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Full text of "ARCHIV DER MATHEMATIK UND PHYSIK"

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A. 


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ARCHIV 


der 


MATHEMATIK  und  PHYSIK 

mit  besonderer  Bücksicht 

auf  die  Bedürfhisse  der  Lehrer  an  höheren 

Unterrichtsanstalten. 


Gegründet  von 

J.    A.    firmiert, 

fortgesetzt  von 

R,    H  0  p  p  e, 

Dr.  ph.  Prof.  an  d.  Uni?.  Borlia. 


\     A     >~     --    ,  .  .   - —'' ^   ■       --'  f 


Zweite  Reihe.  -• '- j9/ r/;')  i  o  ^^'r-"'' 

Erster    Teil. 


Leipzig« 

C.  A.  Koch 's  Yerlagsbachhandlnng, 

J.  Beag buieh. 


1884. 


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Inhalts-Verzeichniss 


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f^fls. 


JV^mAbkaadliuar 


I. 


IV. 


iMthmetIk,  Algebra  luid  relae  ijuilysis 
oiiBe  Intefnüreebnwiy. 


Mechftiiiicb-grephiicbe  iXiinng  der  kabiichen  nnd 
biqaadratiichen  Qleicbnogen.     Von  Carl  Bartl 
Qrandsüge  sa  einer   combinatorischen   Darstellnng 
der  bObereo  D!£ferentia1qaotientexi  zniammeogesetater 
Fonctionen.     Von  Jnlini  Vollen 

V.  Ueber  allgemeine  nnd  abiolate  Permatationen. 
Von  P.  Seelboff 

V.  Beweis  Ar  den  ron  Herrn  Dr.  Sanio  mitgeteilten 
Sats,  betreffend  die  combinatoriscbe  Definition  der 
Zabl   e.     Von  Seelboff 

V.  Darstellnng  der  Zabl  t  als  nnendlicbes  Prodnct. 
Von  Jobann  Hermes 

V.     Beweis  fttr  den  in  T.  LXX.  8.  2S4  gegebenen  Ans- 

dmek  der  Zabl  «.    Von  Tb.  Sanio 

XVII.     Die    AnflÖsang    dreigliedriger   Qleicbnngen     nach 
Gaoss.    Von  A.  M.  Neil 


H«n.      Stit« 


II 


64 


97 


lOS 


103 


105 


311 


iBtegralreebniiiig. 

V.    Integration  ein^  Differentialgleitibnng.  Von  Simon 

Spitser I.        90 


IV 

JlidMAbbABdIiiBf.  Heft.       Seite. 

y.    Zofsts  sam  Aafiatie :  „lotogration  einiger  partieller 
Differentialgleichungen    sweiter    Ordnung**.      Von 

F.  Vilyi ; L       109 

X.    Znr    Transformation    der  Thetafanctionen.      Von 

Ferdinand  MttUer II.      161 

XIX.  Elliptische  Integralfnnctionen  and  ihre  geometri- 
sche, analytische  nnd  dynamische  Bedeutung.  Von 
Emil  Oekinghans IV.      SS7 

GtoMetrie  der  Eigene* 

III.  Ueber  die  Bestimmung  der  ünterscheidungicha- 
raktere  für  die  Kegelschnitte,  wenn  die  Gleichungen 
derselben  in  trimetrischen  Liniencoordinaten  ge- 
geben sind.    Von  A.  Ehlert '.    .  I.        51 

V.    Die  Sectionscunren.    Von  B.  Oekinghaus    .    .  I.        87 

V.    üeber  einen  geometrischen  Ort   Von  Emil  Hain  I.        94 

V.     Oeometrische   Aufgabe    nebst   Lösung.      Von    F. 

Seelhoff I.        96 

V.  Krümmungsradius  der  Ellipse.    Von  Stammer.  I.       107 

VI.  Ueber  ein  Currographon.    Von  EmilPirani.  II.       113 
VII.     Znr     elementar-geometrischen     Kegelschnittslehre. 

Von  Karl  Lauermann IL       126 

VIIL  Eigenschaften  der  Punkte  mit  reciproken  Dreiecks- 
coordinaten  und  deren  Anwendung  auf  das  Drei- 
eck.     Von  Max    Greiner IL      180 

XL    Zur   Polarit&tstheorie   des   Dreiseites.    Von  Emil 

Hain IL      SSO 

XI.  Bemerkung  zu  einer  Dreiecksaufgabe.  Von  Hein- 
rich Simon IL      SSS 

XIL    Ueber    ProjectiYitit   und   partielle   Differentialglei- 
chungen in  der  Geometrie.    Von  Th.  Sanio.    .        III.       S85 
XV.    PerspectiTische  Dreiecke  die  einem  Kegelschnitt  ein- 
beschrieben sind.    Von  Leopold  Klug   .   .   .   .        III.      SSS 
XVI.     Einige  Sitie    Über   das  Viereck  und  Kegelschnitt- 
büschel.   Von  Leopold    Klug III.      S04 

XVIII.  Eine  Verallgemeinerung  der  Sfttse  Ton  Pascal  und 
Brianchon  und  das  Problem  Ton  Castillon.  Von  R. 
Sporer in.       333 


V 

Ji  d«r  AbhABdliuic.  H«ft.       S«ita . 

XVIII.     Ueber    die  Lage  des   Schwerpunkts     im    Viereck. 

Von^Stoll      III.       384 


CtooMetrIe  des  Bavmef . 

II.     Ueber   ein    Problem   der  Carrentheorie.      Von  R. 

Hoppe I.         46 

IX.     Ein   Problem   Über    berührende  Engeln.      Von  B. 

Hoppe II.       148 

XIV.     Bedingungen   einer   Canalfl&che    nebst  einigen  Be- 
merkungen an  Canalflftchen.    Von  R.  Hoppe  III.      280 

Meeliaiilk. 

V.     Einfaeher   Beweis  der  Existenz  eines  Mittelpunkts 

paralleler  Krftfte.    Von  R.  Hoppe I.       111 


Optik. 

XIII.  Beleuchtungs-Constmctionen  fflr  Fliehen,  deren  zu 
einer  Achse  normale  Schnitte  Ähnlich  und  Ähnlich 
liegend  sind,  bei  orthogonaler  und  bei  perspectiri- 
scber   Darstellung«      Von   Josef  Basala.   .    .        IH.      266 


littenffiBolke  Bertelkte* 

I.  Kromann  (Naturerk.).  Wundt  (Logik).  Til  se  r  (krit.  Bemk.). 
Cohen  ( Princ.  Inf.  Meth.).  Spitzer  (Diff.  Gl.).  Lissner 
(ElektromoL).  Kareis  (Ztschr.).  Uppenborn  (Kai.  Elektr.) 
K.  Areh«  (X). 

11.  KOstler  (eb.  Oeom.).  Olinzer  (el.  Geom.).  Claussen  (Phys.). 
Spieker  (Geom,).  Brockmann  (Comp.).  Finger  (Mech.). 
Schubert  (Aufg.).  Harms  n,  Kallius  (Bechb.),  Jansen 
(phys.  Aufg.).  Bardey  (geg.  Sinram).  Benoist  (6 st  Log.). 
GreTe  (5st.  Log.)-  Rex  (5st.  Log.).  Mittag-Leffler  (Acta  3.). 
Bull.  Soc.  M.  de  Fr.  (XI.). 

in.     Schobloch  (B  u.  F  F.).    Reuschle  (graph.  Aufl.).    Galopin- 
Sehaub  (Approx.).    Genocchi  (Menabrea  —  /*  F.).    Hellwig 


VI 

(qudr.  n,  kub.  Ql.).  Wcyr  (proj.  Qeom.).  Fr  am  Hey  er 
(Apol.).  KummQll(align.  ct.  —  th.  cfrr.).  Fährmann  (Kogscbn.)* 
Tamchyna  (Bei$p.  Kegschn.).  BOklen  (anal.  G.).  Feichka 
(darst.  Q.).    Maax  (dant.  G.)- 

IV.  Bierens  de  Ha<i-n  (€^ard  -•'  Sterin  —  Spinosa).  Mailly  (Ac. 
Brux,).  Heller  (Cresch.  Phyi.  II.J.  Fischer  (Kepler).  Lukas 
(Farr.).  Geer  (Snell).  Boncompagni  (Ball.  XVI.).  Günther 
(Geophys.).  Wenz  (m.  Geogr.).  Vodusok  (Plan.).  Feters 
Fixst.).  Becker  (Sonne).  Vulentiner  (Kom.).  Landen- 
berger  (Erdb.).     Littrow  (Kai.  84).     Koppen  (Ztschr.  I.). 


Berichtigungen 
im  LXX.  Teile. 

Seite    66  Zeile  4  v.  ob.  hinzuznfttgen  (15  a) 
„      68    „      8  V.  unt.  statt  (14)  ietze  (15  a) 
„    102    „      2  „     „        „      die      „    der 


Bartl:  Mechanisch^graphUche  Lösung  etc. 


I. 


Mechanisch-graphische  Lösung  der  kubischen 
und  biquadratischen  Gleichungen. 


Von 


Carl  Bartl, 

weiland  Lehrer  an  der  Landesbürgerschalo  zn  Hartberg  (Steiermark). 


Einleitung. 

Lässt  man  bei  geometrischen  Constnictionen  nur  die  gegenseitigen 
Schnittpunkte  von  Geraden  und  Kreisen,  und  Kreisen  untereinander 
als  zulässig  gelten  (weil  Gerade  und  Kreis  die  einzigen  Gebilde  sind, 
die  sich  nach  ihrer  Definition  graphisch  in  continuo  „genau^^  darstellen 
lassen),  so  sind  die  auf  Ermittlung  solcher  Punkte  gestützten  Auf- 
gaben mit  ausschliesslicher  Anwendung  des  Zirkels  und  Lineals  ge- 
löst —  Schon  Descartes  stellte  in  seiner  1637  erschienenen  analy- 
tischen Geometrie  für  das  Kriterium  solcher  in  dieses  Gebiet  ge- 
hörigen Aufgaben  die  Bedingung  auf,  dass  es  möglich  sein  müsse, 
die  Constmction ,  unter  zu  Grundelegung  eines  Massstabes,  auf  die 
elementaren  der  vier  Grundrechnungsoperationen,  sowie  jener  des 
Qoadrfttwurzelzcichens  zurückführen  zu  können. 

Dieser  Bedingung  wird  Genüge  geleistet  bei  Aufgaben  Iter, 
2ter  oder  auch  2^ten  Ordnung  dann,  wenn  Letztere  in  solche  2ter 
Ordnung  zerfallen,  also  die  betreffende  Bestimmungsgleichung  2**  Gra- 
ses sich  in  lauter  Gleichungen  2  ten  Grades  spalten  lässt  *).    Hierzu 


*)   Diese  müsien  selbstTerständlich  lolche  sein,  deren  Coefficienten  rational 
sind,  oder  höchstens  Quadratwurzeln  enthalten. 

Areh.  d.  lUtk.  n.  Phyo.    8.  KeUi».  Teil  L  1 


2  Bartl:  Mechaniseh'graphische   Lösung 

gehören  z.  B.  schon  die  Elementaranfgaben  der  Constniction  gemein- 
samer Constraction  gemeinsamer  Kreistangenten  nnd  jene  von  be- 
rührenden Kreisen  an  drei  Geraden  —  mit  4  Lösungen  — ;  dann 
die  sogenannte  ebene  Berührungsanfgabe  für  Kreise  —  mit  8  Lö- 
sungen. Aus  dem  Gebiete  der  neueren  Geometrie  sind  hieher  zu 
rechnen  die  CoUineationsaufgaben  der  Verzeichnung  von  Kegelschnitts- 
linien aus  5  gegebenen  Umfangsbe8timmungsstücken,wenn  darunter 
2  Paare  getrennter  Punkte  und  Tangenten  vorkommen  mit  4  Lö- 
sungen etc.  etc. 

Aber  jenes  oben  charakterisirte  Gebiet  der  mit  ausschliesslicher 
Anwendung  des  Zirkels  und  Lineals  zu  lösenden  Aufgaben  schliesst 
so  manches  nahe  liegende,  interessante,  historische  Problem  aus  (wie 
z.  B.  die  Trisection  des  Winkels,  das  graphische  Cubikwurzelziehen 
aus  Streken  und  die  damit  zusammenhängenden  Aufgaben  aus  der 
Stereometrie,  Normalenprobleme  für  Kegelschnitte  u.  s.  w. 

Die  Vorteile  der  Uebersichtlichkeit  und  Unmittelbarkeit  jeder 
guten  graphischen  Lösung,  gegenüber  jener  des  Calculs,  lassen  selbst 
den  bedeutelnden  und  wesentlichen  Nachteil,  der  auch  bei  den  besten 
Zeicheninstrumenten  und  deren  sorgfältigsten  Behandlung  auftreten- 
den unvermeindlichen  Fehler  noch  immer  in  den  Hintergrund  treten. 
Dieser  Nachteil  hat  daher  nur  eine  Aneiferung  der  Construction  zur 
Folge,  die  graphischen  Methoden  zu  verbessern  und  zu  vereinfachen. 
Hieher  gehören  auch  die  Bestrebungen  der  Mechaniker,  Instrumente 
herzustellen  mit  denen  sich  wenigstens  annähernd  so  einfach  und 
unmittelbar^  wie  der  Kreis  mittelst  des  Zirkels,  nun  auch  die  Kegel- 
schnittslinien graphisch  verzeichnen  liessen  (man  hat  solche  Instru- 
mente wohl  nicht  ganz  richtig  mit  dem  Namen  „KegelschnittszirkeP^ 
bezeichnet).  Würden  solch  vollkommene  Instrumente  erfunden,  so 
hätte  man  nun  allerdings  jenes  Gebiet  von  Aufgaben ,  die  sich  nach 
mathematisch  genauen  Principien  lösen  lassen  —  als  bedeutend  er- 
weitert anzusehen.  Die  Anforderungen  aber,  die  man  in  Bezug  auf 
Einfachheit,  Genauigkeit  und  Verwendbarkeit  für  die  verschiedensten 
Achsenverhältnisse  der  zu  beschreibenden  Kegelschnitte  an  solche  In- 
strumente zu  stellen  hat,  sind  viel  zu  grosse,  als  dass  sie  so  leicht 
zu  erfüllen  wären ;  und  in  der  Tat  hat  sich  auch  bis  jetzt  noch  keines 
der  vorgeschlagenen  mechanischen  Hilfsmittel  als  für  eine  allgemeine 
Einführung  brauchbar  erwiesen,  obwohl  ein  ziemlich  vollkommener 
Eilipsograph,  als  für  eine  geschlossene  Curve  geltend,  die  meiste 
Aussieht  hiezu  hätte. 

Das  Bedürfniss  einer  graphischen  Lösung  der  für  die  praktischen 
Zwecke  mit  genügender  Genauigkeit  zu  construirenden  Aufgaben 
dritter  und  vierter  Ordnung  macht  sich  immer  noch  fbhlbar;  dass 


der  kubüchen  und  biquadraHschen  Gleichungen,  3 

diess  aber  durch  eine  mechanische  Beschreibung  der  Kegelschnitte 
zu  erreichen  sein  wird,  könnte  wohl  noch  lange  ein  Wunsch  der 
Constructeure  bleiben. 


Aufstellung  des  Grundverfahrens. 

Fahrt  man  nebst  dem  Lineal  und  Zirkel  noch  den  rechten  Winkel 
(oder  einen  starren  Winkel  überhaupt)  als  neues  Constructionsvehikel 
ein,  so  muss  hiemit  schon  die  Möglichkeit  einer  graphischen  Behand- 
lung von  Aufgaben  höherer  Ordnung  geboten  sein.  Denn,  verwendet 
man  einen  rechten  Winkel  auf  der  Zeichenebene  in  der  Weise,  dass 
man  ihn  solange  verschiebt  bis  gleichzeitig  der  eine  Schenkel  durch 
einen  Fixpunkt  K  gehe,  der  Scheitel  auf  einer  Leitgeraden  LL  sich 
befindet,  während  der  andere  Schenkel  einen  Grundkreis  K  berührt, 
so  lässt  sich  der  Effect  dieses  Anlegens  eines  rechten  Winkels  an  die 
genannten  Grundfactoreu  in  zweierlei  Weise  interpretiren.  Es  bilden 
Dämlich  die  Tangentenschenkel  der  „angelegten^^  rechten  Winkel  die 
Tier  gemeinschaftlichen  Tangenten  zwischen  dem  Grundkreis  K  und 
der  durch  Leitgerade  L  als  Scheiteltangente  und  Fixpunkt  F  als 
Brennpunkt  gegebenen  Parabel;  oder  es  repräsentiren  die  Lagen  der 
Scheitelpunkte  der  rechten  Winkel  auf  der  Leitgeraden  L  die  Durch- 
schnittspunktc  derselben  mit  der  durch  den  Grundkreis  K  und  den 
Fixpnnkt  F  als  Mittelpunkt  der  Lotstrahlen  gegebenen,  bekannten 
Kreisfnsspunktscurve;  (solche  Tangenten  an  iT  beziehungsweise  Schnitt- 
punkte aof  L  können  begreiflicher  Weise  paarig  imaginär  worden). 
Beide  Erklärungen  aber  verificiren  die  eingangs  gemachte  Behauptung. 

Die  vorhin  charakterisirte  mechanische  Verwendung  des  rechten 
Winkels  zur  graphischen  Lösung  von  Aufgaben  kann  nur  dann  einen 
praktischen  Wert  erlangen,  wenn  in  Folge  der  Einfachheit  und  Un- 
mittelbarkeit der  Methoden  das  Resultat  mit  jenem  gewünschten  Grad 
?on  Genauigkeit  erhalten  wird,  welcher  einem  solchen  nicht  nach- 
steht, der  bei  den  „nach  mathematisch  genauen^'  Principien  gelösten 
Auiigaben  erreicht  wird.  Dass  dies  möglich  ist,  lässt  sich  ohne  An- 
stellung von  Berechnungen  über  die  Genauigkeitsverhältnisse  selbst 
bei  solchen  Fällen,  welche  eine  für  die  Anwendung  des  Grundver- 
bbrens  ziemlich  ungünstige  gegenseitige  Lage  der  Grundfactoren  auf- 
weisen, durch  Ausführung  von  Beispielen  einfach  und  praktisch  zei- 
gen. In  der  Tat  sind  die  Elementaroperationen,  aus  denen  sich  das 
Grundverfiiliren  des  „Anlegens  eines  rechten  Winkels"  zusammen- 
leUt^  sowohl  einzeln,  wie  im  Zusammenhange,  als  mechanische  Ope- 
lation  genommen,  leicht  genau  auszuführen. 


4  Barth  Mechanüeh'graphitche  LSsung 

Der  rechte  Winkel  steht  nns  jederzeit  zur  Verfügung  in  einem 
geprüften  Dreieckswinkel,  welcher  also  die  Winkelfläche  der  Zeichen- 
ehene  deckt,  oder  indem  man  einen  rechten  Winkel  an  ein  Lineal 
anlegt,  wodurch  sich  ein  solcher  mit  freigelassener  Winkelfl&che  ergibt 
Die  passendste  Form  für  vorliegenden  Zweck  kann  aber  leicht  her- 
gestellt werden,  indem  man  auf  einem  Blatte  gut  transparenten  Baus- 
papiers sich  ein  genaues  rechtwinkliges  Achsenkreuz  verzeichnet, 
dessen  Schnittpunkt  durch  ein  Punktringelchen  scharf  markirt  ist. 
In  diesem  primitiven  Instrumente,  das  man  beliebig  auf  dem  Zeichen- 
blatt verschieben  kann,  hat  man  alle  vier  Quadranten  des  Achsen- 
kreuzes als  „freie"  rechte  Winkel  zur  Verfügung.  —  Im  Grundver- 
fahren hat  man  nun  zunächst  als  Elementaroperation  das  Anlegen 
des  einen  Winkelschenkels  an  den  Fixpunkt  F  —  die  primitivste 
Zeichenoperation;  dann  jene  Bedingung  der  Berührung  des  zweiten 
Schenkels  an  den  Grundkreis  if,  welche  als  Anlegen  des  Lineals  aa 
einen  Punkt  berührend  an  einen  Kreis  betrachtet  werden  muss.  Diese 
letztere,  in  der  Praxis  von  den  Gonstmcteuren  nicht  mit  Unrecht 
stillschweigend  als  zulässig  anerkannte  und  häufig  angewendete  Ele- 
mentaroperation ist  nichts  anderes  als  die  duale  Operation  zur  Schnitt- 
bestimmung einer  Geraden  mit  einem  Kreise,  und  sollte  deshalb  wohl 
gebilligt  werden*).  Endlich  als  dritte  Elementaroperation  muss  an- 
gesehen werden  die  Erfüllung  der  Bedingung,  dass  der  Scheitelpunkt 
auf  der  Leitgeraden  LL  sich  befinde  —  allerdings  eine  neue  mecha- 
nische Operation,  welche  aber  mit  „guten^^  rechten  Winkeln  (die  man 
wohl  ebenso  berechtigtigt  ist  voraus  zu  setzen,  als  „gute"  Lineale, 
gute  Zirkel),  am  besten  jedoch  mit  dem  früher  erwähnten,  „ver- 
schiebbaren" Achsenkreuz  mit  der  gewünschten  Präcision  gewiss  leicht 
ausgeführt  werden  kann.  LFcbrigens  ist  das  „Aulegen"  des  rechten 
Winkel  an  die  Grundfactoren  immer  noch  eine  einfachere,  weniger 
Uebung  erforderliche  Operation  als  jene  (auch  zu  den  mechanischen 
Operationen  zu  rechnende)  des  Ablösens  an  einem  Rechenschieber  bei 
gegenteiliger  Schieberstellung  oder  jene  beim  Gebrauche  der  graphi- 
schen Rechentafeln  vorkommenden. 


*)  Hieber  gehört  auch  das  Anlegen  eines  Lineals  berührend  an  zwei 
Kreise,  dem  dnal  gegenüber  der  Schnitt  zweier  Kreise  steht,  welch'  letztere 
wieder  za  den  primitiTsten  Zeichenoperationen  gehört.  Der  den  ersteren  der 
genannten  Operationen  zn  machende  Einwurf,  dass  dieselben  unsicher  werden, 
wenn  der  Punkt  und  Kreis ,  respective  die  beiden  Kreise  zum  Anlegen  eines 
Lineals  zn  nahe  aneinander  gelegen  sind,  trifft  ganz  in  derselben  Weise  aach 
den  allgemein  zulässigen  dualen  Verfahren  der  Schnittbestimmnng,  wenn  die 
schneidende  Gerade  eine  dem  Kreisradius  nahe  gleiche  Entfernung  vom  Mittel- 
punkt des  Kreises  besitzt  oder  beziehungsweise  die  beiden  Schnittkreise  sebr 
nahe  aneinander  liegende  Mittelpunkte  mit  wenig  Terschieden  langen  Radien 
aufweisen. 


euer  kubüchen  Und  hiquadratUehen  Gleichungen,  5 

Wie  später  gezeigt  werden  soll,  besitzt  das  besprochene  Grund- 
verfahren  ancb  Modificationen,  welche  für  den  Fall  einer  (für  dessen 
Anwendung)  ungünstigen  Lage  der  Grundfactoren,  die  Genauigkeit 
des  Resultats  zu  erhöhen  im  Stande  sind  —  ein  Kriterium,  das  jede 
zum  graphischen  Calcul  gut  verwendbare  Methode  besitzen  soll. 

Erweiterung  des  Grundverfahrens. 

Eine  nahe  liegende  Erweiterung  für  das  bis  nun  besprochene 
Grandverfahren  unter  Voraussetzung  obiger  Grundfactoren  besteht 
darin,  dass  man  die  Leitgerade  LL  durch  einen  Leitkreis  Lk  ersetzt. 
Dies  muss  cousequenterweise  gestattet  sein,  weil  ein  Kreis,  so  gut 
wie  die  gerade  Linie,  als  scharf  zu  zeichnendes  Gebilde  anzusehen 
iBt  Während  also  der  eine  Schenkel  des  „angelegten'^  rechten  Win- 
kels durch  den  Fixpunkt  Fgeht,  befinde  sich  der  Scheitel  auf  dem 
Umfange  des  Leitkreises  Lk  und  berühre  der  andere  Schenkel  den 
Grundkreis  K.  Die  Tangentenschenkel  der  möglichen  Winkellagen 
repräsentiren  nun  hier  die  gemeinschaftlichen  Tangenten  zwischen 
dem  Grundkreis  und  jenem  Kegelschnitte ,  der  den  Fixpunkt  F  zu 
einem  Brennpunkt  und  den  durch  F  gehenden  Durchmesser  von  Lk 
zur  Hauptachse  hat.  Liegt  F  innerhalb  des  Kreises  Z«,  so  ist  dieser 
Kegelschnitt  eine  Ellipse;  für  F  ausserhalb  gelegen  —  eine  Hyperbel. 
Es  gibt  dann  stets  einen  zu  F  bezüglich  des  Mittelpunktes  von  Li 
s)'mmetrisch  gelegenen  Punkt  F\  der  in  derselben  Weise  wie  F  als 
Fixpunkt  verwendet  werden  kann  und  nun  dieselben  Tangenten- 
schenkellagen  wie  F  liefert.  —  Die  zweite  Interpretation  des  erwei- 
terten Verfahrens  ist  auch  wieder  jener  des  Grundverfahrens  analog. 
Es  bilden  nämlich  hier  die  auf  dem  Leitkreis  Lk  erhaltenen  Lagen 
der  Scheitelpunkte  der  an  die  Grundfactoren  angelegten  rechten  Winkel 
die  Schnittpunkte  von  Lk  mit  der  durch  den  Grundkreis  K  und  Fix- 
ponkt  F  als  Mittelpunkt  der  Lotstrahlen  gegebenen  Kreisfusspunkts- 
curve. 

Es  ist  nun  für  das  ursprüngliche  und  erweiterte  Verfahren  die 
Frage  sehr  nahe  liegend,  ob  vielleicht  durch  Anwendung  eines  be- 
liebig verschiebbaren  starren  Winkels  q)  (in  derselben  Weise  wie  bis 
jetzt  der  rechte  Winkel  benutzt  wurde)  sich  nun  Aufgaben  von  einem 
höheren  Grade  als  die  für  das  bisherige  Verfahren  angedeuteten  — 
graphisch  behandeln  Hessen. 

Diese  Frage  beantwortet  sich  sofort  als  verneinend,  wenn  man 
nachgehende,  einfache  Betrachtung  anstellt. 

In  Fig.  1.  sei  eine  beliebige  Leitcurve  Lc  gegeben,  auf  welcher 
sich  der  Scheitel  S  des  Winkels  7  bewege,  während  der  eine  Schenkel 


g  Bartl:  Idechaniseh*graphisch€  Lösung 

Stets  durch  den  Fixpankt  F  gehe,  and  der  andere  in  einem  beliebigen 
Momente  der  Bewegung  die  Lage  TT  angenommen  hätte.  Denkt 
man  sich  auf  alle  möglichen  Lagen  des  zweiten  der  genannten  Schenkel 
aus  F  die  Perpendikel  FR  gefällt,  so  lässt  sich  der  geometrische  Ort 
der  Funkte  It  sofort  angeben.  Während  der  Bewegung  des  Winkels 
ip  beschreiben  nämlich  die  Strahlen  FS  und  FR  zu  einander  con- 
gmente  Strahlenbüschel  um  F  als  Träger.  Da  femer  die  Strecken 
FS  und  FR  für  alle  homologen  Punkte  der  Lc  und  der  in  Bede 

stehenden  Curve  der  R  in  dem  constanten  Verhältnisse  ijz-i;  stehen, 

sin  <p 

so  müssen  die  Punkte  R  eine  zu  Le  ähnliche  Curve  durchlaufen, 

deren  homologen  Funkte  gegen  jene  der  Lc  um  F  als  Centrum  in 

der  Winkelgrösse  (90®  —  q>)  verdreht  erscheinen.    Das  Aehnlichkeits- 

verhältniss  von  Le  zur  Curve  der  R  ist  offenbar  -. .     Es  können 

sm  g> 

demnach  die  Lagen  der  freien  Schenkel   TT  auch  erhalten  werden 

in  jenen  eines  beweglichen   rechten  Winkels,  dessen   einer  Schenkel 

stets  durch  Fgeht,  während  der  Scheitel  die  der  Lage   nach  oben 

näher  definirte,  zu  Le  ähnliche  Curve  der  R  durchläuft. 

Dies  Ergebniss  für  unsere  mechanischen  Verfahren  angewendet, 
in  welchen  statt  der  allgemeinen  Leitcurve  Le  entweder  Leitgerade 
oder  -Kreis  vorliegen,  hat  es  also  hier  die  Bedeutung  des  Ersatzes 
eines  allgemeinen  Winkels  <p  durch  einen  rechten,  wenn  nur  Leit- 
gerade respective  Kreis  „entsprechend^^  geändert  werden.  Diese 
Aenderung  geschieht  in  dem  Uebergange  auf  ein  ähnliches  Oebildo 
im  Verhältnisse  1 :  sin  9)  bezüglich  des  Fixpunktes  F  als  Centram, 
und  nachheriger  Verdrehung  um  dasselbe  in  der  Winkelgrösse  (90 — <p) 
nach  der  Seite,  wohin  das  Perpendikel  aus  F  auf  eine  der  Lagen 
des  freien  Schenkels  von  q>  fällt,  unter  q>  immer  den  spitzen  von  den 
bei  S  auftretenden  Nebenwinkeln  verstanden. 

Umgekehrt  lässt  sich  aber  das  hier  gewonnene  Resultat  recht  gat 
für  eine  Hilfsmethode  bei  unseren  mechanischen  Verfahren  verwerten. 

Denken  wir  uns,  dass  Leitgerade  respective  Leitkreis,  dann  Fix- 
pnnkt  und  Grundkreis  in  einer  für  das  „Anlegen^^  eines  rechten  Win- 
kels yerhältnissmässig  ungünstigen  gegenseitigen  Lage  gegeben  seien, 
so  kann  man  stets  die  Anwendung  des  rechten  Winkels  durch  jene 
eines  beliebigen  Winkels  q>  ersetzen,  für  welchen  die  neuen  Lelt- 
factoren  gegen  K  und  F  günstiger  gelegen  sind.  Die  neuen  Lcit- 
factoren  für  q>  ergeben  sich  aus  jenen  für  den  rechten  Winkel  nach 
der  bereits  oben  aufgestellten  Regel  mit  reciprokcm  Aehnlichkeits- 
verhältniss  und  entgegengesetztem  Drehungssinn.  Dabei  kann  der 
Winkel  9  in  seiner  zweckmässigsten   Form  als  das  auf  einem  gut 


*~  der  kubisehßn  und  hiquadratiicken  Gleichungen,  7 

timsparenten  Baaspapiere  verzeichnete,  schiefwinkelige ,  mit  der 
Neigung  ip  yerseheno  Achsenkreuz  zur  Aosführnng  der  mechanischen 
Yerfiahren  henntzt  werden. 

Man  ersieht  indes  leicht,  dass  die  besprochene  Modificirnng  der 
Leitüsictoren  sich  auf  den,  auch  durch  unser  Resultat  gewonnenen, 
bekannten  Satz  stützt,  dass  für  einen  Kegelschnitt  der  geometrische 
Ort  der  Fusspunkte  der  aus  einem  Brennpunkte  auf  dessen  Tangenten 
unter  constantem  Winkel  gezogenen  Strahlen  ein  Kreis,  respective  für 
die  Parabel  eine  Grerade  (Tangente)  ist. 

Wenn  nun  auch  eine  solche  Modificirnng  der  gegebenen  Leit- 
fitctoren  behufs  Anwendung  eines  Winkes  ep  aus  Genauigkeitsrück- 
sichten sich  selten  als  gar  so  notwendig  herausstellen  wird*),  so  ist 
es  doch  als  ein  bedeutender  Wert  der  mechanischen  Verfahren  an- 
zusehen, wenn  sie  wie  die  anderen  auf  mathematisch  genaue  Prin- 
cipien  basirbaren  graphischen  Methoden,  Modificationen  zur  Verbesse- 
rung der  Genauigkeit  des  zu  erzielenden  Resultates  aufweisen. 

Zun  Schlüsse  mag  noch  auf  eine  weitere  Consequenz  hingewiesen 
werden,  die  sich  aus  dem  Grundverfahren  ableiten  lässt.  Ersetzt  man 
nämlich  von  den  bisher  gegebenen  Grundfactoren  auch  den  Fizpunkt 
F  durch  einen  Fixkreis  F«,  so  dass  noch  Grundkreis  und  Leitgerade 
oder  Kreis  als  Grundfactoren  gegeben  sind,  so  wird  entsprechend 
dem  früheren  der  rechte  Winkel  an  dieselben  nun  so  „anzulegen^^ 
sein,  dass,  während  seine  Scheitel  sich  auf  der  Leitgeraden  oder  dem 
Leitkreis  befindet,  seine  beiden  Schenkel  Tangenten  an  Ft  und  K 
sein  müssen.  Die  sich  ergebenden  Lagen  des  Scheitels  des  rechten 
Winkels  auf  den  Leitfactoren  müssen  demnach  angesehen  werden  als 
die  Durcbschnittspunkto  der  letzteren  mit  einer  Art  Fusspunktscurve, 
die  sich  aus  Fixkreis  Fa  und  Grundkreis  K  in  der  Weise  ableitet, 
dass  f&r  jede  Tangente  des  einen  dieser  Kreise,  die  Fusspunkte  der 
hiezu  senkrechten  Tangenten  des  andern  Kreises  Punkte  der  Gurve 
bilden.  Diese  Art  der  Verallgemeinerung  des  Grundverfahrens  in- 
Tolvirt  m  der  Tat  die  Behandlung  von  Aufgaben  von  einem  höheren 
als  dem  vierten  Grade. 


*)  Die  Betrachtangen  der  Lagen-  aud  GrOssenverh&ltnisse  der  Grund- 
factoren  unter  Rücksiebt  aof  die  Genauigkeit  des  durch  unsere  mechanischen 
VerlahreD  in  enielenden  Resultates  führen  zu  einem  für  dieselben  recht  gün- 
stigen Ergebnist.  Während  zuweilen  der  eine  Schenkel  des  „angelegten*' 
rechten  Winkels  wegen  zu  schiefer  Neigung  zur  Leitgeraden  die  Lage  des 
Scbcitelfl  auf  derselben  nicht  präeis  genug  angibt,  ersetzt  diesen  Mangel  sofort 
der  andere,  anf  ihm  senkrechte  Schenkel.  Die  ungünstigste  Stellung  scheint 
eiasotreten,  wenn  der  Fixpunkt  sehr  nahe  der  Leitgeraden,  beziehungsweise 
dem  Leitkreist  zu  liegen  kommt. 


8  Bartli  Mechanuch-graphUcht  Lötung 

Da  das  hier  gesetzte  Ziel  nur  in  einer  graphischen  Behandlang 
der  kubischen  and  biquadratischen  Gleichungen  besteht,  so  genügt 
hiezu  die  Anwendung  des  urspranglichen  Grundverfohrens,  wobei  nur 
eine  Leitgerade  als  Leitfactor  gegeben  ist,  in  ausreichender  Weise, 
so  dass  es  nicht  notwendig  wird,  von  dem  ausführlich  besprochenen 
erweiterten  Verfahren  oder  der  zum  Schlüsse  angedeuteten  Gonsequens 
in  der  Folge  einen  Gebrauch  zu  machen. 

Bemerkungen  zur  Behandlungsart  des  Themas. 

Die  Inangriffnahme  des  gestellten  Problems  erheischt  vor  Allem 
die  Auffindung  jener  Beziehungen,  welche  zwischen  den  Bestimmungs- 
stücken der  Lagen-  und  Grössenverhältnisse  unserer  Grundfactoren 
und  den  mittelst  der  Anwendung  des  mechanischen  Grundverfahrens 
erzielten  Resultate,  analytisch  ausgedrückt,  bestehen,  um  jene  ein- 
fachsten auswählen  zu  können,  die  zu  einem  Vergleiche  mit  den  zu 
lösenden  Gleichungen  sich  am  besten  eignen.  Aus  solchen  Verglei- 
chungen  sind  die  nötigen  Daten  zur  Verzeichnung  der  Grundfactoren 
abzuleiten,  auf  welche  das  mechanische  Verfahren  angewendet,  die 
verlangte  Lösung  der  ursprünglich  gegebenen  Gleichungen  erhalten 
werden  muss. 

Wenn  nun  durch  diese  Methode  im  Principe  jedes  Problem  3ter 
und  4ter  Ordnung  behandelt  werden  kann,  nachdem  bloss  die  hiezu 
nötigen  analytischen  Gleichungen  aufzustellen  sind,  so  wird  man  auch 
bei  den  zumeist  eleganteren  synthetischen  Lösungen  von  Construc- 
tionsaufgaben ,  die  in  letzter  Linie  auf  die  gemeinschaftlichen  Tan- 
genten zweier  Kegelschnitte  basirt  sind,  für  die  graphische  Behand- 
lung den  rechten  Winkel  gemäss  dem  Grundverfahren  in  Anwendung 
bringen  können.  Man  hat  dann  im  Allgemeinen  das  System  besagter 
Hilfskegelschnitte  in  ein  solches  collinear  verwandtes  über  zu  führen^ 
wo  einem  der  Kegelschnitte  ein  Kreis  entspricht  (der  dann  als  Grund- 
kreis K  zur  Geltung  kommt)  und  von  der  dem  anderen  verwandten 
Curve  die  Hauptachsen  (beziehungsweise  Brennpunkte)  anzugeben 
sein  werden.  Die  gemeinsamen  Tangenten  zwischen  Kreis  und  dem 
letzt  genannten  Kegelschnitt  sind  dann  in  das  ursprüngliche  System 
zurückzuführen.  Häufig  gelingt  durch  zweckentsprechende  Wahl  von 
Collineationsachse  und  Centrum  eine  derartige  Ausführung  dieser 
Transformation,  dass,  während  dem  einen  der  ursprünglichen  Kegel- 
schnitte im  neuen  System  ein  Kreis  entspricht,  dem  andern  eine 
Parabel  homolog  ist,  wodurch  dann  die  Ermittlung  der  gemeinsamen 
Tangenten  im  ersten  System  auf  das  „Anlegen^^  eines  rechten  Winkels 
an  Fixpunkt,  Leitgerade  und  Grundkreis  im  zweiten  System  zurück- 
geführt erscheint. 


der  kubischen  und  btquadratUcken  Gleichungen,  9 

Als  ein  hiehor  gehöriges  Beispiel  möge  die  graphische  Bestim- 

3 

mnng  von  Vy,  unter  y  eine  belichige  reelle  Zahl  oder  eine  Strecke 
verstanden,  im  Folgenden  etwas  näher  besprochen  werden. 

Trägt  man  in  Fig.  2.  Of=l  und  OF  ^  y  auf  die  Achsen  auf, 
aod  wäre  man  im  Stande  den  Linienzug  FGHf  anzugeben,  der  bei 
G  und  H  rechte  Winkel  aufweist,  so  erhielte  man  in  der  Strecke 

3 

OH  sofort  die  y  y.  GH  stellt  aber  nichts  anderes  vor  als  eine  ge- 
meinsame Tangente  jener  zwei  Parabeln,  die  in  O  ihren  gemein- 
sdiaftlichen  Scheitel  haben  und  deren  Achsen  respective  Brennpunkte 
io  Oae,  Oy^  resp.  /,  F  sich  befinden.  GH  steht  nämlich  gleichzeitig 
auf  den  Strahlen  GF  und  HF  senkrecht,  welche  man  aus  den  Brenn- 
punkten za  den  Schnittpunkten  der  crsteren  mit  den  Scheiteltangenten 
der  Parabeln  ziehen  kann.  Denkt  man  sich  eine  der  Parabeln,  z.  B. 
jene  mit  dem  Brennpunkt  /,  sehr  genau  construirt,  so  könnte  mit 
Hilfe  derselben  und  durch  „Anlegen^^  eines  rechten  Winkels,  dessen 
einer  Schenkel  durch  F  gehe,  während  der  Scheitel  auf  der  Ox  sich 
befinde  und  der  andere  Schenkel  die  Parabel  berühre,  sofort  die  Lage 

der  gemeinsamen  Tangente  GH  und  damit  OfT—  Vy  erhalten  wer- 
den. Bei  Benutzung  einer  schon  vorhandenen,  sehr  genau  verzeich- 
neten Parabel,  deren  Abstand  des  Brennpunktes  vom  Scheitel  als 
Constrnctionseinheit  genommen  werden  muss,   lässt  sich  auf  diese 

Weise  f&r  beliebige  Werte  von  y  unmittelbar  die  Vy  mit  einer  für 
das  graphische  Rechnen  ausreichenden  Genauigkeit  herstellen.  Gra- 
phische Methoden  setzen  ja  oft  Curven  höherer  Ordnung  voraus, 
die  erst  mtüisam  construirt  werden  müssen,  während  hier  nur  eine 
genau  verzeichnete  Parabel  verlangt  wird. 

Die  oben  definirte  Lage  der  GH  kann  auch  noch  in  anderer 
Weise  aufgefasst  werden. 

Sind  F  und  /  die  Träger  zweier  congruenter  Strahlenbüsohel, 
deren  homologe  Strahlen  zu  einander  parallel  laufen,  so  werden  die- 
selben durch  Ox  und  Oy  in  projectivischen  Pnnktreihen  geschnitten, 

■ 

deren  Erzeugniss  eine  gleichseitige  Hyperbel  ist,  die  Ox  und  Oy  zu 
Asjmptoten  hat,  und  deren  reelle  Achse,  den  Winkel  FOf  halbirend, 

die  Länge  2a  »  V 2y  besitzt.  Die  Lage  der  Geraden  GH  bildet  nun 
auch  eine  Tangente  an  diese  Hyperbel  und  nach  früher  auch  eine 
solche  der  oben  bezeichneten  Parabeln.  Ersetzt  man  die  Bedingung, 
dass  GH  Parabeltaugente  sein  muss,  durch  jene  des  „Anlegens^^  eines 
rechten  Winkels  ganz  in  derselben  Weise  wie  früher,  wobei  also 
jetzt  die  gleichseitige  Hyperbel  von  dem  einen  Winkelschenkel  be- 
rührt werden  muss,  so  erhält  man  in  demselben  die  Lage  von  GH 


10  Bartli  Mtchanüeh'-graphi$ch€  Lotung 

a 

und  damit  yy.  Dass  anch  hier  wieder  Jede  vorliegende  gleichseitige 
Hyperbel  zweckmässig  verwendet  werden  kann,  ist  selbstverständlich ; 
die  Achse  derselben  repräsentirt  dann  die  Strecke  y2y,  woraus  sich 

die  Massstaboinheit  znm  Messen  von  y^  ableitet. 

Wie  sich  die  Bestimmung  der  gemeinsamen  Kegelschnittstangentc 
GH  in  beiden  besprochenen  Auffassungen  zurückführen  lässt  auf  jene 
zwischen  einem  Kreis  und  einen  Kegelschnitt  wurde  schon  für  den 
allgemeinen  Fall  erörtert  —  Die  Durchführung  derselben  in  dem 
vorliegenden,  wo  die  gegebenen  Kegelschnitte  eine  besonders  gün- 
stige gegenseitige  Lage  besitzen,  kann  weiter  keine  Schwierigkeiten 
bieten. 

Wird  die  Bestimmung  der  Hauptachsen  (respcctive  Brennpunkte) 
jenes  Kegelschnitts  des  transformirten  Systems,  für  welchen  eben  die 
gemeinsamen  Tangenten  mit  dem  Kreise  durch  „Winkelanlegen^^  er- 
halten werden,  umständlich,  so  leidet  hierunter  die  Genauigkeit  des 
Schlussresultates  wesentlich.  Dies  wird  schon  in  unserm  speciellen 
Fall  bei  Ermittlung  von  GH  merklich  fühlbar. 

Nachdem  die  zur  Ausführung  von  solchen  Kegelschnitts-Trans- 
formationen  nötigen  Constructionen  längst  zu  den  bekannten  gehören, 
das  Problem  des  graphischen  Kubikwurzelziehcns  aber  später  ohne- 
hin durch  zweckmässigere  Verfahren  gelöst  wird,  so  kann  die  con- 
structive  Durchführung  eines  hieher  gehörigen  Beispieles  demnach 
füglich  unterbleiben. 

Behandlung  der  kubischen  Gleichungen. 

Schneidet  man  die  zwischen  einem  Kreise  und  einer  Parabol 
möglichen  vier  Tangenten  durch  eine  beliebige  Transversale,  so  re- 
präsentireu  die  Strecken  von  einem  gegebenen  Punkte  derselben  bis 
zu  den  erhaltenen  Schnittpunkten  mit  den  ersteren  die  vier  Wurzeln 
einer  biquadratischen  Gleichung,  die  sich  zur  Berechnung  jener 
Strecken  aus  den  Tangentenbedingungen  unter  Voraussetzung  der  die 
Grösse  und  Lage  des  Kreises  gegen  Parabel  und  Transversale  be- 
stimmenden Dimensionen  aufstellen  lässt.  Kreis,  dann  Scheitelan- 
gente und  Brennpunkt  der  Parabel  bilden  beziehungsweise  Grund- 
kreis,  Leitgerade  und  Fixpunkt  für  Anwendung  dos  Grundverfahrens, 
wobei  also  die  Tangentenschenkel  der  rechten  Winkel  jene  gemein- 
samen Curventangenten  darstellen  werden. 

Soll  nun  aber  durch  einen  solchen  Transvcrsalschnitt  die  Lösung 
von  kubischen  Gleichunigen  erzielt  werden,  so  ist  entweder  eine  jener 
vier  gemeinschaftlichen  Tangenten   selbst  als   die  bekannte  Trans- 


<2tr  kuhitcKen  und  biquadratuchen  Gleiehuag^n.  11 

Tenale  der  flbrigen  drei  zu  nehmen ,  oder  aber  allgemeiner  eine  be- 
liebig gelegte  Transversale  mit  den  vier  gemeinschaftlichen  Tangenten 
SD  schBeiden,  von  welchen  jedoch  eine,  als  durch  die  spedelle  Lage 
der  Gmnd&ctoren  bekannt  oder  gegeben  vorausgesetzt  werden  ^uss. 
Der  dieser  letzteren  entsprechende  Wurzelwert  auf  der  Transversalen 
ist  nan  gleichfalls  bekannt  und  repräsentiren  die  den  übrigen  ent- 
sprechenden, solche  einer  kubischen  Gleichung.  Zum  vorliegenden 
Zwecke  werden  nur  jene  Transversalen  brauchbar  sein,  für  welche 
die  aufgesteDten  Gleichungen  der  Schnittpunkte  Coefficienten  der  Un- 
bekannten aufweisen,  die  sich  in  einfachst  möglicher  Form  aus  den 
Grössen-  und  Lagendimensionen  der  Grundfactoren  zusammensetzen. 
Der  Spielraum  in  der  Wahl  bei  der  Lage  der  Grundfactoren  und 
Transversalen  ist  wohl  bedeutend  und  lässt  sich  von  vorneherein  auf 
die  Existenz  von  mehr  als  einer  Lösungsmethode  einer  Gleichung 
schliessen,  so  dass  man  fllr  einen  Specialfall  mit  Rtlcksicht  auf  Ein- 
fachheit und  Genauigkeit  wird  auswählen  können. 

In  der  Theorie  der  kubischen  Gleichungen  bildet  die  Lösung  der 
einen  kubischen  Gleichung 

y3 — a  e-  0,    d.  i.    «  —  y« 

den  Ausgangspunkt  für  jene  der  reducirten ;  bei  der  graphischen  Be- 
handlung ergiebt  sich  die  Methode  des  Eubikwurzelziehens  als  ein 
specieller  Fall  der  Lösung  der  allgemeinen  kubischen  Gleichung  oder 
indirect  aus  jener  der  reducirten.  Die  vollständigen  Gleichungen 
können  sofort  in  ihrer  gegebenen  Form  zur  Behandlung  gelangen, 
ohne  dass  es  nötig  wird,  wie  dies  bei  der  Auflösung  in  gewöhnlicher 
Weise  zu  geschehen  pflegt,  dieselben  vorher  auf  reducirte  zu  trans- 
formlren. 

Die  allgemeinste  Form  der  vollständigen  kubischen  Gleichungen 
möge  durch 

dargestellt  sein,  wobei  unter  a,  b  und  c  nicht  blos  die  numerischen 
W^te  der  Coefficienten,  sondern  auch  ihre  Qualitätswerte  miteinbe- 
griffen sein  sollen.  Bekanntlich  hat  diese  Gleichung,  je  nachdem 
der  Coefficienten- Ausdruck 


(3i  —  o«)  {de  —  ab) 

{de -ab)       4(3atf— Ä») 


<0 
—  0 
>0 


ist,  beziehungsweise  1  reelle  und  2  imaginäre,  dann  3  reelle,  darunter 
2  gleiche  oder  3  reelle  von  einander  verschiedene  Wurzeln  (irru- 
dodbler  Fall).    Diese  Unterscheidung  wird  jedoch  bei  der  graphischen 


12  Bartl:  Meehanisch^graphisehe  Lösung 

Behandlung  im  Allgemeinen  die  Methode  nicht  beeinflussen.  Alle 
kubischen  Gleichungen  besitzen  wenigstens  eine  reelle  Wurzel  und 
muss  dieselbe  stets  durch  das  mechanische  Verfahren  erhalten  werden 
können,  während  die  beiden  anderen,  wenn  reell  —  auch  direct, 
wenn  imaginär  —  aber  durch  Lösung  einer  weiteren  Aufgabe  von 
der  2ten  Ordnung  sich  ergeben  müssen.  In  dem  Falle  zweier  glei- 
cher Wurzeln,  lassen  sich  ttbrigens  die  Werte  der  Wurzeln  rational 
durch  die  Coefficienten  ausdrücken.  Unter  Voraussetzung,  dass  obiger 
Dcterminantenausdruck  verschwindet,  wird  also  die  gleiche  Wurzel 

,    9<?—  ah 
und  die  davon  verschiedene  dritte  Wurzel 

ys (^y,+«)  =  — 3^-ir^5 — 

Liefern  diese  Ausdrücke  die  uubestimmtc  Form  f ,  so  ist  dies  ein 
Zeichen  vom  Vorhsndcnsein  dreier  gleicher  Wurzeln,  deren  Bestehen 
also  an  die  Bedingungen  geknüpft  ist,  dass 

9c  =  ab     und    36  =  a* 

wird,  womit  das  Gleichungspolynom  in  einen  vollständigen  Kubus 
übergeht,  und  die  gleiche  Wurzel  den  Wert 

a 

yi "-  ys  ==  ^3  =  —  3 

besitzt. 

Behufs  Aufstellung  der  analytischen  Ausdrücke  für  die  Trans- 
versalschnitte wird  folgende  Wahl  des  Achsensystems  zweckentspre- 
chend sein. 

Wir  haben  nach  früher  eine  gemeinschaftliche  Kreis-Parabel- 
Tangente  als  bekannt  vorauszusetzen  und  nehmen  dieselbe  (Fig.  3.) 
gleich  zur  y  Achse,  während  wir  den  zum  Berührungspunkt  des 
Kreises  gehörigen  Durchmesser  als  Lage  der  x  Achse  wählen.  Der 
Fixpunkt  F,  darauf  bezogen ,  hätte  die  Coordinaten  c  und  /;  und  die 
Leitgerade  L  muss  in  der  Höhe  /  über  dem  Ursprung  die  y  Achse 
schneiden,  ist  aber  sonst  in  der  unabhängigen  Neigung  (jp  gegen  die 
X  Achse  vorauszusetzen.    Der  Kreisradius  sei  mit  r  bezeichnet. 

Eine  unbestimmte  Kreistangentc 

71    '    m 


der  kubischen  und  biquadratischen  Gleichungen. 


13 


mit  den  .Achsenabschnitten  n  und  m,  bat  sich  mit  dem  aus  F  darauf 
errichteten  Lote 


m       n   *    \n       mj 


anf  der  Leitgeraden  L 


y  — tggp.aj— /— 0 


bedingungsweise  in  einem  Punkte  zn  schneiden.    Dies  ist  sofort  in 
dem  Verschwinden  der  Resultante  dieses  Gleichungssystems,  also  in 


m 


—  1 


m 

1, 


n 

tgg>. 


e 
n 


f_ 


-f 


1, 

n 

♦ 

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-/ 

0 


ausgedrückt    Nach  leichter  Reduction  und  Auswertung  der  Deter- 

a 
minante  findet  man  für  —  die  Gleichung 


tn 


m 


tg<P  — 1, 


n 


=  («  — /'tg«p  +  ntg<)p)-+€tg«p+/— n  =  0 


Daraus  und  aus  der  Bedingung,  dass  n  und  m  einer  Kreistangente 
angehören,  ergeben  sich  (zur  Elimination  von  m)  die  beiden  Werte 


für  —  in 
m 


n  Z+ötg^?  —  n 

m       ftg  qp  —  e  —  nXjgfp 


n 


8 -a 


2m 


Ordnet  man  die  letzte  Gleichstellung  nach  n,  so  ergibt  sich  zunächst 
eine  Bedingung  hiefür  in 

»'—(/— «.Ctg7?+2r.ctg<p)n3-f^(2/-ctg(p+2«--r).n-fr»K/'---«ctg<p)-0     (1) 
Eine  zweite  rcsultirt  durch  Einführung  der  beiden  Werte  von  —  in 

die  Tangcutengleichung 

y-f-x n  =«  0 


and  erscheint  nach  Ordnung  für  n  in  der  zweifachen  Form 


X4  Bartl:  Meehanüch'^aphische  Lösung 

n»— (y-}-arCtg«p+/'--«ctg9)n+[«(  /fctg(/>+c)-fy.(/— «ctgip)]— 0    i 


(2) 


Nimmt  man  daher  obige  Gleichung  (1)  am  besten  mit  erstcrer  der 
letzten  (2)  zusammen  und  eliminirt  daraus  u,  so  muss  sich  als  Aus- 
druck für  die  drei  gemeinschaftlichen  Tangenten  zwischen  Grundkreis 
und  Parabel  („££,  JF")  ergeben. 

Es  wird  nun  nicht  nötig  die  Elimination  für  den  allgemeinsten 
Fall  durchzuführen ,  weil  für  zweckentsprechende  Transversalschnitte 
die  Ausdrücke  durch  einfache  Substitutionen  erhalten  werden  können. 
Solche  Transversalen,  für  welche  voraussichtlich  bemerkenswerte 
Ausdrücke  sich  ergeben  dürften,  entnimmt  man  aus  den  Tangenten- 
gleichungen (2).    Diese  liefern  für  die  Schnittgeraden 

ac  «  0,    o;  —  2r    und    (/— ectg9)y-|-(/'ctg9  +  «)«  =  0 
beziehungsweise  die  Werte  für  das  zu  eliminirende  u  in 

n  =»  y,    n  —  -    und    «  —  (y+ajctg9-|-/'~«ctfi?*P)i 

hieven  wollen  wir  im  Allgemeinen  jedoch  nur  vom  ersten,  das  ist 
dem  Schnitt  der  y  Achse  Gebrauch  machen  und  die  letzteren  nur  für 
specielle  Lagen  von  F  und  L  später  zur  Anwendung  bringen. 

Die  Gleichung  für  die  Schnittpunkte  der  gemeinschaftlichen  Kreis- 
Parabel-Tangenten  (oder  Tangenten-Schenkel  der  „angelegten''  rechten 
Winkel)  mit  der  y  Achse  ist  demnach,  obige  (1)  in  y  geschrieben: 

y»~(/— «Ctg<p+2rctg9)yH^{2/btg<H-2c--r)y+(/'-~€Ctgg>)r«--0  (I) 

Yergieicht  man  dieselbe  mit  der  vollständigen  kubischen,  so  er- 
geben sich  zur  Berechnung  der  Grössen  r,  ctg<ji>,  e  und  f  nur  die 
drei  Gleichungen 

a  «  —  {/— cctgg)  +  2rctg<)o) 
ft-=-r(2/'ctg<p-f  2«  — r) 
c=:r*(/— «ctgg>) 

wobei  also  eine  Unbekannte  noch  willkürlich  anzunehmen  bleibt  Als 
diese  wird  offenbar  der  Grundkreisradius  r  zu  wählen  sein,  und  man 
findet  aus  der  ersten  und  dritten  den  Wert  von 


ctg 


c-far« 
9>  — Öls"" 


2r» 


wodurch  sich  zur  Bestimmung  von  e  und  f  aus  den  beiden  letzten 
die  Beziehungen  herieiten 


der  laibUchen  und  biquadratüehen  Gleichungen. 


15 


2r»«— (c+ar*)/  —  (b+r*)r* 
(c+(ir»)e+2rV—  2r« 


(g) 
(g') 


Statt  dieselben  nach  e  and  /  aufzulösen,  kann  man  bemerken,  dass 
sich  F{e^  f)  einfacher  ergibt  ans  dem  Schnitt  der  beiden  durch  die 
letzten  Gleichungen  repräsentirten,  aufeinander  senkrechten  Ge- 
raden g  und  g'.  Diese  selbst  werden  am  raschesten  durch  ihre 
Achsenschnitte  gx^y  und  gs,p'  zu  verzeichnen  sein.  Um  gleich  far  alle 
Fälle  die  Ausdrücke  zusammenzustellen,  hat  man  für  die  reducirten 
a  «-  0  und  fflr  die  einen  kubischen  Gleichungen  a  »  0  und  6  »  Q 
zu  setzen;  ausserdem  dürfte  es  in  den  meisten  Fällen  vorteilhaft 
sein,  den  Grundkreisradius  r  gleich  der  ConstructioDseinhcit  zu  wäh- 
leo,  wofür  die  Ausdrücke  noch  angegeben  werden  mögen. 


A.    Vollständige  kub.  Gleichungen, 
r  allgemein  und  r  =  1 


9s 


2r    ' 


2rc 


9*  — 


2    ' 


9w  =  — 


b  +  1 


2c 
9*  =  ^q:^,      9p 


9*  -  ;:|:^    9p  «    ^. 

Für  obigen  Wert  von  ctgg>  kann  man  demnach  einführen 


.f„«  c+ar*  e+a       g,  gj 

ctg  SP 2^:3  2-"7f""""^' 

woraus  man  sogleich  erkennt,  dass  die  Leitgerade  L  entweder  pa- 
rallel läuft  zu  den  bezüglich  den  Goordinatenachsen  zur  Geraden  g 
zu  verzeichnenden  symmetrischen  Linien  oder  aber  auf  jenen  der 
Geraden  g'  senkrecht  steht   * 


B.    Reducirte  kub.  Gleichungen, 
r  allgemein  und  r  »  1 


9% 


2r 


99=" 


(i  +  rV 


2r, 


9p 


c|g9  —  — 


e 


2r« 


9» 


i-fl 


2    ' 


i^.'  »  2, 


fl'y  =  — 


^/^^J 


Ä-f  1 


Ctgq>^ 2 


16  Barth  Mechanisch»graphis(ke  Lösung 


C.    Reine  kub.  Oleichnngen  oder  y  —  V — e. 


^x  =  2'    ^y  —  7 


^«'—  2r,     i^y'=  ^ 


1  1 


^,'=  2,      ^/" 


ctg<p  wie  oben. 


Das  ganze  Verfahren  zar  graphischen  Lösnng  von  kubischen 
Oleichnngen  besteht  zuerst  in  der  Verzeichnung  der  Grundfactoren, 
an  welche  dann  der  rechte  Winkel  „anzulegen'^  ist,  dessen  Tangenten- 
schenkel auf  der  y  Achse  die  verlangten  Wurzelwcrte  abschneidet. 

Nach  zweckmässiger  Wahl  in  der  Grösse  des  Grundkreises  wird 
man  den  Fixpunkt  F  durch  den  Schnitt  der  beiden  Geraden  g  und  g* 
darstellen.  Von  den  letzteren  verzeichnet  man  zuerst  die,  einfachere 
Ausdrücke  der  Achsenschnitte  aufweisende  g\  während  g  durch  den 
Punkt  gx  auf  g*  senkrecht  zu  fahren  ist  und  F  bestimmt  Wird 
dessen  Ordinate  auf  der  y  Achse  irgendwie  übertragen,  so  ist  durch 
den  erhaltenen  Punkt  {y  Achsenschnitt)  die  Leitgerade  nach  der  oben 
näher  angegebenen  Richtung  zu  führen,  oder  matt  kann  auch  den 
X  Achsenschnitt  der  letztem  bestimmen,  wenn  man  die  Grösse  g%  auf 
der  X  Achse  vom  Abscissenpunkt  e  des  Punktes  F  nach  der  dem 
Vorzeichen  von  g^  entgegengesetzten  Richtung  abträgt  Die  Con- 
struction  der  Ausdrücke  wird  selbst  bei  allgemeinen  r,  die  nicht  in 
Masszahlen  ausgedrückt  zu  werden  brauchen,  vcrhältnissmässig  ein- 
fach und  soll  deshalb  hier  nicht  weiter  darauf  eingegangen  werden. 
Ergeben  sich  die  Grundfactoren  in  einer  für  die  Anwendung  des 
mechanischen  Verfahrens  ungünstigen  Lage,  so  kann  dieselbe  bei 
Aenderung  des  Wertes  von  r  stets  leicht  behoben  werden,  was  als 
Vorzug  der  Methode  bezeichnet  werden  muss. 

Schleifende,  ungenaue  Schnitte  der  Tangentenschenkel  mit  der 
y  Achse  werden  eintreten  bei  extrem  kleinen  oder  grossen  Wurzel- 
werten (in  Bezug  auf  die  Grösse  von  r  genommen).  Um  in  solchen 
Fällen  die  Schnittpunkte  genauer  zu  erhalten,  wird  man  im  ersteren 
den  scharf  bestimmten  Berührungspunkt  des  Tangentenschenkels  und 
Grundkreises  mit  dem  Punkte  x  »  2r  verbinden  und  hiezu  die  Pa- 
rallele durch  den  Kreismittelpunkt  ziehen,  welche  nun  unter  sehr 
günstigem  Winkel  die  y  Achse  im  verlangten  Punkte  trifft.  Im  zwei- 
ten Falle  —  bei  grossen  Wurzelwerten  —  verzeichne  man  sich  den 
zum  Goordinatenursprung  bezüglich  des  Tangentenschenkels  symme- 
trisch gelegenen  Punkt  und  bat  dann  durch  denselben  auf  dessen 
Verbindungslinie  mit  dem  x  Achsenschnittpunkt  des  Tangentenschen- 


der  huhUchen  und  biquadratitehen  Gleichungen.  17 

kels  eine  Senkrechte  zn  errichten.  Diese  wird  nun  in  einem  doppelt 
so  grossen  Winkel  als  eben  der  Tangentenschenkel  mit  der  y  Achse 
einschliesst,  die  letztere  im  verlangten  Punkte  treffen.  Sollte  selbst 
dieser  Winkel  fQr  die  Genauigkeit  des  Schnittes  noch  zu  klein  sein, 
so  ist  er  nach  demselben  Verfahren  weiter  zu  verdoppeln  u.  s.  f. 

8  

Zur  Construction  von  V — e  soll  noch  bemerkt  werden,  dass  bei 
grossen  Radicanden  die  Wahl  von  r  »  1  unzweckmässig  wird,  und 
r  als  beliebig  grosse  ganze  Zahl  zu  nehmen  ist,  wodurch  ein  ge- 
naueres Resultat  erzielt  werden  kann.  Die  Fixpunkte  F  für  sämmt- 
liche  Werte  des  Radicanden  von  —  oo  bis  +  ^  liegen  alle  auf  einem 

r 

Kreise,  der  über  die  Punkte  a;  »  h   ^^^  ^  ^  ^^9    ^^^  Durchmesser- 

enden,  beschrieben  werden  kann.  Gleichzeitig  wird  man  hier  stets 
die   graphische  Probe    über    die   Richtigkeit  des   Resultates  durch- 

führen  (Fig.  4).  Man  hat  behufs  dessen  den  Punkt  y  =  y— c  mit 
Punkt  Ä«  +  l  ^^  verbinden  und  hiezu  durch  den  Punkt  y«  +  c 
die  Parallele  bis  zur  x  Achse  zu   ziehen.    Diese  wird  die  Strecke 

ar«.  —  yc^  daselbst  abschneiden.  Bei  richtiger  Construction  wird 
dann  letztere  Parallele  lotrecht  stehen  auf  der  Verbindungslinie  dieses 

Punktes  «  -«  —  yc*  mit  dem  Punkte  y  «  V — c. 

Ein  Verfahren  für  das  graphische  Kubikwurzelziehen,  bei  welchem 
für  beliebige  Werte  des  Radicanden  immer  derselbe  Fixpunkt  für 
das  mechanische  „Winkelanlegen^^  zur  Benutzung  kommt,  soll  später 
indirect  ans  der  Lösung  einer  reducirten  Gleichung  abgeleitet  werden. 

Darstellung  der  imaginären  Wurzelwerte. 

Einer  wesentlichen  Ergänzung  bedarf  vorstehende  Lösungsmethode 
dann,  wenn  die  gegebene  kubische  Gleichung  nur  eine  reelle  Wurzel 
hat,  indem  es  sich  um  die  Darstellung  der  beiden  übrigen  imaginären 
Wurzeln  handeln  wird.  Das  Kriterium  dieses  Falles  wurde  schon 
oben  angegeben  und  hiezu  bemerkt,  dass  letztere  Aufgabe  nur  mehr 
eine  solche  2ter  Ordnung  ist,  den  reellen  Wurzel  wert,  der  immer 
durch  das  mechanische  Verfahren  gefunden  werden  kann,  als  bekannt 
voraossetzend.  Werde  derselbe  mit  tp^  bezeichnet,  so  ist  das  Glci- 
chungspolynom  durch  (y  —  ici)  teilbar,  und  der  Quotient  der  Division 
ist  die  betreffende  Gleichung  2ten  Grades,  deren  Wurzeln  die  fehlen- 
den der  kubischen  sind.    Man  hat  also: 

da  TonuiBsetzangsgemäss 

Axek.  «.  Mstk.  n.  Phyi.    2.  Reihe,  Teil  I.  2 


X8  Bartl:  Meekanixrh'grapkische  I^mmg 

sein  mass.  Die  Wurzeln  der  quadratischen  Gleichung,  deren  Coeffi- 
cicDten  wir  mit 

ttTi  +  <"  =  2a    und    (2ic,a-f-^)  =  P* 

bezeichnen  wollen,  finden  sich  als  complexe  Zahlen,  in  Punkten  der 
Ebene  dai^gestellt,  in  welchen  der  Kreis  aus  dem  Ursprung  als  Mittel- 
punkt mit  dem  Radius  ß  beschrieben  von  der  durch  den  Funkt 
y  » —  a  zur  X  Achse  gezogenen  Parallelen  geschnitten  wird.  In 
Fig.  3.  ist  das  Beispiel  der  graphischen  Lösung  von 

durchgefflhrt  und  wurde  nach  Verzeichnung  von  F  und  L  (bei  der 
Annahme  von  r  -=  2)  die  reelle  Wurzel  tr,  »«-{-3  erhalten.   Somit  ist 

«=+1,  ß^yn  und  ^«(«-i+yznö 

Für  reducirte  Gleichungen  wird 

FQr  die  reinen  kubischen  oder  die  Kubikwurzel  ist  dann 

d.  h.  die  Punkte  tr^,  tr^,  ir,,  welche  die  gleichnamigen  Wurzelwerte 
darstellen,  sind  die  Punkte  der  Dreiteilung  des  Kreises  mit  dem 
Radius  tr^  aus  O.    In  Fig.  4.  kamen  sie  gleichfalls  zur  Verzeichnung. 

Eine  zweite  Methode  der  Darstellung  imaginärer  Wurzelwertc, 
die  mehr  wissenschaftliches  Interesse  hat,  soll  an  demselben  Glei- 
chungsbeispiele der  obigen  Fig.  3.  nun  in  Fig.  5.  durchgeführt  wer- 
den.   Man  gelangt  hiezu  durch  folgende  Betrachtungen. 

Nachdem  durch  das  mechanische  Verfahren  aus  JT,  L  und  F  der 
reelle  Wurzelwert,  also  Punkt  te^  abgeleitet  wurde,  hat  man  zu  be- 
denken, dass  die  noch  fehlenden  Werte  in  den  Schnittpunkten  des 
imaginären  Tangentenpaares  zwischen  Grundkreis  und  Parabel  (LF") 
mit  der  transTersalen  p  Achse  rcpräsentirt  sind.  Dieses  heisst  mit 
anderen  Worten,  sucht  man  zuerst  den  reellen  Gontingenzpunkt  dieser 
conjugirten  Tangenten,  so  sind  die  Punkte,  welche  die  imaginären 
Wurzelwerte  darstellen,  die  beiden  imaginären  Doppelpunkte  jener 
Punkteinvolution,  die  auf  der  y  Achse  durch  eine  Strahlcninvolution 
erzeugt  wird,  welche  für  jenen  Gontingenzpunkt  als  Träger  in  Bezug 
auf  einen  der  Kegelschnitte  (Kreis  oder  Parabel)  gegeben  erscheint. 


der  kubütcken  undoiquadratischen  Gleichungen.  \Q 

Die  imaginären  Doppelpunkte  aber  ersetzen  sich  durch  reelle  der 
Ebene,  die  zu  beiden  Seiten  des  Trägers  (y  Achse)  als  Mittelpunkte 
fon  rechtwinkligen  Strahleninvolutionen  auftreten,  die  zur  Punkte- 
involntion  perspectivisch  liegen.  Es  kommt  also  zunächst  darauf  an 
jenen  reellen  Contingenzpunkt  der  beiden  imaginären  gemeinsamen 
Rreis-Parabeltangcnten  —  wir  wollen  ihn  mit  w  bezeichnen  —  aus 
dem  bekannten  Contingenzpunkt  w^  abzuleiten. 

Behufs  dessen  suche  man  den  Schnittpunkt  P  der  homologen 
(Berühmngspunktsvcrbindungen)  OT  und  OpTp,  so  ist  derselbe  der 
Schnittpunkt  jener  beiden  gemeinschaftlichen  Kreis- Parabel-Secanten, 
die  als  CoUineationsachsen  sowohl  zu  Wj  als  auch  <o  als  Centra  einer 
collinear  verwandten  Zuordnung  von  Kreis  und  Parabel  genommen 
werden  können.  Es  muss  daher  die  gemeinsame  Polare  pp  des 
Punktes  P  in  Bezug  auf  Kreis  und  Parabel  jenen  Punkt  a>  enthalten. 
Zieht  man  eine  jener  gemeinschaftlichen  Kreis-Parabel-Secanten  durch 
Pj  deren  Richtung  AX^x^  durch  die  Gegenachse  uAXfX)  bestimmt  ist 
(welche  eine  Kreistangente  zu  dem  dem  unendlichfemen  Punkte  ur^ 
der  Parabel  entsprechenden  Kreispunkte  u  sein  muss),  so  schneidet 
dieselbe  die  vorhandenen  Kreistangenten  der  tr^  in  ö  und  6'.  Ver- 
zeichnet man  sich  die  aus  den  letztern  Punkten  noch  möglichen 
zweiten  Kreistangenten  und  ordnet  nun  die  Berührungspunkte  s  und  q 
beziehungsweise  jenen  Tp  und  Op  zu,  so  müssen  sich  die  Strahlen 
iTpj  9pT^  sowie  qOp  auf  der  Polaren  pp  im  fraglichen  Contingenz- 
punkte  f»  schneiden ;  sp  ist  nämlich  der  dem  Kreispunkte  s  homologe 
Parabelpunkt  und  fällt  hier  zufällig  mit  dem  Parabelscheitel  zusammen. 

Nachdem  co  gefunden  ist,  gibt  das  rechtwinklig  entsprechende 
Strahlenpaar  der  Involution  d.  i.  moR^  <aR'  die  beiden  entsprechenden 
Punkte  R  und  i2',  über  welche  als  Durchmesserenden  der  Kreis  % 
zu  verzeichnen  kommt.  Ein  zweites  Punktepaar  würde  gleichfalls 
einen  solchen  Kreis  liefern,  der  wie  x  jene  imaginär  ersetzenden, 
reellen  Punkte  der  Ebene  enthalten  müsste.  Einfacher  werden  die- 
selben aus  dem  Involutionscentrum  J  abgeleitet,  da  sie  im  Schnitte 
des  Kreises  *  mit  der  Senkrechten  w^Jw^  durch  J  geführt,  gleich- 
falls sich  ergeben  müssen.  Das  Involutionscentrum  J  aber  bestimmt 
sich  durch  den  Strahl  «/tr»,  welcher  dem  durch  a>  zur  y  Achse  parallel 
gezogenen  Strahl  der  Involution  homolog  ist;  der  Punkt  %  auf  der 
X  Achse  gelegen  —  ist  der  Pol  dieses  Strahles  als  Polare  bezüglich  des 
Kreises. 

Die  erhaltenen  Punkte  w^  und  w^  sind  die  Träger  jener  recht- 
winkligen, zur  Punkteinvolution  perspectivisch  liegenden  Strahlen- 
involntion,  und  zugleich  die  graphische  Darstellung  der  complexcn 
Werte  der  noch  fehlenden  imaginären  Wurzeln  unserer  gegebenen 
kubisehen  Gleichung. 

2* 


20  Barth  Mechanisch'gräphiache  Lösung 

Das  vorstehende  Verfahren  kann  auch  in  dem  Falle  angewendet 
werden,  wenn  die  kubische  Gleichung  drei  reelle  Wurzeln  hat  and 
einer  oder  zwei  dieser  Werte  sich  durch  das  mechanische  Verfahren 
ungenau  ergeben  würden. 

Man  kann  jedoch  in  einem  solchen  Falle  zur  genaueren  Bestim- 
mung einer  der  Wurzeln  eine  aus  der  Theorie  der  kubischen,  für 
reducirte  Gleichungen  geltende  Relation  benutzen.  Verlegt  man  näm- 
lich den  Ursprung  O,  d.  i.  den  Anfangspunkt  der  Zählung  um  die 

Grösse  ( —  ^j  nach  0\  so  werden  bekanntlich  für  den  neuen  An- 
fangspunkt O'  die  Wurzelwerte  zu  solchen  einer  reducirten  Gleichung 
und  für  diese  gilt  der  Satz,  dass  die  algebraische  Summe  je  zweier 
Wurzeln  gleich  ist  dem  Entgegengesetzten  der  dritten.  Sind  also 
zwei  von  den  Wurzelwerten  genau,  so  lässt  sich  darnach  der  dritte, 
unsichere  corrigiren. 

Transversalschnitte  für  specielle  Lagen 

der  Grundfactoren. 

Obwohl  im  Vorstehenden  das  Problem  der  mechanisch-graphischen 
Lösung  der  kubischen  Gleichungen  im  Allgemeinen  und  Speciellen 
durchgeführt  erscheint,  sollen  hier  doch  noch  einige  Transversal- 
schnitte hervorgehoben  werden,  welche  bei  besonderen  Lagen  von  L 
und  F  gegen  K  bemerkenswerte  Resultate  liefern,  die  sich  zwar 
weniger  für  vollständige,  aber  recht  gut  für  reducirte  kubische  Glei- 
chungen verwenden  lassen. 

Lässt  man  die  Leitgerade  L  mit  der  y  Achse  zusammenfallen, 
so  ist  in  obige  Gleichung  (1) 

ctg  9  =  0 
einzuführen,  wodurch  sie  übergeht  in 

n3— /n»-f-r(2«  — r)n-f /r>  «  0  (3) 

und  mit 

(x  —  2r)n2  +  2ry  n  —  r««  «  0  (2) 

zusammen  zu  nehmen  ist,  um  die  unbestimmte  Grösse  n  zu  eliminiren. 
Dies  kann  wieder  im  Besonderen  geschehen  für  aj  «  0  und  x  «  2r, 

welche  beziehungsweise  liefern  n  =»  y  und  n  «=  —  •     Darnach  werden 

die  Aiisdrflcke  fttr  den  y  Achsenschnitt,  respcctiTe  den  der  parallelen 

Kreistangente 

y»-ft/*-hr(2e-r)y+fr*-0  (4) 

»»+(2e-r)^,»-rV+^-0  (5) 


der  kubischen  und  biqwuhatischen  Gleichungen. 


21 


Mit  ersterem  lassen  sich  Gleichnngen  behandeln  von  der  Form 

y^'\-ay^  +  by  —  c  =  0 
mit  letzterem  die  unter  die  Gruppen 

y'^±ay*'-by±c  =  0 

gehörigen  bei  beliebiger  Variation  der  Vorzeichen  von  a  und  c. 
Hiebe!  sind  aber  unter  a^  b  und  e  nur  die  numerischen  Werte  der 
Coefficienten  verstanden.  Gleichzeitige  Aenderung  dsr  Vorzeichen 
von  a  und  c  in  die  entgegengesetzten  und  die  Beibehaltung  des 
Zeichens  von  b  involvirt  nur  den  Uebergang  zu  einer  Gleichung  mit 
den  numerisch  gleichen  aber  entgegengesetzt  bezeichneten  Wurzeln 
der  ursprünglichen. 

Die  Vergleiche  der  allgemeinen  Formen  mit  (4)  und  (5)  ergeben 
Relationen,  aus  denen  sich  die  Bestimmungsgrössen  r,  e  und  f  leicht 
durch  die  bekannten  CoeMcienten  a,  b  und  c  reell  ausdrücken  lassen. 
Es  möge  jedoch  nur  darauf  hingewiesen  werden,  da  die  Ausführung 
weiter  keine  Schwierigkeiten  bietet.  Uebrigens  lassen  sich  diese  Re- 
sultate nicht  so  zweckmässig  anwenden,  als  jene,  welche  sich  bei  der 
allgemeinen  Lage  von  L  ergaben.  Diese  Bemerkung  gilt  übrigens 
auch  für  die  wenigen  noch  später  zu  entwickelnden  allgemeinern  Fälle. 

r 
Specialisirt  man  die  Abscisse  des  Fixpunktes  F  auf  ^  =  öi  so 

ergibt  sich  für  den  Ausdruck  (5)  die  reducirte  kubische  Gleichung 


y^—r*y+ 


0 


(n) 


die  für  nnsem  Zweck  sofort  verwendbar  ist. 


Die  Ausdrücke  für  andere  Transversalschnitte  leiten  sich  aus 
dem  Eliminationsresultat  von  n  aus  obigen  Gleichungen  (3)  und  (2) 
ab.    Dasselbe  ist  dargestellt  in: 


l         —f      r(2«  — r)       /r»         0 
Ol—/      r(2c  — r)    /r« 
0  0  «  — 2r        2ry      — r»« 


0      z-2r 

•X  —  2r    2ry 


2ry 


r      0    — 6      /     0 
0      e       0    2c— r  f 
0     y      r      2y    —x 
0      r      y        X      0 
r        0      0 


0 


—  rV:      0 
0  0  «— 2r  y 

oder  durch  eine  Determinante  niedrigerer  Ordnung  ausgedrückt  in 

r  y  2r  —  x 

«x+Zy  fi^  rx      =  0 

r(f+y)     («B+/y)  — r(2«  — r)     2ry 


22  Barth  Meehanisch'^aphisehß  Löiuny 

Ftlr  y  *^0  bekommt  man  die  Schnitte  mit  der  z  Achse  in  der  Glei- 
chung: 

0  6  O 

Transformirt  man  dieselbe  von  x  anf  - 17,  so  folgt  die  einfachere 

1?»  — 2(2e  — r)i2«  — Cf»  — (2«— r)«]iy  +  2«/»-  0  (6) 

Die  Wurzeln  17  sind  dann  die  Ordinaten  in  den  x  Achsenschnitt- 
punkten bis  zu  der  durch  den  Ursprung  gehenden  Geraden 

e 
'       r 

Der  Ausdruck  (6)  kann  wieder  dienen  allgemeine  Gleichungen  von 
der  Form 

zu  behandeln,  wobei  beliebige  Variation  der  Vorzeichen  von  a  und  e 
gestattet  ist 

Setzt  man  in  (6)  wieder  Abscisse  «  ""  o«  ^^  erhält  man  die 
reducirte  Gleichung 

i?'-/*i?+/*r  =  0    und    i?  =  |  (HI) 

also  für  die  x  Achse: 

Es  mag  noch  der  Ausdruck  für  die  Schnittpunkte  einer  Trans, 
versalcn  aufgestellt  worden,  die  durch  den  Mittelpunkt  des  Kreises 
gehend,  senkrecht  steht  auf  des  letzteren  Verbindungslinie  mit  dem 
Fixpunkte  F]  eine  solche  ist  in  Fig.  6.  verzeichnet. 

Die  auf  der  Transversalen  vom  Mittelpunkt  des  Kreises  als  An- 
fangspunkt o  zu  zählenden,  durch  die  Tangenten  abgeschnittenen 
Strecken  seien  mit  z  bezeichnet,  der  Neigungswinkel  der  Transver- 
salen zur  X  Achse  mit  a,  die  Strecke  oF  mit  s  und  das  Transver- 
salenstttck  vom  Mittelpunkt  des  Kreises  bis  zur  y  Achse  mit  t  Dann 
sind  in  obige  Determinante  folgende  Substitutionen  einzuführen: 

y  -B  «  sin  or,    r  —  e  «  /sin  a,    /" «  «  cos  a 

X  ~  r-|-«COScr,     c«-f-/y  =  r(e-f-2C08o) 

Hebt  man  die  Factoren  r  weg  und  zieht  die  dritte  von  der  ersten 
Golonne  ab,  so  wird: 


z  cos  a  2  sin  a  r  —  z  COS  a 

—  «sina  «cosa  r-f-^cosa 

«cosa — «sina    «sina-f-^scoso       2a8ina 


s  0  r  —  z  COS  o 
0  9  r-f-«cos« 
s     z  2z  sin  a 


=  0 


dar  kubischen  und  hiqwidratuehen  Gleichungen.  23 

Ffihrt  man  schliesslich  noch 

r 

t  « 

cosa 

ein,  80  folgt  die  letzte  Form  und  ihre  Answertang  in 

Z        0        t  —  M 

0      8      <  +  »  =*«+(«  — 2«tga)a«  —  A-j-ff»<=0  (7) 

»      s   2z\jga 

Aas  f,  8  und  a  lässt  sich  sofort  wieder 

r^-icosa,   /=«C08o,     6  — r — ^/sina  . 

durch  Constmction  herstellen. 

Der  Ansdrnck  (7)  kann  wieder  mit  der  allgemeinen  Form 

far  beliehige  Vorzeichen  von  a  und  c  verglichen  werden  nnd  liefert 
einen  immer  angehbaren  Winkel  o,  sowie  «  und  t  reell  durch  a,  b 
und  e  ausgedrflckt. 

Zum  Uebergang  auf  eine  reducirte  Gleichung  hat  man  wieder 
in  (7) 

t  =  2«tga    oder    r  «  2«sina  =  2(r  — c)    d.  i.    «  =*  s 

zu  spedalisiren  und  erhält  damit: 

«»—A-f-«««  «0  (IV) 

Zor  Anwendung  dieser  Gleichung  dürfte  sich  die  Anordnung  in  Fig.  7. 
eipen,  welche  aus  Fig.  6.  durch  Kechtsdrehung  um  den  Winkel 
(904- ff)  entstanden  ist  In  Fig.  7.  ist  also  die  y  Achse  Transversale, 
F  liegt  auf  der  x  Achse,  während  eine  Kreistangente  von  x  Achsen- 
Neigung  a  als  Leitgerade  L  auftritt  Bei  der  Construction  wird  man 
t  und  2<  auf  die  Achsen  von  O  aus  auftragen,  um  in  der  Verbin- 
dangslinie  der  erhaltenen  Punkte  die  Leitgerade  L  darzustellen.  An 
dieselbe  ist  der  Grundkreis  K  berührend  (aus  dem  Mittelpunkte  O) 
zn  besehreiben.    F  befindet  sich  im  Abstände  «  vom  Mittelpunkte. 

Die  bis  jetzt  erhaltenen  reducirten  Gleichungen  haben  als  charak- 
teristischea  Merkmal  den  negativen  Coefficienten  der  ersten  Potenz 
der  Unbekannten.  Damit  sind  also  alle  Fälle  erledigt,  die  unter  die 
Form 

gehören,  wobei  die  doppelten  Vorzeichen  des  letzten  Teiles  gleichen 
aber  entgegengesetzt   bezeichneten  Wurzeln   entsprechen.     Da  den 


24  haril:  Meehamseh'^raphisehe  Lögung 

absolnten  Werten  von  p  ond  q  keine  Schranken  gesetzt  sind,  so  ist 
aach  der  Fall  mit  zwei  gleichen,  und  der  irredncible  mit  drei  Ter* 
schiedenen  reellen  Wurzeln  miteinbegriffen.  Die  erhaltenen  Gleichun- 
gen haben  auch  das  Gemeinsame  der  vorauszusetzenden  Bedingung, 
dass  die  Abscisse  von  F  d.  i. 


zu  nehmen  ist 


r 
*  =  2 


Werden  unsere  Resultate  der  obigen  Form,  die  als  gegebene, 
aufzulösende  Gleichung  gilt,  gegenüber  gestellt,  so  bekommt  man  für 
die  Cotistruction  der  Grundfactoren  folgende  Werte  der  hiezu  nötigen 
Dimensionen,  und  zwar 

beiai)    y'-r^y+y-O,  r  «  Vp,    /-^-f* 

bei  (in)  ti^^fifi+fh-  =  0,  / «  Vp,     r^%-l 

bei  (IV)  8»  —  «««  4-  *««  =  0,  *  =  Vi',       «  =-  - 

Eine  zweite  besondere  Lage  der  Grundfactoren  geht  aus  der 
allgemeinen  hervor,  indem  man  F  in  die  x  Achse  versetzt.  Darnach 
ist  in  Gleichung  (1)  das  /=  0  zu  setzen,  wodurch  sie  übergeht  in 

n»— (2r— e)ctg<pn«+r(2e— r)n— r>6Ctg9  =0  (8) 

Diese  haben  wir  wieder  behufs  Elimination  von  n  mit  obiger  Glei- 
chung (2)  zusammenzuhalten. 

Die  einfachsten  hervorzuhebenden  Transversalschnitte  sind  auch 

hier  wieder 

für  «  =  0,  wodurch  n  ^  y 

einzusetzen  kommt.    Damit  werden  aus  (8)  die  folgenden: 

y«  — (2r-e)ctg9y«+r(26-  r)y  — r«ectg<p  =0  (9) 

•  I  *"  —  2«   ^        ,  ,  2r — e  .       r*^  ^  .  ,^^^ 

y'H ;— »•tgvy'H -— r«y  — -tg(p  =  0  (10) 

Von  diesen  ist  jedoch  nur  erstere  (9)  verwendbar  zur  Behandlung 
der  vollständigen  Gleichungen  von  der  Form 

y'+öy*+^y— «  =  o    ^^^    y^+oy*— Äy+c  =  o 

y*  — oy*+dy+c=i=0  y^-^ay^-^hy  —  c^z  0 


der  hMaeken  und  biquadratUchen   Gleichungen,  23 

Die  andern  Fälle  bei  positivem  b  sind  nur  bedingungsweise  za  lösen 
möglich.    Es  muss  nämlich  numerisch  genommen 

c"^  ab 

sein,  damit  das  r  aus  dem  Vergleiche  der  Coefficientenausdrücke  sich 
ergeben  kann.  Die  Ausdrücke  fttr  r,  e  und  ctg<p  durch  a,  b  und  c 
sind  überhaupt  weniger  einfach  zu  construiren  und  das  erste  allge- 
meine Yerfiihren  vorzuziehen. 

Bei  Specialisirung  von  e  «  2r  folgt  aus  (9) : 

y'  +.3r*y  —  2r «  ctg  <p  «  0  (V) 

r 

ond  bei  jener  von  ^  *»  h  aus  (10): 

y»+3r*y— 2r3tg<p  -  0  (VI) 

Diese  reducirten  Gleichungen  sind  für  complementäre  Winkel  q>  ein- 
ander gleich,  so  dass  für  «  »  2r  und  einem  bestimmten  <p  auf  der 

f  Achse  dieselben  Wurzelwerte  erscheinen  als   für  ^  *==  ö   und  dem 

Winkel  (90  —  <p)  auf  der  parallelen  Tangente  o;  »  2r.  Es  braucht 
demnach  nur  der  Ausdruck  (V)  weiters  berücksichtigt  zu  werden. 

Derselbe  löst  nun  die  reducirten  Gleichungen  Ton  der  Form 

y^+py±q  -=0 

mit  charakteristisch  positivem  p,  und  erhält  man  beim  Vergleiche  mit 
(Y)  sofort: 

Die  Gleichungen  dieser  Gruppe  haben  bekanntlich  bei  beliebigen 
numerischen  Werten  von  p  und  q  stets  eine  reelle  und  zwei  imagi- 
näre Wurzeln. 

Von  Interesse  ist  die  Ausnützung  der  Gleichung  (V)  zur  Auf- 
stellung eines  besonderen,  indirecten  Verfahrens  des  Kubikwurzel- 
ziehens aus  einer  beliebigen  reellen  Grösse,  das  gegenüber  dem  be- 
reits oben  durchgeführten  zweckmässige  Constructionsvorteile  gewährt. 

Graphisches  Kubikwurzelziehen. 

Zur  Einfachheit  der  Ableitung  des  Verfahrens  können  wir  im 
Fügenden  den  Grundkreisradius  r  »  1  setzen  und  erhalten  damit 

y*+3y  — 2ctgg)«0  (V) 


26  Bartl:  Mechanisch'graphische  Losung 

80  dass 

p  — 3,    g  —  2ctgg) 

wird.  Lösen  wir  diese  Gleichung  trigonometrisch  auf  und  nennen 
den  ersten  Hilfswinkel  %^  den  zweiten  t^,  so  folgt  bei  unseren  CoeflQ- 
cienten  p  und  q  nach  bekannten  Formeln: 

tgx«  tg<p   d.  i.    X  «  (p 
somit 

ctgt^«|/ctg| 

und  die  reelle  Wurzel 

tTj  =«  2ctg2t/; 

Setzen  wir  q>  in  der  Form 

ctgg-» 

unti  r  z  eine  beliebige  reelle  Zahl  verstanden,  voraus,  so  können  wir 
tTj  sehr  leicht  durch  das  mechanische  Verfahren  erhalten  und  kennen 
also  damit  t^.    Darnach  ist  in 

9 

Ctgtf;  «■  Va 

dio  verlangte  Kubikwurzel  gefunden. 

Es  ist  demnach  nur  nötig  die  Construction  so  anzuordnen,  dass 
man  bei  constantem  Grundkreis  und  unverändertem  ^  Fizpunkt  für 
beliebig  viele  gegebene  Zahlen  oder  Strecken  z  sowohl  die  Wurzel- 
werte einfach  finden,  als  auch  gleichzeitig  am  Resultate  eine  gra- 
phische Genauigkeitsprobe  anstellen  kann.  Diesen  Zweck  dürfte  das 
Arrangement  in  Fig.  8.  erfüllen. 

An  den  Grundkreis,  mit  dem  Radius  r  »  1  beschrieben,  ziehen 
wir  durch  den  Scheitel  O  die  Achse  der  y  oder  wie  sie  in  der  Figur 

bezeichnet  wurde,  als  jene  der  yz  und  durch  den  scharf  markirten, 
höchsten  Punkt  H  die  zur  x  Achse  parallele  Horizontalachse  der  z. 
O  und  H  sind  die  Anfangs-Zählpunkte  für  die  bezeichneten  Grössen 
ihrer  Achsen.  Nun  trage  man  auf  der  obern  Horizontal-Achso  von 
^  aus  -{-z  nach  rechts  und,  zum  Zwecke  der  später  durchgeführten 
Probe,  dasselbe  von  O  aus  auf  der  y  Achse  nach  abwärts  auf.  Her- 
nach lege  man  die  Tangente  durch  den  ersteren  Punkt  -{-z  zjk  den 
Kreis,  so  ist  damit  sofort  der  oben  definirte  Winkel  (p  bestimmt. 
Es  ist  also  nur  die  Leitgerade  L  durch  O  parallel  zur  letzten  Tan- 
gente zu  ziehen.     Zeichnet  man  überdies  an  den  Grundkreis  noch 

die  parallele  zweite  Tangente,  so  schneidet  diese  offenbar  —    von 

z 

H  aus  gerechnet  links  auf  der  Achse  ab.    Nun  „legen^^  wir  durch  F 


der  kubischen  und  biquadratisehen   Gleichungen,  27 

an  L  nnd  K  den  rechten  Winkel  „an^S   so  erhalten  wir  dnrch  den 

Tangentenschenkel  anf  der  y  Achse  sofort  in  Ow^  die  Strecke 
Vi  «  2  ctg  2^  markirt  Werden  schliesslich  znr  Verbindungslinie  icj^f 
die  parallelen  Tangenten  an  den  Kreis  gezogen,  so  liefern  diese  die 

8 

Strecken   ctg^  «  i?»  nnd  —  tgrf^  ""^Vz   *^^  ^^  ^  Achse.    Die 

Endpunkte  der  Strecken  sind  mit  ihren  Werten  far  den  Anfangs- 
zählpnnkt  O  benannt,  daher  obige  Bezeichnung  der  y  Achse.    Behufs 

B 

der  Genauigkeitsprobe  hat  man  den  Punkt  y«  mit  dem  Ereismittel- 
pnnkt  o  zu   verbinden  und  hiezu   die  Parallele  durch  den   untern 

Punkt  s  (der  y  Achse)  sowohl,  als  jenen  — 1/-    zu  ziehen,   welche 

anf  der  x  Achse  die  Strecken  -^^  und  l/-f ,  von  O  aus  gerechnet, 
abschneiden  müssen.     Ist  das  Resultat  genau,  so  muss  die  Yerbin- 

3  » 

dnngslinie  (y  2,  y«')  auf  diesen  eben  gezogenen  Parallelen  nun  auch 
genau  senkrecht  stehen.     Die  Parallele,  die  man  dann  durch  den 

Pnnkt  1/-|  zur  obbenannten  Verbindungslinie  zieht,    wird  auf  der 

jr  Achse   -  markiren,  von  dessen  Uebereinstimmung  mit  jenem  der 

z 

Horizontalachse  man  sich  zu  fiberzeugen  hat.  Da  durch  dieses  Probe- 
Terfahren  auf  der  x  Achse  die  Quadrate  der  Kubikwurzeln  erhalten 
worden,  so  ist  dieselbe  in  der  Figur  darnach  bezeichnet  worden. 

Jene  Pnnktc  der  Ebene,   welche  die  noch  fehlenden  complexen 

Werte  der  Kubikwurzeln  darstellen,  liegen  bekanntlich  für  alle  -f-a 

anf  den  beiden  Strahlen,  welche  mit  der  -^y  Achse  als  dritten  die 

Dreiteilung  des  vollen  Winkels  um  O  bilden  und  zwar  in  einer  Ent- 

3 
fernnng  von  O  gleich  dem  reellen  Werte  von  y«. 

Sind  die  gegebenen  Werte  von  z  numerisch  sehr  gross  oder  sehr 
klein,  so  wird   auch  q>  sehr  klein  und  L  für  das  „Anlegen"  des 

rechten  Winkels  ungünstig  ausfallen.    Mau  hat  dann  statt  z  nur  -33 

anfnitragen,  unter  n  eine  beliebige  rationale,  ganze  oder  gebrochene 
Zahl  >  1  verstanden  und  erhält  bei  günstiger  Wahl  von  n  immer 
gute  Verbältnisse  für  die  Ausführung  der  Construction.    Die  daraus 

•» 
■« 

eriialtene  Wurzel  ist  dann  der  nte  Teil  von  y^.  Aber  auch  bei 
Werten  von  z,  die  sehr  nahe  der  Einheit  sind,  wird  eben  q>  sehr 
nahe  an  90^  und  das  Verfahren  wieder  unsicher,  und  wird  man,  um 
dem  auszuweichen,  den  Coefficienten  n  <1 1  zu  nehmen  haben. 


28  ßmrtlz 

AsBerkaiif.  Mit  dem  graphischen  Kvbihwrzelzielieii  sind 
die  Ltamgen  mincfaer  Anigaben  was  der  Stavooi^rie  ver- 
kräpft:  so  die  Yervandlongen  Ton  Polyedern  in  inhalts- 
gleiche  Wfirfel,  das  Termllgemeineite  Deli'sche  Problem  der 
Bestimmnng  einer  Dimension  jenes  fra^ichen  Körpers, 
welcher  bei  beliebig  nonnirtem  Inhsltsrerhiltaiss  einem 
gegebenen  Körper  fthnlich  sei,  n.  &  w. 

Ans  den  Tafeln  folgert  man  leicht  die  näherangsweisen 
tr^onometrischen  Tangenten  der  Centrivinkel  einer  7,  11 
nnd  13  Teilnng  des  Kreisnmfangos  mit  nachstehend  ange- 
gebenen linearen  Fehlem  der  Teilnngssehnen: 

360        *  1 

Es  ist  tg  ^=-  =  >  2      bei  einem  Sehnenfehler  Ton  4"  ^7 

360  _  j  Vi  _  _L 


M      r* 


360      1  /l 
^13  =[7 


360      1  /l  _    1_ 


Die  Badicanden  sind  eben  inr  die  Anwendung  bei  beliebigien 
Kreisen  ohne  Voranssetznng  eines  Massstabes  leicht  herzn- 
stdlen. 

den  Tollständigen  kubischen  Gleichungen  vurde  noch   aof 

einen  besonderen  Transrersilschnitt  hingewiesen,  der  dort  durch  die 

Gleicinng 

a<«+/ctg<p)+f(/— «ctgv)  «  1 

chaiakterisiit  ist  und  ftr  ■  als  Substitutionsweit  in  (1)  ergab: 

■  «-/— «ctgv+jr+xctgv 

Für  unsere  Spedalisirang,  wo  F  auf  der  x  Achse  üegt,  hat  man 
für  die  Tiansrersale,  da  jetEt/=  0  ist,  die  Gleichung 

y  »xtg^ 

d.  L  aber  unsefe  Leitserade  L  selbst. 


Nennen  wir  die  Strecken,  die  auf  derselben  durch  die  Scheitel- 
punkte  der  anzulegenden  rechten  Winkel  —  gezählt  Tom  ürsprong 
—  maikirt  werden,  x,  so  hat  man  zunächst  zu  setzen 


und  erhält  damit 

M  —  eC0S9 

m  ■= ;^ 

sm^ 


der  kubischen  und  biquadratischen  Gleichungen.  29 

Für  die  folgenden  Betrachtungen  wollen  wir  die  bisherige  posi- 
tive mit  der  negativen  Seite  der  x  Achse  vertauschen,  haben  also  in 
obiger  Gleichung  (8)  das  +r  durch  —r  zu  ersetzen,  wodurch  sie 
übergeht  in 

n»-f  (2r+e)  ctg  <pn«—r  (2«  4- r)n  —  r«6  ctg  go  —  0  (8') 

Entwickelt  man  von  dem  Substitutionsresultate  der  Grösse  n  nur 
die  Teile  mit  z^,  so  lassen  sie  sich  in  den  Ausdruck  zusammenziehen 


2cos(p 
8in^<qp 


r-.-3  "  (r  —  e)  z^ 


woraus  man  die  weitere  Bedingung 

t  »  -f-r 

entnimmt,  für  welche  der  Ausdruck  des  Transversalschnittes  sich  in 
einer  reducirten  kubischen  Gleichung  darstellen  wird.    Darnach  ist 

in  (8')  zu  setzen  für 

z  —  r  cos  qp 

n  a= ; 

sin^y 

Nach  leichten  Reductionen  folgt  der  einfache  Ausdruck 

aj3  __  3^8g  ^  2r»  cos  g)  =  0  *)  (VII) 

der  mit  der  allgemeinen  Form 

verglichen  für  r  und  q>  die  Werte 


r~Vl.     -,-||/|-VW^ 


*)  Kurzer  als  durch  alle  diese  Specialisirangen  erh&lt  man  diesen  Ans- 
druck  durch  die  Anffassnng,  dass  die  Strecken  x  nichts  anderes  sind  als  die 
R^idieoTectoren  fUr  die  Punkte  der  durch  Grundkreis  und  Fixpunkt  F  gege- 
benen Ereisfusspunktscurve  bezogen  auf  ein  Folarcoordinatensystcm.  Die 
PoUracbse  desselben  Terbindet  den  Kreismittelpunkt  mit  F  dem  Mittelpunkt 
der  Lotstrahlcn,  and  der  Pol  des  Systems  ist  der  Schnittpunkt  dieser  Geraden 
mit  dem  Kreise.  Fftr  ein  rechtwinkliges  Achsensystem  mit  dem  Pol  des  obi- 
gen Systems  als  Ursprung  und  der  Polnrachse  als  positiver  Seite  der  x  Achse 
viid  die  Gleichung  der  Kreisfusspunktscurre  bekanntlich 

!y  +  («-«)']r»  =  |>»+(*+r)(a!  -«)]» 

voraus  durch  Uebergang  auf  das  Polarsystem   (z,  tp)  die  Polargleichung  — 
Bit  obiger  fibereinstimmend  —  sich  in 

«'— 3r*aj-|"2«^COSg)  «=  0 
effibt. 


30  Bartl:  Meckanisch'graphischa  Lösung 

liefert    Daraus  erkennen  wir  aber  sofort  die  Einschränkung  in  den 
Worten  der  Coefficienten  durch  die  Bedingung 


(i)>(i)' 


wenn  ein  Winkel  q>  möglich  sein  soll.  Obiger  Ausdruck  (YII)  eignet 
sich  daher  ansschliesslich  zur  Behandlung  des  irreduciblen  Falles 
der  reducirtcn  kubischen  Gleichungen.  In  Folgo  des  einfachen  Zu- 
sammenhanges dieses  Falles  mit  der  „Dreiteilung  des  Winkels^'  kann 
die  erhaltene  Gleichung  (VIT)  mit  Vorteil  zur  Behandlung  dieses 
Problems  ansgeniltzt  werden. 


Trisection  des  Winkels. 

Setzt  man  wieder  den  Grundkreisradius  r  »  1  und  führt  den 
Winkel  «  =  180— 2<p  ein,  so  geht  (VII)  über  in 

a«-3z+2sin^  =  0  (VII') 

(— -a)  ist  dann,  wie  aus  Fig.  9.  ersichtlich,  nichts  anderes  als  der 
Centriwinkel  des  Grundkreises,  der  über  jenen  Bogen  aufsteht,  den 
die  Leitgerade  mit  der  Neigung  q>  von  diesem  Kreise  abschneidet 
Darnach  sind  die  Wurzeln  dieser  Gleichung  nach  der  bekannten 
trigonometrischen  Lösung 

«?!■=-—  chord  ( — ö —  I ;     m',  =•  chord  « ;     w^  «  chord  I — ^ —  1 

Wir  erhalten  demnach  direct  von  einem  Winkel  a  die  Sehnen 
seines  dritten  Teiles,  des  Drittels  seines  Ezplemeutes  und  des  um 
einen  ganzen  Umfang  vermehrten  Winkels  —  für  den  Grundkreis. 
Da  alle  drei  Wurzeln  der  reducirten  kubischen  Gleichung  in  diesem 
Falle  reell  sein  müssen,  so  kann  für  den  ungünstigen  Fall  einer  sich 
ungenau  ergebenden  Wurzel,  dieselbe  nach  der  algebraischen  Summe 
der  beiden  anderen  corrigirt  werden. 

Verlängert  man  den  schiefen  Schenkel  von  o  über  den  Mittel- 
punkt hinaus,  so  erhält  man  von  der  positiven  x  Achse  an  gerechnet 
den  Winkel  180  — a,  der  nun  ebenso  behandelt  werden  kann,  wie 
früher  a,  so  dass  der  zugehörige  Winkel  q>  jetzt  in  (90 -^q>)  über- 
ging. Dann  erhalten  wir  auf  der  neuen  Leitgeraden  L\  welche  den 
Endpunkt  des  Winkel-Schenkels  (180— er)  mit  O  verbindet,  offenbar 
sofort  durch  „Anlegen"  des  rechten  Winkels  die  Wurzelwerte  der 
Gleichung  (VIF)  für  diesen  Winkel  in 


der  htbuehen  und  biqvadratischen   Gleichungen.  31 

tfj' «  chord  I — ^ — j ;    wg'«  —  chord  I — ^ —  1 

tr,'«  —  chord  ( — g^  j 

Um  weitere  Eigenschaften  der  Figur  nachzuweisen,  denke  man 
sich  in  einem  Halbkreise  des  Grundkreises  aus  den  Endpunkten  sei- 
nes Durchmessers  die  erhaltenen  Wurzelwerte  w  und  tr'  als  Sehnen 
aufgetragen,  so  müssen  folgende  Paare  dieser  Werte  als  (rechtwink- 
lige) Sopplementarsehnen  sich  zusammenfügen,  nämlich 


chord 


chord 


(180  — gl    und    chord ö  d.i.  w^    und  w^ 

(120-fg)      „     chord  (eo-^)     „    IT,    „    ,v 


^i    «    ^^t 


chord  (120-^)      „     chord  (eo  +  g)      „ 

aod  die  Winkel,    welche  dann  diese  Supplementarsehnen  mit  dem 
Duthmesser  bilden,  müssen  dann  beziehungsweise  sein 

für  if/  Winkel   g,  für  wg      (90  —  ^j 

„  1^3       „       (30  +  ^),     „  y^z     {^^t) 

Da  aber  in  unserer  Figur  die  beiden  Leitgeraden  L  und  L'  auf- 
eioander  senkrecht  stehen,  ferner  von  O  aus  auf  denselben,  vermöge 
des  mechanischen  Verfahrens,  die  in  Rede  stehenden  Wurzelwerte 
bis  zu  den  gleichbezeichneten  Punkten  gerechnet,  abgeschnitten  er- 
balten werden,  so  müssen  umgekehrt  die  von  F  ausgehenden  Schen- 
kel der  „angelegten^^  rechten  Winkel  zwischen  den  rechtwinkligen 
Iieitgeradenachsen  L  und  L^  Strecken  gleich  dem  Durchmesser  des 
Gnmdkreises  aufweisen,  das  heisst,  man  hat 


Qod  die  Winkel  in  den  entstandenen  rechtwinkligen  Dreiecken,  deren 
Kitheten  die  besagten  Wurzelwerte  sind  und  deren  Hypotenuse  stets 
gleich  2r  vom  Grundkreise  ist,  müssen  die  in  der  Figur  eingezeich- 
neten Werte  haben,  welche  aus  obiger  Zusammenstellung  zu  ent- 
Behmen  waren. 


32  Barth  Mechanisek^graphische  LOsuiiff 

Aas  den  Dreiecken 

(jP,  O,  beziehungsweise  u\^  irj,  irg,  w^^  ir^'i  ^9) 

entnehmen  wir  mit  Rücksicht,  dass  <p  =  90— 5  ist,    die   Neigungen 

der  aas  F  ausgehenden  Schenkel  der  „angelegten"  rechten  Winkel 
zur  X  Achse,  die  in  der  Figur  eingezeichnet  wurden.  Die  zu  ihnen 
parallel  gezogenen  Kreisdurchmesser  verbinden  die  Berührungspunkte 
paralleler  Tangentenschenkel  und  sind  zugleich  Teilungslinien  für  die 
Trisection  der  Winkel 

(180  — o)  und  (360+ «),  dann  (360  — a)  und  (180 +  a), 

endlich  (540— a),  a 

von  denen  w  und  w'  die  Sehnen  ihrer  dritten  Teile  sind.  Das  Ver- 
fahren bietet  gewiss  ausreichend  viele  Geuauigkeitsproben. 

Die  Anordnungen  in  Fig.  10  und  11  sind  für  die  Trisection  be- 
liebig veränderlicher  a  und  ihrer  Supplemente  getroffen,  wenn  zu- 
gleich sämmtliche  Teilungslinien  direct  durch  das  „Winkelanlegcn^^ 
sich  ergeben  sollen.  Dazu  bedarf  es  dreier  Leitgeraden  durch  O. 
Die  erste  L^  geht  parallel  zum  schiefen  Schenkel  des  gegebenen 
Winkels ;  die  beiden  anderen  L^y  L^  beziehungsweise  durch  die  End- 
punkte P29  Ps  c^ncs  zu  !•]  parallelen  Kreisdurchmessers. 

Zu  den  Yerfahrungsweisen  des  graphischen  Kubikwurzelzieheus 
und  der  Trisection  des  Winkels  möge  die  Bemerkung  gestattet  sein, 
dass  nach  verzeichneten  Grund  factoren  zur  mechanischen  Lösung  der 
Aufgabe  der  Gebrauch  des  Zirkels  entfällt  und  lediglich  nur  „Winkel- 
anlegen'' und  Parallelverschiebungen  angewendet  werden,  was  zar 
Raschheit  der  Ausführung  beiträgt. 

Dass  sich,  sowie  aus  den  letzten  reducirten  Gleichungen  (Y)  und 
(VII)  auch  aus  den  früheren  (II)  bis  (IV),  Constructionsverfahren  für 
das  Kubikwurzelziehen  und  die  Trisection  des  Winkels  ableiten  Hes- 
sen, zeigen  die  Ausdrücke  der  trigonometrischen  Lösung  jener  Glei- 
chungen. £ben  daraus  wird  man  aber  auch  erkennen,  dass  die  aus 
diesen  Ausdrücken  folgenden  Constructionen  niemals  so  einfach,  als 
die  oben  durchgeführten  sich  gestalten  können,  weshalb  deren  Auf- 
stellung nur  ein  müssiges  Unternehmen  wäre. 

Anmerkung.  Eine  Trisection  von  (p  =  120®  führt*  zur  9  Tei- 
lung des  Kreisumfangs. 

Nützt  man  ferner  eine  ältere,  bekannte  Constraction  der  nähe- 
mngsweisen  Verzeichnung  eines  regulären  11  Eckes  aus  einer  Seite, 
welche  auf  die  6  Teilung  des  Winkels  von  60®  basirt  ist,  entsprechend 


von 


der  kubischen  und  biqu<idratischen  Gleichungen.  33 

ans  and  umformt  dieselbe,  so  ergibt  sich  die  in  Fig.  13.  dargestellte 

nüheningsweise  Teilung  des  Kreisumfanges  in  11  gleiche  Teile.  — 

r 
Der  mit  »  zum  gegebenen  Kreise  concentrisch  beschriebene  E  ist 

Gnindkreis,  F  Fixpankt  und  L  Leitgerade,  welch  letztere  die  ver- 
längerte Sehne  des  Geutriwinkels  von  75^  ist  „Legt'^  man  an  diese 
Grnndfactoren  den  rechten  Winkel  „an^S  so  trifft  dessen  Tangenten- 
Bcheukel  den  unter  30^  gezogenen  Kreisdurchmesser  in  d  und  die 
VerbiDdnngslinie  dF  schneidet  auf  dem  Kreise  vom  Anfangspunkte  A 
gerechnet  den  angenäherten  11  ten  Teil  des  Kreisumfanges  ab.  Eine 
einfache  Berechnung  ergab  einen  linearen  Sehnenfehler  der  Näherung 

V     22öj 

Sieht  man  in  obiger  Fig.  9.  die  beiden  Leitgeraden  L  und  L^ 
als  rechtwinkliges  Achsenpaar  der  Ebene  an,  so  ist  F  ein  beliebiger 
Punkt  in  einem  Quadranten,  und  in  der  Figur  ist  die  Lösung  fol- 
gender planimetrischer  Aufgage  gegeben: 

„Durch  einen  gegebenen  Punkt  sind  drei  Gerade  so  zu  ziehen, 
dass  sie  innerhalb  rechtwinkliger  Achsen  gleiche  Strecken  von  der 
Länge  der  doppelten  Entfernung  des  Punktes  vom  Achsenmittclpunkt 
anfjreisen." 

Die  Halbirungspunkte  jener  Strecken  liegen  auf  einem  Kreise, 
der  ans  O,  durch  F  gehend,  beschrieben  wird.  Verbindet  man  einen 
derseiben  mit  O,  so  ergibt  sich  durch  Betrachtung  der  Winkel,  die 
in  dem  rechtwinkligen  Dreieck  auftreten,  das  aus  den  Achsen  und 
der  betreffenden  Strecke  gebildet  wird,  der  Zusammenhang  unserer 
Aufgabe  mit  jener  der  Trisection  des  Winkels  LOF. 

Zu  den  Fig.  10  und  11  kann  man  noch  die  Bemerkungen  machen, 
dass  sich  die  Tangentenschenkel  der  obern  und  untern  rechten  Winkel 
bei  Anwendung  von  L^  beziehungsweise  mit  den  Fixpunktschenkeln 
der  rechten  Winkel  bei  den  Benutzungen  von  L^  und  Z^  respective 
in  den  Punkten  u  und  v  schneiden,  welche  auf  dem  Kreisdurchmesser 
—  der  Neigung  a  gegen  die  x  Achse  —  liegen  müssen.  Diese  Be- 
dinpng  kann  als  Genauigkeitscontrolle  des  Verfahrens  dienen.  Es 
wird  genügen  dieselbe  an  Fig.  10.  und  Punkt  u  nachzuweisen. 

Durch  Anwendung  der  Leitgeraden  L^  ist  der  Winkel  (IW)  in 
der  Linie  (2'o)  halbirt  worden.  Zu  letzterer  ist  der  Fizpunktschenkel 
der  an  £3,  ^,  JT  „angelegten^^  rechten  Winkel  parallel,  somit  hat  man 


oi  II  Ol'  II  Fu  und  wegen  0F-=  oO  auch  ul'—  Vt 
Demnach  ist 

Arek.  4.  lUih.  a.  Phya.    2.  Beihe,  Teil  I.  3 


34  Barth  Methanuch'grapküche  Lösung 

Wkl.  (ttol')  «  Wkl.  {Vot\  also  Wkl.  {w>x)  «  S.Wkl.  (2'at) 

oder  die  Linie  uo  mnss  mit  dem  Schenkel  Bo  des  gegebenen  Winkels 
zusammenfallen,  d.  h.  der  durch  den  Fixpnnktschenkel  des  rechten 
Winkels  bei  Anwendung  von  X,  auf  der  Tangente  in  2'  erhaltene 
Punkt  ,y*  auf  Bo  liegen. 

Man  kann  demnach  die  zweiten  Teilungslinien  auch  aus  u,  v 
oder  1',  1  ableiten  durch  die  Parallelen  zu  Fu^  VO  rcsp.  Fr,  10, 
aber  damit  werden  eben  die  Teilungslinien  nicht  von  einander  un- 
abhängig erhalten  wie  bei  Anwendung  von  L^  und  L^. 

Mit  unseren  Hilfsmitteln  sind  wir  auch  im  Stande  die  Werte  der 
Kubikwurzel  einer  gegebenen  complexen  Zahl  darzustellen.  Es  ist 
dies  in  Fig.  13.  durchgeführt 

Es  sei  eine  complexe  Zahl 

gegeben  und  der  Punkt  der  Ebene,  welcher  sie  repräsentirt,  gleich 
bezeichnet.  Dann  kommt  die  Aufgabe  der  Darstellung  der  Kubik- 
wurzeln aus  dieser  Zahl  darauf  hinaus,  zwischen  dem  Anfangspunkte 
y  » -|- 1  und  dem  Punkte  P  gebrochene  Linienzüge  mit  2  Ecken  so 
einzuschalten,  dass  die  drei  aufeinanderfolgenden  Dreiecke,  welche 
respective  von  den  Seiten  des  Linienzuges  und  den  Vcrbindungs- 
strahlen  der  Ecken  sowie  der  Punkte  (-|- 1)  und  P  mit  dem  Mittel- 
punkte O  gebildet  werden,  einander  ähnlich  sind.  Hiebci  sind  die 
Seiten  des  Linienzuges  zu  einander,  sowie  jene  Yerbindungsstrahlcn 
einander  homolog.     Der   erste  Eckpunkt  eines   solchen  Linienzuges 

—  von  +1  gerechnet  —  stellt  dann  Vi'  —  pj,  pt^  Ps,  der  zweite 

s 

-^  p*  ^  p^^  p^\  p^  dar.    Es  ist  möglich  diese  Bedingung  der  Linieu- 

züge  auf  dreifache  Weise  zu  erfüllen,   die  den  drei  Wurzclwertcn 

entsprechen.    Was  zunächst  die  Mittelpunktsstrahlen  anbelangt,  auf 

denen  die  dieselben  darstellenden   Punkte    liegen   müssen,   so   wird 

durch  jene  der  Werte  p,,  pi'  der  Winkel  yOP=^q>  in  drei  Teile 

geteilt,  wie  es  der  Bedingung  entspricht.    Um  die  Strahlen  für  die 

beiden  andern  Werte  zu  erhalten  sind  die  dritten  Teile  des  einmaligen 

27C  4xc 

und  zweimal  genommenen  Umfangs  d.  i.  -ö-  und  -^    zweimal   nach- 

<p  2qp 

einander  an  k  und  -»-  anzufügen.  Die  Entfernungen  der  fraglichen 
Punkte  von  O  ergeben  sich  aber  als 

^OP^  Opi'^  Opi=  Op^   und  VoP*  «  Op,*  =  Op^^  =  Op^* 
d.  h.  sind  auf  den  Kreisen  der  Punkte  pi,  p,'  gelegen. 


der  kubischen  und  biquadratUchen  GUiehungen,  35 

Sacht  man  dieselben  Wnrzelwerte  zur  conjngirten  Zahl 

Ton  P,  80  erkennt  man  sofort,  dass  sich  anch  zn  jedem  der  früheren 
Werte  ein  coi^ngirter  findet,  d.  h.  zn  jedem  Eckpunkt  der  Linienzüge 
ein  ihm  symmetrischer  bezüglich  der  y  Achse  als  Symmetrale. 

Denkt  man  sich  die  beiden  coigagirten  Zahlen  P  und  P'  als 
Badicanden  für  die  Wnrzelansdrücke  der  Cardanischen  Anflösnngs- 
fonnel  einer  kubischen  Gleichung,  so  müssen  znr  Bildung  der  reellen 
Wurzeln  dieser  Gleichung  bekanntlich  die  einander  coigugirten  En* 
bikwurzelwerte  für  P  mit  jenen  für  P'  zusammen  geuommen  werden* 
Dies  gibt  die  doppelten  reellen  Grössenteile  solcher  Wertepaare.  Wir 
können  aber  die  Wurzeln  einer  solchen  GleichuDg  direct  durch  unser 
mechanisches  Verfahren  erhalten ,  indem  wir  den  Kreis  durch  p^^  p^^ 

p^  als  Grundkreis,  F  in  der  Distanz  ÖP«  2^  ^  20A  als  Fix- 
ponkt  und  die  durch  A  zum  Strahle  OF  parallel  gezogene  L  als 
Leitgerade  nehmen,  worauf  die  mit  den  durch  p^^  p^  und  p^  erhalte- 
nen Werte  Aw^^  AtP2  QQd  Aw^  übereinstimmen.  Dieser  Fall  kann 
eben  als  ein  Beispiel  für  die  gegenseitige  Prüfung  der  Fundamental- 
Constructionen  des  Kubikwurzelziehens  und  der  Trisection  des  Win- 
kels gelten. 

Man  könnte  nun  auch  jede  reducirte  kubische  Gleichung 

bei  beliebigen  Vorzeichen  und  numerischen  Werten  von  p  und  g, 
überhaupt  durch  die  Construction  der  Cardanischen  Formel  lösen  und 
hüte  nur  die  Kubikwurzeln  aus  den  Werten  der  Unbekannten  von 

ZU  bestimmen  und  die  drei  Werte  der  ersten  mit  jenen  der  zweiten 
entsprechend  zusammen  zu  nehmen.  Die  beiden  reellen  geben  auch 
die  reelle  Wurzel  der  kubischen  Gleichung.  Um  auch  die  imaginären 
zu  erhalten,  dürfen  nur  jene  complexen  WertQ  der  Kubikwurzeln 
zusammengefasst  werden,  deren  Product  gleich  jenem  der  reellen 
Werte  ist.  Auch  diese  Untersuchung  kann  bekannter  Massen  gra- 
phisch yorgenommen  werden. 

Aber  sowol  letzt  erwähnte  Auflösungsart,  als  etwa  jene  der  Con- 
Btniction  der  Wurzelausdrücke,  wie  sie  sich  aus  einer  trigonometri- 
schen Lösung  der  kubischen  Gleichungen  ergeben,  empfehlen  sich 
weniger,  als  jene  im  Texte  durchgeführten,  die  einfacher  zum  Ziele 
fUiren. 


36 


Bartli  Äfechanisch-graphische  Lösung 


Behandlang  der  biquadratischeD  Gleichungen. 

Sollen  wir  darch  Transversalschnitte  von  den  vier  gemeinsehaft- 
iichcn  Kreis-Parabel-Tangenten  die  Wurzelwerte  einer  biquadratischen 
Gleichung  erhalten,  so  können  wir  ein  Achsensystem  in  Bezug  auf 
Grundkreis  und  Fixpunkt  ganz  ebenso  wie  bei  den  kubischen  Glei- 
chungen wählen,  wobei  wir  dieselbe  Bezeichnung  der  Grössen  bei- 
behalten, und  nur  der  Leitgeraden  L  haben  wir  eine  allgemeine,  durch 
keine  Bedingung  eingeschränkte  Lage  zu  geben.  Die  Lagenverbält- 
nisse  der  Grundfactoren  zeigt  darnach  (Fig.  14.),  in  welcher  L  auf 
der  y  Achse  -{-k  abschneidet  und  unter  q)  gegen  die  x  Achse  geneigt 
ist.    Ihre  Gleichung  wird 

y  —  xtgq)  —  k  =  0. 

Damit  ändert  sich  die  dritte  Zeile  der  bei  den  kubischen  Glei- 
chungen aufgestellten  Bedingungsdeterminante  auf 

I  1,    — tggp,    —Ä;  I 

und  die  Determinante  geht  über  in: 


1 

n 

'            -1 

1 

17t 

-1  (f   /) 

1 

—  tgcp         — & 

1 

n 
m 

—  n 

n 
m 

—  1 

(.-, 

1 

— tgqp 

—  k 

-) 


n 


m 


+  tg^ 


k  —  n 


m  tn 


=  0 


Da  der  Bedingung  einer  Kreistangente  gemäss 


n 
m 


n 


«  — ^« 


2m 


sein  muss,  und  wir  kürzehalber  (&  —  /*)  =  d  nennen  wollen,  so  ergibt 
die  Auswertung  von 


(n«  —  r«)  +  2rn  tg  9  2m{k  —  n) 

(n«--r«)tg9  — 2m     (n«  — r«)^4-2erw 


0 


die  nach  n  geordnete  Gleichung,  die  wir  wegen  Beibehaltung  des 
y  Achsenschnittes  gleich  in  y  schreiben  wollen: 


der  kubüchen  und  biquadraiischen  Gleichungen.  37 


2 


(VIII) 


Behufs  Behandlang  der  vollständigen  biquadratischen  Gleichung 

in  welcher  wieder  nnter  a,  b,  c  und  d  nicht  die  numerischen ,  son- 
dern auch  die  Qualitätswerte  der  Coefficienten  verstanden  sein  sollen, 
bat  man  die  letztern  den  entsprechenden  von  (YIII)  gleichzusetzen 
und  erhält  vier  Gleichungen  für  die  5  Grössen  r,  ö,  q>,  e  und  f^ 
Tobei  wir  wieder  r  willkürlich  annehmen  können.  Das  erhaltene 
Gleichnngssystem  ist  ohne  Schwierigkeiten  aufzulösen  und  ergibt 
folgende  rationalen  Werte  der  obigen  Bestimmnngsgrössen: 

ö  =  — j j    und     tg9  =  -7 — i — -ST 

während  e  and  /  wieder  durch  die  Gleichungen 

r{c + ar^)  /+  2(d  —  r*)c  =-  r[3d  —  r^{b  +  r«)]  (g) 

2(d  —  r*)  /—  r(c + ar^)e  —  —  2r«c  (g') 

sich  darstellen  lassen. 

In  einem  concreten  Falle  wird  man  nach  Annahme  von  r  wieder 
zunächst  F(e^f)  durch  den  Schnitt  der  beiden  auf  einander  stehen- 
den, durch  (g)  und  (g')  repräsentirten  Geraden  g  und  g'  bestimmen, 
meranf  sucht  man  6  und  findet  k  -«/-|-d,  durch  welchen  Pnnkt  der 
y  Achse  —  wie  aus  tgtp  ersichtlich  —  die  Leitgerade  L  parallel, 
respcctive  senkrecht  zu  den  symmetrischen  Linien  der  g  beziehungs- 
weise g'  für  die  Goordinatenachsen  als  Symmetralen,  zn  legen  sein 
wird.  Die  Geraden  g  und  g'  werden  aber  am  einfachsten  durch  ihre 
Achsenschnittpnnkte  angegeben,  wobei  zu  beachten  ist,  dass  sie  auf- 
einander senkrecht  stehen.  Die  Werte  für  diese  Achsenabschnitte 
sollen  noch  fOr  vollständige  und  reducirte  Gleichuijgen ,  bei  allge- 
meinem r  and  für  r  »  1  im  Folgenden  angeführt  werden : 

A.    Vollständige  biquad.  Gleichnngen. 
r  allgemein  und  r  ==»  1 

0'  -        2(J-r*)  "^     ^y     ~  c'+ar* 
,  2rc  ,    — cr^ 


38  Bartl:  Mechanüeh^grapfusche  Lösung 

M—  (5  +  1)  Sd—jb  +  l) 

^* 2(rf-l)         ^^'^        a  +  c 

2e  ,         — c 

B.    Redacirte  biqnad.  Gleichungen. 
3d  — r»(Ä  +  r«)  3d  — r«(6  +  r«) 


fl'« 


2(rf-.r*)      •■    ^' 


3d  — (d  +  1)  3€i—(ft  +  l) 

^'  •"     2(d-l)  ^*  ""  c 


Nachdem  im  Allgemeinen  die  Auffindung  der  reellen  Wurzeln 
durch  das  mechanische  Verfahren  ermöglicht  ist,  werde  noch  zur 
.Vervollständigung  jene  der  imaginären  Wurzeln  besprochen.  Das 
Vorhandensein  von  solchen,  wollen  wir  consequenterweise  auch 
graphisch  ermitteln.  Zu  dem  Zwecke  verzeichne  mau  sich  separat 
eine  möfrlichst  genaue  Parabel  P,  die  für  Untersuchung  beliebig 
vieler  Fälle  genügt.  Aus  den  gegebenen  Gleichungen  leite  man  die 
Grundfactoren  her,  und  aus  diesen  übertrage  man  den  Grundkreis  K 
ähnlich  so  in  die  Figur  der  Parabel  P  nach  A;,  wie  er  gegenüber 
jener  durch  Leitgeraden  L  und  Fixpunkt  F  bekannter  Massen  ge- 
gebenen Parabel  im  Systeme  der  Grundfactoren  gelegen  ist  Ein 
Blick  auf  k  und  P  belehrt  uns,  ob  4  reelle  oder  1  Paar  oder  2  Paare 
imaginärer  Tangenten  zwischen  diesen  Gebilden  gemeinschaftlich  zu 
legen  möglich  sind.  Dem  entspricht  dann  auch  das  Vorhandensein 
eben  solcher  Wurzeln  der  betreffenden  biquadratischen  Gleichung. 

Ist  ein  Paar  imaginärer  Wurzeln  vorhanden,  so   ist  ihre  Auf- 
suchung bekanntlich  eine  Aufgabe  2ter  Ordnung. 

Es  sei  das  Trinom 

d.  i.  dem  Producte  der  Wurzelfactoren  der  erhaltenen  reellen  Wur- 
zeln tTj  und  tr^,  wobei  also 


m 


—  («?,  -j-  tr,),     n  —  tc^w^ 


der  kuhisditn  und  hiquadratischen  GUichungen.  39 

wird,  80  ist  das  gegebene  Gleichungspolynom  durch  dieses  Trinom 
teilbar  and  der  Quotient  wird  einfach 

y*-f  (a  —  TO)y  +  -  =  0 
da  in  Folge  der  Yoraassetznng  dann 

n(a  — »»)  «=  c  —  m-     und    d  «•  a[(Ä  —  n) — m(a  —  m)] 

werden  muss.  Der  gleich  Null  gesetzte  Quotient  liefert  aufgelöst  die 
fehlenden  imaginären  Wurzeln  —  wie  es  bei  den  kubischen  Glei- 
chungen der  Fall  war  und  durchgeführt  wurde.  Man  kann  aber 
aach  —  ganz  in  derselben  Weise  wie  dort  —  die  Ermittlung  der 
imaginären  Wurzeln  auf  jene  der  imaginären  Doppelpunkte  einer  auf 
der  Transversalen  yO  auftretenden  Punkteinvolution  zurückführen, 
wobei  im  Allgemeinen  der  Contingenzpunkt  der  reellen  Tangenten 
nicht  mehr  auf  der  Transversalen  zu  liegen  kommt  Die  Anführung 
eines  Beispieles  kann  wegen  der  völligen  Gleichförmigkeit  mit  jenem 
bei  den  kubischen  Gleichungen  erledigten  Falle  hier  füglich  unter- 
bleiben. 

Sind  nun  2  Paare  imaginärer  und  zwar  ungleiche  Wurzeln  vor- 
handen,  so  ist  dies  der  einzige  Fall,  der  sich  direct  nicht  behandeln 
lässt. 

Man  wird  der  Ermittlung  eines  solchen  Wurzelpaares  durch  die 
m&hsam  aufzustellenden  Gleichungen  für  u  und  v,  die  sich  aus  dem 
SubstituüoDsresultate  von  y  =  U'\-iv  nach  Trennung  der  reellen  und 
imaginären  Teile  ergeben  —  jedenfalls  das  Zurückgehen  auf  die  be- 
kannte kubische  Besolvente  vorziehen.  Neunen  wir  die  Wurzeln  der 
letzteren  z^y  z^  und  «3,  so  lässt  sich  die  reelle  durch  das  mechanische 
Verfahren  finden,  woraus  sich  die  beiden  imaginären  bekanntermassen 
ableiten.  Zur  Aufstellung  der  Wurzelwerte  der  biquadratischen  Glei- 
chung sind  die  Quadratwurzeln  aus  obigen  Werten  nach  dem  Schema 

zusammenzunehmen,  wobei  entweder  die  oberen  oder  die  unteren 
Zeichen  des  letzten  Teiles  gelten,  wenn  der  Goefficient  der  ersten 
Potenz  der  Unbekannten  jener  aus  der  gegebenen  vollständigen  biqua- 
dratischen Gleichung  abgeleiteten  reducirten  entweder  positiv  oder 
resp.  negativ  ist. 

Sind  die  beiden  Paare  der  imaginären  Wurzeln  aber  gleich,  so 
ist  deren  Aufsuchung  eine  Aufgabe  2ter  Ordung,  die  später  noch 
einmal  berührt  vrird. 


40  Bartl:  Mechcmüch-graphische  Lösung 

Noch  besonders  zq  besprechen  sind  die 

Fälle  mit  gleichen  Wurzeln. 

Durch  die  Behandlung  dieser  Fälle  für  biquadratische  Gleichungen 
sind  offenbar  auch  jene  der  kubischen  erledigt,  von  denen  betreffen- 
den Ortes  nur  das  analytische  Kennzeichen  ihres  Vorhandenseins  an- 
gegeben wurde. 

Hat  die  gegebene  biquadratische  Gleichung 

1)  ein  Paar  gleicher  Wurzeln,  so  berührt  der  Grundkreis  die 
Parabel  (LF)  nur  einmal  nach  Iter  Ordnung. 

2)  Für  2  Paare  gleicher  Wurzeln,  die  a)  reell  oder  ß)  imaginär 
sein  können,  wird  die  Parabel  vom  Grundkreis  doppelt  berührt  und 
zwar  in  reellen  resp.  imaginären  Punkten  *). 

3)  Der  Grundkreis  wird  zum  Osculationskreis  der  Parabel,  wenn 
die  gegebene  Gleichung  drei  gleiche  Wurzeln  besitzt. 

4)  Endlich  ist  K  Osculationskreis  im  Scheitel  der  Parabel,  wenn 
die  betreffende  biquadratische  Gleichung  vier  gleiche  Wurzeln  auf- 
weist K  geht  dann  am  Scheitel  mit  der  Parabel  eine  Berührung 
dritter  Ordnung  ein. 

Die  Constatirung  dieser  Fälle  wird  auf  graphischem  Wege  nator- 
gemäss  etwas  unsicher,  da  Parabel  und  Kreis  Berührungen  Iter, 
2ter  und  3ter  Ordnung  eingehen  werden.  Hier  wird  dann  in  be- 
stimmter Weise  das  analytische  Kriterium  für  die  Gleichungscoeffi- 
cienten  den  Fall  entscheiden,  und  dann  die  graphische  Darstellung 
die  Auffindung  der  Wurzeln  leicht  ermöglichen. 

Unter  Voraussetzung  der  Normalform 

y^  +  ay^  +  by^  +  ey  +  d  =  0 

wo  unter  a,  &,  c  und  d  auch  die  Vorzeichen  einbegriffen  sind,  be- 
stehen für  das  Eintreten  der  einzelnen  Fälle  folgende  analytische 
Kriterien  für  die  Coefficienten,  denen  gleich  die  entsprechenden  Be- 
merkungen über  die  graphische  Bestimmung  der  Wurzelwerto  an- 
geschlossen werden  mögen: 

*)  iBt  statt  einer  Kreistangente  eine  Gerade  in  allgemeiner  Lage  als  Trans- 
yersale  gegeben,  so  ist  der  Fall  von  2  Paaren  gleicher  reeller  Wurzeln  aach 
möglich,  wenn  die  Transversale  mit  einer  der  3  Diagonalen  des  vollstän- 
digen Vicrseits  aus  den  gemeinsamen  Kreis-Parabel-Tangenten  xnsammenfallen 
würde.  In  anserm  Falle  können  gleiche  Warseipaare  nar  für  doppelte  Be^ 
rührung  von  Kreis  und  Parabel  eintreten. 


der  hubisthen  wid  Inquadratüehen  Gleichungen,  41 

Ad  1).    Ein  Paar  gleicher  Warzeln  ist  vorhanden  fUr  die  Er* 
Miing  der  Bedingung 


8Ä  — 3a«  6c  — aÄ  16rf  — ac 

6c  —  ab     {iii -|- 2ae  -  H^)       ^oul'—be 

16<l— ac  6ad  — 5c  ^d—Zc^ 


=  0 


Sind  die  beiden  ungleichen  Wurzeln  imaginär',  so  ist  deren  Be- 
stimmung die  bekannte  Aufgabe  zweiter  Ordnung. 

Ad  2;.  Bestehen  die  Wurzeln  aus  zwei  Paaren  gleichen,  reellen 
oder  imaginären  Werten,  so  mttssen  die  Gleichungen  stattfinden: 

a»--4a6-f  8c=«0 

nod  die  Auffindung  der  Wurzeln  reducirt  sich  auf  eine  Aufgabe 
zweiter  Ordnung.    Ihre  Werte  erscheinen  in  den  Formen: 

«1,3=  «^.4  «  i[^a±  V3a«-8i]  =  j|^-~  a±j/c(^  -  ^)]. 

woraus  man  sogleich  die  Bedingung  für  das  Beeil-  oder  Imaginär- 
sein entnimmt. 

In  der  graphischen  Darstellung  muss  dann  der  Kreis  der  Parabel 
doppelt  berfihrend  einbeschrieben,  also  der  Mittelpunkt  auf  der  Pa- 
rabelacbse  gelegen  sein.  Sei  p  der  Halbparameter  der  Parabel,  gleich 
der  doppelten  Entfernung  des  Fixpunktes  von  der  Leitgeraden,  dann 
r  der  Grundkreisradius,  so  muss 

für  reelle        Wurzeln  r  >  j) 
„    imaginäre       „        r  <^p 

sein.  lu  beiden  Fällen  findet  man  die  immer  reelle  Sehne  der  Be- 
rOhrnngspunkte  zwischen  Kreis  und  Parabel,  indem  man  in  der  Ent- 
fernung p  vom  Kreismittelpunkt  (gegen  den  Parabelschoitel  hin  ge- 
messen) eine  Parallele  zur  Scheiteltangente  L  zieht.  Der  Pol  dieser 
Sehne  bezüglich  Parabel  oder  Kreis  ist  auf  der  Parabelachse  gelegen 
and  zugleich  Schnittpunkt  der  reellen  oder  imaginären  gemeinschaft- 
lichen Tangenten  in  den  Berührungspunkten.  Um  ihn  zu  erhalten, 
bat  man  nur  vom  Brennpunkt  F  die  Entfernung  bis  zum  Kreis- 
mittelpunkt in  entgegengesetzter  Richtung  auf  die  Parabelachse  zu 
übertragen.  Die  Schnittpunkte  der  gemeinschaftlichen  Tangenten  auf 
iler  transversalen  y  Achse  stellen  jeder  ein  Paar  gleicher  Wurzeln 
dar.  Deren  Auffindung  ist  in  dem  Falle,  als  sie  imaginär  sind,  schon 
bei  Gelegenheit  der  Darstellung  der  imaginären  Wurzeln  der  kubi- 


42  Bartl:  Mechanisch^graphische  Lösung 

sehen  Gleichungen  gezeigt  worden.  Unter  Yoranssetzang  obiger  Be- 
dingungen ist  das  ursprtlngliehe  Gleichungspolynom  das  vollständige 
Quadrat  von: 

und  die  Wurzeln  dieses  gleich  Null  gesetzten  Ausdruckes  sind  zu- 
gleich die  verlangten  der  gegebenen  biquadratischen  Gleichung 

Ad  3).  Die  Gleichung  4ten  Grades  besitzt  drei  gleiche  Wurzeln, 
wenn  ihre  Coefficienten  die  Bedingung  erfüllen: 

IOä  — 3a«    12c  — d*  12d 

Zah        55*— 36d     6(&tf— 3ad)    «0 
6  3a  & 

Die  gleiche  Wurzel  «i^ds^s  ^^t  dann  den  Wert: 

3  3a*c--a5'  — 26c 

und  steht  mit  der  vierten,  ungleichen  Wurzel  im  einfachen  Zusam- 
menhang durch  die  Relation: 

3tOi-|-tr4-f-a  «  0 

Da  sich  die  Wurzeln  aus  den  Coefficienten  der  Gleichung  rational 
darstellen,  so  können  selbe  auf  einfachem  Wege  ohne  das  mechanische 
Verfahren  ermittelt  werden. 

Der  Grundkreis  K  (Fig.  15.)  ist  in  diesem  Falle  Osculationskreis 
der  Parabel  F,  X,  also  sein  Mittelpunkt  o  der  Krümmungsmittelpunkt 
eines  Parabelpunktes  dessen  Krümmungsradius  r  bekannt  ist.  Schneidet 
man  mit  der  Grösse  fr  aus  o  nach  der  entgegengesetzten  Seite  der 
Parabclachse  auf  der  Directrix  DD  der  Parabel  den  Punkt  N  ab 
(der  auf  der  Figur  nicht  ausdrücklich  bezeichnet  ist) ,  so  erhält  man 
in  QN  die  Parabelnormalc  für  den  Krümmungsmittelpunkt  o  und  im 
Schnitte  P  mit  dem  Kreise  K  den  betreffenden  Berührungs-  (resp. 
Schnitt-)  Punkt  des  Osculationskreises  und  der  Parabel.  Die  Tan- 
gente in  P  repräseutirt  drei  gemeinschaftliche  Kreis-Parabel-Tangenten 
und  schneidet  auf  der  y  Achse  vom  Ursprung  genommen  die  drei- 
fache Wurzel  «rj,2,3  ab.  Die  Wurzel  w^  bestimmt  sich  daraus  am 
einfachsten  mit  Hilfe  obiger  Relation. 

Die  nach  folgender  Bemerkung  ermittelte  4te  gemeinschaftliche 
Kreis-Parabel-Tangente  mag  zur  Genauigkeitscoutrolle  des  bisher  Er- 
haltenen dienen.  Der  Grundkreis  K  und  die  Parabel  F,  L  sind  zu- 
einander coUinear  verwandt  für  die  Tangente  im  Osculationspunkte  P 


der  kubischen  und  biquadratiichen  Gleichungen,  43 

als  ColUneationsachse  and  ein  noch  anbestimmtes  Centram,  das  aber 
in  diesem  Falle  bekanntlich  aaf  der  CoUineationsachse  gelegen  sein 
moss.  Aasserdem  liegt  es  aof  einem  Yerwandtschaftsstrahl.  Der 
dem  Oscolationspankte  P  des  Kreises  diametral  gegenüberliegende 
Punkt  u  ist  mit  dem  nnendlich  entfernten  Pnnkt  homolog,  mithin 
schneidet  die  dnrch  u  aaf  die  Leitgerade  L  errichtete  Senkrechte  aaf 
der  Tangente  von  P  das  fragliche  Collineationscentram  o  ab.  Darch 
o  lässt  sich  die  letzte  gemeinschaftliche  Kreis-Parabeltangente  genan 
legen  and  schneidet  aaf  der  y  Achse  w^  ab. 

Ad  4).  Der  äasserste  Fall  von  vier  gleichen  Warzeln  tritt  ein, 
wenn  das  Gleichnngspolynom  eine  vollständige  4te  Potenz  des  Warzel- 
factoTB  ist,  also  die  Coefficienten  die  Bedingungen  erfüllen: 


wobei  die  Wurzel  selbst  den  Wert 

—  a 

besitzt     Der  Grandkreis  K  berührt  die  Parabel  im  Scheitel  nach 
3ter  Ordnang  und  hat  den  Radius 


während  die  Leitgerade  Zr,  als  Scheiteltangentc ,  die  vier  gemein- 
schaftlichen Kreis-Parabel-Tangenten  repräsentirt  und  auf  der  y  Achse 
den  Wurzelwert  w  abschucidet. 


Scblussbemorkungcn. 

1.  Auf  eine  weseutliche  Erweiterung  der  in  vorliegender  Arbeit 
ausgefahrten  Lösungsmethoden  höherer  Gleichungen  soll  im  Folgen- 
den noch  aufmerksam  gemacht  werden. 

Bis  jetzt  sind  hauptsächlich  jene  Gleichungen  3ten  und  4ten 
Grades  hervorgehoben  worden,  deren  Coefficienten  der  Potenzen  der 
Uubekannten  in  Zahlen  werten  gegeben  waren.  Bei  der  analytischen 
Behandlang  von  Aufgaben  3ter  und  4ter  Ordnung  gelangt  man  aber 
zo  solchen  Gleichungen  des  entsprechenden  Grades  deren  Coefücienten 
als  Aasdrücke  von  der  Iten  bis  3ten  rcspective  Iten  bis  4ten  Di- 
mension sich  aus  den  Angabsstrecken  darstellen. 

Die  entwickelten  Lösungsmethoden  können  aber  auch  für  solche, 
dorchaos  homogene  Ausdrücke  enthaltenen  Gleichungen  unverändert 
angewendet  werden.    Es  ergibt  sich  dieses  leicht  aus  der  Betrachtung 


44  Bartl:  Mechamsch-graphische  Lösung 

dor  Aasdrücke  für  die  Grandfactoren  e,  /,  k  (respective  d)  und  ctg  «p, 
welche  bei  wirklicher  Wahl  von  r  als  Strecke,  mit  Rücksicht  der 
DimeDsionen  der  GleichungscoefficieDten  durchaus  homogene  Ausdrücke 
der  ersten,  beziehungsweise  nullten  Dimension  werden,  sowie  aus  dem 
Umstände,  dass  bei  der  ganzen  Ableitung  die  eingeführten  Grössen 
sowohl  Angabsstrecken  einer  Aufgabe  3ter  oder  4ter  Ordnung,  als 
auch  solche  bedeuten  können,  die  mit  Zugrundelegung  einer  Mass- 
stabeinheit, die  gegebenen  Zahlenwerte  einer  Gleichung  solchen  Grades 
repräsentiren.  Die  Ausdrücke  für  die  Grundfactoren  setzen  sich  aus 
den  Gleichtingscoefficienten  rational  zusammen,  sind  also  eindeutig 
bestimmbar,  nachdem  die  Coefficienten  aus  den  Angabsstrecken  der 
Aufgabe  hergestellt  wurden. 

Darnach  kann  man  also  die  analytische  Lösung  jeder  Aufgabe 
3ter  oder  4ter  Ordnung  constructiv  ausführen.  Dies  ist  in  der  Tat 
in  der  vorstehenden  Abhandlung  mit  den  beiden  Fundamentalproble- 
men —  der  „Trisection  des  Winkels"  und  des  „graphischen  Kubik- 
wurzelziehens" (welches  ja  geometrisch  aufgefasst  gleich  ist  der  Ver- 
wandlung eines  Parallelepipeds  in  einen  volumgleichen  Würfel)  — 
in  der  einfachsten  Weise  durchgeführt  worden.  Der  gleiche  Weg 
dürfte  noch  für  manche  von  derlei  Aufgaben  der  passendste  sein. 
Im  Allgemeinen  muss  man  jedoch  zugestehen,  dass  diese  Methode 
häufig  an  einer  Umständlichkeit  und  geringen  Uebersichtlichlceit  leiden 
wird.  Eine  befriedigende,  rein  geometrische  Lösung  der  Aufgaben 
3ter  und  4  ter  Ordnung  vermögen  nur  die  Lehren  der  neueren  Geo- 
metrie zu  liefern,  mit  deren  Ausführungen  man  das  in  vorliegender 
Arbeit  angewendete,  mechanische  Verfahren  vereinen  kann. 

Eine  auf  rein  geometrische  Entwicklungen  basirte  Lösung  des 
behandelten  Hauptproblemes  hat  in  genialer  Weise  Chasles  in  seiner 
Abhandlung  „Construction  des  racines  des  ^quations  du  troisi^me  et 
quatri^me  degr6"  veröffentlicht  im  Journal  des  mathematiques,  publie 
par  Liouville  t.  XX.  pag.  329  geliefert.  Er  führte  die  Aufgabe  auf 
jene  der  Bestimmung  der  Schnittpunkte  eines  gezeichnet  vorliegenden 
Kegelschnittes  mit  einem  anderen,  durch  fünf  Punkte  gegebenen, 
zurück. 

Auch  Dr.  Herm.  Kortüm  weist  auf  eine  Lösung  der  kubischen 
und  biquadratischen  Gleichungen  mittelst  Construction  hin.  Es  ge- 
schieht dies  in  seinen  „zwei  Abhandlungen  über  geometrische  Auf- 
gaben dritten  und  vierten  Grades"  (Bonn  1869),  worin  die  Aufgabe 
gelöst  wurde,  die  Bestimmung  der  Durchschnittspunkte  zweier,  durch 
je  5  Punkte  gegebener  Kegelschnitte  zurückzuführen  auf  jene  zwischen 
einem  Kreise  und  einem  ein  für  allemal  gezeichnet  vorliegenden 
Kegelschnitte.  In  den  Lösungsmethoden  vorstehender  Arbeit  ist  der 
unbedingt  notwendige  Kegelschnitt  stets  eine  Parabel,  die  dann  durch 


der  kubischen  und  biquadrcUischen   Gleichungen.  45 

das  angewendete,  mechanische  Grand  verfahren  ersetzt  wnrde.  Dies 
ergab  eben  den  für  die  praktischen  Zwecke  ziemlich  dirccten  Weg, 
der  mit  Berücksichtigung  der  beschriebenen  Hilfsconstrnctionen  auch 
immer  ausreichend  genaue  Resultate  liefern  wird. 

2.  Will  man  das  in  vorli elender  Arbeit  angewendete  mecha- 
nische Yerfahren  mittelst  des  rechten  Winkels  nicht  als  zulässig 
gelten  lassen,  so  ist  doch  in  der  ganzen  Durchführung  auch  schon 
die  Lösung  mittelst  einer  einfachen  Hilfscurve  mit  inbegriffen. 

Es  wurde  schon  bei  Aufstellung  jenes  Grundverfahrens  bemerkt, 
dass  der  durch  dasselbe  auf  der  Leitgeraden  erhaltene  Scheitelpunkt 
des  beweglichen  rechten  Winkels  eben  nichts  anderes  ist  als  der 
Durchschnitt  jener  Geraden  mit  der  Kreisfusspunktscurve ,  die  durch 
den  Grundkreis  K  und  Fixpunkt  F  als  Strahlenmittelpunkt  gegeben 
erscheint 

Das  in  der  Nähe   jenes  fraglichen   Schnittpunktes    verlaufende 

Cnrvenstfick  kann  mit  grosser  Schärfe,  also  der  Punkt  selbst  aus- 

rejcbend  genaa   ermittelt  werden  und   ist  dann  in  der  auseinander- 

gesetzten  Weise  zur  Bestimmung  der  fraglichen  Wurzelwerte  der  ge- 

gebenen  G/eichnng  entsprechend  auszunützen. 


^g  Hoppe:    üeber  ein  Problem  der  Curventkeorie. 


üeber  ein  Problem  der  Curventheorie, 

Von 

R.  Hoppe. 


Das  Problem,  um  welches  es  sich  handelt,  lautet  folgeudormasseu. 

Zwischen  den  Winkeln,  welche  die  Tangente,  Haaptnormalc  und 
Binormale  einer  gesuchten  Curvo  mit  irgendwelchen  festen  Geraden 
bilden,  ist  eine  Relation  gegeben;  man  soll,  bei  willkflrlich  bleiben- 
dem, beliebig  zu  ergänzendem  Bogenelement,  den  entwickelten  analy- 
tischen Ausdruck  der  Curvo  finden. 

Die  Relation  kann  eine  primitive  oder  eine  Differentialgleichung 
sein-,  dagegen  darf  sie  das  Bogenelement  nicht  enthalten,  weil  sonst 
2  Relationen  zur  Bestimmung  erfordert  würden. 

Die  Aufgabe  ist  dann  gelöst,  wenn  die  Richtungscosinus  der  Tan- 
gente /,  g,  h  als  Functionen  eines  Parameters  bekannt  sind,  indem 
alsdann  für  beliebiges  Bogenelement  da  die  Werte  der  Coordinaten 

x^f/ds]    y'^fg^B'i    z^fhds 
daraus  hervorgehen. 

Die  Lösung  ist  leicht  und  bekannt  erstens,  wenn  nur  die  Nei- 
gung einer  der  3  begleitenden  Axen,  d.  h.  der  Tangente,  Haupt-  oder 
Binormale,  gegen  2  feste  Gerade  in  der  Relation  vorkommt,  weil 
dann  ihre  Richtung  vollständig  bestimmt  ist;  zweitens,  wenn  die  be- 
stimmende Relation  sich  nur  auf  eine  feste  Gerade  bezieht. 

Seien  bezeichnet  die  Richtnngscosinus  der 


Hoppe:   (Jeber  ein  Problem  der  CurventheorU.  47 

Tangente  dnrch  /,  g^  h 
Hanptnormale  „  /',  g\  h! 
Binormale  „       2,    m,  n 

Nimmt  man  die  feste  Gerade  zur  x  Axe,  so  ist  gegeben  die  allge- 
meine Relation: 

die  der  besondern  Aufgabe  entsprechende 

xmd  eine  beliebig  gewählte 

af-\'hf-\'cl^  q) 

wodurch  /,  /',  l  als  Functionen  des  Parameters  q>  bestimmt  sind 
und,  wenn  F  linear  oder  rein  quadratisch,  so  wie  auch  in  manchen 
audem  Fällen,  dargestellt  werden  können.  Kennt  man  dann  entweder 
/',  g\  h!  oder  ;,  m,  n  oder  /,  /',  /,  so  kann  man,  wie  in  T.  LVL 
S.  59  gezeigt,  leicht/,  ^,  h  finden. 

Die  nächste  Erweiterung  der  Aufgabe  würde  sein,  wenn  beide 
Schenkel  der  durch  Relation  verbundenen  Winkel  verschieden  sind. 

Zur  Oricntimng  beschreiben  wir  um  einen  festen  Pnnkt  O  mit 
der  Linieneinheit  als  Radius  eine  Kugel  und  ziehen  die  Radien  OT^ 
OH^  OB^  OX^  OM.  in  den  Richtungen  der  Tangente,  Hauptnormale, 
Binormale  nnd  der  2  festen  Geraden,  deren  Ebene  wir  zur  xy  Ebene 
und  deren  erstere  wir  zur  x  Axe  nehmen. 

Die  gegebene  Relation  denken  wir  aufgelöst  durch  Darstellung 
der  2  Winkel,  welche  zwei  der  3  ersten  Geraden  mit  je  einer  der 
2  letzten  bilden,  als  Functionen  eines  Parameters.  Die  Combination 
ergibt  3  verschiedene  Aufgaben  mit  folgenden  respectiven  Daten: 

constant  variabel 


I. 

XM^a-,     rif«R; 

COSJTT«/; 

MH=^  k 

n. 

XM-^a-,     HB^B,', 

COSXB  «  Z; 

MH^X 

in. 

XM^a;     TB^B.1 

COS-Xr— /; 

MB  '^  fi 

In  allen  3  Fällen  hat  mau  ein  sphärisches  Viereck  mit  4  gege- 
benen Seiten.  Das  fünfte  Bestimmungsstück  muss  durch  die  Varia- 
tioQsgesetze,  also  durch  Differentialrelationen  ersetzt  werden. 

Wir  beginnen  mit  der  Bestimmung  des  Vierecks 

THMX 
darin  sind 


48  Hoppe:  Ueber  ein  Problem  der  Curventheorie. 

co^XH^f  und  MT  ^  <p 

unbekannt     Trägt   man  auf  dem  (wo  nötig  verlängerten)  Normal- 
bogcn  XM  den  Quadranten  XY  =  R  ab  und  zieht  YT^  YH^  so  wird 

cosyr— ^;     üQ^YH^g' 
und  man  hat: 

Multiplicirt  man  mit  h  und  beachtet,  dass 

Ä«  =  l-/«-(72;     ^hh'=ff'+gg'  (1) 

w*=  1 — g'^—g'^ 

ist,  so  erhält  man: 

(1  -  9^)r+f99  =  ±  l/l-/«-^«Vr-^»-<7'»  (2) 

woraus: 

8^      g  (l-^V 


^f     /'      -fgg  ±^1-/^-9^^/1-9^-9"' 


(3) 


Dies  ist  die  Differentialgleichung  für  den  Fall,  wo  XM  —  R  ist 
wo  also  M  mit  Y  zusammenfällt,  so  dass  /  und  g'  gegeben  sind. 
Ihre  Integration  ergibt  g^  und  nachher  Gl.  (2)  /';  A  und  h'  sind  so* 
dann  nach  61.  (1)  bekannt,  und  durch  die  Werte  von  /,  ^,  h  ist  die 
Aufgabe  gelöst. 

Um  von  diesem  Specialfall  auf  die  allgemeine  Aufgabe  über- 
zugehen, wo  A  statt  g'  gegeben  ist,  betrachten  wir  die  sphärischen 

Dreiecke 

YMH,     YXT,     MXT,     TMH 

in  welchen  folgende  Winkel  sich  über  XY  zn  2R  ergänzen: 

XMT+  TMH+  HMY  =  2R  (4) 

In  Dreieck  MXT  und  YXT  hat  man: 

,,,^^.        cosqp — /cos«  g 

•/l— /«sino       Vi-/« 
woraus: 

COS9  =/coso-j-psina 
ausserdem: 

«p,^«      f—cosacosfp      /sina—ocos« 

COSZAfr  —   : : —  ^-^ 

sin  a  sm  q>  sin  <p 

in  Dreieck  TMH: 

COS  TMH  «  —  cot  A  cot  g> 
in  Dreieck  YMH: 


Hoppe'.    Ueber  ein  Problem  der  Carveniheorie.  49 

rrwtr         /— SillcrCOSA 

cos  HMY  = :—. —  (5) 


worans  weiter:  


sin  TMH 


sing? 

y  sin*iL  —  ( /cos  a  -{-  ^  sin  a)* 
sin  A  sin  qp 

aod  findet  nach  61.  (5)  mit  Anwendung  von  Gl.  (4) : 

g  «=  sin of cos X  +{ (/cos a-|-^ sin «)  (/sin  «  —  ^cos a) cos  X  (6) 

Sabstitoirt  man  diesen  Ausdruck  für  g'  in  Gl.  (3),  so  geht  die  in 
diejenige  Gleichung  über,  deren  Integration  die  erste  der  3  Aufgaben 
löst.  Sie  ist  demnach  stets  eine  gewöhnliche  Differentialgleichung 
1.  Ordnung,  deren  Coefficienten  von  beiden  Variabein  /",  g  abhangen. 

Das  Vorzeichen  der  Quadratwurzeln  muss  in  dem  Sinne  doppelt 
bleiben,  dass  die  Lösung  sich  über  beide  Vorzeichen  erstreckt.  Da 
sich  keine  gegebene  Grösse  auf  die  z  Axe  bezieht,  so  besteht  die 
Carve  ans  2  symmetrischen  Zweigen  zu  beiden  Seiten  der  xy  Ebene. 

Die  Lösung  der  ersten  Aufgabe  liefert  zugleich  die  der  zweiten: 
man  braucht  nur  die  Tangente  mit  der  Binormale  zu  vertauschen, 
da  beide  in  reciprokcr  Beziehung  stehen.  Es  ist  also  nur  2,  m  für 
f,  g  zu  substituiren,  während  /',  g^  unveräudert  bleiben.  Einen  Vor- 
zeichenwechsel erleiden  nur  A,  h\  n,  die  nicht  vorkommen. 

Bei  der  dritten  Aufgabe  ist  in  Gl.  (3)  nur  für  g'  der  Wert 

g' «  yr-^*-m« 

zo  substituiren,  so  dass  sie  lautet: 

dg  l--g* 


^f  r  4- 


Ist  dann  m  als  Function  von  /  gegeben,    so  erhält  man  durch  Inte- 
gration 9,  also  die  fertige  Lösung  für   den  Fall  o  =  R,  wo  3f  in 

rollt 

In  der  allgemeinen  Aufgabe  III.  ist  fi  statt  m  gegeben.  Die  für 
die  erste  Aufgabe  construirte  Figur  nebst  der  trigonometrischen 
Bechnung  passt  vollkommen  auch  hier.    Die  Binormale  tritt  an  die 

Arek.  i.  lUib.  a.  Phyi.    2.  Eeihe,  TeU  I.  4 


50  Hoppe:    üeber  ein  Problem  der  Curventheorie. 

Stelle  der  Hauptnonnale,  also  in  der  Figur  B  an  die  Stelle  von  //, 
und  in  Gl.  (6)  m  und  fc  an  die  Stelle  von  g'  und  X. 

Fassen  wir  die  Resultate  zusammen,  so  hat  sich  folgendes  er- 
geben. 

Sind  die  2  Winkel,  welche  2  begleitende  Axen  einer  Gurve  ein- 
zeln mit  2  festen  Geraden  bilden,  gegebene  Functionen  von  einander, 
so  hängt  die  Darstellung  der  Curve  von  der  Integration  einer  Glei- 
chung der  Form 

Ij  =  *(/,  g) 

ab,  wo  tf;  eine  algebraische  Function  bezeichnet,  die  im  allgemeinen 
3  irrationale  Quadratwurzeln,  zum  Teil  in  einer  vierten  iuvolvirt, 
enthält,  während  im  Falle,  wo  die  2  festen  Geraden  normal  zu  ein- 
ander sind,  nur  2  irrationale,  nicht  involvirto  Quadratwurzeln  vor- 
kommen. 

Die  drei,  den  Con^binationen  der  3  begleitenden  Axen  entspre- 
chenden Aufgaben  lassen  sich  wieder  als  Speciali^lle  einer  allgemei- 
nern Aufgabe  betrachten,  indem  man  statt  der  2  begleitenden  Axen 
zwei  mit  dem  begleitenden  Axensystem  fest  verbundene  Gerade  als 
Schenkel  der  gegebenen  Winkel  annimmt.  Auch  diese  allgemeinere 
Aufgabe  würde  sich  durch  Substitution  auf  die  Aufgabe  I.  zurück- 
führen lassen,  worauf  ich  hier  nicht  eingehe. 


Ehler t:    UnttnfcheidungscharakUre  der  Kegelschnitte  etc.  51 


m. 


Ueber  die  Bestimmung  der  TJnterscheidungs- 
charaktere    für    die    Kegelschnitte,    wenn     die 
Gleichungen  derselben  in  trimetrischen 
Liniencoordinaten  gegeben  sind. 


Von 

A.  Ehler! 


In  Salmon's  ,,ADalyti8che  Geometrie  der  Kegelschnitte"  Artikel 
318,  Aufgabe  5  findet  sich  die  Methode  angedeutet,  nach  welcher 
man  för  eine  in  trimetrischen  Liniencoordinaten  gegebene  Kegel- 
fichoittsgleichang  die  ünterscheidnngscharaktere  für  die  Ellipse, 
Hyperbel  und  Parabel  feststellen  kann.  Dieselbe  Methode  dient 
aber  auch,  wie  in  der  folgenden  Darstellung  gezeigt  werden  soll,  zu 
einer  sehr  einfachen  Ableitung  der  Bedingungen ,  unter  welchen  die 
allgemeine  (xleichung  zweiten  Grades 

ein  Punktepaar,  einen  Kreis  und  eine  gleichseitige  Hyperbel  reprä- 
sentirt 

Bezeichnen  s^ ,  s^  und  s^  die  Seitenstrecken  des  Fundamental- 
dreiecks, so  stellt  die  Gleichung: 

«l«lfl  +  «l«rf«  +  *S«8l8  =  0 

för  constante  xt  und  variabele  $«-  die  Gleichung  des  a^,  dagegen  für 
coDttante  Si  and  variabele  an  die  Gleichung  der  Geraden  St  dar. 

4* 


52  Ehlerl:    Unterscheidungscharaktere  der  Kegehchnitte 

Soll  der  Puukt 
auf  der  Curve 

liegen,  so  müssen  die  beiden  von  ihm  ausgehenden  Tangenten  zu- 
sammenfallen d.  h.  die  beiden  Wurzeln  der  in  Bezug  auf  ^iifs 
quadratischen  Gleichung : 

l  2 

?3 

+  2  V    («22«i«3  "  «23«1«2  +  «31«2*  —  «12«2«3) 
+  («22«3*  +  «33«2*  —  2«23«2«3)  =  0 

welche  durch  Elimination  von  Sg  aus  jenen  beiden  Gleichungen  ent- 
steht, müssen  gleich  sein.  Dies  ist  aber  der  Fall,  wenn  die  Be- 
dingung : 

(^28«83  —  «23*)«l^  +  («S3«J1  —  «31*)«2*+  («11«22  —  «12*)«3* 
+  2(0f3ja,2  —  On«23)«2«8 
+  2(afigrf23— '  «22«3l)«8«l 
+  2(a23«31  —  «33«12)«1«2  =  ^ 

erfüllt  ist,  wie  sich  nach  einigen  Umformungen  leicht  ergiebt. 

Bezeichnen  nun  .4,1,  ^122,  -^gg,  ^33,  A^^  und  Ä^^  die  auf  die  ro- 
spectiven  Elemente  «^x?  «22?  «3si  «23?  «31  und  a^^  bezogenen  Minoren 
oder  Unterdeterminanten  der  Determinante 

«115       «121       «31 

«12?      «22»      «23 
«319      «23»      «83 

SO  kann  jene  Bedingung,  unter  welcher  der  Punkt 

«jSl  +  «2^2  +  «3?3  ==  0 

auf  dem  Kegelschnitt  -S  «=  0  liegt,  in  der  bequemeren  Form : 

1)       ^liiCfi*  +  ^22«2*  +  -^33«3^  +  2^28a2ff3-f2.43ia3Cfi-f  2^,2«l«2   ==  O 

dargestellt   werden,    welches   die    bekannte    Gleichung    desselben 
Kegelschnitts  in  trimetrischen  Punktcoordinaten  ist. 

Soll  der  Punkt 

«l?l  +  «2S2+«8£8  =  0 


Is 


ßlr  trimetrische  Coordinaten.  53 

zugleich   auf  der  unendlich  fernen  Geraden  der  Ebene,  für  welche 
-»  1   und  l-  ^\  ist,  liegen,  so  muss 

2)  «1  +  «2  +  "s  =  ^  sein. 

Man  erhält  also  durch  Elimination  von  o,  aus  den  beiden  Glei- 
chungen 1)  und  2)  die  quadratische  Gleichung: 

3)       f-^ll  ~f"  -^33        ^-^Sl)  \u)     '    ^(^^33        -^23        -^31  T"  -^12)'  ~ 
"T"  -^2«  "t"  -^88  —  2^23  =  0 

zur  Bestimmung  der  beiden  Punkte,  welche  zugleich  dem  Kegelschnitt 
X  =  0  und  der  unendlich  fernen  Geraden  der  Ebene  augehören. 
Diese  beiden  Schnittpunkte  sind  folglich  reell,  imaginär  oder  fallen 
in  einen  Punkt  zusammen,  je  nach  dem  die  beiden  Wurzeln  jener 
quadratischen  Gleichung  3)  reell,  imaginär  oder  einander  gleich  sind, 
d.  h.  je  nachdem 

(-^53 -4^3  —  ^^3,  4~  -^12)        (-^11  "r  -^33        2^21)  (-^28  T"  -^33        ^^iSU 

>  0,    <  0    oder     =  0  ist. 
Die  Grösse: 

{-^33 -^83  —  -^31  "I"  -^1«)  —  (-^11  T*  ^33  —  ^^Z^  )  (^22  "l~  -^33        ^ylgjj) 

lässt  sich  aber  umformen  in 

-  [(^»-^33  —  ^23*)  +  (^33^11  —  ^31*)  +  (^^11^22  —  ^^12"^) 
-f  2(^31^12  —  -4i,^23)  +  2(^ij^23— i422^3l) 

-f-  2(-/l23^31 -^33-^18)] 

oder  in 

-[^ii'+ ^82'+ ^33'+ 2^23'+ 2^3/+ 2^12'] 

wo  ^,/,  A^\  A^\  A^'^  ^31',  ^jg'  die  auf  die  respoctiven  Elemente 
Atx,  A^  -^33,  ^23,  ^31  und  -4i2  bezogenen  Minoren  der  Determinante 
des  adjnugierten  Systems 


^'  = 


sind.    Nach  bekannten  Sätzen   aus  der   Theorie  der  Determinanten 
ist  aber 

und 


-^11» 

-^12» 

-^31 

^l%^ 

-^281 

-^23 

-^31? 

-^239 

-^83 

54  Ehlerti   ünterscheidungseharaktert  der  Kegeltchnitte 

Daher  ist  jeno  Grösse: 

—  —  ^(«11  +  «M  +  «88  +  2cri8  +  2a8i  +  2«!,) 
und  es  ergiebt  sich: 

Die  allgemeine  Gleichung  in  trimetrischen  Liniencoordinaten 
27  —  0  stellt 

1)  eine  Hyperbel  dar,  wenn  die  Discriminante  der  gegebenen 
Gleichung  und  die  Coefficientensumme  entgegengesetzte  Vor- 
zeichen haben; 

2)  eine  Ellipse  dar,  wenn  die  Discriminante  der  gegebenen 
Gleichung  und  die  Goefficientensumme  dieselben  Vorzeichen  besitzen. 

Die  beiden  Schnittpunkte  des  Kegelschnitts  2*^0  mit  der  un- 
endlich entfernten  Geraden  der  Ebene  fallen  in  einen  Punkt  zu- 
sammen, wenn 

-^(«11  +  «2«  +  «SS  +  2aw  +  2asi  +  2aii)  «  0 
d.  h.  wenn  entweder 

«n  +  aM  +  «s8  +  2as8  +  2«si  +  2ai2  —  0 
oder  wenn 

^  —  0    ist. 

Da  die  unendlich  entfernte  Gerade  der  Ebene  fttr  alle  Parallelen 
derselben  Ebene  Tangente  ist,  so  muss  die  allgemeine  Gleichung  des 
Kegelschnitts  ^  »  0,  wenn  dieselbe  eine  Parabel  repräsentiren  soll, 
durch  die  Coordinaten  der  unendlich  entfernten  Geraden,  fOr  welche 

r^  a  1  und  r  »  1  ist,  erfflllt  werden,  d.  h.  es  muss 

SS  ^8 

«11  +  «M + «88 + 2«M + 2«8i  -f-  2«!,  =  0    sein. 

Die  allgemeine  Gleichung  Z»0  stellt  daher  eine  Parabel 
dar,  wenn  die  Coeffieientensumme  der  Gleichung  den  Wert  Null  hat. 

Eine  homogene  Gleichung  zweiten  Grades  in  trimetrischen  Linien- 
coordinaten kann  überhaupt  nur  eine  Hyperbel,  Ellipse,  Parabel  oder 
ein  Punktepaar  repräsentiren.  Geht  man  aber  von  der  Gleichung 
eines  Punktepaares  in  trimetrischen  Liniencoordinaten 


för  trmeirische  Coordinaten,  55 

ZOT  eDtsprechendcn  Gleichung  in  trimetrischen  Pnnktcoordinaten  über, 
30  erhält  man  bekanntich  das  Qaadrat  der  Gleichnng  der  Yerbin- 
dangsgeraden  jener  beiden  Punkte  o«'  und  a/'.  Dies  ist  der  analy- 
tische Ausdruck  für  die  geometrische  Wahrheit,  dass  durch  ein  nicht 
zusanunenfallendes  Punktepaar  stets  eine  Gorade  bestimmt  ist, 
oder  dass  von  solchen  Punkten,  die  in  der  Verbindungsgeraden  jenes 
Punktepaares  liegen,  die  beiden  an  die  Curve  d.  h.  an  das  Punkte- 
paar gezogenen  Tangenten  zusammenfallen.  Das  Pnnktepaar 
stellt  also  gleichzeitig  ein  anderes  geometrisches  Gebilde,  nämlich 
seine  Verbindungsgerade,  dar.  In  diesem  Sinne  ist  es  gestattet,  von 
den  Dorchschnittspunkten  eines  Punktepaares  mit  der  unendlich  ent- 
fernten Geraden  der  Ebene  zu  sprechen.  Es  sind  die  beiden  zu- 
sammenfallenden Punkte,  in  denen  die  zweimal  gerechnete  Ver- 
bindungsgerade  die  unendlich  entfernte  Gerade  der  Ebene  schneidet. 
Dieser  Schnittpunkt  ist  in  der  Tat  der  einzige  Punkt  auf  der  un- 
endlich fernen  Geraden,  von  welchen  aus  die  beiden  Tangenten  an 
das  Punktepaar  zusammenfallen. 

Das  Zusammenfallen  der  beiden  Schnittpunkte  kann  aber  nur 
unter  der  Bedingung  /:/  »  0  stattfinden,  denn  jenes  andere  Kriterium 

«11  +  «s«  +  «53  +  2«»  +  2a3i  +  2««  —  0 
gilt,  wie  schon  angezeigt  wurde,  nur  für  die  Parabel. 

Es  stellt  daher  die  allgemeine  Gleichung  Z»0  ein  Punkte- 
paar dar,  wenn  die  Discriminante  der  Gleichung  den  Wert  Null  hat. 
Für  die  trimetrischen  Coordinaten  des  Schnittpunktes  dieses  Punkte- 
paares (d.  h.  seiner  Verbindungsgeraden)  mit  der  unendlich  ent- 
fernten Geraden  der  Ebene  hat  man  daher  aus  der  Gleichung  3) 

«1  ^^  -^23  "r  ^31  ""  As&^^^^Ait 
«2  -^11  "T  -^8«        2-431 

und 

«3  ^^        ?i ■«  ^  -^sfT-^ia  —  -^n      -^8 

«2  «2  -^11  "h  -^33  —  2^31 

Daher  ist  die  Gleichung  dieses  Durchschnittspunktes 

f^+^W  —  ^33  -  A2)ll  +  (^ll  +^33  -  2^8l)52 
+  Usi  +  ^2  -  ^11  -  ^23)l3  -  0 

Diese  Gleichnng  kann  aber  auch  in  den  beiden  Formen 

^^2+^23  — ^«— ^3l)fl +  (^31+^2  — Al— -^3)12 

und 


56  Ehiert:   UnterschadungacharakUre  der  Kegelschnitte 

M„  -A„-  2^„){,  +  M« + An  -An-  Au)it 

geschrieben  werden,  da  die  früher  bewiesene  Identit&t 
Mt»  "7"  -^ss  —  2-4j3)  (A^Q  -\-  All  —  ^-^ai) 

=  ^(a„  +  cf„  +  «sa  +  2aj8  +  2a3i  +  2a,2) 
durch  cyklische  Yertanschung  der  Indices  die  drei  Identitäten: 

(^n  "r  -^38      2-423)  (^33  +  -4n  —  2^^^ )  —  (A^  -j-  -431  —  ^33  —  A^^) 
=  (^33  +  ^„-2^3,)M,,  +  ^„-2A,)  ^(A^i  +  Ai^^Au-A^)^ 

nach  sich  zieht. 

Dass  die  drei  gefundenen  Gleichungen  wirklich  den  Durch- 
schnittspnnkt  der  Verbindungsgeraden  des  Punktepaares  £  =^  0  mit 
der  unendlich  entfernten  Geraden  der  Ebene  darstellen,  kann  direct 
bestätigt  werden. 

Für  die  trimetrischen  Coordinaten  x^S,  arj^i  ^sß  ^^^  Schnitt- 
punktes einer  beliebigen  Geraden 

mit  der  unendlich  entfernten  Geraden  der  Ebene 
hat  man: 

Ist  die  Gerade  ai  die  Yerbindungsgerade  der  beiden  Punkte  xi 
und  xi\  so  ist  bekanntlich: 

und  man  erhält  daher  die  Gleichung  des  Schnittpunktes  der  Yer- 
bindungsgeraden  der  beiden  Punkte  xt  und  xi'  mit  der  unendlich 
fernen  Geraden  der  Ebene  in  der  Form: 

*i[(^8'*i" — ^'^i)h  —  (*iW — ^"^')^%\ii 

+  »8[(Va^3"-a;8VK-(a'3'«l"-*8"«l')*l]^8  --  0. 

Diese  Gleichung  kann  also  nur  durch  einen  constantenFactor 
von  jeder  der  drei  vorhin  angeführten  Formen  z.  B.  von 


ßlr  trimetruche  Coordinaten.  57 

(^  +  ^81  -  ^»3  -  ^l«)ll  +  (^11+^83  -  2^5i)S, 

verschieden  sein,  wenn  Z»  0  ein  Pnnkfepaar  darstellt;   d.  h.  wenn 
die  Function 

«iili* + «af  2* + «88l8* + 2aj8f j?3 + 2031  JgSi  +  2ai2liSj, 
identisch  sein  soll  mit  der  Function 

Unter  dieser  Yoranssetznng  mnss  aber 

ff„  =  2aroV'*«*  «81  =  (a^8'a?i"+ir8"it/)*3«i 

sein,  imd  man  findet  dann  nach  einigen  Umformnngen  die  Minoren 

-^n  =  —  (*8'*l" — ^z'^l)(^l^t' — iCi"ap2')*l**2'3 
-^51  =  —  y^X  ^   — ^  a^  )  (^2  ^3   — ^^2  ^8  y*2  *3*1 

^12  =  -  (a!f V—a^2%') ix^'^^-^z'x^')H\st 
Ans  diesen  Werten  crgiebt  sich  aber: 

'l«2[(V^"— V^3')%-  (^t  V-^l"^2')*l]    X 

[(rj'x/'-  X3"-  x/>3  -  (o:/^,"-  a:/'ar,')*,] 

-^11 +-^88  —  2-/4si  "^ 

V[(^V-*2'V)^3--(«^iV-^iV>i]  X 

and 

^aH"  -^12  —  -^11  —  -^  "" 
V3[(^  V-  ^"^8'>3  -  (^1  V-*i%'K]  X 

[(X,  V-  «1' V)*2  -  (^8'^l"-  V^')'l] 

Die  drei  Coefißcienten 
^+-431— -433  — ^^21  Ai  + -^33  —  2il3j   und  -4si  +  -4i,— -4h  — ^83 
haben  also  den  Factor 


58  Ekltrt:    üntericheidungtcharaktere  der  KegeUchnittt 

gemeinsam  und  es  stellen  daher  in  der  Tat  die  beiden  Gleichungen: 

(-4js  +  ^31  —  ^33  —  A«)^  1  +  (^1 1  +  -^33  —  2-43i)f  2 

und 

denselben  Punkt  dar.     . 

Alle  Kreise  derselben  Ebene  haben,  wie  bekannt,  mit  der  un- 
endlich entfernten  Geraden  der  Ebene  dieselben  zwei  imaginären 
Punkte  gemeinsam.  Darum  ist  ein  Kreis  auch  durch  drei  endliche 
Punkte  völlig  bestimmt,  während  ein  Kegelschnitt  im  Allgemeinen 
erst  durch  fünf  Punkte  festgesetzt  ist.  Man  kann  daher  Kreise  als 
solche  Kegelschnitte  (speciellcr  als  solche  Ellipsen)  betrachten,  welche 
durch  gewisse  zwei  feste  imaginäre  Punkte  auf  der  unendlich  ent- 
fernten Geraden  der  Ebene  gehen. 

Bezeichnen  A^^  A^  und  ^g  die  den  Seitenstrecken  «i,  «s  und  s^ 
respective  gegenüberliegenden  Innenwinkel  des  Fundamentaldreiecks, 
so  findet  man  (Salmon:  Analytische  Geometrie  der  Kegelschnitte, 
Artikel  164  Aufgabe  8)  für  die  trimetrischen  Coordinaten  jeuer  bei- 
den festen  Punkte  (der  sogenannten  imaginären  Kreispunkte  im  Un- 
endlichen) 

.qow  «*  —  COS A^ -j- »sin A^     "T'^i  =  —  ^^^ -^1  —  * ^^^ -^1 

und 

•)  (•) 

«1 


•\" 


—  COS  ilg  —  i  sin  -^2     -^»^  ~  —  ^^^  -^1  "t"  *  ^^°  -^1 

V«  / 


*3  *3 


Daher 


cos -43  — »sin  ^3 


«i  —  cos  A^  •\-  %  sin  A^ 

"^y  ***  — cos-4i — »Bin-4i  ^ 

X,  — cosilg—  »'sin^^s  .      .    I   .  •    ^ 

-\fi'  ^  - C08^;+  »sin  A  =  -  <^B-*3+»8.n^, 


ßkr  trimetriicke  CoordinaUn.  59 

Will  man  daher  die  Bedingangeu  aufstellen,  nnter  welchen  die 
allgemeine  Gleichung  £  »  0  einen  Kreis  darstellt,  so  hat  man  nur 
anszndr&cken ,  dass  dieser  Kegelschnitt  durch  jene  beiden  festen 
Punkte  gehen  solL  Die  beiden  Durchschnittspunkte  eines  jeden 
Kegelschnitts  mit  der  unendlich  entfernten  Geraden  der  Ebene  wurden 
aber  durch  die  Gleichung  3)  bestimmt.  Ist  nun  dieser  Kegelschnitt 
ein  Kreis,  so  muss  folglich 


M«+^M-2^s,).,      ~     (?)'^     (?)" 


*2  ^2 


und 


(-^33        -^88  —  -^Sl  "T  A2/-Z  j 


(?)'         (?)" 
(^n  +  ^M  -  2^si)',*  "(?)'•       ( ?)" 

oder 

I) 
und 

Diese  beiden  Bedingungen  bilden  also  das  Kriterium  für  den 
Kreis,  können  aber  noch  symmetrischer  ausgedrückt  werden,  wenn 
man  berücksichtigt,  dass  für  das  Fundamentaldreieck  die  Relation 

«i*4"*2*  —  *8*  *^  2si8^cosA^    gilt. 
Ans  I)  folgt  dann: 
2(^33  —  Af^^  ^81  -f- ^ifi)  ^  2^1^, cos Az 

und  es  ist  also,  mit  Rücksicht  auf  11) 

V  **"  ^ii  +  -^«8  — 2-431  A^^-\-A^  —  Az\         "*" 

d.  h. 

*S  -^11  "T'^gg  —  24|2 

*2*         -^11  +  -^83  —  2^81 

Die  allgemeine  Kegelschnittsgleichung  in  trimetrischen  Linien- 
coordinaten  Z^O  repräsentirt  also  einen  Kreis,  wenn  die  beiden 
Bedingungen: 


60  Ehlert:   ünterseheidungscharakttre  der  Kegelschnitte 

-433  +  ^n  —  2-431  ~  «ä'* 
oder 

^11"i~-^28 — ^-4^^  -422 -f- -438  —  2-433  _  -438-f"  Al  — *^-^8i 

oder 

-4tt-j--4n— 2-4w 


*m 


=  constans  erfüllt  sind. 


Diesen  Bedingungen  wird  genügt,  wenn  z.  B.  sämmtliche  Minoren 
-4jj,  vl22,  -433,  -4i2,  A^^  und  ^131  den  Wert  Null  haben,  d.  h.  wenn 
die  allgemeine  Gleichung  Z  =  0  eiuzusammenfalleudes  Punkte- 
paar darstellt.  Es  kann  daher  der  Punkt  als  zu  den  Kreisen  gehörig 
oder  als  eine  specielle  Art  des  Kreises  betrachtet  werden. 

Die  beiden  reellen  Durchschnittspunkte  einer  gleichseitigen 
Hyperbel  mit  der  unendlich  entfernten  Geraden  der  Ebene  liegen 
stets  in  zwei  zu  einander  rechtwinkligen  Richtungen,  da  die 
Asymptoten  einer  gleichseitigen  Hyperbel  normal  zu  einander  sind. 
Die  Schnittpunkte  von  irgend  zwei  zu  einander  rechtwinkligen  Ge- 
raden derselben  Ebene  sind  aber  stets  harmonisch  conjugirt  zu  den 
beiden  festen  imaginären  Kreispunkteu  im  Unendlichen,  oder  mit  an- 
deren Worten:  Alle  Paare  normal  zu  einander  stehender  Geraden 
derselben  Ebene  bilden  auf  der  unendlich  entfernten  Geraden  dieser 
Ebene  eine  Involution  von  Punktepaaren,  deren  Doppelpunkte  die 
beiden  imaginären  Kreispunkta  im  Unendlichen  sind. 

Soll  also  die  Bedingung  aufgestellt  werden,  unter  welcher  die 
die  allgemeine  Kegelschnittsgleichuug  2^  =  0  eine  gleichseitige 
Hyperbel  darbteilt,  so  hat  mau  nur  analytisch  auszudrücken,  dass  die 
beiden  Durchschnittspunkte  des  Kegelschuiits  mit  der  unendlich  ent- 
fernten Geraden  der  Ebene,  welche  durch  die  Gleichung  3)  bestimmt 
wurden,  harmonisch  conjugirt  sind  zu  den  beiden  imaginären  Kreis- 
punkten im  Unendlichen. 

Die  Gleichungen  dieser  beiden  festen  Punkte  sind  aber  nach  dem 
früher  Bemerkten: 

«i( — C08-42  -|-»8in-42)Ji+*2( — cos-4i  —  »8in-43i){2  +  «3s3  =»  0 
und 

*l( — C08i42  —  t8in-42)§i-f-«2( — COS-4, -f-»8in^i)f2  +  «3?8  =  0 

und  es  ist  daher  die  Gleichung  irgend  eines  Punktes  auf  der  Ver- 
bindungsgeraden dieser  beiden  Punkte  d.  h.  auf  der  unendlich  ent- 
fernten Geraden  der  Ebene: 


JÜT  trimetrische  Coordinalen.  6| 

Dann  ist  aber  die  Gleichung  des  Punktes,  welcher  mit  dem  vorigen 
ein,  in  Bezng  anf  das  imaginäre  Kreispunktcpaar  im  Unendlichen, 
harmonisch  conjugirtes  Panktopaar  bildet: 

«1 1 — 008^2  +  »sin^j  — -  ^  •  ( —  cosilg  -—  »sin-^^) }  ix 
"t"*2{ — cos^i  —  zsmA^^  —  A .  ( —  cos^i  +  *'8in-4i)  jl^ 
+q(1— A)|8  =  0 

Man  hat  also  für  die  trimetrischen  Coordinaten  dieses  letzten  Punkte- 
paares 

V  _    /  —  cosvig  +  isin  ^2  +  ^  •  ( —  cos^2  —  i^\nA^) 

x^        ^         — cos^i  —  zsin^, +  ^-( — cosiij  +  tsin^i) 

V^  _    „ —  cosyl2 + esin-<42  —  A .  ( —  cos-42  —  »sin-^j) 

^f  —  g.        _  cos^j  —  isiuil,  —  A .  ( —  cos^i  +  ^sin^j) 

Dieses  Punktepaar  ist  natürlich  für  jedes  reelle  X ,  welches  von  i  1 
verschieden  ist,  imaginär,  dagegen  stets  reell,  wenn 

1   I   1  =  i.^    d.  n.    A  =      ,   , 

genommen  wird,  wo  ^  irgend  eine  reelle  Zahl  bedeutet. 
Setzt  man  der  Kürze  halber: 

—  cos^  +  tsin^2  =  3f  —  cos^2  —  »8in^2  ■"  ^ 

—  cos  A^  —  tiain^i  =  P  —  cos^,  +  isin-^j  =  Q 

so  kann  man  aus  den  beiden  Gleichungen 

M-\-lN        .      „      M—kN 

don  Parameter  A  eliminiren  und  erhält  dann  eine  Relation ,  welcher 
die  trimetrischen  Coordinatenverhältnisse  q'  und  g"  irgend  zweier  auf 
der  unendlich  entfernten  Geraden  der  Ebene  gelegenen  Punkte,  die 
ZQ  den  beiden  imaginären  Kreispunkten  im  Unendlichen  harmonisch 
conjugirt  sind,  genügen  müssen.  Man  findet  durch  Elimination  von 
A  die  Gleichung: 

M—Pq'  _  Pq'—  M 
Qq'--  N  "  Qq'—  N 

oder 

(MQ  +  PN). (q'+  g")  —  2PQq'q'—  ^^N  -  0 


1 


62  Ehler t:   Unter seheidungscharakUre  der  Kegelschnitte 

Nun  ist  aber 

+  (—  cos^i — isiuAi)  (—  cosA^  —  tsin^s) 
=  2co8(-4i+-42)  «  —  2cosAz 

PQ  =  (—  cos^i  —  Äin-4,)  (—  cos^i  -|- tsiuiii)  ==  1 
MN^  { — co8^s-4-töin^2)( — coßilg  —  tsin-^j)  •=  1 

and  man  erhält  folglich  die  Relation: 

co8^sßs+^:)+j-;-j;:+i=o 

welche  die  Coordinatenverhältnisse  von  irgend  zwei  Paukten  Xi  and 
Xi'  za  erfttllen  haben,  die,  aaf  der  anendlich  entfernten  Geradon  der 
Ebene  gelegen,  zn  den  beiden  imaginären  Krcispnnkten  im  Unend- 
lichen harmonisch  conjagirt  sind. 

Soll  also  der  Kegelschnitt  ^  =  0  die  unendlich  entfernte  Gerade 
der  Ebene  in  zwei  solchen  Punkten  schneiden,  d.h.  soll  der  Kegel, 
schnitt  eine  gleichseitige  Hyperbel  sein,  so  müssen  die  beiden  aus 

der  Gleichung  3)  sich  ergebenden  Werte  von  -  der  vorigen  Bedin- 
gang  genügen.    Durch  Substitution  der  Ausdrücke: 

V  ,   af/^       2(^g8  +  iisi  —  ^^  —  A«>a 
x^'  "*■  xg"  "        (^ti  +  ^te  -  2^31)«, 

V        «/'  (^28  +  ^^— 2^23)  V 

erhält  man  die  Bedingungsgleichung 

28i8^COSAs{A2i  -f-  ^1  —  ^88  —  A^^) 

+ «i*Mm + -^  —  2^23) + «i*(-4ii  +  ^  -  2^i)  -  0 
oder 

—  2«]«9^1S  COS^S  +  2#i«j  C08il8M28  +  A31  —  Aji) 

+*,*U„+^l8S-2^2s)+VMn+^— 2i48i)  «  0 

Berücksichtigt  man  die  aus  dem  Fondamentaldreieck  sich  ergebenden 
Relationen 

«l*-f-«j*  —  «3*  ■=  2«]«2COS.43 
Ä2*-f-«8*  —  *1*  "^  2«gJ3C08i4i 
«8*4"'l*  —  *Ä*  '^  2«3«,  C0S-4i 

so  nimmt  diese  Gleichung  die  Form  an: 


'  für  trimetrische  Coordinaten.  63 

+  (*!*- V  —  *8*M23+ ('2*- *3*~  *i*M31  =  0 

oder 

^11*12*1"  -^«^J*  4~  -^33  «3* —  2i423«2^  COB^j 
—  2il3ia8«i  C0S.42  —  2^12*1*2  C0S-4s  =  0 

Einß  darch  die  allgemeine  Gleichung  2J  ==  0  in  trimetrischen 
Lioiencoordinaten  dargestellte  Hyperbel  ist  also  gleichseitig, 
wenn  die  Minoren  der  Discrimiuante  die  Bedingung 

Al»12  + ^22*2* +  -^83*8*—  2^33*2*8  COS^l 

—  ^Az\s2fix  cos-/4i  —  2Ai^^8^  co%Az  =  0 

oder 

E    Ajcksi?  =^     2S    Aki8kStC0RAm 

k,  l,  m  k,l,nt 

erfOllen. 

Frankfurt  a.  Oder  im  December  1883. 


ß4  Völlers:  Combtnatorische  Darstellung 


IV. 


Grundzüge  zu  einer  coinbinatorischen 

Darstellung   der    höheren    Diflferentialquotienten 

zusammengesetzter  Functionen. 


Von 

Herrn  Juiius  Völlers 

in  Oldenburg. 


Da  bei  verwickelteren  aDalytischen  Operationen  —  z.  B.  der 
Entwickclnng  einer  zasammensresetzten  Function  in  eine  Reihe  nnd 
der  Snmmimng  der  Kcttenbrüche  —  nicht  selten  combinatorischc 
Anordnungen  auf  ein  leicht  zu  übersehendes  Verfahren  führen,  so 
suchte  ich  auch  bei  der  Entwickelung  der  höheren  Differentialquoti- 
enten zusammengesetzter  Functionen  eine  derartige  Hülfe  zu  finden 
und  gelangte  zu  dem  in  nachfolgender  Skizze  angegebenen  Resultate, 
das  wohl  nicht  ohne  alles  wissenschaftliche  Interesse  und  auch  yon 
einigem  praktischen  Nutzen  sein  dürfte. 

Als  Ausgangspunkt  für  meine  Untersuchung  benutzte  ich  die 
Formel  von  ü.  Meyer*) 

worin 

indem  ich  zunächst  das  combinatorische  Gesetz,  dem  die  mehrfachen 
Differentiationen  der  Potenzen  von  S  unterworfen  sind,  ermittelte. 


*)  Gruncrtfi  Archiv  T.  IX.     S.  96. 


r 


der  höhern  Dlfferentialqu^tienten.  65 

Sacht  man  von  DS^  aasgehend  D^S^  durch  aufeinander  folgende 
Differeotiationen  und  bezeichnet  in  dem  Resultate 

S  mit  0,  DB  mit  1,  D^S  mit  2,  so  erhält  man,  wenn  man  vorläufig 
von  den  numerischen  Cocfficienten  absieht,  folgendes  Schema  für  die 
einzelnen  Sammanden  der  obigen  Entwickelung 

003 

012  ^ 

111 

Es  ist  dies  die   dritte  Combinationsclasse  der  Elemente  0,  1,  2, 
3,  zur  Quersamme  3. 

In  derselben  Weise  ergiebt  sich  für 

/>4^4  ^  4e3D*0-(-4802Z)eZ)30-j-360«(/>*Ö)2 

+  1440(D6)«  + 24(^6)* 
das  Schema: 

0004 

0013 

0022 

0112 

1111 

welches  die  vierte  Combinationsclasse  der  Elemente  0,  1,  2,  3,  4  zur 
Qucrsammo  4  ist 

Betrachtet  mau  ferner  noch  den  Differentialquotienton 

+  36Oe«(Z)0)«Z)«e  +  12OÖ(D0)* ; 

so  findet  man  folgende  Anordnung, 

00004 
00013 
00022 
00112 
01111 

welche  der  fünften  Combinationsclasse  der  Elemente  0,  1,  2,  3,  4, 
zur  Quersumme  4  gleichkommt. 

Durch  Anwendung  derartiger  Untersuchungen  auf  beliebige  Dif- 
ferentialqüotienten  der  Potenzen  von  6,  deren  weitläufige  Entwicke- 

Aick.  4.  Math.  u.  Plijs.    8.  Keih»,  Voll  I.  & 


66  Völlers:   Cümhinalorische  Darstellung 

luDg  aber  bei  der  Leichtigkeit,  mit  welcher  dieselbe  ausfahrbar  ist, 
hier  unterbleiben  mag,  gelangt  man  zu  folgendem  Satze: 

Entwickelt  man  von  Z?6,  DB\  Dß^  u.  s.  w.  ausgehend  die  aaf. 
einander  folgenden  Differentialquotienten,  und  schliesst  man  vorläufig 
die  sich  hierbei  ergebenden  numerischen  Goefficieuten  von  der  Be- 
trachtung ans,  so  sind  die  einzelnen  Summanden  einer  beliebigen 
Entwickelung  (D**6"*)  in  der  Weise  zusamraeugosetzt,  dass  sie,  wenn 
man  S  mit  0,  DS  mit  1,  D*e  mit  2,  D^S  mit  3  u.  s.  f.  bezeichnet, 
die  einzelnen  Complexionen  der  n-|-l  Elemente  0,  1,  2  ...  zur  Quer- 
summe n  und  zur  mten  Combinationsciasse  repräsentiren. 

Vergleicht  man  nun  die  beiden  Differentialquotionten 

+ iue(De)*D*e + 24(i>ö)* 

+ 360e»(Z)e«2)«e  +  1206(06)* 

mit  einander,  so  findet  man,  dass  die  Anzahl  der  Summanden  in  bei- 
den Reihen  gleich  ist,  und  die  Producte  der  einzelnen  Differential- 
quotienten (wobei  6  als  Oter  angesehen  werden  mag)  in  der  letzten 
sich  von  denen  der  ersten  nur  durch  den  Factor  6  unterscheiden,  — 
was  einer  Classenftnderung  einer  gegebenen  Anzahl  von  Elementen 
zu  einer  gegebenen  Quersumme  entspricht,  —  dass  dagegen  die  nu- 
merischen CoefGcienten  scheinbar  ganz  verschieden  sind. 

In  manchen  Rechnungen  sind  nun  die  Combiuationscomplexionen 
von  ihren  Permutations*  oder  Yersetzungszahlen  begleitet;  schneidet 
man  auch  hier  dieselben  versuchsweise  aus,  so  ergicbt  sich : 

£>*e*  =  4e»z>*e-f  12.  4  6^d6  d^6 

-J-6.  6.  e«(Z)«0)«-f  12.  12.  6(D6)^L^&  +  U(D6)* 

D*©*—  5©*Z>*e+20.  4  6^D0D^6 

+  6.  10.  03(2)20)2 -J- 30.  12.  6HD6)^D^6 
-f  5.  24  6(D6)\ 

Man  sieht,  dass  die  rechten  Seiten  der  beiden  Gleichungen  nun- 
mehr gewisse  numerische  Goefficienten  gemeinschaftlich  haben,  näm- 
lich die  Zahlen  1.  4.  6.  12.  24,  die,  wie  man  sich  leicht  überaeugt, 
jedem  vierten  Differentialquotienten  irgend  einer  Potenz  von  6  zu- 
kommen, nachdem  man  aus  den  sich  anfangs  ergebenden  Goefficienten 
die  dem  entsprechenden  Differentialquotieutenproducte  zugehörigen 
Yersetzungszahlen  ausgeschieden  hat.  Durch  weitere  Vergloichuugen 
wird  man  finden,  dass  jedem  Differentialquotienten  einer  Potenz  von 


Her  höhern  Differentialquotienten.  57 

0  nach  AnsscheidnDg  der  Yersetznngszahlen   gewisse  Goefficienten 
Zukommen,  die  man  nunmehr  allein  ins  Ange  zu  fassen  hat 

Um  die  genannten  Goefficienten  auf  die  einfachste  Art  und  Weise 
f&r  eine  gewisse  Anzahl  aufsteigender  Differentialquotienten  zu  er- 
mitteln, erinnere  man  sich,  dass  D^S^  nie  mehr  Summanden  enthält 
als  />«6";  man  folglich  nur  i9*»ö«  für  n  =  1,  2,  3,  4  u.  s.  w.  zu 
berechnen  braucht. 

Mau  entwickele  nun  aus  DB  DB^  durch  Multiplication  mit  S 
und  Aendcmng  der  Yersetzungszahlen,  aus  DB^  durch  Differentiation 
IfiB\  dann  in  derselben  Weise  aus  Z)«ö^  D^B^  und  aus  D^B^  D^B\ 
und  fahre  so  fort. 

Man  erhält  so  nach  Aussonderung  der  Yersetzungszahlen  für  die 
7  ersten  Differentialquotienten  folgende  Goefficienten: 

I.  1. 

IL  1.  2. 

m.  1.  3.  6. 

lY.  1.  4.  6.  12.  24. 

V.  1.  5.  10.  20.  30.  60.  120. 

YI.    1.  6.  15.  20.  30.  60.  90.  120.  180.  360.  720. 
YII.    1.  7.  21.  35.  42.  105.    140.  210.   210.  420.  630.  840.   1260. 
2520.  5040. 

Man  bemerkt  leicht,  dass  die  ersten  Goefficienten  in  jeder  Reihe 
die  aufsteigenden  Binomialcoefficienten  der  dem  zugehörigen  Dif- 
ferentialquotienten entsprechenden  Potenzen  sind;  die  anderen  da- 
gegen sind  scheinbar  ganz  regellos  gebildet.  Durch  wiederholte  Yer- 
suche  gelang  es  mir  jedoch,  dieselben  auf  folgende  Form  zu  bringen, 
worin  {n)m  den  mten  Binomialcoefficienten  der  nten  Potenz  be- 
zeichnet. 

I.  (l)o 

n.  (2)o  (2), 

m.  (3)o  (3),  (3),.(2), 

lY.  {4)o  (4)i  (4)8  (4),.(3),  (4),.(3),.(2), 

V.  (5)o  (5),  (5),  (5)i.{4)i  (5)|.(4)2  (5)i.(4),.(3),  (5),.(4)i.(3),.(2), 

VI.  (6)o    (6),  (6),  (6)3    (6),.(5)i  (6)1.(5)«  (6),.(4)8   (6),. (5),. (4), 
(6),.(5),.(4),  (6)i.(5),.(4),.(3)i  (6)i.(5),.(4),.(3)i.(2)i 

Vn.   (7)o  (7)i  (7),  (7)3  (7),.(6)i  {l^.ifih  (7)i.(6)8  (7)2.(5),.(7),.(6),.(5),. 
(7),.(6),.(5),  (7),.(6),.(4),  (7),.(6)i.(5)i.(4)i  (7)i.(6)i.(ö),.(4),. 
(7)r(6)i.(5),.(4),.(3)i(7)i.(6)i.(5),.(4)i.(3),.(2), 

5* 


(>g  Völlers:  Combinatorische  Darstellung 

In  diesem  Schema  stehen  zunächst  alle  aufsteigenden  Binomi- 
alcoefficienten  der  dem  betreffenden  Differentialquotienten  entspre- 
chenden Potenz ;  dann  der  BiuomialcoefBcient  der  genanntem  Potenz, 
welcher  den  Index  1  besitzt,  vereinigt  mit  allen  möglichen  aufstei- 
genden Binomialcoefficicnten  der  vorhergehenden  Potenz  von  dem- 
jenigen mit  dem  Index  1  beginnend;  dann  der  Binomialcofficicnt 
der  höchsten  Potenz  mit  dem  Index  2  vereinigt  mit  den  aufsteigen- 
den Coefficienten  der  zweithöchsten  Potenz  von  demjenigen  mit  dem 
Index  2  beginnend.  Nachdem  in  entsprechender  Weise  alle  Binionen 
erschöpft  sind,  werden  die  Terniouen  hergestellt;  zunächst  das  Pro- 
duct  der  Binomialcoefficienten  der  höchsten  und  zweithöchsten  Po- 
tenz mit  dem  Index  1  vereinigt  mit  den  aufsteigenden  Binomial- 
coefficienten der  dritthöchsten  Potenz,  von  demjenigen  mit  dem  Index  1 
beginnend;  dann  das  Product  aus  dem  Binomialcoefficienten  der 
höchsten  Potenz  mit  dem  Index  1  in  den  Coefficienten  der  zweit- 
höchsten Potenz,  welcher  den  Index  2  besitzt,  vereinigt  mit  allen 
Coefficienten  der  vierthöchsten  Potenz  von  demjenigen  mit  dem  In- 
dex 2  beginnend;  und  so  in  entsprechender  Weise  fort.  Da  es  nach 
diesen  Erörterungen  keine  Schwierigkeiten  haben  dürfte,  wenn  nur 
die  Indices  der  zu  einer  der  obigen  Entwickelungsrcihen  gehörigen 
Binomialcoefficienteu-Complexionen]  bekannt)  sind,  diese  selbst  nie- 
derzuscheiben,  so  genügt  es,  vorläufig  nur  die  Indices  zu  botrachtcn, 
welche  folgendermasscn  sehr  leicht  zu  finden  sind.  Nimmt  man  den 
speciellen  Fall,  wo  die  Indices  zum  7ten  Differentialquotienteu  der 
Potenzen  von  B  gehörigen  Binomialcoefficienten  gefunden  werden 
sollen,  so  ist  der  erste  Null;  zur  Ermittelung  der  übrigen  schreibe 
man  die  Indices  der  aufsteigenden'  Binomialcoefficienten  von  der 
7ten  bis  zur  2ten  Potenz  herunter,  jedesmal  mit  dem  Index  1  be- 
ginnend unter  einander,  wie  folgendes  Schema  angiebt: 

123 

123 

12 

12 

1 

1 

Man  combinire  nun  die  Elemente  der   ersten  Reihe  zur  ersten 

Classe;  man  erhält 

1.  2.  3, 

dann  das  erste  Element  1  der  ersten  Keihe  mit  denen  dir  zweiten 
Reihe,  das  2te  mit  denen  der  dritten,  das  dritte  mit  denen  der 
vierten,  indem  man  nur  gutgeordnete  Complexionen  zulässt,  zur 
zweiten  Classe;  dies  giebt 


der  hohem  Differentialquoiienten,  59 

II.  12.  13.  22. 

Darauf  combiniro  man  die  Elemcute  11  der  beiden  ersten  Reihen  mit 
denen  der  dritten,  die  Elemente  12  der  beiden  ersten  Reihen  mit 
den  Elementen  der  4ten  Reihe,  wobei  wiedemm  nnr  gutgeordnete 
Compiexionen  zugelassen  werden;  man  erhält: 

III.  112.  122. 

Darauf  combinire  man  wiederum  die  Elemente  111  der  drei  ersten 
Reihen  mit  denjenigen  der  vierten  Reihe,  und  fahre  in  entsprechen- 
der Weise  fort.    Man  findet  noch 

1111.  1112 

Hill 

UHU 

Wie  man  in  anderen  Fällen  verfährt,  wird  man  leicht  einsehen ; 
aar  so  viel  sei  hier  noch  bemerkt:  Zu  ungeraden  Potenzen  gehören, 

wenn  man  dielndices  von  1  an  rechnet  — k— '    dagegen    zu    einer 

geraden  ^  aufsteigende  Potenzen.    Um   das  vorhergehende   Schema 

allgemein  herzustellen,  hat  man  daher,  wenn  der  gesuchte  Differen- 
tialqaotient  von  6  ungerade  ist,  n  —  1  durch  2  zu  dividiren,  darauf 

die  Zahlen  von  1  bis      ^      2  mal,   darunter  die  Zahlen  von   1  bis 

(  ä  —  l)  zweimal,  dann  die  von  1  bis  (— ^ 2j  zweimal  hin- 
zuschreiben, und  so  fortzufahren,  bis  die  Entwickelung  mit  2  auf- 
einanderfolgenden die  Einheit  enthaltenden  Reihen  schliesst. 

Bei  geraden  Differentialquotienten  schreibe  man  dagegen  einmal 

die  2iahlen  von  1  bis  ^  bii>9  dann  zweimal  ^  —  1  u.  s.  f. ,  wie  bei 
den  ungeraden  Differentialquotienten. 

Nachdem  nunmehr  die  Entwickelung  aller  einzelnen  zur  Berech- 
nang  eines  höheren  Differentialquotienten  von  6  erforderlichen  Rech- 
nungen erörtert  ist,  dürfte  es  nötig  sein,  die  Gesammtentwickelung 
an  einem  Beispiele  klar  zu  machen.  Bevor  ich  jedoch  dazu  schreite, 
will  ich  noch  einige  Regeln  über  die  Entwickelung  der  nten  Combi- 
nationsclasse  der  Elemente  012 .  . . .  n  zur  Quersumme  n  hier  ein- 
ftlgen,  da  dieselbe  nicht  gut  als  allgemein  bekannt  vorausgesetzt 
werden  dürfte. 


70  Völlers:  Combinatorüsche  Darstellung 

Handelt  es  sich  um  die  Herstellung  der  nten  Combinationsclasso 
der  genannten  Elemente  zur  Quersumme  n,  so  entwickele  man  nach 
einander  die  Combinationsclassen  der  Elemente  1  bis  n  zur  Quer- 
summe n,  setze  der  ersten  Ciasso.  (n  —  1)  mal,  der  2ten  (n  —  2)  mal, 
der  dritten  (n  —  3)  mal  das  Element  0  vor  und  fahre  so  fort  bis  zur 
nten  Classe,  welche  (n — n)  oder  0  mal  das  Element  0  erhält.  Als 
Beispiel  folge  hier  die  achte  Combinationsclasse  der  Elemente  0  bis 
8  zur  Quersumme  8. 

00000008  00001124 

00000017  00001133 

00000026  00001223 

00000035  00002222 

00000044  00011114 

00000116  00011123 

00000125  00011222 

00000134  00111113 

00000224  00111122 

00000233  01111112 

00001115  11111111 

Zur  leichten  und  sicheren  Construction  der  einzelnen  Combi- 
nationsclassen der  Elemente  1  bis  n  dienen  folgende  Regeln,  welche 
sich  auf  die  Herleitnng  einer  Combinationsclasse  aus  der  vorher- 
gehenden zu  einerlei  Quersumme  beziehen. 

1)  Jeder  Complexion  der  gegebenen  Classe  mit  Uebergehung  de- 
rer, die  am  Ende  zwei  oder  mehrere  gleiche  Elemente  haben,  setze 
man  1  vor,  und  vertausche  die  letzte  Zahl  der  Complexion  mit  der 
ihr  im  natürlichen  Zahlensystem  vorhergehenden.  Dies  giebt  die  mit 
1  anfangenden  Complexionen  (die  Ordnung  1)  der  abzuleitenden 
Classe. 

2)  In  den  so  gefundenen  Complexionen  der  Ordnung  1  (mit  Ueber- 
gehung derjenigen  Complexionen,  welche  entweder  zwei  oder  mehr 
gleiche  Anfangs-  oder  zwei  oder  mehr  gleiche  Endelemente,  eins  oder 
beides  zusammen,  haben)  vertausche  man  die  erste  Zahl  mit  der 
nächstfolgenden,  die  letzte  hingegen  mit  der  nächstvorhergehenden 
im  natürlichen  Zahlensystem. 

3)  Ebenso  leitet  man  die  Ordnung  3  aus  der  Ordnung  2  ab^ 
wenn  man  die  Vorschrift  (2)  auf  die  Ordnung  2,  wie  vorher  anr 
wendet,*  und  ebenso  die  zugehörigen  Anfangs-  und  Endelemente  den 
umzuwandelnden  Complexionen  vertauscht    Und  Sq  für  die  übrige* 


der  hohem  üxffererUialquolienUu. 


71 


Ordoangen,  soviel  deren  das  Haaptgesetz  der  Gombinationen ,  das- 
jenige der  gaten  Ordnnng  zulässt. 

Nach  diesen  Regeln  lassen  sich  alle  Gombinationsclassen  zu  einer 
gegebenen  Quersumme  ganz  mechanisch  ableiten. 

Es  soll  nunmehr  D^&^  gefunden  werden.  Mam  schreibe,  am 
besten  untereinander  die  achte  Combinationsclasse  der  i^emente  0 
bis  8  zur  Quersumme  8  hin,  wie  es  das  Schema  a.  angiebt;  schreibe 

demselben  die  Yersetzungszahlen,  welche  mittelst  der  Formel  -r^^ — 

gefonden  werden,  worin  m!  =  1.2.3...m,  und  worin  n  die  Anzahl 
der  Elemente  der  betreffenden  Complexion,  er,  ß  u.  s.  w.  dagegen  in 
denselben  vorkommende  Anzahlen  gleicher  Elemente  bezeichnen 
iSchema  b.);  ferner  schreibe  man  das  Schema  der  aufsteigenden 
Binomialcoefficienten ,  welches  in  diesem  Falle  mit  1.  2.  3.  4.  be- 
ginnt an  (Schema  c),  und  endlich  entwickele  man  hieraus  das  Schema 
der  combinirten  Binomialcoefficienten  (Schema  d.). 


Schema  a. 

Schema  b. 

Schema  c. 

Schema  d. 

00(X)0008 

8! 
7! 

1234 

0 

00000017 

8! 
6! 

123 

1 

00000026 

8! 
6! 

123 

2 

00000035 

8! 
61 

12 

3 

00000044 

8! 
6!  21 

12 

4 

00000116 

8! 
5!  2! 

1 

11 

00000125 

8! 
5! 

1 

12 

00000134 

8! 
5! 

i3 

00000224 

8! 

22 

00000233 


00001115 


5!  2! 

8! 
5!  2! 

81 
4!3! 


23 


111 


72 


Völlers:   Combinalorische  Darstellung 


Schema  a. 

Schema  b.   Schema  c.   Schema  d 

00001124 

8! 
4121 

112 

00001133 

81 

113 

412121 

00001223 

81 
4121 

122 

00002222 

81 
414! 

222 

00011114 

81 
31  41 

1111 

00011123 

81 
313! 

1112 

00011222 

8! 

1122 

31213! 

00111113 

81 
2!  5! 

Hill 

00111122 

81 
21412! 

11112 

01111112 

8! 
61 

111111 

11111111 

81 

o  t 

1111111 

8! 

Ersetzt  mau  nun  in  dem  Schema  a.  und  d.  die  Indices  durch  die 
zugehörigen  Differentialquotienten  resp.  Binomialcoefficicnten,  schreibt 
nach  Unterdrückung  des  Schemas  c.  die  auf  einer  Zeile  stehenden 
Grössen  als  Factoren  zusammen  und  verbindet  die  so  erhaltenen 
Producte  zu  einer  Summe,  so  hat  man  LfiS^  vollständig  entwickelt: 

81 


■  • 


8! 


+  g  j  (8)i  e^DSD^e 


+  |j(8),  e^D^SD^S 

+  |;(8)8  e^n^SD^e 


dtT  hohem  Differentialquotienttn.  73 

.    8! 

+  51(8)1(7),  s^DeD^erfie 

+  |j(8)i(7)t  »^D»D»eD*6 

+5f^(8),(6),  e»(fl«»)«z)*e 
+5r^(8),(6),  9^iy»e(D»9)* 
+jf^j(8)i(7),(6)i  e*(De)>ifis 
+  jrii  (8)i(7)i(6),  ©*(Dö)«ö«ez)*© 

+j?^(8),(7),(5),  B*De(D»S)*D3B 
4-  ifj!  (8).(6),(4),  e*(/>«©)* 
+  gf  [j  (8),(7),(6),(5),  e'(Z)©)*Z>*e 
+  3T^-;{8),(7),(6),{5),  e»(Z)e)»ö»©ZJ»© 

+  ärlfS!  <8)i(7).(6)«(*)«  Ö»(ÖÖ)*(Ö*«)» 
+  2rr!  (8)i(7),(6),(5),(4),  ©«(D©)»ö»v^ 
+  2rfr2!  (8)t(7),(6),(5),(4),  e»(J9Ö)*( 0»ö)« 
+  I1  (8),(7),(6),(5),(4),(3),  ©(/)©)«ö»e 
+ 11  (8),(7),(6),(5),(4),(3),  (2),  (Z*®)» 

Um  aas  den  angegebenen  schematischen  Anordnungen  von  LflS'^ 
diejeDigen  von  I^B^  herzuleiten,  hat  man  nur  dem  Schema  a.  eine 
0  Tonoschreiben,  und  das  Schema  b.  den  so  erhaltenen  Complexionen 
in  a.  gemftsa  zn  ändern;  um  L^ß''  zu  erbalten,  lasse  man  in  dem 
Schema  a.  die  letzte  Combinationsclasse  der  Zahlen  von  1  bis  8  fort, 
ebenso  die  dieser  entsprechenden  Complexionen  in  d.,  streiche  femer 
ia  dem  Schema  a.  in  den  übrigen  Complexionen  die  erste  Null  und  Ter- 
iodere  in  entsprechender  Weise  die  Tersetzungszahlen ;  in  derselben 


74  Völlers:   Combinatorüche  Darslelluny 

Weise  kann  man  ans  den  Anordnungen  von  D^S'^  die  Schemata  für 
ly^S^  deriviren  u.  s.  f. 

Nach  diesen  Erörterungen  kann  ich  nunmehr  zur  Lösung  der 
oben  angegebenen  Aufgabe  schreiten.  Handelt  es  sich  um  die  Auf- 
findung der  8ten  derivirten  Function /®(rr),  worin 

so  ist  nach  der  oben  genannten  Formel 

worin 

Man  findet  demgemäss 

also  gleich  der  obigen  Entwickelung  von  Z)^6^,  jedoch  soll  nach  aus- 
geftlhrter  Differentiation  q  gleich  Null  werden,  und,  wie  man  bemerkt 
ist  alsdann  6  «  0,  DB  =  g>'a:,  £>*ö  =  q>**x  u.  8.  w.  oder  kurz 

In  dem  obigen  Schema  a.  verschwinden  alle  Glieder  bis  auf  das 
letzte,  welches  keine  Null  enthält,  also  auch  kein  S\  ferner  ist 

wie  ans  den  angeführten  Regeln  hervorgeht,  erhält  man  als  Schema 
die  nach  Weglassung  der  Nullen  zurtlckbleibende  7tc  Combinations- 
classe  der  Zahlen  1  bis  8  in  Verbindung  mit  den  ans  d.  entnomme- 
nen ihr  zugehörigen  Werten  und  den  zu  D^S"^  in  der  7ten  Classe 
der  Zahlen  von  1  bis  8  gehörigen  Versetzungszahlen. 

Um  es  kurz  zu  machen,  die  Schemata  von  D^S^  geben,  wenn 
man  alle  Nullen  in  a.  weglässt,  dann  die  den  so  entstandenen  Com- 
plexionen  in  a.  entsprechenden  Versetzungszahlen  in  b.  schreibt,  da- 
gegen c.  und  d.  durchaus  nicht  ändert,  ohne  Weiteres  alle  Werte 
von  Uk^  oder  die  gesammte  Entwickelung  fttr  f^{x). 

Die  Schemata  für  fHx)  sind  demgemäss: 


^T  höhern  JOiffereaiialquotienUn, 


75 


Schema  a. 

Schema  b. 

Schema  c. 

Schema  d. 

8 

1! 

1234 

0 

17 

21 

123 

1 

26 

2! 

123 

2 

35 

2! 

12 

3 

44 

2! 
2! 

12 

4 

116 

3! 
21 

1 

11 

125 

3! 

1 

12 

134 

3! 

13 

224 

3! 
21 

22 

233 

3! 
2! 

23 

1115 

4! 
31 

111 

1124 

4! 
2! 

112 

1133 

4! 

212! 

113 

1223 

4! 
2! 

122 

2222 

4! 
4! 

222 

11114 

5! 
4! 

IUI 

11123 

51 
3! 

1112 

11222 

5! 
213! 

1122 

111113 

6! 
5! 

um 

111122 

6! 
4!  2! 

11112 

1111112 

7! 
6! 

null 

11111111 


8j 
8! 


lUUU 


76 


Voller»:  Combmaioriache  Darstellung 


Aus  dieser  Darstellung  erhält  man  nnmittelbar  den  Wert  von 
/^fflp),  wenn  man  für  1,  2,  3  u,  s.  w.  im  ersten  Schema  «p'ar,  gp''x, 
q>'"x  u.  s.  w.  setzt,  im  üebrigen  wie  vorher  bei  der  Entwickelung 
von  D^S^  verfährt  und   den  einzelnen   zusammengehörigen   Combi- 

uationsclassen  aus  a,  b  und  d     — ,-  beischreibt. 

nl 

Man  erhält  so 


/»« 


+  2 
+  2 
+  2! 

^  2» 

^2 
+  3 
+  3 


+  : 


+ 


+  3 


+ 


+ 


+ 


2 

4 
2 

4 


+ 
+ 


1^ 

0 

4 


F^ 
2! 


(8)4(g>*a^) 


8 


3! 


(8),(7)2<p»arg)2x(pßa: 
(8),(6)3(g)*«)(9^'^)* 


(8),(7)i(6),((p'x)V^ 


{8),(7),(6),{(pV)«p2ir<p^a; 


ir^\4, 


(8),{6)8(4)8(g>M 


I 


3! 


(8)t(7),(6)i(5),(«p'x)VW 
(8)i(7)i(6)i(5)8(fp'a;)'g?*irqpV 


5! 


5! 


+  öT^-f  (8)i(7)i(6),(4),(Q)'x)«(cp%)' 


2!  3! 


der  höhern  Differentialquotienten,  77 

+  |;(H)i{7),(6)i(5),(4),(3X(7)'x)V^    j  ^T 

+  |](^^)i(7)i(6(,(5X(4),(3),(2),(<p'z)»    }  ^ 

Weitere  Beispiele  zu  geben  wird  nicht  nötig  sein,  da  das  ge- 
gebene Linreicbt,  am  alle  Einzelheiten  der  Rechnung  erkennen  zu 
lassen.  Ich  will  nur  noch  bemerken,  dass  die  Entwickelang  der 
Schemata  für  sich  durchaus  nicht  erforderlich  ist,  sondern  dass  man 
es  bei  einiger  Uebung  leicht  dahin  bringen  kann  selbst  den  20teu 
Differentialquotieuten  ohne  Weiteres  niederzuschreiben;  andererseits 
kann  man  aber  die  Werte  einer  gegebenen  fp(x)  oder  Fy  direct  in 
die  Schemata  einsetzen  und  so  Specialformelu  für  die  höhereu  Dif- 
ferentialquoticnten  erlangen.  Wie  sich  die  Formeln  in  jedem  einzel- 
nen auf  die  höheren  Dififerentialquotienten  bezüglichen  Falle,  unter 
anderem  auch  zur  Ermittelung  der  höheren  Diffetentialquotienten  in- 
Terser  Functionen,  benutzen  zu  lassen,  dieses  zu  erörtern,  würde  sich 
für  diese  Skizze  allzusehr  ausdehnen,  daher  unterlasse  ich  die  Be- 
handlung dieser  Fragen  hier,  und  will  nur  noch  ein  paar  Anwen- 
dungen geben,  welche  jedenfalls  geeignet  sein  werden,  die  praktische 
Brauchbarkeit  der  obigen  Entwickelungen  ausser  Zweifel  zu  stellen. 

A.  Differentiirt  man  die  Reihe  l  +  c'+e^*-!-  •• .  ß"*  p  mal  nach 
z  and  setzt  nach  der  Differentiation  x  »  0,  so  erhält  man 

[/>P(l  +  ««+62x-|-  ...  e««)]^  =  1P-J-2P+  . ..  nP 
Setzt  man  hierin  e*  -»  y,  so  hat  man 

tp(x)  «  y  «  e*;      1  +c*4-62«_^  . . .  e»»*  =  1  +y +y*+  •  •  •  y"  ="  /W; 
man  findet  leicht 

Mitteist  der  gegebenen  Werte  und  der  berechneten  Schemata 
für  die  höheren  Differentialquotienten  kann  man  nun  den  Wert 
lF^2i'4-  "^  für  jede  beliebige  ganze  positive  Zahl  finden.  Hier 
mögen  die  Berechnungen  für  p  »  2,  3  und  8  folgen. 

Die  Schemata  für  den  zweiten  Differentialquotienten  sind 


78  Vnllera:  Comhinatoriachf.  Dartfelhimf 

a  b  c  d 

2  1!  1  0 

n        »I 

Daraus  findet  man,  weil  das  Schema  a.  immer  1  ist 

l2+2^4.3«+...^2_m2),(n  +  l),+  ||(2Wn-fl)5 

«•  («  +  1)2  +  A»  +  1)8  -* 2.2.3 

Die  Schemata  für  den  dritten  Diffcreutialqaotienteu  sind 


3 

1! 

1 

0 

12 

21 

1 

1 

111 

3! 
31 

11 

erhält  daraus 

l»+2»+3»+  ...n»=  l!(3)o(n  +  l),+2!(3),(«+l)8 
4-  |](3),(2),(n  +  l),  -  („-|-l),4-6(nH-l)8  +  6(n+l)« 
n(n+l)\» 


m') 


Die  Schemata  fttr  den  achten  Diffcreutialquotienten  sind  bereits 
angegeben. 

Man  erh&lt  daraus 

18+28+38+  ...+n8 

3! 

2!  (8).(7). 

21(8)ij  1+ 3!  (8),(7),| 

+  2!(8)sf  1+ 3!  (8)j(7)«  ,      . 

l!(8)o(«  +  l),+  ^+2!(8),K«+l)3+<^  ;(«+l)« 

21        \  i+2i(8)«<6),( 


l  +  2!  <»)* 


-|-||(8),(6), 


rfpr  höhern  Differentialquotienten.  79 


Ij  (8),(7),(6), 
1+  fi  (8),(7),(6), 


|i(8),(7),(6),(5). 


+  \+  ^  (8),(7),(6)sJ (»+1)5+  j+  I ;  (8),(7),(6),(5),     }  (» f  D« 
f+ II  (8),(7),(5),     I  1+ 2f^(8),(7).(6),(4)ä 

+  ^  (8)s(6)»(4)j      / 

|]  (8),(7),(6),(5),(4),      j 

+  1      '  ^  )(«  +  l)7 

(  if^  (8).(7),(6),(5),(4),) 
+  }^  (8)i(7)t(6),(5),(4),(3),  }  (n  +  l)g 

+|i  (8),(7),(6),(5),(4),(3),(2),(n  + 1),. 

B.    Diffcrentiirt  *)  man  Fix  mehrmals  nach  einander,   so  erhält 
Dan  die  Gleichnngen: 

DFlx F'bc 

X 

jfiFUt  ^\{F"lx  —  iF"lx-ir'!iF'lx\  u.  8.  w. 

welche  das  allgemeine  Bildungsgesetz  erkennen  lassen 

D^Flx  =  \  \hF*l»  - «,F»-ite  +lgF"-2to  -  . . .} 

worin  (q,  l^  u.  8.  w.  von  x  unabhängig  sind. 

Zn  ihrer  Bestimmung  dient  die  specielle  Annahme  Fy  =-  c-^» ; 
Fte  «  ar-^  es  entsteht  dann 
i(i4.1)(X  +  2)  ...  (A  +  n-l)  =  io^*  +  M"-l  +  /2^«-'2+...A.-iA, 

woraus  man  erkennt,  dass  /o  ==  ^ 

•)  Siehe   „SchloiDiU-h ,    Uebungsbucli    zur    höheren    Annlysis."     Hl.  Aufl. 
S.  55. 


80  VoUei's:  Comhinaforitiche  Dnrxtellung 

l^  =  l-f-24-3  +  44-  ...  (n— 1) 
l^  =-  1.2+1.3  +  1.4+  ...  +l(n  — 1) 
+  2.3+2.4    ...   +2(n  — 1) 
+  3.4  +3(n— 1) 

•       •       ■        ■        ■       •       • 

+  (n_2)(n-.l) 

ü.  s.  w.  sind,  oder  es  sind  1^^  ^,  ^  die  sogenannten  Facultätencoef- 
ficicnten  vom  n  ton  Grade.  Die  directe  Summiruug  derselben  ist  sehr 
nmständlich ;  mau  wird  daher  ein  Mittel  suchen,  dieselben  auf  andere 
Weise  zu  erhalten.  Eine  sehr  bequeme  Art  bietet  hierzu  der  Ver- 
gleich mit  der  auf  combiuatorischen  Wege  hergestellten  Formel. 
Handelt  es  sich  um  die  Entwickeluug  der  Facultätinicoefficienten  des 
neunten  Grades,  so  giebt  die  obige  Formel 

oder  auch 

+  ItF^lx  —  hF^lx  +  l^F''lx  -  /,/^8ir+  loF^lx) 
Andererseits  hat  man 

Durch  Yergleichung  dieser  beiden  Reihen  erhält  man 

ll/g  =  x»r;i;     2llj  ^  —x^Ui\     3ll^  =  x^üz',    41/5 x^L\; 

bll^^x^U^',    6IZ3«— «»üii    TlZg««»^^;     8!Z,- *»Di; 

Man  entwickelt  nunmehr  die  Schemata  für  den  neunten  Diffe- 
rentialquotienten. 


Schema  a. 

Schema  b. 

Schema  c. 

Schema  d. 

9 

> 

1! 

1234 

0 

18 

2! 

1234 

1 

27 

21 

123 

2 

36 

2! 

123 

3 

45 

21 

12 

4 

dtr  iüktm  DiffertniiaiquoHenten, 


81 


Schema  a. 

Schema  b.       Schema  c.       Schema  cL 

117 

21                  12                         11 

126 

3!                  1 

12 

135 

3!                  1 

13 

144 

3! 
2! 

14 

225 

31 
21 

22 

234 

31 

23 

333 

3! 
31 

33 

1116 

41 
3! 

111 

1125 

41 
2! 

112 

1134 

4! 
2! 

113 

1224 

4! 
2! 

122 

1233 

41 
2! 

123 

2223 

4! 
31 

222 

11115 

5! 
4! 

1111 

11124 

5! 
3! 

1112 

11133 

5! 
312! 

1113 

11223 

51 
212! 

1122 

12222 

5! 
41 

1222 

111114 

6! 
5! 

Hill 

111123 

61 
41 

11112 

111222 

6! 
313! 

11122 

AiA.  a.  MHk.  IL  Phjfc 

S.  Beul«,  TtU  I. 

• 

82 


Völlers:  Combinatoriiche  Darstellung 


Schema  a. 
1111113 

1111122 

11111112 

111111111 


Schema  h. 

7! 

61 

7! 
5!2! 

S\ 

7! 

9] 
9! 


Schema  c. 


Schema  d. 
111111 

111112 

1111111 

11111111 


Nnn  ist  nach  Einsetzung  der  Differentialqaotienten  and  Bino- 

/ l)*— i(ac 1) ! 

mialcoefficienten  in    die  Schemata,  wegen  q»^  -» 


flC« 


üi  =  .l(8!)l!(9)o 


U. 


^=^ 


^A-'-Z^ 


{0!7!}2!(9),    ] 
+  |1!6!}2!(9), 
+  {2!5!}2!(9)8 
+  {3!4!}2I(9)4 

{010!6I}|]{9M8), 

+  {0!l!5!}3!(9)i(8), 
+  {0!2!4!}3!(9)i(8)8 

+  {0I3!3!}|S(9),(8), 

+  {1!1!  4!}||(9),(7), 
+  {1!2!3!}3I(9),(7)8 
+  {2!2!2!}|^(9)8(6)8 

{OlO!0!5I}||(9),(8),(7)i    | 

+  {010!  1141}  |{(9),(8y7), 

+  {0I0!2!3!}||(9W8)4(7)8 

+  {0!l!l!3!}|j(9),(8),(6), 

+  {0!1!2!2!}|{(9),(8),(6)8 

+  {1!1I1!2I}||(9),(7),(5), 


der  hohem  DifferentialquotUnten,  83 

{010!0I0U!}||(9),(8),(7),(6), 
+  {0!  0!  0!  1!  3!}  11  (9)x(8)i(7)i(6), 
or  =  4-  ^  ^  +  {0!  0!  0!  21  2!}3y^(9),(8W7),(6)3 

+  {0!  0!  1 !  1 !  2!  !2y^(9),(8),(7)g(5), 
+  {0!l!l!lll!}|j(9),(8),(6),(4), 

{0!  0!  0!  0!  0!  3!|  ||(9),(8),(7W6),(5), 
ti-_L   J  +|0!0!0!0!lI2!}|j(9W8),(7),(6),(5), 

i 

+  {ÖI  0!  Ol  11 1!  1!  }3^(9)i(8)i(7),(6),(4)j 

\       {01010101010121 II   (9),(8)i(7)i(6),(5),(4), 
'+{0101010101111  l}5r^j(9)i(8),(7),(6),(5)i(4) 

^«  =  -  ?  {0!  Ol  Ol  Ol  Ol  0101 11}  ||(9)i(8)i(7M6),(5)i(4),(3)i 

üi-      i^{0l0!0lO!Ol0!OlOl0!}  |]  (9M8W7),(6M5M4)i(3U2)i 

hierin  bedeutet,   wie  man  leicht  erkennea  wird,  Ol   (ausgesprochen 
Ote  Facultät)  ebenso  wie  1 1  1. 

Die  gegebenen  Beziehungen  zwischen  den  Werten  von  ü  und  l 
lasten  erkennen,  dass  die  in  den  Klammern  stehenden  Factoren  der 
Werte  von  rr  der  Reihe  nach  ll^g!  2I/7;  V.l^  u.  s.  w.  sind.  Man 
erhalt  nach  Ausführung  der  angedeuteten  Operationen 

^  =  40320;    i,«  109584;    /ß  — 118124;    Zg  «  67284;    ^4  =  22449; 

&  «  4536;    Zj  =  546;    Z,  —  36;    ?o  **  1- 

Diese  Berechnung  ist  noch  einer  bedeutenden  Vereinfachung 
fUiig;  zerlegt  man  nämlich  die  für  ll/^;  21 2^1  SIZ^  u.  s.  w.  er- 
haltenen Werte  wieder  in  drei  Schemata  a/  b',  d',  worin  wiederum 
in  b'  die  Yersetzungszahlen  zum  Schema  a',  und  in  d'  die  Indices 
d^  Binomialcoefficienten-Complexionen  kommen;  dagegen  in  a'  die 
in  den  einxelnen  Seihen  der  Entwickelung  von  llZ^;  2IZ7  u.  s.  w. 


s 


(;• 


84 


Völlers:  CotiUfinatorisehe  Darstellung 


enthaltenen  Facaltäten-Gomplexionen,  wobei  man  das  Ansrufangs- 
zeichcn  fortlässt,  so  erhält  man  folgende  Schemata,  in  denen  die 
einzelnen  Classen  den  Werten  yon  112^;  2!2j  u.  s.  w.  entsprechen: 

Schema  a'.    Schema  b'.  Schema  a'.  Schema  b'.  Schema  d'. 


.     8 

07 

16 
25 
34 

006 

015 
024 

033 

114 
123 
222 

0005 

0014 

0023 

0113 

0122 

1112 

00004 
00013 


1!     00000001 

21     00000000 

21 

21 

2! 

3j 
2! 

31 

31 

3j 
2! 

3j 
2! 

31 

3! 
3! 

41 
31 

4j 
21 

4! 
21 

4! 
2! 

4! 
2! 

4! 
31 

5! 
41 

51 
31 


81 
71 

91 
9! 


0 

1111111 

1 

11111111 

2 

3 

4 

11 

12 

13 

14 

22 
23 
33 

111 

112 

113 

122 

123 

222 

1111 

1112 


i 


6mt  hohem  DijftrentialquoHenUn, 


8& 


Sbhema  a'.    Schema  b'.  Schema  a'.  Schema  b'.  Schema  d'. 


00Q22 


00112 


01111 


000003 


000012 


000111 


0000002 


0000011 


5! 


3!  2! 

5! 
2!  21 

5! 
4! 

6! 
51 

6! 
41 

61 

11 

61 

7! 
5121 


1113 


1122 


1222 


Hill 


11112 


11122 


111111 


111112 


Die  Schemata  b'.  und  d'.  sind  ganz  dieselben  wie  bei  der  Be- 
recbnang  von  f^x\  das  erste  Schema  a'.  entsteht  ans  dem  Schema  a. 
dadurch,  dass  man  jedes  Element  in  demselben  nm  die  Einheit  ver- 
riogert  Dasselbe  lässt  sich  jedoch  von  dem  Schema  a.  ganz  nnab- 
b&ngig  darstellen ,  dadurch  dass  man  die  vorher  angegebenen  Kegeln 
for  die  Derivation  einer  Combinationsclasse  ans  der  vorhergehenden 
Inder  Weise  abändert,  dass  an  den  Stellen  von  1,  2,  3  u.  s.  w.  0, 

1,  2,  3  u.  s.  w.  tritt,  und  dann  von  der  ersten  Classe  (8)  ausgeht. 
Selbstverständlich  ist  in  den  so  erhaltenen  Gomplexionen  die  Quer, 
snmme  keineswegs  mehr  immer  dieselbe.  Da  jedoch  die  Elemente 
ifl  erster  Linie  Ordnungszahlen  sind,  so  kann  man  den  Zahlen  0,  1, 

2,  3  u.  8.  w.  einen  nm  die  Einheit  grösseren  numerischen  Wert  bei- 
legen, wodurch  die  Quersumme  wieder  9  wird,  und  spricht  sodann 
die  Fordemng  für  das  Schema  a'.  folgendermassen  aus:  Es  sollen 
die  aufeinander  folgenden  Combinationsclassen  der  Elemente  0,  1,  2, 
3  ...  8  zur  Quersumme  9  berechnet  werden,  wobei  den  Elementen 
0,  1,  2  ...  8  bei  der  Berechnung  der  Quersumme  einem  die  Einheit 
grösserer  numerischer  Wert  beigelegt  werden  soll,  was  man  kurz 
äosdrflckt:  ea  sollen  die  sämmtlichen  Combinationsclassen  der  Ele- 

[012345 
mente  0,  1,  2  bis  8  zur  Quersumme  9  fttr  den  Zeiger  L  03453 

6  7  81 

"89    i^^^^^^^^  werden.    Demgemäss  ergiebt  sich  folgendes  combi- 

oatorische  Gesetz:  Bildet  man  sämmtliche  Combinationsclassen   der 


86  Vollen:  Comhinatorische  Darstellung  ete. 


2 

2  3 


Elemente  0,  1,  2,  3  . . .  8  znr  Qtiersnmme  9  für  den  Zeiger     .   ^ 

4  5  6  7  8  9'   ^^^^^^^  dieselben  als  Schema  a.,   schreibt  in  b.  die 

Yersetzungszahlen  an,  entwickelt  in  d.  die  Gomplexionen  der  Indices 
der  Binomialcoefficienten  (wie  vorher);  ersetzt  dann  die  Elemente 
des  ersten  Schemas  durch  die  den  Elementen  entsprechenden  Facul- 
täten,  ersetzt  die  Indices  in  d.  durch  die  zugehörigen  Binomial- 
coeflQcienten,  bildet  aus  den  sich  entsprechenden  Werten  in  a,  5,  d 
Producta,  und  yerbindet  die  zu  den  einzelnen  Classen  gehörigen 
Producte  zu  einer  Summe;  so  sind  die  so  entstandenen  Werte  der 
einzelnen  Classen  gleich  11 1^-,  21^  u.  s.  w.  Die  Verallgemeine- 
rung dieser  ganz  independenten  Berechnung  der  Facultätencoffidenten 
überlasse  ich  dem  Leser. 


Mücellen,  g7 


V. 


Miscellen. 


1. 

Die  BeetionBearreB« 
Die  Formel 

Ä»8iiil7— Ä»-ia8m(ü+g))+Ä»-2Ä8in(r7+29)— ...  «0 

lässt  eine  Anwendung  zn  auf  die  Teilung  eines  Winkels  in  n  Teile. 
Dabei  ist  nicht  nötig ,  die  Abschnitte  x  »  p^  =  p^  =  ps  der  Abscis- 
senachse  gleich  a  zu  setzen.  Lassen  wir  also  m  Punkte  in  einen 
zusammenfallen,  so  gehen  von  einem  Cnrrenpnnkte  m  Strahlen  nach 
demselben,  und  es  ist  ü=z  EB  ==  m9.  Setzen  wir  nun  unserer  Auf- 
gabe gemäss  fest,  dass 

mB  =  2R  ~  n^ 
sei,  so  geht  obige  Formel  Ober  in 

i2"8inn9  —  »wÄ^-i  sin  (n  —  l)tp  -f-  *»  ( — n —  )a*jR~'"^8in(n — 2)g>—  —0 

Hierin  ist  m  ganz  willkürlich  zu  nehmen,  in  Folge  dessen  die 
Gleichung  znr  Anwendung  eine  ziemliche  Ausdehnung  besitze. .  Im 
vorliegenden  Falle  wird  der  zu  teilende  Winkel  ^  durch  2R  —  mB 
vorgestellt,  woraus  bei  passender  Wahl  von  m   aus  dem  Winkel  B 

der  gesuchte  qp  =  —  vermittelst  der  Curve  sich  leicht  ergibt 

Bemerkt  oaan,  dass  man  über  n  frei  verfügen  kann,  und  setz 
Ott  «  —  1  voraus,  so  resultirt  aus  den  obigen  Formeln 


g8  MücelUn, 

2R— g) 


e 


m 


Der  zu  teilende  Winkel  ^  ist  2R— q),  so  dass  m  an  die  Stelle  von 
n  tritt,  in  Folge  dessen 

6>  —  -    ist. 

m 

Gurren  dieser  Art  haben  die  Eigenschaft,  dass  eine  durch  den 
Anfangspunkt  gezogene  Gerade  die  Gurre  in  m  Punkten  schneidet, 
deren  Radienvectorensumme  gleich  Null  ist 

Setzen  wir  z.  R.  m  =  3,  so  ist 

Ä»  — 3a*Ä  +  2a»C0S9  =  0 

die  Trisectionscurve  in  Polarcoordinaten,  welcher  wir  schon  früher 
bei  der  gleichseitigen  Hyperbel  begegnet  sind. 

Diese  Gurre  besitzt  einen  Kniilenpunkt,  durch  welchen  2  Tan- 
genten hindurchgehen,  welche  mit  der  X-Achse  bezüglich  die  Winkel 

n    2 

ö-»  Q»  bilden.    Die  mit  B  bezeichneten  Winkel  sind  der  Reihe  nach 

|R— g,  ^R— -rt»    a,  was  auch  aus  den  Wurzeln 

Äi==:2aC08(|R  — i9), 

J28-2aco8(|R+t9), 

i?3  —  2a  cos  ^9 
bewahrheitet  wird. 

Gehen  wir  auf  die  erste  Formel  zurück  und  setzen 

17=26  —  2R— 3^, 

so  resulürt  aus  der  betreffenden  Gurvengleichung 

JR'ginS^)  — 2Jßasin29>-^a'8in9  »0 

die  bekannte  Hyperbel 

a 
3 

Im  Anschluss  an  diese  Aufgabe,  worin  die  Trisection  auf  einen 
Kegelschnitt  zurückgeführt  ist,  setzen  wir  überhaupt  auch   für  die 


«  9  ~"       9  *""   ^* 


Miscelten.  89 

Obrigen  Fälle  m  —  2  voraas,  and  die  Teilangscarve  hat  die  Terein- 
fachte  Gleichong 

/Psinnqp  — 2aJR8in(n  — l)g>+ö*8in(n  — 2)^  —0, 
worin 

2R~2e    .^ 

a  —  18t. 

n 

Die  Warzeln  dieser  quadratischen  Gleichang  ergeben  sich  ans 

R  . 

-sinngi  —  sin(fi  — l)g>i  ysinCn  —  l)<p* — sinn^sinCn  —  2)^> 

i  i. 

R 

—  sin  ngo  =  sin  (ft  —  Dy  d:  sin  <p, 

so  dasa  die  Gleichang  auch  wie  folgt  geschrieben  werden  kann : 

(_        ntp  n  —  2   \  /„    .    «a>  .    n  —  2   \       ,^ 

R  coB-g — acos— ft— goj  (Ä  sm  -77- ■"«»^'"ö""^')  ==^ 

loraos  die  Oleichangen 


n 


—2  . n—2 

cos— 2-(p  sin-y-<p 

coSq7  smn^ 

hervorgehen,  welche  aach  auf  anderm  Wege  abgeleitet  werden  können 

Die  Polargleichangen  der  Sectionscarven  zeichnen  sich  dnrch 
grosse  Einfachheit  aas  and  umfassen  alle  Fälle.  Die  Untersuchung 
derselben  bietet  manches  Interessante.    Setzt  man  z.  B.  n  «  6  fest, 

TIS  anf  die  Trisection  9  =  — -z —  zurflckkommt,  so  existiren  den 
Formeln  fOr  R^  and  R^  gemäss  die  Gleichungen 

y    =-^^^3^-     tind     ^a:-3J  -3-3 

welche  Ton  einander  unabhängig  sind.  Die  letztere  ist  die  Trisoctions- 
hyperbel. 

Fttr  »  —  5  erhält  man  eine  Gleichung  (n  —  1)  ten  Grades  von 
der  Form 

worin  die  X  Functionen  von  x  sind,  welche  ebenfalls  den  4.  Grad 
Bicht  flberschreiten.  Analoges  gilt  für  die  übrigen  Fälle,  die  oft 
dirch  mehrere  Cnrvengleichungen  charakterisirt  werden  können. 

£.  Oekinghaus. 


1 


90  MiscelUn. 

2. 

lBteiri*&tioB  einer  Differentialsrleichimg:. 

Um  die  Gleichung 

y(4)  =  xy'-y  (1) 

zn  integriren,  differentiire  ich  dieselbe  einmal,  nnd  erhalte  hiednrch 

y(5)  -  ajy"  (2) 

Setzt  man  nun 

y"-  y  (3) 

so  erhält  man 

Y'^=xY  (4) 

Das  Integral  dieser  Gleichung  ist 

e"  4  [|i*,  Ci  e^i~«  +  ^  CjcA't««  +  ^18  ft  e^«««'  +  (»4  C4  «^••«]du   (5) 
0 

vorausgesetzt,  dass  Q  C,  Cs  C4  willkürliche,  blos  an  die  Bedingung 

C  +  C^  +  d  +  C^^O  (6) 

gebundene  Gonstante  sind,  und  dass  J14  (if  fis  fi4  die  4  Wurzeln  der 
Gleichung 

^*  =  1  (7) 

sind.    (Siehe  meine  Vorlesungen  über  lineare  Differentialgleichungen, 
Seite  103). 

Setzt  man  nun  in  die  Gleichung  (5)  für  Y  seinen  in  (3)  stehen- 
den Wert,  so  erh&lt  man 


00 

y"  =  /  «■"  4[FiCie".«*+fi,C,«^.-»+f*8Qie^««*+f*4C46^«"«]dtt 

b 

und  hieraus  folgt  durch  Integration 

/*_!^r^»^  — 1  —  Ml««  1 


(8) 


0 

.00 


/__«^rc/wt«» — 1  —  luux  "I 

/*    üi!r«"««« — 1  —  u^ux  1 

+  fAS  ft  I  e"  4  ^ -j^ 1-  9(tt)  4-  xrff{u)\du 


0 


+  M*  c,y«~7T'^''"  ^^^,  ***"*+ yW+^^w]«^«» 


(9) 


MiseeUen.  91 

Dod  in  dieser  Gleichung  bedeuten  q>(u)  and  ^(u)  einstweilen  noch 
unbestiminte  Functionen  von  u.  Wird  diese  Gleichung  zweimal  nach 
X  differentiirt,  so  gelangt  man  wieder  zur  Gleichung  (8)  zurück.  Nun 
soll  aber  der  in  (9)  stehende  Wert  von  y  der  Gleichung  (1)  genfigen. 
Damit  dies  stattfinde,  müssen  die  Functionen  (p{u)  und  tp(u)  ent- 
sprechend gewählt  werden. 

Ich  schreibe  nun  die  Gleichung  (9)  kurz  auf  folgende  Weise: 

'"  ^  [ ft«u8  +  <P  W  +  xrif(u)^du       (10) 

0 

Differentürt  oian  dieselbe,  so  erhält  man: 


0 

00 


y"  «  S^kC  I  (AwT  T  .ef^^du 

• 


and  werden  diese  Werte  in  die  Gleichung  (1),  d.  i.  in 

y(4)_ajy'+y«0  (1) 

eiDgef&hrt,  ss  erhält  man: 

oder  nach  gehörig  vorgenommener  Reduction 

/«T                     »"*«  —  1 
ß"  T  fiVfl^«»— »  . — 

0 

+'^''^v"'"^+^H'^*'  (11) 

Nim  Ifisst  sich  stets  ip{u)  so  wählen,  auf  dass  nachstehende  Gleichung 


92  MücdUn, 

=  — «"T. (12) 

flu  ^     ' 

identisch  stattfindet;  man  kann  sich  hiervon  dnrch  Differentiation 
leicht  tlherzeugen,  denn  differentiirt  man  die  Oleichnng  (12),  so  er- 
hält man: 

M*r  e^M'  — —  1      ef^**  —  1 uux  1 

=  tiße     4. e     A  '- 5-5 

und   hieraus   folgt  nach   vorgenommener  Reduction  eine  Identität, 

falls  man 

q>{u)  =»  —  fi*f«* 
setzt,  CS  ist  somit: 

a.  —  e     4  • 

fitt 

ferner 


0 

und  schliesslich: 

Nun  ist  vermöge  der  Gleichung  (6) 

Ci  +  C^  +  Cs  +  C^^-O  (6) 

'(/;(»)  bleibt  vollständig  willkürlich,  man  kann  daher  dasselbe  beliebig 
anuehmon ,  somit  kann  man  das  Integral  der  Gleichung  (1)  folgen- 
dcrmasscn  schreiben: 

0 

0 

0 
+  HC.fe"  T  ["^^^  "^^^,  J  ^^"^  ~  ft4  V]du  +  C^       (10) 


MUctUen,  Qg 

und  hier  bedeuten ,  wie  schon  einmal  gesagt ,   C,  Q  ft  ^4  C5  will- 
kürlic]ie,  blos  an  die  Bedingung 

CiH-C,  +  ft  +  C4«0  (6) 

gebundene  Constante,  und  ih  Ih  (^  1*4,  dio  4  Wurzeln  der  Gleichung 

^*  =  1  (7) 

Ein  particulÄres  Integral  der  Gleichung  (1)  ist 

y-«  (11) 

Setzt  man  daher  in  die  Gleichung  (1) 

y  =  xj  Zdx  (12) 

80  erhfilt  man  zur  Bestimmung  von  Z  die  Gleichung: 

a:Z'^+  42r"—  x^Z  =  0  (13) 

Das  Integral  dieser  Gleichung  ist  somit: 

nnd  fthrt  man  die  hier  angezeigte  Operation  durch,  so  gelangt  man 
zu  folgendem  Integral  der  Gleichung  (13) 

-         ^    /**- !LT«''»«*  —  1       «^1"»  —  1  —  fi^tta;  .    |»A1. 


0 
00 


0 

+  fitU  /  «     4 TTT T       2*-  kft* 

«/  L     f*««*«  ^8*wV  '      sc*   J 

0 

wobei  (\  C^  Ch  Ci,  und  f4  f^  f*3  /i4  die  früher  angezeigte  Bedeutung 
haben. 

Fflbrt  man  in  die  Gleichung  (13)  statt  der  Variablen  x  eine 
neue  Variable  £  ein,  mittelst  der  Substitution 

a^  =  I  (16) 

io  gdangt  man  zu  der  Gleichung: 


94  MücelUn, 


6«*§|5-+2085g|r+72gj--Z»0  (17) 


Das  Integral  dieser  Gleichung  ist  somit: 


0 

OD 


f4it»yi  f*i*«*V£  ys 


0 


0 

00 


fi,uV£  fijvyi  ye 

+  ,.c, /VVr^^^^^  ^>  (18) 

/       L  ^^^yi  ^^vye  ysJ 

Q  C,  Ol  C^  and  fi^  fis  fAs  f««  haben  genau  die   früher  angezeigte 
Bedeutung.  Simon  Spitzer. 


3. 
Ueber  einen  geometrischen  Ort. 

Py  Q  seien  zwei  Punkte  in  der  Ebene  des  Dreiecks  ABC.  AP 
werde  von  BC^  BQ^  CQ  beziehungsweise  in  Pa,  ^6,  Ac  getroffen. 
Ä'  liege  zu  Pa  bezüglich  AbAc  harmonisch. 

Wir  construiren  A\  indem  wir  die  Punkte  A^  C  der  durch  P« 

gehenden  Geraden  BC  mit  Ab^  Ac  yerbinden.    Die  Verbindungsgerade 

der  Punkte 

(BAb,  CAc)y    (BAc,  CAb) 
trifft  AP  in  A'. 

Nun  ist: 

(BAi,  CAc)  =  Q 

Wir  haben  also  die  Coordinaten  des  Schnittpunktes  der  Geraden 

[Q,  (BAc,  CAb)2y    APa 
zu  bestimmen. 

Für  P^papbPey  Q^qaqbqe  (trimetrische  Punktcoordinaten 
bezüglich  des  Fundamentaldreiecks  ABC)  erhalten  wir: 


Aftjtcellen. 

P€ 

—Ph 

0 

qa 

—  9« 

0 

phqe 

Pcqc 

pbqb 

Peqb 

Peqa 

0 

0 

—phqa 

la                     pb^qe 

Pe^qb 

95 

APa=        0 
BQ=-^qt 

CQ  =      qb 

Ab  ^peqa 

Ae  ^pbqa 
CAb  ^pbqe 
BAe  ^peqb 
(CAb^   BAe)  ^pb Peqa 

Die  Yerbindangsgerade  dieses  Punktes  mit  Q  hat  die  Form: 

Pbqe-^-peqjb  — Pcqa  — pbqa 

Dieselbe  trifft  APa  in 

il'=  2phpeqa  Pb(pbqe+Pcqb)  Peipbqe  +  peqb) 

Fflr  P^  Jy  das  Inkreiscentram,  bekommen  wir: 

Ä^2qa  qb'\-qe  96  +  9« 

Der  Ort  der  Punkte  Q,  fOr  welche  in  diesem  Falle  die  A^  in  einer 
Geraden  liegen,  ist  die  Corvo: 


2xa 

«6+af« 

«6  +  a?« 

Xe'\-Xa 

2xb 

Xe-^-Xa 

Xa-^Xb 

«a  +  n 

2xe 

—  2Zxa.i2xa 

^—ZxbXe]  «0 

• 

«a  +  scfc  +  afc  =  0 

Die  Gerade 

ist  die  Harmonikale  Ton  •/. 
Der  Kegelschnitt 

S  —  ^JTa*  —  ExbXe  —  0 

redacirt  sich  anf  den   Pnnkt  J,     Denn  nehmen  wir  an,  irgend  ein 
reeller  Pnnkt  o^  ß^  y^  liege  anf  <S,  so  dass 

dann  ist  auch 

-S(l  +  «i)«--S(l  +  ft)(l  +  yi)  =  0 

Ausserdem  liegt  J  anf  £^. 

Es  müssten  also  die  in  einer  Geraden  liegenden  Pnnkte    * 

sof  dem  Kegelschnitte  S  liegen. 


96  Muceüen. 

Durch  Projection  erhalten  wir  den  allgemeinen  Satz: 

P,  Q  seien  zwei  Punkte  in  der  Ebene  eines  Dreiecks  ABC 
AP  werde  von  BC^  BQ^  CQ  bzhw.  in  Po^  -4*,  Ae  getroffen.  A'  sei 
der  zu  Pa  bezüglich  AiAe  vierte  harmonische  Punkt.  Dunn  liegen 
die  A'  für  alle  Punkte  Q,  welche  auf  der  Harmonikaien  von  P  liegen, 
in  einer  Geraden.  Emil  Hain. 

Wien,  Februar  1884. 


4. 

Geometrische  Aufgabe  nebst  Lösung« 

Ein  Dreieck  zu  construiren  aus  einem  Winkel  «,  der  Winkel- 
halbirenden  ta  und  der  durch  die  Winkelspitze  gehenden  Mittel- 
linie ta^ 

Auflösung.  Für  die  Seiten  und  Winkel  des  Dreiecks  ist  die  ge- 
bräuchliche Bezeichnung  o,  &,  <?  und  a,  ßy  y  angewandt 

Es  ist 

4**  c*  C08*2 

a*  =  ft* -}-<?*— 2itecosa 


0   =.6«  +  c«  — 4*««-|-2ftccosa 
0  =(6-|-c)«— 4*.»— 4Äc8in»^ 

(2)  (*+c)»  =  4*a«+4Äcsin«^ 

Setzt  man  diesen  Ausdruck  für  (6-f'«')'  in  (1)  ein,  so  erhält  man 


oder 


<o* .  *«*  +  ^ctc?  sin*2  =  6 V  cos*5 
ft  V—  e«*tg*|.i«=««».««*sec*| 
tg«^  +  |/««V^+4*aV«a»sec«^ 


da  das  Vorzeichen  (— )  für  y  hier  nicht  zu  verwerten  ist 


MüetUen.  97 

Werden  die  aaf  a  durch  ta  gebildeten  Abschnitte  Oj  and  %  ge- 
nannt, BO  i8t 

Oj.ot  =  Ätf  —  t««  — 2 

Denkt  man  sich  dann  am  das  Dreieck  einen  Kreis  beschrieben  and 
ta  bis  znr  Peripherie  verlängert,  und  nennt  man  die  Verlängernng  ar, 
80  ist 


X  «^  — : — 


«.tg«?-2««+|/«««tg*?+4<a«sec«^ 


Demnach  zeichne  man  den  gegebenen  Winkel  a  mit  der  halbirenden 
tu  and  constrnire  die  Verlängernng  x  von  ta.  Verlängert  man  dann 
tn  nra  ar,  ond  beschreibt  über  x  als  Sehne  einen  Kreisbogen,  welcher 

et 

Winkel  ö  als  Peripheriewinkel  fasst,  so  schneidet  der  Bogen,  in  wel- 
chem der  Scheitel  liegt ,  einen  Schenkel  a  entweder  in  2  Pnnkten, 
oder  berflhrt  ihn,  oder  er  hat  keinen  Pnnkt  mit  ihm  gemein.  Ver- 
bindet man  im  ersten  Falle  einen  der  beiden  Pnnkte  mit  dem  End- 
ponkte  von  ta  and  zieht  die  Linie  bis  zum  andern  Schenkel  ans,  so 
ist  das  Dreieck,  welches  so  entsteht,  das  verlangte.  Der  andere  Pnnkt 
giebt  dasselbe  Dreieck  in  nmgeschlagener  Lage.  Für  den  Fall  der 
Berührnng  erhält  man  ein  einziges  gleichschenkliges  Dreieck,  im 
dritten  Falle  ist  die  Lösnng  unmöglich.  P.  Seelhoff. 


5. 
Ueber  allf  emelne  mid  absolute  Permutatieneiu 

Lehrsatz.  Bezeichnet  man  die  Anzahl  der  allgemeinen  Per- 
mntationen  fOr  n  Elemente  mit  P«,  so  ist 

P„-(n-l)(P*-a+P»-i) 

Beweis.  Der  Beweis  wird  in  der  Weise  geführt,  dass  man,  die 
Bichtigkdt  derselben  für  n— 1  vorausgesetzt,  seine  Gültigkeit  für  n 
nachweist  Vertauscht  man  nämlich  das  erste  Element  a  mit  einem 
Elemente  r,  so  ist  die  Permntationszahl  für  die  n— 2  übrigen  Ele- 
mente P».2f  die  Gruppe  ist  charakterisirt  durch  die  Stellung  r  ...  a  ... 
Ersetzt  man  weiterliin  r  durch  eins  der  übrigen  n— 2  Elemente,  z.  B. 

Ink.  4.  Math.  «.  Fkji.    &  Bttb«,  TtU  L  7 


gg  Miseeüen. 

durch  «,  so  sind  f&r  die  folgenden  Pennntationen  zwei  F&lle  zn  anter- 
Bcheiden.    Erstens  mnss  u  mit  r  deigenigen  Platz  tauschen,  welchen 
dies  ursprQnglich  eingenommen  hatte  and  a  mnss  demnach  so 
lange  auf  seinen  nrsprflnglichen  Platz  znrfickkehren,  so  dass  also  die 
Gruppe  der  sich  hieran  anschliessenden  Permutationen  charakterisirt 
ist  durch  a  .......  r  ...;   die  Anzahl  dieser  Permutationen  für  die 

fi  —  3  flbrigen  Elemente  ist  Pn-%.  Zweitens  tritt  u  fOr  r  in  die  erste 
Stelle  und  r  für  u  in  alle  (n— 2)  Permutationen,  die  im  Eingänge 
angeführt  wurden.  Beide  Fälle  zusammen  liefern  mithin  Pn^z-i- Pn-'2 
Permutationen,  und  da  u  der  Repräsentant  der  (n-*2)  übrigen  Ele* 
mente  ist,  so  ist  die  Gesammtzahl  derselben  (Pn.s  +  iw-a) (n  ~ 2) 
aber  nach  der  Voraussetzung  Pt»-i.  Bechnet  man  die  ersten  Pn-2 
Permutationen  hinzu,  so  ergeben  sich  ftlr  den  Inbegriff  sämmtlicher 
Permutationen,  welche  durch  den  Platztausch  von  a  und  t  eingeleitet 
sind,  iV-3-hin-i  Permutationen  und  da  a  mit  n-^1  Elementen  nach- 
einander vertauscht  werden  muss,  um  alle  Permutationen  zu  be- 
kommen, so  ist 

Nun  ist  für  die  4  Elemente  a,  b,  c,  d  der  Gang  der  Versetzungen, 
obiger  Auseinandersetzung  entsprechend, 


b 
b 


.a.e  ,d) 
.a,d,c } 


a,c,b,d\Pi  a.d,e.b\P^ 

c 

e 


.a.d,b}  d .a,b  ,e  ^        ' 


Da  nun  (Pj-f-P,)  .2  =>  P,  ist,  so  folgt  für  sämmtliche  Permutationen, 
wenn  man  noch  a  mit  c  und  d  vertauscht 

P,-(Pj,+  P,).3 
und  ganz  allgemein 

p»  =  (p„_2 + Ph-i)  (n  —  1) . 

Zweiter  Lehrsatz.    P»  »  n.P«»-.i. 

Beweis.    Aus  dem  ersten  Satze  folgt 

Pn  =  n  P„-2  +  n .  Pn-l  —  Pii-2  —  Pfi-1 

Aber  die  3  Glieder  wP«-a— Pi»-a— P«-i  oder  (n  —  1)Ph-2— P«_i 
sind  gleich 

(«  — l)P«-a— (n-2)(P^-«-i-P,»-a)  =  P«-2  — (n— 2P«-Ä 

{(fi  — 2)P«-.s-P..-a} 


MisceUen.  99 

und  letzter  Ansdrack  wieder  ==  +{(n— 3)Pi»-4  — Pi»-8}.    Fährt  man 
mit  dieser  Redaction  fort,  so  erhält  man  für  ein  grades  n  schliesslich 

(n-  l)P«-2 -  Pn^i  =  SPj  — Ps  -  0 
und  fSr  ein  ungerades  n 

(«-l)P«_2-i'»~i  -  2Pi  — Pj  =  0 
Also  ist. 

P«  —  n .  Pn-l. 

Anmerkung.  Verfährt  man  umgekehrt,  indem  man  nach  dem 
gewöhnlichen  Permntationsvorfahreu  nachweisst,  dass 

Pn  «  nPn-l 

ist,  so  folgt  hieraus 

?•  -  (n-l)P,..l  +  Ph-1  -  (n  —  1)P«>1  +  (n  -  l)Pn-2 
-(n-l)(P«-i  +  P*-2). 

Dritter  Lehrsatz.  Nennt  man  die  Permutationsformen,  'hei 
welchen  kein  Element  in  seiner  ursprünglichen  Stellung  steht,  ah- 
solute  und  bezeichnet  die  Anzahl  dieser  Formen  für  n  Elemente 
mit  P«»,  so  ist 

P^n  -  (n  —  1)  (P««-2+  P««-.l). 

Beweis.  Der  Beweis  wird,  wie  bei  dem  ersten  Satze,  durch 
den  Schluss  von  n  —  1  auf  n  geführt.  Vertauscht  man  nämlich  das 
erste  Element  a  mit  einem  der  übrigen  p,  so  ist  die  Permutations- 
zahl fär  die  n  —  2  Elemente  P^fi~2.  Die  Gruppe  dieser  Formen  ist 
charakterisirt  durch  die  Stellung  p  . . .  a  . . .  Ersetzt  man  dann  g 
durch  eins  der  übrigen  n — 2  Elemente  v,  dann  sind  zwei  Fälle  zu 
onterscheiden.  Erstens  tritt  q  an  die  ursprüngliche  Stelle  von  v  und 
man  erhält  P'n-s  Permutationen  der  n  — 3  übrigen  Elemente;  die 
Formengruppe  ist  charakterisirt  durch  v  ...  a...g  ...  Zweitens  tritt 
9  in  die  erstgenannten  P^m— 2  Permutationen  überall  an  die  Stelle 
von  9,  die  Gruppe  ist  bezeichnet  durch  v  . . .  a  . . .  Für  beide  Fälle 
hat  man  demnach  P^w-s  +  ^^w-a  Permutatiouen  und  da  v  die  n — 2 
übrigen  Elemonto  repräseutirt,  welche  nach  und  nach  mit  g  zu  ver- 
taoschen  sind,  so  ist  die  Gesammtzahl  dieser  Permutationen  (n  —  2). 
(?«»-.2+P*»-2)  oder  nach  der  Voraussetzung  =  P"«— 1.  Man  hat 
also  als  Inbegriff  sämmtlicher  Permutationen,  welche  durch  die  Ver- 
taaschnng  von  a  und  g  eingeleitet  wurde,  P'*h-2+P"«-i  nnd  für 
sämmtliche  Permutationen,  die  dadurch  erhalten  werden,  dass  a 
ttberhaupt  mit  n  —  1  Elementen  nach  und  nach  zu  tauschen  hat,  ist 
also 

F\  «  (n  — l)(P«n-24-^"*-l) 


100  MitttUm. 

Fflr  P'n  ergiebt  sich  aber,  wenn  die  Elemente  it,  ß,  y,  8  sind, 
folgender  Gang  der  Versetzangen 

ß.«.S.Y\P<'t 
•   •   •   •   1 ™i 

Y.a.i.ß\P<'t  ) 

Da  nan  also 

•0  ist  weiter 

(P«,+PV-3  =  -P*4, 
allgemein 

i^«  =  (n—  l)(P«»-a+i*»-i) 

Vierter  Lehrsatz.    P"«  =  iiP"«-i+(— 1)" 

Durch  ein  Ver&hren,  wie  bei  dem  Beweise  des  2ten  Lehrsatzes 
l&sst  sich  nachweisen,  dass  fOr  ein  grades  n 

(•»— l)P«»_a— P««-i  -  3P«,— P",  -  + 1 
and  fiDr  ein  on^rades  n 

(n— 1)P««_>-  P«,_i  -  2P«i— P«,  =  —  1 
ist,  und  man  hat  also 

P'n  -  «P%-it-f  (n— l)P««_«-P«,_i  =  nP«,_i-|-(— 1)" 

Fünfter  Lehrsatz.    •'^•«  **•  «' (öi  —  31  +  jt +•••( — l)*~i) 
Beweis.    Pn  —  P'n'-  n(P,-i  --  P"»-i)  +  (—  D—i 

-  «{ («- 1)  (P«-2-  r'n-i)+  (-1)—«)  +  (- 1)—» 

-  n(n — 1)  (P,-a — P«— »)  +  (—  1)"-*  •• + (—  1)"-* 
=  i»(i.-l){(n-2)(P»-8— P«,-«)  +  (-l)— »} 

+(-l)"-«n+(-l)— » 

=  «(«— 1)  (n — 2)  (P,-» — P«»-s)+ii(«  - 1)  (— 1)"-* 

+  (-!)"-«»+(- 1)»-» 

p,— P««  =  n(i.-l)(n— 2)  . . .  (n—k+l)(Pn-t—P'n-k) 

+  n  («-1)  ...(«-*+•?)(-!)"-* 
+  ...+(-l)-«n+(-l)-» 
Fflr  i;  =  n—l  ist  also 


Müeitttm.  101 

P,—P'n  —  Mn—1)  ...  2— n(f»— 1)  ...  3+n(n  — 1)  ...  4—  ... 

4-(-l)»-«n+(-l)«-» 


"•      21^31^     -^     ^'       (n  — 1)'^^     ^'       n! 


Mithin 


^-=«'&-äl+"+^-l)-'öiil)!+<-l)-^!) 
ADmerkang.     ^—  ist  also 


and  fllr  n  ^  OD  ist 

_«_    oder     ^  =  0. 

Der  Beweis  der  letzten  Formel,  welche  den  von  Herrn  Th.  Sanio 
zaent  aufgestellten  Satz  enthält,  ist  nach  einer  Mitteilung  desselben 
ausser  von  mir,  in  ähnlicher  Weise  auch  von  Herrn  0.  Hermes  ge- 
Alhrt  worden.    Der  Beweis,  dass 

^^"-i-2-i+r!  +  -  (-i)-'ör^+(-i)-^ii 

ist,  wurde  bereits,  wie  ich  hinterher  gefunden  habe,  von  Nie.  Bemoulli  I. 
gegeben;  man  sehe  hierüber  Montmort:  Essai  d'analyse  sur  les  jeux 

de  hazard,  Paris  1713.    2ter  Theil.     ^^^—  ist  nämlich  der  Aus- 

druck  fOr  die  Wahrscheinlichkeit,  unter  allen  Permutationsformen  ans 
n  Elementen  eine  zu  treffen,  bei  welcher  mindestens  1  Element  in 
seiner  ursprünglichen  StcUung  ist.  Bei  Montmort  handelt  es  sich  um 
das  Spiel  „Treize'S  bei  welchem  man  von  13  Whistkarten  einer  Farbe 
die  einzelnen  umschlfigt  und  der  Reihe  nach  aufzählt:  As,  Zwei,  Drei 
a.  s.  w.  Das  Spiel  ist  entschieden,  wenn  die  aufgeschlagene  Karte 
mit  der  ausgesprochenen  Bezeichnung  übereinstimmt  —  üeber  den 
Satz  des  Herrn  Sanio  sehe  man:  Grunerts  Archiv,  T.  LXX.  p.  224. 

P.  Seelhoff. 


102  Mücellen. 

6. 

Beweis  fQr  den  yon  Herrn  Br.  Santo  initgeteilten  Satz,  betreffend 
die  eombinatorisehe  Definition  der  ZabI  e. 

Zu  dem  im  3ten  Hefte  des  Archivs,  Teil  LXX«  8.  224,  von 
Herrn  Dr.  Sanio  mitgeteilten  Satze,  betreffend  die  combinatoriflche 
Definition  der  Zahl  e,  erlaube  ich  mir,  folgenden  Beweis  zu  geben. 
Ich  bezeichne  hierbei  die  Anzahl  der  absoluten  Permutationen  von  n 
Elementen  mit  N%  die  Anzahl  sämmtlicher  Permntationen  mit  N, 

Handelt  es  sich  beispielsweise  um  N%^  so  seien  die  Elemente 
1,  2,  3,  4,  5  und  dieses  ihre  ursprQngliche  Stellung.  Dann  kann  man 
zum  Zwecke  der  Permutation  das  erste  Element  itt  die  2te9  ^^^i  ^^^ 
und  5te  Stelle  setzen  und  erhält  4  Gruppen,  welche  hierdurch  cha- 
rakterisirt  sind. 

Setzt  mau  für  jede  einzelue  Gruppe  jedes  der  übrigen  Elemente 

an  die  Spitze ,   so  findet   man  für  die  Auzahl  der  Permutation  einer 

Gruppe  2-}- 9,  nämlich  2,  wenn  das  Element  an   der  Spitze  ist,  in 

dessen  Stelle  sich  (1)  befindet,  und  im   Ganzen  9  für  die  3  andern 

Elemente,   wenn  diese  an  der  Spitze  stehen.    Es  ist  also  aus  den  4 

Gruppen 

iV«5  -  (2+9). 4  -  (i\^«s+iV«J.4. 

Allgemein  erhält  man 

insbesondere  ist 

iV«,  —  1,    i\^«8  —  2. 

Oder 

iy^a^«  1.3  —  1 

iV«4  =  (1.3  — 1). 4  +  1 

ya^  «  ((1.3  — 1). 4+1). 5  —  1    u.  s.  w. 


iV^«n«(... (((1.3-1). 4  +  1)5-1)  ...)n  +  (-l)« 
Löst  man  die  Klammern  durch  Multiplication  auf,  so  ist 
iV«n  =  1.3.4.5...n  — 4.5.6...n+5.6...n+...(— l)»«~i|i  +  (— 1)^ 
Also 

iV„"^2I       3I+41^--^     ^'       (n-1)!^^     ^^n! 

—  -  für  n  =  OD 

e 

also 

Bremen.  Seelhoff. 


MisceUen,  103 

7. 
Barstellongr  der  Zahl  e  ah  unendliebes  Produet. 

Wie  sich  nach  Wallis  ^  in  Form  eines   unendlichen  Prodactes 
geben  lässt*),  nämlich: 

n       2.2.4.4.6.6     ... 


M  XmÖ»Ö%OmO,l  ... 

SO  auch    öl  nämlich: 

e       1.0.3.8.45.264.1855  .,. 
2^0.1.2.9.44.265.1854  ...' 

Hierin  ist  ^  »  1  and  sind  die  Nullen  nur  einer  Tollständigeren  Ana- 
logie halber  zugesetzt,  indem  dann  jeder  Factor  des  Zählers  ab- 
wechselnd um  1  grösser  oder  kleiner,  als  der  entsprechende  Factor 
des  Nenners  wird.  Das  Bildungsgesetz  lautet:  „die  Summe  je  zweier 
aof  einander  folgenden  Factoren  des  Nenners,  mit  der  Stellenzahl  des 
letztern  von  ihnen  multiplicirt,  liefert  den  folgenden  Factor,  also: 

(0+  1).2-  2 
(1+  2). 3-  9 
(2+  9). 4«  44 
(9+44).5  =  265 
etc. 

Beweis.  Da  der  dritte  Factor  im  Nenner,  nämlich:  2  identisch 
=  3—1  ist  und  (l-j-2)  =  4— 1,  so  wird  der  vierte  Factor  im 
Nenner  nach  dem  vorhin  angegebenen  Bildungsgesetze :  4.3  — 1.3  » 
4.3  —  4  +  1  «  9  und  der  vierte  Factor  im  Zähler:  8  —  4.3  —  4  = 
4(3— 1)  —  4.2  «  dem  vierfachen  3ten  Factor  des  Nenners. 

Femer  wird,  da  (2  +  9)«(3— 1)  +  (4.3  — 44-l)«3.5  — 5  +  1 
ist,  der  fänfte  Factor  des  Nenners  «  3.4.5  —  4.5  +  5  —  1,  also  der 
f&nfte  Factor  im  Zähler ,  der  ja  um  1  grösser  sein  soll ,  =  5(4 . 3 
—4+1)  »  5.9  =  dem  fünffachen  4ten  Factor  des  Nenners. 

Ebenso  wird  der  sechste  Factor  drs  Nenners,  da  (9+44)« 
(4.3— 4+l)  +  (3.4. 5  —  4.5+5  —  1)  -  3.4.6  —  4.6  +  6  —  1  ist, 
die  Form:  3.4.56  —  4.56  +  5.6  —  6  +  1  erhalten  und  der  sechste 
Factor  des  Zählers  »  dem  sechsfachen  5ten  Factor  des  Nenners 
sein. 


*)  Vgl.  Cauchy :  algebraische  Analysis  Neunte  Note. 


104  Mücdkn, 

Ohne  Weiteres  läset  sich  durch  den  Schlnss  von  n  auf  n-|-l 
dasselbe  fttr  die  nten  Factoren  des  Zählers  und  Nenners  dartun. 

Brechen  wir  daher  den  doppelten  Wert  des  unendlichen  Pro- 

ductes: 

1.2.3.8.46.264.1856  ... 

^  ""1.1.2.9.44.265.1854  ... 

beim  nten  Factor  ab,  so  hebt  sich  aus  Zähler  und  Nenner  jeder 
frühere  Factor  bis  auf  den  letzten  heraus  und  bleibt  im  Zähler  das 
Product  1.2.3  ...  »,  im  Nenner  nur  der  nte  Factor: 

i^=3.4.&.6  ...  n  —  4.5.6  ...  n-|-5.6  ...  n  ...  T**il 

und  der  redproke  Wert  des  Productes  nämlich: 

iV 1 1  1  1 

n!~1.2       1.2. 3+*  1.2.3.4    ••*  1.2.3  ...  n 

wird  für  fi «  OD  in  den  Wert  -  übergehn,  denn 
liefert  fttr  «  «  •—  1  die  Formel : 


1.2      1.2.3^1.2.3.4 

Anmerkung  1.  Es  muss  daher  auch  N  die  Anzahl  der  ab- 
soluten Permutationen  zu  irgend  einer  Grundstellung  bei  n  Elementen 
sein*),  was  aus  folgendem  erhellt. 

Um  die  Vorstellung  zu  fixiren,  wollen  wir  vier  Elemente  o^  &, 
<?,  d  annehmen  und  zwei  Anzahlen  IV  und  IV'  unterscheiden.  Dio 
erste  gebe  an,  wie  oft  wir  a,  &,  e,  d  zur  Grundstellung  abed^  die 
zweite,  wie  oft  wir  x,  &,  c,  d  zu  derselben  Grundstellung  abed  absolut 
permutiren  können  (d.  h.  so,  dass  kein  Element  mit  der  Grundstel- 
lung einen  Platz  gemeinsam  hat). 

Was  nun  die  zweite  Anzahl  betrifft,  so  kann  x  vier  Stellen  ein- 
nehmen. ^ 

Steht  es  unter  o,  so  kommen  jetzt  die  absoluten  Permutationen 
von  den  3  Elementen  6,  c,  d  zur  Grundstellung  hed  in  Betracht,  ihrer 
Anzahl  nach  2Z7. 


*)  Vgl.  Combinatorische  Definition  der  2Sahl  €  von  Tb.  Santo.    Omnert*! 
Arch.  T.  LXX.  pag.  824. 


MitcelUn,  105 

Steht  es  aber  anter  5,  resp.  c  oder  d^  so  kommen  jedesmal  die 
absoluten  Permntationen  yon  den  3  Elementen  6,  c,  d  zn  einer  Grnnd- 
stellang  von  3  Elementen  in  Betracht,  deren  eines  a  ist,  also  nicht 
unter  6,  c,  d  enthalten  ist.  Daher  werden  dann  jedesmal  ni'  abso- 
hite  Permntationen  gewonnen  nnd  dies  geschieht  3  mal. 

Soweit  wird  also  IV'  —  in+Z,IU\  während  /F—  3.1ör'  ist, 
da  jetzt,  wenn  statt  x  das  Element  a  eintritt,  die  erste  Gruppe  fort- 
fiült;  also  ist  auch  iF' «  JIf+ /F.  Analog  ist  F=4./F',  also 
auch  F=4.(ZiJ+/F). 

Mithin  wird  allgemein  die  Anzahl  der  absoluten  Permutationen 
bei  («4-1)  Elementen  «  der  n  fachen  Summe  der  Anzahlen  der  ab- 
soluten Permntationen  bei  nund  n — 1  Elementen,  und  wir  erkennen 
die  üebereinstimmung  mit  dem  oben  für  die  Factoren  des  Nenners 
ang^ebenen  Bildungsgesetz. 

Anmerkung  2.    Es  gilt  die  Formel: 

2.2.4.4.6.6  ... 


/l. 1.2. 9. 44. 265. 1854  ...V 
\1. 2. 3. 8. 45. 264. 1855  .../ 


44.265.1854  ...\1 .3.3.5.5.7  .-•       ^ 

—  »1 


worin  *  —  V— 1. 

Königsberg  L  P.  d.  4ten  November  1883. 


J.  Hermes. 


8. 

Beweis  flir  den  in  T.  LXX.  S.  224  gegebenen  Ausdruck  der  Zahl  e. 

Die  Anzahl  derjenigen  Permutationen  von  n  Elementen,  welche 
mit  ler  Anfangsstellung  123  ,,,  a  k  Plätze  und  nicht  mehr  ge- 
meinsam haben,  möge  durch  n*  bezeichnet  werden. 

In  Folge  dessen  bezeichnet  »o  die  Anzahl  der  Permutationen, 
welche  mit  der  Anfangsstellung  keinen  Platz  gemein  haben,  also 
der  absoluten  Permutationen  der  Anfangsstellung,  welche  Herr 
Seelhoff  ausführlicher  durch  P^n  bezeichnet  hat,  mithin  ist 

Mo  —  P*«    und    «Im  =  1. 
Man  lieht  leicht,  dass 

a  ,^       ..  n{n — 1)  .        „ 

«1  —  j(l  — IXh    «»—     1.2     ^^^^^0  '*•  *•  ^- 


106  MisctUen, 


wodurch  also  nu  auf  einfache  Weise  von  der  Anzahl  der  ahsolnten 
Permutationen  einer  geringeren  Zahl  von  Elementen  abhängig  ge- 
macht ist. 

Nnn   handelt  es  sich   um   die  Bestimmung  des  Grenzwerts  des 
Verhältnisses 

^„     (n!  =  1.2.3  ...  n)     für     n=Qo. 

Zuvörderst  folgt  aus  den  obigen  Formeln,  dass: 

n^         fn  — l)o      n,  1       (n  — 2)o       n^  1         (n  — 3)o 


n\        (n— 1)!'     n!        1.2    (n— 2)!'     n\        1.2.3    (w—S)! 


U.  8.  W. 


Der  Wert  von  — |  ist  jedenfalls  <<  1 ,  und  man   findet  durch  einige 

Versuche,  dass  dieser  Wert  oscillirt,  wobei  aber  die  Schwankungen 
mit  wachsendem  n  immer  kleiner  werden.  Man  dürfte  also  annehmen, 
dass  ein  bestimmter  Grenzwert  vorhanden  sein  wird    (dieser  Punkt 

ist  die  einzige  Schwäche  des  Beweises) ;  wir  wollen  ihn  durch  -  be- 
zeichnen, setzen  also 


Dann  wird 


lim  — ,  —  -     für    n  =  00. 
n  I        X 


,.     «0        («-"l)o       (w  — 2)o        „    „    „         1 

lim      i  «^  7  TT";  «=  7  ST~|  ^     u.    8.    w.    ^  -"  t 

n!       (n — 1)1       (« — 2)!  x 

und  man  hat  demnach: 

hm  —  =  -.-,     hm  — ,  =  7-^    -      hm  — ,  =•  ^   »  o  •  -  u.  s.  w. 
nl        la;  nl        1.2a;  n\       1.2.3x 


Nun  ist  offenbar 
mithin 


«0  +  »l+«2+   •••  +«n-'w!, 


n! 


=  1. 


Geht  man  im  Zähler  nicht  bis  7i»,  soDdern  nur  bis  n»  und  lä^st  il- 
und  n  beide  ins  Unendliche  wachsen,  jedoch  derart,  dass  n — k  eben- 
falls noch  unendlich  bleibt,  so  wird  auch  dann 

lim ^  +  ^1+^+  •  •  +^*  ^  ^ 

n!  ' 

weil  sich  sehr  leicht  zeigen  lässt,  dass  der  Rest 

wic-fi-|"*^4-g+  ...+wi* 
nl 
sich  dem  Werte  Null  nähert. 


3füc€lUn,  107 

Sabstitilirt  man  in  die  Gleichung 

n\ 

die  oben  aofgeBtellten  Werte  von  ng,  14  n.  s.  w.,  so  folgt 

and  daher 

_.    .  1   .      1     .       1        . 
«— i-t-l-t-1  2'T"1.2.3'*"  ••••"*' 

womit  der  behauptete  Lehrsatz  bewiesen  ist. 

Ich  erlaube  mir  noch  die  Bemerkung,  dass  ich  die  mir  von  den 
Herren  Hermes  und  Seelhoff  freundlichst  mitgeteilten  Beweise,  was 
Fruchtbarkeit  der  Methode  anbelangt,  dem  meinigen  vorziehe,  weil 
durch  jene  auch  der  abbreche ndon  (unvollständigen)  Exponential- 
reihe  eine  combinatorischc  Bedeutung  abgewonnen  wird. 

Königsberg.  Th.  Sanio. 


9. 
Krümmung  sradins  der  Ellipse. 


Da  auf  unsem  Realgymnasien  die  Differentialrechnung  nicht  mehr 
getrieben  werden  soll,  und  es  anderseits  doch  —  schon  mit  Rücksicht 
auf  die  Astronomie  —  wünschenswert  erscheint,  dass  unsere  Schüler 
die  Bestimmung  des  Krümmungsradius  in  einem  gegebenen  Punkt  der 
Ellipse  kennen  lernen,  so  habe  ich  versucht,  diese  Bestimmung  ohne 
Hülfe  der  Differentialrechnung  durchzuführen  und  zwei  nicht  allzu 
umständliche  Methoden  gefunden.  Zu  der  ersten  derselben  gab  mir 
Veranlassung  die  hübsche  Entwickelung  in  T.  LXX.  N.  II.  dieses 
Archivs. 

L  Sind  K  ^  0  und  E=^0  die  Olcichungen  des  Kreises  und 
der  Ellipse,  so  erhält  man  bekanntlich  die  beiden  Paare  gemein- 
Mhaftlicher  Sehnen  durch  die  Bedingung 

K+kE  =  p,q (I) 

wo  p  und  q  lineare  Ausdrücke  sind. 

Wenn  der  Kreis  mit  der  Ellipse  drei  zusammenfallende  Punkte 
gemem  haben  soll,  so  wird  die  eine  Sehne  zur  Tangente  in  dem  ge- 


108  MücelUn. 

meinschaftlichsn  Punkt  «',  y\  and  die  andere  Sehne  verbindet  diesen 
Pnnkt  mit  dem  vierten  Dorchschnittopunkt,  daher 

Sind  noch  |,  17,  p  die  Mittelpunktscoordinaten  and  der  Radius 
des  Krümmungskreises,  so  wird  (I)  zu 

^  (a*yy'-f-  b*xx' —  a*6*)  [y  —  nx  —  (y' —  imc)] 

Hieraus',  wenn  u  eine  noch  zu  bestimmende  Constante  bezeichnet: 

1  -I-  Aa»  —       uay 

0  —       bV—a^n 
l-j-Ai« ttjV« 

2i?  -       tt(a«y'(y'—  tun')  +  a V) 
2£  «       tt(*Vj'(y'—  fw')  —  a%«n). 

Die  zweite  Gleichung  liefert 

bh>' 

also  den  Satz,  auf  welchen  die  angeführte  Abhandlung  Bezug  nimmt; 
die  erste  und  dritte  61.  liefern  dann: 


darauf  erhält  man  ans  den  beiden  letzten  Oleichnngen: 

f ^* '      *» Ji 

Dann  ist  endlich 

II.  Man  verlegt  den  Anfangspunkt  der  Coordinaten  in  den  Punkt 
x\  y   und  hat  dann  die  Gleichungen: 

aV+2aVy+6V+26yy  -  0,      (y  —  iy)«+(ar~  ö*  =  p. 

Da  der  Mittelpunkt  des  Kreises  auf  der  Normalen  im  Anfangs- 
punkt liegt  und  der  Kreis  durch  diesen  Punkt  geht,  so  hat  man  zur 
Bestimmung  von  |,  17  die  Gleichungen 

daraus 


Misceüen.  109 


10  •    •     -^   tr 

wo 


Sabstitairt  man  diese  Werte  in  die  Gleichung  des  Kreises,  elimi- 
nirt  y*  zwischen  dieser  Gleichung  and  der  der  Ellipse  und  subsUtuirt 
wieder  den  dadurch  erhaltenen  Ausdruck  für  y  in  die  Gleichung  der 
Ellipse,  so  erhält  man  nach  Division  durch  x': 

[rt^-«-»v(.±^')j*  — 4^-(.±!j)V||^. 

Damit  die  Gleichung  zum  dritten  male  durch  x  =  0  befriedigt  werde, 
muss  sein: 

4.^"(.±^')"+'^'"('±vr^-<>. 

woraus   man  sofort  den  bekannten  Ausdruck  für   g  erhält  und  zu- 
gleich erkennt,  dass  das  untere  Vorzeichen  gewählt  werden  muss. 

Prof.  Dr.  Stamm  er. 

Dftaseldorf,  Anfang  December  1883. 


10. 

Zusatz  nun  Antetze:  „Integration  einiger  partieller 
Düferentialgleicliangen  zweiter  Ordnnng^^  *) 

Die  dort  behandelten  Gleichungen  können  noch  allgemeiner  be- 
macht  werden,  wie  folgt: 

1.    Die  partielle  Differentialgleicbung: 

wo  a^  o,  6^  &t  gegebene  Functionen  von  y  sind,  giebt  nach  »  par- 
tiell differentiirt: 

dy  ^  biX+  b/'^ b^x+b^^'^ dx"^  dr  Bx 

eine  partielle  Differentialgleichung  erster  Ordnung  fttr  r,  die  integrirt 
werden  kann,  sobald  a^  a^  b^  b^  gegeben  sind. 


*}  Archiv  T.  LXX.  Seite  819. 


110  MüeelUn, 

2.  Die  partiolle  Difforentialgleichang: 

s  =  Yf(x,  p,  r)e^ 

wo  a  eine  Gonstante,  Y  eine  Function  von  p  ist,  ly^ebt  nach  x  par- 
tiell differentiirt: 

mit  s  dividirt  nnd  statt  x,  y  die  Grössen  x,  p  als  neue  anabhängigo 
Yariabeln  eingeführt: 

8r        1  3/1  3/         l3//3r   ,    Ör    \ 

^  ""  7  äi+7  ^''+7  3,:  V3x+ §, ''/ + '^ 

eine  partielle  Difierentialgleichnng  erster  Ordnung  für  r,  die  integrirt 
werden  kann,  sobald  /  gegeben  ist. 

3.  Die  partielle  Differentialgleichung: 

s^(aq+Y)nx,p,r) 

wo  a  eine  Constante,   Y  eine  Function  von  y  ist,  giebt  nach  x  par- 
üoU  differentiirt: 

By  -  ^+(««+  ^J  läc+ ^^+3;^  d-x) 

mit  «  dividirt  nnd  statt  a;,  ^  die  Grössen  x^  p  2ls  neue  unabhängige 
Variabein  eingeführt: 

3r  _  1  3/1  3/         1  3//3r       3r   \ 

Die  Integration  obiger  Differontialgleichungon  ist  hierdurch  aaf 
die  Integration  gewöhnlicher  Differentialgleichungen  zuückgeführt,  — 
weshalb  dieselben  aus  dem  Standpunkte  der  partiellen  Differential- 
gleichungen als  gelöst  zu  betrachten  sind. 

Klausenburg  (Ungarn)  1883  November. 

F.  Vilyi. 


Miscelltn,  W\ 


11. 


Eiafkeher  Beweis  der  Existenz  eines  Mittelpunkts  paralleler 

Krftfte. 

Ans  zwei  gleichgerichteten  Kräften  jo,  9,  die  auf  zwei  fest  yer- 
bondene  Punkte  A^  B  wirken,  resaltirt  nach  dem  Gesetze  des  Hehels 
eine  gleichgerichtete  Kraft  jo-f^g,  welche  die  Gerade  AB  in  einem 
Paukte  h  nach  dem  Verhältniss 

AbiBb  =  q:p 

schneidet.  Der  Punkt  b  ist  also  unabhängig  von  der  gemeinsamen 
Richtung  und  heisst  auf  Grund  dieser  Eigenschaft  der  Mittelpunkt 
der  parallelen  Kräfte  p,  q.  Aus  ^4~9  ^^^  einer  gleichgerichteten 
aaf  C  wirkenden  dritten  Kraft  r  resultirt  ebenso  eine  Kraftp-f~94~^9 
welche  die  Gerade  bC  in  c  nach  dem  Verhältniss 

bcicC  =  r:/)-}"? 
teilt  Der  Punkt  e  ist  unabhängig  von  der  Richtung  der  Kräfte, 
durch  ihn  geht  stets  die  Resultante  von  p-\-q  und  r,  folglich  auch 
TOD  p«.  9,  r;  es  ist  demnach  c  in  gleichem  Sinne  der  Mittelpunkt  von 
p,  9,  r.  Mit  diesem  System  lässt  sich  eine  vierte  gleichgerichtete 
Kraft  zusammensetzen ,  u.  s.  f.  Nach  jeder  Hinznfügung  erhält  man 
eine  gleichgerichtete  Resultante  aller  Kräfte  und  einen  Mittelpunkt 
Es  hat  sich  ergeben: 

Aus  jedem  System  gleichgerichteten  Kräfte,  die  auf  bestimmte 
fest  verbundene  Punkte  wirken ,  resultirt  eine  gleichgerichtete  Kraft 
gleich  der  Summe  aller  jener  Kräfte,  die  immer  durch  denselben 
Pankt,  den  Mittelpunkt  des  Systems,  geht,  wie  sich  auch  die  gemein- 
same Richtung  ändern  möge. 

Solcher  Mittelpunkte  kann  es  nicht  mehr  als  einen  geben;  denn 
gäbe  es  zwei,  und  man  nähme  die  Kräfte  in  einer  von  der  Verbin- 
dangslinie  beider  verschiedenen  Richtung,  so  würde  die  Resultante 
des  Systems,  sofern  sie  durch  den  einen  Punkt  gienge,  nicht  dnrch 
den  andern  gehen  können;  oder  mit  andern  Worten,  es  würden  zwei 
Kräfte,  die  in  verschiedenen  geraden  Linien  wirken,  einander  gleich- 
wirkend sein  müssen. 

Der  vorstehende  Beweis  ist  mir  mündlich  mitgeteilt  worden,  mit 
der  Aussage  dass  er  längst  bekannt  sei,  Dennoch  scheint  er  allen 
oder  den  meisten  Verfassern  von  Schulbüchern,  in  welchen  der  Satz 
gelehrt  wird,  unbekannt  gewesen  zu  sein,  da  von  15  solchen  Lehr- 
bQcbem,  die  ich  kenne,  einige  weit  umständlicher  unzureichende  Be- 
gründungen geben,  die  übrigen  auf  jeden  Beweis  verzichten. 


112  MiscelUn, 

So  leicht  nun  auch  der  Weg  zu  entdecken  ist,  anf  dem  man 
hier  so  schnell  und  ohne  viele  Voraussetzungen  zum  Ziele  gelang 
so  hielt  ich  es  doch  nicht  für  unwert  ihn  ans  Licht  zu  ziehen ,  am 
für  die  Zukunft  zur  Beseitigung  einer  Lflcke  in  den  elementaren 
Lehrhüchern  der  Physik  und  Mechanik  beizutragen. 

Gegenwärtige  Mitteilung  möge  die  Stelle  eines  für  gleichen  Zweck 

unter  gleichem  Titel  geschriebenen  früheren  Aufsatzes  einnehmen, 

den  ich  hiermit  zurückziehe. 

R.  Hoppe. 


Pirmni:  Utb^r  cm  Ourvo^rmphon.  JJ3 


/ 


/ 


\  '"UCJüUUiiK) 


VI. 


Ueber  ein  Curvographon. 

Von  . 

Herrn  Emilio  Pirani. 


Man  hat  in  letzter  Zeit  sich  vielfach  bemüht  das  Yerst&ndnisB 
der  höheren  Geometrie  zu  erleichtern  dadnreh,  dass  man  die  behan- 
delten Gebilde  als  Modelle  vorführte.  Die  Hilfsmittel,  die  dadnreh 
entstanden  sind,  haben  wesentlich  den  Zweck,  Gebilde  dreier  Dimen- 
sionen, deren  Vorstellnng  in  der  Tat  Schwierigkeiten  darbietet,  wirk- 
lich rftnmiich  vorzufahren.  Diese  ihre  Aufgabe  erfüllen  sie  jedoch 
meist  äQsserst  einseitig.  Sie  stellen  gewöhnlich  eine  bestimmte  nn- 
verändo'liche  Form  des  betreffenden  Gebildes  dar,  und  ihre  Anachan- 
lichkeit  wird  in  nicht  geringem  Grade  durch  die  Gefahr  beeinträchtigt, 
den  Beschauer  zu  dem  Gedanken  zu  verleiten,  dass  jene  Form  die 
einzig  mögliche  sei,  oder  ihn  wenigstens  daran  zu  gewöhnen  mit  dem 
betreffenden  Namen  immer  einen  unveränderlichen  Begriff  zu  ver- 
binden. Und  es  ist  dies  in  der  Tat  eine  Wirkung,  die  fast  unver- 
meidlich ist  bei  jedem,  der  jenen  Gebieten  neu  ist,  also  f&r  diejenigen 
gerade,  ftr  welche  die  Modelle  wesentlich  bestimmt  sind.  Eine  ein- 
zige Classe  von  Modellen  ist  nur  bekannt,  welche  diesen  Uebelstand 
nicht  mit  sich  führen.  Es  sind  dies  die  Modelle  für  abwickelbare 
Fliehen,  die  schon  seit  längerer  Zeit  in  verschiedenen  Formen  vor- 
bindoi  sind.  Die  einen  sind  in  Holz  und  Seidenfäden,  die  anderen 
in  Eisen  ausgeführt;  beide  gestatten  die  Darstellung  einer  ganzen 
Schatr  von  Flächen  und  zeigen  auch  einige  Uebergangsformen.  Ein 
Haoptmerkmal  der  erzeugten  Flächen  tragen  sie  deutlich  an  sich: 
die  gnden  Linien.,  Aehnlichen  Reichtum  an  Formen  zeigen  die- 
Mgei  Modelle»  welche  ans  den  Kreisschnitten  zusammengesetzt  sind. 

ArL  1.  HsOu  m.  Fkys.   S.  Brtlia,  T«n  I.  S 


114  Pirani:    üeber  ein  Curvographon, 

Doch  bei  ihnen  allen  ist  noch  ein  grosser  Mangel  vorhanden;  jedes 
einzelne  Modell  vermag  nnr  Flächen  derselben  Art  darzustellen,  wenn 
auch  von  verschiedenen  Dimensionen,  und  man  bedarf  daher  für  jede 
Art  eines  besonderen  Modells.  Abgesehen  von  der  Einseitigkeit  des 
Systems,  welche  darin  liegt,  macht  dieser  Umstand  die  Anschaffung 
solcher  Anschauungsmittel  äusserst  kostspielig.  Sie  zeigen  jedoch 
schon  einen  grossen  Fortschritt  insofern  als  sie  wenigstens  die  Starr- 
heit der  früheren  Modelle  (in  Gyps,  Holz  etc.)  aufgegeben  haben  und 
dass  sie  wenigstens  eine  Eigenschaft  (Schaar  der  Geraden,  Kreis- 
schnitte) an  allen  den  erzeugten  Gebilden  zeigen. 

Es  war  nun  mein  Bestreben  ein  System  zu  finden,  welches  es 
gestattete,  die  Form  und  womöglich  die  Eigenschaften  von  möglichst 
vielen,  zunächst  ebenen  Cnrven  zu  veranschaulichen. 

Die  Resultate  sind  im  Folgenden  mitgeteilt;  doch  möchte  ich 
der  speciellen  Besprechung  die  aUgemeinen  Vorzüge  der  Methode 
vorausschicken. 

Die  Modelle,  die  wohl  Curvographon  genannt  werden  können, 
lassen  sich  aus  einer  geringen  Anzahl  von  Elementen  zusammen- 
stellen, und  zwar  ohne  jegliche  Mühe.  Die  Elemente  sind  Doppel- 
schienen und  einfach  gestaltete  Verbindungsstücke;  erstere  entsprechen 
den  graden  Linien,  letztere  den  Schnittpunkten  derselben,  oder  festen 
Punkten  auf  ihnen. 

Die  Gurven  werden  alle  als  geometrische  Orte  constmirt,  dabei 
aber  conünuirlich  beschrieben. 

Die  Curvographen  sind  zunächst  für  Blei  oder  Kreide  eingerichtet, 
doch  lässt  sich  leicht  Tinte  oder  Farbe  statt  dessen  einführen,  in 
manchen  Fällen  sogar  Ziehfeder. 

Jede  geometrische  aus  graden  Linien  bestehende  Figur  kann  mit 
ihnen  als  um  feste  Punkte  beweglich  angesehen  werden  und  zur  Dar- 
stellung von  Curven  benutzt  werden;  es  wird  sich  nur  natürlich  dämm 
handeln  möglichst  einfache  und  ergiebige  Gombinationen  zu  ^wählen. 

Die  Wahl  der  Doppelschienen,  statt  des  einfachen  Prismenpaares, 
das  ja  auch  jede  andere  Bewegung  als  die  gewünschte  verhindern 
würde,  ist  geschehen,  weil  dadurch  die  Mitte  zwischen  den  beiden 
Schienen  die  Gerade  darstellt,  und  somit  die  in  den  Läufern  ange- 
brachten Stifte  sich  mit  grosser  Genauigkeit  im  Schnittpunkte  zweier 
Geraden  befinden. 

Was  die  besehreibbaren  Gurven  selbst  anbetrifft,  so  ist  nur  f&r 
die  Ellipse  ein  Apparat  vorhanden,  welcher  es  ermöglichte  mit  solcher 


Pirani:    Ueber  ein  Ourvographon,  115 

AUgemeinheit  EUipsen  aller  Dimensionen  darzustellen.  Es  ist  dies 
der  Ellipsenzirkel,  welcher  nach  den  neueren  kinematischen  Bezeich- 
nungen als  oscillirende  Ereuzschleifenkurbel  bezeichnet 
werden  kann. 

Ausserdem  hat  Peaucellier  in  den  Nouvelles  Annales  eine 
Combination  seiner  Elemente  angegeben,  welche  es  gestattet  Cissoiden 
n  beschreiben;  doch  ist  sie  wie  alle  Peaucellier'schen  Modelle  ein 
Stabwerk,  d.  h.  bestehend  aus  Stäben  von  bestimmter,  zu  berech- 
nender Länge,  welche  nur  drehbar  aber  yoUkommen  unverschieb- 
bar mit  einander  verbunden  sind.  Dazu  kommt,  dass  die  Stäbe  in 
gar  keinem  directen  Zusammenhang  mit  der  beschriebenen  Curve 
stehen;  dass  daher  aus  der  Gonstruction  nicht  die  geringste  Erläute- 
mng  der  Curve  gezogen  werden  kann. 

Eben  in  den  betonten  Punkten  scheinen  mir  Yorztkge  der  neuen 
Methode  zu  liegen:  dass  erstens  eine  beschränkte  Anzahl  von  Ele- 
menten, etwa  6  Schienenpaare  und  die  dazu  nötigen  Yerbindungs- 
itacke,  zur  Zusammenstellung  aller  Modelle,  und  zur  Beschreibung 
aller  der  vielen  Curven  genügen;  zweitens  dass  die  Constrnction  die 
Entstehungsart  und  die  Eigenschaften  der  Curven  erläutert. 

So  zeigt: 

I.  Fig.  1.  Leitlinie  und  erzeugenden  Strahlenbflschel  durch  die 
zwei  Schienen. 

II.  Fig.  2.  Leitkreis  und  Strahlenbflschel. 

Illa.  Fig.  3.  zeigt  den  Zusammenhang  der  oscillatorischen  Be- 
wegung mit  der  Rotationsbewegung. 

nib.  Fig.  4.  eignet  sich  ebenso  wie  I.  und  IL  um  den  Begriff 
von  Curvenschaaren  und  Parallelcurven  zu  erklären,  man  braucht 
dazu  nur  mehrere  Stiftträger  auf  einmal  anzubringen. 

Auch  der  Begriff  einer  UmhOllungscurve  lässt  sich  daran  erklären. 

IV.  Fig.  5.  zeigt  Directriz,  Durchmesser  und  Tangente;  dazu 
tisst  sich  leicht  der  Radiusvector,  obgleich  zur  Constrnction  tlber- 
fl&ssig,  anbringen  und  dadurch  zeigen,  dass  die  Tangente  den  Winkel 
zwischen  Durchmesser  und  Radiusvector  halbirt;  auch  die  Begriffe 
Ton  Snbtangente  und  leicht  auch  von  Subnormale  lassen  sich  erklären 
and  zeigen. 

Ya.  Fig.  6.  Utost  den  Begriff  einer  Fusspunktcurve  verdeutlichen 
sowohl  an  der  Cissoide  selbst  wie  an  der  grossen  Anzahl  anderer 
▼erwandten  Curven,  die  sich  beschreiben  lassen. 

s* 


116  Pirani:  Ueber  ein  Curvoyraphon. 

Vin.  Fig.  10.  giebt  eine  Gurve  4ten  Grades  mit  Wendepankten 
und  einer  Spitze. 

YII.  Fig.  9.  die  Lemniskate  und  Fasspunktearven  der  Hyperbeln. 
Ebenso  die  der  Ellipse. 

VI.  Fig.  8.  die  Hyperbel  als  geometriscben  Ort.  Es  zeigt  wie 
die  Tangente  den  Winkel  zwischen  beiden  Brennstrahlen  halbirt. 

IX.  Fig.  11.  Gnrven  verschiedener  Orade  (ausgehend  von  einer 
3ten  Grades)  mit  Wendepunkten  und  Asymptoten. 

Yb.  Fig.  7.  Gissoide  und  verwandte  Curven  nach  anderer  Con- 
stmction. 

Ausser  diesen  zahlreichen  Beispielen  von  fast  allen  bei  Curven 
vorkommenden  Singularitäten  bieten  vor  allen  Dingen  die  Curvo- 
graphen  ein  deutliches  Bild  von  dem  Einflüsse  der  Parameter  aaf 
die  Form  der  Gurven  und  von  dem  Zusammenhang  derselben  nach 
Familien. 

Ausser  den  beschriebenen  Gurven  lassen  sich  durch  oft  einfachere 
Zusammenstellungen  Gurven  meist  transcendenter  Natur  erzeugen,  die 
jedoch  nur  durch  sehr  complicirte  Formeln  wiederzugeben  sind. 

Geht  man  endlich  zum  Gebiete  der  synthetischen  Geometrie  über, 
so  lassen  sich  daraus  sehr  viele  Sätze,  wie  der  Desargues'sche,  die 
allgemeine  Gonstruction  der  Kegelschnitte  aus  projectivischen  Strablen- 
büscheln  etc.  durch  wirklich  bewegliche  Figuren  verdeutlichen. 

Ich  möchte  noch  bemerken,  dass  die  beschränkte  Anzahl  der 
zulässigen  Abbildungen  mir  die  genauere  Beschreibung  der  Gonstruc- 
tionseinzelnheiten  sowie  die  Verdeutlichung  der  erzeugten  Gurven 
unmöglich  gemacht  haben. 

I.    Conchoide. 

Erzeugungsart:  Wird  ein  Büschel  von  Geraden  B  von  einer  Ge- 
raden G  durchschnitten  und  trägt  man  auf  jeder  Geraden  von  B 
vom  Schnittpunkt  mit  O  aus  eine  gleiche  Strecke  c  nach  beiden 
Seiten  ab,  so  gehören  die  gewonnenen  Punkte  einer  Gonehoide  an. 

Zusammenstellung  (siehe  Fig.  1) :  Die  Gerade  O  wird  durch  einen 
Doppelstab  6.  5  dargestellt,  derselbe  besteht  aus  zwei  dfinnen  mög- 
lichst unbiegsamen  Stahlstäben  (am  geeignetsten  dazu  habe  ich  so- 
genannten Bohrstahl  gefunden),  die  durch  zwei  Messing- Querstücke 
verbunden  sind.  Letztere. sind,  wie  aus  der  Figur  ersichtlich,  zwei- 
fach durchbohrt,  um  die  Stäbchen  durchzalassen,  an  denen  sie  durch 


Pirani:  Ueber  ein  Curvographon,  117 

kleine  Seitenschraaben  befestigt  sind.  Unten  tragen  sie  noch  einen 
Dorn,  vermittelst  dessen  sie  an  der  Unterlage  festgeheftet  werden 
können.    (Qaerstück  mit  Dom  (a)). 

Der  Bflschel  wird  dorch  einen  Doppelstab  1.  2.  3.  4  dargestellt. 
Derselbe  ist  durch  einen  mit  seitlicher  Hohlrinne  versehenen  Dorn 
(Form  d)  gezwungen  stets  durch  den  Punkt  1  zu  gehen.  In  3  ist 
ein  Querstflck  befestigt,  welches  statt  des  Domes  wie  5  und  6  einen 

Schraubenkopf  unterhalb  trägt  (Form  6),  welcher  ihn  zwingt  auf  5.  6 
zu  bleiben.  In  der  constanten  Entfernung  c  sind  2  und  4  befestigt, 
welche  in  der  Mitte  Bleistifteinlagen  nach  Art  der  Crayons  d'artistes 
tragen.    (Stiftträger  Form  c).    Von  ihnen  wird  die  Curve  beschrieben. 

Verschiedene  Formen:  Je  nach  der  Länge  der  Strecke  c^  und 
je  nach  der  Lage  des  Bttschelcentrums  1  ergeben  sich  vermittelst 
dieser  Znsammenstellung  sehr  verschiedenartige  Curven. 

Ist  die  Entfernung  b  des  Büschelcentrums  von  der  Geraden  G 
grösser  als  c,  so  sind  der  innere  sowohl  wie  der  äussere  Zweig 
riemlich  flach. 

Je  mehr  eich  e  der  Länge  b  nähert,  desto  entschiedener  wird 
die  Spitze  des  inneren  Zweiges,  desto  gewölbter  der  äussere. 

Wird  e  grösser  wie  6,  so  bildet  der  innere  Zweig  eine  Schleife. 

Wird  b  sehr  klein,  so  wird  die  Schleife  immer  grösser  und  zwar 
gewölbt  an  der  von  G  abgewendeten  Seite,  flach  an  der  zugewende- 
ten, —  ebenso  wächst  die  Wölbung  des  äusseren  Zweiges. 

Bis  schliesslich,  wenn  5  »  0,  d.  h.  wenn  das  Centmm  auf  G 
liegt,  innerer  und  äusserer  Zweig  in  einen  Kreis  übergehen. 

In  der  Tat  hat  die  Conchoide  die  Gleichung 

worin  b  und  c  die  angeführten  Bedeutungen  haben.  Wird  b  sehr  klein, 
so  wird  die  Formel 

d.  h.  ein  Kreis. 

b  X  y 

Wird  e  sehr  ffross,  also  -  sehr  klein,  so  wähle  man  -  und  -  als 
Goordinaten 


(!)'(') =m"(^'9 


118  Pirani:  üeber  ein  Cwrvographon, 

«I  +  y«  -  c« 

also  wiederum  ein  Kreis  mit  sehr  grossem  Radius  c. 

n.    Kardioide. 

Erzeugungsart:  Wird  die  Leitgerade  der  Conchoide  durch  einen 
Kreis,  der  durch  das  Bflschelcentrum  geht,  ersetzt,  und  wählt  man 
c  e»  2r,  so  erh&lt  man  die  Kardioide. 

Zusammenstellung  (Fig.  2) :  Der  Btlschel  wird  wieder  durch  einen 
Doppelstah  4.  5.  2.  3  dargestellt.  Diesen  zwingt  wieder  ein  Dom  5 
(Form  d)  stets  durch  den  einen  festen  Punkt  zu  gehen.  Wiederum 
sind  3  und  4  Stiftträger  (Form  c).  Statt  aber  durch  die  Leitgerade 
geleitet  zu  werden  wird  nun  das  feste  Stttck  mit  Schraubenkopf 
(Form  b)  durch  einen  beliebig  zu  stellenden  Radius  6  (Form  e)  ge- 
zwungen eine  Kreisbahn  zu  beschreiben.  Dabei  muss  1.  5  »  1.  2 
sein,  d.  h.  5  und  2  auf  demselben  Kreis  liegen. 


Verschiedene  Formen :  Ist  wieder  c  die  Strecke  2.  3  resp.  2.  4, 
so  entsteht  fdr  c  »  2r  bekanntlich  eine  Epicykloide. 

Für  c  ]>  2r  wird  die  Spitze  flacher,  und  flacher,  und  die  Curve 
nähert  sich  einem  Kreise  um  das  Büschelcentrum. 

Wird  e  <i  2r,  so  geht  die  Spitze  in  eine  Schleife  innerhalb  des 
Leitkreises  über,  und  zwar  wächst  diese,  während  der  aussenliegende 
Teil  sich  dem  Kreise  nähert,  bis  für  sehr  kleines  e  beide  Zweige  in 
den  Leitkreis  übergehen. 

In  der  Tat  ist  die  Gleichung  der  Kardioide 

pcac4-2rco8a  >  Variablen 

Also  für  <;  »  2r  die  eigentliche  Kardioide  : 

Q  —  2r(l  4-  cos  a) 


Für  e<C,r  eine  Curve  mit  der  Schleife  und  zwar  für  sehr  kleines 
c  der  Kreis 

Q  B  2rcosa 
d.  h.  der  Leitkreis. 

Für  0  >>  r  die  verflachte  Curve  und  zwar  je  grösser  e,  d.  h.  je 
kleiner  ~,  desto  mehr  sich  dem  Kreise  um  das  Büschelcentrum 

p  »  2tf 
nähernd. 


) 


Pirani:    Ueber  ein  Curvographon,  1X9 

m.    Ellipse. 

I.  Erzengnogsart  (Fig.  3):  Eine  Grerade  dreht  sich  am  einen  ihrer 
Punkte.  Dnrch  einen  bestimmten  Punkt  derselben  geht  stets  eine 
Yerticale,  durch  einen  anderen  eine  Horizontale.  Der  Schnittpunkt 
dieser  beiden  beschreibt  eine  Ellipse. 

Zasammenstellung:  Die  sich  drehende  Gerade  wird  am  besten 
durch  einen  flachen  Holzstreifen  dargestellt     Derselbe  trägt  durch 

Qnentflcke  mit  Dom  (Form  a)  die  Doppelstäbe  2.  5. 

Yen  denselben  wird  einer  horizontal,  einer  yertical  geführt  durch 
die  Parallelogramme  44''5"2"  und  44'5'2'.  Der  Stiftträger  gleitet 
im  besten  auf  dem  horizontalen  und  wird  geftkhrt  durch  den  verti- 
calen  Doppelstab. 

n.  Erzeugungsart  (Fig.  4) :  Eine  Strecke  a  bewegt  sich  mit  ihren 

£ndpnnkten  auf  den  Coordinatenaxen,  jeder  Punkt  der  Strecke  be- 
schreibt eine  Ellipse. 

Zusammenstellung:  Die  Coordinatenaxen  sind  festgeheftete  Dop- 
pelstäbe.   Die  Strecke  a  wird  durch  zwei  festgeschraubte  Querstücke 

1.  3  auf  einem  Doppelstabe  abgegrenzt  Dieselben  haben  Schrauben- 
kdpfe  (Form  6),  welche  nur  ein  Oleiten  längs  der  Coordinaten  ge- 
statten. Der  beschreibende  Punkt  ist  durch  einen  Stiftträger  2, 
welcher  durch  Seitenschrauben  festgehalten  wird,  dargestellt 

Verschiedene  Formen:  Ist  b  die  Strecke  auf  a  vom  beschrei- 
benden Punkte  bis  zur  T  Axe,  so  ist  die  Gleichung  der  beschriebe- 
nen EUipsen 

—  4- — =  1 

Fällt  der  Punkt  ausserhalb  von  a  über  die  F  Axe  hinaus,  so 
wird  die  Gleichung 

Die  Punkte  der  Strecke  a  geben  Ellipsen,  die  vom  mittleren  Fall 

a 

^ » 09  welcher  einen  Kreis  darstellt,  sich  nach  der  X  Axe  resp. 

7  Axe  hin  immer  mehr  verflachen  bis  zu  einer  Strecke  2a  in  den- 
selben.   Diese  alle  werden  von  der  Cnrve 

xl-f-yt  ■-  ot 
nmbüllt 

Die  Punkte  auf  der  Verlängerung  der  Strecke  a  geben  Schaaren 


120  Pirani:    Oeher  ein  Curvo^rof^on. 

von  Ellipsen ,  deren  flachste  wieder  die  beiden  Strecken  2a  anf  JT 
resp.  Y  Axe  sind. 

Uebrigens  beschreibt  jeder  mit  a  fest  verbundene  Punkt  eine 

Ellipse  nm  den  Goordinatenanfangspnnkt ;  in  dem  Falle,  dass  der 
Pankt  Scheitel  eines  rechtwinkligen  Dreiecks  Aber  a  als  Hypotenase 
ist,  entsteht  eine  durch  den  Coordinatenanüangspunkt  gehende  gerade 
Linie. 

IV.    Parabel.    (Fig.  5.) 

Erzengnngsart:  Ein  Pnnkt  P  bewegt  sich  so,  dass  seine  Ent- 
fernung vom  Brennpunkt  und  von  der  Leitlinie  stets  gleich  ist  Um 
dies  zu  erreichen  wird  um  den  Brennpunkt  eine  Gerade  gedreht; 
da  wo  sie  die'  Leitgerade  trifft,  wird  ein  Lot  auf  letztere  errichtet, 
ein  zweites  Lot  wird  in  der  jedesmaligen  Mitte  der  Strecke  zwischen 
Brennpunkt  und  Leitlinie  errichtet.  Der  Durchschnitt  beider  Lote 
giebt  Punkte  der  Parabel. 


Zusammenstellung:  Ein  Doppelstab  1.  2.  3  dreht  sich  um  das 
Domstftck  1  (Form  a).  Die  beiden  Verticalen  sind  die  Leitlinie  und 
die  Bcheiteltangente. 

In  2  und  3  befinden  sich  doppelte  Querstdcke  (Form  /),  die  aus 
zwei  Querstücken  (Form  b)  bestehen,  welche  senkrecht  auf  einander 
durch  eine  Schraube  befestigt  sind,  welche  unten  einen  Schraubenkopf 
(wie  Form  &),  oben  eine  Mutter  besitzt 


Das  eine  bei  3  trägt  3.  4  fest,  während  es  sich  auf  der  Leitlinie 
bewegen  kann.  Das  zweite  bei  2  trägt  2.  4  fest  und  gleitet  anf 
17273. 


ESrsteres  wird  durch  1.  2.  3  geleitet,  letzteres  durch  die  Scheitel- 
tangente. 

In  4  befindet  sich  der  Stiftträger,  weicher  auf  dem  Durchmesser 
3.  4  gleitet  und  durch  die  Tangente  2.  4  geleitet  vrird. 

Verschiedene  Formen:  Nimmt  man  die  Scheiteltangente  nicht 
in  der  halben  Entfernung  zwischen  Brennpunkt  und  Directrix,  so  er- 
geben sich  Gurven  von  der  Form 

worin  p  die  Entfernung  Brennpunkt  bis  Scheitel  ist,  q  die  Entfemimg 
Scheitel  bis  Directrix. 


» 


Pirani:    ütbtr  ein  Curvographon.  121 

V.    Gissoide.    (Fig.  6.) 

I.  Enengangsart:  Die  Cissoido  ist  bekanntlich  die  Fosspunkt- 
coire  der  Parabel,  wenn  man  den  Scheitelpunkt  zum  Pol  nimmt. 

Nun  wäre  ea  aber  zn  umständlich  und  complicirt,  zugleich  Pa- 
rabel, ihre  Tangenten  und  die  Fusspnnkte  zu  construiren.  Man 
kommt  leichter  zum  Ziel,  wenn  man  bedenkt,  dass  wenn  der  Brenn- 
punkt Pol  ist,  die  Fusspunktcurve  durch  die  Scheiteltangente  dar- 
gestellt wird.  Diese  Eigenschaft  gestattet  n&mlich  die  Tangenten 
eiaer  Parabel  zn  zeichnen  ohne  die  Parabel  selbst  zu  haben,  und 
Bim  braucht  man  nur  noch  vom  Scheitel  aus  Lote  auf  jene  Tangen- 
ten zn  Allen. 

Zusammenstellung :  Die  Verücale  ist  die  Scheiteltangente.  1  der 
Scheitel,  1'  der  Brennpunkt  der  Parabel.  1.  4  und  1'.  3  werden 
durch  die  Stacke  1"  und  2  parallel  gefohrt.  1'.  3  trägt  in  3  die 
Tangente  durch  das  Doppelstück  3  (Form/),  welches  auf  1'.  3  ver- 
schiebbar ist  und  durch  die  Scheiteltangente  geleitet  wird.  1.  4  ist 
also  Lot  vom  Scheitel  auf  die  Tangente,  so  dass  4  (Stiftträger  Form  e) 
die  Gissoide  beschreibt 

Verschiedene  Formen:  Die  Gleichung  der  eigentlichen  Gissoide 
ist,  wenn  p  die  Brennseitc  der  Parabel : 

Die  Gurve  besitzt  im  Scheitel  eine  Spitze.  Wählt  man  einen 
anderen  Punkt  der  Abscissenaze  als  Pol,  so  wird  die  Gurve  wesent- 
lich anders. 

Sei  I»  die  Brennweite;  m  die  Polweite  von  der  Scheiteltangente 
(f  Axe)  aus. 

Fflr  grosses  positives  m  liegt  die  Gurve  ganz  auf  der  Seite  des 
Brennpunktes  (positive)  und  zeigt  keine  Singularitäten. 

Bei  ffi  =  p  geht  sie  in  die  F  Axe  tlber. 

Wird  m<ip^  so  bildet  die  Gurve  eine  Spitze  im  Scheitel  und 
nähert  sich  der  Gissoide. 

Fflr  4»  »  0  erreicht  sie  diese. 

Unmittelbar  danach  bildet  sie  eine  Schleife,  die  mit  zunehmenden 
negativen  m  wächst 

Wählt  man  einen  Punkt  der  F  Axe  y  «  n  als  Pol,  so  hat  die 
Cme  ausser  für  n  —  0  eine  Schleife,  die  vom  flbrigen  Teil  durch 
die  F  Aze  getrennt  wird. 


122  Pirani:    üebtr  ein  Curvographon, 

Liegt  der  Pol  beliebig,  so  hat  die  Cnrve,  wenn  jener  negative 
Abscisse  hat,  eine  Schleife,  sonst  einen  Umkehrpankt. 

IL  Erzengnngsart  (Fig.  7) :  Bewegt  sich  der  Endpunkt  des  gleich 
c  gemachten  Schenkels  eines  rechten  Winkels  anf  einer  Geraden  (7, 

während  der  zweite  Schenkel  durch  einen  festen  Punkt  geht,  welcher 
von  G  nm  e  entfernt  ist,  so  beschreibt  der  Halbirungspunkt  des 
ersten  Schenkels  eine  Cissoide. 

Zusammenstellung:  Die  AusfQhrung  ist  sehr  einfach.  Die  Hori- 
zontale ist  die  Leitlinie.  1.  2.  4  ist  der  rechte  Winkel,  gebildet  aus 
zwei  Doppelstäben  und  einem  Doppelquerstück  (Form  /).  In  4  be- 
findet sich  ein  festes  Querstück  (Form  &),  das  durch  die  Leitlinie 
geführt  wird.  Ein  Dorn  1  zwingt  den  zweiten  Schenkel  stet«  durch 
denselben  Punkt  zu  gehen.    Ein  Stiftträger  3  beschreibt  die  Cissoide. 

Verschiedene  Formen :  Auch  hier  lassen  sich  durch  andere  Wahl 
der  Lage  von  3,  durch  andere  Stellung  von  1  oder  gar  durch  Wahl 
eines  anderen  als  eines  rechten  Winkels  (was  ja  das  Doppelstück 
gestattet)  die  verschiedensten  Formen  erhalten. 


VI    Hyperbel.    (Fig.  8.)  • 

Erzeugungsart:  Die  Hyperbel  ist  bekanntlich  der  Ort  der  die 
Punkte  P,  für  welche  die  DijQferenz  der  Entfernung  von  zwei  festen 
Punkten  (F^F^  Brennpunkte)  s^ets  constant  (2a  reelle  Axe)  ist. 

Beschreibt  man  also  um  einen  Brennpunkt  F^  einen  Kreis  mit 
Radius  2a  und  zieht  PFj,  PF^,  so  muss,  wenn  B  der  Schnittpunkt 
von  PFi  mit  dem  Kreis  ist,  Pß  »  PF^  sein,  d.  h.  BPF  ein  gleich- 
schenkliges Dreieck. 

Um  dies  hervorzubringen  benutzt  man  die  Eigenschaft  der  Tan- 
gente den  Winkel  zu  halbiren,  den  beide  Radienvectoren  einschliessen. 
Man  erhält  ja  alle  Tangenten  an  einer  Hyperbel,  wenn  man  einen 
rechten  Winkel  zwingt  mit  dem  Scheitel  den  Kreis  mit  Radius  a  am 
den  Mittelpunkt  der  Hyperbel  zu  beschreiben,  während  ein  Schenkel 
stets  durch  F  geht,  der  zweite  Schenkel  giebt  dann  die  Tangenten. 

Der  Punkt,  wo  sich  die  Tangente  und  der  entsprechende  Radios- 
vector  schneiden,  ist  Punkt  der  H3rperbel. 

Zusammenstellung:  Der  Mittelpunkt  der  Hyperbel  ist  3'.  Der 
Leitkreis  wird  durch  den  Holzstreifen  1  beschrieben,  der  den. Scheitel 
des  rechten  Winkels  3.  6.  7  trägt.  Ein  Schenkel  dieses  letzteren 
geht  stets  durch  den  Brennpunkt  3,  der  andere  stellt  die  Tangenten 


Pirani:    Üeher  ein  Curvographon,  123 

dar  und  lenkt  den  Stiftträger  7,  der  die  Hyperbel  beschreibt  Der 

Trflger  gleitet  anf  dem   Radinsvector  4.  5.  7,    welcher   durch  die 
PmllelftLhrang  5.  4.  3.  3'  stets  zu  1  parallel  gehalten  wird. 


Vn.    Lemniskate.    (Fig.  9.) 

Erzengnngsart:  Die  Lemniskate  kann  als  Fnsspnnktcnrve  der 
gleichseitigen  Hyperbel  angesehen  werden,  wenn  der  Mittelpunkt  als 
Pol  genommen  wird. 

Wie  bei  der  Cissoide,  so  braucht  man  auch  hier  nur  die  Tan- 
genten der  Hyperbel  zu  haben.  Man  erhält  dieselben,  wenn  der 
Scheitel  eines  rechten  Winkels  sich  auf  dem  Leitkreis  bewegt,  wäh- 
rend ein  Schenkel  durch  den  Brennpunkt  F  geht;  der  zweite  Schenkel 
stellt  dann  die  jedesmalige  Tangente  dar. 

Fällt  man  nun  darauf  vom  Mittelpunkt  M  des  Leitkreises  Lote, 
80  gehören  die  Fusspnnkte  der  Lemniskate  an. 

Zusammenstellung:  Der  Badius  4  beschreibt  den  Leitkreis  und 
ftkhrt  das  Doppelquerstück  3  (Form  /),  welches  Scheitel  des  rechten 
Winkels  ist.  Von  letzterem  geht  ein  Schenkel  stets  durch  den  Brenn- 
punkt 5,  der  andere  Schenkel  trägt  gleitend  den  Stiftträger  6,  welcher 

dnrdi  das  Lot  1.  2  geleitet  wird.    Das  Lot  1.  2  wird  durch  die, 

parallele  Fflhrung  1.  3.  2'.  2  stets  3.  5  parallel  gehalten. 

Verschiedene  Formen:  Die  Lemniskate  erhält  man  für  JlfF»ay  2 
wo  a  der  Radius  des  Leitkreises  ist.    Ihre  Gleichung  ist 

Wird  MF  kleiner,  so  nähern  sich  die  Wendetangenten  der  FAxe. 
Die  Curve  ist  dann  Fusspunktcurve  einer  beliebigen  Hyperbel  und 
hat  die  allgemeinere  Gleichung 

(«*+y*)*-«t*-V 
wo  a  and  b  die  Azen  der  H]rperbel  sind. 

Wird  MF »  a,  d.  h.  liegt  F  auf  dem  Leitkreis,  dann  fallen  die 
Wendetangenten  zusammen  und  die  Gurve  geht  in  zwei  Kreise  über 

Wird  endlich  MF<^  o,  so  ist  die  Curve  Fusspunktcurve  einer 
EUipse  mit  den  Axen  a  und  b  und  hat  die  Gleichung 


124  Pirani:  Ueber  ein  Curvo^aphon. 

Sie  hat  keinen  Doppelpunkt  mehr,  sondern  die  Form  einer  sin 
4er  kleinen  Aze  eingedrückten  Ellipse. 

Für  a  =  6  geht  sie  in  den  Kreis  über. 

Fnsspnnktcnrven  der  Hyperbel  im  Allgemeinen.  Man  erhält  sie, 
wenn  man  statt  des  Mittelpunktes  beliebige  Punkte  als  Pole  wählt. 

Ihre  allgemeine  Gleichung  ist: 

[xix  —  *») +y(y  —  n)]*  ««  a^{x  —  m)  —  b%x  —  n) 

Man  kann  den  Pol  auf  der  X  Axe,  auf  der  F  Axe,  auf  dem 
Leitkreise  (m^-\-n*  -»  a^)  und  endlich  ganz  beliebig  wählen. 

In  allen  diesen  Fällen  hat  die  entstehende  Cnrve  Schleifenform 
solange  die  Abscisse  des  Pols  kleiner  als  a.  Und  zwar  liegt  der 
Doppelpunkt  im  Pol. 

Liegt  die  Abscisse  des  Pols  zwischen  a  und  der  Brennweite,  so 
hat  die  Curve  eine  Spitze. 

Liegt  P  auf  der  Abscissenaxe  und  ist  die  Polweite  gleich  der 
Brennweite,  so  entsteht  der  Kreis. 

Ist  die  Abscisse  grösser  als  die  Brennweite,  so  entsteht  eine 
Curve  von  Kardioidischer  Gestalt  ohne  Doppelpunkte  und  mit  zwei 
Wendepunkten. 


Vm.    Die  Curve  aV  «  (a+a?)»(a  — ä).    (Fig.  10.) 

Erzeugungsart:  Ein  rechter  Winkel  bewegt  sich  mit  dem  Scheitel 
auf  einem  Kreise,  während  seine  Schenkel  den  Coordinatenaxen 
parallel  bleiben.  Die  Schnittpunkte  des  horizontalen  Schenkels  mit 
der  FAxe  werden  mit  einem  Endpunkt  des  horizontalen  Durch- 
messers des  Kreises  verbunden.  Diese  Yerbindtfngsgerade  trifft  den 
vertiealen  Schenkel  des  rechten  Winkels  im  Punkte  der  Curve. 

Zusammenstellung:  Der  Scheitel  des  rechten  Winkels  ist  6. 


Der   verticale   Schenkel   7.  5  wird   durch   die   Parallelfährung 
3.  5.  1'.  1  der  Leitgerade  6.  3  parallel  gehalten. 


Der  horizontale  5.  6  hebt  das  Stück  6,  welches  mit  zwei  Schrau- 
benköpfen versehen  ist  und  auf  der  Leitlinie  gleitet  Dieses  wie- 
derum hebt  die  2.  6,  welche  den  Stiftträger  7  leitet,  welcher  auf 
5.  7  gleitet 


Pirani:    Veber  ein  Ourvograpkon.  125 

Yerschiedene  Formen:  Die  Conre  hat  eine  Blattform  mit  einer 
Spitze  im  Pol. 

Wählt  man  irgend  einen  anderen  Punkt  als  den  Durchschnitt 
der  X  Axe  mit  dem  Leitkreise  znm  Pol,  so  bildet  die  Curve  eine 

Schleife. 

IX.    Die  Curve  «y«  —  4a«(2a— «).    (Fig.  11.) 

• 

Erzeugungsart:  Zieht  man  im  Endpunkt  eines  horizontalen  Durch- 
messers eines  Kreises  die  Tangente  und  durch  den  gegenflberliegen- 
den  Sehnen;  fällt  auf  den  Schnittpunkten  der  Sehnen  mit  dem  Kreise 
Senkrechte,  und  legt  durch  die  Schnittpunkte  der  Sehnen  mit  der 
festen  Tangente  Horizontale,  so  schneiden  die  letztgenannten  jene 
Senkrechten  in  Punkten  der  Curve. 


Zusammenstellung:  Die  Sehnen  werden  durch  4.  5.  6  dargestellt 
Das  DoppelstQck  6  gleitet  auf  der  Tangente  gelenkt  von  der  Sehne 

and  trägt  die  horizontale  6.  7.    Letztere  lenkt  den  Stiftträger  7, 

welcher  auf  tTö  gleitet.    Der  Radius  2  führt  5.    Die  ParallelfQhrung 

3.  3'.  4'.  5  hält  5.  7  vertical.    Die  Curve  wird  von  7  beschrieben. 

Yerschiedene  Formen:  Die  Curve  hat  zwei  Zweige,  welche  von 
der  Tangente  im  Pol  asymptotisch  berührt  werden.  Beide  haben  für 
z  » |a  (a  Radius  des  Leitkreises)  einen  Wendepunkt. 

Auch  hier  kann  durch  andere  Wahl  des  Poles  eine  grosse  Man- 
nigfaltigkeit von  Curven  erhalten  werden. 

Liegt  zunächst  der  Pol  ausserhalb  des  Kreises  und  zwar  mit 
einer  Abscisse  >>  a,  so  ist  die  Curve  symmetrisch  und  geschlossen 
and  zwar  blattartig. 

Ist  die  Abscisse  <Ca,  so  berührt  die  Curve  stets  zweimal 
asymptotisch  die  Yerticale  durch  den  Pol. 

Und  zwar  hat,  wenn  der  Pol  auf  dem  Kreise  liegt,  die  Curve 
aar  einen  Zweig;  wenn  er  innerhalb  des  Kreises  liegt,  zwei  Zweige, 
die  den  Pol  umfassen;  wenn  er  ausserhalb  des  Kreises  liegt  (aber 
mit  Abscisse  <[  a),  zwei  getrennte  Zweige,  einen  oberhalb,  einen 
unterhalb  des  Pols. 


I 
X26         Lauermann:  Zur  tUmentar^gcumetriseken  Kt^dtcknütsUhrt, 


VII. 

Zur  elementar-geometrischen  Kegelschnittslehre. 

Von 

Herrn  Karl  Lauermann, 

Lehrer  an  der  Bürgerschule  in  Orulich,  Böhmen. 


Es  gibt  eine  grosse  Anzahl  einheitlicher  Constmctionen  der  Linien 
zweiter  Ordnnng. 

Ich  erlanbe  mir,  im  Nachfolgenden  anf  eine  nene  Constmctions- 
methode  hinzuweisen,  welche  in  einfacher  und  eleganter  Art  die  Lö- 
snng  der  den  Kegelschuitt  betreffenden  Aufgaben  ermöglicht 

Bewegt  sich  eine  Gerade  O  (Fig.  1.)  parallel  zu  einer  gegebenen 
Richtung  X,  während  sie  stets  zwei  feste  Gerade  G^^  Gf  schneidet, 
dann  beschreiben  die  Punkte  mj,  m^  auf  ihr,  deren  Entfernungen 
von  einem  festen  Punkte  F  gleich  sind  dem  von  G^ ,  6^^  ^^  ^  ^~ 
grenzten  Stücke  a&,  einen  Kegelschnitt  ^). 

