00.

De m^me^ si Ton adopte la division d^cimale poar les loga*
rithmes imagioaires, les changements de qaadrant^ qui revieoneot

ä la multiplication de TexponeDtielle par une puissance de V— I,
correspondront k des changements de la caract^ristique da
logarithme iniaginaire; ei, d*apr^s le caract^re p^riodiqae de Tex*
ponentielle imaginaire, cette exponentielle parcourra le cyde eo*
tier de ses valeurs, lorsqu*on fera varier la caract^ristique de 0
k 4, ou encore, ce qui revieot au m^me, 4^ — 2 ä -|-2, Taddi*
tion d'une unitö a la caracteristique äquivalant k la raultiplicatiaD

par V — 1.

Ainsi, de m^me qae 10 est la hase des logarithmes r^U

d^cimauXy e^ sera celle des logarithmes imaginaires däcimaux.

Les autres unitös angulaires dont on fait usage ont aossi
leurs analogues dans les logarithmes, et il est -ais^ de s*en reo-
dre compte au moyen des considärations präc^dentes.

Dans le calcul litt^ral, on emploie constamment les logarith-
mes natu reis, relatifs k la hase e, et Ton prend pour unitö an-
gulaire Tarc ^gal au rayon. Dans ce cas, Tanalogue de la carac-
teristique des logarithmes decimaux r^els n*est plus un nombre
eotier; c*est le logarithme naturel de IQ, ou le nombre 2,302586..^
L'analogue de la caracteristique des logarithmes decimaux imagi-

naires est, de m^me, le nombre irrationnel ^* Pour calculer nn-

m^riquement dans ce Systeme naturel, on serait donc oblig^ de
se servir de caract^ristiques fractionnaires, ce qui serait pen
commode dans la pratique.

II reste ä chercher Tanalogue de la division sexag^simale du

flnuUanenUmx de Ar MmUirit H^meniatre. 20S

eercle. 11 ümit pour cela, reaionter dans rantiquitä au temps oh.
las astrooomes faiaaient usage de la division aexag^slmale dn
rayoii, «I on le caicui proprement dit ^tajt trop ro^prisi^ des hom-
mes de scieoce pour qa'iU songeassent h en 'perfectionner led
a^odes. Les- inventears de^ logarithmea se sont bien gafd^
de reprendre cea traditiona» en choisbsant 60 ou 90 pour basea
de lears ayat^mea» et la num^atiou sezag^siiuale des logarithmea
uaagnaires n'a plus aujoord'bul rien qni lui correaportde dans la
BUM^tion des norobres r^els» du meine dans lea payaqui, eovnine
U Freocey oot sooinie leur Systeme ra^riqoe k la dWisioD d^imale.

On se demande souvent pourquoi les aetrooomes fran^ais»
apr^s avoir proposö les preniiers la division däcimale du qua-
drant*), que les ^trangers appellent encore la di?ision fran-
(aise» dnt ^t^ eux-radmes les premiers ä rabandonner. U y a»
pour expliqaer ce f^it, une raison tr^s-grave dans la n^cessitö
oü soDt les astronomes de puiser sans cesse dans des registres
d'observations, qui, k toutes lee ^poques^ ont öt^ constroits
d^apres le Systeme sexag^simal. On con^oit quel immense tra-
?ail eotrainerait la conversion de tant de norobres d'un Systeme
dans l'autre, et quelle souree d'erreurs et de con Fusion r^sulterait
doD tel remaniement, sans parier des inconvenients qfi'äprou?e-
raient les observateurs aetuels, Forces de cbanger leurs babitu-
des et leurs Instruments. X'astronomie, e^cbainee par son passä»
a done sagement fait de renoncer ä un perfectionnenient, qui, ea
somroe, aurait prösentö plus de dangers que d*avantages röels.

Mais les astronomes observateurs ne sont pas seuls k se ser«
▼ir des tables trigonom^triques. Or* pour tout autre osage
qoe le caicul imm^diat des observations faites avec
des Instruments portant la division sexag^slmale« H
t^i i n con ies table que la division döcimale pr^senterait des
avantages immenses, et nous ne pouvons comprendre la per-
sistance avec laquelle la plupart des caiculateurs la rejettent*
II o'est pas besoin d'une bien grande expärience du caicul pour
voir cembten on gagoerait k Tadopter dans les caiculs de m^ca-
oiqoe Celeste, de g^dilsie, de topograpbie, en un mot, dans fovs
les tas eü' Ton n'a pas k lire »e» nombres dans us reg*wtre i*ob-
aervations astronooiSqoes.

lia seule bonne raison que Ton pourrait nous opposer, c*est
le manque de bonnes tables trigonomätriques d^cimales. Les

*) VoyoB, pour phis de d^ils, Tlntrodiiction des Tables d€ci-
males de Hobert et Ideler, Berlin 1799.

Theil XL. 14

n

204 Hoüel: Mts^i dtWM 9xpa9ttUm ratUmMtU äe$ prindpes

seales table« k sept figores coostniltes dans ce aysitoe, celles
de Hebert et Ideler» de Borda et de Cailet, soot mal dis-
poe^es ppur les uaagea pratiques, TiDtervalle des divisions ^taat
trop coDsid^rable. Le« tables de Plauzoles, äsiz figores» aont
beaucoop plus comroodes, et cepeodant elles sont pea r^aodwf.
Pour qae ies calcalatears paeaent jonir des avanta^es de la diri-
aioD döciroale, il faadrait qae Ton tirdt des grandea Tables maoB-
scrites da Cadastre *) aoe s^rie de tables r^pondaot aax dirers
degri^ de pröeiaion dont od a b^soin dans Ies calcals, c*est-i-
dire» des tables k sept, h six, k cinq et k qaatre figores. Si
cette poblication ätait faite avec Ies minies soins et one disposi*
tlon aossi coQ?enable qae celle des bonnes tables sezagösimales
pobliöes r^ceminent en Alleroagne, nous sommes eonvaincu qae
le seol Systeme vrairoent rationnel reprendrait bientdt faveor, et
qoe Ies tables sexagäshnales ne trouveraient plus place qoe du»
Ies obseryatoires, oü elles devront longtemps encore ^tre ezchi-
sivement en osage.

Vote T.

Sur la th^rie des pandlMes.

Si Ton joge de la direetioo d'one droite par Tangle dont
eile s'äcarte d'nne direction donn^e, deoz droites qui forment arec
one troisiöme des angles correspondants ^gauz 8eroDt de mdne
direction, et le tb^or^roe d^montrö au §. 14. pourra s'^nonctr
ainsi :

Deox droites de m^me direction ne peovent se reo-
contrer, et sont paralleles.

Cette propositioD pourrait ^tre prise pour azi^me, en coon-
d^rant Tid^e de direction comme une donn^e fondamentale de
Texp^rience. D^s lors, il serait Evident que deox droites qol le
rencontrent ont des directions diff^rentes, et par suite celles qid
ont la ra^me direction ne peövent se rencontrer.

Dans cet ordre d'idäes, Tazi^nie rtkiproque, c*est-i-dir^
Taziome IV. du §. 15. poorrait s'^noncer comoie il soit:

Dans un plan, une droite qoelconqoe rencontre toa-
tes Celles qui n*ont pas la m^me direction.

*) n existe denx exemplairet de cet tables, d^M>8^ ran ^ la bibliodi^
que de rObserratoire de Paris, l'antre ^ celle de Tlnstitat Voy. Nonrellei
Annales de Math^matiques, Bnlletin de Bibliographie, 1855, p.14;
Comptes rendas de TAcad. des sciences, 84. mal 1858, et Annalei
de rObseryatoire, t. LV.

Cet änone^ deTient encore plas ^Ident, lorsqa'oB ia rapproche
de ce ^e noiis avons dit (§• 6.) de Ia g^nöratioD reGtUigne* do plao.

Cette mani^re de pr^enter Ia tb^orie des paralleles est plus
simple et plus symmätrique que Ia in^tbode ordinaire, et nous sem-
ble ayantageuse pour un premier enseignement de Ia g^o-
m^tne *). En revenant plus tard sur cet objet, od montrerait,
conme nous l'avons fait au §. 14., que le parall^lisme des droites
de ntoe direction est une cons^quence des axMmes pr^cödents.

Mote Tl.

8iir Ia longaenr d'one ligne conrbe.

Od d^moDtre, dans Ia plupart des traMs de Caicul iotägral,^
ce tb^oröme, qu'il eziste une limite commune, floie et
d^terminäe, pour les pärim^tres des polygones. Infiui-
tf^siroaux inscrits et circonscrits k un arc de courbe
doDD^. On peut präsenter cette d^roonstration sous une fonne
tont a fait ^l^mentaire» sans employer ralgontbme de l'analyse
traoscendaute.

La d^monstration repose sur le principe fondameutal du
ealcol integral**), savotr, que, dans une somme d'^läroents Infi*
Diment petits, on peut, sans changer Ia limite de cette somme,
älterer cbacun de ces ^l^ments d'une fraction de lui-m^me infinl-
meat petite. — En effet, en rempla^ant toutes ces fractions pat
Ia plos grande d'entre elles, qui est encore infioiment petite» on
▼Ott que l'alt^ration de Ia somme est moindre que cette fraction
maximum de Ia somme eile- m^roe, c'est-ä-dire que, si €|, €t>**-
800t tous moindres que s, on a eiori -f^ao^-f-*»* '^ ^(«^1 -|-<^ "!-••••)•
La somme ^tant suppos^e finie, Taltäration sera donc moindre
qa'une fraction infiniment petite d'une quantitä finie, et par sulte
eile sera infiniment petite. Donc Talt^ration de Ia limite sera Ia
Üinite d'nn infiniment petit, c'est-a-dire, zöro.

Cette d^monstration ne repose, comme on voit, sur aucune
consid^ration qui d^passe les principes que Ton a souvent occa-
sioii d'inToquer en g^ora^trie äl^mentaire.

Disons en passant que ce principe fouroit imm^diatement les
dtoonstrations les plus simples des tb^or^mes sur Täquivalence
de deux prismes on de deux pyramides de möme base et de
mtae bauteur.

♦) Voy. Note Vn.
^ Dnliamel, Clements de Calcal infinit^Bimal, 1 1, p. 35.

206 Hoüel: Essai d'une exposMon ratiotmeiie des principes

SopposoDS mainteoant t|iie l*efi aii nn triangle dont «n seol
aogle «oit iBfiiiiment petit. Le cdte oppos^ a cet äugle seta in-
Qnimeot petit par rapport a cbacun des deux autrea*), et
il en sera de mdme, ä plus forte raison, de la diflference de ees
deifx cdi^B par rapport a chacun d'eiiz. Nous enoncerons ce
r^sultat d'une maniere abräg^e, en disant que \e» deux cötes qui
coipprennept Tangle infiniment petit diff^rent infiniment piu
Tun 4e Tautre.

- II rästtlte de lä que, si Ton projette, par des paralleles de
directioD quelconque». orthogonale on non, une droite de iongueor
donn^e sur un axe faisant avec cette droite un angle infinimeot
petit, la diflference entre ia droite et sa projeetion sera infiniment
petite par rapport ä chacune d^elles; en d'autres termes, la
droite et sa projeetion diffdreront infiniment peu.

Donc, si la droite qui fernie un contour polygonal fait avec
chacun des c6t4s de ce contour des anglei: infiniment petits, U
longueur de qette droite ne diff^^era qu^infiniment peu de eeHe
du contour polygonal.

Cela posä, consid^rons un arc de .couflTe» qoe nous suppose*
roDs plane y pour plus de simplicitö^ et admettont qoe cet arc
soit enti^rement convexe **), D'apr^s les corollaires de la pro-
Position 20. du premier livre d'Euclide (§.24.), on voit: 1^. qoe
le contour d*un polygone inscrit dans l'arc convexe croft k roesure
que Ton ^tablit de nouveaux sommets interm^diaires, en subdivi-
sant les arcs; 2^. que le contour d*un polygone circonscrit au iD^ne
arc diminue k mesure que Ton trace de nouveaux c6t4s, doot les
poiots de contact subdivisent les arcs; 3^. qu*un quelconqae des
contours Inscrits est toujours moindre qu'un quelconque de« con-
tours circonscrits.

On en conclut d*abord : 1^. que les contours inscrits, dont on
angmente le nombre des c6te$ suivant une certaine loi, allaot d'sae
part toujours en croissant, mais restant d'aotre part toujours mW-
dre qa*un polygone icirconscrit quelconque, tendroat n^cessaire-
meot vers une certaine limite finie, däpendanfe ou non de la loi
de subdivision;

2^. Que les contours circonscrits, allaat loojours ea diaiioaaat
par la aobdiirisioo des arcs , et restant toujours sup^rienrs k od
polygone inscrit queloonqqe, tendront aussi vers qoe certaine li-
mite finie» d^pendante ou non de U^ loi de sabdiTisioi&.

*) Le rapporr'de oette diff^roioe ^ chacnn des cot^ serait m^ae infiiu*
mMU petit dtt seoond ordre, si le triangle ^ah rectaagle.
^) SU M l'teit pM, OB le d<0QiB]MMenit en poitioiie

fiiHäam€9kmz äe tu G4am4trie üdmeMUrtre, 307

U reale a prouter que %on» ces contoars, taot ioacrils qne
L, teedeot vera noe «euleet m^nelimite, inddpeiKUfite
li« U loi da sobdivision.

Coo8ld<h'OD8 an c^t^ d'un cootovr inscrit, et od polygone in«
•crit dane Tarc eöaetende par ce c^te. Si ce c^^ eet aaeea petU,
sa direetioR;» ainst qee la direction d'un c6t6 qeelconque d« poly-
gMt en qn^stion, fera vn angle aussi petit qu'on Toudra avee la
tangente et un quelconque de« points de Tarc. Donc, d'apr^s la
proposition dömonträe ci-dessus, le c^t^ et le polygone diffdrent
l'm de l'autre infiniment pen.

Soient maintopant deoz polygones inecrite quelconques, k
e6t^ soffisaiiiroent petits. Si nous Jes coniparons Tun et Taotre
an polygone form^ par la rdunioo de tous leure sominets, et cor*
respoodant par cons^uent ä une subdivision de chaeun des deux
. systemes d'arcs, chaque c6td de Fun quelconque des deux con-
toors primitifs diffdrera infiniment peu de la portion correspon- '
daate do troisiöroe contour. Donc chacan dea deux premiers
enatourg diff^era infiniment peu du troisieme» et par suite les deua
prtiiiere contours diff^reront infiniment peu Tun ide Tautre. Donc
ib M peuveoft tendre que yera une senle et mtoe limite.

On f^tendrait de ro^me ce rdsultat k deux polygones circon-
scrits, eu ä un polygone Inscrit comp^rd avec un polygone cir-
cooscrit.

Ainai se trouve dtablie lezistence de la longueur d*une
coarbe plane.

n en rdsalte en ro^me terope :

F. Que cette longueur est plus grande que celie d'uoe ligne
droite ayant (es mdroes extr^mitds ;

^. Qu'une courbe convexe est plus courte qu'une courbe
SMiooaque qui l'enveloppe de toutes partssans la couper, ou qui
IWdoppe eo s'appuyant sur les in^mes extrdnitds;

3^. Que la limite du rapport d'un arc infiniment petit ä sa
corde est dgale k l'unitö.

V

Le mdme mode de ddmonstration servirait a dtablir i'existence
de la longueur d'une courbe non plane, et celle de l'alre d'une
surface courbe.

»oie TU.

B^exionB snr renseignement de la g^omdtrie ädmentaire.

Tont le monde s'accorde k rdpdter qne 1*1» des bnts de Tea-

208 ffoüei: Kaai iPune exposMan raUmmeiie de$ prineipes

seigneni^nt des math^matiques dolt ^tre de donoer plus de recti-
tade ä Tesprit« en loi oÄaot an ikiod^le de logiqoe inAeiiUe,
appliqa^ k des principe« certaios. Poar qoe ce bat seit attetot,
il faut ^Tidemment que renseigoement ne se d^parte jamaif de
eeüe rigaenr qai distingae lea roath^matiqaes de tootee lea intrat
aclences, et c'est \h une condition essentielle pour qae cette
^de soit fractueuse, aassi bien comme gymnastiqae intellectaelle
qne comme source d'applications pratiqaes.

Mals la rigaeur; teile qoe nous la concevons, n'est nullemeot
compromise par romission volontaire de la d^monstration d'uoe
proposition , tandis qu*elle Test par rintrodactidh d'ane d^monstn-
tioo fausse oa iocompl^te. La logiqae n'a rien k souffrlr d'oDe
iacane laissäe provisoiremeDt dans la suite des raisoanementi,
pourvu que cette Iacane soit clairement Indiqa^ey et qu'on ne cherehe
pas a la dissimaler.

C'est d'apr^s cette mani^re de voir que nous coocevons It
possibilit^ d*un enseigneroent gradu^ de la g^om^trie ^lämentaire,
eonduit, k tous ses degr^s, d'apr^s un plan anique et invariM^e,
toujours soumis aax r^gles de la plus s^v^re logiqae, et ou les
difficolt^s ne se montreraient qnk mesure que les esprits seraieiit
pr^par^s k les aborder.

Pour cela, Tätude de la g^om^trie devrait ötre reprise sac-
cessivement ä d|?ers points de vue, correspoodants aus dive»
degr^s d'initiatJOD des ^l^ves. Pour les commen^nts» II s'agit
avant tout de se faroiliariser avec les figures et leurs d^Domioa-
tions, d*appreiidre des falts, d'entrevoir leurs applications les pios
simples et les plus Irom^diates« celles surtout qui se rapperteot
aux usag^ de la vie ordinaire. On devra donc, au d^but, ml-
tiplier les azidroes, employer au lieu de d^roonstrations, les vM-
fications exp^rimentales , l'analogie» rinduction, en ne laissiot
jamais oublier qoe ce mode d'exposition est essentiellement pro-
visoire. On exercera l'^l^ve aux trac^s grapbiques» au manie*
ment des instrumerits, ä la Solution de divers probl^roes de lev^
des plana et d'arpeotage, k la construction des figures en relief
an moyen de fils ou d*argile plastique, k la repr^sentation de
ces figure k Taide de leurs projections« etc., etc. Le mattresaura
proportionner au degr^ de d^veloppement rntellectuel de TöMve
la part plus ou rooins grande qa*il defra faire au ralsonnemeot,
dans cette preml^re ^baucbe des ätudes gäom^triques ; et la grande
varl^t^ d'applicatioDs qu'offrent la g^ograpbie, rastronomie, i'ar
pentage y la stäröotomie, etc., snfBra pour donner k cet enseigne-
ment an int^r^t sootenn.

flmämn§mmuf dt ia G^amäMe Mmmu&ire. 200

Od poorr» mMer k Im g^m^lrie pure et appliqn^e T^da de«
proprMt^ les plus simples des nombres eutiers, qae Ton repr^-
teotera pai; des poInts r^guli^reroent distribu^s sur des droites
OQ sar des pIsDs; ou eocore par des longoears de droites, des
tirts de rectangles on des volumes de paralld^pip^des. Cette
naDi^re de traiter rarithm^tiqae condoit aussi promptement que
U m^tbode abstraite aux r^gles du calcul, et cbaque raisonnement
acquert one plus graode clart^ par cette repräsentatioo qui parle
MX yeux.

On ezposera ensuite le Systeme des poids et mesnres, taudis
qoe, d'uo antre c^t^, on ^tudiera les propri^t^ des proportioos
eotre oombres rationuels.

RemarquoDs qoe fes diverses th^rles que oous venons d'^no-
B^r, et qol devroot serrir de pr^liminaires k l'^tude rigourense
de la g^om^trie, oe sont pas destinäes^ selon nous» k faire l'ob-
jet d'ane suite^nnique de le^ons. On ne doit pas craind|re de se
r^p^ter, dans un enseignement scientifique» et les ^l^ves devront
raifre soccessivemebt plusieurs cours gradu^s^ dont cbacun com-
prendra les matteres du cours pröc^dent, plus les nouveaux d^ve-
loppements qu'on y ajoutera, en faisant an raisonnement une plus
Iirge part.

•

Mais les programmes de ces conrs snecessifs ne de?ront pas
^e trac^ au hasard, ind^pendamment les uns des autres. II
badrase garder» avant tont, d*alt^rer l'ordre des propositions pour
tnbstituer k ane d^roonstratioo difficile un raisonnement plus simple
en apparence et rooins rigoureux. Si une dämonstration präsente
qaelques difBcultes pour rintelligence de r<^l^ve, qu'on la sup-
prime, Sans la remplacer autrement que par des explications^ des
aBalogies, des v^rifications exp^rimentales. Mais que la subordi-
Datioo des v^rit^s g^om^triques» teile que Texigera plus tard une
^de seien tifique et approfondie^ soit conserv^e sans altöration k
tooa les degr^s de l'enseignement. Qu'il y ait unit^ de plan« et
qae les cours les plus ^Wmentaires ne dlff^rent des cours les plus
ä9f4B que par des suppressions» de teile sorte que la place de
cbaque d^monstration soit toujours r^eryäe, et qu'on n'ait plus
qal Fy intercaler, lorsque Tesprit de V6\^ve sera suffisamment
pr^ar^

Le premier enseignemeot sera donc excluslvement exp^rimen-
til» et pea k pea on fera Toir k V4lkye comment toutes les rM-
^ n'ont pas besoin d*dtre s^partoent constat^es par rexpMeDce,
^ comment elles sont les consf^quences d'un certain nombre d'entre
^Ics, nombre que Ton restrelndra de plus en plus, k mesure que

210 Hoüei: AmT tf^wit ixposMm rmHotmeiU dte pHneipes

Tod avaocera daos T^tvde de I» «cieiice, josqa'ä ^ qn'ot soit
afrir^ anz axi^tnes fondameDtaiiz, dont la nomtee ne pmt pkM
dtre rf^dolt

Teile doit ^tre, k notre avis, la premi^re p^riode de Tenselg-
Dement g^om^trique, et le programme qne nous venons d'esquis-
ser comprend toates les notions math^roatiqoes n^cessaires aox
comroengants. Parall^lement k cet enseignement, Fäl^ve poorre
suivre utilement des cours ^f^mentaires de cosmographie, de
m^eanique» de physiqae, de chimie, oü il rencontrera k cbaqoe
instant des applicatiooa de sea ooDBaiaaaocea en g^om^trie et eo
aritbm^tiqoe«

Le second degr^ d'enseignenient ae rapproch erait 5 d'apr^n nos
id^ea^ do aystöme aetuellement suivi dana lea claaaea de scieoce
dea lyc^a fran^ais« £n göom^trie, on adopteralt la m^tbode eocli-
di#nne dana toute sa rigaeor, et le cadre dea^^tudea embrasse»
rait k p^u prös le« Elämenta d'Euclide et les premi^res notioos
aor lea aections coniquea»

On joindrait k cette ^tade celle des preroUres notions d*!!*
g^bre, en rattachant lea r^gles du calcul alg^brique anx proprio
des figures par des raisonnements analogues k ceux du secH^
livre d'Euclide. On ^tablirait cunsi par la göom^trie, en mte«
temps que par Tanalyse abstraite, las prinoipalea r^gles de la
multiplieation algöbrique, la räaolution des öquationa dn secoad
degr^, Je^ principanx tb^or^mea sur lea mazima et les mi-
nim«, etc.

L'^tude rigoureuse de la g^om^trie conduisant tout nataielle-
ment au principe des liroites et k la considäration de rincomDeo*
8urabilitö, on Serait alors amen^ k introdnire le^ symboles app6-
l^s nombres incommensurables, et ä revenir sur la tb^rie
de^ proportions^ en F^tendant k des grandeurs cootinues, g^D<f-
ralement incommensurables.

On ponrrait paaaer de la k l'^tade des logarilbmes et de ia
trigonon^trie.

Haia. cette ^tude de la g^oroätrie acfentifique et rigonreose
doit elle-m^roe ^tre gradu^e» comme celle de la g^om^trie ei-
p^rimentale. S'il peut ^tre avantageux, dana une premi^re ex-
poakio»» de a'altaeber atttanl que poaaiUe k la mötbode des An-
cidM, afin d'^tablir d'abord arec br&^fet^ et präciaion lea faits
fondttaientaux de la acieoee; il nona aemble, au cooiraka, qM
dana les rävisiona anccesaivea d« coara de g^oroötfie» %m dtna
8*^tedier de pr^C^senee k fcire compreadre, par dea applieatioit«

ftmUtmenimtx de ia G^omHrte Mmentaire, 211

aox lixxiiß simples et desormais bien connues de Ia gdom^trie
el^meotaire , ies graodes lu^tbodes et les paiasants proc^däs de
t'analyse moderne. On pourra, de cette mani^re, ^jsans sortir da
eadre d^Euclide, initier Tel^ve ä tous les procödäs qu*il aora
plus tard ä appliqoer dans les parties les plus älevees de Ia seience.

Äiosi^ on sait qnelles sont» en g^ometrie et en aritbm^tiqae^
les nombreuses applicatlons du principe des limites.

L'^tude des lieux g^oroetriques, employäs comme moyens
g^B^raux de r^solution des problemes d^termio^s, conduira nata-
rdJefflent ä Ia notion de fonction d'une ou de deuz variables in-
d^endantes. En y joignant mdme le mouvement, on aura une repr^-
seBtation sensible des fonctions de trois et m^me de quatre ? ariables.

Le cercle et les sections coniques donneront lieu d'appliquer
b m^tbode des tangentes, et de präsenter Ia m^tbode des limites
soas Ia forme plus commode de Ia m^thode infinit^imale.

Od reviendra alors avec plus de d^tails sur les questions de
maxima et de minima^ et on les ram^nera ä Ia m^bode des
taogentes» dans le cas d'ane s^le variable tnd^pendante.

Les quadratures et les cubatnres des lignes et des surfaees
ponrront s'effectner non - seulement par les ro^tbodies d^tournees
des Anciens^ mais encore par les m^thodes directes sur lesquel-
ies est fond^ le caicul integral. Ainsl l'^qulvalence de deux pris»
mes de ni^me base et de m^me bauteur pourra s'efablir par Ia
dimion en trancbes infiniment minces, comme nous Tavons d^j4
iodiqu^ dans Ia Note pröc^dente.

Cest alors qa'ii conviendra d*inlrodiifa« le« netio^Mi de len-
goeor d'une ligne courbe quelconque et d*aire ^^vtOB snrfaee
eonrbe quelconque , en justifiant et g^nöralisant les d^finitions re-
streintes et incompl^es qu'on en avait donnäes^ au moyen des
Hyfiooes r^uliers, en traitant du cereie et des trois corps ronds.

On peut enfin , sans sortir du möme cadre , donner des exem-
pUs de courbes enveloppesy d'appKcati4ns de Ia mdtbode inverse
des tangeotes, etc.

Eo on mot« Ia g^omefrie d'fiuclide pieat servir de iexXe h
ooe exposition de tous les principed fondamentaux de l'analyse
moderne y et Ton con^oit quel fruit uo esprit intelligent pourrait
redrer d'une teile pr^paration a Tätude de Ia g^m^trie analytique
et du caicul infinit^lmal.

14'

212 Spit%er: Note über lineare Di/rerenaal§Mehungen.

Note über lineare Differentialgleicbangen.

Von

Herrn Simon Spitzer,
Professor an der Handels -Akademie in Wien.

Sehr häofig kommt es vor, dass in lineare Differeotialglei-
chnngen statt der abhängig Variablen y eine andere abbSogig
Variable z eingeführt werden soll, welche mit y In folgendem
Zosammenhange steht:

y = e^z,

woselbst tt eine constante Zahl ist. Wir wollen im Folgeodeo
zeigen, auf welch einfache Welse diese zu bewerkstelligen ist
Sei vorerst

a.y(") + a,_i »(»-i) + a,-ay<"-«) +.... + <Hy' + a„y = 0 (!)

«Ue ▼orgeiegte Gleichang. Setzt man hierin y :=e<^, so erhilt man:

«- [*'•> + (i) «»<"-*> + (2) «•»<-•> + • ]

+

+ ai(z'-|-oz)-|-<iot = 0,

oder anders geordnet:

y

Spiiter: Note Oder Uneare Di/Terenttaiffieiekunfftn. 213

+ [a«-« +(''7^)aa«-i+Q)««a.]2(-*) \ (2)

+ .

+ [ao + «öi+«"fli + •••• + «■««]* = 0. '

Seizt man nun

80 gestattet die Gleichong (2) folgende Schreibweise :
Wird aof gleiche Weise in die Differentialgleichung

^ 9 die Sobstitiition

gonacht, 80 erhält man, wenn man

Mtit, auf ähnliche Weise vorgehend , folgende Gleichung in x:

n! "*" (n — l)f .

■*' (n— 2)! ' + ....

.... + [g»'(«)+a;^'(«)]*' + [v(«) + «t(»(«)]i=0,

QBd ähnlich kann man verfahren bei allen jenen linearen Diffe-
rentialgleichungen, deren CoefBcienten ganze algebraische Func-
fcn«n von x sind.

214 Grunert: Die Metkoäea von Ttehirnhaus und Jerrard

XIV.

I

Die Methoden von Tschirnhaus und Jerrard zar

Transformation der Gleichungen.

Von

dem Herausgeber.

§. 1.

Zu allen Zeiten hat die allgemeine Auflusung der Gleicbangei
die Mathematiker lebhaft heschfiftigt; auch Ehrenfried Wal-
ther von Tschirnhaus *), Herr auf Kiesslingswalde ond
Stoltzenberg, Kurfürstlich Sftchsischer Rath, geborMza
Kiesslingswalde univeit Görlitz in der Oberlausitz am 10. April 1651.
gestorben am 11. October 1708, hat sich eifrigst bei diesen Ar-
beiten und Bestrebungen betbeiligt, und glaubte dadurch zn dem
so sehr erstrebten Ziele zu gelangen, dass er durch geeignete
Transformationen der aufzulösenden Gleichung beliebig viele GTie-
der derselben wegzuschaffen suchte, — so wie man ja schon
längst aus jeder Gleichung das zweite Glied wegzuschaffen ver-
stand, — um dadurch endlich entweder zu einer reinen Gleichaog

*) Häafigor, aber wahrscheinlich unrichtig, ,,T8chirnhanieo"
geschrieben. Die franxösischcn Mathematiker, welche sich, nameoi*
Hell der berühmte Lagrang^o, der über die iMethode von TtchirD-
haut in den Mömoires de TAcad^mie des aciencet de Berlin.
1770 et 1771 tiefsinnige Untersuchungen angestellt hat, eifriger mit oo-
serem Landsmanne beschäftigt haben, als wir selbst, schreTbco oteht
selten ,,Tschirnaüs*% wie s. B. J. A. Serret überall in dem Coori
d*AlgAbre sup^rieure, professö ä la Facolt^ des sciencet
de Paris. Paris. 1854.; hi«r m4 aUi» aneh die Form „Tschirs-
haus'* OBTerkennbar.

WUT TramfimnaUon der Glefchungen. 215

oder irenigstens zo einer durch schon frfiher bekannte Hüiromit-
tel anfiSsbaren Gleichung zo gelangen. Wenn aoch Tschirn-
haofl aof diesem Wege sein Ziel nicht erreichte und nicht errei- '
dien konnte 9 ans Gründen , welche wir später entwickeln werden;
80 ist sein Gedanke doch immer als ein sehr scharfsinniger be-
trachtet worden, und seine Methode *), die er in den Actis Eru-
ditorom. 1683. p. 204. bekannt machte , ist namentlich in neoe«
ster Zeit wieder besonders hervorgetreten und hat die Aufmerk-
sami[eit der Mathematiker von Neuem auf sich gezogen , nachdem
derEiigländer George B. Jerrard« Esq. **), in ähnlicher Rich-
toog sich bewegend wie Tschirnhaus, die merkwürdige und
wichtige Entdeckung gemacht hat, dass aus jeder Gleichung das
zweite, dritte, und vierte Glied bloss mit Hülfe der Auflösung
einer Gleichung des dritten Grades weggeschafft werden kann,
worauf dann weiter Her mite und Brioschl ihre berühmten Auf-
lusoDgeo der Gleichungen des flBnften Grades durch die elliptischen
Fonctionen basirt haben. Die grosse Wichtigkeit dieser Gegen-
stände ond die immer weitere Ausbildung und Vervollkommnung
der betreffenden Untersuchungen in neuester Zeit geben mir jetzt
hinreichende Veranlassung, denselben einige Abhandlungen in die-
ser Zeitschrift zu widmen, was ich bis jetzt absichtlich unterlas-
sen habe, weil die Nothwendigkeit der erwähnten weiteren
Ansbiidang und Vervollkommnung sich voraussehen Hess. Die vor-
liegende Abhandlung soll daher zunfiehst den Umformungs-Metho-
den von Tsebirnhaus und Jerrard gewidmet sein, indem leb
in Dicbsten Paragraphen sogleich mit der ersteren beginnen werde.

§.2.

Die gegebene Gleichung sei:

1) ar"" + Ai af^^ + A^x^-^ + ....+ Am^ix -f ^^a. =: 0,

Qber die wir zuvorderst Folgendes bemerken.
Aas ]) ergiebt sich:

«» =: — Ji j?*"— ^ — A^ a?*»- *—.... — Awk^i X — Am

oder, wenn wir

*) „Methode ^l^gante de Ttchirnaäs«' (Serret a. a. O. p. 113).
**) M. ■. s. B. laquir^r into the validity of a method re-
ecntly proposed by George B. Jerrard, Etq. for transfor-
■log and resoWlng Eqaatioas of elevated degrees, By
Prefestor Sit. W. B. HarofUon. JjODdoo. 1837.

2]j6 Grüner t: Die Metkoden von Teehirnhaue und Jerrard

« o o o

-^I — — ^i» i^«= — A^,.,,^,,Atm^\^=l'^Am'-\i Am=^'~ Am

setzen :

x^=Ai x^-^ + J^a^-^ + .... + Am-^i X + i».
Also ist:

j:»+i = ilia;'» + Ja j:«-*+. . -. + Ji«-ia;> -(- Jm«>

und filhreo wir nun in diese Gleichung für af^ seioen obigen Aas«
druck ein^ so erhalten wir fSr :r"H-i offenbar einen Ausdruck voo «
der folgenden Form:

jr«+i = i| a?«~i + J,a?«-« + .... + Jm-ia: + Jl«.
Also ist :

a:w+« = ig j:« + ija:«-^ + .. + im-i«» + J^Jf,

und fmhren wir in diese Gleichung flSr x^ wieder seinen obigen
Ausdruck ein^ so erhalten wir fOr 0:*"+* einen Ausdruck von der
folgenden Form:

ar«+* = Ji o:«-! + ia^r"»-» + .... + Jm-ia; + J«.

Wie man auf diese Art weiter gehen kann, unterliegt keioem
Zweifel, und man sieht also aus dem Vorhergehenden, dass sicli
die Potenz :r'H-^, wo k eine positive ganze Zahl, Null einge-
schlossen, bezeichnet, immer durch einen Ausdruck von der Form:

k k k k

2) af^^-^L Axs^^^ -^ A^at^-'^ -V ^^.^ ^ Am-AX -y Am

darstellen lässt» wo natGrlich die Coefficienten

k k k k k

^\> ^2» ^9f ••••> Am—lf Am

bloss von den Coefficienten der gegebenen Gleichung 1) abbin-
gen und durch dieselben bestimmt werden.

§. 3.

Eine neue unbekannte GrSsse y einfllhrend, setzen wir nun:

111 1 1

3) . . . y^:zao + aiX + a^*+.... + an''ix/^''^+auXi*,

und nehmen an, dass n eine positive ganze Zahl bezeichne, die
kleiner als m ist; aus den beiden Gleichungen l) and 3) elimi-

%ur Tramf&rmaäan der GMekungen* 217

Direo wir^ um eine, y als oDbekannte GrOsse enthaltende Glei-
chiDg so erhalten, die Grösse x^ wozo wir aof folgende Art
gelangen. '

Ans 3) bilden wir die Potenzen

y^» y'> y*> y** .-^y*;

and stellen dieselben, was nach dem vorhergehenden Paragra-
pbeD immer möglich ist, nnter der folgenden Form dar:

a s a a

y3 = Oo + a,ar+aa*T* +....+ a»>-ia:*-^,

i\ / 4 4 4 4

o. s. w.

fii M in in

Sbd nun

die m Wurzeln der gegebenen Gleichung 1) und

Vi », y« » y» » 3^4» • • • • » y»

die entsprechenden Werthe von y\ so ist nach 3):

111 1

Vi =öo + fli^i + ««^i' +••••+ öii^i".

111 1

ya = öo + öi^« + ««^a*+ •••• + ««*«"»
111 1

ys = 00+^1^8 + ^«^8*+ •••• + OnX^*,

n« s* w.
111 1

vnd nach 4) :

8 2 2 2

yi* =00 + fli^Pi + «2^1'+ — • + a«-i^i"*~*»

22 2 .2

yja = ao + Oiar5|+aaJ:i* + .... + a«-ij:»"^i,

222 2

y,s = Oo + Ol OTg -f Os JTs' +....+a«-ij:B«-^,

a. s. w.
222 2

:218 Grunert: Die Methoden von Teekirnhaus und Jerrard

8 8 3 8

yr — «0 + «1 ^1 + 02*1*+-- + ölI•~l^l""•^^•
, 8 8 S 8

y« =«0 + «1 ^« + «t^f + •••• + öm-aait"»-*,

3 3 3 3

3f8 = «0 + «1 ^8 + «1^8 +•••• + flm-l arg"^* ,

U. 8. W.

,33 8 ^ 8

.44 4 4 ,

yi« = Ho + Ol J?! + a»a:i" + .... + a«,-ia:,«^^,

4 4 4 4

^8 =*'0 + Ol ^8 + fl«^8 + •••• + 0|»-ia?8"'~'^ >

a. 8. w»

^44 4 ^ 4

U. 8* W.
U. 8. W.

yi* = «0 + «fl ^1 +ö«^l* + ••- + ö»-ia?i"^*,

OT Ol Ol Ol

ys"" = «0+ «i Ärs+fl««8* + •••• + aw-i^8'"~^

U. 8. W.

Ol Ol Ol Ol

y«i* =00 + OiXm+a^a!m* + .... + aoi-iar«*^^ •
Bezeichnen ii^ir jetzt die Summe der Arten Potenzen von

dorch 5ik and die Summe der i^ten Potenzen von

yi> y«» ^8» 3^4» ••••» .V»
durch sk* 80 ergehen eich aus dem Vorstehenden unmittelbar die
folgenden Gleichungen:

111 1

ii ssmoo+ax^^ + a^iSs-f .... -f ao&i»

2 a a a

6) . .

8 8 S «

«8 =wiflo+^i'^i + fl2^a+ •••• + fl»-i&i-i,
I4 =fRao+aiiS|-fa9^-f .•.•-!- aM.i&,.i,

U. 8. W.

Ol Ol Ol Ol

Sm^^tnaQ+aiSi-^-a^S^-^ •.••-t-oiii^i^.i.

%ur TransfbrmatiBn der Gleichungen, 219

Nach den Fonneln de« NewtoD^schen Satze« von des Sum-
men der Poteozen der Wurzeln der GleichungeD kaiHi man aoA
^^ gegebenen Ceefficienten der Gleichung 1) die Sommen

bilden, erbftit sodann

mittelst der Gleichungen 5), und kann nun hieraua wieder mit-
telst der Formeln des genannten Satzes die Coefificienten der
Gleicbnng des mten Grades finden, welche för y als unbekannte
Grusse die Wurzein

9i* y«» 5^8» y^ff^ym

bat, also diese Gleichung, die natOrlich die durch Elimination von
t aus den beiden Gleichungen 1) und 3) hervorgehende Gleichung
•ein wh'd, selbst bilden. Bezeichnen wir nämlich diese Glel-
chirog durch

80 haben wir zur Bestimmung der Coefficienten

oacb dem Ne wton'schen Satze bekanntlich die folgenden Formeln :

7)

P^^-üPzii+P2H+Pih + sd»

P,--HP4h + PnH + P2H + PiU + s^)*

u. s. w.

1 ♦

/'-.= — -(Pm-ll,+ft.-««,+ iP«.-8'8+ — + jP| *«-! + *»)

Man kann zu der durch Elimination von x ans den Gleichun«
gen 1) and 3) hervorgehenden Gleichung aber auch auf folgende
Art gelangen. In dem Gleichungssysteme 4) sind m — 1 Gleichun-
gen enthalten, ^welche in Bezug auf

/r ^^ ^8 »gA 4f*iii— 1

vom ersten Grade sind, so dass man also diese Grossen aus den
genannten Gleichungen immer auf bekannte Wmse bestimmen, und

Theil XL. 15

220 Gruneri: Die Meikoden von T$ckirnkaus und Jerrard

die erhaltenen AnsdrOoke daoo für die -entspreebenden Potenzen
v^B X in die Gleichung 3) einfahren kann, wobei nian zo bemer-
ken haty daae n nicht grösser als m*«-l ist Dnrcb diese« Ver-
fahren, welches den Vortheil hat, dass man dabei zugleich x als
ganze rationale Function von y ausgedruckt erhält, ergiebt sich
die gesuchte Gleichung des mten Grades mit der nnbekanoteo
Grösse y.

Sollen nun in der Gleichung 6) vom zweiten Gliede an n
Glieder verschwinden, so muss, wie aus den Gleichungen 7) ohne
Weiteres erhellet,

8). . .i|=:0, H=^0, «8=0, i4:=:0, ....,<a 7^0

sein, und die Coefficienten

1111 1 1

^0> ^1» ^> «8» ••••> ®«— 1* *'»

in dem Ausdrucke 3) von y, von denen die Potenzensuromen

Hs h* U

, •••• ,

nach dem. Obigen abhängen, mdssen also so bestimmt werden,
dass den Gleichungen 8) genügt wird, wobei man, da die Aniaht
der zu bestimmenden Coefficienten n+l, die Anzahl der zu er-
fsllenden Gleichungen aber nur n ist, immer einen der ersteren
willkührlich annehmen kann.

Betrachten wir, indem x, y überhaupt zwei zusammeogehu-
rende Werthe der im Allgemeinen eben so bezeichneten GrSsseo
bezeichnen,

111 1 I

Oq, Ol, O2» ■***> ^"1» ö«

als unabhängige veränderliche Grössen, was offenbar verstattet
ist, von denen nach dem Obigen x gar nicht, aber natflrilch y
abhängt, so ist nach 3):

und nach 6);

Bit
+.y" *7i-+y"' •-i^+-- +y — r—t'—r = 0;

also nach diesen bdden Gleichungen:

amr Trmu/iormatUm der Gittekungen. 221

mittelst welcher Formel aus den durch Aof löisaDg der Gleichung 6)
erhaltenen Werthen von y unmittelbar die entsprechenden Werthe
voD X erbalten werden. Weil nach 3) :

do^ dos da4 ha%

Ut* 80 kann man ganz aof ähnliche Art wie vorher auch Aue-
drficke zur Bestimmung der Potenzen x^^ a^, x*, ...., x* entwickeln,
was einer weiteren Erläuterung nicht bedarf.

§. 4.

Wir haben Im Vorhergehenden ganz im Allgemeinen ge-
leigt, wie die Elimination der Grosse x aus den beiden Gleichun-
gen 1) und 3) jederzeit ausgef&hrt werden kann, wodurch wir auf
•ine Gleidiang mit der unbekannten Grösse y von demselben
Grade wie die Gleichung ]) mit der unbekannten «GrCsse x ge-
librt worden sind. Natürlich kann man aber diese Elimination
noch aof vielen anderen Wegen ausfuhren , welehe in besonderen
Filleo oft einfacher und leichter das Ziel erreichen lassen, indem
ich nun jetzt zeigen will, wie nach der Methode von Tschirn-
haaa die Gleichungen des dritten Grades aufzulösen sind^ werde
ich mich in diesem Falle bei der erwähtiten Elimination der von
Lagrange*) gebrauchten, ziemlich einfachen Methode bedienen.

Die aufzulosende Gleichung des dritten Grades sei :

11) a:» + aa:« + 6ar + c=0.

Mao setze:

') M. ■• Leoohard Ealer't EinleitoDg ia die Analysi«
lief UneDdlichen. Aot dem Lateinischen äbemetxt Ton J. A.
C*Michelten. Drittes Bach (Die Theorie der Gleichungen.
Aat den Sehriften der Herren Eoleranddela Orange). Ber-
lin. 1791. S. 291.; in der von Michelten übersetzten Abhandlung:
Bemerknngen über die algebraische Auflösung der Glei-
chnngen. Vom Herrn de \k Grange. Ans dem 2ten Bande
^«r neuen Memoiren der Kdnlgl> Akademie der Wissen'
■eliaften in Berlin. Nr. 10.

15*

222 Grunert: Die Methoden von Teckirnhaue und Jerrard

^2) y = — p -^ ?« + or*,

also, weno der Kfirze w^eo '

'3) T:=:p-\- y

gesetzt wird:

14) x^ = r-\-qai.

Hieraus folgt:

15) ^• = ra: + 9ra:«=:5rr + (7« + r)a?,

und folglich nach II):

also:
16). . . c + (a+(y)r

Führt man nun diesen Ausdruck in die Gleichung 14) ein , so er-
hält man die Gleichung:

c6rKa + y)5r+rl ""^ 6 + (a4-9)9-|.r^
oder:

{c-f(a + y)r|« + 5r|c + (a + 7)rn6 + (a+7)y+r} .

-rt6 + (a + 9)y+r|» 1=="'

und, wenn man nach den Potenzen von r ordnet» wie man aacli
leichter Rechnung findet:

17). . . r».

— (a«-26 + a^)r«

\ =0
— |2oc-.6«+(3c— a6)7 ^b^]r

-c(c+6y + ay« + 9»)

Entwickelt man nun aber mit Bezug auf die Gleichung 13) di«
vorstehende Gleichung nach Potenzen von y, so erhält man, wenn
der Kürze wegen:

jP=-a» + 26-fly + 3p,

ö=-|2ac— 6« + (3c— a6)y — 67«!
— 2(a«— 2Ä + ay)p

18). . . < +^*'

— |2ac - 6»+(3c - a6)y— 6^|p
— (o«— 26 + a7)p«

ftmr Trgmforwuokm der €i€lekungem, 223

gewtzt wird:

») f*+'V+G»+Ä=:0.

Bildet man jetzt die beiden Gleichangen :

20) P = 0, ö = 0;

so kann mao aus denselben dareh bekannte Hdlfsmittel p, q he*
summen, weil io Bezag auf diese beiden unbekannten Grössen
die erste dieser beiden Gleichungen vom ersten, die zweite vom
zweiten Grade ist. Führt man dann die auf diese Weise gefun-
denen Werthe von p^ q in die Grosse R ein, und bezeichnet den
dadurch erfaalteoen Werth dieser Grösse durch R' ; so wird die
Gleicbnng 19) :

2») y»+Ä'=0,

nd Utest sich also als eine reine Gleichung nach bekannten Me-
thoden anflSsen.

Weil rar den vorliegenden Fall im vorhergehenden Paragraphen

m = 3; «0=— P> öi=— 7> at=l;
P,= P, P,= ö, P, = /2

n setzen ist; so hat man nach 9) zur Bestimmung von x die
Formel :

^8P^ 8Ö . 8Ä

Ans dem theoretischen Gesichtspunkte betrachtet, ist diese
AanSsiDg der Gleichungen des dritten Grades jedenfalls sehr
*wch, fährt aber dessenungeachtet auf sehr weitläufige Rech-
mgen.

Vm die Gleichung des vierten Grades

^'^osen, setze man wieder

^ ^Kmlnire aus den beiden vorstehenden Gleichungen die GrOsse
'• *o erhält man eine Gleichung von der Form :

^t man nun

224 Grunert: Die MeAoäen ro» TBehirnhuut tmd Jerrard

P = 0, Ä = 0;

80 findet man, dass aos dfesen beiden (SteichangeD die Gr5«gen
py q blo88 mittelst einer cahiscben Gleicfaang bestimmt werdeo
können ; und bezeicbnet man die diesen Werthen von p, q ent-
sprechenden Wertbe von Q, iS respeettve dorch Q', S\ so bat
man zar Bestimmung von y die Gleicbung :

welcbe wie eine quadratische Gleichung aafgel5st werden kann,
wodurch also die Auflösung der Gleichlingen des vierten Grades
gegeben ist, indem oc immer nach der aus dem vorbergebenden
Paragraphen bekannten Methode bestimmt werden kann. Die voll-
ständige Ausfuhrung der Rechnung fSbrt in nicht geringe Weit-
läufigkeit und kann bei Lagrange a. a. O. S. 348. oder auch in
der Sammlung von Aufgaben aus der Theorie der alf^e-
braiscben Gleichungen von Meier Hirsch. Erster Tbeil
Berlin. 1809. S. 142. nachgesehen werden.

Will man nun aber die Methode von Tschirnhans auf die
Auflösung den vierten Grad fibersteigender Gleichungen anwea-
den; so kommt man auf Gleichungen , deren Grad nicht anter dem
Grade der aufzulösenden Gleichung liegte wird also bei diesen
höheren Gleicbunj^en von der Methode ganz verlassen. Wir wol-
len deshalb auch diese Methode hier nicht weiter verfolgen, was
fiberbaupt gleich von vorn herein nicht in unserer Absiebt lag?
indem wir vielmehr in dieser Abhandlung hauptsächlich die neu-
erlich von Jerrard gefundene höchst merkwürdige Transforma-
tion der Gleichungen im Auge haben, die aber ohne die Methode
von Tscbirnhaus im Allgemeinen nicht verständlicb ist und de-
ren genaue Kenntoiss veraussetzt, wesbalb auch Serret a«8.0«
Note V. die Methode von Jerrard ohne Weiteres als eine An*
Wendung der Methode von Tschirnhaus bezeichnet; zu dieaei
Methode von Jerrard woUen wir daher jetzt fibergeben.

§. 5.

An die in §. 2. und §. 3. im Allgemeinen entwickelte Methode
von Tscbirnhaus uns ansebtiessend, sei nun wieder die gege-
bene Gleichung:

23) . . ar«» + A^x^^ + A^^^^.,.. + Am-ix-t^Am^fi',

es werde

111 1 1

24) y=«o+.«l^ + ^««^*+"8^' + Ö4^

svr TnmafürmaUan der eieicktmgen. 225

gaietit, aod nach der Id den beiden genannten Paragraphen ge-
gebenen aJIgemeinea Anleitung die aus diesen beiden Gleichan-
gen dorch Elimination von x hervorgehende Gleicbang

25). .f" + '^iy^* + jRiy"'-*+.-. + ^«^i»+A.=0

gebildet; so sind, wie ans der in §.2. und §.3. gegebenen Dar-
stellung ganz unzweideutig und ganz ohne Weiteres erheilet, die
Coefficienten

sirnntllcb homogene ganze rationale algebraische Functionen von

11111

^0» «1» %» ^99 «4

reepeetive vom

1 ten , 2ten , 3ten »...•> (m ^ l)ten , ntten

Grade*).

Wenn nun» was wir im Allgemeinen unseren weiteren Be-

trachtnngen vorausschicken mässen, r eine beliebige homogene
ganze rationale algebraische Function der beliebigen GrOssen

«0» «1» 0^9 «8» ••••> flu— 1
vom aweiten Grade bezeichnet, so kann P jederzeit auf die Form :

f=Pao^i^Qao^R

gebracht werden, wo P eine eonstante Grösse, Q eine homogene
ganze rationale algebraische Function des ersten Grades von
^1* 02^ ^3 9 ...•» An-i und R eine homogene ganze rationale alge-
braische Function des zweiten Grades von aj, a^, 03,...., an-i
bezeichnet. Bringt man aber den vorstehenden Ausdruck von

^ femer auf die Form :

P^(aoVP + ^P* + (R'j^,

so sind

*) Da«« in $. 4. 18) die Coefficienten P, Q^ R niclit alt homogene
^^^^ rationale algebraische Functionen der Coefficienten in dem für |f
^genommenen Aatdrucke ertcheiaen, hat lediglich darin seinen Grund,
^ io diecem Aoedmebe der Cocfficient von ^* der Einheit gleich ge-
•^t worden iat

226 Grunert: Die Methoden von Tiekirnkaus und Jerrard

respective homogene ganze rationale algebraische Fanctionen fon
ersten und zweiten Grade von Oq, Oi , a^, Os» ****' ^^^ ^"^ ''i' ^
03, ...., Hii-i; woraus sich also ergiebt, dass immer

gesetzt werden kann, wo P eine homogene ganze rationale alge-
braische Function des zweiten Grades yon a^, ai, a^, <it >••••» cn-i;

Vq eine homogene ganze rationale algebraische Fanction des Carsten

i
Grades von Oq^^i» ^* a^,.*.,, dn-i; Feine homogene ganze ratio-
nale algebraische Function des zweiten Grades von 01,0«, a|,
' • . , (tn-i ist. Ganz auf dieselbe Art kann man non wieder

^=:Fi«+l^

setzen , wo F| eine homogene ganze rationale algebraische Fanction

des ersten Grades von Oi, a^^ a^,..,,, on^i; V eine homogene
ganze rationale algebraische Function des zweiten Grades ?od
#1^ , Os , — , Hu— 1 ist. Eben so kann man wieder

F= V^^^^f
setzen , wo F« eine homogene ganze rationale algebraische Fanction

8

des ersten Grades von o^» Os» ••••> ^n-i; ^ ®>oe homogene ganze
rationale algebraische Function des zweiten Grades von o^, ....,aiH-i
ist. Geht man auf diese Art weiter, so gelangt man endlieb zu
der Gleichung:

«—3 »-2

F = F„-8» + y.

' «-8

wo F eine homogene ganze rationale algebraische Funetion des
zweiten Grades von On—^ , on-^ , On—i ; Fn-s ^'^^^ homogene ganze
rationale algebraische Function des ersten Grades von On-^t o«-s*

an^ ; F eine homogene ganze rationale algebraische Function
des zweiten Grades von On—^, a«.! Ist. Ferner ist:

F= F„-9«+ F,

wo Fn— t eine homogene ganze rationale algebraische Function

des ersten Grades von tht-^t on-i; F eine homogene ganze ratio-
nale algebraische Function des zweiten Grades von On—i ist. Weil

mr Trantfbrmniion der BMckmn^en. 227

iMB mm ofesbar jede homogene ganse ratkmAle. algebraiedie
FiBction des zweiten Grades von einer einsigen veränderliehen
Grosse als das Quadrat einer homogenen ganaen rationalen alge-
braischen Faoction des ersten Grades von derselben v^rSnderlichen
GrOsse darstellen kann, so kann man

setien, wo Fa-i. eine homogene ganze rationale algebraisehe
FiiBction des ersten Grades von a«-! ist Hiernach hat man also
die folgenden Gleichungen:

u. s« w.

«-1
F= F.-1»;

dorch deren Addition sich die Gleichung:

26). . . ^=Fo»+F,HF,»+....+ F..««+F..-i«

aod also der folgende Satz ergiebt:

Jede homogene ganze rationale algebraische Func-

o

tion V des zweiten Grades der n GrOssen

^9 Ol» ^» «89 ••••> ^»—a* ^«—1

liast sich immer als eine Summe von Quadraten von
" homogonen ganzen rationalen algebraischen Func-
tiooen des ersten Grades

Fo> F| , Fji, Fgy ....9 Fa^iy Fa~|

respective der GrOssen

«

Oq» ^f ^> ü^, '-•»» am^%f a«— i;

^1» öt> Ab, ...., Oii-a, On-i;

Of, 089 ••••» o*— a» Ob— i;

u. s. w.

228 Grunert: Die MHk&äen wm Tichirnhaui und Jerrard

aiisiirlick»n5 bnd zwar aaf »elir verschiedene 'ArteB^
weil man natürlich die GrOseen

in beliebiger Ordnung oder Felge nehmen kann.

Hieryon Ifisst sich nan die folgende Anwendung auf das Obige
machen. In der Gleichung 25) setze man:

27). . . .... P, :t=0, P« = 0, P» = 0.

Weil Pi eine homogene ganze rationale algebraische Functioo
des ersten Grades oder eine homogene lineare Function von

11111

«0» **!> ö«> ^8» ^4

ist, 80 kann man mittelst der Gleichung

P, =0

1
die Grösse 114 als homogene lineare Function der Grössen

1111
Ao> ^1» o%* ^8

ausdrücken, und diesen Ausdruck für 04 In die Gleichungen

P, = 0, P8 = 0

einfahren y wodurch man die Gleichungen:

28) /\' = 0, P,'=:0

erhalten mag. Weil P%. und Pg beziehungsweise homogene ganze
rationale algebraische Functionen des zweiten und dritten Grades von

1 1 I 1 1
«0» ^'i» flf» ^^9 ^4

sind, so sind P^ und Pg' homogene ganze rationale algebraische
Functionen respective des zweiten und driften Grades von

1111
«o» ^i» flf» "8*

Also kann man nach dem obigen Lemma

29) P,'=:Ä» + X« + ilfa + iV«

setzen, wo

*, X, M, N

homogene ganze rationale algebraische Functionen des ersten Gra-
des respective von

imr Trmaftrrmatton Her eiHehungen^ 229

1111

^9 Olf Ot» ^i
111

^1> öf» ^8?
1 1

1
Kind. Die Gleichons

wird nach 29) erfüllt durch die beideo Gleichungen:
30) Ä« + X* = 0, Jlf« + iV» = 0

oder :

31) K^LST^, M^NV^'/

i 1
welche linear eied* Abo kano man nittebt defHelbeB o^, o»

1 1
dorch OQf 01 in linearer Form ausdrficken; und iiihrt man nun

1 1
di«8e Aasdriicke für o«, Hg in die Gleichung

P,' = 0

eio, 80 erhält man eine Gleichung:

32) Pa'^ = 0,

in welcher, weil P^' eine homogene ganse rationale algehraiache
Fanetion des dritten Grades von

1 I I 1

Wo» Ol, Of» 08

'^t^ P^" eine homogene ganze rationale algehraiscbe FuDctton des

1 1
dritten Grades von Oq, 0} bezeichnet. Nimmt man nun eine die-
ser beiden Grossen willkfihrlich an, 4o wird die andere im All-
gemeinen durch eine Gleichung des dritten Grades bestimmt,

welche sich auf bekannte Weise auflSsen iSsst; und die Gbrigen

111
Grossen o«» Os» ^4 ^^^^ ^^1*° durch das Obige von selbst bestimmt.

11111
Hat man aber auf diese Weise Oo, 0i> a^, a^, 04 bestimmt,

80 nimmt die Gleichung 25) die Form

33). . . fr + P^tr^+'' + Pm^iy+Pm-0

an^ also die Fotm einer Gkichnng, in frelcher das iweite, drille
vnd vierte Glied fehlen , und diese Transformation ist bloss durch
Auflösung einer Gleichung des dritten Grades bewirkt worden.

230 Cruneri: Die Methoden von Tschirnhaus und Jerrard

p\e ganze Torhergehende Darsttllang zeigt aber zugleich aof
das Dentlichete, dass auch aü6 jeder Gleichang das zweite» dritte
and fiinfte Glied bloss mittelst der Auflösung einer Gleichung des
vierten Grades weggeschafft werden kann.

Hierin besteht die merkwürdige, von Jerrard gefundene
Transformation der Gleiclrangen , über die fibrigens schon Ha-
milton a. a. O. p. 307. sehr richtig bemerkt hat: ^Jt is, howe-
ver, important to remark that tbe coefBcients of these new or
transformed equations will often be imaginary, even when tbe
coefBcients of the original equation*) are real.''

8.6.

Wenden wir jetzt das Vorhergehende auf die Glelchungeo
des fünften Grades an, so sehen wir, dass jede Gleichung die-
ses Grades bloss mittelst der Auflösung -einer Gleichung des
dritten oder des vierten Grades auf eine der beiden Formen :

x^ + ojr +6=:0,
ar« + aa:« + 6 = 0

gebracht werden kann; und setzt man In diesen Glelchungeo

;r = -• so erhalten sie die Form :
u

«• + ?«• + 1=0

Also kann bloss durch Auflosung von Gleichungen des dritten
oder vierten Grades jede Gleichung des fünften Grades auf eine
der vier folgenden Formen gebracht werden:

a?« + <w? +6 = 0,
aj»+oa:* + 6 = 0,
a:» + iwr« + 6 = 0.
«» + aar* + 6 = 0.

Wenn man In der ersten dieser vier Formen

"Cr

setzt, wo if eine unbestimmte Grösse, die man beliebig anneh-
men kann, bezeichnen soll; so wird die Gleichung:

•) Oben SS).

tur Transf&rmation der Gleichungen. 231

((o')"-+-ay'+— •

also, wenn man diese Gleichung mit
maltiplicirt:

and folglieb:

(©')■*•+<©')'•='•.

-+«Gr-'((f)T=«

oder :

1

4V.ft

»*

+ ^r+6((?)y =0,

woraus man, weil q willkQhrlich ist, sieht, dass man dem iwel-
teo Gliede der Gleichang jeden beliebigen Coefficieoten verschaf-
fen kann.

Setzt man in der vierten der vier obigen Formen

a
j:=-e,
Q

so wird die Gleichung:

©'••+-(f)"-t'=«.

also, wenn man diese Gleichang mit
Itiplicirt :

+ *«»*+ 6 (J)~*=0.

woraus sich ergiebt, dass man auch in dieser Form dem sweiten
Gliede jeden beliebigen CoefBcienten verschaffen kann.

Aebnliche Betrachtungen würden sich mehrere anstellen las-
sen, vras aber hier nicht weiter ausgeführt lu werden braucht.

—6

D«

oder:

r*

282 Spitzer: NoSe Od. Di/TeretU.-ßieic/L 4Ur form X|f(^)~-)ny(«-i)=a^

XV.

Note über Differentialgleichungen der Form

in welchen m und a constante Zahlen sind und n ganz

und positiv ist

Herrn Simon Spitzer^

ProfeMor an der Handelt - Akademie in Wien.

Ich setz0 das Integral der linearen Differentialgleichong

(2) a:i(*) = az

als bekannt voraus; es sei- 2=nf;(j;); «nd mtn nehme nun an, daM
der Gleichung (1) genügt wird durch einen Ausdruck der folgen-
den Form:

<^> y=l^kbi>i*^)W]l,

woselbst W eine 9 einstweilen noch unbestimmte FuncUoii ?od u
ist« A eine ganze positive Zahl beseichnet und a diejenige con-
stante Zahl anzeigt 9 die In

nach vorgenommener Amaliger Differentiation statt u gesetzt wer-
den muss.

Ans (3) folgt:

und setzt mw iiefae WeHbe in (1)» so erbltt nuittt

(4)
< gjji [ti" IF^t») (ttor) — mtt»-i |Fif;<«-*) (lur) — a Fyt(;(tiar) ] ^ = 0.

Nqd ist aber:
folglich :

und setzt man den hieraas sich ergebenden Werth von Hf(tuc) in
(4), so erbält man:

(6)
I ^ [«• IFartW (ifc*) — UM»"-» IFi|;("-» («a;) — u »Faif/W (M] 1 *» «•

Damit aber der eb«n aufgestellte Ausdruck identisch werde« ist
M erforderlich, dass er in folgende |<'orm:

(6)

^^»[(«'-«)^-*9']^„=0

gebracht werden könne; denn führt man die hier vorkoimnoode
imalige Differentiation bezüglieb u wirklich aiw, so erh&lt maii^

was fSr ti = a in der Regel Null wird.

Durch Gleichsetzen der Ausdrücke (5) und (0) k5mmt man zu
folgender Gleichung:

(7)
IF [o: (u» -- ti) ^(") (tia?) — mii» "-* t («-•») (fia:)] == (u -- a) g^ — *y ,

ans welcher nun 9 und W zu bestimmen ist
Ich setze in selber:

(8) 9 = ^("-»)(iu:).Z,

Qoter Z eine reine Function von u verstanden, und ha1>e dann, da

^=:^^^Hux)^^+xZ^)(uj:)

ist,

234 Spitntr: Note M. lHfer«M.-6teUh. 4er Form spW—mg^ß-^

(9) W[x(tfi—u)^0')(ua;)'-mK^^i><'-H'»x)]

BZ
= (m— a)t("-^)(tM:) g^ +(u— a)a?Zt|;(»)(iM:) — *Zi»;(«-»)(iu?),

welche Gleichang in folgende zwei zerAllt:

dZ
— m»rK"-» = (II— «) g^— *Z'

Aas ihnen folgt:

(10) z=-^?^^-^, iy= («>-«)^^;

folglich Ist:

„(u»-i- 1)1.-1+'
das Integral der vorgelegten Gleichang.

Das so eben gefundene y ist» wenn h eine ganse positive
Zahl bezeichnet and a ganz willkOhrlich ist, stets gleich NvU.
Bloss in dem einen speciellen Falle, wo u — a ein Factor von
ti^>--^— 1 ist, ergibt sich f&r y ein anderer Werth.

Ich setze daher a:=l and erhalte hierdurch:

0* ,=^^[0.-i-^]|

1.(11"-» -1)»-»*

was sieb vereiiifaeht, wenn

A =

«-1

ist; denn man hat sodann:

Sei z. B. mssfi — 1> dann ist die za Int^rirende Differential«
gleidiang

(14) «3f« = («-l)y^*)+«y.

und das Integral derselben ist:

im mUeäem.M m. a mutant» ZmUam $imHt. n gtm» m. pmM» Ht. 385

/^iK^ <;8 r»(«»)/ «-1 VT>

Eotvrickelt nan diesen Ansdrock, «o erhält man: *

Nun ist nir tt = l:

II— 1 1

folglich hat man;

»- (n — 1)«^^*^+ (n— 1)« '
oder, den conatanten Factor — . _i\» weglassend:

(16) y = (n— l)t»;(ar)-.:rV(^)

al« Integral der Gleichan^ (14).

Auf gc^ns fthnlicbe Weise lisat ^loh anch daa Integral ^mt
linearen Differentialgleiehnng

abbXnfclg machen von dem Integral der Gleichung

(17) aw<^ — fu(«-*) = «T.

Setzt man nSmlich voran« , dass diese Glelchang das Integral

(18) » = A*)

f

babe» so Ist das Integral der Gleichung (1) von folgender Form:

I

und dtess ffihrt^ In (1) sabstitnirt» su folgender Gleichung :
l

Thcil XL. 16

286 Sp ii%er : Neu üö. Diir0nm.^ieMth. lier fotm 99iß)^m9^''*^^=!im9.
Nan ist abert

und folg^ch:

Daher bat man, den aas dieser Gl^icbung fblgenden Werth von
f(use) in (20) einführend: .

(21) ^ ^ [(u--u):r FTt- )(tu;)-(mti-t-fi) Hr(»-»)(i«x) J ^ j=0.

Der hier aufgestellte Ausdruck wird' identisch , wenn er In fol-
gende Form gebracht werden kann:

und damit diess stattfinde, msss sein:
(«• — tt) o: Wf^^Hux) - (ifitt»-* — (i) Wyt«-»)(tur) = (w - «) g^ - A^ .

aus welcher Gleichung nun W und 9 su bestimmen sind.
Ich setze in derselben:

und erhalte sodann:

BZ

+ (u-a) xZfi^) (tur) — hZfi^'^) (ux) ,
welche Gleichung in folgende swei zerfallt:

(|Ä— mti»-») ir=(i«— c) gj^ — *z.
Aus ihnen folgt:

(tl"-*-^i)^ (!!-»)>
^= ü^i '

daher ist:

(«.-1- l).r:i -^ («- a)H-» .

ifsB ^';^v ^ — ♦

m miMUm m m.m mm§ttgmt§ Zmäimtimd ir. n $0tm m. pniHPiii. 287

Setst mao hierein cr=sl und A= t» >o erhält man: '

n — 1

als Integral der vorgelegten Gleichong.
Sei s. B.

dann ist die an Integrirende Otfferentialglelchang:

(23) :ryC-)-(^ + «-.l)y(-i) = ay.

and da« Integral derselben lat:

▼orauagesetat. daaa

kt Ana (24) folgt:

y = (it + ^-l)/{a:)-xA:r),
oder anders geachrleben:

ala das Integral der Torgelegten Differentialgleicbang.

* •

Hat man daher folgendes System linearer Differentialglelchangen.

xyi W - m, yi«»-») = ayi ,

jjy,(*> — mayt^*-*> = ay»»

(»)

nnd iat in selben

IMg =: m, -I- « — 1,
»«4=» mi + »— 1#

ae tot

16<

298 Spitier: ßfote M. DtfTereni.'eietek. der fmm jyw-^jw»» ^)«<qr,

/

.V4 = »««y» — ^SfiS

Kennt man daher da« Integral der ersten Gleichung' des Systemp
(25)^ so kennt man auch die Integrale aller fibrigen Gleichungen.

Dieselbe Methode Ifisst sich auch bei Gleichungen der Form:

(26) a:Fy(") — iiu:P-»y(»-') = ay

in Anwendung bringen. Sei nfimlich x=sfXx) das Integral der
Gleichung

(27) xP 2<») - fia^P-^ «(•-*) = ai ,
so ist:

(28) i,= ^^[FXux)W]

das Integral der Gleichung (26), vorausgesettt, dass W eine be-
stimmte Function Ton u ist, h und a'constante Zahlen sind. Dorch
Substitution von y in (26) erhfilt man:

(29)

i gjjX [ jrf» ti" Wf\^) (ux) — iturP-i ti»-* IFFf—i) (tur) — o IFF(tu:)] 5 =*

Nun ist aber:

Mi»arPFt")(tiar) — f*ttP-*arP-^Ft"-»)(i«a:>= aJFT(««?);

folglich hat man, den Werth von F(ux)f der aus dieser Gleicbong
folgt, in (29) einführend:

> g^[(tt«— tiJ»)arlFF(«)(tur) + (fiiü»--»— mu«-*)irFf*-i)(t«x)] >=:0.

Diess wird wieder identisch , wenn es in folgende^ Form gebracht
werden kann :

lliK«-«)8-J-*''3l=0'

es muss also sein:

(«n— iiP)a. |FF(-)(tMr) + (fittf^-^-mti«-») IFF(«-»)(iur) = («-«) ^-i^.

iM wäeMem m m. m cmmiame Zmhiem 9lMd u. n gam u. potiHv IM. 239

leb 9tUe DBB :

»
woselbst Z eine reioe Function von u bedeutet, und habe sodann :

BZ
= (ti— a)F(»-»)(i«)g^ + (ii-a)a?ZF(«)(twr)-. AZF(«-i)(tM:),

irelciie Gleichung in folgende zwei zerflUlt:

IF(ii"— tf) = («—«) Z,

8Z
|P(^ttP-i — wtl"-!) = (ii^a) ^ — AZ.

Aus diesen folgt:

"'= SffS '

daber ist:

ood diess yereinfacht sich flir
and geht dadurch über in:

was tadellos ist in allen jenen FSUeii, wo h eine ganze positive
Zahl ist.

Die Gleichung
welche aus der Gleichung (27) hervorgeht, wenn man in selber

•eUt, lisst sich leicht integriren. Ks Ifisst sich demoach auch
die Gleichung

(31) a:*«y W — nul^'^^ y(»-^^ = ay

... ni ,
mittelst der Formel (30) integriren, wenn nur A, d.i. — •-, eine

240 Witntein: Zinten oder Z^tmntuemf

ganze positive Zahl ist. Setzen wir io (31) statt — iir ««inenWeilii
An, so hat man die DiffereDtialgleichuiig :

ff

deren Integral Mr ganze und posMjiTe Werth» i^osA. d^ Gestalt hat:

vorausgesetzt, dass
ist.

XVI.

Zinsen oder Zinaeannsen?

Ven
Herrn Professor Dr. WilUtein

io HanpoTer.

Herr Hofrath Oettinger hat in diesem Archiv, so wie in
seiner „Weiteren AusfQhrang der politischen Arithnietll^*'
die Cnrichtigiceit der einfachen Zinsrechnung und die-Riefatigbeit der
Zinseszinsrechnung bei jeder Vergleieliung von Capitalien, welche
zu verschiedenen Zeitpunkten flUig sind, so überzeugend nach-
gewiesen, dass unsers Erachteos diese seit liinger Zeit sdlwe-
bend gewesene Frage damit ihre definitive Erledigung gefondet
hat. Wenn nun dessen ungeachtet dieser Beweis in der in Ber*
lin erscheinenden „Deutschen Versichef ungs Zeitvng'*
14. Decl862 von dem Herrn Dr. Zillmer als verfehlt beseich
wird, so darf uns dies wohl rechtfertigen , noch einmal auf ded!
Gegenstand zurückzukommen. Denn wir glauben, dass sich de
Beweis, unbeschadet des Princips, in einer noch viel einfachere
Form geben lässt, die wir hier nachstehend niittheilen.

r

Wii4s4Hm: Zitutn eäer ZimtwäannM 241

h -W.eM JtmaBd 400 Tlitlti sa 4 Prooent audeihet, 80 er-
«ebtet er «ifftBbar den B#«it» v^d 100 Tlial0r baar vm gleicbem
Werlba mU eber jAkrlieh.^ostQiiBierattdQ flilligeii «ad bis ia die
Ewifkeit fartfaQfeadeti Rente ven 4 Tbaier«. W^on maa demnaob
Jedea dieaer ReateabetrAge auf dea gegeawftrtigen Aogeabliok
redacbrt» ae mitaa die Summe der alaa erbalteoea Wertbe genau
100 Thaler betragen, oder diejenige Reduclfenemetbode» welche
dieaea Resultat herbetführt, wird die richtige sein.

Ea ael aHgeroein a ein C^utal, welches lu p Procent auage*

lieben iat, und 1 -|- ]^=^« l^KiOk Ist die jährliche Rente:

r = a(«-l). (1)

Ab^ nach dem Priocip der Zinaeazioaea hat

T

r nach l Jahr gegenwärtig den Werth ^»

r „ 2 Jahren „ „ »' jk*

r

U. 8. W.,

und die Summe aller dieser gegenwärtigen Wertbe beträgt:

w«Mie Samme nach (1) den Werth a aauimmt

Nach dem Princip der einfachen Zinsen wtlrden statt der Dl-
▼iaeren

aa die Stelle treten:

and da diese Iclelner ahid als jene , so wird hier die Summe aller
aaf die Gegenwart redndrten Werthe ><r. Sie wird sogar, wie
beülnfig bemerkt werden mag , unendlich gross. Dies widerspricht
aber der Natur der Auf^be, und es folgt mithin, dasa die Re-
dttctten mit dnfkchen Zinsen feblerbaft, diejenige mit ZinseasiiK
aen dagegen die allein richtige ist

J

24ß WiUMttin: Zinten oder ZHi§§Mmum9

2. Mail Icanii vom Standpunkte der Praxis fpegcni das vorige
Beispiel dea Einwand machen , dass darin die RAdcaahlang det
Capitals ausser Acht gelassen sei. Setzen wir deshalb, noi!Mch
diese zu berücksichtigen, es finde nach «i Jahren zoglefeh mit der
letzten Zinszahlung die Rätkzahlung des Capitals statt. Dana
ist nach dem Princip der Zinseszinsen die Summe der gegeawir-
tigen Werthe der n Rentenbeträge

,_1

*""d

und der gegenwärtige Werth des nach n Jahren zurQckfallendeo
Capitals a ist ebenso

*
folglich die Totaläumme aus beiden wieder =a, wie es i^ein raoM.
Dagegen nach dem Princip der einfachen Zinsen wflrde auch hier
eine Summe > a erschienen sein.

3. Die beweisende Kraft dieses Beweises liegt oifenbar da*
rin, dass, wenn in einem besonderen Falle, wo man das Resultat
der Rechnung aus der Natur dieses Falles schon im Voraus kennt,
eine gewisse Methode das richtige Resultat liefert, diese Methode
sodann, insoweit sie durch den Fall vollständig bestimmt wird,
auch in allen verwandten, obwohl verwickelteren Fällen die rieb-
tige sein muss. Es ist dies genau dieselbe Beweisform, darcli
welche Gauss in der Theoria motus etc. die Methode der
kleinsten Quadrate begründet, indem er aus der Göltigkeit förden
besonderen Fall des arithmetischen Mittels die ailgemehie Gill-
tigkeit ableitet. Wir mössen demnach als bewiesen ansehen, das«
in allen Fällen, wo Capitalien aus verschiedenen Zeiten mit ein-
ander verglichen werden sollen, die Reducirung auf einerlei Zeit-
punkt nur nach dem Princip der Zinseszinsen ausgeführt werden darf.

Nichts desto weniger kann es Fälle geben, wo auch die An-
wendung der Zinseszinsen zu fehlerhaften Resultaten fuhrt; aber
man kann sicher sein, dass dies niemals an .dem Princip der Zin-
seszinsen liegt, sondern an einer unvorsichtigen Anwendung des-
selben. Ein Beispiel dieser Art haben wir in der kleinen Schrift
er^irtert: „Die Berechnung <(er Abhlsung V4)n Bauver-
pflichtuagen, Hannover 1861 'S wo wir durch die Auflösung»
welche wir von dieser Aufgabe geben, den Gebrauch der Zinses*
Zinsen wieder in das ihm gebfihrende Recht gesetzt zu haben glauben*

Oeiiimi^sr: ömmrämmg %m dmn vm^t^k. äm^ai%9 WUi9ieim'9.%AA

XTII.

Bemerkang za dem vorsteheDden Aufsätze des Herrn

Professor Dr. Wittstein.

Von

Herrn Dr. I** Qeiiinger^

6f«Mher«oglioh BadiMlMiii Möfnube and ordeatllclMni Prof Mtttr der
Malhematik an dar Uoiveriil&i lu Frei borg L B.

E« kaoD nur im Interesse der Wissenschaft gelegen und da«
nini sehr erwQoscht sein, wenn ein so Wichtiger Gegenstand , wie
<)ie Lehre Von der Rechnung mit einfachen und Zinseszinsen»
worfiber die Ansichten bisher ziemlich von einander abwichen, von
■lehreren Seiten besprochen und antersacht wird. Die Wahrheit
IcaiiB hiedurch nur gewinnen. Der Aufsatz des Herrn Professor
Dr. Witts tein ist daher als ein sehr willkommener und dankens-
«rerther Beitrag zur Begründung und Feststellung der Lehri^tze
<ler politischen Arithmetik zu betrachten, zumal er einen sehr klaren
und präcisen Beweis für die Richtigkeit der Zinszins -Rechnung
enthält. Er steht auf demselben Boden, von welchem ich bei
meioer Beweisführung ausging, nämlich dem der unbestrittenen,
suni Voraus bekannten Thatsachen, und baut hierauf seine weitere,
einen andern Weg betretende mathematische Begründung.

Was den erwähnten. In der „Deutschen Verslcherungs-
Zeitang*' erschienenen Artikel des Herrn Dr. Zillmer betrifft, so
ist in derselben Zeitung (15. Februar) von mir eine Erwiderung
hierauf erschienen. Ob ich gleich auf Zeitungsartikel nicht zu
autvi'orten gewohnt bin, so glaubte Ich doch, es der Wichtigkeit
der Sache wegen thuu zu sollen und glaube es, den Lesern des
drchivs, denen meine Arbeit hierüber vorliegt, schuldig zu sein,
korz über den Inhalt dieses ganz unbegründeten Angriffs berich-
ten zu sollen. Die Hauptpunkte sind folgende:

1) Ich habe §, 2. meiner Schrift gezeigt, wie im Laufe der
Zeit der genannte Gegenstand sich eiitwickelte und mit der juri-

244 Oeninp^r: Bemerkumff mu dam porwiektaäm AmfMMe

(iiscbeo Sireitfrage fiber die riclitige Berechnuug des Intenisariaiis
zusammen bebandelt aod dadurcb in ein seiner Natnr fremdei
Gebiet fibergefubrt i^arde, dem er entrückt trerden mflsse, indem
bier allein die Matbematik» nicbt die Jurisprudenz entscheiden kdnoe.
Dieser bistorischen Tbatsacbe stellt Herr Dr. Zillmer die nicht
näher begründete Behauptung gegenüber, dass meine Ansiebt
„vollständig irrig'* sei. Die einfache Erirähnung hiervon fibe^
l^ebt p|icb einer Widerlegung. ^

2) Ich habe die Mathematik als die Wiasenochaft bezeichnet,
durch welche die vorliegende Streitfrage zur Entscheidung ge-
bracht werden müsse. Herr Dr. Zillmer iSugnet diese und be-
hauptet, nicht die >, Mathematik 'S sondern die y^Volkswirthschifls-
lehre" habe dies» «u then,* und gibt in einem Räsonnemeot
hierüber wesentlich die Gründe wieder, welche Biifinger scbon
vor hundert Jahren in einer Abhandlung* (2. Aflfl^ von Polacfc's
Mathesis forensis) gegeben bat» die aber Herr Dr. Zillmer
nicht zu kennen scheint. Ein allgemeines Räsonuement ersetz
aber keinen Beweis, wie denn auch die von Bilfinger vorge-
brachten Grunde von den ^Gegnern nicht anerkannt wurden. Cebri-
gens schliessen sfcb verschiedene Gründe, für dieselbe Sache
nicht aus.

3) Nachdem Herr Dr. Zillmer nach seiner Weise den Be-
weis für die Richtigkeit der Zinszinsrecbnung aufgestellt und im
Einseinen noch näher bezeichnet hat, so sollte man mit Recht
erwarten, dass er dieas auch festhalte und die von mir angege-
benen Sätze über die Unrichtigkeit der einfachen Zinsrechnung
pnerkenne. Diese thqt er aber nicht und es findet sich folgende
ganz eigenthümliche Behauptung:

4) Dass ich bewiesen habe« „die einfache Zinsrechnung gebe
von falschen Voraussetzungen aus. '' Leider aber könne Herr Dr.
Zillmer diess doch nicht sagen und setzt bei, dass ich „falsch
gerei^hnet^' habe. — Was soll man zu Holcb eich widersprechen-
den Behauptungen sagen?. Habe ich »«bewiesenes dass die ein-
(acbe Zinsrechnung falsch ist, so habe ich nicht falsch gerech*
net Habe ich falsch gerechnet, so habe ich nicht bewiesen.
Def Nachweis des Falschrechnens ist aber nicht gegeben.

5) tJm nun den Vorwurf iles Falschrecbuens etwas plausibel
zu machen, greift Herr Dr. Zillmer den in {. 13. behandelten
Fall beraut«, worin gezeigt ist, zu welchen Ungereimtheiten die
Rechnung mit einfachen Zinsen führt, upd kommt im Laufe seiner
Er^rterungeu za der Behauptuiig, dass ich auch durch die ein-
fache > Zinsrechnung, x« ^nem andere, nämlich dem richtigen Re-

äes Kern hrofemar 9f\ WUitiein, 24&

•

sultate bitte kommen mfiseen. Wie Herr Dr. Z Ulm er eine solche
Bebaoptong aufatellen Icann, nachdem zugestanden ist, dass die
Rechnung mit einfachen Zinsen auf falschen Voraussetzungen
beruht» Ist mir In der That nicht recht begreiflich.

6) Vergleicht man folgende Worte des Herrn Dr. Zillmer,
die sich am Schlüsse seiner Begrfindung fBr die Richtigkeit der
Zinszinsrechnung finden: — »»Zugleich ergibt sich hieraus, wie
man zu rechnen hat» wenn es sich um einen Zeitraum handelt»
der kleiner als jener bestimmte Zeitraum» fär welchen die Ver-
mehrung festgesetzt ist. Die gewöhnliche Rechnung mit einfachen
Zinsen fQr solchen Zeitraum ergiebt sich als falsch, wenn sie
aaeb annäherungsweise richtige Resultate liefert" — mit seinen
sonstigen» zum Theil oben angefahrten Aeusserungen, so lassen
m sich um so schwerer in einen klaren Zusammenhang unter
einander bringen, da sie mit den von mir aufgestellten iSätzen
▼ollstftndig fibereinstimmen» während er letztere als »»vollständig
irrig'*» als ».falsch gerechnet" und „ pH ncip- verletzend" bekämpft.
Bei etwas ruhigerer Prüfung wären wohl alle diese unbegrfinde-
ten Vorwürfe unterbliel^n.

7) Da mir gelegenüicb auch der Vorwurf der Princip*Vefr'
letznng too tterm Dr* Zlilnler gemacht wm^de». so muBB Ich an?
Abnehr dieses vollständig unbegründeten Vorwurfs bemerken $ das#
Herr Dr. ZU Im er es ist» welcher sich an bezäglicfaen Orte sei*
ner Schrift „Die mathematischen Rechnungen bei Lie-
ben 9 versieh er lin gen" dieses Vorwurfs schuldig gemacht bat.
Er hat dort mit einfachen Zinsen statt mit ZinseszSnsen» also
fiUcb gerechnet» und dadurch das von mir und Ihm selbst ver-
tbeidigte Princip der Zinszinsrecbnung verletzt

Ich glaube» es wird an dem Gesagten» das nochr vermehrt
werden konnte, genügen» um den vCllig unbegründeten und in-
balulosen Angriff des Herrn Dr. Zlllmer zu wOrdigen und als
solchen zu kennzeichnen.

8) EndKch glaube Ich noch» der Sache» nicht meiner Per-
son wegen» auf einen Aulsatz aufmerksam machen zu dOrfen» der
sieh im 20sten Bande der »»Nouvelles Annales de math^-
matiques p. Terquem et 6erono" p. 441 u. ff. findet und den
Tltelfllhrt: „Inter^t simple et lut^r^t coropostf« d'apr^s
M. Oettinger." Dort ibt mit vieler Anerkennung auf meine Arbeit
über diesen Gegenstand hingewiesen, die BeweisfShrung kurz und
sehr präcb wieder gegeben und die Richtigkeit des zu Grunde geleg-
ten Principe mit den Worten »»C'est donc läle vrai crlti^rlum"
zuerkannt.

246 Grumeri: OU aUfem^ime Ct^tUmUeke formei.

s

XVIII.

16 allgemeine Cardanische FormeU

dem Herausgeber.

Es ist mir schon früher Öfters aufgefalleo, dass die Canb-
nische Pormely so viel mir bekannt ist, immer nur unter der Vor-
aussetzung entwickelt wird, dass aus der gegebenen GleichuBf
des dritten Grades das zweite Glied weggeschafft ist ; jedoch bin
leh nur erst ganz vor Kurzem zufällig auf eine fintwidcelung ge-
kommen, welche jene Voraussetzung nicht In Ansprach ninBit
Diese Entwidcelung will ich im Folgenden mit einigen Worten
mittheilen.

Die aufzulösende Gleichung des dritten Grades sei:

1) x^ — 3aa:*+3to — c=0.

Nun findet, wie man sich mitteist leichter Rechnung auf der Stelle
überzeugt^ zwischen jeden drei Grössen u, o, tr die Identische
Gleichung :

2)

(a+t) + i»)»-3ii(ii + ©+fo)«+3(tt«— eii>)(tt+ü+io)

(=.

Statt. Vergleicht man diese Gleichung mit der vorhergehenden
und bestimmt die Grössen ti, v, tr mittelst der drei foigendeo
Gleichungen:

II«— rw = 6,
tt' + ©•+€©• — Zuvw = c;

so ist offenbar:

erunerf: Bl9 Mpem4fH$e CMHfmUteke fmmei. S47

%

4) JpÄM + t-fW

•ine Wurzel der aufzolOseDiiefi cobiscben Gleichung 1).

