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Arſcchi
ber
reinen und angewandten
- Mathematit
herausgegeben
Eari Fri edrich Hindenburg.
von
r-
Zwenter Band
Fuͤnftes bis achtes Heft.
Mit vier’ Kupfertafeln. .
Leipzig, 1798
in der‘ Sääferifgen Sunhandlung
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Snhaltss Anzeige
ET nftes Hefe
1.58. Bennert, über die aſtronomiſche Strahlen⸗
brechung. ⸗ Seite r
II. A. G. Kaͤſtner, wie Körner feuchten, die fein
eigenthümliches Licht haben. Averroes, Roger Baco,
Euler.
IM. Deffeiben Berechnung, gie viel Steinen der
Rabe ins Gefäß werfen muͤß
| IV. 3. F. Wurm, Srundfäße ber. neuen Kanzoſiſchen
Zeitrechnung, famt ausfuͤhrlichen Tafeln zur Dergleb
chung des alten und neuen —5
V. E. G. Buſſe, Bemerkungen für Eulers Kar⸗
ſtens, auch Kaͤſtners Vortrag der Mechanik.
VI. J. H. Lambert, uͤber die vierraͤdrigen Wagen.
VII. J. C. Burkhardt's Tafel, um jedes Jahr ber
Julian. Periode aus ſeinen Kennzeichen zu finden.
‚ VII. G. S. Kluͤgels verſchiedene arithmetiſche Zuſam⸗
menſetzungen des Kreiſes, aus denſelben Elementen.
IX. J. F. Pfaffs Zuſaͤtze zu ſeiner allgemeinen Sum⸗
mation einer Reihe, worinn hoͤhere Differenziale
vorkommen. ⸗
x. Chr. Kramp's Sqhreiben an den Herausgeber,
über die geometrifche Analyfis des Kıyftalls, Hyos
do ng genannt; eine Widerlegung des Spfiems von
Ha
XI. Leber Gitter und Gittetſchritt, fernere Aeuſerung
,des Ungenannten. Ueberſetzung der von ihm
(Heft III. ©. 348) mitgetheilten geheimen Gitter⸗
ſchrift. Toͤpfers Eonftruktion folcher Gitter nach
12
2
A
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74
combinatoriſchen Geſetzen. Zuſah de des Herausgebers. 81
vu
ZU,
vo _ nhalts- Anzeige:
XIL Auszüge u und Recenfionen neuer Buͤcher.
1) A. G. Käftners weitere Ausführung der mas
thematifchen Geographie. 100
2) G. S. Kluͤgels Nachtrag zu feiner Recenſion
C(G. II. ©. 236) von Herrn Hofr. Mayers
Anweiſung zur Verfertigung der Land⸗ See⸗
aAnd Himmelscharten. 105
3) Aus einem Schreiben Herrn D. 8: am p’s an
: ben Herausgeber; feine weitern Sortfchritte in
der combinatorifchen Analufis betreffend. . 107
4) Propofals for publifhing by, fublcription a
Globe of the Moon, by Fobn Ruſſel. 112
. XI. Auszüge aus Briefen, verſchiedene Nachrichten
"und Anzeigen. ⸗ “
Sechſtes Heft.
IL. J. 8. Hennert, über die aftronomifche Strahlen
brechung, mit Nüdfiche auf Thermometer und Baros
meter. Forfeßung " so ©. 129
1. ©. S. Klügels Angabe eines Doppeloßijeftivs,
das von aller Zerftreuung der Strahlen frey ft. 141
DI. Buzengeiger,svon einigen merkwürdigen Eigens
Tchaften der Binomial-Eoefficienten. 161
IV. %. G. Käftner, Summe und Unterſchied von Tan⸗
gente und Secante. 174
V. E. G. Fifch er, über die Velcefuis der Wurzels
großen aus den Gleichungen. 180
1. H. A. Rothe, über die Kussepming ſchief abge⸗
ſchnittener Prismen. 195
VII. A. F. Luͤdicke, eine beſtimnte Aufgabe aus der
unbeffimmten Analytik, nebft einem Zuſabe des
Herausgebers. ⸗ ⸗ 206
— VII. Auszuͤge und Recenſionen neuer Bäder. 221.
| K. E Langsdorf, Lehrbuh der Hydraulik mit
beſtaͤndiger Nücficht auf die Erfahrung 1794.
Fortſetzung des Lehrbuchs der Hydraulik, 1796.
Della Specola aftronomica de regj fiudj di
Palermo Libro quinto; di Giufeppe Piuzzi,
Ä Fortfeßung.
IX. Auszüge aus Sriefen, Nageiäten und andere ;
Anzeigen 2 | 239
Sieben
'
nhalts- Anzeige | NV
Siebentes Heft, —
LE F. Pfleiderer, Deduktion der Euklidiſchen
Definitionen 3, 4, 5. 7 bes ven Buhs der
Elemente. ©. 257,
2.3.9. Lambert, hier bie wewegung bet Säffer,
in welchen Kugeln geränbet werden. 287 ı
III. €. Kramp, über den Mittelpunkt der Omen im
fphärifchen Dreyede. ⸗ ⸗ 296
IV. ©. ©. Klügel, Formeln zur leichten Berechnung .
des Kreifes; nebſt einer Zuſatze des Herausgebers. 308
V. C.L. Bränings, über verſchiedene merkwürdige
Bewegungen eines Doppelfegels auf den Rändern
eine Kanald. ⸗ ⸗ 321
VI. A. G. Kaͤſtner, uͤber Sangenideis Vorſchlag, den
Kreis vermittelft bes ſentrechten Cylinders zu, rekti⸗
ficiren. ⸗ * 332
VII. A. G. Kaͤſtner, die Retiemege vor ——9 334
VII. A. Käftner, was iſt Schuͤnzeug? ? ⸗ 336
IX. C. F. Hindenburg, Vergleichung der Lagrangi⸗
| fhen und combinatoriſchen Reverſi onsformieln für
Reihen. 39
X, Auszüge und Hecenfi onen neuer M uͤcher.
ı) J. F. Pfaſt, Disquifitiones analyticag, ma-
- xime ad Calculum Integralem et Docitinam
"Serierum pertinentes. 33
\ 2) Aus einem Briefe des Sen. Prof. Br affs an
den Herausgeber. 347
3) Rohde, mathematifche Ashandlungen: über
das balliftiihe Problem, und Aenderung der
Planeten⸗ und Kometenbaßnen im widerſtehen⸗
den Mittel. - 354
4) J. Friedrich, zum wigen Frieden zwiſchen
den Streitern uͤber einige Rechenexempel. 3760
XI. Auszuͤge aus drey Briefen von Hrn. pP Kramp
3
an’ den Herausgeber. 380
— vqr
VI 5: Inhales-Anzeige
Achtes Heft.
I. J. Pas quich's Anfangogruͤnde eine neuen Erpos -
nentialrechnung. S. 385
II. E. G. Fiſcher, uͤber die Deſſchaſng der Wurzel⸗
groͤßen aus den Gleichungen. Fortſetzung. > 426
III. €. F. Pfleiderer’s Deduktion der Euklidiſchen
Definitionen 3, 4, 5, 7 des Vten Buchs ber Elemente.
Fortſetzung. ⸗ ⸗ 440
IV. Ueber Glenie's Conſtruktionen verſchiedener geometri⸗
ſcher Aufgaben; von verſchiedenen Verfaſſern.
a) von J. K. Hagner, ar Bertheladorf bey
Herrnhuth. 448
b) von M. C. F. Hauber zu Tübingen, 458
c) von M. J. W. Becker, zu Kleinbrembach. 471
V. M.I W. Beckers Zuſatz zu Prof. Hindenburgs
AbWaodlung über die cykliſchen Perioden. 481
VI. Bärmann' 8 numerifche VRexechuung de der Kreiss
periphetie. 0
VIL Deffelben vereinfachte Anal; ein Kuss ang
einem Auszuge. ⸗ 495
VII. Auszüge aus Seien, Naricten und andere
Anzeigen. '
1— 3. Aus drey Briefen von Hrn. D, Kramp;
feine weitern Sortfchritte in der Lehre der affro-
nomifchen Strahlenbrechung betreffend. - 499
4. Uns zween Briefen von Hrn. Buͤrmann. 309
487
Ardıiv
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der -
seinen und angewandten
Mathematik.
— — —
Sünftes Heft, 1796. i
J.
* [|
Ueber Die affronomifche Strahlenbrechung von
J. F. Hennert Profeilor der Mathematik
\ Utrecht.
Lehrſatze
F. I. an ein Lichtftrahl durch flüßige Materie:
(nedia) von verfchiebner , aber zunehmender Dichte ge=
bet, fo ift der Winkel, welchen der erfie einfallende Strahl
mit dem zuletzt gebrochenen Strahle macht, gleich der
Summe aller vorhergehenden Strablenbrechungen.
Bemeis.
Die horizontalen Linien HN, PI, LB, ME ber $l#
gur bezeichnen die Grängen ber Schichten (ſtrata) bee
verfchiedenen fläßigen Meaterien. Auf dem Einfallspunkt
I des einfallenden Strahls ST richte man dag Perpendi⸗
kel ZIP, der gebrochne Strahl fey IR, weldjer mit dem.
verlaͤngerten Einfallsſtrahl SIi den Binfl iIR macht,
° Bünftes Heft 4 ; wels
=
ur J J. HOenneit, über die
welchen bie Aftronomen die Strahlenbrechung nennen;
- Be heiße R'. Auf gleiche Weiſe richte man ein Perpen-
dikel ARp auf, fo wird der Winkel B Rr==R'ie zweyte
Strahlenbrechung bedeuten. Ebenfalls ſoll ber Winkel
ErO==R bie dritte Strahlenbrechung u. f. w. anwei⸗
fen. Man verlängere den zulegt gebrochenen EtrahlOr
big G, wo derfelbe den zweyten und verlängerten gebro⸗
chenen Strahl IRBfchneidet, fir GB=BRr+RrG
ober OrE=R.TR. Man verlängere auch diefen Or,
bis derfelbe den erft einfallenden Strahl STi bey F fchnei«
der, folglich der Winfel iFr=iIR+RGF oder
rGB=R’+R+R = der Summe aller vorhergehen⸗
den Strahlenbrechungen. --
6.2: Lehrſatz. Die fcheinbare oder beobachtete
Höße ift gleich, der wahren Höhe, vermehrt mit der Sum⸗
me aller Strahlenbrechungen.
Beweis. Weil die Linien HN, ME horizontal
find, fo ift dee Winfel HIS die wahre Höhe des Gegen-
ſtands S, Wird nun ber zuletzt gebrochene Strahl rO,
ber ing Auge bey O fällt, nad) Orhf fortgegogen, fo
ffteht das Auge O den Gegenftand S längft Ohf, bee
alfo unter dee Höhe Hihf erfcheint, folglich ift Hihf die
ſcheinbare Hhe= Nho=hIF+IFh=HIS+iFr
Se der wahren Hoͤhe m dee Summe aller Strahlenbres
ungen (5. 1.)
83. Aufgabe. Das Verh altniß der Strahlen⸗
brechungen su den ‚entfprechenden Höhen oder Abfländen
vom Scheitelpunfte zu finden.
Aufloͤſung. Es iſt bekannt, daß das Verhaͤltniß
der ſinus des Einfalls⸗ und Brechungswinkels in zwey
nehmlichen Materien, fuͤr alle Einfallswinkel beſtaͤndig
iſt: Alſo fege man: ſin SIZ: ſin PIK=m: n,
—— fin
aſtronomiſche Strahlenbrechung. 3
fin PIR oder fin-IRA: finrRp.=n: p, auch
fin rKp: fo DrO==p: q, folghich SIZ: fin DrO
=m:p. Nun ift S1Z der wahre Abftand des Sterng
vom Zenith, und San—ZhH die ſcheinbare He! h,
auch if OrDz=go®—h,
Nun ift die wahre Höhe: H+ allen Strahlenbres
chungen = h. Iſt der ſcheinbare Abftand =orD==Z,
fo ıft der wahre Abftand ober SIZ = 90° — H
==900°—h+ alten Str. Br. = Zt Summe der. Er.
Br. Diefe Summe * R 4R +RrfoyglihaRr, oder
ein Multiplum der legten Strablenbrechung; alfo SIZ
—=Z+aR. $olglihfin(Z+aR): finZ==m:g. Alfo
für-einen andern fcheinbaren Abſtand Z’ und der zugehoͤ⸗
rigen Strahlenbrechung = r, wird eine ähnliche Pens
portion ſtatt finden, naͤmlich in? n 5): finZ=m:
alfo fin (Z’-+H-nR): fin Z = fin (7 + m)‘: fin *
Aber zufolge der trigonometriſchen Formeln bekommt
man, ſin Z cofnR—+- cofZ. fianR: fnZz= finZ
cfnr+ cofZ finnr: fin Z, woraus folgt, daß
coffoR + cot Z finnaR — cof. nr + cotZfinnar
MWeilnunnR und nr fleine Winfel And, fo kaun man
2An2 3
otR=ı sd nnr=mır — an
6
R?
ſetzen, woraus dieſe Gleichung entſpringt — —
2
©... MR nr? ,
Er ie ae
2,3
— cot Z; Die Aufloͤſung dieſer quadratiſchen |
- Gleichung giebt: |
a3 (r+R) voR) — cz) m Ds,
32 r’cotZ —R? cot zit * cotZ —R?’cotZ
j wenn
ı
4 IJ. Hennert, über die.
wenn man durch D den erſten Terminus bee zweyten Glie⸗
des bezeichnet.
6. 4. ‚Wären wey beobacheete Surhlerbrechun—
gen, R und r für die Abſtaͤnde Z und Z befannt, fo
koͤnnte die unbefannte Groͤße n beſtimmt werden. Wir
wollen zu der Abficht zwey Beobachtungen aus den Ta⸗
feln des Bradley nehmen, eine fuͤr den Abſtand 7* 89°,
wo die Strahlendbredhung oder r == 24 237,6 die
andre für 2= 869%, deffen GSteahlenbrechung oder
| R=ır sı,rif. Um den Werth des Coefficienten
ang diefen Beobachtungen durch Rechnung abzuleiten, muß
man auf zwey Stücke Acht geben 1) daB die Bogen in
Sheilen des Radius ı muͤſſen beſtimmt werden, durch
die bekannte Proportion des Bogen, der dem Radius
eo hL nR
gleich if, oder 206264 =S5:.ı==0R: ey Alfo
muß man überall für nR und ar, nR: Sund ar: S
ſchreiben. 2) Um die Rechnung gefchwinder zu machen,
iſt es rathſam — fürn. zu fegen,: wodurch man fölgende
Gteichung erhaͤt · I |
(r ER) (r—R)_ 4 V R?cotZ—r?cot ——
2
WET Rear Z—rcorZ) 6S°(ReorZ—rcnZ) °
Der Zaͤbler R? cot — 13 cot Z laͤßt ſich unter
cotZ
biefer Form R or leicht berechnen,
Ich finde,
ma ,836516 + Y (— 0,0004 -F 0, 0C6897573)
== — 0,0830516' — 0,0837571 = — 0, 1058087.
| aufo Rı=-.=—60z10,
5. 5.