Der  elementare  Beweis  dieses  Satzes  lässt  sich  leicht  erbringen, 
wenn  die  Eigenschaft  der  Linien  zweiter  Ordnung  als  bekannt  vor- 
ausgesetzt wird,  dass  das  Yerhältniss  der  Entfernungen  jedes  ihrer 
Punkte  von  einem  festen  Punkte  und  einer  festen  Geraden  (Brenn- 
punkt und  Leitlinie)  eine  coüstante  Grösse  ist. 


1)  Herr  Gostav  Behicek,  Phyiiker  und  Mechaniker  in  Frag,  hat  mit  Zq- 
grundelegang  dieser  ihm  von  mir  mitgeteilten  Constraotion  in  sinnreicher 
Weite  einen  Konographen  hergestellt 


Itavermanni  Zur  dementar^tomeirischen  KegeUehnittsUhrt.         127 

Errichten  wir  n&mlich  von  dem  Schnittpnnl^te  o  des  Oeraden- 
paaree  ^j,  G^  aas  die  zu  L  senl^rechte  Gerade  oü,  welche  G  m  e 
schneidet,  und  bezeichnen  wir  femer  mit  o,  ß  die  Winkel,  die  oü 
mit  (?i,  beziehungsweise  G^  einschliesst,  so  ist 

m^F=  ab  —  m — hc  ■=»  oc(tga  —  tgj5)  =»  »4 <^(tg «  —  tg j3), 
oder 

sonach  der  vorliegende  geometrische  Ort  ein  Kegelschnitt  mit  dem 
Brennponkte  F,  der  Leitlinie  L  und  der  Excentricität 

i  -=  tga  — tgj5. 

Offenbar  ist  es  gleichbedeutend ,  ob  wir  zur  Constmction  eines 
bestimmten  Kegelschnittes  das  Oeradenpaar  G^^  G^  oder  ein  anderes, 
ii^endwo  in  der  Ebene  gelegenes,  benutzen,  wenn  dieses  nur  für 
jeden  Zeitpunkt  der  Bewegung  der  Geraden  G  auf  derselben  ein 
gleiches  Stack  abschneidet  wie  das  ursprüngliche. 

Diese  Tatsache,  welche  aus  dem  Wesen  unserer  Constmction  un- 
mittelbar hervorgeht,  leitet  zu  der  interessanten  Erkenntniss,  dass 
überhaupt  jede  beliebige  Gerade  der  Ebene  als  Constmctionsgerade 
angesehen  werden  kann,  und  dass  sich  in  folgender  Weise  die  ihr 
entsprechende  zweite  Gerade  finden  lässt. 

Wir  bringen  (Fig.  2.)  die  beliebig  angenommene  Gerade  H^  mit 
Ol  —  es  könnte  natürlich  ebenso  gut  auch  G^  sein  —  und  L  in 
den  Punkten  p  und  Oj  zum  Schnitte. 

W^ui  wir  nun  von  p  die  Parallele  zu  L  ziehen  und  den  Schnitt- 
punkt q  derselben  mit  G^  durch  die  Gerade  //«  mit  o^  verbinden,  so 
lässt  sich  zeigen,  dass  H^  die  gesuchte  zweite  Constmctionsgerade  ist 

Denn  aus  den  ähnlichen  Dreiecken  oo^,  opq;  Ojctib^^  ^tPü  folgen 
^  ahj  beziehungsweise  a^b^  die  Werte: 

ab   =»  o  a    10  p  .  pq^ 
«1*1  ^  o^a^  :  o,p  .  pq\ 

und  weil  nach  den  Dreiecken  poo^ ,  paa^  die  Proportion 

bax  op  ^=^  o^Oi  :  Oj  p 
besteht,  muss 

ab  «a   Oj^j 

sein,  womit,   da  es  sich  hier  eben  nur  um  die  Gleichheit  dieser 
Btrectea  handelt,  der  Beweis  hergestellt  erscheint. 


128         Lauer  mann:  Zur  eUmeniar^^e^metriMchen  Keg^UehnituUhr§, 

Wenn  wir  nnn,  diesem  Vorgänge  entsprechend,  die  Haaptaxe 
«B|  des  Kegelschnittes  —  welche  bekanntlich  dnrch  F  geht  and  auf 
L  senkrecht  steht  —  als  eine  Constructionsgerade  ansehen,  so  ge- 
winnen wir  in  der  ihr  entsprechenden  zweiten  Geraden  T  die  in  der 
Brennpnnktsordinate  berührende  Tangente;  nnd  in  der  Tangente  des 
von  derselben  mit  xx^  eingeschlossenen  Winkels  y  die  nnmerische 
Excentricität  b  des  Kegelschnittes ,  deren  Wert  —  wie  ja  bekannt 
ist  —  den  Charakter  des  Kegelschnittes  bestimmt. 

Im  Nachfolgenden  verwenden  wir  die  vorgeführte  Erzengnngsart 
der  Linien  zweiter  Ordnnng  znr  Lösnng  einiger  Aufgaben,  wobei  wir 
stets  von  der  Annahme  ansgehen  werden,  dass  der  Kegelschnitt  dnrch 
das  GFeradenpaar  G^^,  G^  die  Leitlinie  L  nnd  den  Brennpunkt  F  ge- 
geben sei. 

1.  Es  sind  die  gemeinschaftlichen  Punkte  der  Geraden  M^ 
(Fig.  3.)  mit  dem  Kegelschnitte  zu  bestimmen. 

Zu  diesem  Ende  betrachten  wir  M^  als  Constructionsgerade  und 
bestimmen  uns  in  der  angegebenen  Weise  zu  derselben  die  ent- 
sprechende Gerade  M^. 

Die  vorliegende  Aufgabe  gewinnt  unter  diesem  Gesichtspunkte 
folgende  Fassung: 

Es  sind  die  auf  Mj^  gelegenen  Spitzen  solcher  gleichschenkligeti 
Dreiecke  zu  finden,  deren  eine  Basisecke  in  F^  die  andere  aber  auf 
M^  liegt,  jedoch  so,  dass  die  von  M^^  M^  begrenzten  Seiten  dieser 
Dreiecke  parallel  zu  L  werden. 

Denken  wir  nns  o^  —  den  Schnittpunkt  von  M^  mit  L  —  mit  F 
durch  die  Gerade  M^  verbunden  und  von  p  als  Mittelpunkt  mit  dem 
Halbmesser  pg  den  Kreis  K  beschrieben,  welcher  3^  in  r j  und  r, 
schneidet ,  so  befinden  sich  ohne  Zweifel  die  gleichschenkligen  Drei- 
ecke pqr^  nnd  pqr^  mit  jenen,  deren  wir  zur  Lösung  unserer  Auf- 
gabe bedürfen,  in  ähnlicher  Lage,  d.  h.  die  homologen  Seiten  laufen 
zu  einander  parallel. 

Ziehen  wir  also  von  F  aus  zu  pr^  unApr^  die  Parallelen,  bis  die- 
selben Mx  in  <i  und  s^  schneiden,  so  werden  diese  Schnittpunkte  die 
Spitzen  der  gesuchten  Dreiecke ,  somit  auch  die  Schnittpunkte  von 
M^  mit  dem  Kegelschnitte  sein. 

Besonders  einfach  gestaltet  sich  die  Constmction  der  Schnitt- 
punkte des  Kegelschnittes  mit  der  Hanptaxe  xx^. 

In  diesem  Falle  haben  wir  (Fig.  2.)  die  durch  F  gehenden  nnd 
zu  xxi  um  45^  geneigten  Greraden  zu  bestimmen  nnd  die  Schnitt- 
punkte ftj/Jj  derselben  mit  7*  auf  «a^  in  a,  |}  zu  projiciren. 


Lauermann:  Zur  elementar'geometriscken  Kegelsehnittslehre,  J29 

Fftllt  «1  mit  «9  zosammen,  d.  h.  ist  M^  eine  Tangente  des  Kegel- 
schnittes, dann  rücken  anch  r^  and  r^  unendlich  nahe  an  einander 
and  es  berührt  der  Kreis  K  die  Gerade  M^. 

Ans  dieser  Ueberlegung  folgen  unmittelbar  die  Sätze: 

a)  Die  Geraden,  welche  von  dem  Berührungspunkte  einer  Tan- 
gente und  ihrem  Schnittpunkte  mit  der  Leitlinie  zu  dem  Brennpunkte 
gezogen  werden  können,  stehen  auf  einander  senkrecht 

b)  Jeder  Punkt  einer  Kegelschnittstangente  hat  von  der,  ihren 
Schnittpunkt  mit  der  Leitlinie  und  den  Brennpunkt  verbindenden 
Geraden  eine  Entfernung,  welche  der  Strecke  gleichkommt,  die  auf 
der  erzeugenden  Geraden  für  die  Lage  dieses  Punktes  von  zwei  Con- 
Btroctionsgeradon  begrenzt  wird. 

2.    Im  Punkte  m^  (Fig.  1.)  des  Kegelschnittes  ist  die  Tangente 
zn  construiren. 

Wir  verbinden,  indem  wir  den  Satz  a  in  Anwendung  bringen, 
»t  mit  Fund  errichten  im  letzteren  Punkte  auf  m^FdüQ  Senkrechte, 
welche  L'm  h  schneidet;  hmn  ist  die  gesuchte  Tangente. 

Yen  dem  Punkte  P  ausserhalb  des  Kegelschnittes  (Fig.  4.)  an 
diesen  die  Tangenten  zu  legen. 

Mit  Rücksicht  auf  den  Satz  b)  handelt  es  sich  hier  um  die  Be- 
stinmiung  zweier  in  F  convergirendcn  Geraden  7\',  T^\  von  welchen 
Pihre  Entfernung  mm^  gleich  der  Strecke  hat,  welche  auf  O  für 
die  Lage  des  Punktes  P  von  G^ ,  G^  gebildet  wird.  Das  sind  aber 
offenbar  die  Tangenten  eines  Kreises  mit  dem  Mittelpunkte  P  und 
dem  Halbmesser  mm^. 

Denken  wir  uns  also  diese  Tangenten  bestimmt  und  ihre  Schnitt- 
punkte o^  h^  mit  L  durch  die  Geraden  7^,  T^  mit  P  verbunden,  so 
sind  schon  7],  T^  die  verlangten  Tangenten. 

Die  Sätze  a  und  b  führen  auch  zu  einer  einheitlichen  Lösung 
des  Nonnalenproblems  bei  den  Kegelschnitten  mit  Zuhilfenahme  eines 
Kreises. 

Grolich,  August  1883. 


Ank.  d.  Urtk.  «.  Fltj^    S.  Beik«,  TeU  L 


130   ^^^ iner:  Eigetuehqften  der  PunkU  mit  rtdprohen  DreudcseoordüuUen, 


vm. 


Eigenschaften  der  Punkte  mit  reciproken 
Dreieckscoordinaten   und  deren  Anwendung  auf 

das  Dl*eieck. 


Von 

Max  Greiner. 


Yerechafit  man  sich  zu  einem  dnrch  die  Dreieckscoordinaten  a, 
ßj  y  bestimmten  Punkte  p  denjenigen  Pankt  p\  der  die  reciproken 

Coordinaten  "*  g'  "  besitzt,  so  entspricht  durch  diese  Anordnung 

jedem  Punkte  p  der  Ebene  des  Dreiecks,  der  nicht  auf  einer  Seite 
desselben  liegt,  ein  und  nur  ein  Punkt  p\ 

Sind  nun  die  Seiten  des  Fundamentaldreiecks  durch  die  Glei- 
chungen: 

A  ^xcosii-^-ysinii  —  6^  —  0 

B^ffcose^-j-ysincit  —  ö^  —  0 

gegeben,  so  haben  die  Verbindungslinien  der  Punkte  p  und  p'  mit 
der  Ecke  a  des  Dreiecks,  worin  die  Seiten  B  und  C  zusammen- 
stossen,  die  Gleichungen: 

ap  =  By'—Cß  —  0         qp'=B/J— Cy  =  0 

welche  dadurch  auf  die  Normalform  gebracht  werden,  dass  man  sie 
mit  den  Ausdrücken: 


Grtineri  EtgemckafUn  der  Punkte  mit  reeiprüken  Dreieckscoordinaten,   131 

l^iy  COS  £, — jS  C08  £a)* + (y  sin  e^—  ß  sin  «j)» 
und 

V(/Jco8e,  — yco8f5)*+  (/58in  Cj—  ysin«,)* 

dividirt;  da  aber  beide  Aasdrücke  einander  gleich  sind,  so  hat  man 
filr  die  Geraden,  welche  die  Winkel  der  beiden  Verbindungslinien 
ap  und  ap'  halbiren,  die  Oleichnngen: 

und 

oder: 

^— C— 0 
und 

B+C— 0 

woraus  sich  ergibt,  dass  die  Ecktransversalen  ap  und  ap'  mit  den 
Seiten  B  und  C  gleiche  Winkel  einschliessen.  Da  aber  jedem  Punkte 
p  nur  ein  Punkt  />'  entspricht,  so  folgt: 

^Werden  von  den  Ecken  eines  Dreiecks  aus  Transversalen  durch 
„einen  beliebigen  Punkt  p^a,  ß^  y  gezogen,  so  schneiden  sich  auch 
^diejenigen  Transversalen,  welche  von  denselben  Ecken  und  unter 
„derselben  Neigung  gegen  die  entsprechenden  Winkelhalbirenden  des 

„Dreiecks  gezogen  werden,  in  einem  und  demselben  Punkte  p^  -  , 

„g.-«  dessen  Coordinaten  reciprok  sind  zu  deiyenigeu  des  gegebenen 
,J>iinkte8  p/'     (1) 

Sind  Pi  und  p^^  p^'  und  p^'  die  Fusspunkte'der  von  den  Punkten 
p  und  p'  auf  die  Seiten  B  und  C  gefällten  Lote,  so  ist  im  Kreis- 
viereck pp%apz  der  Winkel  pap^  ^  PPiPii  ^^  ^^^^  ^^^^  W  ^^^1* 
pap^  ^»pap^*  und  ppi  senkrecht  auf  ap^'  steht,  so  ist  auch  p%p^ 
senkrecht  auf  ap'\  weshalb  folgt: 

„Fällt  man  von  einem  Punkte  p  Lote  auf  die  Seiton  eines  Drei- 
„ecks  und  verbindet  die  Fusspunkte  derselben,  so  schneiden  sich  die 
„von  den  Ecken  des  Dreiecks  auf  die  entsprechenden  Seiten  des 
„Fnsspunktdreiecks  gefällten  Senkrechten  in  einem  und  demselben 
^Punkte  p\  dessen  Coordinaten  reciprok  sind  zu  denjenigen  des 
„Punktes/»." (2) 

Denkt  man  sich  durch  die  Fusspunkte  p^,  p^,  pg  der  vom  Punkte 
p  auf  die  Dreiecksseiten  gefällten  Lote  einen  Kreis  gelegt,  welcher 
die  Seiten  noch  in  den  Punkten  p^',  p^\  pg'  trifft ,  und  errichtet  in 
Pt  und  p^'  Lote  auf  den  Seiten  B  und  C,  die  sich  in  p*  schneiden, 
w  folgt  ans  dem  Kreisviereck  p^Pü'PiPiy  dass  Wkl.  PiP%p%^PtP%Pt 


132   Grein  er:  Eigentehaften  der  Punkte  mit  reeiproken  DreieckseoordinateH, 

nnd  daher  auch  Wkl.  pp^p^  =  p'pt'Ps' ;  in  dem  Ereisviereck  p'ptap^' 
ist  aber  Wkl.  p^PtPz  =•  p'^Pii  nnd  weil  ferner  pp^  senkrecht  anf 
aps  steht,  so  sind  auch  ap*  nnd  p^p\  zn  einander  senkrecht  In 
gleicher  Weise  ergibt  sich,  dass  die  in  p^  nnd  p^  anf  den  Seiten  A 
nnd  B  errichteten  Lote  sich  in  einem  Punkte  schneiden,  welcher  der 
Senkrechten  angehört,  die  von  c  ^xd  PxP%  gefällt  werden  kann;  so- 
mit folgt  nach  (2): 

„Fällt  man  von  einem  beliebigen  Pnnkte  p  Lote  anf  die  Seiten 
„des  Dreiecks  und  legt  dnrch  die  so  erhaltenen  Fnsspnnkte  einen 
„Kreis,  so  trifft  derselbe  die  Dreiecksseiten  in  noch  drei  Punkten, 
„welche  die  Fnsspnnkte  der  Seitennormalcn  desjenigen  Punktes  p'  sind, 
„dessen  Coordinaten  reciprok  sind  zn  denjenigen  des  Punktes  y^  (3) 

Die  Halbirungsperpendikel  der  Strecken  PiPi',  p%p%^  p^p^  ent- 
halten die  Mitte  der  YerbiDduDgslinie  von  p  und  p*  und  treffen  sich 
überdies  im  Mittelpunkte  des  genannten  Kreises;  weshalb  sich  ergibt: 

„Die  Fnsspnnkte  der  Seitennormalen  zweier  Punkte  mit  reci- 
„proken  Coordinaten  liegen  stets  anf  einem  Kreise,  dessen  Contmm 
„in  der  Mitte  der  Yerbindungsstrecke  der  beiden  Pnnkte  liegt."    (4) 

Da  in  den  folgenden  Untersuchungen  die  Kenntnis  der  Coordi- 
naten einiger  Symmetriepunkte  des  Dreiecks  erforderlich  ist,  so  er* 
scheint  es  zweckmässig  zunächst  hieven  Erwähnung  zu  tun. 

Sind  'i,  «^,  «3  die  Längen  der  Seiten  A^  B^  C  des  Fundemental- 
dreiecks, so  ergeben  sich  fttr  den  Schwerpunkt  S  dieses  Drei- 
ecks, dessen  Abstände  von  den  Dreiecksseiten  sich  wie  die  Höhen 
oder  wie  die  reeiproken  Werte  der  Seiten  des  Dreiecks  verhalten, 
die  Coordinaten: 

c  —  1       1       1  — 

o  =  7»    7»    7  =*»«»»    «1*8»    «1«« (ö) 

«1      *s      *a 

Die  dem  Schwerpunkte  8  entsprechende  Harmonikale  oder  Drei- 
eckspolare bezüglich  ABC  ist  die  unendlich  ferne  Gerade,  deren 
Gleichung  somit  ist: 

^*,-fBf,+C5ra  — 0 (6) 

Errichtet  man  über  den  Seiten  des  Dreiecks  Quadrate  nnd  ver- 
längert die  den  Dreiecksseiten  parallelen  Quadratseiten  bis  sie  sich 
durchschneiden,  so  entsteht  ein  Dreieck,  das  ähnlich  und  ähnlich- 
liegend mit  dem  gegebenen  Dreieck  ist.  Der  Aehnlikhkeitspnnkt 
beider  Dreiecke  wird  der  Grebe'sche  Punkt  O  genannt.  Sind 
nun  c2|,  r^,  d^  die  Abstände  desselben  von  den  Dreiecksseiten  A^  B, 
C,  so  sind  seine  Abstände  von  den  Seiten  des  mit  ABC  ähnlichen 
Dreiecks  beziehungsweise  <ii-h«it  <^+<89  <^+'a  ^^^  ^^  verhält  sich; 


r 


Greiner:  Eigensekaßen  der  Punkte  mit  reciproken  DreiefJucoordinaten,   \  33 

und  daher  auch: 

aomit: 

G  =  s^,    *,.    «s (7) 

Die  dem  Punkte  G  entsprechende  konische  Polare  des  Dreiecks 
bit  daher  die  Gleichnng: 

J5aj+ilC5i,+ilB#a— 0 (8) 

wodarch,  wie  leicht  zn  erkennen  ist,  der  dem  Dreieck  nmschriebene 
Kreis  dargestellt  wird.    Die  den  Punkten  des  Umkreises  entsprechen- . 
den  Hannonikalen  gehen  daher  durch  den  Grebe'schen  Punkt. 

Der  Mittelpunkt  Äf  des  Umkreises  hat  von  den  Seiten  des  Drei- 
ecks die  Abstände  ^costr,,  Bcosw^^  Eco%w^^  wenn  mit  B  der  Ra- 
dins  des  Umkreises  und  mit  w^^  w^^  w^  die  Winkel  des  Fundamental- 
dreiecks  bezeichnet  werden;  drückt  man  die  Cosinus  dieser  Winkel 
dnrch  die  Seiten  des  Fundamentaldreiecks  ans,  so  findet  man  für 
das  Dmkreiscentrum  M  die  Coordinaten: 

Aus  den  Gleichungen  der  Höhen  des  Dreiecks: 

BCOSW^ — CCOSlTg—O    CCOStr^ — ^C08tCj-"0    ÄCOSWi  —  BCOSUff^O 

erhalt  man  f&r  den  Höhenschnittpunkt  H  die  Coordinaten: 

Der  Mittelpunkt  J  des  dem  Dreieck  einbeschriebenen  Kreises 
and  die  Mittelpunkte  «/i,  «/^i  «^s  ^^^  anbeschriebenen  Kreise  haben 
Ton  den  Dreiecksseiten  je  drei  gleiche  Abstände,  weshalb  man  hat: 

/=  1,1,1    Ji=  — 1,  1,  1    Jj  —  l,  — 1,  1    Ja  =  li  1»  — 1     11) 

Die  dem  Inkreiscentrum  J  entsprechende  konische  Polare  des 
Dreiecks  hat  die  Gleichung: 

BC-^-AC+ÄB  —  0 

Betrachtet  man  nun  den  Mittelpunkt  Q  dieses  Kegelschnitts  als 
den  Pol  der  unendlich  fernen  Geraden  (Asi'\-B$^'\'Cs^  »  0)  bezüg- 
lich dieses  Kegelschnittes ,  so  ergeben  sich  für  jenen  Punkt  Q  die 
Coordinaten: 

ö  =  — #i  +  *f+«8i         *i— *S+*8i         »1+»«  — *9    •    -(12) 


134   Greiner:  Eigeneeka/len  der  I\tnkte  mit  redproken  Dreietkecoerdmaiem, 

Dieser  Paukt  Q  lässt  sich  aach  auf  folgende  Weise  constrairen : 

Man  verbindet  die  Mitten  der  Dreiecksseiten  mit  den  Mittel- 
punkten «/],  «/21  «^s  der  entsprechenden  Ankreise  des  Dreiecks,  so 
treffen  sich  diese  Yerbindnngslinien  im  Punkte  Q;  denn  die  Mitten 
04,  »4,  ms  der  Dreiecksseiten  haben  die  Coordinaten: 

»4=0,  »j,  »,;    m,  =  *8,  0,  «1;    ms  =  *„  #1,  0 

und  die  Verbindungslinien  m^J^,  *>4«^9f  *'>8*^s  besitzen  daher  die  Olei- 
chnngen : 

m8*^a  =  ii«i  — -Ö*«  +  C(#i  — *,)  =»  0 
durch  deren  Auflösung  sich  ebenfalls  die  Coordinaten  von  C2  ergeben. 
Setzt  man  der  Kürze  halber: 

so   hat  der  Berührungspunkt  des  Inkreises  mit  der  Dreiecksseite  A 

von  den  Endpunkten  dieser  Seite  die  Entfernungen   \uf   und   ^, 

w&hrend  derselbe  von  den  Dreiecksseiten  A^  B^  C  beziehungsweise 

die  Abst&nde: 

0,    ^ti3  sin  tr3,    ^14  sin  w^ 

besitzt;  es  sind  daher  die  Coordinaten  dieses  Berührungspunktes: 

und  in  gleicher  Weise  findet  man  für  die  Berührungspunkte  des  In- 
kreises mit  den  Seiten  B  und  C  die  Coordinaten: 

**s*8?    0,    i*i»i        und       UfS^    tii«i,    0. 

Die  Verbindungslinien  dieser  Punkte  mit  den  entsprechenden 
Mittelpunkten  «Z^,  J^,  J3  der  Ankreise  haben  aber  die  Gleichungen: 

-^(«2«8  —  *a«3)  +  ^*2M8  —  Gf af48  —  0 

Ab^Ui  —  BsiU^-\-C(si^  —  s^Ut)  ^  0 

« 

Das  Verschwinden  der  aus  den  Coefficienten  von  il,  B  und  C 
dieser  drei  Gleichungen  gebildeten  Determinante  beweist,  dass  die 
drei  Verbindungslinien  sich  in  einem  und  demselben  Punkte  D 
schneiden,  dessen  Coordinaten  sind: 

^_1_     1^      1  ^  1  1  1_ 


Gr€in€r:  EigensehafUn  der  Punkte  mit  redproken  DreteekscoordincUen.   1 35 

Es  folgt  daher; 

„Verbindet  man  die  Berührnngspnnkte  des  Inkreises  nnd  der 
,4)reiecksseiten  mit  den  entsprechenden  Mittelpunkten  der  Ankreise, 
,^0  schneiden  sich  diese  Verbindungslinien  in  einem  nnd  demselben 
„Punkte  D^  dessen  Seitenabstände  sich  wie  die  Radien  der  entspre- 
„chenden  Ankreise,  verhalten/' (14) 

Die  ans  den  Coordinaten  der  Punkte  D,  Q  und  iS  gebildete 
Determinante  wird  aber,  wie  leicht  zu  zeigen  ist,  identisch  gleich 
Nall,  weshalb  folgt: 

„Die  Punkte  D  und  Q  liegen  mit  dem  Schwerpunkte  iS  auf  einer 
„und  derselben  Geraden." (15) 

Da  aber  auch  die  Determinante: 


=  0 


1, 

1, 

1 

«1» 

*«» 

*8 

ist,  80  ergibt  sich: 

«*ij 

^y 

«8 

,J)a8  Inkreiscentrum  J  und  der  6rebe'sche  Punkt  G  liegen  mit 
„dem  Punkte  C2  auf  einer  nnd  derselben  Geraden/' (16) 

„Punktepaare  mit  reciproken  Coordinaten  sind  nach  obigen: 

yfier  Schwerpunkt  und  der  Grebe'sche  Punkt;  das  ümkreis- 
„centrum  und  der  Höhenschnittpunkt  und  das  Punktepaar  D  nnd  Q; 
„während  die  Mittelpunkte  der  die  Seiten  des  Dreiecks  berührenden 
,^eise  sich  selbst  zu  entsprechenden  Punkten  haben  >)''. 

Durch  Anwendung  der  Sätze  (1),  (2),  (3)  und  (4)  auf  diese 
Pnnktepaare  würde  man  einfache  geometrische  Beziehungen  über  die 
gegenseitige  Lage  derselben  erhalten.  So  würde  beispielsweise  die 
Anwendung  des  Satzes  (4)  auf  das  Punktepaar  M  und  H  die  £igen- 
ichsften  des  Feuerbach'schen  Kreises^  ergeben. 

Bestimmt  man  zu  den  Punkten  einer  durch  die  Gleichung 

gegebenen  Geraden  die  Punkte  mit  reciproken  Coordinaten,-  so  ge- 
n(^  ihre  Coordinaten  der  Gleichung: 


oder: 


1)  Vergl.  Fiedler,  Geometrie  der  Kegelschnitte. 


1 36   Greiner:  Etgentehaften  der  Punkte  mit  reciproken  DrtieehieoordinaUn, 

und  es  folgt: 

f^nrdhlänft  ein  Punkt  eine  Gerade,  so  beschreibt  der  Pnnkt  mit 
,,den  reciproken  Coordinaten  einen  dem  Dreieck  umschriebenen  Kegel- 
,,schnitt  und  umgekehrt  ^)"' (17) 

Der  Kegelschnitt  K  wird  die  luTerse  der  Geraden  E  und  diese 
die  Inverse  des  Kegelschnittes  K  genannt.  Da  L  als  die  Dreiecks- 
polare eines  Punktes  p  ^  -•   ä*  '  ^^^  d^r  Kegelschnitt  K  als  die 

konische  Polare  des  Punktes  p'=a.  ß^  y  betrachtet  werden   kann, 
so  folgt: 

„Die  Inverse  der  Dreieckspolare  eines  Punktes  p  ist  die  konische 
„Polare  des  entsprechenden  Punktes  p'  bezfiglich  des  Dreieck8/^(18) 

Weil  aber  dem  Schwerpunkte  des  Dreiecks  die  unendlich  ferne 
Gerade  als  Dreieckspolare  und  dem  Grebe'schen  Punkte  der  Umkreis 
des  Dreiecks  als  konische  Polare  entspricht,  so  ergibt  sich: 

„Der  Umkreis  des  Dreiecks  ist  die  Inverse  der  unendlich  fernen 
„Geraden." (19) 

Die  zu  einer  Geraden  L  gehörige  Inverse  K  ist  daher  eine  Hj- 
perbel,  Parabel  oder  Ellipse,  je  nachdem  L  den  Umkreis  des  Drei- 
ecks schneidet,  berührt  oder  nicht  schneidet-,  jeder  Tangente  des 
Umkreises  entspricht  somit  als  inverse  Linie  stets  eine  dem  Dreieck 
umschriebene  Parabel. 

Die  Gerade  L  schneidet  die  entsprechende  Inverse  K  in  höch- 
stens zwei  Punkten  m^  und  m^  und  die  ihnen  entsprechenden  Punkte 
f»j',  m^'  mit  reciproken  Coordinaten  müssen  sowohl  auf  Zi,  als  auch 
auf  K  liegen;  da  aber  der  Schnittpunkt  fi^  im  allgemeinen  nicht  mit 
seinem  entsprechenden  Punkte  m^'  zusammenfallen  kann,  weil  diese 
Eigenschaft  nur  den  Punkten  «7,  «/j,  J^  und  J^  zukömmt,  so  geht 
hervor: 

„Auf  jeder  Geraden  befindet  sich  stets  nur  ein  Paar  von  Punkten 
„mit  reciproken  Coordinaten,  nämlich  das  Schnittpunktepaar  dieser 
„Geraden  mit  ihrer  Inversen.^^ (20) 

Aus  diesem  Grunde  muss  jede  durch  das  Inkreiscentrum  oder 
durch  ein  Ankreiscentrum  gehende  Gerade  den  ihr  entsprechenden 
inversen  Kegelschnitt  in  jenem  Punkte  berühren.  Mit  Rücksicht  auf 
Satz  (19)  folgt  noch: 


))  Siebe  Pur^ge,  Cqnren  8.  Ord.  pg.  181. 


Greintr:  Eigtnschafttn  der  PUnkle  mit  reci'proken  Drtieckscoordinaten.   137 


^ie  unendlich  fernen  imaginären  Ereispnnkte  sind  ein  Punkte- 
,jMar  mit  reciproken  Coordinaten/^      (21) 

Nachdem  nun  gezeigt  wnrde,  daas  jeder  Geraden  nur  ein  Paar 
TOD  Ponkten  mit  reciproken  Coordinaten  angehört,  so  fragt  es  sich, 
welche  Conre  diese  Pnnktepaare  beschreiben,  im  Falle  die  Gerade 
sieb  um  einen  festen  Punkt  p^  «,  /?,  /  dreht  Damit  aber  eine 
durch  den  Punkt  p  gehende  Gerade  ein  Paar  entsprechender  Punkte, 

deren  Ck>ordinaten  A,  B^  C  und  -j.   ^.  j,  seien,  enthalte,  muss  die 
B«duigung8gleichung  bestehen: 

«>    A    7 
A,    B,     C 


1^ 

A' 


1 
B 


1 
C 


0 


daher  erhält  man  fOr  die  gesuchte  Curve  die  Gleichung: 

A,      B,     C 
BC,  AC,  AB 
=  AHBß  —  Cy)  +  B^iCy^Aa)  +  C^{Aa  -  i^/3)  «  0 


F(p)^ 


(22) 


Dieser  Gleichung  genügen  aber  sowohl  die  Coordinaten  der  Eck- 
punkte des  Dreiecks,  als  auch  diejenigen  der  Punkte  p^  a,  |?,   y 

imdp'=-.  ^.  -;   femer   erhält  obige   Determinante   zwei    gleiche 

Reihen,  sobald  man  statt  der  variabelen  Coordinaten  diejenigen  der 
Ponkte  J,  J|,  J^  oder  J^  setzt;  überdies  ist  die  Gleichung  F(p)=0 
nur  abhängig  von  den  Coordinaten  a,  ß,  y  des  gegebenen  Punktes 
P,  weshalb  derselbe  der  Erzeugungspunkt  jener  Curve  genannt  wird. 
Es  ergibt  sich  nun: 

„Diejenigen  Paare  von  Punkten  mit  reciproken  Coordinaten, 
,,deren  Terbindungslinien  durch  einen  festen  Punkt  p  gehen,  liegen 
«iftnf  einer  Curve  dritter  Ordnung,  welche  die  Ecken  des  Dreiecks, 
„die  Mittelpunkte  der  vier  Kreise,  welche  die  Seiten  des  Dreiecks 
nberflhren,  den  Erzeugungspunkt  p  und  den  ihm  entsprechenden 
«Punkt  p'  mit  reciproken  Coordinaten  enthält/' (23) 

Die  Curve  F(p)  besitzt  also  die  Eigenschaft,  dass  sie  zu  jed^m 
ihrer  Punkte  auch  denjenigen  mit  reciproken  Coordinaten  enthält 
WOrde  man  den  Punkt  p'  zum  Erzeugungspunkt  wählen,  so  erhielte 
oin  eine  von  der  vorigen  verschiedene  Curve,  die  aber  durch  die- 
Mlheu  nenn  Punkte  ginge,   welche    im  Satz   (23)   erwähnt  wurden. 


138    Greiner:  Eigen »chaflen  der  Punkte  mit  reciproken  Dreietkscoordinaten. 

Hieraus  erkennt  man,  dass  darch  die  Ecken  des  Dreiecks,  durch  die 
Mittelpnnkte  seiner  vier  Berührnngskreise  und  dnreh  ein  beliebiges 
Paar  von  Punkten  mit  reciproken  Coordinaten  nnzählig  viele  Cnrven 
dritter  Ordnung  gelegt  werden  können;  da  aber  je  zwei  Ankreiscentra 
mit  einer  Ecke  des  Dreiecks  auf  einer  Geraden  liegen,  so  folgt: 

„Das  Inkreiscentrum,  ein  Ankreiscentrum,  die  beiden  Ecken  des 
„Dreiecks,  die  nicht  auf  der  Verbindungslinie  der  beiden  Centra 
„liegen  und  jedes  beliebige  Puuktepaar  mit  reciproken  Coordinaten 
„gehören  stets  einem  Kegelschnitte  an/^ (24) 

Ebenso  ergibt  sich: 

„Je  zwei  Ankreiscentra,  die  beiden  nicht  auf  ihrer  Verbindangs- 
„linie  liegenden  Ecken  des  Dreiecks  und  jedes  beliebige  Punktepaar 
„mit  reciproken  Coordinaten  liegen  stets  auf  einem  und  demselben 
„Kegelschnitte" (25) 

Bestimmt  man  zu  einer  beliebigen  durch  den  Punkt  p  gehenden 
Geraden  L  den  inversen  Kegelschnitt  iT,  so  geht  derselbe  nach  (17) 
durch  die  Ecken  des  Dreiecks,  enthält  den  dem  Punkte  p  entspre- 
chenden Punkt  p'  und  schneidet  die  Gerade  L  in  einem  Punktepaar 
mit  reciproken  Coordinaten,  das  auch  der  Curve  F(p)  augehört; 
daher  trifft  der  Kegelschnitt  K  diese  Curve  in  sechs  Punkten ,  von 
denen  bei  der  Drehung  der  Geraden  L  um  den  Punkt  p  vier  Schnitt- 
punkte, nämlich  die  Ecken  des  Dreiecks  und  der  Punkt  p'  unver- 
änderlich bleiben;  somit  folgt: 

„Die  Curve  F(p)  der  Punktepaare  mit  reciproken  Coordinaten 
„lässt  sich  erzeugen  durch  die  projectivisch  auf  einander  bezogenen 
„Gebilde  eines  durch  den  Erzeugungspunkt  p  gehenden  Strahlen- 
„bttschcls  und  eines  Kegelschnittbüschels,  der  die  Ecken  des  Dreiecks 
„und  den  Punkt  p'  zu  Grundpunkten  hat/^ (26) 

Ferner  ergibt  sich: 

„Jeder  durch  die  Ecken  des  Dreiecks  und  durch  den  Punkt  p' 
„gehende  Kegelschnitt  schneidet  die  Curve  F(p)  in  noch  einem 
„Punktepaar  mit  reciproken  Coordinaten,  dessen  Verbindungslinie 
„durch  den  Punkt  p  geht" (27) 

Der  Umkreis  des  Dreiecks  hat  mit  F(p)  die  Ecken  des  Drei- 
ecks und  ausserdem  noch  drei  Punkte  fi^,  ins,  m^  gemeinsam,  wel- 
chen nach  (19)  die  unendlich  fernen  Punkte  der  Curve  F(p)  ent- 
sprechen; es  geben  somit  die  Verbindungslinien  1M74,  pm^^pm^  die 
Richtungen  der  Asymptoten  der  Curve  F{p). 

Die  konische  und  die  gerade  Polare  eines  beliebigen  Panktea 
tt  ^  ^,  Bq,  Cq  bezüglich  der  Curve  F(p)  haben  die  Gleichungen: 


Grgiutr:  E^entchafltn  der  I\mkte  mit  reciproken  Dreieckscoordinaten .    139 

F,(f)  =  AHBoß-  Ctr) + B'iCoY  -  A^a)  +  CHA^t,  -  B^ß) 
■\-2AB{Affi—  B^tt)  +  2AC(C\fx  —  A^y)  +  2BC{B^y  —  C^/J)  =  0 

+  C(yÄo*-yV  +  2ir^oCo~2/?Ä,Co)«0 (28) 

Setzt  man  in  der  Gleichang  F^(p)  =  0  statt  der  Coordinaten  ^, 
B^  Co  diejenigen  des  Inkreiscentrums  oder  die  Coordinaten  der  An- 
kreiscentra  ein,  so  ergeben  sich  für  die  Tangenten  Ton  F{p)  in  diesen 
Tier  Punkten  die  Gleichungen: 

A(ß+y)  +  B{y^tt)^C(a  +  ß)  -  0 
-^(/J+y)  +  ^(y+a)  +  (7(a-^)  -0 

welchen,  wie  leicht  zu  erkennen  ist,  durch  die  Coordinaten  a,  ßy  y 
genüge  geleistet  wird;  weshalb  folgt: 

^ie  in  den  Mittelpunkten  der  vier  Berührungskreise  des  Drei- 
„ecks  gezogenen  Tangenten  der  Curve  F{p)  schneiden  sich  im  £r- 
„zeugungspunkte  p/^ (29) 

Oder: 

„Die  yon  dem  Erzeugungspunkte  p  an  die  Curve  F(p)  auslau- 

„fenden  Tangenten  berühren  dieselbe  in  den  Punkten  J,  J^,  J^i  ^z*" 

(30) 

Setzt  man  in  der  Gleichung  F^(p)  »-  0  statt  der  Coordinaten  ^, 
B^  Co  diejenigen  des  Punktes  p'  ^  -.  g>  -,   so  erhält  man  für  die 

p  y 

konische  Polare  von  p'  die  Gleichung: 

5Ca(/J«— y«)-f-^Cj3(y«— a«)-f^Äy(a*  — /3«)  «  0 

wdcher  sowohl  die  Coordinaten  der  Eckpunkte  des  Dreiecks,  als 
auch  diejenigen  des  Punktes  p^  a^  ß^  y  genügen.  Mit  Rücksicht 
auf  die  Eigenschaften  der  Cnrven  dritter  Ordnung  folgt  nun: 

„Die  konische  Polare  des  Punktes  p'  bezüglich  der  Curve  F(p) 
^berührt  dieselbe  in  diesem  Punkte  und  schneidet  sie  in  den  Ecken 
»des  Dreiecks  und  in  dem  Erzeugungspunkte  p/^| (31) 

„Ton  dem  Punkte  p'  gehen  daher  an  die  Curve  F(p)  vier  Tan- 
„geoten,  welche  dieselbe  in  den  Ecken  des  Dreiecks  und  im  Punkte  p 
„berühren." (32) 


1 40   Grein  er:  Eigtnxchajten  der  Punkte  mit  recijvroken  DreiedcecoordintUen. 


Die  Tangente  T  im  Pankte  p'  hat  nach  (28)  die  Gleichung : 
Aa^ß^  —  y«)  +  Bß\y^  —  «*)  +  Cy^a^  —ß*)^0 
welche  auch  die  Form: 

A,      B,      C 

111 

a'       ß  y       «  0 

L        L         L 

a»'       /J»'        y« 

annimmt,  worans  man  erkennt,  dass  diese  Tangente  T  ausser  dem 

Pnnkte   p'    aach    noch   den   durch  die   Coordinaten  — j-  -ry  -^  be- 
stimmten Punkt  enthält. 

Will  man  den  Schnittpunkt  n  der  Tangente    T  mit  der  Guryo 
F(p)  bestimmen,  so  braucht  man  nur  zu  berücksichtigen,  dass  jeder 

Punkt  von  T  durch  die  Coordinaten  -4^  —  -  +  ~3>  ^i  =  3+  gj » 

C]  «  -  -)-  -3  darstellbar  ist,  weshalb  man  die  Grösse  l  nur  ao  zo 

bestimmen  hat,   dass   die   Coordinaten  A^y   Bj,  C\   der   Gleichung 
F(p}  »  0  genügen.    Man  hat  alsdann: 


(ft«  +  A)^(^^~y«)       (|3«+A)»(y»--c«)       (y«+A)«(a« 

.41  A4  T"  «4 


-ß*) 


ß' 


0 


und  findet  hieraus: 


hicmit  folgt: 


2««/S«y« 


ß^^aY  +  a^ß^ 


Die  Tangente  der  Curve  F{p)   im  Punkte  p'   trifft  die  Curve 
noch  in  dem  Punkte: 


n  =  ^(-ß2y2^„2y«^.„2^2)^      I(ß2y2__„2y2  ^a^ß^h 


(33) 


Da  die  Curve  F{p)  durch  die  Ecken  des  Fundamentaldreiecks 
geht,  so  schneidet  sie  jede  Seite  desselben  in  noch  je  einem  Punkte 
über  welche  man  dadurch  Aufscbluss  erhält,  dass  man  in  der  Glei- 
chung F{p)  »0  der  Reihe  nach  für  A^  B  oder  C  Null  setzt,  wo- 
durch man  bekommt: 


Grein  er:  Eigenschafien  der  Punkte  mit  reeiproken  Dreitckscoordinaten.   141 

By--Cß^O        Co  — ^y  — 0        Aß  —  Ba^O 
weshalb  folgt: 

f^Die  Cunrc  B(p)  schneidet  die  Seiten  des  Dreiecks  in  den  Schnitt- 
„pnnkten  der  Ecktransversaien  des  Erzeagangspunktes  p.'^     .   .  (34) 

Die  Tangenten  in  diesen  Schnittpunkten,  deren  Coordinaten 
0,  ^,  y;  a,  0,  y;  o,  /3,  0  sind,  haben  die  Gleichungen: 

^flf(jJJ  —  y«)  —  Bßy^  +  Cyß^  «  0  Aay^  +  Bß{y^  —  ««)  —  C/«*  ==  0 

—  Aaß^+Bßa^  +  Cy(a^  —  j3«)  =  0 

and  das  Verschwinden  der  aus  den  Coefßcienten  von  A^  B  und  C 
dieser  Gleichungen  gebildeten  Determinante  zeigt,  dass  diese  Tan- 
genten sich  in  einem  und  demselben  Punkte  schneiden.  Durch  Auf- 
lösung Yon  zwei  der  obigen  Gleichungen  ergeben  sich  aber  für  den 
gemeinsamen  Schnittpunkt  gerade  die  Coordinaten  des  in  (33)  er- 
wähnten Punktes  »,  weshalb  folgt: 

,J)ie  Tangenten  der  Curve  F(p)  in  den  drei  Schnittpunkten  der- 
nselben  mit  den  Dreiecksseiten  und  die  Tangente  im  Punkte  p'  treffen 
„sich  alle  vier  in  einem  der  Curve  F(p)  angehörigen  Punkte  n!'^  (35) 

Die  Polare  des  Punktes  n  bezüglich  des  durch  die  Gleichung 

BCßy+ACayJ^ABaß  «  0 

dargestellten  Kegelschnittes  hat  die  Gleichung: 

Aa{ßBn  +  yCn)  +  Bß(yCn + aA„)  +  Cy(aAn  +  ßBn)  =  0 
oder 

Aßy'\-Bay-\-Caß  «  0 
d.  h. 

,J)io  Dreieckspolare  des  Punktes  p  ist  zugleich  die  Kegelschnitts- 
„polare  des  Punktes  n  bezüglich  der  zum  Punkte  p'  gehörigen  ko- 
„niachen  Polare  des  Dreiecks/' (36) 

Unter  den  sämmtlichen  konischen  Polaren  der  Curve  F(p)  be- 
finden sich  offenbar  auch  gleichseitige  Hyperbeln,  und  es  ist  nun  zu 
antersnchen,  welchen  Punkten  dieselben  entsprechen.  Da  in  der 
Gleichung  der  gleichseitigen  Hyperbel  die  Summe  der  Coefßcienten 
voo  2*  und  y*  gleich  Null  ist,  so  erhält  man  fUr  einen  Punkt 
«  =  ilo«  -^01  ^09  dessen  konische  Polare  (Fi(p)  —  0)  eine  gleichsei- 
tige Hyperbel  sein  soll,  die  Bedingungsgleichung: 


142   Greiner:  £igen$ehqften  der  Punkte  mit  reciproken  Dreieckscoordinaten. 

{Boß'-Cor)coB%+(Coy—Aoa)c08%+iAoa''Boß}cosh^ 

+2(-4o/J — Äo«)8in«i8iiif,  —  0 
oder: 

oder  endlich: 


«1       ft        y 

COBtTj,     C08t(72,      COBU^s 


-0 


Die  gesuchte  Ortscurve  ist  also  eine  Gerade,  welche  den  Punkt 
p^a^  ß^  Y  ^^^  ^^^  durch  die  Goordinaten  cos  tri,  cosu^s,  cos  109 
dargestellten  Punkt,  nämlich  das  Umkreiscentrum  des  Dreiecks  ent- 
hält; daher  folgt: 

„Den  sämmtlichen  Punkten  der  Geraden,  welche  den  Pankt  p 
„mit  dem  Umkreiscentrum  des  Dreiecks  yerbindet,  entsprechen  als 
„konische  Polaren  bezüglich  der  Gurve  F(p)  lauter  gleichseitige  Hy- 
„perbeln.'* (37) 

„Die  konische  Polare  des  Erzeugungspunktes  p  bezüglich  der 
„Gurve  F(p)  ist  daher  eine  gleichseitige  Hyperbel,  welche  durch  die 
„Gentra  der  vier  Berührungskreise  des  Dreiecks  geht  und  die  Gurve 
,^F{p)  in  p  berührt;  sie  enthält  somit  alle  jene  Punkte,  welche  be- 
„züglich  der  Punktepaare  von  F(p)  mit  reciproken  Goordinaten  har- 
„mouisch  conjugirt  zum  Punkte  j>  sind,  und  ihre  Tangente  im  Punkte 
„p  geht  durch  den  Punkt  p'." (38) 

Die  Dreieckspolare  eines  beliebigen  Punktes  m  ^  ^,  Bq,  Co, 
ferner  diejenige  des  Punktes  p  und  die  Polare  des  Punktes  m  be- 
züglich der  dem  Punkte  p^  entsprechenden  konischen  Polaro  des 
Dreiecks  haben  beziehungsweise  die  Gleichungen: 

ABoCq  +  BA^Co  +  CAqBo  =  0        Aßy  +  Bay  +  Caß  -  0 
Aa{B^ß+CoY)  +  Bß(A^a+CoY)  +  CY{Aoii+B^ß)  «  0 

Damit  sich  nun  die  drei  genannten  Geraden  in  einem  und  dem* 
selben  Punkte  schneiden,  muss  für  die  Goordinaten  des  Punktes  m 
die  Beziehung  bestehen: 


Greintr:  Etgensehqften  der  I\inkie  mit  reciproktn  Dreieckscoordinaten,   143 


oder 
d.  L 


•öqC^  A^Cq^  AqB^^ 

ßy,  «y  aß 

a{B^ß+Cor\    ß{AoCc+Cor),  yMo«+^o« 

F(p)  -  0 


0 


,^eder  Punkt  der  Curve  F(p)  besitzt  die  Eigenschaft,  dass  seine 
,J)reieck8polare  und  seine  Polare  bezüglich  der  dem  Punkte  p'  ent- 
„iprechenden  konischen  Polare  des  Dreiecks  sich  in  einem  Punkte 
„der  ony^änderlichen  Dreieckspolare  des  Erzeugungspunktes  p  tref- 
,M" (39) 

Die    Dreieckspolaren  der   Punkte  m^^,  Bq^  Cq;  m'^7-. 

-^.  TT  und  p'  =  -f  -ä-  -  haben  die  Gleichungen  : 

AB^q^  +  BA^^C^+CAoBo^O        AAo+BBq  +  CCq  ^0 

Aa  +  Bß  +  Cy  —  0 

woraus  sich  durch  Elimination  der  Grössen  Aj  B^  C  ebenfalls  die 
Gleichung  J*(p)  —  0  ergibt,  weshalb  folgt: 

„Jeder  Punkt  der  Curve  F(p)  besitzt  die  Eigenschaft,  dass  seine 
„Dreieckspolare  und  diejenige  des  entsprechenden  Punktes  mit  re- 
,,ciproken  Coordinaten  sich  in  einem  Punkte  der  Dreieckspolare  des 
„Punktes  p'  treffen." (40) 

Wählt  man  den  Schwerpunkt  5  des  Dreiecks  als  Erzeugungs- 
ponkt,  so  erhält  man  eine  Curve  /"(«),  welche  bemerkenswerte  Auf- 
sehlflsse  über  die  gegenseitige  Lage  der  wichtigsten  Symmetriepunkte 
des  Dreiecks  giebt. 

Berücksichtigt  man,  dass  dem  Schwerpunkte  S^  —,    —  i     — 

*1  '2  *8 

der  Grebe'sehe  Punkt  G  ^  «j,  «2,  s^  als  Punkt  mit  reciproken  Coor- 
dinaten entspricht,  so  ergibt  sich  zunächst  nach  (23): 

„Diejenigen  Punktepaare  mit  reciproken  Coordinaten,  deren  Yer- 
„bindnngslinien  durch  den  Schwerpunkt  des  Dreiecks  gehen,  liegen 
„auf  einer  Curve  dritter  Ordnung,  welche  die  Ecken  des  Dreiecks, 
^die  Centra  seiner  vier  Berührungskreise,  den  Schwerpunkt  und  den 
„Grebe'schen  Punkt  enthält (41) 

Die  Gleichung  dieser  Curve  ist: 

F{Si  -  A\(Bsi  —  O,) 4-  B\{Cs^  —  As^)  +  (fls^iA^  —  Äj  =  0 


1  ^    G reiner :  J^u/entchaften  der  Punkte  mit  reciprokeu  Üreiechicoordinaten» 

Aus  (29)  und  (30)  folgt: 

„Die  in  den  Mittelpunkten  der  vier  Berührungskreise  des  Drei- 
„ecks  gezogenen  Tangenten  der  Gurve  F(S)  schneiden  sich  im  Schwer- 
„punkte."     (42) 

Oder: 

„Die  vom  Schwerpunkte  an  din  Gurve  F(S)  auslaufenden  Tan- 
,,genten  berühren  dieselbe  in  den  Punkten  J,  J^,  «/g,  J^"    .    .    .  (43) 

Aus  (31)  und  (32)  ergibt  sich: 

„Die  konische  Polare  des  Grebe'schen  Punktes  bezüglich  der 
„Gurve  FIS)  berührt  dieselbe  in  diesem  Punkte,  geht  durch  die  Ecken 
„des  Dreiecks  und  durch  dessen  Schwerpunkt  ^S." (44) 

„Die  von  dem  Grebe'schen  Punkte  an  die  Gurve  F(S)  gezogenen 
„Tangenten  berühren  dieselbe  iu  den  Ecken  des  Dreiecks  und  im 
„Schwerpunkte." (45) 

Zufolge  (34)  hat  man: 

„Die  Gurve  F(S)  geht  durch  die  Mitten  der  Dreiecksseiten /^  (46) 

Die  Goordinaten  des  in  (33)  erwähntes  Punktes  n  gehen  jetzt 
über  in: 

wodurch  aber  das  Gentrum  M  des  Umkreises  dargestellt  wird;  daher 
folgt: 

„Der  Mittelpunkt  des  Umkreises  liegt  auf  der  Gurve  F{S)^  and 
„die  von  ihm  an  die  Gurve  gezogenen  Tangenten  berühren  dieselbe 
„im  Grebe'schen  Punkte  und  in  den  Mitten  der  Dreiecksseiten."  (47) 

Wie  früher  bemerkt  wurde,  ist  aber  das  Umkreiscentrum  und 
der  Höhenschnittpunkt  ein  Paar  entsprechender  Punkte  mit  reciprokeu 
Goordinaten,  das  mit  dem  Schwerpunkte  auf  der  sogenannten  Euler- 
schen  Geraden  liegt;  ebenso  geht  die  Verbindungslinie  der  entspre- 
chenden Punkte  Q  und  D  nach  (15)  durch  den  Schwerpunkt,  wes- 
halb sich  die  bemerkenswerte  Eigenschaft  ergibt: 

„Die  folgenden  16  Punkte,  nämlich  die  Ecken  des  Dreiecks,  die 
„Mitten  seiner  Seiten,  die  Mittelpunkte  der  vier  Berührungskreise 
„des  Dreiecks,  der  Schwerpunkt,  der  Grebe'sche  Punkt,  das  Umkreis- 
„centrum,  der  Höhenschnittpunkt  und  die  Symmetriepunkte  D  und 
„Q  des  Dreiecks  liegen  auf  einer  Gurve  dritter  Ordnung,  die  über- 
„dies  noch  alle  jene  Punktepaare  mit  reciprokeu  Goordinaten  ent- 
„hält,  deren  Verbindungslinien  durch  den  Schwerpunkt  gehen.^  .  (48) 


Grtiner:  EigeHscha/ten  der  Punkte  mit  reeiproken  Dreieekseoordinaten,    145 

Au  (37)  und  (38)  ergibt  sich  ferner: 

,^11  Punkten  der  Enlcr'schcn  Geraden  entspreehen  bezüglich  der 
„Ganre  F(S)  als  konische  Polaren  laater  gleichseitige  Hyperbeln; 
nonter  diesen  befindet  sich  auch  die  konische  Polare  des  Schwer- 
fjmnktes,  welche  durch  die  Ceutra  der  4  Berührungskreise  des  Drei- 
,,6cki  geht  und  die  Gurve  F(S)  im  Schwerpunkte  berührt;  sie  ent- 
,^llt  lüle  jene  Punkte,  welche  bezüglich  der  Punktepaare  mit  reci- 
„proken  Coordinaten  harmonisch  conjugirt  zum  Schwerpunkte  sind 
nODd  ihre  Tangente  in  diesem  Punkte  geht  durch  den  Grebe'schen 
„Punkt." (49) 

Zieht  man  durch  den  Schwerpunkt  S  eine  beliebige  Gerade,  so 
lehneidet  diese  die  Curve  F(S)  stets  in  einem  Paare  entsprechender 
Ponkte  m  und  m';  die  in  5,  m  und  i»'  an  die  Curve  gezogenen 
Tangenten  schneiden  dieselbe  in  noch  drei  Punkten,  welche  die  Tan- 
gentialpunkte  von  S^  m  und  m'  genannt  werden  und  bekanntlich  wie- 
dtf  einer  Geraden  angehören;  da  aber  die  Curventangente  in  S  durch 
den  Grebe'schen  Punkt  geht,  so  folgt: 

„Zieht  man  in  irgend  einem  Paar  entsprechender  Punkte  der 
„Gurre  F(8)  die  Tangenten  an  dieselbe,  so  geht  die  Verbindungs- 
nlinie  der  zugehörigen  Tangentialpunkte  stets  durch  den  Grebe'schen 
«Punkt" (60) 

Mit  Backsicht  auf  (42)  ergibt  sich  nun: 

„Jede  Gerade,  welche  durch  einen  der  vier  Mittelpunkte  der 
nBerflhrungskreise  des  Dreiecks  geht,  schneidet  die  Gurve  F(S)  in 
nuoch  zwei  Punkten,  deren  Tangenten  dieselbe  stets  in  einem  Paar 
,,entoprechender  Punkte  mit  reeiproken  Goordinaten  treffen."     .  (51) 

Unter  den  durch  das  Inkreiscentrum  J  gehenden  Geraden  be- 
findet sich  aber  besonders  eine,  welche  die  Gurve  F{8)  in  den  Punk- 
ten G  und  Q  schneidet,  da  diese  nach  (16)  mit  dem  Punkte  J  auf 
einer  Geraden  liegen;  die  Tangente  in  G  trifft  aber  nach  (47)  die 
Gurre  F(S)  in  dem  TJmkreiscentrum  M^  und  daher  mnss  zufolge  (51) 
die  in  Q  gezogene  Tangente  die  Gurve  im  Höhenschuittpunkte  H 
treffen;  daher  folgt: 

,yDie  Taugenten  der  drei  einer  Geraden  angehörigen  Punkte  J, 
„(?  und  Q  der  Curve  F(S)  treffen  dieselbe  beziehungsweise  in  den 
nUf  der  Enler'schen  Geraden  liegenden  Punkten  5,  M  und  H  .  (52) 

Berücksichtigt  man,  dass  die  konische  Polare  des  Punktes  O 
bezüglich  des  Dreiecks  der  Umkreis  desselben  und  die  Dreieckspolare 
des  Schwerpunktes  die  unendlich  ferne  Gerade  ist,  so  folgt  aus  (39): 

Aitk.  4«r  Xstk.  m.  Fuys.    S.  Baihe,  Teil  I.  10 


146    Greiner:  Eigenechaßen  der  Punkte  mit  reciproken  DreieekeeoordiMUn. 

„Jeder  Punkt  der  Garve  f(S)  besitzt  die  Eigenschaft,  dass  dessen 
„Dreieckspoiare  parellel  ist  zu  seiner  Umkreispolare/'    ....  (53) 

Ebenso  lässt  sich  Satz  (40)  auf  die  hier  betrachtete  Gurre  über- 
tragen. 

Eine  weitere  Eigenschaft  der  Gnrve  F{S)  ergibt  sich  durch  fol- 
gende Betrachtung: 

Jeder  b^ebige  durch  die  Ecken  des  Fnndamentaldreiecks  gehende 
Kegelschnitt  kann  durch  die  Gleiehung: 

aBC+ßÄC+yAB  =  0 

dargestellt  und  als  die  konische  Polare  eines  Punktes  p^a^  ß^  y 
bezfiglich  des  Dreiecks  betrachtet  werden.  Die  Tangente  dieses 
Kegelschnittes  im  Eckpunkte  a  des  Dreiecks  hat  die  Oleichung: 

yJ?4-/JC— 0 

und  die  durch   a  gehende  Normale  desselben  kann  zunächst  durch 

die  Gleichung: 

^+AC— 0 

dargestellt  werden,  worin  aber  A  noch  so  zu  bestimmen  ist,  dass  die 
beiden  Geraden  auf  einander  senkrecht  stehen;  so  dass  also: 

ycost^+Z^cosfa  .   singg  +  ilsingg 

ysincg  4'/'*i^**8      cosfj  +  '^cosfj  "* 
ist 

Hieraus  findet  man: 

y  —  j3costg| 
ß  —  ycostoj 

und  somit  hat  die  Kegelschnittsnormale  im  Eckpunkte  a  die  Gleichung : 

-B(/J  — ycoswj  — C(y— /JcosuTj)  —  0 

Ebenso  findet  man  für  die  Normalen  in  den  beiden  anderen 
Ecken  des  Dreieks  die  Gleichungen: 

C{y  —  ocostT})  — ^(a — ycos«^^)  =  0 
und 

-4(o  — jJcoswa)  — J?(/?  — acostr,)  —  0 

Die  Bedingung,  dass  diese  drei  Normalen  sich  in  einem   und 
demselben  Punkte  schneiden,  liefert  die  Gleichung: 


-  O 


0 

ß  —  ycosiif, 

/JcostTi — y 

ycosu^s  —  a 

0 

y  —  ffCOStOj 

a  —  j3cosu^3 

«  cos  W3  —  ß 

0 

Grein  tri  Migtiuekmftm  der  i\inl;/e  mä  reetprolun  DretedacoordtnafM,    |47 

womu  man  erbflit: 

a(jJ«-.yl)(C08t©j-(-COSirgC08W78)4-/^(ys — a*)(C0SM?2+C08tüiC08ti'3) 

-f-y(a*— |3*)(C08irj-|"C08uTiC08«»,)  —  0 

oder: 

a(/l* — y')sinwj8inir8-f*?(y* — o*)8inw88iiiuyi4"y(«' — /3*)8intr,8inir2  «  0 

und  weil 

sinir^ : sin w^ : sin u^s  -»  «| : «9: <s, 
80  folgt: 

«a{/^*  -  y*) + ^vs(y*  -  «*) + y V8(«'  - 13«)  -  o 

Da  aber  diese  Gleichnng  mit  deijenigen  der  Cnrve  F(S)  voll- 
Btiadig  übereinstimmt,  wenn  man  tftatt  der  Goordinaten  r,  ^,  y  des 
Punktes  p  die  Ausdrücke  A^  By  C  gesetzt  denkt,  so  er  ergibt  sieh: 

„Die  konischen  Polaren  aller  Punkte  der  Cnrve  F{S)  bezüglich 
„des  Dreiecks  haben  die  Eigenschaft,  dass  sich  ihre  in  den  Ecken 
„des  Dreiecks  gezogenen  Normalen  in  einem  und  demselben  Punkte 
„schneiden;  diese  Eigenschaft  kommt  also  insbesondere  auch  den 
„konischen  Polaren  der  Punkte  J,  S^  G^  Af,  H^  D  und  Q  zu''. 

Ragensbnrg,  Oetober  1883. 


lO* 


148  Hoppe-.  Ein  PItoMm^  üöbt  berüknnde  Kugeln. 


IX. 


Ein  Problem  über  berührende  Kugeln. 


Von 

R.  Hoppe. 


In  T.  LYI.  S.  307.  ist  bewiesen,  dass  nicht  mehr  als  12  gleiche 
Kngeln,  ohne  sich  zn  durchdringen,  eine  gleiche  Kugel  berühren 
können.  Man  kann  nun  die  Frage  auch  umgekehrt  stellen :  Wie  gross 
muss  eine  Kugel  mindestens  sein,  damit  eine  gegebene  Anzahl  ein- 
ander gleicher  Kugeln,  ohne  sich  zu  durchdringen,  sie  bertthren 
können? 

Was  das  allgemeine  Problem  betrifft,  so  sind  n  Kugeln  JT  von 
gleichem  Badius,  den  wir  >--  1  setzen,  gegeben.  Der  gemeinsame 
Abstand  der  Mittelpunkte  aller  K  vom  Mittelpunkte  einer  gesachten 
Kugel  Jf  sei  «-  r.  Der  variable  Abstand  der  kteu  und  Aten  Kugel 
JT  sei  —  Bk,h^  Dann  verlangt  das  Problem,  r  zum  Minimum  zu 
machen  bei  ^(n^l)  Grenzbedingungen: 

Die  Anzahl  der  letztem  vermindert  sich  sehr  bei  Speciaibetrachtung, 
da  jede  Kugel  K  höchstens  von  5  andern  berahrt  werden  kann. 
Auch  lassen  sich  manche  Sätze  darfiber  aufstellen,  welche  Berflh- 
rungen  der  K  für  ein  Minimum  r  notwendig  sind,  so  dass  ihnen 
entsprechend  A,a  —  2  im  voraus  bekannt  ist. 

Gegenwärtig  will  ich  auf  das  Problem  Air  ein  beliebiges  n  nicht 
weiter  eingehen,  sondern  die  Untersuchung  auf  Specialwerte  von  n 
beschränken.     Fflr  n  —  2 ,  3,  4,  5,  6,  12  ist  die  Lösung  sofort  za 


Hoppt:  Ein  ProkUm  üb9r  berührende  Kugeln»  X49 

enehen.    Die  nächsten  ZaUen  sind  also  7  and  8.    Die  Lösong  für 
dieae  2  Fälle  soll  daher  der  Gegenstand  des  Folgenden  sein. 

Zunächst  lenchtet  nämlich  ein,  dass  wenn  die  Mittelpunkte  der 
K  ein  r^lmässiges  Tetraeder,  Oktaeder  oder  Ikosaeder  für  die  Kante 
-  2  bilden,  r  seinen  kleinsten  Wert  haben  mnss ;  denn  hier  ist  eine 
rdatiTe  Verschiebnng  der  K  nicht  möglich.  Die  entsprechenden  Werte 
der  r  sind  dann  die  Eckradien  der  genannten  Polyeder,  mithin  bzhw. 


=  1/1'    V2,     T/2y5sin|B 


Ebenso  ist  anch  ein  Sjrstem  dreier  sich  berührenden  K  keiner  rela- 
ti?en  Yerschiebnng  fthig,  also  das  kleinste  r  der  Eckradins  des  gleich- 
seitigen Dreiecks 

2 

Für  2  Kugeln  K  kann  M  beliebig  klein  werden;  daher  ist  zn  setzen 


Anch  für  n  "—  5  ist  die  Frage  leicht  entschieden.  Lässt  man 
TOD  6  Kugeln  JT,  deren  Mittelpunkte  die  Ecken  eines  Oktaeders  sind, 
eine  weg,  so  bleiben  Ton  den  3  Pareu  als  Pole  gegenüberliegender 
K  noch  2  Pare  übrig.  Jedes  der  Pare  kann ,  nur  wenn  das  andre 
Par  still  steht,  anf  dessen  Aeqnator  fortrücken,  indem  beide  Kugeln 
mit  den  2  Polkugeln  in  Berührung  bleiben.  Sobald  aber  dessen 
diametrale  Lage  aufhört,  sind  die  bleibenden  Polkugeln  fest  Folg- 
lich ist  die  einzig  mögliche  Configoration,  dass  2  diametrale  Kugeln 
die  3  übrigen  berühren.  Da  hiernach  die  K  bei  constantem  r  nicht 
grösser  werden  können,  so  kann  bei  constanten  K  anch  r  nicht  kleiner 
werden,  und  es  ergibt  sich  der  eigentümliche  Satz: 

Auf  einer  Kugel,  welche  von  5  einander  nicht  durchdringenden 
gleichen  Kugeln  berührt  wird,  hat  auch  eine  sechste  berührende 
gleiche  Kugel  Platz. 

Eine  Anordnung  der  K  nach  regelmässigem  Hexaeder  und  Do- 
deioeder  führt  zwar  zu  keiner  definitiven  Entscheidung  für  n  —  8, 
und  20,  da  die  Diagonalen  der  Vier-  und  Fünfecke  einer  Verkürzung 
bei  constanten  Kanten  filhig  sind,  bis  sie  diesen  gleich  werden,  doch 
geben  auch  hier  die  Eckradien,  bzhw. 

=  y3,    2y3siniB 

wenigstens  eine  obere  Grenze  des  Minimums  von  r. 

Stellen  wir  hiemach  alles  Bekannte  zusammen,  so  ist  als  Mini- 

Bslwert 


150  Bpppt:  Em  J^roHem  über  beHÜkrmde  Kufffln, 


ff^n'^% 

r-1 

Ar  fi=s3 

2 

1,15470 

fOr  n  ==4 

r-yi  = 

1,22474 

flir  n  —  6  Q.  6 

rm^y^^ 

M1421 

ftr  «  —  8 

r<V3- 

1,73205 

ftrn-12 

r-y2V58i^R 

—  1,90211 

Itlr  11  =  20 

r"^2V3Bin« 

-  2,80252 

Bei  üntersnchnng  des  Falles  n  =  8  kann  man  yom  Wflrfel  aoa* 
gehen.  Hier  sind  diejenigen  Rth  einer  Verkleinerung  f&hig,  welche 
die  Diagonalen  der  6  Quadrate  bilden,  und  zwar  einzeln  you  2y3 
bis  2.  Diese  Grenze  Iftsst  sich  leicht  bei  4  Diagonalen  gleichzeitig 
erreichen.  Man  dr^t  ein  Quadrat  in  seiner  Ebene  um  ^R  und 
n&hert  es  seiner  Gegenseite,  der  es  parallel  bleibt,  bis  die  beide 
Yerbindenden  8  Kanten  —  2  werden. 

Nimmt  man  die  x  und  y  parallel  zwei  Seiten  des  einen  Quadrats, 
setzt  den  Abstand  der  Mittelpunkte  beider  Quadrate,  welche  auf  der 
M  Axe  liegen  —  2a,  und  den  Anfong  der  «  in  die  Mitte  zwischen  bei- 
den,  so  sind  die  Coordinaten  der  8  Ecken: 


s 

y 

M 

m 

y 

1 

0 

V2 

a 

5 

0 

-y2 

2 

1 

1 

— a 

6 

—1 

— 1 

3 

y2 

0 

a 

7 

-y2 

0 

4 

1 

—1 

— a 

8 

—1 

1 

DttMit  M  von  allen  K  berührt  wird,  muss  sein 

das  ist  für  alle  E  zugleich : 

2+a«=:r« 


dt  jedes  JT  Air  «  =  a  die  2  nächsten  K  (für  s  »«  —  a  bertthrt, 
muss  Rk^k-^i  —  2  sein,  also 

Äi,*-l*+(V2-l)«+(a+a)«  =  4    oder 
—  2y2+4a«  =  0 

Ans  beiden  Bedingungen  ergibt  sich: 

a  -  y J;     r  =>  y2+yi  -  1,64533 


X 

y 

s 

0 

y 

1 

«1 

y2-w, 

«4-yi 

5 

«6 

-VH-ft 

2 

1-K 

i+ft 

--«+y. 

6 

-l+«6 

-l+/»6 

3 

y^«5 

ß. 

«+y» 

7 

-ya-K 

<^ 

i 

1+«* 

-1+/»« 

—«+74 

8 

-l+«s 

i+A 

Hoppe:  £in  JRroblem  über  berühretuU  Kugeln,  151 

Demoach  iit  r  om 

ys  — y2+V4  —  0,08672 

kleiner  bei   gegenwärtiger  Anordnang  der  JT  als  bei  der  Wttrfel- 

stellang. 

Um  nun  zu  nntennichen,  ob  dieser  neue  Wert  ein  Minimnai  iit, 
erteilen  wir  allen  K  beliebige  nnendlidi  kleine  Yerachiebnngen,  deren 
Componenten  mit  a,  |f,  y  bezeichnet  seien,  so  daas  die  Goordinaten 
werden: 

«+y6 
«+/? 

Dnrch  die  Verschiebungen  gehe  Rkk^  aus  4  Aber  in  4-f*Pu;  dann  wird 
in  1.  Ordnung: 

ei>  -  2(a,-a,)  +  2(V2-l)(ft-ft)  +  4a(y,-y,) 
to  =  2(y2-l)(or,-a,)+2(fc-^,)  +  4a(y,-y,) 

^  -  2(V2-l)(«,~«J+2(il,-/J4)+4a(y,-y4) 
945  -  2(«,-a5)  +  2(y2-l)(/>4-i35)+4«(y5-y4) 

P56  -  2(«6-ae)  +  2(y2-.l)(ft-fc)+4«(y6-y6) 
to  -  2(y2-l)(«e-«7)  +  2(ft-ft)  +  4a(y7-y,) 

eis  -  2(y2-l)(fli,-«,)4.2(|3s-ft)+4a(y7-y8) 

fsi  -  2{a,-ii8)  +  2(y2-l)(fc-/Jg)+4«(yi-yg) 

Die  Bedingung 

«*+y*+«'-r«-2  +  yi 

bestimmt  aDe  y  in  den  entsprechenden  a,  /9,  so  dass 

«yx  —  —  y2/Ji  oys  =  y  2ft 

ayt^fh  +  ßt  «ye  — —  «6  — A 

ay,  —  — y2«8  «y?  —  y2a7 

ay^=.  04  —  ^4  «y8  =  — «8  +  A 

Nach  Einführung  dieser  Werte  erh&lt  man: 

p,,  =  -.2(a,  +  a,)-2(y2+l)(ft  +  fc) 
p^  -  -2(y2+l)(«,+«,)-2(ft+ft) 
g^ 2(y2+l)(«s+«4)  +  2(^,+^4) 

e45  =  -2{«4  +  «6)  +  2(y2  +  l)(/J4  +  A) 


152  Hoppe:  Em  Problem  über  berührende  K^gtln, 

P66  =  2(«6  +  «6)  +  2(y2  +  l)(fc  +  W 

g„  -  2(y2^1){a,  +  a,)  +  2(ßs+ß,) 

P78  -  2(y2+l)(«7  +  «8)-2(ft  +  A) 

eti  =  2(a8  +  a,)-2(y2  +  l)(A  +  ft) 

Die  ttbrigen  ^,  welche  za  den  ursprünglichen  Qaadratseiten  gehören, 
enthalten  kein  y  ^i^d  haben  unmittelbar  die  Werte: 

9S4  =  Mßi  —  ßi) 
?46  — 4(ff4  — «e) 

P«  =  *(  A  —  ße) 

Pi8  =  2y2(oj  — ffi  +  ft— ft) 

P85  =  2y2(«8  — «ft  +  ft  — fc) 
P67  ==  2y2(«6— «7  +  /^?— ft) 

P71  =  2y2(«i  — a^  +  jJi  — /?7) 

Addirt  man  besonders  die  8  erstem  nnd  8  letztem  p,  die  sich  durch 
die;  Differenzen  der  Indices  1  und  2  unterscheiden  und  durch  die  Be- 
zeichnungen g^  und  p"  kenntlich  gemacht  seien,  so  findet  man: 

Da  nun  kein  g  negativ  sein  darf,  so  folgt,  dass  alle  q  null  sein 
mfissen. 

Es  fragt  sich,  ob  alsdann  eine  relative  Verschiebung,  d.  b.  eine 
solche,  die  nicbt  einer  Rotation  des  ganzen  Systems  gleich  kommt, 
möglich  ist.  £ine  Gesamtrotation  lässt  sich  dadurch  ausschlicsscn, 
dass  man  den  ersten  Mittelpunkt  festhält  und  dem  zweiten  nur  Be- 
wegung in  gegebener  Ebene  gestattet,  also 

setzt.  Aus  p^s  "-  0  folgt  dann,  dass  auch  j^t  ~"  0  ist;  ebenso  am 
Pgj  =  0  und  ^81  ^  0,  dass  og  und  ß^  null  werden. 

Hiervon  abgesehen,  sei 

a»  +  o*+i  =  ^»;    ßk-jrßni  ="  ** 
in  dem  Sinne,  dass  fQr  den  Index  9  immer  1  zu  schreiben  ist.    Dann 
gehen  die  16  Gleichungen  ^  »  0  über  in 

^i  -  -(y2-f.l)«,  S,  --  -(V2+l)f5 

a, (y2-l)e,  ^e  =  -  (y2-l)f« 

a,-    (y2-i)£s  d,  -    (y2-i)t, 

^4-       (y2+l)f4  *8-       (y2  +  l)e8 


8,-i, 

"h  —  h 

»»-«* 

-  S4  — », 

i,-S, 

—  «6  — «6 

9,-3, 

\tnf  • 

—  tg-i, 

(y2+2)f,  - 

■ya«. 

V2»5- 

■  (y2+2)«« 

(V2+2).5  - 

y2«e 

y2t7  = 

(y2+2)«8 

Hoppe:  Ein  I\'9blem  über  berührende  Kugeln.  Xö3 

«, -«, 

«*  =  «6 
'•  =  «7 

Etimmirt  man  die  ^,  so  kommt: 

Dieie  Oleichnngen  zeigen,  dass,  wenn  ein  i  Terschwindet,  alle  «, 
Qod  demzufolge  auch  gemäss  den  obern  Oleichnngen  alle  ö  ver- 
Khwinden.  Sind  dann  ein  «  nnd  ein  ß  nnll,  so  sind  es  alle  a  nnd 
ß.  Dieter  Fall  findet  statt  bei  der  obigen  Annahme,  wo 

«1  —  A  —  A  —  «i  =•  0 

at. 

Es  hat  sich  ergeben,  dass  f&r  r'  ■»  24- Vi  von  der  in  Rede 
Etehenden  Lage  ans  eine  relative  Yerschiebnng  der  K  nnmöglich  ist. 
Werden  sie  also  yerschoben,  so  mnss  r  wachsen.  Folglich  ist  r  in 
jener  Lage  ein  Minimum. 

Bei  diesem  Resultate  lassen  wir  es  bewenden.  Soll  ein  kleineres 
f  als  dieses  Minimum  existiren,  so  muss  nach  irgend  einer  endlichen 
Yerschiebnng  r  wieder  abnehmen  und  in  einer  der  anfUnglichcn  nicht 
coDgmenten  Lage  denselben  Wert  wieder  erreichen.  So  unwahr- 
scheinhch  dies  auch  ist,  da  die  vielen  congruenten  Lagen  einander 
selir  nahe  sind,  so  ist  die  Unmöglichkeit  aus  dem  Vorstehenden  nicht 
n  ersehen.  Einen  positiven  Omnd  für  dieselbe  liefert  indes  folgende 
Betrachtung. 

Die  Gonfiguration ,  yon  der  wir  ausgiengen,  zeichnete  sich  vor 
aUen  andern  dadurch  aus ,  dass  16  Abstände  R  bereits  ihren  klein- 
sten Wert  2  hatten.  Daraus  erhielten  wir  16  Relationen  zwischen 
den  16  Yerschiebungscomponenten  a^  ß.  Da  diese  in  1.  Ordnung 
homogen  linear  waren,  so  mussten,  wofern  keine  identischen  Rela- 
tionen Torkamen,  alle  mit  einer  verschwinden.  Bei  jeder  andern 
Gonfiguration  erhält  man  weniger  Relationen,  z.  B.  bei  der  Wttrfel- 
fonn  nur  12.  Daher  bleiben  einige  der  o,  ß  unabhängig  variabel, 
mithin  disponibel  zur  Vergrösserung  der  p  in  2.  Ordnung,  d.  i.  zur 
Verfcldnenmg  von  r,  so  dass  ein  Minimum  nicht  vorkommen  kann, 
hii  16  Orösien  R  «  2  geworden  sind. 


154 


Hoppe:  Ein  ProbUm  über  btrMkrtmde  Kugtln, 


Znr  ünteraichvng  des  Falles  n  —  7  gehen  wir  vom  Würfel  ans. 
Seine  Diagonale  sei  »  Axe;  die  yt  Ebene  gehe  darch  deren  Enden 
und  dnrch  2  andre  Wttrfelecken.  Die  Engel  K  am  einen  Ende  der 
Diagonale  («  »  r)  falle  weg;  ihr  zunächst  liegen  3  Engeln  (1,  2,  3), 
deren  l^ittelpnnkte  ein  gleichseitiges  Dreieck  normal  zur  %  Axe  bil- 
den. Ihr  gemeinsames  2  =  a  lässt  sich  durch  Parallelverschiebnng 
der  Ebene  Tergrössern,  bis  die  Engeln  zur  Berühmng  gelangen,  die 
Dreiecksseiten  also  -»  2  werden.  Die  folgenden  3  Engeln  (4,  5,  6) 
liegen  gleichfalls  bei  gemeinsamem  2  =  —  5  in  einem  Dreieck,  dessen 
Seiten  »  2<?,  normal  zur  z  Axe.  Dann  sind  die  Coordinaten  der 
Ecken: 


— 1 


2 


1 

ys 
1 

y3 


X 


6 


0 


— c 


2c 

y3 

c 


e 


z 


—6 


—3 


y3 


y 


0 


0 


— h  «  =  —  r 


Damit  M  von  allen  K  berührt  wird,  muss  sein: 


+a' 


4e> 


*^  '      3 


+5« 


(1)     (2) 


damit  sich  die  K  in  der  Reihenfolge  1,  6,  2,  4,  3,  5  berühren: 


(3) 


damit  die  Polkngel  7  von  den  nächst  liegenden  Engeln  4,  5,  6  be- 
rührt wird: 

^+(r-Ä)«-=4  (4) 


Addirt  man  die  GL  (1)  (3)  nnd  snbtrahirt  (4),  so  kommt 

~  -  26(r+a) 

Gl.  (4)  gibt  nach  Snbtraction  der  Ol.  (2): 

r(r  — 6)  — 2 


daher  ist 


5  — 


.1—2 


3r«  — 2 


(r+a) 


(5) 


(6) 


(7) 


Jetzt  hat  man  nach  Gl.  (2): 


Hopp  et  Ein  ProbUm  über  berührende  Kugeln,  155 


i]lO 


4c* 
3 

-r»- 

i)'. 

-4"-' 

(8) 


ud  B«di  Eiiuetziiog  dei  Wertet  (7): 


|(r»-l)-(r»-2)*(r+«)»  (9) 


Srfttlk  man  61.  <1)  durch 

•^     3  1-p«'  "*    3r=]? 


(10) 


uul  lAMt  p  Ton  gleichem  Y orzeichen  mit  a  sein ,  so  geht  Ol.  (9) 
fiber  in 

3(l-p)»(l+3p«)  -  4(V-1)* 

entwickelt  lantet  sie: 

27p*+18p«-36p*+6p+l  =  0 
nne  nach  DiTiiion  dnrch  3p  —  1: 

Hieniu  ergeben  sich  leicht  die  3  übrigen  Wurzeln,  und  man  hat: 
p  — 3 ;    A  «  4,  6,  8,  16;    ^  —  ^ 

das  ist  in  Zahlen: 

2,06418 

^  ^  —0,30541 

—4,75877 

Nmi  moss  r  ein  Mittel  sein  zwischen  seinen  Werten  flir  Oktaeder 
ond  Wflrfel,  also 

2  <  r«  <  3 
Worms  nach  (10) : 

y3<±3p<y6 

Dt  dem  nur  die  erste  Wnrzel  entspricht,  so  ist  ansschliesslich 

4co8  4v  — 1 

/>  = 3 

dtker  naeh  (10) 


156  Hoppe:  Ein  Problem  Ober  berührende  Kugeln. 

,        __        12  3 

^    "*  9  —'(4  coB  4v  —  1)*  "■  2(2  cos  4v  -|- 1)  (1  —  cos  4v) 

3  3  ys 


4(3  —  4  8iii'2v)8iii'2v      4  sin  6v  sin  2v       28in  2v 
das  ist 

••  =  Vi&i  -  l'^»^26  (11) 

Dieser  Wert  ist  nicht  nur  <1  y3,  sondern* auch  kleiner  als  das  ge- 
fundene Minimum  für  8  Kugeln.  Es  fragt  sich,  ob  er  ftü:  7  Kugeln 
Minimum  ist. 

Zunächst  sind  noch  die  Coordinaten   der  Mittelpunkte  der  K  zu 
berechnen.    Nach  (10)  ist 

4  cos  4v  —  1 

y6y  38in2v 
nach  (7)  (11) 

nach  (8) 


c« 


3(1  — ^j  =•  2V3(cos3v  — cos7v)  =>  4y 3  sin  2v  cos  4v 


c  —  2yy3sin2vcos4v  «  1,34731  (14) 

Von  den  so  bestimmten  Punkten  aus  mögen  nun  die  K  unend- 
lich kleine  Yorschiebungen  erleiden,  deren  Gomponentcn  wie  oben 
mit  ff,  I?,  y  bezeichnet  seien.  Für  jedes  sich  anfänglich  berflhrende 
Par  von  K  jrehe  /?*  aus  4  über  in  4-|-9.    Dann  ist  in  1.  Ordnung 

^•12  -  2(«,  -  «1)  +  2y 3(ft  -  ft)     \ 

P,3«2(cri~«3)  +  2y3(^3-ft)     j  (15) 

9u  =  ^(««  —  «3)  ' 

Qu  -  :^(^4-ft)  +  2(r-6)(y4-y,) 

Qöi  -  2c(«7-«5)  +  :^(/J7~^5)  +  2(r-a)(y5-y,) 

(>67 -2c(«e-«7)  +  y^(|57-W  +  2(r-ft)(y6— Xt) 
P,6  =  2c(ae-«,)+  2  ^^(ß^-ßi)  +  2(a+b)(y,-^y,) 


Hoppe:  Ein  Problem  über  berührende  Kugeln,  157 

h,  -  2(c  - 1)  («,-«,)  + 2  ^  (ft  - /Jo)  +  2(a + J)  (y,  -  y«) 
e«  =  2(«,— 0«)+  2^y^(ßi-ßi)  +  2(a+b)(y,-Yt) 
fu  =  2(««  -  «i)  +  2  ?y^  (^4  - /J.)  +  2(a  +  4)  (y,  -  y*) 
fcj  =  a(«  - 1)  («4  -  «5)  +  2  ^  (/J.  -  ft )  +  2(« + 6)  (y,  -  ys) 

Pu  -  2«(«,-«6)  4-2  ^(^6-l'i)  +  2(a+4)(y,-yj) 

Die  o,  i? ,  y  sind  von  einander  abhängig  durch  die  aof  alle  K  anzu- 
wendende Bedingung: 

woraus  in  1.  Ordnung: 

1  0     . 

ay,  =  —  «,  —  yg/Jf         *}'5  =  — ««6— y3P6 

«y»  =  «» —  y^9         iys  — ««%  —  y5  /'s 

Dem  zufolge  wird  nach  Elimination  der  y 

(„  =  2c[a,-l  a,)+  |^(a  -lß,)\  (16) 

f„  -  2c  (^«6-«7)+  yl  (/»7  -  Iße) 

^=_2.(..+J«.)+f3(.+?)(ft+>s) 

p„-_2(«.+-J«.)-f3(2.+^)(ft+f/».) 
•M-2(.,+i«.)-f3(2''+9('»«+l^*) 


1^  Bö  ftp  b:  Ein  IMtUm  über  berukreniU  Kugdn. 

'«-»H)(-+i-)+f»(-i)(*+f''') 

,..-2.(^+|..)+^(.  +  |)(A  +  ?fc) 

Bezeichnet  man  die  3  ersten  p  in  (15)  durch  ^\  die  3  folgenden  in 
(16)  durch  p',  die  6  ttbrigen  durch  p'^,  so  iet  zufolge  ihrer  Werte 

|(^  +  *)  Xc' + J  (2«  +  *)  ip"+ X^- =  0 

folglich  sind,  sofern  kein  q  negativ  sein  kiuin,  alle  p  null. 

Nimmt  man  nun,  um  eine  Oesamtrotation  der  ganzen  Figur 
auszuschliessen, 

ffi«0;    /Ji-0;    «,-0 

so  ergibt  sich,  nachdem  man  alle  p  null  gesetzt  hat,  aus  den  Ol.  (15) 
sofort  auch: 

«8-0;   ßt-0',  /J5-0 

wodurch  die  letzten  6  Gleichungen  übergehen  in 

(.+?)..=-(.-i)A,   ~.-(.+|)f. 

Die  neben  einander  stehenden  Gleichungen  lassen  sich  offenbar  nur 
durch  Nullsetzung  aller  a  und  ß  vereinen. 

Aus  den  Ol.  (16)  folgt  dann,  wie  leicht  zu  sehen,  auch 

«7—0    und    ßi  —  0. 

Es  bat  sich  ergeben,  dass  eine  relative  Verschiebung  der  K  Ton 
der  in  Rede  stehenden  Configuration  aus  fftr  constantes  r  unmöglich 
ist,  also  ein  wachsendes  r  verlangt  Folglich  ist  der  Wert  (11)  eia 
Minimum. 

Hieran  will  ich  noch  zwei  Bemerkungen  knflpfen. 

Nach  dem  Vorstehenden  scheint  es,  dass  ttberhaupt  dictjenige 
Configuration  der  K  dem  kleinsten  r  entspricht,  welche  die  grOaat- 
mdglicbe  Anzahl  von  Bertthrungen  enthält. 


Hoppe:  Ein  Problem  über  berükrtnde  Kwfebt.  159 

Zwei  Einwftndeiiy  die  sich  dnrch  leichte  Betrachtnag  heben,  will 
ich  nur  nachtrAglich  begegnen.  ,  Obgleich  in  den  2  nntersnchten  Fällen 
bei  jeder  Yerschiebnng  alle  g  in  1.  Ordnung  null  sind,  war  es  nicht 
flberflfissig  die  Unmöglichkeit  einer  Yersdiiebnng  beflonders  zu  be- 
weisen. Denn  könnte  eine  Yergchiobnng  stattfinden,  so  wären  die  R 
eines  Wachsens  in  2.  Ordnung  fähig;  bei  gehöriger  Verteilung  der 
locremente  würden  alle  Berührungen  der  K  aufhören ,  mithin  eine 
Verkleinerung  Ton  r  zulassen.  Dagegen  konnte,  nachdem  alle  «r,  /}, 
f  in  1.  Ordnung  null  waren,  eine  Frage  nach  höherer  Ordnung  nicht 
mehr  entstehen,  weil  die  niedrigste  Ordnung  immer  die  Stelle  der 
ersten  annimmt,  und  der  Beweis  Ar  das  Verschwinden  auf  sie  an- 
wendbar wird. 


Kurze  Notizen  betreffend  die  Fälle  von  9,  10  und  11  Kugeln. 

Neun  K  lassen  sich  auf  3  parallelen  Ebenen  in  Form  dreier  gleich- 
seitigen Dreiecke  ordnen.  Die  mittelste  Ebene  ist  Aequator,  die  je 
3  Kugeln  auf  den  2  äussersten  berühren  einander  und  ausserdem 
sechs&ch  den  Mittelkranz.  Im  ganzen  finden  also  18  Berührungen 
statt  Die  Figur  hat  4  Symmetrieebenen,  so  dass  die  Berechnung 
leicht  ist    Es  ergibt  sich: 

r  —  ys' 

wie  bei  8  Kugeln  in  Würfelform ,  und  man  hat  den  eigentümlichen 
Satz: 

Eine  Kugel  If,  die  von  8  Kugeln  E  in  Würfelform  berührt  wird, 
kann  gerade  noch  von  einer  9ten  Kugel  K  in  andrer  Anordnung  be- 
rihrt  werden. 

Schaltet  man  am  Pole  vom  M  eine  löte  JT  ein,  welche  die  Be- 
rflhrang  des  nächsten  Kugelkranzes  natürlich  aufheben  muss,  so  fällt 
die  Symmetrie  in  Bezug  auf  den  Aequator  weg.  Die  Gleichung  für 
r  würde  entwickelt  von  sehr  hohem  Grade  sein.  Die  approximative 
Lösung  ist  daher  leichter  am  ursprünglichen  Gleichungssystem  zu 
vollziehen;  sie  ergibt: 

r  «  1,83397 

Dieser  Wert  ist  um  0,06814  kleiner  als  der  für  12  Kugeln. 

Schaltet  man  ebenso  am  andern  Pole  eine  Ute  Kugel  ein,  so 
wird  die  Symmetrie  in  Bezug  auf  den  Aequator  wieder  hergestellt. 
Die  Gleichung  für  r  wird  dann  einfach  und  gibt  genau  denselben 


160  Üoppei  Ein  Prohltm  über  htrührtndt  Ku^tU. 

Wert  als  den  fOr  13  Kugeln.  Es  zeigt  sich  also,  dass  auf  denelben 
Kugel  Jlf  11  Kageln  K  in  zweierlei  Ordnung  sich  auflegen  lassen,  in 
der  eben  genannten  und  in  der  Ikosaederform  mit  Wegfall  einer 
Ecke.  Bei  ersterer  finden  nur  18,  bei  letzterer  25  BerQhmngen 
der  K  unter  einander  statt  Ist  der  so  erhaltene  Wert  Ton  r  wirk- 
lich der  kleinst  mögliche,  so  ist  die  Analogie  des  Falles  mit  dem  bei 
5  Kugeln  hervorgetretenen  bemerkenswert.  Nftmlich  6  und  12  Ku- 
geln sind,  was  man  so  nennen  kann,  einer  yollkommenen  BerOkrang 
fähig,  d.  h.  wo  alle  JT,  die  eine  K  berühren,  auch  einander  der  Beibe 
nach  berühren,  so  dass  eine  Verschiebung  nicht  denkbar  ist  Liast 
man  nun  eine  Kugel  K  weg,  so  lässt  sich  bei  aller  Verschiebung  r 
nicht  kleiner  machen.  Auf  4  Kugeln,  die  sich  gleichfalls  ToUkommen 
berühren,  findet  der  Satz  keine  Anwendung. 


Müllen  Zur  Transformation  der  Thttafunetionen.  \%\ 


X. 

Zur  Transformation  der  Thetafunctionen. 

Von 

Ferdinand  MQIIer 

aus   Parchim. 


In  seinem  handschriftlichen  Nachlasse  bringt  Ganss  meist  ohne 
Ableitung  nnd  Beweis  eine  Reihe  sehr  eleganter  Beziehungen  zwischen 
Functionen,  die  sich  später  als  identisch  mit  den  Jacobi'schen  Theta- 
fiinctioDen  erwiesen.  Die  methodische  Aufstellung  dieser  Beziehungen 
iit  schon  wiederholt  der  Gegenstand  von  mathematischen  Arbeiten 
gewesen,  besonders  haben  sich  Herr  Professor  Schröter  und  seine 
Schuler  vielfach  mit  diesem  Thema  beschäftigt.  In  der  Tat  ist  es 
auch  Herrn  Dr.  Göring  gelungen,  eine  einheitliche  und  zum  Teil 
noch  erweiterte  Darstellung  dieser  Beziehungen  zu  geben,  und  zwar 
auf  Grund  der  Inaugural- Dissertation  und  der  Habilitationsschrift 
von  Herrn  Prof.  Schröter  (cf.  Göring,  Ueber  die  Teilwerte  der  Ja- 
cobi'scben  Thetafunctionen,  Math.  Anualen  VII.  1874.  Pag.  311  etc.). 

In  neuerer  Zeit  hat  nun  Herr  Prof.  Krause  in  den  Acta  mathe- 
ffl&tica  3.  Pag.  93  etc.  eine  Notiz  veröffentlicht,  in  der  er  nachweist, 
dass  man  auch  unmittelbar  durch  die  Transformationsgleichungen  zu 
solchen  Beziehungen  gelangen  müsse,  wenn  man  einerseits  die  in 
ihnen  aultretenden  CoefQcienten  nach  der  gewöhnlichen  Methode 
durch  die  Wnrzelwertc  der  Gleichungen  bestimmt  und  andrerseits 
Relationen  zwischen  diesen  Goefßcienten  herstellt,  indem  man  jedes 
Glied  der  Gleichungen  nach  Potenzen  des  Arguments  entwickelt  und 
dann  die  Coefficienten  gleich  hoher  Potenzen  auf  beiden  Seiten  ein- 
ander gleich  setzt 


162  Müller:  Zur  TraMformation  dtr  Thetafitnetionen. 

In  Folge  dieser  Wahrnehmang  liess  Herr  Prof.  Krause  während 
des  vorigen  Semesters  im  mathematischen  Seminar  nach  dieser  Rich- 
tnng  hin  arbeiten,  and  übernahm  ich  gegen  Schlnss  des  Semesters, 
nachdem  fttr  den  speciellen  Fall  n  «  3  die  Gleichungen  Göring  §  3  (3) 
and  (8)  gefanden  waren,  die  ToUständige  Darchftthrang  dieser  Unter- 
sachang,  am  die  Anwendbarkeit  dieser  Methode  sowohl  Air  den  all- 
gemeinen Fall,  als  aach  fttr  die  speciellen  Fälle  nachzuweisen. 

In  der  Tat  stellte  es  sich  auch  im  Laufe  der  Arbeit  heraus,  dass 
man  auf  diesem  Wege  nicht  nur  die  Göring'schen  Formeln  erhält, 
sondern  eine  unbeschränkte  Anzahl  von  Beziehungen  zwischen  diesen 
Grössen  aufstellen  kann,  dass  ferner  die  von  Göring  angegebenen 
Formeln  zum  Teil  in  viel  allgemeinerem  Sinne  gelten,  und  dass  end- 
lich für  den  allgemeinen  Fall  diese  Methode  viel  weiter  reicht;  und 
dabei  ist  diese  Methode  so  ausserordentlich  einfach,  es  kommt  ledig- 
lich darauf  an ,  die  Thota-  resp.  Elliptischen  Functionen  und  deren 
Potenzen  und  Producte  in  nach  Potenzen  des  Arguments  fortschrei- 
tenden Reihen  zu  entwickeln  und  dann  die  erhaltenen  Resultate  ge- 
schickt zu  combiniren.  Es  ist  somit  das  nach  der  Göring'schen  Ar- 
beit so  complicirt  erscheinende  Problem  zurückgeführt  auf  das  in 
neuerer  Zeit  so  vielfach  behandelte  Problem  die  Theta-  resp.  Ellip- 
tischen Functionen  und  deren  Potenzen  in  Potenzreihen  zu  ent- 
wickeln. Die  Arbeiten,  die  hierfür  besonders  in  Betracht  kommen, 
sind: 

Jacobi,  Darstellung  der  elliptischen  Functionen  durch  Potenz- 
reihen Grelle  Journal  LIV.  1857  (cf.  auch  Schellbach,  Elliptische 
Integrale  §§  93—96). 

Die  Arbeiten  von  Didon  (Annales  de  Math^matiques  1872) 

von  Moreau  Nouvelles  Annales  187G 
von  Hermite  Grelle  Journal  1876  und  besonders 
D6sir6  Andr6,  D^veloppements  en  s6rie8  des  fonc- 
tions  elliptiques  et  de  leurs  puissances.    Annales 
de  r£coIe  Normale  VI.  1878.  Pag.  265  etc. 

Charakterisch  ist  noch  für  diese  Methode,  dass  die  Beziehungen 
zwischen  den  transformirten  Thetafunctionen  mit  dem  Argument  0 
unter  einander  von  den  Beziehungen  zwischen  diesen  und  den  Teil- 
werten der  Thetafunctionen  vollständig  unabhängig  gefunden  werden. 

In  der  vorliegenden  Arbeit  ist  nur  erst  der  specielle  Fäll  der 
unpaaren  Transformation  behandelt,  es  leuchtet  jedoch  sofort  ein, 
dass  die  hier  befolgte  Methode  mit  unwesentlichen  Modificationen 
auch  auf  den  paaren  Transformationsgrad  angewandt  werden  kann. 


MülUri  Zur  Transformation  der  TJutttfunction^ik  163 

—  Besonderes  Gewicht  ist  daraaf  gelegt,  fQr  die  spedeUen  F&Ue 
sSmmtliche  UBter  diesen  Gesichtspunkt  fallende  Gaass'sche  and  Gd* 
riog'sche  Relationen  zu  erhalten ,  nnd  habe  ich  deshalb  unter  Jeder 
Fonnel  die  entsprechende  Göring'sche  in  Klammer  citirt  und  nur 
die  nicht  yon  Göring  gebrachten  Relationen  zum  Teil  mit  grossen 
lateinischen  Buchstaben  bezeichnet 

Was  spedell  den  Gang  der  Abhandlung  anlangt,  so  sind  im  er- 
sten Abschnitt  die  Beziehungen  zwischen  den  transformirten  Theta- 
fiinctionen  für  das  Argument  0,  also  die  sogenannten  Gauss'schen 
Relationen,  aufgestellt  und  im  zweiten  Abschnitt  die  Beziehungen 
iwischen  diesen  und  den  Teil  werten  der  Thetafnnctionen,  und  zwar 
befindet  sich  für  jeden  Abschnitt  in  §  1  das  zu  Grunde  gelegte  Ma- 
terial zusammengestellt,  in  §  2  die  allgemeinen  Untersuchungen,  in 
§  3  die  speciellen  Betrachtungen  für  n  »  3,  und  in  §  4  die  fttr 
«  =  5. 

Schliesslich  möchte  ich  noch  an  dieser  Stelle  Herrn  Prof.  Krause 
öffentlich  meinen  Dank  aussprechen  für  das  Interesse,  welches  er 
dieser  Arbeit  stets  entgegenbrachte,  und  für  die  Bereitwilligkeit,  mit 
der  er  mir  zu  jeder  Zeit  die  nötigen  Hülfsmittel  an  die  Hand  gab. 


Abschnitt   I. 

si. 

Fflr  diese  ganze  Arbeit  kommt  nur  in  Betracht  die  Kenntnis  der 
Theorie  der  Thetafnnctionen  und  der  elliptischen  Functionen,  soweit 
Jacob!  sie  in  den  ersten  sechs  Paragraphen  seiner  Abhandlung 
, Jheorie  der  elliptischen  Functionen  aus  den  Eigenschaften  der  Theta- 
reihen  abgeleitet''  bringt,  also  die  Kenntnis  des  Zusammenhanges  der 
Thetafnnctionen  unter  einander  und  mit  dem  elliptischen  Integral 
erster  Gattung  und  das  Additionstheorem  der  Thetafnnctionen  und 
der  elliptischen  Functionen;  femer  die  Kenntnis  der  drei  Transfor- 
mationsgleichungen für  den  nnpaaren  Transformationsgrad,  welche 
die  Grundlage  dieser  ganzen  Abhandlung  bilden: 

L    (-1)  «  ^i(ti',  t')  -  aj,  V(t;,  T)  +X,  V-2(t;,  t)&oHv,  »)  +  ... 

2 

II.    (-1)  »  ^^{v\  t')  -  x,V(^,  r)+x^^i''-Hv,  T)^,«(t;,  t)+  ... 

9 


164  Müller;  Zur  TVariM/ormation  der  Theta/unetionen, 


wo   n  irgend  eine  beliebige    ungerade   Zahl  ist,    femer  v'=7tv, 
t'  —  -7 — ,  wenn  t  ein  Teiler  von  n,  «1  —  -  und  |   eine  beliebige 

ganze  Zahl  (0  ind.)  <[  t^,  aber  ohne  einen  gemeinsamen  Teiler  mit 
t  und  ti  zugleich  ist. 

(cf.   EOnigsberger,  die  Transformation  der  elliptischen  Fonc- 
tionen). 

Vermehrt  man  in  diesen  Gleichungen  das  Argument  um  halbe 
Perioden  der  Einheit  und  des  Moduls  t,  so  folgen  aus  denselben  un- 
mittelbar auch  die  Ausdrücke  für  die  drei  andern  transformirten 
Thetafnuctionon ,  so  dass  man  aus  diesen  drei  Gleichungen  sofort 
^  drei  Gleichungssysteme  von  je  vier  Gleichungen  erhält,  die  man  ver- 
einigt so  schreiben  kann: 


...+  (-1)  «  aya^.>,  t) V-'(i;,  T) 

9 

2)  ^«.(V',  t')  -  «id«.-(t;,  T)  ±  fl5,da.— «(V,  T)d«.«(v,  t)  +    ... 

...  +  (-1)   8  «5+l^«.(v,  T)^«.-^HV,  T) 

2 

3)  ^.,(v',  t')  =  x^da  -(«,  T)  ±«,d«,— 2(v,  T)da.«(t;,  t)  +  ... 

.-.  +  (-1)   »  aya^a.(t;,  T)^a.»-H«,  T) 

s 

4)  (-1)  «  ^i(v',  t')  -  «i^,»(i;,  T)+(c,^,— «(v,  r)^..«(t;,  t)+    ... 

2 

wo  die  Indices  a  nach  einander  für  die  drei  Fälle  die  Werte  an. 
nehmen: 

für  I.  «1  —  0,  a,  =  2,  «8  ■=■  3 
für  IL  cTi  -»  2,  a,  «-  3,  08  »  0 
für  in.    Oj  —  3,  a,  —  0,  (»8  =  2 


Müller:  Zur   Transformation  der  Thetafunctiontn.  105 

and  wo  im  ersten  Fall  rechts  überall  das  positive  Zeicben  zn  wählen 
ist,  im  zweiten  in  den  Ausdrücken  für  ^«^  und  ^a»  abwechselnd 
positives  nnd  negatives  Zeichen,  und  ein  gleiches  im  dritten  Fall  in 
den  Ausdrücken  für  ^a^  und  ^a«. 

Man  kann  nun  schon  diese  sich  unmittelbar  ergebenden  Glei- 
chungssysteme  zu  Grunde  legen  und  aus  ihnen  Relationen  zwischen 
den  transformirten  Thetafunctionen  mit  dem  Argument  0  herstellen, 
indem  man  auf  beiden  Seiten  jedes  Glied  nach  Potenzen  von  v  ent- 
wickelt, nach  Potenzen  von  v  ordnet  und  dann  die  Coefficienten  gleich 
hoher  Potenzen  von  i;  auf  beiden  Seiten  einander  gleich  setzt.  Die 
Anzahl  der  sich  so  ergebenden  Relationen  wird  um  so  grösser  sein, 
da  ausser  den  zu  eliminirenden  unbekannten  Grössen  x  nur  noch  die 
Unbekannten  ^«'(0,  r)  und  ^a'(0,  x')  auftreten,  wo  man  a  fest  gleich 
1%  2  oder  3  annehmen  kann,  denn  man  kann  ja  die  zweiten  und  höheren 
Ableitungen  aller  Thetafunctionen  durch  die  ThetaAinctiouen  selbst 
und  die  zweite  Ableitung  einer  einzigen  der  drei  genannten  Theta- 
functionen ausdrücken. 

Hierbei  aber  tritt  der  Umstand  erschwerend  ein,  dass  diese 
zweiten  Ableitungen  nicht  nur  linear  auftreten,  sondern  auch  die 
Potenxen  derselben.  Deshalb  ist  es  besser,  man  legt  den  Betrach- 
tungen diese  Gleichungen  in  der  Form  zu  Grunde,  wie  sie  Herr 
Prof.  Krause  für  den  Fall  I.  in  seiner  Notiz,  Acta  mathematica  3. 
Pag.  95  unter  (3)  angiebt.  Diese  Gleichungen  folgen  unmittelbar 
ans  den  obigen  durch  den  Zusammenhang  der  Thetafunctionen  mit 
elliptischen  Functionen  und  lauten  für  den  Fall  I.  folgendermassen : 

B. 

I,    1)      ^s"^^J  =  ^A"  +  «^.^s"-'V8n«(i*,A:)+... 

...  +  XH+1^3V-^8n«^Ktt,  *) 

»  ?:♦.■»<•■.  "^,ij 

=  a;i^,«cn«(tt,  Ä)+arj^,«*-2^3*cn»-2(^,  *)dn«(tt,  k)  +  ... 
...  -f  aya^j  V^cn(v,  Ä)dn«-i(«,  h) 

2 

—  «1  Vdn*(tt,  k)  +ir,V~^«*dn»-«(t«,  Ä)cn»(M,  k)  -f ... 
...  +  ««+i^8^,»--Mn(tt,  Ä;)cn»-i(tt,  *) 

2 


106  Mülltr:  Zur  Tramformation  der  Theta/unctionen, 

2 

wobei  folgende  Beziehangen  stattfinden: 

9  9  9 

wenn  man  Betzt 

^,(0,  t)  =  ^„    und    ^«(0,  t')  -  O«. 

Aehnlicbc,  jedoch  nicht  so  analoge  Ausdrücke,  dass  man  sie  wie 
die  Gleichungssysteme  A.  zusammenfassen  kann,  ergeben  sich,  wenn 
man  An  und  Am  umformt.  Der  Kflrzo  wegen  gebe  ich  sie  hier 
nicht  an,  zumal  man  sie  sehr  leicht  aus  den  Gleichungssytemen  A 
ableiten  kann. 

Um  nun  aus  diesen  Gleichungen  Relationen  zwischen  den  trans- 
formirten  Thetafunctionen  zu  erhalten,  muss  man  die  elliptischen 
Functionen  sn,  cn,  dn,  sowie  die  Potenzen  und  Producta  derselben 
nach  Potenzen  von  u  entwickeln.  Es  ist  nun  aber  nach  Königaberger, 
Elliptische  Functionen  11.  Pag.  81  und  82,  wenn  man  die  Moduln 
und  Complementarmoduln  durch  die  Thetafunctionen  mit  dem  Argu- 
ment 0  ausdrückt: 

sn(u)  =  u-3^j  — V^+Öl V 

ti^  V+135  W+136^a^8H^8'*  I 
"*  7 1  dj"  "^  •  • 

cn(u)  «  1-  2"l+ri  ~V 6l  V  "*■  •" 

+  ... 

sn«(ti)-tt"-3it**-^X-+3:öI^  ^ri • 

sn«(ti)  -  «» - 2**      V     "*"ö!     ^^^ •" 

snV)  ««*-«* Ij^f^V... 


Müller:    Zur  Trantfcrmation  der  Ihetafunetionen.  167 


8!     ». 


eow  •-!-•'  31     #,4  «3.51  ^"i 

+  ... 

aW-l     2!*^^  4!       V  2:51  V ^ 

+  ... 

"^•'    1  äfT^s!    V    ~"3:6i V 

+  ... 

cnw-l      2!"^^  4!         V 

_  ,1   80»,»+142QW+1206»a«  . 
"  6!  *,«  +  ••• 


_   ,    1    Vl6d,»+104»,«^,M-16V  1 
*3.6I*,*  V  "*""* 

*  2^ !  V  V  "*"  " 

•"  ^"'      -^     2J  V ^^  31  «s*        *,* 

« JL  ^  136V+244»,*»g*+16V  . 


3.5!  V  d, 


s 


j  s/  V      *      5  *t*   ,  .    .1   V  65»,M-20V 

^  1  V  1205  V+142W,*»,«+80»,»  . 
"6!*.*  »,»  "^•■ 


Ich  habe  hier  diese  Entwicklangeu  nnd  nicht  die  Jacebi'schen 
za  Grande  gelegt,  weil  sie  sich  in  dieser  Form  besser  f&r  unsem 
Ziredc  eignen;  und  femer  habe  ich  die  Potenzen  ans  den  ein£gtchen 


1 


166  Müller:  Zw  Transformtition  der  Thetqfiinctionen. 


i-l 


2 

wobei  folgende  Bezit^hangen  stattfinden: 

9  9  9 

wenn  man  Betzt 

^,(0,  t)  =  4^«    und    ^«(0,  t')  -  O«. 

Aehnliche,  jedoch  nicht  so  analoge  Ausdrücke,  dass  man  sie  wie 
die  Gleichungssysteme  A.  zusammenfassen  kann,  ergeben  sich,  wenn 
man  An  und  Am  umformt.  Der  Kflrzo  wegen  gebe  ich  sie  hier 
nicht  an,  zumal  man  sie  sehr  leicht  aus  den  Gleichungssytemen  A 
ableiten  kann. 

Um  nun  aus  diesen  Gleichungen  Relationen  zvrischen  den  trans- 
formirten  Thetafunctionen  zu  erhalten,  muss  man  die  elliptischen 
Functionen  sn,  cn,  du,  sowie  die  Potenzen  und  Producta  derselben 
nach  Potenzen  von  u  entwickeln.  Es  ist  nun  aber  nach  Eönigsberger, 
Elliptische  Functionen  11.  Pag.  81  und  82,  wenn  man  die  Moduln 
und  Complementarmoduln  durch  die  Thetafunctionen  mit  dem  Argu- 
ment 0  aufldrttckt: 

sn(u)  =  u-3-j  —^-+^1  —^ 

tt^  ^,'«+135  W+136^8^sH^»*»  , 

cn(«)  ^  1-  2J+4-,  —^4 6l  ^  +  ... 

+  ... 

sn«(«)-tt«-g-jU*-^-r-+3;5^tt« j^-« ... 

snw  — tt— 2»      {^g*     ^5!  ^« 


MülUr:    Zur  Trantformation  der  IhetafuneHontn.  \Q1 


«l5(M)-«»-.T|j?!y^*+... 


4-... 

+  ... 

CHI«;-!      21"+*  3!       V  "3.5!  V 

+  ... 

_  ,  1  80»g»+1^20dg*V+1206»88 
"  6!  *.»  ''"  ••• 


~"3.5!V  V  '"*"•• 

di.>(»)  -  i-2i  V"  +•  — «iW  ~ 

1   V  6lV-fl6A»,*»»*+16dg8 
~"  2^!*,*  V  "^  •• 

j  4/  .      1      *   *«*  u_*2    V6V+2V 

~  •*  äs"!  «i*  V  "^  ■" 

da»(»)-l-2J^4«M-u*4j^ ^^4 

,1  V  1205  V+142W,«»»*+8W,''  , 
~-6!V  V  '•"■" 


Ich  habe  hier  diese  Entwicklungen  und  nicht  die  Jacebi'schen 
n  Grande  gelegt,  weil  sie  sich  in  dieser  Form  besser  fflr  unsern 
Zweck  «ignen;  and  ferner  habe  ich  die  Potenzen  ans  den  ein&chen 


168  Müller:  Zur   Transformation  der  Thetafunctiontn. 

berechnet  and  sie  nicht  aas  den  von  D6sir6  Andr6  gegebenen  allge- 
meinen Resaltaten  dnrch  Specialisirang  abgeleitet,  da  erstercs  fOr  die 
bisher  von  mir  behandelten  speciellen  Fälle  viel  leichter  ist. 

Ferner  sind  nan  noch  für  die  speciellen  Fälle  die  Prodacte  je 
zweier  dieser  Aasdrücke  za  bilden  and  zwar  die  Prodacte,  für  welche 
die  Samme  der  Exponenten  respective  »  3,  5  ...  2^-1-1  sind.  Der 
Kürze  halber  will  ich  jedoch  aach  diese  hier  nicht  angeben,  nar  das 
möchte  ich  bemerkeu,  dass  die  Prodacte  cnP(u)  dn*'(u)  denProdacten 
cn''(tt) dnP(u)  ganz  analog  sind,  dass  man  die  letzteren  anmittelbar 
bekommt,  wenn  man  bei  den  Ans  rücken  für  die  ersteren  die  In- 
dices  2  and  3  in  den  Zählern  vertanscht. 

Endlich  ist  nan  noch  der  Quotient  a"  .  ^ — r  ^a  entwickeln.  Da 

tu  tt 

v'  =  —Äl  ^^^  ^  =  ~Ä~i  is*»  80  kann  man  diesen  Quotient  als  eine 

w  9 

Function  von  u  ansehen,  und  er  wird  entwickelt  die  Form  annehmen; 

Es  lässt  sich  jedoch  nachweisen  und  stellt  sich  auch  bei  den  weiteren 
Untersuchungen  heraus,  dass  alle  ^m+i  —  0  sind,  man  erhält  somit 
für/(tt)  endgültig  die  Form: 

Die  Grössen  y  enthalten,  wie  man  unmittelbar  erkennt,  wieder 
die  Unbekannten  da"  and  Oa"  und  zwar  in  der  Form  t^  t— —  «  ^ 

C/a  va 

und  der  Potenzen  von  diesem  Ausdruck.  Wir  betrachten  deshalb 
bei  der  Aufstellung  der  Oauss'schen  Belationen  die  y  als  Uobckanutc 
und  haben  es  so,  wenn  wir  dann  die  Coefficicnten  gleich  hoher  Po- 
tenzen von  u  auf  beiden  Seiten  einander  gleich  setzen,  mit  Gleichau- 
gen zu  tun,  in  denen  die  Unbekannten  x  und  y  nur  linear  auftreten, 
was  die  Elimination  derselben  wesentlich  erleichtert. 

Bei  den  allgemeinen  Betrachtungen  müssen  wir  die  Grössen  y 
jedoch  berechnen,  da  dort  nicht  so  viele  Gleichungen  vorliegen,  um 
auch  die  y  zu  eliminiren. 

Hierbei  ist  es  dann  wesentlich,  dass  man  die  verschiedenen  Ab- 
leitungen der  Thetafunctionen  mit  dem  Argument  0  durch  die  Theta- 
functionen  mit  dem  Argument  0  selbst  und  die  zweite  Ableitung  einer 
einzigen  ausdrücken  kann.  Ich  will  deshalb  hier  die  Beziehuiigen 
zwischen  diesen  Grössen  zusammenstellen,  wie  sie  sich  aus  der  Ent- 


Maller:  Zw  Traiitformalion  der  netafimelionen.  \QQ 

fiidüuDg  der  Gleichnngen  der  Jocobi'schon  Tabelle  C.  (Jacobi's  ge- 
sammelte Werke  I.  Pag.  510)  ergeben: 

Nach  der  hier  gewählten  Bezeichnungsweiso  ist 
*»'*,"-  W+V»." 

+««#,V(3.V-2V)  =  ••• 
V=  3-^+2«**o^.**»  -  3^,V'*-6«''i'*.**o" 

*/  -  15«^*o"*-10»»*,*,<^o"(V+V) 


S2. 

Setzt  man  in  den  Gleichungen  Bt  fttr  die  Potenzen  and  Producte 
der  elliptischen  Fnncüonen  und  fttr  /(u)  die  Worte  ein ,  so  nehmen 
dieselben,  wenn  man  bis  zur  fttnften  Potenz  von  u  fortschreitet,  fol- 
gende Gestalt  an: 

1)  *»"(»o+y.«H-y4««*-l--)  =  «i*«" 

s  a 


170  Müller:  Zur  Trantformation  der  Thtlafunetiontn. 

o, 

...  +»5_lV  V*(l—  •-)+««+l»8*,"-'{l— ...) 

«  ~r 

«l*«"(»"—  •••)  +  ...««-8*,**3"-«(ll*-  ...) 

4^__,VV-{.»-|'%.*+...) 

+.^.w-(.-i'*-^^+r'-+'^^''±i-"-..) 

Hieraus  ergeben  sich  durch  Vergleichung  gleich  hober  Potenzen 
von  u  folgende  Gleichungen: 

Aus  1) 

»)  yo  =  ^1 

b)  <^sVj  -  ^«*af« 

c)  3 Vy4  =  -  a:,<^2*( V+ V)  +  Sars  V V 


Aus  2) 


0 


Aus  3) 

2  2 


Aus  4) 

a)  (—1)  a  «OjOjyo  —  ^2^8«^! 

2 
2  2 


Müll  tri  Zur  Transformation  der  Thetafunctinnen.  171 

C)   (-1)  «<0,Os{t*yo(Öl'+4ö,*03H-08«) 
-20tV2V(ÖiM-öa*)+120y4^s'} 

2 
2  2 

Man  sieht  nnn  unmittelbar,  dass  diese  Gleichungen  nicht  hinreichen, 
um  alle  y  nnd  x  zn  eliminircn ,  zumal  man  die  sich  aus  2)  und  3)  er- 
gebenden allgemein  garnicht  benutzen  kann,  denn  in  denselben  treten 
immer  alle  Grössen  x  von  x^  bis  xn-^x  auf.    Wohl  aber  können  wir 

~2~ 

mit  Hülfe  aller  sich  aus  1)  nnd  4)  ergebenden  Gleichungen  nach 
einander  alle  Grössen  x  durch  Thetafunctionen  mit  dem  Argument  0 
and  die  Grössen  y  ausdrücken ,  und  da  die  y  sich  durch  die  Theta- 
fiinctionen  und  jenen  die  zweite  Ableitung  einer  derselben  für  das 
Argoment  0  enthaltenden  Ausdruck,  darstellen  lassen,  so  wird  man 
jede  der  Grössen  x  durch  die  genannten  Grössen  ausdrücken  können. 
Da  dieses  später  für  die  allgemeinen  Betrachtungen  bei  den  Teil- 
werten der  Thetafunctionen  benutzt  wird,  so  will  ich  es  gleich  hier 
für  die  Grössen  x,,  xg,  or,,  xm4_i,  xn-\  und  xn~^  durchführen: 

1  ~2"  "2*" 

Aus  dem  Taylor'schen  und  dem  Leibnitz'schen  Satz  ergeben  sich 
är  die  V  in  der  Entwicklung  von  -^zrr^ — :,  wenn  man  noch  die  Be- 

Ziehungen  zwischen  den  Grössen  u  und  v  berücksichtigt,  folgende 
Werte: 

1      Qq    (,^91      v\ 


Analoge  Werte  erhält  man   in  den  beiden  andern   Fällen  für 
die  y. 

Setzt  man  diese  Werte   in  die  obigen  Gleichungen  ein,  so  er- 
geben sich  für  die  Coefficienten  folgende  Ausdrücke : 


172  Maller:  Zur  Trtuufomatioti  dtr  TUtaßutctiomn. 

I.  für  «1  —  0 

ar^fi  —  (—1)  » t 

'»  ■"  2  ««(t,»*,«*o"  V    Ö«   ~    *o  >/ 


~  12«»  V  Oo   ~"*o  / 

II.  fitr  a,  —  2 


*1      —    AJ» 


<L» 


Müller:  Zur    Transformation  der  ThelafuncUomn,  173 


-  A(VH-V)t«*(Oo*+  o,*)-(V+*.*)] 


6ä* 
"2 


m.  für  <^  —  3 


*»  —  ^.» 


«-1 


-5-  ^o^t^s « 


«." 


x^x  -(-1)      ^^^j^5^5^^J-,^^  — _„-j 

-  («»( Oo*  -  O,*)  -  (  *o*  -  V))) 

«»(  Qq«  -  O,«)  -  3(»o*  -  V)  /    O,"         V\ 

-  ^(V-V)[«»(Oo*-  o,«)-(V- V)] 

-  (*o«  -  (10»  -  6)#o*V + V)  ]  }  • 


174  Müller:  Zur   Transformation  der  Thetafunctionen. 

§3. 

In  dem  speciellen  Falle  n  :=  3  können  wir  nns  anf  eins  der 
drei  Gleichungssysteme  B.  beschränken  z.  B.  anf  B/,  denn  man  be- 
kommt durch  alle  drei  dieselben  Gleichungen.  Das  System  B/  nimmt 
aber  fOr  n  ■>  3  folgende  Form  an: 

=  a,*g»cn*(u,  k)  -)-*i»»*s*cn(M,  h)  dn*(tt,  k) 

3)-^A»an(»,c)^^^^ 

=  *,  V  dn»(u,  k)  +xj»8*,*  dn(a,  jfc)  cn«(tt,  k) 

4,  ,_.;^§  ,...«(.■,  .)^;y' 

Entwickelt  man  hier  nnn  in  der  angegebenen  Weise  und  setzt 
dann  die  Coefficienten  gleich  hoher  Potenznn  von  u  anf  beiden  Seiten 
einander  gleich,  so  erhält  man,  wenn  man  in  den  Entwickinngen  bis 
zur  fünften  Potenz  fortschreite^,  folgende  Gleichungen : 

(1)      y^  ==  «1 

(2)  yoVö»  «=aJiVöo+«2^«Vöo 

(3)  yoVÖ8-«iVöo  +  a?»V^8Öo 

(5)  y,V-««V 

(6)  «*yo^o'*Ö2Ö8*— 2y2^o'Vös 

«  3a:,VVöo  +  afÄVöo(2V  + V) 

(7)  tVoVö«*Ös--2y,VVös 

«  3a^VVöo+«2V^3Öo(V  +  2^3*) 

(8)  (-1)  2tO,03{-<Vö,*+03*)  +  6y,V} 

(9)  3y4V--«2V(V  +  V) 


Malier:    Zur  Transformation  der  Ihelafunctionen.  175 

=  ac,VVOo(4V+7V)+*AVOo(8»,»+24V*8*-|-*8*) 

t—\ 
(12)    (-1)  *  «0,0g{«*yo(0,'»+40,«0s«+  O,») 

+x,*,»,(*,8  +  4*,*  V  +  *»*)• 

Diese  12  Formeln,  die  man  ja  noch  beliebig  vermehren  kann, 
wenn  man  in  den  Entwicklungen  weiter  geht,  sind  eine  ergiebige 
Qnelle  für  Relationen  zwischen  den  transformirtcn  Thetafnnctionen 
Oa  =  #a(0,  t')  und  9a  =  ^a(0,  t).  Combinirt  man  sie  nach  und  nach 
mit  einander,  wie  es  die  Klammem  vom  angeben,  so  erhält  man 
folgende  Relationen: 

(1,  2,  3)    I    ^3^8  =  *oOo  +  *iO, 
(1,2,4)    II    ^_^'  =  (-l)'T*d,0, 

9.»       *,»  *-' 


0 ^ 

'o         O, 

t—i 


(1,3.4)    m     ^  -  ^  -  (-1)  *  «*iO, 


(2,3,4)     IV    ^' -  ^  -  (-1)  2  «*oOo 
(1,2,5,6)    V    *»0,«-V  =  2^(V0<,»+V0,») 


^0^8 


(1,3,6,7)   VI   t*rV-V  =  2^(V08»-VOo») 

(V-vi)  vn  «•o„*+v-2»oOo(^+^) 


o. 


(1,  5,  6,  4)    VIII    t*0^^-»i*  -  2»,<^,^|((-1)  «<0,»+V) 


o,         '-> 


(1,  5,  7,  4)    IX    «»0,«-V  =  2*A^*((-l)  2«0,»-|-V) 

(vm— IX)  X   ««Oo*-V~2^(Vo»*-Vo,») 


rjjvxj 


176  Müller:  Zur   TratiBfbrmation  der  ITieia/unctionen, 

(1,  3,  5,  6)     XII    t»0»*4-«a«  -  2H(h(^+  ^ 

t-i 
(1,  4,  6,  7)    XIII    tO,08{— (— 1)  2  »sS-'VO»*— <»i9>OjOs  i  t»^*0,' 

i-i 
-(—1)  2  Vj  ■=  3»s»»«» 

(1,  2,  6,  7)    XIV    t%>Oo*0,Oi  -  S*,»««»».oOo« 

+  ''"'•V''"'-''Vt>.'-  ( -  «'^^...o.o., 

(1,  3.  6,  7)    XT    t*VOo*0,0»  =  3»,»V*oOo» 

+  »/        "  (V+V-C-l)  »  «*,»30,0,) 

1,  5,  6,  7)    XVI    3»oV«»*Oo(2<*Os,»08»+3»,»a3*) 

t-i 
(1,  4,  5,  8)    XVII     (-1)  2  *0,08{«»(0,«+0i,«)-(V+V)l 

(1,  2,  5,  8)    XVni    -(-1)  2  fiOt(h(0,*-{-Oi*) 

+6(-l)  "ä"«*,**»  ^^-6(-l)^t»,*0,0, 

(1,3,5,8)    XIX    -(-1)  ««»0,Q8(O,«+0k«) 

t?  0.0s»  ^' 

+6(-l)  «<»o'»»-7r — «(-1)  '  'VO.Os 

(1,  4,  6,  8)    XX    -(-1)  «  2<»03*+(~l)  2  <»0,* 


«— 1 


■Vn.VOo^,      ,VW 


S 


Müller:  Zur  Transformation  der  Thetafunettonen.  177 


(1,  4,  7,  8)    XXI    -  (-  i>  2  2*3o,44.(-i)  2  <?03* 


^,0o0o 


3 
«-1 


(1,  5,  6,  8)    XXU    (-1)  2  2«»%»^8^A'03+(-l)  2  2«»V^30,p,^3 

+9^2*^3«Oo  -  (-1)    2  4<3a.o»^,^3p,2  03ß 

(1,  5,  7,  8)    XXm     (-1)  2  2<3VV30«03H(-1)  2  2^3^,  V^0<^i^3^ 

+{-l)  2  24»Vs*öoO,^03+(-l)  2  ^^,60^0,0a* 
+(-1)  2  t3VPaO,^0<,+30^o'V^3^8-3V^3'Oo 

+9V^3^0-(-l)   2  4<3V^2^s02*032 
+*«^0^2^S(V-P3') 

(1,6,7,8)    XXIV    3i3^2(2V+VA^3-3<3ö-3(2V+^3*AOs« 

+6<^V2V+VA'Ö32-6i»^,(V+2VA'03S 

+72(-l)  2«-,*0-3'O,-72(-l)  2  VVOs 

i-1  t-l 

+27(-l)  2^3a^3aO,-27(-l)"2  V^jSOs 

3(-l)  2  ^«^3o,ao,03(^,*-K3*) 

Alle  diese  Formeln  gelten  für  O«  =  «-aCO,  r')  nnd  ^«  «  ^«(0,  t), 
also  ftr  den  Fall  <  =  3  für  0«  =  «-«(0,  3t)  und  d^«  -  ^^(0,  r) ,  und 

für  den  Fall  t  =  1  für  0«  «  ^„Yo,  ^-j  und  ^«  «  ^«(0,  t)  oder, 

T— «8i 
wenn  man  kier  für  — ^  t  einsetzt ,   für    0«  =  ^«(0,  r)    und  *o  « 

MO,  3t+8|).    Man  erhält  mithin  auch  im  letzteren  Falle  für  i  -=  0 
Relationen  zwischen  ^«(0,  3t)  und  ^a(0,  t). 

Artk  d.  Math.  a.  Phjs.    2.  Beihe,  Teil  I.  '^ 


X78  Müller:  Zur  Transformation  der  Thetafunctionen, 

Specialisirt  man  jetzt  wirklich,  so  erkennt  man  unmittelbar,  dass 
von  allen  so  erhaltenen  48  Gleichungen  zwischen  ^«(0,  3t)  und 
0'a(0,  t)  nur  die  ersten  vier  fttr  jeden  Fall  Ganss'sche  Relationen 
sind,  und  zwar  die,  welche  Göring  §.  3  unter  (2)  und  (3)  angiebt, 
und  die  Formel  ^fi^  =»  ^o^o  +  ^s^a»  welche  letztere  man  sowohl  für 
t  »  ä  als  auch  für  «  =  1,  £  »  0  aus  I  erhält.  Auch  wenn  man  noch 
weiter  geht  und  aus  den  obigen  12  Gleichungen  noch  weitere  Beziehungen 
aufstellt,  so  erhält  man  doch  keine  Gauss'schen  Formeln  mehr  — 
für  den  speciellen  Fall  ^  =»  3  habe  ich  deren  53  aufgestellt  und  zwar 
die  einfachsten,  von  diesen  sind  aber  die  letzteren  schon  ausser- 
ordentlich complicirt.  — 

Somit  kann  es  auf  den  ersten  Blick  scheinen,  als  ob  man  darch 
die  hier  eingeschlagene  Methode  allerdings  auch  Belationen  zwischen 
den  transformirten  Thetafunctionen  erhält,  aber  meist  neue  und  nicht 
die  gewünschten  Gauss'schen.  Dies  ist  jedoch  nur  scheinbar  der 
Fall,  denn  in  Wirklichkeit  sind  letztere  schon  sämtlich  in  den  ersten 
13  dieser  Gleichungen  enthalten,  und  wir  erhalten  sie  zum  Teil  noch 
erweitert  und  ausserdem  eine  Menge  andrer  Beziehungen,  wenn  wir 
die  Gleichungen  Y— XIII  mit  Hülfe  der  ersteu  4  und  der  bekannten 
sich  unmittelbar  aus  dem  Additionstheorem  der  Thetafunctionen  er- 
gebenden Gleichung 

umformen. 

Indem  ich  dies  jetzt  durchfahre,  will  ich  zugleich  hinter  jeder 
Formel  die  entsprechenden  Göring'schen  citiren,  welche  für  die  spe- 
ciellen Fälle  <  »  3  und  £  »  1,  £  »  0  darin  enthalten  sind;  im  letz- 
teren Falle  muss  man  natürlich  dann  immer  die  6  und  ^  vertau- 
schen, da  den  &  im  ersten  Falle  die  ^  im  zweiten  Fall  entsprechen 
und  umgekehrt;  ferner  will  ich,  falls  die  Formeln  nicht  unter  den 
von  Göring  angegebenen  enthalten  sind,  die  analogen  durch  gleiche 
lateinische  Buchstaben  mit  Indices  bezeichnen. 

Die  Gleichung  I  giebt  sowohl  für  £  »  3,  als  t  «=  1,  £  =  0  die 
von  Göring  angegebene  Relation 

für  §  »  1  und  2  giebt  sie  eine  Erweiterung  derselben ,  da  O«  dann 
auch  resp.  ^a(0,  3r4-8)  oder  ^a(0,  3t-|-16)  bezeichnet. 

II,  lU  und  IV  geben  für  «»3  das  Göring'sche  Gleichuugssystem  §3,  (3) 
und  für  ^  -»  1,  £  =  0  das  Gleichungssystem  (2)  mit  einer  Erweite- 
rung wie  bei  I.    Aus  (2)  und  (3)  folgt  sofort  (4). 


ttSlltr:  Zur  Ihnuftrnuttion  der  Thela/unctionen.  J79 

V,  TI  und  X  liefern  ans  in  der  nnmittclbar  vorliegenden  Form 
du  System 

(A)    «»0,*- V  -  2  J»^^  (»,K)^*  -  »g»0o«) 

ein  System,  welches  uns  wie  alle  folgenden  allgemeinen  Systeme  vier 
Terschiedeno  Systeme  repräsentirt ,  je  nachdem  man  £  =  3  oder  bei 
i «  1,  {  «=  0,  1  oder  2  setzt 

Sabtrahirt  man  in  Gleichung  V  auf  beiden  Seiten  2^^^  und  setzt 
ftr  V  rechts  den  Wert  ein,  der  sich  durch  Multiplication  von  I  mit 
ni  eigiebt,  so  erhält  man  die  Gleichung 

««Da*-  3^3*  -  2(-l)"2  t^fi,{^^0,-^^oOo) 

Diese  Gleichung  liefert  sowohl  fttr  «  =  3,  als  auch  für  t  =  1, 
{ =  0  die  Gleichung  (8) ,  fttr  £  «=»  1  und  |  =  2  wieder  eine  Erwei- 
terung derselben.  Verföhrt  man  in  analoger  Weise  mit  VI  und  YII, 
80  erhält  man  das  Gleichungssystem 

t«03*-3«'3*  «  2(— 1)  a  «^303(^,02 -^oOo) 
(8)    «»0,*-3V  «2(-l)  2>,0,(^A-fa^03) 

t»0o*-8*o*^ 2(-l)  ^  t^oOo(^fi^  +  hOs) 

Formt  man  die  Gleichungen  Y,  VI  und  VII  durch  wiederholte 
Anwendung  der  Gleichungen  II,  III  und  IV  so  um,  dass  sie  in  Bezug 
auf  die  #  homogen  werden,  so  ergeben  sich  die  Beziehungen 


Beachtet  man  nun,  dass  in  diesen  drei  Gleichungen  links  nur 
dieselben  drei  Klammern  auftreten,  so  folgen  multiplicando  unmittel- 
bar folgende  sehr  elegante  Relationen 


180  Müller:  Zur  TransformcUion  der  Thetafiinclionen, 

(F)    VÖ3*- VÖ2*  =  2^oöoVV^Ä 

Diese  drei  Gleichungen  sind  für  ^  »  3  und  <  -^  1 ,  S  «-  0  iden- 
tisch mit  den  Gleichungen  (10),  fQr  |  »  1  und  £  =>  2  erweitern  sie 

dieses  Gleichungssystem. 

Addirt  man  femer  in  den  Gleichungen  V,  VI  und  VII  auf  hei- 
den  Seiten  4^3*  und  dividirt  resp.  durch  ^sOj,  S-^Oj  und  *o^üi  so 
erhält  man  mit  Hülfe  von  li,  Itl  und  IV 

.0,    <'Q8^+3V      t^o^'+^f'       t^Oo*+^o'  _ 

^  ^+2(-l)  «  *(  Vo-Ps^s)  =  . . 

Auch  hier  sind  wieder  die  Formeln,  die  uns  die  spedellen  Fälle  <»3 
und  t  =  l,  i  »  0  liefern,  identisch. 

Vn  giebt  uns  mit  XI  und  XII  zusammen  in  der  urspfünglichon 
Form  das  System 

(^^3  ä".3\ 

(C)    **ö,*-p,4=,2V.(^+^) 

Ergänzen  wir  die  linken  Seiten  dieser  drei  Gleichungen  zum 
Quadrat,  so  erhalten  wir  eine  Beihe  sehr  hflbscher  Relationen,  die 
sich  jedoch  einfacher  gestalten  für  die  speciellen  Fälle  als  für  den 
allgemeinen;  2.  B.  ergiebt  sich  aus  XI  die  Beziehung 

ao,«±  V)*  ^  2  V«  { §^(i±(-ip )+  öf  (1 T  (-1)"^) } 

Es  ist  nun  aber  (—1)  2  entweder  =- 4"  1  oder=— 1,  in  jedem 
Fall  fällt  also  eins  der  Gliefder  rechts  fort,  welches  ist  aber  im  All- 
gemeinen nicht  zu  entscheiden;  deshalb  Will  ich  hier  die  Formeln 
für  die  speciellen  Fälle  anführen  und  dabei  gleich  für  den  Fall 
'  =  1,  I  «-  0  die  ^  und  ö  vertauschen ,  so  dass  überall  ist  O«  « 
MO,  3t)  und  ^a  =  ^a(0,  t). 


(H) 


Müller:  Zur  Transformation  der  Theiq/uneUonotK  181 

S  • 

(30,»-»,«)«  -  4*,0,^«-*  ;    (30,»-f*,«)«  =  4*,0,§^ 
(30,»-*,*)»  -  4»aO,^ ;    (30,»4- V)»  -  4»,0,  §^ 

(Oo»-*o»)»  -  4*0^0  J'  ;     (00«+*«»)»  =  4*oOo  ^ 
(O,«-*,«)«   =.  4*,0,^»'  ;     (0,«-p,«)«  =  4*,0,  §* 

(O,»-*,»)»  -  4*,0,  ^»'  ;     (0,«+*,«j»  -  4*,0,^ 
Ans  diesen  Relationen  folgen  noch  unmittelbar  einige  andere: 

(7)    öo«(d,2-30,2)  «  ^o*(ö,*-K«*) 

ausserdem  noch  einige  andre,  die  sich  jedoch  aus  diesen  ergeben, 
wenn  man  anders  zusammen  fasst. 

Femer  folgt  aas  (H),   wenn  man  je  zwei  Gleichungen  multi- 
plidrt: 

(Jl     90,<-»,' 4»,0,)/%^'i    V- »t'-      l».».)/! 


0"S  '       '^O^S 


Die  gerade  nicht  sehr  eleganten  Gleichungen  VIII  nnd  IX  Über- 
gehe ich  hier:  macht  man  sie  aber  in  Bezag  auf  die  O  homogen,  so 
erhalten  irir,  je  nachdem  wir  dies  mit  der  einen  oder  den  andern 
der  Gleichnngen  II,  III  and  lY  bewerkstelligen ,  folgende  symmetri- 
Khe  Formeln 

VO,«-4do»*30o»08+6»o»<^s»Öo»Oj»-4*oVO«08H-VOo*  =■  0 
V0s*-4»,»*jO,«O8-H»,»*5»Ob»O3*-4^,*5»Ö»Os»+VO,*  =  0 

V0,*-4»o«»,0o»0,-6*o»*»»0o»0,»— 4*o*«»OoÖ»M-VOo*  "•  0. 


182  Müller:  Zur  Transformation  der  Thetafunctionen. 

Aus  diesen  drei  Gleichungen  kann  man,  wenn  man  die  Glieder 
in  bestimmter  Weise  zusammenfasst,  sowohl  das  Gleichungssytem  (lO) 
als  auch  das  Gleichungssystem  (5)  herstellen.  (10)  hatten  wir  aber 
schon  vorher  direct  bekommen  und  ebenso  erhalten  wir  (5)  unmittel- 
bar, wenn  wir  die  Gleichungssysteme  (2)  und  (3)  mit  einander  multi- 
pliciren.  Aus  obigen  Gleichungen  folgt  nun  aber,  dass  sie  nicht  nur 
für  Oa  —  ^o(0,3t)  gelten,  sondern  auch  für  O«  «^o(0,3t+8)  und 
Oa  ^  da(0, 3T-f-16).  Das  Gleichungssystem  (5)  lautet  folgender- 
massen 


1 

'2 


(f  -  %')  {*^  sf) -.'. 


Macht  man  ferner  anch  XI  and  XII  homogen,  so  ergeben  sich    die 
Relationen 

*s»0«»(VOo*+*o*0»*)+<>J*0»*(^.*Oo*-Vö»*)- 

2fr,OoO»03(VO,+<^8»Oo) 
(E) 

2*,OoO,03(VO»+VOo) 

Endlich  liefert  ans  noch  XIII,  wenn  wir  es  homogen  machen, 
die  aufgelösten  Gleichangen  (1)  and  zwar  für  <  ^  3  (l)i  ond  f^ 
(  =  1,  1  —  0  (1),.    XIII  erhält  so  die  Form : 

Die  Gleichungen  (1)  selbst  erhält  man  hieraus  durch  folgendes 
Verfahren: 

Ftlr  den  Fall  ( =  3  kann  man  die  Gleichung  auch  so  schreiben 

"    Ö»  V>»  -3»308J+  4  -y-^  +  ö^j    (nach  II) 
„  2*-»'*?  (9  »-30  «)+4*«'*!^  4-  *?' 


Müller:  Zur   Transformation  der  Thetaßinetionen.  |g3 

Hieraus  folgt  nan  onmittelbar 


oder 


Ganz  analog  ergiebt  sich  fOr  f  •=>  1  (l)^,  so  dass  man  erhält 


(1) 


Mit  den  Gleichungssystemen  (1)  (2)  und  (3)  ist  nach  Vorgang 
von  Gering  anch  sofort  (6)  gefunden.  Zerlegt  man  nftmlich  die 
Gleichungen  (2)  und  (3)  und  beachtet  die  Beziehungen  (1),  so  folgt 
leicht 


»    '  '^t 


(6) 


K?+|/?-Vf- 


In  gl^cher  Weise  könnte  man  fortfahren  und  auch  die  flbrigen  Olei- 
changen  umformen. 

Dieselben  werden  aber  um  so  complicirter,  je  weiter  man  geht, 
und  will  ich  f&r  jetzt  davon  abstehen. 


184  Müller:  Zur    Transformation  der  Thetafunctionen . 

Ferner  kann  man  auch  noch  die  Gleichungen,  die  sich  ftlr  die 
speciellen  Fälle  <  =  3,  und  f  »  1,  |  =  0  ergeben,  mit  einander  com- 
hiniren,  zumal  die  Gleichungen  für  <  =  3  mit  Hfilfe  von  II,  III  und 
IV  für  t  »  1,  £  =  0  umformen  und  umgekehrt. 

Tut  man  dies  bei  den  linken  Seiten  der  Gleichungen  F,  so  er- 
hält man 

(11) 

und  noch   vier  andre  Gleichungen ,  die  aber  auch   direct  aus  diesen 
entstehen,  wenn  man  anders  zusammenfasst. 

Aus  diesen  Gleichungen  und  aus  (F)  folgt  noch  sofort 
(G) 

•8 

Die  meisten  Gleichungen,  die  man  so  erhält,  sind  schon  unter 
den  früheren  als  specielle  Fälle  enthalten,  als  neue  habe  ich  nur 
noch  gefunden: 


(D) 


Fassen  wir  jetzt  Alles  ^zusammen,  so  «eben  wir,  dass  sämmtliche 
von  GOring  angegebene  Relationen  auch  auf  diesem  Wege  gefunden 
sind,  und  dass  dieselben  zum  grossen  Teil  in  erweitertem  Sinne  gel- 
ten, es  bestehen  nämlich  die  Relationen  (l)«,  (2),  (5),. (8),  (9)  pnd 
(10)  nicht  nur  zwischen  ^a(0,  3r)  und  ^a(0,  r),  sondern  allgemein 
awischen  ^«(0, 3T-f8l)  und  ^«(0,  t),  wo  £  die  Werte  0,  1  und  2  an- 
nehmen kann. 


Müllen  Zur  Transformation  der  Thetafunctianen,  185 

Aasser  diesen  Beziohungen  sind  aber  noch  eine  ganze  Reihe  an- 
derer abgeleitet,  von  denen  die  meisten  auch  ganz  allgemein  gelten 
wenigstens  filr  den  Fall  <  »  1. 

Die  Formeln ,    die    Göring   zwischen   ^«(0, 3r) ,    ^«(0,  %)    nnd 

^ff  (o,  ^1  angiebt,  liegen  ausserhalb  des  Bereiches  der  hier  geführten 

Betrachtungen,  ich  wende  mich  deshalb  jetzt  sofort  zum  Fall  n  »  5. 

§4. 

Auch  ffir  den  Fall  n  ^  h  genttgt  es  Zwecks  Herstellung  der 
Gauss'schen  Formeln  eins  der  Systeme  B  zu  entwickeln.  Ich  wähle 
hier  wieder  das  System  B/,  dasselbe  nimmt  für  n  ^  5  folgende  Ge- 
stalt an: 

+a^3^3^2*dn{t*,  A;)cn*{M,  k) 

4)   ^j,hxi{u\  ^)^^^  =  x^^^^nKu,  Ä.)+a.,(^,»^3'sn»(u,  k) 
-f argOg^a^snCtt,  k) 

Schreitet  man  auch   hier  bei  der  Entwicklung  bis  zur  fünften 
Potenz  von  u  vor,  so  erhält  man  folgende  12  Gleichungen: 

U)  STo  =-  «"i 

(2)  Vöiy«  =  -^«*OoXi+a:,^,»(^3*Oo-f^3^2VOo 

(3)  VOjyo  =  ^3*Ooari-H«2^,^8*Öo+a^8V^sÖo 

(4)  «OjOjyo  -*  ^«*^s«8 

(5)  I^A«-Va^ 

(6)  <«Oo50,03Vo-2y2 Wo,  =  ÖXi^j^V^^o 

.f:r,VVOo(2V+3*V)+^s^^^*Oo(4V+V) 

(7)  «•^o'^O^Öas^-^s^o^Vö»  •«  5ari^»^3»Oo 


186  Müller:  Zur   Transformation  der  Thetqfuuctionen. 

(8)  t»y«0,0,(0,*+Ö8*)— 6<jf,ffa*0,03 

(9)  3*8«y4 «,  V(  V-}-*»*)+3«s  V»8* 

(10)  «*yo*o*Ö,Oa*(40,*+0,«)-12tVo'VO,0,*+24yA»VO, 

=  «,  VVOo(20V-|-65*,*) 

+*iWOo(8V4-S6*,*V+21*s*) 

(11)  <*yoVO»*Os(0,*-HO,*)— 12««yiWO«*0«+24y4*o'VO, 

=  a!,V*,60o(65*2*+20V) 

+x,»,«^.»Oo(2lV+56*,*V+8V) 

-KV*»Oo(V-H4V<^«*+40V) 

(12)  <»y«O,O,(ö,*+4O,«O8*+O,»)-20t»y,VO»O8(O»«+O/) 

+l20«y4VOjO8  -  120kt,*,*V-60»-»*«**j'(*»*-|-***) 
+*«<^»*«(V-H*»**.*-Ks'') 

Diese  12  Gleichaugen  enthalten  nnr  die  6  Unbekannten  y^,  ytiy4,ar„ 
Zj,  xj,  ergeben  also,  wenn  man  diese  eliminirt,  eine  Menge  Relationen 
zwischen  ^a(0,  r')  und  &Jß,x),  wo  '&a(0,  r')  ->  O«  fOr  (  =  5  den 
Wert  ^a(0,  5r)  bat ,   dagegen  für  <  »  1  die  5  verschiedenen  Werte 

annehmen  kann  ^a  (0,  — ^-  1,  1  =  0,  1,  2,  3  und  4.    Die  elegant- 
sten dieser  Relationen  sind: 


(1,  2,  3,  4)    I    *c*jO,-*o*,08+»,*jOo  =  tOt,0,Oi 
oder 

^0^8      I     t*h.         ^0^«    _  /      „Hör 

0„0,^  0,0,-  OoO,-*    ""^^ 

(21) 

Oq  ,    Qg       O,_^0o0t0s 

'^0       ^i        ^s  *o*«*a 

Diese  Formeln  reprftsentiren  uns  fttr  die  speciellen  Fälle  t  —  5 
and  ( =  1  das  Göring'sche  Gleichangssystom  §  4.  (21),  fOr  den  Fall 
t  •=  1  natflrlich  wieder  eine  Erweiterung  der  Gleichungen  (21),  and 
(21),. 

Die  übrigen  Beziehungen,  die  man  durch  die  Combination  der 
Gleichungen  (1),  (2),  (3),  (4)  (5),  (6),  (7)  erhalt,  bieten  sich  zam 
Teil  zunächst  in  nicht  sehr  schöner  Form  dar;  da  man  sie  ausserdem 
alle  bis  auf  die  Formel,  die  man  durch  Gombinatiou  von  (4),  (5), 
(6)  und  (7)  bekommt,  mit  Hfllfe  von  I  auf  einander  reduciren  kann, 
will  ich  hier  nur  die  elegantsten  derselben  angeben: 


Miller:    Zur  Transformation  der  IhetafuncUonen,  187 

(2.4.6.6)  II    **03*-3*»*=2:^*+2^"-2«^»'«3(§+T;) 

(3.4.5.7)  m  ^«0/-3*.*=2^^'-2^"+2.Vö,(§-S;) 

(2.3.5.6)  V    t»0,*+d,« 

(2.3.5.7)  VI    ««0,*-K,* 

(2,  3,  6,  7)    Vn    «*Oo*-Ko* 

(4,  5,  6,  7)    Vm  2««*o*Oo*0»Os+3«**o*»»sOoO«0«(*«''Os»-*8'0,») 
+2t»*oOo('«0,(VOa»-VO,')+2«*oOoO,08 

-«Oo*0,0,{2tf,»-9*,*<>sM-2*s'')  -  5*»**»*0o*. 

(2.4.5.8)  IX    t<^,OoO,ö,{t«(0,*+08«)-(»,*+*s*)l 

\  -  6t»do'*0,Og«-6t«Oj»*,»OoO,''Oa»+6{»s*(VOo-VOi) 

1(3,  4,  5,  8)    X    <*,OoOsO,{««(Oj*+Os*)-(*«H-V)} 

(  -  6tdo'0,*0s-  6*»»3»Oo  0,*0,»-|-6<^,*«»3'Oo- VO,) 

(2,3,5,8)    XI    t'Oo»0,0,(OjH-03*) 

=  (*.*-Hs*){*»*3  «>o*-5Ö'o*3  öo  0,+5#o*»  Oo  O3 + 6*0*0,  Oj) 

-6*o*0,08(*3*03*-|-*,*0,*) 
,  (2,  4,  6,  8)    Xn    t*oOoO,03{«*{20s*-0,*)-(5l^,M-2V)} 
^  6t**3»Oo*0,03*-|-6«<^,»Oo*Os-f6*o*8(*o'0«-*i''^o) 

j(3,  4,  7,  8)    XUI    <»oOoO»OsJJ*(20,*-03*)-(2*,H-5*3«)} 

(3,  4,  6,  8)    XIV    t»o*30oO,08l<>(203*-0,*)+(7<^,*-K8*)} 
=  3t»0o»  080,»(2V+V)-9«^«*8*Oo»Ö3 
+3t*o«»  Oo  0,»(2d,*+3*,*)-|-6*o*«*»(*o*08-*8*Oo) 

(2,  4,  7,  8)    XV    «*o*»OoO,0,{t»(20,*-03*)+(V+7V)} 

3««Oo»0,»03(  V+2V)+9«««**80o'0, 

+3«»o*80,0,»(3»,M-2V)+6*o^»*8(VOi-VOo) 


188  Mülltr:  Zur   Tranf/ormcUion  der  TfutafunctiontB. 

(4,6,6,8)    XVI  3««»o'0,»0,(0»*-20,*)f2t»»,«OoO,0,(0,HO,*) 

+8*'*,VOeO,0,(0,«-(-0,«)+6t»»3»0„0,»03*(4V+»,*) 
+6«»»'o^A<'.0,*  =P  2«»o»0,*0,(  V+ V) 

(4,  6,  7,  8)    XVII  2«»»o'ö«Oj*(0,*-20,*)+2««»3»0,0,08(0,HO,«) 

Aus  diesen  Relationen,  die  zum  Teil  schon  sebr  einfach  sind, 
erhält  man  noch  eine  Beihe  anderer,  wenn  man  sie  mit  Hfilfe  der 
Gleichung  I  umformt  Macht  man  durch  wiederholte  Anwendung  toi 
I  die  Gleichungen  II,  III  und  IV  homogen  in  Bezug  auf  die  O,  so 
ergeben  sich  folgende  elegante  Beziehungen 

( A)     (»,0,_»30,)»(*,O,-|-»,O„)«  =  2»^B»,0„0,(*3»0,»- vt>o*- »1*0,») 

Hieraus  folgen  unmittelbar  durch  Division  je  zweier  Gleichungen 
die  Formeln 

(F)   »,o,(*,a,_»,o,)«  =  a-oO^*oO,+*,Oo)* 

und  somit  nach  (A) 

(6)    2VO,»-2VV-2VO.»  =  ^^^^^•^-*  =  ^-^^''*^- 

Ergänzt  man  femer  die  Unken  Seiten  der  Gleichungen  T,  \1, 
VII  zum  Quadrat,  so  erhält  man  folgende  sehr  schöne  Beziehungen: 

(B)    (*,»-«0,»)»  =  2  J?g»  {»,*03»- Vöo*-*t«,») 

^0    3 

(V-«o«»)»  =  2  ^(VO,»-*o»Oo*-Vo.») 

m      S 

Ans  (B)  und  (G)  kitante  num  nau  noch  eise  Reihe  tob  Be* 
xiehmigeo  herlei|eI^  ieh  verschiebe  dies  jedoch  asf  spiter. 


Müllen  Zur  Trans/ormaiion  der  Theta/unctioiun,  189 

Man  hat  somit  schon  eine  ganze  Reihe  zam  Teil  sehr  eleganter 
Relationen,  nnter  allen  diesen  befinden  sich  ansser  in  I  keine  von 
Göring  angegebene.  Solche  erhält  man  erst,  wenn  man  die  spe- 
cielleD  Fälle  t  ^  b  nnd  t  =  l^  £  =»  0  mit  einander  oombinirt, 
daim  aber  ergeben  sie  sich  meist  in  sehr  einfacher  Weise,  wie  folgt : 

Ich  will  zn  diesem  Zwecke  die  Formeln,  welche  sich  ans  den 
obigen  ftr  <  »  5  ergeben ,  mit  einem  Strich  bezeichnen,  nnd  die  für 
*  =  1,  {  =  0  mit  zweien. 

Addirt  man  I'  nnd  I",  so  erhält  man,  wenn  man  richtig  zn- 
sammen£a8st,  (17)2,  snbtrahirt  man  beide  Gleichungen,  so  (17)];    und 

mnltiplicirt  man  I'  mit  y5  und  l"  mit  5,  so  ergibt  sich  addendo 
(17)4  nod  snbtrahendo  (17)a; 

(^-O8)(ö-o+0o)(^,+0,)  =  40,0,03 

(^+Ö3)(^,-Oo)(0,-^,)  «  40,0,03 
(17) 

(V503-a-3)  (V 50o+^) (1/50,+^,)  »  4Ws 

(V503+^3)(y50,-V  (^-y50,)  =  4V2^3 

Mit  dem  Gleichungssystem  (17)  hat  man  auch  sofort  (16),  wenn 
man  je  zwei  Gleichungen  von  (17)  mit  einander  mnltiplicirt 

(V-V)(V-*o*)(V-ö«*)  -  160o«0,«03« 

(16) 

(V-5O3«}(0^,«-5O,«)(V-5O,t)  =  16^o*^,»V 

Mnltiplicirt  man  V  und  V\  so  folgt 
(E)    8l^oVsöoO,03«^303(^,0,+*A)*-^Oo(^03-.^3  0,)« 

Diese  Gleichung  enthält  sämmtliche  Formeln  (15)  in  sich.  Man 
kaan  sie  nämlich  anch  schreiben 

V*A*O,+Vs*Ö0*^2+2V2^3O0Ö2^S-^^A(^O,O3-^3P,O,) 

-♦AÖ8(VsÖo- V^Os)  =  0 

Ergänzt  man  die  Klammem  so,  dass  man  resp.  V  und  I"  darauf 
anwenden  kann ,  so  erhält  man  unmittelbar  die  Gleichung  (15)^ ,  in 

gleicher  Weise  erhält  man,  wenn  man  die  Glieder,  in  denen  die  Aus- 
drücke O^i^sOq  nnd  ^0^2 ^3  vorkommen,  zusammenfasst,  (15) g  und 
ganz  analog  (15)3; 

*o»08»-f  ^»0,«-}-4VsOo03-^'^3*-50o»03«  =  0 
(15)     VV+V^2*+4VsO«O3^*,«^3»-öO,«O3«  =  0     . 


190  Müller:  Zur  Transformation  der  Tketafunctionen. 

Ersetzt  man  ferner  in  (E)  zwei  der  Klammem  dnrcfa  Ansdrflcke 
mit  der  dritten  nach  (F),  so  folgt  die  wichtige  Relation 

oder  nach  G 

(H)    16»  &eO.DO   ^  ^^o^'+^^Qq)'  _  (^»^o-^^o^»)" 

(^,Oj-*jO,)6 

VOoT 

nnd  andrerseits 

(14)    2*3*08»-2»o*Oo»-2VO,»  =  (16»o.-N*»0,0,Oj)« 
Mnltiplicirt  man  (B)'  mit  (B)",  so  ergibt  sich  unmittelbar 
W  und  (9)    (^,*-0s«)(5O,»-d3»)  =  (V-0,'')(*,*-50,*) 

Diese  Gleichung  enthält  femer  noch  das  Gleichnngssystem  (7), 
man  erhält  dieses  daraus  nur  mit  Httlfe  von  der  Gleichung 


Es  lautet 


(7) 


(50s»-»,*)»-(50,»_o,»)«  =  4*o*(50o»-*o») 

Die  Gleichnngssysteme  (8)  (9)  und  (14)  liefern  uns  sofort  aach 

(13)    ( V-0,*) (»,»-50,»)  -.  (»o*-<^i>*) (*o*-5ö,») 

-  (V-V)(50,»-*,»)  =  (16»oM»OoO,Oa)l 

nnd  ebenso  (B)  und  (14)  die  beiden  Gleicbungssysteme 

%  (40oO,o,)l 


nnd 


rt  «_*  f       l/^  (40oQ,0»)< 
"•      *o    -  >/'  o,  (4»„»,»,)i 


Müller:  Zur   Transformation  der  Thetafitnetionmt,  191 


V— 5ö,« 


i/o,  {4^j^ 


Mit  den  Oleichnngen  (18)  und  (19)  sind  dann  aber  nach  Göring 
aoch  die  Systeme  (20)  und  (^  unmittelbar  gefunden. 

Zum  Schluss  möchte  ich  noch  eine  andere  Schreibweise  der  Re- 
lationen (21)  anfahren,  welche  uns  unmittelbar  zu  einer  von  Gauss 
angegebenen,  von  Göring  aber  nicht  erwähnten  Formel  führt.  Fasst 
man  die  Glieder  in  den  Formeln  (21)  in  bestimmter  Weise  zusam- 
men, so  nimmt  dieses  System  die  Form  an 

(L) 
W$-0,Os)=Oo(*,08-*8Ö»);     Oo(Vs— 50»0.)=*o(«-«0g— »jO,) 
»*(  Vs-  OoOs)=0,(*,0,_8.jO,) ;     0,(V»-50oOa)-»,(8-oO,-»jO,) 
»s(*o*«+OoO,)=0,(»„Oj-|-*jOo);     09(V2+50oOj)=»s(«-oO,-f»,Oo) 

ond  hieiUDS  folgt  nnmittelbar 

»o'(»t»»—0,0,)  =  Oo»(*,*,-50,0,) 
(N)    »»"{»o^a-OoOt)  =  0,»(^o*8-80oO,) 

Hit  Httlfe  von  (K)  liefert  nns  ferner  (L)  folgendes  Gleichungs- 
system: 

(d,*,-  0,0,)«-  16*o*»*jOoOA  % 

(M)  (*o*t+OoO,)«  - 16*0*.*«  Oo  O,  O,  ^ 

(»,»i-6O,0i)e  -  16*o*»*aOAOa  t^ 

(V«+50A)*-  16»oV»OA08  ^s 


192  Müller:  Zur  Transformation  der  ThetafuncUonen, 

Eine  dieser  Qleichnngen  giebt  Oauss  an  (cf.  Gauss  Werke  II 
475),  jedoch  muss  dort  eis  Verseilen  vorliegen,  denn  er  giebt  als 
Wert  von  ^o'^ä  +  ^o^«  ^®"?  welchen  wir  für  ^o^«+5öo^t  haben. 

Es  ergeben  sich  also  auch  für  den  Fall  n  =  5  alle  von  Göring 
und  Gauss  angegebenen  Formel  nach  unsrer  Methode  und  ausserdem 
noch  eine  ganze  Reihe  andrer  eleganter  Beziehungen. 

Nach  diesen  Ausführungen  wird  es  einleuchten,  wie  lohnend  der 
hier  eingeschlagene  Weg  ist,  um  Relationen  zwischen  den  transfor- 
mirten  Thetafunctionen  aufzustellen,  und  offenbar  erh&lt  man  für 
jeden  Wert  von  n  eine  ganze  Reihe  von  Beziehungen.  Jedoch  will 
ich  für  jetzt  hier  abbrechen,  indem  ich  hoffe,  dass  es  mir  gelangen 
ist,  die  Fruchtbarkeit  dieser  Methode  nach  dieser  Richtung  hin  nach- 
zuweisen. 


Abschnitt    IL 


§  1. 


Um  die  Beziehungen  zwischen  den  Teilwerten  der 
Thetafunctionen  und  den  transformirten  Thetafunc- 
tionen für  das  Argument  0  aufzustellen,  müssen  wir  nur  noch 
den  drei  Gleichungssystemen  A  eine  dritte  Form  geben.  Sacht  man 
die  n  verschiedenen  Wurzeln  der  rechten  Seite,  so  ergiebt  sich  un- 
mittelbar ,  dass  man  die  Gleichung  A4)  für  den  Fall  <  -»  n  auch  so 
schreiben  kann: 

wobei 


^^ 

^""«-i 

1        \« 

) 

ist. 

Analog 

erhält 

man 

für  den  Fall  t  — 

1 

ü 

.  (.,  - 

-86^„ 

.  /«A  / 

•.\n.r.f  «rii^Ä-.«(] 

ii 

wobei 


.■<...,.(»  ■-^)) 


Miller:  Zur  Transformcition  der  J%etafunctionen.  {93 


M^'^ 


ist 

Diese  Formeln  ergeben  sich  auch  als  spedelle  Fälle  ans  den 
TOD  Herrn  Prof.  Königsberger  ang^ebenen  (siebe  Königsberger^ 
Elliptische  Functionen  JI  Pag.  95  oder  Transformation  der  ellipti- 
schen Functionen  §  24).       , 

Vermehrt  man  jetzt  wieder  um  halbe  Perioden  von  1  und  t,  so 
folgen  für  <  =»  n  die  drei  Gleichungssysteme 

«-1 

»-1 
4)    (-1)  *  <>,(«v,nT)  =. 
»—1 

WO  die  Indices  a  der  Reihe  nach  wieder  dieselben  Werte  annehmen 
vic  bei  A,  und  wo  ttberall  das  negative  Zeichen  gültig  ist  ausser  in 
den  Fällen,  wo  bei  A  abwechselndes  Zeichen  zu  nehmen  ist,  dann 
mnss  man  &ier  das  positive  Zeichen  wählen. 

Ganz  analoge  Formeln  erhält' man  für  den  Fall  <  =  1,  nur  tritt 
überall  an  Stelle  von  -  rechts  h und  links  natürlich  an  Stelle 

fi  n 

von  0«(iii;,iit),  ^o(v,  );   wir  wollen   diese   Gleichungen   hier 

nicht  angeben,  sie  jedoch  mit  F"  bezeichnen. 

iitK  d.  lUih.  o.  Fhy«.    2.  Beilie,  Teil  I.  13 


194  ÄfüUer:  Zur  Tran»formatwn  dar  Theiafimetionen. 


§.  2. 

Fttr  die  allgemeinen  Betrachtangen  sowohl  wie  für  die 
speciellen  Fälle  wollen  wir  hier  ttherall  von  vorne  herein  die  Fälle 
t  =  n  nnd  <  »  1  onterscheiden,  erstere  liefern  ans  die  Beziehangen 
für  die  Teilwerte  der  reellen  Periode ,  and  letztere  die  fOr  die  Teil- 
werte der  imaginären  Periode. 

Bestimmt  man  zunächst  die  Coefficienten  der  Gleichnngssysteme 
A  durch  die  Warzelwerte  der  Gleichungen,  wie  sie  sich  unmittelbar 
durch  Yergleichung  der  Gleichungssysteme  A  und  F  ergeben,  so  er- 
hält man  fQr  den  Fall  <  =  n; 


also 


o« 


e  ^ 


■V 


17**,«'  " 


xn^i  -  (-1)     . cmA-)  =  (- 1)      #-i. ö»  — 7Ä\ 

1  »,*^-j 


2 

H-1 


- = -  4»-'ü)'-<!)  •  ■  ♦■<^M:M*-?)-»-'(^') 


—  Tu  ^*         Täv     oder 


o.  jve)f>-'(^)-'--ev>--m-'-<"-i') 


a;  2 


N-8 

n-8 


'-  -  <-  „■7-%i,.<i>.<?)...ve-K)v(^')  - 


MülUr:  Zur  IVansformaiwn  der  Jfietqfunetionm,  195 


■^./f've)-vc-i->.-m-v(-g) 

'-«'^■?»..(i).>.<t})».^»4.).,.^-) 


»=?=i  »="-^ 


X,  —  c 


iu. ' '.<^M^>-(;M^')-    . 


».■   «=iV=i   » . 


».-'* 


GM;) 

■■v(^')vm-vfe') 

WO  überall  die  Summe  nach  h  and  k  zu  nehmen  ist,  und  für  jeden 
Wert  von  ä,  ifc  alle  ganzzahligen  Werte  von  ä+I  bis  —n-  durch- 
laufen muss;  dasselbe  gilt  von  den  folgenden  Ausdrücken 


.    n— 1  !_»— 1 
2 


-•■•(^'HM^)  •■•■•fe') 


196  Müller:  Zur   Transformation  der  Theia/unctionen, 

-,  ..^o."t'-^"'--a)-v(^>'('t')-- 

■■vC-ii)..<^')-vfe') 

^  ^o.-|ve)'---g-^'v(-:K) 


^a- 


Ganz  analoge  Ausdrücke  erhält  man  fär  dien  Fall  <  »  1,  nur 
tritt  überall  an  Stelle  von  -  -^ - 

n  n 

Setzt  man  nun  in  diesen  Formeln  für  die  Coefficienten  av  die  in 
Abschnitt  I.  §2.  gefundenen  Werte  ein,  so  kann  man  jede  dieser  Summen 
resp.  Producte  der  Teilwerte  der  Thetafunctionen  durch  die  trans- 
formirten  Thetafunctionen  und  jenen  die  zweiten  Ableitungen  der- 
selben enthaltenden  Ausdruck  darstellen.  Der  Ausdruck  für  x^  liefert 
80  nichts  Neues,  wohl  aber  alle  übrigen  von  xnj^  ab.    Man  erhält 

80  folgende  merkwürdigen  Relationen  zwischen  diesen  Grössen: 
a)  durch  den  Coefficienten  xn^i. 


o 


o)  für  die  imaginäre  Periode. 


H-i  0,03 


"^^^jU.^^^^"^'''  ^A 


x  11 ^L  1  _ ,  .  .^  O0O3 


Müll  er:  Zur  Transformation  der  Thetofuneüonm,  197 

Diese  drei  Gleichangen  setzen  uns  in  den  Stand,  sämmtliche 
von  Herrn  Dr.  Göring  für  den  allgemeinen  Fall  abgeleiteten  Be- 
ziehungen zwischen  den  Teilwertcn  der  imaginären  Periode  und  den 
transformirten  Thetafunctionen  herzustellen,  wenn  wir  nur  die  61ei- 
chuDg  hinzuziehen 

2^o(^,  ^)*i(^,  ^)^(aj,  ^)H^y  ^)  -  V«Vi(2«?,  T) 

Auch  Herr  Dr.  Göring  hat  dieselbe  benutzt  und  giebt  sie  §  1  (19) 
an,  sie  folgt  unmittelbar  aus  der  ersten  Gleichung  der  Jacobi'schen 
Tabelle  A  (Jacobi's  Werke  I  507) 

0-3(«',y',,>')  +  V«',y',/,t;') 

1  1   I    ^  I  "^       ". 

wenn  man  x  =*  x  —  g?  y^^c  —  ö+öi  *==*  +  ö  ^^^  w  «  o?  setzt. 

Giebt  man  x  der  Reihe  nach  die  Werte   ,    2 -.    . . . 

n  w      ' 

-^ und  multiplicirt  alle  diese  Gleichungen,  so  folgt 


.-'"Ä'<.i^t.(..!=?i)|.'..(.::^)x 

H— 1  _     W~l 

J7^  1^3  (ä.  ^^)  -  (^oW'    Dh  ^,  {2h  1=^^) 

M  — 1 

Es  ist  nun  aber,  wenn  -a-    eine  gerade  Zahl  bezeichnet, 

a^J  2A— ^j  =  Hä^i  Ih  —^j  e  -H 8 e^^*^ n 

wie   sich  analog  den  Göring'schen  Betrachtungen  fQr  den  speciellen 
Fall£==='0§91  leicht  nachweisen  lässt. 

Ist  dagegen  — ö~  ^°®  ungerade  Zahl,  so  erhält  der  letzte  Factor 

die    Form   e  ^ 

Man  müsste  demnach  im  Folgenden  zwischen  diesen  zwei  Fällen 


198  Müller:  Zur  Transformation  der  Thetafunctirmen, 

T  — 81 

unterscheiden,  setzt  man  jedoch  jetzt  =*  ^?     so    ergiebt  sich 

j.      1 
sowohl,  wenn   — h—  gerade  ist,  als  auch,  wenn  es  ungerade  ist, 

n-l  H— 1 

2  "2~  _,,(w-H).(w~l) 

Uk  ^j  (2ÄT,  nr  +  8f )  =  JOk  ^i(Ät,  nt + 8|)«  » 

denn  der  letzte  Factor   nimmt  dann   in   beiden    F&llen  die  Form 
^2nim  -=  1  an. 

Für  den  speciellen  Wert  |  »  0  fällt  diese  Gleichung  mit  der 
Göring'schen  §  9  I  (5)  zusammen. 

Setzt  man  dies  in  der  früheren  Gleichung  ein,  so  folgt 

w—l  n— 1  w— 1  • 

2"2"  Hk^Q  (AT,  nt+8J)i7Aa-,(ÄT,  nT  +  8S)77A0^3(AT,  nt+86)  « 

»-1  (w-H).(w-l) 

(^  Vs)  ^  «  « 

wo 

^„=:^„(0,nT  +  8£) 

ist;  diese  Formel  schliesst  wieder  als  speciellen  Fall  die  (xöring'sche 
§  9  I  (6)  in  sich. 

Nach  den  früheren  Gleichungen  können  wir  nun  aber  jedes  der 
in  der  letzten  Gleichung  auftretenden  Producte  durch  jedes  andere 
ausdrücken,  eliminirt  man  mithin  zwei  derselben,  so  bekommt  man 
einen  Ausdruck  für  das  dritte  Product  und  somit  auch  sofort  die 
entsprechenden  Worte  der  anderen  Producte  ausgedrückt  in  Theta- 
functionen  mit  dem  Argument  0. 

Eliminiren  wir  z.  B.  die  Producte  der  Teilwerte  ^j  und  ^j,  so 
erhalten  wir  die  Relation 


»•-1   _...(w-t-l).(w--l)-2 

Tttt 


2  2«  M 

oder 


M-I  H-S 


^.,.,..+s,-|/'a5(»4?.)-{°fa)* 


wobei  .    ^ 

o««VO,t),    e^«  «  «^«(0,  nT+8J) 

ist. 


Müller:    Zur  Transformation  der  Ihetafunctionen,  199 

Ifit  dieser  Belaüon  sind   aber  sofort  auch  die  folgenden  ge- 
fonden: 


•-1  ^  j,^y(wH)(«»-i)  "2 


(-1)  *  2  2  ,  24         n,^,{kt,  nr+8f)  «  ^  ^^5^ (iÖ^Ö^i 

oder 

2  8  «  M       n»  *,(At,  nr+8{)  =  ^  ^  (40„0,0,)» 


oder 


M-l  

»•H).(»-i)  -g-  I  /A  A 


1  '     OoO, 

H-1 

2  2   «""  3« 


^»<T<"-^'!:!"-'>X-  ■■       ....     1 /o,  (4«-fl*,(^,)| 


^  1/0«  (4*o*«ö'.)6 


oder 


e  24 


w-1  


Diese  Oleichimgen  repräsentiren    uns   für  den  speciellen  Fall 
{ «  0  genau  die  Gleichnngssysteme  von  Göring  §  9  2.  (16)  und  (17), 

wenn  wir  beachten,  dass  unser  0^«  =  ^a(0,  nr+SJ)  und  Oa  «  ^o(0,  t), 

n 1 

md  dass  n  =  a  bei  Göring,  dagegen  jenes  »  «=  —^r-  ist. 


ß)  far  die  reelle  Periode. 

Yerfthrt  man  in  analoger  Weise,  wie  für  « «^  1,  für  «  «  n,  so- 
erhalt  man  unmittelbar  die  Göring'schen  Gleichnngen  §  9  3.  (23) 
und  (24): 


f  •.  (i «)  -  n 


(23) 


20©  Müller:  Zur  Transformation  der  Vietafunctionen, 

(23) 


H-l 


oder,  wenn  man 

w-3 


setzt 


n-l 


A»,(*,T)  =  ynB 


n-l 


^•e-)-^:' 


(24) 


n-l 


Combinirt  man  diese  Resultate  noch  mit  denen  der  imaginären 
Periode,  so  ergeben  sich  ohne  weiteres  auch  die  Gleichungen  (26) 
(26)  und  (27). 

Wir  haben  damit  nach  unsrer  Methode  nicht  nur  sämmtliche 
Göring'schen  Formeln  für  den  allgemeinen  Fall,  dass  n  eine  un- 
gerade Zahl  ist,  gefunden,  sondern  auch  noch  wenigstens  für  die 
imaginäre  Periode  bedeutende  Erweiterungen  dieser  Resultate. 

Unsre  Methode  reicht  jedoch  noch  viel  weiter,  wir  erhalten  völlig 
neue  Relationen,  wenn  wir  nun  auch  die  Ausdrücke  für  die  übrigen 
Goefficienten  vergleichen,  und  zwar  zunächst 

b)  die  für  die  Goefficienten  x^  und  a*n-i. 


Müller:  Zur   Transformation  der  Theta/unctionen.  201 

«)  Für  die  imaginäre  Periode  ergeben  sich  so  folgende 
BedehoDgen: 

l    )    »  / L_  (  ^o"     o„"\ 

=  65ib?  1^«^"-  §-')  -  ((V- V)-(0.'-0,.))} 

Ganz  ähnliche  Ausdrücke  ergeben  sieb  für  die  Summen  der  Pro- 

ducte  der  Quotienten  zu  je  — s" »   ^*®  s^®  ^'^  ^^^  dritten  Werten 
f&r  die  Coefficienten  x^  und  g»-!  enthalten  sind.    Da  man  diese  je- 

(ioch  direct  aus    den    obigen  erhält,    wenn    man    respective   mit 
^*  — 1 QtT  oder  Ilh  — :; ^   multiplicirt  und  diese  Pro- 

13» 


1 


202  MülUr:  Zur  Transformation  der  Thetafundionen. 

dacte  rechts  nach  a)  dnrch  die  transformirten  ThetafanctioBen  mit 
dem  Argament  0  ausdruckt,  so  will  ich  sie  hier  nicht  noch  spedell 
angeben. 

ff)  In  gleicher  Weise  folgen  für  die  reelle  Periode  fol- 
gende Relationen: 


9 


JO 

•*»^ 


6^!5(-¥-8-("'<°''+<'.')-<».*+».'))! 


a 

Sk 

1 


w— 1 


■|ve 


'  •■<. 


In  diesen  letzten  sechs  Gleichungen  ist  überall  O«  —  ^«(0,  nx) 

and  ^a  —  *a(0,  t),  während  in  b)«)  0«  =  ^«  f  0,  ^^  j    und    ^«  - 
<^«(0,  t)  ist. 


MülUr:  Zmt  7raiM/pnMKuMi  dtr  TktUkfikrwHoiim,  203 

Diese  Formeln  finden  sich  nicht  mehr  in  der  Göring'Bchen  Ab- 
budlQDg,  wohl  aber  gelangt  man  dnrch  SpecialisimDg  der  von  Herrn 
Dr.  Herstowski  in  seiner  Inangural- Dissertation  §  3  (6)  — (17)  auf- 
gestellten Relationen  zn  ganz  ähnlichen,  jedoch  nicht  mit  diesen 
identigchen  Formeln.  Es  sind  dies  die  schon  von  Herrn  Prof.  Eron- 
ecker  angegebenen  Formeln.  —  In  obigen  Gleichungen  tritt  ansser 
den  Teilwerten  der  Thetafnnctionen  und  den  transformirten  Theta- 
fimctioncn  noch  jener  die  zweiten  Ableitungen  derselben  enthaltende 
Aosdrnck  auf.  Diesen  zn  entfernen  ist  im  Allgemeinen  nicht  mög- 
lich, wenigstens  nicht  auf  dem  hier  eingeschlagenen  Wege;  für  die 
spedeUen  F&lle  jedoch  können  wir  obige  Summen  rational  durch  die 
transformirten    Thetafnnctionen    allein    ausdrticken,    da   wir   dann 

<*ör  ■"  *  ^  ^^"^  <iiö8ö  Grössen  darstellen  können.    Z.  B.  ist 
flir  »  =  3 

^  ^>o(Ö,3T)'--a;;^T)  -  -  2;.»^«^30,03  «... 
ftr  n««5 

V(0,5t)       V(0,  T)        1 
^  ^(0^57)  -  ^^,1)  ^  15''  ^^(^«  +^3  ^'-^^«  +^«  ''  •"  •  •  • 

Können  wir  nun  auch  die  einzelnen  Summen  nicht  allein  durch 
Thetafunctionen  mit  dem  Argument  0  ausdrücken,  so  können  wir 
doch  Relationen  z?dschen  diesen  Summen  aufstellen,  in  denen  ausser- 
dem nur  noch  Thetafunctionen  mit  dem  Argument  0  auftreten.  Ich 
will  mich  hier  auf  die  der  reellen  Periode  und  auf  die  der  imagi- 
nären Periode  beschränken,  in  denen  die  Teüwerte  derselben  zwei 
Thetafunctionen  vorkommen,  und  auf  solche  zfdschen  der  reellen  und 
iiDsginären  Periode  unter  einander,  für  die  ein  gleiches  statt  hat. 
Offenbar  kann  man  auch  zwischen  allen  übrigen  Relationen  aufstellen, 
WI8  unmittelbar  klar  ist,  wenn  man  bedenkt,  dass  die  Gleichungen 
bestehen 

/  V(0,  nr)      V(0,  T)\        /   V(0,nt)_V(0,t)\ 
\  ^(0,  fif )        ^8(0,  T)  ;  ■"  V"  Oo(0,  nt)       <^o{0,  T)  / 

—  n\nO^*'  —  ^,*),   etc. 

Man  findet  so  durch  Elimination  der  zweiten  Ableitungen  fol- 
gende Beziehungen: 


;7m-  -evv*"*^^»*'^"'''*^"^*'*'*"*'*^ 


204  Müller:  Zur  Transformation  der  Utetafunctionen. 

wobei 

ö«  —  ^«(0,  nr)    und    ^«  «  ^«(0,  t) 
ist;  ferner 


WO 

ist 

Um  nun  Beziehungen  zwischen  den  Summen  der  Teilwerte  der 
reellen  und  imaginären  Periode  für  £==>  0   herzustellen,    mOssen  wir 

t 
noch  in  den  Gleichungen  für  die  imaginäre  Periode  statt  -    t    ein- 
führen; dann  nehmen  die  in  denselben  auftretenden  Ausdrücke  die 
Form  an«  es  wird 

^.  (ä^,  Tj  — ^«(Af,nr),     0.  =.^„(0,  t)    und    *«  =  ^.(0,  nx) 


Müllen  Zur  Transformation  der  Theta/unctionen.  205 

Es  ist  dann  also  0„  der  Imaginären  Periode  gleich ,  ^a  der  re- 
eDen  Periode  und  ^a  der  imaginären  Periode  gleich,  O^  der  reellen. 
Yertaascht  man  deshalb  in  den  Ausdrücken  der  imaginären  Periode 

Ob  und  ^a  und  eliminirt  dann  n  7^^ ■  "  ,  so  erhält  man 


H-l        ,/Ä  \  H--1 


nr) 
n— 1 


{n(0,*+0,*)  +  (V+V)} 


und  analog  f&r  die  andern  Summen. 

c)  Gehen  wir  jetzt  noch  einen  Schritt  weiter  und  untersuchen, 
welche  Relationen  sich  ans  der  Yergleichung  der  Ausdrücke  für  die 

Coefficienten  «3  und  «n-s  ergeben,  so  erhalten  wir 

2 

a)  für  die  imaginäre  Periode. 


^M 


206  Müller:  Zur  Trana/ormrHon  der  Thetafunelionen. 

v(>--^>,(.^) 

*<^,*  \8»*  \o, -""»,; -r  12««  V ö,  ""« J 


ft 


0 


-  ^(V+*«*)[(o«*+o,«)-(V+V)] 

- 1^  [(Oo'»+4Ö„*0,«+0,8)-(V+(10»-6)»o**.*+*,»)]} 

V(>I^>.<>--:^) 

"WWvo,     "*, y  12»»  Vo,    **, y 

-  ~  (V-V)[(V-o,*)-(V- V)] 

-  jIö  C(Oo«  -  40o*0,«+0,'')  -  (V  -  (10«-6)V^,*+ *,»)]} 

Ganz  analoge  Formeln  ergeben  rieh  ftkr  die  Summe  der  Prodncte  m 
je  — ö~  nach  den  dritten  Aasdrücken  für  die  Goefficientendc^ondaE!»-^ 


MülUn  Zur  Transformation  der  Thetafunciionen.  207 

dieselben  iintencheiden  sich  von  den  obigen  nur  durch  die  Factoren 
Tor  den  gewundenen  Klammern  nnd  entstehen  aas  ihnen   einfach 


<^'=?)     „  'K^'^ 


durch  Mnitiplication   mit  Ilh  — y ^tv  ^^V*  ^  — )>  ^    qJT, 

In  allen  obigen  Gleichungen  ist  die  Summe  nach  h  und  k  zu 

» — 1 
nehmen  von  1  bis  —k~    und  zwar  muss  *  für  jeden  Wert  von  h 

alle  Werte  von  ä  -J- 1  Ws  — ^-^   durchlaufen ;  femer  bedeutet  flberall 


0.  ^«(o,  ^-^),  ^«  ^«(0,  T). 


^   Auch  die  Beziehungen  far  die  reelle  Periode  haben 

eine  ganz  ähnliche  Form,  und  will  ich  mich  deshalb  damit  begnügen, 
die  zwei  ersten  anzugeben: 


*,V  18«*  V    Oo   ~  *«  /  "^''      6«»      V*  0^-»^  ) 
12»«  V  Oo       *o  / 

-  4<*«*+V)K(0,«+o,*)_(v+*3*)] 
~il»['*^^«*'+*^«*^«*+  Oj»)-  (V+(io»-6)*,*»,*+ V)]} 

Diese  Formeln  oder  auch  ihnen  ähnliche  habe  ich  nirgends  ge« 
fsnden. 


LQ|t  man  diMelbea  nun  wieder  als   Ausgang^leichungeB  zu 


208  Müller:  Zur  Transformation  der  Thetafunetiomen. 

Grunde,  so  kaDn  man  ans  ihnen  wieder  eine  Menge  Relationen  her- 
leiten, welche  die  Beziehungen  zwischen  diesen  Summen  unter  sich 
und  zwischen  diesen  und  den  früheren  Summen  angehen. 

Diese  alle  aufzustellen,  würde  jedoch  zu  weit  führen,  und  will 
ich  hier  nur  je  eine  für  die  reelle  und  imagiuAre  Periode  vorführen, 
um  zu  zeigen,  wie  sich  dieselben  gestalten.    Es  ist  z.  B. 

-  Y2  (V  +  *s*>  [«'W  +0»*)  -  (*o*+ V)] 

-  1^ MV -600*0»*+  03»)-(V-6W+V)]  } 

i_  ((Qo*+o»*)-(»o*+v)  fgi     v\ 

"VVl  12«»  VO,    ~"*,y 

-  ä(V+V)[(Oo*+  03*)-(V+V)] 

-  i^[(0o»-60o*0,*+  0,8)  -  (V-6*o*V  + V)]  } 

Hier  treten  also  schon  in  diese  Beziehungen  die  zweiten  Ab- 
leitungen der  Thetafunctionen  ein.  Nimmt  man  aber  noch  die  früheren 
Summen  hinzu,  so  kann  man  dieselben  auch  hieraus  eliminiren  und 
bekommt  dann  rationale  Beziehungen  zwischen  zweien  dieser  letzteren 
Summen,  einer  der  früheren  und  den  transformirten  Thetafunctionen 
mit  dem  Argument  0.  Man  kann  die  zweiten  Ableitungen  aber  auch 
allein  durch  eine  oder  mehrere  der  früheren  Summen  eliminiren  und 
so  rationale  Beziehungen  zwischen  einer  von  diesen  Summen  und 
einer  oder  mehreren  der  früheren  herstellen. 

In  gleicher  Weise  könnte  man  nun  weiter  gehen  und  die  Coef- 
ficienten  x^  und  xn~-5 ,  x^  und  xn-i ,  . .  .  auf  zweifache  Weise  ans- 

drücken,  und  würde  so  zu  Sununen  von  Producten  zu  je  3  oder  je 


Müller:  Zur  Transformation  der'  Thetafunctionen.  209 

~9~j  ZU  je  4  oder  je  ^  ,  .  .  •  der  Quotienten  der  Teilwerte  ge- 
langen immer  ansgedrtlckt  durch  die  Thetafunctionen  für  die  Null- 

Od'       ^a ' 
werte  des  Arguments  und  zunächst  durch  Potenzen  von  t^  ^ «^r~> 

da  man  diese  aber  stets  mit  Hülfe  der  früheren  und  der  gleichartigen 
Sammen  eliminiren  kann,  wird  man  alle  Suromen,  zu  denen  man 
gelangt,  rational  durch  alle  gleichartigen  und  niederen  Summen  und 
die  transformirten  Thetafunctionen  ausdrücken  können. 

Fassen  wir  schliesslich  Alles  zusammen,  so  ergiebt  sich : 

n— 1 

1)  Allgemein  kann  man  nur  die  Producte  der     ^      verschiede- 

DCü  Teilwerle  der  Thetafunctionen  durch  die  Thetafunctionen  selbst 
mit  dem  Argument  0  ausdrücken. 

2)  Rationale  Beziehungen  zwischen  gleichartigen  Summen,  nur  in 
Thetafunctionen  mit  dem  Argument  0  ausgedrückt,  kann  man  lediglich 
für  die  Summen,  welche  man  aus  den  Coefficionten  X2  und  srn-i  er- 

hält,  aufstellen. 

3)  Alle  höheren  Summen  kann  man  durch  alle  niederen  Summen 
und  die  Thetafunctionen  für  das  Argument  0  rational  darstellen, 
hierbei  können  auch  Summen  gleich  hohen  Grades  auftreten,  jedoch 
nicht  ausschliesslich. 


§  3. 

Für  den  spcciellcn  Fall  n  =  3  erhalten  wir  die  wichtigsten 
Formeln  unmittelbar  durch  Specialisirung  der  allgemeinen,  und  zwar 
kommt  hier  nur  die  erste  Reihe  der  allgemeinen  Untersuchungen  in 
Betracht,  die  sich  auf  die  Coefficienten  a-,  und  a-n+i  =  a-j  beziehen. 

Specialisirt  man  so  die  Formeln  §  2.  a)a),  so  folgen  die  Be- 
zichangen für  die  imaginäre  Periode 

e      *fl(r,  3t+8|)  =  y  »^[~^ J 

§  2.  (11)1-4. 
^L  1.  lutk.  «.  Phjii.    2.  Beihe,  Teil  I.  14 


210  Mull  er:  Zmr  Ihtns/armation  Her  ThttafuneUonen 

§  2.   (11)1-4. 

r,,.,3,+«,-v^-(**^.)* 

wobei 

0««^a(0, 3T+8e)    nnd    ^a^^Jjd.r) 

ist.    Fttr    (»0   sind   diese    Gleichungen    mit   den    ersten    vier 
Gleichungen  Göring  §  2.  (11)  identisch. 

In  gleicher  Weise  folgen  ans  §  2.  a)/?)  für  n  -»  3. 


(11)6-8 


».<».  •)  -  VW,  (^)* 

Zu  diesen  Gleichungen  gelangt  man  für  diesen  speciellen  Fall 
n  »  3  auch ,  wenn  man  statt  der  Jacobi'schen  Gleichungen  Tabelle 
(A),  welche  ja  bei  den  allgemeinen  Betrachtungen  hinzugezogen  sind, 
die  der  Tabelle  (C)  zu  Hülfe  nimmt.     Setzt  man  dort  in  den  Glei- 

T—8? 

chungen  6,  4  und  2  aj  =  y  «  J  resp.  =     ^       nnd   eliminirt    dann 

nach  den  Gleichungen  fttr  die  Quotienten  der  Producte   der   Teil- 
werte ,   welche  sich  in  dem  Fall  n  »  3   auf  Quotienten  zweier  ein. 

so  ergeben  sich  zunächst  die  auch  nicht  ganz  unsymmetrischen  For- 
meln: 


n%% 


V— 1«      ^i(t,  3t)  =  O^  (ä^«^3«  —  0,«0s«)* 
e  3  ^0(1^,  3t)  —  Oq  JÖ^TZTö^^O^^ 
e      ^j|(T,  3t)  «  ^^j  .  (^^8^g3i_  Oj^Og»)* 
e  8  ^s(^,  3t)  -  ^,  .  (^^8^^t_  o,«03«)* 


Müll  tri  Zur  Transformation  der  TketafuneHonen*  211 

Qod  ähnliche  Fonii^n  für  die  reelle  Periode.  Mit  Hülfe  der  Glei- 
chnngeo  Abschnitt  I.  §  3.  (G)  redaciren  sie  sich  anmittelbar  auf  die 
obigeiL 

Mit  dem  Gleichangssystem  (11)  sind  nun  aber  auch  sofort  die 
Systeme  (8)  und  (10)  gefunden,  sie  entstehen  ja  ohne  weiteres  durch 

Mnltiplication  der  Gleichung  für  ^^(t,  St)  resp.  0-j(^,  r)  mit  den  übrigen 
Gleichungen  derselben  Periode;  femer  folgt  auch  unmittelbar  (9),  denn 

setzt  man  in  dem  Ausdruck  für  ^^(i»  ^)  ^^  ^  o'  so  erhält  man 


».  G'  I)  -  V3  Q'r^y 


woraus  sofort  klar  ist,  dass  die  Beziehung  stattfindet 

(9)    ^i(|.  0  =*y3e^^,(T,3T). 

Auch  das  Gleichungssystem  (5)  kann  man  als  eine  Folgerung 
des  Systems  (11)  ansehen;  denn  bildet  man  ^o -^0(^931)  + ^3.^3(^,31) 
30  ergiebt  sich  uach  Göring  §  3.  (1)^  die  Beziehung 

(5)i    ^0 .  V^  3»)  +  ^3 .  h(^.  3t)  ==  ^j .  «■g(T,  3t) 

ud  ebenso  ergiebt  sich  nach  §  3.  (1)2 

Multiplicirt  man  femer  Göring  §  2.  (5)|  mit  ^i^(t,  3t)  und  setzt 
die  Werte  nach  §  2  (8)  ein,  so  kommt 

(7)    VV^2^3<^«ö7+ VVVäA^«  =  V  V^s^o^s 

and  eine  analoge  Formel  erhält  man,  wenn  man  §  2.  (6)2  mit  ^M) 
multiplicirt  und  nach  (10)  einsetzt: 

^iV^o^aOoO,  +  O3»  y  «-0^20002  =  Oo»  V^^Öl 

Hi^mit  sind  aber  sämmtliche  für  uns  in  Betracht  kommende 
Göring'schen  Beziehungen  ftlr  n  =  3  gefunden. 


§4. 

Für  den  speciellen  Fall  n  «  5  kommen  von  den  allgemeinen 

Untersuchungen  die  in  Betracht,  welche  sich  auf  die  Coefficienten 

x»^\  =■  x^^  x^  und  acn-i  =  x^  beziehen,  und  es  folgen  die  ersten  der 
2"  "z' 


212  Maller:  Zur  Transformation  der  Thetafunetio -en. 

Göring'schen  Formeln  wieder  einfach  durch  Specialisimng  der  all- 
gemeinen und  zwar 

a)  der,   welche  wir  darch  xn^i  »  x^  mit  Hülfe  des  Jacobi'scben 

Gleichungssystcmes  (A)  erhielten.  Für  den  speciellen  Fall  n  » 5 
hätten  wir  auch  statt  dessen  die  Jacobi'sche  Tabelle  (B)  hinzuziehen 
können,  es  ergeben  sich  auch  dann  ganz  eiofache  Beziehungen  ähn- 
lich denen,  welche  wir  bei  n  »  3  angegeben  haben;  jedoch  da  man 
dieselben  auch  aus  den  durch  Specialisimng  der  allgemeinen  re- 
sultirenden  erhalten  kann,  wenn  man  sie  durch  das  Gleichungssystem 
Abschnitt  I.  §  4.  (M)  umformt,  und  da  die  letzteren  noch  etwas  ein- 
facher sind,  will  ich  mich  hier  begnügen  diese  anzugeben.  Sie  lauten 
folgendermassen : 

o)  für  die  imaginäre  Periode: 

oder 

=  (16*o#,d30oO,0,)» 

Göring  S  4.  (12)  und  (8),  nach  (13) 

=  y  2  V'»s*0»*-<^o*Oo*-Vö? 

(Jöring  §  4.  (9) 
=  . . .  nach  Abschnitt  I.  §  4. 

4«'.-(.o(r,  5x+8?Wr,  5.+8E)  ^  }/|  ^|f  -  Oo»-V 

(18),  und  (3)s 


~V\ 


=  V  ^(16*o««*sOoO,0,)i 


4«'»>*,(t,  5r+8?)*,(2t,  5T-I-8?)  =.  |/J  ^-^fß  =  (*»»-0,«) 


8     (40^0*8^3= 

(18),  und  (3)s 


|/^^^^^'(16*o*»dsOoO,Os)* 


46'»r»,(T,  5t+8?)d3(2r,  5t-|-8f)  =  j/^^  ^-(4^d*§^-  =  ^3*-0,* 

(18),  und  (3), 


)/^*^^^(16*o»»»»OoO,03)» 


Mütter:  Zur  Transformation  der  Thetafunctiontn.  213 

ß)  t&r  die  reelle  Periode. 

=  V5(16*eVsöoO,^s)* 


=  V5y23-3='y8»-2»o='Oo='-2V"!8* 


mm)  =  K§  (^S^  =  '^«^-*-^        ^'^  """^  ^'-^^ 


1/ 


^-^  (16*oV»OoO,0,)i 


"S^S 


lVi)*,(|)  =  j/g  (^^1  =  V-5  V  (1?)^  und  (51% 


Femer  folgen  noch  nnmittelbar  durch  Verglcichung  der  reellen 
aad  imaginären  Periode  fttr  (  =  0  nnter  einander 

»i(i)*i(|) V  5  e^i'^ix,  5t)»,  (2t,  5t)       (6) 

h(\)Ul)  =  §*^e'"'^(»-o(',  5t)»o(2t,  5t) 

9     3 

**(i)**(|)  =  ^f'^i^-'^  5t)dg(2t,  5t) 

H\)h<il)  =  ^o^""*"^^'  5t)»3(2r,  5t) 

Hier  bedentet  ttbcrall  *«  *a(0,  r)  und  Oa  *a(0,  5t),  ebenso  oben 
in  9),  während  in  «)  Oa  allgemein  gleich  ^«(0,  5t-|-85)  ist. 

Femer  folgen  aus  der  Form  der  obigen  Gleichungen,  welche 
Göring  nnter  (3)  und  (5)  angiebt,  die  zwischen  (5»)  und  (5*)  ange- 
gebenen Formeln: 

\(h  ^Wh  ^)  =  0„2+c^'>»-«(t,  5t)&o(2t,  5t) 

-*»(i,  »)*«(?,  *)  =  Oj='-c''"»,(t,  5t)*,(2t,  5t) 

»s(l,  »)*3(S,  ^)  =  Os^-C'-'^aft,  5t)«-3(2t,  5t) 


214  Müller:  Zur  Transformation  der  Theiafundionen, 

Hiermit  sind  sämmüiche  uns  interessirenden  Formeln,  die  GOdng 
in  §  4.  angiebt,  auf  unserm  Wege  gefunden. 

b)  Wir  gehen  deshalb  jetzt  dazu  über  die  Formeln  zu  betrachten, 
welche  sich  durch  den  Coefficienten  x^  ergeben.  Diese  könnten  wir 
nun  auch  unmittelbar  durch  Spccialisirung  aus  den  allgemeinen  ab- 

leiten,  und  es  würden  sich  jedenfalls   die  Ausdrücke  für  ^aV_^v 

sehr  gut  dazu  eignen,  um  analog  dem  im  Folgeuden  eingeschlagenen 
Verfahren  die  einzelnen  Teil  werte  zu  berechnen;  ich  habe  dies  je- 
doch schon  ausgeführt,  bevor  ich  die  allgemeinen  Untersuchungen 
anstellte,  und  dabei  hauptsächlich  die  Gleichungen  Abschnitt  I.  §  4. 
(2)  und  (3)  benutzt,  also  Gleichungen,  welche  für  den  allgemeinen 
Fall  nicht  anwendbar  sind.  Die  Resultate  müssen  ja  schliesslich 
dieselben  sein ,  wenigstens  muss  man  sie  mit  Hülfe  der  für  n  »  5 
zwischen  den  transformirten  Thetafunctionen  aufgestellten  Beziehungen 
auf  einander  reduciren  können.    Mein  Verfahren  war  nun  folgendes: 

o)  für  die  reelle  Periode. 

Zunächst  combinirte  ich  jene  Gleichungen  (2)  und  (3)  und  ele- 
minirte  daraus  den  Coefficienten  x^  —  mau  könnte  allerdings  auch 
eine  dieser  Gleichungen  zu  Grunde  legen,  jedoch  bietet  die  Combi- 
nation  den  Vorzug,  dass  die  Resultate  dann  von  vom  herein  sym- 
metrischer werden  —  ;  hierdurch  ergiebt  sich  zwischen  Xf  und  otj 
die  Relation 

oder  nach  Abschnitt  I.  §  4.  (H) 

Setzt  man  hierin  für  a^  und  a^  die  Wurzelwerte  ein,  so  folgt 

oder  wenn  man  für  ^o*(i)^o*(l)  nach  a)  seinen  Wert  einsetzt, 

W.»,'<!)+».W«)-('-A^'^^tl/|(K?+l/l) 

Würde  man  diesen  Ausdruck  quadriren  und  4^o*(i)^oM)-^i*(i)^i*(!) 
auf  beiden  Seiten  subtrahiren,  so  würde  man  auch  ftir  die  Differenz 
^o*(i)^i*(|)— ^i*(4)^o*(f)  eiö«ö  Wert  in  transformirten  Thetafunctio- 


Müller:    Zur  TransformaÜon  der  Ihelckfundionm,  215 

len  erhalten  und  somit  auch  einen  Ausdrock  für  die  einzelnen  Glie- 
der. Diese  Düferenz  erhält  man  aber  noch  leichter  durch  die  Olei- 
choQg  8.  der  Jacobi'schen  Tabelle  (G),  wenn,  man  tß  ^  \^  y^  \  setzt. 
Man  bekommt  so  unmittelbar 

V(i)*i^l)-^i*(iW(!)  =  V^,'(i)^i(!) 

Ans  diesen  beiden  Gleichungen  ei^ebt  sich  unmittelbar  addendo 
and  substrahendo 


i 


oder  wenn  man  die  Klammer  mit  Htllfe  der  Gleichungssysteme  Göring 
§  4  (18)  und  (19)  umformt 


In  gleicher  Weise  erhält  man  aus  den  Gleichungssysteraen  11. 
und  m.  _        

2Mi)*,*(!)=\ 
2»,»(i)*,*(!)= ) 


er 

=  tV^  ^^  {V{V-o»»)-«-o*(Oo*-*o*)±y5»,o,(a-,«-o,«)} 


and 


2»,«(|)>,»(!)= ) 


(?^»ö)ys{|/e+|/»^±y,y»^.} 


216  Müllen  Zur  Transformation  der  Theta/unctionen. 

" iy^vo    {V(Oo»-»o»)+*,*(V-0,*)±y5»30,(V-0,«)j 


'Ü'^2   ^3 


) 


Um  nun  die  Werte  der  einzelnen  Teilwerto  zu  erhalten,  ziehen 
wir  die  schon  im  allgemeinen  Fall  benutzte  Gleichung  hinzu: 

2«-o(«,  T)^i(ar,  t)\(T,  T)«-3(a-,  r)  =  ^2*3^1(2^,  t). 

Giebt  man  x  den  Wert  ^  und  quadiirt,  so  folgt  eine  Gleichung,  die    * 
man  auch  so  schreiben  kann 

eine  ganz  analoge  Formel,  die  hieraus  entsteht,  wenn  man  nur  die 
Argumente  J  und  |  verJauscht,  ergiebt  sich,  wenn  man  x  den  Wert 
I  giebt.  Setzt  man  in  diesen  Gleichungen  links  die  oben  gefundenen 
Werte  ein,  so  folgt  unmittelbar 

:;;:ii;ij"iei^f(^')'(i^+j/fTy6vw) 

oder 

Hieraus  ergeben  sich  nun  unmittelbar  nach  den  frflberen  Glei- 
chungen auch  die  Werte  für  die  abrigcn  Teilwertc  und  zwar  ist 


X 


X 


5.8  (40oO,07)i  boi 
{»3»(öi«-0,»)-|-»i«(V-qj»)±y  5»oOo(Oo'-V)i  * 


Müller:  Zur   Transformation  der  Thetafunctionen.  217 


oder 
°' 5.8  (40oO,08)*    0,i 

{»«'(V-Qs*)-»o*(Oo*-»'»')±V5»«Q«(V-Q»')i* 


oder 
-5.8(40,0,0,)!  03I 

X  (V(V-Ö3*)+V(V-0,'*)iy5*oOo(Oo*-*o*))X 

(MV-Os*)-*o*(  Oo*-»o?))±  V  5djOj(  V-  0,»)) 

ft  In  gleicherweise  ergeben  sich  fttr  die  imaginäre  Pe- 
riode folgende  Relationen: 

Ich  will  dieselben  hier  nur  in  der  letzten  Form  angeben  und 
zvar  folgende  Bezeichnungen  einfahren 

05»(50,*-*,*)-Og«(V-50,»)±*oOo(50o»-V)  resp.  =  A'  od.  A" 
0,'(50o«-*o*)+0.«(50,«-<^,«)+»,0,(V-50g«)  resp.  =  B'  od.  Bf' 
o,«(50,«-*o»H-Og«(V-50,»)±<^A(50s«-»8*)  resp.  =  C  od.  C" 

wobei  (Ar  j1',  B'  und  C  das  obere  Zeichen  gut  und  für  A",  Bf' 
and  C"  das  untere. 

Wir  erhalten  so  folgende  einfache  Gleichungen: 

1  /O4  0.  Oo    ., 


2^8 


218  Müller:  Zur  Transformation  der  Thetafunclionen. 

-2^-'^x«(T,  5t)V(2t,  5t)  «  ij/^-  ^^A" 
-2e2^«^^82(T,  5t)^i«(2t,  5t)  =»  if/^'^'  |^^' 


o^s  ^a 


— 2e2^«Tr^^«(T,  5t) V(2t,  5r)  —  J 


ferner 


-2e2«»'V(^,  5t)^,«(2t,  5t)  =  i}/f|^  ^  C' 
-2^-^^,»(T,  5t)  V(2t,  5t)  =  ij/^*  ^'C" 

^-V0(r,5T)==--4|^^^J 

2^.2...o  to(,  5t)  -  ^-  ^^M^O^^L  Öol  _^ 

2*^-^^.i0(,   5,)  «  1  (40oO.Q.)V  O^  _B'\ 
ze-     9^    (T,  öT;«g    (4d'o^,^8)J  ^«i  A'C 

Ganz  analoge  Ausdrücke  erhält  man  für  ^a(2T,  5t)  ,  dieselben 
unterscheiden  sich  von  diesen  nur  dadurch,  dass,  wo  hier  X'  steht 
dort  X"  stehen  muss  und  umgekehrt. 

Von  allen  diesen  Beziehungen,  welche  wir  streng  nach  unserer 
Methode  erhalten  haben,  findet  sich  bei  Oöring  keine  einzige,  und  es 
ist  auch  das  schliessliche  Resultat  für  die  einzelnen  Teilwerte  bei  ihm 
ein  anderes  als  das  unsrige.  Jedenfalls  aber  wird  man  unsere  Aus- 
drücke auf  eine  der  vier  von  Göring  angegebenen  verschiedenen 
Formen  reduciren  können.  Jedoch  würde  es  sehr  umständlich  sein 
auf  diese  Weise  aus  unsren  Gleichungen  die  Göring'schen  abzulei- 
ten; ich  versuchte  daher,  ob  ich  nicht  dadurch,  dass  ich  in  den 
Gleichungssystemen  F  dem  Argument  x  bestimmte  Werte  beilegte, 
direct  die  Bemühungen  herleiten  könnte,  die  Göring  in  §  5  augiebt, 
jedoch  waren  alle  diese  Bemühungen  ohne  Erfolg;  ich  fand  dabei 
aber,  dass  man  mit  Hülfe  der  in  a)  aufgestellten  Relationen  sehr 
einfach  aus  den  Formeln  der  Jacobi'schen  Tabelle  (C)  diese  Be- 
ziehungen erhält,  wie  folgt: 


Müller:  Zur  Tremsformation  der  ITketqfunctionen.  219 

Setzt  man  in  der  fünfzehnten  Gleichung  der  Jacobi'schen  Tabelle 
(G)  a;  -»  I,  ^  «»  5,  80  nimmt  sie  die  Gestalt  an 

Setzen  wir  rechts  für  die  Prodncte  ^a(i).^o(l)  die  Werte  ein, 
so  ergiebt  sich 

oder  nach  Abschnitt  I.  §  4.  (H) 

i5)j     «(y50o-^o)(V5Ö3+^3) 
Setzt  man  a;  »  ^,  ^  *=*  l?  so  folgt  ganz  analog 

(5),    4^oa)^3(l)  =  (y50o+^)(V503-^3) 

In  gleicher  Weise  ergeben  sich  aus  (C}i4  (6)3  und  (^  nnd  ans 
(C)i3  (5)5  und  (5)e.  "~ 

Setzt  man  für  x  nnd  ^  resp.  r  und  X)  ^^  erhält  man  ganz 
analog  die  Relationen  für  die  imaginäre  Periode  §  5.  (3). 

Nachdem  es  so  gelungen  ist  auf  einem  von  Göring  abweichen- 
den Wege,  ohne  Hülfe  der  Schröter'scheu  Arbeiten,  die  Gleichungen 
berzustellcn ,  von  denen  Göring  ausgebt,  um  die  einzelnen  Teil  werte 
allein  durch  die  transformirten  Thetafunctionen  auszudrücken,  können 
wir  im  übrigen  seinen  sehr  hübschen  Entwicklungen  folgen  und  be- 
kommen so  ganz  elementar  fünf  verschiedene  Darstellungen  für  die 
Teilwerte.  Zu  diesen  kommt  nun  noch  als  sechste  die,  welche  wir 
streng  nach  unsrer  Methode  erhalten  haben. 

Nachdem  ich  nun  nachgewiesen  habe,  dass  auch  für  die  speci- 
ellen  Fälle  »  =  3  und  »  =  5  nnsre  Methode  nach  jeder  Richtung 
hin  branchbar  ist,  will  ich  für  jetzt  die  Arbeit  hier  abschliessen. 
Offenbar  wird  sie  auch  für  höhere  Fälle  7i  »  7  etc.  ausreichend  sein, 
<la  ja  immer  eine  grosse  Menge  Bestimmungsgleichungen  zur  Yer- 
fügUDg  stehen. 


220  MiscelUn. 


XL 


Miscellen. 


1. 

Zur  Polaritfttstlieorie  des  Ihreiseites. 

J  sei  das  Inkreiscentram  des  Axendreiecks  ABC.  AJ  treffe  JöC 
in  Ja-  Q^qaqhqc  Sei  ein  beliebiger  Punkt  in  der  Dreicckebone. 
AQ  treffe  BC  in  Qa.  Qb  Qc  schneide  AJa  in  tt.  W  liege  zu  J'a  be- 
züglich A'H  harmonisch. 


Wir  finden: 

06  — ga 

0 

qc 

Qc^qa 

qb 

0 

QbQc  =  —  qbqc 

qcqa 

<2a96 

AJ—         0 

1 

—1 

fi  —  qaqb-i-qeqa 

qbqc 

qbqc 

Verbinden  wir  die  Pnnkte  J?,  C  mit  -4  und  ?I ;  so  trifft  die  Ver- 
bindungsgerade  der  Schnittpunkte 

(BA,    C«),  (JBH,    C^) 

die  .^«/a  in  9'.    Es  ist: 

Ä^=            0  0               1 

C9L^—'qbqc         qaqb-^-qcqa         0 

CA=              0  1                   0 

J58  =  —  <Z63c  0         qaqb-i-qeqa 


MiseelUn. 


221 


Somit  erhalten  wir: 

(BA,     CSi)  =  qaqh']-qcqa        qtqc  0 

(B«,     CÄ)  =  qaqb  +  qcqa  0  qbqc 

Die  Verbindungsgerade  dieser  Punkte  hat  die  Form: 

—  qtqc         qaqh  +  qcqa         qaqb  +  qcqa 


Sie  trifft  die  AJa  in 

V  =  2qaqh  +  ^qcqa         qtqc 

Die  «'  liegen  in  einer  Geraden,  wenn 

2^a56+23c^a  qbqc 

qcqa  2qbqc  +  2qaqb 

qaqb  qaqb 


qbqc 


I 


qbqc 

qcqa 


0 


Man  findet: 

2qbqe-\-2qcqa-\'2qaqb  qbqc  qbqc 

^  =      2g6  qc  +  2qc  qa  +  2ga  ^6  2<Z&  ^c  +2(?a  3»     qc  2« 

2g6  gc  +  2qe  qa  +  2ga  «fe  qa  qb         2qe  qa+2qbqe 

\1  qc  qb 


2qbqc^bqc 


1     2qc+2qa 
1  qa 

1  qc 


qa 

2qa  +  2qh 

qb 


=  2qbqc£qbqc 


0     qe-\-2qa       qa  —  qb 
0       qa^qc     2qa-\-qb 


o  y  qe+2qa     qa  —  qq 

^^2qjbqc£qbqc'  ^      9^  J_^. 

qa — qc     ^qa^X-qb 

=  6^«  qb  qe^qb  qc .  ^qa 

Die  Cmre 

XaXhXc^Xa^XbXc  =  0 

zerftDt  in  die  Geraden 

a?a  =  0,         JTft  =  0,        a:c  =-  0, 
die  Axen  des  Coordinatensystems, 

die  Hormonikale  von  J  und  in  den  Kegelschnitt 


22a  Miscellen. 

ZxhXc  «-  0, 
dio  konische  Polare  von  J. 

Den  Ort  der  Punkte  Q ,  für  welche  die  tt'  in  einer  Geraden 
liegen,  bilden  also  ausser  den  Dreieckseiten  die  gerade  und  konische 
Polare  des  Inkreiscentrums. 

Durch  Projection  erhalten  wir  folgenden  allgemeinen  Satz: 

P,  Q  seien  zwei  Punkte  in  der  Ebene  des  Dreiecks  ABC,  AP, 
AQ  treffen  BC  in  Pa,  CU^  QhQc  schneide  APa  in  ^J.  «1'  liege  zu 
Pa  bezüglich  ASSi  harmonisch.  Die  W  liegen  in  einer  Geraden,  wenn 
Q  auf  der  geraden  oder  konischen  Polare  des  Punktes  P  bezüglich 
des  Dreiseites  ABC  liegt. 

Wien,  März  1884. 

Emil  Hain. 


2. 

Bemerkung  eu  einer  Dreieeksaufgabe. 

Der  von  Herrn  Jackwitz  im  67.  Bande  des  Archivs,  S.  336,  be- 
handelten Aufgabe: 

„Durch  einen  gegebeneu  Punkt  P  eine  Gerade  zu  ziehen, 
welche  die  Schenkel  eines  gegebenen  gleichschcukeligen 
Dreiecks  so  schneidet,  dass  der  obere  Abschnitt  auf  dem 
einen  gleich  dem  unteren  Abschnitt  auf  dem  anderen 
Schenkel  ist", 

lässt  sich  noch  durch  folgende  Betrachtung  eine  interessante  Seite 
abgewinnen. 

Sieht  man  zunächst  von  der  Bedingung  ab,  dass  die  gesuchte 
Gerade  durch  den  festen  Punkt  P  gehen  soll,  und  fasst  man  alle 
diejenigen  Geraden  ins  Auge,  die  der  anderen  Bedingung  genügen, 
so  umhüllen  dieselben  bekanntlich  eine  Parabel-,  die  Aufgabe  ist 
also  darauf  zurückgeführt,  an  diese  Parabel  von  einem  gogebenen 
Punkte  die  Tangenten  zu  ziehen. 

Es  ist  nun  in  der  Tat  möglich,  diese  Aufgabe  mit  Lineal  und 
Zirkel  zu  lösen,  ohne  die  Parabel  selbst  zu  zeichnen. 

Ist  (wie  a.  a.  0.)  BC  die  Grundlinie,  A  die"  Spitze  des  gegebe- 
nen Dreiecks,  und  sind  wieder  D  und  E  die  Mitten   der  gleichen 


MiscelUn.  223 

Schenkel,  so  gehört  DE  zu  den  einhüllenden  Geraden  und  ist  die 
Scheiteltangente  der  Parabel;  die  Parabelaxe  ist  die  Höhe  AH^  ihr 
Scheitel  die  Mitte  S  derselben.  Auch  AB  nud  ^C  genügen  der  ge- 
gebenen Bedingung,  sind  also  Tangenten ,  and  HB  und  HC  sind  die 
Ordioaten  ihrer  Berührnngspunkte ,  weil  SH=zSA\  mithin  sind  B 
und  C  selbst  Parabelpunkte.  Schneidet  das  in  C  auf  CA  errichtete 
Lot  die  verlängerte  AH  in  Q,  so  ist  HQ  als  Subnormale  gleich  dem 
üalbparameter,  der  Brennpunkt  ist  also  der  Schnittpunkt  der 
Höhe  mit  der  Mittelsenkrechten  DCvon  AC^  d.h.  er  ist  der  Mit- 
telpunkt des  Umkreises  von  ABC 

Beachtet  man  nun,  dass  jede  Tangente  der  Parabel  das  vom 
Brennpunkte  auf  sie  gefällte  Lot  auf  der  Scheiteltangente  DE  trifft, 
so  zeigt  sich,  dass  ein  zweiter  Punkt  Z  der  gesuchten  Tangente 
derjenige  ist,  in  dem  der  über  PO  als  Durchmesser  beschriebene 
Kreis  die  Gerade  DE  schneidet. 

Somit  ergiebt  sich  folgende  Gonstruction: 

Man  verbinde  die  Mitten  D  und  E  der  gleichen  Seiten  des  ge- 
gebenen Dreiecks,  bestimme  den  Mittelpunkt  O  des  Umkreises  und 
zeichne  den  Kreis,  der  PO  zum  Durchmesser  hat.  Schneidet  DE 
diesen  Kreis  in  den  Punkten  Z^  und  Z^^  so  lösen  die  Geraden  PZ^ 
and  PZ^  die  gestellte  Aufgabe. 

Was  die  Determination  betrifft,  so  ist  die  notwendige  Be- 
dingung, dass  P  ausserhalb  der  Parabel  liege.    Die  Scheitelgleichung 

derselben  ist,  wie  leicht  ersichtlich,  y^  ==  -7—,  wo  a  die  halbe  Grund- 
linie, h  die  Höhe  des  Dreiecks  bedeutet.  Die  Coordinaten  von  P 
müssen  also  der  Bedingung  y^  ^  -r-  genügen. 

Lässt  man  als  Lösungen  der  Aufgabe  auch  die  Tangenten  gelten, 
die  erst  die  Verlängerungen  der  Dreiecksschenkel  in  der  geforderten 
Weise  schneiden,  so  gibt  es  bei  Erfüllung  der  angegebenen  Un- 
gleichheit, die  durch  eine  einfache  Gonstruction  zu  untersuchen  ist, 
stets  zwei  Gerade,  die  im  Grenzfall  (wo  P  auf  der  Parabel  liegt, 
z.B.  in  iS)  zu  einer  einzigen  zusammenrücken.  Man  übersieht  ferner 
leicht,  dass  man  zwei  Lösungen  im  engeren  Sinne  erhält,  wenn  P 
innerhalb  des  Winkels  BAC^  zwei  Lösungen  im  weiteren  Sinne,  wenn 
P  in  dem  Scheitelwinkel  desselben  liegt,  während  jeder  Punkt  P 
innerhalb  eines  der  Nebenwinkel  zwei  Lösungen  verschiedener  Art 
liefert. 


224  MiseelUn, 

Die  oben  gefundene  Gonstruction  lässt  sich  übrigens  auch  ohne 
Eegelscbnittsbetrachtungen  begründen;  die  betreffenden  Gedanken 
unterscheiden  sich  nur  wenig  von  denen,  die  zu  der  von  Herrn  Jack- 
witz gegebenen  Lösung  führen. 

Berlin,  April  1884. 

Heinrich  Simon. 


Santo:    Ueber  Projeetivität  und  partielle  Differentialgleichungen  etc.    225 


Xll. 


Ueber  Projeetivität  und  partielle 
Diflferentialgleichungen  in  der  Geometrie. 


Von 

Th.  Sanlo. 


Das  Fandament  der  Geometrie  in  ihrem  rationellen  Aufban  bilden 
seit  Steiner  CSystematiscbe  Entwickelung  der  Abhängigkeit  geome- 
trischer Gestalten")  die  Begriffe  der  Projeetivität  der  Punktreihen 
und  der  StrahlbOschel.  Will  man  diese  Begriffe  mit  Steiner  geome- 
trisch definiren,  so  geschieht  das  bekanntlich  mit  Hilfe  der  auf  reiner 
Anschaaang  beruhenden  Vorstellungen  der  Perspectivität  und  Con- 
gmenz.  (Man  verschiebt  ein  Gebilde,  zum  Beispiel  eine  Pnnktreihe, 
ohne  Veränderung  der  Form  ihres  Trägers  und  der  gegenseitigen 
Lage  ihrer  Elemente;  eine  derartige  Verschiebung  involvirt  den  Be- 
griff der  CoDgrueuz).  Die  analytische  Geometrie  ermöglicht  eine  in 
gewisser  Hinsicht  dircctcre  Definition  der  Projeetivität. 

Seien  x  und  $  die  Abstände  zweier  entsprechender  Punkte  P,  11 
der  beiden  Punktreihen  von  zwei  bestimmten,  übrigens  beliebigen 
Punkten  0,  0'  derselben,  weiche  keineswegs  entsprechende  Punkte 
za  sein  braachen,  so  sind  die  Punktreihen  dann  projectivisch ,  wenn 
zwischen  den  Abständen  ar,  £  eine  lineare  Relation 

besteht 

DrfldLt  man  durch  Auflösung  dieser  Gleichung  nach  x  letzteres 
durch  £  «u,  so  erhält  man  für  x  eine  Function  von  derselben  Form ; 


226 


Santo:   ütbtr  ProjedivUat  und  partielle 


auch  durch  YerschiebuDg  der  Coordinatenanfangspunkte  0,  0'  auf 
ihren  Trägern  wird  die  allgemeine  Form  dieser  Relation  nicht  ver- 
ändert 

Ich  will  nun  sofort  zur  analytisch-geometrischen  Definition  der 
Ptojectivität  geradliniger  Strahlbüschel  übergehen,  da  die  Pro- 
jectivität  der  Strahlbüschel  die  Basis  der  folgenden  Betrachtungen 
bilden  wird. 

Seien  0,  0'  die  Mittelpunkte  der  beiden  Strahlbüschel ,  a  und  a 
zwei  beliebige  Anfangsrichtungen,  von  welchen  aus  mau  die  Winkel 
zählt,  und  welche  keineswegs  entsprechende  Strahlen  zu  sein  brau- 
chen, p,  n  aber  zwei  entsprechende  Strahlen.  Bezeichnet  man 
nun  die  trigonometrischen  Tangenten  der  Winkel  (ap),  {a%) 
respective  durch  t  und  t,  so  sind  die  Strahlbüschel  dann  perspeoti- 
visch,  wenn  zwischen  i  und  t  eine  lineare  B<'lation 


T  = 


besteht. 


Anmerkung.  Hier  liesse  sich  die  Theorie  der  Doppelverhftltnisse  und 
ihrer  bcsondcm  Fftlle,  also  namentlich  der  harmonischen  Teilung,  anschlicssen. 
Will  man  nftmlich  die  Gleichung  der  Projectivitftt  durch  Paare  cntsprehender 
Strahlen  ausdrücken,  so  ist  aus  der  Anzahl  der  Coefliclenten  klar,  dass  drei 
Paare  enisprechender  Strahlen  gegeben  sein  müssen,  um  die  Coefflcienten  der 
Gleichung  zu  bestimmen.  Nennt  man  die  trigonometrischen  Tangenten  dcrWinkel, 
welche  diese  Strahlen  mit  zwei  beliebigen  Anfangsrichtungen  bilden,  respectire 
1«  's«  's  vn<l  ^1*  ^s*  ^sf  ^^^  ^^B  vierte  Paar  wieder  /,  r,  so  findet  man  die 
Gleichung  der  Projectivitftt  sofort  in  der  Form: 


'^, 

t, 

1^1 

1 

h'^11 

«11 

^1» 

1 

<jjTj, 

^1 

^21 

1 

'8^81 

h. 

^8. 

1 

=  0 


Durch  Umformung  vermittelst  der    bekannten  Determinantensfttzo  reducirt  sich 
diese  Gleichung  auf  die  überraschend  einfache  Form: 


t  —U     t  —U 


T  —  T, 


r  — T« 


h-h 


T,— r« 


Tg  — T 


8 


Die  Function  auf  jeder  Seite  des  Gleichheitszeichens   ist  das  sog  nannte  Dop* 
pelverh&ltniss  oder  anharmonische  Function. 

Vier  Paare   entsprechender   Strahlen  zweier  perspectivischer  StrahlbQichel 
haben  also  gleiches  Doppelverb&ltniss. 


hifftrentialgUichungen  in  der  Geometrie,  227 

Diese  Relation  besitzt  analog  der  für  Paoktreihen  geltenden  die 
merkwürdige  Eigenschaft,  dass  bei  YeränderuDg  der  Aiifangsrich- 
toogen  a,  a\  von  welchen  aus  man  die  Winkel  rechnet,  die  lineare 
Form  bestehen  bleibt;  es  ist  dieses,  wie  man  leicht  sieht,  eine  Folge 
der  so  überaas  einfachen  [rationalen  und  in  Beziehung  auf  Jeden  der 
beiden  Bestandteile  linearen]  Form  des  Additioustheorems  der  Func- 
tion tangci.8,  wodurch  sich  diese  vor  den  Functionen  siuus  uud  co- 
sions  auszeichnet;  der  innere  Grund  dafür,  dass  die  projectivische 
Beziehung  der  Strahlbüschel  gerade  durch  die  Function  tangens  dar- 
gestellt wird.  Uebrigens  kann  man  sich  bei  dieser  Darstellung  an 
Stelle  der  Tangente  auch  einer  allgemeinem  Function  bedienen, 
welche  im  Wesentlichen  denselben  Charakter  hat. 


Besieht  man  die  Winkel  jedes  Struhlbüschcls  anf  eine  nnderc  Anfangs- 
richtnug,  so  Andern  sich  die  Werte  der  /  und  r,  und  man  bat,  \7cnn  man  die 
nenen  von  den  alten  dnrcb  einen  Strich  unterscheidet: 

t'  —k  L'  —  k 


a.  u  w.    Die  Substitution  dieser  Werte  in  die  anharmonischo  Function  crgiebt 

'  ""  ^    .  ^  ~^  __  ^'    ~^/  .   ^'  —  h' 

t|  — ^3         t^ — ig         t-^  ^3  t^  ^3 

Der  Wert  des  Doppel  Verhältnisses  ist  demnach  unabhängig  von  der  Anfangs- 
richtong,  auf  welche  man  die  Winkel  bezieht.  Errichtet  man  nun  in  irgend 
einem  Punkte  der  Anfangsrichtung  auf  ihr  eine  Senkrechte,  welche  von  den 
Strahlen  />,  ;»,,  ;>^,  p^  in  den  Funkten  P,  P,,  P^,  P,  geschnitten  wird,  so 
ist  klar,  dass  das  Doppel verh&ltniss 

t—h  , *-h _ pPj  .  pp* 

wird.  Man  hat  daher  Veranlassung,  den  rechter  Hand  stehenden  Ausdruck 
%\i  das  Doppelverh&ltniss  der  vier  Punkte  der  Transversale  zu  deiiniren.  Da 
Mcb  dem  Vorigen  der  Wert  dieses  Doppelverb&Unisses  von  der  Anfangsrich- 
tQQg  a  —  der  Normale  der  Transversale  —  unabhängig  ist,  so  ist  klar  ,  dass 
ftr  alle  möglichen  durch  das  StrahlbOschel  (p,  p,,  />,,  p^)  gelegten  Trans- 
versalen das  Doppelverhältniss  denselben  Wert  behält.  Damit  ist  die  Grund- 
lage fftr  die  Lehre  von  der  Bcciprocität  der  Punktreihen  und  Strahlbüschel 
{:<rgeben.  —  Da  bei  der  allgemeinen  Untersuchung  des  Corrclationsbegriffes 
die  harmonischen  Verhältnisse  wie  die  sogenannten  „metrischen  Relationen^ 
überhaupt  so  riel  ich  sehe,  nicht  von  selbst  und  ungesucht  „in  das  Gesichts- 
feld des  Beobachters  treten^,  so  geschieht  ihrer  in  dem  Folgenden  keine  £r- 
wlbnang. 

15* 


228  Santo:   üeber  Projectivitäi  und  partUlU 

Sei  BAZ  ein  beliebiger  Winkel  2,  nnd  man  schneide  die  Schenkel 
desselben  durch  eine  Gerade  BZ^  welche  mit  der  Richtung  AB  einen 

BZ 

bestimmten  Winkel  %  bildet:    alsdann  ist  das  Yerh&ltniss  -r^     eine 

AJi 

Function  des  Winkels  2,  welche  ausserdem  nur  noch  von  dem  con- 
stanten  Winkel  x  abhängt.  Man  könnte  sie  etwa  als  „schiefe  Tan- 
gente des  Winkels  z^^  bezeichnen,  da  sie  von  der  trigonometrischen 
Tangente  sich  dadurch  unterscheidet,  dass  der  von  beiden  Tcrhält- 
nisslinien  eingeschlossene  Winkel  anstatt  eines  rechten  ein  schiefer  ist. 

Bezeichnen  wir  diese  Function  für  den  Augenbick  durch  q^(z\ 
so  findet  sich  leicht 

^f\  tgg 

^^         sm« —  cosx.tgi 
oder  umgekehrt: 

8in«.a>(z) 

^         l  +  cosx.g){«) 

Yermitelst  der  letztern  Formel  kann  das  Additionstheorem  der 
trig.  Tangente  in  das  Additionstheorem  der  Function  <p  transformirt 
werden.    Man  erhält: 

q>(z)  -f-  q>(u)  -f-  2  cos  JC.  <p(»)  <p(t*) 


qp(«  +  tt) 


1  — <p(8)<jp(tt) 


Diese  Formel   hat,   da  x  coustant  ist,   im  Wesentlichen   denselben 
Charakter  als  diejenige  für  tg(0-{-u). 

Man  kann  nun  in  der  Definitionsgleichung  der  projectiTischen 
Beziehung  zweier  Strahlbüschel  an  Stelle  der  trigonometrischen  Tan- 
genten die  Function  tp  einführen,  wobei  die  beiden  den  Tangenten  der 
Winkel  (ap)  und  (ap)  entsprechenden  Functionen  auf  zwei  ver- 
schiedene Parameterwinkel  x,  Xj  bezogen  werden  dürfen. 

Nach  diesen  Bemerkungen  über  die  Definition  des  Begriffs  der 
Projectivität  soll  nun  eine  ganz  beliebige  Corralation  zweier  Punkte 
P,  n  der  Ebene  ins  Auge  gefasst  werden.  (Ich  beschränke  mich 
hier  auf  die  Betrachtung  der  Correlationen  gleichartiger  Elemente  in 
der  Ebene). 

Die  Goordinaten  der  Punkte  P,  U  seien,  auf  dasselbe  rechtwink- 
lige Coordinatensystem  bezogen,  respective  x,  y  und  $,  17. 

Eine  solche  Gorrelation  wird  analytisch  durch  zwei  Gleichungen 
definirt;  man  denke  sich  aus  diesen  |  und  17  als  Functionen  von  x 
und  y  dargestellt,  es  sei 

i  -/(a^,  y) 


DifferentuUgUiehungen  in  der  Geometrie,  229 

Einer  onendlich  Ueinen  Verschiebung  €h  =  Vrfa;*  -f*  <^y*  ^^^  Punktes 
P  wird  im  Allgemeinen  eine  Verschiebung  da  =  Vd^^  +  dri^    des 
Punktes  il  von   demselben  Grade  der  Kleinheit  entsprechen.    Ver- 
möge des  Znsammenhanges  der  Grössen  £,  ri  und  x,  y  wird 

Die  trigonometrischen  Tangenten  der  Neigungswinkel  der  Ele- 
mente ds^  da  gegen  die  Abscissenaxe  mögen  respective  durch  <,  t 
bezeichnet  werden,  so  dass  also 


dy       ^  dfi 

gesetzt  wird. 


dx~^'         d( 


Anf  diese  Weise  erhält  man  durch  Division  der  für  dS^  drj  ge- 
gebenen DifferentialausdrQcke  die  lineare  Relation 

8aJ  •"  3y  *  , 


«&'  dy 


zwischen  t  und  t. 


Denkt  man  sich  t  und  dem  ensprehend  t  veränderlich,  so  ent- 
spricht dem  in  der  Anschauung  die  Drehung  des  Elements  cU  um 
den  Pnnkt  P  und  des  entsprechenden  Elements  da  um  den  Punkt  ü. 
Dabei  beschreiben  die  Elemente  d«,  da  zwei  projectivische 
StrahlbüBchel. 

So  führt  der  Begriff  der  geometrischen  Verwandtschaft  (Cor- 
relation)  in  seiner  ganzen  Allgemeinheit  genommen  —  denn  auch  für 
den  Baum  ergiebt  sich  ein  entsprechendes  Resultat  —  sofort  auf  die 
Projectivität  der  Strahlbüschel,  und  man  würde  Veranlassung  haben, 
das  durch  den  Schnitt  entsprechender  Strahlen  der  beiden  projectivi- 
schen  Bftschel  entstehende  Gebilde  zu  untersuchen,  wenn  solches  nicht 
bereits  von  den  Schöpfern  der  neuem  Geometrie,  am  Umfassendsten 
dnreh  den  grossen  Geometer  Steiner,  geschehen  wäre. 

Diese  Untersuchung  würde  sich  sehr  simpel,  dabei  ohne  grosse 
Rechnung,  durch  Benutzung  des  gewöhnlichen  Gartesius'schen  recht- 
winkligen Goordinatensystems  führen  lassen,  wenn  man  voraussetzt, 
daas  die  ein&chsten    Eigenschaften  der   Eogelschnitte   als   Curven 


230  Santo:   Ueber  Projectivität  und  partielle 

zweiter  Ordnnng  zuvor  dnrch  dieselben  Hilfsmittel  festgestellt  worden 
sind. 

Da  die  Sätze,  um  welche  es  sich  handelt,  und  welche  dem  Fol- 
genden zur  Grundlage  dienen,  «ehr  bekannt  sind,  so  wird  es  genü- 
gen, sie  hier  einfach  anzugeben: 

1.  Die  Durchschnittspunkte  entsprechender  Strahlen  zweier  pro- 
jectivischer  Strahlbüschel  liegen  auf  einem  Kegelschnitt,  welcher  auch 
durch  die  Mittelpunkte  der  Strahlbflschel  hindurchgeht. 

2.  Wenn  die  beiden  Strahlbüschel  einen  Strahl  gemeinschaftlich 
haben,  welcher  in  diesem  Falle  die  Verbindungslinie  ihrer  Mittel- 
punkte ist,  so  wird  die  Schnitt<;urve  eine  gerade  Linie  (man  sagt: 
die  Strahlbüschel  liegen  perspectivisch)  oder,  wie  man  die  Sache 
auch  auffassen  darf,  ein  Linienpaar,  indem  die  Verbindungslinie  der 
Mittelpunkte  als  die  zweite  Gerade  des  Paares  anzusehen  ist 

Ein  dritter  Satz,  welcher  ebenfalls  eine  allgemeine  Eigenschaft 
der  projectivischen  Strahlbüschel  ausspricht  und  ebenso,  wie  die  bei- 
den vorigen,  zu  den  Fundamentalsätzen  der  Steiner'schen  Geometrie 
gehört,  folgt  aus  Formeln,  welche  das  Ergebniss  einer  Transformation 
der  Gleichung  der  pcrjectivischen  Beziehung  sind ;  diese  Formeln  sind 
für  die  allgemeine  Theorie  der  Correlatiouen  von  Wichtigkeit  und 
müssen  daher  entwickelt  werden. 

Zur  Abkürzung  mag 


31^ 

dx 

»n 

a»? 

»1 

«»» 

31, 

6, 

gesetzt  werden. 

Die  Fundamentalformel  L  lautet  auf  diese  Weise: 


T 


a^  +  a^ 


Die  Winkel,  deren  trigonometrische  Tangenten  t  und  t  sind,  be- 
ziehen sich  beide  auf  eine  und  dieselbe  Anfangsnchtung,  die  Rich- 
tung der  Abscissenaxe  des  Coordinatensystems.  Da  nach  dem  Frühem 
durch  die  Einführung  beliebiger  anderer  Anfangsrichtungen  an  Stelle 
dieser  die  lineare  Form  der  Gleichung  sich  nicht  ändert,  so  liegt  es 
sehr  nahe,  durch  Einführung  passender  neuer  Anfangsrichtungen  die 
Gleichungen  zu  vereinfachen,  was  dem  Begriff  einer  Coordinaten- 
transformation  entspricht. 


DifferentialgUiehungen  in  der  Geometrie,  231 

Seien  resp.  k  und  %  die  Tangenten  der  Winkel,  welche  die  bei- 
den nencn  Anfangsrichtungen  mit  der  ursprünglichen ,  der  Richtung 
der  AhsciBsenaxe  bilden ,  und  t' ,  x'  die  Tangenten  der  neuen  ver- 
änderlichen  Winkel,  so  wird  vermöge  des  Additionstheorems  der  Func- 
tion tangens 

.       fc  +  t'  »+r' 

1— AT  1 — hx 

und  die  Substitution  dieser  Ausdrücke  liefert  die  Gleichung  der  Pro- 
jocti?it&t  in  der  neuen  Form,  welche  ausserdem  nach  den  Variabcln 
i'  nnd  t'  geordnet  werden  mag.    Dieselbe  lautet  : 

+  Wa,-ifc«,)-(i,-ife*i)]<'+»(ai  +  ^ö«)- (*!+**«)  -  P 

Man  wird  sich  also  die  Aufgabe  stellen,  zwei  der  Coefficienten  dieser 
Gleichung  durch  geeignete  Verfügung  über  k  und  x  zum  Verschwin- 
den zu  bringen. 

£8  ist  zu  erwarten,  dass  dieses  für  die  Coefficieuten  von  t'x*  und 
von  i'  zugleich,  oder  für  die  Coefficienten  von  t'x*  und  x'  zugleich 
im  Allgemeinen  nicht  möglich  sein  wird ,  ebenso  wenig  für  das  con- 
stante  Glied  und  einen  der  Coefficicnteu  von  t'  und  x\  weil  in  allen 
diesen  Fällen  eine  der  Variabein  t*  und  x'  von  der  andern  unab- 
hängig werden  und  in  eine  Constante  degeneriren  würde. 

Führt  man  die  Rechnung  dennoch  für  einen  dieser  Fälle  durch, 
etwa  für  den  ersten,  setzt  also  die  Coefficienten  von  t*x'  und  t'  gleich 
Noll,  so  folgt  aus  den  Gleichungen 

a^  +  ka^  +  %{h,  +  kb^)  ^  0 
dareh  Elimination  von  %  die  Gleichung 

Das  Nullsetzen  des  zweiten  Factors  dieser  Gleichung  führt  zu  einer 
filr  jede  Stelle  des  Gebiets  vorhandenen  Lösung,  welche  aber  ima- 
ginär ist    Sie  lautet: 

worin  t  die  beiden  Werte  der  V — 1  bezeichnet;  erfüllt  man  aber  die 
Gleichnng  dadurch,  dass  man  den  ersten  Factor  derselben  gleich  Null 
8^  alte  festsetzt,  dass  sich 


232  Santo:   Ueber  ProJ€Ctivität  und  parUeUe 

Oj  :  Og  =  &i  :  &2 

verhalten  soll,  so  setzt  man  damit  eine  besondere  Eigenschaft  der 
Correlation  fest,  welche  (wie  sich  nachweisen  lässt)  keiner  allgemein 
und  einer  beliebig  gegebenen  nur  an  bestimmten  Stellen  dfes  Gebiets 
zukommt,  nämlich  auf  einer  Curve,  welche  durch  jene  Gleichung  be- 
stimmt wird.    Wir  werden  nachher  auf  die  Gleichung 

o^  :  O)  =  6^  :  6a 

oder 

81     dfi 


dx     dx 


0 


•noch  durch  eine  andere  Betrachtung  geführt  werden. 

Da  die  drei  andern  oben  genannten  Gombinationen  im  Wesent- 
lichen auf  eben  dasselbe  Resultat  (nämlich  auf  die  Gleichung  01:0»= 
b^ib^)  ftlhren,  so  bleiben  nur  noch  zwei  Gombinationen  zu  unter- 
suchen. 

Setzt  man  den  Goefficienten  von  i*r'  und  das  constante. Glied 
gleich  Null,  also 

so  erhält  man  aus  diesen  Gleichungen,  indem  man  die  eine  der  bei- 
den Unbekannten  eliminirt,  quadratische  Gleichungen  fOr  k  und  x, 
welche  sich  folgendermassen  schreiben  lassen: 


Wir  erhalten  demnach  zwei  Werte  fttr  k  und  ebenso  für  x,  und 
aus  der  Gestalt  der  Gleichungen,  von  welchen  wir  ausgingen,  folgt, 
dass  zu  jedem  Wert  von  k  einer  und  nur  einer  von  x  gehört,  und 
umgekehrt. 

Setzt  man  endlich  die  Coefficienten  von  t'  und  v'  gleich  Null, 
also 

n{tH—ka,)^lbi--kb^)^0, 

so  folgen  hieraus  für  k  und  x  genau  dieselben  quadratischen  Glei- 
chungen wie  vorher;  der  Unterschied  beider  Transfonaationen  kann 


Diffkrtntiaigleiehunyen  in  der  Geometrie.  233 

also  nur  in   der  Venchiedenheit  der  ZusammenordDung  der  Werte 
TOD  k  and  %  liegen. 

Wir  wollen  diese  beiden  gnadratischen  Gleichungen  einer  ge- 
oaoem  Disknssion  unterwerfen. 

Die  Grössen  k  and  »  bezeichnen,  wie  schon  gesagt  worden  ist, 
Tangenten  der  Neigungswinkel  der  neuen  Anfangsrichtungen  gegen 
die  Absdssenaze  des  Coordinatensystems.  Mögen  diese  Winkel  selbst 
respective  durch  0  und  o>  bezeichnet,  also 

k  —  tgo,    X  —  tgf» 
gesetzt  werden. 

Nach  dem  Additionstheorem  der  Tangente  ist 

2k  2k 

Die  beiden  mehrerwähnten  quadratischen  Gleichungen  nehmen  also 
die  Gestalt  an: 

\8ac  dy'dx  By) 

n. 

\dm  dx*dy  By) 

\dx)  "^  \dy)   ""  \dx)    ""  \dy) 

Da  die  Grösse  eines  Winkels  um  n  vermehrt  werden  kann,  ohne 
dass  dadurch  die  Tangente  ihren  Wert  ändert,  so  ist  klar,  dass  die 
beiden  Winkel  o,  welche  den  beiden  Werten  von  k  entsprechen,  um 

2  verschieden  sein  werden.    Dasselbe  gilt  von  den  Winkeln  ro,  welche 
den  beiden  Werten  von  %  entsprechen. 

Die  beiden  Paare  von  Aufangsrichtungen,  welche  die  Coordinaten- 
transfonnation  als  für  die  Vereinfachung  der  Projectivität  zweckmässig 
ergeben  hat,  bilden  also  rechte  Winkel. 

Bezieht  man  die  Gleichung  der  Projectivität  auf  diese  Anfangs- 
lichtangen,  so  nimmt  sie  nach  dem  Vorigen  entweder  die  Gestalt 

oder  die  Gestalt 


234  Santo:   üeber  Projtctivitat  und  partielle 

an,  je  nach  der  Wahl   der  ÄDfangsrichtungen   unter  den  zulässigen 
Paaren. 

Es  ist  ziemlich  gleichgültig  welche  dieser  beiden  Formen  man 
wählt,  da  sich  beide  mit  gleicher  Leichtigkeit  anwenden  lassen; 
wünscht  man  aber,  dass  die  gewählten  Anfangsrichtungen  zugleich 
zwei  entsprechende  Strahlen  sein  sollen,  also  t'  -»  0,  t'  »  0  ent- 
spreche, was  eine  sehr  natürliche  Festsetzung  ist,  so  wird  dieselbe 
nur  durch  die  zweite  Form  erfüllt,  welche  in  sofern  einen  Vorzug 
besitzt  und  dalier  als  die  Normalform  der  Gleichung  der  Projectivität 
zweier  Strahlbüschel  angesehen  werden  darf. 

Seien  nun  t',  t'  irgend  zwei  entsprechende  Werte  der  Yariabeln, 
so  geht  aus  der  Form  der  Gleichung 

sofort  hervor,   dass  — t',  —  <'   ebenfalls  entsprechende  Werte  sein 
müssen. 

Wir  haben  demnach  einen  dritten  Fundamentalsatz  der  Steiner- 
schen  Geometrie,  welcher  lautet: 

Zwei  projectivische  Strahlbüschel  besitzen  ein  Paar  entsprechende 
rechte  Winkel;  jedem  Paar  zu  dem  einem  Schenkel  des  rechten  Win- 
kels —  und  demnach  auch  zu  dem  andern  —  symmetrisch  liegender 
Strahlen  entspricht  in  dem  andern  Büschel  ein  Paar  zu  den  Schen- 
keln seines  rechten  Winkels  ebenfalls  symmetrisch  liegender  Strahlen. 

Dieser  Satz  in  seiner  allgemeinen  Anwendung  auf  Correlationen 
mag  hier  kurz  als  „Princip  der  Winkelsymmetrie'^ ,  die  Schenkel  der 
rechten  Winkel  als  „Symmetrieaxen"  bezeichnet  werden.  Wir  sehen  in 
dem  Vorstehenden  eine  besondere  Eigenschaft  des  rechten 
Winkels,  wodurch  derselbe  sich  vor  andern  Winkeln  auszeichnet 
Paare  entsprechender  gleicher  Winkel  gl  cht  es  bei  projectivi- 
sehen  Strahlbüscheln  unendlich  viele,  aber  nur  die  Schenkel  des 
Paares  entsprechender  rechter  Winkel  besitzen  die  genannte  Sym- 
metrieeigenschaft . 

Die  Axen  der  Winkel  Symmetrie  haben  noch  eine  andere  Sym- 
metriecigenschaft.  Wir  betrachteten  bisher  nur  die  Richtungen 
entsprechender  Elemente  ds^  da^  jetzt  soll  auch  das  Yerhältniss  ihrer 
(unendlich  kleinen)  Längen  ins  Auge  gefasst  werden. 

Die  Gleichung 

€la^  =  d^*-{-dri* 

ist,  wenn  man  da  constant  sein  lässt,  die  Gleichung  eines  um  U 
als  Mittelpunkt  mit  ds  als  Radius  beschriebenen  Kreises.    Die  ent- 


Differentialgleichungen  in  der  Geometrie,  285 

sprechende  Cnrve  des  andern  Gebiets  erhält  man  dadurch,  dass  man 
in  dieser  Gleichang  Vermittelst  der  Formeln 

die  Incremente  <jf ,  dri  durch  die  lucremente  dx^  dy  ersetzt 
So  wird: 

Das  ist  aber  die  Gleichung  einer  Ellipse,  deren  Mittelpunkt 
P  ist.  [Man  kann  leicht  nachweisen,  dass  die  rechte  Seite  der  Glei-* 
chong  eine  positive  Form  ist]. 

Transfonnirt  man  dieselbe  auf  die  Hauptaxen,  indem  man 

dx  SB  ucoso  —  vsino 
dy  «=  tisino-f-vcoso 

setzt  und  o  so  bestimmt,  dass  in  der  neuen  Gleichung  der  Cocfficient 
Tou  %v  verschwindet,  so  erhält  man: 

also  dieselbe  Formel,  welche  vorhin  für   die  Winkel-Symmetrieaxen 
des  Punktes  P  gefunden  wurde. 

Da  für  das  andere  Gebiet  das  Entsprechende  gilt,  so  hat  man 
den  merkwürdigen  der  Differentialgeometrie  angehörigen  Satz: 

Wenn  man  das  Element  da  um  U  als  Mittelpunkt  einen  Kreis 
beschreiben  lässt,  so  beschreibt  das  Element  ds  um  P  als  Mittelpunkt 
im  Allgemeinen  eine  Ellipse,  deren  Hauptaxen  mit  den  Symmetrie- 
aieii  der  projectivischen  Beziehung  zusammenfallen;  das  Gleiche  gilt 
in  dem  andern  Gebiet. 

Eine  besonders  merkwürdige  Gruppe  der  Correlationen  wird  durch 
diejenigen  gebildet,  welchen  die  Eigenschaft  der  Conformität 
oder  der  Aehnlichkeit  in  den  kleinsten  Teilen  zukommt. 

Die  Bediugungsgleichungen  der  Conformität  ergeben  sich  unge- 
zwungen aus  den  zur  Bestimmung  der  Symmetrieaxen  dienenden  For- 
mcia, wenn  man  den  Fall  in  Betrachtung  zieht,  in  welchem  dieselben 
aobestimmt  werden. 

Setzt  man  den  Zähler  und  Nenner  der  Formel 


236  Santo:   (Jeher  ProjectiviUU  und  partUUe 

gleich  Null,    so  folgt  ans  diesoD  Gleichnngon ,  wenn  man  sie  in  der 
Form 

aufschreibt,  alsdann  ins  Quadrat  erhebt  und  addirt,  dass 

sein  mnss,  also,  wenn  man  nur  reelle  Werte  der  Yariabelen  zolässt 

Die  Combination  dieser  Gleichung  mit  der  frühem 

ergiebt: 

Hieraus  folgt  mit  Berücksichtigung  der  Bedingung 

dass 

Ol  ^  th^     Oj  =»  —  röj 

sein  muss,  wenn  t  die  positive  oder  negative  Einheit  bezeichnet, 
welches  die  bekannten  Bedingungen  der  Conformität  sind.  Man  sieht, 
dass,  wenn  sie  erfüllt  sind,  auch  die  andere  Formel: 

tg2»  .  2(a^5»+«^6,) 


den  nnbestiinmten  Wert  %  erhält,  wie  es  sein  muss. 

Je  nachdem  man  .f  =  -)-  1  oder  t  •-  —  1  nimmt,  erhftlt  man 
Zwei  Arten  'der  Conformit&t,  deren  charakteristischer  Unterschied 
durch  die  Benutzung  zweier  Formeln  gefunden  werden  kann,  welche 
aus  denen  für  tg2o  und  tg2(D  folgen  und  hier  nur  angegeben  werden 
mögen.    Man  findet: 

tg(2«-2«,)   _  ^-^— ,- -^^-_^, 

Setzt  man  hierin 

a,  ^  6j,    oj  —  —  Ä„ 
so  folgt 

tg(2co  — 2^)  »Const, 

tg(2ai+2o)  -  g, 


IMjffertntidIghidningtn  in  der  Geometrie. 


237 


woraus  man  leicht  schliesst,  dass  die  congrnenten  Strahlbüschel  in 
gleichem  Drehnngssinne  darchlanfen  werden;  setzt  man  aber 


80  folgt: 


—  5 


Sl 


h. 


tg(2i»~2o)-*, 
tg(2a>-{-2o)  »  Const, 


woraas  hervorgeht,   dass  in  diesem  Falle  die   congrnenten   Strahl- 
bQschel  in  entgegengesetztem  Drehnngssinne  darchlanfen  werden. 

Die  Eigenschaft  der  Conformität  im  Allgemeinen  kommt,  wie 
gesagt,  nur  einer  bestimmten  Classe  von  Correlationen  zu,  welche 
durch  die  simultanen  partiellen  Differentialgleichungen 


^-± 


?! 

Bz 

ay 


?5 


Bri 

+  Bx 


charakterisirt  wird ;  man  darf  aber  behaupten ,  dass  im  Allgemeinen 
jede  Correlation  in  einzelnen  Punkten  des  Gebiets  den 
Gleichungen  der  Conformität  genügen  wird. 

Solche  Punkte  darf  man  mit!  Recht  Conformitätspunkte 
nennen,  da  in  ihrer  Nähe  die  entsprechenden  Elemente  congrnente 
Büschel  beschreiben ,  und  demnach  an  diesen  Stellen  Aehnlichkeit 
in  den  kleinsten  Teilen  stattfindet. 

Die  Ergebnisse  der  Betrachtungen  über  Conformität  können  zum 
Zwecke  der  Anwendung  kurz  in  folgenden  Satz  zusammengefasst 
werden : 

An  allen  denjenigen  Stellen  des  P-  und  27-Gebietes  einer  Cor- 
relation, an  welchen  die  beiden  Gleichungen 

ag  _  85        X dy 

dx        By         By  Bx 

oder  die  beiden  Gleichungen 

Bx  By  By       Bx 

erfüllt  werden,  während  die  Functionaldeterminante 

8£     83 
Bx    Bx 

a|  85 

By     By 


238  Santo:   Ueber  Projectivität  und  partieUe 

wedor  verschwindet,  uoch  unendlich  wird,  sind  die  Büschel,  welche 
von  den  Richtungen  entsprechender  Elemente  tls^  da  hcschrieben 
werden,  congment,  und  zwar  im  ersten  Falle  von  gleichem,  im  zweiten 
aber  vom  entgegengesetztem  Drehungssinn. 

Die  Bedeutung  der  Functionaldeterminante  fttr  die  richtige  Ab- 
grenzung der  Giltigkeitssphäre  des  so  eben  ausgesprochenen  Satzes 
wie  der  projectivischen  Beziehungen  überhaupt  wird  durch  die  fol- 
gende Ueberlegung  deutlich  werden. 

Die  fundamentale  Formel 

in  welcher  sich  das  Gesetz  der  Projectivität  ausspricht,  gilt  jeden- 
falls nur  unter  der  Voraussetzung,  dass  die  partiellen  Differeutial- 
quotienten  o^,  o^,  ^i,  62  ^^  ^^^  betreffenden  Stellen  des  Gebiets  einen 
bestimmten  Wert  besitzen  und  nicht  zu  gleicher  Zeit  verschwinden. 

Geschieht  das  Letztere,  so  können  je  nach  den  besondern  Um- 
ständen mannigfaltige  andere  Relationen  au  die  Stelle  der  linearen 
Beziehungen  treten. 

Der  einfachste  Fall  wird  der  sein,  dass  nur  die  ersten  partiellen 
Differentialquotienten  verschwinden,  während  die  zweiten: 

dx^  ^  "^1»      dx  dy  "  **"     "•  *•  ^• 
an  dieser  Stelle  endlich  bleiben. 

Man  hat  alsdann  nach  dem  Taylor'schen  Lehrsatz: 

dfi  =  i(bitda^+2b^idxdy  +  b„dy% 

und  daher  durch  Division  folgende  nicht  lineare  Beziehung  zwischen 
t  und  r: 


X  = 


«,,  +2a,2  +022<* 


Die  Curve,  welche  durch  die  Schnittpunkte  entsprechender  Strahlen 
gebildet  wird,  ist  in  diesem  Falle  natürlich  kein  Kegelschnitt,  viel- 
mehr eine  Curve  dritter  Ordnung.  Die  Mittelpunkte  der  Strahl- 
büscbel  sind  hier  nicht,  wie  bei  den  Kegelschnitten  beliebige,  sondern 
charakteristische  Punkte  der  Curve. 

Dieses  ist  ein  Beispiel  unter  vielen;  man  sieht  leicht,  dass  Cor- 
relationen  gedacht  werden   können,  welche  für  ein  bestimmtes  Paar 


Differentialgleichungen  in  der  Geometrie. 


239 


zQsammengchöriger  Punkte  P^  il°  Strahlbüscbel  von  beliebig  fest- 
gesetzter Beschaffenheit  liefern. 

Aber  auch  bei  endlich  bleibenden  ersten  Differentialqnotienten 
ist  ein  Ansnabmefall  denkbar,  welcher  freilich,  wonu  man  will,  noch 
nnter  das  allgemeine  Gesetz  der  Projectivität  snbsurairt  werden  kann. 


Wenn  sich  nämlich 


O]  :  o^  =»  6j  :  & 


8 


*1  +^8* 

verhält,  so  degenerirt  die  Function  t  =  — j- — -  in  eine Gonstante. 

1      1         3t 

Diese  beiden,  im  Uebrigcn  wesentlich  von  einander  verschiedenen 
Fälle  haben  das  mit  einander  gemein,  dass  die  Functionaldetermi- 
naute  verschwindet. 

Da  ferner  nach  einer  bekannten   Eigenschaft   der    Functioual- 
determinanten 

8|       dfj  Sx       dy 

ftr'     dx  (3S       3i 


31 


dx 
81' 


dy 


=  1 


ist,  BD  entspricht  dem  Nullwerden  der  Functionaldcterminante  des 
einen  Gebietes  ein  ünendlichwerden  der  des  andern;  daher  werden 
beide  Fälle  zu  berücksichtigen  sein. 

Han  darf  also  den  Satz  aussprechen: 

Das  Gesetz  der  Projectivität  der  Correlationen  erleidet  nur  an 
solchen  Stellen  des  Gebietes  eine  wesentliche  Modification  oder  eine 
Ausnahme   an  welchen  die  Functionaldcterminante 


as 

dn 

dx 

Bx 

31 

dt, 

8y 

8y 

entweder  verschwindet,  oder  unbestimmt,  oder  unendlich  wird. 

Die  Functionaldcterminante,  durch  deren  Verschwinden  oder  ün- 
endlichwerden für  jede  Corrclation  gewisse  charakteristische  Curven 
bestimmt  werddn,  deren  Punkte,  wie  wir  gesehen  haben,  von  allen 
Cebrigen  eine  Ausnahme  machen,  hat  noch  eine  andere  geometrische 
Eigenschaft,  welche  leicht  nachweisbar,  auch  aus  der  Theorie  der 
Fnnctionaldeterminanten  bekannt  ist  und  daher  hier  nur  angegeben 
werden  soll: 


240 


Santo:   Utber  Projtctivität  und  pardeUe 


Wenn  dO  and  dSl  ein   Paar  entsprechender  Flächenelemente 
bezeichnen,  so  ist 

31      85 
Sx*     dx 


dSl 


dy'     dy 


.rfO; 


die  Fnnctionaldcterminantc  giebt  also  das  Yerhältniss  entsprechender 
Flächenclemente  an. 


Setzt  man 

8s 

dz 

81, 

dx 

• 

ds 

8y 

81} 

1, 


so  hat  man  die  analytische  Bedingung  der  Flächengleichheit 

Es  ist  durch  die  bisherigen  Betrachtungen  —  allerdings  zum  Teil 
nur  andeutungsweise  —  zu  zeigen  versucht  worden,  wie  der  Begriff 
der  Correlation,  wenn  man  ihn  mit  den  primitivsten  analytischen 
Hilfsmitteln  bearbeitet,  sofort  auf  den  Begri£f  der  Projectivität  der 
Strahlbüschel,  das  Fundament  der  neuem  Geometrie,  führt,  und  wie 
eine  ebenso  einfache  Untersuchung  der  Projectivität  auf  den  Begriff 
und  die  analytischen  Bedingungen  zweier  besonderer  Classcn  von 
Correlationen  —  derer^der  Conformität  und  der  Flächengleichheit  — 
hinleitet,  deren  genauere  Erforschung  eine  interessante  Aufgabe  der 
Integralrechnung  bildet.  So  haben  die  synthetische  und  die  Diffe- 
rentialgeometrie —  scheinbar  die  am  weitesten  von  einander  ab- 
stehenden Zweige  geometrischer  Forschung  —  eine  gemeinschaftliche 
Wurzel.  Man  könnte  einwenden,  dass  mit  dem  blossen  Auftauchca 
des  Begriffs  der  Projectivität  als  einer  linearen  Relation  zwischen 
trigonometrischen  Tangenten  gewisser  Winkel  bei  StrahlbQschelu,  fdr 
die  reine  Geometrie  wenig  gewonnen  sei;  aber  auch  die  geometri- 
schen Eigenschaften  dieser  Gebilde  ergeben  sich  nicht  minder  ein- 
fach, wofür  die  vorhergehenden  Skizzen  ebenfalls  bereits  Beispiele 
bieten.  Der  Satz  von  der  Winkelsymmetrie  spricht  sicher  eine 
charakteristische  und  für  die  Anwendung  höchst  wichtige  Eigenschaft 
projectivischer  Strahlbüschel  ans,  und  der  Begriff  der  ConformitäU- 
ponkte  erweist  sich  als  sehr  nützlich  für  die  geometrische  Constmc- 
tion  der  Correlationen.  Er  allein  genügt  beispielsweise,  am  die  Ver- 
wandtschaft der  Gollineation  auf  die  einfachste  Weise  zu  con- 
struiren. 


Differentialgleichungen  in  der  Geometrie.  241 

Dieselbe  ist  bekanntlich  dnrch  die  Gleichungen 

lieäDirbar.  Man  erkennt  ans  diesem  sofort,  dass  die  Punkte  ein- 
ander gegenseitig  eindeutig  entsprechen,  und  dass  Geraden  Gerade 
uüd  Kegelschnitten  Kegelschnitte  entsprechen. 

SacLt  man  nun  die  beiden  Arten  von  Conformitätspunkten  ver- 
mittelst der  Gleichungen 

S|  _  _^  dfj 
dx  9y 

3|  _  __  85 
dy  dx' 

so  erkennt  man  auch  ohne  Durchführung  der  Rechnung  sofort,  dass 
ihrer  nur  zwei  in  jedem  Gebiet  existiren,  nämlich  von  jeder  Art  einer. 

Seien  dieselben  respective  durch  -4,  B  und  A,  B  bezeichnet, 
wobei  die  zu  A^  A  gehörigen  Strahlbtischcl  die  von  gleichem,  die 
ZD  B^  B  gehörigen  diejenigen  von  entgegengesetztem  Drehungs- 
sion  sein  mögen.  Da  ^1,  A  und  ebenso  i^,  B  entsprechende 
Punkte  sind,  so  sind  auch  AB^  AB  entsprechende  Strahlen  (BA, 
BA  natärlich  desgleichen).  Hieraus  wird  die  bestehend  gegebene 
»ekannte)  Construction  cutsprechender  Punkte  ohne  weitere  erklä- 
rende Worte  verständlich  sein. 

Es  ist  zweckmässig,  im  Anschluss  au  diese  Construction  ftlr  die 
Hden  Gebiete  zwei  verschiedene  Coordinatensysteme  einzu- 
fahren. Wählt  man  nämlich  die  Mitte  M  von  AB  als  Coordinaten- 
snfangspunkt  des  P-Gebiets,  MA  als  x  Axe,  MYah  y  Axe  und  macht 
(^  Entsprechende  in  dem  andern  Gebiet,  so  nehmen ,  wenn  man 

AB  «=  2<?,       AB  =  2y 

'^^,  die  Gleichungen  der  CoUineation  die  höchst  einfache  Gestalt 

X 
'  X 

<Hkr  umgekehrt: 

^i.  der  MMih.  u.  Phya.    2.  Reihe,  TeU  I.  16 


242  Santo:    Ueber  ProjecHvität  und  parHeüe 

cy 

ey 

Die  gefundene  Construction  veranlasst  za  der  Frage  nach  der 
Natur  derjenigen  Correlation,  welche  entsteht,  wenn  man  die  con- 
gruenten  Strahlbüschelpaare  beide  von  derselben  Art  sein  lässt  Man 
erkennt  'sofort,  dass  die  Verwandtschaft  der  Aehnlichkeit  re- 
sultirt,  welche,  bekanntlich  ein  specieller  Fall  der  CoUineation,  vom 
Standpunkte  dieser  Construction  als  ein  Ausnahmefall  erscheint 

Bleiben  wir  indessen  bei  der  Collination. 

Nachdem  die  Conformitätspunkte  in  Betrachtung  gezogen  worden 
sind,  also  diejenigen  Punkte,  fttr  welche  die  Symmetrieaxen  unbe- 
stimmt werden  und  daher  jede  hindurchgelegte  Linie  als  Symmeäie- 
axe  angesehen  werden  darf,  ist  es  naturgemäss  die  nächste  Aufgabe, 
die  Symmetrieaxen  jedes  beliebigen  andern  Punktes  aufzusacben. 
Diese  Aufgabe  findet  durcb  folgende  Sätze  ihre  Yollständige  Erledi- 
gung: 

1.  Der  geometrische  Ort  aller  Punkte,  deren  Symmetrieaxen 
constante  Richtung  haben,  ist  eine  gleichseitige  Hyperbel,  welche 
durch  die  beiden  Conformitätspunkte  des  Gebiets  hindurchgeht  und 
die  Mitte  der  Verbindungslinie  der  Conformitätspunkte  zu  ihrem  Mit- 
telpunkt hat.  Die  Asymptoten  der  Hyperbel  geben  die  Symmetrie- 
axenrichtungen. 

2.  Dieser  gleichseitigen  Hyperbel  entspricht  in  dem  andern  Ge- 
biet ein  Kreis,  welcher  durch  die  Conformitätspunkte  des  GebieU 
hindurchgeht;  die  Symmetrieaxen  aller  Punkte  dieses  Kreises  gehen 
durch  zwei  feste  Punkte  hindurch^  welche  ebenfalls  auf  dem  Kreise 
liegen;  es  sind  nämlicb  die  Punkte,  in  welchen  der  Kreis  von  der 
im  Halbirungspunkte  der  Verbindungslinie  der  Conformitätspunkte 
errichteten  Senkrechten  geschnitten  wird. 

Also  entspricht  der  Schaar  der  durch  A,  B  gehenden  Kreise 
dos  il-Gebiets  in  dem  andern  Gebiete  eine  Schar  concentrischer 
durch  A^  B  gehender  gleichseitiger  Hyperbeln,  und  der  Schar  con- 
centrischer, durch  A,  B  gehender  gleichseitiger  Hyperbeln  eine  Schaar 
durch  A^  B  gehender  Kreise. 

Um  die  Symmetrieaxen  eines  beliebigen  Punktes  P  zu  finden, 
hat  man  also  durch  A^  B  und  P  einen  Kreis  zu  l^en  und  die 
Punkte  «7,  K  zu  bestimmen,  in  welchen  der  Kreis  von  der  im  Mittel- 


Differentialgleichungen  in  der  Geometrie.  243 

pankt  von  AB  errichteten  Senkrechten  geschnitten  wird ;  dann  sind 
die  Verbindungslinien  PJ  und  PK  die  Symmetrieaxen  des  Punktes  P. 

Der  Beweis  dieser  Sätze  ist  leicht;  ich  möchte  denselben  über- 
gehen, ebenso  ihre  Anwendung  zur  Production  interessanter  Winkel- 
eigenschaften der  gleichseitigen  Hyperbel,  weil  es  nicht  in  meiner 
Absicht  liegt,  hier  eine  vollständige  Theorie  der  Collineation  zu 
geben,  sondern  nur  an  einem  interessanten  Beispiel  zu  zeigen,  wie 
die  Anwendung  des  allgemeinen  Princips  der  Projectivität  und  seiner 
nächsten  Consequenzen  die  geometrischen  Eigenschaften  jeder  be- 
soodem  Correlationsart  offenbar  werden  lässt. 

Sucht  man  die  zusammenfallenden  Punkte  der  beiden  Systeme 
oder,  wie  man  zu  sagen  pflegt,  die  sich  selbst  entsprechenden  Punkte, 
indem  man  in  die  ursprünglichen,  auf  ein  Coordinatensystem  be- 
zogenen Gleichungen  der  Collineation 

snbstituirt,  so  erhält  man  für  x  oder  y  durch  Elimination  einer  dieser 
beiden  Unbekannten  eine  Gleichung  dritten  Grades,  wie  ebenfalls 
ohne  Durchführung  der  Rechnung  ersichtlich  ist. 

Es  kann  daher  im  Allgemeinen  nicht  mehr  als  drei  sich  selbst 
entsprechende  Punkte  geben,  und  einer  derselben  muss  stets  reell 
sein. 

Bisher  sind  die  beiden  Punkte  P,  27  als  Punkte  einer  Ebene 
gedacht  worden;  jetzt  wollen  wir  uns  zwei  Ebenen  auf  einander  lie- 
gend und  in  einer  derselben  den  Punkt  i',  in  der  andern  den  Punkt 
n  befindlich  denken.  Das  ursprüngliche  Coordinatensystem  verwan- 
delt sich  dem  entsprechend  in  zwei  auf  einander  fallende,  jedes  mit 
seiner  Ebene  in  fester  Verbindung  stehend.  Ich  will  diese  Ebenen 
korz  als  die  P-£bene  und  die  /I-Ebene  bezeichnen. 

Wenn  nun  die  /i-Ebene  auf  der  P-Ebeue  auf  irgend  eine  Weise 
Terschoben  wird,  so  wird  dadurch  der  Abstand  entsprechender 
Punkte  P,  11  ein  anderer  als  vorher;  die  früher  sich  selbst  ent- 
sprechenden Punkte  werden  jetzt  voraussichtlich  nicht  mehr  auf 
einander  fallen  (dafür  freilich  andere).  Man  wird  also  zugeben 
mfissen,  dass  die  Correlation  durch  die  geometrische  Operation  der 
Verschiebung  eine  andere  geworden  ist,  wenn  auch  das  Princip 
der  Aenderung,  vom  Standpunkte  der  geometrischen  Anschauung  be- 
trachtet, einfacher  ist,  als  alle  andern,  welche  man  denken  könnte. 

Man  erkennt  aber  nach  den  bekannten  Gesetzen  der  Coordinaten- 
transformation   sehr  leicht,  dass  der  analytische  Charakter  der  all- 

16* 


244  Santo:   Ueber  Projectmtät  und  partielle 

gemeinen  Gleichangen  der  Collineation  durch  die  Verschiebung  der 
Ebenen  keine  Veränderung  erleidet. 

Daher  werden  auch  bei  der  neuen  Correlation  Geraden  Gerade 
und  Kegelschnitten  Kegelschnitte  entsprechen. 

Um  es  kurz  auszudrücken: 

Der  allgemeine  Charakter  der  Collineation  bleibt  durch  Drehung 
und  Verschiebung  der  beiden  Systeme  gegen  einander  unverändert 

Dieser  letztere  Satz  bringt  gcwissermassen  die  geometrische 
Untersuchung  der  Collineation  in  Fluss;  es  wird  der  synthetischen 
Geometrie,  indem  sie  sich  der  vorhin  aufgestellten  Sätze  —  oder 
auch  nur  eines  Teils  derselben  —  bemächtigt,  leicht,  die  Collineation 
im  Allgemeinen  und  die  speciellen  Fälle  derselben  als  Instrument  za 
handhaben,  welches  die  interessanteren  Eigenschaften  zum  Mindesten 
der  Curven  1  ter  und  2  ter  Ordnung  offenbar  werden  lässt. 

Die  Collineation  [welche,  wie  oben  gezeigt  wurde,  zwei  Paare 
cougruenter  Strablbüschel  besitzt]  besitzt  auch  zwei  Paare  congni- 
enter  Punktreihen. 

Man  findet  diesen  Satz,  indem  mau  das  il-Gebiet  so  verschiebt, 
dass  die  Conformitätspunkte  ^1,  A  auf  einander  lallen  und  das  andere 
Paar  B^  B  mit  A  in  eine  gerade  Linie  jfällt  (was  übrigens  auf 
zweierlei  Weise  bewerkstelligt  worden  kann). 

Bei  dieser  Lage  der  Systeme  giebt  es  unendlich  viele  sich  selbst 
entsprechende  Punkte,  nämlich  die  Punkte  derjenigen  Geraden,  welche 
senkrecht  durch  die  Mitte  von  2^B  hindurchgeht.  Bringt  man  nun 
wieder  Alles  auf  seinen  ursprünglichen  Platz  zurück,  so  wird  die 
zuletzt  genannte  Gerade  zwar  in  zwei  Punktreihen  deplacirt,  welche 
aber  ihre  Gestalt  nicht  ändern,  also  congruent  bleiben. 

Hieraus  ergiebt  sich  leicht  die  folgende  Construction  der  con- 
gruenten  Punktreihen. 

Man  bilde  den  halben  Unterschied  der  Distanzen  AB  und  AB 
und  verlängere  die  kürzere,  verkürze  die  längere  auf  beiden  Seiten 
um  ihn.  Die  in  den  so  gefundenen  Punkten  auf  AB  und  AB  er- 
richteteten  Senkrechten  bilden  die  beiden  Paare  entsprechender  con- 
gruenter  Punktreihen. 

Die  so  eben  skizzirte  Betrachtungsweise  giebt  ein  Beispiel  des 
Verfahrens,  welches  in  der  synthetischen  Geometrie  in  ähnlicher 
Weise  häufig  wiederkehrt;  man  darf  dasselbe  wohl  als  „eine  Ueber- 
Setzung  des  Princips  der  Coordinatentransformation  in  das  Geome- 
trische" bezeichnen. 


DifferentialgUiehungen  in  der  Geometrie,  245 

Soviel  über  das  Instrument  selbst;  nan  noch  ein  Wort  über  die 
Anwendung  desselben.  Der  Kreis  ist  ein  Kegelschnitt;  nach  dem 
Frflhern  muss  daher  einem  jeden  Kreise  des  einen  Gebietes  ein 
Kegelschnitt  des  andern  entsprechen.  Ueberdies  schneiden  sich  nach 
dem  Fnndamentalprincip  der  Projectivität  sämmtliche  Paare  ent- 
sprechender Strahlen,  welche  von  einem  Paar  entsprechender  Punkte 
Py  n  ausgehen,  auf  einem  Kegelschnitt;  man  wird  daher  Sätze  vom 
Kreise  in  solche,  welche  sich  auf  Kegelschnitte  beziehen,  trans- 
fonniren  können. 

Man  sieht,  wie  die  Analysis  in  ihrer  primitivsten  Ge- 
stalt, wenn  man  will,  der  Geometrie  sehr  annehmbare  Grundlagen 
fnr  ihre  weitern  Speculationen  zu  liefern  im  Stande  ist. 

Sind  wir  darum  berechtigt,  die  synthetische  Geometrie  als  einen 
blossen  appendix  der  analytischen  zu  betrachten?  Dieses  wäre  schon 
in  Anbetracht  der  Bivalität,  welche  zwischen  beiden  Disciplinen  ge- 
herrscht hat,  und  der  die  Wissenschaft  der  Geometrie  wesentliche 
Fortschritte  verdankt,  ein  Unrecht;  aber  es  wäre  auch  absurd,  da 
die  analytische  Geometrie ,  wie  schon  aus  ihrem  Begriff  hervorgeht, 
wesentlich  geometrischer  Hilfsmittel  nie  entbehren  kann. 
Eher  könnte  man  das  Umgekehrte  behaupten,  da  ein  umfangreicher 
Teil  der  Geometrie,  die  Geometrie  der  Lage,  ganz  ohne  Anwendung 
arithmetrischer  Hilfsbegritte  aufgebaut  werden  kann ;  aber  auch  diese 
Behauptung  wäre  gewagt,  da  die  Hilfsmittel,  welche  die  Analysis  der 
Geometrie  bietet,  sehr  wesentliche  sind.  Man  hat  zuweilen  die  Frage 
aoiigeworfen :  ob  man  die  Geometrie  auf  analytischem  oder  auf  con- 
structivem  Wege  behandeln  solle?  Diese  Fragestellung  ist  verkehrt; 
man  kann  sie  aber  meines  Erachtens  verbessern,  indem  man  sie  so 
formulirt: 

Was  soll  in  der  Geometrie  auf  analytischem  und  was  auf  con- 
stmctivem  Wege  behandelt  werden?  — 

Die  Untersuchung  der  geometrischen  Verwandtschaften  gilt  mit 
Recht  als  eines  der  brauchbarsten  Hilfsmittel  geometrischer  Specu- 
lation;  ja,  sie  wird  geradezu  als  das  Fundament  der  Geometrie  be- 
zeichnet Die  einfachsten  Correlationen  von  nur  einer  Dimension, 
also  namentlich  die  projectivischen  Punktreihen  und  Strahlbüschel, 
haben  diese  fundamentale  Bedeutung  unzweifelhaft;  aber  alle  andern, 
—  sogar  die  Collineation  —  zeigen  hinsichtlich  ihrer  Anwendung 
einer  von  jener  wesentlich  verschiedenen  Charakter;  sie  dienen  zur 
Transformation  einfacher  geometrischer  Sätze  in  andere  von  grösserer 
Complication  und  —  wenn  die  Sätze ,  von  welchen  man  ausging,  tri- 
vial waren  —  auch  von  grösserem  Interesse.  Eine  Ausnahme  macht 
nnr  die  einfachste  der  reciproken  Verwandtschaften,   diejenige 


246  Sanio:  Ueber  FrojeetwUät  und  pcartuUs 

der  reciproken  Polaren  innerhalb  des  eigentlichen  Gebiets  ihrer  An- 
wendung in  so  fern,  als  die  durch  ihre  Anwendung  resultirendeu 
Theoreme  nicht  complicirter  (aber  auch  nicht  einfacher)  sind  als 
diejenigen,  aus  welchen  sie  hergeleitet  wurden,  und  denen  sie  nach 
dem  Princip  der  Dualität  entsprechen;  triviale  Sätze  können  durch 
sie  nicht  in  interessantere  transformirt  werden. 

Der  Begriff  der  Correlation  ist  eines  der  geistreichsten  Prodncte 
geometrischer  Einbildungskraft;  jede  bestimmte  Correlation  darf  als 
eine  Maschine  aufgefasst  werden,  welche  zunächst  zur  Prodnction 
[man  würde  für  gewöhnlich  sagen:  zur  Entdeckung]  geometrischer 
Sätze  bestimmt  ist,  schliesslich  aber  —  indem  sich  der  antike  Begriff 
des  geometrischen  Lehrsatzes  erweitert  —  selbst  als  Object  der 
Betrachtung  dienen  kann. 


Anmerkung.  Das  Bild  der  „Maschine'*  scheint  mir  in  sofern  nicht 
anpassend,  als  dadurch  die  Anfmerksamkeit  auf  eine  Eigentfimlichkeit  hin- 
gelenkt wird,  welche  sogar  der  gesammten  Mathematik  in  bedeutendem  Grade 
eigen  ist  und  den  denkenden  Gegnern  der  Mathematik  Cvon  denen  natClrlich 
allein  die  Rede  sein  kann)  zu  ungerechten  aber  nicht  ganz  ungerechtfertigten 
Angriffen  die  Handhabe  gegeben  hat.  Am  Weitesten  ist  hierin  wohl  der  Philo- 
soph Schopenhauer  gegangen,  welcher  die  Mathematik  zwar  an  einer  Stelle 
seines  Hauptwerkes  (»Die  Welt  als  Wille  und  Vorstellung^)  eine  Wissenschaft 
sein  l&sst,  aber  bei  andern  Gelegenheiten  mit  einer  gewissen  Inconsequens  als 
einen  Gegenstand  bezeichnet,  welcher  für  den  wahren  Denker  nur  ron  sehr 
geringem  Interesse  sein  kann.  Er  stützt  sich  dabei  auf  gelegentliche  Urteile 
von  Mathematikern,  welche  einesteils  humoristisch  gedacht,  andernteils  zwar 
treffend,  aber  unvollst&ndig  und  zwar  aphoristisch  hingeworfen  waren,  und 
deren  Autoren  schwerlich  mit  der  Auffassung  Schopenhauer's  in  diesem  Punkte 
einverstanden  sein  würden.  Aber  der  Angriff  hat  dennoch  einen  Kern,  wel- 
cher Berücksichtigung  verdient  und  von  Schopenhauer  selbst  witzig  und  ziem- 
lich treffend  durch  seinen  Vergleich  des  Mathematikers  mit  ,,einer  Katze, 
welche  mit  ihrem  eigenem  Schwanz  spielt''  charakterisirt  worden  ist. 

Die  Theoreme  der  Mathematik  —  wie  Resultate  productiven  Denkens 
überhaupt  —  tragen  hftnfig  den  Charakter  des  Künstlichen,  Gemachten  zor 
Schau,  w&hrend  die  andere  Seite  an  ihnen,  das  Natürliche,  Beobachtete,  Ge- 
wordene sich  dem  Blick  des  oberflächlichen  Beobachters  verbirgt  und  daher 
leicht  übersehen  wird.  Bei  den  interessanteren  Maschinen  —  diesen  wun- 
derbaren Gebilden  durch  Aneinanderkettung  von  Natur  und  Menschengeist  — 
verh&lt  es  sich  ähnlich;  auch  hier  übernimmt  die  Kunst  so  zu  sagen  das 
Heroldsamt.  Da  nun  die  Kunst,  die  Willkür  sich  gewissermassen  bei  der  Er- 
findung einer  Correlation  concentrirt,  um  hemaeh  der  Beobachtung,  der 
planmAssigen  Anwendung  Platz  zu  machen,  so  möchte  der  Terminiis  „Ha- 
schine'' für  ein  derartiges  Gebilde  etwas  für  sich  haben;  auch  in  sofern,  als 
*  wir  dadurch  das  Künstliche,  welches  nun  einmal  in  geometrischen  Unter- 
suchungen liegt,   offen  eingestehen,    und    nun   die  Aufgabe  an   aas  herantritt, 


DijfkrentitUgleichungen  in  der  Geometrie.  247 

Die  allgemeine  Theorie  der  Correlationen  wird  aaf  diese  Weise 
eine  ^gemeine  Maschinenlehre  der  Geometrie'^',  aber  der  Begriff 
einer  solchen  ist  damit  noch  nicht  erschöpft;  denn  es  giebt  noch 
eine  zweite  Reihe  von  Hilfsmitteln,  welche  den  Charakter  der  Ma- 
schine ebenso  an  sich  tragen  und  mit  jenen  erstem  zusammen  erst 
ein  Ganzes  bilden^    Ich  meine  die  Coordinatensysteme. 

Dass  ein  Parallelismus  zwischen  Correlationen  und  Coordinaten- 
sYstemen  existirt,  wird  sofort  klar,  wenn  man  sie  analogisch  —  durch 
(rleichnngen  —  definlrt. 


Die  Gleichungen 


I  =  fix,  y) 


wenn  man  x,  ^  die  Coordinaten  eines  Punktes  P,  £,  ri  diejenigen 
eines  andern  Punktes  11  sein  lässt  —  beide  auf  dasselbe  fun- 
dtmentale  Coordinatensystem  bezogen  —  stellen  eine  Cor- 
relation  dar;  dieselben  beiden  Gleichungen,  wenn  man  x,  y  und  I,  ?/ 
beide  auf  deusclben  Punkt  P  bezieht,  alsdann  aber  nur  das  eine 
Coordinatenpaar,  etwa  x,  y,  zugleich  auf  das  fundamentale  Coor- 
dinatensystem beziehen  kann,  charakterisiren  ein  neues  Coordi- 
natensystem, in  welchem  i,  17  die  Coordinaten  (Parameter)  des 
Punktes  P  sind. 

Auch  diese  Zusamroenordnung  von  Correlationen  und  Coordi- 
natensystemen  ist  eine  künstliche,  wie  aus  dem  Umstände  her- 
vorgeht, dass  sie  von  der  Beschaffenheit  des  fundamentalen  Coor- 
dinatensystems ,  dessen  man  sich  bei  der  analytischen  Delinition  der 
Correlationen  und  Coordinatensysteme  bedient,  wesentlich  abhängt; 
so  dass  einer  andern  Wahl  des  letztern  ein  anderer  Modus  der  Zu- 
sammenordnung entsprechen  wird. 


du  Natarliche,  welches  ebenfalls  darin  liegt,  anfznsuchen  and  von  dem  erstem 
begrifflich  zn  trennen. 

Sollte  es  wohl  gans  xo/Ulig  sein,  dass  der  geniale  erste  Erfinder  der- 
artiger ^Maschinen*'  ein  berfthmter  Ingenieur  gewesen  ist  Foncelet,  der  Er- 
üoder  der  Transformationsmethoden  der  Centralprojection  nnd  der  reciproken 
Polaren  mnss  wohl  als  der  eigentliche  Schöpfer  der  Idee  der  Transformation 
geometrischer  Sitae  dnrch  Correlationen  angesehen  werden,  wenn  aach  Möbius 
Verdienste  nm  die  Feststellung  des  allgemeinen  Begriffs  der  Correlation  nnbe- 
itreithar  ist. 

Dass  der  Erfinder  der  Coordinatensysteme  ein  grosser  Philosoph 
geiresen  ist,  erscheint  mir  ebenfalls  bezeichnend;  der  erste  Zweck  dieser  Er- 
üadang  war,  Ordnung  in  das  Chaos  zu  bringen,  die  Methode  an  die  Stelle 
<iei  WitKS  IQ  setsen. 


248  Santo:   üeber  ProjeeiivUät  und  partielle 

Es  entsteht  daher  die  Frage  nach  dem  einfachsten  Goordi- 
natcnsystem,  damit  man  dasselbe  als  fundamentales  wählen  könne. 
Ich  zweifele  kaum,  dass  sich  das  älteste  von  allen,  das  Cartesias'sche 
auch  als  das  einfachste,  das  natürliche  erweisen  wird.  Der 
Winkel  der  Coordinatenaxen  ist  zwar  für  viele  Betrachtungen  ohne 
Belang;  wo  es  aber  auf  denselben  ankommt,  wird  sich  sicher  der 
rechte  Winkel  empfehlen  —  wofür  die  oben  entwickelten  Syra- 
metrieeigenschaften  der  projectivischen  Strahlbüschel  schon  einen 
Beleg  abgeben  dürften.  Das  Cartesius'sche  System  der  rechtwinkligen 
Coordinaten  soll  also  hier  als  das  fundamentale  Goordinatensystcm 
gedacht  werden. 

Unter  dieser  Voraussetzung  gewinnt  die  Frage  einen  bestimmten 
Sinn: 

Welches  Goordinatensystcm  ist  das  der  Verwandtschaft  der  Colli- 
neation  parallele? 


Anmerkung.  Dieser  Gegenstand  verUngt  allerdings  eine  prtncipielle 
Untersuchnng,  wobei  auch  die  gerade  Linie  zuvörderst  als  unbekannt  angenom- 
men werden  muss. 

Denkt  man  sich  auf  einer  beliebigen  krnmmen  Oberfläche  ein  System 
beliebiger  Curven  —  die  Ordinatenourvcn  —  und  eine  sie  alle  dttrchschnn« 
den  de  —  die  Absei ssencurre  —  gegeben,  auf  welcher  letztem  man  den  Coor- 
dinatenanfangspuukt  beliebig  wählt,  so  bedarf  man  nur  noch  eines  Maasses 
in  Gestalt  eines  absolut  biegsamen,  nna  usdehubaren  Fadens,  um  auf 
dieser  Fl&cho  analytische  Geometrie  treiben  zu  können.  Die  Wirkungssphirf 
des  analytischen  Verfahrens  scheint  hier  weiter  zu  gehen  als  die  des  con- 
structiven.  Eine  Gleichung  ersten  Grades  zwischen  x  und  y  charakterisirt  eine 
Cnrve,  welche  man  als  „Curve  erster  Ordnung'^  bezeichnen  kann.  Die  von 
geraden  Linien  geltenden  S&tze  der  reinen  Geometrie  der  Lage  werden  sich 
auf  die  so  eben  definirten  ^Curven  erster  Ordnung"  ausdehnen  lassen,  so  bei- 
spielsweise der  berflhmte  Satz  von  Desargues:  „die  Schnittpunkte  entsprechen- 
der Seiten  zweier  perspectivischer  Dreiecke  liegen  auf  einer  Geraden^,  wenn 
man  überall  anstatt  der  geraden  Linie  die  „Curve  erster  Ordnung**  substitnirt. 
Dieser  Satz  ist  nftmlich  nur  dns  geometrische  Bild  einer  Identität  zwischen 
Coordinaten,  welche  ans  der  linearen  Beschaffenheit  der  Gleichungen  folgt. 

Ich  muss  darauf  verzichten,  diese  an  sich  interessanten  Betrachtungen  hier 
weiter  zu  führen  und  wollte  nur  die  Möglichkeit  einer  fundamentalen  Unter- 
suchung der  Coordinatensysteme,  um  das  Natürliche  zu  erkennen  und  die 
Fruchtbarkeit  derartiger  Betrachtungen  plausibel  machen ;  sie  treten,  wenn  man 
sie  zu  Ende  führt ,  notwendiger  Weise  mit  den  metaphysischen  Betrachtungen 
Über  die  Natur  des  Raumes  (die  sogenannte  absolute  oder  Nicht-Euklidische 
Geometrie)  in  Zusammenhang,  und  werden  sich  dergleichen  Speculationen, 
wenn  man  sich  eine  möglichst  gründliche  Einsicht  in  das  Coordinatenprineip 
verschaffen  will,  kaum  entbehren  lassen. 


D\ffereniiaigUichungen  in  der  Geometrie.  249 

Ich  finde  das  folgende,  welches  hier  der  Kürze  wegen  für  den 
Angenblick  als  „projectivisches  Coordinatensystem"  bezeichnet  wer- 
den mag. 

Seien  r,  ^  die  Coordinaten  von  P  in  Beziehung  auf  das  funda- 
mentale Coordinatensystem ,  ABC  ein  beliebiges  Dreieck ,  und  durch 
C  zu  AB  eine  Parallele  gelegt;  man  ziehe  durch  P  von  A  und  B 
ans  gerade  Linien,  welche  auf  der  zuerst  genannten  Parallele  die 
Schnittpunkte  «3,  H  bestimmen,  setze,  wenn  i>,  E  zwei  beliebige 
Pankte  auf  den  Dreiecksseiteu  AC,  BC  sind, 

CS       ^       CH 
DC  ^    '      EC  ""  ^' 

and  betrachte  |,  rj  als  die  Coordinaten  des  Punktes  P  in  dem  neuen 
Coordinatensystem. 

Es  lässt  sich  nämlich  zeigen,  dass  $,  17  mit  Xj  y  durch  Glei- 
chungen von  der  Form 


£  = 


c+cjx+^gy 


""  c  +  Cjaj  +  Cgy 

verbanden  sind,  und  dass  durch  passende  Wahl  des  Dreiecks  ABC 
und  der  Grössen  CD,  CE  den  Coefficienten  jener  Gleichungen  be- 
liebig gegebene  Werte  erteilt  werden  können.  Unser  System  besitzt 
daher  den  gehörigen  Grad  der  Allgemeinheit;  man  kann  ihm  noch 
andere  Gestalten  geben,  welche  aber  nicht  wesentlich  allgemeiner  sein 
können. 


Anmerkung,  Der  einfachste  Beweis  der  obigen  Behauptung  dürfte 
dieser  sein: 

Aas  der  Construction  folgt,  dass  für  die  Funkte  der  Geraden  AB  die 
Coordinaten  £,  tj  unendlich  werden,  und  dass  für  die  Punkte  der  Geraden  AC^ 
J  =  0  und  fÄr  die  Punkte  der  Geraden  BC,  jy  =  0  wird.  Es  muss  daher, 
wenn 

a^X'\-a^'\-a  =  Z.  »=  0  die  Gleichung  der  Geraden  AC 

6ia:-j-%+Ä  «  AA«  0     „  „  „  „       BC 

CiX-\'C^y  ']rc=^  N  =  0     „  ,'  „  „       AB 

ist,  I  and  j;,  durch  x  und  y   ausgedrückt,  von  der  Form 

L  M 

werden,  wo  9  und  ^  noch  naher  zu  bestimnaen  sind. 


250  Santo:   Ueber  Prqjeetivü&t  und partieUe 

TraDsformirt  man  ein  projectivisches  Coordinatensystem  in  ein 
anderes  ebenfalls  projectivisches,  so  behalten  die  Transformatioas- 
formein  dieselbe  Gestalt,  wie  oben. 

Diese  Art  von  Coordinatensystemen  will  ich  dazu  benutzen,  zu 
zeigen,  wie  eine  and  dieselbe  anf  Grössenverh&ltnisse  bezügliche  Be- 
merkung, wenn  man  sie  auf  verschiedene  Coordinatensysteme  an- 
wendet, zu  verschiedenen  Eigenschaften  einer  nnd  derselben  Cune 
führen  kann. 

Wenn  man  ein  rechtwinkliges  Coordinatensystem  in  ein  anderes 
ebenfalls  rechtwinkliges  transformirt,  so  mag  dieses  „einer  Trans* 
formation  innerhalb  des  Gebiets  der  rechtwinkligen  Coordinaten- 
systeme" genannt  werden. 

Man  kann  durch  Transformation  innerhalb  des  Gebiets  des  recht- 
winkligen Coordinatensysteme  die  Coefficienten  der  linearen  Glieder 
und  des  bi linearen  Gliedes  der  allgemeinen  Eegelschnittgleichnng 
zum  Verschwinden  bringen,  wodurch  die  Gleichung  die  einfache  Form 
erhält: 

Alsdann  führt  die  algebraische  Bemerkung,  dass 

( — «).( — x)  ««-  aj.ac 

ist,  bekanntlich  auf    die  Eigenschaften  der   Hauptaxen   des  Kegel- 
schnitts. 


Lastt  man  den  Funkt  F  in  die  Unendlichkeit  rtteken,    so  wird  ABBS 
ein  Parallelogramm,  und  daher 

CS+  CH  =:  AB. 

Also  mnss  in  diesem  Falle  für  gewisse  constaote  Werte  k^  k^,  k^ 

kxl-^k^ri  «•  k 
sein. 

Fflr  anendlich  entfernte  Punkte  P  wird  aber 

I  == y-9;    ^-^  ^•^• 

Daher  muss: 

sein;  eine  Gleichung,  welche  unabhängig  von  dem  Wert  -    nur   dann 

X 

erfüllt  werden  kann,  wenn  9  und  ^  Constanten  sind. 


DifftTMtwigUichungtn  in  der  GeomBtrie.  251 

Macht  man  dieselbe  Transformation  innerhalb  des  Gebietes  der 
icbiefwinkligen  Parallel-Coordinateusysterae  mit  gegebenem  Axen- 
Winkel ,  so  ftthrt  das  anf  den  Begriff  nnd  die  Eigenschaften  der  con« 
jugirten  Durchmesser. 

Wir  wollen  nun  dieselben  Ueberlegnngen  für  die  projectivischen 
Coordinatensysteme  anstellen. 

Znn&chst  ist  klar,  dass,  wenn  man  die  Oieichong  einer  beliebi- 
gen, nrsprflnglich  auf  Cartesins'schc  Coordinaten  bezogenen  Cnnre 
ii  projecÜTische  Coordinaten  transformirt,  der  Grad  der  Gleichung 
sich  nicht  ändert 

Also  wird,  wenn  jetzt  {,  tj  projectiviscfie  Coordinaten  sind,  auch 

in  diesen 

Ai^'\-2B^  +  Ci7«+2I>{+  2E^+F  «  0 

die  allgemeine  Gleichung  eines  Kegelschnitts. 

Durch  Transformation  innerhalb  des  Gebietes  der  projectivischen 
Coordinatensysteme  kann  man  (sogar  auf  unendlich  yiele  Arten) 
wiederum  die  Coeflicienten  der  beiden  linearen  Glieder  und  des  bili- 
nearen Gliedes  zum  Verschwinden  bringen;  jedenfalls  ist,  wenn  x 
nnd  jf  projectivische  Coordinaten  sind,  die  Gleichung 

die  eines  Kegelschnittes. 

Es  ist  klar,  dass,  wenn  a;,  y  dieser  Gleichung  Genüge  leisten,  die 
drei  Wertepaare 

—X,     —  y 

es  ebenfalls  tun.  Man  findet  daher  zu  jedem  Punkte  P  des  Kegel- 
schnitts drei  andere,  welche  diesem  Kegelschnitt  ebenfalls  angehören. 
Sei  zur  Abkürzung 

gesetzt,  und 

X  Y 

so  wird; 


DC 

■a?, 

• 

X 

X 

'^  DC 
Y 

~— 

y 

=  ' 

"■  EC ' 

so  dass  also  die  drei  andern  Punkte  gefunden  werden,  indem  man 
die  Werte  JT,  Y  in  entgegengesetzter  Bichtung  von  C  aus  aufträgt 
und  die  obigen  Combinationen  durchmacht* 


252  Santo:   üeber  Projectivität  und  partielle 

Sei  wieder  das  Coordinationsdreieck  ABC  gegeben ,  nnd  seien 
P,  Q  zwei  beliebige  Punkte  der  £bene,  ihre  projectiviscfaen  Coordi- 
naten  respective 


und 


X 

Y 

CD  * 

CD 

X' 

Y' 

CD' 

CD 

(die  Punkte  Z>,  E  brauchen  nicht  gezeichnet  zu  werden)  so  können 
die  Constanten  JT,  L  der  Gleichung 

Kx^+Ly^  =  1 

im  Allgemeinen  so  bestimmt  werden,  dass  die  Coordinaten  der  Punkte 
P,  Q  derselben  genügen. 

Man  erhält  nämlich  die  Bcdingungsgleichungen 

^  '  CD*^     'CE^ 

'  CD^^        CE^         ' 
ans  welchen  K  und  L  berechenbar  ist. 

Eine  Ausnahme  bildet  der  Fall,  dass  sich 

verhält,  weil  dann  die  Determinante  der  beiden  Gleichungen  ver- 
schwindet. [Man  kann  sagen,  die  Coefficienten  K^  L  werden  in 
diesem  Falle  unendlich  gross].  Alsdann  liegen  die  Punkte  P,  Q  nnd 
C  in  einer  Geraden. 

Coustruirt  man  zu  P  nach  dem  Vorigen  die  drei  andern  Punkte 
Pi,  Pg,  P3  und  ebenso  zu  Q  die  Punkte  Qi,  Qg,  Q3,  so  hat  man  8 
Punkte,  welche  auf  einem  Kegelschnitt  liegen. 

In  dem  Ausnahmefall  degenerirt  der  Kegelschnitt,  auf  welchem 
die  Punkte  PP^  P^P^,  QQ^  Q^Qs  liegen,  in  zwei  Gerade,  deren 
Schnittpunkt  die  Spitze  C  des  Coordinationsdreiecks  ist. 

Das  führt  auf  die  Bemerkung  (welche  sich  auch  schon  früher 
hätte  machen  lassen),  dass  jede  vier  zusammengehörigen  Punkte 
P,  P|,  P2,  P3  die  Eigenschaft  haben ,  dass  die  Verbindungslinie  von 
P  und  P3  durch  den  Punkt  C  geht,*  desgleichen  die  Verbindungslinie 
von  Pi  und  Pj. 


Dijfferentialgieiekungen  in  der  Geometrie.  253 

Damit  ist  die  schöne  geometrische  Eigenschaft  des  Coordinaten- 
dreiecks  aufgedeckt : 

Constrnirt  man  zn  irgend  einem  Punkte  P  der  Ebene  auf  die 
bekannte  Weise  die  zugehörigen  Punkte  P^,  P^  P3,  so  ist  das  Coor- 
dinatendreieck  ABC  das  Diagonaldreieck  des  vollständigen  Vierecks, 
welches  die  Punkte  P,  P|,  Pj,  P3  zu  Ecken  hat 

Ich  verfolge  diese  Betrachtungen,  welche,  wie  man  sieht,  mitten 
in  die  synthetische  Geometrie  hineinführen,  nicht  weiter,  da  ich  nur 
zeigen  wollte,  wie  eine  und  dieselbe  analytische  Bemerkung,  auf  ver- 
schiedene Coordinatensysteme  in  Anwendung  gebracht,  indem  man 
von  einer  bestimmten  Eigenschaft  einer  Curvenart  ausgeht,  zu  an- 
dern Eigenschaften  derselben  Curvenart  führen  muss;  woraus 
Lervorgeht,  dass  die  Coordinatensysteme  in  analoger  Weise  wie  die 
Correlationen  zur  Transformation  geometrischer  Lehrsätze  gebraucht 
werden  können. 

Dabei  herrscht  im  Allgemeinen  der  Unterschied,  dass  die  An- 
wendung der  Correlationen  von  bekannten  Eigenschaften  bestimmter 
Corvenarten  auf  analoge  Eigenschaften  anderer  Curvenarten  zu 
schliessen  erlaubt,  während  die  Anwendung  der  Coordinatensysteme 
aus  bekannten  Eigenschaften  bestimmter  Cnrvenarten  einen  Schluss 
aaf  andere  Eigenschaften  derselben  Curvenarten  verstattet. 
Beide  parallel  zur  Anwendung  gebracht,  können  erst  eine  voll- 
ständige und  planvolle  Darstellung  der  Geometrie  und  vielleicht  des 
geometrischen  Denkens  überhaupt  ermöglichen,  während  die  Anwen- 
dang  des  Correlationsbegriffes  allein  immer  noch  eiue  Lücke  lässt, 
die  dann  durch  heterogene  und  scheinbar  willkürliche  Betrachtungen 
ausgefüllt  werden  muss. 

Vielleicht  könnte  man  die  Bewegung  der  geometrischen  Specu- 
lation  dadurch  treffend  chrakterisiren,  dass  man  sie  unter  zwei  Ideen 
snbsumirtc:  die  Idee  der  Coordination  und  die  Idee  der  Transfor- 
mation. Beide  kommen  sowohl  bei  den  Correlationen,  als  auch  bei 
den  Coordinatensystemen  in  Betracht,  die  eine  vornehmlich  beim 
Aufbau,  die  andere  beim  Gebrauch  derselben. 


Anmerkang.  Die  Anwendung  der  Coordinatensysteme  ist  keineswegs 
u  die  Anwendung  des  Calcals  in  der  Geometrie  gebunden ;  dieselben  sind 
ebemo  wie  die  Correlationen  Hilfsmittel  geometrischer  Art,  und  man 
kfonte  sich  beider  Arten  von  Hilfsmitteln  auch  anf  constmctiTem  Wege  be- 
(lienen  (Beispiel:  Die  sogenannte  „Steiner'sche  Dampfmaschine^);  aber  es  ist 
bfiehst  sweekmftssig,  auf  die  analytischen  Hilfsmittel  nicht  ku  verzichten; 
TieUadir  beide  Methoden  —  jede  in  der  Weise,  welche  ihrem  Charakter  am 
Meisten  entspricht  -—   neben  einander   snr  Anwendung  ku  bringen  und  durch 


254  Santo:   Ueber  ProjecUoität  und  partieÜe 

Man  hat  den  Coordinatensystemen  zum  Vorwurf  gemacht,  dass 
darch  sie  ein  fremdes  Element  in  die  Betrachtung  der  geometrischen 
Gehilde  hineingetragen  werde.  Dieses  mag  in  Beziehung  auf  manche 
Anwendungen  sehr  gut  treffend  sein,  während  es  mir,  allgemein  ans- 
gesprochen,  ein  schiefes  Urteil  zu  sein  scheint  Allerdings  liefert 
die  Gleichung  einer  Gnrve  in  Beziehung  auf  ein  bestimmtes  Coor- 
diuatensystem  nur  eine  Anschauungsweise  derselben,  entsprechend 
dem  Anblick ,  welchen  diese  Gurre  dem  Beobachter ,  der  sie  von 
einem  Standorte  aus  betrachtete,  gewähren  würde.  Denkt  man  sich 
aber  im  Fluge  alle  möglichen  oder  doch  alle  charakteristi- 
schen Goordinatensysteme  darauf  angewandt,  so  hört  die  Anschau- 
ungsweise auf,  eine  einseitige  zu  sein. 

Es  ist  allerdings  der  Vorteil  des  Geometers,  wo  er  auf  seinem 
Gebiete  arbeitet,  den  Standpunkt  rasch  wechseln  zu  können*,  woraus 
die  Aufgabe  entspringt,  der  analytischen  Coordinatentransforma- 
tion  geometrische  Gesichtspunkte  abzugewinnen,  sie  wo  möglich 
ganz  in  eine  geometrische  Goordinatentransformation  zu  verwandeln; 


ihr  kunstloses  —  weil  natlLrliches  —  Ineinandergreifen  auf  dem  einfachsten 
Wege  die  Geometrie  entstehen  xu  lassen.  Deshalb  ist  —  um  zwei  Mei- 
sterwerke ersten  Banges  neben  einander  zu  stellen  —  Steiner's  Methode  frucht- 
barer als  diejenige  v.  Standt's. 

Die  Analysis  lege  den  Grund,  die  geometrische  Betrachtung  stehe  die 
Consequenzen  —  das  wird  im  Allgemeinen  die  zweckmEssigste  Teilung  der 
Arbeit  sein;  oder,  wenn  die  Anwendung  eines  Vergleichs  veratattet  ist:  Die 
Analysis  sei  das  grobe  Geschütz,  die  »ynthetische  Geometrie  das  kleine  Ge- 
wehr; CS  nimmt  sich  seltsam  ans,  wenn  unter  Anwendung  von  mancherlei 
analytischen  Kunstgriffen  und  Verbiegungen  des  Coordinatensystems  ein  ein* 
seines  Theorem  bewiesen  wird,  welches  nrsprflnglich  durch  Geometrie  entdeckt 
wurde,  und  dessen  Beweis  auf  geometrischem  Wege  naturgemasa  tou  Statten 
geht.  Ueberhaupt  sind  nicht  einzelne  Sätze  das  naturgemftsse  Zielobject  der 
Analysis;  eher  schon  Systeme  von  Sfttzen.  Die  geometrische  Methode  be- 
sitzt eine  Geschwindigkeit  der  Bewegung ,  worin  die  Analysis  mit  der  Geo- 
metrie nicht  vorteilhaft  concurriren  kann,  selbst  wenn  sie  noch  so  viele  An« 
leihen  bei  der  letztern  —  in  Gestalt  künstlicher  Goordinatensysteme  —  macht. 
Dagegen  vermag  die  Analysis  von  ihrem  erhabenen  Standpunkte  aus  weite 
Gebiete  im  Ganzen  mit  einem  Blick  zu  überschauen  und  Methoden  zu  be- 
gründen, zu  deren  Ausbeutung  nach  jeder  Bichtung  hin  sie  weder  Bemf 
noch  besonderes  Geschick  besitst;  diese  Ausbeutung  ist  aber  eine  wichtige 
Aufgabe,  und  keineswegs  die  leichtere,  kein  blosses  Anh&ngsel;  wenn  aoch 
die  Aufgabe  des  Geometers  durch  die  Hilfe  der  Analysis  eine  wesentlich  leich- 
tere wird,  so  wird  dafür  das  Gebiet  seiner  Forschung  ein  wesentlich  reicheret^ 
als  wenn  er  auf  die  Hilfsmittel  der  rein  geometrischen  Anschauung  angewiesen 
wtre. 


*  DiffkrtnikdgUkkungeti  in  der  Geomttru,  255 

was  atterdings  mit  jeder  besondern  Art  von  Coordinatensystemen  nur 
fär  eine  gewisse  Grnppe  Ton  Untersuchungen  gelingt  Für  dieses 
Gebiet  ist  dann  das  Coordinatensystem  ein  natttrliches,  für  jedes 
aodere  ein  mehr  oder  weniger  künstliches. 

Entsprechend  den  oben  begonnenen  Untersuchungen  über  die 
Differentialgeometrie  der  Correlationen  und  parallel  denselben  muss 
eine  ,^lgemeine  geometrische  Maschinenlehre^*  die  Differentialgeome- 
trie der  Coordinatensysteme  untersuchen,  was  zu  ebenso  einfachen, 
als  an  sich  merkwürdigen  Resultaten  führt ,  worauf  aber  hier  nicht 
eingegangen  werden  soll. 

Dass  in  dem  Vorigen  überhaupt  die  Coordinatensysteme  berührt 
worden  nnd,  geschah  deshalb,  weil  dadurch  die  Correlationen  als 
notwendiger  Teil  eines  Ganzen  auch  vom  logischen  Standpunkte  be- 
trachtet an  Bedeutung  gewinnen  und  nicht  mehr  als  ein  zußllliges 
Erzeogniss  geometrischer  Speculation  angesehen  werden  können. 

Das  Fundamentalgesetz  der  projectivischen  Beziehung  bei  Cor- 
relationen führt  zu  ganz  andern  Gruppen  partieller  Differential- 
gleichungen, als  die  in  dem  Vorigen  erwähnten. 

Wir  wissen,  dass  die  geradlinigen  Verlängerungen  entsprechen- 
der, von  den  Punkten  P,  17  ausgehender  Elemente  sich  im  Allge- 
meinen auf  einem  Kegelschnitt  treffen,  welcher  durch  die  Punkte  P, 
n  hindurchgeht. 

Man  kann  nun  die  Bedingungen  aufsuchen,  unter  welchen  der 
Kegelschnitt  eine  specielle  Gestalt  erhält.  Diese  Untersuchung  ist 
ebenfalls  überaus  einfach  vermittelst  der  Cartesius'schen  Coordinaten 
durchführbar. 

Seien  PS^  US  die  geradlinigen  Verlängerungen  zweier  entspre- 
chender Elemente,  »,  v  die  Coordinaten  ihres  Schnittpunktes  S^  so 
haben  wir  nach  den  früheren  Bezeichnungen 


Anmerknng.  Wenn  man  sagt,  das  rechtwinklige  Coordinatensystem, 
▼ennittelst  tlcssen  man  einen  beliebigen  Kegelschnitt  dnrch  eine  Oloiehung 
darstellt,  habe  nichts  mit  dem  Kegelschnitt  selbst  tn  tun,  so  ist  das  im  All- 
geoeinen  richtig;  es  wird  aber  unrichtig,  wenn,  nachdem  dnrch  eine  leichte 
Traasforaiation  die  Hanptaxen  entdeckt  worden  sind,  der  Kegelschnitt  anf 
diese  als  Coordinatenaxen  bezogen  wird;  denn  die  Hauptaxen  sind  doch 
•icher  nicht  etwas  dem  Kegelschnitt  Fremdes.  Die  Transformation  mnss  mit 
ins  Ange  gefasst  werden ;  sie  maus  gleich  bei  der  Erfindung  von  Coordinaten - 
i}nteoMn  massgebender  Factor  sein. 


256  '^^ " '  ^  *    ^^^  Projectiviiät  und  partiefie 

wonn 

t \  T  =  { 

zu  substituiren  ist, 

Also  wird  die  Gleichung  der  Schnittcarve: 

Ordnet  man  die  Gleichung  nach  ihren  Yariabeln  u,  v,  so  werden  die 
Glieder  der  höchsten  Dimension  : 

von  welchen  allein  bekanntlich  die  Form  des  Kegelschnitts  abhängt 
Transformirt  man  diesen  Ausdruck  durch  Drehuug  des  Coordinaten- 
Systems,  also  vermittelst  der  Formeln 

u  =  tt'cosd^ — fj'sin^ 
V  =  t*'sin  -©"-f-v'cos^ 

auf  die  Hauptaxenrichtungen ,  so  bestimmt  sieh  der  Winkel  ^  durch 
die  Gleichung: 

^  ^       b«  —  (i-i 

und  die  Glieder  zweiter  Dimension  der  transformirten  Kegelschnitts- 
gleichung  werden: 

+  p.-?*_  *i.±??eo82i/-*-*f-''J  8m2&].V. 

Sei  das  Verhältniss  der  Hauptaxen  durch  h  bezeichnet,  wobei  i- 
für  die  Ellipse  reell  gesetzt  wird,  also  für  die  Hyperbel  reia  ima- 
ginär. 

Man  hat  also: 

^1  —  qt-f-(^j"f'^2)cos2i^-f"  (*«  ~"  «i)  8"»  2^ ,» 

*i — a^  — {bi-\- 0^)00829'— {b^  —  a^)  sin  2& 

Der  besondere  Wert  Ä:*  =  +1  g^ß^t  den  Kreis,  der  Wert  h*  =  — i 
die  gleichseitige  Hjrperbel,  der  Wert 

A?«  =  Null  oder  Unendlich 
die  Parabel. 


D^gh^BuiüUgMBhmgm  in  der  Owmettü.  257 

Man  ftidet  liifrAiis  hr  die  CorrelatioB  leicht  folgende  Resultate : 
Wenn  der  Kegelschnitt  ein  Kreis  werden  soll,  so  muss 

sein;  soll  er  eine  gleichseitige  Hyperbel  werden,  so  muss 

hx       cy 
sein;  soll  er  eine  Parabel  werden,  so  muss 


sein. 


Verlangt  man  endlich  Kegelschnitte,  deren  Axenrerhältuiss  durch 
eioe  g^ebene  Zahl  k  dargestellt  wird ,  so  muss  für  diese  die  Glei- 
cfaoBg  erflllt  werden : 


Anmerkung.     Die  Comb ination  der  beiden  oben  gefundenen  Gleichnngen 

f&brt  auf  eine  interessante  Aufgabe  der  Integralrechnung,  welche  das  Problem 
iW  conformen  Abseicbnungen  als  spcciellen  Fall  in  sich  enthftlt.  Verlangt 
man  Dioalich,  dass  ^undfeeonstant  sein  sollen,  so  giebt  das  swei  lineare 
partielle  Differentialgleichungen  mit  constanten  Coefftciontcn.  Die  geometrische 
FiMQDg  de«  Problems  ist  diese: 

Correlationen  zu  finden,  deren  Schnittcurven  entsprechender  Strahlbüschel 
IbnUcbe  und  axenparallele  Kegelschnitte  werden. 

Läset  111*11  die  Axenrichtungen  der  Kegelschnitte  mit  den  Coordinatenaxen- 
riehtvDgen  idetitisch  werden,  wodurch  der  Charakter  des  Problems  keine  Aen- 
denng  erleidet,  so  werden  die  Differentialgleichungen  diese : 

8|  ^  8iy       ^_^  =  Const 

3a!  °^  ^*      85 36 

dx       dy 

Aitk.  d.  KbXk,  a.  Fhya.   2.  Beihs,  Teil  I.  17 


258 


Santo:  Ueber  ProfectwUäi  und  pardtüe 


Die  erste  dieser  Gleichungen,  welche  angiebt,  wann  der  Kegelschnitt 
ein  Kreis  wird,  kann  anf  reelle  Weise  nur  dadurch  erfüllt  werden, 
dass  man 


dx      dy         ' 


dy 


setzt;  das  sind  aber  die  Bedingungen  der  ersten  Art  der  Conformität. 
(Congruente  Strahlbüschel  mit  gleichem  Drehungssinn). 

Dagegen  ist  die  zweite  Gleichung,  die  Bedingung  für  die  gleich- 
seitige Hyperbel,  nur  eine  der  beiden  Bedingungen  fOr  die  Cod- 
formität  zweiter  Art. 

Eine  andere  Aufgabe  von  fundamentaler  Bedeutung  besteht  darin, 
die  analytische  Bedingung  dafür  aufzusuchen,  dass  die  Schnittcnne 
anstatt  eines  Kegelschnittes  eine  gerade  Linie  wird. 

Da  wir  wissen ,  dass  in  diesem  Falle  die  Gerade  PU  die  Rich- 
tungen eines  Paares  entsprechender  Strahlen  angiebt,  so  ist  die  Auf- 
lösung leicht  Es  folgt  nämlich  aus  dem  so  eben  Gesagten,  dass  in 
diesem  Falle 


%  =  t 


£-« 


ein  Paar  entsprechender  Werte  <,   %  sind,   und  daher  die  Funda- 
mentalgleichung 

darch  die  Substitution  dieser  Werte  erfüllt  werden  mnss. 


Das  giebt: 


(I-*) 


"i-y^  Fx 


+  (^— y) 


«-''    dy 
^-y'   dy 


0, 


welches  die  gesuchte  Bedingung  der  Linearit&t  der  Schnittcurve  ist 

Alle  partiellen  Differentialgleichungen,  zu  welchen  wir  gelangt 
sind,  können  in  zweifacher  Weise  zur  Anwendung  kommen.  Ent- 
weder handelt  es  sich  um  die  Untersuchung  einer  gegebenen Cor- 
relation,  wo  dann  die  partiellen  Differentialgleichungen  algebraische 
Gleichungen  werden,  durch  welche  in  dem  P-Gebiete  und  dem  ent- 
sprechend in  dem  77-Gebiete  Gurveu  charakterisirt  werden,  deren 
Punkten  die  betreffenden  Eigenschaften  zukommen;  oder  man  sacht 
besondere  Arten  von  Gorrelationen,  welche  einer  oder  zweien  der 


DifferenHaigUiehuHffen  m  dtr  Geometrie, 


259 


partiellen  Differentiatgleichangen  überall   Genflge  leisten,  was  eine 
Aufgabe  der  Integralrecbnang  ist 


Die  Gleichnog 

«-«) 

Bfi 

+  ('»  -y) 

0, 


die  Bedingung  der  Linearität  der  Scbnittcurve ,  mag  in  dem  zu- 
letzt genannten  Sinne  in  Betracht  gezogen  werden.  Dieselbe  be- 
sitzt die  Eigenschaft,   sich  anf  eine  abhängige  Yariabele  bringen  zu 

lassen. 


Setzt  man  nämlich 


2« 


SO  iäsBt  sich  Alles  durch  z  und  dessen  partielle  Differentialquotienten 
aosdrUcken,  und  die  partielle  Differentialgleichung  nimmt,  wie  man 
leicht  sieht,  die  sehr  einfache  Gestalt  an: 

Diese  Gleichung  besitzt  die  Lösung: 


z 


v-b 


X 


wenn  a  und  b  Constanten  sind.    Man  kann  dieselbe  bekanntlich  nach 

dem  Princip  der  Variation  der  Constanten   Torallgemeinem,   indem 

man 

b  =  q>(a) 
und 

dz       dz     db 

51+ äl  •  —  =•  0 

setzt 


da'^  db     da 


Man  erhält  dadurch  in  nnserm  Falle: 

db       y — b 
da       X  —  a 

Die  geometrische  Deutung  dieser  Resultate  ist  leicht.  Betrachten 
wir  znnächst  den  einfacheren  Fall,  von  welchem  wir  ausgegangen, 
daas  a  und  b  Constante  sind> 


17^ 


260  Santo:  üebtr  ProjeeHvitäl  und  partiette 

Die  Oleichnng 

£ — X       X — a 

sagt  ans,  dass  die  Correlation  die  Eigenschaft  haben  mnss,  dass 
jedes  Paar  entsprechender  Punkte  P,  11  mit  einem  festen  Punkte  C, 
dessen  Coordinaten  a,  b  sind,  in  einer  geraden  Linie  liegt.  Dadnrch 
allein  ist  aber  die  Correlation  noch  nicht  bestimmt,  und  die  Ver- 
vollständigung ist  im  Allgemeinen  in  unser  Belieben  gestellt;  man 
kann  das  geometrisch  so  ausdrücken,  dass  man  sagt:  es  darf  eiue 
beliebige  Cnrvenschaar ,  welche  nur  von  einem  Parameter  abhängt 
(d.  i.  deren  Individuen  durch  die  Werte  dieses  Parameters  bestimmt 
sind),  hinzugefügt  werden. 

Wir  wollen  nun  die  allgemeine  Lösung  ins  Auge  fassen.  An 
die  Stelle  des  Punktes  C  tritt  eine  beliebige  Curve: 

b  =-  9(a). 
Wir  haben  jetzt: 

db        y  —  b        ff  —  y 
da       X  —  a       I  —  X 

db 

Da  j   die  trigonometrische  Tangente  der  im  Punkte  (a,  b)  an 

jene  Curve  gelegten  Tangente  ist,  so  sehen  wir  ohne  Weiteres,  dass 
an  die  Stelle  der  durch  den  Punkt  C  gehenden  Geraden  hier  die 
Tangenten  der  Curve  treten. 

Wir  können  diese  Betrachtungen  zu  folgendem  geometrischen 
Theorem  zusammenfassen: 

Wenn  man  eine  beliebige,  nur  von  einem  Parameter  abhän- 
gende Cnrvenschaar  und  ausserdem  eine  einzelne  Curve  C  hat ,  und 
wenn  man  aus  diesen  Elementen  eiue  Correlation  in  der  Weise  con- 
struirt ,  dass  man  Tangenten  an  die  Curve  C  legt  und  irgend  zwei 
der  Schnittpunkte  einer  Tangente  mit  einer  Curve  der  Schaar  als 
entsprechende  Punkte  der  Correlation  auffasst,  so  hat  die  Correlatioi 
im  Allgemeinen  die  Eigenschaft,  dass  die  entsprochenden  Strahlen 
der  zu  7%  il  gehörigen  Strahlbüschel  sich,  hinreichend  verlängert, 
auf  einer  Geraden  schneiden.  An  die  Stelle  der  Curve  C  kann, 
wenn  man  will,  auch  ein  Punkt  C  treten.  Ausnahmefälle,  in 
welchen  die  Schnittcurve  keine  Gerade  wird,  sind  denkbar  und 
müssen  bei  jeder  besondern  Wahl ,  welche  man  trifft,  besonders  auf- 
gesucht werden. 


Anmerkung.    Bs  sei  noch  bemerkt,  dus  diese  CUsse  tod  Correlationen 
unendlicb  Tiele  sich  selbst  entsprechende  Pttnkte  betilct,  welche  tiuammen 


JXjffereniialgkiehungen  in  der  Geometrie.  261 

So  hat  die  lot^pralrechaaug  vermöge  der  einfachsten  Betrach- 
tuAgen  ZQ  einem  geometrischen  Theorem  von  allerdings  bedeutender 
ComplicatioB,  aber  aach  von  überraschend  grosser  Aügemeinheit 
geführt 

Die  Existenz  von  Ausnahmefällen,  welche  überhaupt  eine  cha- 
rakteristische Eigentümlichkeit  der  Theoreme  von  dieser  Art  bildei, 
kann  meines  Erachtens  das  Interesse,  welches  sie  gewähren,  nicht 
TenniDdem;  eher  könnte  sie  dasselbe  erhöhen,  indem  das  Aufsuchen 
dieser  AnsnaJimefUIe  seinerseits  einen  Leitfaden  für  die  Untersuchung 
der  betreffenden  Classe  von  Correlationen  an  die  Hand  giebt. 

Ich  werde  einen  speciellen  Fall,  welcher  sich  als  ein  solcher 
Aosnahme&U  erweisen  wird,  in  Betracht  ziehen,  was  auf  ein  be- 
kanntes Theorem  aus  der  Lehre  von  den  Kegelschnitten  und  den 
entsprechenden  Satz  für  höhere  algebraische  Curven  führen  wird. 

Eine  der  am  häufigsteu  untersuchten  Curvengruppen  ist  ein 
Kegelscbnittbüschel,  das  Ensemble  der  Kegelschnitte,  welche  durch 
vier  g^ebene  Punkte  hindurchgeben.    Dasselbe  wird,  wenn 

die  Gleichungen  zweier  seiner  Kegelschnitte  sind,  durch  die  Gleichung 

F(x,  y)^P 

dargestellt,  wo  p  der  die  einzelnen  Kegelschnitte  des  Büschels  cha- 
rakterisirende  Parameter  ist 

Versteht  man  aber  unter  ^=0»   G  =  0  die  Gleichungen  be- 

liebiger  anderer  Curven ,  so  charakterisirt  die  Gleichung  in.^  p  ein 

beliebiges  Curvenbüachel. 

Wir  wollen  ein  solches  auf  folgende  Weise  zur  Gonstruction  einer 
Conreladon  benutzen: 

Seien  Ay  A  irgend  z%^\  der  Mittelpunkte  des  Büschels  (nämlich 
der  gemeinschaftlichen  Schnittpunkte  sftmmtlicher  Curven),  so  werde 
durch  diese  Punkte  eine  Gerade  —  also  eine  gemeinschaftliche  Sehne 


eine  Cnrre  bilden;  mtii  findet  sie,  indem  man  an  die  C-Carre  und  je  eine 
Cnrre  der  Correnschaar  die  gemeinschaftliche  Tangente  constrnirt.  Dieses  ist 
in  so  fein  eine  beeoadere  Eigeaschalt,  als  Correlationen  im  Allgemeinen, 
wie  vir  beispielswmae  bei  der  CoUineation  gesehen  haben,  nnr  eine  endliche 
Ansah]  lieh  selbst  entsprechender  Fankte  besitzen. 


262  Santo:  üeber  PlroJidwiUU  und  partielU 

des  Büschels  —  gelegt  und  auf  dieser  ein  Punkt  C  angenommen; 
legt  man  durch  C  eine  beliebige  Gerade,  so  sollen  zwei  der  Schnitt- 
punkte der  letztem  mit  einer  Cnrve  des  Büschels  zwei  entsprechende 
Punkte  P,  n  sein. 

Die  Definition  ist  freilich  in  so  fem  noch  nicht  ganz  bestinunt, 
als  noch  nicht  gesagt  ist,  welche  der  Schnittpunkte  gemeint  wer- 
den. Für  die  hier  zu  machende  Anwendung  genügt  es,  festzusetzen, 
dass  es  diejenigen  Punkte  sein  sollen,  welche,  wenn  sich  die  Gerade 
CPn  in  der  Richtung  nach  CAA  hin  dreht,  in  dem  Moment  des 
Zusammenfalleos  beider  Linien  respective  mit  A,  A  identisch  werden. 

Diese  Correlation  soll  in  der  Nähe  der  Punkte  ^,  A,  welche 
als  Mittelpunkte  entsprechender  Strahlbüschel  aufzufassen  sind,  unter- 
sucht werden. 

Seien  x-^-dx^  ifh^hf  ^^^  Coordinaten  eines  Punktes  in  der  Nähe 
von  A  und  E-{-<2$,  17+^^  ^^^  ^^^  entsprechenden  Punktes  in  der 
Nähe  Ton  A,  so  haben  wir,  weil  nach  der  Definition  der  Gleichungen 
G  a^O,  F  >»  0  für  die  Coordinaten  der  Mittelpunkte  A,  A  erfüllt 
sein  müssen: 

dF^    ,  SF  ,    ""  ^  —  8F  ,^  ,  aF  ^   » 

SO  dass  also  zwischen  den    trigonometrischen   Tangenten  ^  *"  ^ 

3^->T  die  lineare  Beziehung  herrscht: 
»5 

G\x)  +  G'(y),t       G'a)+G\fi).t 
~r(x)  +  r(y).t  "  r(i)  +  F'(fi).x 

Die  beiden  Tangentenbüschel  stehen  demnach  in  projectivischer 
Beziehung,  und  es  gilt  jedenfalls  der  Satz: 

Jedes  Cnrvenbüschel  hat  die  Eigenschaft,  dass  die  in  zwei  Mittel- 
punkten des  Btlschels  an  jede  seiner  Gurven  gelegten  Tangenten 
sich  auf  einem  Kegelschnitt  treffen.  Ausgenommen  ist  natürlich  der 
Fall,  dass  die  Determinante  der  Functionen  F,  G  für  die  Coordi- 
naten eines  der  Punkte  A^  A  oder  beider  entweder  verschwindet, 
oder  unstetig  wird. 

Da  die  Correlation,  mit  welcher  wir  uns  hier  beschäftigen,  in 
die  Classe  deijenigen  gehört,  für  welche  oben  das  allgemeine  Theorem 
gefunden  wurde,  dass  die  geradlinigen  Verlängerungen  entsprechender 


Di^erentiaigletehtaigen  in  dtr  Geometrie,  263 

Sohlen  zweier  Bflscbel  sich  auf  einer  Geraden  schneiden,  so  müsste 
der  vorhin  genannte  Kegelschnitt  in  Gerade  degeneriren,  wenn  die 
Ponkte  A^  A  keine  Ausnahmepunkte  wären.  Man  erkennt  aber  leicht, 
das8  sie  wirklich  als  Ausnahmepnnkte  aufgefasst  werden  mflssen; 
der  Umstand,  dass  der  Punkt  C,  der  doch  fttr  die  Construction  der 
Correhition  sehr  wesentlich  war,  aus  den  letzten  Betrachtungen  ganz 
herausgegangen  ist,  deutet  schon  darauf  hin.  Wir  haben  daher  Ver- 
anlassung, das  Verhalten  der  zu  den  Punkten  A,  A  gehörigen  Strahl- 
bflschel  genauer  zu  untersuchen. 

Wenn  sie  perspectivische  Lage  haben  sollten,  so  masste  unter 
den  unendlich  vielen  Paaren  entsprechender  Strahlen  eines  sein, 
welches,  hinreichend  verlängert,  zusammenfiele;  oder,  was  dasselbe 
ist:  eine  Gurve  des  Bttschels  müsste  die  Gerade  AA  doppelt,  näm- 
lich in  den  Punkten  A  und  A  berahren. 

Die  Gleichung 


der  projectivischeu  Beziehung  müsste  daher  erfüllt  werden,  wenn  man 
i&  sie 

hineinsetzt.    Es  müsste  also  für  die  Coordinaten  x^  y  und  £ ,  17  der 
Punkte  A  und  A  die  Gleichung  bestehen: 


(l-'x)F'{x)  +  (iy  -  y)F'(y),     (|  -  x)F'(|)  +  (1?  -  y)F'  (ri) 

(|-x)(?'(x)-f(i?-y)(?'(y),    {|-«)ö'(l)+(i?-y)ö'(i?) 


0. 


Die  weitere  Untersuchung  wird  am  einfachsten,  wenn  man  nach  der 
bekannten  Methode  die  Functionen  F,  G  durch  Einführung  einer 
dritten  Variabein,  welche  hernach  gleich  1  gesetzt  wird,  homogen 
nnd  von  den  Sätzen  über  homogene  Functionen  Gebraneh  macht. 

Man  erhält  auf  diese  Weise  die  Identitäten 


^«1  y)  =  ^(«5  y»  a)  =-  -  (VW  +y9'(y)  +^'i»)) 

n 

nnd  das  Entsprechende  für  £,  17,  und  (  =  1 ;  auch  ist 

rix)^/'(x) 
n.  8.  w. 


für  »  =  1, 


yS4  Sßnioi  ütbw  Projwiwim  md  partMk 

Da  nun  nach  der  VoraQ^setzung  Flx^  y)  »  0^   G(9y  y)  ->  0  ist, 
so  folgt,  dass  toan 

setzen  darf,  and  Analoges  gilt  fElr  |,  17, 

Die  Substitution  dieser  Ausdrücke  in  die  linke  Seite  der  frag- 
lichen Gleichung  liefert: 

«/'W+ilf'(y)+ VW,   ^/'(l)+yr(i?)+J/'(J)  1. 

da  2  »  {;  =?  1  zu  setzen  ist,  so  darf  man  auch  schreiben: 

Sg'(x)  +  riAy)  +ig'(z),    xg\l)  +y/(i?)  +zg\i) 

sind  nun  die  Functionen  F  und  G  spedell  vom  zweiten  Grade,  so 
ist  bekanntlich 

und  die  vorstehende  Determinante  erhält  daher  in  diesem  Falle  wirk- 
lich den  Wert  Null,  wahrend  sie  für  andere  Functionsformen  im 
Allgemeinen  nicht  verschwindet. 

Wir  haben  demnach  den  ans  der  Theorie  der  Kegelschnitte  be- 
kannten Satz  bewiesen: 

Wenn  das  Curvcnbflschel  ein  Kegelschuittbüschel  ist,  so  schneiden 
sich  die  entsprechenden  Tangenten  der  beiden  Tangentenbttschel  auf 
einer  Geraden. 

Wenn  nur  eine  der  beiden  Functionen  F,  G  vom  zweiten,  die 
andere  vom  ersten  Grade  ist,  so  bedeutet  dieses  eine  Gruppe  von 
Kegelschnitten,  welche  einander  ähnlich  sind,  gleiche  Hauptaxen- 
richtungen  haben  und  ausserdem  durch  zwei  gegebene  Pvnkte  hin- 
durchgehen.   Auch  fttr  diese  gilt  der  so  eben  bewiesene  Satz. 

Vergleichen  wir  die  drei  letzten  Theoreme  mit  einander,  so  er- 
scheint das  zweite  als  eiae  Ausnabme  des  ersten,  das  dritte  als  dne 
Ausnahme  des  zweiten  und  daher  der  Hauptregel  entsprechend. 

Die  Kegelschnitte  bilden  hier  einen  Gegensatz  au  denbOhem 
Curven;  ein  solcher  Gegensatz  trat  auch  gleich  am  Anüange  hervor, 
indem  bei  der  Untersochiiug  entaprechender  StrahlbflscM  sipb  loigta, 
dass  hierbei  —  vom  Standpunkte  der  Correlation  betrachtet  —  die 
Projectivität  und  demnach  der  Kegelschnitt  die  Regel,  jede  andere 


IHjfkrtnHalgUichungtn  in  der  Geometrie,  265 

Beziehaiig  zwischen  Strahlbtischeln  nnd  demnach  jede  andere  Schnitt- 
corye  die  Ausnahme  bildet  Ob  diese  Betrachtungsweise  die 
natürliche  ist,  wage  ich  freilich  vor  der  Hand  nicht  zu  ent- 
scheiden. 