Die Auflösung ^ drei GMofaungen 3) mterileg« afcerBicbC
der mindesten Schwierigkeit. Denn aus den beiden ersten Glei-
chungen folgt auf der Steile:

also:

uvw = a(a*--ö), 9ttvw = 3fl(a*— 6);

und daher vermöge der dritten Gleichung:'

oder:

« t

Folglich hat man jetzt die drei Gleichungen:

5). . «i = a, MO = a«— •*, c»+fi7» = 2a'— 3a6 + <?.
Ans den beiden letzten dieser drei Gleichungen ergiebt sich aber :

«««,» = (11«- 6)», «» + w» = 2a»— 3a6 + <?;

also:

(«•— «,»)• = («» + fc»)«— 4©«w» = (2a»— 3a6+c)«— 4(a«-6)»,

oder: ^ *

(„8_«,8)« — 4Ä8^c»-a(3a6«— 4a«c+66c); ^

folglich:

c^s — to> = ± V 46» + «• — a(3a6«— 4o«c + 6Ac).

Daher hat man jetzt die beiden Gleichungen :'

t» + fc»=2a»— 3a6+c,

t>»— fe»=±V46» + c»— o(3a6»— 4a»c + Wc);

4

ans denen sich mit Beziehung der oberen und unteren Zeichen
anf einander ergiebt :

6) .

2t>» = 2a»— 3a6 + c ± V4Ä»+c»— a(3fl6« -4a«c+Wc),

2to»= 2a»— 3a6 + c T V 46» + r« — a (3a6»— 4a«c + 66e).
Setsen wir nun:

t •

r

t

248 SruHeri: Me mUiewmkm em^ämtUekt farmH.

7) ,,=y

2

•i istj uregpQii der MW 4) bekamiten Gleichviig

VW =r a* — A
zo setzen:

8)

10 =

wo natOrlich die CabikwimelD in den AiMteIrfIcken von e und v
gleichwerthig sind.

^Nach 4), 5), 7), 8) bat man nnn für die Worcel x der all-
gemeinen cubischen Gleichung

j?»— 3aa:* + 3Äa:— c = a
den folgenden merkwQrdigen Ansdnick:

+ "7"

W 2a»-.3ttfe+cJ:V^46» + c^— CT(3o6f ~-4aV4-6&cj

oder, wenn wir wie vorber:

.10)

V

2 ^

setzen :
11) x = a + v + — — - ,

V

oder:
12) a?^a-l — ,

V

crmner t: Bie Mgimtitte OtirdmOsthe Fanmi. 949

oder auch:
13) (a-hr)«-(fe + o,)^

Die«e BemerkuDgen Qber den vorliegenden Gegenstand mOgen
ffir jetzt genügen ; Ich behalte mir aber vor, späterhin auf den-
selben zorfickzakommen.

Bemerken will ich jedoch noch, daaa die Gleicbongen des
iwelten Grades eine ganz ähnliche AuflGsung zulassen. Die anf-
tulttsende quadratische Gleichung sei nämlich:

14) a«-— 2iui-|-^»0.

Nbo bat man die identische Gleichang:

15) (n+t?)«— 2ti(uf«) + i«*— 1>*=0.

Bestimmt man u und v mittelst der Gleichungen :

16) 11 = 0, !!• — 1>^=6;

•0 ist:

17). . • -, ««M + Vv x --

Ans den beiden Gleichungen 16) erhält man aber:

also nach 17):

18) «««iV*«?^^

Es liegt nahe» eine ähnliche Auflösung der Gleichungen 4es^
Tieften Grades zu suchen , indem man die Wurzel :r=<-t-ti-fo-|-«e
letxt, welche mitzutheilen aber hier der Raum Tehlty was daher
erst in einem der nächsten Hefte geschehen wird.

Ich erlaube mir hiebei noch auf die beiden Abhandlungen des
Herrn Professor Mosshrugger in Tbeil XIV. Nr. VIII. S. 113. und
Theil XXVIII. NnJX. & 205. ^u verweisen, glaube aber, dass die
▼OD mir hier und fn dem eiwähnten später mittutheilenden Auf-
sätze gewählte Darstellungsweise diesen Gegenstand besonders
lur Aufnahme in die elementare Algebra geeignet macht

s

SfiO U§ow^8ki: fferMiamp Hnlnr Flormein %mr Bef0€kmn§

Herleitang einiger Formeln znr Berechnung der wah-
ren Distanz zwischen Sonne und Mond.

Von

Herrn Dr. Ligowskiy

Lehrer sn der Terelnigteii Artillerie -und Ingenienrechiile and nin See

CndeUen^InttUnt in Berlin.

Es sei d die wahre und d' die scheinbare Distanz zwischen Sobn

and Mond 9
h M f, „ h' y, ,, Hohe der Sonne»

H „ 9, » H' 9» M Hohe des Monden,

Y der Winicel zwischen den Scheitelkreisen der Sonne
und des Mondes; dann ist belcanntiich:

1) cosc2 = sittAsinA-f cos£fcosAcosy

und

2) . . . . cosc2' = sini7'sinA' -f cos^TcosA^cosy.

Setzt man g = ä, so ist:

y 4/sin(iy-^sin(A'^S)
3> «"2^\ cos^cosA^ ~

*^ cos^— Y eos/TcosA'

und

5j ^^r _Y/ iii^- ■8)i»h»(A'-.SJ

cÖ8Scoä(5+flPy

der wakrtn BMum 9»tHhm 8wme und Mmtä* 361

Wenn man in No.1) fSr cosy «eineD Werth oos^ — ^^^ ^^*

nhrt und das erste Glied der recbteti Seite mit gos^^sio^s:!
maltiplicirt, dann entsteht:

cosf{:=sinlfsinA(co6^ -f sin^)-f cos J?cosA(cos^ — sin^)
= (cos J7gos A -f sin i7sin h) cos*^ — (cos Acos A *- sin Jlsia A)siB^

6). . . e*si2i=e<>s(i7-->A)cos^*-€os(ir-f A)sin*|.

Nim ist:

cosd = 1 — 2sin*s 9

cs«(£r-A)el*-9sinH(0^A) tind twitt^h)^^tb^^ü^h)^l.

Stttt man diese Wertbe von cosd, cos(J7— A) und cos(J7-|*A)'
iD No. 6) ein , dann erhält man nach einigen einbchen Redoktio-
neo die bekannte Formel:

7) . . . sin^=:sinH(Ä-A)cos^ + co8«i(i5r + A)8irt«|.

sinx ist also die H3rpotenase eines rechtwinkligen Dreiecks, des-
sen Katbeten sinl(i7 — A)cos| and cos^£r4-A)sin| sind. Nach
No. 7) folgt aus No. 2) :

8) . . sln«^ = sinH(i5r'— A') cos^ + coA^^Ä^ + A') slft^.

Nennt man In dem rechtwinkligen Dreieck, dessen Hypotennse

d y

810 5- ist, den der Kathete co8i(H^h)n\nk gegentrt^srRegendeti

Winkel ^f, dann ist:

«> •.♦=js^«ii

und ,

lAv . ^ cosl(Ä + A) . y

10) 8ino= — - . ^ WPS'

' 2 sin^ 2

I

- Mit Hälfe der Formeln 5), 0) and 10) Iflsst sich nan aus JH, B*,
k, k' and d' die wahre Distanz d berectanefi.

TheU XL. IT

252 Ligowski: ' ä$rl€itu»g einiger Formeln %ur Berecknung

Zum Vergleiche mit dem weiter unteo Folgenden wenden wir
die eben genannten Formeln änf ein von Dr. Schanb in seiner
Nautischen Astronomie gegebenes Beispiel an.

*

Es ist gegeben:

J5r=65»41'41''

A'=27»32'42*

rf's=74«42'3'' und i5r=W«-6'34'

A =27031' 5^

Hierans erfaßt man:

S= gowio"

J5f' — 5=56025' 31"
A'- 5=18016' 32'
d'+Ä=83058'13»

logsin(ir - S)=9,92073i2— 10

logsin (*' -^ S) =9,4963586—10

19,4170898—20

19.0156642-20
0,4014256

logtg|=0,2007I28

|=57047'32,1''
log cos HB+h) = 9,8353596 — 10

loKtg|=0,2007128— 1

0,0360724

XogainüH—h) =9,5189167—10
Iogtg^=0,5l71557

^=7305' 30,5'
logeosKÜ-f A)=9,8353596— 10

logsin 1=9,9274325— 10

19,7627921 -20
log sin t =9,9808084—10

logsin 1=9,7819837 -10

f =370 15' 6,3',
d =74030' 12,6*.

^^j^= 46048' 1^5'
^^=19017' 14,5»

log cos 5 =9,9942915 — 10

logco8(5+ d')==9^213727-— 10

19,0156642—20

):_

log sin I s 9,9274325 — 10

Iog«in^8s9,(i606064— 10

der wahren DHian% viteischen Sonne vnd Mond. 258

Um die Distuna d init der eben gefaodeneb Genauigkeit dnrcb
BeDutzoDg filofsteOiger^ oder sogar nar yierstelliger Logaritfaroen
xa erhalten, setzen wir:

B+h=:H' + k' + a,
also:

a = H+A-.Ä'— Ä'=(i5f-Ä')-(A'-A)
nod

also:

6 = jy-*-JSP + A' = (i5r-i5rO + (*'-*).

Es ist daher a die Differenz nod b die Samme der mit positivem
Zeichen genommenen Correctionen der scheinbaren Mond- and
Sonnenhohen. (

Nach No. 7) und No. 8) hat man nun:

8in*Ä = cos*-- — s sin^ + sin* s cos*ö

094

Sin*^=: cos* s 8'** 2 + ^^"^ O C08*S'

Dirch Subtraktion dieser Gleichungen ergiebt sich:

8in*5- — «in*Y = (cos* s — cos* — 5 — )»>u ^

+ («in* 2 ®"*^ — 2 — ^ ^^* 2*

Da DUO

sin*j? — sin^ = — (cos*ar — cos*y) = sin {x +y) sin (ar — y)
ist, so entsteht:

, d + d* . d^d' . fl . ,„, . r/ ■ **% • «y

sin — 5 — sin — 5 — =— si0 5Sin(i5f' + Ä'+s)sin*k

+sin|sin{ir-^Ä' + g)cos*|

2'

d— d' ab

-—s — » n und 9 8>D^ sehr kleine Winkel » weshalb man för ihre

Sinus der -Reihe nach setzen kann :

— ^ — ^Anl", ösiul*' und ssinl^»

^fii Liffa^4kii MerWmn$ 0Mfer f^rmdi^ mir ßerukmmg

wwn 4i# WM^l MÜMt itt 9«km4eit a«9g«4fO€lit'«iii4 Dm
«tMi«k Gleicliaiig v^v«iMlel( sicli nun li^ di^ f<4^ii4#i

(d— rf') sin ^~^ = - fl 8>n (^' + Ä' + 1) eio^
oder auch:

Salst MM d'^^dian«, dasB ist ^r.^»d'-^|^ «h» dabatr

11)

Ffihrt man io No. 11) noch die sich aas No. 3) uod No. 4) eift-
benden Werthe voo shi^ VQd €<M% do» dann eatetobt:

12) ,.,..«=!;;

X

coaiTcoiiA'aiACd' — 2)«

Man seUe nun:

13). . .p5=asln(fl' — 5)süi(*'-S)sip(Ä'+il'+g)
uod

14). . . . « = 6co8 5cos(5+dOsiD(A'-A'-h2>»
dann Ist:

AO J • ^ • • • • wF ^■■»

' coslf' cosÄ'siii(d'— j)
Da ^ sehr klein ist, so bat man als NUieiiiii§iweKtli:

^ ^'^SSB^äfcs?»

4if iM#fMMi /MfiMns jNffCMAiii MM# Wßd Mowtt

S5&

»d alfdami goosoer:
17)

^_ gi«}n<P

xss

■iD(rf'— ^)

mithin :

18) . . log«=log;ri -I- (log sind' — togsio (({' — ?)),

aod endlich:

19) dssd'—x.

Wir wenden jetst dieae Fermeln snf das vorhin hereehnete
Beiapiel an.

Es war gegeben:

ir'=66P41'41«

A' =27032' 42»

Bimavs ergiebt sich:

«8* VWW

<r -1-5=83058' 13'
IT +A'<|- 1=93025' 31'

jr + A'-f|a38»2V44'

Iega=3.12S81

logsin (V-^S)= 9,92073- 10

logs!n(ir- 5)=:9,49636-10
a.

d'=74042'3"' vnd fi=5 66o 5' 34*

Ä = 27031' 5'

»=a5'30*ssn80*

tog6=3,I8409 '

logeiMS=9,99429-10

logcosCtT-l- S)=9^137-10

Mn (IST ^A' -1-^=9,99923-10 logsfa(Jr-A.'+||=9,79284-10

logp=2,54213
;>=348,44
y= 98,444
p- 9 =249,996

log cos i?' =9,61447-10
log cosA' =9,94775-10
fogsixf =9,98433-1»
0,54665-1
log(p— y)=:2.39794
log«t =2.85139

ar, =710,2*= ir 60,2»

lagf» 1.99319
7=98.444

d'— 5=74036'»'

n

2&6Uffou>8ki: Veb^Beretkn. der wahr, DHtm»wmi9Ck:Sonmeu, Mond.

logsind' =:9,98433— 10
log 810 (d'-|^) = 9,98412

0.00021

loga?t =2,86139

Ioga:=*^86160

ar= 710,56'' =11' 60,66*'
dz=:d' — X, also:
rf = 74^30' 12,44^

Dr. Schau b bat in dem oben genannten Werke li nfkck den
Methoden von Dr. Bremiker und Witchell berechnet und lu-
det nach der Methode des Erstem:

rf=:74O30'14^,

und nach der Methode des Andern:

d=:74o30'13^

In den meisten Fällen wird die Distanz d nach der von m
entwickelten Methode mit vierstelligen Logarithmen berechoet
werden können, wodurch die Rechnung bedeutend abgekürzt wird,
wie die folgende Berechnung zeigt, welche mit, den vierstelligeo
Logarithmen ausgefShrt ist, die in dem Trait^ ^Umentairede
Navigation von Caillet auf Seite 194 stehen.

loga=3,1258 logb^3,Ki7

log Bio (H' — S)= 9,9207 — 10 log cos i&= 9,9943- 10

log6in(A' —S)— 9,4964 - 10 logco8(d' + ^ «: 9,0814-10

logMn(Ä' +Ä' + ^=9,9992- 10 log{H' -*'+ 1) = 9,7928-10

Jog;>=2.5421 lngq^J,^

. ^=348.4 9=98»45

y=98,4S
p-^7=249.95

logc«sil' = 9,614S— 10

logeos A' = 9,9477— 10

logsinrf' =9,9843—10

0,5465— 1

log (p — 9) = 2.3979

logxi = 2,8514

:t,=710,2'=ll'6a2" rf'-^s=74«36'8'

2

logslo<2'= 9,9843 -10

log sin (d' — ^) =: 9,9841 — 10

a,0002
logar^ =2,8614 .
Iog«s2,8616

üeäMmum/jßoäem fir SclM0r. 357

;r=:710gS =11(50.5' «od. 4=:i<'-ar=74«»'I8,8f.

Der obeir gefundene Wertb von d weicht aUo von dem» nach den
Formeln No. 5), 9) und 10) mit siebenstelligen Logarithmen be-
rechneten nur um eine zehntel Secunde ab.

Wenn der in deiD Formeln 15) und 16) vorkommende Ausdruck
p — g negativ wird» dann setze man liSr x und Xi auch —x und
— jTi , es wird alsdann aus No. 17), 18) und 19) :

Xx sin d'
20) a:=

.in(d' + f)

21) . . logj? = logari - (log sin (d' + ^)— logsind')
und ~
22) d = d' + ar.

UebuQgsaafgabeii für Schüler.

Von Herrn Dr. 0. Bökleo in Sniz a. K. in Würtemberg.

1. Bei allen Dreiecken von gleichem Dmfange» welche den
inneren BerOhrungskreis gemeinschaftlich haben, ist konstant
(f Halbmesser dieses Kreises » 2« Dmfang) :

a) das Produkt der Tangenten der halben Winkel =- ;

b) das Produkt der Cotangenten der halben Winkel =-;

c) die Summe der Cotangenten der halben Winkel ==- ;

d) der Inhalt =±f*s;

e) das Produkt der Halbmesser der drei Süsseren Beröhrungs-
kreise =«•;

0 das Produkt der Seiten und der Cosinus der halben Win-

. kel =sri*; . •
g) das Verbfiltniss des Produkts der Seiten zum Halbmesser.
. des umschriebeiien. Kreises s:^4rf; '

h) das Produkt der drei Hohen und des Halbmessers des

umschriebenen Kreises =2r'i*;
i) das Produkt ats den Deberschfissen des halben Umfange >
über je eine Seite ssr"«.

258 üehmnauflfwheH fltr seHtet.

2. Bet aU«n Dreiecken Ton glekhem Inhalt, deren Eeken aaf

Einem Kreise liegen, ist Iconatant (t Inlialt, R Halbmeeeer dieses

Kreises) :

I

« a) das Produkt der Sinns der Winkel = ^nps»

b) die Smnme der Sinns der doppelten Winkel ^ ^ ;

c) das Produkt der Seiten s=4/2t;

2i«

d) das Produkt der Höhen = ^g* '

e) das Produkt der Entfernungen der dr^ Ecken von des
Mittelpunkten der Kreise» wdche je eine anliegende Seite
berabren (ABC ist das Dreieck und G, H,K sind die
Mittelpunkte der Kreise» welche die Seiten BC, AC, AB
von aussen berfibren):

AK.BG. CH=z AH.BK. CG = 4At ;

0 das Produkt der Entfemnngen der drei Ecken von ^
Mittelpunkten der die Gegenseiten berflhrenden Kreise und
des inneren Berührungskreises (dessen Mittelpunkt J)i

AJ.BJ.CJ.AG.BH. CK= 16ß«t«;

g) das Produkt der Höben zweier Seiten dividirt durch die

dritte Seite ='^>
h) das Produkt einer Höhe und des Sinus des Winkels, dank

den sie geht, = d»
i) das Produkt des Halbmessers des inneren Berührungskrei*

Ben und der Cosinns der halben Winkel =77i«
k) der Umfang des durch die Fusspunkte der Hohen gebllde-

deten Dreiecks =^'B*

3. Bei den Dreiecken von gleichem Umfange, deren Ecken
auf Einem Kreise liegen, ist konstant (Umfang =:zf):

a) das Produkt der Cosinns der halben Winkel ^T0>

b) die Summe der Sinus der gansen Winkel si n »

c) die durch die Hittelpunkte der Süsseren BeribraMnhffeise
gebildeten Dreiecke haben alle Eigenschaften der Dreiecke

m 2. a) bis i).

i. Betrachtet man die beiden durch dte Eck«n eine« Drei-
ecks und durch die Fusspunkte der Höhen desselben gehenden
Kreise als fest, so gibt es noch unendHch viele DrsHecke. dteren
Ecken auf dem ersten Kreise und deren Höhen -Fusirpttnltte anf
dem zweiten Kreise liegen. Die Eigenschaften dieier Dreiecke
sind zusammengestellt In dem Aufsatze: „Ueber die Drei-
ecke, wielche den ein*» und nmbeschrfebenen Kreis ge-
mein haben'« Thl.XXXVHL S. 145. u), aa) bis nti).

Gruneri: NormaitelMtte de$ SÜtpi, mii Bewp aufßeoddife, 259

Ueber £e Normalsehnitte des allgemeinen dreiaxigen
Ellipsoid» mit besonderer Beziehung auf höhere Geo-
disie, namendidi auch fiber nene merkwürdige Aas-
drdeke der grössten und kleinsten Krfimniungshalbmes-
8er und einen neuen geometrisch merkwürdigen und
für G[e9däaüe wichtigen Satz toh diesen Krüramungs-

halbmessem.

Von

dem Heransgeber.

§1.

Id einer .früheren Abhandlung (Archiv. ThI. XXVÜI. Nr. I.
S. 1.) habe ich die Krümmuog der fiberhaiipt von Ebenen gebil-
deten Schnitte den EHipsöid^, insbesondere auch die Krümmung
der Nonnalschoitte einer aasfuhrlichen Untersuchung unterworfen,
und dabei» wie es naturlich ganz in dem Zwecke dieser Abband-
^^^ Isg, Alles auf das gewohnliche rechtwinklige Coordinaten-
system bezogen, flierauf habe ich in der Abhandlung: Archiv.
Tbl. XXXVI. Nr. Tin. 1^. 79.^ gezeigt, was man auf dem allge-
meinen dreiaxigen Ellipsoid unter LSnge und Breite, reducirter
LSnge und reducirter Breite zu verstehen hat, und habe die zwischen
diesen verschiedenen geographischen Elementen Statt findenden
allgemeinen Relationen entwickelt. Mit besonderer RGcksicht auf
diese letzteren Entwickelungen werde ich jetzt in der vorliegen-
den Abhandlung die Normalschnitte des Ellipsoids, namentlich
toeb deren Krümmung, einer neuen Untersuchung unterziehen,
wobei mich insbesondere das Interesse leitet, welches diese Un-
tersuchungen jedenfolls fOr Geodäsie haben müssen, wenn es
namentlieb, wie sich immer mehr und mehr herauszustellen scheint,
Bothweodig werden dirfle, das ErdsphSroid nicht mehr bloss ab
Rotations -Ellipsoid, sondern vielmehr als ein allgemeines drel-
uiges Ellipsoid zu betrachten. Auch wird in neueren geodSti«
icheD Werken nur die Theorie der Normalschnitte des blossen
Rotations - Ellipsoids nicht selten in so schwerfälliger und analy-
tisch wenig genügender Weise behandelt, dads ich wohl holfeh

Thtil XL. 18

darf, dass die im Folgenden von mir gegebene Theorie der Nor-
malscbnitte des allgemeinen dreiaxigen EUipsoids, von welcher
natürlich die Theorie derselben Schnitte auf dem Rotatione-Ellip-
8oid ein sehr einfacher besonderor Fall ist» d'er Aafmerkeamkeit
der Mathematiker and Geodäten sich einigermassen empfehlen
dfirftej da ja jetst auch Vorbereltui^en 9U eio^r gron^en mittel^
europäischen Gradmessung getroffen werden. Vorläa0g wilLkh
auch noch darauf aufmerksam machen ^ dass Ich im Poigendeii A
von mir gefundenes neues merkwirdiges und inleresMHitf* gt9-
metrisches Theorem von d«» Balbmesserp der grdis^n «nd kUiw»t»
Krümmung auf dem Ellipsoid beweisen werde , deseea Wichtig-
keit auch f&r Geodäsie mir ausser Zweifel zu sein scheint N<icb
einige andere > specleli auf Geodäsie Besug habende Bem^ikon-
gen werden sodann den Seblas0 dieaor Abhandlung bilden.

§.2.

Die Gleichung des zu betrachtenden EIKpsoids sei, wenn die
laufenden oder veränderlichen Coordinaten durch jr, 9, f beieidi-
oet werden» wie gewobolich:

•) ©%a)'+(ö'=*-

und (xyt) sei ein beliebiger, aber bestimmter Punkt auf dieiem
Ellipsoid, wo also auch

^ (f)'+(!)'+(i)"-

ist; dann bt bekanntlich die Gleichung d^ Berühcung^ebeoe to
Ellipsoids in diesem Punkte oder die Gleiühuiig; de« BorivontB
des Punktes {xyt)i

»).... J(r~^)+^(f-y) + ^(i->):;=0.

Von dem Punkte (o^a) aus denken w|r uns nun in seisMi
Horizonte eme beliebige Gerade gezogen und beaeiobnea di« ^^
derselben mit den positiven Tbeilen dec Axen der f , 9^ f eilHI^
scblossenen» \W^ nicht übersteigenden Wbfccyi AqimÄ m$ ßp f»^
dass also:

' coscr "^ cos/J cosy

die Gleichungen dieser Gerftden sind, ntid, weil dieselbe in ^^^

mit Betuff auf Beadäsie, 261

dorch die Gleichung 3) cbarakterisirten Horizonte des Pmtktes
(ayi) liegt, ^ CMchmtgs

Statt findet Diese Gerade wird gewissermasseti al» etoe feste
oder onverfinderliche, von dem Punkte {xyz) ausgebende Gerade
io dessSD^ JloviaoBle betracbtetr

Nun lassen wir von dem Punkte {xyz) in dessen Horizonte
eine zweite Ckfsd» adsgeiNNii welche mit iler vwheri^ebsiklei
festen Geraden den 180^ nicht übersteigenden Winkel Sl ein-
sebliesst; die von dieser Geraden mit den positiven Theilen der
Axen der jr, tf, ; eingeeeblessenen » 180^ nicht fibersteigenden
Winkel seien d, o, o ; so dass also die Gleichungen dieser Geraden:

cosd cos« cosö
sind, und die Winkel d, co, o der Gleichung.

7) ^co0^-f^cosct'f-*3,eosä =0

eotsprecben mfissen, weil die in Rede siehende Gerade in dem
Horizonte des Punktes (xyi) liegen soll.

Unter diesen Voraussetzungen habe» wir nu», wenn wir die
Winkel B, m, o aus den Coordlnaten x, y^ t; den Winkeln a, ß, y
and dem Winkel Sl in bestimmen beabsichtigen« zu dieser Be-
stimmung die Gleichungen:

ioosacosd4-cosj7coso-f cosycoso=co8i2»

o; . . \ -^COSd-f pC080)-|--^COSO=sO>

V cosd*+ coscö* + cosö*= 1;

welche wir also jetzt in Bezug auf e€(«&, cödtA, cogQ als unbe^
kannte Grossen aufl5sen wollen.

Bei dieser Auflösung bedienen t*ir uns, Wie fast in allen fthn-
liehen FSllen, bei Weitem am besten und zweckmfissigsten des
im Archiv. Tbel» XXXVUL 8.4^. ven mir eiHwickelten allge-
meinen Verfahrens ; und setzen zu dem Ende fn den dortigen For-
meln in diesem Falle:

ao = cosa, bQ^cosß, Co = cosy; ^ = cosÄ;

18»

262 Grunert: NormaUchnitU dei EHipsoid$

aUo:

«0* + *o* + <^o* = cos«* + co8/3*+co«y* = I ,

^•+v+..-=(5)" + (^* + (|i)'

und nach 5):

CoOi + 6o6i + CoCi = ^co8flf+ |^co8/}-f ^co8)f =0;

folglioh ferner in den a. a. O. gebrauehteD 83rmbolett :

Ü^= coaacosSl,
Ti=: coaßcosSl,
£ = cosy cos Sl

und:

A = ^co8/J— l^cosy.

B=:^cosy— ^cos«.

C ^^co8«— -jjcosj?;
alao nach den Formeln 6) a. a. O. :

eoB$ =C08«C08ß+ ( -jC08jS — pcoay) G,

C08CD = COS/3c08<^-f'('~ä^^®}^ %COBajG,

co8cS=:co8/eo8i2*f (pooaa ^coaßjG.

Nun iat offenbar identiach:

V (^C08/J-^C08y^C08«

+ l^co8y — -^coaalcoa/? > ^0,
•f ^l^eoaor— ^coe/J^coay

und anaaerden nach einer bekannten allgeMeiaea anmlytiaebeo
Relation:

mtt Be%ug auf eeodärte. 26S

=(5)-+(Ö-+Ö^-'

alao wegen der dritten der drei aufzulösenden Gleichungen 8)
of enbar :

'»•^•+l(3)'+a)'+(Ä)'!«-='

oder :

|(5)'*(Ö-+(p)>=.--.

woraoB «ich unoüttelbar:

Qod daher nach dem Obigen:

f -^cos/J— pcosyJsinÄ

008^ =C08OC08 i^db

yf(S)'*(ff<^y'

( -jcosy ^cosajsini^

9) ( coB a=s cos ß cos Sl±

(^coBa ^coBßjsin Sl

oder :

304

\

6runert,\ HornwiscAntUe de$ ElUpsotd»

CO80 =co8acosJ2T

10) \ coam^coeßcoaSl^^

A' .■ X V.. > 1 l gl J " ^ 1 1

f -5CO8JS — ^cosajBinSl

v(s)Hs)+a)

ergiebt, vi^ natOrlicb fiberall die oberen and unteren Voneidi«
sich aaf einander bezieben.

§. 3.

Das Erscheinen doppelter Vorzeichen in den Forhergebeadeo
Formeln liegt hier ganz ifi d^r riatnr der Saobe> weil ja die
zweite der beiden von dem Punkte (xyz) aus in dessen Horizoote
gezogenen Geraden mit der ersten dieser beiden Geraden Inf
zwei verschiedenen Seiten dieser letzteren den 180^ nicht übe^
steigenden Winkel Sl einscbllessen kann; es kommt non daraoC
an, ein Kriterium zu besUsfln» mittelst dessen man in jeden
Falle sicher entscheiden kann, welches Zeichen man zu nebmeo
hat, wozu wir auf folgende Art gelangen können.

Die Gleichungen der Normale des Ellipsoids in dem Ponkte
(xyi) sind bekanoMich»

11)

X y z

o

9

55

Durch diese Normale und die durch die Winkel a, ß, y i^
stimmte Goracl?, deretk Glelobim^en nach 4)

c^a ' CQfi§ cosy
waren, legen wir eine Ebene, welche durch die Gleechang

.l(jr^;r) + »(f--y) + C(j-i) = 0
charakterisirt sein m5ge; so ist:

\

mU B09U0 mtf üeüdätie. 265

Acasa *f Bcoaßi- Ccosy=:0;
und 68 kaM ai#o Dfittbir?

X W

CäS -^C08/3 — pGOStf

gesetst werden» so dass also:
12).' ... . (|[COSy-.pcos/j)(>-jr)

+ (^c<>«/'- pcosa^ö — «)

die Gleichung der in Rede stehenden Ebene ist

Ein beliebiger Punkt in der von dem Punkte {xyi) in dessen
Uoriionte aasgebenden« durch die Winkel d, •, q bestimat^
Geraden sei (XTZ), dessen Entfernung von dem Punkte (xyt)
wir durch r bezeichnen wollen; so ist in völliger Allgemeinheit:

X=x + rcosd,
K±«y + rcos«,
Z SS f -|-reos€l.

Ferner denken wir liiis €in4 roh dein PHiiAte (xyt) ausgehende
Gerade, weiche mit dem positiven Tbeile der Axe der } parallel
Qod gleich gerichtet ist» und nehmen auch in dieser Geraden,
deren ISffi nicht fiberstei^ude Besthnmungswinkel 9(P, 90®, &
lind, einen belidl^lgett Ptmbt {XTV) an, des^n Entfernung vm
dem Punkte {wyz) wir durch r^ bezeichnen ; so ist in v5||iger AU-
geMlAheit:

^•«clHlMi Mit «« PMkto (XrZ) und (ÄTZ') auf gMdMM

26S Grüner t: H9nmU$ekaim des &Hptoids

coBß =cosaco«(360^ — ä)^-

V(?)-^®+(3)

cos 0= cos y cos (360® — Ä)T r ^ \ . ' '^ 'L^ >' '^« — '

t ■

< I., I ! • •' 1

(^eos «— ^cos y j sin Ä
cosixgcosflcos^jb ' V"J>— ^J ' =»

f-jcos/J— -pcosttJsmÄ
cos £ =:€0B )f 006 52> J: -77^

VWW*^"

wenn mso in dtoson FormelB die obenan odet «nteven Zeich«D
nimmt, jenAcbilDm die GrUsfle

-scosp — facosa

positiv oder negativ ist Wenn also nur die Winkel Sl auf die
vorher angegebene Weise gezäblt werden, so kann man in völli-
ger Allgemeinheit setzen:

V(5i)+®+(|i)

indem man die oberen oder unteren Zeichen nimmt, jenachdem
die Gr58SQ -^^osß-^ ^ coa« peeitlv oder negativ ist

Allerdings verliert dieses Kriterlom seine AnwendbarlEeit, ^enn
die GrSsse pcosp — ^coso verschwindet , wobei aber sn bemer-
ken ist, dass man im Vorheigeheaden an die Stelle der Aze der
} auch jede der beiden anderen Ceordinatenaxen setzen kann, wenn
man dann, wie sich von selbst versteht, nnr die Winkel Sl in ent-
sprechender Weise zählt» woraus sich die beiden folgenden Krite-
rien ergeben.

Wenn man die Winkel Sl ia dem Horizonte des Punktes (xyz)
foo der durch die Winkel a, ß, y bestimmten Geraden an von 0
bis S60* z&hh nach der Seite der durch diese Gerade gelegten
Normalebene hin, auf welcher die von dem Punkte {xy^^ ans {MH
rallel und gleich gerichtet mit dem positiven Thelle der Axe der
9 gezogene Gerade liegt; so ist:

(§cosy— Jcos/nsln Ä
cosd=cosacosil J: " r ^ ^^ »

f ^cos« ^cos^^yginA

13*) ( cosa> = cos5cos^± — r ^ »

r^eofl^ — ^nesaJsinA
«esSsscosyeos Adb ' / '1 "\ J '"y ^ ^' »'Jj <j»

270 Gruneri: J^ormaisciMiie des Sittp$oid$

indem man In diesen Formeln die oberen oder unteren Zeichen
nimmt, jenachdem ■ die GrSsse

^coaa— ^cosy

positiv oder negativ ist

Wenn man die Winkel A in dem Horizonte des Punktes {x^)
von der darch die Winkel oi ß^ y (gestimmten Geraden an von 0
bis 360^ zäblt nach der Seite der durch diese Gerade gelegten
Normalebeoe hm» ,auf welcher die von dem Punkte {xyz) aus pa-
rallel und gleich gerichtet mit dem positiven Theile der Axe der
jr gezogene Gerade liegt; so >st:

cos 0 = Gosacos A db

>fm<h)'*{^)"

I-5CO8« |C087lsm«s2

13**) {. CO« « =co8/3 cos Ä ±

v'oy+c^'+ö)-

f-jcos^ — ^cosaJsioA
co8Ö=»cosyco»a± ° — ;

V(S)+(§)+(^

indem man in. diesen Formeln die oberen oder unteren 2«eichennioimtt
jenachdem die Grosse .,

^cosy-^cos/3
positiv oder negativ ist.

5. 4.

Durch den Punkt (^2) denken wir uns jetzt die auf der Bbene
der x%i senkrecht stehende Normalebene gelegt» deren Gleichung

>
sein mag. Da diese Ebene auf der Ebene der xy senkrecht ste*
hen soll» so muss die vorstehende Gleichung für fssx, 9=)f
ernillt sein» woraus sich Cs=0 ergiebt; also ist die Gleichung
unserer Ebene:

mU. d«uig auf eeoMMe. S71

Weil ferner diese Ebene , als eine Nonnalebene in dem Punkte
(xyx)t dnrch die Norfliale in diesem, Punkte, deren Gleichungen
bekanntlich ' "

* y i

? 6« c«

sind 9 gehen mnss, so muss A'-^+ B^=sO sem, und es kann
also A=iTm9 B=: 1 gesetzt werden. Daher ist

die Gleichung der auf der Ebene def ^ senkrecht stehenden
Normalebene In dem Punkte (xyz).

Soll nun in dieser Norroalebene die durch die Winkel «» jJ, y
bestimmte 9 durch die Gleichungen

cosa cosp cos/

charakterisirte feste gerade Linie liegen; so hat man cur Bestim-
mung der Winkel a, ß, y, wobei 5) zu vergleichen» die Glei-
chungen:

pcosa— -icos/3=0,

-jdos « + fe cosp + ^ cosy = 0,

cos «■ + cos jU* + cosy* = 1.

Wegen der beiden eretea Gleichuogen kann man, weno G eioen
gewiaeeo aobestimmteD Factor bezeichnet, in bekannter WeiM
•etien:

coe«=G(-J.^-0.^,

4so:

.o.«=-G^. co./J«-G^. *osy=G\(ff + (^y\',

27S Grunert: Iformainchnine det ßUipsoids

woraus sich mittelst der drittea der drei anfsalusendeD deichon«
gfia 3iir Bf^tiiniiiuiig toq G die Gieichimg;

also :

1

C=±

vW^-V(5)-+(^)-+(^-

ergiebt Folglich Ist nach dem Obigen;

16)

co8a=T

f(s)'+arY(p)%©-+ö)-

C08p=-F

» ■ I

vw^"Y(j)"+(w+ör'

eosy

Bezeichnet oud iB die Breite des Punktes (xyi), so ist nach
Archiv. ThI. XXXVI. S. 87. Nr. 8)^9), 10), auf welche Ab-
handlung ich wegen der Begriffe und der hfer ganz in gleicher
Weise wie dort gebrauchten Beaeicbningea ein fiQr alle Mal ver-
weise :

f i

sin iB= ^

v^(sy+ay+tiy

\n%B—

c«

mit BewHg auf G$o4ä9i4. fuj^

tl«o nach 15):

Nehmen wir oon die von dem Poiikte (o^z) aaagehende, io
desseD Horizonte und der senlkreeht auf di#r Kbene der ^9 atehen-
den Normalebene liegende, durch die Winkel a, ß^ y beatimmte
Gerade» waa offenbar veratattet iat, ao an, daaa, indem daa obere
and untere Zeichen aieb auf die poaiti?e und negative H|lfte dea
Ellipaoida bezieben, yzsz^B ist; ao iat coa|r = coa^,;> folglich
nach dem Obigen:

eoa/i

U, II lt. II in «■■>«.._ — .

und man rouaa alao in den Formeln 15) die oberen Zeichen neh-
inea« folglich; . . . / u . -.

a«'c«

coaa=: —

. . -* '

VW+©"Y(5)'+(l')VÖ)"

r

V (ff* gy ......

COay= .- ^ ^ ^ ^=:r

\r(5)^ (&) + (i)j

setzen.

Nach 16) und 17) iat nun ferner:

' \-

X

18) . . . . coa«^ — - r , ^ ^=g'PiB»

V (»■+(!.)'

IL

coa/?= ain^f coay = coa£;

V ©■ * («•

274

erunert: Normaiseäniite des EUip$atd$

oder, well

bt:

1

w +(?.)*

tang^

19)

cosa^ — — sio B tang JB

C08/}=:— j6in B Uogi? = — ^shi A tangl?.

Setzen wir, wo Jt« B die bekannteo Beseicbnongen der r^da^
clrten Länge and redncirten Breite des Punktes (oryz) sind :

20) :r.= aco8JCco8B» y BsftainlTcGaS, z = c8in]9;

80 Ist:

c
coaas:— -coslTcotB slnA tangl?,

^' ' ' ^ cos/}=— TsinircoiSsioJBtaogS,

cosyscosi?.
Ffir das Rotations -Ellipsoid ist:

a = 6, t^L, atangB = ctang^, - = g = tangScotS;

also:

icostf= — cosLsiofiy
cos/}^ — sinLsinS,
cos)r = cosi?.
Leicht findet man mittelst der Formeln 19):

-|COsP — l^cosasrUy
23). . . . ] ^cosy — ^cosß= ^secJB,

/ X

mit Be%ug auf Geodäsie. 275

oder nach 20):

HC t/

-^cos/J — pCO8a = 0,

«.^ j y X - ainScosTisecB
24). . . ^pcosy— ^C08/J= ^ ,

z or cosJffcosSseci?
"5 cos« scoay= •

$. 5.

VoD der durch die Winkel a, ß, y bestimmten Geraden an
in der Ebene ded Horizonts von (xyz) wollen wir jetzt die Wip-
Icel Sl in der positiven Hälfte des Ellipsoids in der Richtung von
dem positiven Tbeile der Axe der jr an nach dem positiven Theile
der Axe der i; hin von 0 bis SßiV^ zählen ; in der negativen Hälfte
des Ellipsoids sollen dagegen diese Winkel von der durch die
Winkel a, ß, y bestimmten Geraden an in der Ebene des Uori-
zoots von (xyz) nach der entgegengesetzten Richtung hin von 0
bis dßO^ gezählt werden *). Die in §• 3. durch Sl bezeichneten,
TOD 0 bis 360^ gezählten Winkel wollen wir jetzt, jenachdem die
Riehtimg, nach welcher hin sie gezählt werden, auf den positi-
ven Theil der Axe der t^ oder auf den positiven Theil der Axe
der t bezogen wird, respective durch Sl' und Sl" bezeichnen.

I. Winkel 51'.

z X
Wenn x positiv, nach 23) also -^coso 2^08y negativ ist**),

so ist nach 13*), indem man io diesem Falle die unteren Zeichen
ZQ nehmen hat :

(ficosy— ~^co8ßj6in Sl'
. cos 6 = cos« cos i^ —

V"(r.)V(ÖV(r.)"

*) Man hat lich, um bei dieser Beitimmung der Richtung der Zäh-
loQ^ der Winkel ß von 0 bis Seo^' jede Zweideutigkeit su vermeiden and
derselben völlige Be«tininitheit zu verleihen, die ron dem Punkte (^Tjrs)
«Qs in dessen Horizonte gezogene , durch die Winkel a, ß, y bestimmte
Gerade, nod eben so jede andere in derselben Ebene von (xpz) aasge-
Iieade Gerade, auf die Ebene der jri^, oder vielmehr auf eine parallel mit
derselben durch den Punkt (X!/%) gelegte Ebene, projicirt zu denken, wo-
darch Alles zu völliger Dentlichkeit und Bestimmtheit gebracht werdenwird.

*^ secS ist immer positiv,

Tksil XL. 19

276 Grüner t: Normaiicknüit des EUipsoids

(-scosa öcos y )sin Ä'

cos 09 = COSP COS .w /- „ o ^ T^ »

( -j^^^i^ — pcosaJsioÄ'
cos 5 = cos y cos Ä' /- .

Offenbar ist in diesem Falle i^'-f «^ = 360», also cos^' = cos^,
510^2'= — sioi^, und folglich:

cosd =:cosoco8.$2-f

cos iD = cos ß cos 52 -|-

cos €i> = cosy cos Sl ■{-

Q^cosy^^cosßJ sin Ä
f -jcoscr 2^osyj sin Sl

f -jCOS/J — -r^COSttJsio Ä

' Z X

Wenn x negativ, nach 23) also -jcos« — ;3Cosy positiv ist,

80 ist nach 13*), indem man in diesem Falle die oberen Zeichen
nehmen mnss:

cos B == cos a cos SL

(pcosy— ^cos/j)sinÄ'

■'V(ä)^(&)VÖ)-

(-^cosa ^'tii%y\%\ikSi*

cosflo = cosj3cosi2'-| r- ,

f-^cos/S— -^cosaJsinÄ'
cos 5 = cos y cos SL* + — f- — .

mii Be%uff auf GeoMsie. , 277

Offenbar ist in diesem Falle Sl'z=:Sl, also co8^'=:cosA, sinil'
= sin A, und folglich:

^j^cosy — ^cos/jJsinÄ
cob6 ^seo8acoBSl + —f-

yf(i)\(ff.(ff-

f -^cosa ^cosyjsmSl

cos CO = cos j9 cos Sl+

Hff^iff^id"

f -^cos/J — l^cos« ) slo Ä

COSQ = C08yC0SÄ +

yii0<ff*(ff

II. Winkel ^^

M^eoD y pftiAtiv ist,, so ist tiach 23) aocb ^eos/ |Cos/?

positiv, und folglich nach IS^), indem man in diesem Falle die
oberen Zeichen za nehmen hat:

(Ijcosy - ^cosßSsmSt"
cofiö = cosacos SV + • ^ > — ,

f -jcos« ^cosyjsiö.^^^

coso = cosficoaSl" +

(■^t08ß — psinajsini^^
cos Q =: cos y cos Sl" + — r- .

Offenbar itft to diesem Falle Sl''=zSl, coaSl" = cos Sl, sinSl'
=^,mlnSl; also:

(§c6sy— ^^cos/jJsinÄ

cobS = cosacos ä+ — ^-^

19»

278 Grunart: NormaUchniUe des Bilipsoids

f-jcosa 2^09yj6inSl

cos CD = cosßcos Ä A — 1-. — •

( -5COS/3 — -^sioa Jsinil
cos 5 = cos y cos Sl 4 — r- •

Wenn y negativ ist, so ist nach 23) ancb ?%cosy — ^cmß

negativ, nnd folglich nach 13**), indem man in diesem Falle die
unteren Zeichen nehmen muss :

rijcosy ^cos/?Jsin.$l''

cosd =cos«cos<$2'' —

'

( -jcos o jcos y Jsin Sl"

cos CD ^ cos/} cos Sl" — V ~ .

V^(5)'+a)"+(i)'

r^cos /?— I^sin ajsin Sl"
coscS=cosycosil'-- ^

Offenbar ist in diesem Falle Sl" + Sl=:3G0ß, cos Sl" =: cos Sl.
Bin Sl" = — sin .$2; also:

(§2 cos r— ^ cos ßj sin Ä

C0S6 =iMHtfi*i%a O. 4. -^ ^ ,

( ^ cos a 5 cos yj sin Ä

Viiy * (ff * (ff

(^cosß^^sinaJsmSl
costt^cosycosA-f

V(ff*(ff*(ff

mit Be9ug auf Geodäsie. 279

Hiernach haben wir also unter den gemachten Voranesetiun-
geo die folgenden ganz aJJgemein gültigen Gleichungen:

/ (^^coay— ^cos/S^sinÄ

CO«e = cos C cos .a + — r=^ -" »

( -jcosa ^QOsyjsinSl

25) \ coso) = CQS^cos52-|-

(-jccs^— pCosaJsinÄ

Den nach den im Obigen gegebeneu Bestimmungen genommenen
Winkel Ä werden wir im Folgenden das Azimuth der durch die
Winkel 6, o, c5 bestimmten Geraden nennen.

Nach 16) ist:

. und mittelst der Formeln 21), 24), 25) erhält man nun för cosd,
cosQ, co8c3 leicht die folgenden merkwürdigen Ausdrücke:

27)
co8e=: — cot»sinÄr-cos£tangÄcosÄ— jsinfisecÄsinÄ^f

co8fio=:_cotSsioi?(-cosirsec8sini2 + ^sinÄtangÄcos-aJ,

cos ö =: COS B COS St ;

oder:

28)

, cos^ = cotStangß (t sinJtsin Sl co8ltsini?cos<$2j»

I coso)=:_cotStangfif ~co8£8in.A-|- TsinItsinÄcosÄV

cos c3 r= cos B cos Sl,

L

280 Grunert: Normalsckfütte des EUipsaids

Für das Rotations -Ellipsoid ist:

c c
0 = 6, £ = L, atang» = ctangÄ, - = T = tangS cotß;

also nach Vorstehendem :

coa6 s^ 9in L sin Sl-^ cos LsidB cos Sl,

icva a =^ Clin äj sin 4>6 -^ cos Ju Sl
cos CO = — cosLsin Sl — sin £ si
cosc$= cos ^ cos .$2.

sin B cos 52,

§.6.

Wir wollen jetzt die Gleichung der Normalebene sucbeo,
welche durch die Gerade gebt, deren Bestimmongs winket ß, &, q
sind. Da diese Ebene, welche durch die Gleichung:

. 30). . . . il'Cr— a:) + Ä'(u-3^) + C'a-z) = 0
charakterisirt sein mag, durch die beiden durch die Gleicfaunges

cos 6

=

cos CO

cos cd'

X

y

6* -

z

cbarakterisirten Geraden gehen soll; so muss:

^'cosö + Ä' cos 00 + C'cosQ =0,

sein, woraus sioh

A'

5+«'

1

+ c

^=0

A'

y -

= ^2 cos CD

z

cos CO*

B

= ^,COSÖ

X

cos CD f

ro

X

y

^^^ A

a

äcusw — ^

ergiebt; und fährt man nun in diese Ausdrucke die Formeln 26)
ein, 80 findet man, mit Rücksicht auf die bekannte Relation

^cosa + Jjcos/J + j^cosysO,

mii Be%ug auf eeedOsie. 281

die folgenden Aasdriicke:

31)

^'

Hieraus ergiebt sieb nach 21), 24), 26) ferner leicht:

32)

A' = co8]5

/cosJttangBsinJl sinfsec^cos JIN

1. r^—+ 5- — /

Bf^ cos»( 1 -^ — y

^, _ sing cot Ä sin^

c

Fflr das Rotations -Ellipsoid ist:

.) cos9 sin£cos52-f cosJüsinßsinil

33) < Ä'=-

a cos^

cosS co8£cos.$2— sinLsinBsin A

cos^

C'=-?lIl?.cotÄsinÄ.

§.7.

Zunächst vrenden wir uns nun zu der Bestiromung des Krfim-
niuDgskreises des durch die Winkel 0, oo^ S bestimmten Normal-
ficbnitts in dem Punkte (xyz), indem wir den Halbmesser dieses
Kreises durch R und die Coordinaten seines Mittelpunkts durch
Jf , Yy Z bezeichnen.

Nach Archi?. Tbl. XXVHI. S. 16. und S. 17. ist:

34).... Ä= u+5*+c^;

(co«6\* /coswN* /"cosüN*
~5-; +v-r; +V-T-;

282 Grunert: Nm-malschniUe des ElUpsoids

uod:

(C08Ö\* /cos CO \* /COSÖV

38). . /F = 3^-J **

(— x+m'+c^y

Z=2 —

z

7^\2»

/cosÖ\* /coswV . /c««ö\

an welche Formeln wir also unsere ferneren Betrachtungen an
zuschliessen haben.

Weil, wie man leicht findet:
cos

and

5«/^ z A , COS/3/2 X \

5-^pCOsy-^co8/3j + "^(^^äcosa-^cosyj

- cosy /x ^ V \
+ -^r- (^-2^08/3- l^cosaj

= -(gf-^)5^**«^^^«y-(^-;i2)pCOsyco8a

1 /y z \* J /» o: \'

^(^pcosy-^cos^^ +p^^cosa-^cosyj

.I/o: ^ V \«

+ ^\^ii2Cos/3— jj^cosa^

2
"" ^igS? (^ <^os a cos /? + yz cos /3 cos y + a-r cos y cos a)

— ^^^"* ■ ^Qg/^ , cosy^ (£C0scr+y cos /3+z cosy)*
_ a*co8«* + 6*co8/J* + c*cosy«-- (a:co8o+ycos/3 + zcosy^

mii Be%ug auf GeodäMie. 283

ist; 60 ist, wenn man der KGrze wegen:

»' ''=K^)'+(^0"+(T)'^-«'-

+ f -> — 75 J -j cos a cos /3?8ini2cosA

K^)'<'-5-0'<^0'-("'"''^':z''^'""'')>'-^

setzt, nach 25) offenbar:

und folglich nach 34) und 35):

OO) n — mr >

und:

£ iL i.

a* 6* c*

39). . . .Jf=^ — -^, F=y-.2y» ^=*~"2^

Andere sehr merkwOrdige Ansdrücke för diese Grossen erge-
ben sich aus dem Obigen sehr leicht auf folgende Art Mach 28) ist:

c c fo c \

-cosd = — cotStang^. -f -cosfsinßcosi^^ — rsinfsinil 1»

c c fc c \

tcoso>= — cot9tangi?.T( T8in£sinBcos*^-|- - cosJtsin i$2 )#

-cosc3= cos8cos.$l;
c

also, wenn man der KOrze wegen :

40) ilf=cosÄ*cosÄ«

> cotB*tang Ä*
ffr) (Tsinf sini?cos.Q-|-'COs£sinAj 1

284 Grüner t: Normalschniite des Eiiipsotds

setzt :

"' • .«1(^)'+(T)"+(^')l=*

Weil nun nach 26):
und nach 34):

ist, so Ist offenbar:

42) ^i^ J^=M

Bin JS K

Ferner ist nach 35) und 20), wie man leicht findet:

{ X X c cos IT cos S

43)

oder:

c

c

a

M

t

r

c

=:

y

C

c

sin i cos
M

Z

c

=

z
c

c
c

sinB
M '

Z (e c 1\ . „

oder nach 42):

X fa R 8inÄ\

44*) \l.-(^ Ä sinÄ\ .

♦) Aus diesen Fermeln ergiebt «ich:

mit BevMg auf Geodäsie, 285

Die 6r5«8e M^ von weleher die yorbergebendeD Ausdrflcke
haaptelichlich abhängen , kann man nach 40) offenbar ancb auf
folgende Art darstellen:

X -^ X =z Ä — acoB£co8li=^ R -r-^ ^08 1 eosH ,

a 8injp

Y — 1/ = y — 6Bin£co8B=— tÄ-7— ^siojfcosB,
- ^ o sin^

Z — 2=:Z — csin]9 = R . ^8ing;

c 8inj$

also

Nach Archiv. Tbl. XXXYI. S. 92. Kr. 26) uC:

tangS

tangi?=:

fc-^y+c-rf

also :

8in»«

tangÄ* =

'% — j? — + — p — )

coa£*co8g* 8in£*coag» ging*
^ ^« "^ 6« "*" c« .

l+tapg^- coag'cQgg« . ginJ«coa»»

folglich :

• JM.- i- 8iny

"" <^* co8ir^co8g^ BJng^ cosy slny *
^5- + ^^ + c«

und daher:

. (waB\ /cogf'cog»» ging' coag» sio »«\ _

alao nach dem Obigen:

(a:-ar)« + (r-y)»+ (Z-»)»= Ä«,

wie es sein tnus«, was xnr Prnfang der Richtigkeit der obigen For-
meln dient

286

Grunert: NornuU$chnUte des EUip$oids

45)

M ^ cos A^cofi Sl^

r(a) ^^*^ + CD* *"" '*] *'" ^co«Ä«

cya)'-

sin .$2«

§.8.

FOr das Rotations- Ellipsoid ist nach 45):
iH = co»i?«co8Ä« + ^^J (8inÄ*cosÄ« + sinÄ«)cot»«tangÄ*

= co8Ä«cosÄ«+^-^ (l-cosÄ*co8Ä«)cot»«taDgÄ«;
aber in diesem Falle bekanntlich :

also:

46) . . . . ilf

cotS tang^ = ~f

"^ (0* ^ ' ^ "" (0* ' ^^^ **^^® ^*'

Daher ist nach 42) in diesem Falle:

/ Weil

cos(Ä + 180o)= — cosÄ, sin(Ä + 180o)=~8inÄ

isty so sind nach 42) und 45) in den Azimuthen Sl und A-|-180^
auf jedem Ellipsoid die Krömmungshalbmesser offenbar einander
gleich^ und nach 44) fallen auch die Mittelpunkte der Krüm-
mungskreise mit einander zusammen, woraus ««ich ergiebt, dass
man bei der Bestimmung der Kriimmungskreise die Azimuthe nor
von 0 bis 180^ wachsen zu lassen braucht.

Fflr -<] wird nach 47) auf dem Rotations -Ellipsoid A ofen-
bar ein Minimum und ein Maximum respective ffir i2 = 0 aod
A = 90^; und bezeichnen wir also den kleinsten und grOssten
Krfimmungshalbmesser respective durch R' und R" , so ist:

mit Senug auf Seoddtle. 287

48)

^■■k =(9-+i--e)'i-«'=>-u-(o-i-.i^.

Far ~> 1 wird nach 47), welche Formel maD jetzt lieber auf
folgende Art:

«in» c /cV (AV ,) «•

schreiben magy aaf dem Rotations • Ellipsoid R offenbar ein Mini-
mum und ein Maximum respective fdr .$2 = 90^ und ifö = 0; und
bezeichnen wir nun wieder den kleinsten und grossten Krümmungs-
halbmesser durch 12' und R" ^ so ist:

49)

sing
sin

Hng c _A\'
\mB'Rf^\a) '

sin
sin

Die Coordinaten der Mittelpunkte der Kreise der kleinsten und
grSssten Krümmungshalbmesser kann man nun nach den Formeln
des Torhergehenden Paragraphen natfirüch auch leicht bestimmen.

* Anmerkung.

FGr den Fall des Rotations -EHipsoids, wenn -<1 ist» wol-
len wir noch einige bemerkenswerthe Formeln entwickeln» ohne
der KCIrze wegen uns auf eine ähnliehe Betrachtung des Falls»

wenn ->I Ist, weiter einzulassen.
a

Man setze:

'-G)"=-' (1)'='-«"

SO ist:

-r-ö* "5 = 1 — e*(l— C08Ä*C0SÄ*)

sm^ R ^ '

:= 1 — eS(siD ^ -h cos .^sin 9?^.

288 Grunert: NormaisckniUe des SiUpsoids

Nun ist:

ar
= co8Ä*+taogB*cotÄ*flinß*
= (l-f taiig)?^)co8^

_ C08Ä*
"" COS B*

"~ a* * c* * cos ]ö*

c* tangÄ* cosÄ*
^ä^'te^^'cosB*

c* sio^

a^'sinB* ,

_ a* cos g^ sin y '

"" c**cosB*sifiÄ**

Also ist:
sini? i? cos 39*

COS»* ^ taogi?*'

cosÄ* tangjB*— tang»* .^ . ^_

= =5 ^ . ^oa — .co8Ä«sinÄ«

cos»* taogJP*

^ cos^ cosiB* sinÄ'cosB*— cosÄ'sinB*

cosÄ*,, sin(g + g)sin(^-») . _,^
cos»* 6inB*

folglich :

c sloBcosÄ*., 8in(Ä+»)sln(Ä— ») . ^,^

Ä=sio»cos»*'* s;r55 «nß*i

8iD2Äco8»,, sin(Ä+»)sin(Ä-») . ^,^
= 8ln2»cos»'^ äJTgS **"^ '•

mii Bezug auf 6eodä$ie. 289

Ferner ist:

c sJD B ., j . -^. sin B cos B^ sin 2^ cos /^

W ~sin»^*""^ smfP)— ei„»cos»«"" sin2BcosB '

c /^ V *'" ^ — tangB* sin^ sinBcosÄ* ^

Ä^ "" W ■ Sn» ■" SSgÄ»' 810» "" sin A cos »^ '

wo die beiden Formeln :

c sin B cos B^ c _ sinJScosÄ*

Ä^ "" sin» cos »< ' W "" SiT/^^s»« '

aas denen sieb aucb

'cosBx*

c_ c /cosgv

R''W^\co8V)

ergiebt, jedenfalls sebr bemerkenswerth sind.

Nach dem Obigen hat man nun anch die folgende Formel:

Es ist ferner:

8in(g-f »)sin(^— »)_- sinJg^cos»*— cos^sing*
*"" sinÄ« ""* sinÄ*^

— (?!?^ + cos_B^^sin»« _ sin »«
"" sinB« ""sinB*'

also Dach dem Obigen:

c mnBcosB^ Uin»« . sin(l? + »)8in(fi— »)

Ä~"sin»cosB« IsidB^^ sing«

cos Sl^

sin»co8Ä«^, . sin(B + »)8in(J5— B)

= "! — S Sst* + ^""^^ COSÄ*)>

slniycosB** " sinB* '

ond folglich:

c c ,, . sin(g + B)6in(g^B)

MaltipHcirt man die beiden Gleichungen :
c_c .. 8in(Ä+»)8in(B-»)

c_ c »in(J?-f»)8in(g^»)

290

Grunert: NormaisehfMe des RUipnoidt

respective mit cosil', «inS^^ und addirt sie dann au einander,
80 erhält man:

c c c

•j^= gj cos Ä« + ^»in Sl*

8ill(g-|-B)8ill(g-»)/ C . -^ C . _,\ . _- _,

nach dem Obigen ist aber

^sinB*

also:

und folglich:

oder:

wie bekannt.

sin^sinÄcos Ä*
cos»*

R

c . -^ sinBsini&cosÄ*

cos}?*

"U; sin B* — 11^ 8*0 Ä*= 0 ,

R

R

^=jpcosÄ*+^sinÄ«

1 cosi^* sin Ä*

5. 9.

Wir wollen nnn den kleinsten und grössten Krümmungshalb-
messer R' und R^ auch fiQr das allgemeine dreiaxige Ellipsoid
bestimmen, wobei wir von der Formel 42), nämlich von der Formel :

sm^
ausgehen mtlssen, aus welcher sich unmittelbar:

sin» d.R''^_BM sin» B^.I^^a^M

^sS^B' 8Ä ""aÄ' ^sinÄ'"^.* — aa«

ergiebt.

Nach einigen leichten Reductionen erhält man aus 40) darch
Differentiation nach Sl, wenn der Kürze wegen:

= eoaJ3*

mit ßetttf oMf €eoädtte. S91

50)

f»=s 2^. j I (0* - (jY I sinfcosfainBeot^tengfi«,

gesetst wird:

|^=2(P8iii2A- Qcoa2A).

Nqd ist aber:

Pcob2SI + QB\n2Sl = 0
ZD Mtzeo^ woraus sich sar Bestimnang von Sl die Formel:

51) tang2Ä=— ^

ergiebt; und da nim

^s 2cos2A(Ptang2A- Q) = - 2co82A (^+q)

= 2 8in2A(P— Qcot 2Sl) =: 2siD2A(P-f- ^)
iit, so ist:

52). . g^=-2^^i-^cos2Ä = 2^^±^slii2Ä

Den «wischen 0 und 180^ liegenden Wertfa von 2Sl, welcher
der Gleichung 51) genügt, wollen wir durch 2Sl' bezeidinen;

TkcaXL. to

292 Grunert: NormaUchnitte des BiUpsoids

dann kann das zwischen 0 und 2.36(K^ liegende 2A die vier foi
genden Werthe^aben:

2Ä', 25i' + 1.1800, 2il' + 2.1800, 2^' + 3.l80O;

also Sl die vier folgenden Werthe:

Ä', Ä' + l.«Oo, Ä' + 2.90o, Ä'+3.90o. .4

Für Ä=Ä', Ä=Ä' + 2.90o und eben so füV Ä=Ä' + L|fr,
<$2 = iß' -f 3.90^ sind aber die Krömniungshalbniesser einander
gleich, woraus sich ergiebt, dass man bloss Sl=zSl' und i2=52'-|-90*,
also bloss ISl — ^si' und 2.$l = 2il'4^180o zu setzen braucht.

Für das Rotations -Ellipsoid, welches wir zuerst betrachte«
wollen, uro die aus den hier entwickelten allgemeinen Formell
sich ergebenden Resultate mit den Im vorhergehenden Paragra-
phen auf anderem Wege erhaltenen Resultaten vergleichen n
kj^anen, ist nach 50):

P=0, ö = |l-(^ycot»«tangB«|cosÄ*;
also :

P=0, ö = |l-(^y|cosÄ«.

Folglich ist nach 51):

' tang2Ä = 0,

und daher Ä = ü, .Ä = 900; 2Ä = 0, 2Ä = 180o zu setzen;
respective also cos2Ä=+l, cos2Ä=— 1. Ist nun -<1, so i«t

filr Ä = 0, Ä =^ 90® nach 52) der zweite Differentialquotient von
ilf, und folglich auch von Ä-*, respective negativ und positiv,
folglich Ä-i respective ein Maximum und Minimum, also R respec-
tive ein Minimum und Maximum. Ist dagegen - > 1 , so ist (i!r

Ä = 0, Ä = 900 nach 52) der zweite Differentialquotient von Jf,
und folglich auch von Ä-», respective positiv und negativ, folg-
lich R-^ ^'espective ein Minimum und Maximum, also R respec-
tive ein Maximum und Minimum. Dies stimmt ganz mit den i»
vorhergehenden Paragraphen gefundenen Resultaten liberein.

Um nun auch das allgemeine dreiaxige Ellipsoid zo betradh
ten, wollen wir grosserer Bestimmtheit weg^n annehmen, das«

c c

«>6, also -<g sei. Nach 60) ist:

und diese Grosse ist folglicli nnter der so eben gemachten Vor-
aossetzung negativ oder positiv, jenacbdem sin ^£ sin ^ positiv
oder negativ ist. Berücksichtigt man dies^ so wirä man sich
aittelst der im Obigen entwickelten allgemeinen Formeln leicht
vo^gier Richtigkeit der folgenden Regein fiberzengen:

I. sin2£8in^ positiv.

1) Sl^zSV ^ R—^ ein Maximum , R ein Minimum;
2) Sl ^=Sl' + 909, R-^ ein Minimum^ R ein Maximum.

II. sin^CsinJ? negativ.

1) Sl=sSl', R"^ ein Miainnm» R mn Maximum;
2) ß = Ä'+90<>, Ä-i ein Maximum, R ein Minimum.

§. 10.

Wir wollen nun auch analytische Ausdrucke- fär den kleinsten
und grossten Krümmungshalbmesser auf dem allgemeinen drei-
axigen Ellipsoid zu finden suchen.

Die Gleichung 45) kann man offenbar auf die folgende Form

bringen :

2J!f = cos fi«

— ((0* cos£«+ f^ sini«\in B«]cotJJ«tangB«!cos2Ä

"^a'l [CO* ""(Ol **"' ^<>»^ »■» i^cot»«tan^ Ä«sin2Ä.

Bezeichnen wir nun überhaupt zwei Krflromungshalbnesser,
<leren Azimuthe um Vfi unterscÜeden sind, durch R' und R",
QBd die entsprechenden Werthe von M durch lU' und lU"; so
sind diese letzteren Werthe nach der vorstehenden Gleicbang
ofcobar von der Form:

20*

294 6 runer t: NormaUehnttte de» ElUptotdt

«

— ((^yco8£*+(|Ys5njE»Vmfi»]cot»»Umgfi«|codfi

- 2^ . j r(^)' - (|Y] 8in£cogÄ8loBcot»»tangÄ««o 2Ä

und:

211''= cos ^

+ [(:)' • (I)' +((;)'""'■+ G)' "" «*)"»«']"ö«-«»'
-,».«.-[(£)-.(|)-

- ((0* co»)P+ (g)*sin £«)ginÄ«]coÜJnangÄ«JcM2^

+2^ . 1 1^(0' - (jY] sin£cosJCsin£cot]$stang^sin2A;
und es ist folglich:

+

t(«) '(0 ■'^[(a)****^'*^ (O*"""^]*'"^! cot»«taiigÄ«
Nach 42) ist aber:

sing c sidS c ,^

also:

nod folglich nach dem Vorhe^ehenden :

aift Bewt auf etoM$le. 205

Setsen wir:
54) 5=eM^

+ KD" (0' + [(0*'~^+ (|)*.l»Ä«].lD2l«t e«a%a»gÄ«.
80 ist Daeb dem obigen Ansdrocke von 2ilf nnd nftch SO) offenbar:

2ir = 5 -h Qco«2i2 - P8in2A
oder

2iir= 5-hco82A(Q-*i>taDg2A).

Beliebt sieb aber jetit das Azimath St auf den kleinsten and
grdssten Krfinimnngsbalbniessery so ist nach 51):

tang2Ä=-£.

lod folglieb:

JA = Ä + ^i^cos2Ä.

Sind nun R' und B* ebne Beziehnng der kleinste und grSsste
Krfimroangshalbmessery so haben die entsprechenden W and M"
ofenbar im Allgemeinen die Form:

2Af^ = S+ qCob^SI»

2Af^ = S-^^i^cos2Ä;
woraus slöb durch Multiplication :

4»'»-' = «•-^^^^^cos2Ä«
ergiebt. Es ist aber bekanntlich:

C082A*=:

l+tang2Ä«- /»+e«'
tUo nach voratehender Gleichang:

4J!f'iir = 5« -(!»+<?■);
und »eil nun nach dem Obigen :

/8in»\« e e_ ,
i<t, SO ist:

/•

296

Grunert: Normaitcknitte des EUfpsoids

Mittelst leichter Rechnung findet man aber au8 50) und 54):

4

= (s)'G)" •»"•""*•

- [Xlf cos «* + (jY ßin£«] } cot »♦tanf ß^sinP
oder, wie man sogleich iibert»icht:

4

tangJÖ*

tcosi?*

4e)"'~«'+a)'""''T-'"'^sii

1:

also ist nach 55):

'cV /c\*tangÄ*

^_ /sin»Y c J__/cy^e\

*^) • • l^SiTÖy R'W^Ka) \b) tang»«

xtcosÄ* + [gy cosir«+ (j)^inir«]' «'«"^ärg^^'

welche Gleichung natGrIicb nur für den kleinsten und gr5s«ten
Krümmungshalbmesser gilt ; man kann dieselbe auch auf folgen<)«
Art schreiben:

'4
mit Bezug auf Geodd$ie. iffj

Setzen wir nun der Kürze wegen:

58)

f7=C08Ä«

80 haben wir nach 53) und 57) die beiden folgenden Gleichungen :

in» /c,c\_-. /8ing\^ c c _^

sinB
ein

durch deren Auflösung sich auf bekannte Weise :

U9) . . • • V

ergiebt

Nach Archiv. Tbl. XXX Vf. S. 92. 26) ist:

cotB«tanglP = — -jg,= .

also nach 58):

„ ^.©•(0'^i(0'-'-^(0'-'"H"-»-

(i) '«*+(0 "»«■

-=G)'(j)''-'^+[G)'«^<9"-'-«'>"'^'5=r§'

folglich :

©■(ir

tang]9*
ond daher, wie man leicht findet:

I .

298

Srunert: Norm&UeHMtUe de$ ElUpioidt

ü

/'cV /e\* tangB*
W W tanglP

8in£*co8<*aiBA*

also:

D=z

mff*Kd'-(d

cV>' .

S

sint^eosfPBmB*

(?)\o»i? + (j)%lnit«
F

tangB«

oder:

"»IG)* (9* 4(9" -(OT-"«»"-'^

tangi?*
taogV*

* AN* A\* tang ig«'
Vfl/ W tang»«

Nun iat aber nach den Obigen auch:

V „ . tang]ß« , _- cosB*

fey/cy tangÄ«=^^'^+t5H5Ä*^'"^=^5^»i'

tangS«

also:

60)

''=^+?a)'G)"+[e)"-(9>'^'-"'^

tang^

tan^]$«

und:

cWcVainī

«) "= (0 (9" Sirs.-

Setien wir der Kflrse wegen:

so ist:

Mtf Btwttg 9»f «eoOätte. 299

co^ tongÄ« AnB»,

also:

folglich :

woraus erhellet, dass C7* — 4F jederzeit eine positive GrSsse,
and natfirlich» weil F eine positive Grösse ist, — eben so wie auch

U, - immer kleiner als C7*, also V £/« — 4F kleiner als ü ist.

Bezeichnen wir jetzt den kleinsten nnd grOssten Krüroroungs-
balbmesser respective durch R' und B", so ist nach 59) offenbar:

64). . . .

wo man nun die Werthe von a, ß und 17, (7* — 4F aus dem
OUgen leicht einffihren kann.

Man erhält nämlicb sogleich die beiden folgenden sehr merk-
wfirdigeo Ausdrflcke:

65)
.8in» c cosg* , , . ^tangg*

v^

sin» c _co8g* . , . ^tang^
sioB' fi»— co83$« ■'"^•'+*'^tangB«

-V

reiche also ganz allgemein und flir jedes Ellipsoid gültig sind.

äOO Grunert: NormaiHhniUe des Eiiipsoids

Im Falle des Rotations YÜUpsoids ist

also:

co«g« . fc\* tangg« coslt* /cV
*^— ^^^»*^ ■*■ W ■tangB«~cos»« + W '

aber:

1 l €08 i?*

cosB*=

l+tang»« i+Q'tengÄ. cosÄ«+g)V.nfi«
folglich :

cosuB*

COSÄ*

und daher:

=jcos^ + (Q sinß*.

l7=cosB«+(0*(l + 8inl?«),

t7«-4F=|l- ^0'l«co8^*;

also nach 64):

Wenn nun - < l ist, so ist:

also:

sin» c _o/'£V.

mit Be»9tff auf Ce^äsie, 301

folglich :

Wenn ->1 ist, »o ist:

also:

folglich :

sm i? R' \aj sin B R" ' / V«/ )

Diese Resultate stimmen mit den in §. 8. gefundenen Resul-
taten genau Clberein.

För die Kugel ist a = e und demzufolge auch i? = S, also
nach dem Obigen:

wie es sein rouss.

§. 11.

Wenn f{x) eine zwischen den Gränzen x^=a und x=^b oder
von x-^a bis j;=6 stetige Function bezeichnet, und man x sich
von a bis 6 stetig verändern lässt; so wird sich f{x) von f{a)
bis f{b) stetig verändern oder eine Reihe sich von f{u) bis fXb)
stetig verändernder Wertbe durchlaufen. Das arithmetische Mit-
tel zwischen allen diesen Werthen der Function f{x) wollen wir
das arithmetische Mittel von f{x) zwischen den Grän-
zen a und by oder fQr die Gränzen a und 6, nennen, durch

bezeichnen nad n«D im Allceneinen bestimmeD»

302 Gruneri: mnmaiieJMae de$ ßiUpMtdt

Denken wir ans zu dem Ende das Intervall 6^a in » glaicbe
Theile getheilt und selten

-^ = *5

80 ist offenbar, indem wir annehmen, dass n in's UnendlidM
wächst, im Allgemeinen

M|/(:r)>=Lim^°>-*-^°-*'^-«-^<°-*-f •*••'• •*-^"^'^

« 11 -f- 1

zn setzen. Nun ist aber:

b — a . - 6 — a + i 1 t

n^ — 7—9 11+1 = 7

t ' t ' n + 1 b — a + f*

also:

MIA^)»=Lim 6-a + t

oder:

*

**'^^^'= Liiii.(A-«+,-) ; —

und folglich., weil nach dem Fundamentalsatze der Theorie der
bestimmten .Integrale bekanntlich :

and offenbar:

Lim .(6 — a + {) = b — a
ist:

68) MtA^)l= -

y*A^)a

6— a

Diese allgemeine Formel wollen wir in den nSchstfolgeodeo
Paragraphen auf die Bestimmung der arithmetischen Mittel der
reciproken Krfimmungshalbmesser und der Krfimmungsbalbmesser
selbst der Normalschnitte des Rotations «Ellipsoids in dem 10
Torhergehenden immer betrachteten Punkte desselben anwendeOi
indem wir uns denken, dass das Azimuth Sl alle Werthe wb
Sl:=0 bis Sl=2n stetig durchlaure, wobei wir natdrlich allein
Torhergehenden gebrauchten Beseiehnongeo auch jetit heibehaltsii-

mit Bettn amf eetdMe. 303

5.12. ,
Zoer«t wollen wir fiBr das Rotations -Ellipsoid

o \^/ ^^%J Ä

o
bestimmen.

Nach 47) bt allgemein:

sing c
sin

also:

n«=(9'+"-(9"""^-«'.

äl/"^ =G)7*"»«+"-(0'"" •^r-^--

Sin
e
sin

"0 o

wo

/

«t. Ferner ist bekanntlich:

/cos SmSl = ^sin A cos .$2 -I- i/d^ .
also ofenbar:

/*^ cos Ä«aÄ = i /* *"* Sä = n\

0 o

und daher nach dem Vorhergehenden:

0
folglich :

•^ «ällÖ)=(l)'+«"-(0'i-»-

Nach $. 10. Ist:

In» c „ , /c\" . „ sing c /cV

^.3p=cosī + (-J smī, -j-^.-^=y

sing c
sin

oder

sing c

sin«

c /eV sing c «, , /c\« . -^

304 Grunert: NarmaiuhniUe des EiUpioidi

jenachdein

-<1 oder ->1

ist; also >st in beiden Fätten:
sin» / ]

sin

c

=<0'+"-(;)''-**-

si»(B=+s.)=a)'+«'-(0"'-«''

und folglich nach 67):

%vorin ein merkwürdiger, leicht in Werten auszusprechender Satz
enthalten ist.

§. 13.
FCir das Rotations -Ellipsoid wollen wir nun auch

ZU entwickeln suchen« wozu zuvorderst die Bestimnrang des lotegraU

r da:
^/ l+rtcosar*

erforderlich ist« welche sich unter der Voraussetzung« dass l-|-a
positiv ist, auf folgende Art geben iSsst.

Es ist:

dx

dx cosar* Stango;

l+flcosjj* a-fseco?* 1+a+tanga?*'

und folglich : '

dx 8 lang j;

Setzen wir nun:

mtt Be%u9 auf Ctüdäile. 305

VT+i 5 V ^

80 ist:

dx 1 du

und folglich:

/* dx \__ P du _ Arctangtt

,/ i + aco«.T«"~ v^rqrio/ 1+«*"^ VT+ä

also:

J i + act

ArcUng(;^)

coci^r

8

VTfi

Man kann diesem Integral auch auf folgende Art finden.
Wenn man

I = 8ina:* + coso:*

setzt, 80 erhält man:

1

M I sind:*

l + flcosd:* sinar* + (l+«)co8ar* i -\ (l + a)cotar*'

also:

dx

dx siftjc* d cot j:

l+acosi»"" rTnTö)coTx« ~ ■" r+7lTä) cöt^ '

und folglich, wenn man

de

cotarVl + a = r, 8cota?=:

setzt: \

dx __ I 8p

i+läcosx^ "^^ VT+a 1 + 1?* *

also:

f

/dx A /* 8p _ Arctang t

l + acosar»^ V^Xqp^ ,/ 1 + p«^ V^Ff«

folglich :
^ /* dx Arctang (cot arV^I + fl)

a06 Grun$ri: N^rmaisckMU äe$ SfäpMckb

Dass beide Ausdrficke in 69) und 70) dasselbe Integrml repti-
sentireDy ist leicht zu fibersehen.

Also ist nach 70):

f'n

acos^r*
o

_ _ Arctang(cot>g. VT+c)^ Arctang(cotO. V 1 +a)

__ Arctang(cotO. V l-|-<i) Arctang (cot >g . V 1 + q)
^ Arctang (-§- od) Arctang (— od)

^ j_ >g >g

so dass man folglich die Gleicbang:

dx %

") /'iT

acosjr* \rr!jr5

hat

Offenbar ist:

dx In

72)

/a;r
1+

ocosa:* VT+ä'

Nach dem vorhergehenden Paragraphen ist:

sin^ 12 1

BW» e

0y+|l-(5)'|co8īcosī

oder:

also:

1 «jpg
c 'siD]9

«InÄ iB_ W

.In»' c , + (£)• ti_(£y,eo.B.co.Ä.'

mii Be9U0 auf GeoäMe. 307

imd da nan

ist, so ist nach 72):

y

C08Ä*

folglich :

73, . . . l.e|.^(ß)= ^^^

oder:

y sinÄ^ + ^Vcosß«

74). . .l.'-^|.M(Ä)= (^)

' c sin» o

^1-|1-(0'}CO8B«

Nacb dem vorhergeheDdea Paragraphen ist allgemein:

sing c c^j TcV

«Ii.ä'Vä'ä» - aV «o«Ä« + ^-j sinfi«,

also nach 73), wenn man mnitiplicirt :
M(Ä) ^ y cosBa + ^^^VsinJJ« Y «nfi« + ^VcosÄ«

y ain Ä« + 0Yco8Ä« Y sinB« + ^^VcosÄ«

VÄ'Ä" «^

= 1,
folglich :

TO). M(Ä) = VlB*Ä*,

0

worin wiederum ein merkwflrdi^er, leicht in Worten auszusprechen-
der Satz enthalten ist.

5. J4.

Es liegt nahe, zu untersuchen, ob die beiden in §. 12. und
§. 13. für das Rotations-Ellipsoid bewiesenen Sätze für jedes be-
liebige dreiaxige Ellipsoid gelten, zu welcher Untersuchung wir
daher jetzt übergehen wollen.

Tlieil XL. 21

/

I

308 Grüner t: NwrmaiHhnitte des EUtpioid»

Bekanntlich ist: ^

ftosSl^dSl =; isln Slcos St i-ifdSl,

/sin A^il == - isin i2cocr A -f i/dA,

2 f9\nSl cos SldSl =/8ln2.$2di2=— ico82A;

also:

co8.$2^ A =\ j 8Ä = w.

A 0

0

folglieh nach 45} offenhar:

O 0

iß 8inAco8Adi2 = — i-|-i=:0;

in

MdSl

nnd daher nack 42):

"änSj SR

O

^ X cotS*taag Ä*!»

ai80 nach 66):

^ 'Sl© .

=»i~«-+[G)"(0'+((iy-«*+G)'-«*>-»']

•dar BMh S8>:

sin» ^/1\ .„

Nach 64) tot aher:

sin» / 1 . 1 \ „

^ ?a)=»tt+ii.)-

mit ßetatff auf Cea^OHe. 309

woTwam akk iemmmch ergMbt, daas der im $.13. ßlr das RotatiMia-
Ellipsoid 4iewiesene Satz in der That gana aUgemeln fBr jedM
beliebige Ellipsoid gilt.

§. 15.
Weno wir der Kflrze «regen;

G=— aj.j- j(j)' — fiV j "•»««»»ÄelnÄcotB'tangÄ«,
iy=0y-0)'cot»«tangÄ«

<

setzen, so ist nach 45) :

M^F cos Sl^ + GslüSleoBSl + H sin Sl^,
also nach 42):

c * sin» "■ Fcos il* + Cr sin SlcosSl + Asin il*

■"F+ GtangÄ + ÄtangÄ«

8tang Sl

^F+CtangÄ + £fUngÄ«'
Non ist aber:

4F£f— G*
4

=/|)Yj^Y{cosB*+[^(0*corf«+(0*«n««]einB»cot»«taogJ?«)

XcotB*t8iig£*

-(?)' (9' { ©' " (0' r "*"*' ****' ■^"* ~*** *"***

X sin fi* cot ]9^ tang JB*

KDXO'

tang]^

{C08^

+[(9*""-+(0"''»'*]""»*^'-

21*

310 Grunert: NormaiscAniUe des illiptoids

also AFH — G^ eine positive GrOsse, folglich nach eioer sehr be-
kaooten IntegraMbrmel *) : •

atangift 2_ G + 2ÄtaogÄ

F+GtaogÄ + i^taiigÄ«- V^4FÄ=G* ^^ ^"^ %/ iFH—G^ '

J Ft

ttod daher nach dem Obigen auch:

8^

Fco6 Sl'^ -i- G'ein SlcouSl-\- Hhih i2<

2 . ^ G + 2^tangi2

Folglich isf, wenn wir uns alle Bogen zwischen — \n and +i«
genommen denken:

/*'

Fcos A> -f- Gsin A cos i2 -}- J^sinfi*

=7l^rfp« A"'*»"«(+ *^-^''**"» 71^^^^

and

aÄ

rcösS^TGslnÄcösÄ + Äsln Ä«

2

/■

,. , 6?-F2gtang« ^ ^ G+2Ataaci«.

F- 1 ArctaDg-7====^ - Arctaog —7—;-- l* J

~V4F£f-G« * V4FJ5f— G» ^ ViFB-G^

*) M. t. meinen Leitfaden für den ersten Unterricht in der
höheren Analytis. Leiptig. 1888. S. 164.

■) Warom bei der ersten und tweiten Integration respectire

••^

und

mit Bevug auf Geodäsie. Sil

also nach eipem bekannteD Satze von den beatimmten Integralen:

o

dA 2n

FcoaSl* + Gsin Slcos Sl + Ha\n Ä«"^ ^iFH^ C* '

Folglich ist nach dem Obigen:

'""^^"«3^= ''"

1 »In^ /»
c ' sin 16^/

-O

y/4FH—G*'

and, weil offenbar:

RdSl=2 1 RdSl

o o

ist:

c BtoVj V 4FH-G*

also nach 66):

1 sini^ ^^ 2

oder :

and wenn man nan für den Nenner seinen aus dem Obigen be-
kannten Ausdruck einfährt:

78) M(Ä)

o

sing
^ ^sing

Nach 58) ist aber:

F =

(l)X0'5g'-"-^[(0''^<Ö''-^J"-'-^-

■ ^ ^4- 2£r tangier .
Arctong-- -2»-= Arctang (— od)

gcteUt worden ist, wird einer Erläuterung nicht bedürfen, wenn mao
mit bedenkt, datt man immer das Gesetz der Stetigkeit fettiuhalten hat*

312 Grunert: NarmaiMClMiie des E/ifpsoids

also nach 78):

ging

«7. ^. ^ siiTS

79). ....... . M(Ä)=:

0

VF- '

und daher nach 61):

80). . . '^(iQ=e.^.tc?iii|y.

Nach 64) ist nun:

also :

sing

\8mBj R' R"-^* ^ ^^ -^7f"'
folglich nach 79):

81) M(ä) = Vä^ä^,

o

welche Fonnel wieder mit der früher filr das Rotations • Ellipsoid
gefundenen Formel 75) genau fibereinstiromt.

§. 16.

in den in den beiden vorhergehenden Paragraphen für jedd
beliebige dreiaxige Ellipsoid bewiesenen Gleichungen:

ist der folgende merkwOrdige Satz enthalten :

liehrsatz.

Das arithmetische Mittel der reciproken KrümmungshoB'
messet aller Normalsehnitte in einem beliebigen Pknkie eiltet
jeim EUipsoids ist das arithmetische Mittel zwischen dem
reciproken kleinsten und gr»ssten Krümmungshalbmesser i»
diesem Rinkte.

Bas arithmetische Mittel der Krümmu$igsha!bmesser al-
ler Narmalsehnitie in einem beliebigen Funkte eitus jeiei^

mil ßeauff auf GeodOsi^. 319

«

ElHpmidi i$i ims feomttrUchm Mittel zwischen dem Ideb^
Stern und gr^eeten KrümmmngshaOnnesser in diesem Amftle.

Setzen wir

M ist:

"-Ä' + Ä"

al«o:

folglich :

nod daher offeobar Immer:

R>K.

Weil ferner

folglieh

iat; so ist:

Weitere Untersochaogen Ober das obige Theorem, welches
icli filr sehr merkwQrdig halte und das lu manchen Anwendan*
gen Gelegenheit geben kann; namentlich auch Q^er seine viel-
leicht mögliche noch grössere Verallgemeinerung, behalte ich mir
vor, da dit vorliegende Abbandhing nur dem Ellipsoid gewidmet
•ein sollte 9 Insbesondere auch wegen dessen grosser Wichtigkeit
für die höhere Geodäsie , wenn es, wie ich schon frfiher bemerkt
habe, namentlich sich immer mehr als nothwendig herausstellen,
sollte, die Erde vielleicht als ein allgemeines dreiaxiges Ellipsoid za
betrtcbteo.

«. 17.

Nach fliesea Untersuchangeo aber die KrfloumiDg des £Uip-
s^Us woUea wir jetst so anderen , in noeh anmlUeUNurefer Beii»-

314, Grüner i: Narmaiscknitte des EUipsoids

hang zar höheren Geodfisie stehenden Betrachtungen uhergeben,
indem wir uns zunächst die folgende, die Bestimmung des A»-
muths betreffende Aufgabe vorlegen.

Von der Normale des durch die Coordinaten:

!j:^ = a cos £o cos Bq t
y^ =:6sin£o cos So»
zo = rsinSo

bestimmten Punkte des Ellipsoids denken wir uns eine Ebene
ausgehend, welche durch einen zweiten, durch die Coordinaten:

ixi^ a cos £} cos S| ,
f/i = b sin £| cos^Si ,
Zj z=csin]J|

bestimmten Punkt geht, und wollen nun das Azimufh dieser Ebene,
oder vielmehr der Geraden, in welcher von derselben der Hori-
zont des Punktes (arQ^o^o) geschnitten wird, welches durch Api
bezeichnet werden mag, zu bestimmen suchen.