NT
. \
aftronemifche Strahlenbrechung. 5
6.5. Han kann n=—6 fegen, weil bie Rund
r Heine Größen find. Die allgemeine Gleihung wird als
fo in diefe beſtimmtere verwandelt fin Z’: ſin Z —6r)
=={inZ: fn€Z-6R) Daß der angenommene Werth
für n dem wahren fehr nähert, kann man aus ber
Nedhuung beweifen, weil log fin Z — log fin Z
== 0,0009930 giebt, und log fin (Z=6r) — log
(Z—6 = == 0,0009941.
5.6. Wenn man für Z’ einen getbiffen Aston
== 89° und für r die Strablendrehung = 24 287,6
annimmt, fo bekoͤmmt man eine gemächliche Formel, um
die Nefraction für einen gegebenen Abſtand Z zu beſtim⸗
men; nämlich weil fin 39%: ſin 860 33 8,4 =linZ:
fin (Z— 6r), fo it log fin (Z— 6r) = log fin Z
+ 9,9992795. Man ſieht z. E. die Strahlenbrechung
für den Horizont, ‚to Z== 90°, alfo 0+9,9992795
= log 86° 42°’2”. Solglich iſt Z —6R==86° 422,
alfo 6 R= 909° — 86° 42’ 2" = 39 17’ 58”, enblich bie
Strahlendrechung oder R== 32’ 59”,5. Nach diefer
Sormel habe ich einige Strahlenbrechungen berechnet, bie
von der Bradleyfchen wenig abgehen.
7 1901 89 1 88 | sr I ss.
Bereihnere ’
Strablenbrech · 32 59", 5124 28,6] 18° 34°, SJI 35” Jar sı“,z -
Bradlenfche n .
Strahlenbrech. 133 24 28, 6418 35" I14 35", 611 Si,
Z 85 84 83 52
Perechnete '
Strablenbrech .
Bradleyſche
Strahlenbrech. I 9 54, 31 8 27",81 7 207,51 6 29,4
5.7. Die Bradleyfche Formel, um die Strahlen⸗
brechung zu finden, fann aus der vorhergehenden abge»
leitet werden. Es war 6.5.finz: fin (Z— 6r)
A 3 == fin
—J—
6 | IJ. Henuert, über bie |
== finZ: fin (Z6R), alfo fin Z’+ fin (Z/ — 6):
fin Z — fin (2? — 6r)= fin Z+ fin (Z— 6R):
22 —6
nz — fin (2 — -6R); tang(? _! : tang 6r
2 2
2Z=6R GR
ober == tang =) : tang — — 9 oder tang
{2 —3r): tung 3r tang (Z— SR): tang 3 R.
Sirnd die Strahlenbrechungen klein, nämlich wenn Z
Peiner als 86° it, fo fann man tang 3R3 R ſetzen:
dann erſt befommet man die Bradleyſche Kegel, . nämlich
tang(Z —3r): R. Es erhellet, daß diefe Proportion
nur eine approrimirte ift; und baf der Gebrauch derſel⸗
ben weitläuftiger iſt als die unfrige. Weilman die Strah⸗
“ IenbrechungR für den gegebenen Abftand nicht weiß, muß
man bdiefelbe erft ohngefähr finden, durch diefe Propor⸗
tion, tang(Z —3r): r==tangZ: R, und hernad)
das gefundene R in der erfien Proportion fubftituiren,
um die verbefferte Strahlenbrechung genauer gu beſtimmen.
Mir gebrauchen nur- eine Proportion.
8. Die zwey Lehrſaͤtze (a 1.2.) Finnen auch bes
tiefen werden, wenn man anftatt gerade horisontale Li⸗
nien, concentrifche Echichten nimmt, in welche der Luft«
kreis um die Erde vertheilet ſey. Man ziehe aus dem
Mittelpunck der Erde, Linien nach den Puncten der ein-
fallenden Strahlen, .fo entſtehen die Einfallswinkel, nur
daß man auf der Erde.eine Tangente ziehen muß, welche
den Horizont vorſtellk; nach diefem berlängere man den
erften einfalfenden und den zuletzt gebrochenen Strahl,
fo wird man ebenfalls finden, daß der Unterſchied der
fcheinbaren und wahren Höhe der Summe aller Refrac⸗
tionen gleich ſey. Alſo laſſen fich: auch die gefundnen For⸗
meln auf den Lufttreisꝙ anwenden.
8.9.
/
aſtronomiſche Strahlenbrechung. . 7
. 9. Simpſon hat (Mathematical-Diſſorta-
tions, London 1743. p. 46- 59) bie Strahlenbrechung
aus der anziehenden Kraft, welchem die Lichtſtrahlen in
der Luft unterworfen ſind, ſinnreich abgeleitet. Er fin⸗
det zwey Formeln, eine fuͤr die Strahlenbrechungen, wo
die Abſtaͤnde vom Zenith Heiner als 70° find, wo die Tan⸗
genten der Abfkände fich wie die Strahlenbrechungen ver»
halten. Diefe Sormel folgt aus der approgimirten Brada
Iepfchen; wenn nämlich 3 R fehr klein in Anfehung des
Z ift, fo iſt tang (Z—=3R): Rwietang Z:R.*).
Die zweyte Formel ift für die Strahlenbrechung ber
Abftände die größer ale 20° find. Diefe Formel fomme -
mit der unfrigen überein, nur dag Simpfon Y oder
5.5 für unfer n annimmt. Näntlich die Simpfonfihe
Proportion wuͤrde dieſe ſeyn: 1: ſin 860 584 oder
0,9986 = fin Z: fin (Z— 5,5R), melde auf bie
Horizontal Refraftion S 33’ gegründet if. Bosco⸗
dich hat diefelbe Materie aus ber. Lehre der anziehenden
Kraft abgeleitet. „Die Aufldfuna ift im Wefentlichen
von der Simpfonfchen nicht unterfchieben. Boscovich
findet nur die approximirte Fotmel des Bradleys, naͤmlich
daß tang (Z— 3 R)wie Riſt.“ Aber dieſe Formel iſt nicht
fo genau als die Simpſonſche oder die unſrige A ſtrono-
mie par M. de la Lande, $. 2200-2203).
6. 20. Die Aufldfungen von Simpfon und Bos⸗
covich find insbefondere auf die Vorausſetzung gegrün«
bet, daß die Dichte der Luft einförmig von oben. nach,
unten zunimmt. Weil nun aber unfre Auflsfung auf
Ä 14 Ä feiner
*) Diefe Simpfonfhe Proportion kann . aus der Gleichung
cof nR-+cotZ, finnR= cofn-FcotZ finm abgeleitet wer⸗
- den, wenn man cofnR und cof nr = ı, und inonR=nR
und fn nr=nrfest, woraus entflehet R cor Zr. cotZ,
R: r=corZ: cotZ =tangZ: tang Z. Alſo dat‘ diefed
—X nur fuͤr ſehr kleine Kereactionen Batt.
\ ’
" A
$ IT. Käffner, wie dunkle Koͤrper leuchten
keiner phyſiſchen Hypotheſe beruhet, nur aus einfachen
optiſchen Grundſaͤtzen abgeleitet ift, fa koͤnnte die Vor⸗
ausſetzung ber einfoͤrmig zunehmenden Dichte der Luft da⸗
‚durch einigermaßen: beſtaͤtigt werden. Ich werde mich
. Bemühen, die Lehre der Strahlenbrechung, wenn dieſel⸗
be den Veränderungen des Luftfreifes, mit Ruͤckſicht auf
<hermometer und Barometer unterworfen iſt, in einem
andern Aufſatze abzuhandeln.
Utrecht, den 27. Dftober 1795... en
| .
IL
ie gbrver leuchten, die fein \eigenthümfiches
Licht haben. — KRoger Bato,
| Euler.
9, Srancifcaner, Roger Baco, welcher 1292 oder
7294 ſtarb, iſt wegen‘ feiner mathematiſchen Einfichten
und Entdeckungen beruͤhmt. Rogerii Baconis, Angli,
viri eminentiſſimi Specula mathematica, in qua de
Specierum multiplicatione, earumdemgne in infe-
tioribus virtute agitar; liber, omnium Scientiarum
ſftudioſis apprime utilis; editus Opera et Studio Joh.
Cömbachii, Philof. Prof. in Ac. Marburgenfi ordi-
narii, iſt zu Sranffure 1614 in Duart herausgekom⸗
men. Enthält außer einigem Allgemeinen: über die Ma⸗
thematik, optifche Lehren. Im erften Theile, diſtinct. 4.
cap: 1. P. 33... wird vom Lichte der Sterne gerebet.
Baco glaubt dem Ariftoteles, daß alle Sterne ihr Licht
von der Sonne Baben, den Beweis geben die Mondfin⸗
ſterniſſe/
nach Averroes, Bacco, Euler: 9
ſterniſſe, der Schattenkegel reicht nur bis an Merkurs
Kreis, daher koͤmmt der Mond allein in ihn.
Nun glaubt totum vulgus Studentium quod lu-
men quod venit ad nos de luna et ſtellis, quod ſit
lux Solis reflexa a fuperficious earum, ſed hoc eft”-
impofhbile propter aequalitatem angulorum inci-
dentiae et reflexionis .
Paco zeigt dieſes durch eine Figur. Don ber Son.
ne-fälle ein Strahl auf den Mond, und der wirft ihn
nach dem Geſetze der Keflerion auf die Erbe. Dieſer
Strahl koͤmmt an. eine beftimmte Stelle ber Erde, und fo,
fagt Baco, werde es mit allem Lichte ſeyn, das auf des
Mondes Flaͤche faͤllt; es ſey Alles wie ein Strahl, falle
in ungleichen Winkeln auf die Oberflaͤche des Mondes,
und werde nach einem beſtimmten Theile reflectirt. Folg⸗
ih wenn diefes Kicht fo auf die Erde fäme, würde ber
Mond nur einen beftinnmten Theil des Horizonts erleuch⸗
ten, aber wir ſehen, daß er die ganze Halbfugel erleuche
tet, tie die Sonne. Alſo ift dag Kicht, das vom Mon⸗
de und von den Sternen koͤmmt, nicht reflectirtes.
Baco erwaͤhnt Auer. 2. Coeli et Mundi, braus
che diefen Beweis, und beftätige durch fein Anfehen, dag
Licht, dag von den Sternen gu und koͤmmt, fey nicht
Sonnenlicht, von der Sterne HDberfläche reflectirt,
edu&tam tamen de potentia materiae in corpore ftel-
lae, per virtutem Solis venientis ad ftellam, quae |
virtus alterat et tranfınutat ftellam, et facit lumen
in ea, et quando habet lumen naturaliter genitum
in ea, ficut Sol habet lucen creatam, tunc poteſt
multiplicare lucem a fe undique ſicut Sol, ettunc
concedendum quod lumen Solis reflettitur a Super-
ficie lunae; fed non venit ad terram ſed adaliam par
. | = 5 tem
10 II. Käftner, tie dunkle Körper leuchten,
tem mundi declinat, 'in coeleftibus fecundum aequa-
litatem angulorum incidentiae et reflexionis.
‚Euler lehrt befanntermaßen, dunfle undurchfichti-
ge Körper werden von nnd nicht deswegen gefehen, weil
ſie Licht, das etwa die Sonne auf fie fendet, nach den
Geſetzen ber Reflexion zurückfenden, fonderg, weil durch
das auffallende Licht die Fleinften Theile, die fich in ihrer
Hberfläche befinden, in eine gewiffe Bewegung fommen,
Durch welche Strahlen erregt werden, tie für fich leuch-
tende Korper, durch die Bewegung ihrer Theile in der
umliegenden Materie bes Lichts erregen.
Euler, lettres a une princefle d’ ‚Allemagne,
T.L St. Petersbourg 1768, Lettre 25. p. 96.
Eulers: Briefe Über verſchiedene Gegenftände aus der
Naturlehre ... von Kries. keipt 1792. 1. B. 26. Br,
139 S.
Findet man nicht in dieſer Lehre, Bacos, aus
dem Alhazen angeführte: virtusem Solis ... inultipli-
care lucem a fe undique ſicut Sol?
Wie Baco ſich vorſtellt, daß die irdifchen Körper
ung ſichtbar werben, die wir bunfle nennen, fann ich
nicht fagen, er erwähnt bergleichen nicht.
Daß wir fie nicht durch zurüchgetworfne Strahlen
ſehen, ſchließt Euler daraus, meil wir fie felbft fehen,
nicht auf ihnen Bilder der Gegenftände, die. ihnen Licht zu⸗
. fenden. Der Schluß hat mir nie fehr bündig gefchienen.
Der Spiegel zeigt ein Bild, weil feine glatte Fläche bie
Strahlen nad) der Drdnung jurücke wirft wie ſie diefelben
bekoͤmmt; macht man feine Fläche rauh, fo bleibt er nicht
. Ein Spiegel ; jede Ungleichheit ber Oberfläche, iſt durch
mehrere Ebenen begrängt, wenn deren jede das Licht wie
ein fleinee Spiegel zuruckwirft; ſo iſt deutlich, daß alle
zuſam⸗
nach Averroes, Baco, Eule. = ıı
| zuſammen die auffallenden Strahlen nicht i in.der Ordnung.
\
nach dem Auge fenden wie fie folche befommen. Eben alfo
last fich gar leicht erklären, warum. rauhe Slächen keine
Spiegel find, fo wie gegentheil jeder Körper fpiegelt,
wenn er eine glatte Oberfläche erhalten kann deren äußere
Theile für fi) von dem Auge nicht unterfchieden werben.
- Euler ift alfo durch eine gang andre Reihe von Ges
danfen auf feine Lehre gekommen, als der Araber, mel
ches man zu feiner Rechtfertigung anführen Eönnte, wenn.
er eine gegen den Einfall brauchte: feine Erklaͤrung,
„wie dunkle Körper ung fichbar werden, fey von Aver⸗
roes genommen.
Daß der Mond das Sonnenlicht ung nicht fo zuſen⸗
det, wie ein erhabener Spiegel thun wuͤrde, iſt richtig.
Ein ſolcher Spiegel wuͤrde um die Oppoſition, ſtatt des
Vollmondes uns eine glaͤnzende Stelle zeigen, deren
ſcheinbare Größe etwa 4 Secunden wäre, wie ich im
meiner Abhandlung de objecti in Speculo Sphaerico
vii magnetudine apparente gewiefen habe. Novi
Commentar. Soc. Sc. Gott. Tom. VIII. ad 1777,
p. 114. Aber daß lehrt nur fo viel: Die Oberfläche
des Mondes fey nicht glatt, fondern vol Ungleichheiten,
wovon freylich zu Bacos Zeiten, außer dem Mann im
Monde nod) nichts befannt war.
4. G. Käftner.
ur
En
12 m Küfıne, wie viel wirft der Rabe
m.
Wie viel Steinchen muͤſte der Rabe ins Gefaͤß
werſen? berechnet von a G. Kätiner.