Ith  möchte  damit  diese  einfachen  Betrachtungen  schliessen;  ich 
beabsichtigte  damit  vornehmlich,  iu  Erinnerung  zu  bringen,  wie  man 
mit  den  älteren  Hilfsmitteln  der  Analysis  und  vor  Allen  vermittelst 
der  Cartesius'schen  Coordinaten  ohne  grosse  Rechnung  der  syntheti- 
schen Geometrie  doch  erhebliche  Dienste  leisten  kann.  Damit  soll 
den  g^nwftrtig  in  der  analytischen  Geometrie  mit  so  grossem  Er- 
folge angewandten  homogenen  Coordinatensystemen  keineswegs  zu 
nahe  getreten  werden;  aber  die  rechtwinkligen  Coordinaten  sind 
darehaos  Bicht  ftlr  die  Geometrie  veraltet;  sie  sind  fOr  dieselbe  viel- 
mehr nach  wie  vor  als  fundamentales  Coordinatensystem  von 
grösster  Wichtigkeit,  ebenso  wie  fttr  die  Mechanik  und  aus  denselben 
Gründen. 

Ausserdem  giebt  es  Gebiete  in  der  Geometrie,  für  welche  sie 
recht  eigentlich  geschaffen  sind  und  vor  jedem  andern  Coordinaten- 
system den  Vorzug  verdienen.  (Beispiel:  die  Entwickelung  der  Sym- 
metrieeigenschaften der  Kegelschnitte). 

Dass  sie  nicht  überall  hingehören,  ist  ohne  Weiteres  zuzu- 
geben, aber  dasselbe  gilt  von  allen  andern  Coordinatensystemen,  auch 
von  den  trilinearen. 

Eine  auf  fundamentalen  Principien  begründete  und  dabei  doch 
möglichst  detaillirte  vergleichende  Kritik  der  verschiedenen  Coor- 
dinationsmethoden  (Coordinatensysteme  und  Correlationen) ,  verbun- 
den mit  Proben  ihrer  Leistungsfähigkeit  dürfte  die  sowohl  dem  phi- 
losophischen als  dem  speciell  geometrischen  Interesse  entsprechendste 
Einleitung  in  die  wissenschaftliche  Geometrie  —  analytische  sowohl, 
als  auch  synthetische  —  sein.  Vielleicht  würde  eine  derartige  Kritik 
ancb  aus  zureichenden  Gründen  beurteilen  lehren,  was  in  der  Geo- 
metrie sich  naturgemässer  durch  Calcul  und  was  naturgemässer 
durch  synthetisch-geometrische  Betrachtung  machen  lässt 


Anmerkang.  Wenn  eine  gemischte  Darstellung  uns  als  „systemlos"' 
weniger  snaagt,  so  hat  das  seinen  guten  Grond  darin,  dass  bei  derartigen  Dar- 
stcttungen  —  allerdings  mit  Ausnahme  des  Stciner'schen  Meisterwerkes  — 
wobi  selten  in  der  Auswahl  dessen ,  was  auf  die  ei  ne  oder  die  andere  Art  zu 
behandeln  ist,  principiell  verfahren  wird. 


266  Bazalai  ßeluechUtngB''Constructionen. 


XUI. 

Beleuchtungs-Constructionen  für  Flächen,  deren 

zu  einer  Achse  normale  Schnitte  ähnlich 

und   ähnlich  liegend  sind,   bei  orthogonaler  und 

bei  perspectivischer  Darstellung. 

Von 

Herrn  Jo8ef  Baiala, 

Lehrer  der   Mathematik   and  der  darstellenden   Qeometric  an  der  öffentlichen 

Oberrealschnle  in  der  Josefstadt  in  Wien. 

(Mit  3  Tftfeln.) 


§.   1. 

Beleuchtangs-Congtructioneii  für  Flftehen,  deren  zu  einer  Aehse 
normale  Schnitte  fthnlieh  und  älinlieh  Ue^end  slnd^  bei  grewVhnlieher 

BarsteUnng*  durch  Grund-  und  AuMss. 

Die  Flächen ,  deren  Beleuchtnngs  -  Constructionen  Gegenstand 
dieser  Abhandlang  sind,  werden  durch  zwei  Systeme  von  ebenen 
Curven  charakterisirt;  die  durch  eine  bestimmte  Gerade  A  [Taf.  VI, 
Fig.  1.]  gehenden  Schnitte  ilf,  ilf|,  AT,  ...  lassen  sich  auf  einander 
in  zu  dieser  Geraden  normalen  Richtungen  projiciren,  während  die 
zu  derselben  normalen  Schnitte  P  durch  Centralprojectionen  aas 
Punkten  dieser  Geraden  A  in  einander  übergehen.  Wir  nennen  nach 
Professor  Schlesinger  *)  die  ersteren  Linien  Seitenlinien,  die  letzteren 
Formlinien  und  die  (rcrade  A  Scheitelgerade  der  Fläche. 


*)  Josef  Schlesinger    „Die   darstellende  Geometrie   im  Sinne  der  nenereo 
Geometrie«.    S.  359,  Wien. 


Bazala:  BeUuchiungt-Construciümen.  267 

In  Fig.  1.  der  Tafel  VI.  sind  uns  von  einer  derartigen  Fläche  die 
Scbcitelgerade  A,  eine  Formlinie  P  und  eine  Seitenlinie  M  gegeben. 
Um  die  Isopboten  der  dadurch  bestimmten  Fläche  fftr  eine  gegebene 
LichtstrahlenricbtuBg  l  darzustellen,  werden  wir  die  Isophotenpunktc 
einzelner  Seitenlinien  derselben  construiren  und  sie  dann  entsprechend 
verbinden.  Sollen  beispielsweise  die  in  der  Seitenlinie  M^  liegenden 
Isophotenponkte  bestimmt  werden ,  so  suche  man  die  Lagen  E  der- 
jenigen Ebenen  auf,  welche  die  gegebene  Fläche  in  diesen  Punkton 
berflhren.  Diese  Ebenen  müssen  sämmtlich  zu  der  im  Punkte  o^  an 
P  geDlhrten  Tangente  t^  parallel  sein  und  mit  der  Lichtstrahlen- 
ricfatung  l  Winkel  eiuschliessen ,  deren  Sinus  respective  0,  0*1, 
0-2,  0-3  ...  0-9,  1  sind. 

Um  diese  Ebenen  möglichst  einfach  zu  erhalten,  legen  wir  in 
einer  Hilfsfigur  la  durch  einen  in  der  verticalen  Projectionsebene 
liegenden  Punkt  S  einen  Lichtstrahl  l  und  construiren  zehn  Rota- 
tionskegel mit  dem  gemeinschaftlichen  Scheitel  S  und  der  gemein- 
samen Achse  ;,  denen  die  Beleuchtungsstärken  0,  0*1,  0*2,  0*3  ... 
0*9,  1  entsprechen.  Klappt  man  die  horizontal  projicirende  Ebene 
von  /,  welche  wir  in  der  Folge  wegen  ihrer  grossen  Wichtigkeit 
Lichtrissebene  nennen  wollen,  um  /'  in  die  horizontale  Projections- 
ebene um  [h'\  h'  senkr.  x,  S'Sq  senkr.  l\  S^S  «=  Ä'Ä",  S^h''] ,  trägt 

dann  auf  der  zu  ^  normalen  Geraden  SqIO  eine  beliebige  Strecke 
zehnmal  auf  und  projicirt  die  dadurch  entstandenen  Punkte  in  der 

Richtung  Iq  auf  den  aus  ^S^  mit  dem  Radius  jS^IO  geführten  Halb- 
kreis A^o)  80  schliessen  die  durch  den  Scheitel  S^  und  die  Punktreihe 
k^  gehenden  Strahlen  mit  Iq  Winkel  ein,  deren  Sinus  respective  0, 
Ol,  0-2,  0-3  ...  0*9,  1  sind.  Durch  Rotation  dieses  Büschels  Sk 
am  den  Lichtstrahl  /  entstehen  die  oben  genannten  Kegel.  Zieht 
man  nun  durch  S  eine  zu  t^  [Fig.  1.]  parallele  Gerade  und  legt 
dorch  dieselbe  an  die  zehn  Kegel  Bertthrungsebenen  E^  so  müssen 
zn  denselben  die  durch  die  gesuchten  Isophotenpunkte  der  Seiten- 
linie M^  gehenden  Berührungsebenen  der  gegebenen  Fläche  parallel 
fiein. 

Damit  die  einzelnen  Berührungsebenen  des  Kegelbüschels  leicht 
nnd  genau  construirt  werden  können,  wurde  derselbe  durch  eine 
dorch  8'  [Fig.  la]  gehende  und  auf  l  normal  stehende  Ebene  mnoQ 
[SB^  senkr.  ^]  geschnitten  und  der  Schnitt,  welcher  aus  concen- 
trischen  Kreisen  besteht,  deren  Radien  sich  im  Lichtrisse  auf  S'Oq 
e^eben,  um  die  Trace  mn  in  die  Grundrissebene  umgelegt  [S'Oi  — 
^Oq  ...].  Einer  dieser  Kreise  schrumpft  in  den  Punkt  Oi  zusam- 
men, während  ein  anderer  unendlich  gross  wird;  sowohl  diese  Kreise 
als  auch  die  zugehörigen  Kegel  wollen  wir  mit  den  Zeigern  0,  1,  2, 


268  Bazala:  Beleuchtungt'Constructionen^ 

3  ...  10  bezeichnen.  Nan  bat  man  von  der  borizontalen,  zn  t^ 
[Fig.  1.]  parallelen  Geraden  Sil  [Fig.  la]  den  DurcbBcbnittspnnkt  d 
mit  der  Ebene  mno  zu  bestimmen  nnd  von  demselben  Tangenten  an 
die  concentrischen  Kreise  zu  führen,  durch  welche  dann  die  zu  be- 
stimmenden Bertthrungsebenen  E  der  Kegel  gehen  müssen. 

Weil  die  den  einzelnen  Seiteulinien  M„  M^  M^ ...  der  gegebeneo 
Fläche  entsprechenden,  durch  ^S  nach  den  Richtungen  t^y  t^  t^  ... 
zu  führenden  Geraden  säramtiich  horizontal  sind,  bestimmen  wir  die 
horizontale  Projecüon  D'  [Fig.  la]  des  Durchschnittes  D  der  durch 
S  gehenden  horizontalen  £benc  mit  der  Ebene  mno  des  Kreis- 
büschels [S^Dq  S  l\  D^D'  II  mn\  und  die  Umlegung  Dj  de8S<^be& 
[ß'o  =  SDq,  oD^  I!  mn].  Wird  nun  S'd'  parallel  zu  t^  [Fig.  1.] 
geführt,  so  ergibt  sich  schon  in  der  Geraden  D*  [Fig.  la]  der  Punkt 
d'  und  durch  Führung  der  zu  l'  parallelen  Geraden  d'tij  iu  dier  Ge- 
raden Z>,  die  Umklappung  tl^^  dos  Durchstosspunktes  d.  Man  kaan 
unmittelbar  €i^  erhalten,  wenn  man  einfUrallemal  o@  gleich  der  Ent- 
fernung des  Punktes  S*  von  der  Geraden  Z>'  macht  und  anstatt  durch 
S'  durch  den  Punkt  B  die  Parallelen  zu  den  Tangenten  von  P  meht 

Die  durch  d^  an  den  Kreisbüschel  geführten  Tangenten  schneiden 
die  Horizontaltrace  mn  in  den  Punkten  5,  4,  3,  2,  1,  0,  1,  2,  3,  4, 
5.  Nun  denken  wir  uns  die  Hilfsfigur  la  mit  der  Hauptfigur  1  so 
vereinigt,  dass  S*  auf  A'^  mn  auf  mn  und  der  Raumpunkt  S  in  die 
Scheitelgerade  A  zu  liegen  kommt.  Werden  dann  durch  die  Punkt- 
reihe mn  die  zu  t^  parallelen  Horizontaltracen  der  durch  S  gehen- 
den Ebenen  E  geführt*),  so  liefern  dieselben  auf  M/  eine  Pu^t- 
reihe,  welche,  mit  S  verbunden,  die  Schnittgeraden  der  Ebenen  E 
mit  der  Ebene  der  Seitenlinie  Mj  liefert,  so  dass  dann  diese  Geraden 
die  Richtungen  der  Tangenten  T^  vorstellen,  welche  3f,  in  den  ge- 
suchten Isophotenpunkten  berühren. 

Nun  denken  wir  uns  die  Seitenlinie  Mj  sammt  dem  Büschel 
SM^  auf  die  Ebene  3/ in  der  Richtung  a^a  projicirt,  was  einfach 
durch  die  blosse  Projection  der  Pnnktreihe  M^  auf  M'  geschieht 
Projicirt  man  schliesslich  dieses  Gebilde  M  in  der  zur  Projections- 
achsc  Xi  normalen  Richtung  a*x  auf  die  zu  Xi  parallele  Gerade  S^x, 
so  ergeben  sich  in  der  Hilfsfignr  durch  den  Büschel  iS^'x  die  Rich- 
tungen der  verticalen  Projectionen  T"  der  an  A/  zu  führenden  Tan- 
genten. Ist  M"  eine  beliebig  gezogene  Cnrve,  deren  Entstehungs- 
gcsetz  nicht  bekannt  ist,  so  ist  es  am  zweckmitosigsten,  ihre  Evohite 
Ef'  zu  zeichnen,  in  der  Nebenfigur  aber  statt  des  Büschels  l^'x  den 

Normalbüschel  Snzz  desselben  dadurch  zu  construiren,  dass  man  1^^' 


*)  Mehrere    der   nun    folgenden  Farallelprojeclionen   aind    in    der  Figur 
nicht  dargestellt»  weil  sie  blos  der  Erkl&ruDg  wegen  angeführt  werden. 


Batala:  Beleuehtungs-Construetionen,  269 

einftrallemal  nach  S^Sn  aufträgt  and  die  Panktreihe  ffx  um  90^ 
nach  sa  dreht,  das  heisst,  in  der  Richtung  af  [Fig.  1.,  S'f=  S'x] 
aof  die  Gerade  ffz  projicirt.  Anstatt  aber  die  Punktreihe  mn  zuerst 
in  der  Richtung  «],  a^'  auf  3f^',  von  hier  in  der  Richtung  a^'a  auf 
Af,',  dann  in  der  Richtung  a'x  auf  S'x  und  schliesslich  in  der  Rich- 
tung rf  auf  S'z  zu  projiciren,  kann  man  in  der  Hilfsfigur  die  Punkt- 
reihe mn  sofort  in  der  aus  der  Hauptfigur  sich  ergebenden  Richtung 
e^f  auf  den  Träger  S'z  projiciren.  Werden  dann  zu  den  Strahlen 
des  Bfischels  Snz  parallele  Tangenten  an  die  Evolute  £f'  gezogen,  so 
treffen  dieselben  M*'  in  den  gesuchten  Berührungspunkten  (4)",  (3)", 
(2)",  (ir,  (0)"  der  Tangenten  r".  Damit  man  in  der  Hilfsfigur 
nicht  Punkte  auf  den  Träger  S'z  projicire,  welche  man  bei  M'*  nicht 
anwenden  kann,  ist  es  zweckmässig,  durch  Sn  zwei  Strahlen  S„z  zu 
ftihren,  welche  zu  den  Normalen  der  Endpunkte  der  Curve  Af'  pa- 
raQel  sind;  dann  braucht  man  nur  die  zwischen  die  beiden  sich  er- 
gebenden Punkte  z  zu  li^en  kommenden  Punkte  der  Reihe  zu  con- 
stmiren.  Projicirt  man  nun  die  auf  3f"  construirten  Punkte  zuerst 
nach  M'^  von  hier  nach  3/^'  in  der  Richtung  aa^'  und  zuletzt  in 
den  Anfnss,  so  ist  eine  Gruppe  von  Isophotenpnnkten  dargestellt. 
Ton  den  Punkten  der  Selbstschattengronze  muss  man  wegen  der  Con- 
stmction  des  Schlagschattens  auch  die  unsichtbaren  Projectionen  dar- 
stellen. 

Der  in  der  Nebenfigur  zu  d^O^  normale  Strahl  des  Büschels  c/^ 
liefert  bei  obiger  Construction  diejenigen  Punkte  der  Seitenlinie  Af^, 
welchen  ein  Maximum  der  Beleuchtungsstärke  zukommt    Es  ist  leicht 

einzusehen,  dass  man  durch  Unterteilung  der  Scala  iSolO  Punkte 
einer  beliebigen  Beleuchtungsstärke  erhalten  und  auch  zu  jedem 
Pnnkte  der  gegebeneu  Fläche  durch  Ausführung  obiger  Construction 
in  umgekehrter  Aufeinanderfolge  der  Beleuchtungsstärke  bestimmen 
kann. 

Damit  man  bei  der  Behandlung  einer  Seiteulinie  die  von  der 
früheren  herrührenden  Punktreihen  mn,  zz^  M"  und  M'  ausradireu 
köone,  ohne  dass  dadurch  die  ganze  Figur  ungenau  wird,  ist  es  not- 
wendig, vorerst  diejenigen  Linien,  auf  welche  unsere  Construction 
gegründet  ist,  nüt  Tusche  ganz  dünn  auszuziehen.  Die  ganze  Arbeit 
wird  bedeutend  vereinfacht,  wenn  man  die  Constructionen  der  Iso- 
photeopunkte  auf  allen  Seitenlinien  il/^,  il/^,  denen  dieselbe  Tangeu- 
tenrichtung  t,,  u  entspricht,  unmittelbar  nach  einander  vornimmt, 
weil  man  dann  für  dieselben  nur  eine  Punktreihe  mn  darzustellen 
braucht,  welche  für  die  Seitenlinie  3/g  in  der  Richtung  e^  auf  den 
Träger  zz  zu  projiciren  ist. 

Die  in  der  Nebenfigur  durch  ti^  zu  führenden  Tangenten  treten 


270  Bazala:  BeleuditungS'Construetwnen. 

immer  paarweise  auf;  wenn  daher  d^  mit  einem  der  Schnittpunkte 
des  Kreisbüschels  und  der  Geraden  D^ ,  z.  B.  mit  dem  Punkte  ^ 
zusammenfällt,  so  ergeben  sich  bei  dem  betreffenden  Kreise  zwei  zu- 
sammenfallende Tangenten  T9.  Führt  man  dann  parallel  zu  @d^  an 
p^  [Fig.  1.]  Tangen  £9,  so  bekommt  man  dadurch  die  dem  Punkte 
riy  entsprechenden  Seitenlinien  M^  und  kann  nach  dem  allgemeinen 
Verfahren  ihre  Isophotenpunkte  darstellen.  Die  Doppeltangente  t^ 
liefert  dabei  immer  zwei  zusammenfallende  Isophotenpunkte  9,  so 
dass  die  in  diesen  Doppelpunkten  an  die  Seitenlinie  der  Fl&che  ge- 
führten Tangeuten  09  auch  Isophotentangenten  sind.  Man  bekommt 
sie  am  einfachsten,  wenn  man  die  Tangente  [9]"«  der  Seitenlinie  M 
zieht  und  ihren  in  ^"  liegenden  Schnittpunkt  a  markirt. 

Construirt  mau  die  Isophotenpunkte,  welchen  zu  x,  normale 
Tangenten  ^  [Fig.  1.]  entsprechen,  so  sind  dieselben  zugleich  Punkte 
der  Yerticalcontour,  für  welche  die  zugehörigen  Coutourtangenten, 
welche  auch  Tangenten  der  Aufrissisophoten  sind,  sich  auf  die  oben 
angewandte  Art  ergeben.  Yon  der  grössten  Wichtigkeit  für  das 
Zeichnen  der  Isophoten  sind  auch  die  beiden  in  der  Flächenkante  M 
liegenden  Reihen  von  Isophotenpunkten. 

Bei  der  zu  l'  normalen  Tangente  t^  von  P\  durch  deren  Be- 
rührungsqunkt  a^  diejenige  Seitenlinie  Af^  gehen  muss,  in  welcher 
der  Lichtpol  10  liegt,  führt  das  allgemeine  Verfahren  zu  keinem  Re- 
sultate. Da  jedoch  die  zu  suchenden  Berührungsebenen  den  Kegel- 
büschel in  denjenigen  Erzeugenden  berühren,  welche  in  der  Licht- 
rissebene liegen,  so  ergeben  sich  Punkte  ihrer  zu  mn  parallelen 
Horizontaltracen  im  Durchschnitte  der  Goraden  l'  mit  dem  Büschel 
S^^Q,  Die  Richtung,  in  welcher  diese  Punktreihe  t  auf  S'z  zu  pro- 
jiciren  ist,  erhält  man  in  der  Hauptfigur  in  e^  durch  den  Durch- 
schnittspunkt «4  yon  ^4  mit  l\ 

Wenn  die  beleuchtete  Fläche  eine  Horizontalcontour  besitzt,  so 
sind  die  Isophotenpunkte  derselben  für  das  Zeichen  der  Gmndriss- 
isophoten  sehr  notwendig.  Da  die  zugehörigen  Berührungsebenen 
sämmtlich  vertical  sind,  haben  wir  durch  S  eine  verticale  Gerade  zu 
führen,  welche  die  £bene  mno  in  S'  trifft,  aus  welchem  Punkte  die 
Tangenten  des  Kreisbüschels  zu  ziehen  sind.  In  diesem  Falle  er- 
geben sich  die  Horizontaltracen  dadurch  am  einfachsten,  dass  man 
diese  Tangenten  durch  Zurückführung  ihrer  in  D^  liegenden  Punkte 
in  den  Raum  aufdreht  Der  Büschel  S'D'  stellt  dann  die  horizon- 
talen Projectionen  dieser  Taugenten  und  daher  auch  die  gesuchten 
Tracen  vor,  deren  Richtungen,  welche  allein  für  die  weitere  Coustruction 
notwendig  sind,  man  aber  einfacher  in  dem  Büschel  ^D^  erhält 
Die  nach  diesen  Richtungen  an  die  Horizontalcontouren  zu  ziehenden 


Baxala:  BeUuchtungM-Construelionen.  271 

Tangenten  liefern  Isophotenpankte  and  im  Gnindrisse  auch  Isophoten- 
tangeoten.  Um  aber  diese  Contoaren  nicht  vorerst  zeichnen  za 
mfiflsen,  kann  man  die  Tangenten  an  die  ihr  ähnliche  Formlinie  P 
ziehen,  die  Bertthnngspnnkte  mittelst  des  Aehnlichkeitspnnktes  A' 
fibertragen  and  zoletzt  die  verticalen  Projectionea  bestimmen. 

Hat  man  eine  Ar  das  Zeichnen  der  Isophoten  hinreichende  An- 
zahl yon  Punkten  constrairt,  so  kann  man  aach  einfach  darch  schiefe 
Projection  der  constrairten  Pankte  der  Selbstschattengrenze  erhalten. 

Ist  M*'  vom  zweiten  Grade  oder  eine  andere  Cnrve,  deren  Tan- 
genten- oder  Normalen-Construction  bekannt  ist,  so  wird  man  nicht 
die  Eyolnte  E'^  constmiren,  sondern  die  Normalen  oder  Tangenten 
von  dorch  die  Hilfsfignr  gegebenen  Richtungen  bestimmen.  In  letz- 
terem Falle  ist  unsere  Constraction  ein  wenig  dahin  abzuändern,  dass 
durch  dieselbe  in  der  HilMgur  statt  des  Normalbttschels  Snz  der 
Tangentenbflschel  S^'x  resultirt 


§.  2. 

Belemehtaiigs-Constraetionen  fürFlftehen^  deren  zu  einer  Achse 
Dermale  Schnitte  ähnlieh  und  ähnlieh  liegend  sind,  bei  axonometri- 

seher  Parstellungr. 

Bei  axonometrischer  Darstellung  ist  eine  Fläche  der  im  vorigen 
Paragraphen  charakterisirten  Art  durch  die  Bilder  der  Scheitelgeraden 
BC  pTaC.  YL,  Fig.  2.],  einer  Formlinie  Pund  einer  Seitenlinie,  durch 
den  Durchstosspunkt  A  von  BC  mit  der  Ebene  P  und  den  Neigungs- 
winkel v  der  letzteren  gegen  die  Bildebene  vollkommen  bestimmt.  In 
onserer  Figur  wurde  angenommen,  dass  sämmtliche  Seitenlinien  Halb- 
ellipsen sind,  welche  durch  die  von  A  gleich  weit  entfernten  gemein- 
schaftlichen Scheitel  B  und  C  gehen,  so  dass  durch  diese  Bedingung 
die  Annahme  einer  gegebenen  Seitenlinie  entfällt.  Wir  wollen  zei- 
gen, wie  man  in  einem  solchen  Falle  für  eine  gegebene  Lichtstrahlen- 
richtung  /,  l'  die  Gonstruction  des  vorigen  Paragraphen  am  einfach- 
sten ausführen  kann. 

Wird  eine  Halbellipse  1/ geführt,  deren  Bild  ein  Halbkreis  ist, 
so  lassen  sich  alle  Seitenlinien  auf  dieselbe  parallel  projiciren.  In 
der  Nebenfigur  2a  führen  wir  durch  einen  Punkt  S^  S^  einen  Licht- 
strahl l,  l\  welcher  die  zu  P  [Fig.  2.]  parallele  Grundebene  der 
Nebenfigur  in  h  trifft  und  drehen  dann  diese  Ebene  um  die  zum  Bilde 
5S'  normale  Achse  x  so  lange,  bis  sie  den  Neigungswinkel  v  zurück- 
legt und  somit  zur  Bildebene  parallel  wird,  wobei  h  und  /'  in  die 
Lagen  (A)   and    (V)   kommen  [hh^lx^  ha(h)  senkr. o?,  uiji)  »  S'h^ 


272  Bazala:  Beleuchtungs-Construetionen» 

(/O/S '(/')].  Wird  S'S^  normal  za  S'h^  and  SS^  parallel  zu  x  geführt, 
so  ergibt  sich  in  S^'  die  wahre  Länge  der  Projicirenden  SS'  und 
roau  kann  dann  in  der  umgeklappten  Grundebene  das  ganze  in  der 
Figur  la  construirte  ebene  System  mno  auf  die  dort  ersichtliche  Art 

darstellen  [S'Sq  senkr.  (V),  S'Sq^S'S^^  So(k),  SqIÖ  sciikr.  S^^W 
u.  8.  w.,  (i>i),  (&)].  Die  Geraden  (Z>|)  uud  (fn)(n)  dieses  ebenen 
Systemcs  werden  in  die  ursprüngliche  Lage  der  Grundebene  nach 
Z>^  und  mn  aufgedreht,  indem  man  (o)v  normal  zu  x  zieht  und  die 
Gerade  do,  und  die  zu  ihr  parallele  mn  führt,  worauf  in  der  Haupt- 
figur die  Geraden  x,  mn  und  (m)(n)  parallel  zu  den  gleichnamigen 
Geraden  der  Hilfsfigur  zu  ziehen  sind. 

Um  nun  die  in  irgend  einer  Seitenlinie  Af^  liegenden  Isophoten- 
punkte  zu  erhalten,  ziehen  wir  in  der  Hauptfigur  die  Tangente  t„ 
welche  die  Richtung  des  die  gegebene  Fläche  nach  M^  berührenden 
Cylinders  angibt,  und  bestimmen  die  Lage  («])^,  in  welche  dieselbe 
tritt,  wenn  man  die  Ebene  P  um  die  Achse  x  in  eine  zur  Bildebene 
parallele  Lage  dreht.  Führt  man  zu  dieser  Geraden  in  der  Neben- 
figur eine  Parallele  durch  (S),  so  ergibt  sich  der  Punkt  (<2x)i  ^^^ 
welchen  man  an  den  Ereisbüschel  die  Tangenten  ziehen  kann,  deren 
Schnittpunkte  mit  (m){n)  markirt  werden.  Für  die  weitere  Con- 
struction.  denken  wir  uns  die  Hilfsfigur  so  in  die  Hauptfigur  gelegt, 
dass  S'  auf  A  und  S  in  die  Scheitelgerade  AB  zu  liegen  kommt, 
und  dass  sich  die  Geraden  x^  mn  und  (m)(n)  paarweise  decken.  Weil 
wir  uns,  wie  im  vorigen  Paragraphen,  wieder  die  Seitenlinie  M^  sammt 
ihren  Isophotenpunkten  und  den  durch  dieselben  gehenden  Tangenten 
der  Seitonlinie  auf  Af  projicirt  denken,  haben  wir  die  Punktreiho 
{m)(n)  in  der  Richtung  {e^)ej)  auf  die  Gerade  mn,  von  hier  in  der 
Richtung  e^a^  auf  den  Träger  3//  und  von  hier  in  der  Richtung  a^a 
auf  die  Gerade  x  zu  projiciren.  Der  Büschel  Sx  gibt  dann  schon 
die  Richtungen  an,  nach  welchen  an  M  Tangenten  zu  führen  sind. 
Um  die  Richtungen  der  entsprechenden  Normalen  zu  bekommen,  bat 
man  diesen  Büschel  Sx  noch  um  90^  zu  drehen,  d.  h.  die  Punktreihe 
X  in  der  Richtung  aß  auf  den  Träger  BC  zu  projiciren.  Diese  vier 
Parallelprojectioneu  kann  man  aber  in  eine  einzige  vereinigen,  deren 
Richtung  sich  in  e^B  ergibt,  und  aus  welcher  in  der  Hilfsfigur  die 
Punktreihe  s  rosultirt.  Wird  S'S  nach  S'Sn  aufgetragen,  so  kann 
man  zu  dem  Büschel  Snx  parallele  Radien  in  der  Hauptfigur  ziehen, 
um  die  Punktreihe  M  zu  erhalten ,  welche  schliesslich  in  der  Rich- 
tung oüi  auf  die  Seitenlinie  M^  projicirt  wird.  Weil  in  der  Hilfe- 
figur d^  in  einem  der  concentrischen  Kreise  angenommen  wurde,  er- 
gibt sich  auch  eine  Isophotentangente  tj. 

Alle  oben  gemachten  Bemerkungen  über  das  Maximum  der 
Beleuchtungsstärke  auf  einer  Seitenlinie,  die  Auffindung  der  Be- 


Dazala:    Beleuchtungs'  Constructionefu  273 

leoehtangsstärke  eines  beliebigen  Punktes  derselben,  die  zweck- 
missigste  Aufeinanderfolge  der  zu  behandelnden  Seitenlinien  und  über 
die  Kante  der  g^ebenen  Fläche  haben  auch  hier,  sowie  auch  bei 
perspectivischer  Darstellung  ihre  volle  Giltigkeit. 

Sind  die  Seitenlinien  nicht  elliptisch,  sondern  ist  eine  beliebig 
geformte  Seitenlinie  M  gegeben,  so  construire  man  die  Evolute  ihres 
Bildes  und  ziehe  die  zu  den  Strahlen  des  Normalbüschels  Snz  pa- 
raUelen  Tangenten  derselben.  Die  Lichtpole  der  Fläche  liegen  in 
demjenigen  Seitenlinie,  welcher  die  zu  mn  parallele  Tangente  t^  ent- 
spricht; um  ihre  Isophotenpunkte  zu  erhalten,  mnss  man,  wie  im 
§.  1.  den  Büschel  SqJcq  [Fig.  2a]  durch  die  Gerade  (/j)  schneiden, 
die  dadurch  entstehende  Punktreihe  in  der  in  Fig.  2.  durch  die  zu 
/  normale  Normale  64(04)  ^'^^  ergebenden  Richtung  e^B  auf  die  Ge- 
rade z  [Fig.  2a]  projiciren  und  dann  den  Normalbüschel  Suz  dem 
allgemeinen  Vorgänge  unterziehen. 

Auch  bei  axonometrischer  Darstellung  ist  es  vorteilhaft,  die  Iso- 
photenpunkte jener  Formenlinieu  zu  construiren,  in  welchen  die 
Fläche  von  zu  ihrer  Scheitelgeraden  parallelen  Gylindern  berührt 
wird.  Man  hat  die  durch  S'  und  den  Ereisbüschel  sich  auf  (Dj)  er- 
gebende Punktreihe  nach  D^  aufzudrehen,  wobei  nur  die  eine  Hälfte 
der  symmetralen  Punktreihe  D^  construirt  zu  werden  braucht,  wäh- 
rend sich  die  andere  als  Copie  ergibt,  und  an  P  zum  Büschel  ^D^ 
[S)6  senkr.  x]  parallele  Tangenten  zu  führen.  Die  Berührungs- 
punkte derselben  sind  im  gezeichneten  Falle  schon  die  verlangten 
Isophotenpunkte. 

Von  grosser  Wichtigkeit  für  das  Zeichnen  der  Isophoten  sind 
wieder  die  in  der  Contour  liegenden  Punkte  derselben;  sie  lassen  sich 
als  Isophotenpunkte  eines  auf  der  Bildebene  normal  stehenden  Be. 
mbrungscylinders  der  gebeneu  Fläche  darstellen.  In  der  Hilfsfigur 
bat  man  durch  S  eine  zur  Bildebene  normale  Gerade  zu  führen, 
welche  die  zur  Lichtstrahlenrichtung  normale  Ebene  mno  in  einem 
Punkte  V  trifft;  um  seine  umgeklappten  Lagen  v^  nvLd^{v^)  zu  erhal- 
ten,  führen  wir  vorerst  durch  S  eine  zu  l'  parallele  Gerade 
St^  welche  die  £beno  mno  in  einem  Punkte  s  trifft  [SqSq  |  {l')^ 
<^{»')  senkr.  {1%  («')«  senkr.  «].  Wird  die  Ebene  mno  um  dieTrace 
»1  in  die  Grundebene  umgeklappt,  so  kommt  die  Strecke  S*8  nach 
^«i-  Um  die  umgekehrte  Lage  des  Punktes  v  zu  erhalten,  braucht 
nuui  somit  nur  v6  ||  8S\  dr^  ||  S'si  und  w^  D  sa^  zu  ziehen.  Die  zweite 
Umklappung  (vj)  ergibt  sich  dann  durch  {(v^  ||  (l)  und  v^iv^)  senkr.  x. 
Die  ans  dem  Punkte  (v^)  an  den  Ereisbüschel  geführten  Tangenten 
geben  eine  Punktreihe  (m)  (n),  welche  nach  mn  aufgedreht  wird ,  so 

daas  num  dadurch  im  Büschel  v  mn  schon  die  Lagen  derjenigen  auf 

Axtb.  a.  lUtk.  o.  PhjB.    a.  Beilie,  TeU  I.  IB 


274  Bazala:  ßeievc.ktungx'Consfruetionen, 

der  Bildebene  normal  stehenden  Bertthrangsebenen  erhält,  welche  den 
gesuchten  Isophotenpnnkten  der  Contonr  entsprechen.  Zieht  man 
zum  Strahle  ^5  in  der  Hauptfigur  an  P  eine  parallele  Tangente  a^t^ 
80  ergibt  sich  durch  ihren  Berührungspunkt  a^  diejenige  Seiteulinie 
der  Fläche,  in  welcher  der  gesuchte  Contour-Isophotenpunkt  6  liegen 
musB.  Um  an  diese  Seitenlinie  die  zu  sa^  parallele  Tangente  za 
construiren ,  denken  wir  uns  dieselbe  auf  die  Linie  AT  in  der  Rich- 
tung a^a  projicirt  und  ziehen  an  letztere  die  zu  ca  parallele  Tan* 
gente  {5}<r,  so  dass  dann  die  durch  den  sich  ergebenden  Punkt  c  za 
£05  parallel  geführte  Gerade  t^  die  gesuchte  Isophoten-  und  Contoar- 
tangente  ist.  Der  Coutour-  und  Isophotenpunkt  5  ergibt  sich  durch 
Führung  der  zu  aa^  parallelen  Geraden  {5}5.  Aus  den  sich  so  car- 
gebenden  Isophotenpnnkten  und  Isophotentangenten  kann  man  sofort 
die  Flächencontour  zeichnen. 

Soll  der  Schlagschatten  der  behandelten  Fläche  auf  eine  durch 
den  Punkt  C  parallel  zur  Ebene  P  gehenden  Grundebene  construirt 
werden,  so  projicire  man  vorerst  die  construirten  Punkte  o  der 
Selbstschattengrenze  auf  diese  Ebene,  indem  man  Co'  parallel  zu  üfi' 
und  00'  parallel  zu  AB  führt.  Wird  dann  durch  den  Punkt  0  der 
Selbstschattengrenze  ein  Lichtstrahl  l  und  durch  o*  seine  Projection 
/'  geführt,  so  ergibt  sich  im  Schnittpunkte  beider  der  Schlagschatten- 
pnnkt  03. 


§.  3. 


Beleuchtungs-Construetionen  für  Flächen,  deren  zu  einer  Aehse 
normale  Schnitte  ähnlieh  und  ähnlieh  liegend  sind,  bei  perspeetivi- 

seher  Barstellang. 

Bei  der  in  Fig.  3.  perspectivisch  dargestellten  Fläche  ist  Sl 
der  Augpunkt,  SISIq  die  Distanz,  fiv  die  Fluchtlinie  der  Form- 
linien P,  von  welchen  das  Bild  einer  gegeben  ist,  «  der  Fluchtpankt 
der  Scheitelgeraden  [Sin  senkr.  fiv,  SlSl^  senkr.  Ajs,  Sl^a  senkr. 
SlQn]aAB^  M  das  Bild  einer  Seitenlinie  und  iL  der  Fluchtpunkt 
der  parallelen  Lichtstahlen. 

Die  Teilungspunkte  tn  und  ^« ,  welche  beziehungsweise  den  Rich- 
tungen n  und  o  zukommen,  erhält  man,  wenn  man  die  Strecken 
tiSIq  und  uSIq  beziehungsweise  nach  ntn  und  ata  aufträgt,  während 
sich  durch  Führung  der  Geraden  oA  in  V  der  Fluch^unkt  ergibt, 
welcher  den  Projectionen  der  Lichtstrahlen  auf  die  Grundebene  P 
entspricht. 


Daxala:  Beleuchtungs'Conatructionen.  275 

Id  der Hilfisfigar,  welche  dasaelbe  ProjectioDScentnim  besitzt,  als 
die  Hauptfiguren,  fflbren  wir  wieder  durch  einen  beliebigen  Pnnkt 
S,  S'  einen  Lichtstrahl  /,  /',  welcher  die  Grundebene  S\ut>  im  Punkte 
h  trifft,  und  drehen  analog  der  axonometrischen  Darstellung  diese 
Ebene  um  die  zu  ihrer  Fluchtlinie  fiv  parallele  Gerade  ar,  wobei 
die  umgelegte  Gerade  (/')  parallel  zu  t„k'  wird,  die  neue  Lage  (A) 
des  Punktes  A  ergibt  sich  durch  den  Strahl  in  h(h).  Um  in  der  um- 
gelegten Grundebeno  den  bekannten  Kreisbüschcl  construiren  zu 
können,  müssen  wir  die  projicirende  SS'  auch  iu  eine  zur  Bildebene 
parallele  Lage  bringen,  indem  wir  ^X^]  normal  zu  ^v  und  den 
Strahl  Äa  ftlhren.  Wird  (m){n)  normal  zu  (/')  gezogen  und  S'[S] 
nach  S'Sq  aufgetragen,  so  kann  man  auf  mehr  erwähnte  Art  den 
Kreisbflschel  sammt  den  Gebilden  (D^)  und  (  ^)  darstellen.  Auch 
bei  perspectivischer  Darstellung  werden  wir  die  Gerade  (m)  (n)  in 
den  Raum  aufdrehen  und  zwar  dadurch,  dass  wir  t„v  parallel  zu 
{m)(H)  fahren  und  durch  den  sich  so  ergebenden  Fluchtpunkt  v 
die  Gerade  S'mn  ziehen,  worauf  iu  der  Hauptfigur  durch  den  iu 
der  Grundebene  P  liegenden  Punkt  A  der  Scheitelgeraden  die 
Geraden  (m)  (»)  und  m  n  perspectivisch  parallel  zu  den  gleichnamigen 
der  Hilfsfigur  geführt  werden. 

Um  nach  diesen  Vorarbeiten  die  Isophotenpunktc  irgend  einer 
Seitenlinie  3/^  zu  erhalten,  führen  wir  wieder  zuerst  die  ihr  ent- 
sprechende Tangente  t^  mit  dem  Fluchtpunkte  r^,  deren  Umklappung 
somit  die  Richtung  tn  t,  haben  muss.  Wird  in  der  Hilfsfigur  der 
Strahl  (€)(r2i)  nach  dieser  Richtung  gezogen,  sokann  man  aus  dem  sich 
ergebenden  Punkte  (f/^)  die  Ereistangenten  führen  und  ihre  in  (m)(n) 
liegenden  Schnittpunkte  markiren.  Zieht  man  dann  in  der  Haupt- 
figur durch  den  in  m»  und  t^  liegenden  Schnittpunkt  e^  den  Strahl 
«]<7,  80  ergibt  sich  in  (e^)  die  Umlegnng  von  c^,  wobei  x  die  Dre- 
hungsachse ist.  Die  Pnnktreihe  (m){u)  der  Hilfsfigur  soll  nun  auf 
einander  folgend  nach  den  Richtungen  (e^)e^ ,  eicr^  und  a^a  auf  die 
Geraden  projicirt  werden,  welche  sämmtlich  durch  den  Punkt  S' 
räumlich  parallel  zu  den  durch  A  gehenden  Geraden  mn^  M^  und 
3/'  der  Hauptfigur  zu  führen  wären.  Statt  dessen  kann  man  aber 
in  der  Hilfsfigur  die  resultirende  Pnnktreihe  M'^  auch  direct  aus 
der  zur  Bildebene  parallelen  Punktreihe  (m)(n)  durch  Parallelpro- 
jection  nadi  der  Richtung  e^a  [Hauptfigur]  erhalten ;  der  Fluchtpunkt 
9]  dieser  Projectionsrichtung  muss  in  der  Fluchtlinie  juc^j  der  durch 
die  Geraden  (m){«)  und  M*  gehenden  Ebene  liegen.  Diese  Flucht- 
huie  hat  man  durch  den  Fluchtpunkt  fi  einfürallemal  parallel  zu 
(»)(n)  zu  führen,  worauf  man  mittelst  der  Fluchtlinie  |n«  der  ge- 
gebenen Seilenlinie  M  an  dieselbe  die  zu  den  Strahlen  des  Büschels 
83/'  parallelen  Tangenten  ftlhren  kann,  indem  man  diesen  Büschel 
durch  die  Gerade  fia  schneidet  und  aus  den  Schnittpunkten  die  Tan- 

18* 


276  Bazalai   Bete iichtu ngst- Conatrueihnen . 

genten  an  M  zieht.  Die  BerOhrugspunkte  derselben  werden  schliess- 
lich in  der  Richtung  aa^Q  auf  die  Seitenlinie  3f,  mit  Benntznng  der 
Collineationsachse  AB  projicirt  [(!)«/?,  ßoy  1  ...]• 

Zieht  man  ans  dem  Finchtpunkte  r  eine  Tangente  tj^  an  P,  so 
gibt  deren  Berührungspunkt  a^  die  Seitenlinie  M^  an,  in  welcher  ein 
Lichtpol  liegt  Um  die  Isophotenpnnkte  derselben  zu  erhalten, 
schneide  mau  analog  dem  Vorgänge  dos  §.  2.  den  Büschel  SJcq  durch 
die  Gerade  (/'),  projicire  die  sich  ergebenden  Punkte  aus  tn  auf  den 
Träger  /'  und  von  hier  in  der  Richtung  e^a^^  auf  die  Gerade  M\ 
Die  Strahlen  des  Büschels  SM*  liefern  dann  in  bekannter  Weise  die 
Isophotenpnnkte.  Die  beiden  auf  einander  folgenden  Projectionen 
der  Punktreihe  (V)  durch  eine  einzige  zu  ersetzen,  ist  hier  niebt 
zweckmässig,  weil  man  die  dazu  erforderlichen  Hilfslinien  nur  bei 
dieser  einOu  Seitenlinie  anwenden  könnte. 

Wird  aus  dem  Fluchtpunkte  er  an  die  gegebene  Seitenlinie  eine 
Tangente  ah  gezogen ,  so  muss  durch  den  Berührungspunkt  h  die- 
jenige Formlinie  gehen,  in  welcher  die  gegebene  Fläche  von  einem 
zur  Scheitelgeraden  parallelen  Cylinder  berührt  wird ;  wir  wollen  die 
Isophotenpnnkte  derselben  bestimmen.  Die  aus  dem  Punkte  S'  nnd 
dem  Kreisbüschel  sich  ergebende  Punktreihe  (D^)  gibt  mit  dem 
Scheitel  (@)  die  umgelegten  Richtungen  derjenigen  Tangenten,  welche 
nach  den  Vorgängen  der  früheren  Paragraphen  an  P  zu  führen  sind. 
Zieht  man  somit  zu  den  Strahlen  des  Büschels  (@)(Z>,)  durch  h 
parallele  Gerade,  so  schneiden  dieselben  die  Fluchtlinie  fiv  in  den 
Fluchtpunkten  5,  6,  6,  5  ...  der  genannten  Tangenten,  aus  welchen 
diese  zu  ziehen  sind.  Die  sich  dadurch  ergebenden  Berührungspunkte 
P]»  [6]?  [6]  •••  werden  schliesslich  aus  dem  durch  den  Projections- 
strahl  ka  bestimmten  Projectionscentrum  a  in  die  oben  erwähnte 
Formlinie  mit  Benutzung  der  Collineationsachse  ftv  projicirt  [<i[5]^'5, 

Wir  wollen  noch  anführen,  wie  man  Punkte  und  Tangenten  der 
Flächencoutour  am  einfachsten  erhält  Um  diejenigen  Contourpankte 
zu  bekommen,  welche  mit  dem  Punkte  i?  der  gegebenen  Seitenlinie 
in  derselben  Formlinie  liegen,  denken  wir  uns  einen  die  gegebene 
Fläche  nach  dieser  Linie  berührenden  Kegel  mit  dem  Scheitel  c. 
Zur  Construction  der  durch  c  gehenden  Tangenten  dieser  FormUnie 
wenden  wir  die  Collineation  derselben  zur  Linie  P  an,  wobei  fiv  die 
Collineationsachse  und  s^  das  Collineationscentrum  ist;  dann  ergibt 
sich  der  zu  a  collineare  Punkt  [<j]  durch  die  collinearen  Geraden 
pcy  und  ay[a].  Aus  [<j]  werden  nun  an  P  die  Tangeuten  MLI]« 
und  [c'JCIljd  geführt,  dann  die  ihnen  collinear  entsprechenden  a 
und  <jd  gezogen  und  schliesslich  die  Berührungspunkte  [I]  und  [II] 
aus  s^  nach  I  und  II  projicirt. 


Bazala:  BeUuchtungs-Constructionen.  277 

Die  in  der  perspectivischen  Contour  der  Fläche  liegenden  Iso- 
pbotenpunkte  kann  man  dnrch  Constrnetion  der  Isophoten  des  durch 
diese  in  der  Bildebene  liegende  Linie  and  das  Auge  bestimmten 
Kegels  bei  Anwendung  zweier  Projectionsebenen  erhalten;  doch  ist 
die  AasfOhrung  derselben  zu  umständlich.  Um  die  Isophoten  genau 
Kdchnen  zu  können,  wird  man  lieber  von  jeder  derselben  einen  der 
Cootoor  nahe  liegenden  Punkt  des  verdeckten  Flächenteiles  berück- 
sichtigen. 

Der  Schlagschatten,  welchen  die  dargestellte  Fläche  auf  die 
Grandebene  P  wirft,  wird  auf  die  im  Paragraph  2  angegebene  Art 
construirt 

§.  4. 

BeleaehtuBgs-Constmctioneii  für  Flttehen,  welche  aus  zwei  auf 
eiuMder  normal    stehenden   Parallelsystemen   eongmenter   ebener 

Gurren  bestehen. 

Wenn  bei  den  Flächen,  welche  Gegenstand  dieser  Abhandlung 
sind,  die  Scheitelgerade  sich  in  unendlicher  Entfernung  befindet,  so 
mflssen,  wie  sich  leicht  beweisen  lässt,  alle  Seitenlinien  Q  congruent 
QDd  parallel  sein,  und  die  Formlinien  P  fallen  ebenfalls  congruent  aus. 

In  diesem  Falle  lassen  sich  die  Isophotenpunkte  desjenigen  Cur- 
feosystemes  leichter  darstellen,  welches  zu  einer  Projectionsebene 
parallel  ist  [Fig.  4.],  wobei  es  zweckmässig  ist,  in  der  auf  mehr- 
ervähnte  Art  hergestellten  Nebenfigur  4a  den  Schnitt  g  der  zur 
Lichtstrahlenrichtung  normalen  Ebene  mno  mit  einer  dnrch  S  parallel 
zom  zweiten  Curvensysteme  Q  der  gegebenen  Fläche  gelegten  Ebene 
za  bestimmen.  Die  in  der  durch  S  gehenden  Horizontalebene  liegen- 
den Tracen  D  und  Sp  [sy  J  Q\  S'Y  ||  x]  der  beiden  genannten 
Ebenen  schneiden  sich  in  einem  Punkte  p  [p',  p'p''  senkr.  «]*,  so 
dass  g'  und  g'^  die  Projectionen  der  gesuchten  Schnittgeraden  sind; 
ihre  um  mn  umgelegte  Lage  ^^  ergibt  sich  durch  Führung  der  zu 
l'  parallelen  Geraden  p'p^. 

Wird  in  der  Hauptfigur  an  die  gegebene  Curve  Q  eine  Tangente 
ii  gef&hrt,  und  will  man  die  Isophotenpunkte  der  durch  den  sich  er- 
gebenden Berührungspunkt  a^  gehenden  Horizontalcurve  construiren, 
so  fahre  man  in  der  Hilfsfigur  durch  S  eine  zu  ti  parallele  Gerade. 
Diese  trifft  die  horizontale  Projectionsebene  und  die  Ebene  mno  re- 
spective  in  den  Punkten  ^^  und  d.  Bestimmt  man  nun  durch  Füh- 
ning  der  zu  p'pi  parallelen  Geraden  tt'd^  die  umgelegte  Lage  d^, 
80  kann  aus  diesem  Punkte  die  Punktreihe  mn  hergestellt  werden. 

Weil  der  Büschel  ^'mn  die  Horizontaltracen  deijenigen  zu  t^  pa- 


278  Bazala:  heleuchtungs-Conslruetionen, 

rallelen  £benen  angibt,  welchen  die  Belenchtiingsstärken  0,01,0*2... 
entsprechen,  sind  zu  den  Strahlen  desselben  au  P  parallele  Tau- 
genten zu  ziehen. 

Da  wir  als  Curve  P  eine  Parabel  mit  dem  Brennpunkte  F  und 
der  Directrix  r  angenommen  haben,  bekommt  man  die  betreffenden 
Berührungspunkte  am  einfachsten,  wenn  man  zu  den  Strahlen  des 
letztgenannten  Bttschels  aus  F  Normale  zieht  und  aus  den  sich  da- 
durch in  r  ergebenden  Schnittpunkten  Parallele  zur  Parabelachse 
führt.  Um  die  auf  P'  construirten  Punkte  in  die  durch  o,  gehende 
Horizontalcurve  der  gegebenen  Fläche  zu  projiciren,  tragen  wir  auf 
jedem  der  zur  Parabelachse  parallelen  Strahlen  das  Stück  a'a^'  auf 
und  projiciren  die  erhaltenen  Grundriss-Isophotenpunkte  schliessUch 
in  den  Aufriss.  Weil  in  der  Hauptfigur  der  Punkt  rf,  in  dem  Kreise 
9  angenommen  wurde,  ergibt  sich  auch  eine  Isophotentangente  t^. 

Um  die  Lichtpole  der  gegebenen  Fläche  zu  erhalten,  ziehe  man 
an  Q"  eine  zu  g"  parallele  Tangeute  t^'\  durch  deren  Berührungs- 
punkt dann  diejenige  Horizontalcurve  P^  geführt  wird,  in  welcher  die 
Lichtpole  liegen;  in  der  Hilfsfigur  ergibt  sich  durch  t^  der  horizon- 
tale Durchstosspunkt  h^  und  der  in  g^  liegende  unendlich  ferne  Punkt 
^^4,  so  dass  die  Tangenten  des  Kreisbttschels  parallel  zu  g^  werden. 

Die  in  der  Horizontalcontour  liegenden  Isophotenpunkte  werden 
auf  die  im  §.  1.  angegebene  Art  bestimmt.  Es  ist  auch  wichtig,  in 
den  beiden  das  darzustellende  Flächenstück  begrenzenden  Horizontal- 
curven  die  Isophotenpunkte  darzustellen. 

Behufs  der  Construction  der  in  der  Yerticalcontour  liegenden 
Isophotenpunkte  führen  wir  in  der  Hilfsfigur  ©rfg  normal  zu  «,  ver- 
schaffen uns  dann  aus  d^  die  Punktreihe  mn  und  projiciren  diese 
normal  auf  die  Achse  x;  der  Büschel  S"x  gibt  dann  die  Richtungen 
der  durch  die  Isophotenpunkte  gehenden  Gontourtangenten  an.  Weil 
die  Contour  zur  Curve  Q"  congruent  und  parallel  ist,  kann  man  die 
betreffenden  Berührungspunkte  auch  in  Q"  markiren;  durch  diese 
Punkte  werden  dann  Gerade  parallel  zu  x  geführt,  auf  welchen  man 
schliesslich  die  Strecke  a"a2'  aufzutragen  hat. 

Um  die  Isophotenpunkte  der  beiden  Grenzschnitte  Q  und  Q5  zn 
coustrniren,  machen  wir  bei  der  Parabel  P  die  Subtangente  des 
Punktes  a'  doppelt  so  gross,  als  die  Abscisse,  so  dass  dann  aa  and 
aa^'  die  diesen  Curven  entsprechenden  Tangenten  sind.  Wird  zu  ^3' 
in  der  Hilfsfigur  eine  Parallele  geführt,  so  ergibt  sich  der  Punkt  d^ 
aus  welchem  die  Tangenten  an  den  Ereisbüschel  zu  zeichnen  sind. 
Ihre  in  mn  sich  ergebenden  Schnittpunkte  sollten  hierauf  in  der 
Richtung  ^3'  auf  die  Trace  g'  und  von  hier  in  der  zu  x  normalen 


Haznla:  Beleuchtunga-ConMtructionen,  279 

Richtang  auf  den  Träger  x  projicirt  werden;  statt  dessen  kann  man 
die  resnltirende  Projectionsrichtnng  ^x  in  der  Hauptfigur  bestimmen, 
wenn  man  durch  den  Endpunkt  von  Q'  die  Geraden  mn  und  x  pa- 
rallel za  den  gleichnamigen  der  Hilfsfigur  führt.  Der  sich  dann  in 
dieser  Figur  ergebende  Büschel  S"x  gibt  die  Bichtungen  der  an  Q" 
zu  führenden  Tangenten.  Bezüglich  des  Grenzschnittes  Q5  erhält 
man  die  resnltirende  Projectionsrichtung  durch  Führung  der  zur 
Parabeltangente  aa^*  parallelen  Geraden  a'«5  in  e^^x. 

Die  Durchführung  der  Gonstructionen  dieses  Paragraphen  bei 
aionometrischcr  oder  bei  perspecüvischer  Darstellung  kann  keine 
weiteren  Schwierigkeiten  bereiten. 


2gO  Hoppe:  Bedingung  einer  Canalfläche 


XIV. 


Bedingung  einer   Canalfläche  nebst  einigen 
Bemerkungen   an  Canalflächen. 


Von 

R.  Hoppe. 


Eine  Canalfläche  wird  von  einer  Linie  erzengt,  die  bei  ihrer 
Variation  mit  einem  Parameter  sich  parallel  bleibt.  Dnrch  diese 
Entstehung  ist  zunächst  die  Canalfläche  definirt 

Femer  ist  dadurch  ihr  einfachster  analytischer  Ausdruck  ge- 
geben. Denn  derselbe  geht  aus  den  Gleichungen  einer  Parallele  mit 
einer  beliebigen  Linie  (Leitlinie)  hervor,  indem  man  die  darin  ent- 
haltenen 2  speciflschen  Constanten  in  beliebiger  Abhängigkeit  von 
einander  oder  von  einem  Parameter  variiren  lässt. 

Die  gemeinsame  Normalebene  aller  Parallelen  schneidet  die 
Canalfläche  in  einer  Linie,  die  zugleich  Erümmungslinie  und,  weil 
sie  in  allen  ihren  Punkten  den  Normalschnitt  darstellt,  auch  Eflrzestc 
ist.  Die  andre  von  jedem  Punkte  ausgehende  Krümmungslinie  ist 
die  erzeugende  Parallele,  die  zugleich  geodätische  Parallele  und  Par- 
allele im  Räume  ist  Nimmt  man  also  den  normalen  Querschnitt 
und  die  erzeugende  Parallele  zu  Parameterlinieu ,  so  sind  die  Para- 
meter zugleich  die  der  Krttmmungslinien  und  orthogonal  geodätische. 

Ist  der  Querschnitt  der  Canalfläche  gerade,  so  ist  die  Fläche 
abwickelbar,  und  umgekehrt  ist  jede  Abwickelbare  ein  Specialfall 
einer  Canalfläche.  Nun  ist  die  analytische  Bedingung,  unter  welcher 
eine  beliebig  gegebene  Fläche  abwickelbar  ist,  bekannt  und  sehr  ein* 


n^bst  einigen  Bemerkungen  an  Canaiflächen.  281 

beb.  Dies  bietet  Anlass  die  analoge  BediDgang  für  die  allgemeinere 
Eigenschaft  zu  suchen,  für  die  nämlich,  dass  eine  beliebig  gegebene 
Flftche  Canalfläche  sei. 

Bezüglich  auf  Flächen  wende  ich  folgende  Bezeichnungen  an. 
(^r  die  beliebigen  Parameter  u,  v  ist  das  Linienelement  ds  ausge- 
drückt durch 

und  t  ist  der  Coefficient  des  Flächenelements 

tdubv  '^  y«^  — f^dudv 
ferner  sind  p,  9,  r  die  Richtungscosinus  der  Normale,  und 

Bezüglich  auf  Curven  sind/,  g^  A;  f\  g\  ä';  i,  w»,  n  die  Rich- 
tungscosinus  der  Tangente,  Hauptnormale  und  Binormale,  8t  und 
9^  die  Contingenzwinkel  der  Tangente  und  Krümmungsaxe,  und  be- 
zeichnet der  Accent  die  Differentiation  nach  t. 


§.  1.    Bedingung  einer  Canalfläche  für  Parameter 

der  Krtimmnngslinien. 

Sind  «,  ü  die  Parameter  der  Krümmungslinicn,  und  «^  die  Krüm- 
mungslinie V  »  const,  so  ist 

_    1    8x 

■^*  —  y  6  8t* '  ^^^• 

Dies  längs  9^  differentiirt  gibt  *) : 

J_  ae  hx      J^   /l   8c  8«       L'  5^  ^  I   r^  \ 
h^i 2«!  8t*  8tt+  i/c  \ie  8tt  in       2g  dv  du'^^^^J 

1  de  dx^ 


1_  /  }^cedx\ 

—  y/e\^'~'2g'dvdv) 


Ist  <i  zugleich  Kürzeste,  so  ist  bekanntlich 

,  de 

and  CS  folgt  nur  weiter,  dass 


»'» ■=  V«  (i> 


*)  Hoppe,  Fläcbentheorio  H.  Gl.  (5). 


282 


Hoppe:  Bedingung  einer  Canatflache 


ist    Differentiirt  man  die  Gleichung /i' -=  |j  längs  «j*),  so  kommt 

Edx 

e 


'    ou 


Nach  Multiplication  mit  g-  gibt  die  Summe  der  Analogen: 
und  zwar  ist  die  Grösse 


/  --4-       - 


^•^»    St. 

•        •           • 

1 

8«      dx 
duP  8v 

«               ■                 • 

•         •             • 

•               •                 • 

V^ 


-Vg 


nicht  null,  daher  d^^  :=*  0,  das  heisst  s^  eben.    Hiermit  ist  der  Satz 
bewiesen : 

Eine  Krümmungslinie,  die  zugleich  Kürzeste  ist, 
ist  eben. 

Die  zweite  Schar  Krümmuugslinien ,  u  »  const,  ist  dann  geodä- 
tisch parallel.  Da  sie  aber  die  Ebene  von  s^  zur  gemeinsamen  Nor- 
malebene hat,  so  ist  sie  auch  im  Räume  parallel;  folglich  ifit  die 
Fläche  eine  Canalfläche. 

Notwendige  und  ausreichende  Bedingung  einer  Canalfläche  ist 
also,  dass  ihre  Krümmungslinien  orthogonal  geodätisch  sind,  unter 
gegenwärtiger  Voraussetzung  über  die  Parameter  ausgedrückt  diiFch 


de 
dv 


=  0 


Die  Anwendung  dieses  Kriteriums  setzt  die  Kenntniss  der  Krttm- 
muugslinien  der  gegebenen  Fläche  voraus,  da  e  den  Multiplicator  der 
Differentialgleichung  der  Krümmungslinien  zum  Factor  hat,  wenn  man 
vou  beliebigen  Parametern  ausgeht.  Zur  Herleitung  der  gesuchten 
Bedingung  ohne  Hülfe  der  Krümmungslinien  bieten  sich  zwei  Wege 
dar.  Die  Form  der  Resultate  ist  verschieden.  Beide  sind  nicht 
einfach. 


«)  Ebenda  Gl.  (19). 


nebst  einigen  ßemerkungen  an  Canalflachen,  283 


§.  2.    Erste  Methode. 

Die  VaiiatioDsverhältnisBe   der   ersten  and  zweiten  Hanptkrüm- 
mangsrichtiing  öt  ^  ^  uiid  k^  sind  bestimmt  durch  die  Gleichungen : 

e  +  (k^  +k^)/  +  k^  k^g^O  (2) 

E+  (ifc,  +  k2)F+  k^k^G^O  (3) 

woraus  nach  Differentiation  längs  der  Fläche  in  beliebiger  Richtung 
ond  Elimination  von  dk^ : 


(k^  —  k^)dk^     (4) 


^^dE+(k^+k^)dF+k^k^dG    F+k^G  FG 

de+(k,+k^)d/+k^k^dg     f  +  k^     "^    fg 

Setzt  man  zur  Abkürzung 

R  «  Ve  +  2k^f+kfy 

so  sind  die  Grössen 

A  ■=         _       ^    etc. 

Ricbtungscosinus  der  zweiten  Hauptkrümmungsrichtung ,  also  auch 
der  ersten  Tauptnormalebene.  Bleibt  deren  Stellung  in  erster  Haupt- 
krammungsricbtung  unverändert,  mithin  A  etc.  constant,  so  ist  die 
genannte  Ebene  gemeinsame  Normalebene  der  zweiten  Schar  Erüm- 
mungslinien  fdr  alle  Punkte  der  ersten  und  schneidet  die  Fläche  in 
ibrer  ersten  Krümmungslinie;  diese  ist  eben,  und  der  Schnitt  Kürze- 
ste, folglich  die  Fläche  Canalfläche.  Ausreichende  Bedingungen  der 
Canalfiäche  sind  daher  die  3  analogen  Gleichungen: 

dA    ,   ^  dA       ^ 

^  +  A:ig-«0;    etc. 

Es  bleibt  die  Aufgabe ,  sie  auf  eine ,  vom  Goordinatensystem  unab- 
^Dgige  Gleichung  zurückzuführen.  Zunächst  kann  man  sie  durch 
ein  nenes  System  dreier  Gleichungen  vertreten,  das  man  erhält,  in- 
dem man  nach  Ausführung  der  Differentiation  und  Multiplication  mit 

2Äg^.  2äx-,  -Rp  die  Analogen  addirt.    Die  Summen  ergeben  bzhw.: 

|+«,+Mg+v,('4'-ä)+KS'+'.&)>- 


284  Hoppe:    Bedingung  einer  Canalflache 

Die  letzte  Gleichung  ist  nach  (3)  von  seihst  erfüllt.  Mnltiplicirt  man 
61.  (6)  mit  k^  und  addirt  sie  zu  Gl.  (5),  so  kommt  mit  Berflck- 
sichtigung  von  Gl.  (2): 

Es  soll  uuu  bewiesen  werdeu,  dass  61.  (6)  schon  allein  identisch  ist 
mit  61.  (7),  mitbin  auch  mit  61.  (5). 

Man  kann  nämlich  61.  (6)  nach  Multiplication  mit  k^  —  k^  aach 
schreiben: 

-Ki  —  Kt-\-kiLi  —  k^Li  =  2(*, — kt)  [8(  /+  k^g)  —  Mg\  (8) 

wo  zur  Abkürzung  gesetzt  ist 

A-  -  -  4-2^  ^4-fc  «^^  •     A-  =  ^*  -1-2*. ^^4-k*^^ 

^  —  dv^ ^"^  dv^^  8«'    -^      8t.  +  ''*»8t>+*»  8t. 
8K  ,       8ifc,        „1  /8ä  ,  .   8ä\ 

und  zwar  findet  man  nach  Ausführung  der  Differentiation: 
so  dass  Gl.  (8)  übergeht  in 

-f  2  ^^,-*  [(/+M»  -  R*9\M 
Nun  ist 


n^bst  einigen  Bemerkungen  an  Canalfiächen,  285 


daher  bleibt  nur: 


K,+  k^L, 2^pt^M 


Aas  61.  (9)  erhält  man: 

Ä*         f+k^'^  (f+k,g)(f+k^)        '        <2 
daher  wird  die  Gleichung: 

dbereinstimmend  mit  Gl.  (7),  and  diese  ist  die  gesuchte  einzige  Be- 
dingung  der  Canalfiäche.  Alle  darin  vorkommenden  Grössen  werden 
auf  bekannte  Weise  aus  den  gegebenen  Flächengleichungen  gefunden, 
nnd  zwar  M  nach  Gl.  (4). 

§.  3.    Zweite   Methode. 

Die  Eigenschaft  einer  Canalfiäche  ist  dadurch  vollständig  be- 
dingt, dass  sie  eine  abwickelbare  Mittelpunktsfiäche  bat.  Bezeichnet 
man  die  auf  die  erste  Mittelpunktsfiäche  bezüglichen  Grössen  mit 
dem  Index  1,  so  lautet  die  Bedingung: 

Der  zugehörige  Hauptkrümmungsradius  der  Urfiäcbe  sei  q^.  Die  4 
Coefficienten  in  den  Formeln 

wollen  wir  durch  folgende  Abkürzungen  ersetzen: 

dann  lantet  die  quadratische  Gleichung,  welche  g^  als  Hauptkrüm- 
mungsradius bestimmt: 

aö  =  ßy 

so  dass  wir  setzen  können: 

y  «=«  0o ;    ö  =  cß 

Fernere  Abkürzungen  seien: 


286 


Hoppe:  Btdinyung  siner  Canalfiäche 


2,,= 


2x 


2<i  = 


8« 

« 

de 

dt. 

1 

/^ 

1 

8« 

dv 

3? 

e 

f 

2^ 


2A  = 


2v=- 


a« 

du 

f 

2  3/      9« 

VM.       dv 

g 

de 

dv    ^ 

Sg 

iä.  ^ 

38/     ?S? 

dv       du 

1 

«    j 

Bg 

j» 

dv 

f 

Die  Gleichongeu  der  ersten  Mittel panktsflächo 

a-j  =  a'-|-  piT? ;     etc. 
geben  differentiirt: 

dx^         8«  ,   ^9«  , 


8v 


woraus: 


V\h  = 


(8«  ,    _8iF\  ,  . 
dz  dz   .  /   9«    I    Ä^^X    ,    ^ 


das  ist 


i^iM^  (t-€<j) 


etc. 


(11) 


(12) 


Differentiirt  man  die  61.  (11)  aufs  neue  mit  Anwendung  der,    den 
61.  (10)  gleichbedeutenden  Formeln 


9^-du  =  ^''-^^du  +  ^Fv-^    <^«8« 


da: 


a« 


C«^^{cß-\)^ 


moltiplicirt  mit  61.  (12)  und  addirt  die  Analogen,  so  ergibt  sich : 


nehgt  einigen  Bemerkungen  an  Canalflächen.  287 

^^  -  „*r,+aß(,  +  .)  +  ßn+  {^^  -  .ß)  .»    i 

Bezeichnen  9,1,  ^i,  die  Hauptkrümmangsradien  der  ersten   Mittel- 
panktsfläche,  so  ist 

und  nach  Einsetzung  der  Werte,  und  zwar  mit  Benutzung  der  2  Aus- 
drflcke  ffir  F^  findet  man: 

p^  °  ""^"^*  I "'''  "*"  "'^^^  "•"  ^*^ + "^^^^^  "•"  ''^ + '*'" 

,    /  ßda—ttBß  ,    .|J8«— b8/J\  ,» 
Daher  ist  die  gesuchte  Bedingung  der  Canalfiäche: 


§.  4.     Allgemeine  Gleichung  der  Canalfiäche  und 
Ausdruck  ihrer  Hauptkrümmungen. 

Die  Gleichungen  einer  Parallelen  s  mit  der  Leitlinie  sq  sind: 
a;  «  aco  +  ^[/o'cos  (^0 + <?) — A)  ö^n  (^0  +  c)] ;    etc. 

und  zwar  bedeuten  C,  c  die  Polarcoordinaten  des  Punktes  der  Nor- 
malebene Yon  «Ol  durch  welchen  s  geht,  in  dieser  Ebene.  Der  An- 
fang der  e  liegt  in  einer  beliebig  zu  wählenden  Parallele  im  Abstände 
C  von  #«.    Fahren  wir  dafür  die  ebenen  rechtwinkligen  Coordinaten 

I  —  Ccosc,    fi  «  Csinc 

ein  und  setzen  zur  Abkflrzung 


288  Hoppe:  Bedingung  einer  Canalflache 

so  wird 

1  X  ^  x^'\-iF'-riL\    ete.  (17) 

Beschreibt  nun  unabhängig  von  «^  der  Punkt  (I17)  in  seiner  Ebene 
die  Linie  a,  so  erzeugt  die  Parallele  (17)  eine  Canalflache,  und  die 
Gl.  (17)  sind  der  allgemeine  Ausdruck  einer  solchen* in  den  Para- 
metern a  =*  u  und  «0  =»  V, 

Die  Differentiation  der  Werte  (16)  nach  tq  ergibt: 

^'  =  -/ocos^o-,     ^' /osin^o  d^) 

und  die  Constante  im  Krümmungswinkel  r  von  a  sei  bestimmt  durch 

B^  .  dv 

cos  T  «=  K-  ;      sin  T  =*  K- 
öö  off 

Setzt  man  überdies  zur  Abkürzung 

E  =  «o'—Scos^o  +  ^sJttdo  (19) 

so  erhält  man  aus  61.  (17)  die  partiellen  Differentialquotienten: 

dx  * 

K-  =  Fcosr— Xsint  =• /■o'cos(t*^o+i^)  — ^8in(^a4"^^ 

dx  R 

3i  =  K'  (*) 


woraus : 


6==1;    /«O;     9-=^t^',    t^f-,  (21) 


«0 


p  ==.  — i^sinr  — I»cosT  -=  — /o'sin(^o  +  ^)  —  A) cos (^0 "f- ^) 
und  nach  neuer  Differentiation: 

a^  /o^sin  (t^o + ^)  +  ^0  cos  (.^0  +  X)    \ 

au«  ^  ff' 

— /o Tt (  (22) 


dudt7  "  «0 

a»*     ^«  »0'*  ^  ^'  3t>  v«o7 

also  aus  der  Definitiousgleichnng  berechnet: 


netul  einigen   Bemerkungen  cm  CanalftHehen  289 

Die  Werte  von  e,  f^  F  zeigen,  wie  gchon  bekannt  war,  dass  die 
Parameter  orthogonal  geodätisch  sind  nnd  den  Krüoimungslinien  ent- 
sprechen. Wegen  letzterer  Eigenschaft  sind  nun  die  Hanptkrttmmungs- 
radien 

Die  vorstehenden  Formeln  sind  sowol  fOr  allgemeinen  Gebrauch  bei 
Untersuchung  von  Canalflächen,  als  auch  für  die  folgenden  spccicUcn 
Bemerkungen  entwickelt  worden. 


§.  5.    Bemerkung  an  der  zweiten  Mittelpunktsfläche 

der  Canalfläche. 

Die  erste  Mittelpuuktsfläche 

bietet  keine  Frage  zur  Untersuchuug  dar,  weil  sie  sich  unmittelbar 
als  die  von  der  Evolute  des  Querschnitts  0. erzeugte  Canalfläche  mit 
gemeinsamer  Leitlinie  «0  darstellt. 

Die  Gleichung  der  zweiten  Mittelpunktsfläche  ist: 

,    ^„  ,1     ^^SiUT+i^COST 

f.  ^   FsinT+Xcosrl  [  Fsiur -\- Lcosx' 

=  r,  +  ([F-coB9,     3i„(<,^^,)  -J-,,|^I.-8.u.'^o--^nüvFr)    . 

+  **»       sin(^+To) 
.     ^  ,       .     , /'sin^ü  — XcoS''>o   I      , /"sinr  +  ZrCOsr 

=  To+  (|C08 1  +  1,810  T)  — -   (^;q:7)  -  +  »0      ■  siulöo  + 1)  - 

hat  also  die  Form: 

'X^^Xo  +  s^%'+ül^  (25) 

wo 

,,       Vco8(0tf  +  ^)— Scosr—  lysinx 

Sin  (^0  +  ^) 

gesetzt  ist  Hiernach  stellt  (x^t/iZ^)  einen  Punkt  auf  der  Krümmungs- 
aie  dar,  der  wenn   U  mit  a  variirt,  die  Krümmuugsaxe  durchläuft, 

Aitk.  L  Math«  «.  PI17«.    2.  Beihe,  TeU  I.  19 


^ 


290  Hoppe:  Bedingung  einer  Canalßäehe 

die  ihrerseits  bei  variirendem  «o  die  abwickelbare  Mittelpnnktsfläche 
erzeugt.  Es  hat  sich  der  Satz  ergeben,  den  ich  noch  nicht  ausge- 
sprochen gefanden  habe: 

Die  der  parallelen  Schar  Krümmangslinien  ent- 
sprechende Mittelpunktsfläche  der  Canalfl&che  ist 
derOrt  der  gemeinsamen  Erümmungsaxe  jener  Paralle- 
len, mithin  die  Einhüllende  der  Erttmmnngsaxen  ihre  Grratlinie. 

Der  Ausdruck  (26)  von  l/,  der  den  Abstand  des  Punktes  ('2^»%) 
Yon  der  Schmiegnngsebcne  der  Leitlinie  darstellt,  kann  weitere  Ver- 
wendung finden,  wenn  es  sich  um  die  entsprechenden  Punkte  auf  beiden 
Flächen  handelt  Er  ist  noch  abhängig  von  der  willkürlichen  Leit- 
linie; dagegen  ist  die  Grösse 

^  -  U  '''^ 

welche  die  Strecke  vom  Coincidenzpunkt  der  Erümmungsaxe  bis  zum 
Punkte  {x^y^z^)  ausdrückt,  davon  unabhängig.  Geht  man  also  von 
der  Gratlinie  aus,  so  bezeichnet  (27)  das  Stück,  welches  die  der  Ur- 
fläche  entsprechende  Eürzeste  auf  der  Abwickelbaren  von  der  Tan- 
gente abschneidet. 


§.  6.    Bemerkung  über  asymptotische  Linien  der 
Canalfläche  in  einem  Specialfalle. 

Die  Differentialgleichung  der  asymptotischen  Linien 

wird  nach  (23)  auf  der  Canalfläche: 

du*       Äsin(^o+^) 


C  #„'« 


dv» 


0 


Ist  die  Leitlinie  ein  Ereis  vom  Badius  c,  so  kann  man  das  constante 
^0  iiall  setzen  und  erhält: 

7---^8inT8t^ 

Sei  auch  der  Querschnitt  ein  Ereis  vom  Radius  o.    Dann  hat  man: 

£  =  a  sin  r ;     c  '^  ar 


nebst  emigen  Bemerkungen  an  Canalflächen,  291 

^  =  "^^  =  l-sin«T  =  i^^i« 
Dod  die  Gleichung  wird: 

dv^  +  -p —     ^,    ==.  (28) 

Da  eUiptische  Fanctioneu  erster  Gattung  in  der  Geometrie  nur  selten 
Torkommen,  so  verdient  wol  der  vorliegende  Fall  derart  uotirt  zn 
werden. 


19* 


292  Klug:  Perspectrviitehe  Dreiecke 


XV. 

Perspectivische  Dreiecke  die  einem  Kegelschnitt 

einbeschrieben  sind. 

Von 

L  Klug. 


In  dem  70ten  Teile  dieses  Archiv's  p.  446  haben  wir  gezeigt, 
wie  man  Pnnktreihen  coustrnirt,  die  mit  zwei  oder  drei  projectivi- 
sehen  Punktreihen  involu torisch  liegen.  Von  diesen  Constroctionen 
ausgehend  sind  wir  im  Stande  Dreiecke  zu  finden,  welche  mit  zwei 
oder  drei,  einem  Kegelschnitt  einbeschriebeuen  Dreiecken  zugleich 
perspectiYisch  liegen  und  dem  Kegelschnitt  einbeschrieben  sind. 


1. 

Es  seien  A^  B^  C\ ,  Ä^  B^  Q  zwei  demselben  Kegelschnitt  eio- 
beschriebene  Dreiecke,  wir  wollen  ein  mit  den  gegebenen  perspectiTi- 
sches  Dreieck  construiren,  welches  dem  Kegelschnitt  einbeschrieben  ist. 

Zu  dem  Ende  construiren  wir  eine  Punktreihe,  welche  mit  den^ 
durch  A^B^C^^  A^B^C^  Punkte  bestimmten  projectivischen  Punkt- 
reihen  A^B^C^  ...,  A^B^C^  ...  zugleich  iuvolutorisch  liegt;  die- 
jenigen Elemente  dieser  neuen  Punktireihe,  welche  den  A^Bit\ 
Punkten  projectivisch  entsprechen,  sind  die  Eckpunkte  des  gewOnschten 
Dreiecks. 

Wir  wissen  (70.  T.,  p.  446),  dass  es  unendlich  viele  Pnnktreiben 
gibt,  die  mit  A^^B^^Cj  ...,  A^B^Cf  ...  zugleich  involutorisch  liegen, 
und  dass  dieselben  erst  dadurch  vollkommen  bestimmt  sind,  dass 


du  einem  KegelachniU  embeschrieben  sind,  293 

wir  von  den  zu  constrnirendeB  Panktreihen  ein  Element  annehmen, 
welches  einem  bestimmten  Elemente  der  gegebenen  Pnnktreihen  ent- 
qirechen  soll.  Daraas  folgt:  dass  wir  einen  Eckpunkt  des  gewünschten 
Dreiecks  beliebig  annehmen  können  auf  dem  Kegelschnitt 

Ist  D  ein  beliebiger  Punkt  des  Kegelschnitts,  dann  sind  unter 
den  unendlich  vielen  Punktreihen,  welche  mit  A^B^Ci  ...,  A^B^C^ 
...  zugleich  involutorisch  liegen,  drei  vorhanden,  welche  zur  Bestim- 
moDg  der  perspectivischen  Dreiecke  dienen.  Den  Punkt  D  können 
wir  njkmlich  als  dem  Punkte  ^i,  oder  B^^  oder  C^  entsprechend  be- 
trachten und  in  diesen  drei  Fällen  mit  A^  resp.  B\  C"  bezeichnen; 
diemit^jJ^jC]  ...,  A^B^Cf  ...  involutorischen  Punktreihen  ABC..,^ 
Ä'ffC  ...,  Ä'E^'C*'  ...  bestimmen  drei  Dreiecke  ABC,  A'B'C\ 
Ä'trc\  welche  einen  gemeinsamen  Eckpunkt  D  haben,  dem  Kegel- 
scbnitt  einbeschrieben  sind  und  mit  den  Dreiecken  A^  B^  Cj,  A^B^C^ 
perspectivisch  liegen. 

Sechs  Punkte  zu  dreien  in  zwei  Gruppen  verteilt,  bestimmen 
aaf  sechserlei  Art  projectivische  Punktreihen.  Den  Punkten  A^  B^  C, 
ktoeo  nämlich  die  Punkte  A^B^C^,  B^C^A^,  C^A^B^,  C^B^A^, 
BfA^C^  A^CfB^  entsprechen,  wir  finden  daher  sechsmal  unendlich  viele 
Pnnktreihen,  welche  mit  den  gegebenen  involutorisch  liegen.  Dies  in 
Betracht  gezogen,  können  wir  sagen :  wenn  A^  B^  C,,  A^  B^  Cg  zwei  dem- 
selben Kegelschnitt  einbeschriebene  Dreiecke  sind,  D  ein  beliebiger 
Ponkt  des  Kegelschnitts  ist,  dann  kann  man  3  mal  6  solche  Dreiecke 
coDsüniren,  die  D  zum  gemeinsamen  Eckpunkt  haben,  dem  Kegel- 
schnitt einbeschrieben  sind  und  mit  den  gegebenen  zwei  Dreiecken 
perspectivisch  liegen. 

2. 

Unter  den  unendlich  vielen  Dreiecken  die  mit  zwei  demselben 
Kegelschnitt  einbeschriebenen  Dreiecken  perspectivisch  sind,  gibt  es 
auch  solche,  welche  mit  einem  oder  anderen  der  gegebenen  Dreiecke 
vA  zwei-  «oder  dreierlei  Art  perspectivisch  liegen.  Um  diese  zu  be- 
Btimmen,  müssen  wir  wissen,  dass  die  Verbindungslinien  p,  q,  r,  der 
Doppelpunkte  der  projectivischen  Punktreihen  A^B^C^  ...,  A^B^C^-^ 
^^iCj  ...,  B^C^A^  ...;  A^B^C^  ...,  C^A^B^  ...,  welche  die 
PsscaFschen  Linien  der  einfachen  Sechsecke  A^  C^ i^i,  ^i  C^  B^  A^ ^t^it 
^i^i^i^fl,  A-^A^B^B^C^C^  sind,  durch  denselben  (/Punkt  gehen, 
ttnd  dass  sich  die  Verbindungslinien  p\  q,  r'  der  Doppelpunkte  der 
projectivischen  Punktreihen  A^B^Ci,  C^B^A^  ...-,  A^^B^C^  ..., 
'diCijB,;  A^B^Ci  ...,  B^A^C^  ...  als  Pascal'sche  Linien  der  einfachen 
Sechsecke  -4,  -4,  JBi,  Q  Q  B„  A^  B^  5^,  -4,  Cj  C,  A^  C,  B^,  i?,  C,  A^  in 
denselben  17  Punkte  schneiden.  Werden  die  Eckpunkte  des  Dreiecks 


294  Klug:  Ptrgptctwische  Dreieekt 

A^  i?]  C\,  oder  A^  Bf  C^  aas  einem  beliebigen  Schnittpunkte  von  zweien 
der  Geraden  pqtp'qr  auf  den  Kegelschnitt  projicirt,  so  sind  die 
Projectionen  die  Eckpunkte  von  Dreiecken,  welche  mit  den  gogebeneD 
auf  zwei-  oder  dreierlei  Art  perspectivisch  liegen.  Projicirt  man 
eins  der  gegebenen  Dreiecke  aas  den  Punkten  ü  oder  ü\  dann 
wird  die  Projection  mit  diesem  auf  einerlei,  mit  dem  anderen  der 
gegebenen  Dreiecke  auf  dreierlei,  wenn  nicht  aus  den  Schnittpunkten 
(7,  V  aber  bloss  auf  zweierlei  Art  perspectivisch  liegen. 

Bezeichnen  wir  die  Projection  der  Punkte  Ai  B^  C,  vom  Schnitt- 
punkte (29,  r)  der  Geraden  |>,  r  auf  den  Kegelschnitt  mit  ABC^ 
dann  wird  ABC  Dreieck  sowol  mit  ^2^2^  ^^^  ^^^^  ^^^  B^A^C^ 
perspectivisch  liegen,  der  Schnittpunkt  der  Projectionsstrahlen  AA^, 
BBf^  CCf  befindet  sich  auf  p^  der  Schnittpunkt  der  ProjectioDS- 
strahlen  AB^^  BA^^  CC^  befindet  sich  auf  r,  da  {pj  r')  auf  p  und  r 
liegt.  Diese  zwei  Schnittpunkte  liegen  auch  auf  CC^  Geraden  and 
sind  wie  aus  AB^A^B  Viereck  ersichtlich  conjugirte  Punkte  des 
Kegelschnitts.  —  £s  gibt  18  solche  Dreiecke,  wielche  mit  einem  der 
gegebenen  Dreiecke  auf  zweierlei,  mit  dem  anderen  auf  einerlei  Art 
perspectivisch  liegen,  da  pqr^  p'q'r'  Geraden  sich  ausser  in  UV 
noch  in  9  Punkten  schneiden,  und  die  Projectionen  der  zwei  ge- 
gebenen Dreiecke  aus  diesen  9  Punkten  auf  dem  Kegelschnitt  18 
Dreiecke  liefern. 

3. 

Wenn  wir  die  Projectionen  der  AiB^Ci  Punkte  aus  l/auf  den  Kegel- 
schnitt mit  EfFfGf  bezeichnen,  dann  ist  das  Dreieck  E^F^Gf  anf 
dreierlei  Art  perspectivisch  mit  ^2-^2^1  ^i^  Geraden  E^A^^  f*Bi, 
GfCf  treffen  sich  in  P^^  die  E^C^^  ^2-^21  ^2^2  Geraden  in  Q^  end- 
lich Ef  Bf^  Ff  Cf^  Gf  Af  Geraden  in  R^^  und  es  liegen  1\^  Q^^  /?,  be- 
ziehungsweise auf  den  Geraden  />,  «7,  r.  Sind  ebenso  Ef*F^'  Gf  die 
Projectionen  der  A^B^^C^  Punkte  auf  V^  anf  dem  Kegelschnitt,  dann 
ist  EfFfGf  Dreieck  auf  dreierlei  Art  perspectivisch  mit  A^B^C^^ 
die  Geraden  E^'  Cf,  F^B^,  G^'Af  treffen  sich  in  i*,';  -K2'^2i  ^t'^i 
GfBf  in  Q2'  endlich  E^'B^,  /i'^,,  G^'C^  in  Rf\  und  es  liegen 
Pf\  Qf\  Rf  beziehungsweise  auf  p',  5',  r\  Ist  ferner  die  Projection 
des  Dreiecks  A^B^Cf  aus  U  und  ü'  auf  den  Kegelschnitt  E^F^G^, 
^\'^i'^i',  dann  sind  E^F^G^,  ^iF^'O^'  Dreiecke  mit  ^2^2^  auf 
einerlei,  mit  A-^B^C^  auf  dreierlei  Art  perspectivisch ;  die  Projoctions- 
centreu,  welche  diesen  Lagen  entsprechen,  bezeichnen  wir  mit  PiQ^ 
R\Pi  Qi'Ri'  je  nachdem  dieselben  auf  den  Geraden  pqrp'q'r 
liegen. 

Es  können  daher  vier  Dreiecke  dem  Kegelschnitt  einbeschrieben 
werden,  welche  mit  einem  der  gegebenen   auf  einerlei  mit  dem  an- 


die  ew€m  Kegehehnitt  einbeschrieben  eind,  295 

deren  auf  dreierlei  Art  perspectivisch  liegen.  Von  diesen  vier  Drei- 
ecken sind  solche  zwei,  welche  die  Projectionen  eines  der  gegebenen 
Dreiecke  bilden,  also  E^F^G^,  E^'F^'G^'  oder  E^F^G^,  E^'F^'G^' 
ZD  einander  perspectivisch,  das  Projectionscentrnm  ist  in  beiden 
Fällen  der  Pol  der  17  27'  Geraden,  ü,  U'  Punkte  sind  nämlich  con- 
JBgirt,  und  es  wird  die  Seite  E^E^'  des  Dreiecks  A^E^E^^  durch  den 
Pol  der  Geraden  UV^  gehen,  da  ü  und  U*  auf  A^E^  beziehungs- 
weise A^E^'  liegen. 

Die  oben  mit  P]  ...  R^'  bezeichneten  Projectionscentren  haben 
eine  besondere  Lage:  Die  Punkte  l^Q^R^^  P2Q^'R^\  wie  auch 
/\  ...  Äj'  liegen  auf  je  einer  Geraden,  welche  durch  den  Pol  T  der 
Vü'  Geraden  gehen.  Dies  folgt  daraus,  dass  P^Q^R^^  daher 
aoch  P^'Q^'R^\  P^Q^R^,  P^'Q^'R^^  auf  je  einer  Geraden  liegen, 
ferner  dass  die  Yerbindungsgeraden  der  P^Q^R^  Punkte  mit  jedem 
der  Punkte  P^'Q^'R^'  durch  T  gehen. 

Nachdem  die  Schnittpunkte  der  Gegenseiten  der  einfachen  Sechs- 
ecke E^C^Fi  B^G^A^,  E^B^F^  ^2^*^25  ^2^2^2  ^^^2^2  <i>e 
Ponkte  P^  Q21  ^2  ^^^^-i  f&Ueii  die  Pascal'schen  Linien  der  benannten 
einfachen  Sechsecke  in  P^Q^R^  Geraden,  nachdem  ferner  die  Pascal- 
schen  Linien  der  E^' E^A^G^* G^C^^  F^' F^B^G^' G^C^  einfachen  Sechs- 
ecke 7  P^  P2',  TP^  Q2  Geraden  sind ,  so  ist  unsere  Behauptung  be- 
wiesen. 

Bezüglich  der  Punktpare  ^2 /Jg',  PgPg',  Q2Q2'  und  P^Q^^  Q^R^', 
R^P/  endlich  PfR^\  Q2A')  ^2^2'  ^^^  2°  bemerken,  dass  dieselben 
eine  Involution  bilden ,  da  die  erste ,  zweite  und  dritte  Puuktgruppe 
die  Projection  der  E^E^^  ^2^2'?  0^2  ^2'  involutorischer  Punktpare 
ist  ans  den  B^ ,  ^ ,  C^  Punkten  auf  P2  Q^  Gerade.  Ebenso  bilden 
Pi  ...  Äj'  Punkte  auf  dreierlei  Art  eine  Involution. 

Die  sechs  Punkte  E^^  62,  F2,  B^^  (rj,  A^  haben  abgesehen  von 
der  dreifachen  perspectivischen  Lage  der  Dreiecke  i:^P2^2i  A2B2C2 
noch   die    Eigenschaft,     dass   die    drei    Pascal'schen    Linien    der 

i:jC,F2*^2  6?2^2i  £2  ^2  ^2 -^2  ^2  Q»  ii^g  ^2  ^2  ^2  ^2  ^2  einfachen  Sechs- 
ecke, wie  aus  den  früheren  ersichtlich,  zusammenfallen  in  die  P2Q2 
Gerade.  Bei  einem  anderen  Pascarschen  Sechsecke  schneiden  sich 
die  drei  Pascal'schen  Linien,  welche  solchen  einfachen  Sechsecken 
entsprechen,  in  einem  Steiuer'schen  Punkte.  Im  gegenwärtigen  Falle 
können  wir  jeden  Punkt  der  P^Q^  Geraden  als  einen  Steiuer'schen 
nennen,  bezüglich  des  in  Betracht  gezogenen  Sechsecks,  und  es  wird 
der  Schnittpunkt  S^  der  Pascal'schen  Linien  der  £2  Q  ^2  ^2  ^2  ^29 
^^1^2 ^2 ^2 ^2)  i^2^2''^2'^2^2Q  einfachen  Sechsecke,  als  zu  allen 
Punkten  der  P^Qt  Geraden  conjugirt,  der  Pol  von  P2Q2  »©in.  — 
Wir  können  auch    auf  eine  andere  Art  zeigen,   dass  der  Schnitt- 


296  ^1^9*   PerapeetivüehB  Dreiecke 

pnnkt  der  Pasearschen  Linien  der  letztbenannten  Sechsecke  der  Pol 
von  I^Qf  ist;  dieselben  sind  nämlich  als Yerbindnngslinien  der  Dop- 
pelpunkte von  E^F^G^  ...,  A^B^C^  ...;  E^F^G^  ...,  CfA^Bf  ...; 
E^F2G^...^  B^C^A^  ...  in volntorischen  Pnnktreihen  die  Polaren  von 
P»  Qsi  -^2  Punkten. 

Die  einfachen  Sechsecke  E^'C^G^B^F^'A^,  E^C^F^B^G^A^, 
E^'C^Gj^'B^F^'A^  haben  dieselbe  Eigenschaft  als  E^C\F^B^G^Ä^ 
nämlich:  vom  ersten  Sechsecke  fallen  drei  Pascal'sche  Linien  in  P^Q^ 
Geraden,  während  sich  drei  in  S^  schneiden;  von  den  anderen  zwei 
Sechsecken  fallen  drei  PascaPsche  Linien  in  Pj  Qj,  während  sich  die 
anderen  drei  im  S^  Punkte  treffen.  Es  ist  ferner  leicht  ersichtlich, 
dass  sich  S^S^üV  Punkte  in  einer  Geraden  befinden,  denn  diese 
Punkte  sind  conjugirt  zu  T. 

Dje  bisherigen  Betrachtungen  können  wir  in  einem  Satz  zu- 
sammengefasst,  so  aussprechen: 

„Wenn  einem  Kegelschnitt  zwei  Dreiecke  einbeschrieben  sind, 
„dann  kann  man  unendlich  viele  Dreiecke  dem  Kegelschnitt  einschreiben, 
„welche  mit  den  gegebenen  zugleich  perspcctivisch  liegen;  es  gibt 
„18  Dreiecke,  welche  denselben  gemeinsamen  Eckpunkt  haben,  dem 
„Kegelschnitt  einbeschrieben  und  mit  den  gegebenen  Dreiecken  per- 
„spectivisch  sind ;  es  gibt  ferner  18  dem  Kegelschnitt  eiubeschriebcnc 
„Dreiecke,  welche  mit  einem  der  gegebenen  Dreiecke  auf  eiucrlei 
„mit  dem  anderen  auf  zweierlei  Art  perspcctivisch  sind.  Ausser 
„diesen  sind  noch  4  besondere  Dreiecke  vorhanden,  welche  mit  je 
„einem  der  gegebenen  Dreiecke  auf  einerlei,  mit  dem  anderen  auf 
„dreierlei  Art  perspcctivisch  sind.  Von  diesen  vier  besondern  Drei- 
„ecken  sind  zweimal  genommen  zwei  selbst  perspcctivisch,  das  Pro- 
,gectionscentrnm ,  welches  diesen  Lagen  entspricht,  ist  ein  und  der- 
„selbe  Punkt.  Die  Zahl  der  Projectionscentren ,  welche  der  pcr- 
„spectivischen  Lage  dieser  vier  und  der  gegebenen  zwei  Dreiecke 
„entsprechen,  ist  14,  wovon  2  Punkte  solche  zwei  Steiuer'sche  con- 
,Jugirte  Punkte  sind,  welche  zu  den,  durch  die  Eckpunkte  der  gc- 
„gebcnen  Dreiecke  bestimmten  Pasearschen  Sechsecken  gcböreu,  die 
„übrigen  12  liegen  zu  je  6  auf  zwei  Geraden  und  bilden  auf  dieseu 
„Geraden  auf  dreierlei  Art  Involutionen.  Der  Schnittpunkt  dieser 
„zwei  Geraden  fällt  einerseits  mit  dem  Projectionsceutrum  zusamineu, 
„welches  die  perspcctivisch c  Lage  der  vier  besonderen  Dreiecke  bc- 
„«timmt,  andrerseits  bildet  er  mit  den  erwähnten  Steiuer'schen  Punkten 
„ein  Tripel  beztkglieh  des  Kegelschnitts^'. 


die  einem  KetfeUchnilt  einbeschrieben  sind,  297 


4 

Untersuchen  wir  in  wie  fern  sich  dieser  Satz  ändert,  wenn  die 
gegebenen  Dreiecke  A^B^C^^  A^B^C^  auf  drerlei  Art  perspectivisch 
sind,  Dämlich  wenn:  A^A^^  B^B^^  ^i^s;  ^iC^  ^1^99  ^i-^si  ^i^t^ 
J9,C,;  (7j^2  Geraden  sich  beziehungsweise  in  P,  Q,  12  Punkten 
schneiden  oder  kürzer  ausgedrückt,  wenn  A^B^C^  in  Rücksicht  auf 
die  Reihe  der  entsprechenden  Punkte  mit  A^B^C^^  C^A^B^^  B^C^A^ 
perspectivisch  ist  und  die  Projcctionscentren  beziehungsweise  P,  Q, 
R  sind. 

Wenn  die  Polaren  von  P,  Q,  12  mit  ^,  q^  r  bezeichnet  werden, 
dann  ist  aus  dem  früheren  bekannt,  dass  sich  diese  Polaren  als  Pas- 
carsche  Linien  der  A^  Q  B^  A^  C^  B^.  ^j  B^  B^  C^  C^A^^  A^  A^  B^  B^  C^C^ 
einlachen  Sechsecke  in  einem  gewissen  S  Punkte  schneiden,  welcher 
der  Pol  ist  von  den  in  eine  «  Gerade  fallenden  Pascal'schen  Linien 
der  einfachen  Sechsecke  A^  B^  B^  A^  C\  Q ,  A^  C^  B^  B^  Q  A^^  Aj^  -^s^i 
C|  C,  Bf, 

Es  seien  nun  ABC  die  Projectionen  der  A^  B^  C^  Punkte  aus 
einem  beliebigen  Pj  Punkte  der  «  Geraden,  so  wird  ABC  Dreieck 
m\i  AfCfB^  B^A^C^^  C^B^A^  perspectivische  Lage  haben;  die  Pro- 
jectionscentren  P^  Qg,  R^  liegen  auf#.  Nachdem  vi  i^C  Dreieck  die 
Projectiou  von  A^B^C^  ist  aus  einem  P^  Punkte  der  s  Geraden,  so 
wird  ABC  Dreieck  auch  mit  A^B^^C^^  -öiQ-^u  ^1-^1^1  perspectivi- 
sche Lage  haben  und  die  Projectionscentren  sind  P^,  Qi,  R^ ;  ABC 
Dreieck  ist  daher  auf  dreierlei  Art  perspectivisch  mit  den  gegebenen 
Dreiecken.  —  Die  erhaltenen  Projectionscentren  Pi  Qil2i,  P^Q^R^ 
bilden  auf  dreierlei  Art  Involutionen ,  weil  die  Projectiou  der  A^  A^^ 
B^B^  C^Cf  wie  auch  A^C^^  B^Af,  C^B^,  endlich  A^B^^  -öiQ,  C'i'^i 
involutorischc  Punktgrnppen  aus  A  beziehungsweise  B^  C  auf  die 
Gerade«  die  Punktpare  PtP^,  QjQi,  RiR^',  PiP^,  Pi^,  Qi^i'i 
^1 A,  ^1  Q«i  Pi  Ri  sind. 

Es  sei  zweitens  E^F^Gf  die  Projectiou  der  A^B^C^  Punkte  aus 
(p,  <)  auf  den  Kegelschnitt,  dann  wird  E^F^G^  Dreieck,  da  (p,  s) 
aaf  s  liegt,  mitJ,  i^,  Q,  A^B^C^  auf  dreierlei,  da  (/>,«)  auch  auf  p 
liegt  mit  ^2^2 ^8  noch  auf  einerlei  Art  perspectivisch  sein,  nämlich: 
^i^Gj  Dreieck  ist  mit  den  Dreiecken  A^B^C^^  A^C^B^^  B^A^C^^ 
C.B^Af  und  A^B^Cj^  l^Q-4, ,  6j  ^Ij  1^,  perspectivisch.  Die  Drei- 
ecke -4jj[^,  C, ,  AfB^Cf^  AjPgG^jj  sind  daher  parweise  perspectivisch, 
und  es  bilden  die  Projectionscentren,  welche  dieser  Lage  entsprechen, 
i'in  Polardreieck;  zwei  Projectionscentren  sind  aber  P  und  (p,  »), 
daher  wird  das  dritte  Centrum  S  sein,  da  S  zu  den  ersteren  zwei 
Ponkten  coiyugirt  ist.    Daraus  schliessen  wir,  dass  E^  F^  G^  die  Pro- 


298  Klug:  Perspectwüche  Dreiecke 

jection  der  Eckpuinkte  des  Dreiecks  A^B2C2  aus  S  auf  den  Kegel- 
schnitt, daher  von  (p,  «)  unabhängig  ist,  welche  Eigenschaft  wir  ancb 
so  aussprechen  können:  dass  die  Projection  des  Dreiecks  /Ij^jC, 
aus  den  Punkten  (/),  «),  (5,  *),  (r,  »)  ein  und  dasselbe  J^2  F2  (?s  Drei- 
eck ist. 

Man  kann  noch  ein  so  merkwürdiges  Dreieck  E^  F^  G^  finden, 
indem  man  A^B^C^  aus  S^  oder  aber  A^B^C^  Dreieck  aus  (/}.  »\ 
oder  (g,  s)  endlich  (r,  «)  Punkte  auf  den  Kegelschnitt  projicirt 

Die  zwei  Dreiecke  E^^F^G^^  E^F^G^  sind  auf  dreierlei  Art  per- 
spcctivisch  nämlich:  E^Ft^G^  m\i  E^F^G^,  G^E^F^,  F^G^  E^  ^\^ 
Projectionscentren  sind  beziehungsweise  1\  Q,  R,  Dies  ist  daraus 
ersichtlich,  dass  sich  A^E^,  ^2^21  ^i^\  •••  ^2^2  Gerade  im  Pole  S 
von  «,  und  A^A^^  B^  B^^  C^  C,  Gerade  im  Punkte  P  schneiden,  daher 
Ej^  E^^  Fl  Fg,  G^  G2  Gerade  durch  P  gehen ;  ebenso  wird  der  Beweis 
geführt  für  die  zwei  anderen  perspectivischen  Lagen. 

Das  Resultat  dieser  Untersuchung  lautet: 

„Wenn  zwei  demselben  Kegelschnitt  cinbeschriebene  Dreiecke  auf 
„dreierlei  Art  pcrspectivisch  sind,  dann  kann  man  unendlich  viele 
„Dreiecke  dem  Kegelschnitt  einschreiben,  welche  mit  den  gegebeneu 
„auf  einerlei,  und  unendlich  viele,  welche  auf  dreierlei  Art  per- 
„spcctivisch  sind.  Die  Projectionscentren,  welche  zu  jedem  dieser 
„letzteren  Dreiecke  gehören,  liegen  auf  einer  s  Geraden  und  bilden 
„eine  Involution;  diese  s  Gerade  enthält  auch  die  Projectionscentren, 
„welche  aus  der  perspectivischen  Lage  der  gegebeneu  Dreiecke  ent- 
„stammeu.  Man  kann  aber  noch  zwei  besondere  Dreiecke  dem 
„Kegelschnitt  einschreiben,  welche  mit  einem  der  gegebenen  auf 
„dreierlei,  mit  dem  anderen  auf  viererlei  Art  perspectivisch  sind,  und 
„diese  sind  die  Projectioueu  der  gegebenen  Dreiecke  aus  dem  Pole 
„der  8  Geraden  auf  den  Kegelschnitt.  Diese  zwei  besonderen  Drei- 
„ctke  sind  mit  einander  auf  dreierlei  Art  perspectivisch;  die  Pro- 
,gectionscentren ,  welche  zu  diesen  Lagengehören,  fallen  mit  den 
„Projectionscentren  zusammen,  durch  welche  die  perspectivische  Lage 
„der  gegebenen  Dreiecke  bestimmt  ist." 

Zu  bemerken  ist  noch:  wenn  die  gegebenen  Dreiecke  auf  viererlei 
Art  perspectivisch  sind,  wie  z.  B.  in  der  früheren  Figur  E^F^Gf, 
A^B^C^^  erhalten  wir  keine  wesentlich  verschiedene  Figur. 


5. 

Kehren  wir  nun  zu  der,  von  den  früheren  Constructionen  sich  er- 
gebenden bestimmten  Aufgabe  zurück,  welche  so  lautet:  es  sind  drei  dem- 


die  einem  Kegelschnitt  eiubeschrieben  sind.  299 

selben  Kegelschnitt  cinbeschriebcne  Dreiecke  A^Bj^C^^  A^B^C^^ 
A^ß^C^  gegeben,  man  construire  ein  Viereck,  welches  dem  Kegel- 
schnitt einbeschrieben  ist  und  mit  dem  gegebenen  perspectivisch  liegt . 

Wir  constmiren  (70.  Teil  p.  447)  die  Verbindungsgerade  der 
Doppelpunkte  der  perspectiTischcn  Punktreihen  A^ B^Ci  ,..^  A^ B^ C^ 
...  und  At^B^C^  ...,  A^B^C^  ...,  welche  die  PascaVsche  Linie  der 
Ä^C^B^A^C^B^  A^C^B^A^C^B^  einfachen  Sechsecke  sind,  die  Pro- 
jection  der  Punkte  A^B^C^  vom  Schnittpunkte  dieser  Geraden  auf 
den  Kegelschnitt,  bilden  die  Eckpunkte  des  gewünschten  Dreiecks. 

Die  Punkte  A^B^Cy^  A^^B^C^  wie  auch  A^Bj^C^^  AqB^Cq  be- 
stimmen auf  sechserlei  Art  projectivische  Punktreihen,  dann  hat  die 
Aufgabe  im  Allgemeinen  36  Lösungen. 

Bei  besonderer  Lage  der  gegebenen  Dreiecke  ändert  sich  die  An- 
zahl der  Lösungen.  Fällt  nämlich  von  den  Doppolpunkten  der  sechs 
ersten  projectiviscben  Punktroihen  irgend  einer,  oder  zwei,  mit  irgend 
einem  oder  zwei  zusammen  gehörigen  Doppelpunkten  der  sechs  an- 
deren projectivischen  Punktreihen  zusammen,  dann  liefern  im  ersten 
Falle  diese  besondern  Punktreihen  kein  Dreieck,  im  zweiten  Falle 
aber  bestimmen  die  Puuktreihen  unendlich  viele  Dreiecke,  welche  mit 
den  gegebenen  perspectivisch  liegen.  In  diesem  letzteren  Falle  sind 
6  besondere  Dreiecke  vorhanden,  welche  mit  einem  der  gegebenen 
Dreiecke  auf  dreierlei,  mit  den  beiden  anderen  auf  einerlei  Art  per- 
spectivisch sind.  Um  dies  einzusehen,  setzen  wir  voraus,  dass  A^BiC^..., 
/Ij-öjCj  ...,  und  A^B^C\  ...,  -^gJ^gCg  ....  projectivischen  Punkt- 
reihen dieselben  Doppclpunkte  haben,  welche  daher  auch  Doppel- 
pnnktesind  der  A^B^C^  ...,  -4g i/3 Q  ...  projectivischen  Punktreihen. 
Die  Verbindingslinic  dieser  Doppelpunkte  ist  die  gemeinsame  Pascal- 
sche  Linie  der  A^  Q  i^i  A^  C^  B^ ,  A^  C^B^  A^  C\  Bq  ,  A^  Cq  B^  A^  C^  B^ 
einfachen  Sechsecke.  Auf  dieser  Pascal'schen  Linie  liegen  /S^,  ^21 
^  drei  Steiner'sche  Punkte,  welche  aus  den  drei  aufgeschriebenen 
Sechsecken  entstammen,  wenn  man  dieselben  als  vollständige  Sechs- 
ecke betrachtet.  Werden  nun  z.  B.  die  Dreiecke  A^  B^  Q,  A2  B^  C.^ 
2as  S^  auf  den  Kegelschnitt  projicirt,  so  bekommen  wir  zwei  solche 
Dreiecke,  von  welchen  das  erste  mit  A^B^Ciy  A^B^C^  auf  einerlei 
mit  A^B^C^  auf  dreierlei,  das  zweite  mit  ^2 ^2 ^2  ^^^  -^3 -^3 ^'3  ^^^ 
einerlei,  mit  A^B^C^  auf  dreierlei  Art  perspectivisch  ist. 

Wir  können  daher  sagen: 

„Wenn  einem  Kegelschnitt  drei  Dreiecke  einbeschrieben  sind, 
M)  können  im  Allgemeinen  36  Dreiecke  dem  Kegelschnitt  einbe- 
schrieben werden,  welche  mit  den  gegebenen  perspectivisch  sind. 
Bilden  die  Eckpunkte  des  einen  Dreiecks  mit  den  Eckpunkten  eines 


300  Klug:  Perspedivueht  Dreiecke 

der  zwei  anderen  zwei  solche  Sechsecke,  von  dessen  Seiten  keine  auf 
die  Seiten  der  Dreiecke  föllt,  von  welchen  aber  zwei  Pascal*sche 
Linien  in  derselben  s  Geraden  liegen,  dann  kann  man  dem  Kegel- 
schnitt unendlich  viele  Dreiecke  einbeschreiben ,  welche  mit  den  ge- 
gebenen perspectivisch  sind.  In  diesem  Falle  kann  man  sechs  be- 
sondere Dreiecke  finden ,  welche  die  Projectionen  von  den  gegebenen 
Dreiecken  aus  gewissen  Punkten  der  s  Geraden  sind;  diese  beson- 
deren Dreiecke  sind  mit  einem  der  gegebenen  auf  dreierlei,  mit  dsh 
übrigen  zwei  auf  einerlei  Art  perspectivisch/^ 


6. 

Wir  wollen  jetzt  die  Frage  beantworten :  wie  man  einem  Kegel- 
schnitt ein  Dreieck  einbeschreiben  kann,  dass  mit  dem  im  Kegelschnitt 
einbeschriebenen  ^li^jCi"  Dreieck  auf  zwei-,  drei-  oder  viererlei  Art 
perspectivisch  ist  und  einen  A  Punkt  des  Kegelschnittes  zum  £(t- 
punkt  hat. 

a)  Die  erste  Aufgabe  kann  man  nur  dann  lösen,  wenn  die  Eck- 
punkte des  Dreiecks  und  der  gegebene  Punkt  harmonisch  liegen, 
dann  aber  hat  die  Aufgabe  unendlich  viele  Lösungen.  Sind  z.  B. 
B^  C]  Punkte  durch  AA^  harmonisch  getrennt  und  BC  fernere  Punkte 
des  Kegelschnittes,  welche  ebenfalls  durch  AA^  harmonisch  getrennt 
sind ,  dann  ist  ABC  Dreieck  mit  A^  B^  Q  auf  zweierlei  Art  per- 
spectivisch. 

b)  Um  die  zweite  Aufgabe  zu  lösen,  bezeichnen  wir  die  (bekannt- 
lich in  derselben  Geraden  liegenden)  Schnittpunkte  der  Tangenten  in 
A^  Bi  C,  Punkten  mit  den  gegenüber  liegenden  Seiten  des  Dreiecks 
A^B^C^  resp.  mit  QiQ^Qs^  den  gemeinsamen  Punkt  von  AA^^  Q^Qi 
Geraden  mit  P^ ,  endlich  die  Projection  von  B^ ,  Cj  aus  P,  auf  den 
Kegelschnitt  mit  B  resp.  C\  Die  Pascal'schen  Linien  der  B^B^BAC^C 
und  AA^BC\CBi  einfachen  Sechsecke  liegen  in  derselben  PiQxQ%% 
Geraden,  da  die  PascaPsche  Linie  des  ersteron  Sechsecks  QsA  ist 
und  durch  den  Schnittpunkt  P^  von  BA^^  CB^  geht,  während  die 
des  zweiten  P^  und  P^  Punkte  verbindet  und  zugleich  den  Schnitt- 
punkt Pi  von  BC\^  AB^  enthält  Ebenso  kann  man  beweisen,  dass 
die  Pascarschen  Linien  der  C\  C^  CAj^  B^^  B^  A  C,  BBj  CA^  wie  auch 
A^AiAB^C^C,  AB^BA^CC^  einfachen  Sechsecke  in  PtP^PsQiQfQt 
Gerade  fallen  und  in  Anbetracht  des  zweiten  und  vierten  Sechsecks 
Ci-ö,  C-4,  Gerade  durch  /*,,  BA^  und  CAj^  Gerade  durch  P,  gehen. 
Die  Lage  der  BC  Punkte  ist  daher  derart  bestimmt,  dass  ABC  Drei- 
eck mit  A^  B^  C|  auf  dreierlei  Art  perspectivisch  liegt 


die  eintm  Kegchehnitl  einhtschrieben  »ind.  301 

c)  Die  dritte  Aufgabe  kann  man  nur  unter  der  Bedingung 
lösen,  das8  —  wie  bei  a)  —  ein  Eckpunkt  des  Dreiecks  z.  B.  A^ 
von  BiCt  durch  den  gegebenen  A  Pnnkt  harmonisch  getrennt  ist. 
Fahrt  man  dabe«  die  unter  b)  gegebene  Construction  durch,  so  er- 
hält man  BC  Punkte,  und  ABCIheieck  wird  mit  A^B^C^,  B^C^A^, 
C^A^B^^  A^C^Bi  perspectivisch  liegen.  Bezeichnet  man  die  Pro- 
jectionscentren,  welche  diesen  Lagen  entsprechen,  mit  F^F^PiR^  die 
Schnittpunkte  von  B^C^^  ^i^u  ^i^i  "li^  -^lA^s  Grerade  resp.  mit 
QiQfQ^j  dann  folgt  in  Anbetracht  der  Vierecke  B^C^BC^  A^B^AC, 
A^C^ABj  dass  PiQji^,  P^Q^R^  P^OiR  Polardreiecke  sind,  und  dass 
nicht  allein  B^  C^  und  BC  durch  AA^  harmonisch  getrennt  sind, 
sondern  auch  ^iC,,  BA  durch  CB^^  sowie  A^^B^^  AC  durch  BC^^ 
welche  letztere  Eigenschaft  znr  einfachen  Construction  der  BC  Punkte 
dienen  kann.  Man  bemerkt  auch,  dass  ABC  A^B^  C^  Punkte  auf  dem 
Kegelschnitt  P^  P^Pz  Qi  Qt  Qs  aber  auf  der  Polare  von  R  auf  viererlei 
Art  Involutionen  bilden. 

Mittelst  dieser  Constructionen  sind  wir  im  Stande  folgende  Auf- 
gaben zu  lösen: 

„Auf  einer  Geraden  (oder  Kegelschnitt)  sind  A^  B^  C^  A  Punkte 
gegeben,  man  bestimme  B^  C  Punkte  derart,  dass  die  sechs  Punkte 
ABCAjB^Ci  auf  zwei-,  drei-  oder  viererlei  Art  Involutionen  bilden 
sollen". 

Die  erste  und  dritte  Aufgabe  kann  nur  dann  gelöst  werden,  wenn 
die  gegebenen  Punkte  harmonisch  liegen.  Ist  AAj^  von  B^  C^  har- 
monisch getrennt,  dann  entsprechen  alle  Punktpare ,  welche  A ,  ^^ 
hannonisch  trennen  (uud  beim  Kegelschnitt  auf  demselben  liegen) 
der  a*8ten,  diejenigen  zwei  Punkte  B  resp.  C  aber,  welche  ^j,  B^ 
von  Ci  und  A^y  C^  von  B^  harmonisch  trennen,  der  dritten  Aufgabe. 

Um  die  zweite  Aufgabe  zu  lösen ,  projicirt  man  die  gegebenen 
Punkte,  wenn  dieselben  auf  einer  Geraden  liegen ,  auf  einen  Kegel- 
sefanitt  ans  einem  beliebigen  0  Punkte  desselben  nach  A^B^C^A^ 
nnd  sacht  B\  C  derart,  dass  A!b'C\  A^B^C^  Dreiecke  auf  drei- 
erlei Art  perspectivisch  liegen  sollen,  die  Projectionen  BC^  der  B'C* 
ans  0  auf  die  Gerade  sind  die  gewünschten  Punkte. 


7. 

Wenn  wir  in  der  letzteren  Construction  keine  Rücksicht  auf  die 
Ordnung  der  gegebenen  Punkte  nehmen,  dann  hat  die  Aufgabe  vier 
Lfisangen.  Um  die  gegenseitige  Lage  dieser  vier  Punktpaare  zu  er- 
kennen, wollen  wir  folgende  Bezeichnungen  einführen. 


302  Klug:  Perspeetivische  Dreiecke 

Die  gegebenen  vier  Punkte  A^  Bj  C,  D  bestimmen  vier  Dreiecke 
und  wir  bezeichnen  mit  a,  &,  c,  d  diejenigen  Geraden,  in  welchen 
die  Seiten  der  BCD,  CDA^  DAß^  BAC  Dreiecke  die  Tangenten  in 
den  gegenüber  liegenden  Eckpunkten  schneiden.  Auf  jeder  der  Ge- 
raden a,  &,  c,  d  liegen  sechs  involutorischc  Punkte,  wovon  drei  die 
Schnittpunkte  der  Seiten  des  zur  Geraden  gehörigen  Dreiecks  sind, 
die  übrigen  drei  aber  die  Projectionen  der  Eckpunkte  des  Dreiecks 
ans  dem  vierten  Punkt  auf  die  Gerade;  die  ersteren  drei  Punkte 
z.  B.  auf  d^  d.  h.  die  Schnittpunkte  von  BC^  CA^  AB  mit  d  nennen 
wir  Day  Dß^  Dy^  die  anderen  drei ,  d.  h,  die  Schnittpunkte  von  DA^ 
DB,  DC  mit  d  nennen  wir  Da,  Db,  De,  Es  wird  daher  nach  dieser 
Bezeichnung  By  der  Schnittpunkt  von  b  mit  AD  (oder  auch  mit  der 
Tangente  in  C),  Ca  aber  von  AC  mit  c  sein. 

Bevor  wir  die  gewünschten  vier  Punktpaare  construiren ,  wollen 
wir  zeigen,  dass  ABCD  Viereck  und  abcd  Yierseit  ein  gemeinsames 
Diagonaldreieck  XYZ  haben,  wo  X,  F,  Z  resp.  auf  AB,  AC,  AD 
Geraden  liegen.  XYZ  ist  nämlich  das  Diagonaldreieck  desjenigen 
Yierseits,  welches  den  Kegelschnitt  in  ABCD  Punkten  berührt  und 
es  werden  daher  die  Schnittpunkte  der  Tangenten  in  B  und  A  mit 
den  Geraden  AC  resp.  DD,  d.  h.  Dß  und  Ca  durch  X  Punkt  und 
YZ  Gerade  harmonisch  getrennt ;  ebenso  Cß  und  Da  Punkte.  Daraus 
folgt,  dass  sich  CaCß^c  und  DaDß^d  Geraden  auf  FZ  schnei- 
den. Ebenso  wird  bewiesen,  dass  die  Schnittpunkte  der  übrigen 
Seiten  des  Yierseits  auf  den  Seiten  des  XYZ  Dreiecks  liegen.  Ans 
dieser  Eigenschaft  des  genannten  Yierseits  ist  leicht  ersichtlich,  dass 
die  so  bezeichneten  Punktepare  Ac,  Ca  wie  auch  Dy,  C^  dnrch 
Ecken  und  Seiten  des  Diagonaldreiecks  XYZ  harmonisch  getrennt 
sind. 

Wir  wenden  uns  jetzt  zur  Gonstniction  der  gewünschten  Punkte- 
pare und  bezeichnen  die  Projectionen  der  B,  C  Punkte  aus  Da  auf 
den  Kegelschnitt  mit  E^F^y  ans  Ad  mit  E^Fi',  die  Projectionen  der 
A,  D  Punkte  aus  Ct  mit  E^F^  aus  Be  mit  F^E^, 

Aus  dem  Früheren  ist  bekannt,  dass  ABC,  DE^F^-,  DBC,  AE^F^-, 
BAD,  CE^F^\  CAD,  Bf^E^  Dreiecke  auf  dreierlei  Art  perspectivisch 
sind,  oder  was  dasselbe  ist,  die  bezeichneten  Punktgruppea  auf 
dreierlei  Art  Involutionen  bilden.  Nachdem  Da,  Ad  und  C,  B  Pankte 
durch  Z,  XY  harmonisch  getrennt  sind,  so  werden  sich  die  Geraden 
CDa,  BAd  wie  auch  C^<{,  BDa  auf  XY  Gerade,  der  Polare  von  Z 
schneiden;  diese  Schnittpunkte  sind  coi^jugirt  zu  Z,  daher  CB  und 
l'4£i,  wie  auch  CB,  E^F^  Geraden  durch  Z  gehen. 


die  tinem  KegeUchnitt  einbeschrieben  sind.  303 

Ebenso  wie  wir  jetzt  bewiesen  haben,  dass  F^E^  Pnnktpar  die 
Frojection  von  E^F^  ist  aus  Z  auf  den  Kegelschnitt,  kaun  man 
zeigen,  E^F^  die  Projection  von  E^F^  aus  Z;  E^F^  die  Projection  von 
£g/i  ans  F;  E^F^  die  Projection  von  E^F^  aus  J^Tetc.  oder  in  Worte 
geüässt,  dass  die  Projection  eines  dieser  Punktpare  aus  XYZ  auf 
den  Kegelschnitt  die  übrigen  Punktpare  sind. 

Das  Besnltat  dieser  Untersuchung  können  wir  so  aussprechen: 

„Wenn  einem  Kegelschnitt  ein  Viereck  einbeschrieben  ist,  so 
kann  man  vier  Punktpare  construiren,  von  denen  jede  mit  den  ge- 
gebenen vier  Eckpunkten  auf  dreierlei  Art  Involutionen  bilden;  die 
Projectionen  eines  jeden  dieser  Punktpare  aus  den  Eckpunkten  des 
zum  Viereck  gehörigen  Diagonaldreiecks  auf  dem  Kegelschnitt,  sind 
die  fibrigen  drei  Punktpare/' 


304  Klutf:  Einige  Sätze 


XVI. 


Einige  Sätze 
über  das  Viereck  und  Kegelschnittbüschel. 


Von 

L  Klug. 


1.  Bekanntlich  liegen  die  aMijttgirten  Punkte  zu  allen  Ponkten 
einer  Geraden  bezüglich  eines  Vierecks  auf  einem  Kegelschnitt;  der- 
selbe geht  durch  die  Eckpunkte  des  Diagonaldreiecks,  weil  diese 
coi^ugirt  sind  zu  den  Schnittpunkten  der  Geraden  mit  den  Seiteu 
des  Diagonaldreiecks,  und  trifft  ausserdem  die  Seiten  des  Vierecks  in 
denjenigen  Punkten,  welche  zu  den  Schnittpunkten  der  Seiten  mit 
den  Geraden  conjugirt,  daher  durch  die  Eckpunkte  des  Vierecks 
harmonisch  getrennt  sind.  Verbindet  man  von  diesen  letzteren 
Schnittpunkten  zwei  solche  die  auf  den  Gegenseiten  liegen,  so  treffen 
sich  die  drei  Verbindungsgeraden  in  demselben  Punkte ,  welcher  der 
Pol  der  angenommenen  Geraden  bezüglich  des  Kegelschnitts  ist.  Die 
Schnittpunkte  des  Kegelschnitts  mit  der  Geraden  sind  Doppelpunkte 
derjenigen  Involution ,  welche  die  Spuren  der  Vierecksseit^n  auf  der 
Geraden  bestimmen.  Geht  die  Gerade  durch  einen  Diagonalponkt 
des  Vierecks,  so  zerfällt  der  Kegelschnitt  in  zwei  Gerade,  wovon 
eine  von  der  angenonmienen  durch  zwei  Vierekseiten  harmonisch  ge- 
trennt ist,  die  andere  aber  die  übrigen  zwei  Diagonalpunkte  verbindet; 
geht  die  Gerade  durch  einen  Eckpunkt  des  Vierecks ,  so  berührt  sie 
den  entsprechenden  Kegelschnitt  in  diesem  Punkte. 

Im  Folgenden  wollen  wir  die  Eckpunkte  des  Vierecks  mit  ABCD. 
die  Diagonalpunkte   auf  den  Seiten  BC^   CA,   AB  mit  XYZ^  die 


über  das   Viereck  und  Kegehchnittbüschel.  305 

SchmttpiiDkte  den  aDgenommeneB  g  Geraden  and  der  BC,  CAy  AB^ 
AD,  BD,  CD  Seiten  mit  PQRP^  Q^R^,  die  ihnen  conjagirten  Punkte 
mit  P'O'JK'P/Q/Ä/,  den  Schnittpunkt  der  P'P/,  Q'Q/,  Ä'Ä/ Ge- 
raden mit  (?,  endlich  den  zu  g  gehörigen  F'Q'  .  , .  XYZ  Kegelschnitt 
mit  y,  bezeichnen. 

2.  Nennt  man  die  Schnittpunkte  der  P'P/,  Q'Q/,  R'R^'  Ge- 
raden mit  g  beziehungsweise  Pq«  %i  -^o^  ^^^^  gehen  die  Geraden 
PoJ,  QqF,  J^o^  durch  denselben  (?'  Punkt,  welcher  conjagirt  ist  zu 
G  bezflglich  des  Vierecks. 

Nachdem  nämlich  die  Punkte  P',  P',;  Qj,  Q/;  Ä',  R\  durch 
(r,  y  harmonisch  getrennt  sind,  so  schneiden  sich  PqX,  Qq^i  ^(^^ 
Geraden  in  einem  Punkte,  welcher  von  G  durch  die  Seiten  des  Vier- 
ecks ebenfalls  harmonisch  getrennt  ist,  d.  h.  in  dem  zu  G  conjugirten 
Paukte. 

3.  Schneidet  ein  dem  Viereck  ABCD  umschriebener  Kegelschnitt 
£  die  Gerade  g  la  Ey  £],  dann  geht  die  Vorbindungslinie  der  zu 
£,  £,  bezüglich  des  Vierecks  conjugirten  Punkte  durch  G. 

Ey  £j  ist  ein  entsprechendes  Puuktpar  dorjenigeu  involutori- 
schen  Ponktreihe  PP^QQ^RR^  ...,  in  welchen  die  Gegenseiten  des 
Vierecks  g  schneiden.  Construirt  man  in  dem  involutorischen  Strahl- 
büschel XiPPj^QQ^EE^)  diejenigen  Strahlen  XP'  ...,  XE\  XE^, 
welche  von  den  ersteren  durch  A,  B  harmonisch  getrennt  sind,  so 
bilden  dieselben  *)  ebenfalls  ein  involutorisches  Strahlbüschel 
X{P*P^'Q'Q^'E'E^'Y  Dieses  Strahlbüschel  schneidet  den  Kegel- 
schoitt  y  in  einer  involutorischen  Punktreihe  P'P^'Q'Q^E'Ei  .  . . 
ond  es  wird  daher  die  Gerade  E'E^'  durch  den  Schnittpunkt  G  von 
P'Pi\  Q'Qi  gehen.  —  Aendert  sich  E  im  Büschel  (ABCD),  so  be- 
schreibt EEi  die  involutorische  Punktreihe  auf  g  und  E^E^'  Gerade 
ein  Strahlbüschel  um  G]  die  involutorische  Punktreihe  E,  E^  ..., 
das  Strahlbüschel  E'E^*  . . .  ,  wie  auch  die  Spuren  desselben  in  g, 
sind  ZQ  einander  projectivisch  **). 

4  Wenn  J5'  der  conjugirte  Punkt  von  E  bezüglich  des  Vierecks 
ABCD  und  XYZ  das  Diagonaldreieck  des  Lietzteren  ist,  so  liegt  der 
coDjngirte  Punkt  E"  von  E  bezüglich  des  Vierecks  E'XYXmf  dem, 
durch  ABCDE  Punkte  gehenden  Kegelschnitt  E  und  E'E**  berührt 
E  in  «". 


*)  StaiNlt.    I.    Beitrage  s.  G.  d.  L.     p.  4S. 
^  ChAsles.  Tnul^  dM  Sectio^s  coniques.     p.   IPI. 

Aick.  in  KaftlL  «.  Phjs.   8.  Seilte,  Teil  L  SO 


306  Klug:  Einige  Sätze 

Die  TangeDten  aus  E'  zum  Kegelschnitt  E  werden  denselben 
in  E  und  in  einem  anderen  E"  Punkte  berühren;  die  Polare  des 
Schnittpunktes  der  Geraden  EE'\  XZ  ist  E'Y^  daher  die  Punkte 
£,  Ef\  durch  E'Y^XZ  Geraden  harmonisch  getrennt.  Ebenso  wird 
bewiesen,  dass  E^  E^'  Punkte  durch  E'X,  YZ  wie  auch  E'Z,  XY 
harmonisch  getrennt  und  also  E"  der  zu  E  bezüglich  des  Vierecks 
^XYZ  coi^'ugirte  Punkt  ist. 

5.  Werden  zu  den  Schnittpunkten  einer  Geraden  mit  den  Seiten 
eines  Vierecks  zuerst  die  coigugirten  Punkte  construirt,  dann  die- 
jenigen, welche  von  den  genannten  Schnittpunkten  harmonisch  ge- 
trennt sind,  durch  die  gefundenen  coi^jugirten  und  Diagonalpunkte,  dann 
gehen  die  Verbindungslinien  der  auf  den  Gegenseiten  liegenden 
Punkte,  die  wir  zuletzt  erhalten  haben,  durch  denselben  Punkt 

Bezeichnet  man  die  Schnittpunkte  der  g  Geraden  und  der  Fier- 
eckseiten,  wie  früher,  mit  PQRP^Q^Ri^  die  conjugirten  Punkte  der- 
selben mit  P'Q'  ...  Ri  die  conjugirten  von  P^  Q  ,,.  R^  bezüglich 
der  Vierecke  P*XYZ,  Q'XYZ, . . .  R\XYZ  mit  P",  Q", . . .  Ä,",  dann 
sind  P"Ci*  ...  R^*  diejenigen  Punkte,  deren  Lagenverhältnisse  der 
Satz  ausspricht  P"  muss  nämlich ,  da  sich  P  auf  Seite  P*X  des 
Vierecks  P'XYZ  befindet,  auf  derselben  Seite  liegen  und  von  P 
durch  P\  X  harmonisch  getrennt  sein.  Mau  construirt  diese  Punkte 
auf  eine  einfache  Art  Nachdem  P\  P^'  Punkte  durch  ^,  G  har- 
monisch getrennt  sind,  so  schneiden  sich  die  Geraden  GP^^  PP\ 
wie  auch  GP,  P^P^'  in  P"  resp.  P,";  die  Strahlen  GiPj^Q^RiPQR) 
schneiden  daher  die  entsprechenden  Viereckseiten  in  P"QS'R!*P"QxR^' 
Punkten.  Es  ist  ferner  aus  der,  auf  den  Viereckseiten  liegenden 
harmonischen  Punktgruppe  leicht  ersichtlich,  dass  P'*P^'\  Q"Qi", 
i2"J8i"  Geraden  beziehungsweise  du^^ch  Po —(PPj,  P'Pi),  Qo=(QÖi, 
Q!Q\)i  Rq^(RRi^  R'Ri)  gehen.  Betrachtet  man  nun  die  har- 
monischen Strahlen  Pq(P'P"XP),  Qo(Q'Q"YQ),  Rq(R'R"ZR)  die  in 
g  einen  gemeinsamen  Strahl  haben,  und  deren  entsprechende  Strahlen 
PoP',  QoQ',  R^R\  wie  auch  PqX,  Q^Y,  R^Z  durch  G  resp.  6?'  (2), 
gehen,  so  folgt,  dass  sich  PoP"P,",  QoQ"Qi",  RqR^'Ri'  Geraden  in 
demjenigen  Gq  Punkte  treffen,  welcher  von  g  durch  (7,  G^  harmo- 
nisch getrennt  ist. 

6.  Schneidet  der  durch  ABCD  Eckpunkte  eines  Vierecks,  dessen 
Diagonalpunkte  J^ FZ  sind,  gelegte  E  E^elschnitt  eine  g  Gerade  in 
je;,  jEJj,  und  sind  E'E^'  die  conjugirten  Punkte  von  £,  E^  bezüglich 
E'XYZ  resp.  i5;/^FZ Vierecke,  dann  gehen  EE^,  E'E^'^  E^%"  Ge- 
rade durch  denselben  Eq  Punkt,  EE^'\  E^Ef\  ^£/  durch  G\  li 
und  G  sind  conj[ugirt  bezüglich  des  Kegelschnittes  E. 


tt&«r  da»    Viereck  und  KegeUehnittbüscheL  307 

Die  Tangenten  in  den  E^  £f'  und  E^  E"  Eckpunkten  des  dem 
Kegelschnitt  £  einbeschriebenen  EE-Jl*E^  Vierecks  schneiden  sich 
nach  (4)  in  E'  resp.  £/.  Daraus  folgt,  dass  EE^,  E'E^\  E''E^' 
und  EE^'\  E^E",  E*E^  Geraden  durch  denselben  üJq  resp.  (7  Punkt 
gohen,  welche  bezüglich  E  conjugirt  sind.  G  stellt  den  von  uns  in 
dem  Früheren  mit  demselben  Buchstaben  bezeichneten  Punkt  dar, 
weil  G  Yon  A'o  ^  (^,  E*E^)  durch  E\  E^  Punkte  harmonisch  ge- 
trennt ist 

7.  Schneidet  der,  durch  ABCD  Eckpunkte  eines  Vierecks  ge- 
legte Kegelschnitt  E  eine  g  Gerade  in  £,  E^  und  sind  E\  E^'  ihre 
coDJngirten  Punkte  bezüglich  des  Vierecks,  dann  geht  die  Gerade, 
welche  den  Schnittpunkt  Eq  von  EE^  mit  dem  Pole  der  E'E^'  Ge- 
raden verbindet,  bei  Aenderung  des  Kegelschnitts  E  im  Büsche 
{ABCD),  durch  denselben  6?'  Pnnkt 

Diese  Verbindungsgerade  ist  die  Polare  desjenigen  Punktes  (?, 
wdher  E\  E^'  von  E^  harmonisch  trennt,  und  diese  Polare  geht  bei 
Aeoderung  des  Kegelschnitts  im  Büschel  {ABCD),  durch  den  zu  G 
coDjngirten  Pnnkt  G\ 

8.  Umschreibt  man  dem  Viereck  ABCD,  dessen  Diagonalen- 
pankte  XYZ  sind,  einen  Kegelschnitt  E,  welcher  eine  Gerade  g  in 
£,  £|  trifft,  constmirt  zu  diesen  Schnittpunkten  die  coujugirte  E\ 
i/'i'  bezüglich  des  Vierecks  ABCD,  wie  auch  E",  E{*  bezüglich  der 
Vierecke  E'XYZ  resp.  E^'XYZ,  dann  geht  die  Verbindungsgerade 
E**E^'  der  zuletzt  gefundeneu  Punkte,  bei  Aenderung  des  Kegel- 
schnitts im  Büschel  ABCD  durch  denselben  Punkt. 

Bezeichnet  man  den  zum  Schnittpunkt  von  EE^",  E^E",  d.  h. 
0  bezüglich  ABCD  Vierecks  conjugirten  Punkt  mit  G,  so  werden 
^\  G'  Punkte  nicht  nur  durch  E,  sondern  auch  durch  EE^ ,  E'^Ej^' 
Geraden  harmonisch  getrennt  Bei  Aenderung  des  Kegelschnitts  E, 
im  Büschel  {ABCD) ,  wird  sich  daher  E"E^*  Gerade  um  denjenigen 
Punkt  drehen ,  welcher  von  g  =  EE^  Geraden  durch  G,  &  harmo- 
nisch getrennt  ist,  und  den  wir  in  (5)  mit  G^  bezeichnet  haben. 

Anmerkung.  Die  zwei  letzten  Sätze  sind  die  Verallgemeinerungen 
von  (2)  und  (5).  Denn  degenerirt  E  in  die  Geraden  AD,  BC,  dann 
Wien  E^EE^E'E^E^'El'  Punkte  in  PqFP^P'Pj^*P"P^',  der  Pol 
TOB  E'E^  in  X 

9.  Ist  XYZ  das  Diagonaldreieck  des  Vierecks  ABCD,  der  con- 
JQgirte  Punkt  von  E  bezüglich  dieses  Vierecks  E\   bezüglich  des 

20* 


310  Klug:  Einige  Sätze  etc. 

Strahlen  im  Büschel  D,  weshalb  die  Corve  m.  Ordnung  anch  dorcb 
die  Diagonalpnnkte  des  Vierecks  XJ'XYZ  geht 

13.  Die  Pole  eines  Strahlbüschels  I.  Ordnung  bezüglich  der 
entsprechenden  Elemente  eines  ihm  projectivischen  Kegelschnitt- 
büschels liegen  auf  einer  Gurre  III.  Ordnung,  welche  durch  die 
Diagonalpnnkte  des  dem  Büschel  einbeschriebenen  Vierecks  und  durdi 
den,  bezüglich  dieses  Vierecks,  dem  Mittelpunkt  des  Strahlbüschels 
conjugirten  Punkt  geht 

Der  Beweis  dieses  Satzes  ist  in  (12)  gegeben. 


Neil:  Die  Auflösung  dr^iglUdriger  Gleichungen  nach  Gaust,         311 


xvn. 

Die  Auflösung  dreigliedriger  Gleichungen 

nach  Gauss. 

Von 

A.  M.  Neil. 


S  1. 

Um  die  reellen  Wurzeln  solcher  höherer  Gleichangen  zo  finden, 
welche  ans  nur  3  Gliedern  bestehen,  hat  der  unsterbliche  Verfasser 
der  Theoria  motns  eine  überraschend  einfache  Methode  entwickelt, 
bei  welcher  eine  Tafel  der  Additionslogarithmen  zn  benutzen  ist 
Im  m.  Buche  der  Gauss'chen  Werke  findet  sich  diese  Methode  unter 
dem  Titel:  Beiträge  zur  Theorie  der  algebraischen  Gleichungen 
Seite  85  u.  s.  f.  abgeleitet.  Auch  wird  dort  (Seite  96  u.  s.  f.)  ge- 
zeigt, wie  die  imaginären  Wurzeln  verbal tnissmässig  leicht  bestimmt 
werden  können. 

Da  nun  diese  Methode  einerseits  nicht  so  bekannt  zu  sein 
scheint,  wie  sie  es  verdient,  andererseits  die  neueren  Tafeln  der 
Additionslogarithmen  zweckmässiger  angeordnet  sind,  als  die  erste 
Ton  Gauss  selber  berechnete  Tafel,  wodurch  auch  das  Verfahren  zur 
Lösung  der  bezeichneten  Gleichungen  selbst  entsprechend  abzuändern 
iit,  80  wollen  wir  uns  hier  nochmals  damit  beschäftigen. 

Die  allgemeine  Form  einer  dreigliedrigen  Gleichung  ist 

in  welcher  €,  /,  m  und  n  stets  positive  Grössen  sein  sollen;  dabei 
wird  jederzeit  vorausgesetzt,  dass  die  Exponenten  m,  n  keinen  gemein- 


312  Neil:    Die  Auflösung  dreigliedriger  Gleichungen  nach  Gaust, 

schaftlichen  Teiler  haben.     Indem  zunächst  die  positiven   Wurzeln 
aufgesucht  werden  sollen,  hat  man  folgende  F&lle  zu  unterscheiden: 

Erste  Form, 
durch  /  dividirt,  gibt 


Setzt  man 


so  findet  sich 


—       ^  sin*ö,     -j-  «  co8*Ö, 


also 


und 


^       /C08*ö 
e 

Die  beiden  Werte  gleichgesetzt,  gibt 

tg2-ö.BecaH(9«^«A 

f»  log  tg*ö.+ »"  log  8öc*ö  =  log  A 

Nach  der  sehr  zweckmässigen  Entwicklung,  welche  Wittstein 
seiner  fAnf-  und  siebenstelligen  Tafel  der  Additionslogarithmen  ge- 
geben, und  welche  jetzt  fast  Überall  zu  Grunde  g^le^  wird,  besteht 
zwischen  deYn  Argument  Ä  und  der  Futietioh  B  der  "tafel  die  Be- 
ziehung, dato  wenü  ^  =  loga;,  B  =  log(x>}-l)  ist,  also  attcb,  wenn 
Ä  -*i  logtg*<9,  B  =  logsec^ö  sein  muss. 

Hiemach  lässt  sich  obige  Gleichung  schreiben: 

mA-^^nB  =  logi 

Durch  einige  Versnchsrechüungen  erhält  man  gewöhnlich  sehr  schnell, 
wenn  man  ausserdem  noch  die  Regula  falsi  anwendet,  den  genanem 
Wert  von  A\  dann  hat  man 

,  log« +-4 

log«  =  — 

Zweite  Form, 
durch  das  erste  Glied  dividirt^  gibt 


Neil:  Die  Auflösung  dreigliedriger  Gleichungen  nach   Gauss»  313 

«3C-«  =  coB*ö  und  /x-'»-**  ==  sin^ö  gesetzt,  so  wird 

^   I      «       1,1             log/"— log«  — -4 
n^  +mB  «.  log A ,    log»  =  -^ 

In  beiden  Fällen  hat  die  Gleichung  nur  eine  positive  Wurzel. 
Dritte  Form. 


durch  «B«  dividirt 


also 


—  ==  sin*ö,         -j:  =»  C08*Ö, 


CC08*Ö 


C»  COS  2»«ö 


8in8«Ö.C082»ö  «  ^^^  =  k 

Wird  zur  Linken  mit  cos^»»^  dividirt  und  multiplicirt,  so  findet  sich 

tg  z-wö .  COS  2«+2i.^  «  ;t 

tg*^6      ^^ 


oder 


Dt  fern^ 
>o  hat  man 


mA  —  {m'\-n)  B  =  igX, 
\0gf+A 


log« 


m+M 


314         Neil:   Die  Auftöaung  dreigliedriger  Gleichungen  nach  Gaues, 

Vierte  Form. 
Diese  Gleichung  kann  offenbar  keine  positive  Wurzel  haben. 


§  2. 

Bei  der  dritten  Form  hatten  wir  die  Gleichung 

8in2»H6.co82»»6  =  l 

Schreiben  wir  statt  dessen  «  «  sin ^«»ö. cos ^'•ö,  so  wird  i*  =  0,  so- 
wohl für  0=0,  als  für  6  »  90^^  daraus  folgt,  dass  u  zwischen  diesen 
Grenzen  einen  Maximalwert  haben  wird,  der  durch  u^  und  das  zu- 
gehörige 6  durch  ß^  bezeichnet  werden  soll. 

2u  =  2m .  /sin  64~  2n  JcosO 

g^  =  2tt(mcotÖ— ntgÖ) 
Die  Bedingung 

de      ^ 

liefert 

daher 

^  ""  (m +»)»•+'* 
Für  ö  —  450  -==  02  wird 

.  1 

In  dem  besonderen  Falle,  dass  n  =  m  wftre,  Ande  sich  6^  -»  0, 
=  45^  und  t*!  =*  wj. 

Betrachtet  man  die  Bögen  6  als  Abscissen  und  die  u  als  Ordi- 
naten  einer  Curve,  so  berührt  diese  die  6  Axe  an  beiden  Enden. 

Zieht  man  im  Abstände  k  parallel  zur  Abscissenaxe  die  Gterade 
rp\  so  bilden  die  Abscissen  der  Durchschnittspnnkte  P,  f  die 
Lösungen  der  obigen  Gleichung. 

Ist  k  gleich  dem  Maximalwert  u^,  so  hat  die  Gleichung  (dritte 
Form,  §  1.)  2  gleiche  Wurzeln,  nämlich 

*         n 


Neil:  Die  Auflösung  dreigliedriger  Gleichungen  nach  Gauss.  315 

Wenn  1  ]>  u,  so  hat  die  GIcichaug  keine  positive  Wurzel. 
Dagegen  hat  die  Gleichung  stets  2  positive  Wurzeln,  wenn  ^<Ct^i- 

Man  erkennt,   dass,   wenn  m^n   und   A   zwischen  u^  und  u^ 
liegt,  heide  Werte  von  6  grösser  sind  als  45^;  es  liegt  nämlich 

der  eine  Wert  zwischen  45^  und  6i ,  also  A^  zwischen  0,0  und  log  - 

„    andere  „         „       ßi      „    90«    „    A^  >  log  ^ 

Ist  A  <  »2,  80  ist  der  eine  Wert  von  6  -<  45^,  daher  Aj^  <<  0,0 
„    „     „    andere,,     „    ö  >  öi,       „      ^2>logy[ 

n 


m 


Ebenso  zeigt  sich,  wenn  f»<^n,  dass,  wenn  k  zwischen  u^ 
and  «s  liegt,  beide  Werte  von  d-<4ö^  sind  und  zwar  der  eine 
Wert  <  öl ,  der  andere  zwischen  ö,  und  45^  liegt.  Ist  A  -<  m^  ,  so 
ist  der  eine  Wert  von  6  -<  öj,  der  andere  >>  45^. 

Die  negativen  Wurzeln  der  Gleichung  bestimmt  man  dadurch, 
dass  man  x  ^  —  y  setzt,  und  die  positiven  Wurzeln  der  umgeformten 
Gleichung  nach  den  oben  gegebenen  Vorschriften  aufsucht. 


§3. 
Imaginäre  Wurzeln. 

IHvidirtman  die  Gleichung 

X  «»  a;»»+"  +  e  COS  Bx**^'\'fcos  (p  ==  0 
durch  das  erste  Glied,  so  wird 

l  +  cC0Sfa;-»*+/'C0S9)a;"''*"""  «  0 
Wird  eine  imaginäre  Wurzel  derselben  durch 

X  =  r(cos  p  +  »sin  q) 
bezeichnet  und  dieser  Wert  eingesetzt,  so  findet  sich: 

l-f-«'-"cosfC08np-|/cos<)Pr"'»*-".cos(w*-}-ii)p— »[^r-"cos£Sinnp 

-fA'""*""cos(]p.sin(m-}-«)p]  —0 
Hieraus  folgt 

er-*  COS  £  sin  ng  -\-fr~  *»-»•  cos  (f  sin(w  +  w)^  =0 


316  Ntllx  Die  AuflöMtmg  dreigliedriger  Gleichungen  nt»ch  Games. 

fC0H(psiu{m4'n)Q 

ecoscsinnp 

Dividirt  man  die  GleichuDg  X^O  durch  fcosg>  und  setzt  den 
obigen  Wert  von  x  ein,  so  wird 

«cosesininp 


r*  = 


8in(TO  +  n)p 


Der  erste  Wert  von  r  zur  nten,  der  andere  zur  mton  Potenz    er- 
hoben, gibt 

/    ^  X-  /*•  cos  qp"  sin(m+ n)(i«»       ,     ^ .       c~  cos  €"*  sin  m|?*» 
^    ^  '       «••cose"8iBnp*»  ^       '    ■    sin(m4- n)e'" 

daraus 

-=r— !)«+••  -^^"     8in(m  +  n)p"'>«' 

A*"^       '       *  cos  €"'+••    sin  m^"»  «in  ft^* 

« 

Diese  Gleichung  ist  in  Bezug  auf  q  aufzulösen,  wobei  es  gonttgt^ 
die  zwischen  den  Grenzen  0  und  90^  liegenden  Werte  von  q  za  be- 
stimmen, da,  wenn  eine  imaginäre  Wurzel  bekannt  ist,  auch  so- 
gleich noch  eine  zweite  angegeben  werden  kann.  Eliminirt  man  noch 
die  Grösse  aus  den  Werten  für  r"*  und  r^,  so  findet  sich 

mAM      ^         sin  mg 

^m+i»  «  /"cos  qp  ~ ^• 


§4. 

Nach  den  Ausführungen  des  §  3.  ergeben  sich  folgende  Regeln 
zur  Bestimmung  der  imaginären  Wurzeln  einer  dreigliedrigen  Glei- 
chung : 

Erste  Form. 

In  der  Gl.  JT  =  0  des  §  3.  ist  zu  setzen  €  =  0,  ^  =  180^,   dadurch 

wird 

1        .  sin(m  +  n)p»*-<-»*  sin  mg 

k       ^       '     smm^'^sinfi^**'  '  sinng 

Zweite  Form. 

SeUt  man  t  —  180^  und  <p  =  lB(fi,  so  wird 

A       ^  sinm^"*siniip"'  ^  sinfi^ 


Neli:   IMe  AußUhung  dreigliedriger  Gleichungen  nach  Gauss,  317 

Dritte  Form. 

1       8in(m  +  nV*^  sin  mp 


k        8infii^"*8innp**  ^ 

.-  =  i 

r    . 

sm 

ng 

Vierte  Form. 

x~»»«4-( 

Rr«»4-/  =  0,    €- 

•0, 

q>  . 

«0 

1 
I 

^       '        8inmp"»8innp*»  * 

l^l^l 

n  t-. 

sin 
'sm 

mp 

In  allen  4  Fällen  erhält  man  zu  jedem  Werte  von   g  die  beiden 

Wurzeln 

X  «  r(co8  p  i  t  sin  p). 


§5. 

Noch  ist  zn  zeigen,  wie  die  transcendente  Gleichung 

8in(m+n)p*^*-**      1 
siniTip'^sinnp'*        X 

aa^elöst  werden  kann.    Wir  setzen  y  an  die  Stelle  von  Fundstellen 

uns  die  Ao^be,  die  entsprechende  Cnrve  za  constrniren,  indem  die 
Bögen  Q  als  Abscissen  betrachtet  werden. 

Fflr  p  »  0  wird  y  »  §.    Entwickeln  wir  die  Sinns  nach  der  Form 


sinz 
80  wird 


V      6^120 '7 


•         -  -  «Fi       "•'   ,    .   m»(5m-2)    ,       ] 

•        -  -  «fi       *'    .  .   n»(5n-2)    ,       ] 

^  L     «»  +  »•  ,     1 

ain  mp^.sinn^"  =  m'".n*.f'"+"   1 g —  p'  ... 

^~       6 — **  "J 


m*"  .n* 


318  Nfll:  Die  Auflösung  dreigliedriger  GUichungen  nath  Gauss, 

Setzt  man  hier  p  ==  0  and  bezeichnet  den  entsprechenden  Wert 
von  y  durch  yo 

(m-}-n)**+" 

Nehmen  wir  von 

8in(w»-f-w)p»*»+" 

^  ""  sinwp^^sinwpw 
die  Logarithmen  nnd  differentiiren,  so  wird 

r  "^  y[,(m-\-7i)^cot(m-\-n)Q  —  tw^cotmp  —  w'cotnp] 

nnd  weil 

11         1    , 

cot  a  = öS  —  TE»-" 

2       3        45 

~  «  —  m»(m  +  n)[p+J(m«  +  m»4-n»)p»  ...]y 

—  «»«(m+n)   IH g p'  ...   y 

Für  p  «=  0  wird  —  =  0.    Die  Curve  schneidet  also  die  Ordi- 

^  €lg 

natenaxe  in  B  im  Abstände  AB  =  r/Q  vom  Anfangspunkte  and  eine 
durch  B  geführte  Parallele  zur  Abscissenaxe  ist  eine  Tangente. 

n  dy  ^^y 

y  wird  «=  0  für  p  =   — ; — ;   dafür  ist  -r  ■=■  0  und  auch  3r4«=0. 
^  ^        wi+w  dg  dg^ 

Macht  man  also  AC  =  — ; — ,  so  geht  die  Curve  durch  C,  wo  gleich- 

zeitig  AC  Tangente  ist.  Zwischen  A  und  C  liegt  jedenfalls  ein 
Wendepunkt,  ausserdem  kann  C  stets  möglicher  Weise  ein  Wende- 
punkt sein.  Um  darüber  zu  entscheiden,  sind  die  Ordinalen  der 
Nachbarpunkte  von  C  zu  untersuchen.  Nur  dann,  wenn  dieselben 
verschiedene  Vorzeichen  haben ,  hat  C  die  bezeichnete  Eigenschaft 
Zu  dem  Zweck  setzen  wir 

^        m  -f-  n    '      ' 

also 

8in(m+«)p  =  8in[«  4"  (***+ •»)**]  ™  cos:ssin(*»+»)«, 

hier  soll  a  einen  sehr  kleinen  Bogen  bedeuten.    Dadurch  wird 


Neil:  Die  Auflösung  drtiglUdriger  Gleichungen  nach  Gauss.  319 
(— l)~+".8in(w-f-n)a"»+'« 


y 


,    (  mit               \^    .    (    nn  \» 

Sin  I  — \ Y-ma  |     sin  1  — r \-  na  ) 


Das  Vorzeichen  des  Zählers  entscheidet  über  das  von  ^,  da  die  Bögen 
im  Nenner  kleiner  sind  als  n. 

Wenn  (»+*>)  ^1°^  gerade  Zahl,  so  ist  y  für  positive  und  nega- 
tive a  stets  positiv. 

Wenn  {m'\-n)  eine  angerade  Zahl,  so  erhält  j^  verschiedene  Vor- 
zeichen, je  nachdem  man  a  positiv  oder  negativ  nimmt,  daher  kann 
nnr  in  letzterem  Falle  C  ein  Wendepunkt  sein. 

Die  Corve  trifft  noch  an  mehreren  Stellen  mit  der  Abscissenaxe 
zusammen;  man  erhält  die  betreffenden  Punkte  ans  der  Bedingung 

Jen 

Q  «  — i — ,  wo  der  Reihe  nach  ifc  «  1,  =-  2,  -=•  3  zu  setzen  ist.    Für 

dy  cPy 

alle  diese  Stellen  ist  r  und  ^\  «  0,  daher  findet  jedesmal  eine 
Berflhmng  mit  der  Abscissenaxe  statt,  ausserdem  können  diese  Punkte 

anch  Wendepunkte  sein.    Setzt  man  ferner  p  =  -,    =       ,    =  — 

^         min  m 

...  und  auch  p  «  — ,    ^  —  ...,    so    wird    ftlr    alle    diese    Werte 

y»oc,  d.  h.  die  durch  diese  Punkte  der  Abscissenaxe  geführten 
Ordinaten  sind  Asymptoten  der  Curve.  Letztere  besteht  daher  aus 
einer  Reihe  von  Zweigen,  welche  durch  Asymptoten  getrennt  sind. 

Wenn  {m'\-n)  eine  gerade  Zahl,  so  liegen  diese  Zweige  ab- 
wechselnd ober-  und  unterhalb  der  Abscissenaxe. 

Ist  dagegen  (m-f-»)  ungerade,  so  liegen  stets  beide  Teile  eines 
Zweiges  zu  verschiedenen  Seiten  der  Abscissenaxe. 

Um  dies  nachzuweisen,  betrachten  wir  zuerst  den  Fall,  dass 
(8i4-m)  eine  gerade  Zahl  Ist.  Dann  sind  stets  m  und  n  ungerade 
Zahlen,  da  sie  keinen  gemeinschaftlichen  Teiler  haben.  Wir  schreiben 
jetzt: 

8ip(iw  -f-  n)p"*4-» .  sin  mg .  sin  wp 
^  sin  mp*+ ^ .  sin  npH-i 


r    sin(m-f- «)?"•■•"••      I 
rrri — -: TTT    .  smmp  .  SIU  ng 


Der  in  [  ]  gesetzte  Factor  ist  stets  positiv,  daher  stimmt  das  Zeichen 
von  y  mit  dem  des  Products  der  beiden  Sinus  überein. 


320  Neil:  DU  Auflösung  dreigliedriger  Glttchungen  noßh  GauMs^ 

Setzt  man 

also 

wp  = p—  +  ma 

^       w  -f-n  ' 

Bin  mg  «  am j 1-  ma .  C08  — , im*a* .  8}n  —  ,  —  ... 

m-f-»i  m-p»  w-f-« 

Den  Zuwachs  a  stellen  wir  uns  so  klein  Yor,  dass  nur  die  erste 
Potenz  zu  beachten  ist 

knn      ,  hnn 

siufip  =  sm — i h»<*cos  — \ — 

knm       ,     knn      ,  .      knn  knm 

Sin  mp  .siunp  —  sm  — -. —    sm  — r f-  ma  sni  — i —    cos  — i 

^  ^  m-j-n  W-J-»  '  «i-j- n  m-J-n 

+knm  knn 

na  sin  — r-  -  •  cos  — i —  =«  St 
m-\-n  f»-|-  9» 

Da  nun  allgemein 


so  wird 


sin«. sin y  =  ^cos(fl: — y)  -  icos(x-\-y) 
sinx.cosj^»  i%\n{x  —  f/)-\-]^sm{x-\-y)^ 


,        ,      ,    ,        k7t(m  —  n)       m  —  n        .    kn(m  —  n) 
Sk  =  —  ico^kn-^-icos  — T" — 5 —  flf  .Sin 


K —  a  Sin  ^ 


m-f-n  2  m-f-n 

/       n    m  —  n\ 
Ar  =  1     5j  «       ( cos öT  •       ,      )  o       -«-- '•       I 

«     ^  /  .        w  —  n\*       m  —  n      .    ^    m  —  n 

Ar  =»  2    iSa  «  —  ( Sin  JT  — i —  ) ^ —  asm  2n  — ; — 

'  \  wi-J-w/  2  m-f-n 

_     „  /       Zn  m — n\^      m — n      ,    _    m — n 

fc  =  3    5«  —       ( cos  -i^-  — i —  I i —  osmS^c  — i — 

**  \         2m-J-n/         m-f-n  m^f- ti 

.      _  /  .    «     w*  —  w\*       m  —  n      ,     -     f» — n 

Ar  «  4    Ä  «  —  1  sm  271:  — i —  I ^5 —  a8in49s  — ^i  — 

*  \  m-f-n)  2  m-f-n 

Das  zweite  Glied  hat,  da  a  sehr  klein,  keinen  Einfluss  auf  das  Vor- 
zeichen der  S, 

Hiemach  sind  die  Ordinaten  der  beiderseitigen  Nachbarpnnkte 
von  C,  C,  C"  entweder  alle  positiv,  oder  alle  negativ;  es  können 
also  hier  keine  Wendepunkte  vorkommen. 


Neil:  Die  Äu/Ufsvnff  dreiffUedriger  Gleichungen  naoh   Gauss,  321 

§6. 

Ist  (fli-|-n)  eine  ungerade  Zahl,  dann  ist 

entweder    m  gerade    nnd    n  ungerade 
oder  »99         ^^      ^       n 

Nehmen  wir  an,  m  sei  gerade,  so  ist  (n-f-1)  gleichfalls  eine  ge- 
rade Zahl. 

8in(TO-j-»)^*"+* .  sin  ng 
^  "*     sinf»p»».sinnp»»+^ 

Um  fiher  das  Zeichen  von  y  zu  entscheiden,  hraucht  man  nur 
den  Zähler,  den  wir  durch  Z  bezeichnen  wollen,  zu  beachten,  da  der 
Nenner  jedenfalls  positiv  ist 

Ausserdem  lassen  wir  den  Exponenten  (m  +  n)  weg,  da  er  auf 
das  Vorzeichen  ohne  Einfluss  ist.    Setzen  wir  noch 

kn      , 

daher 

8in(fn  4" »)P  *=  sin[fcr -|- (»» -f-n)a]  =  cos kn  sin(m-|-  n)a^ 

30  wird 

Z  =  cosil*7K . sin(tn  -\-  n)a .  sin  nq  «=>  cos kn  sin  [      v — |-  na  J . 

sin(«»-|- n)c 

Zund  also  auch  y  erhalten  entgegengesetzte  Vorzeichen,  wenn  man 
dem  a  einmal  einen  positiven,  das  andere  mal  einen  negativen  Wert 
beilegt,  daher  sind  alle  in  der  Abscissenaxe  liegenden  Punkte  Wende- 
punkte. 


Setzt  man  noch 

cos 


.    /  knn      ,       \        ^ 
kn^m  \  — I h  wa  I  =»  Q, 


so  ist,  unter  der  Voraussetzung,  dass  Q  positiv  ist: 

fttr  positive  a  der  Wert  von  y  positiv 
„  negative  c    „      „        „    y  negativ. 

Ist  dagegen  Q  negativ,   so  ist  für  positive  «  der  Wert  von  y 
ne^v.  und  für  negative  o  der  Wert  von  y  positiv. 

Arrh.  4.  lUtli.  o.  Pkyv.    2.  S«ihe,  Teil  I.  21 


„     k  =^  ö 


322  Neil:  Die  Auflösung  dreigliedriger  Gleichungen  nach  Gauss. 

Wäre  n  gerade  und  m  ungerade,  so  dürfte  man  in  dem  Aasdruck 
für  Q  nur  m  an  die  Stelle  von  n  setzen  und  die  gleichen  Schlüsse 
ziehen. 

Zur  Anwendung  dieser  Regeln  soll  die  Gestalt  der  Curve  für  den 
Fall  bestimmt  werden,  dass  t»  =  4  und  »  =  5  sei. 

Für  k  =  1    wird  Q  =  — sin  l^  ä-)-^«) 
„    A;  =  2        „     Q  -=      sin  l-^  n+baj  ^  —sin  f  ^+  5oj 

„    Q  -=  —sin  f -g^  7t -f- 5« j  =  sin  ( g w -f- 5o j 

„    ^•i=4        „    Q«       sin(  ^  7E-f-5«)  =  8in(^n;+5«j 

Hat  man  nach  diesen  Andeutungen  die  Curve  aufgezeichnet  und 
zieht  im  Abstände  =  ,  eiue  Parallele  zur  Abscissenaxe,   so  sind  die 

Abscisseu  der  der  Durchschnittspunkte  i\,  Pg,  P^  die  gesuchten 
Werte  des  Bogcns  g^  welche  zur  Berechnung  der  imaginären  Wurzeln 
erforderlich  sind.  In  dem  vorliegenden  Beispiel  wären  also  3  Paare 
imaginärer  Wurzeln  vorhanden,  und  da  w-f  w  :=  9  ist,  3  reelle  Wur- 
zeln. Hätte  dagegen  r  einen  kleineren  Wert  als  Pf^,  so  erhielte  man 
4  Durchschnittspunkte,  folglich  8  imaginäre  und  nur  eine  reelle. 

Erscheint  die  Gleichung  zur  Bestimmung  von  g  in  der  Form 

8in(m-|-w)p»»f»* 1 

sinmp"» .  sin  ng**       Ä 

so  hat  die  Curve  gerade  die  entgegengesetzte  Lage.  Hier  ist  es  am 
einfachsten,  zunächst  das  negative  Zeichen  süsser  acht  zu  lassen  nnd 

dann  den  Wert  von  ^  unterhalb  der  Abscissenaxe  aufzutragen. 


§7. 

Uebersichtliche  Zusammenstellung  der  Regeln  zur 
Auflösung  der  dreigliedrigen  Gleichungen. 

Die  folgenden  Vorschriften  zeigen,  wie  die  positiven  and  imagi- 
nären Wurzeln  gefunden  werden.    Um  die  negativen  zu  bestimmen. 


Neil:  Die  Auflösung  dreigliedriger  Gleichungen  ntich  Gaues,  323 

setzt  man  a; »  —  y  and  sacht  von  der  amgeformten  Gleichaag  die 
positiven  Wurzeln. 

Werden  diese  mit  dem  negativen  Vorzeichen  versehen,  so  sind 
eft  Wurzeln  der  ursprünglichen  Gleichung. 

In  dem  Folgenden  ist  immer 

Erste  Form. 

logc-|--4 
mA  +  nB  =  logA,     loga;  «= 

Ans  der  Gleichung 

,     ^^    sin(m  +  «)p*"+»»       1 
^       '    sin 711^»». sin n^**       k 

Bind  die  zwisehen  0  und  90^  liegenden  Werte  von  q  zu  bestimmen. 

,  sin  mg 

r»»+*»  «  —  /•-.  — - 
Sinng 

oder 


ftVH 


esm  ng 


Letztere  Formel  entscheidet  tlber  das  Vorzeichen  von  r,  wenn  (m-f-n) 

eine  gerade  Zahl. 

X  =*  rco8gi_irsing. 

Zweite  Form. 

AA      D       111             log/— löge  — ^ 
fiA-f-mB  =  logA,     loga:  = 


m 


^       '   sinmg^  ,s\nng^"^  k* 

daraus  die  Werte  von  g  zwischen  0  und  90^. 

-.j.«  ^sinmp 

siunp 
oder 

^m  — _  /'s^P("*+^)g 
e  sin  np 

ac  =a  r  cos  p  i »rsinp 


21* 


324  Neil:  Die  AuflÜtung  dreigliedriger  Gleichungen  naeh  Games. 

Dritte  Form. 

Hier  sind  4  Fftlle  zu  unterscheiden: 
1*    T  <       m    n    'i  ^^^  Gleichung  hat  keine  positive  Wurzel, 

2.    i ^7„ir-i    >'  «        »1    2  gleiche    „    Wurzeln, 

nämlich 

n 
oder 


«' 


M 


m-|-n 


^-    1  ^  — ^  \^      und  nicht  grösser  als  2«+»,  2  positive 

Wurzeln 

log/4- -4 
mi4  —  (m+  n)B  —  log A,    log»  «     ^  /     ■ 

«)     m>n;     ^^  >  0,0    und     <C  log  - 

^,>log-    und    <0,0 
4.    T  >  2"+»",  2  positive  Wurzeln. 

lOflr/4-^ 

w^  -  (f»-f  n)B  =  logA,  log« ^ijZ^ 

a)    f?i  >  w,    -4i  <  0,0 

^«  >  log^ 

/5)     f»  <  n,     ^1  <  log  - 

f» 

^g  >  0,0 

8in(mXn)^+*       1 
sin  m^»» .  sinn^**  ^  X' 

daraus  die  Werte  von  p  zwischen  0  und  90^ 


Neil:  Die  Aufißmng  dreigliedriger  Gleichungen  nach  Gauss,  325 

oder 

05=  r  cos  p  +  ir  sin  p. 
Vierte  Form. 

Diese  Gleichung  hat  keine  positive  Wurzel. 

^      '       *8in(«ip~.sinn^»*      X* 
d&rans  die  Werte  von  q  zwischen  0  nnd  90^. 

smn^ 
oder 

___/8in(m-f-w)g 

e  sin  ng 


§a 

Zur  Erläntarimg  der  Yorschriften   des  §  7.   sollen   sämmtliche 
Wnrzeln  der  fügenden  Gleichung  bestimmt  werden. 

»''-f2ac*— 480  —  0  (Erste  Form) 

e  =  28,    /=480,    m=:4,    n  «  3        log A  =- 7,  913  6175 

4ii+3B=  7,  913  6175. 

Um  diese  Gleichung  auüzuKJsen,  beginnt  man  die  Arbeit  am 

zweckmässigsten   mittelst    einer   dreistelligen  Tafel    der  Additions- 

logarithmen '^) 

A  B       4-44-3B 

9.4  0.097        7.891 

9.5  0.119        8.375 

D&Wert  von  A  liegt  hiemadi  zwischen  9.4  ...  9.5,  man  kann  ihn 
durch  Anwendung  der  regula  falsi  bestimmen.    Nach  derselben  ist 


*)  D«r  Verfawer  kann  hier  seine  Tafel  der  fünfstelligen  Logarithmen  der 
Zihleo  etc.  empfehlen,  die  in  Darmstadt  im  Verlag  von  A.  Bergstr&sser  ISS 8 
enehienes.  Seite  M  sind  die  Additionslogarithmen  auf  3  Oed malen  nnd 
Seite  $9  bis  82  auf  5  Decimalen  angegeben. 


326  Neil:  Die  Auflösung  dreigliedriger  Gleichungen  nach  Gauss. 

9,5  —  9,4  :  8,375—7,891  =  ^-9,4  :  7,914  —  7,891 
0,1 :  0,484  =  ^—  9,4  :  0,023 


^-9,4+0,1.0; 


0.^3 

484 


9.4048 


Wendet  man  jetzt  eine  ftlnfstellige  Tafel  der  Additionslogarithmcn 
an,  so  ist 

A  B  4^  +  31? 

l.m   olS   7:91499 }  """*'''  «"°^^"'  ^  "  ^'^^^^ 

Wird  A  noch  genauer  verlangt,  so  wende  man  die  siebenstellige 
Tafel  von  Wittstein*)  an.    Durch  diese  hat  man 


A 

B 

4-4+35 

9.4047 

0.098  2705 

7.913  6115 

9.4048 

0.098  2907 

7.914  0721 

Nach  der  Regula  falsi  erhält  man  daraus 

^  =  9.404  7013 
-flöge  =  1.447  1580 

.  -»  1  922  8841  31oga.,«  0.851  8593 

x^  «  1,922  8841  j^g^^  «  0 .  283  9531 

Um  die  negativen  Wurzeln  zu  erhalten,  setzen  wir  a;  «=  —  y  und 
hekommen 

yT  —  28/ + 480  «  0    (Dritte  Form) 
g  «  28,    / «  480,    w  «  4,    n  =  3; 

»77  82*-i  'idS  1 

^0  =  44:33« -6912- "11^'^*^'     ^  =  122,006,      2-+- «2^  =  128. 

Hier  sind  also  die  Vorschriften  Nro.  3,  o)  der  dritten  Form  anzu- 
wenden. 

log  -  «  0,12494. 

Daher 

^i<  0,125    und    ^8  >  0,125 


*)  Siebenstellige  Qauss'sche  Logarithmen  von  Dr.  Th.  Wittstcin.    Hannover. 
Hahn'sche  Hofbachhandlnng.     1866. 


Neil:  Die  Auflösung  dreigliedriger  Gleichungen  nach  Gauss.  327 

Durch  stufenweise  Anwendung  der  drei-,  fünf-  und  siebenstelligen 
Tafeln  der  Additionslogarithmen  erhält  man  unter  Zuhülfenahme  der 
Regula  falsi  die  genannten  Werte  : 

A^  «  0.052  9417  ^  —  0. 197  5072 

log/  =  2 .  681  2412  log  r  =  2 .  681  2412 

71ogyi  ==  2 . 734  1829  71og3r2  =  2.8787  484 

logsfi  =  0,390  5976,    arj  «  —  y^  ^ 2,458  0890, 

logyj  «'  0 .  411  2498,    x^ y»  -  —  2,577  8036 

Um  die  imaginären  Wurzeln  zu  erhalten,  ist  zunächst  folgende 
Gleichung  au&ulösen 

— — .  M  . — jT—ö  ==»  122.00638 
sm4(>^8in3p^ 

Um  die  Gleichung 

sin  7^^ 

^       sin  4p*  sin  3p^ 
nach  den  Andeutungen  der  §§  6.  und  7.  zu  construiren  *),  so  wird 

y=cx>    „      p  =  450,      =60«       „        =90« 

Hiernach  bestimmen  sich  die  Berührungspunkte  in  der  Abscissen- 
axe  und  die  Asymptoten.  Femer  ist  yo  =  119.147.  Die  Grösse  Q 
d^  §  7.  wird  hier 

Q  =  cosÄ?« .  sin  ( -y-  +  3a  j 

Ol  = sin(f  «4-  3«) :      Q«  —  sin(f  n;  +  3a)  5 

Q^ 8in(f7c+3o)  -  sin(f7i4-3a) 

Danach  erhält  man  die  einzelnen  Teile  der  Curve. 

Den  Durchschnittspunkten  P  und  P'  mit  der  im  Abstand  j  zur 


y  «  0    für    Q  =  254«,  =  51^0    und    «  77i< 


*)  Scbstrerständlich  ist  es  nicht  notwendig,  die  Curve  zu  construiren, 
sondern  es  genügt  vollständig,  sich  eine  Skizze  zu  entwerfen,  indem  man  auf 
eine  Gerade,  dem  Augenmaasse  nach  9  gleiche  Teile  auftragt  und  mit   0,  10, 

20  ...  90  beziflfert.     Die  Dimensionen  y«  ^^^  3  können  nach  einem  ganz  will-. 

kUrlichem  Maasse  bestimmt  werden,    oder  man   hat  eigentlich   nur  darauf  zu 

achten,  ob  =•  grösser  oder  kleiner  ist  als  y^. 

Ar 


328  Neil:  Die  Auflösung  dreigliedriger  Gleickungen  nach  Gauee, 

Abscissenaxe  parallel  gezogenen  Geraden    entsprechen  als  Absdss^ 
beiläufig  die  Werte  58<)  und  87^. 

Man  nimmt  zuerst  ^  »  58^  und  berechnet  y ,  wobei  man  mit 
dreistelligen  *)  Logarithmen  den  Anfang  macht  Durch  mehrere  Ver- 
suche erhält  man  leicht  2  Grenzen,  zwischen  welchen  der  richtige 
Wert  von  g  liegt  Durch  Anwendung  der  Regula  falsi  und  dureh 
stufenweisen  Uebergang  zu  fünf-  und  siebenstelligen  Logarithmen  er- 
hält man  meist  sehr  schnell  den  genauen  Wert  Ton  ^.  So  findet 
man  z.  B.  hier 

mittelst  der  dreistelligen  Tafel  g  »  57^  41' 

Q  «  57*  41'  41,6" 


9» 

„    fttnf       „ 

?» 

„    sieben    „ 

wird 

log(-/)  = 

2.681  2412m 

log  sin  mp  » 

9.889  1425« 

2.570  3837 

log  sin  »9  « 

9.080  6477 

»» 
?» 


g  «  570  41'  41,366 


log  cos  p  «  9.727  8898 

log  r  «  0.498  5337 

logsin9  =  9.926  9664 


log  r  cos  p  «0.226  4235 
7 log  r  =  3.489  7360  log^gin  g  «  0.425  5001 

log  r  «  0.498  5337 


«4\ 

«6  ) 


1.684  3159  4-  2.663  7908t 


Fflr  das  letzte  Wurzelpaar  findet  sich 

Q  «  860  19'  13  342",    logr  «  0,299  1866h 


*«  I 0.127  8113  T  1.987  4234». 


§9. 

Als  zweites  Beispiel  soll  eine  Gleichung  von  geradem  Grade  auf- 
gelöst werden. 

aj*  — 16«— 12  =  0    (Zweite  Form) 


' 


*)  Die  eben  angeftlhrte  5  stellige  Logarithmentafel  des  Verfassers  enibUt 
Seite  85  die  Logarithmen  der  trigonometrischen  Fnnctionen  aof  S  Decinialen 
für  jeden  Grad  des  Quadranten. 


Neil:  IHt  Auflüsung  dreigliedriger  Gleichungen  nach  Gauss.  329 

«  =  16    /«12,    «  =  1,    «  =  3;    logA«  8.421 0638 

log^«  1.578  9362. 

3ul+Ä=- 8.421  0638. 

Man   findet  für  A  der  Reihe  nach  die  Werte  9.438;   9.43857 

nnd  endlich 

A  =  9.438  5725 
und  mit  diesem  Wert 

»j  =  2.732  0508. 

Die  Gleichung  hat  anch  eine  negative  Wurzel;  dafür  ist 

y*+16y— 12  «  0    (Erste  Form) 

A  +  3B^  8.421,0638. 
Man  erhält 

A  —  8.389,     A  «  8.389  50 

und  endlich 

il  =  8.389  5035 ;    aij  =  — y  =  — 0.732  0508. 

Zur  Bestimmung  der  imaginären  Wurzeln  ist  zunächst  folgende 
Gleichung  aufzulösen: 

sin  ^  sin  3^° 
Wir  setzen 

sin  4^* 

^  ^  sin  9  sin  3^^ 
and  haben 

y  =-  0    für    p  =  450    und    ==  90« 

y  =  00     „      g  =  60®. 
Wegen  des  negativen  Vorzeichens  trägt  man  hier  t    abwärts 
auf  und  sieht,  dass  der  Wert  von  g  zwischen  60®  und  70®  liegt 

Wir  beginnen  die  Rechnung  mit  dem  Werte  65®  und  erhalten 
for  Q  stufenweise  die  Werte  65®  54';  65^  54',  18.2"  und  endlich 

p  =  65®  54'  18.569" 

mg=^Q,    np  «  197®  42'  55.707",    41ogr  =-  1.556  3021. 

Die  Formel 

f  sin  4p 

esm3p 
sagt  ans,  dass  r  negativ  ist,  daher 

logr  =  0.389  0755» 
^*  I  « 0.999  99964  T  2.236  06598i. 


} 


330  Neil:  Die  Auflösung  dreigliedriger  Gleichungen  nach   Gauss. 

§  10. 

Zum  Schiasse  soll  noch  die  Gleichung 

«»4-345  «»—12-0 

aufgelöst  werden.    Hier  setzt  man  z^  =  x  und  erhält 

a;>+345a;— 12  «  0    (Erste  Form) 

e  «  345,   /=  12,    m  =  1,    «  -=  2,    logil  =  4.544  9052  —  10 

A+2B  =  4.544  9052  — 10, 
daraus 

A  =  4.544  9022  — 10 

log«!  «  ^-?i?i--  =,  8.541  3607 ;    «i  =  0.034  78249 

Die  Gleichung  hat  nur  diese  eine  reelle  Wurzel.    Zur  Bestimmang 
der  beiden  imaginären  Wurzeln  dienen  die  Gleichungen: 

—  _^l»_3p       _  285  164.1 ;    r3  «=  —  ^f^\? ;     X  =  r(co8 Q  +  »sin  g) 
sinpsin2p^  '  sm2p'  v      r —  tr/ 

Wir  setzen  wieder 

sin 3g«  _?.'__  27  ___ 

^  ""  sinpsin2()2'      ^o  -  2«  ~"  4  ""  ^"''^ 

Für  Q  «  60<^  wird  y  =  0  und  für  q  =  90^  wird  3^=00. 
Da  y  =»  —  ^,    so   ist  T   abwärts  aufzutragen. 

Wegen  des  sehr  grossen  Wertes  von  j  kann  g  nur  wenig  kleiner 
sein  als  90^;  in  der  Tat  findet  sich 

g  =  89»  56'  46.871". 
Damit  erhält  man 

logr«  1.268  9096h. 

Die  imaginären  Wurzeln  sind 

—  0.017  3913  T  19.360  1786i. 

Nun  sind  noch  die  Gleichungen 

z3  =  Xi    und  «*  «  r(cos  Q  jz  isin  q) 
aufzulösen. 

Schreibt  man 

2  —  V«,  .  yi, 

so  ist  bekanntlich: 


iVe//:  Die  Auflösung  dreigliedriger  Gleichungen  nach   Gauss,  331 


z  = 


2kn  ,    .  .    2k7i 

COS-K-  +18111-  ^ 


3 


Man  setzt  der  Reihe  nach  h  »  0,  /j  =>  1,  ^'  »  2  uud  findet 

3 

%  «  (cos  120« +  j  sin  120%  =-  -  (cos  60»  — e  sin  60% 
Ä,  =  (cos  2400+1  sin  240<>>i (cos60o+«sin60% 


«2    \ 


«1  =-  0.326  4276  "^  } 0.163  2138  +  0.2826  946« 

Die  andere  Gleichung  für  z^  gibt  zunächst: 

z  =  (cos^p  +  isin  ^Q)Vr. 

Hier  sind  die  beiden  Fälle  zu  unterscheiden,  ob  r  positiv  oder  ue- 
gatiT  ist. 


I.     r  sei  positiv. 


y  r 


3,       »     /       2to   ,    .   .    2h7c 
Vr.yl  Icos-^  +  «  Sin-^ 


) 


»       /        2ifc«  2Ar?r\ 

=  y r  (cos -ö-  +  i sin -ö-  I  (cos \q  +  2 sin ^p) 


3 
21-«  i  p 


+  ism — ^ —  yr 


In  diesem  Ausdruck  braucht  mau  nur  das  eine  Vorzeichen  vor 
dem  Q  beizubehalten,  da,  wenn  eine  Gleichung  die  Wurzel  a  +  ie 
hat,  ihr  auch  noch  die  andere  a  —  bi  zukommt. 

Hiernach  kann  der  Wert  für  z  in  folgender  Weise  geschrieben 
werden : 


z  = 


2A;7i  +  g   ,    .   ^    2^7g  +  p 

cos  — 5 —  ±_  i  Sin  — ö — 


3 


Setst  man  auch  hier   ^'  «  0,    ^•  =  1 ,    /j  =  2,    so  erhält  man  die  6 
ftbrigen  Wurzeln  der  gegebenen  Gleichung. 


IL    r  sei  negativ;  dann  ist  (—r)  eine  positive  Grösse 


,  » 3  » r 

Vr  =  V-r  .  V— 1  =  V-rl 


2k-\-l        ...     2/.  +  1 
COS  — 5* —  n  -j-tsin  — 0- 


] 


> — r     2^+1      , 
y — r  cos  — „^ —  TT  +  i  sm 


.   .   2fc+l 


;r 


[cosjß  +  tsinie] 


332         Neil:  Die  Auflösung  dreigliedrigor  Gleichungen  nach  Gauss. 


z 

oder 


In  dem  Beispiel  dieses  Paragraphen  ist  r  negativ,  daker 
**  \  =[co8(6(y>+Jrt±»wn(60»+irt]y^ 

'ß  \  =  [co8(1800+tp)  +  »sin(l800+i^)]V~r 

3  

—  —  [cos  \Q  +  i  sin  td  V— r 

^  j  «  [cos(3(X)0-f  l^)±i  8in(3(X)0-f  i^)]y:=;- 
«  [cos(600— ip)  q:  ,-gin  60»  —  J^)]  V^^ 

Werden  die  Zahlenwerte  in  diese  Ausdrücke  eingesetzt,  nämlich 
\q  «  290  58' 55.624" ,     GOO+Jp  —  89«  58' 55-624";     W^—^q    = 

300  1'  4  375''  QQd  log  y.^  »  0,422  9699,  so  finden  sich  die  übrigen 
6  Wurzeln  der  Gleichung  «»+3462«— 12  =  0  wie  folgt: 


«4 
«6 

«7 

«9 


I  «       0.000  8265  ±  2.648  3165t 

I 2.293  9222  T  1.323  4424» 

I  -       2.293  0963  +  1324  8741». 


MiscelUn.  333 


xvm. 


Miscellen. 


1. 

.    Bae  TenUgemeiBerimg  der  Sitze  Ton  Paseal  und  Brianehon 

UBd  das  Problem  tob  Castillon. 

Wir  können  den  Satz  von  Pascal  auf  folgende  Art  aussprechen. 
Schneiden  sich  in  einem,  einem  Kegelschnitt  einbeschriebenen  Sech- 
eck die  erste  nnd  vierte  und  zweite  und  fünfte  Seite  in  festen  Punk- 
ten, so  liegt  der  Schnittpunkt  der  3.  und  6.  Seite  auf  einer  festen 
geraden  Linie,  der  Verbindungslinie  der  beiden  festen  Punkte.  Dieser 
Satz  nun  lässt  folgende  Verallgemeinerung  zu. 

Schneiden  sich  in  einem,  einem  Kegelschnitt  einbeschriebenen 
2neck  fi — 1  Paare  von  Gegenseiten  in  festen  Punkten,  so  liegt  der 
Schnittpunkt  des  nten  Paares  von  Gegenseiten  auf  einer  festen  ge- 
raden Linie. 

Unter  Gegenseite  verstehen  wir  zwei  Seiten,  welche  in  ihrer 
Beibenfolge  um  die  Zah  n  verschieden  sind,  also  z.  B.  die  1.  und 
n-f  1.  Seite. 

Wir  wollen  nun  diesen  Satz  fflr  einen  specielloi  Fall,  nämlich 
f&r  n  B  4  beweisen,  nnd  wir  werden  sehen,  dass  der  Beweis  für  den 
allgemeinen  Fall  vollständig  gleich  bleiben  wird.  Sind  M^  jV,  O  drei 
feste  Punkte,  und  wir  legen  durch  diese  Punkte  beliebige  dem  Kegel- 
sdinitt  einbeschriebenen  Achtecke  derart,  dass  die  1.  und  5.  Seite 
durch  If ,  die  2.  und  6.  durch  N  und  cUe  3.  und  7.  durch  O  gehen, 
Bo  erhalten  wir  auf  dem  Kegelschnitt  8  proj.  Punktreihen  A^  B^  C, 
D,  £,  F,  G  xaA  H. 


334  Miscellen. 

Wir  können  bicbei  die  Punkte  A  und  E  beliebig  wählen,  wollen 
aber  zunächst  annehmen,  dass  Punkt  E,  und  somit  auch  die  Punkte 
I\  G,  H  fest  seien.  Wir  erhalten  nun  als  Ort  des  Punktes  P  den 
Ort  der  Schnittpunkte  der  entsprechenden  Strahlen  der  Büschel  H^ 
A  ,  ,  .  und  E^  D  .  ,  .  In  diesen  beiden  Büscheln  entspricht  aber 
wie  wir  sofort  finden  der  Strahl  HE  sich  selbst,  d.  h.  die  beiden 
Büschel  sind  perspectivisch ,  d.  h.  der  Ort  von  P  ist  eine  gerade 
Linie  xy.  Um  zu  zeigen,  dass  nun  die  Linie  xy  wirklich  eine  feste 
gerade  Linie  ist  die  von  der  Lage  der  Punkte  E^  F^  O^  H  unab- 
hängig ist,  lassen  wir  den  Punkt  A  mit  einem  der  Schnittpunkte  x 
oder  y  der  geraden  Linie  mit  dem  Kegelschnitt  zusammenfallen. 
Fällt  A  etwa  nach  a-,  so  finden  wir,  dass  ED  durch  A^  also  durch  x 
gehen  muss,  d.  h.  die  Punkte  x  und  y  sind  zwei  Ecken  der  durch 
die  Punkte  3/,  N  und  O  bestimmten  Dreiecke  des  Castillon'schen 
Problems,  also  von  den  festen  Punkten  dos  Achtecks  unabhängig. 

Aus  dem  ganzen  Gang  des  Beweises  geht  aber  offen  hervor,  dass 
der  Satz  für  jedes  beliebige  einem  Kegelschnitt  einbeschriebene  2w- 
eck  giltig  ist,  und  dass  irgend  zwei  Lagen  der  2fiecko  zwei  Punkte 
P  liefern,  und  dass  die  Verbindungslinie  dieser  Punkte  zwei  Eck- 
punkte des  Castillon'schcn  Vielecks  durch  die  «  —  1  Punkte  liefert. 

Dehnen  wir  diese  Sätze  auf  die  Sätze  von  Brianchon  aus,  so 
finden  wir  ganz  analog  eine  Coustruction  des  entsprei^henden  Tau- 
genten necks  eines  Kegelschnitts.  Der  Satz,  der  sich  in  diesem  Falle 
ergibt,  lautet,  wenn  wir  mit  Hauptdiagonalen  die  Verbindungslinien 
der  1.  und  w  +  lten,  2.  und  ?i  +  2ten  u.  s.  w.  Ecke  des  2nseits  ver- 
stehen. 

Sind  in  einem  Tangenten  2nseit  eines  Kegelschnitts  n — 1  Hanpt- 
tangenten  fest,  so  geht  die  nte  durch  einen  festen  Punkt. 

Weingarten,  (Württ.)  im  Oct.  1883. 

B.  Sporer. 


2. 

lieber  die  Lage  des  Schwerpunkts  im  Viereck. 

Der  Beweis  des  im  65  ten  Bande  pag.  445  von  mir  aufgesteüten 
Satzes  über  die  Lage  des  Schwerpunkts  im  Viereck  hat  die  £ut- 
wickelungen  des  Herrn  Nöggerath  in  demselben  Bande  pag.  218  zur 
Grundlage;  im  2 ten  Hefte  des  13 ten  Jahrgangs  von  Hoffmami's Zeit- 
schrift für  math.  und  naturw.  Unterricht  habe  ich  einen  elementaren 
synthetischen  Beweis  desselben  Satzes  gegeben;    andere  elementare 


Miseelhn.  335 

Beweise  ?on  Anderen  finden  sich  eben  dort.  Im  Folgenden  soll  der 
Satz  analytisch  mit  Anwendung  trimctrischer  Liniencoordinaten ,  die 
za  diesem  Zwecke  ganz  besonders  geeignet  sind,  entwickelt  werden. 

Wenn  li  =0,  I2  =  ö,  ^3  ««  0,  £4  =»  0  die  Gleichungen  der  vier 
Eckpunkte  eines  gewöhnlichen  ebenen  Vierecks  sind,  so  lassen  sich 
bekanntlich  immer  vier  Grössen  cr^,  a^^  «3,  cr^  so  bestimmen,  dass  die 
Identitäten 

2)    «1  +  «2 + ^8  "h  ^4  ^  ö    bestehen. 

Die  Gleichung  des  Schnittpunkts  der  Diagonalen  findet 

man,  indem  man  }ix'\-hh  =  1^52+ f*!^.!  ="  ö  oder  Wi  — |t*^2  +  ^il3"~ 
jijl^  =  0  setzt,  was  mit  1)  verglichen  giebt :  A  =  «i,  fi  =  —  ofg,  Aj  =  «3, 
^  =  — «45  daher  ist  die  gesuchte  Gleichung: 

3)    «1  li + ofg  ^3  =  —  («2^2  +  «414)  =  0- 

Femer  ist  die  Gleichung  des  Mittelpunkts  von  12:  Ji  +  ?2  =  ö> 
die  des  Mittelpunkts  von  34:  J3-j-|4  =  0;  ein  Punkt,  der  auf  der 
Verbindungslinie  beider  liegt,  hat  zur  Gleichung: 

A«i  +  ?sr)  +  Ai«8+$4)  =  0. 

Ebenso  hat  ein  Punkt,  der  auf  der  Verbindungslinie  der  Mittelpunkte 
von  23  und  41  liegt,  die  Gleichung: 

f*(S2  +  f3)  +  f*l«4+«l)="0. 

Sollen  beide  Punkte  identisch  sei,  so  muss 

sein,  was  geschieht,  wenn  man  iL  =»  Aj  =  j*  =  |l»i  annimmt.  Die 
Gleichnng  des  Punktes,  in  welchem  sich  die  Verbindungslinien  der 
Mittelpunkte  je  zweier  Gegenseiten  schneiden,  ist  demnach : 

4)      ^1+53  +  ^3  +  54  =  0. 

Die  Gleichungen  der  Schwerpunkte  der  Dreiecke  123  und  341 
sind  bezüglich : 

5i  +  l2+58  =  0    und    £3+54+Ji«0, 

ebenso  die  Dreiecke  412  und  234  bezüglich: 

54  +  5l+f2  =  0      und      52+^3  +  54  =-0. 

Die  Verbindungslinie  der  zwei  ersten  Punkte  schneidet  die  Ver- 
bindungslinie der  zwei  letzten  Punkte  im  Schwerpunkte  dos  Vierecks ; 
daher  bat  die  Gleichung  des  letzteren  die  Formen: 


336  Miseellen, 

««i+6«+f3)+^(la+l4+Ji)=f*(S4+fi+&)+^i(l«+5ii+£4)=0 
woraus 

folgt.    Dies  mit  1)  verglichen,  ergiebt  die  Bedingnngsgleichangen : 
A  — A,  — fi  =  ai,     A  — ^  — fii  — «8,    A  +  Aj  — ^,  =  «5, 

deren  Addition  mit  Benutzung  von  2}  dio  Hülfsgleichnng 

A+A,-^-fh«0 

liefert.  In  Folge  dessen  geben  die  Bedingungsgleichangeu  nach  der 
Reihe: 

und  die  Gleichung  des  Schwerpunkts  ist  demnach : 
oder  in  anderer  Form: 

(«l  +  «3)(«1  +  &+£3  +  l4)-(«l«l  +  «8W 

=  -{(««  +  «4)(fl+l2ff8  +  £4)-Kl2  +  «4J4)!    =0 

woraus  sofort  folgt,  dass  der  Schnittpunkt  der  Diagonalen 
Z>,  der  Schnittpunkt  AT  der  die  Gegenseiten  haibiren- 
den  Geraden  und  der  Schwerpunkt  «S  in  gerader  Linie 
liegen.    Weil  aber  identisch 

O      K  +  «3)(tl  +  S2+£8+£4)-(«A  +  «3g8)  _  ,      ll+k+ia+i* 

3(a,4-«3)  "     =*•  4 

«ifi  +  ftaga 
«i  +  «s 

ist,  so  muss  SD  :  SM  «4:1  oder  SM:  MD  «1:3  sein. 

Bensheim,  11.  Juli  1884. 

Dr.  Stoll,  Gymnasiallehrer. 


Oekinghaus'.  KUiptische  IntegralfuncAionen  Hc.  337 


XIX. 


Elliptische  Integralfunctionen 

und  ihre  geometrische,  anal}iiische  und 

dynamische  Bedeutung. 


Von 

Emil  Oekinghaus. 


Aus  der  Untersuchung  über  die  Eigenschaften  der  analytischen 
Functionen  der  Resultanten  zwischen  den  biquadratischen  Gleichungen 
und  ihrer  Differentialquotienten  sind  die  vorliegenden  Entwickelungen 
herrorgegangen.  Die  genauere  Durchsicht  dieser  Functionen  führte 
auf  eine  Gruppe  von  Gleichungen,  aus  welchen  sich  die  Euler'schen 
Identitäten  und  damit  in  Folge  einer  Transformation  eine  Reihe  von 
Differentialformein  und  Integralgleichungen  ergaben,  deren  Anwendung 
auf  Geometrie  fast  ausnahmslos  auf  elliptische  Integrale  und  Func- 
tionen führte.  Aus  diesem  Grunde  haben  wir  die  auftretenden  For- 
men elliptische  Integralfunctionen  genannt.  Indem  wir  dieselben  auf 
den  Kreis,  die  Lemuiskate  und  Ellipse  anwandten,  resultirte  eine 
Menge  interessanter  Sätze  über  Kcctiiicationsverhältnisse,  harmonische 
und  andere  geometrische  Beziehungen  dieser  Curven ,  welche  noch  in 
Folge  einer  dynamischen  Einkleidung  eine  bemerkenswerte  mecha- 
niBche  Bedeutung  so  z.  B.  in  der  Theorie  der  elastischen  Curve  von 
J.  Beruoulli,  in  der  Pendel bewegung  etc.  gewannen,  üeberhaupt  Hessen 
sich  diejenigen  mechanischen  Probleme,  deren  Lösung  von  der  Inte- 
gration eiuer  elliptischen  Differentialgleichung  abhängt,  zwangslos  in 
den  Bereich  dieser  Functionen  ziehen.  Aus  diesem  Gesichtspunkte 
haben  wir  ebenfalls  bestimmte  Curven  3.  und  4.  Grades  betrachtet 
und  ausser  ihren  harmonischen  Eigenschaften  besonders  ihren  geo- 

Areli.  A.  lUtb.  u.  Fhys.    2.  Reibe,  Teil  I.  22 


338  Oekinghaus:  Elliptische  Integralfunctionen 

metrisch  dyDamischen  Zasammenbang  mit  dem  Problem  der  Bewegnng 
eines  schweren  Punktes  in  Kagel  und  Kreis  nachgewiesen. 

In  allgemeinster  an  die  Eigenschaften  der  Kegelschnitte  sich  an- 
schliessender Betrachtung  sind  f^mer  rein  analytische,  von  geometri- 
schen Backsichten  freie  Integralfunctionen  der  1.,  2.  und  3.  Art  auf- 
gestellt worden,  welche  fOr  biquadratische  und  kubische  Oleichnngen 
sofort  diejenigen  Functionen  zur  Verfügung  stellen,  deren  man  zum 
Zwecke  einer  Untersuchung  einer  der  oben  genannten  Curven  bedarf. 
Da  drei  von  einander  unabhängige  Functionen  dieser  Art  entwickelt 
werden  konnten,  so  war  die  Folge  ihrer  Anwendung  eine  nicht  ge- 
ringe Erweiterung  der  Eigenschaften  namentlich  der  Lemniskate,  des 
Kreises  und  der  Kegelschnitte,  welch'  letztere  in  ihren  mannig&chen 
Beziehungen  zu  den  3  Fällen  der  Bewegung  eines  Punktes  im  verti- 
kalen Kreis  sowie  auch  für  die  Centralbewegung  eine  erhöhte  Be- 
deutung gewannen. 

Auch  bezüglich  der  Additionstheoreme  für  2  und  3  elliptische 
Integrale  wird  man  manches  Neue  finden,  wie  auch  zum  Schluss  der 
Abhandlung  ein  Versuch,  die  eingeführten  Functionen  zur  Auflösung 
der  Gleichungen  3.  und  4.  Grades  zu  benutzen  wenigstens  ein  theo- 
retisches Interesse  beanspruchen  dürfte. 


Erster  Teil. 
§1. 

Analytische  Entwiekelungen* 

Die  aus  der  Verbindung  der  biqnadratischen  Gleichung  und  ihres 
Differentialquötienten  hervorgehenden  analytischen  Gleichungen  und 
Integrale  werden  die  Basis  bilden  für  die  nachstehenden  Entwicke- 
lungen,  für  welche  demnach  die  Curre 

1)  ^i  «B  SB*  —  a«*-)-6x*  —  csu+rf 
und  deren  derivirte 

2)  n-  «  tgT  =  4b'— 3aa!*-}*2to — ^  ^  (^i—^^Xa?,  —x^ixi  —  x^) 

nebst  andern  verwandten  Formen  zu  Grunde  gelegt  werden  sollen. 
Wird  aus  beiden  Gleichungen  x  eliminirt,  so  ist  die  Resoltante 


und  ihre  geometrische,  analytische  und  dynamische  Bedeutung.  339 

+  ,^  {&«  —  3ä?  +  12c/)»  —  ^  (72ä J+  9a&e  — 27c«-27a«J  —  2Ä»)«  =  0, 
oder  abgekürzt 

worin   das  Absolatglied  die  Discriminante  der  biqaadratiscben  Glei- 
ehung  ist. 

Eliminiren  wir  ferner  aus  1)  und 

-4c2-3öar  +  2Ä  — - 

die  Unbekannte  x^  so  erhält  man 

5) 


,   3a*M— 8acrf— 84*d+32rf«  — a*c»+3ic»/8A*  ■  ö       ^ 
+ d  [^  "^  '^  ° 

oder  abgekürzt 

6)  |ä^l-^M&  l  +  ^M&^+^^-ö 


X 

Anf  diesem  Wege  fortfahrend  findet  man 


fe)"''*(5)""-(f)""""' 


8^i\»  /8-^\«    ^    /9-^> 


'•  ©-^cr-'Cr-i)^'"-"' 


22» 


,840  OekinghauKi  EUipiisohe  IntegralfuncUonen 

Die  gegebene  Darstellung  hat  ans  also  auf  die  Ealer'scheii  Iden- 
titäten gefllhrt,  denn  es  resultiren  ans  3)— 7)  die  5  Formen 

J^      J^,  J_        1 
a)     8^+8^+azr+O"""' 

OXi       OX^       8x3        8x4 

dx^     dx2     d^s      8x4 

c)     dJ'^dJ^d£^  aj'^^' 
dx^      Bx^     8x3       ox^ 

8)  d)     dJ'^Bjd'^aj'^d^''^' 

VX^      OXf      8x3       8x4 
OX^      fOXg      8x3       8x4 

welchen  sich  noch  die  folgenden 

f)  dJ^      d^^      BJ^      BJ  .0 

"^äT,     *«fc,    '=»a^3    "'^äii 


e 


_l_4._l_4._JL_._l 1 

*»  &,    '« aii    '«^    "^*  ä^4 

anschliesseu. 

Diese  Formeln  sind  allgemein  gültig  für  Gleichungen  n  ten  Grades. 
Indem  wir  uns  hier  aof  den  4.  nnd  3.  Grad  beschränken,  wollen  wir 
zeigen,  dass  die  dataf s  abgeleitetan  Integrale  für  die  Geovetrie  von 
Bedeutung  sind. 

Liegt  nämlich  eine  geometrisch-analytische  Gleichung  4.  Grades 
vor,  worin  ausser  der  Variabeln  x  noph  and^e  Veitänderliche  y  etc. 
enthalten  sind,  so  gibt  die  Diffeventiation  der  Gleichung 


»«</  ihre  g§gmetriäekey  oiuUytiMcht  und  dynamische  Bedeutung.  34}« 

9) 

Non  folgt  aber  aas  8)a)  nach  Mnltiplication  nnd  Division  der 
Summanden  mit  den  entsprechenden'  dx 

—   dx        „ 
=  0, 


10)  d£ 

dx 

welche  Oldchnng  Tennöge  9)  in  die  Differentialformel 

11)  ^^  -  ^ 

abeigeht. 

Yermittelst  J{xy)  «  0  kann  man  in  11)  das  darin  vorkommende 
f  fortachaffen^  sofon'  der  2.  Grad  dieser  Grösse  nicht  flherscfaritten 
ist  nnd  als  Besnltat  erhalt  man  durch  Integration  dieser  Differential- 
ÜMctiaiM«  folgende  Formel 

Um  nnn  fllr  gegebene  Fälle  die  Function  f(x)  gleich  nieder- 
schreiben zu  können,  wählen  wir  zwei  häufig  auftretende  Gleichungen 
von  ^(x^y)  deren  einer  wir  die  folgende  typische  Form  geben: 

13)  X,y«+2Jr^+Äi«0, 

worin  die  JT  bekannte  Functionen  Ton  x  sind. 

Nach  11)  ist  also 

Aus  der  quadratischen  Gleichung  13)  folgt  aber 

x,y+j^  «  y:y,«-jqx5, 

demnach  gewinnen  wir  folgende  IntegraMncton 

J  2^x^-x^x^  V  V j^*  -  x^x^J  ay j^»  -  x^x^ 

+  /-■     **"*     =  —  Const 


8 


342  Oekinghaus:  EilipiUche  Intttfralfunetionen 

Eine  andere  Form  von  ^  {xy)  «-  0  ist: 
15)  -Xi8iny+-yjC089J  +  X,  —  0, 

das  Integral  11)  geht  hierfür  über  in 

/dx 
^jcosy— -yjsing) 

Nach  Elimination  von  <p  vermittelst  15)  resaltirt 
Iß.      /" ^1 1     /"  ^«    __    , 

lieber  die  Vorzeichen  werden  wir  später  das  Notwendige  fest- 
setzen. 

Von  allgemeiner  Bedeutung  werden  diese  Integrale  dadurch,  dass 
man  nach  8)  unter  dem  Integralzeichen  noch  mit  x  und  x^  malti- 
pliciren  darf,  fttr  die  andern  Potenzen  jc^,  «*,  a:-^,  x-^  bestehen  für 
die  Constanten  leicht  zu  bestimmende  Modificationen,  welche  von  den 
Parametern  der  Gleichungen  abhängen. 

Wir  führen  sämmtliche  Integralfunctionen  hier  auf: 


wonach  man  über  7  Integralfunctionen  verfügen  kann. 


und  ikr€  gtometrUchej  analytische  und  dynamiMche  Bedeutung.  343 

In  den  Anwendungen  wird  sich  zeigen,  dass  die  meisten  Inte- 
grale dieser  Art  auf  elliptische  zurückzuführen  sind.  In  Folge  der 
hohen  fiedcntnng  der  letzteren  werden  deshalb  die  folgenden  Ent- 
wickelangen einiges  Interesse  beanspruchen  dürfen. 

§2. 

Die  Integralltenetion  des  Kreises« 

In  den  folgenden  §§  wenden  wir  die  Torigen  Entwickelungen  an 
auf  den  Kreis,  die  Lemniskate  und  die  Ellipse ,  um  alsdann  die  Re- 
sultate zu  veraUgemeinem.  Wir  verbinden  zugleich  damit  eine  dyna- 
mische Betrachtung  und  Erklärung,  sofern  die  vorkommenden  Func- 
tionen einer  solchen  fähig  sind. 

Ein  Kreis  vom  Radius  s  sei  gegeben  (Fig.  1.),  auf  dem  Durch- 
messer oder  der  Verlängerung  desselben  gehe  durch  einen  Pnnkt  D 
eine  Secante,  welche  mit  der  ersten  DE  den  Winkel  q>  einschliesst 
und  durch  den  Kreis  in  2  Punkten  geschnitten  wird,  deren  Strecken 
Ton  D  aus  gleich  x^x2  sind.  Der  feste  Punkt  D  habe  vom  Centrum 
die  Enfemung  R.    Danach  besteht  die  Gleichung 

18)  x*'-2Rcos(p.x+R^-'8*  •=  0, 

welche  d^  Form  15)  entspricht    Die  Differentialgleichung  ist  also 

191  ^  -4--  — L-  =0 

woraus  nach  einer  Transformation  und  Integration  die  Function 
20)  £  C-, ^  -=  Const 

folgt 

Um  sie  auf  die  Normalform  des  elliptischen  Integrals  der  1.  Art 
zu  bringen,  sind  folgende  Relationen  einzuführen: 


21)  lA      ^,  .4^«'         "        (Ä+8)«' 

Q&d  es  resultirt 

J   Vi— Z«sinidi«"^t/   Vl-Z^siniv""     ' 


344  Oekinghaus:  ElUpiucJte  Intcgralfunclionen 

worin  K  das  vollständige  elliptische  Integral  der  1.  Art  bedeutet. 
Dass  die  Constanto  =  JT  sei,  geht  aus  der  leicht  zu  beweisenden 
Relation 

hervor. 

Verbindet  man  den  Punkt  E  mit  den  Schnittpunkten  der  Secante 
durch  Gerade,  so  sind  die  Winkel  zwischen  diesen  und  der  Secauto 
bezüglich  i^,,  |^29  ^^^^  Peripheriewinkel  zweier  entsprechenden 
Centriwinkel  ^i^t  als  Wurzeln  von 

Die  obige  Integralfunction  steht  mit  dem  kinetischen  Problem 
der  Pendelbewegung  oder  allgemeiner  mit  der  Bewegung  eines  schwe- 
ren Punktes  im  verticalen  Kreise  in  eigentümlicher  Yerbindang: 

Die  theoretische  Mechanik  zeigt  bekanntlich,  dass  die  Lösnng 
dieser  Aufgabe  auf  die  Differentialgleichung 

23)  ^+;8in^  =  0 

führt,  woraus  das  Integral 


24) 


/ 


y  vo^ + 4^«  sin  i  o*—  4^«  sin  d^ 


folgt  Hierin  bedeutet  t  die  Zeit,  welche  verfliesst,  bis  der  anfäng- 
liche Winkel  a  in  -^  übergegangen  ist.  Von  den  3  Fällen  der  Be- 
wegung trifft  hier  derjenige  ein,  für  welchen  im  letzten  Integral 

25)  z«  =  ^^' 


t?o^-|-4^«sinia^ 

kleiner  als  1  ist.  Der  Punkt  beschreibt  also  volle  Umläufe.  Soll 
nun  das  obige  Krcisintegral  22)  mit  der  Kreisbewegung  überein- 
stimmend sein,  so  muss  nach  21)  und  25) 

26\  ^*  V      

^  (Ä+«)*^  V+4i7«sinK 

gesetzt  werden. 

Führen  wir  anstatt  v^  die  Geschwindigkeitshöhe  h  ein,  wonach 
^(?  =*  2^Ä  ist,  so  resultirt  aus  der  letzten  Formel 

Ä«-f  *«+2JKcos«  «  2Rh. 


und  ihre  geometruche,  analytische  und  dynamische  Bedeutung.  345 

Bezeiclmet   man  die  Strecke  vom  festen  Punkt  D   nach  dem 
Anfangsponkt  der  Bewegung  mit  Qq^  und  nennt  sie  Harmonikale,  so  ist 

27)  ^0*  =  2ÄÄ       oder      Po*  =-  -  »o*> 

d.  i. 

Diese  Formel  gilt  allgemein. 
Aus 

folgt  Dämlich  nach  24)  und  26) 

and  hieraus  erhält  man  die  Beziehung 

29)  .  =  ]/l    ,. 

Die  Geschwindigkeit  des  Punktes  in  der  Bahn  ist  direct  propor- 
tional der  Harmonikaien  der  Bewegung. 

Bedeutet  nun  27'  die  Zeit  des  vollen  Umlaufs,  so  ist  demnach 
nach  22) 

30)  t^  +  t^^T 

Man  bemerke  aber,  dass  die  aus  29)  folgende  Formel 

*"       2i2 

auf  die  quadratische  Gleichung 

Ä«— 2Ä(Ä— *)-H««ü 
fährt,  deren  Wurzeln 

31)  jK  =  Ä-«±y(Ä-. «)«-«» 
sind.    Hierin  ist 

y(Ä  — «)«—«« 

die  Tangente  von  D  au  den  Kreis,  woraus  eine  einfache  Coustruction 
für  die  beiden  Strecken  7i',  und  lii  folgt.  Die  hierdurch  bestimmten 
Punkte  D  und  D'  sind  in  Bezug  auf  den  Kreis  harmonisch  zugeord- 
nete Punkt«,  und  die  Mitte  ihrer  Yerbindungsgeraden  ist  von  dem 


346  Oekinghaus:  Elliptische  JnlegrcU/unctionen 

tiefsten  Punkte  E  des  Kreises  um  die  Geschwindigkeitshöhe  entfernt. 
Zi^t  man  von  dem  äussern  Punkt  D  zwei  Secanten  an  den  Kreis, 
so  schliessen  dieselben  2  Kreisbogen  ein,  welche  von  dem  den  Kreis 
durchlaufenden  Punkte  in  gleichen  Zeiten  zurückgelegt  werden.  Zieht 
man  durch  den  innern  Punkt  eine  Gerade,  so  werden  die  hierdurch 
bestimmten  Kreisbogen  ebenfalls  in  gleichen  Zeiten  beschrieben,  welche 
der  halben  Umlaufszeit  gleichkommen. 

Zwei  durch  den  genannten  Punkt  gehende  Gerade  begrenzen  also 
2  Bogen  gleicher  Zeitdauer.  Beide  Fälle  sind  Obrigens  identisch;  wie 
auch  die  Geschwindigkeit  durch  die  Constanz  des  Verhältnisses  beider 
Harmonikaien  q  :  g'  nach  bekannten  Sätzen  durch 

ausgedrückt  wird. 

Je  grösser  die  Geschwindigkeit  des  im  Kreise  herumfliegenden 
Punktes  ist,  um  so  mehr  entfernt  sich  der  äussere  Punkt  vom  Cen- 
trum,  t^ährend  der  entsprechende  harmonische  innere  Punkt  sich  dem- 
selben nähert  und  ihn  für  unendliche  Geschwindigkeit  erreicht  Bei 
abnehmender  Geschwindigkeit  nähern  sich  diese  zugeordneten  Punkte 
der  Peripherie  und  fallen  in  der  Grenzlago  ftlr  die  Geschwiudigkeits- 
höhe  A  ">  2#  der  asymptotischen  Bewegung  zusammen. 

Wir  werden  später  eine  Verallgemeinerung  der  vorstehenden 
Sätze  geben,  in  welcher  wir  die  Geraden  durch  Kegelschnitte  ersetzen. 
Wir  fügen  noch  folgende  Betrachtung  bei: 

Eine  Secante  schneide  den  Kreis  in  2  imaginären  Punkten, 
(Fig.  2),  die  aus  18)  folgenden  Wurzeln  sind  dann 

3  «  jRcos9±yÄ«cos<p«— Ä«+7^ 
oder 

indem  wir  setzen 

und  

y  «VÄ^siny«— #« 

Die  Gonstruction  dieser  Ausdrücke  ist  der  vorigen  analog.  Die 
durch  +y  bestimmten  Punkte  DD'  sind  zugeordnete  harmonische 
Punkte  für  den  Kreis.  Der  obige  complexe  Wurzelwert  erhält  durch 
die  gegebene  Darstellung  eine  allgemeine  geometrische  Erklämng, 
die  vielleicht  neu  ist. 


und  ihre  geometrische^  anafytische  und  dynamische  Bedeutung,  347 

§3. 

Die  Inteirrftlfttuctionen  der  Lemniskate. 

Durcli  oineu  Brennpunkt  einer  Lemuiskate,  deren  Polargleichung 

r*  =  a^  cos  29 

ist,  legen  wir  eine  Gerade  und  verbinden  die  4  Schnittpunkte  der 
Canre  durch  die  Brennstrahlen  x^x^  etc.  mit  dem  andern  Brennpunkt. 
(Fig.  3.) 

Der  Winkel  zwischen  der  Geraden  und  der  J^-Achse  sei  1/;,  dann 
besteht  folgende  Gleichung 

32)  «*— 4c«a:«4-4c8cosS'.«  — c*  —  0. 

Der  Radiusvector  r  nach  einem  Schnittpunkt  schliesse  mit  x  den 
Winkel  y  ein,  der  Winkel  zwischen  den  beiden  Brennstrahlen  xy 
heisse  v,  folgende  Formeln  sind  dann  leicht  nachzuweisen 

r  «  acos  jv,    cos  2g)  =  cosjv*,    sin^v  =»  y2siu<jp, 

y  «  lt?  +  qp, 

33)  sinjt?  =  sin(y-— qp)  =  y2siu^, 

X       sing) 


c        smy 


c» 


Man  kann  also  rp  durch  y  und  demnach  auch  x  =  —    durch  y 
ausdrucken,  und  es  findet  sich 

34)  y^  =»  a* + c*+2a<?  cos  y, 

ferner 

sin(y  — i»)  =  sing), 
oder 

8in(y  —  i»)  ■=  -sin^t). 

Wir  wenden  nun  auf  16)  die  Formel  32)  an  und  finden  zunächst 
das  Differential 

35) 

dx  ,    .  dx 

d.  1. 


oder  transformirt  und  integrirt 


3G) 


£  r  '^  -  a 

J   y(a;*  —  (a—c)*)((a +(?)»—««) 


1 


348  Otkinghaus:  Eüiptisehe  Integraljundionen 

Die  Bildang  der  Normalform  Terlangt  die  Sabfltitatioiien 
37)  x^    ,_^"-^     -,         ^«  ^ 


Demnach  ist 

38)  siniy« ^  ^^        .       cos  Jy« ^^—-^ 

Hieraus  erhält  man  durch  Subtraction  und  eine  Umformung 

39)  y,  ==  a*+c*  +  2accosy, 
und  diese  stimmt  mit  34)  üherein. 

Die  Integralfunction  ist  demnach 

40)  /•-      ^Jyi     _|    f        '^«   _-■!■  /*  _   «^ir. 

V    Vi  — -Z«siniyi»'^t/    Vi  — -Z»8injy,»^ J   Vi— Z*8inir,» 


,/   Vi— -Z^sinir*" 


welche  wir  noch  vermittelst  derLandon'schcnSubstitotioii  transfonniron. 
Wir  fahren  deshalb  ein 

e        1 

41) 


sinCy  —  ^v)  =  -  sin^r, 


und  das  Resultat  ist 


^        P d^ 

I    i/co8 2fp 

Da  aber  die  Kectification  der  Lemuiskate  auf  letztere  Integrale 
führt,  so  erhält  man  aus  der  folgenden  Integralfunction 

43)  r ^^' +  r  —-t^  —  4-  r-=^L= 

J   Vi  — isinJV      «^    Vi  — isiniV      »^^    Vi  — Isinir," 


den  Satz: 


J    yi  — isinltJ4* 


«ii<f  tkre  gtemmtruehe,  analiftUtche  und  dj^namiseht  Bedeutung  349 

Jede  durch  einen  Brennpunkt  einer  Lemniskate  gehende  Gerade 
schneidet  auf  derselben  4  von  den  entsprechenden  beiden  Scheitel- 
punkten an  gerechnete  Bogen  t«j,  14  und  «3,  u^  ab,  deren  Samme 
^i+^'i~**3~h**4  '^^  2^  constant  der  halben  Lemniskate  gleich  ist. 

Entwickelt  man  die  Oleichung  der  durch  einen  Brennpunkt  gehen- 
den Geraden  in  Bezug  auf  tg^  so  findet  sich  die  Amplitudengleichung 

44)     tgjt^  — 2cot^tgiv»4-(l  +  coti|;«)tgJ»«— 2cot^tgit;  — 1  «  0. 

Nach  der  Formel 

tgiK  +  r^+üj+vJ  —  iHlZfä 

ist,  wenn  Jv  in  absolutem  Sinn  genommen  wird 

niid  also^aach 

46)  amti)-|-amus-{~^^*'8 — ani**4  =*  ^' 

Die  elliptischen  Functionen  aber  leiten  für  am  u  folgende  perio- 
diadie  Beiho  ab 

nu  .  ^(     q      .'»«,,     q*      .   2«t*       \ 

•"- -  2Ä'+Hr+?'"' jf +*  1+?""  "F  ••  •) 

Schreiben  wir  hierin  für  u  der  Reihe  nach  u^  n,  etc.  und  ad- 
diren  diese  Reihen,  wobei  wir  fflr  die  Summe  zweier  Sinus  ihr  be- 
kanntes Product  setzen,  und  beachten  femer,  dass  2?amu  wegen  45) 
durch  n-\-2djau^  ausgedrückt  worden  kann,  so  erhält  man  schliesslich 

46)     4^4  =  f::p^8in2j^(tii+t*8)sin^(t«,+t*3)8in^(i4+i«s) 

q  2n  2n  2n 

+  i  r^jT^  "°  2^  (**!  +  ««)  ™  2Jf  ^^  +  *^^  ™  2]^^***  "^ "*^'  • 

lo  ähnlicher  Art  findet  man  noch 
JSr«cos2g)«  »  +  8««X 

(1  ZTgi ^^  2K^^'^^^^^  2K^^'^ ^^ ^^®  2ä ^'**  +  ^^' ' ') 


47) 


itt4  =-  iof  sin  i  {vi  -{-Vi)  sin  J  (%  +  vg)  sin  i  (v^  +  ^3) 
—  ^«4  sin  (v,  -jr  ^t)  8in  (tij  +  «'s)  »in  (»«  +  «'s)  •  •  • 


Hierin  ist  q  -=  e"^  und  die  Constanten  o^,  a^  sind  die  bekannten 
Coefficienten  der  Reihe 

F[q>)  sr  0^9 ~  ^ sin 2^.«f'i^4 sin49  . . . 


350  Oekinghaus:  fHUpÜMche  Integralfunctionen 

§4. 

Andere  Integralfunctionen  lassen  sich  nach  8)  ohne  Mflhe  ab- 
leiten. Da  das  zweite  Glied  32)  d.  i.  der  Coefficieut  von  x^  gleich 
Null  ist,  so  führt  die  hierauf  hezügliche  Formel  17e)  auf 

Nach  den  Methoden  der  Integralrechnung  geht  diese  Function 
über  in 

49)  E,  +  E,-^E,-^E,  =.  z^2:'J^^ypiX 

In 

^jSin^ycosiy  Z*         ,  2a 

ist  ysmy  die  Normale  vom   Brennpunkte   auf  den   entsprechonden 
Radius  r. 

Man  kann  das  obige  Integral  auch  auf  folgende  Art  deuten : 

x^      y^ 

In  einer  Ellipse  -^4"^  ^  ^  sei  ein  Punkt  durch  die  Coordinaten 

ac  ==  asinqp  und  ^  =  2»cos(p  bestimmt,  der  Winkel  zwischen  den 
Brennstrahlen  sei  8,  der  Winkel  der  Normalen  mit  der  X-Achse  sei  ^ 
Das  elliptische  Integral  E  oder 


fV 


1 2  sin  9*  dq> 


transformiren  wir  durch  Einführung  von 


b  e 

C0S9  =»  -  tgjö,       sin  Jö  =-  -  sin ^ 


m 


Ä«   r djQ b^  n €i^ 


Es  bedeutet  also 


b^     r  dMf 

den  vom  Scheitelpunkte  der  grossen  Achse  an  bis  zu  jenem  Punkte, 
dessen  Normale  mit  der  Achse  den  Winkel  t^  einschliesst,  gerechneten 
Bogen  der  Ellipse,  wie  bekannt  ist.    Hiemach  kann  man  das  analoge 


r 


und  ihrt  geometrische,  anabfiisthe  und  dynamtJiche  Bedeutung.  351 


Int^ral  49)  der  Lemniskate  für  die  Ellipse  eiDrichten,  wenn  ^  ^  iy 

Aae 
(a-i-e)*  "^  ^^^  Modul  des  letztem  Integrals  gemäss  be- 
stimmt wird. 


and  Z^  = 


Man  kann  flbrigens  anch  das  Integral 

x^dx 


f 


i(x^  -  (a  -  c)^)  ((a  +  eY  -  y^) 

in   anderer  Art  f&r  die  Ellipse  benutzen,  wenn  mau  beachtet,  dass 
die  Normale  des  genannten  Punktes  durch 


und  der  zu  r  conjugirte  Halbmesser  r'  durch 


o 


bestimmt  ist.    Daher  geht  das  Integral 

«y  j/l-~  sin  9*^9 

fiber  in 

r'^dr' 


-f 


y(r'«— Ä«)(a«--r'«) 


«*  ,  y* 


Wenn  wir  nun  als  Halbachsen  einer  Ellipse  ]ra+ «i  "==  ^   ^® 
Beziefanngen 

einführen,  in  welchen  a  und  c  sich  auf  die  Lemniskate  beziehen,  und 
die  Brennstrahlen  x  der  letztern  als  Radien  r  der  erstem  einführen, 
so  bestimmen  die  ihnen  entsprechenden  conjugirten  Radien  4  EUipsen- 
pnnkte,  deren  zugehörige  von  der  kleinen  Achse  an  gerechneten 
Bogen  9  die  Relation  haben: 

worin  8  ein  Ellipsenquadrant  ist. 

Diesen  Functionen  lassen  sich  noch   mehrere  anschliessen ,  so 
ist  das  Differential 

Qcdx  a  —  e  diy 


femer 


di|> 


352  Oekinghaus:  Elliptische  Infegral/unctioMu 

c-f-aco8y 
leicht  zu  integrircii. 

Ebenso  existirt  ein  elliptisches  Integral  3.  Art 


C, 


"^  J    (l-,-^,sinJ,^)^/i_^.3iuJ,* 

welches  sich  ans  35)  ergibt. 

Um  zu  entscheiden,  ob  noch  Integrale  2.  Art  bestehen,  berack- 
sichtigen  wir  die  Formel  17g)  oder 


,8^  d* 

'8^ 


in  welchem  unserm  Beispiel  gemäss  c  «  —  4c*  cos  9  und  rf  =  —  c*  ist. 
Das  obige  Differential  können  wir  nun  nach  geeigneter  Transformatiou 
in  die  Integralfunction 

^    r  dx  P4^ 

2.     /     ; t^     M     —TT  cos  ^€l^ 

J    «2(a;*  — c«)y(a;^  — (a  — cj*)((a  +  c)a-.y«)      J     <^         ^^ 
übergehen  lassen.    Nach  Einführung  von  \y  wird  hieraus 

J    (a+c)(a  — c)2(a^  —  2ac+ c^Z*  sin  iy^)       J 
Ferner  ist 

2:/* Vi  -  7J  8iult7^  d\y  ^^ 

J    (a  -f  c)  (a  —  c)«  (a2  —  2ac+ c*  ZJ  sin  \y^] 

Wir  multipliciren  das  vorletzte  Integral  mit  — c^  das  letzte  mit 
a'  — 2a<7+c2  und  addiren  beide,  dann  resultirt  nach  geordneter  Zn- 
sammenstellung 

y*j/l-^*siniy,«4yi4y'j/l-Z»sinJy,2e%,...==4  "7~»^ö  ip, 

oder  kurz 

52)  ^i  +  Ug  — A'5— ^4  =  4  .  ^-^^  sin  1/;. 

Die  geometrische  Deutung  dieser  Function  ist  leicht. 


und  ihre  geometrischtj  analytische  und  dynamische  Bedeutung.  353 

§5. 

Die  Integrale  der  entwickelten  Formeln  haben  die  Amplitude  ^y, 
man  kann  noch  mehrere  von  der  Amplitnde  iv  in  folgender  Art  be- 
stimmen.   Wir  transformiren  nämlich  die  allgemeine  Form 


tlx 


(««  — c«)  •/(««— (a  —  c)»)  ({a + c)«  —  ««) 


m 

(a:«  — c^)yi  — Z^sinit;« 
Es  ist  aber 


2;/-.—^      -^-.^C. 


J   fe«~ 


1/ 1 + cos  ^ü*  —  cos  J»,        -  —  1/ 1  -j-  cos  Jv*+ cos  it?, 

1  /l         1     .      ,    o         cos  iv 


X 

e 
also  aach 

X 

a 


Das  letzte  Integral  geht  also  nach  Einführung  von  x  und  darauf 
erfolgter  Multiplication  mit  x  Aber  in 

J   cositiyi— isinii?*"'*/    cos2(p 
Die  Integration  ergibt 

53)       tg(450+g>,)tg(450+g>,)tg(450  +  9,)tg(4öo+g)4)  -  L 

Das  Hanptintegral  35)  multipliciren  wir  jetzt  mit  «^(«^  —  c*)  und 
beachten,  dass  das  2.  Glied  der  Gleichung  32)  fehlt.  Nach  einigen 
Umformungen  resultirt 


/ 


d\v 


{\  —  isin  it.*  —  y  2  cos  \v  y  1^  jrsinl^4-  ^^^~\  =  C. 


Die  Reduction  dieses  Ausdruckes  auf  die  kanonischen  Integrale 
führt  schliesslich  auf  folgende  Form: 

oder 

54)      £j4.£^  — i^  —  Ä^  =  2:siu9  +  i(^i  +  ^«  — ^3  — ^i)- 

Das  Additionstheorem   für  die  Integrale  2.  Art   lässt  eine  Yer- 
gleicbung  der  Functionen  52)  und  54)  zu.    £s  ist  bekanntlich 

irek.  d.  Math.  «.  Phjs.    2.  Reih«,  T«il  I.  23 


354  Oekinghaus:  Elliptische  Integralfunctiontn 

Die  Combination  der  letzten  Integrale  gibt  also  in  Verbindung 
mit  62) 

2  (sin  9,  +  sin  «jpg  —  sin  ip^  —  sin  q>^ 

=-  -^  (sin  iyi  +  sm  iy,  +  sin  iyj  +  sm  i/a) = 4 .  — *— ^^ ^  sin  ^ 

oder  die  Relation 

55)  sin  q>^  +  sin  q>^  —  sin  tps  —  sin  qp^  =  y  2  sin  ^, 

d.  i. 

2sinJ^(«i+t;,)8ini(v2"-»4)8inJ(»,-— »4)  «  sinV'. 

Die  letzten  Formeln  finden  ihre  Bestätigung  durch  die  leicht  zu 
entwickelnde  Gleichung 

56)  8ing)**--y28in^sing)3— J8in(p*+-— ^siny-f-isinif;*=0, 

woraus 

l^sinqp  =  y2sin^. 

Die  bisher  entwickelten  Integrale  der  2.  Art  haben,  wie  man 
sieht,  Bezug  auf  die  Rectification  einer  die  Lemniskate  einachliessen- 
den  Ellipse  mit  den  Halbachsen  a  und  c,  deren  Bogen  also  mit  den 
entsprechenden  Lemniskatenbogen  in  einfachem  additivem  Zusammen- 
hang stehen. 

Es  lässt  sich  im  Anschluss  an  die  Function 

r .4^^^ .  r d\v^      .  r     ^k 

J   Vi  — isinit?!»     y   Vi  — isiniV     0/   Vi  — isiniV 


J    >  1  —  i  sin  ^^4 


eine  zweite  leicht  entwickeln: 


57;    y  Vi  —  i  sin  {v^  div^+  fyi  —  J  sin ivj^  itlv^ 

+  fy^ - i sin iv^  divj,  +J  yi-isinK4<'4'==2i;  +  y2  8inf, 

wo  E  das  vollständige  Integral  der  2.  Art  ist    Eine  directe  Herlei- 
tung dieser  und  anderer  Formeln  geben'  wir  später. 

Aus  der  Combination  der  Formeln 


und  ihre  geometruche,  anaUftUche  und  dynamische  Btdentung.  355 

^i  +  ^«  +  ^a  +  ^4  =  2i:, 

58)  E^-^-E^  +  E^  +  E^  =-  2i;+V28ini^, 

E^  +  E^-E^--E^  «  j(Fj  +  /i-F,-i?;)+  V28int^ 

resaltirt  noch 

59)  j^  +  £^- J(F3+F,)  «=  E^IK, 
and 

welche  als  Ellipsen-  nnd  Lemniskateubogen  eine  gegenseitige  Ver- 
gleicboDg  zulassen.    Für  jede  durch  einen  Brennpunkt  einer  Lemnis- 

kate  gehende  Gerade  ist,  wenn  die  Curve  mit  der  Ellipse  -ä+  2  "*  ^ 
in  Verbindung    gebracht    wird,    die    Differenz    der    Ellipsenbogen 

d  c 

"^(^+-£4)  nnd  der  Lemniskatenbogou    AFi-^-F^)  eine  constante 

Grösse.  Die  Brennpunkte  beider  Curven  fallen  wie  die  grossen 
Achsen  aufeinander,  nnd  die  kleine  Halbachse  der  Ellipse  ist  =»  c.  Ihre 
Amplitude  ist  ^1?,  so  dass  die  eütsprechendcn  EUipsencoordiuaten 
x=:asin^;  y  =  ccos|v  durch  den  excentrischen  Winkel  \v  dc- 
finirt  sind. 

§  6. 

Obgleich  die  vorhergehenden  geometriscbeu  Anwendungen  der 
entwickelten  lutegralfuuctionen  nur  specielle  Fälle  behandelten,  so 
zeigten  dieselben  doch  schon  die  Fruchtbarkeit  der  gegebenen  Me- 
thoden, so  dass  der  Gedanke  nahe  liegt,  diese  Functionen  allgemein 
far  alle  möglichen  Fälle  derart  einzurichten,  dass  die  Moduli  und 
Constanten  der  elliptischen  Integrale  ohne  Zwischenrechnung  ans  den 
Parametern  der  Gleichungen  abgeleitet  worden  können. 

Da  wir  nun  die  Art,  wie  vorhin  das  Beispiel  der  Lemniskate 
behandelt  worden  ist,  fUr  die  folgenden  Probleme  zum  Muster  nehmen, 
so  wollen  wir  die  auch  später  vorkommenden  Reihenentwickelungen 
jeser  Integrale  in  unserm  speciellen  Falle  der  Lemniskate  zunächst 
entwickeln,  um  den  Gang  derselben  bei  der  Auflösung  der  biquadra- 
tiächen  Gleichungen  mittelst  der  genannten  Integralfnnctionen  schon 
jetzt  anzudeuten. 

Wir  benutzen  die  bekannten  Reihen 

F(fp)  =  cL^ip  —  \c^  sin  ii<;f>+ J04  sin  4g)  —  . . . , 
60) 

£(9)  »  6Q(p4-i*iSin2g)-f-J*4  8in4(p—  ..., 
in  welchen 

23* 


356  Oekinghaus:  EUipthehe  Integraljunetionen 

2  8  2 

61) 

2  1/  (l—Z*)   \  2 

Äo  «   -Ä,     h  «  3(^A&o-8^  ^^,  'iTj,    b^  -  ^U&j-i^)  etc. 

Ferner  erinnern  wir  an  die  Formeln 

sin2^  —  28iny— siny*— J-siny*  — Jsiny^ ... 
sinSg)  »  Ssin^  — isin^' 

62)  8in49>  «  isin^— lOsin^'-j-^ain^^-l'iBinq»^ ... 
Bin59  «  5 sing?  — 20 Bin 9^+16 sing)* 

8in69)  =  6sing)— :358ing)'+H-*8ing)*  — *^8in9^  ... 

und  benutzen  endlich  noch  die  für  die  biquadraÜBche  Gleichung 

bestehenden  Bymmetrischen  Relationen  der  Wnrzelpotenien 

£x  ■=  —  a, 

63)  £x^  —  —  a»+3ai  —3c, 

Zafi  «,  —  «ft-f  5a»Ä+5o6«  —  5aV+5ad+5&c, 

welche  wir  fQr  das  folgende  nötig  haben. 

In  der  abgeleiteten  Relation  der  Lemniskatenbogen 

ist  die  Amplitude  ^  an  die  Gleichung 

64)  sint?*  — 88intj;cosV'8ini;'-|-168in^*8int?  — 168in^*  —  O 

geknüpft,  wie  leieht  zu  beweisen  ist 

Man  bemerke  aber,  dass  eine  Wurzel  ^4  negativ  ist,  dass  also, 
wenn  die  Amplituden  absolut  genommen  werden,  geschriebCQ  wer- 
den muss 

sinw+sinvj+^'^s  —  8ini>4  «  4sin2i;', 
oder 

^sinr  «  8sin^co8^, 
65) 

£  sin  v'  =  128  cos  3^  sin  ^', 


Das  unvollständige  elliptische  Integral  1.  Art  hat  nun  folgende  Form 


tmd  ihre  ytametrUekef  euiafyHMche  und  dgnamitehe  Bedeutung.  357 

-^(W  —  Opir  — Jarsin© 

-f-io4(28mv — Binü* — f  sinti^ — Isino' ...) 

66)  — fie(38inv  — 48int^) 

4-i«8(4Bini>— lOsinu^+lrinty^+isino' ...) 

— 1^10 (5 Bin©— 20 sin r'+ 16 Bin»*) ... 
Die  Function 

67)  ^i  +  ^t+J^8-^4 

e-  Oq^^ — 4^£Binr-)-iai'^8in2v— ^oe^sindv  ... 

kann  nnn  in  folgender  Art  transfoirmirt  werden.  Für  '^i+J^t+^ 
Mtzen  wir  2K — F^^  und  beachten,  dass  oq  ^i^  '^  a^n  =  2K.  Da 
wir  die  F  reell  wählen,  so  moss  dementsprechend  der  Winkel  i//  inner- 
halb bestimmter  Grenzen  genommen  werden.  Derselbe  ist,  wie  man 
nebt,  ein  Parameter  der  Hanptgleichnng  32)  oder  44).    Für 


-"/^ 


linf;« 


gewiimen  wir  BchlieesBcb  das  Besoltat 

68)  +¥(3ä4  — Soe  +  löog  — 24aio  ..OcosSv^Bin-*» 

+ 1(504— 35a8+128ai,)(2l— 32  cos  2i/;+32  COB  4^;)  sin  2t(;  sin  ^S 

woDaeh  der  Lemniskatenbogen  u^  durch  eine  Reihe  ausgedrückt  wird, 
deren  Coffidenten  durch  ToUst&ndige  elliptische  Integrale  bestimmt 
sind,  und  die  ini^erhalb  der  angegebenen  Orenaen  des  Focalwinkels  ^ 
conrergirt. 

In  Ähnlicher  Art  findet  man 

£4  =  ^f -"<*»"**+*«-*8  ...)8in2* 

69)  — ^(3i^_866  +  15i8  ...)co8  3^Bint|;3 

— i(5&4— 355g+128&io)(21— 32cos2v;+32co844;)8in2^BinV^^. 

Die  obigen  Reihen  haben  wir  aus  dem  Grunde  zunächst  an  einem 
eiobchen  Beispiel  entwickelt,  um  den  "Weg  anzudeuten,  auf  welchem 
vir  später  bei  VeraUgemeinemng  der  Methoden  zur  Auflösung  der 
(Heidmogen  3.  und  4.  Grades  vermittelst  dieser  Functionen  gelangen 

Benerining.  In  S  1  leiteten  wir  aus  der  Gleichung  4.  Grades  und 
ilvem  Differentiaquotienten  die  Formel  her: 


358  Oekinghaus:  Elliptische  InUgralfunctiontn 

und  68  war 

tgT 

In  ähnlicher  Weise  findet  man  ans  der  letzten  Gleichung  die 

folgende 

1 

.0 


oder  auch 


4tgT«— 3iltgT«+2i?tgr 
«      1 1 


^l)--C^+ 


und  an  diese  Relation  schliessen  sich  noch  andere  verwandte  an. 

§7. 

Integralfunctionen  der  Cur?en  4.  und  3.  Grades« 

Da  die  gemeinsame  Betrachtung  der  Eigenschaften  der  Lemnis- 
kate  und  der  durch  die  Gleichung 

definirten  Curven  4.  Grades  auf  harmonische  Verhältnisse  fährt,  so 
wollen  wir  folgende  Untersuchung  hier  einschalten.  Die  Schnitte  der 
^-Achse  mit  der  obigen  Curve  (Fig.  4.)  bestimmen  die  Wurzeln 
a|C4  etc.  der  Gleichung  y  *»  0.  Die  Formel  18)  findet  Anwendung 
auf  dieselbe,  wenn  wir  znr  A'- Achse  eine  parallele  Gerade  ziehen, 
welche,  im  Fall  wir  das  obere  Zeichen  wählen  und  also  y  constant 
=  b  festsetzen,  in  ihren  Sehnittpunkten  mit  der  Curve  auf  die  Wur- 
zeln a^jBs  etc.  führt.    Dann  ist 

71)  f  , 

t/  y{«i — «i)  («1— o«)  («1— «s)  («1 — 

JL.   i    *         —         ■     - »1.  Qfjß^  ^;  (; 

J    V(«i  — ai)(«,-— o,)(a?2  — a3)(x,  — aj 

die  Integralfunction. 

Die  Bedingungen,  welche  für   die  Normalform  der  elliptischen 
Integrale  1.  Art  notwendig  sind,  finden  sich  aus 

z'  —  l^gi — <»8)  (gf — gj) — V(q« — «s)  (^ — <^d , 

V(»i  —  «s)  («8  —  «*)  +  V(at  —  Oj)  («1  —  04) 

72) 

tg ^  «  V't^  —  ga)_(gi7" gJ  +  V(gi -•  gj)  (««  —  «4)  l/(g— <ii)(g— fla). 
y («1  - «s)  («1  - «4) - V(ß« - «s)  (fls-«4)  '^  '(«^-«s)(«-«4) 
und  die  Normalform  wird 


«4) 


und  ihre  gtomeiriseke,  anafyUsche  und  dynamiMche  Bedeutung.  359 

^•/    yi  — Z»8iniy5«^J   yi-Z»8iniy4« 

I 

Wir  wenden  hierauf  die  Landen'sche  Substitution  an,  und  dem- 
nach hat  man 

sin  (y  —  ^)  —  -  Bin  ^ 


zu  setzen,  wodurch  die  Function  71)  übergeht  in 

.2 


Nnn  geht  aber  Toretehender  Aosdrock  fttr  a'  —  2c*  in  die  be- 
kannte Fnnction  Ar  die  Lemniskate  ttber,  nnd  die  Relation 

75)  Z'  -  ^ 
bedingt  gemäss  72)  die  zweite 

76)  (q>— qs)(fli--Q4)  _  1 

(a^  —  oj)  (0,-04)       *• 

Diesem   harmonischen   Doppelverhältniss    schliessen    sich  durch 
Permutation  die  beiden  folgenden 

(<h  —  Ol)  («4  —  <h)  ^  j 
(Oj  —  o,)  (04  —  o,)  ""    ' 
77) 

identisch  an.    Dies  zusammen  fassend  haben  wir  den  Satz: 
Wenn  die  Wurzeln  a^a^  etc.  der  Curve  4.  Grades 

för  y  —  0  in  harmonischer  Beziehung  zu  einander  stehen,  dann  existirt 
fär  jede  beliebige  der  X-Achse  parallele  Gerade  y  =^  b  und  der  da- 
durch bedingten  Wurzeln  x^x^  etc.  eine  Integralfunction 


J    1  /^  4ac 


\h- 


^  =  2K, 


sin^ 


s 


(a+c) 
deren  doppelte  Amplitode  y  als  Winkel  zwischen  einem  Brennstrahl 


360  Oekinghaus:  Elliptische  Integralfuneiionen 

und  dem  entsprechenden  Radins  einer  Lemniskate  anfgefasst  werden 
kann,  während  in  der  transformirten  Function 

die  doppelte  Amplitude  v  der  Winkel  zwischen  den  beiden  Brenn- 
strahlen ist  und  die  Function  selbst  4  Lemniskatenbögen  charakteriairt, 
deren  Summe  stets  constant  ist.  Die  Bedingungsgleichungen  zwischen 
den  Grössen  dc,  y  und  v  sind 

V(ai  —  o«)  («1  —  «4)  —  y  (oj  —  03)  (a,  —  04) 
tgi(t^-y)  =  (y2-l)*tgiy. 

Die  obigen  harmonischen  Doppelverhältnisse  fahren  zu  einer 
bekannten  Reducente  der  biquadratischen  Gleichung  und  zwar  zur 
kubischen  Invariante  K=0  oder 

78)  12BD+%ABC—  21 C^  —  27il«I>  —  2B»  =  0. 

Sobald  diese  Bedingung  unter  den  Gonstanten  der  Gleichung  er- 
füllt ist,  sind  ihre  Wurzeln  bekanntlich  einander  harmonisch  zugeordnet 


§8. 

Wir  legen  jetzt  die  Gurven  dritten  Grades 

79)  ±y«  —  «3  — ^«+J5a;  — C 

den  folgenden  Untersuchungen  zu  Grunde  und  werden  die  aus  ihr 
resultirende  Integralfunction 

^   y(«i  — '^i)(«i"-as)(«i  — o»)      t/     y(««  — Oi)(«!j  — o,)(ar2  — o,) 


V  vs^ 


«i)  («3  —  oj)  (afs  — «a) 

geometrisch  und  dynamisch  intcrpretiren.  Wir  wählen  zunächst  das 
obere  Vorzeichen,  setzen  also  voraus,  dass  die  der  X-Achse  parallele 
Gerade  y  ^  -\-h  oberhalb  der  Achse  die  Curve  in  3  durch  die  Ab- 
scissen  x^x^x^  bestimmten  Punkten  P^ P^ P3  schneidet  (Fig,  5.)  Bei 
der  Bildung  der  Normalform  hat  man  nun  folgendes  zu  beachten: 

Im  1.  Integral  der  Function  führen  wir  ein 


ar,  —  a«  =  z 


2 


dasselbe  geht  dann  über  in 


1     "1  =  «1 1 


und  ihre  gtometriteke^  analytische  und  dynamische  Bedeutung.  361 


f 


Wir  setzen  femer 


dann  folgt 


Z«  «  ^ZT^'        «1*  =  («t  —  öl)  sin  Vi', 


and  das  Integral  wird 


r_  dtp, 

J  Vi— z«8i] 


Vi  — Z«8ing>i* 
£ben80  findet  man  für  a;^  ~~  <4  =  —  ^' 

Z*  «=  -^ — ^-^.         «1*  =  (o,  — -  ai)  sin  ©•' 
O)  —  O]  ^  ^         ' 

woraus 

82)  ??ZIS  —  eo8  98* 

nnd  es  i8t  das  zweite  Integral 


f 


Vi  — Z»  sin  98« 
Es  sei  endlich 


dann  ist  ebenfalls 


's  — «8  —  V 


Z«  «  ^^ -^  ,  «5*  —  («8  —  «l)  C0<^  9>8  , 

Oj  — o, 

also 

83)  -^^-•  =  cot  9s«, 


so  dass  die  allgemeine  Normalform  wird: 

Z'sin  9s 


J  Vi -Z» sin 9,«   V  Vi— -ZT« sin 98«   V  Vi-  "'  '        ' 


Es  lässt  sich  leicht  die  geometrische  Bedeatnng  der  Amplituden  9 
nadiwciseu.  Die  JC- Achse  möge  die  Curve  in  den  Punkten  A^^A^A.^ 
schneiden,  ücbcr  -4,  A^  beschreiben  wir  einen  Halbkreis,  vorlängorn 
die  Ordinaten  der  Punkte  P^  P^  bis  zum  Durchschnitt  mit  demselben 
and  ziehen  von  A^  aus  nach  diesen  Schnittpunkten  Sehnen,  dieselben 
schüessen,  wie  aus  81)  und  82)  hervorgeht,  mit  der  JT- Achse  die 
Winkel  <P|  and  q>^  ein. 

Ferner  beschreiben  wir  ttber  A^X^  einen  Halbkreis,  errichten  in 
Ä^  dne  Ordinate  bis  zum  Kreise  und  verbinden  den  Durchschnitt  mit 


362  Oekinghaut:  EÜiptUche  InUgralfunctionen 

X^  durch  eine  Sehne,  welche  nach  83)  den  Winkel  ^g  ^^  ^'^^  Achse 
oinschliesst.  In  der  Fignr  ist  nur  eine  der  zwei  congrnenten  Cnrven 
angegeben.  In  der  Integralfunction  ist  also  die  Amplitade  geometrisch 
definirt. 

Will  man  dieselbe  anf  die  Lemniskate  anwenden,  so  ist  ^' »  ^ 
zu  setzen,  woraus 

öö)  a,  —  — 2 — 

folgt. 

Die  Wurzeln  0,02 ag  müssen  also,  im  Falle  dass  die  Integral- 
function durch  Lemniskatenbogen  ausgedrückt  werden  soll,  eine  stetige 
arithmetische  Proportion  bilden. 

Die  allgemeine  Bedingungsgleichung  ist  hierfür  das  Verschwinden 
der  kubischen  Variante 

86)  2ui« — 9 AB + 27C  «  0. 

Erfüllen  die  Goiistanten  der  Curve  3.  Grades  79)  diese  Bedingung, 
so  ist  q>  der  halbe  Focalwinkel  der  Lemniskate,  in  welcher  drei  durch 
die  oben  angegebenen  Amplituden  bestimmten  Lemnisk&tenbogeu  in 
der  Relation 

87)  «*!+«»"='«« 
zu  einander  stehen. 

In  Bezug  auf  das  untere  Vorzeichen  geht  für  die  Curve 

—  y«  «.  x^—Ax^+Bz—C 

die  Integralfunction  über  in 


r  ^»  I  r 


«i)(*»— «i)(«^— "»> 


+y  Vir7r— 


-  .0. 


Im  1.  Integral  ist  einzuführen 
«I  —  «1  =-  —  «1*^      ^"  •*  nTJ:^  *       «1  =-  aj  —  (flj  — o,) cot  01*, 


woraus 


^^ '  -•  cottfj*. 


03  — Ol 

Im  2.  Integral  ist  einzuführen 


«8  — Ol 

woraus 


und  ihre  gtometrucke^  analytische  und  dynamische  Bedeutung.  363 

ar,  —  o,  - 

03  — o,  » 

Im  3.  ist 

»Ä  —  «1 


woran« 


*i — «S  9 

03—0, 
80  dasfl  die  Integralfanction  übergeht  in  die  Normalform 

J  yi-Z'»8incJ,»"^</   l/r^Z'«8ina^     ./    Vi  --Z'^  sin  a^« 

deren  Amplituden  auf  die  nämliche  Art  wie  im  ersten  Fall  darch 
Winkel  zwischen  Kreissehnen  nnd  der  X-Achse  geometrisch  definirt  sind. 

Die  Anwendung  auf  die  Lemniskate  führt  wieder  auf  die  stetige 
Proportion 

und  damit  auf  Lemniskatenbogen,  die  in  der  Relation 

tij  -f  tt,  =  U3 
zu  einander  stehen. 

In  Bezug  auf  die  Curvc  bemerken  wir,  dass  für  das  obere  Zeichen 
die  Cnrre  oberhalb  der  Achse  reell,  unterhalb  derselben  imaginair 
wird.  Für  das  untere  Zeichen  gilt  das  Gesagte  umgekehrt,  so  dass 
die  ganze  Curve  beide  Fälle  umfasst. 


§9. 

Bynamisehe  Bedeutung  der  Ourven  3.  Orades. 

Da  die  Untersuchung  der  Bewegung  eines  schweren  Punktes  auf 
der  Kugeloborfläche  auf  das  vorhin  entwickelte  Integral  führt,  so 
woDen  wir  eine  gemeinschaftliche  Betrachtung  beider  Integrale  jetzt 
ooch  in  Kürze  yomehmen. 

Nach  den  bekannten  Methoden  der  analytischen  Mechanik  betreffs 
des  Problems  des  Kugelpendels  werden  folgende  Differentialgleichun- 
gen die  Lösung  desselben  geben : 


88) 


d?    '^ 

r 

dt*  ^ 

r 

1 


364  Oekinghaut:  ElUptische  Integralfunctionen 

Kdy         dx 


woraus 


dt      ''dt 
Bei  EinführuDg  bekannter  Polarcoordinatcn  q>  and  4»  wird 


»« 


89) 

»  —  r  cos  ^, 
und  es  ist  also: 

oder  wegen 

«»♦  *-7T• 


wonn 


C  C 


Ans  der  letzten  Differentialgleichung  resultirt  also  das  Zeitintegnl 

/^  sint/;rft^ 


C«+  M+  y  coB^)  sin  t<;^ 


worin  die  Constanten  sich  auf  den  Anfangszustand  beziehen. 
Der  Ausdruck  unter  dem  Wurzelzeichen  oder 


93) 


—  y^co8?(;«  +  -^cost|;«— cos^— ^(wd— C«)j 


kann  durch  Einführung  der  Wurzeln  dieser  Gleichung  auf  eine  Form 
gebracht  werden,  welche  eine  Vergloichung  mit  dem  Integral  84)  za- 
lässt.    Diese  Form  ist 

M) 

I /",r  P 'IS'-^^ 

^r  29I  1  /~  ~  77  ,  l+cos«co8|r\ 

J   J/  —  (cos ?(;  -  cos «)(cos  t/;  —  cos /J)|^cos  ^  +  cosa+eosß) 

Vermittelst  der  bekannten  Substitution  (S.  Schell,  Theorie  etc.  S.  358) 


und  ihre  geometruehe,  analytUche  und  dynamische  Bedeutung.  365 

COS  4^  =  COS  /}  —  (cos  ß —  COS  a)  sin  0*,    woraus 

95)  sin  <r*  «  — ^ -. 

'  cos /? — eoB« 

g^t  das  Integral  f)lr  costf»  =  a;  über  in 


96) 


I   1/      .  V,  «./      I    l  +  COBttCOS/J\ 


7p====^,  SO  dass  man  hat 


da 

Vi  — Z«sinö«^ 


97)^        -^^^  +r^      -^^^         _j^f-     ^-^  ^0 


^«8inö3« 
worin 

98)  ^  C08^-C08«» 


l  +  2cosacos^+cosj3* 


Diese  Gleichungen  sind  mit  dem  der  Curve  3.  Grades  identisch,  wenn 
man  letzterer  die  Form  gibt 

nA%     «  ,  N.  «v/    I  l+cosacos/?\ 

99)   y«^-(^-coB«)(x-coB|?)(»+  c^,+cob/) 

ffieraach  sind  die  Abscissen  der  3  Schnittpunkte  A^  A^  A^  von  Achse 
und  CuTFe  der  Beihe  nach  gleich 

1  +  COSaCOS^  /»       n.       fi 

' I  ^^„o  -    cosa,    cosp.    Flg.  6. 

cosa+cosp  '         ^        ** 

Un  den  Anfangspunkt  beschreiben  wir  mit  dem  Radius  r  «  1 
eiDcn  Kreis,  derselbe  wird  den  1.  Punkt  A^  aus-,  dagegen  die  beiden 
sodem  eioschliesflen.  Femer  ziehen  wir  eine  die  Curve  in  3  Punkten 
schneidende,  der  Jf-Achse  parallele  Gerade,  die  Ordinaten  des  2.  und 
3.  Punktes  yeriängem  wir  bis  zum  Kreise,  und  die  Radien  dieser 
Schnittpunkte  mögen  mit  der  JT-Achse  die  Winkel  tf/^,  0^3  einschliessen. 
Eodiich  construiren  wir  noch  Ober  A^A^  und  A^X^  Halbkreise,  (X^ 
bezeichnet  den  Abscissenpunkt  der  I.Ordinate);  im  ersten  verbinden 
wir  die  Schnittpunkte  der  Ordinaten  y^ ,  y^  und  der  Curve  A^  durch 
Sehnen,  welche  mit  der  Achse  die  Winkel  c^  und  c^  bilden.  Der 
Schnittpunkt  der  Ordinate  in  A^  und  des  2.  Kreises,  verbunden  mit 
li  dnrch  eine  Sehne,  bestimmt  den  3.  Winkel  <r,  so  dass  auch  hier 
die  Amplituden  der  Integrale  geometrisch  bekannt  sind.  Die  Sache 
verhalt  sich  nun  so: 

Wahrend  das  Kugelpendel  seine  Bewegung  vom  tiefsten  Punkte 
(^)  zum  höchsten  («>  vollftlhrt,  geht  Ib  der  auf  der  £bene  darge- 


366  Oekinghaua:  Eüiptüche  Inteßral/unetionen 

Stellten  Bewegung  der  ensprechende  Punkt  von  A^  nach  A^^  gelangt 
also  aus  der  Lage  t^sCcTs),  wozu  die  Zeit  t,,  in  die  Lage  t^s(tfs)i  ^^^n 
die  Zeit  ^  erforderlich  ist,  und  es  ist,  wenn  man  die  der  Amplitade 
a^  entsprechende  Zeit  mit  t^  bezeichnet,  für  alle  der  X-Achse  paral- 
lele Geraden  und  die  dadurch  bedingten  Amplituden  die  Relation 

100)  «1  -  «,  +  «3 

allgemein  gültig. 

/*€lx  dx 

hat  man  —  «»  v«  =  cy,  so  dass  die  auf  die 

JT-Achse  projicirte  Bewegungsgeschwindigkeit  des  Curvenpunktes  der 
zugehörigen  Ordinate  proportional  ist. 

Unserer  Figur  gemäss  geht  wegen  der  Lage  der  Ordinatenachsc 
die  Bewegung  in  der  uutern  Halbkugel  vor  sich,  denn  a  liegt  zwischen 

^    und  0.     Rückt   aber   diese   Achse  über  A^    hinaus,   so  liegt  a 

zwischen  n  und  ^'i  und  der  höchste  Punkt  befindet  sich  auf  der  obern 

Halbkugel.    Zieht  man  im  Punkte  {ß)  eine  Tangente  bis  zur  Achse. 

so  bildet  das  von  der  JC- Achse  abgeschnittene  Stück  OC  «  — ^  ein 

Kriterium  für  diese  Bewegungsverhältnisse.  Ist  nämlich  die  Ge- 
schwindigkeitshöhe im  tiefsten  Punkt  der  Bahn  kleiner  oder  grösser 
als  diese  Strecke,  so  liegt  der  höchste  Curvcnpuukt  in  der  untern 
beziehungsweise  obern  Halbkugel. 

Es  erübrigt  noch ,  die  geometrische  Bedeutung  des  Modulus  der 
obigen  elliptischen  Integrale  nachzuweisen. 

Zu  dem  Ende  beschreiben  wir  noch  über  A^A^  einen  Halbkreis, 
errrichten  in  A^  die  Ordinate  und  verbinden  den  Schnittpunkt  der- 
selben mit  dem. Mittelpunkt  des  Kreises.    Der  Radius  ist 

1  +  '^  cos  «  cosP+cos/3^ 
^  "  cosa+cos/S 

die  Abscissenachc  Z  des  Punktes  A^  in  Bezug  auf  den  Mittelpunkt 

l4-2C0S«C08^  +  2C08g^  — C08/g^ 
**  C08a-f-C0S^ 

also  ist 

Z  f       1  +  2  cos  «cosjg+2cos  tt'— cosp' 

p  -  cos«   =         1  +  2  cos  «cos  13+ cos /J* 
Aus  der  Figur  ergibt  sich  femer,  wenn  wir 


und  ihre  geometrischej  analytische  und  dynamisrJie  Bedeutung.  367 


z« 


-^8 — -^8 

A^  —  Ai 


transformireo,  dass 

101)  Z==8iiiK 


C08/J* — cosa* 


womit  der  Ansdruck 

l-j-2C08OC08i3+C08^^ 

geometrisch  definirt  ist 

§  10. 

Die  so  eben  gegebenen  Entwickelangen  finden  ebenfalls  An- 
wendung anf  die  Bewegung  eines  schweren  Punktes  im  verticalen 
Kreise,  welcher  Fall  aus  dem  vorhergehenden  durch  die  Annahme, 
dass  die  Bewegung  im  tiefsten  Punkte  der  Kugel  beginne,  oder  dass 
fi  =  0  ist,  leicht  abgeleitet  werden  kann.  Der  Punkt  geht  bis  o  und 
kehrt  wieder  zurück ,  der  Modulus  des  Integrals  für  diese  schwin- 
gende Bewegung  ist  Z»  sinket,  der  Winkel  desselben  oder  a  hat 
den  Spielraum  von  0  bis  180^.  Für  Z  »  1  hat  man  die  asymptoti- 
sche Bewegung  als  Grenzfali  für  die  Curve  3.  Grades.  Die  Verhält- 
niflse  bleiben  in  diesem  speciellen  Falle  dieselben,  wie  vorhin  für  den 
allgemeinen.  Jede  der  ^-Achse  parallele,  die  Curve  in  3  reellen 
Pnukteu  schneidende  Gerade  bestimmt  3  Amplituden  und  entspre- 
chende Zeiten,  welche  durch  die  Relation  <i  -»  ^-H^s  mit  einander 
verknüpft  sind.    Die  Curve  wird  durch  die  Gleichung  3.  Grades 

y*  ==  —  («  —  cos  «)(«*  — 1), 

oder 

102)  r^ — COSox' — fiC-f-COSa-j-y*  =•  0 

bestimmt. 

Ist  a  «  90^,  so  ist  Z*  «  i.  Die  Bewegung  des  Punktes  geschieht 
in  dem  Halbkreise  und  die  Integralfunction 

Vi  — isinV"»^   Vi— isinö,*"*"*/   Vi— ^sinV 

in  welcher  die  Amplituden  a  als  Focaiwinkel  einer  Lemniskate  an- 
gesehen werden  können,  geht  über  in  eine  Relation  u^*^  ti^-\-u^ 
Ton  Lemniskatenbogen.    Die  Curve  hat  dann  die  Gleichung 

wobei  wir  daran  erinnern,  dass  dieselbe  wie  alle  übrigen  aus  2  zur 
X-Achse  symmetrischen  Teilen  besteht,  von  denen  aber  nur  eine 
gezeichnet  ist 


368  Oekinghaut:  EUiptUche  Jntegral/unctionen 

Zum  Zwecke  eiDer  Yerification  wählen  wir  den  Fall  der  asympto- 
tischen Bewegung,  welche  der  Curve  (Fig.  7.) 

103)  «»+««— a:  —  l+y«-=0 

entspricht.    Für  y  =  0  sind  deren  Wurzeln  x^^  +  1  und  x^^^  —  1. 

Die  Gerade  sei  eine  Tangente,  so  dass  die  Gleichung  für  den 

1/32 
Maximalwert  von  tf  ^  f  ^^    zwei  gleiche  Wurzeln  x  *»  \  besitzt, 

die  3.  Wurzel  =  —  f .  Die  erste  Kreisordinate,  welche  mit  der  2. 
zusammenfällt,  hat  den  Wert  |'/2,  die  Ordinate  y'  im  Punkte  A^ 
ist  fV3,  woraus  die  Amplituden  tgffg  »  tgtfs  =  ^y2,  tgtfj  »  ys, 
oder  tg^ö,  «  y3  — •/2,  tg  Jaj  =•  Jy3  folgen.    Da  nun  das  Integral 

ist,  so  geht  die  Int^alfunction  über  in 

104)  tg  (45«+  i(y,)«  «  tg (450+ itf,) 

welche  Gleichung  bei  Benutzung  der  berechneten  Amplituden  leicht 
bewahrheitet  werden  kann. 


§  11. 
Die  IntegralAinetiOHeH  der  Ellipse. 

Von  besonderer  Bedeutung  werden  die  allgemeinen  Entwicke- 
lungen  des  §  1.  für  die  Kegelschnitte,  indem  die  aus  denselben  ge- 
wonnenen Theoreme  einer  Erweiterung  fähig  sind. 

Die  Ellipse 

105)  S  +  r»  =  l 

werde  von  einem  Kreise,  dessen  Centrum  die  Coordinateu  R(a)  habe^ 
in  4  Punkten,  deren  Coordinaten  x  »  asing),  y  ^  bcosqt  etc.  ge- 
schnitten. 

Ist  der  Radius  des  Kreises  —  «,  so  bestehen  die  Formeln 

,2  =  Ä«+r«  — 2Ärcos(?(;  — a), 
105)  iZcos^  —  asing),    i2sin«l;=6cosqp, 

r*  =»  a*sinqp*+^*COSqp*. 

Die  Elimination  von  q>  und  r  aus  der  1.  dieser  Gleichungen  vermit- 
telst der  beiden  folgenden  liefert  das  Schlussrcsultat 


und  ihre  geometritehe,  anahftutche  und  dynamische  Bedeutung.  369 

105)  sinv* ^^-C0Ba8inv«+^(  4R«co8a«+4-^Bina«-f2^2^J8in<p« 

—  4— ^Xcosftsmqp-I -| =  0, 

worin 

Zr  —  Ä«  +  i«  — «». 

Führt  man  x  «»  asintj^  ein,  so  entsteht 

a*  a*/4ÄV  Ä*i2*  \ 

106)  it*~4Ä-,co8«.«3+  ^ (— ~ooBa«+4^^ 8in«»+2Xj 


X« 


-4Ä  ^  cosa.  a?-f  ^  (i«  -  4*»Ä»  sin  ««)  «  0. 
Dieser  Gleichung  steht  zur  Seite 

10i )    ^*-f4Ä^8inff .y*-}-  ^  ( — j    cosft*+  4 — j-  sm  «*  —  2L  \y* 
-4Ä^Z'sina.y+^  (Z'«— 4Ä*a«C08a«)  =  0. 

Auf  diese  Gleichung  findet  die  Formel  13)  Anwendung,  die  Aus- 
fahrung  gibt  in  geordneter  Darstellung  das  Differential 

^^  dx 

108) 


AabR 


y  (x« — a«)  (a;*  —  ^  (Z  -  2Ä«)x«  +  ^  (Z«  -  4*«Ä«) 


oder  transformirt  und  integrirt 

109) 

n tix 


a« 


»-(Ä  +  l)*)(x«+  -^(ftMÄ-1)») 


c 


Dies  hyperelliptische  Integral  kann  durch  Multiplication  mit  x 
auf  ein  elliptisches  zurückgeführt  werden,  welche  Lösung  wir  nach- 
her in  voller  Allgemeinheit  geben.  Hier  machen  wir  die  Annahme, 
dass  s  ^  R  +  b  sei,  dann  ist  auch  Z  »  ^  2M,  Bei  Einführung  von 
^»asiag)  geht  das  letzte  Integral  über  in 


/f^ 


c 


iK(S±T)  "^  »•* 


Nach  einer  Untersuchung  über  die  Vorzeichen  und   die  Constante 
resultirt 

Ank.  ««r  lUik.  a.  Phys.    8.  B«ihe,  Teil  I.  S4 


370  Otkinghaun:  Elliptische  Inte^alfunctionen 

110)    r  ^_^^_ =  C—^i= 


yi--Z«sinqPa«^t/   Vi  — Z»  sin  9«« 

and  beziehen*8ich  die  Indices  aof  die  entsprechenden  Quadranten,  wo- 
bei wir  JR(a)  in  1.  annehmen. 

Aas  der  Relation 

olgt,  wenn  die  tp  absolut  genommen  werden, 

amuj — amtis  — amii3-|-&™*^  ""ö« 
Setzt  man   im  Anschluss   an  die  Ellipse  den  Modnlns   ^'  = 

AniTtjL.v\  '^^^  ^^  Amplituden  9)29   ^'s«   9^4  ^^  gegeben  voraus,   so 
lassen  hieraus   die  auf   die  Ellipse   sich    beziehenden   YerhSltnisse 

71  r-,  o  sich  bestimmen.    Es  besteht  nämlich  die  folgende  Relation 

a  2ä 

rcoso.sinqp4~8^i^"-^s7 — T  ^'sin^*  ■=•  SZ'siny* — 1. 


Es  sei 


a  2RZ* 

jCOSa  =»  ap,    smo  =■  y,      — r —  «  «, 


dann  hat  man  die  folgenden  3  Gleichungen 

ajsinqPx+ycosfpi  — issinqP]'  =-  2Z*8inqP]^ — 1, 
x9m(p^'\-yCOHq>2 — »sinqpg*  —  2Z*smq>2^  —  1, 
(CSinqPs-I^^COSqPs — «sinqpj*—  2Z*sinqP3*  — 1. 

Die  Auflösung  ergibt 

Z*/R       \  sin  1(91— ya)8in|(yg—y8)sin|(ya—yi) 


+1)— . 

'     /        si 


2\b~J        sing)i*sin(qp,— g)8)+sin<Psj*8in(qP8— g)i)4-8inv,*(^i— 9,) 
u.  s.  w. 

Bemerkenswerter  sind  die  elliptischen  Integrale  der  2.  Art. 

Gemäss  den  in  §  1.  entwickelten  Formeln  findet  man  leicht 

111)        zj  Vi  — -^*8in<p>  dtp-^  —  y^  rf(co8«). 
Nach  Feststellung  der  Vorzeichen  ist  die  Integralfnnction 


und  ihre  geomeiriaehey  analyiUchB  und  dgnamitche  Bedeutung,  371 

112)    -  y  y  1— Z«8in  qPi*dg>i  +  /^Vl— Z'sinqp,»  dy. 


+  y  Vi— Z«8inv^«rf^3+y  Vl--Z«8m92*<^4  — 


-cosa. 


<^ 

Da  nun  bekanntlich  EUipsenbogen  durch  Integrale  dieser  Art  ansge- 
drQckt  werden,  so  liegt  der  Gedanke  nahe,  die  obigen  Integrale 
dorch  die  daza  erforderliche  Bedingung 

z^ r- 

mit  solchen  Bogen  unserer  Ellipse  zu  identificiren.  Aus  der  Be- 
dingung 

folgen  nun  die  Relationen 

114)  R  <»  g ,       «   a»   ^ , 

wodurch  die  Integrale  in  EUipsenbogen  Obergehen,  wenn  die  Function 
noch  mit  a  muitiplicirt  wird. 

Demnach  kann  man  folgenden  Satz  aussprechen: 
Jeder  Kreis  vom  Halbmesser  «  « JS-|-&,  dessen  Centrum  R(a) 
auf  einem  mit  dem  Radius  R  «  - — ^ um   den   Mittelpunkt 

dner  Ellipse  -,+  |I  ■=  1  beschriebenen  Kreise  liegt,   schneidet  auf 

derselbeii  von  den  entsprechenden  Scheitelpunkten  der  kleinen  Achse 
an  gerechnete  Bogen  S  ab,  f&r  welche  die  Relation 

hR 

115)  Si  =•  Äi+Sj+iSi— 4  — coso 

besteht. 

jS^^^Si  bilden  zusammen  einen  EUipsenbogen. 

Anf  die  Int^ralfunction 

116)  F(q)i)  -  Fijp^)  -  F(q)3)  +  F{^d 

littt  sich  das  AddUtionstheorem  der  elliptischen  Integrale  1.  Art  mit 
sdnen  bekannten  Gleichungssystemen  anwenden.    Erwägen  wir,  dass 


372  Of.ktnghaust  EiUptUrhe  IntetfriUfunctionen 

durch  Transposition  aus  dofn  obigen  Ausdruck  noch  die  beiden  fol- 
genden 

117) 

hervorgehen,  und  führen  ein 

118) 

i^(9>s)+^(g'4)  -  F{si\ 

welche  mit  den  Formeln 

cos  Q  »  cos  qpj  cos  cpg-^  sin  tp^  sin  tp^ä^a)^ 
119) 

cos  0  »  cos  qPs  cos  qP4  —  sin  9)3  sin  g^i^C  tf) 

verknüpft  sind,  so  hat  man  folgende  symmetrische  Function: 

COSqpj*  — coscpg* 


120)    sin0 


—  cos(P|Sin<;psi^(qPi} — cosfjCssinq^jz/Cqp}) 


cos  xp^  —  cos  <P4* 


cos  «Ps  sin  fp\4(^>^  —  cos  94sin  tp^S((ip^ 


und  in  Verbindung  mit  andern  bekannten  Relationen  noch  eine  zahl- 
reiche Menge  neuer.  Wir  geben  später  unter  Benutzung  der  Jaeobi- 
schen  Construction  bezüglich  der  Addition  der  elliptischen  Int^^rale 
eine  weitere  geometrische  Durchführung  der  bisher  entwic^kelten 
Functionen  in  allgemeinster  Betrachtung.  Man  bemerke  noch  die  der 
Formel  108)  analoge  Integralfunction 

121)     -  ^^ 


4a&jß 


Auf  diese  hyperelliptischen  Integrale  kommen  wir  später 

§  12. 
Wenden  wir  die  vorhin  gegebenen  Functionen  auf  die  Hyperbel 

122)  «*-6*-=l 

an  und  setzen  die  Bedingung  »  «  Ä  ±  a  voraus,  so  erhalten  wir  die 
Function 

123)  2:    \   -—- y—    ^^    ..zr:^'^-^  =  ^. 


und  ihre  geometrische^  ancdytische  uHd  dynamische  Bedeutumj.  373 

Die  Redacüon  auf  die  kanonische  Form  basirt  auf 

124) 

2b   , — 
y  =  — yi2*  cosj^', 

und  68  ist 

125)  -Siif-,  / 7^    /   -7==^=--  -  C, 


46« 


1 r         d(p 


woraus  zunächst 
126) 


Femer  ist  nach  bekannten  Methoden 

Setzt  man  c*  «  4i2»,  so  wird  2*  =»  i,  woraus 
,28)      ^„V^*  +  g,        .  =  ]^S±?. 

Demnach  besteht  für  y  =»  &  cos  9  die  Integralfanction 

welche,  wenn  y  als  Radiusvector   einer  Lemniskate   r«»6*Gos29> 
anfge&sst  wird.  Bogen  dieser  Ciyrve  darstellt. 

um  anf  Hyperbogen  zn  kommen,   multiplicire  man  in  125)  den 
Nenner  mit  y  und  beachte  124),  dann  wird  man 

'  J    C08i^'Vl-^*sini^''2=  aV  ^'^  c»   sin« 

als  eine  Summe  von  Hyperbelbogen  haben. 

Die  geometrische  Bedeutung  von  &'  geben  wir  §  16. 

Sollen  diese  Bogen  sich  auf  die  vorliegende  Hyperbel  beziehen, 
so  ist  einzuführen 

wonus  wegen  «  =  R-^a 


374  Otkinghausi  Eüiptuche  ItUegraf/unctionen 

R 2 1 

132) 

y  —  ac08|^'  —  acos  g-' 

Die  geometrische  Bedeotnng  von  9  werden  wir  gleich  angeben.  Dem- 
nach ist 

e 


133) 


r f_2 4e»     1 

I         e»l/^       o«  .    «*~  ab  Ana' 

J   cos-gj^l-^sin^ 


COSg--. 

Man  verbinde  einen  Hyperbelpnnkt  durch  Brennstrahlen  mit  den 
Brennpunkten,  und  bezeichne  den  Winkel,  welchen  ein  Brcnnstrahl 
mit  der  Verlängerung  des  andern  einschliesst,  mit  9,  dann  ist 

134) 

Der  Aosdmck  fiOr  den  Bogen 


^^>       •  -  A 


geht  in  Folge  des  obigen  Wertes  f&r  y  Aber  in 


136) 


*  /  cosje»)/l  — jjsini«» 


wonach  dies  bekannte  Integral  bezüglich  seiner  Amplitade  eine  klarere 
Bedeatang  gewinnt 

Bezeichnet  man  in  ähnlicher  Art  mit  B  den  Winkel  zwischen 
zwei  Brennstrahlen  einer  Ellipse ,  so  ist  der  Ton  der  grossen  Achse 
an  gerechnete  Bogen  dnrch  das  Ibitegral 


'  J  C08i8»)/l  — ^sii 


137) 

^  sinie» 

ansgedrflckt. 


und  ihr€  geometrische,  cmalytische  und  anomische  Bedeutung.  375 

Wir  haben  diese  beiden  Integrale  aas  dem  Gmnde  eingeführt, 
weil  wir  dieselben  nachher  bei  einer  dynamischen  Betrachtang  nötig 
haben. 

Bezfiglich  der  Ellipse  erwähnen  wir  noch,  das  folgende: 

Wird  ein  EUipsenpankt  P,  dessen  Coordinaten  x-"asin<p, 
y  =  &cos9  sind,  mit  einem  Brennpankt  f  dorch  den  Vector  r  ver- 
banden, and  schliesst  derselbe  mit  der  JT-Achse  den  Winkel  ^  ein, 
90  ist  folgende  Relation  leicht  za  beweisen: 

+  (l+Z)J^Vl  -p«8ini»«dit/;  -Zcos  y  t/^  jl^^j^y* 


§  13. 

Oeometrisehe  Darstellung  allgemeiner 
Integralfkinetlonen. 

Von  einiger  Bedentnng  für  die  Geometrie  ond  die  Theorie  der 
biqoadratischen  Gleichnngen  werden  die  folgenden  anter  allgemeinston 
Gesichtspnnkten  betrachteten  Integralfnnctionen  werden,  indem  die- 
selben geometrisch  und  analytisch  aaf  eine  grosse  Monge  bemerkens- 
werter, durch  eUiptische  Integrale  bestimmter  Probleme  sich  anwenden 
lassen. 

Wir  fianden  bei  Betrachtung  von  Kreis  und  Kegelschnitt  die 
folgenden  Functionen 

dx 


139) 


»        ■  .   .  -  .    ■  ■       -  "  B"    C. 


Biese,  sowie  die  uns  aus  ihnen  durch  Multiplication  von  x^^,  x'^^.^x* 
onter  dem  Integralzeichen  hervorgehenden  andern  Functionen,  sofern 
sie  in  den  Rahmen  dieser  Abhandlung  gehören,  werden  wir  im  fol- 
genden discutiren. 

Die  Int^[rale  werden   wir  zunächst   vermittelst   der  Ellipsen- 
gldchung 


376  Oekinghaus:  Elliptische  IntegraifuncUonen 


a 

woraus 


y«=.i«— -ja^    oder    «*  — a*  — ^y*, 


transformiren.    Nach  Einfübning  der  gegebenen  Snbstitationen  geht 
das  erste  Integral  über  in 

diß 
.  ^  i  -=0 


4*^ 

140)  oder 

dx 


46« 


Ry  (/(a5«+J(6«-(Ä-*)«))(  J  ((Ä+,)««.6«)-x»^ 


=  0. 


Um  dies  Integral  auf  die  Normalform  elliptischer  Integrale  zn 
bringen,  flihren  wir  eine  nene  Transformation  ein. 

Wir  bezeichnen,  wie  bekannt,  die  Entfernung  der  Mittelpunkte 
von  Ellipse  und  Kreis  mit  i2,  deren  Neignng  zur  Z-Achse  mit  er,  and 
mit  ^1^9  ^8  ^4  ^^®  ^  Winkel  zwischen  B  und  den  Kreisradien  m  nach 
den  Schnittpunkten  beider  Gurven.    Man  hat  also  (Fig.  8.) 

also  auch 

b* 
y*  «  -j  (2ÄfC08d+a«  — Ä«— »«) 

141) 

X*  -  ^j  (— 2Äcosd— 6«+Ä«+*«). 

Führt  man  nun  diese  Ausdrücke  in  das  obige  Integral  ein,  so  ver- 
einfacht sich  dasselbe',  ganz  bedeutend,  und  es  resultirt  schliesslich 
folgende  interessante  Integralfanction  allgemeinster  Art: 

,  r___^ih .  /        ^4^4 ,, 

deren  Amplituden  an  folgende  leicht  abzuleitende  Gleichung 


und  ihre  gtomttrische,  analyiUche  und  dynamischt  Bedeutung.  377 

((Ä+*)Vsina«+*«C08a«)— a*Ä«)tgJ{>*— 2cMÄ+«)8iu2«tgJ^ 

-2c«*(Ä— «)8m2otgi^+(Ä— *)*(a%iii««+*«C08««)--««Ä«  =  0 
geknflpft  8iiicL 

Nach  frftheren  Erörterangon  folgt  hieraas 

worans 

144)  i^i  +  i^»+i^a+i^4  -  1800-2«. 

Fohren  wir  den  Modnios  Z  vermittelst 

4/29 

^^^  ^    =-a«-(Ä  — «)« 

ein  und  bestimmen  die  Vorzeichen  der  Integrale,  so  ist  die  Relation 

146) 

am  Mj  -f  All  fig +ft™  **8  ""  am  1*4  «  w  —  2a 

fär  den  Fall  gültig,   dass  die  Gleichung  143)  3  positive  ^^^%^z  nrd 
1  negative  Wurzel  ^4  besitzt.    (Siehe  Fig.  8.) 

Dagegen  ist 

117) 

arntti-^amti) — amus — amu4=;E — 2a 

wenn  2  positive  ^i^s  und  2  negative  ^3^4  Wurzeln  existiren. 

Endlich  ist 

F{\^,)  =  ^(i^,)+^(i^3)-^(i^4) 

14«) 

amtti+amuj-|-amti8+amf*4  =  n  —  2a 
wenn  alle  Wurzeln  ^  positiv  sind. 

Geometrisch  sind  diese  Modificationen  durch  verschiedene  Lagen 
des  Kreises  und  der  dadurch  entstehenden  Verschiebung  der  Schnitt- 
punkte bezflglich  der  Centrale  leicht  zu  unterscheiden.  Wie  man  sieht, 
sind  2war  die  Vorzeichen  der  Integrale  von  diesen  Lagen  der  Curven 
zn  einander  abhängig,  aber  sie  folgen  nicht  den  Wurzelvorzeichen 
der  AmplitudengleichuDg,  weshalb  sie  durch  eine  besondere  geomO" 
trische  Untersucbang  erst  festgestellt  werden  mttssteq. 


378  Oektnghaus:  Eüiptisehe  IntegralfuncUonen 

Die  Integrale  2.  Art  werden  anf  ähnliche  Art  gefanden.  ludern 
wir  an  die  Formel  17)  d)  erinnern ,  multipliciren  wir  140)  mit  t^ 
und  transformiren  den  Ausdmck. 


Das  Endresultat  ist 


0)  y  Vi  -  Z«8i«  J^i»rfi{^i+ /*yi  — Z«  siniV^J^« 
^—Zl/  —cos« 

C  WS 


und  die  Vorzeichen  bestimmen  sich  nach  den  in  146)  — 148)  ange- 
gebenen. 

Wollen  wir  endlich  noch  Integrale  3.  Art  in  den  Kreis  der  Be- 
trachtung ziehen,  so  erinnern  wir  an  17) f)-  Demnach  hat  man  im 
Nenner  mit  y  zu  multipliciren  und  man  wird  nach  einigen  leichten 
Rechnungen  folgende  Integralfunction  finden: 

sf 1*^ ____ 

^^t/TB"/»!      /d       \»\    /* rfCOS« 

151)  .  d.  i 


f 


(1— Asini^«)  Vi  — Z^ini^^ 
^VRs         (&«— (/?— g)*)  2^iZcosft 

Diese  von  jeder  speciellen  Annahme  unabhängigen  Intogralfnnc- 
tioncn  können  auf  verschiedene  Weise  geometrisch  interpretirt  oder 
analytisch  transformirt  werden,  wodurch  die  Fälle  mathematischer 
oder  dynamischer  Probleme,  in  welchen  elliptische  Integrale  vor- 
kommen, mit  den  obigen  Entwickelungen  in  eine  nähere  Beziehung 
treten.  Die  wichtigeren  Verhältnisse  dieser  Art  werden  wir  durch 
mehrere  Beispiele  illustriren. 

Der  Integralfunction  fOr  die  Ellipse 


'fw^ 


schliesst  sich,  wie  ohne  Weiteres  erhellt,  die  folgende  an: 


mtd  ikre  yeometrüehe,  anafytische  und  dynamische  Bedeutung.  379 

Die  Formeln  für  die  Hyperbel  sind  denen  der  Ellipse  analog: 
153)         s   r  '^i^^ =  C, 


;    r  '*i» 


■fr. 


4Rt 


+  (lZ-^~a«^^^' 


C. 


Falls  man  für  ^  seinen  Supplementwinkel  ^'  einführt,  trans- 
formiren  sich  die  Functionen  in  diejenigen  Formen,  welche  wir  später 
nötig  haben. 

Indem  wir  die  Winkel,  welche  die  Kreisradien  nach  den  4  Schuitt- 
pankten  des  Kreises  und  der  Ellipse  mit  der  verlängerten  Centrale 
OR  Mlden,  mit  ^t^^    etc.  bezeichnen,  besteht  die  Oleichung: 

154)  ((Ä— »)«(a«8ina«-fÄ«cosa«)— a«6>)tgi^'*— 2A(JR-«)8in2«tgi^'» 
+2((a«8ina«+*«cosa»)(JR»— »«;+2««(a«cosa«+Ä«sino«)— a>6»)tgi^'» 
-2c«#(JR+*)sin2etgid'+((Ä+*)»(a»sina«+*«cosa«)— a«*»)  =  0. 

Die  Integralfonctionen  für  die  Ellipse  sind  in  diesem  Falle 


155) 


Die  Integralfnnctioncn  für  die  Hyperbel  dagegen  sind 

di»' 


156) 


:  r   ■  '^^  =2. 

f.      '^ 


380  Oektnghaus:  ElUptüche  Integraljunctionen 

In  der  obigen  Amplitudengleichnng  muss  im  letztern  Falle  — 5' 
statt  b'^  gesetzt  werden.  Die  Integrale  2.  Art  sind  den  soeben  ge- 
gebenen 1.  Art  entsprechend.  Wir  wollen  f&r  diejenigen  3.  Art  noch 
folgende  Function  aufstellen: 

157) 

und  die  ootsprechend  zweite  für  dieselbe  Hyperbel 

15«) 


—  c 


Ebenso  hat  man  für  die  Ellipse 

159) 


(l -  (/;+.?-,»«in  W^)  ]/l  ^  (^^"^^..sin  i^- 


=  C 


U.      8.      W. 


§  14. 


Die  Reihenontwiekelungcn  der  elliptischen  Fanctionen  können 
wir  auf  die  obigen  Integrale  anwenden.  Wählen  wir  von  den  For- 
meln 146)  — 148)  die  folgende 

so  ist  bei  Benutzung  von 

zunächst 

=-  2 (  j^-«  (sin  ^  -  sin  -^ + sin  ^  —  sin -^- j  +  etc.  j  oder 

2g        /   .     «   % — «*2  ^  «*l  +  "2    I       .     "  «*3"~W4  ««3+«4       \ 

-  i+i*  r"2  — jp-'^«''2  "-^-+«'»2  -Är-«»««^-  •••) 

d.  i. 


und  ihre  geometrische,  analytUche  und  difnamücht  Bedeutung  381 

-  16  (*,-*.+*,-»4)-  j-^^.  «n  2  ^  Sil.  2  =^  sin  ^  ^ 

Verbinden  wir  hiermit 

^i  +  ^j— ^3— ^4  =  36(y>--4a    (^absolut) 
so  rat 

160)    i(^,-(^3) 

und  dieser  Formel  schliessen  sich  noch  mehrere  verwandte  an. 


2-« 


Wie  schon  früher  erwähnt,  können  durch  EinfQhrnng  der  Ad- 
ditionstheoreme die  obigen  Ansdracke  erweitert  und  in  geometrischem 
Sinne  gedeutet  werden.     Demgemäss  bestehen  die  beiden  Relationen 

161} 

Fi9^  +  Fi^^^Fa 

wenn  wir  die  Function  etwa  in  folgender  Form 

Fi^^  +  Fi^^  «  Fi^^+Fi^^ 

zn  Grunde  legen.    Die  Vorzeichen  sind  den  entsprechenden  Lagen 
beidctr  Gurven  gemäss  zu  bestimmen. 

Alle  auf  die  Additionstheoreme  bezüglichen  Formeln  zwischen  den 
Amplituden  der  Integrale  geben  auf  die  Ellipse  oder  Hyperbel  be- 
zogen eben  soviele  symmetrische  Functionen  zwischen  den  Wurzel- 
werteu  der  Amplitudonglcichung. 

So  erhält  man 

cost^jccsj^g— 8in^^isin^^g>^|djzf^g      ^  1— Z  'sin^^^  ^sin^g* 
cÖ9|^cÖ8|^4~  Tini^3sini^4  ^ii^^dl^^      ""  1— Z  «sin^  Väin^V' 

8in^»iC08^^gii|^2  fsin^^gcos^i^^^i  1— Z  ^sin^^^in  j  ^ 

9ii4^cösp4^^i^3+sinJ^4C08|^3irf^4      ™  1— Z^sini^^s^sin^d^*' 

162) 

J^^di&^^ZHmi9^cosi»^sini<t^cosi^2       1— Z»8in|^^»sin^^g^ 
4{>,zf^^4— Z«sini^3sini^jSinid4C0si^4  "^  1— Z^ini^8«sinJ^4*' 

tgi^3Zf i*4+tgi^4^fi^3  1— tgj*3tgj^4^i*8^i^4  ' 


382  Oekinghausi  £üipti$che  Integralfitnctionen 

Die  Division  der  beiden  letzten  Oleichungen  fthrt  auf 

^i»i+A\h  —  Bin  4(^1+^») 
^*^8  +  ^i^4  ""  sin  i(/^3 + ^4) 

Jj^^'-Ji&i      sinK^^-^) 

welche  Formeln  eine  geometrische  Erklärung  zulassen. 
Führen  wir  nämlich  die  folgenden  Beziehungen  ein 

164)  ^i»  =  \/l-  -j-^L_  gi„  ^», 
und  setzen 

woraus 

cy 

cos  g>  =  — /  ^ » 

so  geht  163)  Ober  in 

165)  yi+yi  _  sini(^j— ^>) 

y8+y4      Bin^(^^j+fr4)* 

welche  Formel  sich  auf  den  Fall  bezieht,  dass  die  Gleichung  3  posi- 
tive und  1  negative  Wurzel  besitzt. 

Beachtet  man  nun,  dass  durch  Vertauschung  der  Indices  noch  2 
andere  Relationen  existiren,  so  ist  die  geometrische  Erklärung  dieser 
3  Fälle  diese: 

Bezeichnen  wir  den  Winkel  zwischen  dem  1.  und  2.  Kreisndins 
mit  2E  ^»^-^^^  und  ebenso  mit  2£'=  ^8+^4  den  Winkel  zwischen 
dem  3.  und  4.  Radius,  so  ist  (Fig.  8.) 

yi+y«  _mE 

y8+y4  ""  sin-E'* 

heissen  die  entsprechenden  Sehnen  zu  2E  und  2E'  S  und  8\  bo  ist 

femer 

siniS       8^ 

BinE'  ^  8'  • 
demnach  auch 


Pf  .■■■■! 


und  ihre  geometrüchfi,  cmalytüehe  und  dynamische  Bedeutung.  383 

— i —  ■"  "^     Oder     — ö —  ■=■  — ^f — » 

woraus  folgt,  dass  Oberhaupt  die  gegenüberstehenden  Seiten,  sowie 
die  Diagonalen  eines  Kreisvierecks  in  einem  Kegelschnitt  symmetrisch 
g(^n  (tie  Achsen  stehen. 

Das  Additionstheorem  für  elliptische   Integrale   2.  Art  ist  be- 
kanntlich 

E((p)  +  E((p')  =  £(tf)+Z*sing7  8in9'sin<F. 

Fdr  die  Function  150)  hat  man  zunächst 

E{i&j)+E(i&i)  «  ^(tf)+Z«sin4^iSiaii^,sintf, 
165) 

E{i»s)  +  E(i»4)  =  J5;(tf)  +  ^«sini^8  8ini^4  8in  a, 
also  durch  Snbtraction,  und  wenn  —  zl/~cosa  «  C  gesetzt  wird, 

C         WS 

166)  C  =  Z«  sin  tf  (sin  i&i  sin  i»^  —  sin  ^^3  sin  i^4) , 

and  durch  Vertauschung  der  Zeichen  die  beiden  analogen 

C  =-  Z«  sin  tf'(—  sin  i^j  sin  i^,  +  sin  i^,  sin  i^4) 
167) 

C  «  Z*8inö"(— sin  J^jSini^A+sini^jSini^s), 
worin 

sin  i&i  cos  ^ff 2  ^^^8 + sJP  i^»  cos  i^i^i^i 

^^~  l--Z«sini^i«siniV 

Die  Verbindung  der  letzten  Formeln  ergibt  einige  neue  symmetrische 
Gleichungen  für  die  4  Wurzeln. 

In  ähnlicher  Weise  erhält  man  solche  vermittelst  der  Integrale 
3.  Art 


§  15. 

Die  folgende  geometrische  Darstellung  der  elliptischen  Integral- 
fanctionen  geht  von  der  von  Jacobi  gegebenen  Gonstruction  des  Ad- 
ditionstheorems der  elliptischen  Integrale  1.  Art  aus. 

Dieselbe  als  bekannt  voraussetzend,  haben  wir  nach  dem  Vorher- 
gehenden 

168) 


384  Oekinghaut:  Elliptische  Integral/unctiontn 

Der  grössere  Kreis  habe  den  Radios  «,  der  kleinere  r,  die  Cen- 
trale sei  A,  man  wird  dann  haben  (Fig.  9.) 

^  «  yr^Z«Bini*« .      ^^  -  cosi^, 

r  «(#-}-  Ä)  COS  i^i  COS  i^2  +  (« — Ä)  sin  i^^  sin  {»^^ 
r  «  (»4"*)cosJt^3COB  J^4  — («— Ä)sini^3  8in|«^4 

woraus,  wenn  4^«  negativ 

C08i^^co8i^j-|--q;^sini^iSin|<^2  =  cos  Ji*^8C08j^4+sin|t^sSin|i^4-rT 
Diese  Formel  lässt  sich  in  die  folgende  überführen 

169)      *C08i(^j  -^t)+ÄC08i(^,-K,)  =  *C08  J(t^8— (f4)+AC084(t^5+.'^4), 

doren  geometrische  Richtigheit  aus  der  Figur  leicht  nachzuweisen  ist. 

Wir  halbiren  die  Winkel  y^  und  yt  durch  Gerade,  welche  bezüg- 
lich für  das  Centrum  O  zwei  Centralen  00'  und  0&'  bestimmen« 
wovon  die  erste  k^,  die  zweite  /^  heissen  möge.  Von  dem  Schnitt- 
punkt A  derselben  mit  dem  Kreise  um  O  ziehen  wir  zum  innem 
Kreise  um  O*  eine  Tangente  e^,  ebenso  eine  zweite  Tangente  <s  von 
A  aus  an  den  äussern  Kreis  um  O^,  beide  Kreise  berühren  bezüglich 
die  gegenüberstehenden  Seiten  des  Kreisvierecks  und  man  hat  zu- 
nächst für  den  innem  Kreis 

4ffA< 

170)  also 

Ferner  ist  vermöge  einer  Permutatiou  von  170) 

171)  also 

4#Äa  «  Jgr  Vi 

mithin 

Äj  :  Äjj  ««  «1* :  «2*. 

Endlich  kann  man  auch  für  alle  3  Permutationen  der  Functionen, 
welche  sich  auf  die  Durchschnitte  der  gegenüberstehenden  Seiten  und 
Diagonalen  des  Kreisvierecks  beziehen,  allgemein  die  nachstehende 
Relation  aufstellen: 

so  dass  man  hat 


und  ihre  geometrische^  anafytische  und  dynamische  Bedeutung,  385 


173)  Aj  :  Äj  :  A3  =-  t^^  :  t^^  :  t 


8 


s 


Der  Centrale  kann  man  beliebigo  Richtung  geben. 

Die  Halbimngslinien  der  3  Winkel  71^2/3  ^^^^  za  einander 
parallel,  bezüglich  senkrecht,  demnach  ist  das  Verhältniss  z.  B.  von 

-  fbr  alle  Kichtnngen  der  Centralen  ein  constantes,  da  ~     constant 
ist   Demnach  resnltirt  in  Beziehung  auf  171)  folgender  Satz: 

Ist  in  einem  Kreisviereck  der  durch  2  gegenüberstehende  Seiten 
gebildete  Winkel  y^  durch  eine  Gerade  M,  ebenso  der  von  den  an- 
dern Seiten  gebildete  Supplementwinkel  y^  durch  die  mit  M  parallele 
N  halbirt;  wird  femer  durch  den  Kreismittelpunkt  eine  beliebigo 
(jer^deAOB  gezogen,  die  jene  Geraden  in  O^  und  O^  schneidet,  und 
sind  letztere  Punkte  Centra  zweier  die  Seiten  des  Vierecks  entspre- 
chend berührender  Kreise;  bezeichnet  mau  endlich  die  Centralen 
00'  und  OOi  mit  A,  und  A^  und  die  Tangenten  von  A  nach  beiden 

A        t  ^ 
Kreisen  mit  ^  und  tj:  so  ist  das  Verhältniss   .-  »  ^  ein  constantes 

für  alle  durch  O  gehenden  Geraden. 

Allgemein  ist  in  Beziehung  auf  173)  das  Verhältniss  der  drei 
durch  die  die  Winkel  yiy^y^  halbireuden  parallelen  Geraden  be- 
stimmten Centralen  A^A^Ag  und  damit  das  Verhältniss  ^  :  ^^  •  ^3  ^^^ 
Tangenten  an  die  Kreise  für  alle  Fälle  constant. 

Wir  schreiben  die  Gleichung  in  folgender  Form: 

*sin  i(^i  —  ^2  +  »ü  —  ^4)  sin  J(^i — ^,  ~  i^^  +  xn) 

+Ä8ini(^i-f^2+^3+^4)8inK^i+f>j-~{>3-i'U)  =  0 

174)  d.  i. 

s  sin  i/i  sin  ^y,  -j-  A  sin  J/g  cos  «  =  0. 

Man  kann  aber  folgende  Relation  leicht  ableiten 

•    1      •    1      .    1  ^  ^' 

siniyiSiniyjSmiya  =  —  ^cosa, 

so  dass  In  Folge  von 

sin  iyi  sin  iy^  sin  ^yg  =  -  cos  «  sin  iy^ 
die  Beziehung 

175)  sin  iy^  =  -  "s 

ganz  allgemein  besteht.    Es  ist  darin  p  =  A  cos  er. 

Arrk.  4.  lUtli.  o.  Fhys.    2.  Beihe,  Teil  I.  25 


1 


386  .  Oekinghaus:  Elliptische  Jntegrai/unctionen 

Weil  die  gegenüberstehenden  Seiten  des  Ereisvierecks  gegen  die 
Achsen  gleiche  Neigung  haben,  so  müssen  ihre  winkelhalbirenden  Ge- 
raden fiberhanpt  zn  dreien  anf  der  X-Achse  senkrecht  stehen  ,  wäh* 
rend  die  übrigen  derselben  parallel  sind.  Demnach  ist  A  cos  er  ^^  p 
die  Projection  von  h  auf  die  X-Achse  d.  i.  anf  die  entsprechende 
winkelhalbirende  Gerade.  Damit  wird  die  fernere  Betrachtang  von 
der  Ellipse  unabhängig,  was  auch  auf  anderm  Wege  leicht  nachzu- 
weisen ist,  und  wir  gelangen  zu  folgenden  neuen  Resultaten. 

Wir  betrachten  ein  Kreisviereck,  dessen  Seiten  und  Diagonalen, 
wie  oben  angegeben,  die  Winkel  /ly^/s  einschliessen  (Fig.  10.).  Die 
Geraden',  welche  diese  Winkel  (Nebenwinkel)  halbiren,  sind  zn  ein- 
ander parallel,  bezüglich  senkrecht.  Dem  entsprechend  ziehen  wir 
durch  den  Mittelpunkt  zwei  auf  einander  senkrecht  stehende  Gerade, 
wovon  die  eine  dreien  jener  Geraden,  die  andere  den  ühiigen  3 
parallel  ist. 

Nach  Feststellung  bestimmter  Bezeichnungen   der  Winkel    hat 

man  nun 

g,  ^  cos  ^yg  cos  iy^     p,  _  sin^ygsinjyg 

8  cosiyi      '     «  sii^iyi 


176) 


Pa  ^  cos^y^cos^ya    '  pi  __  sin  ^^  sin  jy^ 
s  cos^ys      '     8  sin^ys 

56  ^  cos  ^yi  cos  ^yg     p«  _  sinjy^siniy, 
*  "^        cos^ya      '      *  sinjys 

Die  MulUplication  dieser  Ausdrücke  ergibt 

Die  Division  liefert 

178)  —^  -  cotiy.cotiy^cotiys. 

P%P^P% 

Femer  folgt  durch  Multiplication  zweier  entsprechenden  Aosdrücke 

?Af»  -  co8iy.«,     ^»-cosiy.«,    ^»  =  cosiyA 
179) 

Die  Addition  der  unter  einander  stehenden  Formeln  ergibt 

180) 

PiPf^-^-PtP^  '^  **i 

P&P6+P^P6  ■=  **• 


und  ihre  geometrische^  ancdyiitehe  und  dynamische  Bedeutung,  387 

Wir  haben  also  folgeDden  Satz: 

Halbirt  man  in  einem  Ejreisviereck  die  Winkel  zwischen  den 
gegenfiberstehcndcn  Seiten  und  den  Diagonalen  durch  Gerade;  zieht 
man  femer  durch  das  Centrum  2  Gerade,  welche  beziehungsweise  zu 
dreien  der  erstem  parallel  sind,  und  bezeichnet  die  Entfernungen  der 
Schcitelpanktsprojectionen  der  3  Winkel  auf  diese  Geraden  von  C 
durch  p^  pj,  p^p4^  PoP^f  so  ist  die  Summe  der  Producte  entsprechen- 
der Projectionen ,  d.i.  PtPs+PiP*  ^  PiPö+P^Pa  ^  P^Pö-i-p^Pü 
constant  gleich  dem  Quadrate  des  Halbmessers. 

Man  kann  aus  179)  Doppelverhältnisse  wie  z.  B. 

PsiPb  —  Pi)      PiiPa—p*) 
bilden,  die  in  speciellen  Fällen  in  harmonische  übergehen. 

Ans  Pi*-\'P9^  =»  i?!^  folgt  unter  Benutzung  von  176) 
131 )  5i_*  ^  sin  jy^^  sin  iy^      cosjy^miYs^  ^ 

femer  ist 

Äjj*  __  sin^yi^sin^/a^      cos^y^^cos^ys*^ 

**  sin^yj*        '  cos^ya* 

E^  _  !l5iyil?l?iZ2*  4_  cos^yi^cos^ya^ 
8^  "~        siniys*         *  cos^ya* 

Die  letztem  Formeln  lassen  sich  aus  allgemeinerm  Gesichtspunkt 
wie  folgt  ableiten. 

Auf  Seite  169  unserer  Abhandlung:  Trigonometrische  Auflösung 
biqnadratiscber  Gleichungen  (S.  Archiv  70  n)  haben  wir  folgende 
Gleichung  aufgestellt: 

182)    cosy» -^ cosy^ 

-f-( -4-j  (a^sinqp^+i^cos^^j—l  Icosy 

2Ä«(a«+ft«)(o«8ing)*— Ä*cos(p*)+2a*^»V~(a*--ft*)«« 


c*«« 


0, 


wofiir  wir  schreiben 

cosy' — -4cosy*4-Äcosy  —  6'=  0. 

Hieraus  lassen  sich  nachstehende  Relationen  herstellen 

A^C       a^siuip*  —  Ä*COS<p* 
1  +  Z*  ~    a*  sin  (p^  +6*  COS  cp^ 

b*      ^    ^        i^B—A—C 
^cot(p^==  1  +  B  +  ^+C' 


und 


25* 


388  Oekingkauts:  Elliptische  Juteyralfuncttonen 

vermittelst  dieser  letzten  Formel  kann  man  aas  der  ersten  tp  elimi^ 
nireu,  man  findet 

1+A+B  +  C     1— ^+J?~C      8^» 

a*  +  Ä*  """Ä»'  ^^ 

(l-t-co8yi)(14>cosyg)(l+co8y8)      (l—cosyj  )(1  ~  cosy^jd— cos/a)     ^ 

oder 

lom    Ä*        cosjyt^cosjyt'cosjys*  ,   sinjyt^siniyg'siniys» 

Diese  Formel  gilt  allgemein  fttr  Ellipse  nnd  Hyperbel,  also  aodil 
fflr  die  Asymptoten  der  letztem,  wenn  wir  beachten,  dass 

a*       \     •  a V        cos  iYi 
n.  s.  w.  ist,  man  findet  dann 


r,' 


lg3)  ^  _  ^Q^  M  <^os  ^ygg      sin  ^y^^sin  jya» 

^  *2  *■        cosiyi*         ""       8iniy,2 

wie  oben  angegeben. 

Beide  Formen  181)  und  183)  lassen  eine  Vergleichang  zb. 

Nach  dieser  Abschweifung  kehren  wir  wieder  zu  anserm  Kreise 
zurück.  Wir  wollen  in  den  Punkten,  wo  die  Halbirungslinien  der 
Winkel  y^  und  y^  den  Kreis  zunächst  treffen,  Tangenten  bis  zum 
Durchschnitt  mit  den  genannten  senkrecht  aufeinander  stehenden 
Geraden  (Projectionsachsen)  ziehen  und  die  Entfernungen  der  Schnitt- 
punkte  vom   Centrum  mit  P^   bezüglich   P^    bezeichnen,    dann   ist 

PaP^  =»  «2^  also  nach  179)  sin^yg*  =  %,,   ferner  ist  piP^  «  **,  oder 

-'2 

Da 

auch  cos^ys^  "»%,»  mithin  folgt  aus 

184)  P+>-l 

der  Satz,  dass  der  dem  Centrum  gegenüberliegende  Eckpunkt  des 
aus  ps  und  p^  gebildeten  Rechtecks  in  der  Geraden  liegt,  welche  jetio 
Schnittpunkte  der  Tangenten  und  der  Achsen  mit  einander  verbindet 

Die  Verhältnisse  lassen  sich  geometrisch  noch  weiter  aasdohnen, 
wenn  man  die  Entfeniungen  der  Durchschnittspunkte  der  gegenüber- 
stehenden Seiten  sowie  der   Diagonalen   einführt.     Dieselben  seien 


•nd  Ar£  geomeirüchef  anafytitcke  und  dynamische  Bedeutung.  389 

Dann  ist 
m  y*  -  (Pl  -P5)'+  (P2  -pb)^ 

^^(Pl  — P3)*+  (Ps  —P^)^' 

Yennittelst  180)  gehen  dieselben  über  in 
186)  S^«Ä,2+i?s2— 2«2 

Nimmt  man  Bezog  aaf  die  Formel 

so  resoltirt  ans  den  letzten  Oleichnngen 

1«7)  2i2  i6  1- 

Ffir  die  harmonischen  und  polariscben  Beziehungen  des  Kreises 
lassen  sich  aus  dem  Vorstehenden  noch  mancherlei  interessante  Er- 
gebnisse erzielen. 

Verbindet  man  nämlich  die  Mitte  von  z  mit  dem  Gentrum  durch 
die  Mittellinie  i^,  so  ist 

Also  auch 

a2==,2<82^2«2+^-,  oder 


wo  r,  die  Tangente  von  der  Mitte   von  z  zum  £reis  bezeichnet, 

z 
2' 
röhnugsponkt  mit  den  Durchschnittspunkten    ü  und  V  der  gegen- 


dcmnach  ist  0  «  273  oder  T^  »  h.    Verbindet  man  endlich  den  Be- 


a« 


ftbwstehenden  Seiten  durch  «j,  »a»  so  ist  «3*+^  =  273*4-0  "**'' 

dcmnadi  bilden  1130,3  ein  rechtwinkliges  Dreieck,  was  auch  schon 
ohne  Beehnung  klar  ist. 

Für  «» —  Ä,*+Ä8*— 2««  folgt  analog  «  =  2T,  ebenso  y  —  2^8, 
vo  r,  nnd  r^  Tangenten  von  den  Mitten  der  x  und  y  an  den  Kreis 
bcdenten,  und  ebenso  folgt,  wie  vorher  %*  +  t>i*=x*,  «t'+^j'^y*. 

Die  Winkel  zwischan  R^R^ ,  ^1^3,  i^t^  seien  bezüglich  d^ ,  d„ 
^:t  es  liast  sich  leicht  nachweisen,  dass  dann 


390  Otkinghaus:  Elliptische  Integral/unetionen 

R^R^  cos  da  =  8\    R^R^  cos  d^  «  «*,    ÄjiZi  cos  d^  =  »* 
ist    Demnach  ist  auch 

189)  »«— y«  ^R^^—R^^  etc. 

so  dass  also  die  R^^  R^^  j?^  anf  x^  y^  z  senkrecht  stehen. 

Wird  die  Projection  von  R^  auf  R^  mit  g, ,  die  von  Ä,  auf  Äj 
mit  qy  bezeichnet,  so  folgt  aus 

190)  Riqi=s\    R^qt^s\ 

dass  die  Tangeuten  von  U  und  V  an  den  Kreis  durch  die  Schnitt- 
punkte von  X  und  y  mit  dem  Kreise  gehen.  Im  Dreieck  xyz  liegen 
also  den  Seiten  xyz  die  Winkel  d,  dj,  180^ — ^3  gegenüber. 


§  16. 

Die  mit  Hülfe  der  Gleichung  143)  abgeleiteten  Integralfnuctioncn 
regen  den  Gedanken  an,  zu  untersuchen,  ob  die  Gleichung  selbst 
auf  ähnliche  Integralfunctioneu  führt,  wenn  die  Formeln  des  §  1.  be- 
nutzt werden.  Dabei  haben  wir  aber  zu  beachten,  dass  die  Coefii- 
cionten  dieser  Gleichung  nicht  wie  bisher  ganze,  sondern  gebrochene 
Functionen  sind,  die  Integralconstante  demnach  kein  vollständiges 
Integral  mehr  ist. 

In  Folge  der  bekannten  Methoden  erhält  man 


J    (R-i 


191) 


(Ä-»C0S^)y(Ä2+«2— ^2— 2i?*C08^)(rt2— Ä«— ir«^^  ^ 

Um  auf  die  Normalform  elliptischer  Integrale  zu  kommen,  setzen  wir 

und  man  hat 

2  ''* 


J    sini*«[/l^(^^^'co8W 


and  ferner 


J    cos  J^«  }/l  -  (^;±|I)  )  cos  9» 


woraus  durch  Addition 


und  ihre  gtomeirUchey  analytische  und  djfnamische  Bedeutung,  391 


192) 


-  \a-i-b)  ' 


Wir  fithren  ein 

a»— 6«       C  A—B      la— 

ferner 

-BintJ;  =  cos«", 

und  das  Integral  geht  aber  in 

und  bezieht  sich  anf  eine  Ellipse  mit  den  Halbachsen  A  nnd  B, 
In  derselben  haben  ^  nnd  ^  folgende  Bedeutung: 

Schliesst  die  Tangente  eines  Ellipsenpunktes  mit  einem  Bronn- 
s^l  den  bekannten  Winkel  d-  ein,  so  ist  i^  der  Winkel  zwischen 
der  Normale  nnd  der  JT-Achse,  wie  man  leicht  finden  wird. 

Demnach  bezeichnet  das  letzte  Integral  nach  früherm  einen  von 
dem  Scheitelpunkt  der  grossen  Achse  gerechneten  Ellipsenbogen  iS, 
und  die  Summe  ES  der  hiernach  bestimmten  Bogen  ist  eine  constante 
Grösse  nnd  zwar  ein  Ellipsenbogen. 

Wir  betrachten  noch  die  Integralfnnction  157),  nm  dieselbe  für 
die  Hyperbel  einzurichten. 


Fflhren  wir  demgemäss  in 


die  Beziehungen 


p-  -,sini^'«)j/l-  ^^-^^*^--8ini^,^ 


=  C 


=  1 


oV 


ein,  so  hat  man  die  Bedingungen 
also  erhält  man  R  aus 

QBd  ebenso  erhält  man  aus 


392  Oehinghaus:  Eüiptusche  IntegrcU/unciionen 

den  bekannten  Ansdruck 

y  «.  -yÄcosp'    (vergleiche  124)). 
c 

Die  Winkel  d-'  »  ^  sind  demnach  identisch  und  leicht  für  die 
Hyperbelbögen  zu  definiren. 

In  Bezug  auf  EUipsenbögen  können  die  Formeln  ebenso  leicht 
combinirt  und  die  entsprechenden  Amplituden  geometrisch  bestimmt 
werden. 

Wir  wollen  hier  noch  auf  eine  Formel  aufmerksam  machen, 
welche  eine  Relation  darstellt  zwischen  den  Wurzeln  der  Gleichung 


«*  — 4JR-jf^C08«.a:3-(--j  (472^cosa*+4Ä'-2  sin  o*4-2Xr  \ 


«« 


a 


4 


O* 


— 4Ä  ^  i.cosa.a:+  ^(X«— 46«Ä«sina*)  «  0 

und  der  grossen  Halbaxe  a. 
Schreibt  man  dieselbe 

und  berechnet  die  Invarianten  A^'-^AB-\-W  und  -4*1)— -C*,  so  er- 
hält man  durch  Vergleichung  beider  den  Ausdruck 

194)  a«^(^3— 4^J?+  8C)  «  4(^»Z)  —  C«). 

Die  Theorie  der  biquadratischen  Oleichungen   zeigt,   dass  <^t- 
selbe  durch 

=•  4(a;iflc,— a?sa;4)(a:i«3— ar2a:4)(ari{r4— Ä^a) 
definirt  werden  kann.    Man  hat  also 

195)  1  = 

1/ (artarg— 3:3^4)  {x^x^—x^^)\x^X4r-x^'i ) 

und  ebenso 


ir^r 


vnd  ihre  geometrische,  analytische  und  dynamische  Bedeutung.  393 


m\ 


\ 


Betrachtet  man  die  Grössen  x^x^x^x^  and  femer  y^y^y^y^  als 
Seiten  eines  Kreis  Vierecks,  so  ist,  gemäss  der  Gerhard'schen  Formel, 
der  Durchmesser  des  umbeschriebenen  Kreises  im  ersten  Fall  gleich 
der  grossen  Halbachse  a,  im  zweiten  Fall  gleich  der  kleinen  Halb- 
achse h. 

Für  die  Hyperbel  gelton  analoge  Formeln. 


§.  17. 

Anwendung  4e|:  Funptiomen  auf  die  elaQtisehe  Curre. 

Einen  bemerkenswerten  Fall  für  die  Anwendung  der  elliptischen 
Integralfunctioncn  bietet  die  Gleichung  der  elastischen  Curve.  Ein 
prismatischer  Körper,  ein  gleichförmiger  gerader  elastischer  Draht 
werde  an  einem  Ende  festgehalten  und  am  andern  Ende  von  einer 
in  der  Längenaxe  wirkenden  Kraft  angegriffen.  Nach  der  Elastitäts- 
lehre  besteht  dann  der  Ausdruck 

197)  py  -  A\ 

worin  p  der  ELrQmmungshalbmesser  im  Punkte  xy  der  Curve  bedeutet. 
Die  Constante  A)  hängt  von  dem  Biegungswiderstand  und  der  Span- 
001^  der  elastischen  Feder  ab. 

Vermittelst  der  Formel  f&r  den  Krümmungsradius  hat  man 


y  == 


(■+(1)7' 


Die  Integration  führt  auf  die  Gleichung 
Aus  derselbcu  erhält  man  ferner  den  Bogen 

dy 


=  ^'^\f 


uti  endlich 


394  Oekingkaus:  EUiptUche  Integralfunctiontn 


199)  b 


"/ 


V{2A»-\-C  * — y*)  (2k«  _  C«  +  y«) 
Iftthren  wir  in  198) 

ein,  80  resoltirt 

200)  y«  =  C*+2A*cos^,    S.  d.  Fig.  11.,  12.,  13. 

Diese  Integrale  können  wir  ohne  Weiteres  mit  den  Integral- 
functionen  139)  in  Beziehung  bringen,  wenn  folgende  Bedingungen 
vorausgesetzt  werden 

201) 

2^«  — C*  --|((Ä+,)«  — a»). 

c 

Demnach  folgt  aus  den  Formeln 

A^  «  %  Rs, 

202) 

y^^   ,(a»-Ä»-««)  +  2^COS«'  =  -2(a*-Ä«-««+2ÄfC08n 

dass  die  Ellipsenordinaten  mit  den  bezüglichen  der  elastischen  Linie 
identisch  sind,  und  dass  femer  der  von  uns  eingefQhrte  Winkel  ^ 
kein  anderer  als  der  entsprechende  Tangentenwinkel  der  genannten 
Curvo  ist.  Betrachtet  man  demnach  die  beim  Durchschnitt  eines 
Kreises  und  einer  Ellipse  entstehenden  Ordinaten  als  solche  der 
elastischen  Curve,  so  ist  für  alle  Lage  der  beiden  ersten  Gurven  bei 
constantem  R  und  s  die  Summe  der  entsprechenden  Curvenbogen  in 
der  letztem,  d.  i. 

203)  Äi  +  Sj  +  Ä,  +  S4  =  0, 

sofem  die  obigen  Bedingungen  202)  erfüllt  sind. 

Im  Anschluss  hieran  lässt  sich  ferner  gemäss  der  Formel  199)b 
eine  zweite  Summe  für  die  Abscissen 

bilden,  die  leicht  zu  bestimmen  ist. 


und  ihre  geometruche,  analytische  und  dtfnamütche  Dedeniung.  395 

Wie  man  sieht  ist 
eine  positive  Grösse,  dagegen  kann 

c 

positiv,  nnU  nnd  negativ  werden,  nnd  wir  bemerken  dabei,  dass  die 
mannigfachen  nnd  interessanten  Formen  der  elastischen  Curvo  an  die 

> 

Bedingungen  2A^  =^  C^  geknüpft  sind,   welche  in  nnscrm  Fall  von 

< 

> 

Ellipse  nnd  Kreis  durch  die  gleichwertigen  i^-j-^  »  a    ausgedrückt 

< 

werden  können. 

Die  erste  Ungleichheit  Ä+«>  a  führt  auf  symmetrisch  gegen 
die  Kraftlinie  liegende  Curven,  während  für  J2+*  <C  «  solche  auf- 
treten, in  welchen  sowohl  Maximal-  als  auch  Minimalwcrte  der  Ordi- 
uatcn  vorkommen  und  ^  unbegrenzt  wachsen  kann.  Die  Bedingung 
Ä-|-«  =  a  führt  auf  ein  logaritbmisches  Integral. 

In  analoger  Weise  lassen  sich  die  Integralfunctionen  der  Hyperbel 
auf  die  besprochenen  Verhältnisse  anwenden. 

In  Betreff  der  Curve  sehe  man  nach :  Handbuch  der  theor.  Physik 
von  Thomson  und  Tait,  deutsche  üebersetzung  IV.  S.  134,  welcbera 
auch  die  3  Figuren  entnommen  sind. 

§  18. 
Anwendung  auf  die  Pendelbewcgun^. 

Wie  wir  vorhin  die  statische  Bedeutung  der  Function  an  der 
elastischen  Curve  dargestellt  haben,  wollen  wir  jetzt  die  erstem  auf 
ein  dynamisches  Problem,  die  Bewegung  eines  schweren  Punktes  im 
verticalen  Kreis  betreffend,  anwenden. 

YTie  bekannt,  führt  die  analytische  Durchführung  dieser  Aufgabe 
auf  ein  Zeitintegral  von  folgender  Art: 


•  ^     V  vc?4~  ias  sin  la^ 


103)  t  =  C 

t7o*+  4fl^«  sin  }< 
vorin  C  eine  Gonstante. 


396  Oßkinghaua:  ElUptuche  Integralfunctionen 

Die  Bewegung  geht  in  einem  vorticalen  preise  vom  Badiiys  $ 
vor  sich.  Dieselbe  beginnt  im  Elongationswinkel  a  mit  der  Anfangs- 
geschwindigkeit vq,  und  t  bezeichnet  die  Zeit,  innerhalb  welcher  der 
Punkt  aus  der  Lage  a  in  3-  gelangt,  und  es  ist 


8d» 
t 


J  Vt^o^ 


,    o*  +  ^*sinia*— 4^«8ini^ 


In  diesem  elliptischen  Integral  hat  man  die  3  Fälle 

204)  ÜQ> + ^^  siß  i«*  ■==*  ^y 

zu  untersclipiden. 

Wir  werden  nun  zeigen,  dass  unsere  Integralfunctionen  derEHipse 
und  Hyperbel  auf  die  eleganteste  Art  sich  a.uf  dieses  Zeitintcgral 
anwenden  lassen,  und  dass  in  geometrischem  Sinne  die  daraus  er- 
folgenden Relationen  manches  Bemerkensworte  zu  Tage  fördern. 

Die  Integralfunction  der  Elipse  ist 


205)  £   i       , /_-j =  0. 

Indem  wir  beide  Integralformen  203)  und  205)  identificiron,  geht  letz- 
tere Function  über  in  die  folgende 

206)  £t  «  0. 
Die  Bedingungsgleichung  ist  dafflr 

Hieraus  folgt  zunächst,  dass  Z  unabhängig  von  b  ist  und  dass  femer 
208)  Ä« + ««  —  2Rs  cos  «  —  a» vq*  (Fig.  8.) 

Die  linke  Seite  dieser  Gleichung  hat  eine  einfache  geometrische 
Bedeutung.  Bezeichnen  wir  sie  mit  q\  so  ist  q  die  Entfernung  des 
zur  Amplitude  «  gehörigen  Kreispunktes  vom  Ellipseumittelpunkt 
Es  ist  also 


209)  p2==a««      vr* 


R 


9 


und  ihre  gtomttrisekey  anafytisehe  und  dynamische  Bedeutung,  397 

Dreht  man  die  Figar  in  verücaler  £lene  so,  dass  die  Strecke 
R  in  der  Richtung  der  Schwere  liegt,  hnd  läset  im  Kreise  a  den 
Pankt  volle  Umläufe  machen,  so  ist   Z<^1   oder   Ä-|-*<«    d.  i. 

p  <  fl  und  fftr  die  Geschwindigkeitshöhe  h  ^  ~  geht  209)  über  in 

210)  p2  «.  o«— 2ÄÄ 
QDd  206)  in 

211)  ^1  — <2-<4— «8. 

Der  Punkt  durchläuft  also  die  Kreisbogen  P^^P^  und  P3P4  in  glei- 
chen Zeiten. 

Man  hat  also  folgenden  allgemeinen  Satz: 

Wenn  die  Geschwindigkeit  eines  auf  einem  verticalen  Kreise  sich 
bewegenden  schweren  Punktes  an  einer  Stelle  =  vq  ist,  und  man  rer- 
bindet  diesen  Punkt  mit  einem  unter  dem  Centrum  auf  dem  verticalen 
Durchmesser  liegenden  Punkte  0,  dessen  Entfernung  vom  Centrum 
mit  R  bezeichnet  sei,  durch  die  Strecke  p,  so  schneiden  diejenigen 
Ellipsen,  deren  Mittelpunkte  in  0  fallen,  und  deren  grosse  Halbachsen 
von  gleicher  aus  der  Formel 

bestimmbarer  Länge  sind,  auf  dem  Kreise  Bogen  ab,  von  welchen 
2  entsprechende  von  dem  Punkte  in  gleichen  Zeiten  durchlaufen  wer- 
den. Wie  also  auch  diese  Ellipsen  in  ihrer  Ebene  um  ihren  Mittel- 
pankt  gedreht  Werden  mögen,  in  allen  Lagen  und  bei  veränderlichen 
kleinen  Halbachsen  innerhalb  bestimmter  Grenzen  sind  die  Zeiten, 
welche  zum  Durchlaufen  dieser  gegenüberstehenden  Bogen  erforder- 
lich sind,  stets  einander  gleich. 

Da  ferner  die  Geschwindigkeit  dos  Punktes  durch  v  =»  —  *",7» 


and 


^  durch  ^ylV^—  ^* sin i^«  sowie  ^ am  J^  -  V l-Z^sin^O-« 


durch  —  1=^  ausgedrückt  werden  kann,   so  sind  die  Gc- 

schwindigkeiten  des   Punktes  an  den  Schnittpunkten  beider  Curven 

in  Folge  der  Formel  «*  =•  ^l'  »  f    ^®n    entsprechenden    Ellipsen- 
ordinaten  proportional. 

Vermittelst  der  bekannten  obigen  Relationen 

y« .  —^  =  1  —  Z«8in i^«,    ^sin  i^  «  sin ^ 
voraus 


398  Oekinghaus:  Elliptische  Inttgrcdfunetionen 


.  =  *)/ 


c 

geht  dio  Integralfunction  über  in 


a»  — (Ä  — *)» 

2 COS  (Pi 


JV^'- 


212)     i         I  _  , ^-j--     -. =  0,    Ä+*>« 


und  bemerken  dabei  beiläufig,  dass  für  «  — 72  =  &  dieselbe  auf  schon 
früher  behandelte  zurückgeführt  wird,  indem  y  =»  Äcosg>  ist. 

Für  das  letzte  latcgral  gilt  die  Bedingung,  dass  die  Gescbwin- 
digkeitshöho  des  Punktes  in  der  tiefsten  Lage  kleiner  als  2«  ist  Die 
Bewegung  ist  also  die  des  gemeinen  Pendels  und  man  kann  dieselbe 
in  dem  Punkte  beginnen  lassen,  wo  vq  =  0,  also  ^  »  a  ist.  Der  be- 
treffende Punkt  wird  also  durch  einen  der  Schnittpunkte  des  Kreises 
mit  dem  die  Ellipse  umschliessenden  Kreis  bestimmt. 

Immerhin  aber  ist  die  Zeitdauer  der  Bewegung  in  den  entspre- 
chenden durch  dio  Ellipsen  begrenzten  Kreisbogen  dieselbe. 

Im  Falle  R-\-8  =  a  oder  r^+^^^si'^i"*  =  ^*  ^st,  wird  die 
Geschwindigkeitshöhe  ^  2«,  das  Zeitiutegral  wird  logarithmisch 

213)  t  «  l/^logtg(450-^j 

und  der  Punkt  nähert  sich  der  höchsten  Stelle  asymptotisch,  ohne 
sie  je  zu  erreichen.  Auch  in  diesem  Falle  gilt  noch  immer  das  oben 
angegebene  Gesetz  der  Bogen  gleicher  Zeitdauer. 

Wie  im  statischen  Problem  der  ehistischen  Curve,  so  treten  also 
ebenfalls  in  dem  verwandten  der  Pendelbewegung  die  unterscheiden- 
den Merkmale  in  Verbindung  mit  den  Bedingungen  Ä-|-«  =  a  auf. 

< 
Fülirt  man  in  210)   p  «=  «— -Ä  ein,  so  sind  die  Wurzeln  der  für  R 
quadratischen  Gleichung 

§  19. 

Dio  bisher  entwickelten  Resultate  lassen  sich  erweitem,  wenn 
einige  Transformationen  eingeführt  werden.  Man  wird  dann  finden, 
dass  auch  die  übrigen  Ellipscnbogen,  was  aus  der  vorigen  Darstellung 
nicht  zu  ersehen  war,  einer  Deutung  fähig  sind. 


und  ihre  geometrische,  analyLLtehe  und  dynamische  Bedeutung,  399 

Wir  gehen  zunächst  von  der  Hyperbel  ans,  kürzen  aber  die  Be- 
trachtungen ab. 

Den  Winkel  *  ersetzen  wir  im  Folgenden  dorch  seinen  Neben- 
winkel ^'. 

Die  erste  Integralfanction  der  Hyperbel  ist 
214)         £  I  w  «=  0 


iw- 


4Rs 


sini^' 


2 


R — »>a    oder    s  —  R^  a. 

Die  Formel,  welche  diese  Function  mit  der  Pendelbewegung  ver- 
knüpft, ist 

215)  p2-a»  =  ^t^2  =  2ÄA, 

9 

and  mit  dieser  Bedingnngsgleichnng  steht  die  folgende 

in  Verbindung,  weiche  ausdrückt,  dass  die  Hyperbel  vom  Kreise  2 
Bogen  gleicher  Zeitdauer  abschneidet.  Ebenso  sind,  wie  bei  der 
Ellipse,  die  Geschwindigkeiten  in  den  Schnittpunkten  beider  Curven 
den  Ordiuaten  derselben  proportional. 


In  ähnlicher  Art   folgt   aus  der  zweiten   Integralfunction  der 
Hyperbel 

216)         £  I      . ^  "^2ir,    Z<1 

J  r  ^-(Ä=7)MT««^^^^'' 

die  Formel 


217)  p«+i*« -ü2  =  2ää, 

nnd  damit  die  Relation 

^  +  ^  +  «8  +  ^4-2^ 

wo  2<  die  volle  Umlaufszeit  bezeichnet. 

Da  man  letztere  Formel  auch  so  schreiben  kann 

so  folgt  nach  richtiger  Deutung  dieses  Ausdrucks,  dass  für  diese  durch 
217)  bestimmte  Bewegung  die  beiden  Kreisbogen,  welche  durch  ge- 
trennte Hyperbeläste  begrenzt  werden,  in  denselben  Zeiten  von  dem 
Punkte  zurückgelegt  werden. 


400  Oekinghaus:  Elliptische  Integral/unctionen 

Die  Geschwindigkeiten  in  den  Schnittpunkten  beider  Cnrven  sind 
jetzt  den  bezüglichen  Abscissen  proportional.  In  welche  Lagen  also 
anch  die  Hyperbeln  bei  festem  Mittelpunkt' gebracht  werden,  immer 
begrenzen  sie  Lagen  gleicher  Zeitdauer. 

Man  bemerke,  dass  der  Modulus  der  ersten  Function  kein  &,  der 
der  zweiten  kein  a  enthält,  dass  femer  die  vorgetragenen  Sätze  noch 
für  die  Annahme   a  =  Ä  «  0,    also  für  die  Asymptoten  Gültigkeit 

d-Ra 

haben,  und  dass  der  Modulus  im  letztern  Falle  in  ^*  «  tttt-t^ 

übergeht    Die  beiden  Integralfunctiouen  fallen  demnach  in  eine  zu- 
sammen, und  es  hängt  die  resultirende 


=  C 


mit  der  Relation 


sini«»' 


8 


p*  «=      f)i  woraus  «?  =-•  p  l^  ^- 


9 
zusammen. 

Demnach  kommen  wir  auf  die  schon  früher  betrachteten  Inte- 
gralfunctioncn  des  Kreises  zurück,  weiche  also  nur  specielle  Fälle 
sind,  weil  die  dort  durch  die  harmonischen  Punktls  des  Kreises  ge- 
zogenen Geraden  durch  Kegelschnittslinien  ersetzt  werden  können. 
Eine  weitere  Betrachtung  für  diese  Asymptoten  ist  also  unnötig. 

Wie  wir  sehen,  schlössen  die  oben  angestellten  Betrachtungen 
für  die  Hyperbel  ihre  Asymptoten  mit  ein;  es  liegt  demnach  die 
Frage  nahe,  ob  für  die  Ellipse  ähnliches  zu  finden  sei. 

Wir  werden  im  Folgenden  sehen,  dass  zweien  sich  schneidendeo 
Geraden  der  Hyperbel  2  parallele  Geraden  der  Ellipse  zur  Seiti' 
stehen. 

Wir  betrachten  die  folgende  Integralfunction  der  Ellipse 
2 


wofür 

9 

Diese  Gleichungen  gelten  für  alle  Ellipsen  mit  constanter  kleiner 
Achse  b  und  unveränderlicher  grosser  a,  da  letztere  in  den  Formeln 


ttnd  ih'e  yeomeirüchtt  anahftittche  und  dynamische  Bedeutung.  401 

nicht  Torkommt.  Mitbin  gelten  sie  auch  noch  für  eine  Ellipse,  deren 
grosse  Achse  anendlich  ist.  Die  Cnrve  wird  demnach  zu  2  parallelen 
Geraden  degeneriron. 

Die  in  §  18.  besprochenen  fillipsenverhältnisse  finden  jetzt  ihre 
Erweiterung,  indem  fQr  die  Yorliegende  Function  auch  die  übrigen 
EUipsenbogen  vermittelst  der  Formel 

ihre  dynamische  Bedeutung  erhalten.  Im  Uebrigcn  bleiben  die  Er- 
örterungen wie  frflher. 

Die  analoge  Function  der  ElUpse 


jRi "'^i* 


fährt  auf  entsprechende  Verhältnisse. 

Hier  intercssirt  uns  besonders  das  Folgende: 

Der  Modulus  der  Function  216)  enthält  6,  lässt  man  diese  Grösse 
in  Null  übergehen,  so  gehen,  a«0D  vorausgesetzt,  die  Functionen 
nod  die   betreffenden  Zeiten   in   den  Fall   der  Integralfunction  des 

4Jt8 

Kreises  über,  da  ja  Z^  =  .p  .    .^  wird.    Von  den  speciellen  Fällen 

ist  also  der  für  die  unendlich  lange  Ellipse  der  allgemeinere.  Dabei 
haben  wir  2  Fälle  zu  unterscheiden.  Da  der  Mittelpunkt  dieser  lang 
gestreckten  Ellipsen  in  einen  beliebigen  Punkt  der  grossen  Achse 
gelegt  werden  kann,  so  wird  s  —  R  entweder  grösser  oder  kleiner  als 
h  sein.  Im  ersten  Fall  umschiiesst  der  Kreis  vom  Radius  a  den  von 
h,  und  es  ist  die  Formel 

*i  "r  *4  "^  h      h 

hierför  die  entsprechende  (Fig.  14.).  Demnach  werden  die  durch  die 
parallelen  Geraden  getrennten  äussern  Kreisbogen  in  denselben  Zeiten 
beschrieben.  Für  6  »  0  fallen  die  Geraden  und  damit  unsere  Be- 
trachtungen mit  den  über  die  Integralfunctionen  des  Kreises  ange- 
stellten zusammen.    (Innerer  harmonischer  Punkt.) 

Im  zweiten  Fall  R — «>>&  liegen  die  genannten  Kreise  ausein- 
ander, und  die  letzte  Formel  geht  über  in 

h  +  k  +  h  +  h-^^*' 
Wird  auch  hier  ft «»  0,  so  ist  t^  -»  t^^  und  t^  =  ^4,  und  es  ist 

AKk.  4.  Matli.  iu  Phys.    2.  Beihe,  Teü  I.  26 


402  Oekinghaua:  ElUpthehe  Jntegral/unctionen 

Der  Ellipseninittelpnnkt  wird  dann  znm  äussern  harmonischen 
Punkt  fdr  die  Integralfnnction  des  Kreises. 

Die  Formel  für  die  betrachteten  beiden  Fälle  ist 

in  welcher  p  als  Potenz  aufgefasst  werden  kann;  sie  lässt  noch  eine 
einfache  geometrische  Gonstniction  za.  Ftlr  ^  »  /Z-j-«  erhält  man 
aus  (Ä+*)*— ^*  «"SÄÄ  die  beiden  Strecken 

Fflr  bestimmte  Geschwindigkeitshöhen  h  in  einem  Kreise  von 
bekanntem  Radius  s  und  für  constante  Halbachsen  b  einer  Ellipse 
von  beliebiger  grosser  Achse  a  bestehen  demnach  zwei  Ausdrücke  f&r 
die  Centrale  R  beider  Gurven,  welchen  2  Zeitrelationen  entsprechen. 
Schreiben  wir  dafür  die  Integralfnnctionen 


sO  bemerkt  mau  sofort,  dass  die  obige  Ableitung  mit  der  bekannten 
JacoM'schen  Construction  des  Additionstheorems  der  ^iiptidchen  Inte- 
grale in  Verbindung  steht  Dabei  ist  es  wichtig  za  bemerken,  dass 
statt  der  beiden  durch  den  Abstand  2&  bestimmten  Parallelen  die 
Ellipse  eingeführt  werden  kann.  Dreht  man  also  diese  Ellipse  in 
ihrer  Ebene  so,  dass  ein  ^,  etwa  ^„  verschwindet,  so  erhält  man  für 
den  Innern  Kreis 

J   Vi  — Z^sini^,' ""t/    Vi— Z^sini^j,'«"^*/    Vi— Z«8inJV 
für  den  äusseren 

J  Vi~z«sini«-V"^t/    Vl-Z5^sini^V 

^J   Vi— Z«sini^V 

Das  Absolutglied  der  Gleichung  154)  wird  demnach  0,  oder  es 
ist 

(Ä + *)8  Tsin  a« + ~  cos  tÄ  «  6« 
welche  Formel  für  a»Qc  in  die  bekannte  Relation 


■*»— l- 


und  ihre  geometruche,  ß(uäjfti$eke  und  djfnamuche    Bedeutung,  ^03 

(Ä-f  ^)COS(900— «)=:& 

übergeht  und  die  genannte  Gleichung  wird  zu 

tg}*'^+  (l-^)  cot«tgi^'«+  (l  +  ^-  icot  «*)tgl^' 

+  ( 1  +  P  j  cot  a  «  0  woraus 

nnd  noch  andere  Formeln  sich  ergeben. 