Bezeichnen wir die Gleichung der in Rede stehenden Ebene
durch :

84). . . <(ir-a:o)+Bo'(D-yo) + Q)'<?-^)=0,

so ist unter den gemachten Voraussetzungen auch:

85). . ^o'(^i-^o) + Äo'(yi-yo) + Co'(^— «o) = 0,

und nach 32) ist:

86)

A , ^ /cos£otangÄo8«n'^k . sinfioSec39oC08Äoi\
^0 =cosSoy^ + 1 J»

»/ <U /9\nt^XBx^%B^B\nSlf^x cosjB^6ec^oCosi2o|\
B^ ^cos^o ^^ 1 ) .

gy , _ singpcot^sin Äoi
Co - .

Aus 82), 83), 85) erhält man die Gleichung:

^

ai^o'cosIt^cosSi -f 6i9o'^in£iCos)$i +cC(^'sinBi
= o4o'cosje^cos)$o + 6^o'"in£^co6So + cC^' sin ]$o»

nnd mass nun zavSrderst die GrSsse auf der rechten Seite des
GleicbheitsBelchens weiter entwickeln. Nach 86) ist aber:

mii Bevuff auf €eodätle. 315

aA^ co8jB^G08]}o + ÄÄo'8iQj8;>cos]?o + cCo'ainBo
= cos »0* (cos io* taog ^ sin ^oi -|- t- sin £o cos Aq sec Ä© cos Äoi )

+ cos]$o^(s>d|[^* tangBosio52|)| sinfio co8JBi)8ecfil)Cos.ßoi)

— SID Bo* cot Äq *•" -^01

)

/

= (co8]So*^i)g fio-^si^^o^cot Bo) sin Ä^i
+ ( T- JsinJB^cos£^sec^oCos]ßo'cos.^i

CO8j5o*8n»Ä0*— »>n5Jo*COsBo* . rx

sm^ocosi^o

+ ( T- J sin £^ cos £^ sec B^ cos]9o* cos Ä^i

_ sin(^o + go)sin(^o-Bo) '

Sin ^0 COS ^0 '*

+ f T- )sin£^cosi^seci3^cos]9o*cosi20|

_ 2sin(go-|>go)sin(Bo-»o) ,_ ^

- Si^25ö ^' ^*

+ ir^— -j8in2£;,secÄoCos]?o*cosÄoi»
und man hat also nach dem Obigen die folgende Gleichung :

co«]9o(co8£o^°g^osin<^i+T'sinfoseCiBoCos42oi}€osiriCos]ßi
-|-eo8Bo(8in£otang£oSin.^oi cos£o8ecg0cosi2oi)sin£| cosS|

— sin So sin B^ cot ^o sin Sl^x

_ sin (^0 + Po) sin (gp — g«) _,_ ^

sinÄnCOSÄn ®'",^*

rovvo.K#o

+ f T- Ysin|[^cosJG^sec£^cos9o*cosAoi,

od«t:

316 Grüner t: NormaUcbniUe iks ßtüpsoiäs

/a b \

— sin 1$Q sin Si cot Bo sin SIqi

sin (Bq + gp) sin (gp - gp) ,^

= ; — 5 n Sin •»6p|

Sin Bq cos Äp ^*

+ yx JsInje^jCOsfipSecÄp oos)Jp*cos Äp, ,

woraus man mittelst leichter Rechnung die folgende gans allge-
meine Formel zur Bestimmung des Aaimutbs i^M erbiU:

87) tangi2o,

gsingpCosg,---cosgbsinir|-(^^--j^^^siDgpCoa£p

cos(£p~ltk)fliniBp '
cosÄp . . ^ . ^ ^ , j, , sin(£^o+go)g'"(^o~3^o)>

— ^ ^h=- 8ingp8IDjPiC0t/>p+ . p ^^^ ßf 1

cosBpCosUi* ^ * " siniBpCOslPp

Bekanntlich ist:

attM^Lo^^bUir^gSg, atangjLi =6tangj^.
Für das Rotations •Ellipsoid ist:
88) tangSipi

^ sin(Jp— -X^t)

\ [ [ cos (Lq — Li)b\dBq

cosBp . . ^ . ^ ^^.„ , 8in(Äo+Bp)8in(^--Bo).
- cosgoCosgi'"'"^<>"'"^^"^^^+~~sirig^^;ii:^ — '

Man kaan ooch einen anderen bemerken» wer then Aasdmck
für das Azimuth entwickeln, wozu wir aber zunficbst die folgende
allgemeine analytisch -geometrische Betrachtung voransachlckeB
müssen.

Die GletcbiiDgen einer Geraden seien:

t^a _ y— 6_|— c
cos c "~ C06/3 "" cosy '

r

I ■ •

mii Be%u§ auf Geoädtie. 317

Onrcb diese Gerade sei- eine Ebene gelegt, deren deiehmg

A{t-a) + B^^-b) + C{}-c) = 0

sein nag, so ist:

/4c«8o-|- ^cooj3-|- Cco8^=0.

Geht Dan diese Ebene durch einen zweiten Punkt (0|6|C|), so ist:

i<(«i -a) + Ä(6i -6) + C(ci -c) =0,

und es kann also:

il = (6| — 6) cos y — (ci — c) cos/J,
Ä= (C| — c)cos« — (fli — a) cos y,
• C= (oi — a)cos/} — (6i— 6)cos«

gesetzt werden. Durch den Punkt (abc) sei eine zweite, auf der
ersten Geraden senkrecht stehende und in der vorhergehenden
Ebeoe liegende Gerade gelegt, deren Gleichungen:

cos 6 "~ ccyi a> cos o
sein mOgen, so ist:

' cosacosd-1-cos/9cosa>-|-cosycoso=0,

ilcosd -h fcos CO -|- Ccos 0 = 0;
also :

cosd = G(ßeo8f^ Ccosß),

to8 m = €r(Ccos« — A cosy),

coso = €r(^cos/9 — Acos«);
folglich :

I

j^ = :t: V(i^cos/3— ircos«)»+(fico8y— Ccos/J)»+(C'cosa— /icosy)»

— ± VA^+ B* + C*— (^ cos a + Äcos ß + Ccos j^
und daher :

cos

^ cos y — Ccos p

. Ccosa — ilcosy
cos CD == + — =====t •

_ . Aco9ß—,Bco9a^

C0Sto=4: r — »

318 Grunert: NermaUckniiU des Eihpsoids

wo nach dem Vorbiergehenden :

— |(a — ai)co8a+(6 — 6i)co8/J+(c— Ci)co8y(*

ist. Durch die erste Gerade sei eine zweite, auf der vorhergehen-
den durch dieselbe gelegten ersten Ebene senkrecht stehende
Ebene gelegt, deren Gleichung:

Ao{x-a)fBo(tf-b) + Q,ö-c) =0

sein mag; so ist:

also :

ilo = ^ ^os y ~ Ccos /5 ,
BQ:^Ccoaa — ilcosy,
Co^=AcoBß — fcosa;

wo nach dem Obigen, wie man leicht Ondet:

Acosß — Bcoaa
= |(iii — a)co8cr + (6| — 6)cos/3+ (Ci — c)cosy|cosy — (C| — c),

Bcosy — Cfiosß
= {(«1 — «)cosa + (61 — 6) cos/? + (ci — c)coay]coBa — (ai — a),

Ccos a — A cos y
= t(ai —a) cos« + (61^ — 6)cos/J + (ci — c)cos/|cos/3 — (bi — b)

ist. Die Gleichung der zweiten Ebene ist:

(Ä cos y— Ccos /3)(jr—a) J
+ (Ccosa— ilcosy)(l^ — 6) > =0.
+ (ilcos/5— Äcosa)(j — c) )

Die Coordinaten eines beliebigen Punktes in d^m durch die Win-
kel d, (o, o bestimmten Tbeile der durch die Gleichungen:

cosö cos© *" cosö .
charakterisirten Geraden seien:

' a+QCoaO,

b -f- ^C08 0>,

c -f ^cosS;

^. mli Bemtff auf ewdäsie, 319

fo erbäH für dieselben , indem man sie flir jr, i^, ; setzte die GrOese
aaf der linken Seite der vorstehenden Gleichung den Wertb :

(Äeosy— Ccos/?)eosd
q\ -f- (Ccosa— i4cosy)coso> ^ >
-{-{AeoBß — fic68a)G08€5

also nach dem Obigen den Werth :

(^cosff~^co8«)* + (igco8y— Ccosji)*-|-(Ccosa— Jcosy)*

oder:

Ffir die Coordinaten a| , 6, , Ci erhält dieselbe Grosse den Werth :

{B cos y — Ccos ß) (oi — o)
+ (Ccosa — 2lcosy)(fr| — b)
+(il cosß-^BcoBu) (Oi — fl)
= I [(«1 — o)co8a+(6t — b) cos/9!+(C| — c) cos y] cos « — (0| — o) | {oi — a)
+ 1 [(«1 — a)cosa+ (6i — b) cos/?-|- (ci — c) cos y] cos /3— (6, —6) I (6t — 6)
+ 1 [(«t — a)cosa+(6i — b) cos/?-|-(C| — c) cos y] cos y — (ci — c) 1 (Ci — c)
=1 (fli-a)cosa+ (6t -6)cos/J+(cj -.c)cosy !«-( (ai-a)H(6i -6)«+(c, -c)«|
=— (at — a)*sina* — (6t— 6)*sinjS'— (Cj — c)*siny*
+2(ot — a)(6t — 6)cosaco8/3
+2(6i — *)(ct — c)co8/3co8y
+ 2(ci — c)(«i — a)cosycoso.

Man muss also nach einem bekannten Satze, wenn der Punkt
(atfttCi) und der durch die Winkel 6, a>, o bestimmte Theil der
durch die Gleichungen

jr— fl __ ty— 6 _^ ?— c
cos 6 cos 09 "" cos 5

charakterisirten Geraden auf einer Seite der Ebene liegen sol-
I^f welche durch die erste , durch die Gleichungen

Jf— o, y— 6 _ j— c
. cos « ~* cos ß "" cosy

320 Sruneri: NarwuUukmlU$ de$ EUiptoidi

ebarakterislrte 6«radle senkrecht gtgto die doreh dies« 6«nMie
und den Paolct {ogbiei) gelegte Ebene gelegt worden iit, b 4«i
obigen Formein fQr cosd, coe», cos 3 die oberen oder ontereo
Zeichen nehmen, jenachdem die vorstehende GrOsse positiv oder
negativ ist. Nach dem Obigen ist aber:

-(il«+Ä«+C«)= |(oi— a)cosa+(fti— 6)cos/J+(cj— c)co«y|»

folglich letztere GrOsse negativ; daher muss man in den obigen
Ansdrücken von cosd, cos», cos 3 die unteren Zeichen oebHieo,
und hat also:

Bcoay—Ccosß ^^ Ccos^j^-JBcosy
Ccosa — -/Icosy ^ iJcosy — Ccos«

COSID— ^j^;===- ^___=,

. Acöaß — Bcoaa Bcosa — Acoaß

cos ö = . = ' " r-

Va*+b^+c^ Va*+b^+c*

an setaen.

§. 19.

Die Gleichungen der Normale des Ellipsoids in dem Ponktt

(«oyo*o) »«^«n

coso^ cos/^o cos^o'

wo bekanntlich:

cos aQ =

II«

^m<^y*(%y'

So
cos Po =

^W^W^"

cosyo =

V(%y + m + (%y

mit Be%u9 auf GeoddHe. 321

so 9%tamn ist (Archiv. Tbl' XXXVI. S. 83). Durch diese Nor-
male and den Pailkt (^i^iZi) des Ellipsoids legen wir eine durch
die Gleichung

charafcterisirte Ebene, und bezeichnen durch 6^|, a^i, €$oi die
ßestimmangswinkel des Theils der Dnrchschnittslinie dieser Ebene
mit den Horizont des Punktes (^o9o^)' welcher mit dem Punkte
(xijfiti) auf einer Seite der durch die Normale senkrecht gegen
die vorhergehende Ebene gelegten Ebene liegt; so ist nach den
im vorhergehenden Paragraphen entwickelten Formeln:

Cqi cos ffo — Bqi cos /o

cos am =

w

_4>iCosyo — Qtcostt^
cos fOtgt :=£ /. ^ ff

.., r.,, ^ gnCog«<L=-J^oi eos/3o

!9aeh dem vorhergehendeti Parngraphen i^t aber:

Qi co8/?o— Äoi cosyo
=(jr,— Xo) — t(^i-^o)cos«o+(yi — yo)cos/Jo+(xi~Xo)cosyo)cosoo,

4)1 cosyo — Cqi cos «o
=(yi-yo) — Ka?i— aro)co8a^ + (yi-^o)cosl^o+(*i— «o)cosyo|cos/Jo,

B^e^nuQ^ A^iCOBßQ

=(h— «o)— ((^^ --art)cosi?o+ (yj— yo)cö»Ä) + (*i-2o)coe)^feosyo
Qid:

-((a?i -^o)cos«o+(yi-yo)cos/Jo+(ai-io)cosyol*,
o<l«r, wenn wir:

89). . . Eoi = V(:i:i -xo)« + (y, - .vo)* + (ii - lo)»
«•txen:

^*Joi*-U^i— aro)cos«o + (yi— yo)cos/Jo + («i-2e)cosyoP;
^0 ist nach dem Obigen ;

322 erunert: NorwuUselMUe de$ ElUptoUt

90)

^ _(:r|-aro)-|(a?i-a:o)co8a^+(yi~yo)cospo-f(Z|'-io)cosyo}co8c^

V iS^oi*— I (^i-^o)co«Oo+(yi— yo)co»/3o+(«|— ^os/oP

^^« ^ — (yi-yo)-i(^i-^o)c<^8«o+(yi-yo)co«go+fa-^o)co8ro>c<>«<^>

cos WQi — ^ ^ %

V 15:01»— l (^1 — ^o) C08 «o +(yi — y o) cos /Jo+fe — io)co8r« i*

I

cos Qoi S= ^ , ■ ■ ■ ■ •

ViBoi*— K^i— ^o)cosa^+(y,— yJco8/3,,+(2,-rJco»y,|»

Setzt man nun in den Formeln 17) fOr or» y, z respective ^o» jfoi ttt
wodurch man:

a
C08a=: —

a*'c«

v"(^"+(s)'V&-)"+(§)'-^(sy

C08/? = —

2!:« *o.

cosy=

vo)"+ao"V(s)"+(^'<äj

erhält, 80 ist offenbar allgemein *) :

cosi^oi =cosoco8doi + cos/9co8Qioi + cosycos c3oi*

Nach gehöriger Substitation findet man als ZShIer von cosi^«,,
wenn der KOrze wegen:

Ko i = (^1 — «o) cos «0 + (yi — yo) C08 /3o + («1 — «o) CO« r o
gesetzt wird 9 die GrBsse:

— (ari-^To)^-^ +^oiC08ao.;5i-^

— (yi — »o)fti • ^ + ^01 COS^o- g2- ^

*) E« mag 0<52o, <18(K' oder 18po<l?oi <Seoo «ein.

mU Be%u9 auf Geodäsie. 323

■""■} a« + 6« ■*■ c« Ic*

+ ^01 (^cos cTo + |i cos /Jp + ^coöyoj ^

I

Auf der Stelle Qberzeagt man sich aber, dass die Grösse

i £o(£lz:5o) . yoCyi— yo) . ^fa-3^0) * fo

+ ^01 (^€0» «0 + ^ ^*^® '^o + ^cos yo^ ^
verschwindet, so dass also der oliige Zähler die Grösse

and folglich offenbar :

•■ ^^..•-''..' V"(?.)'+(§)" '

also nach dem Obigen:

cos ß„ , = cos öoi . -

vW^

ist. Nach 16) ist aber:

cosec Bi

also:

0»

Thtil XL.

Si4 Gruneri: Narmal$elMU9 des Siiipsakts

folglich oiieh d«m Obigen:

»') •■■ -^..=^.

welches eine sehr einfache» fär jedes Ellipsoid geltende Relation iat.
Nan iat i|ber offenbar:

«..•V (5)'+©"+(^)*-(^+^'+^)-

= {slnBosinSi -f-cosBoCoaSi co8(£p— £i)|«— 1 ,
alao, wenn wir:

92) coa^oi sainSo^^D^i +co8]$oco83$icoa(f^— £i)
aetien :

folglich nach 26):
also;

Weil femer nach dem Obigen:

?

1

iat» so iat:

vW^W^'

alaoy weil endlich auch:

«I— io=<?(«w 391— «in 38o)=^2cain4{JSo—)5|)co« 10^+36,)
iat» nadl deai Obigen:

^ •liiW8o-»i)ooa«»^+»0-^^*«^*®o."
cosS,. = -i^ , ^^ . ^ """^^

Ol

V"''(i^sf *••..•):

mti Bemiff auf Geodäsie. 385

föfglieb nacb 91) :

CMÄ^l

93)
2^ «inK»o-»i)cosi(»o+»i)-^AliiR.<

Es ist:

!a*(cosJEoeo8]$o--^<Mi^ cosl^i)^ ) *
+ 6«(siiiito eoBVo—s\nti cos ]$i)«

Durch die Fonneln 87) oder 88) und 93) fflr tangii^oi und cos A^,
wird das zwischen 0 and 360^ liegende A^i vollkommen be-
stimmt. Oarcb eine dieser beiden Formeln allein wird Sl^^ nicht
vollkommen bestimmt; man braucht aber bloss das Zeichen von
eoei^o, zü kennen, nm dann Sl^^ mittelst der Formel 87) oder
^) ohne affie Zweideutigkeit berechnen zu kOnnen. Weil cos^

positiv*
8tets positiv ist, so ist cos<$2„, ^^ ^ jenachdem

sin 4(»o-»,) eos 4{»o+ »i) - ^^*«« *». •' > <>.
em

oder jenachdem

sin fiof

^0

oder jenachdem

ist.

Anmerkung.

Die beiden merkwürdigen Ausdrflcke 87) oder 88) und 03)
^ das Azimnth auf dem Ellipsoid wollen wir jetzt noch auf die
Kii§§l anwenden» und untersuchen « ob die dadureb skb erg^ben-
icn Resultate mit den Resultaten gbefeinstlmmett» welch«' in di^"
^ Falle die sphärische Trigonometrie liefert, weil wir, wenn
^ idlcbe ÜebereinstlmmuDg sich zeigt, darin zugleich ein Kr»-
teriom (tir die Richtigkeit der genannten Ausdrücke haben. Wir
^«Yden dabei aber zugfeÜch seb^n, dass diese Ausdrücke eigentr

S26 eruneri: NormalschniiU des EiUptoidi

lieh nur Uebertragungen gewisser Formeln der sphärisefaeo Tri-
gonometrie auf das Ellipsoid, also jedeDfalls sehr bemerkeim-
werthe Verallgemeinerungen dieser letzteren sind, wodurch das
Interesse der in Rede stehenden allgemeinen Ausdrucke natür-
lich sehr erhöhet werden muss.

Für die Kugel ist Vq^^Bq, B| =£i, wodurch die Fomd
88) die folgende Gestalt erhält:

tan Ä = sin(Lo~L|)

® *' cos (Lq -^ Xg ) sin ^0 ~~ ^^^ Bq taivg Bi

oder :

^ sin B^ cos (Li — Lo) — ^^^ ^o ^^^^ B^

cot W 1 == . , w f^-r 9

wobei wir jetzt annehmen wollen , dass L| ^ JLo positiv und klei-
ner als 180^ sei.

Denken wir uns nun «in sphärisches Dreieck ABC, dessee
Spitze Ä im positiven Pol liegt» so können wir uns B und C'vk
die Punkte {Lf^BQ) wuA (LiBi) verlegt denken, wo dann offenbar.

J = I.,— Lo. 6=900 — i?i, c = 90o — Äo;
Li-L^ = A, ^=900 — 6, Äo=90<^ — c

ist, indem wir die Selten des sphärischen Dreiecks ABC wie
gewöhnlich durch a^ by c bezeichnen. Also ist nach der obigen
Formel :

' cosccosil — sinccotA

cotüo, = : — -i •

®* sinJ

Nach der Art und Weise, wie in Folge der früher gegebenev
Bestimmungen die Azimuthe .^oi ^^^ 0 bis 360<^ gezählt werdet,
ist aber offenbar .$2^,=360<>~^, also coti2«, = -cot^, folglich'

^ cot 6 sine— cos c cos ^

cot B = ; i »

sm A

worin man auf der Steile eine bekannte Formel der sphlrisdiei
Trigonometrie erkennt

Die Formel 93) wird im Falle der Kugel, deren Halbmefser
wir darch r beseiciuieii wollen:

^ «r sin MÄo— ^^)cos ^B. + A) - ««» *• sinJÖ.i'

cos

mit Be%ug auf Geodäsie. 32Y

also «ach 4ein Obigen:

2r sin \{b — c) «in \(b + c) — cos c sin ^B^ ^ *

Sin c V l-(^sinie„«y

Nach 92), wo offenbar S^^ zwischen 0 und 180^ genommen vrer-
kann, ist aber:

cos ^01 = sin ^0 sin Bi + cos ^o <^os fi| cos (L| ~ Zq)
= cos 6 cos c -f- ein 6 sin c cos il ,

folglich nach der sphärischen Trigonometrie Oo,=a, und daher
nftch dem Obigen:

cos

smi

2r cos c sin |q* — sin |(& — c) sin J(6 + c)

»ncV 1 — f-g- sinja^j
Nach 94) ist:

f-^l ^ (cosLoCos^o — COsiiCOSÄi)*

+ (sin Lo cos Äo — *'" A cos Äj)*

+ (sin^o "■ sinÄi)*
= 2 { 1 — [sin Äo s'*" ^ + cos ^q cos ßi cos (/^ — X#i)] I
=2(1 — cosa) = 4sinia*.

ako:

1^=^' »-(^«i"*''')' =*-'■"•*"•=""•*«••

cos c sin jg^ — sin 1(6 — c) sin \{b + c)

cos B = : : — i i •

sincsin^acos|a

Weil nnn :

28in ia*= 1 — cos o , 2 sin 4(6 — c) sin 4(6 + e) = cos c - c(mb,

2 sin 4<z cos 4a = sin a

^t; so ist:

-^ cosc(l — cosq) — (cosc— C086)

sine sin a
cos 6 — ' cos c cos a

sincsina '

eine der bekannten Grundformeln der spbäriscbeo Tr%eaa»etrie.

328 Grüner t: NormaiscMite des Eiüpsoids

Ich benutze diese Aomerkang ooch ttk der Mp^^l&m Bat-
wiekelttDg« In meiner Abhandlung: Archiv. ThLXXXVI. Nr. VlIL
S. 95. 3Q) habe ich gezeigt, daae, wenn wir auC dem aUgemetDen
dreiaxigen fillipaoid den von den Süsseren Theilen der Normaloi
in den Punkten (Lo^o) ^^^ (^n^i) eingeschlossenen, ISÜ^ oicht
übersteigenden Winkel jetzt durch ^cooi bezeichnen.

cos

-^cost^cosITi-fTsflinJtosinj^ Jcotl^eotBi )

ist, habe aber dort der Kürze wegen, mit Bezug auf den Zweck
jener Abhandlung, aus dieser merkwürdigen Formel noch nicht
diejenigen Folgerungen gezogen, welche sich ans derselben sieboi
lassen; muss ich mir nun zwar auch jetzt noch vorbehalten, tni
diesen Gegenstand speciell zurückzukommen, so will ich doch
schon hier auf eine mir besonders bemerkenswerth seheineode
Folgerung aufmerksam machen, zu welcher jene Formel Gele-
genheit giebt.

Nach Nr. 26) meiner vorerwähnten Abhandlung haben wir die
Gleichungen :

tangBi^ c* ^o . «• . ^ ^
woraus sich ergiebt:

also:

f ^cosi;,cos£i +^smiQawtij (cos^oVinfi^—sinJE^^^cosfi*)

tangSo*
"^ ÜLfigBo^^^^^^^^^^^* sinfii«-^ sin«oslofiicos«i*)

tang ]$i*

woraus man, wenn man durch

sin (£q — £i) = sin £^ cos ti — cos £o ^i» 'i

mU Betmg wf GeoäOiie. 329

diTidirt, sogleich:

erbfllt. Also ist nach dem Obigen:

C08 »Ol

^;;^.,£.co,t.-f^grs».Pto«>«ito

=:SloBoSinÄ,+COSi?oC08Äi ^^ .^.tf ■ /v

tangBo*tang]9i'
folglich :

COSC0O1

itang»o tangi?!
tangi?0 tang}$| ' "

tang»o tangg,

= am Bo sin f^, + cos ß^ cos /^, ^ ein(lto4-0

oder:

CO» »Ol

tanggp tangg|

tagg^ tangi?^

s » . » _L » «^ . ^tangX'tanggi*^"^^'
= sId Bo «in ^i + cos Ä« cos B, 2sin(g -f g/)

Ffir das Rotations- Ellipsoid ist:

also;

tang Bq _^a tanggt ^^ a ,
tang~S^ "" c ' 'tang »i ^ c '

tanggp tang gl a e .

tang ]8o ' tangl^ "^ c ' a ^ '

tangBp tangg| _. 5 ? _ j .
tang^o ' tongJ^i ~ « V *

330 Grunert: Nomutiscknilie des ßU^aofät

folglich oach obiger Formel:

cos Odoi = 8>n ^0 *'W ^1 + ^^^ ^ C^® ^1 o « /r , y X »

aUo, weil

a\n2Lo+s\n2Li =28in(J[^-f-Z|)co8(Lo — 1^)
ist:

tsi n ^0 sin Bg +cofi Bq cos Bi cos (Lq — Li)
sin ^0 ^^ ^i + ^^^ ^0 ^^^'^ ^1 <^<)s ( A ~' A>)*

Dies ist aber ganz dieselbe Formel , welche die sphärische Tri-
gonometrie för coqi im Falle der Kugel liefert, woraas man also
sieht, dass diese sphärisch- trigonometrische Formel ganz io d^
selben Weise fGr jedes Rotations -Ellipsoid gilt, und in der wei-
ter oben gegebenen Formel ihre Verallgemeinerung für jedes
dreiaxige Ellipsoid findet. Ich muss mir, wie schon erioDeft,
vorbehalten, auf diesen Gegenstand in einer besonderen Abhand-
lung zurückzukommen *).

§. 2a

' Wir wollen uns jetzt mit der folgenden Aufgabe beschäftigeB:

Aufgabe.

Durch die Normalen zweier Punkte ein-es Ellipsoid»
seien zwei Ebenen gelegt; die Lage einer jeden die*
ser Ebenen sei durch das Azimuth eines ihrer beiden
von der Normale, durch welche die Ebene gelegt ist,
ausgehenden Theile bestimmt: man soll den gemein-
schaftlichen Durchschnittspunkt dieser beiden Ebe-
nen und der Oberfläche des Ellipsoids bestimmen.

. *) Wären für einen der beiden lietrachtctcn Punkte, elwa för dci
ereCen, die Gröffen L^^j B^y und demzufolge auch g^, S^g, bekannt, aii
auMerdem Q^x *i°d n>oi durch irgend ein Verfahren gemeesen oder über
haupt beetimnit worden; fo würden «ich ans dem Vorstehenden and tu
S* 17. zwei Gleichungen entnehmen lassen, mittelst welcher sich farto
anderen Punkt Li , Bx nnd Sj , fdi finden lassen , also dessen Lage üf
dem Ellipsoid bestimmt werden kann. Die Auflösung der beiden in Bs^e
stehenden Gleichungen würde aber nur auf dem Wege der Nfthenng
ohne zu grosso Weitläufigkeit möglich sein.

mii Betup auf GeodOsie. SSI

Bevor wir lar LOsdng dieser Aufgabe sciireiten kOnneo» mils-
leo wir zoeret zeigen, wie aoe zwei GleicbaogeD von der ailge«
meinen Form:

95)

Aocosiicose -{■ Booiotf coeo -{■ Cosim? = Do,
Aicosttcosv -f- B|8intfCO60 -f G|8ine = D|

die unbekannten GrOasen n, v auf die eleganteste Weise bestimmt
werden.

Man setze der K6rze wegen :

96)

Ao' = (AoB| — BoA|) B0 — (CqA| — AoCi)Co

= Ao(AoA, + BoB, + CoCi) - A^ (Ao« + Bo« + Co*),

Bo' = (BoCi — CoBi)Co — (AoB| — BoAi)Ao

= Bo(AoA, + BoBi + CoCi) — B^ (A«« + Bo* + Co«),

Co' = (CoAi — AoC] ) Ao — (BoCj — CoB| ) Bo

= Co(AoAi + BoB, + CoC,) — C, (A«> + ß«« + Co«) ;

97)
Ai'^(AoBi — BoAi)B| — (CoAi — ApC])C|

= Ao(A,*+ B,«+ C,«)- A,(AoÄ, + BoBj + CoC,),

ßj' = (BoC] — CoB,) C| — (AoB| — BoAi) A,

= Bo(A,«+ B,«+ C,«)-B, (AoA, + BoB, + CoC,),

C,' = (Co A, — AoC,) A, — (BoC, — CoB,) B,

=Co(A,« + B,« + C,«)-C,(AoA, -l-BoB, + CoC,);

96)
I> = V(AoB, -BoÄ,)« + (B„"C,^CoB,)« + (C„A, -A«^«

= V (Ao« + Bo« T Co«) ( A,« + B,«+ C,») - (AoÄ, + BoB, +CoC,)«;
M ist, wie man aogleich flbersieht:

Ao Ao' + BoBo' + CoCo' ^ 0,

A,A,' + B,B,'+CC,' = 0;

trod:

AoA,' + BoB,' + CoC,' = B>«,
A,Ao' + B,Bo' + C, Co' «—«>«.

330 Gruneri: NomutiscknUie de» Elüpsaiä»

<
folglich oach obiger Formel:

cos odoi = sin Bq sin By + cos ^ cos Bi q . (T ^j \ '

also, weil

sin2Lo-f sin2Iii =2sin(J[^-|~^i)co8(Lo — L|)
ist:

tsin fio sin ^i + co^ ^o c<>s Bi cos (Lo — l^i )
sin ^0 shi i^i -f- cos £o <^os fi| cos (Li — 1^).

Dies ist aber ganz dieselbe Formel, welche die sphärische Tri-
gonometrie fSr coqi im Falle der Kugel liefert, woraas man also
siebt, dass diese sphärisch- trigonometrische Formel ganz in der-
selben Weise fGr jedes Rotations -Ellipsoid gilt, und in der wei-
ter oben gegebenen Formel ihre Verallgemeinerung für jedes
dreiaxige Ellipsoid findet. Ich muss mir, wie schon erionert,
vorbehalten, auf diesen Gegenstand in einer besonderen Abhand-
lung zurückzukommen *),

§.20.
- Wir wollen uns jetzt mit der folgenden Aufgabe beschäftigeü:

Aufgabe.

Durch die Normalen zweier Punkte ein-es Ellipsoidi
seien zwei Ebenen gelegt; die Lage einer jeden die*
ser Ebenen sei durch das Asimuth eines ihrer beiden
von der Normale, durch welche die Ebene gelegt ist,
ausgehenden Theile bestimmt: man soll den gemein-
schaftlichen Durchschnittspunkt dieser beiden Ebe-
nen und der Oberfläche des Ellipsoids bestimmen.

. *) Wär«a für eineo der beiden betrachtetco Pnokte , etwa für dei
ertCeo« die GrÖMen L^^ B^y nad deniinf«lge avcli £^, S)«, bekaaat, wai
aoMerdeoi fi«, nad «oi darch irgend eia Verfahrea genes« ea oder aWr-
haapt beetioinit wardea; «o wnrdea «ich an« dem Varstebendea nad «M
$• IT. iwei Gleicliaagea entnehmea la«»ea, mittelst welcher sich lardci
aaderea Pnakt Z, , ^i and 2| , fbx indea lassen , also dessen Lag« Mf
den Ellipsoid hostunnit werden kann. Die Aaflosnng der beiden in B«^
«tobenden Gleirbnngen wurde aber nar nnf dem Wego der Nihenng
ohne tn gro««^ Weitlanigkeit möglich sein.

mit BetHt auf GeodMe. 331

Bevor wir znr LSsdng dieser Aofgabe schreiten kSnnen, miis»
seo wir xoerst zeigen, wie aus zwei Gleichnngen von der allge*
ineiDen Form;

95)

Aocosticosv -f Bosinttcosv -f* Cosim := D«,
A|eostico8v-t-Bisini(cos« -f C|8inv = D|

die anbekannten GrSssen u, v auf die eleganteste Weise bestimmt
werden.

Man setze der Kürze wegen:

96)

Ao =(A0B| — BoAi)ß0 — (C0Ai^AoCi)Co

= Ao(AoA, + ßoB, + CoC,) - A» (Äo» + Bo« + Co«),

Bq' = (BqCi — CqBi) Co — (AoBi — BoAj) A«

= Bo(AoA, + BoB, + CoC,) — B, (Ao* + Bo* + Co«),

Co' ^ (Co Ai — AoC] ) Ao — (BoCi — CoB] ) Bq

= Co(AoA, + BoB, + CoCi) — C, (A«« + B«« + C»«) ;

97)
A,' = (AoBi — ßoA,) B, - (Co A, - A„C, ) C,

= Ao(A,«+B,«+C,*)-A,(AoA, +BoB, + CoC,),

B,' =(BoCi — CoB|) C, — (AoB, — BoA|) A,

= Bo(A,« + B,« + C,«) - B, (AoA, + BoB, + CoC,),

C,' =(CoA,-AoC,)A,-(BoC, -CoB,)B,

=Co(A,« + B,« + C,«)- C, (AoA, -l-BoB, + CoC,) ;

98)
J> = V(Ä;B, - B^Ä,)« + (BoCr^CoBr)« + (CoA, - Ao^

= V ( Ao* + Bo« + Co«) (A,« + B,» + C,«) - (AoA, + BoB, + CoC,)«;
so ist, wie man sogleich flbersieht:

AoAo'+BoBo'+CoCo' = 0,

A,A, +B,B,'+C,C' = 0;
ttnd:

AoA,' + BoB,' + CoC,' = B>«,

A, Ao' -f- B,Bo' + C, Co' SS— J>«.

}S2 Grunert: NarmaUcknHie des EtUp$otds

SalseD wir oun feraer:

Ai'Do-Ao'D,

Am —

^01

D«

^) S »Ol = p ^ '

r C/Dq-CqP,.

80 ist wegen der vorstehenden Relationen offenbar:

^1 Aoi + Bi Boi + CiCoi = D| .

Ziehen wir diese Gleichungen von den beiden aufzulösenden Glei-
chungen ab, so erbalten wir die Gleichungen:

Ao(co8tfcost> — Aoi ) + Bo (sin t« cos © — Boi) + Co («'•»' «^•~Coi)=0,

Ai(co8tfcosü — Aoi) + Bi(sinttcosc — Boi) + Ci(sinü — Coi)=0;

und können also, w^nn G einen gewissen, noch anbestimmteo
Factor bezeichnet:

costicosü — Aoi c= G(Bo€i — CoBj),
sioteco69^Boi = G(CoAi — AoC|),
sin© -Co, = G(AoBi--ßoA,)
oder:

cos»cosv = Aoi + G(BoCi — CoBi)>
Sinti cos t> =5 Bx)i + G(CoAi — AoCi),
sin t> = Co, + (?(AoBi — BoA,)

setzen. Weil nun:

(costf cosv)* + (sinticost))* + sinü*=: 1

und, wie sogleich erhellet:

(BoC, -CoB,) Ao' + (CoA,— AoC,)Bo' + (AoB,-BoA,)Co'=0,

(BoC, - CoB,) A,' + (CoA, - AoC,)B/ + (AoBi -BoA,)C,'=0;

also auch:

(BoC, -CoB,) Ao, + (CoA, - AoC,)Bo, + (AoB,-BoA,)Co,=0

ist; so ist offenbar:

. 1«=A«« + »„,• + Co,« +!>•€•,

• mii Be%ug tmf üe^ddsie. 388

%

also :

100) ... . c^j^Vl-(Ao.« + B,.ltCo^,

Zar Bestimmung d«r anbekannten tirussen u, 9 bat man onn
aber oacb dem Obigen mimittblbar die Formeln:

sine == Co, + G(AoBi - ßoA,),

IUI) . . . \ C08t)

^ Bo, + G(CoA,-AoC.)

smu

C089

oder:

102). .

i **"«"- Ao. + G(BoC,-CoB,)'
sinr >:Co,-|-<;(AoBi~B«A,>

and

costi

^Boi + G(CoAi~AoC,)

SlDtf

Diese allgemeinen Formeln wollen wir jetzt zur Aoflösunf; un-
serer obigen Aufgabe anwenden.

Die Coordinaten der beiden gegebenen Punkte des Ellipsoids
seien :

Ia^z=z acosKoCOs^ßo» j?i = oeosl[^eos3$i,
^0 := ösinCoCosSo, v^ =: 6sin ^ cosSi,
Zo=csin]9o') *i =csin35i;

und die Coordinaten des gesuchten Punktes seien:

ix^, = acos^s^^o^^a»
y%^=^b sinJEa cosl^s,
Z2 = csinS^;

die beiden gegebenen Azimuthe bezeichnen wir respective durch
^ und i2i2. Dann haben wir» uro i^, Ü^ ^^ bestimmen, in
den obigen allgemeinen Formeln für Ao» B^, Cq, Dq und Ai^ B|
Ci, D| nach den in §. 16. gegebenen Entwickelungen die folgen-
den Werthe:

334

Grunert: NarwuOiCknUU des BiUpioidt

106)

Ao ^ C08 ]9() (cos £0 tang Bo sin ^ -f ^ sin <o ^c £;» cos Si^ ,

Bo = cos So (sin £^ tang B^ sin i^oa •— - cos <o ^^^ ^ cos i^^^ ,
Co =— sinUoCotÄosin Sl^^

Do= sec^o

sin(i^>+go)fiip(go-go) ..„ o
+ ( T — jsinfio cos£;> cos}Jo*cos «Qq^

und:

106)

Ai = cos Si (cos £1 tang fi^ sin i^^i, -f- t sin £| sec i?| cos i^i^ ,

B| = cos Hl (sin 1^ tang Bi sin i^^n — - cos £| sec ^| cos ili^ ,
C| = — sie ]9| cot Bx sin i^i^ ,

a

Di=: sec^i

sin(J^+B,)sin(g,~3gO \

sjtb; ^'"^* ^

+ f T — -Jsin£iCOs£|Cos}Ji*cosÄit 7

und für tf, ü respective £^, S^ zu setzen.

Man berechne nun die HOlfsgrQssen Go> ^0» ^0 °°^ ^i » <*i» ^
mittelst der Formeln:

107)
Ao= Go^os »ocos Oo» Bo= Gosin o>o cos 60* Co= Gosio So«
Ai := Gl cos 0| cos c5| , B| = Gf sin 0| cos Q^ , C| = GiSioQi :

wo Go» Gl positiv genommen werden, so ist:

V + Bo« + Co«=Go«, Ai«+ßi«+Ci«=Gi«;
AoAi-f BoBi-|-CoC| = GoGi Isin Oo'^in Oi -|-cos(oo~^i}cosOoC^^i ''
oder, wenn wir, den Winkel 6^^ zwischen 0 und 180** nehmend:

108) COS0O1 ssbSo^in^i + cos(o>o — oi)co80oC<^^i

mii Be%u§ auf QeodOsie, 335

setzen :

AoAi + BoBj + C0C1 := &oCr| cos öoi ;
fofglich :

(Ao«+Bo«+Co«)(Ai«+B,«+C|«)-(AoA,+BoBi + CoC,)«

= Go•Gl«8ioÖol^
uDd daher nach dem Obigeo:

J) =6061 sin öoi-
Hieraus ergiebt sich femer leicht:

Ao' = — Go'^Gi (cos (Ol cos Qi — cos a>o cos (Sq cos 6qi ) ,
Bq' = — Gq^Gi (sin (Ol cos 0| — sin o>o cos Oq cos öoi) »
Co' = — Go^Gi (sin 5| — sin Qq cos ö© 1)

Ai' = GoGi*(coB (00 cos Oo — cos o^ cos 0| cos ^oi)»
Bi = Go^*(^>'' ''"o cos Qq — sin ooi cosO| cos 6^^ ,),
Cx' = Go6'i*(sin 5© — ^^^ ^i cos öoi).
Eben so leicht erhält man:
AoBj — BoA| = — GoCrisin(»o — ai)cos5ocosöi,
B^Ci — CoBx = GqGi (sin (Oq cos o^ sin 0| — sin »1 sin Q^ cos c3|)»
^'oAi — AoCi = — Co Gl (cos (00 cos ©o sin ©i — cos ooi sin ö« cos öi).

fiolglich ist:

109)

Aoi sinöoi*= 7^ <cos »o cosöo — cos (Oi cos ©i cosd„,)

•f TT- (cos »i COS Ol — cos (Oq cos c5o cos ^o 1 ) >

Bo , sin öo 1 •= 7^ («n Wq cos Öo — «in »i cos 5i cos öo , )

Wo

*f TT- (sino>|C08c5| — sino>oCOsSoCosdoi)>

Cp 1 sin öo ,•= 7^ (sin 5o — «>n 5i cos ö« i )

D, • « -.

+ g=- (sin ci>i — sin Oo cos ö© i) ;

336

oder:

Grüner t: SormaltehntUe des ElUptoidt

HO)

A,,8iDÖ„,»= co8a)oC08öo(^ — g'cosd,,)

_ /D. Do \

. +C08«, C08ö,(^— ^COSÖo, l,

Boi»<nöo,*= sin «0 €08 00(^—7^ cos»,,)

. . _ /Dl Do' , \

+ 8m«, coso, ^^ — ^C«8Öo, 1,

C«,8inö„,«= 8inöor^— g^C08e„,J

j^ . _ /D, Do , N

Nach 99) ist:

(A„,«+B.,« + C„,»)1D4= (A, '« + 8, '»+€,'«) Do«

-2(Ao' A,' + ßo'B,' +Co'.C,')Doü,
+ (Ao'« + Bo'«+Co'«)D,»,

und nach 96), 97), 98) ist, wie man leicht findet:

Ai'«+B,'» + C,'»= (Aia+ B,« + C,«)D«,
Ao' A,' + ßo'ß,' + Co* C,' = (AoA, + BoB, +CoC,)I>«.
A„'« + Bo'« + Co'» = (Ao* + Bo« + Co»)©« ;
aUo nach dem Vorhergehenden:

(A„.« + B„,* + C.,»)D«= (A,« + B,« + C«)Do«

-2(AoA, +B„B, +CoC,)DoD,

+ (Ao»+Bo« + Co»)D,«.
folglich :

(A.,.+B„HC..^.i.e„.=(D'-2|.| .»..,+(&)■

=(i-i)'--*»..-+a>gy-^..-.

also:

ni)

Ao.HBo.HCo.^ (I - r;)' — i^'^-'+d+l) W.4

mit Bautf auf eeoAäste. 337 ^

Setzt mao jetzt:
112) G,„

so ist nach dem Obigen offenbar:

113)
COS £a cos 92 = Aoi -h ^oi (^'■'> f^o ^^^^ ^o ^'d t5i — sin q)| sin c3o c^'S ^i ) >
sin £2 cos 92= Bqi — 601 (cos Oo ^^^ Qq^i'^ ^i ~~ ^^^ <^i ^■'^ ^o^^^'^ ^i)^
sio 152 = Coi — Goi sin (cdo — «i) cos öo cos öi ;

also:

114)

8inB2=Coi -^ Cro|8in(airt — «}i)cos3oCOsöi,

^ Aqi -i- Goi (^'>n <^o <^<>B ^0 si" ^1 — si'i <vi sin c5oCos c^i)

»^»»fi» = T^iW^ '

. Bqi — Gqx (cos (Do cos Oo sin ^1 — cos oS] sin öocos t3i)
sinC« = :s '

^ COSJ^^

Dorch die erste Formel wird das zwischen — 90^ und 4 90^
liegende ]$2 vollkommen bestimmt; und die beiden fetzten For-
meln bestimmen das zwischen 0 und 360® liegende £2 gleichfalls

#

vollstSodig ; dorch die Formel:

115)

B(ii — Gqi (cos odo cos c5o sin tS| — cos ooi sin c5o cos ß| )
^^ Aqi 4- Goi (sin <Oo cos o^sin t5| — sin ooi sin Öq cos e5|)

allein wird £2 nicht vollständig bestimmt. Dass es wegen des
<loppelten Zeichens von Gqi >>" Allgemeinen zwei Auflösungen
liebt, liegt ganz in der Natur der Sache.

5. 21.

Wir wenden uns jetzt zu einigen Untersuchungen ober die
Winkel, wekbe bei geodätischen Operationen gemessen werden,
v^oraii sich dann späterbin noch einige allgemeine Bemerkungen
Qber solche Operationen überhaupt anschliessen werden.

Zwei beliebige Punkte des Ellipsoids seien (or^jyo'o) und (xxy\t\^>
Die Gleichung der Beruhrongsebene oder des Horizonts in dem
Punkte (^oyo^o) Ist :

338 Grunert: NonuOukiiUU de* SlUpuHdi

116). . .^(r-XoH^(v-9o)+%(3-'o)=0.
und die Gleichuogeo der Normale in dem Punkte (^i^iXi) sind;

117) * y—^i «, 9""yi _. ?-^

^ gl h

#1« 6« c«

oder» veno vir:

cos «1= J:

v^(lO" +(»)•+(»)

118) . . <C08ft=J:

Vi
6«

V"(3)-H»)'+Ö)''

«o«yi=i

c«

setzen, wo die oberen and unteren Zeichen sich auf den aosser-
balb und innerhalb des Ellipsoids liegenden Theil der Normale
beziehen :

^ C0SO| COBßi COS/i

In dieser Normale nehmen wir nun einen beliebigen Ponld
(tfiritoi) an, und bezeichnen dessen, jenachdem der Punkt (ugViWi)
in dem Süsseren oder inneren Theile der Normale liegt, als posi-
tiv oder negativ betrachtete Entfernung von den Punkte (^jfi^)
durch Ei; so ist offenbar, wenn wir von jetzt an die Winkel
0|, ßi, Yi "^' ^^^ ^^^ Süsseren Theil der Normale bezieben, also:

120)
?! Sl

cosg| = 77=^^ V» ^ V» X v«> cosft=

vm'<%y<^y yö)+(s)h«'

cos 71 =

c«

V (?.)■+ (B)v m

mü B$9ttp muf SeoMsie. 380

ktUeo, in Tauiger Allg«meiDheit :

Vi\)

«i=^i+JEiCöfl«if »i=yi+-Ei«^A* Wi=Xi+£;jC08y|.

Von dem Punkte (uifitoi) ftllen wir auf die Berflbitingsebene
im Punkte (Xf^^) ein Perpendikel, und bezeichnen dessen Fuss-
paokty nSmlich die Projection des Punktes (tCiVitOi) auf der in
Rede stehenden Berührungsebene, durch («i'fi'tOiO; ^*^ ^^'>'
ehuDgen dieses Perpendikels 'haben die Form:

122) £ziÜL=?:z£k=!=l!2i;

' C0S9| cos*^! cos^d

wo nacb den Lehren der analytischen Geometrie:

123) co8(pi — Go^f cosi|;, = Gogt' co«^7(i=Go^5
abo:

1-24). . . Go = ± rr-T» ^ N» T.

VÖ)+(^)+(?.)

ist; die Gleichungen 122) sind:

•125) . . ^[rrÄ^iiiSi^lz!?!,

•?ö So 5l

a« 6« c«

und lur Bestimmung von Ui* , t>|S ti>i' haben wir nun die Glei
chungen :

^(«i'-«o) + p(fi'-»o) + ^(tr,'-»o)=0,

a* 6« c«

also:

und folglich:

woraus sich:

Theü XL. 93

w>

340 Gruneri: Narmaiiehnim des EiiiptoUis

127) Gl = —

^o(U|— arp) yo(Pi— yo) 2o(<g| -Zg)

a« ^ 6« + c*

ergiebt, oder nach '121):
128). .. Gl =

go(y^)^jfa(j^.^5»^»o^

Die Formeln 126) können auch auf folgende Art geschrieben werden:

Ui' ^:ari+£?|C08ai+(?, -^.

129) \f>i' =Vt+PiCOBß,+Gt%'

und gewähren in dieser Form die leichteste Bestimmung der Coor-
dinaten Ui , ü/, tO|' der Projection des Punktes (tcirifo^) auf der
das Ellipsoid in dem Punkte (oroyo'o) berührenden Ebene.

Die Gleichungen der Normale in dem Punkte (o^oSfo^ ^1°^'

130). . . ^ . .^^=a>=,ii:^=lzi5>.

?o , yo ^

o« 6* c*

Durch diese Normale und den Punkt {xiyitx) legen wir eine
Ebene» deren Gleichung:

131). . . ^o(ir-aro) + Äo(i?-ya)+CU}-^) = 0

sein mag; so ist:

•^^o + ^Äo + ^Co = 0,

^0(^1— aro) + Äo(yi-yo) + Co(t|-«o)=0;

woraus sich:

132)

^= ^(yi — yo) -^ (^1 — ^o)

mit Be%u§ auf G€94äti€. 341

»rgiebt. Die Gleiehongen der DorchschDittsliDie dieser Ebene mit
ier BerOhrugeebene in (oroyo^) S6ien:

cos q>Q cos '^/q cos xh '

nro sieb ^o> ^o* Xo ^"^ ^^'^ durch den Punkt {^tyiti) gebenden
rbeil der in Rede siebenden Ebene beziehen mögen; so ist:

^cos^o+^coß^o +^cosxo=0»

tiso :

133). ... I cosif;o=Go'(j4>-5Co).

coszo=Go'(5fio-^^o)-
Nach 132) ist aber, wie man leicht findet, wenn der Kürze wegen:

134)

^«= <'.-'.) l(S)'+(^'+(l)"l

) arpCari — jtq) yo(yi*— yp) . lofa— ^) ( ^
■" } a« '♦^ 6* "*■ c* \a^'

{Xo(agi— a?o) . yo(yi-^yo) . «o(»i -»<>)< go
~} a* + 6« + c« I*«'

^o(^i— ^o) . yo(yi -yo) . ai>fa -^)|^o

H^ + P + ^5 \c^

gesetzt wird :

yo^ ^ » Y

^ j £?/> F

^^0— ^^0 ^01?

w

342
also:

Gruneri: li/^tmaitckimie 4e$ BiHpMOlds

136)

cos9o = — Go'Jii, cofli^o=— ^o'Ioi» c<>«Xoi= — Co'Zoi;
fotflich :

und demnach:

co8 9o=d:

137) . . . < co8to=±

CORX0=±

^01

wo, wie man leicht findet, wenn der Kürze wegen:

138). . £;oi=V(:r|-a:o)« + (fi-yo)« + (^-«e)'
gesetzt wird:

139) A«,»+ Fo.«+«„i«

[xpjxi-x^) . yo(yi— y>) . «»(»i — «o)T,
55 — + «* + — ?~"J'

ist.

Bezeichnen wir die Bestimmongswinkel der ?on dem Ponkte
('o9o^ i^di der Projection {ui'^'wi) des Punktes (titr|«i) f^
zogenen Geraden durch ^' , ^', xo' * ^"^^ setzen der Ktfrxe wegen:

140). . «ai' = '^(«i'-ae)* + (V-yo)« + «-^);

so ist:

E^

^E^T'

also, weil nach 138), 199), 134), wenn der Kirze wegen noch

ff

mit 9«»t§ tmf atoiäaU. 343

gesetst wird:

(§y+(S)'*ö)'

«^'— »0= TZO^* — Ä^b — 7ZÄ"« + *^» 'o«''

i«(:

"'"•^©^W^''"'"'

«»»^ =C/^AV /«»V. /z„V>_ ~E. '^'

K3)+(S)"+(^)1'^'

'Ol

Bezeichnen wir jetzt den Winkel, welchen die beiden durch
die Winkel 90» ^o> Xo ^^^ 9o'» ^0'» Xo' bestimmten Geraden mit
einander einschlleasen » durch Woi'y so ist bekanntlich:

sin 1^01*=^ (^ö* 9o cos ^Q — cos ^0 ^^ 9o')*
*f (cosif'ocosxo' — cosxo cos^o')*
+ (cos 7o cos ^0' — cos ^0 cos Xo')*»

344 Grunert: Normalsehnitte des Blifpsoids

also nach 137) und 142) offenbar:

_ (^1 yp, '- Fq. ^0. ')H( Kq. Z„. '- Zqi Fq. OH(Zo. ^.'-^0. Zw')*

oder:

(^siiiM^oi) =(Io/«o89o-Jro,'co8i|;o)«

+ (Zoi'cos^o— 'oi''^o»»))* + (^i'cosxo— ^oi'cM9V>)*.
und folglich, weil

^coß^o + ficos^/o + ^cösxo = 0,
also nach 141):

Xoi' cos 9o + Joi' cos i/;o + i^/cos^o

= cos CT] COSg^o 4* C08j?| cos % -f COS/i COS24>

ist, nach einer bekannten algebraischen Relation:

= ^üi'*+ loi'*+ ^oi'* — (cösa,cosg)o + co8ft co8^o+cosy,co«2o)*,
woraus sieh nach J41) ferner leicht:

143)

jrp / Nt (T2C08«|+TäC08A+>2C08yil

(..'■"••»)-■ (3)%(g)-+(*)-

— (cos «1 cos (pQ + cos ßi cos % + cos Yi cos XtJ*
oder nach 120):

144) (^ sin Wo,)*

= 1-

V o* + A* "•■ c*y

— (cosai COS g?o + cos/Ji cos^o + cosyi cos^b)*

ergiebt.

mit 8«Htg auf Geodäsie. 345

Nach I20> and 137) ist:
146). . . co»aiC089o + co8/?iCOS^e + co8y|C085(o

==±

WO nach 134):
146) ä^o'+&*^'»'+?^»»

= J H5 — + — S5 + c» ^R«V *W +W ^

nnd:
147) Ao,» + Fol« + «Ol»

=l(5)'+^)'+Ö)l''^''[(3)*+(§)'Kä)']

[go(ar|— arp) . yo(yi— fflo) . Xo(t|— XpJT'.
iiS + 6« + c» J '

ist.

Ffir die Kugel» nÜTnlich für a=:6 = c = r ist:

1-

_ , (j;oa:|+yoy,+»ot|)* r*— (a:oX, +yoyi -f tpti )*

Ferner ist:

•

^1 Y ■ y» F

4- '«7 ='^

— (aroor, +yoyi+ Vi)*

and.

weO

\ »^

» ■

'

£o.«

= (^i-

-a:o)* + (yi

-yo)« + (ii-

to)* = 2 1 r« - (ar„ar| +iyoyi +ioZi ) }

ist.

wie man leicht findet:

346 Grunert: NormaiHhnitte de$ BiUpioids

^i* + ni* + «Ol*

_ r^ — (arpari + ypy^ + z^^zi)*

r«

also offenbar:

(cos«, co89o + cosft cos^o + cosyi cosxo)*
_ H - (j^qXi +yoyi + ipii)«

Daher ist nach dem Obigen:

wie es im Falle der Kugel sein mass.
Es ist bemerkenswerth , dass der fffr

(f-'si„T^'o.y

oben gefundene Ausdruck 144) gar nicht von den Coordinate«
ui, t>|, tOi, sondern bloss von x^, y«, 2^ und oti, y,, x^; alw
bloss von der Lage der Punkte («ojfo^o) «nd (^Ti^i^) auf den
EUipsoid abhSngt

§. 22.
Dem im vorhergehenden Paragraphen entwickelten Ausdrucke

von

(Ir»''""'-)'

wollen wir jetzt eine andere Form geben.
Nach einem bekannten Satze Ist:

mit Bettv «**/ StoMtle. 347.

— Va*"*«~6*a»/ +U'*?""c«'.^/ rH^d"'^~!:ä«*W

V«» i* w «> /

) ,

{ (5)'+©*+ (»11 (^)HS^")X=5')'I

^jfo(xi— gp) yo(yi— yo) , «o(fi— «e) V
— l ? + Ä* + c* .5 '

Ferner ist:

o* "^ 6* ■■' c* ^

also:

^aro(a?t— arp) , yo(yi— yo) , »0(^1 -2o)>
C a* ^ 6« ^ <* 5

^^^^o(^r"-^o) , y6(yi-^yo) . »ofa-aip)
^? a*' ■*' 6* "*■ ?

Setzen wir nun: ^' '

wo die Bedeutung von ü, V und V\ P ans den Gleichungen
des Torhergebenden Paragraphen Von selbst erhellen wird» und
fuhren. der vKfirse wegen die folgenden BezeiobniAigen ^in)

23»

S48 Grunert: Nüfimisekniae de$ Eiäpsoids

*KO*(?)'*(0'(?y+©"(?)'-
-■=G)*(?)'+Gre)"+(0"e)"'

* \a/ c c \qJ c c ^ \c/ c € '

«=(ü'?-'^+(9'-^°-*?'+(9'? *^'

ao i«t, wie man leicht findet:

e*ü =€/, ssA^B-Biht.

4iȟ'=sVt' =JoC-BtC,
ufed daher nach dem Obigen:

wo in Beiug auf die Gr58«eD :

c e c

die GrOseeo:

reepeetive toii der

2teii, Oten; itm, Sten
OrdniiDf #iDd« «» dtf« atoo ni Besag aof dteeelbea Orteten

mU ߀mt0 amf ßmkUMe. 840

(^'«in w^y

von der zweiteo Ordnung ist.

Denken wir ans nnn in den Torstebenden Formeln überall:

g«Mtxt, nnd alle GrCssen nach Potenten and Producten von
entwickelt; «o wird man olenbar eetsen kirnen:

F, =/>„' + Pj';

wo die GrOsaen

P«. /»o'; «4. 0.'

TOB

i_? i_£ i_£

mAt abbingen, nnd in Beang auf

J?|— gp yi— yo *i-»o

' '' ' f * "^ »■ - — —

e e e

reepective von der

2ten» Oten; 4ten, 2ten

Ordnung sind; die GrSsaen

lind dagegen in Bezn^ auf die GrSesen

«1-^ SiZUfo hrrjo. 1 c i_« l_5
c c c a 0 c

350 Gruneri: fformäiBcknMe des ElUpsatdt

respective von der

3ten, Iteri; 5ien, 3ten
OrdouDg. Nach dem Obigen ist:

- Po' ~ Q%' ^ Pl'(Pi>' + Pi') ~ ö,'«?,' + <?,') '

WO aber nach dem, Obigen and dem vorhergehenden Paragreplieii
offenbar:

Po' Qt'

ako:

. *

^^••'.in wX- PoPi-PiP* Q^Q6-Q,'Q*

und daher
in Bezug auf

————— , , , J — — , J^ _ — y £ .^-

c c c a o €

offenbar eine Grösse der dritten Ordnung ist. bezeichnen wir
diese Grosse durch S^, so ist also:

Bezeichnen wir die Entfernung des Punktes (ti|0|tO|^ von de»
Punkte (xojfQZff) durch Q^i, und den Neigungswinkel der von
(jToyoZo) nach (uiViWi) gezogenen Geraden gegen die BerfihraDgs-
ebene in dem Punkte (or^o^) oder den Horizont von (4«jMo)
durch t; so ist offenbar:

Eoi' = (Btu .cost, jf47.= gf^ sact;

also:

148) sinlFoi«=(^Y.i^8ect.

Weil

•

mti Bewuff muf eeodäsie. 351

co«IFo,=:l-28lDilFoi*
ist, nndy weno IFoi sehr klein ist» näberungsweise

sin i Woi = ieJn Wo, , «Ini IFoi* = (ä^ ) • 'S »ec t
gesetzt werden kann; so ist:

149) .... co8W;ii = J-2(ij^y..^seci,

woraus man sieht, dass der Cosinas von Wqx voq der Ein-
heit nur am eine Grosse auterscbieden ist, welche in
Besag auf die Grossen:

2<roi ^ c c a 6 e

▼on der fünfteii Ordnung iat

Ich habe hier d'^esen Sats, welchen ich für wichtig halte,
io aller Strenge ffir das allgemeine dreiaxige Ellipsoid zu bewei-
960 gebucht, und alle Formeln im Obigen so weit entwickelt,
dass alle Fragen, die sich bei diesem Gegenstande noch darbte-
ten konnten, die ich aber der Kurze wegen jetzt hier unerörte'rt
lasse, ohne Schwierigkeit beantwortet werden können.

9. 23.

Schlnss bemerk n'ng.

Ans dem im vorhergehenden Paragraphen bewiesenen Satze
erhellet anmittelbar Folgendes.

Wenn (x^f^), (xiyi;h)» (*ty«*a) «l^e« Punkte auf der Ober-
iSebe eines beliebigen Ellipsoids sind, welche wir der Kürze
wegen durch il«), ^1, A% bezeichnen wollen, und in dem Punkte

io der Winkel AiA^A^ geodätisch, d. h.. nach dem bei geo-
Miscben Operationen gebrSnchlichen, aas der Geodäsie allge-
nein bekannten Verfahren, gemessen wird; so ist dieser geodä-
tisch gemessene Winkel von dem Winkel, welchen die beiden
von der .Normale des Punktes Aq ausgehenden, und durch -die
Pookte Ai , A% gelegten Elbenen mit einander einschliessen, oder

Aeser Winker von jenem geodätisch gemessenen Winkel A^AoAg,
wter der Voraossetznng, dass die Grössen:

352 Gruneri: Nermai$cJMia de$ EUiptaids

1-5 l-£ l_?

^a_. ^« - ^o y«— yo H— ^

der Null sehr nahe kommen, so dass also namentlicb auch fe
Lage der Paokte Ai^ A^ von der Lage des Panktes A^ wä
dem EJIlipsoid verhältnissmässig nur sehr wenig verschieden M,
nur um Grossen unterschieden, die so klein sind, dass sie sieh
auch bei geodätischen Operationen^ die > gewöhnlich grosse ge-
nannt werden, ohne merklichen Fehler werden vernacfaKssigM
lassen. Dies berechtigt uns, die folgende Definition aa&osteHen:

Der, wenn Aq, A^» A^ drei Punkte auf der Ober-
fiftche eines beliebigen Ellipsoids sind, in dem Punkte

Aq geodätisch gemessene Winkel AiAqA^ ist der Win-
kel, welchen die beiden von der Normale des Punktes
Aq ausgebenden, durch die Punkte Ai^ A^ gelegten
Ebenen mit einander einschliessen.

Dieser letstere Winkel soll daher auch im Folgeodea ta»er
nur unter dem Winkel AiAqA^ verstanden werden.

Bei jeder geodätischen Operation muss man, theoretisch ge-
nommen, von zwei ihrer Lage auf dem Ellipsoid nach gegebenei
Pnnkten Aq, Ai ausgehen, welche die Grandlage der gansen Mes-
sung bilden. Nach den im Obigen (§. 17. and j. 19.) entwid^d-
ten Formeln iutnn man dann die Asimuthe in Aq nach Af und in
Ai nach Aq, welche wir respective dnrefa SIq^ ttn4 SI^q beteicb-
n^n wollen, ohne alle Zweideutigkeit berechnen. Wenn wm A^
ein dritter Punkt des Ellipsoids ist, so wird num sich, nm desMi
Lage au bestimmen, nach Aq fand Ai begeben, und in diesH

Punkten die beiden Winkel AxAqÄ% and AqAxA^
denen sich dann, wie sogleich in die Angen fUt, «UMst d9
bekannten Azimnthe Sl^^ ond A,« ^^ Asimntbe ia Aq natb A%
«nd in Ai nach J^, die wir respecHre dvch S^ «nd Sl^ bf-
seichnen woHen, leicht herMte« lassen, wedicli trir Mm lir
KeMilniM nlkr Data g«la»it «!•< dermi wir bedirfeB, am wiäkM
der in §. a& antwiihrtlen Wmttmim db Lag« 4m Pasktas A^ mi

. mU Be%M§ mr Ceo4ä9h. 353

doB EHfpAoid ^estlninen zu kOnneft. Dass man aber biaraiif
feni«r tod den jetst bekannten Ponkton A^^ A^ und Ai^ A^ gani
auf dieselbe Weise, wie vorber von A^ vnd Ai^ ausüben kann»
om darauf die Bestimmang der Lage neuer Punkte zu grfEnden,
yeratebt sieb von selbst und bedarf einer weiteren Erläuterung niebt.

Hiedurcb ist die ganze Geodfisie in ihrem geometriscben
Theile vollständig erledigt, wobei icb nur bitte, den Zweck der
voriiegenden Abbandlung, welcber zunächst ein durchaus theore«
tischer Ist, stets vor Augen zu behalten und denselben nicht zu
flberseben. Ich bin aber der Meinung, dass derjenige, welcher
eine Wissenschaft von praktischer Natur studirtv sich vor allen
Dingen eine ganz strenge, zugleich möglichst allgemein gehaKene
theoretische Kenntniss derselben verschaffen muss, von einem
Standpunkte aus, der hoch genug ist, um mit fVelem Bliek die
ganze Wisj<enschaft in ihrer Totaütät tiberschauen zu kGnnen.
Das Weitere wird sich hieran in allen mien dann schon ohne
Schwierigkeit anschliessen lassen.

Eine skh jetzt v^n selbst aufdrängende Frage ist nun aber
die, wie man sich die Kenntniss der Lage der beiden vorher
durch A^^ und Ax bezeichneten Punkte, auf welche die ganze
geodätische Messung im Allgemeinen zu grfinden ist, zu ver-
schaffen hat Die Beantwortung dieser Frage, welche wenigstens
loin Theil gar nicht in das Gebiet der Geodäsie, sondern in das
der Astronomie gehurt, liegt jedoch fBr jetzt nicht im Zwecke
dieser Abhandlung. Entweder kann man die Lage beider Punkte
Jo und Ai astronomisch bestimmen, oder, was das gewöhnlichere
Verfahren ist, die Lage des einen astronomisch ermitteln und
daraus die Lage des anderen durch gewisse, wenigstens theil-
weise geodätische Operationen ableiten, was weiter zu erläutern
jetzt aber gleichfalls nicht in meiner Absicht liegt, wenn auch die
dam erforderlichen theoretischen Grundlagen sich «ganz aus der
vorliegenden Abhandlung entnehmen lassen wOrden*).

Zum Schluss will ich endlich nur noch ganz in der Kürze ^
bemerken, dass, wenn man bei geodätischen Operationen die
Erde wirklich als ein allgemeines dreiaxiges Ellipsoid betrachten-
wollte, daraus noch verschiedene, voq. mir keineswegs fiber*
•ebene und unbeachtet gelassene praktische Schwierigkeiten
eotstehen würden, welche, um theoretisch zu sprechen, darin
ihreo hauptsächlichsten Grund haben, dass bei dem Rotations-
Ellipsoid die Lage der beiden auf einander senkrechten Azen der •

*) M. •. die Note aof S. 380.

354 G runer t : Normaiickniiie des £U^. mit Bmmff auf Geoddüe.

X und y in der auf der Rotations -.^xe im MitleipaDk1;e des fiUip-
soids senkrecht stehenden Eliene eine an sich ganz wilUdihr-
liehe, ist, wogegen in der im Obigen (iberall zn Gmnde l&egeodeo
Gleichung

(S)' *(ff *(S)' -

1

des allgemeinen dreiangen Ellipsoids die Lage der drei Aieo
eine ganz bestimmte ist, über die sich in keiner Weise willkdk-
lieh verfügen lässt Das Weitere hierfiber gehSrt aber nicht ia
diese vorzugsweise einen allgemeinen theoretischen Zweck ver
folgende, and aus diesem Gesichtspunkte zunächst zu beurtbei-
lende Abhandlung, in der ich namentlich die verschiedeneo merk-
wfirdigen analytischen Ausdrücke und allgemeinen Sätze» besonders
auch im Betreff der grossten und kleinsten Krümmungshalbmesser,
der arithmetischen Mittel zwischen allen Krümnmngshalbmessen
und allen reciproken Krümmungshalbmessern der Normalscbnitte,
der Entwickeinng und Feststellung des eigentlichen Begriffs ebei
geodätisch gemessenen Winkels, u. s. w. nicht unbeachtet n
lassen bitte.

0€tiin§er: Ue^tr öeOimmte Mepraie. $55

Ueber bestiminte Integrale.

(Forttelrong Ton Thl. XZXIX. ü^. XZZ.)

«

Von

Hern Dr. L. Oettingerj

GratalMnogii^ Badivchem Holipdio ood ordeotUcbeai ProteMr 4m
Mathematik an der UnWonit&t saFroiliargLB.

IT.

i. 46.

In der folgeiideii Untersachnng gehen wir voo folgendeti Bwei
MaanteD SiUen aiw:

1)

/I «ZI

= / »■H.l(l_jjr) r SagT

1— Ä'

2)

y*««-Hi— «')«ö«=^^

Den erateo hat Bnler (Integr. Recho. Bd. IV. 8.182) auf-
gaatellt Der aweite läset sieb leicht derch die bekaonfe lote-
SrafloDsmethode entwickeln und findet sich unter andern auch in

Tli«UXL. 84

S96 OeUtn§tr: ^ OHer dewümmte huegruie,

meioer Theorie der aDalytlschen Fakaltiten §.33. S. 170.
Er ist hier in der Form aafgeetellt, die sich am beqoemateo m
Anwendung eignet.

Setzt man r statt p und ^ statt n in Nr. 2) und Akt

diess in Nr. 1) ein« so erhält man:

3)

Die Grossen m« q und r sind von einander unabhängig. Briagt
man sie In bestimmten Znsaromenhang, so fuhren sie su einer
Reihe neuer Sätze und*Anwendungen. Die Gleichung Nr.3)liait
sich in eine zur Anwendung bequemere Form bringen. Schreibt
man Tm-{^p statt m, ss^ geht eh» in folgende Ober :

I 1

-I» ,V-I»

— f

(rm+p).r"^ ' ' •

Trennt man die Fakultäten mit gebrochenen Exponenlen» §9
entsteht:

i-^-?'^=i''\i+2)-u=i?"iri^.

Fflhrt man diese Berthe ein, so geht die vorstehende GleickiBg
in folgende über:

atnin§er: U9btr (mMmte Jnuttmh. S5T

Hi«rio kaDD p die Wertb» I, 2, 3...«r darchlaureD. Wird
prrr, 80 gebt obige Gleichoog in eine einfachere Form über und
man erhält:

/

1 fzT

u

«-^i

i^l+*iV.i »^ /"* or'M^-H^— i)a«

.1 »■ • c^

■ .■■■■ I . t ■ J

- '

-'li

StOMt nan dud 1 ' aas Zflbler uimI MenaM #■■, m «alMehtt

6) I

/ «»»+'>-»(l — Ä') »• Ig «Bar

u

^ y»fMr /^l jgnHy^(^-4|)&r

~ (rm + r).^^iV ^— l

o

_ J^_ r^ a:>^H-r-i(jrf - l)3x

Ettler hat sich a. a. O« mit Aaffindaag der hierher gehörigen
Sfilze beachiftigt, wurde aber häufig auf transcendenfe GrSeaeo
gef&brt, die ihm nicht darstellbar waren» weswegen er die weitere
Dufchf&hraDg dieses Gegenstandes nnterliess. Die Fortschtitte
der Wissenschaft haben diese Schranke entfernt. Die Untersu-
chvng, dieser Integrale soll .daher hier fortgeflährt werden, wo
sie Eni er verlassen hat.

In diesen Gleichungen erscheint das Blnomiom mit einem
gebrochenen Exponenten. Diese Beschränkung lässt sich leicht
entfernen, wenn man {(q\\)T statt q setst. Die Gleichung Nr. 3)
geht dann in folgende Qber:

Nnaiat:

»^ « 17+"» S *^~*

M*

358 OetUn§er: Ceber bestimmte hUegraU.

/

ar'— I

dx

■/'

Dmch Einf&hrang dieses Werthes entsteht nach den aMUpi
Rednctionen:

«)

\*

•«

(.47.

t

Diese GleicboDgen lassen eine Menge Aowendnngen so. An
einfachsten ergeben sicli die aas Nr. 6) $«46., von denee wir
einige hervorheben. Setzt man r=:l, 2, 3.«.., so erbllt aao:

1)

/*^.(i-*«)«ig*8*=-^V.(i+sqr2+....irb*).

o. s. w.
FOrmssl nndr^l, 9. 3 entsteht:

■

^' (i-»)«i8*ax=-^(i+*+*+....|^

f+l 1.2.3....f •

Oetiingfr: Ceber bemmmie InUfraie. 359

j (I-Ä^tlgjAr==-p3:ip,(l+i+| + ....5^).

Am d«r ersten Form von Nr. 2) ergeben sieh folgende Integrale:

J\gxdx =— I.

/i ^3

{\^^»)\%xox =—2»

/i II

(1— Ä)»lgarar=— jg,

/i 25

(l-j?)«lg«aar=-jg,

/ (l-«)*lg«8ÄS=:— 3Qg»

o, •• w.

Setst man m = 2, ^ = 0, 1, 2, .... lo der ersten Form von Nr. I).
•0 ergeben sich folgende:

/i I

0

/i 5

«(1— j?)lg:rd:r SS— gj>

0

13

/i 77

dKl — ar)* Igo^ s3 — ilgg ,

a. s, w.

360 Oeliiuger: üeber bestimmte Integrale,

Eine andere als die in Nr. 6) $,46. erhaltene Darstellnng be-
kommt man för die Au^werthung der hier aufgestellten Integnie,
aas §. 21. Nr. 1) und 2), wenn man dort r == 1, m statt p» r stitt
q and q statt n schreibt. Es entsteht:

wenn r die Zunahme 'des Unterschiedes bedeutet. V^et Inhalt
dieser Gleichung und der in Nr. 6) §. 46. angegebenen ist derselbe,
wie man sich leicht a^s der Vergi^ichupg einzelner Fälle Sber
xeugen kann. Diele vergleichung fuhrt zu folgender bemerkens-

wertben Beziehung zwischen dem Unterschiede von —^ and dei
Gliedern der harmonischen Reihe bei der Zunahme r:

6)

mf+M

Zugleich zeigt sich hieraus» dass die Gleichung Nr. 6) §. 46. sm
Werthberechnung der fraglichen Integrale viel bequemer ist, ak
die Gleichung Nr. 5) dieses Paragraphen.

§. 4&

Die in §. 46. aufgestellten Gleichungen fuhren \%x nur in öcr
ersten Potenz, wlbrend die in $. 21. ang^ebenen Ig jr In den bo-
bem Potenzen fuhren. Diese Beschränkung und die vorhin ge-
machte Bemerkung veranlasst, die in $. 46. aufgestellten Integrale
auch auf die hoh^m Potenzen tob \%x auszudehnen. Dici»
Zweck erreicht man auf folgende Weise.

Setzt man, da es sieii verevsl om das Blnomiam mit eines
ganten Exponenten handelt» (q\Vpr statt r in Nr. 1) }. 46., ^
entsteht:

Oe Hing er: Utber deMämmit inUttrah* 361

1)

1 a?"*-\l-«^Ifar8a?'

= — C^a^'H} ^x^idxf

1 g«i-i(afy4^ - |)ax

«'— i

0 o

Treant man oun die AuadrOcke auf der rechten Seite imd echreibt

imt Kfirie wegen:

• >

2)

C 3»^M\—afy^x^X,

3)

J F=l ^=*'^»

o

4)

y * «^ Hl — «'i« Ig «3« = * 5

■0 hat man aus Nr. 1):

S)

jif=— jr.r.

Wird nun der Ansdmck M nach m differenzirt md durch Im
getfaeilt, so «igebeo sich folgende Formen:

6)

0

(dm)*

Ö

3=/" * «-^»(1 - «^)»(lg Jr)»ar

Wbd auch die Gleichang Nr. 2) nach m difef«Bsirt« so er-
4iilt man folgende Reanltate:

1

SfiS Oetiinger: Oeber btiUmmtis Inlegraie.

7)

o

Ans Nr. 0) nod 7) erhält man :

8)

Hieraus nnd aus Nr. 5) folgt:

9)

Diese Glelchuog Usst eich aoch aus Nr. 1) und 5) end der erstoi
Form TOB Nr. 7) ableiten*

Wird oun auch die Gleicbung Nr. S) wiederholt nach m dif«
fereoiirt, so ergiebt sich:

8Jf__aij,_^ BT
cm dm dm

dX
«od hlera^/i, wenn der Werth flir -g- aus Nr. 9) eiDgefldirt wird:

10)

wird oon bei fortgesetzter DIfferensiation nach m jeweils dfr

dX
Werth für ^ aus Nr. 0) eingeRUirt, so oft er erscheint, so er-
geben sich folgende Darstellangen :

o«$$tmftr : Otbtr bestimmt« htttfraU. SQS

II)

^ =y *«— Hi-*o«(ig*)^*

^^. 1A ^'^F . ,„ FWr . „ F3F.8F

= X[F«-16-j;^+20-^g^+45-^g||^5 I6-^gjj^

^F8F.a«F ,,8F.8r.8F.^F8«F

-^-J^* " (8«)» +®"(8S)»

8F.8«F 8'F.8'F 8»F

o. ■. w.

Du Gesetz, welches diesen Gebilden zu Grande liegt, ist
nit dnigen AbSndernngen dasselbe, welches von der Darstellang
der hShern Dilereniiale der Functionen von Functionen gilt, and
•reidies ich in einer Abhandlang hierflber (Freibarg 1846) entwickelt
habe. Die in den Klammern eingeschlossenen Glieder sind ans
den Potenten and den Differenziaien von F zusammengesetzt
Sie bilden die Grappen der Verbindangen mit Wiederholongen
«BS so viel Elementen, als der Ibcponent von lg« angibt, and
n der gteieben Summen und zwar ans so viel Classen, als die-
MT Exponent Einheiten enthSlt

Sollen nan die Glieder des Int^rals, welches (Ig')' (Shrt,
gebildet .werden, so hat man die Grappen der Verbindungen mit
Wiederholongen tar Summe 6 aas der 6ten, Sten, 4teo, 3ten,
ttsa, Ilen Classe aas sechs Elementen zu bildiBD. Sie sinds

364 Oiiilnßer: Ve&er deUftmnfe lnt€§rmU.

1«)

0^(16; üu «t» ••••««)• = «i«4«i«i«|jfl| •

I
Das Element a| deutet auf F = 7g~~\ö ^ ^« ^^^ S~ ^ Oi nf
etellang Nr. 11) erhält man daher aur Bestimmong von

/

t

folgende in der Klammer erscheinende Glieder:

13)

Y\dT F».8«F F^F.8F T^^T TdT.d^T

^ • *"5m" ' 15mj5" • (a;„)a ' (a^)t • ~^^ '

8F,8F.8F F8*F 8K8»F 8«F8»F e»F
(8iii)« ' (8iii)«' (im)^ ' (8«)* ' (8111)» •

Dasselbe gilt bei jedem andern Exponenten von Ig^.

Das Creseti, womach die Vorzablea dieser Glieder au bildet
dnd, biogt TOD den Exponenten von F und denen der DiSvrea-
slale ab. Die gemeinschaftliche Vorsahl aUer Glieder ist die st
▼leite um 1 steigende Fakultät vcn 1 als der Exponent tod Igs
Einheiten enthält Im vorliegenden Falle Ist diese 1.2. 3.. ..6
=6«»-».

Diese Fakultät mnss durch die so Holte FalrtorieÜe vea i
getheilt werden als der Exponent roa F sDieigt» feraer dufch

Oeiiinfef: Veber öesümmte Inttgmie. 366

FaktorielIeD tos 1 » die eineo Faktor mehr Bel^Q ali der Expo«
oeot des üiSerenzials oder der Differenziale Ven Y anzeigt Kom-
men gleiche Differenzial* Exponenten vor, so mass noch eine
Faktorielle von so viel Factoren zutreten, als gleiche Exponenten
vorhanden sind*

I t

Die Zeichen der Glieder richten sich nach dem, oder den
Expenenten der Differenziale. Jede Einheit deutet auf ein nega-
tives Zeichen/« Hiernach erhalten die Glieder in Nr. 13) folgende
Vorzahlen nnd Zeichen:

U)
C«i-' F«3F.8r 6«l-' Y^r

+iiTTnsiTTtrritn-~(äSj)i wn^n-^iri^
6«i-» FaF.8»F 6«!-» 8r.8r.8r

fl«i-» Y9*Y 6*1-' 8r.8»r 6«l-* aT.ST

^ i»l» •(8i»)«"'"l»i».I«l»' (8m)« "*"l»i».l»l».l«li" (8m)«

6«i-« ^Y

l«l » • (dm)*'

MU allen Gliedern tritt X in Verbindung. Diese Uaratellung fkllt
mit der in Nr. 11) gegebenen zusammen.

Nach $.46. iat:

• jf"- '(«*'+'■— I)

=/

«'— I

bx

m m+r m + tir m + ^ ®m +iir

erhält man durch wiederholte üifferenziation nach m:

lö) ^

o

81F /»* xv^^ 1 f 1

366 Oettimfer: üeäer beMämmte JmUgrmie.

8^f

l=r^'^^^0,:r)^^

(^=/'-^*^^T-*^-)^=<-)-'-'*^'ö^^

{. 49.

Bei Auflodong der io {. 48. aofgectellteii Gleldmogen wirdt
Nr. 6) {. 46. IQ Gronde gelegt, worio der Ezpenenf des BlnoBiiBf
(1—^:0 do* gaoie Zahl Ut SSmmtliche Glelchnngeo gelten
jedoch auch, weeo der Bxpooeot eioe gehrocheae Zahl ist» nd
man hat Im Falle der Anwendag flir X nod F die eDtapiethw
den Werthe ans Nr. l)j 3)» 4) und .5) $. 46. eioznfllhren.

Setst man nnn die in IS) $. 48. anfgeAindenen Wertht b
Nr. 11) nnd 12) ein uod bemerkt, das« nach {. 46.

ist, so erhilt man sofort:

1)

/ «"^Hl— «0*l««8*

«rt^l'^»iii + iir

/** «— Hl-«')«(lg«>^

~ «irt-il'l-^*»i»+iiir'^"*'*»(»+iir)*''

/** «— •(i-«o»(if*)'a«

= ~ iiSSTrK'^ i^i^'+^'^i+S^- -^ ÖJtfi^+*^ (i;^

Oetiin§er: üeäer ^esifmm/e Meffrate, SlVt

n. s. w.

Diesen DaratelloDgen ivr* Seite steht die ans Nr. 1) {. 21. geDom-
raene Gieichnog:

2)

o

-i-r.i Vm»+»""(iii+r)H-i ■*■ (ll•+2r)«^-»"■— ^""^ •(»+»r)»4-V
= (-)f4*.l«|i.^».j~.

it der Zanahme r. Die lo Nr. 1) ond 2) gegebenen Darstelinn-
geo ergSnien nnd nnterstätzen sich gegenseitig. Ffir grossere
ff wird sich Nr. 2) bequemer benotzen lassen. Ffir kleinere n
werden die Gleicbangen in Nr. 1) fördernder sein. Se ergeben
sieh, wenn 01 = 1» r = l, ^ = 0, 1, 2, .... gesetst wird, folgende
letegrale ans der sweiten Form von Nr. 1):

f\\gxy^x =2,

y**(i-*)(ig«)«a* =j,

(I-*)«(lgx)^ = gj.

/i 415

/».. s^ ^ 12010

0. s. w.

308 Qtttinper: (Je^r ^tUmmU Megrale^

während sich diese Werthe aus Nr. 2) mit mehr Mfibe eotwidcelB
lassen.

Da die Gleichungen Nr. 1) und 2) den gleichen Inhalt haben,
entnehmen sic|| hiei;ao8 folgende hemerkenswertbe Beiiehiugeo:

Q. S. W.

Eine besondere Gmppe von Integralen leitet sich aas den obci
Nr.]) nnd 2) gegebenen Gleichangen ab» wenn man mr statt »
schreibt. Dann ist:

5)

nod mao erhllt aus Nr. 1) :

7)

/^ Ifl^ f 1

+»^Vi5'^(5rb+^»(^

u. s. w.

Oettinger: Vik€r beittmmte integral, 360

Aus Nr. S) wird:

8) ,

/l

- y ^•rH-iLiiiH-i""^<jii+l)«+i+(m + 2)«+*"" -J*

Setit man in der ersten Form vod Nr. 7) r=:2x m:= 1/9 = 0,
1, %....» 8o ergeben sich folgende Integrale:

/» 1

xX^xdx = — j»

/* 1 3

a?(l— a?«)lgj?a:p =— j-^.^»

/•' 1 11

/ «(I— J5*)*ig«aif=— j^--g,

/' 1 2B

/ a:(l— a»)*lga:ar=:— |-g.gQ ,

Pflr r=3, mr=I wird:

10) -

Fflr r s 2, m = 2 eotatebt:

11)

' ' i

/' '^>-*^'«*^=-4+i)(»+^)"^*2Ti*

n. 8« w.

Setit man r^S» m^sl» ao^ ergeben sich ans der iwelten
Ferm von Nr. 7):

370 Oettinfer: Otker tetUmmU tmletrmle.

IS)

o *

/ «(l— a!«)(lgar)«aar =g^*3>

/> 1 8S

ar(l_ar«)«(Igj.)iaaf =g-g . Jg.

«a - *")»(ig«)'a« = g^ . "52 »

O. 8. W.

Diese DarsteüangeD lassen sich, wie man sieht, lei^t weiter
fortführen. Doch Torfolgen wir dieselben nicht welter, sonden
wenden uns in einer neaen, wichtigem ond nicht weniger reich-
haltigen Gmppe TOD Integralen, nSmIich zu solchen, welche irra-
tionale Formen enthalten.

{. 60.

Die Darstelinng der nan in Frage kommenden Integrale be-
ruht hauptsächlich aof Faknitftten mit gebrochenen Exponentao.
Wir schicken daher einige Redactions-Formeb derselben ToraoSr
die Im Folgenden zor Anwendung kommen werden, am hieruf
▼erweisen so kOnnen:

1)

m '

2)

m — n

OttUuger: Otter detUmmu huegraif. 371

3>

1 » m

Tli«il Xli.

II *» — »

1 •

.* 1 1 Ät— It

^)

1*» n

1 •«

5)

-ii »»

»

1» --_^ — ,

mSin— «.1 "•
m

«)

r *

r>=

n.n

n^*

fft

7)

\m .1 m ^ — »

* - • •• n.»

mSin — 9S

8)

_5|1 .-H-^|i » _

Sin- »
m

9)

•|i i-i|i (m— n)n jf^

l«i' 1 » = ^« " — »

m

11

-£"=

»

^ tt

-. « .

f

S|ii-Jr-1 *
tn

25

374 09 Hing er: üe^er öeMiHmnu haegroU,

Setit man rss2, yssS» so erhält man ans Nr. 4) (. 45t

(2in+p)(5+y)-IM« "
Mao bat:

»J2„-^ - *•-!