1, Minis Nafurg. X. B. 43. Cap. berichtet: Ein
durfliger Rabe habe in ein Gefäß Steine geworfen, das
mit das Waſſer im Gefäß in die Hohe getreten fey, und
. von ihm habe fönnen erreicht werden.
u Harsdoͤrfer hat zu dieſer Erzaͤhlung ein Exempel
berechnet. Mathematiſche und philoſophiſche Erquick-
ſtunden, zweyter Theil (als Fortſetzung von Schwen-
ters Erquickſtunden) Nuͤrnb. 1677, im dritten Theile
(der dritten Abtheilung) 26 Aufgabe, 121. Seite.
2) Wehn man mit Harsdoͤrfer das Gefäß cplin-
drifch annimmt, die Steine Fugelförmig, fo laßt fich die
Frage fo abfaflen:
- Ein Eplinder habe zum Durchmeffer c. Es ſteht
in ihm Waffer auf die Höhe b, man fol n Kugeln hin-
einwerfen, jebe vom Durd,meffer = e, damit das Wafa
fer auf die Hoͤhe b-Fh fleigt.
3) Diefe n Kugeln alfo müffen foviel Raum aus⸗
- füllen, ‘als ein Eylinder hat, beffen Durchmeffer = c;
Höhe =h. |
Sch fage nicht, biefen Eylinder ausfüllen; das
koͤnnen fie begreiflidy nicht, fo wenig als die Duadrats
. fuße, die den inhalt eines Dreyecks angeben, dag Drey«
eck ausfuͤllen.
4) Ich ſtelle mir zween Cylinder vor; I. Cyl.
deſſen Durchmeffer = feiner Höhe = e; II, Cpl. deſſen
Durchmeſſer— c; Höhe = h; So if: |
— | Kugel
Steinen ing Boffergefäß? 13
Kugel vom Durchmeer e: Ip. = 2: 3
"Il. I Cpl. =e: c®h
Kugel: U. = 2.0; 3. eꝰ. h
Oder: Kugel = — — II Cyl.
3. c°. ch
Sollen alſo n Kugeln = Mi Cyl. ſeyn (3), ſo iß
1 2e2 d .c?
a 2.ch st | |
5) Man nehme zum Längenmaße die Dicke eine®.
Gerſtenkorns, und feße den Durchmeffer eineg Steinkuͤ—
gelchend —= 3 Gerftenfsrner = e, des Cylinders Durch⸗
meffer = J Elle = 32 Gerfienförner —= c; das Wafı
fer um Z Ele = 16 Gerftenförner = h si erheben, fo
2°; 1 2.32.
temmt n — 3: 32°. 16 — 3 32.8 „1024. 8
. 227 ,., 9 29
* —* | R u
6) Harsdörfer giebt dieſes Erempel. Er fagt:. man
rechne acht Duerfinger auf eine Elfe, und auf einen Quer⸗
finger 4 Gerftentörnlein, daß alfo auf F Elle 32 kom⸗
men, folglich ift die erfte Angabe ein Schreibe. oder Drucks
fehler, und fol heißen, acht Duerfinger auf 4 Ele.
"Nach diefer Berichtigung flimmen 9. Zahlen unter fich
überein, und er findet einerley mit mir, ‚aber Diet weit
läuftiger, weil er nach der Verhaͤltniß 73: 22 Gefaͤß und
Kugeln ausrechnet.
7) Da dieſe Verhaͤltnit nicht die ſchaͤrfſte iſt, ſo
koͤnnte jemand, der ſo wie H. aber mit einer ſchaͤrfern Ver⸗
haͤltniß rechnete, erwarten; etwas genaueres als H. zu
finden. W
Das geſchieht aber deswegen nicht, weil die Verhaͤlt⸗
niß des Durchmeſſers zum Umkreiſe, aus der Rechnung her⸗
ausgeht;
14 111. Käftner, wie viel wirft der Rabe
ausgeht: haͤtte H. ſtatt ihrer 1: 3 genommen oder gar
eine falfche; fo hätte er doch n eben fo richtig heraus ge=
bracht. Wenn man Räume vergleicht, die durch den
Kreis begrängt werden, fo geht die Verhältniß des Durch⸗
meſſers zum Umfange aus ber Vergleichung, oder auch man
kann die Vergleichung: fo anftellen, daß diefe Verhaͤltniß
gar nicht gebraucht wird, wie mein Verfahren in (4) zeigt.
| 8) Wie hoch das Waffer anfangs fland, koͤmmt in
(4) gar nicht vor, weil man nur zu wiſſen verlangt tie
viel nad) Einwerfung ber Kugeln feine Oberfläche Höher
ſteht ale anfangs.
Indeſſen nahm nach (2) das Waffer allein anfangs
denKaumzfarc” bein; jede Kugel nimmt den Raum 7.
3 \
_ ein, alfo dien Kugeln (4). den Raum Zw. c?.h; folg⸗
ih Waffer und Kugeln zufanmen ben Raum 4 m. c?.
(6 * h). Solchergeſtalt muß die wagrechte Oberfläche
des Wuſſers nur um b+h über des Cylinders Grunds
fläche ſtehn; ob fich gleich nicht alles Waffer über den
Kugeln befindet, manches noch den Boden benegt.
9) Wie die Kugeln im Eplinder liegen, tie viel
in einee Schicht, wie viel Schichten über einander, dag
koͤmmt auf die Verhaͤltniß der Durchmefler, einer Kugel
amd des Cylinders an, und laͤßt fich nicht einmal allge-
mein angeben. |
10). Weil nur bie Frage. it, den Kaum 3. cc’. h
auszufüllen, . fo leifteten eben das n Würfel jeder fo groß
als jede der Kugeln. Die Seite eines folchen Würfels
‚wäre = e. Mr; und fo Rörperchen von andern Ge⸗
ſtalten. Die Vorausfegung von Kugeln machte nur bie
Darſtellung und Rechnung am leichtefien.
| 11) 86
: Steinchen ins. Woffergeföß ? 15
11) Db übrigens Situla in monumento beym
Plinius ein Eplinder heißen kann, das wird wohl hier
gleichguͤltig ſeyn, mo nur gewieſen wird, wie fih Die
Rechnung bey:angenommener Geſtalt des Gefäßes führen
läßt. Die Nachricht vom durfligen Naben ſteht auch
beym Aelian 2.8. 45.€. mit der metaphpfifchen Bemer-
fung, daß die Naben alfo wiſſen: Zween Körper können
niche .an ‚einen und demfelben Drte feyn. Noch kann
man voͤllig anf die Art berechnen, wie viel fih aus einem
Eylinder Bley, defien Lange = h, Durchmeffer = c,
Schrotfügelchen. vom Durchmeſſer == e gießen laſſen—
nach Raben u perſchithen. |
Dr w.
Siumbfige be bei neuen Feampöi (chen Zeitekming
ſamt qusfuͤhrlichen Tafein zur Zuon wiüns
des neuen und-. alten. Colenbers; von⸗.
u Wurm. . ern et
77.5.
. . 12 [2
9), newe politifche Zeitrechnung der Srangofen, wie
man auch fonft von ihrem Werthe denken, und wie
furg auch vielleicht ber Zeitraum ihrer Dauer feyn 'mag,
behält doch, wegen fo vieler urfprünglich nach ihr datir«
ter Ereigniffe, für die Gefchichte unferer Tage einen ges
wiffen Grad von Wichtigkeit, und ihre genauere Kennt⸗
niß wird zur Reduction vieler Epochen der neueften Welt-
begebenheiten auf die gewoͤhnliche Zeitrechnung, immer
nothwendig bleiben. Chronologie, ein Theil ber ange⸗
wandten Mathematik, laͤßt fich nur mit Hülfe machema-
tifcher, vorzüglich aftronomifcher Säge, richtig beurtheilen.
16 , IV: Wurm, Grunbfäge der neuer
Sch glaubte daher, manchen Leſern des Archivg
Durch.gegenwärtigen kleinen Auffag um ſo mehr einigen
Dienſt zu erweifen, da’ ich bemerft habe, daß die Be
griffe des teutfchen Publikums von der franzöftfchen Zeit
rechnung in neuern Schriften, politifchen . Blättern
u. d. 91. zum Theil ſehr fchmanfend: und. unrichtia, auch
fogarı wiele durchaus falſche franzoͤſiſche Calender ın
Zeutfchland im Umlanfe find. So ſah ich z. B. einen-zu
Baſel bey Flick im 8. erſchienenen „Nenen franzoͤſiſchen
„m Ealender- vom dritten Fahre der franz. Republik, wel⸗
hrs anfängt den 22 Herbſtmonat 1794, und endet
„den 21 Herbfimonat 1795.% "Schon. der:Zitel ift
falfch: denn dag dritte franzdfifche Jahr endete fich am
22 Herbfimonat 1795, und war ein Schaltjahr. Dieß
beweiſt nicht nur Real's bekaͤnnte Echilderung des 12
und 13 Vendemiaire (4. und 5. Dit.) 370 50 wo Bege⸗
benheiten "dom ſechsten Four complönigntäire, oder
som Schalttage des 3ten Jahre (22. Sept: 1795) er⸗
wähne werden (ſ. Minerog von Archenhols, Oec. 1795),
fondern auch die aſtr onomiſch ‚berechnete Connoiſſance
des temps pour | annee 1795 fo mie der neuefte Band
der Connoiſſauce des teinps pourlannde 4du 23 Sept.
„1795 au 21 Sept. 1796. Auch felbft dag Jour⸗
nal: Frankreich im Jahre 1796, enthält auf der letz⸗
ten Seite des ıflen Stuͤcks einen irrigen Calenderauszug
unter der ungegründeten Vorausfegung, daß dag vierte,
und nicht das dritte fram: Jahr ein Schaltjahr fey.
Die gründliche Beurtheilung diefes ganzen Gegenftandeg
gehoͤrt, wie aus dem folgenden erheflen wird, vor das
Forum der Aſtronomie: daher ift auch vom gefeßgeben«-
den Corps in Paris befchloffen worden, daß die aftrono«
mifchen Mitglieder des neuen Iuſtitut National, die zu⸗
gleich Mernbres du Bureau. des Longitudes find, jährlich
ber Geſetzgebungsſtelle den Entwurf des franzoͤſiſchen Ca⸗
lenders
—3
| frangöfifchen Zeitrechnung , nebft Tafeln. 17
lenders auf das nächkfolgende Jahr übergeben follen, um
die von Staats wegen abgefaßten Ealender, ald Mufter
der übrigen, darnach reguliren zu können, Einen leſens⸗
werthen Auffag über die auffalende Aehnlichkeit des Neu⸗
frangdfifchen mit dem Altperfifchen Galender, famt ver«
ſchiedenen literariſchen Notizen, enthält ber Neichganzei«
- ger vom 29. Dec. 1794. — Dieß vorausgefchickt, fuche
ich bier die Grundfäge der franzoͤſiſchen Zeitrechnung felbft,
auf eine auch für bloße Liebhaber der Mathematik verftänd
liche Are zu entwiceln.
8. 1. Bekanntlich beruft die Einrichtung des Gre⸗
gorianifchen Calenders, welcher feit 1777 als allgemei⸗
ner Keichscalender gilt, außer der Methode dag Dftere
feſt zu berechnen, hauptfächlich darauf, daß in 4 Jahr⸗
hunderten je 3 Schalttage ausfallen, fo daß 5. DB. dag
Jahr 1600 ein Schaltjahr, hingegen bie Jahre 1700,
1800, 1900, ungeachtet fie durch. 4 theilbar wären,
gemeine Fahre find. Das Audlaffen diefer Schalttage
gründet fich aufdie wahre Größe des Sonnenjahrg, wel⸗
ches ungefähr um 11 Minuten Fürzer ift, ald das im
ulianifchen Galender zu 365 Tagen 6 Stunden ange
nommene, und daher alle 4 Jahre Einen Schalttag erfo⸗
dernde Sonnenjahr.
‚, & 2. Ganz genau waͤre dieſe Gregorianiſche Art,
die Schalttage abzugleichen, nur alsdann, wenn das
tropiſche Sonnenjahr 365 Tage 5 Stunden 49, 12”
oder 36525 Tage wäre: fo würden mwirflid in 400
Jahren nur 97 Schalttage, flatt 100, erfordert. Allein,
ba dag tropifche Sonnenjahr nad) den neueften Beſtim⸗
mungen, die man wenigſtens auf 2 bi 3 Gecunden für-
ſicher zu halten berechtigt if, nur 365 T. 5 ©t. 48' 48°
gefunden wird, fo nimmt der Gregorianifche Calender
offenbar das Jahr um 24 Sec. zu groß.
rauſtes Heſt. B 6. 3.
.
\
‘
18 ı IV. Wurm Grundſaͤtze der neuen
8.3. In der neuen franzoͤſiſchen Zeitrechnung wirb
das Jahr in 12 Monate, jeder zu 30 Tagen oder zu 3
Decaden, abgetheilt: am Ende der 12 Monate werden,
um die Zahl der Tage bis auf 36 auszufüllen, 5 Er⸗
gänzungstage, anfänglich Sansculotrides, jest Fours
complementaires genannt, und in einem Schaltjahre
6 s Ergänzungetage eingeſchaltet.
6. 4. Sowohl der Anfang des Jahrs als der das
mit genau zufammenhängende Schalttag werden in ber
franzoͤſiſchen Jahrrechnung anders, als in der Gregoria⸗
nifchen befimmt. Da die Sonne fiheinbar in einem
Kreife läuft; ſo iſt, an fich betrachtet, der Anfang des
Sonnenjahrs ziemlich gleichgültig; fein Punct des Kreie
ſes verdient mehr, als ein anderer, der erfle zu feyn.
. Nun bat der franzöftfche National-Convent im jahr 1793
decretirt, daß eine nene Jahrrechnung von der Grüns
dung. oder, wenn man der Wahrheit gemäßer fprechen
will, von der Ausrufung der franzsfifchen Republik den
Anfang nehmen follte. Dieſe Ausrufung gefhahb am
21. Sept. 1792, und der folgende Tag, der 22. Sept.
‚1792, if, zufolge des Decretd, der erſte Tag des erſten
Jahrs man waͤhlte dieſen, und nicht den vorhergehen⸗
den Tag, weil der 22. Sept zugleich mit der aſtronomi⸗
ſchen Herbſtnachtgleiche gerade zuſammentraf.
| $. 3. Das nämliche Decret (5. 4.) feste folgendes
feft, was man als erken, das neue chronologifche Sy⸗
ſtem gang umfaffenden, Grundſatz zu bemerken bat. „Die
„Witternachreftunde vor der Gerbfinachtgleiche
beftimmt jedesmal den Jahreswechſel.“ Nach der
Vorſchrift des Decrets muß alfo der Anfang eines jeden
Jahrs fo beſtimmt werden, daß man aus aftronomifchen
Tafeln den Eintritt der Sonne in die Waage, nach wahrer
zeit zu Paris, eigentlich nach wahrer Zeit der Stern⸗
“ - warte
feangöfifchen Zeitrechnung nebft Tafeln. 19
warte ber Nepublif berechnet; mit der unmittelbar vor,
bergehenden wahren Mitternacht fünge das Fahr und .
beffen erfter Tag au. Go fiel, laut der eignen Worte
des Decretg, „bie Herbſtnachtgleiche 1792 am 22 Gept.