Wir  gehen  jetzt  Aber  zn  dem  Additionstheorem  der  elliptischen 
ht^rale  2.  Art. 

In  §  13.  haben  wir  eine  Function  dieser  Art  aufgestellt,  welche 
noch  für  den  jetzigen  Fall  einer  kleinen  Transformation  bedarf.  Man 
findet  nach  Ausführung  der  Rechnungen 

218)  /yi—^^siniö-'^rfi^i+Zyi  — Z»sin|^'<c/i^j 

«  —  ZI/  -sina 
e       ¥8 


Z« 


(Ä+*)«— *« 


Diese  allgemeine  Formel  vereinfacht  sich,  wenn  d-^  =0  gesetzt  wird. 
Wie  vorhin,  kann  man  anstatt  der  Ellipse  wieder  jene  Parallelen 
sabstiCuireD,  und  die  nun  bestehende  Function 

/Vl-Z^sini^aVi^s  =/yi-Z*8iftp"''«rfi^, 

+/yrir2:«siniVrfi*4— 2  +  j/^sin« 

bezieht  sich  auf  das  Additionstheorem  der  2.  Art. 

Dies  Resultat  IfLss^  sich  vermittelst  der  Anvplitfidengleichang  und 
des  Additionstheorems  fClr  die  Integrale  2.  Art  bewahrheiten. 

Das  letztere  ist  in  unserer  Bezoiclmung 

Ei^s  «  Ei^i+Ei^^  ~Z^»sini*,8inJ^8Mn4*4. 

Aus   der   gei^iyintea   Gleichung   lässt  pich   leicl^t  das  Product 

h 
m\^^sm^9'^siTi^^  «  -cos«  berechnen 3  und  es  ist 

26* 


404  Ofk  inghaus:  EUiptitche  Integral/uHctiotitn 

Z*-cosct  ^2z]/-  8:n a. 

8  WS 

Demnach  ist 

Zu  der  genannten  geometrischen  Gonstraction  lassen  sieb  die  Winkel 
a  =  90^  —  -g,  ^2  und  ^3  leicht  feststellen. 


§  20. 

Eine  Anwendung  der  vorhin  entwickelten  Formeln  auf  den  Kreis 
erhält  man  dadurch,  dass  der  Modulus  der  elliptischen  Integrale  gleich 
1  gesetzt  wird,  wodurch  aus  den  elliptischen  Beziehungen  cyklome- 
trische  werden. 

Lassen  wir  also  in  der  Integralfunction  1.  Art 


J   yi  — Z^sinJV      «^   Vi— Vsini*«*      J   i\  — 


+/vT^ 


^*sin  i^3* 


=  0 


-^2  8ini^4* 
welche  vermöge  des  von  der  Halbachse  a  unabhängigen  Modulas 


sowohl  für  jede  Ellipse  mit  beliebiger  Achse  a  als  auch  für  2  Pa- 
rallele  im  Grenzfall  a-=(x  gültig  ist,  Z  in  1  übergeben,  so  wird 
b  =  R—8  oder  i  =  « —  R,  Im  ersten  Fall  berühren  sich  die  beiden 
Kreise,  deren  Radien  bezüglich  s  und  b  sind,  von  aussen,  im  zweiten 
von  innen. 

Betrachten  wir  den  zweiten  Fall  zunächst,  so  geht  die  obige  For- 
mel über  in 

tg(45<'  +  ^')tg(450+^»)tg(45<»-*»)l«(45«+5)  -  1, 

welche  einfacher  wird,  wenn  für  ^  sein  Supplement  eingeführt  wird. 
Die  Integralfunction  der  2.  Art  gibt  für  2? »  1 

sin  J^i  +  sin  i^^  —  sin  i^s + sin  }^4  ==  2  ^~  sin  a, 
woran  man  folgende  Betrachtung  knüpfen  kann.    (Fig.  14.) 


ifjicf  ihre  geometrische,  tmalytische  und  dynamische  Bedeutung.  405 

Man  moltiplicire  die  Formel  mit  2«  and  beachte,  dass  2«sin  j^ 
die  Sehne  bezeichnet,  welche  einen  Schnittpunkt  dos  Kreises  und  der 
Geraden  mit  dem  Kreispankt  verbindet,  welcher  auf  der  verlän- 
gerten Centrale  OR  liegt. 

Also  ist  for  die  innere  Berührung 

fta  die  äussere 

'i  +  '«4"'s  —  *4  ™  4yÄ'*sino'. 


Zweiter   Teil. 

§.  21. 

Analytische  Barstellung  elliptischer  Integralfunctionen 

1.  und  2.  Art. 

In  den  bisher  entwickelten  Integralfunctionen  waren  die  Ampli- 
laden  der  elliptischen  Integrale  durch  die  Wurzeln  einer  biquadrati- 
schen Gleichung  definirt,  und  die  Moduli  ergeben  sich  aus  den  Para- 
metern derselben.  Ihre  Bestimmung  aber  war  gewissen  Beschrän- 
kangen  unterworfen,  infolge  dessen  die  Theorie  einer  Ergänzung 
bedarf.  Demnach  wäre  die  Frage  zu  beantworten,  ob  es  möglich  sei, 
aus  den  Constanten  der  Gleichung 

1)  tggj*— w4tg<p»+Btgg)«—  Ctg<p+D  -=  0 

den  Modolos  Z  der  Integralfunction 

J  Vi— Z^sin^,«      </    Vi  — Z«sin(p2«      t/    Vi  — Z«sin>3« 


+/vf^ 


'^*  =  c, 


Vi  — Z»8iiig»4* 

deren  Amplituden  Wurzeln  der  obigen  Gleichung  sind,  zu  bestimmen, 
and  es  wäre  ferner  nachzusehen,  ob  noch  andere  solcher  Functionen 
existirten. 

Zu  diesem  Zweck   betrachten  wir  die  Gleichung  1),  welche  wir 
im  Anschluss  an  143)  so  schreiben 

and  ihre  Integralfunction  1.  Art 


4D6  09kingkau8:  EUiptüche  Integralfuncdontn 


'f 


l/l ^* 


0. 


Die  obigen  Gonstanten  der  Gleichung  haben  nun  folgende  Bedeutung 

^""    (Ä + «)«(a«  sin  o« + 6«  cbö  «•)  -^  o  V 

(o»  sin  g« + &>  cos  a»)(ig«—  b^)  +  2ir»(a«  cos  a«  +&»  sina«)— o«6» 
^^  (Ä  +  *)«  (a«  sin  a«+ 6«  C08  tf*)  —  ä«ft« 

3) 

2  A  (o  — «)  sin  2« 


C 


D 


(Ä+«)«(a«8ina«+*«C08a«)--  a%» 

(iZ  —  8)\a^  sin  g«  +  &»  cos  a«)  —  o»&« 
(Ä + «)2(aa  sin  o»  +  ^^  cos  «2)  —  a2&2 


Die  Anfgabe  bestünde  nun  d^b)  di6  Grössen  a,  ft,  iZ,  «,  sioa 
vermittelst  ABCD  anszudrQcken  und  daraus  den  Modulus 

4)  z*-  ^ 

*^  ^  «2  — (Ä  — ,)2 

herzustellen. 

Der  Torgleich  von  Ä  und  C  ergibt  sofort  die  Relation 

Ä  R+8 


C      R—s 

R      A+G 

nnd 
5) 

eingesetzt 

in 

4)  ergibt  sich 

-02) 

^(^-C)*-4C2 

Die  eigentliche  Untersuchung  beruht  also  lediglich  auf  der  Ermitte- 
lung  des  Verhältnisses  ~>  das  allerdings  noch  einiger  Zwischenrech- 
mng  bedatf. 

Aus  der  Formel  fax  D  erh&lt  man 

4(^2/)— C*) 


und  ihre  geometrische,  analytische  und  dynamische  Bedeutung.  407 

Hieraus  folgt 
oder  auch 

Aas  der  Formel  A)  folgt  femer 

a^  &2  4  am  2a  sin  2a 


wo 


(^-C)»(A+C) 

Die  Elimination  von  sin  2a  in  den  letzten  Formeln  ergibt 

(2+p-2P^)=ji-Q2.-,i.  woran. 

^"  P--V 

Beachton  wir  nnn,  dass  die  Formel  für  6)  abergebt  in 

B ^ 1 

80  folgt  bei  Einfübrang  von 

die  quadratische  Gleichung 
den»i  Wurzeln 


^^(4P«-2PJIf+Q« J»f±y(JÖ^4P)2+4Q2 


sind. 


408  Oekinghaus :  Eüiptiaehe  Integralfunctionen 

Der  Aasdrnck  M — 4P  kann  aber  dnrch 

2(A^D  —  C2) 
ersetzt  werden,  and  das  vorläufige  Schlnssresoltat  ist  demnach 

«2  4(^22)  —  ^)  ^ 

_  (1— i?4-i?)(^2— C2)+2(D— 1)(^— (7)2 

d 
Da  hiernach   -  bekannt  ist ,  so  ergibt  die  Snbstitntion  desselben  in 

5)  den  Modulus 

2M2— C2) 

^(l^B+D)(A+0+2(D-l)(A-C)\ 


(D^l)(2{AD+0^ß(A+0)^  M+C^C) 
welchen  Aasdrnck  wir  transformiren  in 


— 2C2 


7)     Z2  = 


\(A^D-C^K±V{A—QH'{1'-B+D)^+  3— J5— Z>) 
+2il(.lJ5— 2C)(Z>— 1)+  4-(^^-C'2)} 

i -|-i. 

2(A--o{{D^l){2(AD+C)^B(A+C))-  (±t^^^-^) 

Da  für  Z  zwei  Werte  bestehen,  so  existiren  demnach  für  jede  biqua- 
dratische Gleichung  2  Integralfunctionen ,  wie  dies  ja  schon  früher 
geometrisch  für  Ellipse  und  Hyperbel  nachgewiesen  ist 

Der  etwas  complicirte  Bau  der  letzten  Formel  lässt  eine  verein- 
fachte Form  wünschen,  um  dieselbe  für  gegebene  Fälle  in  branch- 
barer  Gestalt  benutzen  zn  können. 

In  der  Formel  sin  (^  ersetzen  wir  -j  durch  den  oben  gefundenen 
Wert,  man  wird  dann  haben 


und  ihre  geometrutche^  analgtUcht  und  dynamUcht  Bedeutung  409 


Q««« 

«Ofl^_                4  ** 

woraus 

(-"^V*?' 

Ferner  findet  man 

-COS«».        «-»^    \     *-       /. 

Ebenso  folgt  ans 

Iß     a^                     Iß  (iß        l    cß 
sin2a  «  ^  Ö^»      co82o  -  ^  (p-^^P^ 

-)) 

die  Fonnel 

cot  2«  = ^ — 2"  — 

«,2 

Fahrt  man  nun  in 

tga  =  —  cot2a  +  Vl  +  cot2o2 

den  obigen  Ausdruck  für  cot 2a  ein,  so  erhält  man  schliosslich  die 
redndrte  Formel 


8)  Z» 


Die  eleganteste  Formel   dagegen  gewinnen   wir  bei  Benutzung 
der  goniometri  sehen  Function 

sin  2a 

^"^1  +  C08  2« 

Die  hieraus  hervorgehende  Relation  für  Z'^  «  i  —  z^  ist 
Wir  eiiialten  also  folgenden  allgemeinen  Satz : 


410  Oektnghaus:  Elliptische  Integraljunctiontn 

Mit  jeder  biqnadratischen  GleichnDg 

tg«]p*-^tg<p»+5tg<pa— Ctg<p+Z>=:0 
sind  zwei  Integralfanctlonen  1.  Art 

r_      jyi .      f    _^dfp^ ,     P  dq>s 


+/vi^ 


'^'*        =c 


Vi  — 2:»8)n«p4* 

verknflpft,  deren  Amplituden  Worzeln  der  Gleichnng  und  deren  Mo- 
dnli  darch  die  Formel  9)  bestimmt  sind-  Die  Constante  C  ist  ent- 
weder =  2K  oder  Nnll. 

Vermöge  dieser  Darstellung  kann  man  jede  Gleichnng  von  dem 
geometrischem  Charakter  der  obigen  in  Beziehung  bringen  mit  ellip- 
tischen Integralen,  wodurch,  wenn  letztere  wieder  geometrisch  oder 
dynamisch  interpretirt  werden,  bemerkenswerte  Relationen  zwischen 
beiden  hervorgehen. 

In  diesem  Sinne  werden  wir  unter  andern  die  gegebenen  Ent- 
Wickelungen  benutzen. 

Setzt  man 

9 


J    yi  — Z^sing^s 


u,    9  *»  amu 


und  beachtet  die  Formel 


so  gewinnt  man  noch  die  Amplitudenfunction 

10)    amui-f'^°^^«"hft'^"8'4"^^^^  °^  arctg^^ b4-D 

Wir  geben  jetzt  die  Integral fuuctionen  für  elliptische  Integrale 
der  2.  Art  und  haben  demnach  die  Constante  der  Function 

2?y   Vi— Z2sin4^    •«2^z|^^C08a  +  2£ 

zu  transformiren. 
Man  findet: 


und  ihre  gtometn'schej  analytische  und  dynamische  Bedeutung.  411 

<^      (A+C)  1   (A—C)»+(l'-B+D+V(A^C)*-\-ä'—B+D)*)* 
l>*~(A—C)  Z*  (C*4-2D(1  — 5+D-fy(il  — C)»+(l— ö-fX>)«) 

a»  A*  —  C*Z'* 

o»  {A-^OU*—C*Z'*) 

^««"'-  J?*(^«2)-C»)        ' 

o»_  {A*—C*Z'*)(D  —  1) 
s*~        Z*U*D—C*)       ' 

P«*_i        (A*-C'')(Z'*D-1) 


C»4-  2Z)(l-f  Ä+/3+V(^  — C?)*+(l  -Ä  +  ß)»' 
Die  obige  Integralconstante  ist  also 


{A*—C»Z'*)  l/A»D-C* 
\/R  ^.    DZ'*-1     VdZ'*—! 


2Z - 1/  —  cosi — «  ,  ^,     >^^4v" 

F  (^«d-i)(u-c)*+(i-ä-i-jD)»)' 
«z«»  l/gH-2^(i~^+^±yc^Q^+(i-^+iP)^ 

Also  haben  wir  folgenden  Satz: 
Li^  vor  die  Gleichung 

tg<p*-^tg(p8+i9tg«p2-ct«g,4.i>  „0, 
so  besteht  mit  ihr  die  Integralfonction  2.  Art 

10)   J^l^^^^iin^^ii^J^ 
+/y  1  —  ^^in(p4l^dfp^ 

worin  Z  vermittelst  9)  bekannt  and  E  das  vollständige  elliptische 
Integral  2.  Art  ist.     In    geoaratrischen  Anwendungen  gaben  diese 


412  Oekinghaus:  Elliptische  Iniegralfunctionen 

Integralfauctionen  nene  Sätze  aber  diejenigen  Verhältnisse,  welche 
die  Rectification  der  Ellipse  berühren,  wie  wir  dies  gleich  nachweisen 
werden. 

Wir  führen  hier  noch  an,  dass  die  obigen  Ableitungen  sich  sehr 
vereinfachen,  wenn   für  die  biquadratischen  Gleichnngen  die  Redo- 

cente  A^D—  C«  =•  0  besteht.    Es  ist  dann  2«  =  l  —  ^  oder^«=^ 

Die  Bedingung  wird  fiir  die  Wurzeln  durch 

1 


tgVitg<)P,  «  tg<p8tg<P4  =  ^D 


^2! 
ansgodrttckt  und  das  Additionstheorem  gibt 

^9z + JS^jPi  =  ß4"  ^  sin  <P8  8iu  <P4, 
also  ist  auch 

sin  9]  sin  92  "4-  sin  9^3  sin<p4 

_l/C2+2i>(l  — ^  +  Z}-|-y(^— cy+(l-~i?-f-/))2) 

u.  s  w. 

Für  die  Integralfunctionen  3.  Art  sind  bezüglich  der  Gleichung 
151)  leicht  analoge  Formeln  aufzustellen,  und  man  findet,  wenn  spe- 
cicU  R-\'8  ^  h  gesetzt  wird  für  die  entsprechende  Integralfanction 


/: 


rfV  _    ., 

■—    U, 


COS<]p2yi_j22giin^2 

die  Bedingung 

Wie  wir  schon  früher  nachgewiesen,  existiren  zugleich  mit  den 
abgeleiteten  Integralfunctionen  zahlreiche  Formeln  symmetrischen 
Charakters  zwischen  den  Wurzeln  der  Gleichungen,  unter  welchen 
manche,  wie 

^<Pi  ±  ^<P8      sin  (<JPi  ±  9j) 


^<P3  ±  ^94      sin  (9>s  ±  94) 
eine  geometrische  Erklärung  zulassen. 


etc. 


Eine  Erweiterung  der  Functionen  lässt  sich  noch  auf  folgendem 
Wege  anbahnen. 

Mit  der  in  §  1.  gegebenen  Gleichung 


und  ihre  geometrische,  antUy tische  und  dynamische  Bedeutung.  413 

ist  die  daraus  leicht  abzoloitende  kubische  Resolvente 

verknttpft.    Ihre  Wurzeln  stehen  mit  denen  der  Hanptgleichnng   in 
folgendem  Znsammenhang 


a^  + 

3//  + 

1 

+  3^  ^ 

0, 

dxi 

dx^ 

tkc^ 

9a;4 

h+ 

1 

1 

8./ 

1 

V^i 

■dx. 

dx^ 

3«3 

dx4 

1 

3//  + 

1 

1 
""3^  "" 

V-^8 

dxi 

Szff 

dd:3 

3fl;4 

1 

1 

1 

+  3//  " 

'V^. 

82^       dx2      dx^       dx4 

Mit  der  ersten  treten  demnach  in  Folge  von  w-  dx-{'K-dy=0 
noch  3  andere  Fanctionen 

^fjk)^!^^"^  V*^)=/^''^'  ^f^)^!"^'" 

auf.  Gelingt  es  nun,  z  als  Function  von  y  zu  bestimmen,  so  würde 
die  noch  zu  erfolgende  Integration  dieser  und  der  übrigen  Ordnungen 
die  allgemeine  Auflösung  des  Problems  zur  Folge  haben. 


§  22. 

Wir  geben  hier  eine  Zusammenstellung  der  wichtigeren  Resul- 
tate: 

Liegt  die  Gleichung 

11)  tg«p*— ^tgg>»+i?tg«]p2— Ctg«]p  +  I>  =  0 

vor,  so  hat  man 


414  Oekinghauti  KlUptittche  Inttgralfunctioneu 

t/    Vi  — ^8iii(pi«"*"t/    Vi— -2:2giny^2"^J    yj-4^8in9>j2 

V     Vi  — JK28 


12)  V    yi  — JK28in(p4«' 

^24.2(1— B+z)±y(^— c)2 +(1—2;  ^-z>)2] 


^'2 


8111  <Ps^ 


C2  4  2D(1  —  Ä  -f-  i>  +  y  (^  —  Cj2  Hp(i  —  i^+  Df) 

Ferner  ist  mit  der  Gleichang 

cotcp*  — -4cotg)3+/^cotg)2  — ^cot<p4--^-^  =•  Ö 
die  Function 

./    yr—Aäsing^i^i'^t/    Vi  — ;i2  8in9,2'^/    yi-A28 

^</    Vi  — A2sin942 
verknüpft,  und  es  ist 

^,2  ^  C'2+2Z)(l~i^+i3+yu>~C)2+(l-i^+^)^") 
^2+3(l-J5+Z>+y(.l~C)24.(i-.^4./>)2) 

Aus  den  Modnli  folgen  die  Balationan 

Z'H'^  =.  1, 

^       ^     z'^      ;?2— 1 

Für  die  kabifiche  Gleichung 

14)  tg9«— iltg9>2-j-i?tg9>— C«0 

gelten  die  Formeln 

r '^^    -  4.  r. ^9^ .  /",    ^  _  ^  2ä' 

J    yi  — ^28iQg,ja    »^   Vi— Z28in9s2   '  J    Vl-zasin^a* 
...     ^,2       ^2+2(l~/^±yri"-C)2+(l--i?)2) 

15)      Z  »  =  j^2 

Bemerkung.    Wird  in  14)  il  =  0  gesetzt,  so  besteht  fttr  die  re- 

ducirte    Gleichung     tgy'  — -ßtgy  —  C  «—  0    bei    Benutzung    von 

C  2 

tgf  «-  TaTb  ^^^  Ausdruck  Z'^  «  ^cotjf. 

Ferner  ist 


und  ihre  geometrüehe,  analytische  und  dynamUehe  Bedt^lung.  415 


sin  qps^ 


16)      il'2  -  ^ 


j52+2C(C-yl)i:y(^-C)2+(l-Ä)2 
Legen  wir  endlich  die  Gleichnng 

zu  Grande,  so  gilt  zunächst  die  Function 

i/  Vi  — f»28ing,,2     J  Vi  — ^2giiig,g2"^J   Vi  — ^asin^)«^ 

17)  |i'2  ^  ^-f-2C(C-^iy(yl  — C)2+(l— ^)2) 
und  noch 

«/    Vi  — ySsinvi*     t/  Vi  — v28in9>,2  "^J   Vi  — v«8in<P32 

C2 

18)  v'2 ^^ 


i42+2(l  -ıy(^— C)2  +  l  —  ^)2) 

Man  kann  in  den  ohigen  Gleichungen  tg^  »  X;tgt/;  setzen  und 
in  den  Aitsdrficken  fOr  Z^  etc.  für  geeignete  Werte  von  k  die  Moduli 
rereinfochen.  Auf  Gleichungen  2.  Grades  kommen  wir  nachher  bei 
Betrachtung  der  Schliessungscurven  zurQck. 

Man  bemerke  noch,  dass  die  Aufgabe,  für  4  gegebene  Ampli- 
laden  tp  den  Modulus  derart  zu  bestimmen,  dass  die  Integralfunction 
12)  hierfür  erfflllt  ist,  durch  das  Vorstehende  ihre  Lösung  gefunden 
hat. 

§  23. 

Die  gegebene  Ableitung  des  Wertes  für  den  Moduhis  Z  aus  den 
Constanten  der  Gleichungen  können  wir  noch  in  anderer  Hinsicht 
verwerten  und  damit  die  Bedeutung  der  Functionen  erweitern.  Wie 
das  Beispiel  der  Kegelschnitte  zeigt,  steht  mit  den  Amplituden  q>iq>2qfs 
die  vierte  94  durch  die  Function 

in  Verbindung. 

Man  kann  nun  diese  Function  allgemeiner  fassen  und  alle  Werte 
Ton  ^  zu  bestimmen  suchen ,  welche  den  folgenden  Relationen  ent- 
sprechen : 


416  Oekinghau»!  ElUptUrhe  Inttyralfunctionen 

Fi+Fj  +  F,  =  .FV, 

t 

— ^1  +  ^2+ ^8=^4- 

Die  Aufgabe  würde  sich  also  za  einem  Additionstheorem  gestalten 
mit  der  Forderung,  zu  drei  gegebenen  Amplituden  9  der  eP'ptischen 
Integrale  1.  Art  die  t/;  Amplituden  ihrer  algebraischen  Summe  an- 
zugeben. 

Die  Constanten  in  der  Formel 

haben  die  folgende  Bedeutung,  wenn  tg94  =  tg^  =»  J?  gesetzt  wird, 
^  ^tg«)P,  +  tg9)g+tg<P3  +  Z, 

B  «=■  tg(Pitg9Jj  +  tg92tg98  +  tg9stg<)Pi  +  -^(tgg'i  +  tg9,+  tgqPj,), 
C=tg<jPitgg)2tg9)8+Z(tg9itgt)P2+tg<jp,tg93  +  tg<Pstgg»,), 

^=  tg<Pitg<P2tg<P8-^. 

Da  ()Pi<Pt<P3  bekannt  sind,  so  schreiben  wir 

tg<Pi  +  tg(p,+tgg>8  =  a, 

tgVitgqpg  +  tgcpgtg^s+tgVatgy,  «&, 

tg9>itg<]P2tgg)8  •=■  <? 

und  daher  ist 

A  «=  a-|-«, 

^  «&-f  o«, 

Substituiren  wir  diese  Werte  in  Z*^  und  schaffen  dnrdi  Qua- 
driren  die  auftretenden  Wurzeln  fort,  so  resultirt  nach  einigen  Eint- 
Wickelungen  die  folgende  für  ^  biquadratische  Bedingungsgleicfaung 


und  ihre  geometrische^  analytische  und  dynamifche  Bedeutung.  417 

/    (a-ÄcZ'«)(l— &«^'2)— 2(a— c)(l— &)Z'V*+2(1— Ä)«Z'«y  \ 

U(l-/J)(l— /3«-?'*;Z'V+2(a-c)Z'«y(a— Äc^«)--(a— c)(l— &^Z'«)j 

+tgt^*X 
/    (a-ÄcZ'«)»+i(a2— c2Z'2)(l— i»Z'»)— (a— c)»Z'V— (1— Z»)*  \ 

( +4(a— c)(l— J)Z'2c— 2(1— Ä)Z'«c(a-Z^c^'«)+(l -&)(1— &«Z'«)  j 

+(a-c)Z'«c(a«— ^'c«)— 2(a— c)(a-icZ'*) 

/    (a-ÄcZ'J^Xa*-c«2:'*)+2(a-c)2Z'^c--2(a— c)(l-&)  \ 

U(l— Ä)Z'«o(a«— Z'V)+2(1— &)(a— ÄcZ'2)— (a— c)(a5f-~c»Z'«)/ 
+(«a>-c»J2r'»)+l-P)«-{(a-c)«+(l-i)^)  «  0. 

Um  diese  Formel  anf  das  bekannte  Additionstheorem  1.  Art  mit 
2  Amplituden  anzuwenden ,  haben  wir  cp»  ■=»  0,  also  r  «  0  zu  setzen 
nnd  die  Gleiehung  19)  wird  zu 

tg^*(l— ft«-^'»)«— 2tgi^?(a«(l+6«ir'«) -2Ä(l-&)(l-&Z'«))+a»(a*- 4i)=0, 

worin 

ö  =  tg(Pi  +  t«(Pg,    h  ==- tg qp,  tg gpj. 

Ans  dieser  Gleichung  oder 

tg,^l-Z'»tg9i*tg<P2*)»--2tgt|;«((tgipi«+tg<p,*)(l+^'*tg9i^te^^^ 

+2(HZ'^)tg(p,^tgip2«)+(tg(Pi>-tg<p,2)2  «  0 
erhalten  wir 

♦  .  2  ,  .    ,  ,    ^/(tgyi^  f  tgy,)(H^^^tg<)P,^tg<p,^)+2(H-Z^«)tgy^'tgy,\ 
tgiJ'a*+tg^,*«2^^ (l^Z'Hgq>^^X^fp,^^ j 

woraus  nach  einigen  Rechnungen  und  Umwandlungen 

tg V'i  +  tg*2  -  ^^1 i-jj'ttg(p'«tgg),* ' 

*  I    ,„,     o,^^  yr+(i+ ^^^) tg y,»+ ^-^ tg ^^ 

tg i^i  -  tg  *,  -  2tg  <p, ^-_  z't^yt^^t ' 

welehe  auch  so  geschrieben  wordoii  können 

Bin2yj  Vi  —  Z^  sin  y^* 


tgtpi+tgif^g«  — ~j 


cos  9>j  *  cos  9^ — Z'^  sin  <jPi*  sin  g?,* 


Areli.  d.  Matb.  n.  Tliys.    2.  BMliP,  Toil  I. 


o 


Z  I 


418  Oekhighaus:  Eäipiische   In tegralfunctionen 

8in2ygyi^Zi8myj» 

Hicraos  läset  sich  noch  ableiten 

2  tg  fPi^fp^ 


tg(i/;,-.^j,) 


2tgcp,//(p, 


80  folgt  aus 


schliesslich 


Führen  wir  ein 

tgTi^<P«  =  tg<y,, 

tg  qpg^<jp,  =  tg  tf, , 

V^i  +  ^'a  •=-  2<yj, 
t»^,  —  tp2  —  2<yg, 

^«  =  <Ji  —  «Ja- 
Auf  diesem  Wege  sind  wir  also  zu  bekannten  Resultaten  gelangt. 

§  24. 

Ableitung  einer  2.  Integralltinction. 

Wir  worden  uns  jetzt  mit  der  Frage  beschäftigen,  ob  es  ausser 
den  vorhin  gefundenen  noch  andere  Integralfuncüonen  gibt,  welche 
den  elliptischen  Integralen  1.  und  2.  Art  entsprechen. 

Wie  man  im  vorigen  §  gesehen  hat,  hängt  die  Existenz  derselben 
davon  ab,  durch  eine  analytische  Betrachtung  einer  geeigneten  biqua* 
dratischen  Gleichung  von  geometrischer  Bedeutung  zun&chst  eine 
elliptische  Integralfunction  zu  erhalten  und  ferner  den  aas  den  Pa- 
rametern der  Gleichung  zusammen  gesetzten  Modulus  durch  die  Con- 
stanten der  fflr  sie  substituirteu  Gleichung  4.  Grades  zu  bestimmen. 
Von  den  wichtigeren  Gleichungssystemen  dieser  Art  wählen  wir  hier 
noch  die  folgende  Function  aus,  welche  sich  den  vorigen  ungezwun- 
gen anschliesst. 

Wir  greifen  nochmals  auf  die  Gleichung  143)  zurück,  um  die- 
selbe für  unsern  Zweck  einer  Transformation  zu  unterwerfen. 

In  der  Function 


-/ 


K'-..-t?-.).'"«»' 


führen  wir  folgende  Substitutionen  ein 


und  ihre  geoauirische,  auafytitche  und  dynamische  Bedeutung,  419 

4A 


^^-^i_(jg_^)r    ^sini^«  «  sing» 
c.y  eZy 


8 

» 


C08<;p  = 


In  Folge  dieser  Relationen  geht  die  Gleichung  107)  in  die  fol- 
gende aber: 

cosqR*  1-2-J/  - ^Bina.cosyH^?*- (  gSin«*— ^ — s«8 ^+-  g^osa*  1  cosy* 

20) 

und  auch  hier  ist  zn  entscheiden,  ob  dnrch  Vergleich  dieser  mit  der 
ihr  identischen  Gleichung 

cos^)^ — Aeo^qa^ -{- B^O^fp^ -^ Cco% q>'\- D  =-  0 

sich  die  Relationen  ~,   sina  etc.  der   ersten   Gleichung   durch   die 
Constanten  der  zweiten  und  damit  der  Modulus  der  Function 

J   \L      a2  — (Ä— #)2  .      ,  J    yi-A»sin(p^ 

bestimmen  lassen. 

Zo  diesem  Ende  setzen  wir 

h\/R  . 
A  —  —  2Z-^-  sma, 

_,Ä  /o^cos «a+Äasin ««      (^2+  a2-«2)v 
^  ^  ^7  V ^^  2ä2         ) 


a^^B^^s^b 


2Rs         c 


rj2« 


l^  -sma, 


(gl  -l-i?«  ^  #2)2  —  4R»  o»  cos  «a 

Die  Diyision  von  ^  ergibt  zunächst 
^^^  il  Rs  ' 

«7« 


420  (Jekinghauit:  ElliptUrhe  Jntei/rcUfunciiouen 

Ferner  ist 

22)  -    - —  —  +-j-  -  cos«*.  Z*  und  -4*  =  -y  -sino«-Z*, 

C^  —  A^D       1  a«  ,    . 

23)  ^p ==^-,-C08««Z*. 

Atti 

a«^Ä«-«,«  «  a«  — (Ä— «)«  +  2i?*— 2Ä  folgt 


24) 

also  ist  auch 

woraus 


rtS+Äii— ,« 


'^  Z*  +  2  \s       V 


Aus  21)  folgt 


47?« 

4Ä    C      o*  I    Ä« 


wir  sctxcn  hierin  ans  23)  den  Ansdmck  ftr  ^  em, 

Ans  der  letiten  Formel  in  Verbindnog  mit  &) 

R 

.4/>— C«  ^^  * 

27)     <^^--l^:fc^  RA--C 

^■^«    A+C 

Ditidiit  man  die  erste  der  Gkkte^gea  2?^  dwok  n»«^.  Ar  iwtr.f 
dirdi  sin«^  «nd  sabtnlnit^  so  r»akin  Wi 


Ei  Mt 


1  — 


R  i  Jk-i-C 

-I-^    - -1— 


i 


und  ihre  geometrUehe^  analjftuche  und  dynamische  Bedeutung,  421 

Aus  27)  folgt  aber 


Id  Folge  dieser  Werte  geht   die  Gleichung  28)   nach   einigen  Re- 
doctionen  über  in 

Entwickelt  man  nach  Potenzen  Ton  2,  so  erhält  man  die  qua- 
dratische Gleichung 

+2.(~4^(l-i>)-8(4+C)+^34^2^-.C2^^i>)  ^'^^j"^^ 

2  AA-C  1 

Da  «  —  ^  -^  und  ^"^  ^^  ist,  so  ergibt  die  Auflösung  fol- 
gendes Resultat. 

'-A(A^-^4AB+HCf)+A(AC^-'4:ABD+SCD)  

+2(A^D-'C2)(3+B--D±(  y(l^B+D)^-{A+C)^) 

U^C)(^(A^^4AB'\-BC)^AD+A^C-'4BC 

+SCD+ACi^4ABB+4BCD''SAD^'-Ci) 

Dcmgemäss  haben  wir  den  Satz: 

Mit  jeder  biquadratischen  Gleichung  von  der  Form 
31)  cosq>* — A cos qi^-^-B cos qi^  —  Ccostp-^-D  «  0 

ist  die  Integralfünction 

3^>)    r  ^"^^       "  4-  r         ^^^  4-  /*— -z.=Ä=_ 


^t/    Vi  — Ä2  8inqp^2 


verkoflpft,  deren  Amplituden  durch  die  Wurzeln  der  Gleichung,  und 
deren  Modalns  durch  den  Ausdruck  in  30)  bestimmt  sind, 


422  Oekinghausi  EUiptUche  InUgralfuneÜontn 

Letzterer  kann  anch  aus  der  Formel  für  Z'^  »  1  —  Z^,  nämlich 


ans 


berechnet  werden. 
Femer  steht  mit 

sin  9)^  —  ^  sin  9* -f- -^  8in  9^  —  ^sin^ -|- 'Z^  z=r  0 
die  Integralfunction 

J  Vi-ttasimpi«"^!/    Vi— t*«8in<p,2^J   Vi-«? sin 9,« 

1/    yi— tt2smy4* 

in  Verbindung,  deren  Modnlns  u  ans  dem  fUr  X  gegebenen  Ansdmck 
vermittelst  u'«  ;'2  «  1^  ^orin  a'2  «=  1  —  u«  nnd  X'«  —  1  —  X«  berechnet 
werden  kann. 

Für  Gleichungen  dritten  Grades  ist  zu  beachten,  dass  ans 
cos  <p4  =  0,  1P4  =  90^  folgt,  das  entsprechende  Integral  also  zum  voll- 
ständigen Int^pral  K  wird. 

Um  die  elliptischen  Integralfnnctionen  2.  Art  aufzustellen,  haben 
wir  die  Constante  der  Function 

2:  /*yi— X^sintp^  «  2^j/^cosa 
zu  transformiren. 

Dieselbe  wird  vermöge  A=:  —  2Z  •  1/  -  sin«  durch  —  ^  cot  a 

ausgedrückt,  nnd  wenn  wir  noch  coto  einführen,  so  erhält  man 
schliesslich 


33) 


y  y  1— X»  sin  g>i2  ^9i  2  .^  /^  y  1  —  X«  sin  y^ä  rfg,, 

+y  Vl-^*8ing),2rfq>3+  /*yi  — Xasin94^<i94 

Vermittelst  der  K^elschnitte  sind  wir  also   durch  das  Vorste- 
ide  in  den  Besitz  zweier  Integralfhnctionen  gelangt,   wdche  auf 


und  ihre  gtomelrische,  antUyiUche  und  dynamuche  Üedeuluny,  423 

einzelne  Teile  der  Geometrie  neues  Licht  zu  werfen  im  Stande  sind. 
In  den  folgenden  §§  geben  wir  eine  Anwendung  derselben  in  geo- 
metrischer und  dynamischer  Betrachtung,  um  die  entwickelten  Func- 
tionen so  viel  als  möglich  zu  verwerten.  Ob  noch  andere  als  die 
g^ebenen  möglich  sind,  werden  wir  später  entscheiden. 


§.  25. 
Geometrische  Anirendongen. 

Ein  Kreis  vom  Halbmester  a  schneide  eine  Ellipse  in  4  Punkten. 
Wir  ziehen  senkrecht  zur  X-Achse  durch  dieselben  Gerade  bis  zu 
dem  die  Ellipse  umschliessenden  Kreis  und  bezeichnen  die  Winkel 
zwischen  den  entsprechenden  Radien  a  und  der  kleinen  Achse  mit 
7.  Dieselben  werden  durch  die  Wurzeln  der  folgenden  Gleichung, 
in  welcher  R{a)  die  Polarcoordinaten  des  Kreismittelpunktes  dar- 
stellen, gefunden: 

tg  9*  ((iP — «2  ^  a2j2  _  4222  a2  cos  o2)  _  4^  7J2  sin  2«  tg  9» 

34)     +(2(ä2  — «2^a2)(222_^^^2)_4^a2coSft2-|.Ä28i|io2))tg(p2 

—  4a6i2asin2atg9  +  (i22  — ,2^52)2__4i22i2gina2  «  q. 

Wenden  wir  hierauf  die  erste  Integralfunction  an,  so  erhält  man 
als  Modulus 

Aa^lßl^  sin  2c^ + g*  ((iZ^  —  g^  -f  g^)»  —  4.B?d^  cos  c^) 
^)    ^    —  4aßißE^  sin  2a2  -f-  c\{E^  —^+ ^f  —  4Ä2ft2"sin  a^) 

nnd  die  Function  ist 

dtp 


'/vr:: 


Vl  —  Zasinyi 


«2ir. 


Bemerkenswerter  ist  die  Integralfunction  der  2.  Art,   wenn  die- 
selbe auf   die  vorliegende   Ellipse   bezogen    wird.     Man    hat    nur 

Z' «  -  zu  setzen,  und  die  Bedingungsgleichung  hierfür  ist 

36)  ^-JK*sin2«2-4  ^(a*cosa2—6*sina2)-f-(JK2— «2^024.^2)2  _  «2^2 

weshalb  nach  33)  resultirt 

37)  Efp^-\'Etp^'\'Eq>^'\-Eq>^ 

«  2E+  -  ^  ^  (a2 cos «2—^ sin «2)  -  2(^2— «2)  _o2_;^2, 


424  Oekinghatis:  EUiptiaekt  InlegralJunctioMn 

oder  wenn  wir  die  Ellipsenbogen  aE<pn  =  Sn  einfahren  und  die  Ckm- 
stante  durch  Elimination  von  s  transformiren 


38)    iSi+Äj+iSa-f  S4  «  254-2|/a2— ^VBina2_2|/&24.^jR2cosa2 


Setzt  man 


39) 


yj-  ^m^.^-\/i^ + ^Vcos«^ = ., 


so  erhält  man  die  Curvengleichung  4.  Grades: 

40) 

-  +  i^(ö  +  *  +  ^0(«  +  &-rf)(a-Ä  +  rf)(-o+Ä  +  €£) 

Die  algebraische  Summe  der  Ellipsenbogen  bleibt  fUr  den  Fall, 
dass  R{a)  auf  dieser  Curve  bleibt  und  «  durch  36)  bestimmt  wird, 
constant 

Fttr  Gleichungen  3.  Grades  wählen  wir  den  Fall  der  Normalen 
einer  Parabel.  Der  Schnittpunkt  der  Normalen  habe  die  Coordinatcn 
R{a)  in  Bezug  auf  den  Brennpunkt.  Der  Polarwinkel  eines  Nor- 
malenfusspunktes  sei  ^,  vom  Scheitel  an  gerechnet.  Die  bezQi^iche 
Gleichung  ist  dann 

41)    tgi^3^(l+-cosaWi^-^sina«0. 

Der  Modulus  der  entsprechenden  Integralfunction 

r     <i\^i .  r     d^^i 

J   Vi  — Z2siniV      »^   Vi— Z2sini<>s 


2^ 


+/ 


yi  —  Z2  sin  1^32 


2K 


r  R — r 

ist  sehr  einfach,  da  Z^^  «  ~  ist,  also  ist  Z^  = 


s  =- 


9 


R   "**'  ~""  "'  Ä  '  008  4««* 

Führen  wir  ^'  «  im^  —  ^  ein,  so  erhält  mau 

42)       cot^'3^(l  +  ^cosa)  coti^'—  -sin«  «  U. 

Der  Modulus  wird  wegen  v'^  =  -  ,  v^  = ,   und    die  Punc- 

r  r 

tion  ist 


und  ihre  ffßonutrusckty  analyUacht  und  dynamische  Btdeuluny.  425 


+/ 


rfi^s'  „^ 


|A--^~8iniV 


Will  man  diese  Gleichungen  auf  die  Pendelbewegung  anwenden, 
SO  ist  für   die  vorliegende  Function =  y    einzuführen ,   wo    /i 

die  Geschwindigkeitohöhe  im  tiefsten  Punkt  des  Kreises  vom  Ualb- 
measer  *  ist.    Für  r  =  ä  ist  s  —  R  »*=  2*  und  es  ist  *i  +  «2  +  <3  =  <• 

8  R 

Man  sieht,  dass  das  Yerhftltniss  r  nur  von  —   abhängt. 

Setzen  wir  demnach  in  -,-  «=1 das  Verhältniss  -  =  /  fest, 

n  r  r 

SO  erhalten  wir  wegen  r  =«  — p^  auch  /  ==     cosia*=   (1  +cosa). 

^  cosia*  q  P 


Ans  dieser  Gleichung  erhalten  wir,    wenn  die  x- Achse  nach  der 
positiven  Richtung  der  Parabel  genommen  wird,  als  Gleichung  für  den 

geometrischen  Ort  constauten  Verhältnisses  r  die  Parabel 

n 


,«»2p/(a:+f). 


welche  mit  der  gegebenen  confocal  ist.  Hierbei  kann  der  Kreis  und 
die  Geschwindigkeitshöhe  des  in  ihm  sich  bewegenden  Punktes  be- 
liebig gewählt  werden,  ihr  Verhältniss  muss  aber  constant  bleiben. 

Dieser  Innern  Parabel  entspricht  eine  polare  äussere  confocale 
Parabel 


if' 


K-+?) 


als  geometrischer  Ort  der  Schnittpunkte  dreier  entsprechenden  Nor- 
malen der  gegebenen  Parabel,  deren  bezügliche  Zeiten  t  der  Be- 
wegung durch  die  Relation  <j -|- *«  +  ^3  =  2*  verknüpft  sind.  Da  f 
and  damit  der  Modulns  2<^1  ist,  so  entspricht  bekanntlich  die 
Bewegung  dem  Falle  der  vollen  Umkreisung.  Die  derselben  Ampli- 
tude ^  entsprechenden  3  Parabelradien  RrR'  haben  wir  schon  er- 
wähnt, die  Relaüon  r«  =  RR', 


426  Oekinyhaui:  Elliptische  Integral/'unctionen 


§  26. 

Die  Gleichung  34)  im  vorigen  §  nimmt  fttr  die  Unbekannte  cos  9> 
folgende  Gestalt  an: 

^  ,  4itt  .              ,  ,   /4Ä«(a«C08a*+6«8ina«)     (aHÄ*— **)\ 
cosg>*H — Y  8ma.co8(pH"  ( 1 ^ ^ Icos^* 

42) 

4/26  .      a«+i2«— ,»         ,  (a«  h/?«-*«)«      4äV        ,     ,, 
^smo. -j C08g>H 4 r-co8a*«0. 


c 

Auf  diese  Gleichung  lässt  sich  die  in  §  24.  entwickelte  Cosinas- 

function  anwenden,  deren  Modulus  A*  «=  — j|  =    ^^  aus  der  dort 

entwickelten  Form  oder  auch  ans 

berechnet  werden  kann. 

Es  ist 

A^'-^AB  +  SC'^  64  -  6~8in«cosa^ 

c 

AW  -C^^  -  64  -^-sina^coso^. 

c^  b* 

Wir  setzen  auch  hier  A*  «    ,  also  Z'*  = ,  fest,  bezeichuen 


c 


2 y 


und  erhalten  schliesslich 


+y2 -4— C0sa2 


c2 
und  y  wird  bestimmt  durch  eine  Gleichung  4.  Grades 

43)    y*-2y^(^--^(a2cosa2+&28ina2)jj^--2(~-^-cos^^^ 
+  :^-  -  -T-C08a2— -^sin«^  _  0. 


Äf 


i 


mtid  ihre  gwmBiruehey  analytische  und  dynamische  Bedeutumj.  J^l 

Die  Bedeatang  derselben  ist  die,  dass  zn  jedem  Pankte  R{a) 
in  der  Ebene  einer  Ellipse  4  durch  die  Wurzeln  dieser  Gleichung 
bestimmte,  und  aus  8^  =  a^'\-B^  —  fßy  vier  Badien  berechnet  werden 
können,  deren  entsprechende  Kreise  auf  der  Ellipse  Bogen  begren- 
xen,  wdche  durch  die  Formel 


44)         2:al/l  — ^sinyg- --cosa     }—l-. 

in  Verbindung  stehen. 

Als  2.  Beispiel  wählen  wir  die  Gleichung  der  Normalen  der 
EDipse  und  zwar  in  der  leicht  abzuleitenden  Form 

C08g?*+  -^8ina,co89'+-4  la*  —  -ös  — <?* sin a*j cos qp*  , 
^-sina.cos^ -j-sin«*  =  0. 

Die  Anwendung  der  bezflglichen  Integralfnnction  auf  diese  Glei- 
chung würde  demnach  ciuo  Relation  zwischen  den  4  durch  die  Nor- 
malenfnsspunkte  bestimmten  EUipsenbogen  ergeben,  wenn  wir  wieder 

i*  —  -•  setzen. 


Die   ans   dieser  Annahme    hervorgehende    Bedingungsgleichung 
wird  sehr  einfach 

«v  ^--J L-. 

^  c*        sina*      cosa*  ' 

oder  in  Cartesischen  Coordinaten 

47)  »«y*  -  c«(x«  — y»), 

nnd  hierfftr  ist  zunächst 


J  j/l-Ssing)* 


—  2ir, 


and  ferner 


sin  o> 


f  #   1/  1 jSin^'/i^  —  — smo  W ^ 


48)     X  /   1/ 1  — ~  sinqj'rfy— ^sina  |/ ^f --4-2?;, 

sino^ 


426  Oekinifkaux:  EUifUiache  IntegrtU/unciioiten 


§  26. 

Die  Gleichung  34)  im  vorigen  §  nimmt  für  die  Unbekannte  cosip 
folgende  Gestalt  an: 

.  ,  4itt  .  ,  ,   /4Ä«(a«C08a«+6«8ino«)     (aHÄ*— **)\ 

COS^H Y  8ino,C0S(p*+  ( r^ ^ ^ IC089* 

42) 

4/26  ,      a«+Ä*— *»          ,  (a«  h/?«-««)»      4äV         ,      ^ 
— j-sm«. — ^— sj cos<jD-| — —  4 r- C08a*«=»0. 

Anf  diese  Gleichung  lässt  sich  die  in  §  24.  entwickelte  Cosinas- 

function  anwenden,  deren  Modalus  A«  «  —^  =    f^  aus  der  dort 

entwickelten  Form  oder  auch  ans 

berechnet  werden  kann. 

Es  ist 

A^  —  ^AB  +  SC-^  64  ~6— sinacosa«, 

c 

A^D  -C* 64  — ^    sina^cos  o^ 

Wir  setzen  auch  hier  A'  »    ,  also  Z''  =  —    »  fest,  bezeicbueo 

3 y 


c 
und  erhalten  schliesslich 


(l-y)2«    ^  4R2«2 

^+S^ ^COSO^ 

und  y  wird  bestimmt  dnrch  eine  Gleichung  4.  Grades 

43)    y*-2y3+^^-— (a2cosa2+&28ina2)jj^_2(5-^co8«2jy 
+  ^ — -r-C08a2 -^8in«^  -  0. 


und  ihn  gwmUnsehe,  analytische  und  dynamische  Bedeutumj.  427 

Die  Bedentaog  derselben  ist  die,  dass  zu  jedem  Pankte  R(a) 
io  der  Ebene  einer  Ellipse  4  durch  die  Wurzeln  dieser  Gleichung 
bestimmte,  und  ans  s^  =  a^'\-B^'-fßy  vier  Badien  berechnet  werden 
können,  deren  entsprechende  Kreise  auf  der  Ellipse  Bogen  begren- 
zen, weiche  durch  die  Formel 

44)         -Sa  1/  1  —  ^  smg)^  —  -^  cos« 


'  K^+^ 


in  Verbindung  stehen. 


Als  2.  Beispiel  wählen  wir  die  Gleichung  der  Normalen  der 
Ellipse  und  zwar  in  der  leicht  abzuleitenden  Form 

C08q»*+  —j- Sin  «.cos  9^+14    l^     *""    o«""<?  91°«    )C089^     » 

2bR                          b^R* 
-j-  sin  a.  cos  ip -j-  sin  «*  ==  0. 

Die  Anwendung  der  bezflglichen  Integralfunction  auf  diese  Glei- 
chung wfirde  demnach  ciuc  Belation  zwischen  den  4  durch  die  Nor- 
malenlnsspunkte  bestimmten  EUipsenbogen  ergeben,  wenn  wir  wieder 

i*  —  -5  setzen. 
ar 

Die  aus  dieser  Annahme  hervorgehende  Bedingungsgleichung 
wird  sehr  einfach 

«^  ^__l L_ 

'  c*       sin«*      C08O* ' 

oder  in  Cartesischen  Coordinaten 

47)  «»y«  -  c*(x»-y»), 

and  hierfflr  ist  zonichst 


—  2ir, 

Sing)'' 
und  ferner 


-  sin  a* 


48)     £  /*^/i— ^^  sin ^2 ^^  «.  ^ gino  1/ „s ^- - -f  2ß, 


~ä  sin«' 


428  Oekinghaus:  KUiptische  Intet/rtU/unctionen 

oder  die  algebraische  Summe  der  Ellipsenbogen  ist,  im  Fall  R(a) 
auf  der  obigen  Curve  liegt,  durch 

49)  ÜS^—  Va^  cos  a* — h*  sin  «» + 2S 

ausgedrückt. 

Bemerkt  man  aber,  dass  diese  Curve  a;*y*  =»  c*(x'  —  y*)  als  ein- 
zigen Parameter  die  Excentricität  der  Ellipse  besitzt,  so  gewinnt  man 
das  allgemeinere  Resultat: 

Mit  sämmtlichcn  confocalen  Ellipsen  von  der  Excentricität  c  ist 
eine  eigentümliche  dnrch  die  Gleichung 

yi  X^  C* 

* 

charaktcrisirte  Curve  verknüpft ,  welche  die  Eigenschaft  besitzt,  dass 
die  von  jedem  ihrer  Punkte  R(a)  zu  jeder  Ellipse  gezogenen  4  Nor- 
malen entsprechende  Ellipsenbogen  bestimmen,  deren  Summe 

2R  , 

Si  +  S^  +  Sji  +  S^  ==  28-] Va*cosa«  — ft^sina« 


in  Bezug  auf  den  entsprechenden  doppelten  Ellipsenquadranten   2S 
um  eine  algebraische  Grösse  differirt. 

Wir  wollen  noch  an  dieser  Stelle  erwähnen,  dass  die  in  I  §  1. 
benutzte  Curve  4.  Grades  y  =  x^  —  ax^-^-bx^  —  <?ic-[-rf,  aus  welcher 
die  Resultante  tgt^ — Atgt^'{'Btgt^'{-D  hervorging  in  Folge  der 
letztern  auf  die  Integralfunction 


/ 


Vi—z 


■  -^--^  ==  2K 


sinr 


führt,  worin  Z  vermittelst  9)  bestimmt  werden  kann.  Da  in  den 
Constanten  B  und  D  die  Grösse  d  durch  fZ— -y  ersetzt  werden  muss, 
so  erhält  man  für  alle  der  JT- Achse  parallele  die  Curve  in  4  Punkten 
schneidenden  Geraden  die  entsprechenden  obigen  Functionen,  in  wei- 
chen die  Amplituden  t  die  Winkel  sind,  welche  die  Tangenten  der 
bezüglichen  Punkte  mit  der  X-Achse  einschliesseu.  Da  ferner  die 
Resultante  von  a;^  -—  o«*  -[-  &«  —  c  —  y  =  0  und  *dx^  —  2a«  +  &  —  tgr =0 

tgtS  —  (««  —  3b)  tg  t«  —  (4a«c  —  a*&«  —  ISabc  +  U^  +  27c«) 
—  2(2fl3  —  dab  -f  27c)y  —  27^«  =  0 

ist,  so  folgt  hieraus  nach  I  14)  die  Function 


und  ihre  gtomttr lache,  analytische  und  dynamiKvht  BedeMtunff  429 

s I  ,  — ...  "yr^    .  .  „nd 


',  r i 

J    (3tfl[T— 2ra«  — .■ 


(3tg  T  —  2(a«  — .%))  V3tg  r  +  a«  —  3Ä 


VtgT  +  i(a«-~3&)'" 


§  27. 

Die  angefahrten  Beispiele  lassen  erkennen,  dass  man  mittelst 
der  entwickelten  Integralftinctionen  zu  neuen  Eigenschaften  der  Cnrven 
gelangen  kann.  Auch  die  folgenden  auf  die  Kegelschnitte  sich  be- 
ziehenden Erörterungen  werden  noch  einige  bemerkenswerte  Resul- 
tate und  Sätze  zu  Tage  fördern ,  die  wir  in  dynamischem  und  geo- 
metrischem Sinn  verwerten  können. 

Lassen  wir  die  Bezeichnungen  wie  früher  und  führen  als  Unbe- 
kaoDte  die  Brennstrahlen  von  einem  Brennpunkt  nach  den  Schnitt^ 
punkten  von  Kreis  und  Kegelschnitt  ein ,  so  ist  die  betreffende  Gloi- 

ChUDg 

/»  \ 

1^3 


+ 


50)     r*+4a(^C0Sa— 1^ 

6fl*— l2a«-costf-f -^-C08a*-H  jÄ«sina»+2y  )r» 

(  a*  2a/  R^  c^  \      4/2  \ 

l~4o3+i2-  Äcosa--^(4i^«COS«*+4*«^28ina«-f2^2yj+— ycosajr 

+0*— 4fl*  -cosa+  j(  4i2*cosa*+^*T  ßiQ«*+-r  -V  ) 
-4Ä-yco8a+y«-4Zr»/2«sino«  -  0, 

worin  y  »  12*-|-&*-- «^  variabel  angenommen  ist 

Nach  einigen  Rechnungen  und  Transformationen  erhalten  wir 
durch  Anwendung  der  Formeln  I  13)  auf  obige  Gleichung  den  Aus- 
druck 

''^  ^    ^UR ' 


-  sin  a  y r*  +  2a  r  —  (1  —  «*)a« 

in  welchem  Integral  die  Constante  »  1  sein  mnss. 

Dasselbe  steht  mit  einem  andern  in  der  Centralbewegung  vor- 
kommenden Integral  in  eigentümlichem  Zusammenhang,  was  wir  zeigen 
wollen. 


430  Oekinghausi  EllipiUeht  Integralfuncdonen 

Die    Theorie   der   PlanetenbewQgQng   hat  bekanotlich  die  Be- 
wegaugsgleichaugen 

Aas  den  ersten  beiden  erhalten  wir  dnrch  Mnltiplication  mit  2x,  bez. 

d(daß+  rfyg)  _       2u 

worans 

Das  2.  Kcpler'sche  Gesetz  gibt 

xdy  —  yilx  ««  cÄ, 

woraus  durch  Quadriren  und  Transformiren  der  Ausdruck 

(-^+^) -J/^  -  ^-'^^^•^^,  oder 


-(sy 


^^^_^f*V^^ 


und  hieraus  erhalten  wir  das  bekannte  Zeitintegral 

J  vK-'+^x-f 

der  planetarischen  Bewegung,  in  welchem 

ist.    Der  Vergleich  dieses  mit  dem  noch  mit  r  multiplicirten  Integnü 
51)  lässt  die  Identität  beider  erkennen. 

Aus  der  Integralfunction  geht  also  zunächst  die  Relation 

bR  yasin« 


,    /* rdr bR  yasin 


+21 

m 


d.  i.  die  Formel 


i 


und  ihre  geomtlrUvhr,  a»af ^tische  und  dynamittche  Dedfutumj,  431 


55)  «i  +  «»+«8  +  «4  =  2«+4j/j-^ 


/2sina 


m     ke 

herror,  in  welcher  t  die  Umlaufszeit  iu  der  Ellipse  bedeutet. 

In  der  Gentralbewegung  nach  dem  Newton'scben  Gesetz    ^     ^^^ 

die  Summe  der  4  vom  Perihel  an  gerechneten  Zeiten  bis  zu  den  4 
Durchschnitten  des  Kreises  und  der  Ellipse  ftlr  alle  concentrischen 
Kreise  eine  constante  Grösse,  welche  auch  dann  noch  unverändert 
bleibt,  wenn  die  Centra  der  Kreise  auf  einer  mit  der  grossen  Achse 
parallelen  Geraden  fortrücken.  Hiernach  ist  bei  2  concentrischen 
Kreisen,  welche  4  Ellipsenbogen  begrenzen,  die  Summe  der  Zeiten 
für  die  ZurQcklegung  dieser  Strecken  im  1.  und  3.  Quadranten  gleich 
der  im  2.  und  4. 

Dies  gilt  allgemein  für  Parabel  und  Hyperbel. 

Führt  man  r,  «  t  — «^  und  t,  «=  t — t^  ein,  so  ist  («i  +  ^j)  — 
(Ts-|-^i)  =  C\  wonach  die  t  ebenfalls  vom  Perihel  an  genommen 
sind. 

In  diesem  Sinne  bildet  der  Ausdruck  ^i  +  ^s  ^s  Summe  der  Zeiten 
vom  Perihel  bis  zu  den  entsprechenden  beiden  Schnittpunkten  von 
Kreis  und  Kegelschnitt  mit  dem  analogen  Tj-f'^s  ^on  demselben  An- 
fangspunkt an  gerechnet  zu  den  andern  Schnittpunkten  beider  Gurven 
eine  constante  Differenz,  wenn  der  geometrische  Ort  der  concentri- 
schen Kreise  eine  zur  X-Achse  parallele  Gerade  ist. 

Diese  Relationen  können  auch  noch  auf  anderm  Wege  gefunden 
werden,  und  zwar  für  die  Ellipse  des  Kepler'schen  Problems. 


§28. 

Die    folgende  Untersuchung   basirt  auf  der  Untersuchung   der 
Gleichung  I  107)  oder 

56) 

-4^iteina(a2+/28-j2)y-|.^((a2+i22.^)2_4i29«a^i22a28maa)  «  0 

in  welcher  wir  «*  oder  auch  a2-|-/22— «2  variabel  betrachten. 
Die  bekannten  Methoden  führen  auf  das  einfache  Integral 


432  Oekinghaus:  Elliptische  Integralfunctionen 

dy 


■f 


C 

sowie  aaf 

Führen  wir  den  excontrischen  Winkel 

rc  =-  a  sin  ^,    y  ^^  h  cos  q> 

ein,  so  erhalten  wir  vermöge  ydy\-xdtti^O  ans  dem  letzten IntegraU 
welches  wir  hier  unr  betrachten  wollen,  das  Flächenintegral 

57)  2  f  ydx=^  C  oder 

Hieraus  gewinnen  wir  das  Resultat: 

Die  durch  die  letzte  Formel  charakterisirtc  algebraische  Samme 
der  vier  von  den  Durchschnitten  eines  Kreises  und  eines  Kegelschnitts 
bestimmten  Flächenstücke  des  Letztern  ist  für  alle  concentrischeu 
Kreise  constant. 

Um  diese  Gonstante  zu  bestimmen,  bemerke  man  die  folgende 
Darstellung: 

ab 
Sfydx  «  abSf  cos (p^d(p  «  ^  2 f{l  +  C0B2<p)d2<p 

ab    ^ 

Da  aber  2?g>  «  0  und.'^sin^g?  =»  16— ^-sin^«  ist,  so  erhält 
man  für  die  Ellipse  bei  Benutzung  von  tgc  ^  ~ 

58)         yi  —  Vi+y^—yi  =  — r  ^^  sin  2« .  tg  2f« 

für  die  Hyperbel  dagegen 

a^b'^ 
59)  Vi — ^a+ys  — y*  «=  — 4-i22  8jii2«  = /22  8in2«.8in2Ä 

c 

Hieraus  folgt  also  allgemein : 

Schneidet  ein  Kreis  einen  Kegelschnitt  in  4  Punkten,  und  werden 
die  durch  diese  Schnittpunkte  bestimmten  Flächeustücke /yr/z  dos 
Kegelschnitts  mit  y  bezeichnet,  so  is'   die  Summe  y^ — ^«  +  ^3 — y^ 


und  ihre  geometrische,  anaUflviche  und  dynamische  Bedeutung.  433 

fär  alle  concentrischen  Kreise  nnd  überhaupt  constant,  wenn  der 
geometrische  Ort  der  Centra  derselben  eine  gleichseitige  Hyperbel 
i^sm2ff  «  2a^  »  A^  ist. 

Da  dieser  Satz  alle  Kegelschnitte  omfasst,  so  gilt  er  auch  noch 
fbr  die  Asymptoten  der  Hyperbel,  worans  der  neue  Satz  sich  ergibt: 

Werden  2  den  Winkel  2e  einschliessende  Geraden  von  einem 
Kreise  geschnitten ,  dessen  Centrum  vom  Schnittpunkte  der  Geraden 
die  Entfernung  12  hat,  und  ist  der  Winkel,  welchen  E  mit  der  den 
Winkel  2i  halbirenden  Geraden  als  JT- Achse  einschliesst,  »  a,  wer- 
den femer  die  4  Schnittpunkte  auf  diese  Achse  projicirt,  so  ist  die 
Somme  der  Dreiecke 

60)  -/i  — *^2+-^«  — «^4  «■  Ä«8in2asin  2f* 

f&r  alle  concentrischen  Kreise  und  überhaupt  eine  constant«  Grösse, 
wenn  dies  mit 

der  Fall  ist 

Wir  führen  noch  beiläufig  an,  dass  aus 


die  Beziehungen 


J    xy       aj 


dq> 


cos^ 
&1bo  auch  nach  Feststellung  der  Gonstanten 

61)   tg'(45<4-  f )  tg  (45«H-  f )  tg  (450+  f )  tg  (450+  ^) 

2iZaC0Stt+a^+^'^*^ 
*"  2JBacosa— a*— Ä*+** 

erhalten  werden  können.    Die  Gonstante  kann  durch  Transformation 
Mf  emen  sehr  einfachen  Ausdruck  von  Tangenten  gebracht  werden. 

Bemerkung. 

Sie  4  Radien  des  Kreises  nach  den  Schnittpunkten  des  Kegel- 
scknitts  mögen  mit  den  Tangenten  dieser  Punkte  die  Winkel  ^  etc. 
bilden,  ebenso  schliessen  diese  Radien  mit  R{a)  die  bekannten  Winkel 
^  ein,  for  einen  dem  ersten  uncudlich  nahen  concentrischen  Kreis 
Tom  Badius  t-^-da  haben  wir 

8d^  '^  dB\%6. 
ARk.  4«r  lUth.  a.  PhjB.   8.  Seihe,  Teil  I.  93 


434  Oekinghatmi  Elliptische  Integralfunctiouen 

Summiren  wir  und  beachten,  dass  Zd^  ^0  ist,  so  folgt 

JEtga  =  0. 

Fahren  wir  ferner  in  45}  als  Unbekannte  die  Tangente  desselben 
cxcentrisehen  Winkels,  also  tg|<p  ein,  so  wird  mau  für  die  Ellipse 
die  folgende  Gleichung 

62)    tgi(p*(«*— Ä«-ft«— 2Ä68ina)-f41?acoso.tgi^»+(2(««— Ä*) 
--4a«+2fe*)tgi(p*-f4Äacosatgiqp+(**— Ä2_ft2^2i?Ä8ina)  —  0 

aufstellen  können.    Der  Modulus  der  Integralfunction 


J   |/l-Z»sin^ 


2K 


folgt  aus 

63)    Z    —  j^j^ißQg  ^i  ^  ^8(,8  _  2J2  _  ^2  ^  2i2i  sin  a) ' 

Für  die  Function  2.  Art  setzen  wir,  um  die  Integrale   dnrch 
Ellipsenbogen  auszudrücken  Z'  —  -  und  das  Resultat  ist 


£a  /  l/l—  -,sinfp»c^Jq)  =»  2£o+2y/»  sin« 

Jedes  Integral  dieser  Function  drückt  den  zur  halben  excentri- 
sehen  Anomalie  gehörigen  Ellipsenbogen  ans.  Bezeichnet  man  diese 
Bogen  durch  S^  etc.,  den  Ellipsenquadranten  durch  S,  so  ist 


64)  5,  +  524-iS8  +  iS4  =  26^+2  Vifösintt 

in  welchem  Ausdruck  die   Constante  wie  in  einem  früheren  Beispiel 
von  iZsinor  abhängig  ist.    Die  Winkel  <p  gehen  von  0  bis  n. 

Die  Bedingungsgleichung,  welche  den  geometrischen  Ort  der  Kreis- 
centra  für  die  Existenz  der  letzten  Function  bestimmt,  führt  auf  die 
Hyperbel 

(  ,  °'+»%.f 


und  ikrt  geometrische^  analytische  und  dynamische  Bedeutung,  435 

Ableitung  Amt  8.  Integnralfuietioii. 

§29. 

Anstatt  der  biqaadratischen  Gleichung  für  tg^  kann  man  auch 
die  schon  /rüher  eingeführte  Form 

66)  a-^h%mfp-\'eGo%fp'\'d%\niq>'{'€f^^  2^)  »  0 

benutzen.    Der  entsprechende  Modalus  derselben  ist  hiemach 

und  also 

J   Vi— Z«8ini<p« 

Es  sei  der  Mittelpunkt  eines  Kreises  vom  Radius  «  um  die 
Strecke  R  von  einem  Brennpunkt  eines  Kegelschnittes  entfernt.  Der 
Winkel,  den  dieselbe  mit  der  JT- Achse  eiuschliesst,  sei  a.  Die  Schnitt- 
punkte der  beiden  Gnrven  verbinde  man  mit  dem  Mittelpunkt  des 
Kreises  durch  Kreisradien,  welche  mit  der  verlängerten  Strecke  B. 
die  Winkel  ^^  etc.  einschliessen  mögen.    (Fig.  15). 

Die  Elimination  von  ^  aus  den  Gleichungen 

Ä8ina+«8in(^  +  a)  «  ,  ^^^^^^ 

'  ^       '      '         1  —  0COS9 

68) 

+                                      p  cos  9 
«C08(d^+a)  —  :r^ ^^— 
^     '    '       1  — «C0S9 

ffthrt  auf  die  obige  Form,  in  welcher 


«V 


a  -=  Ä*4-«*— P*— «'JS*COSa*  — 2p«ÄC08a s"» 

h  »  2Ae'6inoc08o-{-2p«6sina, 

69)  <?  ««  —  212««*cos  «* — 2p* «  cos  «+ 2Ä«, 

eV 
d=  -2-8in2a, 

^^ 
e  — 2-COs2a. 

Die  Berechnung  des  Modulus  vermittelst  dieser  Bestimmungen 
f&hrt  auf  einen  sehr  einfachen  Ausdruck,  und  zwar  ist  der  eine 
Wnrzelwert 

28* 


L 


436  Oekinghaus:  Klitplische  InUgralfuncHouen 

70)  also 

und  die  Integralfanctionen  sind  demnach 


4JU 


^ä\^,        ^r       ^^^        ^2K 

17) 

4Ä 


«(Ä+*) 


SlUor. 


Eigentttmlich.ist,  dass  in  unserm  jetzigen  Falle  der  M odnlos  yon 
keinem  Parameter  des  Kegelschnittes  abhängt  Allen  Gattungen  der- 
selben, also  Ellipsen,  Parabeln  und  Hyperbeln,  sofern  sie  nor  in 
einem  Brennpunkt  confocal  sind,  genügt  die  1.  Integralfhnction.  Hat 
demnach  der  feste  Kreis  constanten  Abstand  von  diesem  Brennpnnkt 
so  können  die  Kegelschnitte  alle  möglichen  Lagen  in  der  Kreisebeoe 
und  alle  möglichen  Grössenverhältnisse  annehmen.  Sie  müssen  nur 
in  einem  ihrer  Brennpunkte  zusammenfallen. 

Man  wird  bemerken,  dass  die  Landen'sche  Substitution  eine  gute 
Anwendung  auf  diesen  Fall  gibt.    Danach  ist 

sin(^ — r)=»|)sinT,    wo    p  =  ^ 
und  die  Function  geht  über  in 

J  Vi— p»sinV"^/  yi  — p'sinV    V   Vi— p^sinV 

J    yi  — p*sinv 

in  welcher  die  neuen  Amplituden  t^  etc.  die  Winkel  sind,  welche  die 
Strecke  R  mit  den  nach  den  4  Schnittpunkten  gezogenen  Brenn- 
strahlen des  Kegelschnitts  bezüglich  einschliessen. 


und  ihre  geowMtruckey  analytUcht  und  dynamische  Bedeutung,  437 

Will  man  dagegen   die  Winkel  ö  einführen,   welche  die  Bronn- 
strahlen mit  den  Badien  s  bilden,  so  ist 

8in(^— <j)  =  p8ina,      wop«^. 
nnd  man  erh&lt  die  analoge  Fonction. 

Der  andere  Wert  des  Modnlns  ist,  wie  nach  einigen  Rechnungen 

erhelit, 

4(Ä  cos  a  —  c)8  cos  a 


Z« 


((äH-*)C08«  — c)»  — o«' 


wobei  man  eine  Untersnchnng  tlber  die  Verhältnisse  anstellen  kann, 
welche  ans  der  Gleichsetznng  der  beiden  Modnln  hervorgehen. 

Interessant  werden  die  Verhältnisse  in  dem  Fall,  dass  der  Kreis 
dnrch  den  genannten  Brennpunkt  hindurchgeht  Die  Function  2.  Art 
geht  dann  in  einen  geometrisch  leicht  definirbaren  Ausdruck  über, 

wenn  wir  Ült  sinj^  den  entsprecheuden  Wert  ^,  worin  «i«s«s«4  die 

bezfiglichen  Sehnen  von  dem,  dem  Brennpunkt  gegenüberliegenden 
Kreigponkte  nach  den  Schnittpunkten  von  Kreis  und  Kegelschnitt 
einführen.  Nach  Feststellung  der  Vorzeichen  finden  wir  bei  der  El- 
ond  Parabel 


4a 

and  bei  der  Hyperbel  einen  analogen  Ausdruck. 

Von  den  mannigfachen  Formen,  welche  die  elliptischen  Integrale 
zur  Yerlügung  stellen,  wählen  wir 

^i^s+^i&t  ^  sini(^3+^4) 

oad  bemerken,  dass  in  dieser  und  den  ihr  analogen  andern  Formen 
^^  durch  Brennstrahlen  ersetzt  werden  kann.    Demnach  hat  man 

Qi+  9%  ^  8in^(4>i+j»-g) 

P9+  ^4  ""  8ini(d3  +  '(>4) 

ii) 

Qi  —  Qt  _  ^i^H^i—^i) 
Ps  —  ^4  ""  sini(^8— '^4)* 

IMe  Formeln   lassen   beim   Uebergang   der   Hyperbel    in   ihre 
Asymptoten  eine  Anwendung  auf  die  Geometrie  des  Kreises  zu. 

Wir  setzen  demnach  a  ■»  &  »  c  -»  0  und  führen  ausserdem  die 


I 


438  Oekinghau9:  Elliptische  Integralfundionen 

in  der  Figur  16.)  angegebenen  Winkel  $  ein.  Man  wird  leicht  die 
folgenden  Relationen  bewahrheiten  können 

Pi       cos  Eq      Qf cos  Bi 

Qf  "^  cos  «4'       ^8         cos  if 

75)  gl  —  P»  .  cos^s 

cos  C|  cos  gg  —  cos  Cg  cos  C4        cosg^ 
cos  «3  cos  €4  —  cos  Bi  cos  f  s         COS  Bq 

Diesen  schliessen  sich,  wie  man  leicht  iSnden  wird,  noch  eine  zahl-  ^ 

reiche  Menge  anderer  an. 

< 

Will  man  noch  die  Bewegung  eines  schweren  Punktes  im  Kreise 
mit  den  gegebenen  Entwickelnngen  vergleichsweise  in  Betracht  ziehen, 
SO  geben  dieselben  den  Fall  der  vollständigen  Umkreisung,  daZ<l 
ist.    Die  Geschwindigkeitshöhe  im  tiefsten  Punkte  des  Kreises  sei  h 

dann  ist  .^  .  v^  «»•  — ,  woraus  bei  gegebenem  t  und  k  M  sich  be- 
rechnen lässt  Die  erste  Integralfunction  kann  also  durch  die  zu  den 
Amplituden  ^  etc.  gehörigen  Zeiten  t  etc.  ersetzt  werden  and  man 
hat 

76)  k+k+h+h'-^ 
worin  t  die  volle  Umlaufszeit  bezeichnet. 

Es  schneidet  aber  der  Brennstrahl  q^  vom  Kreise  zwei  durch  die 
Amplituden  ^^  nnd  ^1  bestimmte  Bogen  ab,  für  welche  nach  firaherem 

ist.  Dasselbe  gilt  vom  Brennstrahl  p^,  den  bezüglichen  Amplitaden 
^f  und  ^f   entspricht  die  Relation 

Ziehen  wir  nun  die  Summe  beider  oder 

von  der  obigen  76)  ab,  so  resultirt 

77)  V-<3-«4--«i'. 

Wie  man  sofort  aus  der  Figur  sieht,  entspricht  die  Zeit  t^»!,'— 1, 
einem  Bogen,  der  Kreis  zwischen  ^3  und  ^s'  und  die  Zeit  r'izzt^—t^' 
entspricht  dem  Bogen  zwischen  ^^  und  ^4.  Sie  sind  also  Bogen 
gleicher  Zeitdauer.  Analoge  Bogen  lassen  sich  bei  weiterer  Betrach- 
tung leicht  auffinden. 


und  ihre  geometrische^  analytische  und  dynamische  Bedeutung.  439 

Lässt  man  die  Ellipse  and  Hyperbel  bezüglich  in  eine  Gerade 
oder  2  sich  schneidende  Geraden  übergehen ,  so  erhält  man  die  be- 
kannten Integralfnnctionen  des  S^eises,  deren  Sätze  durch  das  Vor- 
stehende wiedemm  eine  Yerallgemeinerang  erfahren  haben. 


§.  30. 

Die  im  vorigen  §  angestellte  biqnadratische  Gleichung  gibt  in 
Folge  des  einfachen  Ausdrucks  des  Modulus  ihrer  Intcgralfunction 
Veranlassung  zur  Aufstellung  einer  neuen  Function,  die  wie  folgt, 
gebildet  werden  kann. 

Der  genannte  Modulus  Z^  =»  /p  i  \%  hjingt  einzig  vom  Ver- 
hältniss  —  «-  x  ab.    Gelingt  es  demnach,  aus  den  Formeln  69)  oder 

—  1»  x^-\- 1  —  \  "(F.x^ cos a* ^—  2 cos o i, 


-s  =  2a;6*smacosa+-^^  sma 

78) 

-5  =-  —  2aj«*C08a*—  ^C0Sa  +  2aj 
**  8  ' 

d  «=■  -5-  sin  2o;,    ö  •" qj-  cos  2« 

dies  Verh&ltiiiss  x  aus  den  Constanten  der  Gleichung 

79)  a+5sind+ftcosl>+clsin2^+«cos2^  —  0 

zu  entwickeln,  so  erhalten  wir  die  gesuchte  neue  Integralfunctiou. 

Man  findet  leicht 

&cosa-{-esina  »  2fl;sina.«^ 

«*(&  cos  a-)-c  sin«)  —  4a;sina.Vrf*  +  e^ 


worin  y  «i*  4"  « 


s 


6V 


tg2a -. 

0 

IHe  mte  Relation  für  a  g0ht  nan  über  in 


-«-«H-i- 


440  Oekinghauti  EUiptiache  Integralfunetionen 

Dieselbe  geht  bei  Benntzung  von 

cot«  «  cot2a+yr+cöt2o* 


Cota  =  — 


8in«*  = 


d 


scbliesslich  Aber  in  die  Gleichung 

x*—2d 7== — ,  ^1  -  0 

wofiär  wir  setzen 

ae*— 2na;+l  —  0  worani 


Da  aber 


X  «=-  n-f"V«*  —  1  =  ""' 


^-1 


ist,  so  folgt  auch 


n+1 

Demnach  geht  der  letzte  Ausdruck  bei  Einführung  des  Wertes 
für  n  nach  einigen  Transformationen  Aber  in 

^,,_  (4a-^c)cl>-26e(ft-2d)  +  (^-2^)V^^^Tg 
""  4(a+c)€l»— 2&«(i+2rf)  +  (5  +  2d)«y€;»  +  «« 

womit  die  Aufgabe  gelöst  ist. 

Zieht  man  indessen  vor,  den  Modulns  Z>  =  1  —  Z'^  durch  die 
Constanten  der  aus  79)  hervorgehenden  Gleichung 

81)  (o  — c+e)tgi^+2(6  — 2c0tgi^+2(a  — 3e)tgi^ 

-f2(i  +  2d)tgif^  +  a-i-e+«  —  0 
oder  ans 

82)  tgi^— ^tgi{>«+i^tgi^«— Ctgi^-hi>«0 
zu  bestimmen,  so  findet  man 


und  ihre  geometrische^  anaUfliache  und  (fynamische  Bedeutung.  441 

83)     Z'«  = 

U-C)*(7+-B— Z>)-4^U+C)(1— -B+JD)        

-f4^V(^~C)»+  (1— Jg+JP)* 

-f4C*yU-"C7)>+  (l—i^-fD)* 
vnd  68  ist  hierftr 

//     11  .\  =o+  /     /        t;   ,=i+  ötc.  =  2K    oder    IT. 
yi-ZHiniV    J    Vi— Z^giniV 

Zar  Entwickelang  der  Integralfanction  2.  Art  gehen  wir  auf 

47? 

Vi— Z«Bini^di4>  -  e(R+t)  ®^°  " 

zorflck,  worin  noch  die  Constante  zu  beBtimmen  ist    Man  findet  bei 
Benntsung  der  obigen  Relationen 

84)  /Vi— Z«8ini^,*<ii^i+/yi  — Z«8iniV<^i^«+  etc. 


=^v. 


Man  erhält  z.  B.  ftr 

tg9)*— 25tgv*+60tgv  — 36  =  0 

Z'.«  ? 

20yi6  — 119 
und  68  ist 

Auch  die  neue  Integralfunctionen  kann  erfolgreich  auf  Beispiele 
wie  in  den  frflheren  §§  angewandt  werden.  Man  wird  manches  Ueber- 
eiostimmende  finden. 

§  31. 

ABwendang  der  Integralfunetionen  auf  die  Auflösung  der  kubischen 

und  biquadratischen  Gleichungen« 

Wir  bemerken  vorab,  dass  die  Formeln  in  §  21.  nnd  analog  die 
im  letzten  Abschnitt  aufgestellten  eine  Auflösung  dieser  Gleichungen 
durch  geometrische  Gonstruction   enthalten,  da  ja  die   Ausdrücke 

n 

-t  7,  tg2a  etc.  durch  die  Constanten  der  Gleichungen  bestimmbar 

sind,  wodurch  die  Unbekannten  durch  die  Winkel  ^  ihre  geometri- 
sche Deutung  und  durch  Gonstruction  eines  Kegelschnitts  und  Kreises 
ihre  definitive  Lösung  erhalten. 


442  Oekinghaua:  EUiptische  Jntegral/unctiontn 

Man  kann  dabei  einige  Modificationen  der  Gnrven  eintreten 
lassen,  um  die  Formeln  zn  vereiufacheQ.  In  der  Abhandlung:  Geo- 
metrische Untersnchungen  etc.  haben  wir  eine  geometrische  Auflösung 
der  reducirten  Gleichungen  dieser  Art  gegeben,  welche  in  bestimpiteo 
leicht  angebbaren  Fällen  beispielsweise  auf  eine  gleichseitige  Hyperbel 
führt,  welche  besonders  für  die  kubische  Gleichung  a}*+8a;+29«»0 
eine  elegante  Anwendung  gestattet. 

Eine  Untersuchung,  ob  diese  Curve  überhaupt  für  den  3.  und 
4.  Grad  einer  Gleichung  brauchbar  ist,  würde  sich  demnach  mit  der 
Gleichung 


c 


ZHA—C){C*+2D{l—B+D+V{A'-'C)H(l—B-tD)'^)) 


^,-(A+C) 


zu  beschäftigen  haben. 

Die  Substitution   tg<]p»ytg!f;   führt  bei   der    Annahme    einer 


c« 


gleichseitigen  Hyperbel,  worin  72*^—2    ist,   auf  die  Bedingnngs- 

gleichung 

M  +  C)(l-i?+i>)  +  2U-C)(Z?-l)=0, 

das  ist  auch 

Ay^  +  (AB^SC)i/^  +  {BC—SAD)y»  +  CD  =  0, 

deren  Betrachtung  hier  indes  zuweit  führen  würde. 

In  analoger  Art  kann,  wie  schon  früher  erwähnt,  die  Gleichung 
tgqp*  — ^tgqo'  etc,  deren  Modulus  aus 


^,,_       A*  +  2{l-B  +  D+V{A^O*+{l''B+D)^) 

bekannt  ist,  durch  Einführung  von   tg<p  '^  ytgq>   so  modificirt  wer- 
den,  dass  hierfür  ein  bestimmtes  Z  hervorgeht. 

Man  erhält  dann  aus  der  letzten  Formel 

A(A^  -  ^AB  +  8C)y» + 4(1  +  Z'«)  {A*D  —  C  V 
+  2Z'H2A^BD-'A^C^+2BC^  —  %ACD^ 
—  4Z'«(l  +  Z'«)(^8Z>--C«)Z>.y«+Z'*C(C»  — 4J5C/>+ilZ>«)    —  0, 

woraus  man  ersieht,  dass  y  durch  eine  Gleichung  4.  Grades  bestimmt 
werden  muss. 

Setzt  mau  z.  B.  Z'^  =  \  und  eine  reducirte  Gleichung  4.  Grades 
voraus,  so  würde  die  Bedingungsgleichung 


und  ihre  geometruiche,  analytische  und  dynamische  Bedeutung.  443 

auf  die  Lemniskatenbogen 

ttjl  +  tl,  +  tt8  +  t*4  =  2Ä^ 

ttthren. 

Die  ABnahme  Z  —  0  oder  Z  =  1  fahrt  auf  analoge  Gleichungen. 

Die  Integralfunctionen  lassen  sich  nun  in  folgender  Art  zur  Auf- 
Idsang  der  kubischen  und  biquadratischen  Gleichungen  vorwenden. 

Wir  wollen  indes  hier  reducirte  mit  reellen  Wurzeln  voraus- 
setzen, um  auf  dieselben  die  genannten  Functionen  und  ihre  Reihen- 
entwickelungen  mit  grösserer  Einfachheit  anwenden  zu  können. 

Wie  wir  nachgewiesen,  ist  fflr  die  vollständige  kubische  Gleichung 

85)  tgqt)»— -4tg<p«+-Btg9)—  C  =  0 

der  Modnlns  der  hierauf  bezüglichen  Integralfunction 

J  Vi  — Z*8in*vi*     *>'   Vi  —  Z»8in<p,«  "^J   Vi  —  Z^si 


sm  (Ps^ 


durch 


J5»+2C(— ^+C±yu  — C)«+(l— jB)«) 
ansgedrackt 

So  ist  z.  B.  für  tgtp^—itgtp^+i  «0.  Z«  «  |^y|,  für  tgtp^- 

Ans  85)  folgt  aber 

86)    (M— C)M-(1— ^)*)8mV— (2^(l+^)+2C(— 3+B))sin2«p« 
+A(AC+B)sin2(p+8c  =-  0 

Aus  dieser  Gleichung  lassen  sich  nun  die  bekannten  Ausdrücke 
der  symmetrischen  Formeln  für  die  Wurzelpotenzen  d.  i. 

JSsin  29  «  o,    -Ssin  29)»  =  o» — Soi + 3c    etc. 

leicht  finden. 

Beachtet  man  nun,  dass  in  der  Reihenentwicklung   des  unvoll- 
stiüidigen  elliptischen  Integrals  1.  Art 

87)   F(Z,  <p)  «  009  —  ^ttg  sin  2q> + ^«4  sin  i<p  —  ^a^  sin 6y  . . . 


444  Oektnghaus:  EUiptüche  Jntegraljunciionen 

der  Wert  von  Bin2 nq)  dnrch  eine  nach  ungeraden  Potenzen  von  8in27 
fortschreitende  Reihe  dargestellt  werden  kann,  so  geht  die  obige  Re- 
lation über  in 


88) 


i?9>"-öoV+K-a«4^4— «^••0sin29)4-^— |*4^ae— ^»s-jsinV 


Da  far  die  3  Wurzeln  drei  solcher  Formeln  existiren,  so  gibt 
die  Sammation  derselben  bei  Berücksichtigung  der  Relation  der  Win- 
kelsumme, d.  i.  von 

£(p  —  arctgj^T^ 
die  Gleichung 

89)     Fipi+Frp2—F(ps  -aoarctg^-g|—  J(ö«— 04+Ö8)  ^sin2fp 


—  \j—iaQ+ia^,.A£sm2ip\,. 


worin  wir  der  Unterscheidung  wegen  bei  der  Annahme  von  2  posi- 
tiven und  einer  negativen  Wurzel  der  reducirten  Gleichung  die  Inte- 
grale dementsprechend  absolut  gewählt  haben. 

Nun  ist  aber  auch 

Fipt'\-  Fipf-^  Fip^  =  K 

Die  Subtraction  beider  Ausdrücke  ftlhrt  demnach  auf  das  folgende 
Resultat 

90)    tt-1^98)-iJSr--fi,arctg^^4i(a,— 04+ae)P, 


+  (f-|«6-H«8..y8... 


in  Folge  dessen  das  elliptische  Integral  linker  Hand  durch  bekannte 
Relationen  desselben  und  durch  die  Gonstanten  der  Gleichung  be- 
rechnet werden  kann. 

Die  Amplitude  folgt  dann  auf  bekannte  Weise  ans  einer  Formel 
der  elliptischen  Functionen,  d.  i.  ans 

l-f-2gcos-^  -|-2g*cos  -^  -|-  ... 
91)    Vl-Zhmg,^=VZ'—- „„  ^^ • 

1— 25COS  -gT  -t-2g*C08  -^ ... 

Aus  der  Amplitude  folgt  dann  von  selbst  der  Wert  der  entspre- 
chenden Wurzel.  Damit  ist  wenigstens  theoretisch  die  Möglichkeit 
der  Besti(nmung  derselben  vermittelst  der  Integralfunctionen  nach- 


und  ihre  gtometrüche^  attalgiische  wtd  dynamiscJte  Bedeutung.  445 

gewiesen ,  wenn  auch  praktisch  in  Folge  gewisser  Convergenzbedin- 

gaogen  die  Methode  keine  Anwendung  finden  sollte. 

r 

Es  ist  nicht  gerade  notwendig,  dass  die  Gleichungen  znerst  re- 
docirt  werden  mflssen,  es  genügt,  durch  eine  Transformation  eine 
negative  und  zwei  positive  Wurzeln  zu  erhalten.  In  Bezug  auf  den 
oben  angegebenen  Ausdruck  für  den  Modulus  kann  derselbe  auch 
nötigenfalls  durch  einen  andern  ersetzt  werden. 

So  besitzt  z.  B.  die  Oleichung 

tgqt)»— 2tg<p«  — 5tgg)4-6  -=  0 

2  positive  und  1  negative  Wurzel. 

Legt  man  die  Formel 

^'*  '       J  Vi— Z»8iu(p«^ 

zo  Grunde,  so  resultirt 

Z'«l    also    Z«0. 

Benutzt  man  dag^en  die  Formel 

B*^2C{—A-\-C±i  {A--C)^-{X—B)*)'       J  yi--Z*8in<p* 
M  kommt 

Für  den  ersten  als  einfachem  Fall  besteht  demnach  die  Relation 

and  da 

9i-f-9>«  — ^'s  =  arctg  ^__ß  =  arctgt    {tp  absolut) 

80  erhält  man  sofort  eine  Wurzel  aus 

2<pj  «  160Ö  — arctg^ 

n&mlich 

tg9)8  «  cotg^arctgf  =-2,    d.  i.  =  —  2, 

wie  man  leicht  findet. 

um  nach  der  entwickelten  Methode  die  biquadratische  Gleichung 
92)  tgfp^--  Atgfp^  +  Btgtp^—  Ctgip+D  ^  0 

anizQlösen,  transformire  man  dieselbe  mittelst  einer  linearen  Variation 


446  Oßkinghaua:  Elliptische  Integralfunctionen   - 

in  eine  andere ,  in  welcher   2  positive  und  2  negative  Wurzeln  vor- 
kommen.   Ans  der  Formel 

93)  ^'8_^^!±?(il2?±^dbl^(^^^^^^^ 
erhält  man  dann  den  Modulus  der  Integralfunctionen 

/    Vl-Z»8in«jPi»    './    Vl-Z^sin^pj^V     ]/l-Zs»8invs* 

t/    yi-.Z«8in4p4* 

94)  /yi--Z^8iny  Jrfy^+/  yi^z^iny>'rfy^+  /yi---^«8iny,^dys 
+  /Vi— Z«8in  fp^^dtp^ 

Nach  den  gegebenen  Formeln  hat  man  nun  zunächst 


95) 


Fq>^  ^  ao(;Pi-H(— a,4-a4...)8in2qPi+f—  ^+^0^  ...Jmn2ip; 


addirt  man  zu  dieser  die  ihr  entsprechenden  3  andern ,  so  resnltirt 
wenn  F  und  tp  absolut  genommen  wird 

96)    i^i-fi^,— f^j— JFVp4  =  ao-2^9>-H(  -a.„)  2sin2ipi 

+  (-^*...)2;8in2(p3««2Z 
und  da 

so  erhält  man  durch  Addition  oder  Subtraction  die  Beziehungen 
97) 

und  da  ir±i  bekannt  ist,  indem  jSsin2(p  etc.  £q)  =  arctg  z — »Xn 

JL        'Mi  1    &/ 

aus  der  Gleichung  92)  berechnet  werden  können,  so  ist  in 

jFlpi  +  jFlp,  —  fTiy  =  tt 

die  Amplitude  er  gemäss  91)  bekannt,  welche  bekanntlich  mit  der  Fun- 
damentalformel 

98)  cos  a  »  cos  (pi  cos  (p^  —  sin  q)^  sin  fp%^{Q) 

zusammenhängt. 


und  ihre  geometrische,  anafytische  und  f^namücke  Bedeutung,         447 

Wegen 
99)  E(<p)  ■=  io9'  +  i*2  8in2<;p  — i^Ä^sinicp  ... 

ist  demnach  auch 

-J^(3*4— 68ft6")'2?8m2g>» ..  =  2M 

100) 

vonas 


1  i/a^d—c^ 


101) 


1  \/a^d—c^ 

Hieraas  folgt 


v—Eq 


und  demnach  aus  98) 


cos  <Pj  cos  qPj  «  cos  <y  +  2>flin(y  ^^^J' 

Die  Wurzeln  9>ig)s  gehen  daher  ans  den  beiden  folgenden  Gleichungen 

co8(9)i  —  cpj)  =.  cos  tf  4-  2«l|j^  (^  <^+ 1)» 

102) 

,  ,   t7  —  Eg 

C08(9i  +  «JP8)  -  C08g+^gg.^^(^^g— 1), 

lienor,  nnd  analog  finden  sich  fp^^^^, 

Aach  die   in  §  30)  angegebenen   Integralfunctionen  geben  gute 
HälÜBinittel  zur  Bestimmung  der  Wurzeln. 

Will  man  die  Potenzreihe 

^f  kabische  Gleichungen  benutzen,  so  folgt  durch  Umkehrung 

iry^           1   .   n     I  ^  +  Z«  .   ^  ,  ,   144+362«+9ib*  .   ^  , 
104)  *=>  |8m2«pH — ^^g— 8in2rjr34 33^^ — 8in2()pß  ... 


448  Oekinghauti  £lUpii*che  Inteffral/unctioneu  eic, 

Aas 
folgt  aber 

sin  2tp\(a  —  c)*  +  (1  — &)>)  —  8m2y«(2a&+2a  — 6tf  +  2Äc) 
+  sin  2g)(4i  +4atf)—  8c  =  0. 

Unter  Yoraassetzung  der  Conyergenz  der  obigen  Reibe  bat  man 

44- Z* 
105)    tii+w«~«3  -  i2:8in29)+--^  2:8in2y» 

.   144+36Z«+9Z*  ^  .   «   . 
+  3840       --^«'^V... 

worin  die  Xsin'i^)**  ans  der  Sinusgleicbnng  bestimmt  werden  können. 

In  Yerbindnng  mit  der  Relation  Ui4~*44~*'s'=' ^  erhält  man 
also  «3  und  damit  die  Amplitude  fp.  Diese  Ableitung  ist  aber  wegen 
der  schwachen  Gonvergenz  dieser  Reihen  nur  formell  interessant, 
gleichwol  besitzt  sie  und  die  vorbin  gegebene  immer  noch  einen 
theoretischen  Wert.  Wenn  die  Reihenentwickelungen  der  elliptischen 
Integrale  eine  stärkere  Convergenz  besässen,  so  wOrde  dies  auch  mit 
den  oben  abgeleiteten  der  Fall  sein. 


Teill. 


Ta&lE 


r^^f^r^w^^^m 


M.  Brciner:  Eipiisrhaften  d(r  PankU  mit 
rcciprokcnJ)rcurksroordiaatcn. 


Tfi7  Z 


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1 


Litterarischer  Bericht  I. 


Litterarischer  Bericht. 

i. 


Methode  und  Principien. 

Unsere  Natorerkenntniss,  Beiträge  zu  einer  Theorie  der  Mathe- 
matik nnd  Physik.  Von  Dr.  K.  Er o man,  Docenten  der  Philosophie 
a.  d.  Universität  zu  Kopenhagen.  Von  der  Kön.  Dan.  Akademie  der 
Wissenschaften  mit  der  goldnen  Medaille  gekrönte  Preisschrift.  Ins 
Deatsche  übersetzt  anter  Mitwirkung  des  Verfassers  von  Dr.  R.  von 
Fischer-Benzon.  Kopenhagen  1883.  Andr.  Fred,  üöst  n.  Sohn. 
458  S. 

Das  Bach  zeigt  zwei  wertvolle  Eigenschaften:  es  gibt  Zengniss 
von  der  vortrefflichen  Gabe  des  Verfassers  za  ezemplificireu  und 
von  dem  ernsten  Willen  unparteiliche  Kritik  zn  üben.  Es  ist  seine 
mit  Glück  and  Geschick  angewandte  Methode,  an  einem  Beispiel  die 
Entstehung  des  Triebes,  die  Forderungen  und  Elemente  der  Erkennt- 
niss  aufzuweisen  und  zu  entfalten  und  demgemäss  auch  immer  ein 
Beispiel  zu  wählen,  in  dem  sich  alles  repräsentirt  findet,  welche  ihm 
soviel  Beistimmung  und  das  Lob  erworben  hat,  dass  man  bei  ihm 
stets  deutlich  sehe,  was  er  wolle.  Und  die  Kritik  betreffend  ist  an- 
zuerkennen, dass  sie  seine  höchste  Autorität,  Kant,  nicht  schont,  seine 
Lehren  in  Zweifel  zieht  und  sich  nie  auf  solche  beruft.  Doch  ist  er 
weit  entfernt  unabhängig  von  seiner  Autorität  zu  beobachten  und  zu 
denken:  Kanfs  Schwächen  sind  auch  die  seinen,  und  ein  Fortschritt 
in  der  Auffassung  wird  nicht  gewonnen.  Wir  sind  daher  in  dem 
Falle,  indem  wir  gegen  den  Verfasser  sprechen,  im  Grunde  nur  Kant 
zu  treffen. 

lick  d.  lUih.  n.  Fbyt.    3.  Seihe,  TeU  I.    Heft  1.  1 


2  Litterarischer  Bericht  1. 

Wir  beginnen  mit  den  Worten  auf  dem  Titel:  „Theorie  der 
Mathematik  und  Physik^S  Was  kann  damit  gemeint  sein?  Bedarf 
die  Mathematik,  die  selbst  Theorie  ist,  und  die  Physik,  die  sich  ihre 
Theorie  ausbildet,  noch  einer  Theorie  ausser  sich?  Das  hiesse  doch, 
ein  Futteral  um  ein  Futteral,  ein  Gehäuse  um  ein  Schneckenbans. 
Wir  würden  es  niemandem  verdenken,  wenn  er  dabei  an  eine  bequeme 
Handhabe  für  Unkundige  dächte,  wodurch  man  auch  ohne  Studium 
der  Gegenstände  über  die  Wissenschaften  urteilen  könnte.  Doch 
lässt  sich  auch  eine  mehr  auf  Wahrheit  gerichtete  Bestimmung  den- 
ken, wenn  man  annimmt,  dass  nur  die  Bezeichnung  verfehlt  ist 
Was  die  Theorie  zu  untersuchen  übrig  lässt,  ist  die  psychische  Ge- 
nesis des  Erkennens,  welches  zur  Theorie  führt.  Beide  Auslegungeo 
sind  auch  in  Anbetracht  der  Ausführung  nicht  ganz  ohne  Grund. 

Als  Resultat  einer  einleitenden  Betrachtung  wird  der,  auch  im 
Folgenden  beibehaltene,  nie  verbesserte  Satz  aufgestellt,  das  Ziel  des 
Erkenntnisstriebes  sei,  ein  alles  umfassendes  System  von  einleuchtend 
richtigen  und  allgemeinen  Behauptungen  oder  Urteilen  zu  bilden. 
In  der  Tat  mögen  Manche,  insbesondere  Nichtmathematiker  bei  ober- 
flächlicher Beobachtung  dessen,  was  die  Mathematiker  treiben,  auf 
die  Chimäre  fallen,  wie  sie  hier  dem  Verfasser  als  Ziel  des  Erken- 
nens erscheint.  Doch  könnten  wir  wol  durch  den  Gang  der  Wissen- 
schaften hinreichend  belehrt  sein,  dass  das  Urteil  den  Erkenntniss- 
trieb nie  zu  befriedigen  vermag,  vielmehr  nur  eine  Stufe  auf  dem 
Wege  der  Erkenntniss  ist,  die  sich  der  Geist  befestigt,  sowol  um  aaf 
derselben  momentan  zu  erkennen,  als  auch  um  von  ihr  aus  weiter 
zu  forschen.  Schon  im  gemeinen  Leben  begegnet  man  häufig  Ur- 
teilen, die  vollkommen  einleuchtend  und  allgemein,  und  doch  triml 
und  ohne  belehrenden  Inhalt  sind.  Im  grossen  aber  bietet  uns  die 
synthetische  Geometrie  Gelegenheit  das  Analoge  zu  beobachten.  Sie 
eröffnet  uns  ein  nach  unendlich  vielen  Richtungen  ins  unendlicbe 
ausgedehntes  Feld,  auf  dem  wir  beliebig  viele  exacte,  evidente  and 
allgemeine  Urteile  bilden  und  in  ein  System  bringen  können,  ohne 
in  der  Erkenntniss  einen  wesentlichen  Schritt  weiter  zu  kommen. 
Wäre  dann  ein  solches  System  über  alle  Gegenstände  der  Erfahrung 
und  des  Denkens  ausgedehnt,  so  würden  wir  schliesslich  so  unwissend 
sein  wie  zuvor.  Die  Geometrie  zeigt  dies  mehr  als  irgend  eine  andre 
Wissenschaft,  weil  wir  hier  in  gleich  exacter  Form  die  von  den  Zielen 
der  Naturwissenschaft  geleitete  Forschung  neben  der  ziellosen  Pro- 
duction  an  Sätzen  zur  Yergleichung  haben.  Welche  notwendige  Be- 
stimmung der  obigen  Definition,  die  augenscheinlich  nicht  zutrifft, 
fehlt,  hätte  der  Verfasser  an  seinem  eigenen  höchst  iuatructiven  Bei- 
spiele, aus  welchem  er  die  Erkenntnisselemente  entwickelt,  entdecken 
müssen,  wenn  nicht  das  Eant'sche  Gedankengleis  seinen  Blick  be- 


LüUntrüeher  Bericht  2.  3 

scbrftnkt  hfttte.  Er  sieht  am  Wiederbaa  eines  herabgestürzten  Altans 
arbeiten  nnd  fragt  nach  der  Sicherheit  anderer  und  zukünftiger  Altane 
gegen  das  Herabstürzen,  nach  den  Bedingungen  der  Erscheinung  und 
geht  die  zu  ihrer  Untersuchung  erforderlichen  und  aus  dieser  sich 
ergebenden  Begriffe  durch,  mit  Verweilen  beim  Causalbegriff.  Alle 
diese  Acte  weisen,  nach  eigener  Darstellung  des  Verfassers,  auf  das 
gemeinsame  Ziel  hin,  Herr  der  Tatsache  zu  werden,  die  er  anfangs 
leidend  erlebte.  Er  brauchte  nur  seinem  Gedankengang  treu  zu 
bleiben,  um  zu  definiren:  Das  Ziel  des  Erkenntnisstriebes  ist,  über 
die  passiv  erlebten  Tatsachen  der  Sinnesempfindung  Herr  zu  werden. 
Das  Urteil  ist  dann  das  Mittel,  welches  trotzdem,  dass  es  einleuchtend 
richtig,  allgemein  und  (wenn  wir  der  Verwirklichung  vorauseilen) 
allum&ssend  ist,  das  Ziel  verfehlen  kann,  wo  letzteres  nicht  im  Auge 
bebalten  wird.  Hiervon  ist  das  Folgende  ein  sehr  sprechendes  Zeug- 
niss.  Der  Mangel  in  der  Definition  ist  nämlich  kein  bloss  formeller, 
sondern  er  drückt  wirklich  den  Mangel  in  der  Auffassung  des  Pro- 
blems der  Philosophie  aus,  er  ist  der  dauernde  Mangel  des  ganzen 
Werkes,  ein  beständiges  Hindemiss  für  den  Fortschritt  der  einzelnen 
80  vortrefflich  begonnenen  Untersuchungen. 

Gehen  wir  die  Einleitung  durch,  deren  3  Abschnitte  sind:  das 
Ziel,  die  Mittel,  die  Grundbedingung  und  Wege  des  Erkennens  — 
so  ist  der  Hauptgedanke  des  ersten  bereits  genannt  und  sein  Resultat 
für  unrichtig  erklärt.  Von  den  Mitteln  werden  aufgewiesen:  Wabr- 
nehmuDg,  Gedächtniss,  Phantasie  nnd  Vernunft.  Sie  werden  für  an- 
geborene Vermögen  erklärt,  wenn  sie  gleich  bei  der  Geburt  in  sehr 
primitiver  Form  vorhanden  sein  möchten,  auch  ihre  Scheidung  keine 
definitiv  massgebende  sei.  Der  Verfasser  würde  aber  wol  weiter 
einräumen,  dass  die  Aussage:  die  Vermögen  sind  angeboren  —  für 
die  Untersuchung  gleichbedeutend  ist  mit  der:  ich  weiss  nicht,  wie 
sie  entstanden  sind  —  so  dass,  wenn  jemand  zeigte,  wie  sie  entstan- 
den sein  können,  erstere  Behauptung  seiner  Ansicht  nichts  entgegen 
stellt  Nun  hätte  es  aber  den  Zweck  der  gegenwärtigen  Arbeit  be- 
deutend gefördert,  wenn  der  Verfasser  aus  jenem  Nichtwissen  heraus- 
getreten wäre  und  versucht  hätte  der  Bildung  des  Vermögens  der 
Wahrnehmung,  obwol  bloss  rational,  wo  die  Beobachtung  fehlte, 
nachzuspüren.  Es  genügt  ihm  zu  sagen,  die  Keime  der  Wahrnehmung 
mflssten  im  Neugeborenen  vorhanden  sein,  denn  es  würde  durch  Licht 
n.  8.  w.  verschieden  erregt.  Dies  ist  an  sich  ein  unberechtigter  Ana- 
logieschluss.  Der  Blumenstengel,  der  sich  nach  der  Sonne  kehrt, 
das  Wachs,  das  in  der  Wärme  erweicht,  zeigen  auch  unterschiedliche 
Erregung,  ohne  dass  wir  ihnen  darum  auch  nur  Sinnesempfindung 
zuschreiben.  Doch  abgesehen  von  der  Ungewissheit,  ob  letztere  von 
Anfang  existirt,  so  ist  Sinnesempfindung  noch  kein  Vermögen,  sondern 


4  lÄtUretrisdier  Btridit  I, 

m 

ein  seelischer  Zustand.  Erst  durch  Fixirnng  der  Sinne  geht  ans  dem 
unterschiedlich  erlehten  ein  eigenes  Unterscheiden  hervor.  Dann 
wieder  ist  die  Unterscheidung  von  Sinnesempfindnngen  noch  keine 
Wahrnehmung.  Dazwischen  liegt  eine  Beihe  von  Transformationen 
der  Vorstellung,  die  nötig  sind  um  Wahrnehmung  von  Objecten  m 
erzeugen,  und  mit  welchen  die  Entstehung  von  Ideen  —  Identit&t, 
Raum  u.  s.  w.  —  verbunden  ist,  die  als  Bedingung  aller  Wahrneh- 
mung vorausgehen.  Diese  unentbehrlichen  Elemente  der  Logik  wer- 
den hier  unerklärt,  ihr  Inhalt  im  Dunkeln  gelassen,  bloss  weil  dei 
Verfasser  die  Frage,  ob  das  Wahrnehmungsvermögen  angeboren  sei, 
recht  bald  mit  einem  Urteil  abschliessen  will  und  dies  Urteil  für  die 
ganze  Leistung  hält.  Anders  verfährt  er  mit  der  Cansalitätsidee. 
Obgleich  auch  hier  die  ganze  Leistung  in  ein  Urteil,  den  Causalitats- 
satz:  Gleiche  Ursachen  haben  gleiche  Wirkungen  —  gelegt  vrird,  so 
wird  im  3.  Abschnitt  die  Entstehung  der  Idee  ausfabrlich  behandelt 
Die  Gültigkeit  des  Satzes  ist  Grundbedingung  des  Erkennens,  muss 
daher  vom  Menschen  ohne  Garantie  iilr  die  Zukunft  angenommen 
werden.  Hier  ist  einmal  die  Naturnotwendigkeit  richtig  aufgefasst, 
als  eine,  die  dem  erkennenden  Menschen,  nicht  der  Sache  auferlegt 
ist.  Dürfte  man  nun  die  ganze  Einleitung  für  eine  Orientirungsarbeit 
ohne  den  Zweck  eines  definitiven  Urteils  ansehen,  so  würde  sie  in 
allen  den  Punkten,  auf  welche  sich  die  Orientimng  erstreckt,  ebe 
vortreffliche  Angriffs-  und  Lehrmethode  darbieten;  nur  würde  die 
notwendige  Orientimng  noch  lange  nicht  beendet  sein.  Gerade  diese 
UnVollständigkeit  zeigt  aber,  dass  die  genetische  Betrachtung  nur  zur 
Erhärtung  einiger  Sätze  dienen  sollte. 

Nach  der  Einleitung  beginnt  die  Schrift  unter  dem  Titel:  „Die 
apriorische  Erkenntniss:  Die  formalen  Wissenschaften^'  —  mit  cioer 
Kritik  der  Begriffe  Apriori,  analytische  und  synthetische  Urteile; 
ersteres  ist  vorher  erwähnt  im  Gegensatz  von  apriorischer  und  empi- 
rischer Wissenschaft,  fast  nur  kenntlich  gemacht  durch  Hinweis  auf 
Mathematik  und  Physik  und  wird  auch  hier  nicht  näher  untersncht, 
sondern  bei  Verbindung  mit  den  beiden  andern  als  gültiger  Begriff 
vorausgesetzt  Diese  Kritik  zeigt  durch  die  unnötigen  Schwierig- 
keiten, mit  denen  sie  sich  zu  tun  macht,  den  Mangel  an  Orientirang 
in  ihrer  Aufgabe,  indem  sie  sogleich  einen  definitiven  Satz  anstrebt 
Die  erste  Frage  musste  sein:  Wo  und  in  welchem  Sinne  kommen 
jene  Begriffe  in  Wissenschaften  mit  Zweck  und  Erfolg  in  Anwendung? 
Was  dann  nicht  zum  Zweck  gehörte,  war  so  gleichgültig  als  die 
Krümmungen  der  Linien,  welche  zu  einem  Beweise  ein  Dreieck  vor- 
stellen sollen.  Apriori  heisst  in  exacten  Wissenschaften  stets,  was 
im  Erkennen  einer  Erfahrung  vorhergeht,  relativ  zu  dieser,  die  es 
bestätigt.    Der  Verfasser  aber  meint  ein  absolutes  Apriori,  webbefl 


LüUrarUehtr  Bericht  L  5 

in  jenen  nicht  vorkommt,  and  dessen  Behauptung  nichts  bedeutet  als 
Unkenntniss  der  Erfahrungen,  aus  denen  die  Wissenschaft  hervor- 
gegangen ist.  Diese  Discrepanz  überspringt  er,  indem  er  sich  auf 
die  Mathematik  beruft  Die  Kritik  wendet  sich  gleich  anfangs  auf 
die  Definition  des  Gegensatzes  zwischen  analytischen  und  synthetischen 
Urteilen,  mit  dem  Resultate  dass  jedes  Urteil  beides  ist,  und  dass 
jedes  Yeniunft  und  Anschauung  zugleich  bedarf.  Hätte  sie  zuerst 
oach  Zweck  und  Erfolg  dieser  Scheidung  gefragt,  so  wtlrde  ohne  die 
lange  Untersuchung  klar  geworden  sein,  dass  dieselbe  an  dieser  Stelle 
Qberflfissig  ist;  denn  sie  hat  bei  Kant  nur  zur  Formulirung  bestreit- 
barer Urteile,  dem  Fortschritt  der  Mathematik  überhaupt  zu  nichts 
gedient  Glücklicherweise  war  der  Umweg  keine  Verleitung  zum  Ab- 
weg; denn  nun  stellt  der  Verfasser  die  näher  liegende  Frage:  Wie 
wird  die  Mathematik,  wie  sie  factisch  vorliegt  (statt  synthetische 
Erkenntniss  apriori)  möglich?  Zuerst  zeigt  er,  dass  sie  weit  entfernt 
ist  durch  reinen  „Syllogismus^^  zustande  zu  kommen.  Sofern  hiermit 
nar  eine  verbreitete  Meinung  widerlegt  werden  soll,  kann  man  gegen 
die  unfruchtbare  Vorführung  der  syllogistischen  Formen  nichts  ein- 
wenden. Nur  möchte  man  doch  den  gelegentlich  in  specieller  Be- 
ziehung getanen  Ausspruch:  Der  Naturforscher  wird  in  dieser  Form 
kaum  seinen  Gedankengang  wiedererkennen;  denn  das  Selbstverständ- 
liche wird  breit  hervorgehoben,  und  die  eigentliche  Operation  beinahe 
wie  etwas  selbstverständliches  übergangen  —  von  der  ganzen  Syllo- 
gismenlehro  gesagt  sein  lassen.  Indes  geht  der  Verfasser  auch  im 
folgenden  Abschnitt,  der  von  den  Axiomen  der  Geometrie  handelt, 
nicht  über  die  Satzungen  der  formellen  Logik,  die  er  nun  einmal 
für  die  einzigen  Wege  des  Erkennens  hält,  hinaus.  „Unmittelbare 
Beurteilungen^'  und  „Inductionsschlüsse"  sind  das  Einzige,  was  er 
zur  Erklärung  der  Axiome  aufbringt,  worüber  er  sich  aber  mit  vielen 
Worten  ohne  klares  Ergebniss  und  mit  vielen  Abschweifen  auslässt 
Dass  erstere  nichts  sind  als  Behauptungen  ohne  Bewusstsein  des 
Grundes,  daher  auch  ohne  Controle,  wird  nicht  an  den  Tag  gelegt. 
1q  letztern  wird  der  Induction  eine  unrechte  Bestimmung  zuerteilt 
Der  Verfasser  hat  keine  Ahnung  davon,  dass  die  Gewissheit  durch 
das  theoretische  Gelingen  bedingt  ist,  mit  der  Ausdehnung  der  Theorie 
wächst  und  unumstösslich  wird,  sobald  die  vollendete  Tatsache  gei- 
stiger und  materieller  Früchte,  welche  den  Aufwand  an  Anstrengungen 
tausendfach  überstiegen  haben,  so  wie  andrerseits  die  Aussichtslosig- 
keit ein  gleich  brauchbares  System  zu  schaffen,  dem  Zweifel  allen 
Boden  entzogen  haben.  Daher  hat  auch  der  Begriff  der  Hypothese 
bei  ihm  keine  Stelle  und  wird  bei  Erklärung  der  Axiome  gar  nicht 
genannt  Er  kennt  nur  die  Sicherung  durch  den  Unterbau,  die 
natürlich  immer  precärer  wird,  je  höher  man  baut,  da  immer  mehr 
fehlbare  Elemente  hinzukommen. 


g  lÄtterarischer  Berieht  I. 

Mit  so  angenOgender  AnffassuDg  des  Zieles  und  der  Mittel  der 
empirischen  Erkenntniss  wird  nun  der  folgeDde  Abschnitt  unter  dem 
Titel  der  letztern  angegriffen  and  in  der  Tat  bei  Besprechung  der 
zwei  ersten  Themata,  welche  ziemlich  im  alten  Gleise  yerl&aft,  nichts 
nennenswertes  zutage  gefördert  Das  dritte  Thema,  Grebiet  des  Gansal- 
gesetzes,  erregt  gute  Erwartungen.  Es  handelt  sich  um  die  Fnge, 
ob  das  Causalgesetz  Beschränkungen  habe.  Ohne  vorher  sich  danun 
zu  kümmern,  welche  Beschränkunp^en  der  wissenschaftliche  Gebraoch 
des  Causalbegriffs  schon  an  sich  enthält,  dass  z.  B.  nicht  der  Orti- 
änderung,  sondern  der  Oeschwindigkeitsänderung  Ursache  zugeschrie- 
ben wird,  bespricht  der  Verfasser  zwei  Punkte,  in  welchen  er  fremde 
Ansichten  zu  widerlegen  sucht,  nämlich  erstens  die,  dass  die  da- 
salität  keine  „objective^'  Ottltigkeit  habe,  zweitens  die,  dass  sie  anf 
die  anorganische  Natur  beschränkt  sei.  Er  tritt  Kant  und  Mill  cntr 
gegen,  aber  nur  mit  neu  erdachten  Ausktlnften ,  während  er  die  Be- 
fangenheit in  der  Auffassung  mit  ihnen  teilt.  Die  Objcctivität  bleibt 
für  ihn  immer  ein  Jenseit ;  nur  meint  er  dem  Glauben  an  ein  solches 
dadurch  zu  entgehen,  dass  er  es  als  Hypothese  einführt,  die  zur  Er- 
klärung der  Idee  notwendig  wäre.  Zur  Erklärung  der  ideellen  Cm- 
salität  also  will  er  eine  problematische  gleiche  Idee  anwenden.  Das 
heisst  doch,  den  Spuk  eines  mythischen  Kobolds  durch  Fiction  eines 
wirklichen  Kobolds  erklären!  In  solche  Confusion  und  Yerwirrong 
kann  ein  aufrichtig  forschender  Geist  geraten,  wenn  er  es  ter- 
schmäht,  die  Dinge,  über  die  er  urteilen  will,  spedell  anzusehen, 
und  sich  damit  begnügt,  sie  unter  die  Kritik  vorgefasster ,  uncontro- 
lirter  Begriffe  (sogen,  reiner  Vernunft)  zu  bringen.  Hätte  der  Ver- 
fasser, ehe  er  an  eine  Frage  über  Objectivität  gieng,  sich  die  Be^ 
dingungen  der  Idee  der  Objectivität  klar  gemacht,  so  würde  sich  der 
fatale  Dualismus  des  Gedachten  und  Seienden  in  den  blossen  Unter- 
schied des  zeitweilig  Unvollkommenen  und  des  angestrebten  Voll- 
kommenen aufgelöst  haben.  Gleich  unvorbereitet  tritt  er  an  die 
zweite  Frage,  ob  der  Mensch  freien  Willen,  d.  h.  die  Fähigkeit  neoe 
Causalketten  anzufangen  habe.  Die  entgegengesetzte  Ansicht,  dass 
nämlich  alle  Vorgänge,  einschliesslich  menschliche  Handlungen  deter- 
minirt  seien,  betrachtet  er  ohne  alle  Untersuchung  und  Gharakteri- 
sirung  als  eine  einheitliche.  Er  fragt  nicht  danach,  was  die  Cao- 
salität  eigentlich  verbindet,  und  was  sie  undeterminirt  lässt  Es 
entgeht  ihm  also,  dass  die  Causalverbindung  allein  das  Snccedirende 
berührt,  mithin  die  gesamte  gleichzeitige  Welt,  bei  aller  Zurück- 
ftthrung  auf  vorausgehende  Zustände,  nicht  verbinden  kann,  und  dass 
es  gerade  dieses  grosse  Bereich  ihr  gegenüber  zufällig  neben  einander 
gehender  Teile  ist,  in  welchem  der  Mensch  frei  combinirend  eine 
Zweckverbindung  herstellt,  die  mit  der  Causalität  nicht  concnrrirt, 
sondern  stets  ihrer  Hülfe  bedarf,   sofern  der  Zweck  anf  die  Znkanft 


Lüt€rarvi€h€r  Bericht  1  7 

gerichtet  ist.  Das  stärkste  Argument  für  die  Willensfreiheit  scheint 
dem  Verfasser  die  Verantwortlichkeit  zu  sein.  Er  glaubt  anch  dieses 
entkräftet  zu  haben,  mit  wie  vielfacher  intellectneller  Einbusse  lassen 
wir  dahingestellt  Es  gibt  stärkere  und  der  exacteu  Betrachtung 
näher  liegende  Argumente.  Wie  will  der  Verfasser  die  Entstehung 
eines  Artefacts,  z.  B.  einer  Uhr,  durch  blosse  Kräfte  ohne  freie 
Combination  erklären?  wie  den  Widerspruch  heben,  den  eine  Wette 
darbietet,  in  der  bei  vollkommener  Determination  die  Parteien  sich 
gegenseitig  besiegen  müssten?  Allgemein  gefasst  liegt  das  Haupt- 
argumont  fttr  die  Willensfreiheit  in  der  Ueberlegenheit,  die  das  Wissen 
dem  Subject  über  das  Object  verleiht ;  diese  kann  logischerweise  nicht 
gegenseitig,  also  der  Wissende  nicht  determinirt  sein.  Hierbei  tritt 
es  recht  deutlich  hervor,  wie  unzureichend  die  umfängliche  Definition 
des  Erkenntnisszieles  ist;  über  einander  urteilen  können  Gegner  ohne 
logischen  Widerspruch.  Daher  konnte  der  Verfasser  bei  seiner  Auf- 
fassung die  in  Rede  stehende  Frage  nicht  zur  Entscheidung  bringen. 
Was  in  der  gesamten  Betrachtung  des  vorliegenden  Abschnitts  nocb 
am  meisten  auf  das  Wesen  der  Sache  gerichtet  ist,  ist  die  Ausein- 
andersetzung, welche  zeigt,  wie  das  Gebiet  möglicher  Willensacte  sich 
mehr  und  mehr  beschränken  lässt;  nur  hätte  sie  weiter  geführt  wer- 
den müssen,  um  die  Erklärungen  zu  erreichen,  die  bereits  von  an- 
dern Autoren  gegeben  worden  sind. 

Es  folgen  noch  die  Abschnitte:  der  Causalzusammenhang ,  die 
physischen  Grundsätze,  die  physischen  Lehrsätze,  die  physischen 
Grnngbegriffe,  Zeit  und  Raum.  Sie  würden  nur  zur  Wiederholung 
des  Gesagten  veranlassen.  Hoppe. 


Logik.  Eine  Untersuchung  der  Principien  der  Erkenntniss  und 
der  Methoden  wissenschaftlicher  Forschung.  Von  W  i  1  h  e  1  m  W  u  n  dt. 
Zwei  Bände.  Zweiter  Band.  Methodenlehre.  Stuttgart  1883.  Fer- 
dinand Enke.    620  S. 

Diese  Methodenlehre  hat  es  nur  mit  vorgefundenem  Stoff  zu  tun. 
Die  Behandlungsweise  ist  fast  ausschliesslich  beschreibend;  die  ein- 
zigen dabei  geübten  logischen  Tätigkeiten  sind  Scheidung  und  Ord- 
nung. Der  Name  „Untersuchung"  fUr  das  Werk  ist  gänzlich  unzu- 
treffend. Es  wird  weder  die  psychische  Genesis  der  Methoden  unter- 
sucht, noch  von  irgend  einem  Standpunkte  die  Notwendigkeit  der 
Fortentwickelung  in  ihrer  actuellen  Gestalt  ans  Licht  gestellt.  Ein 
gewisses  Eingehen  auf  Gegenstand  und  Inhalt  der  einzelnen  Wissen- 
schaften war  unvermeidlich  um  über  den  Sinn  der  Methoden  Rechen- 
schaft zu  geben.  Ein  tieferes  Eingehen  würde  erforderlich  gewesen 
sein,  wenn  die  vorkommenden  Urteile  hinreichend  motivirt  erscheinen 


g  Litierarischer  Beriet  L 

sollten.  Der  Grund,  waram  der  Verfasser,  dem  angenscheinlich  nicht 
der  Sinn  für  reifere  und  mehr  einheitliche  Aufiassnng  abgieng,  es  bei 
dieser  indifferenten  Behandlnngsweise  bewenden  liess,  liegt  wol  in 
der  überwältigenden  Arbeit,  welche  die  hier  zum  Abschluss  gebrachten 
Vorstudien  für  künftige  definitive  Gestaltung  ihm  auferlegten.  Es 
ist  anerkennenswert,  dass  hier  der  Logik  die  Beobachtung  der  acta- 
eilen  Geisteswerke  zugrunde  gelegt  wird,  wfthrend  meistens  eine 
aprioristische,  d.  h.  auf  eingewurzelten,  nie  controlirten  Grundsätzen 
beruhende  Kritik  ohne  genaue  Eenntniss  des  Wesens  der  Metboden 
über  dieselben  abspricht.  Die  Abschnitte  des  Buches  sind:  Allge- 
meine Methodenlehre,  insbesondere  die  Methoden  der  Untersuchnng, 
die  Formen  der  systematischen  Darstellung*,  von  der  Logik  der  Mathe- 
matik, die  arithmetischen,  die  geometrischen  Methoden,  der  Fonc- 
tionsbegriff  und  die  Infinitesinalmethode-,  von  der  Logik  der  Nata^ 
Wissenschaften,  insbesondere  die  allgemeinen  Grundlagen  der  Katnr- 
forschung,  die  Logik  der  Physik,  der  Chemie,  der  Biologie  j  von  der 
Logik  der  Geisteswissenschaften,  insbesondere  die  allgemeinen  Grund- 
lagen der  Geisteswissenschaften,  die  Logik  der  Geschichtswissen- 
schaften, die  Logik  der  Gesellschaftswissenschaften,  die  Methoden  der 
Philosophie.  Hoppe. 

Kritische  Bemerkungen  zur  Einführung  in  die  Anfangsgründe  der 
g6om6trie  descriptive.  Von  Franz  Til«er,  Professor  an  der  L  k. 
böhm.  technischen  Hochschule  in  Prag,  Reichsraths* Abgeordneter  etc. 
Erstes  Heft  Mit  einer  lithographirten  Tafel.  Wien  1883.  Alfred 
Holder.    96  S. 

.  Aus  einem  44  Seiten  langem  Vorwort,  welches  sich  in  lanter 
Allgemeinheiten  ohne  Charakterisirung  mit  beständigen  Wiederholnn- 
gen  ergeht,  ist,  abgesehen  von  einigen  Angaben  über  Osterreichische 
Schulen ,  wenig  mehr  zu  entnehmen ,  als  dass  der  Unterricht  in  der 
„g6om6trie  descriptive"  sehr  wichtig  sei.  Das  Vorwort  betrachtet 
Monge's  g^om^trie  descriptive  und  die  darstellende  Geometrie  als  zvei 
verschiedene  Doctrinen  und  preist  erstere  als  Grundlage  aller  mensch- 
lichen Gultur  an.  Was  den  Unterschied  machen  soll,  erfährt  der 
Leser  nicht.  Auch  die  Schrift  selbst  verweilt  erst  lange  bei  selbst- 
verständlichen Dingen,  bis  sie  endlich  bei  Einteilung  der  Doctrin  sich 
etwas  näher  auf  Besprechung  des  Inhalts  einlässt.  Die  g^om.  deecr. 
hat  zuerst  die  Aufgabe  die  Kenntniss  der  darzustellenden  Gegen- 
stände, welche  der  Darstellung  vorausgehen  muss,  ohne  Bezugnahme 
auf  die  Darstellung  zuwege  zu  bringen,  dann  deren  Darstellung,  dann 
ihre  Erkennung  aus  der  Darstellung  zu  lehren;  und  zwar  teilt  sich 
die  zweite  Aufgabe  wieder  in  die  zwei,  wirkliche  und  projectirte  Ge- 
bilde darzustellen.    Von  den  3  Aufgaben  wird  hinsichüich  der  De- 


LittemrUchBr  Bericht  CCLXXX,  9 

sideraten  nur  die  erste,  die  Morphologie,  besprochen.  Diese  allein 
ist  es  also,  welche  nach  Ansicht  des  Verfassers  im  heutigen  Schul- 
QQterricht  vernachlässigt  wird.  Vom  actuellen  Lehrverfahren  ist  indes 
nirgends  die  Kede,  daher  der  Ausdruck,  kritische  Bemerkungen,  auf 
dem  Titel  ganz  gegenstandslos.  Auch  scheint  die  Voraussetzung  ob- 
zawalten,  als  ob  die  Schüler  der  descriptiven  Geometrie  dieselbe  ohne 
alle  Kenntniss  der  Elementargeometrie  begönnen.  Denn  diese  gibt 
doch  ziemlich  alles  Nötige  über  die  einfachem  Raumgebilde.  Dar- 
über fehlt  indes  jede  Aeusserung,  indem  sie  einzeln  durchgegangen 
und  Zeichen  dafür  gesetzt  werden.  Von  der  ganzen  Schrift  gilt  nur: 
Parturiunt  montes  etc.  Hoppe. 

Das  Princip  der  Infinitesimal  -  Methode  nnd  seine  Geschichte. 
Ein  Kapitel  zur  Grundlegung  der  Erkenntnisskritik.  Von  Dr.  Her- 
mann Cohen,  ordentlichem  Professor  der  Philosophie  an  der  Uni- 
versität Marburg.    Berlin  1883.    Ferd.  Dümmler.     162  S. 

Der  Verfasser  spricht  über  111  philosophische,  insbesondere  Logik 
und  Mathematik  j  sowie  Geschichte  derselben  betreffende  Themata, 
indem  er  über  jedes,  ohne  Bezugnahme  auf  die  übrigen,  sein  un- 
motivirtea  Urteil  abgibt.  Die  grossenteils  sehr  bestreitbaren  Urteile 
sind,  da  aller  Nachweis  fehlt,  gegen  Angriff  allein  geschützt  durch 
Dnukeibeit  des  Ausdrucks,  welche  es  nicht  als  lohnend  erscheinen 
llsst,  auf  eine  Wiederleguug  einzugehen.  Letzteres  möchte  eher  der 
Fall  sein,  wenn  irgendwo  gesagt  wäre,  was  unter  dem  auf  dem  Titel 
genannten  yJPrincip*^  verstanden  werden  soll-,  denn  aus  den  Urteilen 
Qber  die  Methoden  lässt  sich  dies  nicht  entnehmen.  Da  nirgends  ein 
Fortschritt  oder  systematische  Ordnung  zu  entdecken  ist,  so  möchte 
auch  ein  Yerzeichniss  der  Themata  zwecklos  sein.  Hoppe. 


Arithmetik,  Algebra  und  reine  Analysis. 

Untersuchungen  im  Gebiete  linearer  Differential  -  Gleichungen. 
Von  Simon  Spitzer.  Erstes  Heft,  Wien  1884.  Carl  Gerold's  S. 
60  S. 

Das  Heft  besteht  aus  4  Abschnitten.  Im  ersten  wird  die  homo- 
gene lineare  Differentialgleichung  2.  Ordnung  hergeleitet,  deren  Spe- 
ciallösungen die  Wurzeln  einer  gegebenen  kubischen  Gleichung  sind. 
Die  Methode  wird  au  einem  Specialfalle  gezeigt,  dann  auf  die  allge- 
meine reducirte  Gleichung  in  Anwendung  gebracht  und  die  Bedingung 
aufgestellt,  unter  der  die  Differentialgleichung  1.  Ordnung  ist.    Nach 


10  Litterariseher  Btrieht  1. 

Hormito  kann  man  ans  dem  Integral  einer  homogenen  linearen  Glei- 
clmng  2.  Ordnung  diejenige  Gleichung  2.  Ordnung  finden,  deren 
Spociallösungen  Potenzen  der  Speciallösungen  der  Urgleichung  sind. 
Hieraus  ergibt  sich  eine  Erweiterung  der  obigen  Resultate.  Der 
2.  Abschnitt  enthält  Bemerkungen  über  lineare  Differentialgleichuogea 
mit  linearen  Goefficienten ,  namentlich  wenn  homogene  durch  Diffe- 
rentiation und  Elimination  aus  nicht  homogenen  hervorgehen;  der 
dritte  ähnliche  Bemerkungen  bei  gewissen  nicht  linearen  CoefücienteiL 
Im  4.  Abschnitt  ^ind  die  Speciallösungen  Differentialquotienteu  der 
Specialiösungen  gegebener  Differentiallösungen.  E 


Technik. 


Skizze  einer  Theorie  der  Elektromotoren  und  Elektromaschineo. 
Von  Joh.  A.  Lissner,  geprüfter  Lehramtscandidat.  Wien  1883. 
Selbstverlag.    58  S. 

Diese  Skizze  soll  einer  vollständigeren  und  umfassenderen  Be- 
arbeitung der  Theorie  der  Elektromotoren  und  Elcktromaschineo 
vorausgehen ,  welche  aus  den  hier  angedeuteten  Prindpien  die  sich 
ergebenden  Schlüsse  ziehen  und  zeigen  wird,  ob  und  wieweit  die 
Resultate  der  Versuche  mit  denen  der  Rechnung  übereinstimmen. 
Die  Rechnung  wird  für  den  Fall  durchgeführt,  wo  die  Maschine  in 
permanentem  gleichem  Gange  ist,  und  zwar  wird  die  vom  Strome  in 
der  Gesammtschliessung  erzeugte  und  die  zur  Erzeugung  des  Stromes 
aufgewandte  Arbeit  analytisch  dargestellt.  Aus  der  Formel  ergibt 
sich,  dass  erstere  kleiner  ist  als  letztere  und  zwar  um  den  Betrag, 
welch(T  dnrch  die  Veränderung  des  Potentials  der  Elemente  des 
zweiteu  PruiliKtorteiles  aus  sich  selbst  infolge  der  Steucrungseingnfe 
repräsentirt  wird,  nämlich  um  die  Arbeit  des  Stromes  in  der  Leitung 
und  um  die  in  der  Leitung  bemerkbare  Arbeit.  Es  wird  dann  weiter 
untersucht,  nach  welchen  Principien  die  Constanten  durch  Versoche 
zu  bestimmen  sind.  H. 


Zeitschrift  des  elektrotechnischen  Vereines  in  Wien.  Redigirt 
von  JosefKareis,  k.  k.  österr.  Telegraphen-Oflicial.  Erster  Jahr- 
gang 1883.    Wien  1883.    R.  Spies  u.  Co. 

Jedes  der  12  Hefte  des  Jahrgangs  enthält  zuerst  Vereinsnach- 
richten,  dann  Abhandlungen,  denen  in  einigen  Vorträge  vorhergehen, 
dann  die  9  ersten  Ausstellungszeitung.  Die  Vorträge  und  Abband- 
lungen haben  grösstenteils  Vorrichtungen  und  Maschinen,  teils  Pro- 


Litt€rari»cher  Bericht  L  11 

ject,  teil8  local,  sowie  die  Anfertigung  zum  Gegenstand.  Theoretische 
Yorträge  und  Aufsätze  sind:  Stefan:  elektrische  Kraftübertragung; 
Dischner:  Gegcusprechmethodc ;  Waltonhofen:  Wirkungsgrad 
von  Motoren;  Hissiuk:  telephonische  Uebertraguug  auf  grosse  Ent- 
fernungen; D vor 4k:  Unhaltbarkeit  der  Theorie  der  Spitzenwirkung 
der  Flammen;  Granfeld:  Erdmagnetismus,  Erdströmungen;  Bei- 
nisch:  Beweis  des  Joule'scheu  Gesetzes;  Jueptner:  Eiuiluss  des 
Magnetismus  auf  das  elektrolytische  Verhalten  der  Metalle;  Popper: 
physikalische  Grundlagen  der  elektrischen  Kraftübertragung;  Mach: 
Grundbegriffe  der  Elektrostatik.  Ueber  elektrotechnischen  Unter- 
richt bandelt  ein  Aufsatz  von  C.  G.  S.  H. 


Kalender  für  Elektrotechniker.  Unter  Mitwirkung  der  Herren 
Dr.  W.  A.  Nippel  dt  und  Postrath  C.  Grawinkel  herausgegeben 
Ton  F.  Uppenborn,  Ingenieur,  Redakteur  des  Centralblattes  ftlr 
Elektrotechnik.  Erster  Jahrgang  1884.  Mit  173  Abbildungen.  Mün- 
chen and  Leipzig  1884.    R.  Oldenbourg. 

Der  Kalender  enthält  zuerst  rein  mathematische  Tabellen  und 
Formeln,  dann  Formeln  nebst  Tabellen  für  Mechanik,  Akustik,  Optik, 
Wärmelehre,  Magnetismus  und  Elektricität  und  für  Maschinen,  dann 
für  Elektrotechnik,  dann  gesetzliche  Bestimmungen.  Dann  folgt  der 
Kalender  mit  Raum  für  Notizen,  zum  Schluss  Anzeigen.  Die  Rc- 
daction  fordert  zu  Mitteilungen  aus  eigener  Praxis  auf. 


Vermischte  Schriften. 

Nienw  Archief  voor  Wiskunde.  Deel  X.  Amsterdam  1884. 
J.  F.  Sikken. 

Der  Inhalt  des  Bandes  ist  folgender. 

C.  L.  L andre:  Der  mittelbare  Fehler  bei  Beobachtungen«  zur 
Bestimmang  von  mehr  als  einer  Unbekannten.  —  Formeln  zur  Be- 
stimmung der  Verbindung  zwischen  der  Genauigkeit  der  Sterblich- 
keitstabellen und  der  2iahlen  für  Lebensversicherung.  —  Ein  beson- 
derer Umstand  zu  beachten  bei  Zusammenstellung  gegebener  Zahlen 
zur  Berechnung  der  Sterbenswahrscheinlichkeit. 

L.  Janse  Bz:  Fortsetzung  der  Beantwortung  der  Preisfrage 
(9.  litt.  B.  276.    S.  46 ). 

P.  H.  Schonte:  Ueber  eine  specielle  Raumcurve  7.  Grades. 


12  Litterariaeher  Btrida  I. 

J.  De  Vries:  üeber  lineare  partielle  DifFercutialgleicsnDgen 
3.  Ordnung  mit  3  Variabcln. 

A.  Benthem  6z:  Die  Schneckenlinia,  Cochleoidc. 

C.  Stülp:  Entwickelang  von  Functionen  durch  teilweise  Inte- 
gration. 

J.  Cardinaal:  Einige  Eigenschaften  eines  speciellen  Systems 
von  Flächen  2.  Ordnung.  —  Einige  Eigenschaften  von  Flächen 
2.  Grades,  die  4  gegebene  Linien  berühren. 

H.  J.  Kran  tz:  Ueber  die  Bestimmung  der  Abwickelung  von  ebenen 
Curven. 

L.  Van  Zanten  Jzn:  Aufgabe  (über  Hauptträgsaxen  eines 
Vierecks). 

N.  L.  W.  A.  Gravelaar:  Anwendung  der  Determinanten  bei 
der  Methode  der  kleinsten  Quadrate. 

F.  W.  Fischer:  Ableitung  einer  Formel  zur  Gonstruction  der 
Schattenlinie  eines  Sonnenzeigers. 

W.  Eapteyn:  Einiges  über  Integration  rationaler  FunctioDen. 
—  üeber  einige  Sätze  aus  der  Determinatenlehre. 

F.  J.  van  den  Berg:  Ueber  die  n&heruugsweise  Rectitication 
des  Kreisbogens  (Fortsetzung).  —  Ueber  eine  unrichtige  Ansicht  in 
G.  J.  Vcrdam's  Handbuch  der  sphärischen  Trigonometrie.  —  Ueber 
eine  arithmetische  Aufgabe. 

Es  folgt  ein  nach  Gegenständen  geordnetes  Begister  über  einige 
mathematische  Zeitschriften.  IL 


Atti  della  R.  Accademia  dei  Lincei.  Anno  CCLXXX.  1882—83. 
Serie  terza.    Transunti.    Volume  YII.    Roma  1882. 

Mathematische  Artikel  sind  folgende  im  7.  Bande  enthalten. 

C.  Henry:  Ueber  einige  noch  nicht  herausgegebene  Sftize  von 
Fermat. 

L.  Bianchi:  Ueber  eine  Classe  dreifach  orthogonaler  FlachcD- 
Systeme. 

G.  Govi:  Ueber  die  Einwirkung  der  Temperatur  auf  die  Schall- 
geschwindigkeit in  der  Luft  und  über  den  Wert  dieser  Geschwin- 
digkeiten nach  Versuchen  von  G.  L.  Biancoui,  gemacht  1740  in 
Bologna. 


LiUerarischer  Bericht  1,  13 

Ja  Dg:  Nene  Sätze  zur  Ergänzung  der  Gnldin'flchen  Regel  nnd 
eine  Eigenschaft  der  Spirale  r  —  ^  sin  9. 

BrioBchi:  Die  algebraischen  Relationen  zwischen  den  hyper- 
elliptischen Functionen  1.  Ordnung. 

Spottiswoode:  Ueber  die  Invarianten  und  Covarianteu  einer 
durch  quadratische  Substitution  transformirten  Function. 

Glaser:  Verteilung  der  Masse  auf  der  Oberfläche  eines  Ellip- 
soids,  derart  dass  man  im  Innern  des  Körpers  eine  nach  Grösse  und 
Richtung  gegebene  constante  Wirkung  erhält. 

Maisano:  Einige  Sätze  über  binäre  Formen  beliebigen  Grades 
and  deren  Anwendung  auf  Untersuchung  der  mohrfachen  Wurzeln 
der  Gleichung  6.  Grades. 

Besso:  Ueber  eine  hypergeometrische  Differentialgleichung. 

G.  Morera:  Ueber  das  Gleichgewicht  der  biegsamen  und  nicht 
dehnbaren  Flächen. 


Mathematische 
und  physikalische  Bibliographie. 

L 


Geschichte  der  Mathematik  und  Phjsik. 

Fortschritte,  die,  d.  Physik  im  J.  1880.  Dargest  t.  d.  physika). 
Gcsellsch.  za  Berlin.  36.  J.  2.  Abth.,  cnth.:  Optik,  W&nnelehns 
Electricitätslehre.    Red.  v.  Neeseu.    Berliu,  G.  Reimer.     17  Mk. 

—  dass.  3.  Abth.,  enth. :  Physik  d.  Erde.  Red.  y.  B.  Schwalbe. 
Ebd.    10  Mk. 

Jahrbuch  ttb.  d.  Fortschritte  d.  Mathematik,  hrsg.  y.  C.  Ohrt- 
mann.    13.  Bd.    J.  1881.    2.  Hft    Berlin,  6.  Reimer.    5  ML 

Sartorius,  M.,  die  Entwickig.  d.  Astronomie  bei  den  Griecben 
bis  Anaxagoras  u.  Empedokles,  in  bes.  Anschluss  an  Theophnst 
dargestellt.    Breslau,  Koebner.    1  Mk.  20  Pf. 

Weissenborn,  H.,  die  irration.  Quadratwurzeln  bei  Arcbime- 
des  u.  Heron.    Berlin,  Calvary  &  Co.    3  Mk.  60  Pf. 

Methode  nnd  Frinoipien« 

Cohen,  H.,  das  Princip  der  Infinitesimal-Methode  u.  seine 
Geschichte.    Berlin,  Dümmler.    3  Mk.  60  Pf. 

Simony,  0.,  üb.  e.  Reihe  neuer  mathemat  Erfahmngssätze. 
III.  (Schluss.)    Wien,  Gerold's  S.    2  Mk. 

Lehrbficher,  Sammlungen  nnd  Tabellen« 

B  a  r  d  e  y ,  C . ,  methodisch  geordn.  Aufgabensammlg. ,  mehr  «is 
8000  Aufgaben  enth.  über  alle  Theile  der  Elementar-Mathem&tik. 
11.  Afl.    Leipzig,  Teubner.    2  Mk.  70  Pf. 

Gauss,  F.  G.,  5 stell,  logarithm.  u.  trigouometr.  Tafeln.  Kleine 
Ausg.    Halle,  Stnen.    1  Mk.  25  Pf. 

Heilermann,  H.,  Sammig.  geometr.  Aufgaben.  3.  Afl.  Essesi 
Bädeker.    80  Pf. 

Kleyer,  A.,  vollst,  gelöste  Auf.-Sammlg.  a.  allen  Zweigen  der 
Rechenkunst  etc.    89—100.  Hft.    Stuttgart,  Maier.    ä  25  Pf. 


Lüterarischer  Bericht  IL  14 


Litterarischer  Bericht. 

II. 


Lehrbücher. 

Leitfaden  der  ebenen  Geometrie  für  höhere  Lehranstalten.  Von 
Prof.  H.  Eöstler,  Oberlehrer  am  Domgymnasium  za  Naumburg  a.  S. 
Mit  vielen  in  den  Text  gedruckten  Holzschnitten.  1.  Heft.  Kon- 
gruenz. Zweite,  teilweise  umgearbeitete  Auflage.  Halle  a.  S.  1883. 
Louis  Nebert.    64.  S. 

Von  der  1.  Auftage  des  „Leitfadens  für  den  Unterricht  in  der 
Geometrie  an  höheren  Lehranstalten",  dessen  Identität  mit  dem  gegen- 
wärtigen Buche  wegen  abweichenden  Titels  fraglich  erscheint,  ist  im 
251.  litt.  6er.  S.  29  nur  das  3.  Heft  besprochen,  jedenfalls  also  der 
Gegenstand  ein  anderer.  Das  1.  Heft  hat  nun  dadurch  eine  beson- 
dere Wichtigkeit,  dass  es  die  Grundlegung  der  geometrischen  Begriffe 
bei  Anfängern  enthält.  Berücksichtigt  man,  dass  der  Verfasser  sich 
die  grösstmöglicho  Kürze  auferlegt  hat,  so  muss  man  anerkennen, 
dass  diese  mit  ausserordentlicher  Präcision  und  in  vollkommen  ge- 
nügendem Umfange  ausgeführt  ist:  kein  Wort  das  den  Standpunkt 
der  Anfänger  überschreitet  und  keins  das  auf  höherem  Standpunkte 
einer  Correction  oder  Ergänzung  bedürfte,  kein  Umstand  ausser  Acht 
gelassen,  der  zur  Bildung  richtiger  Vorstellungen  und  Begriffe  Er- 
klärung nötig  macht.  In  Anbetracht  der  tadellosen  Genauigkeit  und 
Sorgfalt,  die  im  allgemeinen  hier  waltet,  ist  es  an  seiner  Stelle  dessen 
zu  erwähnen,  was  im  einzelnen  gefehlt  ist.  Der  1.  Grundsatz  S.  2. 
besteht  aus  2  Sätzen ,  die  nicht  durch  „oder",  sondern  durch  „und''' 
zu  verbinden  waren.    Der  Satz  39.  war  vor  38.  zu*  stellen ;   denn  er 

ATCh.  A.  Hallt.  «.  Pkyt.    8.  Reih«,  Ttil  I.    Haft  1.  S 


15  lAttenariieh^r  Beriet  IL 

erklftrt  erst  die  Addition  der  Winkel.  Satz  38.  ist,  wie  er  hier  steht, 
eine  Tautologie;  dass  Summe  das  Ergebniss  der  Addition  ist,  soll 
doch  kein  Satz  über  Winkel  sein ;  was  aber  nicht  hätte  fehlen  sollen, 
war  die  geometrische  Darstellung  der  Winkelsamme.  Dass  der  Be- 
griff der  Richtung  ohne  besondere  Erklärung  aus  der  gemeinen  Vor- 
Stellung  entlehnt  wird,  ist  zulässig;  dass  seine  Ezactstellung  durch 
den  Winkel,  der  den  Unterschied  der  Richtung  misst,  und  der  seiner- 
seits  durch  das  Gesetz  der  Addition  zu  eiucm  cxacten  Begriff  wird, 
nicht  besonders  ausgesprochen  ist,  mag  durch  die  Kfirzo  der  Ab- 
fassung des  Leitfadens,  der  vieles  dem  mündlichen  Unterricht  Ober- 
lässt,  gerechtfertigt  sein.  Auf  eins  nur  kommt  es  unter  allen  Um- 
ständen an:  dass  der  Gebrauch  des  Begriffes  stets  exact  richtig  ist 
und  weder  zu  falschen  Yorstellungen  noch  zu  falschen  Consequenzen 
verleitet.  Hiergegen  fehlt  der  dem  Parailelcnsatz  48.  beigefügte 
falsche  Beweis.  Dessen  Unrichtigkeit  würde,  wie  allbekannt,  sogleich 
zutage  treten,  wenn  der  Begriff  der  Richtung  dcfinirt  wäre,  was  bei 
Ausgang  von  verschiedenen  Punkten  erst  auf  Grund  des  Paralldeu- 
satzcs  möglich  ist.  Der  Begriff  der  Richtung  ist  also  nur  zur  Ver- 
hüllung eines  Betrugs  im  dunkeln  gelassen.  Die  Berichtigung  der 
Stelle  ist  leicht.  Wo  „Beweis^^  steht,  ist  statt  dessen  zu  sagen :  Der 
Satz  behauptet,  dass  mit  einer  Geraden  von  einem  Punkte  aus  nur 
eine  Gerade  in  gleicher  Richtung  gehen  kann,  was  selbstverständlich 
und  keines  Beweises  fähig  ist.  Nach  Erklärung  3.  ist  daher  der 
Satz  ein  Grundsatz.  Obgleich  diese  Erklärung  nicht  haltbar  ist,  so 
kann  es  genügen,  dass  nach  dieser  Correction  weder  intuitiv  noch 
logisch  ein  Irrtum  herbeigeführt  wird.  Die  Anordnung  des  Lehr- 
stoffes ist:  Linie,  NVinkel,  Dreieck,  Viereck,  Vieleck,  Kreis,  Kreis 
und  Polygon,  zwei  Kreise.  Jeder  Abschnitt  ist  mit  Uebungen  reich- 
lich versehen.  Die  Zusätze  sind  von  den  zur  Theorie  notwendigen 
Sätzen  getrennt.  Die  Beweise  sind  kurz  angedeutet,  am  Schlosse 
ein  ausführlicher  Beweis  als  Muster  aufgestellt  Die  2.  Auflage  unter- 
scheidet sich  von  der  ersten  durch  Verbesserungen  im  einzelnen  und 
erhebliche  Vermehrungen,  ausserdem  dadurch,  dass  die  Propädeutik 
weggefallen  und  besonders  herausgegeben  ist.  H. 


Lehrbuch  der  Elementar-Geometrie.  Von  Dr.  £.  Glinzer, 
Lehrer  der  Allgemeinen  Gewerbeschule  und  der  Schale  fär  Bauhand- 
werker  in  Hamburg.  Dritter  Theil:  Trigonometrie.  Mit  118  Figuren 
und  vielen  Aufgaben.  Hamburg  1883.  F.  H.  Nestler  u.  Melle.  148  S. 

Der  1.  Teil,  Planimetrie,  und  der  2.  Teil,  Stereomotric,  sind  is 
258.  und  266.  litterarischen  Bericht  besprochen.  Der  Lehrgang  im 
3.  Teil  ist  folgender.  In  der  Einleitung  wird  die  Bedeutung  and  Auf- 


Litterarisehtr  Bericht  IL  16 

gäbe  der  Trigonometrie,  insbesondere  binsichüicb  praktischer  Zwecke, 
dargelegt;  im  l.Bnch  die  trigonometriscben  Functionen  spitzer  Winkel 
erklärt,  ihre  Relationen  and  die  Berechnung  einiger  Spccialwerte  ge- 
lehrt und  für  Anwendung  von  Tafeln  ohne  Logarithmen,  deren  Ge- 
branch hier  und  im  2.  Buch  vorausgesetzt  wirdj  Beispiele  gegeben; 
im  2.  Buch  die  theoretischen  Aufgaben  für  das  rechtwinklige  Drei- 
eck, das  Rechteck  und  Rhombus,  das  gleichschenklige  Dreieck  und 
regelmässige  Vieleck  gelöst  mit  Begleitung  numerischer  Aufgaben; 
im  3.  Buch  die  Ausdehnung  der  Functionen  auf  grössere  und  negative 
Winkel  gelehrt,  und  die  Logarithmen  der  Functionen  in  Anwendung 
gebracht  Das  4.  Buch  behandelt  die  Relationen  und  Aufgaben  am 
beliebigen  Dreieck  mit  Anwendung  auf  Viereck  und  Vieleck;  das 
5.  Buch  die  goniometrischeu  Relationen ;  das  6  Buch  ist  eine  Samm- 
long  technischer  Aufgaben,  es  setzt  die  Keuutuiss  technischer  Aus- 
dnicksweisc,  mithin  auch  die  der  betreffenden  Gegenstände  voraus. 
Das  7.  und  8.  Buch  behandeln  das  rechtwinklige  und  das  beliebige 
sphärische  Dreieck.  Das  Princip  der  Anordnung  ist  von  seihst  deut- 
lich und  bedarf  keiner  Motivirung.  Die  Bestimmung  des  Buchs  für 
Techniker  hat  der  theoretischen  Vollständigkeit  keinen  Abbruch  ge- 
tan. H. 


Lehrbuch  der  Physik  nebst  Anleitung  zum  Experimentiren.  Für 
Präparandcnanstaltcn ,  höhere  Knaben-  und  Mädchenschulen,  sowie 
für  Stadtschulen  und  mehrklassige  Volksschulen  bearbeitet  von  A.  P. 
L  Cl aussen,  Königlichem  Semiuarlehrer  in  Bütow.  Mit  140  in 
den  Text  eingedruckten  Holzschnitten.  Potsdam  1883.  Aug.  Stein- 
122  S. 

Der  Verfasser  legt  das  Hauptgewicht  beim  physikalischen  Unter- 
richt auf  das  Experimentiren  und  macht  Fertigkeit  und  Gewandtheit 
darin  zur  ersten  Forderung  für  den  Lehrer.  Zweck  des  Experimen- 
tirens  ist  ihm  die  Anschaulichkeit,  die  Erläuterung  der  Naturerschei- 
oangen  und  die  Begründung  der  Naturgesetze.  Er  befürwortet  die 
Einfachheit,  beschränkt  das  Experimentiren  nicht  auf  den  Gebrauch 
TOQ  Apparaten,  sondern  gibt  auch  viele  Versuche  aus  freier  Hand 
ui.  Jede  Andeutung  derart  würde  man  gern  als  einen  wertvollen 
Beitrag  anerkennen,  wenn  nur  das  Bestreben  sichtlich  wäre  die  Ver- 
suche ausreichend  zur  Begründung  der  ganz  elementaren  Lehren  zu 
machen,  die  hier  vorgetragen  werden.  Dieser  Gesichtspunkt  scheint 
ganz  zu  fehlen:  die  Erscheinung  muss  dartun,  was  der  Lehrer  hin- 
einlegen will;  eine  Frage,  was  im  Gegenfalle  erfolgen  müsste,  wird 
nie  gestellt  Es  zeigt  sich  somit,  dass  eine  weit  notwendigere  Fähig- 
iieit  als  die  genannte,  ohne  welche  alles  Experimentiren  nutzlos  ist, 
nicht  darum,  weil  der  Verfasser  sie  für  selbstverständlich  hielt,  son- 

2* 


17  LUUrünrueh^r  Bericht  IL 

deni  weil  sie  ihm  selbst  so  sehr  mangelt,  anter  den  Anforderungen 
an  den  Lehrer  verschwiegen  worden  ist:  nämlich  die  F&higkeit  sich 
klar  and  bestimmt  anszadrttcken  und  die  Beziehnng  zwischen  Theorie 
and  Erscheinung  zn  beorteilen.  Ein  anfifisillendes  Beispiel  ist  die, 
ohne  Zweifel  einer  Pnblication  des  Breslaner  physikalischen  Yereing, 
den  der  Verfasser  seltsamerweise  für  einen  wissenschaftücfaen  ge- 
halten haben  mnss,  während  er  nur  fttr  Umsturz  der  wissenschaft- 
lichen Grundlagen  agitirt  —  entlehnte  Anfstcllung,  die  Schwerkraft 
sei  keine  Eigenschaft  des  Stoffes,  beruhe  nicht  auf  Anziehung  der 
Erde,  sei  vielmehr  „ein  Massendruck  aus  der  Eeme'S  ausgeübt  Tom 
Weltall.  Diese  Lehre,  welche  den  gesamten  Principien  der  Natur- 
wissenschaft widerstreitet,  indem  sie  Kräfte  statuirt,  die  nicht  ihren 
Sitz  in  bestimmten  materiellen  Objecten  haben,  ist  keine  blosse  bei- 
läufige Notiz,  denn  sie  wird  durch  angeblich  überzeugenden  Yersnch« 
den  gefühlten  Druck  eines  Steines  auf  die  Hand,  unterstützt,  und  es 
wird  ihr  insofern  wesentlich  Folge  gegeben,  als  ein  wichtiger  Teil 
der  Theorie  der  Schwere,  die  Proportionalität  mit  der  Masse,  die 
Abhängigkeit  von  der  Entfernung,  die  Erklärung  der  Schwere  dnrcb 
allgemeine  kosmische  Attraction  u.  s.  w.  den  Schülern  vorenthalten 
bleibt,  während  der  übrige  Teil  in  gar  keiner  verständlichen  Gedan- 
kenverbindung damit  steht ;  denn  bald  soll  die  Schwere  Ursache  des 
Drucks,  bald  nichts  weiter  als  der  Druck  selbst  oder  der  Druck  Ur- 
sache der  Schwere  sein.  Solange  ein  solcher  Beweis  mangelnder 
Logik  sich  vorfindet,  mOchte  es  überflüssig  sein  von  verfehltem  Äns- 
druck,  der  sonst  vorkommt,  zu  reden.  Die  meisten  Sätze  sind  recht 
exact  aufgestellt,  gerade  in  Punkten  wo  es  häufig  nicht  geschieht, 
auch  sind  die  Experimente  zur  Erläuterung  grossentcils  passend  ge- 
wählt; nur  lernt  man  daraus  nicht  erkennen,  was  jede  beobachtete 
Erscheinung  dartut,  und  was  sie  nicht  dartun  kann:  es  bleibt  stets 
der  Eindruck  eigenmächtiger  Deutung.  Die  behandelten  Gegenstände 
sind  der  Reihe  nach:  Mechanische  Erscheinungen  fester,  tropfbar 
flüssiger,  luftförmiger  Körper;  magnetische,  elektrische  Erscheinun- 
gen, Reibungs-  und  Berührungselektricität;  Erscheinungen  des  Schalles, 
der  Wärme,  des  Lichtes,  Ausbreitung,  Zurückwerfung,  Brechong, 
Farbenzerstreuung;  die  neuesten  Erfindungen.  H. 


Lehrbuch  der  Geometrie  mit  Uebungs- Angaben  fttr  hdhere  Lehr- 
anstalten. Von  Dr.  Th.  Spieker,  Professor  am  Realgymnasium  n 
Potsdam.  Mit  vielen  in  den  Text  gedruckten  Holzschnitten.  Sech- 
zehnte, verbesserte  Auflage.    Potsdam  1884.    Aug.  Stein.    326  S. 

Die  6.,  a,  13,  14.  und  15.  Auflage  sind  im  217.,  222.,  251.,  265. 
und  268.  litt  Bericht  besprochen.    Die  wesentlichsten,  verbeascnidei 


jAtUnrifchtr  Bmfiht  IL  |3 

AeDderoBgen  sind  in  der  vorigen  Auflage  vollzogen.  Von  der  gegen- 
Tärtigen  Auflage  erwähnt  das  Vorwort  ausser  einer  Anzahl  Yer- 
bessemngen  im  einzelnen,  dass  die  Quadratur  und  Rectification  des 
Kreises  auf  die  Grenzmethode  gestützt  sei.  Auf  die  hiermit  gegebene 
Anregung  hin  sei  darüber  bemerkt,  dass  der  keine  Schwierigkeit 
bietende  Nachweis  des  Grenzwerts  der  eingeschriebenen  Polygon- 
fiäche  bei  Verdoppelung  der  Seitenzahl  recht  ausfthrlich  dargelegt 
ist»  während  Aber  den  buchst  subtilen  entsprechenden  Nachweis  fär 
den  Umfang  sehr  kurz  hinweggegangen  wird.  Der  angebliche  „Be- 
weis^' deutet  im  Grunde  nur  einen,  in  der  Tat  sinnreichen  Weg  an, 
sieb  dem  Ziele  so  weit  zu  nähern^  um  aberblicken  zu  können,  was 
eigentlich  bewiesen  werden  mtlsste:  Dass  der  beständig  wachsende 
Umfang  einen  Grenzwert  haben  muss,  und  warum:  nämlich  weil  er 
kleiner  bleibt  als  der  constante  Kreis,  und  warum  dieses;  dass  auch 
dieser  Grenzwert  nur  gleich  oder  kleiner  sein  kann  als  der  Kreis, 
wird  nicht  ausgesprochen  und  würde  noch  manche  Erklärung  er- 
fordern. Dass  aber  der  Grenzwert  durch  eine  Linie  repräsentirt  wird) 
die  im  letztern  Falle  innerhalb  des  Kreises  liegt,  wird  als  selbstver- 
ständlich vorausgesetzt  und  es  ist  doch,  was  zu  beweisen  bleibt. 
Noch  kürzer  wird  die  Annähenuig  von  aussen  abgefertigt,  überhaupt 
also  desto  weniger  Erklärung  gegeben,  je  mehr  sie  von  der  Sache 
gefordert  wird.  Wäre  es  nicht  instructiver,  vor  aller  Kreismessungs- 
theorie den  unterscheidenden  Umstand  zu  erörtern,  dass  die  Flächen 
als  Teile  von  einander  dargestellt  werden  können,  die  Linien  im  all- 
gemeinen nicht,  so  dass  die  Ulnge  einer  krummen  Linie  nur  dadurch 
bestimmbar  ist,  dass  sie  von  der  Sehnensumme  unendlich  wenig  dif- 
^erirt?  H. 

Repetitions-Compendium  über  alle  Zweige  der  Elementar-Mathe- 
matik.  Für  Schüler  der  obersten  Klasse  der  Gymnasien  und  Real- 
gymnasien, sowie  für  Abiturienten,  Studirende  und  Lehrer  der  Mathe- 
matik bearbeitet  von  F.  J.  Brockmann,  Oberlehrer  am  Kgl. 
Gjmnasium  in  Cleve.    Stuttgart  1884.    Ferdinand  Enke.    180  S. 

Das  Repetitionscompendium  verfolgt,  verschieden  von  dem  con- 
tinairlich  methodischen  Fortschritt  eines  Lehrbuchs,  den  Zweck,  das 
gesamte  auf  den  Gymnasien  zu  erwerbende  Wissen  als  ein  Fertiges 
zosammenzQSteUen.  Es  umfasst  in  5  Gapiteln  die  Algebra  und  Arith- 
metik (d.  i.  Gleichungen  und  Gombinatorik),  die  Planimetrie,  ebene 
Trigonometrie,  Stereometrie  und  einiges  aus  der  mathematischen 
Physik,  in  der  Ordnung  dass  die  bedeutenderen  Teile,  die  von  grösster 
Anwendung,  vorausgehen,  die  sporadischen  Zweige  nachfolgen.  Die 
Anfänge  werden  teils  übergangen,  teils,  wie  in  der  Trigonometrie, 
durch  Aufstellung  der  Formeln  erledigt    Der  Vortrag  tritt  stets  so- 


19  Liiteraruchtr  Bericht  IL 

gleich  mitton  in  die  Theorie  ein.  Nach  Massgabe  ihrer  Bedentang 
fQr  die  Theorie  werden  alle  Lehrgegenstände,  Methoden  and  der  Er- 
örterung bedürfende  Punkte  recht  eingehend  vom  Standpunkte  des 
Lehrers  oder  reifen  Schülers  besprochen,  dabei  jedoch  weniger  die 
Bekanntschaft  mit  herkömmlichen  Einführungen  als  vielmehr  die  freie 
Geistesentwickelung  vorausgesetzt.  Die  Darstellungsweise  ist  ein&ch 
und  leichtverständlich.  Der  Stoff  ist  in  keine  umfassende,  erschöpfende 
Systematik  eingepasst,  die  Bearbeitung  beruht  vielmehr  auf  Auswahl, 
die  gut  und  ausreichend  scheint,  wiewol  wir  darin  den  Urteilender 
Leser  nicht  vorgreifen  dürfen.  H. 

Elemente  der  reinen  Mechanik  als  Vorstudium  für  die  analytische 
und  angewandte  Mechanik  und  für  die  mathematische  Physik  an  Uni- 
versitäten und  technischen  Hochschulen  sowie  zum  Selbstuutcricbt. 
Von  Dr.  Jos.  Finger,  Professor  an  der  k.  k.  technischen  Hoch- 
schule und  Docent  an  der  k.  k.  Universität  zu  Wien.  L  Lieferang. 
Wien  1884.    Alfred  Holder.     128  S. 

Das  Werk  soll  in  5  oder  6  Lieferungen  erscheinen.  Es  ist 
charakteristisch  für  die  Bearbeitung^  dass  der  empirische  Unpran^ 
der  Begriffe,  um  welche  es  sich  in  den  Principien  der  Mechanik  han- 
delt, enthüllt  und  zur  Geltung  gebracht  wird.  Die  Wichtigkeit  der 
Kenntniss  desselben  für  die  Logik  der  Forschung  und  der  Didaktik 
ist  nicht  zu  bestreiten.  Dass  dieser  Ursprung  in  allen  Punkten  richtig 
erfasst  und  ans  Licht  gestellt  ist,  und  dass  sich  darin  keine  blosse 
Wiedergabe  fremder  Ideen,  sondern  der  eigene  klare  Blick  des  Ver- 
fassers kund  gibt,  ist  anzuerkennen.  Damit  ist  freilich  der  folgende 
Satz  in  der  Vorrede,  der  im  Gegenteil  eine  irrige  Auffassung  ausdrficlit 
und  einen  Misgriff  in  der  Darstellung  erwarten  lässt,  nicht  woi  zu 
vereinen.  „Der  auf  keine  Erfahrung  gestützte,  uudcfinirbare  aoJ 
ganz  und  gar  unfruchtbare  Begriff  der  absoluten  Ruhe  und  Bewegaug 
wurde  vom  Verfasser  ganz  fallen  gelassen,  und  es  wird  —  den  Tat- 
sachen entsprechend  —  eine  jede  Bewegung  stets  nur  als  eine  rela- 
tive Bewegung  betrachtet."  Obgleich  diesem  nicht  miszuversteheodeu 
Grundsatz  in  der  Bearbeitung  keine  Folge  gegeben  wird,  so  verdient 
er  doch  an  sich  eine  eingehende  Kritik.  Undefinirbar  ist  die  abso- 
lute Ruhe  überhaupt,  die  absolute  Bewegung  zunächst  rOcksichtlich 
der  Zeit-  oder  Geschwindigkoitseinheit ,  die  völlig  willkfirlicb  bleibt. 
Von  dieser  Abhängigkeit  ist  offenbar  hier  nicht  die  Rede,  und  der 
willkürliche  Factor  in  Linien-  und  Zeitmass  ist  wegen  Homogeneität 
aller  Gleichungen  in  Bezug  auf  dieselben  von  keinem  Einflnss.  Hier- 
von abgesehen  ist  die  absolute  Bewegung  undefinirbar  vom  rein  geo- 
metrischen ,  nur  teilweise  vom  dynamischen  Gesichtspunkt.  Die  em- 
pirischen Gesetze  bestimmen  die  Bewegung  bis  auf  9  undefinirbar« 


LtUeraHiehMT  Bmeht  II.  20 

Constanten,  deren  6  die  anfängliche  Lage,  3  die  anfängliche  Trans- 
lation der  Körperwelt  ausdrücken,  vollständig.  Hieraus  ergibt  sich 
zwar  eine  Relativität  der  Bewegung,  nämlich  zum  Anfangsznstand: 
doch  pflegt  man  unter  relativer  Bewegung  nur  eine  Bewegung  des 
Teils  relativ  zum  Ganzen,  nie  aber  des  Ganzen  relativ  zu  einem  An- 
fang zu  verstehen,  und  ersteres  kann  auch  hier  nur  gemeint  sein. 
Die  Bewegung  bestimmt  sich  also  empirisch  absolut  nicht  nur  unter 
Voraussetzung  einer  gegebenen  Epoche,  sondern  auch  teilweise  unab- 
hängig davon  für  jeden  Zeitpunkt,  nämlich  nach  Unterscheidung  von 
Translation  und  Rotation,  bezüglich  auf  letztere,  die  gar  keiner  Will- 
kOr  unterliegt.  Es  würde  z.  B.  den  eclatantesten  Widerspruch  gegen 
die  Wirklichkeit  ergeben,  wollte  man  eine  als  ruhend  betrachtete 
Fondamentalaxe  durch  Sonnen-  und  Erdmittelpunkt  legen;  denn  die 
Erde  müsste  dann  nach  der  Sonne  fallen.  Da  hiernach  die  absolute 
Bewegung  ihrem  Hauptteile  nach  massgebend  für  die  Theorie  ist,  so 
kann  man  sie  auch  nicht  schlechthin  „fallen  lassen^^;  damit  würde 
eine  wesentliche  Lücke  in  der  Theorie  verbunden  sein.  Für  jede 
conscquente  Theorie,  nicht  etwa  bloss  für  bequemen  Ausdruck,  ist  es 
notwendig,  von  der  tatsächlich  gegebenen  relativen  zur  absoluten  Be- 
wegung überzugehen,  und  um  deutlich  zu  sein,  diesen  Uebergang 
aosdrücklich  auszusprechen.  Dabei  ist  zu  bemerken,  dass  in  den 
Priacipien  der  Mechanik  kein  Anlass  vorkommt  das  vorausgesetzte 
ruhende  Axensystcm  zu  bestimmen;  die  Bestimmung  bleibt  der  an- 
gewandten Mechanik  vorbehalten,  welche  erst  die  dazu  nötigen  Beo- 
bachtungsdata dazu  bringt. 

In  dem  citirten  Satze  der  Vorrede  ist  demnach  irrig,  dass  der 
Begriff  absoluter  Bewegung  „auf  keine  Erfahrung  gestützt",  und  dass 
er  „unfruchtbar"  sei;  es  ist  aber  auch  femer  ganz  unzutreffend,  dass 
der  Verfiasser  ihn  habe  „fallen  lassen".  Im  Gegenteil  vollzieht  er 
schon  auf  2.  Seite  erklärtermassen  den  Uebergang  von  der  relativen 
zur  absoluten  Bewegung  durch  die  Bestimmung,  dass  das  Fundmental- 
Axensystem  beständig  dasselbe  bleiben,  und  nur  von  Ruhe  und  Be- 
wegung schlechthin  die  Rede  sein  soll,  wo  nicht  ausdrücklich  eine 
Relativität  zu  irgend  einer  Bewegung  angegeben  ist.  Hiermit  wird 
er  in  der  Tat  innerhalb  der  Grenzen  des  Buchs,  die  ja  nur  die  reine 
Mechanik  enthalten,  also  die  Einführung  von  Datis  aus  der  Wirk- 
lichkeit ausschliessen  soll,  der  Forderung  gerecht  Denn  die  Ruhe 
des  Fundamental- Azensystems  ist  dadurch  implicite  zur  Voraussetzung 
gemacht.  Nun  soll  aber  das  Buch  Vorstudium  auch  für  die  ange- 
wandte Mechanik  sein,  und,  wenn  dies  nicht  auf  dem  Titel  stünde, 
selbstverständlich  kann  man  von  der  reinen  Theorie  verlangen,  dass 
sie  sich  nicht  bei  Anwendung  auf  die  Wirklichkeit  falsch  erweist. 
Da  zeigt  sich  denn  doch  die  vom  Verfasser  getroffene  Auskunft ,  das 


21  LüUrarüiAer  Btrickt  IL 

Motiv  der  Anordnung,  die  Frage,  ob  dieselbe  notwendig  oder  will- 
kürlich sei,  mit  Stillschweigen  zu  übergehen,  durchaus  unzulässig. 
In  der  Tat  ist  die  Voraussetzung  absoluter  Ruhe  des  Fundamontal- 
Axensystems  notwendig,  und  bei  jeder  Anwendung  auf  die  YfiA- 
lichkeit  muss  gefragt  werden,  ob  dasselbe  wirklich  ruht;  denn  da- 
durch ist  die  Gültigkeit  der  Resultate  reiner  Mechanik  bedingt,  wie 
z.  B.  der  Fall  des  Foucault'schen  Pendels  zeigt.  Spätere  Bern«'- 
kungen  scheinen  das  Versäumte  im  einzelnen  nachholen  zu  sollen, 
doch  ersetzen  können  sie  es  nicht,  sie  sind  an  unrechter  Stelle  an- 
gebracht undeutlich  und  lassen  Begründung  Termissen. 

Die  vorliegende  Lieferung  erstreckt  sich  auf  Statik  und  Dynamik 
eines  Punktes,  woraus  zu  ersehen,  dass  zum  obersten  Einteilongs- 
princip  die  Unterscheidung  des  Kraftobjectes,  Punkt  und  Körper  oder 
Punktsystem,  gewählt  ist,  während  die  nächste  Untereinteilung  in  Statik 
und  Dynamik  wie  sonst  bestehen  bleibt.  Der  Lehrgang  unterscheidet 
sich  nicht  wesentlich  von  dem  der  gewöhnlichen  analytischen  Mecha- 
nik; wie  dieser  schreitet  er  in  allgemeinster  Form  und  Auffassung, 
wiewol  mit  Bevorzugung  graphischer  Darstellung  fort  —  man  müsste 
es  denn  als  ein  synthetisches  Element  ansehen,  dass  die  Kräfte  in 
der  Ebene  den  Kräften  im  Räume  vorhergehen.  Hervortretend  ist 
dagegen  die  ungemeine  Ausführlichkeit  und  Gründlichkeit  der  Dar- 
stellung von  Gegenständen,  die  sich  nur  wenig  über  die  ersten  An- 
fänge erheben.  Was  man  sonst  kurz  zusammenzufassen  pflegt,  ist 
vielfach  zerlegt  und  ausgebreitet.  Der  in  der  Dynamik  unentbehr- 
liche Grundsatz,  dass  die  relative  Wirkung  jeder  Kraft  unabhängig 
von  der  Bewegung  des  Objects  ist,  ist  zum  Ausgangspunkt  der  Statik 
gemacht  und  wird  beständig  angewandt.  Er  enthält  offenbar  das 
Parallelogramm  der  Kräfte  und  die  gesamte  Theorie  der  Zusammen- 
setzung und  Zerlegung  der  auf  einen  Punkt  wirkenden  Kräfte  in 
einen  Gedanken  zusammengcfasst ,  und  es  war  leicht  dieselbe  sofort 
im  ganzen  daraus  herzuleiten.  Obwol  auch  hier  die  Begründung  ganz 
darauf  beruht,  so  wird  doch  das  Ziel  erst  nach  vielen  Betrachtangen 
erreicht.  Einer  Rechtfertigung  bedarf  dies  Zuwerkegehen  nicht:  es 
richtet  sich  nach  dem  besondern  Bedürfniss  der  Lernenden.    H. 


Sammlungen. 

Sammlung  von  arithmetischen  und  algebraischen  Fragen  und  Asf- 
gaben,  verbunden  mit  einem  systematischen  Aufbau  der  Begri£fei 
Formeln  und  Lehrsätze  der  Arithmetik,  für  höhere  Schulen.  Von 
Dr.  Hermann  Schubert,   Oberlehrer  an  der  Gelehrtenschale  des 


latUrari9ch«r  B^nehi-U.  22 

Johannenms  in  Hambarg.    Erstes  Heft:  Für  mittlere  Klassen.  Zweites 
Heft:  Für  obere  Klassen.    Potsdam  1883.    Aug.  Stein.    448  S. 

Diese  Aufgabensammlung  zeichnet  sich  besonders  durch  Vielsei- 
tigkeit ans.  Der  Umfi&ng  der  Operationen,  auf  deren  Einübung  sie 
eisgerichtet  ist,  entspricht  den  gesetzlichen  Anforderungen  der  Schul- 
examina.  Doch  sind  ausser  den  Operationen  noch  mancherlei  Gegen- 
stände in  den  Kreis  der  Uebungen  gezogen,  namentlich  die  Algo- 
rithmen einschliesslich  aller  die  Form  der  Schreibung  und  geordneten 
Aosführung  betreffenden  Regeln.  Auch  ist  die  auf  Arithmetik  be- 
zügliche alte  Geschichte  der  Griechen,  Römer  und  andrer  Völker  viel 
berücksichtigt  Alle  nötigen  Erklärungen,  Sätze  und  Regeln  sind 
derart  aufgeführt,  dass  der  Gebrauch  eines  besonderen  Lehrbuchs 
bei  den  Uebungen  entbehrlich  wird.  Die  Auswahl  der  Beispiele,  die 
teils  in  Formel,  teils  in  Worten  und  Einkleidung,  woraus  der  For- 
melansatz zu  finden  ist,  gegeben  sind,  ist  vortrefflich  Sie  bean- 
spruchen im  ganzen  ziemlich  viel  Selbstdenken  der  Schüler.  Die  7 
ibschnitte  sind:  Einführung  in  die  arithmetische  Sprache;  Operationen 
erster,  zweiter  Stufe,  Anwendungen  der  Gesetze  beider  (Gleichungen 
1.  Grades),  Quadratisches  (Gleichungen  2.  Grades),  die  3  Operationen 
3.  Stufe,  Combinatorik,  Kettenbrüche,  diophantische  Gleichungen  und 
einige  Gegenstände  höherer  Arithmetik  und  Algebra.  H. 


Rechenbuch  für  Gymnasien,  Realgymnasien,  Ober-Realschulen, 
Eealschulen,  höhere  Bürgerschulen,  Seminare  etc.  Von  Christ. 
Harms,  Professor  an  der  Realschule  in  Oldenburg,  und  Dr.  Alb. 
Kall  in  8,  Oberlehrer  am  Königstädtischen  Gymnasium  in  Berlin. 
Zehnte  Auflage.    Oldenburg  1883.    Gerhard  Stalling.    262  S. 

Die  3.  Auflage  ist  im  224.  litt.  Bericht  S.  35,  die  Gte  im  251. 
litt.  B.  S.  36  besprochen.  Veränderungen  haben  nicht  stattgefunden, 
nur  in  der  8ten  betreffend  die  Orthographie.  H. 


Physikalische  Aufgaben  für  die  Prima  höherer  Lehranstalten. 
Von  Dr.  Karl  Jansen,  Ordentlichem  Lehrer  am  Realgymnasium  zu 
Düsseldorf.    Freiburg  im  Breisgau  1883.    Herder.    150  S. 

Diese  Sammlung  von  558  Aufgaben  ist  zum  Gebrauche  der  Schüler 
bestimmt  und  schliesst  sich  dem  physikalischen  Unterricht  in  Prima 
an,  wie  er  etwa  dem  Lehrbuch  von  Münch  entspricht.  Die  Aufgaben 
verlangen,  mit  einzelnen  Ausnahmen,  Ausrechnung  aus  Datis,  die, 
namentlich  in  der  Mechanik,  die  analytische  Ausdrucksform  (in  Coor- 
dinaten  u.  s.  w.)  anwenden.    Sie  setzen  die  idealisirte  Auffassung  aus 


23  LüUrariiehtr  Bericht  IL 

dor  Wirklichkeit  entnommener  Gegenstände  und  Vorgänge,  mithin 
Isolirung  der  Eraftwirkangen  voraus,  d.  h.  mit  Ansschlnss  aller  Cor- 
rcctionen.  Der  erste  Teil  nmfasst  die  Mechanik,  in  grösster  Aas- 
dehnnng  die  der  starren  Körper,  doch  sind  Stoss,  Reibung,  Flnida 
und  Gase  gleichfalls  berücksichtigt.  Der  zweite  Teil  betrifit  die 
Akustik,  Optik,  Wärme,  Magnetismus  und  Elektricität.  Dann  folgen 
die  Resultate  aller  Aufgaben,  endlich  eine  Anzahl  physikalischer 
Tabellen.  H. 


Zur  Nachricht  für  Mathematiker,  besonders  Freunde  meiner  Auf- 
gabensammlung. Von  E.  Bardey.  Zeitschr.  für  math.  u.  natarw. 
Unterricht,  Bd.  XV.    Heft  3.    8  S. 

Der  Artikel  ist  Entgegnung  auf  Sinram's  „Erwiderung  betreifend 
Bardey's  Aufgabensammlung",  im  279.  litt  Bericht  S.  28.  Sinram's 
Schrift  ist  hervorgerufen  durch  die  darin  citirte  Aeusserung  Bardey's, 
in  welcher  letzterer  sich  den  Anschein  gibt,  als  wenn  ausser  3  ge- 
nannten Aufgaben  keine  Entlehnung  aus  fremden  Sammlungen  statt- 
gefunden hätte,  womit  Sinram  indirect  der  Unwahrheit  bescholdigt 
war  —  und  begegnet  der  Beschuldigung  durch  Aufweisung  einer  hin- 
reichenden Anzahl  übereinstimmender  Aufgaben.  In  Bardey's  gegen- 
wärtiger Schrift  wird  die  factische  Uebereinstimmang  bei  keinem  der 
von  Sinram  angeführten  Beispiele  bestritten,  ausserdem  unter  IV.  erst 
im  allgemeinen  die  Aehnlichkeit  bei  sehr  yielen,  dann  die  Aufnahme 
von  6  bestimmten,  und  unter  III.  die  Aufnahme  anderer,  nur  mit 
Zurückführuuf,'  der  Autorschaft  von  Hcis  auf  M.  Hirsch ,  eingerftamt 
Hiermit  ist  die  Angelegenheit,  soweit  sie  den  Artikel  im  Archiv  be- 
trifft, erledigt.  Die  Frage,  ob  eine  neue  Verwendung  schon  früher 
publicirter  Aufgaben  verwerflich  sei,  beschäftigt  uns  nicht,  und  würde 
überhaupt  kein  Interesse  haben,  wofern  der  Verfasser  nicht  sagt  oder 
andeutet ,  dass  er  auf  Originalität  Anspruch  macht  Auch  auf  son- 
stige Angaben  über  das  Verhältniss  zwischen  den  Sammlungen  von 
Bardey  und  Heis  und  Andern  gehen  wir  nicht  ein,  verweisen  dagegen 
auf  die  Würdigung,  welche  der  Verfasser  in  der  ausführlicheren 
Brochüre  herausgeg.  von  den  Schulinspectoren  J.  Klein  und  J.  Hoff- 
mann unter  dem  Titel:  „.Vntwort  auf  die  Auslassungen  Dr.  Bardey's 
in  dem  2.  Hefte  der  Zeitschr.  für  math.  u.  naturw.  Unterricht  von 
J.  C.  V.  Hoffmann  1883  über  das  von  den  Unterzeichneten  henos- 
gegebene  Rechenbuch  für  Seminaristen  und  Lehrer.  Dfisseldorf 
1883"  —  erfahren  hat.  Hoppe. 


LttUrariMehtr  Btrieht  IL  24 


Tabellen. 

Tables  de  logarithmes  ä  six  d^cimales  constmitcs  sar  nn  plan 
ooQYeaa  par  Adolphe  Beuoist.  Docteur  en  droit,  Membre  de  la 
Soci^tö  Math^matiqae  de  France.  Sechsstellige  Logarithmen-Tafeln. 
Nach  einem  neaen  Plane  zusammengestellt  von  Adolph  Benoist. 
Paris.    Ch.  Dolagrave  (W.  Hinrichsen).    391  S. 

Anf  die  neue  Anordnung  legt  der  Verfasser  als  eigne  Erfindung 
Gewicht  Die  Entrees  sind  im  Hauptteil  dieselben  wie  bei  den  sie- 
benstelligen Tafeln  von  Bremiker;  von  den  6  Stollen  der  Logarithmen 
sind  die  2  ersten  der  je  5ten  Zeile  vorgedmckt  In  den  trigonome- 
trischen Tafeln  sind  die  Complementarfunctionen  nicht  neben  einander 
gestellt,  sondern  die  Winkel  von  0  bis  90^  durchgeführt;  nur  die 
Logarithmen  der  Sinus  und  Tangenten  stehen  auf  den  2  zugleich 
sichtbaren  Seiten  neben  einander;  die  Sechstel  der  Minuten  gehen 
durch  eine  Zeile.  Neu  berechnet  und  hinzugefügt  ist  links  vom 
Eutree  der  Differenzcntafeln  die  antilogarithmischc  Diffcrenzcntafel, 
d.  h.  die  Angabe  der  Differenzen  der  Zahlen  für  die  Einheiten  der 
Differenzen  der  Logarithmen.  Die  bei  Bremiker  unter  der  Zahlcn- 
tafcl  befindliche  Ergänzungstafcl  für  kleine  Kreisbogen  ist  beibehalten. 

H. 


Fünfstellige  logarithmische  nnd  trigonometrische  Tafeln  nebst 
einer  grösseren  Anzahl  von  Hilfstafeln,  herausgegeben  von  Dr.  Adolf 
Greve,  Oberlehrer  am  Karls-Gymnasium  zu  Bernburg.  Bielefeld  und 
Leipzig  1884.    Yelhagen  u.  Klasing.     171  S. 

Die  Tafel  ist  für  den  Gebrauch  in  der  Schule  und  im  gemeinen 
Leben  bestimmt.  Sie  zeichnet  sich  durch  sehr  deutlichen  Druck  bei 
massig  grossen  Ziffern  aus  und  unterscheidet  sich  durch  Angabe  der 
Secunden-Differenzeu  uud  sehr  viele  Zugaben  teils  an  Formeln,  teils 
an  kleineren  Tafeln.  Unter  letztern  sind  zu  nennen  die  Tafeln  zur 
Berechnung  12ste]liger  Logarithmen,  7  stelliger  Logarithmen  und  8- 
stelliger  Antilogarithmen ,  die  8  stelligen  brigg'schen  und  natürlichen 
Logarithmen  der  Primzahlen  <1 1000,  und  Vielfache  des  Modulus, 
eine  Factorentafel  bis  1000;  mehrere  zur  Ergänzung  und  Gebrauchs- 
crleichterung  dienende  Tafeln  für  trigonometrische  Tafeln,  7 stellige 
trigonometrische  Zahlen  für  alle  Grade,  Quadrate  bis  1000,  Kuben 
bis  100,  4.  5  . . .  9to  Potenzen  bis  30,  Potenzen  von  2,  3,  5,  Qua- 
dratwurzeln bis  100,  Binominalcoefficienton,  7  stellige  Producte,  phy- 
sikalische Tafeln,  die  Werte  vieler  Ausdrücke  in  n^  u.  a.  m. 

H. 


25  Litt9rttri$eker  Bmiekt  IL 

Fünfstellige  Logarithmen -Tafeln.  Ton  Friedrich  Wilhelm 
Rcx.  Erstes  Heft.  Die  Logarithmen  der  Zahlen  nnd  der  goniome- 
trischen  Formeln.    Zweites   Heft.    Die  Additions-  und  SuhtractioDs- 

logarithmen  der  Werthe  T3-1   Neper'sche  Logarithmen,  natflrliche 

Zahlenwerthe  der  goniomctrischen  Functionen  nnd  BogenläDgeo, 
Sehnen  und  Pfeilhöhen;  Potenzen-  und  Kreistafel;  Qnadrattafel, 
Reciprokentafel ;  Anhang.  Stereotyp-Dmck.  Stuttgart  1884.  J.  6. 
Metzler.    174  +  VHI  S. 

Das  höhere  Format  hat  der  ersten  Tafel  den  Vorteil  gebracht, 
dass  je  1000  Zahlen  auf  2  Nebenseiten  stehen.  Am  Schluss  derselben 
folgen  die  7  stelligen  Logithmon  der  ersten  1000  fünfzifirigen  Zahlen, 
dann  Werte  einzelner  Irrationalen,  lognl  etc.,  bemoullische  Zahlen- 
Die  trigonometrische  Tafel  geht  in  den  6  ersten  Graden  durch  die 
Sechstel  Minuten,  mit  Beifügung  des  Entrees  in  Secunden,  dann  von 
vorn  beginnend  durch  die  Minuten.  Ihr  folgt  eine  Tafel  zum  Ueber- 
gang  von  logtg;e  auf  log  cos  a;,  logsinx.  Den  Inhalt  der  übrigen  Ta- 
feln gibt  der  Titel.    Ein  Anhang  enthält  physikalische  Tabellen. 

H. 


Vermischte  Schriften. 

Acta  Mathematica.  Zeitschrift  herausgegeben  von  G.  Mittag- 
Leff lor.  3.  Stockholm  1884.  F.  u.  G.  Beijer.  Berlin ,  Mayer  n. 
Müller.    Paris,  A.  Herman. 

Der  Inhalt  des  3.  Bandes  ist  folgender. 

L.  Koenigsberger:  lieber  die  einer  beliebigen  Differential- 
gleichung 1.  Ordnung  angehörigen  selbständigen  Transcen- 
denten. 

H.  Poincar^:  Abhandlung  über  die  Klein'schen  Gruppen. 

M.  Krause:  lieber  die  Transformation  der  elliptischen  Fnnc- 
tionen.  —  lieber  die  Transformation  der  hyperelliptischen 
Functionen  1.  Ordnung.  •—  lieber  den  Multiplicator  der 
hyperelliptischcn  Functionen  1.  Ordnung. 

L.  Lindelöf:  Eine  Frage  über  lebenslängliche  Renten. 

Hj.  Meli  in:  Eine  Verallgemeinerung  der  Gleichung 

7SZ 


r(i+«)r(i— flp) 


sin  91« 


Litt€raruek§r  BeridU  IL  26 

Ueber  gewisse  durch  die  F  Function  aosdrückbare  nnend- 
liche  Prodacte. 


C.  de  Sparre:  Ueber  die  Gleichung 

8*y  I  r«   i*sna:cna5  ,  ^     snxdnä?      ^     cnasdna;!  dy 
wc'  '  L  dnap       '      ^     cnx  '     snx    J  ox 


i 


8n"^^"»~^*^^"«  +  ''«  +  ^)+^^^~''^^("«+^^  +  ^)+"dS^''' 


(i4-v)(«i+ v+1)  +Ar«8n*x(n+  V  +  v,  +  v,)(«—v— i;,— v,  +  l)  +  hl 

£.  Beltrami:  Ueber  die  elektromagnetischen  Niveanschichteny 

C.  Le  Paige:  Ueber  Fl&chen  3.  Ordnung. 

F.  Prym:  Ein  neuer  Beweis  für  die  Riemann'sche  Thetaformel. 
—  Ableitung  einer  allgemeinen  Thetaformel. 

A.  Erazer  und  F.  Prym:  Ueber  die  Verallgemeinerung  der 
Riemann'schen  Thetaformel. 

A.  Steen:  Note  über  gewisse  lineare  Differentialgleichungen. 

6.  EL  Halphen:  Ueber  die  Invarianten  der  linearen  Bifferen- 
tialgleichungen  4.  Ordnung.  H. 


Bulletin  de  la  Soci6t6  Mathimatique  de  France,  publik  par  les 
secr^taires.  Tome  XI.  Ann^e  1882—83.  Paris  1883.  Au  si^ge  de 
la  8oci6t6. 

Der  11.  Band  enthält  folgende  Abhandlungen. 

E.  Le  meine:  Einige  Wahrscheinlichkeitsaufgaben  geometrisch 
gelöst. 

E.  Picard:  Ueber  die  Reduction  der  Anzahl  der  Perioden  der 
Aberschen  Integrale,  insbesondere  im  Fall  der  Gurven 
2.  Art. 

Fouret:  Ueber  eine  Eigentümlichkeit  in  Betreff  zweier  mate- 
rieller Systeme  aus  gleichvielen  Punkten  von  gleichen  Massen. 

Zell  er:  Doppeltes  Fundamental-Ealender-Problem. 

Per r in:  Ueber  den  Fall  der  Lösbarkeit  der  Gleichung  5.  Grades 
durch  Wurzelausdrücke.  —  Note  über  die  Residua  der  In- 
varianten und  Covarianten  der  binären  Formen. 

Appell:  Ueber  gewisse  Reihenentwickelungen  von  Potenzen. 


1 


27  LitUrartseher  Beriekt  IL 

£.  Lucas:  Beweis  des  Satzes  von  Claasen  nnd  Staadt  Aber  die 
Bernoalli'scheii  Zahlen. 

David:  Ueber  2  neue  Reihenausdrücke  für  den  sin  und  cos 
eines  gegebenen  Bogens. 

N.  Yan^cek:  Ueber  die  Ellipsen  beschrieben  durch  die  Pu&ktis 
welche  unveränderlich  an  ein  coustantes  Segment  gebondeD 
sind. 

Poincar6:  Ueber  einen  Satz  aus  der  allgemeinen  Theorie  der 
Functionen.  —  Ueber  die  Functionen  0,  —  Ueber  die 
ganzen  Functionen. 

Bobek:  Bemerkung  über  die  Strictionslinie  dies  einschaligon 
Hyperboloids. 

D'Ocagno:  Ueber  den  Krümmungsmittel punkt  der  Verfoigongs- 
curven. 

Goursat:  Ueber  die  Differentialgleichungen  4.  Ordnung,  dercii 
Integrale  eine  homogenen  Gleichung  2.  Grades  er^en. 

Perrot:  Ueber  das  Läufer-System. 

Lucien  L^vy:  Ueber  die  abwickelbaren  Flächen,  welche  durch 
Berechnung  eines  Büschels  von  parallel  auf  eine  gegcbeoe 
Curve  fallenden  Lichtstrahlen  gebildet  werden.  U. 


JJUerarUcher  Bericht  111.  28 


Litterarischer  Bericht. 

ui. 


Arithmetik,  Algebra  und  reine  Analysis. 

lieber  Beta-  und  Gammafanctioueu.  Von  Phil.  Dr.  J.  Au  ton 
Schobloch.    Halle  1884.    Loais  Nebert.    4^.    11  S. 

Der  Anfsatz  enthält  mannichfache  Yersucho  in  der  Theorie  der 
Eoler'schen  Functionen  etwas  neues  zu  finden.  Die  letzte  Formel 
beweist,  dass  die  Anstrengungen  nicht  ganz  ohne  Erfolg  waren.  Die 
Untersuchaog  beginnt  mit  dem  ersten  Euler'schen  Integral,  das  gewöhn- 
lich mit  B  bezeichnet  wird,  geht  aber  sehr  bald  unabänderlich  auf  den 
Fall  Aber,  wo  das  eine  der  2  Argumente  eine  ganze  Zahl  ist.  Hier  ist 
B  keine  Transcendeute  mehr,  sondern  eine  rationale  Function  des  an- 
dern Arguments,  die  auch  in  Gl.  (5)  angegeben  ist.  Daher  hat  auch 
Gl.  (7),  die  wol  auch  in  der  Theorie  der  bestimmten  Integrale  kein 
Qeoes  Resultat  vorstellen  soll,  keine  directe  Beziehung  zu  jenen 
Transcendenten.  Sie  wird  angeblich  als  Quelle  neuer  Sätze  aufgestellt. 
Was  daraus  abgeleitet  wird,  ist  die  Gl.  (11),  mit  welcher  die  Be- 
trachtung der  B  überhaupt  schliesst.  Dieses  Endergebuiss  ist  nun 
eine  reine  Identität  von  Producten  linearer  Binome,  deren  Factoren 
alle  einzeln  auf  beiden  Seiten  der  Gleichung  übereinstimmen,  bedurfte 
also  nicht  der  Rechnung  mit  bostimnitou  Integralen.  Dieselbe  wird 
in  der  Form  (15)  mit  J^Functioiu  u  geschrieben,  was  eine  unwesent- 
liche Aendemng  der  Schreibart  ist.  Zu  diesem  Zwecke  wollte  der 
Verfasser  an  bekannte  Beziehungen  der  B  und  F  erinnern.  Dass  er 
aber  die  61.  (13)  und  (14),  deren  erstere  nicht  einmal  in  Anwendung 
kommt,    erst   herleitet,  überdies  mit  demselben   ungerechtfertigten 

Areh.  d.  Math.  n.  Pliys.  2.  Beihe,  Teil  I.    Heft  III.  8 


29  Liiterarisehtr  Bericht  IIL 

Uebergang  zur  Grenze,  den  Gauss  sich  erlaubt,  war  jedenfalls  sehr 
überflüssig  and  inconsequeht,  da  er  die  eigentliche  Belation  der  B 
und  r  unmittelbar  als  bekannt  aufstellt.  Nach  Ausdruck  der  6  in 
r  erhält  er  die  Gl.  (20),  welche  nichts  weiter  ist  als  die  Gansa'sche 
Relation  der  F  nach  Division  zweier  Werte  beider  Seiten  der  Glei- 
chung, die  jedoch,  obwol  sie  allgemein  gilt,  hier  nur  für  ganze  Zahlen 
a  und  b  bewiesen  auftritt..  Bis  dahin  besteht  also  die  ganze  Leistnng 
nur  in  Umschreibung  selbstverständlicher  oder  bekannter  Gleichungen. 
Solche  Umschreibungen  können  sehr  nützlich  sein,  wenn  sie  dem 
Zwecke  einer  Untersuchung  durch  veränderte  Auffassungsform  dienen. 
Hier  ist  es  aber  umgekehrt:  ein  längerer  Transformationsweg  führt 
nur  zu  einer  Schreibweise,  deren  Anwendung  schwerlich  je  vorkommt. 
Die  folgende  Untersuchunp^  beginnt  mit  einer ,  absichtlich  herbeige- 
zogenen, gänzlich  zwecklosen  Umschreibung,  mit  der  sie  übrigens 
gar  nichts  zu  tun  hat.    Der  Verfasser  nennt  das  Integral 


OD 


welches  jedermann  für  eine  F  Function  mit  dem  Factor  -     ansehen 

wird,  eine  „Verallgemeinerung  der  F  Function''  und  bezeichnet  sie 
als  Function  zweier  Variabein,   trotzdem  er  dessen  Ausdruck  in  F 

bald  findet,  und  der  Factor  -  in  allen  Formeln  sichtlich  ein  unregel- 

nr.ässiges  Element  b'Mct.  Von  dieser  capriciösen  Schreibweise  abge- 
sehen ist  der  Untersuchungsgang  derjenige,  welchen^  die  Herleitnng 
der  Gauss'schen  Relation  den  Weg  zeigt  Es  wird  logr(6)  durch 
ein  bestimmtes  Integral  dargestellt,  für  b  eine  arithmetische  Reihe 
substituirt,  und  die  Summation  vollzogen.  Nur  ist  bei  jener  das 
Intervall  «=  1,  hier  beliebig.  Nach  Subtraction  zweier  Ausdrücke 
derselben  Form,  aber  beliebig  verschiedener  Gliederzahl  gibt  sich 
leicht  ein  Fall  zu  erkennen,  in  welchem  das  Integral  in  endlicher 
Form  darstellbar  ist,  indem  derjenige  Teil  der  zu  integrirenden 
Function,  dessen  Nenner  2  binomische  Factoren  hat,  wegfällt.  Die 
Specialisirung  lässt  die  2  ganzen  Zahlen  />,  q  unbeschränkt  und  rc- 
ducirt  nur  die  2  Irrationalen  auf  eine.  Um  sichtbar  zu  machen,  das9 
eine  solche  willkürlich  bleibt,  wollen  wir  im  Schlussergebniss  für  », 
Ä:,  m  schreiben  pr,  qv^  pquv;  dann  lautet  die  Gl.  (31): 

i>(-+?)'-E'^(-+'f)=<->^'(ir""^"'' 

Hier  ist  zugleich  ein  Fehler  berichtigt,  dor  sich  durch  eine  Beiho 
von  Gleichungen  hinzieht  und  dadurch  entstanden  ist,  dass  die  Mal- 
tiplication  einer  Gleichung  bei  einem  Term  vergessen   worden  ist; 


LUterarischer  Bericht  HL  30 

statt  des  Exponenten  — g—  muss  stehen  p  —^ —  Die  gesamte  Ar- 
beit darf  man  wol  für  ein  Specimen  halten,  durch  welches  der  Ver- 
fasser seine  Fertigkeit  in  der  Behandlung  bestimmter  Integrale  dar- 
tnn  wollte.  In  diesem  Sinne  wird  freilich  das  Urteil  von  aller  darin 
enthaltenen  Mystification  wenig  berührt.  H. 


Graphisch-mechanische  Methode  zur  Auflösung  der  numerischen 
Gleichungen.  Von  Dr.  C.  Reuschle,  Professor  an  der  technischen 
Hochschule  in  Stuttgart.    Stuttgart  1884.    J.  B.  Metzler.    64  S. 

Das  Princip  in  noch  ziemlich  specieller  Gestalt,  wie  es  jedoch 
nach  Erfahrung  des  Verfassers  für  den  Erfolg  die  günstigste  ist,  ist 
folgendes.  Durch  lineare  Substitution  kauu  mau  im  voraus  einen 
Coefficienten  der  Gleichung  zu  0,  zwei  andre  zu  1  machen.  Sie  laute 
alsdann: 

dann  lässt  sie  sich  zerlegen  in 

Betrachtet  man  a;,  y  als  Coordinaten,  so  geht  die  erstere  Gleichung 
aus  der  der  Parabel 

durch  Verschiebung  in  der  x  und  y  Richtung  ohne  Drehung  hervor. 
Zeichnet  man  nun  auf  ein  in  Millimeterquadrato  geteiltes  Blatt  die 
der  zweiten  Gleichung  entsprechende  Curve  und  auf  Pauspapier  die 
Parabelschar  y  »  ax^  nebst  Axeu,  so  geben  nach  gehöriger  Verschie- 
bung des  letzterem  auf  ersterem  die  Abscissen  der  Schnitte  der  Pa- 
rabel a  mit  jener  Curve  sämtliche  reelle  Wurzeln  der  Gleichung. 
Die  besondere  Zeichnung  der  Curve  für  jeden  neuen  Fall  wird  er- 
spart, wenn  n  3-  6  ist.    Bei  Gleichungen  6.  Grades  hängt  sie  nur  von 

einem  Parameter  d  ab;  diese  werden  daher  gelöst  durch  Verschie- 
bung einer  Parabelschar  auf  einer  einfach  unendlichen  Curvenschar, 
welche  ein  für  allemal  zu  zeichnen  ist  und  dann  für  alle  Fälle  aus- 
reicht. Bei  Gleichungen  5.  Grades  fällt  auch  d  weg,  und  es  ist  statt 
der  Curvenschar  nur  eine  Curve  zu  zeichnen.  Man  hat  dann  über- 
dies die  Wahl,  ob  man  lieber  eine  Parabel  y  =  x*  auf  einer  Curven- 
schar verschieben  will,  indem  man  bei  Reduction  der  Gleichung  a  =»  1 
macht  und  den  Coefficienten  von  x*  stehen  lässt.  Beide  Vorteile 
hat  nun  der  Verfasser  ausser  Acht  gelassen,  es  ist  nicht  zu  verstehen 

3» 


^1  Litttrarücher  Bericht  2 iL 

warum.  Er  redncirt  nämlich  an&ngg  nur  einen  OleichoAgsooefid- 
enten  auf  1,  den  zweiten  erst  nachträglich  hei  der  Gleichung  6. 6n- 
des ,  wo  es  als  unenthehrliches  Auskunftsmittel  erscheint  Zur  Auf- 
lösung der  Gleichung  5.  Grades,  sagt  er  ausdrflcklich,  müsse  eine 
Parahelschar  auf  einer  „Hyperhelschar^^  verschohen  werden.  Bei  den 
Gleichungen  niederer  Grade  treten  weitere  Vereinfachungen  ein,  die 
leicht  zu  finden  sind.  Die  praktischen  Fragen  sind  reichlich  e^ 
wogen  und  auseinandergesetzt,  viele  Figuren  dazu  in  den  Text  ein- 
gelegt. Ferner  werden  vielerlei  Modificationen  des  Verfahrens  be- 
sprochen. Da  nun  für  die  gesamte  Anwendung  nur  einige  völlig 
individuelle  Figuren  erfordert  werden,  die  nur  -in  der  AusdehDung 
und  Linieneinheit  variiren  können,  und  fQr  letztere  der  Verfasser  2 
Centimeter  als  die  günstigste  Grösse  betrachtet,  so  ist  der  Gedanke 
an  die  Hand  gegeben,  wiewol  nicht  ausgesprochen,  die  erforderlichen 
Zeichnungen  gedruckt  herauszugeben,  wodurch  die  Anwendung  des 
Verfahrens  für  den  Einzelnen  bedeutend  erleichtert  und  seiner  Aof- 
nahme  eine  weit  grössere  Verbreitung  verschafft  sein  wüfde.  In  einer 
Note  empfiehlt  der  Verfasser,  statt  des  Pauspapiers  Gelatine-Papier 
zu  nehmen.  H. 


Theorie  des  approximations  num6rique8.  Notions  de  calcsl 
approximatif.  Par  Ch.  Galopin-Schaub,  Docteur  hs  sdences 
math6matiques  (de  la  Facult^  de  Paris).  Gen^ve  1884.  H.  Geoig. 
50  S. 

Das  Buch  ist  zur  Belehrung  von  Studenten  bestimmt,  bei  denen 
der  Verfasser  die  Eenntniss  und  Beachtung  der  Kegeln  approximativer 
Rechnung  sehr  vermisst  hat.  Es  macht  nicht  den  Anspruch  voll- 
ständiger oder  wissenschaftlicher  zu  sein  als  seine  Vorgänger,  bestrebt 
sich  aber  klare  und  leicht  anwendbare  Regeln  in  logischer  Ordnang 
zu  geben,  mit  denen  Beispiele  zur  Unterstützunl^  verbunden  sind,  wo 
es  förderlich  schien.  Dies  sind  die  Gesichtspunkte  laut  der  Vorrede 
In  der  Tat  kann  es  bei  einem  Gegenstande,  der  für  einen  entwickelten 
Verstand  kaum  etwas  unbekanntes  enthalten  kann,  nur  die  Klarheit 
des  Ausdrucks  sein,  was  man  an  der  Bearbeitung  sucht.  In  dieser 
Hinsicht  leistet  der  Vortrag  etwas  zu  viel  in  Verschweigong  alles  znm 
Verständniss  notwendigen.  Ohne  glückliche  Coi\jectnr  wird  man  nir- 
gends erraten,  wovon  der  Ver&sser  spricht.  Um  welche  Aufgabe  m 
sich  handelt,  ist  nirgends  gesagt.  Vielleicht  hat  der  Verfasser  6e 
Wohnung  an  gewisse  familiäre  Redeweisen  bei  seinen  Lesern  voraus- 
gesetzt In  weiterem  Kreise  möchte  jedenfalls  das  Buch  von  keiner 
Anwendung  sein.  H. 


Liittrarueher  Berieht  11h  32 

Observations  relatiTes  k  ano  note  pr^c^dente  de  M.  Menabrea, 
coocernant  1a  s^rie  de  Lagrange.  Par  A.  Genocchi.  Comptes 
RendoB. 

Das  Yoriiegende  berichtigt  einen  Artikel  in  den  Comptes  Rendns 
von  Menabrea,  worin  dieser  zu  beweisen  versncht,  dass  die  zwei 
Kriterien  der  Convergenz  der  Lagrange'schen  Reihe  fllr  die  Anflösnng 
der  Glcichnng  x  =  U'\-f{x\  aufgestellt  von  Lagrange  und  von  Cauchj, 
identisch  seien.  Beide  stimmen  nur  überein,  solange  die  Terme  der 
Reihe  für  f{x)  positiv  sind.  Sind  sie  es  nicht,  so  würde  man  zur 
Anwendung  der  Lagrange'schen  Formel  ihre  absoluten  Werte  nehmen 
und  die  so  entstehende  Function  für  f{x)  substltuiren  müssen,  wäh- 
rend die  Cauchj'sche  Formel  allgemein  gilt.  Chiö  hat  zuerst  gezeigt, 
dass  die  Formel  von  Lägrange  nicht  allgemein  ist  Ferner  erklärt 
Genocchi  die  Behauptung  für  unrichtig,  dass  Lagrange  mit  seiner 
Convergenzregel  die  notwendige  Bedingung  habe  geben  wollen,  unter 
der  die  Reihe  die  kleinste  Wurzel  ausdrückt  Es  liegen  hier  zwei 
Schriften  von  Lagrange  vor:  in  der  ersten  von  1768  unterscheidet  er 
die  kleinste  Wurzel  nicht,  während  er  von  der  Convergenz  handelt, 
in  der  zweiten  von  1798  sucht  er  die  Reihenentwickelnng  für  die 
kleinste  Wurzel  ohne  die  Frage  nach  der  Convergenz  zu  berühren. 
Schliesfllich  erklärt  Genocchi  den  von  Menabrea  gegebenen  Beweis, 
dass  die  Lagrange'sche  Reihe,  wenn  sie  convergirt,  die  kleinste  Wurzel 
darstellt,  filr  unzureichend,  doch  könne  man  ihn  ergänzen  mittelst 
eines  Theorems  von  Chiö.  H. 


Intomo  alla  fhnzione  r{x)  e  alla  serie  dello  Stirling  che  no 
esprime  ii  logaritmo  memoria  di  Angelo  Genocchi.  Napoli  1883. 
Hpogr.  d.  R.  Acc.  d.  scienze.    4^.  —  18  S. 

Ancora  la  serie  dello  Stirling,  nota  del  Prof.  Angelo  Ge- 
nocchi.   Append.  a.  prec.  mem.    4^  —  6  S. 

Die  Schrift  hat  Arbeiten  aus  älterer  Zeit  vom  Verfasser  und 
von  einer  grösseyrn  Aivsahl  Autoren,  welche  die  approximative  Bo- 
reehnung  von  \ogr{x)  untersucht  haben.  Euler,  Gudermann,  Binet, 
Liofiville,  Schaar,  Poisson,  Abel,  Plana,  Gauss,  Mascheroai,  Bidone, 
De  Gasparis,  Boargnet,  zqjbi  Gegenstand  und  gibt  ausführliche  Her- 
leituQgen  und  Beweise,  welche  die  Resultate  derselben  in  neue  Ver- 
bindung bringen.  H. 

Ueber  die  quadratischen  und  kubischen  Gleichungen  mit  beson- 
derer Berücksichtigung  des  irredncibeln  Falles  bei  den  letzteren.    Von 


33  Liiterarücher  Bericht  112. 

Professor   C.  Hellwig,  Oberlehrer  am  Realgymnasiam  in  Erfort. 
Erfurt  1884.    Carl  Villaret    41  S. 

Das  Buch  ist  so  bearbeitet,  dass  ein  massig  befähigter  Schaler  der 
mittleren  Classen  ohne  weitere  Hülfe   die  Theorie   daraas  erlernen 
kann.    Die  Yollst&ndigkeit  dieser  Theorie  geht  aus  dem  hier  folgen- 
den Inhalt  hervor:  Entstehung  der  Gleichungen  2.  Grades,  Wurzeln 
derselben;  Rechnungsverfahren  bei  der  Auflösung  quadratischer  Glei- 
chungen;   die  Arten   derselben,  imaginäre   und   complexe  Wurzeb 
(Discriminante),  Determination  der  Wurzeln;  Bestimmung  der  Wur- 
zeln durch  trigonometrische  Functionen;  Verwandlung  von  Ausdrücken 
quadratischer  Form  in  Producte  von  linearen  Factoren ;  die  Wurzeln  der 
Gleichungen  3.  Grades,  im  besonderen  der  binomischen;  die  Auflösung 
vollständiger  kubischer   Gleichungen;   Vereinfachung  der  Ausdrücke 
für  irrational  erscheinende  rationale,  sowie  für  complex  erscheinende 
reelle  Wurzeln  einer  kubischen  Gleichung  (irrcducibler  Fall);  Berech- 
nuog  der  irrationalen  Wurzeln  für  letztern;  andre  Methode  zur  Her- 
leitung der   Wurzelformen    einer    kubischen   Gleichung;   allgemeine 
Betrachtung  über  deren  Wurzeln ;  Auflösung  der  kubischen  Gleicbnn- 
gen  mit  Hülfe  trigonometrischer  Functionen.    Eigentümlich  in  der 
Behandlung  ist  zunächst  die  Vermeidung  der  Nenner.    Da  sie  auch 
beim  praktischen  Kechnen  von  Nutzen  sein  kann,  so  mag  sie  illr 
gerechtfertigt  gelten.    Die  dadurch  veranlasste  Scheidung  von  Fällen 
ist  im  Grunde  überflüssig,  der  erste   immer  ausreichend;  doch  kann 
man  die  übrigen  als  förderliche  Zugabe  ansehen.    Eine  Beschränkung 
der  mit  Buchstaben  bezeichneten   Gegebenen  auf  ganze  Zahlen  ist 
nicht  ausgesprochen,  obwol  sie  gewiss  im  Sinne  des  Verfassers  lag- 
Dagegen   ist  die  Beschränkung   des  Gebrauchs   der  Buchstaben  auf 
positive  Werte  stillschweigende  Voraussetzung;    denn  V — e  wird  als 
imaginär  betrachtet.    Dies  ist  entschieden  zu  missbilligen.    Wenn  der 
Schüler  bis  dahin  in  der  Gewohnheit  befangen  war,  den  Buchstaben 
als  Zeichen  für  eine  positive  Zahl  anzusehen ,  so  setzt  jedenfalls  die 
Lehre  von  den  Gleichungen  den  äussersten  Termin  von  dieser  Ge- 
wohnheit, der  Quelle  unklarer  Begriffe  für  spätere  Zeit,  abzulassen-, 
denn  das  gesuchte  x  muss  doch  jeder  Art  Zahlen  bezeichnen  können. 
Günstig  für  das  Verständniss  ist  die  Breite  der  Entfaltung  des  Stoffes 
und  die  Vielseitigkeit  der  Betrachtung.    Unrichtig   ist  die  auf  erster 
Seite  stehende  Behauptung,  die  Wurzel  einer  quaibratischen  Gleichung 
befriedige  „gleichzeitig^^  zwei  lineare  Gleichungen.  H. 


LUitrarucher  Bericht  IIL  34 

Geometrie. 

Die  Elemente  der  projectivischen  Geometrie.  Von  Dr.  Emil 
Wcyr,  0.  ö.  Professor  an  der  k.  k.  Universität  in  Wien.  Erstes 
Heft  Theorie  der  projectivischen  Grundgebilde  erster  Stufe  und  der 
quadratischen  Involutionen.  Mit  58  Holzschnitten.  Wien  1883.  Wil- 
helm Braumüller.    231  S. 

Das  Vorliegende  behandelt  nach  einer  erklärenden  Einleitung: 
die  Bestimmung  der  Elemente  der  Grundgebilde  1.  Stufe;  das  Doppel- 
verhältniss;  vollständige  Figuren;  die  Sätze  von  Carnot  und  Cava; 
die  perspectivische  Kaumansicht;  das  Reciprocitätsgesetz  und  die 
Elementenbestimmung  in  den  Grundgcbilden  höherer  Stufe;  perspec- 
tivische Gebilde;  projectivische  Gebilde;  ähnliche  und  congruente 
Gebilde;  conlocale  projectivische  Gebilde,  Doppelelemente;  den  Kreis; 
die  luTolutionen;  eine  allgemeinere  Auffassung  der  Projectivität;  die 
cyklische  Projectivität;  harmonische  Mittelpunkte  einesTripels ;  Rech- 
nangsoperationen  mit  Teilverhältnissen.  Die  folgenden  Hefte  sollen 
die  Lehre  von  den  Curven  und  Flächen  2.  Grades  und  die  von  den 
Raumcurven  3.  Grades,  das  letztere  einen  Litteraturausweis ,  soweit 
er  bei  der  elementaren  Natur  des  behandelten  Stoffes  als  notwendig 
erscheinen  sollte,  enthalten.  Das  Ganze  ist  zunächst  dazu  bestimmt, 
als  Leitfaden  ffXt  die  Vorlosungen  des  Verfassers  über  neuere  Geo- 
metrie an  der  Wiener  Universität  zu  dienen.  Es  ist  indes  mit  einer 
so  musterhaften  Klarheit  und  Leiqhtfasslichkeit  abgefasst,  dass  es 
zum  Gebraucb  als  Leitfaden  in  weiterem  Kreise  und  zum  Selbstunter- 
richt empfohlen  werden  kann.  H. 


Apolarität  und  rationale  Curven.  Eine  systematische  Vorunter- 
sachung  zu  einer  allgemeinen  Theorie  der  linearen  Räume.  Von  Dr. 
W.  Franz  Meyer,  Privatdocent  an  der  Universität  Tübingen.  Tü- 
bingen 1883.    Franz  Fues.    406  S. 

Das  Werk  ist  eine  Fortbildung  der  Apolaritätstheorie  von  Theo- 
dor Reye.  Den  Gegenstand  kann  man  ebensowol  als  Ausdehnung 
einer  gewissen  Seite  der  Geometrie  auf  beliebig  viele  Dimensionen 
wie  als  algebraische  Theorie  mit  Unterstützung  und  Leitung  durch 
geometrische  Begriffe  auffassen.  Ein  Unterschied  wird  dadurch  so 
wenig  herbeigeführt,  dass  vielmehr  beide  Betrachtungsweisen  für  ein- 
ander unentbehrlich  scheinen  und  erst  vereinigt  die  Gesichtspunkte 
and  die  Abgrenzung  der  gesamten  Theorie  ergeben.  Auf  das  Wesen 
der  Theorie  können  wir  hier  nicht  wol  eingehen,  weil  zu  viele  Ein- 
fiahrangen  erklärt  werden  müssten.  Die  Abfassung  des  Buchs  selbst, 
auf  das  wir  nur  verweisen  können,  ist  nicht  leicht  verständlich:  es 


35  IMUrarischtr  Bericht  HL 

setzt  nicht  bloss  allgemeine  Kenntnisse,  sondern  auch  die  Bekanntschaft 
mit  Reye's  Geometrie  voraus,  gibt  demnach  über  viele  Punkte  keine 
unmittelbare  Erklärung,  wenn  gleich  die  Angaben  im  ganzen  zureichend 
sind,  um  den  Sinn  ziemlich  mühevoll  herauszufinden.    Die  Abschnitte 
sind:  Die  rationalen  Curven.    Die  Reye'sche  Apolarität  und  die  Norm- 
cur  von,  und  zwar:  die  Normcurvcn  (speciell  der  £bene  und  des  Rau- 
mes) ;  die  binäre  biquadratische  Form  /  und  ihre  Apolaritätsvcrhilt- 
nisso  auf  den  Normcurven  2.,  3.  und  4.  Ordnung;  die  binäre  Form 
6.  Grades  /  und  die  biquadratiseho  Involution   und  ihre  Apolaritüts- 
verhältnisse  auf  den  Normcurvcn  2.,  3.  und  4.  Ordnung;  die  biqna- 
dratische  Involution  auf  der  kubischen  Raumcürve  (2.  Teil).    Verall- 
gemeinerungen.   Als  Vorgänger  in  der  Bearbeitung  werden  nach  Rcye 
genannt:  H.  H.  Sylvester,  Smith,  Gordan,  Brill,  Sturm,  Em.  Weyr, 
G.  Veronese  und  St6phano8y  und  zwar  sind  die  Arbeiten  von  Brill 
und  St^phanos  in  der  Zwischenzeit  erschienen.  H. 


C.  H.  Kümmel  1.  Alignment  curves  on  any  surface,  with  special 
application  to  the  ellipsoid.  Bulletin  of  thc  Philosophical  Society  of 
Washington  VI.  123—132. 

Das  Motiv  der  Untersuchung  geht  zwar  aus  der  Landesvermeisattg 
hervor,  doch  sind  die  behandelten  Fragen  rein  analytisch  geometrische. 
Die  Aufgabe  ist  anfänglich  sehr  unbestimmt  aufgestellt,  die  spätere 
Bestimmung  im  einzelnen  beruht  auf  blosser  Auswahl.    Dem  Wort- 
laut nach  soll  auf  einer  krummen  Fläche  eine  Reihe  von  Punkten 
angegeben  werden,  in  denen  die  Normalen  gegeben  sind.    Letzteres  trifft 
nicht  zu;  es  ist  wol  nur  gemeint,  dass  überhaupt  eine  gewisse  Lot- 
richtung vorausgesetzt  werde,  die  jedoch  überall  mit  der  Flächen- 
normale  identificirt  wird.    Dagegen  ist  nicht  ausgesprochen,  was  doch 
factisch  das  Gemeinsame  ist,  dass  die  Punktreihe  für  die  Vermessung 
die  Stelle  der  geraden  Linie  vertreten  soll.    Es  werden  nun  3  Fälle 
unterschieden :  je  nachdem  man  von  einem  Punkte  in  beliebiger  Rich- 
tung fortschreitet,  oder  einen  zweiten  Punkt  zum  Ziele  nimmt,  oder 
endlich  vor  und  zurück  visirt.    Hieraus  sollen  angeblich  eine  gewisse 
Anzahl  von  Curven  hervorgehen.    Offenbar  kann  jede  analytisch  be- 
stimmte Cun'e  für  den  einen  Fall  auch  für  den  andern  dienen.    Für 
den   ersten  wird  allein   der  Normalschnitt   aufgestellt,  der   für  den 
zweiten  nur  nicht  umkehrbar  sein  würde.    Beim  zweiten  Falle  wird 
ausser  der  Kürzesten  und  Loxodromo  diejenige  Curvc  genannt,  längs 
welcher  die  Normalen  durch  die  Sehne  zwischen  den  zwei  Endpunkteo 
gehen.    Hiervon  wird  Anwendung  auf  die  Fläche  2.  Grades  gemacht, 
wo  die  von  den  genannten  Normalen  erzeugte  Fläche  ein  Hyperboloid 
ist,  dann  insbesondere  auf  das  Ellipsoid.  H. 


LUterarischer  Berieht  111.  36 

C,  H.  Kamm  eil.  The  theory  of  errors  practically  tested  by 
Urget-shooting.    Ball,  of  the  Phil.  Soc.  of  Washington  VI.  138—148. 

Nach  dieser  Theorie  bilden  die  Deviationen  der  Schüsse  von 
gleicher  Wahrscheinlichkeit  nach  allen  Richtungen  am  den  Ziclpankt 
Ellipsen,  deren  Axen  horizontal  and  vertical  darch  den  Zielpnnkt 
gehen.  Diese  Ellipsen  werden  hier  darch  Sabstitation  neaer  Coor- 
dinaten  auf  Kreise  reducirt.  Ferner  wird  die  Wahrscheinlichkeit  des 
Treffens  einer  solchen  Ellipse  boroehnet  Nach  Reprodaction  dessen, 
was  Herschel  hierin  in  Ausführung  gebracht,  wird  weiter  untersucht 
die  Ellipse,  bei  welcher  „das  Treffen  and  Niclittreffen  gleiche  Wahr- 
scheinlichkeit hat^S  die  Ellipse  von  grösster  Wahrscheinlichkeit,  und 
manche  andere  Fragen.  H. 

Analytische  Geometrie  der  Kegelschnitte  nach  elementarer  Me- 
thode für  höhere  Schalen.  Von  W.  Fuhrmann,  Oberlehrer  am 
Realgyronasiam  aaf  der  Burg  in  Königsberg  i.  Pr.  Mit  27  Figuren 
im  Text  und  2  Tafeln.    Berlin  1884.    Winckelmann  u.  Söhne.    144  S. 

Gegenüber  zahlreichen  Lehrbüchern  der  speciellen  Coordinaten- 
lehre,  die  sich  den  Titel  ,.Analytische  Geometrie''  ohne  Erklär ang 
des  Wortsinns  f&lschlich  beilegen,  verdient  es  bemerkt  za  werden, 
dass  das  gegenwärtige  über  den  begrifflichen  Unterschied  zwischen 
synthetischer  and  analytischer  Methode  eine  Aufstellung  macht,  die 
wol  nea  sein  möchte,  jedenfalls  aber  nicht  recht  überlegt  ist.  Nach 
den  Anfangsworten  ist  sie  synthetisch  oder  analytisch,  je  nachdem  die 
Gmndgebilde,  relativ  zu  welchen  alle  Bestimmungen  gemacht  werden, 
zur  betrachteten  Figur  gehören  oder  davon  anabhängig  sind.  Dem- 
gcmäss  müsste  sie  in  die  synthetische  übergehen,  sobald  man  z.  B. 
die  Axcn  des  untersachten  Kegelschnitts  zu  Coordinatenaxen  nähme. 
Letzteres  ist  hier  mit  Beginn  der  Kegelschnittslehre  vom  Y.  Cap.  (das 
VIII.  Cap.  ausgenommen)  geschehen,  mithin  ist  der  Hauptteil  des 
Boches  nach  eigenem  Begriff  des  Verfassers  synthetisch.  Dasselbe 
Urteil  ergibt  sich  nach  ursprünglichem  and  allein  richtigem  Begriff 
in  Bezog  auf  das  Ganze,  wenn  man  nur  die  Anordnung  der  Teile 
betrachtet.  Sie  sind:  Begriff  des  Coordinatensystcms  und  der  Punkt; 
die  gerade  Linie;  Einführung  einer  abgekürzten  Bezeichnung  nebst 
einigen  Anwendungen;  der  Kreis;  die  Parabel;  die  Ellipse;  die  Hy- 
perbel; die  allgemeine  Gleichung  des  2.  Grades;  Eigenschaften  der 
Kegelschnitte  von  allgemeinem  Charakter;  Eigenschaften  derselben, 
die  sich  besonders  auf  die  Krümmungsradien  und  die  Combination 
von  Kegelschnitten  beziehen.  Anhang:  Hülfssätze  von  den  Dctermi- 
niuiten.  Das  Ganze  stellt  sich  also  als  eine  ebene  Coordiuateulehre 
mit  der  zum  Zielpunkt  genommenen  Anwendung  auf  die  Kegelschnitts- 


37  Lüttraritcher  Stricht  JU, 

lehre  in  beständig  synthetischem  Foitschritt  vom  Einfachen  znr 
grösseren  Mannigfaltigkeit  dar.  Der  Titel  ist  demnach  entschieden 
unzutreffend.  Betrachtet  man  die  Coordinatenlehro  als  den  eigent- 
lichen Gegenstand  des  Buchs,  so  ist  die  Behandlung  durchaus  sach- 
gemäss.  Dass  das  rechtwinklige  System  zu  Grunde  gelegt ,  und  tob 
demselben  ohne  besonderen  Zweck  nicht  abgegangen  wird,  ist  das 
•einzig  vernünftige  Znwcrkgehen  und  bedurfte  keiner  Rechtfertigung, 
jede  ursprttngliche  Verallgemeinerung  beruht  auf  Illusion.  Ebenso  iit 
dem  ganz  beizustimmen,  dass  von  den  Determinanten  bei  jeder  Ge- 
legenheit Gebrauch  gemacht  wird.  Das  einzig  missliche  bei  der  gegen- 
wärtigen Bearbeitung  ist,  dass  die  Darstellung  die  Grenzen  nie  über- 
schreitet, wo  die  Figur  nötig  ist,  so  dass  der  Blick  stets  an  deren 
zufällige  Specialitäten  gefesselt  bleibt,  und  eine  Einsicht  in  die  Be- 
deutung der  Coordinaten  nie  gewonnen  werden  kann.  Dieser  Mangel 
ist  jedoch  mit  der  unnatürlichen  Anordnung  unabänderlich  verknüpft, 
der  gemäss  eine  Theorie,  die  als  Organ  für  ein  unbegrenztes  Gebiet 
den  Anfang  eines  Cursus  bilden  sollte,  ans  Endo  des  Scholcunns 
gelegt  wird,  und  kann  dem  einzelnen  Buche  nicht  zur  Last  fallen. 


Sammlung  von  Beispielen  iu  besonderen  Zahlen  zur  analytischen 
Geometrie  der  Kegelschnitte.  Zusammengestellt  von  Fr.  Tamchyna. 
Professor  am  Staatsgymnasium  in  Saaz.  Mit  zwei  Holzschnitten. 
Prag  1884.    A.  Storch  Sohn.    76  S. 

Der  Verfasser  hält  für  den  Schulunterricht  Zahlenbeispiele  nament- 
lich für  erforderlich:  zur  Discussion  der  allgemeinen  Gleichung  2. 
Grades  zwischen  zwei  Variabein,  zum  Tangentenproblem  der  Kegel- 
schnitte, zu  dem  durch  sie  vorgestellten  geometrischen  Orte  eines 
Punktes  und  zur  Bestimmung  eines  Kegelschnitts  durch  5  Punkte 
Die  gegenwärtige,  sehr  rcichbaltigo  Sammlung  erstreckt  sich  indes 
nicht  nur  auf  zahlreiche  Aufgaben  über  die  Kegelschnitte,  sondern 
auch  auf  die  Elementaraufgaben  der  analytischen  Geometrie.  Die 
Beispiele  sind  womöglich  so  ausgesucht,  dass  sich  die  Rechnung  in 
rationalen  Zahlen  bewegt  Die  allgemeine  Formel  ist  stets  voran- 
gestellt. BL 


Analytische  Geometrie  des  Raumes.  I.  Thoil.  Die  allgemeine 
Theorie  der  Flächen  und  Curven;  die  Eigenschaften  der  Flächen 
zweiten  Grades.  IL  Theil.  Disquisitiones  generalet  drca  superficies 
curvas  von  C.  F.  Gauss,  ins  Deutsche  übertragen  mit  Anwendungen 
und  Zusätzen.  Die  Fresnel'sche  Wellenfläche.  Von  Dr.  OttoBök- 
len,  Rektor  der  k.  Realanstalt  in  Reutlingen.    Mit  in  den  Text  ge- 


LitieraHgeher  Bericht  111.  38 

dracktea  Holzschnitten  nnd  4  lithographirten  Tafeln.    Zweite  Auflage. 
Stuttgart  1884.    Albert  Koch.    336  S. 

Anstatt  auf  dem  Ton  Gauss  gewonnenen  Standpunkte  weiter  zu 
arbeiten,  hat  der  Verfasser  es  vorgezogen  auf  den  Standpunkt  von 
Monge  zurückzukehren.  Als  Zweck  ist  angegeben,  die  geometrische 
Bedeutung  der  analytischen  Grössen  mehr  im  Bewusstsein  zu  behalten. 
Ob  dies  dadurch  erreicht  wird,  darf  man  wol  bezweifeln.  Nachteile 
erkennt  der  Verfasser  an,  doch  schwerlich  in  dem  Masse,  als  sie 
wirklich  stattfinden.  Die  Symmetrie  des  Raumes  ist  von  Anfang  an 
bei  Seite  geworfen ;  mit  ihr  fällt  die  Uebersicht  und  Orientirung  weg ; 
die  Formeln  werden  complicirt;  zu  ihrer  Auffassung  und  zur  Ver- 
folgung ihrer  Herleitung  braucht  man  die  dreifache  Mühe;  die  Re- 
soltate  sind  an  bestimmte  Lage  der  Coordinatenaxen  gebunden,  von 
der  man  ohne  umständliche  Rechnung  nicht  abgehen  kann;  von  einer 
Basirung  der  Principien  auf  bestimmte  hinreichende,  die  Fläche 
charakterisirende  Elemente  ist  keine  Spur,  ebensowenig  von  einem 
Plan  das  gesamte  bekannte  Gebiet  zu  erschöpfen  und  durch  Ordnung 
zu  beherrschen ;  jede  besondere  Untersuchung  beginnt  mit  besonderen 
Einführungen.  Die  Curventheorie  steht  nur  auf  dem  Titel,  im  Buche 
kommt  sie  nicht  vor.  Es  ist  sehr  zu  beklagen,  dass  die  viel  zu  wenig 
bekannte  analytische  Geometrie  des  Raumes  in  einer  so  äusserst  un- 
vorteilhaften Form  dargeboten  wird.  Einen  besonderen  Teil  des  I. 
Teils  bildet  die  Lehre  von  den  Flächen  2.  Grades:  die  darin  enthal- 
tenen Untersuchungen  haben  viel  Anregendes.  H. 

Darstellende  und  projective  Geometrie  nach  dem  gegenwärtigen 
Stande  dieser  Wissenschaft  mit  besonderer  Rücksicht  auf  die  Bedürf- 
nisse höherer  Lehranstalten  und  das  Selbststudium.  Von  Dr.  Gustav 
Ad.  V.  Peschka,  k.  k.  Regierungsrath,  ordentl.  öffentl.  Hochschul- 
Professor,  Mitglied  der  k.  k.  Staatsprüfungs-Gommission  und  der  k.  k 
wissenschaftlichen  Realschul-Prüfungs-Commission  an  der  k.  k.  tech- 
nischen Hochschule  in  Brunn  etc.  Zweiter  Band.  Mit  einem  Atlas 
von  II  Tafeln.    Wien  1884.    Carl  Gerold's  Sohn.    576  S. 

Atlas  zur  darstellenden  und  projectiven  Geometrie.  Von  Dr. 
Gustav  Ad.  V.  Peschka.  Zweiter  Band.  Wien  1884.  Carl 
Gerold's  Sohn. 

Der  erste  Band  ist  im  275.  litt.  Bericht  S.  27.  besprochen.  Der 
zweite  Band  enthält  die  Theorie  der  Curven  und  Flächen.  Die  Ab- 
schnitte sind  folgende :  Curvenlehre,  und  zwar  Fundamentaleigenschaf- 
ten  algebraischer  Curven,  allgemeine  Eigenschaften  ebener  algebraischer 
Curven,  Theorie  der  Polaren  algebraischer  Curven,  der  Correspondenz- 


3d  jAtterarüehtr  Bericht  JJI. 

Satz,  Anwcndnng  desselben  und  der  Polarentheorie  anf  die  ÜBter- 
sachnng  der  Eigenschaften  algebraischer  Cnnren,  Eigenschaften  der 
Raumcnrven  and  ihrer  Projectionen.  Allgemeine  Theorie  der  krain- 
men  Flächen  und  Flächensjsteme,  nnd  zwar  allgemeine  EigenschaftcD 
algebraischer  Flächen,  lineare  Flächensysteme  1.  Stufe  (FlftcheDbOschel) 
nnd  deren  Eigenschaften,  lineare  Flächensysteme  2.  Stufe  (Flächen- 
bUndcl  und  Flächennetzc),  lineare  Flächensysteme  3.  Stufe,  Sätze 
über  die  gemeinschaftlichen  Gurven  zweier  und  Aber  die  gemeinschaft- 
lichen Punkte  dreier  Flächen,  projectivische  Erzeugung  algebraischer 
Flächen,  Anwendung  der  Polarentheorie  auf  die  Entwickelung  pro- 
jcctivischcr  Eigenschaften  algebraischer  Flächen  und  ihrer  Systeme, 
projectivische  lineare  Flächensysteme  fiter  Stufe  und  symmetriBcbe 
Flächencomplexe ,  Eigenschaften  der  Hessiana  und  Steiperiana  oder 
der  conjugirten  Kernflächen  einer  Fundamentalfiäche  nter  Ordonng, 
Bestimmung  der  Charaktere  und  Singularitäten  einiger  Flächen,  welche 
sich  ans  gegebenen  algebraischen  Flächen  ableiten  lassen.  Theorie 
der  Flächen  2.  Grades,  und  zwar  Definitionen  und  Fundamental- 
cigenschaften.  Constructive  Theorie  der  Kegel-  und  Gylinderflächea 
im  allgemeinen,  Kegel-  und  Cylinderflächen  2.  Grades,  developpable 
Flächen,  welche  2  gegebenen  Gorven  und  Flächen  umschrieben  sisd, 
developpable  Flächen,  welche  2  Gurven  2.  Graden  umschrieben  sind. 

a 


Lehrbuch  der  darstellenden  Geometrie.  Von  Dr.  Walfried 
Marx,  Professor  an  der  k.  technischen  Hochschule  in  Manchen. 
Erster  Abschnitt.  Die  Methode  der  rechtwinkligen  Projektionen  nnd 
ihre  Anwendung  zur  graphischen  Bestimmung  von  Punkten,  Geraden, 
Ebenen  und  der  von  ihnen  begrenzten  Körper,  sowie  zur  Lösung  von 
Aufgabeu  über  die  gegenseitige  Lage  dieser  Objdrte.  Dritte,  nm- 
gearbeitete  und  durch  Beifügung  von  Aufgaben  vermehrte  Auflage 
des  ].  Bandes  von  F.  A.  Klingenfeld's  Lehrbuch  der  darstelienden 
Geometrie.  Mit  11  lithograplurten  Tafeln.  Nürnberg  1885.  Friedr. 
Korn.    311  S. 

Die  1.  Auflage  ist  1851  erschienen,  die  zweite  (1871)  unterschied 
sich  nur  wenig  von  ihr.  Ueber  der  Vorbereitung  zur  dritten  starb 
Kliugenfeld  1880.  Bei  Bearbeitung  der  gegenwärtigen  beabsichtigte 
Marx,  dio  Bereicherungen,  welche  die  darstellende  Geometrie  in  den 
letzten  Decennien  erfahren,  in  Aufnahme  zu  bringen,  hielt  es  jedoch 
nicht  für  angemessen ,  jene  durch  blosse  Zusätze  und  Aenderangen 
im  einzelnen  zu  berücksichtigen,  sondern  eine  durchgehende  Ernenc- 
rung  für  erforderlich.  Die  ersten  zwei  Gapitel  (Zwedt  nnd  Methoden 
der   darstellenden  Geometrie,  die  rechtwinklige  Projectiofi  in  einer 


LitUraruekMr  Benehi  111.  40 

Tafel)  und  ganz  neu.  Die  Grenzen  des  Lehrstoffs  des  1.  Bandes 
sind  ans  dem  Titel  bereits  ersichtlich.  Die  4  folgenden  Capitel  be- 
bandeln:  die  graphische  Bestimmung  von  Punkten,  Geraden  und 
Ebenen  durch  ihre  Bisse  in  2  Tafeln  und  Eutscheidung  ihrer  gegen- 
seitigen Lage;  die  Wahl  neuer  Tafeln  und  deren  Anwendung  zur 
Lösung  von  Aufgaben ,  in  denen  Entfernungen  und  Winkel  gesucht 
oder  gegeben  sind,  geometrische  Oerter  im  Baume ;  das  Drei-  und  das 
Vielkant;  die  Du^tellung  der  von  ebenen  Plftchen  begrenzten  Körper, 
die  Bestimmung  ihrer  Bisse  aus  gegebenen  Stücken  und  ihrer  Durch- 
schnitte mit  Geraden,  Ebenen  und  unter  sich.  H. 


Mathematische 
und  physikalische  Bibliographie. 

m. 


Gesdilchte  der  Mathematik  und  Phjsik. 

Bernoulli,  Daniel,  a.  Leonhard  Ealer,  die  Basler  Ma- 
thematiker. Hundert  Jahre  nach  ihrem  Tode  gefeiert  v.  der  Katar- 
forschenden  Gesellschaft    Basel,  Georg.    1  Mk.  60  Pf. 

Dühring,  E.,  u.  U.  Dühring,  neue  Grandmittel  u.  Erfindno- 
gen  zor  Analjsis,  Algehra,  Fanctionsrechnnng  n.  zugehörigen  Geo- 
metrie etc.    Leipzig,  Fues.    12  Mk. 

Fortschritte,  die,   der  Astronomie.    Nr.  9.    1883.    Köln,  Majer. 

2  Mk. 

—  die,  der  Meteorologie.    Nr.  9.    1883.    Ebd.    1  Mk.  20  Pf. 

—  die,  der  Physik.    Nr.  7.    1882—1883.    Ebd.    2  Mk. 
Fortschritte,   die,   der  Physik  im.  J.  1878.     Dargestellte,  der 

physikal.  Gesellschaft  zu  Berlin.  34.  J.  Red.  v.  Neesen.  2.  Abth., 
enth.:  Optik,  Wärmelehre,  Elektricitätslehrc.  Berlin,  G.  Reimer. 
11  Mk. 

Heller,  A.,  Geschichte  der  Physik  v.  Aristoteles  bis  anf  die 
neueste  Zeit.  2.  Bd.  Von  Dcscartcs  bis  auf  Roh.  Mayer.  Stuttgart 
Enkc.    18  Mk. 

Hoppe,  E.,  Geschichte  d.  Elektrizität.  Leipzig,  Barth.  13 Mk. 
50  Pf. 

Lepsius,    R,    die    Längenmasse    der   Alten.    Berlin,  Besser. 

3  Mk. 

Rosen  berger,  F.,  die  Geschichte  der  Physik  in  Grundzügen 
2.  Thl.  Geschichte  d.  Physik  in  d.  neueren  Zeit.  Braunschweig. 
Vieweg  &  S.    8  Mk. 

Methode  und  Prineipien. 

Reth  wisch,  E.,  der  Irrthum  der  Schwerkrafthypothese.  Kritik 
u.  Reformthesen.    2.  Afl.    Freiburg,  Kiepert  <&  v.  B.    2  Mk. 


Lkterariseher  Berieht  IV.  41 


Litterarischer  Bericht. 

IV. 


Geschichte  der  Mathematik  und  Physik. 

Alfred  Girard,  inventioD  nonvelle  en  Talgebre.  Reimpression 
par  Dr.  D.  Bierens  de  Haan.    L.  L.  D.    Leiden  1884. 

Der  Tollständige  Titel  dieses  Buchs,  welches  bereits  selten  ge- 
worden ist,  and  einer  nenen  Ausgabe  für  wert  gehalten  wird,  lautet: 
Invention  nouvelle  en  l'algebre,  par  Albert  Girard  matematicien.  Tant 
pour  la  Solution  des  equations,  que  pour  reconnoistrc  le  nombre  des 
Solutions  qu'elles  re^oivent,  avec  plusieurs  choses  qui  sont  necessaires 
i  la  perfection  de  ceste  divine  science.  A  Amsterdam.  Chez  Guil- 
laurae  Jansson  Blaenw.  M.  D  C.  XXIX.  Wie  schon  der  Titel  ver- 
schiedene Gegenstände  nennt,  so  lassen  sich  auch  in  der  Schrift  3 
Teile  erkennen.  Der  Verfasser  sagt  davon  in  der  Dedication :  Diese  3 
Schriften,  deren  erste  nur  eine  kurze  Einführung  in  die  Arithmetik  ist, 
während  die  beiden  andern  einige  Neuheiten  in  der  Algebra  und  Geo- 
metrie, unbekannt  nicht  nur  den  Heutigen,  soudern  auch  den  Alten,  ent- 
halten — .  In  der  Tat  ist  dvv  erste  Teil  betitelt:  „Complement  Mathe- 
matiqve^^  and  handelt  von  einigen  Partien  der  Arithmetik.  Der  2.  Teil, 
ohneSpecialtitel,  handelt  von  den  Wurzeln,  von  der  Ausziehungder  Wur- 
zeln aus  vielgliedrigen  Ausdrücken,  der  algebraischen  Construction 
einiger  Aufgaben,  von  geordneten  Gleichungen,  von  einigen  Sätzen, 
oamenUich  dann  von  dem  bekannten  Girard'schen  Satze,  von  den 
hmtergestellten  Grössen  in  der  Algebra.  Der  3.  Teil  hat  den  Titel:  „De 
la  mesure  de  la  superfice  des  trianglcs  et  polygones  sphericques, 
uouvellement  inveut6o^^  und  ist  voll  von  interessanten  Beobachtungen. 
Zuletzt  handelt  er  von  der  Messung  der  körperlichen  Winkel  zwischen 
ebenen  Seitenflächen.  Beim  Neudruck  ist  dafür  gesorgt,  dass  Seiten 
and  Zeilen  dem  Original  gleich  sind ;  die  Figuren  sind  Facsimiles. 

H. 

Arek.  d.  lUili.  Q.  Phyw.  2.  Seihe,  Teil  I.   Heft  IV.  4 


42  Litt€rariseher  Bericht  IV. 

Simon  Stevin,  „vande  spiegeling  der  singkonst''  et  ,,vaDde 
molen8^\  deax  trait^s  in^dits.  Reimpression  par  Dr.  D.  Bierens 
de  Haan,  L.  L.  D.    Amsterdam  1884. 

Aas  einem  Gemisch  von  Brachstücken,  welche  sich  in  einer  Hand- 
schriftensammlung  der  Akademie  der  Wissenschaften  von  Amsterdam 
vorfanden,  hat  der  Heransgeher  3  Abhandlungen,  wiewol  mit  mancben 
Lücken ,  zusammengestellt  und  hier  publicirt.  Die  erste ,  anter  dem 
Titel:  „Deerde  Deel  der  Gemengde  Stoffen  vande  Spiegeling  der 
Singkonst.  Beschreven  door  Simon  Stevin  —  ^'  enthält  Notenlehit, 
Gesangsregeln,  mosikalische  Akustik  in  Hauptstücke  und  Sätze  mit 
Erklärungen  geordnet,  jedoch  mit  Besprechung  von  mancherlei  Ein- 
zelheiten untermischt.  Der  zweite  hat  den  Titel:  „Byvough  der 
Singkonst/'  Von  beiden  ist  die  Authenticität  zweifellos.  Daneben 
aber  findet  sich  ein  Werk:  „Spiegeling  der  Singkonst  met  Anhang"'. 
Es  werden  die  Gründe  dargelegt,  warum  es  demselben  Verfasser  zn- 
geschrieben  werden  muss.  Was  das  Verhältniss  beider  Bearbeitungen 
betrifft,  so  vermutet  der  Herausgeber,  dass  letztere  die  ältere  sei. 
Die  letzte  Abhandlung  ist  betitelt:  „Stevin  vande  Molens.  Reriviceert 
doorden  Professor  Golius.  1634."  Sie  enthält  die  Berechnung  der 
verschieden  construirten  Mühlen.  H. 


Benedictus  de  Spinoza,  „Stelkonstige  reeckening  van  den 
regenboog^'  and  „Reeckening  van  kanssen'S  two  nearly  unknown 
treatises.  Reimpression  by  Dr.  Bierens  de  Haan.  Leiden  1884 
20+8  8. 

Das  Vorliegende  ist  eine  Festschrift  zum  SOOjährigen  JubUäum 
der  Universität  Edinburg.  Die  2  Schriften  verschiedenen  Inhalts 
algebraische  Berechnung  des  Regenbogens  und  Wahrscheinlichkeits- 
rechnung sind  vereinigt,  weil  sie  sich  vereinigt  vorfanden.  Der  Ver- 
fasser der  zweiten  ist  zweifelhaft,  doch  wird  sie  aus  angeführten 
Gründen  dem  Spinoza  zugeschrieben.  Ersterc  setzt  das  Gesetz  der 
Reflexion  und  Brechung  als  bekannt  voraus  und  betrachtet  den 
Regentropfen  als  Kugel ;  letztere  enthält  5  Fragen  über  das  Verhält- 
niss der  ungleichen  Chancen  mehrerer  Spieler  bei  gegebenen  Bedin- 
gungen ,  nebst  Antworten.  Die  ausgeführte  Rechnung  folgt  dann  für 
die  2  ersten  Fragen.  H. 


Histoire  de  l'Acad^mie  imperiale  et  royalo  des  sciences  et  helles 
lettres  de  Brnxolles,  par  [ßd.  Mailly,  Membre  de  TAcad^mie  royale 
de  Belgique.    Bruxelles  1883.    F.  Hayez.    720  +  426  S. 


LüUrmrUeUr  Bericki  IV.  43 

Dm  Werk  encheiiit  in  2  Bänden,  als  Auszug  aus  den  M^m.  de 
TAc.  roy.  de  Belg.  t  XXXIY.  und  XXXV.  Es  beginnt  mit  einer 
Einleitung,  welche  die  Umstände  darlegt,  die  zur  Stiftung  der  Soci^t6 
litt^raire  in  den  österreichischen  Niederlanden  führten.  Das  1.  Buch, 
zugleich  der  1.  Band,  handelt  von  der  Geschichte  dieser  Gesellschaft, 
vor  und  nach  ihrer  Erhebung  zur  Akademie;  das  2te  von  den  in 
den  Sitzungen  gelesenen  oder  vorgelegten  Abhandhingea*,  das  3te 
von  den  Preisaufgaben.  Zum  Schluss  folgt  ein  dictionuaire  biogra- 
phique  über  die  Namen,  Titel,  Stellung  und  Wirksamkeit,  den  Ge- 
burts-  und  Todestag,  Ort  der  Geburt  und  des  Todes  der  Gründer, 
Mitglieder  und  Laureaten  der  Gesellschaft,  überdies  aller  Personen, 
deren  Spur  in  ihren  Annalen  aufbewahrt  ist,  die  unbekannten  Zeit- 
and  Ortsbestimmungen  zur  Ergänzung  leer  gelassen.  Der  Act  der 
Errichtung  der  Soci^t^  litt^raire  führt  zurück  auf  den  12.  Januar 
1769,  die  letzte  Sitzung  der  Akademie  fand  statt  den  12.  Mai  1794. 
Der  Verfiasser  hatte  demnach  ein  Vierteljahrhundert  ins  Licht  zu 
setzen,  dessen  Geschichte  sehr  wenig  bekannt,  nur  von  Zeitgenossen 
erzählt  ist.  Er  hat  dazu  Documente  fast  sämtlich  aus  erster  Hand, 
eDtliehoB  aus  den  Archiven  der  Akademie  und  des  Staats  benutzt. 
Er  spricht  sich  dahin  aus,  dass  die  Arbeiten  der  Akademiker  von 
ihren  Collegen  keineswegs  mit  gegenseitigem  Lobe  beurteilt  sind,  und 
sagt  dann  weiter:  „die  Preisaufgaben,  von  Anfang  an  als  ein  mäch- 
tiges Mittel  des  Wetteifers  betrachtet,  zeigen  zugleich  den  Geist, 
welcher  über  den  Arbeiten  der  Gesellßchaft  herrschte,  und  die  in- 
tellectuelle  Bewegung,  wofür  ihr  das  Land  noch  den  Dank  schuldet. 
Wenn  es  wahr  ist,  wie  man  behauptet  (angeführt  ist  Ad.  Quetelet). 
dass  während  des  letzten  Teils  des  18.  Jahrhunderts  die  Geschichte 
der  Wissenschaften  in  Belgien  so  zu  sagen  ganz  in  der  Geschichte 
der  Arbeiten  der  alten  Akademie  von  Brüssel  liegt,  so  wird  man  mir 
verzeihen  lang  gewesen  zu  sein:  ich  wollte  mit  deren  vagen  Darstel- 
lungen und  oberflächlichen  Begriffen,  die  nichts  lehren,  ein  Ende 
machen  und  den  Menschen  und  Sachen  die  Stolle  geben ,  auf  die  sie 
ein  Recht  haben.^'  Was  die  Form  der  Abfassung  betrifft,  lässt  die 
Schrift,  obwol  in  zusammenhangender  Erzählung,  grösstenteils  die 
Documente  reden.  H. 


Geschichte  der  Physik  von  Aristoteles  bis  auf  die  neueste  Zeit. 
Von  August  Heller,  Professor  in  Budapest.  Zwei  Bände.  II 
Band :  Von  Descartes  bis  Robert  Mayer.  Stuttgart  1884.  Ferdinand 
Enke.    753  S. 

Der  1.  Band  ist  im  273.  litt  Ber.  S.  1.  besprochen.  Die  Auf- 
gabe, die  der  Verfasser  mit  dem  2.  Bande  zu  lösen  unternimmt,  ist 
eine  wesentlich  verschiedene.    So  gering  der  Stoff  im  vorausgehenden 


44  Liti$ran$ch€r  Büfieke  IV. 

Zeitraum  war ,  so  überwältigend  gross  ist  er  hier.  Sollte  die  Dar- 
stellang  auf  den  Umfang  des  Bnches  beschränkt  sein,  so  war  ftassente 
Kürze  notwendig.  Was  den  Plan  der  Bearbeitung  betrifft,  so  er- 
scheint die  Biographie  der  Physiker  als  oberste  Leitang;  nur  ImAn- 
schluss  an  diese  wird  die  Litteratnr  aufgestellt,  bloss  zum  Teil  mit 
Angabe  der  Leistung  der  Schriften.  Am  wenigsten  bedacht  ist  die 
Entwickelang  der  Wissenschaftszweige  und  ihrer  Probleme;  die  eiD- 
zelnen  Entdeckungen  und  Erfindungen  finden  sich  zerstreat  ia  den 
Biographien.  Im  Contrast  mit  der  sonstigen  Kürze  führt  die  Bio- 
graphie von  Guericke  weit  in  die  Kriegsbegebenheiten  hinein,  die 
hier  gar  nicht  hingehören ,  doch  kommen  ähnliche  Abschweife  nicht 
weiter  vor.  Im  ganzen  vermisst  man  die  Scheidang  des  Wichtigen 
und  Unbedeutenden,  wie  sie  aus  einer  klaren  Auffassung  der  Ziele 
der  Forschung  hervorgehen  würde.  So  viel  aber  auch  der  Arbeit  au 
Vollendung  fehlt,  so  ist  ihr  doch  ein  Wert  zuzuerkennen,  nicht  sowol 
als  Stoffsammlung  für  neue  Bearbeitung  —  dazu  würden  Monogra- 
phien tauglicher  sein  —  sondern  als  Versuch  einer  universellen  Be- 
arbeitung, der  vielleicht  noch  lange  als  Aushülfe  dienen  muss,  vo 
ein  Handbuch  der  Geschichte  der  Physik  für  Unterrichtszwecke  Be- 
dtlrfniss  ist.  H. 


Johannes  K  e  p  1  er 's  Leben  und  Entdcckangen.  Von  F.  F  ischcr 
Abhandlung  zu  dem  Programm  der  Realschule  IL  Ord.  %Jk  Leipr'i 
für  das  Schuljahr  1883—1884.    Leipzig  1884.    4<>.    35  S. 

Kepler's  Lebensgeschichte,  seine  Schicksale  und  Tätigkeit  nebst 
der  Herausgabe  seiner  Schriften  erzählen  die  4  ersten  Abschnitte  in 
folgender  Begrenzung:  von  der  Gebart  bis  zur  Ueberoiedelung  nach 
Prag,  dann  das  Loben  in  Prag,  dann  in  Linz,  dann  die  letzten  Lebeos- 
jahre.  Die  Angaben  sind  reichlich  und  werden  ohne  Umschweife  in 
einfacher  Weise  so  vorgetragen,  dass  Kepler's  Ansichten  und  Denk- 
weise daraus  deutlich  erhellen.  Die  folgenden  6  Abschnitte  geben 
näher  auf  seine  Arbeiten  ein.  Sie  sind  überschrieben :  Würdigung 
Kepler's  (d.  i.  die,  welche  seine  astronomischen  Leistungen  &ndeu), 
die  Stereometrie  der  Fässer,  die  regulären  Polygone  und  Polyeder« 
die  Logarithmen,  Kepler's  optische  Untersuchungen,  die  Gesetze  der 
Planetenbewegung.  Der  letzte  erklärt  es,  wie  Kepler  successive  znr 
Annahme  elliptischer  Bahnen  übergieng,  die  er  anfangs  nur  der  Rech* 
nung  wegen  den  empirisch  gefundenen  Ovalen  substitoirte.  QuoUea 
sind  nirgends  angeführt  H. 


William  Farr.    Eine  biographische  Skizze  von  Franz  Car 
Lukas  in  Wien.    12  S. 


LiiUroriMcktr  Berieht  JV.  45 

Dem  Andenken  des  GeDannten  widmet  der  Verfasser  diesen  Ar- 
tikel (Randschaa  d.  Yerh.  XXXIII.  1883.  p.  401.)  wogen  seiner 
zahlreichen  Schriften  im  medicinisch  statistischen  Fache.  Er  ist  ge- 
boren 1807  in  Kcnley,  gestorben  den  19.  April  1883.  Von  seinen 
Schriften  werden  angeführt  2  Artikel  in  den  Schriften  der  Royal 
Society  of  London  und  18  im  Jonrnal  of  Statistical  Society  of  Lon- 
don. Koch  mehr  wird  aber  offenbar  die  Anfmerksamkeit  anf  ihn 
gelenkt  durch  seine  Tätigkeit  in  den  statistischen  Congressen,  welche 
zeigt,  in  wie  hohem  Ansehen  er  in  seinem  Fache  stand.  Von  1836 
an  war  er  Mitglied  der  Statist.  Soc.  Er  vertrat  die  englische  Re- 
gierung im  ersten  statistischen  Congress  in  Brüssel ,  dann  wieder  in 
Paris,  dann  in  Wien,  ward  in  die  Commission  zur  Aufstellung  eines 
einheitlichen  Münz-,  Mass-  und  Gewichtssystems  gewählt  und  war  bei 
verschiedenen  Veranstaltungen  Berichterstatter.  Seine  Statistik  bezog 
sich  anfangs  auf  England,  dehnte  sich  aber  später  auf  die  europäi- 
schen Hauptstädten  aus.  H. 


Het  geboorte-jaar  van  Willebrordus  Snellius.  Door 
P.  van  Geer.    Overgedrukt  uit  het  Album  der  Natuur.    4  S. 

Notice  Bur  la  vie  et  les  travaux  de  Willebrord  Snellius. 
Par  P.  van  Geer.  Extrait  des  Archives  N6erlandaises ,  t.  XVIII 
16  S. 

Erstere  Schrift  hat  Bezug  auf  den  frühern  Artikel  derselben 
Zeitschrift  „Willebrordus  Snellius"  (s.  280.  litt.  Ber.  S.  38)  und  ent- 
hält die  reichlichen  Ergebnisse  fernerer  Nachforschungen  des  Ver- 
fassers, welche  dessen  Angaben  berichtigen  und  vermehren.  Nach 
übereinstimmenden  Angaben  in  Siegenbeek:  Geschiedenis  der  Leidsche 
hoogeschool-,  van  Kempen:  Geschiedenis  der  Letteren  en  Weten- 
scbappen  in  de  Nederlanden;  van  der  Aa:  Biographisch  woordenboek 
der  Nederlanden;  Poggendorff:  Biogr.  Wörterb.;  Montncla:  Hist.  des 
Math,  war  die  Geburt  in  das  Jahr  1591  gelegt.  Weit  ausführlichere 
Berichte  führen  indes,  obwol  die  directe  Aussage  überall  fehlt,  auf 
das  Geburtsjahr  1581 ,  in  welchem  er  bereits  im  Einwohnerregister 
von  Leiden  aufgeführt  ist.  Er  war  der  älteste  der  3  Söhne  Wille- 
brord, Jakob  und  Heinrich  von  Rudolf  Sn.  und  seiner  Frau  Machteid 
Comelisdr,  und  Jacob  ist,  wie  feststeht,  1582  geboren.  1600  las  er 
schon  mit  seinem  Vater  an  der  Universität.  Letzterer  wohnte  an- 
fangs am  Kirchhof,  wo  er  viele  Studenten  als  Kostgänger  bei  sich 
hatte,  kaufte  aber  später  ein  eigenes  Haus,  welches  Willebrord  nach 
seinem  Tode  inne  hatte.  Willebrord  heiratete  den  1.  Aug.  1608 
Maria  die  Langhe ,  Tochter  des  Burgemeisters  von  Schoonhoven,  und 
hatte  3  Kinder,  Rudolf  (Mediciner),  Jannette  und  Lorenz  (Jurist),  die 


46  LüUraritdUr  Bericht  IV. 

keine  Berühmtheit  erlangt  haben.  Er  starb  den  30.  Oct  1626,  seine 
Fran  den  11.  Nov.  1627.  Alles,  was  in  dieser  and  der  frühern 
Schrift  als  Entdeckung  aufgezeichnet  ist,  hat  nun  der  Ycrüasscr  in 
den  Arch.  N6erl.  zu  einer  vollständigen  Lebensgeschichte  verarbeitet 

H. 


Bulletino  di  bibliografia  e  di  storia  delle  scienze  matematicbe  e 
fisiche.  Pubblicato  da  B.  Boncompagni.  Tomo  XYI.  Roma  1883. 
Tipograiia  delle  scienze  matematiche  e  fisiche. 

Der  Inhalt  ist  folgender.  A.  Favaro:  Einige  ungedrnckto 
Schriften  von  Galileo  Galilei  aus  den  Manuscripten  der  Biblioteca 
Nazionale  von  Florenz  ausgezogen  und  illustrirt  —  Leben  des  Leon 
Battista  Alberti  di  Girolamo  Mancini  in  Florenz ,  herausgegeben  von 
G.  C.  Sansoni  1882.  —  Nicolaus  Coppemicus  von  Leopold  Prowe. 
Erster  Band :  Das  Leben.  1  und  2.  Teil.  Berlin  1882.  Weidmann. 
—  lieber  einen  Vortrag  über  die  Magnetnadel  von  P.  D.  Benedetto 
Castelli.  —  Ungedrucker  Vortrag  über  die  Magnetnadel  von  P.  D. 
Benedetto  Castelli,  publicirt  nach  dem  Codex  der  Nationalbibliothek 
von  Florenz,  Sezione  Palatina:  „Die  Schüler  von  Galileo^S  Band  I. 
Castelli  Benedetto,  Notizen  und  Schriften.  —  Litterargeschichtliche 
Studien  über  Euklid  von  J.  L.  Heiberg.    Leipzig  1882.    B.  G.  Teobner. 

A.  Genocchi:  Bruchstück  eines  Briefes  an  D.  B.  Boncompagni 
(über  Pepin's  Herleitung  eines  Satzes  von  Format). 

S.  Realis:  lieber  eine  unbestimmte  Gleichung. 

A.  Sparagna:  Brief  von  C.  G.  Gauss  an  Heinrich  Wilhelm 
Matthias  Olbers.  Ucbersetzung  ins  Italienische.  (Der  deutsche  Text 
folgt). 

Ch.  Henry:  lieber  das  Leben  und  die  mathematischen  Schriften 
von  Jean  Antoine  Nicolas  Caritat,  Marquis  de  Condorcet  Es  folgt 
das  Verzeichniss  seiner  Arbeiten,  ein  Bericht  über  die  ungedmckten 
und  unter  diesen  vollständig  herausgegeben :  Des  m^thodes  d'approii- 
mation  pour  les  ^quations  diff^rentielles  lorsqu'on  connait  nnc  pre- 
mi^re  valeur  approch^e.  —  Probleme  der  praktischen  Geometrie  von 
Mydorge  und  Lösungen,  zum  erstenmal  publicirt. 

D.  Bierens  de  Haan:  Historisch  wissenschaftliche  niederlän- 
dische Bibliographie. 

F.  Jacobi:   lieber  das  Problem  „le   noeud  de  cravate^' 
einige  Werke  von  Urbano  d'Aviso  Romano. 


LüUrarueher  Bericht  IV.  47 

M.  Stcinschnoider:  Stadien  über  Zarkali.  2.  Artikel.  — 
Ergänzung  zn  der  Notiz  (XIV.  721.)  über  ein  ungedrncktes  astrono- 
misches Werk  von  Jbn  Haitham. 

L.  Rodet:  Lösungen  der  Probleme  von  Mydorge  entnommen 
aus  orientalischen  Werken. 

G.  Uzielli:   Uatersuchangen  über  Paolo  dal  Pozzo  Toscanelli. 

A.  Stiatesi:  Ueber  das  Leben  und  die  Arbeiten  von  Sebastiane 
Purgotti. 

B.  Boncompagni:  Ueber  2  in  der  Zeitschrift  „Giom.  degli 
emditi  e  curiosi^'  gestellte  Aufgaben. 

Publicationsverzcichnisso  im  2.  4.  6.  8.  10.  12.  Heft. 


Erd-  und  Himmelskunde. 

Lehrbuch  der  Geophysik  und  physikalischen  Geographie.  Von 
Dr.  Siegmund  Günther,  Professor  am  Gymnasium  zu  Ansbach. 
Zwei  Bände.  I.  Band.  Mit  77  in  den  Text  gedruckten  Abbildungen. 
Stuttgart  1884.    Ferdinand  Enke.    416  S. 

Das  Interesse  an  allen  Fragen  über  die  Natur  der  Wcltkörper 
bat  sich  wol  zu  allen  Zeiten  weit  über  die  Gelehrtenkreise  hinaus 
erstreckt,  tritt  aber  in  neuester  Zeit  besonders  lebhaft  hervor.  Wer 
bisher  im  einzelnen  über  solche  Fragen  nachgedacht  oder  von  frem- 
den Ansichten  Kenntniss  genommen  hat,  wird  bei  Durchlesung  des 
vorliegenden  Buchs  staunen,  bis  zu  welcher  Grösse  einerseits  die 
Menge  dieser  grösstenteils  ungelösten  Fragen,  andrerseits  die  Menge 
der  Lösnngsversuche  und  Meinungen,  mithin  auch  die  betreffende 
Litteratur  angewachsen  ist.  Dies  gesamte  Material  übersichtlich  zu- 
sammengestellt zu  haben  ist  unstreitig  eine  höchst  dankenswerte 
Leistung.  Auch  wird  der  Erfolg  des  Unternehmens  durch  die  be- 
kannte Begabung  des  Verfassers  in  populärer  Darstellung  sehr  unter- 
stützt. Doch  hat  das  Buch  nichts  gemein  mit  den  Schriften  derer, 
welche  um  der  Popularität  willen  den  Reiz  des  Wunderbaren  vor 
der  Belehrung  bevorzugen.  Die  Tendenz  ist  vielmehr  durchweg  eine 
wissenschaftliche.  Daher  sind  auch  die  zahlreichen  Kosmophantasien 
der  Neuzeit  fast  unberücksichtigt  geblieben:  die  dahin  gehörige  Er- 
klärung der  Schwerkraft,  die  der  Verfasser  freilich  viel  zu  günstig 
beurteilt,' wird  nur  kurz  erwähnt.  Trotz  einiger  Aehnlichkcit  dieser 
rückschrittlichen  Bestrebungen  mit  den  Erklärungsversuchen  der  Alten 


48  lüierarueker  Bericht  IV, 

hinsichtlich  ihrer  Aufstellungen  sind  doch  letztere  als  Anfi&ngo  eines 
stabilen  Entwickelungsganges  ganz  verschieden  zu  beurteilen.  Es  ist 
entschieden  wesentlich  für  die  Aufgabe  des  Buchs,  dass  es  allen  Nach- 
richten über  dieselben,  die  zu  uns  gelangt  sind,  mit  gleicher  Auf- 
merksamkeit nachgeht.  Ein  Zweifel  kann  eher  darüber  erhoben 
werden,  ob  die  auf  höheren  Rechnungen  beruhenden  Leistungen  der 
Neuzeit  zweckentsprechend  behandelt  sind.  Eiue  genügende  Ein- 
führung in  deren  Ycrständniss  wird  und  darf  man  nicht  von  dem 
Buche  erwarten.  Der  Verfasser  hat  versucht,  den  Lesern,  welche  die 
Originalworke  nicht  studiren,  wiewol  nicht  ohne  Anwendung  tob 
Rechnung,  die  Doctrinen  zum  Teil  zugänglich  zu  macheu.  Mag  jeder 
selbst  aussagen,  ob  er  dadurch  belehrt  worden  ist.  Die  behandelten 
Gegenstände  sind  in  folgender  Weise  geordnet:  Die  kosmische  Stel- 
lung der  Erde,  und  zwar  die  Kant-Laplace*sche  Hypothese,  die  phy- 
sische Constitution  der  Körper  des  Sonnensystems,  die  der  Erde 
ähnlichen  Planeten  und  der  Mond-,  allgemeine  mathematische  und 
physikalische  Verhältnisse  des  Erdkörpers  und  zwar  die  Erde  als 
Kugel  und  Rotationssphäroid ,  die  Attractionsphänomene  und  deren 
Anwendung  zur  Bestimmung  der  Gestalt  und  Dichte  der  Erde,  das 
Geoid,  die  Bewegung  der  Erde  im  Räume,  die  Graphik  im  Dienste 
der  physischen  Erdkunde;  Geophysik  im  engern  Sinne,  dynamische 
Geologie,  und  zwar  die  Wärmeverhältnisse  des  Erdinnern,  der  innere 
Zustand  der  Erde ,  die  vulcanisehen  Erscheinungen ,  Erdbeben.  Anf 
jeden  Abschnitt  folgt  das  Litteraturverzeichniss  mit  Verweisung  anf 
die  Stellen,  wo  Erwähnung  des  Einzelnen  geschehen  ist         H. 

Die  mathematische  Geographie  in  Verbindung  mit  der  Land- 
karten-Projektion. Für  Schulen  und  zum  Selbstunterricht  bearbeitet 
von  Gustav  Wonz.  Mit  187  in  den  Text  eingedruckten  Figuren. 
München  und  Leipzig  1883.    R.  Oldenbourg.    297  S. 

Der  Verfasser  hat  es  für  gut  befunden  in  das  Lehrbuch  der 
mathematischen  Geographie  allgemeine  Mathematik  in  beträchtlichem 
Umfange  aufzunehmen.  Diese  Auskunft  würde  man  als  natürliche 
leicht  anerkennen,  wenn  es  sich  z.  B.  darum  handelte,  zur  Vermei- 
dung von  Unterbrechungen  die  in  Anwendung  komn^ud^u  Sätze  vor- 
her in  Erinnerung  zu  bringen.  Anders  aber  lautet  die  Motivimng. 
Der  Verfasser  schliesst  den  Gedanken  geradezu  ans,  dass  die  Schaler 
der  mathematischen  Geographie  von  Mathematik  die  geringste  Kennt- 
niss  bereits  besitzen,  und  befürwortet  nur  überhaupt  gegen  die  (seiner 
Aussage  nach)  verbreitete  Scheu  vor  der  Mathematik  die  selbstver- 
ständliche Sache,  dass  man  ihnen  diese  sicherste  Stütze  zuteil  werden 
lasse.  Hiernach  muss  es  also  wirklich  Schulpläne  ohne  Mathematik« 
und  doch  mit  mathematischer  Geographie  geben !  In  der  Bearbeitung 


LitUrariacher  BeruAi  IV,  49 

des  aUgemem  matbematischon  Lehrstoffs  ist  oin  leitender  Gedanke 
schwer  zu  erkcnnexL  Za  bemerken  ist  eine  eigentümlich  familiäre, 
aicht  sonderlich  präcise,  oft  bildliche  Sprache.  Während  aber  einer- 
seits der  Vortrag  ganz  bekannter  Sätze  ans  den  Anfangsgründen  den 
Standpnokt  sebr  niedrig  zu  stellen  scheint,  ist  doch  andrerseits  dnrch 
Auswahl,  Anordnung,  Krklörung  und  Herleitung  so  wenig  für  £in- 
fähmiyg  in  ein  leidliches  Verständniss  geschehen,  dass  man  jene  Bei- 
gabe eher  für  blosse  Bepetition  halten  möchte.  Am  wenigsten  aus- 
reichend aber  ist  sie  zur  Vorbildung  für  das  Verständniss  der  darauf 
folgenden  mathematischen  Geographie  in  gegenwärtiger  Abfassung, 
welche  gleich  anfangs  ziemlich  complicirte  Raumvorstellungen  in  An- 
spruch nimmt.  Es  wäre  gewiss  möglich  gewesen,  diese  Partien  ein- 
facher und  dem  Anfänger  zugänglicher  zu  gestalten.  •  In  gegenwärtiger 
Bearbeitung  kann  das  Buch  nicht  als  Muster  der  Darstellung  gelten. 
Die  Abschnitte  des  Uauptteils  sind:  Mathematische  Geographie,  und 
zwar  Gestalt  und  Grösse  der  Erde;  Kugelbilder,  und  zwar  die  per- 
spectiven Projectionen,  Polar-  und  Aequatorial-,  Meridian-,  Honzon- 
talprojection,  die  nicht  perspectivischen  Projectionen;  Zonenbilder; 
Terndnbilder;  dann  astronomisch-mathematische  Geographie,  und 
zwar  die  Erde  im  Weltraum ,  der  Mond ,  Ebbe  und  Flut ,  das  Pla- 
netensystem, die  Sonne  und  das  Sonnensystem,  Kometen  und  Asteroiden, 
Zodiakallicht,  Arten  der  Sterne,  das  Weltall.  Dann  folgen  24  Tabellen 
and  3  Nachträge.  H. 


Neue  exacte  Methode  für  die  Bahnbestimmung  der  Planeten  und 
Kometen  nebst  einer  neuen  Störungstheorie.  Von  M.  Vodusdk, 
Professor  am  k.  k.  Gymnasium  in  Laibach.  Laibach  1883.  Jg.  v.  Klein- 
mayr  u.  Fed.  Bamberg.    162  S. 

Die  Schrift  ist  keine  blosse  Mitteilung  dessen,  was  die  Erfindung 
des  Verfassers  an  der  Methode  gebessert  hat,  sondern  ein  Vortrag 
der  gesamten  Lehre  der  Bahnbestimmnng  von  Anfang  an,  indem  der 
1.  Abschnitt  die  geometrischen  Beziehungen,  namentlich  zwischen 
geoeentriscben  und  heliocentrischen  Coordinaten,  der  zweite  die  Dy- 
namik der  Planetenbewegung  behandelt  Gerade  über  die  Punkte 
der  Neuheit  spricht  das  Buch  nichts  aus.  In  der  Vorrede  legt  der 
Verfasser  den  Fortschritt  gegen  die  bisherigen  Methoden  darin,  dass 
nicht  allein  die  Auflösung  der  sogenannten  Fundamentalgleichungen, 
sondern  auch  die  Bestimmung  der  darin  vorkommenden  Dreieck- 
verhältnissc  sowol  bei  Planeten  als  auch  bei  Kometen  eine  sehr  ein- 
fache und  elegante  Gestalt  angenommen  habe.  Das  würde  sich  im 
3.  Abschnitt,  Bahnbestimmung  aus  3  Beobachtungen,  auszuweisen 
haben.    Hier  werden  zuerst  die  Verhältnisse  der  Dreiecke  zwischen 


50  LüUrarüch£r  Bericht  IV. 

Sonno  und  3  Oertern  des  Planeten  dargestellt,  dann  unter  Annahme 
einer  Bewegung  im  Kreise,  bzhw.  in  der  Parabel  für  Kometen,  die 
angenäherten  Werte  von  Unbekannten  durch  Probiren  ermittelt,  daso 
die  Coordinatcn  in  die  taylor'scho  Reihe  entwickelt  und  die  Coeffi- 
cienten  durch  die  Bewegungsgleichungon  bestimmt  Wenn  man  nun 
einräumt,  dass  die  hier  gegebenen  Relationen  and  dadurch  gewonne- 
nen Controlen  einfacher  sind  als  die  gewöhnlichen,  so  ist  doch  die 
fernere  Behauptung  des  Verfassers  in  der  Vorrede  nicht  wol  zu  ver- 
stehen, er  hätte  eine  Controle  geschaffen,  deren  Schärfe  die  Beob- 
achtungen oft  kaum  vertragen  würden;  dafür  fielen  die  Methode  der 
kleinsten  Quadrate,  Variation  der  Gonstanten  u.  s.  w.  als  überflüssige 
Surrogate  ganz  weg,  denn  es  wäre  einleuchtend,  dass  eine  aus  wenigen 
guten  Beobachtungen  vermittelst  einer  richtigen  Methode  durchge- 
führte Bahnbestimmung  mehr  leisten  müsste,  als  alle  andern  sccud- 
dären  Hülfsmittel  zusammengenommen,  wenn  ihnen  die  richtige  Basis 
fehlte.  Nun  ist  aber  nirgends  gesagt,  was  die  für  überflüssig  er- 
klärte Ausgleichungsrechnung  ersetzen  soll.  Die  aufgestellten  Con- 
trolen zeigen  nur  an,  dass  mehr  oder  weniger  fehlerhafte  Elemente 
überhaupt  vorhanden  sind.  Von  deren  Ermittelung  spricht  das  Bnch 
gar  nicht;  ja  es  werden  nicht  einmal  die  Fehler  der  Hypothesen, 
nämlich  der  Isolirung  des  Planeten  und  der  Kreisbewegung,  und  die 
Bcobachtungsfehler  begrifflich  unterschieden.  Hierdurch  wird  es  er- 
klärlich, dass  die  Mondbahn  auf  5,  die  Störnugsrechnung  auf  21  Seiten 
behandelt  werden  konnte.  Die  Bahnbestimmung  aus  4  Beobachtungen 
ist  nur  rücksichtlich  der  Kometen  untersucht  und  im  4  Abschnitt 
hinzugefügt  werden.  H. 


Die  Fixsterne.  Von  Dr.  C.  F.  W.  Peters,  Professor  an  der 
Universität  zu  Kiel.  Mit  9  Figuren  in  Holzstich.  Leipzig  1883. 
G.  Freytag.    Prag:  F.  Tempsky.    163  S. 

Die  Sonne  und  die  Planeten.  Populär-wissenschaftlich  dargestellt 

von  E.  Becker,  Dr.  phil.  und  1.  Observator  an  der  Sternwarte  m 

Berlin.     Mit  68   Abbildungen.  Leipzig  1883.     G.  Freytag.     Pra«: 
F.  Tempsky.    296  S. 

Dio  Kometen  und  Meteore.  In  allgemein  fasslicher  Form  dar- 
gestellt von  Prof.  Dr.  W.  Valentin  er.  Vorstand  der  grossherzog- 
lichen Sternwarte  in  Karlsruhe.  Mit  62  in  den  Text  gedruckten 
Abbildungen.  Leipzig  1884.  G.  Freytag.  Prag:  F.  Tempsky. 
240  S. 

Diese  3  Schriften  bilden  bzhw.  den  16. ,  10.  und  27.  Band  der 
„Deutschen    Universal-Bibliothek   für   Gebildete'^    von  welche  der 


Liüurariseker  Bericht  IV.  51 

12.  Band,  enthaltend  die  Lehre  von  der  Wärme,  im  278.  litterarischen 
Bericht  besprochen  worden  ist  Die  darin  gegebene  allgemeine  Cha- 
rakteristik der  Behandlnngsweise  gilt  auch  von  dem  Vorliegenden,  so 
dass  nur  die  besondern  Gregenstände  näher  anzugeben  sind. 

Das  erste  Buch  behandelt  nach  einander:  die  äusseren  Erschei- 
nungen der  Fixsterne,  ihre  Entfernungen,  ihre  Eigenbewegungen,  die 
Doppelsterne,  veränderlichen  Sterne,  Sternhaufen  nnd  Nebelflecke, 
die  physische  Beschaffenheit  der  Fixsterne. 

Das  zweite:  die  scheinbaren  Bewegungen  der  Sonne  nnd  der  Pla- 
neten, die  Weltsysteme  der  Alten,  die  Eoppernikanische  Lehre,  die 
Keplerschen  Gesetze,  die  allgemeine  Attraction,  die  Entfernung  der 
Erde  von  der  Sonne,  das  Sonnen-  und  Planetensystem,  die  Sonne, 
die  einzelnen  Planeten  nebst  ihren  Trabanten,  mit  Beigabe  einer  Ta- 
belle der  Elemente  der  grossen  und  kleinen  Planeten. 

Das  dritte:  die  Natur  der  Bahnen  der  Kometen,  viele  einzelne 
Kometen,  die  Natur  der  Sternschnuppen,  Berichte  über  Beobachtungen 
derselben.  H. 


Die  Zunahme  der  Wärme  mit  der  Tiefe  ist  eine  Wirkung  der 
SchwerkrafL  Von  Gott  hold  Landenberge  r.  Stuttgart  1883. 
J.  G.  Cotta.    28  S. 

Der  Satz,  welcher  als  Titel  der  Schrift  vorangestellt  wird,  ist 
nur  einer  der  G^enstände,  von  denen  sie  handelt,  doch  darf  man 
wol  daraus  schliessen,  dass  der  Verfasser  auf  ihn  hauptsächlich  Wert 
legt  Gerade  dieser  Satz  aber  ist  nicht  neu,  sondern  bereits  1860  in 
Poggendorff's  Annalen,  Bd.  CX.  p.  598  hergeleitet,  und  die  Zunahme 
unter  2  verschiedenen  extremen  Hypothesen,  zwischen  denen  das 
actuelle  Verhalten  liegen  muss,  berechnet  worden.  Nicht  erst  bei  der 
Kronig'schen  Hypothese  über  die  Constitution  der  Gase,  auf  welche 
sich  das  Gegenwärtige  stützt,  sondern  unter  der  blossen  Voraussetzung, 
dass  die  Wärme  in  der  lebendigen  Kraft  von  Körperatomen  besteht, 
ist  ersichtlich,  dass  ein  bewegtes  Atom,  sofern  nur  seine  Höhe  variirt, 
nach  unten  zu  eine  grössere  lebendige  Kraft,  mithin  auch  Wärme, 
mitbringt  und  an  ein  andres  Atom  übertragen  kann  als  nach  oben 
zu,  dass  daher  in  Bezug  auf  Wärmeleitung  Gleichgewicht  der  Tempe- 
ratur stattfindet,  wo  dieselbe  nach  unten  zunimmt.  Dies  ist  der  in 
Bede  stehende  Satz.  Er  schliesst  nicht  aus,  einerseits  dass  durch 
Strahlung  im  Innern  beständige  Ausgleichung  der  Temperaturdiffe- 
renz, durch  Strahlung  nach  aussen  beständige  Abkühlung  der  Erde 
stattfindet,  andrerseits  dass  die  Temperaturdifferenz,  soweit  sie  über- 
schüssig vorhanden  ist,  mit  Abkühlung  durch  Leitung  verbunden  auf- 


52  UtierwrUcUr  BerifJU  IV. 

tritt.  Nach  Begründung  Jenes  Satzes  nntersacht  die  Schrift  noch  eine 
Reihe  weiterer  Fragen.  Die  Geschwindigkeit  der  Luftniolecülc  findet 
sie  »  970  Meter,  die  Höhe  der  Atmosphäre  »  48000  Meter,  die 
Geschwindigkeit  verschiedener  Gase  hei  gleicher  Temperatur  soll  sich 
wie  die  Quadratwurzeln  ans  dem  spccifischen  Gewicht  verhalten. 
Ferner  entwickelt  der  Verfasser  seine  Ansicht  über  die  Temperatur 
der  Atmosphäre  au  ihrer  Grenze,  nach  ihr  besteht  die  oberste  Schiebt 
aus  Walserstoif.  Weil  die  Berge  auf  ihre  Basis  stärker  drücken  als 
die  Luft  von  gleicher  Höhe,  soll  die  Temperaturdifferenz  in  ihnen 
grösser,  mithin  ihre  Gipfel  kälter  als  die  umgebende  Luft  sein,  wo- 
durch sich  die  Nebclbildung  erklärt  Gründe  üudet  der  Ycrfauer 
für  alle  seine  Aufstelluugen,  vermöge  deren  Originalität  haben  letztere 
etwas  anregendes.  H. 


Wie  erklären  sich  Erdmagnetismus  und  Erdbeben?  Eine  natnr- 
wissenschaftliche  Studie  von  Hermann  Griagmath.  Dresden 
1883.    E.  Pierson.    15  S. 

Der  Verfasser  nimmt  an ,  dass  die  Erde  von  gewisser  Tiefe  an 
im  liquid (*n,  von  grösserer  Tiefe  an  im  gasförmigen  Zustande  sei,  die 
innere  Kugel  aus  Gas  der  schwersten  Stoffe  bestehe.  Zwischen  der 
Gaskugel  und  der  festen  Hohlkugel  soll  nun  elektrische  Spannung 
stattfinden.  Dass  die  liquide  Zwischenschicht  isolirend  wiriit,  ist 
nicht  ausgesprochen ,  scheint  aber  hiernach  Voraussetzung  zu  s^n. 
Ueber  die  Erzeugung  des  Erdmagnetismus  spricht  nur  der  knrze 
Satz:  „Aus  den  Acusserungen  der  durch  die  Axenrotation  des  Gas- 
contrums  hervorgerufenen  elektrischen  Tätigkeit  und  Umlaufes  der 
elektrisirten  innerirdischen  flüssigen  Masse  erkläre  ich  die  Erschei- 
nungen des  Erdmagnetismus."  Das  Weitere  bezieht  sich  nur  auf  Un- 
regelmässigkeiten. Hiermit  hat  der  Verfasser  einen  neuen  Motor 
hingestellt;  die  Erklärung  mag  sich  daraus  der  Leser,  wenn  es  ihm 
gelingt,  selbst  bilden.  Dio  magnetischen  Pole  sollen  durch  die  ahso- 
lute  Rotation  der  Erde  im  ganzen  bedingt  sein.  Dann  würden  sie 
offenbar  unabhängig  von  der  Entstehung  des  Magnetismus  zu  dem- 
selben hinzukommen.  Von  solchen  Fehlern  des  Ausdrucks  (wie  schon 
oben  „Rotation  des  Centrums  ^^)  wollen  wir  gern  absehen,  da  die  Dar- 
stellung sachlich  soviel  vermissen  lässt.  Näher  geht  die  Schrift  auf 
Erklärung  der  Erdbeben  ein.  Sie  entstehen  durch  Entladungen  d« 
genannten  elektrischen  Spannung;  doch  können  manche  auch  andre 
Ursachen  haben.  Auf  Verschiedenheit  der  Ursachen  deutet  der  Um- 
stand, dass  öfters  Erdbeben  in  der  Nähe  von  Vulcanen  stattgefunden 
haben,  dio  dabei  rnhig  blieben.    Es  werden  viele  Fälle  angeführt,  wo 


LiUerariMeher  Bericht  IV.  53 

Erdbeben  mit  elektrischen  Erscheinungen  verbunden  auftraten.  Der 
Nachtrag,  betreffend  die  Sonnenflecken,  steht  in  keiner  ersichtlichen 
Beziehung  zur  neuen  Hypothese.  H. 

Astronomischer  Kalender  fttr  1884.  Nach  dem  Muster  des 
Karl  Yon  Littrow'schen  Kalenders  herausgegeben  von  der  k.  k. 
Sternwarte.  Neue  Folge.  Dritter  Jahrgang.  Wien  1884.  Carl  6e- 
rold's  Sohn. 

Die  beiden  ersten  Jahrgänge  sind  im  271.  und  276.  litt.  Bericht, 
bzhw.  S.  33  und  45  besprochen.  Die  gegenwärtigen  Beilagen  ent- 
halten: die  grossen  Kometen  der  Jahre  1843,  1880  und  1882-,  neue 
Planeten  und  Kometen;  Uebersicht  des  Planetensystems;  alphabeti- 
sches Yerzeichniss  der  Asteroiden ;  Verzeichniss  der'  Asteroiden  nach 
der  Zeit  ihrer  Entdeckung;  Bahnelemente  der  grossen  Planeten,  der 
Satelliten,  der  Asteroiden;  Gebtlhrcnscala.  H. 


Meteorologische  Zeitschrift,  herausgegeben  von  der  Deutschen 
Meteorologischen  Gesellschaft,  fedigirt  von  Dr.  W.  Koppen,  .Ham- 
burg, Seewftrte.    Erster  Jahrgang  1884.    Berlin,  A.  Asher  u.  Co. 

Von  dieser  neuen  Zeitschrift  erscheint  monatlich  ein  Heft,  ent- 
haltend Abhandhingen,  Corrcspondenzen  und  Notizen,  Yereinsnach- 
richten  und  Bibliographie.  Das  1.  Heft  gibt  einige  Nachrichten  über 
die  Gründung  der  Deutschen  Meteorologischen  Gesellschaft,  welche 
am  17.  November  1883  nach  Vorgang  und  Vorbild  der  Oesterreichi- 
schen  Gesellschaft  fhr  Meteorologie  auf  Anregung  dos  Dircctors  der 
Seewarte,  Geh.  Admir.-Rats  Prof.  Dr.  Neumayer  stattgefunden  hat, 
neben  ihr  besteht,  und  im  Anfang  dieses  Jahres  bereits  296  Mit- 
glieder zählte,  lieber  die  Statuten  und  die  Ordnung  der  Vereins- 
tätigkeit finden  sich  darin  keine  Mitteilungen.  Zweigvcreinc  haben 
sich  Dach  einander  gebildet  in  Magdeburg,  Berlin,  München  und 
Rudolstadt.  II. 


Mathematische 
und  physikalische  Bibliographie. 

IV. 


Geschichte  der  Mathematik  und  Physik. 

Pro  WC,  L.,  Nicolaus  Coperniovs.  2.  Bd.  Urkunden.  Berlin, 
Weidmann.    15  Mk. 

Weyr,  E.,  üb.  d.  Geometrie  der  alten  Aegypter.  Wien,  Ge- 
rold's  S.    50  Pf. 

Methode  und  Prineipien« 

Alth,  G.  R.  y.,  üb.  d.  absolute  Masssystem  u.  die  Theorie  der 
Dimensionen.    Wien,  Holder.    1  Mk. 

Dellingshausen,  Baron  N.  v.,  die  Schwere  od.  dasWirksam- 
werden  der  potentiellen  Energie.  Stuttgart,  Schweizerbart.  1  Mk. 
60  Pf. 

Flammerion,  C,  das  bewohnte  Welten- All.  Astronom,  u. 
Philosoph.  Betrachtgn.  2.  Afl.  bearb.  v.  A.  Drechsler.  Leipzig, 
Weber.    4  Mk. ;  geb.  5  Mk. 

Killing,  W.,  Erweiterg.  d.  Raumbegriffes.  Mathemat  Abhand- 
lung.   Braunsberg,  Huye.    1  Mk.  60  Pf. 

Schneider,  G.,  die  piaton.  Metaphysik,  auf  Grund  d.  im  Phi- 
lebus gogeb.  Prineipien  in  ihren  wesentl.  Zügen  dargest.  Leipzig, 
Teubner.    4  Mk. 

See  Chi,  A.,  die  Einheit  d.  Naturkräfte.  Ein  Beitr.  zur  Nator- 
philosophie.  Ucbers.  v.  R  L.  Schulze.  2.  Afl.  3.  u.  4.  Lfg.  Leip- 
zig, Frohberg,    ä  2  Mk. 

Yeyder-Malberg,  A.  Frhr.  v.,  üb.  d.  Einheit  aller  Kraft 
Eine  Abhandig.    Wien,  Seidel  <&  S.    5  Mk. 

Sammlungen« 

Grosse,  F.,  Antworten  n.  Ldsgn.  zu  d.  Rochenbuch  f.  Semi- 
nare, Mittelsohulen  n.  d.  mittl.  Klassen  höh.  Lehranstalten.  Mün- 
ster, Nasse.    1  Mk. 


ARCHIV 


der 


MATHEMATIK  und  PHYSIK 

mit  besonderer  Rücksicht 

auf  die  Bedürfnisse  der  Lehrer  an  höheren 

Unterrichtsanstalten. 


L 


(jle«^ründet  von 

J.    A.    G  r  u  tt  c  r  t, 

fortgesetzt  von 

R.    Hoppe, 

Dr.  pb.  Prof.  an  d.  Univ.  Berlin. 


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•    1   ' 
I 


Zweite  Reihe. 

Zweiter    Teil. 


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Leipzig. 

C.  A.  Koch 's  Verlagsbuchhandlung, 

J.  Senrrbnsch. 

1885. 


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Inhalts- Verzeichniss 

des  zweiten  Teih. 


^derAbhaadliuig.  Heft.       Seit« 

Methode  und  Prinefpien. 

III.  Die  Umkcbrung  des  Grandgedankens  Ton  JEüaden- 
bnrg's  combinatorischer  Analysis.  (Fortsetzung). 
Von  Friedrich  Roth I.         82 


Aritlimetik,  Algebra  und  reine  Analysig 
ohne  Integralreehnnngr« 

rV.     Ein  Satz  über  Determinanten.     Von  B.  Hoppe.  I.       106 

XI.     Heber   einen     Satz     der   Zahlentheorie.     Von     F. 

Gomes  Teixeira III.       265 

XV.     Ueber  die  vollkommenen  Zahlen,  insbesondere  über 

die    bis   jetzt   zweifelhaften    Fälle    2**^,(2*^— \), 

246.(2*^  —  1)  und  2*«.(2»»— 1).      Von  P.  Seel- 

hoff m,       327 

XV.     Znr  Analyse  sehr  grosser  Zahlen.     Von  P.  Seel- 

hoff IIL       329 

XV.     Bemerkungen    über    Gleichnngsauflösung.        Von 

Th.  Sanio ,in.       332 

XIV.     Nene  Relationen    innerhalb   eines   Orthogonalc^ef- 

ficientensystenu.    Von  R.  Hoppe .        IV.       413 

XXI.     Zur  Convergenz  der  Reihen.    Von  A.  Bö r seh  .        IV.       445 


IV 

JII4«r  Abhandlung.  HeA.       S«it«. 

Integralreehnungr« 

IL     Zur  Integration  der  Gleichung  ^^  -|-  w-^  =  0. 

Von  Otto  Ohnesorge       I.        53 

VII.     Transformation      der     elliptischen     Integrale    und 

Functionen  in  Verbindung    mit    der    Theorie    der 

Kettenlinie.  Von  Emil  Oekinghaus  ....  IL  138 
XX.    Bein  analytische  Conse^uenzen   der  Currentheorie. 

Von  B.  Hoppe IV.      417 


Geometrie  der  Ebene. 

IV.    Zur  harmonischen  Teilung.     Von  B.  Sporer.    .  L      111 

V.    Ueber  die    Cnrven    vierter  Ordnung   mit  drei    In- 

flexionsknoten.     Von  P.  H.  Schonte II.      113 

XV.     Mehrfach    coUineare  Dreiecke   bei    Kegelschnitten. 

Von  J.  Vdlyi IIL      330 

XV.     Ueber   drei   geometrische  KreisÖrter.      Von    Karl 

Zelbr IIL      324 

XVIL     Das  Sehnen-Tangenten  Viereck.  Von  Schumacher       IV.      383 
XXI.     Eine  Gruppe  planimetrischer  Maxima  und  Minima. 

Von  J,  Lange IV.      430 

XXL     Ein  Dreieckssatz.     Von  Emil  Hain IV.      435 

XXL     Ein  Satz    über  Kegelschnitte ,    die    einem   Dreieck 

einbeschrieben  sind.     Von  A.  Sporer IV.      437 

XXL     Wann  stehen  die  von  einem  Funkte  an  eine  Kegel- 
schnittslinie   gezogenen    2  Tangenten  auf  einander 
senkrecht?  Von  Franz  Schiffner  .    ...    .   .         IV.      44t 

XXL    Archimedische  Kreisquadratur.     Von     B.  Hoppe       IV.      447 


Geometrie  des  Baumes. 

IV.     Bemerkung   zu  einem  Satze  von  Craig.     Von    B. 

Hoppe L      103 

VI.     Erweiterung  des  Aoust'schcn  Problems  der  Curven- 

thcürie.     Von  B.  Hoppe IL      H9 


V 

Ji4er  AbhABdluff.  Heft.       Seite 

VIII.  Die  Darstellang  der  Flächen  vierter  Ordnung 
mit  Doppelkegelschnitt  durch  byperelliptische 
Fanedonen.      Von    Paul  Richard  Domsch    .  II.       193 

X.     Fortsetzung IIL       225 

IX.  Beweis,  dass  auf  einer  algebraischen  Fläche  rierter 
Ordnung  mit  einer  Doppelgeraden  ausser  dieser 
nicht  mehr  als    16  Geraden  liegen  können.      Von 

Alfred  Leman II.       223 

XII.     Zum  Molins'schcn  Problem.     Von  R.  Hoppe      .        III.       269 

XIV.     Die  Cono-Cunci.     Von  CarlPabst III.       281 

XVI.     Fortscteung IV.       337 

XXI.     KOrper     zwischen     2    Rotationsellipsoiden.       Von 

Albert  Bieler IV.       439 

Trigonometrie. 

XVIII.     Trigonometrische  Sätze,     Von  A.  H.  Anglin  IV.       407 

Mecliaiilk. 

XIII.     Bewegung      eines     senkrecht    empor     geworfenen 

Körpers.     Von  R.  Hoppe III.       274 

Optik,  Akastik  and  Elasticitttt. 

I.     Der  Winkclspiegel.     Von  R.  Mack I.  1 

IX.     Zur    Theorie     des    Winkelspiegels.       Von     Karl 

Mack II.       220 

IV.     Ein    Beitrag    zur    Schattenlehre.      Von    F.  Pro- 

chäzka I.       101 

XV.     Ueber  die   Grenze  der   Stabilität  eines  longitudinal 

coroprimirten  geraden  elastischen  Stabes.     Von  R. 

Hoppe    ^ I.       lOg 

litterarisehe  Beriehte. 

V.     Becker  (Math,    nls  Lehrgegst.).     Sylvester  (Am.  J.  VI.)  Mit- 
tag-Leffler  (A.  M.  IV.). 

VI.     Krebs  (Phys.).      Zenger    (Sp.    Elektr.).      Wal  lentin  (Gener. 
b.  Elektr.).    Popper  (elektr.  Kraft  Uebertr.).    Fourior  (Wärme). 


i 


VI 

Uppenborn  (elektr.  Masss.).  Lisser  u.  B.  (Ztchr.  ph.  Unt). 
Lie  (Arch.  II— VII.).  Teixeira  (Jörn.  III.  IV.)  Am8terd*iii 
(N.  Arch.  XL).  M a n s i o n  (Math.  IV.).  Hamburg,  math.  Gei. 
(Mitt.  III.  IV.)'  Association  Fran9aise  (Congr.  Lille,  U 
Rochelle)  Brüssel  Akad.  (Bnll.  I— V.)  Amsterdam  (VersL  en 
Meded.  XVIIL).  Smithson.  Inst.  (Rep.  1881^2).  Washington 
Phil.  Soc.  (BuU.  IV.  V.).  R.  Acc.  Line.  (Trans.  VIII.). 
BOklcn  (matb.  natw.  Mitt.  L). 

VII.  Frege  (Grdl.  d.  Ar.).  Vogt  (Grenzbegr.).  T  eixeira  (Jörn- V.). 
Mittag-LefHcr  (A.  M.  V.)  Amsterdam  (Versl.  en  Meded.  XIX« 
XX.). 

Vlir.  Walbcrer  (Ar.  u.  Alg.).  Köstler  (Ar.  —  Vorsch.  Geoic). 
Hoch  (eb.  Goom.).  Glinser  (Geom.).  Fischer  (Geom.). 
Gnsserow  (Stcr.).  Spieke  r  (Trig.).  Sickenberger  (Ar.). 
Gerlach  (Plan.).  Wrobel  (Prop.  Progr.):  Clanssen  (Ar.  n. 
Alg.).  Hofmeister  (Phys.).  Blum  (Phys.)  jQdt  (Aufg). 
Prampero  (log.  qnadr.).  August  (Sst  Log.).  Clanssen 
(5st.  Log.).  Hartner  (Geod.).  Bohnenbergcr  (Vermess.). 
Messe rly  (Rev.  Su.    op.). 


Borichtigungon 
im   LXX.    Teile   d.  1.   Reihe: 

Seite  433  in  Gl.  (4)  links  statt  0^m(r)  setze  C\,(n) 

im  II.  Teile  d.  2.  Reihe: 

Seite  2  Zeile  25  v.  ob.  statt    und 

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5  V.  ob. 

15     91        1, 

16  V.  ob. 
11  V.  unt. 

1  V.  ob. 
7 


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10  V.  nnt.  „ 
9  V.  ob. 
10, 
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55 
51 


dt, 

reines 

sich 

aliquoter 

(£-1?) 

setzt 
also 

51 

höhereu  Grades 

in  T.  LXX. 
w  ausser  in  ^'C 

n) 

genannt 
r 

(«-l)r 

und 

'6'       (71-1) 

(«-l)r 
h 
^2r— m 


r — ir 

a  und  b 

2r— 5 

brauchbaren 

wieder 

ab 

Beachtung. 


Mach:  Der   WinkelspUgtL  1* 


•  i  f 


aüDLlLIBR)' 


I. 


Der  Winkelspiegel. 

Genaueres  über  Lage  and  Anzahl  der  Bilder  eines  in 
seine  Oeffnung  eingeffihrten  Gegenstandes. 

Von 

L  Hack. 

(Mit  einer  Fiffur.) 


BezflgUch  der  Erscbeinangen  am  Winkelspiegcl  wird  als  Fnn- 
dameDtalanfgabe  anszusprecben  sein  die  folgende. 

Gegeben  sei  die  Oeffnung  des  Winkelspiegels  in  beliebig  be- 
stimmter Grösse,  und  ebenso  beliebig  bestimmt  die  Lage  eines  in 
jeoe  eingefahrten  leuchtenden  Punktes.  Für  die  sich  ergebenden 
Bilder  desselben,  welche  in  zwei  charakteristisch  verschiedene  Reihen 
zerfallen,  soll  ermittelt  werden:  1)  die  Lage  jedes  einzelnen  mit  ge- 
setzmässiger  Bestimmtheit,  2)  je  die  Anzahl  der  in  einer  Reihe  be- 
findlichen, 3)  die  Anzahl  aller  zusammen,  4)  die  eigentümlichen 
Verhältnisse  ihrer  gsgenscitigen  Lage;  jo  die  entsprechende  Angabe 
mathematisch  formulirt  in  der  Art,  dass  ihre  Abhängigkeit  von  den 
gemachten  Voraussetzungen  völlig  klar  liege. 

Wie  diese  Fnndamentalaufgabe  auch  nur  mit  Bezug  auf  Nr.  3) 
streng  gelöst  wird,  so  zeigt  sich,  dass  in  einer  Menge  von  Fällen, 
bei  bestimmt  gegebener  Oeffnuogsgrösse,  die  Gesammtzahl  der  Bilder 
eines  die  beiden  Einzeispicgel  bestrahlenden  Punktes  bald  grösser, 
bald  kleiner  wird ,  jcnachdem  dieser  Punkt  seine  Stellung  zwischen 
beiden  verändert.  Hieraus  folgt,  dass  für  einen  ausgedehnten 
Gegenstand,  der  in  die  Oeffnung  eingeführt  ist,  einige  der  zu  er- 

iitb.  d.  lUtb.  V.  PhjB.    2.  Reihe,  Teil  I.  1 


Q  Maek:   Der   WinJuUpiegtL 

wartenden  Erscheinungen  durchans  nicht  so  einfach  sich  gestalten, 
als  man  gewöhnlich  sich  vorstellen  möchte;  es  ergibt  sich  also  die 
Forderung,  dass  auch  über  diese  Erscheinungen  genügende  Aufkliroag 
gegeben  werde. 

Sieht  man  nun  auf  das  in  unsern  Lehrbüchern  (Gebotene,  lo  wird 
Niemand  behaupten  wollen,  dass  es  auch  nur  den  Forderungen  der 
Fundamentalaufgabe  (zu  schweigen  von  den  weiter  anzuknüpfenden) 
genüge.  Vielmehr  wird  man  zugeben  müssen ,  dass  jene  sowol  in 
Betreff  der  Genauigkeit  als  der  Yoliständigkcit  gar  Manches  za 
wünschen  übrig  lassen,  wie  denn  selbst  von  eigentlichen  und  starken 
Irrtümern  oder  Verstössen  auf  diesem  Gebiete  Verschiedenes  zu  be- 
richten wäre. 

Sucht  man  nach  Originalarbeiten  über  den  fraglichen  Gegenstand, 
so  findet  sich  eine  solche  von  Bertin  in  den  annales  de  chimie  et  de 
physique,  s^rie  III,  tome  29,  page  257  ...  262;  Paris  1850.  -  Der 
Verfasser  berührt  zunächst  die  Notwendigkeit  des  Aufräumens  mit 
landläufigen  falschen  Angaben ,  will  übrigens  wesentlich  nur  anf  die 
Frage  nach  der  Gesammtzahl  der  Bilder  eines  einzelnen 
Lichtpunktes  sich  einlassen.  Dass  diese  immer  eine  begrenzte 
sei,  will  er  mit  wenigen  Worten  klar  machen.  Er  hebt  auch  ganz 
richtig  den  Umstand  hervor,  an  welchen  zu  diesem  Behuf  anzuknüpfen 
ist;  indes  einen  wirklichen  Beweis  gibt  er  keineswegs.  —  Behufs 
der  Erreichung  seines  Hauptzwecks  unterscheidet  er  zwei  Hauptftlle. 
jeden  mit  zwei  Unterfällen.  Hiernach  betrachtet  er  vier  besondere 
Figuren,  und  das  von  ihnen  Abzulesende  sofort  in  allgemeine  Angaben 
umzusetzen,  und  zuletzt  einen  Generalsatz  über  die  Gesammtheit  der 
Bilder  auszusprechen.  Dieser  ist  zwar  streng  richtig,  aber  nicht 
übersichtlich ;  und  sein  zweiter  Teil  ist  nicht  bestimmt  genug  nnd 
nicht  in  solcher  Weise  gefasst,  dass  sofort  für  jede  gegebene  Oeff- 
nungsgrösse  und  jede  gegebene  Lage  des  eingeführten  Lichtpunkts  die 
Zahl  der  sich  ergebenden  Bilder  unzweideutig  zu  gewinnen  wäre. 

Aus  neuester  Zeit  ist  in  Poggendorff's  Annalcn,  Band  VII,  Stück  2, 
pag.  103  ...  eine  russisch  geschriebene  Arbeit  angezeigt:  M.  Pawloff, 
Untersuchung  der  Frage  über  die  Bilder  in  zwei  zu  einander  ge- 
neigten ebenen  Spiegeln.  Der  Berichterstatter  sagt  kurz :  .,indem  der 
Verfasser  zuerst  nachweist,  dass  die  Anzahl  der  Bilder  immer  eine 
begrenzte  ist,  zeigt  er  weiter,  wie  für  jede  Lage  der  Spiegel  nnd  für 
jede  Lage  des  leuchtenden  Punkts  diese  Zahl  zu  bestimmen  ist" 

Dass  bei  Pawloff  wie  bei  Bertin  so  und  so  viele  Forderungen 
der  Fundamentalaufgabe  unerfüllt  geblieben  seien ,  ist  aua  den  ge- 
machten Mitteilungen  zur  Genüge  zu  ersehen;  ich  möchte  aber  daa 
besonders  hervorheben,  dass   weder  bei  Bertin,   noch  bei  Pawloff 


Maek:  Der    Winkelspiegel,  3 

(nach  der  Poggend.  Angabe)  irgend  Erhebliches  über  die  Eigentüm- 
lichkeiten der  gegenseitigen  Lage  der  Bilder  zu  finden  sei.  Gerade 
aber  diese  Eigentümlichkeiten,  namentlich  bei  denjenigen  zwei  Bildern 
hervortretend,  welche  als  letzte,  jedes  von  einem  der  Einzelspiegel 
geliefert  werden,  sind  im  höchsten  Grade  überraschend.  Schon  ihre 
Ermittlung  und  Hervorhebung  dürfte  für  die  Berechtigung  der  hier  zu 
veröffentlichenden  Arbeit  sprechen,  wenn  man  auch  bezüglich  der  arith- 
metischen Frage  mit  dem  Richtigen,  was  schon  Bertin  gegeben  hat, 
sich  beruhigen  wollte.  Uebrigens  ist  gegenwärtige  Arbeit  in  dem 
Sinne  gemeint,  dass  sowol  die  oben  ausgesprochene  Fundamental- 
anfgabe  vollständig  gelöst,  als  auch  der  weiteren  an  sie  geknüpften 
Forderung  genügt  werde. 

Bei  der  hier  durchgeführten  Art  der  Untersuchung  und  Darstel- 
lung wird  der  aufmerksame  Leser  nach  gezeichneten  Figuren  so  wenig 
Verlangen  tragen,  dass  er  selbst  diejenige  überflüssig  finden  könnte, 
welche  zur  Yeranschaulichuug  gewisser  Definitionen  und  Bezeichnungen 
beigelegt  ist;  welche  übrigens  immerhin  dienen  mag,  um  bei  den  ver- 
schiedensten Gestaltungen  oder  Einteilungen  des  Operationsfeldes  die 
Ohentirung  in  diesem  zu  erleichtern. 


§  1. 

Winkelspiegel  heisst  eine  Zusammenstellung  zweier  undurch- 
sichtigen Planspiegel,  in  der  Art  angeordnet,  dass  die  allein  spie- 
gelnden Yorderflächen  derselben  zwischen  sich  einen  hohlen  Flächen- 
winkel « lS(fi)  haben. 

Dieser  Flächenwinkel  und  seine  Scheitelkante  ÜV  werden  be- 
ziehungsweise als  Oeffnung  und  Axe  des  Winkelspiegels  bezeichnet. 

Die  allein  spiegelnden  Yorderflächen  sind  zu  denken  als  zwei 
aas  ÜV  entspringende  Ebenenstücke,  die  sich  beliebig  weit  er- 
strecken: ÜVA  den  ersten  Planspiegel  abgebend,  UVB  den 
zweiten. 

Zu  den  Ebenenstücken  UVA,  UVB  sind  ihre  über  r/r  hinauf- 
gehenden Erweiterungen  ÜV%  ÜVVi  einzuführen,  jede  derselben 
rein  geometrisch  gedacht. 

Bei  jeder  der  Yollebenen  AÜVVi,  BUW  heisst  vordere 
Seite  diejenige,  an  welcher  die  zugehörige  Halbebene  ihre  spiegelnde 
Kraft  entwidcelt 


Maek:    Der   WihkeUpiegel. 


§2. 


Sofern  hinter  einem  der  Einzelspiegel  ein  Bild  erBcheint,  her- 
vorgemfen  dorch  einen  von  ihm  befindlichen  Gegenstand,  möge  sol- 
ches kurz  ein  diesem  Spiegel  zugehöriges  Bild  genannt 
werden. 

Wenn  nun  ein  leuchtender  Pnnkt  Pfrei  innerhalb  derOeffnnng 
des  Winkelspiegels  sich  befindet,  so  sind  zunächst  die  zwei  Bilder 
in's  Auge  zu  fassen ,  deren  jedes  durch  einen  der  Spiegel  f&r  sieb, 
ohne  Mitwirkung  des  andern,  entsteht.  Diese  zwei  niemals  fehlenden 
sind  notwendig  von  einander  getrennt.  Jedes  liegt  symmetrisch  za 
der  Ebene  desjenigen  Spiegels,  dem  es  zugehört.  Diese  zwei  Bilder 
heissen  die  Bilder  erster  Ordnung. 

Jedes  von  ihnen,  wenn  es  vor  dem  Spiegel  liegt,  dem 
CS  nicht  zugehört,  verhält  sich  diesem  g^enüber  wie  ein  leach- 
tender  Gegenstand,  von  welchem  gedachter  Spiegel  ein  neues  (hinter 
ihm  liegendes)  Bild  liefert  —  ein  Bild  zweiter  Ordnung. 

Von  jedem  der  beiden  Bilder  zweiter  Ordnung  wird  deijeaige 
Spiegel,  dem  es  nicht  zugehört,  möglicher  Weise  (wenn  es  eben  tot 
ihm  liegt)  ein  neues  Bild  geben  —  ein  Bild  dritter  Ordnung; 
u.  s.  w. 

Um  jedes  dieser  Bilder  sowol  bezüglich  seiner  Zugehörigkeit  zn 
einem  bestimmten  der  zwei  Einzelspiegel,  als  nach  seiner  Ordnong 
kenntlich  zu  machen,  gebrauchen  wir  die  Bezeichnung  Pm'  für  das  zn 
dem  ersten  Spiegel  gehörige  Bild  mter  Ordnung,  -dagegen  Pm"  Ar 
sein  zum  zweiten  gehöriges  derselben  Ordnung.*  Demgemäss  werden 
die  zum  ersten  Spiegel  gehörigen  Bilder  des  Punkts  P  hier  der  Beihe 
nach  benannt  werden  P^',  P,',  P,'  ...;  die  zum  zweiten  gehörigen 
der  Reihe  nach  P/',  P,",  P,"  . . . 

Da  immer  das  von  einem  Gegenstand  erhaltene  Spiegelbild  sym- 
metrisch mit  jenem  liegt  bezüglich  der  Ebene  des  zugehörigen  Spie- 
gels, so  ist  hieraus  zunächst  folgendes  allgemein  Bekannte  zu  ent- 
nehmen. 

Alle  durch  das  Zusammenwirken  beider  Einzelspiegel  sich  er- 
gebenden Bilder  des  Punktes  P  befinden  sich  in  derjenigen  Ebene, 
welche  durch  P  normal  zu  der  Axe  UV  zu  ftlhrcn  ist,  die  einen 
Durchschnittspunkt  O  mit  jener  gibt.  Auch  haben  alle  solche  Bilder 
denselben  Abstand  von  O  wie  P  selbst;  sie  liegen  mit  P  auf  der 
Peripherie  eines  um  O  als  Mittelpunkt  zu  beschreibenden  Kreises. 


Mach',  Dtr   WinkeUpiegel,  5 

Mit  diesem  Ortskreise  der  Bilder  von  F  hftt  jedes  der  aus  Axe 
£/T  entspringenden  Ebenenstacke  ÜVÄ,  ÜV^,  UVB,  UV9  seinen 
bostiinmten  Durchschnittsponkt;  diese  Punkte  selbst  sollen  der  Reihe 
nach  mit  Ay  V,  B^  V  bezeichnet  sein,  and  bei  jedem  der  Paare  (A, 
VI),  {By  9)  ist  zu  beachten,  dass  es  zwei  Gegenpankte  des  Kreises 
entbftlt.    (Siehe  Figur.) 

Auf  dem  zwischen  beiden  Spiegelflächen  selbst  begriffenen  Bogen- 
stück  APB  heben  wir  ausser  P  noch  hervor  den  Halbirungspnnkt  M 
desselben;  so  auch  den  Punkt  Pq,  welcher  zu  P  symmetrisch  mit 
Bezug  auf  die  Grerade  OM  liegt.  Zu  diesen  Punkten  erscheinen  be- 
ziehungsweise $,  W,  $0  ^8  ihre  Gegonpunkte  auf  dem  Bogenstück 
9lJKf5,  welches  zwischen  den  zwei  Ebenenstflcken  r7F9l,  ÜV^  be- 
griffen ist.  Hierbei  die  Möglichkeit  Torbehalten ,  dass  P  und  Pq  in 
M  zusammenüallen,  und  demgemäss  $,  $o  ^^  3)^ 

Es  liegt  nahe  auch  die  Radien  einzufuhren,  die  aus  O  nach  den 
erwähnten  Peripheriepunkten  gehen.  Ton  diesen  sind  uns  zunächst 
OA,  OB  aus  dem  Grunde  besonders  wichtig,  weil  sie  die  Spuren  der 
zwei  Einzelspiegel  in  der  Ebene  der  Bilder  des  Punktes  P  sind, 
während  zugleich  der  (hohle)  Winkel  AOB  die  Grösse  2a  der  Oeff- 
niQig  des  Winkelspiegels  darstellt 

Fflr  jedes  der  Bilder  des  Punktes  P  ist  seine  Lage  vollständig 
bestimmt,  einesteils  durch  die  Länge  des  von  O  nach  solchem  Bilde 
gehenden  Fahrstrahles,  welche  Länge  gleich  OP  selbst  ist,  —  andern- 
teils  durch  die  Grösse  des  Winkels,  um  welchen  gedachter  Fahrstrahl 
von  der  Spur  (OA  oder  OB)  des  bezüglichen  Spiegels,  auf  der  Rack- 
seite  des  letzteren,  abweicht 

Jeder  derartige  Winkel  soll  hier  durch  eine  absolute  Zahl  dar- 
gestellt  werden,  welche  auf  den  Grad  als  Einheit  sich  bezieht.  — 
Ist  nun  ein  Winkel  AOP^  »  ^  angegeben,  so  heisst  dies,  dass  man 
aas  der  Lage  OA  in  die  Lage  OP^l  komme  durch  eine  Drehung  um 
ip^  in  der  Richtung  über  09  nach  OtS ;  dagegen  eine  Angabe  Wkl. 
BOP^'  =  09  besagt,  dass  man  ans  der  Lage  OB  in  die  Lage  OP/ 
komme  durch  eine  Drehung  um  o^  in  der  Richtung  über  O^  nach 
0». 

Anmerkung.  Yorstehender  §  hält  streng  fest  die  ganz  be- 
stimmte Voraussetzung,  dass  der  Punkt  P  frei  innerhalb  der  Oeff- 
nang  des  Winkelspiegels  liege,  d.  h.  in  keiner  der  zwei  spiegelnden 
Flädien  WA,  UVB  selbst  sich  befinde.  -—  Es  mag  gut  sein  sich 
klar  zu  machen ,  wie  ganz  anders  gegenüber  von  solchem  Punkt  P 
die  Verhältnisse  fflr  einen  andern  leuchtenden  Punkt  sind,  wenn 
dieser  in  der  Fläche  eines  der  zwei  Einzelspiegel  selbst  —  immerhin 
seitwärts  von  der  Axe  UV  —  gegeben  ist 


6  Maclci  Dtr   Winkehpiegei 

ADgenommen,  der  Punkt  A  des  enten  Einzelspiegeh  sei  ein 
leuchtender. 

Sofern  nun  ^  Tor  dem  zweiten  Spiegel  liegt,  so  entsteht  gewiu 
hinter  diesem  ein  Bild  Aj^\  von  A  in  derselben  Weise  ahstammeDd 
wie  /\"  von  P;  und  von  A^"  sind  weitere  Bilder  Af\  A^'\  A^  ... 
in  derselben  Weise  herzuleiten  wie  von  P^'  hergeleitet  werden  P|\ 
Pg",  P4'  ...  jedes  folgende  aus  dem  nächst  vorhergehenden. 

Dass  das  Licht  des  Punktes  A  von  dem  ersten  Spiegel  selbst, 
dem  er  angehören  soll,  auch  reflectirt  werde,  wird  man  nicht  sagen 
wollen,  man  wird  also  von  einem  Bilde  A^'  nicht  zu  sprechen  haben. 
Jedenfalls  aber  mflsste  dieses  mit  A  selbst  identisch  gesetzt  werden, 
und  von  A^^  wären  durchaus  keine  weiteren  Bilder  des  Punktes  A 
herzuleiten,  als  die  vorhin  angeführten  A-^"^  A^\  A^"^  A^  ... 


§3. 

„Um  nun  Genaueres  ttber  Lage  und  Anzahl  sämmtlicher  ra  P 
„sich  ergebenden  Bilder  entwickeln  zu  können,  stellen  wir  znnidist 
„folgende  Betrachtung  an^S 

Sei  irgend  ein  zum  ersten  Spiegel  gehöriges  Bild  Pj  gedacht, 
zu  welchem  der  zweite  noch  das  Bild  Pm+i"  gebe.  Der  Fahrstrahl 
OPm\  hinter  dem  ersten  Spiegel  liegend,  weiche  von  dessen  Spa^ 
linie  OA  um  einen  Winkel  y\f  ab.  Indes  muss  OPm\  damit  das  Bild 
Pmii"  entstehen  könne,  vor  dem  zweiten  Spiegel  li^en,  von  der 
Spur  OB  desselben  abweichend  um  den  Betrag  BOA-^-AOPj^  d.h. 
um  2a-|-t|;.  Dieselbe  Abweichung  von  OB^  aber  hinter  dem  zweiten 
Spiegel,  muss  der  Fahrstrahl  OPm-fi"  haben,  d.  h.  es  muss  Winkel 
BOPm-^i"  ^  2a-|-t^  sein.  —  So  findet  sich  der  also  lautende 

Hauptsatz. 

„Wenn  das  zu  dem  einen  Einzelspiegel  gehörige  Bild  mterOrd- 
„nung  des  Punktes  P  seinen  Fahrstrahl  hinter  die  Spur  gedachten 
„Spiegels  zurückweichen  lässt  um  einen  Winkel  ^,  so  muss  das  etwa 
„entstehende,  zu  dem  andern  Spiegel  gehörige  Bild  (m4-l)ter  Ord- 
„nung  seinen  Fahrstrahl  hinter  dessen  Spur  zurückweichen  lassen 
„um  2a-|-t|;;  hiebei  unter  2o  die  Oeffnungsgrösse  des  Winkelspiegels 
„gedacht'^ 

Sei  nun  gpj  die  Abweichung  des  Fahrstrahls  OP  von  der  Spnr 
OA  nächst  gegen  OB  hin ,   und  tp^  die  Abweichung  desselben  Fahr- 


Mach:  Der   WinkelspügeL  7 

Strahls  von  OB  gegen  OÄ  hin,  so  ist  offenbar  zunächst  für  dio  zwei 
Bilder  P/,  P^"  anzugeben 


Winkel  AOP^'  -  <Pi,    BOP^;'  =  <p,. 

An  diese  zwei  einfachsten  Angaben  sind,    mit  Anwendung  des 
vorigen  Hauptsatzes,  sofort  zu  knüpfen  die  zwei  Reihen  von  Angaben 

L 
Winkel  ^OP/  «•  <Pi 

AOP^'  =  2ct+g>2 
ilOP,'  — 4a+<jPi 

AOF^^i*  -  2(m— 2)2«  +  <Pi 
AOF^'      «  (2»»  —  1)  2«  -f-  gD, 

n. 

Winkel  BOP^' =  tp^ 

ÄOP2"=2a+<p, 
j»OPs"  =  4a  +  <P2 

BOPim-^^'  =  (2to— 2)2o+<p, 
iJOiW"     —  (2fii  — l)2a  +  gPt 


Bei  jeder  der  vorstehenden  Reihen  ist  zu  sehen ,  dass  sie  ver- 
möge ihres  arithmetisch-geometrischen  Bildungsgesetzes  bis  ins  Un- 
endliche fortzufahren  ist;  und  in  diesem  Fortgang  werden  die  immer 
wachsenden  Winkel  AOP*  BOP"  über  jede  zu  gebende  Grösse  hin- 
ausgeführt 

Hiedurch  ist  mit  Bezug  auf  jeden  der  zwei  Einzelspiegel  die 
Frage  angezeigt,  ob  die  Anzahl  der  ihm  zugehörigen  Bilder  von  P 
(wie  es  ja  scheinen  möchte)  eine  unendlich  grosse  sein  werde  oder 
nicht 

§  4. 

„Angesichts  voriger  Frage  sind  sofort  folgende  Beschränkungen 
,,zn  betonen ,  welche  für  die  Lagen  der  Bilder  des  Punktes  P  sich 
„ergeben'-. 

1)  Jedes  der  zum  ersten  Spiegel  gehörigen  Bilder  P',  da  es  nur 
hinter  diesem  Spiegel  sein  kann,  ist  angewiesen  auf  den  Halbkreis- 
bogen ilB9,  dessen  Orenzpunkte  A^  Vi  sind. 


g  Mach:  Der   WinkeUpiegtL 

Ebenso  jedes  der  Bilder  P"  ist  angewiesen  anf  den  Bogen  JSflB, 
dessen  Orenzpunkte  B,  O  sind. 

2)  Im  Grenzpunkt  81  des  Bogens  A^SiSi  kann  niemals  ein  Bild 
P'  sich  befinden. 

Denn  znuächst  ist  klar,  dass  Pi  nicht  in  8  sein  kOnnc.  — 
Sollte  aber  ein  Bild  Pn  (mit  n  ]>  1)  zu  Stande  kommen,  so  mflsste 
es  hervorgerufen  sein  durch  ein  Bild  Pn-^i"-  Die  Punkte  P»',  i«-i" 
mttssten  zu  der  Ebene  des  ersten  Spiegels,  in  welcher  Pj  mit  8 
vereinigt  sein  sollte,  symmetrisch  liegen;  es  müsste  also  Pn-i"  eben- 
falls in  ^Jl  sein.  Aber  in  der  Lage  fi  befindlich  kann  ein  lenehten- 
der  Punkt  P»-i"  keine  reflexionsfähigen  Strahlen  an  die  spiogebidc 
Fläche  UVA  gelangen  lassen.  Also  ein  Bild  Pn  an  der  Stelle  S  ist 
unmöglich. 

Ebenso  zeigt  sich  die  Unmöglichkeit  eines  Bildes  P"  an  der 
Stelle  *ö. 

3)  Auch  im  Orenzpunkt  A  des  Halbkreisbogens  A9A  kann  kein 
Bild  P'  erscheinen. 

Denn  zunächst  überzeugt  man  sich,  dass  P^  nicht  in  J  sein 
könne.  —  Sollte  aber  ein  Bild  Pn'  (mit  n  >  1)  in  ^  zu  Stande 
kommen,  so  wUrde  dies  die  Existenz  eines  Bildes  Pm-i"  vorans- 
setzen,  welches  den  zwei  sich  widersprechenden  Forderungen  ge- 
nügen müsste:  einesteils  hinter  der  Ebene  des  zweiten  Spiegels  za 
liegen,  andernteils  mit  A  zusammenzufallen. 

Ebenso  zeigt  sich  die  Unmöglichkeit  eines  Bildes  P"  an  der 
SteUe  B. 

4)  Sieht  man  auf  das  Bogenstück  Q3ßSB,  welches  den  zwei  Halb- 
kreisen A^^y  Bü^  gemeinschaftlich  ist,  so  zeigt  jeder  zwischen 
i\  und  ^  liegende  Punkt  desselben  die  Eigenschaft,  frei  sowohl 
hinter  der  einen  als  hinter  der  andern  der  zwei  Spiegelebenen  zu 
liegen,  so  dass  kein  Licht  von  ihm  an  die  eine  oder  die  andere  der 
zwei  spiegelnden  Flächen  ÜVA^  UVB  gelangen  könne.  Hienach  ist 
zu  sagen: 

Wenn  ein  zum  ersten  oder  zweiten  Spiegel  gehöriges  Bild  des 
Punktes  P  irgendwo  auf  dem  Bogen  tt3R9  zwischen  seinen  End- 
punkten sich  befindet,  so  gibt  es  kein  Bild  höherer  Ordnung,  welches 
als  ein  von  dem  erstgodachten  Bilde  abgeleitetes  zu  finden  wäre. 

5)  Was  insbesondere  die  Grenzpunkte  V,  6  des  Bogens  tiSKS 
betrifft,  so  ist  leicht  zu  sehen:  es  mag  zwar  in  8  ein  zum  ersten 
Spiegel  gehöriges  Bild  Pn    entstehen,   aber  von  diesem  aus,  mit  8 


Ilack:  Der    WinkeUpiegtl.  9 

in  der  £ben6  des  zweiten  Spiegels,  und  seitwärts  von  der  Abteilung 
UVB  liegt,  kann  kein  Bild  in-i-i"  sich  ergeben.  Desgleichen  mag 
immerhin  an  der  Stelle  81  ein  zum  zweiten  Spiegel  gehöriges  Bild 
Pm   sich  befinden,  aber  es  ist  kein  Pm-m  von  ihm  herzuleiten. 

Jedes  Bild  P'  oder  P'\  von  welchem  kein  Bild  höherer  Ord- 
nang  abzuleiten  ist,  heisst  nach  Bertin  ein  improductives;  jedes 
andere  mag  ein  pro  du  et  iv  es  heisscn. 

Aus  vorstehenden  besonderen  Angaben  ergibt  sich  nun  die  um- 
fassende: 

I)  „Jedes  Bild  P'  liegt  auf  dem  Halbkroisbogen  yl^Vl  frei 
,yzwischeu  seinen  Grenzpunkten  A^  8t;  und  zwar  jedes  productive 
,^schen  A  und  Q,  jedes  improductive  von  SB  bis  vor  Vl'S 

„Jedes  Bild  P"  liegt  auf  dem  Halbkreisbogen  i?8[9  frei  zwischen 
„seinen  Orenzpunkten  B,  Q;  und  zwar  jedes  productive  zwischen 
„  B  und  V,  jedes  improductive  von  S  bis  vor  9". 

Sieht  man  jetzt  auf  den  Flächenwinkel  zwischen  den  Ebenen- 
Btflcken  ÜVSH^  ÜTO,  so  ist  auch  zu  sagen: 

II)  „Ein  Bild  P'  oder  P"  des  Punktes  P  ist  immer  dann  und 
.,nar  dann  improduetiv,  wenn  es  entweder  frei  zwischen  den  Ebeueu- 
„stQcken  DTÄ,  r/K®,  oder  in  einem  von  diesen  sich  befindet". 

Der  hiemit  scharf  bestimmte  Ort  der  improductiven  Bilder  heisso 
der  todte  Raum. 

Durch  die  Angaben  I)  und  II)  ist  man  zunächst  auf  die  Mög- 
lichkeit solcher  Lagen  von  P  hingewiesen,  bei  welchen  eine  be- 
grenzte Zahl  für  die  zu  dem  einen  Spiegel  gehörigen  Bilder  sich  er- 
gibt, und  ebenso  eine  begrenzte  für  die  zu  dem  andern  gehörigen. 

Wo  nun  diese  Möglichkeit  verwirklicht  ist,  mag  ja  das  letzte 
Bild  von  P,  welches  durch  letzte  Reflexion  an  einem  der  Einzel- 
spiegel als  ihm  zugehöriges  sich  ergibt,  kurz  als  das  zu  diesem 
Spiegel  gehörige  Grenzbild  von  P  bezeichnet  werden. 


§5. 

„Verbinden  wir  jetzt  die  Lehren  der  §§  3.  und  4.,  so  gelingt  es 
..vollständige  Klarheit  über  die  am  Schluss  des  §  3.  aufgeworfene 
^Frage  zu  geben ,  ob  nämlich  fflr  die  Bilder  P'  und  P'*  immer  je 
„eine  begrenzte  Anzahl  sich  ergebe  oder  nicht^^ 


10  Maek:  Dn   WinkeUpUgeL 

Wir  wollen  zn  dem  Behuf  vorerst  an  die  Bilder  P'  uns  halten, 
and  wir  wollen  für  den  (ersten)  Spiegel,  zu  welchem  sie  gehören, 
sogleich  die  nähere  Bestimmang  treffen,   er  solle  der  dem  Punkt  P 

etwa  nähere  sein ;  womit  ^i  ^  a  statairt  ist.  —  Sofort  sind  folgende 
Bemerkungen  zu  machen. 

Ist  X  irgend  eine  ganze  Zahl,  welche  den  nach  §  3.  I.  entwickelt 
zu  denkenden  Wert  des  Winkels  AOPa-^C^l^  macht,  so  ist  jeder 
der  Punkte  P^',  P^*  ...  P»  ein  Bild  von  P\  und  diese  Bilder  liegen 
der  Reihe  nach  auf  dem  Bogen  ilQfl  zwischen  A  und  ^. 

Ist  X  sogar  die  grösste  ganze  Zahl,  welche  den  Wort  -4O/'«'<180 
macht,  so  ist  notwendig  AOPx^i  entweder  «  180  oder  >  18iJ. 
Alsdann  gilt  von  den  Pnnkten  P,'  ...  Px  noch  dasselbe  wie  vorhin, 
es  ist  aber  sogleich  das  Weitere  hervorzuheben  was  folgt 

Die  Angabe  AOPx^i  »  180,  wenn  sie  zutrifft,  verweist  den  Punkt 
Ps4-i'  an  die  Stelle  0,  wo  nach  §  4.  I)  niemals  ein  Bild  P'  erschei- 
nen kann. 

Die  Angabe  AOPx\i^  >>  180,  wenn  sie  zutrifft,  und  wenn  zaglöch 
ilOPcfi'»360  sich  zeigt,  verweist  den  Punkt  P^^r  auf  eine  zwischen 
8t  und  A  liegende  Stelle  des  Halbkreisbogens  CIBA,  d.  h.  an  dne 
Stelle  vor  dem  ersten  Spiegel,  wo  ebenfalls  kein  Bild  P'  erscheinen 
kann. 

Um  also  sicher  zu  sein,  dass  die  Zahl  der  Bilder  P'  eine  be- 
grenzte sei,  genügt  es  offenbar ,  die  folgende  Behauptung  streng  zn 
beweisen. 

^  Wenn  x  die  gtösste  natürliche  Zahl  ist,  welche  den  Winkel 
AOPx  <i  180  macht,  und  wenn  von  den  zwei  hiemit  allein  vertrtg- 
lichen  Angaben  AOPx\\  -=-  180  und  -40Px+i'>  180,  die  letztere  zu- 
trifft, so  muss  damit  zugleich  bestehen  die  Angabe  AOPx\\  K,^ 

Diess  lässt  sich  in  der  Tat  beweisen;  man  hat  aber  zu  demBe- 
hufe  getrennt  zu  behandeln  die  zwei  Fälle:  x  ungerade  uud  x  gerade. 

Erster  Fall:  x  ungerade. 

Da  die  zwei  Angaben  bestehen  sollen 

a)    u4OPx'<l80,        b)    ^OP,+i'>180, 
und  da  nach  §  3.  die  Entwicklungen  stattfinden 

a')     AOPx  =  («  — l)2a+gPi,        \i')AOPx\\  «  x.2a  +  <F, 
so  haben  wir  hier 

a")     («  — l)2a  +  g),<180      und       b")    «'.2cr-f  tp,>  180. 


"  _  ^•'  jir — '- 


Mach:  Der   WinkeUpiegeL  11 

Fflr  X  «•  1   (weil  ja  immer  2«  <  180  und   <p,  <  2a)    hat  mau 

olme  Weiteres 

ac.2o  +  9,<360 

d.  h. 

AOFr^x'  <  360. 