1+* ■

L_ ._L_ +r

Fflbrt man nan die oben angegebeneo Wertbe der angeseigtee
Integrale flir p = l> und p^2 wie olien ein, bemerkt, dass
li4-i|is=llli.| ist, so erbält man nacb den erforderlicbeo Re-
dnctionen und aus Nr. 5) {.46., «renn p=:2 gesetst wird, folgende
Integraiformen :

.6)
f ar«»(l— «^HgarS*

~~2.2»f»i»L^+4 + S«+5 + '*^'"^*~*+*~' —~&iÜ

_ 3.1.3....(2m-1)«/ 1 1 *. 1\

— ~ 4.2.4....(äm+4) V2«+4 + 2m+2+'8^~ 1 ^~'^ mj' '

0

3.2-1«

1»44|

__ 2.4.6. ...2»» / 1 . 1 «w,i 1\

— ~ 6.7.9....(2m+6) V^Hf-S + '^+3 ~*'' + ''i ' <~^«/

Hierans leiten sieb folgende Integrale ab:

8)

/' VTr=^»ig«ar=-^(ig2+|).

OetUnfer: Oeter be$Ummte Iniegraie. 375

jT' xViT^^lgxdx =-i(-lg2 + ^).
jT' «•V(l-*«)»lg:r8x =-5(lg2-^).
JT' *»V(l-:r«)"lga:8«=-|(-lg2 + ^.

«•V(l-;r^»lg«ar =-r^(Ig2-^) ,

/i Q 1307

ar«V(l-a«)»lgxa« = - ^ (Ig2- ^ .

n« 8* w.

Dieae DarstellangeD lassen sich leicht welter fortführeo. Wird
9=3? gesetzt» so erhftit mao:

9)

o

2.2^»l« VSI+6 + äMHl "*■ 5irF2 + '«2— r-(-)— »-^ ,

10)

2*1*

-. (2Ä7 + 2;;rF6 + sTFs -'«2+ 2f^^-)-»i).

Setzt man -^5 — statt 9» so erhält man allgemein:

y * ««P-Cl— «•)«+* lg orao:

o

_ i»f»i«a"i««„ ^ . ./ 1 1 ^ _j_\

376 OttUnger: Veiet detUmmte imteffale.

12)

y ' ««-+»(1— ««)«+* IgaAr
2"l* 111

§.52.
S«Ut imui 9 SS 4, ras 3 in Ifr. 4) §.46., so entsebt:

1)

O

(3«»+J»)(4 + J»)"'».l »
Es ist:

"" äm+p+l "•'•5 1 + jr+;r« '
Wird non p^ss}, %, Q \n beides GMchaiijgeii gesetzt, so hat
nm die Werthe der Integrale/ .^ / >> / A^ ■.^>

J 1 . ^r g ao» Nr. 4) §. 16. In Nr. 1) einzufahren. Hiedarch

und mit Rücksidit aqf Nr. 6) $. 46, erhält man nadi den gehuri-
gen Redaetionen folgende drei Integralformen:

3)

O

i«i».m».mir » . .^, j. i . i

-(l+4+»+...3;s^]

Otttinffr: ßther ätattmmu inUgrirt: 377

16.1*1»«« r n .,... 1.1

-(i+4+*+....5jj?r2)].

da II I > = 9^3 "mi nach Nr. 12) $. 50. Ist

O

= (311,-1.2)6-1» Ö'»' -«vä +*<*+*+ -5+ STTl^ •

-a+i+....^,)].

_ .4.6*i»« y « .1/1.1. 'j.__L_\

— 3(3i» + 2)3«M-il».v3l***~«v3'*"*^^*'*" •••»^in + r

da 1« I >. 11 1 1 s ^ D&cli S. 90. Nr. 9. ht.

y ' «»«»+« VT=:5»rga0a:
3«l» » 11

-K1+4+4+ .•.^].

HienuM leiten «ich folgende Integrale ab:

«)

- ~ 2«(» I »)» V3v5+ V '

o

y*'*»V"riPig*ar=-i(|-4ig3-g^).

378 Oeiiinper: Veber beiUmmu im^rtOe.

16«» / » I0\
— 6.243(1» H)«V3V3"'T/'

_ 16»* / « 17\

■■ 10.243(111 i)»Ut^3~4Öy'

/•,r^nra.g.a.=-^(i,g3-,-53-^.

_ 7.18»» / » 1469\

"" 110.243(111 »)»Uv3~3Ö8Ö/'

O. 8. W.

Hiflrin ist:

W I » = a8929795116, II U = 0,9027452928 ,
Ig W I » =: (^95064149459460 - 1 , Ig 11 1 1 = 0,95656623262854- 1.

Setxt man r s 3, 9 s 5 in Nr. 4) §. 46., so eotstebt:

J a;»''^f»-»(l--«»)llg«8;r

O

(3m+|»)(5+p)»l».I-r'»'^ ^

Hier ist:

Oatttnfer: Vtitr tettimmte InterraU. 979

Setzt man in dimen zwei GMchmigen p ^ 1, 2, 3, m hat man
rolgende lategralet

I+«+a»+J I + x+a^' ^ 1+4! + «*+^ I+¥+^

and

au Nr. 4) g- 1& einzoftiliren.

Hiedareb und mit Rficksicbt auf Nr. S) $. 46. ergeben «ich
DMk den erforderlichen Rednctioneu folgende drei Integralformen :

-a+J+(+-...3;;Jr2)l.

=-s:w^3»'8'+s^+«'+»+-i+iir?i>

8)

3.B-IMII'.I«U , . .,., . ■ , 1

_ H.li-1'..f » ^,.,

- ~8l(3i»+a)i«'i '.(In i)«l-Tv5 "'"■'■*■

880 09Utn§tr: Ptter teMmmte i^teffraU.

9)

0

3«|i, » 1 1

— Kl + *+*+--5)]

8i«raaa leite* sioh blgenie Integnl« «b;

10)

/• . ... , 3,MI».1SI» « . .,

O

/i 3 VE 59

«^l-a^1ga8af = - j5(-ilg«+ g^ + ^ ,

y ' «•(l-a;»)llga:0ar=-2j^(ilg3+g^-3j).

O

/l 29r* 9K 111

0

a. 8. w.
Nach diesem Vorgänge Ussen sich anch die Integnde:

Oetnngtr: üt^er bttümmie Integrate. 381

aoil

B. B. «.

diroUllea. Sie fahren anf Sholicfae Gebilde, wie die hier ao-
g^ebeaen.

9. S3.
Setzt man r = 4, fee 6 in Nr. 4) (, 46.. so entotebt:
1)
/** x*'»*r-Hl — a*^\gxBx

(4m + p>(6+;»)"l«.l • ' *'«

Ei iat ferner:

2)

-4i.+p+2+^ I+i» •

Wird p^l, 2, 3. 4 in Nr. 1) und 2} gMetzt. so hat mMi ans
Nr. 6) {.0. folgende Integrale:

/'j^-ej n'^~¥^ r'^-Wx /"i^-h^
r+>' y i+i* • ^ 1+«* ■ y 1+»*

ta Nr. 1) nnd 2) einanfllbren. Biednrcb nnd mit fidckaidit anf
Nr. 6) {. 46, erhslt man nach den erforderlichen Rednctionen fol-
gende Tier integralfonnen :

382 Oe tun ff er: Veöer bt$ammte Inletrule.

da li 1 1 = Iq^^i nach Nr. 12) $. SO. ist

4)

O

-»[4-^4+*'82-4(l-*+4— —S,)]'

4.2»H»I _

ß)

0

27"i*.I»l».Ui»

(4m-|-3)9«l
3"I*.»V2«

«.li+>l»L4^+5~4'''* *+* •••+4«+ü

8.1-»f«l

da II I » = ^pfi nach Nr. 12) §. «0. ist.

6)

• 2"l«

--2.i-H^...[srr«-*'«^+*^'-*+*---+2srriO'

JEUeraus ergeben sich folgende Integrale:

7)

vi-«*igaaa! *=-■ 2nrrTrt+4)=-32(iir^tt+i)

o

r'xVT^^lgxdx =-|(i + ilg2),

o

y «»VI— a:*lgaaa: =-^^p^,(t_?),

o

r 3fl'^rr^^\%xdx =-j(}-4ig2),

o

/* _A*/T — Tii Q 39tV2» /» 11\

a:*Vl-«*lg«8« =-38.7.(111 »)«V.4~2l/*

«ttUnger: Bebtr beiOmmu HUetraU.

/» nV^» «44

/' ; 3, . I5nV2jt /« 731 >

/" iM/T ii _= "»Vä» , » .3734

j »«^i-»*i8«a»=-058;(Hi"i?'"J+iW'

n. S. fr.
Bierip ist:

111 > = 0,9064024769, Ilii = 0,9I9062S26g,

^lll>:s0.96334S058S7435— I, Ig 111' = 0,99732108371551-

Setit man 9 = 10, r = 4 \a Nr. 4) $. 4S., so entatebt;

(4m+p)(l«+».)-l'.| • •
Hierin Ut:

/' _. ■ »"— '

~"4m+y + 6

Wild iDun p=l, 2. '3,

täglichen Integral« am
nach den gebSiigeD R<

384 Oettinger: üed4r bttämmu InUgraia^

$.46., und den oben za Nr. 3) und 6) angegebenen Werflien fol-
gende vier Integralfornien :

8)

0

__ 3.1» I «. H I Viq- ^l 1 n ^ , _1 "l

_ 9.1"i«.»tV2i» r 1 l «' 1 -1

9)

0

10}

ß ar«"+«(l— Ä<)llga:a;r

_ 4.3"l<.HI'.V«r 1 . 1 ü.i_i., . 1 1

— 5»+a|4.iiii L4m+ö ''■4m+&~" 4 ■•■*"♦■"" •+Sh1J

- 3.3-t«^v2i» r l . 1 »>. ... ._i_l

— ""4.5-+»i«.(lii »)«L4m+9'*'4m+5~ 4"*^' ♦■•**~ •+4m+lJ*

II)

O

= -f:SiV4;s^+4i,iT6-^'8*^*'-*+*^' •'+

Hieran« leiten sich folgende Integrale ab:

12)

O

o •

»ttitntrtr: Vtiat detämmla Megralt. 98&

»•(•-«•)'l««S»=-]07(lll

y «•(i-»«)iig»ai=-5(iig2-

n. 8. w.
Aar gleiche Weise lassen sich die Integral«

bebudeln. Sie fähren avf Sbniicbe Gebilde

:. M.

Wird r = 6, « = 9 in Nr. 4) {. «. |^|
1)
/"i<-t»-i(l— i«)llga

(6+i»)-i».i'".m' /■' ,

(6m+;>)<9+p)-lM • •
Hier Ut :

2)

-6«+p + S+7 1 +

WM p3=l, 2, 3, ....6 gesetzt, eo hat a

/

386 OeiUn§er: üeber bnUmnUe huegraie.

o o o

in Nr. 1) und Nr. 2) einzuftihren. Hiednrch und mit Rfidcsiciit anf
Nr. 5) §. 46i erhfilt ipan nach den nuthigen Redoctioneo folgoide
sechs Integralforme^ r

3)

/ jf^ V^l -^x^lgxdx

0

» 1 "1

0

«)
o

3.io»i».nn.v»t r 1 u « « j^i ._L. _.^ * n

7)

8)
o

=-37^. [8;;rr9-*'«2+*^*-*+*— ••+srn^J

0

Oettinger: (Jeder bestimmte Integrale. 3g7

Hieraus leiten sich folgende Integrale ab:

9)

f V.-^.ig.a. =-^y^"(i+4ig2 + 3-5-3,

o
o

/' .*^l^.|g.a.=-3^i!;^jf(,+^,,2_3-^3),

y^' jr»V7-^i«lgaraa:=-J(J-ilg2),

o

/^.^T:^.,g.a.=-^I^«a,g2+3^_g),
/* -'^l^«i«-a-=-'^i??(-iig2+,^3-^o)'

y*' x«'\^r=i"«lg;car=- J(4lg2-~).

0

o ^

jr ^ VJ J! Ig:t8j:_ n27inT-(,28Ö+*'ß^-3v3>

/'a:»^ÜIF«lg:ra:r=-|(U-ilg2),

u. s. w.
Uierin ist:

M 1 = 0,9277195473, 1111 = 0,9406558583 ,
Igln 1=0,96741660736966-- 1, Ig in 1=0,97343076455719-- 1

We Werthe fär H 1 1 und 11 1 1 sind §. 52. angegeben.

Wird r = 6, q — % in Nr. 4) §. 46. gesetzt, so entsteht:

Theil XTi, 26

386 Oe Hing er: üeber de$ttmmie inleffnäe.

o o o

iD Nr. 1) und Nr. 2) einzuftlhreD. Hiedarcli und mit Rücksicht aif

Nr. 5) {. 46i erhfilt ipan nach den nuthigen Redoctionen folgende

sechs Integralforme^ r

3)

% . ►

4)

0

y ar*»+*VT-^rgaraa: ,

0

«)

0

o
3.1(>"l*.ltl».V»

7)

/ a:««.+»Vl_a-«lgJf8«
8)

o
2"l*

3.1«H^«I

i [8;Ä9""*'«2+*<*-*+*— "+2srn>]'

y** **a-«*)«gar3*=-|g757(HT^(j-^.

Q •

O

O

U. 9. W*

Anf gleiche IVeise lassen sich die Integrale

% O

behaDdein. Sie RihreD auf Shnllche Gebilde wie die Torliegenden.

Wird r s 6, 9 = 9 in Nr. 4) {. 46. gesetzt» so entsteht:

1)

o

(6m+p)(9+p)"i«.l • ' «

Hier bt:

2)

/i *•— 1 /*» 1

U O

o

Wild p3=], 2, 3».... 6 gesetzt, so hat üsd die klegrale aas
}. 18. Nr. »:

388 Oetiinger: ütber bestimmte InUifraie,

(6iii+p)(8+p)«IM • * «

Es ist :

O 0

0

Wird hierin ji=sl, 2,.... 6 gesetzt und werden die Werthe der

fahrt, so erhalt man nach den nothigeo Redactionen folgende
sechs Integralformen:

10)

/*'a*"(l-««)Mg«8ar

11)

A* a;«»fi(l_^6)i|ga:8a:
=~(6m+2).10" I «.1» I » L6V3~*^' J ' ■•■ ''+""3m-2'

=~243(6m+2).ld"l«(I»i')»L5v3 *^ ■*"*''"^*-3m— y
d» 1» 1 1 = 9y3 "ii 1 1 nael» N»- 12) f 50. ist.

Oiiiinfer: Veber b$$iimmte Megmie. 389

W)

0

a(6;^■iyJ^^M>:lln[-^'g«+4-v^•-*<^•^*•^^^^""S^=l>

1 I .

13)
/ * ar*»f»(l — ar^t ig«8ar

=-9(ferf4MWTti73tt'8^I^-*« + * + •••• 3Sr=^^

14)

y * a««+*(l— a;«)»lga:8«

o

6.11»'«.HIM*'* r « «... — L_^
=""(6m+6).7-+ii».Ui»l~5v3~^^''"'^'*"'"S;r=l^

11

+ i+f+ ..^q:i+e„^7J

-~3(6m + 6).7-+M«(l"»)«^*"2;^~^''*"'^"*''**'6»»-l^

1 _J_i

15)

I

/** ;r«-H-»(l— a:«)Hga?8ar

0

Hieraas Mten «ieb folgende integrale ab :

9

9" '

390 Oeitinger: lieber öesUmmie InUgraie,

W)

0

* o

0

o

o

/i 9 111 1 Uli «

x«(i-x«)Mgx8x=~^-^^^^;; aig3+|:^-i),

o

/l 8. TT* / TT 3\

o

Q« 8« W.

$. 55.
Wird r = 8, 9 = 13 in Nr. 4) $.46. gesetzt, so erbftit man;

1)

.Sil

*^i

'« (8m+p).(12-^•f»)»l•.l •

o
Nun ist:

2)

/i ar^a — 1 /^i 1

""8m+4 + p "^"^ l + or«

0

Wird in Nr.!) und Nr. 2) p = l,2, ....8 gesetzt und werde«

OetUnger: Ceber tetUmmle Integrale. 391

Jie Wertfae für di« Integrale / ■. . ^* / T+^ä"'*' ""*

$. IS. beatimmt and eingeRihrt, so ergebeii sich n&ch den nSthi-
gen Rednctionen folgende acht Integralfonnen :

3)

/ i"" V 1 — je'lgjrfe

|.l.,llli.v„r 1 _ 1 2+V2
2. 13-1«. II liL8»i+5'''4V2'*'2-V2 ■'"'''

-<■-*+'— -ss^I

/ ji!*»+> VI— :r>lg«aE
3.1"l*.MV2nn In IT

~~5r7-i«(ui')"L5ir+6+8~*''~*''"* "ta^i'J'

d. II 1"=^^^, nach Nr. 12) §. 50. ist.
S)

II-IMII'.V» r 1 , I , 2+v2
2(8m + 3).l6-l".)ll'L8m+7+4V2'"' "2-V2"'''''

6)

7)
/" »•>+« Vi^^"lgi8:r

4.I3-I'.1II'.vj p I 1 2 + V2 .

~ (8iii+5).9-til«.llliL8i« + 9~4V2"*3-V2"''"

+ (1 -! + !-...+

392 Oettfnger: i'eber besUmmte Inleprate.

8)

o

_ 3"i*.«.V2ff ff- 1__ n 1 ~1

~~ 16.5"+» I •.(!» I »)*L8m+ 10~8 +»(*—* + '—•• 4,,, + PJ«

9)

0
4.I5»I«.UI».V«

/** jc*»+« Vl-;r«lgara*

(8m + 7) . 1 1"+M 8 . 1 f 1 1 1_8„+11 - 4y5 ^— «g 2^rv5 + '»^

10)

r * :c*»+r Vm^lgaföx

Hieraus leiten sieb folgende Integrale ab:

o

y* ' x> ^r^^^ex^s== - j^a +iig2),

o

0

oelttnger: Vtier utuamtf Integrutt 303

j «•^i-«'i8'«*=— 7T7|iri-|i3-4T5<-'«2=vä-»"-l'

/» , m'.Vrer I , . 2+V2 , 13t

«. •■ w.
Hierin ist:

l'" = 0.M174il6<B7, lä"=0,888»I35()lH,

l"" = 0,89e674l»00, l'" = 0,8634«8127,

lgl"'=0,973832M2348-l, Igi-"=0,9«I85()6357(Ü-1,

lglä"=0,952586276143-l. igl' " =0,«7ie9«OI5704- 1.

394 G runer t: Allgemeine A uflös. der Gleichungen des Plenen Grades,

XXIII«

Allgemeine Auflösung der Gleichungen des vierteo
Grades, nebst einigen Bemerkungen über die Glei-
chungen des fünften Grades.

''• ' Von

dem Heratt-ageber.

Zwischen vier Grossen tf u, v, u> findet jederzeit die folgende
identische Gleichung Statt:

1)
(t+u + v + w)^

+ 2(3««— tt«— »*— w«)(< + tt+© + w)*

— 4t2tttw + <((«— ti«—r«— !©«))(« + tt + ü+fo)

von deren Richtigkeit man sich ohne Schwierigkeit durch Rech-
nung überzeugen kann. Wenn man nun mit dieser Gleichung die
aufzulösende Gleichung des vierten Grades:

2) a:*— 4aa;» + 6Äa:«— 4car + rf = 0

vergleicht, so wird offenbar

3) .t: = < + u + t? + to

sein^ wenn man die Grossen t, u, v, w mittelst der folgenden
Gleichungen bestimmt :

neM etHtgat BemerMmnfen über die eieieh, OetfittfUn erade$. 995

t=a,

3/»— ««-r«— IT« =36,

Ans diesen vier Gleichungen erbftit man sehr leicht die yier
folgenden Gleichungen:

•^ 5) ■

2tirto=2a>— 3a6Ve>

4(iA>»+ t)«a>* + i^«tt«)=12a*— 24o«6 +4ae + 96«— rf;

oder^ wenn man der Kürze wegen :^

6) ....*.. «1 == 4t«*, ©1 = 4o*, W| Ä 4»*

setzt, die ?ier folgenden Gleichungen:

7)
<=o,

ai+»i+«i=» 12 («•—*),

«ii>itci = 16(2a>— 3a6 + c)»;
ond weil nun

I

= (jr-«i)(jr-r,)(jr-iri)

ist, so sind offenbar ih, Vi, wi die drei Wurzeln der cnbiscben
Gleichung:.

, .8)

-.12(a«-4)A«

> =0,
+4(12a*— 24a«6 + 4ac+W*— rf)J^

-.16(2o»— 3a6+c)*

kSnnen also durch Auflösung dieser Gleichung jederzeit gef
^etden; weil das letzte Glied negativ ist, so hat dieselbe l»ierl
Kcb'hniBer mindestens eine reelle posUiTe Wurzel, und

26

9M Bruntri: AUpemüni Auftön. 4er GMekunffen det tfUrim Grttiu,

deren Wuriein sind entweder beide reell und pesitiT» oder beide
'eell und negativ , oder beide Imaginär.

Wenn man die Worzeln der Gleichung 8) bestimmt bat «d
swei derselben fiir «t» «i setzt, so erbSit man wegen der Glei-
cbongen 6) flir u, v offenbar Ansdrficfce von der Perm:

9). ....... u-±V, \^±V.

»
Setzt man dod ferner:

SO erbalt man wegen der ans 5) bekannten Gleicbung

für ti, o, 10* offenbar (die vier folgenden Syslema von Weitben:

ti=:-|-l7, ü=+F, wj=a^W;

t«=;?+l7^ VD— F, 1»=:— If;

11). . . "

i* = -D, n=+F. toÄ-KF;

Mss-U, v=-F, »= + »F;

also sind, weil

ist, die vier Wdrsehi der niCraKi^nden Gteltihiag 2> dtfs viertea
Grades die folgenden:

a+l7+F+»F,
a+l7-F-IF^
a-r+F-IF,

wodurch demnach die gegebene Gteicbung- Jjsfkt vollstKndTg snlge-
jQst ist, indem wir alle weiteren erforderlichen Entwickehingen ftg-
lieb ganz dem Leser überlassen kOnnen.

Wenn wir det KArm^ «Nrgnn

12)

i*>< ' . ■» • t »

neäsi tMgen BemerhWHfen üker äie 0ieick.dmfinflem€rßäm. 807

seile») so baliMi wW. jederseil die fblgende ideotiseke Gleichwi^:

' 13)' • " ,

— 20?^— i») (< + « + « + to)»
bt oun die Glelcboog des flinftea Grades:

*

in welcher das zweite Glied auf bekannte Weise weggeschafft
roransgesetzt worden ist, aufzulösen; so wird

15) x^^t-i-u + ^+fo

sein, wenn man die Grössen, i» aip v, to aus den Gleichungen

16)

2(8<«— P) = a, 4ßtP-Q) = b, UtQ—R = e. itR = d

beitimmt. Atu diesen Gleichungen erhilt man aber nach and nach:

KtQ=ie + R,

fUflQ = 4cf -I- 4tR = ict + d;

8tP=b^iQ.

. l(^Z4l> = 64atH12&'''s:64at>Hr;6^>4«M^

ako:

16). . . , l(ßifi-Mat*—l6bi»'-4et—d = 0, ..

}'

ans welcher Glekluing t beaütimmt weiden «luss, woraqß man dann
ferner mittelst der Gleichungen 15) leicht P» Q, R findet Hat
naa «beri db GtSssen t^ P^ Q^ jß-geluttieli, m^ lasseo aMi mit-
telst der Gleichungen 12) auch ff» e, to auf ganz Shfllielie Art
wie vorher bei den Gleichungen des vierten Grades finden, wie
auf der Stelle erhellet und hier nicht weiter ausgeffihrt zu wer*
den braucht. Da aber die ffilslthung 16), mittelst welcher t be-

306 €rnnert: Au/iösung der ßMchungen des Herten Grades, etc.

stinniit werden itiasa, selbst "fom füiftett €)riKle ist; sosiebtsui,
daas sich aaf diesem Wege die Gleichungen des f&nften Grades
nicht auflösen lassen , welches zu zeigen hier nur der alleiDige
Zweck war, weshalb ich mich auch mit der Betracbtung sokber
Gleichungen des ffinHen Grades« in denen das zweite Glied fehlt,
begnfigt habe, aber auf den allgemeinen Fall vielleicht spSterhiB
noch zurflckkommen werde.

Bemerken will ich nur noch schliesslich, dass die Glelckn.
gen 15) vielleicht geeignet sein dürften, um darauf eine zweck-
mässige näherungsweise Auflösung der Gleichungen des fänftea
Grades zu gründen, was ich Jetzt aber nicht weiter untersuchen will.

s »

Dr ac'kfe h.l^er.

Tbl. XXXyill. 8. 239. In den drei letzten Formeln aof

dieser Seite muss statt des , Brachs — ^ — r-^ — ir—^ der Brach

smcooi'

^u ^ 5^ gesetzt, also im Nenner der Factor P^ hinsuge-

J^^srntOoi'

fügt werden, wie auf der Stelle in die Augen flllt

TU. XL.>S. 135. Z. 10. statt >, Neuerun g'' setze man «»Neue-
rnngen«^

. . < M.

Dro9ien: Rede von äfin Veräi^iwien dir sckweä» CeieMrUn Hc. 999

Rede von den Yerdiensten der schwedischen Gelehrten
um die Mathematik und Physik.

Zar Feyer des hohen Gebortafestet des allerdurchlauchligateB
Königs und Herrn GUSTAV IV. ADOLPHS, im grossen Hdrstale
der Universität Greif swaid gebalten

Ton

/. JF. Dnysen,

der W. W. Doctor and Adj. der philos. FacultAt,

den 1. Nov. 1799.

Sr. Excellens dem Herrn Baron von CederatrOm, Vice-
General-GouTerneur, Akademie-Kanzler, vormaligem General
en Cbef, General • Major der Cavallerie, General-Adjutanten»
Obristen der Norderscbonachen Cavailerie, Kommandeur den
Königlichen Seh werdt- Ordens mit dem grossen Kreuze^ in
tiefster Ehrerbietung gewidmet vom Verfasser.

(Greifswald. 1800.)

Als ich schon vor mehreren Jahren von der Existenz der im Nsehfolgeaden mit-
S^tbdlten Bede Kenntniss erhielt, sachte ich mich aaf Jede mögliche Weise in deren
^^<>ti sa letaen, stand aber endlich von allen meinen Bemühangen and l^achfor-
icboDgen ab, nachdem ich in der vollständigen Gewissbeit gelangt war, dass die-
i«Ibe sich selbst nicht mehr anf der hiesigen Universitits-Bibliothek befand, wo
sie allerdings frfther voriianden gewesen war. Vor einiger Zeit fahrte jedoch ein
S^ftcklicher Zufall za meiner grossen Freade diese von dem spftteren, leider schon
<m Jahre 1814 verstorbenen, Professor der Mathematik and Physik Dr. Droysen
)ei dner akademischen Festlichkeit gehaltene Bede dennoch in meine Hftndel Dass
Hesdbe an maaohen Mängeln and Unvollst&ndigkeiten leidet, and nicht tief genog
0^ ibren Oegenstaad eingeht, liegt auf der Hand, was aber theSweise in der

Tkeu XU ar

400 Ofoyttn: Reds vom den ferdientten der tckwed. MeMrtem

Kater und Bestimmimg einer solchen Bede seinen Grand hat imd dam bin-
mchendc Entschuldigung findet. Der Gegenstand derselben ist ein sehr wich-
tiger und interessanter. In Schweden haben die Mathematik und KatorviaeB-
•chaften schon in sehr früher Zeit gcbltthet und stete ausgeieichnete Vttttrtg
besessen; dieselben haben dort, wo allgemeine Bildung selbst bis in die mUef«
Schichten des Volkes yerbreitet ist, jedencit einen sehr wesentlichen Thdl te
höheren Büdung aasgemacht, namentlich auch auf den Schulen, wie dies mAi^
Terstindlich auch gegenwärtig der Fall ist, wo so yiele treffliche achwediseke
ICathematiker, Astronomen und Physiker unserer Unssenschaft «ur wahihsfta
Zivde gereichen. Die Geachidite der MEathematik und Fhjnk in Sdrnda.
namentlich die ältere, ist, besonders auch in Deutschland, nur sehr wang be
kannt, und bietet dodi des Interessanten und ^chtigen so Vielea dar. Des-
halb hielt ich es ftr sweckmisdg, das ArchiT su benutaen, die mehrerwihme Bedi
«- ^a naiaeatlich auch dne grosse Menge yerdi^istlicher und sehr nfttiliekr
Uterarischer Kachweisungen enthilft, — der Tollatiiidigen TefgesNoliait sa «t-
rmssen und yor dem ginzlichen Untergänge zu bewahren, weshalb ich diisdbe
fan Folgenden hier wieder abdrucken lasse. Ich hatte mich uraprikn^ich «a-
schloisen, nur das eigentlich Historisdie und Literarische anfiranehmea, den bei
solchen akademischen Festreden gewöhnlichen Eingang und Aasgang dageg«
gans wegsulaasen. Bei näherer Ueberlegnng fl^anbte ich mich dadurch aber ona
Unrechte gegen den yerewigten, mehrfach yerdienten YeK&sser schuldig si ns-
chen, überdies auch den Gesammteindrack su beeinträchtigen. Deshalb mSges
die Leser entschuldigen, dass ich die Bede fast wOrtlich, seibat mit der Dc£-
cation und mit Beibehaltang der Orthographie, nur mit Verkürzung des su Isngn,
gar nicht wesentlich zur Sache gehörenden Sdilusses, im Folgenden wieder-
gebe, und mir mit dem Wunsche su schUessen erlauben, daaa der ton ni
yeranlasste neue Abdruck yielleicht su Berichtigungen, namentUeh aber an ndi
yielen weiteren Mittheilungen über die Specialgeschichte der Mathematik vd
Fhyaik in einem Lande Veranlassung geben mOge, in welchem diese Wmm-
Schäften zn allen Zeiten so sehr geblAhet haben und anoh gegenwlrtif so Tick
ihrer ausgezeichnetsten Vertreter zählen.

Der Herausgeber.

Magoifice Acadeiniae Rector»
' Hochwfirdige, Wohlgebohrne, Hochgelahrte, HocherGihrBe,
Hochzuverehrende Lehrer dieser hoben Schale»

Hochwohlgebohme, Wohlgebohrne, Hochehrwfirdige» Boch-

snehrende Herrn,
Hochgeechatste Herrn Commilitopen, Hochzaehrende Herrn.

Wissenschaften, welche auf die Bildang des Geistes, aof <fi«
VerTollkommang und Veredelung seiner Fähigkeiten and KA^te
bedeatenden Einflass haben; Wissenschaften, welche dnrdi die,
ihnen Tor andern eigenthOmliche Gewisheit, Wahrheit und Unna-

um die ütitkemattk und FMpsik. 401.

fltOMÜchkeit das Greprftge «iner fttckllcb in Stande gebrachlMi
Vollendaag an sich tragen; Wissenschaften» welche durch ihre
Braocbbarlseit und Anwendbariceit im gemeinen Lehen , nnd hei
der Erwerbung menschlicher Bedürfnisse unentl>ehrlich sii\d ; Wis-
senschaften wie die Mathematik und Physik mussten sich frühe«
wie noch Dunkelheit und Schatten die meisten Zweige des mensch-
licben Wissens bedeckte, Liebe, Achtung und sorgfältige Bear-
beitung erwert>en.

Je unleugharer die Mathematik den Verstand im Urtheiten
and Schliessen, den Wits im Aufsuchen des Aehnlichen und Un-
ihnüchen, die giftze Denkkraft in Ordnung und Bestimmtheit übt
md sehirft; je unleugbarer sie den Sinn für Wahrheit verfeinert;
Begriffe ?erbinden und sergliedern, lange Sohlussreihen mit Leich^
tigkeit fiberseben und aus fruchtbaren Sizzen wichtige Fdgerun*
gsn ableiten lehrt; um desto unwidersprechlicher erweiset sie da*
durch ihren Nmßzen fflr die Bildung des Geistes.

Die Wahrheit und unerschQtterliche Gewisheit Ihrer Grund-,
Lehr- und Folgeslzze, verdanket sie nicht einer auf AehnDchkeit
qimI Gleicl^heit vorkommender Fälle berechneten Erfahrung, oder
einer wankenden Speculation ; nein, sie ist in ihrem Wesen selbst
gegründet, indem sie auf Anschauungen, frei ?on aller Erfahrung,
dorch sich selbst möglich, und in der Darstellung würklich, be*
rabet, und daher wie die unerforschte Einrichtung des Geistes
Boerachfltterlich.

Ihr Nuzzen, ihr Einfluss auf alle Theile des menschlichen
Wissens, leuchtet eben so unverkennbar deutlich ein; nicht nur
mittelbar, als Vorbereltungs Wissenschaft, auch unmittelbar durch
ihre Anwendung auf die Bereicherung und Bestimmung der Wis-
senschaften, auf die Vervollkommung alles dessen, was sur Be-
friedigung menschlicher Bedürfnisse und zur Erhöhung der Genüsse
dieses Lebens führt, wjirkt sie auf dem weiten Felde des mensch-
lichen Wissens mit gleich glücklichem Erfolge.

Gleiche Vorzüge geniesset mit ihr die Naturlehre, In wie
ferne sie mit ihr und durch sie auf unumstlisslichen PHnciplen
beruhet, und ihrer Anwendung die erste Hand bietet

Bei so giftnzenden Vorzügen mussten diese Wissenschaften
sehr frühe, schon in den ersten Jahren der Kindheit des Men-
schengeschlechtes, nach dem Maasse der Kräfte jenes Zeitaltel^s,
bearbeitet werden. Die Unentbehrlicbkeit der Maasse für Rlume
und Zeiten, so wie die Beobachtung der um ihn her mit Regel-
misrigkeit vorgehenden Erscheinungen mussten den Menschen

402 Dropsen: Rede von den ferdiensUn der $chwed. Gelehrten

auf die nähere Be»liiiifiiiing und Betraebtung derselben »bre«;
dftdurch wurden Bestiomiangen der Grösse ini Räume und » der
ZeiW Mas^sse und Zahlen möglich.

Geföhrt von Bedörfniss und TSIeuj^ierde, durch Erfahrung oad
Zufall unterstatzt, niussten diese Wissenschaften, die das all?c-
itaeinste Interesse belebte, riesenmässige Fortschritte machen, die
wir mit Bewunderung anstaunen. Wie ungeheuer Ui nicht der
Abstand von dem ersten Anschauen eines Zuschauers , der »um
gestirnten Himmel aufblickt, bis au der Kenntniss, nach MbutcD
und SecMnden die vergangeneu und zukanftigen , nach Jabrhnih
dertea sich ereignenden Zustände dieses Weltsy^teais aogcbca.
an dem unermesslicben Gewölbe den Punct bestimmen z« konae»,
wo nach verflossenen Jahrhunderten jeder Körper dieses Systemet
stehen wird!

Welch ein ungeheurer Abstand von der Ausmessung de«
kleinen Raums von wenig Schritten, den die Höhle des ersten
Bewohners beachrfinkte, bis zur Berechnung der Oberfläche ood
des körperlichen Inhalte der Erde, der Sonne, der Planeten, and
ihrer alle Maasse übertreffende« Entfernungen untereinander!

"Welch ein Abstand, von dem Schaudern, das der Mensdi
bei der grossen furchtbaren Erscheinung am Himmel empftsd,
bis ztt der Kraft dem Feuer des Himmels seine Bahn vorzuzeicb-
uen. — Von der blossen Betrachtung der Köri^er bis zu der Kniwt,
das unsichtbare sichtbar darzustellen, und der Natur gleich, selbst
schöpferisch ihre Körper zerlegen und wied^ neu umbilden m
können I

Diese und ähnliche Fortechritfe In diesen Wissenscbafteo,
diese Höhe, zu welcher sich der menschliche Geist emporschwang,
sind Wfirkungen seiner rastlosen Thätigkeit, Folgen seiner Be
dOrftigkeit, die Erfahrungen, Beobachtungen, tiefes Nachdenken,
Vereinigung einzelner Kräfte, Versuche, nachdem man gelemet
hatte« die Natur im Kampf ihrer einzelnen Kräfte zu versczzen
und zu belauschen, und oft ein glöcklicher Zufall 0« der Hand
des Weisen von Wichtigkeit) befriedigen lehrten«

Mit Dankbarkeit und Ehrfurcht blicken wir auf die grossen
Blftnner vergangener und gegenwärtiger Zeiten, die durch ihren
grossen Geist und ihre rastlose Thätigkeit zu diesen FortscbritM
mitwürkten; mit Freude fiberrechnen wir die grosse Anzahl der-
selben und die gliicklicben Umstände, welche ihnen hflifreich dit
Hand boten. Nicht an ein Land, nicht an ein Klima, ja nicht an
einen Welttheil gebunden, nein fiberall hob sieb der Geist in

um die Msikemattk und Bl^M. 405

Yervollkonmung lUs Wissens empor; Gesohlechter ond Reibhe
versanken, die Wisseoschaften erbieUen sich; grosse ätaatsum-
wfilinngen schienen dem Gänsen den Umsturz su drohen» die
Wissenschaften grGnten im Verborgenen, oder wuchsen selbst
mfihsam unter den Ruinen hervor; ja an den ftussersten Enden
der Erde, wenn ich so sagen darf, fanden sie Stoff und Nahrung
ffir ihren Wachsfhoni.

*

Das allgemeine Interesse, das die matheroatischfn und phy*
sikaliscbeo Wissenschaften mit sich fahren, belebte nicht nur die
Gelehrten von Profession; Gewalt und Reichthum unterst&tsten
mit vorstfglicheni Elfer grosse Unternehmungen, welche die KriA»
des Privatmannes Cber^tiegen ; Kfinstler arbeiteten den Gelehrten
in die ÜAnde; Reisende beobachteten in entfernten Himmelsstri-
chen; BeschOszer und Freunde dieser Wissenschaften belebten
durch ihren Beifall und durch Belohnungen den Eifer für dieselben,
ood 80 stiegen sie^ nach und nach in verfliessenden Jahrhunderten
xo jener Hohe empor, auf welcher sie jezt die Liebe und Ach-
fuog geniessen, die ihnen der Kenner, wie der Laie zollt.

Unter Gustav Adolphs Regierung, wo die Wissenschaften
und Künste, auf einem durch Friede gesegneten Boden , fern von
den Schrekken des Krieges, durch hohen Beifall und erhabenes
Beispiel gepfleget und gewartet werden, wo die BlQthen, von
seioem Scepter geschützt, schön in des Friedens Sonne aulbUl-
ben, wo die Früchte mit Sorgfalt und Dank geerndtet werden; in
Gustav Adolphs Staaten haben auch diese Wissenschaften, Ma-
thematik und Naturlehre, vorzüglich geblühet, und stehen noch
durch die Bemühungen grosser Männer gewartet in dieser schonen
Blatbe.

Dem heutigen Tage, dem Feste des ersten Lebenstages
unsres geliebten Königs, sahen wir alle mit gerührtem Herzen
entgegen, wir feiern ihn in der Stille mit Seegnungen für Gustav
Adolphs Wohl; und wenn wir ihn. hier feierlich begehen, wie
können wir es zweckmässiger, als wenn wir uns des seegenvollen
Einflusses seinesScepters auf die Wissenschaften freuen?

Gönnen Sie mir daher,* n. St. u. W. (i- A., Ihre ** ermunternde
Aufmerksamkeit, wenn ich Ihnen

Ale TevdtteBflto ncMreAtoelier ClelelirteB um die
Mstbematik «nd Pli7«lk

404 Droysen: Rede pon den Verdiensuu der echwed. Gelehrten

InstSedäebtniBs'EurOckiiirafeD bemühet «eyn werde, VerdBeaete,
auf die Gustav Adolphs und seiner hohen Vorfahren weiss Re-
gierung so glänseoden Einfloss hatte.

Es würde mich ohnstreitig zu weit führen, wenn ich hier alle
die Verdienste einselner Gelehrten und Schriftsteller Schwedens,
die mit Glücke theils zur weitern Ausbildung dieser Wissenschaf-
ten> theils zu deren Verbreitung in ihrem Vaterlande mitwürkten,
aufkfthlen wollte; ich rouss mich hier begnügen, Ihnen, gleichsani
in einem Gem&hlde , das EigenthfimHche, Grojsise, Originelle, was
die Schweden in diesen Wissenschaften leisteten, su entwerfen;
md rechne bei diesem mangelhaften Entwürfe auf ihre schonende
Beortheiinng.

Wenn gleich das Dunkel, Welches über die ersten Kindheits-
Jähre eines Volkes ruhet, unserm Auge das Entstehen uud deo
Wachsthum der Wissenschaften verhüllt, wenn wir nur aus zwei-
feihaften Sagen, aus der Aehnlicbkeit des Aufkeimens derselben
bei Völkern anderer Welttheile» die wir in diesem kindischen
Alter kennen lerneten, zu einzelnen Mufhmassungen berechtigt
zu seyn scheinen; so finden wir dennoch unverkennbare Spuren,
aus denen wir die ersten Kenntnisse, welche auf Naturlehre und
Mathematik Bezug haben, auffinden können.

Der Anblick des gestirnten Himmels musste den ersten Be-
wohnern eines jeden Landes, unter jedem Himmelsstriche merk-
würdigy und die aA demselben regelmässig vorgehenden Erschei-
nungen auffallend seyn. Die für eines jeden Volkes individuellen
Zustand, , von Lage und Klima abhängig, mehr oder weniger inter-
essanten Erscheinungen bemerkten sie bald, und deuteten sie
durch Nahmen und Zeichea an. So war dem Egypter die Zelt,
wo der Sirius, der bisher nahe bei der Sonne ungesehen in ihren
Strahlen gestanden hatte, sich zum erstenmahle in der Morgen-
dämmerung zeigte (ortus heliacus Sirii) merkwürdig; an diesem
Stande der Sonne erkannte er die Wiederkehr der für ihn so
wichtigen Zeit, wo der Nil seine Ueberschwemmong begann. Der
von der Viehzucht lebende Cbaldaeer erkannte aus dem Stande
der Sonne beim Widder, die Wiederkehr der Zeit, wo sich seine
Heerde, sein Reichtbum vermehrte^ und gab vielleicht darum
diesem Gestirne seinen Nahmen; so veranlasste vielleicht die
beobachtete gleiche Länge der Tage und Nächte» wenn die Sonne
im Zeieheo der Waage stand, Ae Benennung ^eses Gestirnes,
so andre Bedürfhisse und BeoiiachtoBgen damaliger ZmIöq aif
der Erde die Benennung der Gestirne im Thierkreise. — Und
wenn die Bewohner der weiten Ebenen Sennar als die ersten

um die MiUkemaifk und Fäpsik. 405

ätltt^m&men aogesehee werden, weil Bicbtlldie ReieeD mid elo

i^rfKgrtoiter Horaont sie Torsfiglicb daxu aufforderten; moeeteii

lann nicht die Bewohner der Ebenen Nordens, Von hellen, sehr

angen Wintemlcbten, ?on so vielen merkwGrdigen Erscheinungen

uu nördlichen Himmel aufgefordert, frühe su ähnlichen Kennt*

lissen gelangen kSnnen? Man findet daher auch frflhe, sehen

•lei den ältesten Vollcern des Nordens Eintheilung der Zeit in

iabre, Monate und Tage; sie beobachteten, wie Magnus Gel-

diu 8^) versichert, mit Genauigkeit die Mondencirkel, und ihre

"Ronen*) sind uralte Documente ihrer astronomischen Kenntnisse;
Kenntnisse, die nicht in den Händen Einzelner, sondern das Eigen-

-thnm fast eines jeden Landmannes waren. So ersählt Rudbeck»
dieser roShsame Forscher des Alterthums, der llOOO Versuche
äbsr die HShe der Dammerde *) anstellte, um daraus auf das
Alter der bewohnbaren Erde zu schliessen, dass er einen armen
Laodmann fand, der durch HQlfe seiner ausgestreckten Fmger, wie
durch ein Astrolab, die scheinbare Entfernung der Sonne und des
Moodesmass,'uro daraus die Zeit des ÜSeumondes zu bestimmen*).

1) Om HeUinge Bnnorne Stockb. 1677. - ^

S) Von den vielen über die Bauen, diese merkwürdigen Kalender der alten

iK>rdiichen Völker, heransgekommenen Schriften, will ich hier nur anftihren:

Bodbecks Atlantica. Tom. II. 1689. Olof CeUine Bnnae Medelpadicae. Ej^*

dem Epittola ad Magliabeckinm de Bunis Helsingids. .

Et werden deren über 190 Utere nnd nenere auf dem Obterratorinm in

Upmk tnfbewähret,' (L. B. BoMer ütkast tiU Beekriftiiag om üpeala. 177S.

ILThL l.Cap.)

8) Badbeck. Atfant Tom L p. 180.

4) Diese seltsame Bestimmnngsart rerdient eine BrOrtemng. Nach Bndb.
Ad. T. H. p.68d. bestimmt der Landmann de9 Kenmond ans dem Vollmonde
>tf folgende Weise : er wiUt einen Tag tot oder nach dem Vollmonde, wo er
die Sonne sogleich mit dem Monde über dem Horisonte erblicken kann , md
■int slsdann die schdnbare Entfemnng derselben ron einander nach Hahnen-
^itttti (HahnefiAt) (spithamis) ; so, dass wenn von dem Monde in Osten die
8<nme gegen Westen 4 Hahnentritte entfernt wtre, noch 4 Tage bis snm An-
fluge des Neomondes fehlen ; stftndo aber der Mond der Sonne gegen Westen
SQch om 4 Hahnentritte entfernt, so sind eben so Tiele Tage nach dem Nen-
iDonde verflossen. Die Messung dieser scheinbaren Entfernung gesddeht sof
folgende Weise : Man streckt die Hand yor sich her gegen den Mond in ans,
fiftiet den Daumen nnd Zeigefinger so weit man kann, sieht mit dem Auge
flogst der iussersten Spitse der beiden Einger; so ist die Entfernung der bei-
^ Spitien einem Hahnentritte gleich, und der dadurch am Himmel bestimmte
^^^8*& ein Maass Ar die scheinbare Entfernung. Wenn nun ein Mensch von
gswOknHcher LAoge (6 Fnss) seinen Arm ausstreckt, so ist die Bntfemang vom
^>9ebis sor Spitse des Daumen S4 Fuss = 5 Hahnentritte. Beschnibl mas mit

406 Uropsen: Rede von den Verdiensten der ickwed. Gelehrten

E^o Beweis, wie erfindangsreicb Bedfirfhis« macht. Der Gabtuck
der Zabien war den altea Bewohoern Schwedens, die «cht hia
10, sondern bis 12 xählten, ebMifalls bekannt, und in der Rechen-
kunat sollen. sie besonders erfahren gewesen seyn^) ; so wicLaad-
messknnst^, BaukunstO und Tonkunst^) tinter ihnen bearheitel
wurden.

Der Gebrauch des Eisens, das Daland den Nahmen des etseii-
tragenden gab*); die Reisen Others und VVulfstans von Norwe-
gen nacli Scbleswig^ eine der ersten Unternehmungen nordischer
Nationen, die auf uns gekommen Ist, zeigen Spuren von diesen
Wissenschaften, oder vielmehr von Kenntnissen, die auf diese
Wissenschaften Bezug haben, vorzöglich der Sternkunde ^^). öle
Edda bewahret in Fabeln und Denkspriichen die HauptzQge der
Natarlehre, über die Natur und das Entstehen der Erde, der
Sonne, des Mondes und der Menschen, der Winde und Wetter,
and über die verborgenen Schätze der Erde ; sie zeigt, wie schon
die Sitesten Bewohner Schwedens mit der Haushaltung der Natur
vortraut ivaren; — und wi8 manche Spur aus jenem grauen Alter-
tbnme verwischte nicht noch die alles zerstörende Zeit

Was so der emporstrebende Geist nach und nach an Kennt-
nissen mühsam errungen und erworben hatte, ward durch die
Einführung des Christenthums, wenn nicht zum Theil niederge-
rissen, doch der Vergessenheit fiberliefert. Mit dem Dienste der
heydnischen Gottheiten rotteten unwissende Reformatoren aveh
di^: zarten Keime dieser schönen Pflanzen aus, mit dem Aber-
glauben zertraten sie zugleich die jungen Sprösslinge mühsam

dieteni Radius einen Kreiss, and trSgt den Halbmesser in der Peripherie mnher, so
wird der Kreise in 6 gleiche Theile oder 30 Hahnentritte gethoüt, in 300 Zolle, 4er
krommea Linie aber werden 340 gleiche Theile zukommen ; die, welche den DaamcB
weiter znrCtk biegen können, werden Hahnentritte von 12 Zoll bilden können,
und den Kreiss in 29 Theile theilen, welche den tAglichen Bewegungen an
Himmel entsprechen. 8o kann man aof diese freylich onToUkommene Weise die
Tage vor und nach dem Neumonde bestimmen.

5) Herraror saga p. 168. Erici Benselii CoUegium Historiae Snecanae.
Lib. L cap. 14.

6) Snorre Sturlnson. Tom. L p. 751.

7) Sven Brings andra del af des Sämling af ätskilliga handlingar p. 16.

8) Wilkina sagan p. 202.

9) Dalins Sv. Histor. I. p.64. k. Srerkers Lag. p. 41S.

10) Olai Wormii Fasti Danici p. 81. Stierncrona de legibm Hy-
perbefsif p. 9^,

um di€ Maikemalik und Fkpsik. 407

>

erw^rboer KenotnUse. Die Religion, oder vlclmelir das, was
ihre SteHe vertreten mosste» Ceremonien nnd Legenden der Hei-
ligen, ersetzten das, als beydnisch verbannte Wissen in den tBka-
den der Laien, and in den Mauern der Kloster und in den Hän-
den der Mönche lag das wenige, was man von der Natui: und
ihren Gesetzen kannte, versteckt, vergraben, unbenuzt.

Die trfiben Zeiten der Oalmarscben Union, mit allen ihren
sebreeklichen Folgen, einheimischen Kriegen, bürgerliehen Unm»
ben, aaeläodiscbem Drucke und Rircbterlicb verbeerenden Krank-
heiten waren fQr die Wissenschaften keine günstige Perlode; aiid
dennoch gelang e6 Sten Stures Bemühungen mitten unter die-
sen grauenvollen Zeiten ^>) den Grund zu der Universitfit inUpsala.
zo legen, und in ihr eine Quelle für die Wissenschaften zu er*
9Aien. Aber freylich kämpfte sie mit den unglücklichsten Um«
ständen einen zu ungleichen Kampf, konnte dem traurigen Ver-
bingnisse kaum ihre Erhaltung abgewinnen und verlohr sich oft
wieder ganz. Die wenigen data, die uns die Gelehrtengescbichte
au« jenen Zeiten aufbehalten hat, liefern uns nur die Nahmen von
Mathematikern und Physikern, die theils Ausländer waren, theils
zo wenig durch neue Entdeckungen bekannt geworden sind, oder
deren Werke das fabelhafte und abergläubige Gepräge jener
Zelten an sich tragen. Nahmen wie Hemming Gad>*). Dasi-'
podius^'). Tidemann^*). Bero"). Posse") und Lau-
rent!^. Nor die MechasilE, doch mehr In so ferne sie das WerK
der Hände nicht' des, durch matbematische Kenntnisse unterstütz-
ten, Erfindoügsgeistes ist, scheint bekanmter gewesen zu seyn.
Ueberhaupt scheint die Mecbatiik unter den Bewohnern der ge«»
hirgigteo Gegenden Schwedens eisen besonders Grsd der Hdhe
erreicht zu haben; unter ihnen findet man nicht ssr Kfisstler is

11) Ao. 1476« durch Hülfe des Bischofib ÜUson. 1477 ward sie eingeweihet.

12) Bischof in Ostgothlimd, war ehemals Pabst Alexanders VL Mathema-
dcas and Kammerherr, lebte sa Sten Stores Zeiten in Schweden.

13) Ein M6nch zu Wadstena hat ums Jahr 1504—1505 anf Fürsorge des
Erriiischofes Oemefort in der Domkirche za üpsala ein astronomisches ühr-
wtxk eingerichtet. Peringskiölds moniuMnta nplandica. Tom. 2. p. 168.

14) Bischof za Lingköping, schrieb compntas ecdesiasticos.

15) Bero war ein berühmter Mathem. bei Kaiser Friedrieh IIL ein ge^
bohmer Schwede, starb 1493.

16) Knat Posse, tin berühmter Chemikier sa BorrO, soll 1495 In Wfi-
bdos 16000 Bauen dnidi eisen aagehearsn Knall Tsriagt habeo. Aath. Bahde
de Tontai fsctitio VibisgensL Bhyselii Sreogotfaia manita.

t7>-adirieb 1470. Priseiiria Chymlea.

406 Dropsen: Reäe vom dem Verdtemelem der gekmeä» Geieäriem

diesem Fache, eoBdera Meieteretficke der Kimel oad dee Eiiih
dnngsgeUtee; wovon dieModeilkamoier in Stoekholn eme^dtB
AoslfiDder la wenig bekannien Scbats entkalten eell^

GastaT I. Ecrbrach endlich daa forchteriiche Jodb, das Scilfr^
den m Boden drückte und legte den Grund sa seines Vaterlandes
Wohl. Weise Verbesserungen im Staate und in der Kirche 5f>
neteo den Kfinsten und Wissenschaften den Weg» den TyraoBci
und Alleinherrschaft im Reiche des Wissens, in den Binden der
Honcbe so lange verschlossen hatten, imd wenn gleich Gattif
nur zuerst seinen Blick auf das physische Elend seines Liadit
wenden mosste, ehe er den Wissenschaften die Hand tcichw
konnte; wenn er niedergebrannte Städte und DSrfer, eiaea n
Grunde gerichteten Handel, umgeworfene Grerichtsstfihie lad n
Boden gedrficktes Ansehen zuerst empor half« so zeigte er doch
zugleich durch die Achtung g^en auswärtige Gelehrte, die ihm
aus Lfibeck Mathematiker, aus Amsterdam Ingeniears und Bm*
meister senden mussten, durch die Erziehung seiner Sohne, dvcb
die FfirsorgefiSr Upsala, wie sehr er die Wissenschaften schttito
und liebte. In dieser Periode, und während der Regiemsg Kloif
Erichs, Johann Sigismund und Carl; gleichsam derVtrbe-
reituogszeit ftlr die Wissenschaften, erregten auswärtige Gehk-
samkeit und Kenntniss fremder Sprachen den Eifer für die Wif
senschaften.

Andreas Buraeus^*) unternahm unter Carl IX. dasgitMt
nnd schwierige Geschäft tiber gans Schweden und Norweges eiae
Charte au entwerfen und in Kopfer stechen zu lassen, ihm rar*
danken wir durch sie, durch mehrere Spedalcharten nnd darch
seioe Beschreibung 4eM ganzen Landes^ die erste ToUstäsdigf
Kenntniss dieser Reiche.

Mit Gustav Adolph gieng eine neue Sonne über Schwadei
auf, und wenn er dem Lande Kraft und Ansehen von aasaea,
Ruhe, Sicherheit und Wohlstand von innen zu schaffen bestrebt war;
so fieng nun auch unter ihm das BIflthenalter der Wissenschaftea aa.

Georg Stiernhjelm*^), ein Mann, der unter seinen Zeit-

18) Nordberg InTentariam Osrer de Machhier och Modeüer. Sto^bols
h. Hofditr. 4 Octrbde 1777. er erwähnt aiS TerachSedene StfldLe.

19) 1571. m Sabrä gebohren, KtoigL Beeret OberbanmeiHer imd GeoffBl-
«atfiMMf starb 1646.

SO) Orbit arctoi nqniauBqae tegai Boaciae nora et aeoaiata deiaifii»
Witteb. 1630. 16mo.

ai) 1598 in Dalaod gebohien, starb ala Kriicinth IST» ta StookholB.

MM die Mmtkemaait und PMifM. 409

^Mosseii dttreh phydhalkcbe iomI matliamattogte KeMloiMe
^Dste; der erste sdner Landealeute, den die engliscin» Aeademie
der Wiasenschaften als ihr Hitglied schfitite; der aogar als Zau-
berer wegen physikalischer Versoche verdächtig ward^), aeigtsich
in sdnen Schriften^) als ein einsichtsvoller Mathematiker; er hegte
schon die grosse Idee eines allgemeinen Maasses and Gewichts,
das in jeder Periode wieder aufgefunden werden und in jedem
Lande brauchbar seyn könnte, eine Idee, die in neuern Zelten
Frankreichs Gelehrte so sehr erhoben haben. Als Direetor einer
Comroission fär Maass und Gewicht sehlug er als snra Grunde
zu legende Einheit aller Gewichte einen Tropfen destillirten Was-
sers vor; er bestimmte das speciäsche Gewicht vieler KOrper und
verglich sie unter einander**).

Die während der Mindmjährigkdt der Ktaigin Christi na
xulbe gestiftete Academie*^), das Beispiel und die Liebe dieser
Regeatin f^r die Wissensebaften, ihre BemOhungen die grOssten
M&naer ihres Zeitalters aus allen Wissenschaften um sich zu se-
hen, die Gegenwart eines Descartes in Stockholm, eines Bian-
nes, der mit dem Lichte, das er Aber die Wissenschaften verbrei-
tete, die aristotelische Philosophie zu Boden warf; waren neue
Qud grosse Aufmunterungen zum Flor der Wissenschaften.

Die cartesianische Philosophie und mit ihr Cartesius Art die
Naturlehre zo bearbeiten, erwarb sieh, so wie überall', auch In
Sckweden BeibU; ein heiUMnner Skeptleism, verbanden mit ma-
thenatlsthen Kenntnissen, fährten die Naturlehre durch ihn aus
de» dunklen Träumereien, die sie vmliflilten, ans Lieht; aber zu
wenig durch Erfahrung unterstfitst, behandelte er die ganze Na-
tur als ein Problem, zu dem Materie and Bewegung die einzigsten
Data waren , und verfiel aus Begierde alles erklären zu wollen.
In unhaltbare Hjrpotbesen.

Seine Anhänger in Schweden, Andreas SpoJe**) und Job.
Billberg*^ haben unverkennbare Verdienste um die Ausbrei-

S2) 8. Qeselii biographidui Lezicoa öftrer namnknnnige och llrde SYenike
Hin 1780. 8 Th. 156.

SS) Archimedes BeformatoB. Stockholm 1640. 4to. Bona Sretica, ohne
Jifamahl und Dnickort.

tA) in seinem Archimedes Befonnatos.

15) 1640.

96) 1630 in 8m4land gebohren, 1667 Prof. in Lnnd, 1679 Trol der h6-
^Min Hathem. in üpsala, starb 1699.

97) Za liariestadt gebohren 1679, Prol d. H. In üpeala, atarb 1717 ra
Strengnis.

410 Dropsen: Rede pon den Verdtenüen der tckmed. GeMrten

toDg der earteiHanfscben Philosophie In tfaroro^VftteiiaDiie» iric
vorsfierlich die Schriften des letztem, der ctn eifriger Vertheidiger
des Cartesins war^ beweisen'^.

Spole hatte sich auf seinen vielen Reisen durch Elaropt
einen grossen Schatz roatbematlscher Kenntnisse erworben, wohl-
thfttig fflr die Sternkunde verwandte er sie, wie er von den
Franzose«! Piccard*^) zu Hülfe gerufen ward^ um die Polhvhe vou
Uraniborg, den ^lertrOmmerten Wohnsitze Tycho Brahes, de«
Vaters einer auf Erfahrung gegründeten Astronomie, auf der Insel
Hven zu b^timmen; den BemOhungen dieser Männer verdanfceo
wir den Gebrauch der grossen Arbeiten des unsterblichen Tyebos
und seiner Freundes Keplers.

Bill borg u>d Spole reiseten in die entferntestes Gegeodeo
Schwedens*^ und kehrten mit wichtigen Beobachtungen über die
Strahlenbrechung, mit genauem Bestimmangen derPolbOhe vieler
Oerter und andern astrionomischen Beobachtungen bereichert
zurück •*).

Durch genauere Kenntniss der Natur, ihrer Produkte, deren
Bestandtheile und WOrkungen entdeckte UrbanHjärn'*), die Heil-
quellen zu Medevi, erforschte ihre Bestandtheile und eröffnete da-
durch der Heilkunde eine neue Quelle. Er war es auch, der io
Stockholm ein chemisches Laboratorium einrichtete"), wodnrcb
diese Wissenschaft verbreitet und neue Entdeckungen vorbereitet
wurden* Das Schloss zu Stockholm und das an Drattninghohn'*)
geben Beweise zu welcher Hohe die Baukunst in dieser Periode
in Schweden gestiegen war.

Die Stiftung der Akademie zu Lund'^) unter Carl XL Minder-

aS) s. Tract de CometiB. Holm. 168SL BlemenU Geometrme. Upc >S87.
Compntatio Gjrdica, Ups. 1688. Elementa geometr. planae 1691. etc. Seine
Vertheidignog der Cartes. Philosophie gab noch zu der Königlichen Besolotioii
von 1689 Anlass, die zn Gunsten der Denkfreiheit und der neuen Philosophie
anafiel. (NettelbladU schwed. BihUothek. Tk 9. p. 52.)

29) 1671.

80) 1695.

31) 8. Bill berg Tractat de refractione Solis inocddoi in Septratriomlibef
oris. Holm. 1696.

88) 1641. in Ingermannland gebohren, Prirideat im BergwerktcoUeghm,
KSnig Carl XL Leibmediooi, etarb 17S4. (tract cm Bfeden Bnmn. Stoddu 1S79.)

83) Acte laboratorii ChTmid. Stockholm 1706.

34) Die BifM daan entwarf Tesafn.

85) 1660.

nm die MafkemmOk und Physik. 411

jihrigkeit, die Anlegaag eines mecbaniaeben Laboratoriani8>^9
einee Ltndmedeer^Comtoirs^)» jeDes zum Behuf des Bergbaues
und der Oeeonoinie» dieses uro geschickte erprobte Landmesser
anstellen zo dOrfea (eine so Helen Ländern fehlende^ treffliche
Einrichtung) sind Beweise wie die Malhemalik und Naturlehre
mit ihre« Oisciplinen, unterste tzt durch die FOrsorge der Regen-
ten ood die Thitigkeit der Gelehrten » emporstiegen.

0er grosse Geist eines Polheni'^ umfasste mit uDglauhÜT»
lieber Kfibnheil Werke, die nicht nur durch ihre Grösse und der
Vergäogiichi^ Trotz bietende Dauer» sondern auch durch genie-
reiche AusHihrung, als DenkmShIer, seinen Ruhm der Nachwelt
aafbewahren. Unter unglücklichen Umständen gebobren , war er
^enftthiget seine Kenntnisfie der Mathematik und Naturlehre, die
einzig den Mechanikus von d'em Handwerker unterscheiden kön-
nen, mit Gewalt der Lage seiner Verhältnisse abzuzwingen»
er fiberstieg auf der rauhen Bahn seiner Jugendjahre glücklich
alle Hindernisse^ die seiner Wissbegierde entgegen standen. Die
Erfindung mehrerer fiir den Bergbau nützlichen Maschienen'^
verschafften ihm die Stelle eines Bergmechanikus; er errichtete
das mechanische Laboratorium und erfand (i3r Manufakturen und
Fabriken viel Neues und Nözliches^). Die grossen Unterneh-

36) 1683.

37) 1688,

38) Christoph Polhem 1661 tu Wisbj gebohrcn, muMte aofangi
<lvreh Dienen und kleine Handarbeiten leln Brod erwerben; der Mangel an
Theorie, den er bei seinen künstlicheren Werkeyi, als Uhren and dergleichen^
«nBp^d, fiUirten ihn anf die Kothwendigkeit der Erlernung mathemaitischer
Wiaienfchaiten und der lateinischen Sprache ; nachdem er diese mit vieler Mflhe
criernet hatte, gieng er nach Upsala, wo er znerst Anlmcrksamkeit durch Her-
itellong ond Verbesserung der astronomischen Uhr im Dome erregte.

.39) Ao. 1960.

40) Die von ihm erfundene Säemachine, Dreschmaschine, ein Pflug Hflgel
la ebenen (Toiplog) eine Machine die Erdklösse zu serschellen (Mullbrftcka)
werden gerühmt« Auf dem Harz, wohin er von Georg L gerufen ward, sind
noch manche seiner Einrichtungen bekannt. Die bei uns unter dem Nahmen
^x schwedischen Schlösser bekannten, gut eingerichteten Vorlegeschlösser sind
seine Erfindung und heissen in Schweden Polhems-l&s. Er starb 1751. als
Kommand. des K. N. 0. (Äminnelse-Tal af Klingenstiema 15. Jnn. 1763.)

8dn Sohn Gabriel Polhem 1700 in Fahln gebohren, ist im Auslände
^ in Schweden berfthkt geworden, er bauete die Münze in Kassel, er unter-
"^IktMe sein^ Vater in dessen letzten Lebensjahren, und es ist bei den grossen
notsmdmrangen der Polhem schwer an bestimmea, was dem einen und dem
^sni eigenthümlich zugehört Er starb als Kammerherr und R. d. K. N. 0.

412 Dropsen: Rede mm den VerdienHen der eekwed.Geiekrtem

mangen aber, die seinen Nahmen Terewigen» sind der Bao 4cr
Dokke bei Carlserona^^), der Sebleuseobao im SSderstron In Stock-
holm^), nnd der kOhne vielleicht nicht ganz reife Plan des Baues bei
Trolhätta^. Was er begann and vielleicht bin und wieder dvreb
zn wenige Erfahmngen belehrt, zu kOhn anternahm, ward dirch
die Bemflhungen eines Thnnberg^), dorch dessen richtiger he-
nrtheilten Weg, darch onerscbütterliche Gedoid nnd Beharrung,
durch schGpferischen Erfindnngsgeist. verbessert nnd volleadet
Ihm verdanket Carlscrona seinen Bafen nnd den GebtluKA der
Dokken. Je kühner dies Werk war, je mehr Hindemisse die
Natur darbot> desto bewondemswfirdiger ist die glickBche Voll-
endung^).

Er entwarf einen in der Aosfthmng aweckmissigeren Plaa
snnr Bau bei Trolbätta* dessen giOcklichern Erfolg man entgegen
sieht.

Die Schriften des jflngeren Poihems, die theils in den Ab-
handlungen der Ak. d. W., von deren ersten Httgliedem er einer
war, theils besonders gedrukt sind, zeigen seine mathematischsB
Kenntnisse, diese liebte auch Karl XIL der selbst in Auflteang
algebraischer Aufgaben VergnGgen fand» der statt des Gebranchi
ion 10 Ziffern, deren 6 vorschlug, an ihm und unterhielt tUk oft
mit ihm Aber die mathematischen Wissenschafteif^.

Mit den Stiftungen der Akademien und gelehrten ^esell-

1779. <— (Äfldmwlse-Tya Ofrcr H. O. Polhem. d. 14. Jon. 1775. rf^Wsrj^lii
G«seli Biogr. Ltedcoo. p. 829.)

41) t. Artifida nor* mechaaicA Beceptacnla navalia et aggerei mqmaABm
oonitmendL Amtterd. 781.

4S) Sine Schleuse 100 EHen lang, 16 SUen breit und lo Fnm tief swi-
•chen S Qewissera, von denen das eine gewöhnlich 18 oder 13 Fun hISier ab
das andere ist, ward nach 9 Jahren durch nngehenren Aufwand ron Mahauid
Kosten glflcklich Tollendet,

43) S.B fisch Uebenicht des gesammten Wasserbaues. Hamb. 1796. 9B.
1 K. f. 61.— EWins om Bffect of Watn-Drifter. Stockholm 1748. 18B. &K.

44) Daniel Thnnberg 1710. tn Thonsjön in Angennannland gebohna,
Direolor des Banwesens, starb 1788. s. Memoria Dan. Thnnberg. Mech. daik
Norberg. Lnnd.

45) s. Essays de batir sons l'eaa, faites i la consferactiQii dn noovsas
bassin, on des nouTelles formes h Carlscrona, par M.D. Thnnberg, doanlf m

pobUe par J e a n F e 1 1 e r s, inprim^ h Stockholm 1 776. Bfisch 1. c L B. IL Gap. S* 9^

46) & Kordberg Leben Carl XIL Th.IL p. 675. Sreden^org IC-
soeUan. F.IV. f. 1.

um dt€ MaikemaUk wtd PkpHk. 41S

«eiAfleti hl eioeiii Laode geht eine scbOne Pteiiode Ar die Wic-
••Dscbaften an. • Die engere Verbindung der besseren KOpfe eines
Landes, die Hittheilnng angestellter Beobacbtnngen nnd ge*
machte Erfabmngen» die durcb vereinte Kräfte mOgKefae Errei-
chuiig dessen» was für einselne Fälle zn gross und so schwer
war; die genauere Prifung and sorgfUtigere Bearbeitung hinge-
werfener Ideen und die Verbindung mit den Gelehrten des Aus-
landes kSnnen und nifissen fflr die Wissenschaften reiche aus-
beute gewähren. Die Arbeiten dieser gelehrten Gesellschaften
sind gleichsam die Niederlage der Produkte der vorzüglichen Kopfe
dieser Nation; hier werden sie von dem Freunde der Wiitoenachaft
gesudit, hier werden sie der Folgezeit aufbewahrt.

In den Verhandlungen der, gelehrten Gesellschaften Schwedens
indet man die Wichtigen Entdekkungen und Erfindungen der Ge-
lehrten Schwedens in diesem Jahrhunderte, und gerne verweile
ich in dieser» ffir die Wissenschaften scb5nen Periode, wo allge-
meines Interesse die wichtigen Erfindungen dieses Jahrhunderts
begleitet; mit Vergnügen zähle ich hier die Verdienste einiger
Männer aus der grossen Reihe derer auf, die mit Eifer, Nuzzen
und GIflck filr die Mathematik und Naturlehre arbeiteten.

^cl|on 1720 vereinigten sich in Upsala mehrere Gelehrte, um
vierteljährlich die Abhandlungen schwedischer Schriftstellei, die
dem Auslände unbekannt waren, durch den Druck bekannt zu
machen; vorzOi^licb durch die Bemühungen Benzelius^^ unter-
stützt, und 1728 ward diese Gesellschaft durch eine Königliche
Verordnung bestätigt; die physikalischen Wissenschaften, die be-
sonders ein Gegenstand der Aufmerksamkeit und der Bemühung
Mitglieder waren, verdanken ihr viele Bereicherung^).

Die Königlich qphwedische Akademie der Wissenschaften
ward 1739 gestiftet, durch Männer wie HOpken^, Bielke^,
Llnn^ und Triewald unter den glücklichsten Verbedeutungeo
undl75I von KOnig Friedrich 1. bestätigt Den allgemehien Beifall,

47) Eric Benselias 1676 in üptala gebohren, starb als Bnbisckof 1748.

4S) Ihre Arbeiten kamen bis 1760 anfangs yierte^jihiig unter dem Titel:
acta liitteraria Sneciae und in der Folge nnter dem Titel: Nora Acta Beg^
Sodetaüs Sdentiamm üptaliensis heraus, (s. Weigels Einleitung sor allgemei-
aen Scheidekuvt Leii»ig 1790. IL Stdck. p. 467.)

49) Oraf HOpken, Beicksrath, IL und C. aller K. 0., gebohren 81. Hart
1712 in Stockholm; starb 1789. s. Aminnelse-Tal d. ia.lCai 1790. af SehnfO-

50) Oraf Kils Adam Bielke, Beichsiath geb. sa Gothenburg 80. Jan.
1714, gestorben SO. Juni 1792. s. Iminnelse-Tal d. 18. Febr. 1798 af TonOedda.

414 Droysen: Rede vom den Verdiemien der eckmed, €eiekrtem

d^n ihre Arbeiten in Enropa.erwarben/ beweisen die D« _

derselben ins Dänische ^^), ins Lateinische^), Franzusische*') aod
Deutsche ^). Die Reden bei Niede^legang der PrSsidien ^ eal-
halten fOr die Geschichte and den Wachsthum der Wiffimorhäf
ten in einzelnen Perioden, trefliche Darstellungen. Die Gedicht-
nissreden'^ im Rittersale» dem Andenken der Blitgtieder gohil
ten,. bewahren der Nachwelt die Verdienste und Lebenssfige der-
selben auf.

Reiche Beisteuern, Geschenke und Aufmunterungen Tom ko-
nigKchen Hause und einzelnen PriTatpersonen sezten die Gesd-
Schaft in den Stand fllr die Astronomie ein Observatorium'^ zo
erbauen ; eine physikalische Lehrstelle einzurichten**), Instrumente
anznschaffen und die Naturlebre durch die Unterstfltsong der
Reisen eines Kai ms nach Nordamerika; eines Hasselquist nach
dem Orient; eines Löffling nach Sfidamerika und eines Hörn-
st edt nach Sfidasien zu bereichem, und dnrch Preisfragen wich»
tige Gegenstände neu bearbeitet zu sehen ^.

Unter dieser trefOichen Einrichtung blühten nun die Wissen-
schaften, von Schwedens weisen Regenten befördert, neu belebt
empor, Männer traten auf, deren Verdienste Europa anerkennt,
deren Erfindungen die Nachwelt mit Dank nennt

Martin Trievald^, berühmt in Edinburg, wo ^r zoerst'^e
Naturlebre nach Newtons neuer, die cartesianische Philosophie
verdrängenden und auf Erfahrung gegründeten Methode vortrug;
berühmt in seinem Vaterlande durch Verbreitung dieser Kennt-
nisse, durch seine Vorlesungen auf dem Ritterhause, seine Me-

51) vom Jahr 1757—1765 in 8 Binden, s. BrOnnich Lit Du. BiU. & 171.

52) AnilMta Transalphia. Venetiae 176S. T. LIL

' 5s) Mk AnftitieB der K6n. Ac d. W. zu üpuüa niwuimicn : ColleeiftM
AoftdemiqM T. XL de la Partie eCrang. oonL lea Men. de l'Acsd. d. So. ^
Stockholm. Paris 1772.

54) der Königl. 8. A. d. W. Ahhandlungen 1739^79. Ton Holihrecker
und Kiftner.

55) Tali hlUei fftr KoagL Ak. Tid Pvifidii Nedllggaade.

56) AmimielBe-Tals.

57) 174S angefangen — 1753 ToUendet

58) 1759.

59) 8. Weigels Binleitang nur sUgemefaieB Scheldekiniat. II 8t p.495.

60) 1691 in Stockholm gehohren, legte tidi in Bnglaad TORtt^ich mä
Mechanik und Katmlehre. Kehrte 1726 nach Schweden xorttdL, wo er eint
Ftaenaachine anlegte. Er ttarh 1747. als Capitain Meduuiikna hd der Wot-
tifieatk». s. Imianelie-Tal Ofrer Triermld, af Lanrel 23. Dee. 1747.

tfüi die MatkemaHk und Pkpsik. 4] 5

tbede die Laft aaf'^ea Schiffen zn verbessern <i), seine Kunst
anter dem Wasser zu leben ^), Erfindungen die so nen, als wobi-
tfaätig, allen Danic verdienten, hat seinem Vaterlande nnvergess-
liehe Dienste geleistet^).

In diesem Zeiträume lebte zam Flor der Wissenschaften ein
Klingenstierna^, den allein seine Verdienste am den Cnter-
riebt Gustav III. unsterblichen Nahmen gegeben haben; ein
Mann der neben dem Verdienste das Interesse filr die Naturlehre
«iurcb seine von Versuchen und Erfahrungen begleiteten Vorle-
sDogen belebt zn haben, das grosse Verdienst hatte, diese fOr
das geroeine Leben so brauchbare Wissenschaft zum Gegenstand
des früheren Unterrichtes auf Schulen und Gymnasien zu machen.
Bekannt mit den grossen Geistesproducten der Ausländer erregte
er ihre Bewunderung durch seine Berechnung für die achromati-
schen Fernrohre. Dem unsterblichen Ne\Tton schien es unmug-
lieh die Abirrung der Lichtstrahlen und die damit verbundenen
Regenbogenfarben in den dioptrischen Fernrohren zu vermeiden,
ermüdet von vielen fruchtlosen Versuchen gab er es auf und nahm
äeioe Zuflucht nieder zu Spiegelteleskopen; Klingenstierna war
es lufbebalten nach einer der tiefsten Rechnungen über die Bre-
cboog der Lichtstrahlen eine Zusammensezzung von Glasarten
voriuscblagen^), die diesem Uebel abhalf und der Astronomie

% 1

61) 8. Gcaelii 1. c. T. IV. p. 293. K. V. A. 1744.
68) Trsctat om Künsten at kunna Icfva nnder ratnet

63) Seine FOrelisningar i Katorkonnigheten 2. Tbl. 1 735—36. nnd seine
AbhandL in d. s. A. d. W* 1739— >40— 47. in englischen nnd französischen
Zeitschriften, dienen als Beweise seiner Kenntnisse, s. Aminnelse-Tal Öfirer Trie-
rald. af Prof. Lanrel i Stockholm 1748.

64) Samael Klingenstierna 1698 in der Gegend von LindkOping
gebühren eröfiiete zu Upsala eine mathematische Schnle nnd arbeitete in der
Soc der Wissens, in Marburg; durch Wolf, dessen Schiller er war, empfoh-
len, ward er 1728 Prof. in üpsala, wo er zuerst seine Vorlesungen mit Versu-
chen begleitete, in der Folge ward er Informator des Kronprinzen GrustarllL
Staatssecretair und R. des K. N. 0. starb d. 26. October 1765. — s. Minne öf
St S. Klingenstierna. Handlingar rOrande Svenska Akademiens HOgtidsdag
1793. und Prof. Strömers Aminnelse-Tal d. 27. Jul. 1768.

65) Die von ihm über diesen Gegenstand herausgegebene gekrönte Preis-
Bchrift (Tentamen de definiendis aberrationibus Inminis in lentibns sphaerids
refracti, et de pcrficiendo telescopio dioptrico. Petropol. 1762. 4.) erschöpft den
Gegenstand gänzlich. Seine Anm&rkningar til Mouschenbroeks Physik,
and seine Abhandinngen in den V. Ac. Handl. XVI. 3. XVlll. 3. XXL 2. sind
Beweise seiner tiefen Kenntnisse, so auch astronomiae Physicae juxta Newton^
prindpia Breriarium. üpsalae l751. und mehrere vorzügliche akademische
Preisschriften.

Thfil XL* 28

41Ö Dropsen: Rede von den Verdiemien der schwed. Geiekrten

wlcb% war» eine Idee dieEaler ahoete iio4 Ooltendia der FoJ^«
dur«b ZosaiHBiefieezzaiig dea Flint- und Crownglaaea glOcklicb su
Stande brachte» eine Erfindung die den Nahmen Klingeoaüeiam
nnd Dollond in der Astronomie und Naturlehre unaterblick macht.
Neben ihm glänzet am nordischen Himmel Celsius^» zu früfa
für die Wissenschaften untergegangen» obgleich nicht minder wohl«
thätig ßlr sie.« Er hob die Astronomie in seinem Vaterlande so
der Hube empor» deren sie sich im Auslande freuete. Er leg;te
den Grund zum Bau des Observatoriums zu Dpsala^)- Von
Paris aus folgte er einem Maupertuis» Clairäut und leMon-
nief nach Torne&» um durch Gradmessungen und Verglelchangeo
derselben mit den in Peru angestellten, über die Gestalt der Erde
entscheiden zu können. 'Seine grosse Reihe angestellter Beob-
achtungen über das Nordlicht ^^, seine Bestimmung des festen
Punctes auf dem Thermometer^^), haben seinem Nahmen eto biet*
bendes Denkmahl gestiftet und seine vielen Schriften ^^) ihn aU
einen Mann von grundlichen Einsichten und ausgezeichnetem
Fletsse gezeigt.

So nnsterblloh der Nähme Linn^^*) fQr die Naturgeschichte
seyii wird; so gross seine Entdekkongen sind, so kfihn seine
syvtMBatische Ordnung der Natur entworfen ist, eben so ehizig
nnd sehCn ist in gewisser Hinsicht seine Idee fiber die Entste-
hung der Erde, und über die Ursachen der grossen Revolotien.
die ihre äussere Rinde verkündet. Die Abnahme des Wassers
in den weiten Reichen des Oceans» eine Untersuchung, die ge-
raume Zeit die Physiker, vorzüglich in Schweden bescb&ftig^e:

66) Andreas Colsias 1705. in Stockholm gebohreo, Profoesor Astro-
nomiae in üpsala, starb 1744. s. Äminnelse-Tal af HOpken 27. Nov. 1745.

67) 1737. anfangs auf seine Kosten.

68) de Inmine BoreaÜ, Norimberg. 1733, er bemerkte zuerst mit Hjorter
(K* Obtervator. 1696 in Jemtland gebohren, starb 1751. s. Aminnebe-TU af
WargentSn 18. Apr. 51.) die Abweiefanng der Magnetnadel beim Nordsch^D.

69) 8t. Ak. Handl. 1742.

70) Von seinen vielen Schriften verdienen bemerkt zu werden. Ari^uneüca
1726. erlebte 3 Auflagen 1739. 1754. — ünderrättelse huru man efttf SfAem
ojimna^rörelse bör rätt Stella et nrwerk. Nork. 1728. (Unterricht, wie man
nach dem ungleichen Laufe der Sonne eine Uhr richtig stellen soll.) Taokar
om Cometens igenkomst i Stockholm 1755. (Gedanken Aber die Wiederkvnft
de0 Kometen in Stockholm.) — Calendarier infran &r 1728— -45-

71) Carl Linn€c 1707. im Mai xu Stenbrohult in Sffl&land goboluvB,
Prof. d. Med. u. Bot in üpsala, B. des K. N. O. starb 10. Jao. 1778- t.
Aminnelse-Tal af Abraham B&ck 1778.

um die MaikemaUk und Päj^sfM. 417

Ar die ein Mftllet» Kalm, HirlemanD^ i^Mer 4ie Broval-
lias nnd andre atritten''*), ward «ater aetDen Hioden dieCiinuKl*
läge eine« Syatenis aber die Entatebitfig der bewohnbaren Erde.
Ibai war die ganze Erde aiifanga ein groaaer Ocean, auf dem nur
aabnga derliGebste hervorragende Wipfel bewohnbar aeyn konnte;
da« Wasaer nahm ab und in verflieanenden Jabrtaaaenden gleag
daa bewohnbare Land aua dem Meere hervor. Eine Hypotheae
die von ihm mit Scharfsinn und aehonen Beobachtungen unteratOat
und ausgeführt ivard'^').

Sein Blick, der weitnmfaaaend daa ganze Reich der Natar
umieng und in ein Syatem einzuengen vermochte, muaate in der
groeaen fJaoehaltung der Natur Entdekkungen machen, die ao neu,
als interessant, nicht nur filr die Naturgeaehichte, auch flir die
Natarlehre reiche Auabeute lieferten^*)*

Was Ltinii^ nir die Naturgeschichte war, das war Berg-
mann^*) fflr die Chemie, schon in dieser Hinsicht darf ich hier
seinen Nahmen nicht übergehen, seit in neuern Zeiten dieae Wie-
senachaft einen so wesentlichen Antheit an der Vervollkommnung
der Naturlehre in einzelnen Thellen genommen hat. Aber auch
für die Naturlehre selbst unmittelbar sind Bergmann's Ver-
dienste unverkennbar. Anaser seinen Abhandlungen über Elecfri-
tftt, Regenbogen und Nordschein ^^ verdient vorzüglich seine Erd-
beschreibung^ unsern Dank. Hier findet man die schönsten Re*
soltate dessen, was sein und seiner Vorgfinger Bemühen, ihr
scharfer Beobacbtungsgeist über die Natur und die Veränderungen
der Erde und die regelmässig und regellos auf derselben vorfal-
lenden Erscheinungen beobachtet und erforscht haben. — Dies

72) 8. Brovalliiis um Wattn Minslmiiigen, (toq der Abnahme des Wam-
sen.) Stockholm ,1735. ^ Waller ins Hydrologia, eller Wattnriket 1743.
(IberMtBt von Denso.

73) Oratio de Tellnris habitabilis incremento. in Amoen. T. II. anch bc-
Mvoders g^dnickt. — de Tellnre habitabili, Leiden 1744. Sro.

74) Oeoon«mia natnrae, in AmoenttatilHU.

76) Torbern Olof Bergmann 1735. sn Marienstadt gebohren, Prof. der
Chpm in Upsala, atarb 1784.

76) s. Yetensk. Ac. Handl. XX, 4. XXm, 1. XXIV, 4. XXV,a-»4,

XXVI, s. xxvm,8.

77) Bergmannt p^ikaMsobe EidbetebreibQDf, ans dttn Sebwsd« abers.
TOD Lamb. H. BOhL QrcMHrmld 17ao.

418 Droysen: Rede van den Verdiensten der sckwed.Geiekrlen

Werk uod das eines Mal lets^^ mathematischen Inhalts'^*), traC-
liche Charten and Globen , und die dadarch aasgebreitete Kennf-
niss nnsers Erdballes verdanken wir der, (vrdsstentbeils durch
Bergmanns Bemfibangen gestifteten cosmographiseben Gesell-
schaft^), die durch Mitglieder %ne Ferner, Mallet, Arrhe-
nias, Zegolströro, Melanderhjelm, Prosperin, Äker-
mann a. a. ffir diesen Theil der Natnriebre ruhmlichet sorgte.
Seinen Verlust betrauert mit Schweden Europa®^).

Aach. sein Freund Scheele^), unser Lands2iann, den aber
Schweden mit Freuden unter seine Burger zahlte, folgte ihm
nach zwei Jahren, und die unsterblichen Verdienste beider Mia-
uer um die Chemie machten den doppelten Verlust für die Wie-
senschaften um so schmerzhafter. Nie ward, Scheele, weder io

* *

seiner Lebensperiode, noch <in der Folgezeit» durch einee andern
in der Menge einzelner Erfindungen und Entdekkungen, die eben •
so neo, als unerwartet, musterhaft angestellt und brauchbar in der
Anwendung waren, ükertroffen. Was er für die Chemie that, ist
in den Jahrbüchern dieser Wissenschaft mit Dank und bleibeDdem
Ruhme niedergelegt^); was er für die Naturlehre leistete, eben
so rühmlich bekannt* Er ist es gewissermassen , der nach dem
Zeugniss eines berühmten deutschen Chemikers^), als der erste
Schupfer des neuen franzosischen Systemes angesehen werd^
kann, eines Systemes, das den Nahmen des unglücklichen La-
voisier unsterblich macht. Er war es, der durch scharfsiontge
Versuche und genaue Beobachtungen den reinen Theil der atmo-
sphärischen Luft (Feuerluft you ihm genannt) als allgemeine Stare
entdekte, der im Reiche der Natur neue Elemente auffaed» der

78) Fridrich Mallet geb. 10 Mart 1728 in Stockholm, Prof. d. Gco-
mctr. in Upsala, starb 27 Jun. 1797. s. Iminnclse-Tal af Nordmark d. 5.
Sept 1798.

79) Mall et 8 allgemeine oder mathematische Beschreibung der Erdkagel
aus dem Schwed. ▼. ROhl. GreüiBwald 1774.