„Abende 9 St. 18’ 30” wahrer Zeit der Sternwarte zu
„Paris,“ und daher fieng das erfie Jahr mit dem 22
Sept. 1792 at.
$. 6. Bey der Größe des Sonnenjahrs zu 5 Stun⸗
den 45 Min. 48 Sec. über 365 Tage ($ 2.) wird die
Herbſtnachtgleiche alle Jahr ungefaͤhr um 5 St. 48"48" .
ſpaͤter eintreffen: Die Fleinern Ungleichheiten bes Son. -
nenlaufs laffen feine vollkommene Gleichfoͤrmigkeit zu.
Traf nun z. B. die Herbſtnachtgleiche in einem gewiſſen
Jahre auf den 22 Sept. 7 Stunden o Minuten Abends,
fo ift offenbar, daß fie im nächften Jahre auf den 22
Sept. 12 St. 49 Min., dag heißt, nach bürgerlicher Rech⸗
nung auf den 23 Sept. o St. 49 Min. Morgens, fal⸗
len, und alſo der Anfang des Jahres um einen ganzen
Tag ſich verſpaͤten muß. Und dieß iſt die Bedingung, un⸗
ker welcher neufranzoͤſiſche Schaltjahre entſtehen. All⸗
gemein iſt ein franz. Jahr ein Schaltjahr, wenn die Herbſt⸗
nachtgleiche des folgenden Jahrs etwas fruͤher als 5 St.
49 Min. nach per wahren Mitternacht einfällt. So traf
die Sonne in die Waage 1795 am 23 Sept. 2 St. 43’
35” Morgend wahrer Zeit gu Paris: dag dritte franzde
ſiſche Jahr war demnach das erſte Schaltjahr des neuen
Spftemg; dena ed hatte mit ben 22. Sept. 1794 angefan«
gen, und fein legter Tag war der 22. Sept. 1795, weil
am 23. Sept. 1795 das ate Jahr anfleng. |
: 67 Da im frangsfifchen. Galender ber Schalt.
tag jedesmal durch aftronomifche Berechnung ber Herbſt⸗
nachtgleiche ſich von ſelbſt beſtimmt (5. 6.); ſo iſt leicht
in "race, daß In Bälen, ‚wo die Herbfinachtgleiche abe
B 2 nahe
20 .IW. Wurm, Grunbfäße der neuen
nahe, und 'nur ein Paar Minuten vor oder nach der wahr
ren Mitternacht ſich ereignet, der Anfang des Jahrs, und
alſo auch, ob es ein gemeines oder ein Schaltjahr ſeyn
ſoll, von der Genguigkeit der Sonnentafeln abhaͤngt. So
wird, wie ich aus den Delambreſchen Tafeln gefun⸗
den, die Sonne in die Waage treten: 1873 am 22 Sept.
11 St. 5324 wahrer Zeit zu Parig; nach Hrn. Obriſt⸗
wachtmeiſters von Zach Tafeln, um 11 St. 47’2”. In
- » Sranfreich wird man für diefen Zweck wohl meiftentheifg
frangöfifche Tafeln. brauchen : die genaueften unter den leg» .
tern find gegenwärtig die von Hrn. Delambre (Aftrono-
‚miepar laLande 1792, Tome 1.) welche mit den von Hrn.
von Zac) 1792 zu Gotha in 4to herausgegebenen Tabu-
lae motuum Solis etc. immer auf wenige Secunden über»
einffimmen. Die Sonnenlänge mäßte indeß im Jahre
1873 bey Hrn. Delambre um 16 Sec. und bey Hrn,
- von Zac) um-32 See größer feyn, um die Nachtglei⸗
che über die Mitternacht hinaus, und alfo den Anfang
‚ded Jahrs auf den 23 Sept. zu bringen: bey beiden
Tafeln aber ſteigt, wenigſtens für die gegenwärtige Zeit,
der Schler nicht leicht auf 10 Sec.
2 KR Nach 5.1 werden im Sregorianifehen Ca⸗
lender die Schalttage, welche bey fortgeſetzter vierjaͤh⸗
riger Einſchaltung zuviel ſind, ſo herausgeſchaltet, daß
in vier Jahrhunderten dreymal nur alle acht Jahre ein
Schaltjahr angenommen wird. Das franzsfifche neue
Syſtem von Zeitrechnung, bey welchem ber Ynfang eines
jeden Jahrs immer auf unmittelbare aftronomifche, und
demnach immer mit dem Himmel Äbereinftiimmende Ned)»
‚nungen fich gründet, bedarf jener. fünftlichen, und
.($. 2.) doch nicht vollkommen genauen Anordnung nicht.
Bon felbften aber bringt es der aftronomifche Calcul, ohne
weitere dießfalls noͤthige Vorſchriften, mis fih, daß
sine
\
franzoͤſiſchen Zeixrechnung nebſt Tafeln. 21
‚eine Franciade — fo heißt im neuen Calender ein mit
einem Schaltjahre fich fchließender Zeitraum von vier Jah⸗
ren — in gewiſſen Sälen fünf Jahre, flatt der gemahns .
lichen vier Jahre, in fich begreift. So finde ich z. B.
für die erften hundert Fahre des franzdfifchen Galenderg
GVergl. die Tafel bey $. 10.), daß zwiſchen den Schalt«
jahren 15 und 20, eben fo zwifchen 438 und 53, zwi⸗
fchen 77 und 82, Franciaden von fünf Jahren enthals
ten find, und daß überhaupt je die 7de oder Ste Francia⸗
de eine von biefer Art feyn muß. Durch folche außer,
. ordentliche fünfjabrige Stanciaden fällt dann mehe
allmählich, und, mie es fcheint, auf eine etwas einfa«
chere ungefünfteltere Weife die ndthige Anzahl von Tagen
aus, welche bey der Gregorianifchen Fintichtung, um
den Calender mit dem Himmel in Harmonie zu erhalten,
auf eine mehr gewaltfame und willfübrliche Art heraus.
geworfen wird,
8.9. Nimmt man, ſtatt bes etwas zu großen Gres |
gerianifchen Sonnenjahre von 365285 Tagen, und des
damit zufammmenhängenden Cyclus von 400 Jahren ($. 2.)
mit den neueren Aftronomen, 5. B. Hrn. von Zac) und
Ken. ta Lande, das Gonnenjahr zu 365 Tage 5 St.
48 48” oder zu 365492 Tage an, fo fallen in 450 Jah
ren nur 109, oder in 900 Sjahren nur 21:8 Schaltjahre,
alfo 7 Schaltjahre weniger, als bey vieriähriger unun⸗
brochener Einfchaltung, melche in diefer zeit 225 Schalte
jahre fordert, geſchehen mößte, und mithin bleibt im
Durchfchnitte, alle 129 = Sabre Ein Schalttag bee
dierjährigen Sntercalationefpftems zuruͤck. An diefen
moͤglichſt genauen, aus ben neueften Beobachtungen here
geleiteten Eyclus von goo "Jahren, ſchließt fih nun
der franzoͤſiſche Salender vollkommen an. In biefen 900
Sahren nimlich fallen allemal 28 außerordentliche Fran⸗
B 3 ciaden
4
/
22 ° W. Wurm, Grundfäge ver neuen
ciaden von 5 Jahren ($. 8.), welche sufammen 140 Jahre
umfaffen. Nun ſollten in 140 Jahren, bey vierjährie
‚ger Einfchaltung, 35 Tage eingefchalteet werben, ober
dieſe 140 Jahre follten 35 gewoͤhmiche Franciaden ent-
halten; da aber die letztere in 28 außerordentliche Fran⸗
ciaden mit nicht mehr als 28 Schalttagen ſich verwan⸗
belt haben, fo fallen damit die 7 Schalttage, jeder zu
feiner Zeit, regelmäßig aus, deren Auslaffung, wie oben
angeführt worden, ber Cyclus von 900 Jahren mie
ſich bringt. u
8, 10. Um’bie bisher vorgefragenen Grunbfäge der
franzoͤſiſchen Zeitrechnung anſchaulich, und auf eine Rei⸗
he von Beyſpielen angewendet, darzuſtellen, theile ich die
hier folgende Tafel fuͤr das erſte Jahrhundert des
neuen Calenders mit, welche ich ſo berechnet habe,
daß ich die Herbſtnachtgleiche, wodurch der Anfang jedes
Jahrs und das Schaltjahr beſtimmt wird ($. 5. 6.), aus
ben Delambrefchen Tafeln mit hinreichender Genauig⸗
feit herleitete. “Der Anhalt diefer Tafel ift von felbften
flar: man findet in derfelben x) mit welchem Tage des
gewoͤhnlichen Gregorianifchen Calenders jedes franzsfi-
fche Jahr von 1792 bie 1891 fich anfängt, und 2) ob
es ein gemeines oder ein Schaltjahr iſt. Nach derfelben-
wird 5. B. das 7te Fahr der franzgöfifchen Zeitrechnung
am 22 Sepf. 1798 anfangen, und (weil der erfie Tag
bes gten Fahre der 23 Sept. if) am 22 Sept. 1799
fich fchließen, demnach, wie auch ber beygeſetzte Buch⸗
ſtabe B (annus Billa) anzeige, tin Schaltahr
ron
franzoͤſiſchen Zeitrechnung nebſt Tafeln. 23 j
1. Tafel. Anfang der erften hundert: Fahre der '
franzoͤſiſchen Zeitrechnung.
Jebt Anfang. Jebr Anfang.
1]22 Sept. 1792. B. 26|23 Sept. 1817
.2)22 - 1793 | 27|23 - ı$ı8
B. 3[22 - #794 B.28,23 - 1819
4123 - 1795 ‚29|23 - 1820. B.
5|22 - 1796. B. 30123 - 1821
622 - 1797 sıl23 - 1822
B. 722 1798 B.32|23 - 1823 ,
8[23 - 1799 33l23 - 1824. B.
.9j23 - 1800 3423 - 1825
9— 33 - 1801 35|23 - 1826
B.ııl23 - 1902 B.36|23 - 1927
12|24 - 1803 37l23 - 1828. B.
13|23 - 1804. B. | 38[23 - 1829
14123 °- 1805 39j23 - 1830
B. 15123 - 1806 B.40l23 - 1831
16124 - 1807 41[23 - 1832. B.
1zs - 1808. B. 42|23 -‘ 1833
18123 -. 1809 43123 - 1834
19l23 - 1810 B. 44123 - 1835
B.20|23 - ıgır 45|23 - 1836: B.
aılz3 - 1812. B. 4623 - 1837
-22|23 - 1813 4723 - 1838
23|23 - 1814 \B.48123 - 1839
B.24|23 1815 49123 - 1840. B.
25123 - 1816, B. 50j23 - 1841
4 L To
Ä /
22 : IV. Wurm, Grundſaͤtze der neuen
ciaden von 5 Jahren (6. 8.), welche gufammen 140, fahre
umfaffen. Nun follten in 140 Jahren, bey vierjährie -
ger Einfchaltung, 35 Tage eingefchaltet werden, ober
diefe 140 Jahre follten 35 gewoͤhmiche Sranciaden ent-
halten; da aber die Ießtere in 28 außerordentliche Fran⸗
ciaden mit nicht mehr als 28 Schalttagen fich verwan⸗
belt haben, fo fallen bamit die 7 Schalttage, jeder zu
“feiner Zeit, regelmäßig aus, deren Auslaffung, wie oben
‚angeführt worden, ber Cyclus von 900 Jahren mie
ſich bringt.
§. 10. Um die bisher vorgetragenen Grundfaͤtze bee
franzoͤſiſchen Zeitrechnung anſchaulich, und auf eine Rei⸗
he von Beyſpielen angewendet, darzuſtellen, theile ich die
hier folgende Tafel fuͤr das erſte Jahrhundert des
neuen Calenders mit, welche ich fo berechnet habe,
daß ich die Herbſtnachtgleiche, wodurch der Anfang jedeg
Jahrs und das Schaltjahr beftimmt wird ($. 5. 6.), aus
den Delambrefchen Tafeln mit hinreichender Genauig⸗
feit herleitete. Der Anhalt diefer Tafel ift von felbften
flar: man findet in derfelben x) mit weichem Tage des
gewoͤhnlichen Gregorianifchen Kalenders jedes franzoͤſi⸗
fche Jahr von 1792 big 1891 fich anfängt, und 2) ob
es ein gemeines oder ein Schaltjahr ifl. Nach derſelben
‘wird 5. B. das Te Fahr der franzöfifchen Zeitrechnung
am 22 Sepf. 1798 anfangen, und (Weil der erfie Tag
bes sten Fahre der 23 Sept. iſt) am 22 Sept. 1799
fich fchließen, demnach, wie auch ber beygefeßte Buch»
ftabe B (annus Biffextilis) anjeigt, tin Schaltjahr
ſeyn.
n
.
frangöfifchen, Zeitrechnung nebſt Tafeln. 23 |
\
‚Sabe Anfang.
ı]22 Sept. 1792. B.
2122 - 1793
B. 322 - 9794
4|23 - 1795
. 5i22 _- 1796. B.
:.6|22 - 1997
B. 7|22 1798
‚8123 - 1799
9123 - 1800
10123 - 1801
B. 11l23 - 1802
12|24 - 1803
13123 - 1804.
14123 '- 1805
B.ı5 3 - 1806
16124 - 1807
as - 1808.
18123 -. 1809
1923 - 1810
B. 20|23 - ıgır
21l23 - ı8ı2. B.
-22123 - 1813
23123 - 19814
.24123 - 1815
25j23 -
1816, B.
1. Tafel. Anfang der erften hundert Jahre der
| franzoͤſiſchen Zeitrechnung. |
nn — —_——
Jabr Anfang.
26|23 Sept. 1817
27123 - 1818
B.25,23 - 189179
29123 - 1820. B.
30'23 - 1821
3123 - 1822
B. 32123 - 1823 „,
33l23 - 1824. B.
34123 - 1825
3523 - 1826
B. 36123 - 1927
37l23 - 1828. B.
386123 - 1829
39|23 - 1830
B.40l23 - 18931
4a1l23 - 1832. B.
42123 -‘ 1833
43123 .- 1834
IB. 44j23 - 1835
45123 - 1836: B.
46123 - 1837
47123 - 1838
IB. 48 23 1839
49123 - 1840. B.
5023 - 1841
LU Qu
324 w. Wurm; Grunbfäge ber neuen
J. Tafel, "Anfang der erfien hundert Fahre der
franzöfifchen Zeitrechnung.
— ——
Lebr Anfang. Iabe _ Anfang.
. 51]23 Sept. 1842 76|23 Sept. 1867
52]23 - 1843 B.77|22 - 1868. B.
B.53j22 - 1844 B. 78123 ®- 1269
54]23 - 1845 ı 79]23 - 1870
55 23 - 1846 sol23 - 18971
56123 - 1847 sıla2 - 1872. B.
B.57i22 - 1848: B. |B.92]22 - 1873
58123 -_ 1849 83|23 - 1874
59123 -" 1850 84123 - 1875
60l23 - 1851 85|22 - 1876. B.