Ist  Yielm^ehr  die  uugerade  Zahl  a;  >>  1,  bo  dient  ans  die  aus  a") 

herzuleitende 

x.2a  —  (pf  <i  180, 

welche  durch  Verdopplung  beider  Seiten  übergeht  in 

a**)    («.20  +  (pt)  +  (ar .  2«  —  Sgoj)  <  360. 

Da  jetzt  X  mindestens  =  3  sein  soll,  so  ist  hier  (x .  2a— 3<P2)  sicher 
positiv,' und  da  a**)  unzweifelhaft 

ar.2o  +  9,  <360 
gibt,  80  ist  wieder 

AOPxW  <  360. 

Zweiter  Fall:  x  gerade. 
Da  zu  den  zwei  Angaben 

a)    ilOPc'<180,        ö)    AOPz^i'>im 
jetzt  die  Entwickelungen  gehören 

a')    ilOP,'— («— l)2a  +  qp„  b')     ^0P«+i'  =  aJ.2a  +  qp„ 

80  haben  wir  hier 

a")    (X  — l)2a-}-g>,<180        und        b")    a:.2a  +  <;Pi  >  180. 

Die  a")  ist  sofort  überzuführen  in 

a?.2a  — g)i<180, 
wonach  auch 

a*^)     («:.2o+g),)  +  («.2«— 39i)  <  360. 

Da  nun  x  mindestens  =  2  sein  soll,  und  da  <p,  ^  a   substituirt 

ist,  so  hat  man  hier   (aj.2a  — 3g>,)  sicher  positiv,   und  die  a*^)  gibt 

unzweifelhaft 

x.2a  +  (Pi<360 

d.  h.  eben 

^OPx+i'<360. 

Nachdem  hiemit  die  Behauptung  (f  für  alle  Fälle,  wo  qp,  ^  a, 

streng  bewiesen  ist,  hat  man  ihr  gemäss  und  kraft  des  Nächstvorher- 
gehenden vorerst  den  Satz: 


12  Mach:  Der   Winkelsptegti 

Q)    Wenn  der  Punkt  P  gegen  die  zwei  Einzelspiegel  so  liegt, 

dass  q>i  »  a,  so  ist  die  Zahl  der  Bilder  P'  eine  begrenzte  x ,  nod 

zwar  ist  x  die  grösste  natttrlicho  Zahl,  welche  die  nach  §  3.  zu  denkende 
Entwickelang  des  Winkelwertes  AOPm'<C  1^  macht. 

Ist  nun  Ps'  im  Sinne  dieses  Satzes  das  letzte  der  Bilder  P\  so 
sind  für  den  Winkel  AOPx  (der  immer  <  180)  als  drei  mögliche 
Fälle  zu  beachten 


AOPx'  «  —180— 2c. 
> 

Fttr  jeden  dieser  drei  Fälle  ist  jcut  za  zeigen,  dass  auch  ein 
Grenzbild  P"  sich  einstelle. 

1)  Ist  Winkel  ^0P/<  180— 2«,  liegt  also  das  Grenzbild  Px 
frei  ausserhalb  des  todten  Raumes,  so  ist  nach  §  4.  gemäss  ein  Bild 
Px-^i"  aus  ihm  herzuleiten;  aber  ein  Bild  Ps-{2"  ist  so  gewiss  d  - 
möglich,  als  ein  Bild  Px^i'  nicht  vorhanden  ist. 

Und  hiebe!  hat  man  nach  §  3. 

Wkl.  BOPs+i'  «  A0Px'+2ti,    d.  h.    <  180. 

2)  Ist  Winkel  AOPx'=  180—2«,  liegt  also  das  GrenzbUd  P 
in  9,  so  ist  (nach  §  4.)  zwar  kein  Ps^i"  herzuleiten  aus  Ps\  vol 
aber  ein  Bild  Px'  aas  Px-i';  and  man  erhält  hiebei 

yfkl  BOP»"  =  AOPx' +2a,    d.h.    <  180. 

3)  Ist  Winkel  ^OPx'>  180—2«,  so  sei  die  —  positive  —  Dif- 
ferenz ISO —  AOP'  bezeichnet  mit  ^. 

Da  nun  gemäss  der  gemachten  Annahme  Pg'  frei  innerhalb  des 
todten  Raumes  liegt,  so  ist  nach  §  4.  ein  Bild  Px+i'  unmöglich. 
Gewiss  aber  ist  die  Existenz  des  Px-i\  von  welchem  Px  abstammt 
und  fraglich  ist  nur,  ob  auch  noch  Pankt  Px''  ein  Bild  sei.  Die 
Entscheidung  dieser  Frage  hängt  davon  ab,  ob  «  gerade  sei  oder 
ungerade. 

Ist  X  gerade,  so  bestehen  nach  §  3.  für  die  Paukte  P«',  Ps"  die 
Angaben 

Wkl.  AOPx' ^  («  — l)2a+9, 

ÄOPx"=(a;  — l)2a4-<jPi. 

Diese  lassen  (wegen  ^,  ^  y,)  erkennen,  dass  BOPx  <^  AOPt. 

somit  <1 18<);  and  man  sieht,  dass  Pi'  so  gut  wie  P^  ein  Bild  von 
P  sei. 


Mack:  Der  WinhtUpitgeh  13 

Ist  aber  x  nngerade,  so  hat  man  vielmehr  die  Angaben 

Wkl.  AOPn'  —  («  — l)2«+<pi 

BOP^'  =  (ic—  1)  2«4-<)Pj 
somit 

BOP^'  =  AOP»'  4-  9t  —  9i. 

> 

Jenachdem  nun  9«  —  9,  (immer  <1  2a)  sich  »  t^  zeigt,  wird  der 

< 

> 

Winkel  BOPJ'  (immer  <  360)  sich  «  180  finden.     Und  hieraus  ist 

< 

bei  unserer  Annahme  der  ungeraden  x  in  aller  Strenge  zu  schliessen, 

dass  zu  Grenzbild  Pz    auch  als  richtiges  Grenzbild  entweder  P2-1" 
oder  Ps'  hinter  dem  zweiten  Spiegel  sich  ergebe. 

Zu  jeder  der  eben  erörterten  Annahmen  1),  2),  3),  welche  die 
allein  möglichen  sind,  zeigt  sich  offenbar  eine  bestimmte  natürliche 
Zahl  y  als  Ordnungszahl  eines  Grenzbildes  Py '. 

Diese  Zahl  y,  entweder  =«  a;+l»  oder  «  x,  oder  -«  ar  — 1  sich 
findend,  ist  auch  gewiss  die  grösste  natürliche  Zahl,  welche  den 
Dach  §  3.  entwickelt  zu  denkenden  Winkelwert  BOPj'  <i  180  macht, 
Denn  wenn  auch  noch  ^OPy^i"<<  180  sein  könnte,  so  könnte  ja 
Py"  nicht  das  Grenzbild  sein,  als  welches  es  doch  erwiesen  wurde. 

Jetzt  die  Ergebnisse  vorstehender  Untersuchung  zusammenfassend 
erkennt  man  für  jede  frei  innerhalb  des  Winkelspiegels  angenom- 

< 

mene  Lage  des  P  (^j  =  «p«)  die  Giltigkeit  der  Sätze: 

> 

I)  ,.Sowohl  für  die  Bilder  P '  ergibt  sich  immer  eine  begrenzte 
v^nzahl  «,  als  für  die  Bilder  P"  eine  begrenzte  Anzahl  v\  immer 
..nämlich  u  als  die  grösste  natürliche  Zahl,  welche  den  nach  §3.  ent- 
,,wickelt  zu  denkenden  Winkelwert  ^OPn'<<180  macht,  =  und  v 
i^als  die  grösste  natürliche,  welche  dasselbe  mit  Bezug  auf  BOPv* 
.,leiBtet" 

II)  „Die  Ordnungszahlen  «  und  t;  der  Grenzbilder  P«',  P"  sind 
„immer  entweder  einander  gleich  oder  nur  um  Eins  yerschieden." 

Was  übrigens  die  Gleichheit  Ton  u  und  v  betrifft,  so  ist  schon 
aas  Obigem  und  späterhin  noch  genauer  zu  sehen,  dass  sie  nicht 
bloss  in  den  Fällen  mit  ^^  «»  «pj  eintreten  wird,  in  welchen  sie 
freilich  (wegen  vorhandener  Symmetrieverhältnisse)  als  selbstverständ- 
sich  sich  darbietet. 


14  Mach:  Der  WinkeUpiegel. 

Anmerkung  1.  Sofern  in  obiger  Untersuchung  bei  yorkommen- 
dem  Px^i"  die  Zahl  x  gleich  Eins  warde,  wäre  natürlich  unter  P^" 
der  leuchtende  Punkt  P  selbst  zu  denken« 

Anmerkung  2.  „Der  obige  Hauptsatz  I)  bietet  bereits  eine  immer 
„zum  Ziel  führende  Methode  dar  zur  Auflösung  der  Aufgabe:  aas 
,^ogebenen  Werten  Ton  2a,  «pi,  q>^  die  entsprechenden  Zahlen  «  and 
„ti  zu  ermitteln*\ 

Will  man  z.  B.  «  ermitteln,  so  ist  davon  auszugehen,  dass« 
(bei  Pu)  entweder  eine  ungerade  Zahl  u^  oder  eine  gerade  t4  seui 
muss.  Mit  Bezug  auf  die  erste  Möglichkeit  ist  gem&ss  dem  §  3.  za 
suchen 

tti  als  grösste  ungerade  Zahl,  welche  der  Ungleichung  genügt 

1)  (i*i-1)2«  +  9j<180; 
mit  Bezug  auf  die  andere  Möglichkeit  ist  zu  suchen 

14  als  grösste  gerade  Zahl,  welche  der  Ungleichung  genügt 

2)  (14  — 1)2«+ 9,  <  180. 

Aus  1)  und  2)  ergibt  sich 

130+2«— 9i 
»i=» grösste  ungerade  Zahl  unter  dem  Quotientenwerte  -^ • 

tis»  grösste  gerade  Zahl  unter  dem  Quotientenwerte  —   ^ " 

Von  den  zwei  hiemit  bestimmten  Zahlen  U|,  u,,  ist  die  grössere  fOr 
u  zu  wählen. 

Man  bemerke  die  für  den  Fall  q>i  •»  ^^  +  «  sich  ergebende  Ver- 
einfachung. 

§6. 

Jetzt  vollkommen  davon  überzeugt,  dass  für  die  optische  An- 
wendung jede  der  Reihen  I),  II)  des  §3.  eine  begrenzte  sei,  wollen 
wir  auf  die  genauere  Untersuchung  derselben  eingehen« 

Im  Sinne  der  Allgemeinheit  der  zu  erwartenden  Ergebnisse  lasten 
wir  dahin  gestellt,  ob  q>i »  q>^  sei;  wir  halten  nur  immer  fest  die 


Voraussetzungen:    2«  zwischen  0   und  180,   97,  und   tp^  je>0, 

9*1  "T~  9*2  *^  *'*• 


Macki  Der  Winhehpiegei  15 

Zunächst  beschäftigen  wir   uns   mit  der   ersten  jener   Reihen, 
welche  die  Angaben  darbietet 


Winkel  AOP^' 

«=  gpi 

AOP^ 

«  2a  +  92 

AOP^ 

—  4o-f-9i 

AOP^-\'  «  {2m  — 2)2a+(pi 
^0P2m'      =  (2w— 1)2«+  <p. 


Da  in  vorstehenden  Auswertungen  der  Reihe  nach  die  Winkel- 
werte  2a,  4o,  6a  ...  eine  so  ausgezeichnete  Rolle  spielen,  so  em- 
pfiehlt es  sich,  dieselben  zn  entsprechender  Darstellung  in  der  Orts- 
obene  der  Bilder  P'  zu  bringen.  —  Zu  dem  Behuf  werden  auf  dem 
Halbkreisbogeu  ^4^8,  auf  welchen  die  sämmtliclien  Bilder  beschränkt 
sind,  der  Reihe  nach  die  Punkte  Xj,  Z2,  Zr3  ...  Zn  so  genommen, 
dass  die  einzelnen  Bogen  AL^^  A^^i  ^2^3  •••  Lu^-iLn  je  gleich  2a 
seien,  (d.  h.  die  Gradzahl  2a  haben),  während  der  letzte  LnH  ent- 
weder auch  gleich  2a  ist,  oder  einen  unter  2a  liegenden  Wert  co  hat. 
Jetzt  die  Radien  OL^^  01^  ...  OLn  eingeführt,  so  sieht  man,  dass 
die  Winkel  2a,  4a,  6a  ...  der  Reihe  nach  durch  die  Winkelfächer 
'tOL|,  AOL^^  AOL.^  ...  dargestellt  sind.  Zugleich  hat  man  vor  sich 
der  Reihe  nach  die  Winkelfllcher  AOL^,  L^OL^  ...  Ln^iOLn,  LnOSBi. 
Diese  zeigen  sich  so  wichtig,  dass  wir  sie  bezeichnen  wollen  als 
die  zu  dem  ersten  Spiegel  gehörigen  Hilfsfächer:  er- 
stes, zweites  ...  (n-|-l)tes.  Das  letztgenannte  heisse  auch  das  zu 
diesem  Spiegel  gehörige  Schlussfach. 

Sofern  nun  jeder  der  Winkel  (p^  und  92  einen  Wert  zwischen 
0  und  2o  hat,  so  sind  an  ihr  abwechselndes  Vorkommen  in  den 
obigen  Auswertungen  der  Winkel  AOP'  folgende  Bemerkungen  zu 
knapfen. 

Zunächst  bei  dem  ersten  Hilfsfach  AOL^  ist  ersichtlich,  dass  das 
Bild  Pj'  frei  in  demselben  liegt,  so  zwar,  dass  sein  Fahrstrahl  OP/ 
von  dem  ersten  Grenzradius  des  Faches  um  tp^  abweicht. 

Sieht  man  auf  irgend  ein  Hilfsfach  ungerader  Ordnung  (2m— 1), 
welches  zwischen  den  Radien  OL2m--2  und  OLim-\  liegt,  so  ergibt 
Bich,  dass  P%m^\  frei  innerhalb  solches  Hilfsfaches  liegt,  so  zwar, 
dass  OPim-i  von  dem  ersten  Grenzradius  desselben  OZ>2m-2  um  (p| 
abweicht. 


16  Mach:  Der   WinkeUpiegeL 

Fasst  man  desgleichen  in's  Auge  ein  Hilfsfach  gerader  Ordnung 
{2m)  mit  Grenzradien  OL^m-i^  OL^mt  so  ist  zu  sehen:  i^'  liegt 
in  demselben,  so  zwar,  dass  01^'  von  OL^m—i  um  fp^  abweicht 

Sieht  man  endlich  auf  dass  Schiassfach  ZtmOS,  dessen  Ordnungs- 
zahl (n-f-l)  ist,  so  hat  man  zunächst  fflr  den  Fall  LnOÜ  =»2«  zn 
bemerken,  dass  jenes  genau  sich  verhalte  entweder  wie  ein  voran- 
gehendes Hilfsfach  ungerader  Ordnung  oder  wie  ein  vorangehendes 
gerader,  jenachdem  n-f-l  ungerade  ist  oder  gerade.  Also  moss  in 
solchem  Fache  ein  Bild  Pn+i  liegen  und  so  liegen,  dass  der  Fahr- 
strahl OPnhi'  ^^^  Fahrstrahl  OLn  entweder  um  q>^  oder  um  qp) 
voraus  ist,  jenachdem  n-\-l  ungerade  ist  oder  gerade. 

Wenn  dagegen  der  Winkel  LnO^  eine  Grösse  o»  unter  2a  bat, 
dann  hat  man  mit  den  Gleichungen 

A0Ln^n,2a 

AOV.  ==  n.2a-+-a) 
zusammen 

entweder  AOPh^i  «  n.2a-f-9i    bei  ungerader  n-j-1 
oder  AOPn^i'  «  n.2ct-\-q>^    bei  gerader  n-f-1, 

und  es  zeigt  sich  sofort:  das  Grenzbild  Pn-^i'  kommt  in  dem  Schloss- 
fache  dann  und  nur  dann  zu  Stande,  wenn  entweder  n-f-l  ungerade 
und  (Pi  <C  »,  odter  wenn,  n-f-1  gerade  und  q?»  <C  «»  '»"d  der  Fahr- 
strahl OPn\-\^  yfQicht  von  dem  ersten  Grenzradius  OLn  dieses  Faches 
entweder  um  <pi  oder  um  tpi  ab,  jenachdem  7i-|-l  ungerade  oder 
gerade. 

Hienach  ergeben  sich  folgende  Sätze  über  Lage  und  Ordnungs- 
zahl jedes  einzelnen  Bildes  P\  insbesondere  des  Grenzbildes. 

I)  „Jedes  der  zum  ersten  Spiegel  gehörigen  Bilder  P'  liegt  frei 
„in  demjenigen  Hilfsfach  dieses  Spiegels,  welches  dieselbe  Ordnungs- 
„zahl  hat  wie  das  Bild;  und  der  Fahrstrahl  OP'  des  Bildes  weicht 
„von  dem  ersten  Grenzradius  des  Faches  entweder  um  q>i  oder  nm 
„g}2  &b,  jenachdem  die  Ordnungszahl  ungerade  ist  oder  gerade.  Das 
„Grenzbild  findet  sich  freiliegend  entweder  in  dem  Schlussfache  oder 
„in  dengenigen  Hilfsfache,  welches  letzterem  zunächst  vorangeht^ 

II)  „Ist  n  die  grösste  ganze  Zahl,  welche  unterhalb  des 
„Quotientenwertes  180:2a  liegt,  und  wird  immer  unier  Pu'  das  zn 
„dem  ersten  Spiegel  gehörige  Greuzbild  verstanden,  so  sind  Ober  sdne 
„Ordnungszahl  u  und  seine  Lage  die  folgenden  Angaben  zu  machen/* 

1)  Ist  180:2a  eine  ganze  (die  Eins  übertreffcude)  Zahl  n-{-l, 
so  ist  jedenfalls  u  »  n-|-l;  aber  man  hat 


3iaek:  Der   WinkehpUgel  17 

a)  bei  angerader  n 

Winkel  AOPJ  «-  n .  2«+ ^^    d.  h.  auch    HOP«' «  ^^ 

b)  bei  gerader  n 

Winkel  i40P/«n. 2«+ 9i,    d.  h.  anch    äop/ =  9,. 

2)  Wenn   die   Division   180:2a   einen   Rest  v  läset,   so  dass 
180  — i».2«4-»i  80  •»*  man 

a)  bei  ungerader  n 

entweder  mit  ^^  <in  die  Angaben 

oder  mit  «Ps  ^  m  die  Angaben 

I*  —  «,     ^OP«'  =  (n  —  l)2«+9i,     «OP/  —  fl>  +  <)Pg 

b)  bei  gerader  n 

entweder  mit  9i  <C  »  die  Angaben 

oder  mit  9,  ^  «  die  Angaben 


Die  in  unsrem  §  vorangestellte  Tafel  der  Winkel  AOPu  und 
ihrer  Answertungen  fordert  fQr  sich  zur  Yergleichnng  von  je  zwei 
nächst  benachbarten  Gliedern  der  Winkelreihe  anf.  Da  ergeben  sich 
zQnächst  folgende  Bemerkungen. 

Die  Differenz  AOPi''--JOP^'  findet  sich  -«(2«  — 9i)+<p,=-2g),; 
QBd  ganz  dasselbe  ergibt  sich  tür  AOPim'—AOP^^i.  Dagegen  die 
Differenz  AOP^—AOP^  findet  sich  =  (2a  — 9»)+^,  =  29»!,  und 
dasselbe  ergibt  sich  far  AOP^m^^ — AOP^^ , 

Man  erkennt  also  allgemein: 

ni)  ,,Der  Bogenweg  von  einem  Bilde  P*  ungerader  Ordnung  zu 
,4em  nllchst  folgenden  gerader  Ordnung  ist  immer  =  29g ;  dagegen 
„  der  Weg  von  einem  Bilde  gerader  Ordnung  zu  dem  nächst  folgen- 
,,den  ungerader  Ordnung  ist  immer  «  ^^>x^^ 


ArclL  4.  Math.  v.  Pkji.    9.  Beiha.  TeU  11. 


18  J^aek:  Ihr  Winlc^9pieg$l 

Yiird  auch  die  Samme  von  je  zwei  nächst  benachbarten  Glie- 
dern in  Betracht  gezogen,  und  beachtet  man  immer,  dass  Vi'\'<Pi-^a, 
80  erhält  man  ein  bemerkenswertes  Ergebniss  bezüglich  der  Hälfte 
solcher  Summe.    Man  findet 

a)  U^OF^^i'+AOI^m'     )  =  (2m  — l)2a«^0I««-i 

b)  HAOI^m'    +AOPim+i')  =  2m.2a^AOLim. 

Da  nun  nach  voriger  Nummer  III)  anzugeben  ist 
a')    i{AOPstm'-AOF^^i')^<Pi 

so  ergibt  sich  durch  Verbindung  einesteils  der  Angaben  a,  a\  sd- 
dernteils  der  b  und  b',  mit  Beiziehung  der  Linien  OL: 

IV)  „Je  zwei  nächst  benachbarte  Bilder  P'  liegen  symmetrisch 
„zu  der  Scheidelinie  OL  derjenigen  zwei  Hilfsfächer  des  ersten  Spie- 
„gels,  welchen  sie  selbst  einwohnen.  Von  dieser  Ldnie  n&miich 
„weichen  die  aus  O  gehenden  Fahrstrahlen  solcher  Bilder  entweder 
„beide  um  q>^  oder  beide  um  «p^  ab,  jenachdem  das  bezflgliche  Bilder- 
„paar  entweder  besteht  aus  einem  Bilde  ungerader  Ordnung  mit 
„nächst  folgendem  gerader,  oder  aus  einem  Bilde  gerader  Ordnnng 
„mit  nächst  folgendem  ungerader." 

Das  heisst  auch: 

„Je  zwei  Bilder  Px  und  Pg^i'  li^en  so  gegen  einander^  wie 
„wenn  Pt-^i  ein  Spiegelbild  von  Pg  wäre,  durch  einen  Planspiegel 
„hervorgerufen ,  dessen  Ebene  mit  derjenigen  der  Geraden  OLs  uul 
^jUV  zusammenfiele." 

Wenn  man  bei  Betrachtung  der  vorangestellten  Tafel  endlich 
auf  irgend  zwei  solche  Glieder  sieht,  welche  nur  durch  ein  einziges 
zwischenliegendes  getrennt  sind,  so  erkennt  man  sofort,  dass  die  Dif- 
ferenz zwischen  solchen  immer  einfach  »  4«  sei.  Danach  besteht 
die  Angabe: 

Y)  „Je  zwei  nächst  benachbarte  Bilder  P'  von  ungerader  Ord- 
„nung  haben  zwischen  sich  das  Bogenintervall  4a;  und  ebenso  je 
„zwei  nächst  benachbarte  von  gerader  Ordnung.'* 


Ganz  dieselbe  Art  von  Erörterung,  wie  sie  so  eben  fbr  die  Reihe  I) 
des  §  3.  durchgeführt  wurde,  ergibt  sich  mit  selbstverständlichen  Ab- 
änderungen fär  die  dortige  Reihe  II),  welche  die  folgenden  Angaben 
darbiete^: 


Macki  Der   Wihkdipiegd.  \Q 

Winkel  BOP^*        =  q>^ 

•  ■ 

B0P2m^\'  =  (2ot— 2)2o  +  9>2 
BOPim"  «  (2m— 1)2«  +  9?j 
BOP^^i    =2m.2o  +  9»jj 


Zu  diesen  Angaben  wird  man  in  dem  Ortskreise  der  Bilder  des 
Punktes  P,  hinter  der  Sparlinie  OB  des  zweiten  Spiegels  der  Reihe 
nach  einfahren  die  Radien  ORi^  Oli^  ...  OJ?n,  so  zwar,  dass  die 
Winkel  BOR^  R^OR^  ...  Qn-\ORu  jeder  gleich  2a  seien,  während 
der  znletzt  sich  anschliessende  J?«0^  entweder  gleich  2er  ist,  oder 
eine  Grösse  «o  unter  2a  hat.  Man  erhält  demgemäss  zum  zwei- 
ten Spiegel  gehörige  Hilfsfächer,  die  den  ebenso  vielen 
nnd  ebenso  grossen  zum  ersten  Spiegel  gehörigen  analog  sind;  man 
erhält  namentlich  auch  als  zum  zweiten  Spiegel  gehöriges 
Schlussfach  das  mit  RnO'}5  zu  bezeichnende,  welches  immer  den- 
selben Winkel  2a  oder  o  fasst,  wie  das  zu  dem  ersten  Spiegel  ge- 
hörige Xi»OJL  Sofort  überzeugt  man  sich,  dass  für  die  Bilder  F" 
and  namentlich  fOr  das  Grenzbild  JP/'  folgende  Sätze  la)  ...  Ya) 
sich  ergeben  müssen,  welche  den  vorigen  I)  ...  V)  analog  sind. 

la)  „Jedes  der  zum  zweiten  Spiegel  gehörigen  Bilder  P*'  liegt 
^ei  in  dengenigeu  Hilfsfach  dieses  Spiegels,  welches  dieselbe  Ord- 
„iiQDgszahl  hat  wie  das  Bild;  und  der  Fahrstrahl  OP"  des  Bildes 
,,weicht  von  dem  ersten  Grenzradius  des  Faches  entweder  um  cp^ 
T,od6r  um  fp^  ab,  jenachdem  die  Ordnungszahl  ungerade  ist  oder  ge- 
,,rade.  Das  Grenzbild  findet  sich  freiliegend  entweder  in  dem  Schluss- 
nfach  oder  in  demjenigen  Hilfsfach,  welches  diesem  zunächst  vorangeht.^^ 

Ua)  ^st  n  die  grösste  ganze  Zahl,  welche  unterhalb  des  Quo- 
,,tientenwertes  180; 2a  liegt,  und  wird  immer  unter  Pv*  das  zu  dem 
,,zweiten  Spiegel  gehörige  Greuzbild  verstanden,  so  sind  über  seine 
«^Ordnungszahl  v  und  seine  Lage  die  folgenden  Angaben  zu  machen. ^^ 

1)  Ist  180:2a  eine  (die  Eins  übertreffende)  ganze  Zahl  n-f  1, 
80  ist  jedenfalls  v  «-  n-f-l?  aber  man  hat 

a)  bei  ungerader  n 

Winkel  J?Oi\"«.n.2a+9>i,    d.  h.  auch    »OP/'=g), 

b)  bei  gerader  n 

Winkel  BCdV ^  n.2«  +  g>2,    d.  h.  auch    ao/,"-  ^j. 


20  Mach:  Der   WihkeUpiegtL 

2)  Wenn   die   Division  180:2a   einen   Best    to  lässt,    so  dass 
180  =  n.2a4-»Y  so  erhält  man 

a)  bei  ungerader  n 
entweder  mit  cpi  <C  v  die  Angaben 

V  —  n  +  1,     BOF^"^  n.2a  +  9i,     ÖOP/' «  a  — ^ 

oder  mit  q>]  ^  o)  die  Angaben 

ü  —  n,     ÄOPr"  =  (n  —  1)2«  4-  g»„     «OP."  ==  w  +  qPj 

b)  bei  gerader  n 

entweder  mit  9t  <1  ^  ^^^  Angaben 

oder  mit  <]('>">  ^  ^^  Angaben 

ü  —  n,    i^OPr"  «  (fi  - 1)2« + (Pi,    « OP/'  —  M  +  Q),. 

III  a)  „Der  Weg  von  einem  Bilde  P"  ungerader  Ordnung  n 
„dem  nächst  folgenden  gerader  ist  immer  =  2()Pj ;  dagegen  der  Weg 
„von  einem  Bilde  P"  gerader  Ordnung  zu  dem  nächst  folgenden  an- 
„gerader  ist  immer  =  2^1/' 

rVa)  „Je  zwei  nächst  benachbarte  Bilder  P"  liegen  symmetrisch 
„zu  der  Scheidelinie  OB  deijenigen  zwei  Hilfsfächer  des  zweiten 
„Spiegels,  welchen  sie  selbst  einwohnen.  Von  dieser  Linie  nämlich 
„weichen  die  aus  O  gehenden  Fahrstrahlen  solcher  Bilder  entweder 
„beide  um  tp^  oder  beide  um  ip^  ab ,  jenachdem  das  bezügliche  Sil- 
„derpaar  entweder  besteht  aus  einem  Bilde  ungerader  Ordnung  mit 
„nächst  folgendem  gerader,  oder  aus  einem  Bilde  gerader  Ordnung 
„mit  nächst  folgendem  ungerader/^ 

Das  heisst  auch: 

„Je  zwei  Bilder  P«",  Px+i''  liegen  so  gegeneinander,  wie  wenn 
„Pxfi"  ein  Spiegelbild  von  P^'  wäre,  durch  einen  Planspiegel  her- 
„vorgerufen,  dessen  Ebene  mit  deijenigen  der  Geraden  ORn  und  UV 
„zusammenfiele/^ 

Ya)  „Je  zwei  nächst  benachbarte  Bilder  P''  von  ungender 
„Ordnung  haben  zwischen  sich  das  Bogenintervall  4«;  und  ebenso 
,Je  zwei  nächst  benachbarte  von  gerader/' 


Mach:  Der  WmkeUpi^  21 

Anmerkmig.  Durch  leichte  Ueberlegmig  ist  zu  finden,  wie 
manch&ltige  Gonstructionen  am  S&tzen  des  vorstehenden  §  zu  ent- 
nehmen sind,  und  wie  weit  letztere  fflr  das  Yerständniss  der  Er- 
scheinungen an  parallelen  Spiegeln  sich  verwerten  lassen. 


§7. 

Die  Sätze  des  vorigen  §  sind  hinreichend,  um  alle  Fragen  Ober 
Zahl  nnd  Lage  zu  beantworten,  welche  auf  die  Reihe  der  Bilder  P' 
fSr  sich  allein,  oder  auf  die  Beihe  der  P"  allein  sich  beziehen 
mdgen;  es  wird  sich  aber  auch  darnm  noch  handeln, 
diese  zwei  Reihen  in  ihrer  gegenseitigen  Beziehung 
weiter  za  untersuchen.  Dieser  Untersuchung  mag  nur 
noch  vorausgehen  eine  genauere  Betrachtung  der  Linien 
OL  nnd  OR^  von  welchen  leicht  zu  erkennen  ist,  dass  sie  nicht 
bloss  die  Bedeutung  geometrischer  Hilfslinien,  sondern  eine  eigene 
optische  Bedeutung  haben. 

Zoerst  nftmlich  überzeugt  man  sich,  dass  die  Linie  OL^,  hinter 
dem  ersten  Spiegel  liegend,  ein  diesem  zugehöriges  Bild  der  OB  sei, 
imd  ebenso  zeigt  sich  die  Oi2,,  hinter  dem  zweiten  Spiegel  liegend, 
als  ein  diesem  zugehöriges  Bild  der  OA, 

Yen  der  in  §  6.  gegebenen  Vorschrift  fflr  die  Ck)nstruction  der 
H  Linien  OL  und  der  ebenso  vielen  OR  ergibt  sich  nun  erstlich  eine 
Reihe  von  Gleichungen,  die  auf  wiederholte  Abbildungen  OL^ ,  OR^^ 
OL^  OJR^  ...  von  OB  sich  beziehen : 

Winkel  BOA  —  2a  »  AOL^ 
L^OB  =  4c  =  BOR^ 
R^OA  —  6o  —  AOL^ 
l^OB  «So  —  BOR^ 


zweitens  eine  Reihe  von  Gleichungen,  die  auf  wiederholte  Abbildungen 
OR^^  OLf^  OR^  OL^  . . .  von  OA  sich  beziehen 

Winkel  AOB  «  2«  —  BOR^ 
R^OA  '-^^a:=AOLi 
LfOB  «  6a  »  BOR^ 
R^OA  —  8a  —  ^0X4 


22  Mach:  Der  WmkeUpiepeL 

Dazu  gewinnt  man  leicht,  nach  der  Weise  des  §  5.  Bchliessend  die 
Ueberzeugung,  dass  die  Linien  OL  und  die  OR  zusammengenommen 
alle  diejenigen  seien,  in  welchen  überhaupt  die  OA  und  OB  sich 
abbilden  können;  immer  unter  n  die  grösste  natOrliche  Zahl  ver- 
standen, welche  unterhalb  des  Quotientenwertes  180:2a  liegt 

Daher  ist  mit  völliger  Bestimmtheit  zu  behaupten : 

I)  „In  Gestalt  der  Radien  OL^^  . . .  OLn  hat  man  s&mmUiche 
„Bilder ,  welche  der  erste  Spiegel  ( UVA)  von  den  Linien  OA  und 
„Oj3  geben  kann,  so  zwar,  dass  eine  Linie  OLm  als  Bild  von  OB 
„oder  OA  erscheint,  jenachdem  x  ungerade  oder  gerade.  —  Ebenso 
„in  Gestalt  der  Linien  OR^  ,,,0R^  hat  man  sämmtliche  Bilder,  welche 
„der  zweite  Spiegel  von  den  Linien  OA^  OB  geben  kann,  so  zwar, 
„dass  eine  Linie  ORx  als  Bild  von  OA  oder  OB  erscheint,  jenachdem 
„a;  ungerade  oder  gerade/^ 

An  diesen  Satz  knüpft  sich  mit  leichter  Begründung  der  weitere. 

II)  „Von  den  Spiegeln  ÜVA^  UVB  erhält  man  als  ihre  sAmmt- 
„lichen  zu  dem  ersten  Spiegel  (UVA)  gehörigen  Abbildungen  die  n 
„Scheinspiegel  UKl^^  UKL^^t  UK£^  ...  so  zwar,  dass  ein  Scfaein- 
„Spiegel  UVLx  immer  eine  Abbildung  von  UVB  oder  UVA  ist,  je- 
„nachdcm  x  ungerade  oder  gerade.  —  Und  von  denselben  Spiegln 
„C7TM,  UVB  erhält  man  als  ihre  sämmtiichen  zu  dem  zweiten  Spiegel 
,^{UVB)  gehörigen  Abbildungen  die  n  Scheinspiegel  ÜVR^^  üVRf, 
„r/FRs  ...  so  zwar,  dass  ein  Scheinspiegel  UVRx  immer  eine  Ab- 
„bildung  von  UVA  oder  UVB  ist,  jenachdem  x  ungerade  oder  gerade''. 


§8. 

„Bezüglich  der  Linien  OL^  OR  ist  jetzt  angezeigt,  auch  die  Lage 
„der  einen  Reihe  gegen  die  andere  in's  Auge  zu  fasscn^S 

Zunächst  ist  klar,  dass  die  OL^  . . .  OLn  der  Reihe  nach  zu  den 
„Oi^i  ...  Or^  synmietrisch  sind  mit  Bezug  auf  Axe  MOfR. 

Weitere  Bestimmungen  werden  davon  abhängig  sein,  wie  weit 
die  zwei  letzten  C>Xn,  OR^  vorgeschoben  sind,  beziehungsweise  gegen 
0%  0»  hin.  Das  hängt  selbst  davon  ab,  ob  die  Division  180: 2fi 
(welche  jedenfalls  die  Zahl  n  liefern  muss)  entweder  aiUgehe  oder 
einen  Rest   to   lasse.     Bei  letzterem    sind   die  *  drei  Mdglichkeitea 

> 

0)  =  a  zu  unterscheiden,   sind  beziehungsweise  durch   die  Angaben 

w  —  «+««,  w  =  c,  w  =  a—ea  darzustellen,   wo  «  jeden  positiveo 


Mach:  Dtr    WinktlspUgd,  23 

echten  Bruch  bedeutet.    Dieses  berücksichtigt,   so   erhält  man  vier 
charakteristisch  verschiedene  Angaben: 

■ 

1)  Ist  180»"  (n -1-1)2«,  80  ist  die  OL^  in  der  Lage  OB  za 
finden,  die  OR^  in  oy.  Die  zwei  Reihen  der  Linien  Ol  nnd  Or 
sind  also  völlig  getrennt,  zu  verschiedenen  Seiten  der  Axe  JfOSR, 
während  dagegen  die  zwei  Schlnssf&cher  Im^fl,  Rn^^'b  vollständig  zu- 
sammen&llen  (jedes  =  2a). 

2)  Ist  180«n.2a4.(a-{-e«t)i  »0  fallen  OL^  und  ORn  beide 
frei  zwischen  Oix  und  09,  flbrigens  ^W  näher  an  Oj5,  OR^  näher 
an  Ofi,  Die  zwei  Reihen  der  Linien  OL  und  OR  sind  auch  nun 
völlig  getrennt  durch  die  Axe  ilfOSR,  die  von  keiner  erreicht  wird. 
Die  zwei  Schlussfächer  aber  haben  das  Winkelfeld  LnORn  (»  20a) 
nnd  nur  dieses  gemeinschaftlich. 

3)  Ist  180 »  n.2€r-)~<<i  SO  sind  OLny  ORn  vereinigt  in  der 
Linie  03R^  in  welcher  also  die  zwei  Reihen  (sonst  getrennt  wie  sie 
sind)  zusammenstossen.  Die  zwei  Schlussfächer  haben  die  Linie  OfR^ 
und  nur  diese,  gemeinschaftlich. 

4)  Ist  180  »  ii.2a-f-(o  — «o),  so  fallen  immerhin  OLn  und  OR^ 
frei  zwischen  0&^  00,  aber  OLn  näher  an  O«,  OR^  näher  an  02B. 
Jede  der  zwei  Linienreihen  OX,  OR  greift  über  die  Axe  M03R  hin- 
dber.  Die  andere  hinein.  Die  zwei  Schlussfächer  sind  völlig  getrennt 
durch  das  Winkelfeld  LnORn^  welches  («  2ea)  zwischen  ihnen  liegt. 

Sofern  nun  aber  das  Grenzbild  Pn  des  Punktes  P  in  das  Schluss- 
üdi  ZmOn  fallen  kann,  aber  nicht  muss,  und  das  Grenzbild  P9"  in 
das  Fach  Z^Oi^  fallen  kann,  aber  nicht  muss:  so  ist  gemäss  Obigem 
auch  bezflglich  der  Bilder  P*  und  P"  zu  denken,  dass  für  ihre  wei- 
tere Untersuchung  es  von  Bedeutung  sein  müsse,  überall  jene  vier 
Fälle  zu  beachten,  in  welchen  der  Quotient  180:2a  sich  befinden 
kann. 

Anmerkung  1.  Zu  den  Gleichungen,  welche  als  charakteristisch 
in  den  obigen  Fällen  2,  3,  4  auftreten,  ist  eine  Bemerkung  zu  machen, 
welche  auch  weiterhin  zu  berücksichtigen  ist,  wo  es  sich  darum  han- 
deln wird,  die  ganzen  Zahlen  n  und  2n  mit  Bezugnahme  auf  die 
Quotienten  180:2«  und  360:2a  auszudrücken. 

Sofern  ein  solcher  Quotient  ein  unechter  eigentlicher  Bruch  ist 
soll  (nach  sonst  üblicher  Weise)  die  grösste  in  ihm  enthaltene  ganze 

Zahl  beziehungsweise  durch  rö-   *  \'Y~\  ^^^^S^stellt  werden.     Nun 
ist  zu  sagen 


24  Ifaek:  JJtr  Wwled*pÜ9*l 

ad  2)    Da  hier  180=:  n.2a+ («+««)«  ><>  >8t 
180 

also 

riaoi    „  , ,     [8601     «      rswi 

ad  3)    Da  hier  180  —  n.2a+a,  ao  ist 


180  iß,»\     360      „    ,,, 

25-"  +  l2+2>     -2i-2»+l  + 


180  ,1      3^      9  _i  1 

also 

9        360 


"  -  m 


ad  4)    Da  hier  180  =  n.2a4-(a^M))  so  ist 

180  .  A      «\      360      ^    ...        . 


2o 

also 


n 


-[f].  »""[m 


Anmerknng  2.  Die  Angaben  des  obigen  §  sind  natflriich  aoch 
massgebend  für  das  volle  Verständniss  des  Auftretens  der  z«  den 
Spiegeln  UVA^  UVB  sich  gesellenden  Scheinspiegel. 

Mit  Bezng  hierauf  ist  dem  ersten  der  dort  unterschiedenen  Fälle 
eine  besondere  Wichtigkeit  zuzuschreiben. 

Seine  genaue  Betrachtung  führt  auf  folgenden  bemerkenswatn 

Lehrsatz. 

Wenn  zwei  wirkliche  Planspiegel  UVA^  UVB  zwischen  sich  einen 

hohlen  Winkel  haben,  der  als  aliquoter  Teil  von  180^  sich  dtntellt 

180 
«  ~4:t9  so  gilt  die  Behauptung:   in  der  ttber  UV  hinausgebeoden 

(  UVB  \ 
Erweiterung  des  wirklichen  Spiegels  <  tjvak^^^^  °^^^  einen  Schein- 
spiegel, welcher  als  eine  zu  dem  Spiegel  {rrT^»i  gehörige  AbbOdnng 

(entweder  des  Spiegels  UVB  oder  des  UVA\  *     -^  •  «»-fc 

Untweder  des  Spiegels  UVA  oder  des  UVB  ]  ®r«*^^  ^»^»^  J®"*^" 
dem  n  ungerade  oder  gerade  ist. 

,«Man  sieht  leicht,  dass  und  wie  dieser  Satz  sich  benutzen  laste 


Mach:  Der   WinkeUpie^tl  25 

180® 
^Qin  einen  vorgeblichen  Winkel  Ton  --^^  auf  diese  Grösse   zu  prü- 

„fen,  oder  einen  Winkel  von  dieser  Grösse  herza8tellen^^ 

§  9. 

„Wenn  wir  jetzt  näher  auf  die  gegenseitige  Beziehung  eingehen 
^,wollen,  welche  zwischen  den  Bildreihen  P'  und  P"  stattfindet,  so 
„wird  es  hauptsächlich  darum  sich  handeln,  die  Sätze  II)  und  IIa) 
„des  §  6.  zu  verbinden"^. 

Bei  Einleitung  dieses  Geschäfts  zeigt  sich  sofort,  dass  überall 
Rflcksioht  zu  nehmen  sei  auf  das  Verhältniss  der  Winkel  tpi  und  tp^ 
zu  2a  und  zu  dem  etwa  auftretenden  oi  Hiedurch  wird  man  darauf 
bingeleitet,  dass  man  behufs  grösserer  Uebersichtlichkeit  und  Klar- 
heit der  Darstellung  eine  Teilung  der  Arbeit  vorzunehmen  habe ,  so 
zvar,  dMs  zunächst  der  Fall  9i  «  9t  ""  ^  erörtert  werde,  dann  erst 


die  Behandlung  der  übrigen  Fälle  mit  tp^  ^  v%  kommen  solle. 

Für  alle  Fälle  mag  übrigens  die  Bemerkung  vorausgeschickt 
werden.  Sofern  die  Ordnungszahlen  u,  v  zusammengehöriger  Gronz- 
bilder  Pn\  P"  gewonnen  sind,  hat  man  freilich  in  Gestalt  der  Summe 
^'\'V  die  Gesammtzahl  aller  zusammengehörigen  Bilder  P'  und  P" 
Will  man  aber,  wie  hier  geschehen  soll,  mit  $  die  Gesammtzahl  aller 
mit  dem  Auge  zu  unterscheidenden  Bilder  des  P  bezeichnen,  so  ist 
die  Angabe  «  «  u  -f~  f  nur  dann  zu  machen ,  wenn  keine  zwei  Bilder 
vereinigt  sind.  Dagegen  wird  s  »u-l-f  -1  anzugeben  sein,  wenn 
(wie  es  vorkommen  wird)  ein  einziges  Bild  P'  mit  einem  einzigen 
P"  zur  Vereinigung  gelangt  —  Dieser  Sinn  der  Bezeichnung  t  soll 
in  der  weiteren  Darstellung  durchaus  festgehalten  werden. 

§  10. 

Um  jetzt  die  Annahme  9j=92"^^  vollständig  zu 
discutiren,  so  hat  man  ihr  gemäss  den  Punkt  f  (nebst  /q)  in 
der  ausgezeichneten  Lage  M\  es  handelt  sich  also  um  die  Abbildungen 
M\  M**  eben  des  Punktes  ilf,  für  welche  die  nach  §  3.  1),  II)  zu 
bildenden  Winkelangaben  einfach  lauten 

L 
Winkel  AOM^  —  a 
AOui*=  3a 
AOM^  =  5a 


26  Mach:  Der   Winkehpiegel. 

AOMs'^ix  —  ma  +  a 

IL 
Winkel  OOM^"  =  a 

BOMx'^  («  —  1)2«+« 


Man  bemerkt,  dass  die  xtc  Angabe  unter  I),  wie  onter  II)  ihre 
Form  nicht  ändert,  ob  nun  x  ungerade  ist  oder  gerade.  Man  mag 
anch  bemerken,  wie  sehr  bienach  bei  der  Annahme  9>j  «  ^^  —  n  die 
Untersuchung  des  §  5.  und  die  Lösung  der  in  dortiger  Anraerknng 
behandelten  Aufgabe  sich  vereinfacht  hätte. 

Sowoi  aus  vorstehenden  Winkelangaben  als  aus  dem  in  §  6.  dar- 
gelegton entnimmt  man  die  Richtigkeit  der  sofort  zu  machenden,  mit 
bisheriger  Bezeichnungsweise  auszusprechenden  Angaben. 

Sofern  OLn  die  letzte  der  Linien  OL  ist,  so  erhält  man  als  zam 
ersten  Spiegel  gehörige  Bilder  des  3f  jedenfalls  die  n  Bilder  If/, 
M^'  ...  Mn  der  Reihe  nach  in  den  Halbirungslinien  der  Winke) 
AOL^^  L^OL^  ...  Lm^iOL^  d.  h.  in  Mitten  der  n  ersten  Hilfeftcher, 
die  zu  dem  ersten  Spiegel  gehören.  Ein  weiteres  Bild  Afw^-i'  fiodet 
sich  innerhalb  des  Winkels  Ln^'ä  (im  Schlussfach  des  ersten  Spie- 
gels) dann  und  nur  dann,  wenn  dieser  Winkel  entweder  =  2a  oder 
doch  >>«;  denn  nur  in  jedem  dieser  zwei  Fälle  ist  Winkel  Mn*OMm^\ 
in  der  Grösse  2a  und  so  zu  construiren,  dass  Radius  OMn\^\  frei 
innerhalb  des  Winkels  LmOüi  föUt,  somit  (vgl.  §  4.  und  5.)  einen 
letzten  brauchbaren  Ort  für  ein  Bild  Afn+i'  abgibt  —  Hienacb  is 
leicht  auch  zu  übersehen,  wie  die  zum  zweiten  Spiegel  gehörigen 
Bilder  M*'  in  den  bezüglichen  Hilfsfächem  dieses  Spiegels  sich  er- 
geben. £s  sind  ihrer  ebenso  viele  wie  der  Bilder  M\  und  je  zwei 
gleichbezifferte  Bilder  Mx'  ,3//'  liegen  symmetrisch  zu  der  Geraden 
MO^JR^  wonach  auch  die  zwei  Bogeiiwege  ttil^',  Vilf« '  einander  gleich 
gefunden  werden. 

Wül  man  noch  Genaueres  über  die  Bilder  M\  M"  ermitteln, 
so  sind  bezüglich  des  Quotienten  180:2a  die  vier  in  §  8.  herTor- 
gehobenen  Fälle  zu  unterscheiden.  Diese  Unterscheidung  dorcb- 
führend,  kann  man  für  jeden  Fall  zunächst  gemäss  den  Sätzen  II) 
und  IIa)  des  §  6.  die  gemeinschaftliche  Ordnungszahl  u  der  beides 


Mack:  Der  WinkehpiegeL  27 

Grcnzbilder  Mu\  Mu  angeben  —  bestimmt  mit  Rücksicht  auf  den 
Qootienten  180: 2o  und  den  etwa  mitspielenden  Divisionsrest  Zu- 
gleich bietet  sich  dar  der  absolnte  Wert  jedes  der  gegenläufigen  und 
glelchgrossen  Bogenwege  8l3/«\  ^Mu\  und  hienach  ist  nicht  bloss 
die  genaue  Lage  jedes  der  zwei  Orenzbilder  bekannt ,  sondern  auch 
die  Lage  des  jedenfalls  in  ÜR   halbirten  Bogenweges  3f«',  Mxi*  zu 

finden.    Denn  jenachdem  SJ/w'-f-S-Af«'^  2»  sich  darbietet,  ist 

absolute  Bogenlänge  M^M^"^  ±{2«— (aifcf«'+533/„"} 
anzugeben,  während  die  etwa  zutreffende  Gleichung 

offenbar  auf  M^M^^  0  führt  und  die  Vereinigung  der  zwei  Bilder 
3/,',  M^'  in  9W  anzeigt 

An  die  gedachten  Angaben  ist  auch  die  vollkommene  Anschauung 
der  gegenseitigen  Lage  der  zwei  Bilderreiheu  (i)/')  und  (M")  zu 
knüpfen,  endlich  die  Zahl  «  entweder  »  2u  oder  «=  2u  —  1  anzu- 
geben und  in  passendster  Form  (vgl.  §  8.  Anmerkung}  zu  entwickeln. 

Geht  man  nun  die  eiuzelnen  Fälle  in  Kürze  durch,  so  zeigt  sich 
Folgendes. 

Erster  Fall:  180  =  (w-f  l)2a,  oder  360:2«  =  2n  +  2. 

Man  erhält 

tt«n+l  «  180:2a 

S^M^  =  a  «  «2R, 

»3/«'  —  a  »  »SR, 

M^M^'  =  0. 

Die  Grenzbiider  M^^  Mu'  sind  in  W  vereinigt.  Die  zwei  Bilder- 
reihen stossen  in  ißl  zusammen,  während  sie  im  übrigen  getrennt 
liegen.    Somit  aus 

2tt  »  2n-f-2«  360:2a 
folgt 

*  =  2tt  — 1  «  (360:2a)~-l. 

Die  hicher  gehörigen  Werte  von  2a^  sind  alle  zu  entnehmen  aus 
der  Reihe 

90»;    600;    450.     36O.     3(y);     25,  7  ...  ";    ... 

deren  allgemeines  Glied  ist 

180<>        ,        360® 

H^     ^^'   2i+2    ™'^    x«l,    2,    3,    4  ... 


28  Maek:  Vtr   Wmkelspiegel. 

Zweiter   Fall:    180  »»  ^.2«+(o  +  ea),    oder    360:2«» 
(2n+l)  +  «. 

Man  erhält 

MjMu"'^  2(«— «a). 

Mu   liegt  zwischen  V  nnd  Vt,  3/»"  zwischen  ^^  und  W. 

Jede  der  zwei  Bilderreihen  greift  ttber  W  hinaas.    Kein  Bild  3/' 
ist  mit  einem  Jtf"  vereinigt    Also 


2u=.2«+2  =  [^]  +  l. 


Dritter  Fall:   180  —  n.2a+a^  oder  360:2a  =  2«+l. 

Man  erhält 

[180] 

ZMh'  =  »J/i."  =  2« 
jÜjAfJ'  =  2«. 

M„'  liegt  in  ©,  Mu"  in  VI.  Jede  der  zwei  Bilderreihen  hört  vor  Er- 
reichung des  Punktes  lU  auf.  Kein  Bild  M'  mit  einem  Af  ver- 
einigt. 

«  «  2«  =  2«  —  (360: 2a)—  1. 

Die  hieher  gehörigen  Werte  von  2«^  sind  alle  za  entnehmen  ans 

der  Reihe 

120^    72«;    51,  42  ...  O;    40<>  ... 


deren  allgemeines  Glied  ist 

360« 


2a;+l 


mit    x  =  l^    2,    3  ... 


Vierter    Fall:    180  =  n  .  2«  +  (a  —  «o)    oder    360:2«- 
2n  +  (1  —  e). 

Man  erhält 

ajl/„'  —  VMu"  =-  2a  — «a 
MuMu"  =  2(a  —  ea). 

J/m'  liegt  zwischen  iB  nnd  9R ,  3f«"  zwischen  S  and  9R.     Jede  der 


Mach:  Der   WinkeUpiegd.  29 

zwei  Bildeireihen  hört  vor  Errelchnng  des  Panktes  %H  aaf.    Kein 
Bild  M'  mit  einem  M"  vereinigt. 


2i»«2a 


f^] 


Angesichts  obiger  Angaben  mag  nur  Folgendes  noch  besonders 
hervorgehoben  werden. 

I)  „In  jedem  Fall  werden  die  Orenzbilder  3/«',  Mu  beide  im 
,,todten  Ranm  gefunden.  Die  Grenzlinien  Ojfl,  0$  desselben  er- 
zreichen sie  dann  nnd  nnr  dann,  wenn  180:2«  den  Rest  a  lässt, 
^d  h.  360: 2tt  eine  ganze  ungerade  Zahl  ist;  hiebei  je  das  zu  dem 
„einen  Spi^el  gehörige  Grenzbild  in  der  Ebene  des  andern  Spiegels 
„(in  seiner  Spnrlinie)  erscheinend^^ 

II)  Die  Vereinigung  zweier  Bilder  M\  M"  kommt  dann  und 
„nur  dann  zu  Stande,  wenn  180:2a  eine  ganze  Zahl,  d.  h.  360:2a 
„eine  gerade  Zahl  ist;  da  sind  die  Grenzbilder  3/«',  Mu"  in  9R  ver- 
„einigt  Die  grösste  Oeffnung  des  Winkelspiegels,  durch  die  solche 
„Yereittigong  herbeigeführt  wird,  ist  die  von  90^'. 

Anmerkung.  Die  zu  den  Fällen  1  und  3  erhaltenen  Reihen 
der  Werte  von  2a  sind  zu  verbinden  zu  der  Reihe 

360^         3600 
W;    90«;     720;     jjqO;     51,420...;    40«;  ...  g^^;     ^^... 

Um  an  sie  die  den  Fällen  2,  4  entsprechenden  Werte  zu  knüpfen , 
b&tte  man  vor  ihren  Anfang  alle  zwischen  180«  und  120^  liegen- 
den Werte  zu  stellen,  sodann  aber  zwischen  je  zwei  weiteren  nächst- 
benachbarten Gliedern  alle  möglichen  Zwischenwerte  einzuschalten. 


§  11. 

„Jetzt  wollen  wir  der  Aufgabe  näher  treten,  die  Sätze  II)  und 
„IIa)  des  §  6.  in  dem  Sinne  zu  verbinden,  dass  vollkommene  Klar- 
tibeit  über  alle  diejenigen  Fälle  verbreitet  werde,  wo  die  Winkel  tp^ 
„Süd  9|  ungleich  sind'^;  hiebei  die  feste  Bestimmung  tretend,  dass 
der  kleinere  von  beiden  der  mit  9^1  bezeichnete  (POA)  sei. 

Für  die  Ausführung  gedachter  Verbindung  ist  es  nun  wesentlich, 
nicht  nur  die  in  §  6,  betonte  Unterscheidung  der  geraden  und  der 
ungeraden  n  fest  zu  halten,  sondern  auch  für  den  Rest  o,  wo  er 
vorkommt,  die  drei  Möglichkeiten  w  —  a-|-«a,  o»  a,  «  =  a  — «o 
in  derselben  Weise  zu  berücksichtigen,  wie  schon  im  §  8.,  dann  in 
1 1(X  mit  gröSBtam  Nutzen  geschehen  ist.  —  Ist  nämlich  a>=:  a-f-«a. 


30  Mack:  Der   WiukehpiegeL 

80  weisen  die  Sätze  11)  des  §  6.  darauf  hin,  dass  man  für  v,(>«) 
unterscheide,  ob  entweder  <Pj<«  +  «ä,  oder  Vj^  a+e«,     woran 

die  enteprechenden  Angaben  für  (p^  (gemftss  der  Gleichung  v,+9j* 
-=  2a)  sich  knüpfen. 

Ist  aber  oo^  a  —  ea^  so  verlangen  jene  Sätze  vielmehr,  dass  bei 
9>i  «  «)    unterschieden    werde  ,   ob    entweder  <p,  <  o — «o  oder 

Vi  >  «  —  «« ;  woran  die  entsprechenden  Angaben  über  q>^  zu  knüpfen 

sind.  Wird  Solches  beachtet,  so  überzeugt  man  sich,  dass  es  zwölf 
charakteristisch  verschiedene  Fälle  sind,  die  wir  noch  zu  erörtern 
haben;  und  dieselben  sind  gemäss  dem  Gesagten  mit  ihren  Cbarak- 
terisirungeu  aufzuführen  wie  folgt: 

1)  180  «=  (n-j-l)2of,  n  ungerade 

2)  180«(n  +  l)2of,  n  gerade 

3)  180  =  n.2a+  («+«of),  n  ungerade,  gy,  <[  er 4~ ^«^ 

4)  180  =  n,2a  +  (a+««),  n  ungerade,  q)^  ^a-|-«a 

5)  180  «  n.2a+(a  +  «a),  n  gerade,  g»,  <  a-f  «o 

6)  180  ==  n.2a-f-(a+«a),  n  gerade,  «p,  ^  a+ea 

7)  180  =»  n .  2«  -|-  er,  n  ungerade 

8)  180  =  n.2a-4~a,  n  gerade 

9)  180  =  n.2a4-(a-'«a),  w  ungerade,  q>i  ^  a  —  ea 

10)  180  =  n'2«+(tt  — ««),  n  ungerade,  g>,  <  a  — c« 

11)  180  «=•  «.2a+(a—  cor),  n  gerade,  <pi  -^  «—«o 

12)  180  —  n.2a+(a  — «a),  »  gerade,  gpj  «<  «— ««. 

Für  jeden  dieser  Fälle  ist  die  Bestimmung  der  Zahlen  n  und  r 
aus  den  entsprechenden  Angaben  der  Sätze  11)  und  IIa)  des  S  6* 
sofort  zu  entnehmen;  so  auch  die  der  absoluten  Werte  der  (gegen- 
läufigen) Bogenwege  «P«'  \ÜPr".  —  Der  für  «P„'  sich  darbietende 
Wert  wird  für  den  Punkt  Pn  sogleich  die  Entscheidung  darüber 
geben,  ob  derselbe  frei  innerhalb  des  todten  Raumes  (W.  «Oft)), 
oder  auf  der  Grenze  (Oü)  desselben,  oder  frei  ausserhalb  liege,  da 


diesen  drei  Lagen  beziehungsweise  die  Angaben  HPu  »  2a  entspre- 


chen ;  und  ebenso  dient  die  Wertangabe  von  SPt"  mit  Bezug  auf  den 
Punkt  Ft".  —  Aus  den  )^erten  beider  Bogenwege  miiss  dann  immer 


Afack:  Der   WinkelspiegeL  31 

sowol  die  Lftnge  des  Bogens  PjPv\  als  die  (wie  sich  zeigen  wird) 
so  sehr  bemerkenswerte  Lage  seines  Halbirnngspnnktes  za  ermitteln 
sein.  Letztere  Aufgabe  bat  natQrlich  keine  so  einfache  Lösung,  wie 
sie  im  §  10.  unter  den  dortigen  einfacheren  Umständen  sich  darbot; 
erstere  kann  immerhin  nach  der  dortigen  Methode  auch  behandelt 
werden.  —  Für  gegenwärtigen  §  mag  als  allgemeine  Methode  der 
Auflösung  beider  Aufgaben  zumal  empfohlen  werden  die  fol- 
gende. Man  benutzt  die  absoluten  Werte  der  gegenläufigen  Bogen- 
wege  HFJ,  9Fn\  um  aus  ihnen  fQr  die  beiden  Punkte  Pj,  Pt"  so- 
wol die  absolute  Differcuz  als  die  Summe  von  zwei  gleichläufigen 
Bogenwegen  herzuleiten,  durch  welche  sie  von  einem  und  demselben 
der  Funkte  V,  Q  aus  erreicht  werden.  Jene  Differenz  ist  eben  die 
Bogenlänge  Pu'Pv'  selbst;  die  gedaphte  Summe  oder  vielmehr  ihre 
Hälfte  lässt  sofort  die  Lt^e  des  fraglichen  Halbirungspunktes  erken- 
nen. —  Uebrigens  gestatten  verschiedene  der  jetzt  zu  behandelnden 
zwölf  Fälle,  je  nach  ihrer  Eigentümlichkeit  eine  einfachere  Erl edi- 
dang der  gedachten^  Aufgaben;  wie  man  sich  sogleich  überzeugen 
wird. 

Erster  Fall:   180  «  (n4-l)2ir,   oder  360:2«  «2«  +  2,    mit 
ungerader  n. 

Man  findet 

tt  =  «4-1  =  180:2a,    «P«'  «=»  <p^  «  H«J} 
t,=n+l,  »P."«(p, -«5ß; 

d.  h.  Pu\  Pv"  vereinigt  in  % 

tt-f-u  «  2n  +  2 
,  «  tt+u  — 1  «  (860:2a)  — 1. 

Alle  hieher  gehörigen  Werte  von  2a  sind  zu  entnehmen  aus  der 
Reihe 

90»;    450;    300.     22,  5^  ... 

deren  allgemeines  Glied  ist  lS(fi:(x+l)  mit  a;  »=»  1,  3,  5  ... 

Zweiter  Fall:  180  —  (n+1) 2a,  oder  360:2a  =  2n-f  2,  mit 
gerader  n. 

Man  findet 

tt  =  n  +  l  —  180:2a,     «P«'  =  V«  =  «i<o 

d.  h.  P.',  P^"  vereinigt  in  ^.^o- 

t»-f  t;  =  2n+2 
,  =  tt-ft>-l  —  (360:2a)  — 1, 


32 


ifack:  Der   Wiiikthipiegel. 


Alle  hieher  gehörigen  Werte  von  Sa«  zo  entnehmen   aas  der 
Seihe 

60»;    36«;    25,  71«  ...;    20»  ... 
deren  aUgemeines  Glied  ist  180«: («+1)  mit  «  —  2,  4,  6  ... 

Dritter  Fall:  1 80  =  «. 2a +(«+««),  oder  360 :2a =2n+l+«, 
mit  ungerader  n; 

Man  findet         ^^<«+^'     9>^>a^ea, 

t;««  +  l,  *Pt"=a  +  ««~g.,  <2a; 

d.  h.  Pn\  P/',  beide  frei  innerhalb  des  todten  Raumes. 
Mit  Hilfe  Ton 

kommt  auch 

9Pu'+  »P/'  =  2<p,  -  2©$ 

»PH'-»P."  =  2a--2«Jt; 
d.  h.  Bogen  Pu'P^''  halbirt  in  ?J,  seine  Länge  =  2(a--«a). 

Aus  »P«'  >  SBP/'  sieht  man ,  dass  jede  der  Izwei  Bilderreihen 
über  ^4}  hinausgreift  in  die  andere  hinein.  Kein  Bild  P'  mit  einem 
P"  vereinigt. 


s 


«i*+««2»  +  2«[^]  +  l. 


Vierter  Fall:  180 -«.2« +  («+««),  oder  360:2«  — 2it+l+e, 
mit  ungerader  n; 

Man  findet  ^ 

[180]      ^     ,  .        . 

«  "^  «  =  I -giJ  Ji     «P«  =  a  +  ea  +  q>^  >  2« 

«  =  «  +  1,  eW=  a+««-g)i  <  2«; 

d.  h.  Pn    frei  ausserhalb  des  todton  Raumes;  P,"  frei  innerhalb. 
Mit  Hilfe  von 

HP/'  «  2«  —  BP,"  «  a  -  ea  +  Vj 
kommt  auch 

aP«'  +  aP,"=4a«2«« 
«P«'  —  «P/'  =  2a  +  2e«  —  2<p, ; 

d.  h.  Bogen  PjP^''  halbirt  in  ö,  seine  Länge  =  2(a  +  ea—fp^). 


Mach:  Der  WinkeUpiegtL  33 

Jede  der  zwei  Bilderreihen  hört  vor  Erreichung  des  Punktes  O 
aof.    Kein  Bild  P'  mit  einem  P"  vereinigt 


tf 


«+.-2n  +  l  =  [3^]. 


FünfterFall:  180  =-fi.2a+(o  +  «a),  oder  360:2a«2»+l+e 
mit  gerader  n; 

Man  findet 

tt=n  +  l=:[^]  +  l,    aP^'=«  +  6a-9,,<2a 

V  —  n  +  1  ©P,'=a  +  Äa— (3Pj<2« 

d.  h.  P«%  P«",  beide  frei  innerhalb  des  todten  Banmes. 

Mit  Hilfe  von 

«P/  —  2«  -»P/'  —  a— •«+<)?, 
kommt  anch 

HP."  —  VI  P«'  «  2o — 2ea ; 

d.  h.  Bogen  Pt.'Pc"  halbirt  in  ?5oi  »©ine  Länge  =»  2(0— e«). 

Aus  «$.">  «P«'  folgt:  jede  der  2  Büderreihen  greift  über  % 
hinaus.    Kein  Bild  P'  mit  einem  P"  vereinigt 

,««+t,-2n+2  =  [g^]  +  l. 

Sechster  Fall:  180««.2a+(a+6a),  oder  360:2a«(2n+l)+«, 
R  gerade; 

Man  findet 

[180  ~1 
2^  J+1,    WP«  =  a+e«— 9,  <  2a 

t>  —  n,  »P,"  —  «+ea+9,  >  2a; 

d.  b.  Ph   frei  innerhalb  des  todten  Raumes;  P/'  frei  ausserhalb. 

Mit  Hilfe  von 

BP„'  ==  2a— HP«'  =-  o— «a+9i 
kommt  auch 

»P/+  »Pf'  =  4«  =  2\ba 

»P."  —  BP«' «  2a  +  2«a  —  29^ ; 

d.  h.  Bogen  PjPt"  halbirt  in  H,  seine  Länge  «  2(a4-«a--9)i). 

Jede  der  2  Bilderreihen  hört  vor  Erreichung  des  Punktes  tl  auf. 
Kein  BQd  P'  mit  einem  P"  vereinigt. 

Ank.  Aer  Ibtli.  n.  Phys.   S.  Seihe.  Teil  n.  3 


34  Mach:  Der   Winkelspiegel. 

8  =  tt-f  t.  «  2n+l  =»  Lg^ J- 

Siebenter   Fall:    180  =  n.2«-|-a,    oder   360:2«  -»  2»-f-l,    n 
ungerade. 

Man  findet 

[i80ni 

t,  =  « + 1,  ©P/'=  ff— g>i  <  2«, 

d.  h.  P«i'  frei  ausserhalb  des  todten  Ranmes;  P"  frei  innerhalb. 

Mit  Hilfe  von 

aP/  =  2a— IBP/'  -=  a+9i 
kommt  auch 

«P«'+aP/'«4o  =  2.H» 

«P«'  — äP/'«2«— 2ipi, 

d.  h.  Bogen  Pi«'P«"  halbirt  in  S,  seine  Länge  —  2(a — g>,)^ 

Jede  der  2  Bilderreihen  hört  vor  Erreichung  des  Punktes  0  auf. 
Kein  Bild  P'  mit  einem  P"  vereinigt 

a  =  u+»  =>  2ti+l  =  360:2«. 

Alle  hieher  gehörigen  Werte  von  2«  zu  entnehmen  ans  dor  Reihe 
120»;    51,  420  ....    32,  720  ...    24«  ... 

deren  allgemeines  Grlied  ist 

3600 


2«+! 


mit    a;  ■»  1,    3,    5  ... 


Achter  Fall:  180  »  2a+cr,  oder  360:2«  »  2n-{-l,  n  gerade 
Man  findet 

u=n+l  =  [^]+l,     aP«'««-9>i<2« 

«;  -  n,  SP."  «  «4.  <p,  >  2«, 

d.  h.  Pu'  frei  innerhalb  des  todten  Raumns;  P^"  frei  anssertialb. 

Mit  Hilfe  von 

»Pn'=  2«  — aPf'  -  «  +  9j 
kommt  auch 

»P."+  «P«'  =  4«  «  28a 

©Pp"  —  8P«'  =  2« — 2<p, ; 


i 


Mach:  Der    Winkelspiegel,  35 

d.  h.  Bogen  PnPv*  halbirt  in  8;  seine  Länge  =  2(o— gp^). 

Jede  der  Bilderreihen  hört  vor  Erreichung  des  Punktes  tt  auf. 
Kein  Bild  P'  mit  einem  P"  vereinigt. 

Alle  hieher  gehörigen  Werte  von  2a^  zu  entnehmen  aus  der  Reihe 

720:    400;    27,  G»  ...;    21,  17«  ... 

deren  allgemeines  Glied  ist 

3600 


2a: +1 


mit    X  =  2,    4,    6  . . . 


Neunter    Fall:    180  —  n .  2a +(«—««),    oder    360:2«    =- 
2ii+ (!—«),  «  ungerade; 

Man  findet 

[isoni  »=» 

2;^J,    V»P«'=-  «  — «cr-f  g),  ^  2« 

»  «=  n,  8Pf"  =-  a  —  ca-^-tp^  <  2a, 

d.  h.  P"  frei  innerhalb  des  todttn  Raumes,  Pu   entweder  frei  inner- 
halb oder  an  Grenze  OSb, 

Mit  Hilfe  von 

aP,"  =  2«  —  »P/  -  a  4-««  —  Vi 
kommt  auch 

ap^'  -f  fflP,"  «  2<p,  =.  2a?Po 

ttP«'  —  HP/' «  2« — 2«o ; 

d.  h.  Bogen  PhPv'  halbirf  in  ?Jo;  »«ine  Länge  =  2(a— c«). 

Aus  «P«'  >  ÄPb"  folgt;  jede  der  zwei  Bildorroihen  hört  vor  Er- 
reichung von  ^ßo  awf-    Kein  Bild  P'  mit  P"  vereinigt. 


r360T 


Zehnter  Fall:  180=n.2a-f («—««),  oder  360:2a«2n+(l— «), 

n  ungerade; 

qp,  <  « — «a,     <ps  >  a-}-ea. 

Man  findet 

[ifioni 
2^J,    aP„'=  rt  — ea  +  <p,  >  2« 

ti=rn  +  l,  ©P/«a  — «a  — 9i  <  2«, 

d.  h.  P,.'  frei  ausserhalb  des  todten  Raumes;  P/'  frei  innerhalb. 


3 


!« 


1 


36  Mach:  Der   WinkebpiegeL 

Mit  Hilfe  von 

kommt  auch 

«P«'+«Pp''=  4a  «  2«», 

aP«'  —  9iP^''=  2a  —  2ea  -  2g?, ; 
d.  h.  Bogen  P^Pv"  halbirt  in  iB;  seine  Länge  —  2(a-eo-q^i)- 

Jede  der  zwei  Bilderreihen  hört  vor  Erreichung  des  Punktes  B 
auf.    Kein  Bild  P'  mit  einem  P"  vereinigt. 

,-u+t,  =  2n+l-[^]  +  l. 

Elfter  Fall:  180  ==n. 2a +(a—«a),  oder  360:2a-2n+(l-«), 
n  gerade; 

<Pi  ^  a  —  ea,     (p^  ^  a-j-««. 
Man  findet 

2i"  J»    *^«'  ■=  «— «a+<Pi  <  2a 

ü  «  n,  SP/'»  a  —  «a-j-^ji  ^  2a, 

d.  h.  Pu  frei  innerhalb  des  todten  Raumes.    Po"  frei  innerhalb  oder 
an  der  Grenze  OS, 

Mit  Hilfe  von 

©P»'  =  2a  — «P«'  =  a+ea  —  <p^ 
kommt  auch 

iBPo"+«P»'  =  29,«2«$ 

8P/'— »P«'  =  2a-2«a, 
d.  h.  Bogen  PjPv'  halbirt  in  $;  seine  Länge  —  2(a— 00). 

Aus  VPv'^^fdPv'  folgt:  jede  der  zwei  Bilderreihen  hört  tot 
Erreichung  des  Punktes  $  auf.  Kein  Bild  P'  mit  einem  P"  ^- 
einigt. 

•  =  «+t,-2n-[2^]. 

Zwölfter  Fall:  180  —  n.2a4-(a— ea),  oder  360:2««- 
2n+(l— c),  n  gerade; 

g>i  <  a  —  ea.    9»  >  a-f-««- 
Man  findet 


Macki  Dtr   WinkeUpUgel  37 

[isoni 

©  — ■  1»,  )BP»"=»  « — ««-f"V«  >  2«; 

d.  b.  Pu  frei  innerhalb,  Pt'^  frei  ausserhalb  des  todten  Ranmes. 

Mit  mife  von 

»P»'  —  2«— tP,.'  —  «+e«+(p, 

kommt  auch 

©p;'+©P^'  ==  4a  -  2OT 

«P/'  —  «P«'  —  2«  —  2ea  — 29?i ; 

d.  h.  Bogen  PuFw"  halbirt  in  fl;  seine  Länge  «  2ia — ea  —  fpj). 

Jede  der  zwei  Bilderreihen  hört  vor  Erreichung  des  91  auf.  Kein 
Bild  P'  mit  einem  P"  vereinigt. 

Anmerkung.  Die  zu  den  F&llnn  1,  2,  7,  8  gegebenen  Reihen 
der  Werte  von  2«^  sind  zu  einer  einzigen  zu  verbinden.  Alle  flbrigon 
Werte,  welche  den  übrigen  acht  Fällen  entsprechen,  wird  man  leicht 
gemäss  den  Charakterisirungen  dieser  Fälle  bestimmen,  und  man 
kann  sie  an  die  vorhin  gedachte  Reihe  teils  durch  Voraus  tellung 
teils  durch  Einschaltung  anknüpfen. 


§  12. 

Die  Untersuchung  im  vorigen  §  ist  zwar  unter  der  bestimmten 
Voraussetzung  durchgeführt  worden,  dass  von  den  Winkeln  q>^j  q>^ 
der  erstgenannte  der  kleinere  sei.  Indes  ist  aus  jener  ieicht  zu  er- 
kennen  die   Richtigkeit  der  alsbald  auszusprechenden    allgemeinen 

Sätze,   welche  für  9i  ^  ^s  gemeint  sind. 

Bei  diesen  ist  nur  immer  streng  festzuhalten:  n  die  grösste  ganze 
Zahl  unterhalb  des  Quotientenwertes  180:2a  (der  selbst  >1  sein 
01088),  2n  die  grösste  gerade  Zahl  unterhalb  dos  Quotientenwertes 
360:2«  (der  selbst  >  2  sein  muss).  Und  im  übrigen  sind  die  bisher 
gebrauchten  Bezeichnungen  in  dem  bisherigen  Sinne  festzuhalten. 

Die  bezilglichen  allgemeinen  Sätze  (für  7^  ^  tp^)  lauten: 

I)  „Was  die  Ordnungszahlen  der  Orenzbllder  P«',  P/'  betrifft, 
jso  ist  entweder  jede  gleich  n-f-l«  oder  jede  gleich  n,  oder  die  eine 
^eich  n4-ls  ^0  andere  gleich  n/'    Und  zwar 


38  Mach:  Der   WinkeUpiegtl. 

1)  Die  ADgabe  u  =  t;  »  n-f-l  gilt  sowol  in  jedem  der  Fälle, 
wo  180:2a  eine  ganze  Zahl  ist,  als  in  jedem  solchen,  wo  die  DiviBion 
180:2a  einen  Best  {a-^ea)  lässt,  der  sogar  den  grösseren  der  ¥finkel 
9»i,  «'s  flbertrifit.    (§  11.;  1,  2,  3,  5). 

2)  Die  Angabe  u:=v^n  gilt  in  jedem  deijenigen  Fälle,  wo 
die  Division  180:2a  einen  Rest  {tt—ea)  lässt^  welcher  höchstens  den 
kleineren  der  Winkel  sp^)  9t  erreicht    (§  11,;  9,  11). 

3)  Die  Angabe  u  ^v  (mit  u-f-»  =»  2n+l)  gilt  in  jedem  der 

übrigen  Fälle,  wo  nämlich  die  Division  180:2a  einen  Rest  lisst, 
welcher  sich  befindet  auf  dem  Wege  von  dem  grösserem  (mit  eio- 
begriffenen)  der  beiden  Winkel  9  bis  vor  den  kleineren. 

Immer  aber,  wenn  die  Ordnungszahlen  der  Orenzbilder  ungleich 
sind,  ist  die  kleinere  an  den  bei  P  näheren,  oder  an  den  von  P  ent- 
fernteren Spiegel  geknüpft,  jenachdem  n  ungerade  oder  gerade  ist 

n)  „Was  die  Lage  der  Orenzbilder  P«',  P/'  gegen  den  todten 
„Raum  betrifft,  so  bestehen  folgende  Angaben.^^ 

1)  Ist  tt  «-  V  »  n-|-l',  so  liegt  jedes  der  zwei  Orenzbilder  frei 
innerhalb  des  todten  Raumes.    (§  11.;  1,  2,  3,  5). 

2)  Ist  tt  »  t7  »  n,  und  zwar  dadurch  herbeigeführt,  dass  der 
kleinere  der  beiden  Winkel  (p  grösser  ist  als  der  zu  180:2a  gehörige 
Divisionsrest,  so  liegt  ebenfalls  jedes  der  zwei  Orenzbilder  frei  inoer- 
halb  des  todten  Raumes.    (§  11.;  9,  12). 

3)  Ist  tt  -»  V  —  n,  aber  dadurch  herbeigeführt,  dass  der  kleinere 
der  beiden  Winkel  9  gleich  oben  gedachtem  Divisionsreste  ist,  so 
liegt  das  eine  der  Orenzbilder  frei  innerhalb  des  todten  Raumes,  das 
andere  in  einer  der  Linien  A0%^  B0%^  und  zwar  in  der  bei  P  nähe- 
ren, oder  in  der  von  P  entfernteren,  jenachdem  n  gerade  oder  un- 
gerade. 

4)  Ist  u  ^  V,  so  ist  immer   das  eine  Orenzbild  &*ei  innerh&Ib 

des  todton  Raumes ,  das  andere  frei  ausserhalb ;  und  letzteres  ist 
immer  dasjenige  mit  der  kleineren  Ordnungszahl. 

III)  „Das  Bogcnstück  PhPv"  hat  zum  Halbirungspunkt  immer 
„einen  der  vier  Punkte  $,  ^0»  *»  ®;  biebci  die  Yorstellung  des 
„Halbirtseins  auch  dann  festzuhalten,  wenn  die  Punkte  P»',  P,'  ver- 
„einigt  liegen;  „welches  letztere  dann  und  nur  dann  (§  11.;  l,  2) 
„zutrifft,  wenn  die  Division  180:2a  aufgeht.    Genauer  ist  zu  sagen" 


Mack:  Der   WinkeUpiegel.  39 

1)  In  jedem  der  Fälle  w  =  t?  ist  es  einer  der  Punkte  ^,  ^4}oi 
welcher  die  gedachte  Rolle  spielt.  Und  zwar,  wenn  m  =  t?  =  n-|-l, 
so  fällt  diese  Rolle  dem  "^  oder  dem  $o  zn,  jenachdem  n  ungerade 
oder  gerade  ist;  wenn  aber  u  »  t;  ==»  n,  so  fällt  sie  dem  $  oder  $o 
zu,  jenachdem  n  gerade  oder  ungerade.    (§  11.;  1,  2,  3,  5,  9,  11). 

2)  In  jedem  der  Fälle  u  ^v  ist  es   einer  der  Punkte  V,   9, 

welcher  den  Bogen  PnPv'  halbirt.    Und  zwar  spielt  tl  oder  S3  die 
gedachte  Rolle,  jenachdem  u  oder  v  die  grössere  der  zwei  Zahlen  ist 

IV)  „Was  die  gegenseUige  Lage  der  Bildorreihen  (P'),  (P") 
„betrifft,  so  ergeben  sich  die  Behauptungen:^' 

1)  Die  zwei  Reihen  stossen  in  einem  der  Punkte  ^,  $o  zu- 
sammen, wenn  «  *=  v  =n+l  stattfindet  mit  1**^0:2«  =  n+1;  und 
zwar  erfolgt  das  Zusammenstossen  in  $  oder  in  ^4-<0)  jenachdem  n 
ungerade  oder  gerade  ist. 

2)  Die  zwei  Reihen  greifen  in  einander  ein,  wenn  tt=-ü=w-f-l 
stattfindet,  ohne  dass  180:2a  «==  w-fl;  und  zwar  greifen  beide  gleich 
weit  über  $  oder  über  $o  liiBaus,  jenachdem  n  ungerade  oder  ge- 
rade. 

3)  Beide  Reihen  hören  von  einem  und  demselben  der  Punkte 
$,  4>o,  unter  gleichem  Abstand  von  ihm  auf,  wenn  w  =- 1>  «  w;  und 
zwar  spielt  $  oder  ^$q  die  bezügliche  Rolle,  jenachdem  n  gerade  oder 
ungerade. 

4)  Beide  Reihen  hören  vor  einem  und  demselben  der  Punkte  9, 
^S  unter  gleichem  Abstand  von  ihm  auf,  wenn  u  und  v  ungleich  sind ; 
und  zwar  spielt  t(  oder  ^  die  bezügliche  Rolle,  jenachdem  u  oder  v 
die  grosse  Zahl  ist. 

V)  „Was  die  Bogenlänge  PuPv'  betrifft,  so  ist  sie  von  den 
„Grössen  goi,  g>2  S^°z  unabhängig  in  allen  denjenigen  Fällen,  wo  einer 
„der  Punkte  $,  5ßo  es  ist,  der  den  Bogen  PuPv"  halbirt."  In  jedem 
derartigen  Falle  ist  Pm'P©"  entweder  —0  oder  »«2(a  — c«);  der 
Wert  Null  nur  vorkommend,  wenn  180:2a  eine  ganze  Zahl. 

„Dagegen  ist  die  Bogenlänge  Pi/Pv'  von  g>i  oder  ^2  abhängig 
„in  allen  denjenigen  Fällen',  wo  einer  der  Punkte  «,  33  es  ist,  der 
„den  Bogen  PuPv"  halbirt"  In  jedem  solchen  Falle  ist  PhPv''  ent- 
weder =  «  —  9),  oder  =  a-f-c«  —  ^j  oder  —  a — ea  —  9;  unter  g> 
den  kleineren  der  her  beiden  Winkel  91,  92  verstanden. 

Dass  durch  den  Uebergang  von  einem  der  zwölf  Fälle  des  §  11. 
eine  schroffe  Aenderung  der  Erscheinungen  bewirkt  werde,  ist  aus 


40  Maek:  Der  WinkeUpiegtl 

jenem  §  nnmittelbar  zu  ersehen,  und  es  bedarf  dass  keiner  weiteren 
AosfÜhruDg.  Durch  vorstehende  Angaben  ist  man  aber  daraof  bm- 
gewiesen,  gewisse  Aenderungen  und  mit  ihnen  verbundene  Behtr- 
rungen  hervorzuheben,  welche  innerhalb  jedes  einzelnen  jener  zwölf 
Fälle  sich  zeigen,  während  doch  die  Bedingungen  seines  ZutrefFeu 
streng  festgehalten  werden.  Cremäss  vorigen  Angaben  lU)  ...  Y)  ist 
zu  behaupten: 

YI)    „Wenn  bei  gegebener  Oeffhung  des  Winkelspiegels  und  ge- 
„gebener  nicht  medianer  Lage  von  F  l  Z^fj^^i^u^  \    Ordnungszahlen 

„für  die  zwei  Grenzbilder  vorhanden  sind,  so  ist  innerhalb  dim 

„zwischen  (immer  nach  §  11.  zu  bestimmenden)  Spielraums  derPnnkt 

„P  so  zu  bewegen,  dass  zwar  die  Grrenzbilder  ihre  Lage  ändern,  und 

.      ,  V.  j>    j      r»        (die  Lage  seines  Halbirungponktes) 

„für  den  sie  verbindenden  Bogen  J^eineLänge  ) 

„sich  stetig  ändert,  dagegen   unverändert  bleiben  jene  beiden  Ord- 
„nungszahlen  und  [f^  ^^f  ^^^  Halbirungspunktes)  J^"~  »^•" 


§13. 

Wenn  man  die  Fälle  mit  ipi  »  9^  denjenigen  gegen- 
tiberstellt,  wo   (pi  ^  9^,   so  ist  aus  den  §§  10.  ...  12.  enicht- 

lich,  dass  jeder  Fall  der  einen  Art  sehr  wesentliche  Eigentamüch- 
keiten  hervorkehrt  gegenüber  jedem  Falle  der  andern.  Nur  die- 
jenigen Fälle  der  zweiten  Art,  wo  die  Ordnungszahlen  «  und  v  der 
beiden  Grenzbilder  einander  gleich  werden,  zeigen  eine  merkliche 
Verwandtschaft  mit  solchen  der  ersten  Art;  was  eben  damit  zusam- 
menhängt, dass  jeder  der  Fälle  mit  <Pi  =  g>2  als  ein  solcher  anzn- 
sehen  ist,  wo  die  Punkte  $,  $0  ^^  ^^  sich  vereinigt  haben,  wie  ja 
P  und  Po  in  M  es  getan. 

Mit  Racksicht  auf  die  Grösse  der  angedeutenden  Unterschiede 
und  bei  dem  übersichtlichen  Charakter,  welchen  welchen  man  den 
Darstellungen  der  $§  10.  und  11.  zu  geben  suchte,  wird  man  daraof 
verzichten  wollen,  dass  weiterhin  Yergieichungen  und  Zusammen- 
fassungen der  beiderseitigen  Resultate  ausgeführt  werden. 

Nur  mit  Bezug  auf  die  Zahl  «,  auf  deren  Ermittlung  gewöhnlich 
das  grässte  Gewicht  gelegt  wird,  mag  das  geschehen;  es  mag  also 
noch  ausgesprochen  werden  folgende 


Mach:  Der   WinkeUpiegeL  41 


Generalangrabe 
Aber  die  Gesammtzalil  s  der  dem  Aiisre  unterscheidbareii 

Bilder  Ton  P. 

„Wenn  P  irgendwie  frei  zwischen  den  beiden  Spiegeln  des  Win- 

< 

f^elspi^gelB  liegt,  so  dass  jede  der  drei  Möglichkeiten  (Pi  «•  tpf   zu- 

> 

„gelassen  ist,  so  hat  man  bezüglich  der  Zahl  «  zu  behaupten: 

1)  Ist  180:2a  eine  ganze  Zahl  {d.  h  auch  360 :2n  von  der 
Form  2n+2},  so  ist  «  «  (360: 2«)— 1. 

Die  hier  gemachte  Voraussetzung,  und  nur  diese  ist  es,  bei  wel- 
cher zwei  Bilder  des  ^,  nämlich  die  Grenzbilder,  sich  vereinigen. 

2)  Läset  die  Division   180:2a   einen   Rest     a-^ea    {d.  h.    ist 

[360t 
A-  I*    Ersteres  trifft  zu  dann  und  nur  dann,  wenn  jeder 

der  Winkel  ^j,  tpf  kleiner  ist  als  jener  Rest;  es  trifft  also  nament- 
lich auch  zu,  wenn  9^  —  9,  «-  a. 

3)  Läset  die  Division  180:  2a  den  Rest  a  {d.  h.  ist  360:2a»  2n-fl}, 
80  ist  «  entweder  »  360:2a  oder  -»  (360:2a)— 1.  Letzteres  trifft 
zu  dann  und  nur  dann,  wenn  9i  »  9>s  »  «. 

4)    Lässt  die  Division    180:2a    einen   Rest   a—ea    {d.  h.    ist 

ö—    1+1 

[360ni 
o—  |.    Letzteres  trifft  immer  zu  bei  vorhandener  Gleich- 
heit der  Winkel  <ri   und    q)^:   bei  vorhandener   Ungleichheit   aber 
dann  und  nur  dann,  wenn  selbst  der  kleinere  mindestens  jenem  Reste 
gleich  ist 

Man  bemerke  wol,  dass  vorstehende  Angaben  über  s  ganz  un- 
abhängig davon  sind,  ob  die  Hilfszahl  n  eine  ungerade  oder  eine  ge- 
rade ist. 

§  14. 

Die  Rolle,  welche  der  Punkt  3)t  in  den  Sätzen  des  §  10.  spielt, 
ist  ganz  unmittelbar  an  den  Umstand  anzuknüpfen ,  dass  die  dortige 
Voraussetzung  tp^  =  (p^  eine  durchgängige!  Symmetrie  der  Erschei- 
oaogen  bewirken  muss. 


42  Mach:  Der   Winkelspiegel. 

„Sofern  aber  iu  den  Sätzen  der  §§11.  und  12.  auch  die  Punkte 
M$)  Voi  J^  sogar  die  Punkte  'ü,  ^  eine  bis  za  gewissem  Grad  l\m- 
„liebe  Rolle  spielen  wie  9)^,  so  ist  augezeigt,  darüber  noch  weiteren 
„AufschluBS  zu  suchen^^  Solcher  ist  in  der  Tat  ans  den  Sätzen  V) 
und  y  a)  des  §  9.  zu  gewinnen,  denn  durch  diese  wird  man  auf  Lioien 
aufmerksam  gemacht,  deren  jede  als  Symmetralaxe  für  gewisse  Bilder 
P'  und  entsprechende  P"  erscheinen  mnss.  Sie  ergeben  sich  wie 
folgt: 

1)  Die  Gerade  OP  halbirt  immer  den  Winkel  P^OP^^  denn  es 
ist  (vgl.  §  3.) 

einesteils  Winkel  POP^'^  P0A'\-A0P2'^  9>i  +  (2a+<j?Ä)  «4«, 
andernteils  Wkl.  POP^"^  POB+BOP"  =  (p^+(2a  +  (p{)  =  in. 

Sofort  gemäss  §  10.,  V)  und  Va)  erkennt  man,  dass  die  Bilder 
^Vi  ^i\  ^6  •••  der  Reihe  nach  mit  P/',  ^4^  P^"  ...  symmetrisch 
liegen  bezüglich  der  Axe  P0% 

Demgemäss,  wenn  die  Ordnungszahlen  u,  v  der  Grenzbilder  Pu\ 
P"  gleich  grosse  gerade  Zahlen  sind,  muss  für  den  Bogen  ?uK 
sein  Halbirungspunkt  in  9K  sich  ergeben ,  und  auch  die  Unabhängig- 
keit seiner  Länge  von  tp^  und  9s  ist  zu  begreifen. 

2)  Die  Gerade  OP^  halbirt  immer  den  Winkel  ^,'0/^*;  denn 
es  ist 

« 

einesteils  Wkl.     PqOP^'  «  P^OA+AOPj^  =-  Vg+^fi  «="  2«, 
andernteils  Wkl.  PqOP^'=z  P^Oß+ßOP^"^  <Pi+92  =  2o. 

Sofort  erkennt  man,  dass  die  Bilder  P/,  P3',  P5'  ...  der  Reihe 
nach  mit  P^",.  P^'\  P5"    . . .    symmetrisch   liegen   bezüglich  der  Axe 

Demgemäss,  wenn  m,  v  gleich  grosse  ungerade  Zahlen  sind, 
muss  für  den  Bogen  PuPv"  sein  Halbirungspunkt  in  $0  ^^^^  ^^' 
geben,  und  auch  die  Unabhängigkeit  seiner  Länge  von  7^  und  fs  ^^ 
zu  begreifen. 

3)  Die  Gerade  OA  halbirt  immer  den  Winkel  P,'OPi";  denn 
es  ist 

einesteils  Wkl.  AOP^'  ^  2rt-j-9^8i 

andernteils  Wkl.  AOP^"=:  AOB'\-BOP^'^  2a+9,. 

Sofort  erkennt  man,  dass  die  Bilder  P^',  P4',  Pg'  ...  der  Reihe 
nach  mit  den  Bildern  P/',  P«",  P5"  ...  symmetrisch  liegen  bezflgiich 
der  Axe  AOSl. 


Mach:   Der   WinkeUpiegel.  43 

Demgcmäes,  wenn  u  gerade  ist  und  um  Eins  grösser  als  v,  ist 
ersichtlich,  dass  dür  Bogen  /«'^V  seinen  Halbirungspunkt  in  91  haben 
mass;  und  auch  die  Abhängigkeit  seiner  Länge  yon  q>^  wird  be- 
greiflich. 

4)  Die  Gerade  Oa  halbirt  immer  auch  den  Winkel  ^s'^Pg"; 
denn  es  ist 

einesteils  Wkl.  ^OPg'— 4«  +  c)p, 

andemteils  Wkl.  ^0P,"=  ^Oi^+i?Oi>,"«  2a+(2a+<p,). 

Sofort  erkennt  man,  dass  die  Bilder  P^\  ^5',  i\'  ...  der  Reihe 
nach  mit  P,"*,  P^\  P^'  ...  symmetrisch  liegen   bezüglich  der  Axe 

Wenn  also  u  ungerade  ist  und  um  Eins  grösser  als  v,  muss  der 
Bogen  Ph'P"  seinen  Halbirungspunkt  in  VI  haben;  und  auch  die  Ab- 
hängigkeit seiner  Länge  von  q>i  ist  begreiflich. 

BezOglich  der  Geraden  OB  findet  man  ebenso  gerechtfertigt  die 
Angaben: 

5)  Die  OB  halbirt  immer  den  Winkel  P^OP^*  und  ist  dessen 
Hälfte  gleich  2a-f  (pj.  Hicuach  die  Bilder  /\',  P^\  ^"5'  ...  sind  der 
Reihe  nach  zu  P^\  P^\  P^'  ...  symmetrisch  bezüglich  der  Axe  BOb. 
Ist  also  tt  ungerade  and  um  Eins  kleiner  als  v,  so  muss  der  Bogen 
PuP^"  in  ^  halbirt  sein;  und  die  Abhängigkeit  seiner  Länge  von 
9i  ist  ersichtlich. 

6)  Die  OB  hr.lbirt  auch  den  Winkel  P^'OP^\  und  ist  dessen 
Hälfte  gleich  4«-f  rp,.  Hienach  die  Bilder  P,',  P4',  E^'  ...  sind  der 
Reihe  nach  symmrtrisch  mit  P^\  P5",  P7"  ...  bezüglich  der  Axe 
BO"^,  Ist  also  u  gerade  und  ums  Eins  kleiner  als  v,  so  muss  der 
Bogen  Pm'P/'  in  ^  halbirt  sein,  und  auch  die  Abhängigkeit  seiner 
Länge  von  9^  ^^^  begreiflich. 

Von  vorstehenden  Angaben  fällt  immerhin  ein  neues  und  wesent- 
liches Licht  auf  sehr  wiehtige  Bestandteile  der  in  den  §§  11.  und  12. 
gewonnenen  Sätze;  ja  diese  könnten  sogar  vollständig  von  jenem  her- 
geleitet werden.  Doch  dürfte  die  hiemit  angedeutete  Herleitung  in 
wescnüichcn  Stücken  der  im  §  11.  durchgeführten  Methode  nach- 
stehen, welche  dort  jedenfalls  als  die  nächst  liegende  und  ihres  Ei 
feiges  vollkommen  sichere  sich  empfehlen  müsste. 


44  Mach:  Der   WinkeUpUgäL 

§  15. 

„Wenn  die  Oeffnung  2aP  des  WinkelspiegeU  fest  gegeben  ist, 
„und  man  lässt  den  Punkt  P  in  einer  zn  der  Axe  UV  senkreclrten 
„Ebene  AOb  stetig  sieb  bewegen^^  so  zwar,  dass  seine  Entfernaog 
OP  von  der  Axe  sich  nicht  ändert,  and  dass  er  von  einer  Lage  aos 
dicht  bei  der  Spar  Oa  des  ersten  Spiegels  bis  dicht  vor  der  Spur 
Ob  hingeht ;  so  ist  aus  den  hier  vorgetragenen  Lehren  immer  der 
Grang  der  zugehörigen  Bilder  P',  P"  anschaulich  zu  entnehmen,  ins- 
besondere das  die  Grenzbilder  Px'^Pv"  Angehende,  ihre  Zahl  nid 
Lage  Betreffende  genau  zu  verstehen. 

Das  ist,  wie  man  sofort  erkenut,  höchst  einfach  in  den  Fällen, 
wo  360:2«  die  Form  2n-\-2  mit  ungerader  oder  mit  gerader  n  hat, 
weniger  einfach  in  den  übrigen,  von  welchen  wenigstens  ein  beson- 
ders vorsichtig  zu  behandelnder  durch  ein  Beispiel  erläutert  werden 
mag. 

Sei 

2oO«78S    «=39. 
Aus  der  Angabe 

180  «2.78+24 

sieht  man,  die  bisherigen  Bezeichnungen  beibehaltend,  dass 

»  -=  2,    «  ■=  «  —  6«  i=»  24,    e«  =»  15,    cf+e«  ■«  54. 

Das  Beispiel  umfasst  die  Fälle  12)  und  11)  des  §  11.  nebst  ihres 
durch  Yertanschung  von  «pj  und  q>2  sich  ergebenden  ModificatioBen 
es  sind  hienach  die  folgenden  Angaben  zu  machen,  welche  auch  mit 
Hilfe  des  §  3.  zu  controliren  sind. 

1)  Während  der  Winkel  ^OPvon  einem  dicht  bei  Null  liegen- 
den Werte  an  stetig  wächst  bis  vor  24^,  hat  man  beständig  u«-3, 
V  -»  2.  Die  Grenzbilder  P^',  P^"  bewegen  sich  beide  stetig  gegen 
den  festen  Punkt  0  hin,  P,'  innerhalb  des  todten  Raumes,  Pt* 
ausserhalb,  beide  immer  gleich  weit  von  S  entfernt;  diese  Entfernung 
allmählich  alle  Werte  zwischen  Null  und  24^  annehmend. 

2)  Während  AOP  von  24^  an  stetig  wächst  bis  zu  54«  («  78« 
— 24^),  ist  immer  u  »  v  =  2.  Der  Bogen  zwischen  den  Grenzbilden 
Ps',  Ps"  ist  unveränderlich  gleich  48^  sein  Halbirungspunkt  immer 
der  mit  P  sich  bewegende  Punkt  $.  Die  Bewegung  des  Bogens 
P%^t  ist  eine  Fortschiebung  in  der  Richtung  CSKS,  so  dass  an- 
fänglich Pg"  in  0  ist,  und  zuletzt  P/  in  S. 

3)  Während  AOp  stetig  wächst  über  54^  hinaus  bis  dicht  m 
78^  ist  immer  t»  «  2,  v  =  3.    Die  Qrenzbilder  P,',  P,"  bewegen  Bit* 


Mac  kl   Der  Wink^lsptegel.  45 

beide  stetig  von  dem  festen  Punkte  8  weg,  P^  ansserhalb  des  todten 
Raumes,  P^"  innerhalh ;  beide  immer  gleich  weit  von  9  entfernt,  diese 
Entfernung  allmählich  alle  Werte  zwischen  24®  und  Null  an- 
nehmend. 

§  16. 

Nachdem  alles  Wesentlicho  dargelegt  ist,  was  anf  die  Abbildungen 
des  einzelnen  Punktes  P  sich  bezieht,  wollen  wir  irgend  ein  starres 
Sjstem  £  von  Punkten  C\  Z>,  E  ..,  betrachten,  welches  in  die  Oeff- 
nnng  (2a)  des  Winkelspiegels  eingeführt  sei;  und  es  soll  fUr  die 
Punkte  C,  Z>,  £  . . .  der  Figur  £  dahin  gestellt  bleiben ,  ob  sie  in 
Einer  zu  der  Axe  UV  normalen  Ebene  sich  befinden  oder  nicht. 

Während  wir  nun  bie  bisherigen  Bezeichnungen  festhalten  oder 
ihnen  ganz  analoge  gebrauchen,  machen  wir  zunächst  die  besondere 
Annahme,  dass  der  Quotient  180:2a  eine  ganze  Zahl  n-f-1  sei.  Dann 
sind  gemäss  den  Sätzen  der  §§  6.,  7.  sofort  die  folgenden  Angaben 
zu  machen. 

I)  Als  zu  dem  ersten  Spiegel  gehörige  Abbildungen  der  Figur 
£  ergeben  sich  der  Reihe  nach  Figuren  £i\  £^\  £^'  ...  £n\  «^n-fi', 
jene  eine  in  einem  der  n-|-l  Hilfsfächer  des  ersten  Spiegels,  welche 
der  Reihe  nach  sich  darbieten  als  Flächenwinkel,  jeder  zwischen 
zwei  nächst  aufeinander  folgenden  der  n4-2  Ebenenstttcke  ÜVÄ^ 
UVLi,  ^V^  '"  UVLn,  UVÜ,  —  Und  mit  analogen  Bestimmungen 
erscheinen  als  zum  zweiten  Spiegel  gehörige  Abbildungen  der  Figur 
£  die  mit  1?,",  -£,",  -Sj"  . . .  £n\  £ni^i"  zu  bezeichnenden. 

II)  Je  zwei  nächst  benachbarte  Abbildungen  £k\  £k^i'  sind 
symmetrisch  mit  Bezug  auf  die  sie  trennende  Ebene  (Scheinspiegel) 
ÜVLi^  80  zwar,  dass  den  Punktbildem  Q',  Di\  Eh  ,,.  der  Reihe 
nach  entsprechen  Ck\\\  A+i'i  Ek^i'  ...  —  In  gleicher  Weise  sind 
£i\  £i^i'  symmetrisch  mit  Bezug  auf  die  Ebene  (Scheinspiegel) 
UVRi. 

ni)  Jede  Abbildung  £*  oder  £f'  von  ungerader  Ordnung  ist  sym- 
metrisch gleieh  dem  Urbild  £^  so  zwar,  dass  den  Punkten  C7,  2>, 
£  ...  des  letzteren  entsprechen  die  in  £'  enthaltenen  Punktlnlder 
C\  ly^E!...  und  ebensogut  die  in  £'  enthaltenen  C",  Lf\  E"  ... 

Daher:  alle  Abbildungen  £'  und  £"  von  ungerader  Ordnung 
sind  anter  sich  congment,  so  zwar,  dass  in  jedem  Paare  derselben 
die  dann  einen  Partner  angehörigen  Bilder  der  Punkte  C^  D^  E  ,., 
der  Reihe  nach  entspreehen  den  im  andern  Partner  befindlichen 
Bildern  derselben  Punkte. 


46  Mach:  Der   WinkelspicgeL 

IV)  Jede  Abbildnng  Z'  oder  £"  von  angerader  Ordnung  ist 
congruent  mit  dorn  Urbild  2?,  so  zwar,  dass  mit  den  Punkten  C,  Z), 
E  ...  des  letzteren  beziehangsweise  zur  Deckung  zu  bringen  sind, 
sowol  die  in  £'  enthaltenen  Punktbilder  C\  D\  E'  ...  als  die  in 
2:"  enthaltenen  C",  Z^,  E"  ... 

Daher  auch:  alle  Abbildungen  S'  und  £"  von  gerader  Ordnung 
sind  (in  selbstverständlichem  Sinne)  unter  sich  congruent. 

Den  Sätzen  der  §  10.,  U)  und  §  12.,  II)  gemäss  knüpft  sieb 
hieran : 

V)  Die  Abbildungen  Zn^\\  Zu\\\  beide  in  dem  Winkel  zwischen 
den  Ebcnenstflckeu  C/K8(,  UVSß  eingeschlossen,  müssen  immer  voll- 
ständig vereinigt  sein,  so  zwar,  dass  die  Punkte  Cn\\\  Dn\\, 
En\-\'  ...  der  Reihe  nach  in  Cn^\\  i>«+i",  £^+i"  ...  sich  finden. 

Indes  ist  hiebci  der  Unterschied  zu  berücksichtigeu,  welcher 
sich  ergibt,  jenachdem  die  Zahl  n-f-l  ungerade  ist  oder  gerade. 

Wird  nämlich  diejenige  Ebene  beigezogen,  welche  durch  die  Aie 
r/K  gehend,  hinter  den  beiden  Spiegelflächen  UVA^  1775  befind- 
lich, gleiche  Winkel  mit  denselben  macht,  so  ist  in  dem  Falle  der 
ungeraden  n-{-l  zu  bemerken:  das  Bild  ^nfi'  (oder  das  mit  ihnen 
identische  ^^n-i  1")  Hegt  bezüglich  genannter  Ebene  zu  dem  Urbild  ^ 
symmetrisch,  so  dass  jede  der  Strecken  CCn-{-\\  DDn^\\  EEt^^x  ... 
durch  genannte  Ebene  senkrecht  halbirt  ist.  —  Ist  aber  n-|-I  eine 
gerade  Zahl,  so  sind  2J  und  .^n+i'  in  solcher  gegenseitigen  Lage, 
dass  jede  der  Strecken  CCW+i',  DDn^i  EEn^i'  ...  durch  die  Gerade 
UV  senkrecht  halbirt  ist 

Die  Bedeutung  dieser  Angabe  zeigt  sich  an  folgenden  Bei- 
spielen: 

Ist  die  Oeffnung  2a^  «  GO®}  {I80:2o  =  3  -=  n+lj,  so  wird  als 
mittleres  Bild  eines  in  den  Winkelspiegel  mit  beiden  Augen  gleich- 
massig  hineinschauenden  Menschen  ein  solches  Menschenbild  erschei- 
nen, dessen  rechtes  Auge  die  Abbildung  von  dem  linken  Auge  des 
wirklichen  Menschen  ist 

Hat  man  aber  2«»  =  90<^|180:2a  «  2  «  n+1},  so  wird  als 
mittleres  Bild  eines  in  den  Winkelspiegel  mit  beigen  Augon  gleich- 
massig  hineinschauenden  Menschen  ein  solches  Menschenbild  erschei- 
nen, dessen  rechtes  Auge  die  Abbildung  von  dem  rechton  Auge  des 
Urbildes  ist. 


Mach'  Der   WinheUpteget,  47 


§  17. 

Sei  jetzt  angenommen,  dass  die  Division  180:2a  einen  Rest  a 
lasse  {180  »  n.2a-|-co) ,  und  sei  eine  in  die  Oeffnung  des  Winkel- 
spiegels eingefahrte  Figur  £  gedacht,  wie  im  vorigen  §. 

Das  (n-f-l)te  Hilfsfach  zum  ersten  Spiegel  wie  das  (n-f-l)te 
zum  zweiten  ist  nun  ein  Flächenwinkel  *=»  q>,  und  sofort  ist  zq  sagen: 

Es  erscheinen  jedenfalls  Abbildungen  £^'  ...  2^  und  £i'  ... 
Sn\  jede  als  eine  vollständige  Abbildung  von  27,  und  es  sind  für 
solche  ganz  dieselben  Bestimmungen  zu  geben  wie  im  vorigen  §. 

Was  aber  in  dem  (n-j-l)ten  Uilfsfach  (dem  Schlussfach),  zu  dem 
einen  oder  andern  Spiegel  gehörig,  zu  suchen  sei,  dass  ist  jetzt  näher 
zu  erörtern. 

Nach  den  §§  10.  und  12.  kann  irgend  ein  Punkt  P  der  Figur  £ 
so  liegen,  dass  entweder  keines  der  Bilder  P»+i',  Pn-^i"  zu  Stande 
kommt,  oder  nur  ein  einziges ,  oder  beide.  Daher  ist  bei  jedem  der 
zwei  Schlussfächer  an  die  drei  Möglichkeiten  zu  denken,  dass  ent- 
weder gar  kein  Punkt  der  Figur  2  in  demselben  zur  Abbildung  ge- 
lange, oder  nur  ein  Teil  von  ^,  oder  £  in  ganzer  Ausdehnung. 

Indes  ist  eine  Gonstruction  anzugeben,  welche  geeignet  ist,  für 
jeden  Fall  eine  vollständige  Aufklärung  in  anschaulicher  Weise  zu 
gewähren. 

Aus  Axe  l/r  werde  zunächst  innerhalb  des  »ten  Hilfsfaches  des 
ersten  Spiegels  ein  Ebenenstück  17 FS  so  geführt,  dass  seine  Ab- 
weichung von  dem  Ebenenstück  üVLn  «  cd  sei.  Dann  ist  aus  §  6.9 
Y)  zu  entnehmen:  was  von  der  Figur  Zn  zwischen  den  Ebenen- 
Stücken  ÜVÜ  und  ÜVLn  sich  befindet,  das  und  nur  das  erscheint 
auch  in  dem  Schlussfache  zwischen  ÜVLn  und  ÜVü^  so  zwar,  das 
jedem  Punkte  Cn  ein  Punkt  CW^i'  entspricht,  und  die  zwei  Punkte 
Cm\  CW-f  1'  zu  der  Ebene  ÜVLn  symmetriseh  liegen. 

Desgleichen  werde  aus  ÜV  innerhalb  des  nten  Hilfsfaches  des 
zweiten  Spiegels  ein  Ebenenstück  UV9t  sa  geführt,  dass  seine  Ab- 
weichung von  dem  Ebenenstück  üVRn  »  co  sei.  Was  dann  von  der 
Figur  £n"  zwischen  den  Ebenenstücken  ÜV9i  und  VTRn  sich  be- 
findet, das  und  nur  das  erscheint  auch  in  dem  Schlussfache  zwischen 
ÜVRn  und  ÜV'i\  80  zwar,  dass  jedem  Punkt  Cn"  ein  Punkt  C„+r 
entspricht,  und  die  zwei  Punkte  Cn\  Cn^i"  zu  der  Ebene  symme- 
trisch li^n. 


48  Mach:  Der   WinkeUpiegei. 

Man  sieht  hieraas,  dass  unter  Umständen  die  ganze  Leistong 
des  Winkelspiegels  mit  Hervorhringnng  der  Bilder  Z»',  2n"  erschöpft 
ist,  dass  aher  unter  andern  Umständen  Figuren  Hn-^i^  «fiifi"  eit- 
stehen, welchen  so  und  so  viel  dazu  fehlte,  vollständige  Bilder tod 
£  zu  sein. 

Um  für  solche  ihre  Beziehung  zu  S  genauer  zu  erkennen,  kum 
man  zwei  weitere  Hilfsebenen  einführen,  beide  aus  UV  gehend,  Ib- 
nerhalb  des  Winkelspiegels  selbst:  die  eine  ÜV^  von  ÜVA  ab- 
weichend um  09,  die  andere  ÜVfR^  von  UVB  abweichend  um  o.  — 
Sofort  sind  folgende  Angaben  zu  yerstehen: 

I)  Ueber  die  etwa  zu  Stande  kommende  Figur  ^»^i'. 

Ist  n-\-l  eine  gerade  Zahl,  so  wird  ^n-fi'  congruent  sein  mit 
derjenigen  Figur,  welche  yon  £  abgegeben  wird  in  den  Flächen- 
winkel zwischen  den  Ebenenstücken  ÜVB^  UVVti.  Oenauer:  bleibt 
^n4-i'  in  fester  Verbindung  mit  den  zwei  Ebenenstacken  UVty  Wim, 
und  dreht  man  dieses  System  um  die  Axe  UV  (in  der  einen  oder 
andern  Richtung,  ohne  Gleitung)  bis  UVLn  mit  UVB  sich  yereiBigt 
so  wird  jeder  Punkt  Cn^i  der  Figur  ^nW  mit  dem  ihm  6Dtspr^ 
chenden  C  der  Figur  2  vereinigt  sein. 

Ist  aber  n-f-1  eine  ungerade  Zahl,  so  wird  ^m+i'  symmetrisch 
gleich  sein  mit  derjenigen  Figur,  welche  von  2  abgegeben  wird  in 
den  Flächenwinkel  zwischen  den  Ebenenstücken  UVA^  UFS,,  ood 
es  existirt  eine  die  UV  enthaltende  Ebene,  mit  Bezug  auf  welche  je 
zwei  einander  entsprechende  Punkte  CnW  und  C  symmetrisch  lieg^i. 

II)  Ueber  die  etwa  zu  Stande  kommende  Figur  Sn-^i"- 

Ist  n-f-l  eine  gerade  Zahl,  so  wird  2n\2"  congruent  sein  mit 
deijenigen  Figur,  welche  von  2  abgegeben  wird  in  den  Flächeo- 
winkel  zwischen  den  Ebenenstücken  UVA^  UVZ^.  Genauer:  Ueibt 
2n-{-i"  in  fester  Verbindung  mit  den  zwei  Ebenenstücken  1/T& 
UVRn^  und  dreht  man  dieses  System  um  die  Axe  UV  (in  der  einen 
oder  andern  Richtung,  ohne  Gleitung)  bis  ÜVRn  mit  LVA  sich  ver- 
einigt, so  wird  jeder  Punkt  Cn-fi"  mit  dem  ihm  entsprechenden  C 
der  Figur  2  vereinigt  sein. 

Ist  aber  n-f-l  eine  ungerade  Zahl,  so  wird  ^n-i-i'  symmetrisdi 
gleich  sein  mit  derjenigen  Figur,  welche  von  2  abg^eben  wird  in 
den  Flächenwinkel  zwischen  den  Ebenenstücken  UVB^  ÜV9y  ond  es 
existirt  eine  die  Axe  UV  enthaltende  Ebene,  mit  Bezog  auf  wdcbe 
je  zwei  einander  entsprechende  Punkte  Cnfi"  und  C  symmefansch 
liegen. 


Maclci  Der   Winkehpiegeh  49 


§  18. 

Ist  ein  Punktsystem  S  (so  wie  in  den  zwei  vorhergehenden  §f 
eingeführt,  and  hat  man  180:2a  »  n-{-l,  so  ist  klar,  dass  von  den 
Bildern  Z/  ...  £n'  und  2:/'  ...  £„"  keines  einen  Punkt  mit  dem 
andern  gemein  bat;  von  diesen  Bildern  kann  also  keines  irgendwie 
das  andere  stören.  Aber  anch  bei  den  Bildern  £n^i  nnd  ^m+i" 
trifft  letztere  Behauptung  zu.  Da  nämlich  jeder  Punkt  Pm^-i'  des 
einen  mit  demjenigen  Punkt  Pn^^i"  des  andern  vereinigt  ist,  welcher 
denselben  Punkt  P  des  Systems  2  abbildet  wie  jener,  so  wird  durch 
die  Vereinigung  der  Bilder  SnW  £n-i-i"  (innerhalb  des  todten  Rau- 
mes) eben  dafflr  gesorgt,  dass  in  diesem  ein  einziges,  nicht  bloss 
ganz  eines,  sondern  sogar  in  Betreff  der  Helligkeit  begünstigtes  Bild 
von  £  sich  zeigt. 

Sehen  wir  dagegen  auf  irgend  einen  derjenigen  Fälle,  wo  (wie 
in  §17.)  180  =  n.2a-f-ö>,  so  ist  nur  von  den  Bildern  -Sj'...  2n-i' 
und  Z^"  ...  ^n-i"  unbedingt  zu  sagen,  dass  keine  zwei  einander 
stören.  Was  dagegen  £n  und  £h'  betrifft,  so  sind  diese  zwar  ge- 
ifiss  vollständige  Bilder  von  £,  aber  bei  jedem  von  ihnen  ist  die 
Möglichkeit  zu  berücksichtigen,  dass  es  wenigstens  teilweise  in  den 
todten  Räume  falle,  auf  welche  vollends  ^n^i'  und  £n^i"  in  ihrer 
ganzen  etwa  ergebenden  Ausdehnung  angewiesen  sind.  —  Ist  nun  X 
irgend  ein  Punkt  innerhalb  des  todten  Raumes,  und  fällt  nach  X  ein 
Bild  P'  von  einem  dem  £  angehörigeu  Punkt  P,  so  sieht  man  leicht, 
dass  %  kein  Ort  ist,  sei  es  fttr  ein  anderes  Bild  P',  noch  für  ein 
Bild  P"\  namentlich  auch  kein  Ort  für  ein  Bild  Q',  welches  ein  von 
P  verschiedener  Punkt  Q  des  £  geben  möchte.  Dagegen  ist  immer 
die  Aufgabe  zu  lösen:  man  soll  innerhalb  der  Oefinung  des  Winkel- 
spiegels einen  Punkt  Q  suchen  von  solcher  Lage,  dass  er  ein  Bild  Q" 
an  der  beliebig  gegebenen  Stelle  liefere,  wo  bereits  das  Bild  P'  sich 
befindet. 

Um  die  Auflösbarkeit  dieser  Aufgabe  und  die  Einzigkeit  der  Auf- 
lösung streng  und  allgemein  zu  erweisen,  kann  man  die  folgende  Be- 
trachtung anstellen,  welche  wesentlich  an  den  Satz  IVa)  des  §  6. 
anknüpft 

Man  stelle  sich  der  Reihe  nach  vor  die  aus  Axe  UV  entsprin- 
genden Ebenenstücke  ÜVE^,  UVH^  ...  bis  zu  demjenigen  üVRm^ 
welches  als  letztes  vor  UVZ  sich  darbieten  wird.  Nun  ist  zu  Punkt 
Z  der  ihm  symmetrische  mit  Bezug  auf  Ebene  üVEm  zu  nehmen, 
EU  diesem  abgeleiteten  Punkt  wieder  der  ihm  symmetrische  mit  Bezug 
iuf  Ebene  t7F%.i,  zu  diesem  abgeleiteten  wieder  der  ihm  symmetrische 

kxtk.  4.  XbO.  tt.  Phjn.   S.  Beihe,  TeU  n.  4 


50  Maekx  Der  WinkeUpiegtL 

mit  Bezng  aaf  Ebene  UVRx^t  n.  8.  w.  Durch  diese  YenDStaltaog 
wird  offenbar  jenseits  der  schliesslich  zu  benutzenden  Ebene  VYJi^, 
innerhalb  der  Oeffnnng  des  Winkelspiegels  ein  solcher  von  X  abge- 
leiteter Punkt  gewonnen ,  an  dessen  Stelle  ein  leuchtender  Pimkt  Q 
gebracht  —  genau  an  der  vorgeschriebenen  Stelle  %  des  todten  R&o- 
mes  ein  Bild  Q"  liefern  wird. 

Aus  dieser  Darstellung  erhellt,  dass  und  wie  immer  diejenigen 
Störungen  zu  ermitteln  sein  werden,  welche  bezflglich  der  Reinheit 
der  in  den  todten  Raum  fallenden  Abbildungen  eines  Systems  £  sich 
ergeben  mögen. 

Im  ttbrigen  ist  gemäss  dem  zuletzt  Vorgetragenen  herzorzohebeo, 
dfkss  freilich  die  besten  Leistungen  des  Winkelspiegels  im  Sinne  der 
Hervorbriugung  schöner  Bilder  eines  beliebig  ausgedehnten,  in  seine 
Oeffnnng  eingeführten  Gegenstandes  dann  sich  ergeben  werden^  wenn 
der  Oeffnungswinkel  ein  absoluter  Teil  von  180^  ist. 


Mach:  Üer   WinktUpiegeL  51 


Uebersicht  des  Inhalts. 

Vorwort 

9   1.    Erste  Definitionen. 

§  2.  Erste  Orientirung  bezüglich  der  Bilder  eines  einzelnen  Punktes 
P;  Bezeichnungen;  zwei  Reihen  der  Bilder. 

§  3.  Zu  jeder  Reihe  zwei  Formeln  gegeben,  wonach  die  Lage  jedes 
Bildes  (gerader  oder  ungerader)  Ordnung  sich  bestimmt  — 
Zwei  Reihen  von  Gleichungen  entsprechend  den  zwei  Bilder- 
reihen.   An  sie  geknüpft  die  Frage  der  Bilderzahl. 

§   4.    Lehrsätze,  die  ihre  Lösung  vorbereiten;  todter  Raum. 

§  5.  Beweis  der  Begrenztheit  der  Bilderzahl  fttr  alle  Fälle.  Ent- 
sprechende Lehrsätze  und  Aufgabe. 

§  6.  Lehrsätze  Ober  Zahl  und  Lage  der  Bilder  in  jeder  Reihe  für 
sich. 

§  7.  Optische  Bedeutung  gewisser  im  vorigen  §  eingegangenen 
Hilfslinien.  Durch  sie  die  Abbildungen  der  zwei  Einzelspiegel 
in  einander  bestimmt. 

§  8.  Genaueres  über  diese  Abbildungen  und  ihre  Bedeutung  für  die 
Hauptontersuchung. 

§    9.    Regulirung  des  Fortgangs  der  letzteren. 

\  10.  Genauere  Untersuchung  der  Bilder  eines  in  der  Medianebene 
liegenden  Punktes;  vier  Fälle. 

i  11.  Desgleichen  der  Bilder  eines  seitlich  von  der  Medianebene 
liegenden;  zwölf  Fälle. 

S  12.  ZnsammenfiBissung  der  Ergebnisse  des  vorigen  §  in  sechs  Haupt- 
sätzen. 


1 


52  Maeki  Der  WüüceUpmgeL 

§  13.  (Gegensatz  und  Verwandtschaft  der  Angaben  der  ff  11.  aad 
12.  Oeneralregel  Aber  die  Bestimmang  der  Gesamtzahl  aller 
Bilder  eines  beliebig  wo  innerhalb  der  Oeffnnng  eingelUhrten 
Lichtpunkts. 

f  14.  Weitere  AnfUamng  Aber  den  Ursprung  einiger  Sfttze  des 
f  12. 

f  15.  Die  möglichen  Aenderungen  der  Bilderzahl  eines  Punktes, 
wenn  er  innerhalb  der  unreränderlich  bleibenden  Oeffuung  des 
Winkelspiegels  sich  bewegt,  durch  ein  charakteristisches  Bei- 
spiel erläutert. 

f  16.  Einfflhrung  eines  Systems  von  Punkten  in  der  Oeffhung  des 
Winkelspiegels.  Zun&chst  diejenigen  Erscheinun^n  betrachtet« 
welche  sich  ergeben,  wenn  die  Oeffhung  ein  aiiquoter  Teil 
von  1800  ist. 

§  17.    Aufklärung  der  Erscheinungen  in  den  flbrigen  Fallen. 

f  18.  Die  unter  Umständen  sich  ergebenden  Störungen  der  Bilder 
durcheinander. 


Okntaorge:  Zur  Integration  dtr  GUickung  J*u^=zO.  53 


n. 


Zur  Integration  der  Gleichung 


Von 

Herrn  Otto  Ohnesorge. 


Das  Problem,  welches  in  der  vorliegenden  Abhandlang  behandelt 
wird,  ist  folgendes: 

Es  sind  sämtliche  reelle  Fnnctionen  u  zn  bestimmen,  von  der 

Beschaffenheit,  dass  sie  der  Oleichnng  g~i  ~r  ^  "=  0   genügen  nnd 

aaf  einer  gegebenen  algebraischen  Gurve  rorgeschriebene  Werte  an- 
nehmen. 

Die  allgemeine  Lösung  der  obigen  Oleichnng  ist: 

wo  £  ««  2-|~<V  ui^d  fi  ^  x—iy  gesetzt  ist  Im  allgemeinsten  Falle 
sind  2j  Bowol  wie  Xs  vollständig  willkürliche  Functionen,  soll  ihre 
Summe  jedoch  eine  reelle  Function  von  x  und  y  darstellen,  so  müssen 
sie  einander  conjugirt  sein. 

§.  1. 

Ich  bestimme  zunächst  u  so ,  dass  es  constant  ist  auf  einer  ge- 
gebenen Gurve.  Ist  dies  der  Fall,  so  lautet  die  Oleichnng  der  Gurve 
hii)-\'li(v)  '^  ^'    ^i®  Gurve  soll  jedoch  eine  algebraische  sein,  mit- 


54  Ohneaorg€i  Zur  Integration  der  Gluchung  J^us^O. 

hin  mttss  durch  diese  Gleichnug  eine  algebraische  Relation  zwischen 
I  and  17  ansgedrückt  sein.  Hieraus  folgt  sofort  die  Form  der  Func- 
tion X»  wenn  die  obige  Gleichung  durch  eine  algebraische  Beziebaog 
zwischen  $  und  ti  für  jeden  Wert  von  a  erfüllt  ist;  es  kann  dies 
nämlich  nur  dann  stattfinden,  wenn  %  entweder  selbst  eine  algebrai- 
sche Function  oder  aber  höchstens  ein  elliptisches  Integral  enter 
Gattung  von  einer  algebraischen  Function  ist.  Besteht  aber  eine 
algebraische  Gleichung  zwischen  §  und  17  nur  für  einen  bestunmten 
Wert  von  o,  so  können  auch  transcendente  Functionen  höherer  Ord- 
nung auftreten. 

Nach  dieser  Betrachtung  kann  man  das  obige  Problem  aach  auf- 
fassen als  folgendes: 

Es  ist  eine  Function  zu  bestimmen,  deren  Additionstheorem  ge- 
geben ist 

Ist  die  algebraische  Gleichung,  die  das  Additionstheorem  der 
beiden  Functionen  Xi  urd  Xs  herstellt,  so  beschaffen,  dass  dieses  Pro- 
blem überhaupt  eine  Lösung  besitzt,  so  ist  diese  Lösrng  leicht  zu 
finden,  da  der  Weg  hierzu  schon  von  Euler  gegeben  ist 

In  der  Tat,  es  sei  9(£,  17)  =  0  die  Gleichung  der  Curve,  so  ist: 

Bestimmt  man  nun  mit  Hilfe  der  Gleichung  ^(C,  17)  =  0  |  als  Fanc- 
tion  von  17  und  ij  als  Function  von  |  und  ersetzt  ia  ä?^  die  17  durch 

d<p 
die  I  und  in  g-  die  |  durch   die  17,   oder  auch  umgekehrt,  so  »t 

entweder 


oder 


oder  allgemeiner: 

/'    Bw 
M^di    oder    = 

and 

M^dfi    oder    -    I  ^dn 


^ 


at 


OhnMBörffBi  Zur  Integration  der  Gleichung  J*u^zO.  55 

WO  satarlich  auch  in  üf,  welches  eine  willkttrliche,  jedoch  symme- 
trische Function  von  |  ond  ti  sein  muss,  entweder  die  £  dorch  die 
f;  oder  die  17  dorch  die  $,  vermöge  der  Gleichung  (p(£,  17)  =  0  zu 
ersetzen  sind. 

Die  Gleichung  der  Cunre  ist  in  Bezug  auf  beide  Variable  vom 
n  ten  Grade,  es  fragt  sich,  welche  von  den  n  Wurzeln  zu  nehmen  sind. 
Die  Frage  erledigt  sich  daburch,  dass,  wenn  S  =  <o(fi)  und  i7*»(£) 
ist,  dass  alsdann  o)(r($))  ȣ  sein  muss.  Derartige  Wurzeln  existiren 
wie  später  bewiesen  werden  wird,  stets. 

Hat  man  die  Functionen  %  so  bestimmt,  so  wird  der  Gleichung 
<p(&  17)  »  0  durch  die  Beziehung  %^(S)  -f-  hiv)  =  «  Genüge  geleistet, 
bei  passender  Bestimmung  der  Constanten  a,  es  bleibt  nun  noch  zu 
beweisen,  dass  auch  die  erhaltenen  Functionen  %i  und  x^  einander 
conjugirt  sind. 

Die  Gleichung  g^d,  17)  »  0  ist  entstanden  aus  der  algebraischen 
Gleichmig  ^{x^y)  =  0  dadurch,  dass  man  an  Stelle  von  a;  id-f*^)? 

and  anstelle  von  y  äAS^ri)  gesetzt  hat.  Da  nun  ^(x^y)  eine  ratio- 
nale Function  von  x  und  y  ist,  so  ergiebt  sich  sofort,  dass,  wenn 
fil^fl)  eine  reelle  Function  von  $  und  17  ist,  sie  auch  symmetrisch 
ist  in  Bezug  auf  C  und  17:  es  ist  demnach,  wenn  S  "^  ^(v)  eine  Wurzel 

der  Gleichung  ist,  auch  17  »  o)(|)  eine,  femer  ist  kt  dieselbe  Func- 

tion  von  £  und  ti  wie  ^  von  17  und  C,  hieraus  folgt,  dass  %i  und 
X2  dieselben  Functionen  sind. 

Ist  jedoch  9)(|,  tj)  eine  complexe  Function,  so  lässt  sie  sich  stets 
auf  die  Form  bringen  A-^ii^—rDBj  wo  Ä  und  B  rationale  und 
symmetrische  Functionen  sind.  Dieser  Ausdruck  gleich  null  gesetzt 
and  die  so  entstandene  Gleichung  nach  £  aufgelöst,  gebe  £  —  m(fi) 
-f  tt(i7),  es  folgt  hieraus,  dass  17  »  o>(£)  —  «'^(17)  ebenfidls  eine  Wurzel 
sein  muss. 

Nun  ist: 

dtp        dA      .„  ,  ,w       ,  8ä 
snbstituirt  man  hierin  f&r  £  und  für  17  die  entsprechenden  Functionen 


56  Oknetorgei  Zur  Integration  der   GUiekung  ^u'=0, 

and  trennt  zn  gleicher  Zeit  die  reellen  von  den  imaginAren  TOeo, 
(immer  berücksichtigend,  dass,  wenn  B{m'{'ix)=F'}-iG  ist,  B{n-tt) 
»  F—iG\  so  erhUt  man: 

(alles  Functionen  von  {) 

(alles  Functionen  von  17),  oder 


31 


-  c— ö— jT--jr({— w)+»{z)-f  j—TiT+d— (»)j} 


Mithin  sind  gw-  und  g—  conjugirte  Functionen,  also  audi 

da  auch  Jf  durch  die  Substitution   |  »  a>(^)-{-tT(i7)    und  17  =  •(() 
—  tT({)  in  zwei  conjugirte  Functionen  verwandelt  wird. 

Diese  Methode  lässt  sich  leicht  ausdehnen  auf  den  Fall,  wo  « 
auf  der  gegebenen  Curve  nicht  constant,  sondern  einer  beliebigen 
Function  gleich  wird. 

Es  sei  t(|.  Ki)  die  gegebene  Function,  so  wird  die  Oleichang  der 
Curve  enthalten  sein  in  der  Gleichung: 

Xi(l)  +  Ä(^)-^(l,i?), 
es  werden  also  die  beiden  Gleichungen: 

und 

(x.'(J)-|)'«  +  (».'(n)-|)«*i»-o 

identisch  sein  müssen,  also 

dx  dtt 

und 


Ohn$8orge:  Zur  Integration  der  Gleichung  J*u-=U.  57 

dt  d^ 

mithin  wird 

■-/K-^)'«+/K-r,)-"- 

Anchhier  ist  if  eine  symmetrische  Function,  and  auch  hier  sind 
entweder  die  £  durch  die  17,  oder  die  17  durch  die  $  vermöge  der 
Gleichung  9(£,  17)  =  0  zu  ersetzen. 

Ist  T  ebenfalls  eine  symmetrische  Function  oder  von  der  Form 
il -)-•({  —  fi)B^  so  wird  anchu  eine  reelle  Function  von  x  und  y  sein. 

Uebrigens  kann  man  stets  eine  symmetrische  Function  herstellen, 
die  auf  der  gegebenen  Curve  mit  t  übereinstimmt. 

In  der  Tat,  es  sei  Ä  irgend  eine  symmetrische  Function  von  £ 
und  17,  ersetzt  man  nun  in  T(f ,  17) ,  £  und  17  durch  t  und  g>  vermöge 
der  Gleichungen  ^  — 1(£,  17)  und  ?>  —  ^(l,  17),  so  wird  7(£,  i7)==*t^(<,9>), 
auf  der  gebenen  Curve  aber  wird  q>^0,  also  r  nur  eine  Function 
von  <,  mithin  symmetrisch  in  Bezug  auf  £  und  17. 

Die  geiundene  Function  ist  insofern  noch  willktlrlich  als  M  mW- 
kflrlich  ist,  M  müsste  demnach  durch  vorgeschriebene  Stetigkeits- 
bedingongen  bestimmt  werden.  Diese  Aufgabe  würde  ohne  Zweifel 
äusserst  schwieriger  Natur  sein ,  doch  kann  man  dieselbe  teilweise 
umgehen,  dadurch  dass  man  zu  dem  oben  bestimmten  u  diejenige  all- 
meinste  Function  »i  addirt,  die  auf  der  gegebenen  Curve  gleich  null 
ist  Diese  Function  kann  man,  wie  in  dem  nächsten  Abschnitte  ge- 
zeigt werden  wird,  stets  ohne  Integrale  in  endlicher  Form  darstellen. 
Die  Erfüllung  der  Stetigkeitsbedingungen  bietet  alsdann,  wenn  sie 
auch  allgemein  nicht  ausfahrbar  ist.  in  den  meisten  Fällen  keine 
grossen  Schwierigkeiten  mehr  dar.  Nur,  wenn  endliche  Unstetig- 
keiten,  die  auf  bestimmten  Linien  stattfinden,  zu  beseitigen  sind, 
könnte  man  auf  wesenüiche  Schwierigkeiten  stossen. 


§.  2. 

Die  Methode,  die  wir  soeben  entwickelt  haben,  führt  nur  dann 
zum  Ziel,  wenn  die  Gleichung  der  gegebenen  Curve  irreductibel  ist, 
wenn  also  nur  eine  einzige  algebraische  Curve  gegeben  ist,  auf  der 
die  Function  constaut  sein  soll.  In  diesem  Abschnitte  werde  ich  eine 
Methode  geben,  die  sich  auch  auf  Curven  anwenden  lässt,  deren 
Gleichung  reductibel  ist  Sie  ist  jedoch  insofern  beschränkter,  als  u 
stets  Gonatant  sein  muss. 


58  OhneaorgB:  Zur  Integration  der  Gleichung  d*u-=.0. 

Die  gesachte  Fanction  u  kann  in  doppelter  Form  daiigestellt 
werden,  nämlich  durch 

oder  dorch 

tt— a^T{x,(£)--Z«(»?)}. 

Ich  behandle  zuerst  den  Fall ,  dass  m  in  der  zweiten  Form  dar- 
gestellt wird.  In  diesem  Falle  ist  t*=«  auf  der  Curve  Xi({)  =  2i(i?), 
auf  der  gegebenen  Curvo  jedoch  sei  £  »  ^(17, 1)  und  17  &=  ^(4,-0)  dem- 
nach muss  sein  Xi(£)  *^  Zs(^(^))*  ^^  SP  ^"i®  redle  Fanction,  10  iit 
li  =  U^  also  x(i)  ^  x(<P(i)h 

Zwischen  $  und  17  jedoch  besteht  eine  symmetrische  GleichuDg, 
es  ist  mithin,  wenn  17  »  <]p(|)  auch  £  *»  9>(^)9  demnach  wird  stets 
eine  Wurzel  existiren,  so  dass  (pig>(^))  »  £  ist 

Ist  nun  2({,9(|))  eine  symmetrische  Function  von  £  nnd  f(|) 
und  bezeichne  ich  dieselbe  mit  ;((£),  so  ist  x(k)  '^  ^(9>(£))- 

Wir  haben  also  erreicht,  dass  alle  u,  die  coustant  sind  anf  der 
gegebenen  Curve,  sich  darstellen  lassen  in  der  Form: 

tt— «  «  »{x(£,  9(f))— X(^i  9(^))}» 

wo  xdf  9>(l))  eine  willkflrliche ,  jedoch  symmetrische  Function  tod  k 
und  9>(|)  sein  muss. 

Ist  9(£)  keine  reelle  Function  von  £,  so  ist,  wie  wir  schon  im 
ersten  Abschnitte  gesehen  huben,  an  Stelle  von  ^(l)  zu  setzen 
(ö(|)  — tT(^)  und  an  Stelle  von  9(£)  i»(i?)  +  tT(^)»  demnach  wird: 

t*-«  =  »{z(f,  «(l)-»*(l))-a(£,  ^(v)+i<n)\ 

wo  X  wiederum  eine  reelle  und  symmetrische  Function  der  beiden 
Argumente  sein  muss. 

2)  u  habe  die  Form:  u  — a  =-  ;ti(l)4~Xt(^)i  so  erhält  man  leicht 
durch  ähnliche  Betrachtungen  wie  oben,  dass  zu  setzen  ist: 

I*  -  a  =  {!/;(£)  -  t/;(y (£))}  { x(S,  9(£))  +  {♦(i?)  -  ^(fp(v))\  -  Z(^,  VC^?» 

Es  sind  hierin  die  t(;  und  %  stets  reelle,  doch  wUlkttrlicke 
Functionen. 

Dass  übrigens,  wenn  an  Stelle  von  £  q)(ri)  gesetzt  wird,  die 
rechte  Seite  versshwindet,  erkennt  man  leicht,  nur  muss  die  Bedin- 
gungsgleichung stattfinden 

9>(SP(£))  =  £. 


Ohnesorge:    Zur  Integration  der  Gleichung  J*u=0.  59 

Derartige  Functionen  <f(S)  sind  aber  immer  vorhanden.  Es  ist 
7(7(£))  bestimmt  als  die  Wurzel  einer  algebraischen  Gleichung,  deren 
linke  Seite  eine  symmetrische  Function  ist  in  Bezug  auf  q>(g>(i))  und 
q>(i):  setzt  man  nun  an  Stelle  von  (p(9(l))  !  ein,  so  erhält  man  eine 
sjmmetrischo  Gleichung  £  und  SP(£),  die  identisch  ist  mit  derjenigen, 
durch  welche  y(S)  als  Function  von  £  bestimmt  wird,  diese  ist  also 
immer  erfüllt,  und  mithin  ist  q>(q){S))^S  eine  Wurzel  der  Gleichung. 

Diese  soeben  aufgestellten  Functionen  u  besitzen  sämtlich  auf 
der  gegebenen  Gurve  den  constansten  Wert  a ;  im  allgemeinen  werden 
sie  nicht  nur  auf  dieser  einen  Curve,  sondern  noch  auf  verschiedeneu 
andern  gleich  a  sein ,  es  bietet  sich  uns  jetzt  das  Problem  dar ,  von 
diesen  Functionen  diejenigen  heraus  zusucheu,  die  auf  mehreren  ge- 
gebenen algebraischen  Cnrven  constant  sind.  Zunächst  ist  klar,  dass 
je  mehrCurven  gegeben  sind,  desto  geringer  die  Willkürlichkeit  der 
Function  %  sein  wird. 

Es  sei  nun  vorgeschrieben,  eine  Function  zu  bestimmen,  die  auf 
den  beiden  algebraischen  Curven  S  «-  9>i(f})  und  i  =  V^iv)  gleich  a 
wird. 

Diese  Function  muss  sich  darstellen  durch  die  beiden  Formen: 
und 

diese  Gleichungen  gehen  dann  und  nur  dann  in  einander  über,  wenn 
2  eine  symmetrische  Function  ist  nicht  nur  von  (  und  (Pt(i),  sondern 
auch  von  w(i)  und  €9(q>x(i)),  wo  o»  so  beschaffen  ist,  dass  ca(9i(())  "^ 
^9t(£)}9  es  wird  also  sein: 

^--  xi(«(?),  »(sp,(e)))-x.(»(^),  «(9,(1?))) 

Dass  die  rechte  Seite  verschwindet,  wenn  man  an  Stelle  von  ( 
f  1(17)  oder  9f(fi)^  sieht  mau  sofort. 

HAtten  wir  u  dargestellt  durch  die  erste  Form,  also  durch  die 
Summe  zweier  Functionen  x,  so  würden  wir  zu  derselben  Function 
Qi(Q  gelangt  sein. 

SoU  u  auf  den  u  vorgeschriebenen  Curven  S  »  ipi(Z)  oder  gleich 
ffX(^  (wo  A  «-  1  ...  n)  =  a  sein,  so  muss  die  Function  o  den  Be- 
dingungen genügen: 

co(«p^(?))  =  »(9,(5))  -  ...  a(sPn(E)). 


60  OhntBorge:  Zur  Integration  der  Gleichung  ^^u=0 

Es  fragt  sich  nun,  wie  sind  derartige  Faoctionen  zn  beBÜmmeii? 
Die  Fttnctooalgleichung  far  a»  ist 

also  auch 
wenn 

gesetzt  wird. 

Ich  bilde  folgende  Fanctionenreihe : 
?  -  1^(5),    tn?)  «  T(5)),    T«(E)  =  T(T(e))  ...  t*(?)  -  T(T"-Hf))  ... 

T-i(e),  T-2(e) ...  »-»»(e) ... 

wo  T-^(()  bestimmt  ist  durch  die  Oleichung: 

t(t-1(5))  «  f    und    r-~(e)  —  r-H^-^-l-Hf)). 

Es  sind  nun  zwei  Fälle  zu  unterscheiden ,  entweder  ist  die  An- 
zahl der  so  gebildeten  und  von  einander  verschiedenen  FonctioneD 
eine  endliche  oder  nicht  Damit  der  erste  Fall  eintrete  .mnss  irgend 
eine  Gleichung  bestehen  von  der  Form 

ist  dies  der  Fall,  so  ist  ersichtlich,  dass  irgend  eine  symmetrische 
Function  sämtlicher  von  einander  unterschiedenen  Functionen  t 
eine  der  gesuchten  Functionen  a  ist,  man  wird  aber  unendliche  fiele 
algebraische  Functionen  herstellen  können,  die  der  Functionalgleichnng 
genügen. 

Ist  dies  jedoch  nicht  der  Fall,  existiren  aber  unendlich  viele  von 
einander  verschiedene  Functionen  r,  so  wird  man  auch  hier,  um  « 
zu  erhalten,  aus  diesen  unendlich  vielen  Elementen  eine  symmetri- 
sche und  convergente  Function  bilden  müssen.  Es  werden  aber  nnr 
transcendente  Functionen  bestehen,  die  der  Functionalgleichung  ge- 
nügen. 

Abgesehen  davon ,  dass  man  diese  Reihe  nur  anwenden  kann, 
wenn  nur  einer  Functionalgleichung  zu  genügen  ist,  wird  die  Aof- 
stellung  derselben  schon  im  allgemeinen  unüberwindliche  Schwi^g- 
keiten  darbieten,  da  es  bei  einer  wenig  complicirten  Function  schwer, 
oft  unmöglich  sein  wird,  das  nte  Glied  der  Reihe  in  independent^ 
Form  darzustellen. 

Wir  verlassen  mithin  diese  Reihe  vollständig  und  suchen  sns 
schon  bekannten  Functionen  die  o»  darzustellen. 


OkntMorge:  Zur  Integration  der  Gleichung  d*uz=0.  Q\ 

Das  Problem  ist,  eine  Function  lo  so  zu  bestimmen,  dass  oKO*" 
10(17)  ist,  wenn  zwischen  i  and  1/  eine  algebraische,  jedoch  nicht  sym- 
metrische Gleichung  besteht.  Ein  Mittel  hierzu  bieten  die  periodi- 
schen Functionen.  In  der  Tat,  es  ist  z.  B,  sinS  «  sini;,  wenn  die 
Dicht  symmetrische  Gleichung  besteht  S—  1;  =  2n. 

Ist  aber  %  eine  periodische  Function  mit  der  Periode  a,  so  ist: 
Z(*(f ))  —  X(^(«?))    wenn    t(?)  —  x(ti)  «  a    ist. 

Soll  nun  diese  Gleichung  eine  algebraische  Relation  zwischen  E 
und  fi  darstellen,  so  muss  t(Q  entweder  selbst  eine  algebraische 
Function  sein  oder  ein  elliptisches  Integral  erster  Gattung  von  einer 
algebraischen  Function  von  S;  in  diesem  Falle  wttrde  man  für  jeden 
Wert  von  a  eine  algebraische  Beziehung  erhalten.  Es  kann  jedoch 
auch  hier  t  eine  transcendente  Function  höherer  Gattung  sein,  doch 
wird  man  alsdann  nur  für  einen  bestimmten  Wert  von  a  eine  alge- 
braische Gleichung  erhalten.  Ist  die  algebraische  Gleichung  zwischen 
f  und  fi  so  beschaffen,  dass  man  mit  Httlfe  dieser  Methode  zum  Ziel 
kommt,  so  kann  man  die  im  ersten  Paragraphen  gegebene  Methode 
benutzen. 

Diese  Functionen  sind  die  einzigen,  die  man  mit  Hülfe  der  einfach 
periodischen  Functionen  bilden  kann.  Benutzt  man  mehrfach  perio- 
dische Functionen,  so  wird  man  auch  Functionen  erhalten,  die  durch 
mehrere  Substitutionen  ungeändert  bleiben. 

Als  specielles  Beispiel  behandele  ich  den  Fall,  bei  dem  zwischen 
^  und  fi  eine  lineare  Gleichung  besteht  Es  ist  aber  eine  Function 
u  aufisnstellen,  so  dass 

Ich  nehme  an,  0»  sei  eine  Function  von 

und  versuche,   ob  sich  nicht  die  Constanten  o,  6,  c,  </  so  bestimmen 
lassen,  dass 

Es  muss  demnach  sein: 

laa+by)i+aß+bö       (a+le)i+b'^ld 

also 


62  Ohne  sorge:    Zur  Integration  der  Gleickung  J^uzziO. 

(« — fn)e'\'yd  =-  0   '         cra+yÄ  «  m(a-)-Zc) 

Aas  den  beiden  ersten  Gleichungen  folgt  zor  BestimmiiDg  tob 
m  die  quadratische  Gleichung: 

(«  — mXd  — w)  — j5y  «0 
ferner  ist: 

c  y  ö  —  «I       (« —  m)a  +  )* 

(l  a — m  ß  j3a-|-(d  —  in)o 

hieraus  folgt  zur  Bestimmung  von  a  und  b: 

((a  — »»)»+/3y)a  +  y(«+J— 2i»)*  =  0 
oder  da 

ßy  =-  (a  —  m)(d — m) 

{a  +  J-2m}{{«— m)a  +  yÄ}  =  0. 
o  c 

Da  nun   -    nicht  gleich  -   sein  darf,  so  muss 

a  +  d— 2m  =*  0 
sein,  also 

a  +  6 
m 2"- 

Dieser  Wert  in  die  Bestimmungsgleichung  für  m  eingesetzt,  giebt: 

(wdy^+ißy^O, 

Besteht   also   zwischen    den  Coefficienten   der  Substitution  die 
Gleichung: 

d.  b.  sind  die  beiden  Wurzeln  der  Gleichung 

(«--'»»)(d  —  m)  —  ßy  «■  0 

einander  gleich,  so  lässt  sich  stets  eine  Function  t(E)  au&tellen,  so 
dass 

ist;  also  ist  lo  eine  Function  von  t(£)  mit  der  Periode  L  Diese 
Periode  wird  aus  den  beiden  noch  vollständig  willkürlichen  Grössen 
a  und  b  bestimmt 

2)    Diese  Bedingungsgleichung  finde  nicht  statt,   die  Qleichnog 

m* — (a-}-d)m^-«J — ßy  =  0 


Ohnesorge:  Zur  Integration  der  Gleichung  J^u^zO.  63 

habe  also  zwei  verschiedene  Wurzeln  m^  und  m^,  so  lässt  sich  stets 
eine  Function 

aufstellen,  so  dass 


T 


(SiO-S*  ^ 


In  der  Tat,  man  erhält  zur  Bestimmung  von  a,  ä,  r,  d  die  Glei- 
chuDgen : 

ßa-|.(J— ^)i  «  0  ßc+  (ö  —  m^)d  =  0 

denen  immer  genügt  werden  kann. 

In  diesem  Falle  ist  also  m  eine  Function  von  logr(?)  mit  der 
Periode  log  -  • 

Sind  m,  und  «4  reelle  Grössen,  ist  also  (a  — ^)*+4/Jy>0,  so 
ist  auch  T(E)  stets  eine  reelle  Function;  sind  sie  jedoch  complex,  so 
mnss  man  das  Additionstheorem  dos  Arcus tangens  anwenden,  um 
reelle  Functionen  zu  erhalten. 

Es  ist  , 

T+f» 

arctgT+arctgw  =■  w-ctgj^^ . 
wiederum  sei  ^  . 


also 

arc 


tg'  \:^+i)  -  "Ctg  (c«+dy)5+c^+dd 

und  /     .       xr  t      I      , 

arctgT(?)+arct«i«  =  arctg^^^^^^^^^^. 

demnach  setze  ich: 

oder  geordnet: 

(a— A)a-}-yÄ  «  mAc  («— A)c+yd  =  —  mXa 

^a  +  (a  —  i)Ä=  «Urf  ße+i^  —  ^)d  =  —  »i^ 

hieraus  folgt: 

((«-.A)«4.y^4,mn«)a+(«+'-2i)y6  -  0. 


64  Ohneaorgei  Zur  Integration  der  Gleichung  J*u=:0. 

Wären  die  Coefficienten   dieser  Gleichangen  von  null  versebie- 

a       e 
den,  80  würde  man  erhalten  r  ~°  39   ^(0   würde   sich  also  anf  eine 

Constante  redociren,  es  ist  mithin: 

(«  — i)«+y/J  +  mU«  «0    und    A  -  J(«  +  ^) 
also  

also  reell. 

Sind  f»  und  X  so  bestimmt,  so  lassen  sich  zwei  GleichnugeD  des 
Systems  ans  den  beiden  anderen  ableiten,  es  bleiben  mithin  Doch  2 
übrig,  und  ans  diesen  folgt: 

(a  —  6)a  +  2Yb  2ßa  +  (^  —  a)b 

mithin : 

Ist  t(()  so  bestimmt,  so  ist 


!  arc 


^^(^5^)  ^  arctgT(5)+arctgm. 


Nimmt  man  nun  irgend  eine  periodische  Function  von  arctgT(() 
mit  der  Periode  arctgm,  so  ist  diese  Function  das  gesuchte  a. 

Wir  haben  für  t(^)  stets  eine  lineare  gebrochene  Function  g^ 
setzt,  es  liegt  die  Frage  nahe,  ob  es  nicht  noch  gebrochene  Fqdc- 
tionen  höherer  Geraden  giebt,  die  den  obigen  Bedingungen  genfigoi? 

Stellt  man  die  Bedingungsgleichung  für  die  Cocfficienten  dner 
solchen  Function  auf,  so  erkennt  man  dass  allen  Bedingungen  stets 
genügt  werden  kann;  eine  eingehendere  Untersuchung  jedoch  ergiebt, 
dass  Zähler  und  Nenner  so  viele  gemeinsame  Factoren  beutzen,  um 
auch  in  diesem  Falle  t(Q  anf  eine  lineare  gebrochene  Function  zo 
reduciren. 


Teil  II.    Anwendungen. 

Die  soeben  entwickelte  Theorie  lässt  sich  direct  und  ohne  grosse 
Schwierigkeiten  anwenden  auf  viele  Probleme  der  Analysis  und  der 
mathematischen  Physik,  da  bei  allen  diesen  Anwendungen  nur  danaf 
zu  achten  ist,  dass  auch  den  Stetigkeitsbedingungen  genügt  wird. 


Ohnesorgt:  Zur  Integration  der  Gleichung  J*u^O.  65 

Sind  z.  B.  Functionen  zn  bestimmen,  die  stetig  sind  in  der  ganzen 
nnendlichen  Ebene  mit  Ausnahme  des  Unendlichkeitspunktes  und  der 
von  einer  oder  mehreren  Curven  umgebenen  Fläche,  so  genügt  man 
den  Stetigkeitsbedingungen  meistenstenteils  schon  dadurch,  dass  man 
von  allen  Functionen,  die  coustant  sind  auf  den  Begrcnzungscurven 
and  die  die  gegebene  Unstetigkeit  in  der  Unendlichkeit  besitzen,  die- 
jenige auswählt,  die  den  bestimmten  constanten  Wert  nur  auf  diesen 
Grenzcürren  besitzt. 

Anders  jedoch  stellt  sich  die  Sache,  wenn  Functionen  zu  be- 
stimmen sind,  die  den  bestimmten  constanten  Wert  auf  einer  Curve 
besitzen,  in  derem  Innern  sie  in  bestimmten  Punkten  unstetig  werden 
sollen.  Die  Functionen  tp(i)  und  <p{ri)y  die  wir  durch  Auflösung 
einer  Gleichung  n  ten  Grades  gefunden  haben,  sind  hier,  direct  wenig- 
stens, meistenteils  nicht  anzuwenden,  da  sie  gewöhnlich  im  Innern 
der  Fläche  in  gewissen  Linien  oder  Punkten  endliche  Unstetigkeiten 
besitzen  werden,  oder  vielmehr,  da  sie  im  Innern  der  Fläche  gewisse 
Linien  nicht  tiberschreiten  dürfen,  wenn  sie  am  Rande  der  Fläche 
mit  dem  vorgeschriebenen  Werte  ankommen  sollen.  Man  wird  in 
diesem  Falle  zurückgehen  müssen  auf  die  im  ersten  Paragraphen  ge- 
gebene Methode  und  versuchen,  die  Gleichung  der  Begrenzung  dar- 
zustellen in  der  Form: 

z(?) + xiv)  =  «» 

bei  weiteren  Rechnungen   sind  alsdann  nur  die  Functionen  %(()  und 
2(17)  anzuwenden. 

Als  specielle'  Anwendungen  werde  ich,  um  den  Umfang  dieser 
Abhandlang  nicht  zu  sehr  anwachsen  zu  lassen,  nur  zwei  Beispiele 
geben. 


§.  1. 

Die  Gleichgewichtsverteilung  der  Elektricität  auf 
zwei   unendlich  grossen   Cylindern  mit  kreisförmiger 

Basis. 

Diese  Verteilung  ist  durch  die  Potentialfunction  vollständig  be- 
stimmt Diese  Function  muss  den  bekannten  Stetigkeitsbedingungen 
genfigen  und  constant  sein  auf  der  Peripherie  beider  Kreise. 

Die  Gleichungen  der  beiden  Kreise  seien: 

aj*-f-y*  «=  r^    und    (a?  —  a)*-f~y*  ^  Q^ 

oder  in  S  and  17  aasgedrttckt : 

Ai«h.  d.  Math.  «.  Fhys.    2.  Beihe«  TeU  n.  ^ 


66  Ohnesorgei   Zur  Integration  der  Gleichung  J*u=iO, 

i.ff^r^    und    E.1?  — a(E+iy)  —  p*  — a* 
also  ist  anf  der  Peripherie 

i?-y     und     ri 1^^— 

Demnach  ist  zunächst  eine  Function  zu  bestimmen,    die  nngeftndert 


rH—r*.a 


^'  a?  +  p«  — a« 


Um  uDsere  fraheren 


bleibt  durch  die  Substitution: 
Entwickelungen  anzuwenden,  ist  zu  setzen: 

die  in  m  quadratische  Gleichung  wird  mithin: 

«»^  — (r*  +  p*  — a«)m4-r«p2  =0 

also 

Diese  Gleichung  besitzt  zwei  gleiche  Wurzeln,  wenn  a'=(r +  ()- 
ist,  wenn  sich  also  die  beiden  Kreise  berühren,  schneiden  sich  die 
beiden  Kreise,  so  wird  dio  Quadratwurzel  imaginär,  liegen  sie  TöUig 
von  einander  getrennt,  so  sind  die  Wurzeln  reell. 

1)    Die  beiden  Kreise  berühren  sich,  und  es  sei  a  «=  r-f-p- 

£s  ist  zunächst  die  Function  t($)  aufzustellen,  diese  möge  in  der 
Unendlichkeit  gleich  null  werden  und  sich  durch  die  Snbstitotion  um 
n  vermehren,  ich  setze  also: 


r-j-p      ?  — r 

ferner  wende  ich,  um  u  aufzustellen,  dio  Form  an: 

tt  —  a  «  ):(«(E))  —  x(ö>(9(f )))  +  Z(o>(^))  —  Z(«  <Piv)) 

und  setze,  da  u  in  der  Unendlichkeit  unendlich  werden  soll  wie  der 
Logarithmus  der  Entfernung: 

X(co(?))  «^logsinT(E), 

also  ist: 

sinT(E),  sinr(i^) 

u  —  «  =  «.10g  


Nun  ist  aber 

9 


(t1  =  -»(?)-- 


+  9 
u  wird  also  gleich  a  auf  den  Curven: 


.  TCf 


r 


Oknesorp§{  Zur  JnUgration  der  Oleiehung  J^w^O,  07 

Bin  (T(f) + ^  n)  sin(T(i2)  +^  n)  -  sin  t(E)  .  sintd?)  =  0. 

Es  besteht  aber  folgende  Gleich  ong: 
sin(a;-f-<')8in(y+^)'^8^i^^>8iny  —  8ina8in(a;-{-y+^)9 
mitbin  ist  u  «  a  auf  dem  Corvensystem : 

<e)+*(«?)+;;:XT^ ""  *»^ 
oder  X  und  y  eingeführt  auf  dem  Cnrvensystem: 

Da  n  jede  beliebige  Zahl  sein  darf,  so  stellt  diese  Gleichung 
onendlich  viele  Kreise  dar.  Die  Entfemnng  der  Mittelpnnkte  vom 
Nullpunkte  sei  e»  nnd  die  Radien  seien  12«,  so  ist 

and 

diese  beiden  Kreise  sind  die  gegebenen. 
Ferner  ist,  wenn  n  positiv: 


also 

Da,  wenn  n  >>1,  /^<<  ^  ist,  so  liegen  diese  Kreise  sämtlich 
im  Innern  des  zweiten  Kreises,  nnd  ihre  Peripherien  gehen  dnrch 
den  Berflhmngspunkt 

Ist  n  negativ,  so  ist 

die  Mittelpunkte  liegen  also  in  dem  ersten  Kreise  nnd  ihre  Peri- 
pherien geben  ebenüalls  durch  den  Berührungspunkt.    Für 

n  =  ±  «>     Wt    «  =  r     und    i2  =  0, 

Alle  diese  Kreise  sind  also  eingeschlossen  von  den  beiden  ge- 
gebenen; wenn  wir  mithin  die  beiden  gegebenen  Kreise  als  Grenze 
des  äusseren  Raumes  aufhssen,  so  ist  u  im  äusseren  Räume  nur  auf 
der  Grenaee  gleich  a. 

5* 


1 


• 


68  OknBSorge:  Zur  Integration  der  Glekkumg  J^u=.0, 

In  der  Unendlichkeit  wird  u  unendlich  wie  der  Logarithmus  der 
Entfernung,  die  übrigen  Unstetigkeitspunktc  liegen  im  Innern  der 
Kreise,  wenn  man  den  Berflhrungspunkt,  wie  es  in  diesem  Falle  uch 
sein  muss,  zu  den  inneren  Punkten  rechnet  üebrigens  kann  Min 
dem  Berflhrungspnnkt  keinen  anderen  Wert  besitzen  als  a,  dies  er- 
kennt man  leicht,  wenn  u  durch  x  und  y  ansgedrflckt  wird. 

Es  ist 

C08(t(6)  +  T(1J))  -  cos(r(5)  -  T(iy)) 


u  —  «  »ik.log 


cos  (t(£)  +  T(1|)  +  ^)  -  COS(T(0  -  T(1,)) 


also 

COSfi f'««'+«     •) 


tt —  a  —  A;log 


wo 

2rQn 


V  =  («— r)*+y^ 


Diese  Function  ist,  wie  man  leicht  erkennt,  vollständig  eindeatig 
bestimmt  bis  auf  den  Berührungspunkt,  hier  kann  u  jeden  beliebigen 
Wert  annehmen  und  dieser  Wert  wird  abhangen  von  dem  Wege  uf 
dem  man  zu  dem  Berührungspunkte  gelangt.  Da  man  aber  Ton 
einem  hinreichend  nahen  Punkte  des  äusseren  Raumes  zu  dem  Be- 
rührungspunkte nur  auf  der  geraden  Linie  a;  =  r  gelangen  lunn, 
so  wird  in  ihm  die  Exponentialgrösso  unendlich  gross,  das  Ai^ment 
des  Logarithmus  also  gleich  1  und  mithin  u  »  o. 

2)    Die  beiden  Kreise  liegen  von   einander  getrennt  und  es  sei 

Die  beiden  Wurzeln  f/4  und  f»,,  sind  reell ,  mithin  ist  zu  setzen« 
da  für  £  <»oc,  logT(£)  =  0  werden  soll: 


es  wird 


demnach: 


(t) 


ar^  —  ir*  —  mj)£       r* — «4       1 


ar^  —  (r*  —  w,)!       r^  —  m^    »{{) 


WO 


,,  sin  (v  log  t({))  sin  (v  log  T(iy)) 

f»     «  -  Äiog  8in(vlog(ÄT(£)))8in(vlog(AT{iy))) 

v-«:log--,      *«;nri^ 


Ohnetorgei  Zur  Integration  der  Gleichung  J*u=zO.  g9 

ZuDftchst  erkennt  man,  dass  u  in  der  Unendlichkeit  unendlich 
wird  wie  der  Logarithmus  der  Entfernung,  es  wird  gleich  a  auf  den 
Curven: 

oS  —  (r*  —  mj)    qiy  — (r*  — t»t)  ^  /«hV 
aE  — (r*— in,)  '  ai|  — (r*  — m,)  "*  \to,/  ' 


es  sei 


5^-Jt 


80  stellt  diese  Gleichung  die  unendlich  vielen  Kreise  dar: 

(1  — i»)ar« 


wo 


and 


Es  ist  also 
femer 


^  ""  (r*  — m,)  — Ä;".(r«  — »4) 
Ä»*  =  «H* -^ e»+r«. 

Cq  «=  0    und    /Zq  =  r, 
«I  —  «    und    iZj  =  p. 


Dieses  sind  die  beiden  gegebeneu  Kreise,  diese  schliessen  ebenso 
wie  im  vorigen  Falle  sämtliche  übrigen  ein. 

Diese  soeben  aufgestellte  Function  u  hat  denselben  constauten 
Wert  auf  der  Peripherie  beider  Kreise,  das  ist  offenbar  nicht  der 
allgemeinste  Fall,  es  kann  auch  u  auf  den  Peripherien  einen  ver- 
schiedenen Wert  besitzen.  Um  eine  solche  Function  zu  erhalten,  ist 
zn  u  noch  der  Ausdruck  ^logT(E).T(i})  zu  addiren  oder 

Dieser  Ausdruck  ist  unstetig  nur  in  den  Punkten 

X  — i,    y  «■  0  und    X  = ,    y  —  0, 

also  in  Punkten,   die  innerhalb  der  beiden  Kreise  liegen.     Ferner 
wird    derselbe    auf     der    Peripherie     d^s    ersten    Kreises    gleich 

A,  log -5 und  auf  der  des  zweiten,  also  wenn 

O    '^—  1 9"    ^"^  171«  ) 

gesetzt  mrd,  gleich  A . log  ,__.  ,_     .,  auf  beiden  also  constant 
In  der  Unendlichkeit  wird  er  null. 


70  Ohn^iorgt:  Zmr  IniegrtUion  der  Glakhung  J^-=0. 

Um  nan  t*  im  allgemeinsten  Falle  aufzustellen,  setze  ich: 

(a«-(r«-ffi,))M-«V^^ 
and 

80  ist 

^1         I  fi         cos( V log t)  —  ^(e^«i + e-^O 

U-«-^l0gT  +  *l0g  ^s(vlOgÄ«T)-i(«-.+e-««a) 

wo 

v="»2log^;      ^■"^_^^',    o>i«arctgai 

Die  3  noch  willkttrlichen  Gonstanten,  die  in  dieser  Formel  aaf- 
treten,  werden  bestimmt  durch  die  Werte  die  u  auf  den  beiden  Kreisen 
und  in  der  Unendlichkeit  annehmen  soll.  Ist  die  Gesamtmasse  der 
Elektricität  gleich  null,  so  ist  auch  X;  -»  0,  also 

t* — a  «=  illogT. 

Der  Ausdruck  far  u  enthält  noch  zwei  vieldeutige  FnnctioDen 
den  Logarithmus  und  den  Arcus  tangens.  Der  Logarithmus  mnss, 
da  tt  reell  ist,  ebenfalls  reell  sein,  also  ist  er  eindeutig  bestimmt 
Anders  der  Arcus  tangens.  Zunächst  ist  klar,  dass  man  an  Stdle 
▼on  arctg»  setzen  kann 

Q^^^#„    (mg  — ii4)y 

^arcig.     j,        ^«+««_pt\«  (r^+o«  — p«)«  — 4a«r«\ 

^  \v^ — 2^ — )  ^ i? ~! 

wenn  fp  der  Winkel  ist,  den  die  beiden  Verbindungslinien  der  Pankte 

aj  „ ^      y  «  0    und    «  -=» —^    y  «  0 

mit  dem  Punkte  xy  bilden.  Da  u  in  der  Unendlichkeit  logarithmiscli 
unendlich  werden  soll,  so  muss  arcf|^a>»0  fftr  (»od  sein,  hiemis 
folgt,  dass  n  »  0  sein  muss,  mithin  ist  auch  der  Arcus  tangens  ein« 
deutig  bestimmt. 

Streng  genommen,  müsste  97  in  der  für  y  positiven  Halbaxe  das 
entgegengesetzte  Vorzeichen  annehmen,  wie  in  der  fOr  y  negaüTeOf 
wir  können  aber,  da  der  Wert  von  u  hierdurch  nicht  geändert  wird, 
festsetzen,  dass  fp  stets  das  positive  Vorzeichen  besitze. 


Oknesorge:  Zur  Integration  der  GUickung  J^u==.0,  71 

ebenso  wie  co  hat  auch  r  eine  leicht  zn  übersehende  geometri- 
sche Bedeutang.  Es  seien  R^  und  R^  die  Entfernungen  des  Punktes 
xy  von  den  beiden  Punkten 


X  = *,     y  «  0    und    a?  = -^    y  ==■  0, 

so  ist 

"^^  V' 
also  Iftsst  sich  u  schliesslich  schreiben: 

cosr2  V  log  ^)  -  \(e^9  +  e-^9) 

«i  — ff  =  2iiiog^-  -f- ^'log  — . «-  V 

^  C08(2v  log  ^  j  -  \{^9 + c-a'^V) 

Die  Unstetigkeitspunkte  der  Function  u  liegen  sämtlich  auf  der 
X  Achse  and  innerhalb  der  beiden  Kreise  mit  Ausnahme  des  Unend- 
licfakeitspunktes.  Wird  a  =  r-f-^^  also  m,  «^  n»,,  so  geht  die  Func- 
tion, wie  man  sich  leicht  überzeugen  kann,  über  in  die  für  zwei  sich 
berOhrende  Kreise  entwickelte  Potentialfunction. 

Liegen  die  beiden  Kreise  in  einander,  so  Iftsst  sich  die  Poten« 
tialfanction  leicht  aus  der  obigen  ableiten. 

3)     Die  beiden  Kreise  mögen  sich  schneiden,  also 

Es  ist  mithin  4r*p* — (r*-f  p*— a*)*  eine  positive  Grösse,  sie 
sei  gleich  A',  femer  sei 


m 


so  setze  ich,  damit  fÄr  E  =  od  t(E)  =  0  wird : 

l 

also 

Nim  ist 


72  Ohnesorge:  Zur  Integration  der  GUkhung  J*u:=0. 


arc 


tgT(yj  =  arctg2^jj3,-(^,_^^__^,jj 


|arctgT(|)+arctg^,^^a  __-^  }  . 

and 

arc  tg  t(£) + arc  tg  t(i?) 

A(2«(£  +  i?)-2(a«+r«-(>«)) 


«•  arctg 


^._-t^-)(,_-j-=t-)_,. 


Femer  ist 
wrctgT(ö  —  arctgT(iy) 


—  arctg 


-{(-^-^T+^+£l 


Es  sei  nun 


x~ 


a«+r«  -  9 


i  "  2a 

T 


und 


80  wird 


wo 


__  .  C08(2vi  arctgr)  —  ^(e^i^og^^+c-yi^og«) 

"     "  ""     ^^  C08(2vi(arctgT  +  2^))  —  He^^os^+e'^^^'^) 

Vj  «=  «:2arctgm;     -4  «arctg  ^  ,    g__  g 

In  der  Unendlichkeit  wird  r  «  0,  mithin  muss ,  da  der  Cosinüs 
gleich  1  werden  soll,  arctg  =  0  für  r«0  sein.  Der  Arctg  wird 
sich  also ,  da  r  erst  unendlich  wird  anf  der  Peripherie  des  Kreises 


Ohn€Borg€:  Zur  Integration  der  Gleichung  ^*u=0.  73 

/        o»-L  r«—  p*\*  iL* 

Ix -^ )"l~y*^^i^«'   ^^°®^   Kreises,    der  sich   nicht   im 


«  .        .     JT 


änsseren  Räume  befindet,  stets  in  dem  Int.ervaU  —  ^  und  -\-  ^  be- 
finden. Hierans  ergeben  sich  auch  sofort  die  Werte,  diearctgm  und 
arctg  -n — i i  anzunehmen  haben. 

In  der  Tal ,  u  soll  =  a  sein  auf  den  beiden  gegebenen  Kreisen ; 

setzt  man  «*+y*  =  r*,  so  wird  t  =» orTZT"!»  ^^®  beiden  Co- 

sinnse  müssen  aber  einander  gleich  werden,  dies  kann  nur  dann  ge- 

k  n 

schoben,  wenn  auch  arctg   ^  ,    ^ g  sich  in  dem  Intervalle  — 0 

ond  -f- 2  ^fii^<^®^ 

Setzt  man 
so  wird 


X 


a^+Q 


«  —  •.«■ 


Nun  ist  aber 


M-c  tg^qj^— ,+arctg^,^  ^,^^,  ■-  -  ^r(^U^:;^^:r^^ 

«=»  —  arctg  w» 

demnach  muss  damit  in  diesem  Falle  die  beiden  Cosinuse  einander 
gleich  werden  arctg m  durch  die  obige  Gleichung  bestimmt  sein,  also 
ist  auch  arctg m  eindeutig  bestimmt 

Ich  gehe  nun  über  zu  der  geometrischen  Bedeutung  der  in  1«  -a 
vorkommenden  Functionen. 

Es  ist  -  die  gemeinschaftliche  Sehne  der  beiden  Kreise,  die 
Entfernung  des  Schnittpunktes  dieser  Sehne  mit  der  Centralen  vom 
Nullpunkte  ist  — -^^  ~" — "  >  wnd  seine  Entfernung  vom  Mittelpunkte 


des  zweiten  Kreises 


2a 


Verbindet  man  den  Punkt  xy  mit  den  beiden  Schnittpunkten  der 
beiden  Kreise,  so  ist  der  Winkel,  den  diese  beiden  Verbindungslinien 
miteinander  bilden  q> «—  arctg  t,  wo  q>  positiv  oder  negativ  zu  nehmen 
ist,  je  nachdem  x  positiv  oder  negativ  ist. 


74  Ohnetorge:    Zur  Integration  der  Gleichung  J*u=:0. 

Ferner  sei 

«-»arctg^,_j_^,_^,    und    /J  -  arct«  ^-^j^;^. 

so  sind  a  nnd  ß  die  Winkel  den  die  Centrale  mit  den  beiden  Linien 
bildet,  die  einen  der  Schnittpunkte  mit  den  beiden  Mittelponkten 
verbindet;  sie  mflssen  immer  spitze  Winkel  sein  und  haben  das  posi- 
tive oder  negative  Vorzeichen ,  je  nachdem  das  Argument  ihres  Ar- 
cus tangens  positiv  oder  negativ  ist. 

Die  Unstetigkeitspunkte,  die  die  Function  besitzt,  können,  wie 
man  leicht  besonders  unter  Zuhülfenahme  der  geometrischen  An- 
schauung findet,  niemals  ausserhalb  der  beiden  Kreise  liegen,  folglich 
ist  auch  die  Function  u  selbst  in  dem  allein  zu  betrachtenden  Banme 
eindeutig  und  stetig.  Natürlich  ist  hierbei  der  Unendlichkeitspankt 
ausgenommen. 

Während  die  Niveaucurvon,  also  die  Curven  t*  =  Const  bei  den 
bisher  betrachteten  Functionen  stets  transcendente  Gnrven  sind, 
können  bei  dieser  Function  auch  algebraische  Curven  auftreten,  die 
einzige  Bedingung  dafür  ist  die,  dass  das  Yerhältniss  n:  arctg» 
eine  rationale  Zahl  ist.  Der  erste  hierher  gehörende  Fall  ist  der, 
dass  sich  die  beiden  Kreise  rechtwinklig  schneiden,  alsdann  ist  näm- 
lich arctgm  «  ^5 

Zur  weiteren  Berechnung  wende  ich  die  Formel  an  bei  der  x 
und  y  noch  nicht  eingeführt  ist. 


Es  ist  in  diesem  Falle 


'(?)  =  :j^ 


ferner  ist 

•  ic       ♦     /tu  2t«)  2rp(<iS-r«) 

sin(2arctgt{E))  =  ^-^^^^^  =  r*g'+a*g^-2arn  +  ,* 

2rg(ag-r») 
■°°  {(a5-r«)5+r«(a-E))a 

da 

o*  =  r*+|i*    ist 

Demnach  wird 

*"'«5l(?-«)('J-ä) 


U 


*''°»(a;^4-y»)((a-a)*-}-y*) 


Ohnetorge:  Zur  Integration  der  Gleichung  J*u=zO.  75 

Ist  tt  »  a,  80  wird  die  Gleichung  der  Niveaucorve: 

also 

Biese  Gleichung  stellt  die  beiden  Kreise  dar. 

Man  hätte  übrigens  auf  diese  Function  dircct  auf  einem  äusserst 
leichten  Wege  gelangen  können,  wenn  man  sich  die  Aufgabe  gestellt 
hätte,  diejenige  Potentialfunction  zu  bestimmen ,  deren  Nivcaucurven 
Gurren  yierten  Grades  sind,  die  sich  Jedoch  für  einen  bestimmten 
Wert  von  u  in  zwei  Kreise  zerlegen. 


§.  2. 

Die  stationäre  elektrische  Strömung  in  leitenden 

Platten. 

Es  seien  u  «  a  die  Curven  gleichen  Potentials  und  v  ^  ß  die 
Strömnngslinien ,  so  ist  das  Problem  analytisch  ausgedrückt  folgen- 
des: 

Es  sind  diese  Functionen  derartig  zu  bestimmen,  dass  sie 

1)  der  Gleichung 

genügen,  dass 

2)  die  Gleichung 

du  dv  ^^du  dv 

dx  Bx^'dyBg 

Stattfindet,  dass 

3)  V  constant  ist  auf  der  Grenze  der  Platte,  und  dass 

4)  u  im  Innern  der  Platte  mit  Ausnahme  der  Ein-  und  Aus- 
strönmngspnnkte  eindeutig  und  stetig  ist,  in  diesen  Punkton  jedoch 
anendlich  wird  wie  der  Logarithmus  der  Entfernung. 

Es  sei 

E  —  (p{fl)    oder    i/  =  ^ß) 

die  Gleichong  der  Begrenzung,  so  setze  ich: 
dnu 


76  Ohnesorg«:  Zur  Integration  der  Gleichung  d^u-=.0, 

80  sind  die  Bedingungen  1),  2);  3)  erfOllt. 

Um  der  Bedingung  4)  Rechnung  zu  tragen ,  sind  zunächst  die 
Functionen  tp^)  und  9(17)  zu  untersuchen.  Diese  Functionen  und 
Wurzeln  einer  Gleichung  n  ten  Grades  die  auf  der  Grenze  der  Platte 
übergehen  müssen  in  r\  oder  \,    D.  h.  wenn 

ist,  so  muss  auf  der  Grenze  der  Platte  A^x  und  B  =>  ^y  werden. 
Im  allgemeinen  wird  aber  dieses  nur  stattfinden,  wenn  A  und  B  im 
Innern  der  Platte  gewisse  Linien  nicht  überschreiten.  Bleiben  A  ood 
B  stetig,  so  werden  sie,  wenn  diese  Linien  von  ihnen  überschritten  sind, 
im  allgemeinen  mit  einem  andern  Werte  als  dem  verlangten  an  der 
Grenze  ankommen,  oder  aber  sie  müssten  auf  diesen  Linien  einen 
Sprung  machen,  dessen  Grösse  abhängig  ist  von  dem  Orte. 

Bei  der  Ellipse  z.  B.  ist  die  Brennlinie,  oder  die  Yerbindong- 
linie  der  beiden  Brennpunkte  eine  solche  Unstetigkeitslinie. 

Ist  dies  der  Fall,  so  kann  man  die  Function  (p(i)  und  also  anch 
die  obigen  Formeln  direct  nicht  anwenden.  Lässt  sich  jedoch  die 
Gleichung  der  Begrenzung  schreiben  in  der  Form : 

«(5) .  w(i?)  +  a(  «(5)  +  w(i?))  +  &  =  0, 

wo  o  eine  rationale  Function  bedeutet,  so  kann  man  setzen: 

u  —  a^2x  milog  («(f)  —  «a)  (o)(iy)  —  ax) 

und: 

-r-  -  ^imAlog-—         -n+am(n) 


(»(i?)-«A)(^^^j+«; 


Man  erkennt  leicht,  dass  diese  Functionen  allen  Bedingungen 
genügen,  auch  die  Lage  der  Einströmungspunkte  ist  leicht  zu  finden. 
Zu  bemerken  ist  noch,  dass,  wenn  die  Functionen  in  dieser  Form 
aufgestellt  werden,  die  Einströmungspunkte  sich  stets  auf  der  Z  Achse 
befinden  müssen.  Sind  nur  zwei  Unstetigkeitspunkte  vorhanden,  so 
kann  man  diets  stes  erreichen  dadurch,  dass  man  die  JT  Achse  dnrch 
sie  hiudurchlegt,  sind  jedoch  mehrere  vorhanden,  so  muss  man  das 
Problem  teilen,  immer  zwei*  Einströmungspunkte  nehmen  und  die  dazo 


Ohnesorge:  Zur  Integration  der  Gleichung  J*uz=zO.  77 

gehörigen  Fanctionen  aofsachen,  die  Summe  der  so  erhaltenen  Func- 
tionen gieht  dann  schliesslich  die  verlangte. 

Lässt  sich  die  Gleichung  der  Begrenzung  jedoch  nicht  in  der 
obigen  Form  darstellen,  so  kann  man  die  Functionen  <p(E)  auch  dann 
noch  benutzen,  wenn  die  endlichen  Unstetigkeiten  constant  sind,  d.  h. 
wenn  die  Differenz  der  beiden  Werte,  die  A  oder  B  auf  beiden  Seiten 
der  ünstctigkeitslinie  in  gegenQberliegenden  Punkten  besitzt,  stets 
unabhängig  vom  Orte  ist  Die  Einführung  einer  periodischen  Func- 
tion von  9>(Q,  deren  Periode  gleich  dieser  Differenz  ist,  genügt,  um 
diese  Unstetigkeiten  zu  vernichten. 

Sind  diese  Unstetigkeiten  jedoch  abhängig  vom  Orte,  so  müsste 
man,  um  sie  fortzuschaffen,  eine  Function  zu  bestimmen  suchen,  die 
sich  nicht  ändert,  wenn  man  zu  ihrem  Argument  die  Differenz  der 
beiden  Unstetigkeitswerte  addirt 

Dieses  Problem  greifen  wir  nicht  direct  an,  sondern  wir  ver- 
suchen, die  Unstetigkeit  constant  zu  machen.  Hierzu  dient  die  im  ersten 
Paragraphen  entwickelte  Methode.  Die  mit  Hülfe  dieser  Methode 
gefundenen  Functionen  sind  durch  Integration  bestimmt,  und  in  der 
Gleichung 

Xi(5)  +  h(v)  =  «5 

die  die  Gleichung  der  Begrenzung  darstellen  soll,  tritt  a  als  Integra- 
tionsconstante  auf,  die  für  einen  bestimmten  Wert  die  Gleichung 
der  Begrenzung  giebt. 

Sind  nun  Xi  und  X2  eindeutige  Functionen  in  der  Art,  dass  sie 
keine  Wurzelgrössen  enthalten,  so  wird  auch  a  eindeutig  sein.  Ist 
dies  jedoch  nicht  der  Fall ,  so  wird  a  im  allgemeinen  ebensoviele 
verschiedene  Werte  annehmen,  als  diese  Functionen  vermöge  der  in 
ihnen  auftretenden  Wurzelgrössen  besitzen,  so  dass  zu  jedem  Wurzel- 
werte auch  ein  bestimmter  von  er  gehört.  Die  Functionen  %  jedoch 
werden  im  allgemeinen  beim  Durchlaufen  der  Platte  in  einander  über, 
gehen,  es  wird  alsdann  auch  aus  dem  einen  a  ein  anderes  geworden 
sein  müssen,  dies  ist  jedoch,  da  a  constant  ist,  unmöglich,  wenn  es 
nicht  selbst  den  Sprung  a;i  —  o^  gemacht  hat.  Diese  Unstetigkeiten 
sind  aber  constant,  und  lassen  sich  stets  fortschaffen,  dadurch,  dass 
man  an  Stelle  von  %  eine  periodische  Function  von  %  einführt  mit 
den  Perioden  of;i — a^  (A  =  l  ...  «),  wenn  «^  ...  die  verschiedenen 
Werte  sind,  die  o  annehmen  kann.  Es  sei  oo  eine  solche  Function, 
so  wird  man  zu  setzen  haben: 

tt  —  a  =•  Sxmx  log  { fi) A  (x(5)) .  ^X{%(n))  •  «*(«  —  Z(ö)  •  » A(a  —  %{n))\ 
und 


78  Ohnetorgei  Zur  Integration  der  GUiekung  J*u=zO, 

^-ß      «,    ,^  «;i(xK)).«>A(«-2(g)) 

Berücksichtigt  man  jedoch,  dass  die  Fanctionen  %  im  allgemeinen 
Abelsche  Integrale  sein  werden,  also  anch  die  Vieldentigkeiten  der- 
selben besitzen,  die,  da  o  im  Innern  der  Platte  eindeutig  sein  mnsa, 
auch  fortznschaffen  sind,  so  muss  man  dem  a  noch  noch  diejenigen 
Perioden  erteilen,  die  hierzu  nötig  sind. 

Die  G)A  in  den  obigen  Formeln  unterscheiden  sich  Ton  einaader 
nur  durch  ihre  Nullpunkte,  es  soll  oa  in  dem  Punkte  ßx  gleich  iivll 
werden. 

« 

Das  einfachste  Beispiel,  welches  dazu  dienen  kann,  das  oben  Ge- 
sagte zu  erläutern,  ist  die  Strömung  durch  eine  elliptische  Platte. 

Die  Gleichung  der  Ellipse  sei 

oder 

(6»  — a«)(f«-fiy«)4-2(6«+a«)e.iy-4a>6«  «  0, 
also 

hieraus  folgt: 
nun  aber  ist 

eingesetzt,  ergiebt: 

y  ^2  —  (a«  —  i"«)ci? + y  ?« -  (a« — Ä«)  dfi  =  0, 
demnach  ist: 

d^ 


.(E).=/: 


iog(5±ye*-(a»-&*). 


Die  Gleichung  der  Begrenzung  ist  also  entweder: 

(E+yfn  —  (a«  «-  &«))  (^  4-  y^«  —  (a«  — T«))  «  o, 
oder  

Es  ist  a^  und  a^  zu  bestimmen. 


Ohnesorge:  Zur  Integration  der  Gleichung  ^'tt=:^.  79 

Beide  Gleichangen  mit  einander  moltiplieirt,  giebt: 
beide  Gleiehungen  zn  einander  addirt: 

Ton  einander  snbtrahirt: 

diese  qnadrirt: 

die  Wurzel  eliminirt: 

Ans  dieser  Gleicbnng  folgt  nnn: 

and 

«1  —  «2  =  +  4a&, 
also  ist  entweder: 

oder  gleich  (o — b)^ 

and 

oder  gleich  (o+ä)*. 

Im  Innern  der  Platte  kann  jedoch  anch  S  in  zwei  verschiedenen 
Punkten  den  entgegengesetzten  Wert  erhalten  und  man  kann  von  dem 
einen  Punkte  zu  dem  anderen  immer  auf  einem  Wege  gelangen,  auf 
dem  die  Quadratworzel  nicht  null  wird,  auf  dem  sie  also  ihr  Vor- 
zeichen behält,   mithin  geht  alsdann  die    erste  Form  in  die  zweite 

über,  und  man  muss  von  log(E+yP— (o*— ä*))  eine  Function  bilden, 
die  die  Periode   2 log    ^,   besitzt,  ferner  muss  diese  Function  aber 

auch   noch,  da  der  Logarithmus  unendlich  vieldeutig  ist,  die  Periode 
2ni  erhalten,  sie  wird  also  eine  elliptische  Function  sein  mit   den 

Perioden  21og-^^  und  2«t. 

a  — b 

Bei  der  Aufstellung  derartiger  Functionen  muss  man  aber  stets 
die  einfachsten  nehmen,  ich  setze  demnach,  wenn 

ist. 


80  Ohnesorge:  Zur  Integration  der  GUichung  J*uz=0, 

X  »  8inam(m«,  h). 

Die  beiden  coustantcn  Grössen  m  und  k  sind  aus  den  beiden  Perioden 
zu  bestimmen. 

Der  Modul  k  ist  eindeutig  bestimmt  durch  die  Jacobi'acbe  Grösse 

K 


j  ^  ^-n 


da  aber 

und 

ist,  so  ist 


''     K' 


°  a  — 0 
2ä"  «  2mn 


und 


n 


-z» 


7t 


Auch  ÜT  und  iST'  sind  durch  q'  eindeutig  bestinmit. 

Es  werde  nun  v  unstetig  in  den  Punkten  (  »  E^,  17  -»  171  and  es 
sei 

2(f)  «  l0g(5+l/E*-(a«-i«))-l0g(EA+-y?A*-(a«-*^), 
so  wird  die  Gleichung  der  Begrenzung 

=  log  a+log .  (EJL  +  >/EA*~(a«-i2))(^;i4.y^;i2_(«2_ft3))  «  ßj^ 

demnach  setze  ich: 

u—a  =»  2:p.mAlog{sinam  —  »a(E)  .  sin  am  — «;i(iy)  X 

7t  7t 

K'  K' 

sin  am  —  (/3A-ÄA(E))sinam  —  (|Ja— «a(i?))} 

1t  7t 

und  also: 

_                   sin  am—  äa(E)  .  sin  am  — (/Ja  — «a(^)) 
ü  — p       -,  ?g ^^ 

*  sin  am —  «a(i])  .  sin  am  — ( j^A  -  «a(i?)) 

1\I  it  Hülfe  der  soeben  entwickelten  Methode  ist  aber  das  Problem 
der  elektrischen  Strömung  vollständig  gelöst,  wenn  die  Begrenzung 


Ohnttorgtt  Zur  Integration  der  Ghiehung  J*u=zO,  81 

der  Platte  darch  eine  einzige  algebraische  Gleichung  dargestellt  wer- 
den kann. 

Besteht  die  Begrenzung  der  Platte  aus  mehreren  algebraischen 
Conren,  80  hängt  das  Problem  ab  von  der  Bestimmung  einer  im  In- 
nern der  Platte  stetigen  und  eindeutigen  Function,  die  sich  nicht 
ändert,  wenn  man  an  Stelle  des  Arguments  eine  durch  die  specielleren 
Bedingungen  des  Problems  bestimmte  Function  setzt. 


Ank.  i.  MaXk,  «.  Fk|s.   9.  B«Um,  T«U  U.  6 


82  Roth:  Dk  UmkAnmg  d€M  Gnmdgtdtmkau 


m. 

Die  ümkehrung  des  Grundgedankens 
von  Hindenburg's  combinatorischer  Analysis. 

(ToitMtsuig), 
Von 

Friedrich  Roth. 


b)  Die  wenlirer  irewdliiilicheH  ComblnfttloneB  vnd  TAriAllMMb 

(Comb,  und  Var.  mit  eingeschränkter  Wiederholung  und  Var.  n  be- 
stimmten Snmmen.) 

In  dem  ersten  Abschnitte  dieser  Abhandlang,  der  aof  S.  427— 
434  abgedmckt  worden  ist,  hatten  wir  diejenigen  Teile  der  Com- 
binationslehre  behandelt,  anf  die  man  sich  in  der  Regel  bei  dem 
Schnluntcrricht  beschränkt  Es  bliebe  noch  flbrig,  den  Orondgedanken 
unserer  Arbeit,  der  sich  auf  dem  bisher  betrachteten  Gebiete  so 
fruchtbar  gezeigt  hat,  auch  auf  diejenigen  Zusammenstellangen  ge- 
gebener Elemente  anzuwenden,  welche  in  unserer  Zeit,  wo  die  Zwecke 
der  Sehule  mehr  in  den  Vordergrund  getreten  sind,  in  den  meistes 
Lehrbüchern  —  (Beckers  Arithmetik  bildet  eine  mir  bekannte  Ans. 
nähme)  —  keine  Beachtung  gefunden  haben,  während  sie  im  vorigen 
Jahrhundert  wegen  ihrer  Anwendbarkeit  auf  die  Wahrscheinlichkeits- 
rechnung von  den  bedeutendsten  Mathematikern  der  wiederholten 
Erörterung  ^und  Untersuchung  für  wert  gehalten  wurden.  Dass  der 
angebene  Grund  wirklich  der  entscheindende  war,  erkennt  man  so- 
fort, wenn  man  das  allgemeine  fOr  die  Combinatorik  als  gnindlegeiid 
geltende  Werk,  die  ars  coigectandi,  etwas  genauer  ansieht  Nicht 
allein,  dass  in  der  Vorrede   Nikolaus  Bernoolli  von  sich  sagt,  dasi 


von  Bindenhurg*t  comhinatorischtr  Analyaü.  83 

er  ztur  Heraasgabe  des  Werkes  seines  Oheims  aufgefordert  worden 
sei,  weil  man  von  ihm  eine  Schrift  kannte,  in  welcher  er  die  von  dem 
letzterm  aasgebUdete  Wissenschaft  auf  Rechtsfragen  angewandt  hatte, 
CS  ist  anch  der  erste  Abschnitt  des  Buches  der  Berechnung  der  Wahr- 
scheinlichkeit beim  Warfelspiel  gewidmet,  während  der  zweite  Teil, 
der  die  eigentliche  Combinatorik  enthält,  nur  als  blosse  Zutat  er- 
scheint, gleichsam  als  unvermeidliche  Beigabe,  welche  die  Hflifsmittel 
bringt,  die  man  in  dem  fttr  praktische  Bedürfnisse  entworfenen 
ersten  Abschnitte  gebrauchen  soll.  Ausserdem  wissen  wir  von  Pascal, 
dass  er  durch  Aufgaben  aus  der  Wahrscheinlichkeitsrechnung  auf  die 
Betrachtung  der  Combinationen  geführt  worden  ist.  Nun  wird  nie- 
mand die  Wichtigkeit  bestreiten,  welche  die  Variationen  zu  be- 
stimmten Summen,  sowie  die  Combinationen  und  Variationen  mit  be- 
grenzter Wiederholung  für  die  Wahrscheinlichkeitsrechnung  besitzen, 
und  es  erklärt  sich  daher,  warum  die  Mathematiker  früherer  Zeit 
ihre  geistige  Kraft  mit  Vorliebe  an  diesem  Oegenstande  übten.  Da- 
gegen ist  wol  der  Mangel  an  Durchbildung  und  wissenschaftlicher 
Strenge  der  einschlägigen  Beweise  und  Formeln  daran  schuld,  dass 
gerade  dieses  Gebiet  bei  dem  Unterrichte  wenig  Beachtung  findet. 
Um  so  mehr  scheint  es  geboten,  gerade  hier  den  Versuch  zu  wagen, 
durch  nene  Auffassung  bessere  Ableitungen  zu  schaffen  und  allge- 
meine Gesichtspunkte  für  solche  Aufgaben  aufzustellen,  die  bis  jetzt 
nur  durch  rohes  Probiren  und  durch  Ausführung  in  bestimmten 
Zahlen  gelöst  worden  sind. 

Betrachten  wir  zunächst  die  Combinationen  mit  eingeschränkten 
Wiederholungen.  Hier  giebt  es  schon  eine  allgemeine  Formel ,  aber 
nicht  tut  eine  bestimmte  Classo,  sondern  für  die  Anzahl  der  Com- 
plexionen  durch  alle  Classen  zusammengenommen,  von  der  ersten 
aufsteigend  bis  zu  derjenigen,  welche  durch  die  Summe  allen  Wieder- 
holungsexponenten bezeichnet  wird.  Weiugärtner  *)  leitet  merkwür- 
diger Weise  diese  Formel  gar  nicht  ab,  sondern  teilt  sie  ohne  Be- 
weis mit  Er  entwickelt  nur  das  Gesetz  für  die  Anzahl  der  einzelnen 
Ordnungen,  d.  h.  deijenigen  Gruppen  der  Formen,  die  dann,  wenn 
die  Elemente  alphabetisch  oder  nmgekchrt  sich  folgen ,  mit  je  einem 
gleichen  Buchstaben  beginnen.  Im  Uebrigen  verweist  er  auf  Jac. 
Benioulli.  Dieser  selbst  aber  rechnet  in  der  ars  coujectandi  eigent- 
lich nur  ein  Beispiel  aus,  indem  er  vier  Elemente  a,  &,  c,  d  annimmt 
und  als  Dimensionen  —   wie  er  treffend  die  höchtmöglichste  Anzahl 


*)  Johann  Chriftoph  Weingärtner,  Conrec^r  in  Erfurt,  Lehrbach 
der  combinatorischen  Analysis  nach  der  Theorie  des  ProfcBsor  Hinden- 
borg,    LeipEig,  bei  QerharJ  Fleischer  dem  Jüngeren,  1800. 

6* 


84  Hoth:  DiB  ümkthrung  des  Grundgedamkats 

der  WiederholHngen  nennt  —  nur  bestimmte  und  zwftr  kleine  Zahlen 
wählt  Daraus  folgert  er  ohne  weiteres  die  allgemeine  Eegel.  Da- 
gegen findet  sich  in  dem  Exemplar  seiner  Schrift,  das  ich  aoi  der 
Göttinger  Universitätsbibliothek  erhalten  habe,  eine  lateinische  Rand- 
bemerkung, in  der,  allerdings  auch  nur  fflr  Tier  Elemente,  ein  Be- 
weis aufgestellt  wird,  der  es  mir  wert  zu  sein  scheint,  dass  2st  der 
Oeffentlichkeit  übergeben  werde.  Nach  einer  andern  Bemerkung  Ton 
gleicher  Tinte  und  gleicher  Handschrift  stammt  er  Tom  Jahre  1736, 
könnte  also  nicht  von  Kästner  herrühren,  da  dieser  erst  zwanzig 
Jahre  später  nach  Göttingen  kam.  Der  Beweis  lautet  unter  Bei- 
behaltung der  Interpunction  und  der  mathematischen  Schreibw^ 
seines  Urhebers: 

Sint  inveniendae  coniunctiones  litterar.  a^b^e^di.  Patet  Bolins 
a  dari  coniunctiones  m-f-l  quarum  prima  est  a^  altima  o"*.  Hamm 
cnivis  si  accedat  5,  dantur  novae  coniunctiones  m+l,  et  bis  novii 
si  addatur  aliud  &,  rursus  novae  m-4-1,  et  cum  haec  additio  propter 

&^  fieri  possit  r  vicibus,  patet  accedere  novas  coniunctiones  rX^^- 

Qnare  numerus  coniunctionum  «"•ä'"  est  m+l-f-rXw  +  l—  «i+l 

Xr-f-1-  His  accedere  possunt  ob  c*  coniunctiones  «n+lXv+l 
X  t   in  quibus   est  c,    Quare  fit  numerus  coniunctionmcn  aFh^^ » 

m+1  X  H^i  +  M^  X  r"+rx  t  =  »+ix"H^  xTpi_j^ 
sie  progrediendo  patet  accedente  d^  snmmam  coniunct.    esse  m-f  1 

X  HRTx  i+TXÄ+1. 

Ein  ganz  allgemeiner  und  strenger  Beweis  ist  meines  Wissens 
noch  nicht  gefunden;  und  doch  giebt  es  nichts  Leichteres  als  das, 
wenn  man  nur  die  Hülfsmittel  benutzt,  die  wir  im  ersten  Teile  dieser 
Abhandlung  angegeben  haben, 

Es  seien  gegeben  die  n  Elemente  a,  5,  <;  ...  m,  die  hödttteZahl 
der  erlaubten  Wiederholungen  sei  bzhw.  er,  /?,  )r . . .  fi.  Dann  würde  die 
Aufgabe  nach  Hindenburg's  Ausdrucksweise  heissen :  Suche  die  Ao. 
zahl  der  Combinationen  für  den  Zeiger  a^bßcv  ..:  mf*.  Nun  haben 
wir,  wenn  wir  die  Nullionen  mit  rechnen  und  die  einzehien  Gom- 
plezionen  durch  ein  Pluszeichen  verbinden, 

als  Arten,  die  nur  a  enthalten: 

1-f  a+a'+a'+o*-}-  ...  -+.a«->  +  a«, 

als  Arten,  die  nur  b  enthalten: 

14.^+63+^8^54^  ...  +^-i+Ä/i^ 

als  Arten,  die  nur  c  enthalten: 


von  Bmdenburg^s  eombinaioriseher  Analysis,  g5 

•  •  • 

•  •  . 
t                      •  . 

eadlich  als  Arten,  die  nur  m  enthalten: 

Mit  Ausnahme  der  1  soll  jedes  Glied  aus  einer  dieser  n  wag- 
rechten Reihen  mit  einem  jeden  beliebigen  Gliede  der  anderen  Reihen 
zusammengestellt  werden,  doch  so,  dass  niemals  mehr  als  ein  Sum- 
mand aus  derselben  Zeile  vorkommt.  Es  giebt  unter  den  durch  solche 
Znsammenstellung  entstehenden  Producten  auch  solche,  die  weniger 
denn  n  Potenzen  als  Factoren  haben.  Diese  multiplicire  ich  so  oft 
mal  mit  1,  dass  die  Anzahl  der  Factoren  überall  n  beträgt.  Ordne 
ich  dabei  die  Buchstaben  nach  dem  81SC  und  füge  die  Einsem  an 
der  Stelle  der  fehlenden  Elemente  ein,  schreibe  also  z.  B.  für  ae^m* 
das  Product  a.l.0*.l.l  ...  l.m^,  so  leuchtet  jedem,  der  sich  die 
Regeln  der  Multiplication  vergegenwärtigt,  sofort  ein,  dass  die  in 
der  Aufgabe  gdforderten  Gombinationen  weiter  nichts  sind  als  die 
Glieder  desjenigen  Polynoms^  dass  ich  bekomme,  wenn  ich  die  oben 
stehenden  n  wagerechten  Reihen  mit  einander  multiplicire  und  dabei 
den  Einzelmultiplicator  immer  hinter  seinen  Multiplicanden  schreibe. 
Sollen  jedoch  die  Nullionen  nicht  mit  gezählt  werden ,  so  muss  ich 
das  1«  wegnehmen,  das  durch  Multiplication  der  n  ersten  unter  ein- 
ander stehenden  Summanden  entsteht.  Wie  früher  verwandeln  wir 
die  Summe  des  polynomischen  Hauptproductes  in  die  Anzahl  der 
Glieder,  indem  wir  jede  Potenz  der  Elemente  gleich  eins  setzen.  Da- 
durch aber  wird  die  erste  wagerechte  Reihe  zu  1+a,  die  zweite  zu 
1-f  ^  u.  s.  f.,  mithin  die  gesuchte  Anzahl  der  Formen 

(i4-«)(i+Wa+y) ...  (i+^-^)(i-f  f*)-i, 

wo  fft"'^   den   im  Alphabet  vor  (n  vorhergehenden  Buchstaben  be- 
zeichnet. 

Ist  bei  den  Gombinationen,  um  die  es  sich  hier  handelt,  und  bei  den 
entsprechenden  Variationen  die  einzelne  Ciasse  vorgeschrieben,  so 
hat  man,  so  viel  mir  bekannt,  bisjetzt  zur  Auffindung  der  Anzahl 
der  Arten  weder  eine  allgemeine  Regel  noch  eine  Formel.  Sind  die 
Wiederholungsgrenzen  in  bestimmten  Zahlen  gegeben,  so  lehrt  uns 
Jac.  Bemoulli  Tabellen  entwerfen,  mit  deren  Hülfe  man  die  gesuchte 
Grösse  ableiten  kann.  Doch  ist  dieses  Verfahren  mühselig,  weil  man 
die  niedrigeren  und  meistens  auch  die  nächst  höheren  Classen  mit 
berechnen  muss.  Betrachtet  man  dagegen  die  Elemente  einer  jeden 
Complexion  als  Factoren,  sq  ist  nach  dem  oben  Gesagten  folgendes 
unmittelbar  klar, 


86  Rot  hl  DU  ümkBhrunff§cles  Grundgedanken» 

Sollen  die  n  Elemente  a,  6,  c  . . .  (  in  der  angegebenen  Weise 
zur  mter  Classe  zusammengestellt  werden,  so  ist  die  Anzahl  aller 
Arten  der  betreffenden  Variationen  ausgedrückt  durch  die  Summe  der 
Cocfficienten  der  polynomischen  Reihe,  die  durch  Anarechnuog  Ton 

entsteht,  unter  Woglassung  aller  derjenigen  Glieder,  welche  eise 
solche  Potenz  der  ursprünglichen  Summanden  a,  b  u.  s.  f.  enthalten, 
deren  Exponen'  die  zugehörige  Grenze  der  Wiederholungen  fiber- 
schreitet. Die  Anzahl  der  übrig  bleibenden  Glieder  giebt  uns  zu- 
gleich die  Menge  der  entsprechenden  Combinationen.  Ist  keine  der 
Dimensionen,  die  für  die  Wiederholungen  gestattes  sind,  kleiner  sIs 

m,  so  bleibt  die  Potenz  der  ngliedrigen  Summe  a-f-&-^  ...  t  voll- 
ständig, und  man  erhält  die  bekannten  Formeln  für  die  gemeioen 
Variationen  und  Combinationen  m.  W.  Man  kann  also  die  zuletzt 
gegebene  Regel  als  den  allgemeinen  Satz  ansehen,  unter  der  die  un- 
beschränkte Wiederholung  als  besonderer  Fall  gehört. 

Diese  Regel,  welche  die  hier  zu  betrachtenden  Znsammenstel- 
lungen auf  den  polynomischen  Lehrsatz  zurückführt,  bietet  zunächst 
eine  Erleichterung  des  Verständnisses  bei  der  Berechnung  der  Anzahl 
der  Combinationen,  wenn  nur  für  ein  Element  die  Wiederholung  be- 
schränkt ist. 

Sind  z.  B.  unter  den  n  Elementen  für  t  allein  w ,  ftlr  alle  an- 
deren dagegen  m  Wiederholungen  zulässig,  wobei  w  kleiner  als  m  ist, 
so  fallen  in  der  Reihe  für  {a+fc4*<'+  •••  +0**  »Mo  diejenigen 
Glieder  weg,  welche  Potenzen  von  t^^^  aufsteigend  bis  <*  enthalten. 
Von  diesen  Gliedern  sind  aber  so  viele  vorhanden,  als  sich  die  übrigen 

n  — 1  Buchstaben  zu  denjenigen  Classen  mit  Wiederholungen  com- 
biniren  lassen,  deren  Dimensionen  mit  den  jedesmaligen  zwischen 
uj-\-l  und  m  liegenden  Exponenten  von  i  zusammen  m  ausmachen, 
ihre  Anzahl  ist  also  unter  Benutzung  von  4) ;  *) 


*)  Anmerkung.  Leider  ist  in  dem  ersten  Teile  meiner  AbhaDdluog  auf 
der  linken  Seite  dieser  Gleichung  ein  Druckfehler  flbcrsehen  worden.  Ei  steht 
dort  «'CXO,   wofür  selbstverständlich  *C(n)  su  setzen  ist.     Will  man  flbrigeni 

Gleichung  4)  mit  dem  von  Beruh.  Euler  gefundenen  Satze,  Ar  die  ich  in 
jener  Stelle  auf  Baltzer's  Elemente  verwiesen  habe,  in  Vergleichnng  bringen, 
so  setze  man  n-f  m — r  -1=;),  dann  lautet  sie: 


«0»  HmdeKgur^i  eombmatorüehtr  AnalgMÜ,  37 

•C(ii-1)  +  »CC«— 1) +-C(n-1)  +  . . .  +  "OCn-l))  +  'C(n—1) 

0  1  t  «— «->  IK-W-l 

.     -  -Ot«). 

m— »— 1 

Fttr  das  in  der  Aufgabe  Oesachte  ergiebt  sich  mithin 

7)  ''i^-)-CW_-(    -^^        )-(    J_,_i    ) 

Der  Vorteil,  den  diese  Formel  gewährt,  tritt  besonders  dann 
henror,  wenn  die  Classenzahl  sehr  gross  ist.  Man  versnche  z.  B.  die 
Anzahl  der  Combinationen  zur  100.  Classe  fttr  die  Zeiger  a^^b^^c^ 
mit  Hülfe  der  Bemonlli'schen  Tabelle  zn  berechnen,  and  man  wird 
bald  ermüdet  den  Arm  sinken  lassen,  während  sie  nach  unserer  Yor- 
achrift  einfach  wird 

.0[3)-.0(3)  =  (;^)-  Q  -  5161-21  -6130. 

Sollen  die  Combinationen  so  ansgefflhrt  werden,  dass  bei  einem 
Teile  der  Elemente  die  Wiederholungen  anbeschränkt,  bei  den 
andern  dagegen  vorgeschrieben  sind,  dergestalt,  dass  bei  diesen 
nur  eine  bestimmte  Menge  gleicher  Elemente  vorkommen  darf,  nicht 
mehr  and  nicht  weniger,  so  haben  wir  eine  leichte  Anfgabe  vor  uns. 
Sollen  z.  B.  in  der  mten  Classe  von  den  X;ten  Elementen  a,  &  ...  « 
das  erste,  a  nur  amal,  b  nnr  ßmü  n.  s.  f.  zuletzt  e  nur  f  mal  ge- 
setzt werden,  während  die  andern  von  den  gegebenen  n  Elementen 
beliebig  oft  mal  wiederholt  werden  dürfen,  so  sind  so  viel  Arten  vor- 
handen, als  diese  übrigen  n — k  Elemente  znr  m— a— /?- - ...  — £ten 
Classe  m.  W.  combinirt  werden  können. 

Bei  den  entsprechenden  Variationen  entwickele  man  die  mte  Po- 
tenz der  ngliedrigen  Summe  a-j-d-f-^'*^  •••  +*  ^  ^^^  Weise,  dass 
man  diejenigen   Elemente,  deren  Wiederholung  vorgeschrieben  ist, 

einzeln  nimmt,  während  man  die  übrigen  n—k  aber  zu  einem  ein- 
zigen Summanden  znsammenfasst.    D.  h.  man  rephne  (g-j-d-j-...  |  e  \ 

/-f-H"*— +'~l~0"*  iiax^h  dem  polynomischen  Satze  für  die  Glieder  a, 
h  ...  e  und  (/H'I7+*"  +0  äüs.    Dann  enthält  dasjenige  Glied  der 


r)-(0+(r!)G)+e:^»)CtO+- 

+c:y(^-')+  +eT")Ci-7') 


88  Roth:  DU  ümk$hrwg4M  Gmndgtitkvkma 

entstehenden  Reihe,  in  welchem  die  Potensen  a^hß  ,..ßß  -Torkomnen, 
die  gesuchten  Yarialionen.  Ihre  Anzahl  wird  gefunden*,  indem  buh 
unter  Beibehaltung  des  Goefificienten  f&r  jeden  Buchstaben  1  setzt, 
Dies  giebt,  da  dann  /+fl^4"  •••  ~l~^  gleich  n — k  wird 

^^  «!/»!  ...  «l(ffi-^«~/J-  ...  -1)1' 


Eine  Gruppe  von  Elementen,  die  in  jeder  Art  Torhanden  sein 
soll ,  bezeichnete  man  frtthor  als  den  Kopf  der  Gombinafion  (c^st 
combinationis) ,  es  wflrde  daher  nach  dieser  Ausdrucksweise  die  tos 
4ins  gelöste  Aufgabe  hciasen:  Suche  die  Anzahl  der  Formen  fftr  die 
Combin.  und  Var.  m.  W.,  die  alle  den  Gombinationakopf  a*tf  ...e' 
enthalten.  FOr  die  Gombinationen  ohne  W.  hat  schon  Weing&rtner 
in  dem  oben  «angefahrten  Buche  eine  Losung  dieser  Av^abe  sif 
S.  264-5  mitgeteUt. 

Mit  Hülfe  der  Formel  (8)  sind  wir  nun  im  Stande,  aiff  bequeme 
Weise  die  Anzahl  der  Variationen  mit  eingeschränkten  Wiederkotangen 
zu  berechnen,  wenn,  wie  wir  bei  den  entsprechenden  CombinatioDeii 
angenommen  hatten,  nur  für  ein  Element  eine  von  der  Classeaiahl 
verschiedene  Dimension  der  Wiederholungen  gegeben  ist  Weaa 
nämlich ,  wie  oben ,  die  n  Elemente  a,  5,  e  . . .  <  in  der  mten  Cltsse 
jedes  mmal,  t  allein  aber  nur  trmal  vorkommen  darf,  so  fa&ttea  wir 
in  der  Potenz  (a-j-^+c-j-  •••  -{~0"*9  da  wir  nach  dem  binomischefi 

Lehrsatze  für  die  beiden  Summanden  a4-&+  •••  «  mid  i entwickels, 
nur  diejenigen  Glieder  wegzunehmen,  welche  t  in  einer  höhen  tb 
trten  Potenz  enthalten,  und  dann  unter  Beibehaltung  der  Goefiki- 
cntcn  für  jeden  der  Buchstaben  o,  b  .,.t  eins  zu  setzen.  Ist  i'  etie 
solche  Potenz,  r  mithin  eine  ganze  Zahl  zwischen  w  und  m,  so  giebt 
uns  Formel  (8)  den  durch  Auslassung  von  i  wegüallenden  Summtn- 
den,  indem  wir  r  für  o  oder  ß  u.  e.  f.  schreiben  und  die  übrigen 
der  h  Grössen  o,  ß  ..,$  null  werden  lassen.  Das  Gesudite  ist  danadi 

m  I  (n  —  1)*'-M«' 
r!(m--r)l 


=(.-,)<•■'>-■ 


Die  Anzahl  der  Variationen  für  den  Zeiger  d^^b^^c^  (in  der  hos- 
dersten  Glasse  würde  sich  demnach  bestimmen  als 

-  3»oo  -(1  +  200+19800+1293600)  -  3*<>«— 1313601, 

ein  Ausdruck,  der  mit  Hülfe  der  Logarithmen  weiter  auszurechnen 
wäre. 


^)cn  Bitnieninirg^a  combinatorischer  Änalysis,  8d 

Ist  dagegen  m  gleich  6  und  der  Zeiger  a^b^c^d^  so  erhielten  wir 
ftr  die  Anzahl  der  Complexionen 

än'-['+G>'+®3'+G>'+0] 

-  4096 -(1-f  18 +135  4- 540 +  1215) 

4096  - 1909  «  2187  =  3^. 

Bleibt  die  Classe  dieselbe,  aber  der  Zeiger  wird  a^b^d,  so  ändert 
sich  in  der  letzten  Gleichang  nur  n,  und  man  bekommt 

-  729  -(1+12+60+160+240)  «  729  —  473  «  256  =  2». 


Wie  wir  schon  in  der  Einleitung  zu  diesem  Abschnitte  ange- 
deutet haben,  war  eine  der  bekanntesten  Aufgaben,  an  der  manche 
bedeutende  Mathematiker  des  17.  und  18.  Jahrhundorts  ihre  Kräfte 
Tersncht  habtin,  die,  zu  bestimmen,  wie  viel  Fälle  möglich  sind,  iu 
deoen  mit  einer  gewissen  Anzahl  von  Würfeln  eine  verlangte  Summe 
von  Augen  geworfen  werden  kann.  Diese  Aufgabe,  die  Jac.  Bernoulli 
durch  Entwerfnng  einer  Tafel  gelöst  hat,  in  der  er  das  Gesuchte, 
schrittweise  zn  einer  hnmer  grösseren  Menge  von  Würfeln  fortschrei- 
tend, dnrch  Zasammenzählen  einer  Reihe  lotrecht  unter  einander 
stehender  Zahlen  berechnet,  führte  zu  der  Behandlung  der  Variationen 
zu  gegebenen  Summen.  Die  Anzahl  der  Formen  in  jeder  einzelnen 
Classe  hiefür  dnrch  eine  allgemeine  Formel  auszudrücken,  gelang  erst 
Hindenbnrg.  Seine  Ableitung  ist  nach  Weingärtner  die,  dass  er  die 
erste  Zahl  der  Complexion  von  1  an  wachsen  lässt  so  hoch  als  mög- 
lich und  jedesmal  die  Möglichkeit  der  Variationen  den  übrig  blei- 
benden Elemente  untersucht.  Indem  er  dieses  Verfahren  für  die  er- 
sten Classen,  von  der  ersten  aufsteigend  bis  zur  vierten  durchführt, 
ergeben  sich  figurirte  Zahlen,  deren  Eigenschaften  er  ohne  weiteres 
verallgemeinert,  ohne  den  Euler' sehen  Schlnss  vonm  auf  m+1  zu 
machen.  Abgesehen  von  dem  Maiigel  an  wissenschaftlicher  Strenge 
und  von  seiner  Weitläufigkeit  hat  dieser  Beweis  noch  den  Nachteil, 
dass  man  nicht  recht  einsieht,  wo  eigentlich  die  Binomialcoefiicientcn 
herkommen  bei  einer  Weise  der  Zusammenstellungen,  die  doch  schein- 
bar mit  den  Combinationen  ohne  W.  nichts  zu  tun  haben.  Sein  Ur- 
heber abnte  nicht,  dass  in  dem  Grundgedanken  seiner  combinatori- 
schen  Ahalysis,  nämlich  darin,  dass  man  die  Elemente  in  den  Formen 
der  Combinationen   m.  W.  als  Factoren    betrachfet,   eine   viel  ein- 


1 


90  Roth:  DU  ümlUhrung  du  Orundgedtmkens 

fächere  and  ganz  allgemeine  Ableitung  des  fraglichen  Satzes  ver- 
borgen liegt 

Anfgabe.  Wie  gross  ist  die  Anzahl  der  Arten  der  Yariatioiien 
m.  W.  in  der  mten  Glasse  znr  Summe  n? 

Auflösung.  Ich  schreibe  m  Buchstaben:  o,  6,  e  ...  t  immer 
in  derselben  Reihe  hin  und  setze  die  ;zu  Tanirenden  Sffem  als  Ex' 
ponenten  derselben,  so  erhalte  ich  die  Abkttrzungen  flQr  die  Ckimbi* 
nationen  m.  W.  der  m  Elemente  a,  6,  c  u.  s.  f.  zur  mtes  Classc, 
jedoch  nicht  vollständig,  da  kein  Buchstabe  verschwinden  darf.  Denn 
dann  würde  eine  jener  Ziffern  null  werden ,  was  nach  dem  Begriffe 
der  geforderten  Variationen  nicht  erlaubt  ist  So  würden  wir  bei 
dem  in  Stahl's  *)  Grundriss  der  Combinationslehre  auf  S.  169  aas- 
geführten  Beispiele  schreiben 

in  der  ersten  Form  statt  1117  a}b^e^tf 

„         22.        „  1441  a^b^d^d\ 

„         43.        „  2341  ii26»c*«l», 

„         64.        „  8511  a«c»c*rf>. 

Sondere  ich  nun  in  dem  allgemeinen  Falle  aus  jeder  GomplezioB  du 
m  Factoren  enthaltende  Product  a,b.o  ...  i  als  Coefficient  ab,  so  ist 

der  übrig  bleibende  Factor  von  der  n-mten  Dimension,  und  es  ist 
in  ihm  der  Wiederholung  der  Elemente  nach  keiner  Seite  hin  eise 
Beschränkung  auferlegt.  Er  ist  also  die  Abkürzung  für  je  eine  Art 
der  gemeinen  Combinationen  mit  Wiederholungen  von  m  Elemeateo 

zur  n— mten  Classe,  mithin  bezeichnet  durch  die  Formel 


m(m4-l) (»>-{" 2)  ...  (m-^w  —  m  — 1) 
1.2.3.4... (n-m  -l)(n  — m)      * 

wofür  man  bekanntlich  auch  schreiben  kann 

(n-m  +  l)(if~iyi+2)  ...  (n  -  2)(it~l) 
1.2.3...  (m  -  3)  (ffi  -  2)  (m  -1) 

In  dem  letzten  Bruche  brauchen  wir  nur  den  Zähler  rückwärts  xo 
lesen,  um  darin  sofort  den  Hindenburg'schen  Ausdruck  zu  erkeDaa 


9)  M      oT.  >^(l-l)- 


»3/ 

(1,2,3,4...) 


*)  Stahl,  Conr.  Dietrich  Martin,  Profeiior  in  Jena,  Grendri»  ^ 
Combinationslehre  nebst  Anwendung  derselben  amf  die  Analyais.  Jena  vU 
Leipzig  1S00.    Hemr  Wol%ang  GOthe  gewidmet. 


aus  Bmdenhurg^a  combiaatorueher  Anafyns,  91 

der  fiEür  die  Yariationcn  m.  W.  in  der  mten  Glasse  zur 
Sammc  n  gflltig  ist  Dabei  haben  wir  nor  die  ältere  Bezeich- 
onng  der  Binomialcoefficienten  in  die  jetzt  übliche  umgeändert. 

Untere  Ableitung  bat  ansser  dem  Verzuge  der  Kürze  noch  den, 
dass  wir  durch  sie  wiederum,  wie  es  oben  bei  den  gemeinen  Combi- 
naüonen  mit  und  denen  ohne  Wiederholungen  der  Fall  war,  die  ver- 
schiedenen Teile  des  von  uns  betrachteten  Gebietes  der  Mathematik 
noter  einen  Gesichtspunkt  vereinigen  und  so  für  Lehrer  und  Ler- 
neDde  die  Arbeit  bedeutend  verringern.  Die  Variationen  zu  be- 
stimmten Summen  brauchen  jetzt  nicht  mehr  abgesondert  und  in 
gleicher  Betonung  mit  den  andern  Zusammenstellungen  behandelt, 
sondern  nur  anhangsweise  als  Beispiel  bei  den  Combinationen  m.  W. 
betrachtet  zu  werden. 

Ausserdem  bietet  der  Gedankengang  unseres  Beweises  von  selbst 
die  Lösung  der  Aufgabe,  die  Zahl  der  Variationen  zu  bestimmten 
Sammen  dann  zu  finden,  wenn  der  Wert  der  Elemente  nicht  unter 
eine  gewisse  Ziffer  heruntergehen  soll.  Denn,  ist  diese  ^',  und  setzen 
wir  wiederum  die  Ziffemelemente  als  £iponentcu  der  m  Buchstaben 
a,  ^,  0  . . .  t ,  so  können  wir  jetzt  aus  allen  Producten  der  Potenzen 
den  Coefficienten  (^i^c^  ...  ^  absondern,  sodass  die  Dimension  der 
Dach  der  Absonderung  bleibenden  Producte  n  -  km  wird.    Es  sind 

deren  also  so  viele  vorhanden,  als  sich  m  Grössen  zur  n  -kmicn 
Classe  mit  unbeschränkten  Wiederholungen  combiniren  lassen.  Nun 
ist  nach  dem  schon  vorhin  erwähnten  Satze 


folglich  nach  vollzogener  Vereinfachung 

^^^  {ifc,fc+l,ifc-f2...)""  V         w-l  /* 

eine  Gleichung,  die  sich  bei  A;  —  1  in  (9)  verwandelt. 

Zählen  wir  in  den  hier  betrachteten  Zusammenstellungen  die- 
jenigen Complaxionen,  in  denen  dieselben  Elemente,  aber  in  an- 
derer Reihenfolge  vorkommen,  immer  nur  einmal,  so  erhalten  wir 
die  Combinationen  zu  bestimmten  Summen.  Setze  ich  wieder  die 
Ziffemelemente  als  Exponenten  von  Potenzen,  deren  Grundzahlen 
m  Buchstaben  sind,  die  in  gewisser  Anordnung  hinter  einander  ste- 
hen, so  würde  es  jetzt  gleichgültig  sein,  welchen  der  Buchstaben  be- 
stimmte Exponenten  zukommen,  wenn  diese  letzteren  überhaupt  nur 
in  einer  gewiMon  Auswahl  vorhanden  sind.    So  würde  z.  B.  bei  den 


92  Ruth:  Di9  Omkehrttng  des  Grunägethnken» 

CombinatioDen  der  4.  Classe  znr  Samme  10  die  Formen  «*^ec?, 
a^b^cd^  ab<^cfi  u.  ä.  nur  als  eine  goreehnet  werden.  Seteenirir  mm 
im  allgemeinen  Falle  ans  der  dnrch  die  Potenzen  der  Buchstaben  «, 
h  ,,.  t  gebildeten  Prodncten',  die  wir  uns  durch  ein  Pluszeichen  ver« 
bunden  denken,  ahe  ,,.  t  (im  eben  besprochenen  Beispiele  ahcd) 
heraus,  so  leuchtet  ein,  dass  die  in  der  Klammer  befindlichen  Son- 
manden  weiter  nichts  sind  als   die  Gattungen  der  gemeinen  Combi- 

nationen  m.  W.  von  m  Elementen  zur  n — mten  Classe,  und  dass  ihre 
Anzahl  gleich  ist  der  gesuchten  Anzahl  der  Combinationen  znr  SomiDe 
n  in  dor  m  ten  Classe.  Denn  die  Gattung  (genus)  am&sst  ja  eben 
alle  solche  Arten  der  Combinationen,  in  denen  zwar  verschiedeoe 
Elemente,  aber  mit  denselben  Verhältnissen  der  Wiederholongen  tot- 
kommen.  D.  h.  bei  3  Elementen  in  der  4.  Classe  wflrden  0*6,  a^c, 
ah\  ac',  6'c,  bc^  nur  eine  Gattung  der  gemeinen  Combinationen  m. 
W.  bilden.  Eine  allgemeine  Formel  für  die  Combinationen  zu  be- 
stimmten Summen  ergiebt  sich  hieraus  nicht;  doch  kann  man  nnn 
umgekehrt  die  für  letztere  von  Euler  entworfenen  Tabellen  dazu  be- 
nutzen, um  die  Anzahl  der  Gattungen  einer  jeden  Classe  bei  den 
Combinationen  mit  unbeschränkter  Wiederhoinng  zu  finden,  wenn  man 
nur  die  oben  dargelegten  Beziehungen  zwischen  Classe,  Anzahl  der 
Elemente  und  Summen,  wie  sie  unter  den  beiden  Combinationsartcn 
bestehen,  zu  benutzen  gelernt  hat. 

So  bedeutend  der  Fortschritt  auch  war,  der  dnrch  die  Aufrtd- 
luiig  der  Formel  für  die  Variationen  zu  bestimmten  Summen  gemaofat 
wurde,  so  gentigt  er  doch  noch  nicht,  um  die  Aufgabe  vom  Wflrfd- 
spiel,  die  ich  oben  als  die  Veranlassung  zu  den  Untersuchungen  fiber 
diese  Art  der  Zusammenstellungen  gemacht  hatte,  vollständig  zu  lösen. 
Denn  dieser  Formel  liegt  die  Annahme  zu  Grunde,  dass  die  Ziffern, 
die  zusammen  gleich  der  verlangten  Summe  sind,  den  höchstmöglichen 
Wert  annehmen  können,  den  flberhaupt  die  gegebene  Classe  ge- 
stattet. Bei  den  Würfeln  dürfen  dieselben  aber  nicht  über  6  hinaus- 
gehen. Auch  dann,  wenn  man  mehrstellige  Zahlen  sucht,  deren 
Quersumme  eine  gewisse  Grösse  haben  soll,  kann  man  den  Hinden- 
burg'schen  Ausdruck  nur  dann  brauchen,  wenn  durch  diese  Grösse 
und  die  Exponenten  der  Classe  die  Möglichkeit  ausgeschlossen  wird, 
dass  eine  Ziffer  über  9  hinaus  wächst  Unter  Benfatznug  der  Um- 
wandlungen, welche  den  wichtigsten  Teil  unserer  Idtzten  Entwicke- 
luugcn  ausmachten,  würde  man  hingegen  die  endgültige  Lösoiig  dieser 
Aufgaben  erreicht  haben,  wenn  es  gelänge,  eine  Hegel  darttber  auf- 
zufinden, wieviel  Complexionen  bei  den  Combitaationen  mit 
gleichmässig  beschränkten  Wiederholtingen  in  jeder  be- 
liebigen Classe  möglich  sind.  Diesem  Ziele  führt  uns  aber  der  nasrer 
ganzen  Arbeit  zu  gründe  liegende  Gedanke  nm  einige  Schritte  näher. 


von  BünUahurg^s  eombinaloriscker  Anafyfis,  93 

Wie  im  ersten  Abflchnitte  bebnft  Ableitung  der  Olcichung  5) 
entwickeln  wir  auch  jetzt  die  mte  Potenz  desselben  n  gliedrigen 
Poljnoms  nach  dem  binomischen  Lehrsatze  für  die  beiden  Summan- 
den a-f-64~  '"  *  ^^^  ^'  ^0^  ^^^  m-f-l  Gliedern  der  entstehenden 
binomischen  Reihe  können  wir  nun  aber,  wenn  er  die  Grenze  der 
erlaubten  Wiederholungen  bezeichnet,  nur  diejenigen  brauchen,  die 
solche  Potenzen  von  t  enthalten,   deren  Exponenten  zwischen  0  und 

r  liegen.  Die  fallenden  Potenzen  des  ersten  n  —  1  gliedrigen  Sum- 
manden würden  bei  einer  yollständigen  Reihe  mit  dem  Exponenten 
m  beginnen,  nach  der  jetzigen  Voraussetzung  können  sie  aber  im 
günstigsten  Falle  erst  bei  (a4-*+  ...  -|-*)(»«-i)^  anfangen,  und  sie 
mflssen,  da  ihre  Exponenten  sich  mit  denen  von  t  zu  m  ergänzen,  mit  der 

m—r ten  Potenz  abschliessen.  Ist  daher  m  <C  (n — l)r,  so  besteht  die 
brauchbare  Reihe  aus  r-f  1  Gliedern,  von  (a+ft-j-  ...  -}-«)"•  bis 
(a-}-64-  ...  +«)••-»'. r  ist  aber  i»  grösser  als  (to— l)r,  so  hat  sie, 
da  die  ersten  Glieder  wegfallen,  eine  geringere  Ausdehnung  nur  bei 
fli«f»r,    endlich  ist  nur  eine  Stelle  brauchbar,  nämlich  die  letzte, 

weil  alle  vorhergehenden  solche  Potenzen  des  n  —1  gliedrigen  ersten 
Summanden  enthalten,  deren  Exponenten  über  (n  —  l)r  steigen.  Er- 
lauben wir  uns  nun,  damit  unsere  Darstellung  nicht  gar  zu  schlep- 
pend wird,  für  die  Anzahl  der  Combinationen  von  x  Elementen  zur 
Jrten  Classe,  wenn  jedes  der  letzteren  höchstens  r  mal  vorkommen 
darf^  daaa  Zeicheu  ^C(x)  einzuführen,  so  würden  unsere  Schlüsse  unter 

AuwendoBg  der  in  dieser  Abhandlung  zur  Genüge  erörterten  Sätze 
zu  der  Folgerung  fähren: 


Wenn  m  >  «— 1 . r,     ^C{n)  —  rC(n—l)-pC(n— !)-{-... 
+»'C(n— l)+«'a«— 1  «  2r0(n— 1), 

(M~l)r-1       (w-l)«  m^r  bis  (»-l)r 


11) 


„     1»  <  n  —1 .  r,  —  »-OCn— l)-pC(n— 1)+.., 

«— r  m—rj-1 

m— 1  m  m — r  bit  m 

Dieser  Satz  fährt  also  die  zu  lösende  Aufgabe  auf  dieselbe  Auf- 
gabe, aber  mit  einer  um  eins  geringeren  Zahl  der  Elemente  zurück. 
Er  giebt  uns  dadurch  den  Fingerzeig,  von  der  niedrigsten  Zahl  der 
letzteren  anazugehen  und  stufenweise  fortschreitend  zu  den  hohem 
aufeusteigen.  Daas  für  ein  Element  in  jeder  Glasse,  wenn  m  gleich 
r,  nur  eine  Complexion  möglich  ist,  bedarf  keiner  Erwähnung.  Sind 
zwei  zu  combinirende  Grössen  a  und  b  gegeben,  so  sind  die  brauch- 
baren Arten,  in  Potenzform  ausgedrückt,  folgende: 


94  Roth:  Die  ümnehrung  des  Grundgedaikhena 

Verbinden  wir  diese  Complexionen  durch  das  Piaszeichen,  so  können 
wir  ans  der  dadurch  entstehenden  algebraischen  Samme  den  Factor 
a^-^b^-^  heraussetzen;  der  Exponent  des  ersten,  die  Reihe  in  der 
Klammer  beginnenden  a  wird  dann  r  —  {m — r),  d.  i.  2r — m,  und  da 
die  Exponenten  der  folgenden  a  immer  um  eins  fallen,  die  Ton  h 
dagegen  in  derselben  Weise  steigen  bis  zu  6^*"*,  so  leuchtet  ein, 
dass  die  Klammer  diejenigen  Einzelproducte  enthält,  welche  —  ab- 
gesehen von  den  Coefficienten  —  die  Glieder  des  durch  Ausrechnung 
von  (a +&)*•-*  sich  ergebenden  Polynomes  bilden.  Die  AnzaU 
dieser   Glieder  ist  aber  bestimmt  durch  '*C'(2),    folglich   haben  wir 

unter  Anwendung  der  oben  von  uns  angenommenen  BeseichDUBgi- 
weise: 

12)  ^C{2)  —  ^C(2)  •=  ••a2r— m+l)  —  2r  -  »»+ 1. 

Ist  r  kleiner  als  ^m,  i»  also  grösser  als  2r ,  so  ist  gar  keine  Comln- 
nation  von  der  geforderten  Eigenschaft  möglich. 

Gehen  wir  zu  drei  Elementen  über ,  so  lehrt  uns  Gleichung  11), 
dass  wir  den  Fall,  wo  m  >-  2r,  unterscheiden  mflssen  von  dem,  wo 
m  unter  diesen  Wert  herabsinkt.  Nehmen  wir  zun&cbst  den  ersten 
Fall  und  setzen  m  gleich  2r-f-x,  wo  x  eine  ganze  positive  Zahl  be- 
deutet, die  kleiner  als  r  oder  ihm  gleich  ist.  Dann  ist  das  Gesoebte 
nach  dem  ersten  Teile  von  11)  eine  Reihe,  welche  anflbigt  mit  ^C(% 

und  aufhört  bei  *'6X2),  während  die  Ausdehnung  (dimensio)  der  Classe 

2r 

immer  um  eins  steigt.  Nun  ist  der  erstere  Ausdruck  nach  der  letzten 
Gleichung  gleich  der  Anzahl  der  Gombinationen  mit  unbeschr.  Wie- 
derholung von  2  Elementen  zur  (2r-— r-|-a;)ten,  die  zur  r  -xten 
Classe,  und  das  letzte  Glied  der  Reihe  wird  nach  demselben  Satze 
zu  ^C{2)^  während  ftlr  die  dazwischen  liegenden  Stellen  in  der  ent- 

0 

sprechenden  ebenfalls  aus  (12)  abgeleiteten  Formel  die  Classe  immer 
um  eins  niedriger  wird.  Lesen  wir  die  Reibe  umgekehrt,  setzen  für 
X  seinen  Wert  m  —  2r  ein,  wodurch  sich  r  -  a;  in  dr  -  m  verwandelt, 
so  erhalten  wir  unter  Benutzung  von  (4)  oder  (5): 

1 3a)     Wenn  m  ^  2r,    ^C(Z)  «  1  +  •'C(2) + »«2) + •'C(2)  +  . . . 

2r  1  2  S 

+"'^2)4- »0(2)  «  »qS). 

Sr— m— 1      3r— m  8r— m 

Ist  dagegen  der  Classenexponent  m  kleiner  als  2r,  so  setze  man 


auM  Bindenhurg's  eombinalorischer  Anafysis.  95 

nmflchal  m  gleich   2r  -^q   and  entwickele  nach   dem   binomischen 

L^irsatie  die  Potenz  (a4-^+<?)*  Ar  die  beiden  Summanden  a'\-b 
und  e.  Die  f&r  nns  brauchbaren  Olieder  sind  dadurch  bestimmt, 
dass  der  Exponent  von  e  nur  bis  r  steigen  kann,  sie  sind  also 

(fl  +  b)^r^9  4.  (a-f^)2r-f-.i^. . .+  (a + *)  V"« + (a + hy- 1  c^'-ff+i  + . .. 

In  dieser  Beihe  liegt  eine  Grenzscheide  bei  (a-f-&)^  Denn,  w&hrend 
bei  den  folgenden  niedrigeren  Potenzen  von  a-^-b  nur  von  unbe- 
schränkter Wiederholung  der  Summanden  a  und  e  die  Rede  sein 
kann,  fallen  die  Torhergebenden  unter  Formel  (12).  Das  dritte  Ele- 
ment e  kann,  weil  seine  Potenzen  immer  nur  eine  Stelle  geben,  kei- 
nen Einfluss  auf  die  Anzahl  der  Complexionen  ausüben ,  die  jedem 
einzelnen  Gliede  obiger  Binomialreihe  zukommen.  Da  nun  2r  q 
gleich  m  ist,  so  betrftgt  nach  12) 

bd  (a-f~^)^~'      ^0  Anzahl  der  braucharen  Formen  ^C(2\ 
„  (a+>)»-t-»    „        „        „  „  „        "0(2), 

Sr-m-f-l 

•  •  • 

•  •  •. 

zaletzt  bei 

(«+*)'  «       »       «  »  f,       "0(2). 

r 

Bilden  wir  die  Summe  und  zählen  zu  ihr  £^C(2)  einmal  positiv  und 

0  bis  Sr-m-l 

einmal  negativ  hinzu  und  verwandeln  die  dadurch  gebildeten  Reihen 
nach  4),  so  erhalten  wir  fttr  die  Gesamtzahl  aller  hier  in  Betracht 
kommenden  Combinationen 

(I)  £^C(2)  —  1?«'CI(2)  =  »0(3)  -  ~a3). 

0  bis  r       0  bis  2r-m~l         r  2r-M-l 

Wir  haben  nun  in  obiger  Binomialreihe  noch  diejenigen  Potenzen 
za  betrachten,  deren  Exponenten  unter  r  herabgehen.  Hierbei  ist  die 
Gesamtzahl  der  Complexionen  leicht  zu  bestimmen  als  eine  Reihe, 
die  mit  *C(2)  beginnt  und  bei  ^C(2)  abschliesst    Zu  dieser  z&hle  ich 

wiederum  eine  mit  1  beginnende  und  mit  ^C12)  aufhörende  gleich- 

artige  Reihe  einmal  positiv  und  einmal  negativ  hinzu,  setze  fttr  q 
Beinen  Wert  2r  —  »  ein,  schreibe  demgemäss  fttr  r  -  5— 1  das  gleiche 
m— r  — 1  und  wende  4)  an,  so  konunt 

(11)  2?-a2)  -  2>ci(2)  «  «as)  -  -as). 

0  bifl  f-l        Obiam-r-l     r-1  m— r-l 


96  Roth:  DU  Umkehrung  des  Grundgedankens 

Bevor  wir  nun  (I)  und  (II)  zusamiteen  nehmen ,  madien  wir  tob 
der  schon  auf  S.  90  zur  Ahleitnng  von  9)  benutzten  Umwandhuig 
Gebrauch,  so  dass  wir  haben: 

Wenn  2r  ^  m  >  r,     ^C{Z)  «  ^C(r + 1)  +  ^aO  —  »0(2r  —  m) 

m  2  2  9 

— »qm  -r). 

2 

Die  beiden  ersten  Summanden  lassen  sich  noch  dorch  Zusammen- 
ziehen vereinfachen ,  indem  man  die  bekannten  Werte  fllr  sie  eio- 
fahrt,  dann  r-f  1  heraussetzt  und  seine  Goefficienten  2r-f^2  dorch 
2  hebt.    Dann  gestaltet  sich  das  Gresuchte  zu: 

13b)    Wenn  2r^m>r,    »"CCS)  -  (r+l)«-«'C(2r -m) 

m  % 

2 

Solange  nicht  mehr  als  drei  Elemente  gegeben  sind,  können  wir 
jede  Aufgabe  über  die  Combinationen  mit  gleichmäsaig  beschrftokter 
Wiederholung  lösen.  Will  ich  z.  B.  wissen,  wie  oft  mal  mit  3  Wür- 
feln 13  Augen  geworfen  werden  können,  so  betrachte  ich  dieWflrfel 
als  Stellen  einer  Variation  m.  W.  zur  Summe  13.  Denke  ick  mir 
nun  die  zu  summirenden  Ziffern  einzeln  als  Exponenten  von  o,  b  nod 
<?,  so  verwandle  ich  durch  Absonderung  des  Factors  abe  die  Aufgabe 
in  die  andere:  Wie  oft  mal  lassen  sich  3  Elemente  znr  10.  (Hasse 
combiniren,  wenn  jedes  nur  5  mal  vorkommen  darf?  Ole^chnng  13s) 
gibt  uns  darauf  die  Antwort; 

«»C(3)  -  «67(3)  =  »C(6)  «14-21. 

2.6-6  6  2  1«^ 

Ebenso  nach  13  b): 

(5  +  1)2  -«'C(0)-*C(6)  _  36_o  -t^  -  2L 

2  2  1«^ 

Wie  man  sieht,  gelten  beide  Formeln  13a)  und  b).  Es  mnss  dies 
auch  so  sein,  da  nach  unsern  Annahmen  nichts  im  Wege  steht,  t 
sowol  als  y  null  werden  zu  lassen. 

Sollen  mit  derselben  Würfelzahl  12  Augen  geworfen  werden,  so 
erhalte  ich  die  Lösung: 

*C(3)  =  62  ^"C(1)-»C(4)  «36-]^-f^-2ö. 

9  2  2  1.4B         l.iB 


von  Hindenburg's  eombmatorischer  Anafysiw,  97 

Diese  Ergebnisse  stehen  in  Uebereinstimmnng  mit  der  erwähnten 
Bernoulli'schen  Tabelle,  das  letzte  auch  mit  Beckers  Arithmetik, 
2.  Buch,  5  29  Beispiel  2.  Doch  besitzt  unsere  Formel  den  Vorzug 
der  Allgemeinheit,  während  jene  Tafel  für  jede  andere  Wiederholungs- 
grenze  neu  entworfen  werden  muss,  und  in  dem  letztem  Buche  die 
Variationen  wirklich  ausgeführt  werden.  Der  Vorteil,  den  der  von 
ans  vorgeschagene  Weg  bietet,  tritt  besonders  dann  hervor,  wenn  die 
gegebenen  Grössen  sehr  grosse  Zahlen  sind.  Würden  wir  z.  B.  die 
Frage  zu  beantworten  haben,  auf  wieviel  verschiedene  Weisen  man 
1000  Mark  so  unter  3  Personen  verteilen  könne,  dass  jede  nicht 
weniger  als  100,  aber  nicht  mehr  als  600  M.  erhielte,  so  würde  für 
Entwerfang  jener  Tabelle  das  Papier  und  das  Auge  nicht  ausreichen. 
Denn  man  hätte  501  Einsen  neben  einander  zu  schreiben,  dann  diese 
Reihe,  indem  man  immer  eine  Stelle  nach  rechts  rückt,  noch  500  mal 
darunter  zu  setzen,  um  die  Summe  zu  bilden.  Wenn  man  dies  nun 
auch  durch  die  aufsteigenden  und  nieder  fallenden  natürlichen  Zahlen 
ersetzen  würde,  so  hätte  man  immer  noch  die  entstehenden  1001 
Ziffern  501  mal  schief  unter  einander  zu  schreiben  und  die  lotrechten 
Reihen  zusammenzuzählen.  Wir  dagegen  denken  uns  die  drei  An- 
teile als  Exponenten  der  Buchstaben  a,  b  und  c,  sondern  a^^Ä^^c*®*^ 
fiberall  als  Factor  ab  und  können  so  die  gesuchte  Anzahl  der  mög- 
lichen Fälle  ausdrücken  durch  13  b).  Es  ist  r  »500,  m  »  700,  m  also 
kleiner  als  2r.    Danach  ergiebt  sich  als  Lösung: 

5oocr(3)  «  5012— «0(300)  — «»^(200)  «  251001  —  45150—20100 

700  2  2 

«  185751. 

Wenn  wir  nun  die  Zahl  der  Elemente  von  3  an  immer  um  eins 
steigen  liessen,  so  würde  uns  die  Gleichung  11)  die  Mittel  an  die 
Hand  geben,  die  betreffende  Formel  für  jede  Zahl  der  Elemente  und 
bei  jeder  beliebigen  Classe  abzuleiten.  Doch  würde  uns  das  zu  weit 
führen.  Wir  beschränken  uns  darauf  zu  zeigen,  wie  durch  die  An- 
wendung des  Grundgedankens  dieser  Abhandlung  noch  eine  einfache 
Beziehung  und  die  Verallgemeinerung  zweier  schon  für  engere  Grenzen 
entwickelten  Sätze  aufgefunden  werden  können. 

Man  denke  sich  nämlich  alle  Formen  der  Combinationen  der  n 
Buebstaben  a,  &,  c  . . .  t,  von  denen  ein  jeder  nur  r  mal  gesetzt  wer- 
den darf,  in  der  mien  Classe  wirklich  ausgeführt,  betrachte  die  Ele- 
mente als  Factoren  und  teile  mit  einer  jeden  Complexion  der  Beihe 
nach  in  a^b^<f  ..<*':   dann   geben   die  Quotienten  di^  verschiedenen 

Formen  der  gleichartigen  Zusammenstellungen  in  der  nr  — f»ten 
Classe.  Und  zwar  sind  diese  letzteren  vollständig  vorhanden.  Denn 
jeder  xeten  Dimension  eines  Elementes  in  den  ursprünglichen  Combi- 

Aieh.  d.  Kftth.  «.  Phys.    2.  Reihe,  TeU  H.  7 


98  Roth:  Die  ümkthrung  des  Grundgedankens 


nationen  entspricht  immer  eine  r — o^te  Dimension  desseiben  Bndi- 
stabens  in  den  Quotienten.  Wenn  x  von  0  bis  r  steigt,  ftUtr-z 
von  r  bis  0.  Nun  entstehen  soviele  Quotienten,  als  Divisoren  d& 
sind,  mithin  ist 

oder  in  Worten  ausgedrückt:  Es  sind  immer  gleichviel  Arten 
in  je  zwei  solchen  Glassen  vorhanden,  deren  Dimensionen 
gleich  weit  von  0  und  von  nr  abstehen. 

Ist  nun  m  grösser  als   (n — l)r  oder  ihm  gleich,   so  ist  nr—n 

kleiner  als  r  oder  ihm  gleich;  die  Gombinationen  zur  nr— mten 
Classe  haben  also  dann,  auch  wenn  jedes  Element  höchstens  r  mal 
vorkommen  darf,  unbeschränkte  Wiederholung,  folglich  nach  der 
letzten  Gleichung: 

14)  Wenn  m>(n  — l)r,     ^C(n)  —  «^(1»), 

eine  Verallgemeinerung  und  Bestätigung  von  12)  und  13  a). 

Wenden  wir  dies  auf  die  öfters  erwähnte  Aufgabe  vom  Würfel- 
spiel an  und  fragen:  „Wieviel  Fälle  sind  möglich,  dass  man  mit  6 
Würfeln  32  Augen  werfe^^  so  wäre  bei  den  ensprechenden  Conibi- 
nationen  mit  gleichmässig  beschr.  W.  r  »  5,  n  =  6,  nr  ^  20^  m^ 
32—6.1  =  260  5.5),  mithin  das  Gesuchte 

.e(6)  =  .C(6)  =  f^^  -  126. 

Dasselbe  kommt  heraus,  wenn  m  gleich  4  ist,  oder  wenn  6  +  ^  <^  '* 
10  Augen  geworfen  werden  sollen,  Ergebnisse,  die  durch  die  6er- 
noulli'sche  Tafel  bestätigt  werden. 

Denke  ich  mir  5  regelmässige  Dodekaeder  und  bei  einem  jeden 
auf  den  12  Seitenflächen  der  Reihe  nach  1,  2,  3  u.  s.  f.  bis  12  Punkte 
eingravirt,  so  finde  ich  für  die  Anzahl  der  Fälle,  in  denen  die  oben 
auf  liegenden  Flächen  zusammen  50  Augen  zeigen,  unter  Berechnung 
der  von  uns  gegebenen  Vorschriften 

nC(5)  =  ^C(b)  =  "C(ll)  —  1001. 

46  10  4 

Hätten  wir  ferner  die  Frage  zu  beantworten,  wieviel  Zahlen  unter 
einer  Million  zur  Quersumme  37  haben,  so  lassen  wir  bei  den  zur 
Summe  37  zu  variirenden  Ziffern  die  Null  zu.  Solche  Complexioneo, 
bei  denen  vorne  Nullen  hinter  einander  stehen,  geben  uns  dicgeniges 


von  Hindmlmr^M  eombinatoriseher  Anafyns.  99 

Zahlen,  die  weniger  als  5  Stellen  haben.    Bei  den  zagehörigen  Com- 
binationen  mit  gleichm.  beschränkten  Wiederh.  ist  jetzt 

«  ■—  37,    n  =  5,    r  «a  9,    nr — m  -«  8, 

das  Gesuchte  also: 

9C(5)  -  »(7(5)  -  •C(9)  «  495. 

37  8  4 

Obgleich  es  bis  jetzt  immer  von  Erfolg  begleitet  war,  wenn  wir 
die  Variationen  zu  bestimmten  Summen  auf  die  Combinationen  mit 
entsprechenden  Wiederholnngen  zurückführten ,  so  will  ich  doch  den 
Versuch  machen,  den  bei  der  Ableitung  der  bekanntesten  Combi- 
nationsformeln  von  mir  gebrauchten  Kunstgrifi  noch  einmal  zum 
Schlüsse  bei  der  Lösung  der  Aufgabe  anzuwenden:  Wie  gross  ist 
die  Anzahl  aller  Variationen  zu  einer  bestimmten  Summe 
aller  Classen,  von  der  ersten  aufsteigend  bis  zur  höchst- 
möglichen? 

Wir  bilden  uns  nun  das  Product  aus  den  n  Factoren 

a(*  +  «i)(<?+a,)(d-|-aj)  ...  (r+a„^s)(«+'tfii-2){«+aii-i), 

wo  ir,,  tf^  ...  On-i  Grössen  von  der  Eigenschaft  bezeichnen,  dass  sie 
die  Gestalt  desjenigen  Summanden  des  unmittelbar  vorhergehenden 
Factors  annehmen,  an  welchen  sie  bei  der  Multiplication  angefttgt 
werden,  a^  wird  also  dann  zu  a,  ff)  'u  ^  oder  a^ ,  og  zu  c  oder  a^ 
u.  s.  fort.  Führen  wir  nun  die  Multiplication,  wie  im  ersten  Teile 
dieser  Abhandlung  S.  429—31  in  der  Weise  aus,  dass  wir  den  Eiuzol- 
factor  in  einem  späteren  Binome  immer  hinter  dem  betreffenden 
Gliede  des  unmittelbar  vorhergehenden  Binoms  anfügen,  so  erhalten 
wir  die  wiederholt  auftretenden  Buchstaben  überall  neben  einander 
stehend,  durch  kein  von  ihnen  verschiedenes  Element  von  einander 
getrennt. 

Denken  wir  uns  zweitens  die  Variationen  m.  W.  zur  Summe  n 
so  entstanden,  dass  wir  eine  Reihe  von  n  Einsen  neben  einander 
hinschreiben,  und  dann  eine  bestimmte  Menge  der  letzteren  zu  den 
Elementen  der  Variation  zusammenfassen ,  so  kann  dies  gar  nicht 
anders  bewerkstelligt  werden,  als  dass  wir  neben  einander  liegende 
Einsen  zusammen  nehmen. 

Schreiben  wir  nun  in  der  angegebenen  Multiplication  die  in  dem 
Cresammtproducte  vorkommenden  Potenzen  in  ihrer  ursprünglichen 
Gestalt,  d.  h.  als  Producte  gleicher  Factoren,  von  denen  jeder  die 
erste  Potenz  eines  der  Elemente  a,  &,  e  u.  s.  w.  ist,   so  tritt  eben- 

7* 


100  Rothj  Die  ümkehrung  de»  Grundgedanktns  ete, 

falls  an  die  Stelle  des  Zahlenexponenten  eines  einzelnen  BadnUben 
eine  Reihe  von  neben  einander  stehenden  Einsen. 

Die  Yergleichnng  beider  Darstellnngsweisen  zeigt  unzweideutig, 
dass  die  Potenzexponenten  in  den  bei  obiger  Multiplieation  ent- 
stehenden Einzelproducten  die  Elemente  der  Variation  zn  einer  be- 
stimmten Summe  vorstellen,  dass  folglich  die  Anzahl  dieser  Prodacte 
gleich  ist  der  gesuchten  Menge  der  Complexionen  der  fraglichen 
Variationen  durch  alle  Classen.  Die  Einzelproducte  sind  aber  die 
Glieder  der  polynomischen  Beihe,  welche  durch  Ausmultipliciren  des 
Productes 

<'('>  + «l)(ö+at)   •..    («  +  tfn-.2)(«+tfii-l) 

erzeugt  wird.  Die  Summe  der  ganzen  Reihe  verwandelt  sich  aber  in 
die  Anzahl  ihrer  Summanden,  wenn  wir  einen  jeden  derselben  gleich 
eins  setzen;  und  dies  erreichen  wir  dadurch,  dass  wir  fQr  jeden  Bach- 
staben 1  schreiben.  Auf  diese  Weise  erhalten  wir  f Or  die  in  onsrer 
Aufgabe  gesuchte  Grösse: 

15)  l.(l-{-l)~-i  «2H-». 

Man  wird  mir  vielleicht  einwenden,  dass  dieses  Ergebnis  ja  fiel 
schneller  so  herzuleiten  gewesen  wäre,  dass  man,  wie  es  bei  Wein- 
gärtner geschehen  ist,  in  der  für  die  mte  Glasse  geltenden  Formel 
9)  die  Menge  (m)  der  an  einander  zu  fügenden  Ziffern  von  1  bis  n 
wachsen  lässt  und  dann  die  BinomialcooflicienteA  zusammenzählt 
Wozu  also,  wird  man  vielleicht  fragen,  dieser  Aufwand  von  Arbeit 
und  von  Nachdenken,  wenn  die  Sache  doch  einfacher  zu  machen  ist? 
Dagegen  orwidcro  ich,  dass  es  mir  in  dieser  Abhandlung  gerade  dar- 
auf ankam  zu  zeigen,  wie  durch  die  Anwendung  der  Regeln  der 
Multiplieation  eine  jede  Formel  der  Combinationslehro  selbständig  ge* 
funden  werden  kann,  ohne  dass  man  eine  der  andern  zu  keoDen 
braucht.  Es  ist  ja  allerdings  bequemer,  über  einen  Fluss  mit  dem 
Boote  zu  fahren,  als  ihn  zu  durchschwimmen,  aber  das  Vergnügen 
der  Kraftleistung  geht  dann  verloren.  Ebenso  mögen  di^enigen, 
welche  die  Vorzüge  des  in  dieser  Schrift  angewandten  BeweisTer- 
fahrens  nicht  anerkennen  wollen,  meine  Entwickelungen  als  eine  Art 
geistigen  Turnens  betrachten,  meinetwegen  nur  als  ein  anziehendes 
Spiel,  bei  dem  es  darauf  ankam  zu  zeigen,  wieviel  Goldkömer  in  dem 
Grundgedanken  der  combinatorischen  Analysis  Hindenburg's  verborgen 
liegen,  wenn  man  dieselbe  überhaupt  als  die  innige  Verwandtschaft 
auffasst,  die  zwischen  der  Gombinationslehre  und  der  Multiplieation 
mehrstelliger  Grössen  besteht 

Buxtehude  im  April  1884. 


Mucellen.  \0\ 


VI. 


Miscellen. 


1. 

Ein  Beitrag:  zur  Schattenlehre. 

Werden  die  Tangenten  zur  Selbstschattengrenze  der 
schiefen  Schranbenfläche  bei  parallelen  Lichtstrahlen  con- 
strairt,  so  bedient  man  sich  gewöhnlich  des  Dnfun'scheu  Theo- 
rems*). Ob  zwar  die  dazu  nötige  Construction  genug  einfach  ist, 
kann  man  sie  dennoch  ohne  Benutzung  des  genannten  Theorem's  da- 
durch Tereinfachen ,  indem  man  den,  zur  Construction  der  Selbst- 
scbattengrenze  nötigen,  Linien  eine  andere  Bedeutung  gibt 

In  der  Figur  sind  die  horizontalen  Projectionen  der  Axe  A 
der  schiefen  Schraubenfiäche,  und  der,  im  bestimmten  Sinne  sich  be- 
ivegenden.  Erzeugenden  P  dieser  Fläche  dargestellt.  Die  Erzeugende 
P  schneidet  die  Axe  im  Punkte  a  und  die  Entfernung  ihrer  horizon- 
talen Spur  m  von  der  Axe  gibt  den  Parameter  r  der  horizontalen 
Spur  der  Schraubenfläche  an.  Die  Gerade  Z,  welche  den  Punkt  a 
enthält,  und  ihre  Spur  im  Punkte  m'  hat,  bestimmt  die  Richtung  der 
parallelen  Lichtstrahlen. 

Um  eine  vorteilhafte  Vereinfachung  der  weiteren  Construction 
zu  erreichen,  setzt  man  gewöhnlich  voraus,  dass  die  Projections- 
Ebene  sich  mit  der  Erzeugenden  P  bewegt.  Wir  werden  uns  aber, 
dieser  Voranssetznng  entgegen,  denken ,  dass  sich  die  Erzengende  in  I 

*)  „Traitb  de  g^oaK^trie"  doBcriptive'^  par  Jules  de  la  Gour- 
neri«.    Troiti^oe  partie,  an.  994,  1012. 


102  MUeeOen. 

jeder  ihrer  Lagen,  samt  ihrer  Berührangsebene  in  der  normilen 
Richtung  zur  Projections-Ebene  so  weit  bewegt,  bis  sie  den  Punkt 
a  enthält  Dann  bilden  alle  Geraden  P  ...  eine  Eegelfläche  K  (den 
Richtnngskegel),  nnd  ihre  Spnrpnnkte  befinden  sieh  in  einem  Kreise 
Kj  als  der  Spnr  dieser  Fläche. 

Die  Geraden  P  nnd  L  bestimmen  eine  Ebene  B,  die  ro  den 
Lichtstrahlen  parallel  ist.  Um  den  Berührang^nnkt  d  dieser  Ebene 
mit  der  Schranbenfläche  zn  bestimmen,  errichten  wir  zn  der  Pro- 
jection  der  Erzengenden  P  eine  Senkrechte,  nnd  tragen  anf  diese  ia 
bestimmter  Richtung  mittelst  des  Kreises  K  den  Parameter  r  über. 
Vom  so  erhaltenen  Punkte  /  ziehen  wir  eine  zweite  Senkrechte  sof 
die ,  dnrch  die  Punkte  m  und  m'  bestimmte  Spur  M  der  Ebene  B. 
Diese  Senkrechte  ist  die  horizontale  Projection  einer  Geraden  des 
grössten  Falles  F  (in  der  Ebene  B) ,  welche  die  Gerade  P  in  dem 
gesuchten  Berührungspunkte  d  schneidet.  Ihre  Spnr  befindet  sich  im 
Punkte  A. 

Die  Projectionen  aller  dieser  Geraden  des  grOssten  Falles  F .  . 
schneiden  sich  in  einem  Punkte  <,  der  auf  einer,  in  der  Projection 
des  Punktes  a  zu  der  Projection  der  Geraden  L  errichteten  Senk- 
rechten liegt,  und  dessen  Entfernung  von  der  Axe  A  der  Entfemong 
der  Spur  m'  von  derselben  Geraden  gleich  ist.  Damm  bilden  die 
Geraden  F ...  ein  einschaliges  Hyperboloid  H,  dessen  Leitlinien:  die 
Gerade  L,  die  horizontal -projicirende  Gerade  Z  und  der  Kreis  H 
(welcher  die  Spuren  aller  Geraden  F...  enthält),  als  dessen  horizon- 
tale Spur,  sind. 

Die  zu  construirende  Selbstschattengrenze  S  können  wir  als  die 
Schnittcurve  dieses  Hyperboloids  mit  der  Kegelfläche  K  betraditen 
und  auf  Grund  dessen  ihre  Tangenten  als  den  Schnitt  der  beides, 
im  Punkte  a  zu  beiden  Flächen  construirten  BerQhrungsebenen,  be- 
stimmen. Die  Tangente  im  Punkte  m  zu  dem  Kreise  K  ist  die  hori- 
zontale Spur  der  betreffenden  Berührungsebene  der  Kegelfläche.  Die 
Berührungsebene  des  Hyperboloids  im  Punkte  d  ist  dnrch  die  (xe- 
raden  F  des  einen  und  G  des  zweiten  Systems  bestimmt  Durdi  die 
Spurpunkte  h  und  h'  dieser  Geraden  geht  die  Spur  dieser  zweites 
Berührungsebene.  Der  Schnittpunkt  p  der  Spuren  beider  Ebenen 
bestimmt  mit  dem  Punkte  d  die  gesuchte  Tangente  T.  — 

Diese  Construction  der  Selbstschattencnrve  so  wie  ihren  Tis- 
genten  hat  volle  Geltung  auch  für  die  gerade  SchraubenfUcfae 
fds  einem  Specialfalle  der  schiefen  Schraubenfläche. 

Die  Kegelfläche  K  geht  in  eine  mit  der  Projectionsebene  pml- 


r 


MisceUen,  103 

lele  Ebene  Aber.  Diese  Ebene  schneidet  das  Hyperboloid  H  in  einem 
Kreise,  in  dessen  Projcction  sich  auch  die  Selbstschattencorve 
dieser  Schranbenflftche  projicirt 

F.  Proch&zka. 


2. 

Bemerkonsr  zu  einem  Satze  Ton  Cralg:. 

In  Johns  Hopkins  Uniyersity  Circnlars,  Baltimore  1882  p.  178. 
findet  sich  der  folgende  interessante  Satz  ohne  Beweis  aufgestellt 

^eht  man  parallel  allen  Hanptnormalon  einer  geschlossenen 
Conre  Tom  Mittelpunkte  einer  Kugel  Radien,  so  teilt  die  Curve  der 
Endpunkte  die  Oberfläche  in  zwei  gleiche  Teile.^' 

Da  die  sphärische  Curve  geschlossen  sein  muss  um  einen  Eugel- 
ilächenteil  zu  begrenzen,  so  setzt  der  Satz  offenbar  Stetigkeit  der 
Urcunre  mindestens  bis  auf  2.  Ordnung  voraus. 

Sei,  zur  Prüfung  des  Satzes,  der  Kugelmittelpunkt  Anfang  der 
xfft^  der  Radius  »  c  Dann  ist,  wenn  (xyz)  einen  Punkt  irgend  einer 
geschlossenen  sphärischen  Curve  bezeichnet,  und 

gesetzt  wird,  der  Kugelflächenteil  zwischen  der  Curve  und  der  yn 
Ebene  (Aequator) 

Sl  'B'  e  f      xdq> 

(T 

wo  k  ganze  Zal,  und  die  Flächen  auf  negativer  Seite  des  Aequators 
negativ  zu  rechnen  sind. 

* 

Bezeichnen  fghjf'g'h\  Imn  die  Richtungscosinus  der  Tangente, 
Hauptnormale,  Binormale  der  Urcurve  «,  dann  verlangt  nach  Sub- 
stitution von  ef\  eg\  ch!  für  xyz  der  Satz,  dass 

Ä  =  c«y    /'a9)-0;    tg9-^!  (1) 


104  MüeeUen. 


Am  der  letztem  Gleichung  findet  man,  wenn  dr,  8^  die  Conti- 
genswinkel  der  Tangente  and  KrOmmangsaxe  bedeuten: 

g'dh'—k'Bg'  _  g'(nd&  —  hdz)  —h'{md&—g  dt) 

daher 

/  39>  ■=■     f^jJii —  =  8  arc  tg  ^  (2) 

and 

wo  die  ganze  Zahl  hy^  zunächst  unbekannt  bleibt.  Ihr  Wert  hängt 
von  der  Anzahl  der  YorzeichenwechBel  von  /  und  /ab.  Da  I  für 
sich  nur  eine  gerade  Anzahl  Wechsel  erfahren  kann,  so  muss  h^  ge- 
rade sein  und  sei  »  2k^,  Dann  zeigt  die  erste  Gl.  (1),  dass  (wofern 
nicht  /'  constant  «  1  ist) 


sein  muss.    Macht  also  die  Hauptnormale  nur  einen  Umlauf  um  die 
X  Axe,  so  dass  ^-  =  1  wird,  so  ist  k^=^0  und  der  Satz  richtig. 

Gehe  ferner  ^i  und  v^  mal  l  bei  positivem  /,  f4  und  Vj  mal 
bei  negativem  f  vom  +  zum  —  und  vom  —  zum  +  über,  dann  ist 

^■=-f*i  — Vi  — f*S  +  V2 

Es  muss  aber  sein 

0  —  fii  — Vi-f  f4,  — V, 

folglich  ist 

oder 

h  =  ^1  — Vi  = (|»«-v,)  (3) 

Da  ferner 

/  i 

3arctg  j  =»   -  9arctg^ 

ist,  so  lässt  sich  bei  Bestimmung  von  k^  auch  die  Tangente  mit  der 
Binormale  vertauschen,  während  k^  nur  sein  Yorzeiehen  wechselt 

Ausreichende  und  notwendige  Bedingung  des  Satzes  ist  also,  dass 
der  Winkel  zwischen  der  Binormale  und  einer  beliebigen  Geraden, 
in  Intervallen  wo  der  Winkel  zwischen  der  Tangente  und  jener  Ge- 
raden spitz  ist,  ebenso  oft  aus  einem  spitzen  in  einen  stumpfen  über- 
geht als  umgekehrt. 

Ist  diese  Bedingung  für  eine  Gerade  erfüllt  so  ist  sie  es  für 
jede.  Ueberdies  ist  sie  dann  mit  vertauschten  Rollen  von  Tangente 
und  Binormale  erfüllt  und  umgekehrt 


■• 


MüeelUn.  105 

Oleichwol  möchte  dieser  weitesten  Aasdebnang  des  Satzes  eine 
engere  Begrenzung  vorzuziehen  sein.  Er  nmfasst  nämlich  auch  Fälle, 
wo  zu  seiner  Yerification  Flächenstücke  auf  der  einen  Seite  doppelt, 
aof  der  andern  negativ  gerechnet  müssen ,  und  verliert  durch  diese 
notwendigen  Interpretationen  seine  Einfachheit.  Solche  Fälle  können 
indes  nur  stattfinden,  wo  die  sphärische  Gurve  Doppelpunkte  hat. 
Schliessen  wir  aber  Doppelpunkte  aus,  so  tritt  das  erstgenannte  Eri- 
terium  in  Kraft;  denn  dann  kann  die  sphärische  Curve  einen  Punkt 
der  Kugelfläche  nur  einmal  umlaufen.  Mit  den  Doppelpunkten  wer- 
den dann  zugleich  die  mehrmals  durchlaufenen  Gurven  ausgeschlossen, 
fOr  welche  der  Satz  nie  richtig  ist.    Letzterer  würde  nun  lauten: 

Ein  Kugelradius  in  gleicher  Richtung  mit  der  Häuptnormale 
einer  geschlossenen  und  bis  auf  2.  Ordnung  stetigen  Gurve 
geführt  zeichnet  auf  der  Kugelfläche  eine  geschlossene  Gnrve,  die, 
wenn  sie  keine  Doppelpunkte  hat,  die  Kugelfläche  in  zwei 
gleiche  Teile  teilt. 

Das  Vorstehende  lässt  es  ungewiss  erscheinen,  ob  es  geschlossene 
Cnrven  gibt,  für  welche  die  Bedingungen  des  Satzes  nicht  erfüllt 
sind,  für  welche  also  k^  nicht  null  ist.  Den  einfachsten  Beweis  für  deren 
Existenz  geben  aber  die  Curven  cyklischer  Torsion  *).  Denn  deren 
Hauptnormale  hat  constantc  Neigung  <<  R  gegen  eine  feste  Axe,  so 
dass  die  sphärische  Gurve  ein  nichtgrösster  Kreis  wird.  Ihre  spe- 
cifische  Gleichung  ist 

T*+^*  =  cot^a    (a  constant) 
woraus  sich 

/'  «  sin  a;     Ä  —  ÜbRsin  a 

ergibt.  Setzt  man  sin  a  gleich  einem  rationalen  Bruch  und  s  propor- 
tional der  Krttmmungsbreite  A,  so  schliesst  sich  die  Urcurve  stets 
nach  einer  Variation  von  A  um  ein  Vielfaches  von  4R,  und  k  erweist 
sich  als  beliebige,  durch  sina  darstellbare  Zahl.  Die  Kugelflächc  wird 
beliebig  rational  geteilt 

Da  ein  Beispiel  zum  Beweise  genügt,  sei 


dann  wird 


X  «  — ^^^— COSA;    y  «  jf^^^^^  +  isi'^SA) 

a  =  —  2(3cos  A+Jcos3A) 


*)  Hoppe,  Analytische  Gcometrio  §.  60.     Gran.  Arch.  LVI.     S.  65. 


106 


MiscelUn- 


Diese  Carve  schliesst  sich  nach  Variation  von  l  um  4R  and  hit  in 
diesem  Intervalle  keinen  Doppelpunkt.  Ihre  Hanptnormale  hat  die 
Richtnngscosinns : 


/'-i;    (7'--3^8in2A;    Ä'=3^C082i 


worans 


9  — 2A+B 

daher  wird  der  sphärische  Kreis  zweimal  durchlaufen.    Zwischen  ihm 
und  dem  Aequator  liegt  die  Zone 

iÄ«2Rc2«^.8R8ina 


daher  ist  k  «-  2.    Ferner  findet  man : 

/«-^sinX;     T 
woraus  man  leicht  erkennt,  dass 


2 


cos  iL 


fii«l;    V,  =0;    Ar,  — 1 

Demnach  wird  die  Kugelfläche  im  Vcrhältniss  1 : 3  geteilt ,  was  die 
AUgemcingttltigkeit  des  Craig'schen  Satzes  augenföllig  wideriegt 

R.  Hoppe. 


3. 


Ein  Satz  tther  Beterminanten. 

Es  soll  folgender  Satz  bewiesen  werden: 

Die  Determinante  von  4  Determinanten,  deren  je  2  in  eioa 
Reihe  stehende  nur  eine  ungleiche  Yerticalreihe  haben,  ist  gleich  dem 
Froduct  der  2  Determinanten ,  die  man  aus  den  erstem  durch  die 
allein  noch  übrigen  Combinationen  der  2  ungleichen  Reihen  erhält 


Bezeichnen  wir  abkürzend  durch  \abef  ,.,\  die  Determinante 
eines  Systems,  dessen  Horizontalreihen  aus  der  Reihe  abef ..,  dnrcli 
Hinzufügung  von  Indices  hervorgehen;  so  behauptet  der  Satz,  dass 


I  ace  ...  1 1  ade  ... 
bce  ...   II  bde  ...  | 


=  I  abe  ...  I  .  I  cde  ., 


sei. 


Müeeüen,  107 

Znerst  ist  nämlich  leicht  zu  beweisen,  dass  jeder  der  2  Factoren 
der  Rechten  Factor  der  Linken  ist.     Denn  lässt   man  den  Factor 
abe  ...I  verschwinden,  so  ist 

a   ^bß+eE+fi+  ... 

etc. 

und  nach   Einsetzung  dieser  Werte   verschwindet  die   Linke.    Das 
gleiche  gilt  vom  Factor  \  aU  ... ;. 

Femer  ersieht  man  anch  sogleich,  dass  beide  Factoren  der 
Rechten  nnter  einander  keinen  Factor  gemein  haben,  wenn  alle  ver- 
sehieden  bezeichnete  Elemente  unabhängig  sind.  Denn  betrachtet 
man  den  erstem  und  den  letztem  als  lineare  Function  der  Unab- 
hängigen a,  Ol,  ...,  bzhw.  c,  C|,  ...,  so  würde  jeder  gemeinsame 
Factor  beider  gemeinsamer  Factor  von  allen  Coefficienten  dieser  Un- 
abhängigen d.  i.  von  ihren  entsprechenden  Unterdeterminanten  sein 
mflssen.  Ein  solcher  mtksste  dann  irgend  welche  Elemente  beider 
Systeme  enthalten,  und  dieso  Elemente  mttssten  in  allen  Unterdeter- 
minanten vorkommen.  Dies  ist  nicht  der  Fall;  denn  jedes  Element 
fehlt  in  irgend  einer  Untordeterminanto. 

Ans  beiden  Ergebnissen  folgt  nun,  dass  die  ganze  Rechte,  d.  i. 
ein  Ausdruck  von  gleichem  Grade  mit  der  Linken,  Factor  der  Linken 
ist,  so  dass  beide  Seiten  der  Gleichung  bis  auf  einen  numerischen 
Factor  gleich  sein  mtlssen. 

Um  letztem  zu  bestimmen,  setze  man  alle  Elemente  der  Rechten 
aasser  den  Diagonalen 

ah^e^  . . .     und    cde^  •  • . 
null,  dann  wird  die  Linke 


0  ad^e^  ... 

—  ftj  <?Cg  ...  0 


ab^e^  ...  cd-^e^  ... 


also  der  Rechten  gleich,  und  der  Quotient  »1,  der  Beweis  des  an- 
Anglichen  Satzes  folglich  vollständig. 

R.   Hoppe. 


lOS  MiMcellen, 


4. 


lieber  die  Grenze  der  Stabilität  eines  longltadlnal  eomprimirtea 

greraden  elastischen  Stabes. 

In  einem  Aufsätze  über  Biegung  prismatischer  Stäbe,  Poggen* 
dorff  Ann.  CII.  S.  227—245,  1857,  habe  ich  (S.  237)  bewiesen,  dass 
ein  gerader  elastischer  Stab  durch  Longitudinalcompression  erst  daim 
gebogen  werden  kann,  wenn  dieselbe  eine  gewisse  endliche  Grenze 
überschreitet,  und  diese  Grenze  bestimmt.  Eine  abweichende  Ansicht 
war  mir  damals  nicht  bekannt.  Später  bin  ich  aber  wiederholt  der 
auf  Rechnung  gestützten  Ansicht,  die  ich  für  die  gewöhnliche  halten 
muss,  begegnet,  dass  ein  gerader  Stab  bei  der  geringsten  Gompression 
sich  zu  biegen  anfängt  Der  Grund  der  Abweichung  liegt  nicht  in 
Principien  und  Voraussetzungen ,  sondern  in  der  Rechnung;  ihn  zb 
zeigen  ist  der  Zweck  des  Folgenden. 

Unyeränderlichkeit  des  Normalschnitts  ist  gemeinsame  Annahme 
der  beiderseitigen  Rechnungen ;  ihre  Zulässigkelt  kann  wol  hier,  wo 
es  sich  um  keine  oder  eben  beginnende  Biegung  handelt,  nidit  ia 
Frage  kommen.  Die  Gurve  der  Mittellinie  (d.  i.  Ort  des  Querschnitts- 
Schwerpunktes)  war  eben.  Auf  beliebige  einzelne  Punkte  derselben 
wirkten  Kräfte  in  dieser  Ebene.  Aus  der  Gleichung  der  virtneUen 
Geschwindigkeiten  ergaben  sich  die  2,  von  den  Grenzbedingungen 
unabhängigen  Differentialgleichungen: 


i{('-^)-w|(.4)!=o  \ 


(1) 


wo  a  den  ungespannten,  s  den  actuellen  Bogen  der  Mittellinie  bis 
zum  Punkte  (ary),  der  Accent  die  Differentiation  nach  «,  g  den  Krfini- 
mungsradius  von  «,  f  den  Querschnitt,  bf  sein  Trägheit^noment  för 
die  Biegungsaxe  bezeichnet.  Auch  diese  Gleichungen  finden  sich  noch 
überall  in  Uebereinstimmung. 

Hier  setzt  nun  die  gewöhnliche  Rechnung,  mit  Vernachlässigung 
höherer  Potenzen  der  Transversalvorschiebungen,  vor  der  Int^ration 

1       S^y 

-  =  g-g    (wo  die  y  transversal  gerichtet  sind)  (*') 

und  behandelt  die  Gleichungen  als  lineare.  Lässt  man  sie  aber,  in- 
dem man  sie  als  genau  geltend  betrachtet,  unverändert,  so  sind  sie 
ohne  alle  Vernachlässigung  in  geschlossener  Form  integrabel.  Das 


MUceüen,  lOg 

letztere  ist  in  meiner  Bechnnng  j^eschehen.  Es  zeigte  sich,  dass  der 
Bogen  zwischen  2  successiven  Angriffspunkten  stets  ein  Stück  der 
Corve  eines  freien  Stabes  ist,  auf  dessen  Enden  entgegengesetzte 
Kräfte  in  der  Richtung  der  Sehne  wirken,  einer  Curve  deren  Pfeil 
jode  b^ebige  Grösse  haben  kann.  Die  Sehne  zur  x  Axe  genommen, 
ergab  sich  als  Integral  der  Gl.  (1): 


2  sin 


S^y  {cos2^-2«8in^ysiu2^~2(l-.s)8in2y}  | 


^  '^  "^^^  ^  V»Vco82^-sj8in2y 

#  -=  jy^^y    (cos2/3  — 22Sin2y)  ~ 
b 

/dz 
N 


(3) 


iS^  =  »(1  —«)  (cos^/J  -  »sin2y)  (sin2j3  —  (1  —  «)  sin«/) 

wo  z  durch  Gl.  (3)  bestimmt  wird,   und  /3,  y  Integrationsconstanten 
bedout^i.    Die  Kräfte  sind 

^  cos  2y 

E  Elasticität  des  Stoffes. 

Vermindert  man  p,  bis  der  Stab  gerade  wird,  so  verschwindet 
mit  y  die  Gonstante  y^  und  man  hat,  wenn  der  Index  1  sich  auf  die 
Mitte  der  Curve  bezieht: 

xi  =  «1  »  Ry&cot/}*,    yi  •=»  0 
^  '^  sin/? cos /3 

p  «  /£:sin2/J 
and  nach  Elimination  von  ß: 


Die  Verkürzung 

nahezu  -»  2B^6 :  c^  also  unabhängig  vom  Material. 


(4) 


110  MiscelUn. 

Die  so  bestimmte  endliche  Compression  ist  diejenige,  in  deren 
Grenzen  die  gerade  Gestalt  des  Stabes  stabil,  eine  Bic^ng  annög- 
lieh  ist. 

Wendet  man  gegen  die  Geltung  dieses  Resultats  ein,  dass  eise 
Berücksichtigung  der  höhern  Potenzen  der  Transyersalyersduebong 
illusorisch  sei,  sofern  sie  die  Grenzen  der  £lasticität8theorie  Aber- 
steige,  so  kann  man  aus  diesem  Gesichtspunkt  höchstens  die  Ge- 
nauigkeit des  gefundenen  Stabilitätsintervalls  in  Zweifel  ziehen,  nicht 
aber  folgende  Consequenzen  bestreiten. 

Ist  das  auf  die  lineare  Form  der  Differentialgleichungen  gestfttzte 
Ergcbniss  in  Bezug  auf  Transvcrsalverschiebung,  Gestalt  der  Biegnngs- 
curve,  Spannung  u.  s.  w.  das  Aeusserste,  was  die  Elasticitätstheorie 
zu  leisten  vermag,  so  ist  die  weitere  Folgerung  auf  ein  Stabüit&ts- 
intervall  =  0  eine  Ueberschreitung  ihrer  Competenz ,  weil  sich  d&s 
Resultat  als  abhängig  von  den  als  unbekannt  vernachlässigten  £ie- 
menten  erwiesen  hat,  und  ein  Rechnungsfehler.  Die  auf  diesem 
Fehler  beruhende  gewöhnliche  Ansicht  hat  gegenüber  der  vorsteheo- 
den  Aufstellung  keinen  Anspruch  auf  Geltung. 

Das  Vorstehende  will  ich  noch  in  Vergleich  stellen  mit  dem,  was 
Grasshof  in  seinem  Werke:  „Festigkeitslehre  1866^'  über  den  ange- 
regten Punkt  sagt.  Er  nennt  gleichfalls  die  Methode,  welche  zu 
einem  Stabilitätsiutervall  »  0  führt,  die  gewöhnliche  und  erklärt 
ebenso  das  irrige  Resultat  durch  die  in  der  Substitution  (2)  began- 
gene Vernachlässigung.  Uebereinstimmend  ist  auch  das  durch  Be- 
rücksichtigung der  Differenz  von  ihm  berechnete  Stabilitätsintenrail 
(abgesehen  von  der  unmerklichen  Abweichung,  dass  in  Gl.  (3)  <i^ 
statt  «I  Ci  steht).  Seine  Rechnung  selbst  hingegen  ist  ganz  verschie- 
den: eine  genaue  Integration  vollzieht  er  nicht,  sondern  leitet  den 
gesuchten  Wert  approximativ  mit  elementaren  Mitteln  her. 

Die  Vergleichung  liefert  mir  manche  willkommene  Rechtfertigiuig. 
Zunächst  kann  ich  mich  auf  Grasshofs  weiter  reichende  Erfahrung 
berufen,  indem  ich  jene  irrige  Ansicht  die  gewöhnliche  genannt  habe. 
Ist  sie  nun  9  Jahre  nach  ihrer  Berichtigung  trotzdem  die  gewöhn- 
liche geblieben,  so  bürgt  nichts  dafür,  dass  sie  es  nicht  auch  heute 
noch  ist,  und  kann  die  hier  behandelte  Frage  durch  ihr  Alter  nicht 
gegenstandslos  geworden  sein. 

R.  Hoppe. 


Miseellen.  \\\ 

5. 

Zur  harmoniseheo  Teilung:. 

Jakob  Steiner  stellt  (ges.  Werke  L  40a)  n.  A.  die  Aufgabe:  man 
soll  die  gegenseitige  Lage  der  16  (oder  8)  Punkte  untersuchen,  aus 
welchen  sich  4  harmonische  Punkte  einer  Geradon  durch  ein  ge- 
gebenes harmonisches  Büschel  projiciren  lassen.  Wir  werden  im 
folgenden  yersuchen  sie  zu  erledigen. 

Um  zunächst  zu  den  16  Punkten  zu  gelangen ,  aus  welchen  eine 
härm.  Punktreihe  ABCD  sich  durch  ein  gegebenes  härm.  Büschel 
projiciren  lässt,  haben  wir  nur  Ober  den  conjngirten  Strecken  der 
Poüktreihe  Kreise  zu  beschreiben,  welche  Winkel  fassen,  die  gleich 
den  Winkeln  a,  ß  der  conjugirten  Strahlen  des  Büschels  sind.  Dies 
gibt  8  Kreise.  Jeder  Punkt  nun,  in  dem  ein  den  Winkel  o  fassen- 
der Kreis  einen  den  Winkel  ß  fassenden  trifft,  ist  ein  Punkt,  welcher 
die  erwähnte  Eigenschaft  besitzt  Dies  gibt  uns  16  Punkte,  welche 
sich  symmetrisch  zur  Geraden  AD  verteilen.  Sind  nun  femer  Af,  N 
die  Halbirungspunkte  zu  den  conjugirten  Strecken  AC^  BD^  und  ist 
^fN  in  P,  Q  so  geteilt,  dass 

PM:  PN^  QMiQN  ^  AC :  BD 

so  finden  wir  ohne  Schwierigkeit,  dass  wenn  wir  irgend  einen  der 
16  Punkte  mit  irgend  einem  der  4  Punkte  3/,  JV,  P,  Q  verbinden, 
diese  Verbindungslinie  noch  durch  einen  zweiten  der  16  Punkte  geht 
Das  gleiche  findet  statt  für  den  Punkt  i?,  für  welchen  EA  .  HB  =» 
RC.RD  ist;  jedoch  liegen  die  Punktepare  nicht  mehr  auf  derselben 
Seite  von  AD. 

Femer  finden  wir,  dass  wenn  z.  B.  V  und  W  2  der  16  Paukte 
sind,  welche  auf  einer  Linie  mit  einem  der  5  Punkte  Jf,  N^  P,  Q,  R 
sich  befinden,  für  diesen  Punkt,  etwa  Q,  stets  QV .  QTT»  const  ist 
Ans  letzterem  Umstände  folgt  aber ,  dass  jeder  durch  V  und  W  und 
eiuen  dritten  der  16  Punkte  gelegte  Kreis  notwendigerweise  noch 
durch  einen  vierten  gehen  muss.  Berücksichtigen  wir  dies  in  Bezug 
auf  8  auf  einer  Seite  von  ^D  gelegene  Punkte,  so  ergibt  sich  hieraus 
mit  Hülfe  der  Punkte  ilf,  ^,  P,  (2,  dass  alle  8  Punkte  auf  einem 
Kreise  liegen  müssen.  Fassen  wir  diese  Resultate  zusammen,  so 
finden  wir  folgenden  Satz. 

Die  16  Punkte,  aus  welchen  eine  gegebene  harmonische  Punkt- 
reibe  sich  durch  ein  gegebenes  harmonisches  Büschel  projiciren  lässt, 
liegen  zu  je  8  auf  2  Kreisen;   die  8  Punkte  eines  jeden  Kreises 


112  Miteüm, 

liegen  dberdies  parweise  mit  jedem  der  4  harmonischen  Punkte  if, 
iV,  P,  Q  auf  AD  in  einer  Geraden,  und  jeder  der  Pnnkte  des  einen 
Kreises  liegt  mit  einem  Punkte  des  andern  and  einem  festen  Pankt 
R  auf  AD  in  einer  Geraden. 

Betrachten  wir  ferner  die  8  Punkte  eines  jeden  der  beiden  Kreise, 
so  finden  wir,  dass  wenn  wir  den  Kreis  in  einem  bestimmten  Sinne 
durchlaufen,  die  Verbindungslinien  des  1.  und  5ten,  2.  und  Gten, 
3.  und  7ten,  4.  und  8teu  Punktes  sich  in  einem  Punkte,  dem  Pole 
der  Linie  AD  in  Bezug  auf  dem  Kreis,  schneiden.  Der  1.,  3.,  5., 
7te  und  ebenso  der  2.,  4.,  6.,  Ste  Punkt  bilden  Qberdies  auf  den 
Kreisen  harmonische  Würfe. 

Weingarten,  im  October  1884. 

B.  Sporer. 


Seh  oute:   Ueber  die  Curven  vierter  Ordnung  etc.  113 


».-  / 


(•(büdülibr)  1 


V. 

Ueber  die  Curven  vierter  OrdnunG: 
mit  drei  Intlexioiisknotcn. 


Von 


Herrn  P.  H.  Seh  oute, 

Professor  in  Groningt'n. 


Erster  Absclinitt. 

Einleitende   Sätze. 

1.  „Sind  CX  und  CY  (Fig.  1.)  die  Asymptoten  und  /'  und  Q 
zwei  Punkte  einer  gleichseitigen  Hyperbel,  und  construirt  man  auf 
FQ  als  Diagonale  ein  Rechteck,  dessen  Seiten  zu  den  Asymptoten 
parallel  laufen,  so  geht  die  zweite  Diagonale  JiS  dieses  Rechtecks 
dorch  den  Mittelpunkt  C  der  Hyperbel.  Und  haben  umgekehrt  die 
Punkte  P  und  Q  in  Bezug  auf  die  senkrecht  auf  einander  stehenden 
Geraden  CX  und  CY  eine  solche  Lage ,  dass  die  zweite  Diagonale 
des  auf  jPQ  mittelst  Parallelen  zu  CX  uud  CY  beschriebenen  Recht- 
ecks durch  C  geht,  so  sind  P  und  Q,  Puuktc  einer  gleichseitigen 
Hyperbel  mit  den  Asymptoten  CX  und  Ci'". 

Dieser  Satz,  der  bei  Ersetzung  vom  Rechteck  durch  Paralle- 
logramm ganz  allgemein  für  uugleichseitige  Hyperbeln  gilt,  ist  über- 
bekannt. Man  kann  ihn  geometrisch  beweisen  mittelst  Anwendung 
des  Pascarschen  Satzes  auf  das  eingeschriebene  Sechseck  XXPYYQ, 
wenn  unter  A'  und  Y  die  unendlich  fernen  Punkte  der  Asymptoten 
rerstanden  werden. 

Irch.  A«r  Ifath.  n.  Phys.    2.  Reihe,  Teil  II.  S 


114  Schoute:  üeber  die  Curven  vürter  Ordnung 

Zar  Abkürzung  werde  ich  die  gleichseitige  Hyperbel,  welche  CX 
and  CY  zu  Asymptoten  hat  and  darch  die  Pankte  P,  <2  ...  hindurch 
geht,  durch  das  Symbol  H(CX,  CY;  P,  Q  ...)  andeuten.  Weiter 
mag  das  mittelst  Parallelen  zu  CX  und  CY  auf  der  Sehne  PQ  ah 
Diagonale  beschriebene  Bechteck  als  „das  Asymptotenrechteck  l(t 
der  Hyperbel  bezeichnet  werden.  Und  endlich  werde  ich  zwei  Ge- 
rade, die  wie  die  Diagonalen  FQ  und  RS  dieses  Asymptotenrecht- 
ecks  nach  verschiedenen  Seiten  mit  jeder  der  Aymptoten  gleiche 
Winkel  bilden,  in  Bezug  auf  CZ  und  CY  „antiparallel'*  zu  einander 
nennen  ^). 

2.  „Die  Tangente  der  gleichseitigen  Hyperbel  H{CX^  CT;  P) 
im  Punkte  P  ist  antiparallel  zu  CP  in  Bezug  auf  die  Asymptoten''. 

Wenn  man  den  Punkt  Q  (Fig.  1.)  der  Hyperbel  entlang  dem 
Punkte  P  fortwährend  näher  treten  lässt,  so  werden  PQ  und  BS 
immer  antiparallel  zu  einander  bleiben  in  Bezug  auf  die  Asymtoten, 
PQ  in  die  Tangente  der  Hyperbel  in  P,  RS  in  CP  flbergefQhit  wer- 
den. Es  ist  also  dieser  ebenfalls  sehr  bekannte  Satz  eine  Folge  des 
Vorhergehenden  ^). 

3.  „Wenn  man  (Fig.  2.)  die  Seiten  PR  und  PS  des  Asymptoten- 
rechtecks   PQ  der  gleichseitigen  Hyperbel  H(CX^  CY\  P,  Q)  um 


1)  Wenn  man  den  besonderen  Charakter  der  von  den  conjogirten  Dorcb- 
messom  der  gleichseitigen  Hjrperbel  gebildeten  quadratischen  Involotion,  nadi 
welchem  die  Asymptoten  die  Teilstrahlen  sind  Ton  den  ron  irgend  einen 
Paare  conjngirter  Durchmesser  gebildeten  Scheitelwinkeln,  als  bekannt  so- 
nimmt,  so  wird  oben  stehender  Satz  auch  bewiesen  mittelst  der  Bcmerkaog, 
dass  die  Gerade,  welche  C  mit  der  Mitte  der  Strecke  PQ  rerbindet,  als  n 
der  Sehne  PQ  conjngirter  Durchmesser  antiparallel  eu  PQ  ist  in  Bezug  aaf 
die  Asymptoten  und  die  deshalb  mit  der  zweiten  Diagonale  des  Asymptoten- 
rechtecks  PQ  zusammenfUlt.  Da  eine  geometrische  Behandlung  des  Lehr- 
stoffes den  Fascarschen  Satz  unmittelbar  an  die  projectivische  Erzeugung  Att 
Kegelschnitte  festknüpft,  so  habe  ich  es  vorgezogen,  den  diesem  Satze  ent- 
nommenen Beweis  anzudeuten. 

In  seiner  allgemeinen  Form  führt  der  Satz  zur  Construction  einer  Hyper- 
bel, Yon  weicher  drei  Funkte  und  die  Richtungen  der  Asymptoten  gegeben 
sind  („Le^ons  de  g^om^trie  analytiqno*'  de  Briot  et  Bouquet,  diziime  ^tios. 
liyro  3,  chapitre  9,  exercice  4  et  11  vre  3,  chap.  3,  exerc.  14). 

2)  Auch  dieser  Satz  folgt  aus  dem  besonderen  Charakter  der  von  dis 
conjugirten  Durchmessern  gebildeten  Involution.  Nach  diesem  wird  auch  die 
Verbindungslinie  der  Mitten  zweier  einander  unter  einem  gegebenen  Winket 
schneidenden  Sehnen  der  gleichseitigen  Hyperbel  aus  dem  Mittelpunkte  dieNr 
Cnrvo  immer  unter  dem  n&mlichon  Winkel  gesehen  (^Trait^  de  g^m^trie  ans- 
lytique*'  de  Fiquet,  tome  I,  §  167,  exercice  8). 


mü  drei  Inßexionsknoien.  115 

ihre  eigene  Länge  bis  in  T  nnd  ü  verlängert,  die  nenen  Endpunkte 
T  nnd  ü  mit  C  verbindet  nnd  die  Schnittpunkte  V  und  W  von  CT 
mit  SQ  und  von  CU  mit  EQ  bestimmt,  so  hat  man  in  V  und  W  zwei 
Punkte  der  Tangente  in  P  an  H(CX,  CY\  P,  Q)  erhalten.  Und 
umgekehrt  liegt  Q  auf  der  Hyperbel  H(CX,  CY-,  P)  und  ist  PVW 
die  Tangente  dieser  Curve  in  P,  wenn  die  auf  der  angegebenen  Weise 
aus  P,  Q  und  den  senkrecht  auf  einander  stehenden  Geraden  CX 
und  CY  hervorgehenden  Punkte  V  und  W  auf  einer  durch  P  gehen- 
den Gerade  liegen'^ 

Ist  Q  ein  Punkt  der  gleichseitigen  Hyperbel  H(CXy  CY\  P),  so 
geht  nach  Artikel  1.  die  wegen  der  Umkehrung  des  Satzes  in  der 
Figur  nicht  angegebene  zweite  Diagonale  RS  des  Asymptotenrecht- 
ecks PQ  durch  C,  Wird  nun  CP  von  den  Seiten  QS  und  QR  in  \\ 
und  Wi  getroffen,  so  folgt  aus  PR  =  RT  und  PS  =  SU  unmittelbar 
r^iS«  SVnnd  W^R^  RW.  Und  diese  Relationen  zeigen,  dass  PV 
und  PW  nach  Artikel  2.  mit  der  Tangente  der  Hyperbel  in  P  zu- 
sammenfallen. 

Ist  umgekehrt  wol  bekannt,  dass  die  auf  die  angegebene  Weise 
aus  P,  Q,  CX^  CF  abgeleiteten  Punkte  K,  TT  mit  P  in  einer  Ge- 
raden liegen,  nicht  aber  dass  Q  ein  Punkt  der  gleichseitigen  Hyperbel 
II{CX,  CY;  P)  und  PVW  die  Tangente  dieser  Curve  in  P  ist,  so 
kann  man  wie  folgt  verfahren.  Die  Geraden  Vü  und  TW^m6.  parallel, 
da  sie  wegen  der  Relationen  PS  ^  SU  und  PR  ^  727' aiitiparaliel  zu 
PVW  sind  in  Bezug  auf  die  Asymptoten.  Deshalb  ist  CU:CW= 
CViCT  und  da  auch  CV:CT=  CV^iCP  ist,  so  ergiebt  sich 
CUiCW'-^  CV^iCP,  d,  h.  die  Geraden  UV^  und  WP  sind  parallel. 
Also  ist  das  Viereck  PVUV^  und  ebenso  das  Viereck  W^TWP  eine 
Kaute;  ausserdem  sind  diese  Vierecke  ähnlich  und  ähnlich  liegend 
mit  dem  Punkte  C  als  Aehnlichkeitspunkt  und  liegen  deshalb  ihre 
einander  entsprechenden  Mittelpunkte  R  und  S  mit  C  in  einer  Ge- 
raden, d.  h.  es  ^eht  die  gleichseitige  Hyperbel  H(CX,  CY\  P)  nach 
Artikel  1.  durch  Q.  Offenbar  sind  dann  endlich  auch  die  Geraden 
CP  und  PVW  antiparallel  in  Bezug  auf  die  Asymptoten  und  ist 
PVW  also  die  Tangente  der  gleichseitigen  Hyperbel  H(CX,  CY-,  P, 
Q)  in  P. 

Mit  dem  Auge  auf  Artikel  2.  brauche  ich  kaum  hervorzuheben, 
dass  ich  mit  dem  Satze  dieses  Artikels  nicht  die  Anweisung  einer 
Constrnction  der  Tangente  in  einem  Punkte  der  gleichseitigen  Hy- 
perbel beabsichtige.  Vielmehr  wird  er  uns  im  Folgenden  die  Er- 
kennung einer  bestimmten  Geraden  als  Tangente  einer  bestimmten 
gleichseitigen  Hyperbel  in  einem  bestimmten  Punkte  erleichtern  ^). 


S)  Man  rergleicbe  den  dritten  Abschnitt,  Artikel  31. 


11g  Schout€:   üeber  die  Curven  vitrUr  Ordnung 

4.  „Eine  gleichseitige  Hyperbel  ist  für  irgend  eins  ihrer  Paare 
von  einander  gegenüberliegenden  Punkten  P^,  P^  (Fig.  3.)  der  Ort 
der  Pnnkte  P,  für  welche  die  Geraden  PP^  und  PP^  antiparallel  siod 
in  Bezug  auf  die  Asymptoten^S 

Da  die  Büschel  der  in  Bezng  auf  die  zwei  einander  senkrecht 
schneidenden  Geraden  CX  und  CY  antiparallel  zu  einander  durch 
Pi  und  Ps  gelegten  Geraden  P|7'  und  P2P  projeetivisch  sind,  so  ist 
der  Ort  der  Punkte  P  ein  durch  P^  und  Pf  gehender  Kegelschnitt 
Ist  P^P  zu  CX^  resp.  CY  parallel,  so  ist  P^P  es  auch;  also  ist  der 
erzengte  Kegelschnitt  eine  gleichseitige  Hyperbel  mit  zu  CX  and  CY 
parallelen  Asymptoten.  Endlich  sind  die  Tangenten  dieser  Corre  in 
den  Punkten  P|  und  P^  beide  antiparallel  zu  P1P2,  also  zu  einander 
parallel ,  d.  h.  der  Mittelpunkt  C  der  Strecke  P^P^  ist  Mittelpunkt 
der  Curve,  und  diese  Curve  also  auch  die  gleichseitige  Hyperbel 
H(CX,  CY-,  Pj,  P.)  *). 

5.  „Bewegen  die  Geraden  PQ  und  RS  sich  antiparallel  zn  ein- 
ander in  Bezng  auf  irgend  eine  feste  Gerade  CF,  und  ist  dies  mit 
den  Geraden  PQ  und  TU  in  Bezug  auf  irgend  eine  andere  feste  Ge- 
rade CW  der  Fall,  so  ist  der  von  RS  und  TU  gebildete  Winkel  von 
unveränderlicher  Grösse. 

Sind  PQ  und  RS  antiparallel  in  Bezng  auf  die  Asymptoten,  PQ, 
und  TU  antiparallel  in  Bezug  auf  die  Achsen  einer  gleichseitigen 
Hyperbel,  so  stehen  RS  und  TU  auf  einander  senkrecht^. 

Lassen  wir  im  ersten  Teil  des  Satzes  an  die  Stelle  der  ge- 
gebenen Geraden  PQ,  RS^  ri7  ihre  durch  den  Schnittpunkt  Cvon 
CF  und  CW  (Fig.  4.)  geführte  Parallelen  Ci,  CM^  CN  treten,  so 
ist    Wkl.  MCL  «  2  Wkl.   VCL    und    WkL  NCL  «  2  Wkl.  WCL, 


4)  Die  Bemerkung,  dass  die  VerbindangslinieD  P|  P  and  P^P  tod  P| 
nnd  P,  mit  irgend  einem  Funkte  P  der  Carve  H{^CX^  CY\  P|,  P,)  supple- 
mentäre Sehnen  dieser  Curve  sind,  wenn  P,  und  P,  einander  diametral  gegen- 
fiberliegen,  ftlhrt  in  Verbindung  mit  dem  besonderen  Charakter  der  IsT(^Btion 
der  conjttgirten  Durchmesser  ebenfalls  zum  Beweise  des  Satzes,  welcher  in  dem 
bekannten  mechanischen  Probleme  der  Laterne,  die  mittelst  eines  über  i«ei 
nicht  eben  hoch  liegende  Punkte  gespannten  Seils  gehoben  wird,  eine  illn- 
strirte  Einkleidung  gefunden  hat.  Da  der  geometrische  Weg  eher  zum  oben 
gegebenen  Beweise  führt,  habe  ich  diesen  vorgezogen. 

Man  vergleiche  „Jacob  Steiner's  gesammelte  Werke **,  erster  Band,  Seite 
44S,  Sau  16,  links  b) 


mtif  drei  Inflexionflenottn,  117 

also  nach  Sabtraction  auch  Wkl.  MCN-^2  Wkl.  VCW^).    Und  im 
zweiten  Teile  des  Satzes  ist  Wkl.  FCTK—  4ö^  also  Wkl.  JfCiV« 90^. 

6.  „Die  Tier  Schnittpunkte  eines  Kreises  mit  irgend  einem 
Kegelschnitte  K  liegen  dreimal  auf  zwei  in  Bezug  auf  die  Achsen 
von  K  za  einander  antiparallelen  Geraden. 

Der  Krümmungskreis  irgend  eines  Punktes  P  (Fig.  5.)  einer 
gleichseitigen  Hyperbel  bestimmt  in  dieser  Gurve  eine  zum  Durch« 
messer  CP  des  Punktes  P  senkrechte  Sehne  PQ,  Diese  Bemerkung 
führt  zu  einer  einfachen  Construction  des  Krümmungskreises,  indem 
der  Krümmungsmittelpunkt  Mp  und  C  das  eine  Paar  und  P  und  die 
Mitte  M  von  PQ  das  andere  Paar  Gogenecken  eines  Parallelogrammes 
bilden  «)". 

Den  bekannten  ersten  Teil  des  Satzes  beweist  man  geometrisch  am 
leichtesten  mittelst  der  von  den  beiden  Curven  auf  der  unendlich 
fernen  Gerade  g^  bestimmten  Involution.  Man  erblickt  nämlich 
anmittelbar,  dass  die  Schnittpunkte  dieser  Geraden  mit  den  Achsen 
Ton  K  die  Doppelpunkte  dieser  Involution  sind.  Denn  diese  Doppel- 
punkte sind  erstens  auf  ^oo  harmonisch  getrennt  von  den  unendlich 
fernen  Punkten  von  JT,  also  auf  ^oo  coi\jugirte  Punkte  in  Bezug 
auf  K,  d.  h.  Schnittpunkte  von  g^  mit  conjugirten  Durchmessern 
von  K.  Aber  ebenso  sind  die  Doppolpunkte  zweitens  Schnittpunkte 
von  g^  mit  conjugirten  Durchmessern  des  Kreises,  d.  h.  die  Doppel- 
punkte liegen  in  auf  einander  senkrecht  stehenden  Richtungen  auf 
^x)  sind  also  die  unendlich  fernen  Punkte  der  senkrecht  auf  ein- 
ander stehenden  Durchmesser,  der  Achsen  von  K,  Und  hieraus  folgt 
dann  weiter,  dass  jeder  Kegelschnitt  des  von  K  und  dem  Kreise  ge- 
bildeten Büschels  g^  in  zwei  Punkten  schneidet,  deren  Yerbindungs- 
lluie  mit  irgend  einem  Punkte  im  Endlichen  in  Bezug  auf  die  Achsen 
von  K  zu  einander  anüparallel  sind;  was  dann  auch  gilt  für  die  drei 
in  Geradenpaare  zerfallenden  Kegelschnitte  des  Büschels  ^). 


5)  HierAQS  folgt  auch,  dass  die  zwei  Durchmesser  Ton  irgend  zwei  gleich- 
seitigen Hyperbeln,  welche  einer  nämlichen  Richtang  conjugirt  sind,  einander 
anter  einem  nicht  von  dieser  Richmng  abhängenden  Winkel  schneiden  (Pic- 
qaet  a.  a.  0.,  tome  I,  §  167,  exercice  9). 

6)  Schon  als  ich  diese  Construction  l&ngst  gefunden  hatte,  bemerkte  ich, 
dass  sie  Torkommt  in  A.  Milinowski's  , Elementar-synthetische  Oeometrie  der 
gleichscatigen  Hyperbel**,  Seite  55,  Artikel  84. 

7)  Der  analytische  Beweis  des  Satzes  folgt  ins  der  Bemerkung,  dass  die 
Gleichung  F  ^  tf  •\-k\p  ^=i  Q  der  Kegelschnitte  durch  die  Schnittpunkte  des 
gegebenen   Ifittelpunktskegelschnittes     <f  ^  Ax^  ■{-  ^^  s  -(-  C  =  0     mit    irgend 


118  Sehoute:  üeber  die  Curven  vierter  Ordmmg 

Nach  dem  nnn  bewiesenen  ersten  Teile  des  Satzes  ist  die  Seboe 
PQ ,  welche  der  Erttmmangskreis  im  Punkte  P  von  irgend  einem 
Kegelschnitte  in  dieser  Cnrve  bestimmt,  antiparallel  zn  der  Tangente 
in  P  in  Bezog  anf  die  Achsen  des  Kegelschnittes,  was  dann  anch 
schon  Steiner  znr  Bestimmung  des  Krümmungsmittelpunktes  verweDdet 
hat  ®}.  Aber  bei  der  gleichseitigen  Hyperbel  führt  die  Anwendung  des 
zweiten  Teiles  des  vorhergehenden  Satzes  auf  die  oben  angedeutete 
Lage  der  Sehne  PQ,  Ist  nun  weiter  M  die  Mitte  von  JPQ,  so  ist 
CM  als  zu  der  Sehne  PQ  coojugirter  Durchmesser  antiparallel  za  PQ 
in  Bezug  auf  die  Asymptoten  und  also  auch ,  da  CP  auf  PQ  senk- 
recht steht,  antiparallel  zu  CP  in  Bezug  auf  die  Achsen.  Ebenso 
ist  CP  antiparallel  zu  der  Normale  PMp  in  Bezug  auf  die  Achsen, 
da  Cp  antiparallel  ist  zu  der  Tangente  in  Pin  Bezug  auf  die  Asym- 
ptoten. Also  sind  CM  und  PMp  beide  antiparallel  zu  CP  in  Bezng 
auf  die  Achsen  und  deshalb  zu  einander  parallel.  Da  nnn  der 
Punkt  Mp  offenbar  der  Schnittpunkt  ist  von  der  Normale  PMp  mit 
der  in  M  auf  PQ  errichteten  Senkrechten  MMp^  so  ist  ebenfalls  CP 
zu  MMp  parallel  und  PCMMp  ein  Parallelogramm. 

Ist  nun  von  H  ausser  den  Asymptoten  nur  der  Punkt  P  ge- 
geben, so  findet  man  den  Krttmmungsmittelpunkt  folgendermaassen. 
Man  errichtet  in  P  eine  Senkrechte  auf  die  Yerbindungslinie  von  P 
mit  C,  sucht  die  Mitte  M  der  von  den  Asymptoten  auf  dieser  Senk- 
rechten bestimmten  Strecke  PxPp  und  macht  die  Strecke  MMp  gleich 
und  parallel  zu  CP, 

Die  Yon  Steiner  gegebene  Constmction  des  Krflmmungsmittel- 
Punktes  wird  illusorisch,  wenn  P  einer  der  Scheitel  der  gleichseitigen 


einem  Kreiie  %ifr=x^-{-if^-\-Px'\-Q^-\-R=zQ  offenbar  kein  Glied  xy  ent- 
hält. Denn  wenn  die  das  Glied  xy  nicht  enthaltende  Gleichong  P  =  0  in  die 
Gleichungen  m|X-)-niy-hPi  =^  ^'^^  ^%^'\'^tV'{'P%  ^=  ^  serftllt,  hat  mao 
m^n^-y-m^n^  =0,  d.  h.  die  beiden  Geraden  mx-f-ny-f*/' =  ^  sind  anti- 
parallel  in  Besag  auf  die  Achten. 

Einen  anderen  Beweis  giebt  Salmon  („A  treatise  on  conic  sectioDS*^,  sixth 
edition,  Art  S44). 

Aus  dieser  Qaelle  fliesst  anch  die  LOsnng  des  Problemes,  weichet  anf- 
sagt,  dass  die  Teilstrahlenpaare  der  von  den  Gegenseitenpaaren  eines  Krnt- 
Tierecks  gebildeten  Scheitelwinkel  drei  zu  drei  parallel  sind  (Briot  et  Bovqnft 
a.  a.  0.,  liyre  S,  chapitre  3,  exercice  17,  oder  in  der  nrsprftnglichen  Fassung: 
Steiner,  a.  a.  0.,  erster  Band,  Seite  ISS,  Satz  7). 

Man  Tergleiche  anch  „Die  Geometrie  der  Lage**  von  Dr.  Th«  Bcye,  Stc 
Auflage,  1.  Abteilung,  Seite  184,  Aufgabe  119. 

8)  Steiner,  a.  a.  O.,  zweiter  Band,  Seite  17,  Satz  6). 


mtif  drei  InfUxioruknoten»  119 

Hyperbel  ist  Fflr  diesen  Fall  ergibt  meine  ConstmctioQ ,  dass  der 
Krümmangsradins  dem  Radius  Vector  CP  gleich  ist. 

Durch  irgend  einen  Punkt  Q  von  H  geben  drei  ihrer  Krüm- 
nmngskreise.  Denn  der  auf  CQ  als  Durchmesser  beschriebene  Kreis 
schneidet  H  ausser  Q  noch  in  drei  Punkten. 

7.  ,,Die  Betrachtung  der  Ellipse  als  Projection  des  Kreises  und 
der  ungleichseitigen  Hyperbel  als  Projection  der  gleichseitigen  Hy- 
perbel führt  zur  Kenntniss  der  KrQmmungshalbmcsser  des  Mittel- 
pnnktskegelschnittes  in  seinen  Scheiteln". 

Ist  E  (Fig.  6.)  die  gegebene  Ellipse ,  Kr  der  über  ihrer  grossen 
Achse  AB  als  Durchmesser  beschriebene  Kreis,  sind  P«  und  A  ein- 
ander entsprechende  sich  in  P  auf  AB  projicirende  Punkte  dieser 
Carren  und  schneidet  der  durch  Pg  gelegte  Kreis,  welcher  E  in  A 
berührt,  die  Achse  zum  zweiten  Male  in  Q,  so  hat  man  AP.PQ  » 
PPt*  und  AP.PB  «  PPk\  also  durch  Division,  wenn  o  und  *  wie 

PQ       b* 
gewöhnlich  die  Halbachsen  von  E  andeuten,  p^  «=»  -g.    Ersetzt  man 

nun  die  Punkte  P«  und  Pk  durch  einander  entsprechende  Punkte  von 
E  and  Er^  deren  gemeinsame  Projection  P  dem  Scheitel  A  immer 
näher  rückt,  so  findet  man  an  der  Grenze  für  den  Krümmungshalb- 

messer  Ra  der  Ellipse  E  in  A  den  Wert  — .  Ebenso  findet  man  mit- 
telst des  auf  der  kleinen  Achse  von  E  als  Durchmesser  beschriebenen 
Kreises,  wobei  man  allerdings  den  Kreis  als  die  Projection  der  Ellipse 
zu  betrachten  hat,  für  den  Krümmungshalbmesser  Rh  der  Ellipse  in 

den  Endpunkten  der  kleinen  Achse  den  Wert  r-* 

Für  die  reellen  Scheitel  der  Hyperbel  findet  man  mittelst  der 
Bemerkung  am  Schlüsse  des  vorhergehenden  Artikels  auf  ganz  gleiche 

b^ 
Weise  die  Relation  i?a  —  -.  Dabei  hat  man  die  ungleichseitige  Hy- 
perbel als  Projection  der  gleichseitigen  Hyperbel  mit  gleicher  re- 
ellen Achse  zu  betrachten  oder  umgekehrt  die  gleichseitige  Hyperbel 
als  Projection  der  ungleichseitigen,  je  nachdem  diese  letztere  Gurve 
innerhaJb  der  scharfen  oder  innerhalb  der  stumpfen  Scheitelwinkel 
ihrer  Asymptoten  enthalten  ist '). 


9)  Einen  mehr  allgemeinen  Satz  findet  man.  schon  in  Dnpin's  ,,D^Teloppe- 
mentf  de  g€om€trie"  (P^g^  39). 


120  Seh  oute:   Ueber  die  Curven  vierter  Ordnung 

8.  „Die  Fusspunkte  der  Normalen,  welche  man  von  einem  ge- 
gebenen Punkte  P  auf  einen  gegebenen  Mittelpunktskegelschnitt  K 
fällen  kann ,  sind  die  Schnittpunkte  von  K  mit  einer  dnrch  P,  die 
unendlich  fernen  Punkte  A  und  B  der  Achsen  von  K  und  den  Mit- 
telpunkt C  von  K  gellenden  gleichseitigen  Hyperbel.  Und  umgekehrt 
schneidet  jede  gl ''ichs ei tigo' Hyperbel  durch  A^  B,  C  den  gegebenen 
Kegelschnitt  Ä'in  vier  Punkten,  wofür  die  auf  iT  errichteten  Normalen 
durch  einen  Punkt  gehen". 

Dieser  dem  ApoUonius  von  Perga  (247  v.  Chr.)  zugeschriebene 
Satz  wird  leicht  geometrisch  bewiesen.  Ist  nämlich  PQ  (Fig.  7.) 
irgend  eine  Gerade  durch  P  und  CQ  der  Durchmesser  von  Ä",  wel- 
cher in  A'  dem  senkrecht  auf  PQ  stehenden  Durchmesser  conjugirt 
ist,  so  bilden  die  Strahlen  PQ  und  CQ  zwei  projectivische  Bfischcl, 
und  ist  der  Ort  des  Schnittpunktes  Q  von  PQ  und  CQ  also  ein 
durch  /'  und  C  gehender  Kegelschnitt,  der,  wie  man  unmittelbar  er- 
blickt, auch  durch  die  unendlich  fernen  Punkte  A  und  B  geht  Diese 
Curve  ist  also  eine  gleichseitige  Hyperbel ,  deren  Asymptoten  zu  den 
Achsen  von  A'  parallel  sind.  Und  die  Schnittpunkte  dieser  Curre 
mit  K  sind  offenbar  die  Fusspunkte  der  von  P  an  JT  möglichen 
Tangenten  *°). 

Umgekehrt  schneidet  jede  gleichseitige  Hyperbel  durch  A,  B^  C 
die  gegebene  Curve  A"  in  vier  Punkten ,  wofür  die  auf  K  errichteten 
Normalen  durch  einen  Punkt  gehen.  Ist  nämlich  P  der  Schnittpunkt 
der  Normalen  an  K  in  zwei  der  vier  Schnittpunkte  von  K  mit  dieser 
gleichseitigen  Hyperbel ,  so  hat  die  dem  Punkte  P  zukommende  Hy- 
perbel des  ApoUonius  schon  fünf  Punkte  mit  der  angenommenen 
gleichseitigen  Hyperbel  gemein,  und  fallen  also  dio  beiden  Curven 
zusammen  ^^). 


10)  Eine  merkwürdige  Ableitung  dieser  Hyperbel  gab  Ponccict  (,Tniitc 
des  propriet(58  projcctivea  des  figures",  2m«  edition,  tome  I,  art,  492). 

Jede  Hyperbel  des  ApoUonius  ist  dem  uneigenüichen  Poldreieek  ABC  too 
A'  umgeschrieben  und  enthält  also  dio  Eckpunkte  einer  einfach  anendlicben 
Anzahl  von  Poldrciccken  von  K  (Rcye,  a.  o.  0.,  1.  Abteilung,  Seite  122; 
Picquct,  a.  a.  O.,  tome  I,  §  209—216).  Die  Seiten  dieser  Poldreiecke  om- 
hüllen  eine  Parabel,  die  Polarfigur  der  Hyperbel  von  ApoUonius  in  Bezug  auf 
A'  („Elementar-synthetische  Geometrie  der  Kegelschnitte"  ron  A.  Milinowski, 
Sätze  und  Aufjjaben,  Nr.  90 — 95). 

11)  Die  den  verschiedenen  Punkten  P der  Ebene  zukommenden  Hyperbeln 
des  ApoUonius  bilden  ein  Netz  mit  drei  Basispunkten,  den  Punkten  A,  B,  C, 
Dieses  Netz  ist  bekanntlich  zum  ebenen  Systeme  der  Punkte  P  projectivisch, 
und  es  Ändert  sich  und  seine  Verwandtschaft  zum  ebenen  Systeme   der  Punkte 


mit  drei  Inflextoruhnoten,  121 

9.  „Die  Punkte  Q  einer  gegebenen  gleichseitigen  Hyperbel  H 
mit  dem  Mittelpunkte  C  (Fig.  8.)  ^  für  deren  jeden  die  Tangente 
q  m  der  durch  einen  gegebenen  Punkt  P  geführten  Geraden  QF 
anfiparallel  ist  in  Bezug  auf  irgend  einen  Durchmesser  CR^  sind 
die  Schnittpunkte  von  H  mit  einem  durch  C  und  P  gehenden  Kreise. 
Und  umgekehrt  schneidet  jeder  durch  C  gehende  Kreis  die  Curve  H 
in  vier  Punkten  Q,  für  welche  die  zu  den  Taugenten  q  in  Bezug  auf 
CR  antiparallel  durch  Q  gelegten  Geraden  durch  einen  bestimmten 
Punkt  dieses  Kreises  gehen". 

Sind  CX  und  CY  (Fig.  9.)  die  Asymptoten  der  gegebenen  gleich- 
seitigen Hyperbel  //,  ist  P  der  gegebene  Punkt  und  CR  der  gegebene 
Durchmesser,  so  suchen  wir  den  Ort  des  Schnittpunktes  Q  von  jeder 
dorch  P  gehenden  Geraden  PQ  mit  dem  Durchmesser  CQ  von  //, 
welcher  dem  zu  PQ  in  Bezug  auf  CR  antiparallelcn  Durchmesser  CS 
vou  //  coiijugirt  ist.  Nun  findet  man  leicht,  dass  der  Winkel  PQC 
constant  ist,  denn  da  PQ  und  CS  antiparallel  sind  in  Bezug  auf  CR, 
CS  und  C  Q  antiparallel  sind  in  Bezug  auf  CA,  so  ist  nach  Artikel  5. 
immer  Wkl.  PQC  =  2  Wkl.  RCX.  Also  ist  der  Ort  der  Punkte  Q 
ein  durch  C  und  P  gehender  Kreis  ^^).  Da  nun  die  Schnittpunkte 
vou  H  mit  diesem  Kreise  nach  der  Entstehungsweiso  von  diesen 
offenbar  die  in  dem  Satze  angedeuteten  Punkte  Q  sind,  und  umgekehrt 
jeder  Punkt  Q  des  Satzes  dem  gefundenen  Kreise  angehören  muss, 
ist  der  erste  Teil  d^s  Satzes  bewiesen.  Und  die  ümkehrung  wird 
ganz  80  behandelt  wie  jene  des  vorhergehenden  Satzes  '^. 

Zur  Abkürzung  nennen  wir  die  durch  den  Punkt  Q  von  H 
(Fig.  8.)  in  Bezug  auf  CR  zu  der  Tangente  q  von  //  in  Q  anti- 
parallele Gerade  QP  die  „Auti-^orraale"  von  H  in  Q  für  CR.  Und 
ie  Curve,  welche  von  dieser  Anti-Normale  eingehüllt  wird,  wenn  Q 
ie  gleichseitige  Hyperbel  H  durchläuft,  möge  hiermit  in  Ueberein- 
stimmung  die  „Anti-Evolute"  von  H  für  CR  heissen  **).    Diese  Anti- 


P  nicht,  wenn  man  die  Achsen  von  K  in  dem  nämlichen  Maasse  vergrösscrt 
oder  verkleinert.  Man  vergleiche  Steiner's  Abhandlung  ^Ueber  algebraische 
Cnrven  und  Flächen'',  a.  a.  O.,  zweiter  Band,  Seite  627). 

12)  Wenn  man  auf  das  Zeichen  der  Winkel  achtet,  so  siebt  mau  un- 
mittelbar, dass  die  an  verschiedenen  Seiten  von  CP  liegenden  Kreissegmente, 
welche  man  erb&lt,  wirklich  einen  Vollkrcis  bilden. 

13)  Die  den  verschiedenen  Punkten  P  der  Ebene  zukommenden  Kreise 
bilden  ebenfalls  ein  dem  ebenen  Systeme  der  Funkte  P  projectivischcs  Netz, 
das  sich  und  seine  Verwandtschaft  zu  diesem  ebenen  Systeme  nicht  ändert, 
wenn  man  die  gleichseitige  Hyperbel  H  vom  Centrum  C  aus  in  irgend  einem 
Maasse  vergrössert  oder  verkleinert. 

14)  Obgleich  diese  Anti-Kormale  nnd  Anti-Evolute  einen  besonderen  Fall 


122  Schoute:  üeber  die  Curv$n  vierter  Ordnung 

Evoluten  können  nach  Artikel  5.  offenbar  auch  betrachtet  w^en  als 
die  Einhüllenden  der  (jeraden,  welche  die  centralen  Radien  YectoreD 
Ton  den  Punkten  von  Hin  diesen  Punkten  unter  bestimmten  and  im 
bestimmten  Sinne  gezählten  Winkeln  schneiden. 

10.    „Die  Anti-Evoluten  von  H  in  Bezug  auf  ihre  verschiedenen 
Durchmesser  CR  sind  concentrische  und  einander  ähnliche  Gurrend 

Ist  CR  (Fig.  10.)  irgend  ein  Durchmesser  und  CD  eine  Achse 
von  H^  sind  Q  und  Q*  zwei  an  einander  grenzende  Punkte  dieser 
Curve,  QR^  und  Q'i?i  die  Anti-Normalen  von  //in  Q  und  Q'  für 
CR^  und  sind  QD^  und  Q'D^  die  Anti-Normalen  von  ^  in  Q  und  Q' 
für  CD^  so  liegen  einerseits  die  Punkte  C;  Q,  Q\  R^  auf  einem  Kreise^ 
da  Wkl.  RjQC^  Wkl.  /?iQ'C(«  2  Wkl.  RCX)  ist,  und  andererseitB 
die  Punkte  C,  Q,  Q',  />„  daWkl. />,QC— Wkl.  DiQ'C(=2Wkl./>CI) 
recht  ist.  Beim  Grenzübergänge  des  Zusammenfallens  der  Punkte 
Q  und  Q*  liegen  also  die  dem  Punkte  Q  von  H  entsprechenden 
Punkte  Ri  und  D^  der  Anti-Evoluten  für  CR  und  CD  so  auf  einem 
durch  C  und  Q  die  /f  in  Q  berührenden  Kreise,  dass  die  Kreisbögen 
CRi  und  CD^^  in  Graden  fortwährend  die  nämlichen  Werte  bei- 
behalten, wenn  Q  sich  der  H  entlang  bewegt;  denn  man  findet  un- 
mittelbar Bog.  C/?i=4  Wkl.  RCX  und  Bog.  CDi«=4  Wkl.  I^CJf  «IW 
Und  hieraus  folgt,  dass  die  Anti-Evolute  für  CR  aus  jener  für  CD 
abgeleitet  wird,  indem  man  diese  letztere  um  C  über  einen  Winkel 
o"  2  DCR  dreht  und  zur  selben  Zeit  ihre  von  C  ausgehenden 
Radien  Yectoren  durch  Multiplication  mit  cos2Wkl.Z)CA  veiklei- 
nert "). 

Die  Anti-Evolute  von  H  in  Bezug  auf  die  Achse  CD  ist  nach 
ihrer  Entstehungsweise  die  erste  negative  Fusspunktencurve  von 
H  in  Bezug  auf  den  Centrum  C  Also  ist  die  Anti-Evolute  von  H 
in  Bezug  auf  CR  die  erste  negative  Fusspunktencurve  von  der  gleieh- 
seitigen  Hyperbel ,  die  man  durch  Drehung  von  H  nm  C  Aber  den 
Winkel  »  2  DCR  und  Yerkleinerung  der  Durchmesser  mittelst 
Multiplication  mit  cos  2  Wkl.  DCR  erhält  ebenfalls  in  Bezug  auf  das 
Centrum  C, 


bilden  von  der  Quati-Normale  und  Qaasi-EToIate  („Analytische  GeoaKtrie 
der  höheren  ebenen  Carven*  von  G.  Salmon,  dentsch  von  Dr.  W.  Fiedler, 
2te  Anflage,  Art.  10b)i  so  achte  ich  mich  der  Merkwürdigkeit  des  besonderca 
Falles  wegen  doch  berechtigt  einen  nenen  Namen  einsnführen. 

15)  lieber  die  Anwendung  dieser  Multiplication  rergleiche  man  Joliis 
Peters6n*s  in  fast  alle  modernen  Sprachen  ftbersetstes  Werkchen  aMethodeo 
und  Theorien*'. 


mit  drei  In/Uxi&ruknoien.  123 

Der  Kürze  wogen  deuten  wir  im  Folgenden  die  Corvo,  welche 
ans  einer  gegebenen  Mittelpunktscnrve  <P  durch  Drehung  um  den 
Mittelpunkt  im  Sinne  der  Uhrbewegung  tlber  den  Winkel  a  und  Multi- 
plication  der  centralen  Radien  Yectoren  mit  m  abgeleitet  wird,  mit- 
telst des  Symboles  <P(a,  m)  an.  Es  ist  dann  die  so  eben  gefundene 
gleichseitige  Hyperbel  als  ^(2  Wkl.  DCR,  co8  2  Wkl.  DCR)  zu  be- 
zeichnen. 

Die  Anti-£volüte  von  H  in  Bezng  auf  die  Achsen  ist  in  Fig . 
11.  vorgestellt;  sio  hat  in  der  Richtung  von  jeder  der  beiden  Asym- 
ptoten von  H  einen  parabolischen  Ast  von  besonderer  Beschaffenheit; 
wir  kommen  im  folgenden  Abschnitte  auf  diese  merkwürdige  Curve 
zurück  **). 

11.  „Ersetzt  man  eine  ungerade  Anzahl  der  Schnittpunkte  von 
einem  Mittelpunktskegelschuitto  K  mit  irgend  einer  gleichseitigen 
Hyperbel ,  deren  Asymptoten  zu  den  Achsen  von  K  parallel  sind, 
durch  die  ihnen  in  K  diametral  gegenüber  liegenden  Punkte ,  so  er- 
hält man  vier  Punkte  eines  Kreises. 

Ersetzt  man  eine  ungerade  Anzahl  der  Schnittpunkte  von  einer 
gleichseitigen  Hyperbel  H  mit  irgend  einem  Kreise  durch  die  ihnen 
in  H  diametral  gegenüber  liegenden  Punkte ,  so  erhält  man  vier 
Punkte,  die  so  mit  einander  zusammenhangen,  dass  jeder  von  ihnen 
der  Höhenschnittpunkt  ist  des  von  den  drei  anderen  bestimmten 
Dreiecks". 

Ist  von  den  vier  Fusspunkton  iVi,  iVg,  iVg,  N^  (Fig.  12.)  der  aus 
irgend  einem  unbekannten  Punkte  auf  K  zu  eilenden  Normalen  nur 
die  Verbindungslinie  p  von  zwei  aus  ihnen  gegeben ,  so  findet  man, 
nach  den  schönen  Untersuchungen  Joachimsthals  ^^),  die  Verbindungs- 
linie p'  der  beiden  anderen,  wenn  man  zum  Pole  P  von  p  für  K  den 
in  Bezug  auf  das  Centrum  C  symmetrisch  liegenden  Punkt  2\'  be- 
stimmt und  die  senkrechten  Projectionen  dieses  Punktes  auf  die  Achsen 
von  K  mit  einander  verbindet.  Dabei  ist  dann  die  supplementäre 
Sehne  N^N^  von  iV^iV^  parallel  zu  PiC,  also  antiparallol  zu  ^^N^ 


16)  Mit  Verweisung  auf  Artikel  27.  bemerke  ich  hier  nur  noch,  dasi 
die  in  den  Richtungen  der  Asymptoten  von  £f  liegenden  Berührungspunkte  der 
unendlich  fernen  Geraden  mit  der  Änti-Evolnte  Rflckkehrpunkte  dieser  Curve 
Bind,  was  sich  dadurch  yerr&t,  dass  die  beiden  einer  n&mlichen  Asjrmptote  von 
H  zukommenden  Acste  in  entgegengesetften  Richtungen  in's  Unendliche  ver- 
schwinden. 

17)  „lieber  die  Kormalen  der  Ellipse  nnd  des  Ellipsoids*'  (Crelle's  Jour- 
nal fttr  reine  nnd  angewandte  Mathematik,  Band  XXVI,  Seite  17S). 


124  Schaute:   Ueher  die  Ourvßn  merUr  Ordnung 

in  Bezug  auf  die  Achsen  von  JT,  und  sind  deshalb  die  Punkte  N^^ 
^2)  ^s)  ^4  nach  Artikel  6.  Tier  Punkte  eines  Kreises.  Und  dies 
bleibt  offenbar  der  Fall,  wenn  man  noch  zwei  der  Punkte  iV,,  iV^,  .V4 
durch  die  ihnen  diametral  gegenüber  liegenden  Punkte  Ton  K  er- 
setzt. 

Dieser  bekannte  Joachimstharscho  Satz  ist  aber  einer  Erweitenuig 
fähig.  Was  nach  dem  Obigen  von  den  vier  Schnittpunkten  des  Mittel- 
punktskegelschnittes K  mit  irgend  einer  seiner  Hyperbeln  des  Apollo- 
nius  gilt,  das  kann  auch  von  den  vier  Schnittpunkten  von  K  mit 
irgend  einer  wohl  durch  die  unendlich  fernen  Endpunkte  Ä  und  B 
der  Achsen  von  AT,  nicht  aber  durch  das  Centrum  C  von  K  gehen- 
den gleichseitigen  Hyperbel  behauptet  werden.  Zum  Beweise  dieser 
Verallgemeinerung  bemerke  ich,  dass  die  gleichseitigen  Hyperbeln  des 
von  den  Punkten  A,  B^  iV^,  N^  als  Basispunkte  bestimmten  Bflschda 
in  K  eine  quadratische  Involution  von  Punkten  N^^  N^  einschneiden, 
welche  auch  von  den  parallelen  Strahlen  eines  Strahlenbflschels  mit 
unendlich  fernem  Scheitel  getragen  wird.  Indem  nämlich  jede  qua- 
dratische Involution  auf  K  von  einem  Strahlenbüschel  erzeugt  wer- 
den kann,  so  enthält  dieser  Büschel  in  unserem  Falle  die  unendlich 
ferne  Gerade ,  da  diese  mit  der  Geraden  N^Na  eine  Curve  des  Bfl- 
schels  bildet.  Es  führt  also  die  Ersetzung  der  durch  N^  und  lY« 
bestimmten  Hyperbel  des  Apollonius  durch  irgend  eine  Curve  des  von 
A^  i?,  As,  N\  bestimmten  Büschels  nur  zu  einer  parallelen  Yerschie- 
bung  der  Geraden  p  und  also  auch  nur  zu  einer  parallelen  Verschie- 
bung der  Geraden  iV^i'iV^,  was  nach  Artikel  6.  die  Lage  der  vier  Punkte 
N  auf  einem  Kreise  nicht  aufhebt. 

Sind  weiter  iVi,  N^^  iV^,  N\  (Fig.  13.)  die  Schnittpunkte  der  ge- 
gebenen gleichseitigen  Hyperbel  H  mit  irgend  einem  Kreise,  so  sind 
die  Sehnen  N^N^  und  N^Na  nach  Artikel  6.  antiparallel  in  Bezug  aaf 
die  Achsen  von  H  und  ist  dies  mit  den  supplementären  Sehnen  S^S^ 
und  N^'N^  nach  Artikel  4.  in  Bezug  auf  die  Asymptoten  von  H  der 
Fall.  Also  sind  nach  Artikel  5.  die  Sehnen  N^'N^  und  iV^iVi  zu  ein- 
ander senkrecht.  Und  da  dies  von  den  Sehnenpaaren  N^'N^  und 
AjA«,  N^'Ni  und  N^N^  ebenso  bewiesen  werden  kann,  haben  die 
vier  Punkte  N^\  AT^,  A's,  A4  die  im  Satze  angegebene  merkwürdige 
Lage. 

12.  „Wenn  eine  gleichseitige  Hyperbel  einem  Dreieck  umge- 
schrieben ist,  so  geht  sie  auch  durch  den  Schnittpunkt  seiner  Höhen. 
Ist  das  Dreieck  rechtwinklig,  so  berühren  also  die  umgeschhebeoeo 
gleichseitigen  Hyperbeln  im  Eckpunkte  des  rechten  Winkels  alle  die 
von  diesem  Punkte  auf  die  Hypotenuse  gefällte  Senkrechte^. 


mit  drn  Infiexionsknoten,  125 

Dieser  bekannte  Satz  ^^)  ist  eine  unmittelbare  Folge  des  zweiten 
Teiles  des  vorbergehenden.  Es  liegt  nämlicb  in  Fig.  13.)  der  dem 
Punkte  Nj^  der  gleichseitigen  Hyperbel  H  diametral  gegenüber  lie- 
gende Punkt  Ni  ebenfalls  auf  H,  und  dieser  Punkt  ist  der  Schnitt- 
punkt der  Höhen  des  Dreiecks  N^N^N^* 

Beiläufig  bemerke  ich,  dass-  diese  Betrachtungen  fUr  den  Ort  der 
Mittdpunkte  der  einem  Dreieck  umschriebenen  gleichseitigen  Hyper- 
beln den  Neunpunktskreis  dieses  Dreiecks  liefern. 

13.  „Die  Polarfigur  einer  gleichseitigen  Hyperbel  H  in  Bezug 
auf  irgend  eine  andere  concentrische  gleichseitige  Hyperbel  H^  ist 
wieder  eine  concentrische  gleichseitige  Hyperbel  H^.  Die  reelle  Achse 
Ton  H^  ist  antiparallel  zu  der  reellen  Achse  von  Hin  Bezug  auf  die 
Achsen  von  /fj,  und  ihre  Grösse  a^  ist  an  jene  a  und  o^  der  reellen 
Achsen  von  H  und  Hi  gebunden  durch  die  Gleichung  a<i2  *=  a^*. 
Ist  H^  «  H(€t^  m) ,  so  ist  H^  =  J3i  (a,  m)  •=-  H{2a^  m*).  und  bei 
diesem  Uebergange  von  ^zu  H^  mittelst  Drehung  und  Multiplication 
entspricht  dem  Berührungspunkte  irgend  einer  Tangente  von  H 
wirklich  der  auf  H^  liegende  Pol  dieser  Tangente  in  Bezug  auf  ff^. 