80) im Jahr 1758.

81) t. Hjelms Ged&chtnissrede y. 9 Biai 1786. ins Dent^hc über».
Grei£nrald 1790.

82) Carl Wilhelm Scheele, in Stralsund 1742 gebohren, Apotbek«
in KiVping, starb 1786.

88) 8. Grell 8 chemische Annalen 1787. n St s. 177.

84) 8. C. W. Scheele simmtliche phya. und chemiscbe Werke, ▼. 8. T.
Hermbst&dt I B. Vorrede XVIL Berlin 1798.

ton die Maihemaiik und PkyM. 419

durch seine treuliche BehaDdlung des feiasteo Gegenstandee^)
dfe Bewnndning seines Zeitalters auf sich zog, und dem Anslande,
das seinen Arl^eiten mit Freuden entgegensah, den Mann in sei-
nem Glänze zeigte, der so wenig zu glänzen, desto mehr zu nQz-
zen wünschte.

Auffallend ist in dieser Periode ein Mann, dessen origineller
Geist, bewundernswürdige Thätigkeit, hervorstechende Talente
und über alles lebendige Phantasie so auszeichnend, wie in spM-
tern Jahren seine Schwächen unverkennbar sind. Samuel Swe-
denborg^) verdient hier als Mechaniker genannt lu werden;
ein auszeichnender Fleiss, den seine vielen Schriften erweisen*'),
ein erfindungsreicher Ropf führten Ihn auf mehrere wichtige Er-
findungen im Bergbau und der Naturlehre. Er gab ui'sprünglich
zuerst die Idee zu einer Luftpumpe an, die durch das Steigen
und Fallen des Quecksilbers den leeren Raum hervorbringt*^,
eine von Baader, Hindenburg und Sadler in der Folge glück-
lich benuzte Erfindung. Für die Schärfe und Genauigkeit seines
ßeobachtangsgeistes reden seine Beobachtungen über die Abwei-
chung der Magnetnadel. Mit lebendig warmer Phantasie umfasste
er das grosse weite Reich der Natur, und gerne verzeiht man
ihm, wenn der grosse Gegenstand ihn oft zu weit hinreisset,
n^enn seine Einbildungskraft die Grenzen der Erfahrung, der Er-
kenntnis« überschreitet, und im Gebiete der Möglichkeit träumend
umher wandelt.

Der Nähme Wargentin*^) ist nicht nur in der AstVonomie
durch die vortreflichen Tabellen über die Verfinsterung der Ju-
piterstrabanten ^) , deren Beobachtung hauptsächlich zur Bestim-
mung geographischer Längen dienet, und durch viele gleichzeitig
angestellte Beobachtungen berühmt; auch die Naturlehre verdan-

85) Seine chemische Abhandlnng über Lnft und Fener, zaerst Leipzig
1777 mit Bergmanns Vorrede 1780. ins Englische, 1781 ins Französische
übersetzt, and 1782 neue Aasgabe Leipzig bei Crasias, die 1788 ins Lateinische
übersetzt wird.

86) Samael Swedenborg war 1688 in Stockholm gebohren, Assess.
des Berkwerks-CoUegiams, starb zu London 1773. *

87) Kar hier Yerdienen besonders seine principia rerom natnraliam, Dres-
dae et Lipsiae 1734. 3 B. Fol. genannt za werden.

88) s. Acta ernditoram 1722. Mai p. 264.

89) Pehr Wargentin, Secret d. Acad. d. W. B. d. N. 0. d. 22. Sept.
1717 in Jemtland gebohr^, starb 1784. s. Aminnelse-Tal af Melanderhjelm
d. 29. Sept. 1784.

90) 8. Berliner Samml. astron. Tabellen. HIB. s. Y. A. H. 1749.

420 Droysen: Rede vmi den Verdiensten der eckwed Gelehrten

ket ihm In der Lehre Tom Nordsohehie*^), in der Lehre vom
Windet) treffliche Beobachtungen und Bemerkungea in neleo
Abhandlangen der K. A. der Wisflenscbaften.

Wenn grosse Ideen» die wegen ihrer Kfibnheit and Grosse
der jezeitigen Periode vorauseilen, auch dann, wenn sie för die
Vollendung noch nicht reif, oder durch UovolkommenheU weniger
brauchbar, als kOhne Geistesprodakte die Aufinerksainkeit, ja die
Bewunderung des Beobachters Terdienen, so darf ich hier die
Idee eines Mannes nicht Obergeben, die wenigstens unTerkennfesr
das Gepräge der Ktihnkeit an sich trftgt. Was Linn^ mit Be*
wunderung seines Zeltalters zu 8tande brachte, die 3 Reiche der
Natur systematisch m ordnen, in Klassen, Geschlechter lind Artsii
au reihen, wagte Stockenstrand^') auf das ganie Uiiirersiim,
die sichtbare und unsichtbare Welt auszudehnen; se ordnete er
das Erschaffene in 6 Klassen und wies jedem Reiche ia diesen
seinen Platz an. Wer wollte an diesem kühn gewagten Versaehe
das Mangelhafte, Unvollkommene tadeln? Ideen, wie diese, k5n-
nen nur in der Folgezeit der Vollendung entgegen reifen.

Je tiefer die Natur gewisse Erscheinungen und deren
in Dunkel hfillte, je mehr Aosirengung das Erforschen ihrer ge-
heimen Wurkungen, in der dem Auge verborgenen Werkstatt er-
fordert, desto ruhmvoller ist es, diesen ihren stillen Gang aus dem
Dunkel hervorzuziehen. Die Electricität mit ihren WurkuDgeo
und deren Gesetzen war dem Beobachter lange ein Rätbsel, nur
ihre Ersebeinungen waren bekannt; einem Wilke^) war es aef-
bebalten in diesem Theile der Naturlebre neues Liebt anzuafioden
uad Epoche za machen. Durch die Entdeckung der electriscbea
Wirkungskreise^) ward er in den Stand gesetst, die erste rich-
tige Erklärung des leidener Versuches von Franklin genauer aa
bestimmen und zu erklären ^). Diese Untersuchungen , die im
Grunde auch die Erfindung des Electricitätsträgers enthalten^,
leiteten Ihn schon damals auf die Idee, dass sich dieses Phaeno-

91) (beschichte der Wissenschaft vom Nordscheinc, s. V. A. H. XXIV.

95) Knne Anmerknngen yom Winde, s. V. A. H. XXIV. 1749.

93) Systenia Natnrae in sex regna divisom. Stockholm 1778.

94) 6am. Carl Wilke 1782 d. 6. Sept. za Wismar gebohren, Frof^ and
Beeret d. Ak. d. W. B. d. K. N. 0., starb 1797. — s. Progr. disseit. de
electr. contrarüs and Aminnelse-Tal 16 B^t. 1797. af Kordmark.

96) Dissertatio de electricitatibas eontrarüs. Boetochii 1757.

96) y. H» Haadl. 1762. 8. 218, tob den eotge^ngesetstSD Eleetriaitittn
bei der Ladung and den data gehörigen Theilen.

97) HandL 1 712. p. 206.

um die ikUäemaM tmd Pkpsik. 421

roen aon twnj Materien, Feuer und S&are» besser ab aaeb P r a a k 1 1 a
erklären lasse ^. Er bewerkstelligte die Ladoog mehrerer bis
dabin nnontersnebter K5rper^). Die Lehre vom Gewitter und
dessea Identität mit der Electricität, stellte er dorch Versiiebe ia
ein heiles Liebt ^). Seine laeliaattenscbaHe i^^)» seine Beobacb-
tongen über die jährlichen und täglichen Veränderungen der
Magnetnadel in Stockholm ^<^ haben diesen Tbeilen der Physik
vortreffliche Beiträge geliefert Seine Beobachtungen aber den
Nordsobein und seine vortrefflichen Beobachtung Aber die Kälte des
Schnees beim Schmelzen , worauf den scharfsinnign Beobachter eiae
gewuhnliche alltägliche Erscheinung ftlhrte ^**)» sind glänzende Be-
weise seiner grossen, hervorstechenden Talente und VerdienstOt
die ich hier nur anzudeuten wagte.

Wenn ich die Männer, deren Namen im Auslande, so wie im

Vateriande mit Rohm, Dankbarkeit und Achtung 'genannt werden,

* Nahmen wie Wall erius^o*), Alströmer*«*). Ferner»««), Fag-

98) Handl. B.XXm. B. XXV. —Ben j. Frank lins Briefe v. d. E. übers.
▼. Wilke. Leipz. 1758.

9d) Handl. 1758. IS. 250.

100) HandL 1759. S. 79—159.

101) Handl. 1768.
lOJ) Handl. 1777.

103) 8. Handl. 1772. Wilkc wollte Schnee auf einem kleinen Hofplatse
durch siedendes Wasser schmelzen, es erfolgte aber nicht die erwartete Wür-
kiing, dies Itkhrte ihn, nach einer Beihe Tersuche, auf den wichtigen Lehrsatz :
dass beim Schmelzen des Schnees blos zur Erhaltung der Flüssigkeit eine
Menge W&rme erfordert werdö, die im Stande ist, eine eben so grosse Menge
eiskaltes Wasser za einer Hitze von 72* Gels, tn erheben, den Gnmd der Idee
TOA speciflBchar Wftnne. s. Aminnelse-Tal af Nordmark. S. 6.

104) Job. Q-otseh. Wallerins gebohren 172— , Prof, der Chemie nnd
Mecdhurgi« m Upsal. B. d. W. 0. M. d. A d. W., starb 1785, eigontUch ab
Chsmieiu berfthmt, doch mflnen hier seine Tanker om Jordones deaande,
Stoekh. 1776k Uebert. Meditationee de origme mimdi 177d, «nd unter teineii
I^aieiattioneB, de materieü difiEerentia InntSnie et ignie — > an Odor a sole? «^
de transmotatione aquamm, genannt werden, s. FaedcnU Dnpvtatioiram aca-
denitaniBi Holmiae 1768. II Bde. —

106) Glas AlstrOmer, Com. B. C. d. W. 0., M. d. A. d. W., gebokresi
d. 9. Aug. nae an Alinga&e, starb 5 Mart 1794, er war dn groeaef Fsend
Qiid Beförderer der Wisienachaften , Sdiweden Terdankt ihm «n^*Khff in der
^^ekoDomie und Bankonat. a. Äminnelao-Tal af Pehr Dnbb.

106) Bengt Ferner, CanzelL B. d. N. O., M. d. A. d. W. hat riele
OMteMrolog. BnobaehtoDgen angestellt; s. Handl. XVL 1—4. XVII. 4. Xym.
3. XIX. 3.

422 Drov$en: Rede von den ferdiensien der $ekwed.6eiekriem

goti<>'),Ekebergi<«),Meldercreatz^<^^,Schenmarki^o),Hir-
leraan^^i), Quist^^), Lindqaist^^*), Ekstr^"«), Str&.
mer^^^) Duraeus^^^) and andere hier blos anführe, ohne Ihre
einzelnen Verdienfite am diese Wissenschaften aafEQzahleo, so
wird ratch das vorgesetzte Ziel dieser Arbeit entscfaaldigen.

107) Jak. Faggot, Modell- Aufseher, Ober - Diredor des T^twin^^^ft-
Comtoirs, M. d. A. d. W., gebohren d. 13 Mart. 1781, gestorben 1778. s.
Äminnelse-Tal af Kicander d. 28 Nov. 1778, worin auch seine Tielen Abliaad-
luDgen mathematischen Inhalts angeführt sind.

108) Carl Gustaf Ekeberg, Cap. b. d. K. Artillerie, M. d. A.d.W.,
1716 d. 10 Jun. gebohren, starb den 4. Ap. 1784. s. Aminnelse-Tal af Spar-
man 1790. Er ist durch seine Beisen, und die auf denselben angesteUtcB
Beobachtungen über die Abweichungen der Magnetnadel u. a., so wie dorcb
seine geographischen Kenntnisse berühmt, s. C. Ekebergs Ostindiska Ben
1770—71. gedruckt 1773.

109) Jon. Meldercreutz, Prof. der Mathem. su üpsala 1751, Hanpün.
und Lehrer an der Kriegsschule zu Stockholm, gebohren 173—*, staxb 1786.

110) Nicolaus Schenmark, Prof. der Math, zu Lund, gebohren in
Ostgothland 1720, starb 28 Sept. 1788. s. Oratio fnnebris in ejus memoriaa
a Math. Nor her g. Lund 1788. Mehrere astronomische Bestimmungen, Beob-
achtungen und Berechnungen, Bestimmungen der geographischen Lage oehicfcr
Orte Schwedens finden sich von ihm in HandL XVI — XXX. seine Geometiia
analytica Stockh. 1785. ist als Compend. schätzbar.

111) Bar. Carl Härlemann, Ober-Intendant, E. d. N. O., MitgL d. A.
d. W., gebohren in Stockholm, starb 1753, ist als Baumeister in Schwedea
bekannt s. Äminnelse-Tal a^ Tessin d. 19. Mart. 1753.

112) Beugt Qu ist, gebohren 1727, Assess. im Bergw. CoUeg., Director
der sftmmtlichen Schmiedearbeiten und Mitgl. d. A d. W., besonders als Cbtt-
micns merkwürdig, a. HandL XXEX—XXXVUL

113) Job. Heinr. Lindqnist, Math. Prof. m Äbo, M. d. A. d. W^
starb 1798. einige mathem. Abhandlungen tou ihm s. HandL XXVlI — XXXIT

114) Daniel Ekstjröm, Direct und madiemat. Instrumentenmadwr,
M. d. A d. W. 8. Iminnelse-Tal af Wargentin 14 Jun. 1768. Er isC be-
sonders als Künstler berühmt, seine Instrumente geben den englisdien an Oe-
naaigkeit und Feinheit nichts nach. — Sein geographisches Instrument, s. Handl.
1743. ist ein seht rerbessertes Astrolab.

115) Martin Ströme r, Astron. Prof. in üpsala, M. d. A. d. W. Von
ihm hat man Inledning til Geometria plana. Stockh. 1749. — Liran om kh>-
tet odi sphaeriska Trigonometrien, üpsala, eine üebersetzung des Euklides
und mdurere Dissertationen mathemat. und astronomisdien Inhalts.

116) Samuel Duraeus, Prof. d. Phjs. zu üpsala, starb 1789. von ihm
ütkast til förel&sningar Over naturkunni^eteu (Entwurf zu Vorlesungen Über
die Katurlehre), üpsala 1759. Om Logaritfameme 1751. nebst Tiekn phjs&a-
lischen Dissertationen.

tim äie Üimihematik und Physik. 433

Ich weiHle mloh nan 2« den AÜni^erD, weiche dse gümdi^
Schicksal zam Fler der Wisacnftcbjtften «rliielt, Ten denen wir
za Erwartangen berechtigt sind, die eben se gross, als durch vor-
hergegangene, bekannte Verdiengte gereclit und bUKg sind. Und
wenn ich um den Schein der Schmeichelei zu vernietden hier
kürzer bin; «o fehlt es mir daroni nicht an Stoflf au ihrem Lobe.

Es freuen sich die Wissenschaften der Erhaltung ei oes Ch ap-
man^^^), dessen tiefen Einsichten and weitumfassenden Kennt-
nissen in der Mathematik die Schiffsbaukunst ^^, die Artillerie-
wissenschaft ^^% und so manche andere Disciplinen, treAiohe Be-
reicherung verdanken. Seine Theorie der Anker ^^) IrSgt das
Gepräge tiefer mathematischer Kenntnisse, und ist als die Tolr-
zfiglichste mit Dank als lange entbehrt anzusehen« Seine Unter-
suchungen über den Widerstand, den die Korper in Flüssigkeiten
erleiden^'), die er durch Gustav Adolphs milde Unterstützungen
mit Eifer fortzusetzen im Stande Ist, lassen über diese schwie-
rige Materie viel Licht erwarten.

Die vielen genauen astronomischen und meteorologischen
Beobachtungen haben den Nahmen M elender, nun Melander-
bjelm, dem Vaterlande und dem Auslande rühmlichst bekannt
gemacht ^^*). Seine weitere Bestimmung und Ausfährung der
Theorie des Mondes von d* Alembert^**), neue Methoden schwie-
rige Astronomische Bestimmungen zu finden ^^'^}, glücklich gewagte^
mit Scharffiinn, aus gemachten Beobachtungen, hergeleitete
Hypothesen ^^) über Erscheinungen am Himmel, haben seinen Nah-
men der Nachwelt aufbewahret

Gemeinnüzzige Erfindungen und Cntdekkungen, die Hlr das
gemeine Leben fruchtbare Folgen haben, verschaffen der Wissen-

in) Fridrich von Chapmann, Vice - Admiral, C. d. W. O., R. d. S.
0., Hitglied der Akademie der Wissenschaften.

118) Tr. de la Constraction des Vaisseanx trad. du Saed. Handl. XX£S. 1.
XHX. 4. LVnL 1.

119) Handl. 1798. XIX.
1«0) Handl. 1796. XVH.

121) Handl. T. XVL 1795. LXVL «.

1)2) Dan« Melanderhjelm, Prof. der Astr. in Upsal% R. d. K. K. O.,
MitgL d. Ak. d. W.

123) HandL XXI, 8.

124) Fondamenta Astronomiae. V. I— IL Stockh. 1779. — Handl. XXVI—
XXX. nebtt einer grossen Anzahl astron. Dissertationen.

125) Handl. 1798. 1. Q. — Newtons Tract de Qaadratura Curvamm, in
^iiaistadiosae jnrentntis explieaüonibns illnstratas a Daniel Melandtr. Upsal.l 763.

28»

424 Dropsen: fieäe von den Verdiensten der sc&wed. Geiekrien

scbaft^ der sie ihren Ursprong verdaDken, die grdsste and usge
dehn teste Achtang und dem Erfinder bleibenden Dank; dar»
darf ich hier der Bemühungen Akens^ und MystrSins^ Dickt
vergessen, die sich durch Feuerl5schungsmittel um das allgenebe
Wohl verdient gemacht haben. Die Erfahrung hat ihre Entirfirfe
bewährt gefunden und die Versuche, die von diesem unter da
Augen des Königs und des Herzogs zu Ladug&rdsfelde angestellt
wurden, haben ihm den Beyfall und die Belohnung, des König»
erworben.

Noch glänzen die Nahmen eines Planman^^^), Prospe-
rin»^, Nicander»<0> Nordmark^^^), dessen sich diese Aka-
demie einst als ihres Lehrers freuete. Landerb eck^, Teg-
maniss), Hjelm^»«), Lindtgreen"»), Hult^niM), Reg-

126) 8. Creirs ehem. Annalen 1794. 1 StOk. XII Stflk.

127) 8. Afhandling om Eldslftkande Ämnen, ingif?eii til K. V. A. af 5j-
8tr0m 1793. 8. Weigels Biagaadn. I Bandes 2 Stück. Berlin 1794.

128) Andr. Flanman, Phja. Prot in Ibo, M. d. A« d. W., hat aek-
rere astron. Beobachtungen angestellt s. Handl. XX— XXXIIL

129) BricFrosperin, Prof. Astron. in üpsala, M. d. A. d.W. iitioB.
Beobachtungen und Berechnungen Ton ihm über Kometen, über Uranus 0.1. w.
finden sich in den Handl. Lm. LVL XXXI, u. a. a. 0.

ISO) Heinrich Kicander, Secr. d. A. d. W^ hat über die paimboüiek
Gestalt der Fflngscharre, HandL XXXVIL XXXDC. über die Theorie der
Wirzischen Spiralpumpe UV. und mehrere astronomische Beobachtmigai ge-
schrieben.

131) Zacharias Kordmark, Phys. Prof. in üpsala, M. d« Ak. d. W^
hat ausser einer grossen Anzahl mathematischer und physikalischer Diflierti-
tionen, und mehreren mathematischen AbhandL vorzüglich neue BeobachtoagcD
über den Grad der W&rme 4er einfachen Lichtstrahlen angestellt s. Hin^-

LVL Lvm.

132) Nils Landerbeck, Math. Prot in Upsal., M. d. A. d. W., aber
die verbesserte Lul^umpe, und AuflOifungen die Mechanik betreffend s. Hm^-
XXXV. XXXIX.

183) Peter Tegman, Math. Prot M. d. A. d. W., von ihm sind meb-
rere mathemat Disputationen.

134) Pet. Jacob Hjelm, Probierer des KönigL Bergwerk -CoUegiun,
hat sich besonders als Chemikus gezeigt.

135) Lidtgreen, Astron. Observ. in Lund, hat sich durch mehrere
gleichzeitige astron. Beobachtungen verdient gemacht s. Handl. LVIL LYm*

136) Andr. Hult^n, Prot d. Astron. in Greiisw. M. d. A. d. W. »^
Dissertationen, de methodis Tangentium ante Newton, usitatis Ups. 1786.^ de
vestigiis Method. flux. atque CalcuL Diff. ante Newton, et Lelbnit. obrüS) G17-
phiae 1792 sind in Hinsicht der Geschichte der Math, merkwürdig; so wie de
Aequationibns, radices aliquot aequales habentibus 96. 97. Theoremata xxa^'

um die MaikemaUk und Pkptik. 425

n ^ r '*0> u. a. in den Jahrbfichern der Geschichte dieser Wis-
seoscfaaften; neben ihnen die Nahmen der Deutschen, gruss-
tentheiJsYerehrungs würdige Lehrer dieser Akademie , denen das
Anslaind die Bekanntschaft mit der schwedischen Gelehrsamkeit
▼erdaoket

Die grosse Zahl dieser filr Mathematik und Physik wichtiger
MAnner, die Aufzählung ihrer Verdienste, von denen ich hier nur
deo onvollkommensten Umriss zu entwerfen wagte, erfflllt uns
mit Dankbarkeit und Freude ; sie lisst an des Jahrhunderts Neige
die Wissenschaften mit Freude in eine lachende, fflr sieseegens-
reiclie Zukunft blicken.

todini teUnris computandae inBervitara 94. de nonnalibTU ad corras geometr.
dncendifl 97. de limitibiis aequationom 98. gekannt zu werden verdienen.

137} Begn^r Doc. i Natar-Lir. i üpsaL Inledning til Natur • L&ran.
0psala 1785.

426 BacaiogH: Neue StüUmmmffmeiMe des

Neue Bestimmungsweise des durcli Icleuie Oeffinungeo

gebeugten Lichtes.

Von

Herrn E. Bacaloylo

in Bucarest.

1. Die Schwieitgkeiten nnd die Länge der Rechnoogeo,
welche, sei es nach der Sc hwerd' sehen oder nach der von die-
ser wenig verschiedenen Integratioosmethode, zn der BestiminnD;
des durch kleine Oeffnungen gebeugten Lichtes führen , wCkdeo
vielleicht den Versuch zu einer einfacheren and eine allgemeinere
Anwendung gewährenden Bestimmung des gebeugten Licfctef
nicht «nzweckmässig erscheinen lassen.

Schon Bill et (Tratte d'Optiqne physiqne 1. 1, p. 200, 217)
hat darauf aufmerksam gemacht, dass die Resultirende des dnrdi
einen schmalen Spalt gebeugten Lichtes dieselbe Phase hat, wie
der durch dessen Mitte gehende Strahl, un4 ebenso hat beiiD
Parallelogramme die Resultirende dieselbe Phase wie der Strahl,
welcher durch den Durchschnittspunkt der beiden Diagonalen gebt;
allein er bat diese Sätze nur als Consequenzen der durch jeoe
langen Rechnungen gewonnenen Formeln hingestellt und suchte
dieselben nicht weiter zu benutzen. Dahlander hat später (Pogg.
Ann. Bd. 110) jene Sätze verallgemeinert und unabhängig voodeo
letzteren Formeln abgeleitet; er stellte den Satz auf> dass bei
jeder Oeffnung, welche einen Mittelpunkt hat, die Resultirende
dieselbe Phase hat wie der Strahl, welcher durch jenee Mittel-
punkt geht, nnd zeigte die Anwendung dieses Satzes, welcher je-
doch auf den schwierigeren Fall des Trapezes» des Dreieckes
und auf denjenigen von Curvensegmenten nicht ausgedehnt wer-
den kann.

dmrcA meine Oeffnm$en 9ebtug^nk UckM. ^7

Es solleo' nan im iFoIgfiideii kwflli F^maln anfgesleiU werdei,
wdclw «ich »n der Sestiif nuipg dei dunch eine beUfib^ Ocftimg
gctieugABo JLlsbies «igneo, winid man ««r ad jener OsAuuif^ «baa
einaicen gMitdltfiigeB Dordmesaec nachweisen ten». SfirantilciM
bjB jetst 4iqtoMuchte Fßlle» das Trapes, FaraiMo^amn» Dreieefc;
dejr ICrels» die £tfipse» resp. Kreis-, Ellipsen-« Parahelsegnenbe
u. s. w., Jasiseii sich mittelst jener Formeln bebandelD» welche tavck
die Aenatzang der ursprünglidieD Parameter gestatten« vodarek
man #iiie lefcehlere Ceberaicbt der gefundenen Resultate ges^inat
Die Abtettiing dieser F4Mrmeln ist4moglieh6l einfadb und bedarf
keineswegs der oben gedachten Sätze; sie wird jedoch noch
weiter vereinfacht durch Benutzung des ersten, nach welchem
die Resoltirende des durch 'einen Spalt gebeugten Lichtes die-
selbe Phase hnt wie der idurch dessen Mitte gebende Strahl. Der
Beweis ist leicht zu führen, wie Dahiavdter gnseigl hat; mim
braucht nur die Wege des Lichtes p', q' und p" ^ tf durch zwei
▼on der JMitjte gleich entfernte PunÜe mit dem Wcige tlurch die
Mitte selbst /i , 17 zu vergleichen , um daraus zu schliessen, dass

j . -
folglich ist:

oder^nch:

und die drei eiftsprecbenden Strahlop werden dargestellt durch

asina, asin((x-)*9), asin(a— 9);
also ist die Resultirende der beiden letzteren:

(2) a[dD((*4<9) -fcdnftr— f[))) = 2acos9)sin a

und hat dieselbe Phase wie der dHittelstrabl.

11. Die Avfctellung der Formeln, welche den Gegenstand
dieses Aufsatzes bilden, beruht wesentlich avf der j^nntniss des
Anedruckes Ar 4m durch einen Spalt gebeugte Licht in einer
etwas allgemeineren Form als die bis jetzt in Anwendung ge-
htaehfteu Man aimmt ISr gewöhnlich an, dass die Durchschnitts-
Men .der «uf 4le iUchtong der einCallenden und der gebeugten
SinUeq .sankvefiht (gelegten Ebenen mit der Ebene des Spaltes
«MMmenfallen ued der Längsriobtung dieses letsteren facallel

428 Bacaiogio: Neue ßeiUmmunffsweite det

Bind, Ich will tod dieser BeschrSokung abseben und den alige-
meineo Fall bebandeln, wo KL (Taf-Ill. Fig.l.) deo Spalt be-
zeicbnet, dessen Ebene mit der der Figur zasammenftUt. Be-
zeichnen ferner NE und NG die Durcbsdinittslinien dieser Ebese
mit den auf den einfallenden und gebeugten Strahlen seoicredit
stehenden Ebenen; — 0 und X die Neigungswinkel der erstere»
gegen jede der letzteren; ^Feine beliebige Richtung in der Ebene
des Spaltes, bestimmt durch die Winkel q> oder tp'; — jil' und ^
die Neigung dieser Richtung BF gegen jede der beiden NcMtnal-
ebenen; so findet man zunäch# durch die bekannten Projection«-
methoden :

(3) . . . . sinfi= sin^siniC« sinf&' = sin 9' sin 0.

Es wird demnach die Phase fflr den Punkt P, dessen Entfer-
nung von der Mitte M des Spaltes ^x ist:

«Y (sinfi — sinfi')^ = -y- (sin^sin X-^sin^'sin 0)x,

und die Resultirende der beiden, durch die sjrmmetrisch liegendea
Punkte P und P gebeugten Strahlen nach (2):

2cos| -j-islnik — sinfi')^ Jsin.a.

tensität des durch den Spalt KL gebeigtai

Lichtes wird demnach:

2 / <2;r cos I -T- (sin fi — sin fi')^ j>

0

woraus durch Integration und Einfabrung der Cönstanten:

stnl -y-Csiiii» — S'lDft') I

(4) u=AeoBO—^

f(8in^-«iD,»0

sinj^Csin 9>sin X— sin 9' sin ^) J

=:ilC08^ — — •

-jf (sin 9 sin X — sin qn'ain^)

Es sei nun ABCD (Täf. III. Fig. 2^) eine beliebige Oefimfc
und BD ein Durchmesser derselben. Man denke sich die Oel^
nung in parallele, dem Durchmesser BD conjugirte Querstreita
getheilt. Die VIbrationsintensitSt des durch einen derseHieo

durck Meine Oeffkungen gebeugten lichtes. 429

£F=2x f^beagten Lichtes wird nach (4), mit Weglassung der
CoosCanteD, ausgedruckt durch:

■y-(Sin fi — SIDf^') I

-^(sinfi — sinfi')

Da diese Resultirende dieselbe Phase hat, wie der durch die
Mitte G von EF gehende .Strahl^ so Icann man sich die ganze
Oeffnung weggelassen denken mit Ausnahme des einzigen Durch-
messers DB, wenn man dafflr sorgt, dass sämmtliche durch dessen
verschiedene Punkte gehende Strahlen mit der entsprechenden
Grosse tc multiplicirt werden. Bezeichnen aber v und — v' die
Neigungswinkel des Durchmessers DB gegen die beiden Normal-
ebenen, so findet man leicht, dass die Phase des durch den be-
liebigen Punkt G des Durchmessers DB gehenden Strahles

= -^(sinv— sinvO l^t, wei|n y:=.DG. Das durch die ganze

Oeftinng ^iSCD gebeugte Licht wird also abhängen von den bei-
den Integralen: .

(6)

— (»io^-sio^Oj
i»=f dyiine cosl -T^(8inv— sInvO 1»

A^=/ dysine — «inl -j^(8inv— einwO 1»

woraus man x oder y mittelst der Gleichung der Gurve ADC
eliminiren wird. Man hat übrigens zwischen den Winkeln v, v^,
l,jly X, O folgende mit (3) analpge Relationen :

(6) . . . . sinv = sin^sinX, sinv' ssinx'sinO.

III. Die Anwendung der Formeln (5) auf das Parallelogramm
(Taf. HL Fig. J.) ist äusserst einfach. Bemerkt .man, dass der
erste Faktor unter den Integralzeichen coustant und

■y-(sinfi — sinfiO I

-r (sin ft — sm ^')

4S0 Baea(oglo: Heut Bettimmungtwettt det

Mi, so ergiebt sich:

[na T r2js6 "I

-T-(8iD f* — sJDftO I sinl -7-(8inv— siov') I

ilf =:a0 8ine — 5-jr »

na, , , ^ ^ÄO . .

-r- (sin fi — sio ftO -7- (sin v — sin v*)

slnl -T-(8io|iA — sin|i') I 1— cosl -j-(*inv— snivOj

i^csa6sinl — — \ näTÄ "

y (sin fi — sm 1*0 -j-(«iiv— sinvO

woraus

U=C08*.Vi!l* + iV*

sinl -r-(*'"f* — «>öf*0 [ sinl -^-(«»nv— sisv') 1
= iJcos(D • — -T '

oder mit 'Benatzung der Gleichungen (3) und (6):

sinl y (sin 9 sin X— sin 9' sin 0) 1

(7) . . . i«=-4cos*

-r-(sing)sinX— sin^'sinCP)
sin

fy (sin xsin X - sin x* sin*)]

nh

■y- (sin %sin X — sin ;f sin ^)

Nimmt man das einfallende Licht normal auf tjie Ebene des
Spaltes an, so findet mali:

, /9rasintt\ . fnb%\Tiv\
sinf — p^l smf j—\

(8). . . .t« = ilcos<P ^ ^ ^ \ /

H. .. • » I

Trasinfi ss^sinv

skil -r- sin 9sinX 1 sinf -7- sin ^stn Jf j

= il<J0S<» — ^- • — ^T ^•

na , . • «o . .

-j-sin^sinA -r-sin^siniL

IV. Das Dreieck bietet nicht viel mehr Schwierigkeiten. &
sei (Taf.IIL Fig. 3.) AB = Cy AC^b, BC=a, ÄD^i\ »
bezeichnen a, «'; /J, /?'; y, y'; i, S' die Winkel dieser vier Gert-

durch kMme Oeffimn§em gcöeugim ZMim. 431

leD mit jeder der beiden Nomaltbcnen. Die Integrale (5) erhal*
eo dann folgeDde Form :

[29C la n

i=sf a^eioc •coal -t-(8ioö — sindOy l»

0 Y(«ina— sinoO

y(,-m«-sin.0^yj . ^2« . , , . .,^ "l.

f = f ajf fiiof •siol -y- (sin 0 — sin o )i|f J»

0 yCsina — aina')

)der, wenn man die Producta dorcb Summen ersetat:

Y(8ino — sino') .
i r"* rfjaio[^ß[«ina--sina']+d[8ind— sind'])*^^

+ /'''dy8lw[^y(|[8ina-»ina'J-rf[8ind-8ind'])^

^_ isint

Y(8ln«— ainO

\ •

f ^ dy coaj^y (5 [8ln «- ain «']-d[8in d-sind']) J] j
^y '' d^coa |^^(|[8ina-iiia']+d[8ind-8ind'])j] \

Bemerkt man , . daaa *)

d(8ind — 8indO + |(8ina— sinoO = b{sinßs\üß'),
d(s\n 8 — sind*) — | (ein o — sin a*) = c(8in y*— sin /);

vitd integrirt zwischen den angegebenen Grenzen^ so ergiebt sieb

*) Es brauchen nur dnrch die Fnnkte Af B, C, D acht NoimalebcDen zu
^ S^heugten und einütillenden Strahlen gedacht su werden.

»htU XL. «9

432 BacaUgio: Neue B^MämmungtwHw ä€$

ilf = —

-r(slDa — sinoO

i- cos 1^^ («» ß - sln/J')] 1 -co8[^(8ioy - st»/)]]

.^M-A^^ki^i

-j- (sin /J— siD/J') -y (sin y— sin/)

-, Ad sin £

-I (sin a — sin «0

sin pp(sin/5-sin^o] «« p7 (»««y-«'»)^])
-j-(sin^— siD/S') — (sin y — 8ID /)

woraus
(9). . . . tt«=ill* + iV«=

^(«in«-sio<oJ

-2

sinF yW"/'-"«*/^') J »In j^y (sin y — sin yOj

y (8ini3-sin/J') T^®*" y — ««n /)

><cos| -r-(sina — sincOj

S bezeichnet den Flächeninhalt des Dreieckes» und die Winkel
a, o' ; /}> /}'; y, / hängen von den nrsprflnglichen Parametern ft f ';
1% /i ^* ^^ -^ ^ durch folgend^ Relationen ab :

(10)
sin a = sin 9 sin -X, sin/3 =: sin^sin^, siny = sin^sInX;
sin a' = sin 9)' sin ^> sin /3' = sin / s}n 0. sin y' = sin ^' sin 9.

V. Betrachten wir nun das Trapez. Es sei (Tar.IILrig.i)
AB =3 «, JBC= h, CD^Cs DA=:d, EF = e. Besetehoea wir
mit a, a' die Neigungswinkel der Seite a oder e gegen die b«^
den Normalebenen; mit ß^ ß'; d, S'; i, V <l>e den Geraden b,d,t

entsprechenden Neigungswinkel, so Ist a? =5 -f q- y und

ihirch kkint Oeftnungen gebeugten Uchi€$. 488

_ sin €

-zifirntt — 6*10 «0

dy sin I y{aina— sinoQ + j[ • — -(sina— «inaOyJ

X cos I -T- (sin t -^ sin £0y J»

jCsina — sin«')

«y si" I -T-(8in a — sm aO -F T • (sina— «0«*)^ 1

y(8int— #iq£03f_|*

Weiden hierin d$e Sinusse der Ssmnye z^rkgt und folgende
Abkfirzungen :

(H)

jKfl Tcb 9Ui

A = -y (sina— sino')» Ä = -j- (sin/S—sin/^O» C = -y-(sin«— siporO»

/> = ~(sin^-sin^). £= y(sinj:— sin«

eingeführt, so wird:

sin«

Mz=z

■T (sina— aino')
Xtsinil r *rf3(co8(C-il)-2eo82£* + cosil f dy sin(G-i<)fcos2£;^|,

N=^

0

sine

r(fin«— sinoQ
><t8iDi4 r^dgcö8(C^A^sin2E^^coBA f dy sin(C-i*)*sin2E*|.

O ^0

.fiezeichnen wir mit P,Q, R, T diese vier Integrale^ in dersei-
^ OrdniiDg» in welcher sie geschrieben sind^ nnd bemerken
^Ir, dass (siehe IV. Anm):

'(«l»J— «Dj')+^8inc(-»taa')=6(8in/»-«in/J') od. E+^^=ß.
6(»inP-8io|J')-d(»ln«-8iB«0=(c-o)(8«n«-slno') - B—D=C-A,

434 Bacaioffia: Nene BtBümmungiweiu de$

60 finden wir:

« «. /••, A»>y <?sin2/> sin/>cos/)
P+r=y dyccm2D| = — 25~ = * 5 '

« /^ /••, «»y e«in2B sin^cosi?

O

« + <?=/ ii:ysin2Äjt=g« g =e ^ >

j? ^ Z"*^ • on* « 1— C082D sin^/>,

ö
woraus sich ergiebt durch einfache Rechnungen:

^^«sint
-. 2 /sinZ> sinjg . \

^ = ~aTc^\^^^ (^— ^)+ -^g" «*«* (-4+*)^'

a + c .
daraus folgt:

oder auch:

/lov « •* Scos^ X* '

<^*> «'-(^«is+ö;^: — — )

, V — T — ^(sina — %\iiaf)J

(sinry(8inj3— sin/50 Jv« Winr^Csin^— sin^OjN*
y(sin/5-sinP') J V ^(sinÄ^sinÄO )\

sin j^y (sin /5 — sin|So] »""[x (»»» ^ — *'" ''J

ivr = .^

Y(8in/J -sin/30 y (sind— siniO

[7r(a+c), , . J\

^ (sm a — sinoOJ

%Torin iS den FlScheninhalt des Trapezes hezeichnet, und <&
Winliel er, o"; /?, /3'; j, d' dieselben Werthe wie in (10) haben; tm
ist hier i, 8' statt y, / zu schreiben.

durch kUime Otf munden gebeugten Uchlev 435

VI. Wird das eiofallende Liebt senkrecht avf die Ebene des
Trapeses angenoniineii, woza nCthig ist^ 0=^0 oder a's=:/)'=:j'=0
za setzen» so kommt:

(14)

««

= (3+C; XSTb) +(~D-; -2-g-.-5-cos(^+ 0\

^ S ^v*

= f J|(0+C) > . y 1

V -^-j — sin ^ sin^^

■3^6 . . "1 , pjrd

ixsml -y-sin^sinX iv « ^^^^\ X*'"^*'**-^ IN^
1^ -T-sin^sinX ^ ^ -y-sin^smX y

X

1-2

sinf-r-sinxsinX) sinf -r-8intl«inj:j ^^/^ . v J

"^ «6 . . ^ • «rf . ^ . ^ cos|^— j-sin9«.nxj'
-r-sinx sinX ysinipsinX

Bemerkt man, dass d^ =s d^^^^^ '^^ ^^^ *^ ^en zwei inde-
pendenten Variabein 9 und X abhängt, so findet man dnrch die
bekannten Methoden als Bedingongsgleicbangen ifir die Mazima and
Minima von u die beiden Gieichongen:

(15)

/sinÄ ' sinZ> , . . ^\ÄcosÄ-sinfi.
^-g ^eos(^+ C)^ -j^ Äeosx

. /sinJD sini? , . . ^\Z>cosZ)-sinZ> .
+ { -^ ycos(i< + Oy ^ dcos*

+ -y • — g-sinM + C)(a+c)cos9 = i«*(-4 + C){fl + c)cos9,

/sinÄ sinZ> , . . ^\ÄcosÄ-sinÄ . .
^-g ^ cos(il + Oj gj 6 8inx

. /sin D sin Ä . ^ . A \ ßcosZ)— sinD _ ,
+ ^-g g-;cos(il+ C) j -ßf dsin^f^

+ ^'g-.5^sin(^+0(a+ir)8in9 = u«(^ + 0(a + c)sing);

reiche zu gleicher Zeit besteben müssen. Ans diesen Gleiehnn«
g«n sowohl, als aoth aus (14), lassen sich einige Minima nnd
Maxima bestimmen.

1) 8in(il+O = 0 oder '^^"^^VmysinX=2mjg

^»d zu gleicher Zeit:

B zsD oder 6 sin x ^ dsin ^.

436 Bacaioglo: Neue Besthnmnnfftweise det

Man erfcennt leicht, daas dieser Fall eintritt, wenn die Durch-
BchnlttsKoie der Norroalebene'auf die gebeugten Strahlen n^tder
Trapezebene der Halbirungslinie der Parallelseiten diese« letstereB
parallel iSuft. Man hat also eine Reihe von isolirten dankehi
Punkten , welche auf einer eo dieser Halbimngsrinie senkrechtes
Geraden liegen. Die dazwischen liegenden Ma;iiaiia werdep diirck
eine transcendente Gleichung gegeben.

^ ^ _, ' , nb8\n%BinX 9rdsintf;sinJlC

2) B=:D=mn oder ^ =f ^ ssnwr

oder auch:

w— 2" sinysioX

so hat man denselben Fall wie iu 1)» nSmlich eine Reibe ▼<»
dfokeln Punkten, welche auf einer zu der Halbirungslloie Senk-
rechten liegen und zwischen den vorigen dunkeln Punkten vertheilt
sind.

3) A + C^^O oder ^ = 0
and zugleich:

B^= D oder A sin % == ctsin^.

In diesem Falle ist die Durchschnitfslinie der Normalebene
mit der Ebene des Trapezes parallel den Paralielseiten dieees
letztern. Der entsprechende Theil des rSumlichen Gebildes pr»-
jlcirt sich als eine auf den * Parallelseiten senkrechte Gerade,
auf welcher die Minima und die Maxima in derselben Weise wie
im Falle eines Spaltes vertheiH sind. Die sugehur%e Formel ist:

• «mf -j-sin % sin XJ

u = S T -•

-T-aiPxsin-A

4) Die Formel (14) reducirt sich noch auf Null und giebt hier-
mit MinimalSrter, wenn augleich bIuBssbO und sini!> = 0 oder

-r-sln%8inX=m9r und -r- sin^sin X= n^s.

Dieee Minima liegen auf den Durcliachnittepunkten zweier Sy*
Sterne von Gera4en > welche reep. aof den nioht paratletea
des Trapezes senkrecht stehen.

5) sln(/l+O = 0 oder ^^^i^sin^sinX=2m»
und zu gleicher Zeit:

dttfth kleine Oeffkunffen gebeulten UcMes, 437

Der Fall 1) ist ein specieller Fall des jetzigen, welcher eben-
falb nur Minimalurter giebt Da der Quotient — -g- oder —jy •

sich stetig ändernd, in den verschiedenen Quadranten folgende
Maximal- ni&d Minimal frerthe

1....0....— 0,i?17..-.0.... +0,128.. ..0.... -0,091....

U. 8. W. .

annimmt (S. Pogg. Ann. CX, 482 und dieses Archiv XXXVI^ 17.),
so folgt dannis, dalw derselbe zwischen Kwei Nullwerthen zweimal
denselben Werth erreielMn wird, und weoo die diesen letzteren
entsprtebesiden, in versohtedenen Quadranten liegenden Bogen B

und D heissen, so wird damit der obigen Gleichung fi ^^ fk
Genfige geleistet.

6) sin (^ + 0 = 0 oder ^i^sing>sinir=(2jn+I)«
und za gleicher Zeit:

' sinÄ , sinD ^

ein dem vorhergehenden analoger Fidl. Die entsprechenden
Warthe von B und D Ifegeh zwisclien zwei auf einander folgenden
Matnaa.

VlI. Der* Kreis läsat sich am leichtesten behandeln. Es sei
U dessen Radius, <X^ = 0^, und man setze in den Formeln (5)
9 = 90^, % = 0^, was wegen der Symmetrie des Kreises gestattet
ist Alsdann verschwindet das zweite Integral, und das erste^
welches nun die Vibrationsintensität ausdrückt, reducirt sich auf:

" = ,^iiüxy^ d2^s.n(^-^s.nXj,
oder durch Anwendeng von Polarcoordinaten :

(16). . M= — ;;— j- /' rf^sin^sinf — y-sinXsin^h

o

welche Formel ich früher schon (Pogg. Ann. CX, 492) aus den
Schwerd'schen abgeleitet und näher untersucht habe.

Es ist zu -bemerken, dass der Halbmesser der dunkeln (lesp.

4S8 Baealoglo: Neue Se$itmmungiweite deB

hellen) Rioge, welche man durch eitae kreisförmige Oefbnn^ sieht,
dem reciproken Werthe -g des Halbmessers der letzteren propor-
tional ist; fSr eine zweite Oeffhung vom Radii^s Ri sind jene

l
Ringe proportional dem Werthe tt-« Der äussere und innere Ra-
dius der durch eine ringförmige Oeffnung gesehenen Ringe ver-
halten sich demnach zu einander wie JR^ : R, und die Dimensionen
dieser Ringe in Bezug auf Ihren inneren Radius werden repri-

sentirt durch — ^i — > wie es Herschel vermuthet hat.

VIII. Betrachten wir endlieh ein Parabelsegnent. Nehniea
wir wieder an, dass das einfallende Licht normal auf die Oebusg
flillt, und dass diese symmetrisch in Bezug auf die Farabebehse
ist. Aus der Gleichung der Parabel x*=:2py folgt xdae z=,pdjf,
woraus [(5)]:

17)

„ sine p* . /2njc . . . \ /w.i^ . . \

^-- # iw?.j:sinl -y-sin^sinXIcosI y— sin^sinX)»

.♦^slncpsinXo

sin? /** _, /2na: . . \ /im:* . . \

iV = T # dx.xmny -j- sm g> sinX Icos f j— sin % sm X li

^singjsinXo ^

-#1; • ' * I *

welche Formeln sich durch Reihen Integriren- lassen. Ich wU

mich auf den Aequatorialschniu beschränken und die Ersdei-

nung auf diesem zu bestimmen versuchen. Dies wird erreickt,

wenn 9 = 90^ und 2=0^ gesetzt wird, wodurch die zweite dei

Formeln (17) verschwindet, die erste aber sich auf folgende:

sine P*. , /2nx . \

' u = -— # aar.a:sin( — T— sinXl

-^ sin X 0 ^

reducirty welche die Vlbrationsintensität des Lichtes auf den
Aequatorialschnitte ausdrückt. Daraus erhält i^an durch Integra-
tion folgende merkwQrdige Formel:

(18)

l-T^sinAj 1^ -y-sinX
Die dunkeln Stellen werden bestimmt durch die GleicbuDg:

durch Meine OefTmngen gebeugien lichtes. 439

8in A = tang I — r- sin Xi >

woraus erhellet, dass auf dem hier betrachteten Aeqaatorialschnitte
die fifinima dieselbe Sttelle wie die Maxima eines Spaltes einneh-
men^ dessen Breite gleich der Sehne des Parabeisegments sein
wurdew Ist x =^p, d. i. wird das Parabelsegment durch die Sehne
begrenzt, welche durch den Brennpunkt der Parabel geht, so wird :

1 --sin(-~siniC) , .

CL Das Princip, auf welchem die in IL aufgestellten For-
meln (5) beruhen, behält seine Gültigkeit auch fär den Fall, wo
die Begrenzungslinie der Oeffnung, durch welche das Licht ge-
beugt werden soll, keinen geradlinigen Durchmesser bat; man
stusst aber bei Anwendung der entsprechenden Formeln auf Schwie-
rigkeiten, welche man, wegen der Unvollkommenheit der Recb-
Dongsmethoden, im Allgemeinen nicht im Stande ist, zu bewälti-
gen. Man kann nämlich fthr jede gegebene Oeffnung ACBA
(Taf. III. Fig. 6.) den geometrischen Ort ^Gilf der Mitten eines
beliebigen Systems von parallelen Sehnen Bd EF...,, d.i. einen
krummlinigen Durchmesser der Begrenzungscurve BEAFC, mit-
telst der Gleichung dieser letzteren, bestimmen.' Bezeichnen aber
Xiy — j:« die Abscissen der Punkte E, F; y ibra gemeinschaftli-
che Ordinate, rzrsAG und XD die Pelarcoordinaten des krumm-
linigen Durchmessers *^G^» und bemerkt man, dass «=r8in9,
woraus dy =^ sin 6dr-\-r cos dd$, dass ferner ;j=ig) — ft %'==g>' — 6,
e = 90^; so neliüen die Formeln (5) folgende Gestalt an:

M= '

Y (sin <p sin X — sin g>' sin O) o

/ (sin örfr + r cos örfö)

><8in| -r (sin^sm-A — sin 9' sin v) 1

j. (sin[9> — 6jsinX— sin[9/ — 6Jsin<P) L

iV= / (smOdr + rcosede)

Y (sin qpsin X — sin g>' sin <I^) 0

Xsinl T (sing^sinX — sio^'sin <P) 1

Xsinl T (sin[9— ÖJsinX— sin[9) — ö)fiinfl>) h

00 •

29

440 Xamöip: (Jeder die Berechnung des spädrisehen Vierecks

worin ar^ -f^a durch r and 6 cu ersetzeti Ist; auch musa man r
oder ß mittelst der Gleichung des krummlinigen Dorthinessers
eliminiren.

Im Mai 1861.

Ueber die Berechnung des sphäriscben Vierecks im

Kreise ans seinen Seiten*

Vom * '

Herrn Professor Dr. Kamhly

m Brealau.

• #

Herr Professor König schliesst sSine im 34sten Bandt des

Archivs Nr. Ul. enthaltene dankenswerthe Mitthellong über die

Fläche des sphärischen Vierecks mit den Worten : ,, Gewiss giebte»

F f

auch flir tang^ einen Ausdruck^ der für 4=3 0 in die tangi des

Simon Lhuilier Qbergeht; aber wie findet man ihnf lo der
That hat diese Vermuthung auf den ersten Blick viel (ur sick.
und es liegt nahe» die Lhuilier'sche Formel auf das lo eiseo
Kugelkreis einheschriebene sphärische Viereck in derselben Wet»e
zu erweitern, wie die Formel fQr den Flächeninhalt des ekoe*
Dreiecks auf das ebene Viereck ausgedehnt werden kann. Hier'
nach wfirde, wenn man den halben Perimeter eines solchen Ko*
gelvierecks mit s und den Ueberschuss seiaer Winkelsumme fibef
yHKP mit E bezeichnet.

im Krei$e au» »einen Seiten, 441

Man überzeugt sich aber sehr leicht, dass diese Formel nicht
ricbtig ist» da sie fiir die Hälfte der Kngeloberfläche, fBr welche
sie doch aoefa gelten mfisste, £ = 18(K^ statt £ = 360^ ergiebt

Aasserdem stimmt sie» wie nachher geseigt werden soll, auch
nicht so den für den speciellen Fall der Gleichheit der Seiten
leicht zu eotwickeloden Fofroelo. Bemerkenswerth ist hierbei
jedoch» dass aus der erwähnten deichuDg sich Ausdrücke fiSr

E E ^

cos -5 iiq4 ain-5 ergeben, welche unter der Voraussetzung» dass

eine Seite gleich Null wird» io die bekannten Formeln fiir den
sphärischen Excess des Kugeldreieck^ übergehen. Zunächst hat
man nämlich:

, E , 6+c+d— a , a+c+d— 6 . a+6+ii— c . 0+6+c— rf
1— coSft sin 2 sin 3 sin 5 sm

2 OM. ^ «." ^ «M ^ <-... ^

, . E~ b+d^d-a fl+c+d-6 0+6+rf-c ö+A+c— rf
i+cos^ cos T cds j cos 2 cos j

c + rf fl — Äv^ a+6 c — d.

(cos — rt CO* "T"^ (cos— ^^ cos 2 ")

c + rf <i — ö . a + 0 c— «w

(cos — 2^ + cos —2") (cos — g- + cos — ^ )

folglich :

(cos -y- + cos —^) (cos ■— g- +COS -~5p-)

c + rf o— *v/ « + * C'-d^

£j J — (cDS-^^cos-^— )(cos— g— -^cos-^)

^ -(cos— iy^cos-^— )(cos— g— -^cos-^

2"^^"^^ ' c + d . a — 6., o + Ä , c— d.
(cos -|— + cos —2-) (cos -g— + ^®* "T")

c+d fl— 6^, a + Ä c— d.

+ (cos— 2 cos — ^) (cos -"2 <5®» "2~"^

a + Ä a — 6. c + d c— '
cos —5- cos — ^ + cos — ^ cos —2

a-f 6 c+d . fl— 8 c — d
cos— 2~ cos— 2"" + ^^®""^^®®""^

co8«-frcos6+cosc+cosd

^ M, « ^ c d., 0.6. o.a.
4(eos 5 cos g cos g cos 2 + sin 5 »«ntj «05 wn 2^

Endlich ist:

442 Kambly: üeber die Ber^eknung des spädriscken Vierecks

sin 2^ = (1 + cos 2-) tang-J

-., o-fÄ c + d a — b c — d . a— 6 a+6

2 (cos — ä~ cos — s— + cos — o~- cos — ö — r cos -»- c***"^

c — d c + d
+ cos — ^ cos -^i

^^ «4-6 . a— 6., c + rf , c — rf
(cos —5— + cos — 2^) (cos —5 — h cos — ö— )

Vi — «^ « — 6^ * — c^ «—3
tang— ^ tang — 2-tang-^tang-Y-

2(C08 ^-J- + cos -yXcOS -^ +C0S — 2~")

(cos ~2- + cos "Y") ^^^^ "Y' '^ *^* "T"^

s-d
2

taog —^ tang -^- fang -^r ^»g

(cos "2"" + cos -2—) (cos —2— 4 cos -2—)

^ r^ ö ö c~~ d , . a . 6 . c . rf
2 (cos ö cos 5 cos 5 cos ^4- sin ^ sin ^ sin Ä 81 D ä)

Vf — «^ s — Ä^ *^— c^ «— rf
tang -^ tang -y tang -g- tang -^ .

Bripgt man non den Zähler des Bruches in die Wurzel hinein,
welche nach der vorangehenden Entwickelang

. . 64-c4-d— a . a4-c4d— 6 . a+6+rf— c , a+^^-d
4 sin 5 sin i sin 3 sin 3 —

(cos -2— 4- cos —2-) (cos —^ + cos —2" )

ist, so hebt sich der Nenner des Radicandus aaf, unJ der Zii)-
1er wird:

lA • H-c + rf-fl . a4-c + d— 6 . a4-64-d--c . a4-64c-<^
10 sin j sin j sin r sin j

64-c4-rf— ö a+c-^d-b a4-64-d— c a+6+c-J
X cos j cos j cos —^—^ cos T^ —

=sin jj sin 2 «"O"-^ — ^ sin ^ '

also:

im kreise aus seinen Seilen. 443

. £ V gin(i — €i)8in (< — b) sin (f — c) sip (s — d)

®*"2" ä b c d . a . b . c , d ^'

2 (cos 5. cos ö cos 5 cos 5 -f siD Ä sin Ä sm 5 sin ä)

Wahrscheinlich ist nun die Uebereinstimmung der gefundenen
Ausdrücke fCr sin-^, coa n- und tang-j mit den entsprechenden

Formeln Air das Kugeldreieck dem Herrn Prouhet, Räpötiteurli
ri^cole imperiale Polytechnlque, ausreichend erschienen, um
sie für richtig zu halten und ihre Begründung zu verlangen. Das
Januarheft der ehemals Gerono- und Terquem'schen^ jetzt
GeroDo- und Prouhet'schen ^^Mathematischen Annalen'^
enthält nämlich die von P. (Prouhet) gestellte (633ste) question,
jene drei Formeln fiir die aire d'un quadrilatöre sph^rique
inscrit zu entwickeln.

Wanderbarer Weise hat bis jetzt trotz des rühmlichen Eifers,
welcher in Frankreich für die Lösung jener questions rege ist>
noch kein Mitarbeiter des Journals die Richtigkeit der erwähnten
Gleichungen in Zweifel gezogen; auch Herrn Prouhet selbst
scheint dadurch, dass jene Aufgabe bisher ungelOst geblieben ist,
aber die Geltung der Formeln noch kein Bedenken erregt wor-
den zu sein. Dass sie jedoch falsch sind, lässt sich an dem vor-
erwähnten speciellen Beispiele leicht nachweisen.

bt nämlich a = 6 = e = i£, demnach A=: B =z C= D, und
bezeichnet man den sphärischen Radius des umschriebenen (Ecken-)
Kreises mit r, so erhält man aus jedem der gleichschenkligen
Dreiecke, deren Seiten a, r, r sind:

tang^ cos 2^ -f tang^

tangr = -^ **), also secr*= ! — ^ ,

cos rt cos n

andererseits aber aus den Dreiecken, deren Seiten a, a und 2r

E S

sind, da sin 0* = — coa-^ ist, auch:

sinr ^.. . ^ ' A

tangr=: 1 **), also cosr=coSn siUil;

cosn sin A

demnach :

E
*) Ehen so leicht ist die Entwickolang der Formeln für sin- und

Ä E

^ng - aui cot -.

♦♦'

) S. meine Sphäriache Trigonoro., Uebongtanfgab. 16 and 17.

444 Kambly : Vebtr dU Berechnung de» tpMriKken VUreek*

cosg^ +tang2

eo«2 «Dj cosg- +co»g taag,2 sio^ =si,

mithin

. A* \ . A* l

G08ä iCOSö

M'ora«8

. »J Vi -4 VTcöstt . ^ yft0ma
*'"2= 5' ^^«2 = 5~> «10^1= ^^

CO85 ^^^Ö COSs

**"«l^=y^' cos4 = -tang5 und taogr = ;^;jf==

folgt.

Sucht man nun deo sphärischen Excess (c) eines der gieidi'
scbenUigen Dreiecke, welche die Hälfte des Vierecks siod, wir
telst der bekannten Formel für den Coslnos des halben EzcesM«
eines sphärischen Dreiecks:

COS5 cos ^ -f sin 5 sin ^cos C

COS5

so ergiebt sieh ffir den Torliegenden Fall, da £ = i£ ist, Mck
einigen leichten DmfonnoBgen:

E Vcosa , . . £ ^ «• ^
co8^= 5-=slnil, 8injr = tangä » •

JE , «*

008-^:= — co82il=1— 2tang5 .

Zd demeelben Resultate gelangt man unmittelbar, da

E

£=r4il— 360», also cos^=:— cos2il

ist. Eben so folgt:

E 2Vcos«tang| ^ sinj

sin-o^^ — sin24 = ^ und tang-j =

cos 2 ' ~"

Im Widerspruche mit diesen Formeln , welche sich aoch Vir

im Krttse au$ seinen Seiten. 445

derweitig TerificireD lasseo, erhält man aas den Prouhet'scben
GleichoDgen für den Fall a=6=c=:c{:

E cosa , E ^sina* , ^ E ^ n*

ca8^= ^ ^, sin 2"= — ^4 ^ ""* taDgj=tang^ ,

cos 5 -f sioö coss +«5nö

Aasdrücke, welelie, mit den vorher entwickelten zusammenge-
stellt, zn nichtidentischen ^Gleichungen fi^hren. Zugleich geht aas
dem TSltigen Mangel an Analogie zwischen den beiden Formel-
grappen mit ziemlicher Gewissheit hlervor, dass die im Eingange
erwÄnte Verallgvmeinerang nicht mugßch ist

Um die Aofgabe fär das angleichseltige Kagelviereck im Kreise
aofznlosen, bedarf man der beiden Fundamental •Gleichungen

cos a cos 6-f sinasin b cos C = coBCCosd + sint'sini2cos A

and

a b , ^ cd,

cos ö cos Äsm C =: cos 5 cos 5 sin A,

in welchen A den von c und d, C den von a und 6 eingeschlos-
senen Winkel bedeutet, und von denen die erste sich unmittelbar
ergiebt, wenn man die den Winkeln A und C gegenüber liegende
Diagonale (BD) aus beiden Dreiecken darstellt und die Werthe
gletebselzt, während die zweit» divch EBniMiatim von ^^%igr aus
de« üeiden Gleidmngen

.BD .BD

sin —ZT- sin

tangr= ^ 3 and tangr= — ^

oos^cos nsinil ces^eosKsinC

gewonnen wird.

Man erhält, wenn man

l + coaa -f eosi-|-<^osacos6 = (ii, b),
l-l-cosc 4-<^os4-f cosccosd=:(c» d)
und

cosccosc{ — cosa cos 6 = (a, b, c, d)
setzt:

%Ä äsincsinrf (g, 6, c, d){a, k) .

^^ ^'^(e, rf)8wa«sln6«-(a, 6) sine« sin rf»^^®"*

(a,b, c, d)*(fl» 6)— sin a*sin6* [ja, 6, c, rf)-|-cosa-t-cos6— cosc — cosrf]

(c, d)*sina*sin6* — (a, 6)*sinc*sinii* '

also Winkel A und das Uebrige in bekannter Weise.

446 Kambiy: Veö. die Berechnung des spkär. Vierecks im Kreise etc.

Nachschrift.

Breslau, 27. Jani 1863.

Herr PTouhet hat in dem mir vor einigen Tagen zugekom-
menen Mai -Hefte der Noüvelies Annales die oben bemerkten
Formeln als falsch zurückgenommen, indem er in einem ,', Errat am**
als Grund ein Versehen in einem Vorzeichen aogiebt, welches sei:
d'autant plus perfide, qu'elle conduisait ä des r^sultats
fort vraisemblables. V^as das (lir ein Fehler sein soll, kann
ich nicht ergrunden; wahrscbeinlicfi verhält sich die Sache so,
wie ich in meinem Artikel vermuthet habe. — ' Hiernach erschoot
nun mein Aufsatz als überflussig, und ich ersuche Sie, wenn Sie
diese Ansicht haben, mir denselben gütigst zurückschicken zu
wollen, da ich kein Brouillon von ihm besitze. Freilich kSnote
für deutsche Mathematiker, welche das Gerono'sche Joumal
nicht lesen, es immer noch wünschenswerth sein, zu erfahren,
wie sich die von Herrn Professor Kunig angeregte Frage erle-
dige. Sollten Sie aus diesem Grunde Sich noch för die Aufnahme
entscheiden, so bitte ich nur in einer Biemerkung hinzuzufügen,
dass der Artikel Ihnen (doch mindestens 14 Tage) vor Veröffent-
lichung des Mai -Heftes zugekommen ist.

Wenige Tage vor Empfang des Ter quem 'sehen Joumais
wurde mir auch der 39ste Band Ihres Archivs wieder zuQckg^e-
ben, in welchem ich Ihre interessante Mittheilung aus P. Ser-
ret's Geometrie fand. Nunmehr ist es mir ganz unbegreiflfdi,
wie Prouhet seine Formeln aufstellen konnte, da beide von Ser-
ret angegebene Formeln, von denen die zweite übrigens sehr leicbt
aus der ersten folgt, meine Behauptung bestätigen und — auch
mit Begehung eines Fehlers im Vorzeichen — nicht zu den Prou-
het'sehen Formeln führen.

Schliesslich bleibt immer noch die Frage, ob die Formel för
sin jC sich ohne stereographische Projection aus den am Schlüsse
meiner Abhandlung mitgetheilten Formeln werde ableiten lassen *).

L. Kambly.

. *) Ich habe ea mos, aut Toratehendeni Briefe de« Herrn Profener
Kambly von selbtt ercichtlichen Gründen für nweckmäMig gebaltes,
den mir eingesandten Aufsatz doch noch aufzunehmen mit der vorstehet-
den Nachschrift. Der Herftiisgeber.

JuMfkamn: Peter eMge Stgentckaften tolcktr Tetraeder, tte. 447

XXTII.

Ueber einige Eigenscliafteii solclier Tetraeder, deren
sechs Kanten eine Rngel berühren. (Tangenten-
Tetraeder).

Tun

Herrn Doctor Gu$iav Junghann

in Gotha.

ImXXXIV. Bande S. 370. dieses „Archivs" habe ich
den Gedanken ausgesprochen, dass sich neben die ebene und
sphSrisebe Trigonometrie wohl eine dritte Disciplin hinstellen
liesse, fvelche die dreiseitige Eclce (eine der ffinf Grundfor-
men rSaniKcber Ausdehnung: Linie» FMche» KOrper, Winkel, Ecke)
nir den algebraischen Ausdruck stereometrischer Gesetze
als selbständiges Rechnungselement mit den Qbrigen Grundfor-
men in Verbindung brScbte, und zwar vermittels gewisser Ecken -
functionen, analog den Winkelfunctionen Sinus, Tangens u. s. w.,
durch welche die Trigonometrie die Winkel als Rechnungsele-
roent in den algebrabchen Ausdruck planimetri scher Gesetze
eingef&brt. Diesen Gedanken habe ich seitdem ausgeffibrt in ei-
nem Bache, welches unter dem Titel „Tetraedrometrie'%
erster Theil: „die Goniometrie dreier Dimensionen" 1862,
zweiter Theil: „die Eckenfunctionen in Verbindung mit
Längen-, Flächen und Korpergrfissen'' 1863. Bei E. F.
Thienemann in Gotha erschienen ist Den ersten Theil hat
Herr Professor Scherk die Güte gehabt im „Literarischen
Bericht Nr.CLV. des Archivs von 1862, Band XXXIX.
freundlichst zu empfehlen. — Jener Grundgedanke hat sich bei
der Bearbeitung . in überraschend höherem Gerade fruchtbar er-

Theil XL. 30

448 Jnnphann: lieber einige Eigemehußm ioieker Teiraeder,

wiesen» als ich im Jabre 1860 ahnte, und Ich glaobe mit dem
genannten Bnche dargethan zu haben ^ dass die Tetraedrometrie
für die Stereometrie eine eben sft' wesentliche und nothweodige
Ergänzung ist, wie die Trigonometrie Air die Planimetrie.

Bei diesen Untersuchungen boten sich einige meines Wissens
noch nicht bemerkte Eigenschaften der in der Ueberschrift be-
zeichneten Tetraeder dar, welche ich zwar auf tetraedrometriscben
Wege gefunden, aber nicht in das Buch aufgenommen habe, theiU
weil dasselbe überhaupt nicht die Aufgabe hat, sich mit besoB-
deren Arten des Tetraeders zu beschäftigen, sondern allgemein
gültige Formeln entwickelt« theils weil diese Eigenschaften sicli
noch einfacher ohne Tetraedrometrie entwickeln lassen. Diese
mitzutheilen ist der Zweck des folgenden Aofsatzes.

§ 1-

Es seien die Seiten des Dreiecks ABC (Taf. III. Pig. 8.):

ßC=t, AC=:m, AB^n

und drei von den Eckpunkten A, B, C ausgehende, im Pooicte
O zusammentreffende Gerade:

AO=:u, BO = p, CO — q\

so dass / und u, m und p^ n und q Gegenkanten des Tetm*
ders OABC sind, welches mit S bezeichnet werde. Ferner wer
den bezeichnet die Dreiecke:

ABC^Ao* OBC^Ai, OACs^A^' Oilī^,.

Von «einen Punkte K Im Inneren des S seien auf diese Dieiecke
die Mof malen KD^, KD^, KD^y KD^ gefäUl, und von denselben
Punkte auf die sechs Kanten i, m, n, 4«, p, q die Nornales
KL^ KM, KJy, KU, KP, KQ. -- Die FIficbenwtnkel der Ecke
O .beissen:

A^A^=za, A^J^zsß, AiA^tizy

und die Flächen winkel am Dreieck Aq\

2^0^! = «', AQA^ = ß', 4oA^=r'f

so dass a und te*, ß und ß', y u»l f einamdet' gegenüber Hegeode
FMchenwhikel sind.

§•2.
,AIb Aekannt deif vonras^etst werden, dass es nkbt (fif

Her^t. McA« äMUm Hm Ku^ei berufnem. 4#^

jedes Tetrtedfr efiM Kugel gieM» w#lehe aHe Kail«^ berfihrt,
wie 68 für jedes ^ine upaschrielieDe upd eine (dep ITjScheii) ein-
geschriebene giebt. Vielmebr ist deren Muglicbkeit an gewisse
Eig^nscbf^ften des Tetraeders g^undi^p. Ven diesen b%t C^^ile
im ersten Bande der ^»Sammlung matbemaUß^bcMr Anf^ä^Tie
und Bemerkongen" Berlin 1821 S. 118. die eine bemerkt:

Im Tangenten-Tetraeder sind die drei Summen je
zweier Gegenkanten einander gleich,

welehe leicht zn beweisen ist:

Ist in Taf. III. Fig. 8. K das Centram der Ki|gel, welche die
Kanten Aes ü in L, My N, ü, P, Q berührt (so dass KL
= i?Jlf=..,.=3Ar), so ist, weil die von einem Pankte an eine
Kugel gezogenen Tangenten gleiche Länge haben:

BL = BP=^BN=zb,
CL = CM:=::CQ:=e;

worin o, a, b, c die för diese Längen gewählten Bezeichnungen
sind. Demnach ist:

o-ffr = j9, a-i-czsitn,} (1>

lind Ae erwähnte ()igs«6ehaft Mgt gas« einAich daraus, dass

(• + a) + (6 + c)«(a-^«> + (e + e)idCi^+c) + (a+6)

d. h.:

u+l == p + m = y + n. (2)

Grelle leitet diesen Satz ab aus den durch die Kanten aus-
geMtehten WeKhen von o, ß,b. c. Diese nämlUAi sind zegleidt

TMge«ten an den Kreisen, weldM die Duikibsf hmtte der ' FMthien
^o> A* ^y ^8 ni'>t <ler Kugel K darsCeH«R> i^w^n Mlttelpankte
Dq^ Dx» ^« ^1 ^^^^r "^4 vFQJche j^nen Prei^cl^en einjge^clii^ie-
befi sindl. Na^h bekannten pUnimetriscl^n Betrachtungen ergjiebt
sich daraus:

(3)
o = K— ^+f + ?) — i{v—m + g) = i{u+p—n),
a = 4{_/ + m+n) =lK« + m-») = ««-jH^«»,

30*

450 Junghann: Veber tMgt EigemchafUn iolcker Tetraeder,
e = W+ m-n) = Hl-r-p -hf) =* 4(— « + »» + fl') ;

%
'I

aus deren jeden zwei Werthen fflr o oder a oder 6 oder e der
obige Lehrsatz folgt.

Ausserdem ergeben sieb darans noch die folgenden GleichmigeD:

(4)
o-'a:sp — it = q — m, b — c = n — iiisrj»—^,
o-^bi^q — / = ti — n, a — c = n — / ssu— 9,
o — c ssp-^l =tt— m; a — 6 = m-^l^ u — p;

d. h. die Differenz zweier Abschnitte einer Kante ist
gleich der Differenz der daranstossenden Seiten jedes
derDreiecke» welche in jener Kante znsaipmenstosseB.

Ans (1) folgt weiter:

ul=iob + oc+ab+ac, ^

pm^ oa+oe+iA+bc,
gnsssoa-t-ob-i-ae+be;
woraus sich ergiebt:

,— ti/+/wii+^ = 2(oa+6c), \

ul-^pm + qnss2(ob+ac),} (5)

ul+pm — qns=2(oc+€A); '
nnd daraus wieder:

ul+pm+qn=z2(oa + ob + oc+bc+ac+€Ji), (Ö)

d« h. die Summe der Rechtecke je zweier Gegenkanteo
ist gleich der doppelten Summe der Rechtecke je zweier
Abschnitte einer Kante.

Nach einem bekannten planimetrischen Satze besteht fSr den
Inhalt Jq eines ebenen Dreiecks» dessen Seiten l, m^ n sind,
die Gleichung:

16V;=(/ + m + ii)(— /+m + ii)(l-iii + ii)(l+m-n),
also ist nach (3):

deren secMs Kanten eine Kugel berühren. 451

(7)

Uoter ,» Aussenraum einen Tetraeders'' Teratehe ich den
oDToUetiodig begrenzten Raum» den eine Tetiaederfläche mit den
über sie hinausgeffihrteD Erweitemogen der drei anderen beetimmt
Die drei Ecken eoiches Ranmee heissen: „Anaeen ecken''.

Es kann nnn ein Tetraeder auch in dem Sinne Tangenten-
Tetraeder sein^ dasa seine Kanten eine Kngei berfihren, deren
Centnun In einem der Tier Aussenrlnitfe Hegt Wir wollen ein
solches ein Manschliessendes Tangenten -Tetraeder" nennen
kn Gegensatz zn dem bis jetzt betrachteten y^umschliesseaden";
Das Dreieck» in dessen Anssenraume das Centnun der Kugel
liegt) helsse „Anschlnssdreieck".

für ein anschliessendes Tangenten -Tetraeder erleiden nun
die Gleichungen 1)— 7) bestimmte Abänderungen«

kt etwa A^ dass Anschlussdreieck, so ist:

o— a = tf, 6+c = /, \

o^b=Pf a+c=imA (1*)

o-^c = 9; a-|-6=:ft;/
also ist:

^

l — ti=sm— /is=n— y=— o + a + 6+c. (2*)

Im anschliessenden Tangenten-Tetraeder sind die
4rel Differenzen der Seiten des Anschlussdreiecks
und ihrer Gegenkanten einander gleich.

Kann ein Tetraeder ein umschliessendes und anschliessendes
Tangenten -Tetraeder zugleich sein?

Wenn dies stattfinden soll, so muss zugleich sein :

i + u = m + p = n + g,

l^usz m—p = n — g;

also auch Issmzsn und ti = p = 9, also:

452 Jungäann: üeber eiMiffe BiQetueMaften MOicker Tetraeder,

Zwei voD den Kant^B l»erah*rte Kugeln k5Bnen nnr
für ein glei&hseh'enkliges Tetraeder auf gleich-
seitiger Basis stattfinden.

Ferner ist: ^^

(3*)

« = *{-/+;» + tf) = 4(-» + »«+») = i(—«+p + «).

(4*)

0 + 5 ti± 9 + f i=t tf + n, ö^— c:^n — f = flr — »,

Ferner aus (1*):

^ =: oa-|-oc— a6 — 6c,
qn = oa-|-o6 — ac — 6c;

alse :

-— ttZ+^m+^n = 2(oa — 6c),

ul—pm-^gn = 2(o6— ac), } (5*)

ul-tpm — gn = 2(oc— a6) ;

und daraus:

ul+pm + jn = 2(oa + o6 + oc — 6c — ac-^äb). (6*)

Im anscJiUessenden Tangenten.*Tetraeder ist die
Summe der Rechtecke je zweier Gegenkaaten gleitk
der doppelten Summe der Rechtecke je zweier Ab-
schnitte derjenigen Kanten, welche die Kugel in ih-
ren Verlängerungen berfibren weniger der doppeltes
Summe der Rechtecke je zweier Abschnitte der Sei-
ten des Anscblussdreiecks.

Endlich ist:

deren sechs Ironien eine Kugel öerühren. 453

^(^^ (a + 6 -f c)abc»
z/j* =: (o — 6 — e)oiCf
A^ = (o — a — c)oac^
A^ = (o-^a — b)oab .

'4

(7*)

§. 4.

Die reGbtwiokeligeD Dreiecke KÜO, KPO, KQO sind we*
gen der gemeinschaßlicheo Hypotenuse KO and der gleichen Ka-
theten Kü=KPisKQ congnieot, also ist:

^KOü^j^KOP^^KOQ=:qo

der Wiakel, welchen die Axa des der Ecke O iinMchriebeft9P
Kegels mit dessen Seite niaebt.

Beschreiben wir am O mit einem beliebigen Radios Oa eine
Kagelfläche, auf welcher sich das der Ecke O entsprechende
sphärische Dreieck aßy abzeichnet, und wird dieses von der Axe
OK in d geschnitten, so ist:

4a B3 d/3 s= dy SS ^,,

also auch:

^^ßyz:i^dyßt ^day=^dya, j^daß = ^dßa;

also:

^ft'+dyßsjS + y— d/J«— «y« = /3 + y— d«/3 — d«y = /3 + y — «,

also: ' •

day = 9y€iz=: 4(a— /3 + y),

Nqb ist:

ößy = ^KPD^ ^\ßa'=z J(c^ + ^- /)

in der Efke fi. Dsr Winkel liPI\ ist aber wieder gleich den
Winkeln KLDi nnd KQDi wegen der Congraens der eben so

*) UelMf dea geometrischen Zaeammenhang der einem sphärischen
Dreieck ond seinen Nebendreieckon nro- und eingeschriebenen Kr«i«<^
aiit den Winkel- und Seitensummcn s. meine ,,Tetriiedremetrie''
TM. 1. §. 74.

452 Junghafin: üeber einige ßigetuekaflen seiciter Tetraeder,

Zwei voD den Kant^B lierütirte Kngeln kSoneo nur
für ein gleici.haiih'eBkliges Tetraeder aaf gleich-
seitiger Basiis. stattfinden.

Ferner ist: ^ ^^

(3*)
o = i(l + p + q)=t(.u + m + g) = i(u+p + n).

« = Ä(-'+l» + «) = 4(-» + »»+») = i(-»+p+«).

6 st K/-«+ «) =s W-p + 9) 5= K«— p + n) ,

'fi « W+w-«)=4(/+y-ff)=?4(i»+ji.-«)j

(4*)
Ferner aus (1*):

Ul = o6 + OC — flÄ — oc,

' f

gn = oa-f-oA — oc — 6c;

aUe :

•^ul+pm + gn = 2(oa — 6c),

ul-^pm + yn = 2(o6— ac), } (5*)

ul-i-pm — gn = 2(oc— a6);

und daraus:

ul+ pm + jn =: 2(oa + o6 + oc— 6c --ac-^ ab), (6*)

Im anschliessenden Tangenten/>Tetraeder ist die
Summe der Rechtecice je zweier Gegenkaaten gleitb
der doppelten Summe der Rechtecke je zweier Ab-
schnitte derjenigen Kanten, welche die Kugel in ih-
ren Verlängerungen herfihren weniger der doppelten
Summe der Rechtecke je zweier Abschnitte der Sei-
ten des Anschlussdreiecks.

Endlich ist:

deren sechs Kamen eine Engel berühren. 453

^(^^ (a + * -f c)abc »
A^ = (o — a — &ioac^

'4

(7*)

§. 4.

Uie recbtwiokeligen Dreiecke KÜO, KPO, KQO sind we-
geo der gemeinschaßlicheo Hypotenuse KO and der gleichen Ka«
theten Kü=:KPjsKQ congmeot, also ist:

,i:KOÜ^j^KOP=J^KOQ=:Qo

der Wiakel» welchen die Axa des der Ecke O iinMchrlebeeen
Keigels mit dessen Seite niaebt.

Beschreiben wir am O mit einem beliebigen Radius Oa eine
Kugeifliche, auf welcher sich das der Ecke O entsprechende
sphärische Dreieck aßy abzeichnet, und wird dieses von der Axe
OK In d geschnitten» so ist:

also auch:

Z% = Z^/J, Zdcy=Zdya, ^daß=^^dßa;
also:
9ßr+dYßz=:ß-ty^dßa—iftt:=iß-tf'-daß'-day = ß-i-y''a,

also: * •

d«y = *y« =: 4(«— /J + y),
««^ = d/J« = i(« + ^^y)*).

NuB Ist:

dßy = ^*:Pfli = dl/3«' = 4(0' + ß- /)

in der Efke ^. Der Winkel UPD^ Ist aber wieder gleich den
Winkeln KLDf und KQDi wegen der Congmena der eben so

*) lieber dea geometrischen SataiamenlMUig iler eioeai sphiriscbe«
Dreieck und eeioen Nebesdreleckon nn- uail eiogeAchriebenea Krel***
alt des Winkel- und Seiteii«umiiieo s. tncine ,,Tetrsedrttnietrie*'
TM. I. 5. 74.

1

454 Junghann: üeöer einige Eigenschaften $0ieMer Teiraeder,

beseichiieteD rechtwinkligen Dreiecke. Dieee Betrachtmig ergkht
10 Follständiger ZosammenstellaDg :

(8)
DoLK = DoMK = Z>oiVÄ=i(-a+/S'+y')=4{a«-/S+y')=4(«'-|^'-y),

I\LK =DiPK = AQÄ=K-«+l»+y)=4(«'-^'+y)=4(«'+/»-/).

D^ÜK = D^MK = 2>,QÄ=4{-«'+^+y)=l(a-^+y)=J(«+/»'.-f').

Aus jeder dieser ^ieichungen geht bervor:

* + c' = ^ + /J'=y+/, (9)

d.h.: In jedem nmschliessenden Taagenten-Tetraeder
sind die drei Snmmen je zweier gegenflberliegesden
FISchenwinkel einander gleich.

§. 5.

Ist das TangeDteii- Tetraeder ein anscblieseendea » und ist
etwa ^0 ^^ Anschlnssdreieck, so sind KA, KB, KC die Axeo
der Kegel» welche den Aussenecken an J^ amschrieben sind.
Diese Ecken haben die Winkel:

Nebenecke von Äi «, »— "/^'» » — /;
„ Bi n-^a!, ß, »— /;
C: n — Ä*, n — ß', y.

Dagegen ist KO, wie vorher« die Axe des der E^ke O umschrie-
benen Kegels» welche die Winkel a, ß, y hat. — Daraas er-
giebt sich:

(8*)

DoLK = DoMK = D^NK

s= »-«« + /»• + /) = »-i(«' + jS + yO=«—4(a' + /J'+y),

DiLK=:DiPK=zDiQK

= i(.-«+ß+r) = ¥.-«"+ ß+7')=¥.-<^+ß'+Y)'

DtüK = DtSIK = Z>,QÄ = 4(«-/J+y)= J(«-jJ'+y)=4(«'-/J'+y),
DtVK= D,PK = /^A/C = l(a+/J-y) =i(a+^'-/)=4(«'+^-yO
Ans jeder dieser Gieicbuogen geht hervor:

9»

deren $eck$ Kanten eine Ku§ei äerüMren. 455

. b.: Im anschliesseDdeo Tangenten^Tetcaoder sind die
rei Differenzen je eines am Anschlassdreiecic liegen-
en Flächenwinkels und seines Gegenwinkels einan»
er gleich«

Schreiben wir die leiste Gleichung in dieser Form:

0 spricht sie den Lehrsatz ans:

Im anschliessenden Tangenten*Tetraeder sind
die drei Summen der am Anschlussdreieck lie-
genden Aussenwinkel und ihrer inneren Gegen-
winkel einander gleich.

>der auch:

Im Aussenranme des Anschlnssdreieeks sind die
drei Summen je zweier gegenflberliegenden Fli-
chenwinkel einander gleich.

§. 6.
Ich bezeichne mit

die halben Winkelsummen der Tier Tetraedereeken bei O, A,
B, C, und mit

die halben sphärischen Ezcesse derselben Ecken.

Jede dieser Ecken hat drei Nebenecken» welche je durch
die Verlängerung der Kante von a oder «', ß oder ß', y oder /
(fiber den Scheitelpunkt hinaus) gebildet werden, und fQr jede
^ke In dieser Folge die erste, zweite, dritte Nebenecke heisse.
Die dazu gdiSrigen c und i sollen In derselben Folge durch ein-
ii^^e» zweimalige» dreimalige Accentuirung unterschieden werden,
•0 diss die unteren Indiens 0, 1, 2, 3 angeben» an welchem der
I^kte O, A, B, C sich die zugehdrige Ecke befindet, und die
oberen Accente ', ^ ^, welche von den drei Nebenecken der
fetraederecke gemeint ist*).

0 Ueber die Besiehnngen swifchen den o und den e eloer Etke
^d Nebeieckea, •, „Tetraedrometrie*' I. p.e.

456 Junghann: Veb^r einige Eigeuschafiem eoUker Tetraeder,
Es' ist dennach:

Diese drei Winkel sind aber nach (8) einander gleich, al«o ui
die Winkel:

Da dies nun auch fSr dte Winkel der drei anderen Aussenriiw
gilt, so haben wir:

(10)

«l'

=:

«s"

=:

- NT
*8 *

*o'

=

»."'

:^

h".

^"

SS

•i'"

=3

h'.

*0*

SS

Si*

rs

V;

d.h.: Am umschliessendeo Tangenten-Tetraeder bibei
die je drei Anssenecken eines Aussenraumes gleieke
sphärische Excesse» also auch gleiche Eckenriane

j. 7.
Ist das Tangenten -Tetraeder anschliessend mit der PIkbt

(10*)
01 =0^ =: 0g also auch £ = e« ^= % >

<»0— « == <»«—«' = <^» — «' . >• ». 6o' = V = V»

0,,-/J = 04-^'=0^-/J', „ ,. eo'' = £/=%',

Di^ erfte ditser Cleichnnj^eJi sagt aus;

Im anschliessenden Tangenten-Tetraeder hakt«
die drei an der Anschtnssebene liegenden (fioe-
ren) Teiraedereck^en gleiche s^hfiriseheBxeeffi«>
' also auch gleiche Beken-rfinme.

Die zweite Gleichung (10*) enthält die sphärischen EzceiM
derjenii^n Awsenecken, wekhe durch die Veriängerong ^^
Kante AO über O, und der Kante BC über B and aber C^

deren secMs Manien eine ättpei berühren. 457

Md^ mtiüm. Stau 4m «isteD Avetht dr#i fittken iAmm wir
aicA ilire 8chdld«ck« Adma», vrelchA die VerMüigerogf ¥on
BO uDd CO über Omft der Kaoti O^rl Uideiii Faeeen im bi
ihelidwr Weiee weh lUe drMte.iiiid TtMe der Gleicboegw (10*)
ai^ fO Uheii wir dea Lebreatc:

Am anschliesseoden TangeDten-Tetraeder sind
jede drei Eclcen inhaltagleich, welche durch die
beideraeitige Terl&Dgörung etner Seite des An*
schloaadreiecka iid4 diuicb die (einaeitigen) Ver-
längerungen der beiden anderen Seiten des zuge-
gehörige« Seitendreieeks fiber den Gegenpunkt
des An^chlussdreieoks hiaaua am Tetraeder ge-
bildet werden.

'§. 8.

Eine h5chst einfache Gleichung besteht zwischen dem Inhalt
% des Tangenten - Tetraeders, dem Radius k der ron den Kanten

berflhrten Kugel aatl dea Tier tümlenabschnitten o, a, b, c.

•

Aus dem ebenen Viereck KDqLDi , welches bei Dq und Di
rechte Winkel und bei L den Winkd «' hat, und dessen Diage-
nale KL = k ist haben wir nach bekaiKiten planimetrischen Sätzen
die GleichuDg:

VoD dieser Gleiehlin(g ausgehend hüt Crell^ a. a. fi p^ 111—125
die erwähnte Gleichung gefunden. Seine Herleitung ist aber sehr
weitschweifig und schwerfUlig , und zwar dadurch, dass er hart-
nickig mit den Kanten, des Tetraedecs rechnet, «tatt auch andere
Be8timmungsgr5ssen des Tetraeders an benutzen. Der folgende
Weg ist bedeutend kürzer.