B.6ıla2 - 1952. B. |B.86]e2 - 18977
62|23. - 1853 87|23 - 1978
63)23 - 1854 88]23 -'. 1379
"64123 - 1855 89j22 - 1880. B.
B. 43 - 1856..B. |B.golaa - 1881
66|23 - 1857 9123 - 1982
67|23 - 1858 92123 - 1883
68123 - 18959 93122 - 18394. B.
B.69122 - 1860. B. {B.94122 - 1885
_tol23 .- 1861 95|23 - 1886
72j23 - 13962 96|23 - 1987
72123 - 1863 97|282 - 1888. B.
B.73l22 - 1864. B. |B.98|22 -. 1889
74123 - 1865 l 99j23 - 1890
75l23. - 1866 . ı00l23. - 1991
6. 11.
franzoſſchen Zeitrechnung nebſt Tafeln. 25
S. 11. Die Tafel (5. 10.) bezeichnet den Anfang
des franzoͤſiſchen Jahrs im Gregorianiſchen Calender:
hier fuͤge ich noch eine zweyte allgemeine Vergleichungs⸗
tafel bey, wodurch ſich jedes franzoͤſiſche Datum, das
ganze "fahr Uber, in den ihm entſprechenden Tag ber
gewoͤhnlichen Zeitrechnung fehe Teicht vermandeln läßt.
Man wird. ohne Mühe einfehen, wie auch bag umgekehrte
Problem, Tage des alten auf Tage des neuen Calenders
u reduciren, mittelft der nämlichen Tafel aufzuldfen ſeyn
mochte; indeß Fam die erſte Aufgabe in der Anwendung
bisher häufiger vor. Da, menigftend in dem erften
Jahrhundert der neuen Zeitrechnung ($. 10.) dag franzoͤ⸗
. fifhe Jahr immer mit dem 22, 23 oder 24 Eept. ano '
fängt, fo habe ich die Vergleichung auf diefe drey moͤg⸗
Uüichen Fälle eingefchränkt, und unter No. A die Neducs
tion des neuen Ealenders auf den alten für den Fall an⸗
‚gegeben, wenn das jahr mit tem 22 Gepf., unter
No. B wenn es mit dem 23 Sept, und unter Ro. C
wenn es mit dem 24 Sept. anfängt; nachher folgen noch
die Ergänzungstage, auf bie gewöhnliche Zeitrechnung
reducirt, ebenfalls für die Fade A, B,C. Für alle drey
Faͤlle ift die VBergleichung von 5 zu 5 Tagen, wie auch
mit Vorausſetzung gemeiner Fahre fowohl ber neuen
als ter alten Zeitrechnung, angestbnet. Man hat fich
bey Schaltjahren nur folgender leichten Regeln zu be⸗
dienen: 1) Wenn das gegebene frangsfifche Jahr ein
Schaltjahr ift, fo rechnet man am Ende der fünf Ergän«
zungstage bloß noch den fechsten (als den franzcfifchen
Schalttag) Hinzu; 2) wenn dag correfpondirende Grego⸗
rianifche Jahr, dasjenige nämlich, welches im Nivoſe
des gegebenen frangöfifchen Jahre anfängt, ein Schalt«
jahr ift, fo wird in der dreyfachen Vergleichungstafel
nach dem 28 Schr. bisans Ende des franzöfijchen
"jahres, überall ein Tag des gewoͤhnlichen Calenders we⸗
‘ B5 niger
t ⸗
—
26 „IV. Burn Grinbfäße der neuen
niger gerechnet: vor dem 28 Febr. iſt feine Aenderung
noͤthig. Der allgemein verſtaͤndliche Gebrauch dieſer Ta⸗
fel, welche indeß beſondere franzoͤſiſche Calender fuͤr jedes
Jahr erſparen kann, wird aus einigen Beyſpielen erhellen.
Nach oͤffentlichen Nachrichten wurde im lauffenden
aten Jahre auf den 10 Berminal in Sranfreich ein Ju⸗
gendfeſt gefeyert: wie If dieß Datum gu redueiren? Nach
der Tafel bey $. Lo. iſt daß 4te franzoͤſiſche Jahr ein ge⸗
meines Sjahr, . welched mit dem 23 Sept. 1795 angefans
gen hat: man wählt alfo No. B zur Vergleichung, und
findet dem zofen Serminal den 31 März zur Seite. Weil
aber das “jahr 1796, das im Nivofe des 4ten Jahrg
anfieng, ein Schaltjahr ift, und der 31 Märg nach dem
23 Februar fält, fo muß, nach der vorigen Regel, ein
Tag weniger gerechnet, und alfo nicht der 31, fondern
der 30 Mär; 1796 — 10 Germinal des 4ten Jahrs ge-
fegßt werden. Wirklich it auch in der Parifer Connai/-
Jance des temps pour l’annee 4, der 30 März als
vieux ftyle dem 10 Germinal beygefuͤgt. — Was wird
ber 1. Prairial dee 5ten Jahrs, an welchen, laut der
franssfifchen Conftitution von 1795, Artikel 57, ein
neues gefeggebendes Corps fich das erftemal verfammeln
fol, für ein Tag im gewöhnlichen Kalender feyn? Das
Ste Jahr fängt nach der Tafel 5. 10 mit dem 22 Sept.
1796 an. Man wählt daher zur Vergleihung No: A:
bier iſt, teil ſowohl dag Ste franzöfifche, ale dag im Ni⸗
voſe deffelben Jahrs anfangende Jahr 1797 gemeine
Jahre find, und meil in der Tafel No. A ber 30
Floreal am 19 Mai faͤllt, der darauf folgende ı Prair
sial = == 20 Dei 1797. Ä
franzoͤſiſchen Zeitrechnung nebft Tafeln: 27
11, Tafel, um jedes franzoͤſiſche Datum in das
u A B
‘ | 22 Sept. 23 Sept.
26 Sept. 27 Sept,
U 1 Oct. 2 Oct.
Vendemiaire 6 Ocl. 7 Oct.
II Oct. 12 Oct,
I6 Oct. 17 Oct.
21 0ct.. 7,22 Oct.
26 Oct. 27 Oct.
31 Oct. I Nov.
. Ja 5 Nor. 6 Nov.
Brumäire 10oNov. III Nov.
15 Nov. 16 Nov.
20 Nov. 21 Nov.
DE in
25 Nov. 26 Nov,
| 30 Nov. ı Dec. |
Le 5 Dec. 6 Dec.
Frimaire Io Dec, II Dec.
‚15 Dee. !16 Dec.
20 Dec. 21 Dec.
— — — —
25 Dec. 26 Dec.
30 Dec. 31 Dec.
np, 4 lan. 5 Ian.
Nivöfe > Ian. Io Ian.
‚14 lan. ı5 Ian.
19 Ian. 20 Ian.
24 Ian. 25 Ian.
29 Jan.. 30 Ian.
. 3 Febr. 4 Febr.
Pluviöfe 8 Febr. 9 Febr.
13 Febr. 14 Febr,
18 Febr. 19 Febr.
— — —ſ — — —
23 Febr. 24 Febr.
23 Febr. ı Matt.
fo. 5S Matt. . 6 Mart.
Ventöfe I0o Mart. 11 Mart.
25 ı 15 Mart. 16 Mart.
20 Mart. 21 Matt,
gewoͤhnliche zu verwandeln.
28
IV, Wurm, Grundfäge ber neuen
U. Tafel, um iedes franzoͤſiſche Datum in das
———— zu verwandeln.
Germinal
—
Floreal
—
Prairial
Meſſidor
7Therwidor
251 12 Aug.
30,17 17Aug.
5i 22 Aug.
101 27 Aug.
15] 1 Sept.
20, 6Sept.
254 11.Sept.
‚Io 16 Sept,
Fructidor
I
1
B c
26 Mart. 27 27 Maıt.
31 Mart. I Apr.
5 Apr. 6 Apr.
10 Apr. 11 Apr.
15 Apr. 16 Apr.
20 Apr. 21 Apr.
—
25 Apr.
30 Apr.
5 Mai.
10 Mai.
15 Mai,
20 Mai.
25 Mai,
30 Mai.
In.
9 Iun,
14 Iun. 15 Iun.
19 Ion. 20 Iun.
24 Dun. 25 lun.
29 Iun. 30 Iun.
4lul. 5 Iul.
9 Iul, 10 Iul.
14 Iul. 15 Jul.
[9 Iul. 20 Iul.
24 Iul. 25 lul.
29 Iul. 30 Iul.
3 Aug. 4 Aug.
8 Aug. 9 Aug.
13 Aug, 14 Aug.
18.Aug. 19 Aug.
2 _ 2
23 Aug. 124 Aug.
128 Aug. 29 Aug. ;
2 Sept. 3 Sept.
7 Sept. 8 Sept. '
12 Sept. 13 Sept.
17 Sept. 18 Sept.
Er gaͤn⸗
franzoͤſiſchen Zeltrechnung nebſt Tafeln. 29
— (‚Faurs_complemen —
A 8 _
17 Sept. 118 ren 19 Sept.
18 Sept. |ı9 'Sept. 20 Sept.
nn
1
2
3 19 Sept. 120 Sept. 21 Sept.
4 |20 Sept. 121 Sept. 22 Sept. -
_5_j2ı Sept. 22 Sept. 2 Sept. nt
6 Fr Sept. 123 Sept. 124 Sept. 1Schalttag. °
6. 12. Zum Befchluffe hier noch ein Wort von Der
neuen Eintheilung der Stunden, bie ebenfalls in
Sranfreich defretire worden, aber bisher meift bloßes Pro»
ject geblieben ift. Jeder Tag ſoll, ſtatt in 24 Stunden,
nach den einfachern Decimalfykeg in To Stunden, jebe
Stunde in 100 Minuten, jede Minute in Too Secunden
getheile werden. Es ift alfo ı neue Stunde 27% der
alten, 1 ı neue Minute, deren der Tag 1000 enthält,
1706. der alten, und eine neue Secunde „LS, oder
ungefähr 5 der alten Secunde. Der Tag enthält auf die⸗
fe Are 100,000 neue Secunden, flatt der gewoͤhnlichen
Abtheilung 86,400 Seeunden. Fuͤr die neue fürgere
Zeitfecunde märe die Länge des Penbeld zu Paris nur ge⸗
gen 27 Zolle 5 Linien, Parifer Maas, flatt daß fie‘
nad) den neueften Unterfuchunsen, 36 Zolle 8,60 ke .
nien für.die gewöhnliche Secunde gefunden ward. . (S.
Connaiffance des temps pour l’annce 1795. p. 284)
So viele Schwierigfeiten bie wirkliche Einführung jener
Decimaleintheilung des Tages im gemeinen Leben haben
- dürfte, fo große Vortheile und Bequemlichkeiten würde
fie unftreitig den Aftronomen verfchaffen, nicht nur etwa
weil das nene Pendel fürzere Secunden fchlägt als dag alte,
und demnach die Zeit in Eleineren Theilen unmittelbar
zumißt, fondern überhaupt wegen der fchichlichern. Art
des Ausdrucks, und der bequemern aftronomifchen Nech«
nung. Statt zu fagen, eine Beobachtung fey gefchehen
1796 ben 20 Apr. um 9 St. 35° 43° würde man nach
J der
PN
so V. Buſſe, Bemerkungen für Eulers, Karftens,
der neuen Einrichtung blos fehreiben: 1796. 20, 39980 _
Apr. das heißt, am 20 Apr. 3 Stunden, 99 Min. go
Sector daß immer die .erfte Decimalftele Stunden, bie
zweyte und dritte Minuten, bie vierte und fünfte Secun-
den, nach ber neuen Eintheilung bedeuten würde. . Man
‚findet bereitd in mehreren Sammlungen aftronomifcher Ä
Tafeln dergläichen · Tafeln, welche zur Verwandlung der
alten Abſheilungen des Tages in die neuen Stunden,
Minuten and: Secunden dienen koͤnnen: hierher gehört
3.3..in ber. Aſronomie par La Lande. Tome I. Tables
». 2352die (legte: unter ben Kometentafeln‘, welche die
. Yuffcheift führt: : Table pour reduire les heures, mi-
wutes et fecondes en Jrasions decimales de jour.
* ur Ve
Berterfungen ehr Eulers und Karſtens, auch
Kaͤſtners Vortrag der Mechanik; von E. G.
Buſſe, Profeffor zu Deſſau.
I. Euteri mechanica, tom.I. $. 155. bat die wich-
dt
uige Gleichung de= -; die ich bier O nennen, und
P
durch de =n. zit föhreiben wit; weil doch Eulers J5
hier noch die —* des Koͤrpers bedeutet, deſſen p aber
die Groͤße der vis motricis am Ende der Zeit t ausdruͤckt;
und ich es in einer anderweitigen Abhandlung, wobey
mir die hiefigen Betrachtungen entftanden find, ſehr be⸗
quem fand, die bewegende Kraft durch P zu bezeich⸗
nen.
1
J
Kaͤſtners Vortrag der Mechanik. 31
nen %). Durch e wird die Geſchwindigkeit am End? dei
Zeit t angegeben; und wegen das n erinnert Euler, daß
es eine conflante Größe bedeutet, weil e8 weder von F
noch dt noch M abhängt.
2. In $. 157. wird, durch Hülfe der phoronomie
ds pP
fchen Gleihunge=-——- Fu aus O aifolgertcde mind 5
indem s den Raum bedeutet, der wegen P waͤbrend t be⸗
ſchrieben wird.
3. In $. 193 wird Eulers p, alſo mein, P, auf
eine confante Größe g eingefchränft, die ich. 6 nennen
will. Dadurch giebt die legte Gleichung, daß
G .
v ‚pi
. In $. 101 und 102 wird ſtatt e, bes bisheri⸗
gen — *5 — der Geſchwindigkeit, bie derfelben zuge⸗
hoͤrige Hoͤhe v eingefuͤhrt, und v == c? geſetzt. Das
ir
⸗
iebt —201
seht v— 20x
5. Nach $. 204 ſyu G der eingebitpeten' confane
ten Schwerkraft zugehoͤren, woburch x=Vv wird, ‚folge
M
ihn= - GE oder durch Eulers Agefchrieben, =
Dabey erinnert Euler, baß nunmehr n beſtimmt ſey⸗
welches in allen Faͤllen einerley Werth behalte. Dann
folgt:
“78,205. Quia nie 6 vim gravitatis üguifiat,
erit 5 quantitas conftahs ($. 97) *). Hane ergo
„pages
, gene Abhandlung beſchaftit ſich mit Tafeln, wodurch die Ueber ..
ſicht und Aufloͤſung mechaniſcher Aufgaben erleichtert mird, gi
fol im zweyten Bande meiner Beytraͤge zur Mathematik ıe,
mitgetheilt werden, hauptſachlich für Praktiker,
0m 5. 197. foot, daß dad Gewicht dem Maſſen proportionat bleibt,
. 4
92 v Zu, Bernertungen für Eulers, Karfrans,
ponemus 1, id quod licebit, cum potentiae ad cor-
pora“definitam rationem -habere nequeant. Atque
hinc fäcile erit, in aliis cafıbus 'valorem ipfius 7
ſeu potentiae applicatae ad corpus exhibere, Erit -
nempe > adr, feu G: A, vt visG, qua corpus fol-
lioitatur, ad pondus, quod idem corpus haberet in
noftris regionibus. Litera igitur A non-amplius ma-
teriae quantitatem denotabit ſed ipſum corporis A
pondas; ‘fi: füper terra eflet pofitum. Hoc igitur
inodo omnes potentias cum ponderibus’ comparabi-
. mus, id quod in potentiis menfurandis' ingentem,
‚lucem foenerabitur. ."