Nimmt  man  bei  einer  gegebenen  gleichseitigen  Hyperbel  H  noch 
die  beiden  Curven  an,  in  welche  H  übergeht,  wenn  man  sie  in  posi- 
tivem und  negativem  Sinne  um  ihr  Centrum  C  um  den  Winkel 
von  60^  dreht,  so  erhält  man  drei  Curven,  die  zu  einander  in  der 
besonderen  Beziehung  stehen,  dass  jede  von  ihnen  in  Bezug  auf 
irgend  eine  der  beiden  übrigen  die  Polarfigur  der  dritten  ist  ^^)^'. 

Ist  die  Polarfigur  eines  Kegelschnittes  K  in  Bezug  auf  einen 
anderen  Kegelschnitt  K^  im  Allgemeinen  wieder  ein  Kegelschnitt 
A^  ^),  so  folgt  hier  aus  radialer  Symmetrie  in  Bezug  auf  das  ge- 
meinschaftliche Centrum  C  von  H  und  H^  (Fig.  14),  dass  die 
Polarfigur  ein  mit  H  und  H^  concentrischer  Kegelschnitt  ist  Nun 
sind  aber  die  Asymptoten  CX  und  CY  von  H  in  Bezug  auf  Hj^  die 
Polaren  der  unendlich  fernen  Punkte  dieser  Polarfigur,  d.  h.  CX  und 
CY  sind  in  Bezug  auf  Hj^  die  den  Asymptoten  der  Polarfigur  con- 
jugirten  Durchmesser.    Also  sind  die  Asymptoten  der  gesuchten  Curve 


18)  Man  TergUiche  Beye,  a.  a.  0.,  1.  Abteilang,  Seite  183,  Aufgabe  IIS 
ond  Salmon'i  „Conics*',  Artikel  228,  Problem  1  und  Artikel  315,  Problem  2. 

19)  Cdoen  analytischen  Beweis  dieses  Satzes  enth&lt  meine  ^Notiz  über  die 
Lemniakate^  (Sitzungsberichte  d.  k.  Akad.  der  Wissenscb.  zu  Wien ,  Band 
LXXXIX,  2te  Abteilang,  Seite  1264). 

20)  Bey«9  a.  a«  0.,  1.  Abteilang,  Seite  82. 


126  Schoutei   üeber  die  Curven  vierter  Ordnung 

in  Bezog  auf  die  Asymptoten  CX^  und  CY^  von  ff^  antipanllel  m 
CX  und  CY  nnd  stehen  sie  deshalb  aach  senkrecht  auf  einAnder, 
d.  h.  die  gesachte  Garve  ist  ebenfalls  eine  gleichseitige  Hyperbel  Hf, 
Und  dann  sind  auch  die  Achsen  von  ff^  antiparallel  zn  den  Acbsea 
von  H  in  Bezug  auf  die  Achsen  von  IT^. 

Ist  P  ein  Scheitel  von  H^  also  •CP=  a  nnd  p  seine  Polare  in 
Bezug  auf  fT^,  so  erkennt  man,  dass  (nach  Artikel  5.)  p  senkrecht  steht 
auf  der  Achse  CD^  von  jET^;  denn  CD,  die  den  Scheitel  P  enthaltende 
Achse  von  //,  ist  antiparallel  zu  p  in  Bezug  auf  die  Asymptoten 
von  //^  und  CD  und  CD^  sind  es  in  Bezug  auf  die  Achsen  tob 
Hl.  Also  ist  p  eine  Scheiteltangen tc  von  ff^^  der  SchnittpuDkt  P^ 
von  CD^  und  p  ein  Scheitel  von  H^  und  CP^  »  a^  Hieraas  folgt 
im  Vorübergehen,  dass  die  Achse  von  /i^,  welche  antiparallel  istzo 
der  reellen  Achse  CD  von  H  in  Bezug  auf  die  Achsen  von  /Tj,  ihre 
reelle  Achse  ist.  Ist  weiter  Q  einer  der  beiden  Schnittpunkte  ?oii  CD 
mit  /fj  und  P'  der  Schnittpunkt  von  CD  mit  pj  so  ist  CP.CP'  ^ 
CQ^]  denn  die  in  Bezug  auf  H^  zu  einander  coigugirten  Punkte  ?, 
P'  gehören  einer  auf  CD  liegenden  Involution  an,  welche  C  zun 
Centralpunkte  und  Q  zu  einem  der  Doppelpunkte  hat  Aber  wenn 
Qq  der  Schnittpunkt  ist  von  Cd^  mit  der  zu  p  parallelen  Tangeote 
q  von  Hl  in  Q,  so  hat  man  auch  CP^iCP'  »  CQ^^iCQ  und  diese 
Proportion  giebt  mit  der  angeftthrton  Gleichung  unmittelbar  die  Re- 
lation CP,  CP^  =  CQ .  CQ^.  Sind  nun  endlich  Qx  und  Qg  die  Schnitt- 
punkte von  q  mit  den  Asymptoten  CX^  und  CY^  von  H^ ,  so  hat 
man  nach  einander  CQ.CQq  =  QQx-CQq  »  ^CQx.CQ^  und  deshalb, 
da  nach  einem  bekannten  Satze  der  gleichseitigen  Hyperbel^) 
iCOa.  CQy  «  a^  ist,  auch  aa^  «  a^  **). 

Ist  Hl  «  H{a^  f»),  so  ist  deshalb  a  «=  Wkl.  OCD^  und  m  «  ^ 

Aber  wir  finden   Wkl.  D^CD^  —  Wkl.  DCD^  und  ^  =  -^ :    also  ist 

Hi  =  Hl  (a,  m)  «  ^(2a,  m*).  Und  hierbei  ist  es,  wie  der  Satz  oben 
angiebt,  bemerkenswert,  dass  der  Uebergang  von  H  zu  H^  dorcb 
Drehung  und  Multiplication  ein  beliebig  auf  H  gewählter  Punkt  R 
von  H  (Fig.  15.)  in  den  Punkt  R^  von  H^  überführt,  dessen  Polare 
in  Bezug  auf  Hi  die  Tangente  von  H  in  R  ist  Ist  nämlich  r  die 
Tangente  von  H  in  R  und  2?j  der  Pol  von  r  in  Bezug  auf  /^j ,  so 
ist  die  Tangente  r  antiparallel  zu  CR  in  Bezug  auf  CY  und  zu  Cfij 

21)  Reye,  a.  a.  O.,  1.  Abteilang,  Seite  94. 

S2)  Aus  diesen  metrischen  Relationen  beweist  man  ohne  Mühe,  da»  die 
gleichseitige  Hyperbel,  wie  Herr  Brocard  mir  brieflieb  mitteilte,  ihre  eigeis 
Folarfigur  ist  in  Besng  anf  den  sie  doppelt  berührenden  conceotrischcn  Kroi. 


mit  drei  Inflexionsknoten»  127 

in  BesQg  auf  CT^ ;   also   ist  nach  Artikel  5.  der  Winkel  RCB^  » 
2  Wkl.  FCli  —  2a,  u.  s,  w.  ").  ^ 

Der  zweite  Teil  des  Satzes  ist  eine  unmittelbare  Folge  des 
ersten. 

14.  „Wenn  man  von  den  zwei  Cnrven  Cj^  and  Q",  welche  man 
mittelst  Drehung  einer  gegebenen  Cnrvo  C***  nm  irgend  einen  Ponkt 
3/  in  positivem  nnd  negativem  Sinne  nm  den  Winkel  von  60^  erh&lt, 
jene  Elemente  einander  entsprechen  lässt,  welche  sich  aus  einem  näm- 
lichen Elemente  von  O*  entwickelt  haben ,  so  ist  die  Enveloppe  der 
Verbindungslinie  der  entsprechenden  Punkte  von  Q**  und  C^**  die 
TOD  M  aus  halbirte  erste  negative  Fusspunktencurve  von  O  fttr 
M  und  der  Ort  der  Schnittpunkte  der  entsprechenden  Tangenten  von 
C\^  und  Cj**  die  von  M  aus  verdoppelte  erste  positive  Fusspunkten- 
corve  von  C~  für  J/." 

Ist  in  Fig.  (16.)  der  Punkt  M  der  Drehpunkt,  und  sind  P,  i\,  P^ 
entsprechende  Punkte  der  drei  Curvon  O,  Cj*»,  C^»»,  so  steht  die 
Verbindungslinie  Pj  F^  in  der  Mitte  von  MF  auf  MF  senkrecht,  was 
den  ersten  Teil  des  Satzes  beweiset.  Sind  weiter  p,  p^,  p^  die  ent- 
sprechenden Tangenten  der  Curven  in  diesen  Punkten,  und  bezeichnet 
man  den  Schnittpunkt  von  p  mit  AfF^  als  Q,  von  pi  mit  MF^  als  Qi 
nnd  von  p,  mit  MF  als  Qg,  so  ist  Wkl.  MF^Q^  —  Wkl.  MF^Q^, 
Deshalb  liegt  der  Schnittpunkt  F'  von  p^  und  p^^  dessen  Ort  wir 
in  dem  zweiten  Teil  des  Satzes  angegeben  haben,  auf  dem  durch  M^ 
PiUndP)  gehenden  Kreise,  ist  der  Winkel  F^F^F^  als  das  Supple- 
ment vom  Winkel  F^MF^  =■  60®  und  wird  von  der  durch  die 
Mitte  M  des  Kreisbogens  F^MF^  gehenden  Gerade  F'M  halbirt. 
Aber  da  P  offenbar  der  Mittelpunkt  dos  durch  Af,  P^,  P,  und  F' 
gehenden  Kreises  ist,  und  p  mit  pi  und  P2  ein  gleichseitiges  Dreieck 
bildet,  so  steht  p  in  der  Mitte  Q'  von  MF'  auf  MF^  senkrecht,  und 
ist  hiermit  der  zweite  Teil  des  Satzes  bewiesen. 

Ist  C"  die  gleichseitige  Hyperbel  von  Artikel  13.  und  sind  also 
C,"  und  C^^  die  dort  auftretenden  Curven  /f,  und   H^^  so   ist   die 


SS)  Wenn  B  darch  den  Scheitel  P,  Ton  Hi  geht,  so  geht  Bi  aus 
Aebnlichkeitsgründen  dnrch  den  Scheitel  P,  von  B^  und  berfthrt  nach  der 
letzten  Bemerkung  des  Textes  die  Scheiteltangente  von  £f,  welche  dem  Punkte 
P  zukommt,  ebenfalls  die  B^  in  P,.  Also  ist  der  Ort  der  Scheitel  Pvon  den 
gleichseitigen  Hyperbeln  B  mit  einem  gemeinschaftlichen  Durchmesser  F^P^* 
als  die  erste  positive  Fusspunktencurve  der  gleichseitigen  Hyperbel  B^  far 
ihren  Mittelpunkt  C  eine   Lemniskate  (Steiner,  a,  a.  0.,   zweiter  Band,    Seite 

414). 


128  Schonte i  Ueber  äie  Curven  vierter  Ordnung  eic. 

Enveloppe  der  Yerbindangslinie  der  entsprechenden  Punkte  ton  B^ 
und  H^  alb  die  von  M  aus  halbirte  erste  negative  Fusspanktencorre 
von  H  für  M  die  von  C  aus  halbirte  Curve  von  Fig.  11.,  also  die 
Anti-Evolute  von  der  von  C  aus  halbirten  gleichseitigen  Hyperbel 
H  in  Bezug  auf  die  Achsen.  Und  der  Ort  des  Schnittpunktes  der 
entsprechenden  Tangenten  von  fT^  und  H^  ist  als  die  von  M  ans  Ter- 
doppelte  erste  positive  Fusspunktencurve  von  H  für  M,  d,  h.  als  die 
erste  positive  Fusspunktencurve  der  von  M  aus  verdoppelten  gleich- 
seitigen Hyperbel  H  für  M  eine  Lemniskate  von  leicht  angeblicher 
Lage. 

Ersetzt  man  den  Winkel  von  60^  durch  irgend  einen  Winkel  ff, 
so  wird  die  Enveloppe  die  aus  M  mit  cos  or  multiplicirte  erste  nega- 
tive und  der  Ort  die  aus  M  mit  seca  multiplicirte  erste  positive 
Fusspunktencurve  von  O  für  M.  Indem  dieses  Resultat  für  die 
Enveloppe  unmittelbar  einleuchtet,  findet  man  in  Bezug  auf  den  Ort, 
dass  MP^P'Pi  wie  oben  ein  Kreisviereck  ist  und  der  Winkel  PjP'ij 
von  180^—2«  durch  MF'  gehälftet  wird.  Deutet  man  dann  veiter 
Wkl.  MPQ  =  Wkl.  3fPiQi  =  Wkl.  MP^Q^  durch  /J  an,  so  hat  man 
Wkl.  3fQP=  1800—(a+/3)  und  Wkl.  Q'ilfP  =(«+/?)— 90«,  und 
steht  also  QQ'  senkrecht  auf  MP\  Und  endlich  folgt  aus  den  Re- 
lationen MQ'  —  MQ  sin  (a+ß)  und  AfP'cosa  =  Jl/Q  sin  (o-fi?)  noch 
AfQ'seca  — 3fP'>*). 


24)  Für  die  Anwendung  des  zweiten  Teiles  dieses  ftllgemeineren  Satxei 
auf  den  Fall  einer  gleichseitigen  Hyperbel  vergleiche  man  meine  „Notii  ftber 
die  Lemniskate^  (a.  a.  O.»  Seite  1S65). 


Hoppe:  Erweiterung  des  Aouat' sehen  Problems  der  Curventheorte.     \29 


VI. 

Erweiterung  des  Aoust'schen  Problems 

der  Curventlieorie. 

Von 

R.  Hoppe. 


DSe  in  Rede  stehende,  zuerst  von  Aoust  untersuchte  und  in 
T.  LXYI.  S.  386.  von  mir  aufs  neue  hehandelte  und  gelöste  Aufgabe 
ist:  Eine  Curve  derart  zu  finden,  dass  die  Einhüllende  der  Erümmungs- 
axe  der  Einhüllenden  ihrer  Erttmmungsaxe  der  Urcurve  congruent  sei. 

Die  Einhüllende  der  Krümmungsaxe  ist  nur  eine  unter  den  ab- 
geleiteten Curven,  die  zum  System  der  Tangente,  Haupt-  und  Binor- 
male einer  ürcurve  in  definirter  Beziehung  stehen.  Man  würde  also 
auch  Curven  von  andrer  Beziehung,  z.  B.  die  Evolvente,  in  die 
Aufgabe  einführen  können.  Doch  verspricht  es  wol  bessern  Erfolg, 
wenn  wir  die  Beziehung  sogleich  allgemein  auffassen.  Die  Bedingung 
bleibe  dieselbe:  die  zweite  Ableitung  soll  der  Urcurve  congruent  sein; 
dagegen  behalten  wir  uns  die  Entscheidung  vor,  ob  sie  durch  die 
ürcurve,  wie  vorhin,  oder  durch  die  Beziehung  erfüllt  werden  soll, 
was  auf  den  Anfang  der  Untersuchung  keinen  Einfluss  hat. 

Die  Bezeichnungen  seien  dieselben  wie  in  der  citirten  Abhandlung: 
es  hedenten/gh^/'g'h\  Imn  die  Richtungscosinus  der  Tangente,  Haupt- 
normale, Binormale,  dr  und  Bd^  die  Contingenzwinkel  der  consecutiven 
Tangenten  und  Krümmungsaxen,  s  den  Bogen  der  Curve,  der  Accent 
bezeichne  die  Differentiation  nach  r,  die  Indices  an  obigen  Buchstaben 
unterscheiden  die  Zugehörigkeit  zu  verschiedenen  Curven. 

Ist  nun  der  die  Curve  «^  erzeugende  Punkt  {x^Pt'^)  relativ  zu.m 
begleitenden  Axensjstem  (Tangente,  Hauptnormale,  Binormale)  der 

Aiek.  d.  lUth.  u.  Phyg.    2.  Belhe.  Teil  II.  d 


130     Hoppe:  Erweiterung  des  Aoust*schen  Problems  dtr  Curventheoru. 

Curvo  s  bestimmt,  so  sind  die  Relatiouen   der  Coordinaten  in  der 
Form  gegeben: 

Vi  ^  yhpg+gg'-hrm  >  (i) 

Hieraus  gehen  die  Relationen  der  Richtangscosinos  der  beglei- 
tenden Axen  hervor: 

^\^  "^ lY'A"')  '\^  "' t '  "   I  etc.  mit  gleichen 

und  zugleich  das  Bogenelement  9«|  und  die  Gontingenzwinkel  8f|,  3^i. 

lieber  das  Bogenelement  d«i  kann  man,  wie  ich  in  meiner  Gnrren- 
theorie  gezeigt  habe,  noch  beliebig  verfttgen  and  die  Coordioaten 
x^y^z^  dadurch  berechnen,  nachdem  alle  Grössen,  die  keine  Luetr- 
ausdehnung  enthalten,  der  Aufgabe  gemäss  bestimmt  sind.  Daher 
würde  jeder  andre  Weg  unnötige  Complicationen  schaffen  als  der. 
welcher  von  der  Gl.  (2)  ausgeht  und  erst  nach  deren  Erledigung  die 
Lineargrössen  zuzieht. 

In  den  Gl.  (1)(2)  sind  alle  Grössen  als  Functionen  einer  Yaria- 
beln  anzusehen  (ohne  constante  Werte  auszuschliessen). 

Wir  nennen  nun  die  Darstellung  einer  Curve  «j,  die  gem&ss  den 
Gl.  (1)  oder  (2)  in  Beziehung  zur  Curve  «  steht,  eine  Abieitong 
von  derselben  nach  einem  durch  die  Goefficienten  ausgedrflckteD 
Princip. 

Diese  Erklärung  lässt  indes  noch  zweierlei  Auffassung  zu.  Siod 
alle  Grössen  Functionen  eines  Parameters  <p,  so  kann  man  q>  entweder 
zum  Princip  oder  zur  Curve  rechnen.  Der  Unterschied  zeigt  sicii, 
wenn  mau  von  verschiedenen  Curven  nach  demselben  Princip  ableiten 
will.  Im  ersten  Fall  bleiben  a,  &,  c  immer  dieselben  Functionen  von 
9,  während  t,  ^  in  andre  Functionen  von  <p  übergehen.  Im  letztem 
Falle  muss  nicht  nur  tp  mit  Veränderung  der  Curve  mit  verÄndert 
werden,  sondern  es  müssen  auch  a,  &,  c  derart  definirt  sein,  dassdie 
veränderte  Abhängigkeit  vom  veränderten  Parameter  substituirt  wer- 
den kann.    Sei  z.  B.  r  selbst  Parameter, 

^  «  0(r);  a  «  o(t,  ^(t));  etc. 

dann  wird  bei  Anwendung  desselben  Princips  auf  eine  neue  Conre 
im  ersten  Falle 


Hoppe:  Erweiterung  des  Aousf sehen  Problems  der  Curventheorie.     ISJ 

^1  =  ^i(»i);  »1  =  »1 W;  «  =  «(»,  ^W);  etc. 

im  letztern 

^1  •=•  ^i{*i)i  1^1  —  »iW;  «  =  «(*i>  ^1  W)i  etc. 

Dementsprechend  hat  insbesondere  die  Widerbolang  einer  Ab- 
leitung Terschiedenen  Sinn,  and  die  zu  untersuchende  Aufgabe  ist  im 
zweiten  Falle  eine  andre  als  im  ersten. 

Das  Folgende  behandelt  nur  die  Aufgabe  im  erstem  Sinne,  d.  i. 
die  leichtere.  Es  werden  bei  Ableitung  erst  von  «,  dann  von  s^  aus 
die  a,  &,  e  als  dieselben  Functionen  vom  ursprünglichen  t  betrachtet. 

§.  2.    Bestimmung  der  Richtungen. 

Nehmen  wir  an,  dass  die  zweite  Ableitung  von  s  nicht  nur  con- 
gruent,  sondern  auch  von  gleicher  Stellung  mit  s  sei,  so  sind  in  den 
entsprechenden  Punkten  die  begleitenden  Axen  beider  Curven  gleich- 
gerichtet, und  man  hat: 

Dies  veri^ichen  mit  dem  System  (2)  gibt  als  ausreichende  Be- 
dingungen: 

6,  «=  cj-,    ««o«;    Ol  «  Ä  (4) 

Die  erste  gibt: 


Ci« 


aoi 


das  ist 

tfa,  =  (l  +  a)ci  (5) 


Das  Product  der  zwei  letzten  gibt: 


ea^ 


bbi 


CCi 


—  (1  —  a*  —  c^)ci'\-c(aai'\'CCi) 

■—  (1  —  a*)  Cj  -\~acai 
das  ist 

(l^a)K-(l  +  a)cJ-0 

eine  Gleichung,  die  schon  durch    (5)  erfüllt   ist    Ferner  gibt  die 
Qoadratsnmme  der  2  letzten  Gl.  (4): 

Bdde  Seiten  sind  bedingungslos  =1  — a^,  folglich  sind  alle  3 
Bedingungen  erfüllt,  wenn  es  die  erste  ist. 

9* 


132     Hoppe:   Erweiterung  des  Aout fachen  Problems  dtr  Cvnreiiffteone. 

Sei  nun 

a»C082a;    & -»  8in2aco8/3;    e  »  8in2agin^  (G) 

al8o 

/,  =/co82a+8iii2«(/'c08/J4-iBmft  (7) 

Die8  differentiirt  gibt  nach  Vergleichiing  dw  2  Ausdrücke  Ton/,' 

Oj  ö— «=  —  sin  2«  (2o'4-  cos  ß) 

Dt 
6j  g-i«.  C082«  cos/J  (2«'+ C08/3)—  sinjS  [(/J'+  »*)  sin  2a  —  cos  2a  rinflV  (8) 

cj  g^=  cos  2a  sin  /3(2a'4-  co8/5)4-  cos/J  r(/5'+  *')  sin  2a—  cos  2a  sinfl] 

Nach  Einsetzung  dieser  Werte  wird  61.  (5): 

ü  —  2co8*a{8in/J(2tt'+co8/J)  +  co8|3r(/J'+^')sin2c— co8  2«sinfl| 
—  4c08*a{a'sin/3  +  8>Q"[(/^'+^')cosa+8inasin/J]cosß} 

Die  eine  Lösung  ist  cos  a  »  0.    Hier  ist 

/i«~/;  /i'«T/';   ^=±/;   ti-±t 

die  andre  orfordert  die  Integration  der  Gleichung: 

8a8in/3-f  sinacos/?[8(/9+^)co8a+dTsiuasin/3]  =0        (9) 

Wird  nun  für  gegebenes  Ableitungsprincip  die  Cnrve  gesucht, 
so  hat  man: 

•    a^  =  -aiS-aTtgosin/3 — .^"^^  (lO) 

^  ^         ^      sm  a  cos  a 

wo  a  und  ß  \vl  x  gegeben  sind.  Durch  ^  als  Function  von  x  ist  die 
Curvendasse  bestimmt,  doch  hängt  ihre  Darstellung  von  der  Inte- 
gration einer  linearen  Gleichung  2.  Ordnung  ab,  ist  daher  im  all- 
gemeinen nicht  ausführbar. 

Femer  gibt  es  einzelne  Werte  von  o,  ^,  welche  die  Gleichung 
unabhängig  von  ^  erfüllen,  so  dass  die  Gurve  willktlriich  bleibt 
Hiervon  später. 

Sucht  man  hingegen  das  Ableitungsprincip  für  beliebig  gegebene 
Curve,  also  für  gegebene  Relation  zwischen  x  und  ^,  so  ist  Gl  (9) 
linear  in  cot  a,  und  man  findet: 

cota -__,,,:^_-^^  I  r: ;      cot/J  =  — ^^       (ID 


V- + (I) 


wo  k  willkürliche  Function  von  x  oder  ^  ist« 


Hoppe:  JErmeiUrung  des  Aoum^ sehen  Problems  der  Curventheorie.      133 

Eüminirt  man  jetzt  /3'-f  ^'  mittelst  der  Gl.  (10),  so  werden  die 
Gl.  (8),  deren  Qaadratsnmme  den  Wert  von  ^  ergibt; 

o^  ==  8in2aco8^^  \ 

bi  «28in»aco8»/J-.l  |  (12) 

Ci  »  2sin>a8in^cosj3  ' 

-87--^^  +  ^  (^3) 

woraus  in  YerbindnDg  mit  den  61.  (6): 

Os  »  8in2o8inJ?  i 

6,  =  28in'a8in/3cos^   (  (14) 

c^  =:28in«a8in»/J— 1 

Differentürt  man  die  dritte  61.  (2),  so  erhält  man,  analog  (8): 

—  «igf  —  oj— ö, 

=  2o'co8  2a  sin  ß  -}-  /''sin  2cr  cos  /}  —  2  sin^  a  sin  ß  cos  ß 
woraus: 

-g^  «  —  2a'cot2atg|3— /J'+tgasin/J  (15) 


das  ist  nach  61.  (10) 

dt  ' 


&'+  2tgatgß  («'+  cos  ß)  (16) 


§.  3.    Bestimmung  der  Lineargrösson. 

Damit  die  neue  Ableitung  von  s^  nach  dem  Princip  (1)  der  Ur- 
curve  s  congruent  und  von  gleicher  Stellung  mit  ihr  sei,  muss  sein 

X + const  —  «1  +iifi + q/i+  rlj^ ;  otc.  (17) 

Diiferentiirt  man  die  61.  (1)  und  (17)  und  vergleicht  die  Coeffi- 
cienten  bzbw.  von  /,  /',  l  und  /i,  /i',  /i,  so  ergeben  sich  die  6 
6]eiciinngen : 

&d#]  ==  dq'jfpdt  — rd^ 

3#j  =  ads — 3p  -f-  qdr^ 
0  «  68*  —  dq  — pdxi  +  r8^i 
0  ■=  c8«  —  dr  .  — 58^1 


134     Hoppe:  Erweiterung  des  Aous fachen  Problems  der  CurvenAeorü, 

woraas  durch  Elimination  Ton  Sjp,  dq^  9r: 

6(a«i—8«) «  — pOtj— aT)+r(a^i—aa)y      (i9) 

Eliminirt  man  g,  so  kommt: 

a^i— a<>         c 


Bti  —  ar  1  +  a 


(20) 


wie  auch  61.  (13)  und  (16)  ergeben.    Eliminirt  man  die  Differentiale, 
so  erhält  man: 

(\+a)p-\'hq+cr^Q  (21) 

Die  61.  (18)  lassen  sich  jetzt  vertreten  durch  die  3  letzten  der- 
selben und  die  61.  (19)-,  letztere  wieder  durch 

und  durch  die  61.  (20)  (21).    Eliminirt  man  noch  a«„  so  hat  dulo 
im  ganzen  die  3  6]eichungen: 

ia«*=-a<y+i>aTi— ra^i  i  ^  ' 

eds  =^  ar-j-göö-^  j 

woraus,  nach  Multiplication  mit  1-j-a,  &,  c  und  Addition: 

0  «»  (1+a) Bp'\'b8q -j- car  +&parj  —  q (adr^  +3t  —  cd^j)  -  &r3^, 

das  ist  nach  61.  (21) 

.  pda  -j-  qSb  -f-  rac  «  bpdxi  —  q  {adr^  +  81 — cB^j)  —  brd^j 

Diese  61eichung  zeigt  sich  nach  Einführung  der  Werte  (6)  (13) 
(15)  fttr  a,  h^  c,  ar„  a^^  identisch  mit  (21),  folglich  ist  jede  der  Gl. 
(23)  eine  Folge  der  beiden  andern.  Durch  Verbindung  der  2  letzten 
erhält  man: 

(1  —  a«)  a«  =  a  (Äg  +  <?r)  4- Äpar,  +  (C5  —  ^)a^i  —  386 — fÄJ 
0=»  d{cq^br)'\-cpdtj  —  (bq'\'Cr)d^i  —  ^-\-rdb 

Führt  man  die  Werte  (6)  ein  und  setzt 

q  =  ucosß — vsin  /) ;        r  =  «  sin  /?  -f" '''  cos  ß  (24) 

60  werden  die  beiden  61eichuugon: 


Hoppe:  Erweiterung  de*  Aousf sehen  Problems  der  Curventheorie,      135 

d#Bin2a  «  8t*— «8Titgaco8/J— ü(8^i  +  S/J) 
0  «-  81; .  sin  2« + ti  [28ti  sin«  asinß  +  (8^i  +  dß)  sin  2a] 

and  nach  Sabstitntion  der  Werto  (13)  (15)  von  St,  und  d^^: 
8*8in2«  =  8M+Mtga(28a+8Tcos/?)+w  (—^  —  dxtgasmß^  (25) 

0  =  8ü  .  8in2a— 2w8atgß  (26) 

Ist  nun  ds  gegeben,  so  findet  man  zuerst  v  durch  Integration 
der  linearen  Gleichung  2.  Ordnung,  welche  aus  der  Elimination  von 
tt  hervorgeht,  und  dann  t*,  hieraus  q  und  r  nach  (24),  dann  p  ver- 
mittelst der  61.  (21),  d.  i. 

p  cos  a + (q  cos  j3 + r  sin  ß)  sin  a  (27) 

mithin  das  Ableitungsprincip  aus  gegebener  Urcurve. 

Da  sich  jedoch  die  verlangte  Integration  nicht  allgemein  aus- 
föhren  lässt,  so  bleibt  uns  allein  folgende  Aufgabe  als  allgemein 
lösbar  tlbrig. 

Es  sind  die  Richtungsgrössen  einer  Curve  /;  ^,  h  gegeben,  man 
soll  deren  Bogen  und  das  Ableitungsprincip  finden,  nach  dessen  zwei- 
maliger Anwendung  eine  der  Urcurve  congrueute  Curve  entsteht. 

Die  Lösung  enthält  2  willkürliche  Functionen  k  und  v.     Aus 

/  g^  h  findet  man  zuerst  t  und  9.    Als  Parameter,  d.  h.  unabhäugigo 

Variabein ,  mit  dessen  Variation  die  Urcurve  s  erzeugt  wird ,  sei  t 

angenommen.    Nach  den  61.  (11)  ergeben  sich  a  und  ß.    Aus  a^  /?,  v 

ergibt  sich  nach  (26) 

dv  sin  2a 


u 


da    2tg|J 


Die  61.  (24)  (21)  ergeben  p^  q^  r,  und  da  findet  man  in  Gl.  (25), 
dann  ds^  in  61.  (19)  dargestellt.  Ausserdem  sind  /,,  «/i,  h^  durch 
61.  (2)  bekannt,  woraus  die  Werte 

«1  ==//i8«ii    Vi  ^fOi^H^    ^  «/Äi8«i 
bervorgehen. 

§.  4.    Beispiele. 

61.  (9)  wird  unabhängig  von  ^  erfüllt,  wenn  a  coustant,  und 
cosi?  «  0  "t,  ferner  für  sin«  «  0.  Hier  haben  die  61.  (13)  (16) 
keine  6flltigkeit 

Im  Falle  sino  «  0  wird  a  «  1,  &  =  0,  c  =«  ü,  und  die  Richtungs- 
grössen von  s  und  s^  einander  gleich.    Da  alsdann  auch  dr^  =  dz 


136      Hoppe:  Erweiterung  du  Aoutf sehen  PnMenu  der  Citrüenth$ork* 

Wird,  80  ronss  nach  der  ersten  Gl.  (9)  8<j  •»  8«  sein ,  mithiD  beide 
Carven  identisch  werden.    Eine  Ableitung  ist  nicht  möglich. 

Fttr  den  Fall  cos  o  »  0,  wo  ^  willkfirlich  ist,  brancht  man  av 
cos  /?  »  0  zu  setzen ;  dann  ist  er  aach  in  dem  erst  genannten  Falle 
enthalten.    Man  findet  dann: 

A /;  /i'-  -/';  h  =  i 

und  nach  Einsetzung  der  Werte  a  —  —  1,  5»c«0  indieOL  (19): 

g=0;        r  — 0 

dann  nach  der  zweiten  Gl.  (18)  aach  p  =  0.     Auch  hier  sind  die 
Carven  «  and  s^  congraent 

Sei  a  constant,  ß  =  Bj  also 

/i  = /cos  2a  4- 2  Bin  2o 

/j  =  ^sin  2o  —  icos  2« 
Tj  «  — Tcos2a-f-^8in2o 
d^  »  T8in2o-{-dcos2a 

Hier  zeigt  sich  die  Abweichung  von  den  Gl.  (13)  (16). 

Die  Gl.  (19),  deren  erste  und  dritte  abereinstimmen,  geben: 

8,^ -.8,  «  2(8dtgo— 8t) 

0  «  (|>co8o+rsina)(8dtga— 8t) 

Entweder  ist  also 

d'-=»  cot«}       8#ji=8« 
oder 

l?cosa+rsino  «  0  (29) 

Nimmt  man  hierzu  die  3  letzten  Gl.  (18)^  und  eliminirt  p  and 
d«i,  so  werden  die  4.  und  6to  identisch,  und  es  bleibt: 

ds  sin  2(v  =»  8r + 9  (8t  sin  2a + 8d  cos  2a)  (30) 

8g«r(8Ttga+8d)  (31) 

Setzt  man 

fl  «  T8ino-|-dcosa 
so  wird 

^  =  4^'«  (32) 

8«    .   n        8^5  ,     /3».       .  cos2a\  ^^ 

g^8m2«-g-^-,co8«  +  2(g^tga  +  -^^j  (33) 


}  (28) 


Hoppe:  Erweiterung  des  Anu»e sehen   Problems  der  Curventkeorie»      137 

Letztere   Gleichung   ist  unter  andern  integrabcl    für  ürcurven 
constanter  Steigung,  wo 

constant  ist.    Hier  wird 

t=<ycosA;    ^=asinA;    17  «•  <yBin(il  +  a) 
und  die  Gleichung  (30)  lautet: 

2g^8inasin(A+a)  ^  g-^,+  p,\  (34) 

wo 

,_8in(A  +  tt)8in(A+2cf)^  1      co8(2A+3a) 
'^  CO80  ""  2  2G08a 

Ihr  Integral  ist 

2 

3«-  -  8ina8in(A-|-a)(sinfi0/d«cosfitf— C08/[i<y/8«Binfia) 

daher  erhält  man  nach  Gl.  (32)  (29): 

r  -»  2Binacosa(cosfi<r/d«cosfi<r4'8Üifi<r/d«8infi(F) 
p  =«  — 28in*«(cosfi<y/8«co8f*<y+8in|»<y/8*8in^<F) 

Die  Gleichungen  der  Urcunre  sind:*) 

xa*«sinA;    y  »  cosA/dtfCOSCF;    2;  »  cosA/d«8in(F 

Zufolge  den  Gl.  (1)  sind  dann  nach  Einsetzung  der  bekannten 
Werte  die  Gleichungen  der  ersten  Ableitung: 

«j  —  «8inA-|-2Jf8inacos(A4-a) 

N 
yi  —  cosA/S«cosa  —  2sinasin(X-^a)(Af8intf-{ — sina) 

N 
«j  =  cosA/dtfsintf— 2sina8in(A-|-a)(j1/8in<j coscf) 

WO 

ifcf  =  cosfA<j/d«cos^a-|~sin|K<f/d'sinfi(F 
iV«  sin|ua/d#cosfi(F-- cosfi(7/d«sinfA(F 

Statt  die  Urcurvo  zu  spccialisiren,  kann  man  die  Gl.  (30)  (31) 
auch  dadurch  lösen,  dass  man  q  als  willkürlich  betrachtet  und  ds 
resultiren  l&sst.  Es  sind  dann  nur  /,  y,  h  beliebig  gegeben,  und  man 
findet  unendlich'  viele,  sämtlich  derselben  Classe  angehörige  ,  nur 
durch  die  Dimensionen  verschiedene  Ürcurven  nebst  entsprechenden 
Ableitungsprincipen. 

*)  T.  LVL  S.  63.  Hoppe,  Curyentbeorie  S.  72. 


138  Oekinghauai  TVantformationen  der  elliptuchen  I^nctionen 


VII. 


Transformationen  der  elliptischen  Integrale 
und  Functionen  in  Verbindung  mit  der  Theorie 

der  Kettenlinie. 


Von 

Emil  Oekinghaus. 

Erster  und  swelter  Teil. 


Die  von  Abel  und  Jacobi  in  die  Mathematik  eingeführten  ellip- 
tischen  Functionen  und  deren  Reihenentwickelungen  scheinen  in  ana- 
lytischer Hinsicht  zwar  zu  einem  gewissen  Abschlnss  gelangt  zu  seiB, 
so  dass  es  schwer  sein  dürfte,  auf  diesem  so  viel  durchforschten 
Gebiete  noch  etwas  Nennenswertes  zu  Tage  zu  fördern;  dagegen  ist 
wohl  bisher  unbemerkt  geblieben,  dass  auch  nach  geometrischer  Rich- 
tung bin  diesen  Functionen  und  Reihen  eine  nicht  geringe  Bedentang 
zukommt,  welche  die  Theorie  derselben  in  neuem  Lichte  ersehenen 
lässt 

Es  ist  eine  zunächst  durch  den  Kreis  vermittelte  zum  Zweck 
einer  geometrischen  Darstellung  dieser  Functionen  eingeflihrte  Trans- 
formation, welche  in  allen  auf  Reihenentwickelungen  bezfiglichen 
Untersuchungen  sich  als  eine  überaus  reiche  Quelle  neuer  wertvoller 
Relationen  zeigt  und  ans  dem  Grunde  zu  &8t  unerschöpflichen  Neo- 
bildungen  Veranlassung  gibt,  weil  jede  transformirte  Reihe  einer 
mehrfachen  Transformation  unterworfen  werden  kann.  Bei  der  Ab- 
leitung einer  grossen  Zahl  elliptischer  Functionen  treten  einzelne 
Reihen  von  so  rascher  Convergenz  auf,  dass  mehrere  derselben  ein- 
fachen geschlossenen  Ausdrücken  gleich  gesetzt  werden  können,  imd 
ferner  führt  die  Specialisirung  verschiedener  dieser  Formen  xa  neoeo 
Sätzen  der  höheren  Arithmetik,  worunter  einer  eine  Yerallgemeinenuig 


m   Verbindung  mit  der  Theorie  der  Kettenlinie,  139 

eines  Ton  Jacobi  unter  ähnlichen  Verhältnissen  gefdndenen  Satzes  zu 
enthalten  scheint. 

Die  eigentliche  Bedeutung  der  Transformation  besteht  aber  darin, 
dass  dieselbe  mit  der  Kettenlinie  in  einigen  Zusammenhang  tritt,  in- 
dem nicht  blos  sämmtliche  Eigenschaften  letzterer  formell  in  Reihen- 
fonn  sich  darstellen  lassen ,  sondern  auch  die  Cnrve  selbst  wieder 
zom  Ausgangspunkt  für  weitere  Untersuchungen  benutzt  werden  kann. 
Durch  diese  Verbindung  der  Analysis  mit  der  Geometrie  zugleich 
unter  Anwendung  der  Ditlerentiation  und  Integration  werden  neue 
analytische  Verhältnisse  geometrischer  Natur  gewonnen  und  auch 
teilweise  vermittelst  einer  dynamischen  Betrachtung  und  Einkleidung 
in  mechanischem  Sinne  gedeutet.  Auch  haben  wir  znr  Berechnung 
der  unvollständigeu  elliptischen  Integrale  der  1.  und  2.  Art  neue 
Reihenentwickelnngen  abgeleitet,  deren  Gonvergcnz  wohl  nichts  zu 
wflnschen  übrig  lässt.  Die  Methode  des  Imaginairen  konnte  ebenfalls 
mit  Erfolg  verwertet  werden,  wodurch  die  bekannteren  elliptischen 
Functionen  zu  neuen  Darstellungen  gelangten. 

Ebenso  wichtig  wie  merkwürdig  ist  die  Art,  wie  der  irreductiblo 
Fall  der  kubischen  Gleichungen  in  Verbindung  mit  der  Kettenlinie 
und  der  Theorie  der  elliptischen  Functionen  auftritt  und  damit  eine 
bestimmte  Verwandtschaft  dieser  Curve  mit  der  von  uns  früher  in 
andenn  Sinne  behandelten  Lemniskato  und  gleichseitigen  Hyperbel 
documentirt  Indem  wir  nun  nach  dieser  Bichtung  hin  die  Eigen- 
schaften der  Lemniskate  weiter  untersuchten,  resultirtc  eine  ganze 
Classe  neuer  eigenartiger  Gleichungen,  von  denen  die  genannten  Fälle 
der  Gleichungen  3.  Grades  die  untere  Grenze  bilden,  während  die 
allgemeine  Lösung  der  diesen  verwandten  höheren  Gleichungen  ver- 
mittelst der  Curve  in  einer  der  Cardanischen  entsprechenden  Formel 
auf  das  einfachste  und  eleganteste  vermittelt  wird. 

Zum  Schluss  haben  wir  noch  eine  geometrische  Darstellung  von 
Wurzelausdrücken  aus  den  Eigenschaften  der  Kettenlinie  abgeleitet, 
die  sich  durch  Leichtigkeit  und  Einfachheit  empfiehlt. 

Erster   Teil. 

I. 

Wir  geben  zunächst  die  geometrischen  Belationen  für  diejenigen 
Verhältnisse,  welche  aus  den  verschiedenen  Lagen  einer  um  einen 
festen  Punkt  drehbaren  Geraden  zu  einem  Kreise  hervorgehen.  Die 
Entfemuiig  dieses  Punktes  vom  Gentrum  sei  R,  der  Radius  a.  Die 
Gerade  schaeide  den  Kreis  in  2  Punkten,  welche   mit  dem  Centrum 


140  OekingkauMi  Tranaformattonen  der  elUptuckem  Functionen 

O  verbuHden  die  Centriwiakel  29>]  aod  S^s  bestimmen.  Dei  2. 
Schuittpunkt  der  Centrale  RO  (Fig.  1.)  verbinden  wir  mit  dM  ge- 
nannton Punkten  P^  nnd  P^  durch  Sehnen,  welche  yerlängert  mit  der 
Secante  RP^Pt  die  Winkel  tp^  und  tp^  bez.  einschliesaen,  endlich  be- 
zeichnen wir  noch  den  Steigungswinkel  der  Geraden  zur  Centrale 
mit  T  =  90<^—  a.  Demnach  hat  man,  wenn  die  Strecken  EPi  nnd  RP^ 
bezQglich x^  und  x^  genannt  werden  a^-^x^'^Beost  und  xfy » iZ*— o* 
aber  auch  die  quadratische  Gleichung 

1)  ««  — 2ÄC08r.«+Ä*— a»  —  0 

Die  Gleichung  für  tgg>,  welche  leicht  abzuleiten  ist,  wird  dar- 
gestellt durch 

2a  ä4-  a 

2)  t8V»-;Bir^cott.tgv  +  ^  =  0 

Da  wir  noch  die  Formen  sin  q>i  sin  9,  und  cos  9]  oosiPs  nötig  hsbes, 
so  bemerken  wir,  dass  dieselben  ans  der  Gleiehung 

2)«  tg(p*-Atgq>+B  =  0 

leicht  berechnet  werden  können,  man  findet 

Wir  setzen  nun  fttr  die  nachfolgenden  Untersuchungen  fest,  dass 
die  Winkel  ^^^^  ^^^  Amplituden  zweier  elliptischen  Integrale  der 
ersten  Art  seien,  deren  Argumente  einer  Bedingungsgleichung  ge- 
nügen, die  wir  wie  folgt  ableiten. 

Das  Additionstbeorem  der  elliptischen  Integrale  1.  Art  basirtanf 
der  Bedingungsgleichung 

cos  9>i  cos  (p2  —  sin  tpi  sin  q>2  A  (9)  ^=  cos  g> 

die  wir  nach  Potenzen  von  g>  als  Amplitude  eines  analogen  Integrali 
entwickeln  und  für  welche  demnach  die  Beziehungen  3)  aus  der 
Gleichung  2)  zu  berechnen  sind. 

'.  Man  findet  nach  einigen  Entwickelungen  schliesslich 

4)   cos w* ( - — i—  gi^-^-l.  )  —  a ^— ; ^cos tp + g*       '       —  Äfl - 0 

,   vvoy.  \8mT*  4      /  smr         ^  '  4 

deren  Wurzeln  zwei  Amplituden  und  also  auch  2  Integrale  bestim- 
men. Man  bemerke  aber,  was  für  das  folgende  von  Bedeutung  i^ 
dass  das  gleich  Null  gesetzte  Absolutglied  der  Gleichung  kein  t  eot- 

hält  und  den  Modulus  »*  «  7^-1 — r«  bestimmt    Indem  wir  also  die- 


IN   Verlnndung  mü  der  ITteorie  der  Kettenlinie.  141 

sen  Modttlsfl  hier  eiDffthreu,  wird  die  eine  Amplitade  9  <«»  90^  und 

die  2te  geht  aus 

_,  (JR— a)8iur 

5)  GO89  «   :s—. s 

hervor. 

Unter  diesen  Toraassetzungen  haben  wir  also  folgendes:    Es  ist 

J    y  1  —  «*  sin  Vi*      J    y  1  —  «*  sin  y,* 


6) 


t/yi --»*sing>i*      «/    Vi  — a^sinqp,*      J   Vi— Ä^sintp* 


oder 

7)  «4+««  '^  K^  ^2  _  __i??_-. 

Um  nun  geometrisch  alles  beisammen  zu  haben,  was  später  ana- 
lytisch verwertet  werden  soll,  geben  wir  hier  die  nachstehenden  Ent- 
wickelangen : 

Ans  7)  folgt 

daher  wird  5)  za 

22'sin  T 

and  allgemein 

9)  ^'(n^a)]/^^-^-^^., 

ferner  ist 

cosa  «' 

10)  sin  ^1  sin  g^s  =«  TUT' '        ^^®  ^  ^®  ''^  "  \ *  ^^®  " ' 

11)  cos  (9i  —  y,)  =  -  cos  er  «  ^J^  ,  cos  ff. 


Ans  9)  folgt  durch  Addition 

12) 
d.i. 

1 

^  Vi  +  ^V«- 

13) 

Die  Subtraction  dagegen  gibt 

«(!+«')  sin«. 

14)    ^9>ji— ^<p,  =  (1— /)sin (9t  -9f)  «  y(l— /)«— (l+«')co8a», 
womit  wir  noch  verbinden 


142  Oekinghaua:   Transformationen  der  eüiptiachen  fknctionn 

,-^     sinop.cosgp,       8in2a),  ,„  ,     ,       Ä+a  cos« 

wie  sich  ans  dem  Siaussatz  fftr  das  Dreieck  ROP^  ergibt 

Wir  stellen  femer  die  Formeln  fOr  smq>i^  und  sin^))'  anf^sieiiikd 

28in9>i«  -  l+fi::^/  cosa«+sina|/i  _  ^^^V^^^i^ 
2siü  tp^'*  «  1  +  j^  cos a»—  sin «|/i  —  ^ii4)'cog  a«, 


woraus 


sin  g>i*+  sin  9,*  =  1  +  t-* — ^  cos  «*. 

17)  

sin (p,«—  sin  9,»  =  sin o  ^1  _  /^i^Vß^g  ^ 

Um  (Pi  +  ^a  zu  bilden,  benutzen  wir  fttr  24,)  die  Formel 

Die  Anwendung  derselben  auf  2)  liefert  die  Relation 

18)  g>i  +  9i  -  9004-T  =  1800  —  «. 
Ebenso  bemerke  man  noch 


sin  cpi  ±  sin  cp,  =  l/^-"«'+(^+*')cQ^8«'±  2<»8« 
19)  "* 


sin  «  i:  J/ 1  —  (t3^)  cos  a* 


tg<y),  und  tgsPa  = —^-^ i d-i') 

2«cosa 

Wir  stellen  noch  die  Werte  von  sina  und  cosa  durch  tp  dar. 

.     ,         2z'    -/r—Ä^sincp^  +  l 

sin  Ä*  «  r-j — ^     y —  -----» — 

20)  

»       1— «'-/i— 2«sin<p«— «' 

cos«*  ==  rT~  / ^        — 

1+«  yi-a«8in<p«+z' 

Die  letzte  kann  auch  in 

21)  Vi— «»sin<)p«— «' 


cosa 


(l+Ä*)cosg> 


in   Verhmdutig  mit  der  Theorie  der  Kettenlinie.  143 

transformirt  werden.    Bezüglich  der  Formel   5)   föhren   wir  einen 
Hfllftwinkel  ein,  indem  wir  zunächst  dieselbe  in 


22) 
nmw 

andeln. 

»1 

/!  +  .' 

Y    . ,  COS  « 

Wir  set! 

|/..._^.„.eo9«) 
Een  demnach 

23) 

l/l  +  »' 
Kl-,'«*"«" 

tgv, 

r        A  w 

and  man  hat 

24)  -cosg>  —  tg2ij;, 

welchen  Relationen  wir  noch  die  folgende  beifügen : 

In  den  Anwendungen  werden  wir  häufig  der  Kürze  wegen  einfach  tp 
anstatt  amu  schreiben. 

Diese  Formeln  reichen  hin,  um  diejenigen  Transformationen  der 
elliptischen  Functionen  durchzuführen,  welche  in  ihren  verschiedenen 
Formen  eine  geometrische  Erklärung  der  analytischen  Relationen  er- 
möglichen. Die  oben  eingeführte  Transformation  ist  übrigens  nicht 
die  einzige,  aber,  da  alle  anderen  zu  denselben  Zielen  führen,  haben 
wir  die  hier  angewandte  wegen  ihrer  Einfachheit  und  Leichtigkeit 
besonders  ausgewählt. 

Der   in   der  Theorie  der  elliptischen  Fnnctiznen  angewendeten 

Transformationen  werden  wir  uns  ebenfalls  gelegentlich  bedienen  und 

1  —  a' 
bemerken  demnach  an  dieser  Stelle,  dass,  wenn  z  durch  rx-r,  fer- 

ner  u  durch  (14^/)«  ersetzt  wird:  K  sich  in  Hl-\'z')K  und  q  in 
^  verwandelt    Ebenso  werden  wir  die  bekannten  Relationen 


^am(ir— tt)  =  2 


z 


amu 


<w>v  -        ftr      \      cosamn 

26)  sm  am  (JT— «)  =  -7 


amti 


«'sin  am  u 


co8am(ir— I»)  =-  —3 

häufig  benutzen. 


144  Oekinghaus:    Transformationen  der  eUiptischen  Functionen 

Das  darch  die  Amplitude  tp  definirte  Integral 

^r   _^y_ 

/   yi--»*8in9^ 

hat  übrigens  eine  leicht  anzugebende  dynamische  Bedeutung,  wie  aus 
unserer  Abhandlung  über  die  elliptischen  Integralfunctionen  bezüg- 
lich der  Anwendung  letzterer  auf  den  Kreis  gefolgert  werden  kann. 
Mit  Hinzunahme  einer  Constanten  bedeutet  es  die  Zeit,  welche  ein 
schwerer  Punkt  zur  Zurückleguog  des  Bogens  P^A  gebraucht,  vor- 
ausgesetzt, dass  die  entsprechende  Sehne  stets  durch  einen  festen 
harmonischen  Punkt  des  Kreises  geht. 


II. 

Wir  benutzen  jetzt  die  entwickelten  Formeln,  um  dieselben  anf 
die  ReihenentwickeluDgen  der  elliptischen  Functionen  anzuwenden 
und  letztere  zu  transformiren.  Die  daraus  hervorgehenden  Beihen 
haben  den  Vorzug,  dass  sie  eine  stärkere  Convergenz  besitzen  und 
eine  geometrische  Deutung  zulassen,  die  für  die  weitere  Untersuchung 
von  Wert  ist.  Bei  den  folgenden  Darstellungen  haben  wir  nun  za 
beachten,  dass  stets  ui-}-^  '^  ^i  ^o  K  das  vollständige  elliptische 
Integral  der  1.  Art  bezeichnet  und  W]  —  t^  =  u  ist,  worin  das  Argu- 
ment tt  sich  anf  die  Amplitude  9  »  amn  bezieht,  während  die  an- 
dern UiU^  durch  die  Amplituden  tpiff^y  wie  sie  in  der  Kreisgieichung 
2}  erscheinen,  definirt  werden. 

Wir  wählen  zuerst  die  folgende  Reihe 

27)  9«amu«2^+j:p^sin-^  +  2j^p^8in-^ 

1     2g»     .   33fu 
+"31  +  5«"^  K    •••' 

und  bringen  mit  dieser  die  aus  18)  hervorgehende  Relation 

IC 

28)  amui  +  amt»,  =•  ä-J- ^ 

in  Beziehung.  In  der  Reihe  setzen  wir  zuerst  u  =  u^  und  dann  «  % 
und  addiren,  indem  wir  beachten,  dass 

srnrnttj-J-sinrnttj  —  2sinrt  (wi+M8)C0S2-  («i— wj) 
ist.    Die  Glieder  mit  geraden  Potenzen  fallen  aus,  und  man  bat 


^^  4^"^r+7-^^*2]^"31+7«'^'2JP  +614^«^^ 


m   Verbindung  mit  der  Theorie  der  Kettenlinie.  145 

Vermöge  des  Wertes  von  r  aus  20)  haben  wir  demnach 

1        .   \/A—%  1— g'       _5 «tt       1      g^  3«M 

30)  4arc8mj/^^^,  j^^,  "  1+ 5«^^^2Jf  ""  3  1+ ^«^^^2^: 

_i_  ^     g^  5«tt 

+  5l4LgioC08  2^—  ... 

Ersetzt  man  u  dorcb  JC— u  and  ^  durch  -^  ^  resnltirt 

o,x    1        .   l/l  -^1—7         g       .   jrti  ,   1      ^       .   3«tt 

31)  -arc8inJ/j-:p^j^p^,«j^;^sm2]^+3^ 

,    1      g^       .    5?m 


Wird 


«  «  IT  und  7  *"  2  S^s^^^i  so  kommt 


32)  iarc8mo:-7«rl— 2"--^fdl-.-G  +  ^ 


4~"""1+«'       1  +  g^      3  1+3«^5  1+g^o 

Ersetzen  wir  hierin  %  durch  ^  ,     ,   und  g  dnrch  q*,  so  verwan- 
delt die  letztere  Gleichung  sich  in 

«)    jarc8in^j_^^^,j   -  1  +  ^4- 3  1^^^*+ 5  l+giö--    •• 

Die  geometrische  Bedeutung  dieser  Reihen  werden  wir  später  an  der 
Kettonlinie  nachweisen. 

Erinnern  wir  uns  nun  der  Formel 

1+2' 

cos (yi  —  72)   ^  \Zli ^^^ "• 

worin  ^x  —  ^%  "^  amt»!  —  amt«a  zu  einer  neuen  Transformation  An- 
lass  gibt,  so  verschwinden  in  der  entsprechenden  Reihe  die  ungeraden 
Stellengieder,  und  man  hat  zunächst 


also 


nu       1      4g*      .    nu      \      4g*      .    2nu 


«..     1  1/1+«'  ^  — »'        nu       1       g*       ,    nu 

34)    jarccos y  j^-,  ;j:p^,  -  g^-  2  j^--, sm  ^ 

,1  g*  .     27ltt 

woraus  wie  oben  folgt 

Aiclu  d.  Ibth.  n.  FkTs.   2.  BeUie,  T«U  IL  10 


146  Oekinghausi  Transformationen  der  eÜipHsehen  Functionen 


«ex      1  .    lA+^'  1  —  ^        »tt    ,    1      5« 

35)     4arc8inJ/j^^,^^3:^«g^+2j3-iSin 


nu 


BezQglich  der  Reihe  30)  kann  man   den  nnter  23)  bestimmten 
Hfllfswinkel  ^  benutzen  und  man  hat 

««V     .  l/l+»'   .    y    «  «u       1     ^5  3»w  ,      \ 

36)     tg*  =  J/j-:::^8in4(^j^;p^co8  2^~3j^j^ 


cos  9  =»  -tg2^. 


Für  ein  gegebenes  «*  =  /     .-  =^  l&sst   sich   hieinach  t 

t/    yi — «*sin<jp* 

and  damit  die  Amplitnde  g>  berechnen. 

Man  kann  die  gefundenen  Reihen  noch  leicht  vermehren.   So  ist 
gemäss  29) 

_     1/^+1     2a'  y    <z  «tt      1    g3  3jja         \ 

Wir  setzen  hierin  zuerst  u  gleich  u^  und  darauf  »  u^,  dasselbe  gelte 
fQr  ^.    Beide  Ausdrücke  multipliciren  wir  und  ersetzen  2cosilcosü 

durch    co8(.4-|-ß)+cos(^---ß),  das  Product  -fi~  *  'T'JTf  ^^ 
gleich  —  und  das  schliessliehe  Resultat  ist 

««V  4V«'         M  iJ    <l        nu  ,  1    q^        3«tt     1     g^        OTTO 
38)  iq:^7=cos4y2^j:^-,co8j^+3i^:-6C08^-5i^^ 

1      q^         Inu     \ 

7  i+^w^^^ii:  •  / 

+cos4y  2^^-_^-^^m  j^-3  j::f:^e8in  j]^-  -5  f+^^^iJ 

,   1  _  ?'_  .  7«tt   \ 
"*"71-h""°4ir'/ 

In  ähnlicher  Art  folgt  aus  der  Reihe 

am     l/^  — «'  1  — «'  '    Af    1  JTtt       1      g*  3Äti      \ 

^^)     K  ^+7  1  + ,'  "=-  «'^Hl +g»  ^^'  2]r-~  3 1  +  g«  ^'  2if    ■  >/ 

die  nachstehende,  die  analog  der  vorhergehenden  auch  in  ein  Pro- 
duct zweier  Sinus  transformirt  werden  kann: 


in    Verbindung  mit  der  Theorie  der  KeUenUnie,  147 

40)    _2l^[/g5«- 

A  /o/     (Z      .    JIM      1    g3     .    3äu      1    5^      .    5fftt  ,      \ 

m. 

Die  elliptischen  Functionen  leiten  ferner  die  folgende  Reihe  ab 

41) 

.  n    ,  2jr/   q  'f«  •      9*      ,  2»«         g*         3«tt  ,      \ 

^»"'— 2^+Ä  li+?<^««jf +i+i*+  ä" + 1+?^"^+  "T 

Um  dieselbe  zq  transformiren,  benntzen  wir  die  Formel 

^/amui-f-^/amu,  =  (l+a')8inff. 

Führen  wir  hierin  den  Wert  von  sin«  ans  20)  ein,  so  ergibt  sich 
wie  früher 

42)    iK^^'C^+'^J^?  =  ]fV4-i4=?'"'jf +  iT?'°'''^— -J  • 
«)    #2(l+*')if:ä=  ^4+4^co8^+j?:^co8^+...). 

Aus  der  ersten  dieser  Gleichungen  lassen  sich  mehrere  Special- 
formen ableiten,  deren  eine  wir  wegen  ihrer  Wichtigkeit  besonders 
hervorheben. 

Wir  setzen  wieder  9  -==  90^  und  iT  =«  m,  es  folgt 

44)  i+«'=-j(i+i$^+rf^+.-> 

Femer  wird  für  qp  «  0 

Ziehen  wir  diese  Gleichung  von  der  obem  ab,  so  erhält  man 

46)   (i_v,')*  =  f(r:^^  +  i:^.+  I^i.  +  ...). 

Entwickeln  wir  nun  die  Ausdrücke  in  der  Klammer  nach  Po- 
tenzen von  g,  so  resultirt  zunächst  folgendes. 

10« 


148  Oekinghaus:   Transjormaiionen  der  ellipiucken  Functionen 

47)     d-V«')»  =  ~(q'i-2q^0^q^S^2g^^  +  2q^  +  ^  ...). 

Eine  genauere  Betrachtung  der  Beiho  zeigt,    dass  dieselbe  das  Qua- 
drat einer  zweiten  ist,  so  dass  man  hat 


48) 


^-a^^^(^+^'+^''+^''-) 


2 


Die  Berechnung  von  K  nach  dieser  Formel  ist  wegen  der  ausser- 
ordentlich starken  Convergenz  der  Reihe,  die  vielleicht  von  keiner 
zweiten  mehr  erreicht  wird,  sehr  leicht,  da  schon  das  erste  Glied 
hinreicht  um  eine  Genauigkeit  bis  q^^  herbeizuführen.  Man  hat  also 
mit  grosser  Genauigkeit 


49) 


(i-y^r 


Andere  Reihen  sind  nach  dem  Vorstehenden  leicht  zu  gewinnen, 
so  ist 

Setzen  wir  in  42) 


n 


also 


so  kommt 


K 
2' 


K 


z/  am  s-  ==  V«', 


51)  y^(i+«')V«'  =  J(i-i^«+i^o-r$^..> 

Führen  wir  auch  hier  die  Reihenentwickelungen  durch,  so  resultirt 


n 


52)    y2(l  +z')  yz'  ^  i?(l-45*+438+45^6-  V0^g«~4<?^  ...) 


oder 


K 


jt 


53)     y2(l  +  z')-]/z'  «  -^,(1  -2(z*-f  25'6-2g»«+22"  ...)2. 

Während  also  die  Exponenten  der  Reihe  48)  durch  die  2.  Po- 
tenzen der  ungeraden  Zahlen  bestimmt  werden,  gilt  dies  bei  der 
vorstehenden  für  die  Geraden  Zahlen  der  Zahlenreihe. 

Eine  weitere  Transformation  der  letzten  Formel  ergibt  noch 


54) 


n 


2yz 


1  (1  -  2q*  +  2q^  -  2q^^  f  2^*2  . . .)« 


in   Verbmdung  mit  der  Theorie  der  Kettenlinie,  149 

Vergleichen  wir  diese  mit  der  bekannten  der  elliptischen  Func- 
tionen 

so  erhalten  wir 

.M  ,/  f  -  (1  ~V  +  2g«-2g»+  .  J* 

oo;  V;^   —  ^^2(z  +  2/H- 22«+. ..)*"' 

nnd  da  bekanntlich 

,,  ^  ,/  .       l-2g+2/z^~2r/ 

so  folgt  aus  den  beiden  letzten  die  für  die  Zahlentheorio  wichtige 
neue  Relation 

56)      (1— 2g+25*— 25^..)(l+2<z+2^-f2(z9...)=(l— 2<?»+2(z«— 2/?«...)* 

Das  Product  zweier  Reihen  von  vorstehender  Bildungsform  ist  dem- 
nach das  Quadrat  einer  dritten  von  analoger  Art.  Wir  geben  nach- 
iier  eine  Anwendung  davon. 

Wir  bemerken  noch,  dass  eine  Transformation  der  Formol  48) 
die  folgende  bestimmt 

Unter  Benutzung  der  Formel  14)  bilden  wir  eine  neue  Reihe  für 
J^j  —  zf yj  und  es  wird 

o8)    (l-y)sm(ip,-9>8)  -  ^- (^q:^, sin g^- j^^esm 2k   -)* 
d.  i. 


59)    Va— a')*— (l4-»')*C08o« 

4»/    j5^ .     TTtt  (2^  .     3'"^"        \ 

^  F  UT?  ^^^2Ä:"~  1  +  ^  ^^  2K  '"  }' 

Man  kann  hieraus  die  obige  Reihe  für  K  direct  in  anderer  Form 
ableiten,  wenn  a  »  90^  und  u  »  JT  gesetzt  wird,  es  folgt 

60)       1«/=  ^Ir+^+r+^+iT^z''"*"'*  / 

Führt  man  in  der  vorletzten  Reihe  für  cos  a*  den  Wert  aus  20) 
ein,  so  entsteht 


150  Oekinffhaus:  Transformationen  der  elUptUehen  Fkmtiionm 

61)    J/2.'(1-/)J^- 

4»/    g        ,   Ttu  g*       .   3«tt  ,       fl*       .  5«tt 


j g^_  .  5»*    \ 


oder  transformirt 


62)  j/aa-,')^^- 

4»  /     g  3fM*  g^  Sfftt  g*  össu     \ 

jf  \J+^^^^2K'^  l  +  q^^^^^K"^  l  +  ^^'^^^M   "] 

welche  den  Reihen  in  42),  43)  entsprechen. 

Dieselben  können  wiederum  vermittelst  einer  Addition  oder  Snb- 
traction  transformirt  werden,  wenn  wir  beachten,  dass  unter  der  Vor- 
anssetzungi^-f-*^^^  die  Belation  ^<p^dff^-^  z*  besteht  Es  kommt 
also  diese  Umwandlung  darauf  hinaus,  den  algebraischen  Ausdruck 


auf  die  geeignete  Form  zu  bringen,  die  durch  die  obige  Relation 
wesentlich  vereinfacht  wird.  Man  findet  unter  Benutxong  von 
<Jj  -j-^2  =  (1  +«')  sin  a 

63) 


^  r     /^  1-f-sma 

8«/    g^       .   «a  g^       .   3»»  ,      \ 

K  \1  +g*  ^^2K  "■  1+g»« ^^^2K  +  "'  j 

(i+y«')j/: 


(l+g08ina+2Vg^  ^ 
l  +  sin« 


2«       8?E  /     g*  «ti  g® 

Ä'-  -  F  lr+?<'«''F- 1+^«««' 

Vermittelst  Differentiation  lassen  sich  aus  den  gegebenen  Rdbcn 
mehrere  neue   ableiten.     Dasselbe  ist  der  Fall,   wenn   wir  die  mit 

^  «  M  mnltiplicirten  Glieder    iütegriren.    Wählen   wir  zu  diesem 
Zwecke  die  Reihe  42),  so  muss  demnach  das  Integral  der  Reibe 

gesucht  werden. 


r 


in   Verbindung  mit  der  Theorie  der  KeUeuUnie.  151 

Wir  sabsütnircn  zsintp  «  sin  4;,  bezeichnen  darauf  cos^  durch 
y^  und  das  Integral  wird  demzufolge  zu 


/; 


dy 


(»'4-y)V-«'+li+«')y-/ 

Führen  wir  noch  ein 

1+z 

-2 — y  =  *» 

so  wird  letzteres 

€lz 


Nach  bekannten  Methoden  führt  das  Integral  auf  einen  arctg  mit 

n 
der  C  -»  ö  ^"^  ™^^  ^^^ 

1/1 4-«'  d—z' 
oder  nach  einer  einfachen  Umformung 


65)     4arctg^j:j:-^^-__-,- 

«u       1      q'       .    ^1^  1       g*       .    2«» 

Man  kann  hierin  «^  ^^^  o  ^  ^  =  Vz'  einführen,  schreibt  man  als- 

1  —  z 
dann  anstatt  z'  und  q^  bezüglich  ^^^^  ^^^  Qi  so  erhält  man 

arcigy»  —4-1^,^8-1-3  i+^^^ö  1  +  5W  +  --' 
oder  aoch 

1  -y/  _     2g         1  _V_      1     2<z« 

b6)       arctgj^^^,  — ^_^^,-3  1  +  ^6+5  1^^10 

welche  fOr  2' »  0   und  9  »  1   in  die  Leibnitz'sche  Reihe  übergeht. 
Die  vorstehende  konnte  auch  aus  32)  entwickelt  werden. 

Erinnert  man  sich  der  aus  den  elliptischen  Functionen  bekannten 
Formel 


152  Oekinghaus:    TrtMsformationen  der  eWpdtdien  Fundionen 

so  resultirt  ans  den  beiden  letzten  noch 

2g+2g^4-2g»—  ... 23 1    23» 1     2g^ 

^^^l  +  2^+2q^^  +  ...  ~l+g«      3  l+2«"T-5  1+510-  • 

Eine  weitere  Entwickelnog  der  allgemeinen  Beihen  kann  ver- 
mittelst der  Relation 

arctgaj  +  arctgy  =  arctg^~ 
geschehen.    Demnach  erhält  man  2  neue  Beihen  and  zwar  zwUkbst 


1  ,,♦„    1    i/»a+«')8i"«4-2v«^ 


8  ■"  1^3*  ^^®  2JS:+  3  T+p  ^®  2Z  +  *••' 


welche  in  aresin  transformirt  znr  folgenden  wird: 


^n.     1        •    1— V«'  l/l— sing 
67)    jarcsrnj^p^^j^p^j^ 


und  ferner 


5*  nu       1      g^  3ff«  , 

1+^  ^^®  2*-""  3  1+7«  ^®2Z  +  ••' 


1  1+V»'  1/1  — sina  _ 

68)    jarccosj^^^,  K  1+li^  "" 

8jr    2  i+gs  ®^^i:  "»"i  i+g>«^"^  k 


nu       1       g^       .    ff«  ,    1        g*       .   2»» 

I ^ — 8m-= ... 


Man  bemerke,  dass  in  den  letzten  Reihen  der  Aosdnick 


r  l+srno      ^* 


+1 
ist,  aas  den  Formeln 

tgtf»  =  (/jl,'8int 
nnd 

cosop  —  — tg2tf» 

erhält  man  also  bei  gegebenem  Argument 


"=/ 


yi+»*sin9)^ 


in   Virbindunif  mit  der  Theorie  der  Ketienlinie.  153 

mit  Hülfe  der  genannten  stark  convergirenden  Reihen  die  gesuchte 
Amplitude  9. 

Die  beiden  Reihen  61)  und  62)  geben  Veranlassung  zu  der  Dar- 
stellung von  tgamtf.  Dividiren  wir  die  erste  durch  die  zweite,  so 
erhalten  wir  als  Quotienten 

69) 

_  q        .    nti          q^  _   .    2nu          ?*.  _    •   ^^** 
1     il^qi ^*"*2Ä~"  1  -F(z6®*^  2K  +1 -f^To^n  2K 
tgam  tt  =-7 . ö i,- jF ^ 

z      q  '"*_i       T  öTiu  g^  bnu 

fq:  ^i  ^^^2k'^  1 +q^  ^^^  2K + i+7öCos-2^  +  .  . 

Mnlüpliciren  wir  dagegen  die  beiden  ReiiJion  42),  43)  und  trans- 
formiren  das  Product,  so  folgt 


70) 


,  ,K^       /  4<7  Ttu  ,      4<7*  2nu  \ 

^^  -  (1  -  r+./'^'2K+T+^^'''  2K—') 

/  4^  nu         4q^         2nu  \ 


IV. 

Die  folgenden  Untersuchungen  ttber  die  wichtigeren  Rcihen- 
cDtwickelungen  der  elliptischen  Functionen  werden  einige  neue  Sätze 
zur  Zahlentheorie  zu  Tage  fördern,  welche  denjenigen  Relationen  ent- 
sprechen, die  Jacobi  unter  analogen  Verhältnissen  zuerst  gegeben  hat. 

Wir  fahren  in  unsern  Reihenentwickelungen  fort  und  nehmen 
zum  Ausgangspunkt  die  Reihe 

71) 

K'-E     ^/^W     «  ««*!     V         2;ru   .        \ 

sm  am  u«  -  -^^-  2  [^)  ^TT^cos-^  +  f^y^cos-j^  +.. .  j 

Zur  Transformation  benutzen  wir  die  in  I  gegebene  Resolution 

1  +  a' 
sin  q>j^ + sin  flPg*  «  1  +  < 7  cos  a* 

und  unter  Benutzung  des   bekannten   Wertes   von  cosa'   aus   20) 

haben  wir 

72) 

Vi— g»fliny»     ^K-E  ^  J  äW    2ql_      nu       4^     2w  \ 
Geben  wir  ferner  von  der  Formel 


154  Oekinghnua:   TVani/ormationen  der  elliptischen  Functionen 

sm  ^j* — sin  g>2*  =  sin  uy  1  —  .^_  ,.,  cos  «* 
«u,  10  findet  sich 

73)    sin  «  j/l  -  (f37)*cos  o»  = 

woraus  nach  Einsetzung  des  Wertes  von  sin  a*  und  cos  a^  sich  ergibt 

Als  spccieller  Wert  für  g)  «  0  nnd  m  «»  iT  folgt  hieraus 
'*'  4\n;y        l-g*^l-g«+l~gW^  •• 

Führen  wir  in  der  vorletzten  Reihe  für  J  und  sintp  die  ent- 
sprechenden Transformationswerte  ein,  welche  der  Bedingung  u^K—u 
genügen,  so  findet  man  noch 

-  _.        cos  <p        _  /  Ä  \ «/      g  nu    ,      3g«  3««  ,       \ 

^7)      i  +  :S  =  2^^j^j:^^,cos2j^+i356Cos^ 

Die  Beihe  72)  kann  nochmals  transformirt  werden,  indem  der 
Ausdruck  -7-7  ^  ±  -rr^v^  leicht  angebbar  ist.  So  findet  man  die 
beiden  Beihen 

(1  — »')'        ,    ,    ,,      2£  ,  16«V    g*  Jftt  2g«  2»» 

76) 

r  (1+7)  ~  ^^^  "*    o/«\v  2*   .  «**     V   .3»!»,  \ 

1+ün-a ®U)  VT^g^'''^2]8:-r=^»«^'^  2^  +  '  7 


Aus  der  ersten  gewinnen  wir   für  «  «  o    ^^d  «  «  Ä'  eme 
rasch  convergirende  Reihe  zur  ßerechuung  von  E  nämlich 

„  E      (14-»')»     8«^/'    g*    ...     V     I     V      \ 

nnd  ebenso  geht  ans  der  zweiten  eine  Beihe  für 


in   Verbindung  mit  der  I%eorie  der  KetUnlinie  155 

*^'        VW     (i-»')*\i-2*^i— 3""'"i-a«'"'""7 

hervor.     Vergleichen  wir  mit  dieser  die  in  57)  abgeleitete  Reihe, 
nachdem  dieselbe  mit  2  potcnzirt  worden,  so  daas  man  hat 


\4» 


i)  -  (Tr7ji(l+9*+4"+9"...)*. 


80  folgt  die  Relation 

g*      ,      3g«      ,     5g'0 


79) 


i±7+rif^r2+f±^2ö+.  • -- 9«a+«*+3^'+2»*...:*. 


Diese  interessante  Relation  können  wir  mit  der  Zahlentheorie 
in  Verbindung  bringen,  wenn  wir  eine  kleine  Umgestaltung  mit  der- 
selben vornehmen.  Wir  dividiren  beiderseits  durch  q^  und  setzen 
darauf  q^  ^  x.    Es  entsteht  dann  folgende  sehr  bemerkenswerte  Formel 

80) 

(l+x»-|_a.34.«6^a.io+a.i5+aj"...)S 

deren  Bildungsgesetz  leicht  ersichtlich  ist.  Die  Exponenten  der  letzten 
Reihe  sind  die  Trigonalzahlen.  Bezüglich  der  zahlentheoretischen 
Bedeutung  dieser  Doppclreihe  erinnern  wir  an  die  Darstellung  einer 
ähnlichen  Reihe  in  der  „Theorie  der  elliptischen  Functionen"  von 
Dor^ge,  wo  in  §  66.  der  Satz  Jacobi's  abgeleitet  wird,  dass  jede  ganze 
Zahl  die  Summe  von  4  Quadraten  ist.    So  ist  z.  B. 

105  =  l«+22  +  6«-f  ß*  -  2«+4«  +  6*-f  7«. 

Wie  aus  der  2.  Reihe  hervorgeht,  sind  die  Exponentm  nichts 
anders  als  die  figurirten  Zahlen  1,  3,  6,  10  etc.  Demnach  ergeben 
sich  auch  hier  Beziehungen  zwischen  denjenigen  ganzen  Zahlen,  welche 
die  Exponenten  der  einen  Reihe  und  denjenigen  ganzen  Zahlen,  die 
die  Exponenten  der  anderen  Reihe  bilden. 

Bei  Ansicht  der  2.  Reihe  bemerkt  man  sofort,  dass  die  4.  Potenz 
derselben  aus  lauter  Gliedern  besteht,  bei  denen  jeder  Exponent  die 
Summe  von  4  ügurirten  Zahlen  ist  und  die  1.  Reihe  ergibt  ohne 
weitere  Untersuchung,  dass  sie  sämmtliche  Potenzen  von  x  enthalten 
wird.  Hieraus  folgt  der  neue  Satz,  dass  jede  ganze  Zahl  die  Summe 
von  vier  figurirten  Zahlen  der  1.  Ordnung  ist. 

FOr  jede  ganze  Zahl  h  besteht  also  die  Relation 


156  0€ktngkau$:  ThMu/ormationen  der  elliptischen  Fktnctionen 

wobei  wir  bemerken,  dass  h  auf  inehrfoche  Art  aas  jenen  bestimmten 
Zahlen  gebildet  werden  kann.    So  ist  z.  B. 

141  «  1  +  214-284-91  =  3-f- 154-454-78, 

während  die  Quadrate  für 

141  =  1«  4- 2«  4- 6«  4- 10«  =  2« -1-3*  4- 8«  4- 8« 

sind.    Ebenso  können  die  /i,  /'s,  /'s,  fi  irgend  vier  gleiche  oder  ver- 
schiedene  ganze  Zahlen  oder  auch  Null  bedeuteu. 

Der  soeben  entwickelte  Satz  über  die  Trigonalzahlen  ist  demnach 
ein  Analogen  zu  dem  von  Jacobi  gegebenen  Satz  über  die  Quadratahlen. 

Indem   wir  wieder  auf  die    allgemeinen   ReihenentwickelungeD 
zurückgehen,  benutzen  wir  ferner  die  Formel 

81) 

sinv«""*      K    +4^:'*".   «u«""/r«\l-««^^V  +  l-(?*^^   K'"] 

™2Z 

Die  Transformation  derselben  lässt  folgende  neue  Relationen  ent- 
stehen:   Durch  Addition  folgt 

82) 


i^A         K—  E  .     n^       1        ,  4«Y    9*  ^«*        V         2««  \ 


^^'2Är 


Durch  Subtraction 

83) 

sm 


2» V sing)       ««^'"2JS:      ,»«/«*      •   ««*        V     .  Sau   \ 


^<>8  2ir 


84) 


Wir  setzen  in  der  ersten  »  ■*  s" '  *^®^  "^  "^  ^*'»  ^  resultirt 
««  jir>-^  ,  n«    ,  4»V    2g«         _V!_    1         \ 

i-V»' z     '■z«+z«Vi-(z*"'i-«**'^"  / 

welche  sich  ebenfalls  zur  Berechnung  von  E  benutzen  Iftsst   Dem- 
nach ist 

welche  Reihe  sich  durch  starke  Convorgenz  anszeichnet 


in   VerbinduMf  mit  der  Theorie  der  Kettenlinie,  157 

In  der  Theorie  der  elliptischen  Integrale  werden  Reihen  zur 
Berechnung  von  Fip  und  Eq>  entwickelt,  welche  nach  den  Sinns  von 
%  2qf^  etc.  fortschreiten  und  demnach  zu  einer  Transformation  nach 
der  bisher  angewandten  Art  wohl  geeignet  erscheinen. 

Da  dieselbe  keine  Schwierigkeiten  bietet,  so  überlassen  wir  die 
Umwandlung  beider  Reihen  dem  geneigten  Leser. 

V. 
Auch  die  Beihenentwickelung 

sinamucosamu 

^i/amu 

86) 

lässt  sich  mit  Hülfe  der  Formeln  in  I)  leicht  transformiren. 
Man  findet 


oder 


87) 


cosa         An  (     q  nu  q^  Steu    ,      \ 

\/A — ä'       An  (     q  nu  cfl  3nu   ,       \        _ 

K^7  =  7^(rr^*=«''2^-r^«~''2Z+-j  """* 


welche  mit  früher  abgeleiteten  in  Verbindung  gebracht  werden  können. 
Setzt  man  in  der  ersten  u  »  0,  ^  »  1,  und   ersetzt  darauf  e' 
durch  r-i  "'  ^  ^^^^  i(l+«')-K,  so  kommt 

Wie  wir  nachher  zeigen  werden,  sind  die  obigen  Reihen  für  eine 
durch  die  Kettenlinie  vermittelte  geometrische  Erklärung  der  links 
stehenden  Ausdrücke  von  Wert. 

Ebenso  lässt  sich  die  Reihe 

89) 

+  ••) 


n  z'        2nfq  nu  ^  Znu 

;ii^iÖ%^^'^'K\r+~q^^^2k''l+i^^^^  2K 
2if  cos  2^ 


158  Oehingkaus:  TVantformaiionmt  der  elUptUeken  Fwictionen 

mit  Erfolg  verwarten ,  weun  man  die  zur  Transformation  des  Aas- 

dmckes 

1 I 1 cosyi+cosyg 

cos  am  1*1  "*"  cos  am  u         cos  9,  cos  ip^ 
nötigen  Werte  mit  Hülfe  der  Formeln  in  I)  berechnet. 
Es  kommt  schliesslich 
nu 

2n  / q  nu  ^^     g^  ^nu         ^         bnu 


r^  Inu 


cos 


1  +  «^        4^ 


+  •••) 


Ist  tt  «  0,  so  folgt  wegen  coso  =r~i — '» 

i-f-Ä 

90*) 


Wir  dividiren  die  Reihe  darch  die  ähnliche  in  III  53)  and  man 
findet 

^^^        ^  "^  (1  —  2g*+  2r/»ö  —  22»«. .  .)* 

oder  wegen  55«) 

Schreiben  wir  diese  Gleichung  noch  einmal  nnd  setzen  —  «2^^ 
9,  so  erhalten  wir  durch  Moltiplication  beider 

92) 

V   /'l  O.     2«      .     V  2gö  2g7  \ 

«  (1  — 2s*4-23>ß~2fl86+2g«*...)* 

Man  wird  bei  genauerer  Durchsicht  dieser  Relation  bemerken, 
dass  dies^be  mit  dem  früher  angefahrten  Satz  von  Jacobi  in  gewis- 
sem Znsammenhang  steht.  Fflhrt  man  nämlich  g^  «  (c  ein,  so  ent- 
hält die  4.  Potenz  die  Quadrate  der  natürlichen  Zahlen  als  Exponen- 


in   Verbindung  mit  der  Theorie  der  Ketienlinie,  159 

ten,  während  das   traosformirte   Product   alle   ganzen   Zahlen  als 
Exponenten  enthält. 

Die  letzte  Reihe  können  wir  wieder  durch  eine  andere  ersetzen, 
wie  Oberhaupt  die  Bildung  der  Reihen  eine  fast  unerschöpfliche  zu 
sein  scheint  Denn  wie  an  einigen  Beispielen  gezeigt  ist,  kann  jede 
transformirte  Reihe  der  elliptischeu  Functionen  wieder  transformirt 
werden. 

Benutzen  wir  die  bekannte  Reihe 

2k)  "^^^ 

93) 

zu  unserer  Transformation,  so  hat  man  zu  beachten,  dass 

_j_._i i_ 


cos^^-     cos  2-^       cosgjj. 

ist.    Daher  folgt  nach  einigen  Rechnungen 

,,,       zA    K^              1  2fl«  nu  .      V         2nu 

94)     ^  —\  =» i  — r-T~icos  -i^  +  i"  r~i cos -«r  — ... 

4cos2^ 
woraus  f ür  u  ==  0 

-^^^  «»    '"4"'i  +  g«"'l+7'"l  +  g«"*"''' 

Nun  haben  wir  in  54)  die  Reihe 

y^^'J«  ^(l-2g*+2g«-2g»«+...)« 

abgeleitet    Das  Quadrat  derselben  ist  aber  gleich  der  Reihe  95),  so 
dass  man  hat 

also  aach 

96) 

Setzt  man  hierin  —  x  statt  x,  so  erhält  man  die  oben  erwähnte  Reihe. 


162  Oehinghaus:  Transformationen  der  elUpiUchen  fknctione» 

VI. 

Für  die  folgende  Untersachaag  beschäftigen  wir  ans  mit  der 
Reihe  für  £(amtt),  welche  bekannt  ist  unter  der  Form 

103)   js;(amt«) «  -^^+Y yT^'^^^Y'^  T^^^^T  +  ^ ) 

wobei  wir  die  Relation 

^Vi  d:  ^9>9  =  Etpjzz*  sin  <p^  sin  q>^  sin  <p 

benutzen  werden.    Bezüglich  des  Ausdrucks  sin  9>^  sin  92  erinnern  wir 
an  die  Formel  15). 

Die  Addition  würde   auf  ein  schon  bekanntes   Resultat  hinaus- 
kommen, die  Subtraction  ergibt 

1fu^     JT«       g*8in<pcosy 
104)    Eq> ^qzv"" 

.    E         4:71  /     q^       ,    nu  g*       .    2»»  ,      \ 

Auch  diese  Reihe  lässt  eine  nochmalige  Umwandlung  zu,  wenn 
wir  berücksichtigen,  dass 

sinyjcosy^   ,   sin  92  cos  q>^ 

^2Sin2y|  ±,dj^  Bin2y2+g78in2yt  J:8iP2yt) 

^  2«'(1 +»')(!  + sin  ff) 

ist    Da  aber 

sc,  ^        ^    .  o  «  sin  2<Pi  sin  2^^2  . 

SO  ergibt  die  Berechnung  für  das  obere  Zeichen 

s^sin^^sin^s 

2  +  (l  +  /).sina  Sn  /    o«  nu  q^  3»«     \ 

*"  TTH ' ^ COS a—  -TT   [  z 1  COS  ^w-  —  ii TjCOS  nv  "'  I 

(1  +  Sin  a)  K    \1  —  g*       2K      1  — g"       2  A     / 

welcher  Ausdruck  schliesslich  in  die  folgende  Reihe 


105)  (i-«Yi:|-Hi-x-Ci=?'»»2i-i=v«*^'2Z+-j 

übergeht.    Man  sehe  über  die  Anwendung   derselben  die  Formelo 
68)  in  III.  nach. 

Indem  wir  femer  das  untere  Zeichen  berücksichtigen,  folgt  nscit 
einigen  Umwandlungen 


in   Verbindung  mit  der  Theorie  der  Kettenlinie»  163 


106)  ^  =  tgv(y^+7-(/??^±^) 

+  x^-- ^"  vr=7  «^^  F -- r:=7"«""'x"  •  •  j- 

Eine  neue  Reihe   ergibt  auch  die  Sabtraction  der  Gleichangen 
104)  and  103) 

K   g«  sin  y  cos  y       g(l+g)'  ._  ggti  ,   g»(l— g*)«_,_^2jitt 

deren  Bildnngsgesctz  klar  ist.  Ebenso  ist  für  spätere  Untersachnngen 
der  Differentialquotient  von  104)  von  Bedentang.  Man  findet  nach 
einigen  Rechnungen 

1  4-  »'^ 
E       4»»/    q^  nu        2g^  2nu         3g«  3««      \ 

Es  lässt  sich  auch  die  Reihe  104)  mit  der  bekannten 
zar  Aufstellung  einer  neuen  benutzen.    Sie  ist 


«^sinycosg)       n      nu 


109)    Eq>~2*'\%v,  +  -jj^, -^r%^ 

E        4n  (    q^      ,    nu  9*       .   2«u  ,      \ 

-  K""^  -R  vrr^«"^-^  -  rz:^  sm-^4-  ...;• 

Endlich  wollen  wir  noch  diese  mit  2  multiplicirte  Gleichung  von 
106}  abziehen,  man  hat 

Die  entwickelten   Formeln   können   zur   Berechnung    von 

/   Vi — :fi$X\ifp^dfp 

dienen. 


164  Oekinghau»:    Transformationen  der  ellipHechen  Functionen 

Man  kann  ferner  die  bekannte  Reihe 
mit  der  ans  87)  folgenden  transformirten 
vermittelst  Snbtraction  verbinden,  das  Resultat  ist 

^,^.     z/+z'       4w/l        »w    ,        5*  nu  g*  3«»,     \ 

"^>  "^8,r  -  K  U "^  2Ä-+  r-T***' 2ä:-  1^^ ««'2K^■•  )• 

und  wird  die  Reihe  mit  der  aus  105)  folgenden  verknüpft,  so  ist 
das  Endresultat 

112)  ^+^' - 1:^  i/j:z:«i"5 

'       cosg?  2      r    1-j-sina 

4yp  /l       ^^  _\       9*  '^^^  9**  3«« ,     \ 


woraus 


(l+Vz  )«  «  ^  (^j  +  j^3^- j:^  +  j^^-...j. 


Auch  die  Reihe 

n       ,  nu  2n/    o*       ,   nu  .       g*       .   2«!« ,      \ 

gibt  transformirt 

"^>     4^(^ -»') tg «  - ^secg^- i:pC082^+  HV«««2r "  ••• 

woraus  für  «  =  0  nnd  cos«  =  i~i—r 

l-\-z 

K    ^,      1         9*      ,       «!_      _iü_, 
"*)         2;i^'~4~l+?+l+?~l+9>o+-' 

Benatzen  wir  ferner  die  bekannte  Formel 

Insin  9 -Insin  2^  -  In  :^ +2  ^j-j:^  cos^+ 2  j:^,  cos-g- +.<j- 
80  ergibt  sich  daraus  als  transfonnirte 


»I   Verbindung  mü  der  Thtorit  der  KettenUnie,  265 

,    C08O        ,1        Ttu        .    A^q      .(1      7*  nu  \ 

in  j^::^  -  In  2  COS  2^  «  In  -^  -  ^\^  i:|.-2C08  ^  - ...  j. 


d.  i. 


,,,v    1,   o  1  /l+sina      «tt        J^*       JTM      1     5«        2jtM  , 
1,,^  1  +  y^'       1      ?*         1      9«       ,    1       7' 


8*"-'/l  — y;,'      41  +  f/*      8  l  +  g«^12  1+7^2        • 

Man  sieht,  mit  welcher  Leichtigkeit  solche  Reihen  abgeleitet 
werden  können,  nnd  wie  nngezwnngen  sie  sich  den  mannigfachsten 
Verhältnissen  anschmiegen.  Eine  wertvolle  Anwendung  gibt  anch  die 
bekannte  Relation 

2f  am(t«+*^')  =  *cotamt*, 

welche  wir  auf  108)  beziehen  wollen.    Demnach  geht  der  Ausdruck 

T  -  t,       A      g'(i+g'^)  «u     .    «'(1  —  «'cot  q> .  i)  («'+  cot  q> .  i) 
zur  Linken  oder  — ,      ^      über  in 


«'-^^        »u«*  *«  a'«  +  C0t9» 

^ -1"«'** — ^1 — «*•    Rechter  Hand  transformirt  sich  cos^     in 

K"+  "^  V  ^ 2 co3^-  . 2 sm-^ 

.       .      l  +  <?*       «tt      .1  —  ?*  .   «tt 
oder    m    ^^cos  ^- a -g^sin-^. 

Werden  sämtliche  Glieder  in  dieser  Art  bertlcksichtigt  und  nach 
reellen  und  imaginäiren  getrennt,  so  erhält  man  die  folgenden  Reihen 

1  _£^      2n^  (    q         nu       2q^       2nu       3g»       3nu      \ 

^5äi«  "^  z^K'^a^K\l'-q*^^^K  ""1—54^^^  K  +1-^6008  j^       ..j, 

115) 

2^ing9C08<p       2n*  (    q     .   nu       2q*_  .   2nu^^  3</»    .   3jttt       \ 

sin  am  u  cos  am  u 
Wird  diese  Reihe  durch  die  bekannte  für  -r- dividirt, 

80  folgt 

q      .    nu  .      q^     .   Stti*  ,       q^     .   bnu  , 


1 


166  0«ibifi^Aattj:   Transformaüofun  der  eiUptu^ai  F\inetionen 

116)a   //amu-gj  .«.,«»    .  3»u  ,      g»     .5»» 

o      .   »nt  ,     2«*    .   2»«  ,    35*    .  3«* , 
^famu»  - »'     ,         ,TO       2?«    .  2«.  ,    3?»    .  3».  , 

Ans  115)  können  auch  noch  die  folgenden  Quotienten  beredmet 
werden. 

116)b 

Auf  die  hier  benützte  Relation  cotam(tf-|-'*'^')  »  «^am»  kom- 
men wir  nachher  bei  der  Kettenlinie  wieder  zurQck.  Aof  62)  an- 
gewandt, resnltirt  noch: 


V(l  -  ,')  (^  + 1  -  (1 + «')  sin  9«) 

""  K 


(  ,    1  +  g        «tt    ,     ,  -l  +  g*       3»i*  ,      \ 

i^V9i:|::^co82^+V9»jij:^coß2^  + -.j 

2«/  ,    1-g     .   nn  A  +  q^  •  3«»  ,     \ 


vn. 

Wir  stellen  noch  einige  Betrachtungen  an  über  die  durch  Ptf- 
tialbrflche  und  Quotienten  ausgedrückten  elliptischen  FunctioneiL 

Es  werden  sich  vermittelst  der  Transformation  noch  einige  be- 
merkenswerte Resultate  ergeben.  Oehen  wir  demnach  aus  Ton  der 
Reihe 


in  Verbindung  mit  der  Theorie  der  Kettenlinie,  167 

2«     "^"TT^i  "■  l-25C082x-H»~  1— 23«C082a:+5«+  ' ' ' 
80  kommt  es  darauf  an,  den  Ausdruck 

gC0s22r] — g*  gC08  2a52  — g* 


± 


l--2gC082a;i  +<z*"^  1  -  2gC082«,  — g* 
in  die  ^geeignete  Form  umzuwandeln. 

Ffir  das  untere  Zeichen  wird  man  schliesslich  finden 


nu 


g(l-g*)(C082ar,-C082a;,)  _   ^"^    ^^^^  2K 

(1  —  2gC082!r,  +3*)(1— 2sC08  2«,  +  g*)      i^2g«C08  —  +  o* 

Jx. 

Daher  bestehen  fOr  beide  Zeichen  die  folgenden  Ausdrücke: 


(l-*'))/l-(j^7)cos«« 


5(1  -9»)  3»(1-««) 


^*(^l+2«*cosf +«*      l+23«C08y  +  «»»        ") 


117) 


^        g«  ^cos  ^  +  3*)  9*  (^^»X^  +■  V 

*      l  +  2g«C08  5^  +  (Z*       l  +  2g«cos  Y  +  «'*) 

Um  die  Gleichung 

2Kx        2^q  .      (1  —2g» cos 2g+q^)(l  —  2g^C082g  +  gg) 
smam    ^    "   yifc  ™*(i-2gcos2a?+g»)(l~2g3cos2a:+g«)    •• 

zur  Transformation  geschickt  zu  machen,  nehme  man  die  Logarithmen. 

Die  zusammengehörigen  Argumente  x^  und  x^  sind  dann  leicht 
in  die  geeignete  Form  zu  bringen  und  da 


smam 


2KXi  .         2Kxi         .                         coso 
^smam =  8in©i  sma^«  =« :; 


ist,  80  ergibt  sich 


168  Oekinghaut:  TVansformatiQnen  der  eUiptischen  FuncUonm 

US,  y^. 

^^(i+2a*co8~  +«8)(i-t-2a<'co8 f  +  g")  . .. 
und  diese  Gleichung  geht  für  «  >»  0  ttber  in 

Führen  wir  hierin  j  ,    ,  =  ä  und  3^  ■=•  g  ein,  so  folgt 

120)  V«-aV'|(i+„(i+,3,(i+^)  J- 

Mit  dieser  verbinden  wir   die   in  der  Theorie   der  elliptischen 
Functionen  bekannte  Relation 


V« 


r(+g»)(i +?*)(! +?*)•••]' 

L(l-9)(l-9»)(l-q»)...J 


2V»'  yq 

und  erhalten  die  neue  Formel 

(1 -?)(!-?»)  (1-j«)... 


121) 


^''°"(l+?)(l+9»)(l+9*)-." 


Infolge  der  einfachen  Ansftthmng  einer  anf  118)  bezflglichcn  t 
Transformation  gewinnt  man  noch 

122)    l/\^  = 
'    V  l-|-8ma 

^^  (l+29«cosJ^+?W)(l+2?>«co8  Y +''")■• 

2«  cos  j^ — 7 —  r     , 

^^  (l+2?*co85  +  9")  (l+29»»cos  ^  +  ,«j  . .. 

woraus 


123) 


1-V»'  _  „    [(1  +  9*)  (1+9'')  -l* 


•  -^'L(i+9*)(i4-9»»)...J" 


Eine  nochmalige  Transformation  wflrde  zur  folgenden  Formel 
fahren 


124) 


in   Verbindung  mit  der  Theorie  der  Kettenlinie,  lg9 

'      ^l-f-V»'r   l-j-sin«       ^  l+Y»  r    l-{-8in« 

]/     i-y»'i/ridntt.  1/     i-y»'i/i:=^E^ 

(1  +  27»«C08  5 +?»*)... 


TTtt 


fl+29^oos-J*  +  ?i6y.. 


Der  Ausdruck  links  ist  geeignet  zu  einer  goniometrischen  Um- 
formung.   Wegen  a  =  90^— t  können  wir  setzen 


^^)    ljyV^2^'°'"°*^y'      J/j-Z:78inT=tgV', 


2 


COS  9?  =«  tg  2i/;, 
also 


126)        tgy«27«cosg. 


(l  +  2v>öcos  ^  +  ^32^.. 

(1  +  298  cos  ^  +  9»«)... 
und  wegen 

-„-.  .    1  — 1/2' 1/1  — sin  a 

127)    arcsm  ^  ,     ,  ,  1/  zt-j--; —  =« 
1  +  y«  r    l  +  sin« 

/     9^  Jitt         1 7^ 3«tt  \ 

\i+^*^^®2K~  3  1+9««^^®  2X  +  "V' 
folgt  also  auch 

ioQ\  -'^  9*  ;iu       1      9®  ^nu  , 

^^^^        2  ^'^  h:^^^^2ä:'~  3 1+^*  ^^'  2jf  +  ••• 

Diese  Ableitnngen  können  zur  Berechnung  der  zum  Argument  n  ge- 
hörenden Amplitude  90  benutzt  werden. 

Wie  bekannt  ist,  lassen  sich  die  Factorenfolgen  durch  Reihen- 
summen  ersetzen. 

Q(l--23C08  2a:-f.gS^)  (1  —  2(23 cos 2u; +58)(1 —2<;5 cos 2aJ  +  2»0)  .. . 
«1  — 2^  cos  2« -f  2g*  cos  4«  — 2(2^  cos  6«+  ... 

QVg8inii?(l-22«cos2a;  +  2*)(l— 2g*cos2a;+g8)  ... 

4  4  4 

■=  Vgsinar — y<2[^sin3a;-f-y2**sin5a;  ..., 

darin  bedeutet 

Q'-.(l-3')(l-S*)(l-ö«)  ... 


170  Oekinghauti   Transformationen  der  elliptiscken  Fktnetümen 

Indem  man  also  die  vorhin  gefundenen  Gleichnngen  ftr  diese 
Fälle  einrichtet,  hat  man 

y/j:^        2qlC08^+2g»C08^  +  2r,  COBg^  ... 

^^  l+25»cos-^  +  2<z»coB-j^... 

femer 


n 


Zli^       2«co8  2Jp+Vco8  2^+2g»co8  2]^  +  ... 


^^  l  +  sina  ^  i  rx  A       ^'*  I  rt  1«       2;w»  , 

~  1+22*C08^  +  23*«C08  ^+..- 

Q.      8.      W. 

Als  Spocialfölle  findet  man  ans  diesen 
131)        K  1+,'  -  2yg  i+2««+v-f~ ' 

l  +  V»'  '"  '^  l+2ä«+23»H-...' 
nnd  deren  transformirte 

T^*       ^^«l+25+2g*  ..; 

Führen   wir   hinsichtlich    dieser   Reihenqnotienten   die  Theta- 
Ainctionen 

^  (»)=.l— 2e-(»C082Ä+2«-*f cosia  -2«-«eco86«+..., 

4 4     4    

^i(«)«2y«-C8in«— 2Vc-»e8in3»+2y«-«^8in5Ä+..., 
132) 

4 4    4    

^2(a)=2l/«-eco8z+2l/«-9eco83a+2Vc-'«fcos5a+..., 

^3(a)«l4.2«-fCOs2a+2ß-*Cco84?+2c-»Ccos6»-f... 

ein,  worin 

Q^-^    und    a  =  2^. 

SO  ergiebt  sich  nach  dem  Vorhergehenden 


l/^/— g'       ^»(2pg)      l/l— ^/       »1  (2gg) 
133) 


K 


1  -sin«  __  .  j.         ^a(4()g) 
l+sina""^**^  ^s{4^») 


tJi    Verbindung  mit  der  Theorie  der  Kettenlinie.  171 

Benutzt  man  noch  die  bekannte  Differcntialformel  der  Theta- 
faoctionen 


10  folgt 
134) 


2Kz'zsii\(p  ud'^Qz&j^2Qz 

Zweiter    Teil. 

VIII. 

Die   in  ihren  Folgen  wichtigste  Transfonnation  bezieht  sich  auf 
die  jetzt  noch  zu  betrachtende  Reihe  für  In  dg 


lnJ9=-  2^^'+^[iZI^^^^^K+3T^^ 


cos—j^ 


1      q^  bnu  .        \ 

Zunächst  folgt  far  die  Addition 

J(pj  Jip^  =  z\ 
Dagegen  gibt  die  Subtraction 

Für   In  -T^   können  wir  unter  Benutzung  der  obigen  bekannten 
Formel  In — r-  oder  —In — r-    schreiben.     Da  nun  aber   J(pj^=: 

z  z 

1  —  «' sin 9)1*  ist,   so  fahren   wir  die  in  I.  entwickelten  Werte  für 
sin  9^^'  und  sin^?,^  ^iQ)  wonach  fOr  beide  Ausdrücke  die  Relation 


2z/9«=2— ««— (l-f«')*coso«±(l+a')8inol/(l— a')«— (l-fa')»COsä« 
gilt.    Daher  haben  wir  unter  Benutzung  der  Exponentialfunction 

2— »«— (l+a')«C08a«+(l+z')8in«V(l— a')*— (l+«')*C08a« 

2)  ^ 

-22'«^^  U-? ^'°  2Är""  3  r-g« """  2Z  +  "  •  •  J' 

Wir  bezeichnen  nun  die  periodische  Function  dieses  Ausdrucks 
mit  «,  indem  wir  damit  die  Abscisse  eines  Punktes  einer  noch  an- 
zugebenden Curve  bezeichnen.    Also  sei 


172  Oekinghaus:   Transformationen  der  elliptischen  Functionen 

Die  Gleichung  2)  nimmt  nun  die  folgende  doppelte  Form  an 

2/  ~        2 

4)  

(l  +  g')8ingV(l  — zQ^  — (l  +  /)^costt«  _  f^  —  e-* 

2z'  ~"        2     • 

Hierin  müssen  noch  die  sin  and  cos  a  mittelst  der  in  der  Einleitang 
gegebenen  Werte  durch  die  Amplitude  q>  ersetzt  werden.    Man  wird 

haben  

l  +  /yi-~g»8ing)V    e»+g-» 

5) 

Ä*  sin  <p  «*  —  c* 

Bezeichnen  wir  endlich  den  variabeln  Ausdruck  der  linken  Seite 
der  ersten  Gleichung  mit  y^  so  ist 

6)  y=  — 2~" 

die  bekannte  Gleichung  der  Eettenlinie,  deren  Eigenschaften  f^  die 
geometrische  Durchführung  der  gegebenen  Transformation  von  hoher 
Bedeutung  sind.  Wir  haben  demnach  zu  zeigen,  dass  die  elliptischen 
Functionen  und  ihre  Reihenentwickclungen  durch  die  Geometrie  der 
Eettenlinie  eine  wertvolle  Bereicherung  und  Ergänzung  erfahren 
können  und  wollen  daher  zunächst  an  die  schon  bekannten  Eigen- 
tümlichkeiten dieser  Curve  erinnern.    (Fig.  2.) 

Der  Differentialquotient 

'^  dx  2  ^ 

hat  erstens  die  bekannte  trigonometrische  Bedeutung  tgd  und  zwei- 
tens bedeutet  er  die  zur  Abscisse  x  gehörenden  Gurvenbogen  #,  woin 
man  wie  hier  geschehen ,  den  tiefsten  Punkt  als  Anfangspunkt  der 
Bogenlängen  nimmt  und  die  Constante  =  J  setzt.    Diese  Bemerkung 

nebst  der  Formel  y*  =  »*+!  oder  y  «=  — -•  und  der  daraas  sich 

cos  o 

ergebenden  Eigenschaft,  dass  die  Projection  der  Ordinate  y  auf  die 

Tangente  eine  Strecke  gleich  dem  Bogen  e  bestimmt,  welche  von  den 

zur  Ordinate  gehörenden  Abscissenpunkt  die  Entfernung  gleich  1  hat 

genügt  für  die  folgenden  Auseinandersetzungen. 


in   Verbindung  mit  der  Theorie  der  Kettenlinie  173 

DemgemäSB  haben  wir 


"-/ 


dy 


Es  kommt  nun  vor  allem  darauf  an,  die  Amplitude  9  in  geome- 
trischen Sinne  zu  deiiniren.  Die  Berechnung  derselben  aus  den 
obigen  Formeln  führt  auf  folgenden  einfachen  Ausdruck 

9)  81Ucp  = ^f 

dessen  Gonstruction  in  Folge  der  Eigenschaften  der  Kettenlinie  sehr 
einfach  ist.  Indem  wir  also  festsetzen,  dass  durch  die  Reihe  3)  die 
entsprechende  Abscisse  der  Curve  charakterisirt  sei,  wird  auch  y  und 
die  Gerade  9  bestimmt.  Daher  kann  mau  für  alle  Fälle  eine  zur 
X-Achse  parallele  Gerade  vom  Abstand  z  benutzen,  um  mit  der 
Differenz  y — z'  gleich  um  den  entsprechenden  Curvenpunkt  xy  einen 
Kreisbogen  bis  zum  Durchschnitt  mit  jener  Einheitsverticalen  ziehen 
zu  können.  Die  letztere  schliesst  mit  der  Verbindungsgeraden  beider 
genannten  Punkte  die  gesuchte  Amplitude  9  ein. 

Bezüglich  der  Reihe  für  x  bemerken  wir,  dass  dieselbe  auch  auf 
eine  andere  Form  gebracht  werden  kann. 

Ans  der  bekannten  Formel 

—  iln(l  — 2<jfCOsa;+5*)  «=  3 COS » + i^* COS 2« + i«^ COS 3«  ... 
lässt  sich  die  folgende  ableiten 

1       l4-2<7Sina;+<Z*  .  1   «i  •    o    1  1  _&  •    c 

T  In  ^     -^— ^-2  =-  ^  sin  JB  —  ^q^  sin  3«+ Jg*  sin  5a:. . . 

Demzufolge  entwickeln  wir  in 

^      8  "^  r^«^^°2^""  3  1  —  ^«^^^  2^  +  ••• 
die  Brüche  in  Reihen  und  schreiben 

1       3nu 


174  Oekinghaus:   Transformationen  der  elliptischen  Functionen 

Werden  hierin  die  Yerticalreihen  mittelst  der  genannten  Formel 
summirt,  so  gelangt  man  zum  Resultate 

a  +  2qsin^+q*)(l  +  2qHm  g.+  g«)... 
10)    a;=21n 


(l~23sing+g«)(l-2538in)  g+  3«) ...' 

oder 

l+g^Vl — g'siny'-f'^'sinQ) , 

"^^       z'+yi-z'siny«       -y+' 
11) 

(l  +  2g8ing+52)^(l  +  223Bing+g«)«... 

nu  Ttu 

(l-2gsin2^+g«)«(l-.2g»siü2j^+3«)«... 

woraus  noch  für  u  =  iT,  9  «»  90^  ein  schon  früher  entwickelter  Aas- 
druck 

^  ^  [(l+^){l  +  ?»)(l+y*)..J 

folgt. 

Wir  haben  den  Winkel  der  Tangente  mit  der  x-Achse  durch  l 
bezeichnet,  wir  führen  noch  seinen  Complementwinkel  c  »  90"— ^ 
als  Winkel  der  Tangente  mit  der  y- Achse  ein,  beachten  den  Aus- 
druck   

y+«  =  y+Vy*— 1 

und  substituiren 

1  1 

y  =  — i  *«  -: — » 
^       cos  0       sm  ff 

dann  resultirt 

(l-2gsing+g«)«(l-2^38ing+g«)^.. 
13)     tgj£. 


(l  +  2gsin|^  +  g«)Ml+2?3  8in5?+^6,«..; 

Der  eingeführte  Winkel  e  der  Tangente  mit  der  y- Achse  wird  dem- 
nach durch  ein  unendliches  Product  ausgedrückt. 

Die  in  VI.  108)  entwickelte  Reihe  lässt  sich  zur  Darstellung  von 
y  als   Ordinate   der   Gnrve   verwerten,   wenn   wir   beachten,  (to 

y  «  ^/ I  ^    ist.    Führen  wir  diese  Substitution  ein,  so  resultirt 

14) 
E       4»»   /    g«  nu        2g*  2nu  ,       So«         3jw  \ 


in    Verbindung  mit  der  TTieorie  der  Kettenlinie,  X75 

Um  f&r  y  noch  andere  Entwickelnngen  anznbahnen,  gehen  wir 
auf  die  Reihe  87) 

zurück  und  berücksichtigen,  dass 

ist    Führen  wir  das  hieraus  berechnete  d  in  die  obige  Reihe  ein, 
so  erhalten  wir 

15)  yi+.'«-2*V  =  jf  Vr=7i^^«2Ä:" r::r?^^'2Z  +  •••] 

Man  kann  übrigens  anch  noch  den  folgenden  Ausdruck  leicht 
aufsteilen,  wenn  man  2%y  «  (l4-«')*cosa'  setzt  und  die  Formel  29) 
beachtet    Daher  ist: 


+  ...), 


^«    y^ 4? T-— 4^— cos8(^j^q:y,cos2^ 

_  1      q^  3nu 

3  1+9«^®  2jr 

woran  sich  später  noch  andere  anschliessen  werden. 

Um  neue  Formeln  herzuleiten,  difierent^^ren  wir  15)  nach  y  und 
and  tt,  man  hat 

8«*  /     9  nu  9*  Snu      \ 

^^  -  7F»lr=ii '""'  yk-  r^  ßo''2Ä^  •  •  •;  >< 

(,1117.  «n  2^  -  3^3^  sin  2^ . . .  j  du, 

ebenso  ergibt  die  Differentiation  von  x 

^n  f    q  nu  9*  3nu      \  , 

'^ = r  Vr^^* ""  2^~  r:^« '^'' 2F  •  •  •; ''"• 

Aus  beiden  Reihen  folgt  durch  Division 


17)    J-.-.1««  = 


2n^  (    9        .    ?«M  39*      .   3ggM  ,      bq^      .   bnu      \ 

7^Vr=T*®^°2Ä~r^9^"^2iS:  +  1--9^^"'^2X  '")' 

Damit  haben  wir  die  trigonometrische  Tangente  oder  den  gleich- 
wertigen Ausdruck  für  den  Bogen  «  durch  eine  Reihe  ausgedrückt. 


176  Oekinghausi   Transformattonen  der  eUiptiMchen  Functionen 

Eine  andere  geometrische  Beziehung  Iftsst  sich  wie  folgt  ab- 
leiten: 

In  VI.  haben  wir  die  Reihe 


cos 


V       An  f    q  nu  ^^ 3ffu  \ 


aufgestellt,   welche  wir  mit  der  Ecttenlinie   in  Verbindung  briDgen 
können. 

Berechnet  man  nämlich  »  als  Function  tob  9),   so  ergebeo  die 

obigen  Werte  

Vi — a«sinep*  —  / 

#  =  tg  © • 

^  ^  cos  ip 

Der  daraus  folgende  Ausdruck 

8  cot  tp  =» 

^       cos  9 

bedeutet  ^geometrisch    die   auf   der  Einheitsnormalen   durch  CFht- 
zeichnete  Gerade  /,  welche  demnach  durch  die  Relation 

bestimmt  ist. 

Man  bemerke  aber,  dass  sowohl  a.cotip  « I  als  auch  «  dorch 
Reihen  gegeben  sind,  der  Quotient  wird  demnach  in  einer  Beziehung 
zu  tgamu  stehen.    Daher  folgt  das  Resultat 

q        .    nu  89*      .    37«*   ^^ 

— 2  Sin  Qjfp  —  z      -jg  sin  -^r^  -}-  . . . 


19)    U^^rau^^^-j-       ^      -^        3^    . 

Diese  neue  Formel  ist  unter  anderm  auch  ans  dem  Grunde  be- 
merkenswert, weil  sie  zur  Aufstellung  einer  Differentialgleichaog  Ver- 
anlassung gibt  Wie  man  bemerkt,  ist  der  Zähler  das  Differential 
des  Nenners.    Führen  wir  demnach  ein 

so  haben  wir  nach  einigen  Zwischenrechnungen 
21)  «  —  « tgamtt.di* 


IM    Verbindung  mit  der  Theorie  der  Kettenlinie,  177 

Sabstituiren  wir  hierin  die  bekannte  Formel 

,  tgam »  -  2Ä: ««  2ä:- T  liT? ''"  ^  - 1+?  ""  "^  +  •  •  •  j' 

80  ergibt  sich  ohne  Mühe  ans 

/dZ       2n   pn  ^    nu  ^       ,    nu  .       5*       .    2«!*      \ 

das  allgemeine  Integral 

,    „  ,  nu    .   ^     2q^  nu      1     2flr*  2nu  .        ,   ^ 

—hZ^  —  In  cos  si^+ 1  r— j — 5  cos  -tt  —  0  ■.   1    4  cos  -£,-+...+ Const. 

2ä  '     1  +  2         Ä       21+5*         K    *      ' 

Zar  Bestimmung  der  Constanten  setzen  wir  u  ^  0,  dann  ist 

—  mZo«  ^  l+V""  2  1+Q^  +  3  1  +  g«  "■  •••  +  ^^"^^• 
Da  aber 

SO  ist 

so  dass  man  schliesslich  hat,  wenn  man  noch 


21)    yi+,'»_,v=.|/^v4    und  tgiÄ=}/^Vi^ 


beachtet 

22) 

1,   \//l—z'  l-\-»'        1  1     «»     .   nu«     1     4*      .   2nM«  , 

"»«  2if 

+  •••) 

Eine  zweite  Anwendang  der  Diifereutialgloichaug  21)  geht  unter 

Benutzung  der  Eelation  tgamw  =  tg^)  in  Verbindung  mit  dt*  =  —  her- 
vor.   Daher  ist 

dZ  z'tgq>dq> 


zu  int^rii'GQ- 

Arcli.  d.  Math.  v.  Phys.    2.  Reihe,  Teil  II.  1 2 


} 


178  Oekingkaus:    IVansformeUümen  dtr  elUptiadien  Functionen 

Bas  Integral 


J  Vi— ««sin.« 


kann  durch  Einfahrung  von  cos^  »o;  auf  folgende  Art  geschrieben 
werden: 


J    xVÄ'»+««aj« 


und  ist,  wie  nach  bekannten  Methoden  ersichtlich  ist,  ebenfollfl 
rithmisch.    Man  findet  schliesslich  das  folgende  Resultat: 


InZ  =  In  -—^ :j-^  i  +  Const 


«C0S9>  —  d  —  Z 

Für  9  =»  0  wird 


Zq  ■*=  ~~^  ~     .  Äf 


1-«' 

SO  dass 

Z         z — 1  —  »'  zCO^tp  —  ^+a' 
Zq  ""  «-—1+«'  »COS?)  — ^/  — «'* 

and  endlich 

Kz      «cosy— ^/+«'  g  fftt  ^         3j»  , 

24)  ii-,cos9+^+7^r^-7^^«2Z"^rr^^*2Z+-' 

Aus  der  letzten  Formel  folgt  noch 


cos 


i/l  -«   gcosy  —  .^/-|"g^ 
"  ■"  r  f+7  — rcosH-^-H'  * 


IX. 

Der  Differentialquotient  von  s  kann  auch  benutzt  werden,  sm 
eine  neue  Relation  für  y  herzustellen.  Aus  derselben  entwickeln  wir 
dann  eine  kubische  Gleichung,  deren  Absolutglied  eine  periodiBcbe 
Function  ist.    Aus  7)  folgt 


da 

und  wenn  man  beachtet,  dass  fydx  =  «,  also  y  —  ^   ist,  bei  Be- 
rücksichtigung  des  Wertes  von  t- 


in   Verbindung  mit  der  Theorie  der  Keiteniinie,  179 

q  Jtu  q^  Snu   ^ 

Den  Nenner  dieses  Quotienten  können  wir  durch  den  Ausdruck 

ersetzen.  Erheben  wir  darauf  die  Formel  auf  die  2»  Potenz  und 
ordnen  nach  Potenzen  von  y  so,  so  erhaben  wir  die  kubische  Glei- 
chung 

25g^      öjTtt    y 

+  1 «.  <j^io  ^^8  2^"     "7    "^    ' 
mit  deren  Untersuchung  wir  uns  zunächst  beschäftigen  wollen. 

Das  zweite  Glied  ist  nur  vom  Modulus  z  abhängig.  Der  Coef- 
ficient  des  folgenden  ist  =  Null,  woraus  sich  auf  gewisse  Beziehung 
der  Gleichung  zu  den  reducirten  kubischen  Gleichungen  schliessen 
lässt  Das  durch  eine  periodische  Reihe  ausgedrückte  Absolutglied 
ist  stets  positiv,  wie  auch  die  hier  geometrisch  brauchbare  Wurzel 
stets  grösser  als  1  sein  muss. 

Machen  wir  die  Gleichung  mit  der 

28)  yS^Ap^+C'^0 

identisch,  so  folgt  aus  A  «=     gr-  der  Modulus 

29)  «'«^  — -/i«^, 
und  femer  ist 

30)  ^y^^^T=^»cos^-9^±^cos^  +  ..., 
und  vermöge  25) 

3j^        _  ä; V2?C 

Unter  gewissen  noch  anzugebenden  Bedingungen  wflrde  demnach 
die  obige  redncirte  Gleichung  vermittelst  elliptischer  Functionen  lös* 

12* 


180  Oekinghausi   DransfarmcUionen  der  elliptischen  Functiontn 

bar  sein,  indem  aus  den  Constanten  derselben  der  Modules  auf  ein- 
fache Art  bestimmt  werden  kann  und  in  Folge  der  hierdurch  be- 
kannten K  und  q  die  Aufgabe  yon  der  Lösung  der  transcendenteD 
Reihe  abhängt  Sofern  q  klein  ist,  und  dies  ist  meistens  der  Fall, 
ergibt  sich  durch  Versuche  der  Wert  von  t«,  so  dass  y  ebenüftlls  be- 
kannt ist.  Da  diese  Bestimmung  wenigstens  theoretisches  Interesse 
hat,  so  wollen  wir  noch  die  Bedingungen  der  Aufgabe  in  Kürze  auf- 
suchen.   Wird  y  «  1  gesetzt,  ist  also 

so  wird  stets  in  den  andern  Fällen 

n^  1  —  q^        l  —  q^    *         ' 

d.  i. 

sein  müssen.    Oder  einfacher,  es  muss 

d.  i. 

(7<^  — 1 

sein.  Da  ausserdem  auch  ^  >  1,  wie  aus  29)  hervorgeht,  so  setzen 
wir  für  eine  allgemeinere  Betrachtung  die  Gleichung 

32)  x'8— aaw'«+c==0 

fest,  worin  a  und  c  vorläufig  willkürliche  positive  Zahlen  sein  mögen, 
und  setzen  x' «»  ny. 


Also  wäre 


^-i.*  +  ^,  =  o 


mit  der  Gleichung  28)  in  Beziehung  zu  bringen.    Gemäss  der  obigen 
Bedingung  hat  man 

-i  < 1    oder    c<^an*  —  n». 

Da  aber  -  =  —irr~   ".  i.   n  «  .  ■    /^  ist,  so  muss 

_c_     z"a-z'y 

4«?  "^   (1+«'»)» 


in   Verbindung  mü  der  Theorie  der  Kettenlinie  181 

sein.    Oder  was  dasselbe  ist 


2  r   a3 


V(l-^) 


Die  weitere  Untersuchng  hätte  sich  nun  mit  dem  Aasdmck 
rechter  Hand  zu  beschäftigen ,  der  für  verschiedene  Moduli  verschie- 
dene Werte  erhält  Daher  mnss  der  Grenzfall  des  grössten  Wertes 
gesucht,  d.  h. 

(1  +«'¥ 

differentiirt  werden.  Der  hieraus  berechnete  dem  Maximum  des  obigen 
Ausdrucks  entsprechende  Wert  von  «'  bestimmt  die  Grenze  für 


2Vh' 


welche  nicht  überschritten  werden  darf. 

Die  Differentiation  führt  auf 

a'8— 2»'«— 2«'+l  «0, 
woraus  für  den  Grenzfall 

3-y5 

' 2 

Eingesetzt  in  die  üngloichnng  folgt 


2  r  «3 


1  4<j? 

<3VS    "^^    ''<^1' 


Man  wird  schon  in  dieser  Bestimmung  das  für  reducirte  kubische 
Gleichungen  von  der  Form 

33)  a:8_^+g=:0 

wesentliche  Unterscheidungsmerkmal  für  reelle  und  imaginaire  Wur- 

zehi  erkannt  haben.    Indem  wir  die  letztere  Gleichung  anstatt  der 

1  p  1 

früheren  hier  benutzen,  also  x  —  ~#,  «  «  -,  c  -=»  -  einführen,  geht 

die  Ungleichung  in  die  folgende 

27g«  <  V 

(dessen  q  mit  dem  q  der  periodischen  Reihen  nicht  verwechselt  werden 
darO  über,  welche  die  Bedingung  von  3  reellen  Wurzeln  ausdrückt. 

Die  Gleichungen,  welche  wir  vorhin  gefunden,  beziehen  sich  also 
auf  den  casus  irreductibilis ,  worin  eine  Wurzel  die  Ordinate  y  aus- 
drückt. 


182  Oekinpkaug:  TranM/ormatione»  der  elUptücken  F^Ktitmen 

Aus  der  Transformation  der  obigen  Gleichungen  resultirt  dem- 
nach 

34)     -(!+,«)- -^^-—-j—^C0S2;g.-j-3^C0S2^^ 

Wenn  man  mit  Umgehung  des  Grenzfalles,  für  den  es  einer 
Unterscheidung  nicht  mehr  bedarf,  ein  bestimmtes  z  wählt,  so  moss 

3*    ^«'«(1— «•)* 
3^)  ^  <  (i^,'«)8     sein. 

Die  Gonstanten  ^  und  iT  sind  dadurch  gegeben,  so  ist  z.  B.  fftr 
««  =  I  und  K  <  ^»  9  •=  0,0857967,  K  «  2,166515.  Bei  Weinen 
Werten  von  q  ist  die  Berechnung  von  u  nicht  besonders  umstftndlicb. 

Die  durch  eine  periodische  Reihe  darstellbare  Wurzel  der  Glei- 
chung ist  dann 

,       er*  5«tt         \ 

Wir  geben  nachher  auch  noch  die  Auflösung  der  flbrigen  durch 
die  Cardani'sche  Formel  lösbaren  Fälle  der  kubischen  Gleichnngea 
vermittelst  der  Kettenlinie. 

X. 

In  19)  haben  wir  tgamu  in  Form  eines  Quotienten  durch  zwei 
periodische  Functionen  ausgedrückt,  so  dass  die  Frage  entsteht,  ob 
ebenfalls  sin  am  u  und  cos  am  t«  auf  ähnliche  Art  bestimmbar  seien.  Wir 
erinnern  zu  dem  Ende  an  die  Reihe  104) 

„        «'siuflpcoso  ,   E       4«/    ö*      .   JTtt         o*      .  2«»,     \ 
welche  wir  mit 

durch  Snbtractioii  verbinden.    Man  findet  folgende  Relation 
»«BinycoB  <p  _  2w  /gCl+g)*  „,„  ««  ■  j  (i— g«)t      2m 

+  9'  i_^i  nn-gr.-| 


in    Verbindung  mit  der  Theorie  der  KeUenlinie,  183 

Dieselbe  lässt  sich  mit  der  Reihe  17)  fflr  s  weiter  verbinden. 
Die  Division  beider  ergibt  geordnet 

38)  CQgamu-.—         ^  ^         3g»     .  3««  ." 

l—gi^ingj.  — i_^8in2jj.  +-. 

woraos  noch  nach  Mnltiplication  von  tgamu 

39)  sinamtt  =  g — ^ -^ 3^- 

1  _  g«  cos  2JJ,  —  j  _  ^«  cos  2JP  i- ... 

folgt 

Beide  Beihen  besitzen  gleichen  Zählw. 

g 

Da  Bin«  » -,  ist  so  kann  man  für  sin  am  u  nnd  ebenso  Air 

y— « 

cosamtt  zwei  analoge  Aasdrücke  leicht  herstellen,  wenn  man  die  für 

t  nnd  y  entwickelten  Reihen  einsetzt.    Die  Reihe 

40)  »V«]^=;^^i:3^cos^-.3— ^8C08^  +  ...j 
wird  für  y  =  ~~^f~  ^^^  Maximum,  d.  h.  es  ist 

and  für  y  »  1  zum  Minimum 

welche  Formeln  mit  früheren  übereinstimmen.    Die  Differenz  beider 
möge  man  mit  früheren  Ableitnngen  vergleichen. 

Man  kann  nun  die  obige  Reihe  für  y  in  folgender  Art  zur  Bil- 
dung neuer  Beziehungen  verwerten.    In  Folge  der  Bedeutung  von 

y 2— 

besteht  demnach  die  Reihe 

«•+ir-«        E       4«*   /    ö«  nu         2^  2nu  ,       \ 


184  Oekinghaus:   Transformationen  der  elliptischen  fStnctioneH 

Wir  Differentiiren  sie  unter  Beachtung  des  in  VIII.  g^benen 

dx 

Wertes  von  ^-,  welcher  in 


du' 
6*  —  C-*  dx 


2        du       z 
eingesetzt,  den  neuen  Ausdruck  für 


An    (    q^       .    »w         4g*      .    2nu         \ 
Tkb  \xzr^  sin  jj-  -  j^r^sin  ^  + ...  J 


I5*      .    nu  4<2f*      .    2nu 

Sin  -p z — -u  sm~=r  + ... 


^^^    '^d^  =  ^^^7K^_q__       nu       _^        35U  . 

hervorgehen  lässt 

Bemerkt  man  aber,    dass   der  Nenner  dieses   Bruches  durch 
j-  Vi  +ä'*  — 2«'^  ersetzt  werden  kann,  und  dass  femer  «  =  Vy*— 1, 

so  geht  unter  diesen  Substitutionen  das   letzte  Resultat  durch  Qaa- 
driren  und  Ordnen  nach  Potenzen  von  y  in  das  folgende  über 


*2)   r  — Ö-—  r — y  +  -ö-r- 


2«'     ^      ^^    2«' 

,     Sn^     (    q^       .   TBu         V      .    2m     \«_ 

so  dass  wiederum  ^  durch  eine  jetzt  vollständige  kubische  Gleichang, 
deren  Coefficienten  bestimmten  Beducenten  genügen  müssen,  bestimmt 
ist.  Auch  hier  ist  das  stets  positive  Absolutglied  durch  eine  perio- 
dische Reihe  definirt. 

Im  Anschluss  an  die  in  134)  aufgestellte  Beziehung,  welche  aach 
in 

2K  gV(siny  cosy         ^2pg.  »^  2gg.^g2pg 
^^^  n;        (zi+zr      ^"^  {^i'2Qz)^ 

umgewandelt  werden  kann,  und  worin  wir  sing>  durch     _  >,  femer 

2^  sin  00 
8  durch    .^  ■    ,    ersetzen,    resultirt  der  der  obigen  kubischen  Glei- 
chung entsprechende  transformirte  Wert 

14_2'2  1+3'* 


in   Verhin<fung  mit  der  Theorie  der  Keäenlinie,  135 

worauf  wir  hier  aufmerksam  machen.  Die  daraus  hervorgehenden 
Beziehungen  and  Identitäten  wollen  wir  indessen  nicht  weiter  hier 
discutiren. 

Durch  Combination  der  für  y  =»  —^ —  und  %  =  — 5 —  auf- 
gestellten Reihen  erhält  man  die  Entwickelung  von  db«. 
Aus  der  Addition  von 


45) 

e*+e-* 

2        ' 

und 

«*  — e-« 

s'jsr»  Vi  - ^ "^2i:""  1—2« ^*°2jr  +  -  j 


2  z* 

folgt  demnach  die  folgende  Reihe  mit  eigentümlichem  Bildungsgesetz 

27Ctt 


E    ,     211*  (    q        .   nu  2ö« 

^>  ^  -  .■^+  ZK*  [i  - ?  ^^^  2ä:-  1=7  ^^« 


2jsr 


3g^     .  3gtt  ^^    4g*  4«tt      \ 


nnd  vermittelst  Subtraction  die  ihr  analoge 

E        2«*    /      o       .    TT«    ,      2q*  2«tt 

47)    *-'  -  7;g.-  7^  (i^-,  «n  M-  +  l^r^  *='>'' 


Z 


2jsr 

3ö*     .  3äu         4<7*  4«tt 

-       SIUk^ —  ^  bCOS 


1-5«°'"2JS:       l-^""*'2Jf 
die  sich  durch  symmetrische  Ordnung  auszeichnen. 


...    h 


Die  in  11)  entwickelte  Function  für  ^  lässt  sich  mit  Anwendung 
bekannter  Formeln  leicht  durch  einen  aus  zwei  einfach  periodischen 
^aotienten  wie  folgt  ausdrücken. 

Für 

1    fl4-z'J4- z*siaqt\ 

*-=^n — 7+2 — j 

folgt 

l+2grsin2^— 2g*C08  2^  —  2gf»sin  g^  +  2g»6c0S2^  +... 

1— 2gsin^—  25*cos  2^  +2g»sm  ^  +  2g"cos  ^^  — . .. 

Die  Reihenentwickelungen  für  die  Coordinaten  der  Kettenlinie 
sind,  wie  aus  Vorstehendem  ersichtlich  ist,  sehr  mannichfach  und 
zeigen,  wie  sehr  die  Eigenschaften  der  Curve  in  analytischer  Hin- 


186  Oekingkaut:  Dranaformationen  der  tüiptUehen  Fututthnm 

sieht  durch  Anwendung  auf  die  elliptischen  Functionen  nch  letzteren 
anschmiegen.  Um  noch  andere  Beziehungen  geometrisch-analytiBcber 
Natur  aufzustellen^  wollen  wir  zunächst  an  die  bekannte  Formel 

Ol«      r  (l4-p)co«« 

cos« — pcOsSos-f-p'cosoa;,..  -=»  ^    ,  ^   ^ — j^ — t—^ 

erinnern,  um  mit  Hülfe  derselben  einen  andern  Reihenausdmck  ab- 
zuleiten. 

Die  häufig  auftretende  Reihe 

können  wir  durch  Entwickelung  der  Brüche  in  geeigneter  Beihen- 
folge  leicht  durch  Partialquotienten  von  der  Form 

g(l+g«)C08|| 
l  +  2g«C0S^+g* 

transformiren,  daher  ist  vermöge  der  bekannten  Bedeutung  der  Fornel 
18)  der  Ausdruck  für  l 

49)    l^^h^^^J        '^''^t    -+        ^^+^' 


4m       KU  / 
K        2Ky^ 


nu  ,     .       .    .  _  ^         nu 


+  V  cos  j^ + 5*      1  +2g«  cos  -^  -fg" 
und 


50)    yi+3'2— ~2a'j;-a  y 


^       2JSr|^^^^,^^^m*  ^  ^      i+Vcosf +  g»« 

Der  in  19)  für  tgamu  abgeleitete  Wert  kann  auch  mit  Hilfe 
der  bekannten  Relation 


du 


(,.  y^  _  ^..„^  j^ ,  ^ 


aus  der  früher  entwickelten  Reihe 


l/l— zf       4»   /      g       .    »tt  g»       .   3«i»  \ 

r  1+^  =  m:  Vr=?"^2z+ 1=7"^  2]f  +  •••  j 

hergeleitet  werden,  indem  man  letztere  logarithmisch  differeotürt. 


th   Verbindung  mit  der  Theorie  der  KettenUnie.  187 

Man  findet  ohne  Mühe 

51)    cotamu  «=  „^ — s kz 

woraus  vermittelst  einer  Umwandlung  die  erwähnte  Formel  hervor- 
geht 

Wir  wollen  ferner  die  Reihe  für  tgd,  also 

in  Beziehung  auf  d  und  u  differontiiren,  man  findet 
dd 


cos 


wird  ebenfalls  y  =  — >  diffcrentiirt  und  endlich  noch  die  Reihe  14) 

^       cos  0 

für  y,  so  hat  man  zunächst 


dff        sind  €£d  <i^ 

cid  ^  cosd^  cosd*  "^  sind' 

a'rfy        4jr*  f    q^  ._  äu  4g*      ._  2jrM 

fit« 


4jr*  /    g*       .    nu  4g*      .    2nu         \ 


Eliminirt  man  also  — j»  aus  den   beiden  ersten  Formeln  und 

cosd* 

ersetzt  -/  mittelst  der  letzten,  so  erhält  man  das  Resultat 
du 

q^       ,    Ttu  4g*       .    2«tt    , 

Sm  -    —  :j -5  sm^r  +  . . . 


1  -  g*  "^"  Ti:         1  -  g8  "*"  K 

52)  sind  =  4  —^       ^-      -j^       37«*   ,       • 

Man  kann  diese  Entwickelungen  in  geometrischer  Hinsicht  deu- 
ten. Die  Tangente  der  Kettenlinie  im  Punkte  P  schneide  die  Ab- 
sdssenaxe  in  R.  Bezeichnen  wir  nun  die  Strecken  AR  derselben 
zwischen    der  Tangente  und   der   Ordinate  y   mit   ^,  so   ist 

flr  sin  d  «  1. 
Daher  ist  vermöge  des  obigen  Reihenausdrucks  für  sind 

g  nn  Og*  Stiu 

53)  ^~l     q^       .    nu  4g*      .     2«m  ,        * 


188  OtkinghauMi  lyang/ormationtn  der  elUptisehen  F\tneHonen 

XL 

Wir  geben  noch  im  Folgenden  diejenigen  Beihenentwickelnngen, 
welche  als  Functionen  einer  dnrch  die  Eettenlinie  dargestellten  geo- 
metrischen Beziehung,  sei  es  eine  Gerade,  Fläche  oder  Winkel,  tos 
einiger  Wichtigkeit  sind. 

Hinsichtlich  der  Ableitung  dieser  und  anderer  bemerken  wir,  dass 
hierfflr  zuweilen  mehrere  Wege  offen  stehen. 

Der  Flächeninhalt  des  rechtwinkligen  durch  die  Katheten  s  und 
l  gebildeten  Dreiecks  kann  man  unter  Benutzung  der  Differentu!* 
formel  für  ^  in  Verbindung  mit  der  aus 

hervorgehenden  Ableitung 

dy       z*  sin  q>  cos  qf 

leicht  berechnet  werden.    Da  nämlich 

«^sinspcossp        ,    , 
(/+J)^     «  ^C0t9  -  sl 

ist,  so  folgt 

Es  sei  K^C^  m.    Man  hat  den  leicht  berechenbaren  Ausdrock 

Ferner  sei  der  Winkel  zwischen  A''C  iund  AC  mit  i  und  der 
Winkel  zwischen  JC'C  und  KP  mit  a  bezeichnet.    Aus 

sin  d f» 

sin  t       z 

sin  a> 
folgt,  wie  leicht  zu  finden  ist,  tg»  «  «sing),  tg<j  «— —,«  8in<r=su)>. 

Denn  es  ist 

"»         ««VI/       1  — «sm^tgo 

Daher  kann  man  entweder  zur  Darstellung  von  tg  <r  die  ellipti- 
schen Transcendenten  benutzen,  wodurch 

^    aygsm  —  -  2y2»sm  2^  +  ... 

55)  tga«-^,  — —     ^ar~~,    2Siir 

K««  l4-2gcos-^4-2^cos-^  +  ... 


tu   Verhindung  mit  der  Theorie  der  KeUenlinie.  189 

•        _ 

oder  man  zieht  die  in  der  Theorie  bekannte  Reihe  fttr  -^ her- 

^amtt 

an,  welche  demnach  die  folgende  geometrische  Bedentang 

gewinnt 

Auf  dieselbe  Weise    verwerten  wir   die  für  sinamti  bekannte 
Beihe  nm  tgt «»  «'sin  9  durch  dieselbe  darzustellen.  Demgemftss  ist 

Diese  Interpretation  dieser  bekannten  Reihen  ist  jedenfalls  be- 
merkenswert. 

Bemerkt  man  femer,  dass  ans  der  Formel 

1     _  1+g'^ 

^  ""  COSÄ   ^    «'4-^ 

die  Relation  

folgt,  so  geht  auch  die  in  Y.  abgeleitete  Gleichung  in  die  folgende 

über  und  analog  folgt  aus  II. 

d9)     iarcsintgia  -  i:fr^2^'^2K+  3  r=R«"°  2ir 

,1       q^       .   bnu   . 

iie   demnach   wie   die  vorhergehenden  vermittelst  der  Kettenlinie 
geometrisch  interpreürt  ist 

Auch  die  frflher  aufgestellte  Reihe 

8*sinyC08y        2w  /g(l  +  g)'  .    «m      g*(l--3*)!        ??!f_L     \ 
j+z'      ■"  'K  \T^^  sin-^-f-     i_^     cos  ^  i-  ...  j, 

reiche  geometrisch  durch  eine  Normale  des  Amplitudendreiecks,  d.  i. 
Inrch  Zsin^  bezeichnet  werden  kann,  ist  noch  einer  Transformation 


190  Oekinghaus:   Trann/ormationen  der  dUptUehtn  Functionen 

fehig.    Wir  multipliciren  sie  mit  ^  ^  du  und  integriren.   Das  all- 
gemeinere Integral  ist 

^  e/     cos  yVa  *+  »*  COS  9>*  V  1  —  fl*     ^^  ^  T  -y  T W 


oder 


,  ,    acos<p  —  ^-{-z        c^/<7(l+3)*        nu      \   , 

In  cos  9  —  In —-^^^^ — -r^—i  «  2(  ^\  ^^^  cos-rr  ..,  )+  a 

Für  9  «=  0  folgt 


„__,;-±i;_,(.;.i|.- ...)+, 


Daher  ist 


11    gcosy  — ^+g'  g— 1  — g'      1      _  g(l+g)'  .  ^*  I 
'    gcosy— z^— /  g-~l4-g''cos<p  ""    1—^  8in2^+..., 

'  oder  mit  Einführung  der  Relation 

^^   1+z'  cos«      g(l+3)*  .   ^^^  ,    t(l— g')'  .  2»«  , 

Nun  ist  aber 

l-\-»'  cosg       1-j-g^       y  — f' 

1— g'   C0S9  ""^-fg'   ""  1— g" 

Demnach  auch 

«m     y-^'  , /^gd  +  g)«  .   «tt>        ,  g«(l-g«)>  .    27W«     \ 

Man  sieht,  mit  welcher  Leichtigkeit  solche  Combinationen  g^ 
Wonnen  werden  können.  Von  denjenigen,  welche  noch  zu  erw&bnes 
sind,  wählen  wir  zum  Zweck  einer  Differentiation  die  in  46)  abge- 
leiteten Relationen,  die  demnach  differentürt 

dx        ^^   /    g  ''^**  i_    ^2*     •   2^"        ^^         ^'^     \ 


_   dx 
du 


^   n^    / g  _        7CU         4g*      .   2nu         Sg*         3««     \ 


und  durcheinander  dividirt  die  Formel 

g  «Wj^    4g*     .   2jrtt        9g*         3flPH 

6^^      ^  =  _q TR*       _V     .   2«tt         9g8_       3iiir~ 


in    Verbindung  mit  der  Theorie  der  Kettenlinie,  Vd\ 

geben.    Auch  ans  den  beiden  ersten  ergeben  sich  nach  Einsetzen 

€lx 

des   ffir   3-  bekannten  Wertes  neue  Relationen  für  e^, 

du 

Bemerkenswerter  ist  die  Transformation  der  in  48)  für  eX^  auf- 
gestellten Formel,  welche  wir  jetzt  untersochen  wollen. 

Man  findet  zunächst 

nu     _  ..  .    3xcv  .  ^  «.  .    bnu 


62) 


ei«-i  2gsin^~2g»>sin-^+2g»^in  ^- 

***  +  ^  l--2g*C0S  ^  +  22»«OC8  ^-  233«COS 


Stcu 


A     •  ^    —  K  ^    —  K 


Die  beiden  hier  erscheinenden  Reihen  sind,  wie  man  sieht,  eUip- 
tische  Transcendenten.  Da  der  Aasdruck  zur  Rechten  mit  dem  Quo- 
tienten für  die  Function  sin  am u  übereinstimmt,  wenn  ^  anstatt  ^ 
eingeführt  wird,  so  ist  eine  Reduction  auf  diese  Relation  leicht  durch- 
führbar. Lösen  wir  demnach  die  letzte  Gleichung  nach  e^  auf,  so 
ist  in  dem  genannten  Sinne  unter  Benutzung  bekannter  Formeln 

^^   i-V.sin9'"'^Vr=:y^'^°2S-3  i=Y?    2Z-+-/ 

welche  nene  Beziehung  wir  nachher  einer  dynamischen  Betrachtung 
zu  Grunde  legen  werden. 

Eine  neue  Transformation  von  63)  würde  noch  die  folgende 
liefern 

64)     "i ' r~  ■=  c*  1  ^ sin  -r; 5  :i ö  sm  —^z — h  •••  j  • 

-'     /S — ^sing^cos^  \1 — q       K        3  1— g*        K     '      / 

Aus  der  ersten  kann  noch  mittelst  einer  weitem  Umgestaltung 
die  folgende  abgeleitet  werden. 


65) 


1  —  ViBsiny 
l-f-V^sin^ 


4  7CU  4  7tU    . 


««*  .      .  .  .^   .  ^   ^.  ^  .    nu 


(l  +  2ygsin2^+yg)(l  +  2Vg»sin2^+y^)... 

Für  ^  »  90  folgt  nach  mehrfacher  Umwandlung  ein  schon  früher 
gefundenes  Resultat. 

Wir  bemerken  noch,  dass  wegen  der  leicht  abzuleitenden  Glei- 
chung 


192        Oekinghaus:   Transformationen  der  elliptischen  Functionen  etc. 


1+z'J 


2^  sin  9 


1+z'J 
in  Folge  der  Bedentong  von 

^       «'sin  9 
die  folgende  Relation 

besteht. 


Dom  »eh:  Die  Darstellung  der  Flächen  vierter  Ordnung  ete,  193 


vm. 

Die  Darstellung  der  Flächen  vierter  Ordnung 
mit    Doppelkegelschnitt    durch    hyperelliptische 

Functionen. 

Von 

Paul  Richard  Domsch. 

Erster  Teil. 


Einleitang. 

Wenn  wir  in  Folgendem  statt  der  allgemeinen  Flächen 
vierter  Ordnung  mit  Doppelkegelschnitt  vorwiegend  die 
Cykliden  in  Betracht  ziehen,  wenn  vnr  also  für  den  Doppelkegel- 
schnitt den  imaginären  Kugelkreis  nehmen,  so  ist  dies  durchaus  keine 
wesentliche  Beschränkung.  Von  projectivem  Standpunkt  betrachtet 
hat  jener  ja  keine  ausgezeichnete  Lage,  wir  können  jederzeit  unsere 
Cyklide,  resp.  das  Cyklidensystem  einer  linearen  Transformation 
unterwerfen,  welche  den  Kugelkreis  zu  einem  Kegelschnitt  im  End- 
lichen macht,  und  die  zu  gewinnenden  Sätze  werden  dann  in  unver- 
änderter Form  sogar  bestehen  bleiben,  wenn  wir  nach  der  Collineation 
den  nnnmehrigen  Doppelkegelschnitt  zur  Grundlage  der  Mass- 
bestimmnng  wählen.  Nehmen  wir  in  den  Transformationsformeln 
die  Goefficienten  complex  an,  so  können  wir  sogar  den  Doppel- 
kegelschnitt reell  machen,  wodurch  allerdiugs  alle  Realitätsver- 
hältnisse sich  ändern,  und  auch  unsere  Resultate  die  bezüglichen 
Modificationen  erleiden. 

▲fch.  4.  Matt.  n.  Pbyi.   2.  B«i]ie,  TeU  n.  13 


194  Domsch:  Die  Darstellung  der  Flächen  vierter  Ordnung 

Wir  beschäftigen  uns  demnach  allein  mit  den  Cykliden  nnd 
Sachen  die  Resultate  zu  verwerten,  die  von  Moutard  *) ,  Darbonx  \ 
Gasey  ^)  über  jene  Flächen  und  Flächensysteme  gewonnen  wurden 

Zur  Erreichung  des  Zweckes,  die  Darstellung  durch  hyperellipti- 
sche Functionen  zu  leisten,  bieten  sich  mehrere  Wege  dar. 

Das  Zunächstliegende  würde  sein,  die  Untersuchung  direct  n 
fähren  und  auszugehen  von  der  Darstellung  der  Cyklide,  bezogen  auf 
ein  orthogonales  Fünfkugelsystem  in  sogenannten  pentasphäri- 
sehen  Coordinaten  (unter  pentasphärischen  Coordinaten  eines 
Punktes  versteht  man  die  mit  gewissen  Constanten  multiplicirteD 
Potenzen  des  Punktes  in  Bezug  auf  jene  5  Fundamcntalkugelu).  In- 
dem man  diese  Coordinaten  als  Functionen  der  beiden  Krflmmnngs- 
linienparameter  der  Cyklide  darstellt,  zeigt  sich  sofort  die  Möglich- 
keit der  Durchführung  der  Aufgabe.  (Zuerst  ausgesprochen  findet 
sich  dies  bei  Darboux,  Comptes  Rendus  Bd.  69,  p.  392:  Sur  nne 
nouvello  s6rie  de  syst^mes  orthogonaux  alg^briques).  Die  penta- 
sphärischen Coordinaten  lassen  sich  5  hyperelliptischen  ^Functionen 
vom  Geschlecht  2  proportional  setzen,  welche  einem  sogenannten 
Rosenhain'schen  Sechsersystem  augehören,  und  nun  wird  die  Eennt- 
niss  der  '^Functionen  und  deren  Relationen  zu  verwerten  gesackt 
für  die  Gewinnung  geometrischer  Sätze  für  die  Cykliden. 


1)  Moatard:  „Note  sur  la  transformation  par  rayons  rectears  reeipro- 
qaeB**,  ^Note  rar  les  surfaces  anallagmatiques  du  qnatri^me  ordre**,  Noar.  Ana. 
de  Math.     2.  S.     Bd.  3.,   1S64,  p.  306-*9,  p.  5S6--S9. 

— >  Sar  les  lignes  de  courbnre  d'nne  classe  de  snrfacea  da  quai^ 
ordre,  Comptes  Rendus,  Bd.  59.,  p.  343. 

2}  Darbonx:  „Sur  une  classe  remarquable  de  conrbes  et  de  nrUea 
alg^briques'',  Paris,  Gauthier-Villars,  1S73*  Man  findet  darin  ausser  einen 
der  Pariser  Akademie  1 869  eingereichten  Memoire  eine  Znsammenstellang  aller 
Noten  und  kleineren  Aufsätze,  die  Herr  Darboux  Über  diesen  Gegenstand  ge- 
schrieben, am  Schluss  des  Werks  auch  eine  ansflihrliche  Litteraturangabe,  die 
Cykliden  betrefifend. 

3)  Casey:  „On  Cyclides  and  Sphero-Quarties,  PhiL  Transactions,  Bd.  UU 
p.  585.  In  jüngster  Zeit  hat  der  Gegenstand  eine  erneute  Behandlung  er- 
fahren durch  Herrn  Gino  Loria  (Bicerche  intomo  alla  Geometria  delU  sfera 
e  loro  applicazione  allo  studio  ed  alla  classificasione  delle  superfide  di  qaatro 
ordine  aventi  per  linea  doppia  il  cerchio  imaginario  all'  infinite,  Memorie  delle 
Reale  Academia  delle  Scienze  di  Torino,  Ser.  2.,  Bd.  36<)*  der  yon  der  Be> 
trachtang  von  Kugelcomplexen  und  Congruenzen  ausgeht,  und  durch  Herra 
Segre  (Etüde  des  dififi^rentes  surfaces  du  4«  ordre  k  conique  double  etc,  Math. 
Ann.  Bd.  24.,  p.  3l3.),  der  in  einer  umfangreichen  Abhandlung  die  FUkb^ 
Tierter  Ordnung  mit  Doppelkegelschnitt  betrachtet  als  CentralprojectioaeB  des 


mit  Dopptlkegelschnitt  durch  hyperelUptische  Functionen»  195 

Um  insbesondere  ansgezeichnete  Curvensysteme  anf  der  Cyklide 
zu  erhalten,  setzt  man,  in  den  einfachsten  Fällen  wenigstens,  ^  Func- 
tionen, deren  Argumente  sich  von  denen  der  gegebenen  um  Con- 
stante  unterscheiden,  gleich  Null  und  erhält  hierdurch  eine  Gleichung 
zwischen  den  beiden  Parametern  der  Cyklide ,  also  die  Gleichung 
einer  Curve  auf  der  Fläche ;  die  Wahl  der  Constanten  bestimmt  die 
Art  der  Curven. 

Eine  zweite  Methode  istindirecter  Natur  und  nimmt  ihren 
Ausgangspunkt  nicht  von  der  Cyklide,  sondern  von  Flächen,  resp. 
Flächensystemen,  die  bereits  durch  hypcrclliptischeTraus- 
ceodentc  dargestellt  sind  und  in  Beziehung  zur  Cyklide,  resp.  dem 
confocalen  Cyklidensystem  gesetzt  werden  können. 

Herr  Darboux  gab  im  Jahre  1864  in  den  Annales  de  r£colo 
Normale  Superieuro  eine  einzweideutige  Transformation  an,  welche 
eine  Oberfläche  2ter  Ordnung  in  eine  Cyklide,  eine  Flächenschaar 
2teu  Grades  in  ein  confocales  Cyklidensystem  verwandelt. 

Nun  ist  die  Fläche  2ten  Grades,  resp.  die  Flächenschaar  2ten 
Grades  durch  hyperelliptische  Functionen  dargestellt,  in  neuester 
Zeit  z.  B.  in  eingehender  Weise  von  Herrn  Staude^),  der  dazu  ge- 
langte, eine  grosse  Anzahl  von  0  Relationen  als  geometrische  Sätze 
über  die  Flächen  2ten  Grades  auszusprechen,  und  die  Darstellung 
namentlich  benutzte,  um  die  bekannten  Schliessungssätzo  zu 
erhalten,  die  sich  auf  Polygone  beziehen,  die  von  den  gemeinsamen 
Tangenten  der  Flächen  der  Schaar  2ten  Grades  gebildet  werden. 

Von  diesen  Resultaten  ausgehend,  gelangt  man  mit  Hilfe  der 
Darboux'schen  Transformation  ohne  erhebliche  Mühe  zu  einer  Dar- 
stellung des  Cyklidensystems  durch  hyperelliptische  Functionen,  zu 
einer  analogen  Deutung  der  S  Relationen  in  der  Geometrie  der  Cy- 
kliden  und  zu  entsprechenden  Schliessnngssätzen. 


Schoittes  zweier  quadratischen  Mannigfaltigkeiten  von  3  Dimensionen  im 
linearen  Baum  von  4  Dimensionen  aaf  den  gewöhnlichen  Raum.  Diese  Me- 
thode führt  ihn  zu  den  bekannten  und  einzelnen  neuen  Sätzen  über  die  Cy- 
ididen,  sowie  zu  einer  erschöpfenden  Classification,  die  auch  von  Herrn  Loria 
gegeben  wird  für  den  Fall  eines  nicht  zerfallenden  Doppelkegelschnitts.  Wir 
verweisen  noch  besonders  auf  die  geschichtliche  Einleitung,  die  Herr  Segre 
seiner  Abhandlung  vorausschickt 

4j  Staude:  „Geometr.  Deutung  der  Additionstheoreme  der  hyperelliptischen 
Integrale  und  Functionen  1 .  Ordng.  im  System  der  confocalen  Flachen  2.  Gra- 
des^, Math.  Annalen,  Bd,  23«,  p.   1. 

—  ^Ueber  geodätische  Polygone  auf  den  Flächen  2ten  Grades '^t  Math. 
Ann.,  Bd.  81.,  p.  219. 

18* 


196  Dom  seh:  Die  DarsteUung  der  Flächen  merter  Ordnung 

Noch  eine  andere  Flftchenart  ist  durch  hyperelliptische  Fanc- 
tionen  dargestellt,  die  Eammer'sche  Fläche. 

Nachdem  Herr  Klein  im  5ten  Band  der  Math.  Annalen  p.  302, 
fals  Erster  anf  die  Möglichkeit  der  Darstellung  hingewiesen  hatte 
olgten  die  Ausführungen  durch  die  Herren  Cayley  ^)  und  Borchardt^ 
im  83ten  Band  des  Crelle'schen  Journals,  von  H.  Weher  ^)  im  Sites 
Band  desselben  Journals  und  von  Herrn  Rohn^)  im  15ten  Band  dei 
Annalen. 

Andererseits  hat  Herr  Lie  im  5ten  Band  der  Annalen  „lieber 
Complexe,  insbesondere  Linien-  und  Kugelcomplexe^\  p.  145.  ff.  ge- 
zeigt, wie  durch  eine  Berährnngstransformation,  welche  die  Punkte 
des  einen  Raumes  in  die  Minimalgeraden ^)  des  andern,  die 
Geraden  in  die  Kngeln,  Flächcuelemento ,  die  consecutivo  Pankte 
einer  Geraden  gemein  haben,  in  die  Flächenelemente  der  entsprechen- 
den Bildkugel  überführt,  die  Kummer'sche  Fläche  in  eine  Cy- 
klide  transformirt  wird;  die  Eummer'sche  Fläche  wird  dabd  la- 
gesehen  als  Brennfläche  einer  Congruenz  2ter  Ordnung  und  Classe,  nidt 
als  Singularitätenfläche  einer  Complexschaar  2ten  Grades. 

Hat  man  auf  diesem  Wege  die  Beziehungen  zwischen  Knmmer- 
schor  Fläche  und  Gyklide  vollständig  klar  gelegt,  so  ist  damit  sach 
die  Darstellung  der  Cyklide  durch  hyperelliptische  Functionen  ge- 
eistet. Die  ^  Relationen  bleiben  ja  bei  der  Berührnngstranafor- 
mation  invariant,  sie  ändern  nur  ihre  Bedeutung,  wie  es  das  Ueber- 
tragungsprincip  angiebt 

Dabei  haben  wir  noch  den  Vorteil,  dass  wir  zu  gleicher  Zeit  3 
Arten  der  Darstellung  erhalten,  entsprechend  den  3  Weisen ,  durch 
welche  die  Eummer'sche  Fläche  durch  ^  Functionen  daigestellt 
wurde; 


5)  Cayley:    „On   the   double    ^fanctions   in    conDezion   wHh  e  IS  vods 
qnartic  rarface^,  Crelle's  Jonrnal  Bd.  SS.,  p.  SlO. 

6)  Borcbardt:    „Ueber  die  Daratellaog  der  Kummer'scheii  FlIdM  dvitb 
die  Göpcrsche  biqnadratische  Belaiion  etc.*".    CreUe*8  Jonnial,  Bd.  SS^  p.t34. 

7)  Weber:  „lieber  die  Kammer*sche  Fliehe  4ter  Ordvnng  mit  IS  Km 
teupancten  und  ihre  Beziehnog  sa  den  Thetafanetionen  mit  S  VertnderliebeD* 
Crelle*8  Joamal,  Bd.  84.,  p.  332. 

8)  Rohn :     „Transformation  der  hyperelliptischen  Fnnclionen  p=  «od  S. 
ibre  Bedeutung  fSr  die  Kummer'sche  Fl&che*',  Math.  Annaleo,  Bd.  IS.,  p.  315 

9)  Anschliessend   an   Herrn  Lie   werden  wir  Uiniraalgerade  die  Oerid«s 
nennen,  welche  den  Kngelkreis  treffen,  die  »lignea  de  longueor  nnlle*. 


mä  DoppeOeegelschniit  durch  hypereÜiplische  Functionen.  197 

1.  die  liniengeometrische  Darstellnng  Bohn's; 

2.  die  Borchardt'sche  Darstellung; 

3.  die  Cayley-Weber'sche  Darstellung  ^^). 

In  Folge  dessen  erhalten  wir  auch  3  Serien  von  Gurvensjstemen 
auf  Knmmer'scher  Fläche  und  Cyklide. 

Wenn  wir  in  Folgendem  der  2ten,  indirecten  Methode  den 
Vorzug  geben  und  also  einmal  von  der  Flächenschaar  2ten  Grades 
das  andere  Mal  von  der  Kummer'schen  Fläche  ausgehend,  die  Dar- 
stellung der  Cykliden  durch  hyperelliptische  Transcendente  leisten, 
80  geschieht  dies  zunächst  aus  dem  Grunde  grösserer  Einfachheit. 
Wir  können  ja  das  reiche,  schon  vorhandene  Material  verwerten,  und 
es  kommt  in  der  Hauptsache  nur  auf  eine  Umdeutung  der  bereits 
gewonnenen  Formeln  und  Sätze  an.  Weiterhin  eröffnet  sich  uns  hier- 
durch aber  auch  die  Perspective,  mit  Hilfe  der  Cyklide  als  Zwischen- 
glied eine  Beziehung  zwischen  Fläche  2ten  Grades  und  Kummer'scher 
Fläche  herzustellen  und  so  z.  B.  die  Schliessungssätze  auch  für  die 
Geometrie  der  Kummer'schen  Fläche  zu  verwerten. 

Demgemäss  wird  sich  der  Gang  der  Untersuchung  in  folgender 
Weise  gestalten: 

Im  ersten  Teile  behandeln  wir  die  Beziehungen  zwischen  der 
Flächenschaar  2ten  Grades  und  dem  confocalen  Cykli- 
densystem  und  zwar  im  Iten  Capitel  zunächst  die  (1,2)  deu- 
tige Transformation,  welche  die  Ueberführung  leistet  Wir 
gewinnen  dadurch  im2ten  Capitel  eine  Uebersicht  über  die  ge- 
Btaltlichen  Yerhältnisse  der  Cykliden,  über  den  Verlauf 
der  Krümmnngslinien  und  der  geodätischen  Curven  auf 
denselben. 

Das  3te  Capitel  deutet  das  Abel'sche  Theorem  für 
überall  endliche  Integrale  in  der  Flächenschaar  2ten  Grades  und 
dem  Cyklidensystem.  Wir  finden,  dass  die  Gleichungen  desselben 
Differentialgleichungen  der  2  Flächen  des  Systems  je 
2fach  berührenden  Kreise  sind,  und  erhalten  hierauf  Sätze 
für  die  4  durch  ein  Pnnktepaar  gehenden  Doppelberührungs- 
kreise, sowie  die  Deutung  des  einfachen  Additionsproblems 
im  Cyklidensystem.    Im  letzten  Paragraphen  dieses  Capitels  endlich 


lO)  Die  dreierlei  &  hängen  dabei  so  insammen,  dass  die  der  zweiten  Dar- 
steHnag  ans  denen  der  Iten,  und  die  der  Sten  ans  denen  der  3ten  durch 
quadratische  Transformation  gewonnen  werden  können,  die  der  2  ten  ans  denen 
der  1  ten,  also  durch  Zweiteilung  der  Argumente  herrorgehen. 


198  Domsch:  Die  Darstellung  der  Flächen  vierter  Ordnwtg 

zeigen  wir,  wie  man  zu  Schliessnngssätzen  gelangen  kann,  die 
innerhalb  der  Congruenz  der  gemeinsamen  Doppelberah- 
rnngskreise  zweier  confocaler  Flächen  der  Cyklidenschaar  gelten 
und  führen  dies  an  einem  Beispiel  durch. 

Im  zweiten  Teile  behandeln  wir  nun  die  Transformation 
des  Raumes  der  Eummer'schen  Fläche  in  den  Gykliden- 
ranm,  welche  durch  die  erwähnte  Berührungstransformation 
vermittelt  wird. 

Nachdem  wir  im  ersten  Capitel  zunächst  die  Fundamen- 
talgebilde  in  der  Geometrie  der  Eummer'schen  Fläche 
und  ihre  Uebertragung  betrachtet  haben,  setzen  wir  sodann  die 
einzelne  Kummer'sche  Fläche  in  Beziehung  zur  einzelnen 
Cyklide,  eine  Schaar  Enmmer'scher  Flächen,  die  sich  längs  einer 
ausgezeichneten  Haupttangentencurve  8ter  Ordnung  berühren,  in  Be- 
ziehung zum  confocalen  Cyklidensystem.  Der  Darstellung 
der  Eummer'schen  Fläche  durch  die  Parameter  der  Haopt- 
tangentencurven  entspricht  die  Darstellung  der  Cyklide  durch 
Erümmungslinienparameter. 

Um  nun  die  Abbildung  von  Curven  auf  der  Eummer'schen 
Fläche  in  solche  auf, der  Cyklide  in  möglichst  allgemeiner 
Weise  zu  behandeln,  betrachten  wir  hierauf  zunächst  die  Abbil- 
dung von  Linienflächen,  deren  Erzeugende  einem  aasge- 
zeichneten linearen  Complex  angehören,  und  alsdann  das 
Entsprechen  von  Curven  auf  beiden  Flächen  mit  beson- 
derer Berücksichtigung  der  Singularitäten. 

Das  2t e  Capitel  bringt  nun  die  Anwendung  der  erhaltenen 
Resultate;  wir  betrachten  Eummer'sche  Fläche  und  Cyklide 
unter  Berücksichtigung  der  ^  Functionen.  Den  dreierlei ^ Func- 
tionen, den  lineargeometrischen,  den  Borchardt'schen,  den  Webe^ 
sehen  entsprechen  3  Reihen  von  Curvensystemen  auf  d^ 
Cyklide,  wie  auf  der  Eummer'schen  Fläche;  diese  Corren- 
Systeme  werden  der  Untersuchung  unterzogen. 

Im  S c hl uss capitel  endlich  gehen  wir  noch  etwas  ein  auf  die 
Beziehungen  zwischen  der  Eummer'schen  Flächenschaar 
und  der  Flächenschaar  2ten  Grades,  insbesondere  auf  die 
Uebertragung  der  im  3ten  Capitel  des  ersten  Teils  behandelten 
Schliessungssätze. 


mii  Dof^itOctgelschniU  durch  hfpertUipHsche  Functionen,  199 


I.  Teil. 
Fliehensehaar  Uten  Grades  und  Cyklidensystem* 

I.    C  a  p  i  1 6 1. 

Trantformation  der    FlSohensohaar   2ten  Qrades    in   ein    oonfooaiet 

Cylclidensystem. 

Wie  schon  in  der  Einleitung  erwähnt,  gab  Herr  Darboax  im 
Jahre  1864  in  den  Annales  de  r£cole  Normale,  Bd.  1.  eine  (1,  2)- 
deutige  Transformation  an,  welche  eine  Oberfläche  2ten  Grades  in 
eine  Cjklide,  eine  Flächonschaar  2ten  Grades  in  ein  confocales  Cy- 
klidensystem  verwandelt. 

Ist  nämlich  irgend  eine  Fnndamentalkngel 

gegeben,  so  ordnen  wir  einem  beliebigen  Punkte  fi  die  2  Pnnkt- 
kugeln  m  und  m'  zu,  welche  dem  Kugelbüschel  angehören,  das  durch 
die  Fundamentalkugel  und  die  Polarebene  des  gegebenen  Punktes  (i 
in  Bezug  auf  die  Engel  bestimmt  wird.  Neben  diese  Zuordnung  von 
Paukten  und  Punktepaaren  stellt  sich  eine  solche  von  Ebenen  und 
Pnnktepaaren,  indem  man  jeder  Ebene  das  Punktkugelpaar  ent- 
sprechen lässt ,  das  sich  in  dem  durch  Ebene  und  Fundamentalkugel 
bestimmten  Bfischel  findet.  Beeilen  Ebenen  entsprechen  dann  nur 
reelle  Punktepaare,  wenn  erstere  die  Fundamentalkugel  nicht  schnei- 
den; m  und  m'  sind  also  allein  reell,  wenn  ^  im  Innern  der  Kugel 
liegt.  Es  bildet  sich  auf  diese  Weise  das  Innere  der  Kugel  vermöge 
der  Transformation  auf  den  gesammten  Punktraum  ab. 

Nimmt  man  den  Fundamentalkugelmittelpunkt  zum  Coordinaten- 
aofang  und  nennt  x'y'z'  die  gewöhnlichen  rechtwinkligen  Coordinaten 
des  Punktes  fi,  so  ist  die  Transformation  analytisch  definirt  durch 
die  Formeln: 


1)  y 


2Bo^y 


z    — ■ 


200  Domteh:  DU  DarsUUung  der  Fläehen  vierUr  Ordnung 

Hierbei  sind  (c,  y,  z  die  Coordinaten  des  Panktpaares  mm\  B^ 
der  Radius  der  Fandamentalkngel  ^^). 

Wir  sehen  ohne  weiteres  ans  den  Formeln: 

Beschreibt  (i  eine  Ebene,  so  beschreibt  das  Pnnktepaar  (W) 
eine  Engel,  die  orthogonal  zn  der  gegebenen  ist;  geht  die  Ebene 
durch  den  Eugelmittelpunkt,  so  wird  aus  ihr  wiederum  eine 
Ebene-,  berührt  sie  die  Fundamentalkugel,  so  wird  sie  zu  einer 
Punktkugel,  dem  Berührungspunkt 

Die  Geraden  gehen  mit  Hilfe  der  Transformation  in  Kreise 
über,  die  senkrecht  auf  der  Fundamentalkugel  stehen. 

Einer  Curve  nten  Grades  entspricht  im  Allgemeinen  eine  Cure 
vom  Grade  2n,  die  den  Eugelkreis  in  2h  Punkten  schneidet  Wenn 
indessen  der  Mittelpunkt  der  Fundamentalkugel  ein  ofacher  Pookt 
der  Curve  ist,  so  vermindert  sich  der  Grad  um  a  und  um  ebensoiriel 
die  Zahl  der  Schnittpunkte  mit  dem  Eugelkreis.  Berührt  die  Gnne 
die  Fundamentalkugel  in  einem  Punkte  a,  so  ist  dieser  Punkt  a  ein 
Doppelpunkt  der  transformirten  Curve. 

Im  Speciellen  entspricht  also  einem  Eegelschnitt  eine  sphlrische 
Curve  4ter  Ordnung,  die  den  Eugelkreis  in  4  Punkton  schneidet; 
berührt  der  Eegelschnitt  die  Fundamentalkugel  in  2  Punkten,  so 
zerfällt  die  Curve  4ter  Ordnung  in  2  sich  in  2  Punkten  schneidende 
Ereise. 

Einer  Fläche  nter  Ordnung,  welche  im  Mittelpunkt  der 
Fundamentalkugel  einen  |)fachen  Punkt  besitzt,  entspricht  eine 
Fläche  von  der  Ordnung  (2n— p).  Berührt  die  ursprünf^cbe 
Fläche  die  Fundamentalkugel  in  einem  Punkte  a,  so  hat  die  trus* 
formirte  Fläche  in  a  einen  Enotenpunkt 

Den  Eugelkreis  enthält  die  Fläche  halb  soviel  mal  zählend,  als 
ihre  Ordnung  n  beträgt"). 

Einer  Oberflttche  2ten  Grades  entspricht  im  Allgemeinen  eine 
Fläche  4ter  Ordnung,  die  den  Eugelkreis  als  Doppelcurve  entbUt. 


11)  GenAo  dieselben  Transformationsformeln  begcgneo  nni  bei  Beltraai 
Ann.  di  Ma(.  2.  Ser.,  Bd.  2.,  1S68,  TeoriA  fondam.  degli  spasU  dt  cnrr. 
const.,  sp&ter  bei  Killing,  Bd.  86.  a.  89.  des  Crelle'schen  Jonrn.  Sie  dienca 
daselbst  aar  Transformation  des  gewöhnlicben  Banmes  in  einen  solchea  nicfat- 
euklidischen,  in  welchem  sich  die  Geraden  in  2  Punkten  schneiden. 

12)  Wenigstens  im  Allgemeinen;  ist  der  Mittelpunkt  pfacher  Fnabi  m 
B&hlt  der  Eugelkreis  n — pfacfa. 


wut  DopptüagtUckniU  durch  hyp^rtUiptUckt  Functionen,  201 

Geht  die  Oberfläche  2teii  Grades  durch  den  Mittelpunkt  der  Funda- 
mentalkngel,  so  ist  die  transformirte  Fläche  nur  von  der  3  ten  Ord- 
nung; es  scheidet  sich  die  unendlich  ferne  Ebene  ab,  der  Eugelkreis 
ist  einfache  Linie  auf  dem  Qbrig  bleibenden  Teil. 

Flächen  vierter  Ordnung  aber,  die  den  Engelkreis  als  Doppel- 
cnrre  besitzen,  nennen  wir  nach  dem  Vorgänge  von  Darboux  und 
Montard  Gyklidon.    Wir  haben  somit  den  Satz  erhalten: 

„Oberflächen  2ter  Ordnung  verwandeln  sich  mit  Hilfe  der  ein- 
^^zweideutigen  Transformation,  wie  sie  durch  die  Formeln  1)  ver- 
„mittelt  wird,  in  Cykliden/^ 

Wir  greifen  jetzt  eine  beliebige  Fläche  2  ten  Grades  heraus,  und 
beziehen  dieselbe  in  Gemeinschaft  mit  der  Fundamcntalkugel  auf 
das  ihnen  gemeinsame  Polartetraoder,  dessen  Ebenen  bezeichnet  seien 
durch 

2)  «1  —  0,    a;,  «  0,    ar,  —  0,    «4  «  0. 

Alsdann  können  wir  die  Gleichungen  von  Kugel  und  Oberfläche 
2 ten  Grades  in  der  Gestalt  schreiben: 

Beide  Flächen  bestimmen  eine  ganze  Flächenschaar,  die  der- 
selben Developpabelen  einbeschrieben  ist  und  dargestellt  wird  durch 
die  Gleichung 

wo 

a   •=  -     t  =  1,  2,  3,  4. 

Die  Ebenen  des  gemeinsamen  Polartetraeders  verwandeln  sich 
vermöge  der  Transformation  1)  in  4  Kugeln,  die  orthogonal  zur 
Fandamentalkugel  und  gegen  einander  sind;  sie  bilden  mit  der  Fun- 
damentalkugei  ein  pentasphärisches  Fundamentalsystem; 
die  4  Ecken  des  Polartetraeders  sind  die  4  Centren  der  neu  hinzu- 
kommenden Kugeln. 

Die  Coordinaten  eines  Punktes  in  Bezug  auf  das  Polartetraeder 
verwandeln  sich  durch  die  Transformation,  wie  sich  sofort  ergiebt  ^^), 


13)  Mau  vergleiche  Darbonz,  8ar  nne  cluae  rem.  ete.  p.  133. 


202  Domseh:  Die  Darsteüung  dgr  Flächen  vierier  Ordnung 

in  die  Verhältnisse  der  4  Potenzen  des  Punktes  in  Bezog  auf  die  4 
den  Goordinatenebenen  entsprechenden  Kugeln  zu  der  Potenz  in  Be- 
zug auf  die  gegebene  Fnndamentalkugel ,  jede  Potenz  dividirt  durch 
den  Radius  der  zugehörigen  Kugel  des  Fnndamentalsystems.  Be- 
zeichnet man  demnach  mit  Si  (t »  ] ,  2,  3,  4)  die  4  Potenzen  eines 
Punktes  in  Bezug  auf  die  vier  den  Tetraederebenen  entsprechenden 
Kugeln,  mit  Sq  die  Potenz  in  Bezug  auf  die  Fundamentalkugel,  mit 
Ri  (i »  1,  2,  3,  4)  die  Radien  der  ersteren  4  Kugeln ,  mit  R^  den 
Radius  der  Fundamentalkugel  und  setzt 

5)  ^■"^•'    »  =  ö'  1'  2,  3,  4 
so  erhält  man 

6)  «I  =  — . 

Mit  Hilfe  dieser  Transformationsformel  nimmt  die  Gleichung  der 
Cyklidenschaar,  welche  der  Flächenschaar  4)  entspricht,  die  Ge- 
stalt an 

6)  _&*     +_V_  .   J^^_f*»         0 

Diese  Gleichung  stellt  aber  bekanntlich  ein  3fach  orthogonales 
Gyklidensystem  dar  (Darboux,  a.  a.  0.  p.  134.).  Durch  jedes  reelle 
Punktepaar  im  Räume  (s^e^s^s^)  gehen  3  reelle  Flächen  der  Schaar 
die  sich  rechtwinklig,  also  in  ihren  Krttmmungslinien  schneiden.  Wir 
fassen  dies  Resultat  in  den  Satz: 

„Die  Flächenschaar  zweiten  Grades,  deren  Flächen  derselben 
„Developpabelen  einbeschrieben  sind,  verwandelt  sich  durch  die  ge- 
„gebene  Transformation  in  ein  confocales  Cyklidensystem^\ 

Wir  gelangen  zu  demselben  confocalen  Gyklidensystem,  wenn  wir 
von  4  anderen  Flächen  2ten  Grades  ausgehen,  deren  reciproke^^) 
Flächen  mit  der  reciproken  Fläche  der  durch  3)  dargestellten  con- 
focal  sind,  und  mit  der  letzteren  gemeinschaftlich  von  einer  Gleicbaog 
5ten  Grades  abhängen  ^^);  die  ursprünglichen  vier  Flächen  bilden 
also  mit  der  durch  3)  dargestellten  ein  Flächenbüschel  2teii  Grades. 
Indem  wir  dergestalt  einer  jeden  derselben  eine  bestimmte  der  4 
übrigen  Kugeln  des  Fundamentalsystems  zuordnen ,  erhalten  wir  4 
neue  Flächenschaaren,  und  diese  transformiren  sich  in  dasselbe 
Gyklidensystem. 


1 4)  Reciprok  in  Bezug  auf  je  1  der  Fandamentalkngelo. 

15)  Darboux,  a«  a«  O.  p.  114. 


mit  DoppelkegeUcfiniU  durch  hypereliiptische  Functionen,  203 

Statt  die  Flächenschaarcu  za  transformiren,  können  wir  natür- 
lich auch  die  rcciprokcn  Fläcbcnbüschel  in  Betracht  ziehen,  indem 
wir  den  Ebenen  des  Raumes  des  Flächeubüschels  die  Pnnktepaare 
entsprechen  lassen. 

Eine  Fläche  aus  einem  der  Büschel  ist  alsdann  der  Ort  der 
Ceutren  der  co^  Kugelschaar,  deren  Engeln  die  entsprechende  Cy- 
klide  je  doppelt  berühren  und  sie  dergestalt  erzeugen. 

Neben  diese  eine  Erzeugung  siellen  sich  4  andere  dnrch  weitere 
4  Eugelschaaren ,  die  Centren  bilden  4  Flächen  aus  den  4  übrigen 
Büscheln,  die  mit  der  aus  dem  ersten  Büschel  confocal  sind^^). 

Die  Durchschnittscurve  einer  Engel  und  einer  beliebigen  Fläche 
2ter  Ordnung  hat  entweder  keine  reellen  Punkte,  oder  besteht  aus 
zwei  paaren  Zügen  oder  aus  einem  paaren  Zuge. 

Ist  eine  der  Fundamentalkugeln  ohne  reelle  Punkte,  aber  mit 
reellem  Centrum,  d,  h.  sind  die  Coefficienten  reell,  so  ist  die  Durch- 
schnittscurve ohne  reelle  Punkte,  das  Polartetraeder  hat  dann  be- 
kanntlich 4  reelle  Ecken.  Also  haben  die  4  Übrigen  Engeln  des 
Fandamentalsystems  reelle  Centren.  Dann  müssen  2  der  5  Engeln 
coujugirt  sein,  d.  h.  im  Centrum  übereinstimmen  und  Radien  der 
Form  II  resp.  i.R  besitzen.  Es  ist  also  der  Mittelpunkt  der  Aus- 
gangskngel  ohne  reelle  Punkte  zugleich  der  Mittelpunkt  einer  zweiten 
Engel  des  Orthogoualsystems  mit  reellen  Punkten.  Da  in  diesem 
Falle  3  der  Ebenen  des  Polartetraeders  durch  den  Mittelpunkt  der 
Eugel  gehen,  so  fällt  die  vierte  Ebene  des  Tetraeders  mit  der  un- 
endlich fernen  Ebene  zusammen,  und  weiterhin  wird  das  Fünfkugel- 
sjstem  aus  3  orthogonalen  Ebenen  und  2  Engeln  gebildet,  die  ihre 
Mittelpunkte  im  Schnittpunkte  jener  3  Ebenen  haben,  deren  Radien 
aber  von  der  Form  i2,  beziehentlich  i.R  sind. 

Da  in  diesem  Falle  alle  5  Polartetraeder  reelle  Ecken  besitzen, 
80  bestehen  die  5  Durchschnittscurven  der  5  Engeln  mit  den  5  De- 
ferenten  entweder  aus  je  2  paaren  Zügen  oder  sind  Curven  ohne 
reelle  Punkte.  Diese  5  Curven  sind  die  Focalcurven  des  Cy- 
kliden Systems,  2  von  ihnen  sind  reell  und  bestehen  also  aus  je 
2  paaren  Zügen,  3  dagegen  haben  keine  reellen  Punkte. 

Das  orthogonale  Fünf  kugelsystem  kann  aber  auch  so  beschafifen 
sein,  dass  3  Eugeln  reelle  Punkte  besitzen,  2  Engeln  dagegen  nnr 
imagiiiäre   Punkte   und    dabei   conjugirt  im^tginäre   Centren.     (Die 


16)  Diese  Fliehen,  die  den  Ort  für  die  Centren  der  doppelt  berührenden 
Engeln  bilden,  nennt  Herr  Darbonx  „Deferenten*'. 


204  Do  ms  eh:  Die  Darstellung  der  Flächen  vierter  Ordnttng 

GIcichuDgeD  der  letzteren  haben  alsdann  keine  reellen  Goefficienten, 
sondern  letztere  haben  conjngirt  imaginäre  Werte.). 

Gehen  wir  in  diesem  Falle  von  einer  der  reellen  Kngeln  aos, 
so  erhalten  wir  ein  Polartetracder  mit  2  reellen  und  2  conjagirt 
imaginären  Ecken.  Die  Dnrchschnittscurve  mit  der  entsprechenden 
dcferenten  Fläche  besteht  demnach  bei  allen  3  reellen  Engeln  jedes- 
mal ans  einem  paaren  Zng  mit  reellen  Punkten,  es  sind  also  3 
Focalen  des  Cyklidensystems  reell  und  bestehen  ans  einem  paaren 
Zng.  In  diesem  Falle  hat  die  Gleichung  der  Flächenschaar  2teo 
Grades,  bezogen  auf  das  kanonische  System  2),  keine  redien  Coef- 
ficienten  mehr,  in  der  Gleichung  4)  sind  jetzt  2a»  conjngirt  imaginär 
ebenso  wie  die  entsprechenden  2xi,  Es  gehen  jetzt  nicht  mehr  durch 
jeden  Punkt  des  Raumes  3  reelle  Flächen  der  Schaar,  sondern  nnr 
durch  die  im  Innern  der  Engel  gelegenen  Punkte.  Nun  bildet  sich 
aber  das  Innere  der  Engel  auf  den  gesammten  Gyklidenranm  ab;  es 
gehen  also  trotzdem  im  Cyklidenraum  durch  jeden  reellen  Punkt  im 
Räume  3  reelle  Flächen  des  confocalen  CyklidensTstems  hindorch. 
Die  Cyklidon  des  confocalen  Systems  haben  in  diesem  Falle  aber 
eine  wesentlich  andere  Gestalt  als  in  dem,  wo  nur  eine  der  Kugeln 
ohne  reelle  Punkte  war.  Die  Cykliden  sind  in  diesem  Falle  durch- 
weg einteilig,  der  Schnitt  mit  einer  Symmetrieebene  liefert  ein  Cor- 
vensystom,  wie  es  sich  bei  Herrn  Holzmflller  ^^)  gezeichnet  findet 


IL    Gapitel. 
Qestaltliche  Verhältnisse  der  Cykliden. 

§  1.     Hauptfortnen, 

Betrachten  wir  im  Raum  der  Flächenschaar  2ten  Grades  die 
Fundamentalkugel,  oder  irgend  eine  andere  Fläche  der  Schaar  als 
Fundamentalfläche  der  Massbestimmung  ^^),  so  stellt  die  Flächen- 
schaar in  dieser  Massbestimmung  ein  dreifach  orthognoales  Flächen- 
system dar.    Durch  jeden  reellen  Punkt  gehen  3  reelle  Flächen  der 


17)  ^Einfähraog  in  die  Theorie  der  isogonalen  Verwandtschafteo",  Taf. 
64.  n.  66.  Man  rergl.  auch  Siebeck,  Cr.  Jonrn.,  Bd.  ^7.,  p.  959.,  Bd,  S9., 
p.  173- 

18)  Cayley  war  der  erste  („Sixth  Memoir  upon  Quantics*',  Phil.  Traat- 
actions  Bd.  149.,  1S59)  der  zn  der  Anffasssang  gelangte,  das  irMass"  nicht 
dem  Gebilde  anhaften  so  lassen,  sondern  es  darsustellen  als  Besiehnag  la 
einem  «weiten  Gebilde.  Man  yergleiche  auch  Klein:  „Ueber  die  sogeaanate 
Nicht-Enklidische  Geometrie",  Math.  Annalen  Bd.  4.,  p.  57S.,  Bd.  6.,  p.  HS* 


mtir  DüppelkegeltchniU  durch  hyperelUptüehe  F\tnctionen.  205 

Schaar,  and  diese  schneiden  sich  jeweils  in  den  Krümmangslinien  im 
erweiterten  Sinne  des  Wortes. 

Beschränken  wir  uns  jetzt  ausserdem  auf  den  Fall,  wo  alle 
Polartetraeder  4  reelle  Ecken  besitzen,  wo  also  nur  eine  Engel 
ohne  reelle  Punkte  ist,  aber  reelle  Coefficienten  hat,  and  greifen  die 
Flächenschaar  heraas,  die  za  der  letzteren  Kugel  gehört,  so  besitzt 
diese  Fl&chenschaar  die  grösste  Aehnlichkeit  mit  einem  gewöhnlichen 
confocalen  System,  bei  welchem  der  Kagelkreis  zar  Flächenschaar 
gehört;  namentlich  sind  die  Realitätsverhältnisse  vollkommen  über- 
einstimmend. 

Nehmen  wir  die  Ausgangsflächo  2ten  Grades  zadem  so  an,  dass 
ihr  Mittelpaukt  mit  dem  der  in  Bede  stehenden  Kagel  überein- 
stimmt, so  besteht  das  Polartetraeder  aus  den  3  sich  recht- 
winklig schneidenden  Haupt  ebenen  im  Verein  mit  der  unend- 
lich fernen  Ebene. 

Setzen  wir  in  4) 

80  erhalten  wir  bekanntlich  für 

I.    «1  >  i  >  ög    Zweischalige  Hyperboloide 

X  »  aj         Focalhyperbel  in  der  Ebene  a;,  »  0. 

IL    »2  >-  X  >-  oj    Einschalige  Hyperboloide 

X  B3  oj         Focalellipse  in  der  Ebene  x^  »  0. 

ni.    a3>i>a4    Ellipsoide. 

Der  Verlauf  der  Krümmungslinien  im  projectiven  Sinne  auf  einer 
Fläche  der  Schaar  ist  in  diesem  Falle  vollständig  analog  wie  im  Fall 
eines  gewöhnlichen  confocalen  Systems;  auch  jetzt giebt  es  auf  jedem 
EUipsoid  and  jedem  2  schaligen  Hvperboloid  die  bekannten  Singu- 
laritäten in  den  den  Nabelpunkten  des  gewöhnlichen  confocalen  Sy- 
stems entsprechenden  Punkten,  den  Dnrchschnittspunkten  mit  den 
Focalcarven. 

Diese  Analogie  hört  aber  auf,  sobald  wir  eine  Flächenschaar 
betrachten  mit  einem  Polartetraeder,  von  dem  2  Ecken  und  2  Ebenen 
conjagirt  imaginär  sind. 

Wir  wollen  zu  gleicher  Zeit  erwähnen,  dass,  wofern  wir  allge- 
meinste Flächenschaaren  2ten  Grades  betrachten  würden,  also  statt 
der  zu  Grande  gelegten  Kugel  eine  beliebige  Fläche  2ten  Grades 
nehmen,  die  besprochene  Transformation  uns  aaf  ein  System  von 


206  Domschi  Die  Darsreüung  der  Flächen  vierter  Ordnung 

Flächen  4ter  Ordnung  mit  einer  gemeinsamen  Doppelcnrve  2teB 
Grades  von  allgemeinem  Charakter  führen  würde.  Die  Sätze  fiber 
Gyklide  und  Cyklidensjstem  sind  also  auch  von  hier  ans  einer  so- 
fortigen Erweiterung  auf  Flächen  4ter  Ordnung  mit  Doppelkegel- 
schnitt und  Systemen  von  solchen  Flächen  fähig,  (cf.  EinleituDg 
p.  193.). 

Durch  die  gegebene  Transformation  gehen  die  3  Goordinatea- 
ebenen  arj  »^  0,  a^  »  0,  a^s  »  0,  die  den  Mittelpunkt  gemeioschAft- 
lich  enthalten,  in  sich  über;  wir  wollen  sie,  als  Kugeln  mit  uuendlich 
grossem  Radius  betrachtet,  s^  «0,  «^  «=  0,  «3  =  0  nennen.  Die  nn- 
endlich  ferne  Ebene  verwandelt  sich  in  eine  Kugel  mit  endlichem 
reellen  Radius  «4  =  0,  die  ihren  Mittelpunkt  im  Schnittpunkt  jener 
3  Ebenen  besitzt 

Jede  Fläche  der  Flächenschaar  2  ton  Grades  mit  reellen  Punkten 
geht  durch  die  Transformation  in  eine  Gyklide  derselben  Eigenschaft 
über.  Wir  geben  zunächst  eine  übersichtliche  Zusammenstellung  der 
verachiedenen  Formen: 

I.    Ol  3>  iL  >>  «a    Zweiscbalige  Gykliden  (Schalen  auseinander) 

Grenzwerte  X  =  a^     ^«=»03 
Grenzflächen  «^  «=«  0    «2  =  0 
In  «2  =  0  liegt  eine  reelle  Focalcurve. 

IL    «a  >  A  >•  oj    Ringförmige  Gykliden 

Grenzwerte  ^  =  o^    ^  =*  03 

Grenzflächen  «2  =»  0    «3=0 

In  beiden  Grenzflächen  reelle  Focalcurven. 

III.  «3  >  il  >  «4    Zweiscbalige  Gykliden  (Schalen  ineinander) 

Grenzwerte  A  =  ag    A  »  o« 
Grenzflächen  «3  =  0    «4  «  0 
In  »8  "^  0  ®iJi6  reelle  Focalcurve. 

IV.  «4  >  A  >  «1    Gykliden  ohne  reelle  Punkte. 

Die  Grenzflächen  werden  von  den  Focalcurven  begrenzt,  von 
denen  also  2,  auf  «2=0  und  «3  =  0  gelegen,  reell  sind. 

I.    Zweiteilige  Gykliden  mit  auseinander  ligendon 

Schalen. 

Ol  >  A  >  oj. 

Diese  Gykliden  beginnen  mit  der  doppelt  überdeckten  Ebene 
#1  » 0  und  hören   auf  mit  dem   von   der  in  m^«=^0   verlaufenden 


mit  DoppelkegeUcknitt  durch  hyptrtlUptUche  Functionen.  207 

lemniskatischen  Focalcurre  begrenzten  ioneren  Teile  von  e^  =  0. 
Dazwischen  legen  sich  die  übrigen  Flächen,  immer  eine  von  der 
folgenden  nrnschlossen.    (Siehe  Fig.  !.)• 

II.    Ringförmige  Gykliden. 

Diese  Gykliden  beginnen  mit  dem  doppelt  überdeckten,  von  der 
genannten  Focalcnrve  begrenzten  äussern  Teile  von  «^  « 0  nnd 
endigen  für  il  -»  o^  mit  dem  doppelt  überdeckten,  von  der  Focalcnrve 
daselbst  begrenzten  Innern  Teile  von  «3  »  0.  (Siehe  Fig.  1.).  Die 
Gestalten  der  zwischen  liegenden  Gykliden  kann  man  sich,  von  der  zu- 
letzt genannten  Grenzfläche  ausgebend  vorstellen,  indem  man  letztere 
sich  immer  mehr  aufblähen  lässt,  doch  so,  dass  2  Einschnürungen 
in  «2  —  0  sich  einstellen.  Hier  wächst  der  verticale  Symmetrie- 
scbnitt  langsam  bis  zur  lemniskatischen  Focalcnrve  als  oberen  Grenze. 

III.    Zweiteilige  Gykliden  mit  ineinander  liegenden 

Schalen. 

Diese  Gykliden  beginnen  mit  dorn  nicht  schraffirten  doppelt  über- 
deckten Teile  von  «3  »  0  (siehe  Fig.  2.)  und  gehen  alsdann  über  in 
Flächen,  deren  eine  Schale  die  andere  nmscbliesst  Die  Schalen 
nähern  sich,  je  mehr  X  abnimmt,  immer  mehr  und  mehr  und  fallen 
far  iL  -»  a^  zusammen ,  indem  sie  alsdann  die  Kugel  «4  »  0  in  ihrer 
vollen  Ausdehnung  doppelt  überdecken;  natürlich  mnss  dann  die 
Focalcurvc  auf  dieser  Grenzfläche  ohne  reelle  Punkte  sein. 


§  2.     Krüntmungslinien, 

Die  Erümmungslinien  (im  projectiven  Sinne)  der  Flächenschaar 
2ten  Grades  verwandeln  sich  durch  unsere  Transformation  in  die 
Krümmungslinien  der  Gykliden  des  confocalen  Systems  im  gewöhn- 
lichen Sinne  des  Wortes,  da  ja  das  Gyklidensystem  ein  dreifach  ortho- 
gonales Flächensytem  ist.  Auf  jeder  Gyklide  der  Schaar  werden  die 
Erümmungslinien  von  Gykliden  ausgeschnitten,  die  den  beiden  noch 
übrigen  Hauptarten  mit  reellen  Punkten  angehören.  Durch  jeden 
Punkt  der  herausgegriffenen  Gyklide  gehen  infolgedessen  2  Erüm- 
mungslinien, die  auf  einander  senkrecht  stehen.  Sie  sind  im  Allge- 
meinen von  der  8ten  Ordnung;  nur  die  5  Schnitte  mit  den  Kugeln 
des  Fundamentalsystems  ergeben  Gurven  4ter  Ordnung  (vom  Ge- 
schlecht 1);  auf  den  ringförmigen  Gykliden  sind  4  dieser  Gurven 
reell,  auf  den  übrigen  Gykliden  nur  3.     2  Krümmungslinien  Ster 


208  Domseh:  Die  Darstellung  der  FtärMen  vierier  Ordtntng 

Ordnang  schneiden  sich  in  16  Punkten.  —  Diese  sind  «»^rofJipli 
reell,  wenn  die  Erümmnngslinien  von  verschiedener  Art  sind,  dagoges 
sämmtüch  imaginär  bei  Erümmnngslinien  derselben  Art 

Die  gestaltlichen  Verhältnisse  dieser  Cnrven  veranschaolichen  am 
besten  die  Fignren  (siehe  Fig.  2.,  3.,  4.;  die  ringförmige  Cjklide, 
Fig.  3.,  ist  schematiscb  als  Ring  gezeichnet) 


§  3.     Oeodätische  Linien, 

Bei  der  eingeführten  projectiven  Massbesümmong  im  Banm  der 
Flächenschar  2ten  Grades  bleiben  die  Geraden  natttrlich  geodä- 
tische Linien;  das  Linienelement  derselben  wollen  wir  mit  <ia  be- 
zeichnen. 

Durch  die  in  Rede  stehende  Transformation  nun ,  welche  die  Ge- 
raden in  Orthogonalkreise  zur  Fundamentalkugel  ftberfthrt,  trssa- 
formirt  sich  das  Linienelement  da  in 

wo  dt  das  Linienelement  in  gewöhnlicher  Massbestimmnng  und  S  die 
Potenz  des  in  Betracht  gezogenen  Punktes  in  Bezug  auf  die  Fusda- 
mentalkugel  bedeutet;  dieses  <2Z  ist  das  Linienelement  eines  Ortho- 
gonaikreises  zur  FundamentalkugeP^). 

Die  projective  Massbestimmung  des  ersten  Raumes,  die  sich  hä 
Collineationen  reducirt,  wird  damit  übergefQhrt  in  eine  Massbestim- 
mung, die  sich  einer  Transformation  durch  redproke  Radien  gegen- 
ftber  covariant  verhält  ^  bei  letzterer  gehen  ja  Kugeln  wiederom 
in  Kugeln,  Kreise  in  Kreise,  Kugelenveloppen  in  Kugelenveloppen 
über.  In  dieser  Massbestimmung  werden  alsdann  die  geodätischea 
Linien  durch  jene  Orthogonalkreise  vertreten.  Diese  Massbestim- 
mung wollen  wir  eine  anallagmatische  nennen'^). 


19)  cf.  DArboQX,  a.  a    O.  p.  231.,  p.  217. 

20)  Die  Geometrie  in  dieser  Massbestimmaog  ist  anabhaogig  tob  DA^ 
boox  betrachtet  worden  von  Beltrami:  Teoria  fondam.  degU  spaxii  di  cir- 
yatnra  const.  Ann.  d.  Ma^.  2.  S.  2.  B.  und  im  Anschluss  daran  ron  Kfl- 
ling:  „Ueber  2  Banmformen  mit  const.  pos.  Krümmg.**  Bd.  86.  des  Cr.  J- 
Wir  wollen  noch  erw&hnen,  dass  in  neuester  Zeit  namentlich  Herr  Poincarf  ia 
seinen  Fablicationen  in  den  Acta  Math,  von  der  gedachten  MassbestiauBiiBf 
ausgedehnten  Gebrauch  macht,  wenn  auch  zumeist  im  Raum  von  2  Dinco- 
sionen  und  mit  der  Modification,  dass  bei  ihm  der  Fundamentalkreis  die  Aae 
der  reellen  Zahlen  ist 


mit  Doppeikegelseknitt  durch  hyptreüiptischt  Functionen.  209 

f^ntsprechend  dem  Fundamentalsatz  der  projectiven  Massbestim- 
„muDg  ist  alsdann  die  Entfernung  2er  Punkte  definirt  als  der  Loga- 
,,rithmns  des  Doppelverhältnisscs  der  gegebenen  2  Punkte  mit  den 
„Schnittpunkten  des  hindurchgelegten  Orthogoualkreises  mit  der 
„Fandamentalkugel.'^ 

Fixiren  wir  in  der  vorgeführten  Weise  die  Massbestimmnngen 
in  nnsem  beiden  Bäumen,  so  können  wir  den  Satz  aussprechen: 

„Geodätische  Linien  verwandeln  sich  durch  die  Darboux'sche 
„Transformation  wiederum  in  geodätische  Linien." 

Sind  uns  2  confocale  Flächen  2ten  Grades  gegeben,  so  wissen 
wir,  dasa  die  gemeinsamen  Tangenten  an  die  beiden  Flächen  geo- 
dätische Linien  auf  den  Flächen  umhüllen.  Den  gemeinsamen  Tan- 
genten au  die  confocalen  Flächen  2ten  Grades  (confocal  im  projectiven 
Sinne)  entsprechen  je  2  fach  berührende  Kreise  an  die  entsprechenden 
2  confocalen  Cykliden ;  diese  umhüllen  also  in  der  definirten  anallag- 
matischen  Massbestimmung  ebenfalls  geodätische  Linien  auf  den  Cy- 
kliden. 

II L    Capitel. 

Das  Abel'sche  Theorem  für  überall  endliche  Integrale  und  seine  Bedeutung 
für  Fläohenschaar  2ten  Qrades  und  Cyklidensystem. 

§  1.     Die  Congruenz  der  gemeinsamen  Tangenten  zweier 

con/ocaler  Flächen. 

Greift  man  aus  der  Schaar  der  Flächen  2ten  Grades  ein  Ellip- 
soid  l  =  Xq  und  ein  einschaliges  Hyperboloid  fc  «  fiQ  heraus ,  (wir 
beschräuken  uns  hierbei  auf  den  in  Cap.  IL  §  1.  zuerst  angeführten 
Hauptfall,  für  welchen  die  Realitätsverhältnisse  dieselben  sind  wie 
beim  gewöhnlichen  confocalen  System)  und  beschränkt  man  die 
Yariabilität  der  3  elliptischen  Parameter  v,  f(,  ^  eines  Kaum- 
punktes dergestalt,  dass 

1)  öi>v>ö2     f*o>^>as     ^0>^>«4 

ist,  d.  h.  zieht  man  diejenigen  reellen  Punkte  allein  in  Betracht,  von 
welchen  aus  sich  4  reelle  Tangenten  an  die  beiden  Flächen  Xq  und  jUq 
legen  lassen,  so  zeigt  Herr  Staude  in  der  bereits  genannten  Habili- 
tationsschrift p.  22,  dass  die  Congruenz  4ter  Ordnung  und  Classe  der 
gemeinsamen  reellen  Tangeuten  der  beiden  Flächen  Xq  und  t^'o  dar- 
gesteUt  wird  durch  das  simultane  System  von  Differentialgleichungen : 


(dX      dfi   ^^dv 
J     XdX        fidiiL       vdv 


2) 

J  AXXiL  ILflU.  VtLV 


WO 
▲reh.  d*r  Ibtli.  n.  Pliyi.   2.  Reih«,  TeU  II.  1^ 


210  Domsch:  Die  Darstellung  der  FlSchen  vierter  Ordnung 

A  -  V(ai-il)(a,-A)(aj-i)(i„-A)(l-«4)(,i,-i) 

3)       \  M->y(ai  — ^)(aj-^)(^  — o,)(j»-a4){j»  — Ao)(m«-«») 
N  -  iiflr-v)  (v-a,)  (v-o,)  (»_«4)(»^  io)  (v-h) 

dX    <2it     dv 
und  'l*  '^»  ^  sämmtlich  dasselbe  Vorzeichen  besitzen. 

„Die  Gleichungen  2)  sind  aber  nichts  anderes  als  das  Aberscbe 
„Theorem  für  die  überall  endlichen  Integrale  vom  Greschlecht  p  »  2/' 

Die  Fortschreitongsrichtung  von  einem  Pnnkte  P  »  il,  fi,  v  n 
einem  Nachbarpunkte  X-j-cU,  fi-|-^^i»i  v-f-^v  giobt  also  die  Richtong 
einer  gemeinsamen  Tangente  2'  an  die  Flächen  Xq  and  ^o,  wenn  die 
Differentiale  c^il,  r/^,  <2v  den  Gleichungen  2)  genügen  mit  einer  der 
4  verschiedenen  Gombinationen  in  den  Vorzeichen  der  Verhältnisse 
der  Quadratwurzeln  ^,  M,  N. 

In  diesem  Sinne  gehört  jedem  durch  seine  Endpunkte  1,  m  i' 
und  il-f-^^i  f^+^^f*)  v-\'dv  charakterisirten  Linienelemente  dser 
solchen  Tangente  T  eine  bestimmte  Gombination  in  den  Vondchen 
der  Verhältnisse  der  Quadratwurzeln  ^^  M,  N  zu.  Man  kann  aber 
darüber  hinaus  dem  Elemente  der  Tangente  eine  bestimmte  Gombi- 
nation der  Vorzeichen  der  Quadratwurzeln  ^,  M,  N  selbst  zuordnen, 
wenn  man  über  das  Vorzeichen  einer  der  letzteren  eine  bestimmte 
Festsetzung  macht. 

Lässt  man  den  Anfangspunkt  P  «  A,  fi,  v  des  Elementes  Iftngs 
der  betreffenden  Tangente  T  stetig  fortlaufen,  so  werden  sicli  die 
den  successiven  Elementen  zugehörigen  Wurzelfunctionen  A,  M,  iV 
stetig  ändern  und  ihre  Vorzeichen  beibehalten,  so  lange  keinei  der 
Differentiale  dX^  ^fi,  dv  sein  Vorzeichen  wechselt  Es  liegen  aber 
auf  jeder  Tangente  6  Punkte,  in  denen  ein  derartiger  Zeichenwechsel 
stattfindet,  nämlich  die  beiden  Berührungspunkte  der  Tangente  mit 
den  Flächen  k^  und  ^o  ^^^  ^^^  ^  Schnittpunkte  mit  den  Ebenen  des 
Coordinatcntetraeders,  auf  welches  die  Gleichung  der  Flächenschaar 
bezogen  ist    Diese  6  Punkte  sind  durch  die  Werte 

je  einer  der  elliptischen  Coordinaten  charakterisirt,  und  es  bilden  die 
Wertepaare 

nach  den  Ungleichungen  1)  zugleich  die  Grenzen,  innerhalb  deren  die 
elliptischen  Coordinaten  A,  ^,  v  eines  Punktes  einer  reellen  Tangeata 
der  beiden  Flächen  Aq  und  (Iq  sich  bewegen. 


mä  DoppelkegeUehmU  durch  hyperelUptische  Functionen.  211 

„Wenn  also  der  Anfangspunkt  P »  iL,  fi,  v  des  Elementes  d$ 
,,der  Tangente  T  die  ganze  im  Unendlichen  gescblossen^gedachte  Tan- 
,^entc  durchläuft,  so  wechselt  jede  der  zugehörigen  Wurzelfunctionen 
„^,  JM,  N  zweimal  das  Vorzeichen." 

Nun  nimmt  auch  jede  der  Yariaheln  A,  fi,  v  längs  der  Taugente 
jeden  der  ihr  durch  die  Ungleichungen  1)  zugewiesenen  Wert  je 
zweimal  an;  es  unterscheiden  sich  aber  zwei  Stellen,  in  denen  die 
Variabclo  den  nämlichen  Wert  hat,  durch  das  Vorzeichen  der  zuge- 
hörigen Quadratwurzel  resp.  A^  M  oder  N.  Jeder  Punkt  liegt  nun 
auf  4  solchen  Tangenten,  die  durch  ihn  hindurch  gehen,  es  gehören 
ihm  also  4  durch  ihre  Vorzeichen  allein  verschiedene  Systeme  A^  iW,  JV 
zu ;  einer  der  Wurzelfunctionen  (Herr  Staude  wählt  N  dazu)  können 
wir  ein  bestimmtes  für  alle  4  Tangenten  gleiches  Vorzeichen  zuer- 
teilen; dann  haben  die  4  zu  einem  Punkt  gehörigen  Tripel  A^M^N 
die  Vorzeichen: 

++«;   — h«;   +— «; «• 

Bei  Herrn  Staude  ist  €  =»  -f-  oder  =  -,  je  nachdem  x^.x^  po- 
sitiv oder  negativ  ausfUllt. 

§  2.     Die  Congruenz  der  Doppelberührungshreise 
zweier  con/ocaler  Cykliden. 

Um  die  Kesultate  des  vorigen  Paragraphen  auf  den  Cyklidenraum 
zu  übertragen,  wollen  wir  zunächst  bemerken,  dass,  wie  im  Raum  der 
Flächenschaar  jeder  Punkt  durch  die  Parameter  A,  fi,  v  der  3  durch 
ihn  hindurchlaufenden  reellen  Flächen  2ter  Ordnung  der  Schaar  be- 
stimmt wird,  im  Cyklidenraum  jedes  Punktpaar,  das  conjugirt  ist  in 
Bezug  auf  *o  ="  ^  (d.  h.  nur  im  Vorzeichen  der  Coordinate  sq  ver- 
schieden ist^^)  bestimmt  ist  durch  die  3  Parameter  X,  n^v  der  durch 
dasselbe  hindurchlaufenden  3  Cykliden  mit  reellen  Punkten,  und  zwar 
bestimmt  auch  hier  ein  Werttripel  Xfiv  8  solche  Punktpaare. 

Offenbar  stellen  die  Gleichungen  2)  jetzt  die  Differential- 
gleichungen der  jede  von  2  Flächen  des  Systems  dop- 
pelt berührenden  Kreise  dar,  und  zwar  sind  diese  Flä- 
chen eine  Cyklide  vom  Typus  3  (2schalig,  Schalen  in 
einander)  und  eine  vom  Typus  2  (ringförmig). 

Beschränken  wir  auch  jetzt  die  Variabilität  der  Parameter  durch 
die  Ungleichungen  1),  so  gehen  wieder  durch  jedes  Punktpaar  des 
durch  1)  beschränkten  Raunies  4  reelle  Kreise,  die  jede  der  2  gege- 


21)  Bin  solches  Fanktpaar  liegt  natürlich  harmonisch  zu  den  Schnittpunkten 
seiner  Verbindangslinie  mit  der  Fandamentalkagel  s^  r:z  0. 


212  Dom  seh:  Die  DctrtUUung  der  Flächen  vierter  Ordmmg 

benen  Flächen  A^  und  fio  in  zwei  in  Bezug  auf  «^  »  0  conjogirten 
Punkten  berühren. 

Genügen  also  die  Differentiale 

dl^     dfi,     dv 

den  Gleichungen  2),  so  geben  uns  die  FortschreitangsrichtaDgen  von 
einem  Punktpaare  {PP^)  =  (A,  fi,  v)  zu  einem  Nachbarpnnktpa&re 
(A-f-dA,  fA+rf,a,  v+rfv)  die  Richtungen  der  gemeinsamen  Doppel- 
berilhrungskreise  an  die  Flächen  Aq  und  fio  in  dem  in  Betracht  ge 
zogcnen  Punktpaare;  die  4  Richtungen,  die  von  je  einem  Punkte  des 
Paares  auslaufen,  sind  untereinander  unterschieden  durch  die  Vor- 
zeichen der  Verhältnisse  der  Wurzelfunctionen  A^  M,  JV.  Jeder  der 
4  Richtungen,  die  von  dem  betrachteten  Punktpaare  (PF')  auslaafen^ 
gehört  eine  bestimmte  Combination  der  Vorzeichen  zu.  Giebt  mao 
wiederum  N  ein  festes  Vorzeichen  e  (e  ==  +  oder  =«  — ,  jenachdem 
H '  «8  positiv  oder  negativ  ist),  so  sind  die  4  Richtungen  der  durch 
das  Punktpaar  (PP')  hindurchlaufenden  Kreise  der  betrachteten  Con- 
gruenz  individualisirt  durch  die  Vorzeichencombinationen 

+  +  e;    — h«;   H — f; «• 

Das  erste  Vorzeichen  in  jedem  Tripel  bezieht  s^cb  auf  A^  das 
zweite  auf  M, 

Betrachten  wir  jetzt  einen  einzelnen  der  4  Kreise,  die  durch  dtf 
Punktepaar  (PP')  =  (A,  fi,  v)  gehen. 

Wir  lassen  wiederum  das  Punktpaar  (PP^)  längs  des  ganzen 
Doppelbcrührungskreises  stetig  fortlaufen;  es  werden  sich  dann  die 
den  successiven  Elementen  zugehörigen  Wurzelfunctionen  A^  M,  S 
stetig  ändern  und  ihre  Vorzeichen  nur  wechseln  mit  resp.  dl^  dfi^dv 
zusammen.  Ein  Zeichenwechsel  dieser  Grössen  findet  aber  anf  be> 
sagtcm  Kreise  allein  in  6  Punktepaaren  statt,  (jedes  Pnnktepaar  ist 
conjugirt  in  Bezug  auf  die  Fundamentalkugel  «o  «  0). 

Diese  6  Punktepaare  sind  charakterisirt  durch  die  Werte  je  einer 
der  cyklidischen  Coordinaten 

wo  wiederum  die  Wertepaare 

die  Grenzen  bilden,  innerhalb  deren  die  cyklidischen  Coordinaten 
resp.  A,  fi,  V  eines  Punktepaares  eines  reellen  Doppelberührnngs- 
kreises  der  beiden  Flächeu  Iq  und  fio  sich  bewegen. 


mit  DappetkegeUehmtt  durch  hyperelliptiscke  fSinettonen,  213 

Wir  haben  demnach  den  Satz: 

„Wenn  ein  Punktpaar  (PF^)  =  (A,,  fi,  v),  das  conjugirt  ist  in 
„Bezog  anf  #o  "^  0,  einen  Doppelbortthrungskreis  dergestalt  durchläuft, 
„dass  jeder  Punkt  des  Paares  einen  Halbkreis ^^)  beschreibt,  indem 
„P  bis  P'j  F'  in  derselben  Richtung  bis  P  geht,  so  wechselt  jede  der 
^^zugehörigen  Wurzelfunctionen  A^  M,  iV  auf  jedem  Halbkreis  zwei- 
,,mal  das  Vorzeichen/ 


(4 


Wir  brauchen  darum  immer  nur  den  einen  Halbkreis  in  Betracht 
zu  ziehen;  auf  dem  andern  haben  wir  nur  eine  genaue  Wiederholung 
dessen,  was  anf  dem  ersteren  geschieht;  jeder  Punkt  des  ersten  Halb- 
kreises hat  seinen  Gegenpunkt  auf  dem  2ten  Halbkreis,  den  4teu 
harmonischen  zu  dem  gegebenen  und  den  beiden  Schnittpunkten  des 
Kreises  mit  der  Fundamcntalkugel.  Da  nun  diese  Schnittpunkte  in 
dem  vorgefahrten  Falle  (cf.  Cap.  H.  §  1.  p.  205)  conjugir'  imaginär 
aasfallen,  so  ist  auch  die  Art  und  Weise  der  Aufeinanderfolge  der 
einzelnen  Punkte  auf  beiden  Halbkreisen  genau  dieselbe. 

Die  4  Doppelberührungskreise,  die  durch  das  Punktepaar  {PF') 
oder  (Afiv)  hindurchlaufen,  lassen  sich  zu  3mal  2  Paaren  gruppiren. 

Nun  gehen  aber  durch  das  Punktepaar  iL,  fi,  v  auch  3  Kreise, 
die  Nor  mal  kreise  A';,  AT«^,  Kv^  welche  Doppelbertthrungskreise  an 
2  der  Flächen  A,  f*,  v  sind,  während  sie  auf  der  3ten  noch  übrigen 
senkrecht  stehen,  Kx  z.  B.  berührt  die  Flächen  fi  und  v  je  2fach  und 
steht  ausser  auf  «o  "^  0  auch  auf  der  Gyklide  A  senkrecht  im  Punkte- 
paare A,  fi,  V. 

Im  Anschluss  an  die  Resultate,  die  Herr  Staude  p.  7.  seiner 
Habilitationsschrift  erhält,  finden  wir  sodann,  dass  zu  jedem  der  3 
Normalkreise  eine  Gruppirung  der  4  durch  das  Punktpaar  gehenden 
Doppelberührungskreise  zu  je  2  Paaren  gehört.  Jedes  Paar  bildet 
mit  dem  Normalkreis  eine  Normalkugel,  sodass  zu  jedem  Normalkreis 
2  Normalkugeln  gehören,  und  wir  im  Ganzen  6  Normalkugeln  be- 
kommen, die  sich  zu  3  Paaren  ordnen.  In  Bezug  hierauf  gilt  nun 
der  Satz: 

„Die  4  Doppelberühmngskreise  an  die  Flächen  Aq  und  ^o  <iQrch 
,,ds^  Punktpaar  {PF')  oder  (Aftv)  ordnen  sich  in  Bezug  auf  jeden  der 
„3  Normalkreise  des  Punktpaars  in  2  Paare  und  zwar  dergestalt, 
„dass  bei  jeder  der  3  Anordnungen  der  bevorzugte  Normalkreis  den 
^Winkel  eines  jeden  Paares  auf  der  zugehörigen  Normalkugel  halbirt.^' 


22)  Die  BMeicfanang  ,,Halbkrei8"  besieht  sich  auf  die  eingeführte  anallag- 
Datifche  MaatbettiniiiniDg. 


\ 


214  Domseh:  DU  Darstellung  der  Flachen  vierUr  Ordnung 

Zwei  in  Bezug  auf  einen  der  Normalkreise  Kx^  Kß»,  Kv  oonjugirte 
Doppelberlihmngskreise  unterscheiden  sieh  bozQglich  im  Yorzeicben 
von  A^  oder  von  M,  oder  von  A  und  M  zugleich,  da  wir  das  Yor- 
zeicben von  N  festgesetzt  haben. 

Bezeichnen  wir  die  zum  Punktepaar  (PP*)  gehörigen  4  Doppel- 
berührungskreise  durch  die  zugehörigen  charakteristischen  Vorzeichen- 
combinationen  von  A^  M,  iV,  (cf.  p.  212.)  und  nennen  die  3  Nonsal- 
kugelpaare  Sx^Sx-^^  Sß^Sfi-^  Sv^Sp-^  so  erhalten  wir  die  Tabelle: 


§  3.     Doi  ÄddUionstheorem  und  seine  geometrüche  Bedeutung, 

Die  Differentialgleichuugen  der  Congruenz  der  DoppelberOhrnngs- 
kreise  (cf.  p.  209.)  sind  in  der  gemeinsamen  Form  enthalten: 

Diese  Differentialgleichungen  wollen  wir  längs  eines  Doppel* 
bertthrungskreises  vom  Punktpaar  (PF')  oder  (ilfiv)  bis  zu  dem 
Punktepaar  {PoPq%  in  welchem  die  Fläche  Xq  berührt  wird,  integrireo. 
Das  Resultat  der  Integration 

v'JV  (i'M'  Ao,0 

vN  f*3/  kA 

giebt  2  Relationen  zwischen  den  cyklidischen  Coordinaten  v,  fi,  l  nsd 
vV  der  Punktepaare  {PP')  und  (Po^o').  Die  Integration  ist  for 
alle  3  Integrale  in  der  Weise  auszuführen,  dass  für  jedes  Punktpaar 
des  betreffenden  Kreises  die  demselben  als  einem  Punktepaar  dieses 
Tangeutialkreises  zugehörigen  Wurzelfunctionen  NMA  eioscbiiesslicb 
ihrer  Vorzeichen  in  Rechnung  gezogen  werden. 

Zweien  der  Anfangselementenpaare  der  4  gemeinsamen  Doppel- 
berührungskreise kommt  ein  positives,  zweien  ein  negatives  Yorzeicheii 

von  A  zu.  Längs  PP^,  resp.  FP^'  wechselt  das  Vorzeichen  von  A 
nicht;  ob  die  Vorzeichen  von  N*  und  N  und  die  von  M'  und  Mwi 
einander  übereinstimmen  oder  nicht ,  das  hängt  davon  ab,  ob  de 


r 


mit  DoppelkegeUehnia  durch  kypereüiptisehe  F^inetiotun.  215 

Bogen  PPq—  und  natürlich  auch  PPq'—  die  Ebenen  vsT^a^^v^a^ 
nnd  ^  =  03  durchsetzt,  resp.  die  Fläche  f*  =-  |»o  berührt. 

Löst  man  die  gefundenen  Relationen  5)  zwischen  Xf^v  und  fi'v' 
in  der  folgenden  Weise  auf: 

a,  03  ag 

SO  erhalt  man  das  Resultat: 

„Zwischen  den  cyklidischen  Goordinaten  v'p,^  des  Berührungs- 
„ponktpaars  (Po-^oO  einer  der  vier  vom  Punktpaar  (PP*)  an  die 
,  beiden  Flächen  Xq  und  (Iq  laufenden  gemeinsamen  Doppelberührungs- 
„kreise  mit  der  Fläche  Xq  einerseits  und  den  cyklidischen  Goordinaten 
n^,  fi  V  des  Punktepaares  (FF')  andererseits  bestehen  die  Relationen: 

v,N  u,M  X,A  v',iV         ii\M' 


7) 


V,iV  ttjiH  A,yZ  V  ,iV  fl,i 

«1  «S  ^  fl,  Oj 

v,iV  tt,Af  A,^  v',iV  tt',3f 


^,wo  iV,  J/,  -^  die  dem  Punktepaare  {FF')  und  iV'Jdf'  die  dem 
„Punktepaare  (Pq AO  ^^s  Punkten  des  betrachteten  Kreises  zugehörigen 
„zusammengesetzten  Wurzelfunctionen  bedeuten/^ 

Dieser  Satz  enthält  die  geometrische  Deutung  des  ein- 
fachen Additionsproblems,  welches  verlangt,  bei  gegebenen 
oberen  Grenzen  v,  ^,  X  und  gegebenen  Vorzeichen  von  N^  Jl/,  A  die 
oberen  Grenzen  v',  jü'  und  die  Vorzeichen  von  i^,  M'  so  zu  bestim- 
men, dass  von  Feriodenmultipla  abgesehen  die  beiden  Relationen  7) 
bestehen. 

Die  geometrische  Lösung  des  Problems  ist  demnach  die  folgende: 

Man  fixirt  auf  der  Fläche  X  eines  der  Punktepaare  vp>^  für  wel- 
ches die  zugehörige  Wurzelfunction  N  das  gegebene  Vorzeichen  be- 
fitzt, und  wählt  unter  den  4  durch  dieses  Punktpaar  {FF')  gehenden 


216  Dom8chi  Die  Darstellung  der  Flächen  vierter  Ordnung 

gemeinsamen  Tangentialkreisen  der  Flächen  Iq  nnd  (Iq  denjenigeo 
aus,  dem  im  Panktepaar  (PI^)  die  gegebenen  Vorzeichen  Ton  M  nnd 
A  zukommen.  Die  cyklidiscben  Coordinaten  des  Berflhmngspankt- 
paars  (vV)  mit  der  Fläche  Xq  sind  die  gesuchten  oberen  Grenzen 
und  die  dem  Punktpaare  als  einem  Punktpaare  des  in  Rede  stehen- 
den Kreises  zukommenden  zusammengesetzten  Wurzelfunctionen  A* 
und  M^  sind  die  gesuchten  Wurzelwerte  N*  und  M\ 

§  4.     Schltessungsaätze  intierhalb  der  Cougruenz  der  gemeintamen 
Doppelberührungskreüe  zweier  confoccder  Flächen. 

Kreispolygone,  welche  den  Flächen  Xq  und  fio  umschrieben  und 
einer  Fläche  X  gleichzeitig  einbeschrieben  sind. 

Neben  den  Flächen  Xq  und  fio  sei  eine  dritte  Fläche  A<lo 
gegeben,  welche  also  von  Xq  umschlossen  wird.  Es  sollen  Kreispoly- 
gone betrachtet  werden,  welche  den  beiden  Flächen  Xq  nnd  fi^  am- 
schrieben  und  der  Fläche  X  einbeschrieben  sind. 

Den  ersten  Eckpunkt  PW  und  mit  ihm  seinen  Gegenpunkt  ?'*•' 
kann  man  auf  X  beliebig  wählen.  Von  den  4  durch  sie  hindurch- 
gehenden Doppelberübrungskreisen  wählt  man  einen  als  Anfangsseite 
S^^)  des  Polygons;  zugleich  geht  von  P(^>'  aus,  auf  demselben  Kreise 
liegend,  die  Seite  S^^y  aus  und  bildet  mit  den  folgenden  Kreisstacken 
ein  2tes  Polygon.  5(i)  schneidet,  nachdem  die  Fläche  Aj,  berührt 
worden  ist,  die  Fläche  zum  2ten  Male;  der  Schnittpunkt  ist  der 
zweite  Eckpunkt  P^^)  des  Polygons.  Ebenso  erhalten  wir  als  End- 
punkt von  S^^^  einen  2ten  Eckpunkt  FW  des  conjugirten  Polygons.  Das 
2te  Seitenpaar  (5(2)5(2)')  wählen  wir  unter  den  3  gemeinsamen  Krei- 
sen, die  neben  (5(1)5(1)')  noch  durch  (P(i)p(i)')  hindurchgehen,  so 
aus,  dass  5(2)  conjugirt  zu  5(i),  5(2)'  conjugirt  zu  5(i)'  in  Bezog  anf 
X  ist  (cf.  p.  213.). 

Bei  dieser  Festsetzung,  die  auch  für  die  folgenden  Polygonseiten 
Geltuug  behalten  soll,  ist  die  Construction  des  Polygons  ein- 
deutig bestimmt,  nachdem  Anfangspunkt  und  Anfangsseite 
gegeben  sind.  Die  beiden  entstehenden  Polygone  —  wir  erhalten  ja 
ein  coujugirtes  Polygon,  dessen  Seiten  und  Ecken  durch  Acceote 
roarkirt  sind  —  sind  durch  die  Kugel  8^  =  0  von  einander  getrennt 
Wir  verfolgen  ja  immer  die  Bichtung  auf  den  Kreisen  von  X  bis  i{h 
durchsetzen  aber  nie  die  Fläche  X  »  a^.  Es  kann  ahso  keine  Ter- 
einigung  der  beiden  Polygone  zu  einem  stattfinden. 

Es  handelt  sich  nun  gegenwärtig  um  die  Frage,  ob  die  bei  der 
Polygonconstructiou  gegebenen  Elemente,  nämlich  die  Parameter 
^0)  f^)  ^  ^^^  vorgelegten  Flächen,  sowie  Anfangspunkt  nnd  Anfangs- 


mä  DoppßUcegeltehnia  durch  hyperelUptiaehe  F^inctiontn*  217 

Seite  der  Polygonconstruction  so  gewählt  werden  können,  dass  die 
GoDstraction  mit  I  Seiten  sich  schliesst,  d.  h.  die  Seite  /SKO  wieder  in 
die  Anfangsccko  P^^)  so  einläuft,  dass  SO  und  S^^^  conjugirt  in  Be- 
zug auf  X  sind. 

Aus  den  Relationen  7)  folgt  durch  wiederholte  Anwendung  offen- 
bar die  Bedingung: 


21  I    ~-  ^im  i   ^^  +  4n  /  ^  -  0 


8) 


A,  ^i  Oq  a^ 

Denn  die  Yariabeln  fc  und  v  bewegen  sich  längs  des  Polygon- 
QLifangs  stetig  oscillirend  zwischen  den  beiden  Grenzen  a^  und  ^O) 
resp.  öj  und  a^  hin  und  her,  und  die  Vorzeichen  von  M  und  N  wech- 
seln immer  nur  in  diesen  Grenzen.  Demnach  bezeichnet  2»  die  An- 
zahl der  Durchgangspunktc  durch  jede  der  Ebenen  v  =^  a^  und  v  =«  a,, 
ond  2m  die  Anzahl  der  Durchgaugspunkte  durch  die  Ebene  /a  »  ag 
and  der  Berührungspunkte  des  Polygonumfangs  mit  der  Fläche  fiQ. 

Die  Bedingungen  8)  ergeben  uns  den  Satz: 

„Wenn  ein  den  Flächen  A^  und  /iq  nmschriebenes  und  der  Fläche 
.,A  einbcschriebenes  Polygon  sich  einmal  mit  /  Seiten  schliesst,  so 
„schliesst  es  sich  immer  mit  derselben  Seitenzahl,  wie  auch  der  Anfangs- 
Mpunkt  und  die  Anfangsseite  auf  der  Cyklide  A  gewählt  werden  mag.^^ 

„Neben  diesem  einen  Polygon  erhalten  wir  alsdann  stets  noch 
,,cin  zweites,  das  die  zweite  Schale  der  Fläche  Aq  berührt  und  von 
..dem  ersten  Polygon  durch  A  »  a^  getrennt  ist.  Schliesst  sich  dag 
„erste  Polygon,  so  schliesst  sich  notwendig  auch  das  zweite,  zu  dem 
„ersten  conjugirte." 

Natürlich  werden  keineswegs  alle  Polygone,  die  wir  im  Raum 
der  Flächenschaar  2ten  Grades  betrachten,  wenn  wir  sie  auf  den 
Cyklidenraum  übertragen,  2  getrennte  Polygone  liefern ;  im  allgemei- 
nen Falle  wird  vielmehr  ein  einziges  Polygon  mit  doppelter  Seiten- 
zahl entstehen.  Gestatten  wir  nämlich  unseren  Polygonseiten  im 
Raum  der  Flächenschaar  2tcn  Grades  auch  die  4te  Ebene  des  Coordi- 
natentetraedcrs  a;^  =  0  zu  durchsetzen  (bei  Herrn  Staude  fällt  dieselbe 
mit  der  unendlich  fernen  Ebene  zusammen),  so  durchsetzt  unser  Ejreis- 
polygon   im  Cyklidenraum   die  Kugel  ^4  —  0,    in  der  Bedingungs- 


218  Dom  seh:  DU  Darsteüung  der  Flachen  vierler  Ordnung  cte. 

gleichung  8)  tritt  noch  die  Periode    /  --r  auf,  nnd  wir  werden  im 

Allgemeinen  ein  einziges  Polygon   mit  doppelter  Seitenzahl  erhalten. 

Leicht  könnten  wir  nnn  die  Zahl  der  Schliessungssätze  beliebig 
vermehren,  indem  wir  ähnlich  wie  Herr  Staude  in  seiner  Habilitations- 
schrift die  gestellten  Bedingungen  variiren  oder  die  von  Doppel- 
tangentialkreisen  der  Congruenz  umhüllten  geodätischen  Linien  der 
Flächen  Ao  und  fio  in  Betracht  ziehen  und  geodätische  Polygone  nns 
bDden.  Wir  lassen  uns  aber  an  dorn  einen  Beispiele  genfigen,  di 
eine  weitere  AusfQhrung  nichts  principiell  Neues  zu  Tage  fordern 
würde. 

Wir  gehen  auch  nicht  auf  die  Darstellung  der  Punkte  und  Kogebi, 
sowie  der  Kreise  des  Cyklldenraumes  durch  hyperelliptische,  speciell 
9  Functionen  und  die  Deutung  der  hauptsächlichen  6  Relationen 
selbst  ein,  sondern  verweisen  auf  die  vielfach  genannte  Schrift  dea 
Herrn  Staude:  Geometrische  Deutung  der  Additionstheoreme  etc. 
(22.  B.  der  Annalen).  Die  dort  gefundenen  Resultate  übertragen  sich 
eben  mit  so  geringen  Modificationen  auf  den  Cyklidenraum,  dass  es 
sich  kaum  verlohnen  wtLrde,  die  Untersuchung  nochmals  vorzoführen. 
Es  mag  also  dieser  Hinweis  genügen,  und  wir  gehen  zum  2ten  Teil 
über,  die  Cyklide  in  Beziehung  zu  setzen  zur  Kummer'schen  Fläche 


Dom  seh:  Die  Deurstellung  der  Flächen  vierter  Ordnung  etc.         219 


Intaaltsübersicht. 

Einleitung p.  193 

I.  Teil. 

Flächenschaar  2ten6rades  andCyklidensystem. 

I.  Capitel. 
Transformation  der  Flächenschaar  2ten  Grades  in  ein  con- 
focales  Cjklidensystem 199 

U.  Capitel. 

Gestaltliche  Verhältnisse  der  Cykliden. 

§  1.    Hanptformen 201 

§  2.    Krflmmangslinien 207 

3.    Geodätische  Cnrven 208 


ni.  Capitel. 

Das  AbeFsche  Theorem  für  überall  endliche  Integrale  and 
seine  Bedeutung  für  Flächenschaar  2ten  Grades  und  Cykliden- 
Bjstem. 

§  1.    Congmenz  der  gemeinsamen  Tangenten  26r  confocaler 

Flächen  der  Schaar .  909 

§  2.    Congmenz  der  Doppelberühmngskreise  2er  confocaler 

Cykliden 211 

§  3.    Das  Additionstheorem    und    seine   geometrische  Be- 
deutung   211 

§  4.    Schliessnngssätze  innerhalb  der  Congruenz  der  gemein- 
samen Doppelberührungskreise  2er  confocaler  Flächen  216 


220  Müedlen. 


IX. 


Miscellen, 


1. 

Zur  Theorie  des  Winkelspiegreis. 

Durch  das  Stadium  der  grösseren  Abhandlung  über  den  Winkel- 
spiegel, welche  mein  Yater  L.  Mack  unlängst  in  dieser  Zeitscbrift 
veröffentlicht  hat,  bin  ich  dazu  gelangt,  eine  neue  Formel  zu  finden, 
die  unter  allen  Umständen  dazu  dient,  schnell  die  Gesamtzahl  >S 
der  Bilder  zu  bestimmen,  welche  ein  in  die  Oeffnung  dos  Winkd- 
spiegeis  gebrachter  leuchtender  Punkt  F  hervorruft.    Sie  lautet: 


-[^^-]+[ 


isoH-s," 

'2a 


2a  ist  der  Oeffnungswinkel  des  Winkelspicgels,  und  jS|  und  iS| 
bedeuten  diejenigen  zwei  Winkel,  welche  die  aus  der  Axo  des  Winkel- 
spiegcls  durch  P  gelegte  Ebene  mit  den  zwei  Einzelspiegeln  bildet 
Jode  der  rechts  vorkommenden  Klammern  soll  bedeuten,  dass  für  den 
von  ihr  eingeschlossenen  Quotienten,  mag  er  nun  eine  ganze  Zahl 
oder  ein  Bruch  sein,  statt  seines  wahren  Werts  vielmehr  die  zunfichst 
unter  diesem  liegende  ganze  Zahl  zu  nehmen  sei.  Von  zwei  etwa 
zusammenfallenden  Bildern  ist  in  dem  Ausdruck  für  jS  jedes  selbst&ndig 
gezählt. 

Sofern  die  Leser  des  Archivs  an  jene  grössere  Abhandlung  sich 
erinnern  oder  nur  die  vier  ersten  §§  derselben  nachlesen  wollen,  so 
ist  mit  Beibehaltung  der  dortigen  Bezeichnungsweise  die  Herleitong 
der  neuen  Formel  kurz  anzugeben  wie  folgt 

Man  betrachte  zunächst  diejenige  Bilderreihe,  die  von  dem  Bilde 
Fl  ausgeht,  und  nur  diejenigen  weitern  P,",  Pj',  P/',  P5'....  enthält, 
deren  jedes  von  dem  ihm  nächst  vorangehenden  erzeugt  wird.  Far 
diese  Bilder  ist  nun  gemäss  dem  Hauptsatz  des  §  3.  folgende  Reihe 
von  Winkelangaben  zu  machen: 


Miseetten.  221 

Wkl.  AOP^'  «  (pi 

Wkl.  BOP^'=  2a+qp, 
Wkl.  AOP^'  =  4a+<p, 
Wkl.  BOPi*^  6a+(pi 

Fahrt  man  jetzt  vielmehr  diejenigen  Winkel  ein,  welche  die 
Linien  OP/,  OP,",  OP3',  OP/'....  mit  der  Mediane  OM  bilden,  so 
erhält  man  statt  obiger  Reihe  die  neue: 

Wkl.  MOP^  =    a  +  (p, 

Wkl.  JfOPg"«  3rt4-<p, 

I)  <  Wkl.  MOP^  =  5a  +  <p| 

Wkl.  JlfOP/'«7a+«Pi 

«  • 

Man  bemerkt,  dass  jeder  dieser  Winkel  um  2o  grösser  ist,  als 
der  ihm  nächst  vorangehende.  Werden  zugleich  die  den  toten  Raum 
betreffenden  Angaben  des  §  4.  berücksichtigt,  so  ist  auch  auf  diesem 
Wege  leicht  zu  beweisen,  dass  die  Zahl  der  unter  I)  vorkommenden 
Bilder  eine  begrenzte  ist 

Nun  nehme  man  zu  jedem  der  Bildpunkte  P^',  P3',  P^  P7'. ..., 
welche  alle  hinter  dem  ersten  Spiegel  frei  liegen,  den  bezQglich  der 
Geraden  MO  mit  ihm  symmetrischen  Punkt  Diese  Hilfspunkte  der 
Reihe  nach  mit  il^',  n,',  ilg',  il,' bezeichnet,  so  hat  man  ver- 
möge I)  auch  folgende  Reihe: 

Wkl.  MOU^=    «+9, 

Wkl.  3fOP2"«3o  +  (p, 

U)  <  Wkl.  AfOiTj'^öa  +  epi 

Wkl.  3/OP/'«7tt  +  g), 


Diese  Reihe  bietet  den  Vorteil,  dass  die  in  ihr  aufgeführten 
Winkel  alle  nach  einerlei  Richtung  von  OM  aus  gerechnet  sind. 

Wird  jetzt  mit  «,  die  Zahl  der  BUder  P/,  Pj",  P^',  P/'. ...  be- 
zeichnet, 80  ist  dieselbe  identisch  mit  der  Zahl  der  Punkte  P,  il, 
welche  in  der  Reihe  11)  vorkommen.  Man  sieht  femer  leicht  (vergl. 
§  4.  der  grossem  Abhandlung),  dass  kein  Winkel  dieser  Reihe  die 
Grösse  des  überflachen  MO^  erreichen  kann.  Hienach  ist  bezüglich 
der  Zahl  «^  zu  schliessen :  sie  muss  die  grösste  ganze  Zahl  sein,  die 
der  Un^eichnng  genügt 


222  MUcdUn, 

1800+ a  >(2»i  —  1)  a  +  <pi 

welche  mit  Beiziehung  von  ^^  für  2a  —  <p^  übergeLt  in 

18(y  +  y, 
*^<         2S^       • 

Sollte  der  Fall  eintreten ,  dass  ein  letzter  Pankt  P/  der  Reibe 
II)  gerade  noch  in  den  Punkt  ^  üele ,  so  dürfte  er  nach  §  4.  als 
Bild  nicht  mehr  gezählt  werden  und  a;  wäre  gegenüber  von  t^  nm 
Eins  zu  gross.    Man  hätte  dann  aber  für  diesen  Punkt  iV 

1800+O«  (2«  — l)a  +  9)i  unda;  =  ^^^i^^ 

In  diesem  Fall  ergäbe  sich  der  Quotient  (l80^-f"<p^):2a  als  ganze 
Zahl,  wie  man  auch  durch  geometrische  Betrachtung  leicht  fiadet. 

Demgemäss  können  wir  schreiben 

[1800+ H 
'*  "  1        2a       J 

in  dem  Sinne  gemeint,  dass  für  den  eingeklammerten  Quotienten,  mag 
er  ein  Bruch  oder  eine  ganze  Zahl  sein,  die  zunächst  unter  ihm 
befindliche  ganze  Zahl  genommen  werde. 

Es  ist  nun  leicht  zu  übersehen,  dass  für  die  bisher  ans  dem 
Spiel  gelassenen  Bilder  P/',  P,',  P3",  P4'....,  welche  alle  von  P," 
abstammen,  die  den  obigen  Betrachtungen  ganz  aialogen  zutreffen, 
so  dass  demnach  ihre  Anzahl  «^  anzugeben  ist  durch  die  Gleicliang 

** "  l     2«     J 

wobei  die  Klammer  rechts  in  demselben  Sinne  zn  verstehen  ist,  wie 
oben. 

Da  die  Gesamtzahl  S  der  Bilder  aus  der  Summe  der  von  ^/ 
und  der  von  P/'  abstammenden  besteht,  so  sind  wir  hiemit  zo  der- 
jenigen Formel  gelangt,  welche  am  Anfang  dieser  Mitteilung  an- 
gegeben ist 

Fallen  zwei  Bilder  zusammen,  was  nur  eintritt,  wenn  360:3c 
eine  ganze  gerade  Zahl  ist  (vergl.  §  13.  der  grossem  Abb.),  so  sind 
dieselben,  als  die  Schlnssbilder  der  zwei  von  uns  betrachteten  Reihen, 
in  dem  Ausdruck  für  8  nicht  als  Eines,  sondern  als  zwei  Bilder  in 
Bechnung  gezogen. 

Stuttgart.  Dr.  Karl  Mack 


MiseelUn.  223 

2. 

Bdweis,  dass  aiif  einer  algrebraisehen  Fläche  Tierter  Ordnan; 
mit  einer  Doppelgeraden  ausser  dieser  nieht  mehr  als  16  Geraden 

liegen  kSnnen. 

Clebsch  hat  gezeigt^),  dass  jede  algebraische  Fläche  4.  0.  mit 
einer  Doppelgeraden  ausser  dieser  noch  16  Geraden  enthält,  welche 
sämtlich  die  Doppelgerade  schneiden  und  sich  zu  8  Paaren  ordnen. 
Dass  diese  Geraden  die  einzigen  sind,  welche  die  Fläche  enthalten 
kann,  ohne  zu  zerfallen,  wurde  von  ihm  a.  a.  0.  ebenfalls  dargetan, 
jedoch  nur  in  abzählender  Weise  auf  Grund  einer  ebenen  Abbildung 
der  Fläche,  sodass  ein  directer  Beweis  noch  wünschenswert  erscheint. 
Ich  teile  im  Folgenden  einen  solchen  mit;  es  werde  ihm  kurz  der 
Nachweis  der  8  Geradenpaare  nach  Clebsch  vorausgeschickt,  damit 
ich  mich  bequem  darauf  beziehen  kann. 

Die  Gleichung  einer  Fläche  der  genannten  Art  hat  die  Form 

1)  Aht+ABv+B^w  —  0, 

wo  u  «»  0,  ü  =  0,  IT  =»  0  die  Gleichungen  von  3  Flächen  2. 0.,  -4  «  0, 
^  =  0  die  Gleichungen  von  zwei  Ebenen  sind,  welche  sich  in  der 
Doppelgeraden  schneiden.  Die  Fläche  wird  also  erzengt  als  Ort  der 
Schnittcurven  aller  Flächen  der  Schaar 

2)  i*+Xt?+;«M7  «0 
mit  den  entsprechenden  Ebenen  des  BOschels 

3)  B  —  IA^O, 

Unter  den  Ebenen  dieses  Bfischels  befinden  .sich  auch  solche, 
welche  die  ihnen  entsprechenden  Flächen  der  Schaar  2)  bertthren  d.  h. 
in  einem  Geradenpaare  schneiden.  Die  Zahl  dieser  Ebenen  ist  also 
die  Zahl  der  Geradenpaare  auf  der  Fläche ;  stellt  man  aber  die  be- 
treffende Bedingnngsgleichung  für  den  Parameter  X  in  der  bekannten 
Determinantenform  auf,  so  findet  man  dieselbe  vom  Grade  8,  wie 
behauptet. 

Gesetzt  nun,  es  gäbe  ausser  diesen  8  Geradenpaaren  noch  eine 
weitere  Gerade  #  auf  der  Fläche.  Dann  ist  zunächst  ans  der  soeben 
zur  Ermittelung  der  8  Geradenpaare  angestellten  Ueberlegung  klar, 
dass  dieselbe  die  Doppelgerade  nicht  schneiden  kann.  Daraus  ergiebt 
sich  weiterhin,  dass  a  notwendig  wenigstens  je  eine  Gerade  ans  den 


1)  Clebsch,  Ueber  die  Abbildung  algebraischer  Fl&chen,  insbesondere  der 
4,  nnd  5«  Ordnnng.    Math.  Annalen  Bd«  1. 


224  Miseeüen. 

8  Geradenpaaren  schneiden  mass.  Denn  sind  a  und  a  zwei  Geraden 
eines  Paares ,  /  die  Doppelgerade ,  nnd  man  legt  durch  /  diejenige 
Ebene,  welche  a  nnd  a  enthält,  so  hat  diese  Ebene  mit  der  Fliehe 
ausser  /,  a  nnd  a  keine  weiteren  Elemente  mehr  gemein ;  sie  schneidet 
aber  «  in  einem  Punkte,  welcher  nicht  auf  2  liegt,  folglich  anfaoder 
CK,  oder  im  Schnittpunkt  beider  liegen  muss. 

Nun  seien  a,  6,  e,  d,  e  5  Geraden  aus  den  8  Paaren,  welche  von 
von  8  geschnitten  werden.  Dann  kann  man  durch  a,  &,  c  einerseits 
und  durch  c,  d^  e  andererseits  je  eine  Rogelflächc  2.  0.  legen.  Die- 
selben haben  daun  c^  l  und  s  gemein,  schneiden  sich  also  nur  noch  in 
einer  Geraden/,  welche  /  und  s  schneidet,  c  aber  nicht,  oder  sie 
sind  identisch.  Letzteres  würde  nach  sich  ziehen,  dass  die  5  Geraden 
a,  6,  c,  ef,  e  von  den  unendlich  vielen  Geraden  geschnitten  werden, 
welche  die  andere  Rcgelschaar  der  durch  a,  &,  c^  tl^  e  gehenden  Regel- 
fläche  bilden.  Von  diesen  schneidet  aber  jede  dio  Fläche  4.  0.  in 
5  Punkten,  gehört  derselben  also  gänzlich  an,  die  Fläche  4.  0.  wflrde 
also  in  dieser  Regelfläche  2.  0.  und  noch  eine  andere  zerfallen. 

Es  bleibt  daher  nur  der  erstere  Fall,  dass  sich  die  beiden  Regd- 
flächen  in  einer  Geraden  /  schneiden,  welche  c  nicht,  wohl  aber  l 
und  8  trifft.  Nun  schneiden  diese  Regelflächen  die  Fläche  4.  0.  schon 
in  6  Geraden,  nämlich  in  a,  &,  c,  s  und  der  doppelt  gezählten  /,  respi 
in  ü,  d^  6,  8  und  /  doppelt  gezählt,  haben  also  mit  ihr  nur  noch  je 
einen  Kegelschnitt  gemein;  es  müssten  sich  also  diese  beiden  Kegel- 
schnitte in  denselben  4  Punkten  schneiden,  in  welchen  die  Gerade/ 
die  Fläche  4.  0.  trifft,  was  nicht  möglich  ist  —  oder  auch  /  gehört 
der  Fläche  an,  ist  also  eine  Gerade  aus  einem  der  noch  übrigen 
Geradenpaare,  und  die  beiden  Kegelschnitte  zerfallen  in  /  und  je  eine 
weitere  Gerade  p  oder  9,  welche  beide  /  und  e  nicht  schneiden,  von 
denen  aber  etwa  p  die  Geraden  o,  &,  <;,/,  und  q  die  Geraden  d^e^e^f 
trifft.  Es  schneidet  aber,  wie  oben  bewiesen,  jede  dieser  beiden  Ge- 
raden p  und  q  ebenso  wie  «  im  Ganzen  wenigstens  8  Geraden  aoB 
den  8  Geradenpaareu,  also  z.  B.  p  ausser  a,  &,  c,/  auch  noch  ^,£,^.A 
Die  durch  2,  e  und  p  gelegte  Regelfläche  2.  0.  hat  folglich  mit  der 
Fläche  4.  0.  im  Ganzen  «,  77,  a,  &,  ü,  d,  £,  ^,  h  und  die  doppelt 
zählende  Gerade  l  gemein  d.  h.  sie  ist  ein  Teil  der  Fläche  4.  0^  nnd 
diese  zerfällt  also  auch  in  diesem  nur  noch  übrigen  Fall  in  2  Regel- 
flächen 2.  0. 

Oberehnheim  im  Eis.  Januar  1885.  Alfred  Leman. 


Dom  MC  h:  DU  Darsteüung  der  Fiäehen  vierter  Ordnung  ete,  225 

•(UÜDUUEJRV'i 


X. 


Die  Darstellung  der  Plächen   vierter  Ordnung 
mit   Doppelkegelschnitt    durch    hyperelliptische 

Functionen. 


Von 

Paul  Richard  Domsch. 


n.  Teil. 
KBMMer'seke  Plftekei  ud  Cyklidea. 

I.   G  a  p  i  t  e  1. 
Die  KummeKtobe  Fliohe  und  die  Ue'sohe  Berfiliningstninsformation. 

S  1.     Die  Fandamentalgebiltie  in  der  Geometrie  der  Kummer^ sehen 

Fläche  und  ihre  üebertragung. 

lodern  wir  die  schon  citirte  Arbeit  des  Herrn  Lie  im  5  ten  Band 
der  Annalen:  ,,Ueber  Complcxe,  insbesondere  Linien-  nnd  Kngel- 
complexe^'  and  die  darin  gegebene  Berührnngstransfonnation  im 
vesentlichen  als  bekannt  voraussetzen,  bemerken  wir  zunächst,  dass 
durch  letztere  2  Rftume  in  dreierlei  Auffassung  in  Beziehung  gesetzt 
werden. 

Entweder  man  lässt  Flächonelementen  des  einen  Raumes  Flft- 
chenelemente  im  andern  entsprochen,  wie  es  der  Begriff  der  Be- 
rührangstransformation  mit  sich  bringt,  nnd  zwar  den  Flächcnele- 
menten  im  ersten  Raum  r,  die  2  cousccutivo  Punkte  einer  Geraden  ent- 
halten, die  Elemente  der  entsprechenden  Bildkugel;  es  ist  dies  die 
vollkommenste,  aber  auch  schwierigste  Art  und  Weise,  die  beiden 
Räume  r  und  R  mit  ihren  Gebilden  in  einander  zu  transformiren, 
schwierig  darum,  weil  bei  derselben  die  beiden  Räume  als  Aggregate 
von  Flftchenelementen  anfge&sst  werden  müssen. 

▲ick.  Amt  Kalk.  u.  Fhjs.   9.  lUike,  Teü  n.  Ift 


226  Domschi  Dit  Darttelhing  der  Flächen  vierter  Ordnung 

Unsere  Lie'sche  BerühniDgBtransfonnation  führt  aber  auch  zwei- 
tens die  dreifach  unendlich  vielen  Pankte  des  einen  Raumes  r  Qber 
in  den  Complex  der  Minimalgeradcn  in  Rj  nnd  drittens  die  Pnnkte 
des  Raumes  E  in  die  Geraden  von  r,  die  einem  ausgezeichneten 
linearen  Complexe  angehören '). 

Diese  beiden  letzten  Arten  der  Uebertragung  werden  wir  der 
leichteren  Behandlung  wegen  im  Folgenden  vorzugsweise  zur  Anwen- 
dung bringen,  und  zwar  wechselsweise,  indem  wir  einerseits  von  den 
Punkten  des  Raumes  der  Kummer'schen  Fläche  ausgehen,  aber  anch 
die  Geraden  des  linearen  Complexes  in  Betracht  ziehen  und  diese  io 
die  Punkte  des  Cyklidenraumes  transformiren. 

Als  Fundamentalgebilde  ^  treten  in  dem  Räume  r ,  welcher  in 
den  Cyklidenraum  R  abgebildet  werden  soll,  zunächst  die 

6  Fundamentalcomplexe  auf 

a:^  =  0    «Tj  «»  0    x^==  0    0:4  —  0    ^5  —  0    a^g  «=■  0 

Einen  dieser  6  Fundamentalcomplexe,  x^  »  0  etwa,  werden  wir 
vor  den  übrigen  auszeichnen,  indem  wir  ihn  zu  demjenigen  linearen 
Complex  wählen,  dessen  Gerade  sich  in  die  Punkte,  oder  pr&ciser 
ausgedrückt,  in  die  Punktkugeln  des  andern  Raumes  abbilden. 

Wir  markiren  denmach  als  erstes  Ergebniss: 

„Den  Geraden  des  ausgezeichneten  Fundamentalcomplexes  eot- 
„sprechen  die  Punktkugeln  des  Cyklidenraumes". 

Es  restiren  noch  die  5  übrigen  Fundamentalcomplexe,  welche 
unter  sich  und  mit  dem  sechsten  in  Involution  liegen;  einem  solchen 
mit  dem  ausgezeichneten  Fundamentalcomplex  in  Involution  liegenden 
Complex  entspricht  aber  ein  Kugelcomplex,  ein  Kugelgebfisch  im 
Reye'schen  Sinne  '),  oo  ^  Kugeln,  welche  sämmtlich  orthognal  zu  einer 
durch  sie  vollständig  bestimmten  Kugel  stehen,   deren  Centnun  ihr 


1)  Die  Abbildung  eines  linearen  Complexe«  auf  den  Panktraun  haRc 
Tor  Herrn  Lie  schon  Herr  NOther  gegeben  (»Zar  Theorie  der  algebnüscbfa 
Functionen^,  GOttinger  Nachrichten ,  1 869).  Dass  jedoch  beide  lUame  eioca 
Complex  enthalten,  dessen  Linien  sich  als  die  Funkte  des  Sten  Baomes  tb- 
bilden,  hat  Herr  Lie  zuerst  hervorgehoben. 

^)  Die  Fnndamentalgebilde  der  Kummer'schen  Fliehe  —  die  6  FBodi- 
mentalcomplexe  und  deren  Combinationen  zu  je  zweien,  dreien  und  riereo  - 
wurden  behandelt  von  Herrn  Klein:  „Zur  Theorie  der  Linicncomplexe  <lf« 
ersten  nnd  zweiten  Grades^,  Math,  Annalen  Bd.  9.,  p.  198. 

3)  cf.  Bejre,  „Synthetische  Geometrie  der  Kugeln  n.  lin.  KagelsjsteDC*. 


mit  DoppeücegtUchnitt  durch  hypertltiptische  Functionen.  227 

Potenzcentrnm  ist  —  ein  Punkt,  welcher  in  Bezug  auf  alle  Kugeln 
des  Gebüsches  dieselbe  Potenz  besitzt  — ;  das  Quadrat  des  Radius 
jener  Orthogonalkngel  ist  entgegengesetzt  gleich  dem  Wert  der  Po- 
tenz des  Potenzcentrums. 

Zwei  Gerade  eines  dieser  5  Complexe ,  die  in  Bezug  auf  xq^  0 
conjugirte  Gerade  darstellen,  transformiren  sich  in  dieselbe  Kugel; 
den  Punkten  der  einen  Geraden  entspricht  die  eine  imaginäre  £r- 
zengendenschaar  der  Kugel,  den  Punkten  der  conjugirten  Geraden 
die  andere  imaginäre  Erzengendenschaar.  Wir  erhalten  also  den 
Satz: 

^Den  Geraden  der  flbrigen  5  Fundamentalcomplexe 

«ci«=»0    «2«»0    a?8'*"ö    «4  =  0    X5«»0 

„entsprechen,  zu  je  zweien  als  conjugirte  Gerade  in  Bezug  auf  xg  » 0 
„zusammengenommen,  die  Kugeln  von  5  zu  einander  orthogonalen 
fJKugelgebflschen.  Die  Kugeln  jedes  Gebüsches  stehen  senkrecht  auf 
„einer  durch  sie  bestimmten  Orthogonalkugel.  Diese  Orthogonal- 
„kugeln  stehen  infolgedessen  selbst  auf  einander  senkrecht  und  bilden 
„ein  Fnndamentalsystem*'. 

Weiterhin  treten  als  Fundamentalgebilde  in  dem  abzubildenden 
Räume  die  15  Congruenzen  auf: 

la)    X|=0    apg  «=  0;      a?j  =  0.    «6  =  0;      a?8"^ö^6  =  0» 

«4  =  0    «6  «  0;      «5  —  0    «e  —  Ö 

1  «=  0  «2  =  0;    «,  —  0  «s  —  0;    «^  =»  0  «4  •«  0; 

«1  —  0  «5  =  0 

Ib)  l«g  «.  0  «3  —  0;    «j  «-  0  «4  —  0;    «,  =-  0  «5  «  0 

«3  =  0  «4  «  0;    «3  ="  0  «5  «-  0 

i«4  —  0  «5  =  0 

Auch  diese  teilen  sich  in  die  Untergruppen  la)  und  Ib)  von  5 
resp.  10  Congruenzen,  je  nachdem  «6  =  0  mit  auftritt  oder  nicht. 

Den  5  ersten  Congruenzen  la)  entsprechen,  da  ar6  ^  0  sich  in 
die  Pnnktkugeln  abbildet ,  5  Schaaren  von  00  *  Puuktkugeln  des  Cy- 
klidenraumes,  die  je  einem  der  «,--0  (i  «  1,  2  ...  5)  entsprechen- 
den Kugelcomplexe  angehören.  Die  Punktkugeln  eines  Kugelcom- 
plexes  liegen  aber  sämmtlich  auf  der  Orthogonalkugel  und  bilden 
dieselbe.     Den  5  Congruenzen   entsprechen   also   mit  den  5  Pnnkt- 

15* 


228  Do  ms  eh:  Die  DartUümng  der  Flächen  vierter  Ordnung 

kagelbttndeln   5  zu  einaBder   senkrechte  Kagela,   welche  Ton  den 
Panktkngeln  gebildet  werden,  also  das  Fnudamentalsystem: 

*i  —  0    *,  « 0    #8  —  0    #4  =  0    #5—0. 

Wir  haben  demnach  den  Satz: 

,,Die  5  Congmenzen,  die  von  dem  ausgezeichneten  FandamenUl- 
,,compleze  verbunden  mit  je  einem  der  übrigen  5  Fnndamentslcom- 
«,plexe  gebildet  werden ,  entsprechen  die  5  Fnndamentalkngeln  des 
„Cyklidenraumes,  resp.  die  Pnnktkugelcongmenzen,  welche  die  5 
^Fundamentalkngeln  bilden^S 

Den  restirenden  10  Congmenzen,  die  wir  nnter  Ib)  aniAhrten, 
entsprechen  10  Eugelbtlndel ,  die  orthogonal  sind  zu  den  10  Kugel- 
bttscheln: 

,^«0#,  «O,    #i«0#5  =  0,    #1  — 0#^  =  0,    «j-.O#5  =  0j 
#1  -»  0  #8  —  0,    #t  =  0  #4  «  0,    #8  «  0  #5  «  0; 
#8  "=  0  #4  «  0,    #8  «  0  #6  =  0; 

*4'='0  #5=0. 

Eine  jede  Engel  eines  Bündels  muss  ja  senkrecht  stehen  auf  den 
Orthogonalkngeln  der  beiden  das  Bündel  bestimmenden  Kllgelg^ 
huschen,  senkrecht  stehen  also  anch  anf  den  dnrch  die  beiden  Ortho- 
gonalkugeln bestimmten  Kugelbüschel.  Wir  erhalten  so  den  weiteren 
Satz: 

„Den  10  Congmenzen  Ib)  entsprechen  10  Eugelbündel,  dereo 
„Engeln  jeweils  senkrecht  stehen  auf  je  zweien  der  5  Orthogonsl- 
„kngeln,  also  anch  orthogonal  sind  zu  den  durch  dieselben  bestimmten 
„10  Eugelbüscheln^ 

Jetzt  fassen  wir  je  3  der  6  Fundameutalcompleze  zusammen  nrni 
erhalten  20  Tripel  von  Fundamentalcomplezen.  Je  ein  Tripel 
liefert  eine  Erzeugung  einer  der  10  FundamentalfUchen 
2ten  Grades.  Es  gehören  also  je  2  Tripel  zusammen,  welche  die- 
selbe Fnndamentalfiäche  liefern: 

(123)  (456)    (124)  (356)    (125)  (346)    (134)  (256)    (135)  (246) 
(234)  (156)    (235)  (146)    (245)  (136)    (345)  (126)    (145)  (236). 

Den  10  jedesmal  zu  zweit  geschriebenen  Tripeln,  welche  s^^O 
enthalten,  entsprechen  notwendigerweise  Eugelbüschel ,  die  nur  sai 
Punktkugeln  bestehen ;  sie  müssen  ausserdem  den  durch  2  der  Fon- 
damentalkugeln  definirten  2  Engelgebüschen  angehören.  Es  sind  also 
die  Punktkngeln,  welche  die  10  Schnittkreise  je  zweier  der  5  Fim- 
damentalkugeln  bilden. 


mit  Dopp^DcegtUehmiU  durch  hypereUiptiMehe  Ikinetionen.  229 

Ben  Tripel 

«^  =  0    «5  —  0    ar^  =  0 

entsprechen  z.  B.  die  Ponktkngeln,  welche  den  Kreis 

«4-0    #5=0 
bilden. 

Die  andere  Erzeugung  nnn ,  welche  dieselbe  Fnndamentalfläche 
2ter  Ordnnng  liefert  nnd  definirt  ist  durch 

94  -« 0    «8  —  0    «8  =  0, 

diese  ein&ch  unendliche  Schaar  gerader  Linien  transformirt  sich 
ebenso  in  eine  oo^  Schaar  von  Kugeln,  ein  Kugelbüschel,  gebildet 
TOD  allen  Kugeln,  welche  zugleich  senkrecht  stehen  auf  den  Kugeln 
des  Fundamentalsystems 

,,=0    #,  =  0    #s  — 0 

«4  -»  0  und  «5  »  0  sind  nun  2  Kugeln,  die  auf  den  3  genannten 
senkrecht  stehen;  es  wird  also  das  durch 

definirte  Kugelbflschel  das  gesuchte  sein.  Die  2te  Erzeugung  unserer 
herausgegriffenen  Fundamentalfläcbe  liefert  also  in  anderer  Auffassung 
allerdings  denselben  von  2  Fundamentalkugeln  gebildeten  Kreis  wie 
die  erste  Erzeugung. 

Wir  sprechen  das  erhaltene  Resultat  folgendermassen  aus: 

,J)en  zweifachen  Erzeugungsweisen  der  Fundamentalflächen  2ter 
„Ordnung  entspricht  durch  die  Berahrungstransformation  eine  zwei- 
„fache  Erzeugungsweise  der  10  Fundamentalkreise,  gebildet  durch  je 
„zwei  der  fünf  Fundamentalkugeln.  Das  einemal  werden  die  Kreise 
„durch  die  auf  ihnen  liegenden  Punktkugeln,  das  anderemal  durch 
,  die  Kngelbttschel  erzeugt,  deren  Träger  sie  sind^S 

Jetzt  bilden  wir  die  15  möglichen  Quadrupel  aus  den  6  Funda- 
mentideomplexen,  und  zwar  ordnen  wir  sie  in  2  Gruppen  zu  10  und 
5,  je  nachdem  sie  x^  —  0  enthalten  oder  nicht: 

(1236)    (1246)    (1256)    (1346)    (1356) 
la) 

(1456)    (2346)    (2356)    (2456)    (3456) 

Ib)  (1234)    (1235)    (1245)    (1345)    (2345). 

Je  4  der  Fundamentalcompleze  haben  2  Gerade  gemein;  diese 
bilden  die  Directricen  der  Congruenzen,  welche  jeweils  gebildet  werden 


230  Domsch:  Die  Darstellung  der  Flächen  vierter  Ordntmg 

aus  den  noch  übrigen  2  Fundamentalcomplexen ,   (1236)  liefert  also 
z.  B.  die  Directricen  der  Congmenz 

«4  «  0    a?5  «=  0    etc. 

Die  dnrch  die  ersten  10  Quadrupel  la)  definirten  20  Geraden 
gehören  nun  sämmtlich  dem  ausgezeichneten  Fundameutalcompicx 
xq  =  0  an;  jede  der  20  liefert  also  für  sich  eine  Kugel,  und  zwar 
eine  Punktkugel,  welche  jedesmal  dreien  der  durch  die  Fundameotal- 
kugeln  definirten  Gebüschen  angehört.  Als  Punktkugel  liegt  sie  dem- 
nach auf  der  jedesmaligen  Orthogonalkugel  des  Gebüsches.  Je  2  zn- 
sammcngehörigo  Puuktkugeln  werden  also  gebildet  von  den  beiden 
Punkten,  welche  je  dreien  der  Fundamentalkugeln  gemeinsam  siud. 

Wir  bekommen  demnach  diesen  ersten  10  Directricenpaaren  ent- 
sprechend die  10  Punktkugelpaare: 


2a) 


*^=0  #,«0  «3=0      *i=0   *2«=0   »4—0  *i—0  *2"'0  *5*"0 

,^«0  »8«0  *4«0     #1—0  #j-=0  »5«0  «1=0  #4-=0  #5=0 

#y«0  #3«*»0  #4=»0      #j|*«0  «s^^O  #5=0  #j=»0  #4=s0  #5=0 

#8«»0  #4=»0  #5«"0. 

Jetzt  restiren  noch  die  5  Directricenpaare  Ib). 

Jedes  dieser  Paare  bildet  2  in  Bezug  auf  a^  =  0  conjugirte  Ge- 
rade, ein  Directricenpaar  bildet  sich  also  auf  eine  Kugel  ab, 
und  wie  die  5  Directricenpaare  je  4  der  Fundamentalcomplexe  an- 
gehören müssen,  so  muss  die  entsprechende  Kugel  jeweils  vieren  der 
entsprechenden  Kugelgebüsche  angehören. 

Vier  zu  einander  orthogonale  Kugelgebflsche  haben  aber  nnr 
eine  einzige  Kugel  gemein,  es  ist  dies  die  eine  Kugel,  welche  za 
ihren  4  Orthogonalkugeln  selbst  orthogonal  ist,  also  jedesmal  die 
5  to  Orthogonalkugel  des  Fundamentalsystems. 

Den  Directricenpaaren  Ib)  entsprechen  so  der  Reihe  nach  jo  2 
Erzeugungsweisen  der  Fuudamentalkugeln : 

2b)  Äg  c«  0    #4  —  0    #8  «  0    #4  —  0    #1  —  0. 

Wir  kleiden  das  Resultat  in  Worte: 

„Die  15  vorhandenen  Directricenpaare  der  15  aas  den  Funda- 
„mentalcomplexen  gebildeten  Congruenzen  teilen  sich  bei  der  Trans- 
„formation  in  2  Gruppen  zu  10  und  5.  Die  der  ersten  Gruppe  an- 
„gehörigen,  welche  Gerade  des  ausgezeichneten  Fondamentalcomplexei 


r' 


mit  Doppeücegeltchnitt  durch  hypertlUptiicht  Functionen, 


231 


,^e  »  0  sind,  bilden  sich  in  die  10  ausgezeichneten  Punktkngelpaare 
^ab,  welche  je  dreien  der  5  Fandamontalkugeln  gemeinsam  sind.  Die 
„5  Directricenpaare  der  2ten  Grnppe,  die  jeweils  in  Bezug  auf  x^^Q 
„conjugirte  Gerade  darstellen,  bilden  sich  dagegen  in  die  5  Fnnda- 
f.mentalkngeln  selbst  ab^S 

Die  15  Directricenpaare  orden  sich  nun  zu  den  15  Fundamontal- 
tetraedcm  zusammen.  Die  Kanten  werden  gebildet  Ton  3  Paaren 
von  Directricen,  deren  Congrueuzen  stets  zusammen  sämmtliche  6 
Fundamentalcomplexe  enthalten.  Bezeichnen  wir  die  Directricen 
durch  ihre  Gongruenzon,  so  haben  wir  folgende  15  Fundamental- 
tetraeder: (Ihnen  entsprechen  nach  demVorhergehenden  die  daneben 
gesesetzten  Zusammenordnungen  von  Fundamcntalkugeln.) 


a^«0  af,«0 
X,— 0  «4=0 


«3—0  aj4«0 
a:2»0  «8—0 


«5=0  «e=»0 
«5»0  «6=0 

«5=0  «e=-0 


«3L—0  «2«»0 

ajj=0  «s«=0 

fljj«0  «5=-0 


«8-0  «6-0 
«2«-0  «5=0 

«,=0  «8—0 


aj^==0  «8—0 

«4=0  «6"-0 
«4—0  «6*=»0 


«1=0  «2—0 

a;^— 0  «4-0 

«1—0  «5—0 


a;^«0  «5—0 
«2-»0  «5—0 

a-j==0  «4=0 


«8—0  «8—0 
«8—0  «8—0 
«3=0   «6—0 


aPj^«0  «3=0 
«1=0  «4=0 
«,— 0  «5—0 


«4=0  «5—0 
«8=0  «5=0 
«8-«0  «4«=0 


«2—0  «6—0 
«2—0  «6—0 
«2=0  «6=»0 


«2—0  «3-0 
«3=0  «4—0 
«2-0  «5-0 


«^«0  «5—0 

«3—0   «5—0 
«8-«0  «4—0 


«1—0  «6—0 
«1—0  «6=0 
«i-O  «6-0 


«3=0  «4=0  «5=0 

«1—0  «2—0  «5—0 

«5=0 

*S 0  «4—0  «5—0 

'l— 0  «8—0  «5—0 

«6—0 

#^— 0  «8—0  «5—0 

*l-0  #4-0  «5=0 

«6-0 

#3=0  «4=0  #5—0 

«1=0  «2-0  «4=0 

«4=0 

#«— 0  «4-0  «5=0 

•l— 0  «8—0  «4—0 

«4—0 

#,— 0  «3—0  «4—0 

«1-0  «6=0  «4—0 

«4-0 

232 


Dömsch:  DiiB  Dar»UOung  der  FiSeken  vierter  Ordmmg 


«4-0  #5-0 
*1— 0  #5—0 
*1— 0  #4—0 


#4—0  #5=0 
#8-0  #6-0 
S^=0  #4— »0 


-0 
-0 
-0 


,j«0  #i— 0  #5-0 

#i— 0  #4—0  #8-0 
#jl— 0  #5=0  #5—0 


*8— 0 
#8«0 


#4=0  #8=0  #4—0 

#1=0  #4—0  #4=0 

«1—0  #5-0  #8-0  I 


#8=0 

#4—0 

#8—0 


*4— 0  #5—0  i 

»1—0 

#4=0  #8=0  #1—0 

#1—0 

#5=0  #5-0  i 

»1-0 

#8=0  #4—0  #1—0 

#1=0 

S^=0  #4—0  i 

»1-0 

#,—0  #5=0  #1  —0 

#1-0 

Den  Kanten  der  Fundamentaltetraeder  entsprechen  so  jedesmal 
4  Pnnktkogeln,  welche  ans  einer  Fondamentalkngel  dorch  2  der 
Fnndamentalkreise  ausgeschnitten  werden,  znsammen  mit  der  betrei- 
fenden Fondamentalkngel  selbst. 

Auf  jeder  der  5  Fundamentalkugen  gibt  es  3  Pnnktkugelpiarc 
entsprechend  dem  Umstände,  dass  sich  die  4  ttbrigen  Kugeln  dreimal 
in  2  Paare  teilen  lassen. 

Betrachten  wir  des  Näheren  die  auf 


#6-0 


legenden  Punktkugelpaare 


#1  —  0  #8  =  0  #6  =  0;  #1  —  0  #8  =  0  #5  —  0;  #1  —  0  #4  -  0  #$  -JO 
j,  —  0  #4-0  #5  —  0;  #8  =  0  #4-0  #5  —  0;  #8  —  0  #8  —  0  #4-0 

und  von  diesen  wiederum  beispielsweise  das  erste 

*  j  —  0    #8  =  0    #5—0 
•s  — 0     #4-0     #5-0 

Jede  Punktkugel  des  Paares  #i  =  0  #8  —  0  #5  —  0  hat  mit  #$»  0 
zwei  Erzeugende  gemein ,  die  jeweils  in  den  Tangentialebenen  in 
diesen  Punkten  an  #5  »  0  verlaufen,  den  Minimalgeraden  /  U  resp. 

/  //'.    jj    '  jj,  ?   seien  Erzeugende  derselben  Art. 

Erzeugende  verschiedener  Art  schneiden  sich  stets;  also  mOascfl 
sich,  wie  I  und  17,  /'  und  i7'  auch  /  und  n\  U  und  /'  schneidea 
in  2  Punkten  3  und  4. 

Die  beiden  Punktkugeln  #1  —  0  #8  =  0  #5  —  0  schndden  ski 
aber  in  dem  Kreise  #8  —  0  #4  —  0,  sie  sind  ja  die  Pnnktkogeln  dei 
durch  den  Kreis  bestimmten  Kugelbtlschels.    Also  mOisen  die  beides 


mü  DopptlktgeUchniU  durch  hyperflUptüehB  F\tnctionen»  2S8 

Punkte  3  und  4  auf  «a  —  0  «4  =  0  liegen ;  sie  liegen  aber  auch  anf 
«5 »  0.  Es  sind  demnach  die  beiden  Punkte  3  nnd  4  die  Centren 
des  2ten  zu  betrachtenden  Pnnktkugelpaares 

#3  =»  0    *4  =  0    #5  — ■  0. 
Das  Sjstem 

g^mMmO    *,  «=  0    *5  —  0;      «3  «»  0    *4  —  0    «6  «-  0;      #5  —  0 

hat  also  die  4  ein  ränmliches  Yierseit  bildenden  Minimalgeraden  ge- 
mein. Dieses  räumliche  Yierseit  ist  es  infolgedessen,  das  demFun- 
damentaltotraeder  entspricht. 

Wir  gewinnen  den  Satz: 

,,Den  15  Fnndamcntaltotraederu  entsprechen  durch  unsere  Ab- 
„bildnng  15  räumliche  Vierscite,  deren  Kanten  von  Minimalgeraden 
gebildet  werden,  und  deren  Ecken  auf  den  Fundamentalkugeln 
„liegen  und  ausgeschnitten  werden  von  den  10  Fundamentalkreisen. 
„Anf  jeder  der  5  Fundamentalkugcln  liegen  die  Ecken  von  3  Vier- 
„selten  entsprechend  dem  umstand,  dass  sich  die  4  übrigen  Funda- 
„mentalkugeln  auf  3  Welsen  in  je  2  Paare  teilen  lassen,  wir  also 
„3  Paare  von  Fundamentalkreisen  erhalten.  Jedem  dieser  Paare 
„entspricht  ein  Yierseit'^ 


§  2.     Die  Sckaar  der  Kummer*sehen  Flächen  in  ihrer  Beziehung 

zum  Cyklidensystem. 

Wollten  wir  in  möglichst  allgemeiner  Weise  verfahren,  so  hätten 
wir  auszugehen  von  den  oo*  Liniencomplexen  2ten  Grades: 

1     ki—fA  —  k  k^—ll 

Diesen  würden  dann  im  Eugelraum  00  >  Kugclcomplexe  2ten 
Grades  entsprechen,  und  solche  Kugelcomplexo  2ten  Grades  hätten 
wir  als  Yerallgomeinerungcn  der  Cyklideu  zu  betrachten,  die  an  sich 
nur  gebildet  werden  von  den  Punktkugeln  eines  solchen  Eugelcom- 
plexes  2ten  Grades. 

Wir  beschränken  uns  aber,  indem  wir  in  1)  /i  —  k^  setzen,  anf 
die  Linien  der  od^  Congruenzen: 

2)  f*7z^»o.,-o 


234  Dornt  eh:  Die  Darstellung  der  Flächen  vierter  Ordnung 

Dieselben  sind  die  Doppeltangenten  oo^  KiiTniiicr'Bchen  Flächen, 
wulche  sich  längs  der  6  ausgezeichaeten  HaupttangenteucorTcn  8ter 
Ordnung  berühren*). 

Da  x^  -»  0  unser  ausgezeichneter  Fnndamentalcompicx  ist,  so 
entsprechen  den  oo  ^  Liniencongrucuzen  jeweils  die  Pnnktkngeln  von 
Qo'  Kugelcomplexon  2teu  Grades,  also  die  Cjklidenschaar 

3)  2  — ^,  =  0  6) 

wenn  ki  —  Ajg  =  c»  gesetzt  wird.  Die  Cyklidenschaar  aber  bildet  ein 
coufocales  System,  wie  schon  ans  der  Form  der  Glcichnug  3)  er- 
hellt «). 

Wir  haben  demnach  den  Satz: 

„Einer  co  ^  Schaar  Knmmer'scher  Flächen ,  welche  Brennflächei 
„der  00 1  Gongrnenzen 

5    x^ 

,,und  sich  nach  einer  ausgezeichneten  Hanpttangentencurve  SterOrd- 
,,nung  berühren,  bilden  sich  ab  als  oo  *  Cykliden 

„die  ein  confocales  System  bilden^S 

Hieran  schliessen  wir  sofort  den  folgenden  Satz  (Lie,  a.  a.  0. 
p.  193—194.) 

„Jene  ausgezeichnete  Haupttangentencurve  transformirt  sich  in 
„die  „Developpale  Focale'S  welche  allen  Cykliden  des  confocalen 
„Systems  sammt  dem  Kugelkreis  umschrieben  ist^^ 

2  Congruenzen  der  Schaar  2),  entsprechend  2  bestimmten  Watet 
von  A,   haben  eine   Linienfläche  gemein,   welche  die  beiden  Brenn- 


4)  Ein  solches  System  betrachtet  H.  Lie,  a.  a.  0.  p.  255.  Die  Hsvpi- 
tangeotencurven  der  Kummer'schen  Fl&che  wurden  suerst  antersucht  toq  des 
Herren  Klein  und  Lie  in  den  Berl.  Monatsberichten,  15.  December  1870,  is 
einer  Abhandlung,  die  sich  wieder  abgedruckt  findet  in  Bd.  13.  der  Math. 
Annalen,  p.  579. 

5^  Siehe  p.  20,  Darboux,  a.  a.  O.,  p.  134. 

6  6 

6)  Daneben  gilt  noch   ^s^^^zO  entsprechend   2x^^=0, 

1  1 


mit  DoppelkegelschniU  durch  hypßrelliplische  Functionen,  235 

flächen  der  Congrucnzen  längs  jo  einer  Haupttangentencurve  berührt. 
Diese  Linienflächc  ist  vom  8ten  Grade  ^).  Dem  entsprechend  schnei- 
den sich  2  Cykliden  des  Systems  längs  einer  Corve  rechtwinklig 
(rechtwinklig  daroro,  weil  jeder  Erzeugende  der  Linienfiäche  2  Paar 
Berahrungspunktc  trägt,  die  zu  einander  harmonisch  liegen),  und 
diese  ist  Krümmungslinie  auf  beiden  Flächen,  im  übrigen  ebenfalls 
von  der  8ten  Ordnung*). 

Je  3  Congrucnzen  der  Schaar  haben  16  xg  »  0  angehörige  Ge- 
rade gemein,  die  Doppeltäugeutcn  sind  für  die  3  zugehörigen  Brenn- 
ilächen.  Auf  jeder  der  16  gemeinsamen  Doppeltangenteu  bilden  die 
6  Bcrühruugspuiikte  3  Paare,  2  beliebige  dieser  3  Paare  sind  zu  ein- 
ander harmonisch.  Dem  entsprechend  schneiden  sich  im  Cykliden- 
ranm  je  3  confocale  Cykliden  in  16  Punkten  rechtwinklig. 

Durch  jede  Linie  des  ausgezeichneten  linearen  Complexes  lassen 
sich  3  Congrucnzen  der  Schaar  legen,  deren  Brennflächen  die  soeben 
berührte  Eigenschaft  besitzen.  5  Congrucnzen  der  Schaar  degeneriren 
in  diesen  Fällen  in  die  Directricen  dieser  linearen  Congrucnzen. 

Dem  stellen  sich  für  den  Cyklidenraum  die  Sätze  zur  Seite,  dass 
durch  jeden  Punkt  des  Raumes  3  Cykliden  der  Schaar  gehen,  und 
6  Cykliden,  für  iL  -=  a^,  zu  Kugeln  degeneriren;  es  sind  dies  die  5 
Fnndamentalkugeln. 

Zunächst  werden  wir  aber  nicht  das  ganze  Flächensystem  in's 
Auge  fassen,  sondern  die  einzelne  Kummer*sche  Fläche  in  ihrer  Be- 
ziehung zur  einzelnen  Cyklide.  Wir  werden  also  in  2)  resp.  3)  dem 
variabeln  Parameter  einen  festen  Wert  zu  erteilen,  etwa  A  «  oo  setzen ; 
dann  haben  wir  die  Cyklide 

4)  UoiSi»  =  0. 

1 

Jeder  Doppeltangente  der  Kummer*schen  Fläche  entspricht  eine 
Ponktkngel  im  Cyklidenraum;  also  entspricht  je  2  Punkten  der  Kum- 
mer'schen  Fläche,  den  2  Berührungspunkten  der  Doppeltangente  näm- 
lich, nur  ein  Punkt  der  Cyklide.  Ausgenommen  aliein  sind  die  Punkte 
der  obengedachten  ausgezeichneten  Haupttangentencurve  8ter  Ord- 
nung der  Eummer'schen   Fläche.    Diese  ist   eine   Curve   4  punktiger 


7)  Unter  dem  Grad  einer  Linienfl&che  rerstehen  wir,  wie  üblich,  die  An- 
zahl der  Erzengenden,  welche  eine  beliebig  vorgegebene  Gerade  treffen. 

S)  Auf  das  Entsprechen  von  Linienfli^chen  nnd  Curyen  gehen  wir  in  |  4., 
p.  69.  ansfflbrlicher  ein. 


236  Domsch:  Die  Darstellung  der  Flächen  vierier  Ordnmng 

Berflhning  fQr  die  Kummer'sche  Fläche,  die  Doppeltangenten  in  den 
Punkten  derselben  sind  vierfache  Tangenten ,  jedem  Pankt  also  der 
Haapttangentoncorve  für  sich  allein  entspricht  ein  Punkt  der  C^klidS: 
die  Beziehung  ist  in  diesem  Falle  eine  (1, 1)  deutige.  Die  entspre- 
chenden Punkte  der  Cyklide  bilden  die  singulare  Krümmungslinie,  ia 
welcher  die  Flftche  von  der  benachbarten  des  Systems  geschnitten 
y»ird;  denn  die  ausgezeichnete  Hanpttangcntencurve  verwandelt  sich 
ja  in  die  developpabele  Focale,  und  diese  berührt  die  Cyklide  in 
jeuer  singulären  Erümmungslinie. 

Wir  geben  den  erhaltenen  Resultaten  die  Fassung: 

„Die  Beziehung  zwischen  Kummer'scher  Fläche  und  Cyklide  ist 
,,eine  derartige,  dass  im  Allgemeinen  je  zwei  Punkten  der  ersteres 
„nur  ein  Punkt  der  letzteren  entspricht,  nämlich  den  2  Berühmngß- 
„punkten  einer  der  od  >  Doppeltangenten,  die  o^  —  0  angehören,  eine 
„der  oo'  Punktkugeln,  welche  die  Cyklide  bilden^^ 

„Nur  die  Punkte  der  ausgezeichneten  Haupttangentencurve  8ter 
„Ordnung  entsprechen  den  Punkten  der  ausgezeichneten  singulären 
„Erümmungslinie  ein- eindeutiges 

Da  den  Haupttangenten  der  Kummer*schen  Fläche  die  Haapt- 
kugeln  der  Cyklide  entsprechen,  so  finden  wir  überhaupt  den  Satz*): 

„Die  Haupttangentencurven  der  Eummer'schen  Fläche  bilden  sich 
„in  die  Erümmungslinien  der  Cyklide  ab^'. 


§  3.     Parameterverteüung  auf  iler  Kummer*schen  Fläche 

und  deren   Üebertragung. 

Jeden  Punkt  der  Kummer*schen  Fläche  können  wir,  krummlinige 
Coordinaten  einführend,  durch  die  beiden  Haupttangentencurven  be- 
stimmen, die  durch  ihn  hindurchlaufen: 

X^  =  const;    Xg  =  const 

seien  die  Gleichungen  dieser  beiden  Haupttangentencurven.  Dann 
ist  durch  diese  Parameterwerte  der  betreffende  Punkt  bestimmt,  aber 
nicht  eindeutig;  die  beiden  Haupttangentencurven  16ter  Ordatog 
treffen  sich  ja  in  32  Punkten ,  und  diese  32  Punkte  bangen  s&mmt- 
lich  von  denselben  Parameterwerten  i|  und  Xf  ab.  um  die  einsebien 
Punkte  der  Gruppe  zu  individualisiren,  nehmen  wir  als  BestimmoBgi- 
stOcke  nicht  A^  und  X^ ,  sondern  die  beiden  überall  endlichen  Norstl- 
integrale  vom  Geschlecht  2,  hingeleitet  zu  X^y  resp.  X^  als  obere  Grenzen 


9)  cf»  p.  63.,  Lie,  a.  a.  0.,  p.  177. 


mii  Dopptlkegehchnitt  durch  kypereüiptiiche  Funelionen,  237 

V/"^ 
n(ai''—  k)*  wo  die  ai  die  Parameter  der  6 

aosgezeichneten  Haupttangentencarven  8ter  OrdnaBg  bedeuten.^®) 

Betrachten  wir  eine  solche  Gmppe  von  32  Punkten,  so  sehen 
wir,  dass  aus  einem  von  ihnen  15  weitere  hervorgehen  dnrch  15 
Collineationen  —  die  15  involntorischen  windschiefen  Perspectiven, 
die  sich  auf  die  15  Directricenpaare,  also  die  15  Congmenzen 
z,'  ==  0  acft  -»  0  stützen. 

Die  16  noch  übrigen  hangen  von  den  16  schon  betrachteten 
dualistisch  ab.  Betrachten  wir  nämlich  einen  der  16  Punkte,  so  ge- 
hört zu  ihm  eine  Tangentialebene  an  die  Eummer'sche  Fläche;  in 
dieser  Tangentialebene  wird  eine  Gerade  des  Tangentenbüschels  dem 
aasgezeichneten  Complez  x^  ^  0  angehören.  Diese  ist  Doppeltangente 
an  die  Eummer'sche  Fläche  und  liefert  infolgedessen  einen  2ten  Punkt 
der  Kummer'schen  Fläche.  So  erhalten  wir  zu  den  16  Punkten  noch 
16  weitere  hinzu. 

Das  Coordinatensystem  der  Haupttangentencurven  transformirt 
sich  nun  in  das  Coordinatensystem  der  Krümmungslinien.  Wie  dort 
ein  Punkt  dnrch  die  hindurchlaufenden  Haupttangentencurven  definirt 
war,  ist  er  hier  definirt  durch  die  2  Erümmungscurven 

Aj  «  «„    A,  «  6j. 

Die  Haupttangentencurven  schneiden  sich  nun  in  32  Punkten, 
welche  auf  die  oben  bezeichnete  Weise  zusammenhangen  ;  je  2  der- 
selben liefern  aber  als  Berührungspunkte  einer  Doppeltangeute,  welche 
dem  Complex  zq  ^  0  angehört,  denselben  Punkt  der  Cyklide. 

„Der  Gruppe  von  32  zusammengehörigen  Punkten  der  Kummer- 
„schen  Fläche  entspricht  also  auf  der  Cyklide  eine  Gruppe  von  nur 
„16  Punkten,  welche  auseinander  durch  Spiegelung  au  den  Fundamental- 
„kugeln,  wie  dort  durch  Spiegelung  an  den  Congmenzen  xi^^O  x^^Oy 
„(»«•  1,  2...  5)  hervorgehen." 

Einem  Punkt  der  Kummer'schen  Fläche  entspricht  eine  Minimal- 
gerade, welche  die  Cyklide  in  dem  Punkt  berührt,  welcher  der  Doppel- 
tangente an  die  Eummer'sche  Fläche,  «e  »  0  angehörend,  entspricht, 
die  im  Ausgangspunkt  construirt  wurde.  Der  Tangentialebene  im 
Ausgangspunkt  an  die  Kummer'sche  Fläche  entspricht  die  2te  in 
jenem  Punkt  der  Cyklide  berührende  Minimalgerade;  diese  letztere 
Minimalgerade  ist  aber  auch  das  Bild  des  2  ten  Punkts  der  Kummer- 


10)  Auffthrlichu  hierftber  siehe  p.  Sl. 


238  Dom  seh:  DU  Darstellung  der  Flächen  vierter  Oi-dtiunf/ 

» 

scheu  Fläche,  der  zum  Ausgangspankt  daalistisch  gehört,  ebenso  wie 
die  erste  Minimalgerade  der  TangeutialebeDe  in  jenem  2tea  Ponkt 
der  Kummer*schen  Fläche  entspricht. 

Machen  wir  demnach  eine  dualistische  Umformung  im  Raum  der 
Kummer'schen  Fläche ,  hinsichtlich  des  linearen  Complexes  x^  =  0. 
durch  welche  jeder  Punkt  in  die  ihm  durch  den  linearen  Complei 
zugeordnete  Ebene  und  jede  Ebene  in  den  entsprechenden  Punkt 
verwandelt  wird,  so  vertauschen  sich  die  beiden  Untergruppen  Toa 
je  16  Punkten  auf  der  Kummer'schen  Fläche.  Eine  solche  Yertan- 
schung  ändert  aber  das  Cjklidensystem  in  keiner  Weise.  Die  in 
Rede  stehende  dualistische  Umformung  des  einen  Raumes  bringt  im 
anderen  keinerlei  Aenderung  hervor. 

§  4.     Abbildung  von  Linienflächen,  eieren  Erzeugende  dem 
ausgezeichneten  linearen  Complex  angehören. 

Im  Folgenden  wird  es  sich  vorzugsweise  darum  handeln,  die 
Abbildung  von  Gurven  der  Kummer'schen  Fläche  auf  die  Cjklide  zu 
zu  leisten.  Wir  könnton  zu  dem  Zwecke  die  Punkte  der  Curve  selbst 
abbilden  —  ihnen  entsprechen  ja  im  Cyklidenraum  Minimalgerade, 
die  die  Cyklide  in  je  einem  Punkte  berühren  — ;  einfacher  gestalten 
sich  aber  die  Verhältnisse,  wenn  wir  in  jedem  Punkt  der  Corre  anf 
der  Kummer'schen  Fläche  die  zugehörige  Doppeltangente  constmiren, 
die  dem  ausgezeichneten  Complex  angehört  Die  so  entsteheDde 
Linienfläche,  deren  Erzeugende  also  dem  ausgezeichneten  linearen 
Complex  angehören,  bildet  sich  sofort  auf  eine  Curve  der  Cyklide 
ab;  jeder  Doppeltangente  entspricht  ja  ein  Punkt  der  Cyklide. 

Wir  betrachten  demnach  zunächst  allgemein  Linien  flächen, 
deren  Erzeugende  ar^  »  0  angehören,  und  deren  Abbildun- 
gen, und  stützen  uns  hierbei  auf  ein  von  Herrn  Klein  gütigst  zor 
Yerfügung  gestelltes  Manuscript:  Zur  Theorie  der  linearen  Compleie, 
dessen  Resultate  die  eigenen  vervollständigen  halfen. 

Ehe  wir  auf  die  in  Rede  stehende  Abbildung  selbst  eingehen^ 
wird  es  zweckmässig  sein,  gewisser  Ausnahmgebilde  Erwähnung  zd 
tnn,  die  bei  unserer  Abbildung  sowohl  im  linearen  Complex  als  im 
Punktraum  auftreten. 

Im  Allgemeinen  ist  die  Abbildung  eine  (11)  deutige  ^  jeder  Gera- 
den des  Complexes  entspricht  ein  Punkt  des  Cyklidcnraumes;  es 
giebt  aber  eine  Gerade  des  Complexes  —  die  Fundamental- 
gerade*^)  — ,  der    OD*    Punkte    entsprechen,    die    eine  ganze 


11)  cf.  Lie,  a.  a.  0.  p.  168. 


mit  Dappelkegtltchnitt  durch  hypereUiptUehe  Functionen, 


239 


Ebene  im  Cyklidenranm  erfüllen,  nnd  umgekehrt  Punkte  im  Cy- 
klidenraam  —  sie  liegen  auf  einem  Kegelschnitt  — ,  denen 
ein  ganzes  Büschel  von  Geraden  des  Complexes  entspricht. 

Dieser  Kegelschnitt  ist  im  gegebenen  Falle  der  Kngelkreis. 
Jedem  Punkt  des  Kngelkreises  entspricht  also  ein  Büschel  von  Complex- 
gcradcn,  welchem  die  Fnndamentalgerade  angehört;  durch  dasselbe 
wird  ein  Punkt  der  Fundamcntalgeraden  und  eine  durch  sie  hindurch- 
gehende Ebene  dem  betreffenden  Punkt  des  Kugelkreises  zugeordnet. 

Um  die  Verhältnisse  der  Abbildung  klar  zu  übersehen,  folgt  eine 
Tabelle,  welche  entsprechende  Gebilde  einander  gegenüberstellt,  soweit 
sie  Bezug  haben  zu  den  Ausnahmegebilden. 


Raum  des  Complexes. 

Die  Fundamentalgerade  L : 

Eine  Complexlinie: 

Eine  Complexlinie,  die  L  schneidet : 

Das  dadurch  bestimmte  Büschel: 

Die  Congruenz,  gebildet  vom  ge- 
gebenen Complex  und  den  durch 
die  Fundamentalgerade  bestimm- 
ten speciellen, d.  h.  eine  lineare 
Congruenz  mitXalsDop- 
pellinie: 

Eine  lin.  Congruenz  mit  Dop- 
pellinie, die  L  enthält, 
d.  h.  die  oc^  Linien  des  Com- 
plexes, welche  eine  Complex- 
linie schneiden,  die  ihrerseits 
L  trifft: 

Eine  allgemeine  lin.  Con- 
gruenz, die  L  enthältund 
dem  Complex  angehört: 

Die  Directricen  dieser  Con- 
gruenz: 

Eine  allgemeine  lineare 
Congruenz,  die  L  nicht 
enthält  und  dem  Complex 
angehört: 

Eine  Linienfläche  2ten  Gra- 
des, welche  L  enthält: 


Cyklidenraum. 
die  ooferne  Ebene, 
ein  Punkt. 

ein  Punkt  des  Kugelkreises, 
derselbe  Punkt  des  Kugelkreises. 


der  Kugelkreis. 


cx>'  Punkte,  eine  Ebene  bildend, 
die  mit  dem  Kngelkreis  einen 
Punkt  gemein  hat,  d.  h.  eine 
Tangentialebene  an  den 
Kugelkreis. 


eine  Ebene. 

die  beiden  Kreispnnkte  der  Ebene. 

eine  Kugel ;  die  Punkte  des  Kugel- 
kreises entsprechen  den  Geraden 
der  Congruenz,  die  L  schneiden. 

eine  Gerade,  die  den  Kugel- 
kreis nicht  trifft. 


240 


Dom  ach:  Die  Darstellung  der  Flächen  vierter  Ordnung 


Raum  des  Complexes. 
Die  Erzeogende  L: 

Eine  Linien  fläche  2ten  Gra- 
des, die  L  berührt: 

(L  schneidet  nur  eine  Erzeu- 
gende.) 


Eine  beliebige  Linienfläche 
2ten  Orades: 

{L  schneidet  2  Erzeugende,  be- 
stimmt also  2  Büschel  von  Com- 
plexgeradeu.) 


Cyklidenraum. 

der  Schnitt  mit  der  unendlich 
fernen  Ebene. 

ein  Kreis,  der  die  unendlich 
ferne  Ebene  berührt,  d.  h. 
nur  einen  Kreispunkt  hat  Die 
Ebene  des  Kreises  entspricht 
der  linearen  Congmenz,  welche 
die  geschnittene  Erzeogeode 
zur  Doppellinie  besitzt 

Ein  Kreis. 

(Den  beiden  Büscheln  entsprechen 
die  beiden  Kreispunkte. 


Betrachten  wir  jetzt  eine  allgemeine  Linieufiäche,  deren  Enea- 
gende  dem  linearen  Complex  angehören.  Der  Grad  derselben,  d.  h. 
die  Zahl  der  Erzeugenden,  die  von  einer  beliebigen  Geraden  ge- 
schnitten werden,  sei  n.  Der  Grad  wird  im  Allgemeinen  mit  der 
Ordnung  und  Classe^^)  der  Linienflächc  übereinstimmen;  nur  wenn 
die  Erzeugenden  eine  Developpabele  bilden,  ist  der  Grad  gleich  der 
Ordnung  der  Developpabeln  und  der  Classe  der  zugehörigen  Baum- 
curve. 

Als  charakteristisch  ist  ferner  zu  betrachten: 

Das  Geschlecht  |9  (d.  h.  das  Geschlecht  der  ebenen  Schnittcone); 

Die  Zahl  der  Doppelerzeugenden  g 

und  der  stationären  Erzeugenden  tf, 

Die  Zahl  der  singulären  Linien  «, 

Die   Art  der  Brenncongruenz'^).    Die   Brenncurve    und  Brenn- 
developpabele  der  letzteren  gicbt 


die  Doppelcurve  £ 
und  die  Doppeldcvelopp 


,    ,     cfi  d^r  8^S*  Linienflftcfae. 
abele  S)        °  ^ 


Es  möge  die  Linienfläche  die  bei  der  Abbildung  des  Complcieg 
benützte  Fundamentalgerade  L  nicht  enthalten,  auch  möge  keioe  ihrei 


IS)  Ordnung  und  Classe  sind  nach  einem  bekannten  Satee  von  Cayl^  » 
diesem  Falle  gleich. 

13)  Unter  der  Brenncongrnenz  versteht  man  die  os*  Geraden,  welche  ▼os 
der  Oesammtheit  der  Büschel  herrühren,  die  von  sieh  schneidenden  LlnieB  der 
Flilche  gebildet  werden. 


mii  DoppdktgdsehmU  durch  htfpertUiptUche  F\tneHonm,  241 

aasgezeiehneten   Linien   der  linearen   Gongmenz  angehören,  deren 
DoppeUinie  L  ist 

Dann  verwandelt  sich  die  Linienfläche  nten  Grades  ver- 
möge nnserer  Abbildung  in  eine  Curve  titen  Grades,  die  den 
Kogelkreis  in  n  getrennten  Punkten  schneidet  ~  die  Funda* 
mentalgerade  trifft  ja  n  Erzengende  der  Linienfl&che. 

Die  Anzahl  der  Doppelpunkte  wird  gleich  ^,  die  Anzahl  der 
Rflckkehrpunkte  a. 

Nun  ist  aber  das  Greschleeht  der  Linienflftche,  wenn  die  Ordnung 
and  Classe  der  Doppelcurve  -*  h  ist 

p  — 2 Ä— ^— tf 

(Wir  haben  ja  das  Geschlecht  der  ebenen  Schnittcurve  zu  be- 
stimmen.) 

Der  Brenncurve  Ater  Ordnung  entspricht  nun  eine  Minimallinien- 
fläche 2Ater  Ordnung,  die  den  Kugelkreis  Afach  enthält.  Jede  Er- 
zeugende derselben  schneidet  die  Raumcurve  2  mal,  entsprechend  dem 
Umstand,  dass  die  Brenncurve  erzeugt  wurde  durch  sich  schneidende 
Linien  der  Brenncongruenz.  Von  jedem  Punkt  des  Eugelkreises  lau- 
fen also  A  Erzeugende  der  Minimallinienfläche  aus;  die  Raumcurve 
nter  Ordnung,  die  der  Linienflächo  des  Complexraumes  entspricht, 
hat  demnach  A  scheinbare  Doppelpunkte.    Es  ist  also  ihr  Geschlecht 

(n-l)(n~2) 
p— 2 A  -^— tf 

„Es  überträgt  sich  also  auch  das  Geschlecht  d^r  Linienfläche 
„auf  die  Bamncurve  im  Cyklidenraum.^^ 

Als  Rang  der  Raumcurve  erhalten  wir 

r  —  n(fi  — 1)  — 2A  -2p  — 8a 

Es  ist  dies  auch  die  Ordnung  der  durch  dieselbe  bestimmten 
Developpabelen.  Letztere  sehneidet  den  Kugelkreis  ausser  in  den  n 
doppelt  xählenden  Punkten  in 

2(r^n)  Punkten; 

sovid  liegen  also  Minimalgerade  auf  der  Developpabelen,  soviel  mal 
ist  mit  anderen  Worten  die  Verbindungslinie  2er  benachbarter 
Punkte  der  Raumcurve  Minimalgerade.  Ein  derartiges  Yorkomm- 
aifls  entipTicht  aber  einer  singulären  Linie   der   Linienfläche 

Utk.  4.  Xfttk.  «.  Fkji.    S.  B«ih«,  Teil  n.  1€ 


242  Do  mach:  Die  Darstellung  der  Flachen  vierter  Ordnung 

des  Gomplexrattmes,  d.  h.  dem  Falle,  wo  eine  Erzeagende  tod 
ihrer  benachbarten  geschnitten  wird.    Wir  erhalten  demnach 

2(r— fi)=#. 

„Der  Anzahl  der  singniären  Linien  entspricht  also  die  Zahl  der 
„Punkte,  in  denen  die  Developpabele  der  Raumcurve  vom  Kogelkreis 
„getroffen  wird  ausser  den  n  doppelt  zählenden  Punkten,  in  denen 
„die  Raumcurve  den  Eugelkreis  durchsetzt^ 

Eine  beliebige  Erzeugende  der  Linienfläche  wird  von  (n— 2) 
ihresgleichen  getroffen,  eine  Doppelerzeagende,  resp.  stationäre  Er- 
zeugende von  (n  — 4)  andern  Erzeugenden.  Es  liegen  also  anf  jeder 
der  letzteren  (n  -  4)  Doppelpunkte,  resp.  Rackkehrpunkte  der  Doppel- 
curve.  Die  Anzahl  der  Doppelpunkte  resp.  Rttckkehrponktc 
der  Doppelcurve  ist  demnach 

g(n — 4)  resp.  tf(n — 4). 

Ebenso  hat  die  Doppeldeveloppabele  gin — 4)  Doppelebenen  imd 
a(n— 4)  Infiexionsefoenen,  welche  zu  (n— 4)  durch  die  (p-f^)  ^^^' 
fachen  Erzeugenden  hindurchgehen  und  der  gleichen  Aniahl  tob 
Doppel-  und  RQckkehrpnnkten  einzeln  entsprechen. 

Demgemäss  erhalten  wir  im  Puuktraum  auf  der  Minimallimen- 
fläche,  deren  Erzeugende  Secanten  der  Raumcurve  sind,  p(n— 4J 
Doppelerzeugende  und  a(n— 4)  stationäre  Erzeugende,  die 
jeweils  zu  (n — 4)  durch  einen  Punkt  der  Raumcurve  gehen. 

§  5.     Abbildung  von  Curven, 

Jetzt  gilt  es  nun  noch,  die  Linienfläche,  deren  Erzeugende  dem 
ausgezeichneten  linearen  Complex  angehören,  in  Verbindung  zu  briB- 
gen  mit  der  Ausgangscurve  auf  der  Eummer'schen  Fläche,  längs 
welcher  beide  Flächen  einander  bertthren. 

Gehen  wir  also  aus  von  einer  beliebigen  Curve  auf  der  Kummer- 
sehen  Fläche,  deren  Ordnung  gleich  n  sei. 

Constmiren  wir  dann  in  jedem  Punkte  derselben  die  Doppel- 
tangente, welche  dem  ausgezeichneten  linearen  Complex  angehört,  so 
wird  deren  2ter  Berfihrungspunkt  im  Allgemeinen  kein  Pankt  dtf 
Curve  sein,  wir  werden  also  neben  der  gegebenen  Corvo  noch  eine 
2te  auf  der  Kummer'schen  Fläche  in  Betracht  zn  ziehen  haben,  die 
dieselbe  Linienfläche  liefert,  die  also  auch  dasselbe  ^d  aof  d^ 
Cyklide  hat. 

Die  Linienfläche,  welche  von  den  Doppeltangenten  gebildet  wird. 
wäre  als  Schnitt  eines  linearen,  eines  quadratischen  and  ^net  Cob- 


mit  Doppelkegehchnitt  durch  hypertlUptiaehe  Functionen.  243 

plexes  fiten  Grades  —  letzterer  ist  durch  die  Curve  nter  Ordnung 
bestimmt  —  von  der  Ordnung  4n.  Diese  Zahl  reducirt  sich  aber 
auf  die  Hälfte,  da  die  in  Rede  stehende  Curve  auf  der  Brenn  fläche 
der  Congmenz  (22)  verläuft.  Demnach  ergiebt  sich  als  Ordnung  der 
2ten  „conjugirten"  Curve  3».  Die  Singularitätea  der  ersten  Curve 
finden  auf  der  2ten  ihr  dualistisches  Gegenstück.  Dieser  Dualismus 
ist  aber  keiner  im  gewöhnlichen  Sinne  des  Wortes.  Construiren  wir 
Dämlich  in  allen  Punkten  der  ersten  Curve  die  Ebenen,  die  ihnen 
vermöge  des  ausgezeichneten  linearen  Complexes  entsprechen,  so  be- 
rühren dieselben  die  Eummer'sche  Fläche  in  Punkten,  deren  Gesammt- 
heit  die  2te  zur  ersten  dualistisch  gehörende  Curve  bildet. 

Der  Ordnung  n  der  Ausgangscurve  entspricht  die  Anzahl  von 
Tangentialebenen,  die  man  von  einem  beliebigen  Punkt  so  an  die 
Eummer'sche  Fläche  legen  kann,  dass  sie  in  einem  Punkt  der  2ten 
Curve  berühren;  dagegen  entspricht  der  Anzahl  von  Tangentialebenen, 
die  man  von  einem  beliebigen  Punkt  so  an  die  Eummer'sche  Fläche 
legen  kann,  dass  sie  in  einem  Punkt  der  Ausgangscurve  berühren  ^^), 
die  Ordnung  der  2ten  „conjugirten'^  Curve. 

In  speciellen  Fällen  kann  die  2te  conjugirte  Curve  mit  der  ur- 
sprünglichen zusammenfallen.  Dies  geschieht  z.  B.  bei  den  Haupt- 
tangentencurven;  in  diesem  Falle  ist  die  Curve  zu  sich  selbst  dua- 
listisch und  zwar  bei  den  Haupttangentencurven  im  landläufigen  Sinne 
des  Wortes,  da  die  Tangentialebenen  an  die  Eummer'sche  Fläche  in 
Punkten  einer  Hauptangentencurve  Osculationsebenen  an  letztere  sind-, 
das  stimmt  mit  dem  Umstand,  dass  Ordnung  und  Classe  der  Haupt- 
tangentencurve  gleich  sind.  Die  Liuienfläche  der  Doppeltangenten 
kann  in  letzterem  Falle  als  Schnitt  eines  linearen  und  2er  quadra- 
tischer Complexe  angesehen  werden,  ist  also  von  der  8teu  Ordnung 
für  die  Haupttangentencurven  16ter  Ordnung;  für  die  Haupttangenten- 
curven 8ter  Ordnung  wird  sie  von  der  4ten  Ordnung  (als  Schnitt 
2er  linearer  und  eines  quadratischen  Complexes). 

Ist  demnach  die  Ordnung  der  auf  der  Eummer'schen  Fläche  ge- 
gebenen Curve  n,  so  ist  im  Allgemeinen  der  Grad  der  Linienfläche  2n. 

Wir  haben  also  den  Satz: 

„Einer  Curve  nter  Ordnung  auf  der  Eummer'schen  Fläche  ent- 
„spricht  im  Allgemeinen  eine  Curve  2nter  Ordnung  auf  der  Cyklide.'^ 


14)  Dieae  Anuhl  erhftlt  man,  indem  man  die  Sehnittpankte  der  Corve 
mit  der  enten  Polare  der  Fläche  in  Bezug  anf  den  angenommenen  Fnnkt 
»cht;  in  uneerm  Falle  erhält  man  lo  3n,  eine  Zahl,  die  wir  schon  oben  Ar 
die  Ordnung  der  Sten  Canre  fanden. 

16» 


244  Dom  seh:  Die  Darstelhtng  der  Flächen  vierter  Ordnung 

Tritt  dagegen  der  Fall  ein,  wo  sämmtlicho  2ten  fierahmngs- 
punkte  der  Doppeltangenten  wiedernm  Punkte  der  Curve  sind,  die 
conjugirte  Curve  also  mit  der  urspranglichen  zusammenfUlt,  lo  iit 

die  Ordnung,  resp.  der  Grad  der  Linienfläche  nur  2  *  ebenso  ist  daan 

die  Ordnung  der  Curve  auf  der  Cjklide  ^     So  ist  es,  wie  gesagt, 

bei  den  Ilaupttangentencurven;  ihnen  entsprechen  die  KrOmmungs- 
linicn  8ter  resp.  4ter  Ordnung  der  Cyklide. 

Die  Doppelpunkte  der  gegebenen  Curve  auf  der  Eummer^schen 
Fläche  ergeben  Doppelerzeugende  der  Linienfläche,  die  von  den 
Doppeltangcnten  gebildet  wird.    Es  ergiebt  sich  demnach  der  Satz: 

„Den  Doppelpunkten  der  Curve  auf  der  Eummer'schen  Fläche 
„entsprechen  wiederum  Doppelpunkte  der  Curve  auf  der  Cyklide.'' 

Hat  dagegen  die  Curve  auf  der  Eummer'schen  Fläche  eine  Spitze, 
so  liegen  3  aufeinanderfolgende  Erzeugende  der  Linienflache  in  der- 
selben Ebene;  es  liegen  also  3  aufeinanderfolgende  Punkte  der  Curre 
im  Cyklidenraum  auf  derselben  Minimalgeraden;  wir  erhalten  einen 
Tangenteninflexionspunkt.  Hat  umgekehrt  die  Curve  auf  der  Eummer- 
sehen  Fläche  einen  Tangenteninflexionspunkt,  dann  ist  die  Tangente 
in  diesem  Punkt  Haupttangente  an  die  Eummer'sche  Fläche.  Ihr 
entspricht  eine  Hauptkugel,  welche  die  Cyklide  in  dem  entsprechen- 
den Punkte  osculirt;  eine  solche  schneidet  aber  in  einer  Curve  mit 
Spitze  in  diesem  Punkte;  infolgedessen  bekommt  die  Curve  im  Cy- 
klidenraum eine  Spitze.    Wir  sehen  also: 

„Den  Spitzen  und  Tangenteninflexionspunkten  der  Curve  auf  der 
„Eummer^schen  Fläche  entsprechen  resp.  Tangenteninflexionspnokte 
„und  Spitzen  der  entsprechenden  Curve  im  Cyklidenraum.  Diese 
„letzteren  Tangenteninflcxionspunkte  sind  notwendig  imaginär.^ 

Da  das  Geschlecht  der  Curve  auf  der  Cyklide  aberdies  noch  von 
der  Ordnung  der  Doppelcurve  h  der  Linienfläche  abhängt,  und  h  von 
den  Singularitäten  der  Curve  auf  der  Eummerscheu  Fläche,  welche 
deren  Geschlecht  bestimmen,  unabhängig  ist,  so  sehen  wir,  daas  man 
von  dem  Geschlecht  der  Curve  auf  der  Eummer'schen  Fläche  noch 
nicht  auf  das  der  Curve  auf  der  Cyklide  schliessen  kann,  sonden 
erst  die  Linienflächc  gebildet  von  den  Doppeltangenten  construireB 
muss.  Dann  aber  erhält  .man,  wie  wir  sahen,  vollständigen  AuÜBchhxsi 
über  alle  in  Frage  kommenden  Singularitäten. 

Wir  wollen  noch  ergänzend  erwähnen :  Geht  die  Curve  auf  der 
Eummer'schen  Fläche  durch  einen  Enotenpunkt  hindurch,  so  kommt 
zu   der  Linienfläche  nten  Grades   der  Doppeltangenten  noch  eine 


mii  DoppttkegeUchniti  durch  hyperelliptüche  flinctionen.  245 

Linienfläche  ersten  Grades,  ein  GeradenbüscheP^),  hinzu;  infolgedessen 
erhalten  wir  als  Bild  anf  der  Cyklide  die  Curve  2nter  Ordnung  in 
Verbindung  mit  einer  auf  der  Cyklide  liegenden  Minimalgeraden. 


IL    Capitel. 
Kummer'sohe  FISohe  und  Oykllde  unter  Berfiokaiohtigung  der  9. 

Auf  dreierlei  Weisen  wurde,  wie  schon  in  der  Einleitung  er- 
wähnt, die  Kummer'sche  Fläche  durch  hyperelliptische  ^Functionen 
(vom  Geschlecht  2)  dargestellt.    Wir  haben  sachlich  geordnet: 

1)  Die  liniengeometrische  Darstellung  Rohns. 

2)  Die  Borchardt'sche  Darstellung,  beruhend  auf  einer 
Göperschen  biquadratiscben  Relation. 

3)  Die  Weber'sche  Darstellung. 

In  dieser  Aufeinanderfolge  ist  uns  zugleich  das  Einteilungsprinoip 
gegeben,  dem  wir  folgen  werden. 

§  1.     Die  liniengeametrüche  Darstellung  der  Kummer* sehen  Fläche 
und  die  hierauf  basirende  Uebertragungsweise, 

Wir  wissen,  dass  wir  die  Punkte  der  Eummer'schen  Fläche  be- 
bestimmen können  durch  die  hindurchlanfenden  Haupttangentencurvon, 
indem  wir  das  System  der  letzteren  zum  krummlinigen  Goordinaten- 
system  wählen;  wir  wissen  aber  auch^^),  dass  durch  die  Parameter- 
werte 2  er  Haupttangentencurven 

Aj  =  «i,    X,  —  «2 

ein  Punkt  der  Kummer'schen  Fläche  nicht  eindeutig  bestimmt  ist^ 
sondern  dass  wir  die  Wahl  unter  32  Punkten  haben.  Um  diesem 
L'ebelstande  abzuhelfen,  charakterisiren  wir  dßn  Punkt  der  Kummer- 
schen  Fläche  nicht  durch  die  2  Parameter  ki  und  X2  ^^^  beiden  durch 
ihn  hindurch  gehenden  Haupttangentencurven  selbst,  sondern  durch 
lic  Normalintegrale  erster  Gattung  vom  Geschlecht  2: 

1) 
L^A         k^,A        L^A  X^,A 

^  I  «.  -  «i'+«i"  I  n^'+<--Jdu^  +J    ^'*^  \Jdu^+Jdu^ 

a  ß  a  ß 

\  S)  In  einer  der  DoppelUngentialebenen,  die  durch  den  Knotenpunkt  gehen 
16)  et  p.  66. 


246  Do  mach:  Die  DarsUlhtng  der  Flächen  vierter  Ordnung 

in  denen  X|  nnd  k^  als  obere  Grenzen  auftreten ,  während  die  Wahl 
der  nnteren  Grenzen  a  und  ß  noch  in  unserer  Hand  steht,  und  A 
den  Wert  hat: 

2)  ^  -  ya-c,)(A-.Cj|)(A-Ca)(A-c,)(X-C5)a~€^) 

wo  eief...e^  die  Parameter  der  6  Haupttangentencnrven  8 ter  Ord- 
nung bedeuten.^^ 

Bezeichnen  wir  nun  mit  27  ein  Multiplnm  von  Perroden,  so 
lassen  wir  von  den  Ausdrücken 

3)  ±«'±«"+11 

diejenigen  denselben  Punkt  der  Eummer'schen  Fläche  bedeuten,  weide 
sich  durch  eine  gerade  Anzahl  von  Vorzeichen  und  durch  gerade 
Multipla  von  Perioden  unterscheiden,  während  sämmtlicho  Ansditde 
zusammengenommen  die  32  zusammengehörigen  Punkte  liefem 

Unsere  Gruppe  von  32  Punkten  sondert  sich,  wie  wir  wissen, 
in  2  Untergruppen  von  je  16  Punkten.  Diese  16  Punkte  einer  Unter- 
gruppe unterscheiden  wir  durch  die  16  verschiedenen  Perioden  von 
einander,  die  bei  Integralen  erster  Gattung  vom  Geschlecht  2  möglieb 
sind.    Ist  der  Ausgangspunkt  dargestellt  durch 

«1  I  «»  =  «i'+«*i"  I  «>'+«»" 
so  erhält  man  die  15  zugehörigen  Punkte  der  Untergruppe  also  dorth 
Zufügen  von  den  15  von  0  |  0  verschiedenen  Perioden: 

(1,1 1  a,,  I  3i;»  1 0 


oii+ni  I  a„+ni  aii  +  öi2  +  »»  I  «u  +  fl« 

«M  +  <*1«  I  «1«  +  ««  +  ^' 

«1«  I  «M 

Oll  I  ««  +  »» 
0|  ni 

wenn  die  Perioden  gegeben  sind  durch  das  Schema: 


17)  Es  lei  für  das  Folgende  bemerkt,  dass  wir  ans  hinsichtlich  der  Theone 
der  hy pereil iptischcn  Integrale  und  Functionen  an  Herrn  Prym  „Ne«e  Theore 
der  nltraelliptischen  Functionen",  Denkschriften  der  Wiener  Akademie,  Bd.  4, 
nnd  Herrn  Krazer:  „Theorie  der  Sfach  unendlichen  9  Reihen*',  Leip^  li^^- 
anschliessen  werden. 


mü  DoppeUugeUchniU  durch  hyptrtUiptutche  Functionen,  247 


(h     <h     h 

h 

Wttl 
Jdu^ 

Oji      0,2      0 

0 

ff» 

DDd  die  Riemann'sche  2  blättrige  Fl&che  fflr  p  =  2  die  charakteristische 
Zerschneidung  zeigt  (s.  Fig.  5.) 

Die  Pankte  der  andern  Untergruppe  unterscheiden  sich  von  den 
entsprechenden  Punkten  der  ersten  durch  das  Vorzeichen  von  u'\ 
oder  u*  was  dasselbe  besagen  will  bei  unserer  Festsetzung  auf  p.  246. 

Durch  nnsern  linearen  Complex  x^  =  0  werden  nun  solche  Punkte 
einander  zugeordnet    Gehen  wir  von  dem  Punkt 

«i'+»i"  I «,'+»«" 

ans  und  nehmen  diejenige  Ebene,  welche  ihm  durch  den  Complex 
Je »  0  entspricht,  so  ist  deren  Berührungspunkt  mit  der  Kummer- 
schen  Fl&che  der  dualistisch  zum  ersten  gehörige  Punkt,  dem  die 
Argumente  zukommen 

Beide  Punkte  liefern  nun  gemeinsam  denselben  Punkt  der  Cy- 
klide,  dem  also  2  Argumentenwerte  mod.  doppelter  Perioden  zukom- 
men. Aus  ihm  erhalten  wir  15  weitere  durch  Zufügen  der  15  von 
0  I  0  verschiedenen  Periodenmultipla. 

Wir  erhalten  demnach  den  Satz: 

,^e  2  Punkte  der  Kummer'schen  Fläche,  deren  Argumente  sich 
„simultan  in  die  Form  setzen  lassen 

V+VK+u,"    und    <-<IV-V, 

,4iefem  denselben  Punkt  der  Cyklide.'' 

Ebenso  lässt  eine  simultane  Umkehr  beider  Vorzeichen  den 
„Punkt  der  Cyklide  ungeändert/^ 

„Vermehren  wir  diese  Argumente  um  die  15  möglichen  von  0 
„verschiedenen  Perioden  (mod.  2  genommen),  so  erhält  man  auf  der 
„Cyklide  aus  einem  vorgegebenen  Punkte  die  15,  welche  durch  Spie- 
«^clung  an  den  Fundamentalkngeln  aus  ihm  hervorgehen,  gerade  so, 
„wie  man  auf  der  Kummer'schen  Fläche  aus  dem  entsprechenden 
„Panktepaare  15  weitere  erhäk,  die  durch  Spiegelung  an  den  Con- 
„gmenzen  a;«  =  0  äct  »  0  aus  ihm  hervorgehen. 


248  Do  mach;  Die  DarsUÜung  der  FUUskm  vkrter  (Mnu^ 

Gurvensysteme. 
Jetzt  nehmen  wir  unsere  Argumente 

<+<  I  w+< 

zn  den  Argumenten  von  d  Functionen  Tom  Geschlecht  2,  und  fngen 
zunächst,  was  bedeutete  das  Nullsetzen 

a.    Der  6  ungeraden  0 Functionen? 

Die  6  ungeraden  ^Functionen,  gleich  Null  gesetzt,  liefen  näm- 
lich auf  der  Kummer'schen  Fläche  die  6  Haupttangentencurren  8ter 
Ordnung,  da  wir  die  Parameter  derselben  zu  Yerzweigungspunkten 
genommen  haben. 

Dementsprechend  erhalten  wir  auf  der  Cyklide  6  ausgezeichnete 
EjTttmmungslinien.  Wir  wissen  schon,  dass  die  Haupttangentencane 
k  =  Cß  übergeführt  wird  in  die  singulare  Krttmmungslinie  8ter  Ord- 
nung, in  welcher  die  Cyklide  von  der  benachbarten  geschnitten  wird^^). 
Beide  Curven  sind  derartig  auf  einander  bezogen,  dass  den  Tangenten 
der  einen  die  Punkte  der  andern,  den  Punkten  der  einen  die  Tan- 
genten der  andern  entsprechen;  sie  sind  reciproke  Gurren  im  Sinne 
des  Herrn  Lie  ^^)  Die  Spitzen  der  einen  verwandeln  sich ,  wie  wir 
wissen,  in  die  stationären  Tangenten  der  anderen  Gurve  und  umge- 
kehrt Da  nun  die  6  ausgezeichneten  Haupttangenteneunren  8ter 
Ordnung  auf  der  Eummer'scheR  Fläche  40  stationäre  Tangenten  und 
keine  Spitzen  haben,  so  hat  die  singulare  Krümmungslinie,  längs 
welcher  die  developpabele  Focale  der  Gyklide  berührt,  keine  statio- 
nären Tangenten,  aber  40  Spitzen.  (Die  40  Osculationskngoln  in 
diesen  Punkten  sind  Hyperosculationskugeln  und  schneiden  die  Gyklide 
längs  2  er  Geraden  und  eines  Kreises,  der  dureh  den  Schmtl  der 
beiden  Geraden  geht,  die  40  Punkte  sind  die  40  Nabclpunkte  der 
Gyklide  «0). 

Die  übrigen  5  ausgezeichneten  Hanpttangentencurven  erhalten 
wir  für  A  »  c»,  t  »  1,  2,  3,  4,  5.  Ihnen  entsprechen  auf  der  Cyklide 
die  5  ausgezeichneten  Krümmungsliniei  4ter  Ordnung, 
die  5  Focalcurven,  die  ausgeschnitten  werden  von  dem&Fand»' 
mentalkngeln. 

In  diesem  Falle  gehört  die  Linienfläche,  deren  Erzeugende  die 
ängs  der  betreffenden  ausgezeichneten  Haupttangentencurve  constnür- 


IS)  Siehe  p.  66. 

19)  Lte,  A.  a.  O.,  p.  164. 

20)  Dsrbeox,  a.  a.  0.,  p.  309. 


mü  Doppelk^tlschmtt  durch  hypwMiptUchM  FuAcHontn.  249 

ten  Doppeltangcnten  an  die  Emnmer'Bche  FlAche,  dem  Coroplex  ar^  -»  0 
zogehörend,  sind,  einer  linearen  Congruenz  an;  infolgedessen 
liegt  die  entsprechende  Cnrve  im  Cyklidenranme  in  der  Tat  auf  einer 
Kugel,  and  zwar  einer  der  5  Fnndamentalkugeln. 

Die  Linienfläche  ist  vom  4ten  Grade  und  hat  das  Geschlecht 
1,  enthält  jede  der  Directrieen  der  Congmenz  doppelt  und  hat 
8  singulare  Linien,  4  davon  haben  ihren  zugehörigen  singulären 
Punkt  in  einer  der  Direktricen,  während  ihre  Ebenen  durch  die 
andere  gehen;  bei  den  4  übrigen  findet  das  Umgekehrte  statt. 

Infolgedessen  hat  die  Curve  auf  der  Cyklide  von  der  4 ten 
Ordnung  ebenfalls  das  Geschlecht  1,  und  es  tritt  achtmal  der 
Fall  ein,  dass  eine  Tangente  der  Cnrve  Minimalgerade  ist; 
diese  Tangenten  sindErzeugende  derbetreifenden  Fundament al- 
kugel,  4  Erzeagende  der  einen,  4  Erzeugende  der  andern  Art. 

b.    Die  10  geraden  6 Functionen. 

Wir  wissen ,  dass  auf  der  Eummer'schen  Fläche  den  10  gleich 
Null  gesetzten  geraden  •&  Functionen  mit  den  in  Rede  stehenden 
Argumenten  die  Schnittlinien  mit  den  10  Fundamentalflächen  2ter 
Ordnung  entsprechen,  also  Gurven  achter  Ordnung  ^^). 

Dementsprechend  erhalten  wir  auf  der  Cyklide  Curven  16ter 
Ordnung,  welche  den  Berührungsschnitt  bilden  mit  Minimalflächen 
16ter  Ordnung,  welche  den  Kngelkreis  8  fach  enthalten  und  einen  der 
Fandamentalkreise  als  Leitlinie  (4  fach  zählend)  besitzen.  Man  gelangt 
zu  einer  dieser  Minimallinienflächen ,  wenn  man  die  Punkte  der 
CiTve  der  Eummer'schen  Fläche  abbildet.  Natürlich  erhält  man  die- 
selbe Cnrve  auf  der  Cyklide,  wenn  man  die  Linienfläche  16  ten  Grades 
construirt,  welche  von  den  Doppeltangenten  gebildet  wird,  und  diese 
dann  der  Abbildung  unterwirft 

Wir  fassen  das  Resultat  in  den  Satz  zusammen: 

„Den  10  geraden  6 Functionen,  gleich  Null  gesetzt,  entsprechen 

10  Curven  16ter  Ordnung  auf  der  Cyklide.    Dieselben  können  anf- 

..gefasst  werden  als  der  Berührungsschnitt  mit  10  Minimallinienflächen 

^,16ter  Ordnung,  die  den  Kngelkreis  achtfach  enthalten  und  je  einen 

„der  Fandamentalkreise  als  Leitlinie  (4  fach  zählend)  besitzen.^^ 


21)  Man  yergleiche  Rohn :  Betrachtangen  über  die  Knmmer'sche  Flache  and 
ihren  Znssmmenhang  mit  den  hyperell.  Fanct.  p  =  2,  Din.,  femer  die  ge- 
nannttt  Arbeit  deeitlben  VerfSaMers  im  1^  B.  der  Math.  Ann. 


250  Domsch:  DU  DarsteHung  der  Fiäcken  vierter  Ordnung 

c.    Die  CurvenBchaar  ^(t* — «)  -=  0 

(«1  I  «s  ^  einfachen  Integralen.) 

0(u— e)  =  0  stellt  auf  der  Knmmer'Bchen  Fläche  die  Sdiur 
der  Haupttangentencurven  16ter  Ordnung  mit  16  Spitzen  und  96 
stationären  Tangenten  dar. 

Die  Haupttangencnrven  verwandeln  sich  nach  den  frähercn  % 
in  die  Krümmnngslinien  8ter  Ordnung  auf  der  Cyklide,  die  also  16 
stationäre  Tangenten,  die  zugleich  Minimallinien  sind,  und  96  Spitzen 
haben  mfissen.  Dass  damit  die  Zahl  der  stationären  Tangenten  Ober- 
haupt nicht  erschöpft  ist,  geht  daraus  hervor,  dass  sich  auch  eine 
stationäre  Tangente  einstellt,  —  welche  in  diesem  Falle  reell  sein 
kann,  —  wenn  3  aufeinanderfolgende  Erzeugende  der  Doppeltangenten- 
fläche einer  Erzeugung  einer  Fläche  2ten  Grades  angehören,  welche 
die  Fundamentalgerade  des  Complexraumes  ebenfEÜls  als  Erzeugende 
derselben  Art  enthält 

„Die  Oleichungen  ^(u~e)  »  0,  wo  ^  |  «g  einfachen  Integralen 
„congrueut  sind,  stellen  bei  veränderlicher  obrer  Grenze  dieser  ein- 
„fachen  Integrale  die  Schaar  der  Krümmungslinien  auf  der  Cyklide  dar.^^ 

d.    Die  Curvenschaar  0(tt — e)  »  0  bei  beliebigem  «^  |  e^ 

Wenn  für  einen  Punkt  der  Kummerschen  Fläche  ^(tt— «)  =  0 
ist,  so  muss  für  denselben  Punkt  auch 

sein;  denn  ebenso  wie  der  betreffende  Punkt  durc^  <*i^+^"  I  ^'"Vh 
charakterisirt  ist,  können  wir  ihn   auch  bestimmen  durch  die  Argu- 
mente mit  entgegengesetzten  Vorzeichen 

-V-«i"l-V-V'. 

Ist  also  0(u  —  e)  »0,  so  muss  auch 

^(tt  — e).^(t*+«)  ^  0  sein. 
Nun  ist  aber  nach  dem  Additionstheorem  der  ^ Functionen^ 

(0)»^(w  — e).^(t*+e) 

«  ^0*  W  ^0*  W  +  ^i"  W  ^i'  W  +  V  W  V  W  +  V  (») ^3' W 

wo  ^1,  «^s,  ^s  3  ungerade  ^Functionen  sind,  deren  ChsurakteristikeB 
die  Summe  0  ergeben. 


2S)  cf.  s.  B.  Krazer,  Theorie  der  9  fach  anendlichen  i^Beihen  p.  &9. 


mit  DoppelkegeUchnitt  durch  hypereüiptisckt  Functionen,  251 

Der  letztere  Ausdmck,  gleich  Null  gesetzt,  stellt  aber  anf  der 
Kammer'schen  Fläche  eine  Corvenschaar  16ter  Ordnung  dar,  wie  sich 
bei  der  Ueberlegung  ergiebt,  was  die  ^Quadrate  zu  bedeuten  haben. 
(Man  Ycrgl.  flbrigens  die  Seminarvortrftge  des  Herrn  Klein  im  W./S.  83 
„Deber  die  Eummer'sche  Fläche''.) 

„Wir  erhalten  also  auch  auf  der  Cyklide  eine  oo*  Schaar  von 
„Gnrven  16ter  Ordnung,  die  den  Kugelkreis  in  16  getrennten  Pnnk- 
„ten  treffen.'' 

§  2.     Die  BorchardCsehe  Darstellung  der  Kummer'schen  Fläche 
und  die  hierauf  sich  grüwlende   lieber tragungsweise. 

I.    Allgemeine  Bemerkungen. 

Die  Borchardt'sche  Darstellungsweise  ergiebt  sich  aus  der  im 
vorigen  Paragraphen  erörterten  durch  Anwendung  einer  quadratischen 
Transformation,  so  dass  die  transformirten  ^Functionen  —  wir  wollen 
sie  mit  einem  Accent  bezeichnen,  —  nur  noch  die  halben  Argumente 
haben  und  nur  4  für  die  Transformation  charakteristischen  Perioden 
angeändert  geblieben  sind.  Es  gehört  infolgedessen  zu  einer  jeden 
Glasse  von  quadratischen  Transformationen  —  deren  wir  15  haben  — 
als  charakteristisch  eine  Gruppe  von  4  ^Functionen,  die  ein 
Yierersystcm  erster  Art,  eine  Oöpersche  Yier^^)  bilden.  Solche  4 
^Functionen  sind  durch  eine  Oöpersche  biquadratische  Re- 
lation^) miteinander  verbunden,  deren  wir  also  auch  15  wesentlich 
verschiedene  haben. 

Eine  solche  Göpersche  Relation  stellt  nun  die  Gleichung  der 
Knmmer'schen  Fläche,  bezogen  auf  eines  der  15  Fundamentaltetraeder 
dar  (siehe  Teil  IL,  Cap.  1.,  §  1.  p.  227.)  Die  O  Functionen,  welche 
die  Relation  bilden,  geben,  ohne  Rücksicht  auf  die  Kummer*sche 
Fläche  einzeln  gleich  Null  gesetzt,  die  Gleichungen  der  4  Ebenen, 
welche  das  Fundamentaltetraeder  bilden.  Mit  ihren  Vorzeichen- 
änderungen  und  Yertauschnngen  bedeuten  sie  die  homogenen  Punkte- 
ordinaten  von  16  zusammengehörigen  Punkten  der  Kummer'schen 
Fläche  bezogen  auf  eins  der  15  Fundamentaltetraeder '^).  Die  Gruppe 
solcher  16  Punkte  zerlegt  sich  wiederum  in  4  Untergruppen;  die  4 
Punkte  einer  Untergruppe  unterscheiden  sich  in  den  Coordinaten 
durch  2  Vorzeichenwechsel ,  dagegen  gelangt  man  von  einer  Unter- 


es) siehe  Erazcr,  a.  a   0.  p.  20,  p.  61. 

24)  Göpel:  Theoriae  transcendentinm   Abeliaoaram    primi  ordinis  adam- 
bratio  levis,  Cr.  Jonrn.,  Bd.  35,  p.  292,  Formel  SO. 

25)  Bohn,  Bd.  15  der  AnDalen  p.  344. 


252  Dom  seh:  DU  Darstellung  dtr  Flächen  vierter  Ordnung 

grnppe  zur  andern,  indem  man  die  Coordinaten  in  2  Paare  teilt  und 
die  Elemente  jedes  Paares  mit  einander  Yertanscht^, 

Als  Beispiel  einer  solchen  Göperschen  Relation  führen  wir  die 
von  H.  Borchardt*^)  zn  Gmnde  gelegte  Oleichnng  an: 

V*+^o'*+^m'*+^i4'H-2(5)(0)(23)(U)  X 
iIgg^((5)«4-g(0)»+c'(28)H-*g'(14)») 


{(5)«(0)«-(23)»(14)«}  1(5)«(23)«-(0)«(14)«}  {(5)«(14)«-(0)2(23)«I 

(5)i+(0)*-(23)^)^(14)«     ,      ,, 

(5)2(0)«— (23)>(14)«     ^  *     «   ""^«  ^^*^ 

(5)2(23)»-(0)«(i4)«     *^«  ^»  ~^»  *i*^ 

_  (5)^+(14)^-(0)^--(23)^  ^^     , 

(5)«(14)«— (0)^23)«     *^  ^*         0  ^2sl-""    )' 

(Hierin  sind  die  Vorzeichen  noch  nicht  vollständig  bestimmt;  bei 
Herrn  Krazer  findet  man  dagegen,  a.  a.  0.  p.  55.,  Formel  DI,  eine 
Gleichung,  die  sämmtliche  Göpel'sche  Relationen  mit  Angabe  aller 
Vorzeichen  umfasst.) 

Die  Constanten  (5),  (0),  (23),  (14)  liefern  die  homogenen  (}oor- 
oinaten  der  16  KDOtenpunkte  der  Kummor'schen  Fläche. 

Im  Ganzen  haben  wir,  wie  schon  gesagt,  15  derartige  Dantel- 
luDgen,  entsprechend  den  15  Göpel'schen  Relationen  und  den  15 
Classen  von  quadratischen  Transformationen.  Der  Umstand,  dass 
jede  Classe  noch  eine  Gruppe  von  24  Transformationen  enthält,  findet 
darin  seine  Begründung,  dass  nach  Auswahl  des  Tetraeders  die  Ecken 
desselben  noch  24  Permutationen  gestatten. 

Wie  nun  eine  solche  biquadratische  Göpersche  Relation  die  Kam- 
mer'sche  Fläche  darstellt,  so  wird  dieselbe  nach  Ausführung  der 
Berührungstransformation  auch  die  Cyklide  darstellen  und  zwar  be- 
zogen auf  eins  der  15  räumlichen  Vierseito,  welche  den  15  Fanda- 
mentaltctraedem  entsprechen  (cf.  p.  233.) 

Jedes  der  4  ^\  welche  die  GöpeFsche  Relation  bilden,  fOr  sich 
gleich  Null  gesetzt,  stellt  die  betreffende  Minimalgerade  dar,  welche 


26)  Bohn,  a.  a.  0.  p.  337. 

S7)  Borcfaardt,  Crello's  Journal  Bd.  S8,  p.  S8S.    Di«  Bcieiehirang  der  d' 
nach  Woierstrasi. 

28)  Hierbei  sind   die    Argumente  der  &'  weggelassen    and  Ar  die  KeU- 
werte  abkürzend  die  blossen  Charakteristiken  gesetzt 


mit  Doppelkegelschnitt  durch  hyperelUptUche  Functionen.  253 

ein  Bestandteil  des  ränmlichen  Yierseits  ist^).  Die  4  ^'Functionen 
stellen  mit  den  Vorzeichenwechseln  und  Vertanschnngen,  wie  sie  sich 
auf  p.  252.  fflr  die  Gruppe  der  16  Punkte  der  Kummer'schen  Fläche 
ergaben,  die  Coordinaten  einer  Gruppe  von  16  die  Gyklide  in  je 
einem  Punkte  berührenden  Minimalgeraden  dar,  die  sich  ebenso  wie 
die  Gruppen  der  16  Punkte  der  Kummer'schen  Fläche  in  4  Unter- 
gruppen sondert  Die  4  in  der  Gleichung  auftretenden  Constanten 
bestimmen  mit  ihren  Yorzeichencombinationen  die  16  MLnimalgeraden, 
die  auf  der  Cyklide  liegen;  denn  diese  entsprechen  den  16  Knoten- 
punkten, resp.  den  singulären  Ebenen. 