LDq und LDx sind die Radien der dem .^o '■o^l dem Ji ein-
gesebriebenen Kreise, also ist bekanntlicb (rerfl« Formel (1)):

2^1 Ji 4|_

Fär die Ersetzung ven sina' und 0080" bieten steh Anedffleke
aus folgender Betrachtung dar.

458 Jungkann: (Jeder einige EigenscAaflen soicMer Teirmeda,

Errichtet man (Taf. III. Fig. 9) «of eioem Seitaodraiaek i
Tetraeders, etwa aof A^. ein dreiaMtigea Prisma OBCABK
dessen eine Kante mit einer der drei Prismenkaoten, etwa m,i
sammenftllt, so Ist das dieser Kante gegenfiberfllierli^midU 1
tenparallelogramm gebildet ans Jener Kante u and ilirer Gegj
kante l, welche anter ihrem Winkel (ul) sasammeDgesalst mi
also:

BCB'a:=ulBm(ul);
die beiden anderen Seitenflftchen sind:

Als bekannt dflrfen nun die beiden Sitae vom Prisma and m
Tetraeder Toraasgesetzt werden*):

iiVsin«(ti/) = iA^-k^^^^^-^SA^^cwu,

SC.tt = 2^t^gsin«;

wonach wir dann anch haben:

«»•« = 241:5; '

sia tf ^

Diese Warthe, in die obige deiehnng für k gesetzt, ergehe« :

4^,«/^« -(.+!)« + (0+0» (o+0(«+0

Setzt man hierin nach j[7):

AQ^=t{a-\^fyAc, Ai^=i(o + t)ob€;
so erhält man nach ganz einfachen Redactionen:

*

Nun ist nach Carnot's Entdeckung (vergL meine „Tetraedro
rnetrle'« II. Nr. 304) flir jedes Tetraeder:

*) Vergl. C. F. A. Jacobi'f Bearbeitnog tos J. H. vat8vii>
den'« „Elem. d. Geom.'< Jena 1834 p.446. (Nr.90&.) osd p.ttft
(Nr. 1006.) oder: C. A. Bretechneider „Lehrgebftade d. mieden
Oeom.*« Jena 1844 $.877.

deren eecks Manien eine Kugel berühren, 459

co«(iiO==*^ ^

daher für eio vmiieblieMeiides Tangenteo- Tetraeder (weil
k® p+« = 9+ n, alao |if + Jii* — ^—ii* = (p +■•)•- Spm

eoa(ic/)=-fyy^, .(11)

darana

8iD«(tiO = (1 -hcoe(tc/))(l-coa (tcO)

— üT-^A — sr^/

[» nach (5):

iff«i>ahi>(tf/) = (o6-|-ae)(oe + oA). (12)

it man dies In die letate Gielehong iBr k und C, so er-
bt eine sehr- einfache Rednction» bei welcher /=6-|-czu
Ken iat:

\%k 9 oübe. (13)

Fir ein anschlieaaendea Tangenten «Tetraeder, dese#n An-
ihiiadreieck ^q ^* ^'^ ^^^ ^^^ '®' Gleichong anasogehen:

A^ain^o' s £S^HXSi«-f2£^.£ÄeM«' >

d darin

«•Ueoy 80 wie in der ferneren Entwickeinng statt aller ans
i. benotaten Nanunem die entsprechenden besternten ana §. 2.
oehmeo. Oiea (Bbrt dann anf dieselbe Gleichnng (13).

460 Fischer: ßin peomeMscAer Sat%.

I

Eün gottmetrificher Satz.

Von

Herrn Gymnasial -Oberlehrer fP. Fischer

S^tt* Beschreibt mjia fiber den Seiten eines Drei
ecks gleichseitige Dreiecke nnd verbindet die Mittel
punkte derselben^ so schfiessen die TerbFndungsIfniei
ein gleicbseitig'^s Dreieck ein.

Es hat dieser Satz Gflltigkert» sctvrQlil wenn die glelebseitigff
Dreiecke nach aussen bin, als auch, wenn dieselben nach lanfi
Aber den Seiten eines Dreiecks beschrieben sind. Betrachten «^
zunächst den ersten Fall.

Bezeichnet ABC ein beliebiges Dreieck^ über dessen Seites
glei^aeitige Dreieebe beeefcriebeo «tnd» und benennt mm ä»
Mittelpunkt des über der Seite BC bescbrtehcMm gleicliseilig»
Dreiecks mit «, «y^en 90 den Mittelpuskt des Ober der S«Hs AC
beschriebenen gleichseitigen Dreiecks mit ß und den des gletcb-
settigen Dreiecks Über AB mit y: so ist» wenn man die Lini^
aßj ay und ßy zieht » Dreieck aßy ein gleichseitiges. Fällt hud
etwa von dem Punkte C aus auf aß die Senkrechte CD, wekft«
innerhalb des Dreiecks ABC fallen muge, und verlängert die-
selbe um sich selbst bis zum Punkte E, so ist, wenn man noc4
C mit ce und £ mit a verbindet:

j\CDa^^EDa;

eben so, wenn man C und E mit ß verbindet.

Fi$eAer: Sin peopiesriscker 8ae%. 40]

Eis wird ako ein am den Punkt a mit dem Radius aC be-
hriebener Kreis durch die Punkte C, E, B, und ein um den
mkt ß mit dem Radius ßC bescliriebeaer Kreis durch die Punkte
, E,A g^en, da ja aC=aE:=zuB md ßC^ßE^ßA ist.
erbindet man daher noch den Punkt E mit B und A, so ist so-

ohl ^CEB, als jiLCEA=z^, und daher auch ^AEB = ^f

id ein enh f mit yB als Radiu$ besclirieben^r Kreis frird auch
arcb den Punkt E gehen, welches der Durchscbnittspunkt für
ie um «Be gleichseitigen Dreiecke beseliriebesen Kreise Ist. Da
an CEJiaß ist, so muss auch, wie leicht ersichtlich» EB Jiay
nd AE ± ßy sein. £s sind also die Schenkel der Winkel CEB,
^EA, AEB senkrecht zu den Seiten des Dreiecks aßy und da-

er die Wiakei desselben elnseln gleich ^^ dus beisst ^ußy ist

leichseitig.

t
Wir nahmen vorhin an, dass die von der Ecke C des Drei-

icks ABC auf ttß gezogene Senkrechte innerhatb des Dreiecks

^BC falle; fällt dieselbe nun nicht innerhalb, sondern ausser'»

laib dieses Dreiecks, was der Fall ist, wenn das Dreieck ABC

Dinen stumpfea Winkel enthalt, der zugleich > -3- i«t, so ist, wenn
lie Bezeichnungen wie frfiher bleiben und C diesen Winkel be-
zeichnet: ^AEB—"^, ^CEB=^ und ZC£J=|, wie sich

leicht ergibt. Ferner ist dann ^ CEB = ^ ßtiy^ da ihre Sehen
liel senkrecht auf einander stehen, und eben so ^CEA^^nßy.
Hieraus folgt dami, dass 1^/ glelcliseitig «st

Liegt mdlich der Scheitel deil stuspfeh Winkels C in der

Seite c|J, was eintrifft, wenn der Winkel C=:-^ Ist, so ergibt
sich der Beweis ohne weitere Construction.

im zweiten UanptCalle, wenn die gleichseitigen Dreiecke nach
innen -fiber den Seiten des gegebenen Dreiecks beschrieben sind,
bleibt der Beweis dem Wesen nach derselbe wie Torhin.

Ganz einfaeh ergibt sich der trigonometrisehe Beweis ffir die-
sen Satz. Bezeidnien a, 6, c die den Ecken A, B, C gegenGber-
liegenden Seiten des Dreiecks ABC und verbindet man noch den
Punkt A mit ß und y und C mit a und ß, so ist :

«/S« = aC* + /JC« — 2aC. ßC.cosßCa

1

462 Fi$cker: Ein gemnetrUcher Sat%.

und

ß^ = ßjfl + yJ^^ißA.yA.cosßAf;
oder

und •

Soll noD aßssßy sein, so masa die Gleichung stattfinden:

= (2:^^)' + i^i^y-^i^^^^^^^'

oder

a«-2a6.cos(C-|-60) = c*--26c.cos(il -^60);

oder

n*— 2a6.co8 C.CO86O 4-2a68in C.sin60

=:c*-"26c.co8^.cos604-26c6inil.8io60;

oder, da c* = a*-|-6* — 2a6.co8C ist:

a*— 2a6G08 Cco8604-2a68io C.8in60
= n* + 6* — 2a6 cos C— 26cco8 il . G08 60 -f 26r sin il .8in60.

Wenn man reduzirt nnd ffir cos60s=:i setzt, ergibt sieh:

2asinC.sin60=6 — a.cosC«— ccosil-f 2c.sinil.sln60,

, , c.sinil

oder, da asz--T-yri

sm Cx

^ . ^ . IM« L c.ainileosC ^ , ^ ...

2c sin il. sin 60=6 rnr?? — — c.cos^ + 2c.sln J.sin

sine

oder

._^ sinii.cosC+cosil.sinC sin(X+C).

sm C sin C

also 6:c = sinA:sinC, woraus die Richtigkeit der Bebanptoig
hervorgeht

r. Baum§ariner: Chemie undGescMchie der fffmmeisJlsörper,4ßS

Cheniie und Geschichte der Himmelskörper

nach der Spectral-ÄDaljae *).
T 0 r t r a g

gehalten in der feierlichen Sitzung der Kaiserlichen Akademie der Wissen-
schaften zn Wien am 80. Hai 1Q6S

Ton

Dr. A. Freib. v. Baumgartner,

V^1r sind beim Studium der Natur meistens auf irdische Vor-
komninisse beschränkt , und nur in wenigen Beziehungen war es
bisher mSglich, Ausserirdisches in den Kreis unserer Forschung
einzubeziehen. Wir gelangen daher auch nur höchst selten zur
Kenntniss von wahrhaft allgemeinen Naturgesetzen, denn was
sich an irdischen Dingen als allgemein darstellt, hat oft im Welt-
ganz'en nur particuRre Giltigkeit. Das einzige, alles Materielle
beherrschende Naturgesetz, das wir kennen, ist das Gesetz der
Gravitation, und dieses ist aus den Bewegungen der Himmels-
körper^ im Vergleiche mit denen schwerer Körper auf der Erde
abstrahirt worden. Es muss daher jeder Fortschritt, welcher
unser Forschen in den weiten Raum des Weltalls hinausträgt und
unsbefilhigt. Irdisches mit Ausserirdischem zu vergleichen, höchst
willkommen sein. Einen solchen Fortschritt verdanken wir dem
Eifer und Talente der gelehrten Heidelberger Professoren Bun-
*«n und Kirch hoff. Diesen gelang es, aus dem Lichte, wel-
ches uns ein Kurper, sei er auch Millionen Meilen entfernt, zu-
sendet, die chemischen Bestandstoffe desselben herauszulesen.

*) Ana dem Almanach der Kaiaerlichen Akademie der
^iiienachaften in Wien. Zwölfter Jahrgang. 1862. mitgetheiit
'00 dem Heranageber.

'llicil XL. 31

464 ff' Banmgartner: Chemie und Gesckichte der HimmeUkSrper

Man hat diese Methode der chemischen Analyse passend mit desii
Namen Spectral- Analyse bezeichnet. Sie kann unbedenklich unter
die wichtigsten Erfindungen, wie sie kanni in einem Jahrbondcrt
einmal vorkommen, gezählt werden. Dararo glaube ich auch kei-
nen Missgriff zu thun, wenn ich die Darstellung des Geistes ii»d
d^r Leistungen dieser Erfindung zum Gegenstände meiner heuti-
gen Ansprache an eine hocbansebniiche Versammlung wähle.

Ich beginne mit der Darstellung und theoretischen Erläute-
rung der neuen analytischen Methode: Lässt ma» in ein verfei-
Stertes Zimmer durch eine kleine Oeffnung am Fensterlade»
directes Sonnenlicht eindringen und fängt C8 auf einer der Oeffnmif^
gegenüber stehenden Wand auf; so sieht man auf letzterer ejaen
lichten Fleck, welcher das Tergr^sserte Bild der Oeffnung dar-
stellt. Wird das Licht durch ein dreiseitiges, s. B. senkrecht
stehendes Prisma geleitet, so erscheint das Bild nicht mehr an der
früheren Stelle, sondern ist in horizontaler Richtung abgelenkt
und hat in der Rkhtnng der Ablenkung eine etwa fänfmal gros-
sere Ausdehnung als früher» während es in verticaler Riehtmig
UDFerändert geblieben ist. Zugleich erscheint dieses Bild nickt
mehr weiss, sondern trägt die Farben des Regenbogeus und zwar
in horizontalem Sinne aufeinanderfolgend. Das am wenigsten ab-
gelenkte Ende des Bildes ist roth, das am meisten abgelenkte
violett; in den Raum zwischen diesen theilen sich orange, gelb,
grün und blau« Dieses ist nun das Farbenbild oder Spec*
tram des Sonnenlichtes. Es liefert den Beweis, dass das vreisse
Licht der Sd^ne aus Strahlen von verschiedener Brecüibnrkeit
bestehe, dass das am wenigsten brechbare roth, das am meisim
breehbare violett erscheine und dass überhaupt, was in sobjecti-
vev Beziehung Farbenverschiedenheit ist, in objeetiver auf einer
Verschiedenheit von Brechbarkeit beruhe. Aber die farbigen
Strahlen , in welche das Sonnenlicht im Spectrum zerlegt erscheint,
sind nicht immer schon einfache Strahlen. So lange die ganze
I^ftche des Sonnenspectrums continuirlich beleuchtet erscheint
vüaA darin eine plötzliche Aenderung in der Lichtstärke gar nicht
bemerkt wird, sind selbst die farbigen Strahlen noch zusammen*
gesetzt. Im Spectrum mit vollkommen homogenem (einfacbem)
Licht erseheinen, wie Fraunhofer zuerst nachgewiesen bat,
unzählige auf der Längenrichtung des Bildes senkrechte Linien,
die dttnkler shid als der übrige Theil des Bildes, einige derseAen
sogar ganz schwarz. Die meisten nehmen sich wie feine dunkle
Fäden aus, andere haben eine bedeutende Dicke. Sie sind inuner
vorhanden, aus welcher Substanz das Prisma besteht oder wel-
chen brechenden Winkel es haben mag, erscheinen immer genatt

nach der Spectrai-Anaiyie, 405

ao demdbeo Stelle des Speetrumii^ doch Dicht an der Grenze
zweiev Farben, oft sogar mitten in derselben Farbe. Fraunho-
Ter bat deren innerhalb der Grenzen des Licbtspectranis 574 ge*
xülilt. Jetzt weiss nan, dass deren nahe an 2Q00 vorhanden sind.

So wie das Sonnenlicht, eben so kann man auch das Licht
jedes anderen leuchtenden Kürpers mittelst eines Prismas analy-
sireo, vorausgesetzt 9 dass es stark genug ist^ um noch in sein^
einfachen Bestandtheilen wahrnehmbar zu sein. Unter den Him«
melskorpern scheinen diejenigen, deren Licht von der Sonm9
staninit, auch init dem Sonnenspectrum übereinstimmende Spec-
t^ee zu geben, selbstleuchtende Körper aber, wie Fixsterne» hierin
eitie namhafte Selbstständigkeit zu behaupten. Am Intereseaote«
sMü sind für unsern Zweck vorerst die Spectra der glöhendep
festen oder tropfbaren Korper und jene der Flamme einer Oel*
'oder Gaslampe oder einer Kerze und der Metallgase. GiSbende
feste und tropfbare Korper geben immer ein continuirliches SpeC'
trum, also ein solches, wo weder ßeleuchtungsmazima, noch
•minima^ weder lichte^ noch dunkle Linien vorkommen. Dieses
geschieht sogar, wenn #in solcher Körper wie immer fein zer-
theilt ist, so lange die Partikelchen nur noch als feste oder tropf-
bare Korper angesehen werden können. So z. B. gibt der h6ll
leuchtende Theil der Flamme einer Oel- oder Leuchtgaslampe eiif
continuirliches Spectrum, weil sich daselbst glühende, ans deni
Brennstoffe ausgeschiedene Kohlentheile befinden and wie com-
pacte Kohle wirken. Glühende Gase hingegen und somit aveh
jener Theil einer Kerzen- oder Lampenflamme, welchem solche
glühende, feste Theilchen nicht beigemengt sind, liefern, wenn
ihr Licht überhaupt die dazu nöthige Stärke hat, ein Spectmm
mit hellen Linien, welchen natürlich die, dem Ort, wohin sie im
Spectrnm fallen, entsprechende Farbe zukommt und die manch-
mal durch dunkle Stellen von einander getrennt sind. Besonders
interessant sind wegen der daselbst vorkommenden lichten Linien
die Spectra glühender Metallgase.

Es gelingt nur bei zur Verflüchtigung geneigten Metallen, solche
Gase durch gewdhnliehe Erhltzungsmittel zu erhalten ; bei stren-
geren Metallen gelangt man nur zum Zwecke, wenn man sie in
einer chemischen Verbindung anwendet, die leicht verflüchtigt
werden kaoe, wie dieses mit vielen Chlorverbindungen der Fall
ist; aber auch die strengsten Metalle lassen sich als glühendes
Gas darstellen, wenn man sie als Drätbe braucht, zwischen deeen
ein starker elektrischer Funke überschlägt. Dieser Funke ist näm-
lich seihst das glühende Metallgas, gebildet dvrch die von den
JDfatbenden bsgeriaaenen glühenden MetaHtheile and vermischt

466 tf. Baumgartner: Chemie und GescAickle der Himmelskörper

mit gilbender Luft. Vielfache Versuche mit deriei Gasen hmb««
gelehrt, dass jedes Metallgas eigene, diesen Stoff cbaraktcffisi
rende lichte Linien an bestimmten Stellen des Spectrums gebe.
aus deren Vorkommen man mit voller Bestimmtheit auf die Ü^
gen wart dieses Stoffes in dem Körper, von welchem das L«idi<
stammt, schliessen kann. Diese Linien sind dieselben, das Ale-
tallgas mag unmittelbar von un,viprbundenem Metall oder von einer
Metallverbindung gewonnen sein \^ an einem Gemenge mehrerer
Metalle gibt das Spectruni die jedem Gemengtheil entspreche»-
den lichten Linien. So %. ß. zeigt das Natriumspectrum eine sehr
scharf begrenzte helle Linie im Gelb, es mag dieser Stoff so
Sauerstoff, Chlor, Jod oder Brom, an Borsäure, Pboßphorsipire
u. s. w. gebunden sein. Eine bedeutende Anzahl ähnlicher Linitci
erscheint im Calciumspectruni, darunter eine sehr helle im Gron.
im Lithiumspectrum eine im Roth u. s. f. Aus solchen Linien ist
die Anwesenheit des ihn charakterisirten Stoffes ohne- irgend eine
chemische Operation durch den blossen Anblick des Spectmn»
schon zu erkennen, und es erweiset sich dieses analytische Mit-
tel viel empfindlicher als irgend ein anderes bisher bekannte«.
Es verräth z. B. die Anwesenheit eines Natrumsalzes auch nocb

dann, wenn davon weniger als ^555-^05 ®'"^^ Milligramms wot-

kommt und erst 41 Millionen solcher Theile das Gewicht eine»
Thautropfens haben. In dem kleinen Raum, den das Lichtspec-
trum eines Metalles einnimmt, ist sonach nicht blos die Analys«
dieses Lichtes, sondern auch die des Metalles verzeichnet, ron
dem das Licht kommt.

Es liegt die Versuchung nahe, diese Art der Analyse aach
auf ausserirdische leuchtende Körper, namentlich auf die Sonne
anzuwenden. Hier stösst man aber gleich am Eingange auf eine
bedeutende Schwierigkeit. Während nämlich in dem Spectram
der irdischen Körper lichte, /arbige Linien erscheinen, zeigt un«
das Sonnenspectrum gerade das Gegentheil, nämlich nur dnnkW
oder gar schwarze Linien, und zwar in einer Anzahl, wie wir m
an Spectren irdischer Stoffe nicht gewahr werden. Dem «nier-
müdlichen Eifer und dem Genie der Erfinder der Spectral-Asa-
lyse glückte es jedoch, auch diese Schwierigkeit zu behehct.
Sie wiesen nämlich durch Versuche nach, das Spectmn eiaer
Gasflamme, das seiner Natur nach lichte Linien führt, werde na*
gekehrt, wenn man durch das Gaslicht Strahlen eines Kurpen
von angemessener Leuchtkraft, der für sich ein continuirliciies
Spectrum gibt, gehen lässt -Es ist schon erwähnt worden, da»
das Spectram einer Lithiuroflamme eine helle rothe Linie fährt
Diese liegt an einer Stelle, wohin im Sonnenspectrum eine doni[k

»ati der Spectral-inatyMe. 467

liinie nicht fXllt. Scbfraches Sonnenlicht, durch dies« Flamme gelei-
tet, vermindert die Helliglceit dieser Linie, valles, starkes Sonnen-
licht hin^^en verwandelt sie augenblicklieb in eine schwarze und
kehrt sonach das Litbiumspectrum fSTinlicfa uro. Diese Umkeh-
rung ist aber nicht etwa ein gehe! mniss voller Act der Natur, son-
dem die nothfrendii;e Folge eines von Kirchhorr entdeckten
Nalor^esetzes. Ein Gas, das Lichtstrahlen von bestimmter Brech-
barkeit aussendet, Iiesitit n&mlich auch das VermOgen, Strahlen
derselben Brechbarkeit, weiin sie durch dasselbe geleitet werden,
aaszalÜBchen , nnd es ist das VerbSltniss der ausgesendeten lu den
absorbirten bei derselben Temperatur für alle Körper gleich. Da
nna eine Lit hin mffamme rothe Strahlen aussendet, so muss sie aacb
TSD Sonnenlichte, welches durch diese Flamme geleitet wird, einen
aliqnoten Theil der rotben Strahlen absorbiren, die übrigen aber
durchlassen. Das zum Vorschein kommende Spectrnm beider
Ijichtqaellen wird gebildet vom Lichte der Lithiumflamme und
von dem Theile des Sonnenlichtes, welchen die Lithiumflsmroe
durchlisat. Es werden sonach alle Stellen des Lithiumspectrums
durch das Sonnenlicht verstärkt, jedoch die Stelle, wohin die
roth« Litbiunilinie ßllt, weniger als die fjbrigen; die Helligkeit
ilieur Stelle ipuss sonach gegen die der Umgebung zurQckstehen
und, wenn das Sonnenlicht stark genug ist, die sonst helle rothe
Linie durch Contrast mit der Nachbarscbafl schwarz aussehen.

Kann man nun annehmen, dass das auf der Erde anlangende
Sonnenlicht Gaslicht ist, dem die Strahlen eines festen oder tropf-
baren Kürpere beigemengt sind, der filr sich ein continuirlicbes
Spectram gibt; so ist das Sonnenspectrum , wie wir es zu Gesicht
bekommen, eigentlich das negative Bild jenes Spectrums, welches
das glBhende Gas Rlr sich geben wfirde, und es roOsslen an jeder
Stelle, wo jetzt dunkle Linien erscheinen, belle Tarbige ihren -
Platz haben nnd ein nntrfigliches Zeichen der Anwesenheit jener
Stoffe im leuchtenden Gas sein, deren Spectrum solche Linien
eigen itind. Man braucht sonach nur anzunebfflen, dass die Sonne
«in in starker GIQhbitze befindlicher Tester oder tropfbarer, mit
eiaer ebenfalls, aber minder stark glUbetiden Gasatmospfafire um-
gebener Kürper sei, und alle Erscheinungen sind in vollen Ein-
klang gebracht. Diese Ansicht Ober die Natur des Sonnenkvrpers
iat auch die einfachste und den Erscheinungen auf der Erde am
meisten analoge. Sie hat schon im Alterthum den meisten Anhang
gehabt nnd wurde nur aufgegeben und mit einer viel künstlicheren
rerlanscht, tbeils um die Sonnenfiecbcn und die Ntchtpolarisation
du directen Sonnenlichtes erklären zu kSnnen, theils um der
Sonne Bewohnbarkeit zu vindlciren, da man nun einmal glanbte,
*in HimmelskSrper kQnne keinen grossen Zweck haben, wenn

468 V. Baumfjartner: Chemie und CescMchte der ffimmeiskörper

nicht auf ihm Menacbeo oder roenschepähDliche Gmß^kSpft ik
Weaen trieben. In der Voraußsetznog, das« der SonaenkMrper eist
glühende feste oder tropfbare, mit einer ausdehnaamea g^fibv-
den Holle umgebene Masse sei, deutet jede im Sonneospectm
vorkommende dunkle Linie einen Stoff in der Sonnenatmosphän
an, der an derselben Stelle eine farbige Linie geben wfirde, «en
nicht das Licht des Centralkörpers der Sonne eine Drokehnu^
des Spectrums zur Folge hätte. Die Körper nun, vrelche ii aac
sehr heisse Flamme gebracht, um daselbst in Gas verwandelt a
werden, g^nau an derselben Stelle ihre charakter|ptifieben belin
Linien hervortreten lassen, wohin dunkle Linien in» Soaaea-
spectrum fallen, müssen in der Sonnenatmosphäre rotkommx^
Auf die^m Wege hat man in der Sonnenatmosphäre Eisen, Ca!
cium. Magnesium, Natrium, Chrom, in «geringer Menge aiick
Baryum, ' Kupfer, Zink gefunden, konnte aber Gold, Silbei,
Aluminium, Cadmium, Zinn, Blei, Antimon, Arsenik, StreiäoiB
und Lithium nicht entdecken; selbst Siliciom ist wahrschffolicft
nicht ein ^estaodtheil dieser Atmosphäre. Es ist einleucbteod,
dass die Stoffe, welche in der Soonenatmospbäre vorkonmio
auch sich im Innern SonnenUirper finden müssen. Die erst 9^
nannten acht Körper bilden aber bei weitem noch nicht den g»
zen Inbegriff des Stoffinventars der Sonnenatmosphire. E»
leuchtendes Metallgas, welches aus diesen acht Stoffen zusaDOcii-
gesetzt ist, gibt zwar ein Spectrum mit einer ansehnliches Zahl
von lichten Linien, weil mancher Stoff deren mehrere liefert, wie
z. B. Eisen mehr als sechszig; allein es fehlt noch viel, ii»
dabei jeder dunklen Linie im Sannenspectrum eine derartige fickte
Linie entspräche. Darum ist die Sonnenatroospbäre viel netr
zusammengesetzt, als jene acht Metalle anzeigen. Dass aberimtef
den BestandtheiJea derselben auch bisher unbekannte Elemtole
vorkommen, wird man erst wissen, wenn die lichten Spectral*
linien aller bekannten Elemente an ihrem Platze den dunklen IMt»
des Sonnenspectruips gegenübergestellt sind und es sich erpbt.
dass noch dunkle Linien übrig bleiben, denen keine helle tnt-
spricht. Aber auch dann haben wir nur die Ueberzeugung erlang
dass es in der Sonne fSr uns neue Stoffe gebe, keineswegs akr
welcher Art und Natur sie sindL Es bleibt daher nicht blos w0i-
schenswerth, dass die Spectral -Analyse noch weitere Aof(M-
nung erfahre, sondern auch, dass andere Mittel, die chemfec^
Natur der Himmelskörper kennen zu lernen, nicht hintaogoicti^
werden. Wir kennen davon bisher nur eines, nämlich dieanf^D
gewöhnlichen Wege vorgenommene Analyse der Meteoriten. Mo
hat^ nämlich Grund zu der Annahme, dass sie Bruchstück« von
Körpern sind, die in Weltraum um eiuen Centralkörj>er krttMii

nach der Speciral-Anaipse, 469

He der Mond iii% unsere Erde, die wenn sie der letzteren nahe
:enn(t kommen ond der fibervriep^enden Macht ihrer Anziehung
Qsgesetzt %irerdefi, aaf sie herabfatlen. Hier erreichen wir also
nsserirdlsche Stoffe nicht blos mit unseren Schlfissen, sondern
lit den Binden, kOnnen sie nach allen Richtungen untersuchen
nd mit ursprünglich irdischen Stoffen vergleichen. Das Ergeh-
liss solcher Untersuchun!;en besteht in Folgendem : Alle Theite
lines IHeteorites unierliegen dem Gesetze der Scht^ere, ja es ist
lie GrOsi^ der sie beherrschenden Schwere nach Bessel genau
lieseibe wVe Iffci Stoffen entschieden irdischer Abkunfti • Ein Pen-
let ton Meteoritenmasse vollbringt eine Schwingung genau in
lerselhen Zeit, wie ein ans irdischem Stoff bestehendes von glei-
cher Länge. Die Molecüle der Meteoriten sind, wie die tier K8r-
per, welche die Erde als ihre Mutter erkennen, bald zu zerreib-
licfaen, bald zu harten, bald zu schwammigen und porösen, bald
m dichten Massen verbunden. Ihr specifisches Gewicht ffillt
zwischen 1*70 und 7*90, wechselt also von der Dichte des Bims-
steines Ids zu jener des Eisenbleches. Das Durchschnittliche des
spedfischen Gewichtes von einer grossen Anzahl Meteoriten ist
nafch Reichenbach 5, wfthrend 5*4 das specifische Gewicht des
ganzen Erdballes ist.

Von besonderer Wichtigkeit ist der Umstand, dass alle bis-
her angestellten chemischen Analysen von Meteoriten, und es
sind deren einige hundert ausgeführt worden, keinen Grundstoff
kennen lehrten, der nicht auch auf der Erde reichlich vorkommt.
Die in Meteoriten, deren Fall wirklich beobachtet worden ist und
Hern letzten Jahrhundert angehört, gefundenen Stoffe, nach der
Häufigkeit ihres Vorkommeps geordnet, sind: Kieselerde, Eisen,
Talkerde, Schwefel, Nickel, Kalkerde, Chrom, Mangan, Thon-
erde, Kali, Kohlenstoff, Kobalt, Kupfer, Blei, Zinn, Chlor, Phos-
phor. Der Sauerstoff ist in die leichten Metalle eingerechnet, da
diese als Oxyde aufgeführt erscheinen. Vergleicht man diese
Vorkommnisse mit den in der Sonne mittelst der Spectral- Analyse
nachgewiesenen Kurpern, so findet man: 1. Alle Stoffe, welche
in der Sonne reichlich vorkommen, sind auch in der^Meteoriten-
masse und auf der Erde, und zwar in grosser Menge vorhanden ;
Eisen spielt In allen eine hervorragende Rolle. 2. Von den in
<^cr Sonne nur in geringen Quantitäten vorgefundenen drei Stof-
fen kommt nur einer, nämlich das Kupfer, auch in Meteoriten vor.
^' Von den eilf in der Sonne als fehlend nachgewiesenen irdischen
Stoffen weiset die chemische Analyse in den Meteoriten nur drei,
n&mttch Aluminium, Zinn und Blei, nach. Gold und Silber, das
Ziel so vieler Bestrebungen auf Erden und die Quelle so vielen
Unheüs auf Erden, fehlen in der Sonne und in den Meteoriten.

470 <^* Baumgartner: Chemie und Geeckickte der ffHnmeiskdrper

Sonne, Erde und die im Welträume kreinendeii |^5rper» tob daia
die Meteoriten stammen, sind daher einander nicht freoid, bibo
vielmehr eine unverkennbare Familienähnlichkeit Manche Kinder
derselben Mutter sind einander weniger ftbniich. Es kann dabe
gewiss nicht ohne Grund angenommen werden, dass die nBf^
heuren Massen, welche im Welträume gemessenen Schrittes b
vorgezeichneten Bahnen seit Jahrtausenden ihren Festzug halta
aus weit zerstreuten materiellen Theilchen derselben Nator ^
bildet sind. Nebelflecken, Kometenschweifen, dgl. kSnnen gicidh
sam als zurückgebliebene Muster eines froheren Zustande« des
gesammten Weltstoffes angesehen werden; ja es hat den An-
schein, als fönden derlei Bildungen noch gegenwärtig statt, iidea
bereits Nebelflecken, deren Dasein im Himmelsranme als iwei-
feilos galt, heute nicht mehr aufgefunden werden. Zerstreute Par-
tikelchen mQssen nämlich der ihnen von ihrem Schopfer eiDge-
pflanzten Schwere folgen, wenn sie nicht durch die abstosaeede
Kraft der Wärme von einander fern gehalten werden, wie beiosseni
Gasen , oder nicht erst ein Widerstand besiegt werden mnss, wie
bei den in der Luft schwebenden Staubtheilchen. Sie werden
sich ihrem gemeinschaftlichen Schwerpunkte nähern, erst lanf^san.
dann immer rascher und rascher, und endlich sich zu einer Masie
zusammenballen, wie sie uns die Körper im Weltraum darstollei.
Nach der Ballung ist aber die gesammte Kraft an die gebaute
Masse fibergegangen und muss hier als Erschütterung der Mol^
ciile auftreten, die wir im Sinne der neueren Theorie als Wime
auffassen. Diese Erschütterung wird vom Aether aufgenomsen*
und ihre Fortpflanz.ungsrichtung ist es, was wir Strahl neooco-
Solche Strahlen sind aber nicht immer Lichtstrahlen, soadm
nach Maassgabe der Wellenlänge^ od^r, was dasselbe ist, der
Brechbarkeit, und nur nach Verschiedenheit dieser, auch Wila^
oder chemische Strahlen. Die Strahlen von geringster Brecbbarfceit
bis zur Brechbarkeit der rothen Lichtstrahlen werden nur ab
Wärmestrablen empfunden und können nur die Empfindungsnerveo
afficiren ; solche von der Brechbarkeit der rothen Lichtstrablea bti
zu jeher der violetten sind Wärmestrahlen, insofern sie aofdeo
Sehnerv wirken ; Strahlen von der Brecbbarkeit der grfinen liebt*
strahlen an «über jene der violetten hinaus bis zu einem bestiinv'
ten Maximum wirken chemisch, und diese sind es, welche die
photographischen Wirkungen hervorbringen. Dunkle Wärmestrab-
len sendet jeder Körper bei jeder Temperatur aus. So wie iBaa
aber seine Temperatur erhöht, kommen zu den früheren andere
von grösserer Brechbarkeit. Bei einer bestimmten Temperatur,
die übrigens ffir alle Körper dieselbe ist^ erlangen diese Strablee
die Brechbarkeit der «rothen Lichtstrahlen, und der Körper fingt

naeA der SpeeirtU-Anaiißse. 471

D so fidhea and swar roth* Bm weiterer TempetetoftetnenMiig
(MDnen sn den rotlieo Strahlen orangefarbige, daini* gelbe» gröa^
laae, eedlieh violette. Id letzterem Zaataode verlaseen den Kdr*
er Strahlen too jedem Grade der Breehbarkeit bU an den vie*
rtten, and er leuchtet mit Weisegloth. Diese erreicht er aber
on Roth an durch viele FarbenDüaDcen. Beim Abkühlen hehren
lese Erscheinungen in umgekehrter Ordnung zurfick, bis de?
[urper su leuchten aufhOrt.

Wendet man diese Gesetze auf die im Welträume zerstreute
Slementarmaterie an, die sich zu geballten Massen vereinet, so
ersieht man, dass, nachdeiA der Balinngsact yollzogen ist, hi
iem Product eine hohe Temperatur herrschen müsse, und zwar
me desto bOhere, je grusser die vereinte Masse ist. Man hat
unter sehr zulässigen Voraussetzungen diese Wärmeentwickelung
^r die Planeten der Sonne und die Sonne selbst berechnet und
^efonden, dass die erzeugte Temperatur huh^r ist, als nOthig,
am alle bekannten Stoffe in Gas zu verwandeln, und dass einer
solchen totalen Umwandlung nur der Gasdruck selbst ein Ziel
setzen kann. Die Anwesenheit vieler seibist metallischer Stoffe
in der Atmosphäre eines solchen KOrpers unter solchen Umstän*
den kann nicht befremden. So hohe Temperatur kann sich, selbst
wenn sie dem ordentlichen Abköhlungsprocesse Preis gegeben
ist, unter den obwaltenden Umständen Jahrtausende lang über
der Grenze der GlOhhitze erhalten. Die Abkühlung kann nur
darch Ausstrahlung von Wärme vor sich gehen, da ein Weltkur-
per isolirt im Räume schwebt und Wärmemittheilung durch Leitung
nicht vorkommt. Indessen muss auch unter solchen Umständen
die Zeit ihr Recht geltend machen, und es werden zuerst die
K5q>er von geringster Masse, dann die grösseren und hnmer
grosseren über die Grenze der GlQbhitze abkühlen und zu dunklen
Kurpem werden. In dem Planetensystem der Sonne ist dieser
Process bereits bis auf den Centralkurper in allen Theilen voll-
bracht, und die Planeten und deren Satelliten tragen nur mehr
an ihrer Kugelgestalt und ihrer Abplattung die Spuren eines ehe-
n^ftÜgen glühend •flüssigen Zustandes an sich, sind aber dabei
S^ignet, lebende Wesen zu unterhalten. Unsere Erde lässt aus
der Zunahme der Temperatur gegen ihren Mittelpunkt hin schlies-
sen, dass noch jetzt ihr Kern glühend heiss und flüssig ist. An
den Monden und den kleineren Planeten mag auch dieser Zustand
2Q den überwundenen gehOren und die ganze Masse bereits er-
^tant sein. Da beim Erstarrungsprocesse Wasser und Luft auf-
S^tommen wird, so kann man darin den Grund finden, warum
^^^x Mond ein wasserloser, starrer, von nur kaum merklicher

31*

472 ^' Baumgar tmt^: Ckitnie undHesckUkU der ffimmeiskörper

Ataosphfte «ngebeoer KGrper ist Es darf oicbt bttlftadei, hm
gmnde der CestralkOrper anseres Plasetensystens nodi Jn 4«
{jage tsty Liebt und Wärme seinen Aegehörigen auzasettdea. t)ie
Saane ist darob das Uebergevriefat ibrer Masse der Mittelpunkt k
Bewegung, aber dnrcb eben dieses Uebergewicht auch der K#
per, dessen primitiTa Temperatur am bochsten sieben nnsst», vd
bei dem die Abkälilnng relativ am langsamsten vor «eh geht, d
der nocb leucbtet, wenn alles uro ihn her der Nacht ^MHiIIm ist
Allein wenn der Wärmeverlust nicht durch einen besonderen Pro
eess Ersatz findet» wird auch dieser Korper dem Lose nicht eit
geben» dem alles Erschaffene zu upterliegen scheibt» 'bsd gleich
der Erde und den Planeten zu einer dunklen, finsteren Hasse ve-
doBf Was von der Sonne gesagt ist, gilt auch von dem Beer de^
Fixsterne. Die selbst den Sonhenkörper überwiegende Haaie «»^
aelner solcher Körper sichert denselben wohl eine * längere Dboo
des GiShzustandes , doch mag vielleicht die Ffirbnng imhAtt
einaelner solcher KCrper und der bereits an mehreren beikc^
tete stätige Farbenwecbsel dahin deuten» dass sie bereits licfa
mehr Strahlen von jedem Grade der Brechbarkeit aussende«, sster
die WeissglObbitze gesunken sind und dem dunklen Znstmdeci^
gegeneiien. Vielleicht rührt das Verschwinden vo& Fixsten»
wie dieses beobachtet worden Ist» davon her» dass sie bereits k
dunklen Körpern geworden sind» wie unsere lErde und die ü^
gen Planeten der Sonne. Wir Erdenbewohner können Msitn
der Sonne das Bild unserer Erde sehen» wie sie einst wir, vnä
am Monde jenes» wie sie einst sein wird.

Es ro5g» mir zum Schlüsse erlaubt sein» ftir einen Atge^
sn dem Agens zurückzukehren» von dem wir ansgegaaget äoi
zam Licht Einst war das Licht nur als Diener des Aig«****
gesehen» so wie die Sterne am Himmel nur als die den FeiM
der Macht begleitenden Fackelträger. Bald war dem Liebt ^
Nebenamt übertragen» die Wärme auf dem Wege zur Erde n
begleiten; man erkennt aber jetzt» dass Begleiter and Begleitet^'
in Eins zusammenfallen. Es ist dem menschlichen Beobacbtoog^
geiate läbgst nicht entgangen» dass dort» wo jenes Agens c*'
Wirkt» geheimnissvolle chemische Wirkungen vor sich gehen» o*
weiss man aber» dass es die eigentliche Qnelle aller chenisebv
Kraft Ist, dass Lichtstrahlen zeichnen» malen und portititit^
dass sie Schriften und Denkmäler aller Länder und Zeites''^
der vollkommensten Treue copiren. Der Gelehrte kann mittele
solcher Copien über das Alterthum und die fernsten Länder Ah^
Mämng geben » ohne sein Studirzimmer zu verlassen » ibolich '<■
Astronomen» dem es an der Hand des Gravitatlonagesetaes a^

i9äc^ dirr Sptcirai-Anaiffte,*

478

ch ist, Sterne zu eotdecken, ohne deo Himmel ansasehcAip Nun
ler leistet das Lilcbt noch mehr als irgead eine zeichnende Kuost
1 leisten Tennag. Es kflndigt nna mit der Form zugleich den
aterlelleo Zustand des gezeichneten Objectee an, ee ist der
ahre GOtterbote» der jed^ Auftrag mit pfinktiieher Genanigkelt
nd grSsster Elle Tollzieht.

Deqi Licht in der materiellen Natur gleicht in seiner Macht
nd seiner Wirfcnog nichts so sehr als das Licht des Geistes.
)ieses hohe Gut gehCrt aber seiner Natur nach einem anderen
leiche an» es wird nicht In fiberschwengücher Fülle durch einen
i^erdichtongsprocess hervorgerufen, von dem die Zeiten durch
lahrtaosende zehren können, wie das Licht der Soone und der
Fixsterne 5 sondern muss successive geweckt, und wenn es besteht,
rortwShrend gepflegt werden, wie die heilige Flamme im Tempel
der Tests. Zo solcher Pflege sind wir durch oni^eren erlauchten
Stifter bemfen, zu solcher gewShrt uns die Vorsorge unsere aller-
gnädigsten Herrn und Kaisers die Mittel. Ffir diese vSterliche
Vorsorge spreche ich nun im Namen der gesammten Akademie
hiermit den wärrosten und tief empfupdenen Dank aus, und wende

* ' —

mich an Eare Ezcellenz unsem hohen Cnrator- Stellvertreter mit
der Bitte, diesen unsern i>ank an die Stufen des aller-
höchsten Thrones gelangen lassen zu wollen.

4t4 Oettinger: Oeber besttmmie fniegrale.

Ueber bestimmte IntegralS. '

(FortsetsuDg von Tbl. XL. Nr. XXIL)

m

Von

Herrn Dr. X. Oettingerj

Grossli^rzoglich BadiMohem Hofrathe und ordeatlicheiD Professor der
Mathematik an der UniTeraität sii Frei bürg i. B.

V.

§. 56.

Die im vorigen Abschnitte behandelten irrationalen Integrak
führen positive Exponenten. Diess wird der Fall sein» warnt
^ > r in den Gleichungen §• 46. Nr. 4) und 5) angenommen wird.
Bei jedem Werthe von r unterliegt q keiner Schranke. Wird aber
r>9 angenommen, so entsteht eine neue Gruppe von Integralen,
worin der irrationale Ausdruck mit negativem Exponenten erschelot
Die Zahl dieser Integrale ist bei bestimmtem r beschränkt BTit
der eben genannten Gruppe hat sich hauptsächlich Euler a.a.O.
beschäftigt und einige wenige Fälle behandelt. Eben so Le-
gen dre. Die im vorigen Abschnitte behandelten Integrale finden
sich dort nicht vor. Wir wenden uns nun zu denen mit negati-
vem Exponenten.

Setzt man ^ = 1, r = 2 in Nr. 4) §. 46., so erhält man:

t)

(2m +p). (!+;»)" I*.l •

{^etiinper: üeber betdmmte Integrale, 475

Hier ist:

0 o

^1^ «=1,2 gesetzt und werden die Werthe der biedareh
eDtsteheodeo Integrale / J^r^ ^ J 1+ar ^°«^^'^)"°^

0 0

Nr. 10) J. 2. eingefübrt, «o erhSit man nach den gehörigen Rc-
dactionen folgende zwei Integralformen :

3)

0

1.3.5.«..(2m— l)w-, Q ,- 1 • 1 w

/■^f=_i5Ä[-.,.+.-.+,-u....-^s!ni

0

Uieraos ergeben sich folgende Integrale:

5)

O

476 Oetilntter: Veäer AeiUmmtt Inis^fah,

V 4flga^g ^_W. ,^04.319v

o »

'» a;">lgar9jr _ (J3«^ „ 1627

»/ "Vl-a*

O. 9s W.

Die ersteo sech« Integrale hat Eulcr a. a. O. roitgetbeilt Da«
©rate hievon hat auch Legendre entwickelt (Traite d. fonct.
ellipt. IL p.393.).

}. 67.
Setzt man r = 3, ^ = 2 in Nr. 4) §. 46.» so mteCeb^:

1)
pi a?»*+i»-» iga;dx (5 +p)« »».1» .1-^'*

'{ VT^i» (3m+p)(2+p)-l».l^**

o
Hier ist:

^

Wird nnn p = l, 4^3 gesetat und werdeit dSa Werthe der hie-

o o

/»i j;i«H-«8:r ^^^ j^^ ^j j jg .^ j^ j^ ^^ 2) eingefilhrt, ao ei-

hftit man nach den* erfirderBebea RedseffaMD fdigeode drei late-
gralformen :

OelUmttr: , tMer bestimmte Intfralel 477

3)
/*ix*»\ga^x 2.1"l».» ,,, „ . « .1/1 .iii. *^

0 ▼ * — ^ I

da 1*'*-Ä~*** = 3r^ "^«^ Nr. 7) §.60. l«t.

4)
»1 x^^H^xdx

«

da Ml^sa^ g^j^,^ und lll*=g;^;^yg^DachNr.5) und Nr. 12)

§. 50. ist.

6)

0 Vi — J?"

-*(!+* + *+. •-)]•

Hieraus leiten sich folgende Integrale ab:

6)

0 ▼ * — ■*

478 Oettinger: Veber öesUmmie Integrale.

/r| 1~ 81.(1*1 »)»^~ 3 V3 + y'

/i j;* Ig xdx An j^ Ä 3

0 VI— a;»

/» xn^xdx^ 10«» » 97

^= 81 .7(1* 1»)»^ 3v3'*"l4(K'
0 VI — JJ

/»i ^Mg^^ 9 « 13

y 3=ZZI=-4Ö^""V«'+6V3 + »)'

Hierin ist:

1-41 1 = 1,3541179392, Ig l-l M = OJ3165M9168402.
Setzt man r=:3> ^ = 1 in Nr. 4) §.46., so entsteht:

/»i x^^P-n^x^ _ (3+y)'"lM» ,l-tli

7 (1-j:»)I ^*— " !L:?h

« (3m+p)(l+p)«l».l » '

/'

a«+P-*(ar— 1)^

— vx»

Hier ist:

/»a:"-4*-Ha?-l)a /»» a:»*fJ»-»
iiHr— ^*=y l+x+^«»'

0 0

Wird psl» 2, 3 gesetzt, and werden die Werthe der entspre-
chenden Integrale aus §. 16. Nr. 4) eingeführt, so ergeben sieb
nach den n5thigen Reductionen folgende drei Integralformen :

/

o

7)
* x*^\gxdx

l~i».l*lM-»ii

2*1». 1-i«
4.1"«l».w*

*'*r « 1 11

— L3?^+*+*+--3;S3T~(J+i+i+..a^^

_ 4.1«"".yg* r gg 11,, 1 1 T

— "^ 9.2*1 »(Wii)»L3v3+*+^" -3^^1-0-^+1+.. .^^1

Oettinger: lieber bestimmte Integrale, 479

•'• '*"=3v3.1-*ri »•«•" Nr. 5) §.50. and l-li»=_^^
nach Nr. 10) §. 50. ist.

8)

/i a;»"+Mga;8ar 2.2»l».jt ,.. , » 1

-(4+4+....^)!
da Illi.l-||i = ^ „ach Nr. 7) 5-60. iisL

9)

(l-ar*)*
o

Hieraus ergebt sieb folgende Integrale:

10)

(l—o?»)!— 27.v3(l-iii)»'

0

o

/' d;*lgjrdx 9f

(Tir;^i=+4'«3+g^-j,

o

/i j;»|gjr3j_ 2»« /• » \

(1 -«■)|— ~ 9(i-*i»)»V3i73""v*

n

/' a:^lga;9x 3 ^ n l\

o

/> jr^ lgar8g 8»«/ fs 1I\

(l-.^t)|-— 4S'VSv3""2oy'

0

/»» jMgx8x 10.» » 1

0

Tk«il XL. 8S

480

Oeitinger: (Jeher bettimmte Integrale.

f

o

/

* x^\^xdx

(1 — a:»)i

_ 7.gg« / ?g 159\

"" 45(l~lii)«W3 280/'

n. 8. w.

Hier ist:

1-1 11 = 2,6789385348, Igl-fi 1 = 0,42796274931426.

Von diesen Integralen bat Euler (Integr.-Rechn. Bd.lV. S. 171
das erste In Nr. 6) angegeben. Die erste Form in Nr. 10) tstntcbibm
wegen der darin Forkommenden transcendente» Grossen nicbt
darstellbar.

§. 58.
Wird r = 4, f =2 in Nr. 4) $.46. gesetzt, so entolebt:

1)

/■

lga:ag_ (4 + pyi^.l*»M-lU p\j4m^r<

(4m+p)(2+p)»l«.l ♦

^ (4m+p)(2+p)«»l«.l * 0

Wird hierin p = l, 2, 3, 4 gesetzt und werden die Wertbeder

/i x^^hx P^ ;r*— I ^ix
|— — j. / - , , ,^

0 o

§. 9. Nr. 6) eingeführt, so erbSit man hieraos nach den oBtbi-

Reductionen folgende vier IntegraUbrmen:

aus
gen

2)

/

1 x^x^xhx i«i*.uiivjrrÄ

"" 4.3-l*{l-ili)tL4"'^*""*+^~ — "■41Ä— PJ'

d» ^**^ = 47T=fn "*^*" §.50. Nr. 5) bt

/

\gaAx

^T=r^

3)

OST» U'82-4{i -;+*_,

'** — Si

0 ei tinoer: iTeber ^stimmte Integrale, 4^}

4)

/ VI— a:* ~ (4wi+3).5"»l*lili['~4"*^*~*+^~- +4^+11

_ 3"l^.7g,V"2^ n;. , 1

~ ltx.l"H-M4(Hii)«L— 4 + 1— i + 5 -. ... + 4;^^],

da lll»=5|^-y^ nach |§. Sa Nr. X2) ist.

5)

Hieran« ergeben sich folgende Integrale:

6)

o

/

^ orlgxdj: 7rfg2

o >

VT-=i* — i2(FHi)*V4 -sy*

/» a?«tygap IT 1

/» flig£3£__^^V2» » 13
^r::^" 80(»i»)«( 4+15^'

o

/» ^Mg^:r_ a.ff V2ip /^ 76\
v^r-";^"" 84(i-iii)«v4 106/'

a. s. w.

s

32'

482 Oe tun ff er: üeöer öestimmte Inteffrale,

Das zweite und vierte Integral in Nr. 6) hat Euler a. a.O. S. 174
und S. 175. angegeben. Ferner hat er S. 176. folgendes Integral

0 o

angegeben. Man findet dieses, wenn man den ersten und dritte;
Ausdruck in Nr. 6) mit einander verbindet, und am einfadistet
dadurch, dass man die erste Form in Nr. 2) und Nr. 4) w&hlt
Es ist dann:

o

"= 3Xwri(* "■ 4^=l6^^ "" 4^'

111^
da rqjl = l nach Nr. 4) §. 5QL ist. Man sieht, mit welcbea

Scharfsinne Euler bei den ihm zu Gebote stehenden Mitteln^
fuhr. Er flSgt die Bemerkung bei : Obschon beide Integrale &
sich auf unentwickelbare Formeln fahren, so habe er doch scbos
längst gezeigt, dass das Produkt beider Integrale dem FlädKO

räum des Kreises, dessen Durchmesser 1 ist, gleich oder -i ^i.

und dass man durch die Verbindung beider das ang^fb«DC
schCne Theorem erhalte. Ferner fOgt er bei, dass man uümMi
viele andere Theoreme dieser Art ableiten könne, wekhe ivj
sich betrachtet eine sehr tiefe Dntersuchung erfordern, die ibef
nach dem hier Mitgetheilten sehr leicht angegeben werden köo
nen. Verbindet man das erste und siebente Integral mit eioiod^*
so ist:

8)

/i Igxdx P^ _£^Ir£_ _ in^»V»r 1I'».V«/I3 A
VT^^'J \^r^^~ 4.1-Jl» • 5.1H» V.15~4/

o o

— 3^/13 n\
"■ 80 V15 4/

nach den nCthigen Reductionen. In den vorstehenden Integraleo ist;

1-111 = 1,2254167025, Ig 1-41 1 = 0,08828379548265;
die fibrigen Werthe sind oben §. 53. angegeben.

Oetiinger: üeöer bestimmte tntegrate. 483

§. 59.

Setzt

man r=6,

9

= 3» 80

1)

erhält 1

man ans

5.

46. Nr. 4):

:r<h»+P

"•*lg;r3ar

(6+p)-

imS'^

.Vn

f

ül x<»+i>->

da;

VTITi« t» 11,/ 1 + o:»

^ird nun p = 1 , 2, 3» .... 6 gesetzt und werden die entspre-
henden Wertbe fflr das begleitende Integral aus Nr. 9) §. 13.
iingeluhrt« so entstehen nach den gehörigen Redaetionen folgende
tecbs Integral fonnen :

2)
' VT^* ~ 4-i«>.i-*i> W's2+3v3- (1-i+T-... -feSZ?)!'

3)

/

8"I«.1*I*.V» r II oj^ * (l ij_i __L_M

4)

I

5)

/• a;«"'+»lgag8ar

"~(6m+4)!t"l«.mi f-*'82-5^ + l-i + f-.... + g;jqriJ'

6)
/•> g««-H|gx8a;

_ ll-i«.l»li.V«_.., „ » . , ... . 1 ^

484 Oe Hing er: Ceöer bestimmte Integrale.

7)

o

Hieraus leiten sich folgende Integrale ab:

8)

/' \sxdx llH.Vi: „ n

„ ^r^^6 - 18 '

/' x*\gxBx »'».Vff/ ,, „ » .1,

o ^^f^^=— Or7T-(-*"g2-3v3+'>'

•( Vt3p=— orn-«'82-3^3+4).

. VT^P -~TT=riTV-*'g^+3y3-iO>-

/' x^\gxBx _ WKVn, ., „ « 2S
„ ^rrp — ~ 7.111* ^~*'S''~3V3''^''

•? ^m^« == -^OTT »Ig 2 - 3^ + 4ö)j
f x^^lgxdx 2 , . -. . S,

Aosser den früher schon angegebenen Wertben mSgen noch fol
gende hier stehen:

1-* 11=1,12878702996, l-lUtc 5,66631272838,
Ig 1-n 1 = 0,05261201060482, Igl-* 1 1 = 0,745 567 857 7533tt

Wird r^6, ^=2 In TVr. ^|; 46. ge^etil, «o «fatft ns»:

Oetlinger: Ueöer bestimmte Integrale, 485

9)

5ii

(6m+p)(2+p)>»l'».l • '

Wird bierin |>=1, 2, 3, ....6 geschrieben und werden die Wertbe
für das begleitende Integral aus §. 18. Nr. 2) eingeffibrt, so erhält
man nach den nwthigen Reductionen folgende sechs Integraiformen:

10)

r» a^Xjjxdx l-l«.lHi.l-tlt n ....... _L

6>

+ *(l + 4 + i + ..-2;^)].

11)
/•' £*-+>lg£8£_ l^i'.nisi-ti'r n .,,.,.,. 1 ,

•( (1—««)» ~"" 2.2'»i«.l-*l» L6V3~'^*"*"''''^+""3m-2^

_ 2.1'»!«.«* r « i/i 1 ,. _L_\
- ~ 9.2»! »(l-*'*)»L6v3'"*^*+'+^'*''"3ifi— 2^

+ i(i + i+J + ".3~i)J

12)

/> x**+«lgg8:r

_ »»iM-tli.v» . » 1/14:. 4.. X * ^
2(fem+3).5-lo.l-lüt~*'^^~4v^~*<'+* + '+-S;r=l>

13)

/• a;*»f*lggaac _ g"!».« . , « ........ 1
, (l— «^1 3>3-l».V3"'*"*~12v3~*^*^^+*+"3^=l'

+ i(l+*+*+....i].

486 Oetttnger: Veber betUtnmte Integraie.

14)

(l— ar»)» - (6m+5).l«+i I «li n[~2v3~~^*+'^+-6Si::i^

"^ 18.1"+» I »(U I i)«l~'2v3~^* ■•■ " ■*"""6»rrP

da l^'* = j8-ini nach Nr. 12)5.50. Ist

15)

/' a;»»+»tgar8a; a«!» , »r i

+ 4(l + i + f + ....3^)l.

Die Redoction zu Nr. 11) ist oben zu Nr. 7) §• 57. gegeben.
Hieraus leiten sich folgende Integrale ab:

16)

4 (1— a:«)l "v^i ^*'8* + 4v3)'

/' x\gxBx w*

„ (1— a:«)|-~27(l-ili)»v3'

/*» x«lRa8x l-tl'.V>t,.. , « ^
^ (l-ar«)}- 0=iTr (i'g^-Jyä).

/* j;'lg^S:r n n

„ (l -a:«)l=~5v3^«'«^-i5^)'

/' J^ lga;8j; ««1-iH , n

(\—x*)\ 18(lili)«^~2v3+')'

/•» a;»lga;8x ., ,, . .» .1
•{ (1 -•ar«)|-~*(— »«'*-l2?^ + 2)'
/*• £M££8£_ inM-tii^.. „ o

J„ (1 — ar«)» 5v5r~^«'8* + 3V3-3^'

/' xn%aS)x n* f n 1\

„ (\ — x^^~ 9(l-»U)»V6^-4/'

•5 (1— «•)» 10.1111 t~*'«^+4V3~i5>'

r» g»lg j8j: _ ^,,, » « .1,

•( (1 — ««)» — gys^**"*— i^yä+Iy'

o. s. w.

Oettinger: Veber öestimmie fnUgraie. 487

Wird r = 6» ^ = 4 in }. 46. Nr. 4) gesetzt, so entsteht:

17)

(6m+p)(4 + p)'"l«.l • ' **

1 •©

Hier ist:

Wird hierin p^^l, 2, 3^.... 6 gesetzt und werden die Werthe
der beiden Integrale aus Nr. 2) §. 18. eingeführt, so ergeben sieb
nach den erforderlieben Reduetionen folgende sechs Integralformen :

18)

/• x'^lgxdx li»l«.UIi.l-tUr „ I

•( '.= .— SSÖTTTITI— Läv^ + ^ + '^+ — + 6sr=i

VI — x'

a.S-i •(l-»l»)«L2v3+* + " + ""6m-l ^'+'^+'"'6m-5^J'

da Hl'=- i-ni ''*<^'' Nr. 5)}. 60. ist.

19)

/i«a»fi 12^9« l«i*.9i ff 1

^^'^^^--Sr^TTvS [i'g3 + j^3 +1(1+4+*+... -)
0 vi — *•

da ltl*.l-*'* = ^ nach Nr. 7) §.60. ist.

20)

J »r,- , =-6. Ifi I «. 11 1 »l-»'8^6v3+*+^+^'+<5i^+I

0 VI— as"

-i(l+4 + i + ~.^Il)].

488 Oetlinger: Veber bestimmte Integrale.

21)

/i ^öm+8|gar8a: 5"»! ».IHM-*1^ ^ -iL . m . 1 1. ^ ^

;' VI— a:*

2.2"l».«» r » ,1/1.1. _J__\ uu-ij. ^L_\l
=~8I.1«»+^ I »(1*1 ')»'--6v^'3+»(^+»+""3^Hä^~'^'+^''-"3m-rJ'

da 1»'*-I"*'*=gi7irri)« "*^^ §.57. Nr. 4) ist.

22)

2 11"» l<* löl^ 1— ili jr - , 1

23)

-1(1 +*+♦ + . •••;;))•

Hieraus leiten sich folgende lutegrale ab:

24)

/i Jgf8£__ 1-* ' ' »»

/

0

/

Oelttnger: Ceber betUmmie Integrale. 4^

> X* lgJ?8x 2JJIM-*!» » 1

o >^1~^ ^^ ^^^

/i X« lga;8j l-*l'.?i! « 4

o ▼ ^ — ^

o ^ ' — ^

• §. 00.

Wird r = 8, ^ = 4 In Nr. 4) §• 46. gesetzt, so entsteht:

1)

0 ^* ^ (8m+^)(4+p)'»l«.l • ^ o

Wird p=:'i, 2, 3,>,..S geschrieben und werden die Werthe für

^1 x^^P-^Sx

— /i^^4~ ^^8 §• 1^« eingefäbrf, m entstehen

0

nach den erforderlichen Reductionen folgende acht Integralforroen :

r

2)

3)
J Vr^' ~ (8m+2).3»l*J-iiil«— «<* ♦+?—.■• 2»i-rl

l'"l*.«V2Jr r«

8.3<»I*(l-il»)»L8 *^»"-* + * ••••~4»i— lü*

dallU = j^^P «Hwh Nr. 5) %. 50. ist;

490 Oetltnger: Veber bestimmte Integrale.

§

5)

6)
VI— x»

7)

—~32.l<"+i|4(lJI»)»l~8+*^' "*■*■* •"••+4m+r''
da 111»= ^yjj^ nach §. 50. Nr. 12) Ist ;

/

8)

Hieraus ergeben sich folgende Integrale:

10)

/•> tgg8j _ ItltySiü,. 2 + V2
•f VT^^ 8.I-II» <'62— V2'*''*^'

0 ettlnge r : Veber bestimmte Integrale. 491

/* x\gxdx _ n^ST^

/•> x'^ \%xhx 1SMV2^ 2 + V2

p VT^i^ öJ[f^ l-"4v2('g2;Zv2+''^+^i'

/* a;^lgx8j? ygV27g ff . ix

/* £fl££8£_ jnj^vjr 1 2 + V2 , , 1-,

/» x^\^xbx ini.ygg p I 2+v2 4-|

0 VT^^"" 5.1-ni L4v2('S5=:y2+''>"5j'

o \^r^'F«~ 24(i-*i»)2VS""3y'

/» a:^Q|gj?8ar l^jM/fTf 1 . , 2+v2 . 4-1
o \^J— -r»~""7.1-UiLH^2(""'S23v2 + ''>"'2iJ'

Q. 8. W.

Ausser den früher in §. 55. initgetheilten, hierher gehurigen
Werthen theilen wir noch folgende mit:

1""- ' *= 1,0896523559, Ig l""* ' *= 0,037287962772,

!"■*'*= 1,4345188480, Igl""* '^=0,156706258799,

1""* ' *= 2,3704361845. Ig 1~' 1 * = 0,374828277974,

1"^ * ' = 7,5339415976, Ig 1"" '' ' * =0,877022249840.

Aus den in $. 47. u. fT. angegebenen Resultaten zeigt sich,
welche ausgedehnte Anwendung die in §. 46. JVr. 4) und 5) aufge-
stelltten Gleichungen zulassen. Man kann ihnen noch eine all-
gemeinere Form geben, wodurch sich ihre Brauchbarkeit steigert,
^enn man iT^\'^ statt q setzt. Man erhält dann:

492 Oettinger: Veber bestimmte Integrale,

11)

,H^r+?±?=-^i

(rm + />).!

X/ xm^V'^ ^,_j 3X = a^ H^T-

X / a:""+P-^ ^ J^ ^ dx.

Wird r statt p gesetzt ^ so entsteht nach den nothigen Redoc-

tionen :

12)

/l tl^"^ r^\r Qt\r

^rm^^r-^l ß _ a:^)^^^ lgxdx='' '^, ^ ,

0

o o

Aus diesen Gleichungen kann man nach der bisherigen Methode
durch die Annahme von r, q und t ausser den schon angegebe-
nen eine Reihe anderer Integrale ableiten. In §• 51. und §. 53.
wurden einzelne hierher gehörige mitgetheilt. Man findet die in
Nr. 11) und Nr. 12) §.51. auf anderem Wege entvn ekelten Inte
grale» wenn man hier r = 29 ^ = 3 und dann q statt i schreibt
Eben so ergeben sich die in Nr. 8)—] 1) §. 53. angegebenen Inte-
grale > wenn die entsprechenden Werthe fiir r» q und i gesetft
werden.

§61.

Sämmtliche bisher behandelte irrationale Integrale lassen sieb
auf eine andere Art aus den in §. 21. angegebenen Gleichungen
dadurch ableiten» dass man filr n gebrochene Zahlen setzt. In
diesem Falle entstehen unendliche Reihen. Diese haben aber
den Missstand ^ dass sie häufig sehr langsam convergiren. Je
nachdem die Grossen p, q und r beschaffen sind^ werden sie
etwas rascher convergiren, nanientUch wenn r eine grossere Zahl
bedeutet. In diesem Falle werden sie gute Dienste leisten. Beide
Integrations« Methoden, die bisherige, welche auf gesefaloneoe
Ausdrficke fuhrt, und die eben erwähnte, schliessen sich jedoch
nicht aus, sondern ergänsen sich gegenseitig. Die letztere bie-
tet ausserdem noch den Vortheil, dass sie sich auf die BioMnee

Oettinger: Ceber beHimmU Integrale* 493

(J + :r^)* und (1 — x^Y erstreckt, während die erstere nur von
der z«veiten Binom form gilt. Setzt man nun für n eine gebro-
chene Zahl und wählt den Werth n:=^, so ergeben sich für die
in §.21. angegebenen Gleichungen folgender

1 1 5

8(pH-29)'+i 16(p+37)«-+» J28(p+49)'+»

- 7 21 \

l5S(iö+5j)'-+» 1024(p + 69r+« ~ •••)'

2)

\ . 1

8(p + 2y)^+i ^ 16(p + Zqf^^

128(p + 49)'-+» ^ 256(p + Sy^+i •••/'
3)

^ .VT=^ -^ ^-i V+» + 2(p+9/+i + 8(p + 2»)'+i
5 35 63 • \

+ lecp+s^xt» + ri8(p +4v)f+« + 256(p I- 69)'+» + "7'

r ^^rh^^mx^ ^ ( ^ 1 i

5 35 63 \

~ 16 (p + 39)'^^ 1 ■*" 128 (/? + \qy^^ 256 (;? + 5v)''+i+ •/

FOr den Fall, als p^=^q ist, tritt eine besondere Gruppe von
Integralen auf und man erhäH aus Nr. I):

5)

1^ 5 7

^16.4'-+i 128. 5'+» 286.6^+i" "^'

wnd 80 auch för die Gleichungen Nr. 2)— 4).

I^ie Bedingungen der Convergenz treten in diesen Gieichun-
S^ deutlich herver. Bei Meinen Werthen von r, p und q wird

494 Oettinger: Veber bestimmte Integrale.

sie sehr gering sein. Bestimmt man beispielsweise den Weitfa
von / x^\ — x^X^xdx^ so ist nach §.51. Nr. 5):

y* * X Vr=^^ Ig araa? = + ilg 2- J = 0,21339538425779600.

und man kann ihn zu beliebiger Genauigkeit steigern. Leitet mao
ihn aber ans Nr. 5) ab, so erhält man:

7 _

"" 256.36"~'**'^~"~®'^^**^

und dieser Werth ist, obgleich aus den zehn ersten Gliedernder
Reihe abgeleitet, abgesehen von der Muhe der Rechnang, rar
auf drei Decimalstellen genau.

§. 62.

In den Integralen ^ welche in $. 51.— §. 60. untersucht sind, er-
scheint Igo; In der ersten Potenz. Soll die Integration auch tof
die Fälle ausgedehnt werden, worin Igo; in einer hohem Poteu
erscheint, so kommen die in §. 48. aufgestellten Gleichungen nr
A^nwendung, welche, wie schon §• 49. bemerkt wurde, auch tod
Integralen mit irrationalen Ausdrflcken gelten. In diesem Falle
bildet die Gleichung Nr. 1) $. 46. die Grundlage, der wir folgeode
allgemeine Form geben, indem Tm-{'p statt m gesetzt wird:

1)

/'

9-r
^rm-|-p-l(| — j;r) r \gxdx

II

= -/ a:»-'H-p-i(l-.ar'') ** dx f amn+p-i ^^_^ar

0 o

Hierin ist:

2)

0 (rm+p)(p+y)»l»-.l »-

J

0 e Hinge r: Oeber bestimmte Integrale. 495

3)

•% a;'— 1

Die in §. 48. gegebenen Gleichungen nehmen folgende Gestalt an :

4)

/ ' ,"^,-1(1 -xr)^lg.a.= ir^Pr^^Ar^\l r

F

.?11 ,^|l

/l q-T

a:nii+p-l(l«.^) r (lga:)»aa;
o

(nii+p)(p + y)~i''.l ''

/i fzT

o

Cr + p)-iM^'\l^''' ,^, ,F».8F,,F.8»F

P±7zr,/ arm +*(8rm)*

o?Ii^_ 8VF

u. s. w.

So oft nun ein Integral filr einen bestimmten Wertb von r und
g angegeben werden soll« bat man den entsprecbenden Wertb von

^' ^rm* ßr~l**"" *** ermitteln und die erbaltenen Resultate,

die sich aus den früberen Abschnitten entnehmen lassen, einzu-
führen. Hierzu kann man zwei Metboden benutzen.

Theil XL. 33

r
I

49Ö Oetlinger: Ceber bestimmte Integrale.

Die erste besteht darin, dass man F in Nr. 3) nach den stei-
genden Potenzen von x in Reihen entwickelt , wiederlioU hin-
sichtlich m differenziirt und zwischen den Grenzen 0 und 1 rate-
^rirt. Hierdurch erhält man folgende Integrale:

S)

/>l^r.,+,-l(^,_l)^^_ 111

J x^ — l rm +p rm +p+r rm+p-\-2t

_f_J_+ 1 + i ^

\rm+q+p rm+q+p-^r rm+q+p+^r""/
= S(rm+;?,r)i— Sirm+qi-p,r)K
dV P^x^^P-H^^i-l), ^

0

8«F P ^ af^^P-Hx^-l)
(ä^ =y ^^^=i -0S^)^^^=^S{rm+p,T)^^2S{rm+q+p,T)\

Ö« F P^ af^P-Hx^-l)

{drmy

0

= (— )« . 1" 1 1[ S(rm + p,r)«+i — S(rm + ^ + p,r)"+ij.

Hieraus erhält man durch Einfiihrung dieser Werthe in Nr. 4
folgende entwickelte Darstellung:

6)

1 9-r

.^l ,^'ii

(r+«)"»l'-.l»- .1 r
= ÖEfT [S(rm+p,r)^^S(rm + q-^p,rn

(rmi-p)(p+q)'^\^.l r '

/l 9-r

;j.rm+i»-l(| - j.r) r (|gar)«a.T

0

.?|l ,^--M

(r-fp)"lr.lr- .1 r r(«(rm+p,r)» - S(rm + 9 + f»^)»)*^l

Oettinger: Veöer beslimmte Integrale, 497

0

(rm+p)(;i+5f)"«l''.l r

[(S(rm + ;?,r)i - «(rm + y + p,r)*)»

+ 3(S(f7ii+p,r)i--Ä(nn+9+;?,r)*)(S(nn+p,r)»-S(rm+<y+p,r)^^

+ 2(S(rm+;i,r)» - S(rm+9+p,r)»)],

Bei der Anwendung anf einzelne Falle bat man für jedes
bestimmte r wie früher /7=: 1,2^3.... r zu setzen. Dadurch erge-
ben sich alle einem r zugehörigen Integralformen. Hierbei wird
man dadurch gefördert/ dass die aus den Fakultäten bestehenden
Vorzahlen schon frfiher bestimmt sind, und man ihre Werthe nur
einzuföhren bat.

Die Richtigkeit dieser Darstellungen zeigt sich übrigens leicht
Qod insbesondere auch dadurch, dass man sie z^ir Bestimmung
schon bekannter Integrale benutzt. Setzt man ^u dem Ende in
der ersten Form von Nr. 6) y = 3, r=2 und p=l, 2, so ist:

0

y *a*M-»\^F::^lga:9x=-j5iT«[*(2in +2,2)»-S(2m +5,2)»].

Diese Gleichungen haben den nämlichen Werth, wie die in
^r. 3) und 4) $.51) aufgestellten. Bemerkt man nämlich, dass

.S(2m+l,2)i-S(2m+4.2)t =2^^:1:2 +2;rV -2^?2

* +lg2-(l-J + i-i + . ...-!•).

S(2m+2/2)i-S(2m+5.2)i=2-^^+2j^2-2lÄ:3+2^T^

1 _lg2 + l-i + i-i+.... + s *

• -

ist, wenn die Reihen vervollständigt und die ergänzenden Glieder
abgezogen werden, so erhält man sofort durch Einführung

498 Oeitinger: Ueöer bestimmie Integrale.

*

7)

0

8)

^a!^^^VT^^^\gxBx

0

dies« sind die Gleicbungeo, wie sie in $. Sl« gegeben ivurdeo.

Soll die zweite Form in Nr. 6) benutzt werden, so erbSit mao,
wenn r = 2» 9 = 3, p=:l, 2 gesetzt wird, ausser den eben an-
gegebenen Reiben, wenn eben so verfabren und die feblenden
Glieder in den Reiben ergänzt werden :

, ,S(2m+l,2)«-Ä(2m + 4,2)«

"T {2m +^)« •"•; (2m + l)«""(2m+2)«"*'(2m + 3)«~""*

"" (2m+2)« + 'S'(l'^)'-(* -"2« + Ja — ••••-(2^'

S(2m + 2,2)« - S(2m+ 5,2)*

(2m + 3)«^ (2m + 2)« (2m + 3)«^ (2m-|*4)« •••

^^^P3jä — S'(l,l)«+ 1 — P + gj — P— . . .. +P— Pi^

»•

Da 5'(I,])*= ja ist, so ergeben sich ans der zweiten Form
TOD Nr. 6) folgende zwei Integral forroen :

. 9)

/

a:«mVl— a:«(lgj:)«8j:

= 2^^. [(S(2m+1)» -S(2m+4,2)»)«+ 5(2m+I.2)«-S(S5m-H2)*l

0 eilin ff er: lieber bestimmte Integrale. 499

10)

= i5TT»[('S(2m+2,2)>-S(2m+5,2)»)«+ S(2m+2,2)«-S(2m+5,2)«]

+ (2iii+3)«""l2+^ 55+ 3«"" ••+(2iii + l)«J'

U. 8. W,

Diese Methode fährt immer zum Ziele. Sie ist jedoch bei
Bestimmung der eiDzelneo Fälle» wie man sieht, mit mancherlei
Weitläufigkeiten verbunden. Darum theilen wir noch folgende ein-
fachere Methode mit.

§. Ö3.

Die zweite Methode besteht darin, dass man den Ausdruck
Nr. 3) §. 62. auf die einfachste Form durch Zerlegung sutilck-
bringt, und nach den fallenden Potenzen von as, wenn diess zu-
lässig ist, ordnet. Hierbei wird man auf Fornlen geführt 9 die
scboB im Früheren angefljleben sind oder leicht Auf sie zurück-
gebracht werden können. Sollen hiernach die Integrale

• 1

y *a;«»VfIiPi(|gir)«aar, f x^^^Vr^^(\g:K)*dx 'u. s. w.
0 0

bestimmt werden, so ist aas Nr. 3) §. 62., wenn 9:= 3, r =:2,
p = l, 2 gesetzt wird:

1)

-2111+P+1 V

0 0

1 a:*"»+P-i8ar

l+a: •

Wird wiederholt nach m differenzirt» so ergibt sich
a2m~ (2m+p+l)« V 1+«

500 Oetlinger: üeber bestimmte Integrale.

■/■

(a2m)a "" (2m+;?+l)» V ^ +^

o

n. 8. w.

Setzt man nun p=l,2 und werden die Werthe der hieraus
sich ergebenden Integrale aus §. 33. Nr. 2) und 3) bestimmt, so
erhalt man mit Rücksicht auf §. 2. Nr. 9) und 10) ßir p = I :

2)

d¥ _ 1 «,„i«j.i ij.1 _J_

S3^ — (2»n + 2)« ■" * ^*'*^ + ' ~ 2« ■•■ 3« ~ •"• (2»t)»'

8»F 2 , j 1 '1 1 1

(82^= (2^+2)»"*" ' ^'~'^^*~2» + 3»~4»+-~(^+T)»^'

för p = 2:

3)

öK 1 11 1

al^ =~(2^+3)ä + *'(U)»— (l-gä + 3ä -•••• + (2^+1^'

(82^= (2»n+3)» -2S'(l,l)»+2(l-28 +'31 — ... . + /jj^^.!)»)-

Werden diese Werthe In die zweite* and dritte Form §.fö
Nr. 4) eingeführt, so erhält man folgende Integralformen :

/

4)
a;*» VK^Igar)"aa:

2.2"+' la

-I. ^ ■"' n l+i * n

■*■ (2m+2)»^12 ^*~2»"'"3« " ~"(5«)'»'J'

5)
«*»+» Vl'=^(Iga?)«8ar

o

Im-f 2 I 2

[(2^-'s2+»-i+*— •+2^y

^ 11 1 "1

■~"l.'> + l'~0«T "M •'••'T fCt^ • l)«J

(2m+3)« 12^' 2«^ 3« "^(2»«

Oe t tinger : Veber bestimmte Integrale, 501

6)

2.2m+i|a

[(2^+'g'^-(»-*+*— -24.)

/ 1 . »« ,, 1 . i 1 \

^ V(2m+2)« + 12""^ 2" ■•■ 3«""-- •" (2m)V

7)

=-is+iT«LV2^rF3-'82+ *-*+*"• ••+(2;r-rr);
+<2-i;rp-'82+i-i+*-+2ii): .

• 1 ?! 1 1.1 1 \

^V.(2in + 3)«.~ 12 + *~2«+3*~"- "•'(2ot+1)V
Hieraus leiten sich folgende Integrale ab: ' '

8) .

VT^:^« (ig.r)«ax = f [(1 + ig2)« + ^ + ij ,

o

/i IQ ^a

0

J'\*Sri^x^(\gx)*dx = ,-g[(lg2-i)>+ ß-jß],

0

/i ^ „ 2|-/31 . „\» 811 «»T

^•^i-^'(ig^)«a^ = b|_(3ö-I82; +9ÖÖ-T2J

0

f ' X* Vr^« (Igar)« 8ar = g [(Ig 2 - .y« + ß - ^] - .

502 Oettinger: lieber bestimmte Inieffrale.

o

0

I

U. 8. W.

9)

o
= -J(i+lg2)»+3(4+lg2)(g + j)+2(S + S'(U)»)J,

= -U«-lR2)»+3(J-lg2)(y- iQ+2(P-S'(l.l)»)l.

/* ^ ar«Vl— ««(Ig ar)»8«

= - S [(•g3-i)»+ 3(lg2-i)(g - y) + 2(5'(I.I)» -g)].

o
5

= -3^[(lg2-f2).+3(lg2-A)(g-D+2(mi)»-j^J.

O. 8. W.

Obgleich diese Darstellungen zierolicfa ausgedehnt eraeheineo,
80 wird doch ihre Werthbestimmnng dadurch sehr erleichtert,
dass die Werthe der zwei ersten Glieder in Nr. 9) schon in Mr. 8)
angegeben sind und daher nur noch das dritte zu bestimmen ist.

O^ttinger: Veber bestimmte InUffTült. 503

§. 64.

Setzt man r=:4^ 9=6 in Nr. 3) §. 62.» so erbfilt man bei wie-
derholter Differontiation för F:

1)

o 0

0

2)

ar 1 /**g*"+i»-'lgx8a;

34»»^ (4m+p+2)»'»'y l+a»

0

3)

a;«

8a:

»+/

(84m)«^ (4III+P+2)» ^y 1 +±«

0

Wird nun in diesen drei Glelchnngeo p&=:I» % 3, 4 gesetzt,
and werden die bezüglichen Wertbe für Nr. I) aus §. 9. Nr. 6) und
för Nr. 2) nnd 3) aus §.39. Nr. 2)— 4) eingefiibrt, indem man t—\,
2 schreibt, s« erhält man aus den Gleichungen Nr. 4) §. 62, fol-
gende Integralformen:

4)

_3J-I4^2ip/_JI_ « 1_Y

■■32.7<»I«(llli)«LV4»»«+3 + 4 ^'— ♦+» •• 4m-I/

+ (4in+3)« + *'^''''^^*~^'~^"*'6«-~(4m-l)«)J'
0

1"!*« r/ 1 1 X"

+ (4w+4)»'*'48~*^* ~2«"'"3»—~(2m)«'J'

33»

504 Oettimper: Ceber bestimmte hOetraU.

6)

C * «*»»« vi-««Og«)»a«

o
= 8.1»»t*i«(l»|i)«L^4m+5 4+' *+' — ^4«+iy

7)
o

=2:?i^[(4iirr6-*'82+*(i-4+*-.-+srriO'

+ (4iii+6)«~ ;ß+4(i-i5+p— •+(^■+1)^1

8)

/^ * Ä^ Vr^^(ig*)»ax

o
= ~32.7-l*(lH»)«Lv4m+3+ 4— (»-*+*••• 4»— iV

I

Q _j II I T

«)

/**a«»HVl-*«(lg*)»a»
«

Oetiinger: (Jeber öestimmie Integraie, 505

10)

o

3-»i*«v^2;; r/ I n 1 Y

11)
2wi« r*/ 1 1 \'

>< ((4m +6)> ~ 48+*^*~2' + 3« "•• + (2m+ l)«^j

Hieraus leiten sieb folgende Integrale ab:

,12)

/' \^r:r^(ig:r)»ax = ^^^[(i + J'+g+S'd.a)«],

0

y*'«VT=^(lg«)»8a;=g[(i+ilg2)«+ j^ + ^],

0

/'^^r::^(lg*)«8:r=^^,[g- J)'+ |-5'(1.2)«].

0

506 Oettinger: lieber bestimmte Itaegrule.

/^»VT^(lgx).a;.=|[(4lg2-l)«+ g-ü],

o

U. 6. W.

13)

o

=^32?Fr^f« + I>'+3»+l)(i + «'(*>2)») + 2(l+0

f'xVl-

'jc*(}ix)*dx

y ' ««VI— a:*(lgj:)»a*

o

=-g[(|-4lg2)« + 3«-ilg2)(^-^ + ^-iS'(l,l)»],

J ' «•Vl-a:*(lga:)»aj:
_ 3g V2^ r/jB li\» /„ ii\ 383

/':r»^l-j^(|gjf).a.

-SW'«2-i)» + 3(Jlg2-i)(g-*{)+äS'(l,l).-|l

a. s. w.

eetttnger: lieber bestimmte Integrale, 507

§. 65.

Auf gleiche Weise Terföhrt man^ wenn r > ^ ist. Es ent-
stehen dann irrationale Ausdröcke mit negativen Exponenten.
Setzt man zu dem Ende in Nr. 3) §.62. r=2^ 9^ = 1» so wird:

1)

2)

82S=f -T+^-'ff^^'
3)

Wird J9 = ly 2 gesetzt und werden die Werthe fär die Inte-
-jqr^Sa: und J ^^^ aus §.2. Nr. 9) und 10) in

Nr.l)Ud die der Inte^ale /' 2!;^, /-^^Ü^^lg^

. f^X^(\gX^dx f^ X^^H\gx)^dx -„^ «r. 1« «X

"^""^Jo r+^ ' 4 rft^ au8§.33.u.ff.inNr.2)

und Nr. 3) eingeführt, so ergeben sich hieraus mit Benutzung der
Integralformen in Nr. 4) §. 62. folgende Integrale:

4)

/l^»([g£)*8«

5)
^1 j.ftiH-i(|ga.)gaa.

_ 2»*a 1 «* 1 1 1

- Vnm [(-'8^+ 1-4+*-' •+2S+1^12+*""P+3*"' •'+(2m+l)*l'

508 Oetttnger: Veber bestimmu InUprale.

6)

% VP^^ - 2.2-1 «l('8 -*-(*-* + *-«+•••• -an,)

+3(ig2-(l-i+i-....-4)(ß-(i-^rl^.— (^)

+2(S'(l,l)>-(l-i + p-^ + ^^)J,

7)

r

+3(-lg2+W+i-...+5^,)(-g+I-^-...+^^^

+2(-S'(l.l)« + l-i + ^-...+(-2^,)].

Hieraus leiten sieb folgende Integrale ab:

8)

•I; vn^ —41^'*'' 2^ +12 4^'

•( VT3^ =«[(6-lg2)»-i5+3§].

/•i£»(lg£)^__8r/47 ,-y ««.3019-1
•( Vl-a:>"15LVeÖ-'«V ~B+36(ÖöJ'

•^ VT:^ -32'^^'*'*~60' ■*'12""1200''

U. 8. W.

9)

Oet tinger: lieber bestimmte Integrale. 509

J[ " ^^g^sr- [(l_|g2)»+3(l-lga)(l-^+2(- Sf{l, I)»+l)l

/i j;«(|gar)»8a?
Vi— a«

=-f [(lg2-g)»+3(lg2-5) (^-l) +2(S'(1.1)»-|)],

/» ar»(lga;)»8ar
o VT=T«

= -![(g~l«2)»+3(g-lg2)g-g)+2(-S'(lJ)>+5^].

/•i a!«(lga;)»8a;

=-ig [('«2- ^/+ 3(lg2 -f^ g_ }>«) +2(S'(1. 1).- g§].

U. 8. W.

Von diesen Integralen bat Legendre das erste in Nr. 8) und 9)
(Traitä d. fonct. ellipt. II. p. 393.) angegeben.

Dieselben Resultate kann man aucb nach der in §. 62. ange-
benen Methode finden. Setzt man in der zweiten Form von
Nr. 6) §. 62. r=2, ^=1, p=l, so erhält man:

10)

+ S(2m + 1 , 2)»— S(2m + 2, 2)«].
Bemerkt man, dass

S(2»»+l,2)i-S(2m+2.2)»=^ip,-2;;j*qp5 + 2;ip3-^+..

= lg2-(l-i + i-i + ....-j^.

510 Oettinger: Veber beiUmmte Inteffraie,

S(2m + 1,2)«— S(2m+2,2)«

__J 1 1 1

""(2m+l)« (2m + 2)*+(2m+3)«'^(2iii + 4)«+ •-

ist, 80 entsteht durch Einfuhrung dieser Werthe in Nr. 10) die
in Nr. 4) gefundene Darstellung. Auf die gleiche Weise kann
man auch die Darstellung Nr. ^ u. s. w. finden.