—
A-
$ 206. Cum in =, G denotet vim gra-
| G
‚Aitatis, nofitumique fit za erit n==% Quem
valorem femper retinebit, fi modo celeritates per
fadices quadratas altitudinum ipfis debitarum ex-
nn 4*3 E
primantur. Ideoque · erit in noſtro cafu ıv=nds
i Gx
e va
A. |
§. 207. Propterea in hae lege generali cde
. » P
* n „is (157), fi fit altitudo celeritati c debita v,
| , dv
erit cde= — adeoque obn==, habehiturshaee
er dvr=jd
Kaſtuers Vortrag der Mechanik. 44
5. 6. Dieſe drey Paragraphen bleiben mir undeut⸗
lich. Selbſt der letzte koͤnnte immerhin einige Beſorgniß
dadurch erregen, daß er I fiatt n in die Allgemeine Gleis .
dung fegt ; da doch dieſer Werth vonn durch Hilfe einer
integration in $. 3 herausgebracht iſt wie ſie nur fuͤr
conſtante Kraͤfte Statt findet.
Wenigſtens weiß ich die ganze hieſtge Abſicht auf
einem andern Wege F erreichen, ber mie vollkommen
deutlich bleibt, auch kuͤrzer und natürlicher ſcheint, unb
jenen Beforaniß gar nicht unternödtfen if; weil er ledig⸗
lich durch: Differentialien fuͤhrt. |
Einleitung. - |
. 7. Die Gleichung O wird be € Euler ale erfler
Zuſatz einer vorhergehenden Aufloͤſung eingefuͤhrt. Denke
man fich nun, neben den M, P, c und t diefer Gleichung,
unter M, Il, x und ®, die ähnlichen Größen eines andern
Falles: fo ergedt ſich aus jener Aufloͤſung ſelbſt, daß n
4
eigentlich ñ ä „ pebeuten muß; und demnach durch hı
M
auf einen anbern Sal hingewieſen wich, det man file
den eigentlich vorgegebenen. als einen durchaus befannten
Regelfall, benugen wid. Es entfiche nun der Wunfch,
jeden Fall mit M, P; c und t, nach dei Kegel der einge
bildeten conftanten Schwertraft auszumeſſen; ſo wird es
am natuͤrlichſten ſeyn, gerade jenes n auf dieſen Fall
der Schwerkraft einzuſchraͤnken, weil doch dieſes n ber
Virsleichung be es Maßſtabes wegen da ſteht.
Ausfuͤhrung.
I. Eulers Gleichung O, aufs deutlichſte vs,
druͤckt folgende Proportion a aus: |
P
d + dx == —dt: = ar. -.
e: M |
Sänftes Heft, €. de:
| 54 57 Buff, Bemerkungen hͤr Eulers, Karſtens,
Wecenm ferners und & die Raͤume bebeuten, welche we⸗
gen der beyden Kräfte, deren ſtatiſtiſches Maß P und II
angiebt, von den beyden Maffen M und M während t
‚und 7 beſchrieben werden; ſo hat man, da überhaupt
| „48 d eben (6 8* iſt
_ nn dr .
| P n
auch ede dx de: — de,
oo and eaer MM
1. Nim werder ſtatt FI gefetzt, indem für den Res
gelfall die obige Schwerkraft genommen werden, und F
das Gewicht der Maffe M andeuten fol:
DW
pP Tr. .
d sd«z=—ds: —de,
fo hat man c ce: % MH‘ 5; F
m. Wenn & der : Bafe M Gewicht hedente p
RM: Mxz=G: T5
p P |
Be edc: sd ds; -de= Zar— de; von
dir an Zi ale Zahl gedacht.
IV: Zeit⸗ und Bängeneinfeit werde fo gewählt, daß
wu werde, indem v die der Gefchwindigfeit © zuge⸗
hoͤrige Hoͤhe bedeutet; fo wird auch 2rda—dv Bey
den beyden bier geforderten Einheiten ift auch c?==v,
wenn v der Gefchmwindigfeit e zugehörige Hoͤhe bedeutet;
und daher 2cde=&dv,
pP |
| Solglich dv: du=nds: do, |
Aber fehon wegen II iſt Hierve, alfo auch du=ade;
P
olgih dv==— ds.
folglich. dv G ds
$. 9.
Kaͤſtners Vortrag der Mechanik, 35
9. Anmerkung. Aus dieſer Gieichung kann
ds
man wegen dv==2cdc und — auch wiederum her⸗
J
leiten deseg nd t. Und mit dieſer bie obige O)
d tn. dt derglichen, kann man fagen: ihr — wird
= =: wenn man deit Regelfall, auf welchen
n binweifet, von dei obigen Schwerkraft bei.
- nimmt, und fich auf die Zeit und Laͤngeneinheit
eintchränft, bey welchen v=c?ift. Diefe Bemer
kung ſcheint mie deutlicher als Eulers $. 206:
Zufag jur obigen Ausführung.
$, io. Die in IV. geforderten Einheiten find, wie
befannt genug iſt, 543 einer Feitfecunde, und ı Nheinir
{her Scrupel, unter der Annahme, daß der Raum, durch
welchen die öbige Schwere während einer Zeitfecunde bea
fhleunigt, = 15625 Rheiniſche Scerupel ſey; woraus
denn folgt, daß dieſer Raum für die obige Zeiteinheit
* 3 Serupel iſt. Jene beyden Ein⸗
heiten nebſt der ahnuen Annahme machen drey Bedin⸗
gungen aug, die freylich für die beyden erſten Bände der
Eulerifchen Mechanik durchaus beybehalten werden.
$, ır. Aber für meine nachfolgende zweyte Eroͤrte⸗
tung wird es dienlich feyn zu bemerken, daß die Gleichung
15625
gerade =
P
= ds, an und vor fich Befrachtet, von diefen drey
Bedingungen ganz unabhängig bleibt. Denn wenn aud)
G nichts Beftimmteres bedeutes, als den Raum, um wels
om die Schwere in der Zeiteinheit beſchleunigt, ie
. &2 . ba
„
. | f ' , . \
35. V. Buff, Bemerkungen file Eulers, Karftens,
baß dieſe Einheit bereits geroäplet ſeyn PR; fo iſt doch
ve ms;
4G 4G
ſolslich d Au 2cde 2xdx
oigli v. ay .
i 46 4
: Demnach) kann aus ‚obigen ulms$.g. fogleich ge
== cde: xdx.
folgert werden dv: de= = de;
pP
And da wegen 11 ſchon vo iſt, auch dr3 ds.
INS
6. ı2. So gewiß nun hieraus erhellet, daß dieſe
Gleichung an und vor ſich auf keine Einheit eingeſchraͤnkt
iſt, ſo ſetzt doch ihre Beziehung auf c eine gewiſſe Glei⸗
dung voraus, welche für bie Forderung, daß irgend
u ein Zeitraum zur Einheit gewaͤblt werden foll, die Ges
ſtalt vi gewinnt; indem g ben Raum bedeutet, um |
welchen bie Schwere wegen ber zu wäblenden, bo) noch
belichig waͤhlbaren, Zeiteinheit befchleunigt.
Sobald dieſes g, mie gewoͤhnlich, den Raum: bes
beuten fol, uni welchen die Schwere während einer Zeite
: fecunde befchleunigt; fo iſt Dadurch bie Zeiteinheit aller- -
- dings auf eine Secunde beſtimmt; übrigens aber ift man _
dadurch noch auf Feine Längeneinheit eingefchränft. Dem:
felbft an die fehr gewöhnliche eines Nheinifchen Schuhes,
wonad man & auszudrücken pflegt, wird man erft da.
gebunden feyn, wo man ſtatt g fchlechthin die Zahl 15,625
gefchrieben hat, ohne Nahmen.
* 13. Soll aber die Gleichung zwiſchen vunb c ſeyn
v==c?, nad) Eulers Forderung; fo muß g — ſeyn.
Und eben deshalb, weil bier ſtatt bed obigen allgemeinen
G (52. 11) fhlechthin Z zu fehreiben iſt, dabey aber an
genommen wird, daß die Schwere während jeder Se
cunde
giſtnen Verrra der Mechanik. 37
cunde um 15, 625 Rhein. Schuh befchleunige, eben da»
durch wird man bey Eulerd Gleichungen gezwungen, auch
ce nach Rheinifchen Scrupeln anzugeben; folglich auch vund
⸗ P ‘ >
s für dv= 5 ds, fo bald dieſe Gleichung auf c oderg
fol bezogen werden. |
a
Nunmehr will ich, wegen eines nnbequemen Sprache.
‚ gebrauches in Rarffene Mechanik, zu erdrtern fuchen,
dag Eulers Worte, wo er.die bejchleunigen«
de Kraft erflärt erwas anderes ausdrücken,
‚als was er wirklich dafür gebraucht und ducch
feine Sormeln darſtellt. .
Diefe Worte machen feinen ı 6.213 and. - Man leſe
ihn bis zu: Vocatur ‚hie effeftus a Neutono vis
accelerans, |
| $. 14 Euler win doch hier Newtons Erflärung ber
folgen , und hat gleichwohl effektus ftatt Jenes eflica- -
cia gefeßt. Daß aber Jener unter eflicacia Wirkſam⸗
keit) nicht effectus (Wirkung) verftehe, wird ſchon aus
folgendem Theile feiner zten Definition in princ. phil.
nat. erhellen: .... etvimaceeleratricem....tanguam
eficaciam quandam, de centro per loca fingula in
fircustu diffuſam ad mouenda corpora,
Eulers A fol feit $. 205 nicht fernerhin Maſſe,
fondern Gewicht bezeichnen. Geſetzt indeffen, daB es hier
noch einmal in jener alten Bedeutung genommen werde,
P
fo ift dann dv= z dx nur als eine Verhaͤltnißglei⸗
chung zu verfichen, welche mehrere Dimenfionen ſtill⸗
ſchweigend voraus fegt. Durch diefe wird ſehr leicht er-
e3 hellen
⸗
38 V. Buſſe, Bemerkungen für E Karftens,
ten, de auch in dieſenn Falle culers — eben das m
| P
mad ich oben burg — — ausge * Aindv= 3 ds
Diefe Steihunn if nun an.und vor fich betrachtet,
auf Feine beſtimmte Zeiteinheit eingefchränft. ($. 11. 12)
, Da aber bey Hrn. Euler durch Beziehung auf fein c biefe
Einheit bereits. aufs 375 Secunde feſtgeſetzt iſt; fo iſt nicht
P
eiwa — fondern 4 die Sahl des Raumes, durch
wan die biefige * waͤhrend der (t 1)ten 25oftel, _
Secunde ihrer Wirkungszeit beſchleunigen wuͤrde, wenn
fie waͤhrend dieſes (tA ı)ten Zeitraumes unveraͤndert
bliebe, durchaus die Groͤße behielte, welche ſie am Ende
des tten Zeitraumes, als Function von t, erreicht hatte,
und wobey fi fie den flatifchen Druck — P auf die Maſſe
ausüben würde, welche der Schwerkraft unterworfen, =G
miegen waͤrde. |
| p
Mag inbefen die Gteichung dv==- ds’ auf das
obige unbeſtimmte g bezogen werden; ſo iſt alsdann der
Raum, um welchen die Bewegung wegen der befchleunis
P.
genden Kraft = = Ir während deg (e+ T)ten Zeitrau⸗
mes gleichfoͤrmig beſchleunigt wuͤrde, dieſer Raum iſt
pP
dann = = g. Daraus erhellet sang allgemein, daß dies
ir Raum durch die Sabı — nur unter der Bebingung
ausedrůckt werden koͤnne, at man g=—=ı feht.
Fguͤr die Gleichungen in-Eulerd Mechanik kann der
gleichen neue kaͤngeneinheit, *1 nicht angenommen
wer⸗
[|
1 !
Kaͤftners Vortreg der Medanif, 39
werden, weil die dortige ſchon auf. einen Rheiniſchen
Scrupel, und bie zeiteinheit auf „Es Secunde feſtgeſetzt
iſt. Und wenn man anderweitig gerade eine Secunde
zur Zeiteinheit gewaͤhlt hat, und alle Laͤngen nach Rhei⸗
nifhen Schuhen ausmißt, fo ift ebenfalls nicht g=1.
Geſetzt indeffen, daß dergleichen Bedingungen nich
vorhergegangen wären, fondern g zur Längeneinheit koͤn⸗
ne gewählt werden, fo.mird dann freylich in den obigen
Gleichungen die beſchleunigende Kraft fomohl, abs
der Raum, durch. welchen fie während ber Zeiteinheit. be⸗
fhleunigs, vermittelſt einerley Zubl ausgedruͤckt, vers
mittelft der unbenannten a0 nämlich, welche den Ex⸗
ponenten des Verhdienigtes * ausmacht Dergleichen
unbenannte Zahl. aber. iſt 3. noch nicht hinreichend,
irgend eine von jenen beyden Größen, der Kraft oder des
P-
Kaumes, barzuſtellen, ſondern wenn 5 irgend eine von
dieſen beyden Groͤßen vorſtellen ſoll, ſo muß — eine bes
nannte Zahl feyn. und da iſt nun ihr Rabe, ibre
Einheit, entweder die Schwere *) oder die Länge g, je
nachdem fie, jene Kraft oder jene ‚Größe. des Raus
pP
mes voͤrſtellen [n 8 bleibe alſo = — als Ausdruck
> >
der beſchleunigenden Kraft gedacht, von G als Ausdruch
des Beſchleunigungsraumes gedacht, immer noch wie Ur⸗
ſach und. Wirkung verſchieden, auch fuͤrg 1. (Wenn
uͤbrigens y und m zwey Raͤume bedeuten durch welche
C4 die
| ) inter Ener verfiche ich hier allenthalben nicht etwa Gewicht,
ſondern Schwerkraft; nach des. Herrn Hofe. Kufiners Rafange⸗
gruͤnden der hoͤhern Meanit, Cap, II. 5. 51.
| 40 V. Buſſe, Bemerkungen für Eulers, Karftens,
die Schwere und die andere abſolute Kraft die Maſſe M
in gleichen Zeiten gleichfoͤrmig beſchleunigen wurden; ſo
P
gilt, was ſo eben fuͤr G geſagt iR, auch 8** unter
der belannten Behauptung, baß =>), J
Aeußerſt wahrſcheinlich iſt nun ſelbſt ein Rarſten
Meinung veranlaßt worden, die er in 5. 46 ſeiner Mechanik
ehrbegriff 3. Theil 1769) zum Grunde legt.