Wir  erhalten  demnach  die  Sätze: 

,,Eine  der  15  biquadratischen  Göperschen  Relationen,  welche 
,,zwischen  4  ^\  die  einem  Yierersystem  Iter  Art  angehören,  be- 
istehen, liefert  die  Gleichung  der  Gyklide  in  homogenen  Minimal- 
„liniencoordinaten  bezogen  auf  eines  der  räumlichen  Yierseite,  welche 
„aas  Minimallinien  zusammengesetzt  sind,  und  deren  Ecken  von  den 
„Punkten  gebildet  werden,  in  denen  je  3  der  Fundamentalkugeln  sich 
„treffen'^ 

Die  Gruppirung  dieser  räumlichen  Yierseite  zeigt  uns  §  1.  des 
Iten  Gapitels  des  2ten  Teils,  p.  233. 

„Die  0'  Functionen,  welche  die  Kelatiou  bilden,  liefern  die  Coor- 
„dinaten  von  je  16  zusammengehörigen  Minimalgeraden,  welche  die 
„Gyklide  berühren.  Sie  sondern  sich  wieder  in  4  Untergruppen  von 
„je  4  Minimalgeraden.  Die  Minimalgeraden  einer  Untergruppe  unter- 
„scheiden  sich  in  den  Goordinaten  durch  2  Yorzeichenwechsel;  da- 
„gegen  gelangt  man  von  einer  Untergruppe  zur  andern,  indem  man 
„die  Coordinaten  in  2  Paare  teilt  und  die  Elemente  jedes  Paares 
„mit  einander  vertauscht'S 

IL    Gurvensysteme. 

a.    Die  16  einfachen  O' Functionen. 

Fragen  wir,  was  auf  der  Kummer'schen  Fläche  die  16  einfachen 
^'Functionen,  wenn  wir  sie  gleich  Null  setzen,  bedeuten,  so  finden 
wir  zunächst  eine  Teilung  derselben  in  4  und  12.  Die  ersten  4, 
welche  das  Yierersystem  erster  Art  bilden,  aus  welchem  die  die  Kum- 
mer'scfae  Fläche  darstellende  Göpersche  Relation  besteht,  liefern  natür- 
lich die  Schnitte  mit  den  4  Ebenen  des  Fundamentaltetraeders,  also 
4  ebene    Curven   4ter  Ordnung  von  allgemeinem  Gha- 


29)  retp.  die  durch  dieselbe  bestimmte  Congruenz  von  Minimalgeraden. 


254  Domaehi  Die  DcwsteUung  der  Flächen  vierier  Ordnung 

rakter  auf  der  Kammer'schen  Fläche.  Die  12  fibrigen  liefern,  wie 
Herr  Rohn^)  zeigt,  die  Berührangsschnitte  4ter  Ordnang 
mit  Flächen  2ter  Ordnang,  welche  das  betreffende  Fanda- 
mentaltetraeder  zum  gemeinsamen  Polartetraeder  haben. 

Was  zunächst  die  4  Schnittcar?en  mit  den  Tetraederebenen  an- 
betrifft, so  entsprechen  diesen  vermöge  unserer  Transformation  Conen 
6ter  Ordnung  auf  der  Cyklide,  die  wie  die  entsprechenden  Corven 
auf  der  Knmmer'schen  Fläche  keine  Doppelpunkte  haben  werden^ 
aber  den  Kngelkreis  in  8  Punkten  schneiden. 

Sie  kann  übrigens  auch  aufgefasst  werden  als  Berührungsschnitt 
mit  einer  Minimallinienfläche  8ter  Ordnang,  die  den  Eugelkreis  4- 
fach  enthält  Diese  Minimallinienfläche  hat  als  LeitUnie  eine  Mini- 
mallinie  und  enthält  letztere  doppelt  zählend,  es  ist  dies  die  betref- 
fende Minimallinie  des  Coordinatenvierscits. 

Die  12  fibrigen  •&'  liefern  Curven  4ter  Ordnang  auf  der 
Cyklide,  die  wir  ansehen  können  als  Berahrnngsschnitte  mit  12  Da- 
pin'schen  Cykliden;  denn  in  solche  verwandeln  sich  vermöge  da 
Transformation  die  12  die  Eummer'sche  Fläche  berfihrenden  Flächen 
2ter  Ordnang  ^^)  und  zwar  sind  dieselben  auf  dasselbe  Coordinaten- 
vierseit  bezogen. 

Wir  fassen  die  erhaltenen  Resultate  wiedemm  in  den  Satz  zo- 
sammen : 

„Setzen  wir  die  16  einfachen  B'  gleich  Null,  so  erhalten  wir  aof 
„der  Cyklide  4  Curven  8ter  und  12  Curven  4ter  Ordnang.  Dio  e^ 
„steren  entsprechen  den  4  ausgezeichneten  S\  die  das  gewählte 
„Yierersystem  bilden ,  und  können  angesehen  werden  als  die  B^Ah- 
„rungsschnitte  mit  Minimallinienflächen  Ster  Ordnang,  die  den  Kogel- 
„kreis  vierfach,  und  die  entsprechende  Minimallinie  des  Coordinaten- 
„vierseits  als  Leitlinie  2  fach  enthalten.  Die  12  übrigen  Curven  4ter 
„Ordnung  sind  die  BerQhrungsschnitte  mit  12  Dupin'schen  Cykliden^ 

b.    Die  00 '  Curvenschaar  ^'(w— «)  =0l 
«^  I  «2  ^  einfachen  Integralen. 

Nach  Seite  250  ist  mit  ^'(t*— e)  auch  4>'(t«-f-«)  —  0,  und 
^'(ti— -«).^'(u-|-e)  kann  man  wiederum  in  eine  Summe  von  (^'Qua- 
draten zerlegen,  deren  Argumente  die  t«^  |  ti,  allein  sind.    Diese  9^- 


so)  Bd.  i5.  der  Math.  Annalen  p   346. 

81)  Lie,  Bd.  5.  der  Annalen,  a.  a.  0«  p*  178. 


mit  Dopptlkegelschmä  durch  hypereüiptUehe  FiMcHonen,  255 

Qaadrate  wiedernm  lassen  sich  sämmüich  durch  die  Quadrate  der 
nrsprünglicheu  ein  Yierersystem  erster  Art  bildenden  ^'  ausdrücken'^). 
Eine  derartige  Gleichung  stellt  demnach  auf  der  Kummer'schen 
Fläche  den  Schnitt  mit  einer  Fläche  2ter  Ordnung  dar,  also  Curven 
8tcr  Ordnung.  Wir  erhalten  so  auch  auf  der  Cyklide  eine  oo' 
Schaar  von  Curven  16ter  Ordnung. 

c.    Die  00*  Gurvenschaar  ^'(tt  — «)  =»  0 
bei  beliebigem  «i  |  «g. 

Wir  erhalten  ganz  dasselbe  Resultat,  wie  unter  b.,  nur  jetzt  eine 
00*  Schaar  von  Curven  16ter  Ordnung. 


§  3.     Die  CayUy'Weber*9che  DarsteUung  der  Kummer' ecken  Fläche 

und  ihre  Uebertrctgung, 

I.    Die  Gleichnngsform. 

Während  die  so  eben  in  Betracht  gezogene  Darstellung  an  die 
Gleichungsform  der  Kummer'schen  Fläche  bezogen  auf  eins  der  15 
Fnndamentaltetraeder  anknüpfte ,  gründet  sich  die  jetzt  zu  bespre- 
chende Methode  auf  die  von  H.  Kummer'')  gegebene  Gleichungs- 
fonn,  welche  voraussetzt,  dass  die  Seiten  des  Coordinatentetraeders 
Doppelebenen,  und  die  Eckpunkte  Knotenpunkte  der  Fläche  sind. 
Auf  diese  Gestalt  der  Gleichung  wird  man  aber  geführt,  wenn  man 
die  4  ^'  jener  biquadratischen  Relation  einer  nochmaligen  quadra- 
tischen Transformation  unterwirft,  so  dass  man  die  daraus  hervor- 
gehenden ^'  auch  als  aus  den  ursprünglichen  ^  (ohne  Accente)  durch 
Zweiteilung  entstanden  ansehen  kann.  Wenn  man  alsdann  die 
nunmehrigen  ^'Quadrate  —  wir  bezeichnen  sie  durch  2  Accento,  — 
durch  die  4  ein  Yierersystem  2ter  Art  bildenden  ausdrückt, 
und  letztere  ^"Qftadrate  den  4  Coordinaten  £,  17,  (,  co  eines  Punktes 
der  Fläche  gleichsetzt,  so  erhält  man  die  gewünschte  Gleichungs- 
form **) 


32)  Siebe  Krazer,  a.  a«  0.  p.  5S. 

SS)  Enmmer,  Monatsberichte  der  Berl.  Akad.  1S64,  p.  252. 

— >     Abb.  der  Berl.  Akad.,  1S66:   Ueber  algebraische  Strablensysteme. 

34)  RobD,  Bd.  15«  der  Annalen,  p.  347.     In  rationaler  Form  findet  man 
die  Gleichnng  bei  H.  Kraser,  a.  a.  0.  p.  44.,  Gleichung  4« 


256  Do  mich:  Die  Darrtelhmg  der  FÜiehen  vierter  Ordmtng 

Hierin  sind  die  ^NuHwerte  durch  e  mit  angehängten  Index  be- 
zeichnet, entsprechend  der  jedesmaligen  Oharakteristik;  die  Bexttch- 
nnng  ist  die  von  Weierstrass. 

Die  16  Doppelehenen  der  Knmmer'schen  Flüche  verwandeln  lich 
nun  durch  die  Berührungstransformation  zusammen  mit  den  16 
Knotenpunkten  in  die  16  Minimalgeraden,  die  auf  der  Cyklide  liegen. 
Bieselhe  O Relation  also,  welche  die  Kummer'sche  Flftche  becogeo 
auf  ein  Doppelebenentetraeder  darstellt,  stellt  auch  die  Cyklide  be- 
zogen auf  ein  Minimallinienquadmpel  dar,  die  sftmmtlich  der  Cyklide 
angehören.  Wie  es  nun  80  Vierersysteme  2ter  Art^)  giebt,  so  er- 
halten wir  auch  80  Doppelebenentetraeder. 

Den  4  Ebenen  eines  Tetraeders  entsprechen  nun  im  Cyklidenramn 
4  Minimalgerade  der  Cyklide.  Je  drei  der  Tetraederebenen  schneiden 
sich  aber  in  einem  Knotenpunkte;  es  entstehen  so  4  Knotenpunkte, 
und  diesen  müssen  ebenfalls  4  Gerade  der  Cyklide  entsprechen.  Eb 
können  nun,  wie  eine  einfache  Ueberlegung  zeigt,  2  Fälle  eintreten  : 
die  4  Knotenpunkte  liefern  entweder 

1)  dasselbe  Geradenquadrupel  wie  die  4  singnl 
Ebenen,  oder 

2)  ein  Geradenquadrupel,  welches  mit  dem  ersten  eise 
Schläfli'sche  Doppelvier  bildet,  und  zwar  erhalten  wir  im 
Ganzen 

40  Quadrupel  der  ersten  Art, 

40  Quadrupel  der  zweiten  Art,  oder  20  Doppelvieren  ^). 

Wir  haben  demnach  den  Satz: 

„Die  Relation  4ten  Grades,  welche  zwischen  den  6"Qnadraten 
„besteht,  die  einem  Vierersystem  2ter  Art  angehören,  liefert  die 
„Gleichung  der  Cyklide  bezogen  auf  eins  der  80  Quadrupel,  welcbe 
„aus  den  Geraden  der  Cyklide,  entsprechend  den  80  Yierersysteaira 
„2ter  Art,  gebildet  werden  können;  40  von  diesen  Quadrupeln  haben 
„die  besondere  Eigenschaft,  20  Schläfli'sche  Doppelcurven  zu  bil- 
„den". 

Indem  wir  nochmals  darauf  hinweisen,  dass  unsere  jetzigen  Ar- 
gumente nur  halb  so  groRS  als  die  ursprünglichen  sind,  welche  die 


35)  Kraser,  a.  a.  0.,  Tabelle  II.,  am  Schluu. 

36)  Damit  sind  aber  die  Doppelvieren ,  welche  die  Geraden  der  Cyklide 
bilden  können,  erschöpft,  vergl.  Clebsch:  Ueber  Fliehen  4ter  Ord.  de.  Cr.  J. 
Bd.  69.,  p.  157. 


mit  Doppelkeyehchm'tt  durch  hypereUiptische  Functionen.  25? 

linicDgeometrische  Darstellung  vermittelten,  bemerken  wir  noch,  dass 
die  homogenen  Coordinaten  eines  Punktes  der  Eammer'schen  Fläche 
sich  jetzt  durch  die  ^"Quadrate  ausdrücken ,  infolgedessen  zu  einem 
Pankte  die  Argumente 

gehören,  wo  77  ein  beliebiges,  auch  ungerades  Periodonmultiplum  be- 
zeichnen kann. 

Ebenso  bestimmen  jetzt  im  Cyklidenraum 

ein  und  dieselbe  die  Cyklido  berührende  Miuimalgerade ,  also  auch 
mittelbar  einen  Punkt  der  Cyklide,  denjenigen,  in  welchem  die 
Mioimalgerade  berührt. 

„Die  Werte,  welche  die  4  ^"Quadrate  annehmen,  die  einem 
.,Viercrsystem  2  ter  Art  angehören,  liefern  die  Coordinatenwerte  einer 
„der  Miniraalgeraden,  welche  die  Cyklide  berühren ;  diese  Coordinaten 
„bleiben  ungeändert,  wenn  wir  die  Argumente  der  ^"Functionen  im 
„Vorzeichen  ändern  oder  beliebige  Periodenmultipla  zufügen''. 

IL    Curveusysteme. 

a.    Die  einfachen  ^"Functionen. 

Die  16  einfachen  ^"Functionen  ergeben  zunächst,  gleich  Null 
gesetzt,  auf  der  Kummer*schen  Fläche  die  Gleichungen  der  16  Kegel- 
schnitte, in  welchen  die  16  Doppelebenen  die  Kummer'sche  Fläche 
berühren.  Ihnen  entsprechen  auf  der  Cyklide  natürlich  die  16  Ge- 
raden. Insofern  jeder  Kegelschnitt  durch  5  Knotenpunkte  geht,  die 
nicht  zu  seiner  Ebene  gehören,  erhalten  wir  bei  der  Construction 
der  Doppeltangenten  ausser  der  liinicnfläche  Iten  Grades,  welche 
die  Ebene  des  Kegelschnitts  ausfüllt,  noch  5  Linien  ersten  Grades. 
Denselben  entsprechen  die  5  Geraden  der  Cyklide,  welche  eine  vor- 
gegebene Gerade  derselben  schneiden. 

Wir  erhalten  den  Satz: 


,Die  16  einfachen  ^"Quadrate,  gleich  Null  gesetzt,  liefern  die 
„16  Minimalgeraden,  die  auf  der  Cyklide  existiren''. 


ij-" 


b)    Die  Curvenschaaren  0'\u—e)  «=  0. 
1)     ^."(tt  — c)  =  0^'),  wo  6]  I  62  einfachen  Integralen  con- 


37)  •  =  einer  der  16  Charakteristiken. 
Arch.  d.  Math.  o.  Fhys.    2.  Baihe.  Teil  II.  17 


258  Do  mich:  Die  DarMtellung  der  Flächen  vkrler  OrtUamg 

gruent  ist,  liefert  auf  der  Kommer'schen  Fläche  eine  Tangen- 
tialebene, welche  in  einem  der  16  Knotenpunkte  an  dieselbe 
gelegt  wird;  dieselbe  schneidet  auf  der  Knmmer'schen  Fl&che  eine 
Curve  4  ter  Ordnung  ans,  welche  in  dem  Knotenpunkt  eine  Spitze  hat 

2)    Ist  «1  I  «2  allgemein,  und  nehmen  wir  e^  |  e,  in  der  Gestalt 
an 


v+v 


so  liefert 

2)  ^"(u— «)  =  0 

eine  Tangentialebene  der  Knmmer'schen  Fläche,  welche 

in  dem  Punkt  berührt,  dessen  Argumente  sich  in  die  Gestalt  setzen 

lassen  '*) 

«.' —  " 


2 


^  f «  ff 


Diese  schneidet  auf  der  Knmmer'schen  Fläche  also  eine  Cnnre 
4 ter  Ordnung  aus,  die  in  dem  betreffenden  Punkt  einen  Doppel- 
punkt besitzt 

Die  Curven  4  ter  Ordnung,  welche  auf  der  Knmmer'schen  FUche 
durch  die  Gleichung  1)  dargestellt  werden,  verwandeln  sich  in  Conen 
8  ter  Ordnung  auf  der  Cyklide,  die  eine  der  Minimalgeraden  der 
Cyklide  zur  stationären  Tangente  besitzen ;  sie  bilden  den  BerOhrnngs- 
schnittmitMinimallinienflächen  8  ter  Ordnung,  welche  den  Kugelkreis 
4  fach  enthalten  und  diejenige  Minimallinie  als  Leitlinie  (2  fach  zah- 
lend) besitzen,  welche  die  Cyklide  in  dem  genannten  Tangenten- 
inflexionspunkt  der  Curve  bertihrt 

Wir  erhalten  den  Satz: 

„Durch  die  Gleichungen 

0i"(u—e)  =  0,  wo  6i  I  ^  ^  einfachen  Integralen, 

„werden  auf  der  Cyklide  16  Curvensysteme  8  ter  Ordnung  dargestellt, 
„welche  je  eine  der  16  Minimalgeraden  der  Cyklide  zur  Wendetan- 
„gente  besitzen  und  angesehen  werden  können  als  Berahrnngsschmtt 
„mit  Minimallinienflächen  8 ter  Ordnung,  die  den  Kugelkreis  4 fach 
„enthalten  und  die  in  dem  betreffenden  Wendepunkt  die  Qrklide  be- 
„rtihrende  Minimalgerade  als  Leitlinie  besitzen'S 


8S)  Man  vergleiche  Seminarvortrag  des  H.  Klein,  W.  8.  8S|63.     .Ueber 
die  Knmmer'scbe  Fläche*'. 


mü  DoppeOcegehchniit  durch  hypereUipthcke  Functionen.  259 

Daran  schliesst  sich  sofort  der  weitere  Satz,  die  Corven  betref- 
fend, die  durch  2)  dargestellt  sind: 

„Durch  die  GleichuDgen 

^"(tt — e)  =  0  bei  beliebigem  e^  \  e^ 

,,werdeQ  aaf  der  Cyklide  oo^  Corven  8  ter  Ordnung  mit  Doppelpunkt 
„dargestellt,  dio  angesehen  werden  können  als  Berührungsschnitt  mit 
j^nimallinienflächen  8 ter  Ordnung,  die  den  Kugelkreis  4 fach  ent- 
„halten  und  eine  der  beiden  im  Doppelpunkt  die  Cyklide  bertthren- 
„den  Minimalgeraden  als  Leitlinie  besitzen^^ 

Schlusscapitel. 
Beziehungen  zwischen  Kummer'sohen  Fliehen  und  Flächen  2ten  Grades. 

Uebertragen  wir  die  Ergebnisse  des  letzten  Capitels  im  ersten 
Teil  auf  den  Baum  des  linearen  Complexes,  so  erbalten  wir  hier  an 
Stelle  der  doppeltberührenden  Kreise  an  2  Flächen  des  confocalen 
Systems  Hyperboloide,  welche  2  Erzeugende  derselben  Art  enthalten, 
die  Doppeltangenten  der  einen  Kummer'schen  Fläche,  und  2  weitere 
Erzengende  derselben  Art,  die  Doppeltangenten  der  andern  Kummer- 
sehen  Fläche  der  Schaar^^)  sind,  Hyperboloide  berühren  die  Kum- 
mer'schen  Flächen  also  in  je  4  Punkten.  Die  Erzeugenden  der  an- 
dern Art  der  Hyperboloide  entsprechen  zu  je  zweien  den  Kugeln  des 
durch  den  Bildkreis  bestimmten  Büschels-,  den  beiden  Punktkugeln 
des  Büschels  entsprechen  (die)  2  a^g  »  0  angehörigen  Erzeugenden. 

Wählen  wir  2  Kummer'sche  Flächen  der  Schaar  mit  den  Para- 
metern Ao  und  fiQ  willkürlich  heraus  und  überdies  ein  Geradenpaar, 
das  arg  B-  0  angehört  und  conjugirt  in  Bezug  auf  einen  andern  der 
Fundamentalcomplexe  ist,  so  lassen  sich  durch  dieses  Geradenpaar 
4  Hyperboloide  l^en,  welche  die  gewünschte  Eigenschaft  besitzen, 
mit  jeder  der  Kummer'schen  Flächen  2  Doppeltangenten  gemein  zu 
haben  und  auf  jeder  derselben  die  Kummer'sche  Fläche  2  mal  zu 
berühren.  Durch  ein  Doppeltangenteupaar  «$  »  0  auf  einer  der  bei- 
den Kummer'schen  Flächen  selbst,  das  conjugirt  ist  in  Bezug  anf 
einen  der  andern  5  Complexe,  lassen  sich  noch  2  Hyperboloide  der 
verlangten  Art  legen. 

Wir  haben  demnach  auf  einem  solchen  Hyperboloide  2  Geraden 
der  ersten  Erzeugung.    Die  rm-  »  0  (i  »  1,  2,  3,  4  od.  5)  und  2  Ge- 


39)  Die  Kammer'schen  Fl&cben  der  Schaar  berühren  sich  l&ngs  der  aus- 
gezdchn.  Hanpttang.  8.  Ord. 

17* 


260  Dom  seh:  Die  Darstellung  der  Flächen  vierter  Ordnung 

rade  der  2ten  Erzeugang,  die  xg  -«  0  angehören.  Die  flbrigen  Gendeo 
der  letzten  Erzeugung  gmppiren  sich  zu  je  zweien  zn  denselben  als 
Doppelelementen  einer  Involution ;  entsprechend  der  Involution  des 
Kugelbüschels  mit  den  Punktkugeln  als  Doppelelementen.  Eine  Engel 
des  Büschels  värd  zur  Ebene ;  ihr  entsprechen  die  beiden  conjugirtea 
Erzengenden,  die  die  Fundamentalgerade  treffen.  Die  Fundamental- 
gerade  wird  noch  von  2  Erzeugenden  der  andern  Art  geschnitten; 
letztere  entsprechen  den  Kreispunkten  des  Ausgangskreises. 

Wir  haben  jetzt  im  Raum  des  Gomplexes  A^e  ="  0,  indem  wir 
noch  einen  der  übrigen  Fundamentalcomplexe  xi  =  0  {%  »  1,  2,  3, 4 
oder  5)  herausgreifen  ^®),  eine  Darstellung  der  Geradenpaare,  jeweils 
conjugirt  in  Bezug  auf  diesen  2ten  Fundamentalcomplex,  durchs 
Parameter  A,  fi,  v,  wo 

Oi>i'>aii    ai>f*>«8»    03>^>fl4- 

Einem  Werttripel  iL,  fi,  v  gehören  8  Geradenpaare  an,  welche 
die  3  Kummer'schen  Flächen  der  Schaar,  entsprechend  den  3  Para- 
metern A,  fi,  V  als  gemeinschaftliche  Doppeltangenten  besitzen  (cf. 
p.  235). 

Die  00  *  Schaar  von  Hyperboloiden  wird  alsdann  analytisch  de- 
finirt  durch  die  simultanen  Differentialgleichungen 


I     Xdk        iidfi        vdv  

wo  A,  Jf,  JV  die  Werte  3)  p.  210.   besitzen  und-^.  j~^  -^sämmt- 

lich  dasselbe  Vorzeichen  besitzen.    Um  nur  mit  reellen  Grössen  zn 
tun  zu  haben,  lassen  wir  wiederum  die  Ungleichungen  bestehen 

Der  Uebergang  von  einem  Gomplexgeradenpaar  A,  f&,  v  zu  eiBem 
benachbarten  A+dA,  fi-j-rfjii,  v  +  rfv  giebt  uns  alsdann  eins  der  4 
in  Redestehenden  Hyperboloide,  wenn  dabei  die  Gleichungen  1)  er- 
füllt werden.  Die  4  Hjrperboloide  sind  von  einander  unterschieden 
durch  die  Vorzeichen  der  Verhältnisse  der  Wurzelfunctionen  Ä 
3f,  JV, 

Betrachten  wir  jetzt  ein  einzelnes  der  4  Hyperboloide,  Wir 
lassen  das  Erzeugendenpaar  (A  fi  v)  —  wh:  wollen  es  {LL')  nenneo  - 


40}  Wir  wollen  x^  =  0  ausseichoen. 


mit  J}opp€neegeUcknkt  durch  hyperdUplUcht  Funciionw.  261 

längs  des  ganzen  Hyperboloids  hinlaafen;  es  werden  sich  dann  die 
den  saccessiven  Erzeugendenpaaren  zogehdrigen  Wnrzelfaoctionen  Ay 
3/,  N  stetig  ändern  und  ihre  Vorzeichen  nur  mit  resp.  dl^  c2f«,  dv 
Zusammen  ändern,  d.  h.  in  den  Erzeugendenpaaren  resp.  A^^o«, 
A  -»  Aq;  fi  =  og,  ^  »  ^o;  V  «=■  og,  V  «=■  a^;  jede  Wurzelfuncüon  än- 
dert also  ihr  Vorzeichen  2  mal  auf  jeder  Hälfte  des  Hyperboloids^). 

Geht  man  von  dem  Geradenpaar  {LL')  ^  {l,p,v)  bis  zu  dem 
Geradenpaare  {L^L^^)  =  (Aq  jLt'a'),  das  Doppeltangentenpaar  an  die 
Komm^sche  Fläche  Aq  ist,  so  ergeben  die  Differentialgleichangen  1) : 

v'iV'  fi'M"  AoiO 

vJV  y,M  lA 

oder 


4) 


Ä  =  l,  2 


als  Relationen  zwischen  den  Coordinaten  (vV)  der  Beruh- 
rungsdoppeltangente  (LqLq)  einer  der  4  vom  Geradenpaar 
(LL')  an  die  beiden  Flächen  Xq  und  ftQ  gehenden  Doppeiberühmngs- 
hyperboloide  und  den  Coordinaten  Afiv  von  {LÜ). 

Nun  können  wir  endlich  auch  Schliessungssätze  aufstellen  fbr 
Grebilde  —  den  Polygonen  entsprechend  —  die  aus  Teilen  von  Hy- 
perboloiden zusammen  gesetzt  sind,  welche  zu  der  betrachteten  oo^ 
Schaar  gehören,  Gebilde  also,  die  den  Flächen  Aq  und  fio  umschrieben 
sind,  und  ausserdem  einer  Fläche  der  Schaar  einbeschrieben  sein 
mögen. 

Man  gelangt  zu  einem  solchen  aus  Hyperboloidteilen  bestehenden 
Gebilde,  indem  man  von  einem  Doppeltangentenpaare,  conjugirt  in 
Bezug  auf  0^5  «  0  der  Eummer'schen  Fläche  A  ausgeht  und,  eins  der 
hindurch  gehenden  4  Hjrperboloide  der  Schaar  beliebig  herausgrei- 
fend ,  auf  demselben  von  Erzeugender  zur  Erzeugender  fortschreitet, 
bis  man  wiederum  zu  einem  Erzeugendenpaare  gelangt,  das  der  Fläche 


41)  Das  Hyperboloid  wird  durch  die  2  z^  ==  0  angehOrigen  Ensengendtn 
in  2  H&Uten  geteilt. 


262  Domsch:  Die  DctrtUUung  der  Hächen  vierter  Ordnung 

k  angehört.  Jetzt  verlassen  wir.  das  Ausgangshyperboloid  und  gelie& 
aaf  dem  in  Bezng  auf  k  coigngirten  Hyperboloid  weiter,  ftr  welches 
A  das  entgegengesetzte  Vorzeichen  hat  Bleibt  diese  Festsetzung 
auch  für  alle  späteren  Schnitte  mit  der  Fläche  k  bestehen,  so  ist 
dadurch  unsere  Constmction  eindeutig  bestimmt,  nachdem  Anfugi- 
erzeugendenpaar  und  Anfangsfläche  gegeben  sind. 

Neben  dem  einen  Polygon  (im  übertragenen  Sinne)  erhalten  inr 
ein  2tes  conjugirtes,  dessen  Kanten  ebenfalls  auf  k  liegen,  aber  das 
vom  ersten  durch  die  Congruenz  x«  »  0  xg  -»  0  geschieden  ist  Aach 
jetzt  ist  zu  bemerken,  dass  wir  im  allgemeinsten  Falle  nicht  2,  son- 
dern ein  einziges  Polygon  erhalten  würden  mit  der  doppelten  EaQ- 
tenzahl,  welches  die  Congruenz  0^4  »  0,  x^^O  durchsetzt. 


Soll  die  Polygonconstruction  sich  schliessen, 
Endkante  mit  Anfangskante  zusammenfEtUen,  und  das  letzte  Hyper- 
boloid mit  dem  ersten  conjugirt  in  Bezug  auf  k  sein,  so  jmiiss  die 
Bedingung  bestehen: 

5)  2e/  -^ imj  -j^  +  ^nj  -^^ 

kA  o,  012 


mit  DoppeikegeUehnia  durch  kypereUiptische  I\mctionen*  263 


Inhaltsflbersieht. 

IL  Teil. 

Enmmer'sche  Flächen  und  Cykliden. 

I.  Capitel. 

Die   Eammer'sche   Fläche   and   die   Lie'sche   Berührungs- 
transfonnation. 

§  1.    Die  Fnndamentalgebilde  in  der  Geometrie  der  Eum- 

mer'schcn  Fläche  und  ihre  Uebertragung p.  225 

§  2.  Die  Schaar  der  Kummer'schen  Flächen  in  ihrer  Be- 
ziehung znm  Cyklidensystem 233 

§  3.    Parameterverteilung  auf  der  Knmmer'schen  Fläche  und 

deren  Uebertragung 236 

§  4.    Abbildung  von  Linienflächen,  deren  Erzengende  dem 

aasgezeichneten  linearen  Complex  angehören     ....  238 

§  5.    Abbildung  von  Curven 242 

II.  Capitel. 

Kummer'sche  Fläche   und  Cyklide   unter  Berücksichtigung 
der  ^Functionen 245 

§  1.    Die  liniengeometrische  Darstellung  der  Eummer'schen 

Fläche  und  die  hierauf  basirende  Uebertragungsweise  .  245 

Curvensysteme 248 

a.  Die  6  ungeraden  ©Functionen 248 

b.  Die  10  geraden  OFunctionen 249 

c.  Die  Curvenschaar  S(u—e)  «=  0 

«1  I  eg  ^  einfachen  Integralen 250 

d.  Die  Curvenschaar  S{u — e)  bei  beliebigem  e^le^   250 

§  2.  Die  Borchardt'sche  Darstellung  der  Eummer'schen 
Fläche  und  die  hierauf  sich  gründende  Uebertragungs- 
weise. 

I.    AUgemeine  Bemerkungen 251 

n.    Curvensysteme. 

a.  Die  16  einfachen  ^Functionen 253 

b.  Die  00*  Curvenschaar  0(i*  — e) 

e^  \  62^  einfachen  Integralen 254 


264  Dom  seh:  Die  Darstellung  der  Ftächen  vierter  Ordnung  eie. 

c.    Die  CO*  Curvenschaar  0'(» — e)  —  0 

e^  I  «2  beliebig 

§  3.    Die  Cayley-Weber'sche  Darstellung  der  Enmmer'schen 
Fläche  and  ihre  Uebertragnng. 

I.    Die  Gleichungsform 265 

II.    Cnrvensysteme 257 

a.  Die  16  einfachen  OFnnctionen 257 

b.  Die  Carvenschaaren  ©"(« — e)  =0 


Schlnsscapitel. 

Beziehungen  zwischen  Eummer'schen  Flächen  und  Fläcbea 
2ten  Grades 259 


Gomen'  Teixetra:    Ueber  einen  Satz  der  Zahlentheorie,  265 


XI. 

Ueber  einen  Satz  der  Zahlentheorie. 

Von 

Herrn  F.  6om68-T6ix6ira, 

Professor  an  der  Universität  Coimbru. 


In  einer  Note,  publicirt  in  den  Comptes  Rendus  de  i'Acad6mie 
des  Sciences  de  Paris,  tomo  XCIII,  hat  Herr  Weill  gezeigt,  dass 


«!/?!... A!(a!)«(6!)^...(Al)^ 
eine  ganze  Zahl  ist,  wofern 

Er  beweist  diesen  Satz,  indem  er  zeigt,  dass  obiger  Ansdmck 
die  Anzahl  der  Alten  darstellt,  anf  welche  man  ans  n  Buchstaben 
eine  Zusammenstellang  von  a  Gnippeu  zn  a  Buchstaben,  b  Gruppen 
zn  ß  Buchstaben,  c  Gruppen  zu  y  Buchstaben  n.  s.  w.  bilden  kann. 

Wir  werden  sehen,  dass  man  diesen  Satz  mit  Hülfe  der  Theorie 
der  Derivirten  beliebiger  Ordnung  begründen  kann,  ein  Verfahren, 
welches  die  Bedeutung  hat,  dass  es  einen  Platz  zwischen  zwei  Doc- 
trinen,  der  Gombinatorik  und  der  Lehre  Yon  den  höhern  Derivirten, 
aufstellt 

Betrachten  wir  die  2  Functionen 

.  Die  successive  Differentiation  von  u  nach  x  gibt,  wie  leicht  zu 
sehen,  das  Resultat: 


266  GomtrS'Teixeira:   üeber  einen  Satz  der  ZakUnÜieork, 

g^-2:^l*(0(y')«(y"y...(y(»))* 

WO  A  eine  ganze  Zahl  ist. 

Um  den  Satz  in  aller  Allgemeinheit  zu  beweisen,  betrachten  wir 
die  Functionen 

» '*/(yny2i--yö;  Vi  "^  «PiC«);  vt  =  <ri(«);...  yi  ^  9>'(«) 

In  unserm  Artikel  —  über  die  Derivirten  beliebiger  Ordnnng, 
publicirt  im  XVIII.  Bande  des  Giornale  di  Battaglini,  haben  wir 
gezeigt,  dass  die  Derivirte  nter  Ordnung  von  u  nach  x  durch  die 
Formel  gegeben  ist: 

wo  A  eine  ganze  Zahl  und  durch  die  Formel  ausgedrückt  ist: 

. !^! 

^  —  al  /3! ...  AI  X  «'1)3!! ...  A'IX  ...X  (2!)/»4-/»'+...  (3'!)y+'/'-  ..(»I)HA4.. 
wo 

a+2iS+3y+...+nA+a'-f-2i3'+3y'+...+ni'+...«ii 

Der  Satz  ist  hiernach  vollständig  bewiesen. 

Aus  dem  eben  Gesagten  schliesst  man,  dass  ein  Band  besteht 
zwischen  den  Coefficienten  im  analytischen  Ausdruck  der  Derinrten 
nter  Ordnung  und  der  Anzahl  der  Combiuationen  von  n  Buchstaben; 
und  so  ergibt  ein  beliebiger  Satz  aus  der  einen  Doctrin  einen  ent- 
sprechenden Satz  der  andern,  und  die  mit  der  einen  verknüpften 
Gegenstände  sind  es  auch  mit  der  andern. 

So  sind  z.  B.  die  BernouUi'schen  Zahlen,  gemäss  ihrem  Ausdruck 

2n 

wo  yo^^~^^  di®  (2n-— l)te  Derivirte  der  Function 

y=(l  +  ß')-i 

für  a;  »  0  darstellt,  verknüpft  mit  den  in  Rede  stehenden  Coeffidenten 
A  mittelst  der  folgenden  Formel: 

(2n)!     ^  (-1)*+*»! 


22»  — 1  -  2«+ia!j3!...Jl!(2!)/»{3!)y. ..(*!)* 
wo 

«+2/5+3y+...(2n  — l)Jl  =  2"  — 1 


Gomes-leixetra:   üebtr  einea  Satz  der  Zahlentheorie»  267 

um  die  Bedeutung  der  Zusammenstellung  der  Theorie  der  De- 
rivirten  beliebiger  Ordnung  mit  den  Combinationen  ans 
Licht  zu  stellen,  wollen  wir  einen  Satz  der  Theorie  der  Derivirten 
herleiten. 

Zu  diesem  Zwecke  wollen  wir  zuerst  mittelst  einer  Derivirten 
nter  Ordnung  den  Ausdruck  der  Summe  der  Coefficienten  A  suchen, 
für  welche  a-f-j3+"«~l~^  einen  bestimmten  Wert  i  hat. 

Setzt  man  u  =  y*  in  der  Formel 

80  werden  alle  Terme  von  der  Ordnung  i  an  null,  weil  man  hat: 

Macht  man  nachher  y  «  e«  —  1  und  x  =  0,  so  erhält  man  ge- 
sondert  den  Term  »ter  Ordnung,  weil  y  =»  0,  y'«=  1,  y"=  1,  etc., 

folglich 

u  =  0,    u'«  0,    tt"=  0,    . .  .tt('-i)  «  0 


Wir  haben  also 


-■-ii(^=^)„ 


0 


wo  £'  die  Summe  der  Werte  von  A  darstellt,  welche  den  Lösungen 
der  Gleichungen 

«-}-2/3  +  3y-f...  +  ÄA  — n;    a+/5  +  y  +  ...  +  Jl  =  i 

ä  positlTen  ganzen  Zahlen  entsprechen.    Dafür  kann  man  schreiben : 

i-fiJ+2y  +  ...(Ä  — 1)A  =  0 

Andrerseits  haben  wir  in  Anwendung  der  Leibnitz'schen  Formel : 


[(e'-lXe*-!)...]' 


8as" 


=  8 


h^lh^l ,.  ,hi\ 


wo  die  h  alle  ganzen  Zahlen  von  0  bis  «  zu  durchlaufen  haben,  ftlr 

welche 

Ä^  -f-  Äg  -|- . . .  Ä»'  =a  n  (1) 

ist,  und  wo  fi  die  Anzahl  der  h  bezeichnet,  welche  »  0  sind,  und 
folglich 

L      3«»      J«  =  o  ÄilÄ2!...Ä.! 


268  GomeS'Teixeira:   Ueber  einen  StUz  der  ZahlentheortM. 

WO  die  h  unter  der  Beschränkang  (1)  von  1  bis  n  yariiren.    Wir 
haben  also: 

«*  n\  1  n\ 


ol/5!...AI(2!)/»(3I)r...(Ä!)^       »I  "^  Ä^! *,!... Ä.! 

Bezeichnet  man  nnn  durch  (p(aa-f-6/}-}-c/4~--)  ^^  Anzahl  der 
Arten,  auf  welche  man  mit  der  Bedingung 

eine  Zusammenstellung  von  a  Gruppen  zu  a,  b  Gruppen  zu  ^,  c  Grop- 
pen  zu  y  Buchstaben  u.  s.  w.  bilden  kann,  so  haben  wir  folgenden  Satz: 

r(p[»+j5-f-2y  +  .,.  +  (n-l)a]  -  2q>{h,  +  h^  +  ,,.+hi) 

das  heisst: 

„Die  Summe  aller  Anzahlen  von  Arten,  auf  welche  man,  nach 
9,Zerlegung  von  n  auf  alle  mögliche  Arten  in  i'i-ß-\'2y-\-,,.{n-'l)l^ 
„Zusammenstellungen  von  i  Buchstaben,  ß  Buchstaben,  2  Gruppen n 
„y  Buchstaben  u.  s.  w.  bilden  kann,  ist  gleich  der  Summe,  welche  der  Zer- 
„legung  von  n  auf  alle  möglichen  Arten  in  A^  -(~  ^  4~  •  •  • + ^  entspricht"^ 

Zum  Schluss  dieses  Artikels  geben  wir  noch  den  Ausdruck  tod 
£A  mittelst  der  Derivirten  beliebiger  Ordnung.  Setzt  man  zu  diesem 
Zwecke  »  —  c»  y  •=»  «*  —  l,  so  hat  man: 


m(0  «  «f,    tioW  «1,    y^=z  0,    yo'«  1,    yo"««  h  etc. 
und  folglich 


^^        ■Xe-'-O- 


Porto,  den  6.  Januar  1885. 


Hoppe:  Zum  Afotins' sehen  Problem.  269 


XII. 

Zum  Molins'schen  Problem. 

Von 

R.  Hoppe. 


In  den  M^moires  de  TAcad.  des  sc,  inscr.  et  b.  1.  de  Toalouse. 
T.  y.  hat  H.  Möllns  die  Aufgabe  gestellt  und  gelöst:  in  voller  Allge- 
meinheit diejenige  Curve  in  Coordinaten  darzustellen,  von  welcher 
der  Radius  der  osculirenden  Kugel  gegebene  Function  des  Krümmungs- 
radius ist.  Ohne  in  den  wesentlichen  Bestandteilen  der  Herleitung 
etwas  abzuändern,  nehme  ich  die  Aufgabe  noch  einmal  auf,  um  diese 
Bestandteile  in  einfachem  Zusammenhang  zu  bringen,  die  teilweise 
Zuziehung  geometrischer  Betrachtungen,  welche  dem  Einblick  keiner- 
weise  dienlich  ist,  durch  gleichmässig  fortschreitende  Rechnung  zu 
ersetzen  und  zu  zeigen,  dass  der  Weg  der  Lösung,  welcher  in  vor- 
liegender Darstellung  durchweg  als  Invention  erscheint,  aus  der  Auf- 
gabe und  der  ergänzenden  willkürlichen  Bestimmung  sichtlich  her- 
vorgeht 

Da  zur  Bestimmung  einer  Gurve  2  Relationen  notwendig  sind, 
die  Aufgabe  aber  nur  eine  liefert,  so  muss  die  allgemeine  Lösung 
eine  willkürliche  Function  enthalten.  Es  steht  uns  frei  diese  von 
Anfang  festzusetzen.  Möllns  hat  das  Krümmungsverhältniss  zur  will- 
kürlichen Function  des  einen  Richtungswinkels  der  Tangente  gemacht, 
letzterer  tritt  dann  als  unabhängige  Variable  im  Ausdruck  der  Curvo 
auf.  Wir  behalten  diese  Wahl  bei,  führen  jedoch  die  ergänzende 
Relation  erst  nach  erster  Integration  ein;  denn  es  ist  bemerkenswert, 
dass  sich  eine  solche  schon  unabhängig  davon  vollziehen  lässt,  was 
bei  der  Molins'schen  Integrationsweise  nicht  ans  Licht  kommt 


270  Hopp  ex  Zum  MolM  sehen  Prohhm, 

Die  Coordinaten  eines  Punktes  der  Carve  s  seien  a;,  y,  i,  die 
RichtttDgscosinus  der  Tangente  /,  y,  h^  der  Hauptnormale  /',  g\  k\ 
der  Binormale  ^,  iti,  n,  der  Contingenzwinkei  der  Tangente  dr,  der 
Schmiegungsebene  8^,  der  Accent  bezeichne  die  Differentiation  nach  t 

Der  Krttmmongsradius  ist  hiernach  »  8\  Der  Badius  der  osca- 
lirenden  Kugel,  d.  h.  derjenigen  Kugel,  welche  durch  4  consecative 
Punkte  geht,  hat,  wie  bekannt,  den  Ausdruck: 

woraus: 

3^  =  -7=^  (2) 

Der  Aufgabe  gemäss  soll  nun  n  gegebene  Function  ?on  $*  sein 
Gl.  (2)  zeigt,  dass  dann  auch  der  Torsionswinkel  ^  bekannte  Fanctioo 
von  «'  ist. 

Jetzt  führen  wir  ^'  als  willkürliche  Function  von/  eis.  Aas 
dieser  Relatiou  allein  geht  mit  Beachtung,  dass  dl  =  — /'dd  ist,  berror: 

i ffdd^ f^'d/ 

8t»— =^_.  (3) 

yi-/«-(/^'8/)« 

Dies  identificirt  mit  (2)  gibt  zwischen  s'  und  /  die  Relation: 

r    8/     ^  /• 8ö^ 

Was  übrig  bleibt,  ist  eine  bekannte  Aufgabe.  Aus/,  /',  l  findet 
man  </,  A,  indem  man  setzt: 

/■=•  cost;    ^  =  sin^cosij;    ä  =  sintsinij  (6) 

woraus  durch  Differentiation: 

ö''«  t'cosJ;cosi2— Ysintßiniy 
Ä'=  fcos  fsin  iy + ly'sin  fcos  i? 

und  in  Verbindung  mit  (6): 


Nun  ist 
folglich 

oder 
oder 


S^'3/  (5) 


Hoppe:  Zum  MoUnsi' sehen  Problem.  271 


^  «  I  AV  I  -"  Vsin^f  «  t/(l  -/«) 


mithin 

'3/ 

(7) 


"^J    l-f'^J      1-/* 


Da  nun  ausserdem  ds  =  s'ox  bekannt  ist,  so  hat  man  nach  (6): 


«'aryi— /«siniy    ^ 


wo  «'  durch  Gl.  (5),  dr  durch  Gl.  (3),  17  durcli  Gl.  (7)  als  Function 
von  /  bestimmt  ist 

Nach  Einsetzung  der  Werte  (3)  von  dr  und  (6)  von  /  erhält  man 
die  Formeln  übereinstimmend  mit  den  Resultaten  von  Möllns. 

Die  Yergleichung  beider  Behandlungsweisen  liefert  eine  neue 
Bestätigung  der  Regel,  welche  ich  in  meiner  analytischen  Curven- 
theorie  über  das  Verfahren  bei  der  Lösung  und  Untersuchung  curven- 
theoretischer  Probleme  aufgestellt  habe.  Die  Curventheorie  gestattet 
eine  Sonderung  aller  Linear-  und  Richtungsgrössen  derart,  dass  die 
Fragen  nach  den  letzteren  unabhängig  von  erstem  zur  Entscheidung 
gebracht  werden  können.  Die  Lösung  der  so  vereinfachten  Aufgabe 
liegt  öfters  unmittelbar  zutage,  und  die  restirende  Einfahrung  der 
Lineargrösse  8«  bietet  nachher  gewöhnlich  auch  keine  Schwierigkeit, 
andernfalls  wird  man  meistens  leicht  finden,  von  welcher  nicht  integra- 
beln  Gleichung  die  Lösung  abhängt;  während  es  bei  Complication  von 
Linear-  und  Richtungsgrössen  als  eine  Sache  glücklicher  Speculation 
erscheint,  wenn  eine  Lösung  gefunien  wird,  und  bis  dies  gelungen 
ist,  die  Lösbarkeit  ungewiss  bleibt. 

In  der  Tat  ist  bei  der  von  Melius  gewählten  ergänzenden  Re- 
lation das  Gelingen  dadurch  bedingt,  dass  sie  frei  von  Lineargrössen 
ist.    Diese  Eigenschaft  bleibt  aber  unbeachtet,  wenn  man,  wie  er  es 

tut,  statt  Ä-  schreibt  -  wo  ^  =*  g~»  »*  =*  öä»  also  das  Linienelement 
in  eine  Relation  einführt,  die  nichts  damit  zu  tun  hat. 

Knüpfen  wir  jetzt,  mit  Absehen  von  der  Molins'schen  Lösung, 
die  oricntirenden  Gesichtspunkte  an  die  Aufgabe  selbst,  so  ist  un- 
mittelbar gegeben  eine  Differentialgleichung  zwischen  einer  Richtungs- 
grösse  ^  und  einer  Lineargrösse  «',  welche  sofort  eine  Trennung  der 
Yariabeln  zulässt,  so  dass  sie  d-  zur  bekannten  Function  von  «'  macht 
Ich  bezeichne,  um  ein  kurzes  Wort  dafür  zu  haben ,  mit  „Richtungs- 
grössen^^ unter  den  Bestimmungsgrössen  einer  Curve  diejenigen,  welche 


272  Hoppe:  Zum  Möllns* sehen  Problem. 

reine  Zahlen  sind,  zum  Unterschied  von  den  „Lincargrössen^^,  welche 
die  Linieneinheit  zum  Factor  haben. 

£s  handelt  sich  nun  um  die  Wahl  der  zweiten  Relation.  Bedin- 
gung für  dieselbe  ist  allein,  dass  sich  aus  den  zwei  in  Beziehung  ge- 
setzten Yariabeln  die  übrigen  Bestimmungsstücke,  namentlich  aber 
/,  ^,  h  finden  lassen.  Der  obigen  Regel  gemäss  muss  die  Frage  fiber 
die  Richtungsgrössen  entschieden  sein,  ehe  die  gegebene  Relation  in 
Anwendung  kommt.  Dazu  ist  die  'zweite  Relation  allein  nur  aas- 
reichend, wenn  sie  keine  Lineargrössen  enthält. 

Unter  den  genannten  Richtungsgrössen,  nämlich  den  9  Ricbtungs- 
cosinus,  r,  &  und  deren  Differcntialquotienten  gibt  es  zahlreiche 
Combinationen,  welche  der  Bedingung  entsprechen.  Wir  können  daher 
noch  weitere  Zwecke  mit  der  Auswahl  verbinden.  Zunächst  ist  es 
gewiss  wünschenswert  den  Uebelstand  zu  vermeiden,  welchen  die 
Gl.  (5)  zeigt,  dass  sie  nämlich  auf  beiden  Seiten  allgemeine  Fanctio- 
neu  enthält,  sich  daher  nach  keiner  Seite  auflösen  lässt,  so  dass  die 
Resultate  nicht  explicit  aufgestellt  werden  können.  Dies  geschiebt 
ofifenbar,  indem  wir  i^  zur  einen,  und  zwar  unabhängigen  Yariabeln 
nehmen.  Die  zweite  Variable  kann  dann  ein  Richtungscosinus  der 
Hauptnormale  oder  Binormale  sein,  während  der  der  Tangente  (desgl. 
die  Grösse  t)  unlösbare  Differentialgleichungen  herbeiführen  würde. 
Die  Rechnung  mit  der  Binormale  ist  die  einfachere ;  sei  daher  l  will- 
kürliche  Function  von  ^.    Dann  hat  mau: 

8t  =  —r-  ^  (UM 


(11  > 


x=ffs'dx;    y-^fgs' St;    z-^fhs'Sv  (13) 

Setzt  man  nnn  2  ■=  9>  (d)  und  zur  Yereinfachnng 


JBoppti  Zwn  MoUfut^uhtn  Problem,  27S 


*' 


n  = 


8111X 

wo  also  %  gegebene  Function  von  s  ist,  so  wird 

8»-^  (U) 

and  man  braucht  nur  erst  in  den  Gleichangen  (9)  (10)  (11)  (12)  die 
letzt  genannten  4  Werte  (14),  fibardjes  in  (12)  den  Wert  (11)  von  rj 
und  in  (13)  die  Werte  (9)  (12)  von  /;  g,  h  und  den  Wert  (10)  von  dt 
einzusetzen,  um  x^  y,  z  explicit  in  «'  ausgedrückt  zu  finden.  Oleich- 
zeitig  ergibt  sich  der  Bogen: 

s  «  fs'dt 

In  Betreff  der  geometrischen  Bedeutung  der  vorkommenden 
Grössen  mag  erwähnt  werden,  dass  der  Mittelpunkt  der  osculirenden 
Kugel  der  Goincidenzpunkt  der  Krttmmungsaxe  ist.  Demnach  wird 
n  durch  die  Verbindungsgerade  der  entsprechenden  Punkte  der  Ur- 
cnrve  nod  der  Einhüllenden  ihrer  Krümmungsaxe  dargestellt.  In 
dieser  Lage  ist  n  die  Hypotenuse  eines  rechtwinkligen  Dreiecks, 
dessen  Katheten  in  der  Hauptnormale  und  Krümmungsaxo  liegen ,  so 
dass  der  Krfimmungsmittelpunkt  den  Scheitel  des  rechten  Winkels 
bildet,  und  %  den  Winkel  zwischen  der  Yerbindungsgeraden  und  der 
Erflmmangsaze  bezeichnet 


Irck.  d.  lUtb.  V.  Fbya.   2.  Belli«,  Teil  U.  t  S 


274        Hoppe:  Bewegung  eines  senkrecht  empor  pekfarfmen   Körpers. 


xm. 


Bewegung  eines  senkrecht  empor  geworfenen 

Körpers. 


Von 

R.  Hoppe. 


Zu  den  Yersnchon,  welche  die  Axendrehung  der  Erde  beweisen 
könneu,  gehört  offenbar  anch  der  folgende.  Ein  senkrecht  empor 
geworfener  Körper  muss  (wenn  keine  zufälligen  Störungen  vorbin- 
den sind)  relativ  zur  Erde  hinter  deren  Rotation  zurfickbleibeo,  also 
weiter  westlich,  und  weiter  nach  dem  Aequator  zu  den  Erdboden 
wiedererreichen.  Es  wird  erzählt,  dass  vor  längerer  Zeit  einmal  zur 
Beobachtung  dieses  Erfolges  eine  Kanone  in  verticaler  Rjchtoog  ab- 
geschlossen worden  sei ,  dass  man  aber  das  Ocschoss  nicbt  wieder- 
gesehen habe.  Eine  Berechnung  des  theoretischen  Ergebnisses  scheint 
nicht  stattgefunden  zu  haben,  obwol  daraus  erst  zu  ersehen  gewesen 
wäre,  welche  (weit  geringere)  Schussgeschindigkeit  für  den  Zweck 
am  förderlichsten  sein  würde. 

Im  folgenden  will  ich  die  Berechnung  unter  den  vereinfachenden 
Annahmen  ausführen,  dass  die  Erde  eine  homogene  Kugel  sei,  und 
kein  Luftwiderstand  stattfinde.  Auf  diesen  einfachen  Fall  sind  wir 
nämlich  beschränkt,  wenn  wir  in  geschlossenen  Ausdrücken  rechnen 
wollen,  und  können  von  diesen  Ausdrücken  als  Hauptwerten  aus- 
gehen, um  dann  die  Abplattung  der  Erde  und  den  Luftwiderstand  alt 
Correction  zu  berücksichtigen. 

Dar  Mittelpunkt  der  Erde,  einer  Kugel  vom  Radius  c,  sei  An- 
fang der  im  Räume  festen  a^,  iiie  Rotationsaxe  Axo  der  «,  in  der 


Hoppe:  Bewegung  einet  senkrecht  empor  geworfenen  Körpere.        275 

wy  Ebene  liege  der  Aosgangspunkt  P  des  Wurfes  in  der  Breite  ß ;  die  z 
seien  positiv  nach  Osten.  Ferner  sei  g  die  Anziehung  der  Erde  auf 
die  Masseneinbeit  in  ihrer  Oberfläche  und  r  der  Sadiusvector  des 
geworfenen  Körpers,  a  die  Rotationsgeschwindigkeit.  Dann  ist  dessen 
Bewegung  bestimmt  durch  drei  beliebige  der  4  Gleichungen: 


3*« 

ffiz— 

•«3y 

A 

dt 

zdx— 

•xds 

B 

dt 

xBy- 

0\ 

-ydx 

'•  C 

(2) 


(3) 


und  durch  die  Anfangswerte,  welche  durch  den  Index  0  ausgedrückt 
seien. 

Im  Anfang  ist 

vq  ■=»  c\    a?o  —  csin^;    y©  ^  ccosß;    «o  ■"  ^ 

Die  Anfangsgeschwindigkeit  setzt  sich  zusammen  aus  der  verticalen 
Wnrfgesch windigkeit p  und  der  Geschwindigkeit  von  P  in  der  z  Rich- 
tung.   Ihre  Componenten  sind  also 

(Do"^'^^^'    (l)o""^'^''^'     (Ä^""'^"^ 
Demnach  wird  Gl.  (3): 

xdy  —  ydx  «■  0 


woraus: 


?_g„cot/J  (4) 

X  Xq 


Hiermit  werden  die  Gl.  (2)  identisch  und  geben: 

ydz  —  zdy 


Bi 


=  ftC^C08*jJ  (5) 


Ist  #  ein  Bogen  der  Bahn,  so  gibt  Gl.  (1): 

8#*      2A 

das  ist  im  Anfang: 

p* + «»c» cos«  /J  «  2<^  —  ««  (7) 

18« 


276         Hoppe:  Bewegung  einet  senkrecht  empor  geworfenen  Kärper*. 

ferner  die  Qaadratsumme  der  Gl.  (2)  (3): 

r«^^'^,^-=ftMc08«/g  (8) 

und  nacb  Elimination  von  9«'  durch  61.  (6): 

8/)  8 

-^  «  -  x«r«+ 2<?»ir  -  a«c*  COS*/»  (9) 

Sei  nun 

siny  —  — cos/J  (10) 

*•*=";;/  (l  +  C08yC08V')  (11) 

dann  werden  die  Gl.  (9)  (5): 

(—V  „  /g'gcosysin^y 


y8g — g9y c*^sin  y  C08  /J 


(13) 


Nehmen  wir  im  Anfang,  wo  r  mit  <  wächst,  sintf;  positiv,  so  wird 
nach  Gl.  (12)  (11): 


&  = = |^(l  +  cosycosv')3v^  (1^) 


integrirt: 


X» 


{*o  —  ^  +  C08y  (sintj^o  —  sin  ^) }  (15) 


und  zwar  ist  nach  Gl.  (11) 


X* 


COB  y  COS  iCft  *» 1  (16) 

cg 
Jetzt  wird  nach  Gl.  (7) 

-=  ^^cosysin^o)* 

daher 

cos  y  sin ^0  "■  0^ 

'         "        cg 

woraus  sich  der  kleine  Winkel  ^o  besser  bestimpit  als  aus  GL  (16). 


r 


Hoppti  Bewegung  eines  senkrecht  empor  geworfenen  Körpers.        277 

Femer  ist  mit  Zuziehung  Ton  61.  (4) 

Hiermit  Gl.  (13)  dividirt  und  mit  Ql.  (14)  roultiplicirt  gibt: 

8arc1«-y^ ^  f  (19) 

Setzt  man 

tg9  =  tg^tg|  (20) 

80  erhält  man  nach  61.  (11): 

8^      X«  8i^  2x^89 


and  die  Integration  Ton  61.  (19)  gibt: 


«cos  ß 
arctg--^^«2(9o-9>)  (21) 


Verbindet  man  hiermit  die  61.  (18)  (4),  so  findet  man  leicht: 

«  =5  r  sin  ßcOB2{fpQ  —  9)     \ 

y  —  r  cos  /J  cos  2(9o  —  v)     [  (22) 

«  «  r8in2(9o -*  7)  ' 

Sobald  nun  der  geworfene  Körper  die  Erdoberfläche  wieder  er- 
reicht, wird  r  =  c,  daher  nach  61.  (16),  indem  \l)  beständig  ab- 
nimmt, ^  — i  -^  ^0,  und  nach  61.  (20)  7  «  ^  ?0)  folglich 

X  =  csin/}  cos  4gPo    \ 

y  r=(«cosj?cos49o    >  (23) 

M  *»  08in49Po  / 

Geht  alsdanA  die  Breite  ß  über  in   ß—ß\  die  Länge  null   in  die 
westliche  Länge  X,  so  ist  gleichzeitig 

«  =  c8in(|J— /J') 

y  —  CC08(/J— /J')cos(o«  — A)         }  (24) 

M=s  ecos(ß—ß^)sm(at^k) 


also 


sin  (ß  —  ß')  —  sin  /}co8  4^0  (26) 


278        Boppei  Bewegung  eines  senkrecht  empor  geworfenen  K9rpers, 

Nimmt  man  besonders  grosse  Werte,  nämlich  ftr  p  die  von  einer 
Kanone  erzengte  Geschwindigkeit  600  Meter,  nnd  den  Ansgangsponkt 
im  Aequator,  so  werden  die  Grössen 

a*ccos*/J 
f*  — — ^  —  0,0032283     \ 

V  -.  ^  «  0,0039988  ) 

gc 

in  denen  sich  aJle  Grössen  darsteUen,  noch  immer  klein  genug  m 
schnellen  Annähemng,  wenn  wir  Reihen  nach  Potenzen  derselben 
entwickeln. 


Unmittelbar  gibt  Gl.  (7) : 

-'='"{'-1-1) 


(«1 


woraus  nach  Gl.  (10): 


,.,=yv{i-'-±-'-<ii!l'_...} 

nach  Gl.  (17) 

cosysinto  -  V2v{l-f^-.if^ -  ...  } 

tl'o+cosysint[;o«2V2v/^l  +  ^— -^4-^^^^^—  -     \ 
0^       r      wo       ^r^^\^-r^       ^2^  32         16      160      "' ) 

dann  nach  Gl.  (15),  wo  t/;  —  --  ti^o  zu  setzen,  mit  Berticksichtigiuig, 
dass 


,1-3 
ist: 


=  (2,.)-;{i  +  34-V^^^  +  ...} 


Hoppe:  Btwgwtg  tiiui  senkrteht  empor  geworfenen  Körpers.         279 


(29) 


COS/J    \  ^  o  y 

und  nach  61.  (20): 

tg49o  ^  Vf*v(l  +  ^+/4«+  ^v+...) 
woraas  nach  61.  (25): 

Dies  sabtrabirt  von  (29)  gibt: 

3  co8/J\  ^co8»/J^  5  ^      y 
Ans  61.  (24)  findet  man: 

ß' =  2^v  (l+2f.+  3^«-^  +  -  )  tg/J 

das  ist  nach  Snbstitation  der  Werte  (27): 

^- v'«r+  !7  +4,«  +  -; 

^,      «»«»Bin2ß  A  ,  2«»ccos*/J  ,       \ 

Der  Hanptwert  von  ß'  ist  in  der  Breite  45®  am  grössten.     Nehmen 
wir  diese  durchgängig  an,  so  dass 

log  c  -  6,80392 ;      logy  «  0,99149 ;      log  «  =  5,86285  — 10 
mid  reduciren  A  und  /?'  durch  Moltiplication  mit 

10000  000 
B 

auf  Meter,  so  kommt: 

;i  =  0,000    001  0180p»(l+ 0,000  OOO  011  931p«) 
/5'=  0,000    353  27  p« 

das  ist  im  obigen  Beispiel  p  »  500: 

A- 127,63;    /5'-=  88,32;    VJJ+p  ^  IbbM 


280        Hoppt:  Bewegung  emts  stnkr^dU  empor  gtmwrfmtn  KSrpwt* 

In  dieser  Entfernnng  >»  155  Meter  hätte  das  Ctoschoss  noch  geseheD 
werden  können,  doch  konnte  es  auch  leicht  der  Beachtung  entgehen, 
wenn  die  Richtung  nicht  vorher  berechnet  war.  Ans  Xnnd  /)'  ergibt 
sich  eine  Richtung  fast  35^  Ton  West  nach  Süd. 

Die  umgekehrte  Aufgabe,  aus  der  Entfernung 

die  Anfangsgeschwindigkeit  zu  berechnen,  Iftsst  sich  nichts  direct  dordi 
Reihenentwickelung  lösen;  doch  kann  man,  da  ^  FuncCioB  Ton  i  iit, 

eine  Tafel  darüber  aufstellen.    Man  findet,  wenn  j  =  tgt: 


i 

p 

i 

0,001 

1,686 

90» 

0,01 

5,330 

89V2 

0,1 

16,815 

87«,2S 

1 

52,90 

81«,33 

10 

160,30 

66«,21 

100 

423,36 

89<',29 

1000 

971,17 

19o',63 

Es  liegt  nahe,  auch  fOr  beliebige  Eletation  die  Abweichnng  der 
Geschosse  vom  Zielpunkte  infolge  der  Erdrotation  zu  berechnen. 
Unter  diesem  Gesichtspunkt  hat  Biehringer  in  Schlömilch's  Zeitschnit 
Bd.  XXVIII.  S.  157.  die  Frage  behandelt.  In  beiden  Fallen  ist  die 
absolute  Bewegung  geometrisch  bekannt  als  Ellipse,  um  den  Erdmittel- 
punkt als  Brennpunkt  beschrieben,  also  kein  Problem  zu  lösen. 


Pahitl:  Die  Cöno-Cunei.  281 


XIV. 

Die  Cono-Cunei. 

Ein  Beitrag  zur  Lehre  von  den  geradlinigen  Flächen. 

Von 

Dr.  Carl  Pabst. 


I.  Abschnitt. 

Einleitung. 

§  1. 

In  den  ,,Opera  matheroatica"  von  Joh.  Wallis  findet  sich  eine 
Abhandlung  Aber  einen  Körper,  welchen  der  Verfasser  Cono-Ounens 
nennt  und  den  er,  wie  folgt,  definirt:  Super  plana  Basi,  quae  Circuli 
Qnadrans  erat  (ut  in  Quadrantali  Cono,  vel  Cylindro)  erectum  in- 
sistebat  Solidum;  cujus  Altitudo  (pro  arbitrio  sumenda)  erat  dupla 
Badii  Quadrantis  istius  Circularis:  Et  a  singulis  Peripheriae  Qua- 
drantaiis  panctis,  ductae  ad  verticem  rectae,  coibant,  non  in  Puncto 
(ut  m  Apice  Coni,)  nee  in  Quadrante  parallele  (ut  in  Quadrantali 
Cyündro,)  sed  in  Linea  recta,  ut  in  acie  Cunei.  Quamobrem  ei  nomen 
feci  Gono- Cunei-,  ut  qui  in  Base  Gonum  repraesentet;  in  Vertice, 
Guneum^).  Man  kann  diesen  Körper  gleichsam  als  eine  Verallge- 
meinerung des  Kegels  ansehen,  und  sich  denselben  so  aus  diesem 
hervorgehen  denken,  dass  die  Spitze  des  Kegels  in  eine  Gerade  aus- 
gezogen wird,  bis  alle  erzeugenden  Geraden  einer  gegebenen  Ebene 
parallel  sind. 

Dieser  Körper  hat  später  die  Veranlassung  zu  einer  Gruppe  von 
geradlinigen  Flächen   gegeben,  welche  die  Einen  Keilflächen,  die 


1)  d  J.  Wallis:  Opera  mathematica.    vol.  II.  pag.  681, 


282  Pahit:  Die  Cono-Cuneü 

Anderen  Conoidflächen  nennen,  und  deren  Entstehnngsweise  folgende 
ist:  Gegeben  ist  eine  Ebene,  die  Director-Ebene ,  eine  auf  dieser 
Ebene  senkrecht  stehende  Gerade  nnd  eine  ebene  Gurve,  deren  Ebene 
auf  der  Directorebene  senkrecht  steht.  Eine  gerade  Linie  bew^ 
sich  längs  dieser  Cnrve  so  hin,  dass  sie  stets  der  Directorebene  pa- 
rallel bleibt  nnd  durch  die  gegebene  feste  Gerade  geht. 

Unsere  Aufgabe  ist  es,  aas  dieser  Gruppe  diejenigen  Flächen  zu 
untersuchen,  deren  Leitlinie  ein  Kegelschnitt  ist,  unter  der  näheren 
Voraussetzung,  dass  die  singulare  Kante,  durch  welche  alle  erzeagen- 
den  Geraden  gehen,  einer  Axe  des  Leitkegelschnitts  parallel  ist.  Wir 
wollen  die  Flächen  in  Folgendem  alsCono-Cunoi  bezeichoen,  und 
zwar  je  nachdem  der  Leitkegelschnitt  eine  Ellipse,  Parabel  oder  Hj- 
pcrbel  ist,  als  elliptischen,  parabolischen  und  hyperboli- 
schen Cono-Cuncus. 

Wie  man  nun  gerade  und  schiefe  Kegel  unterscheidet,  so  können 
wir  auch  einen  Unterschied  zwischen  geraden  und  schiefen  Cono- 
Guneis  machen.  Unter  den  geraden  Gono-Guneis  verstehen  wir 
dabei  diejenigen,  bei  denen  die  Ebene,  welche  durch  die  singulire 
Kante  und  durch  die  entsprechende  Axe  des  Leitkegelschnittes  geht, 
auf  der  Ebene  des  Leitkegelschuitts  senkrecht  steht  Ist  dies  nicht 
der  Fall,  sondern  bilden  diese  beiden  Ebenen  einen  schiefen  Winkel 
mit  einander,  so  nennen  wir  diese  Flächen  schiefe  Gono-GuneL 
Von  den  letzteren  wollen  wir  diejenigen  etwas  näher  untersuchen, 
bei  denen  die  Projection  der  singulären  Kante  auf  die  Leitkegd- 
schuittebeno  mit  einer  Scheiteltangente  des  Leitkegelschnitts  zusammen- 
fällt und  diese  Flächen  wollen  wir  als  Scheitel- Gono-Gunei 
bezeichnen. 

§2. 

Jeder  Kegelschnitt  hat  im  Allgemeinen  zwei  aufeinander  senkrecht 
stehende  Axen.  Es  würden  sich  demnach  6  verschiedene  gerade 
Gono-Gunei  ergeben.  Von  diesen  sind  indessen,  wie  sich  spAter 
zeigen  wird,  zunächst  die  beiden  elliptischen  identisch.  Anders  ver- 
hält es  sich,  wenn  der  Leitkegelschnitt  eine  Hyperbel  ist  Wir 
wollen  hierbei  diejenige  Fläche,  welche  entsteht,  wenn  die  Projection 
der  singulären  Kante  auf  die  Leithyperbelebene  mit  der  reellen  Axe 
der  Leithjrperbel  zusammenfällt,  den  geteilton,  und  diejenige,  bei 
welcher  die  Projection  der  singulären  Kante  in  die  imaginäre  Axe 
der  Leithyperbel  fällt,  den  einfachen  hyperbolischen  Gono- 
Gunous  nennen. 

Was  schliesslich  die  Parabel  betrifft,  so  hat  diese  nur  eine  im 
Endlichen  liegende  Axe;  die  andere  ist  ins  Unendliche  gerttckt.    Be- 


Pahtt:  Die  Cono-Cuntu  283 

achten  wir  zunächst,  wie  sich  dio  Sache  im  letzteren  Falle  gestaltet^ 
so  fol^  aus  der  Definition  der  geraden  Gono-Cnnei,  dass  die  singu- 
lare Kante  der  betreffenden  Fläche  ebenfalls  im  Unendlichen  liegen 
moss.  Um  diesen  Fall  näher  zu  untersuchen ,  denken  wir  uns  «ine 
im  Endlichen  liegende,  der  Leitparabelebene  parallele  Gerade,  deren 
Projection  auf  die  Leitparabelebene  auf  der  im  Endlichen  liegenden 
Aze  der  Parabel  senkrecht  steht,  als  singulare  Kante.  Entfernt  sich 
diese  Gerade  vom  Scheitel  der  Parabel  parallel  der  Parabelebene, 
80  wird  der  Unterschied  der  Winkel,  welche  die  einzelnen  Erzeugen- 
den mit  der  Parabelebene  bilden,  allmählich  kleiner.  Bei  unendlicher 
Entfernung  der  singulären  Kante  von  dem  Parabelscheitel  sind  dem- 
nach die  Erzeugenden  einander  parallel.  Da  nun  das  Yerhältniss 
des  Abstandes  der  singulären  Kante  von  der  Leitparabelebene  zur 
Entfernung  der  zweiten  Axe  der  Parabel  von  ihrem  Scheitel  gleich 
der  trigonometrischen  Tangente  des  Winkels  ist,  welchen  die  Er- 
zeugenden mit  der  Lei^arabelebene  bilden,  so  fallen  die  Erzeugenden 
in  die  Parabelebene,  wenn  der  Abstand  der  singulären  Kante  von 
dieser  Ebene  eine  endliche  Grösse  ist-,  denn  alsdann  ist  das  betrach- 
tete Yerhältniss  unendlich  klein.  In  den  anderen  Fällen  erhält  man 
einen  parabolischen  Cylinder,  und  zwar  einen  geraden  oder  einen 
schiefen,  je  nachdem  das  in  Rede  stehende  Yerhältniss  unendlich 
gross  oder  eine  endliche  Grösse  ist. 

Hieraus  folgt,  dass  sich  keine  neue  Fläche  ergicbt,  wenn  die 
singulare  Kante  senkrecht  über  der  im  Unendlichen  liegenden  Axe 
der  Leitparabel  liegt.  Einen  wirklichen  parabolischen  Gono-Guneus 
erhalten  wir  nur,  wenn  die  Projection  der  singulären  Kante  auf  die 
Leitparabelebene  mit  der  im  Endlichen  liegenden  Axe  der  Parabel 
zusammenföllt  Wir  können  diese  Fläche  daher  kurz  als  den  ge- 
raden parabolischen  Gono-Guneus  bezeichnen. 


§3. 

Analoge  Betrachtungen  wie  die  obigen  lassen  sich  über  dio 
Scheitel-Gono-Gunei  anstellen.  Wir  haben  auch  hierbei  im  Allgemei- 
nen 6  Flächen,  deren  Zahl  sich  aber  ebenso  wie  bei  den  geraden 
Cono-Ganeis  auf  4  reducirt.  Denn  erstlich  giebt  es  nur  einen  ellip- 
tischen Scheitel-Gono-Guneus.  Was  dann  die  hyperbolischen 
betrifft,  so  wollen  wir  dei^enigen,  dessen  singulare  Kante  der  imagi- 
nären Axe  der  Leithyperbel  parallel  ist,  wobei  also  die  Projection 
der  singulären  Kante  auf  die  Leithyperbelebene  mit  der  Tangente  in 
einem  reellen  Scheitel  der  Hyperbel  zusammenfällt, als  den  einfachen 
hyperbolischen  Scheitel-Gono-Guneus  bezeichnen.  Die 
beiden  anderen  Scheitel  der  Hyperbel  sind  imaginär.     Wir  wollen 


284  Pabst:  DU  Cono^Cünei. 

• 

indessen  diejenige  Fläche,  bei  welcher  die  Projection  der  singfüSren 
Kante  auf  die  Leithyperbelebene  in  einem  Endpunkte  der  imagiDSren 
Axeanf  dieser  Axe  senkrecht  steht,  den  geteilte  n  hyperbolischen 
Sclfeitel-Gono-Cnneas  nennen. 

Fttr  die  parabolischen  Scheitel-Cono-Ganei  ergeben  sich  Ahnliehe 
Beziehungen  wie  fttr  die  geraden.  Man  erbfilt  hierbei  nur  einen 
eigentlichen  Cono-Guneus,  da  es  nur  eine  im  Endlichen  liegeade 
Scheiteltangente  der  Parabel  giebt.  Wir  können  diesen  mithin  knn 
den  parabolischen  Scheitel-Gono-Cnnens  neanen.  Der 
andere  wird  ebenso  wie  der  betreffende'  gerade  im  Allgcmeinett  ein 
parabolischer  Gylinder«  mit  dem  einzigen  Unterschiede,  dass  hier  die 
Projectionen  der  Ei^ngenden  auf  die  Leitparabelebene  anf  der  in 
Endlichen  liegenden  Axe  der  Parabel  senkrecht  stehen,  wAhrend  sie 
bei  den  anderen  dieser  Parabelaxe  parallel  waren. 

Bemerkt  sei  schliesslich  noch,  daSs  die  Keigelschnitte  in  spedelled 
Fällen  zu  geraden  Linien  degenerifen  können.  Alsdann  erhält  m&n 
im  Allgemeinen  die  ans  der  aofalytischeii  Geometrie  bekannten  hJpe^ 
bolischen  Paraboloide. 

Wir  haben  demnach  folgende  8  Flächen  zu  betrachten: 

1)  den  geraden  elliptischen  Gono-Gunens 

2)  den  geteilten  \ 

3)  den  einfachen  ]  «^"^^^'^  byperbolischen  Cono-Cnneus 

4)  den  geraden  parabolischen  Gono-Gunens 

5)  den  elliptischen  Scheitel-Cono-Guneus 

6)  den  einfachen} 

7)  den  geteilten  )  hyperboKschen  Scheitel-Cono-Cneus 

8)  den  parabolischen  Scheitel-Gono-Cnnens. 


§  4. 

BoTor  wir  anf  die  Betrachtung  der  definirten  Gono-Conei  eii- 
gehen,  wollen  wir  allgemein  die  Gleichung  der  Flächen  ableiten,  deren 
Leitlinie  durch  die  Gleichxtngen: 

dargestellt  wird.  Die  Erzeugenden  sollen  der  y^Ebene  parallel  sein 
und  durch  die  X-Axe  gehen.  Dieselben  mttssen  daher  den  GieiclnD* 
gen  genügen: 


Pabst:  Die  ConO'Cunei,  285 


(2)  {'  =  " 


z 


hierbei  sind  u  und  v  beliebige  Grössen,  welche  nor  der  Bedingung 
unterworfen  sind,  dass  die  Erzeugenden  die  Leitlinie  (1)  schneiden, 
welche  Bedingung  darin  besteht,  dass  die  Coordinaten  rc,  y^  z  den 
Gieichnngen  (1)  genügen.    Für  dieselbe  ergiebt  sich  demnach: 

(3)  c.u^fiv) 

£Iijninirt  man  nun  u  und  v  aus  den  Gleichungen  (2)  und  (3),  so  er- 
hält man  als  Gleichung  der  gesuchten  geradlinigen  Fläche: 

W  cy'^z,f{x) 

Diese  Gleichung  lässt  erkennen,  dass  für  den  Fall,  wo  die  Leitlinie 
der  Gleichung: 

(5)  y«  «/(«)  =  ^-4-  i4,a:«-»  + . . .  -f  .4« 

j^Dügt,  wobei  A^^  A^^,..Am  Gonstante  bedeuten,  die  Fläche  vom 
(m-j-n) tcn  Grade  ist    Hat  die  Leitlinie  speciell  die  Gleichung: 

(6)  y  =/(«)  =  ^•»+^,a:~-l  +  ...  +  il«, 

so  ist  die  Torgelegte  Fläche  vom  (m-{-I)ten  Grade. 


§5. 

An  die  Gleichung  (4)  wollen  wir  einige  allgemeine  Bemerkungen 
knüpfen.  Schneiden  wir  zu  diesem  Zwecke  die  vorgelegte  Fläche  (4) 
darch  die  zur  ZF-£bene  parallele  Ebene: 

so  ergiebt  sich  für  die  Projection  der  Durchschnittscurve  dieser  Ebene 
mit  der  Fläche  (4)  auf  die  zr-Ebene: 

(7)  y  -  J/W 

Ans  der  Yergleichung  von  (1)  und  (7)  resultirt: 

Die  zur  XF-Ebene  parallelen  Ebenen  schneiden  aus  der  vor- 
gelegten Fläche  (4)  Curven,  deren  Ordinaten  für  dasselbe  x  propor- 
tional dem  Abstände  der  schneidenden  Ebene  von  der  ZF-Ebene 
wachsen.  Für  «  =  A  =r  o  degenerirt  die  ausgeschnittene  Curve  zur 
X-Achse,  für  «  »  A  «  00  besteht  dieselbe  aus  so  vielen  zur  F-Achse 
parallelen  Geraden,  in  wie  viel  Punkten  die  Leitlinie  der  Fläche  (4) 
die  XZ-Ebene  schneidet 


286  Pabsi:  Die  Cono-Cunei. 

Ferner  erhält  man  für  die  Projoction  der  Dorchschnittsconre  der 

Ebene 

y  =  A? 

mit  der  vorgelegten  Fläche  auf  die  JT^-Ebene: 

(8)  ck  =  z,f(x) 

Daraus  geht  hervor,  dass  jede  zur  X^-£bene  parallele  Ebene  die 
vorgelegte  Fläche  (4)  im  Allgemeinen  in  einer  Carve  schneidet,  deren 
Grad  gleich  dem  Grade  der  Fläche  ist 

Um  diese  Curve  genauer  zu  untersuchen,  bilden  wir: 

€h  ckf\x) 

^       ch\f(x).r(x)--[f'(x)y] 

Hieraus  ergeben  sich  die  Kelationen: 

Die  Tangenten  in  denjenigen  Punkten  der  Durchschnitt8car?e  (8), 
welche  Punkten  der  Leitlinie  der  betreffenden  Fläche  entsprechen, 
in  denen  die  Tangenten  an  die  Leitlinie  der  XZ-Ebene  paralld  ist, 
sind  der  X-Axe  parallel. 

Die  Durchschnittscurve  (8)  nähert  sich  asymptotisch  den  anf  der 
X-Axe  senkrecht  stehenden  Ebenen,  welche  durch  die  Durchschoitts- 
punkte  der  Leitlinie  mit  der  XZ-Ebeue  gehen. 

Ist  A;  >>  0,  so  ist  die  Durchschnittscurve  convex  oder  concav  nsch 
der  X'Axe  hin,  je  nachdem: 

f(x).r(x)-^lf'(x)y<o 

ist.    Wendepunkte  kann  diese  Curve  nur  besitzen,  wenn  die  Gieichaog: 

/(«).na^)-[/-'(a:)?  =  0 

reelle  Werte  für  x  liefert 

Schliesslich  folgt  für  die  Projection  der  Dnrchschnittacarve  dfr 
Ebene 

mit  der  Fläche  (4)  auf  die  TZ-Ebene: 

(9)  cy  =  z.m 

d.  h.  die  zur  Directorebene  parallelen  Ebenen  schneiden  ans  der  voi^ 
gelegten  Fläche  die  Erzeugenden  derselben  aus. 


Pabsi:  Die  Cono-Cvnei,  287 

§6. 

Gehen  wir  nun  zur  Tangentialebene  im  Punkte  xyz  der 
Fläche  (4)  über,  so  erhalten  wir  als  Gleichung  derselben,  wenn  f ,  17,  t 
die  laufenden  Goordinaten  bedeuten: 

oder  mit  Beracksichtigung  der  Gleichung  (4): 
(10)  2/'{x) .  5  -  ci?  +nx) .  t-xzf'{x)  ==  0 

Für  2!  »  0  geht  dieselbe  über  in: 

Dasselbe  Resultat  ergiebt  sich  für  f'{x)  «  0.  Daraus  fliesst  der  SatZ: 
Die  Tangentialebenen  in  denjenigen  Punkten  der  Fläche  (4),  welche 
auf  der  singulären  Kante  liegen,  und  in  denjenigen,  welche  Punkten 
der  Leitlinie  entsprechen,  in  denen  die  Tangente  an  die  Leitlinie  der 
JTZ-Ebene  parallel  ist,  gehen  durch  die  singulare  Kante. 

Ausserdem  resultirt  hieraus,  dass  jede  durch  die  singulare  Kante 
gehende  Ebene  im  Allgemeinen  eine  Tangentialebene  der  vorgelegten 
Fläche  ist. 

Setzt  man  f{x)  »  0,  so  erhält  man  aus  der  Gleichung  (10): 

zf'(x) .  §  —  ci?  —  xzf\x)  «  0 

Die  Tangentialebenen  in  den  Durchschnittspunkten  der  Fläche  (4) 
mit  der  ^^-Ebene  stehen  demnach  auf  der  JTF-Ebene  senkrecht  Ist 
zugleich  /■'(«)  =  0,  so  resultirt:  i?  =0.  D.  h.  die  -XZ-Ebene  berührt 
die  vorgelegte  geradlinige  Fläche  (4)  in  allen  Punkten  derjenigen 
Erzeugenden,  welche  durch  die  Durchschnittspunkte  der  Leitlinie  mit 
der  XZ-Ebene  gehen,  in  denen  die  Leitlinie  die  XZ^Ebene  berührt. 

Ist  dagegen  zugleich  /(«)  =  0  und  /'(«)  =»  oo,  so  geht  die 
Gleichung  der  Tangentialebene  über  in: 

Dasselbe  Resultat  erhalten  wir  aus  der  Gleichung  (10)  für  f'(x)  »  od, 
gleichgültig  welchen  Wert  f(x)  annimmt,  vorausgesetzt  dass  es  nicht 
selbst  nneudlich  gross  wird.  Daraus  fliesst  der  Satz:  die  Tangential- 
ebenen in  denjenigen  Punkten  der  Fläche  (4),  welche  Punkten  ihrer 
Leitlinie  entsprechen,  in  denen  die  Tangente  an  die  Leitlinie  auf  der 
X^Ebene  senkrecht  steht,  sind  der  Directorebene  parallel. 

Betrachten  wir  noch  die  Durchschnittscurve  der  Fläche  (4)  mit 
der  Tangentialebene  (10),  so  ergiebt  sich  für  die  Projection  derselben 
auf  die  X^Ebene : 


288  Pabat:  Die  Cono-Cuneu 

(11)  »/'W(g-a:)-[/(Ö~/(a:)]t«0 

Angenommen,  f(x)  genüge  der  Gleichung  (6),  dann  ist  fi^i—fix) 
durch  (f — x)  ohne  Rest  teilbar.  Die  Grleichnng  (11)  zerftllt  demnBeh 
in  die  beiden  Gleichungen: 

Daraus  folgt,  dass  die  Tangentialebene  aus  der  Fl&che  (4)  (m-|-l)teQ 
Grades  im  Allgemeinen  die  durch  ihren  Berührungspunkt  gehende 
Erzeugende  der  Fläch  j  und  eine  Curve  mten  Grades  ausschneidet 
Aendert  sich  «,  während  x  constant  bleibt,  so  ändert  sich  damit  die 
Curve  77»tßu  Grades;  d.  h.  gleitet  der  Berührungspunkt  der  Tangeotial- 
ebene  auf  der  durch  ihn  gehenden  erzeugenden  Geraden  der  Fläche 
fort,  so  ändert  sich  die  Tangentialebene.  Daraus  resultirt,  dass  die 
Tangentialebene  die  vorgelegte  geradlinige  Fläche  im  AlIgemeineQ  nidit 
längs  der  ganzen,  durch  ihren  Berührungspunkt  gehenden  Erzeagenden 
derselben  berührt 

Ausnahmen  von  diesem  Satze  finden  für  f'(x)  ==  0  und  ftr 
f'(x)  =  00  statt;  d.  h.  die  Tangentialebene  in  denjenigen  Punkteo 
der  Fläche  (4),  welche  Punkten  ihrer  Leitlinie  entsprechen,  in  denen 
die  Tangente  an  die  Leitlinie  der  XZ^Ebene  parallel  ist  oder  aaf  ihr 
senkrecht  steht,  berührt  die  Fläche  längs  der  ganzen  durch  ihren 
Berührungspunkt  gehenden  Erzeugenden  derselben. 

Ist/'(a;)  »  0,  so  schneidet  die  Tangentialebene  ans  der  Flldie(4) 
ausser  der  erzeugenden  Geraden  noch  die  X-Axe  ans. 

Hat  die  Leitlinie  der  vorgelegten  Fläche  die  Gleichung  (5),  so 
ergiebt  sich  für  die  Projection  der  Durchschnittscurve  der  Tangential- 
ebene mit  der  Fläche  auf  die  XZ-Ehene: 

(13) 
n~  [f  (oj)]«-!  ^^^^^^  i--^  I/'(x)>  (S  -  «)-i 

...  -  (^)  n-l  zr(x)  ifix)^-'  J»-'  -  0 
Auch  fOr  diesen  Fall  gelten  mithin  die  eben  abgeleiteten  Sfttia 


Pahst:  Die  Cono-Qtnei.  289 

§  7. 

Analoge  Erwägungen  wie  im  vorigen  §  lassen  sich  für  die  Nor- 
male im  Pankte  xyz  der  vorgelegten  geradlinigen  Fl&che  (4)  durch- 
iQliren.  Die  Gleichungen  derselben  sind,  wenn  arj,  ^i,  «^  die  laufenden 
Coordinaten  bedeuten: 


(14) 


oft — *       Vi  —  y      gj — « 


-«/'(x)  c  — /(«) 


Eliminiren  wir  y^  und  2,  aus  diesen  Gleichungen  und  der  Glei- 
chung: e^j  «  ^/(^))  so  erhalten  wir  fttr  die  Durchschnittspunkte 
der  Normalen  mit  der  Fl&che  (4): 

Daraus  folgt:  Wenn  f(x)  der  Gleichung  (6)  genügt,  so  durchsticht 
die  Normale  die  Fläche  (4)  (97i-|-l)ten  Grades  im  Allgemeinen  in 
(wi-f-l)  Punkten. 

Nach  dem  analogen  Verfahren  wir  bei  der  Tangentialebene  er- 
geben sich  folgende  Sätze: 

1)  Die  Normale  in  den  Durchschnittspunkten  der  Fläche  (4)  mit 
der  XZ-Ebene  ist  der  ZF-Ebene  parallel  und  durchsticht  die  Fläche 
im  Allgemeinen  in  m  Punkten.  Ist  die  Tangentialebene  in  diesen 
Punkten  der  Directorebene  parallel,  so  giebt  es  m  Durchschnitts- 
punkte der  Normale  mit  der  Fläche,  welche  den  m  Durchschnitts- 
punkten der  Leitlinie  mit  der  ZZ-Ebene  entsprechen. 

2)  Die  Normale  in  deiyenigen  Punkten  der  Fläche  (4),  welche 
Punkten  ihrer  Leitlinie  entsprechen,  in  denen  die  Tangente  an  die 
Leitlinie  der  AZ-Ebene  parallel  ist,  ist  Jer  Directorebene  parallel. 

3)  Die  Normale  in  denjenigen  Punkten  der  Fläche  (4),  welche 
Punkten  ihrer  Leitlinie  entsprccheu,  in  denen  die  Tangente  an  die 
Leitlinie  auf  der  A'Z-Ebone  senkrecht  steht,  ist  der  singulären  Kante 
parallel  und  trifft  die  Fläche  im  Allgemeinen  in  m  Punkten. 

Die  analogen  Resultate  ergeben  sich,  wenn  die  Leitlinie  der 
voi^gelegten  geradlinigen  Fläche  (4)  der  Gleichung  (5)  genügt. 


§8. 

Eine  andere  Eigenschaft  der  vorgelegten  Fläche  (4)  ergiebt  sich, 
wie  folgt.  Schneiden  wir  diese  Fläche  durch  die  zur  Directorebene 
parallelen  Ebenen  x  ^  x^^  x  ^  x^  und  durch  die  zur  JTF-Ebenc  pa- 
rallele Ebene  j  »-  «09  so  erhalten  wir  für  das  Yo  1  u  m  e  n  Fj  welches 

▲ich.  d.  Katb.  IL  Fhys.    2.  Beihe,  TeU  U.  19 


290  Pahtt:  DU  ConcCufuL 

▼on  diesen  Ebenen,  der  ^LlZ-Ebene  nnd  dem  zugehörigen  Teil  der 
Fläche  begrenzt  wird: 

r— y  fydxd»  «  -  rf(x).dx  ßzdM 


^  =  *t 

,    ,    ^     €& 


Wir  wissen  aber,  dass  die  zur  Zr-Ebene  parallele  Ebene  2  »  ^ 
die  vorgelegte  geradlinige  Fläche  in  der  Cnrve:  ey  ^  z^fix)  schneidet 
Projiciren  wir  diese  Cnrve  auf  die  iTF-Ebene ,  so  resnltirt  für  das 
Yolnmen  F'  zwischen  den  Ebenen  2;<»iei,  x^=x^  2»0,i«se 
der  X^Ebene  und  dem  zugehörigen  Teil  der  Gylinderfläche: 

Ans  den  beiden  erhaltenen  Resultaten  folgt: 

(15)  T:  F'  ==  1 : 2 

Die  vorgelegte  Fläche  hat  demnach  die  Eigenschaft,  den  zugehdrigen 
Cylinder  zu  halbiren. 

Bisher   haben  wir  eine  bestimmte  Fläche  angenommen.    Wir 

wollen  nun  die  Flächenschaar  in  Betracht  ziehen ,  welche  dnrch  die 

Gleichung : 

J^=  cy — z.q>(x^a)  =*  0 

dargestellt  wird,  wenn  a  ein  variabler  Parameter  ist  Fftr  die  ein- 
hflllende  Fläche  dieser  Flächenschaar  ergeben  sich  die  Be- 
dingungsgleichungen : 

^ — ^8;7  =  ^'  i-^ 

Daraus  geht  hervor,  dass  die  einhüllende  Fläche  der  vorgelegten 
Flächenschaar  eine  geradlinige  Fläche  derselben  Art  wie  die  Fläche  (4) 
ist;  dass  nur  dann  eine  wirkliche  einhüllende  Fläche  dieser  Schur 
existirt,  wenn  die  Leitlinien  der  einzelnen  Flächen  dieser  Schaar  eise 
Enveloppe  besitzen.  Diese  Enveloppe  ist  die  Leitlinie  der  einhfilleo- 
den  Fläche  der  vorgelegten  Flächenschaar. 


PahMi:  Die  Cono-Cuneu  291 

n.  Absehnitt. 
Der  gerade  elliptische  Gono-Canens. 

9. 


Nach  diesen  aUgemeinen  Erörtemngen  gehen  wir  zu  onserer 
eigentlichen  Aufgabe  Aber,  indem  wir  zunächst  den  geraden  ellipti- 
schen Cono-Cnneos  in  Betracht  ziehen.  Hierbei  nehmen  wir  ein 
rechtwinkliges  ITF^-Coordinatensystem  an,  dessen  X-Axe  die  singn» 
läre  Kante  und  dessen  KZ^Ebene  die  Directorebene  sein  mag.  Sind 
nun  die  Gleichungen  der  Leitellipse: 

(16)  {    ä«+P"^ 


so  ergiebt  sich  als  Gleichung  des  geraden  elliptischen  Cono-Cuneus: 

cV  —  -,«*(a«-««) 

oder,  wenn  wir  c*  ^^''ijT  setzen: 

(17)  c«y«  =  »«(a«— ««) 

Aus  dieser  Gleichung  geht  zunächst  hervor,  dass  die  vorgelegte 
Fläche  vom  vierten  Grade  ist  Ferner  folgt  daraus,  dass  der  abso- 
lute Wert  von  x  nicht  grösser  als  a  sein  darf,  weil  sonst  y  oder  z 
imaginär  wird.  Die  Fläche  (17)  erstreckt  sich  demnach  von  «»— a 
bis  a?  —  -|-  a. 

Für  die  Projection  der  Durchschnittscurve  dieser  Fläche  mit  der 
Ebene  a  »  &  auf  die  XF-Ebene  ergiebt  sich : 

nsi\  «*  ,   c«y» 

Diese  Durchschnittscurve  ist  daher  im  Allgemeinen  eine  Ellipse  mit 

oh 
den  Halbaxen  a  und  — »  deren  Mittelpunkt  auf  der  Z-Axe  liegt,  und 

deren  Axen  bezflglich  in  die  Ebenen  der  xz  und  der  ys  fallen.  Für 
A  »  0  geht  die  ausgeschnittene  Ellipse  in  die  singulare  Kante ,  für 
A  «  tf  in  einen  Kreis  mit  dem  Radius  a  über.  Die  Axen  in  der 
XZ-Ehene  sind  fOr  alle  diese  ausgeschnittenen  Ellipsen  gleich  2a,  die 
Axen  in  der  KZ^Ebene  dagegen  wachsen  proportional  dem  Abstände 
der  schneidenden  Ebene  von  der  singulären  Kante. 

19* 


292  Pabti:  Die  Cono-Cuim. 

Der  elliptische  Cono-Cnneus  kann  daher  auch  so  entstanden  ge- 
dacht werden,  dass  sich  eine  Ellipse,  deren  eine  Aue  constant,  deren 
andere  variabel  ist,  parallel  mit  sich  selbst  bewegt,  während  ihr 
Mittelpunkt  eine  Gerade  senkrecht  auf  der  Ellipsencbene  beschreibt, 
und  die  variable  Axe  proportional  dem  Abstände  der  Ellipsenebenc 
von  einer  gegebenen  Ebene  wächst. 

Zunächst  folgt  hieraus,  dass  der  Cono-Cuncus  von  Wallis  mit 
einem  Kreise  als  Lieitlinie  identisch  mit  unserem  geraden  elliptischen 
Cono-Guneus  ist,  denn  auch  hierbei  wird  ein  Kreis  and  durch  eine 
dem  Kreise  parallele  Ebene  im  Allgemeinen  eine  Ellipse  ausgeschnit- 
ten. Femer  ist  ersichtlich,  dass  es  gleichgültig  ist,  welcher  von 
beiden  Axen  der  Leitellipse  die  singulare  Kante  parallel  geht;  denn 

et 
ist  a  >>  5,  so  ist  A  »  T  c>><;,  wenn  A  und  c  die  Entfernungen  beztlglicfa 

des  Kreisschnittes  und  der  Leitellipse  von  der  singulären  Kante  be- 
zeichnen-, d.  h.  ist  die  singulare  Kante  der  grösseren  Axe  der  Leit- 
oUipse  parallel,  so  liegt  der  Kreis  ausserhalb  der  Leitellipse  und  der 

singulären  Kante.    Ist  dagegen  a  <<  &,  so  ist  A  =  t  c  <^  e,  d  h.  ist 

die  singulare  Kante  der  kleineren  Axe  der  Leitellipse  parallel,  so  liegt 
der  Kreis  zwischen  dieser  Kante  und  der  Leitellipse.  Im  Wesentlichen 
wird  dadurch  nichts  geändert,  womit  wir  die  Behauptung  in  der  Ein- 
leitung bewiesen  haben. 

Ferner  erhält  man  für  die  Projection  der  Durchschnittscurre  der 
Ebene  y  ^  k  mit  dem  geraden  elliptischen  Cono-Cuneus  (17)  auf  die 
JTZ-Ebone: 

(19)  ««  (a«  -  a:«)  «  cU-« 

d.  i.  im  Allgemeinen  eine  Curve  vierten  Grades,  welche  die  Z*Axe 

ek 
in  den  Punkten  «  =*  0,  ä  =  H schneidet     Sie  ist  in  allen  ihren 

Punkten  convex  nach  der  X-Axe  hin  und  besteht  aus  zwei  ins  un- 
endliche sich  erstreckenden  Geraden,  welche  symmetrisch  zu  den 
Axen  der  x  und  der  z  liegen  und  sich  asymptotisch  den  beiden  Ge- 
raden a;  «»  ±  a  nähern.  In  ihren  Durchschnittspunkten  mit  der 
Z-Axe  sind  die  Tangenten  an  die  Curve  der  X-Axc  parallel.  Für 
X;  »  0  geht  diese  Curve  über  in  die  JT-Axo  von  —  a  bis  -fa  und  in 
die  beiden  Geraden  ä  =  ±  a. 

Schneiden  wir  schliesslich  die  vorgelegte  geradlinige  Fläche  (IT) 
durch  die  Ebene  o;  =  Z,  so  ergiebt  sich  für  die  Projection  der  Dorck- 
schnittscurve  dieser  Ebene  mit  der  Fläche  auf  die  l'Z^Ebene: 


Pabat:  Die  Cono^Cwui.  293 


(20)  2  «  ± 


Daraus  folgt,  dass  jede  zur  FZ-Ebene  parallele  Ebene,  deren  Abstand 
von  der  Lirectorebene  absolute  kleiner  als  a  ist,  den  elliptischen 
Cono-Cuneus  (17)  in  zwei  Geraden  schneidet,  welche  durch  die  X- 
Axe  gehen  und  mit  der  JEZ-Ebene  gleiche  Winkel  bilden.  Für 
l^  ±_a  fallen  diese  beiden  Geraden  in  eine  einzige  zusammen, 
welche  in  der  ZZ-Ebene  liegt  Alle  diese  ausgeschnittenen  Geraden 
sind  die  Erzeugenden  des  geraden  elliptischen  Cono-Cuneus. 


§  10. 

Verweilen  wir  noch  etwas  bei  den  im  vorigen  §  erhaltenen  Re- 
sultaten. Aus  der  Gleichung  (18)  geht  hervor,  dass  durch  Ebenen 
parallel  der  -Yy-Ebene  zwischen  A  «—  —  c  und  -ä  =■  -{-  c  aus  dem 
geraden  elliptischen  Cono-Cuneus  (17)  Ellipsen  ausgeschnitten  wer- 
den, deren  grosse  Axen  in  der  JTZ-Ebcne,  deren  kleine  Axen  in  der 
FZ-Ebene  liegen.  Diejenigen  Ebenen  parallel  der  AT-Ebene  dagegen 
zwischen  ä=»  —  od  bisÄ  =  —  c  und  zwischen  ä  «  +  c  bis  A  «  +  ^o, 
schneiden  aus  der  vorgelegten  Fläche  Ellipsen  aus,  deren  grosse 
Axen  in  der  FZ-Ebene  und  deren  kleine  Axen  in  der  JTZ-Ebene 
liegen. 

Beachten  wir  die  Brennpunkte  dieser  Ellipsen,  so  wissen  wir, 
dass  diejenigen  der  ersteren  in  der  ^Z-Ebene  liegen.  Für  den  Ab- 
stand  eines   solchen   Brennpunktes  von    der   Z-Axe   ergiebt   sich: 

y  a^ 12~'    ^^  erhält  demnach  als  Gleichung  des  geometrischen 

Ortes  dieser  Brennpunkte : 

(21)  «-i+?=-l 

d.  h.  in  Worten :  Der  geometrische  Ort  der  Brennpunkte  aller  Ellipsen 
welche  durch  Ebenen  parallel  der  XF-Ebene  zwischen  z^  —  c  und 
3  »  ^  c  aus  dem  geraden  elliptischen  Cono-Cuneus  (17)  ausgeschnitten 
werden,  ist  eine  Ellipse  in  der  J^Z^Ebene  mit  den  Halbaxen  a  und 
(T,  deren  Mittelpunkt  der  Coordinatenanfang  ist,  und  deren  Axen  be- 
züglich in  die  Axen  der  x  und  der  z  fallen. 

Ist  0  <^  a,  so  liegt  die  grosse  Axe  dieser  Ellipse  in  der  X-Axe, 
die  kleine  in  der  Z-Axe;  ist  c  »  a,  so  ist  der  geometrische  Ort  ein 
Kreis  mit  dem  Radius  o,  und  ist  c  >•  a,  so  liegt  die  grosse  Axe  des 
geometrischen  Ortes  in  der  Z-Axe,  die  kleine  in  der  JT-Axe* 


294  FabMt:  Die  Cono-CuneL 

Dnrch  Yorgleichung  von  (18)  and  (21)  ergiebt  sich,  wenn  man 

ah 

—  «=  c 

c 

setzt: 

a 

Daran»  folgt:  Diejenige  znr  JT F-£bene  parallele  Ebene ,  deren  Ab- 
stand von  der  singulftren  Kante  die  vierte  Proportionale  zn  a  nnd  <; 
ist,  schneidet  aus  dem  geraden  elliptischen  Cono-Gunens  (17)  eine 
Ellipse  ans,  welche  gleich  dem  geometrischen  Ort  der  Brennpimkte 
aller  Ellipsen  ist,  die  durch  Ebenen  parallel  der  JTF-Ebene  ans  der 
vorgelegten  Fläche  ausgeschnitten  werden. 

Femer  folgt  aus  dem  Obigen,  dass  die  Brennpunkte  deijeugea 
Ellipsen  des  geraden  elliptischen  Oono-Cunens  (17),  deren  Abstand 
von  der  singulären  Kante  absolute  grösser  als  e  ist,  in  d^  FZ-Ebene 
liegen.  Als  Gleichung  des  geometrischen  Ortes  dieser  Brennponkte 
erhält  man: 

(22)  ?-&-!• 

Mithin  resultirt  der  Satz:  Der  geometrische  Ort  der  Brennpnnkte 
derjenigen  Ellipsen  des  geraden  elliptischen  Cono-Cunens  (17),  deren 
Abstand  von  der  singulären  Kante  absolute  gleich  oder  grösser  als  e 
ist,  ist  eine  Hyperbel  in  der  FZ-Ebene  mit  dem  Coordinatenanlang 
als  Mittelpunkt,  deren  reelle  Axe  2c  in  der  Z-Axe,  nnd  deren  ima- 
ginäre Axe  2a  in  der  F-Axe  liegt.  Ist  e  ^  a^  so  wird  dieser  geome- 
trische Ort  eine  gleichseitige  Hyperbel  mit  dem  Parameter  2a. 

Betrachtet  man  ferner  die  beiden  Ellipsen  des  geraden  elliptischen 
Cono-Cuneus  (17)  in  den  Entfernungen  h^  und  h^  von  der  singulftren 
Kante,  so  ergiebt   sich,  wenn  A,  •<o  ist,  für  das  Yerhäitniss  der 

Axen  der  zu  h^  zugehörigen  Ellipse:  7- ;  andererseits  erhält  man, 
wenn  h^'^  e  ist,  als  Axenverhältniss  der  zu  Ag  zugehörigen  Ellipee 
— .    Sollen  diese  beiden  Verhältnisse  einander  gleich  sein,  so  folgt: 

(23)  Äi.A,--c«. 

Daraus  fliesst  der  Satz:  Das  Product  der  Entfernungen  der  bei- 
den Ellipsen  des  geraden  elliptischen  Cono-Cuneus  von  der  singulären 
Kante,  welche  dasselbe  Axenverhältniss  haben  und  avf  derselben 
Seite  der  singulären  Kante  liegen ,  ist  gleich  dem  Quadrat  des  Ab* 
Standes  des  Kreises  dieses  Cono-Cuneus  von  seiner  singolären  Xante. 


Fabtti  Die  Cono-CunBi,  295 

Oder  m.  a.  W.  Die  Entfernang  deijenigen  Ellipse  des  geraden 
elliptischen  Gono-Cauens  von  der  singnlären  Kante,  deren  Axen  in 
demselben  Verhältniss  zn  einander  stehen  wie  die  einer  gegebenen 
Ellipse,  nnd  welche  mit  der  gegebenen  anf  derselben  Seite  der  singn- 
lären Kante  liegt,  ist  die  vierte  Proportionale  zn  dem  Abstände  der 
gegebenen  Ellipse  nnd  dem  Abstände  des  Kreises  des  geraden  ellipti» 
sehen  Cono-Cuneus  von  seiner  singnlären  Kante. 

Bezeichnen  A'  und  h"  die  Abstände  der  zn  A^  nnd  h^  zugehörigen 
Ellipsen  von  dem  Kreise  des  geraden  elliptischen  Cono-Cuneus  (17), 
d.  h.  ist 

Äj  —  (?  —  A'     und    Ä,  =  c+*"i 

so  ergiebt  sich  nach  der  Formel  (23): 

Demnach  kann  man  die  vorige  Relation  auch  so  deuten:  Der 
Abstand  deijenigen  Ellipse  des  gentden  elliptischen  Cuno-Cuneus  von 
dem  Kreisschnitte  desselben,  welche  dasselbe  Axenverhältniss  hat  wie 
eine  gegebene  Ellipse  derselben  Fläche  und  mit  der  gegebenen  auf 
derselben  Seite  der  singnlären  Kante  liegt,  ist  gleich  der  vierten 
Proportionale  zum  Abstände  der  gegebenen  Ellipse,  dem  des  Kreises 
von  der  singulären  Kante  und  der  Entfernung  der  gegebenen  Ellipse 
vom  Kreise. 

Femer  folgt  daraus:  h!<^h'\  d.  h.  in  Worten:  Liegt  die  ge- 
gebene Ellipse  zwischen  der  singulären  Kante  und  dem  Kreise  des 
geraden  elliptischen  Cono-Cuneus,  so  ist  diejenige  Ellipse,  welche  mit 
ihr  dasselbe  Axenverhältniss  hat  und  auf  derselben  Seite  der  singu- 
lären Kante  liegt,  weiter  von  dem  Kreise  des  Cono-Cuneus  entfernt 
als  die  gegebene,  und  umgekehrt,  liegt  die  gegebene  Ellipse  jenseits 
des  Kreises  von  der  singulären  Kante,  so  ist  die  gesuchte  EUipse 
näher  an  dem  Kreise  als  die  gegebene. 


§  11. 

Wir  wollen  noch  einige  schiefe  Schnitte  des  geradeü  elliptischen 
Cono-Cuneus  (17)  analjrtisch  untersuchen,  welche  sich  bei  Widlis  rein 
geometiisch  behandelt  finden. 

Zunächst  schneiden  wir  ihn  durch  die  auf  der  ZF-Ebene  senk- 
rechte Ebene,  welche  mit  der  X-Axe  den  Winkel  ip  bildet  und  von 
der  r-Axe  das  Stück  i  abschneidet. 


296  Pah$ii  Die  ConcCuneL 

Um  die  entsprechende  Dürchsohnittscarve  zu  ontersuchen)  fahrai 
wir  die  Goordinatentransformation  ein: 

y  «  Ä+flc'sinsp+y'co«^ 

Setzen  wir  dann  y'  «  0,  so  ei^giebt  sich  als  Oleichiing  der  d^nirteo 
Dorchschnittscnnre : 

(24)  c«(«-f  »'8in9>)«  «  «'*(a«— «'«C08»9>) 

Daraus  folgt: 

dat' c(fc^C08*g)  +  o*  sin  y) 

d^  ""  ^      (a«— a;'*COsV}' 

dV ,   c  co8*y  {2  fe' '  cos'y  -f"  3a^^sin  y  -|-  <»^^ } 

€&'«""  ^  (a«--a;'«C08H>)- 

Bei  der  n&heren  Discossion  haben  wir  3  FflUe  zn  nntarscbeidea: 

1)  dco8ec9'<  asecy    oder    8<iatgq>, 

Alsdann  besteht  die  Dürchsohnittscarve  viei^en  Grades  ans  zwei 
symmetrischen  Zweigen,  welche  sich  im  Pankte  x'»  —  d  cosecy,  a' »  0 
schneiden.    Die  beiden  Zweige  schneiden  die  s'-Axe  in  den  Punkten 

X*  =0y  «'  =  ±  —  und  erstrecken  sich  für  »'=  ±asecy  nach  bei- 
den Seiten  der  Z'-Axe  ins  Unendliche.  Sie  nähern  sich  asymptotisch 
den  beiden  Geraden  x'  =  +  asecy^.  Diese  Curve  besitzt  zwei  Wende- 
punkte, welche  zur  Absdsse: 

*'  "  4ico%^  '""^'^ ^^  9+ cos  cp  VSa'tgV— 8*1 
gehören.    Ein  specieller  Fall  findet  für  d  -»  0  statt. 

Alsdann  schneiden  sich  die  beiden  Zweige  im  Coordinatenanftuig 
und  liegen  sowohl  zur  JT'-Axe  als  zur  Z'-Axe  symmetrisch. 

2)  d  »  atg9. 

Dadurch  geht  die  Gleichung  (24)  ttber  in: 

c*(a-j-«'c0S9)tgV  —  «''(a— «'C0S9) 

Die  Durchschnittscurve  ist  mithin  alsdann  vom  dritten  Grade 
Sie  liegt  symmetrisch  zur  X'-Axe  und  schneidet  dieselbe  im  Pnnkte 
p5'  xa  —  asec7,  z'  «  0.    Diese  Curve  erstreckt  sich  sowohl  auf  der 


Pah 8t:  Die  Cono-Cunei,  297 

positiTen  als  auf  der  negativen  Seite  der  Z'-Axe  für  x'^asectp 
ins  Unendliche  und  hat  die  Asymp  tote  x'  =  ascc^.  In  ihrem  Durch- 
schnittspankte  mit  der  ^'-Axe  steht  die  Tangente  an  die  Curve  auf 
dieser  Axe  senkrecht.  Ausserdem  besitzt  diese  Curve  zwei  Wende- 
punkte, welche  zur  Abscissc  a;'  »  —  ^a  sec  9  gehören. 

3)    *>atg9. 

In  diesem  Falle  besteht  die  Dnrchschnittscurve  vierten  Grades 
ans  zwei  Zweigen,  welche  symmetrisch  zur  JT'-Axe  liegen,  dieselbe 
aber  nicht  schneiden.    Von  der  Z'-Axe  schneiden  sie  bezüglich  die 

Stücke  ±  —  ab.    Für  »'  =  —  ? — 0^  ist  die  Tangente  an  dieselbe 

der  X'-Axo  parallel.  Ausserdem  besitzt  diese  Curve  die  beiden 
Asymptoten  x'  =  iasecy. 

Auf  analoge  Weise  crgiebt  sich  als  Gleichung  der  Durchschnitts- 
carve  des  geraden  elliptischen  Gouo-Cuneus  (17)  mit  der  Ebene  senk- 
recht auf  der  x;s-£bene,  welche  mit  der  ^-Axe  den  Winkel  t^  bildet 
und  von  der  Z-Axe  das  Stück  e  abschneidet: 

(25)  c^jf'«  «  (e+a;'sin9)*(a*-«'*cosH*) 

d.  i.  eiuo  Curve  vierten  Grades,  welche  symmetrisch  zur  X'-Axe 
liegt       Auch    hierbei    haben    wir   die    3    Fälle   zu    unterscheiden 

< 

j  »atg^i.    Diese  Curve  ist  in  allen  Fällen  geschlossen  und  besitzt, 

> 

A'cnn  «  <C  ^tg  V;  ist,  einen  Doppelpunkt  Für  «  =  0  erhält  man  eine 

Curve  vierten  Grades,  welche  eine*  ähnliche  Gestalt  wie  die  Lemnis- 
kate  hat. 

Schneiden  wir  schliesslich  den  geraden  elliptischen  Cono-Cuneus 
(17)  durch  eine  Ebene  senkrecht  auf  der  rZ-Ebene,  welche  mit  der 
y-Axe  den  Winkel  ^  bildet  und  von  der  Z-Axe  das  Stück  f  ab- 
schneidet, so  erhält  man  auf  die  oben  ausgeführte  Weise  als  Glei- 
chung der  betreffenden  Durchschnittscurve : 

(26)  <?«y'«  C08»i^  =  (/-{-  y'sin  ^)*  (a*  -  x'») 
d.  i.  im  Allgemeinen  eine  Curve  vierten  Grades. 

Die  verschiodenen  Fälle,  welche  sich  hieraus  ergeben,  je  nach- 

<e 
dem  val.abs.tg^  «  -    ist,    entsprechen    den    Kegelschnitten.      Für 

vaL  abs.  tg  ^  <  -  stellt  dio  Gleichung  (26)  eine  geschlossene  Curve 


298  Pabst:  Die  Cono-Cunei. 

entsprechend  der  Ellipse  beim  Kegel  dar,  welche  fQr  ^  «  0  in  eine 
Ellipse  übergeht.  Fttr  tg^  »  -  erstreckt  sich  die  Dorchschnitte- 
curve  nach  der  positiven  Seite  der  y-Axe  ins  Unendliche. 

Sie  schneidet  die  F'-Axe  im  Punkte  «'  =>  0,  y' «  —  -VöH?, 

die  -Y'-Axo  in  den  Punkten  x'  =  ±  a,  y' «  0  und  liegt  zwischen 
den  in  den  letzteren  Punkten  auf  der  Jf 'Axe  errichteten  Senkrechten. 
Diese    Curve    entspricht    dem    Parabelschnitt    des    Kegels.     FOr 

val. abs. tg  ^  >"--  besteht  die  Durchschnittscurve  (26)  aus  zwei  nach 

beiden  Seiten  der  r'-Axe  ins  Unendliche  sich  erstreckenden  Zweigen, 
von  denen  der  eine  Zweig  die   X'-Axe  in  den  Punkten  x'  =  x  o, 

y'«0,    die    F'-Axo    im    Punkte   «'«0,    y'= r-^ 

schneidet.    Der  andere  Zweig  schneidet  die  y'-Axe  in  dem  Punkte 

x'  «  0,  y'  =-  —    „.    ^ -~rE.     Diese  Curve    entspricht  der  Hj- 

'  ^  asin^ — ccos^  *^  ' 

perbel  beim  Kegel. 

Fttr  f '  «  0  geht  die  Gleichung  (26)  über  in : 

«'  -^  ±  ya«-c*ctg«» 

Die  Ebenen,  welche  durch  die  singulare  Kante  gehen,  schneiden 
daher  aus  dem  geraden  elliptischen  Cono-Cuncus  (17)   zwei  erzen- 

gcndo  Geraden  desselben  aus,  wenn  val.abs.tg^^-    ist     Fflr 
tg^  »  -  fallen  diese  beiden  Geraden  in  eine  einzige  zusammen. 


$  12. 

Wir  wollen  nun  die  Untersuchungen  ebener  Schnitte  des  geraden 
elliptischen  Cono-Guneus  (17)  verlassen  und  zur  Betrachtung  seiner 
Tangentialebene  übergehen. 

Als  Gleichung  derselben  im  Punkte  xyz  der  Fläche  ergibt  sieb: 

oder  mit  Berücksichtigung  der  Gleichung  (17): 
(27)  a»»({  — »)  — cy.ciy— »(a»— «»)t  — 0 


Pahsti  Die  Cono-CuneL  299 

Nach  den  allgemoincn  Bemerknogen  in  der  Einleitang  berührt 
diese  Tangentialebene  den  geraden  elliptischen  Gono-Cnnens  (17)  im 
Allgemeinen  nicht  längs  der  ganzen,  durch  ihren  Berührnngspnnkt 
gehenden  Erzeugenden  desselben.  Die  Ausnahmen  hiervon  finden 
für  «  «  0  und  für  «  -=  +  «  statt.  Im  ersteren  Falle  schneidet  die 
Tangentialebene  aus  dem  geraden  elliptischen  Cono-Cuneus  (17)  die 
durch  ihren  Berührungspunkt  gehende  Erzeugende  und  die  singulare 
Kante  aus,  in  den  beiden  anderen  Fällen  dagegen  nur  die  durch 
ihren  Berührungspunkt  gehende  erzeugende  Gerade. 

Die  singulare  Kante  des  geraden  elliptischen  Gono-Guneus  ist 
noch  dadurch  ausgezeichnet,  dass  es  in  den  Punkten  derselben  je 
zwei  Tangentialebenen  giebt,  welche  sich  in  der  X-Ebene  schneiden, 
und  mit  der  XZ-£bene  entgegengesetzt  gleiche  Winkel  bilden.  Denn 
setzt  man  in  der  Gleichung  (27)  für  cy  seineu  Wert  aus  der  Glei- 
chung (17)  und  nimmt  dann  is  <»  0  an,  so  geht  dieselbe  über  in: 


Es  sind  dies  die  am  Schlüsse  des  vorigen  §  für  /  =  0  betrach- 
teten Ebenen.  Daraus  folgt,  dass  jede  durch  die  singulare  Kante 
gehende  Ebene,  welche  mit  der  A^Ebeno  einen  Winkel  bildet, .  dessen 

c 
trigonometrische  Tangente  absolute  gleich  oder  kleiner  als  -  ist,  eine 

Tangentialebene  des  geraden  elliptischen  Cono-Guneus  (17)  ist. 

Im  Allgemeinen  erhält  man  für  die  Projection  der  Durchschnitt s- 
curvc  der  Tangentialebene  mit  der  vorgelegten  Fläche  auf  die  XZ- 
Ebene,  wenn  man  17  aus  der  Gleichung  (27)  und  der  Gleichung: 

eliminirt: 

f  £— fiB  *—  0 

^^^^      i         (a«  — X«)  (f -l-a;)};«—  2«Ka«— ««)J:4.aj«««(S— «)  =  0 

d.  h.  diese  Durchschnittscurvo  besteht  im  Allgemeinen  aus  der  durch 
den  Berührungspunkt  der  Tangentialebene  mit  der  Fläche  gehenden 
Erzeugenden  der  letzteren  und  aus  einer  Gurve  dritten  Grades. 

Für  die  Normale  im  Punkte  xyz  des  geraden  elliptischen  Gono- 
Cuncus  (17)  ergeben  sich  die  Gleichungen,  wenn  arj,  y^i  H  ^^^^  1^^" 
fenden  Coordinaten  bedeuten: 


(29)  ^1"^^  _  yi—y  ^    H—» 


300  Pabst:  Die  Cono^CuneL 

§  13. 

Unsere  n&chste  Aufgabe  sei,  das  Yolnmen  V  zu  bestimmen,  wel- 
ches von  den  Ebenen  äc  »  0,  a;  =  a-^,  «  *"  ^t  der  X^-£bcne  und 
dem  zugehörigen  Teile  des  geraden  elliptischen  Cono-Cunens  (17) 
begrenzt  wird.    Far  dasselbe  ergiebt  sich: 

«a         f«  Sm  9o 

F=    /    /  ydxda-^-  I  dx  V a*  —  x*  /  adz 
0      0  0  ö 

(30)  F^^jia^yiTZ^.+^a« aresin  (J)} 

oder,  wenn  man  die  zu  atq,  2^  gehörige  Coordinatc  y  mit  yo  bezeichnet 

(31)  r-  Kyo«o  +  i«*  V  ^^""  (o") 

Das  Volumen  V  mit  der  Torgeschriebenen  Begrenzung  ist  dem- 
nach gleich  dem  vierten  Teil  des  rechtwinkligen  Parallelepipcdons 
mit  den  Kanten  oto,  tfo%  ^  vermehrt  nm  ein  Prisma,  dessen  Grand- 
Hache    ein  Quadrat  mit  der  Seite   ^o,    und   dessen  Höhe  die  mit 

arcsinf-^j  multiplicirte  vierte  Proportionale  zu  e  und  20  ist 

Setzt  man  in  der  Gleichung  (30)  xq-^  a^  so  geht  dieselbe  ftber 


in 


^  "      8c 


d.  i.  aber  der  vierte  Teil  desjenigen  Volumens  K',  welches  von  dem 
geraden  elliptischen  Couo-Cuneus  (17)  und  der  Ebene  «  =  ^  be- 
grenzt wird.    Daraus  folgt: 

(32)  7'-4«a«^. 

Das  von  dem  geraden  elliptischen  Cono-Caneos  (17)  und  der 
Ebene  z  =  zq  begrenzte  Volumen  ist  also  gldch  der  H&lfte  eines 
Gylinders,  dessen  Grundkreis  den  Radius  a  hat,  und  dessen  Höhe  die 
vierte  Proportionale  zu  e  und  zq  ist. 

Ziehen  wir  in  Betracht,  dass  die  zur  Jry-Ebene  parallele  Ebene 
Z  -^  Zq  aus  der  vorgelegten  Fläche  eine  Ellipse  mit  den  Halbaien 

a  und  ~  ausschneidet,  so  lässt  sich  die  Formel   (52)  so  deate«: 


PabMt:  Die  O»no-Cunei  -  301 

Das  Yolamen  V  ist  gleich  dem  halben  Yolamen  des  Cylinders  mit 
der  dnrch  die  Ebene  Z  ^^  Zq  aus  der  vorgelegten  Fläche  ausge- 
schnittenen Ellipse  als  Grundfläche  und  der  Höhe  Zq. 

Allgemein  ist  diese  Beziehung  in  der  Einleitung  (§  8.)  nachge- 
wiesen worden ;  wir  wollen  daher  hier  nicht  näher  darauf  eingehen. 
Bemerkt  sei  nur  noch,  dass  die  Formel  (32)  auch  mit  Hilfe  einer 
Mittenügur  deuten  lässt.  Die  Ebene  z  ^  ^z^  schneidet  nämlich  aus 
dem   geraden   elliptischen  Cono-Cuncus  (17)    eine  Ellipse   mit   den 

Halbaxen  a  und  ^  aus.  Bezeichnet  man  diese  Mitteufigur  mit  Af, 
so  geht  die  Gleichung  (32)  über  in: 

(33)  V'^M.zo 

Diese  Formel  gilt  auch,  wenn  man  das  Volumen  zwischen  den 
Ebenen  2  »  «i,  z  ^  z^  und  dem  geraden  elliptischen  Cono-Cunens 
(17)  in  Betracht  zieht .  Man  hat  alsdann  nur  für  zq  den  Abstand  der 
beiden  begrenzenden  Ebenen  zu  setzen.  Denn  aus  der  Gleichung 
(32)  folgt  fQr  dieses  Volumen,  wenn  z^'^  z^  ist : 

wobei  Ä  «  «2~~«i  ißt.  Nun  ist  aber:  «=  -ä,  wenn  b  die  zu  ü?  zu- 
gehörige variabelo  Halbaxe  der  Ellipse  ist.    Mithin  erhält  man: 

Setzt  man  ferner :        ^  '  "^  *«'  ®^  ergiebt  sich : 

Ist  23  das  zu  63  zugehörige  2,  so  ist: 

»s  —  i(«i+««) 
also: 

«j— «8  =  i(«t— »1)  ="  i^ 

Demnach  resultirt  der  oben  ausgesprochene  Satz: 

(34)  V^M.h 
Wir  hatten  erhalten: 

V  *^  na  — TT—  h. 


302  Pahst:  Die  Cono-Cuneu 

Diese  Formel  läset  sich  noch  anders  deuten.    Es  ergiebt  sidi  oiin- 
lieh  daraus: 

Setzt  man  nun: 

wobei  O^  und  G^  die  begrenzenden  Ellipsen ,  M  die  Mittenfigor  des 
Körpers  V  bedeutet,  so  ist: 

(36)  V^\\\{G^JtOt)+^M\ 

d.  i.  die  Formel ,  welche   in  der  Stereometrie   vom  Prismatoid  be- 
wiesen wird. 

Die  beiden  Formeln  (34)  und  (35)  lassen  sich  noch  TOtdlgemei- 
nern.  Wir  wollen  diese  Verallgemeinerung  kurz  für  die  entere 
durchfahren.  Betrachtet  man  nämlich  das  Volumen  zwischen  den 
Ebenen  a;  »  0,  o;  »  a^,  «  »  «^ ,  le  «>  s^,  der  X^Ebene  und  dem  n- 
gehörigen  Teil  des  geraden  elliptischen  Cono-Cuneus  (17),  so  eridlt 
man  fttr  dasselbe: 

K' «  *-^^^  {  K  VV^=^+i«*arcsi^ 


Nun  ist  aber: 


gg*  — V      Kh  +h)  _  r  5 
2c?      ^       2c       '"      c 


und 


~{KVa«-V+i«*arc8in(j^)}-  M', 


wenn  M'  den  Teil  von  Af  bezeichnet,  welcher  von  den  za  f  «0, 
X  =^  xq  zugehörigen  Ordinateu  der  Ellipse,  von  der  X-Axe  und  dem 
zugehörigen  Bogen  begrenzt  wird.    Folglich  resultirt: 

V  «  3f '.  h. 

Auf  analoge  Weise  ergiebt  sich  der  entsprechende  Ausdnick  fflr 
die  Formel  (35). 


Pabtt:  Die  Cono-Cunei.  303 

m.  Absehnitt. 

Die  beiden  geraden  byperboliscben  Cooo-Canei. 

§  14. 

Um  zun&cbst  den  geteilten  geraden  hyperbolischen 
Cono-Canens  zu  betrachten,  nehmen  yfir  als  Gleichungen  der 
Leitbyperbel: 

Demnach  wird  die  X-Axe  singulare  Kante,  die  FZ-£bene  Director- 
ebene.  Also  erhält  man  als  Gleichungen  des  betreffenden  Cono-Cunens, 

wenn  man  wieder  c*  für  -^  setzt: 

(37)  c«y«-.Ä«(a:«-a«) 

Da  diese  Gleichung  nur  die  Quadrate  von  a;,  y,  z  enthält,  so  ist  zu- 
nächst klar,  dass  die  vorgelegte  Fläche  symmetrisch  zu  den  drei 
Coordinatenebenen  liegt    Ferner  folgt  ohne  Weiteres,  dass  es  nur 

reelle  Werte  für  y  und  z  giebt,  wenn  val.  abs.  x-^a  ist.      Der   in 

Bede  stehende  Cono-Cuneus  besteht  daher  aus  zwei  gesonderten  Tei- 
len zu  beiden  Seiten  der  Directorebeue,  woher  die  Bezeichnung  „geteilt^' 
entnommen  ist 

Wir  wollen  nicht  näher  auf  ebene  Schnitte  des  geteilten  geraden 
hyperbolischen  Cono-Cunens  eingehen,  da  wir  dabei  auf  ganz  ähnliche 
Betrachtungen  wie  beim  geraden  elliptischen  Cono-Cunens  geführt 
werden.  Bemerkt  sei  hier  nur,  dass  die  zur  ^F-Ebene  parallele 
Ebene  z  =  h  aus  der  vorgelegten  Fläche  (37)  die  Hyperbel: 

ausschneidet  Für  A «  c  ergiebt  sich  demnach  eine  gleichseitige 
Hyperbel  mit  dem  halben  Parameter  a.  Die  Mittelpunkte  aller  die- 
ser Hyperbeln  liegen  auf  der  Z-Axe,  ihre  reellen  Axen  in  der  TZ-Ebene, 
ihre  imaginären  Axen  in  der  yZ-Ebene.  Die  reellen  Axen  der  aus- 
geschnittenen Hyperbeln  sind  einander  gleich  2a,  die  imaginären  da- 
gegen wachsen  proportional  dem  Abstände  der  schneidenden  Ebene 
von  der  singulären  Kante. 

* 

Ziehen  wir  die  Brennpunkte  dieser  ausgeschnittenen  Hyperbeln 
in  Betracht,  so  liegen  diese,  wie  sich  aus  dem  Gesagten  ergiebt,  in 


304  Pahat:  Die  Cono»Cunei. 

der  X^Ebene.  Als  Gleichung  des  geometrischen  Ortes  dieser  Brenn- 
punkte  erhält  man: 

(39)  *-?-  =  i 

d.  h.  in  Worten:  Der  geometrische  Ort  der  Bronnpunkte  aller  Hy- 
perbeln, welche  aus  dem  geteilten  geraden  hyperbolischen  Cono-Ciinens 
(37)  durch  Ebenen  parallel  der  A^F-Ebene  ausgeschnitten  werden,  iit 
eine  Hyperbel  in  der  XZ^I^bene  mit  dem  Coordinatenanfang  als  Mittel- 
punkt, deren  reelle  Axe  2a  in  der  JT-Axe,  deren  imaginäre  Axe  2e 
in  der  Z-Axe  liegt  Ist  c  =  a,  so  ist  dieser  geometrische  Ort  eine 
gleichseitige  Hyperbel  mit  dem  halben  Parameter  a. 

ak 
Aus  der  Yergleichung  von  (38)  und  (39)  folgt,  wenn  wir  —  « f 

c 


setzen : 


c2 
a 


Daraus  fliesst  der  Satz:  Diejenige  zur  A^F-Ebene  parallele  Ebene, 
deren  Abstand  von  der  singulären  Kante  die  vierte  Proportionale  zn 
a  und  c  ist,  schneidet  ans  dem  geteilten  geraden  hyperbolischen  Cono- 
Cuneus  (37)  eine  Hyperbel  aus,  welche  gleich  ist  dem  geometrischen 
Orte  der  Brennpunkte  aller  durch  Ebenen  parallel  der  Jtr-Ebene 
aus  der  vorgelegten  Fläche  ausgeschnittenen  Hyperbeln. 

Es  ist  dies  ein  ganz  ähnliches  Resultat,  wie  wir  es  beim  geraden 
elliptischen  Cono-Cuneus  erhalten  haben. 

Vergleichen  wir  die  beiden  Besultate  (22)  und  (39),  so  erbalten 
wir  den  Satz: 

Sind  der  gerade  elliptische  und  der  geteilte  gerade  hyperbolisdie 
Gono-Cuneus,  welche  dieselbe  Directorebene  und  dieselbe  singvUre 
Kante  haben,  so  beschaffen,  dass  die  Ebene  in  der  Entfernung  a  von 
der  singulären  Kante  aus  dem  elliptischen  einen  Kreis  mit  dem  Badin&<i, 
aus  dem  hyperbolischen  eine  gleichseitige  Hyperbel  mit  dem  halben 
Parameter  a  ausschneidet,  so  ist  der  geometrische  Ort  der  Brenn- 
punkte der  Ellipsen  des  elliptischen  Couo-Cuneus,  deren  EDtfcnuaiE 
von  der  singulären  Kante  absolute  gleich  oder  grösser  als  a  ist,  gleich 
dem  geometrischen  Orte  der  Brennpunkte  der  Hyperbeln  des  geraden 
geteilten  hyperbolischen  Cono-Cuneus. 

Die  durch  die  Gleichung  (38)  dargestellte  Hyperbel  besitzt  ivei 
Asymptoten,  welche  der  Gleichung  genügen: 


Pabst:  Die  Cono-CuneL  305 

Die  Asymptoten  aller  Hyperbeln,  welche  aas  dem  geteilten  geraden 
hyperbolischen  Cono-Cnneus  (37)  durch  Ebenen  parallel  der  JTK-Ebene 
ausgeschnitten  werden,  liegen  demnach  auf  einer  Fläche,  welche  durch 
die  Gleichung  dargestellt  wird: 

Diese  zerfällt  in  die  beiden  Gleichungen: 


(40)  { 


cy  —  xz  «=  0 
ep'{-xz  —  0 


Daraus  folgt,  dass  die  Asymptoten  der  Hyperbeln  des  geteilten  ge- 
raden hyperbolischen  Cono-Cuncus  auf  zwei  hyperbolischen  Para- 
boloiden  liegen.  Um  die  Gleichungen  derselben  auf  die  übliche  Form 
zu  bringen,  wenden  wir  die  Coordinatentransformation  an: 

X  =  s'cos  (p  —  a'sin  q> 

z  «-  X  sin  tp-^-z  COS  fp 
Dadnrch  gehen  die  Gleichungen  (40)  über  in: 

cy'  =  +  [(»'*  —  2'^)  sin  g)  cos  (p-\-x'z'(cos*  tp  —  sin*  g})"] 

Für  cos*g)--sin'gD  —  cos24;p  =»  0  ergiebt  sich  9  =  j-,  wodurch  man 
erhält : 

Die  beiden  hyperbolischen  Paraboloidc  genügen  also  den  Gleichungen : 

x'^     3'*        , 


(41) 

2c      2c 


z'^      x'^ 


Diese  Paraboloide  sind  demnach  der  Art,  dass  Ebenen  parallel 
der  JCZ* -Ebene  gleichseitige  Hyperbeln  aus  ihnen  ausschneiden. 
Ausserdem  sind  ihre  Spuren  in  den  Ebenen  der  x'y'  und  der  y'z' 
einander  gleich. 

§  15. 

Als  Gleichung  der  Tangentialebene  im  Punkte  xyz  des 
geteilten  geraden  hyperbolischen  Cono-Cuuens  (37)  ergiebt  sich,  wenn 
I,  7jf  i  die  laufenden  Coordiuaten  bedeuten : 

xz^{i  —  x)  —  c^y(ri  —  ^)  +  Ä(a;*--a*)(t— a)  =  0 
oder: 

(42)  :rÄ«(£  — x)-.(;y.ciy  +  a(a;«  — a«)J:«0 

▲reh.  d.  l[»th.  u.  Pliys.    2.  Beilie,  Teil  11.  20 


306  Pabßt:  Die  Cono-Cunei. 

Schon  ans  den  allgemeinen  Erörterungen  der  Einleitang  geht 
hervor,  dass  diese  Tangentialebene  den  geteilten  geraden  hyperboli- 
schen Cono-Cunens  (37)  im  Allgemeinen  in  der  durch  ihren  BerQhmngs- 
punkt  gehenden  Erzeugenden  und  in  einer  Gurre  dritten  Grades 
schneidet.  Sie  berührt  aber  im  Allgemeinen  die  vorgelegte  Fliehe 
nicht  längs  der  ganzen ,  durch  ihren  Berührungspunkt  gehenden  Er- 
zeugenden derselben.  Eine  Ausnahme  hiervon  findet  nur  fUr  a; «  +a 
statt;  d.  h.  nur  die  Tangentialebenen  in  den  Durchschnittsponkten 
des  in  Rede  stehenden  Cono-Cuneus  (37)  mit  der  J^Z-Ebene  be- 
rühren denselben  längs  der  ganzen,  durch  ihren  Berührungspankt 
gehenden  Erzeugenden.  Diese  Tangentialebenen  sind  zugleich  der 
Directorebene  parallel  und  schneiden  aus  der  vorgelegten  Fläche  nor 
die  betreffende  erzeugende  Gerade  aus. 

Ein  anderer  specieller  Fall  ergiebt  sich  für  z  »  0,  und  zwar 
erhält  man  dafür  aus  der  Gleichung  (42): 

In  den  Punkten  der  singnlären  Kante  des  geraden  hyperbolischen 
Cono-Cuneus  (37)  giebt  es  demnach  im  Allgemeinen  je  zwei  Tangential- 
ebenen, welche  durch  die  X-Axe  gehen  und  mit  der  XZ-Ehene  ent- 
gegengesetzt gleiche  Winkel  bilden.  Analog  dem  Resultate  beim 
geraden  elliptischen  Couo-Cuneus  folgt,  dass  diese  Tangentialebenen 
aus  der  vorgelegten  Fläche  ausser  der  singulären  Kante  zwei  auf 
beiden  Seiten  der  Directorebene  liegende,  von  derselben  gleich  weit 
entfernte  erzeugende  Geraden  ausschneiden. 

Jede  durch  die  singulare  Kante  gehende  Ebene  ist  mithin  im 
Allgemeinen  eine  Tangentialebene  des  geteilten  geraden  hyperboUsdien 
Cono-Cuneus. 

Für  die  Gleichungen  der  Normale  im  Punkte  xyz  des  vor- 
gelegten Cono-Cuneus  (37)  erhält  man,  wenn  x^,  y,,  2j  die  laufenden 
Cordinaten  sind: 

(43)  «1— «^  ^  yi—y  _    H—^ 


§  16. 

Betrachten  wir  jetzt  in  der  Gleichung: 

(44)  F=  c^y*  —  »«  (x«— a«)  =  0 

e  als  variabel,  so  stellt  dieselbe  eine  Schaar  von  geteilten  genässi 
hyperbolischen  Gono-Cuneis  dar.    Alle  Flächen  dieser  Schaar  gehen 


Pabst:  Die  ConO'Cuneu  307 

darch  die  X-Axe  und  berühren  sich  in  den  beiden  Geraden  a;  —  dia, 
y  »  0.    Sie  besitzen  also  keine  eigentliche  einhüllende  Fläche. 

Anders  verhält  es  sich,  wenn  wir  in  der  Gleichung  (44)  c  als 
coDstant,  a  dagegen  als  variabel  annehmen.  Wenden  wir  hierauf  das 
in  §  8.  erhaltene  Resultat  an,  so  erhält  man  als  Gleichung  der  ein- 
hüllenden Fläche  der  vorgelegten  Flächonschaar : 


{ 


cy  —  xa  =  0 
ey-^-xz  =>  0 


Das  sind  aber  die  Gleichungen  (40).  Die  einhüllende  Fläche  der 
vorgelegten  Flächenschaar  besteht  demnach  aus  den  beiden  hyper- 
bolischen Paraboloiden,  auf  denen  die  Asymptoten  aller  Hyperbeln 
des  geteilten  geraden  hyperbolischen  Cono-Guueus  (37)  liegen. 

Für  die  erste  Schaar  von  geradlinigen  Flächen,  welche  durch  dio 
Gleichung  (44)  dargestellt  wird,  wollen  wir  noch  die  Orthogonal- 
flächen bestimmen.  Angenommen,  eine  dieser  Orthogonalflächen 
habe  die  Gleichung  9>  ==  0,  dann  sind  die  cosinus  der  Winkel,  welche 
die  Normale  derselben  mit  den  drei  Coordinatenaxen  bildet,  bezüglich 

proportional : 

8g>      d(p       d<p 

dx       dy        d» 

Ferner  sind  die  cosinus  der  Winkel,  welche  die  Normale  einer  Fläche 
der  vorgelegten  Flächenschaar  mit  den  drei  Coordinatenaxen  bildet, 
bezüglich  proportional: 

aF.     BF^    BF 

dx       dy        d» 

Da  diese  beiden  Normalen  nach  der  obigen  Bedingung  auf  einander 
senkrecht  stehen,  so  erhält  man: 

f^)  ?^.  ^t^,  ??.?£',??  _  0 

^    '  dx  *  dx   '  3y  '  dy"^  dz  *  dz 

Qe»    fljp     riJP 

Setzen  wir  hierin  für  ö~»  ö~'  ^-  il^r©  Werte  und  eliminiren  dann  c* 

öx    cy     öz 

zwischen  der  erhaltenen  Gleichung  und  der  Gleichung  (44)  der  ge- 
gebenen Flächenschaar,  dann  ergiebt  sich  als  partielle  Differential- 
gleichung der  gesuchten  Orthogonalflächen: 

(46)  fl^«gf-«(a^»-a«)^  +  y(a:«-a«)^  =  0 

Nach  der  Lagrange'schen  Reduction  der  linearen  partiellen 
Difierenüalgleichungen  erster  Ordnung  auf  ein  System  gewöhnlicher 

SO» 


308  Pabsti  Die  Cono-Cunei. 

Differentialgleicbangen  gelangt  man  zum  allgemeinen  Integral  der 
Gleichung  (46)  darch  Integration  von: 

dx  :dy:dz  =  xyz :  —  ä  (x*  —  a^)iy  («*  —  a*) 

Daraus  folgt 

dxidy  '^  xyx  —  (x*  —  a') 
«*+y*""2a*lga;  «  c, 
dyidz=»  —  ziy 

Die  Orthogonalflächeu  der  vorgelegton  Flächenschaar  sind  demnach 
enthalten  in  der  Gleichung: 

(47)  F{x^+y^  —  2a«  Igx,  y«  +  ä*)  «  0 

Zu  demselben  Resultat  gelangt  man  bei  der  Betrachtung  der  Ortho- 
gonalflächeu der  Schaar  von  geraden  elliptischen  Cono-Cuneis,  welche 
durch  die  Gleichung: 

(48)  F  =  c«  y« — Ä«  (a*—  «2)  =  0 

dargestellt  werden,  wenn  c  variabel  und  a  constant  ist    Denn  setzt 

dF  dF  dF 

man  in  die  Bedingungsgleichung  (45)  für  g-*,  g—»  -^    die   aus  der 

Gleichung  (48)  folgenden  Werte  ein  und  eliminirt  dann  c*  zwischen 
(48)  und  der  erhaltenen  Gleichung,  so  resultirt  als  partielle  Differential- 
gleichung der  betreffenden  Orthogonalflächen: 

oder: 

a:y«g^-«(a:«-a«)g-+y(:c«-a«)  gj  »0 

d.  i.  aber  die  Gleichung  (46).  Daraus  fliesst  der  Satz:  Ist  c  variabel 
hat  dagegen  a  einen  constanten  Wert,  so  schneiden  die  Ortfaogoaal- 
flächen  der  durch  die  GleichuDg  (44)  dargestellten  Schaar  von  g^ 
teilten  geraden  hyperbolischen  Cono-Cuneis  die  durch  die  Glcichniig 
i  (48)  dargestellte  Schaar  von  geraden  elliptischen  Cono-Caneos  recht 

winklig. 

§  17. 

Unsere  nächste  Aufgabe  sei  die  Cubatur  des  geteilten  geraden 
hyberbt)lischen  Cono-Cuneus  (37).    £s  ergiebt  sich: 

V^r  ßydxdz^^   f   €lxix^  —  a^   i zdz 


Pabsi:  DU  Cono'Cunei,  309 


(49) 


K-^*{Kyv^»-ia«ig(-«+^;«'-''')} 


Beachten  wir,  dass :  c*yo*  «==  zq^  (xq^  —  a*)  ist,  so  geht  die  Oleichung 
(49)  über  in: 


(50) 


i^oyo^  -  J  — -  lg  1^ ^ ; 


Von  diesem  Volumen  gelten  analoge  Sätze  wie  von  demjenigen 
des  geraden  elliptischen  Cono-Cunens.  Wir  wollen  diese  hier  nicht 
erst  entwickeln,  sondern  auf  eine  andere  Betrachtongsweise  eingehen. 

Lässt  man  längs  einer  durch  die  Ebene  x  ^  xq  aus  der  vor- 
gelegten *  Fläche  (37)  ausgeschnittenen  Geraden  eine  gerade  Linie 
parallel  der  ^F-Ebene  so  hingleiten,  dass  sie  stets  durch  die  Z-Axc 
geht,   zo   erzeugt  sie   ein   hyperbolisches   Paraboloid,   welches   der 

Gleichung: 

cy  =  XX 

genügt.    Für  das  Volumen  V  zwischen  den  Ebenen  a;  ««  a\),  a  «=-  «^ 
der  ÄZ-Ehene  und  dem  zugehörigen  Teil  dieser  Fläche  erhält  man: 

^'=  J*oyo«6 
Mithin  resultirt: 


(51) 


K._K-.-"^£-\('-^+>^i') 


Bezeichnen  wir  ferner  den  Hyperbelsector  OPA  (Fig.  1.)  mit  *,  so 
ist,  wenn  die  Hyperbel  der  Gleichung  (38)  genügt,  und  wenn  man 
;i:o  für  A  setzt:  

Demnach  geht  dio  Gleichung  (51)  über  in: 

(53)  V  ««-  is,ZQ 

d.  h.  bei  constantem  zq  und  variablem  xq  verhalten  sich  die  Volumina  v 
wie  die  zugehörigen  Hyperbelsectoren. 

Wir  haben  im  §  14.  gesehen,  dass  dio  Ebene  z  ^  e  aus  dem 
geteilten  geraden  hyperbolischen  Cono-Cuneus  (37)  eine  gleichseitige 
Hyperbel  mit  dem  halben  Parameter .  a  ausschneidet.  Setzen  wir 
So  <»  <?  in  die  Gleichungen  (52)  und  (53)  ein«  so  erhalten  wir: 


s 


i,.„(sdiv^i') 


310  Pabst:  Die  Cono-Cunei, 

Hieran  wollen  wir  einige  Bemerkungen  Aber  Summen  and  Diffe- 
renzen von  V  knüpfen,  wenn  xq  verschiedene  Werte  annimmt  Wie 
sich  ans  den  Gleichungen  (54)  ergiebt,  haben  wir  dazu  nur  die  ent- 
sprechenden Sectoren  s  zn  betrachten. 

Unter  den  gemachten  Yoranssetznngen  lässt  sich  die  zweite 
Gleichung  in  (54)  auch  so  schreiben: 


(55)  s 


,..,,(^') 


d.  h.  der  Sector  einer  gleichseitigen  Hyperbel  ist  gleich  dem  halben 
Quadrat  des  halben  Parameters  multipUcirt  mit  dem  natflrlichen  Lo- 
garithmus von  dem  Quotienten  aus  der  Summe  der  zugehörigen  Eod- 
coordinaten  dividirt  durch  den  halben  Parameter. 

Aus  der  Gleichung  (55)  folgt: 

».-..'.gC-i«)" 

Ist  nun:  2«  »  «'  und  sind  x\  y'  die  zum  Sector  «'  zugehörigen 
Endcoordinaten,  so  ist  demnach: 

(56)  ^'+y''^^ 

Daraus  fiiesst  der  Satz :  Die  Summe  der  Coordinaten  des  doppel- 
ten Sectors  einer  gleichseitigen  Hyperbel  ist  die  vierte  Proportionale 
zum  halben  Parameter  derselben  und  der  Summe  der  Coordinaten 
des  einfachen  Sectors. 

Es  ist  aber:  x^^—y'*  «  a*.  Mithin  erhält  man  aus  der  Glei- 
chung (56): 

(57)  X  «  -^ 

Den  vorigen  Satz  kann  man  daher  auch  so  aussprechen:  Die 
Abscisse  des  doppelten  Sectors  einer  gleichseitigen  Hyperbel  ist  die 
vierte  Proportionale  zum  halben  Parameter  derselben  und  der  Ya- 
bindungslinie  des  Endpunktes  der  Ordinate  des  einfachen  Sectors  mit 
dem  Hyperbelmittelpunkt. 

um  mithin  den  Sector  OP^A  (Fig.  1.)  zu  verdoppeln,  constroire 
man  die  vierte  Proportionale  zu  OA  und  OJP, ,  trage  dieselbe  tnf 
OA  von  O  aus  bis  C2s  ab,  errichte  in  Q^  die  Senkrechte  P^Qa  auf  04^ 
so  ist  Sector  OP^A  «•  2  Sect  OP^A. 


Pabst:  Die  ConO'CuneC  311 

Damit  ist  zugleich  die  Aufgabe  gelöst,  einen  gegebenen  Sector 
einer  gleichseitigen  Hyperbel  zu  halbiren.    Denn  nach  der  Gleichung 

(57)  ist 

(58)  aj«+y»  =  a.aj' 

Um  daher  den  Sector  OF^A  zu  halbiren,  constmire  man  über  OQ^ 
als  Durchmesser  einen  Halbkreis,  inrelcher  die  Scheiteltangente  der 
Hyperbel  in  E  schneidet,  mache  OP^^  »  0J7,  so  ist 

Sect  OP^Ä  —  i  Sect.  OJP,  A. 
Aus  der  Gleichung  (58)  folgt  noch,  wenn  man  y*  »  o;^—- a^  setzt: 

(59)  K*=^ia{a'\-x') 

Beachtet  man  femer,  dass  der  Krümmungsradius  für  die  gleich- 
seitige Hyperbel 

ist,  so  ergiebt  sich  nach  der  Gleichung  (57) : 


d.  h.  in  Worten:  OQ^  ist  die  mittlere  Proportionale  zu  OP^  und 
dem  Krümmungsradius  in  Pj. 

Zugleich  ist  klar,  dass  für  den  Scheitel  der  gleichseitigen  Hy- 
perbel der  Krümmungsradius  gleich  dem  halben  Parameter  derselben  ist 

Die  Belation  (56)  lässt  sich  leicht  Terallgemeinem.    Ist  nämlich 
«n  »  n.«  und  gehört  «n  zu  den  Endcoordinaten  xm,  yn^  so  erhält  man: 

(^)  SCn+yn'^    ^H-i 

Daraus  resultirt  der  Satz:  Die  Summe  der  Coordinaten  des  n-fachen, 
Sectors  einer  gleichseitigen  Hyperbel  ist  gleich  der  nten  Potenz  der 
Summe  der  Coordinaten  des  einfachen  Sectors  dividirt  durch  die 
(n — l)te  Potenz  des  halben  Parameters  derselben. 

Sind  femer  die  beiden  Sectoren  «^  und  s^  gegeben,  welche  be- 
züglich zu  den  Coordinaten  x^ ,  y^  und  x^ ,  yg  gehören,  so  ist  nach  (55) : 

Ist  nun:  <i+«2  =  «s,  wobei  s^  zu  den  Coordinaten  a;,,  ^3  gehört, 
80  ergiebt  sich  die  Relation: 


312  Pabttt  Die  Cono'Cunei, 

(61)  «8+^3  = ^ 

d.  h.  in  Worten:  Ist  die  Sninmo  zweier  Sectoren  «j  und  «,  cioer 
gleichseitigen  Hyperbel  gleich  einem  dritten  Scctor  «j,  so  ist  die 
Samme  der  Coordinaten  dieses  dritten  Sectors  die  vierte  Proportionale 
zum  halben  Parameter  und  den  beiden  Summen  aus  den  Coordinaten 
der  beiden  zu  summirenden  Sectoren. 

Setzt  man:  ^Jh±yA!^^dtJ!ßl  «  e,  so  erhalt  man: 

a 

^^ 27" 

Um  daher  einen  Sector  «,  zu  finden  (Fig.  2.),  welcher  gleich  der 
Summe  der  beiden  Sectoren  OPy^  A  und  OP^  A  ist,  construire  man  die 
vierte  Proportionale  OS  zu  OA^  OQ^  +  Q^P^  «  ÖÄj  und  OQ^+Q^r^ 
=  OR^ ,  halbiro  AS  in  r,  trage  AS  von  S  aus  auf  SO  bis  ü  ab, 
ziehe  durch  U  die  Parallele  UV  zu  OT,  mache  OQ^  «=  SV\  errichte 
in  Qs  die  Senkrechte  P^Q^  auf  OQ3,  so  ist  Sect.  OP^A  der  gesuchte 
Sector. 

Damit  ist  zugleich  die  Aufgabe  gelöst:  Es  sei  ein  beliebiger 
Punkt  P2  auf  dem  Bogen  einer  gleichseitigen  Hyperbel  gegeben,  man 
bestimme  hierzu  einen  Punkt  P^  so,  dass  der  Sector  OP^P^  gleich 
einem  gegebenen  Sector  OP^A  ist. 

Durch  Wiederholung  derselben  Operation  lässt  sich  die  Gleichnng 
(61)  verallgemeinem.  Sind  die  HyperbelsoCtoren  «1,  «s,...««  gegeben, 
und  ist: 

so  ist,  wenn  die  Sectoren  bezüglich  zu  den  Endcoordinaten  Xi^y^] 
xj,  ^2?  •••a'n+i,  tfn+i  gehören: 

/ß9\  ^    ,j_,      _  {^1 +yi)  (^2  +y»)  -  - '  (gi»+y») 


a' 


Aus  der  Gleichung  (61)  folgt  ferner: 

(63)  ^^  +  y^«53+y8^ 

arg  +  y, 

d.  h.  in  Worten:  Ist  der  Sector  «,  einer  gleichseitigen  Hyperbel  gleich 
der  Differenz  «3—^2  zweier  Sectoren,  so  ist  die  Summe  der  Coordi- 
naten von  «1  die  vierte  Proportionale  zu  der  Summe  der  Coordinaten 
von  «2?  der  Summe  der  Coordinaten  von  5g  und  dem  halben  Para- 
meter der  H)rp3rbel. 

Daraus  ergiebt  sich  eine  der  vorigen  ähnliche  ConstmctioD. 


Pabst:  Die  Cono-CuneL  313 

§  18. 

Wir  wollen  jetzt  einige  Beziehungen  an  der  gleichseitigen  Hy- 
perbel entwickeln,  wenn  die  Punkte  P^  und  P^  (Fig.  3.)  so  auf  dem 
Hyperbelbogen  liegen,  dass  O,  A^  Q^  und  Q^  vier  harmonische  Punkte 
sind.    Man  hat  demnach  die  Proportion: 

(64)  OAiAQ^^  OQ,:QiQ, 

Finden  ferner  die  Relationen  statt: 

Sect.   OPqA  -=  i  Sect.  OP^A 
Sect.  ÖP4  A  =  i  Sect.  OP^  A, 

so  folgt  zunächst  aus  (58): 


Opt  ^^(OA.  OQsr+  OA .  OQ,) 


O/V  =  \{OA,OQ^+OA.Qi  Q2+  ÖQi.  OQg-^Q, .  OQ2) 
Daraus  folgt  mit  Anwendung  der  Proportion  (64): 


OP^^^^OQ,{OA+OQi) 
Nach  (59)   ist  nun:   \OA{OA-{-OQ^)  =  0Q^\  folglich  erhält  man: 


Wenden   wir   hierauf  noch  die   Gleichung   (58)   an,    nach   welcher 
0A,OQ^  =  ÖP^^  ist,  so  resultirt: 


OPJ^.OA^^  0P^*.0QJ 
also 

OQ^xOP^  =   OAiOP^ 

Aus  der  Figur  3.  folgt,  wenn  R  der  Durchschnittspunkt  der  Scheitel. 

tangente  mit  OP^  ist: 

OQ4 :  OP4  =»  O^ :  OR 

Aas  beiden  Proportionen  ergiebt  sich: 

(65)  OPs  =  ÖÄ 

Daraus  fliesst  der  Satz:  Ist  der  Sector  OP^A  die  Hälfte  des 
Scctors  OP^A  und  liegen  /\  und  P^  so  auf  dem  Bogen  der  gleich- 
seitigen Hyperbel,  dass  die  senkrecht  darunter  liegenden  Punkte  Q| 
uud  Qg  mit  dem  Mittelpaukt  O  und  dem  Scheitel  A  der  Hyperbel 
vier  harmonische  Punkte  bilden,  so  schneidet  die  Scheiteltangento 
von  der  Verbindungslinie  des  Mittelpunktes  0  mit  P^  ein  Stttck  OR 
ab,  welches  die  mittlere  Proportionale  zu  OA  und  OQ^  ist 


314  Pabst:  Die  Cono-Cttneu 

Zugleich  geht  hieraas  hervor:  Wena  O,  A^  Q,  nnd  Qf  vier  har- 
monische Punkte  sind,  und  man  halbirt  den  Sector  OP^A^  so  dass 
Sect. 0P4^  »  }Soct  OP}^  ist,  so  hat  man  damit  auch  den  Sector 
OPjA  halbirt,  denn  man  hat  nur  OP^=OR  zu  machen,  so  ist 
Scct.  OP^A  =  iSect.  OP^A. 

Diese  Beziehungen  lassen  sich  zu  einer  Construction  von  Punkten 
einer  gleichseitigen  Hyperbel  verwenden,  wenn  der  Mittelpunkt  0 
und  der  Scheitel  A  derselben  gegeben  sind.  Man  wählt  nämlich  vier 
harmonische  Punkte  O,  A^  Q^  und  Qt,  constmirt  aber  OQ^  und  OQt 
als  Durchmesser  Halbkreise,  welche  die  in  A  auf  OA  errichtete  Senk- 
rechte in  R  und  R^  schneiden,  trägt  OR^  von  O  aus  auf  OR  bis 
P4  ab,  so  ist  P4  ein  Punkt  der  gleichseitigen  Hyperbel. 

Andererseits  lässt  sich  hierauf,  wenn  die  gleichseitige  Hyperbel 
gegeben  ist,  eine  Construction  des  zu  A  zugeordneten  vierten  har- 
monischen Punktes  zu  O,  ^  und  Q^  gründen,  wie  auch  eine  Con- 
struction des  zu  O  conjugirten  vierten  harmonischen  Punktes  zu  0, 
A  und  Q^, 

Constmirt  man  femer  in  P4  unter  Beibehaltung  derselben  Be- 
dingungen die  Tangente  P^T  an  die  gleichseitige  Hyperbel,  so  ist: 

t\t 

2 


Da  aber  die  Bedingung  besteht: 

SectOP4^  =  iSect  OP,^, 
so  folgt  nach  (59) : 


also: 


V+yi*  =  oÄ,, 


y**      ««—« 


Mithin  erhält  man: 


x^+a 


«*s(^« — ö) 


-— ,        OA.OQ^.AQ, 
^♦^  OA+OQt 

-p^  _  OA,OQi.AQ^+OA,OQ^.Q^Qt 
*      ■"  OA+OQt 


P  ab  Sil  Die  Cono'Cuntim  315 

Mit  AnweaduDg  der  Proportion  (64)  ergiebt  sich  hieraas: 


P^T* 


OA+OQ^ 


(66)  P^T*  '^  AQ^.OQi^  OAMiQi 

Daraus  fliesst  der  Satz:  Sind  0,  A^  Q^  und  Qt  vier  harmonische 
Punkte  auf  der  Axe  einer  gleichseitigen  Hyperbel,  und  bestimmt  man 
P4  so  auf  dem  Hyperbelbogen,  dass:  Sect 0P4^  =  ^ Sect OPg^^  ist, 
dann  ist  die  Tangente  in  P^  die  mittlere  Proportionale  zwischen  AQ^ 
und  OQ2  oder  zwischen  OA  nnd  Q^Q^ 

Wir  haben  vorhin  erhalten: 

Daraas  folgt: 

Q4P4»""       ^Q,       ■"        AQ^.AQi       ' 
wenn  man  die  Proportion  (64)  berücksichtigt..    Mithin  resultirt: 


OQ4«  :  Q4P4«  —  O^  :  AQj^ 
F&llt  man  von  Q«  die  Senkrechte  Q«^  auf  OP4,  so  ist : 


OQ4*  :  Q4P4«  —  ON :  iVP4 

Aus  beiden  Proportionen  ergiebt  sich: 

OA  :^Qi=  ONiNP^ 
d.  h. 

ANiQiP^ 

Hierauf  kann  man,  wenn  die  gleichseitige  Hyperbel  gegeben  ist,  eine 
Construction  des  zu  O  conjugirten  vierten  harmonischen  Punktes  zu 
Oy  A  and  Qf  gründen.  Man  constmire  über  OQ^  als  Durchmesser 
einen  Halbkreis,  welcher  die  Scheiteltangente  in  i2j  schneidet,  mache 
OP4  «-  OÄi,  fälle  von  P4  die  Senkrechte  P4Q4  auf  OQ,  und  von  Q4 
die  Senkrechte  Q^N  auf  OP^ ;  ziehe  durch  P4  die  Parallele  zu  AN, 
so  schneidet  diesü  Parallele  die  Hyperbelaxe  in  dem  zu  O  zugeordneten 
vierten  harmonischen  Punkt  Q^. 


§  19. 

Gehen  wir  nun  zur  Betrachung  des  einfachen  geraden  hy- 
perbolischen   Gono-Cuneus  über.     Nehmen  wir   hierbei   als 


816  Pabxt:  DU  Cono-Cunei, 

Leitlinie  dieselbe  Hyperbel  wie  beim  geteilten  geraden  hyperbolischen 
Cono-Caneus: 


als  Directorebene  demnach  die  X^-£bone  und  die  F-Axe  als  fdngn- 
läre  Kante,  so  müssen  die  erzeugenden  Geraden  den  Gleichungen 
genügen : 

so  dass  man  als  Gleichung  des  in  Bede  stehenden  Cono-Cnnens  er* 
hält: 

Aus  dieser  Gleichung  geht  hervor,  dass  x  jeden  beliebigen  Wert 
annehmen  kann.  Ferner  folgt  daraus,  dass  jede  zur  JTF-Ebene 
parallele  Ebene  den  einfachen  geraden  hyperbolischen  Cono-Cnneus 
(67J  in  einer  Hyperbel  schneidet,  deren  Mittelpunkt  auf  der  i^-Axe 
liegt,  und  deren  Axen  bezüglich  in  die  Ebenen  der  xs  und  der  pz 
fallen.  Darin  stimmen  die  beiden  geraden  hyperbolischen  Cono-Cunei 
überein.  Während  aber  beim  geteilten  alle  ausgeschnittenen  Hyper- 
beln dieselbe  reelle  Axe  haben ,  wachsen  beim  einfachen  diese  Axen 
proportional  dem  Abstände  der  schneidenden  Ebene  Ton  der  singn- 
lären  Kante.  Die  reellen  Axen  der  Hyperbeln  des  einfachen  geraden 
hyperbolischen  Cono-Cuueus  verhalten  sich  also  genau  so  wie  die 
imaginären  der  Hyperbeln  des  geteilten,  und  umgekehrt  sind  die 
imaginären  Axen  der  Hyperbeln  des  einfachen  einander  gleich  wie 
die  reellen  derjenigen  des  geteilten. 

Hieraus  folgt,  dass  beim  einfachen  geraden  hyperbolischen  Cono- 
Cnneus  (67)  die  Scheitel  der  ausgeschnittenen  Hyperbeln  von  ^«od 
bis  z  '^O  sich  einander  nähern,  bis  sie  f ür  s  =  0  zusammenüallcn, 
während  die  Entfernung  der  Scheitel  der  Hyperbeln  des  geteilten 
constant  bleibt.  Die  beiden  Teile  des  einfachen  geraden  hyperboli- 
schen Cono-Cuneus  (67)  liegen  daher>  nicht  von  einander  getrennt, 
sondern  treffen  in  der  singulären  Kante  zusammen ,  womit  die  Be- 
zeichnung „einfach^'  zusammenhängt 

Die  beiden  geraden  hyperbolischen  Cono-Cunei  unterscheiden 
sich  in  Betreff  der  ausgeschnittenen  Hyperbeln  noch  darin,  dass  beim 
geteilten  die  Zweige  der  Hyperbeln  sich  von  ihrer  reellen  Axe  mit 
wachsendem  Abstände  von  der  singulären  Kante  entfernen,  während 
sie  umgekehrt  beim  einfachen  sich  mit  wachsendem  Abstände  von 
der  singulären  Kante  ihrer  reellen  Axe  nähern. 


Pab$i:  Die  Cono-Cunet.  317 

Der  einfache  gerade  hyperbolische  Cono-Caneus  stimmt  wieder 
darin  mit  dem  geteilten  überein,  dass  auch  bei  ihm  die  Brennpunkte 
der  ausgeschnittenen  Hyperbeln  auf  einer  Hyperbel  liegen,  deren 
Gleichung  ist: 

(68)  -,  -  ro  =  1 


a' 


b^c^ 


Der  Mittelpunkt  dieser  Hyperbel  ist  demnach  der  Coordinatenanfang, 

ihre  reelle  Axe  2a  liegt  in  der  Z-Axe,  ihre  imaginäre  2  —     in   der 
Z-Axe. 

Berücksichtigen  wir  hierbei  die  Gleichung  (39),  so  resultirt  der 
Satz:  Schneiden  sich  die  beiden  geraden  hyperbolischen  Cono-Cunei, 
deren  singulare  Kanten  in  einer  Ebene  liegen  und  auf  einander  senk- 
recht stehen,  in  einer  gleichseitigen  Hyperbel,  so  liegen  die  Brenn- 
punkte der  durch  Ebenen  parallel  dieser  Durchschnittslinie  aus  ihnen 
aasgeschnittenen  Hyperbeln  auf  einer  und  derselben  Hyperbel. 

Die  Asymptoten  einer  durch  eine  Ebene  parallel  der  XY-Ehene 
aus  dem  einfachen  geraden  hyperbolischen  Cono-Cuneus  (67)  ausge- 
schnittenen Hyperpel  genügen  der  Gleichung: 

Die  Asymptoten  aller  dieser  ausgeschnittenen  Hyperbeln  liegen  dem- 
nach auf  den  beiden  hyperbolischen  Paraboloiden : 

(69)  ja,«-*c«-0 

Vertauschen  wir  in  diesen  Gleichungen  y  mit  x,  so  gehen  dieselben 
über  in: 

(  axz  -  hcy  =  0 

l  axz-j^-ocy  «=  U 

Das  sind  aber  die  Flächen,  auf  denen  die  Asymptoten  der  Hyperbeln 
des  einfachen  geraden  hyperbolischen  Cono-Cuneus  (67)  liegen,  wenn 

7t 

man  denselben  um  die  J?-Axe  um  ö~  dreht. 

Mit  Berücksichtigung  der  Gleichungen  (40)  resultirt  daher  der 
Satz:  Schneiden  sich  die  beiden  geraden  hyperbolischen  Cono-Cunei, 
deren  singulare  Kanten  in  einer  Ebene  liegen  und  auf  einander  senk- 
recht stehen,  in  einer  gleichseitigen  Hyperbel',  und  dreht  man  den 

einen  um  die  J^Axe  um   »i  so  liegen  die  Asymptoten  der  aus  beiden 


318  Pah»t:  Die  Cono-dtnei, 

Flächen  durch  Ebenen  parallel  ihrer  Dorchschnittslinie  ausgeschnitte- 
nen Hyperbeln  auf  denselben  beiden  hyperbolischen  Paraboloiden. 

Da  diese  Paraboloide,  me  beim  geteilten  geraden  hyperbolischen 
Cono-Cnneus  nachgewiesen  worden  ist,  zugleich  die  einhüllende  Fläche 
der  Schaar  von  Cono-Cuneis  bilden,  welche  durch  ihre  Gleichung 
dargestellt  wird,  wenn  der  Parameter  der  aus  einer  solchen  Fläche 
ausgeschnittenen  gleichseitigen  Hyperbel  variabel  ist,  so  kann  man 
diesen  Satz  auch  so  deuten: 

Schneiden  sich  die  beiden  geraden  hyperbolischen  Cono-Cnnei, 
deren  singulare  Kanten  in  einer  Ebene  liegen  und  auf  einander  senk- 
recht stehen,  in  einer  gleichseitigen  Hyperbel  mit  dem  halben  Para- 
meter a,  so  bestehen  die  einhüllenden  Flächen  der  beiden  Flächen- 
schaaren,  welche  durch  die  Gleichungen  der  beiden  Gono-Cunei  dar- 
gestellt werden,  wenn  a  variabel  ist,  und  der  eine  um  die  ^Axe  um 

~  gedreht  wird,   aus  denselben  beiden  hyperbolischen  Paraboloidat 


§  20. 

Als  Gleichung  der  Tangentialebene  im  Punkte sys  des  ein- 
fachen geraden  hyperbolischen  Cono-Cuneus  (67)  ergiebt  sich,  wenn 
£,  1},  £  die  laufenden  Coordinaten  sind: 

Von  derselben  gelten  analoge  Beziehungen  wie  von  deijenigen  des 
geteilten  hyperbolischen  Cono-Cuneus.  Die  Berührungspunkte  der- 
jenigen Tangentialbenen,  welche  die  vorgelegte  FlärJie  (67)  längs  einer 
ganzen  Erzeugenden  berühren,  liegen  auf  den  Durchschnittslinien  der 
^^-Ebene  mit  der  Fläche.  In  den  Punkten  der  singulären  Kante  giebt 
es  ebenfalls  je  zwei  Tangentialebenen,  welche  durch  die  singulare 
Kante  gehen  und  mit  der  FZ-Ebene  entgegengesetzt  gleiche  Winkel 
bilden. 

Betrachten  wir  jetzt  das  Volumen  V  zwischen  den  Ebenen 
y  =  0,  y  —  yo)  '  ""  ^)  a;  —  0  und  dem  zugehörigen  Teile  des  ein- 
fachen  geraden  hyperbolischen  Cono-Cuneus  (67),  so  erhält  man  ftr 
dasselbe: 

Mit  Berücksichtigung  der  Gleichung  (67)   lässt  sich  diese  CrleichQqg 
auch  so  schreiben: 


Pabtt:  Die  CoBO-Cuati.  319 


(73) 


Ferner  folgt  aas  der  Gleichung  (50),   wenn  man  darin:   '^xq^—q* 
durch  —  ersetzt: 

(74)         V  -  boyo«o J^lg  ^      «^       ; 

Yertauschen  wir  in  (73)  x  mit  y,  d.  h.  drehen  wir  den  einfachen 

geraden  hyperbolischen  Cono-Caneus  (67)  um  die  Z-Axo  um  ^,  so 
geht  diese  Gleichung  über  in: 

(/3a)       r  =»  Kyo^+  "4  -  lg  \^— ^^; — j 

Setzen  wir  hierin  a  »  &,  so  resultirt: 

Daraus  fliesst  der  Satz:  Schneiden  sich  die  beiden  geraden  hyper- 
bolischen Cono-Cunei,  deren  singulare  Kanten  in  einer  Ebene  liegen 
und  auf  einander  senkrecht  stehen ,  in  einer  gleichseitigen  Hyperbel, 

und  dreht  man  den  einen  um  die  Z-Axe  um  ö  9    so  ist  die  Summe 

der  zu  denselben  Coordinaten  x^^  y^^  zq  gehörenden  Volumina  der 
beiden  Flächen  gleich  dem  halben  Volumen  eines  rechtwinkligen 
Parallelepipedons  mit  den  Kanten  a\),  ^09  %• 


320  Misceiien. 


XV. 


Misceiien. 


1. 

Mehrfach  collineare  Dreiecke  bei  Kegelschnitten« 

Für  zwei  collioeare  Dreiecke  giebt  es  bekanntlich  stets  einen 
Kegelschnitt,  in  Bezug  auf  welchen  die  beiden  Dreiecke  polarreciprok 
sind.  Wenn  nun  die  Dreiecke  r-fach  collinear  (r  »  2,  3,  4,  6) 
sind'*'),  so  giebt  es  r  solche  Kegelschnitte.  Die  Beziehungen  dieser 
Kegelschnitte  unter  einander  wollen  wir  erörtern. 

Es  seien  die  Dreiecke  ahe  und  123  in  (aib^e^yCoDiue^on- 
Bei  passend  gewähltem  Coordinatensystem  sind  dann: 

ic:«  — 0  23:  Aa;-f  y+3==0 

ca  :  y  =  0  31  :  a;-{~f*yt"^  =  0 

od  :  «  B- 0  12  :  a:4"y  +  VÄ  =  0 

und  der  Kegelschnitt,   in   Bezug   auf  welchen   die  Polarreciprocität 
statt  hat: 

ÄJ  =  Aa?*+  fiy«+  vz^+  2y2+  2zx  +  2xy  =  0 

Nehmen  wir  nun  nach  einander  die  Fälle  der  mehr&cheQ  Colli- 
neation  in  Betracht. 

1.  Die  Dreiecke  sind  auch  in  (ai&3C2)-ColIineation,  wenn  pl-=  r 
ist.    Der  zu  dieser  Collineation  gehörige  Kegelschnitt  ist: 


*)  Mehrfache  Collineation  Ton  zwei  Dreiecken.    Qrnner'ts  Archir  Bd.  7o. 
Seite  105. 


Miscetten.  321 

also  k  — X;,  ^  (fi--l)(y  — »)«,  woraus  folgt,  dass  die  beiden  Kegel- 
schnitte sich  doppelt  berühren,  mit  al  als  Berührnngssehne. 

Sehen  wir  nach,  ob  diese  Beziehung,  die  sich  als  notwendig  her- 
ausstellte, auch  hinreichend  ist? 

Es  seien  k  and  k^  in  doppelter  Berührung.  Bei  passend  ge- 
wähltem Coordinatensystem  seien  ihre  Gleichungen: 

k  =  s«+2iyj:  ==0      k^  =  i5*+2i/{:  -  0 

Der  Punkt  1  habe  die  Coordinaten    0,  i/^,    j^^ 

«  2      „        „  „  §2,  i/j,  i2' 

k  gehöre  zur  (a^b^Ci^)',  k^  zur  (ai&sCg)-Collineation. 
Dann  wird 

öö:      SsH-?s^+^2f  "=  0    (Polare  von  2  bis  k) 
ab  :      S2t+&^+%?  ""  0    (Polare  von  2  bei  k^) 

Nun  ist   aber  3   einerseits   der   Pol   von  ö^   bei    kil^^^  i^,,  i;^), 

andererseits  der  Pol  von  ac  bei  ^'iIt,  %»  ig))  also  niuss 

i«-l    folglich    ?«— 1 
sein.    (Z  =»  1  würde  ät^  mit  k  identisch  machen). 
Die  Bedingungen  sind  also: 

a)  k  und  kl  sollen  sich  doppelt  berühren ; 

b)  die  Summe  der  beiden  Factoren   (/),  wodurch  ^-}-/ä:,  sich  in 
lineare  Factoren  zerlegt,  muss  =  0  sein. 

Dann  kann  man  den  Punkt  2  ganz  beliebig,  den  Punkt  1  auf 
der  Berührnngssehne  annehmen,  dann  erst  bestimmt  sich  3  eindeutig 
so,  dsss  123  in  Bezug  auf  k  und  k^  dasselbe  Dreieck  zum  polar- 
reciproken  besitzt 

2.    Die  Dreiecke  sind  vierfach  collinear,  wenn  A  -=  ft  =  v  ist 

k=Xx^'\-lri*'\'Jiz^2t/zr{-2zx'i-2xy=0  gehört  zur  (a,V3)-Collection 

k,^kx^+y^+z^+2ky^+2zx+2xy=0         „         „  (o^Vj)         n 

ij=aj«+V-H*+2y3+2A«c+2xy-0         „         „  (a^Vi)         ,r. 

k;^=x^'\-y^kz^+2yz-\-2zx+2kxy^0        „         „  (ojÄiCj)         „ 

also 

Arch.  d.  Matli.  a.  Fliys.    2.  Beihe,  Teil  II.  21 


322  MiseeUen, 

A:-*i=(X-l)(y-«)«  A:^-Ä:s=(X-l)(y-z)(-2Ä4-H-«) 

A:-^={X-1)(«-»)«  ife8-ifci=(A~l){*-a:)(*-2y-|.») 

h^k^=(l  -l)(a;-y)«  Ar,— Jfci=(A-l)((t-y)(»+y~2«) 

woraus  man  ganz  denüich  die  gegenseitige^age  der  vier  Kegelschnitte 
sieht  Wenn  man  noch  beachtet,  dass  die  Tangente  an  Q  vom 
gemeinschaftlichen  Punkte  (1,  1,  1)  der  BerQhrungssehnen  yon  k  und 
Ar,,  k  und  k^^  k  und  k^  sind: 

ar  +  tty+tt*«  ■=■  0        a;-(-a*y-(-az  =  0 

(a  eine  complexe  dritte  Einheitswurzel)  kann  man  die  Ergebnisse  so 
aussprechen: 

Die  binäre  kubische  Form,  die  »  0  gesetzt  die  drei  BerOhrongs- 
sehnen  (y — z  =»  0,  a— ar  ->  0,  «  —  y  =-  0)  darstellt,  hat  die  erzeu- 
genden gemeinschaftlichen  Sehnen  von  k^^  £^,  k^  ( — 2x-(-y-f '^^t 
X — 2y-\-z  ««  0,  «+y — 2a  ->  0)  zur  kubischen  CoTariante,  und  die 
Tangenten  zur  Hesse'schen  Covariante. 

Wenn  man  aber  diese  Tangenten  und  die  zugehörige  BerOhrnngs- 
sehne  zu  Coordinatenaxen  wählt,  werden  die  Gleichungen  ein&cber: 

k  =  S'+2i/{: «  0  oder        ib  =  g«  +  2iyJ  =  0 

k,  =  ^^  +  2fit+iri-^t)  -  0  k,=  S^+fi*  +  t^  =  0 

k^  =  j«4.2iyj:+(««i?-  af)»  «0  ifc,  =  f*+«i?*+«*P  «  0 

die  Gleichungen  erscheinen  in  reeller   Form,  wenn  mau  statt  i;,  t 
resp.  mit  ij  +  f»  und  —ly  +  t*  proportionale  Grössen  einffihrt 

Der  Punkt  1  kann  auf  der  Geraden  17  —  f  »  0  beliebig  gewählt 
werden,  dadurch  aber  bestimmt  sich  123  eindeutig  so,  dass  die  zu- 
gehörigen polarreciproken  Dreiecke  identisch  werden. 

3.  Die  Dreiecke  sind  in  (aih^e^)  -,  ((hh^i)  -1  (a8*i<'i)-^<^** 
neationen,  wenn  liiv  '^  1  ist. 

fci=ila;*+f*y*+»'«*+2ya+2ÄC+2a;y«»0  gehört  zu    (aiVs)-CollineAtion 
Ä:j=iC«+fiy*+^va*+2f*vy»-|-2«r+2j»a;y— 0     „     „      (fl,isC|)-        „ 
k^^x^{kvy^-vx^-2^vyz^^2vzx+2xy'^0     „     „      {aJb^Ct)'        v, 

Diese  Kegelschnittte  berühren  sich  im  Allgemeinen  nicht.  Be- 
ziehen wir  die  beiden  ersten  auf  ihr  gemeinschaftliches  Poldreieck. 
Ihre  Gleichungen  seien: 


MUcellen,  323 

Die  Coordinaten  von  1.  seien  fj,  iy„  Ji.    Dann  sind: 

be  :     Jil+i7ii?+fif  «=  0  (Polare  von  1  bei  *,) 

a*  =     ^i^+^VtV+^tit  =  ^  (Polare  von  1  bei  it,) 

Die  Coordinaten  von  3:    ISi,  wii/„  nf  (Pol  von  öi  bei  *,) 

Die  Coordinaten  von  2:    ~,    ~,     -  (Pol  von  äc  bei  M 

Nun  aber  wird  ac  einerseits: 
^fjS4-»»*^i^+«*fif  =  0    (als  die  Polare  von  3  bei  ifc, 
andererseits: 

1^  1+  ^S  —  ^- 1  -=  0    (als  die  Polare  von  2  bei  ifc,) 

es  mass  also  sein 

Z^  «  wi^  =  n'    (=1,  wie  wir  annehmen) 
Zwei  wesentlich  verschiedene  Fälle  sind  zu  unterscheiden: 

a)  /  «=»  jw  =  1,      n  =  «, 
dann  sind 

Ä:i  =  S«  +  iy2  +  S^  =  0 

diese  können  aber  nicht  in  reelle  Form  übergeführt  werden. 

b)  /  =  1,    w  =  a,    »  «=  a*, 
dann  sind 

Dieser  Fall  tritt  ein,  wenn  die  kubische  Gleichung,  deren  Wur- 
zeln 2,  m,  n  sind,  eine  reine  Gleichung  wird.*  Dies  bedingt  das 
gleichseitige  Yerschwinden  der  beiden  wohl  bekannten  simultanen 
Invarianten,  die  bei  Salmon  mit  S  und  S'  bezeichnet  werden. 

Zu  den  obigen  drei  Kegelschnitten  kann  ein  vierter  auf  dreierlei 
Art  so  bestimmt  werden,  dass  das  System  der  vier  Kegelschnitte 
vierfach  polarreciproke  Dreiecke  zulässt.     Diese  Kegelschnitte  sind: 


324 


MiscBÜen, 


Die  sechs  Kegelschnitte  endlich  bilden  ein  System,  in  Bezug  auf 
welches  die  Dreiecke  123  und  abe: 


23 
31 
12 


sechsfach  polorreciprok  sind. 


Unter  den  6  Kegelschnitten  giebt  es  höchstens  vier  reelle,  die 
beiden  Dreiecke  sind  immer  imaginär. 


Klausenbnrg  (Ungarn)  1884  Februar. 


J.  Vdlyi. 


2. 

Ueber  drei  geometrische  KrelsSrter. 

Bei  der  Construction  von  Dreiecken  aus  gegebenen  Stflcken 
spielt  die  Lehre  von  den  geometrischen  Oertem  eine  wichtige  Bolle. 
Wenn  ich  im  folgenden  auf  drei  solche  Oerter  die  Aufmerksamkät 
lenke,  so  bin  ich  weit  entfernt  zu  behaupten,  dass  dieselben  nicht 
schon  anderweitig  bekannt  seien;  indessen  habe  ich  sie  in  keinem 
der  bekannteren  Werke  über  elementare  Geometrie  angetroffen.  Anch 
dürfte  die  analytische  Ableitung  derselben,  wenigstens  meines  Wissens, 
mir  eigentümlich  sein.  Ich  gehe  nun  an  die  Formulimng  der  Aif- 
gabe: 

„Wenn  bei  constauter  Basis  und  constant^m  Radius  des  mh 
schriebenen  Kreises  eines  Dreieckes  der  Scheitel  des  Dreieckes  sich 
längs  der  Peripherie  des  Kreises  bewegt,  so  ist  die  Frage  nach  deo 
geometrischen  Oertem,  welche  der  Schwerpunkt  des  Dreieckes,  der 
Durchschnittspunkt  seiner  Höhen  und  der  Mittelpunkt  des  dem  Drei- 
ecke eingeschriebenen  Kreises  beschreiben.^^ 

Das  System  rechtwinkliger  Coordinaten  werde  für  alle  drei  Fille 
so  gelegt,  dass  die  ^-Axe  mit  der  Basis  des  Dreieckes  zusammen- 
fällt, während  die  F-Axe  den  Mittelpunkt  des  umschriebenen  Kreises 
enthält.  Der  Punkt  A  der  Basis  habe  die  Coordinaten  (— p,  0),  itr 
Punkt  B  (-f-P)  0).  Der  Scheitel  des  Dreieckes  besitze  die  variablen 
Coordinaten  {x^^  y^-^  endlich  sei  die  Gleichung  des  Kreises: 


Misceüen,  g25 


(1)  (y-g)»+ai* 


r 


2 


p  und  q  sind  an  die  Bedingong  gebanden: 

Nimmt  man  für  die  Coordinaten  des  Schwerpunktes  S  J  und  ly, 
so  ist  bekanntlich 

*       3      .''■='  3 

Da  nun  x^  und  y^  einem  Punkte  des  Kreises  angehören,  also 
die  Gleichung  (1)  identisch  erftülen  müssen,  so  ergibt  sich  fOr  den 
geometrischen  Ort  als  Gleichung 


('-|)'+=-(0 


ein  Kreis,  dessen  Mittelpunkt  auf  der  Ordinatenaxe  in  der  Entfer- 
nung I  sich  befindet,  und  dessen  Radius  gleich  dem  dritten  Teile 
des  Radius  des  umschriebenen  Kreises  ist. 

Es  sei  H  der  Schnittpunkt  der  Höhen ,  seine  Coordinaten  |  und 
17;  ttbrigens  sei  alles  wie  zuvor;  für  £  und  17  findet  sich: 

I  =  rti  17  «• =»  

Vi  .      Vi 

Aus  der  Gleichung  (1)  aber  folgt: 

!>*  — a^i*  =  yi*  — 2yi5 
mithin 

und  daher  also  Gleichung  des  geometrischen  Ortes: 

d.  L  ein  Kreis,  der  mit  dem  umschriebenen  gleichen  Radius  hat,  und 
dessen  Mittelpunkt  auf  der  Ordinatenaxe  in  der  Entfernung  — q  liegt. 

Etwas  schwieriger  gestaltet  sich  der  Beweis  für  den  dritten  Fall 
den  geometrischen  Ort  des  Mittelpunktes  des  eingeschriebenen  Kreises 
betreffend,  da  das  Auftreten  von  Wurzelgrössen  weitläufige  Rech- 
nungen notwendig  macht.  Indessen  ist  es  mir  gelungen  durch  einige 
einfache  geometrische  Betrachtungen  die  Auflösung,  wie  ich  glaube, 
möglichst  einfach  zu  gestalten. 


326  MiBcelkn. 

Aus  der  bekannten  Glelcbung  für  die  Grösse  des  Radius  des 
einem  Dreiecke  eingeschriebenen  Kreises  folgt  fftr  cyr  -»  17  der  Wert 

Schafft  man  die  Wurzelzeichen  weg,  und  drückt  mit  Hilfe  der  Glei- 
chung (1)  alle  Xx  durch  y^  aus,  so  resnltirt  folgende  Bedingufigs- 
gleichung: 

i?«+2(r~3)i, 


«)    yi 


r  —  q 


Andrerseits  muss  der  Punkt  a>  aus  leicht  einzusehenden  Gründen  immer 
auf  der  Geraden  CO*  liegen,  deren  Gleichung  lautet: 

p)     y^ «+«—»' 

Eliminirt  man  mit  Hilfe  Yon  (1)   aus  {ß)  die  Grösse  x, ,  setzt 
femer  x  =  l  und  y  »  17  aus  der  Gleichung  (a),  so  wird 

-f-  r  —  <i  ^     .  —  ^ 

nach  gehöriger  Reduction  folgt  hieraus 


g  +  r       r  +  g  +  yj 

Ersetzt  man  hierin  den  Wert  y^  durch  1;  gemäss  (o),  so  findet  sicli 
als  Gleichung  des  geometrischen  Ortes: 

l*  +  (^  +  r-g)*«2r(r-g) 

d.  i.  ein  Kreis,  dessen  Mittelpunkt  auf  dem  unteren  Durchschnitt  des 
umschriebenen  Kreises  mit  der  Ordinatenaxc  liegt  {O')^  and  dessen 
Radius  gleich  ist  A0\ 

Der  Beweis  für  den  letzteren  Ort  lässt  sich  auch  unschwer  syn- 
thetisch führen.  Bezeichnet  man  nämlich  die  Dreieckswinkel  in  ge- 
wohnter Weise  mit  a,  /3,  y^  so  ist 

VAO'  -  I 

Nennt  man  einen  Basiswinkel  des  gleichschenkligen  Dreieckes 
Af^O'  i(>,  so  ist  wegen 

Wkl.  ÄO'C^ß 


and  daher 


MiscelUn.  327 


Wkl.  «^7«.-^— 1=900— ^i^=|    w.  z.  J.  w. 

Es  würde  mich  zu  weit  führen  alle  Fälle  anzuführen,  in  denen 
vorstehende  Oerter  sehr  einfache  und  elegante  Dreiecksconstructionen 
erlanhen;  es  genüge  nur  für  den  letzten  Fall  drei  Aufgaben  dieser 
Art  anzuführen: 

Von  einem  Dreiecke  seien  die  Kadien  des  um-  und  eingeschrie- 
benen Kreises  und  die  Basis  oder  ihr  Gegenwinkel  gegeben;  oder: 
von  einem  Dreiecke  sei  die  Basis,  die  Summe  der  Scheitelseiten  und 
der  Radius  des  eingeschriebenen  Kreises  gegeben.  In  diesen  Fällen 
erlaubt  der  letzte  geometrische  Ort  eine  weit  einfachere  Gonstrnction 
als  dies  mit  Hilfe  der  Rechnung  und  nachheriger  Construction  der 
berechneten  Formel  geschehen  kann. 

Karl  Zelbr, 
Assistent  der  k.  k.  Sternwarte  zu  Wien. 


3. 

Ueber  die  Tollkommenen  Zahlen,  Insbesondere  über  die  bis  Jetzt 
zweifelhaften  Fälle  2*o.(2*i  — i),  2*«.(2*7-l)  und  2".(2M  — i). 

In  einem  Aufsatze  von  Kraft  über  die  numeri  perfecti  (Comm. 
Petrop.  T.  YII.  p.  7—14.)  giebt  dieser  im  Ganzen  zehn  solcher  Zahlen 
an,  als  die  einzigen  bekannten.  Die  vollkommenen  Zahlen  (numeri 
perfecti)  sind  bekanntlich  solche,  für  welche  die  Teilersumme  der 
Zahl  gleich  dieser  Zahl  selbst  ist.  Die  einfachste  dieser  Zahlen  ist 
6=1  +  2  +  3;  die  allgemeine  Formel  ist  2*(2»»+i~l)  =  iV  und 
zwar  mit  der  Bedingung,  dass  der  zweite  Factor  eine  Primzahl  ist. 
Bildet  man  nämlich  unter  dieser  Voraussetzung  die  Divisorensumme 
von  2^(2»•+l— 1),  so  erhält  man  für  diese  (2"+»  — l).2»»+i,  mithin 
das  Doppelte  von  N,  Zieht  man  von  der  Divisorensumme  N  selbst 
ab,  um  die  Summe  der  aliquoten  Teiler  zu  erhalten,  so  ist  letztere 
demnach  gleich  N. 

Die  von  Krafft  aufgeführten  zehn  numeri  perfecti  sind  nun 
2.(2«— 1),  2«(2»— 1),  2^(20—1),  2«(2'  — 1),  2«(2i3— 1),  2i«(2"— 1), 
2"(2«— 1),  2«>(2»i  — 1),  2*0(2*1—1)  und  2*«(2*7— 1). 


328  MisoelUn. 

Für  die  Zahlen  2^—1  bis  2^»—l  ist  ihre  Eigenschaft  als  Prim- 
zahlen sofort  zu  constatiren;  2"— 1  =  2147483647  hat  L.  Enler 
als  Primzahl  erwiesen,  und  ich  fand  dies  dadurch  bestätigt,  dass  für 
die  vier  zasammengehörigen  Formenclassen  (1, 0, 13398) ;  (22, 0, 609) ; 
(58,  0,  231);  42,  0,  319)  nur  eine  einzige  quadratische  Darsteüang 
möglich  ist,  nämlich  22.70012+609.1325^.  Euler  selbst  hat  den 
Nachweis  dadurch  geliefert,  dass  er  die  Zahl  durch  sämmtliche  Prim- 
zahlen von  den  einzig  möglichen  Formen  248^  +  1  und  2482+63 
bis  zu  der  Quadratwurzel  hin  dividirte,  ohne  dass  irgend  einmal  der 
Divisor  aufging. 

In  Betreff  der  Zahlen  2*^—1  und  2*7  —  1  bemerkt  Krafft,  dass 
Euler  in  einer  gelegentlichen  Bemerkung  diese  für  Primzahlen  erklärt 
habe.  Ich  fand  mich  nun  bewogen,  nachdem  ich  schon  vorher 
2»*— 1  =  223.616318177  und  2*8  —  1  =  431.20408568497  gefunden 
hatte  ^),  auch  jene  beiden  einer  Prüfung  zu  unterwerfen.  Es  sei  mir 
gestattet,  das  hierbei  beobachtete  Verfahren  für  eine  der  beiden, 
etwa  2*7 — 1  kurz  anzugeben. 

Durch  Ausziehung  der  Quadratwurzel  aus2*7-l=  140737488355327 
findet  man  2*^  —  1  «  11 863 283^+4817 238. 1». 

Da  nun  jeder  Prim-Divisor  von  2»»  — 1,  wenn  n  eine  Primzahl 
ist,  die  Form  2fia+l  haben  muss,  also  für  2*7—1  die  Form  94« -f-l? 
mit  anderen  Worten,  da  jeder  Divisor  ^  1(47)  ist,  so  muss  auch 
— 47  quadratischer  Rest  jedes  Divisors  sein.  Es  kam  also  daraof 
an,  aus  obiger  quadratischen  Darstellung,  deren  Determinante 
—  4817238  ist,  eine  andere  zu  gewinnen,  deren  Determinante  den 
Factor  47  enthielt.  Setzt  mau  zu  dem  Ende  (11863283  — a)'  sUtt 
11863283^,  so  hat  man  als  Ausgleich  zu  dem  zweiten  (jliede 
2.11863283cir — a*  zu  addiren.  Für  ««12  wird  dann  der  neue 
Wert  des  zweiten  Gliedes  ^  0(47)  und  die  weiteren  Werte  für  a; 
unter  welchen  diese  Congruenz  fortbesteht,  sind  durch  die  Form 
47a; +2  bestimmt.    So  findet  man  unter  anderen 

2*7  —  1  =11 863  081^5 +2. 3. 43. 47  (629«) 

Behält  man  jetzt  für  die  Determinante  die  Factoren  3.43.47  bei,  so 
muss  von  da  an  für  «  die  Form  6063a; +1643  gebraucht  werden, 
damit  das  zweite  Glied  =  0(3.43.47)  bleibt  Es  ergiebt  sich  dann 
femer  als  Darstellung 

2*7  —  1  =  11843249«+2.3.43.47.17.37.73.853. 


1)  Zur  Zeit  war  mir  unbekannt,  dass  Krafft  in  dem  citirten  An&atie  diese 
beiden  Zerlegungen  schon  angiebt. 


MisctUen.  329 

Anf  diese  beiden  Darstellungen  soll  sich  die  Untersuchnng  im 
weiteren  Verlaufe  gründen.  Das  zweite  Glied  oder  genauer  gesprochen, 
der  Coefficient  der  zweiten  Glieder  ist  unter  Hinzunahme  des  Vor- 
zeichens (—)  in  beiden  Fällen  nichts  anderes,  als  die  Determinante. 
Erwdgt  man  noch,  dass  2^^  — 1  mit  2  raultiplicirt  sich  schreiben 
lasst  (2^*)*— 2.1^,  dass  also  —2  für  sämmtliche  Divisoren  Rest  sein 
muss,  so  können  diese  nur  dcu  Formen  8»-|-l  oder  8n-|-4  angehören. 
Sei  also  iV=  2*^—1,  und  F  ein  Factor  von   iv;  so  folgt  aus  der 

ersten  Dasstellung,  dass  (o  )  und  (  tö)  zugleich  =-f-l  oder  —  —  1 
ist,  da  ja(i,^)  stets  =+1  ist. 

Aus  der  zweiten  Darstellung  ergiebt  sich  dann  ferner,  dass  für 


(5)'  [S)'  (Ä)  ™"*  {wd) 


die  Anzahl  der  ^ichtreste  eine  gerade  sein  muss.  Die  Anzahl  der 
möglichen  Primdivisoren  ist  somit  wesentlich  verringert,  und  man 
findet,  wenn  man  für  die  zurückbleibende  die  Division  ausführt, 
iV=  2351.59862819377.    In  ähnlicher  Weise  findet  man 

2*1  — 1  ->  2199023255551  =  13767.164511353. 

Endlich  untersuchte  ich  noch  2" — 1  und  fand  dies  gleich 

,  9007199254740991  =  69431.129728784761. 

Beiläufig  sei  erwähnt,  dass  in  allen  diesen  Zerlegungen  der  zweite 
Factor,  sowol  wie  der  erste  Primzahlen  sind. 

Als  Resultat  der  Untersuchungen  ergiebt  sich  demnach,  dass  die 
aufeinanderfolgendenZahlen237  — 1,2*1— 1,  2"  — i,  2*7  —  1,  2^^  —  l 

keine  Primzahlen  sind  und  dass  also  die  vollkommenen  Zahlen  bis 
jetzt  auf  die  bekannten  acht  beschränkt  bleiben  müssen,  nämlich 

2(2«— 1),  2«(23— 1),  2*(2«^— 1),  2«(27— 1),  2i«(2i»-.l),  2i«(2"— 1), 

218(219  —  1),  230(231  —  1). 

Seelhoff. 


4. 
Zur  Analyse  sehr  grosser  Zahlen. 


In  dem  Folgenden  möchte  ich  vorläufig  nur  kurz  eine  Methode 
angeben,  welche  die  Schwierigkeiten  der  Analyse  sehr  grosser  Zahlen 
wenigstens  bedeutend  vermindert.  Ich  habe  hierbei  Zahlen  im  Auge, 
welche  über  1000  Million  hinausgehen-,  denn  bis  zu  dieser  Grenze 


330  MiscdUn, 

nnd  in  manchen  Fällen  anch  noch  darüber  hinaas  verdienen  die  Ton 
mir  der  Mehrzahl  nach  erst  gefundenen  ccal60  Determinanten,  welche 
sämtlich  für  die  entsprechenden  Zahlengattnngen  nnr  Darstellnngen 
in  der  Form  (m,  o,  n)  zulassen,  bei  weitem  der  Vorzug. 

Die  Methode  besteht  wesentlich  darin,  eine  Anzahl  Ton  einfachst 
möglichen  Determinanten  auf  leichte  Weise  zu  gewinnen,  yermöge 
deren  sich  die  in  Frage  kommenden  Primdivisoren  je  auf  die  Hälfte 
rcducireu  lassen,  so  dass  also  beispielsweise  sich  deren  Anzahl  bei 
10  Determinanten  bis  auf  den  1024  ten  Teil  vermindert.  Ich  lege 
zu  ihrer  Auseinandersetzung  eine  bestimmte  Zahl  zu  Grunde,  am  mich 
kurz  fassen  zu  können;  es  sei  dies 

iV=  264  +  1  =  18-446744073709-551617. 
Setzt  man 

N^  (4294967296  — a)«+(8589934592  —  o)a4-l 

und  nennt  das  erste  Glied  rechts  A,  die  beiden  anderen  zusammen- 
genommen B^  die  beiden  Teile  B^  und  B^ ,  so  handelt  es  sich  darum, 
B  als  eiu  Product  m.n,..b^  darzustellen,  wobei  dann,  jenachdem  B 
positiv  oder  negativ  ist,  die  gesuchte  Determinante  '^mn...  wird 
Die  Primzahlen  m^  n . . .  und  ebenso  die  Functionen  von  b^  können 

n  ur  solche  sein,  ftlr  welche  { ~  )»  (  ~  )   ^'   8.    w.    =  + 1    ißt      In 

unserem  Falle  ist  dies  zunächst  13.  Man  hat  aber  ^^^5(13). 
Setzt  man  daher  (5  —  a)  o  ^  —  1  (13),  damit  das  ganze  B  dorch  13 
teilbar  wird,  oder  auch  statt  5  die  congruente  Zahl  — tr,  so  ist  die 
Congruenz  a^-j-Ba  ^  1(13)  zu  lösen.  Es  sei  zu  diesem  Zwecke 
a  =  —  4+«,  so  ergiebt  sich  «*  —  4  =  0(13)  und  «  ==  x  2,  abo 
a  =  —  4  +  2  oder  =  13w+ 7  oder  11.  Ferner  hat  man  iJ,  =  57  (13*). 
Setzt  man  wieder  (57  —  «)  a  =  —  1  (13«)  oder  a*+112ff  =  1(13*) 
und  a  =  — 56+Ä,  so  findet  man  s*  — 95^0(13*)  und  a  — +  67, 
also  a  =  — Ö6±67  ==  13*t«-fll  oder  46. 

Für  o  =  13m  +  7  oder  11  oder  f ür  a  =  I3*tt+ll  oder  46  nird 
also  B  stets  den  Factor  13,  resp.  13*  haben.  Bestimmt  man  den 
Wert  von  o  in  gleicher  Weise  für  die  übrigen  hierher  gehOngen 
Primzahlen  bis  lUO  oder  200,  so  lassen  sich  leicht  Combinationen 
finden,  um  gleichzeitig  eine  Anzahl  von  bestimmten  Factoren  recp. 
von  deren  Quadraten  in  B  einzuführen,  so  dass  die  neuen,  sich  noch 
ergebenden  Factoren  nicht  zu  gross  werden.  Diese  selbst  kann  man 
dann,  da  sich  die  Wurzeln  der  betrefifenden  Congruenz  sofort  ergeben, 
selbst  mit  in  die  Reihe  der  übrigen  aufnehmen.  Jenachdem  man  non 
den  Wert  für  «  positiv  oder  negativ  gewählt  hat,  wird  die  Deter- 
minante negativ  resp.  positiv. 


MiscelUn.  331 

Da  diejenigen  Factoren  m  ausgeschlossen  waren,   für  welche 
f  —  j  =  —  1  ist,  so  setze  man  ferner 

iV=  2  =  2(3037000499  — 0)2+2(6074000998  — «)« 

+  11857053615 

und  nenne  wieder  die  Teile  rechts  A  und  -ö,  resp.  B^  und  B^. 

/2N\ 
Jetzt  treten  die  Primzablen  m  ein,  für  welche  (  —  J  =  + 1  ist. 

Die  erste  ist  3.  Man  hat  Bi^l{3)  und  B^^OiS)^  also  ist  die 
Congruenz  2  (0^  + 2a)  =  0(3)  oder  o2+2a  =  0(3)  zu  lösen.  Zu 
dem  Ende  sei  «.  =  — 1+2,  dann  ist  ä=»  +  1,  woraus  «  =  3w+0 
oder  1  folgt  Ferner  Bi  =  7  (3^)  und  ^2  =  6  (3^),  mithin  2  (a2  +  2«) 
=  6  (3*)  oder  «^ + 2«  =  3  (3»).    Man  erhält «  =  3*^  + 1  oder  6  u.  s.  w. 

Aehnlich  kann  man  noch  für 

xV=  3(24797000524— 0)2  +  3(4959401 048-«)«  + 7  531 927  889 

n.  8.  w.  verfahren,  wohei  jedesmal  eine  Anzahl  der  früheren  Prim- 
zahlen austritt,  um  durch  andere  ersetzt  zu  werden.  Es  ist  wol  kaum 
nötig,  zu  bemerken,  dass  die  rechte  Seite  der  jedesmaligen  Congruenz 
so  umzuformen  ist,  dass  sie  sich  zunächst  durch  d^n  gewählten 
Factor  a  in  a.^l  teilen  lässt 

Auf  diese  Weise  erhielt  ich  für  die  vorliegende  Zahl  unter  anderen 
folgende  Determinanten,  deren  Vorzeichen  weggelassen  ist,  weil  die 
Zahl  von  der  Form  4?j  +  1  ist. 

3.11.67.157.673 

3.13.31.599.1069 

13.17.29.317.421 

3.5.13.97.563.757 

13 . 191 . 2777 

41 .  97 .  1597 

3.5.397.2113 

3.7.19.421.3041 

13.163.193.1091  u.  s.  w. 

Aus  dem  Canon  arithmoticus  von  C.  G.  J.  Jäcobi  kann  man  ohne 
Weiteres  für  die  Primzahlen  bis  1000  die  quadratischen  Reste  ent- 
nehmen und  benutzt  mau  die  Determinanten  mit  grösseren  Factoren 
erst  gegen  Ende  hin,  so  machen  auch  diese  keine  besonderen 
Schwierigkeiten. 


332  Muedlen. 

Dies  ist  in  kurzen  Umrissen  die  Methode,  um  die  DetCTmiDaoteD 
zu  finden;  wie  dieselbe  benutzt  wird,  um  die  nicht  geeigneten  Prim- 
zahlen auszuschliessen,  kann  als  bekannt  vorausgesetzt  werden. 

Was  nun  den  speciell  vorliegenden  Fall  anderweit  betrifft,  so 
hatte  ich  schon  früher  festgestellt,  dass  2^-1"^  keine  Primzahl  ist 
und  ich  vermutete  ferner  auf  Grund  einiger  Untersuchungen,  dass 
einer  der  Factoren  nicht  allzu  hoch  sein  würde.  Meine  Prüfung  er- 
streckte sich  daher  mit  Hülfe. obiger  Determinanten  auf  die  Zahlen 
bis  400000,  und  ich  blieb  zuletzt  bei  den  Zahlen  211969,  267649 
und  274177  stehen,  deren  letzte  ein  Divisor  von  2**+l  ist.  Man 
hat  nämlich,  wie  bereits  von  M.  Landry  (Mondes  2.  serie  LII.)  ge- 
funden: 

18446744073709551617  =  274177.67280421310721 

Bis  jetzt  kennt  man  von  den  Zahlen  2^"-!-^  ^^  ^^  znsanunen- 
gesetzte : 

2«*  -f  1  mit  dem  Factor  641.       (L.    Enler.      M^moires   de  Berlin. 

Ann6e  1772). 

2»'*+l  mit  dem  Factor  114689        ^Bulletin  de  1'  Ac.  des  sdenc« 
j3  <St.  Petersburg  1878  u.  1879. 

2-4-1  mit  dem  Factor  167772161  f  j   Pervouchine. 

22*^+1  mit  dem  Factor  274177. 

« 

direct  analysirt  sind  die  erste  und  letzte. 

Beiläufig  erwähne  ich  noch  die  beiden  Darstellungen  als  Summe 
zweier  Quadrate. 

264-1-1  «4294967296«+! 

4  046  803  256« + 1 438  793  759«. 
Bremen,  März  1885.  P.  Seelhof  f. 


5. 
Bemerkungen  ttber  OleiehongsanflSsong. 

1. 

Die  Methoden,   Gleichungen  aufzulösen,   wie  sehr  sie  auch  im 
Einzelnen  von  einander  abweichen  mögen,  haben  doch  das  Eise  ge- 


MiseelUn,  333 

meinsam:  Sie  beruhen  sämtlich  in  letzter  Instanz  auf  irgend  einem 
nneDdlichen  Process,  der  zur  Grenze  fohrt.  [Dass  der  Process  in 
besondern  Fällen  auch  abbrechen  kann,  ist  bekannt.]  Dieses  gilt  für 
die  sogenannten  exacten  Methoden,  welche  in  der  Beduction  der 
Gleichnngen  der  vier  ersten  Grade  anfWurzelgrössen  bestehen,  ganz 
ebenso,  wie  bei  dem  Newton'schen  Nähernngsverfahren  oder  bei 
Lagrange's  Entwicklung  einer  Wurzel  der  Gleichung  in  einen  Ketten- 
bmch. 

Die  folgende  Bemerkung  bezieht  sich  auf  alle  derartige  Algo- 
rithmen und  hat  den  Zweck,  die  flberaus  grosse  Mannichfaltigkeit 
denkbarer  Methoden  der  Gleichuogsauflösung  zu  veranschaulichen. 

Sei/(x«0  die  Gleichung,  um  deren  Auflösung  es 
sich  handelt,  so  bringe  man  dieselbe  auf  irgend  eine 
Weise  auf  die  Form 

[was  sich  auf  unendlich  viele  Arten  bewerkstelligen  lässt.] 

% 

Alsdann  wähle  man  einen  beliebigen  Anfangswert 
2o  und  bilde  dann  vermittelst  der  Function  <p  succes- 
sive  die  Reihe  von  Werten: 

«8  ^  vM 


a^n+l  «^  <p(o^n) 


Erweist  sich  sich  die  gefundene  Reihe  als  eine 
einem  bestimmten  Grenzwert  zustrebende  Zahlenfolge, 
so  ist  der  Grenzwert  eine  Wurzel  der  gegebenen  Glei- 
chung. 

Der  Beweis  dieser  Behauptung  folgt  unmittelear  aus  den  Prä« 
missen. 

2. 

Die  Bestimmung  der  Wurzeln  einer  Gleichung  kann  entweder 
direct  in  Angriff  genommen,  also  ein  dazu  dienlicher  unendlicher 
Process  aufgestellt  werden,  oder  man  reducirt  die  gegebene  Glei- 
chung zunächst  auf  eine  andere,  deren  Auflösung  bereits  bekannt 
ist.    Dieses  letztere  Verfahren,  die  Reduction,  ist  es  nun,  welches 


334  MUcelUn. 

vorzugsweise  gemeint  wird,  wenn  man  von  der  Auflösang  der  Glei- 
chungen spricht.  Man  weiss ,  auf  wie  mannichfaltigc  Weise  sich  die 
Reduction  der  Gleichungen  der  vier  ersten  Grade  auf  Wurzelgrössen, 
also  auf  die  binomische  Gleichung  a;*'  »  tr,  bewerkstelligen  lässt 

Das  hohe  Interesse  dieser  Reductionen  (Auflösungen)  iflr  den 
Mathematiker  ist  wohl  vornehmlich  in  dem  Umstände  begründet,  dass 

N 

die  Function  y ZT  nur  von  der  einzigen  Variabeln  tr  abhftngt, 
falls  man  nämlich  den  Wurzelexponenten  n  nicht  ebenfalls  als  eines 
Paramater  des  Problems  ansehen  will. 

Man  kann  aber  auch,  wie  seit  Jerrard's  Entdeckung  betreffs  der 
Gleichung  fünften  Grades  bekannt  ist,  die  Gleichungen  der  fttn  fer- 
sten Grade  auf  Functionen  von  nur  einer  Variabein  zurückführen, 
nämlich  auf  die  triuomischen  Gleichungen  «»» —  a  «  «?. 

Allerdings  darf  nicht  übersehen  werden,  dass  die  Auffassang  der 
Wurzeln  der  Gleichung  a** — a  =  «?  als  Functionen  nur  eines  Pa- 
rameters als  eine  künstliche,  eigentlich  nicht  ganz  zutreffende  ange- 
sehen werden  muss;  denn  w  ist  im  Allgemeinen  eine  complexe  Grösse^ 
und  eine  Function  fiu-^iv)  einer  complexen  Veränderlichen  »-f  «• 
wird,  wenn  man  die  Berechnung  durchführt,  in  den  meisten  Fällen 
(nicht  immer)  doch  schliesslich  von  Functionen  zweier  Argumente 
abhängig. 

Die  Function  -\^w  dagegen  lässt  sich,  wie  man  weiss,  aof  die 
Form  bringen: 

n  **, -f2to  +  arctg-V 

also  das  Product  zweier  Functionen  je  eines  linearen  Arguments 
darstellen,  und  hierin  allein  beruht  meines  Erachtens  der  theoretiscbe 
Vorzug  der  Keduction  einer  Gleichung  auf  Wurzelgrössen  vor  der 
Reduction  auf  beliebige  andere  Functionen  nur  eines  complexen  Ar- 
guments, wie  beispielsweise  auf  die  Wurzeln  der  Gleichung  z"— s=»r. 


3. 

Der  folgende  Algorithmus,  welcher  zur  Berechnung  der  Wurzeln 
der  Gleichung  a»*— -s  =  w  dient,  scheint  mir  aus  mehreren  Gründen 
bemerkenswert. 

Berechnet  man  vermittelst  der  Formel 

t 

n  


MiscdUn,  335 

indem  man  von  einem  beliebigen  Anfangswerte  z^  ausgeht  and  einen 


M 


beliebigen  von  den  n  Wurzel  werten  y,  aber  stets  denselben,  be- 
nutzt, successive  die  Reihe  zq^  sj,  js^,  2^3,  ...,  2»,  ...,  so  couvergirt 
dieselbe  zu  einem  bestimmten  Grenzwert,  und  dieser  ist  eine  Wurzel 
der  gegebenen  Gleichung. 

Da  ich  im  Besitz  eines  allgemeinen  und  striogcnten  Beweises 
dieser  Behauptung  noch  nicht  bin,  so  wäre  es  nicht  undenkbar  (wie- 
wol  mir  unwahrscheinlich),  dass  dieselbe  noch  eingeschränkt  werden 
müsste. 

Vielleicht  genügt  Folgendes  zur  Verification  derselben. 

a)  Für  «7  =  0  ist  der  Satz  richtig.  Sei  nämlich  zq  =  g^e^^o  der 
beliebige  Anfangswert,  so  folgt  leicht,  wenn  man  jedesmal  den 
vten  der  «  Wurzelwerte  wählt, 

zk  =e\  n    ^   n^  ^   n^    ^  '"  ^  n*    ^  nV  V  Qo 

2vn 


also  für  Ä  =  OD,  «00=  z  ^^  e  n — 1 

Das  giebt  für  v  =  0,  1,  2,  ...  n  — 1  in  der  Tat  w— 1  der  ?» Wurzeln 
der  Gleichung  «»•  —  ä  «  0.  Die  Wurzel  3  =  0  folgt  freilich  hieraus 
nicht  und  bleibt  demnach  auf  diesem  Wege  unerreich- 
bar. 

b)  Es  ist  leicht  für  einen  beliebigen  positiven  reellen  Wert  w 
die  reelle  Wurzel  der  Gleichung  auf  diesemlWege  numerisch  zu  be- 
rechnen. 

SBei spiel,    a^— ä  =  100,  also  z  -=  VlöO+z, 
Ich  setze  willkürlich  zq  =  1000,  so  folgt: 

Äj  =  4,0576 
2j  «  2,5320 
«3  «  2,5245 
A4  =  2,5244. 

Also  ist  eine  reelle  Wurzel  der  Gleichung  so  genau,  als  es  sich 
vermittelst  fünfstelliger  Logarithmen  ausführen  lässt,  gefunden. 

Anmerkung.  Für  complexe  Grössen  verliert  dieser  Algo- 
rithmus viel  von  seiner  Einfachheit,  weil  die  jedesmalige  Separation 
des  Beeilen  und  Imaginären  Umstände  macht.  Man  könnte  dem- 
selben aber  seine  Einfachheit  erhalten,  wenn  man  im  Besitz  einer 


336  MUeellen. 

Tafel  wäre,  in  welcher  die  Logorithmen  c  omp  lex  er  Zahlen  (filr 
die  Basis  10)  znsainmengestellt  sind.  Die  Aufgabe,  eine  denrtige 
Tafel  zn  constrniren  ist,  wenn  man  sich  auf  eine  geringe  Anzahl  von 
Decimalstellen  beschränkt,  ganz  gut  durchführbar,  und  würden  solche 
Tafeln  bei  der  steigenden  Wichtigkeit  der  Theorie  der  conformeo 
Abbildungen  für  die  Physik  auch  sonst  von  Nutzen  sein. 

4. 

Der  soeben  betrachtete  Algorithmus  kann  mit  Leichtigkeit  auf 
jede  beliebige  Gleichung  ausgedehnt  werden,  indem  man  sie  auf  die 
Form  bringt: 

n  

derselbe  ist  aber  nur  einer  unter  vielen,  welcher  freilich  durch  den 
Umstand,  dass  er  n-deutig  ist  und  daher  (falls  er  convergirt)  sämt- 
liche Wurzeln  der  Gleichung  geben  kann,  einen  Vorzug  vor  andern 
zu  haben  scheint 

Um  zu  zeigen,  dass  auch  andere  Formeln  zur  Grenze  führen 
können,  möge  das  Beispiel 

««—2«  — 35  =  0 
betrachtet  werden.    Hieraus  folgt  unter  Andern; 

.  35 

»«2+-. 

Die  Benutzung  dieser  Formel  liefert  für  den  willkürlichen  An- 
fangswert zq  =  CO: 

«o=«>?  «8=19,5,  24«11,4,  «6=7,8,  2io«7,4,  2i8=-7,2,  «,4«7,1 
«1=2,    «3=3,7,    «6=5,        «9=6,5,  «11=6,7,  «is=6,9,  «i5=6,93 

Also  nähert  sich  diese  Folge  von  Werten  der  Wurzel  3  =  7. 

gt 35 

Benutzt  man  dagegen  die  Formel  «  =  — s —  beispielsweise  mit 

«0  "  7,1,  so  divorgirt  der  Algorithmus. 

Die  Frage,  wann  derartige  Algorithmen  convergiren  uud  w&nn 
sie  divergiren  involvirt  meines  Erachtens  ein  höchst  intercsstantes 
Problem  [falls  dasselbe  noch  nicht  gelöst  sein  sollte]. 

Königsberg,  Sept.  1884.  Th.  Sanio. 


Pabtt:  Die  Cono*Cunei.  337 


/ 


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\ 


f  >  :    ^^   •   '  ^LlLi'"^       5 


V  ^■ 


1     i  '      :         - 


XVL 

Die  Cono-Cunei. 

Von 

Carl  Pabst. 


FortaetiUBg  Ton  Nr.  XIY. 


IT.  Abschnitt. 

Der  elliptische  and  die  hyperbolischen 
Scheitel-Cono-Cunei 

§  21. 

Bevor  wir  in  der  Betrachtang  der  geraden  Gono-Ganei  fort- 
fahren and  zum  geraden  parabolischen  Cono-Canens  übergehen,  wollen 
wir  uns  za  den  elliptischen  and  den  hyperbolischen  Scheitel-Gono- 
Canei  wenden. 

Was  zunächst  den  elliptischen  Scheitel-Gono-Ganens 
betrifft,  so  nehmen  wir  hierbei  als  Gleichnngen  der  Leitellipse: 

(fl?  — g)»      y» 
(75)  {       a^      -^k*-^ 


die     JCZ^Ebene    demnach    als    Directorebene     and     als    singulare 

Kante  die    F-Axe.    Die   erzeugenden  Geraden   müssen  mithin  den 

Gleichungen  genügen: 

Ä  —  tt.»;    y=», 

wodurch  man  als  Gleichung  des  in  Rede  stehenden  Gono-Guneus  er- 
hält: 

Areh.  4.  lUtli.  ft.  Pliys.    2.  Beihe,  TeU  II.  SS 


338  Pabtti  Die  Cono-Cuiiei. 

(76)  ^-^  +  J,  =  1 

Ans  dieser  Gleichnng  folgt,  dass  die  vorgelegte  Flache  ebemo 
wie  der  gerade  elliptische  Cono-Cuneas  vom  vierten  Orade  ist. 
Femer  stimmen  die  beiden  elliptischen  Cono-Cnnei  darin  abemn, 
dass  jede  zur  ^F-Ebene  parallele  Ebene  ans  ihnen  eine  Ellipse  aus- 
schneidet, deren  eine  Axe  für  alle  ausgeschnittenen  Ellipsen  consUot 
ist,  und  deren  andere  Axe  proportional  dem  Abstände  der  schneiden- 
den Ebene  von  der  singulären  Kante  wächst     Ein  Kreis  wird  ans 

b€ 

dem  elliptischen  Scheitel-Cono-Cunens  (76)  für  «  »  —aasgeschnitten. 

Diejenigen  Ellipsen   des  vorgelegten  Cono^Gunens   (76),  deren 

be 
Entfernung  von  der  singulären  Kante  absolute  kleiner  als  —  ist,  ha- 
ben ihre  grossen  Axen  »  26  in  einer  Ebene ,   welche  durch  die  sio- 
guläre  Kante  geht  und  mit  der  Ellipsenebene  einen  Winkel  bildet, 

dessen  trigonometrische  Tangente  gleich  -  ist,   ihre   tdeinen  Axen 
=  2-z     in   der   iTZ-Ebene;  diejenigen  dagegen,    deren  Abstand 

c 

bc 

von  der  singulären  Kante  absolute  grösser  als  -    ist,    haben   ihre 

grossen  Axen  «2-2  in  der  JEZ-Ebene,  und   ihre  kleinen  in  der 
eben  beschriebenen,  durch  die  singulare  Kante  gehenden  Ebena 

Daraus  geht  hervor,  dass  der  gerade  elliptische  (k>no-Ganeit8  und 
der  elliptische  Scheitel-Cono-Cuneus  sich  darin  unterscheiden, 
dass  bei  jenem  die  Mittelpunkte  der  ausgeschnittenen  Ellipsen  aaf 
einer  Geraden  liegen,  die  auf  der  Ellipsenebene  senkrecht  steht, 
während  bei  diesem  der  geometrische  Ort  der  Mittelpunkte  der 
Ellipsen  eine  Gerade  ist,  welche  mit  der  Ellipsenebene  einen  scfaiefeB 
Winkel  bildet  Bei  beiden  Cono-Cuneis  gehen  diese  Geraden  dnrch 
die  singulare  Kante  und  stehen  auf  derselben  senkrecht 

Ferner  ergiebt  sich  fttr  die  Projection  der  Durchschnittseiirre 
der  Ebene  x=k  mit  der  vorgelegten  Fläche  auf  die  F^-Ebene: 


<")      .--©K^"-') 


Pah 8t:  DU  Cono-Cunei,  339 

Ist  ib>>  0,  80  giebt  es  demnach  nur  reello  Werte  von  y,  yrenn 
z  >  0  ist,  und  umgekehrt  ist  ^  <<  0 ,  so  giebt  es  nur  reelle  Werte 
von  y,  wenn  a  <  0  ist.  D.  h.  die  Durchschnittscurve  liegt  entweder 
auf  der  positiven  oder  auf  der  negativen  Seite  der  z-Axe,  nicht  aber 
aaf  beiden  zugleich.     Sie  schneidet  die  z-Axe   im  Punkte  y  =  0, 

a  =  H".     Ist  «<H-?  wenn    äj^-O  ist,  so  giebt  es  keine  reellen 

Werte  für  y,    Die  Curve  liegt  symmetrisch  zur  z-Axe   und  erstreckt 

ch 
sich  von  «  =  ^  bis  i?  «"  oo.     Sie  ist  in  allen  ihren  Punkten  convex 

nach  der  F-Axe  hin ;  •  in  ihrem  Durchschnittspunkte   mit  der  z- Axe 
ist  ihre  Tangente  der  F-Axe  parallel. 

Daraus  geht  hervor,  dass  der  elliptische  Scheitel-Gono-Cuneus 
(76)  nur  in  4  Octanten  liegt,  während  der  gerade  elliptische  Cono- 
Caneus  (17)  sich  in  allen  8  Octanten  erstreckt. 

Die  auf  der  singulärcn  Kante  senkrecht  stehende  Ebene  y  =  Ji 
schneidet  aus  dem  elliptischen  Scheitel-Cono-Cuneus  (76)  die  beiden 
Erzeugenden  aus,  deren  Projectionen  auf  die  ^^-Ebene  der  Glei- 
chung genügen: 

(78)  X  = y^ z 


§  22. 

Wir  haben  im  vorigen  §  gesehen,  dass  jede  zur  ^F-£bene 
parallele  Ebene  aus  dem  elliptischen  Scheitel-Cono-Cuneus  (7G)  eine 
Ellipse  ausschneidet.  Betrachten  wir  die  beiden  Ellipsen  in  den  Entfer- 
nungen h^  und  \  von  der  singulären  Kante,  so  ergiebt  sich,   wenn 

bc 
A^  ^  —  ist,  für  das  Axenverhältniss  der  zu  h^  zugehörigen    Ellipse 

aJi^  bc 

-~.  und  wenn  A«  <  -    ist,   für  das  Axenverhftltniss  der  zu  A«  zu- 

«  bc 

gehörigen  Ellipse:   -,  .     Sollen  diese  beiden  Verhältnisse   einander 
gleich  sein,  so  erhält  man  demnach  die  Relation: 


Hh  =  (^{) 


2 


bc 

Nun  war  —  die  Entfernung  des  Kreisschnittes  von  der  singu- 
lären Kante  des  elliptischen  Scheitel-Cono-Cuneus  (76).  Mithin  re- 
sultirt  der  Satz :  Diejenigen  beiden  Ellipsen  des  elliptischen  Scheitel- 

22« 


340  Pabst:  Die  Cono-Cwm. 

Cono-Caneus,  welche  so  auf  dieser  Fläche  liegen,  dass  das  Picodod 
ihrer  Abst&nde  Yon  der  singnlären  Kante  gleich  dem  Quadrat  der 
Entfernung  des  Kreisschnittes  von  derselben  Kante  ist,  haben  das- 
selbe Axenverhftltniss. 

Es  ist  dies  derselbe  Satz,  den  wir  beim  geraden  eOiptisclieQ 
Gono-Cuneus  in  §  10  nachgewiesen  haben.  Hieraas  eifeben  sich 
auch  dieselben  Beziehungen  in  Bezug  auf  die  Entfernungen  der  bdden 
Ellipsen  von  dem  Kreisschnitte  wie  dort. 

Betrachtet  man  ferner  die  Brennpunkte   der  ausgeschnitteiieii 

Ellipsen,  so  geht  aus  dem  vorigen  §  hervor,  dass  die  Brennpankto 

deijenigen  Ellipsen,  deren  Abstand  von  der  singnlären  Kante  absolute 

he 
gleich  oder  kleiner  als  -    ist,  in  einer  durch  die  singulare  Kante 

gehenden  Ebene  liegen,  welche  mit  der  J?-Axe  einen  Winkel  bildet, 

dessen  trigonometrische  Tangente  gleich  ~  ist.     Der  Abstand  eines 

c 

solchen  Brennpunktes  von  der  XZ^Ebene  ist  1/  ä*  — (— j  • 

Für  den  geometrischen  Ort  dieser  Brennpunkte  ergiebt  sich  dem- 
nach die  Ellipse: 

(79)  fi  +  P^=l 

Vergleichen  wir  hiermit  das  Resultat  (21)  in  §  10. ,  so  folgt  der 
Satz:  Sind  der  gerade  elliptische  Cono-Cuneus  und  der  eUiptiscke 
Scheitel-Cono-Cuneus,  deren  singulare  Kanten  in  einer  Ebene  Iiegeo 
und  auf  einander  senkrecht  stehen,  so  beschaffen,  dass  eine  md  die- 
selbe Ebene  aus  jedem  einen  Kreis  mit  dem  Badius  a  ansschnadet, 
so  ist  der  geometrische  Ort  der  Brennpunkte  der  Ellipsen  des  ge- 
raden Gono-Cuneus,  deren  Abstand  von  der  singnlären  Kante  absolote 
gleich  oder  kleiner  als  der  des  Kreises  derselben  Fläche  ist,  gleich 
dem  geometrischen  Ort  der  Brennpunkte  der  entsprechenden  Ellipsen 
des  elliptischen  Scheitel-Cono-Cuneus. 

Auf  analoge  Weise  erhält  man  für  den  geometrischen  Ort  der 
Brennpunkte  deijenigen  Ellipsen  des  elliptischen  Scheitel-Cono-Ci- 
neus  (76),    deren  Abstand  von  der  singnlären  Kante  absolute  gleich 

:i         -  .    ^<?  . 

oder  grösser  als  —  ist: 

(80)  a:«  — 2  — 4-Ä»«0 

d.  h.  die  in  Bede  stehenden  Brennpunkte  liegen  in  der  XZ-Ebene 


Pabst:  Die  Cono-Cunti,  341 

auf  einer  Hyperbel,  deren  Mittelpunkt  der  Coordinatenanfang,  deren 
reelle  Axe  =  2i  J/ I/T  g  .    a__     «od    deren    imaginäre    Axe 

«  2b  1/-==^=-—    ist. 


23, 


Gehen  wir  jetzt  zur  Betrachtung  der  Tangentialebene  im 
Punkte  xyz  des  elliptischen  Scheitel-Gono-Guneus  (76)  über,  so  er- 
halten wir  als  deren  Gleichung,  wenn  |,  17,  ^  die  laufenden  Goor- 
dinaten  bedeuten: 

(,-^)(i-,)+(g)%(,_,)-  {^e(_e) 

oder  mit  Berflcksichtignng  der  Gleichnug  (76); 

<»«  {'-?)«+{5)"'<'-')-1j('-?) 

Für  2  =  0  erhält  man  hierans:  1  =  0,  d.  h.  der  vorgelegte 
Cono-Cnnens  bertthrt  die  F2-£bene.    Femer  ergiebt  sich  fär  2  •=>  0 : 

*  = bc f 

d.  h.  In  den  Punkten  der  singulären  Kante  giebt  es  je  zwei  Tan- 
gentialebenen an  den  elliptischen  Scheitel-Cono-Cuneus ,  welche  sich 
in  der  singulären  Kante  schneiden.  Diese  Tangentialebenen  schneiden 
im  Allgemeinen,  ebenso  wie  beim  geraden  elliptischen  Cono-Cuneus, 
je  zwei  erzeugende  Geraden  ans  der  Fläche  aus. 

Diejenigen  Tangentialebenen,  welche  die  vorgelegte  Fläche  längs 
der  ganzen,  durch  ihren  Berührungspunkt  gehenden  Erzeugenden  be- 
rtlhren,  haben  ihre  Berührungspunkte  auf  den  Geraden,  welche  den 
Goordinaten  genügen:   einerseits    ^  »  +&,    andererseits  o;  »  0  und 

a;  -B  2  -  2.    Es  giebt  demnach ,  ebenso  wie  beim  geraden  elliptischen 

Gono-Cuneus,  auch  hier  4  Erzeugende,  in  welchen  die  Tangential- 
ebenen den  elliptischen  Scheitel-Cono-Guneus  längs  der  ganzen  Er- 
zeugenden berühren.    Die  ersteren  dieser  Tangentialebenen  haben. 


342  Pahati  IHe  ConO'Cunei. 

wie  sieb  nach  kurzer  üeberlegnng  zeigt,  die  Eigenschaft,  dass  ae 
aus  dem  vorgelegten  Cono-Cnnens  nur  die  betreffenden  ErzeageDden 
schneiden,  während  die  Durchschnittscurvo  der  anderen  mit  der  Fliehe 
(76)  aus  der  Erzengenden  und  der  singulären  Kante  besteht 

Schliesslich  erhält  man  für  das  Volumen  V  zwischen  den  Ebe- 
nen y  =  0,y  =  yoyZ=:eQ  und  dem  zugehörigen  Teil  des  elliptischeo 
Scheitel-Cono-Cuneus  (76): 

7  =  /      /   («1  —  x^)  dy  dz 

h       0 

Aus  der  Gleichung  (76)  ergiebt  sich: 


folglich: 


Demnach  resultirt: 


ctz    ,    az    /-s 'o. 


cm 


x,-«,-2j-Vi»-y» 


»0  *.< 


V-^lftyVb*-y*fzä, 

0  0 

(82)      F-  g^  {  ho  V^^^*  +i8»8rc8in  (^»)} 

Von  diesen  Volumen  gelton  dieselben  Sätze  wie  von  demjenigen 
des  geraden  elliptischen  Cono-Cuneus. 


§  24. 

Um  jetzt  die   Gleichung   des   einfachen   hyperbolischeB 

Scheitel-Gono-Cunous  abzuleiten,  nehmen  wir  als  Gleichangen 

der  Leithyperbel: 

(x  —  a)^^  y^ 

(83)  \       a*  b^^^ 


Kach  der  Definition  des  §  3.  rauss  dann  die  r-Axe  singulare 
Kante ,  die  XST-Ebeno  Dircctorobeno  worden ,  so  dass  man  als  Glei- 
chung des  betreffenden  Gono-Cuneus  erhält: 


Pabtt:  Die  Cono-Cunei,  343 

Ans  dieser  Gleichnng  geht  zunächst  hervor,  das&  die  Fläche 
vierten  Grades  nur  symmetrisch  zar  JEZ-Ebene  liegt.  Ausserdem 
ist  ersichtlich,  dass  x^  y  uod  »  alle  heliebigen  Werte  annehmen  können. 

Jede  zur  ^F-Ebene  parallele  Ebene  schneidet  ferner  aus  dem 
einfEU^hen  hyperbolischen  Scheitel-Cono-Cnneas  (84)  im  Allgemeinen 

eine  Hyperbel  mit  den  Halbaxen  -»  und  b  aus.    Die  reellen  Axen 

dieser  Hyperbeln  liegen  in  der  XS^Ebene  und  wachsen  proportional 
dem  Abstände  der  schneidenden  Ebene  von  der  singulären  Kante; 
die  imaginären  Axen  dagegen  sind  für  alle  ausgeschnittenen  Hyper- 
beln «»  2b  und  liegen  in  einer  durch  die  singulare  Kante  gehenden 
Ebene,  welche  mit  der  '^-Axe  einen  Winkel  bildet,  dessen  trigono- 
metrische Tangente  gleich  -  ist. 

c 

Daraus  folgt,  dass  die  Mittelpunkte  der  Hyperbeln  des  einfachen 
hyperbolischen  Scheitel-Cono-Cuneus  (84)  in  der  JTZ-Ebene  liegen 
und  zwar  auf  einer  Geraden ,  welche  durch  den  Coordinatenanfang 
geht  und  mit  der  Hyperbelebene  einen  Winkel  bildet,  dessen  trigono- 

metrische  Tangente  gleich  -  ist. 

Während  also  bei  den  geraden  hyperbolischen  Cono-Cuneis  der 
geometrische  Ort  der  Mittelpunkte  ihrer  Hyperbeln  eine  Gerade  ist, 
welche  durch  die  singulare  Kante  geht  und  auf  der  Hyperbelebene  senk- 
recht steht,  schneidet  die  Gerade,  auf  welcher  die  Mittelpunkte  der 
Hyperbeln  des  einfachen  hyperbolischen  Scheitel-Cono-Guneas  liegen, 
zwar  die  singulare  Kante  dieser  Fläche  rechtwinklig,  bildet  aber  mit 
der  Hyperbelebene  einen  schiefen  Winkel. 

Ferner  folgt  aus  diesen  Erörterungen,  dass  die  Scheitel  der  aus 
der  vorgelegten  Fläche  ausgeschnittenen  Hyperbeln  sich  von  «  <=»  od 
bis  2(  =>  0  einander  nähern,  bis  sie  für  «  =  0  zusammenfallen.  Biese 
Eigenschaft  hat  der  vorgelegte  Cono-Caneus  mit  dem  geraden  ein- 
fachen hyperbolischen  Gono-Cuneus  gemein.  Während  aber  bei  diesem 
die  Scheitel  auf  zwei  Geraden  liegen,  welche  durch  die  singulare 
Kante  gehen  und  mit  der  Hyperbelebene  gleiche,  schiefe  Winkel  bilden, 
liegen  bei  dem  einfachen  hyperbolischen  ^  Scheitel-Cono-Cnneus  die 
Scheitel  auf  zwei  Geraden,  welche  sich  zwar  in  der  singulären  Kante 
schneiden  und  auf  derselben  senkrecht  stehen,  von  denen  aber  die 
eine  einen  rechten,  die  andere  einen  schiefen  Winkel  mit  der  Hyper- 
belebene bildet. 

Aus  der  Gleichung  (84)  ergiebt  sich  ausserdem,  dass  die  zur 
XF-Ebene  parallele  Ebene,  deren  Abstand  von  der  singulären  Kante 


L 


344  Pahsti  Die  Cono-Citnei. 

he 
absolute  gleich  —  ist,  eine  gleichseitige  Hyperbel  mit  dem  halben 

Parameter  h  aas  dem  einfachen  hyperbolischen  Scheitel-Cono-Ganevs 

(84)  ansschneidot 

Ziehen  wir  nun  die  Brennpunkte  der  ausgeschnittenen  fiyperbds 
in  Betracht,  so  resultirt  aus  dem  Gesagten,  dass  sie  s&mmtlich  in  der 
JTi^Ebene  liegen.    Die  Entfernung  eines  solchen  Brennpunktes  Ton 

der  ^-Axe  ist:  -«±  [/(-«)  +  i*  Für  den  geometrischen  Ort 
derselben  erhält  man  demnach: 

(85)  ««— 2 -«*—*«  «0 

c 

d.  h.  in  Worten:  Der  geometriche  Ort  der  Brennpunkte  aller  Hyper- 
beln, welche  durch  Ebenen  parallel  der  XF-£bene  aus  dem  einfacben 
hyperbolischen  Scheitel-Cono-Cnneus  (84)  ausgeschnitten  werden,  ist 
eine  Hyperbel  in  der  XZ-£bene,  deren  Mittelpunkt  der  Goordinaten- 
anfang  ist 

Was  schliesslich  die  Asymptoten  einer  solchen  ausgeschnittenen 
Hyperbel  betrifft,  so  genügen  dieselben  der  Gleichung: 


y=±ä(«-*») 


Sie  liegen  mithin  auf  den  beiden  hyperbolischen  Paraboloiden: 

iayz — h{cx — a%)  ■=  0 


§.  26. 

Gehen  wir  jetzt  zur  Betrachtung  der  Tangentialebene  im 
Punkte  oDyz  des  einfachen  hyperbolischen  Scheitel-Gono-Cunens  (84). 
Als  Gleichung  derselben  resultirt: 


+^(»*+»^j«— )-» 


oder: 


Pabst:  Die  Cöno-Cunei.  345 


(87)    (,_?,)s_(g)%(,„y)  _{?(._?,) 

.2. 


+  i^(t>*+c')]i-o 


FQr  z  »  0  ergiebt  sich  hieraus  mit  Berflcksichtigaiig  der  Glei- 
chung (84): 


I- 


bc 


d.  h.  In  jedem  Punkte  der  singulären  Kante  giebt  es  je  zwei  Tan- 
gentialebenen an  die  vorgelegte  Fl&che,  'welche  durch  die  singulare 
Kante  gehen.  Es  gilt  demnach  auch  von  dem  einfachen  hyperboli- 
schen Scheitel- Cono-Cuneus  der  Satz,  dass  jede  durch  die  singulare 
Kante  gehende  Ebene  im  Allgemeinen  eine  Tangentialebene  ist 

Diejenigen  Punkte,  in  denen  die  Tangentialebene  den  einfachen 
hyperbolischen  Scheitel-Gono-Cuneus  (84)  längs  der  ganzen,  durch 
ihren  Berttbrungspunkt  gehenden  Erzeugenden  berührt,  gehören  zu 
y==0,  d.  h.  sie  liegen  auf  den  Durchschnittslinien  der  Fläche  mit 
d^  XZ^Ebene.    Dafür  ergiebt  sich  nun: 

1=0 

£  =  2-a 
c 

Es  folgt  daraus,  dass  die  yZ-Ebene  hier  ebenso  wie  beim  elliptischen 
Scheit«l-Cono-Cuueu8  (76)  eine  Tangentialebene  ist 

Schneidet  man  schliesslich  den  einfachen  hyperbolischen  Scheitel- 
Cono-Cuneus  (84)  durch  die  Ebenen  y  ■=  yo»  «  ==  «o?  so  ergiebt  sich 
für  das  Volumen  zwischen  den  Ebenen  y  ■=  ö,  y  «  yo»  «  ™  ^  ^^d 
dem  zagehörigen  Teil  der  Fläche  einerseits: 


Vj  =»  /      /  x^dyäz 


andererseits: 


^«=/.A 


dyd»^ 


wobei,  wie  aus  der  Gleichung  (84)  folgt: 


az 


'1-  j„(Vy»+4»+*) 


az 


'«»-r.(Vy'+**-*) 


bc 


346  Pabsti  Du  Cono'CitMC 

Mithin  erhält  man: 


fu  *0 


(88) 


0  0 


26. 

Zar  UntersnchuDg  des  geteilten  hyperbolischen  Schei- 
tel-Cono-Cnneas  nehmen  wir  an,  die  Leitbyperbel  werde  dnrdi 
die  Gleichungen  dargestellt: 


(89)  ja«  Ä« 

Alsdann  mnss  gemäss  den  Erörterungen  des  §  3.  die  yz-Ebene 
Directorebene  und  die  X-Axe  singulare  Kante  w^^en,  so  dass^mso 
als  Gleichung  des  betreffenden  Gono-Cuneus  erhält: 


..    (»-;') 


2 


(90)  ^«-      M  x«     -1- 


Aus  dieser  Gleichung  folgt,  dass  der  geteilte  hyperbolische  Scheitel- 
Cono-Cuneus  (90)  vom  vierten  Grade  ist  und  symmetrisch  zur  YZ- 
Ebene  liegt  FOr  valabs.a;  <<  a  giebt  es  keine  reellen  Werte  f^kr  y 
und  z.  Die  vorgelegte  Fläche  besteht  demnach  aus  zwei,  auf  beiden 
Seiten  der  FZ-Ebene  liegenden,  von  einander  getrennten  Teilen,  wo- 
her die  Bezeichnung  „getcilt^^  entnommen  ist. 

Femer  geht  aus  der  Gleichung  (90)  hervor,  dass  jede  zur  ZF-Ebeoe 
parallele  Ebene  die  vorgelegte  Fläche  in  einer  Hyperbel  schneidet,  deren 

reelle  Axe  -=2a,  deren  imaginäre  Axe  -»2  -  z  ist.    Eine  gleichseitige  Hj- 

perbel  wird  demnach  aus  dem  geteilten  hyperbolischen  Scheitel-Cono- 
Guneus  (90)  durch  eine  Ebene  parallel  der  ZF-Ebene  ausgeschnitten, 

at  . 

deren  Abstand  von  der  singulären  Kante  absolute  gleich  -j  ist 

Die  imaginären  Axen  der  ausgeschnittenen  Hyperbeln  liegen  in 
der  FZ-Ebene  und  wachsen  proportional  dem  Abstände  der  schnei- 
denden Ebene  von  der  singulären  Kante;  die  reellen  dagegen  sind 


Pabät:  DU  Cono  CuMi.  347 

für  allo  ansgeschnittenen  Hyperbeln  gleich  2a  and  liegen  in  einer 
Ebene,  welche  durch  die  singulare  Kante  geht,  und  welche  mit  der 
Hyporbelebene  einen  Winkel  bildet,  dessen  trigonometrische  Tangente 

gleich  -  ist 

Aach  hierbei  ist  der  geometrische  Ort  der  Mittelponkte  der  aas- 
geschnittenen Hyperbeln,  wie  sich  aas  dem  Gesagten  ergibt,  eine  ge- 
rade  Linie,  welche  durch  die  singulare  Kante  geht,  auf  derselben 
senkrecht  steht,  mit  der  Hyperbelebene  aber  einen  Winkel  bildet) 

dessen  trigonometriche  Tangente  gleich  ^  ist  Es  ist  dies  eine  ana- 
loge Beziehung,  wie  wir  sie  bei  dem  einfachen  hyperbolischen  Schei- 
tel-Cono-Cnneus  nachgewiesen  haben.  Da  dieselbe  Relation  auch  von 
dem  elliptischen  Schoitel-Gono-Cnneus  gilt,  so  bezeichnet  dieselbe 
ein  durchgreifendes  Unterscheidungsmerkmal  zwischen  den  geraden 
und  den  Scheitel-Cono-Cuneis,  vorausgesetzt,  dass  der  Leitkegelschnitt 
einen  Mittelpunkt  hat. 

Weil  die  reellen  Axen  der  aus  dem  geteilten  hyperbolischen 
Scheitel-Cono-CuDeus  (90)  ausgeschnittenen  Hyperbeln  in  einer  durch 
die  singulare  Kante  gehenden  Ebene  liegen,  welche  mit  der  ^-Axe 

einen  Winkel  bildet,  dessen  trigonometrische  Tangente  gleich  -    ist, 

c 

so  liegen  auch  die  Brennpunkte  der  Hyperbeln  in  dieser  Ebene.    Für 

die  Entfernung  eines  solchen  Brennpunkts  von  der  FZ-Ebene  erhält 

man  aus  der  Gleichung  (90):  1/ a'  +  (- «j .  Die  Brennpunkte  lie- 
gen demnach  in  der  beschriebenen  Ebene  auf  der  Curve: 


(91) 


«      6««« 


X 


a*       a*c* 


d.  h.  Der  geometrische  Ort  der  Brennpunkte  der  durch  Ebenen 
parallel  der  xy-£bene  aus  dem  geteilten  hyperbolischen  Scheitel- 
Cono-Cuneus  (90)  ausgeschnittenen  Hyperbeln  ist  eine  Hyperbel  mit 
dem  Coordinatenanfang  als  Mittelpunkt,  deren  reelle  Axe  «  2a  und 

deren  imaginäre  Axe  =■  2  y  ist. 

Aus   der  Vergleichnng  von  (90)   und   (91)   folgt,      wenn    man 

6  ae 

-  »  «"  "T  setzt : 

c  b 


ae^ 


(92)  .  =.  j, 


348  Pabat:  Die  Cono-CuneL 

Bezeichnen  wir  y  mit  c\  wobei  e\  wie  ans  dem  Obigen  henor- 

geht,  die  Entfernung  der  gleichseitigen  Hyperbel  des  geteilten  hyper- 
bolischen Scheitel-Cono-Cuneus  (90)  von  seiner  singulftren  Kante 
bedeutet,  so  geht  die  Gleichung  (92)  über  in: 


Daraus  fliesst  der  Satz :  Diejenige  zur  Zr-Ebene  parallele  Ebene, 
deren  Abstand  von  der  singulären  Kante  die  vierte  Proportionale  za 
dem  halben  Parameter  und  dem  Abstände  der  gleichseitigen  HTperbd 
des  geteilten  hyperbolischen  Scheitel-Cono-Cuneus  von  dessen  singn- 
lärer  Kante  ist,  schneidet  aus  dieser  Flftche  eine  Hyperbel  ans, 
welche  gleich  ist  dem  geometrischen  Orte  der  Brennpunkte  aller 
durch  Ebenen  parallel  der  XY-Ebeue  aus  dieser  Fläche  ausgeschnit- 
tenen Hyperbeln. 

Diese  Eigenschaft  hat  der  vorgelegte  Cono-Cuneus  mit  dem  ge- 
teilten hyperbolischen  Cono-Cuneus  gemeinsam. 

Die  Asymptoten  einer  Hyperbel  des  geteilten  hyperbotischeo 
Scheitel-Cono-Cuneus  (90)  genügen  der  Gleichung: 

b  ,  bz 

^       c  -^  ac 

Die  Asymptoten  aller  Hyperbeln  der  vorgelegten  Flftche  liegen 
demnach  auf  den  beiden  hyperbolischen  Paraboloiden: 

!bxz — <Ucy — bz)  ■=  0 
bxz'\'a{ey — bz)  =  0 

Dreht  man  den  vorgelegten  Cono-Cuneus  um  die  Z-Axe  nm  k*«    ^ 

dass  die  positive  X-Axe  in  die  negative  F-Axe  fällt,  dann  hat  man 
nur  y  mit  »  zu  vertauschen;  alles  Uebrige  bleibt  ungeftndert  Fohren 
wir  diese  Yertauschung  in  den  Gleichungen  (93)  ans,  so  gehen  die- 
selben über  in: 

byz  —  a(«c— 5«)  -■  0 

byz  -|-  a{cx  —  bz)  =0 

Beachten  wir  hierbei  die  Gleichungen  (86)  im  §  24.,  so  resultirt 
der  Satz :  Haben  der  einfache  und  der  geteilte  hyperboMscbe  Schdtel- 
Cono-Cuneus  dieselbe  singulare  Kante  und  dieselbe  Directorebene  and 
sind  sie  so  beschaffen,  dass  eine  und  dieselbe  Ebene  aus  den  beiden 
Fl&chen  je  eine  gleichseitige  Hyperbel  mit  dem  halben  Parameter  a 


PahMt:  DU  ConO'CuneL  349 

ausschneidet,  so  liegen  die  Asymptoten  der  ans  beiden  Flächen  aus- 
geschnittenen Hyperbeln  anf  denselben  beiden  hyperbolischen  Para- 
boloiden. 

Es  ist  dies  ein  analoger  Satz,  wie  wir  ihn  von  den  beiden  ge- 
raden hyperbolischen  Gono-Cuneis  im  §  19.  nachgewiesen  haben. 

Zugleich  ergiebt  sich  hieraus,  dass  die  geraden  hyperbolischen 
Cono-Cunei  und  die  hyperbolischen  Scheitel-Cono-Cunei  das  mit  ein- 
ander gemeinsam  haben,  dass  die  Asymptoten  der  aus  ihnen  ausge- 
schnittenen Hyperbeln  auf  je  zwei  hyperbolischen  Paraboloiden  liegen. 


§  27. 

Als  Gleichung  der  Tangentialebene  im  Punkte   xyz  des  ge- 
teilten hyperbolischen  Scheitel-Cono-Cuneus  erhält  man: 


+  *.(,_?,)](j_.)==0 


oder: 

Für  X  —  0  geht  diese  Gleichung  über ,  wenn  man  für  y  —    -z 

c 

seinen  Wert  aus  (90)  setzt,  in 

e{a  +  Vx^  —  a*)^ 

d.  h.  in  d^n  Punkten  der  singulären  Kante  giebt  es  je  zwei  Tangen- 
tialebenen an  die  vorgelegte  Fläche. 

Diese  Eigenschaft  haben  mithin  die  geraden  elliptischen  und 
hyperbolischen  Cono-Cunei  mit  den  elliptischen  und  den  hyperboli- 
schen Scheitel-Cono-Cuneis  gemeinsam. 

Femer  ergiebt  sich,  dass  die  beiden  Ebenen  | »  ±a  den 
geteilten  hyperbolischen  Scheitel-Cono-Cuneus  (90)  längs  einer  ganzen 
Erzeugenden  berühren. 

Aas  der  Gleichung  (90)  folgt: 


I 


350  Pahsi:  Die  Cono-CkmeL 

Demnach  erhält  man  für  das  Volnmen  V  zwischen  den  EliaieB 
xzrrx^y  z^=zq  nud  dem  zagehOrigen  Teil  des  vorgelegten  Codo- 
Cnnens: 

F«^    r daai^^^^  r zdz 

0  0 

(95)      K-^'{i^yV^«l-iaMg('''+^^^} 
Nnn  ist  aber,  wie  sich  ans  (90)  ergiebt; 

Demnach  geht  die  Gleichnng  (95)  über  in: 


<«»  --^{»-Sl^-N) 


~i«^^«  ^  abz. 


Femer  folgt  ans  der  Gleichung  (88)  des  §  25. ,  wenn  man  darin  fOr 
Vyo*+  **  den  ans  (84)  sich  ergebenden  Wert:    —  (x© j^  I 


setzt: 


(">  '"-=^■l*■s("^-^) 


yertanscht  man  in  der  letzteren  Gleichung  x  mit  y  nnd  setzt  in 
(%)  and  (97)  a  =  h,  so  resnltirt: 


F+F'  =  iro«6(^yo  ""^^) 


Eine  analoge  Beziehung  hat  sich  für  die  beiden  geraden  hyperboli- 
schen Cono-Cnnei  im  §  20.  ergeben. 


Pahst:  Die  Cono-Ctmei,  35I 


T.  Absclmitt. 
Die  beiden  parabolischen  Cono-Cnnei. 

28. 


In  diesem  Abschnitte  wollen  wir  den  geraden  parabolischen  Cono- 
Cnneos  and  den  parabolischen  Scheitel-Gono-Cnnens  betrachten.  Da 
diese  beiden  Flachen  von  Hochheim  ansführlich  behandelt  worden 
sind  (Gmnerts  Archiv  T.  63.  pag.  350  —  363  und  T.  56.  pag.  35 
—48),  so  wollen  wir  hier  nur  die  hauptsächlichsten  Eigenschaften 
derselben  kurz  ableiten.  Was  zunächst  den  geraden  paraboli- 
schen Cono-Guneus  betrifft,  so  nehmen  wir  als  Gleichungen  der 
Leitparabel : 

»  =  c 

Alsdann  ist,  wie  sich  aus  den  Eiiäuterungen  der  Einleitung  ergiebt, 
die  X'Axe  singulare  Kante,  die  F2^Ebene  Directorebene,  so  dass 
man  als  Gleichung  des  betreffenden  Cono-Cuneus  erhält: 

(99)  c«y«  «  2pxz^ 

Hieraus  geht  zunächst  hervor,  dass  dieser  Cono-Cuneus  im  Gegen- 
satz zu  den  bisher  behandelten  vom  dritten  Grade  ist.  Femer  folgt 
aus  der  Gleichung  (99),  dass  jede  zur  JTjf-Ebene  parallele  Ebene 
die  vorgelegte  Fläche  in  einer  Parabel  schneidet,  deren  Parameter 

gleich  2^   ist,  d.  h.  die  Parameter  der  ausgeschnittenen   Parabeln 

wachsen  proportional  dem  Quadrate  des.  Abstandes  der  schneidenden 
Ebene  von  der  singulären  Kante. 

Ziehen  wir  die  Brennpunkte  der  ausgeschnittenen  Parabeln  in 
Betracht,  so  ergiebt  sich  zunächst,  dass  dieselben  in  der  XZ-Ebone 
liegen.    Die  Entfernung  eines  solchen  Brennpunktes  von  der  Z-Axe 

ist    ^.    Für  den  geometrischen  Ort  aller  dieser  Brennpunkte  er- 

hftlt  man  demnach: 

(100)  ««  =  2-« 

d.  h.  in  Worten:  Der  geometrische  Ort  der  Brennpunkte  aller  Para- 
beln, welche  durch  Ebenen  parallel  der  JTF-Ebene  aus  dem  geraden 
parabolischen  Cono-Cuneus  (99)  ausgeschnitten  werden,  ist  eine  Pa- 
rabel in  der   X^^Ebene,  deren  Scheitel  der  Coordinatenanfang  ist. 


352  Pabst:  Die  Cono^CuneL 

und  deren  Axe  in  die  singulare  Kante  des  Cono-Canens  Mi  Der 
halbe  Parameter  dieser  Parabel  ist  die  vierte  Proportionale  n  p 
und  c. 

Aus   der  Yergleichung  von  (99)  und  (100)  folgt,    wenn   nua 


a   setzt: 

er 


Daraus  fliesst  der  Satz:  Diejenige  zur  XF-Ebene  parallele  Ebene, 
deren  Abstand  von  der  singulären  Kante  die  vierte  Proportionale 
zu  p  und  c  ist,  schneidet  aus  dem  geraden  parabolischen  (3ono-CaneQs 
(99)  eine  Parabel  aus,  welche  gleich  ist  der  Parabel,  auf  welcher 
die  Brennpunkte  aller  durch  Ebenen  parallel  der  XF-Ebene  aus  diesem 
Cono-Cuneus  ausgeschnittenen  Parabeln  liegen. 

Beachtet  man  hierbei,  dass  2  —  der  Parameter  der  betreffende! 

P 

Parabel  ist,  so  kann  man  diese  Relationen  auch  so  deuten:  Diejenige 
zur  JTF- Ebene  parallele  Ebene,  deren  Abstand  von  der  singnUireB 
Kante  die  vierte  Proportionale  zu  p  und  c  ist,  schoeidct  aus  dem 
geraden  parabolischen  Cono-Cuneus  (99)  eine  Parabel  ans,  deren 
Parameter  gleich  dem  doppelten  Abstände  der  Parabel  von  der  sin- 
gulären Kante  ist 

Als  Projecüon  der  Durchschnittscurve  der  Ebene  2  =  A  nut  der 
vorgelegten  Fläche  auf  die  yz>£bene  ergiebt  sich: 

Daraus  folgt,  dass  jede  der  Direcforebene  parallele  Ebene  im 
Allgemeinen  aus  dem  geraden  parabolischen  Cono-Cuneus  zwei  Er- 
zeugende ausschneidet,  welche  durch  die  singulare  Kante  geben  ond 
mit  der  ZZ-Ebene  entgegengesetzt  gleiche  Winkel  bilden.  Ffir  A»0 
fallen  diese  beiden  Geraden  in  eine  eine  einzige  zusammen. 

Erwähnt  sei  hier  noch,  dass  jede  durch  die  singulare  Kante 
gehende  Ebene  den  vorgelegten  Cono-Cuneus  in  einer  Geraden  schnei- 
det, denn  man  erhält  für 

y  «=  az: 

(102)  c«a»  «  2pa; 

Hierin  unterscheidet  sich  der  gerade  parabolische  Cono-Ciness 
von  den  bisher  betrachteten  Flächen  und,  wie  sich  später  neigen 


PabaU  Die  Cono-Cunei,  353 

wird,  auch  Yon  dem  parabolischen  Scheitel-Cono-Caneos,  denn  ans 
diesen  schneidet  jede  durch  die  singoläre  Kante  gehende  Ebene  im 
Allgemeinen  zwei  gerade  Linien. 

Um  schliesslich  die.  Durchschnittscnrve  des  vorgelegten  Cono- 
Canens  mit  einer  durch  die  Z-Axe  gehenden  Ebene,  welche  mit  der 
^-Axe  den  Winkel  tp  bildet,  zu  untersuchen,  wenden  wir  die  Coor- 
dinatentransformation  an: 

IX  «=»  sb'cos^— y'sin^ 
y  «  aj'siny+y'cosijp 

Setzen  wir  dann  y'  *»  0 ,  so  ergiebt  sich  als  Oleichnng  der  de- 
finirten  Durchschnittscurve: 

(104)  .'«  =  "^-^^  J 

Ui^;  «    —j^cos^p* 

Jede  durch  die  2r-Axe  gebende  Ebene  schneidet  demnach  den 

geraden   parabolischen   Cono-Cuneus   (99)   in  einer  Parabel,   deren 

Scheitel  der  Coordinatenanfang  ist,  und  deren  Axe  in  der  JTF-Ebenc 

c*  sin'cp 

liegt.     Die  Brennweite  einer  solchen  Parabel  ist:  3 •       Mithin 

°  8pcos(]P 

erhält  man  für  den  geometrischen  Ort  der  Brennpunkte  dieser  Pa- 
rabeln in  Polarcoordinaten: 

c^  sin*<p  ,   . 

8p  cos  (p 

oder  in  Bezug  auf  rechtwinklige  Coordinaten: 

Diese  Gleichung  stellt  eine  Cissoide  dar,  welche  die  ^-Axe  im  Coor- 
dinatenanfang berührt  und  welche  sich  auf  der  positiven  und  auf  der 

negativen  Seite  der  T-Axe  der  Geraden  a; «  ^  asymptotisch  nähert 

öp 


§  29. 

Als  Gleichung  der  Tangentialebene  im  Punkte  vyz  des  ge- 
raden parabolischen  Cono-Guneus  (99)  erhalt  mau,  wenn  |,  17,  {;  die 
laufenden  Coordinaten  bedeuten: 

oder: 

( 106)  pzW  —  a;)  —  c»yi/  -f  2pa:«f  =  0 

Areh.  d.  lUih.  «.  Phy».    2.  B«ih«.  Teil  n.  SS 


354  Pabtti  Die  Cono-Otnei, 

Daraus  folgt  fQr  ar  =  0 :  $  =  0;  d.  b.  die  Directorebene  berthrt 
den  geraden  parabolischen  Cono-Cnnens  (99). 

Ferner  erhält  man  für  «  »  0: 

d.  h.  In  den  Punkten  der  singnlftren  KuCr  giebt  es  je  zwei  Tan- 
gentialebenen an  den  vorgelegten  GMinCuneas,  welche  sich  m  der 
singulftren  Kante  schneidea  mmT  mit  der  XZ-£bene  entgegengesetit 
gleiche  Winkel  bilden.  Es  sind  dies  die  in  (102)  des  Torigen  t  be- 
trachteten Ebenes.  Diese  Tangentialebenen  schneiden  mithin  im 
dem  geraden  parabolischen  Cono-Cnnens  (99)  die  singnlftre  Kante 
und  eine  Erzeugende  desselben. 

4 

Im  AUgemeinen  besteht  die  Darchachidttaoiirye  d^  TaiKgential- 
ebeno  mit  dem  vorgelegten  Couo-Cuneus  aus  der  durch  ihren  Be- 
rührungspunkt gehenden  Erzeugenden  desselben  und  aus  einer  Pa- 
rabd,  deren  Projection  auf  die  X^-Ebene  als  Parameter  die  vierte 
Proportionale  zu  4x  und  z  hat,  wenn  ar,  y,  a  die  Coordinaten  da 
BerQhrungspunktes  sind. 

Schneiden  wir  nun  den  geraden  parabolischen  Cono-Cunens  (99) 
durch  die  Ebenen  a;  =  jbo)  ^  *"  ^o  ^^  erhält  man  Ar  das  Tolnmen 
V  zwischen  diesen  Ebenen,  der  X2^Ebene  und  dem  zugehörigen  Teile 
desselben 

F=/      j  ydxdz  ^  — ~  j   -^x^dan  j  udz 

0         0  0  0 

(iw)  y  —  — ^ —  t«oyo«?o 

Das  Volumen  zwischen  den  Ebenen  x  «  «o,  y  »  0,  «  »  «o  i^o^  ^ 
zugehörigen  Teile  des  geraden  parabolischen  Cono-Cnneus  (99)  ist 
demnach  gleich  dem  dritten  Teil  eines  rechtwinkligen  Pa^ülelepip^ 
dons  mit  den  Kanten  %,  yo,  »q. 

Nun  ist:  l^.yo  =  ^y  ^ft^^u  F  den  zugehörigen  Teil  der  begres- 
zenden  Parabel  bedeutet;  also: 

(107)  V=iF.zo, 

welchen  Satz  wir  schon  in  der  Einleitung  bewiesen  haben. 


Pabst:  Die  Cono-Cunei  355 


i  30. 

Wir  kommen  jetzt  zar  Betrachtung  des  letzten  in  der  Einleitung 
definirten  Cono-Cnneus,  des  parabolischen  Scheitel-Cono- 
Canens.  Nehmen  wir  hierbei  als  Leitparabel  dieselbe  wie  beim 
geraden  parabolischen  Cono-Cuneus,  nämlich: 

2    83     tf 

als  Direetorebene  demnach  die  JTZ-Ebene,  als  singulare  Kaute  die 
F-Axe,  80  erhält  man  als  Gleichung  der  vorgelegten  Fläche: 

(108)  y^z  =  2cpx 

Der  parabolische  Scheitel-Cono-Cuneus  ist  mithin  ebenso  wie 
der  gerade  parabolische  Cono-Cuneus  eine  Fläche  dritten  Grades. 

Femer  fogt  aus  der  Gleichung  (108),  dass  jede  zur  .YF-Ebone 
parallele-  Ebene  den  vorgelegten  Couo-Guneus  in  einer  Parabel 
schneidet^  deren  Axe  in  der  .£Z-£beue  und  deren  Scheitel  auf  der 
Z-Axe   liegt.      Der   Parameter   einer   solchen    Parabel   ist   gleich 

2^,  d.  h.  er  ist  umgekehrt  proportional  dem  Abstände  der  schnei- 
denden Ebene  von  der  sii^^olären  .  Kante.  Hierin  unterscheidet  sich 
der  parabolische  Schcitel-Cono-Cunens  von  dem  geraden  paraboli- 
schen Gono-Gnneus. 

Fflr  den  geometrischen  Ort  der  Brennpunkte  der  aus  der  vor- 
gelegten FÜUhe  ansgeschnitieuen  Parabeln  erhält  man  demnach: 

(109)  xz^^    . 

d.  h.  der  geometrische  Ort  der  Brennpunkte  aller  Parabeln,  welche 
durch  Ebenen  parallel  der  XF-£bene  ans  dem  parabolischen  Scheitel- 
Cono-Guneus  (108)  ausgeschnitten  werden,,  ist  eine  gleichseitige  Hy 
perbel  in  der  X^-Ebene,  deren  Asymptoten  die  Axen  der  x  und  der 
z  sind,  und  deren  Excentricität  die  mittlere  Proportionale  zu  2p  und 
e  ist 

Femer  wird  durch  die  ETbene  y  »  A  aus  dem  parabolischen 
Scheitel-Cono-Cunens  (106)  eine  Curve  ausgeschnitten,  als  deren 
Projection  auf  die  JTZ-Ebene  man  erhält: 


2pc 
(110)  ^=Ä«"^ 


sa* 


356  PabMt:  Die  Cono^ihmm. 

Daraus  folgt,  dass  jede  zar  Directorebene  parallele  Ebene  ans  dem 
parabolischen  Scheitel-Cono-Cnnens  eine  erzeugende  Gerade  aus- 
schneidet. Hierin  unterscheidet  sich  dieser  Cono-Cuneus  von  allen 
bisher  betrachteten,  ans  denen  jede  der  Directorebene  parallele  Ebene 
im  Allgemeinen  zwei  Erzeugenden  der  betreffendan  Fläche  aus- 
schneidet. 

Der  vorgelegte  Cono-Cunens  unterscheidet  sich  von  dem  gendeo 
parabolischen  Cono-Cuueus  auch  dadurch ,  dass  jede  durch  die  sia- 
guläre  Kante  gehende  Ebene  im  Allgemeinen  zwei  erzeugende  Ge- 
raden desselben  ausschneidet  Dean  es  ergiebt  sich  als  Projeetioii 
der  Durchschnittscorve  der  Ebene  x  ->•  asc  mit  der  Flftche  (108)  auf 
die  FZ-Ebene: 


(111) 


=  ±l/v 


Diese  Eigenschaft  hat  der  parabolisebe  Scheitel-Gono-XJmieQS,  wie 
schon  im  §  28.  angedeutet  worden  ist,  mit  den  elliptischen  und  den 
hyperbolischen  Cono-Cnneis  gemeinsam. 

Ein  Hauptunterschied  zwischen  dem  geraden  parabotischen  Cono- 
Cuneus  nnd  dem  parabolischen  Scheitel^Gono-Cuneus  besteht  darin, 
dass  durch  gewisse  Ebenen  aus  dem  letzteren  Hyperbeln  ausge- 
schnitten werden,  was  bei  dem  ersteren  nicht  der  Fall  ist  Zu  diesen 
gehören  die  durch  die  ^Axe  gehenden  Ebenen.  Um  die  betreffenden 
Durchschnittscurven  näher  zu  untersuchen,  wenden  wir  die  Coor- 
dinatentransformation  (103)  an  und  setzen  y' »  0.  Alsdann  erbilt 
man  als  Gleichung  einer  Durchschnittscurve: 


(112)  «V  =  ^^-^ 


Diese  Durchschnittscurve   ist  demnach  eine  gleichseitige  Hjper. 
bei,  deren  Asymptoten  die  Axen  der  x*  und  der  z'  sind,  und  deren 

SocCOSo 

Quadrat  der  Excentricität  gleich     ^  , -^  ist 


§31. 

Gehen  wir  nun  zur  Tangentialebene  im  Punkte  «yt  des 
parabolischen  Scheitel-Cono-€nneus  (108)  über,  so  eriialten  vir  ak 
Gleichung  derselben: 

2pc(£-.ir)-2y«(iy-y)-y»({:-«)  «  0 
oder: 

(113)  2pc.5-2y»(iy  ~y)  -y»{:  -  0. 


PahBii  Die  amo-Omn.  357 

Daraus  folgt  fflr  y  =2  0:  |  ->  0;  d.  h.  der  parabolische  Scheitel- 
GoDo-Coneiis  (108)  borOhrt  die  FZ-Ebene. 

Ferner  eigiebt  sich  fttr  «  «  0  aus  der  Gleichong  (113): 

Die  TüngenUälebetie  iü  einem  Pnnkte  der  dingalären  Kante  geht 
demnach  durch  diese  Kante.  Es  giebt  aber,  wie  man  hieraus  er- 
sieht, iu  einem  Paukte  dw  singol&ren  Kante  nur  joine  Tangential- 
obene  an  den  parabolischen  Scheitel-Gono-Guneus  und  auch  hierdurch 
unterscheidet  sich  derselbe  von  den  übrigen  betrachteten  Cono-Cu- 
neis. 

Diese  Tangentialebenen  sind  die  unter  (111)  des  vorigen  §  be- 
trachteten Ebenen.  Sie  schneiden  also  aus  dem  parabolischen  Schei- 
tel-Gono-Guneus die  singulare  Kante  und  zwei  erzeugende  Geraden 
desselben  aus. 

Allgemein  erhält  man  für  die  Projection  der  Durchschnittscurve 
der  Tangentialebene  mit  der  vorgelegten  Fläche  auf  die  rZ-Ebene, 
wenn  man  £  aus  der  Gleichung  (113)  und  der  Gleichung  ti^i  =  2pc£ 
eliminirt: 


(114)  j 


{n+tfyt-^tf»^o 


Daraus  geht  hervor,  dass  die  Tangentialebene  aus  dem  parabo- 
lischen Scheitel-Gono-Guneus  im  Allgemeinen  die  durch  ihren  Be- 
rührungspunkt gehende  Erzeugende  desselben  und  eine  gleichseitige 
Hyperbel  ausschneidet,   deren  Projection  auf  die  FZ-Ebene  die  Ex- 

centridtät  y2y.z  hat.  Auch  die  Tangentialebenen  gehören  daher  z^ 
den  oben  erwähnten  Ebenen,  welche  aus  dem  parabolischen  Scheitel- 
Gono-Guneus  Hyperbeln  ausschneiden. 

Zugleich  ist  ersichtlich,  dass  die  Tangentialebene  die  Fläche  im 
Allgemeinen  nicht  längs  der  ganzen,  durch  ihren  Berührungspunkt 
gehenden  Erzeugenden  derselben  berührt  Eine  Ausnahme  findet 
nur  für  y  »  0  statt-,  d.  h.  die  FZ-Ebene  berührt  den  parabolischen 
Scheitel-Gono-Guneus  (108)  längs  der  ganzen  in  ihr  liegenden  Er- 
zeugenden desselben. 

Schliesslich  erhalten  wir  für  das  Volumen  V  zwischen  den 
Ebenen  y  —  yov'"*'^)  x  '^0  und  dem  zugehörigen  Teile  der  vor- 
gelegten Fläche: 


358  Pabat:  Dm  Conp-Omti. 

(T       0  0  0 

d.  h.  Das  Yolamen  mit  der  vorgescluidieneii  Begrenzang  igl  gidch 
dem  sechsten  Teile  eines  rechtwinkligen  Paaraliepipedons  mit  den 
Kanten  a^,  y^  z^. 

Wir  haben  beim  geraden  parabotieciien  Conö-Cnnens  erhalten: 

r'=5i«t)yo«to 

Daraus  folgt: 

d.  h.  in  Worten :  Die  Snmme  der  Volumina,  welche  von  den  beiden 
parabolischen  Gono-Cnneis  begrenzt  werden,  und  zu  den  Coordinateo 
^0)  ^09  ^  gehören,  ist  gleich  der  Hftlfte  des  rechtwinkligen  Panllel- 
epipedons  mit  den  Kanten  xq^  yoi  ^- 


TL  Absehnitt. 

Die  Fusspunktenflächen  der  betrachteten  Gono-Ciinei 
für  den  Coordinatenanfang  als  Pol. 

§  82. 

Wenn  man  von  einem  gegebenen  Punkte  die  Senkreditfii  so! 
die  Tangentialebenen  einer  gegebenen  Flache  ftUt,  so  bilden  ^ 
Fusspnnkte  dieser  Senkrechten  eine  neue  Fläche,  welche  die  Foss- 
punktenflftche  der  gegebenen  Fläche  für  den  gegebenen  Punkt  all 
Pol  genannt  wird.  Wir  wollen  nun  in  diesem  Abschnitte  die  Fiss- 
punktenflächen  der  behandelten  Cono-Cunei  Air  den  GoordinatenaBfuBg 
als  Pol  einer  kurzen  Betrachtung  unterwerfen. 

Was  zunächst  den  geraden  elliptischen  Cono-Guneus  (17) 

betrifft,  so  hatten  wir  als  Gleichung  der  Tangentialebene  desselbea 
erhalten  [S  12.  Gl.  27]: 

xz*(6 — x)'^cy,cri  —  z(a* — x')f  «0 

Demnach  ergiebt  sich  für  die  Gleichungen  der  Geraden,  wdche  dsreb 
den  Goordinatenanfang  geht  und  auf  dieser  TangentialebeBe  senk- 
recht steht,  wenn  £,  17,  t  die  laufenden  Goordinaten  bedeuten: 


Pahsi:  Die  ConO'Cunei.  35g 

(116)  { 

Die  Coordinaten  der  Fasspankte  dieser  Senkrechten  müssen  den 
Gleichnngon  (116)  and  der  Oleichnng  der  betreffenden  Tangential- 
ebeoe  genügen.    Demnach  folgt  für  dieselben : 


c^ag*yg* 

DsTch  Elimination  von  x,  ^y  c  aas  diesen  drei  Gleichungen  mit  Hilfe 
der  Gleichung  (17)  .rcsnltirt  die  Gleichnng  der.  gesachten  Foss- 
panktenflftche: 

(117)      ({«+1^2+ j«)2 «  IViy»-c»P) 

Die  Fnsspnnktenfläche  des  geraden  elliptischen  Cono-Cnneus  (17) 
für  den  Coordinatenanfang  als  Pol  ist  demnach  eine  Fläche  6ten 
Grades. 

Ein  ähnliches  Besnltat  ergiebt  sich  für  den  geteilten  geraden 
hyperbolischen  Gono-Canens  (37): 

als  dessen  Fasspunktenfläche  für  den  Coordinatenanfang  als  Pol  man 
erhält: 

118)  (£«+,,«+£•)«  -  g^a'^M-^f) 

Die  beiden  Gleichangen  (117)  and  (118)  gehen  für  {;  —  0  über  in: 

(119)  i*+i?*  =  +  a| 

Daraas  folgt  der  Satz:  Die  beiden  Fasspanktenflächen  (117)  and 
(118)  and  der  Cylinder  (119)  schneiden  sich  in  einer  and  derselben 
Corvo,  and  zwar  in  einer  ebenen  Cnrve. 

Diese  Relation  kann  man  auch  so  deuten:  Sind  der  gerade 
elliptische  und  der  gerade  geteilte  hyperbolische  Cono-Cuneus,  welche 


360  PabMt:  Die  Ceno-OmeL 

dieselbe  singnlftre  Kante  haben,  so  beschaffen,  dass  eine  and  die- 
selbe Ebene  aas  dem  elliptischen  einen  Kreis,  ans  dem  hypeiM- 
schen  eine  gleichseitige  Hyperbel  aasschneidet,  deren  halber  Piis- 
meter  gleich  dem  Radios  des  Kreises  des  elliptischen  Gono-GiineQs 
ist,  so  schneiden  sich  die  beiden  zagehörigen  FassponktenflUchen  Ar 
den  Coordinatenanfang  als  Pol  in  einer  ebenen  Carve ,  and  iwbt  ia 
zwei  Kreisen  in  der  XF-Ebene  mit  dem  Badias  |a,  welche  sich  in 
Coordinatenanfang  berühren  and  deren  Mittelpunkte  aaf  der  sinp- 
lären  Kante  der  beiden  zagehörigen  Cono-Conei  liegen: 

Ferner  ist  die  Gleichang  der  Tangentialebene  des  gerades  eis- 
fachen  t  hyperbolischen  Cono-Caneos: 

^  ^a  1, 

Demnach  erhält  man  als  Oleichangen  der   vom  CoordiDateiuui&og 
aaf  diese  Ebene  geftUten  Senkrechten: 


«-- 


chi 


%*  +  «*)  ^ 


Fttr  die  Coordinaten  des  Fasspanktes  dieser  Senkrechten  resol- 
tirt  mithin: 


«?- 


y»«* 


Eliminirt  man  a;,  y,  0  ans  diesen  drd  Oloichongea  mit  Hilfe  dar 
Gleichang  des  zagehörigen  Cono-Caneas,  so  erhält  man  als  GleichoDg 
der  betreffenden  Fusspanktenfläche  des  geraden  einfachen  hyp^^Kili- 
schen  Cono-Cunens: 

(120)  ({«+,,«+ £8)2  ^  !?!W^ö^ 

Aach  diese  Fläche  ist  wie  die  beiden  vorheigehe&dei  veii  6tei 
Grade. 


Pab^ft:  Die  Cono-Cunei,  361 

Untersuchen  wir  nun  die  Dnrchschnittscnrvcn  der  drei  abgelei- 
teten Fnsspanktcnflftchen  mit  Ebenen,  welche  dnrch  die  singulare 
Kante  des  zugehörigen  Cono-Cnncus  gehen.  Zu  dem  Zwecke  setzen 
wir  in  den  beiden  Oleifthungen  (117)  und  (118): 

denn  diese  Gleichung  stellt  eine  Ebene  dar,  welche  durch  die  X- 
Axe,  also  durch  die  singulare  Kante  des  geraden  elliptischen  Cono- 
Guneus  (17)  und  des  geraden  geteilton  hyperbolischen  Gono-Cuneus 
(37)  geht.  Dadurch  gehen  die  betreffenden  beiden  Gleichungen  über 
m: 


(121) 


j,+  ü^!f^,2.±«fyi-^. 


f» 


2^S 


^^^^^ 


(122)  S«  +  ^=-^y=^  1?«  =  ±  öS  y  1  +  m- 

Diese  beiden  Gleichungen  «stellen  im  Allgemeinen  je  zwei  Ellipsen 
dar,  welche  sich  im  Coordinatenanfang  berflhren,  und  deren  Mittel- 
punkte auf  der  A-Axe  liegen.  In  der  Gleichung  (121)  ist  diese  Mög- 
lichkeit an  die  Bedingung  geknttpft,  dass  m^  <^  1  ist,  während  der 
Satz  für  die  andere  Gleichung  für  jeden  Wert  von  m  gilt. 

Eine  analoge  Beziehung  ergiebt  sich  fflr  die  Fusspunktenfläche 

(120)  des  geraden  einfachen  hyperbolischen  Cono-Cuneus.    Da  dieser 

Cono-Cuneus  die   y-Axe  zur  singul&ren  Kante  hat,    so  stellt  die 

Gleichung 

<i  —  mai 

oiue  Ebene  dar,   welche  durch  diese  singulare  Kante  geht.   Dafür 
erhält  man  aus  der  Gleichung  (120): 

(123)  ^^^^^i^-i-V*  "=-  ±  «i?ym«~=l 

Diese  Gleichung   stellt,   wenn  m^>>l    ist,   zwei  Ellipsen  dar, 

welche  sich  im  Coordinatenanfang  berühren,  und  deren  Mittelpunkte 
auf  der   F-Axe  liegen. 

Aus  diesen  Erörterungen  folgt  der  Satz: 

Jede  durch  die  singulare  Kante  eines  geraden  elliptischen  oder 
hyperbolischen  Cono-Cuneus  gehende  Ebene  schneidet  im  Allgemeinen 
aus  der  FusspnnkteuÜächo  des  betreffenden  Cono-Cuneus  für  den 
Coordinatenanfang  als  Pol  zwei  unter  sich  gleiche  Ellipsen  aus, 
welche  sich  im  Pol  der  Fläche  berühren. 


362  Pabti:  Dk  Cono-Cunei, 


33. 

Was   ferner   die   Fosspiuikteiifläohe    des   elliptischea  Scheitel- 
Gono-Caneas  (76) 


('-i')* .  *« 


für  den  Coordinatenanfang  als  Pol  betrifft ,  so  hatten  wir  als  Glei- 
chung der  Tangentialebene  im  Pnnkte  xyz  desselben  eriialten  [f  23. 
Gl.  81]: 

(-i-)'+(£)"'<'-"- {!(—:•)-?& '^-".It-« 

Die  Gleichungen  der  vom  Coordinatenanfang  anf  diese  Ebene 
gefällten  Senkrechten  sind  demnach: 

a 

X ar 

'"-f('-i-)+:V-»'' 

Daraus  folgen  für  die  Coordinaten  des  Fusspunktes  dieser  Senk- 
rechten die  Gleichungen: 


(-;-)(ÖV 


(-;-)'+(S)'.'+[-!H-)+Ä<^-«I 


(£)* 


»■ 


'"(-°-)"+(£)v+[-"(-'o+^-''r 

[-!(—:-)+a'^-H  (£)'»■ 


Pabst:  Die  Cono^Cunei,  363 

Durch  Elimination  von  x^  y^  a  mit  Hilfe  der  Gleichung  (76)  folgt 
hierans  die  Gleichung  der  gesuchten  Fusspunktenfläche : 

(124)        iV+v'+Py'  -  ^d^S'-ict+at)^^ 

Zunächst  geht  hieraus  hervor,  dass  die  Fusspunktenfläche  ebenso 
wie  die  im  vorigen  §  betrachteten  vom  6ten  Grade  ist  Ferner  er- 
giebt  sich  aus  der  Gleichung  (124)  für: 

cf-fa£-0: 

«2-1- c2 

Daraus  folgt  der  Satz :  Die  durch  die  singulare  Kante  des  ellip- 
tischen Scheitel-Cono-Cuneus  (76)  gehende  Ebene  e(-}~a£  »  0  schneidet 
aus  der  zugehörigen  Fusspunktenfläche  (124)  zwei  Ellipsen  aus,  welche 
sich  im  Coordinatenanfang  berühren,  und  deren  Projectionen  auf  die 

bc  b 

Jry-Ebene  die  Halbaxen  — ,  ^  und  ö  haben. 

Auf  analoge  Weise  erhält  man  für  die  Fusspunktenfläche  des 
einfachen  hyperbolischen  Scheitel-Cono-Cuneus  (84): 


{-"•) 


für  den  Coordinatenanfang  als  Pol  die  Gleichung: 
(125)         (|«  +  ir^  +  {?)a«^[(c{;^a{)2-a»42J 

Ferner  war  die  Tangentialebene    des   geteilten  hyperbolischen 
Scheitel-Cono-Cuneus  (84): 

(E)'-<s-'-('-;')'+ [»<"-')+'('-'■)]'-» 

Daraas  folgen  die  Gleichungen  der  durch   den   Coordinatenanfang 
gehenden,  auf  dieser  Ebene  senkrecht  stehenden  Geraden : 


364  Pabst:  Die  Cono'CuneL 

Mithin  genttgen  die  Coordinaten  des  Fusspanktea  dieser  SeokrechteB 
den  Gleichungen: 


O" 


©■-(•-*■) 


'°©-+o-!-)'+[^(^-.+K.-t-)r 

Hieraus  folgt  die  Gleichung  der  Fusspunktenfläche  des  geteilten  hy- 
perbolischen Schcitel-Cono-Cuneus  (90)  für  den  Coordinatenanfang 
als  Pol: 


a*{« 


(126)     (i»+i,»+fi)«  -  ^^Ai^i+bfiy+b^n*l 

Aus  dieser  Gleichung  ergiebt  sich  für  (  »  0: 

d.  h.  in  Worten:  Die  Fusspunktenfläche  (126)  schneidet  die  lY- 
Ebene  in  zwei  Kreisen  mit  den  Radien  jay2,  welche  sich  imCoor- 
dinätenanfang  berühren,  und  deren  Mittelpunkte  auf  der  JT-Axe  liegen. 

Dreht  man  die  Flftche  (126)  um  die  2;-Axe  um  ^»  so  dass  die 

positive  X'Axe  in  die  negative  y-Axe  fällt,  dann  geht  die  Oldchmig 
derselben  über  in: 

Berücksichtigt  man  hierbei  die  Gleichung  (124)  der  Fusspunkteo- 
flächo  des  elliptischen  Scheitel- Cono-Guncus  (76)  und  beachtet,  das«, 
wenn  man  a  ==  6  setzt,  die  beiden  Gleichungen  für  cf+aj  «  0  über- 
gehen in 


Pabst:  Die  Cono-CuneL  365 

c2     P  +  ^^  "-  ±«^1 

80  resoltirt  der  Satz:  Sind  der  elliptische  and  der  geteilte  hyper- 
bolische Scheitel-Cono-Cnnens,  deren  singulare  Kanten  auf  einander 
senkrecht  stehen  und  in  einer  Ebene  liegen,  so  beschatten,  dass  die 
Ebene  in  der  Entfernung  c  von  den  singulären  Kanten  ans  dem  ellip- 
tischen  den  Kreis  mit  dem  Radius  a,  aus  dem  hyperbolischen  die 
gleichseitige  Hyperbel  mit  dem  halben  Parameter  a  ausschneidet,  so 
besteht  die  Durchschnittscurve  der  Fusspunktenfläche  des  elliptischen 
Scheitel-Cono-Caneus  für  den  Goordinatenanfang  als  Pol  mit  der  um 

n 

2  um  die  Z-Axe  gedrehten  betreffenden  Fusspunktenfläche  des  ge- 
teilton hyperbolischen  Scheitel-Cono-Cuneus  aus  zwei  Ellipsen,  welche 
sich  im  Goordinatenanfang  berühren,  und  deren  Projectionon  auf  die 

ac  a 

XY'Ehene  die  Halbaxen   — ..-  — -  und  ^  haben. 

Wir  wollen  nun  noch  ähnlich  wie  im  vorigen  §  die  Durch- 
schnittscurven  d&r  drei  abgeleiteten  Fusspunktenflächen  mit  Ebenen, 
welche  durch  die  singulare  Kante  des  zugehörigen  Gono-Guneus  gehen, 
nntersuchcn.  Da  der  elliptische  und  der  einfache  hyperbolische 
Scheitel-Gono-Guneus  die  y-Axe  zur  singulären  Kante  haben,  so  ist 

eine  Ebene,  welche  durch  diese  singulare  Kante  geht.  Setzen  wir 
diesen  Wert  von  t  in  die  Gleichungen  (124)  und  (125)  ein,  so  gehen 
dieselben  über  in: 


(127) 


(128) 


^'^'+^6»+iy»  ^±hri  T/l-(m+l)« 
^—  5*+i?*  «  ±  &I?  y(i»-l)*-l 


Diese  beiden  Gleichungen  stellen  im  Allgemeinen  je  zwei  Ellipsen 
dar,  welche  sich  im  Goordinatenanfang  berühren,  und  deren  Mittel- 
punkte auf  der  F-Axe  liegen.  Ein  ähnliches  Resultat  ergiebt  sich 
für  die  Fusspunktenfläche  (126)  des  geteilten  hyperbolischen  Scheitel- 
Gono-Guneus,  Dieser  Gono-Guneus  bat  die  X-Axe  zur  singulären 
Kante.    Folglich  stellt  die  Gleichung 

eine  Ebene  dar^  welche  durch  diese  singulare  Kante  geht.    Dadurch 
erhält  man  aus  der  Gleichung  (126): 


366  PahMti  DU  Cono-Cimti. 


(129) 


S^^-"^— 1?^  »  ±  «I  y(m+l)»+l 


Zugleich  ist  hieraas  enichtUch,  dass  ans  der  Fosspnnktenillche 
(126)  jede  durch  die  singulare  Kante  des  zügehörigen  geirtlteii  lij- 
perholischen  Scheitel-Gono-Caneas  gehende  Ebene  zwei  Ellipsen  ass- 
schneidet ,  während  bei  den  beiden  vorhergehenden  die  Ebenen  nocb 
gewissen  Beschränkungen  unterworfen  sind. 

Diese  Besultate  können  wir  in  den  Satz  zusammenfassen:  Jede 
durch  die  singulare  Kante  eines  elliptischen  oder  eines  hyperbolisdieo 
Scheitel-Cono-Cuneus  gehende  Ebene  schneidet  im  Allgemeinen  ans 
der  Fusspunktenfläche  des  betreffenden  Cono-C^neus  f&r  den  Coor- 
natenanfang  als  Pol  zwei  sich  gleiche  Ellipsen  aus,  welche  sich  im 
Pol  der  Fläche  berühren. 

§  34. 

Um  schliesslich  die  betreffenden  Fusspunktenflächen  der  beiden 
betrachteten  parabolischen  Cono-Cunei  zu  untersuchen,  so  haben  wir 
im  §  29.  als  Gleichung  der  Tangentialebene  im  Punkte  arys  des  ge- 
raden parabolischen  Cono-Cuneus  erhalten: 

pz\l — x)  — c^ij+2pas»t  ==  0 

Demnach  sind  die  Gleichungen  der  vom  Coordinatenanfang  auf  diese 
Ebene  geMten  Senkrechten: 

*  2p«i 

^ ^  f. 

^  2pxz^ 

so  dass  man  für  den  Fusspunkt  dieser  Senkrechten  erhält: 


I- 


fi 


i^pxyz^ 


.Daraus  folgt  als  Gleichung  der  Fusspunktenfläche  des  geradea  ptrs- 
bolischen  Cono-Cuneus  (99)  fär  den  Coordinatenanfang  als  Pol: 

(130)         {.+  ,«+t«-gp. 


FabMti  DU  Cono'Cunei.  367 


Diese  Fu^MMlilBattMrftt  demnach  vom  vierten  Grade,  während 
die  hiflnr  tMuchteten  vom  6ten  Grade  sind. 


Femer  ergiebt  sich  aqs  der  Gleichung  des  geraden  parabolischen 
Cono-Caneos: 

Setzt  man  diesen  Wert  in  die  Gleichung  (130)  ein,  so  geht  die- 
selbe aber  in 

,181)  ii+^+p»^ 

Darans  folgt  der  Satz:  Der  gerade  parabolische  Cono-Caneos 
(99),  die  zugehörige  FusspanktenflAche  (130)  nnd  die  Kngel  (131) 
schneiden  sich  in  einer  nnd  derselben  Curve. 

Oder  m.  a.  W.  Die  Dnrchschuittscurvo  des  geraden  paraboli- 
schen Conö-Cnneus  (99)  mit  der  zugehörigen  Fusspunktenfläche  für 
den  Coordlnatenanfaug  als  Pol  liegt  auf  einer  Kngel  mit  dem  Coor- 
dinatenanfang  als  Mittelpunkt,  deren  Radius  die  vierte  Proportionale 
zu  ^  und  c  ist. 

Ein  ähnliches  Resultat  erhält  man  fOr  den  parabolischen  Sehei- 
tel-Cono-Cuneus  (108).  Die  Gleichung  der  Tangentialebene  im  Paukte 
aryz  desselben  ist  [§  31.  Gl.  113]. 

2pc|-2y«(iy~y)-y2t-0 

Die  vom  Coordinatenanfang  auf  diese  Ebene  gefällte  Senkrechte  hat 
demnach  die  Gleichungen: 


yi      t, 


wodarch  man  ftkr  den  Fmspankt  dieser  Senkrechten  erhftlt: 


{ 


4yV    


2y*«    


368  Pabsti  Die  Cono-Cimeu 

Daraas  folgt  als  Gleichang  dicr  gesachtea  Fasspanktenllftdie: 

(132)  (S«+  fi^  +  £«)«+ ^^  -  0 
Das  ist  eine  Gleichung  fünften  Grades. 

Dreht  man  nun  den  parabolischen  Scheitel-Cono-Caneos  (106) 
um  die  ^-Axe  um  tk,  so  ist  die  Gleichung  desselben: 

i,H 2pc|. 

Darans  folgt: 

Setzt  man  diesen  Wert  in  die  Gleicbang  (ISS)  ein,  so  geht  dieielbe 
über  in 

(133)  |2  +  ^+j2«.2p^ 

d.  h.  in  Worten:  Der  um  n  um  die  Z-Axe  gedrehte  parabolisdie 
Scheitcl-Cono-Cuncus  (108) ,  die  zugehörige  Fusspuoktenflftcbe  (132) 
und  die  Kugel  (133)  schneiden  sich  in  einer  und  derselben  Cnrve. 

Oder:  Die  Durchschnittscurvo  des  um  x  um  die  Z-Axe  ge- 
drohten parabolischen  Scheitel-Cono-Cuneus  (108)  mit  der  zogehö- 
rigen Fnsspunkteniläche  (132)  Hegt  auf  einer  Kugel  um  den  Coor- 
anfang  als  Mittelpunkt,  deren  Radius  die  mittlere  Proportionsie  n 
2p  und  c  ist. 


Setzt  man  femer 


c* 


so  folgt: 


e  =s  2p. 


Daraus  folgt  der  Satz :  SchneideD  sich  die  beiden  paraboliachea  Cono- 
Cuoei,  deren  singulare  Kanten  auf  einander  senkrecht  stehen  und  in 
einer  Ebene  liegen,  in  einer  Parabel,  deren  Parameter  gleich  ihrNi 
Abstände  von  den  singul&ren  Kanten  ist,  so  liegt  die  DnrchscfanittB- 
curve  des  geraden  parabolische^  Gono-Cunens  mit  der  zageh^^gei 
Fusspunktenfläche  und  die  Durchschnittscurvo  der  Fusspunktenfläche 
des  parabolischen  Scheitel-Cono-Cuneus  mit  dem  um  n  um  äit  2- 
Axe  gedrehten  parabolischen  Scheitel-Cono-Cuneus  auf  einer  vod 
derselben  Kugel  um  den  Coordinatenanfang  als  Mittelpunkt,  dere.. 
Radius  gleich  dem  Parameter  der  Durchschnittsparabel  der  beiden 
Couo-Cunei  ist. 


Pabatx  DU  Cono-CuneL  369 

Schliesslich  wollen  wir  noch  die  Dorchschnittscarven  der  beiden 
Fasspnnktenfläcben  (130)  und  (132)  mit  Ebenen,  welche  dnrch  die 
singnl&re  Kante  des  betreffenden  Gono-Cnnens  gehen,  nntersnchen. 

Schneiden  wir  zn  dem  Ende  die  Fläche  (130)  dnrch  die  Ebene: 

welche  durch  die  X-Axe,  also  dnrch  die  singulare  Kante  des  geraden 
parabolischen  Couo-Cnneus  (99)  geht,  so  erhält  man  für  die  Pro- 
jection  der  betreffenden  Durchschnittscurve  auf  die  XY-Ehene: 

(134)  £t+(^2^1),»-?0*| 

Hieraus  folgt,  dass  jede  dnrch  die  singulare  Kante  des  geraden 
paraboliacben  Cono-Caneus  gehende  Ebene  die  zugehörige  Fusspunkten- 
fläche  in  einer  Ellipse  schneidet,  welche  durch  den  Pol  der  Fuss- 
punktenflftche  geht  Hierin  unterscheidet  sich  also  die  Fusspunkten- 
flftche  des  geraden  parabolischen  Cono-Cuneus  von  den  bisher 
betrachteten  und,  wie  wir  sogleich  sehen  werden,  auch  von  derjenigen 
des  parabolischen  Scheitel-Cono-Ounens,  aus  denen  jede  durch  die 
Biogul&re  Kante  des  betreffenden  Cono-Cuneus  gehende  Ebene  im 
Allgemeinen  je  zwei  Ellipsen  ausschneidet 

Um  dies  für  die  Fläche  (132)  nachzuweisen,  betrachten  wir  die 
Durchschnittscurve  derselben  mit  der  Ebene: 

f — »»I 

da  die  F-Axe  singulare  Kante  des  parabolischen  Scheitel-Cono-Cuneus 
(108)  ist  Fflr  die  Projection  der  in  Rede  stehenden  Durchschnitts- 
curve auf  die  XY-Eheue  ergiebt  sich  alsdann: 

(135)  (l+*i*)«*+i?*  «  ±  nV^i^ 

womit  die  obige  Behauptung  bewiesen  ist. 

Wir  haben  also  gefunden,  dass  die  Fusspunktenflächen  des  ge- 
raden elliptischen,  der  beiden  geraden  hyperbolischen  Cono-Cnnei 
und  diejenigen  des  elliptischen  und  der  beiden  hyperbolischen  Scheitel- 
Cono-Cnnei  vom  6ten  Grade  sind,  während  die  Fusspunktenfläche 
des  geraden  parabolischen  Gono-Cnneus  eine  Fläche  vierten  Grades, 
diejenige  des  parabolischen  Scheitel-Cono-Ouneus  eine  Fläche  fünften 
Grades  ist. 

Ferner  stimmen  die  Fusspunktenflächen  des  geraden  elliptischen 
Gono-Cuneus  und  der  geraden  hyperbolischen  Gono-Cunei  mit  deigeni- 
gen  der  betrachteten  Scheitel-Cono-Cnnei  darin  aberein,  dass  jede  durch 

Areh.  4.  Matb.  n.  P^ji.    3.  Seih«,  Teil  U.  94 


370  Pabst:  DU  Cono-Cunei 

die  singaläre  Kante  des  betreffenden  Gono-Canens  gehende  Ebene  im 
Allgemeinen  aas  ihnen  je  zwei  Ellipsen  aasschneidet,  welche  sich  im 
Pol  der  Fläche  berühren.  Die  Darchschnittscarve  der  Fassponkteo- 
fläche  des  geraden  parabolischen  Cono-Cancns  mit  einer  durch  die 
singulare  Kante  dieses  Cono-Cnneus  gehenden  Ebene  dagegen  besteht 
nar  aas  einer  Ellipse,  welche  durch  den  Pol  der  Fusspunkteniläehe  geht 


TU.  Abschnitt 

Die  Meridiancurvon  der  Cono-Cunei. 

§  35. 

Wir  schliessen  hier  eine  kurze  Behandlung  einer  Art  von  Coneo 
auf  den  Cono-Cuneis  an.  Auf  den  Rotationsflächen  unterscheidet 
man  Meridiane  und  Curven  gleicher  Polhöhe.  Diese  Terminologie  hat 
Alfred  Enneper  auf  krumme  Oberflächen  fibertragen  und  diese  CiiiTen 
folgeudermassen  definirt  ^}.  Im  Punkte  xyz  einer  Fläche  bilde  die  Nor- 
male den  Winkel  u  mit  der  ^Axe,  durch  v  werde  der  Winkel  be- 
zeichnet, welchen  die  Projection  dor  Normale  auf  die  J^F-Ebeae  mit 
der  Axe  der  x  einschliesst  Einem  bestimmten  Werte  von  v  ent- 
spricht auf  der  Fläche  eine  bestimmte  Curve,  für  welche  v  allein 
variabel  ist  Dieselbe  heisst  auf  den  Rotationsflächen  eine  Cnrve 
gleicher  Polhöho.  Yariirt  u  allein,  hat  also  v  einen  bestimmten 
Wert,  so  entspricht  demselben  eine  Curve,  welche  bei  den  Rotations- 
flächen den  Namen  Meridian  führt. 

Wir  wollen  in  Folgendem  die  Meridiancurven  der  Cono-Caoei 
betrachten.  Wird  z  als  Function  von  x  und  y  angesehen,  dann  be- 
steht die  Gleichung 


Sy 
dz_ 
dx 


=  1«v 


Mittelst  der  Gleichung  (17)  des  geraden  elliptischen  Gono-Conens 

ergiebt  sich: 

a* — 0^ 

tg«; 

xy 

(136)  a^—x^  —  xyigv^O 


I)  cf.  Alfred  Enneper:  „üebcr  Flächen  mit  besonderen  MeridiancarTeo" 
im  XXIX.  Bde.  der  Abhandlangen  der  Kftnigl.  Gesellschaft  der  Wissenschaf- 
ten sa  GOttijigen. 


PabtU  Die  Cono-Cunei,  371 

Diese  Gleichung  lässt  erkennen,  dass  die  Projection  der  Meridian- 
carve  des  geraden  elliptischen  Cono-Cuneus  (17)  anf  die  ^F-£bene 
eine  Hyperbel  mit  dem  Coordinatenanfang  als  Mittelpunkt  ist,  deren 
eine  Axe  mit  der  Axe  der  x  den  Winkel  iv  bildet,  und  deren  Axen 

o  . o  - . . 

bezüglich  gleich:  ^^JT^rcost;  und  g^^T^Vcosv  sind. 

Zu  demselben  Resultate  gelangt  man  beim  geraden  geteilten 
hyperbolischen  Cono-Cuneus  (37).    Man  erhält  nämlich: 

sc*  —  a* 
tgv  -= 

Daraus  fliesst  der  Satz:  die  Meridiancurven  des  geraden  ellipti- 
schen und  die  des  geraden  geteilten  hyperbolischen  Cono-Cuneus  liegen 
auf  denselben  hyperbolischen  Cylinderfiächen. 

Diese  Meridiancurven  sind  Curven  doppelter  Krümmung.  Denn 
wäre  dies  nicht  der  Fall,  so  mtlsste,  wie  in  der  Theorie  der  Curven 
nachgewiesen  wird,  wenn  man  x  als  unabhängige  Veränderliche  an- 
nimmt: 


dh        dh 
dx^       dx^ 


=  0 


sein.     Man  erhält  aber  für  die  Meridiancurven  des  geraden    ellipti- 
schen Cono-Cuneus  (17)  als  Wert  dieser  Determinante: 

6a*  <? 


x^{a^  —  a:*)i  tg*r 
und  für  diejenigen  des  geraden  geteilten  hyperbolischen  Cono-Cuneus  (37) 

x^(x^ — a^)  i  tg*t?' 

Setzt  man  den  Wert  von  a*— «*  aus  der  Gleichung  (136)  in  die 
Gleichung  (17),  so  ergiebt  sich: 

(137)  c*y  =  xz^'tgv 

Die  Meridiancurven  des  geraden  elliptischen  Cono-Cuneus  (17) 
liegen  demnach  auch  auf  Flächen ,  welche  durch  die  Gleichung  (137) 
dargestellt  werden.  Es  sind  dies  parabolische  Scheitel-Cono-Cunei, 
deren  Leitlinien  den  Gleichungen: 

a*  =  cy  ctg  V 
sc  =a  c 

24* 


372  Pabst:  Die  Cono^Cunei. 

genügen,  welche  aiso  die  Xr-Ebene  zar  Directorebeue  and  die  Z-Aie 
zur  singulären  Kante  haben. 

£in  ähnliches  Resultat  ergiebt  sich  für  den  geraden  geteiltee 

hyperbolischen   Cono-Cnneus  (37),  dessen   Meridiancnnren  anf  den 

Flächen: 

•  c*y  «  —  XÄ^tgw, 

(138)  i?«y«.«a«tg(»— »i) 

liegen.  Daraus  geht  hervor,  dass  die  parabolischen  Scheitei-CoDO- 
Cunoi  der  eben  beschriebeneu  Art  sowol  den  geraden  eliiptischeo 
Cono-Cnneus  (17)  als  auch  den  geraden  geteilten  hyperbolischeo 
Cono-Cunens  (37)  in  Meridiancurven  schneiden. 

Ferner  erhält  man  für  den  geraden  einfachen  hyperboKschea 
Cono-Cnneus  (67): 

(139)  y^\%v+xy+h^\%v  «  0 

Die  Meridiancurven  des  geraden  einfachen  hyperbolischen  Cono- 
Cnneus  (67)  liegen  mithin  ebenso  wie  diejenigen  des  geraden  ellip- 
tischen und  des  geraden  geteilten  hyperbolischen  Cono-Cnneiis  aaf 
hyperbolischen  Cylinderflächen,  deren  Axe  die  Z-Axe  ist  Die  Sparen 
dieser  Cylinderflächen  in  der  ^y-Ebene  sind  Hyperbeln  mit  dem 
Coordinatenanfang  als  Mittelpunkt,  deren  eine  Axe  mit  der  Axe  der 
X  den  Winkel  ^v  bildet  und  deren  Axen  bezüglich 


1 /~2sin»  ,       l/  2sin»      .    , 

1/  :r~\ — • —     und    bl/  z 1 —  sind. 

r    l-f-smv  r   1— smv 


+ 

Durch  Substitution  des  Wertes  von  y^-^-h'^  aas  (139)  io  (67) 
ergiebt  sich: 

(140)  i«  c««. «  a«y«« ig {^  +  ») 

Durch  Yertauschung  von  x  mit  y  geht  die  Gleichung  Ober  in: 

(141)  Ä»c«y  =  «»»«*  tg  (^  +  v\ 

Vergleichen  wir  die  Resultate  (137),  (138)  und  (141),  so  resoltirt 
der  Satz: 

Die  Meridiancurven  des  geraden  elliptischen,  des  geraden  ge- 
teilten und  des  geraden  einfachen  hyperbolischen  Cono-Cnneus,  welche 
die  singulare  Kante   und  die  Directorebene  gemeinsam  haben,  nnd 


PabMt:  Die  ConO'Cunei,  373 

welche  so  beschaffen  sind,  dass  eine  and  dieselbe  Ebene  ans  dem 
elliptischen  einen  Kreis,  ans  den  beiden  hyperbolischen  je  eine 
gleichseitige  Hyperbel  mit  einem  Parameter  gleich  dem  doppelten 
Kadius  des  Kreises  des  elliptischen  Cono-Cnneus  aasschneidet,  liegen 
aaf  denselben  parabolischen  Scheitel-Gono-Goneis. 


36. 

Um  nnn  die  Meridiancarven  des  elliptischen  Scheitel-Cono-Cnnens 
(76)  zu  antersachen,  so  folgt  ans  der  Gleichung  (76): 

(142)  z * 


Bfithin  erhält  man: 
d»  bc  ^     dz  bcxy 


8«        a(5+l/5»— y«)'     h        a{h  +  V **  —  y«) V*«  —y^  ' 

80  dafls  sich  ergiebt: 

(143)  tgf» «  *^ 


(&+VÄ*-y»)V^-y 

Diese  Gleichung  stellt  eine  Cylinderfläche  6  ten  Grades  dar ;  denn 
man  erhftlt  daraus: 

«*y»ctg*t>  +  (*«  — y«)«y«  -  2a;»ctg»ü(6»— y«)(25»— y«) 

Während  daher  die  Projectionen  der  Meridiancurven  des  geraden 
elliptischen  Cono-Cnneus  (17)  auf  die  JTF-Ebene  Hyperbeln,  d.  h. 
Curven  zweiten  Grades  sind,  liegen  die  Meridiancarven  des  elliptischen 
Scheitel-Cono-Cuneus  (76)  auf  Cylinderflächen  6  ten  Grades. 

Setzt  man  für   die  irrationalen  Ausdrücke:    h^'^b^—y'^  und 

yp  —  y«  die  aus  der  Gleichung  (142)  folgenden  rationalen,  so  geht 
die  Gleichung  (143)  über  in 

Ein  ähnliches  Resultat  ergiebt  sich  für  den  einfachen  hyperbo- 
lischen Scheitel-Cono-Cuneus  (84): 


Man  erhält  nämlich: 


374  Pabat:  DU  Cono^CuneL 


tgt^i  =  — 


(145)  tg(»r-t,i)  = 


xy  


(*+Vy*+**)Vy*+** 


Die  Moridiancnrven  des  einfachen  hyperbolischen  Schcitel-Cono- 
Gunens  (84)  liegen  demnach  ebenso  wie  diejenigen  des  elliptischen 
Scheitcl-Cono-Gnneas  (76)  anf  Cylinderfl&chen  6ten  Grades.  Ferner 
folgt  aas  der  Gleichung  (145): 

(146)  tg(«-.,)  =  ,-ä-^g^ 

Ans  der  Yergleichnng  von  (144)  und  (146)  resoltirt  der  Satz: 
Die  Meridiancnrven  des  elliptischen  nnd  des  einfachen  hyperbolischen 
Scheitel-Cono-Cnnens ,  welche  dieselbe  singulare  Kante  und  dieselbe 
Directorebene  haben,  liegen  auf  denselben  Flftchen  dritten  Grades. 

Schliesslich  erhält  man  für  den  geteilten  hyperbolischen  Sobeitd* 
Gono-Guneus  aus  der  Gleichung  (108): 

aey 


Ä(a-f-V«*— a«) 
Demnach  ergiebt  sich: 

Bm  acxy  hz  ae 


also: 

(a+ Va? — a«)  V^^^'ä^ 
tgv  = 

oder: 

Die  Meridiancurven  des  elliptischen  und  der  beiden  hyperboli- 
schen Scheitel-Gono-Gunei  stimmen  also  darin  tiberein,  dass  sie  auf 
Gylinderflächen  6ten  Grades  liegen. 

Femer  folgt  aus  (147): 

(148)  tg  (?+,'))  -  ^^, 

Dreht  man  den  geteilten  hyperbolischen  Scheitol-Cono-Oiocos 
(108)  um  die  Z-Axo  um  ^  t  so  dass  die  positive  JT-Axe  in  die  nega- 
tive y-Axe  flUlt,  so  haben  wir  nur  x  mit  y  zu  vertanscheB,  alles 


Pabst:  Die  Cono-CuneL  375 

üebrige  bleibt  unverändert,    Föbren  wir  diese  Yertaaschung  in  der 
Gleichung  (148)  aus,  so  geht  dieselbe  über  in 

(149,  «(?+..). -^^ 

Aus  der  Vergleichung  von  (144),  (146)  und  (149)  resultirt  der  Satz: 

Die  Meridiancurven  des  elliptischen,  des  einfachen  und  des  ge- 
teilten hyperbolischen  Scheitel-Cono-Cuncus,  welche  dieselbe  singulare 
Kante  und  dieselbe  Directorebene  haben,  und  welche  so  beschaffen 
sind,  dass  eine  und  dieselbe  Ebene  aus  dem  elliptischen  einen  Kreis, 
aas  den  beiden  hyperbolischen  je  eine  gleichseitige  Hyperbel  mit 
einem  Parameter  gleich  dem  doppelten  Radius  des  Kreises  des  ellip- 
Scheitel-Cono-Cuneus  ausschneidet,  liegen  auf  denselben  Flächen 
dritten  Grades. 

Es  ist  dies  eine  ganz  ähnliche  Beziehung,  wie  wir  sie  am  Ende 
des  vorigen  §  für  die  drei  entsprechenden  geraden  Cono-Cunei  ab- 
geleitet haben. 


§  37. 

Verfolgen  wir  nun  dieselbe  Untersuchung  fttr  die  beiden  para- 
bolischen Cono-Cunoi.  Aus  der  Gleichung  (99)  des  geraden  para- 
bolischen Cono-Cuneus  geht  hervor: 

*  "~  V2px 
also: 


dz 

Off       .     Sa 

dx 

2y2pa;3'     dy 

man: 

2x 

2x'\'ytgv  «  0 

V2p 


X 


(150) 

Die  Meridiancurven  des  geraden  parabolischen  Cono-Cuneus  (99) 
liegen  demnach  in  Ebeiien,  welche  durch  die  Z-Axo  gehen.  Es  sind 
mithin  zum  Unterschiede  von  den  bisher  betrachteten  ebene  Curven, 
und  zwar  Parabeln,  welche  der  Gleichung  genügen: 

_      2c^ctg^t> 


i>yi+4ctg*ü 

Ein    ähnliches   Resultat    ergiebt    sich   für    den    parabolischen 
Scheitel-Cono-Cuneus  (108) : 


376  Pabst:  DU  Cono-OtneL 

2pem 


9  ■— 


y« 


Es  folgt  nämlich  hieraas: 

2m 

d.  i.  aber  die  Gleichung  (150).  Mithin  resnltirt  der  Satz:  Die  durch 
die  Z-Axe  gehenden  Ebenen  schneiden  sowol  den  geraden  parabo- 
lischen Cono-Gnneus  (99)  als  auch  den  paraboliBchea  Schdtel-Goao- 
Cnnens  (108)  in  Meridiancnnren. 

Die  Meridiancnrven  des  parabolischen  Scheitel-CTono-Cnneu  (106) 
und  aber,  wie  sich  ans  den  Erörterungen  des  §  30.  61.  (112)  ergiebt, 
zum  Unterschiede  von  denen  des  geraden  parabolischen  Cono-Ganens 
(99)  gleichseitige  Hyperbeln;  sie  liegen  also  auf  hyperbolischen  Cj- 
linderflächen,  und  hierin  stimmen  sie  mit  den  Meridiancnnren  des 
geraden  elliptischen  nnd  der  beiden  geraden  hyperbolischen  Cono- 
Cnnei  ttberein. 

Ziehen  wir  schliesslich  allgemein  die  durch  die  Gleichung  (4) : 

cy  —  9f(x) 
dargestellten  Flächen  in  Betracht,  so  ergiebt  sich  fttr  dieselben: 

also: 

y/'(«)tg«+/(^)-0 

Die  Projectionen  der  Meridiancurven  der  durch  die  Gleichusg 
(4)  dargestellten  Flächen  auf  die  ^F-Ebene  sind  demnach  im  All- 
gemeinen Gurven  mten  Grades,  wenn  m  den  Grad  von  f(x)  bedeatet 
vorausgesetzt  dass/(d;)  eine  ganze  rationale  Function  von  x  bezeichBet 

Dieser  Satz  gilt  auch,  wenn  die  Leitlinie  der  Fläche  der  Glei- 
chung: y^  »/(a?)  genagt,  so  dass  der  Grad  der  auf  die  JTF-Ebeiie 
projicirten  Meridiancurven  der  Fläche  (4)  von  n  unabhängig  ist 

Denn  es  ergiebt  sich  für  diesen  Fall: 

y/'(«)tg»+n/(«)-0 


Pabati  Die  Cono-CuneL  377 

Tin.  Absehnitt. 

Verallgemeinerangen  der  Gono-Cnnei. 

§  38. 

Zorn  Schhiss  wollen  wir  an  bisher  gefundene  Resultate  einige 
Bemerkungen  anknüpfen,  indem  wir  die  betrachteten  Flächen  etwas 
verallgemeinem. 

Wir  ändern  zunächst  die  Bedingung,  dass  die  singulare  Kante 
einer  Axe  des  Leitkegelschnitts  parallel  ist,  dahin  ab,  dass  eine  Axe 
des  Leitkegelschnitts  mit  der  singnlären*  Kante  den  Winkel  <x  bildet, 
während  diese  Kante  der  Ebene  des  Leitkegelschnitts  parallel  ist  und 
durch  die  im  Mittelpunkte  desselben  auf  seiner  Ebene  senkrecht 
stehende  Gerade  geht 

Sind  die  Gleichungen  des  Leitkegelschnitts: 

dann  ergiebt  sich  als  Gleichung  der  gesuchten  Fläche,  wenn  die  Ebene 
der  yz  die  Directorebene  ist: 

(152)  Ax^z^+2Bcxs^  +  Cc*y*  —  Dz^ 

Daraus  folgt,  dass  jede  zur  JTF-Ebene  parallele  Ebene  die  Fläche 
(152)  in  einem  Kegelschnitte  schneidet,  und  zwar  da  das  charakteri- 
stische Binom  desselben  gleich  (B^^A.C)c^z^  ist,  in  einer  Ellipse 
oder  Hyperbel,  je  nachdem  der  Leitkegelschnitt  eine  Ellipse  oder 
eine  Hyperbel  ist. 

Um  diesen  Kegelschnitt  näher  zu  untersuchen,  betrachten  wir  die 
allgemeine  Mittelpunktsgleicfaung  eines  solchen: 

Ax^+2Bxy+Cy^  =  D 

Wenden  wir  hierauf  die  Coordinatentransformation  am 

X  «  x'costt-f-y'sina 
y  =»  —  a:'sintt4~^'<^osa, 

so  gebt  diese  Gleichung  über  in 

AW»-{-2B'xy+cy^  «  D 

wobei: 

A'=  -4cos*a— 2Bsinacosa-4~^8in*a 

^'=i^8in2a+^cos2a— jCsin2a 
C—  ^sin'a+^-ffsinacosa-j^Ccos'a 


378  Pabst:  Jjit  Cono-CuneL 

22? 

B'=zO  liefert  die  Bedingung:  tg2o  =  -qZTa  Dadurdiergiebtsich: 


c'-iU+o- 


2V(C— ^)«+4ä* 


2l/(C— ul)«-|-42?^ 
Diese  Resaltate  auf  die  Gleichnng  (152)  angewandt,  Jicfert: 

2Bcz 
(153)  ^     ^'=i(A,«+Ce*)+^^^==^^-^p^ 


2y(Cc*--^«)«+4JJ»i5«2^ 

Daraus  geht  hervor,  dass  die  Fläche  (152)  dadurch  entstanden 
gedacht  werden  kann,  dass  sich  eine  Ellipse  oder  Hyperbel  mit 
variablen  Axen  parallel  mit  sich  selbst  bewegt,  während  ihr  Mittel- 
punkt eine  auf  der  Ebene  des  Kegelschnitts  senkrechte  (jerade  be- 
schreibt und  ihre  Axen  sich  um  den  Mittelpunkt  drehen.  Diese  Art 
von  Flächen  unterscheidet  sich  dadurch  von  den  Cono-Cuneis,  dass 
hier  beide  Axen  des  beweglichen  Kegelschnitts  variabel  sind,  wfthre&d 
bei  jenen  nur  eine  Axe  sich  ändert  Sie  haben  das  mit  den  ellipti- 
schen Cono-Cuneis  gemein,  dass  auch  hierbei  unter  den  ausgeschnit- 
tenen Ellipsen  ein  Kreis  vorkommt,  und  zwar  erhält  man  denselben  ^ 

(A8«—  Cc2)2  — 42?«c»«2  =  0 

(154)  z=±^{B^-^W^rAJC) 

Wenn  der  Leitkegelschnitt  hierbei  eine  Parabel  ist,  so  ist,  weil 
der  Mittelpunkt  def selben  im  Unendlichen  liegt,  die  singulare  Kante 
der  Parabelaxe  parallel,  ihre  Projection  auf  die  Parabelebene  bnmcJit 
aber  nicht  mit  der  Parabelaxe  zusammenzufallen,  sondern  kann  von 
ihr  um  irgend  eine  Strecke  ö  entfernt  sein. 

Um  diesen  Fall  zu  untersuchen,  nehmen  wir  als  GleichongeB 
der  Leitparabel: 

(155)  \ 

f  a  =  c, 

wodurch  wir  als  Gleichungen  der  betreffenden  Fläche  erhalten: 


Pabsl:  Die  Cono-Cunei,  379 

(156)  (y-cV^^p-jo: 

Diese  Gleichung  lässt  erkeaueu,  dass  jede  zur  XY-Ehone  parallele 
Ebene  die  betreffende  Fläche  in  einer  Parabel  schneidet,  deren  Para- 
meter proportional  dem  Quadrate  der  Entfernung  der  schneidenden 
Ebene  von  der  singulären  Kante  wächst.  Die  Axen  dieser  aus- 
geschnittenen Parabeln  sind  der  singulären  Kante  parallel  und  ent- 
fernen sich  von  der  ^Z-Ebene  proportional  dem  Abstände  der 
schneidenden  Ebene  von  der  ^y-Ebene.  Diese  Fläche  ist  also  ein 
schiefer  parabolischer  Cono-Cuneus. 


§  39. 

Eine  andere  Verallgemeinerung  ist  die,  dass  die  Ebene  des  Leit- 
kegelscbnitts  nicht  der  singulären  Kante  parallel  ist,  sondern  mit  ihr 
den  Winkel  a  bildet  Wir  wollen  hierbei  zunächst  den  speciellen 
Fall  untersuchen,  wo 

(157) 


! 


z  =  (o-|-a;)tgo 


die  Gleichungen  der  Leitlinie  sind.    Die  Gleichung  der  betreifenden 
Fläche  ist  demnach: 

(158)  y*  (a  +  xy  tg«  a=:(r^^  ar«)  z^ 

Betrachten   wir   die   Durchschnittscurve    dieser  Fläche   vierten 

Grades   mit  einer  Ebene  senkrecht  auf  der  XZ-Ebene,  welche  mit 

der  X-Axe  den  Winkel  i/;  bildet  und  von  derselben  das  Stück  c  ab- 

abschneidot,  so  ergiebt  sich,  wenn  man  die  Coordinatentransformation 

anwendet: 

/     X  =  ir'cos  ^  —  /sin  i); 

(159)  \    p-y' 

\    z  ^  ctgi^+oj'sinip+^'cosV^ 

und  «'  =■  0  setzt,  als  Gleichung  der  definirten  Durchschnittscurve : 
3^2(^^a.'co8t/;)2tg^a  =  (r*  —  a;'*C0S*i/>)(c-|-a;'c08t|;)»tg*tf; 
Für  c  ^  a  geht  diese  Gleichung  über  in 

!a-|-«'co8i^  =■  0 
y'^tg^a  «  (r2  — a;'*C0S«t/;)tg«t/; 

Daraus  folgt:    Alle  Ebenen  senkrecht  auf  der  J^Z-Ebeno,  welcho 
durch  die  in  der  J^y-Ebcne  liegende  Gerade  x  =»  —  a  gehen,  schnei- 


380  Pah  st:  Die  Cono-Cuneu 

den  die  Fläche  (158)  in  Ellipsen,  deren  Mittelpunkte  auf  der  Z-Axe 
liegen,  und  deren  Axen  bezflglich  in  die  Ebenen  der  xi  und  der  y> 
fallen. 

Zugleich  ist  ersichtlich:    Wenn  a'^r  ist,  so  besteht  die  be- 
trachtete Dnrchschnittscurve  nur  aus  der  beschriebenen  Ellipse;  ist 

dagegen  a  ^r^  so  erhält  man  ausser  dieser  Ellipse  noch  eine  Gende. 

Unter  den  ausgeschnittenen  Ellipsen  findet  sich  ein  Kreis,  und 
zwar  für  sintt;  »  tgo.    Ein  Kreis  kann  demnach  nur  aus  der  Fläche 

(158)  ausgeschnitten  werden,  wenn  «  «  ^  ist. 

Hätten  wir  als  Gleichungen  des  Leitkegetechnitts  allgemein  in- 
genommen: 

(161)  J 

so  hätten  wir  als  Gleichung  der  Fläche  erhalten: 


( 


I  <p^'^2{Bx+^)ytgtt 

Für  die  Durchschnittscurve  der  oben  definirten  Ebene  mit  dieser 
Fläche  crgiebt  sich  für  c  «  a: 

ta+aj'costf;  «  0 

Der  ausgeschnittene  Kegelschnitt  ist  also  eine  Ellipse,  Parsbel 
oder  Hyperbel,  je  nachdem: 

(i^*  —  X .  C)tg«  a .  sin«  t/;  =  0 

ist,  d.  h.  jo  nachdem  die  Leitlinie  eine  Ellipse,  Parabel  oder  Hyperbel 
ist  Das  charakteristische  Binom  verschwindet  allerdings  auch  f^r 
1^  =  0.  In  diesem  Falle  ergiebt  sich  aber  die  singulare  Kante  als 
Durchschnittscurve.  Man  kann  demnach  die  betrachteten  FUeben 
so  entstanden  denken,  dass  sich  ein  variabler  Kegelschnitt  um  dne 
in  seiner  Ebene  liegende  Gerade  dreht,  während  die  Punkte  seiner 
Peripherie  gerade  Linien  beschreiben,  welche  einer  durch  die  Drehungs- 
axe  gehenden  Ebene  parallel  sind  und  durch  eine  auf  dieser  Director- 
ebene  senkrecht  stehende  Gerade  gehen,  welche  die  Drehungsaxe 
schneidet. 


Pabst:  Die  Cono-CuneL  Sgl 

Die  Cono-Cunei  gehen  dadurch  hieraus  hervor,  dass  die  Drehungs- 
axe  ins  Unendliche  rückt 

Aus  der  Gleichung  (158)  ergeben  sich  folgende  zwei  specielle 
F&lle. 

Für  a  »  0  geht  dieselbe  über  in 

(164)  ««  y*  tg«  «  «  (r*  —  ar«)  z^ 
Für  a  '^^  r  ergiebt  sich  aus  (158): 

(165)  y*  (r + «)  tg» a  «  (r  —  x)z* 

Diese  letztere  Gleichung  stellt  eine  Fläche  dritten  Grades  dar, 
welche  die  Eigenschaft  hat,  wie  sich  leicht  nachweisen  lässt,  dass  die 
Tangentialebene  aus  ihr  im  Allgemeinen  die  durch  ihren  Berührungs- 
punkt gehende  Erzeugende  der  Fläche  und  eine  Ellipse  ausschneidet. 

§  40. 

Schliesslich  wollen  wir  noch  eine  dritte  Voraussetzung,  welche 
wir  bei  der  Definition  der  Cono-Cunei  gemacht  haben,  fallen  lassen. 
Wir  haben  dort  nämlich  angenommen,  dass  die  singulare  Kante  auf 
der  Directorebene  senkrecht  steht,  oder,  was  dasselbe  bedeutet ,  dass 
die  erzeugenden  Geraden  die  singulare  Kante  rechtwinklig  schneiden. 
Betrachten  wir  nun  den  allgemeineren  Fall,  dass  die  Projectionen  der 
Erzeugenden  auf  die  JTZ-Ebene  mit  der  singulären  Kante  den  Winkel 
ß  bUden.! 

Diese  Erzeugenden  mt&ssen  demnach  den  Gleichungen  genügen, 
wenn  wir  die  singulare  Kante  wieder  zur  ^-Axe  eines  rechtwinkligen 
Coordinatensystems  nehmen: 

Hat  der  Leitkegelschnitt  allgemein  die  Gleichungen: 

iliB»4-2Ä«y  +  Cy»+2Zte-f.  2£:y +  F«  0 
(167) 


! 


z  =  (a-f-a:)tga 

80  erhält  man  als  Gleichung  der  betreffenden  Fläche,  wenn  man 

1  — tga.ctg^J  =«  f»;    tga.ctg/3  »  n 
setzt: 

«*•  Vi +«(«  +  «)•  9>2  +  («  +  *)^- ^3  =  Ö 

(Pi  «  ^[na+a;  —  «ctg/J]«  —  2ß»y[(l-|-n)a+2a;  — «Ctg/3] 
(168)   {        -|-C»«y«-|-2Z>m[fio  +  a:  — 2Ctg/J]  — 2£;m.ny  +  F.m2 
^2  ■=■  2[J5(na  +  «)  —  Cny-\-Em\ytga 
<P8  «-  CV*.tg*a 


382  Pah  st:  Die  Cono-Cunei. 

Wir  wollen  nun  nachweisoB,  dass  aach  diese  Flächen  darch 
Drehung  eines  veränderlichen  Kegelschnitts  entstehen  können.  Za 
dem  Zwecke  betrachten  wir  die  Darchschnittscarve  der  Flache  (168) 
mit  einer  auf  der  ^Z-£benc  senkrecht  stehenden  Ebene,  welche  mit 
der  X-Axe  den  Winkel  ^  bildet  nnd  von  derselben  das  StQck  e  ab- 
schneidet. Mit  Hülfe  der  Transformationsgleichnngen  (159)  des  Tori- 
gen  §  ergiebt  sich  als  Gleichung  der  definirten  Durchschnittscorre: 

!(<;+ ä'cos  if^)*.  <Pi'.  tg*^ 
+  (<? + «'cos  t/;)  (o + «'cos  V').  qpg'.  tg  ^ 
+  (a  +  ic'cosif;)* .  g>s' «  0 

Wird  c  =  a,  so  geht  diese  Gleichung  über  in 

!a-f-a;'coST^  =  0 
<Pi'.tg*^  +  g>2'.tgt)^  +  i3P3'^0 

Aus  den  Gleichungen  (168)  geht  hervor,  dass  qpj',  qpg',  ^3'  Func- 
tionen zweiten  Grades  in  x\  y*  sind.    Mithin  rcsultirt  der  Satz: 

Diejenigen  auf  der  X?-Ebene  senkrechten  Ebenen,  welche  durch 
die  in  der  JTF-Ebene  liegende  Gerade  a:  « — a  geben,  schneiden 
aus  der  Fläche  (168)  im  Allgemeinen  Kegelschnitte  aus. 

Das  charakteristische  Binom  der  Gleichung  der  Kegelschnitte  ist: 
{&—A,  C)  (ctg  1^  —  ctg  ß)^ .  sin«  if; .  tg*  ?/;.  t«-«. 

Das  Vorzeichen  desselben  hängt  mithin  von  dem  Vorzeichen  von 
5*  —  ^ .  C  ab,  d.  h.  der  ausgeschnittene  Kegelschnitt  ist  eine  Ellipse, 
Parabel  oder  Hyperbel,  je  nachdem  der  Leitkcgelschnitt  der  Fläche 
(168)  eine  Ellipse,  Parabel  oder  Hyperbel  ist. 

Allerdings  verschwindet  das  charakteristische  Binora  aach  fOr 
t^  =  0  und  für  tf;  »  ^.  Im  ersteren  Falle  erhält  man  aber  als 
Durchschnittscurve  die  singulare  Kante,  im  zweiten  eine  erzeo^eode 
Gerade  der  Fläche  oder  kein  geometrisches  Gebilde. 

Damit  ist  die  oben  ausgesprochene  Behauptung  bewiesen. 


Schumacher:  Das  Sehnen" Tangentenviereck.  383 


XVII. 


Das  Sehnen-Tangentenviereck. 

Von 

Herrn  Dr.  J.  Schumacher. 


In  der  „Zeitschrift  fttr  mathematischen  und  naturwissenschaft- 
lichen Unterricht",  herausgegeben  von  J.  C.  V.  Hoifmann,  ist  im  8. 
Jahrgang  pag.  502.  Aufgabe  Nummer  48.  von  Herrn  Geheimrat  Dr. 
Scblömilch  die  nachfolgende  Aufgabe  gestellt: 


,,Die  Vierecke,  welche  einem  Kreise  eingeschrieben  und  zugleich 
„einem  andern  Kreise  umgeschrieben  sind,  bieten  mancherlei  Auf- 
„gaben  dar,  von  denen  bisher  nur  wenige  (z.  B.  die  Ermittelung  des 
„Abstandes  der  beiden  Kreiscentren)  Beachtung  gefunden  haben. 
„Als  Beispiel  eines  hierher  gehörenden  Problems  sei  folgendes  er- 
„wähnt:  Aus  drei  gegebenen  Eckpunkten  A^  2?,  C  eines  solchen  Vier- 
„ecks  den  vierten  Eckpunkt  D  zu  suchen." 

„Vierecke  der  genannten  Art  sind  durch  drei  gegebene  Stücke 
„bestimmt;  die  Bearbeitung  der  einzelnen  Fälle  gäbe  eine  kleine 
„Theorie,  die  sich  vielleicht  rein  geometrisch  behandeln  lassen  wird." 

Ich  habe  mich  an  die  Untersuchungen  dieser  besonderen  Art  von 
Vierecken  gemacht,  bin  jedoch  nicht  dem  Rate  des  sehr  geehrten 
Herrn  Aufgabenstellers,  die  sämtlichen  einzelnen  Fälle,  durch  die  ein 
Sebnentangentenviereck  bestimmt  sein  kann,  zu  behandeln,  gefolgt, 
sondern  suchte  nur  die  Eigenschaften  dieser  speciellen  Gattung  von 
Vierecken  herauszufinden,  durch  welche  ich  leichter  in  den  Stand 
gesetzt  zu  sein  glaubte,  die  einzelnen  Fälle  eleganter  lösen  zu  können. 


384  Schumacher:  Das  Sehnen- Tangentenpiereck. 

Die  Yermiitaiig  Schlömilch's,  dass  die  Bearbeitung  dendben  sich 
vielleicht  rein  geometrisch  behandeln  lassen  wird,  habe  ich  bestittigt 
gefanden. 

> 

Die  in  denselben  Zeitschriften  über  das  bicentrische  Viereck  an- 
gestellten Untersnchnngen  des  Herrn  R.  0.  Consentias  ans  Carlsmhe 
und  jene  des  Herrn  Dr.  £heler  ans  Zfllichan  habe  ich  nicht  gekannt 
nnd  wnrde  erst,  nachdem  meine  Arbeit  schon  ziemlich  vorgescbrittea 
war,  von  Herrn  Rector  Dietsch  auf  dieselben  aufmerksam  gemacht 
Wo  die  Resultate,  namentlich  des  ersten  Herrn,  imt  den  meinigen 
die  gleichen  sind,  wird  der  verschiedenartige  Weg,  auf  welchem  wir 
zu  gleichen  Schiassen  kamen,  die  obige  Behauptung  bestätigen. 

Indem  ich  die  interessanten  Schlussfolgerungen  des  Herrn  Cod* 
sentius  vollkommen  anerkenne,  kann  ich  mir  nicht  das  Urteil  ver- 
sagen, dass  genannter  Herr  auf  seinem  Wege  nicht  die  Reichhaltigkeit 
der  Eigenschaften  erschöpft  hätte,  wie  sie  nur  bei  directer  Unter- 
snchung  des  Sehnen-Tangentenvierecks  möglich  ist;  denn  die  sich 
ergebenden  Schiassfolgerungen  sind  in  der  Tat  so  vielseitig,  dass  ich 
nicht  leugne,  manche  in  dieser  Abhandlung  unerwähnt  gelassen  n 
haben,  die  von  Interesse  sind,  weil  ich  sie  im  Gange  meiner  Betrach- 
tung für  selbstverständlich  gehalten  habe. 

Die  Schuld  an  der  geringeren  Zahl  der  Aufgaben,  die  von  Herrn 
Consentius  in  dieser  Zeitschrift  gestellt  sind,  trägt  wohl  die  allge- 
meinere also  auch  desto  schwierigere  Behandlnng. 

Meinen  Betrachtungen  legte  ich  die  Kenntniss  der  zwei  Funda- 
mentalsätze  des  Sehnen-  und  Tangentenvierecks  zu  Grunde: 

1)  Ja  jedem  Sehnenviereck  irt  die  Summe  der  gegenftberliegen- 
den  Winkel  »  mfi. 