Bei Benutzung der Darstellungen in Nr. 6) §. 62. erhüt
man durch den Ausdruck Y die Glieder der harmoniscbeo
Reihe nach bestimmtem Gesetze geordnet. Da sie sehr lang-
sam convergiren, so ist dieser Ausdruck nicht gut benutzbar.
Man kann desvregen die beiden in §. 62. und §. 63. angegebenen
Methoden in so weit miteinander verbinden» dass man denWertb
von F nach der zweiten Methode bestimmt , wozu der erste Ab*
schnitt die Mittel bietet, und die librigen Glieder der Formen io
Nr. 6) §. 62. durch lleihen darstellen , zu deren WerthbestimmoDg
im zweiten Abschnitte ausführlich die Wege angegeben wurden.
Auf diese Art wird man oft eben so rasch als bequem zum TaAt

gelangen. Soll hiernach das Integral / T| yrp- — bc-

stimmt werden, so hat man r = 3, ^ = 1 zu setzen und man er-
hält aus der zweiten Form von §. 62. Nr. 6) :

/i a:»'«+P-i(lgar)«aa: (3+»)« I *. 1^ . l-f M

(3m+;i)(l+p)«iM » '
X[(S(3m+p,3)»-S(3in+p + l,3)*)«

+ S(3m + jti,3)«— S(3m+;i + l,3)«J.
Hierin ist:

F±r S(3m+/i, 3)»— 5(3m+jp+l, 3)*

x^-l ^J 1 + ar + a:«"

Wird nun p = l, 2, 3 gesetzt und werden die Werthe der bie-
dnrch entstehenden Integrale

/^ x^dx /•! £»»+ia£ f^ x*^^^dx

Oettinger: (Jeder bestimmte Integrale, 511

aus $.16. Nr. 4) in obige Gleichung eingeführt, so erhält man fol-
geode drei Integralformen:

11)

* a;*"(tga:)*8j:

/

0
4.1«! ».Ä«

2r~/tr 1 1\'''

+ S(3m+1, 3)>— 5(3m+2, 3)«],

/

12)
1 a:»«M^»(lga;)»8;r

(1 — a:»)»
o

2

/

+ S(3m+2, 3)« - iS(fn+ 1, 1)«],
13)

(1— a»)»

+ JS(m + 1 , 1)« - S(3m + 4, 3)«].
Hieraus leiten sich folgende Integrale (är m=0, 1, 2, .... ab:

U)

tt. s. w.

Theil XL. 34

512 Oettinger: üeber bestimmte JrUeffrsUe.

Es zeigt sich hieraus, dass die Verbindung beider Methoden tv

der ausschliesslichen Befolgung der einen oder der Andern Vor

theil bietet.

$.66.

Setzt man r = 4, q=z2 in Nr. 3) $.62., so entsteht:

1)

2)

=/

Hm^J 1 + Jr*

3)

(84iii)* "" J 1 + ar«

Wird j[ic=l,2, 3, 4 gesetzt und werden die entsprechendeD
Werthe aus §. 9. Nr. 6) in Nr. 1) und die aus §. 39. Nr. 2)-5) n
Nr. 2) und 3) eingefflhrt und dann nach §. 62. Nr. 4) verfahren, so
erhält man folgende Integral formen :

_4)

5)
»* 1/1 1 . l * u

— S'(i, 2)* + 1— p + p— -.. + (Sjq:^'

^ 1/1 lj.1 Ij. 1 u

— 4« + »(1 -2» + 3«~4i+ •— + (2bi+1)»'J'

Oettinger: üeber bestimmte integrale, 513

8)
/•' x*"{\gxydx V»\*.n.y/lür/n _JL_^Y

+3(f-(l-i+i-....-4-*:i))(S'(l.2)Ml-^p-~.-3^,)^

9)

/•' J*H-i(lg:r)»aa; l"'*-«ra,,o in .+1 ^.8

•^ VTi:^ =-4:^5T«Ki'82-i(I-, + i....-2^))»

+3(llg2-4(l-{+J....-2ii))(j^-i(l-^+i-....-^,))

10) _

•( VT^^ ~ i6.i"+M4(itii)«iv-4+*-*+s— •••+4„^i;

n^ \ \ 1

+ ^^""32 + ' ""3» "*■ p~-+ (4m+l)»^J'

11)

+3(-4lg2+i(l-l+i-...+^l))(-|%Kl4.+p--+(^lji))

Hieraus leiten sich folgende Integrale ab:

12)

514 Oettinger: Veber bestimmte Integraie.

/•' ^(ig^£__jrV> r/« ?Y-iÄ'ri2^» n
/•' ^r(lgx)^_ 1 r/5 .„Yo-^' "1

A vT^-^ -ßUB"''«^ +36- rd'

u. s. w.
13)

/' (lgx)»8a: _ «V2« rw« 3«. ■$'(1.2)« »»-|
o 'V^r^'55 -~4(1-H»)«L64+ 4 +16J*

/' ^^f^=-j:(l^.[(»-f)H3(l-f)(l-5(i.2,«,

+ 2(-^+I)).

^' ?^ög|g£=_ ^[(,_,g2).+3(l-lg2)(I-g+2(l-S'a.l)')l.
i "VT^^~ 12(l-il>)*LU~3; +3(^4-3/«^<*'2)'-^

. -:^^-=-6iWg2-i)H3(lg2-i)Q-J)+2(S'(I,l).-?)].

/• a«(lgar)»8a; _ SaiVg« p/13 wV

+Kän-*'('"')]-

Miscellen. 515

Man kann die Darstellung der hierher gehurigen Integrale leicht
weiter fortßibren. Dies macht um so weniger Mühe, da die Vor*
bediogongen hierzu im Vorhergehenden vollständig gegeben sind.

(Fortsetzung and Schltiss folgen im nächsten Theile.)

Miscellen

Von den Herausgeber.

WlelfttlKe hifftorlselte Mtttltetliiiii^.

Herr Dr. Lindman in Strengnäs in Schweden hat mir
vor Kurzem die folgende sehr interessante Mittheilung gemacht:

,,CeI*^. Hill abhinc duobus annis in conspectu act. Acade-
miae in memoriam redegit dissertationem academicam^ quam
E. S. Bring, Historiarum quondam Professor Lundensis» anno
17S6 edidit inscriptam: ,,Meletemata de transformatione
aequa^tionum algebraicarum.'^ Ex iis, quae addidit Cel<^.
Hill, elucet, Professorem Bring aequationem V gradus in forroam

redegisse, etiamsi non demonstravit» olteriorem reductionem fieri
non posse.''

Dies ist also ganz die Jerrard'sche Transformation *), und
diese wichtige Er6ndung daher schon im vorigen Jahrhunderte in
Schweden gemacht, indem an der Richtigkeit der Mittheilung
des Herrn Professor Hill, dem die Theorie der Gleichungen selbst
so Vieles verdankt, nicht gezweifelt werden kann. Weitere Mit-
theilungen über diesen historisch wichtigen Gegenstand sind jeden«
falls sehr zu wünschen. Nach meiner Meinung kann es in histo-
rischer Rficksicht zunächst nicht darauf ankommen, wie weit
Bring seine Erfindung ausgebildet hat; unter allen Umständen
gebührt ihm die Priorität des Grundgedankens, und es wird da-
her nur Gerechtigkeit geübt, wenn man die Reduction der Glei-
chungen des fünften Grades auf die obige Form von jetzt an:

*) M. s. den Aufsatz Nr. XIV. in diesem Bande S. 230.

516 Stiscellen,

,,Die ßriDg'sche Transformation der Gleiebongeo de^

fünften Grades'*

nennt > wie ich von jetzt an in diesem Archiv thun werde.

Dass Jerrard den Gegenstand wohl verallgemeinert bat.
wird natürlich stets and zu allen Zeiten gleichfalls besonders
anzuerkennen und hervorzuheben und in den Annalen der Wis-
senschaft zu verzeichnen sein ; belegt man aber einen mathe-
matischen Satz oder eine mathematische Methode mit dem
Namen eines Erfinders^ so soll dies nach meiner Meiomig
immer der erste sein, der, wefcber den Grundgedanken xo-
erst hatte; denn mathematische Sätze sind bekanntlich in video
Fällen wiederholt erfunden und dann Weiter ausgebildet worden,
wie dies auch jetzt noch oft genug vorkommt

Herrn Dr. Lind man sage ich schliesslich noch meinen gaDE
besonderen verbindlichsten Dank fiir die obige interessante Mit-
theilung, und denke bald a«f diesen widitigeB Gegenstand zu*
riickzukommen, um Erland Samuel Bring's Verdienst in rieb*
tiges und vollständiges Licht zu stellen. Granert

Von Herrn G. Haat-ioaaK, ÜMi^testan d«r Geverbediale in Erlangen

Lehrsatz.

Veizeichnet man iber der Sehne AB (Taf. lU. Fig-d
und Fig. 7.) als Grundlinie ein Dteieek« welches seiae
Spitze D in einem beliebigen Punkte der Peripherie
hat, bezeichnet ferner* den Durchschnittspankt der
HSben des Dreiecke m\CO, z^ieht vem Centram C Mi
die Gerade CG senkrecht zu AB und macht endlieb
GM=^GC, so iä4s\ sieh behaupten« dass;

\) DOzsCM, 2) iVO=RadIim CZ>ist*>.

, « Beweis.'

Man ziehe als Hilfslinien den Duccbiiefiser A V und die Ge-
raden BVs DV und BX, so verhält eich:

BriGC=zAr:AC

= 2:1,
woraus BV=iiGC=CW.

Es sind femer die Peripheriewinkel auf Bogen DB einander
gleich, nämlich:

*) M. 8. Archiv. Thl. XIXIX. S. 352.

MIteellen. 517

^D2LB=^DAB=a, folglich ^AD£=90»-o, ^EOB=a;

daher ist ^OBX gleicbschenklig, d.h.:

XB = OB.

Weil aber XD || F^, so ist Bogen XB = Bogen VD und

Sehne J:JB= Sebne VD, somit auch OB—VD;

daher Mereck DVBO ein Parallelogramm und

I) DO:^Br=zCJU.

Weil non Z>0= and |) CiRT, so ist auch CDOM ein Parallelo-
gramm und endlich:

2) MO=CD.

Ueber Leonhard Eoler.

Ans 4er Correipondance niath^niatlqae et phytiqiie de qnol-
qiie» c^l^bre« G^om^trei du XVIII^e si^cle par P. H. Fna«,

mitgefheni toid Herausgeber.

,,II parait qu'ayant Tarriv^e de mon pöre, qui eut lieu en mai
1773, Euler s'^tait laiss^ alder tant<)t par l'aD, tant6t par l'autre
des nombreux ^löves qu'il comptait parmi ses colldgues. Dans
un grand in-folio que je conserve soigneusement et qui renferme
les premi^res ^bauches des m^moires d'Euler^ ant^rleurs k
i'^poque mentionnee, je crois recO|)naitre surtout la main de
Krafft, ainsi que celles de J. A. Euler et de Lezell; roais je
m'aper^ois aussi que souvent ils se sont conteotäs d't^baucher
simplement les memoires, sans se donner ensuite la peioe de les
rediger finalement, ce qui fait que ce volume^ aiosi que trois
aatres qui le suivent, et que je possöde ^galement, sont Berits
de la main de mon pöre. Euler avait dans son cabinet une grande
table qui occupait tout le milieu de la piöce et dont le dessus
^tait recouvert d'ardoise. C'est sur cette table qu'il ^crivait, ou
plut<)t indiquait ses calculs en gros caractöres« trac^s avec de la
craie*). Chaque matin, son 4\^ve se pr^sentait chez lui ponr lui

*) Quaod il Toulait prendre de Texercice, ce qai arrirait k des heu-
rei r^galidres dn jour, il arait Thabitude de se promener aatoiir de
cette table, en glissant la main le long des bords, ponr se gnider.
Ces bords, par le fröqaent utage. ^taient lisses et Initants comme dn
bois polL

5X8 Mitcellm.

faire lectare soit de sa vaste correspondance (dont la conduite lai
^tait enti^rement confiee), soit des feuilles politiqaes, soit enfio
de qaelqae nouvel ouvrage digne d'atteDtion; od s'entretenait de
diverses inati^res de la scieoce, et le maitre» k cette occastoD^
se prdtait avec complaisance ä lever les doutes et k rösoudre les
difBcult^s qae l'^l^ve avait reneontr^es dans ses ^tudes. Qoaod
la table ^tait couverte de calculs^ ce qui arrivait souvent, le maitre
confiait ao disciple ses conceptions toutes fraiches et röcentes, et
lai exposait la marche de ses Id^es et le plan g^n^ral de la H-
daction, en Itii abaodonnant le sein du d^veloppement des caicols,
da choix des exemples et de l'exeeation des dötails; et ordinal-
rement ceiui-ci lui apportait dös le lendemain le croqais do
memoire inserit dans le grand livre dont nous avons parl^ ci-
dessas (Adversaria mathematica). Ce croqais approov^, la
pi^ce ^tait r^digöe au net et pr^sentöe imm^diateroent ä TAcadö-
mie. La force de la memoire que le vieillard avait conservee, et
que peut-^tre la privation de la vue avait encore aiguis^, Tai*
dait adniirablement dans ces sortes d'entretiens, ainsi que dans
la lecture des ouvrages de son c^l^bre kraule, Lagraoge*), et
bieo des fois, poar faire de t^te les calculs les plus compliques,
il lui fallait moins de temps qa*ä un autre la touche k la main;
et encore se troinpait-il que fort raremenf

(M. vergl. über Euler Tbl. XIX. S. 239.)

*) Euter ne Tit da reste pas let grands oovrages de cet illotCit
g^omötre. La M^caniqae analytiqiie, les Le^ons sar le calcol det tee-
tioni et le Trait^ de la r^tolntlon dee ^qaationa nnm^rique«, panireot
apr^s la mort. *

Berichtigung. In der Hauptgleicbung Nr. 4) $. 46. S. 356. , UDfente
Zeile, mu88 et heiiaen:

l!±5!rr 1±SZL\\

1 '' statt 1 »•

Auf S. 445. Z» 2 ▼. u. Iit etatt (c, dy* und («r, by bu tetien (c, 0
und (a, öy — Auf derselb. Seite Z. 3« ▼. u. statt co%*A sn setseo cosil*.

I

UterariseMer Berteht CLYII.

Literarischer Bericht

CLVII.

Antonio Bordonl.

(Von dem Herausgeber.)

Bei dem grossen Aufschwünge, welchen gegenw$rtig die ma-
theoiatischeo Wissenschaften in Italien genommen haben nnd
immer mehr nehmen , scheint es geboten zu sein, in etwas gros-
serer Ausführlichkeit^) an einen Mann zu erinnern, der zwar seit
drei Jahren nicht mehr unter den Lebenden weilt, dessen lang-
jähriges höchst verdienstliches Wirken aber gewiss wesentlich
dazu beigetragen hat, eine Grundlage zu schaffen für den so
schonen Auf- und Ausbau unserer Wissenschaft, wie er in erfreu-
lichster Weise uns jetzt in Italien vor die Augen tritt. Ich meine
Antonio Bordonl, der in seinem Vaterlande allgemein, und auch
im Auslande bei den eigentlichen Kennern des Fachs hochbe-
rfihmt und hochgeachtet, aber namentlich in Deutschland doch noch
nicht so allgemein bekannt ist, wie er jedenfalls zu sein verdient,
wodurch ich zu den folgenden Mittheilungen veranlasst worden
bin. Wenn ich auch über die äusseren Lebensumstände des be-
rühmten Mannes nur die, übrigens recht verdienstlichen, Notizen
im Folgenden zu geben im Stande bin, welche in dem Alma-
naeb der k. Akademie (der Wissenschaften in Wien.
Zehnter Jahrgang 1860. S. 163. sich finden; so bin ich auf
der anderen Seite in die glückliche Lage versetzt worden, den
Lesern^ des Archivs ein ganz vollständiges Verzeichniss aller
Schriften Bordoni's, welches vor Kurzem von dem berühmten
Francesco Brioschi, Prof. Ord. di Analisl superiore
in der Facoltä di seienze fisiche, matematiche e natu-

*) Eine vorlaufige ganz karze Notli ron Bordoni'i Tode i. m. im
Litetar. Ber. Nr. CX\XVII. S. 1.

Tlil,XL.Hft.l. 1

2 UUrariMCher Bfrieki CL7II.

rall iD Pavia^) in sehr TerdieosUicber Weise zusammeogefttelk
worden iet**), weiter unteo Torlegeo zu können.

Antonio Bordoni ist geboren in Pavia am 20. Joli 1789.
und begann seine Lanfbabn im Staatsdienste im Augost 1807 —
also scbon nach vollendetem ISten Lebensjahre — als Professor
der Mathematik an der Militärschule in Pavia. Nach der ia
Jahre 1816 erfolgten Auflosung dieser Lehranstalt Qbernahm er
die Supplirung der Lehrkanzel der höheren Mathematik» der Geo-
däsie und Hydrometrie an der dortigen Universität und wurde am
1. November 1817 zum ordentlichen Professor der reinen MaÜie-
matik an derselben Hochschule ernannt. In dieser Stellung wirkte
er 24 Jahre lang auf höchst erspriessiiche Weise und supplirte
zugleich während dieser langen Reihe von Jahren die Lehrkanzel
der höheren Mathematik^ der Geodäsie und Hydrometrie mit Aus-
zeichnung und ungetheiltem ßeifalle, und hatte sich bereits n
jener Zeit theils durch seine Vorträge, theils durch seine Schrif-

*) An welcher, beiläufig gesagt, sieben ordentliche Profei-
soren der Mathematik angestellt sind, näinlich: Caspare Jfai>
nardi, Prof. Ord. dl Calcolo differenciale e integrale; GioTanoi
Codaxia, Prof. Ord. di Geometria descritciva; Alberto Gabbi,
Prof. Ord. di Geometria saperiore; Francesco Cattaneo, Pro£ OH.
di Meccanica raxionale; Franxesco Brioschi, Prof. Ord. di Aaaliti
soperiore; Iiuigi Contratti, Prof. Ord. di Geodetia teoretica; Pelice
Casorati, ProL Ord. di IntroduEione al Calcolo snblime; und aoMcr-
dem liest im Anno scoUstico 1861—62 il Docente privato Dott. Bernar-
dino Speluiil (soviel ich weiss jetxt anch Professor) eiaco Cerss
di Calcolo differenziale e integrale. Prof. Ord. di Flsica sperimei-
tale ist GioTanni Cantoni. — Eine eben SO grosse Anzahl vss
Professoren der Mathematik ist an der UniTcrsität la Bologna ange-
stellt, nämlich: Santo Ramenghi, Prof. d'lntfodnEione al Calcels;
Domenico Chelini, Prof. di Meccanica Razionale; Loren zo Res-
pighi, Prof. di Astronomia; Antonio Saporetti, Prof. di Calcels
SablSme; La igt Cremona, Prof. di Geometria Saperiore, ed Ineari-
caCo deir insegnamento della Geometria DescrittiTa; Matten Fiorlsi,
Prof. di Geodesia; Qairico Filopanti, Prof. di Meccanica Applieata;
Professoren der Phjsik sind: Lorenio Della Casa nnd Ginli«
Carini; endlich ist Cav.ForConato Lodi Pro^ di ArchiteltBra. Viele
bekannte und bernbmte Namen. — Mögen diese Mitthetinngen über dw
grossartige Aasstattaog des mathematischen Faches an awoi berihniea
italienischen Universitäten dazu beitragen, Tiele ganz falsche Ansidite»,
die sich bei uns in Dentscbland zuweilen ober das italienische Lebrveeea
noch geltend zu machen suchen, gebührend zurückzuweisen nnd zu be-
richtigen!

*') Um, wie Brioschi selbst sagt, „soddisfare ad an desiderh» ee-
pressoci in Tarle occasioni da molti cultori dellc scienze matematieh«.'*

UtBrariseJker BericMi ClYU. 3

tea eioeii europäUebeD Ruf erworben» so ims er aobestritten zu
den gelehrteeten uod aiMgezeichoetsten Matbemutikern seiner Zeit
gehorte. Am 29. Mai 1841 wurde er seinem Wunsche gemäss
nit der Lehrkanzel der Geodäsie und Hydrometrie, die er so
lange und mit solcher Auszeichnung supplirt hatte, als wirklicher
Professor betraut, und durch Allerhöchste Entschliessung vom
27. August 1844. in seinem 5Östen Lebensjahre zum provisorischen
Director der mathematischen Facultät von Pavia ernannt. Nach
44jibriger Dienstleistung im 63sten Lebensjabre ward er unter
dem 10. April 1852, unter Bestätigung in dem £hrenamte eines
Directors der mathematischen Facultät, seiner Obliegenheit als
Professor der Geodäsie und Hydrometrie enthoben, um sich ganz
der Direction der mathematischen Studien zu widmen. Im hocb-
steo Grade ausgezeichnet durch Reinheit und Festigkeit des Cha-
rakters und, wie alle, die das Glück hatten, ihn zu kennen, be-
zeugen, durch die grosste Bescheidenheit, starb er am 26. März
1860 im 71sten Lebensjahre. Er war Ritter des Ordens der
eisernen Krone und Commandeur des Franz-Joseph- Ordens,
Mitglied vieler gelehrter Gesellschaften, indem er sich nament-
lich auch unter den 40 Akademikern befand, welche bei Grfin-
dong der Akademie der Wissenschaften in Wien am 14. Mai
1817 vom Kaiser Ferdinand zu ersten Mitgliedern dieser gelehr-
ten Körperschaft ernannt wurden. In der letzten Zeit seines Le-
bens ward ibm noch die glänzende Auszeichnung zu Theil, dass
ihn des Königs Victor Emanuel von Italien Majestät zum
Senator des Reichs ernannte.

Bevor ich diesen Notizen das oben erwähnte von Herrn
Brioschi zusammengestellte sehr verdienstliche Verzeichniss
aller Schriften Bordon i 's folgen lasse, erlaube ich mir Folgen-
des zu bemerken;

Von den vier grösseren Werken Bordoni's:

1. Trattato dei contorne delle ombre ordinarie.
1816.

2. Trattato di Geodesia elementare. 1822. 1843.
1859. mit mehreren Nachträgen, die man in dem unten
folgenden Verzeichnisse angegeben findet.

3. Lezioni di calcolo sublime. Tomo I. II. 1831.

4. Sopra gli esami scolastici. 1837.

mid mir die drei letzten genau bekannt, wogegen ich das erste
leider noch nicht kenne.

4 Uter arischer Bericht CLYIL

Was den Trattato diGeodesia elementare betrifft, so
müssen die Leser in diesem schönen und hScbst interessaBte«
ßucbe ja nicht eine gewöhnliche praktische Anleitung zur Feld-
messkunst suchen, indem dessen Tendenz eine viel höhere ist.
Denn dieses Buch enthält eine ungemein reiche Sammlung höchst
interessanter rein geometrischer Sätze, die in der sogenannteo
neueren Geometrie sämrotüch einen sehr ehrenvollen Platz rai*
nehmen wGrden und ganz dem in derselben waltenden Gei^e
entsprechen. Freilich können alle diese Sätze höchst wichtige
und leichte Anwendungen in der elementaren FeldmesskuDst fin-
den mittelst blosser Alignements, wozu denn auch keine anderen
Instrumente als, ausser den gewöhnlichen Baken oder Abstede-
stäben, höchstens noch die Kette und das Winkelkreuz erfordere
lieh sind; aber die Bedeutung dieser Sätze ist eine viel höhere
und eine rein theoretische. Daher zeigt dieses interessante Werk
auf die deutlichste Weise, wie wichtig die reine Wiesenschaft auch
iiQr die gewöhnlichste Praxis ist, und wie schöne Anwendungen
sich oft von an sich ganz rein theoretischen Sätzen machen lassen,
was man auf den ersten Anblick häufig gar nicht ahnen sollte.
Die von Bordoni gewählte Darstellung ist auch durchaas eine
rein geometrische, nicht analytische, wodurch das Werk sich we-
sentlich von der, eine ähnliche Tendenz verfolgenden verdienstii-
eben Schrift von Servois: ,, Solutions peu connues de dif-
f^rens problemes de Geometrie pratique, pour servir
de Supplement auz Traites connus de cette science. A
Metz. AnXIl.*' unterscheidet, worin mehr die analytische Darstel-
lung festgehalten ist, und das, auch schon dem äusseren Umfange
nach, namentlich aber an Reichthum schöner geometrischer Sätze,
das Werk von Bordoni nicht im Entferntesten erreicht. Sehr ver-
dienstlich sind in ähnlicher Richtung auch die ,,Problemi pergli
Agrimensori con varie soluzioni^' von dem berühmten Mt-
scheroni (Pavia. 1793), und eine deutsche Schrift von Professor
Pross in Stuttgart; aber keine dieser Schriften erreicht an Umfang.
Reichthum, Neuheit und Interesse der Sätze in rein geometri-
scher Beziehung das treffliche Werk von Bordoni. Ich benatu
daher diese mir sehr erwünschte Gelegenheit, auf dieses in jeder
Beziehung ausgezeichnete Werk aufmerksam zu machen, namentlidi
auch alle Lehrer an höheren Unterrichtsanstalten, welche die
Hauptsätze der sogenannten neueren Geometrie in den Kreis ihres
Unterrichts aufnehmen, und, wie es namentlich auch auf den hö-
heren Realschulen Pflicht und bei uns in Preussen Vorschrift ist,
der Anwendung der reinen Geometrie die gebahrende Berücksich-
tigung zu Theii werden lassen. In keinem Werke werden sie
mehr zweckentsprechenden Stoff finden als in dem genannten^ von

Werariscker Berie&i CIVIL 6

dem daher eine Verpflanzung auf deutschen Boden dareb eme
Ueberaetsung sehr zu wünschen wSre. Die Werke von Maacbe-
roni (man denke nur auch an dessen „Gebrauch des Zirkels^
flb ersetzt von Gruson. Berlin. 1825.) und namentlich von
Bordoni zeigen deutlich, wie man auch in der ar^gedeuteten Be-
ziehung — nämlich die schSnste und reinste Theorie so bald «Is
m&glich zu fruchtbarer Anwendung zu verwertben, — in Italien
bei'm mathematischen Unterrichte vorgeschritten ist. Möge dem
Werke von Bordoni hiedurch auch bei uns in Deutschland die
so sehr verdiente Anerkennung zu Thcil werden!

Die Lezioni di calcolo sublime. Milano. 1831. (Zwei
starke Bände) sind zwar noch ganz im Geiste der derivirten Func-
tionen gearbeitet, aber von diesem Standpunkte aus jedenfalls ein
wahres Muster grosster Klarheit, Präcision, Consequenz und logischer
Ordnung und Schärfe, mit ausgedehnten Anwendungen auf die Geo-
metrie^ auf die Maxima und Minima u. s. w. Besondere Beachtung
verdienen auch die Partieen, welche die Integration der Differen-
tialgleichungen betreffen, ferner die sehr klare Darstellung der Varia-
tionsrechnung von dem Standpunkte der damaligen Zeit« die aus-
fuhrliche Bearbeitung der Rechnung mit endlichen Differenzen
und Summen, die Integration der Differenzengleichungen u. s. w.«
so dass dieses Werk jedenfalls auch gegenwärtig noch die sorg-
fältigste Beachtung verdient.

Die Schrift: Sopra gli esami scolastici, in Deutschland
bis jetzt wohl fast ganz unbekannt, ist von sehr grossem Interesse
und» streng genommen, ein wirkliches Werk fiber Wahrscheinlich-
keitsrechnung, angewandt auf den auf dem Titel genannten Ge-
genstand — nämlich das PrOfungswesen — , in welchem der Ver*
fasser zugleich eine grosse Geschicklichkeit in der Anwendung
der Differenzen- und Summenrechnung (directe und inverse Dif-
ferenzenrechnung) au den Tag legt. Die Vorrede scbliesst mit
den Worten: „Collo studio di queste medesime ricerche i gio-
vani esarainandi, non solo si abiliteranno, como si h detto, a pre-
vedere i'esito di ogni loro esame, ma ben anco, staute la esten-
sione di aicune di esse, a sottoporre a calcolo, mediante massime
opportune, loro suggerite dal buon senso, le probabilitä relative
ad altri eventi emergibili nel corso della loro vita; per cui all'
uopo potranno scientemente pronosticare su questi eventi, ed anco
Valutare gli analoghi pronostici fatti dagli altri; vale a dire si
abiliteranno ed abitueranno a quel sohrio pronosticare snile cose,
che k tanto utile, segnatamente ai giovani/' Ich gestehe, dass ich
mit diesem Werke eben erst jetzt bekannt geworden bin,
ond ninss mich vorläufig mit der vorstehenden Notiz begnügen,

Q UlerariMCher Beriehi CIVIL

hoffe aber späterhin auf dasselbe zurficksukommen, iodeoi ich jetzt
im Nachstehenden das Verzeichniss aller Schriften Bordosl's
niittheilen vrerde«

INDICE DEI TRATTATI E DELLE MEMORIE

I^Ublicate dal Professore ANTONIO BOBDONI, Senatore da Begno, eoc

Crediamo soddisfare ad un desiderio espressoci in varie oc-
casioni da molti cultori delle scienze matematiche, pubblicando la
segueote nota dei trattati e delle principali memorie dovotC'al
professore Antonio Bordoni. II complesso di quelle pnbblicazioni
costituisce un monumento di gloria italiana, e la nazione deve
essere grata all'nomo che seppe elevarlo anche in niezzo a pesanti
e svariate oecupazioni scolastiche. Noi potremmo faciimente mo-
strare quanti nuovi acquisti per la scienza siano contenuti in quei
lavori, e rivendicare nello stesso tempo alTItaiia aicune scoperte
straniere; roa conosciamo' troppo da vicino T illustre autore per
dubitare che quest* opera possa tornare a lui grata.

Prof. Francesco Brioschi.

Numero Anno dells

progressiYO pnbblicaikKX

1. Nuovo rapporto tra ' la teoria del centro di gravita e

quella della composizione delle forze, pubblicato nel 1811

2. Sopra le linee e le superficie parallele 1812

3. Sopra requilibrio di un poligono qualunque I8I4

4. Suir orobra nello spaccato ordinario di una volta eroi-
sferica 1814

5. Suirombra del Toro, deH'Ovolo, della 8cozia e dello
spaccato di una volta eroisferica 1815

6. Nuovi teoremi di meccanica elementare 1815

7. Trattato dei contorni delle ombre ordinarie 1816

8. Sul moto discreto di un corpo 1816

9. Nuovo'teorema di Dioamica, ossia relazione fra i suc-
cessiyi moti instantanei che hanno Inogo nel moto
continuato di un sistema libero qualunque, su cui non
agiscono forze acceleratrici esteriori, e fra le forze £•

nite che possono produrre i medesimi movlmenti . . 1818

10. Sulla composizione delle forze e sui momeoti di esse
senza i'uso di angoli J818

11. Sul nuovo torno immaginato dal sig. ingegnere Carlo
Parea, ispettore generale e direttor^ dei lavori del
canale di Pavia 1818

12. Proposizioni teoricbe e pratiche trattate iu pnbblica
scuola, raccolte e pubblicate in dne riprese dal dottore
Domenico Danione 1819

Lilerarischer BerUhl CIVIL 7

Numero Anno della
progreBATO pnbblicazione

13. Trattato degli arginl di terra 1820

14. Soll' eqaHibrio deile eurve a doppia carvatara, rigide«
OTvero compIetaroeDte o 8olo in parte elasticbe . . . 1820

15. Proposizioni di Geodeaia elementare 1821

16. Suireqallibrie astratto delle volte 1821

17. S^i aistemi di dne forze eqnivalenti fra loro e ad an
qaaloBqve . ^ 1821

18. Trattato di Geodesia elementare 1822

10. Sai contomi delle penombre 1822

20. Sopra I momenti ordinarii 1822

21. Sopra le linee uniformemente iHnrainate 1823

22. Annotazioni alla Meccanica ed Idranlica del Ventnroli,
cioö dimostrazioni fatte colle derivate, di tntte le qni-
stioni dtpendenti dal calcolo sublime 1823

23. Sofia distanza delle linee e delle superficie aventi le
nonnali commnoi , - • • ^^^

24. Salla Stereometria 1824

25. Sui cnnei dei ponti in isbieco 1826

26. Sulla, regola Guldioiana . . . .' 1827

27. Altre proposizioni tecnicbe e praticbe trattate in pub«
blica scuola, raccoUe e pubblicate dal dottore Carlo
Pasi, aicune neli'anno 1829 e le altre nel 1830 . 1829-1830

28. Lezioni di calcolo sublime mediante le pure derivate 1831

29. Sulla economia dei lavori 1831

30. Secoinda edizione delle Annotazioni allaMeccanica del
Venturoli« con piü variazioni ed agginnte 1833

31. Suirequilibrio delle völte considerate cemposte di cu«

nei finiti 1833

32. Sülle figure isoperimetre esistenti in qualsivc^lia
superfieie 1833

33. Sulla inteosilä delle variazioni delle quantitä .... 1833

34. Trattato delle divise dei caropi e delle campagne . . 1834

35. Sülle svolte delle strade ordinarie . 1835

36. Ricerche sugli esami scolastici 1837

37. Sugli esami, ossia sul merito di un esaminato .... 1841

38. Raccolta di proposizioni matematiche^teoriche e praticbe 1842

39. Seconda edizione del trattato dl Geodesia elementare

con variazioni ed aggiunte 1843

40. Mota relativa alla seconda edizione della Geodesia
elementare 1843

41. Sulla intensitä delle ioflessioni delle curve piane . . 1843

8 Uler arischer Bericht CLVil.

Numero Anno ddU

progresBivo pubWicMiwie

42. Elemeotari dimostraziooi dell^ formole per le portale
delle bocche ordinarie; con una nota sul moto stabiliCo

e libero di ud velo d'acqua in un plaao verticale . . 1844

43. Sulüacqua uscente da una bocca 1816

44. SulL*equUibrio e la stabilitä di an terrapienp . • . • 1847

45. Nota = Sui poligoni inscritti o circosoritti ad un eliaae

e sui poliedri injscriUi e circoscritti ad un eUisoide . 1853

46. Nota = Sülle probabilita 1852

47. Nota = Sul centro di piü, forze 1853

48. Nota = Süiracqua uscente da una bocca, con nota
suir.econouiia dei lavori 1853

49. Nota= Sülle superficie 1853

50. Nota = Sulla Geometria analitica 1855

51. Nota = Sul parallelifimo 1858

52. Terza edizione della Geodesia elementare, assai dif-
ferente dalle altre due . * ^ . • 1%^

Furono pubblicaüi

Cogli Atti delta Societä Italiana in Modena, i numeri 1, %

8, 11, 14, 16, 24. 26, 44 - N. 9

A parte colla Staniperia Reale, i numeri 3, 7, „2

Nel Giornale di Fisica, ecc, di Pavia, i numeri 4, 5, 6, 9,

10, 12, 17, 19, 20, 21, 23 „11

Colla Stamperia Bizzoni in Pavia, i numeri 27, 38, 39, 40,

42, 43, 48i 52 „8

Colla Stamperia Giusti in Hilano, in numeri 13, 15, 18, 22,

25, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36 , U

Cogli Atti deiristituto Lombardo-Veneto, i numeri 37, 41, 46,

47, 49, 50, 51 „ 7

Col Giornale del Tortolinl a Roma, it N. 45 . „ J

Febbrajo 1860. N. 52

Alle diese Schriften sind eine Fundgrube neuer Ideen, mit
denen Bordoni oft seinen Nachfolgern vorangeeilt ist, ohne da»
von denselben seiner gedacht ivorden wäre.

Am 21sten December 1862 starb in Wien

Dr. Karl Kreil,

der hochverdiente Director der k. fc. Centralanstalt fär Meteorolo-
gie und Erdmagnetismus und Professor der Physik an der Wiener
Universität Die Wiener Zeitung vom 23sten December 1862
theilt die Nachricht von seinem Tode mit folgenden Worten mi-

Ufer arischer Bericht CIVIL 9

»»Herr Dr. Karl Kr eil, dessen Hlnschekien wir gestern ge-
meldet haben» gebGrte unter jene seltenen MSnner, denen die Pflege
der Wissenschaft über Alles geht und die ihr mit unermüdlichem
rastlosen Eifer das ganze Leben widmen. Es kaon nur die Auf-
gabe eines auf der HShe der Wissenschaft stehenden gewandten
Biographen sein, die einflussreiche Wirksamkeit dieses weit über
die Grenzen des Kaiserstaates hinaus mit Recht berühmten Ge-
lehrten erschöpfend zu schildern. Er war es» der mit anderen
Koryphäen der Wissenschaft den ersten Kern unserer Akademie
der Wissenschaften bildete» welche belebend für das wissen-
schaftliche Streben in Oesterreich wirkte.

Ursprünglich zum Astronomen bestimmt» gelang es ihm nicht»
eine seinen eminenten Eigenschaften entsprechende Wirkungs-
sphäre zu erlangen. Die Folge war eine unerwartet günstige.
Er Ist» mit Recht kann man es sagen, der 8ch5pfer einer neuen
Wissenschaft in Oesterreich geworden: der Physik der Erde.
Insbesondere hat er filr den schwierigsten und delikatesten Theil
der einschlägigen Forschungen auf dem Gebiete des tellurischen»
Magnetismus in unserem Vaterlande die Bahn gebrochen» auf
welcher jetzt vielseitig und rüstig fortgeschritten wird.

Nicht minder gross ist sein Verdienst um die Pflege der Me-
teorologie in Oesterreich» eines zweiten so einflussreicheu Zweiges
der Physik der Erde. Wenn auch die Gründung der k. k. Cen-
tralanstalt für Meteorologie und Erdmagnetismus» deren Wirksam-
keit bereits eine eben so tief eingreifende als vielseitige gewor-
den ist. zunächst von der kaiserlichen Akademie der Wissen-
schaften, Insbesondere ihrem gefeierten und hochverdienten Prä-
sidenten Sr. Excellenz Freiherrn von ßaumgartner ausging, so
war es doch auch der Verblichene» dessen Ansicht und Gut-
achten bei allen Organisirnngs-Operaten eingeholt und als mass-
gebend berflcksichtigt worden ist.

Es wird eine der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften
wQrdige Aufgabe sein» das Leben und Wirken dieses bedeutenden
Mannes wenigstens in seinen Hauptzügen entsprechend zu schil-
dern und ihm bei der nächsten feierlichen Sitzung ein biographi-
sches Denkmal zu setzen. ''

Ueber Kreil's äussere Lebensumstände muss ich mich für
jetzt auf die folgenden» mir von befreundeter Hand mitgetheilten
kurzen Notizen beschränken. Er wurde am 4ten November 1798
zu Ried in OberOsterreich geboren» studirte in Kremsmünster»
absoWirte an der Wiener Universität die juridischen Studien»
begann auf der dortigen Sternwarte als Eleve der Astronomie seine
Laufbahn und kam dann bald als Adjunct auf die Sternwarte nach
Mailand. Später erhielt er die Lehrkanzel der Astronomie in

10 UUr arischer Bericht CIVIL

Prag, wo er sich aber wegen MangelhaftigkeU der dortigeo Sten^
warte für astronomische Zwecke geoCthigt sah, seine TbStiglccit
a«sschliesslich der Meteorologie ond dem Erdmagoetismiis womm*
wenden. Bei der Gründang der k. k. Centralaostalt für Meteoro-
logie und Erdmagnetismns ward er zu deren Director ernannt, und
hat sich durch seine vie^ährige Thätigkeit bei derselben unbe-
streitbare grosse, auch in der obigen Motiz der Wiener Zeitosfg
gebührend hervorgehobene Verdienste erworben, wenn audi mchl
unerwähnt gelassen werden darf, dass in dem systematiseken und
strengeren Beobachten der meteorologischen und der ErschebuB-
gen des Erdmagnetismus ihm der verdiei^e Koller in Krena-
münster als Director der dortigen Sternwarte, jetzigec k. k. Mi-
nisterialrath In Wien, und der Astronom Weisse in Krakan
in sehr verdienstlicher Weise vorangingen. Der Herausgeber des
Archivs, mit Kr eil auch persönlich bekannt und befreunde^ wurde
In der angenehmen Erinnerung an einige mit Ihm verlebte frobe
und lehrreiche Stunden durch die Nachricht von seinem Tode im
so mehr überrascht und betrübt, je mehr er in seiner iusaerea
Erscheinung den Eindruck der Gesundheit und grosser körperli-
cher und geistiger Frische machte. Muge die Erde ihm leicht
sein ! .

Am 2l8ten Novemlier 1862 verschied in Lissabon nad
langen Leiden der verdiente Director der Sternwarte und Na-
vigations- Schule in Hamburg:

Dr. Carl Lndwig Rflmker^

allgemein bekannt durch sein weit verbreitetes und vielfach auf-
gelegtes Handbuch der Schifffahrtskunde, durch seinen Sterncata-
log und viele andere wissenschaftliche Arbeiten, zu dem der Her-
ausgeber des Archivs, wenn auch mit ihm personlich nicht be-
kannt, in besonders freundschaftlicher Beziehung stand, und
dessen er stets mit besonderer Freude und vielfachem Danke ge-
denken wird. Sehr gern wfirde er daher einen etwas ausführli-
cheren Necrolog in dieser Zeitschrift mittbeilen, wenn ihm ein sol-
cher eingesendet werden sollte.

Am 18ten Januar 1863 starb in Berlin

Professor Dr. ChrisUaB Lodolf LehmSi

im 83sten Lebensjahre.

Dem nun Dahingeschiedenen verdankt auch das Arohiv ein
Paar Beitrfige, und möchte ich daher mich gern in den Stand ge-

LUerariieher Beriehi CLVIL 11

setzt sebeo, einige aueführltebeRe Notiien der ebigen vorMufig nur
den Zeitungen entnommenen Nachricht folgen laaeen «i kennen«

Geometrie.

Sammlnng von Aufgaben und Beispielen aus der
algebraischen und rechnenden Geometrie. Enthaltend:
Aufgaben über dasQuadrat, das Rechteck, denRhom-
bus und das Parallelogramm im Allgemeinen, nebst
deren Aofidsungen und Resultaten. FOr Gymnasien,
Real- und höhere Bürgerschulen, Gewerbe*, Bau- und
M ilitairscbulen u. s.w., bearbeitet und herausgegeben
Ton Albert Dilling, Dr. phil. und Gymnasiallehrer zu
MGhlhausen in Thüringen. Paderborn. Schöning. 1862.8.

Dieses^ wie es scheint, mit grossem Fleiss bearbeitete Auf-
gabeobuch darf Lehrern an den auf dem Titel genannten Lehr-
anstalten zur Erleichterung bei ihrem Unterrichte empfohlen wer- |
den. Der Kreis, über welchen sich die Aufgaben erstrecken, ist
auf dem Titel bestimmt bezeichnet. Die auflösenden Formeln
sind überall vollständig entwickelt. Ganz besonders reich ist
aber das Buch an numerischen Beispielen zur Anwendung der ent-
wickelten Formeln auf besondere Fälle, reicher als fast alle
ähnlichen Bücher, die uns vorgekommen sind, für uns fast zu reich,
da wir nach unseren Ansichten es nicht billigen (connen, wenn zu
viel Zeit und zu viel Werth auf diese bloss numerischen Rech-
nungen verwandt und gelegt wird, da, wir der Meinung sind, dass
in jedem einzelnen Falle wenige recht zweckmässig gewählte
und gut durchgearbeitete Beispiele hinreichend sind, den Schulern
die freilich wichtige und nie zu vernachlässigende Uebung im
numerischen Caicul zu verschaffen; der Lehrer kann indess für
die Länge der Zeit nie genug solcher Beispiele haben, weshalb
wir eben die vorliegende Sammlung zur Beachtung empfehlen. Die
Resultate der Beispiele sind auf mehr als 280 Seiten beigefügt,
woraus man schon einen Schluss auf deren grossen Umfang ma-
chen kann.

Aufgaben-Sammlung aus der analytischen Geome-
trie der Ebene und des Raumes. Von Josef Haberl,
Assistenten und öffentlichem Repetitor der höheren
Mathematik am k.k.polytecbni8chen Institute in Wien.
Carl Gerold*s Sohn. 1863. 8.

12 Liier arischer ßeriekt CIVII

Aurgaben-SammlangeD ßlr die aualytische Geometrie im eigeot-
licben Sinne giebt es in nicht su grosser ZaU, weshalb wir aof
die vorliegende, flberall zugleich die Aoflusongen enthaltende
Sammlung aufmerksam machen» da sie uns zur Uebung Ton Aa-
fiingern zweckmässig eingerichtet zu sein scheint Die gew&hlteo
Aufgaben sind, was für diesen Zweck durchaus gebilligt werden
muss, im Ganzen nicht schwierig, und erfordern meistens keinen
grossen Apparat des Caiculs zu ihrer Auflösung; auch hat der
Herr Verfasser durch häufige zweckentsprechende EinfiOhran^
specieller Coordinatensysteme die Auflösungen möglichst za er-
leichtern gesucht, was hier gleichfalls zu billigen ist, wenn auch
Anfönger Immer darauf hinzuweisen sind, dass durch ein solches
Verfahren freilich die schone Symmetrie der gesuchten Forraefii
meistens gestört wird, die nur bei'm Gebrauche des allgemeinen
Coordinatensystems festzuhalten und zu erreichen ist. So oft als
möglich hat der Herr Verfasser die erhaltenen Formeln auch zur
Ableitung von geometrischen Constructionen benutzt, und dabei
die sogenannte neuere Geometrie nicht unberücksichtigt gelassen.
Endlich ist auch eine zweckmässige Sammlung von Aufgaben zur
' Anwendung der gewöhnlichsten geometrischen Differential- und
Integral formein gegeben, die wir, als besondere Schwierigkeiten,
nicht darbietend, Anfängern, welche gerade einen Cursus dieser
Wissenschaften durchgemacht haben, besonders empfehlen, da
auch Aufgaben über die Maxima und Minima nicht fehlen, und
zugleich das polare Coordinatensystem nicht unberücksichtigt ge-
lassen worden ist. Ueberhaupt beziehen sich diese Aufgaben auf
die Tangenten und Normalen, Asymptoten« Concavität und Coa-
vexität, singulare Punkte, Krümmungskreis und Evolution, Recti-
fication und Quadratur, ferner auf ebene Curven, deren Bestim-
mung auf Differentialgleichungen führt, Maxima und Minima.
Freilich hat sich der Herr Verfasser hier auf Curven in der Ebene
beschränkt, was jedoch für den Aolang auch genügt, namentlich
wenn der Schüler noch nicht besondere Vorträge über die allge-
meine Theorie der krummen Linien und krummen Flächen gehört,
sondern für*s Erste nur die geometrischen Anwendungen kennen
gelernt hat, welche gewöhnlich bei'm Vortrage der Differential-
und Integralrechnung selbst mitgenommen werden. Da es aber
an zweckmässigen Aufgaben über die Curven von doppelter Krffm*
mung und die krummen Flächen ganz besonders fehlt, so w0r-
den wir wünschen, dass der Herr Verfasser recht bald eioe
geeignete Sammlung nicht besonders schwieriger Aufgaben Ober
diese geometrischen Gebilde folgen Hesse, wodurch gewiss vielen
Liehrern ein besoirderer Dienst geleistet werden würde.

Ulerariscker Bericki CLVII. 13

Physik.

Grandris» der Physik ond Meteorologie. Für Ly-
eeeo, Gymnasieo, Gewerbe* und Realscholeo, sowie
sum Selbstunterrichte. VonDr. Jobaon Müller, Gross-
herzoglich Badiscbem Hofrath, Professor der Physik
und Technologie an der Universität zu Freiburg i. B.
Mit 580 in den Text gedruckten Holzstichen. Achte
vermehrte und verbesserte Auflage. Brauoschweig.
F. Vieweg und Sohn. 1862, 8.

Wenn ein Buch in nicht gar langer Zeit acht Auflagen erlebt,
8o innss es sich bei dem Publicum, liir welches es bestimmt ist,
80 sehr eingebürgert und so sehr dessen Gunst erworben haben,
dass die Kritik ein sehr unnützes AVerk verrichten würde, wenn
aie sich noch auf eine besondere Beurtheilhng desselben einlassen
fvollte. Es kann nur darauf ankommen, dass dieselbe prüft, ob
da« Buch in den verschiedenen Auflagen den Fortschritten der
Wissenschaft gefolgt ist, so weit es seine besondere Be-
stimmung erfordert. Dass dies in dem vorliegenden Schul-
buche geschehen ist, glauben wir versichern zu kOnnen. Die Art
der Darstellung ist im Ganzen dieselbe geblieben wie in den frü-
heren Ausgaben, so dass es darin namentlich auf eine deutliche
und bestimmte Darlegung der verschiedenen Naturgesetze und
eine Erläuterung derselben durch zweckmässige Versuche an-
kommt, ohne alle hervortretende Einmischung der MathematiL
Jedoch ist mit Recht in der vorliegenden neuesten Ausgabe dieser
letzteren Wissenschaft etwas mehr Raum vergönnt worden als in
den früheren , wenn auch nur in ganz einfacher und sehr elementarer
Weise. Wir billigen dies naturlich vollkommen und hätten eben
deshalb gewünscht, dass namentlich in der Optik, in der Lehre
von d^n Spiegeln und Linsen , die nur sehr wenig . mathe-
matisch gebalten ist, die Mathematik eine ausgedehntere An-
wendung gefunden hätte, da gerade diese Lehre so viele Ge-
legenheit zu lehrreichem einfachen Gebrauche derselben darbietet,
weshalb auch z. B. auf den preussischen Realschulen erster Ord-
nung durch besondere höhere Verfügungen für die Abiturienten-
Arbeiten Aufgaben aus dem Gebiete der Optik in der zweckroäs-
sigsten Weise mit in den Vordergrund gestellt worden sind«
Vielleicht findet der Herr Verfasser in diesen Bemerkungen Ver-
anlassung, dies bei den künftigen Ausgaben zu berücksichtigen.
Einen besonderen Vorzug vor den früheren Ausgaben hat derselbe
der neuen Ausgabe noch durch die Hinzufugung von 244 über

14 Uterariieher BiHchl CLVli.

das ganze Gebiet der Physik sich ziemlich gleichmissig verbret-
teoden Aufgaben verliehen. Dass die gesammte äussere Aussfat-
lang, natürlich und vorzOglich mit Einschlass der trefflicheo S80
HolzstichCy alte Anspröche, die in dieser Bezishong gemacht wer-
den kennen, mehr als befriedigt, versteht sich bei der berühnteB
Verlagshandlung von selbst.

Bemerken wollen wir noch^ dass zur weiteren Ansf&hmng des
obigen Grundrisses der früher erschienene

Mathematische Supplementband zum Grondriss
der Physik und Meteorologie von Dr. Joh. Möller.
Braunschweig. Vieweg. 1860. 8.

dient und zweckmässig gebraucht werden kann.

Vermischte Schriften.

Sitzungsberichte der kaiserlichen Akademie der
Wissenschaften in Wien. (Vergl. Literar. Ber. Nr.
CLVI. S. 13.)

Band XLV.^ Heft III. Puschl: Ueber den Wärmezustand
der Gase. S.353. — Weiss, Edm.: Die totale Sonnenfioster-
niss vom 31. December 1861 in Griechenland. S. 385. — Zeo-
ger: Der Universal -Rheometer. S. 414. — v. Littrow: Phy-
sische ZusammenkQnfte der Asteroiden im Jahre 1862. S. 417. —
Haidinger: Ueber das Regenbogenpbänoroen am 28. Juli I85I.
S. 421. — Kr eil: Ueber Barometerschwankungen in längerea
Perioden. S. 427. — Frischauf: Ueber die Bahn der Asit.
S. 435. — Bou^: Nachtrag zu einem Kataloge der Nordrichter
S. 445.

Mittheilungen der naturforschenden Gesellschaft
in Bern aus dem Jahre 1861. Nr. 469— 496. (S. Literar.
Ben Nr. CXLV. S. 15.)

H. Wild: Nachrichten von der Sternwarte in Bern aus den
Jahren 1859 und 1860. I. Astronomische Beobachtungen. H.
Magnetische Beobachtungen. Nr. 472— 463. S. 25. — G.Studer:
Topographische Mittheiinngen über die Savoyer-Alpen. Nr. 480
bis 487. S. 89. — G. Hasler: Beitrag zur Inducäons-Telegra-
phie. Nr. 485—487. S. 152. - Perty: Ueber die Saromloogen
mikroskopischer PrSparate des Instituts von Engel! n. Comp, in
Wabern bei Bern. Nr. 488-^489. S. 162.

UterariHker Berichi CIVIL 15

Annall d) Matematlea para ed applicata pabblicatl
da Barnaba Tortolini e compilati da E. Betti a Pisa«
V*. Brioschi a Pavia, A. Genoechi a Torino^ B. Torto-
lini a Roma. 40. (S. Literar. Ber. Nr. CLIV. S. 6.).

No. 6. tom. IV. 186L Memoire sur les däterminanU cra«
möriena oa r^sultantes alg^briques. Par le P. Le Cointe da la
Compagnie de J^us avec Supplement p. 233. — Sar la mnltipll-
catioo des oombres coogruenta. Lettre adreas^e ä Monsienr le
Prince Don Bathasar Boncompagni par M. F. Woepcke.
p. 247. ^ Brano di lettera del Sig. M. Cantor k Mr. B. Bon-
compagni. p. 256. — Sulla teoria delle sviloppoidi e delle svi-
Inppanti di E. Beltrami. p. 257. — Di alcnne formole relative
alla carratura delle superficie: lettera di E. Beltrami al Compi-
latore. p. 283. — Sopra aicuni sviluppi algebrici nella teorica delle
eqoazioni. Nota del Prof. B. Tortolini. p. 285. — RiTlat»
liibliogTAplüca« Sülle superficie del paraboloide ellittico: arti-
colodelProf. B.TortolinL p.293. — Pubblicazioni recentL p. 296-

Sitzungsberichte der kunigl. bayerischen Akademie
der Wissenschaften zu Manchen. (Vergl. Literar. Ber.
Nr. CLV. S. 16.)

1862. II. Heft IL Lamont: a) Ueber die zehnjährige
Periode in der täglichen Bewegung der Magnetnadel und die Be-
ziehung des Erdmagnetismus zu den Sonnenflecken. 8. 66. — b)
Ueber das Verhältniss der magnetischen Intensitäts- und loclina-
tions-Storungen. S.76. (Beide interessante Aufsätze liefern von
Neuem Zengniss von den fortgesetzten eifrigen BemOhungen des
Herrn Verfassers ^ zur Aufklärung der immer noch räthselhaften
Erscheinungen des Erdmagnetismus beizutragen , denen derselbe
den besten Theil seines Lebens mit nie ermüdendem Eifer ge-
widmet hat). -«Seidel: Ueber die Verallgemeinerung eines Satzes
aus der Theorie der Potenzreihen. S. 91. (Betrifft eine Erweite-
mng des bekannten Fundamen talsatzes: „Wenn zwei nach stei-
genden Potenzen einer Uauptgrösse x geordnete Reihen ßlr alle
Werthe von x zwischen 0 und A convergiren und übereinstim-
mende Werthe annehmen, so müssen die Reihen identisch
sein'*. Der Aufsatz verdient der Beachtung empfohlen zu wer-
den^ enthält aber für jetzt mehr Andentungen» als einen aos-
gefSfarten Beweis der angeführten Behauptungen,). — |Liamont:
Beitrag zu einer mathematischen Theorie des Magnetismus,
p. 103.^ (Der Herr Verfasser schliesst diesen gleichfalls mehr-
faches Interesse darbietenden Aufsatz mit den Worten: ,,Es war
meine Absicht, in dem Vorhergehenden nur vorläufige Anden-

16 UterarUcher Bericht CLVIL

tsDgen 2U geben Aber den Weg, der su befolgen wftre, mn die
mathematische Theorie weiter auszabilden. Die angefiSibrteD Re-
sultate zeigen, glaube ich, ganz entschieden, dass der beseielmete
Weg zum Ziele führt; ob es gelingen wird, die nicht unbede«-
tenden analytischen Hindernisse, welche dabei sich darbieten, za
beseitigen und für die in der Praxis vorkommenden Ffille eiofacfae
Cresetze und Formeln herzustellen, ist eine andere Frage.).

Monatsbericht der kOnigl. preussischen Akademie
der Wissenschaften zu Berlin. (Vergl. Literar. Bcr.
Nr. CLV. S. 16.).

September, October 1862. Lipschitz: Ueber das Ge-
setz, nach dem sich die Dichtigkeit der Schichten des Innern der
Erde Sndert, mitgetheilt von Hrn. Borchardt. S. 601—607. —
Dove: Ueber A. v. Humbold t*s Bestimmung der mittleren Hohe
der Continente. S. 612. (Blosse Anzeige eines gehaltenen mund-
lichen Vortrags.). — G. Rose: Ueber den Asterismus der Kry-
stalle, insbesondere des Glimmers und des Meteoreisens. S.
614-618.

UiermH^ker BtrUht CLVtll.

Literarischer Bericht

CLVIII.

In Pisa starb der beröhinte treffliebe Mathematiker

0. F. MossMtl,

Verfasser mehrerer aasgezeichneter Werke, z. B. der schönen
Noova Teoria degli Stromenti ottici. Pisa. Tipografia
Pieraccini. 1867. und vieler einzelner Abbandlangen. Schön im
Jahre 1817 veröffentlichte er eine sehr schöne, vorzüglich dnrch
grosse anaMische Eleganz ausgezeichnete Abhandlung über die
Berechnung der Bahnen der Weltkörper in den Etfemeridi di
Milano von dem genannten Jahre, die auch in der Zeitschrift
für Astronomie und verwandte Wissenschaften, her-
aasgegeben von Lindenaa und Bohnenberger. BandUI.
1817. S. 145-S. 165. Band V. 1818. S. 322— S. 328. unter dem
Titel: Neue Aaflösu.ng des Problems, die Bahn eines
Himmelskörpers zu bestimmen, von Ottaviano Fabri-
zio Mossotti, durch Encke mitgetheilt worden ist. Er war,
darcb Verleihung der Wurde einea Senatore del Regno -^
wie der berühmte Bordoni — hochgeehrt von seinem Könige, ein
warmer Patriot, der lange in der Verbannung in Buenos- Ajrres
and in Korfu gelebt und mit dem Ba,taiilon der toskanischen Stq-
denten in der Schlacht von Curtatone mitgefochten hat

Mit dieser vorläufigen Notiz von dem Tode des berühmten
Mannes muss ich mich so lange begnügen, bis ich durch von mir
sehr gewünschte freundliche Mittheilungen in den Stand gesetzt
werde, aasfcihrliche Nachrichten über sein Leben und Wirken
geben zu können. Grunert.

Am Isten April 1863 starb in der Schweiz, seiner Heimatb
(er war am 18. März 1796 in Utzendorf im Kanton Bern geboren),
der Professor an der Universität und Mitglied der Akademie der
Wissenschaften in Berlin

Jaoofe StelMT.

Thl.XL. Hf 1.2. 2

2 UUrari9€ker Berteki CLVIIL

Ueber Steiner's grosse Verdieoste uro die sogenaoDte oeoere
Geomett'ie, als deren hauptsächlichster Mitbeinllnder seia Naoe
zu allen Zeiten in der Geschichte unserer Wissenschaft mit br
sonderer Achtung genannt werden wird, hier etwas Weiteres «agea
zu wollen, würde vBlIig äberflfissig sein. Zur VeryoUvtändignoe
dieser för jetzt nur den Zeitungen entitommeoeti Icarzen Noth
wünschen wir recht sehr die baldige Einsendung eines an«finlir
liehen IVecrologs von kundiger Hltnd.

Am 16ten April 1863 starb

. Dr. FerüMii Redtoibaoher,

Professor der Maschinenkunde und bis vor Kurzem aueb Diifctor
der berühmten poljrtechnischen Schule in Karlsruhe, jedeofill»
ein grosser Verlust für die Wissenschaft. Wir wünschen, dass wt
voQ kundiger Hand recht bald in den Stand gesetzt werden, die-
ser vorläufig nur den Zeitungen entnommenen Notiz einen m»*
ßihrlicben Necrolog folgen lassen zu kOnnen *).

Am lOten April 1863 starb in Florenz der beruhrote ittli^
nische Optiker und Astronom

ObMAattisto AbM,

früher mehrere Jahre Professor der Mathematik an der Diiher-
sität in Modena und von 1831 an Director der dortigen Stern-
karte. Er ist bekanntlich der Erfinder des achromatischen K
kroskops und vieler anderer optischer Instromente. In den letztn
Jahren beschäftigte er sich mit der Construction eines groeset
Hohlspiegels, zn welchem Behuf ihm die Laboratorien der Kaoo-
nengiesserei in Pavia zur Verfügung gestellt wurden.

Italienisches tloterrichtswesen.

Die von mir im Literarischen Berichte Nt. tTLVlLS.!
mitgetheilten Notizen «über die glänzende Ausstattung der i>
lienischen Universitäten, namentlich derer zu Bologna und PavU.
mit ausgezeichneten Lehrern im mathematischen und physikali«^
Fache waren aus zwei mir vorliegenden neueren Lectionsven^'

*) Unter Wunsch ist schon erfüllt worden. el>en so über rarlini^
im nnchtten Hefte das Weitere.

WermiuAer BeridU €1 VNl 3

•iMeo d«r beUea penaM^M UniveniititMi entlehnt w»niei|. Neci99<»
lidbet hat mßh aach mir geoMieblea freaadliefaeD MitllieilDa^ii darin
Einigaa gaftodert. Herr Brioaobi ist sani Director der nea ar»
ticbteten Ingeniearachale in Mailand und zum Profeaaor der ratio«
BaUaa Medianilc an derselben emanat wofden. Herr CrepaoAa
vertritt jetat die FSaber der analytiacban Geeaietrie und der Gik^
n^trie d^acriptive an der Univeraitftt in Bologna, «ad an die
Stelle dea Herrn Santo Ramengbi ist an deraelbea Uaivamit&t
Herr E. Beitrami getreten, der sieb achon dorch mebrare aaa«
getxeicbnete, in den ^^Aanali di Materaatica pura ed appit*
oata'* pablieirie Arbeiten (n. a. a.B. Literar. Ben Nr. CLVII«
S. 15.) Ton der voatbeilbafteaten Seite bekannt gemacht bat. la-
deaa ieb dem Herrn Einaender dieaer Notiien dafilr meinen ver-
btndlicbaten Dank hiermit aaaapreche« theile ich cfieaelben um so
lieber hier mit, weil sich aus Ihnen von Neuem ergiebt, wie sehr
die italienische Regierung beroGht ist, auf dem Felde des Unter-
richtswesens im weitesten Sinne kräftigst fortzuschreiten, neue
Lehranstalten, wo die Noth wendigkeit sich zeigt, ungesSumt zu
errichten, und flberall für dieselben die tdchtigsten und auageaeicb-
netsten Lehrkräfte zu gewinnen. 6.

Geschichte und I4teratiir der Mathematik und

Physik.

Almanach der kaiserlichen Akademie der Wissen-
schaften in Wien. Zwölfter Jahrgang. 1862.

Der eilfte Jahrgang dieses Almanachs ist im Literar. Berichte
Nr. CXLVIl. S. 1. angezeigt worden. Der Bericht des Herrn Pro-
fessor Dr. A. Schrotter, als General -Secretär, sowohl fiber die
Leiatangeo der kaiserl. Akademie der Wissenschaften Oberhaupt,
als über die der roatbematisch* naturwissenschaftlichen Klasse im
Besonderen, zeigt von Neuem, wie richtig diese hohe gelehrte
Korperschaft ihren Beruf: die erste wisseascbaftliche Behörde des
Landes zu sein und alle Bestrebungen auf dem Felde der zu ihrem
Bereich gehörenden Wissenschaften au fördern und zu unteraliitzep,
begreift, und wie sehr dieselbe fortwährend bemdbet ist, demsel-
ben mit dem acbonaten Erfolge nacbaukommeo. Uit JRecbt hebt
aaeh der Herr General -Secretär in seinem lur jeden vahrc^p Freund
der WisafOPschaften vielfach interessanten Berichte hervor^ wie
seliT 4iases verdienstliche Wirken der kaiserl. Akademie seinen
ReSex findet m der in Oesterreicb jetat alle Schiebten der Qe-
v^iIfceruDg dorcbdringenden Achtung vor wisaen^obaftlichen Arbei-

4 UterariBCker Bertehi CLVIU.

ten jeder Art uhd dem sich Oberalf kvndgebenden Eifer, aiel
selbst znr Forderung der Wieeenschaften nach Kräften beintn*
gen. Der am 1. März 1862 verstorbene k. k. priv. Growhiod-
1er und Bürger von Wien^ Herr Ign. L. Lieben, beetirnnteb
seinem Testamente eine namhafte Snrome zu gemdmiutxif^
Zwecken , die weitere Disposition seinen beiden nacbgelassmei
Söhnen tiberlassend. Diese haben nun, im Geiste des Vaton
handelnd 5 von der tegirten Summe der mathematisch -natnrwis««B*
scbaftlichen Klasse der kaiserl. Akademie 6000 Gulden mit der
Bestimmung zugewendet, dass von den Interessen dieses Kapitak
alle drei Jahre ein von der Akademie zuzuerkennender Preis (der
also zu 5 % die bedeutende Höhe von ÖOO Gulden erreichen kann)
der besten ihr öberreichten Abhandlung aus dem Gebiete der
Physik mit Einschluss der physikalischen Physiologie, und aHer*
nirend aus der Chemie, mit Einschluss der chemischen Physio-
logie, zuerkannt werde.

Der Bericht über die roathematiKch-uatufwissenschartliche Klaue
enthält eine interessante, ziemlich ausführliche'Lebensbescbrejboog
J. ß. Biots (S. 164--S. 170), die ich nächstens in das Arcbk
aufnehmen zu können hoffe, indem^ich daraus für jetzt nur ein Paar
interessante Tbatsachen hervorhebe:

„Biet war es, der im Jahre 1801 das Institut bewog, oieiit
fGr die Ernennung Bonaparte's zum Kaiser zu stimmen. Aber
weder das erste, noch das zweite Kaiserreich hat Biot dieseo
Mangel an Sympathie empfinden lassen. Er besass aber anck
keinen politischen Ehrifeiz, er strebte, wie Bertrand sagt, oadi
keinem anderen Titel als dem eines Akademikers, er fand sein«
Kraft und Grösse in der Wissenschaft und wurde sie zu scbirä-
clien geglaubt haben, bfitte er sie anderswo gesucht.'^

Das vorzugsweise allen preussischen Lehrern der MatheDa*
tik und Physik bekannte ausgezeichnete „Lehrbuch der me-
chanischen Natur lehre*' des um den mathematischen aod
naturwissenschaftlichen^ Unterricht in unserem Vaterlande so hock
verdienten Ernst Gottfried Fischers, Professors am Gymna*
sium zum grauen Kloster in Berlin, hat bekanntlich das tnerlc-
würdige Schicksal gehabt, dass es in Deutschland viele Jalir«
ganz unbeachtet geblieben ist, nachdem schon 1806 eine fVanxo'
sische Uebersetzung erschienen war, die 1829 die vierte Kvk^
erlebte. Diese Uebersetzung wird gewöhnlich Biot zugesciii^*
ben ; seine vorliegende Lebensbeschreibung theilt nun aber die
höchs^t interessante Notiz mit, dass er selbst nur der Ver-
fasser der beigefügten Noten, die Verfasserin der Uebersetfuo?

Utermi$ek0r ßericAi Civm. 5

H» Hkct eratea Aoiage aber seine Fr»o, eine geborene Brie*
soo, war. Habent eoa fat« libelli!

Vorzüglich aarroerksam macben muss ich endlich die Leser
auf die Rede des Präsidenten der kaiserl. Akademie der \Vissen-
schaften^ des Herrn Freiherrn von Baamgartner:

Chemie und Geschichte der Himmelskörper nach der

Spec traf- Analyse.

Ich gestehe» bei aller. KOrze dieser schonen Rede , noch nir«
geods eine so einfache» klare und deutliche» selbst für den weni-
ger Eingeweibeten vjßllig verstftndlicbe Darstellung des betreffen"
den wichtigen Gegenstandes» welche alle Momente» auf die es
bei demselben ankommt ^ alle Anwendungei|i» die derselbe bisher
gefunden und alle Aussichten» die derselbe für die Folge noch
eröffnet» namentlich auch in astronomischer Rucksicht, in der be-
stlromtesten Weise hervorhebt, wie hier gefunden zuhaben« Weite-
rer Mittheilongen daraus mich för jetzt enthaltend, werde ich diese
Rede in einem der folgenden Hefte, wq möglich schon in dem
n&chsten» den Lesern vollständig mittheilen» indem ich mir da-
durch deren besonderen Dank zu verdienen hoffe. G.

Arithmetik.

David Giffhorn» Sammlung derjenigen elementar-
mathematischen Aufgaben» welche an den prenssiscben
Gymnasien in den letzten Jahren als Maturitäts-» ABf>
gaben den Abiturienten gestellt sind. Brannscbweig,
Schalbuchhandlung. 1862. IV und 64 S.

' Der Herausgeber des unter vorstehendem Titel erschienenen
Heftes ist zu der Zusammenstellung der mathematischen Abitu-
rienten-Aufgaben allem Anscheine nach durch die „Bemerkung
des Herrn Professor Grunert im 37. Bande seines Archivs» wo
er auf den Nutzen der Herausgabe der preussischen Abiturienten-
Aufgaben hinweist", veranlasst worden. Die Art, wie Herr Giff-
horn diese Angabe in. seinem Vorworte macht» lässt erkennen,
dass derselbe gefohlt hat, wie wenig seine Arbeit der Absicht des
Herrn Professor Grunert entspricht. Die in nachdrücklichster
Weise im 147. literarischen Berichte (S. 4.) ausgesprochene Auf-
forderung sagte, dass »»die prenssiscben mathematischen Abitu-
rienten-Arbeiten eine reiche Fundgrnlie trefflicher Aufgaben dar*
bieten dürften, die wohl einmal zur Anfertigung einer Sammlung

6 LiUrariMur BerMA CIVHL

benutzt in werdeo verdiente.^' Herr Oiffhoro hat m& för ««ioe
schriftstellerischen Zwecke passeider gefanilen, i^se jenen Wor-
ten eine ,, Ausgabe sämmtlicher Abitarienten - Atifgabeo ^ her-
auszule«ien. Er wollte es den Schul- Examinatoren ,, bequem machen,
ihre Anforderungen mit denen ihrer Fachgenossen vergleichen m
können. *' Dies ist aber doch nur möglich, wenn man die vier Auf-
gaben, welche von den Abiturieeten in fOnf Stunden aw bearbeiCeii
sind *), nicht trennt. Wer sieb aus dieser Sammlung ein Crtheil
über den Standpunkt des mathematischen Unterrichtes an den
preussischen Gymnasien bilden will, bekommt gewiss ein falsdies;
weil die leichten und mittel massigen Aufgaben, abgerissen vod
den drei dasugehSrigen , sieh als Prüfungs- Aufgabe» viel schlinp
mer, oft geradezu wunderlich ausnehmen. So bat Herr Giffboro
den Lehrern einen gar schlechten Dienst geleistet; denn er ha^
anstatt die Arbeiten „als eine Fundgrube zu, benntaeo'' ond die
leichten Aufgaben, die sich kein Lehrer fdr vorkommende FSAe
notiren wird, wegzulassen, die GoldkOrnchen im Sande versehAt-
tet. Wollte man sich nun selbst daran machen and das Dnnfitze
wegstreichen, so ist diese Sammlung auch nicht einmal dazn sa
gebrauchen. Denn das WiederaufBnden einer vor einiger Zelt
hierin gelesenen Aufgabe dflrfte sehwer fallen! Sie sind in jeder
der vier grossen Rubriken (Arithmetik, Geometrie, Trigonometrie
und Stereometrie) im allerbuntesten Durcheinander ; gerade so , wie
sie bei der Folge der Programme herausgeschrieben worden ! Dad
das nennt Herr Giffhorn auf dem Titel ^zusammengestellt nad
geordnet!^' —

Mit welcher Hast das Zusammenschreiben stattgefeeden , da-
von sengen die zahlreicben l>nick(ehler und die Windirrholnnyn
derselben Angabe. Als Belege €Sr letzteres wollen wir nur aas
der Trigonometrie anfahren: No. 66 ist gleich No. 130, einnMÜ aul
lateinischen, dann mit griechischen Buchstaben för die Winkel;
No. 29, 68 und 75 sind dieselbe Aufgabe mit anderen Zahlen; die
Pothenot'scbe Aufgabe steht zweimal dicht hinter einander,
No. 58 ohne, No. 59 mit einem Zahlenbeispiel. Am schlimmstea
aber sind die vielen Druckfehler, weil sie die Aufgaben gSnzlich
zerstören. Von denen auf den ersten Seiten nehmen wir folgende
heraus :

No. 8 and 9 sind Beispiele zur AuEsucbung der Wuraelfactorefi:

*) In Betreff dieser Beetintaiuog des preomtcbeo FrofongwegiP

mest« zeigt Herr Gif f bor«, Lelirer in SraaBschweig, 4mw&ä A«

Beaiei%aag am SdilaeM eeioee T»rvoHe< «iae iSreag wa gjfcnrfe Da-
1

LUeniTUthwr Berieki CLMU. 7

WxxAy wie man auf den ersten Blick erkennt, durch ar^5 befrie-
digfy und giebt

(j— 5)(a:*— 2)=0.

a:i=5, ara = + V^, 0^8 = — V2.

Der Druckfehler 11 statt 10 macht diese leichte Aufgabe zu i^er
schlimmen ^Gleichung dritten Grades (und kubische Gleichungen
üIimI bekanntlich aus d#m P^asuai der Gymnasien verwiesen).

Für die Gleichung No. 9:

dr*— 13ar» + 46:t«— 52:r + 168 == 0
iSsst 168 =r 2.2.2.3.7 finden:

altfs Ä|==7, «2 = 6, jrs=*: + 2V^^, ^^45= — 2 V^.

Herr Glffborn hat das Glied — 52ar ganz ausgelassen, also
eine iSleichung vierten Grades mit irrationalen Wurzeln gegeben.

Die schöne Gleichung No. 4 muss heissen :

\x + 1)« - 6(0: + 1)« + 3ar(5j:3+ ISar +8) + 261 = 0,

uml nicht (6jr^-l)»; sie ergiebt jpi>=:32, x^^^
Die zweite Gleichung unter No. 19 :

3(*-y)-.f = £=»

eriiDCMTt sich Referent in dieser Weise in einem Programme gele-
gen zu haben. Herr Gif/horn hat sich aber nicht die Zeit ge-
nommen, herauszufinden, dass siatt des Punktes ein Minuszeichen
zO setzen ist ; dann ,giebt die Gleichung mit der dazugehörigen

(^*+3f^{^— y) = 876
eine gttt^ L^UDg.

Die schwierige Aufgabe No.25 (von Herrn Prof. Schellbach):

bat er auf der rechten Seite abgeändert In a{x^\y^) und %(^^~^),
«podurcb die fileidMNigen onatiflSsbar gewerden äind* ihm hat
tiloiit «H>rge9dbwcfct, dass man y^:.vn setsen muss, um dwdi
9h4skNi die tieiden Gleichungen in «ine reciproke *Gleidhung 4fen
Grades fQr t zu vereinigen, ^ von den nten Pcrfencen frei Ist. -

8 Uierwr49Cker BerieJU CLfllL

Ebenso sind die Glelchengen No. 36 und 37 darch zwei lim<
eingekommene Pluszeichen nicht mehr- aufzulösen; sie mfissei
lauten :

No.36. 1 .^-»» + ^-3' = 2«.

' (a:«-y«)(x-y)=48.

♦ (a:«-y«)(j:»+y») = 1668.

Ferner sind die Vorseichen in der dritten Gleicbnng No. 48 xa
corrigiren in

^•y=y-*» ^ + 3f + » = 3, ««— 3f« + 2«=:l.

Der Raum gestattet nicht, noch mehr Druckfehler ans den vier
ersten Seiten hier aufzuzählen. Durch Mangel an Sorgfalt smd
viele Aufgaben verstfimmelt und das Buch yollig unzuverllssig
geworden. Von mehreren Collegen ist dem Referenten gesagt
worden 9 dass sie es nicht mehr wagen, aus der Giffhorn' sehen
Sammlung in der Classe Aufgaben zur Uebung zu stellen , weil
man beförchten muss, mit der Auflosung stecken zu bleiben!

Berlin. Martns.

Hülfstafeln zur Berechnung der Invaliden-;, Witt-
wen- und Waisen- Pensionen und der Bestand fftliigkeit
der Pensionskassen nebst voraufgeschiekten Erl&ate-
r.ungen, bearbeitet von L. Albert, Special-Director der
Mecklenburgis.chen Elsenbahn. Leipzig, J. €. Uinrichs-
sche Buchhandlung. 1863. IV. und 60 S. gr. 8^.

Diese Schrift ist zunächst dazu bestimmt, ein^n practls^en
BedQrfnisse der deutschen Eisenbahn -Verwaltungen abzufaeiren,
bei denen Pensions «Cassen för Invaliden und für die Wittwen der
Eisenbahn -Beamten bestehen, und rouss als ein verdienstfickes
Unternehmen bezeichnet werden. Denn die von dent Verfasser
berechneten Tafeln machen es jeder Eisenbahn -Verwaltang mS^
lieh, die Bestandflhigkeit ihrer Pensionscasse zu prifes und den
Rlr dieselbe etwa erforderlichen Zoschnss zur rechten Zeit za
ermittein. Ohne diese Tafeln wurde bei der Eigeotlifimlichkeit
der EinrichtnBgen dieser Pensionsc aasen eine solcfae Berechnang
so niihselig sein, dass sie nicht leicht aasgefnlirt werden warde.

Die Eisenbaha- Verwaltungen sichera aiadich ihrea OfilciaBtea
lavalidea-Peasionea an, deren Hube von dea Dienstalter zar ZmI
des Eintritts der Invalidität abkäi^ and adt diesem Dienatetter
sich steigert; «ebenso richtet sich die Belle der gewährten aad den

UiermHscher neticht CVfUI, 9

Officiaoten sagesteherttB Witt«? ^-PeoafttMn naeh d«m Dmilaker
KVT Zeit der lovalidftftt oder dee Tedee. Die Anzalil der nSg-
liehen SteigemogeD ist bei den Terisciiiedeiieii Verwaltmigen hdelwt
verschieden. Herr Albert hat nun für die sogenannt^ baaren
''Werthe der in aritiunetischer Progression steigenden Invaliden-
und Wittwen- Pensionen Tafeln berechnet^ -deren Gebrauch für die
Feststellung der Bilanz einer Eisenbahn - Pensionscasse eben so
bequem ist, als die Benutzung der Lebens- und Wittwen-Renten-
Tafeln fär die Zwecke der gewöhnlichen Lebens- und Wittwen-
Renten * Versicherung.

Die GfUBdlagen der Bereebnung sind die bekannten Brune'-
sehen HoriaMätetafeln füi Mäoner und Frauen nach den Erfob-
rongen der Allgemeinen Preussiscben Wittwen-Verpflegungs-An-
siaity gegea deren Anwendbarkeit fiSr den vorliegenden Zweck
nichts ao eriuBefD sein dfirfte.

Weniger sicher ist die Grundlage för die Berechnang der
Invaliden -Pensionen 9 indem es hieför an genugenden Erfahrungen
noch fehlt und einstweilen eine Hypothese aushelfen muss. Der
A^eifasaer folgt hierin dem Vorgange von Dr. Heim und Dr. Wie-
nand und läset die Anzahl derjenigen, welche von einer Ursprung*
HcheA Anzahl gleichalteriger geannder Personen im Verlauf der
Jahre successive invalide werden, eine geometrische Progression
bilden. Es giebt aber zwei Hypothesen dieser Art, die einen so
vFciten Spielraum lassen, dass es, wenn nicht im mathematischen
Sinne wahrscheinlich, doch jedenfalls plausibel ist, dass die Wabr-
Iielt dazwischen fallen wird, und berficksichtigt ausserdem' den
Umstand, dass die Invaliden etwas rascher sterben werden, als
die Nichtinvaliden.

* ^

Die Unsicherheit dieser Grundlage kann man, ohne nnbiUig
za sein, nicht als einen Mangel der Arbeit ansehen; man muss
vielmehr es dem Verfasser Dank wissen, dasa ex sich durch den
Mangel an einer solchen Grundlage von seiner mühevollen Arbeit
oieht hat abhalten lassen, indem die den Eisrnibahn^Verwaltan*
gen durch dieselbe gewährte Erleicbterang zur approximativen
Berechnung ihrer Pensionscassen von selbst zur Gewinnung bes-
serer Grundlagen fShren wird.

Die Anwendbarkeit der berechncteu Tafeln ist übrigens nicht
auf Eisenbahn -Verwaltungen beschränkt, indem es auch für die
im öffentlichen Dienste Angestellten nicht an Pensionscassen mit
steigenden Pensionen fehlt.

Der Verfasser hat auch Näherungswerthe fiir die Waisen-
Pensionen, wie die Eisenbahn- Pensions -Gassen solche zu gewäh-

2»

10 Ulenariicker Berieki CLYIIL

ren pflegen , auf eigentMaliche Art berechnet aod io Tafeln ge.
bracht« die mit Sicherheit benutat werden kOnnen, ireil aie oaeb-
welalich hdher sind, ala die wahren Werthe.

Die Anwendbarkeit dieser verschiedenen Tafeln aof die bmte
Mannigfaltigkeit der Bestimmangen hei den Pensions -Cassea der
verschiedenen deutschen Eisenbahnen wird besonders anschanlidb
durch die Tafeln No. 28 und 29« wo der Verfasser ßr eine grosse
Anzahl Eisenbahnen die Formeln angiebt« nach welchen sie seiae
Tafeln au benutzen haben« um ihre Bilanzen zu ziehen. Die Er-
läuterungen sind kurz und gedrängt« aber fiir Jeden« der die Ele-
mente der Theorie der Leibrenten und Oberhaupt der Tora Ijehea
und Sterben abhängigen Versicherungen kennt« vollkoaimen fror-
ständlich; die Ableitung der Formeln ist nicht ohne eigeoflifim-
liehe Eleganz. In dieser Besiehung ist besonders die Umgestal-
tung der gewöhnlichen Formel för die Wittwenrente hervonnh^eo,
um dei^ Werth einer mit dem Dienstalter des Mannes steigendes
Wittwenrente zu erhalten« deren Steigerung mit dem Tode des
Mannes zum Abscbluss gelangt

Es kann daher diese Arbeit nicht bloss den Eisenbalni- Ver-
waltungen« sondern auch der Beachtung der för ihren Gegenstand
sich interessirenden Leser des Archivs mit Recht empfohlen werden.

Schwerin« im März 1863. H. C. Dippe.

Tafel-Fehler.

Herr Professor Hoüel in Bordeaux« dessen im Liter. Ber.
Nr. GL. S. 1. ansfabrlich angezeigten« so ungemein bequemen« at>
mentlich aber auch die Sicherheit und Genauigkeit der Ref^nas-
gen so sehr fördernden fianfstelligen Tafeln (Paris, Mallet-Ba«
chelier« 1868) allen Rechnern« namentlich aber auch den Sckolea,
nicht genug empfohlen werden kennen« und von denen eine Ans*
gäbe mit deutscher Einleitung sehr zu wSnschen wäre« hat die
Güte gehabt« mir Folgendes mitzutheilen« was ich grosserer Sicher-
heit wegen gr6sstentheils mit seinen eigenen Worten wiedergehea
will« indem ich ihm ßr diese Mittheiinngen verbindUcbst danke:

««Permettes moi** — schreibt mir Herr Hofiel — ««de
signaler nne nouTelle faute dans la table des coeffidaits iiioomi-
aux pour la puissance — |« qni est reproduite dans les rnscii
de Hfilsse et de Kohler d'apr^ le vieux Vega de 1783. \H^
sur mes indications« on a?ait corrig^« dans la 7* Edition de K«h-

ler« le logarithme de ^'^^'g'g- Cn de mes colldgies et

UierarUeker Berichi CLYHl, 11

M. B»«rg6t, ProfeMear ii la faciilt^ des Sciences de Clermont-

2 O K 10

Ferrand, vient de me faire remarqaer qae le log. de <^ a a" \a
1 1^11273 et noD 1,3201273."

,jj*ai envoy^ ces jours derniers k M. Beroh. Taachnits
one liste de fautes que j'al d^coavertes saos beaacoup cbercber
dans le Yolumioenx recoeil de fonnules qoe cootieonent les Tables
de KSbler. Je n'ai que la 6« Edition entre les mains, et je ne
sais sl 1*00 a fait des corrections daos les äditioos saivantes. Mais
II emi ^onoant que ces fautes n'aient pas ät^ remarquäes plustAf

yyPeodaDt que Je yoqs parle de tables, je d^sirerais bien qae
▼OQS fissiez ä M. ScbrSn un reprocbe grave pour avoir, comme
Gallet, onbliä de joindre h. ses belies tables quelques ligues reo-
fermant les logaritbmes des nombres usnels n, e, log.uat 10, arcl'^^

p etc. Cet oubli reod Tusage de ces Tables trds iocommode

daos certains cas, et II serait bien facile de le r^parer.'*

Herr Qoüel verdient gewiss grossen Dank fSr diese Mit-
theilangen. Herr Taucbnitz wird aber gewiss nicht unterlassen,
rine genaue Vergleicbung der älteren und neueren Ausgaben der
K5hler'scben Tafeln anstellen zu lassen und die ihm angezeig-
ten Fehler zu verbessern. Die schGnen SchrSn'schen Tafeln
(Ausgabe 1860, auf die ich mich jetzt nur beziehen kann) enthal-
ten überhaupt keine Formelsammlung, auch nicht die Logarithmen
oft zur Anwendung kommender constanter Zahlen, eben so wenig
diese Zahlen selbst, so dass also deren Mittheilung wohl über-
liaopt nicht in dem Plane des Herrn Herausgebers gelegen hat.
Da aber der Wuüsch , die wichtigsten dieser Zahlen in den Tafeln
sn besitzen, jedenfalls ein sehr gerechtfertigter ist, so werden
sowohl Herr Professor SchrOn, als auch die treffliche Verlags-
handlimg, die kein Opfer scheuet, um diesen ausgezeichneten
Tafeln eine immer grössere Vollendung zu geben, gewiss nicht
den geringsten Anstand nehmen, in die neuen Ausgaben die ge-
wtfaischten Zahlen noch aufzunehmen. 6.

Vermischte Schriften.

Sitzungsberichte der kSnigl. Bayer. Akademie der
Wissenschaften zu München. (VergL Literar. Bericht
Nr. CLVH. S. 15.)

12 Uterarisehir BerifiJU CIVUI.

1862. 11. HeftllL Pettenicofer: Ueberdia
des bei der Respiration ausgescbiedenen Wasserstoff- und Grobes-
Gftses. S. 162.