„Dasjenige, was ich hier Beſchleunigung der
„Kraft Vinenne, beißt bey dem meiſten übrigen Schrift⸗
„felern befchleunigende Kraft (vis acceleratrix),
. „Gomäre g == 15,625 Rh. Schuh, die befchleunigende
„Kraft der Schwere. Mir fcheint jener Ausdruck deut⸗
„licher und der Sache angemeßner zu ſeyn.“
Ein Gluͤck für die Wiffenfchaften wäre ed, wenn
man fich endlich dahin vereinigte, nur don den Lehrbuͤ⸗
chern der groͤßten Meiſter, fuͤr jeden Zweck, den ſie
bearbeitet haben, Gebrauch zu machen. Aber Karſtens
Lehrbuͤcher gehoͤren zu dieſen wenigen, und muͤſſen nah⸗
mentlich für die Maſchinenlehre auch neben ben Kaͤſtneri⸗
ſchen fehr empfohlen werben, find auch jedem noͤthig, ber
unſern Langsdorf benutzen will, Daber fehien es mir
der Mühe werth, bey Ihm, den ich nie ohne einige Ders
: thrung nennen fann, die obige Uebereilung zu erörtern;
beſonders da fie viele Folgen gehabt hat, auch bey Ihm
ſelbſt. Denn in den uͤbrigen Theilen ſeines Lehrbegriffes
wird gar oft als Beſchleunigung aufgefuͤhrt, was aller⸗
dings beſchleunigende Kraft heißen konnte bey Eulẽt,
H’Alembert und Käftner, (melche Karften bey Augarbei«
tung feiner Mechanik hauptfächlich fcheint vor Augen ges ,
babe zu babe) was aber Defihleungung nach feiner
obigen
. Kaͤſtners Vortrag der Mechanik. | 48
obigen Erklärung nicht if. Eben fo wird bey ihm auch
gar oft Winfelbefehleunigung oder · Umdrehungsbeſchleu⸗
nigung genannt, was doch nach ſeiner eigenen Erklaͤrung
dieſen Nahmen nicht verbienet, . B. das betannte
dy _. ap—M—bq .
2gdt "Mikk{ Pa aa ar0bb" 34 EheilV. u
Allerdings fann man ohne den Ausdruck, befchleu«
nigende Kraft, (und ben ihm gemäßen, winfelbefchleunis
gende Kraft) allenthalben fertig werden: daß aber viefer
Ausdruck und Begriff fehe nette und buͤndige Auflöfungen
an bie Hand giebt, und dadurch für die Ausübung ſehr
bequem wirb, ift befonders in Kaͤſtners hoͤherer Me⸗
chanik fihrbar, und in Pasquichs Verſuch eines
Beytrages zur .... portbeilbaften Einrichtung
der Maſchinen, der den Hen. Hofe. Käftner vortreff⸗
lich befolgt hat.
Die bisher erwaͤhnte Kuleriſche Mechanik iſt
eigentlich als Anfang dieſer Wiſſenſchaft zu Perersburg
1736 in zwey Baͤnden erſchienen, unter dem Titel,
Euleri mechanica, etc. Alles aber, was aus dieſem
Anfange fuͤr ſeine Theoria motus corporum rigido-
rum etc. Gryphisw. 1765 (und ed. nov. 1790) vor-
augzufegen nothwendig war, das hat Er in biefer Hin⸗
ficht hier aufs neue bearbeitet; for daß dieſes letztere Lehr⸗
buch fuͤr ſeinen Zweck allein ausreicht, und man nicht
genoͤthigt iſt, deſſen Gebrauch auf jenen aͤlteren Theil zu
gründen. Gerade dieſes neuere Lehrbuch iſt nun freylich
von Herrn Rarſten hauptſaͤchlich beachtet worden. Da
es aber von der beſchleunigenden Kraft feine, Erflärung
65 | giebt
Aus Folgen Bitte ich meine obige Erörterung zu beurthei⸗
fen. Denn übrigens weiß ich gar wohl wie dußerkt abfiraft nahe
mentlich d’ Alemberts befch[eunigende Kraft if. Auch habeich '
nicht aus den Augen verlohsen, daß der Ausdruck ihrer Größe,
. in Beziehung auf die Schwere, in den Sormeln nur als unbe⸗
. nannte Zahl wirft ıc. Aber genug, daß obiges Misverſtandniß vn
Hrn. Karhen ſelbſt ſchon die errodbnten Solgen gehabt bat. _
—
43 V. Bufle, Bemerkungen für Eulers, Karftens,
giebt; ſo iſt es wohl gewiß genug, baf Herr Karfien.in
diefer Hinfiche jenes ältere nachgefchlagen hat,
Maß ich num bey jenem älteren Lehrbuche wegen des
dortigen nm erinnert habe, wird ſich mit leichter Muͤhe
auch aufsdaß A des neuern anwenden laffen, welches hier
cap. I. $. 162 eingeführt wird.
Nachdem Hier die Gleichung - rn — An, im Cap:
IV, af gleichförmig beföjleunigente Kräfte ange
wandt, und dem gemäß auch integrirt wird; fo wird
: dann ferner ihr P.auf bie eingebildete conftante Schwer⸗
kraft eingeſchraͤnkt, und badurch beſtimmt, daß =
if, alfo — 2 ge fürt=ı. Da nun biefer Werth von
A auch in allen Kapiteln beybehalten wird, mo doch nicht
mehr bloß von couftanten Kräften die Rede ift; fo Eönnte
Hier fo auf wie oben (5. 10), bie dort erwaͤhnte Beſorg⸗
niß entſtehen. Daß fi \ e gegründet fen, win ich keineswe⸗
ges behaupten. Ich glaube mich vielmehr zu erinnerhe -
daß mir felbft vor mehrern Fahren, Eulers Verfahren
megen des A allein genommen, nicht anftöfig geblieben
iſt. Viellzicht ſchon deshalb nicht, weil doch der ganze
Ausdruck für dds auf feine höhere als die zweyte Dignie
tät von dt ſoll bezogen werden, alfo immer nur vermit⸗
telſt der gleichfoͤrmig beſchleunigten Bewegung durch ihn
gefolgert wird. Aber da ich gegenwaͤrtig die Mechanik
aus dem Geſichtspunkte eines Practikers "zu ſtudieren
habe, ſo durfte ich uͤber jenes aufs neue nachzudenken
mir um ſo weniger erlauben, je gewiſſer ich uͤberzeugt
wurde, daß ich alles, was Euler vermittelſt jenes n.
‚und A folgert, auch ohne diefelben aufeinem andern Wege
zu finden wiſſe, der mir auf jedem Sal für immer der
deutlichſte bleiben wird. Daß er diefeg, beym Gebrau«
h | de
Raͤſtners Vortrag ber Mechanif. 43
che der Euleriſchen Mechanik, auch für jeden andern feyn
‚ werde, davon bin ich fehon deshalb überzeugt, weil es
ſicherlich ſchon bey den phoronomiſchen Lehren deutlicher
geweſen wäre, zufoͤrderſt die Proportionen zu erwei⸗
fen (3 3.v: V — =) und aus ihnen die Gleis -
“ . 8§
chungen (z. B. v=-) erflärend zu rechtfertigen; an
flatt, daß nach Hrn. Euler die Proportionen aus den Glei⸗
chungen. hergeleitet werden. (Tiheoria motus Gap. I
$. 34.). Weberdies möchte man die eben erwähnte Ein»
führung des dt? bey Euler nicht gehörig gerechtfertige
finden, . wie ich bald berühren werbe.- Mag man fich
indeffen Bald genug davon überzeugen Finnen, daß obia
ges A nur durch anders gewählte Einheiten verändert
- werden fann: fo ift doch dieſes allein noch nicht Binrete
- hend, um Eulerg Weg völlig deutlich zu finden: ſon⸗
P
dern man muß and 7 722 zu ſetzen wiſſen. Nach ſol⸗
chen Betrachtungen ande ich, daß mein in obiges Verfah⸗
sen zu empfehlen ſey.
Indem ich deſſen hieſige Anwendung vor Augen
nehme, finde ich dienlich, ſie fuͤr den einen Theil des
gten Problemes Cap. III, $.162 ausfuͤhrlich herzuſetzen
weil mir dieſes die befte Einleitung zu einer anderweiti⸗
gen Erinnerung abgiebt, die mir nothig ſcheint, und zu⸗
gleich de’ mit berührt. |
. Der eine Theil der Aufgabe, welchen ich hier nur
behandeln will, iſt: ...definire mutationem mo-
mentanearh in motu .... produftam,
Daʒu
4
\
44, V. Buͤſſe, Bemerkungen fuͤr Eulere, Karſtene, E
8.15. Dazu werde ich alſo, ſtatt Hrn. Eulers Bleichung
AP-
ads _ =7 , mitmeinen obigen duchlober die Proportion
ds dd pP
a =: - m — 7 = jum Grande legen. N
de "ae M
- Run fol ber Fall mit ben glechiſchen Buchſtaben
als Regelfall betrachtet, und von ber eingebildeten
conftanten Schwerkraft bergenommen werden, fe
— 7 ſeyn, indem T bad Gewicht der Mafle M
x: "Bedeutet Heißt ferner G-der Maffe M Gewicht; fo iſt
M:; M=G:T,
' lat . die P -
folglih — i 77 *32.
Aber wegen I1= Re g 72, folglih ddo==2gdr?)
ds P
alſo Tẽ *—87 G‘
dds
In nun ——8 baß dm — wird, ine
dem nad) Euler dw.den Raum bedeuten fon ‚ um tolle
chen die Kraft, nach ſtatiſchen Maße — P, waͤhrend
pP
dt(gleichförmig) befehlennigt; fo haben wir da 8 Get
wie ir Cap. IV, 6. 207, :
Meine vorhin erwähnte Erinnerung ift nun folgende. Ä
8.16. Ich Bin hier mit Euler in $. 162 davon auße
d p j
gegangen ; daß == bem A proportional ſey. Fuͤr biefe
Behauptung wird dort vorläufig angeführt, daß doch
dd |
da in dem = involvirt fep: und die proportionalitͤt
| zwi⸗
\
—
Kaͤſtners Vortrag der Mechanik. 45
X
p
wwiſchen do und — iſt allerdinge fon vorber abgehan⸗
beit. Nachher * dann auf zwdherley Weiſe eroͤrtert
| dds
G. 166 und 167) daß du — if. Aber beyde Er⸗
Örterungen ſcheinen mir einem togifchen Lirkel unterwor⸗
fen zu ſeyn. Denn um die erſte völlig einzuſehen, find
ja wohl folche Kenntnife don den Wirkungen Conftanter
Kräfte ndthig, als hier erft im folgenden Kapitel abges
handelt werben. Und bey der siegten Erdrterung wird
wiederum die Gleichung ddss=A. -dt?fihon sum Grun⸗
de. gelegt.
- Ueberdieg fehe ich nicht eitt, wie man, ohne jene
Srfige für die Wirkung conftanter Kräfte ſchon zu ken⸗
dds
nen, aus alle dem, was dem Gebrauche des — > in
4 162 vorhereht, ſich erklären koͤnne, —8* ee |
P
dds außer dem FJauch ven de? proportional gefeßt wird.
Deshalb babe ich fein Bedenfen getragen , in mei»
ner Aufloͤſung ($. 15.) es ausdrüdlich als belannt in
fordern, daß omg? if, fÜrU=T,
817. In der ſchon oben beruͤhrten Abhandlung,
ds
denke ich die Verbindung swifchen u .:,„dum= HELL,
dt dt
_d dd | |
ri == * vermittelſt der bynamiſchen Hauptglel
chung ſehr kurz und deutlich darzuſtellen.
Wenn meine hieſigen Bemuͤhungen ihren Zweck er⸗
reichen und einigen Leſern der Euleriſchen Mechanik etwas
Zeit
46 V. Buſſe , Bemerkungen für Eulers, Karftens,
Zeit erfparen innen; fo babe ich Urfache mich deſſen zu
freuen; weil die Zeit aller derer, die ſich mit Euler be
ſchaͤftigen, etwas Werth if. Im ähnlicher Hoffnung
will ich nod) in
Kaſtners Anfangsgrinden der ‚böhern medent
einen Vortrag. zu erlaͤutern ſuchen, ber uͤberdies hieher
gehört; weil doc) alle, die etwa über das obige nund A
zweiter nachdenken wollen, unter. den übrigen Lehrbuͤchern |
bag Käftnerifche zuerft ergreifen werben.
| Der dortige Gebrauch des conflanten e, in Kap. J.
&. 13 und 35 2. wird auch für Anfaͤnger ſehr deutlich
sand lehrreich ſeyn, wenn ſie deſſen zwiefachen Ausdruck
genau vor Augen behalten. Dazu möchte nun dienlich
ſeyn, an Statt der Buchſtaben c und C nebſt S und 87
fo lang und fo oft fie wie in . 13 nur conſtante Ber
ſchwindigkeiten, und damit befehriebene Raͤume der
gleichförmigen Bewegung ‚bedeuten, lieber durchaus
andere Buchſtaben, etwaſc und E neblt 8 und S, zu
gebrauchen: weil doch in der Folge c und C folhe Ge⸗
fhwindigfeiten bedeuten, die den Zeiten t und Thpropor⸗
tional find, unds und S die dahin gehörigen Raͤume bey
"einer gleichförmig Befchleunigten Bewegung; s insbefons
dereauchnoch folchen Raum, der überhaupt mit einer vers
änderlichen Gefchtwindigkeit befchrieben wird, tmelche am
Ende der Zeit t die Größe u erreicht. Neben S wollen
wir auch noch D, und neben T auch noch T gebrauchen.
Es follen ferner die großen Buchftaben alfemahl den Faͤl⸗
‚Ien zugehdren, die man bald als durchaus befannt, und
als Regelfall betrachten will; daher dann Z und S, nach
aller bisherigen Bearbeitung ber hoͤhern Mechanif, nur
folche Räume bedeuten wird, welche mit einer gleichfür«
mig befchleunigsen Bewegung, und nahmentlich vermoͤge
ber
RKuͤſtners Vortrag der Mechanif. 47
ber eingebilderen conftanten Echmerfraft befchrichen Wire
sn — — Etwa auf folgende Weiſe. —
.&
Da me ct er ct) if, twenn c und E bie.
beyden conſtanten Geſchwindigkeiten bedeuten, bey wel⸗
chen in den Zeiten t und T die Räume 8 und © beſchrie⸗
ben werben (nad) Käftn. 6.13): fo wirdbauh.ds—e.udt;
obgleich Hier s einen Raum bedeutet, ber mit einer ver-
änderlichen Gefchmwindigfeit befchrieben ift, deren Größe
am Ende ber beliebigen Zeit t gerade Su wird. ($.T4.)
Kür $. 35 foll nun die veränderliche Geſchwindig⸗
feit eine gleichförmig befchleunigte ſeyn, die demnad),
fans fie am Ende: einer gewiſſen Zeit bie Groͤße C er⸗
reicht, am Ende dee Zeit t gerade == Ft: werden muß.
alſo iſt bier |
ds=e. cH „dt, folglich ‚=e.Ic- Dieſes Inte⸗
gral iſt beitantig, weil hier nur von ſolcher Bewegung
die Rede ſeyn ſoll, bie mit der Zeit t Ihren Anfang
nimmt.