2)  In  jedem  Tangentenviereck  sind  die  Summen  der  gegealber- 
liegenden  Seiten  einander  gleich. 

Zum  Beweise  meiner  Lehrsätze  werde  ich  mich  des  rechneriicbeB 
und  des  rein  geometrischen  Verfahrens  bedienen  und  demgentftss 
diese  Arbeit  in  zwei  Teile  zu  teilen  haben,  von  denen  der  eine  das 
geometrische,  der  andere  das  rechnerische  Resfime  enthält  Manche 
Lehrsätze  werden  sich  in  beiden  Teilen  bestätigt  finden. 

Es  sei  das  Sehnen-Tangentenviereck  A,  B,  C,  D  gegeben  durch 
den  Radius  des  eingeschriebenen  Kreises  »  q  und  zwei  einer  Seite 
anliegende  Winkel  {A  und  B),  Verbinden  wir  den  Mittelpunkt  des- 
selben (Af)  mit  den  vier  Ecken  A^  JS,  C,  Z>,  und  fällen  wir  aasso*- 
dem  noch  von  M  aus  die  Lote  auf  die  Seiten  (Ma^^  Af6j,  Mc^^  Aftl|), 


Sekumachtr:  Das  Sehnen- Tangentenviereek,  385 

80  erhalten  wir  die  4  Sehnenvierecke  MAa^  d^ ,  MBa^  h^ ,  MCb^  c^^ 
MDe^d^,  Fassen  wir  nun  zwei,  welche  gegenaberliegende  Ecken 
enthalteii,  ins  Auge,  etwa  die  Vierecke 


so  ist 

folglich 

folglich 
folglich 
nnd 


MBa^\    nnd    MDdy^e^^ 

Wkl  B+a^Mb^^2R 
Wkl.  D+d^Me^^2R 

WW.  B+D'\-a^Mh^'{-d^Mh^+d^Mc^=^R 
—  Wkl.  B±D  «2Ä 

Wkl.  o,  Mb^  +d^Me^  —  2Ä 


Hieraus  ergiebt  sich  folgende  Construction  des  Sehnen-Tangenten- 
vierecks ans  9  nnd  zwei  Winkeln. 

Halbire  den  Winkel  A  nnd  lasse  dessen  Schenkel  den  Kreis  vom 
Radios  9  berühren.  Hierauf  ziehe  M^  a^  und  Md^  und  trage  an  Md^ 
den  Winkel  B  an.  Die  Schenkel  dieses  Winkels  schneiden  auf  dem 
Kreise  um  M  den  BerUhrnngspunkt  Ci  ans.  An  Me^  trage  wieder 
den  Winkel  A  an,  von  welchem  der  Schenkel  Mb^  den  vierten  Be- 
rührnngspunkt  auf  dem  Kreise  um  M  ausschneidet. 

» 

Die  Punkte  o^,  ß^,  c^,  d^  sind  die  Berührungspunkte  der  Seiten 
des  gesuchten  Vierecks  und  die  Tangenten  in  ihnen  an  den  Kreis 
um  M  schneiden  sich  in  den  Ecken  A^  B^  C,  Z>,  dio  wiederum  auf 
einem  Kreise  liegen. 

Au  der  naehgewiesenen  Eigensduift  des  Sehnen-Tangeuten- 
vierecks  folgern  sich  noch  mehrere  andere  Constmctionen,  die  wir 
übergehen,  weil  es  uns  nur  um  die  Wirklichkeit  eines  solchen  Vier- 
ecks vorerst  zu  tun  ist 

In  jedem  Sehnen-Tangentenviereck  ergänzen  sich  die  Bögen  des 
eingeschriebenen  Kreises,  die  zwischen  gegenüberliegenden  Winkeln 
des  Vierecks  ABCD  liegen,  zu  einem  Halbkreise. 

Da  Wkl.  Ol  Af^  -f  rfilTq  »  \9ifi  beträgt,  müssen  aach  die  Bögen 

nnd  analog 
befragen. 


386  Schumacher:  Dtu  Sehnen' Tangentenvuredc, 

Die  VerbindaDgslinien  der  Berührungspunkte  a,,  b^^  <4,  d^  liefen 
ein  neues  Sehnenviereck,  welches  nicht  zugleich  Tangentenviereck 
ist,  und  dessen  Diagonalen  auf  einander  senkrecht  stehen.  Dass  o^, 
^iT  ^11  ^  ^^n  Sehnenviereck,  ist  sofort  aus  der  Figur  einzusehen. 

■ 

Ist  Q  der  Radius  des  Kreises  um  Jf,  dann  erhalten  wir: 

a^h^  =  2pC0S  n  a^d^  »  2p  COS  ö 

c^d^  =  2p  Sin  H-  ^i<^i  "^  2^  sin  o 

folglich 

COS 2  -f  sin  2  j •    0|C^  +  Ä^Cj  «  2p  (cos g  +  sin .j j 

r 

Die  Summen  der  gegenttberiiegenden  Seiten  sind  somit  nir 
gleich,  wenn  Wkl.  ^  «  ü,  was  hier  bei  Betrachtung  des  aUgeneineQ 
Falles  nicht  vorausgesetzt  ist. 

Femer  ist 

Wkl.  d^a^c^  «  \d^Mc^  «  {B 

Wkl.  a^dj>^  «  \a^Mb^  =-  90«—  \B 
folglich 

Wkl.  diOiCi  + VA    •"  ^ 

d.  h.  die  Diagonalen   des  Berührungsehnenvierecks  stehen  auf  ein- 
ander senkrecht. 

Hieraus  folgt  weiter:  Beschreibt  man  über  den  Seiten  des  Be- 
rührungsehnenvierecks  eines  Sehneu-Tangentenvierecks  Kreise,  so 
schneiden  sich  dieselben  in  dem  Durchschnittspunkte  der  Diagonales 
des  Sehnen-Taugentenvierecks.  Die  Diagonalen  des  ersteren  serleges 
die  Winkel  in  ihre  Bestandteile. 

Auch  die  Umkehrung  dieses  Satzes  ist  richtig: 

Errichtet  man  in  einem  Kreise  von  beliebigem  Badius  zwei  auf 
einander  senkrecht  stehende  Sehnen,  so  schneiden  dieselben  auf  dem 
Kreise  4  Punkte  aus,  welche  die  Berührungspunkte  der  S^ten  eines 
Sehnen-Tangentenvierecks  sind,  von  welchem  der  Schnittpunkt  der 
Sehnen  zugleich  Durchschnittspunkt  der  Diagonalen  ist 

Seien  a^e^  und  b^d^  diese  Sehnen,  und  verbinden  wir  a|,  ftj,  q^ 
d^  mit  dem  Kreismittelpunkte  3/,  construiren  wir  femer  die  Tan- 
genten in  denselben  Punkten,  so  schneiden  sich  letztere  in  den  Eckes 
des  fraglichen  Vierecks  A^  B,  (7,  D. 


Schumaeheri  Dom  iSehnen' TangentenvUt^ck.  387 

Nan  ist 

folglich 

folglich 

ib^MbT^+ia^Md^  «  R 

bjMe^+OiMäj^'^  2B. 
Nach  der  Gonstraction  ist  aber 

DDd 

somit 

^  +  C«  —  2R. 

Die  Pole  der  Diagonalen  aic^  and  b^d^  sind  offenbar  die  Schnitt- 
pankte  der  gegenttberliegenden  Seiten  des  Sehnen-Tangentenvierecks. 
Lassen  wir  daher  diese  beiden  auf  einander  senkrecht  stehenden 
Sehnen  sich  um  denselben  Punkt  drehen^  so  bewegen  sich  ihre  Pole 
auf  je  einer  Geraden  fort,  den  Polaren  des  Punktes  x.  Diese  Ge- 
raden mttssen  aber  notwendig  zusammenfallen.  Sie  ist  die  dritte 
Diagonale  des  Vierecks  ABCD. 

Diese  Gerade  bleibt  nun  immer  dieselbe  für  alle  Sehnen-Tan- 
gentenvierecke ,  so  lange  wir  den  Punkt  x  und  den  Kreis  um  M 
festhalten. 

Es  müssen  daher  die  Verbindungslinien  der  Schnittpunkte  zweier 
gegenüberliegender  Seiten  irgend  eines  Sehnen -Tangentenvierecks 
alle  mit  der  Polaren  von  x  zusammenfallen. 

Indem  wir  nun  die  beiden  auf  einander  senkrecht  stehenden 
Sehnen  a^c^  und  b^d^  in  immer  andere  Lagen  übergehen  lassen,  er- 
halten wir  lauter  neue  Sehnen-Tangentenvier^cke,  welche  sämtlich  die 
äussere  Diagonale,  die  Polare  des  Punktes  a:,  gemeinschaftlich  haben. 
Eine  besondere  Lage  irgend  eines  Sehnenpaares  wird  auch  jene  sein, 
wenn  eine  dieser  Sehnen  ein  Durchmesser  des  Kreises  um  M  wird. 

Constmiren  wir  in  den  Schnittpunkten  dieses  Durchmessers  mit 
dem  Kreise  M  die  Tangenten ,  so  werden  dieselben  zu  einander  und 
mithin  auch  zu  der  äusseren  Diagonale  parallel.  Da  aber  dieser 
durch  X  gezogene  Durchmesser  auf  den  Tangenten  senkrecht  steht,  so 
ist  damit  auch  die  Lage  dieser  äusseren  Diagonale  fixirt.  Wir  er- 
halten daher  den  merkwürdigen  Satz; 

,,In  jedem  Sehnen-Tangentenviereck  steht  die  Diagonale,  die 
„man  durch  Verbindung  der  Schnittpunkte  der  verlängerten  Vier- 

S5* 


388  Sehumacktr:  Dat  Sthn^n-Tanffent^nviertek. 

„eckseiten  erhält,  auf  jenem  Darchmesaer  des  dem  Viereck  einbe- 
„schriebenen  Kreises  senkrecht,!  welcher  durch  den  Dlagonalschnitt- 
„punkt  geht^ 

Das  Sehnen-Tangentenviereck  selbst,  durch  welches  wir  auf  obigen 
Satz  gelangten,  ist  aber  ein  Antiparallelogramm. 

Einige  Eigenschaften  desselben  hat  Herr  Dr.  Ehrler  in  der  Hoff- 
mann'schen  Zeitschrift,  Jahrgang  Y.,  pag.  432.  bereits  veröffentlicht, 
auf  die  ich  hier  nur  verweisen  will,  ohne  die  betreffenden  Sätze  noch 
einmal  zu  recapituliren. 

Ein  weiteres  besonderes  Sehnen-Tangentenviereck  erhalten  wir 
durch  Annahme  jenes  Falles^  wonach  eine  seiner  Diagonalen  doreli 
den  Mittelpunkt  des  ihm  umschriebenen  Kreises  geht 

In  einem  solchen  Viereck  rnttssen  zwei  "Winkel  je  9(P  betragen 
und  die  Durchmesserdiagonale  die  anderen  Diagonalen  halbfren;  folg- 
lich sind  auch  je  zwei  in  demselben  Endpunkte  der  DorchmesBer- 
diagonale  zusammenstossende  Seiten  einander  gleich.  Die  Constrac- 
tion  dieses  Vierecks  ist  demnach  die  folgende: 

Wir  constmiren  ein  circulares  Sehnenpaar  im  Punkte  c  in  der 
Weise,  dass  die  Linie  Idx  den  Winkel  dieses  Sehnenpaares  haJbirl 

Wir  haben  bisher  den  Mittelpunkt  des  liegend  einem  Sehitn- 
Tangentenvierecke  einbeschriebenen  Kreises,  sonrie.den  Schnit^pukl 
[x)  der  Diagonalen  fixirt  und  erfahren,  dass  jedes  durch  x  gehende 
circulare  Sehnenpaar  Anlass  zu  einem  bicentrischen  Vierecke  gibt 


Wir  treten  nun  der  Frage  nach  dem  Orte  der  Mittelpunkte  dar 
allen  Sehnen-Tangentenvierecken  umschriebenen  Kreise  nahe,  wenn 
sie  denselben  Schnittpunkt  der  Diagonalen  besitzen  und  demselben 
Kreise  umschrieben  sind.  Wir  beantworten  dieselbe  durch  den  fol- 
genden Lehrsatz: 

Alle  bicentrischen  Vierecke,  welche  demselben  Kruse  nmbe* 
schrieben  sind  und  den  Diagonalschnit^unkt  gemeinschaftlich  haben, 
sind  auch  einem  und  demselben  Kreise  einbeschrieben. 


Beweis. 

Unter  allen  möglichen  Vierecken ,  welche  den  gestellten  Bedin- 
gungen genügen,  nehmen  wir  eines,  etwa  das  Viereck  ABCD  heraai. 
Dasselbe  sei  dem  Kreise  M^  ein-  und  dem  Kreise  M  umbeschriebei 
und  habe  zum  Schnittpunkte  der  Diagonalen  den  Ponkt  ar.  Con- 
stmiren wir  die  Polare  des  Punktes  x  in  Bezug  aaf  den  Kreis  1^, 


Sehumaeher:  Das  Sehnm-TangenUnviereck.  3g9 

SO  folgt  sofort,  dass  sie  mit  jener  des  Punktes  x  in  Bezug  auf  den 
Kreis  M  zusammenfällt. 

Dem  unendlich  fernen  Punkt  derselben  entspricht  aber  im  Kreis 
üfj  ein  Durchmesser,  der  durch  x  geht,  im  Kreise  3f  ein  Durch- 
messer, der  ebenfalls  durch  x  geht  Beide  müssen  aber  zusammen- 
fallen, und  es  liegen  demnach  die  Punkte  x^  M  und  M^  in  einer 
(jeraden. 

Dem  Punkte  M^  entspricht  als  Polare  die  unendlich  ferne  Ge* 
rade,  welche  auch  zugleich  Polare  des  Punktes  M  in  Bezug  auf  den 
Kreis  M  ist. 

Mögen  wir  daher  statt  des  bicentrischen  Vierecks  irgend  ein  an- 
deres nehmen,  welches  ebenfiBills  dem  S[r6i8e  M^  umbeschrieben  ist, 
und  dessen  Diagonalen  sich  im  Punkte  x  schneiden,  so  wird  dasselbe 
immer  dem  Kreise  J/  einbeschrieben  sein.  Wir  gelangen  daher  zu 
dem  Lehrsatze: 

Alle  Sehnen-Tangentenvierecke,  welche  demselben  Kreise  um- 
geschrieben sind  und  den  Diagonalschnittpnnkt  gemeinsam  haben, 
sind  auch  ein  und  demselben  Kreise  eingeschrieben.  Der  Diagonal- 
schnittpunkt liegt  auf  der  Centrale  der  beiden  Kreise. 

Sind  umgekehrt  zwei  Kreise  so  gegeben,  dass  der  eine  ganz 
innerhalb  des  andern  gelegen  ist,  so  ist  es  im  allgemeinen  nicht 
möglich,  ein  Viereck  zu  construiren,  welches  dem  einen  Kreise  um- 
geschrieben, und  dem  andern  Kreise  eingeschrieben  ist 

Wenn  aber  ein  solches  Viereck  existirt,  dann  giebt  es  unendlich 
viele.  Dieser  Satz  wurde  schon  von  Jakobi  für  Kegelschnitte  be- 
wiesen.   Hieraus  folgt  weiter  der  Satz: 

Alle  Sehnenvierecke,  welche  demselben  Kreise  eingeschrieben 
sind,  und  in  welchen  die  Berührungssehnen,  die  alle  durch  einen 
Punkt  gehen,  auf  einander  senkrecht  stehen,  sind  zugleich  einem 
und  demselben  Kreise  umschrieben. 


Veränderung  der  Lage  des  Punktes  x. 

Für  weitere  Untersuchungen  unseres  bicentrischen  Vierecks  kann 
uns  die  Veränderung  der  Lage  des  Punktes  x  dienen. 

Denken  wir  uns  den  Kreis  M  fest  und  den  Punkt  x  in  der 
ganzen  Kreisebene  herumwandem,  so  erhalten  wir  für  jede  Lage  eine 
unendliche  Anzahl  von  Sehnen-Tangentenvierecke,  die  immer  dem- 
selben Kreise  umschrieben  sind,  und  von  denen  eines  die  Eigenschaft 


390  Schumaehtr:  Das  Sehnen' TangenUnvieredu 

hat,  dass  seine  Berflhrangssehiien  zu  jenen  eines  gegebenen  parallel 
sind. 

Sei  a^  ein  zweiter  Diagcnalschnittpankt,  durch  welchen  wir  das 
za  ae^  bd  parallele  Sehnenpaar  Ui«,,  b^di  ziehen. 

Nnn  ist  der  Pol  von  ö^cij  der  Schnitt  der  Tangenten  A^D^  nnd 
B^Cii  der  Pol  von  ac  der  Schnitt  der  Tangenten  AB  nnd  CD.  Da 
aber  oc  1  6,di,  muss  die  Polaro  des  Schnittpunktes  von  b^d^  ond  ae 
in  Bozng  auf  den  Kreis  M  notwendig  ein  Durchmesser  sein,  der 

1)  durch  den  Schnitt  von  A^D^  und  B^Ci  und  AB  und  CD 
geht  und 

2)  zu  den  Sehnen  «x^  und  bd  parallel  ist 

Mögen  wir  nun  das  eine  Sehnenpaar,  wohin  wir  auch  wollen 
verschieben,  so  bleibt  dieser  Durchmesser  immer  derselbe. 

Aus  demselben  Grunde  ist  die  Polare  des  Schnittpunktes  der 
Sehnen  bd  und  otc^  ebenfalls  ein  Durchmesser  des  Kreises  M^  der 
notwendig  auf  dem  zuerst  erhaltenen  senkrecht  steht  Wir  gelaogen 
daher  zu  dem  folgenden  Satze: 

Alle  Sehnen-Tangentenvierecke,  derenhomologe  Berührsehnen  pa- 
rallel sind,  und  welche  demselben  Kreise  umschrieben  sind,  haben 
die  Eigenschaft,  dassihre  gegenüberliegenden  Seiten  sich  auf  zwjBi  zu 
einander  senkrechten  Durchmessern  des  Kreises,  den  sie  gemein- 
schaftlich berühren,  schneiden. 

Nun  schneidet  das  Sehneupaar  a^ci  und  b^d^  das  zweite  Sehnen- 
paar ac  und  bd  in  4i  im  Endlidien  und  2  im  Unendlichen  gdegenen 
Punkten,  von  denen  jeder  Anlass  zur  Bildung  eines  Sehnen-Tangen- 
tenviereckes giebt.  Die  4  im  Endlichen  gelegenen  Diagonalschnitt- 
punkte liefern  Sehnenvierecke,  von  denen  je  zwei  den  Schnittpunkt 
gegenüber  liegender  Seiten  gemeinschaftlich  haben.  Es  ist  d^  ge- 
meinschaftliche Schnittpunkt  der  Pol  jener  Seite,  in  deren  End- 
punkten die  Seiten  des  Vierecks  den  Kreis  M  berühren. 

Halten  wir  das  eine  Sehnenpaar  fest,  und  verschieben  gleichzeitig 
eine  Sehne  parallel,  so  erhalten  wir  lauter  Sehnen-Tangentenvier- 
ecke, von  welchen  ein  Paar  Gegenseiten  sich  im  Pole  der  festoi 
Sehne  schneiden,  während  der  Schnittpunkt  der  beiden  andern  Gegen- 
seiten auf  einem  zur  festen  Sehne  senkrechten  Durchmesser  der 
Kreise  M  fortrückt 

Hieraus  folgt,  dass  die  Schnitte  von 


Sehumachen  Da$  Sehnen' Tangtntenvier^dc.  391 

U  D,  A^D^)        (^,Z>„  B  O  (Ä,C„  5  C)        (AD,    B^C^) 

{AD,BC)        (AB,   BC)         (B  C,    CD)        (CD,    AD) 
(D  C,  D,C^)        (D  C,    AiBt)         (A^B^,  AB)        (AB,    i>,C,) 

etc.  wiedenuD  auf  einom  Kreise  liegen. 

Mittelst  dieser  Betrachtang  können  wir  s&mtliche  bicentrischen 
Vierecke  in  Glassen  teilen. 

Wir  ziehen  in  einem  Kreise  M  eine  beliebige  Sehne  nnd  er- 
richten in  jedem  ihrer  Punkte  eine  zu  ihr  senkrechte  Sehne. 

Auf  bekannte  Weise  können  wir  dann  ein  Sehndn-Tangenten- 
Tiereck  constrniren.  Jedes  so  erhaltene  Tangentenviereck  hat  die 
Eigenschaft,  dass  zwei  seiner  Seiten  sich  im  Pole  der  festen  Sehne 
schneiden,  während  der  Schnittpunkt  der  beiden  Übrigen  Seiten  auf 
einem  zur  festen  Sehne  senkrechten  Durchmesser  fortrückt 

An  diese  Untersuchungen  reihen  wir  einige  Gonstructionsauf- 
gaben: 

Yen  einem  Sehnen-Tangentenviereck  ist  gegeben 

1)  der  Diagonalschnittpunkt,  die  durch  ihn  gehende  Berührsehne 
und  der  ihm  eingeschriebene  Kreis. 

2)  der  Schnittpunkt  zweier  gegenüberliegender  Seiten,  der  Be* 
rflhrungspunkt  auf  einer  derselben  und  der  Diagonalschnittpnnkt  x. 

3)  die  Schnittpunkte  zweier  gegenüberliegender  Seiten  und  der 
Berflhrpunkt  auf  einer  Seite. 

4}  3  Berührpunkte. 


Rein  Euklidische  Untersuchungen  über  das 
Sehnen-Tangentenviereck. 

Jedes  Sehnen-Tangentenviereck  liefert  ein   Berührungs-Sehnen- 
viereck,  das  der  Hälfte  des  Rechtecks  seiner  Diagonalen  ist 

Ziehen  wir  die  Diagonalen  a^c^  und  6i<2|,  so  gehen  dieselben 
durch  J[  und  stehen  in  x  auf  einander  senkrecht. 


Nun  ist 


1)  t^ix^b^x  «-•  2J(Hixb^ 

2)  a^x^ .  d^x  -B  2JaiXdi 


392  Schtunaeher:  Das  Sehnen'T€mg€ntetwkr€dc. 

3)  CfXi  ,dfX  «B  2^i9di 

4)  Ci«]  JbfX  -B  ^Ab^Ci 

Durch  Addition  von  1)  und  2)  erkftlt  man: 

w  ?»  M    3  und  4  „ 

IL    CiX.bidi  =  2(^C]a»2|4-  ^^i^sc^)  «•  2^«|<2| 

Oder  , 


folglich 


5]€2i .  oj«!  -«  2  Viereck  th^eiti^ 


d.  h.  das  Prodnct  der  Berührsehnen  eines  Sehnen-Tangentenviereeks 
ist  gleich  dem  doppelten  Inhalt  des  Berfthnmgspanktenyierecks. 

Es  folgt  femer  sofort: 

Verbindet  man  den  Mittelpunkt  des  einem  Sehnen-Tangentes- 
vierecke  eingeschriebenen  Kreises  mit  den  Berflhrpnnkten,  so  erluilt 
man  4  Sehnenvierecke,  von  denen  je  zwei  gegenftberliegende  einaiider 
ahnlich  sind. 

Ans  dieser  Aehnlichkeit  folgt: 

Diese  ähnlichen  SehDenvierecke  haben  demnach  noch  die  weitere 
Eigenschaft,  dass  das  Rechteck  ans  nicht  homologen  Seiten  den 
Quadrate  des  Radius  gleich  ist;  ferner  sind  sie  ancb  Sehnen-Tangen- 
tenvierecke;  daher  der  Satz: 

In  jedem  Sehnen-Tangenteavierecke  lieten  die  VcTbindnagsliiueB 
des  eingeschriebenen  Ereismittelpanktes  mit  den  BerflhmngspnnkteD 
4  Sehnen-Tangentenvierecke,  von  denen  je  zwei  gogenOberü^eade 
ähnlich  sind,  und  ans  denen  das  ganze  Sehnen-Taagenteftvieredi  sich 
zusammensetzt 

In  jedem  Sehnen-Tangentenvieareck  berührt  der  eingraekiMene 
Kreis  zwei  gegenfiberiiegende  Seilen  derart,  dass  das  Baebledc  der 
an  der  nämlichen  Diagonale  liegenden  durch  den  Kreis  anf  g^ea- 
ttberliegenden  Seiten  gemachten  Abschnitte  dem  Quadrate  des  Rr 
dius  inhaltsgleich  ist 

Aus 


Sehvmaeher:  Das  Sehnen' Tangentenviereck,  393 

and  analog 
folgt 

d.  fa.  Die  Abschnitte,  welche  der  einem  Sehnen-Tangentenyierecke 
eingeschriebene  Kreis  auf  ^egenflberiiegenden  Seiten  macht,  stehen 
in  Proportion. 

Gehen  wir  auf  das  Berührnngssehnenviereck  zurück,  so  finden 
wir  noch  eine  Eigenschaft,  die  später  verwertet  werden  kann. 

Es  ist  im  Dreieck  d^inx  der  Winkel 

WM.  d^a^xz=i~ 

Wki.  Mck^hi  •«  s"' 
Daher  der  Satz: 

In  dem  Berahrnngssehnenvieredk,  das  wir  auch  Polarenviereck 
des  Sehnen-Tangentenvierccks  heissen  könnten,  sind  dessen  Diago- 
nalen nnd  die  Yerbindungsünie  einer  Ecke  mit  dem  Kreismittel* 
punkte,  welche  in  derselben  Ecke  znsammenstossen ,  gegen  die  Be- 
rfthrsehne,  mit  welchen  sie  einen  Punkt  gemeinschaftlich  haben,  gleich 
geneigt  Oder:  Die  Winkel halbirende  des  von  einer  Diagonale  und 
einem  Radius,  welche  sich  in  derselben  Ecke  treffen,  gebildeten 
Winkels,  halbirt  auch  den  Winkel  des  Polarenvierecks  an  dieser 
Ecke. 

Hieraus  folgt  die  Aehulichkeit  der  Dreiecke 

u^Mp    und    €^d^x 


Es  verh&lt  sich  daher 

Ojdx  :  OjÄ  «  p  :  —^ 


Ol» 


^ 


d.  h.  der  Diagonaldurchschnitt  x  teilt  die  BerUhrsehne  gegenüber* 
liegender  Berührpunkto  des  Sehnen-Tangentenvierecks  in  Abschnitte, 
von  denen  jeder  die  4  Propottionale  zu  dem  Durchmesser  des  ein- 
geschriebenen Kreises  und  den  beiden  ihm  anliegenden  Berflhr- 
sehoen  ist 

Man  könnte  nun  vermuten,  dass  die  Winkelhalbirenden  des  Po- 
larenvierecks sich  in  einem  Punkte  von  MX  träfen. 


394  Schumacher:  Dag  Sehnm^Tangtittenoiereck, 

Würde  dies  z.  B.  von  den  Winkelhalbirenden  bei  o,  and  6|  der 
Fall  sein,  so  beständen  die  Proportionen,  wenn  r  Schnit^nokt  uf 
AfJirist 

p  :  a^x  —  Mr  :  rX 
analog 

Qih*x=  Mr  irX 
d.  h. 

Q  :  a*x  «*  Q  :  h^x 
d.  h. 

Dies  würde  voranssetzen ,  dass  das  Dreieck  a^xh^  ein  gleicbscheok- 
liges  wäre,  was  aber  nicht  der  Fall  ist,  da 

Wkl.  xa^b^  -  I 
nnd 

Wkl.  xb^a^  ^900_^. 

Ans  der  Gleichheit  beider  Winkel  folgt 

Wkl.  Ä  -  90«. 

Daher  erhalten  wir  hierans  den  neuen  Satz: 

In  jedem  Sehnon-Tangentenviereck,  in  wdchem  eine  Diagonale 
ein  Durchmesser  des  ihm  umschriebenen  Kreises  ist,  bilden  die  Be- 
rührungspunkte ein  Sehnonviereck,  welches  zugleich  Tangentenviereck 
ist,  nnd  für  welches  der  Mittelpunkt  des  ihm  eingeschriebeoea  Kreises 
mit  dem  Halbirungspunkte  der  Strecke  MX  zusammenfällt  (diss  auch 
die  Haibirungslinien  der  Winkel  bei  d^  nnd  e,  sich  in  denselbeo 
Punkte  treffen  müssen,  ergiebt  sich  auf  dieselbe  Weise). 

Ganz  analog  folgt,  dass  d^x  »  e^x  ist  unter  der  Voraussetzoog 

Wkl.  A  -  90^ 

Hieraus  folgt  aber  zugleich,  dass  die  Dreiecke  d^xc^  und  a,fd|  gleich- 
schenklig rechtwinklige  sein  müssen,  und  die  Winkelhalbirenden  tos 
^9  ^19  ^1)  ^  in  einem  Punkte  von  MX  sich  schneiden;  denn  es  ist 


oder 


d^x 

c^x 
b^x 

a^x 

'9 

c^x  : 

9 

d^x 

'9 

b^x  : 

9 

xr  : 

r  m 

:  rjf» 

xr-, : 

r^m 

:  rm 

oder 


Schumacheri  Dan  Sehnen- Tangtntenviareck.  395 

xr         «rj 


rtn       r^m 


d.  h.  der  Punkt  r  nnd  r^  müssen  zusammenfallen. 

D.  h.  Die  Berflhrnngssehnen  eines  Sehnen-Tangenvierecks,  wel- 
ches einen  rechten  Winkel  enthält,  bilden  selbst  wieder  ein  Sehnen- 
Tangentenviereck. 

Wir  wenden  nns  nun  zu  einer  andern  Figur ,  die  wir  aus  dem 
gegebenen  Sehnen- Tangentenviereck  erhalten,  wenn  wir  dessen  Aussen- 
Winkel  halbiren.  Dieselbe  ist  von  ganz  besonderem  Interesse  für 
unser  gegebenes  Viereck,  weil  wir  durch  dasselbe  vielfache  Eigen- 
schaften wieder  ünden  werden,  die  sich  nicht  auf  dem  gewöhnlichen 
Wege  so  einfach  ergeben. 

Die  Halbirungslinien  der  Aussenwinkel  des  gegebenen  Vierecks 
bilden  selbst  wieder  ein  Sehnenviereck,  dessen  Seiten  zu  den  Seiten 
des  Polarvierecks  parallel  sind. 

Diese  Eigenschaft  ergiebt  sich  sofort  aus  d^r  Construction. 

Wir  bezeichnen  die  Ecken  des  neuen  Sehnenvierecks  mit  ajb^Cfd^ 

Von  Herrn  Consentius  wurde  bereits  nachgewiesen,  dass  dieses 
Viereck  und  alle  analog  erhaltenen  dem  Polarvierecke  ähnlich  sind. 
Von  einer  Recapitulation  des  Beweises,  der  sich  sofort  ergiebt,  sehe 
ich  hier  ab. 

Da  nun  die  Seiten  des  Vierecks  entsprechend  parallel  sind  und 
die  Viwecke  ajt^o^^  und  (^h^c^d^  selbst  ähnlich  sind,  müssen  die 
Verbindungslinien  analoger  Ecken  beider  Vierecke  durch  einen  Punkt, 
den  Aehnlichkeitspnnkt,  laufen. 

Femer  können  alle  Eigenschaften  des  einen  auf  das  andere 
direct  übertragen  werden. 

Vom  Vierecke  ajt^c^  gilt : 

1)  Die  Diagonalen  stehen  auf  einander  senkrecht. 

2)  Alle  Kreise,  welche  die  Seiten  zu  Durchmessern  haben,  schnei- 
den sich  in  einem  Punkte,  dem  Diagonalschnittpunktc. 

Es  lässt  sich  nun  einfach  nachweisen,  dass  der  Diagonalschnitt- 

pnnkt  dieses  Vierecks  und  der  Mittelpunkt  des  dem  Vierecke  ABCD 

eingeschriebenen  Kreises  ein  nnd  derselbe  ist;  denn  ziehen  wir  d^M 

and  CfM,  so  folgt,  dass 

Wkl.  d^Mc^ 

ein  Rechter  ist  (nach  dem  vorhergehenden  Lehrsatze),  weil 


396  Schumacher:  Das  Sehnen' Taftgeitl»t»Uredc. 

Ä 

nnd 

mithin 

Wkl.  d^Mc^  =  90^. 

Es  mttssen  also  die  Linien  tM^M  und  e^M  notwendig  zosamnieB- 
fallen,  weil  ja  daran«  sich,  ancl^  ergieb^  dam 

Dieser  Lehrsatz  lässt  nun  einige  sehr  hiteressaate  Folgeniiigen 
zn: 

1)  Die  Diagonalen  des  Vierecks  ajb^^  halbiren  den  Diagonalen 
des  Vierecks  oib^e^d^» 

Es  ist  a,cs  II  a^ei\  h^  geht  aber  dnrch  M  nnd  steht  anf  a^ 
mithin  anch  auf  a^cx  senkrecht;  es  mnss  daher  a^c^  durch  h^  bal- 
birt  werden. 

« 

2)  Die  Diagonalen  schneiden  den  Kreis  in  den  Eckpunkten 
eines  Quadrates,  von  dessen  Beziehungen  zu  den  übrigen  Polarsehnea- 
Vierecken  später  die  Rede  sein  wird. 

Den  Untersuchungen  der  Vierecke  hinnefatlich  ihres  Aehniicii- 
keitspunktes  geben  ebenfalls  zu  einigen  interessanten  S&tzen  Allan. 

Denken  wir  uns  den  Punkt  «;,  —  O  soll  der  Aehnlichkeitspankt 
künftig  heissen,  —  dem  Polarviereck  a^h^c^d^  aagehörig,  so  ent- 
spricht ihm  im  Vierecke  ajl^c^  der  Punkt  3/,  und  diesem  als  dem 
Viereck  Oxh^c^d^  angehörig  entspricht  in  a^ic^  der  Mittelpunkt 
jenes  Kreises,  der  durch  die  4  Ecken  otv^t*  ^  ^  V^^  Derselbe 
sei  Jtf). 

Die  Punkte  34,  AT,  a;,  O  müssen  demzufolge  auf  einer  Oendea 
liegen,  auf  der  noch  alle  jene  Punkte  gelegen  sind,  welche  diesen 
Punkten  in  jenen  Vierecken  entsprechen,  welche  man  erUlt,  wenn 
man  von  (^^e^  in  derselben  Weise  Vierecke  constmirt,  wie  dieses 
aus  Oibic^d^  hervorgegangen  ist 

Die  Gerade  M^MXO  halbirt  die  VerbinduDgsstrecke  der  Mittel- 
punkte der  Diagonalen  a^c^  und  b^^  iify^  und  b^di ;  denn  die  Mittel- 
punkte von  a^c^  und  b^d^^  die  Punkte  M^  nnd  M,  bilden  ein  Recht- 
eck, von  welchem  MM^  die  Diagonale  ist. 

Der  Kreis,  welcher  dem  Viereck  ABCD  umschrieben  ist,  schneidet 
die  Seiten  des  Vierecks  ajb^c^  ^ximx.  in  den  Pankten  A^  B^C^  D 


Sehomaektr:  Da$  Sehnen- Tangenienvitr^ck.  397 

noch  in  4  andern  Pnnkten,  die  sowol  hinsichtlich  ihrer  Lage  in  Be- 
zog aufeinander  wie  anch  in  Bezog  auf  die  Seiten  des  Viercks  a^^^d^ 
?on  ganz  besonderem  Interesse  sind. 

In  a^  treffen  sich  die  Seiten  ajf^  nnd  (ifd^^  welche  vom  Kreis 
um  ABCD  in  den  Punkten  Q  und  T  geschnitten  werden  mögen. 

Es  ist  vermöge  der  constanten  Potenz 
oder 

Da  die  beiden  Dreiecke  Aa^B  und  Ta^Q  den  Winkel  bei  a^ 
aosserdem  noch  gemeinschaftlich  haben,  so  folgt,  dass  dieselben  ein- 
ander ftknUoh  sind. 

Es  ist  demnach 

Wkl.  TQa^  «  a^ÄB  =  90»—- 

Auf  dieselbe  Weise  lässt  sich  die  Aehnlichkeit  der  Dreiecke 
bfBC  und  b^QR  nachweisen,  weshalb  die  andere  Gleichung 

Wkl.  b^QR  «  J5C&,  =  ~ 
besteht.    Dnrch  Addition  resultirt 

Wkl.  TQo,+ä,Qä«90ö 
d.  h. 

Wkl.  TQR  =  90«. 

Da  nun  Wkl.  Ma^^  '^  h  ist,   so   folgt  weiter,    dass  die  Sehne 

QT  auf  der  Diagonale  OfC^  senkrecht  steht.    Wir  erhalten  somit  den 
Lehrsatz: 

„Halbirt  man  die  Anssenwinkel  eines  Sehnen-Tangentenvierecks, 
„so  bilden  die  Halbimngslinien  ein  neues  Sehnenviereck,  dessen 
„Seiten  von  dem  dem  Viereck  ABCD  umschriebenen  Kreise  in  4 
„Punkten  gctroffien  werden ,  die  die  Ecken  eines  Reehtecks  bilden. 
J)ie  Seiten  dieses  Rechtecks  sind  den  Bertthrsehnen,  welche  Punkte 
„gegenflberliegender  Viereckseiten  verbinden,  parallel/^ 

„Da  das  Rechteck  dem  Kreise  Af|,  welcher  dem  Viereck  ABCD 
„umidirieben  ist,  einbeschrieben  ist,  so  schneiden  sich  seine  Diago- 
„nalen  im  Mittelpunkte  dieses  Kreises  (3^)/^ 

Verbinden  wir  weiter  die  Ecke  B  mit  M  und  verlängern  BM 
bis  zum  Schnittpunkte  mit  dem  Kreise  Afj,  so  geht  diese  Verbindnngs- 


398  Sehumaeker:  Das  Sehnen' Tangenteiwiertdi. 

linie  durch  die  der  Ecke  Q  des  Rechtecks  gegenfiberliegende 
S]  denn  die  Linie  Q8  ist  ein  Durchmesser  ond  Wkl.  QB8  ein  Bech> 
ter,  weil  er  über  dem  Durchmesser  QS  steht  Errichten  wir  nm  in 
B  auf  a^^  ein  Lot,  so  muss  dieses  notwendig  durch  den  Kreismittel- 
punkt M  gehen,  weil  es  den  Winkel  bei  B  halbirt.    Daher  der  Satz : 

Vorbindet  man  die  Ecken  eines  bieentriscfaen  Yiereeks  mit  dem 
Mittelpunkte  des  ihm  einbeschriebenen  Kreises,  und  veriängert  man 
diese  Verbindungslinien  bis  zum  Schnitte  des  dem  Sehnen-Taageateo- 
Vierecke  umschriebenen  Kreises,  so  bilden  die  4  Schnittpunkte  die 
Ecken  eines  Rechteckes.    Oder: 

Die  Ecke  eines  bicentrischen  Vierecks,  der  Mittelpunkt  des  ihm 
einbeschriebenen  Kreises  und  eine  Ecke  des  Rechtecks  QRST  üeges 
auf  einer  Geraden. 

Femer  lässt  sich  leicht  der  folgende  Satz  ableiten: 

Die  Diagonalen  dieses  Rechtecks  erscheinen  vom  Mittelpaokte 
M  aus  unter  demselben  Winkel  wie  die  Diagonalen  des  Sehnen- 
Tangentenvierecks  von  demselben  Punkte  aus. 

Es  ist  nun  leicht  einzusehen,  dass  die  Ecken  des  Rechtecks  nüt 
den  Mittelpunkten  der  Seiten  des  Sehnenvierecks  zusammenCsOen; 
denn  die  Seiten  des  Rechtecks  sind  ||  zu  den  Diagonalen  ofy  und 
b^ii^  und  gleich  der  Hälfte  derselben;  infolge  hievon  ist 

Es  halbirt  somit  jede  Rechtecksseite  die  Diagonalabschnitte  der 
Diagonalen  des  Vierecks  a^^^^ 

Sei  nun  P^  der  Mittelpunkt  der  Diagonalo  a^  und  Qt  der 
Mittelpunkt  von  b^i^\  ziehen  wir  nun  I\R  und  Q^T^  so  besteht  die 
Gleichung 

denn  P^R  gleich  und  parallel  ^a^  und.  QfT  ist  ebenfalls  gleich  und 
parallel  og^g;  folglich  ist  das  Viereck 

TP^RQi 

ein  Parallelogramm ;  der  Schnittpunkt  der  Diagonalen  dieses  Paralle- 
logrammes  ist  der  Punkt  M^,  Es  folgt  aus  dieser  Betrachtang,  dass 
die  Mittelpunkte  der  Diagonalen  a^^s,  b^  und  der  Mittetponkt  des 
dem  Sehnen-Tangentenvierecke  umschriebenen  Kreises  in  ein^H*  geraden 
Linie  liegen. 


Schumacher:  Das  Sehnen^ Tangentenviereck,  399 

Yerbiadet  man  nun  üf,  mit  P^  und  Q«,  so  entsteht  das  Rechteck 
MF^M^Q^^  dessen  eine  Diagonale  P^Q^,  während  die  andere  MM^  ist. 
Es  ist  also  M^  in  der  Mitte  der  Strecke  MM^  gelegen. 

Wir  folgern  hieraas  den  bereits  in  fraheren  Betrachtangen  ab- 
geleiteten Lehrsatz: 

^Der  Aehnlichkeitspiinkt  O,  die  Kreismittelpankte  üf,  M^ ,  M^ 
liegen  auf  einer  Geraden,  und  zwar  so,  dass  der  Punkt  M^  die 
Strecke  MM^  halbirt.'' 

Ans  dem  Parallelogramm  TP^RQ^  folgt  weiter: 

Die  Mittelpunkte  der  Diagonalen  a^e^  und  h^il^  sind  von  den 
Mittelpunkten  je  zweier  gegenüberliegender  entsprechender  Seiten 
des  Vierecks  ajb^ß^  gleich  weit  entfernt    Es  ist 

Pjr=  QjjÄ  etc. 

Dieselben  Betrachtungen  können  wir  auf  das  Sehnenvicreck 
a,6,<?i(2|  übertragen. 

Die  Mittelpunkte  der  Seiten  dieses  Vierecks  bilden  die  Ecken 
eines  Rechtecks,  dessen  Diagonalschnittpunkt  mit  dem  Halbirungs- 
punkt  der  Strecke  MX  zusammenftllt 

Da 

MQ,  =  Qjb^ 
und 

QR  L  h^, 

so  halbirt  QR  den  Winkel  DQb^^  mithin  auch  den  Bogen  BRD, 
Das  Lot,  welches  man  von  M^  auf  die  Diagonale  BD  des  Sehnen- 
Tangentenvierecks  fällt,  halbirt  ebenfalls  den  Bogen  BRD\  es  fiUlt 
somit  dieses  Lot  mit  der  Diagonale  M^R  des  Rechtecks  zusammen. 
Wir  erhalten  daher  den  Satz: 

Die  Diagonalen  des  Rechtecks  halbiren  die  Diagonalen  des 
Sehnen-Tangentenvierecks  und  stehen  auf  denselben  senkrecht.    Oder: 

Der  Mittelpunkt  des  dem  bicentrischen  Viereck  umschriebenen 
Kreises,  der  Mittelpunkt  einer  seiner  Diagonalen  und  zwei  gegenüber- 
liegende Ecken  des  Rechtecks  QRST  liegen  auf  einer  Geraden. 

Wir  wollen  nun  noch  beweisen,  dass  auch  die  Mittelpunkte  der 
Diagonalen  des  Sehnen-Tangentenvierecks  und  der  Ereismittelpunkt 
M  in  einer  Geraden  liegen.  Der  Mittelpunkt  von  BD  sei  y  und 
jener  von  ÄC  sei  u. 


400  Sehumaehßr:  Dom  Sehnen^ Tangenienuiereek. 

Wir  haben  bewiesen,  dass  die  Dreiecke 

QMS  und  MBD 
ähnlich  sindf  woraus  folgt,  dass  auch  die  beiden  Dreiecke 

M^MS  und  yMD 
ähnlich  sein  mttssen.  Die  Aehnlichkeit  derselben  f&hrt  zn  der  GMdiaii| 

Wkl.  8M^M »  WkL  DyM\ 

ferner  ist  das  Viereck  Mjfxu  ein  Sehnenviereck.  Ziehen  wir  ii 
demselben  die  Diagonalen  yu  und  M^x^  so  müssen  sie  sich  in  M 
schneiden ;  denn  die  Winkel  8M^M  und  ugK  sind  gleich,  weil  sie  saf 
demselben  Bogen  stehen.  Es  muss  demnach  «y  durch  den  Kreis- 
mittelpnnkt  M  gehen.    Wir  erhalten  daher  den  Satz: 

In  jedem  Sehnen-Tangentenvierecke  liegen  die  Mittelpnkte 
seiner  3  Diagonalen  und  der  Mittelpnnkt  des  ihm  einbeschriebeieii 
Kreises  auf  einer  Geraden. 

Metrische  Beziehungen  im  bicentrischen  Tiereck. 

Wir  gehen  von  einer  Gleichung  für  das  Quadrat' des  dem  Tiereck 
einbeschriebeaen  Kreises  vom  Radius  e  ms.    Wir  finden 

p*  «  a^B,d^D 
Hieraus  folgt  die  Proportion 

ABiDC^a^Bib^C 

AB+DCiDC-^  a^B+i^tib^C 

AB+DC:DC=^BC;h^C 

BC  DO 
d.  h.  ^1^' ^  JßTTöc'   "*^  ""^  *  ^^   Umfang    von   AMCD  vM 

AB  »  a,  i3C  =£=  6,  CD  =  0,  DA  ^  d,  so  erhält  die  vorst^eade 
Gleichung  die  Form 


analog  ergiebt  sich 


ftiC« 

2bc 

m 

t 
S 

a^A  *a 

2ad 

hiB  = 

2ab 

9 

c^D^ 

2cd 

Sehumaeher;  Dax  Sehnen- Tangentenvitreck:  401 

iBdem  wir  'die  Werte  ans  diesen  Gleichangen  in 

eiDtrageo,  erhalten  wir 

,      ÄAB.BC.CD.DA 


-.¥ 


AB. BC. CD. DA 

Bekanntlich  ist  aber  der  Inhalt,  eines  Sehnen-Tangeutenvierecks 

gegeben  darch  . 

I^Vab.BC.CD.AÄ; 
mithin 

2/ 

oder,  iiHkitn  wir  J  daraus  berechnen,  ertialton  wir  eine  Gleichung, 

2 

die  auch  direct  erhalten  werden  kann. 

Bezeidinen  wir  in  dem  Sehoen-Tangentenvierecke  die  Berühr- 
sehnen  mit  e^  und  /i,  so  gilt  der  leicht  zn  beweisende  Satz: 

Das  Product  der  Berührsehiien  ist  »  dem  doppelten  Inhalt  des 
Sehnenyierecks,  dessen  Inhalt  =»  /^  sei 

^/j  -.  2/i  «  2^«(8iu^  +  sini^) 
Bezeichnen  wir  mit  oj,  6^,  C|,  c^  die  Grössen 

dann  bestehen  die  Gleichungen 

« 

B  B 

ot  ^  2qcos^\    Ci  ==»  2p8ia2 

6j  »  2p  sin  2  9    cl^  <»  2p  cosir 
FQr  die  Diagonalen  dieses  Vierecks  resnltirt  sofort 

^i<^i  "^  ^1  *=?  2p  cos — 5 — 

Areh.  d.  Xath.  a.  Vhy.    2.  Beihe,  Teil  11.  SC 


402  Sehumacheri  Das  Sehnen^Tangenienoiereck, 

Wir  wenden  uns  zur  Betracbtang  jenes  Sehnenvierecks  ajb^c^, 
dessen  Seiten  auf  den  Winkelhalbirenden  des  Sehnen-Tangentenvierecks 
senkrecht  stehen. 

Zunächst  verweisen  wir  auf  den  Lehrsatz,  dass  dessen  Diagonaleo 
durch  den  Kreismittelpunkt  gehen  und  auf  einander  senkrecht  stehen 
mQsseu.  Dieselben  schneiden  demnach  den  Kreis  um  3f  in  den 
Punkten  eines  Quadrates,  dessen  Inhalt  »*  2^^  ist. 

Nun  fanden  wir  fttr  das  BerOhrungssehnenviereck  a^h^c^d^ 

Oih^A  =  2p*  (sin  A  -j-  sin  -ß), 

woraus  folgt,  dass  Oih^i^  zu  diesem  Quadrate  in  dem  Verbihmffle 

smA-^-srnB:  1 
steht. 

Bezeichnen  wir  den  Radius  dos  dem  Sehnenviereck  a^ic^  am- 
schriebenen  Kreises  mit  R  und  den  Mittelpunkt  dieses  Kreises  mit 
M^.  Fällen  wir  nun  von  M^  ein  Lot  auf  o^«  ^^^  verbinden  %  mit 
3/2)  d&nn  ergiebt  sich  aus  dem  rechtwinkligen  Dreieck  AfytfP 

und  analog  aus  dem  rechtwinkligen  M^^Q 

Ä  +  B 
M^Q  =  Äcos— y- 

Da  aber 

ist,  so  folgt 

MM,^  »  Ä»(8in«^^  +  cos»^^) 

==Ä«(1  — sin^sinÄ) 
MM^  «  R  Vi  — sin  ^  sin  Ä 

Wiewol  dieser  Ausdruck  schon  abgeleitet  wurde,  allerdings  nicht 
in  der  Abhängigkeit  von  dem  Radius  R^  so  glaubte  ich  ihn  noch 
einmal  erwähnen  zu  müssen,  da  die  Herleitnng  an  ein  anderes  Gebilde 
ankntipft. 

Dem  Viereck  a^^c^^  entspricht  das  ähnliche  Viereck  ajl>ic^d^^ 
Der  in  letzterem  zum  Punkte  M^  homologe  Punkt  ist  der  Punkt  M\ 
dem  Punkte  M  aber  entspricht,  insofern  er  dem  Viereck  oj^^^ 
angehörig  augesehen  wird,  der  Punkt  x  im  Viereck  <hh^c^d^,  Aqs 
dieser  Betrachtung  folgt  daher  unmittelbar 


Schumacher:  Das  Sehnen^ Tangentenotereck.  403 

\Mx  —  gVl  —  sin^sinB. 

Der  Punkt  M  teilt  somit  die  Strecke  M^  in  dem  Verhältnisse  R:q, 

Wir  verbinden  unn  den  Aehnlichkeitspunkt  der  beiden  Vierecke 

a^^c^  und  ai&i<?i<ii,  den  wir  mit  Q  bezeichneten,  mit  einer  Ecke 

eines  dieser  Vierecke;  diese  Verbindungslinie  muss  dann  auch  durch 

die  homologe  Ecke  des  andern  Vierecks  gehen.    Wir  erhalten  die 

Gleichungen 

Ol?, :  OB2  =-  g:R 

Ox  :  OM  —  p :  Ä 
mit  denan  wir  die  beiden  andern  verbindeu 

MM^  :  Mx  ^^  R\  g 

Mb  :  MM^  '=^  qiR 

folglich 

Mx :  MM^  «  Ox :  OM 

d.  h.  der  Punkt  M  teilt  die  Strecke  xM^   in  demselben  Verhältniss 

wie  der  Punkt  O  die  Strecke  Mx.     Gleichzeitig  folgt  aber  weiter 

aus  der  Proportion 

MxiOx^  MM^ :  OM 

d.  b.  der  Punkt  x  teilt  die  Strecke  OM  in  demselben  Verhältniss, 
wie  der  Punkt  M  die  Strecke  OM2.  Diese  Eigenschaft  war  direct 
einzusehen ,  weil  ja  der  Punkt  x  im  Viereck  a^b^c^dj^  dem  Punkt  M 
im  Viereck  a^^^d^  entspricht. 

Wir  wollen  nun  einige  Beziehungen  zwischen   den  Radien  der 
hier  in  Betracht  kommenden  Kreise  ableiten. 

Wir  bezeichneten  den  Badius  des  Kreises  M^  mit  i?,  jenen  des 
Kreises  M  mit  q  ;  der  Badius  des  Kreises  M^  sei  r. 


Zunächst  ist 


2r  «  V/Q*+Qß* 


-VW 


'+  m 


ftgc/j  «=  2ii?sin  — 2 — '»      ^^8  ==  2ÄC0S  — ^ — 


2r=  [/Ä«(sin»^^^  +  cos«^^-2^  «  Ä  j/l  +  8in^8ini^ 


w 


t-|-sin-4sin-ö 

26* 


' 


404  Sckvmacher:  iJat  Sehnen» Tangemtenmeredc, 

Aus  dem  Dreieck  MQB  folgt  weiter,  da  Wkl.  MQB  »  Wkl  A  ist 

MQwlAstMB 
aj>^  sin  A  »  23fB 

2ÄC0S7;  8in-4«  2     '^ 


2  --"       --  .    B 

sm^ 

oder 

2^  =  i28in^8in^ 

Wir  sind  somit  zn  den  3  Gleichungen  gelangt  : 

2r  =  ÄVl+sin^sinÄ 

2p  =r  i^sin^sinB, 
ans  denen  sich  ergibt 

Vl+sin^ain^ 

r  =  p : — j—. — ^ — 

^      sm^sin^ 

Nun  lässt  sich  anch  eine  sehr  einfache  Relation  zwucheo  te 
Inhalten  der  3  Vierecke 

ajb^c^,  ABCD  und  Oi^iCid^ 
aufstellen : 

Der  Inhalt  des  Vierecks  a^^  ist,  irie  frflher  gefdnden  wurde, 

a^^^i  =  212^  sm  — - —  cos  — ^ — 
Der  Inhalt  des  Vierecks  ABCD  ist 

4p«         .    A+B        A-^B           -.     ^.    „.     A  +  B       A-B 
Bin  — ^c»— cos  — ?i —  —  B^vmABnLBsiü  — k — cos 


sin^sini^  2      "''        2  -— ^---«-       2  2 

Der  Inhalt  des  Vierecks  (hbiCid^ 

a^bic^di  =-  2p'  sm  — ö —  cos  — ö — 

=  "s"  sin* -4  sin*  -ö  Bin  — ^—  cos  — s — 

Setzen  wir  die  3  Inhalte  in  Proportion  und  bezeichnen  wir  die- 
selben mit  /j,  /s,  /s,  so  resultirt: 

Iiil^ils  ^  li^sin^sin^:  |^ain*^sin*^ 

d.  h.  die  Inhalte  aller  dieser  und  ähnlich  gebildeter  Sehaenfierecke 
stehen  in  geometrischer  Proportion  nnd  man  findet  den  Inhalt  äues 
jeden  derselben,  wenn  man  den  Inhall  von  ajb^fi^  mit  einer  Pot^ 
von  Isin^sini^  multiplicirt 


Schumacher:  Das  Sehnen' Tangetaenviereek,  405 

Wir   gelangen   in   oaserer  Betrachtung   zn   dem  rechoerischen 
Nachweis,  dass  der  Punkt  Mi  die  Strecke  MM^  halbirt 

Wir  finden  aoB  dem  Dreieck  M^M^Qy  dass 


M^Mg  =:  —  If  1  — sin^sinÄ 


Vergleichen  wir  diesen  Ausdruck  mit  dem  früher  gefundenen 

MM^  —  R  yr— sin^sinB, 

so  resoltirt  aufs  neue  das  bereits  geometrisch  nachgewiesene  Re- 
sultat, dass 

Wir  gehen  Bon  zur  Ableitung  einiger  Relationen  zwischen  den 
Radien  der  dem  Seimeii-Taiigentenviereck  angeschriebenen  Kreise  ttber. 

Die  Mittelpunkte   dieser  Kreise  sind  offenbar  die   Ecken   des 
Vierecks  a^^c^. 

Die  Kreise  haben  die  Radien  pa,  Qt,  p«,  Qd. 

Nun  ist 

MDcotgg  ^  d^D 


folglich 


also 


analog 


B 
MD  cos  o  =  ^» 

A 

COtgg 

— ^"rf,/> 

cos^ 

d^D%\Xi-^  -=-  Qd 

B         A. 

Qd  —   ptggCOtgg  » 

B         A 

Pa  «  pCOtg  2  COtg  2 

B^   A 

Pö  =  pcotg  2  tgg 

B^    A 
P«  —  P  tg  gtgg- 


406  Schnmaeh  er:  Das  Sehnen- Tan^entenvUrecL 

Hieraus  ergeben  sich  einige  Beziehungen 


1)   Pa  .  ^c  =  Q* 


Nun  war 


2) 


mithin 


also  auch 


4    

i  =  ^  [/  QaQhQeQd 

Wir  schliessen  unsere  Betrachtung  in  der  Hoffnung,  dass  diese 
roingeometrischen  Untersuchungen  dem  i^chschnlmanne  eine  reiche 
Ausbeute  von  Lehrsätzen  liefern,  die  dem  Schüler  neue  Liebe  n 
dem  geometrischen  Studium  einflössen. 

Traunstein,  im  Juni  1884. 


Anglin:  Trigonomeinsche  Sätze.  407 


xvni. 

Trigonometrische  Sätze. 

Von 

Herrn  A.  H.  Anglin,  M.  A.,  LL.  B.,  F.  B.  S. 

in  £cl inbarg. 


Der  Satz,  dass 

arctgai+arctgos+'-arctgon  =  arctg-j_^_j_^^_'         (1) 


wo  oj,  o,  ...  an  die  Wurzeln  der  Gleichung 


sind,  soll  bewiesen  nnd  "»«»«chj^ii^tannte  Formel 


wo  Cr  die  Summe  der^  p       ^^^  y,den  einmal  genom- 

men   Ton  tg«„  f  >^7;;j,iehnet,  ohne  Anwendung  des 
Moivre'schen  Sa  i»  •••  ^"^  "         ,    ^ 

ftzes  begründet  werden. 

1.    Da 

A    I    B 

^/^    arctg^+arctgB  =  arctgj^;j2B 
ist,  so  ha\/ 

^en  wir: 


wo  c,  • 


arctgai  +  arctgfl,  «  arctg  j^^j^ 


1^,  o,  die  Wurzeln  der  Gleichung 
li'd.    Addirt  man  auf  beiden  Seiten  arctg«.,  so  erhält  man: 

■ 


406 


Nun 


war 


mithin  .—  *  -*,.*-  Ä-f^-J,-»^ 

also  aach 


Wir  8chl 
roing^nietris 
Ansbente  voi 
dem  geometT' 

TranoEtc 


Seite  der  Gleichung    (—1)^  '. 
Addition  von  arctgon+i  erh&lt 

arctg<ij+...  1 


-l  =  (c,  +  a«+i)  — (e,+c^»fi 

nnd  zwar  sind  o,,  t^,  ...  0*4.1 
daB  ist 

Demnach,  da  n  gerade  ist: 
ftrctga,+  ,..arctga»fi  — arc 


Anslia:    Tr^-r^aifiriirit  Sita.  ■&'!^ 

,  ...  Hall  die  Vonds  äui  toi 

x-*i— i^  -j- V""'—  —  — M-"  =  '* 

Ist  ■  nngende,  so  tit  der  kme  Tnm  ia  cb«  ynanngg 

■~i  — 1 

(  —  1)'  cih  in  NeBDer  (—1)'  <w-t-  Terüirt  naawK  »ur- 
äiidet  mui: 

C- (Ti-o.+i)- ...+ (-1.  W,.Xr^:^.^. 
•♦: 

ar  sind  a,,  ...  o"*'  die  Wiri^  vM 

«"+'  — (c,  +  B»ti'j--i-  ...  +<^M=Ö 
ngende  ist,  so  Tolgt: 

1  ^' 

,+  ...  >rclg<.,+i  =  ^tf  AllVTli:^-i±l|^t_ 

l-tj-r-     -t-(-l)"0,,i 
■  ■■  <>i.+i  die  Wurzeln  sind  to» 

'"*'-*i'"+    -+'«1-0 
U^tomit  ist  der  Satz  voUsilD£g  beviooi 

Sel2tiii«i<,.-tg.„«,  =  ,g^rtc„(^(^^^^ 
>  le  anOnglii^  geumte  trigon^Ktrisc^  ForawL 


410  Anglin:  Ihffonometrüche  iiätte, 

(2)    Ferner  erhält  man  für  a;  »  1 : 

das  ist  «=•  0,  1,  00,  —  1,  jenachdem 

n  =  0,  1,  2,  3  (mod.  4) 
daher 

^'i  •"  ^3+  •  •  •  -" Cim^l  ■=■0     (n  «—  4m) 

1  —  <?j+  ...  — <?4m+2  =  0     (n  «  4j»4"2) 

3.  Ein  zweiter  Satz  ähnlicher  Natur  mit  dem  vorhergehenden 
lässt  sich  hier  in  angemessener  Weise  geben.  Es  soll  gezeigt  w»- 
den,  dass 

I  .  X  Äi  — A.  A-Hk  —  in  inf. 

arctg«,+  -  arctga,  ^  aretg';  .g  jT^;,  j^  i„f. 

WO  hr  die  Snmme  der  homogenen  Prodncte  ans  je  r  der  Elemente 
Ol,  o,,  ...  om,  mit  Wiederholung,  bezeichnet: 

Man  hat: 

(l-ai«)-i(l-a^)-i  ...  d-o,.«)-!« 

1+V+V*+  •••  +*,«•'+  ...  in  inf.  (4) 

Setzt  man  nach  einander  x  =  i  und  -  i  und  dividirt  die  Differenz 
beider  Gleichungen  durch  ihre  Summe,  so  kommt: 

,hi  —  ?i^-{-h^—     -•  in  inf. 
1  —  Ä2-I-Ä4 —  ...  in  inf. 

(l  +  taj)(l  +  w,)...(l+iaH)+(l-.iai)(l~»a,)...(l--iaJ 
Andrerseits  ist] 

wo  Cr  die  Summe  jener  Prodncte  ohne  Wiederholung  bezdchnet 
Verfährt  man  mit  dieser  Gleichung  ebenso  wie  mit  Gl.  (4),  so  er- 
scheint zur  Bechten  derselbe  Ausdruck,  und  es  ergibt  sich: 

h^  —  ^"{"^5 —  '.» ^1    ^gs"{"<?6  "^  ". 

1— Äj-f-Ä4 —  ...  1 — <'jH"<?4 —  •«• 

Substituirt  man  in  den  Formeln  (1)  und  (2)  den  ersten  Ausdruck  fikr 
den  letztem,  so  ergibt  sich  das  Zubeweisende. 

Das  gleiche  Resultat  kann  man  auch  auf  folgende  Art  gewinnen. 
Man  hat: 


Anglin:   Trigonometrische  Sätze»  411 

(cosai+tsmotXcoswj+tsma,)  ...  (cosofn+'Si»«")  *=" 

C08(tfi+at+  ...  a«)+»8in(aiH-cfa+  •••  «♦•) 
Nun  ist  aber 

1  sec« 

C08a  +  »8ina  -  ^^^^^r^TTST«  "  f^^W^ 
daher 

sec ffj sec «j  . ..  sectfn 


(1  — »tga,)(l  — »tgaj)...(l— »tgcfn) 

C08(ai  +  . . .  «h)  +  »8in(ciri -f-  . . .  «») 
das  ist 

SeCa^SeCfts  •••  8CCCY»{1  — Äj  +  ^4  "  •••  +»(^i~^3  4-^6""  •••)}  ■=* 

cos  («1  +  . . .  ««)  +  *8iD  («!+•••  «••) 

mithin  einzeln 

8in(cj-|-  ...  cfft)  =  sec«!  ...  seccnCÄj  — ^3+  ...) 

co8(«i+  ...  cfn)  =  8ecai ...  secanU  — Äj4"  •••) 
woraus: 

tgK+-..^")--l_Ä,+  ... 

4.  Setzt  man  a^  =  a^  «  . ..  =  a„  =-  a;,  so  folgt: 

narctgx  «  arctg  17-^^1+^40^-... 

wo  Ar  jetzt  die  Anzahl  der  homogenen  Prodncte  von  je  r  unter  n 
Elementen  mit  Wiederholung  bezeichnet,  das  ist 

(n  +  r--l)l 
^•^=-    (n-l)!r! 

Ist  X  =  tgö,  so  wird 

^''^ 1-Ä,tg»ö+... 

Setzt  man  a;  =  1,  so  erhält  man: 

^  4  ""l-Ä,+  ... 
mit  denselben  4  Werten  wie  in  Ol.  (3). 

5.  Folgende  Resultate  sind  vielleicht  in  ihrem  Zusammenhange 
mit  dem  Vorhergehenden  bemerkenswert. 

Man  hat: 

cosnö+tsinne  =  cos"e(l  +ttge)»» 


412  Anilin:  TVi^nomelrüeht  Sälte, 

Nach  Eutwickolaog  fiodet  man : 
wo 

B  « i-c^tg»e+c4tg*e- ... 

D  -  Uitg«  — ö,tg»«+C5^e-  ... 

M 

letzter  Term,  jenachdem  n  gerade  oder  angerade,   in  B  (— l)Hg"9 

n— 1  M  11— l 

oder  (--1)  a  »tg"-»e,  in  JD  «(- 1)  r-'tg"^ie  oder  (—1)  »  tg-ö, 

nnd 

nl 

Andrerseits  ist 

cosne+isinnö  «-  (cosÖ— »sinö)-"  —  8ec»*«(l  —  itgO)-* 

Verfährt  man  wie  vorher,  so  findet  man: 

cosnecoB"©  «  1— Ä,tg«©'+Ä4tg*a^—  ...  —  A 
sinnecos"®— Ättg#— Äjtg»Ä+  ...  — -ß 


wo 

(n+r-l)! 

*•■  ■"    (n-1)!  rT 
Hieraus  folgen  die  Relationen: 

AB  =  C08*n8  (5) 

I'-  (C08e)a»  (6) 

CD  -  8in«ne  (7) 

^  -  (cos  «)*•  (» 


und  hieraus  wieder: 


D 


i^^    oder    AD^BG  &) 

AB-J^CD  -  1  (10) 

CD  «=  ^5tg*ne 

^C—  J3JDC08^Ä 


r 


Hoppe:  Nfue  ReUttionen  innerhalb  eines  Orthogonalcoe/ficienteneyätema,   413 


XIX. 

Neue  Belatioiien  inn^halb  eines 
Orthogonalcoefficientensystems . 

Von 

R.  Hoppe. 


Die  3.3  Coefficienten  einer  Orthogonalsnbstitatlon 

a  b  e 

a,  bi  <?i  ( A) 

(x^b^c^ 

deren  Deterralnante   «^1  angenommen  wird,  erfflllen  zunächst  6 
Gleichmigen  4er  Form 

6  Gleichungen  der  Form 
und  9  Gleichangen  der  Form 

ö  ■=»  Äj  ^j  —  C|  b^ 

Ans  diesen  22  Relationen  gehen  jedoch  manche  weitere  hervor, 
die  ziemlich  ein&eh  ond  ausserdem  durch  Anwendung  bemerkens- 
wert sind. 

Man  findet: 
also: 


414   Hoppe:  Neue  ReUUumen  innerkaib  eiaea  OrthogowdeoeffieieHtauysUmM . 

woraus  durch  Zusammensetzung  leicht  folgt: 

ferner: 

(oj  —  h){c — aj)  =  ajC-j"^^  —  ^  —  ^i^ 

das  ist: 

{<h-h){c  -a,)  «  (Ä,-f.c,)(l+a+&,+c,)  (2) 

Lässt  man  nun  c^ — b^  durch  cyklische  Substitution  nach  beideo 
Richtungen  einmal  in  &  — o,,  das  andremal  in  o,  — e  übergehen,  so 
erhalt  man  aus  Gl.  (1): 

woraus  durch  Addition: 

(«i-*)H(^-««)*  -  2(l~a)(l+a+ii  +  (!i,)  (3) 

und  durch  Subtraction:    . 

Addirt  man  zu  61.  (3)  die  mit  2  multiplicirte  GL  (2),  so  kommt: 

Endlich  gibt  die  halbe  Summe  der  Gl.  (3)  (4)  zu  (2)  addut: 

Jede  der  Gl.  (1)  bis  (6)  repr&sentirt  eine  Anzahl  Relationen  ^ei- 
oher  Form.  Erstens  können  zwei  Reihen  des  Systems  (A)  ihre  Tor- 
zeichen wechseln.  Zweitens  können  2  Reihen  vertauscht  werden,  in- 
dem zugleich  eine  Reihe  ihre  Vorzeichen  wechselt.  Drittens  kann 
jede  cyklische  Substitution  vollzogen  werden. 

Durch  letztere  Operation  gehen  aus  jeder  Gleichung  neun  h«'- 
vor,  die  sich  nie  decken  und  am  leichtesten  unmittelbar  abgelesen 
worden  können,  so  dass  eine  besondere  Auffahrung  nicht  nötig  seio 
wird. 

Aus  Gl.  (1)  gehen  durch  Vorzeichenwechsel  nur  zwei  Relationen 
hervor: 


Hoppe:  Nate  Relationen  innerhaib  eines  Orlhogonalcoe/ficientensy/items,  415 

(»1 +  «?«)*+ («i-»t)* -(!  +  «)*    \  (1) 

die  sich  anch  durch  zweite  Operationen  nicht  vermehren. 

Far  Gl.  (2)  (3)  (4)  liefert  die  erste  Operation  je  4  Relationen: 


(a,-6)(e-a,)  -  («,+c,)(l+a  +  i,+c,) 
(a,— 4)(c-|-Oj)  =  (i,  — <j,)(l  — a  — *,4-c») 
(o,  4- i)  (c  —  aj)  =.  (ij  — Ci)(l— a+4i  — c») 
(a,+i)(<r+aj)  =  (i,+c,)a+a  -6,-c,) 

(a,-6)«+(c-o,)*=2(l-a)(l  +  a+i,  +  c,) 
(a,  -  6)* + (c+  a,)*  =  2(1 + a)  (1  -  a  -  S,  +  c,) 
(a,+6)«+(c-«,)»  -  2(1  H-a)(l  -  a+6,-c,) 
(a,+ft)«+(<j+a,)»  -  2(l-a)(l  +  a  -i,-c,) 

(«,-«)»-(«-«,)«  -  2(c,-i,)(l  +  a+4,  +  c,) 
(„j_4)»_(c4.a,)«_  2(cg+J,)(l-a-6,+c,)  i 
(a,4-ft)«-(c-a,)»  -  2(-c,-|-i,)(l  -  «-f*!-«.) 
(«i+ft)* -(«+«»)-  -  2(-c,-i,)(l  + 


(2) 


( 
) 


(3) 


a  —  b^—e,  } 


(4) 


Dnrch  die  zweite  Operation  geht  die  Hauptdiagonalrichtnng  ai,cg  in 
die  transversale  a^ic  Aber.  Die  dadurch  erzengten  Formeln  können 
wegen  des  letzten  Factors  die  Urformein  nicht  decken.    Man  findet : 


(«!—*,)(     c»+a)-(c,-6)(l  +  a,+4,-c) 

— («»+*t)(  "a  +  o)  —  (ci  +  *)  (1  —  a»  +  *!  4- c) 
(«!+*»)(  c«  — o)=(ci  — J)(l+«»  — *i  +  «) 
(«1  — *»)(-««+«)—  (<j+*)(l  — «»  -*j— c) 

(«i-««)*+(c»  +  «)»  =  2(l-«g)(l  +  a,+6x-<')  \ 
(a,— i,)*+(c,-a)»  =  2(l+a,)(l-a,-fti-c)   ( 

(«1  +  *t)*  +  (c,  +  «)*  ="2(1 + o,)  (1  -  a, + J,  +  c)  j 


(2) 


(3) 


(4) 


(«,  +  6,)«+ (c,  -  a)»  -  2(1  -  «,)  (1  +  o,  -  *,  +  c) 

(a,_6,)«_(C+o)»  -  2(-c-6,)(l  +  as-i-6,  -c) 
(«,-ft,)«-(<r,-a)»=2(-c+S,)(l-a,-  b^-e) 
(«1 +  *«)»-(«,  +  «)«  -  2(c+V(l  -«.+*i  +  '') 
(«j+4»)*-(c»  -«)*  =  2(c-ft,)(l  +  a,  -6,  +  c) 

Far  die  61.  (5)  und  (6)  liefert  die  erste  Operation  je  8  Rela- 
tionen: 


416   Boppe:  Neue  RekUionen  innerhalb  einet  Ortho^onalcoeffieknUmtjftti 


(5) 


(aj-^-c-.a,)2  „  2(1  «a+Ä,+cri)(l+B+ftj-H^) 

(oi+*-c—aj)*  "=•  2(1— o-62-c,)(l+ö— 6i— ci) 
(a^-.ft-.^_aj)2  «  2(l+a-5,+(?i)(l-a-Äi-fci) 
(a^^-Ä+c-Hi,)«  =  2(l+a+ij~c,)(l-a-Äi-Hj) 
(oi+H-c-d,)*  «  2(l-fa+5,-c,)(l-a+Ä,-Ci) 
(oj+i— c-fa,)«  «  2(l+a— Ä,-fc,)(l— a+i,— «i) 

(«i-*)(ai-H^-a,)  «  (l-a-fti+c,+Ä,"KKl+«+*i-K) 
(aj— ft)(ai— Ä-c+Oj)  =  (1— a— ij^H?«— ft,— cJ(l-fa-j-&i+Ci) 
(oi— Ä)(a|— Ä— c-^o,)  -«  (l+a+^i+c,— &,4-Ci)(l— a— ii-fcj) 
(oi— Ä)(ai-i+€+a,)  -  (l+«-Hi+<?«+2^— «?i)(l— «-*i-K)  \  (6) 
(oi+ÄXai+i+c-Og)  =  (1+a— &i— «2+&S— <?i)(l— a-Hi— «i) 
(«i+*)(ai-H-o+a,)  «  (l+a-fti-cJir-^-Hi)(l-a-K--^) 
(öi-H)(ai+H-<>f  Of)  =  (l-a+*i-^f+ft«+^)(l+o-*i— «i) 
(a^+i)(ai-f  ft— c— fl,)  -  (l-«-Hi-^-^«-^«iKl+«-^— <^ 

Gl.  (5)  bleibt  unverändert  bei  zweiter  Operation,  denn  die  Sum- 
manden des  ersten  und  zweiten  Factors  der  tediten  S^te  Mgen  den 
2  Diagonalrichtungen,  so  dass  sie  sich  dann  bloss  vertauschen.  Gl. 
(6)  hingegen  liefert: 

(«1— *s)(ai— *Ä-H^+a)  —  (l~a«— *i— '<-— *+<V)(l4^-Hi— *) 
(öl— Ä,)(ai  -5,— c,— a)  =  (l—ot— ii— H-*— <i)(l+«t+^— «) 

(«1— ^2)(oi— *2+<?2"-ö)  "=  <l-H»2+*i— <?-^— <^i)(l— ««--*i— *) 

(«i+*s)(«i-H«+<^— «)  ==•  (1— aa-Hi+^— H-<?i)(l+<%— *i+<5) 
(oi-Hi)(ai+^a— <?«+«)  ^  (1— fl«-Hi+H-*— <?i)  (i+Of— *i+«) 

Demnach  vertreten  die  Gl.  (1)  18,  <2)  (3)  (4)  (5)  72,  (6)  144;  alle 
zusammen  450  neue  Relationen. 

Auf  die   vorstehenden   Relationen   ward   ich  durch  die  Unter- 
suchungen geführt,  von  denen  der  nächst  feigende  Aufsatz  handelt 


(6) 


Hoppes  Rein  anafytische  Consequenzen  der  Curventkearie.  417 


XX. 

Bein  analytische  Consequenzen  der 

Curventheorie. 

Von 

R.  Hoppe. 


§.  1. 

In  meiner  analytischen  Carveutheorie ,  d.  Arch.  T.  LVI.  S.  62 
und  schon  früher,  Grelle  Journal  Bd.  LX.  S.  182.  Bd.  LXIII.  S.  122, 
habe  ich  das  Problem  der  Darstellung  einer  Cnrve  ans  gegebener 
Relation  zwischen  Krtlmmungs-  und  Torsionswinkel  auf  die  lineare 
Differentialgleichung  ^.  Ordnung 

r"-f»^'+ir»0  .   (7) 

zurückgeführt 

Die  Einführung  der  imagin&ren  Function  r  war  daselbst  eine 
vermittelte;  gegenwärtig  wird  ihr  directer  Ausdruck  in  Raumgrössen 
von  Anwendung  sein. 

Es  bedeuten  /,  ^,  k  die  Bichtungscosinus  der  Tangente,  /",  g\ 
h'  die  der  Hauptnormale,  Z,  m,  n  die  der  Binormale,  r,  &  den  Krüm- 
mungs-  und  Torsionswinkel,  die  Accente  die  Differentiation  nach  t. 
Sei  dann 

r«C    *^     ^^^  (8) 

dann  erhält  man  durch  Differentiation: 

▲reh.  4.  Math.  «.  PIiti.  2.  Mbt,  ToU  U.  27 


418  Hoppe:  lUin  mnalj^tiache  Connquentem  der  CufvetiAeone, 

und  erkennt,  dass  Gl.  (7)  dnreh  den  Wert  (8)  erfüllt  wird. 
Bezeichnet  r|  den  conjngirten  Wert  za  r,  so  ist 


rf|  =  C^         '-^  -^(1  +  /) 


.,.,       1-/ 


woraus : 


4rV/-  j^rri  =  ^(l-/) 


rri+4r'r/'^2A  (9) 

rrj  — 4r'rj'-2i4/  (10) 

Die  Constante  A  kann  man   =1  nmchen,  indem  mai  /=0  nr 
untern  Grenze  dw  Integrals  im  (8)  wählt. 

Femer  ist 
woraus  • 

ry+rr,'==Af'',     r^-^-rr^' ^  iAl  (11) 

Hiemach   sind   durch  r  die   Grössen  /,  /',  /,  soimt  die   Lage  der 
Cnrven  zur  x  Axe  bestimmt  und  explicite  ausgedruckt 


§.  2. 

Man  kann  nun  r  einerseits  als  specielle  Lösung  der  GL  (7), 
andrerseits  als  geknüpft  durch  Gl.  (8)  an  die  spedelle  Lage  der 
Curve  zur  x  Axe  betrachten,  und  in  beiden  Eigenschaften  zur  voUeo 
Allgemeinheit  fortschreiten.  Dann  entsteht  die  Frage,  ob  die  allge- 
meinste Lösung  der  Gl.  (7)  im  ganzen  der  Curve  in  allgemeinster 
Lage,  und  welche  Lösung  einer  beliebig  gegebenen  Liige  eolff^cht 


Boppei  JUtn  anafytiscke  Consequenzen  der  Curventheorie,  419 

Unmittelbar  erhellt  Folgendes.  Da  Gl.  (7)  nur  durch  den  Coef- 
ficienten  ^'  von  der  Gurve  abhängt,  und  dieser  für  jede  Lage  die- 
selbe Grösse  ist,  so  muss  Gl.  (7)  erfüllt  bleiben,  wenn  man  die  x 
Axe  beliebig  verrückt,  oder,  was  dasselbe  ist,  für  /, /^  /  eine  be- 
liebige Orthogonalsttbstitution  einführt  Sind  also  a,  &,  c  Richtungs- 
cosinos  einer  beliebigen  neuen  Geraden  gegen  die  «,  y,  z,  so  ist 


.♦/ 


1  +  ^f+h  +  ch  ^ 


eine  Lösung  der  Gl.  (7).  Demnach  kann  Gl.  (7)  nur  entweder  gleich 
allgemein  oder  allgemeiner  sein  als  dieser  Ausdruck. 

Andrerseits  wissen  wir,  dass  die  allgemeinste  Lösung  der  linearen 
Gleichung  2.  Ordnung  (7),  die  wir  Yorläuiig  mit  tq  bezeichnen^  durch 
die  Relation 

-;t-  (13) 

auf  das  Specialintegral  zurückgeführt  wird.  Folglich  muss  für  irgend 
welche  constante  untere  Grenzen  der  zwei  in  r^  enthaltenen  Inte- 
grale rg  identisch  mit  r,  werden,  indem  wir  a,  b,  c  als  beliebig  ge- 
geben, die  unbekannten  Integralgrenzon  als  Functionen  davon  an- 
sehen.   Zur  Abkürzung  sei 

"  -  TW     "' l+a/+...  ^^*> 

dann  hat  man  hiernach: 

und  nach  Differentiation: 


oder: 


—  i/  (cü|4"W)8t        q>^— CO 


— e**  (15) 


§.  3. 

Hiervon  machen  wir  erst  specielle  Anwendung  zur  algebraischen 
Darstellung  des  Integrals  im  Exponenten  von  r.  Seien  h  und  c  un- 
endlich klein  1.  Ordnung;  dann  ist  1  — a  unendlich  klein  2.  Ord- 
nung.   Entwickelt  man  also  (o^--  »bis  auf  1.  Ordnung,  so  findet  mam 

37« 


1 


420  Hoppe:  Rein  analy tische  Consequemen  der  Curventheorie. 

,.     ,,     (i+/)[*(y'+'«*)-MV4-»«)3-(/'+aKaH-<*) 

+"  ö+TJ« 

g'+«-f«(m-A')        t'-w,+«(n-fy') 
"  (1+/)*        "^^        (1+/)» 

*^   '         (1+/)« 

Der  constante  Factor  b-^ie  verschmilzt  mit  der  onteni  Int^ral- 
grenze.  Lasst  man  also  b,  e  stetig  verschwinden,  so  daas  «j  in  « 
flbergeht,  so  erhält  man: 

fttr  bestimmte  untere  Integralgrenze ,  die  jedoch  noch  vom  AnfAiig 
der  d"  abhängig  bleibt 


Sei 

Idt 

+/ 
Nach  Multiplication  mit 


.  -/r^.  (") 


Pf'Bt 


+/ 
lautet  Gl.  (16): 

woraus: 

co8(»  +  d)  =  J^;    8in(v+«)  -  \^ 


(18) 


(19) 


^      h  f»  _  ,__^ 

©=arctg-r-| ^  (30) 

ein  Resultat,  dass  sich  durch  Differentiation  leicht  bestätigt  Aof 
rein  analytischem  Wege  hätte  sich'  dasselbe  schwerlich  aofiBndeD 
lassen;  es  war  vielmehr  kaum  wahrscheinlich,  dass  ein  aUgemeistf 
Ausdruck  fttr  das  Integral  (17)  existirte,  weil  die  6r<ta8en  /,  A  ^ 
Functionen  zweier  Variabeln  sind,  die  nur  durch  die  GorvengleichiiBg 
in  Relation  mit  einander  stehen. 


Hoppe:  lUin  analytische  Consequemen  der  Curventheorie.  421 

Die  Relation 

(^'+n)«  +  (Ä'-m)«=(l+/)« 

welche  fflr  das  Bestehen  der  61.  (19)  notwendig  ist,  zeigt  sich  aber- 
einstimmend mit  der  Formel  (1)  im  vorigen  Artikel. 


§.4. 

Jetzt  lässt  sich  die  allgemeine  Relation  (15)  algebraisch  gestalten. 
Wir  schreiben  sie: 

(»,—  a)e'*rr,  —  A  (const.)  (21) 

Hier  ist 

^ 

r^Vl+ffi  (22) 

Ans  den  61.  (19)  findet  man: 


cos 


r- 


2(1+/) 


.    «•+*  h'—m 

am — k—  ■ 


2  y2(l +/)(!+/+/+„) 

daher  wird 

--     y2a+/+,'+«)     '   '  (^^> 

Durch  eine  Orthogonalsnbstitnüon  geht  r  über  in  r,.    Sei  also 

a  6  c 

ein  constantes  Orthogonalcoefficientensystem,  und  wenn  der  Index  2 
das  Resultat  der  Substitution  bezeichnet, 

/«—«/+•••;  ^«"■«i/+--;  A«««j/+--  ^ 

/,'-a/'+...-,    i7,'-a,/'+...;    V=«j/'+..  (24) 

dann  wird 

l+A+jy/+^+^V-^)^-  ^1  (25) 

*■'"       y2(l+/,+i^,'+»»,) 
und  nach  Einffihmng  in  61.  (21)  erh&lt  man: 


—  ^ 


422  Hoppe:    Rtin  anafytu^  CoMeqU€nx€n  dgv  Cuntentheorie. 

//«'+  ^      f'+  a\  l+f+9'+n-\-i(h'-m) 

Die  Constante  ^  mnss  im  Laufe  der  Gorve  dieselbe  bleiben,  alio 
ihren  Wert  behalten,  wenn  die  Tangente,  Haoptnonnale,  ffinormale 
die  Richtungen  der  x,  y,  »  haben,  so  dass 

wird.    Hier  ergibt  sich: 

1  +  «  yi+a+4,  +  c» 

das  ist  nach  Ansf&hrang  der  Mnltiplication : 

yi+a-|-6,+c. 
Den  Modul  des  Zählers  zeigt  61.  (3),  der  gemftss  wir  setzen  kdnnes : 

A  =  V2(l  —  a)e<«  (28) 

V2(l-a)(l  +  a-f-J,+c^ 
Setzt  man  ebenso 

C08  2,*-?^5    8in2,»-^^  (30) 

so  lautet  61.  (26): 


(t$^  -  ^'^  V(i  +/)  (r+/»)«'^"+'"'  =  y2(i  -  «H'« 


(31) 


Die  Gleichheit  der  Moduln  ist  von  selbst  ofifenbar;  denn  das  Quadrat 
des  Moduls  zur  Linken  ist: 

{^+-f;+i^;-^t@;±^,^)(l+/)a+/.) » 

2(1  -  fft  -f%'-  U,)  -  2(1  -  a) 


Hoppe'.  Htm  anafyiitche  Coiutgutnxtn  der  Curveiitkeorie,  423 

Die  Amplitnde  des  ersten  Factors  in  (31)  ist: 

die  Gleicbsetzung  der  Amplituden  gibt: 

1'+l»+»«»-«  (32) 

Entwickelt  msn/j,  /,',  /,  nach  (24),  so  kommt: 

_       —l^al+b(mr^-/m--lgH<itr{-/n—lh) 
«*  -  _/'^^'+j(^'^./^'_^^)^^(Ä'+/&'_/^Ä) 

-(l-a)7+4(m-i')-f«(«+l?'> 


-  (1  -  «y '  +  %'+ n)-fo(Ä'-w) 
Nimmt  man  hierzu  nach  GL  (30) : 

h'—m 

so  findet  man: 

tg(*+«»)-{a+/)[-(i-«)H-*(»»-*')-H'(»-h'')3 

-(l-a)[«j,'-f»)-f/'(Ä'-w)3+«[0/'-|-n)»+(Ä'-'»)«]|:Kl+/)[-(l-»)^ 

+%'-f-«)+«(A'-«)>HC(j;'-l-«)*+(*'-»»)*B 


Nach  61.  (1)  ist  aber 

(g'-\-n)*+(h'-m)»  "  (1+/)* 
daher 

—(1  -  a)t-i(ft'-«*)+c(l+/+g'+'') 
tg(*+f*)  -  _  (1  _  a)/'+  i(l  +/-+/+  «)  +  c(Ä'  -  m) 

Andrerseits  ist 

V — mj  .  e—  Of 

und  nach  OL  (32) 
folglich 

(6  —  a^)  (1  +/,  4-^2'+  «»)  +  (^  —  ««)  (*«'—»««) 

—  (1  —  a)  Z  —  6{Ä'— m)  +  c(l +/+ ^'i:^ 

-  (1  —a)r+h{l  +f+g'+n)  +  €(k''-  m) 

Demnach  hat  der  Ausdruck  zur  Linken  die  Eigenschaft  sich  nicht 
zu  ändern,  wenn  entsprechend  einer  Rotation  der  Cnrve  um  die  as 
Axe  a^b^e^a^ief  variiren. 


(33) 


424  Hoppe:  R§in  analj^tü^  Constqutnxtn  der  CttrventkeorU. 

§.  5. 

Wir  haben  r,  als  jedenfiillg  begriffen  in  r,  nach  61.  (13)  darge- 
stellt, wo  die  Constanten  noch  nicht  bestimmt  sind.  Seien  r  viui  r, 
definirt  durch  (23)  und  (25)  nnd 

J5p«y*C-#^+C  (34) 

Durch  Differentiation  folgt: 

Dies  verglichen  mit  (21)  nnd  (27)  gibt: 
Nun  ist  nach  61.  (22)  (19) 

r»  ""  1+/  "      a+/)* 

und  wir  gewinnen  aus  (34)  zunftchst  die  neue  Integralformei: 

l+/+/+«+»(Ä'-m)      J/l+/i+^/+,4  ^*^^ 

Für  a  »  1   ist  der  Ausdruck  nicht  direct  anwendbar.    Um  auf 
den  Fall  stetig  überzugehen,  sei 

a  —  cj  «»  cos«:      ix""li      c«=— oj  —  sin» 
und  X  unendlich  klein.    Dann  wird  bei  Entwickelung  bis  aof  1.  Ord- 


nung 


daher 


1  —  a  1  —  «         % 


2»  l4./+g'4-n  +  (A-?)K+«(A'-m~/'K) 
»  l4-/+/+n+i(A'-m)  -^ 


-;>+.- 


(^"l+Z+J^'+n  2) 


h-l-if  k—l  *\ 


Boppe:  Rem  tmalytü^e  Coruequenzen  der  Curventheorie,  425 

Nun  ist  nach  Ol.  (1«) 

(1  +/+  /+  «)*  +  (Ä'  -  m)»  =  2(1  +n  (1  -^f+g'+n) 

folglich 

2.- (.  .  ih-l-i/')a+f-\-9'+n  -,(ft^-m))-(A -<)(!+/)   ) 

2i  LAh-W-h^ -A*'  -fnm-i/'il+f-\-g'-^n)-f(h'-m) 
»\^-r  2(l-|-/')(l+/4-y'+») 

Es  ist  aber 

-  A(l +/+,'+„) 
und  nach  61.  (2) 

(Ä  - 1)  (V  -  w)  =  -  (Z'+j,)  (1  +/+»'+  «) 
daher 

5=  -JT  (1  +  1+?  2J  -  T+7+  "°"'' 
In  einfachster  Gestalt  hat  man  also: 

wie  sich  auch  durch  Differentiation  leicht  bestätigt 


§.  6. 

Jetzt  ist  filr  irgend  einen  Wert  von  C,  welcher  vom  Coefficienten- 
system  abhängt,  längs  der  Gurve 


^+f+9'  +~ 


+  c 


1+/ 


Da  man  eine  momentane  Stellung  der  Tangente,  Haupt-  und  Binor- 
male für  x,  y  und  z  Richtung  wählen  kann,  so  ist  es  gestattet  das 
Wertsystem 

als  existirend  zu  betrachten  und  in  die  Gleichung  einzuführen.  Dann 
kommt: 

(1— a)yi+a+6j-fr,  4  V  l+o+^+<?J^ 


+  ^^•=0 


426  Hoppe:  Rein  analyiüche  Cofuequenzen  der  CurvetUheork, 

Nun  ist  nach  61.  (2) 

und  die  Gledchnng  redvcirt  sich  auf 

2(1  -  a) 
oder 

^  b — ic 

1  —  a 
Mit  Anwendung  von  61.  (1*)  können  wir  das  Resultat  schreiben: 

Diese  Formel  stellt  das  Prodact 

(l+a+Äj+c,)(l+/+i7'+«)(l+/»+^«'+«f)         (37) 

als  Quadrat  dar.  Die  3.3  darin  figurirenden  Grössen  sind  die  Rich- 
tungscosinus gleichnamiger  Axen  dreier  orthogonaler  Axensysteme 
gegen  einander.  Das  Product  bleibt  daher  ungeändert  erstens  bei 
Yertauschnng  der  3  Axensysteme,  zweitens  bei  gleichzeitig  cyklischer 
Ycrtauschung  der  Axen  innerhalb  jedes  Systems.  Die  Basis  des 
Quadrats  zeigt  dagegen  nicht  dieselbe  Symmetrie ;  daher  lässt  sie  sich 
in  9  verschiedenen  Formen  darstellen,  welche  identisch  sein  mflssen. 


§.  7. 
Nach  dem  Vorstehenden  ist  nun 

1   l+f+g'+n  +  i(h'-- m)  . *?  (g'-ih 


(fi7-) 


B        V2(i+/+<7'+n)  U+/ 

für 

\__b-a^±^-^^    _C^t=J^  (38) 

B        21/1+0+6,4^'  1+» 

Das  allgemeinste  Integral  r,  der  Ol.  (7)  niass  den  gleichen  Ansdrock 
fOr  allgemeine  B,  C  haben.     Soll  nun  r,  das  allgemeinste  Integral 


Hoppe:  Rein  analytische  Corutquenzen  der  Curventheorie.  427 

repräsentiren,   so  ist  einzige  Bedingung,  dass  für  gegebene  B^  C  die 
GL  (38)  erfüllt  werden  können.    Setzt  man 

a  «cosx-,  b  =8inil8inv;    c»>8inilcosv 

oj  »  —  sinxsinft;       b^  =  cos»8infisinv-f-cosfiCosi/ 

Cj  »-  cos  A  sin  ft  cos  V  —  cosfisinv 
«t  ■=  —  sin Kcos f* ;        &,  —  cos *cö8 fi sin v  —  sin ft cos  v 

Cf  »  cos»cosf*cosv-f'Sinfisinv 


dann  wird 


Setzt  man 


^-»8in2C-iOi+»);    C^^ttg^e"^  (39) 


1  ^ 


so  erhält  man  die  4  Bedingungen: 


sin^-p;    ^4-v=r2(R-7r)  (40) 


tgH-5;    v  =  ~R-^  (41) 


Jio  Amplitudengloichungen  lassen  sich  durch  ^  und  v  erfüllen,  die 
Modulgleichungen  im  allgemeinen  nicht.  Demnach  ist  das  durch 
Gl.  (25)  (24)  definirte  r^  nicht  gleich  allgemein  mit  r«.  Beide  unter- 
scheiden sich  durch  einen  reellen  Factor. 

Betrachtet  man  dagegen  r,  als  Bestimmungsgrösse  der  Curve,  so 
zeigen  die  Gl.  (9)  (10)  (11),  dass  nicht  nur  ein  reeller,  sondern  ein 
beliebig  complexer  Factor  von  jedem  r,  mithin  auch  von  r^  aus  den 
Werten  von  Uf\l  herausfällt,  so  dass  die  erste  Gl.  (39)  zur  Be- 
stimmung der  Curve  nicht  mitwirkt  Hier  fallen  die  Gl.  (40)  weg; 
nur  die  Gl.  (41)  sind  notwendig  und  bestimmen  %  und  v,  während 
\k  willkürlich  bleibt.  Erwägt  man  indes,  dass  durch  x  und  v  ebenso 
wie  durch  /,  /',  l  die  Lage  der  Curve  zur  x  Axe  allein  bestimmt 
wird,  während  \x,  nur  die  willkürliche  Rotation  um  die  x  Axe  aus- 
drückt, so  erkennt  man,  dass  die  allgemeinste  Lösung  der  Differen- 
tialgleichung sich  vollkommen  mit  der  allgemeinsten  Lage  einer  Curve 
deckt  Man  kann  demnach  die  Differentialgleichung  nicht  dazu  ver- 
wenden, aus  der,  einer  speciellen  Curve  entnommenen  Lösung  die 
Bestimmung  anderer  Curven  abzuleiten. 


428  Hoppe:  Rein  analytUeke  Consequenzen  der  CurüeniheorU. 

§.  8. 

Seien  r,  rj,  r,  definlrt  durch  61.  (23)  entsprechend  3  venchie- 
denen  Lagen  derselben  Cnrve.  Dann  mnss,  weil  alle  die  61.  (7)  er- 
füllen, eine  lineare  Relation 

Ar + ^,r, + ^,r,  =  0  (42) 

zwischen  ihnen  existiren.    Durch  Differentiation  geht  darans  herror: 

Ans  beiden  61eichungen  findet  man: 


OOj  —  COg  ,  Wj  —  OD  ^  W 09j 


♦•l 


Man  braucht  dann  nur  ein  specielles  Wertsystem,  bezeichnet  durch 
den  Index  0  einzuführen,  um  die  Formel  (42)  zu  einer  bestimmtea 
zu  machen,  nämlich: 

das  ist  einer  algebraischen  Relation  zwischen  3  orthogonale  Systemen. 

Zu  specieller  Anwendung  mögen  das  zweite  und   dritte  Axeo- 
system  gegen  das  erste  die  Richtungscosinus 

0  10  0  0  1 

00  1  100 

10  0  0  10 

haben.    Zur  Coefficientenbestimmung  setzen  wir 

dann  werden  die  co  nach  der  Reihe  0,  1,  t,  die  r  ebenso  2,  l—i, 
l-|-e;  die  Cocfficienten  haben  den  gemeinsamen  Factor  ^(1— 0,  nach 
dessen  Weglassung  sie  sind:    1,  — 1,  — 1.    Die  61eichnng  lautet: 

r  —  Tj  —  rj  =  0    oder : 


Vi  +/+<^'+«  Vi  +^+Ä'-|./ 

1 +  *+/'+ m+%'-0 


yi+Ä+/'+m 
Macht  man  die  61eichung  rational,  so  erhält  man : 
2{(l+/+(7'+n)«+(l+y+Ä'+0*+(l  +  A+/'+m)«| 


0 


Hoppe:  Rein  antdiftUdit  Constquenxen  der  Curventheorie  429 

§.  9. 

In  meiner  analjrtischen  Cnrvantheorie,  Arch.  T.  LVI.  S.  62,  habe 
ich  gezeigt,  dass  jeder  Lösung  r  der  Gl.  (7)  als  zweite  der  conju- 
girte  Wert  von 

entspricht.  Setzt  man  den  Wert  ^ur  fflr  r'  und  fttr  lu,  r  die  Aus- 
drücke (14)  (23),  so  erhält  man  folgende  Darstellung  des  allgemeinen 
Integrals: 


Den  Differentialquotienten  findet  man  leicht  aus 
Setzt  man  den  coi^jugirten  Wert  ein,  so  ergibt  sich : 

Hiemach  mnss  für  irgend  welche  Gonstanten  A^  B  sein: 

das  ist  fttr/  — ^'«n  —  1: 

l+a+Äi+Cj-ft(Ä,  — ci) 


yi-fa+^t  +  c, 
Ä  ^  Oj  -j-  i(c  —  flj) 


2il 


-2B 


Dies  ergibt  2  neue  algebraische  Relationen  und  2  neue  Darstellungen 
des  symmetrischen  Products  (37). 


430  Müedlen. 


XXL 


Miscellen. 


1. 

Eine  Gruppe  planimetrisoher  Maxima  und  Minlnuu 

Es  sei  ABC  ein  schiefwinkliges  Dreieck  mit  den  Seiten  abe  und 
den  Winkeln  aßy,  ha  Höhe  tn  a,  O  der  Mittelpunkt  des  eiDgeschrie- 
benen,  Oa  der  des  der  Seite  a  angeschriebenen  Kreises,  ^  und  ^ 
deren  Radien  nnd  SB  und  Va  ihre  Berührungspunkte  mit  der  Seite 
AC^  a-^-b-^-e  ^^  2s  und  J  der  Inhalt  des  Dreiecks,  so  ist  bekannt- 
lich 

A  ,  .        aha 

J  ^  QS  ^  Qa{»  —  a)  =  -g- 

Betrachtet  man  von  den  Stücken  u  a  s  q  Qa  hß  A  je  drei  ab 
gegeben,  so  erhält  man  eine  Reihe  von  Aufgaben,  deren  Lösnng 
sich  meist  durch  den  blossen  Anblick  der  Figur  ergiebt  Nimmt  man 
je  zwei  Stücke  als  constant  an  und  denkt  im  Uebrigen  die  Figur 
veränderlich ,  so  ergeben  sich  ebenso  leicht  interessante  Sfitze  über 
Maxima  und  Minima,  die  zwar  vereinzelt  in  Aufgabensammlungen  xn 
finden,  in  diesem  Zusammenhange  aber  und  so  einfach  bewiesen  mir 
nicht  bekannt  geworden  sind.  Namentlich  bei  der  Determination  der 
oben  angedeuteten  Aufgaben  dürften  dieselben  für  den  Unterricht 
vorteilhaft  Anwendung  finden. 

Vorbemerkung:  Berühren  sich  die  Kreise  O  und  O«,  so  ist  ABC 
gleichschenklig,  weil  die  Halbirungslinie  AOOa  des  Winkels  «r  anf 
der  Basis  senkrecht  steht  Im  folgenden  kommt  es  immer  daraaf 
an,  die  Figur  so  zu  verändern,  dass  die  Kreise  O  und  O«  sich  be- 
rühren. 


Muetikn.  431 

1.  Es  bleibe  «  and  a  constant  Mit  a  ist  auch  seine  Halbi- 
ningslinie  AO  der  Richtung  nach  festgelegt  und  mit  0Vo  »  a  ist 
die  Strecke  OOa  onverftnderlich.  Wird  nun  IBQa  so  verschoben,  dass 
AfSa  ^  s    wächst ,    so    wachsen   gleichzeitig   9,    ^o,    ^  ^=  q»   und 

ha  —  — ,  bis  sich  O  nnd  Oa  berühren,  folglich  gilt  der  Satz: 

Von  allen  Dreiecken  Ober  derselben  Basis  a,  welche  in 
dem  Winkel  an  der  Spitze  übereinstimmen,  hat  das  gleich- 
schenklige den  grössten  Umfang  nnd  Inhalt,  den  grössten 
eingeschriebenen  Kreis  nnd  die  grösste  zur  Basis  gehörige 
Höhe. 

2.  Dorcfa  «  nnd  s  ist  das  Dreieck  A^aOa  gegeben.  Lässt  man 
09a  ==  a  kleiner  werden ,  so  wächst  p,  demnach  auch  J  =-  ^  und 

Äo  zufolge  der  Beziehung  r^'öi \  folglich 

Alle  Dreiec(ke,  welcbe  in  dem  Winkel  an  der  Spitze  A 
und  dem  Umfang  übereinstimmen,  haben  den  der  Seite  a 
angeschriebenen  Kreis  gleich.  Das  gleichschenklige  aber 
hat  beim  Minimum  der  Basis  ein  Maximum  des  Inhalts, 
der  Höhe  und  des  eingeschriebenen  Kreises. 

3.  Hält  man  o  und  q  und  damit  das  Dreieck  ^60  fest,  so 
nehmen  mit  SQa  »  a  auch  A^a  ==  «,    Qa  und  J  ^  qs  ab ,  während 

ha  wegen  r^ni J  wächst,  und  A8  *«  *  — a  constant  bleibt; 

also 

Alle  Dreiecke,  welche  sich  einem  gegebenen  Kreise  so 
umschreiben  lassen,  dass  sie  einen  gegebenen  Winkel  o  an 
der  Spitze  enthalten,  stimmen  im  Ueberschuss  der  Schen- 
kelsnmme  über  die  Basis  überein.  Das  gleichschenklige 
aber  hat  neben  der  grössten  zu  o  gehörigen  Höhe  am 
kleinsten:  den  Umfang  und  Inhalt,  die  Basis  und  den  der 
letzteren  angeschriebenen  Kreis. 

4.  Man  schlage  mit  /ki  einen  Kreis  um  ^,  so  ist  BC  äussere 
Tangente  für  denselben  und  den  Kreis  O,  Bleibt  jetzt  a  nnd  ha 
constant,  so  rückt  O  auf  der  festen  Linie  AO  nach  A  hin,  wenn  q 
kleiner  wird.  Gleichzeitig  aber  nehmen  AB^  AC^  BC  und  damit  « 
und  J  '^  Qs  ab,  also 

Von  allen  Dreiecken,  welche  in  einem  Winkel  und  der 
zugehörigen  Höhe  übereinstimmen,  hat  das  gleichschenklige 
ein  Minimum  für  Basis,  Umfang,  Inhalt  und  eingeschrie- 
benen Kreis. 


432  Müe^Un. 

5.  Wenn  bei  constantem  a  ond  ^  =  p«  der  Umfang  #  abnimmt, 
so  mnss  g  wachsen,  also  O  nnd  Oa  aof  der  festen  linie  ilO  zu- 
sammenrücken, ebenso  ^  nnd  IB«,  bb  sich  die  Kreise  O  bei  iraclMei- 
dem  und  Oa  bei  abnehmendem  Radins  bertthren.    D.  h. 

Von  allen  gleich  grossen  Dreiecken  mit  demselben  Winkd 
a  an  der  Spitze  hat  das  gleichschenklige  den  grössten  ein- 
geschriebenen und  gleichzeitig  den  kleinsten  der  Basis  an- 
geschriebenen Kreis.  Ausserdem  ein  Minimnm  der  Baas 
und  des  Umfiangs  nnd  ein  Maximum  der  zur  Basig  gehörigen 
Höhe. 


6.  Mit  a  und  t  sind  die  Strecken  98a  und  Ä9a  und  damit  die 
Lote  in  8  und  Va  auf  A^a  als  Oerter  für  O  und  Oa  gegeben.   Mit 

a  wachsen  auch  g  und  Qa  und  daher  wegen  ^  —  ^  »  -^  aoch  d 

und  hay  demnach: 

Von  allen  Dreiecken,  welche  in  der  Basis  a  und  dem 
Umfang  übereinstimmen,  hat  das  gleichschenklige  den  Winkel 
an  der  Spitze,  den  eingeschriebenen  so  wie  den  der  Basis 
angeschriebenen,  die  zur  Basis  gehörige  Höhe  und  den  In- 
halt am  grössten. 

7.  Es  sei  a  und  g  constant,  also  auch  Dreieck  099u  und  das 
Lot  in  9a  auf  «Sa  als  Ort  für  Oa.    Bew^  sich  A  nach  6  hin,  so 

wird  s  >—  A^a  kleiner  und  damit  auch  J  ^  gs  und  ha  -»  — ,    wäh- 
rend ga  und  a  wachsen,  folglich 

Von  allen  Dreiecken,  welche  sich  einem  festen  Kreise  so 
umschreiben  lassen ,  dass  sie  eine  gegebene  Basis  a  ent- 
halten, hat  das  gleichschenklige  den  grössten  Winkel  an 
der  Spitze  und  den  grössten  der  Basis  angeschriebenen 
Kreis,  aber  den  kleinsten  Umfang  und  Inhalt  und  ^ 
kleinste  zur  Basis  gehörige  Höhe. 

8.  Hält  man  neben  a  ga  fest,  und  lässt  A  sich  von  6  f<»t- 
bewegen,     so    w&chst   8  =  AVa    und   g   und  damit    d  ^=  g»  ud 

Aa  »  -   .    Da  stets  g<iga  bleibt,  so  tritt  die  Berührung  der  Kreise 
O  und  Oa  nur  dann  ein,  wenn  a  <<  2pa,  folglich 

Von  allen  Dreiecken,  welche  die  Basis  und  den  derselben 
angeschriebenen  Kreis  gleich  haben,  besitzt  das  gleicb- 
schenklige  den  kleinsten  Winkel  an  der  Spitze,  aber  den 
grössten  eingeschriebenen  Kreis,  den  grössten  Umfimg  und 
Inhalt  und  die  grösste  zur  Basis  gehörige  Höhe. 


MiaetlUn.  433 

9.  Mit  a  =  eOa  sind  die  Lote  in  9  und  ^a  anf  Wa  fest- 
gelegt. Soll  dann  noch  J  constant  bleiben,  so  mass  wegen  J  ^  ga 
9  abnehmen,  wenn  p  wächst,  dann  nehmen  aber  anch  a  nnd  pa  zu, 

wfthrend  /^a  =  —  constant  ist,  also 

a 

Von  alleo  gleich  grossen  Dreiecken  von  derselben  Basis 
hat  das  gleichschenklige  den  kleinsten  Umfang,  den  grössten 
ein-  und  der  Basis  angeschriebenen  Kreis  und  den  grössten 
Winkel  an  der  Spitze. 

10.  Durch  Q  und  «  ist  ^  bestimmt.  Legt  mau  ^Sa  »  «  fest 
und  lasstQ6<i=^a  abnehmen,  so  rücken  die  Kreise  Ound  Oa  zusammen 
bis  zur  Berührung,  dann  ist  a  ein  Minimum  =  %.  Wächst  dagegen 
a ,  so  bewegt  sich  dais  constante  09  *  nach  A  hin ,  und  daher 
wächst  der  Winkel  a  und  der  Radius  pa  bis  sich  die  Kreise  zum 
zweiten  Male  berühren,  dann  ist  a  ein  Maximum  »  «ig,  d.  h. 

Es  lassen  sich  einem  Kreise  unendlich  viele  Dreiecke 
umschreiben,  welche  alle  denselben  Umfang  und  Inhalt 
haben.  Unter  diesen  ist  dasjenige,  welches  die  kleinste 
Seite  und  den  kleinsten  gegenüber  liegenden  Winkel  ent- 
hält, gleichschenklig,  ebenso  dasjenige,  welches  die  grösste 
Seite  und  den  grössten  Winkel  an  der  Spitze  hat.  Oder: 
Ein  Dreieck  lässt  sich  mit  Beibehaltung  desUmfangs  stets 
so  verwandeln,  dass  es  eine  Seite  a  zwischen  zwei  Grenzen 
oj  und  a^  oder  einen  Winkel  zwischen  zwei  Grenzen  ti^ 
und  «s  enthält. 

2« 
Da  do]  <C  2«  und  30^  >>  2«  ist,  so  liegt  -^  zwischen  a^  und  o,, 

and  man  kann  also  jedes  Dreieck  mit  Beibehaltung  des  Umfangs  so 
Terwandeln,  dass  eine  Seite  \  des  Umfangs  wird.  Mit  Benutzung 
Yon  6.  ergiebt  sich  dann: 

Von  allen  Dreiecken  mit  demselben  Umfang  hat  das 
gleichseitige  den  grössten  Inhalt 

Da  femer  Sa^  <  180<»  und  3a,  >  180^  ist,  so  liegt  60<>  zwischen 
vi  und  tf,  u°<3  ^^^  }sxsL\i  demnach  jedes  Dreieck  mit  Beibehaltung 
des  Umfangs  so  verwandeln,  dass  es  einen  Winkel  von  60^  enthält, 
Aas  5.  folgt  dann: 

Von  allen  gleich  grossen  Dreiecken  hat  das  gleichseitige 
den  kleinsten  Umfang. 

▲rcli.  d.  Math.  n.  Pbji.  2.  Reihe,  Teil  n.  28 


434  Miseellen. 

Anmerkung.  Die  Sätze  vom  gleichseitigen  Dreieck  werden  ge- 
wöhnlich als  selbstverständliche  Zusätze  zu  5.  and  6.  gegeben,  wie 
in  der  Planimetrie  von  Heis  und  Eschweiler.  Steiner,  gesammelte 
Werke  II  185  f&hrt  einen  andern  Beweis  von  Lhoilier  an  und  giebt 
einen  eigenen,  der  dem  obigen  ähnlich  ist.  Geht  man  vom  gleich- 
schenkligen Dreieck  aus,  so  ergiebt  sich  die  halbe  Basis  x  desadben 
als  Wurzel  der  kubischen  Gleichung 

und  zwar  ist  x  »  »  d.  h.  Dreieck  gleichseitig,    sowol   wenn   g  ein 

Maximum  bei  gegebenem  «,  oder  «  ein  Minimum  bei  gegebenem  ^ 
ist.  Dies  sind  ebenfalls  die  obigen  Sätze.  Siehe  Lampe,  Geome- 
trische Aufgaben  S.  7.       ^ 

11.  8  und  Qa  bestimmen  das  Dreieck  AOaVa  und  damit  den 
Winkel  tt.    Nimmt   9Sa  *»  a  ab,   so  wächst  g  und  folglich   auch 

z/  »  p«  und  ha  wegen  r'=ö( -)d.  h. 

°        ha         ^\g         Qa/ 


Alle  Dreiecke,  welche  den  Umfang  und  den  der 
angeschriebenen  Kreis  gleich  haben,  stimmen  auch  im  Winkel 
an  der  Spitze  überein.  Das  gleichschenklige  unter  ihnen 
aber  hat  die  kleinste  Basis,  die  grösste  zur  Basis  gehörige 
Höhe,  den  grössten  Inhalt  und  den  grössten  eingesdiriebe- 
nen  Kreis. 

12.  Aus  ^f  »  p«  »  -^  folgt   Qia  =  ha: 2s,     Mit  hm  und  t  ist 

also  das  Verhältniss  g :  a  und  dadurch  die  Richtung  OfBa  als  Ort 
für  O  gegeben,  wenn  der  rechte  Winkel  A9aOa  festlie^  Mit  wach- 
sendem a»QSa  nehmen  auch  gga  und  a  zu,  indem  sich  AO  um 
A  dreht,  ebenso  ^/  »  p«: 

Von  allen  Dreiecken  mit  demselben  üm&ng,  welche  in 
einer  Höhe  übereinstimmen,  bat  das  gleichschenklige  am 
grössten:  die  Basis  und  den  gegenüberliegenden  Winkel, 
den  eingeschriebenen,  so  wie  den  der  Basis  angescfariebeaen 
Kreis  und  den  Inhalt 

13.  Sollen  g  und   ga  constant  sein,  so  ist  dies  auch  A«.     Mit 
QCa  «  a  wird  A^a  =  s  und  J  =  gs  kleiner  und  a  grdss^,  also 

Alle  Dreieeke,  welche  sich  einem  Kreise  so  umschreiben 
lassen,  dass  der  der  Basis  angeschriebene  Kreis  eine  ge- 
gebene Grösse  hat,  stimmen  in  der  Höhe  zur  Basis  Qber- 
ein,  das  gleichschenklige  aber  hat  die  kleinste  Basis,   den 


MUceUin.  435 

kleinsten  Umfang  und  Inhalt,  dagegen  den  grössten  Winkel 
an  der  Spitze. 

14.  Mit  a  and  Qa  ist  or  und  a  constant;  mit  a  und  ha  auch  a 
und  ^f ,  mit  s  und  J  oder  g  und  d  ebenso  t  und  p,  mit  ^  und  ha 
oder  9!  und  ha  endlich  q  und  pa  gegeben.  Diese  Fälle  sind  also 
in  dem  Obigen  miterledigt  Dr.  J.  Lange. 


2. 
Ein  Dreieekssatz. 


P  sei  ein  belieger  Punkt  in  der  Ebene  des  Dreiecks  AßC.  Soll 
eine  Gerade  durch  P  so  gelegt  werden,  dass  ihr  von  den  Dreiecks- 
seiten AB^  AC  begrenzter  Teil  von  P  halbirt  ist;  so  zieht  man  durch 
P  eine  Parallele  zu  AC^  welche  AB  in  K  trifft,  und  trägt  auf  AB 
die  Strecke  KCa  »  AK  auf;  CaP  ist  die  verlangte  Gerade. 

CaP  treffe  AC  'm  Ba,  Zu  dem  Zwecke,  zwischen  den  drei  Ge- 
raden BaCa  und  dem  Dreiecke  ABC  eine  Beziehung  herzusteilen, 
suchen  wir  die  Gleichung  der  Geraden  BaCa. 

Die  trimetrischen  Punktcoordinaten  von  P  bezüglich  des  Urdrei- 
eckes  ABC  (BC  ^  a)  seien  paptpe-    Femer  ist: 

AC  =  0       1       0 

Der  unendlich  ferne  Punkt  dieser  Geraden  hat  die  Form: 

c       0       —a 

Die  Gleichung  der  durch  P  zu  ^C  gezogenen  Parallelen  PK  ist 
demnach : 

Xa     Pü  C 

xi    pt        0       «  0 

«c     Pe     — ö 

Die  Geraden 

PK"^  "  aph         cpe'\-apa         — cph 

AB  =  0  0  1 

treffen  sich  in 

h^  cpc-^apa         opb         0 

Bezeichnen  wir  mit  X(a)  die  Länge  der  Normale  von  X  auf  BC 
und  mit  F  den  Flächeninhalt  des  Fundamentaldreiecks,  so  ist: 

JS* 


436  UiteiütH. 

2F(ept+apm) 


^^"^ a£apa 


^  '       a£apa 
K(c)  -  0 

Nach  der  angefahrten  Constmction  ist  A"  die  Mitte  von  ACt, 

Es  ist  also: 

A(a)+  Caia) 
Ä(a) 2 

2F  2F 

2F 

Ferner  erhalten  wir: 

2iC(*)  =  ^(J)  +  C«(4) 

C«(&)  —  2apö : 


Ci(<?)  «  0 
Ca  ^  <?pc+apa— ^»     2ap*    0 

—  2aphpe     peicpe  +  <»po  —  ip*     p*(a|9a  +  ^  ^  ^V* ) 

^aCi  trifft  i^C  in 

Die  %  liegen  in  der  Geraden 

Diese  Gerade  ist  der  Harmonikaien  des  Punktes  P  parallel. 
Es  sind  nämlich  zwei  Gerade 

a^Xa  -j-  biXh  -f-  <?i«e  =»  0 

einander  parallel,  wenn 

Die  Harmonikale  des  Punktes  P  bezflglich  des  Urdreiecks  ist 
die  (Gerade  phpc  FOr  die  Gerade  (0  und  die  HarmoBikale  ?on  P 
ist  demnach: 


Mü€$ikfu 


487 


Es  ist  aber 


pepa  Papb 

pepa  (epe-^pa —  bph)     paPh(aper\-hph--cpc) 
2pa^phpe  {hph  —  cpe) 

2apü{hph—cpe)  ■=•  0 


Folglich  ist  die  Gerade  0  der  phpe  parallel.  Wir  haben  also  folgen- 
den Satz: 

Die  drei  durch  einen  beliebigen  Pnnkt  in  der  Ebene  eines  Drei- 
ecks gezogenen  Geraden,  deren  von  je  zwei  Dreiecksseiten  begrenzten 
Stücke  durch  den  gewählten  Punkt  halbirt  werden,  treffen  die  Gegen- 
seiten in  Punkten  einer  Geraden,  welche  der  Harmonikaien  dieses 
Punktes  parallel  ist. 

Projidren  wir  die  Figur,  so  wird  die  unendlich  ferne  Gerade 
eine  Gerade  (S^j,  welche  die  ßC  in  A^  trifft.  K  ist  dann  der  Schnitt- 
punkt der  Geradon  AB  und  PB^.  Ca  ist  der  zu  A  bezüglich  KC^ 
vierte  harmonische  Punkt.  Die  BaCa  treffen  die  BC  in  Punkten 
einer  Geraden  ® ,  von  welcher  die  Harmonikale  von  P  und  die  ®x 
in  demselben  Punkte  geschnitten  werden.    Wir  haben  also: 

P  sei  ein  beliebiger  Punkt  in  der  Ebene  des  Dreiecks  ABC. 
Die  Gerade  (B^  treffe  BC  in  A^,  Bezüglich  C,  und  des  Schnitt- 
punktes der  PB^  mit  AB  liege  Ca  zu  A  harmonisch. 

Dann  treffen  die  B^fia  die  BC  in  Punkten  einer  Geraden  ® ;  diese 
Gerade,  (Bj  und  die  Harmonikale  von  P  schneiden  sich  in  einem 
Punkte.    Für  ®i  =  o,  wird 

®  =  phpe (*!  pi  +  öll'«  ■"  ^iPai- 

Wien,  December  1884.  Emil  Hain. 


3. 


Ein  Satz  über  Kegelsehnitte,  die  einem  Dreieck 

einbeselirleben  sind« 

Es  möge  mir  gestattet  sein  im  folgenden  die  Frage  nach  dem 
geometrischen  Orte  der  Mittelpunkte  der  Kegelschnitte,  die  einem 
Dreieck  einbeschrieben  sind,  und  deren  Achsenquadratsumme  eine 
gegebene  Grösse  hat,  zu  behandeln  und  daran  einige  Folgerungen  zu 
schliessen. 


438  MiseelUn. 

ABC  sei  irgend  ein  Dreieck,  AA^^  BB^  and  CC^  dessen  Höhen 
UDd  H  dessen  Höhenschnitt  Wählen  wir  nnn  auf  AB  iiigend  eines 
Pnnkt  E  und  anf  AC  irgend  einen  Pnnkt  F  und  beschreiben  flb^ 
EC  und  BF  als  Datchmesser  Kreise,  so  hat  der  Punkt  H  in  Bezog 
auf  die  beiden  Kreise  die  gleichen  Potenzen  HC.HC\  und  HB.BB^^ 
liegt  also  auf  der  gemeinsamen  Sehne  derselben.  Sind  femer  M 
und  N  die  Schnittpunkte  der  beiden  Kreise,  so  werden  alle  Kegel- 
schnitte, die  dem  Dreieck  einboschriebeu  sind,  und  die  die  Linie  EF 
berühren,  aus  diesen  Punkten  unter  rechten  Winkeln  gesehen.  Ist 
also  P  der  Mittelpunkt  eines  solcheiL  Kegelschnitts  mit  den  Halb- 
achsen a  und  d,  so  muss  somit 

a«+fi«  =  PM*  —  PN^ 

sein.    Andererseits  finden  wir  jedoch,  dass  in  dem  gleichschenkligea 
Dreieck  MPN  auch  die  Relation 

PH*  —  PM*+HM,HN 

giltig  ist    Daraus  folgt  aber  sofort  die  Gleichung 

HP*  —  a« + i«+ A4 .  HAi. 

Hiebei  haben  wir  zwar  vorausgesetzt,  dass  die  beiden  Schnitt- 
punkte M  und  N  der  Kreise  reell  seien.  Ist  dem  jedoch  nicht  so, 
so  ist  doch  die  letztere  Formel  giltig ,  nur  erleidet  der  Gang  der 
Ableitung  eine  unwesentliche  Aenderung. 

Aus  der  entwickelten  Relation  HP*  ^  a*-{-b*-\-HA,HA^  er- 
geben sich  nun  folge  Sätze: 

1)  Ist  P  der  Mittelpunkt  eines  Kegelschnittes  mit  den  Halb- 
achsen a  und  6,  der  einem  Dreieck  A  oinbeschrieben  ist,  so  ist  stets, 
wenn  H  der  Höhenschnitt  des  Dreiecks  ist: 

HP*  =  a*+b*+  const 

2)  Ist  der  Höhenschnitt  eines  Dreiecks  Mittelpunkt  eines  Kegel- 
schnitts, der  dem  Dreieck  einbeschrieben  ist,  so  hat  derselbe  unter 
allen,  dem  Dreieck  einbeschriebenen,  Kegelschnitten  die  kleinste 
Achsenqu  adratsumme. 

3)  Der  geometrische  Ort  der  Mittelpunkte  aller  Kegelschnitte, 
die  einem  Dreieck  einbeschrieben  sind  und  die  eine  gegebene  Achsen- 
quadratsumme  haben,  ist  ein  Kreis  um  den  Höheuschnitt  des  Dreiecks 
als  Mittelpunkt 

Wird  femer  a^-f-6^  «  0,  so  ist  der  Kegelschnitt  eine  i^ch- 
seitige  Hyperbel  und  wir  finden  den  bekannten  Satz: 


MisceUen.  439 

4)  Der  geometrische  Ort  der  Mittelpunkte  aller  gleichseitigen 
Hyperbeln,  die  einem  stumpfwinkligen  Dreieck  einbescbrieben  werden 
können,  ist  ein  Kreis  um  den  Höhenschnitt  des  Dreiecks,  der  die 
Kreise  über  den  Seiten  rechtwinklig  durchschneidet. 

Da  femer  unter  den  Kegelschnitten  sich  solche  befinden,  die  in 
eine  doppelt  zu  rechnende  Strecke  übergehen,  deren  Endpunkte  in 
eine  £cke  und  die  gegenüber  liegende  Seite  des  Dreiecks  fallen,  er- 
giebt  sich  der  Satz: 

5)  Wird  um  den  Höhenschnitt  eines  Dreiecks  ABC  ein  Kreis 

beschrieben,  der  die  Seiten  des  Dreiecks  der  Seitenmitten  von  ABC 

bei  entsprechender  Bezeichnung  in  a,  o^,  /?,  /9i,  y  und  Yi  trifft,  so 

ist  stets: 

Aa  =»  Aaj^  ^  Bß^  Bß^-^  Cy  ^  Cy^. 

Da  überdies  congruente  Kegelschnitte  gleiche  Achsenquadrat- 
summe  haben,  so  folgen  noch  die  Sätze: 

6)  Einem  Dreieck  lassen  sich  höchstens  6  Kegelschnitte  ein- 
beschreiben, welche  einem  gegebenen  Kegelschnitt  congruent  sind. 
Die  Mittelpunkte  desselben  liegen  auf  einem  Kreise  um  den  Höhen- 
schnitt des  Dreiecks. 

7)  Einem  Kegelschnitt  lassen  sich  höchstens  24  Dreiecke  um- 
schreiben, die  einem  gegebenen  Dreieck  congruent  sind-,  die  Höhen 
derselben  sind  vom  Mittelpunkt  des  Kegelschnitts  gleich  weit  ent- 
fernt (Die  Sätze  5),  6)  und  7) )  finden  sich  in  Steiner's  g.  W.  B.  H. 
p.  346. ,  jedoch  giebt  Steiner  in  letzterem  Satze  irrtümlich  die  Zahl 
6,  anstatt  der  Zahl  24  an.) 

Zum  Schlüsse  wollen  wir  noch  hinzufügen,  dass  diese  Sätze 
wenigstens  teilweise  noch  giltig  sind,  wenn  zwei  Seiten  des  Dreiecks 
zusammenfallen. 

Weingarten,  im  Febr.  1885.  B.  Sporer. 


4. 
KOrper  swisehen  zwei  RotationseUipsoiden. 

£s  liegt  zu  Grunde  das  System 


ff  aj'    .    v* 

f    (2)     j-,  +  |,-l-0. 


440  MiMcdUiu 

Das  gemeinschaftliche  Flächenstflck  JCKHLDMGIf  stellt  sich 
dar  als 

F.  =  4  oÄ  arc  sin -p====r 

Das  Flächenstück  JBMGJ  stellt  sich  dar  als 

-Fj  «oiarcsin^^jä 


1.    Die  beiden  Ellipsen  rotiren  gleichzeitig  nm  die 

as-Axe. 

Es  entstehen  zwei  Eotationsellipsoide ,  welche  ein  Körperstflck 
gemeinschaftlich  haben.  Ausser  diesem  gemeinschaftlichen  Körper- 
stücke entstehen  zu  beiden  Seiten  des  zweiten  Rotationsellipsoids, 
links  und  rechts  zwei  congmente  Körperstücke  des  ersten  Botations- 
ellipsoids  und  endlich  bleibt  noch  ein  wulstförmiges  Körperstfick  vom 
zweiten  Rotationsellipsoide  rings  um  das  gemeinschaftliche  Körper- 
stück  des  durch  Rotation  der  Ellipse  (2)  um  die  kleine  Axe  ent- 
standen ist. 

Es  bezeichne  nun 

V^  das  Volumen  des  gemeinschaftlichen  Körperstückes,  das 
durch  Rotation  von  KCJGMDLHK  entstanden  ist; 

V^   das  Volumen  des   Körpers,  der   durch   Rotation  vob 
OJBMG  oder  HKALH  um  die  «-Axe  entstanden  ist; 

F3    das  Volumen   des   Körpers,   der   durch  Rotation  von 
KCJE  oder  LDMF  um  die  ir-Axe  entstanden  ist 

Dann  ist 


^1 

-^UViit 

V"' 

•^a- 

^  +  W 

Vt 

—  \ahn 

('- 

-«+ 

v»  = 

=  t^dbn. 

1      «4 

Drehen  sich  beide  Ellipsen  gleichzeitig  um  die  ^-Axe,   so  ent- 
stehen dieselben  Körper;  blos  ihre  Lage  ist  eine  andere. 


MUcdUn.  441 

2.    Die  beiden  Ellipsen  rotiren   gleichzeitig  am  ihre 

kleinen  Axen. 

Es  entstehen  zwei  breitgedrückte  Kotationsellipsoide. 

Denken  wir  nns  in  0  senkrecht  auf  der  a^-Ebene  die  s-Aze,  so 
berühren  sich  beide  Körper  in  «  ■»  -j-^  ^^^  »mm  ^a. 

Es  soll  das  Yolnmen  des  den  beiden  Rotationsellipsoiden  ge- 
meinschaftlichen Körperteiles  berechnet  werden. 

Die  Gleichung  des  Botationsellipsoides ,   welches  durch  Rotation 
von  GEH  um  GH  entsteht,  lautet 

»«      y«       «« 

Legen  wir  jetzt  eine  Schnittebene  in  der  Entfernung  z  ^  p  von  O 
durch  beide  Körper,  so  erhalten  wir: 

a»  "T-  Ä«  ""  ^      a« ' 

oder,  wenn  für  p  nun  wieder  z  stehen  gelassen  wird,  wir  uns  aber 
denken,  dass  ü  jetzt  constant  ist,  so  können  die  Gleichungen  auch 
die  Form  annehmen 


«■(-5)     '■(-5) 


Diese  beiden  Schnittfiguren  sind  wieder  nur  Ellipsen  mit  den 
beiden  Axen  bezüglich  a  1/ 1  — ,    und    byl  — j. 

Das  gemeinschaftliche  Körperstück  V  wird  sich  nun  einfach  dar- 

stellen  als    #    f(z)dzj  wo  unter  f(z)  das  gemeinschaftliche  Fittchen- 


— a 


Stück  JCKHLDMGJ  zu  verstehen  ist,  und  worin  jetzt 

1 1    und    Ä  —  ^  1/ 1 1 


zu  setzen  ist. 


442  MiMcelUn. 

Es  war 


f(z)  «  4fl&  aresin   ,-       J 


folglich  wird  hier 


f{»)  =  4aÄ  ( 1 A  arc  sin 


also 


4« 
V«   /  4a* il .larcsin   ,       —   -/,. 


oder 

oder 
d.  h. 


— a 


b 


7=  Ug«^  arc  sin   ,  ; 


Das  Volnmen  des  gemeinschaftlichen  Körperteiles  ist  gleich  dem 
vierfachen  Volumen  einer  Pyramide  mit  der  Gmndfl&clie  F^  and  der 
Höhe  a. 

Gröhzig,  im  Docember  1884. 

Dr.  Albert  Bieler. 


5. 

Wann  stehen  die  yon  einem  Pnnkte  an  eine  Kegelschnittdinle 
gezogenen  zwei  Tangenten  anf  einander  senkreelit« 

Um  diese  Frage  sofort  für  alle  Kegelschnittslinien  K  beantworten 
zu  können,  gehen  wir  von  der  sogenannten  Scheitelgleichnng 

y«=|MC+ga5*  1) 

ans,  welche  bekanntlich  für  p  =  2a  nnd  9  »  —  1  einem  Kreise  vom 

2b^                     b* 
Halbmesser  a.   für  p  «=  —  nnd  g  = ,   ^^^^^    EUlipse   mit  dea 

Halbachsen  a  nnd  *,    für  /?  «  —  und  <?  =  -,  einer  Hyperbel  mit 

den  Halbachsen  a  und  6,  für  g  =  0  einer  Parabel  mit  dem  Parameter 
p  entspricht 

Die  Tangente  T  an  den  Kegelschnitt  K  hat  die  Gldchnng 


welche  auch  auf  die  Form 


MüceUen.  443 


2ypx  +  qz 


2fiy==2alx+pl+px  2) 

gebracht  werdcir  kann.  Die  Goordinaten  (2;,  y)  der  Berührungspnnkte 
müssen  den  Gleichungen  1)  und  2)  genügen,  können  somit  berechnet 
werden.  Es  ergeben  sich,  wie  bekannt,  zwei  Berührungspunkte 
i^i  ...  (x^,  yj)  und  B^  ...  (dTj,  ^2)  ^^d  d^™  entsprechend  auch  zwei 
Tangenten 

Tg  ...  2yiiy  «-  (p+2<pßi){4-paJi  und   T,  ...  2y,iy  «  (p+2g«2)£+P«2- 
Diese  stehen  auf  einander  senkrecht,  wenn 

p+2qxi  ^  ^       2ya 

ist,  oder  die  Gleichung 

besteht.  Wenn  wir  in  die  letzte  Gleichung  die  aus  1)  und  2)  folgen- 
den Wurzelwerte  einsetzen,  so  erhalten  wir  eine  Gleichung  4),  in 
welcher  die  laufenden  Goordinaten  (|,  17)  der  Tangeute  T  vorkommen. 
Wählen  wir  £  und  17  so,  dass  der  Gleichung  4)  genügt  wird,  dann 
sind  die  vom  Punkte  P  . . .  (I,  rj)  an  K  gezogenen  Tangenten  nor- 
mal-, d.  h.  die  Gleichung  4)  ist  die  Gleichung  einer  Linie,  die  alle 
jene  Punkte  enthält,  von  welchen  Tangenten  an  K  ausgehen,  die  auf 
einander  senkrecht  stehen.  Wie  Gleichung  3)  zeigt,  braucht  man  dio 
Wurzel  werte  selbst  nicht,  sondern  nur  («1 +«*,),  x^x^  und  yjyg.  Um 
dafür  Werte  zu  linden,  berechne  man  y  ans  2)  und  setze  es  in  1) 
ein.    Man  erhält: 

a;^/i«  +  4(|«i«+4p«|-4gi?2)4.a:(2/>»£+4/)g5*-4pij»)+/>«|«  -  0, 

weshalb 

4pi?»-2p»{-4;>g£' 
{^1  -r  ^t)  ~  p8 + 4p2S  +  ^H^  ---Aqri^ 
und 

p«£« 

Berechnet  man  x  aus  2)  und  setzt  es  in  1)  ein,  so  ergibt  sich  die 
Gleichung: 

Es  ist  also : 


444  MisetiUH. 

f'i(gi+p) 

Werden  nun  diese  Werte  in  die  Gleichung  3)  eingefllhrt,  «o  findet 
sich  nach  einfacher  Umformung  die  Gleichung 

{.4.,i-|^,+?^_0  4) 

d.  i.  die  Gleicfanng  eines  Kreises  K, 

Wir  können  somit  die  oben  gestellte  Frage  dahin  beantworten; 
Die  vom  Punkte  P  . . .  (f ,  17)  an  die  Eegelschnittslinie  ^  ...  y'  -» 
ptc+qx^  gesogenen  Tangenten  stehen  nur  dann  anf  einander  senk- 
recht, wenn  der  Punkt  P  aof  dem  Kreise  K  ...  f*+iJ*+^-f  ^=0 
liegt. 

Die  Gleichungen  1)  nnd  4)  zeigen  dns  auch  noch,  dass  K  and 

p 

k  denselben  Mittelpunkt  Jlf ...  (x  =  —  ^,  y  «^  0)  besitzen,  und  dass 

der  Halbmesser  des  Kreises  h  die  Grösse  r  =-  y  '^  —  4I  ^^ 

Demnach  nimmt  r  den  Wert  ay2  an,  wenn  K  ein  Kreie  vom  Hslb- 

messor  a  ist;  den  Wert  Va*  +**,   wenn  K  eine  Ellipse   mit  den 

Halbachsen  a  und  b  ist;  den  Wert  "/a*  —  ä*,  wenn  if  eine  Hyperbel 
mit  den  Halbachsen  a  und  b  ist;  den  Wert  oo  (d.  h.  it  wird  eine  Ge- 
rade) wenn  K  eine  Parabel  ist.  In  letzterem  Falle  (g  —  0)  redndrt 
sich  die  Gleichung  4)  wirklich  in  die  lineare  Gleichung: 

k  geht  also  in  die  Leitlinie  der  Parabel  über. 

Die  Werte  fllr  r  lassen  auch  noch  erkennen,  dass  k  bei  einem 
Kreise,  einer  Ellipse  oder  einer  Parabel  K  immer  reell  ist,  da«  aber 
k  dann  in  einen  Punkt  degenerirt,  wenn  K  eine  gleichseitige  Hyperbel 

ist,  (weil  (r  -=  Va*  —  b'^  ■=«  0  wird)  und  dass  gar  keine  zu  einander 
senkrechten  Tangenten  möglich  sind,  wenn  K  eine  Hyperbel  ist,  deren 

Hauptachse  kleiner  ist  als  die  Nebenaclise.    (r  —  Va*  —  6^    wird 
nämlich  in  diesem  Falle  imaginär.) 

Pola,  am  10.  Mai  1885. 

Franz  Schiffner, 

k.  k.  Prol 


MüeeUen,  445 

6. 

Zur  CoüTergrenz  der  Beihen. 
£iue  anendliche  Reihe 

ist  oonyergent,  wenn 


ist 


-l<Lim  ^<+l  (1) 

4=00     ** 


Wird  Lim  — -  £=-|-l,  so  convergirt  die  Reihe  noch,  wenn  statthat 


Pi?*{^i~^}>+^ 


(2) 


Fflr  den  Fall  Lim  -^  »  —  l   soll  im  Folgenden  eine  analoge 
Regel  anfgestdlt  werden. 

Betrachten  wir  die  unendliche  Reihe 

80  ist  dieselbe  convergent,  so  lange  n  ^  0  ist,  weil  in  diesem  Falle 
die  absoluten  Werte  der  Glieder  fortwährend  abnehmen  und  ausser- 
dem vegelmftssiger  Zeichenwechsel  vorhanden  ist.  FOr  n^  1  ist 
dies  klar.    Wird  n  <C  1,  so  kann  man  setzen 

und  die  Reihe  gebt  über  in 

JL_J_.  JL_ 
yi     y2     ys 

welche  aus  olrigen  QrOnden  ebenfalls  convergirt    Fflr  ü  wird  nun 


ati»V""("('+i)")-'-: 


Llm^-LimJ  -^^-j-^  J-LlmV     [l+D  J l;n>0. 

Ist  also  Lim  — —  =  —  1 ,  so  wird  nach  einem  bekannten  Satze 

tk  ' 

die  Reihe  T  noch  convergiren,  wenn 


446  MiseeOen. 

-'v<(4i)"  ">° 

bleibt.    Hieraus  folgt: 

-«T.>('+i)"- 

Es  ist  aber 

Also  mass  auch  sein 

'(-.T.-')>"+s+(Mi> 

Lassen  wir  jetzt  h  anendlich  werden,  so  ergiebt  sich 


^!<-4--0)>-- 


Da  nun  n  >  0  sein  muss,  so  ist  die  Reihe  T  für  Lim—  —  —1 
noch  convergent,  wenn 

ist 

Diese  Regeln  wollen  wir  auf  die  Binomialformel  anwenden.   Es 
ist 


Nach  (1)  erhalten  wir  zunächst 


(^-1 


Lim-r-  «  Lim  { r~r^  « >  —  Lim  \ :;  sb  (  «  —  «. 

tk  U+1    i  /i4.f 

Es  muss  demnach 

-1  <  -  «:  <  +  1        (-OD  <  ^  <  +») 
sein. 

Untersuchen  wir  jetzt  die  Grenzfillle  «  =  -—  1  und  «  =«  + 1- 

I.    Für  Ä  =  —  1  wird 

Lim'i±-^«  +  l: 

tk  ' 

Nach  Regel  (2)  haben  wir  also  zu  bilden 


MüetUen.  4^7 


'{4-.-'}='{-s-l=-^ 


und 


r-i 


Fflr  das  Statthaben  der  Gonvergenz  ist  also  notwendig 

oder 

+  «>f*>+l. 

IL    Ist  «  «  + 1,  80  wird 
Nach  Kegel  (3)  erhalten  wir  sodann 

und 

Also  ronss  sein 
oder 

+  (X>^>—  1. 

Berlin,  März  1884. 

Dr.  A.  Börsch, 
Assistent  im  Königl.  geodätischen  Institut 


7. 
Arehimedisehe  Kreisqnadratur. 


Nimmt  man  nach  Archimedes  das  Verhältniss  des  Durchmessers 
znm  Kreise  wie  7  zu  22  an,  ein  Wert  der  vom  wahren  nur  um  4 
Zehntausendtel  desselben   differirt,  so  verhält  sich  der  Badius  zur 


Seite  eines  der  Kreisfläche  gleichen  Quadrats  wie  1  zu 


i/?- 


Eine   recht  einfache   Constmction   dieses  Verhältnisses  möchte 
wol  manchmal  von  Anwendung  sein. 


448  MUedkn. 

Man  trage  auf  einer  Geraden  4  gleiche  Strecken  »  a  ab,  deren 
Grenzpnnkte  ABCDE  seien,  errichte  in  D  ein  JjOt,  welches  tod 
einem  um  A  durch  E  geschlagenen  Kreisbogen  in  F  getroffen  werde, 
ziehe  BF^  errichte  in  B  auf  BF  das  Lot  BG  «»  BF  und  yerbinde 
F  mit  O,  Dann  ist  das  Quadrat  ttber  FG  gleich  der  Kreisfl&cbe 
vom  Radius  DF, 

Ist  der  Radius  r  gegeben,  so  mache  man  FH  =  r  zur  Strecke 
auf  FD^  ziehe  HJ  parallel  DO^  wo  J  Schnittpunkt  auf  FG.  Dann 
ist  FJ  die  gesuchte  Quadratseite. 

Die  Werte  der  einzelnen  Strecken,  sämtlich  Seiten  rechtwink- 
liger Dreiecke,  ergeben  sich  einfach.    Ans 

AF^ia\        AD-^Za 
folgt 

DF=^l.a 

dies  verbunden  mit  BD  »  2a  gibt: 

BF^  yil. a==BG 
woraus  wieder: 

FG^  y22.a 

so  dass,  wie  behauptet  war. 


DFiFG 


-Vi- 


R.  Hoppe. 


LiUtrariacker  Bericht  V, 


Litterarischer  Bericht 

V. 


Methode  und  Principien. 

D!e  Mathematik  als  Lehrgegenstand  des  Gymnasiums.  Eine 
p&dagögische Untersuchung  von  Joh.  Karl  Becker,  Professor  der 
Mathematik  am  Gymnasium  zu  Bruchsal.  Berlin  1883.  Weidmann. 
99  S. 

YoB  J.  E.  Becker  sind  in  den  litt  Ber.  244.  247.  251.  256  bisher 
5  Schriften  besprochen  worden ,  deren  erste  bei  systematischer  Aus- 
ftthmng  die  Darstelinng  didaktischer  Grundsätze  bezweckt,  w&hrend 
die  4  ^rigen  fttr  den  Schulgebraach  bestimmt  sind.  Diese  Schriften 
zeichnen  sich  (abgesehen  von  ihrem  eigenen  Werte)  unter  andern 
raathoDatischen  Schulbüchern  und  didaktischen  Schriften  dadurch 
aus,  dass  sich  in  ihnen  mehr  als  gewöhnlich  die  Idee  einer  Yervoll- 
kommttng  dier  Methode  durch  Austrag  der  differirenden  Grundsätze 
kund  gibt,  während  andere  den  allgemeinen  Standpunkt  der  Methode 
als  einen  bleibend  unfertigen  unberührt  lassen  und  jedes  für  sich  nur 
nach  den  Ansichten  des  Verfassers  und  nach  den  Bedürfnissen  der 
einseinen  Unterrichtsanstalten  die  beste  Wahl  zu  treffen  sucht.  Offen- 
bar bietet  eine  Erscheinung  vom  erstem  Charakter,  sofern  sie  die 
Fortbildung  der  Methode  zu  einer  gemeinsamen  Arbeit  aller  Päda- 
gogen macht  und  einen  dauernden  Erfolg  für  die  Zukunft  anbahnt, 
dem  Interesse  der  Fachgenossen  mehr  dar  als  eine  solche  letzterer 
Art,  die  im  ziellosen  Wechsel  nur  eine  auf  ihren  Kreis  und  ihre  Zeit 
beschränkte  Stellung  behauptet  Was  man  jedoch  in  andern  Dingen 
von  einem  Autor,  dem  der  bewusste  stetige  Fortschritt  am  Herzen 
liegt,  zu  erwarten  pflegt,  die  Berücksichtigung  der  bisherigen  Lei- 
stungen und  Anknüpfting  an  dieselben,  war  im  vorliegenden  Falle 

Aieh.  a.  Xfttli.  n.  Pkyi.  2.  Beihe.  Teil  n.   HaA  I.  1 


2  Litterarißcher  Bericht  V. 

nicht  wol  ausführbar;  der  Grand  findet  sich  auch  im  4.  Abschnitt 
der  gegenwärtigen  Schrift  einmal  kurz  ausgesprochen.  Ein  systema- 
tisch ausgearbeiteter  Entwurf  war  vor  allem  notwendig;  einen  solchen 
fand  der  Ver£Etöser  nicht  vor;  es  blieb  ihm  daher  nur  fibrig  selbst 
einen  Entwurf  aufzustellen,  und  als  solcher  lassen  sich  seine  Schriften 
betrachten,  lieber  diejenigen  Punkte,  in  welchen  derselbe  teils  vom 
Gewöhnlichen  abweicht,  teils  über  bestehende  Differenzen  entschied,  hat 
sich  der  Verfasser  ausgesprochen  und  den  Fachgenossen  Gelegenheit 
geboten  an  seinen  Aufstellungen  Kritik  zu  üben.  Letzteres  ist  von 
mehreren  Seiten  geschehen.  Eine  Beantwortung  der  erfahren^i  Beur- 
teilungen ist  bereits  in  der  Programmarbeit  des  Yerteissers  enthalten: 
Zur  Reform  des  geometrischen  Unterrichts,  Beilage  zum  Jahresbericht 
des  Grossherzoglichen  Gymnasiums  zu  Wertheim  für  das  Schnljahr 
1879 — 1880.  Diese  Arbeit  erscheint  jetzt  nochmals  als  Anhang  znr 
gegenwärtigen  „pädagogischen  Untersuchung^^  Der  G^enstand  letz- 
terer ist  die,  aus  einer  Yorbetrachtung  über  die  Stellung  und  den 
dieselbe  begründenden  Wert  des  mathematischen  Unterrichts  an  Gym- 
nasien sich  ergebende  Frage:  Welche  Stellung  hat  unter  den  Lehr- 
fächern des  Gymnasiums  speciell  die  Mathematik  einzunehmen,  wenn 
dieses  seinen  Zweck  vollkommen  erreichen  soll,  ohne  die  Scfafller 
mehr  als  nötig  zu  belasten?  Sie  wird  in  2  Fragen  geteilt:  1)  Wa- 
chen Gewinn  für  die  formale  Bildung  zieht  man  aus  dem  Unterrichte 
in  der  Mathematik  speciell,  und  inwieweit  ist  gerade  die  Mathematik 
zur  Erzielung  dieses  Gewinnes  unerlässlich  oder  wenigstens  zweck- 
mässiger als  andere  Disciplinen?  2)  Welchen  realen  Gewinn  Ar  die 
Bildung  ziehen  wir  aus  dem  Studium  der  Mathematik,  nnd  wieriel 
ist  von  dem  mathematischen  Wissen  nnd  Können  nneriisslicli,  wenn 
wir  in  dem  Verständniss  unsrer  gegenwärtigen  Gnltnr  nicht  emp^nd- 
liche  Lücken  haben  wollen?  Die  Beantwortung  führt  anf  die  wdtern 
Fragen:  3)  Welche  Disciplinen  der  Mathematik  erweisen  sich  als 
unerlässlich  oder  wenigstens  als  zweckmässig  für  den  Lehiplan  des 
Gymnasiums;  und  in  welcher  Ausdehnung  müssen  sie  gelelut  wer- 
den? 4)  In  welcher  Methode  müssen  diese  einzelnen  matbematiachen 
Disciplinen  gelehrt  werden,  damit  a)  der  Gewinn  f&r  die  formale 
Bildung  ein  grösstmöglicher,  b)  der  Gewinn  an  notwendigem  mathe- 
matischem Wissen  und  Können  ausreichend  nnd  fest  sei,  c)  die  Be- 
lastung der  Schüler  durch  diese  Disciplinen  im  richtigen  Yerbfiltnisse 
dtehe  zu  dem  erzielten  Gewinne?  Und  vne  sind  diese  Disciplinen  aif 
die  einzelnen  Classen  zu  verteilen?  —  Der  formale  Gewinn  bestellt 
darin,  1)  dass  der  Schüler  lernt,  die  Dinge  selbst,  nicht  blosse  Be- 
griffe, richtig  wahrzunehmen,  zu  vergleichen,  zu  unterscheiden  und  n 
ordnen;  selbst  Begriffe  auf  ihre  Realität  zu  prüfen;  2)  dass  er  be- 
obachten lernt,  was  um  ihn  vorgeht,  und  befähigt  wird  sdbst&ndig 
aus  beobachteten  Einzelfällen   allgemeine  Regeln  zn  abstrahiren  and 


IMteraruckgr  Bericht  V.  5 

andre,  welche  ihm  mitgeteilt  werden,  anf  ihre  Richtigkeit  za  prüfen ; 
3)  dass  er  nachdenken  lernt  Diese  Fähigkeiten,  die  für  das  Stn- 
dinm  der  Naturwissenschaften  direct  notwendig  sind,  ergänzen  auch, 
abgesehen  Ton  der  Bedeutung  der  Mathematik  als  Hilfswissenschaft, 
wesentlich  die  allgemeine  Bildung.  Mehr  als  die  Arithmetik  ist  die 
Geometrie  geeignet  sie  zu  entwickeln,  und  in  dieser  mehr  die  Auf- 
gaben als  die  Beweise  förderlich  fftr  das  Nachdenken.  Der  reale 
Gewinn  vom  mathematischen  Unterrichte  auf  gegenwärtigem  Stand- 
punkte ist  nach  Ansicht  des  Verfassers ,  abgesehen  von  einigen  Be- 
mÜBarten,  gering,  wttrde  sogar  noch  geringer  werden,  wenn  man, 
wie  einige  wollen ,  die  Steiner'sche  projectivische  Geometrie  an  die 
Stelle  der  Euklid'schen  setzte.  Die  Frage,  ob  er  sich  erhöhen  Hesse, 
ffthrt  auf  den  vierten  zu  eröitemden  Punkt.  Die  dritte  Frage  wird 
durch  wenig  mehr  als  Au^hlung  der  zweckmässigen  Disciplinen  er- 
ledigt Bevor  noch  der  formale  Gesichtspunkt  zur  Geltung  gebracht 
ist,  hat  der  reale,  rflcksichüich  der  elementaren  Physik,  £rd-  und 
Himmelskunde,  denen  der  Verfasser  noch  das  Versicherungswesen 
hinzufügt,  bereits  ziemlich  so  viel  gefordert,  als  der  gewöhnliche  Gym- 
nasialcursus  enthält.  Eine  mögliche  Beschränkung  ergibt  sich  also 
nicht.  Die  vierte  Frage  betreffend  die  Methode  gibt  Anlass  zu  priu- 
cipiellen  Erörterungen,  welche  zugleich  als  Rechtfertigung  des  Ver- 
fahrens in  den  Lehrbflchem  des  Verfassers  dienen.  In  Betreff  der 
Arithmetik  wird  zuerst  erinnert,  dass  die  algebraischen  Operationen 
mit  aligemeinen  Zahlen  nicht  als  Auswertungen,  sondern  als  Trans- 
formationen mit  reciproker  Anwendung  aufzufassen  sind,  und  dass  in 
diesem  Punkte  selbst  die  Einteilung  der  Aufgaben  nicht  zur  falschen 
Ansicht  verleiten  soliie.  Gegen  diese  Lehre  ist  von  keiner  Seite  ein 
Einwand  erhoben  worden;  in  so  vielen  Lehrbtichern  sie  auch  unbe- 
achtet bleibt,  so  scheint  doch  niemand  die  entgegenstehende  alte  Ge- 
wohnheit verteidigen  zu  wollen.  Der  zweite  Punkt  betrifft  die  suc- 
cessive  Erweiterung  des  Zahlbegriffs.  Die  sich  derselben  anschliessende 
Methode,  welche  nach  Th.  Wittstein's  schematischer  Aufstellung  von 
den  meisten  Lehrbflchern  dem  Grundgedanken  nach  adoptirt  ist,  und 
die  wir  für  die  einzig  richtige  halten,  wird  hier  ohne  ein  Wort  der 
Rechtfertigung  vorausgesetzt.  Ihr  zufolge  werden,  wie  es  nicht  an- 
ders sein  kann,  die  Operationen  zuerst  an  positiven  ganzen  Zahlen 
erklärt  und  behandelt.  In  Bezug  auf  die  Reihenfolge  der  Erweite- 
rungen pflegt  man  sich  nicht  an  das  Schema  der  Operationen  zu 
binden.  Nach  dem  Schema  wtlrden  die  Negativen  vor  den  Brüchen 
einzufahren  sein,  weil  die  Division  später  als  die  Subtraction  gelehrt 
wird.  Es  empfiehlt  sich  aber  die  Negativen  später  einzuführen,  wo- 
durch ein  vexirender  mehrmaliger  Wechsel  der  Anschauung  vermieden 
wird.  Der  Verfasser  sagt  hier  davon,  man  müsse  die  Abstraction 
nicht  weiter  treiben,   als  unbedingt   notwendig  ist,   und  die  Begriffe 


4  Lüterarüeher  Btriehi   V, 

erst  dann  erweitern,  wenn  der  Lehrstoff  diese  Erweitorang  veirlait^  — 
mit  der  ganz  unbegreiflichen,  durch  nichts  motivirten  Aeoasenug,  er 
könne  dämm  von  der  ihm  vom  Ref.  des  Archivs  „über  diesen  Pukt^ 
erteilten  Belehrung  keinen  Gebrauch  machen.    Das  Beferat  über  B. 
Lehrbuch  der  Arithmetik  stdht  im  244.  litt  ßer.  8.  41—44.    Dtra 
ist  gegen  das  Obige  nichts  erinnert  worden;  welche  Belehrang  der 
Verfasser  meint,  ist  schlechthin  nicht  zu  erraten.     Dagegen  ver- 
schweigt er  die  darin  erfahrene  Misbilligung  seines  Verfahrens  in 
andrer  Hinsicht,  dass  er  nämlich  den  Be^iff  der  Neg^ven,  der  im 
Vorhergehenden  bereits  angebahnt  war,  davon  abspringend  auf  eine 
neue  Basis,  auf  die  der  entgegengesetzten  Qualitäten  stellt,  wodardi 
der  Schüler,   der  die  Identität  nicht  durchschauen  kann,   uandtiger- 
weiso  in  eine  Complication  zweier  anscheinend  verschiedener  Begrife 
geftlhrt  wird  —  unnötigerweise,  denn  wenn  er  den  Begriff  der  ü^a- 
tiven  durch  entgegengesetzte  Qualitäten  verdeutlichen  woUte,  so  stand 
dem  nichts  entgegen,  nachdem  der  Begriff  aus  der  Transformation  voa 
a—b  in   —b^a   abgeleitet  war.    Dass  er  den  nicht  iuiwichtige& 
Punkt  der  Definition  der  Negativen  hier  gar  nicht  erw&hnt,  lint 
vermuten,  dass  er  sein  Verfahren,  welches  statt  des  allgomeiiiea  und 
gleichmässigeu  Begrifiis  dneu  speciellen  und  von  Umständen  abhän- 
gigen gibt,  nicht  verteidigen  will  oder  wenigstens  keinen  Wert  darauf 
legt    Es  folgt  die  Besprechung  einiger  unbedeutenden  Punkte,     Ißt 
Recht  wird  die  Forderung  abgewiesen,  die  Multiplication  oaeh  sogea. 
neuer  Methode  zu  lehren,  d.  h.  Rechnungsvorteile  in  die  Erklänng 
einzumischen,   was  auf  ein  mechanisches  Einttben  mit  Vernachlässi- 
gung des  Verständnisses  hinauskommt    Wichtige  ist  die   nachher 
besprochene  Frage  nach  dem  Begriff  der  MultiplicatioB  mit  BMchea. 
Der  Verfasser  verteidigt  die   längst  als  falsch  verurteilte  Definition: 
„a  mit  b  multiplidren  heisst  aus  der  Zahl  a  ebenso  eine  neue  Zahl 
bilden,  wie  b  aus  der  positiven  Einheit  gebildet  wird'^    Er  sagjL:  «ia 
Schüler  auf  dieser  Stufe  könne  sie  nur  so  verstehen,  wie  sie  geneiat 
sei.    Das  heisst  doch,   er  kann  sie  entweder  gar  nicht  oder  so  ver- 
stehen,  und  in  der  Tat  ist  es  ihm  durch  die  Andeutung  leicht  ge- 
macht die  Begriffsbildung  ganz  zu  unterlassen;  denn  wenn  selbst  der 
Lehrer  nicht  direct  zu  sagen  weiss,   wie  die  „neue  Zahl*'  su  biUea 
sei,  so  wird  der  Schaler  nicht  klüger  sein  wollen ;  letzterem  wird  die 
Schwierigkeit  zugeschoben,  über  welche  ersterer  nicht  hinwegkemraea 
kann.     Beifügungen  zu  dem  rätselhaften  „wie'',  die   der  Verlasser 
vorschlägt,   „direct''^   oder  „unmittelbar"  würden  dem  Mangel  nidit 
abhelfen;   denn  es  handelt  sich  überhaupt  um  Verstehen,   aid^t  um 
Vermeidung  eines  Misverständnisses.    Weiter  sagt  d&t  Verfssser,  er 
kenne  nur  2  präcise  Definitionen,  und  diese  seien  für  Ob^ttfüaaer 
nicht  fasslich.    Auch  lässt  er  zu ,  dass  man  auf  eine  Definition  ver- 
zichte.   Da  ihm  keine  der  angeführten  Auskünfte  annehmbar 


LitUranscher  Berieki  F.  5 

SO  wird  «6  wol  dem  Ref.  gestattet  sein,  an  das  nächstliegende  Ver- 
fahren zu  erinnern,  welches  Becker  gar  nicht  in  Betrachtang  zieht. 
Ist  die  Definition  der  Multiplication  mit  ganzen  positivem  Zahlen 
mB  «-  B-f-i^+^+  •  ••  laicht  auch  fttr  Brüche  ausreichend?  In  der 
Tat  hedarf  es  nur  zur  Anwendung  der  Zuziehung  vorherbekannter 
Sätze,  an  welche  die  Schüler  mit  Nutzen  erinnert  werden,  und  die 
auch  Ar  den  erweiterten  Begriff  unentbehrlich  sind:   1)  Der  Multi- 

oi 

n 
nennung  ist  gleichbedeutend  mit  der  in  Einheiten,  deren  n  die  ur- 

B 

sprttngliche  Einheit  geben,  gezählten  Zahl  m.    Da  nun  -    das  Zei- 


plicand  B  ist  beliebig  benannt.    2)  Der  Bruch  -  mit  beliebiger  Be- 


chen  für  eine  Zahl  ist,  deren  n  die  Einheit  B  geben,  so  ist  -B  nach 
gewöhnlichem  Begriff  dasselbe  als  m,—.     Eine  neue   Definition  ist 

7t 

demnach  ganz  überflüssig;  es  bedarf  nur  einer  Erläuterung,  damit 
das  Bekannte  richtig  angewandt  wird;  eine  solche  würde  aber  nach 
jeder  der  genannten  Definitionen  ohnehin  nötig  sein,  und  letztere 
würden  die  Orientirong  eher  erschweren.  Auch  für  die  Multiplication 
der  Irrationalen  ist  keine  neue  Definition,  sondern  nur  Anleitung  zum 
richtigen  Gebrauch  des  Bekannten  erforderlich.  Zum  Bekannten 
darf  man  wol  rechnen  die  Darstellung  der  Irrationalen  durch  Deci- 
malbmch  bis  zum  beliebigen  Grad  der  Genauigkeit,  d.  h.  den  Begriff 
der  unendlich  kleinen  Differenz.  Determinanten  in  Anwendung  auf 
die  elementare  Behandlung  der  Gleichungen  einzuführen  verwirft  der 
Verfasser,  und  dem  wird  man  gewiss  gern  beistimmen,  wenn  man  die 
detaillirte  Ausführung  vor  Augen  hat  So  einfach  die  Determinanten- 
theorie auf  allgemeiner  Basis  ist,  so  complicirt  und  unerquicklich  ge- 
staltet sie  sich,  wenn  man  vom  Spociellen  aufsteigen  will.  Soll  sie 
überhaupt  auf  Schulen  gelehrt  werden,  so  gehört  sie  ihrer  Natur 
nach  zur  Combinatorik,  mithin  in  die  höhere  Classe.  Die  übrige 
Mitteilung  des  Lehrgangs,  mag  sie  auch  ganz  wesentlich  für  die  be- 
treffende Frage  sein,  können  wir  hier  nicht  wiedergeben.  Gründe 
sind  zwar  für  jede  Wahl  ausgesprochen;  doch  erscheinen  dieselben 
nicht  als  entscheidend,  solange  der  beliebten  Methode  keine  andern 
gegenübergestellt  werden,  und  dazu  hätte  der  Aufsatz  weit  länger 
sein  müssen. 

In  Betreff  der  Geometrie  nehmen  wir  zu  dem  Wenigen,  was 
dieses  Capitel  enthält,  sogleich  die  Programmarbeit  hinzu,  welche  die 
dazu  gehörigen  Fragen  ausführlicher  bespricht.  Die  erste  Frage  ist 
nach  der  Ursache,  warum  die  Schüler  so  ungleiche  Fortschritte  in  der 
Mathematik  machen.    Der  Verfasser  ist  sehr  schnell  mit  der  Antwort 


6  LüUrturiseker  Bericht  F. 

fertig :  wenn  wir  nicht  annehmen  sollen,  dass  znm  Lernen  der  Mathe- 
matik eine  besondere,  seltene  Begabung  gehört  (dass  würde  heissen 
auf  alle  Erklärung  verzichten),  so  kann  nar  die  Lehrmethode  sclrald 
sein.  Er  hält  also  den  erstem  Fall,  dass  in  einer  Eigent&mUchkdt 
der  Mathematik  ein  wesentlicher  Grund  liegt,  gar  nicht  der  Betrach- 
tung für  wert,  sondern  lässt  ihn  beiseite,  weil  sein  Extrem  gewiss 
von  niemandem  behauptet  wird.  Dass  freilich  nur  besonders  b^abte 
Schaler  fähig  sind  Mathematik  zu  lernen,  scheint  nicht  wol  glaub- 
lich. Ob  aber  eine  gewisse  natürliche  Geistesrichtung  und  Neigung, 
wenn  auch  nicht  vorausgesetzt  werden  muss,  so  doch  das  Lauen 
sehr  erleichtert,  ist  dadurch  nicht  entschieden,  und  nmsomehr  wert 
zu  untersuchen,  weil  daraus  wesentliche  Gesichtspunkte  für  die  Me- 
thode entspringen.  Wir  dürfen  die  Frage  nicht  übergehen:  Was 
fordert  die  Mathematik  vom  Lernenden  verschieden  von  andern 
Disciplinen?  Es  lassen  sich  sogleich  3  Dinge  nennen:  1)  Das  Ver- 
weilen im  engsten  Ideenkreise ;  denn  wer  im  Elleinen  am  Unterscliied- 
liehen  achtlos  vorbeigeht,  wird  im  Grossen  kein  Auge  dafür  haben. 
2)  Die  absolute  (vom  Gemüt  unabhängige)  Gerechtigkeitsliobe  und 
Unparteilichkeit,  welche  sich  beim  Zuviel  sowenig  beruhigt  als  beim 
Zuwenig.  3)  Der  Ordnungssinn,  der  Gesetze  entdeckt.  In  dieaea 
Punkten  zeigen  die  Kinder  schon  im  frühen  Alter  verschiedene,  bis- 
weilen entgegengesetzte  Neigung;  offenbar  werden  diejenigen,  der&i 
Triebe  den  3  Forderungen  entsprechen,  einen  grossen  Vorsprang  in 
der  Mathematik  haben.  Hieraus  erklären  sich  hinreichend  die  un- 
gleichen Fortschritte.  Becker  erwähnt  als  specifische  Eigenschaft 
der  Mathematik  nur  die,  dass  sie  abstracto  Gegenstände  habe.  Ge- 
rade diese  Aussage  aber,  sooft  man  sie  auch  hört,  ist  unzutreffend, 
und  vermutlich  der  Ausdruck  fehlgegriffen;  es  ist  eben  ein  unüber- 
legtes, vom  Gefühl  eingegebenes  Urteil.  Abstracto  Gegenstände  haben 
alle  Disciplinen  ausser  etwa  der  Geographie  und  Natui^geschidite. 
Mag  vielleicht  damit  gemeint  sein,  dass  die  Gegenstände  mora- 
lisch indifferent  sind  und  dem  Leben  fem  stehen;  doch  auch  dies 
fällt  nur  darum  auf,  weil  eben  solche  eine  so  minutiöse  Sorgfalt  be- 
anspruchen. 

Ist  es  nun  Sache  des  Unterrichts  auch  diejenigen  Schtkler,  wdche 
die  günstige  Neigung  nicht  mitbringen,  für  Mathematik  zu  beflüiig^, 
so  ist  es  jedenfalls  unerlässlich ,  dass  derselbe  die  genannten  For- 
derungen selbst  erfüllt  Davon  abweichen  zu  wollen  ist  wol  aoch 
seit  Euklid  niemandem  in  den  Sinn  gekommen,  bis  die  Beform- 
bestrebungen  an  die  Oeffentlichkeit  traten,  in  denen  namentlich  die 
erste  Forderung  vielfach  ausser  Augen  gesetzt  ward.  Da  auch  die 
gegenwärtige  Schrift  von  der  Beform  des  mathematischen  Unterrichts 
handelt,  so  wird  das  Vorstehende  darauf  anzuwenden  sein.    Neont 


LitUranaehtr  Bericht  F.  7 

man  wie  gewöhnlich  die  vor  dem  Reformzeitalter  herrschende  Me- 
thode die  Euklidische,   so  müsste  es  doch  die  nächste  Anfgahe  für 
eine  Schrift  zugunsten  der  Reform  sein,  diese  Euklidische  Methode 
soweit  zu  charakterisiren,  dass  man  daraus  erkennt,  was  daran  hesse- 
rungshedttrftig  sei.    Dass  dies  bisher  alle  solche  Schriften  unterlassen 
haben,  darauf  deutet  die  Angabe  der  gegenwärtigen  hin,  welche  als 
hauptsächliche  YorwQrfe,  die  man  jener  Methode  gemacht  hat,  die 
unklarst  möglichen  Aufstellungen  anfährt    Der  erste  lautet:  Sie  gibt 
kein  „innerlich"  zusammenhangendes  Ganze,  sondern  eine  Fülle  von 
Sätzen,  die  nur  dadurch  „äusserlich^'  verbunden  sind,  dass  der  Be- 
weis für  die  Richtigkeit  eines  solchen  Satzes   die  Anerkennung  des 
fnUieren  vorausgesetzt.   Ist  diese  Verkettung  der  Sätze  durch  die  Be- 
weise kein  innerer  Zusammenhang,  und  kann  man  einer  beliebigen  Menge 
von  Sätzen  änsserlich  einen  solchen  verleihen?  Sollte  die  Aeusserung 
irgend  einen  verntlnftigen  Gedanken  bergen,  so  müsste  man  doch  den 
Denker  bitten   sich  verständlich  auszudrücken.    Der  zweite  Vorwurf 
lautet:  Sie  gibt  überall  nur  Erkenntnissgründe,  wo  mau  Realgründe 
sucht;    d.  h.  es  wird  immer  nur  gezeigt,  „dass"  ein  Lehrsatz  richtig 
ist,  während   man  nirgends  Einsicht  in  den  innern  Zusammenhang 
(schon  oben  gesagt!)   der  in  den  einzelneu  Sätzen   ausgesprochenen 
Eigenschaften  der  Figuren   erhält,   durch   die   uns    erst   klar  wird, 
„warum"  er  richtig  ist.    Was   mit  Erkenntniss-  und  Realgrund  ge- 
meint sei,  bedurfte  freilich  einer  Erläuterung.    Soll  aber  die  beige- 
fügte den  Sinn  geben,  so  wird  man  erst  rocht   in  die  Irre  geführt. 
Jeder  Beweis  gibt  doch  zunächst  das  Warum  und  erst  dadurch  ver- 
mittelt die  Gewissheit,   dass  der  Satz  richtig  ist.     Beide  Vorwürfe, 
sowie  sie  ausgesprochen  werden,  sind  also  nichtig,  das  Vermisste  ist 
vorhanden,  es  abzuleugnen  wird  nicht  gelingen.  Man  wird  nicht  fehl- 
gehen,  wenn   man   die    ganze  Unklarheit   des  Ausdrucks   aus    dem 
Wunsche  der  Verbesserer  herleitet,  mehr  zu  sagen  als  sie  aufweisen 
können.    Dass  manche  Beweise  nicht  einfach  genug  sind,  dass  es  an 
systematischer  Ordnung  gefehlt  hat,  und  dass  durch  diese  sowol  wie 
durch  mancherlei  Beziehungen  die  Uebersicht  gefördert  werden  könnte, 
sind  Vorwürfe,  die  man  versteht,  nur  geht  daraus  keine  eigentliche 
Reformfrage  hervor;  denn  Jeder  vollzieht  die  Besserung  selbst   Hier- 
zu anzutreiben  beabsichtigte  man  nicht,  man  wollte  das  Alte  von 
Grund  aus  verwerfen,   hatte  aber  nichts  ihm  gegenüberzustellen  und 
müsste  daher  zu  einem  so  kläglichen  Appell  an  die  Sympathie  der 
Menge  seine  Zuflucht  nehmen.    Der  Verfasser  lässt  uns  ungewiss,  ob 
die  von  ihm  angeführten  2  Vorwürfe  zugleich  seine  eigenen    sind; 
wollte  er  sie  aber  nicht  vertreten,  so  durfte  man  wol  eine  Klarstel- 
lung oder  Abweisung  von  ihm  erwarten.    Als  Ersatz  dafür  weist  er 
nun  auf  das  Vorbild  der  Steiner'schen  Methode  hin,  welche  das  ganze 
Gebiet  der  elementaren  Sätze  mit  einem  Blicke  überschauen  lehrt. 


8  LiUermnMdi»  BmtM  V. 

Wenn  eine  solche  Leistung  fttr  die  projecümche  Geometrie  mOgUcli  Mi, 
so  dürfe  man  nicht  daran  verzweifeln  ein  gleiches  aacfa  ftr  die  An- 
fänge der  Geometrie  za  erreichen.  Damit  also  deutet  der  Yerfiuaer, 
ohne  den  Euklidischen  Standpunkt  charakterisirt  zu  haben,  an,  dasa 
sich  doch  ein  höherer  Standpunkt  der  Methode  denken  lasse.  Dock 
in  diesem  Gedanken  liegt  von  vom  herein  ein  Widersprach.  Nehmen 
wir  an,  wie  in  der  Tat  manche  Lehrer  aussagen,  nach  Steiner'sdiem 
Vorbild  die  Anfänger  mit  bestem  Elrfolge  unterrichtet  zu  haben ,  die 
Schüler  seien  wirklich  ohne  Mühe  .zu  einem  so  amfassendea  lieber- 
blick  gelangt;  dann  werden  sie  vergleichsweise  in  der  Lage  dessen 
sein,  der  zum  erstenmal  einen  Fabrikranm  betritt  und  das  ganze  Ge* 
triebe  von  einem  Punkte  aus  überschaut,  der  aber,  wenn  er  mit  Ar- 
beit und  Maschinen  nicht  vorher  im  einzelnen  bekannt  geworden  ist, 
keine  Ahnung  davon  hat,  was  alles  bedeutet.  Sie  werden  unter  den 
vielen  Beziehungen  die  wesentlichen  und  notwendigen  Biciit  natsr- 
scheiden  können,  manches  zur  Anwendung  erforderliche  wol  gar  üeht 
kennen  lernen.  Eben  dieses  Notwendige  und  zwar  dieses  aliein  gibt 
die  Euklidische  Methode  und  erfüllt  damit  die  erste  Fordening,  die 
des  Yerweilens  im  engen  Ideenkreise.  Es  ist  ein  Widersprndi,  mit 
dieser  Forderung  das  Streben,  gleich  anfangs  den  Blick  zu  erw eitera, 
verbinden  zu  wollen;  eins  arbeitet  dem  andern  entgegen. 

Sehr  oft  lässt  sich  die  Meinung  vernehmen,  das  Festhalten  an 
der  Euklidischen  Methode  beruhe  allein  auf  dem  alten  Herkommfia. 
Nun  sind  aber  nach  Becker's  Rechnung  die  Reformgedankan  bereits 
70  Jahre  lang  tätig.  Wie  geht  es  dann  zu,  dass  noch  keine  wesent- 
lich abweichende  Bearbeitung  entschiedene  Anerkennung  gefnadea 
hat?  Obgleich  längst  widerlegt,  ist  es  immer  von  neuam  das  geoaanle 
Vorurteil,  wodurch  sich  die  Reform  meistens  einzufahren  sacht  Jede 
fängt  von  neuem  mit  derselben  Lästerung  an  und  schliesst  mit  dem* 
selben  Miserfolg.  Die  Reform  würde  auf  einem  weit  klarerom  Boden 
stehen  und  mehr  Achtung  gewinnen,  wenn  sie  mit  der  Frage  be- 
gönne: Welche  Eigenschaften  der  Euklidischen  Methode  massea 
festgehalten  werden,  damit  der  mathematische  Unterricht  aeiaea 
Zw^eck  nicht  verfehle?  Per  Verfasser  legt  sich  diese  Frage  nicht  vor, 
ist  vielmehr  gleich  von  Anfang  und  im  allgemeinen  und  ganzen 
Euklid  eingenommen,  zei^gt  sich  aber  offen  für  die  Lehren 
eigenen  Erfahrung,  welche  ihn  doch  Punkt  für  Punkt  dem  Euklid 
näher  führen.  Er  verteidigt  die  Darstellungsfoinn,  welche  den  Lehr- 
satz zu  Anfang  stellt  und  den  Beweis  folgen  lässt,  und  gesteht^  daas 
ihn  die  Uebereinstimmung  in  diesem  Punkte  günstiger  filr  EoUid 
gestimmt  habe.  Diese  Form  ist  doch  also  schon  eine  Eigenschaft 
der  Methode,  von  der  wir  nicht  abgehen  düiien.  Auch  ist  dies  nicht 
die  einzige  Concession :  auch  seine  Erklärung,  dasa  die  projectiviaehe 


Litterariaeher  Bericht  V,  9 

Oeometrie  nicbt  an  die  Stelle  der  Euklidischen  za  setzen  ist,  zeigt 
indirect,  das  letztere  manches  besitzt,  was  wir  nicht  ohne  weiteres 
fallen  lassen  können.  Ein  Pnnkt,  nnd  zwar  ein  wichtiger,  ist  da- 
gegen im  Programm  nicht  berührt,  steht  aber  in  Beziehung  zu  einer 
Stelle  in  der  gegenwärtigen  Schrift.  Diese  empfiehlt,  den  streng 
wissenschaftlichen  geometrischen  Unterricht  erst  in  Obertertia  zu  be- 
ginnen und  ihm  in  Quarta  und  Untertertia  einen  propädeutischen 
Unterricht  vorhergehen  zu  lassen,  der  sich,  um  es  kurz  zu  sagen,  auf 
äussere  Beobachtung  beschränkt,  die  dabei  bemerkten  Eigenschaften 
der  Figuren  nicht  beweist.  Ob  dieses  Vorgehen  zu  einem  guten  Ziele 
führt;  mnss  erst  die  Erfahrung  zeigen.  Hier  ist  es  jedenfalls  sehr 
einseitig  erwogen,  indem  bloss  in  Betracht  gezogen  wird,  dass  ab- 
straete  Gegenstände  leichter  von  altern  Schülern  gefasst  werden, 
leitende  Gesichtspunkte  gar  nicht  aufgestellt  sind,  ein  Lehrbuch  un- 
nötig sein  soll,  weil  ja  der  nachherige  strenge  Cursus  alles  mangelnde 
ergänze.  Was  dabei  ausser  Acht  gelassen  ist,  liegt  nahe  genug. 
Werden  die  Schüler  leichter  über  den  Berg  hinwegkommen,  nachdem 
sie  zwei  Jahre  lang  vor  demselben  Halt  gemacht  haben?  Worden 
sie,  nachdem  sie  bereits  eine  Menge  geometrischer  Gegenstände  ken- 
nen gelernt  und  sich  oberflächliche  Begriflfe  angeeignet  haben,  ge- 
neigter und  föbiger  sein,  noch  einmal  Winkel,  Dreieck  u.  s.  w.  rück- 
sichtlich logischer  Beziehungen  anzusehen,  ohne  dass  ein  wirklicher 
realer  Zuwachs  an  Kenntnissen  die  Mühe  lohnt?  Keinem  Lehrer 
kann  wol  die  Bemerkung  entgehen,  dass  Schüler  in  den  ersten  Jahren 
des  Unterrichts  jeden  neuen  Lehrgegenstand  ohne  Unterschied  was 
ihnen  geboten  wird  mit  gleicher  Spannung  aufnehmen.  Wird  diese 
2^it  mit  Verweilen  bei  den  einfachsten  Figuren  benutzt  um  sie  mit 
dem  zur  Folgerung  notwendigen  Beziehungen  vertraut  zu  machen,  so 
wird  man  keinem  ÜV  iderwilleti  begegnen.  Später  werden  sie  wähle- 
rischer, der  Gegenstand  scheint  ihnen  zu  armselig;  da  ist  die  zum 
präcisen  Znwerkegehen  erforderliche  Geduld  für  sie  eine  schwere 
Aufgabe.  Diese  wird  schon  an  sich  um  so  abschreckender,  je  weiter 
sie  ohne  Präcision  fortgeschritten  waren;  nun  kommt  aber  noch  die 
Znmutnng  hinzu,  dass  sie  beim  Beweis  nicht  allein  die  vorhergehcn- 
don  Sätze  wissen,  sondern  dieselbe  auch  von  den  aus  dem  propädeu- 
tischen Unterricht  bekannten  Sätzen  unterscheiden  sollen,  die  hier 
keine  Creltung  haben.  Wenn  der  Verfasser  eine  Methode  des  pro- 
pädeutischen Unterrichts  kennt,  welche  von  allen  diesen  Nachteilen 
frei  ist,  so  wird  er  ein  neues  Problem  lösen,  indem  er  davon  Kechen- 
schaft  und  dazu  Anleitung  gibt.  Bis  jetzt  hat  man  die  Nachteile  nur 
doreh  äuss^ste  Beschränkung  des  Umfangs  so  gut  als  möglich  zu 
verringern  gesucht. 

Die  Sohiiffc  wendet  sieb  nun  zu  den  Recennonen  der  citirten 


10  LiUerarUcher  Berickt  V, 

Bücher  des  Verfassers.  Die  in  diesem  Archiv  enthaltenen  sind  ziem- 
lich reichlich  bedacht  worden.  Die  Hanptstellen  sind  in  ext^iso 
mitgeteilt,  und  die  Antwort  darauf  abergeht  keinen  Punkt  mit  Still- 
schweigen. Gleichwol  ist  die  Behandlang  der  Fragen  nicht  der  Art, 
dass  sie  dem  Aufwand  entsprechend  den  Zweck  fördern  könnte;  sie 
ist  mehr  darauf  gerichtet  durch  dialektische  Kunstgriffe  die  Ent- 
scheidung hinauszuschieben  und  für  diesmal  noch  dem  Urteil  zu  ent- 
gehen als  die  Sache  zu  klären.  Die  erste  Antwort  beginnt  mit  einem 
persönlichen  Ausfall  gegen  den  Recensenten,  indem  sie  demselben 
ein  Dogma  von  vermeintlich  unfehlbarer  Wahrheit  zuschreibt  —  wol 
nur  um  dem  zuvorzukommen ,  dass  man  vom  Verfasser  ein  gleiches 
sage.  Es  handelte  sich  um  die  Bedeutung  der  Axiome  der  Geome- 
trie. Der  Verf.  erklärt  sie  für  unmittelbar  einleuchtende  Sätze;  hat 
aber  an  einer  Stelle  geäussert,  dass  man  bei  oberflächlicher  Be- 
trachtung für  einleuchtend  halten  könne,  was  nicht  einmal  wahr  sei. 
Der  Ref.  glaubt  nicht  an  die  UntrQglichkeit  jener  Divination,  welche 
ohne  bcwussten,  angebbaron  Grund  Urteile  als  sicher  aufstellt,  and 
hat  nach  Hinweis  auf  des  Verf.'s  eigene  Mahnung  zur  Vorsicht  aa 
einem  weitem  Beispiel  aus  dessen  Lehrbuch  (Axiom  III.)  ge^igt, 
welcher  Täuschung  eine  solche  Divination  ausgesetzt  ist  Kann  man 
hier  von  einem  Dogma  reden,  so  ist  es  nicht  vom  Ref.,  sondern  vom 
Verf.  aufgestellt  und  ohne  Widerlegung  des  Entgegenstehenden  fest- 
gehalten worden-,  der  Zweifel  daran  kann  doch  kein  Dogma  sdn. 
Jetzt  verkehrt  der  Verf.  zur  Verteidigung  alle  Aussagen  in  ihr  Gegen- 
teil. Zunächst  soll  die  obige  Aeusserung  nur  von  Fällen  der  Un- 
achtsamkeit gelten,  und  unter  „oberflächlich^^  verstehe  er  fiberhaupt 
„unachtsam''.  Ob  jemand  das  für  gleichbedeutend  hält,  sei  dahin- 
gestellt; im  Bericht  ist  beides  unterschieden  beracksichtigt  Der 
wörtliche  Inhalt  dos  dem  Ref.  zugeschobenen  Dogmas  lantet  nnn: 
„dass  alle  unmittelbare  Erkenntniss  nur  oberflächlich  sein  könne^'. 
Dies  sagt  der  Verf.,  wol  zu  merken,  in  seiner  abweichenden  Wort- 
deutung. Oberflächlich  nennt  man  aber,  wie  das  Wort  selbst  sagt, 
die  Urteile,  die  auf  das  äussere  Anschauen  des  Nächstliegenden  hin 
ohne  eingehendes  Studium,  ohne  gründliche  Untersnchnng  gdUlt 
werden;  es  schliesst  nicht  ans,  dass  dieses  Anschauen  alles  treu  auf- 
nimmt, was  sich  ihm  darbietet.  Da  es  nun  ein  Widersprach  ist,  nn- 
mittelbar  evident  zu  nennen,  was  auf  grOndlichor  Untersnchnng,  ja 
überhaupt  auf  Ueberlegungen  beruht,  so  war  wol  der  obige  Satz 
selbstverständlich.  Auch  war  bis  dahin  dem  Ref.  durch  keinen  Ein- 
wand dagegen  ein  Anlass  geboten  ihn  zu  verteidigen.  Erst  jetzt  hat 
der  Verf.  in  der  Wortdeutung  ein  Mittel  gefanden  ihn  anzofechten. 
Was  er  von  Verketzerung  sagt,  ist  aus  der  Luft  gegriffen;  diese  Be- 
schuldigung möchte  er  doch  mit  Worten  des  Berichts  belegen.  Doch 
trotz  jener  Umdeutnng  und  gerade  durch  die  Verkehnmg  der  Auf- 


LiUerarueker  Bericht  V.  H 

stelluDgen  yerfiUlt  er  weiterhin  in  den  genannten  Widerspnich,  dem 
er  durch  erstere  entgehen  wollte.  Ref.  hatte  vom  Axiom  III.  aus- 
gesprochen, dass  es  bei  oberflftchlieher  Betrachtung  ffir  evident  ge- 
halten werden  könnte.  Der  Verf.  erwidert  jetzt:  allerdings  könnte 
es  bei  oberflächlicher  Betrachtung  bezweifelt  (!)  werden,  doch  nach 
gewissen  Ueberlegungen  —  es  werden  deren  eine  längere  Keihe  auf- 
geführt, die  schwerlich  der  Schüler  von  selbst  anstellt,  und  deren 
jede  wieder  neue  Fragen  hervorrufen  wärde  —  würde  die  Richtigkeit 
des  Axioms  einleuchten.  Ist  nach  allen  diesen  Ueberlegungen  das 
Axiom  noch  unmittelbar  evident? 

Das  übrige  bedarf  wol  nur  kurzer  Antwort.  In  Betreff  der  Be- 
merkung über  kürzeste  Distanz  (welche  keiner  Ansicht  des  Verf. 
entgegentritt)  sei  gern  eingeräumt,  dass  sie  an  unrechter  Stelle  an- 
gebracht war  und  wol  deshalb  nicht  verstanden  worden  ist.  Das 
Wort  „mithin^^  mag  nicht  als  folgernd  gemeint  sein-,  Hess  es  sich 
aber  nicht  entbehren,  um  so  schlimmer.  Die  Auffassung  der  Axiome 
als  Hypothesen  verwirft  der  Verfasser  in  der  Besorgniss,  dass  da- 
durch den  Schülern  die  Lust  zu  weiterer  Forschung  geraubt  würde. 
Sie  sollen  ihre  „anschaulich  evidente  Erkenntniss^^  solange  für  zu- 
verlässig halten,  bis  ihnen  die  Möglichkeit  des  Irrtums  gezeigt  wird. 
Sollte  man  meinen,  dass  in  unser u  Zeiten,  wo  die  Erfolge  der  auf 
wissentlich  fehlbare  Hypothesen  bauenden  Forschung ,  die  auf  keiner 
aprioristischen  Basis  zu  gewinnen  waren,  bekannt  sind,  sich  jenes 
alte  Vorurteil  noch  könnte  hören  lassen !  Wenn  der  Verf.  meint,  über 
der  Controverse  sei  der  übrige  Inhalt  seiner  Schrift  übersehen  wor- 
den, so  ist  das  ein  Irrtum;  das  Violteiligc  eignet  sich  einmal  weniger 
zur  Besprechung,  und  einzelne  Punkte,  auf  dier  er  besonders  Wert 
legte,  hatte  der  Verf.  nicht  hervorgehoben.  Hoppe. 


Vermischte  Schriften. 

American  Journal  of  Mathematics.  J.  J.  Sylvester,  Editor. 
Thomas  Craig,  ph.  Dr.,  Assistant  Editor.  Published  under  the 
Anspiccs  of  the  Johns  Hopkins  University.  Volume  VI.  '  Baltimore 
1884. 

Der  Inhalt  des  6.  Bandes  ist: 

A.  Gayley:  Note  über  eine  Teilungsreihe. 


12  LäimmngeUr  Bmrkki  V. 

Th.  Craig:  üeber  vierfache  ThetaAmctioneii.  —  Veber  gewtne 
Gruppen  von  RelationeD,  denen  jene  genttgen.  —  lieber  TheUfono 
tioncn  mit  complexen  Charakteristiken. 

A.  L.  Daniels:  Zwei  Noten  fiber  Weierstrass'  Theorie  der 
elliptischen  Functionen. 

6.  S.  £ly:   Die  graphische  Methode  angewandt  aof  znsanmen- 

gesetzte  Teilungen. 

Dr.  F.  Franklin:  Note  Aber  die  Entwickelang  eines  algebrai- 
schen Braches. 

A.  8.  Hathaway:  Einige  Aofeatze  Aber  die  Zahlentheoria 

M.  Her  mite:  lieber  eine  Formel  bezüglich  aof  die  Theorie  der 
Functionen  einer  Variabein. 

G.  W.  Hill:  lieber  gewisse  mögliche  Kürzungen  in  der  Be- 
rechnung der  langperiodischen  Ungleichheiten  in  der  Bewegung  des 
Mondes  infolge  directer  Einwirkung  der  Planeten. 

£.  W.  Hyde:  Bechnang  der  Richtang  and  Lage. 

M.  Jenkins:  Beweis  eines  Satzes  über  Teilungen.  —  Fernere 
Liste  der  Correctionen  zu  Prof.  Sylvester's  constructiver  Theorie  der 
Teilungen. 

W.  W.  Johnson:  Die  imaginäre  Periode  der  elliptischen 
Functionen. 

£.  McClintock:  Ueber  die  Lösungen  der  Gleichungen  5. 
Grades. 

P.    A.  Mac    Mahon:      Semivarianten     and     symmetrische 

Functionen.  —   Note  über   die  Entwickelung   eines   algebraischen 

Bruches.  —  Symmetrische  Functionen  der  Wurzeln  einer  Gleichung 
13.  Grades. 

H.  A.  Rowland:  Ueber  die  Fortpflanzung  einer  belielMg» 
elektromagnetischen  Störung,  über  sphärische  Lichtwellen  and  die 
dynamische  Theorie  der  Diffiraction. 

Gh.  H.  Smith:  Eine  graphische  Methode  der  Lösung  sphäri- 
scher Dreiecke. 

W.  E.  Story:  Ueber  die  absolate  Glaasificatioii  der  quadrati- 
schen Oerter  and  ihre  Schnitte  mit  einander  und  mit  linearea 
Oertem. 


J.  J.  Sylvester:  Yorlesongen  über  die  Principien  der  allge- 
meinen  Algebra. 

C.  A.  van  Yelzer:  Zusammengesetzte  Determinanten. 

6.  P.  Yonng:  Principien  der  Lösung  von  Gleichungen  hdhem 
Grades,  nebst  Anwendungen.  —  Lösung  lösbarer  Gleichungen  5.  Gra- 
des. BL 


Acta  Mathematica,  Zeitschrift  herausgegeben  von  G.  Mittag- 
Leffler.  4.  Stockholm  1884.  F.  u.  G.  Beijer.  Berlin,  Mayer  u. 
Müller.    Paris,  A.  Hermann. 

Der  Inhalt  des  4.  Bandes  ist: 

P.  Appell:  lieber  die  Functionen  dreier  reeller  Variabein,  die 
der  Differentialgleichung  JF=  0  genügen. 

C.  A.  Bjerknes:  Hydrodynamische  Untersuchungen.  1.  Die 
hydrodynamischen  Gleichungen  und  die  ergänzenden  Relationen. 

G.  Cantor:  Von  der  Mächtigkeit  vollkommener  Gesamtheiten 
von  Punkten. 

G.  Darbonx:  lieber  die  partielle  Differentialgleichung  3.  Ord- 
nung der  orthogonalen  Systeme. 

E.  Goursat:  Beweis  des  Cauchy'schen  Satzes. 

Gh.  Hermite  und  L.  Fuchs:  üeber  eine  Entwickelung  in 
Kettenbruch. 

Sophie  Kowalevski:  lieber  die  Reduction  einer  bestimmten 
Glasse  Abel'scher  Integrale  3.  Ranges  auf  elliptische  Integrale. 

£.  Laguerre:  lieber  einige  Punkte  der  Theorie  der  numeri- 
schen Gleichungen. 

L.  Matthiessen:  Untersuchungen  über  die  Lage  der  Brenn- 
linien  eines  unendlich  dünnen  Strahlenbündels  gegen  einander  und 
gegen  einen  Hauptstrahl. 

G.  Mittag-Leffler:  Ueber  die  analytische  Darstellung  der 
monogenen  einförmigen  Functionen  einer  unabhängigen  Yariabeln. 
—  Neuer  Beweis  des  Laurent* sehen  Satzes. 


14  lAtierari$€Jher  Bericht  F. 

H.  Poincar^:  lieber  die  Gruppen  der  linearen  GleicbongeiL 

L.  Scheffler:  Beweis  des  Laurent'schen  Satzes. 

N.  So n ine:   lieber  die  VerallgemeineniBg  einer    Formel  Ton 
Abel. 

Chr.  Zell  er:    Zu  Enler's  Recnrsionsformel  far  die  Divisoren- 
summen. 

H. 


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IV.  Awiäzka.  :Fm  BeiirsL^  zur  SchattienleirR 


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Teil. IT. 


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Sterndruck  V.  fH^'  A'i 


LitUrariacher  Bericht  VL  15 


Litterarischer  Bericht 

VI. 


Physik. 

Die  Physik  im  Dienste  der  Wissenschaft,  der  Kunst  and  des 
praktischen  Lebens.  Unter  Mitwirkung  von  Dr.  J.  von  Beb  her, 
I  bteiluugsvorstand  auf  der  deutschen  Seewarte  in  Hamburg;  C.  Grah- 
äinkel,  kais.  Postrat  in  Frankfurt  a.  M.;  Dr.  £.  Hartwig, 
ASS  Stent  an  der  Univ.  Sternwarte  in  Strassburg;  Dr.  £.  Lommel, 
Profo^ior  an  der  Univ.  Erlangen;  Dr.  F.  Melde,  Prof.  an  d.  Univ. 
Marburg;  Dr.  J.  Rosen thal,  Prof.  an  d.  Univ.  Erlangen;  Th. 
Schwartze,  Ingenieur  in  Leipzig;  Dr.  A.  v.  Urbanitzky, 
Assistent  an  d.  techn.  Hochschule  zu  Wien;  Dr.  H.  W.  Vogel,  Prof. 
an  d.  techn.  Hochschule  zu  Berlin;  Dr.  J.  H.  Wallentin,  Prof. 
am  Obergymnasium  im  IX.  Bezirk  in  Wien;  herausgegeben  von  Dr. 
G.  Krebs,  Oberlehrer  an  der  Musterschule  (Realgymnasium)  zu 
Frankfurt  a.  M.    Stuttgart  1883.    Ferdinand  Enke. 

Das  Werk  behandelt  eine  Anzahl  solcher  physikalischer  Ent- 
deckungen, welche  in  neuerer  Zeit  durch  die  ausgedehnteste  An- 
wendung bekannt  geworden  sind.  Es  gibt  in  den  folgenden  13  Auf- 
sätzen deren  Erfindungs-  und  Fortbildungsgeschichte  und  so  viel  von 
der  Theorie  und  Technik,  als  zum  Yerständniss  des  Zusammenhangs 
erforderlich  ist,  mit  einigen  eingelegten  Holzschnitten.  Die  Titel  der 
Aufsätze  sind:  Vogel:  Im  photographischen  Atelier.  Lommel: 
Spectrum  und  Spectralanalyse.  Krebs:  Eine  meteorologische  Sta- 
tion. Beb  her:  Auf  der  deutschen  Seewarte.  Rosenthal:  Heizung 
und  Ventilation.  Meide:  Die  Akustik  in  ihren  Hauptbeziehungen 
zu  den  musikalischen  Instrumenten.    Schwartze:  Die  Motoren  des 

knh.  d.  Math.  n.  Fhyt.  2.  Beihe,  TeU  IL   Heft  U.  2 


16  Lüterariseker  Btrieht  VL 

Kleingewerbes.  Urbanitzky:  Die  elektrischen  Maschinen.  Wal- 
lentin:  Kerzen  und  Lampen.  Urbanitzky:  Der  Kampf  des  elek- 
trischen Lichtes  mit  dem  Gaslichte.  Wallentin:  In  d^  galvano- 
plastischen  Werkstätte.  Grahwinkel:  Die  Telephonie  und  ihre 
Verwendung  im  Terkehrsleben  der  Gegenwart.  Hartwig:  Anf  der 
Sternwarte.  H. 


Die  Spannnngs-Elektricität,  ihre  Gesetze,  Wirkungen  und  tech- 
nischen Anwendungen.  Von  K.  W.  Z enger,  o.  ö.  Professor  der 
Physik  an  der  k.  k.  böhm.  techn.  Hochschule  in  Prag.  Mit  86  Ab- 
bildungen.   Pest,  Leipzig  (1884).    A.  Hartlefoen.    352  8. 

Das  Buch  gibt  genau  das,  was  der  Titel  sagt.  Es  eignet  sich 
zur  Selbstbelehrung  ohne  Bücksicht  anf  Studium  und  Beruf.  Der 
Inhalt  ist  selbstverständlich.  H. 


Die  Generatoren  hochgespannter  Elektricität  mit  Yorwiegender 
Berücksichtigung  der  Elektrisirmaschinen  im  engeren  Sinne.  Von 
Dr.  Ignaz  G.  Wallentin,  k.  k.  Professor.  Mit  75  Abbildungen. 
Wien.    Pest,    Leipzig  (1884).    A.  Hartieben.    271  S. 

Auch  dieses  Buch  ist,  wie  das  vorige,  zur  Selbstbelehrung  ohn' 
Rücksicht  auf  Studium  und  Beruf  eingerichtet.  Seine  Aufgabe  be- 
steht darin,  die  Apparate  in  erforderlicher  Vollständigkeit  zu  be- 
schreiben und  ihre  Wirkungsweise  darzulegen.  Unter  diesen  werden 
nach  einander  behandelt:  die  Reibungselektrisirmaschinen,  die  Elek- 
trisirmaschinen, welche  auf  den  Principien  der  Influenz  und  des 
Transportes  der  Ladungen  beruhen,  Apparate  nach  dem  Prineip  der 
Metallinductoren,  Inductiousapparate  als  Generatoren  hochgespannter 
Elektricität,  Accumulatoreu ,  die  rheostatische  Maschine.  Hierbei 
werden  keine  Kenntnisse  des  Gegenstandes  vorausgesetzt,  sondern 
die  zum Verständniss  erforderlichen  Begriffe  vorher  erläutert, -weiter- 
hin auch  das  zur  Messung  der  Kräfte  gehörige  Verfiediren  gelehrt. 

H. 


Die  physikalischen  Grundsätze  der  elektrischen  Kraftübertragnng. 
Eine  Einleitung  in  das  Studium  der  Elektrotechnik.  Von  Josef 
Popper,  Mit  einer  Figurentafel.  Wien,  Pest  Leipzig  (1884). 
A.  Hartleben.    55  S. 

In  dieser  Arbeit  war  der  Verfasser  bestrebt,  das  theoretisch  so 
interessante  ;und  praktisch  so  wichtige  Problem  der  dekCrischea 
Kraftübertragung  in  seiner  grössten  Allgemeinheit  als   d^ctifM^en 


LiUerarischer  Bericht  VL  17 

Transport  von  Energie  überhaupt  —  in  gründlicher  nnd  systemati- 
scher Weise  zu  behandeln,  nm  dem  Physiker,  Elektrotechniker,  wie 
auch  dem  Unternehmer  die  Eenntniss  aller  jener  Factoren  zu  ver- 
schaffen, die  bei  diesem  Problem  massgebend  sind.  Um  diesen  Zweck 
zu  erreichen,  wird  zuerst  eine  allgemeine  Uebersicht  über  die  ver- 
schiedenen Arten  von  Kraftübertragung  überhaupt  gegeben,  sodann 
gezeigt)  welche  Grössen  speciell  bei  dem  eTektrischen  Transport 
von  Arbeit  gemessen  werden  müssen,  und  welche  physikalische  Be- 
deutung denselben  zu  Grunde  Hegt;  dabei  wird  der  allgemeine  Ar- 
beitsbegriff und  der  sonst  so  schwierig  zu  erfassende  Begriff  des  Po- 
tentials in  leichtfasslicher  Weise  von  der  elementaren  Mechanik  an- 
gefangen bis  hinein  in  das  Capitel  der  statischen  und  dynamischen 
Elektricität  gleichartig  durchgeführt  und  hiedurch  auch  die  Bedeutung 
der  elektrischen  Maassmethoden  principiell  klargelegt.  Gegen  Schluss 
der  Arbeit  werden  die  für  den  Elektrotechniker  und  Unternehmer 
?richtigen  Betrachtungen  über  die  Oekonomie  des  Betriebes,  Aus- 
nutzung des  Anlagecapitals ,  Einfluss  der  Distanzen,  der  Spannungen 
u.  s.  w.  in  conciser  Weise  zusammengefasst,  so  dass  sich  Jedermann 
auch  von  Fall  zu  Fall  ein  Urteil  zu  bilden  vermag  über  jene  Um- 
stände, von  welchen  das  Ergebniss  einer  elektrischen  Kraftübertragung 
abhängt,  und  welche  näheren  Detailstudien  stets  zu  machen  sind,  um 
eine  solche  Anlage  geschäftlich  calculiren  zu  können.  Zur  noch 
grösseren  Erleichterung  des  Verständnisses  wird  schliesslich  der  bis- 
her am  vollständigsten  studirte  und  gemessene  Fall  einer  elektri- 
schen Kraftübertragung,  durchgeführt  und  unter  Zugrundelegung  des 
Diagrammes  dazu  benützt,  jede  einzelne  der  conventionell  bezeich- 
neten Grössen  vor  das  Auge  zu  führen  und  die  allgemeinen  Begriffe 
und  Betrachtungen  an  einem  speciellen  Falle  zu  illustriren.  Nach 
dem  Studium  dieser  Arbeit  wird  wohl  Jeder  eine  gründliche  Einsicht 
in  das  Problem  der  elektrischen  Kraftübertragung  gewonnen  haben 
und  mit  Leichtigkeit  im  Stande  sein,  dessen  weitere  Entwicklung  mit 
selbständigen  Urteil  zu  verfolgen 

A.  Hartleben's  Verlag. 

Diesem  Urteile  treten  wir  vollkommen  bei. 

Die  Redaction. 


Analytische  Theorie  der  Wärme.  Von  M.  Fourier.  Deutsche 
Ausgabe  von  Dr.  B.  Weinstein.  Mit  21  in  den  Text  gedruckten 
Holzschnitten.    Berlin  1884.    Julius  Springer.    476  S. 

Die  Uebersetzung  der  „Theorie  de  la  chaleur^'  vertritt  zugleich 
mit  dem  in  Breslau  erschienenen  unveränderten  Abdruck  eine  neue 
Ausgabe  des  Werks,  welche  lange  Zeit  gefehlt  hat,  besitzt  aber  vor 

2» 


18  LUterarUcker  Bericht  VI. 

dieser  den  Vorzog,  dass  darin  nach  sorgföltiger  Revision  der  analy- 
tischen Rechnungen  die  zahlreichen  Druckfehler  des  Originals  besei- 
tigt sind.  In  der  Abfassung  ist  nichts  geändert,  nur  haben  einige 
Hinznfttgnngen  stattgefunden :  die  kleinem  Teile  haben  Ueberschriften 
erhalten,  hin  und  wieder  ist  der  Calcul  des  leichtem  Yerst&ndnisses 
wegen  erweitert,  und  den  Reihenentwickelungen  sind  überall  die 
Grenzen  der  Gültigkeit  hinzugeschrieben.  Anmerkungen  sind  seit»*, 
die  Litteratur  ist  am  Schlüsse  zusammengestellt  Das  Originalwerk 
ist  bekannt  als  bahnbrechend  für  mathematische  Behandlung  der 
Physik,  es  hat  die  dazu  dienenden  Mittel  der  Analysis  bedeutend 
vermehrt  durch  die  Theorie  der  trigonometrischen  Reihen.  Es  be- 
handelt die  Bewegung  der  Wärme,  hauptsächlich  in  festen  Körpern 
nebst  Ein-  und  Austritt  unter  äusseren  Einflüssen.  Die  Hauptab- 
schnitte sind  folgende.  Nach  einer  Einleitung,  welche  die  analytische 
Gestaltung  der  physikalischen  Gesetze  vollzieht,  kommt:  Gleichungen 
für  die  Verbreitung  der  Wärme;  Verbreitung  in  einer  unendlichen 
rechteckigen  Halbplatte-,  variirende  Bewegung  in  einem  Ringe;  xa- 
dialo  Verbreitung  in  einer  Kugel;  desgl.  in  einem  unendlich  langen 
Cylinder;  stationäre  Bewegung  in  einem  einseitig  unendlich  langen 
rechteckigen  Prisma;  Bewegung  in  einem  Würfel;  Diffusion  d^ 
Wärme;  allgemeine  analytische  Ergebnisse  über  Integration  von  Dif- 
ferentialgleichungen und  Darstellung  von  Functionen;  Analyse  und 
Gmndlagc  der  Wärmetheorie.  H 


Das  intemationale  elektrische  Maasssystem  im  Zusammenhange 
mit  anderen  Maasssystemen  dargestellt  von  F.  Uppenborn,  In- 
genieur, Redacteur  des  Centralblattes  für  Elektrotechnik.  (Enthält 
die  Beschlüsse  der  beiden  Pariser  Congresse  (1881  und  1884)  nebst 
genauer  Erläutemng  von  deren  Consequonzen.)  2.  Auflage.  Mün- 
chen und  Leipzig  1884.    R.  Oldenbourg.    26  S. 

Das  elektrische  Masssystem  beruht  auf  dem  mechanischen.  Ob- 
wol  man  diese  Gmudlage  als  bekannt  und  feststehend  zu  betrachten 
pflegt,  so  war  es  doch  nicht  überflüssig  eine  eingehende  Erörtemng 
derselben  vorausgehen  zu  lassen.  Einesteils  lässt  die  Wahl  der  Ein- 
heiten Verschiedenheit  zu,  über  welche  Entscheidung  und  Definition 
erfordert  wird:  andernteils  kommen  auch  Zweifel  über  Begriffe  vor. 
Der  Umstand,  dass  das  Gewicht  meistens  auf  eine  Frage  nach  der 
Masse  antwortet,  verleitet  sehr  stark  dazu  den  Urbegriff  des  Gewichts 
als  einer  Kraft  preiszugeben.  Dem  ist  hier  voiigebeugt  durch  Hin- 
weis auf  die  Erklämng  des  Congresses,  welche  das  Grammgewicht 
als  Kraft  bezeichnet  und  die  es  repräsentirende  Masse  Grammmassc 
nennt    Die  fundamentalen  Einheiten  sind  nun  Gentimeter  C^  Gramm- 


LüterarUchßr  Bericht  VL  19 

masse  G  and  Secnnde  S,  Aaf  sie  werden  die  fernem  mechanischen 
Einheiten  der  Geschwindigkeit,  Beschleunigung,  Kraft,  der  Arbeit 
and  des  Effectes  reducirt.  Die  davon  abweichenden  technischen  Ein- 
heiten sind  dann  aufgeführt.  Von  den  elektrischen  Masssystemen 
werden  das  elektrostatische  und  elektromagnetische  behandelt  Die 
Masseneinheit  der  Elektricität  wird  durch  das  Goulomb'sche  Gesetz 
bestimmt,  die  Stromeinheit  aus  Faraday's  Relation  hergeleitet.  Aus- 
führliche Erklärung  bedurfte  die  Einheit  der  elektromotorischen 
Kraft.  Zu  diesen  kommen  für  das  elektromagnetische  Masssystem 
hinzu  die  Widerstandseinheit  und  die  Einheit  der  Capacität  Das 
Fernere  handelt  von  den  gesetzlichen  Bestimmungen  und  Congress- 
beschlüssen.  H. 


Zeitschrift  zur  Förderung  des  physikalischen  Unterrichts.  Her- 
ansgegeben  und  redigirt  vom  Physikalisch-technischen  Institut,  Lis- 
ser  u.  Benecke.  Erster  Jahrgang  1884.  Berlin  1884.  Lisser  u. 
Benecke. 

Diese  neue  Zeitschrift,  welche  seit  October  v.  J.  in  monatlichen 
Heften  erscheint,  hat  sich  vor  allem  zur  Aufgabe  gemacht  Apparate 
zu  Demonstrationszweckeu,  deren  Yerfertiger  die  Herausgeber  selbst 
sind,  und  demonstrative  Experimente  anzugeben.  Solche  sind  auch 
die  Gegenstände  der  Aufsätze,  mit  welchen  sich  eine  Anzahl  Phy- 
siker, besonders  Lehrer  der  Physik  an  dem  Unternehmen  beteiligt 
haben.  H. 


Vermischte  Schriften. 

Archiv  for  Mathematik  og  Naturvidenskab.  Udgivet  af  Sophus 
Lie,  Worm  Müller  ogG.  0.  Sars.  U.  HI.  IV.  V.  VI.  VILBind. 
Kristiania  1877—1882.    Alb.  Cammermeyer. 

Ueber  den  Anfang  dieser  Zeitschrift  s.  litt.  Ber.  243.  S.  37.  Der 
2.  bis  7.  Band  enthält  an  mathematischen  Abhandlungen: 

S.  Lie:  Neue  Integrationstheorie  der  Monge-Ampdre'schen  Glei- 
chung. —   Die  Störungstheorie  und  die  Bertthrungstransformationen. 

—  Eine  Eigenschaft  der  Steiner'schen  Fläche  3.  Classe  und  4.  Ord- 
nung. —  Ueber  reelle  algebraische  Minimalflächen.  —  Synthetisch- 
analytische Untersuchungen  über  Minimalflächen.  I.  Ueber  reelle 
algebraische  Minimalflächen.  —  Theorie  des  Pfaff 'sehen  Problems  2. 

—  Kleiner  Beitrag  zur  Theorie  der  Steiner'schen  Fläche.  —  Theorie 
der  Transformationsgruppen,  IH.  IV.  V.  3.  4.  —  Sätze  über  Minimal- 


20  LUUrariidkr  Bericht  VI, 

flächen,  IL  m.  3.  —  Bestimmaiig  aller  in  eine  algebraisclie  Derelop- 
pable  eingeschriebenen  algebraischen  Integralflflchen  der  Differaitial- 
gleicbung  «  «  0.  4.  —  Zur  Theorie  der  Flächen  constaater  Krflm- 
mong.    4.  5.    —    Weitere  Untersuchungen  Über  Minimalflftffhen.    4. 

—  Ueber  Flächen,  deren  Krümmungsradien  durch  eine  Relation  ver- 
knüpft  sind.  4.  —  Bestimmung  aller  Flächen  conatanter  KrUmmoDg. 
5.  —  Discussion  der  Differentialgleichung  «  =  P(»).  6.  —  Tiaos- 
formationstheorie  einer  partiellen  Differentialgleichung.  6.  —  Ueber 
die  Integration  durch  bestimmte  Integrale  von  einer  Clasfle  linearar 
partieller  Differentialgleichungen.  6.  —  Zur  Theorie  der  geodäti* 
sehen  Cnrven  der  Minimalflächen.  6.  —  Bestimmung  aller  FlädieB, 
die  in  mehrfacher  Weise  durch  Translationsbewegung  einer  Curre 
erzeugt  werden.  7.  —  Ueber  Flächen,  die  infinitesimale  nnd  lineare 
Transformationen  gestatten.  7.  —  Ueber  gewöhnliche  Differential- 
gleichungen, die  eine  Gruppe  von  Transformationen  gestatten.    7. 

S.  A.  Sexe:  Wie  man  die  imaginäre  Grösse  vermeidet,  i.  — 
Sollte  sich  nicht  ein  reeller  mathematischer  Ausdruck  finden  lasseii« 
der  die  Rolle  der  imaginären  Grössen  übernehmen  und  dieselben 
Dienste  leisten  könnte  wie  diese  Grössen?    7.  — 

H.  Geelmuyden:  Die  konische  Pendelbewegung.  5.  —  Be- 
merkungen über  die  Theorie  des  Zodiakallichtes.    7. 

Elling  Holst:  Ueber  algebraische  cykloidische  Gurren.  6. — 
Ein  Beitrag  zur  methodischen  Behandlung  der  metrischen  Eigen- 
schaften algebraischer  Curven.  7.  —  Analytischer  Beweis  eines  geo- 
metrischen Satzes.  7.  —  Ein  Par  synthetische  Methoden  in  der 
metrischen  Greometrie  mit  Anwendungen.    7. 

J.  J.  Astrand:  Ueber  eine  neue  Methode  zur  Lösung  trinomi- 
scher  Gleichungen  nten  Grades.    6.  H. 

Jomal  de  Sciencias  Matbematicas  e  Astronomicas  publicado  i>elo 
Dr.  Francesco  Gomes  Teixeira,  Professor  de  mathematica  na 
Universidade  de  Coimbra,  Socio  correspondente  da  Academia  Real 
das  sciencias  de  Lisboa  e  da  Sociedade  de  sciencias  physicas  e  na- 
turaes  de  Bordeaux.  Volume  IIL  lY.  Coimbra  1881—1883.  Im- 
prensa  da  Universidade. 

Der  3.  und  4.  Band  enthalten  folgende  Abhandlungen. 

A.  Schiappa  Monteiro:  Ueber  eine  im  Journal  de  math^ 
matiques  ^16mentaires  (herausgeg.  zu  Paris  von  Bourget  n.  Eoehlo'} 
gestellte  Aufgabe.  —  Lösung  der  Aufgabe  17.  —  Note  beiflgitch 
auf  descriptive   Geometrie  über  den  Schnitt  der  Flächen  2.  Grades. 

—  Lösung  der  Aufgabe  16.  —  Note  über  die  Strictionslinie  des 
Hyperboloids.  —  Lösung  der  Angaben  15.  14.  —  Ueber  die  Teilong 


LitUrarisdur  Beriehi  VI,  21 

der  Gteradeo  und  des  Kreises  in  gleiche  Teile,  bezaglich  aaf  eine 
Aufgabe  von  Marecas  Ferreira.  —  Note  über  die  Erzengnng  eines 
Kegelschnitts  mittelst  des  Kreises  oder  eines  andern  Kegelschnitts 
and  Aber  andere  geometrische  Untersnchnngen. 

L.  F.  Marrecas  Ferreira:  lieber  ein  geometrisches  Problem. 

J.  A.  Martins  da  Silva:  lieber  die  Transformation  der  Le- 
gendre'schen  Function  Xn  in  ein  bestimmtes  Integral.  —  ^lieber  die 
directe  Reduction  einer  Classe  vielfacher  bestimmter  Integrale.  — 
Beweis  eines  Satzes  von  Besge.  —  Note  über  die  Transformation 
eines  bestimmten  Integrals.  —  lieber  einige  neue  Formeln  bezüg- 
lich auf  die  Wurzeln  der  algebraischen  Gleichungen.  —  Lösung  der 
Aufgabe  21. 

F.  Gomes  Teixeira:  Vorlesungen  über  die  Principien  der 
Infinitesimalrechnung.  —  lieber  die  Multiplication  der  Determinanten. 

Pedro  Gomes  Teixeira:  lieber  einige  arithmetische  Sätze. 

A.  F.  Rocha  Peixoto:  lieber  einen  Satz  bezüglich  auf  ebene 
Schnitte  des  Batationskegels. 

J.  M.  Rodrigues:  Ueber  eine  Formel  von  Wronski.  —  lieber 
die  Theorie  der  Facultäten.  —  lieber  eine  Formel  von  Euler.  •— 
Ueber  eine  Formel  von  Lagrange. 

Breusing:  Ueber  die  Geschichte  des  Nonius. 

M.  Birger  Hansted;  YeraUgemeinerung  der  Legendre'schen 
Function  ^ 

F.  da  Ponte  Herta:  Einige  Eigenschaften  der  Kegelschnitte. 

Duarte  Leite  Pereira  daSilva:  Ueber  einige  unbestimmte 
Integrale.  —  Derivirte  beliebiger  Ordnung  von  y  nach  x  t^f{x^  y)  »0. 

J.  C.  O'Neil  de  Medeiros:  Ueber  ein  Problem  der  elemen- 
taren Algebra. 

Ausserdem  sind  7  neue  Aufgaben,  Nr.  18 — 24.,  gestellt,  und 
einige  Nachrichten  über  erschienenen  Bücher  gegeben.  H. 

Nieuw  Archief  voor  Wiskuude.  Deel  XI.  Amsterdam  1884. 
J.  F.  Sikken. 

Der  Inhalt  des  11.  Bandes  an  Abhandlungen  ist  folgender. 

L.  Janse  Bz:  Ueber  die  graphische  Auflösung  der  sphärischen 
Dreiecke  und  darauf  gegründete  nautische  und  astronomische  Auf- 
gaben. 

P.  van  Geer:  Die  Methode  von  Roberval. 

D.  Bierens  de  Haan:  Zwei  seltene  Werke  von  Benedictus 
Spinoza.  —  Ein  äusserst  seltenes  Werk  von  Albert  Girard, 
„Invention  nouvelle  en  l'alg^bre.^' 

F.  J.  van  den  Berg:  Ueber  die  geometrische  Verbindung 
zwischen  den  Wurzelpunkten  einer  Gleichung  und  denen  ihrer  de- 
rivirten. 


22  Lüaeranacher  Berickt  VL 

Ferner  sind  mitgeteilt  ein  Beweis  des  Ptolemäischen  Satze«, 
welchen  ein  Schaler  4.  Classe  der  höhern  Bürgerschule  in  Tiel  ge- 
fanden hat;  ein  Beweis  der  Formel  für  die  Anzahl  der  Combinatio- 
nen,  von  W.  Mantel;  und  die  in  den  Wintenrersammlnngen  der 
Wisknndig  Genootschap  in  Amsterdam  verhandelten  Themata. 

H. 


Mathesis,  recneii  math^matiqne  ä  l'nsage  des  icoles  et  des  Eta- 
blissements d'instmction  moyenne,  publik  par  P.  Mansion,  Pro- 
fessenr  ordinaire  k  TUniversitE  de  Grand,  Correspondent  de  rAcad6mie 
royale  de  Belgique,  etc.  etJ.  Neuberg,  Professeur  k  rUniversitE 
de  Li6ge,  Membre  de  la  Soci^tE  royale  des  sdences  de  Li^e,  etc 
avec  la  coUaboration  de  pInsieurs  professeurs  beiges  et  etrangers. 
Tome  quatri^me,  ann^e  1884.  Gand  1884.  Ad.  Hoste.  Paris, 
Gauthier  Yillars. 

Der  4.  Band  enthält  folgende  Abhandlungen. 

P.  Mansion:  Abriss  der  Theorie  der  hyperbolischen  Functio- 
nen. —  Aus  dem  Leben  von  W.  Snel.  —  Der  200 ste  Jahrestag  der 
Erfindung  der  Differentialrechnuag.  —  Curven  mit  Yerzweigungs- 
punkt  —  Erfindung  der  Differentialrechnung. 

Barbarin:  Sätze  über  die  Ellipse.  —  Aufgaben  über  die  Kugel 

E.  Catalan:  lieber  einen  Satz  von  Abel. 

Angelo  Genocchi:  Zusammenstellung  verschiedener  Unter- 
suchungen  über  die  Ovalen  von  Descartes  und  einige  andre  Gunreo. 

De  Rocquigny:  Arithmetische  Aufgaben. 

Gel  in:  Algebraische  Aufgaben. 

M.  d'Ocagne:  lieber  die  centralen  Transformationen  der  ebenen 
Curven. 

J.  Mister:  Schwerpunkt  einer  abgestumpften  dreiseitigen  Py- 
ramide. —  Schwerpunkt  des  schräg  abgeschnittenen  Prismas  und 
Parallelepipeds. 

E.  C^saro:  Untersuchung  über  Transversalen.  — Wahrschein- 
lichkeit gewisser  arithmetischer  Facta.  —  Ueber  die  innere  Gleichung 
der  Curven. 

H.  Brocard:  Aufgaben.  —  Geometrische  Eigenschaft  einer  ge- 
wissen Gruppe  von  2  Systemen  concentrischer  Kreise. 

H.  Schoentjes:  Ueber  die  Erzeugungsart  der  Conchoide. 

Bad  icke:  Ueber  die  Summen  der  gleichhohen  Potenzen  einer 
Reihe  von  Cosinus. 

E.  Lemoine:  Verschiedene  Sätze  über  die  Antiparaiielen  der 
Seiten  eines  Dreiecks. 

Weill:  Ueber  ein  Zweieck  und  ein  Dreieck  aus  Kreisbogen 
gebildet 


Litterarischer  Bericht  VI.  23 

Boije  af  Gennäs:  Aufgabe  der  unbestimmten  Analytik. 

Ausserdem  enthält  der  4.  Band  Lösungen  vieler  in  den  vorher- 
gehenden gestellten  Aufgaben  und  100  neue  Aufgaben,  Nr.  301  bis 
400.    Von  diesen  gesondert  sind  Examenaufgaben.  H. 

Mittheilnngen  der  Mathematischen  Gesellschaft  in  Hamburg. 
Nr.  3.  4.    1883.  1884.  —  18  +  39  S. 

Aus  den  Vorträgen  sind  folgende  Gegenstände  von  Interesse  her- 
vorzuheben. 

F.  H.  Rcitz:  lieber  die  ins  Werk  gesetzte  Verbindung  der 
Dreiecksnetzo  von  Spanien  und  Algier. 

Ahlborn:  Ueber  Connexc  und  Coincidenzcurven. 

E.  Liebonthal:  Untersuchungen  über  die  Attraction  zweier 
homogenen  Körper. 

Plath:  Ueber  die  Wiederauffindung  des  Planeton  Sylvia.  Hier- 
bei die  Zusammenstellung  der  von  1687  bis  1881  erhaltenen  20  Werte 
für  die  Masse  des  Jupiter. 

F.  H.  Beitz:  Ueber  den  Hohmann-Coradi'schen  Flächen- 
integrator. 

J.  F.  Bubendey:  Ueber  die  Constantenbestimmung  der  Func- 
tionen durch  Wahrscheinlichkeitsrechnung  bei  stark  abweichenden 
Einzelwerten. 

P.  Jaerisch:  Ueber  die  Kritik  der  Anwendbarkeit  der  Glei- 
chungen der  Elasticitätstheorie.  —  Ueber  anomale  Dispersion. 

Beitz:  Ueber  das  Periheliotrop,  Instrument  zur  Erleichterung 
des  Aufflndens  neuer  Dreieckspunkte  durch  Sonnenlichtblitze. 

Schubert:  Ueber  die  Ausdehnung  des  Begriffs  der  7  arithmeti- 
schen Operationen  von  höherer  als  3.  Stufa 

Ahlborn:  Ueber  die  Beziehung  der  elliptischen  Functionen  zur 
Geometrie. 

Wagner:  Ueber  die  Abbildung  ebener  Curven  und  Flächen- 
itücke. 

Krüss:  Ueber  die  Verwertung  der  Besultate  photometrischer 
Messungen. 

Bock:  Ueber  die  Entwickelung  von  Functionen  in  unendliche 
Producte. 

Ahlborn:  Ueber  die  Bedeutung  der  Zahl  p  in  den  Aberscheu 
Functionen  und  ihre  Beziehung  zur  Geometrie. 

H.  Schubert:  Ueber  eine  gewisse  Familie  von  Confignrationon. 
—  Die  TAdimeusionalen  Verallgemoinerungeu  des  3  dimeusionalen 
Satzes,  dass  es  2  Strahlen  gibt,  welche  4  gegebene  Strahlen  schneiden. 

P.  J  a  e  r  i  8  c  h :  Lösungen  der  Elasticitätsgleichungen  von  der  Form 

/(«,  a;,  y,  a)cos(a<-f  ajÄ-j-Ogy+aaa)  H. 


24  LiUerariteker  Bericht  VL 

Association  Fran^aise  ponr  I'avancemeDt  des  sdenees.  Gongr^ 
de  Lille  1884.  Congrös  de  la  Rochelle  1882.  Paris,  av  secrtouriat 
de  FAssociation. 

Wie  aus  einem  Anszng  ans  den  Statuten  zu  ersehen »  ist  die 
Association  Frangaiso  eine  dauernd  bestehende  Gesellschaft,  der  Jeder 
durch  Anmeldung  bei  dem  Conseil  beitreten  kann,  mit  einem  Capital 
in  Teilen  zu  500  Francs.  Sie  unterscheidet  Grander,  die  wenigstens 
einen  solchen  Teil  zeichnen,  und  Mitglieder  mit  jährlichem  Beitrag 
von  20  francs.  Ueber  die  Congresse  in  den  einzelnen  Städten  Frank- 
reichs und  die  ans  denselben  hervorgehenden  Pnblicationen  sind 
keine  nähern  Angaben  gemacht.  Zwei  solche  Pnblicationen  liegen 
dem  Ref.  vor-,  eine  dritte  aus  dem  Congress  zu  Algier  1881  ist  be- 
reits im  275.  litt  Bericht  besprochen.  Die  gegenwärtigen  sind  ver- 
fasst  von  M.  £,  Lemoine,  Ingenieur  civil,  Ancien  616ve.de  r£cole 
polytechniquo.  Die  erste  behandelt  die  Peaucellier'sche  Vorrichtung, 
welche  mittelst  eines  lenkbaren  Gestänges  bei  Führung  eines  Punkts 
im  Kreise  einen  andern  Punkt  in  gerader  Linie  bewegt,  ein  Princip 
welches  im  Auslände  mehr  bekannt  sei  als  in  Frankreich.  Die 
zweite,  bestehend  aus  2  Arbeiten,  leitet  17  neue  Dreieckssätze  her. 

H. 

BuUetins  de  TAcad^mie  Royale  des  sciences,  des  lettres  et  des 
beaux-arts  de  Bolgique.  3»»  s6rie,  L  I.  —V.  1881—1883.  Bmxel- 
les,  F.  Hayez. 

Die  5  ersten  Bände  der  3.  Reihe  enthalten  folgende  mathema- 
tische Arbeiten  nebst  Referaten  über  dieselben. 

C.  Le  Paige:  Note  über  die  Theorie  der  Polaren.  —  Ueber 
gewisse  Govarianten.  1.  —  Ueber  die  Cnrven  3.  Ordnung.  1.  3.  4 
—  Ueber  die  Theorie  der  binären  Formen  ftir  mehrere  Reihen  von 
Variabein.  2.  —  Ueber  die  geometrische  Darstellung  zweier  ein- 
förmigen Transformationen.  3.  —  Ueber  einige  einförmige  geome- 
trische Transformationen.  4.  —  Note  über  die  Homographie  3.  Ord- 
nung. —  Ueber  die  Flächen  2.  Ordnung.    5. 

P.  Samuel:  Note  über  ein  Instrument  zur  Beschreibang  von 
Ellipsen.    1.  2. 

Folie  (gemeinsam  mit  Le  Paige):  Ueber  die  Curven  3.  Ord- 
nung.   1.  3. 

Catalan:  Ueber  die  Legendre'schen  Functionen  JEr.  —  Msgi- 
scheä  Quadrat  von  la  Villa  Albani  (Rom).  2.  —  Ueber  die  Addition 
der  ellliptischen  Functionen  1.  Gattung.  —  Einige  Sätze  der  elemen- 
taren Geometrie.  4.  —  Note  über  die  Theorie  der  Kettenbzücbe 
und  gewisse  Reihen.  —  Ueber  eine  Doppelreihe.    5. 


LUterartMcker  Berieht  VL  25 

DernytB:  Note  Aber  die  algebraischen  Flächen  mit  mittlerer 
KrtImmiiDg  null.    2. 

Gomes  Teixeira:  Ueber  eine  Classe  von  Gleichungen  mit 
partiellen  Dlfferentialqnotienten  2.  Ordnung.  2.  —  Integration  einer 
Classe  von  Gleichungen  mit  partiellen  Differentialquotienten  2.  Ord- 
nung.   3. 

Mansion:  Fundamentales  Princip  betreffend  die  Berührung  von 
Flächen,  welche  eine  gemeinsame  Erzengende  haben.  3.  —  Ueber 
einen  Punkt  der  Theorie  der  Fourier'schen  Reihen.    5. 

£.  Weyr:  Ueber  die  Involutionsflächen.    4. 

Boblin:  Teilung  eines  Winkels  oder  Bogens  in  3  progressive 
und  proportionale  Teile.  4.  —  Ueber  die  Verdoppelung  des  Ku- 
bus.   5. 

Genocchi:  Ueber  die  Functionen  von  Prym  und  Hermite.   4.  5. 

Sautreaux:  Versuch  der  Anwendung  der  Geometrie  mit  poly- 
gonalen und  polyedrischeu  Coordinaten  auf  die  Lösung  der  Glei- 
chungen 3.  und  4.  Grades.    4. 

Ronkar:  Versuch  der  Bestimmung  der  Trägheitsmomente  des 
Erdsphäroids.    5. 

De  Tilly:  Ueber  den  Satz  von  Chasles  bezüglich  auf  Central- 
axen.    5. 

Wilmart:  Lösung  des  Euklid'schen  Postulats.    5.  H. 

Verslagen  en  Mededcelingen  der  Koninkiyke  Akademie  van 
Wetenschappen.  Afdeeling  natuurkunde.  Tweede  reeks.  Achttiende 
deel.    Amsterdam  1883.    Johannes  Müller. 

Der  18.  Teil  enthält  folgende  mathematische  Abhandlungen. 

Gh.  M.  Schols:  Berechnung  des  Abstandes  und  Azimuts  aus 
Länge  und  Breite.  —  Ueber  den  Anschluss  eines  Dreiecksnetzes  von 
niederer  Lage  an  3  Punkte  eines  hohem. 

W.  Eapteyn:  Einige  Bemerkungen  über  gewöhnliche  lineare 
Differentialgleichungen. 

D.  Bierens  de  Haan:  Baustoffe  für  die  Geschichte  der  mathe- 
matischen und  Natur- Wissenschaften  in  den  Niederlanden. 

J.  Bneno  de  Mesquita:  Allgemeine  Gleichungen  für  ein 
centrirtes  Linsensystem. 

D.  J.  Korteweg:  Allgemeine  Sätze  betreffend  die  stationäre 
Bewegung  einer  incompressibeln,  reibenden  Flüssigkeit  H. 

Annual  Report  of  the  Board  of  Regents  of  the  Smithsonian  In- 
stitution,  showing  the  Operations,  expenditnres  and  condition  of  the 
Institution  for  the  year  1881.— 1882.    Washington  1883—1884. 


26  Liiterarischer  Bericht  VL 

Der  Report  enthält  anter  der  Uebcrschrift:  „Record  of  recent 
scientific  progress"  einen  übersichtlichen  Bericht  über  die  jährlichen 
extensiven  Fortschritte  in  der  Erforschung  der  materiellen  Tatsachen. 
Dieser  Teil  des  Buchs  umfasst  etwa  die  Hälfte  des  Raumes.  Der 
Bericht  erstreckt  sich  auf  folgende  Wissenschaften:  Astronomie, 
Meteorologie,  Physik,  Chemie,  Botanik,  Zoologie  und  Anthropologie. 
Die  Theorie  wird  in  keiner  derselben  berührt,  daher  ist  auch  die 
Mathematik  gänzlich  ausgeschlossen.  Es  handelt  sich  allein  um  nene 
Beobachtungen  und  deren  Mittel.  H. 

Bulletin  of  the  Philosopbical  Society  of  Washington.  Vol.  lY. 
y.  Pnblished  by  the  co-operation  of  the  Smithsonian  InstitutioiL 
Washington  1881.    1883. 

Aus  dem  Namen  ,,philosophische  Gesellschaft^^  würde  man  ge- 
neigt sein  zu  entnehmen,  dass  dieselbe  der  Pflege  der  ideellen,  theo- 
retischen Wissenschaft  gewidmet  sei,  daher  der  Mathematik  eine  vor- 
waltende Stelle  eingeräumt  werden  müsse.  Die  Statuten  sprechen 
überhaupt  nicht  vom  Zwecke  der  Gesellschaft,  sondern  nur  von  der 
Verwaltung,  sie  beschränken  die  Gegenstände  der  Verhandlungen  und 
Publicationen  durch  keine  Festsetzung,  nicht  einmal  auf  wissenschaft- 
liche. Die  Verhandlungen  deuten  auf  ein  gleiches  Interesse  für  ide- 
elle und  reale  Wissenschaft;  das  ideelle  Interesse  lassen  die  einlei- 
tenden Fragen  erkennen,  auch  tritt  es  in  dem  ehrenvollen  Andenken 
an  den  ihr  zugehörendeu  Mathematiker  Pcirce  hervor.  Wenn  nun 
gleichwol  die  Resultate  aller  publicirten  Vorträge  auf  blosse  Aus- 
dehnung materieller  Kenntnisse  gerichtet  sind,  so  leitet  eine  Aeusse- 
rung  von  S.  Newcomb  in  einem  Vortrag  „über  die  Beziehong  der 
wissenschaftlichen  Methode  zum  socialen  Fortschritt''  auf  eine  Er- 
klärung des  Umstandes.  Er  findet,  dass  in  Amerika  eine  weit  grössere 
Trennung  zwischen  Wissenschaft  und  praktischem  Leben  als  in  der 
übrigen  civilisirtcu  Welt  gemacht  wird,  nur  schreibt  er  die  geschil- 
derte Ansicht  dem  gemeinen  Manne,  nicht  dem  Gelehrten  zn.  Ohne 
Zweifel  ist  aber  auch  letzterer  nicht  von  diesem  Einflüsse  freL  In 
Amerika  findet  die  Realwisseuschaft  auf  ihrem  bekannten  Standpunkt 
ohne  theoretische  Vertiefung  so  viel  Verwertung,  dass  das  ideelle 
Studium  nicht  daran  denkt  etwas  nützliches  zu  schaffen  und  sich 
sorglos  beliebigen  Speculationou  hingibt.  Im  vorliegenden  Falle 
kommt  weiter  hinzu,  dass  die  grosse  Ausdehnung  des  bearbeiteten 
Feldes  jede  Concentration  unmöglich  macht.  In  den  am  je  zweiten 
Sonnabend  stattfindenden  Sitzungen  würde  ein  theoretischer  Vortrag 
ganz  vereinzelt  bleiben.  H. 


Litterarischer  Bericht  VL  27 

Atti  della  R  Accademia  del  Lincei  anno  CCLXXXI.  1883—84. 
Serie  terza.    TransnntL    Volume  YIII.    Roma  1884. 

In  diesem  Bande  sind  folgende  mathematischo  Abhandlungen 
oder  deren  Analysen  enthalten. 

A.  Yioli:  Die  Moleculargeschwindigkeiten  der  luftförmigen 
Körper. 

S.  Bobert  Paolo:  Warum  die  Gletscher  zurückgehen. 

G.  Trattini:  lieber  einige  Sätze  in  der  Theorie  der  Substi- 
tutionen. —  Die  Gruppen  zu  k  Dimensionen. 

As  coli:  Die  Grenzcurven  einer  Varietät  von  Curven. 

P.  Blaserna:  Ueber  die  der  Eisperiode  entsprechende  Tempe- 
ratur. 

A.  Capelli:  Ueber  die  Zusammensetzung  der  Substitutions- 
gruppen. 

F.  Brioschi:  Ueber  eine  Classe  von  Curven  4.  Ordnung. 

A.  Lugli:  Ueber  die  barometrische  Höhenmessung. 

C.  Segre:  Ueber  die  Theorie  der  Classification  der  Homogra- 
phien  in  einem  Räume  von  beliebig  vielen  Dimensionen. 

Y.  Yolterra:  lieber  das  Gleichgewicht  der  biegsamen  und  nicht 
dehnbaren  Flächen.  —  Ueber  ein  elektrostatisches  Problem. 

F.  Bonatelli:  Yen  einigen  psychologischen  Schwierigkeiten, 
die  sich  mittelst  des  Begriffs  des  Unendlichen  lösen. 

G.  Mengarini:  Methode  der  Bestimmung  des  Ohm  in  abso- 
lutem Masse.  H. 


Mathematisch-naturwissenschaftliche  Mitteilungen  herausgegeben 
von  Dr.  Otto  Böklen,  Rektor  der  Realanstalt  in  Reutlingen. 
Heft  I.    1884.    Tübingen  1884.    Franz  Fues.    94  S. 

Diese  neue  Zeitschrift  ist  zum  Organ  der  mathematisch-natur- 
wissenschaftlichen Section  der  Reallehrerversammlung  bestimmt. 
Jährlich  erscheint  ein  Heft  in  gleichem  Umfange.  Das  erste  enthält 
13  Aufsätze,  welche  zum  grössten  Teil  der  reinen  Mathematik  ohne 
Beziehung  zur  Schule  angehören;  zum  Schluss  einen  litterarischen 
Bericht  mit  kurzer  Besprechung  neu  erschienener  Werke.        H. 


Mathematische 
und  physikalische  Bibliographie. 

VI. 


C^ehi^te  der  Mafhoiiaitk  md  Phyillu 

Cantor,  M.,  ttb.  d.  sogenannten  Seqt  d.  aegypt  Mathematiker. 
Wien,  Gerold's  S.    20  Pf. 


Methode  und  Prinefpien. 

Harms,  F.,  Metaphysik.  Hrsg.  y.  H.  Wiese.  Breaiaii,  Köhler. 
2  Mk.  40  Pf. 

Secchi,  A.,  die  Einheit  d.  NaturkHlfte.  Ein  Beitr.  2.  Natur- 
philosophie. Uebers.  v.  R.  L.  Schnlze.  2.  Afl.  5.  Lfg.  Leipzig, 
Frohberg.    2  Mk. 

Siemens,  Sir  W.,  flb.  d.  Erhaltang  der  Sonnen-Energie. 
Uebers.  v.  C.  £.  Worms.    Berlin,  Springer.    4  Mk. 

Weyrauch,  J.  J.,  das  Princip  r.  der  Erhaltg.  d.  Energie  seit 
Mayer.    Zar  Orientimng.    Leipzig,  Tenbner.    1  Mk. 


Sammlungen« 

Dölp,  H.,  Aufgaben  zur  Differential-  n.  Integralrechanog.  4.  Afl. 
Giessen,  Ricker.    3  Mk.  40  Pf. 

Heis,  E.,  Sammig.  y.  Beispielen  n.  Anfg.  ans  d.  allg.  Arith- 
metik u.  Algebra.    66.  Afl.    Köln,  DuMont-Schanberg.    3  Mk. 

Eleyer,  A.,  yoUst  gelöste  Anfg. -Sammig.  a.  allen  Zweigen  der 
Rechenkunst  etc.    141-155.  Hft.    Statt«:art,  Maier.    &  25  Pf . 

Kraft,  F.,  Sammig.  y.  Problemen  d.  analyt  Mechanik.  5.  u. 
6.  Lfg.    Stuttgart,  Metzler's  Verl.    k  2  Mk. 

Lieber,  H.  u.  F.  y.  Ltthmann,  geometr.  Konstructiont-AQf- 
gaben,    7.  Afl.    Berlin,  Simion.    2  Mk.  70  Pf. 


Litterarischer  Berieht   VIL  28 


Litterarischer  Bericht 

VIL 


Methode  und  Prineipien. 

Die  Grundlagen  der  Arithmetik.  Eine  logisch  mathematische 
Untersuchnug  über  den  Bqgriff  der  Zahl.  Von  Dr.  G.  Frege,  a.  o. 
Professor  an  der  Universität  Jena.  Breslau  1884.  Wilhelm  Koeb- 
ner.    119  8. 

Der  Hauptinhalt  der  Schrift  ist  Kritik  von  Meinungen.  Sie  ist 
nicht  nur  die  vorzüglichste  Leistung,  sondern  auf  ihr  wurzelt  anch 
alles  übrige.  In  ihr  offenbart  sich  die  seltene  Begabung  des  Ter- 
fassers,  in  durchweg  verständlicher  Sprache  strenge  und  gründliche 
Prüfung  darzulegen,  und  das  von  den  äussern  logischen  Formen 
freie,  auf  die  Natur  des  Gegenstands  gerichtete  Urteil;  hier  begegnet 
man  auch  häufig  genug  Bemerkungen  von  Interesse.  Wenn  sich  von 
der  Entwickelung  der  eigenen  Ansicht  d  s  Verfassers  nicht  ein  glei- 
ches sagen  lässt,  so  ergeht  es  ihm,  wie  vielen  andern  Schriftstellern. 
Die  eigene  Ansicht  ist  nicht  das  Ergebniss  einer  unabhängigen  Unter- 
suchung, sondern  nimmt  nur  das  Plätzchen  ein,  welches  der  Ver- 
fasser nach  Verwerfung  einer  Reihe  fremder  Urteile  als  intact  hat 
ausfindig  machen  können.  Gehen  wir  jetzt  das  Einzelne  durch. 
In  der  Einleitung  rechtfertigt  der  Verfasser  das  Unternehmen ,  über 
das  Wesen  der  Zahl  eine  Untersuchung  anzusteUen,  und  zwar  da- 
durch, dass  Gelehrte  darüber  abweichend  urteilen.  Der  Grund  möchte 
wol  nicht  ausreichend  sein,  denn  dasselbe  geschieht  oft,  wo  die  Frage 
schon  völlig  erledigt  ist;  überdies  kommt  es  darauf  an,  ob  sie  not- 
wendig ist  oder  doch  zur  Klärung  beiträgt.  Letztere  Unterscheidung 
kennt  die  Schrift  nicht;  bei  aller  Schärfe  der   hier  geübten  Logik 

Axeh.  d.  Kath.  n.  Phys.  2.  Beihe,  Teil  U.  Heft  m.  9 


29  Liäerarischer  Bericht  VIL 

Steht  dieselbe  noch  auf  dem  Standpunkte,   wo  ihr  die  Fähigkeit  zu 
urteilen  als  Endziel  der  Erkenntniss  erscheint,  unbekümmert  darum, 
ob  uns  das  Urteil  einen  Schritt  weiter  bringt,  wo  insbesondere  von 
einer  Definition  nur  gefordert  wird,  dass  die  irgend  woher  zusammen- 
gesuchten und  ausprobirten  Bedingungen  alles  unter  den  Begriff  fal- 
lende ein-,  alles  andere  ausschliessen,   gleichviel  ob  sie  mit  der  Be- 
deutung des  Begriffes   etwas'  zu  tun   haben   oder  ihr  fremd   sind. 
Der  Begriff  ist   einem   solchen   Logiker  nicht   eine  Errungenschaft, 
sondern   ein  vorgefundenes  Stück,  das  er  in  Arbeit  nimmt,  wie  der 
Chemiker  das  Fossil  oder  den  Meteorstein.     Bezeichnend  in  dieser 
Beziehung  ist  die  Auslassung  der  Einleitung  auf  Seite  III.    Der  Ver- 
fasser nennt  es  betrübend  und  entmutigend,   dass  schon  errungene 
Erkenntnisse  wieder  verloren  gehen,   weil  sich  die  Schuldoctrin  mit 
ihrer  „rohcn*^  Auffassung  des  Zahlbegriffs  begnügt  und  die  von  Her- 
bart gegebene  Kichtigstellung  als  überflüssig  bei  Seite  lässt,  ein  Schick- 
sal das  hiernach  wol  auch  sein  Uutersuchungsergebniss  treffen  werde. 
Da  der  Verfasser  dem  Gedanken  nicht  Raum  giebt,  dass  die  angeb- 
lichen Verbessercr  die  Schuld  ganz   oder  zum  Teil  selbst  tragen,  so 
muss  hier  an  Folgendes  erinnert  werden,  was  die  Erscheinung  wol 
genügend  erklären  wird.    In  der  Entwickclungsgeschichte  der  exac^n 
Begriffe,  die  der  Verfasser  gänzlich  ignorirt,  lassen  sich    3  Stadien 
unterscheiden :  1)  bis  zur  objectiven  Gestaltung  der  Vorstellungen  und 
Begriffe,  2)  bis  zur  Gewinnung  exacter  Fuudamcntalbegriffe,  3)  von  da 
an  die  Theorie  bis  zum  heutigen  Standpunkte  umfassend.  Jedes  Stadium 
schliesst  mit  einer  deutlichen,  entschiedenen  Leistung,   die  mit  der 
Elimination  aller  der  Merkmale  verbunden  ist,  die  im  neuen  Stadium 
ausser  Anwendung  kommen.    Als  hervorragende  Beispiele  mögen  ge- 
nannt werden   im    ersten   Stadium  die  Elimination   der  ophthalmo- 
centrischen   Data   bei  Bildung  des  Körper-  und   Raumbegriffs,    im 
zweiten  die  Elimination  der  individuellen  Unterschiede  bei  Bildung 
des  Gattungs-  und  Zahlbegriffes,  durch  welchen  die  articulirte  Sprache 
bedingt  ist,  im  dritten  die  Elimination  des  Grösscnurspruugs  in  Zahl 
und  Ausdehnung  bei  Bildung  der  Begriffe  der  Analysis.    Die  Mathe- 
matik der  Schule  bewegt  sich  im  dritten  Stadium  und  setzt  die  Er- 
zeugnisse des  zweiten  voraus,  wenn  auch  der  Unterricht  vielleicht 
propädeutisch   auf  das  zweite  zurückgreift  und  in  Definitionen  und 
Axiomen  das  Erworbene  formulirt.      Was   eliminirt  ist,  hat  auf  den 
Fortgang  der  zu  lehrenden  Theorie  keinen  Einfluss.    Der  Anfänger 
weiss,  dass  er  Aepfel  und  Glockenschläge  mit  Hülfe    derselben  Be- 
griffe (der  abstracten  1,  2,  3,  etc.)  zählen  kann,  und  begegnet  beim 
Erlernen  der  Arithmetik  keiner  fundamentalen  Lücke  seines  Wissens. 
Wenn  nun  Frege  von  ihm  eine  befriedigende  Antwort  auf  die  Fra- 
gen, was  Einheit  und  was  Zahl  sei,  verlangt,  so  sind  wir  doch  ge- 
wiss ebenso  berechtigt  ihn  zu  fragen ,  was  die  von  ihm  geforderte 


Lütetwrischer  Bericht  VU»  30 

Urteile  über  Einheit  und  Zahl,  wie  er  and  Herbart  sie  geben,  zur 
Bildung  beitragen.  Wenn  Frege  geltend  macht,  dass  wir  keine 
blossen  mechanischen  Rechner  ausbilden  wollen,  so  ist  doch  hinzu- 
zufügen: auch  keine  Conversationslexika.  Nicht  bloss  richtig,  son- 
dern auch  instructiv  müssten  die  urteile  sein  sie  müssten  einen 
Schritt  zum  Ziele  der  Erkenntniss,  ntolich  dem  Ziele,  das  Gegebene 
im  Geiste  zu  beherrschen,  enthalten,  wenn  der  Tadel  begründet  sein 
sollte,  dass  die  Schule  —  oder,  um  dem  Verfasser  nicht  eine  ihm 
ganz  fremde  Specialbeziehung  zuzuschreiben  —  die  intelligente  Mensch- 
heit dargebotene  Erkenntniss  von  sich  weise  und  die  Forschung  vor- 
geblich mache.  Treten  wir  der  Sache  näher,  so  wird  sich  zeigen, 
dass  der  Verbesserer  Punkt  für  Punkt,  indem  er  eine  vulgäre  Ver- 
nachlässigung rügt,  sich  selbst  einer  weniger  verzeihlichen  schuldig 
macht.  Die  Frage,  warum  wir  es  nicht  dabei  bewenden  lassen  kön- 
nen, die  Bedingungen  des  Fortschritts  einer  Fachwissenschaft,  wie 
hier  der  Arithmetik,  zu  erfüllen,  lässt  er  unberührt,  obwol  seine 
Ansicht  darüber  nicht  so  ganz  gleichgültig  sein  würde.  Es  genügt 
wol  anzuführen,  dass  die  Theorie  nicht  den  Inhalt  des  Geisteslebens 
aasmacht,  und  die  Beziehungen  der  Wissenschaftszweige  unter  ein- 
ander und  zum  Leben  eine  rückgängige  Untersuchung  ihrer  Prin- 
cipien  und  damit  das  Studium  der  Erkenntniss  überhaupt  for- 
dern. In  diesem  Sinne  mag  die  Auffassung  der  Zahl,  welche  von 
der  allgemeinen  Erkenntnisslehre  keine  Notiz  nimmt,  eine  rohe  ge- 
nannt werden.  Indes  verleihen  doch  der  Beschränkung  auf  das  dritte 
Stadium  die  unausgesetzten  Erfolge  eine  gewisse  Rechtfertigung.  Der 
Logiker  dagegen,  welcher  jene  Vernachlässigung  rügt  und  es  be- 
trübend und  entmutigend  nennt,  nirgends  Sini»  für  principielle  Re- 
vision zu  finden,  und  doch,  wo  es  eben  auf  Gründlichkeit  ankäme, 
seinerseits  wieder  das  erste  Stadium  ignorirt,  indem  er  nur  den  ob- 
jectiven,  fertigen  Begriff,  nicht  aber  seine  Entwickelung  und  seinen 
Zweck  der  Betrachtung  für  wert  hält,  möchte  schwerlich  irgend 
welche  Erfolge  seiner  logischen  Doctrin  aufweisen,  die  ihm  keine 
Zeit  Hessen  über  die  Grenzen  des  zweiten  Stadiums  weiter  zurück 
zu  gehen.  Im  Gegenteil  hat  diese  doctrinäre  Logik,  deren  Sätze  aus 
roher  Empirie  hervorgehen,  aber  vom  Autor  für  ewige  Denkgesetze 
ausgegeben  werden ,  weil  er  nicht  anders  denken  kann,  die  also  aus 
dem  Unvermögen,  statt  auf  ihre  Incompetenz,  auf  die  Gewissheit 
schliesst,  nur  mehr  und  mehr  Schwierigkeiten  gehäuft,  statt  sie  zu 
lösen  —  vergl.  das  etwa  6  Seiten  lange  Resultat,  welches  Baumann 
aus  seiner  Zusammenstellung  der  Lehren  der  Philosophen  über  Raum 
und  Zeit  zieht.  In  der  Tat  nimmt  sie  den  ungünstigsten  Standpunkt 
ein,  wo  sie  sich  nach  unten  und  nach  oben  den  Blick  verschliessti 
und  darum  aller  Orientirung  entbehrt.  Fand  also  der  Verfasser  in 
der  Bestimmung  des  Zahlbegriffs   eine  Schwierigkeit,  so  war  es  zu- 


Sl  Litterarischer  Beriehi  Vlh 

n&chst  die,  sich  im  Finfitern  nicht  zu  stossen.  Der  Arithmotiker 
ompfindot  sie  nicht,  weil  er  der  Frage  den  Rücken  znkehrt  Aber 
auch  der  begegnet  keiner  Schwierigkeit,  welcher  die  Entwickelang 
des  Begriffs  von  Anfang  an  verfolgt.  Jedenfalls  ist  es  sehr  begreif- 
lich, dass  von  keiner  Seite  eine  Nachfrage  nach  der  sngebüdien 
Lösung  stattfindet,  wo  sie  von  der  einen  leicht  entbehrt,  Ton  der  an- 
dern leicht  vollständig  gegeben  werden  kann. 

Folgende  Stelle  der  Einleitung  p.  Y.  scheint  auf  das  Vorstehende 
Bezug  zu  haben.  „ Eine  gründliche  Untersuchung  des  Zahl- 
begriffs wird  immer  etwas  philosophisch  ausfallen  roüsseu.  Diese 
Aufgabe  ist  der  Mathematik  und  Philosophie  gemeinsam.  Wenn  das 
Zusanmienarbeiten  dieser  Wissenschaften  trotz  mancher  Anläufe  vou 
beiden  Seiten  nicht  ein  so  gedeihliches  ist,  wie  es  zu  wünschen  und 
wol  auch  möglich  wäre,  so  liegt  das,  wie  mir  scheint,  an  dem  Ueber- 
wiegen  psychologischer  Betrachtungsweisen  in  der  Philosophie,  die 
selbst  in  die  Logik  eindringen.  Mit  dieser  Richtung  hat  die  Mathe- 
matik gar  keine  Berührungspunkte,  und  daraus  erklärt  sich  leicht 
die  Abneigung  vieler  Mathematiker  gegen  philosophische  Betrachtun- 
gen.^' Dies  bestätigt  zum  Teil  direct  das  Gesagte:  der  Mangel  an 
Erfolgen  der  philosophischen  Mitwirkung  wird  eingeräumt  Dass  der 
behauptete  Grund  davon  gerade  der  entgegengesetzte  ist,  legt  jeoe 
unklare  Begriffsmischung  der  doctrinären  Logiker  an  den  Tag,  welche 
Mittel  und  Wege  der  Erkenntniss  von  ihrem  Product  nicht  unter- 
scheiden können.  Allerdings  hat  die  Mathematik  als  fertiges  Pro- 
duct mit  psychologischer  Betrachtungsweise  nichts  zu  tun;  denn  dass 
dasselbe  vollkommen  objectiv  sei,  ist  eben  die  Forderung  der  Wissen- 
schaft. Aber  die  ganze  Arbeit,  welche  das  Product  schafft,  die  Wahl 
der  Transformationen,  die  Bildung  geeigneter  Begriffe,  die  Beweise, 
überhaupt  alles,  was  einen  Zweck  verfolgt,  sind  ihrer  Natur  nach 
psychische  Vorgänge;  wer  darüber  principiell  und  allgemein  urteilen 
will ,  darf  gegen  die  psychische  Natur  des  Gegenstandes  nicht  blind 
sein,  und  das  ist  es  doch,  was  der  Verfasser  mit  der  Abweisung  der 
psychologischen  Betrachtung  schlechthin  fordert.  Der  doctrinäre 
Logiker  pflegt  in  der  Täuschung  befangen  zu  sein,  er  könne  der 
Ueberzeugungskraft  der  Beweise  bestimmte  Formen  der  Schlüsse 
unterlegen.  Er  wird  aber  nicht  gewahr,  dass  er  sich  auf  das  Ailer- 
subjectivste  und  noch  dazu  das  Unwissenschaftlichste  stützt:  auf  den 
Glauben  an  die  unverstandene  Wunderkraft  der  Schlussformen  und 
auf  seine  eigene  Unfähigkeit  anders  zu  denken.  Hat  nun  der  Ver- 
fasser richtig  bemerkt,  dass  die  logischen  Fragen  in  neuerer  Zeit 
mehr  und  mehr  psychologisch  in  Angriff  genommen  werden,  so  kann 
man  wol  zugeben,  dass  dies  Untersuchungsgebiet  dem  rein  theoreti- 
schen Arithmetiker  femer  liegt  als  das  der  formalen  Logik;  nur  er- 


LiUerarischer  Beruht   VII.  32 

klärt  der  Umstand  uicbt,  wie  die  dahin  einschlagenden  Arbeiten 
einem  gedeihlichen  Zusammenwirken  hätten  im  Wege  stehen  können, 
wenn  die  formale  Logik  sich  zu  annehmbaren  Leistungen  fähig  ge- 
zeigt hätte.  Die  Schuld  an  deren  Unvermögen  schiebt  der  Verfasser 
auf  die,  welche  gar  nicht  daran  beteiligt  sind. 

Nach  der  Einleitung  beginnt  die  Schrift,  nochmals  einleitend, 
mit  einer  Erörterung  der  Begriffe  „analytisch,  synthetisch,  apriori, 
aposteriori".  Es  ist  dies  ein  Thema,  welches  gewohnheitsmässig  vor 
jeder  logischen  Untersuchung  behandelt  zu  werden  pflegt,  obgleich 
leicht  zu  bemerken  ist,  dass  die  betreffenden  Fragen  ratissig  aufge- 
worfen werden,  indem  im  weiteren  nichts  darauf  Bezug  hat  Im  Vor- 
liegendcfn  ist  nur  eine  charakteristische  Aeussorung  zu  erwähnen; 
zuerst  die  sehr  richtige  und  sonst  wenig  beachtete  Bemerkung:  „Aus 
einzelnen  Tatsachen  folgt  nichts".  Hieraus  aber  schliesst  der  Ver- 
fasser: „Wenn  man  überhaupt  allgemeine  Wahrheiten  (poetischer 
Ausdruck  statt:  richtige  Sätze)  anerkennt,  so  muss  man  auch  zu- 
geben, dass  es  solche  Urgesetze  gibt,  die  selber  eines  Beweises  weder 
fähig  noch  bedürftig  sind".  Wie  defect  dieser  Schluss  ist,  liegt  am 
Tage:  es  fehlt  jeder  Grund  der  Ausschliessung  weiterer  Möglich- 
keiten. Was  dem  Bauer  unbegreifliches  begegnet ,  muss  sein  Kobold 
getan  haben.  Ebenso  stellt  sich  die  obige  Aensscrung  dar:  die  Ur- 
gesetze sind  nur  ein  Name,  der  substituirt  wird,  wo  die  Erklärung 
fehlt.  Was  eine  ganz  einfache  Betrachtung  des  Zugrundeliegenden 
ergibt,  ist  folgendes.  Da  der  Mensch,  ohne  Wissen  geboren,  zu  all- 
gemeinen Erkenntnissen  gelangt,  und  aus  den  erlebten  Tatsachen 
nichts  folgt,  so  muss  es  andre  intellectuello  Tätigkeiten  geben  ausser 
dem  Schliessen.  Diese  sind  denn  auch  leicht  aufzuweisen  und  be- 
kannt genug:  Ordnen,  Scheiden,  Combiniren,  Setzen  von  Merkzeichen 
u.  s.  w.  Sie  behaupten  nichts,  sind  daher  unbestreitbar  und  bedürfen 
keines  Beweises,  iühren  aber  zur  Entdeckung  ausschliessender  Gegen- 
sätze, der  Basis  sicherer  Schlüsse,  zu  der  Orientirung,  die  vor  Irrtum 
mehr  schützt  als  alles  andre.  Wem  es  au  Orientirung  fehlt,  dem 
ist  selbst  der  Identitätssatz  eine  Quelle  von  Irrtümern. 

Jetzt  folgt  die  Kritik  von  Meinungen  einiger  Schriftsteller,  zu- 
erst über  die  Natur  der  arithmetischen  Sätze.  Hier,  wo  sich  der 
Verfasser  in  der  günstigen  Lage  befindet,  ohne  Verbindlichkeit  für 
Berichtigung  und  Lösung  nur  Mängel  fremder  Versuche  anzeigen  zu 
müssen ,  zeigt  er  sich  in  den  engen  Grenzen  der  formulirten  Fragen 
gut  orientirt  und  lässt  weder  formell  noch  substantiell  den  gehörigen 
Einblick  vermissen.  Ein  Zweifel  bleibt  nur,  ob  nicht  eben  diese 
Beschränkung  eine  Misdeutung  des  Autors  enthält.  Die  erste  Frage 
ist:  Sind  die  Zahlformelu  beweisbar?  Dass  der  Beweis  für  3-f-2»5, 


33  Lüterarücker  Beruht  VJL 

auf  blosso  rccnrreute  Definition  von  2,  3,  5  gestützt,  eine  Locke 
enthält,  wird  keiner  Einwendung  begegnen.  Wenn  hingegen  der  Ver- 
fasser der  Behauptung  Miirs,  dass  die  Definitionen  der  Arithmetik 
beobachtete  Tatsachen  enthalten,  mit  der  Frage  entgegentritt:  welche 
beobachtete  Tatsache  in  der  Definition  der  Zahl  777864  behauptet 
wird;  wenn  er  ferner  es  misslich  nennt,  einen  grundsätzlichen  Unter- 
schied zwischen  kleineu  und  grossen  Zahlen  zu  machen,  so  scheint 
doch  alles  Yerständniss  fttr  empirische  Erkenntniss  zu  fehlen.  Neh- 
men wir  den  Fall,  jemand  lese  eine  unendliche  Reihe,  welche  wie 
oft  geschieht  durch  Angabe  der  Anfangsglieder  ausgedrückt  ist;  dann 
wird  er  in  der  Tat  das  millionste  Glied  auf  Grund  einer  Beobach- 
tung erkennen,  aber  nicht  wie  der  Verfasser  meint  der  analogen 
Beobachtung  eben  dieses  Gliedes,  sondern  etwa  des  2ten  and  3ten 
Gliedes,  so  viele  deren  genügen  das  Gesetz  des  Fortschritts  daraas 
zu  entnehmen.  Hier  ist  wirklich  ein  Unterschied  zwischen  kleinen 
und  grossen  Zahlen  vorhanden;  die  Theorie  ist  davon  frei,  aber  für 
ihre  Basis  ist  dieses  psychische  Element  unentbehrlich.  Ebenso  ge- 
nügt die  Beobachtung  an  kleinen,  vorstellbaren  Zahlen  zur  Ent- 
deckung, dass  zur  recurrenten  BegriiTsbestimmnng  die  Speclalität  der 
Zahl  nicht  mitwirkt,  mithin  zur  Gewinnung  eines  Begriffs  von  unbe- 
grenzter Ausdehnung.  Da  Fregc,  wie  aus  vielen  Aeusserungcn  her- 
vorgeht, kein  Werden  der  Begrifie  kennt,  so  ist  ihm  erklärlicher- 
weise der  Fall  nicht  in  den  Sinn  gekommen,  dass  bei  Bildung  eines 
homogenen  Begriffs  zwischen  Anfang  und  Vollendung  ein  heterogener 
Geistesact  als  notwendiges  Glied  eintreten ,  der  einfache  Begriff  auf 
zusammengesetztem  Boden  stehen  könne,  obwol  dieser  Fall,  wie  z.  R 
bei  der  Function  a*,  bekannt  genug  ist.  Frege  nennt  es  ein  Vor- 
urteil von  Mill,  dass  alles  Wissen  empirisch  sei.  Nach  seiner  Logik 
ist  es  also  ein  Vorurteil,  dass  man  erklären  kann,  was  er  als  auf 
einem  Urwissen  beruhend  unerklärt  lässt:  analog  ist  es  dann  auch 
ein  Vorurteil  der  Baumeister,  dass  man  Häuser  bauen  kann!  Ge- 
wöhnlich aber  spricht  man  von  Vorurteil,  wo  eine  Meinung  der  Er- 
kenntniss hinderlich  ist,  und  das  trifft  gewiss  zu  bei  Frege's  Meinung 
über  die  empirischen  Wissenschaften,  deren  wesentliches  logisches 
Organ  er  irrigerweise  im  luductionsscbluss  sieht,  denn  diese  hindert 
ihn  von  der  erfolgreichen  Logik  der  Empirie  Kenntniss  zu  nehmen. 
Aus  dem  Mitgeteilten  lässt  sich  nicht  beurteilen,  ob  Mill  eine  rich- 
tigere Auffassung  der  Empirie  besass;  denn  das  Wesentliche  d&rin 
würde  doch  bei  der  Wiedergabe  unbeachtet  geblieben  sein.  Dass 
Mill  für  jede  Zahl  eine  besondere  Beobahtung  fordere ,  ist  nur  Fre- 
ge's Conjectur  aus  unzureichenden  Gründen,  von  Mill  nicht  ausge- 
sprochen. 

Die  ferneren  Fragen  sind  folgende:  Sind  die  Gesetze  derArith- 


Litterarücher  Bericht  VIL  34 

metik  inductive  Wahrheiten?  Sind  sie  synthelicch  apriori  oder  ana- 
lytisch?  Die  Fragen  über  die   Anzahl   lauten:   Ist  sie  eine  Eigen- 
schaft der  äussern  Dinge?  Ist  sie  etwas  subjectives?  Die  über  Einheit 
und  Eins:   Drückt  das  Zahlwort  „ein'^  eine  Eigenschaft  von  Gegen- 
ständen aus?  Sind  die  Einheiten  einander  gleich?  Ueberall  leidet  die 
Untersuchung  bei  aller  Vielseitigkeit  an  demselben  Mangel,  an  dem 
Ausscrachtlassen    der    Genesis.    Aus    vielem   Argumentiren    kommt 
heraus,   dass  die  Anzahl,   soviel  sie  auch  subjective  Seiten  zeigte, 
doch    objcctiv  sei.    Das  war  nun  eigentlich   durch  die  Existenz  der 
Arithmetik  vorher  bekannt.    Vermischt  man  aber  mit  diesem  auf  das 
dritte   Stadium  bezüglichen  Urteile  solche  aus   den  frühem  Stadien, 
so  darf  man  sich  nicht  wundern,  wenn  manches  unvereinbare  zutage 
kommt.    Ein  Fall  derart  liegt  vor,  wo  der  Verfasser  bei  Abschluss 
der   Kritik   fremder  Meinungen  die  restircnde    Schwierigkeit  findet: 
wir  müssten  denselben  zufolge  den  Einheiten   zwei  widersprechende 
Eigenschaften  beilegen:   die  Gleichheit  und  die  Verschiedenheit.    In 
der   Tat  ist  die  Verschiedenheit  im  ersten  Stadium   notwendig  als 
Motiv  zum  Zälilen,  im  dritten  die  Gleichheit  der  Einheiton  als  Ge- 
genstand der  Theorie;   die  Verschiedenheit  ist  im  resultirenden  Be- 
griff eliminirt,  ein  Widerspruch  weder  da  noch  hier  vorhanden.   Unter 
der  üeberschrift :    „Lösung  der  Schwierigkeit"    —    werden  zunächst 
folgende  Urteile   über   die   Zahl    zusammengestellt,    welche  aus  den 
vorhergehenden  Betrachtungen  stammen.     Die  Zahl  ist  nicht  in  der 
Weise  wie  Farbe,   Gewicht,  Härte  von  den  Dingen  abstrahirt,  nicht 
in  dem  Sinne  wie  diese  Eigenschaft  der  Dinge.     Sie  ist  nichts  phy- 
sikalisches, aber  auch  nichts  subjectives,  keine  Vorstellung.    Sie  ent- 
steht nicht  durch  Hinzufügung  von  Ding  zu  Ding.     Die  Ausdrücke 
Vielheit,  Menge,  Mehrheit  sind  wegen  ihrer  Unbestimmtheit  unge- 
eignet zur  Erklärung  der  Zahl  zu  dienen.  Die  Abgegrenztheit,  die  Un- 
geteiltheit, die  Unzerlegbarkeit  sind  keine  brauchbaren  Merkmale  für 
das,  was  wir  durch  das  Wort  „Ein"  ausdrücken.    Wenn  man  die  zu 
zählenden  Dinge  Einheiten  nennt,  so  ist  die  unbedingte  Behauptung, 
dass  die  Einheiten  gleich  seien,  falsch.    Dass  sie  in  gewisser  Hinsicht 
gleich  sind,  ist  richtig  aber  wertlos.    Die  Verschiedenheit  der  Dingo 
ist  sogar  notwendig,   wenn  die  Zahl  grösser  als  1  werden  soll.    Es 
ist  ein  Unterschied    zwischen  Eins   und    Einheit   zu   machen.     Das 
Wort  Eins  ist  als  Eigenname  eines  Gegenstandes  der  mathematischen 
Forschung  eines  Plurals  unfähig.    Es   ist  also  sinnlos  Zahlen  durch 
Zusammenfassen  von  Einsen  entstehen  zu  lassen.    Nach  allen  diesen 
negativen  Merkmalen,  denen  keine  problematische  positive  Bestim- 
mung, d.  h.  Aussage,  wozu  der  Begriff  notwendig  ist,  was  er  leistet, 
gegenüber  gestellt  wird,  erwartet  man  nun  wenigstens  die  Erklärung 
des  Verfassers,  welche  Stelle  er  selbst  dem  Begriffe  zuerteilt,  womit 
freilich  auch  nur  eine  neue  Meinung  aufgestellt  wäre,  während  er 


35  LUUrarUeher  Bericht  VIL 

schlechthin  eine  LOsnng  versprochen  hat.  Aber  diese  Erkiärong 
folgt  nicht,  sie  scheint  vergessen  zn  sein;  denn  nachdem  die  Schrift 
in  Betrachtungen  nnd  Erwägungen  noch  einige  Seiten  fortgefahren 
hat,  ist  einmal,  dann  öfters  von  der  Ansicht  des  Verfassers,  als  wena 
sie  vorher  aasgesprochen  wäre,  die  Rede.  Soviel  sich  nun  aus  dem, 
was  zu  ihrer  Verteidigung  gesagt  wird,  entnehmen  lässt,  besteht  die 
gedachte  Ansicht  darin,  dass  die  Zahl  als  Merkmal  am  Grattungs- 
begriff  haftet,  so  dass  z.  B.  die  Begriffe  Jupitersmond,  Angehöriger 
des  deutschen  Reichs  sich  verändern,  wenn  bzhw.  ein  fünfter  ent- 
deckt, ein  neuer  geboren  wird  —  Beispiele  die  der  Schrift  entlehnt 
sind.  Für  diese  Ansicht  werden  allerhand  Bestätigungen  zusammen- 
gesucht, ohne  auch  nur  das  AUerbekannteste  zu  erwähnen,  womit  sie 
im  Widerstreit  steht.  Schon  aus  der  Grammatik,  wenn  sie  auf  die 
logischen  Verhältnisse  etwas  näher  eingeht,  ist  bekannt,  dass  Gattung 
und  Zahl  zwei  sich  einander  ergänzende  Begrifife  sind,  deren  Leistung 
durch  ihre  Sonderung,  durch  die  Fähigkeit  unabhängig  von  einander 
zu  variiren  bedingt  ist.  Dasselbe  lehrt  der  gewöhnliche  Gebrauch. 
In  der  Isolirung  der  Bestandteile,  welche  einzeln  variiren  können, 
liegt  der  Fortschritt  der  Erkenntniss,  indem  daraus  der  constante 
Bestandteil,  der  sich  als  dauernder  Begriff  festhalten  lässt,  gewonnen 
wird.  Diesen  Forscbritt,  und  damit  die  ganze  Bedeutung  dc^  Be- 
griffe Gattung  und  Zahl  macht  der  vorliegende  Versuch  zunichte. 
Erwähnt  mag  noch  sein,  dass  der  Verfasser  die  Null  als  diejenige 
Zahl  definirt,  welche  einem  in  der  Wirklichkeit  nicht  repräsentirten, 
vielleicht  sogar  unsinnigen  Begriffe  als  Merkmal  zugehört  Das  Ge- 
nannte wird  wol  zur  Genüge  gezeigt  haben ,  dass  der  Verfasser  sehr 
mit  Unrecht  die  Arithmetiker  getadelt  hat,  welche  von  seiner  Be- 
lehrung keinen  Gebrauch  machen.  Hoppe. 


Der  Grenzbegriff  in  der  Elementar-Mathemätik.  Von  Heinrich 
Vogt,  Programm  des  Königl.  Friedrichs-Gymnasiums  zu  Brcslao 
1885.    53  S. 

In  der  Einleitung  sagt  der  Verfasser,  das  Vorhandensein  voo 
Axiomen  sei  für  die  Elementarmathematik  keine  Schwierigkeit;  denn 
der  Anfänger  könne  begreifen,  warum  sie  notwendig  sind.  Dagegen 
gebe  es  Schwierigkeiten  in  den  Grundbegriffen,  namentlich  im  Begriff 
der  Grenze.  Es  ist  schon  auffällig,  dass  er  den  Doppelsinn  dieses 
Wortes  nicht  gleich  bei  erster  Nennung  hebt,  noch  mehr  aber,  dass 
er  wirklich  in  beiderlei  Sinne  von  Grenze  spricht,  als  ob  es  dieselbe 
Sache  wäre,  so  dass  man  kaum  umhin  kann  anzunehmen,  das  ihn 
der  gleiche  Terminus  dazu  verführt  hat  zwei  ganz  unähnliche  Be- 
griffe zu  mischen.    Dieser  Umstand  allein  würde  ihm  Grund  genug 


TMUrariacher  Bericht   VII.  3ß 

geben  können,  Schwierigkeiten  da  zu  finden,  wo  keine  sind.  Doch 
kommeo  weitere  Denkfehler  hinzu,  die  auch  bei  gehöriger  Scheidung 
bestehen  bleiben.  In  der  Einleitung  ist  mit  Grenze  offenbar  der 
Grenzwert  geroeint.  Gleich  im  Anfang  des  I.  Abschnitts:  „Die  geo- 
metrischen Grundbegriffe^'  —  handelt  es  sich  um  die  Fläche  als 
Grenze  zwischen)  zwei  Raumteilen.  Der  Verfasser  versucht  zu 
beweisen,  dass  die  Grenzfläche  undenkbar  sei,  begeht  aber  dabei 
einen  so  groben  logischen  Fehler,  dass  auch  nicht  ein  Schein  von 
Bündigkeit  entsteht.  Er  fragt:  Gehört  die  Grenze  einem  von  beiden 
Raumteilen  oder  beiden  oder  keinem  von  beiden  zu?  —  überflüssiger- 
weise,  denn  dass  sie  beiden  zugehört,  ist  jedermann  geläufig;  die 
andern  Fälle  sind  wol  nur  zur  Ablenkung  der  Aufmerksamkeit  her- 
beigezogen. Beiden,  sagt  er,  könnte  die  Grenze  nicht  zugehören, 
denn  als  verschiedene  Raumteile  könnten  sie  nicht  etwas  gemein- 
schaftliches haben.  Wie  will  der  Verfasser  das  jemandem  einreden? 
Haben  nicht  zwei  Brüder  ihren  Vater,  zwei  Löffel  in  einem  Kasten 
diesen  Kasten  gemeinschaftlich?  Hiernach  scheint  es,  als  ob  der  Ver- 
fasser Haben  und  Sein  verwechselt.  Oder  sollen  wir  vielleicht  Un- 
ausgesprochenes ergänzen?  Hat  er  etwa  mit  Zugehören  gemeint:  als 
Teil  zugehören?  Dann  würde  man  sogleich  antworten:  Die  Fläche 
ist  kein  Teil  eines  Raumes;  wer  ihren  Begriff  erklären  will,  darf  ihn 
nicht  subsumiren  wollen,  denn  wenn  das  gienge,  so  wäre  der  Flä- 
chenbegriff unnütz,  und  das  widerlegt  die  Geometrie.  Um  den  Ein- 
druck der  angeblichen  Schwierigkeit  noch  zu  erhöhen,  wird  weiterhin 
angeführt,  dass  die  Fläche  2  Seiten  hat.  Wahrscheinlich  verwechselt 
hier  der  Verfasser  Haben  mit  In-  sich-  enthalten;  denn  sonst  sieht 
man  nicht,  welche  Schwierigkeit  er  meinen  kann.  Nachdem  sich  nun 
der  Verfasser  aus  einfachen  und  leicht  verstellbaren  Begriffen  durch 
allerhand  Vermischungen  und  Verwechselungen  ein  recht  trübes  Me- 
dium geschaffen  hat,  nimmt  er  Anlass,  die  scheinbare  Oberfläche  der 
aus  getrennten  Atomen  bestehenden  Körper  in  Vergleich  mit  der 
ideellen  Fläche  zu  besprechen.  Hierauf  weiter  einzugehen  ist  uner- 
quicklich, solange  die  klare  logische  Basis  fehlt.  Sehr  verschieden 
von  diesem  ersten  Abschnitt  ist  der  zweite,  betitelt:  Das  Messen 
nnd  die  Irrationalzahl.  Zwar  beruht  auch  hier  die  vermeintliche 
Schwierigkeit  auf  einem  logischen  Fehler,  doch  beschränkt  sich  dessen 
Einfluss  auf  einige  Urteile,  während  im  übrigen  die  Darstellung  die 
Klarheit  nicht  vermissen  lässt  und  viel  instructives  darbietet  Mit 
gehöriger  Umsicht  und  durchweg  treffend  wird  erst  die  Aufgabe  dis- 
cutirt,  die  stetige  Grösse  durch  die  Zahlgrösse  zu  decken.  Die 
Darstellung  lässt  so  lange  nichts  vermissen,  bis  (auf  Seite  34)  der 
Verfasser  in  den  bekannten,  oft  gerügten  und  doch  leicht  zu  berich- 
tigenden Fehler  verfällt,  die  variabele  Grösse  ihrem  Grenzwert  gleich 
zu  setzen,  indem  er  sagt;  der  Begriff  der  Gleichheit  müsse  erweitert 


87  Liiterariacher  Bericht  VIL 

werden.  Der  Fehler  entspringt  aus  dem  Vorurteil:  Wir  dOrfen  die 
Wahrheit  nicht  aussprechen,  wo  sie  uüserm  Zwecke  zuwider  ist 
Sagen  wir,  jene  Grössen  seinen  ungleich,  so  kommen  wir  erst  nach 
unendlichem  Process,  d.  h.  nie  zum  Ziele.  In  diesem  Irrtum  ist  der 
Verfasser,  und  mit  ihm  Viele,  stecken  gehlieben.  Sie  haben  vergessen 
zu  fragen;  Was  ist  eigentlich  unser  Zweck?  Nirgends  wird  dir 
Gleichheit  jener  zwei  Grössen  gefordert ,  sondern  stets  die 
Gleichheit  zweier  Constanten,  welche,  wie  leicht  zu  beweisen,  aus 
der  unendlich  kleinen  Differenz  beider  gegen  die  variabele  Grösse 
folgt.  Unter  den  Schriftstellern  indes ,  welche  an  dem  Irrtame  be- 
teiligt sind,  unterscheidet  sich  Vogt  durch  die  für  den  Leser  ange- 
nehmere Auskunft,  indem  er  denselben  mit  allen  Versuchen  aus  der 
selbstgeschaffenen  Schwierigkeit  herauszukommen  verschont,  und  die 
Frage  mit  der  sogenannten  Begriffserweiterung  der  Gleichheit  für 
erledigt  ausgibt;  nur  scheint  ihm  die  Theorie  der  Grenzwerte  nicht 
auf  gleicher  Stufe  der  Klarheit  mit  der  Euklidischen  Lehre  zu  ste- 
hen. Dieser  Umstand  führt  ihn  auf  die  Bemerkung,  dass  Euklid 
sichtlich  alle  Infinitesimal-Betrachtungen  vermeidet,  und  auf  das,  was 
sie  erfordert,  verzichtet,  während  Archimedes  die  Infinitesimal-Frage 
durch  die  Exhaustionsmethode  in  Angriff  nimmt.  Nachdem  dies  eia- 
gehend  dargelegt,  schliesseu  sich  pädagogische  Folgerungen  an.  Der 
Verfasser  befürwortet  das  Festhalten  an  der  Euklidischen  Besehräo- 
kung  im  Bereich  der  Schuldoctrin.  Wo  das  Unendliche  unentbehr- 
lich sei ,  solle  mau  es  auf  ein  Minimum  rcduciren.  Dem  aber  setzt 
er  ohne  alle  Zwischenstufen  nur  das  Betroiben  der  Differentialrech- 
nung auf  der  Schule  entgegen.  Wenn  man  nun  auch  mit  dem  Aus- 
schluss der  letztern  recht  einverstanden  sein  kann,  so  liegt  der  Grund 
doch  am  allerwenigsteus  im  Intinitesimalbogriff  als  solchem ,  sondere 
in  seiner  Complication  mit  dem  Functionsbegriff,  der  die  höhere 
Mathematik  von  der  Schuldoctrin  scheidet.  Der  Infinitesimaibegnff 
selbst  hingegen  und  seine  einfachem  Anwendungen,  wie  sie  in  der 
Elementar-Mathcmatik  ihre  Stelle  tinden,  sind  so  leichtfasslich,  dass 
sie  der  Klarheit  und  Strenge  keinen  Abbruch  tun.  Gerade  im  Ge- 
gensatz zu  dem,  was  Vogt  rät ,  müssen  wir  fordern,  dass,  wo  solche 
Anwendungen  stattlindcn,  auch  die  ausdrückliche  Erklärung  nicht 
fehlt,  und  dass  die  Erklärung  von  dem  genannten  Fehler  frei  ist, 
Variabele  und  Grenzwert  gleich  zu  setzen  oder  auf  einen  unendlidien 
Process  zu  verweisen,  ferner  dass  alle  symbolischen  od .  r  abgekürzten 
Redeweisen,  die  das  Unendliche  betreffen,  aus  dem  Elementaranter^ 
rieht  verbannt  werden.  Dann  ist  gerade  die  hänüge  Anwendung, 
nicht  die  Beschränkung  auf  ein  Minimum  dem  Verständnisss  günstig. 

Hoppa 


Litierariacher  Bericht   VIL  38 

Vermischte  Schriften. 

Jorual  de  sciencias  mathematicas  e  astronomicas  publicado 
pelo  Dr.  F.  Gomes  Teixeira,  Professor  de  mathematica  na  uni- 
versidade  de  Coimbra,  Socio  corrcspoudente  da  Academia  Real  das 
sciencias  de  Lisboa  e  da  Sociedade  de  sciencias  pbysicas  e  naturaes 
de  Bordeaux.    Volnme  V.    Coimbra  1883. 

Der  Inhalt  des  5.  Bandes  ist  folgender. 

J.  A.  Martins  da  Silva:  Note  über  die  Unabhängigkeit  der 
Nullweile  der  Jacobi'schen  Function  von  normalen  Aberschen  Inte- 
gralen erster  Gattung.  —  Ueber  eine  Formel  bezüglich  auf  die 
Theorie  der  elliptischen  Functionen. 

B.  H.    Note  über  ein  Problem  der  rationalen  Meehanik. 

A.  F.  Rocha  Peixoto:  üeber  die  homologischen  Trieder. 

Duarto  Leite  Pereira  da  Silva;  Ueber  einige  bestimmte 
Integrale. 

C.  le  Paige:  Homographien  und  Involutionen  höherer  Ord- 
nungen. 

L.  F.  Marecas  Ferreira:  Ueber  die  trinomischen  Glei- 
chungen. 

G.  C.  Lopes  Banhos:  Geometriche  Bestimmung  der  Trägheits- 
momente der  Rotationskörper. 

A.  Schiappa  Monteiro:  Untersuchungen  bezüglich  auf  den 
variabeln  Kreis,  welcher  2  gegebene  Kreise  unter  gegebenen  Winkeln 
schneidet 

F.  Gomcs  Teixeira:  Lösung  der  Aufgabe  23.  Summation  der 
Reihe : 

vfo    e^M^    '°    *^^'  H. 

Acta  Mathematica.  Zeitschrift  herausgegeben  von  G.  Mittag- 
Leffler.  Stockholm  1885.  F.  u.  G.  Beijer.  Berlin,  Mayer  u. 
Müller.    Paris,  A.  Hermann. 

Der  Inhalt  des  5.  Bandes  ist  folgender. 
C.  J.  Malmsten:  Ueber  die  Formel: 

Ati/  «  ^wa:-  2 ^**'  +  iT2"  ^'*'        iT2^7i ^uj^+  etc. 

E.  Phragm^n:  Beweis  eines  Satzes  aus  der  Mannichfaltig- 
keitslehre. 

L.  Scheefer:  Allgemeine  Untersuchungen  über  Rectification 
der  Curven.  —  Zur  Theorie  der  stetigen  Functionen  einer  reellen 
Yeräuderlichen. 


39  Liiterarig<Aer  Bericht   VII, 

H.  Erej:  Einige  Anzahlen  für  Kegelflächen. 

E.  Gonrsat:  lieber  eine  Classe  von  Doppelintegralen. 

E.  Picard:  Ueber  die  unbestimmten  ternären  quadratischen 
Formen  zu  conjugirten  anbestimmten  nnd  Aber  die  entsprecheoden 
hyperfuchsischen  Functionen. 

C.  Le  Paige:  Neue  Untersuchungen  Aber  die  Flachen  3.  Ord- 
nung. 

H.  G.  Zenthen:  Ueber  die  einer  kubischen  Fläche  eingeschrie- 
benen Pentaeder. 

H.  Schroeter:  Beiträge  zur  Theorie  der  elliptischen  Func- 
tionen. 

H.  Poincar6:  Abhandlung  über  die  zetafuchsichen  Fnuetioneo. 

Ch.  Herrn ite:  Ueber  einige  arithmetische  Folgerungen  aus  deu 
Formeln  der  Theorie  der  elliptischen  Functionen. 

W.  Fiedler:  Ueber  die  Durchdringung  gleichseitiger  Rotations- 
hyperboloide  von  parallelen  Axen.  H. 

Yerslagen  en  MededeeliDgen  der  Koninklijke  Akademie  ran 
Wetenschappen.  Afdeeling  Naturkunde.  Tweede  reeks.  Nc^entiende. 
twintigste  deel.    Amsterdam  1884.    Johannes  Müller.    441  -j-  452  S. 

Der  19.  und  20.  Teil  enthalten  folgende  mathematische  Abhand- 
lungen: 

T.  J.  Sticltjes:  Ueber  die  quadratische  Zerlegung  von  Prim- 
zahlen der  Form  3«-f-l.  (19). 

C.  le  Paige:  Ueber  die  Flächen  3.  Ordnung.    (19). 

F.  de  Boer:  Erweiterung  des  Satzes  von  Rolle.  (19).  — 
Discussion  der  allgemeinen  Gleichung  4.  Grades.    (20). 

P.  H.  Schonte:  Ueber  eine  specielle  Curve  4.  Grades  mit  3 
Doppelpunkten.    (19). 

J.  A.  C.  Gudemans:  Das  Problem  des  Snellius  aufgelöst  von 
Ptolemaeus.    (19). 

D.  J.  Korteweg:  Ueber  die  Bahnen  beschrieben  unter  dem 
Einfluss  einer  centralen  ErafL    (20). 

G.  J.  MichaSlis:  Ueber  die  Theorie  der  Federkraft-Nach- 
wirkung.   (20). 

D.  Bierens  de  Haan:  Baustoffe  für  die  Geschichte  der 
mathematischen  und  physikalischen  Wissenschaften  in  den  Nieder- 
landen.   (19.  20.).  H. 


IdtUrarigeher  Bmekt  VllL  40 


Litterarischer  Bericht 

vm. 


Lehrbücher. 

Leitfaden  zum  Unterrichte  in  der  Arijthmetik  und  Algebra  an 
Gymnasien  und  verwandten  Anstalten.  Von  Dr.  Joh.  Chr.  Wal- 
berer,  Professor  am  königlichen  Gymnasium  in  Amberg.  Zweite, 
durchgesehene  und  mit  Uebungsaufgaben  versehene  Auflage.  Manchen 
1884.    Theodor  Ackermann.    152  S. 

Die  erste  Auflage  ist  im  241.  litt  Bericht,  S.  4.  besprochen. 
Das  Buch  steht  auch  noch  jetzt  auf  dem  niedrigsten  didaktischen 
Standpunkt.  Die  Sätze  der  Arithmetik  werden  nur  als  Auswertungs- 
regeln aufgefasst,  und  selbst  in  diesem  Sinne  bleiben  die  Erklärungen 
defect.  Die  Division  ist  nur  als  Messung  durch  wiederholte  Snb- 
traction,  nicht  aber  als  Teilung  erklärt  Sollte  man  nach  'der  gegebe- 
nen Regel  4  Meter  durch  4  dividireu,  so  hätte  man  die  abstracto 
4  so  oft  davon  zu  subtrahiren  bis  kein  Rest  bleibt    Dass  auch  sinn- 

et 
lose  Aufstellungen,  wie  ^:^oo,  vorkoilameB,  kann  kaum   auffallen, 

wo  die  ganze  Behandlungsweise  auf  gedankenloses  Rechnen  abzielt 

H. 

Leitfaden  für  den  Anfangsunterricht  in  der  Arithmetik  an  höheren 
Lehranstalten.  Von  Prof.  H.  Kö stier,  Oberlehrer  am  Domgymnasium 
zu  Naumburg  a.  S.  Zweite,  vermehrte  und  teilweise  umgearbeitete 
Auflage.    Halle  a.  S.  1885.    Louis  Kebert    42  S. 

Der  Leitfaden  enthält  auf  15  Seiten  diejenigen  Sätze,  welche  der 
Anfänger  eriemen  mnss,  um  mit  den  4  Species  der  Buchstaben- 
rechnung vertraut  zu  werden,  nebst  Andeutung  der  Beweise.    Die 

Areh.  d.  Math.  «.  Pliyi.  2.  Bailie,  TaU  n.    Heft  IV.  4 


41  LittmrUtAer  Beridä  VlIL 

FormuliraDg  ist  deutlich  und  correct  Was  die  Orenzen  des  Lehr- 
stoffs betrifft,  so  ist  die  Bedentang  der  Bachstaben  aaf  positiTe  ganze 
Zahlen  beschränkt,  die  algebraische  Division  nicht  zugezogen.  Da- 
gegen ist  die  Rechnung  mit  algebraischen  Summen  nicht,  wie  im 
Vorwort  angegeben,  ausgeschlossen,  vielmehr  -|-  und  —  als  Operations- 
und Vorzeichen  eingef&hrt,  und  alles  dafttr  nötige  erklärt  und  io 
Uebung  gebracht.  Auch  die  Addition  der  Bräche  fehit  nicht,  und 
ist  in  einem  Anhang  zur  Bildung  der  Generalnenner  Anleitung  ge- 
geben. Ein  zweiter  Anhang  betrifft  die  Decimalbräche.  Unrichtig 
ist  in  dem  Buche  nur  die  anfängliche  Definition  des  Begriffs  Rechnen, 
die  mit  allem  was  folgt  im  Widerspruch  steht  Aus  zwei  oder  meh- 
rern Zahlen  nach  gewissen  Regeln  eine  neue  bilden  nennt  in  praxi 
niemand  rechnen,  auch  im  folgenden  der  Verfasser  nie.  Vielmehr 
entsteht  durch  diesen  Act  erst  ein  Rechnungsausdruck,  enthaltend 
eine  Rechnungsaufgabe,  die  unter  Umständen  ausgeführt  werd^  soll 
oder  kann.  Das  letztere  heisst  hier  stets  ausrechnen,  und  ein  anderes 
Rechnen  kommt  nicht  vor.  Den  noch  grossem  Obrigea  Teil  des 
Buchs  bildet  eine  Zusammenstellung  von  d57  Aufgaben  zur  Einflbung 
der  vorher  behandolten  Rechnungsweisen,  nach  diesen  geordnet 

H. 

Vorschule  der  Geometrie.  Von  Prof.  H.  Kdstler,  Oberiehrer 
am  Domgymnasium  zu  Naumburg  a.  S.  Dritte,  vermehrte  und  tdl- 
weise  umgearbeitete,  und  vierte,  verbesserte  Auflage.  Mit  49  in  den 
Text  gedruckten  Holzschnitten.  Halle  a.  S.  1884.  1885.  Louis  Ne- 
bert    24,  21  S. 

Diese  Vorschule  besteht  aus  2  Teilen,  der  Formenlehre  und  der 
Constructiouslcbre.  Der  actuellen  Abfassung  nach  stellen  sich  beide 
als  Auswahl  aus  dem  Lehrstoff  der  elementaren  Geometrie  ohne 
merklich  verschiedene  Gestaltung  dar.  Die  Formenlehre  macht  den 
Schülern  mit  den  Gogenstäudeu  der  Doctrin,  also  mit  den  einfachen 
Gebilden  und  den  gebräuchlichen  Festsetzungen  bekannt,  wendet  dazu 
jedoch  auch  nur  die  gleichen  Definitionen  und  Worterklärungen  an. 
Der  Verfasser  beti-achtet  als  Aufgabe  der  Formeulehre,  den  Schaler 
von  der  sinnlichen  Anschauung  zur  Abstraction  der  begrifflichen  Er- 
klärung emporzuführen,  die  Aufstellungen  des  Buchs  als  die  blossen 
Resultate,  deren  Err3ichnng  dem  Lehrer  überlassen  bleibt  Sowd 
die  zu  befolgende  Methode  als  auch  die  Art  der  Tätigkeit  der  Schfiler 
wird  unbestimmt  gelassen.  In  der  Constructionslebre  ist  letztere  von 
selbst  deutli.h.  Sie  soll  den  Gebrauch  von  Lineal  und  Zirkel  ein- 
üben, es  sind  zu  diesem  Zwecke  die  einfachsten  Elementaranfgaben 
ausgewählt  Am  Schluss  werden  zur  Formenlehre  Fragen,  zur  Con- 
structionslebre Aufgaben  gestellt.  H. 


LitUrari8ch€r  Bericht  VllL  42 

Lehrbach  der  ebenen  Geometrie.  Von  Julias  Hoch,  Lehrer 
fflr  Mathematik  an  der  von  Grossheim'schen  Realschale  in  Lübeck. 
I.  Teil:  Linien,  Winkel,  Kongruenz  und  Gleichheit  der  Figuren.  Mit 
126  in  den  Text  eingedruckten  Holzschnitten.  Halle  1884.  H.  W. 
Schmidt    164  S. 

Oberster  Gesicht^unkt  der  Abfassung  und  Motiv  zur  Heraus- 
gabe   eines  neuen  Lehrbuchs  ist  erklärtermassen  die  systematische 
Anordnung  des  Lehrstoffs.     Diese  tritt  auch  in   der  Tat   in   einer 
weiter  als  gewöhnlich  gehenden  Gliederung,  Nebenstellung  der  sich 
ausschliessenden  Gegenstände  und  stufenweisen  Folge  der  einzelnen, 
jedesmal  ganz  erledigten  Themata  deutlich  an  den  Tag.    Ob  es  nun 
Ansicht  des  Verfassers  sei,  dass  der  Unterricht  nach  einem  so  be- 
arbeiteten   Lehrbuche,   mit  Hintansetzung  anderer   Gesichtspunkte, 
namentlich  der  logischen  Yerkntlpfung,   dem  pädagogischen  Zwecke 
gentige,  ist  im  Vorwort  nicht  ausgesprochen ;  doch  darf  man  wol  an- 
nehmen, dass   er  sein  Buch  nicht   zu  blosser  Ergänzung   anderer 
Lehrbücher   hat    herausgeben    wollen.      Eine    Geringschätzung   des 
logischen  Gesichtspunkts  ist  hier  freilich  am  aufgewandten  Fleisse 
nicht  zu  bemerken:   die  Beweise  sind  stets  in  extenso  und  in  vor- 
schriftsmässiger  Form  gegeben-,  dagegen  steht  ein  principieller  Mangel 
dem  logischen  Verständniss  im  Wege.    Es  ist  gesagt,  dass  der  Winkel 
zur  Bestimmung  des  Richtungsuntorschiedes  dient,  aber  nicht,  wie 
dies  geschieht.    Vom  Zusammenlegen  der  Winkel,  ihrer  Addition  und 
Messung,  von  der  Vergleichung  der  Richtungen   bei  verschiedenem 
Ausgangspunkt  ist  nirgends  die  Rede.    Das  auf  dem  Winkelbegriff 
ruhende  Dunkel  zieht  sich  dann  durch  alle  Sätze,  die  mit  Winkeln 
zu  tun  haben,  fort,  und  der  logische  Faden  lässt  sich  nirgends  ver- 
folgen.   Die   Anordnung  der  Gegenstände  ist  folgende:  zuerst  nach 
den  Gebilden:  Linien,  Winkel,  Figuren.    Die  2  Hauptabschnitte  über 
die  Figuren  behandeln  die  Congrucnz  und  die  Gleichheit,  ersterer 
nach  der  Reihe  das  Dreieck,  das  Viereck,  das  Vieleck,   den  Kreis, 
letzterer  das  Dreieck,  Parallelogramm  und  Trapez  nach  Höhe  und 
Grundseite,  bei  Uebereinstimmung  in  beiden,  in  einem  und  in  keinem, 
die   Summe,   die  Verwandlung   und    Teilung,   die   Flächenmessung. 
Dann  folgen  Uebnngssätze,  Aufgaben  und  Coostructionen.        H. 

Lehrbuch  der  Elementar-Geometrie.  Von  Dr.  E.  Glinzer, 
Lehrer  der  Allgemeinen  Gewerbeschule  und  der  Schale  für  Bauhand- 
werker in  Hamburg.  Erster  Theil:  Planimetrie  mit  185  Figuren  und 
einer  Sammlung  von  250  Aufgaben.  Zweite,  verbesserte  und  ver- 
mehrte Auflage.    Hamburg  1884.    F.  H.  Nestler  u.  Melle.    111  S. 

Die  erste  Auflage  ist  im  258.  litt  Bericht  S.  19.  besprochen. 
In  der  zweiten  kommt  hinzu  ein  Anhang  über  harmonische  Teilung. 

4* 


4S  lAttBfarU^er  Berieht   VIll. 

Die  UebungM&tze  und  Aufgaben  sind  vennehrt  und  insbesondere  daför 
gesorgt,  die  schwierigeren  Aufgaben  durch  leichtere  Torzaberelten. 
Femer  untersdieidet  sich  die  neue  Auflage  durch  manche  Zusätze 
und  Erweiterungen.  In  der  Proportionslehre  wird  der  Fall  der  In- 
commensnrabilität  erwähnt,  und  die  Gflltigkeit  eines  Satzes  für  den- 
selben in  einem  Zusats  ohne  Beweis  ausgesprochen,  doch  findet  er 
weder  verständliche  Erörterung  noch  theoretische  Berficksichtigiing. 

H. 


Lehrbuch  der  Geometrie  für  Gymnasien  und  höhere  Lehranstalten. 
Von  Dr.  F.  W.  Fischer,  Oberlehrer  am  Gymnasium  zu  Kempen. 
Erster  Teil:  Planimetrie.  Zweite,  verbesserte  und  vermehrte  Auflage. 
Mit  vielen  in  den  Text  gedruckten  Holzschnitten.  Freibuxig  i.  Er.  1S84. 
Herder.    184  S. 

Der  Inhalt  des  Buches  ist  kein  abgeschlossenet:.  Obgleich  der 
Lehrgang  von  seiner  Aufgabe  der  Entwickelung  der  Grundlagen  der 
Doctrin  nie  abweicht,  so  begrenzt  er  sich  doch  nach  keiner  Seite  bin 
auf  ein  bestimmtes  Quantum  des  Notwendigen,  sondern  zieht  im  wei- 
tem Fortschritt  mehr  und  mehr  Themata  und  Fragen  nach  dem 
Gesichtspunkt  des  Interesses  der  Schüler  in  den  Kreis  der  Betrach- 
tung. Besonders  zu  nennen  sind  etwa  die  Transversalenlehre,  Fragen 
aber  Maxima,  Pol  und  Polare  am  Kreise,  harmonische  Teilung  u.  a. 
Die  Methode  steht  auf  Euklidischem  Boden.  Die  Darstellung  ist 
ausführlich  und  darauf  eingerichtet  dem  Schüler  als  Muster  zu  dienen. 
Nicht  ausführlich  genug  ist  der  Anfang  der  Lehre  von  den  Winkeln. 
Der  Winkel  war  durch  seine  Entstehung  erklärt.  Zur  exacten  Auf- 
fassung mussten  die  Consequenzen  der  Erklärung  für  die  fertig  vor- 
liegenden Winkel,  d.  h.  die  Sätze  über  Addition  und  Grössen- 
vergleichung  der  Winkel  ausgesprochen  werden.  Unter  dem  Parallelens&tz 
steht  ganz  unzutreffend:  „Beweis^^  —  denn  es  folgt  dann  nur  die 
wiederholte  Behauptung  des  Satzes  in  anderer  Form.  Die  Elementar- 
aufgaben sind  von  den  Lehrsätzen  getrennt.  Ausser  ihnen  folgen 
auf  jeden  Abschnitt  viele  Aufgaben  und  Sätze  zur  Uebung. 

H. 


Leitfaden  für  den  Unterricht  in  der  Stereometrie  mit  den  £3e- 
menten  der  Projektionslehre.  Von  Dr.  CarlGnsserow,  Oberiehrer 
am  Dorotheenstädtischen  Realgymnasium  in  Berlin.  Berlin  1885. 
Julius  Springer.    96  S. 

Die  Lehrmethode  dieses  Leitfadens  ist  durchaus  originell.  Sie 
unterscheidet  sich  von  der  gewöhnlichen  durch  die  anfltog^icfae  Ein- 


lAtUrmrUcktr  Bericht  VJJl.  44 

fühniDg  ond  unaasgesetzte  Anwendung  des  Pfojectionsbegriffii.  Der- 
selbe dient  grösstenteils  zur  Deduction,  während  die  resoltironden 
Sätze  davon  anabhängig  auftreten;  doch  gibt  es  ausser  den  Sätzen, 
welche  die  Projectionen  an  sich  betreffen,  auch  Sätze  über  Kaum- 
gebilde,  die  mit  Anwendung  des  Begriffs  formulirt  werden;  jedenfalls 
scheint  nicht  zum  Ziele  genommen  zu  sein,  die  erzeugte  Mannich- 
faltigkeit  der  Betrachtung,  wo  sich  dies  ni^t  von  selbst  vollzieht, 
zu  einer  einheitlich  constanten  hinzuführen.  Die  hier  eingeführten 
Projectionen  sind  Parallelprojectionen  in  beliebiger  Richtung  auf 
beliebige  Ebenen,  nicht  aber  auf  feste,  geroeinsame  Grundebenen, 
sondern  auf  solche,  die  zur  Figur  gehören.  Der  Begriff  ist  also  ein 
ganz  flüssiger,  beweglicher  auf  einem  Felde  von  doppelt  unendlicher 
Mannichfaltigkeit  Fragt  man  nun:  kann  ein  Schüler  auf  dem  so 
eröffneten  Felde  der  Betrachtung  in  dem  kurzen  Laufe  des  elemen- 
taren stereometrischen  Lehrcursns  orientirt  werden  und  einigermassen 
einen  Ueberblick  gewinnen?  —  so  muss  man  dies  wol  entschieden 
verneinen.  Nur  der  Lehrer  macht  sich  seine  Aufgabe  durch  diese 
Methode  leicht,  die  Schüler  werden  ganz  abhängig  von  seiner  Führung. 
Dass  der  bezeichnete  Missstand  nicht  grössere  Ausdehnung  annehmen 
kann,  bewirkt  in  der  vorliegenden  Gestaltung  der  Doctrin  die  Reihe 
feststehender  Sätze.  Wäre  das  Ganze  so  in  den  Projectionsbegriff 
verwebt,  wie  der  Anfang,  so  würde  alles  Wissen  wie  an  schwimmen- 
den Strohhalmen  hangend  erscheinen.  Per  Verfasser  empfiehlt  die 
Methode  damit,  dass  sie  die  zu  starken  Anforderungen  an  das  Yor- 
steilnngsvermögen,  welche  der  Uebergang  von  der  Planimetrie  zur 
Stereometrie  auferlegt,  durch  Vermittlung  mildere,  indem  anfänglich 
nie  mehr  als  zwei  Ebenen  in  gegenseitiger  Lage  betrachtet  werden. 
Ausserdem  seien  manche  Vorteile  damit  verbunden :  es  werden  weniger 
Figuren  erfordert,  und  die  Beziehung  der  elementaren  Stereometrie 
zur  Projectionslehrc  wirkt  vorbereitend  für  letztere.  Rechnen  wir 
beide  Vorteile  zu  dem  mancher  Erleichterung  der  Deduction  hinzu, 
so  wollen  wir  das  Unternehmen  als  einen  beachtenswerten  Versuch 
der  Verbesserung  der  Methode  gern  anerkennen;  nur  müssen  wir 
das,  was  bisher  mit  gutem  Grunde  als  Norm  gegolten  hat,  aufrecht 
halten,  dass  nämlich  alle  zur  Theorie  gehörigen  Sätze  absolut  und 
ohne  Beziehung  zu  willkürlicher  Betrachtung  aufgestellt  werden. 
Letzterer  kann  nur  die  Bedeutung  eines  Hülfselementes  eingeräumt 
werden,  wie  sie  den  Hülfslinien  zukommt.  Hier  hingegen  erscheint 
der  Einführung  zufolge  die  Projection  als  wirklicher  Lehrgegenstand. 
Noch  ist  als  charakteristisch  zu  erwähnen,  dass  den  Körpern,  den 
eben-  und  krummflächigen,  insbesondere  ihrer  Inhaltsbestimmung, 
eine  recht  eingehende  Behandlung  zuteil  wird.  Auch  die  Schwer- 
punkte, rein  geometrisch  erklärt,  bilden  einen  besonderen  (Gegenstand. 
Nach  der  Einleitung  sind  die  Hauptabschnitte:  die  Stellung  der  Oe-* 


45  LUUrariscker  Bericht  VIIL 

raden  znr  Ebene;  die  Lage  zweier,  dann  mehrerer  Ebenen  zn  ein- 
ander; Polyeder;  kmmmflächige  Körper;  Schwerpunkt  Der  Anhang 
enthält :  das  Pyramidenproblem ;  den  Enler" sehen  Satz  und  die  regd- 
massigen  Polyeder;  2  Lehrsätze.  H. 


Lehrbuch  der  ebenen  und  sphärischen  Trigonometrie  nüt  Uebangs- 
Aufgaben  für  höhere  Lehranstalten.  Von  Dr.  Th.  S  piek  er,  Pro- 
fessor am  Realgymnasium  zn  Potsdam.  Mit  in  den  Text  gedruckten 
Holzschnitten.    Potsdam  1885.    Aug.  Stein.    134  S. 

Das  Buch  zeigt  keine  wesentlichen  Verschiedenheiten  von  den 
gewöhnlichen  gleichen  Inhalts.  Es  gibt  vollständig  das  Notwendige 
und  dieses  mit  Fleiss  und  Geschick  bearbeitet  Die  Einleitung  enthält 
die  Geschichte  der  Entstehung  der  Trigonometrie.  Die  goniometri- 
sehen  Functionen  werden  am  rechtwinkligen  Dreieck,  dann  am  Kreise 
erklärt,  znerst  als  6  coordinirte,  dann  in  gegenseitiger  Beziehung. 
Nun  folgt  die  Berechnung  des  rechtwinkligen,  dann  gleichschenkligen 
Dreiecks,  dann  regelmässigen  Vielecks,  hierauf  erst  die  Additio&s- 
formein  mit  allen  Consequenzen  und  ihrer  Anwendung,  dann  die 
Berechnung  des  beliebigen  ebenen  Dreiecks,  der  Vierecke  und  Viel- 
ecke, dazu  einige  Aufgaben.  Die  Herleitung  der  sphärisch  trigono- 
metrischen Formeln  ist  die  gewöhnlihhe  mit  Hülfe  des  Polardreiecks; 
hierzu  gleichfalls  einige  Aufgaben.  Dann  folgen  die  Formeln  fiber 
den  um-  und  einbeschriebenen  Kreis  und  den  Inhalt  des  sphärischen 
Dreiecks,  nebst  Uebungen.  H. 

Leitfaden  der  Arithmetik  nebst  Uebnngsbeispielen.  Von  Adolf 
Sickenberger,  Professor  am  k.  Maximiliansgymuasium  in  München. 
Dritte,  umgearbeitete  Auflage.  München  1885.  Theodor  Ackermann. 
188  S. 

Die  erste  Auflage  ist  im  288.  litt.  Bericht  S.  33,  die  zweite  im 
247.  1.  B.  S.  24.  besprochen.  Aendemngen  in  der  gegenwärtigen 
sind  nicht  angegeben.  H. 

Lehrbuch  der  Mathematik.  Für  den  Schul-  und  Selbst- Unterricht 
bearbeitet  von  Dr.  Hermann  Gerlach,  Oberlehrer .  am  Friedrich- 
Franz-Gymuasium  in  Parchim.  Zweitor  Teil.  Elemente  der  Plani- 
metrie. Fünfte,  vermehrte  und  verbesserte  Auflage.  Mit  134  Figuren 
in  Holzschnitt  und  682  Uebungssätzen  und  Aufgaben.  Dessau  1885. 
Albert  Reissner.    158  S. 

Die  vierte  Auflage  ist  im  245.  litt.  Bericht  S.  6.  b^prochen. 
Veränderungen  in  der  neuen  Bearbeitung  betreffen  die  Entfernung 


Lättrarücher  Bericht  VJll.  46 

eines  Punkts  von  einer  Geraden,  die  gleichschenkligen  Dreiecke,  die 
Tangentenvierecke,  die  Berührung  zweier  Kreise,  die  Kreisfläche, 
das  Product  zweier  Strecken,  die  proportionirten  Linien,  die  harmo- 
nischen Strahlen,  die  Polaren  und  die  Chordalen.  In  der  Aufgahen- 
sammlung  sind  die  67.  und  68.  Angaben  durch  neue  ersetzt. 

H. 


Die  arithmetischen  und  geometrischen  Verhältnisse,  Proportionen 
und  Progressionen  mit  Anwendung  auf  die  Zinseszins-  und  Reuten- 
rechnung  (Kursus  der  Obersekunda  des  Gymnasii)  fOr  den  Schul- 
gebrauch bearbeitet  von  Dr.  £.  Wrobel,  Gymnasiallehrer  in  Rostock- 
Rostock  1885.    Wilh.  Werther.    44  S. 

Das  Lehrbuch  behandelt  in  exact  euklidischer  Form  (Definition, 
Lehrsatz,  Beweis,  Zusätze,  nachfolgende  Erläuterungen  und  Beispiele) 
nach  einander:  die  arithmetischen  Verhältnisse  und  Proportionen,  die 
geometrischen  Verhältnisse  und  Proportionen,  arithmetische  Progres- 
sionen L  Ordnung,  höhere  arithmetische  Reihen,  darunter  die  figurir- 
ten  Zahlen,  dann  die  geometrischen  Progressionen,  nebst  Begriff  und 
Kriterien  der  Gonvergenz  ftür  arithmetische  und  geometrische  Reihen, 
zuletzt  die  Zinseszinsrechnung  und  Rent^nrechnung.  Es  wird  voraus- 
gesetzt die  Kenntniss  der  7  Elementaroperationen  und  der  Gleichun- 
gen 1.  Grades.  H. 

Lehrbuch  der  Arithmetik  und  Algebra  nebst  vielen  Uebungs- 
anfgaben.  Für  Lehrerseminarien  und  höhere  Bürgerschulen,  sowie 
für  den  Selbstunterricht  bearbeitet  von  A.  P.  L.  Gl  aussen,  Königl. 
Seminarlehrer  in  Bütow.    Potsdam  1884.    Aug.  Stein.    240  S. 

Norm  der  Abfassung  des  Buches  scheint  zu  sein,  dass  sich  der 
Lernende  nicht  zu  sehr  mit  Denken  anstrenge  und  lieber  auf  dem 
Umwege  manches  Irrens  und  Missverstehens  mit  der  Zeit  zum  Ziele 
gelange.  Für  die  Geistesbildung  des  einzelnen  Autodidakten  würde 
letzteres  gewiss  kein  Schade  sein.  Erwägt  man  aber,  dass  ein  Miss- 
verständniss,  ehe  die  Klärung  eintritt,  sich  vom  Buche  auf  Hunderte 
von  Seminaristen,  von  jedem  wieder  anf  Tausende  von  Kindern  über- 
tragen kann,  so  können  uns  die  Folgen  eines  ungenauen  Ausdrucks 
doch  nicht  so  gleichgültig  sein.  Der  Vortrag  beschränkt  sich  zum 
grossen  Teil  auf  blosse  kategorische  Mitteilung  dessen,  was  dem 
Rechner  geläufig  ist.  Die  Aufstellungen  sind  bis  auf  weniges  concinn 
und  richtig,  obwol  mehr  in  familiärer  Sprache  ausgedrückt.  Sollte 
ein  Leser  einen  Satz  wie  den:  Eine  Zahl  ist  durch  8  teilbar,  wenn 
die  3  letzten  Ziffern  es  sind  —  so  verstehen,  es  müssten  die  3  letzten 


47  XätemrMdbr  Beneht  VUL 

Ziffern  0  oder  8  Boin,  80  möchte  der  Irrtnm  geringfflgig  Bdif^MB 
Schlimmer  ist  jeden&Us  die  fiilsche  Aussage,  g   sei  unendlich.  Ober 

deren  Sinn  es  dem  Leser  nicht  verwehrt  wird  sick  Gedanken  za 
machen,  welche  er  will.  Im  Yerhältniss  za  der  hier  Yorausgpwtoliia 
niedri^n  Entwickeiungsstnfe  des  Denkens  ist  nun  der  Umfang  des 
Lehrstoffs  sehr  gross.  Er  erstreckt  sich  auf  Potenxen,  Worzdn, 
Logarithmen,  die  algebraischen  Gleichungen  bis  zum  3.  Grade,  dk>- 
pbantische  G^eichingen,  arithmetische  und  geometrische  ProgreasioneD, 
Exponentialgleichungen  und  Zinsrechnung.  üebungsauifabeA  sind 
reichlich  beigegeben.  H. 

Leitfaden  der  Physik.  Von  R.  H. Hofmeister, Professor  an  der 
Kantonschule  und  ausserordentlicher  Professor  an  der  Hochschule  in 
Zürich.    Vierte  Auflage.    Zürich  1884.    OreU  Füssli  u.  Co.      195  S. 

« 

Das  Buch  zeigt  eine  ungemeine  Vielseitigkeit,  Umsicht  mtd  Be- 
herrschung des  so  vielteiligen,  verschiedenartigen  Stoffs.  Die  Ab- 
fassung ist  so  abgekürzt  als  es  ohne  Uebergchung  irgend  dnes 
wichtigen  Punktes  möglich  ist.  Jeder  Punkt  wird  eben  nur  berührt; 
doch  sind  die  Angaben  hinreichend  und  deutlich,  um  den  Lehro* 
an  alles  zu  erinnern,  was  an  erörtern  und  zu  berücksichtigen  ist 
Es  wird  uns  durch  das  Buch,  das  Bild  einer  empirischen  Wissenschaft 
entfaltet,  deren  Begriffe  nicht  aus  ideellen  Principien  auf  den  G^n- 
stand  übertragen,  sondern  durch  die  Erfolge  der  in  alle  Erscheinungen 
eindringenden  Specialuntersuchnngen  als  feste  Haltpunkte  gewonnen 
worden  sind,  einer  Wissenschaft  also,  welche  die  Natur  nach  deren 
eigener  Anleitung  zu  beherrschen  strebt  Wenn  je  dem  Schalunterricht 
in  der  Physik  die  Fähigkeit  zugeschrieben  worden  ist,  zur  allgemei- 
nen, innern  Bildung  beizutragen,  so  kann  ihm  wol  die  unersetzliche 
Stelle  darin  zuerkannt  werden,  dass  er  die  Idee  einer  wissenschaft- 
lichen Empirie  erzeugt  Dazu  ist  aber  erforderlich,  dass  der  Schüler, 
wenn  gleich  auf  viel  kürzerem  Wege  als  die  Entdecker,  mit  den 
Elementen  der  Empirie  vertraut  wird,  um  erst  zu  lernen  für  go^ingen 
Zuwachs  an  Realerkenntniss  dankbar  zu  sein,  ehe  er  über  die  höch- 
sten Resultate  der  Forschung  mitzusprechen  anftngt  Ans  diesem 
Geiste  scheint  auch  der  vorliegende  Leitfaden  bearbeitet  Die  Er- 
klärungen, auch  wenn  sie  von  weiterer  Bedeutung  sind,  schliessea 
sich  meist  an  die  besondern  Gegenstände  an.  Die  Haupteüe  sind: 
Physik  der  Materie,  Physik  des  Aethers;  die  Gegenstände  des  ersten, 
d.  i.  der  Mechanik:  Wirkungen  der  äussern,  der  innern  Kräfte, 
Wellenbewegung,  Akustik.  Unter  diesen  vertritt  der  zweite  die 
Statik,  die  2  letzten  die  Dynamik  der  Elasticität,  während  beim 
ersten  Gleichgewicht  und   Bewegung  die  unterste  AbteUusg  bilden. 


LüterariicKtr  Btricht  VJU.  48 

Die  in  der  Mecbanik  behandelten  Themata  beruhen  auf  Aaswahl. 
Eine  Beschränkung  auf  Anwendung  der  Schulmathematik  lässt  sich 
nicht  als  massgebend  betrachten,  sonst  hätte  manches  Thema  aus- 
geschlotson  werden  müssen,  wo  doch  qualitative  Aufstellungen  und 
quantitativ  vergleichende  Gesichtspunkte  sich  verständlich  geben 
Hessen.  Die  Physik  des  Aethers  enthält:  Wärmelehre,  Optik,  Beibungs- 
elektrfcität,  Galvanismus,  Magnetismus,  Wirkungen  zwischen  Strömen 
und  Magneten,  Elektromagnetismus,  Induction,  Thermoelektricität, 
tierische  Elektricität.  H. 


Lehrbuch  der  Physik  und  Mechanik  für  gewerbliche  Fortbildungs- 
schulen. Im  Auftrage  der  Königlichen  Kommission  fQr  gewerbliche 
Fortbildungsschulen  in  Württemberg  ausgearbeitet  von  Dr.  Ludwig 
Blum,  Professor  an  der  K.  Realanstalt  in  Stuttgart.  Dritte,  ver- 
mehrte Auflage,  bearbeitet  von  Richard  Blum,  Professor  am  K. 
Lycenm  in  Esslingen.    Leipzig  1885.    C.  F.  Winter.    539  S. 

Der  Verfasser  hat  zu  gleichzeitigem  Gebrauche  zwei  Bücher 
herausgegeben,  deren  eines  er  bei  sonst  gleichem  Titel  „Grundrisses 
das  andere  „Lehrbuch^^  nennt.  Ersteres,  im  241.  und  260.  litt.  Bericht 
bzhw.  S.  10.  und  S.  41.  besprochen,  ist  für  den  Gebrauch  der  Schüler, 
letzteres  für  den  Gebrauch  des  Lehrers  bestimmt.  Der  Vortrag  des 
Lehrbuchs,  geteilt  in  44  geschlossene  Themata,  jedes  für  1  Stunde 
berechnet,  ist  gleichmässig  pragmatisch  beschreibend,  Erscheinung, 
Erklärung,  Gesetze  werden  in  populärer  Breite  für  jeden  einzelnen 
Gegenstand  vorgeführt,  reichlich  durch  eingelegte  Figuren  unterstützt, 
ohne  je  den  Gedanken  einer  einheitlichen  Theorie  anzuregen.  So 
ist  z.  B.  von  Beharrung,  Ceutrifugalkraft,  Tangentialkraft  die  Rede, 
als  wenn  jedes  eine  Sache  für  sich  wäre.  Manches  im  Buche  nimmt 
Bezug  auf  gewerbliche  Anwendung;  doch  selbst  dieses  geht  nur  auf 
Mitteilung  von  Wissen ,  nicht  aber  auf  Ausbildung  von  Fähigkeiten 
aus.    Im  ganzen  lässt  sich  kein  rechtes  pädagogisches  Ziel  erkennen. 

H. 


Sammlangen. 

Aufgaben  aus  der  Stereometrie  und  Trigonometrie.  Für  Gym- 
nasien und  Realschulen  bearbeitet  von  K.  Jüdt,  k.  Professor  und 
Rektor  der  Realschule  in  Ansbach.  Dritte,  vermehrte  Auflage.  Ans- 
bach 1886.    Fr.  Seybold.    56  S. 

Das  Buch  enthält  Uebungsmaterial  für  den  Unterricht  in  der 
Stereometrie  und  Trigonometrie,  welches  auch  für  descriptive  Geometrie 


49  Litararuektr  Beruht  VIJL 

ZU  verwenden  sein  soll,  was  sich  indes  nnr  anf  die  ersten  28  Auf- 
gaben beziehen  kann.  Alle  übrigen  sind  Rechnangsanfgabee,  nnd 
zwar  fordern  die  nächsten  206  Berechnung  von  Besümnrangsstftcken 
von  KOrpem.  Die  folgenden  %  Aufgaben  sind  goniometrisch,  die  soch 
übrigen  76  teils  nnmittelbar  trigonometrisdi,  teils  geometrisch  auf- 
gestellt und  mit  Trigonometrie  zu  lösen.  Die  Resultate  stehen  am 
Schlnss.  H. 


Tabellen. 


Saggio  di  tavole  dei  logaritmi  quadratici  del  Co.  Antonino 
di  Pamper 0.    Udine  1885.    G.  B.  Doretti  e  Soci.    d5  S. 

Quadratische  Logarithmen,  bezeichnet  durch  Z^,  sind  Logaritb- 
men  von  Logarithmen,  definirt  durch 

LqN  =  «;        N  '^  aF 

Sie  sollen  die  Potenzirung  unmittelbar  auf  Addition  zurückftUiren. 

Zum  Gebrauch  dieser  Function  hat  der  Verfasser  2  Taf^n  berechnet. 

Die  erste  gibt  auf  1  Seite  für  jeden  Exponenten  E^  mit  dem  man 

log  E 
potenziren  will,  den  Wert  von  jö"'    ^^®  zweite  hat  15  Columnen 

überschrieben  £,  Zg,  i^oi  ^d  -^t«  "•  ^i^  ^Q<^  zwar  ist  ^^o  die  ge- 
gebene Zahl,  die  folgenden  stehen  dazu  in  der  Beziehung: 

Natürliche  Reibenfolge  findet  man  in  der  Columne  iV|o,  welche 
von  10  beginnt  und  durch  die  Zehntel  bis  100  fortschreitet;  darüber 
hinaus  geht  dann  die  Columne  N^  von  10  durch  die  Hundertel  bis  11. 
Ein  Anhang  gibt  die  Tafel  der  Exponenten  für  die  Basen  2  bis  50. 

H. 


Vollständige  logarithmische  und  trigonometrische  Tafeln  von  Dr. 

E.  F.  August.     Vierzehnte,  verbesserte  Auflage  besorgt  von  Dr. 

F.  August,  Professor  an  der  Königl.   vereinigten  Artillerie-   und 
Ingenieur-Schule  bei  Berlin.    Leipzig  1884.     Veit  u.  Comp.    204  S. 

Die  11.  Auflage  ist  im  239.  litt  Bericht,  S.  36.  besprochen. 
Nach  ihr  zeichnet  sich  zuerst  die  gegenwärtige  durch  Vermehmag 
und  Verbesserung  aus.  Bei  der  Ereismessung  ist  die  letzte  2ffer 
einiger  Zahlen  um  1  erhöht.  In  den  astronomischen  Angaben  ist  das 
tropische  Sonneqjabr  und  der  Stemtag  hinzugekommen,  die  Masse 
des  Mars  nach  der  neuesten  Bestimmung  durch  Hall,  die  halbe  Ro- 


LUUrariseker  BtrüAt   VIII.  50 

tationsaxo  der  Erde  in  Uebereinstiminaiig  mit  den  Tafeln  von  Gaass 
und  der  Berechnung  von  Becker  verbessert,  in  den  Erläuterungen 
das  Verfahren  zur  Beurteilung  der  Genauigkeit  einfacher  und  über- 
sichtlicher dargestellt  -H. 

Logarithmentafeln,  sowie  Besultate  zu  den  Beispielen  und  Auf- 
gaben des  Lehrbuchs  der  Arithmetik  und  Algebra.  Von  A.  P.  L. 
Cl  aussen,  Königl.  Seminarlehrer  in  Btttow.  Potsdam  1884.  Aug. 
Stein.    47  S. 

Die  Logarithmen  sind  fünfstellig,  im  gewöhnlichen  Umfang,  mit 
vollständigen  Proportionalteilou  der  Differenzen.  Auf  je  2  Neben- 
seiten stehen  die  Logarithmen  von  1000  Zahlen.  Vorher  geht  eine 
Tafel  der  Logarithmen  der  Zahlen  bis  99.  Die  Resultate  betreffend 
vergl.  S.  46.  H. 


Geodäsie. 

Handbuch  der  niederen  Geodäsie.  Von  Friedrich  Hartner, 
weiland  Professor  an  der  k.  k.  technischen  Hochschule  in  Wien. 
In  V.  und  VI.  Auflage  bearbeitet  und  vermehrt  von  Josef  Was tl  er, 
k.  k.  Regierungsrath  und  o.  ö.  Professor  der  Geodäsie  an  der  k.  k. 
technischen  Hochschule  in  Graz.  VL  Auflage.  Mit  425  Holzschnitten 
und  2  Tafeln.    Wien  1885.    L.  W.  Seidel  u.  Sohn.    786  S. 

Die  5.  Auflage  ist  im  243.  litt.  Bericht  S.  32.  besprochen.  Die 
wichtigsten  Vermehrungen  der  neuen  Auflage  betreffen  die  Theodolit- 
Aufnahmen  und  die  damit  im  Zusammenhango  stehenden  Coordinaten- 
rechnungen.  Die  Capitel  über  Genauigkeit  der  Längenmessungen, 
Aber  Distanzmesser,  mikroskopische  Ablescvorrichtungen ,  Sextanten, 
Winkelcentrirung,  Berechnung  der  Polygonztlge,  Detail- Aufoahme, 
Ausgleichungsrecbnung,  Planimeter,  Aueroid-Mossungen,  Ausgleichung 
der  Nivellements,  Tachymetrie  etc.  wurden  dem  heutigen  Stande  der 
Wissenschaft  entsprechend  erweitert.  H. 

Die  Berechnung  der  trigonometrischen  Vormessungen  mit  Rück- 
sicht auf  die  sphäroidische  Gestalt  der  Erde.  Von  J.  G.  F.  Bohnen- 
berg e  r.  Deutsche  Bearbeitung  der  Abhandlung  „De  computandis  ctc.'^ 
Von  E.  Hammer,  Professor  am  kgl.  Polytechnikum  in  Stuttgart. 
Mit  13  Figuren  im  Text    Stuttgart  1885.    J.  B.  Metzler.    65  S. 

Der  Titel  des  Originalwerks  ist:  De  computandis  dimensionibus 
trigouometricis  in  superficie  terrae  sphaeroidica  institutis  commentatus 
Joan.    Theophil.  Frider.  Bohnenberger.    Es  ist  1826  als  Programm 


51  LitUrarMtm-  BeridU  VllL 

der  Universit&t  Tübingen  erschienen  nnd  enthält  in  einfachster  Form 
einen  vollständigen  Abriss  der  elementaren  Aufgaben  der  hohem 
Geodäsie.  Das  Vorliegende  nntorscheidet  sich  von  den  zahlreichen 
Scbriften  gleichen  Inhalts,  die  s«ch  auf  Bohnenberger's  Abhandlung 
stützen,  als  eine  bis  auf  gewisse  Punkte  treue  Uebersetzung  der  Urschrift 
Da  CS  jedoch  zum  Hülfomittel  dos  Studiums  der  Geodäsie  für  unsere 
Zeit  bestimmt  ist,  so  waren  einige  Aenderungen  und  Vermehmngeo 
unerlässlich.  Statt  der  Toise  ist  das  Meter  eingeführt,  die  Dimen- 
sionen der  Erde  sind  nach  Bessel's  Angaben  zugrunde  gelegt,  die 
ursprünglich  für  die  würtcmbergische  Landesvermessung  besümmten 
Tafeln  sind  soweit  ausgedehnt,  dass  sie  für  Deutschland  aasrciehen. 
lieber  das  Nähere  gibt  das  Vorwort  des  Uebersetzers  Rechenscbtli 


Revue  Suisso  de  Topographie  et  d'Arpentage.  Organe  de  U 
Society  Suisse  de  Topographie  et  des  G^omdtres  de  la  Suisse  romaode. 
Paraissaut  k  Gen^ve  le  15  de  chaque  mois.    1.  aun^.    Nr.  1.   1885. 

Diese  neue  Zeitschrift,  redigirt  von  Oscar  Messerly  in  GeoU 
soll  nach  dem  dre^ährigen  Bestehen  des  Bulletin  de  la  Soci4t6  Suisse 
de  Topographie  an  dessen  Stelle  treten  und  durch  gegenseitige  Be- 
lehrung ein  Band  zwischen  den  Schweizer  Topographen  und  Geomeiere 
schaffen.  Die  erste  Nummer  enthält:  Biographie  von  Plantamour, 
Dircctor  des  Genfer  Obsenatoriums ,  dem  £.  Gautier  gefolgt  tsU 
Triangulation ,  Plan  der  wissenschaftlichen  Erforschung  des  Genfer 
Sees,  polygonometrischo  Merkzeichen,  dann  unter  Varietäten:  Die  Tri- 
bulationcn  eines  römischen  Geometers  und  die  merkwürdige  Beobach- 
tung, dass  im  Augenblick  des  Erdbebens  in  Spanien  die  Brüsseler 
Sternwarte  eine  geneigte  Stellung  angenommen  hat,  so  dass  also  das 
Erdbeben  von  einer  Erdeinsenkung  in  grosser  Entfernung  begleitet 
war.  Die  Mitteilungen  in  den  genannten  Artikeln  sind  sehr  sptriich 
und  kaum  hinreichend  die  Aufmerksamkeit  auf  die  Tätigkeit  der 
Gesellschaft  zu  lenken,  viel  weniger  davon  Kenntniss  zu  geben. 

H. 


m 


Verlag  von  Ferdinand  Enke  in  Stuttgart. 

Soeben  erschien  und  ist  durch  jede  Buchhandlung  zu  beziehen: 

Handbuch 

der     ' 

Ausübenden  Witterungskunde. 

Gesehiehte  mid  gegenwärtiger  Zustand  der  Wetterprognose. 

Von 

Dr.  W.  J.  van  Bebber^ 

AbtheilungsYorstand  der  deutschen  Seewarte. 

Zwei  Theile. 
I.  Thell:  Ge«ehlchte  der  Wel^terprognose. 

Mit  21  Holzschnitten,     gr.  8.     geh.     Preis  M.  8.  — 

J,  B,  Metzler^scher  Verlag  in  Stuttgart, 

Soeben  verliess  die  Presse  und  ist  durch  jede  Buchhandlung, 
auch  zur  Ansicht,  zu  beziehen: 

Die    Berechnung    der    trigonometr.  Vermessungen. 

Mit  Rücksicht  auf  die  sphäro'idische  Gestalt  der  Erde.  Von  J.  G. 
F.  Bohsenberger.  Deutsche  Bearbeitung  der  Abhandlung  „Do  com- 
putandis  etc."  von  E.  Hammer,  Prof.  am  k.  Polytechnikum  zu 
Stuttgart,    Preis  M.  1,80. 

Bohnenberger's  wichtigste  geodätische  Abhandlung  erscheint  hier 
in  einer  sich  möglichst  an  das  Original  anschliessenden  Uebersetzung, 
welcher  nur  einige  Figuren  und  ein  Inhal ts verzeich niss  beigegeben 
sind.  Der  Berechnung  der  Zahlenbeispiele  sind  ferner  die  Elemente 
des  ^e^^eTschen  Erdellipsoids  zu  Grunde  gelegt  worden. 


Zu  kaufen  gesucht  gegen  Gasse  od.  in  Umtausch  gegen 
meine  Bücherlieferungen: 

kM,  Oeuvres  p.  Sylow  et  Lie,  —  Annajen  d.  Hydrographie.  — 
lertraml^  calcul  int^^.  --  Ders.  calcul  diff^r.  —  Canter^  Euclid. 
—  Ch^ileS)  aper9U  bist.  —  BniiaBiely  m^canique.  3^  ed.  —  fiaiss, 
Werke,  tidttingen.  —  lelnholti^  Optik.  —  lirsch^  Integraltaf. 
HoAiaui^  Katani^  matbem.  Wörterb.  —  Jordan^  trait^  des  sub- 
ätittttions.  —  Legendre^  th^orie  des  nombres.  --  Leibniti^  opera  ed. 
Dutens.  —  löbiis^  barycentr.  Calcul,  —  Serret,  J.  A.,  cours  d'al- 
gfebre  8up.  4®  6i.  —  Dei*s.  cours  de  calcul  difif.  et  int6gr.  — 
Serret,  P.,  mßthodes  en  g^ometrie.  —  Zeitschrift,  d.  oesterreich. 
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Beau ,  O^  Untersuchangen  auf  dem  Gebiete  der  trigono- 
metrischen   Reihen   u.  der  Fourier'schen   Integrale. 

gr.  8     geb.    2  Mark. 


INHALT. 

XVI.     Die  Cono-Canei.    Von  Carl  Pabst 3Jr 

XVII.     Das  Schnen-TaDgcntonviereck.     Von  Dr.  J.  Schaniapher.  .^»3 
XVIII.     Trigonomotrische  Satze.     Von  A.  H.  An  gl  in i^' 

XIX.     Nene  Relationen  innerhalb  eine«  Orthogonalcoefficicntcnsjtlems. 

Von  R.  Hoppe 4^3 

XX.     Rein    analytische    Conseqnenzen    der    Canrenthcorie.      Von  R. 

Hoppe 41" 

XXI.     Misccllen. 

1.  Eine  Gruppe  planimetriscber  Maxima  und  Uinima.  Voa 
Dr.  J.  Lange 43u 

S.     Ein  Dreieckssatz.     Von  Emil  Hain 4^^ 

3.  Ein  Satz  Aber  Kegelschnitte ,  die  einem  Dreieck  eiobe- 
schrieben  sind.     Von  B.  Sporer 437 

4.  Körper  zwischen  zwei  Rotationsellipsoiden.  Von  Dr. 
Albert  Bicler 489 

5.  Wann  stehen  die  von  einem  Punkte  an  eine  K^|el- 
schnittslinie  gezogenen  zwei  Tangenten  knf  einander 
senkrecht?  Von  Frans  Schiffner 44S 

6.  Zur  Convcrgenz  der  Reihen.     Von  Dr.  B6rsch    .   .   .443 

7.  Archimedische  Kreisqnadratur.     Von  R.  Hoppe     .   .   .  44T 


Oroiftwald,  gsdraekt  bei  F.  W.  Kaaike. 


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