1862. IL Heft IV. Jolly: Oeber BatlHMiieter oDd gimpU-
scbe Thermometer (mit zwei Holzscbnitten). S. 248 — S. 279. (Wir
machen auf diese aasfuhrlicbe und lehrreiche Abhaodlang recbt
sehr aufmerksam ^ auch in nautischer Beziehung. Nach einer kur-
zen Charakterisirung der bisher bekannten Instrumente bes^ireikt
Herr Jolly dann^ ausgehend von der Idee von Haies (S» 253L),
einen eigenen einfachen graphischen Apparat , dessen Theorie 9x
sodann sehr sorgfältig mathematisch entwickelt und hierauf eine
grössere Reibe im Kunigssee bei Bercbtesgadso, in dem davon
ungeßihr 2 Kilometer entfernten Obersee und im Walchen^ee an-
gestellter Tiefenmessung mittbeilt Wir empfehlen, wie genügt,
diese Abhandlung zur sorgföltigsten Beachtimg.)

1863. I. Heftl. Steinheil: Deber Verbessemngen in der
Construction der Spectral- Apparate. S. 47. (Der Studiosos ▼•b
Littrow in Wien, Sohn des Directors der dortigen Siemwmrte,
hat auf die ihm eigenthiimliche schöne Idee, die Lichtspalte snr
Erzeugung des Spectrums nicht wie bisher durch ein eigenes Fem-
rohr hervorzubringen, sondern in das zur Betrachtung des Bildes
bestimmte Fernrohr selbst zn verlegen und dann dorcb Spiegehrog
das Bild des Spectrums zu betrachten, ein neues Instrument sar
Spectral-Analyse gegründet. Dadurch ist nicht nur ein Femrekr
genügend, während bisher zwei erforderlich waren, sondern es
verdoppelt sich aueb durch das Spiegelbild die Anzahl und die
Wirkung (wenigstens zum Theil) der Prismen, so dass der ia
Wien construirte Apparat mit vier Prismen einem Siteren gleich-
kommen würde mit acht ähnlichen Prismen. Herr v. Littrow jon.
hat noch andere sinnreiche Verbesserungen an dem Apparate an*
gebracht, der jetzt einen viel kleineren Raum einnimmt und b
einem Kästchen aufgestellt ist, welches zugleich als dunkele Kam-
mer dient Ueber alle diese verdienstHcben Verbesserungen ver-
breitet Herr v. Steinbeil sieb in dem vorliegenden Anfsatse mit
bekannter Genialität, so dass wir Alle, die sich mit Spectral-
Analyse beschäftigen, auf diesen Aufisatz des Herrn v. Stein hell,
so wie auf den neuen Wiener Apparat selbst, der auch von Herri
V. Ettingshausen sehr empfohlen wird, dringend aufmerksam
machen müssen.) — v. Kobell: a) Ueber ein Gemsbart -Eki-
troskop und über Mineral -Elektricität S. 51. b) Ceber Asterisnas-
Stauroskopische Bemerkungen. S. 65. (Auch diese Aufsätze haben
wir mit Interesse gelesen und empfehlen sie der Beachtnng.) —
Herm. v« Scblj^gintweit: Ueber die Temperatur - Verbal taisw
des Jahres und der Monate in Indien. S. 67.

Wträri$€h&r BeHeht CLVm. \\

P^maiifgftbe d«r Akademie der Wissemchafltett

in Bologna.

Da anf die von der Accademia delle scietise delV Istf-
tato di Bologna für 1862 gestellte, den GalvatiietDas betreSetde
Preisaofgabe (s. Literat. Ber. CXLV. 8. 18.) eine Bewerbmigagchrift
flieht eifigegangen Ul, so ist diese Aufgabe unter dem 96. Februar
d. J. fat 1865 Tviederbett worden. Um die Aufinericsamkeft m
▼fol als mügticb auf diese Aufgabe biniuletiken , lasse ich daher
das desfalisige neue, mir gütigst zur Veröffentlitbung zugegan^
gene Programm im PVachstebenden abdrucke«, und wünsche sehr,
dass diese Aufgabe die Beachtung, welcbe sie so sehr verdiaiil,
im jeder Bei^ehung finden m(^e. Grunert

PROGRAMMA

DELL' ACCAOEHU DELLE SCIENZB

DELL' ISHTÜTO DI BOLOGNA

PEL

OONOORSO AL PRBHIO ALDINI 8ÜL «ALTAHUMO

Ym L'AimO 1865.

iVoit essendo pervenuia alcuma Memoria al Concorso pet 1862,
d ri§fr9pone lo stesso Tema e, riconotciutane la molta impin^
iantu, e U non lievi diffieoltä che gti vanno caHghmte^ st nt
aumenia it premiot modificandone le condixioni, tomt segue,

I ma^coli ed i nervi della rana sono sedi di coitenti eitettriehe,
le qnati diedero roateria a due Dissertazioni, premiate da quest*
Accademia, ed elaborate dai chmi Professori Grimelli e Ciroa
per rispondere a due teroi proposti pe' concorsi al premio Al-
di»!. Stande massimaaente ad una reeentissima PubUicazioae
del Sig. Budge, Professore nell* Unirersitä di Greifswald, ^
sede di corrente elettrica nella rana aqcbe la pelle. L' Accade-
mia che ha sempre cercato di coooscere ben cbiaro ed appyrato
quaslo erasi scoperto in fatto d* elettridtä in quell' animale, ottd'
^be erigine il Galranismo, non puö non cercar di conoscere ezian-
dio quanto ^ sfato dipoi scoperto intomo al medesimo, e percib
ancbe quanto pu5 esser riferibile all' ultima memorata corrente.
Propone quindi il seguente

Q u e s i t o.

1<^. Esaminare ed esporre ciö die dai fisici e dai fisiologi ^
stato trovato dl rilevante intomo alle correnti muscolari, nervee

U LUmrarisekär Bericht CLWL

e di ooDtraziooe della mm dopo le sopraccennate DiMertasioiii
dei Professor! Grimelii e Cima: e sopratotto la Tera imp«r
taosa dello stato elettrb-tonico dei nervi, assai grande secondo
le diiigenti ricercbe dei Sig. Pflüger, e pressoch^ DiiUa giuia
il parere dei sopradetto Sig. Badge: e

2®. lodagare con precise e concludentl esperienze se vera»
meote nella pelle della rana si maniiesti noa corrente elettrica:
6» oel caso affermativo, X|aali sieno le leggi dl qaesta corrente:
•e debbasi o no riguardare come feoomeQO fislologlco: e seabbia
Yerana attioenza eolle altre correnti.

Ricble der Accadmnia, che dal fattl rtlativi alla raoa dob si
scompagDloo i fattl aoalogbi osseryatt inaltrl animali, ma che veo-
gano aach' essi riferlti e discassi, rlunendo cosi In nn totto solo
qaanto, in relazione all' oggetto in discorso, e sino al termine
assegnato a qnesto Concorso, sarä ben conosciuto circa all' eco-
nomla animale.

SI retribnirä nn premio di Ure iiaUane duemila all' Aotore
dello scritto cbe, colle snddette avvertenze e condizioni, presenti,
a gindizio dell' Accademla, la miglior soluzione dei proposto tenuL

Le Memorie per qnesto Concorso dovranno perTenire franeke
a Bologna entro il mese di Dicembre milleottocentosesaantacuKrae
con qaesto preciso indirizzo s AI Segretario deir Accademia deUe
Sdenze delV- Istitnto di Bologna ^:: nn tale termine h di figore»
e percib non sarebber ricevate pel Concorso le Memorie che glua*

gessero all' Accademia, spiroto 1' ultimo di dell' indicato mese.
^ovranno essere scritte o in italiano, o in latino, o in francese,
e In caratteri facilmente leggiblli. L' Accademia richlede Ja m^
giore esattezza nelle citazioni di Opere stampate, e la maggioie
esattezza nelle citazioni di Opere stampate, e la roaggiore auten-
ticitä ne' docnmenti in iscritto, che agii Autori torni di menzio-
nare a prova, o conforto dl loro asserzioni. Ciascnn concorrente
dovrii contrassegnare con nn' epigrafe qnaislasi la sua Memoria,
ed accompagnare questa d' una scheda suggellata, la quäle rae-
cbiuda il nome, cognome ed indirizzo di lui, ed abbia ripetuta all'
esterno la predetta epigrafe. I concorrenti avranno tutta la cura
di non farsi conoscere; poichö qaegli, che per aualche espresaione
della sna Memoria, o in qualsivoglia altra maniera si facesse co-
noscere, Terrebbe escluso dal Concorso. Spirato il sopradetto
termine, esucceduto ilgiudizio delle Memorie di Concorso, seconde
r analoge Regolamento dell* Accademia, verrä aperta la sok
4icheda della Memoria meritevole dei Premio, e dei premiato m
pubblicherä tosto il nome.

belog na dalla Residenza dell' Istituto il di 26 Febbraio 1863.

IL FBESIDENTE
Prof. GiDSBPPB BBaTOLom.

IL SEGffifiTABIO
Dott. DoMEmco Puvi.

Matbematlsclie
nnd physikalisclie BibliograpUe.

fi^yflteaiet üelir- and Wdrterliaelier«

H. B 0 1 z e » Leitfadeo zum Unterricht in der Mathematik. 2 Thle.
(1. : Arithmetik. 6 Sgr. — II. : ebene Geometrie. 3 Sgr.) 2. Aufl.
99. geh. Cottboe. 8 Sgr.

Th. Wittatein« Lehrbuch der Elementar -Mathematik. LBd.

1. Abth. : Arithmetik 2. Aufl. gr. 8®. geh. Hannover. 20 Sgr.

Aiithmetik«

E. F. Anguat» VolUtändige logarithmiaehe und trigonome-
trische Tafeln , zom Theil in neuer Anordnung, durch Zusätze er-
weitert und mit ausföbriichen Erläuterungen versehen. 5. Aufl.
df^. cart. Leipzig. 15 Sgr.

H. Bland 8 sämmtUcbe algebraische Gleichungen des 1. und

2. Grades, theils mit, theils ohne Auflösungen. Mach dem Eng-
lischen bearb. v. C. Girl. 2 Bde. 2. Aufl. gr.8o. geb. Halle. 2Thlr.

H. Ha^kel, Die Euler'schen Integrale bei beschränkter Va-
riabUität des Argumentes, gr. 8^. geh. Leipzig. 10 Ngr.

C. Her mite, Debersicht der Theorie der elliptischen Func-
tlooeo. Aus dem Französischen übertragen und mit einem An-
hange versehen von L. Natani. gr. 8^. Berlin. 28 Ngr.

F. Mocnik, Trattato dl algebra pei gmnasio superiore. Tra-
dnzione per cnra del P. Magrini. Ediz.II. 8^. geh". Wien. 3}Thlr.

F. A. Prym, Theoria nova functionum ultraellipticarum. Parsl.
gr. A^, Berlin, geh. 15 Sgr.

H. Schmidt, Lehrsätze der elementaren Arithmetik. In lo-
gischer Folge geordnet. 8^. geh. Görlitz. 4 Ngr.

J. Temme, Leitfaden der Algebra ßr Gymnasien und andere
Lehranstalten, gr. 8^. geh. Arnslierg. 10 Ngr.

Naturkundige Verhandelingen van de Hollandsche maatschap-
pij der wetenscfaappen te Haarlem. 2te VerzameÜng. Deel XVI.
XVil.enXIX., Itestuk. Haarlem. 4». Mit29Tar. (XVII.: D.B le-
re ns de Haan, Memoire sur une möthode pour döduire quel-
ques integrales däfinies, en partie trös-g^nörales, prises entre les
llmites 0 et OD et contenant des fonctions circulaires directes.)
14 Thlr. 24 Ngr.

H. Welssenhorn, Die geometrische Deutung imaginärer und

complezer Zahieo and ihre Anwendung anf Geometrie, gr. 8^. pk
Eisenach. 2 Ngr. ^

A. W in ekle r, Ueher ehrige Elgenaoliaften der Kngelfuncfio-
nen einer Veränderlichen und der Coefflcienten von Reihen, weicke
nach KugelAiaclionen entwickelt sind, g? . 4P. geh. Wien. 18 Ngr.

G. Wirth, Algebraische Aufgaben, gesammelt und mit ele-
mentaren Lösungen versehen. S.Adl. 8^. geh. Langensalxa. 9 Ngr.

Oeometrie.

L. Fritze, Erster Unterricht in der Raumlehre. Ein Hdfs-
bfichlein ßr den Schul« und PrSparanden-Unterrfcht 8^. geh. Wrie-
zen. 6 SgK _

BL H. und C. Th. Meyer, Lehrbuch der axonometiiaehen Prt-

jectionslehre. 4. Lief. gr. 8^. Hit Atlas In FoL In Coovert Leipxi^

2 Thir.

CleoiUUie.

C. Bremiker, Theorie des Amsl er 'sehen Polarplaninetcrs.
gr. 8^ geh; Berlin. 10 Ngr.

6. Gflnther, Tachymeter,Tachymetrie4Tach7grapfcie(Sdiiiett>
messer, Schnellmessung, Schnellzeichnung), gr. 8^. geh. Wies.
20Sgr.

G. Chr. K. Hunäus, Die geometrischen Instrumente der ge-
sammten praktischen Geometrie, deren Theorie, Beschreibung hb^
Gebrauch. Nebst einem Anhang über die wichtigsten AusgleiebnB'
gen der praktischen Geometrie nach der Methode der ÜeiBsteD
Quadrate, ausgeführt an praktisch -geodätischen Auf)^beii. 2Hft.
Hannover. S9. MitaHolzschnitttaf. SThlr.ßNgr. Itahalt: Die Win-
kelmesser mit fester Unterlage, mit Ausschluss der NivelUr-bstn*
mente. Mit 77 Holzschn«

F. Lippich) Ueher die transversalen Schwingangen beU8t^
toK SlKbe. gv. 40. geh. Wien. 1 ThIr. 4 Ngr.

Optik.

J. Vollweider, Pezspective. I.Abtheil.: Die Perspective der
Umrisse. Nebst Atlaa mit 30 Taf. 99. Stuttgart. 4 Thk.

Astronomie.

Annales de TObservatoire Imperial de Paris, publikes par U. J*
Leverrier. Observations. Tome 17. In -4^. Paris. 40 fr.

F. W. A^ Argelan der. Astronomische Beobachtungen auf der
Sternwarte der k. rheinisch. Friedrich- Wilhelms-Universität zu B«id
angestellt. 5. Bd. Bonner Sternverzeichniss. 3. Sect. gr. 4®. g^*
Bonn. 5 ThIr.

Literarischer Bericht CLIX. \

Literarischer Bericht

CLIX.

FranoesGO CarUnL

Notizie sulla vita e sugli scritti di Francesco Car-
lini, raccolte da G. V. Scbiaparelli» Direttore dell' os-
servatorio astronomico di Brera^ Membro effettivodel
R. Istituto Lombardo di scienze» fettere e arti. Lette
oella tornata del medesimo Istituto il 18 Decembre
1862. 37 Seiten.

Herr Sehiaparelii, der Nachfolger Carlini's als Director
der berflbmten Sternwatte der Brera in Mailand, an welcher yor
Carlioi, and tbeilweise noch mit demselben, Männer wie Oriani,
der berühmte Verfasser der „Element! di Trigonometria
• feroidica. Bologna. 1806. *)" und Tieler anderer wichtiger
Schriften, femer Reggio und Cesaris wirkten, hat in dieser
Schrift eine sehr interessante Lebensbeschreibung und sehr ein-
gehende Würdigung der wissenschaftlichen Verdienste des genann-
ten berühmten Astronomen und Mathematikers geliefert und zu-
gleich den trefflichen Mann rücksichtlich seines ganzen äusseren
and inneren Wesens so schün und mit so vieler Pietät geschildert,
da00 wir unsere Leser recht sehr auf diese ausgezeichnete Schrift
aafroerksam machen müssen. Eine ganz besonders dankenswerthe
und wichtige Beigabe ist aber auch der ,,Elenco dei princi*
pali Scritti pubblicati da Franzesco Carlini." Die Zahl
dieser Schriften beträgt 144 und legt das deutlichste Zeugniss von
Carlini 's reichem Geiste ab, da diese Schriften sich über die
Terachiedensten Gebiete der Astronomie und ihrer sämmtlichen
Hfllfswissenscbaften, insbesondere auch der reinen Mathematik,
so wie der Physik, and selbst der socialen Wissenschaften ver-

*) M. vergl. Spharoidtache Trigonometrie von Dr. J. A.
Grunert. Berlin. 1833. 4^. (Vorrede.)

T]ü.3LUHft.8. 3

j

2 Uteraritcher Bericht CLIX.

breiten. Je mehr es onser Wunsch ist^ dass die Leser des Arckm
sich mit dieser ausgezeichoeten Schrift selbst bekannt maches
desto mehr glauben wir uns hier nur mit dem folgenden ktmo
Auszuge aus derselben begnQgen zu dörfen und zu mfissen.

Francesco Carlini wurde am 7. Januar 1783*) in Hai
land geboren. Sein Vater war Carlo Giuseppe Carlinl, z.i
detto alla Biblioteca di Brera^ e da Rosa Mtoola. Seine
ersten Unterriebt erhielt er von seinem Vater, besuchte dann da»
Gymnasium der Brera und befleissigte sich in seiner ersten Jugee^
verschiedener wissenschaftlicher Studien, insbesondere auch dr
Mathematik und der Architektur, gewann aber sehr iiaid eiw
vorherrschende Neigung ßir das Studium der Astronomie, weick
künftig den Beruf und den Ruhm seines Lehens ausmachen sollte
Nachdem er sich schon vielfach astronomischen Arbeiten und
Rechnungen gewidmet hatte, wurde er im Jahre 1799 Eleve der
durch die oben genannten Astronomen so berQhmten Stemwartr
der Brera in Mailand, die damals keiner anderen europitscbo
Sternwarte nachstand, und zugleich bei der „Commissione dei pes
e misure per il regno d* Italia'' beschäftigt. Im Jahre 1803 e-
hielt er das Diplom der Mathematik von der Universität in Pavit
und wurde 1804 zum Grade eines Astronomo sopranomeraHo h^
der geni^nten Sternwarte beft^rdert Nach Angelo de Ge«ari»
Tode ward ihm im Jahre 1832 das Directorium der Steraw^rte
äbertragen, indem er zugleich in demselben sich mit GabrieUi
Sabatelll, Tochter eines berühmten Kunstlers, verheirathet hatte
mit welcher er in ruhiger Einfachheit lebte, bis er am 29. Angnst 19S
einer schrecklichen Krankheit der Eingeweide erlag: „Cosi ^
vea U Nestore degli odierni astronomi, ottuagenario, perire ^i
morte immatura, prodotto non giä da debolezza senile, ma di
morbo di carattere violento. Ei dico di morte Immatura; pokk
II corpo, sebben di molti anni, robuste era tottavia, ed atti &
piu longa vita; pih del corpo ancora eran rimaste intatte le fac«lla
dello spirito.^' — „Fu Carlini d'aspetto non disaggradevole, di
statura media e di robusta costituzione dl corpo. Si condosse sesn
treppe gravi incomodi fino all* etä di anni quasi ottanta, grasie ai
temperato soo vivere, ed alla attivitji ben regolata In cui teoevi 1^
sue forze fisiche ed intellettoali. Arno sopratutto la quiete, e hfp
volentleri I rumori del mondo e le qntotioni d*ogni natura."

Nach dem Beispiele Oriani*s vermachte Carlini der Stern
wak'te eine namhafte Summe zur Verwendung ftfr wissesschaft

*) M. vergl. meine vorlfinllge kurze Notiz von dem Tode Cttrlfai *
im Literar. Ber. Nr. CLIII. S. 1.

Uieraritcher Bericht CLIX. 8

»

liehe Zwecke« so wie seine MaDoscripte; dem »»Istitato Loin*
bardo di scieoze, fettere e arti'^ seine zahlreiche Sammlang
vrisseoschafUicber Werke.

Die wichtigsten Arbeiten Carlini's gehören natßriich den
Gebieten der Astronomie, Geodäsie und Meteorologie an. Er war
aber auch ein geschickter und scharfsinniger Analyst, wie die
nachstehend genannten Abhandlungen zeigen:

Ricerca snlla convergenza della serie che serve
alla risolusione del problema di Keplero. (Effemeridf
antroiiomiche di Milano. 1818. Eine Uebersetzung und Be*
richtigong eines Irrthnms lieferte Jacobi in den Astronomi-
0ehen Maehrichten. Nr. 709.)

Sopra aicune funzioni esponenziali comprese nella

formola x^. (Memorie deli* Istituto del Regno Lom-
bardo Veneto. Tom. I.)

Solla proprietä delle funzioni algebriche conjugate.
(Wieoer Sitzungsberichte. Juli. 1854.)

Algoritmo delle perturbazioni lunari, mit einer Einlei-
tung: Sul calcolo delle quantit^ periodiche. (Memorie
dell* Istituto del Regno Lombarde Teneto. Tom. V.)

Ueber die Logarithmentafeln mit zehn Decimaleu.
(Jahrbücher des polytechn. Instituts in Wien. Tbl. X.)

Carlini's astronomische und verwandte Arbeiten sind so
mannigfaltig und erstrecken sich so sehr fiber das ganze Gebiet
der Wissenschaft 9 dass wir hier nur eViige der wichtigeren der-
selben hervorheben können , im Uebrigen uns auf die schöne
Schrift Herrn Schiaparelli's selbst beziehen mOssen.

unter seinen theoretischen astronomischen Arbeiten sind vor*
zQglich und zunächst die

Tavole del Sole p«r 11 Meridiane di Milano, se-
condo gli elementi del celebre eigner Delambre.
Milano. 1810.

za nennen. Als Carlini in die astronomische Laufbahn eintrat,
waren vorzüglich die Sonnentafeln von Del ambro in Gebrauch;
na<!fcdem aber Carlini dieselben einer genauen Prüfung unterworfen
halte, erwiesen sie sich so fehlerhaft, dass er sich entschloss, unter
Beibehaltung der von Delambre angewandten Constanten sie von
Nesem (&r den Meridian von Mailand zu berechnen, und swar
nach einem eigenen Systeme, worüber er sich in der Esposi-

8»

4 Literarischer Bericht CHX.

zlooe di un nuovo metodo di costruire le Tavole astr»-
nomiche, applicato alle Tavole del Sole. Milaao. 1810
weiter aussprach. Gleichen Fleiss und Eifer widmete er io Ver-
binduDg mit Plana der Theorie des Mondes, über welcbe b«*
Astronomen in der Correspondance astronomlque von Zacb
(Tom. IV.) die beiden Abbandlungen: Observations sor nc
öcrit de M. de Laplace sur le perfectionnement de Ii
Theorie de la Lune et des Tables Lunaires (18^ qd^
Note sur Täquation lunaire ayant pour argameat le
double de la diff^rence entre le noeud et le p^rig^c
(1820) veröffentlichten; Carlini's Tavole Lunari bliebeo abef
ungedrackt. Ausserdem erstreckten sieb, wie schon erlonert, »ebe
theoretischen Arbeiten über fast alleTheile der Astronomie, s. B.
Planeten- und Cometentheorie, astronomische Refraction a.s. w.
Von besonderem Interesse ist auch seine Abhandlung: Soll' in-
eguale distribuzione del caiore nel globo solare re-
centemente annunziata dal signor Nervander (Gior-
naie delT Istituto Lombarde e Biblioteca Ifaiiana.
Milane. Tom. Xlll.)

Seinen Pflichten als Beobachter entsprach er bis iD*8 hodMte
Alter mit der grossten Gewissenhaftigkeit. ,,Spettacolo commo-
vente'' sagt der Herr Verfasser, »^era 11 vedere Fottuageoario sa*
cerdote d'Drania, stanco ancora dai calcoli e dagli studi del i^omo,
salire la sera con lento, ma fermo passo sulla vetta deUe noslre
torri, per ivi adempiere a doveri, da cui la grave eti avrebbe
potuto dispensarlo: esempio ammirabile e non abbastanza imitato!
Ma a lui, per vincere la debolezza dell' et^ e Tinclemenza delV
stagioni dava forza l'amo^e dei veri scientifici, quel sacro e pari»-
simo fuocoy che sostenne Keplero nei suoi domestici iDfortuDn,
ed animö Galileo nelle carceri del Sant' Uftizio: e senza dl coi
si potranno avere mediocri osservatori e computisti, non mal de
grandi astronomi/'

Ganz In derKOrze können wir nur noch erwfthnen Carlini's
bertihmte geodätische Arbeiten Qin Verbindung mit Plana), seiw
meteorologischen und magnetischen Arbeiten, seine Abhandlung:
Sulla legge delle variazioni orarie del baroroetro, seine
Tavole per calcolo delle altezze barometriche n. s.w.

Besonderes Interesse fand er auch an mechanischen Arbetoi,
wie Q. A. seine Descrizione di una machinetta che serre a
risolvere il problema dl Keplero zeigt; er war mit einer
reiohen und glühenden Phantasie begabt, der klassischen Utera-
tur seines Vaterlandes vollständig kundig, so wie der alten Spra*

UterariMcher ßetieki CLIX. 5

c^hen uod fäof lebender SpracbeD voUkomnieB micfatig» Verfoseer
vieler Neerologe yerstorbeoer Mathematiker und AetroDomeD» viele
«Fahre einer der Redactoren der BIblioteca Itallana» In den
Oongreasi Scientifici Italiani in diverse cittä and bei den
I> i0trlbuiioni dei premii d'indaatria (1834, 1837, 1839, 1843)
«stete eifrigst betbeiligt.

Es liegt uns hier ein so reiches, mit den schönsten und glück-
liebsten Erfolgen gekröntes Leben vor, wie es wenig Sterblichen
von der Vorsehung beschieden sein mag; und Herr Schlapa-
relli verdient den wSrmsten Dank ffir seine treffliche Schrift.
ll(6ge Italien immer viele solche Männer besitzen wie

Franceseo Carlini I

Ferdtaanil Redtentaoher *).

Der Trauerzug, welcher sich am Abend des 17. April durch
die Strassen unserer Stadt bewegte, erwies einem Hanne die letzte
Ehre, der sich um die Stadt, um das Land, um die deutsche In-
dustrie und Wissenschaft die grussten Verdienste erworben hat,
dessen Name der polytechnischen Schule und der dort von ihm
vertretenen Disziplin in unvergänglichen Zügen eingegraben ist.

Ferdinand Jakob Redtenbacher wurde am 25. Juli 1809
iD der ober -österreichischen Stadt Steyer geboren, dem Sitz ur-
alter Elisenindustrie y in einer Gegend, wo ein freierer Geist in
den berflhmten Rlustern KremsmQnster und St. Florian seit langer
Zeit sich ein wissenschaftliches Asyl gerettet hatte. Dort, im
Angesicht der sich erbebenden steierischen Alpen, verlebte Red-
tenbacher seine erste Jugendzeit im elterlichen Hause, trat aber
schon mit dem elften Jahre in ein Kaufmannsgeschäft, so dass
die Elementarbildung in dem Augenblick unterbrochen wurde, wo
sie am fruchtbarsten zu werden beginnt. Die jugendliche Natur
ertrug diese vorzeitige Praxis nicht, sie sträubte sich überdies
gegen eine Tbätigkeit, deren Grenzen ihr zu eng gesteckt waren.
Mit dem dreizehnten Jahre kehrte Redtenbacher zur Schule
zurück, diesmal zur Realschule in Linz. Man weiss, wie es,
zumal in jener Zeit, mit diesen Anstalten bestellt, wie ihnen die
knappste, mechanischste Vorbereitung zur Praxis als ausschliess-
l'iclie Aufgabe gestellt war. Nachdem er sich kaum drei Jahre
dem Studium der Mathematik gewidmet hatte, rief ihn schon 1825

•) KarUraher Zeltuog. 1863. Nr. 98.

6 LiterariieAer Bericht CLiX.

die Arbeit des Leben« zum Bweiten Male ab ; er trat bei der Line
BaiidirekHDii als Aashilfe som Zeichnen von Baaplinea ein. AWi
cnm zweiten Male schfittelte der nan schon selbstbewro^stere Gek
die Fesseln ab, die seinen hohem Flug zu hemmen drobten; W
reits Ende 1825 ergriff der sechszehnjfthrige Alpensohn den Was-
derstab» om durch das schfine Donauthal hinabzuaieheo sor K»
serstadt und auf der dortigen polytechnischen Schule den Gmv
zu legen zu seiner Lebensarbeit.

Bis Ende 1829 lag Redtenbacher mit der ihm frfih eigenci
rastlosen Energie dem Studium der reinen und angewandten Matb^
matik und der mit dem Wasser- und Strassenbau zosammeBbift'
genden technischen Fächer ob. Seine Lehrer» unter denen £e
Herren Artzberger und v. Ettingshausen ihm eine i>eeo»deR
Theilnahnie wid nieten , erkannten früh seine hervorragende Bega-
bung und wirkten bereitwillig mit, ihm den Weg zu dem Bemfe
zu bahnen, für welchen die Natur ihn %q reichlich aosgeetattet
hatte. Er hat ihnen bis zu seinem Lebensende mit wahrhaft iani-
ger Verehrung und Dankbarkeit vergolten , für die er noch wik*
read der schweren Leiden seiner letzten Tage wiederholt Worte ftsi

Die Anstalt, die ihn gebildet, bot seinen Kräften sofort eis«
Verwendung; im November 1829 wurde er als Assistent flir da»
Lehrfach des Maschinenbaues angestellt und blieb vier Jahre lang
in dieser ThStigkeit. Es war ihm dadurch nicht nur die mDfas-
sendste Benfltzung aller der wissenschaftlichen UUfsmitfel geöff-
net, über welche das polytechnische Institut verfugte, sondern er
konnte in den Jahren, wo der Geist sich ganz frei nach allen S^tes
zu entfalten liebt, den reichen Anregungen einer enropliscbe*
Hauptstadt nachgehen. Er konnte in den herrlichen Samrolongo
Wiens die ersten Blicke in das Gebiet der bildenden Künste werfet;
Im Burgtheater gingen die Meisterwerke deutscher Dichtkunst v«r
ihm auf; das wissenschaftliche^ Leben stand zwar damals In enge
Schranken eingeschlossen, aber Redtenbacher wusste Me n
durchbrechen : schon damals machte er die erste Bekanntschaft mit
der deutschen Philosophie. Das dolce far niente, welches in den
alten Wien gewissermassen seine Residenz aufgeschlagen hatte,
vermochte diese stählerne Natur niemals einzulullen.

1833 ftihrte Redtenbacher die glänzende Empfehlung wu-
senschaftlicher Kapazitäten als Lehrer der Mathematik und des
geometrischen Zeichnens an die höhere Industrieschule za Zfliidi,
wo er denn schon nach zwei Jahren zum Professor der praktiseken
Mathematik ernannt wurde. Er bHeb in dieser Stellung bb 1841.
Das Leben der Schweiz bereicherte seinen Gesichtskreis iianpt>
sächlich In einer Richtung: ihm ging der Begriff des freien Sta^

UieraHicker BeHcJU CHX. 7

Aie BadeatoDg des polittsoheo Organismiis Ar das Gedeihen nicht
nur einer Nation, sondern el>en so sehr des einzelnen Individunms
auf. Er hat der Schweiz und ihrem gesunden BOrgerthum stets
eine liebevolle Anhänglichkeit bewahrt. An sie waren ausserdem
die Erinnerungen der ersten glQcklichen HSuslichkeit geknfipft;
denn als ZQHcher Professor verheiratete er sich im Jahre 1837
mit seiner treuen Lebensgeföhrtin , Marie Redtenbacher» die
ihm zwei Kinder, eine Tochter und einen Sohn, schenkte.

1841 berief ihn die grossherzogliehe Regierung als Professor
des Maschinenbaues an die hiesige polytechnische Schule» der er
dann volle einundzwanzig Jahre mit der ganzen Kraft seines reichen
(seistes gedient hat, deren glänzender Aufschwung mit seiner Wkk-
aamkeit unzertrennlich verknfipft ist Nachdem er am 4. Septem-
ber 1854 in Anerkennung seiner Verdienste zum Hofrath ernannt
war 9 fibertrug ihm das Staatsministerium durch Erkss yom
15. Mai 1867 die Direktion der Anstalt; er bat dieselbe bis snm
18. Januar d. J. fortgefiihrt, bis zu einem Moment, wo eine tOdt-
liebe Krankheit seine Kräfte bereits zum Aenssersten erscbiipft
hatte. Wir brauchen hier nicht bei einer Schilderung seiner Ver^
dienste als Lehrer und Leiter der Anstalt zu verweilen, die in
Jedermanns Munde leben; die Schule wuchs mit ihm und er mit
ihr zu europäischer Berfibmtheit. Wenn heute Maschinenbauer,
Ingenieure und Architekten aus allen Ländern unseres Erdtheils,
ja ans Nord- und Südamerika in Karlsruhei sich zusammen finden,
so ist Niemand, der dem Todten den Ruhm verweigerte, zu die-
ser Bedeutung der Schule ganz Tornehmlich beigetragen zu haben.
Mit seiner hervorragenden Lehrthätigkeit waren aber die umfas-
sendsten wissenschaftlichen Arbeiten verknfipft, welche nicht allein
das gesammte Gebiet des eigentlichen Maschinenbaues betrafen,
sondern auch die benachbarten naturwissenschaftlichen Disziplinen
in ihren Kreis zogen. Indem wir unten ein vollständiges Verzeich-
niss der Redteobacher'schen Werke anfOgen^, messen wir

*) Theorie und Hau iler Turbinen und Ventilatoren, 1844.
Theorie und Bau der Wasserräder, 1846. Resnitnto für den
Ulaschinenhau, 1848. Prinzipien der Mechanik, 185*2. Kesul-
tfite für den Maschinenbau; zweite Auflage, 1852. Die Luft-
expansionsmaschine (Calorische Maschine), 1853. Dieselbe,
«weite Auflage, 1853. Die Gesetze des LukomotiTenbanes;
1865. Resultate für den Maschinenbau; dritte Auflage, 1866.
Die Bewegungs-MechanisDien» 1857. Das Dynanidensystem,
1857. Theorie und Bau der Wasserräder; zwelteAuflage,
I86a PriDSipien der Mechanik; zweite Auflage, 1800. Re-
sultate; Tierte Auflage, 1860. Die anfänglichen und die ge

8 Ulerariseker Berichl CLIX.

uns mit einer kunsen Charakteristik derselben nach der MiMkr
hing eines Fachmanns begnügen.

Nachdem Redtenbacher in seinen beiden ersten Werk»
den Bau der wichtigsten hydraulischen Kraftmaschinen mit wii'
senschaftlicher Schärfe auf mathematische Prinzipien gegrond^
hatte, stellte er in den ,,Resultaten'' die Gesammtergebnis»
seiner wissenschaftlichen Untersuchungen und praktischen ^jtbit
rungen fllr den Maschinenbau zusammen. Die vier Auflagen, welch
das Buch in zwOlf Jahren erlebte» sind der beste Beweis filrseiiM
Tüchtigkeit. Darauf gab Redtenbacher in deo ^Priniipiei
der Mechanik'' eine allgemein wissenschaftliche Einleitmgü
das spezielle Studium des Maschinenwesens, in «velcAcr er ikh
nur die längst bekannten Grundsätze der Mechanik klar und scka^
entwickelte, sondern seine eigenen Ansichten über Stoff onilKnf
begründete. Von diesem wissenschaftlichen Fundament kehrte e
sich nun wieder den Details seines Faches zu, dessen Ansbai
die 9,Calorische Maschine'', „die Gesetze des LokoDo
tivbaues" und die y.Bewegnngsmechanismen*' gewidinet
sind. Unmittelbar auf das letztgenannte Werk folgte abemal»
eine allgemein wissenschaftliche Untersuchung, das „Dynani
densystem", die Grundzüge einer mechanischen Physik, äasrt
auf die früher entwickelten Hypothesen über das Wesen der Ma
terie und der derselben innewohnenden Kräfte. Der \etbtstf
fährt darin mit mathematischer Schärfe die mannichfaltigeo Ersehet-
nangen der Wärme und des Lichts auf mechanische Vorgioge za-
rück. Die kleine Schrift über die Abkühlung der Weltkdrper eitbidt
eine Anwendung dieser Theorien auf die Entstehung der V^'^
kdrper durch den sog. Ballungsakt und suchte die wahrscbeinKebc
Temperatur derselben unmittelbar nach ihrer Bildung nad ^^

Prozess der allmäligen Abkühlung festzustellen.

*

Wer die Fülle dieser Arbeiten , ohne die wissenschaftüe^
und praktische Bedeutung derselben taxiren zu können > reiD iu^
serlich übersieht, wer dabei erwägt, dass Redtenbacher irocliept
lieh zwölf Stunden vor einigen Hundert Zuhörern mit gani^
Kraftaufwand dozirte^ dass er fast, sechs Jahre die Geschäfte ^^
Direktion in konzentrirtester Form versah » dass In- und h^^^
ihn mit zahlreichen Gutachten in Anspruch nahm, der mochte oeioev^

geowfirtigen Erwärniitngtznstande der Weltkorper, W^* ^^^
Bewegangsmechanismen; neue Folge, 1861. Fransöiiic*'*'
Uebersetzung der „Resultate'', 1861. Der Mascbinet^"''
erster Band, 1862. Der Maschinenbau; zweiter Bao4 ("^^
nicht vullendet), 1863.

UUraritcker Berichi CUX. 0

4läiB8 aueii die stärkste Kraft von einer solchen Last votlstindlg
oidrapirt worden sei. Das Aosserordentliche des Mannes, dessen
früben Tod wir beiciagen, tritt am aagenftlligsten darin hervor»
dass alte diese verschiedenartigen grossen Leistungen die Elasti-
zität seines Geistes so wenig au erschupfen vermochten, dass
derselbe mit voller Frische in den weiten Räumen der moralischen
Wissenschaften und der bildenden Künste sich nicht nur genies-
i«end erging, sondern auch hier noch Gberall produktiv auftrat, sei
es in dem durchaus selbständigen ürtheil» das sich ihm aus jeder
LectOre ergab, sei es in raschen, scharfen Bleiskiszen oder in
aosgefOhrten Oelgemälden. Nur selten wohl hat ein Mann der
exakten Wissenschaften, der in denselben eine so umfassende und
hervorragende Thätigkeit entfaltet und der durch seine Jugend-
bildung so ausschliesslich auf sie hingewiesen war, zugleich in
Philosophie, Geschichte, Literatur mit der innigen Hingebung fn
jedes Grosse, mit der warmen Begeisterung fflr jedes Edle gelebt,
welche Redtenbacher jeder Idee und jeder Persönlichkeit von
Bedeutung entgegen trug, mochte sie dem entlegenen Alterthume
oder der frischen Gegenwart angehören. Von den abstraktesten
Fragen der spekulativen Metaphysik bis zu den Details der Ge*
scbichtsforschung fasste sein Geist mit unermüdlichem Eifer und
unvergleichlicher Frische jedes wissenschaftliche Problem , ebenso
batte er für die mannich faltigsten Erscheinungen des wirklichen
Lebens das regste Verständniss, und in Allem war er stets er selber.
In der vollen Blöthe des Mannesalters ergriff ihn die unhell-
bare Krankheit, welcher er, trotz der liebenden, unermiideten
Pflege der Seinigen und der Sorgfalt der Aerste, nach fast swei-
jihrigen schweren Leiden in den Frühstunden des 16. April erle-
gen ist. Der Energie seines männlichen Geistes war hier eine
letzte traurige Gelegenheit geboten, sich zu erproben. Nicht ge-
oag, dass er seine Vorlesungen bis gegen Ende des vorigen Jah-
res fortsetzte, blieb er in jeder Richtung ununterbrochen thätig.
Das letzte seiner Werke, „der Maschinenbau'', worin er das
IVesentliche seiner Vorträge am Polytechnikum zusammenfasste,
gebort wenigstens zum Theil dieser Krankheitsperiode an ; bis zum
vorletzten Tage vor seinem Tode arbeitete er daran mit seinem
erprobten Assistenten, Herrn Hart, welcher ihm thätig zur Seite
stand und den zweiten noch nicht erschienenen Band vollenden
wird. Daneben ging die ausgedehnteste Lektüre in den verschie-
densten Gebieten , des Wisseos fort, und man konnte den todt-
kranken Mann über Milton oder die Aiterthümer Roms, über Wil-
helm V. Humboldt oder die ueaesten Kämpfe in Preussen mit einer
Wärme, einem eindringenden Verständniss reden hOren, als wenn
dieser Geist von den Leiden des KOrpers gar nicht berührt würde.

10 UierarUcher Bericki CUX.

V

Er behauptete «eine eigenete Nakir bis ao den Angeabiick, im
aie dem Schicksal der Sterbticbeo erlag; seie roiafilieber, stw-
ker» scharfer Geist ging aafrecbt bis an den Rand des Grabes^

Geschichte und Literatur der Mathematik und

Physik.

Magyar Tndom. Akademiai Alroanacb csillagässtti
^s kOsOns^ges Naptärral. MDCCCLXUI.-ra. Pesten. Eg-
genberger Ferdinand.

Wenn es jederzeit ein erhebendes Gefühl Ist, zu sehen» wie
in allen Ländern die Wissenschaft eifrigst gepflegt und gefördert
i^ird: so erfflilt es uns auch mit besonderer Freude, diesen neoe-
sten» 328 Seiten umfassenden Jahrgang des Almanacbs, welcbai,
nach dem Vorgange der meisten anderen berühmten Akademieen
der Wissenschaften, auch die Ungarische Akademie der
Wissenschaften in Pesth herausgiebt, hier zur Anzeige brin-
gen zu können, da derselbe von der Einrichtung und ThStigkeit
dieser berühmten Alcademie ein sehr anschauliches und im hodi-
sten Grade erfreuliches Bild liefert.

Dieser Almanach enthält zuerst einen sehr vollständiges Ka-
lender und eine für diese Zwecke gleichfalls sehr voUstäodige
astronomische Ephemeride, die in ihren Angaben vielfach bis auf
Secunden gebt, und ausser vielem anderen Nützlichen auch «s
sehr vollständiges Verzelchniss der bis jetzt entdeckten Planeten,
die Positionen der Uauptsteme und der Hauptstemwarten u. s. w.
liefert and daher selbst f&r strengere wissenschaftliche Zwecke lo
fluuichen Fällen gebraucht werden kann. Der sonstige Inhalt ist
der In solchen Schriften gewohnliche, worüber wir also hier uns
nicht ausführlich zu verbreiten brauchen. Als besonders interes-
sant müssen wir aber hervorheben das auf S. 239— S. 244 sieh
indende Verzeicbniss der Schriften einer grosseren Anzahl unga-
rischer Mathematiker, welche Mitglieder der Akademie sind, wie:
GyOry Sindor, Nagy Kiroly, Kiss Kiroly, Fest Vil-
mos, Petzval Otto, Sztoczek Jözsef, HolUnErnS, Bras-
sai Samuel, Krnspör Istvin, Tomori Anasstiz, Weiss
Jäaos Armin, Lütter N^n^or, Weninger Vincae, Kon-
dor Gnsstav, Martin Lajos. Je weniger bekannt diese Schaf'
ten (viele auch in deutscher und lateiaiscber Sprache verGMsQ ia
Deutschland sein dürften, desto mehr Interesse bietet dieses Ve^
seicbniss dar, so wie in gleicher Weise das S. 244^8.357 sieb

LUerariieMer Berteki CUX. 11

findeiite V^MeielmlM dar SekrifteB uogarUieher Natvrfbrscher. Aof
Sw 258— S. 315. indet man interessante Notizen tiber das Leben
und die Schriften von 101 früheren, bereits verstorbenen Mit||Ue*'
dem der Akademie^ anter denen wir hier nur Gauss (S. 277.)
und seinen Freund und Studiengenossen, den Ungar Bolyai
(S. 282.)f welchen unsere Leser schon aus dem Archiv (Literar.
Ber. Nr. CIX. S. 2.) Icennen, hervorheben wollen; aber auch Hum-
boldt, K. Ritter und andere berühmte Namen finden sich unter
diesen verstorbenen Mitgliedern verzeichnet. Als auswSrtige cor-
respondirende Mitglieder in der mathematischen Klasse zählt die
Akademie nur die folgenden sieben: Babhage in London,
Ponceiet in Paris, v. Ettingshausen in Wien, John Her-
schel in Collingwood, Quetelet in Brüssel, Antal Vallas
in New-Orleans und den Herausgeber des Archivs, wel- >
eher diese Gelegenheit gern benutzt, um seinen Dank filr diese
ihm erwienene Ehre, auf die er besonderen Werth legt, hier auch
öffentlich auszusprechen. Unter den Physikern finden wir Namen
wie Baumgartner, Faraday, Liebig, Bunsen u. A.

Wir halten, wie schon erinnert, diesen Almanach ffir eine sehr
Interessante literarische Erscheinung und machen unsere Leser
recht sehr auf denselben aufmerksam, werden auch nicht verfeh*
len, die künftigen Jahrgänge desselben hier anzuzeigen.

Staatsrechenkimst.

Die Staatsrechenkunst oder, wie man dieselbe In enge-
rer, eigentlich mathematischer Bedeutung zu nennen pflegt, die
politische Arithmetik, ist flir di^ jetzige Zelt von so grosser
Wichtigkeit und gewinnt immer mehr so sehr an Bedeutung, dass
ich es fiir geboten halte, derselben von jetzt an In diesen litera*
riechen Berichten eine besondere Rubrik einzuräumen. Ich thue
dies aber hauptsächlich auch deshalb, um mich nicht wie bisher ganz
auf solche Schriften beschränken zu müssen, welche allein oder we-
nigstens vorzugsweise den eigentlich mathematischen, Gesichtspunkt
festhalten und hier natOrlich fortwährend vorwiegend im Auge be-
halten werden mCssen, sondern auch solche mir bekanntwerdende
Schriften kurz zur Anzeige bringen zu k5nnen, die im Allgemei-
nen in politischer Rflcksicht interessant sind und dies nach mei-
ner Meinung namentlich auch für mit dem genannten Tb eile un-
serer Wissenschaft sich vorzugsweise beschäftigende Mathematiker
sein mflssen. Für eine solche, auch für politische Mathematiker
interessante Schrift halte ich die folgende, mir gütigst mitge-
Schrift:

12 Uterarischer Bericht CUX.

Relaziooe del Ministro delle Finaoie (%«iBilB«
Seil») presentata alla Camera dei Deputati nella tor-
nata del P. dicembre 1862. Torino. Stamperia Reale. I86S,

Dieser der italienischen Deputirtenkaninier für 1802 abgeetat-
tete Bericht des Finanzministers, Herrn Quintino Sella, ent-
hält auf 119 Seiten eine so vollstSndige, so genaue und bestinuate,
von der grussten Offenheit zeugende, nichts absichtlich verdeckende,
mit grusster Leichtigkeit übersehbare» unseres Eracbtens eio wah-
res Muster fiir solche Berichte liefernde Darstellung des Staats-
hanshalts des Königreichs Italien, dass man vor seinem Ver*
fasser die grosste Achtung haben und jedem politischen Arithmetiker
empfehlen muss, von diesem interessanten Bericht nähere Kennt-
niss zu nehmen. Hier mflssen wir uns natürlich begnOgen, Aea
Hauptinhalt ganz in der Kurze anzugeben : Parte prlm». Stato
della unificazione nelT amministrazione finanziaria.
I. Norme con cui si riordinö il personale. 11. Norme con coi si
riordinarono gli Dfßci finanziari. III. Corte dei conti. IV. Debito
Pubblico. V. Contenzioso finanziario. VI. Tesoro. VIK GabeUe.
Vlll. Demanio e Tasse. IX. Contribuzioni dirette. X. CkMido-
sione. — Parte seconda. »Situazione finanziaria. XI. Ri-
sultati deir Esercizio 1861 e precedenti. XII. Risultati del I8G2.
(Gabelle. Demanio e Tasse. Älinistero dei La vor! Pubblid. Pro-
dotto dal maggio a totto ottobre. Maggiori Spese.) XIII. Appeo-
dice al Bilancio del 1863. (Risparmio. Riassunto.) — Parte
terza. Modo di provvedere alla situazione delle finanze.
XIV. Mezzi posti in opera durante il 1862. XV. Mezzi proposti
pel 1863.

Der Verfasser schliesst seinen hOchst interessanten Beriebt
mit dem Ausruf: „Italia una sotto lo Scettro costitusio-
oale di Vittorio Emanuele II e dei suoi discendentil"

G.

Maasse, Gewichte und Münzen.

Ueberdie Einführung allgemeiner Maasse, Gerichte
und MOnzen. Mit Angabe der wichtigsten» iu dieser
Beziehung gemachten Vorschläge und ihre Beurthei-
lung; nebst einer gedrängten üebersicht der unter-
nommenen Breitegradmessungen. Von Dr. Karl JoSi
Kreutzer. Wien. Karl Helf. 1863.

Ein sehr zeitgemässes, mit vieler Sachkenntniss und DeiA-
lichkeit verfasstes Bfichlein, welches wir einem Jeden, der sich

Uierarinher Berickt CUX. 13

iber MaaMfv Geiriebte und MlMea nnd die beute EinrichiiiDg der
Mrtfffeoden Systeme bestimmte und klare Begriffe yersehaffeB
wiDy recht sehr empfehlen können. Der Inhalt ist folgender:
L Eststehong der mannigfaltigen Maasse und Gewichte. 2. Nach-
theile der grossen Anzahl verschiedener Maasse, nnd Versache zn
iher Vergleichung. 3. Verschiedene vorzuschlagende Maassein*
Mten nnd Maasssisteme. Geschichte der Kreitengradmessungen.
4. Eigeiwehaften > welche ein zweckentsprechendes Maasssistem
besitzen soll. 5. Untersuchung der bisher üblichen oder vorge*
sdiUgeienMaasssisteme in Bezug auf ihre Zweckmässigkeit. 6. Be-
»erfamgen über die Einfuhrung allgemeiner Maasse. Namentlich
babfo in dieser empfehlenswerthen Schrift auch die von der durch
die deutsche Bundesversammlung berufenen Commission gemach-
ten Vorschläge eine ausfOhrlichere Besprechung gefunden, wo-
dorch das Interesse der Schrift noch erhobt wird.

Astronomie.

Astronomische Beobachtungen auf der Grossher-
soglichen Sternwarte zu Mannheim, angestellt und
herausgegeben von Dr. E. Schönfeld, Professor und
Grottherzoglicher Hofastronom. Erste Abtheilung.
Beobachtungen von Nebelflecken und Sternhaufen.
Mannheim. J. Bensheimer. 1862. 4^.

Im Lite rar. Ber. Nr. CXXXV. haben wir unseren Lesern
mitgethetlt , wie sehr die Wissenschaft Sr. Konigl. Hoheit dem
Grossherzoge von Baden und dem Grossherzoglich Ba-
dischen Ministerium zu Dank verpflichtet ist für die Wie-
derberstellnng der alten berühmten Sternwarte in Mannheim und
Alf die neue Ansrflstung derselben in einer, den neueren Anfor-
derungen vClIig entsprechenden Weise, wobei wir aber auch* von
Neuem dankbar gedenken müssen des trefflichen W.EIsenlohr,
der in warmer Liebe zur Wissenschaft und rührigem rastlosen
Eifer die erste Anregung zu der Wiederherstellung dieses scho-
nen Tempels ürania's gegeben hat. Die ersten Früchte der ThS*
tigkeit des ausgezeichneten Directors der Sternwarte, des Herrn
Professor und Grossherzoglichen Hofastronomen Dr. Schonfeld,
hegen jetzt vor uns und liefern den rühmlichsten Beweis von dem
^af der Sternwarte nen erwachten Leben; ermöglicht worden Ist
aber die Herausgabe dieser Beobachtungen In schönster und wür-
digster äusserer Ausstattung allein durch die Munificenz des
Grossberzogllchen Ministeriums des Innern, welches die

U Uierariteker Berickt CUX.

Heraaagabe als selbstständig« Schrift sngeordBst iwd die daas
erforderlichen Mittel mit der grOssten Bereitwilligkeit und Iiibe-
raütit angewiesen hat.

Mit richtiger WOrdigung der ihm za Gebote stehenden Beob-
achtungsmittel hat Herr SchOnfeld die Nebeirieckeo nnd
Sternhaufen zum nächsten Gegenstande seiner Arbeiten ge-
macht» Ober deren Wichtigkeit jetzt keinerlei Zweifel mehr herrscht
Die Einleitung verbreitet sich nach verschiedenen allgenefaieo
Bemerkungen in sehr lehrreicher Weise Ober Plan der Beob-
achtungen, Instrument (ein Steinheirscher Refractor von
O69O4 pariser Zoll Brennweite und 73 pariser Linien freier Oeff*
nung) und LocaU Micrometer» Beobachtungsmethode»
Reduction der Beobachtungen» Sicherheit der Beob-
achtungen. Die micrometrischen Ortsbestiromaogen
von Nebelflecken und Sternhaufen selbst umfassen nach
vorausgeschickter Erklärung der einzelnen Columnen 99 Seiten» daas
folgt Znsammenstellung der mittleren Oerter 1866» der
Vergleichsterne nach den Bonner Beobachtungen» ferner
Catalog der beobachteten Nebelflecke» und den Schfans
bilden Bemerkungen fiber einzelne Nebelflecke.

Möge die neue Sternwarte eine immer reichere Thätigkeit
entfalten !

Annalen der k. k. Sternwarte in Wien. Nach dem
Befehle Seiner k. k. apostol. Majestät auf Öffentliche
Kosten herausgegeben von Carl von Littrow» Directer
der k. k. Sternwarte. Dritter Folge eilfter Band. Jahr-
gang 1861. Wien. 1862. S».

Die k. k. Sternwarte in Wien fährt in der regelmässiges
Pnblication ihrer Beobachtungen in der verdienstlichsten Weise fort»
woAr der Director der Sternwarte» Herr v. Littrow» den wirmsten
Dank der Astronomen verdient Der vorhergehende Band ist Im Li-
terar. Ber. CXLVI. S. 8. angezeigt werden. Der vorli^ende Band
enthält nach einer Einleitung die Beobachtnngen am Marl*
diankreise im J. 1869» femer die Resultate der Beobach-
tungen am Meridiankreise, nämlich: L Planeten- «sdCome-
ten-Positionen aus den Jahren 1856 bis 1859. II. Mittlere Posttiones
von Fixsternen. IIL Verselchniss der im Jahre 1859 beobachte
ten Sterne derHistoire Celeste. Hierauf folgen: Planeten- usd
Cometenbeobachtnngen am Refractor von vier Zoll Oeff-
nnng» vom August 1860 bis Jänner 1862; Zonenbesb-
aehtungen am Mittagsrohre; raeteerologisehe Beeb-

UterartBCker BerieJU CHX. 15

aehtQDgeii im Jahre 1880; Tafeln aar Redaction der Zo-
DenbeobacbtaDgen; Ueberaicht der Zonea. — Bei vielen
Sternen wurden aaa den Jahren 1880 — 1864 GrOaaenachfttmiigen
beigefflgt, die von den Herren A. Kanea, W. Oeltaea, E. Welaa
tierrllhren.

Meteorologiache Beobachtungen an der Ic. k. Stern-
warte !■ Wien von 1775 bia 1855. Aufoffentliche Koaten
herausgegeben von Carl von Littrow» Director, und Carl
HorBstein, Adjunct der k. Ic. Sternwarte. Dritter Band
(18J0-1822). Wien. 1862.

Wir freuen una aehr, daaa auch dieaea so aehr verdienatliche
Dntemebmen» von welchem im Literar. Ber. Nr. CXLI. 8. 12.
und Nr. CXLVI. S. 9. auafOhrlich Nachricht gegeben worden iat,
rflatig fortachreitet. Der vorliegende 4)and enthält die Jahre 1810
bla 1822.

Nautik.

Reiae der r>aterreichiachen Fregatte Novara um die
Erde in den Jahren 1857, 1858, 1859 unter den Befehlen
dea Coroniodore B. von WOlleratorf-Urbair. Nautisch-
phyaikaliacher Theil. II. Abtheilung. Magnetische Be-
obachtungen. (Mittheilungen der hydrographischen An-
stalt der k. k. Marine. I. Band. 2. Heft.) Wien. Aus der
k. k. Hof- und Staatsdruckerei. 1863. 4^. In Comroiasion
bei Carl Gerold's Sohn.

Die erate Abtheilung dieser wichtigen Mittheilungen der
hydrographischen Anstalt der k. k. Marine in Trieat,
welche unter der Direction des Herrn Professor Schaub die er-
folgrekbate Thfitigkeit entfaltet, ist im Literar. Ber. Nr. CLV.
S. 10« von una angezeigt worden. Die wiederum in achOnster iua-
aerer Ausstattung una vorliegende zweite Abtheilung enthält die
bei Gelegenheit der berOhmten Novara -Expedition angeateUteo
magnetiachen Beobachtungen und besteht aus zwei Abtheilungen :
Magnetische Beobachtungen auf dem Lande und Mag-
netiache Beobachtungen auf der See. Jede der beideo
Abthetlungen iat mit einer trefflichen Einleitung veraehen, in wet-
eher Allea^ was zum VerstJlndniss der Beobachtungen nOthig iat,
was auf ihre Berechnung und ReducHon aich bezieht, mit der
gt0aaten Deutlichkeit und Bestimmtheit dargelegt ist. Die Beob-
achtungen auf dem Lande sind angestelltin: Triest; Gibraltar;

16 LiterarUcker Berichi CLIX.

Funchal (Madeira); Rio Janeiro; Capstadt; loael Saact
Paul (Indischer Ocean); Carnicobar (Bocbt von Saovi};
Nangcovri-Uafen; Condol» Inael und Hafen; Galatbet^
bucht» Gro88-Nicobar; Batavia; Hongkong; Shaogbai:
Sidney, Aackland; Papiete; Valparaiso; Triest, eaek
der Reise. — Eine interessante üebersichtliche Zosan-
menstellung der Beobachtangs-Resoltate fär Declisa-
tion» Horizontale Intensität und Inclination ist gegdies.
Die angewandten Instrumente waren von Barrow und Laaios/.
Ausser dem verdienten Herrn Herausgeber und dem BefieUi-
baber der ganzen Expedition > dem Herrn Commodore B. v. f¥€i-
lerstorf-Urbair, gebflbrt der Dank der Wissenschaft haspts£d-
lieh den Herren Dr. F. Hochstetter und R. Mfiller, so wie dem
General Sabine für die Bestimmung der Gonstanteo der Bar-
row'schen Instrumente auf dem Observatorium in Kew, und den
leider nun bereits verstorbenen Director Kreil in Wien.

80 haben wir also hier neue sch5ne FrOchte der berChmten
Novara- Expedition vor uns, durch welche die österreichische Re-
gierung sich so grosse Anspräche auf den Dank der gesammten
Naturwissenschaft» der Geographie und der Nautik erworben bat.

Vermischte Schriften.

Oberlausitzische Gesellschaft der Wissenscbaflcn
in Görlitz.

Da die ftlr den 31. Januar 1863 gestellte Preisaufgabe (m.».
Literar. Ber. Nr. CXLIV. S. II.):

Lebensbeschreibung des Ebrenfried Walther
von Tschirnhaus auf Kiesslingswalde and Wfir-
digung seiner Verdienste

eine genfigende LOsung nicht gefunden bat, so ist diese sehooe
lAnfgabe, durch deren Stellung die Oberlausitziscbe ISesellschalt
der Wissenschaften sich jedenfalls ein mit besonderem Danke an-
suerkennendes grosses Verdienst um die Geschichte der Mathe-
matik, so wie auch der Physik und Philosophie, erworben hat,
und welcher recht viele befolgte Bearbeiter, namentlich in Dents^
land, gewiss sehr zu wünschen sind, jetzt wiederholt und von
Neuem aufgegeben worden. Als Einlieferungs -Termin hat dk
Gesellschaft den 31. Januar 1865 bestimmt, und der Preis ist jcM
verdoppelt, nämlich auf Einhundert Thaler erhöhet wonlea.

G.

Uurariicher Bericht CLX.

i

•

»

Literarischer Bericht

CLX.

Am 18ten Februar 1564 wurde in Pisa der grosse

«alil ei

geboren; seit jenem ewig denkwürdigen Tage werden
also am 18ten Februar 1864 dreihundert Jahre
verflossen sein ; dieses dreihundertjährige Jubel-
fest eines der grössten Menschen aller Zeiten sollte
auf der ganzen Erde in der feierlichsten und freudig-
sten Weise begangen werden; denn was wäre die
Menschheit vielleicht jetzt ohne solche Männer wie
Galilei einer der ersten und grössten wAr! — Soll-
ten diese wenigen Zeilen vielleicht Veranlassung ge-
ben y dass namentlich auf Lehranstalten aller Art, —
auch in Deutschland» — an dem merkwürdigen näch-
sten 18ten Februar des grossen Mannes in wür-
digster Weise gedacht und sein Bild der Jugend
lebhaft vor die Augen gefuhrt würde: so würde ich
mich in hohem Grade beglückt fühlen. Geeignete
Mittheilungen hierüber wurden im Archiv bereitwilligst
Aufnahme finden.

Am 8. Juli 1863. Der Herausgeber.

Tlil-M-.Hfi.4.

2 Uterarischer Bericht CLX.

Trangott Samnel Fmke.

Am 14. Junius 1863 starb in Folge einer Langenlihman^^
zweite Director der polytechnischen Schule zu Hanno?eriPii
Dr. phil. Traugott Samuel Franke, geboren am 14. OcU^
1804 in der Stadt Schellenberg im Königreiche Sacfaseo.

Da dem Verstorbenen auch dieses Archiv einige Bdtri"
verdankt, so dürfte es schon aus diesem Grunde gereditfertif
sein, dem nun Entschlafenen hier einige Worte zu widoo. Tni
SO mehr abü^glaobrn wir uns dazu berechtigt, weil dct Vmine^
namentlich Schulern gegenOber als Vorbild grosser sitMcr Krüt
empfohlen zu werden verdient. Ja, Franke war ob %vm
Mann, ein Mann, den auch die grossten WiderwSrtigkritai li^^
dazu verleiten konnten, , von dem einmal als richtig eAtontec
Wege, das sich gesteckte Ziel zu erreichen, auch dqt einer
Schritt weit abzulenken! Schon in seiner Jugend seigte (ici
Dahingeschiedene dieae Festigkeit des Charakters.

Obgleich von seinem Vater, der Leinweber war, Dorinrw
lemung des Weberbandwerkes angehalten, io dem der hmi»
fene ^ beiläufig bemerkt •* später sogar zum Geselleagesp
eben wurde, wusste derselbe es doch schon wSbreBd stw^
Schulzeit muglich zu machen, dass ihm Privatonterrictt in der
lateinischen Sprache ertbeilt wurde. Die Mittel kimt ^f
zum Theil dadurch erscbwungen, dass der juiige Fiti^^^*''*^
der Gurrende sang, oft bei grosser Kälte in nur dfinoeiKM^^
Da, wie schon erwähnt, Franke 's Vater seinen Sohn dor^
nicht zum Studiren bestimmt hatte, so konnte <!>«•*' *''^^-
bloss während des „Spulens** seine Leclionen verfertige** ^
dies aber liess di« Lernbegierde des jungen Franke ^T^
kalten, im Gegentheil sie wurde dadurch nur gesteigert.
Verstorbene besuchte daher auch später, nachdem er zuvor sc
— von 1819 an -7 im RochlitzVchen Institute zu Freibefg ^
hShere Ausbildung genossen, das Gymnasium daselb^
hatte, wie sich denken lässt, der Vereu igte wiederum mit ^^
Unannehmlichkeiten zu kämpfen. So rousste er z. ß. <li® ^^
zum Besuche des Gymnasiums sich durch Onterrichtg^''^
besonders in den alten Sprachen , -^ Notenschreiben Q'^r
erwerben. Während der letzten Zeit seines Aufenthalts >> l\,
borg hörte er aus besonderer Vorliebe auf der Berga»*^
Vorträge fiber Mathematik. Nach dem Tode seines ^'^ *J
dirte dann Franke auf den Wunsch seiner Angehörigen i*|^
zig bis 1828 Theologie, betrat auch als Candidat der TM^^
mehrere Male die Kanzel. Da jedoch die Theologie de0

Uterariicker Bericht €LX. 3

8torb«Deii vm w«n% Ansaiolit %u wekerem Fortkomaieo su bieten
«eliiMi, so widmete er sich noch etwa zwei Jabre pbilosophiscben
Studien, in Jabre 1830 wurde er Recter der Knabenechele so
Reaeweia, grtiiidete InerMlbet im Verein mit eiaem befreandeteo
Prediger eine Soanlagsacliole vad wirkte ala Sprecher in der
Tucbmaebenonft. Ala dieae einat ein Cieauoh bei dem daniaK-'
gen Minlateilo dea Innern io Dreaden darch eine Deputation, an
deren Spitae Franke atand, vorbringen lieaa, wurde er iidberen
Ortea näher bekannt. Diea hatte zur Folge, daaa Franke 1836
zum Lehrer an der techniachen Lehranatalt zu Dresden ernannt
und bald darauf zum Professor befördert wurde. NatA dem Tode
des Directora Lohrmann, so wie nach dem Ableben des die*
sem folgenden Directora Setbeok, versah Franke längere Zeit
daa Directorat jener Anstalt. Im August des Jahres 1849 folgte
er einem Rufe ala aweiter Director der polytachniacben Sohule
zu Hannover, mit weleher Stellung in frfifaeren Jahren zugleich
der Lehrstuhl für niedere und höhere, später nor der fOr höhere
Mathematik verbanden war. Hier hat der hun Entschlafene se-
gensreich gewirkt bis zu aeinem Tode, stets eingedenk der hoben
Pflicht, weUbe ihm das Dir^torat anCerlegte. Leider acbeint ea,
ala ob in den letalen Jahren aeiaer amtlichen Thätigkeit das red«
liehe Streben des Dahingeachiedenen, die polytechnische Schule
immer mehr der Vellendong entgegenzufdbren, nicht immer in
gerechter Weise gewihrdigt ist; bittere Rräi^kungen sind ihm
wenigstens Oller an Thell geworden. MOge daher eine spätere
Zeit den Verdiensten Franke 's um dieee Schule volle Gerech*
tigkeit widerfahren lassen !

In Betreff der wissenschaniichen Leistungen des Verstorbe-
nen wollen wir hier nur erwähnen, dass sein eigentliches Feld
die beschreibende Geometrie, war. Hier hat er Anerkennungs-
wertbes geleistet. Wir verweisen in dieser Beziehung auf das
Lob, welches Gugler in seinem „Lehrbuche der descripti-
ven Geometrie, — 2. Aufl., Vorrede"— dem Verewigten zollt.

Hannover» im Juni 1863. * M.

Arithmetik.

Tafeln der Additiens* und Suhtractiona-Logarith-
men fflr sieben Stellen. Berechnet von J. Zech. Be-
sonderer Abdruck aus der Vega-Hülase'acben Samm-
ang roathematlaeher Tafeln. Zweite Auflage. Berlin*
Weidmann*acbe Buchhandlung. 1863. 8^.

6 Liitrariicher BerHkt CLX,

P b y 8 i L

L^hrliuQli der Pby»ik fflr Obec-CymnatieD. Von
F* J. PUk«, I/Qbrer der Physik, an der CommuRal-Ober-
re«vl»cbule aufder Wieden und an der damit in VerbiD*
düng citebenden (ifwerbeaebnie in Wien. Mit 497 im
Texte anfgenommenen HoUacbniUen. Brann. C. Wi-
niket, lS6a 8*

Lehrbuch der Physik für Ober-Gymnasien ondOber-
ReatscbnVen von S. Subic, Professor der Physik an der
CommuDal-Oberreatscbnle in Pest. Pest. G. Hecken-
ast. 1861. 8.

In gevmser Verbi»dvng mit dienen beiden Lebrbüdiern der
Physik f^ CMier^ Gymnasien nnd Ober->Realacbulea stehen:

. Lehrbuch der Physik für Unter-ReaUchulen. Von
F. J. Pi^ko, Fünfte verbesserte und vermehrte Auf-
lage. Mit 403 in den Text aufgenommenen Holzscbnit-
ten. Brunn. C. Winiker. 186L 8.

Lehrbuch der Physik fir die enteren Klassen der
Gymnasien und Reaisekuien von 8. Svbic. Pest G.
Heckenast. 186L 8.

Die Anzeige dieser alle Beachtung verdienenden Lehrbucher
der Physik, welche ziemlich gleichzeitig erschienen sind, ist durch
zufällige» hauptsächlich durch die ungemein grosse Masse anzuzei-
gender Schriften herbeigeführte Umstände verzögert wordeni soll
aber jetzt in der Kiir2;e nachgeholt werden^ weil im Interesse des
pbysikaltsoben Unterrichts wir auf diese Schriften aufmerksam
machen zu müssen glauben« lUeselbeo liefern sämmtlich wiederum
den Beweis — worauf von uns schon früher öfters hingewiesen
worden ist — mit wie grosser Sorgfalt, Gründlichkeit und verfaält-
nissmässiger Ausführlichkeit der physikalische Unterricht auf den
«isterreichischen Lehranstalten ertheilt wird» %vobei zugleich ein
sehr richtiger streng methodischer» vom Leichteren zum Sdiwe-
reien stufenweise fortschreitender Lehrgang eingebalten wird.

Für den Unterricht auf der unteren Stufe sind die beiden
oben zuletzt genannten Bücher bestimmt. Derselbe hält sich le-
diglich ah das Experiment, mit fkni voll^ändiger Vermeithnig der
mathematischen Demonstration, ohne jedoch,, wie namentli^ das
in fünfter Auflage vorliegende Lehrbuch von Pisko zeigt, die

Uterariiciier Berichi CIX. 7

EUnlsleidang ge^visser Naturgesetze io einfache malkemalische
Formelo gaoz «u verficiuBäheu, wobei überall, wa« natfirlich von
vorziiglicher Wichtigkeit istt die Begriffe streng fesigeataUt mul
die Naturgesetze auf klare und bestixnaite Ausdräcke gebracht
werden. In^ beiden Schriften dienen sahireiche, besonders in dem
Boche ¥00 Subic gut ausgeführte Bolzschnitte sehr zur EriiUii
terung der anzustellenden Ezperiniente und der dabei in Anwen-
dung za briiigenden Instrusieate und sonstigen Vorticfatungeji.

Dagegen sind die beiden zuerst genannten Bflcher bestioimt,
dem höheren physikalischen Unterrichte zur Grundlage zu dienen.
In ilinen tritt die mathematische Demonstration in ihr volles Kecht,
ohne natürlich das höhere und feinere Experiment zu vernach-
lässigen, und dasselbe durch viele, namentlich auch in dem Buöhe
von Pisko sehr schon und mit grosser Sauberkeit ausgeführte
Holzschnitte zu erläutern. Besondiers rühmend aber muss, wie
wir dies bei allen für den höheren physikalischen Unterricht auf
österreichischen Lehranstalten bestimmten, uns bekannt geivorde-*
neu Lehrbüchern vorzugsweise in erfreulichster Weise bemerkt
and schon oft hervorzuheben uns bemühet haben, darauf hinge-
wiesen werden, dass kein Naturgesetz, welches auf einer mathe-
matischen Basis ruhet, ohne eine, natürlich elementar gehaltene,
roathematische Demonstration geblieben ist, wenn dadurch auch,
wie dies ganz in der Natur 4er Sache liegt und für den zu er-
reichenden Zweck nicht bloss genügt, sondern demselben auch
vollständig entspricht, zuweilen für's Erste nur Näherungsaus-
drücke erlangt werden. In dem Buche von Pisko sind die Be-
weise mehr analytisch - geometrisch, und deshalb elementarer wie
in dem Buche vonSubio gebalted^ wie sohon daraus hervorgeht,
dass die erste Grundlage aller mathematischen Betrachtungen in
dem ersteren Buche das Paratlelogramni der Kräße mit dem
von Duhamel entlehnten Beweise desselben bildet, wogegen
Sohle (S.32.) von dem Princip der vhrtuellen Geschwindigkeiten
ausgeht, wodurch die Darstellung gleich von vorn herein eine
vorzugsweise analytische und deshalb auch allgemtinere Gestalt
annimmt. Welcher Darstellungsweise wir für den Unterricht auf
den Lehranstalten, für welche beide Bucher bestimmt sind, dei»
Vorzug einzuräumen geneigt wären, mögen wir nacht mit Bestimmt^
belt auszusprechen wagen, weil dazu eine genaue Kenntnias dec
betreffenden Lehranstalten erforderlich sein wOrdeu die uns abgeht«
Legen wir aber einen Maassstah an andere uns bekannte Lehran-
Htalten, so würden wir der mehr elementaren Darstellung vea
Pisko den Vorzug geben, wenn wir auch in wissenscbafUlcher
Rücksicht das Verdienst der aligemeineren mehr analytiscben, in

8 UierariseAer Berieht CLX.

manchen Partieen, die wir hier nicht einzeln namhaft
kSnnen, zugleich dem Herrn Verfasser eigenthCmlichen» tbeili
vereinfachten Darstellang in dem Bache von Sobic, die mi
mehrfach recht sehr angesprochen hat, in der bereitwilüfstm
Welse anerkennen. Beide Lehrbflcher enthalten aoch eine da^
liehe Entwickelang der elementaren Grondlehren der AstroDoa»,
and das Bach von Sabic zugleich eine In zehn Paragraphen Te^
theiite werthvolle Sammlung von Aolgaben aas den verscbiedeBeB
Gebieten der Physik.

In Summa haben diese beiden LehrbOcher uns wiederam ea
sehr erfreuliches Bild von dem jedenfalls sehr aosgeze&clijieta
Zustande des verhältnissmSssig sehr weit getriebenen pkfsii^a-
lischen Unterrichts auf den österreichischen Gymnasien and Rela^
schulen geliefert» dem wir auch namentlich deshalb unsere vola
Anerkennung zollen, weil er ganz unseren eigenen Ansichten übet
diesen Unterrichtsgegenstand entspricht» indem wir fortwSfarcad
der Meinung gewesen sind und noch sind» dass der physikalisdie
Unterricht nur dann sich als kräftiges Bildungsmittel des jagend-
liehen Geistes vollständig geltend machen könne» wenn er QberaH,
wo es die Wissenschaft fordert» auf einer streng mathematisches
Basis ruhet, wobei naturlich das Recht» welches auch das Expe-
riment» in welchem natürlich auch eine» eine besondere Seite des
Geistes bildende Kraft liegt» fiir sich unbedingt in Ansprach nimmt,
in; keiner Weise geschmälert werden soll und darf.

Krystallographie.

A Tract on Crystallography designed for the use
of students in tbe University. By W. H. Milier» Pro-
fessor of Mineralogy in the University of Cambridge.
Cambridge. 1863. 8.

Wir machen alle unsere Leser sehr auf dieses so eben er-
schienene Elementar -Lehrbuch der mathematischen Kr3rstallogra-
phie aufmerksam, und m5chten zugleich den Wunsch aussprechen,
dass dasselbe recht bald durch eine Uebersetzung auf deutschen
Boden verpflanzt werden muchte» welches bei dem geringen Um-
fange von nur 86 Selten sehr leicht zu bewerkstelligen sein» un^
wodurch gewiss unserer mathematischen und mineralogischen Li-
teratur ein sehr wesentlicher Nutzen geleistet werden würde, f«ail
das Büchlein für den Mathematiker ganz eben so interessant ist,
wie für den Krystallographen. Die Darstellung ist weder eine

üierariicAer Berte Ai €LX. 0

nn- analytische, nocb eine rein-geonetrisclie, sondern eine ge-

lischte, aber, wie wir veraiebern können, in dieser Weise buchst

^egant und einfach, zagleich dem berChmten Verfasser in vieler

Beziehung ganz eigenthfimlich, und dabei völlig elementar, weil sie;^

etwa nur mit Ausnahme des kurzen zehnten Kapitels, keine fiber

4lie Trigonometrie hinausgehenden Kenntnisse voraussetzt Die

CJeberschriften der einzelnen Kapitel sind die folgenden: L Pri^

perties of a systero of planes. (Vorzüglich auch in geometrischer

Seziehung interessant.) 11. Cubic System. III. Pyramidal system

IV. Rhombohedral system. V. Prismatic system. VI. Oblique

System. VII. Anorthic system. VIfl. Twin crystals. IX. Geo-

metriral investigation of the properties of a system of planes.

X. Analytical investigation of the properties of a system ofplanes.

Wir fordern nochmals recht sehr zu einer rechi baldigen
Uebersetzung dieser sehr schonen Schrift auf, und werden zur
Forderung einer solchen sehr gern unsere Hand bieten, so weit
dieselbe in Anspruch ge/iommen werden sollte.

Bei dieser Gelegenheit machen wir noch kurz auf die folgende
uns gOtigst mitgetheilte Schrift aufmerksam, wenn dieselbe auch
nicht speciell krystallographischen Inhalts, aber doch mehrfach
Interessant ist:

Sulmodo di fare la carta geologica delRegno d'Ita-
lia. Relazione del Commendatore %«tnttno Seil». AI
Sig. Commendatore Cordora» Ministro di Agricoltura,
Industria e Commerclo. Torino, 8 Ottobre 1861.

In dieser Schrift theilt Herr Quintino Sella seine haupt-
sächlich während einer, auf Veranlassung der italienischen Re-
gierung unternommenen Reise gewonnenen Anschauungen über
die Fortschritte, welche die Anfertigung geologischer Karten in
den verschiedenen Ländern gemacht hat, über die zur Anferti-
gung derselben getroffenen Veranstaltungen, über das zu diesem
Behuf angestellte Personal, die aufgewandten Kosten u.dgl. mit,
wodurch diese Schrift fOr einen Jeden, der sich Rlr diese Dinge
int^ressirt, von der grossten Wichtigkeit ist, weshalb wirnament*
lieb hier auf dieselbe gelegentlich aufmerksam machen. Die be-
sprochenen Länder sind: Francia, Inghilterra, Austria, Belgio,
Germania (Prussia, Darmstadt, Sassonia), Svizzera, Canada (nach
Berichten von T. Sterry Hunt), Stati uniti (nach Berichten von
James ü. Dana). — In den Concinsioni wendet nun Herr Quin-
tino Sella seine Erfahrungen auf die Anfertigung einer geolo-
giscben Karte flir das in dieser Beziehung so interessante KSnig-

4*

10 Ui€rBritck9r B^rteki €IX,

reich h&neti an md taaitkt data die geeigneten V^tmM^
Man äiebt aach liieraas Ton Neuem, wie k\ Itairen in don Wb»
ecbaften Aiies auf den kräftigeten und raechesten ForM«
drSngt^ was gewiss eine berzer hebende Ersehefnung tat. Je m
«nlger die AnFertigang geelegischer Karten ohne die tresentikkle
Belbaire der f^latbematik mOglieh ist, deste mehr «irird die b^
Iftufige Anzeige dieser sehr inteneesanten Schrift an diesem (kte
ger€«1iifertigt sein.

- Vermischte Schriften.

Carl Friedrich Gauss Werke. Erster Band» Heraus-
gegeben von der Königlichen Gesellschaft der Wissea-
schaften zu Guttingen. 1863. 4.

Dieser mit dem Bilde von Gauss geschmfickte erste Bid4
der Werke des genannten grossen Mathematikers, durch derea
Herausgabe die Konigl. Gesellschaft der Wissenschaften in G^*
tiügeo «ieb ein nicht genug anzuerkennendes sehr §^tomses Ve^
dienst erwirbt, (m. vergL Archiv Tbl. XXXVIIL S.188.), oii-
hitt die:

Disquisitiones aritbmeticae. Auetore O. Carole
Friderico Gaess. Lrpsiae. 1801.

b sdbtkiflter und ivfitdigster Ausstattung. Beigegeben aM die-
ser nefeien Aasgahe HandscbriftUehe Auizeicbnuogen ^on
Gauss, se wieeineScIilassbemerkungcnr neaen Aasgabt,
in welcher die jn derselben vorgenommenen wenigen ,,TeztSnde-
rungen" angegeben worden sind. Die achte Section, auf die
an mehreren Stellen verwiesen wird, findet sich unter den Band-
schriflep von Gauss, und wird in dieser neuen Ausgabe den
arithmetischen Abhandlungen des Nachlasses sich anschliessen.

Annali di Rlatenatica pur« ed appllcata pabblicati
da Biir«a.ha^TorteUni e cempilati da E. Betti a Pisa,
F. Bxieac4ii a Pavia, A. Genocchi a Torino, B. Tortoilai
a Bemu 4^. (S. Liiarar. Ber. JSr.GL.VU. S.15.)

Ho. 6. tom. IV. 1861. La Teorica delle funaioni eüMticha.
Mtrtiografia del Prof. E. Betti. p.297. — Etüde eur r^qoilibre dv
BaromMre i balance. Par fe P. M. Jnllien. p. 387. — Cyfcuiaie
de'fa suriacedes oodes. Par M.W. Roberts, p.345. — Bnilt
cörtige. p.348. ^ fndice generale dl tutti gR artieeli. p.319. ^
Errata 'corrige al tomo Hl. p. 350.

Uter arischer BerieAi CLX. 11

Sit«iiDga^ericbt# i%i kooigir ji^hioispben Q^ß^\\^
mekad der WU^enschaften in Pr^g. Jahrgang IB6%
J»ri--Uece»ber. Pr»g, m% 8«. <Vejgl Litßrar. B^r.
Hr. CUV &IÜ.)

Mit Rucksicht atif unseren früheren Bericht über Jahrgang
1862. Januar — Juni (;n. 8. die vorher angeführte Nummer des
Ldterar. 6er.) »lederholen «vir dringend unserp dort |ius{;esprpchene
Bitte, dsm es der künigl. böhmischen Gesellschaft der Wissen-
schaften, von deren grosser Thätigkeit auch di^ v^rlie|^deii
Sitzungsberichte vrieder den erfreulichsten Beweis liefern, gefallen -
möge, das von Herrn Prof. Böhm aufgefundene Original - Manu-
Script Tycho de Brahe's: „Triangulorum P(anorum et
Sphaericorum Praxis Arithmetica'^ recht bald zu^veruff^nt-
/ichen, wodurch die künigl. Gesellschaft der Wissenschaften ihren
grossen Verdiensten gewiss noch ein neues hinzufügen wird. —
Das vorliegende Semestral-Heft der Sitzungsberichte enthalt dip
folgenden in den Kreis des Archivs gehurenden Aufsätze: S. 26 —
S.27. Herr Czermak demonstrirte unter dem JMikroskop
eine Probe von auf Glas gravirter Schrift, weiche ver-
mittelst der Maschine von Mr. Peters inLoodon erzeugt
worden war. Die Schriftzuge dieser Probe sind so klein, 4^b9
das ganze ,«Vater unser'' in englischer Sprache in einer Kreis-
fläche Raum hat, deren Purchmesser V50Z0II beträgt. Ein Qua-
dvatzoli wurde 2500 solcher Kreise, somit 2500mal das » Vater
anser" enthalten können. Dennoch konnten dfe Anwesejnden die
Schrift (inter dem Mikroskop vollkommen deutlich lesen. Mr. Pe-
ters Maschine ist eine Art Storchschnabel von höchster qiechani-
scher Vollendung und Präcision, und durfte nicht bloss zur Herstel-
lung mikroskopischer Geqiüths- und Augenergützungen, geheimer
Depeschen u.dgl., sondern auch zu wissenschaftlichen Zwecken
nutzbar gemacht werde^i können, z. B. zur Erzeugung von Gla£vmi-
krometero^ Interferenzgittern u. s. w. Nach Herrn Czermak's
Vorschlag liesse sich der Mechanismus der Peters 'sehen Ma-
V schine in umgekehrtem Sinne benutzen, nämljch zur Herstellung
von eckten v«rgrösserten Zeich nuiigen mikroskopischer Objecie.
— S.ß6-^S.g2. Pierre: üeber die Anwendung der Flup-
rescenz • Erscheinungen zur Erkennung von fl^oresci-
renden Stoffen iu Mischungen mit andern fluoresciren-
den oder nicht fluorescirenden Stoffen. (Ein ausflihrlicher
sehr interessanter Aufsatz mit einer Abbildung). — $*94 — S. 95.
Herr Pierre hielt einen Vortrag über einen Apparat (Tetrachord)
snrDemonstration der Gesetze der Transversalschwin-
gnngen gespannter Saiten^ 4Uer Apparat, mittelst welches

12 UtermriMekir BerUki CU.

die mit dem Gebraodie des gewoluilidieo Moooehords ▼<
Umständlichkeit und der dadarcb; ootliweBdig herbet|;»liÜHte Zek-
▼erluAt» wenn man namentlich nach den Einfloes des ITiiii hat
sere und der Dichte des Materials der Saiten in den Bereidi 4e
experimentellen üemonatration ziehen will, möglichst ireraaieda
wirdy.iat swar kurz, aber deatlich beschrieben,

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Sitzungsberichte der kunigl. bayerischen Akadsaie
der Wissenschaften zn MOncben. (VergL Literar. Der.
Nr. CLVHL S. 12).

1863. L Heftll. Christ: Deber das: Argomentvm cal
cnlandi des Victorias und dessen Comroentar. S. 700—
S. 152. Herr Director Halm stiess bei seiner Durch forscfcesg' der
viele noch unbekannte Schätze bergenden bayerischen Bibliotheken
auf eine Bamberger Pergamenthandschrift des X. oder XL Jahrfann-'
derts» deren Inhalt als Über arithroeticae auf der äasseren
Aufschrift bezeichnet ist» und thetite dieselbe dem als Fremd
mathematischer Studien bekannten und namentlich für Alles, iras
auf antikes Maass und Gewicht Bezug hat, sich lebhaH interes-
sirendeu Herrn Christ zur näheren Untersuchung und ireiterea
Ausbeutung mit Bei genauer Durchsicht erkannte Herr Christ
bald, dass die Handschrift aus zwei Theilen bestehe, von denen
der kleinere auf den vier ersten Blättern einen Tractat Ober die
Weise der Multiplication und Division bei den Romern tntbalte,
der zweite auf den folgenden Blättern von Fol. 5—48 einen wmt-
läufigen Commentar zu jenem Tractat aus den Zeiten des Mittel-
alters umfasse. In buchst interessanter Weise verbreitet sich
Herr Christ in seiner gelehrten Abhandlung über diese lur die
Kenntniss des Unterrichts in der Arithmetik bei den Römern,
ffir die Kenntniss der Metrologie des Alterthums und der Schal* .
disciplinen des Mittelalters, bei aller ihrer Mangelhaftigkeit doch
wichtige Schrift des Victor ins. Ober diesen ihren Verfasser
selbst u. s. w., und tbeilt zuletzt auf S. 132 — S. 152. mehrere der
wichtigsten Abschnitte aus derselben mit; eine vollständige Pa-
blication dieser Schrift mochte, bei der grossen Mangelbaftig-
kelt unserer Kenntnisse von dem Unterrichte in der Arithmetik
bei den Rumern, immerhin anzurathen und vielen, die ein beson*
deres Studium aus der Geschichte der Mathematik machen, gewiss
sehr erwünscht sein. — Pettenkoffer: Ueber Bestimmung
des luftformigen Wassers im Respirations* Apparate.
S. 162— S. 161.

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