&
Bboleich e indem es ſtatt cr gefehrichen wurde,
wicht etwa lediglich dieſen Ausdruck vorſtellen, ſondern
S
zugleich auch daran erinnern ſoute, daß man Ratt
eine Zahl erhalten koͤnne; fo iſt doch.bisher nichts ge:
fchehen , wodurch wir ung darauf eingefchränft hätten.
Geſetzt auch dag wir ung bisher fchon die beyden Ver⸗
bältniffe c: € und t: T, durch abfolute Zahlen ausges
drückt gedacht hätten, wobey denn vermöge der Gleichung
Sase,ct, ihre eine benannte Zahl würde, deren Nah⸗
i . me,
!
48 v. Buſe Bemerkungen für Eulers, Karfteng, |
me, deren Einheit = © wäre} fo haben wir doch, um
zu den urſpruͤnglichen vollſtaͤndigen Dimenfionen zurück
‚zufehren, nichts weiteres nöthig, ale dag wir flatt e
wieder = fchreiben. Geſchieht das in ‚der obigen
Gleichung. wiſchen s und t, fo ee wir fie als
S
——. ce
s=cm:(7
Es eutftehe nn der Wunfch, zur Beftimmung des
Raumes s nicht fernerhin & von der gleichförmigen Bewe⸗
gung ber beyzubehalten, fondern ftatt deffen den Raum X
zu gebrauchen, welcher bey eben der gleichförmig beſchleu⸗
nigten Bewegung, deren s fuͤr t hier geſucht wird, in einer
gewiſſen Zeit T beſchrieben wird; fo weiß man aus ber
eben hergefegten allgemeinen Gleichung (die nämlich.
für jedes t, folglich auch fürt==T gilt,) daß dieſes
_= ZCT fepn muß, ö
(Diefe Gleichung fegt und in ben Stand, dad ganze _
> durch E, C und T auszudruͤcken. Denn fie sieht
S
CT *
bracht, giebt dafuͤr 522 —E— Hiemit
*
225 Dieſes in die algemeine Gleichung ge⸗
"if die Aufgabe in 6 35, „Die Wergleichung zwiſchen
s undt zu finden,“ dergeſtalt befriedigt, daß dieſe Verglei⸗
chung an keine Groͤſſen der gleichfoͤrmigen Vewegunt
fernerhin gebunden iſt.)
Hätten wir nicht gerade dieſe Aufgabe vor Yugen
gehabt, fondern überhaupt nur die Geſetze für gleichfärs
mig; befchleunigse Bewegung fuchen wollen; fo würden
wir
Raͤſtners Vortrag ber Mechanik. 45
wir etwa die Gleichung vor der Parenepefe: in die Pro⸗
portion aufloͤſen:
| S::== .ET: ICT.
Aus ihre erhellet, baß «8 sur bequemfien Vergleis
: Yung zwiſchen S und z nicht nur rathfam fey, beyde
von gleicher Bewegungsdauer herzunehmen; indem für
T=T ſchon ziemlich einfah, S:2—= €: 3 C if:
fondern auch dafür zu forgen fey, daß cc werde;
denn alsdann I S: —1:4.
Auf folche Weife erhalten wir suförderft den
Satz, daß der Kaum T, der bey einer gleichförmig bes
ſchleunigten Bewegung toährend T befchrieben wird, ges
räbe halb fo groß ift, ale der Raum S, welcher in eben \
ber Zeit gleichförmig mie der Befchwindigkeit würde
befchrieben werben, bie bey jener gleichfdrmig befchleus
nigten Bewegung am Ende -ber Zeit T vorhanden iſt.
(Bey Hrn. Raͤſtner $. 39).
Bringen wir num diefen Sag, S=3X bey T=T
und e=cC, in die obige allgemeine Sleichung zwiſchen
sand t, ſo gieht —— — fish
43.
2
von
Aus biefer letzten Bolgerung toird erhellen, bag von
unn an, 100 nad) und neben s== 2 z wiederum e im
ben Formeln gebraucht wird, dieſes nun nicht mehr auf
57. fondern auf — — = juci weiſet; obgleich dieſe bepe
2 ben Ausdrücke unter dem Beding EC umd T=r
allerdings einerley Größe angeben. — eben nähmlich
als obige Zahl-e betrachtet; denn ohne diefe Einſchraͤn⸗
tung moͤchte wohl von ihrer Größe, fo wie fie da ſtehen,
: Ghofteb SR, OD icht
—
39 V. Buſſe, Bemerkungen für Eulers, Karſtens, 16.
wicht gut die Rede ſeyn Ednnen. Und von der Bemera
fung Gebrauch zu machen, dag ihr S== ET und. ihe °
22==CT fey, erfordert ja wohl eben dad, wag durch
fie ſollte gerechtfertigt werden. — —
In allen den fernern Schluͤſſen, welche fich in dem
Übrigen Theile dieſes IIIten Kapitels mit den Geſetzen
der ungleichförmigen Bewegung befchäftigen, muß man
28
nun auch ſtatt e ſchreiben duͤrfen er ba bie dortigen
| S und T mit unferm 2 und T gleichbedeutend find.
F Thut man dieſes z. B. im 5. 74; fo. wird der bors
tige Raum, der wegen Wirkung der Kroft f im Zeittheil⸗
28 C
chen dt De wird, * 5* fdte. — m it, alfo
*2 ge * da er doch nur halb fo groß nk tann
Dirk Abweichung iſt aber nicht in der Bedeutung des
& zu ſuchen; ſondern in $. 70, ober eigentlich fchon
früber in $. 58. ‚Denn der dortige verſchwindende
Raum lan nicht = e (etde) dt, ſondern nut
=e «+ dt werden.
WEG Beepa ſollte auch in §. 77 ſtatt ber Aus⸗
dt?-
Grudes — nur das halb fo große Reben, und eben |
N
72
Da ich die Lehrbuͤcher ans verehrungswuͤrdigen
Kaͤſtners mit der größten Aufmerkſamkeit zu ſtudieren
fuche; fo ward ich eigentlich durch die hiefige Gegend
zuerft veranlagt auf jene Darftelung zu denfen, deren
ich fchon oben ($. 17.) ermähnt habe; weil fie mir auch
bo bem Eulerſchen Vortrage noͤthis blieb.
VL. Ueber
| fo im vn. Kap. $. 160 fate
51
VI.
Ueber die vierraͤdrigen Wagen. Ein Nachlaß
Lv
|
|
|
von J. H. Lambert”).
J. B tanntlich braucht es, um einen Wagen auf
ebener Straße gehen zu machen, keiner andern Kraft als
derjenigen, die erfordert wird, das Reiben, welches die
Achſen der Raͤder leiden, zu uͤberwinden. Daher kommt,
daß wenn man die den Wagen in Gang zu bringen hin⸗
reichende Kraft haben will, man anſtatt des ganzen Ge⸗
wichtes, das die Raͤder tragen, nur den dritten Theil
deſſelben nimmt; und daß ſelbſt dieſes Drittheil, im
Verhaͤltniß des Halbmeſſers des Rades zum Halbmeſſer
der Achſe noch vermindert werden muß.
II. Dieſe Regel mag, angehen, wenn die Raͤder
alle gleich ſind, oder wenn wenigſtens das Verhaͤltniß
ihrer Durchmeſſer zu den Durchmeſſern der Achfen dafs
felbe ift. Allein, da befondre Gründe erheifchen, daß die
Vorderräbder Kleiner als die Hinterräder gemacht werben,
fo entftehen daraus einige Solgerungen, bey welchen wir
ung etwag aufhalten müffen.
II. Wenn die Vorderraͤder kleiner find, fo mu
man fürerft unterfuchen, ob ihre Achfe in eben dem Ver⸗
hältnig fann verringert werden. Denn die Kraft der
Achfen verhält ſich wie der Cubus ihrer Durchmefler,
dagegen das Reiben nur im einfachen Berhältnig mit
diefen Durchmeſſern ficher. |
D 2 VUV. Zu⸗
% Das im May 1776 geſchriebene franzoͤſiſche Original dieſes
Aufſatzes war zü einer afabemifchen Abbandlung unter dem Ti⸗
tel: Sur les Voitures &.quatre Roues deſtimmt; und wäre vers
mutblich noch weiter ausgeführer worden, wenn der fel. Ders
faſſer (ce Barb.amı asien September 1777) länger gelebt bitte.
33 . VI. Ueber bie vierräbrigen Bogen,
IV. Zugleich fol aber auch) die Kraft der Achfen
mit dem Gewichte, dag die Raͤder tragen, im Verhaͤltuiß
fiehen.. Hieraus folgt, daß der Schwerpunct näher bey
den Hinterrädern feyn muß; und daher muß alles dies
auf eine folche Art berechnet und ausgemittelt werden,
daß das Verhältniß zwiſchen ben Rädern und ihren Ach⸗
fen von allen das vortheilhafteſte ſey.
V. Es fen der Halbmeffer der Hinterräber =—R;5
der Vorderräder Sr; die, refpectiven Halbmeffer ihrer
Achfer = A und a. Ferner, die Diſtanz zwiſchen dem
Achſen = 13 bie Diſtanz des Schmwerpunctd von bee
Vordetachſe =D; fo wird die Diftanz deffelben Schweres:
puncts von ber. Hinterahfe = ı — D fern; und wenn
das ganze Gewicht, das die Achfen tragen, durch P bes
geichnet wirdy' fo. trägt
die Vorderachfe dag Gewicht ((—D)P.
die Hinterachfe m — DP.
| Run follen aber biefe Gewichte wie die Würfel bei
Halbmeſſer der Achfen fich verhalten. Folglich iſt
== (i—D)P, und nA3==DP.
VI. Ueberdies foll dad Neiben, melches die Achten
leiden, durch den brreten Theil des Gewichtes, das fie
tragen, ausgedruͤckt werden, und bie zum Sange der
Raͤder erforderte Kraft iſt
fuͤr die vordern == 4 (1— D) P.
fuͤr die hinten — IDP.
Folglich wird die ganze Kraft ſeyn
| | a A
FS VP. — [)) — —
ah [@ +] R
| oder,
Pd
Ein Nachlaß von J. H. Lambert. 53
aber, wenn man für A und a, ihre Werthe ſetzt,
3Fnm5z= pt: E (—D% SI. Des].
J r R
VINII. Run kann aber, wenn man D als veraͤnder⸗
lich betrachtet, die Kraft F ein Rleinftes werden. Dies
gefchiepet, wenn man feßt
R:P==D:(ı—D)
Bieraus folge R:r == A:a; und
PA. 5. Ds PR
| sFn' = — st: oder F=—
VII. Das fo eben gefundene Verhaͤltniß R:r
== A : a giebt ung zu erfennen, daß wirklich Die Durch⸗
mieſſer der Achfen, im einfachen Verhaͤltniß mit den
Durchmeffern ihree Räder ftehen müffen, und daß gerade
das Minimum der Kraft F folches erforder. Man
ſiehet aber auch, daß fobald ale die Raͤder ungleich find,
der Schwerpunct von allen, was auf die Räder drückt,
näher bey ben Hinterraͤdern befindlich feyn muß. Das
Verhaͤltniß
Rır=D:(ı—D
sieht Der’: (R r)
ı-D=r:R +)
IX. Bey eimet Vergleichung biefer Formeln mit:
dem üblichen Gebrauche hat mich gedünft, daß man fie
An Wagen, bie große Laften führen follen, ziemlich genau
beobachte. Die Vorderräder macht man in einem nur
fehr mäßigen Verhaͤltniß Kleiner als die Hinterraͤder.
Die Laft, mit welcher man diefe Wagen befchweret, ladet
man ein Stück weit über bie Hinterräder hinaus, dage⸗
gen’ man fie nur wenig ober gar nicht vor die Vorder⸗
D 3 raͤder
54° VL Ueber die visrräbrigen Wagen.
raͤder fich erfitechen läßt. Auf diefe Weile wird ber
Schwerpunct der ganzen Laſt, die auf die Nabe ber Raͤ⸗
der druͤckt, den Hinterraͤdern naͤher gebracht. Dies muß
auch ſo ſeyn, weil dieſe groͤßer ſind. Hiedurch erbaͤlt
man ferner den Vortheil, daß der Wagen unter groͤßern
Winkeln kann gedrehet werden, und man nicht noͤthig
hat, die Laſt auf den Hinterraͤdern (oder Achſen) aufzu⸗
häufen: Außerdem frümmen fich die Wagenleitern viel
weniger, als wenn die ganze Ladung zwifchen den vor»
dern und bintern Raͤdern ruhete. Was aber die. Rats
ſchen anlangt, fo will man, daß bie Vorberräder zwey⸗
big dreymal Fleiner feyen, als die Hinterräder. Hieraus
würde dann folgen, daß der Schwerpunct $ bis 27mal
näher bey ben NHinterrädern ſeyn müßte. Indeſſen iſt
dies nicht üblich, weil man anch verlangt, daß ber Kaften
zroifchen ben Rädern hänge. Naͤher kommt man ber
Megel auf Reiſen, weil alsdann die Hinterraͤder mit der
ſchwerſten Bagage belaſtet werden.
j
X, Unfere Formeln zeigen ung an, baß bie Kraft,
- welche erfordert wird, einen vierrädrigen Wagen zu ziehen,
viel weniger von dem Verhaͤltniß in der Größe der Räder,
als vor der Art, wie fie beladen werden, abhaͤngt. Wir
wollen, um ein Beyfpiel zu geben, annehmen, die Laft
fen ein Parallelepipedum. So wird denn ihr Schwer⸗
punct in der Mitte ihrer Länge ſeyn. Raget nun dieſes
Parallelepipedum wenig oder gar nicht vor der Achſe der
Vorderraͤder hervor, fo fage man: Wie R3 zu der
halber Länge fich verhält, cben fo verhält fich
»? zu der Diftanz zwifchen der Witte des Paͤral⸗
lelepipedums . und der Achfe. der Sinterräder.
Wenn demnach die Laͤnge A if, fo wird diefe Diſtanz
Folg⸗
m
Ein Nachlaß von J. H. Lambert. 53
ſolzlich wird dies Parallelepipedum um den Theil
1 Ar _ RB —- RP
3-5; =31.—
über bie Hinterräder berborragen.
‚Weil aber dieſer Theil nicht ht größer als z\
Ar
ſeyn muß, ſo fe man arm Ne — FF. und man
erhält. R . 2 I, 26 r.
Hieraus folgt, daft wenn das mMintmum der Kraft
F geſucht wird‘, die Durchmeffer vr-Räder in dem Bere
baͤutniß von I zu 1,26 ſeyn muͤſſen⸗ oder Rir 2524.
Wenn denmach die Hinterraͤder 5 Fuß in der Hoͤhe
haben, ſo muͤſſen die Vorderraͤder 4 Fuß hoch ſeyn. Und
wenn der Zwiſchenraum der Achfen 10 Fuß iſt, fo wird
der vierte Theil dieſer Bänge S 23Fuß, und weil bie
Wagenleiter um dieſe Laͤnge uͤber die Hinterraͤder hinaus⸗
gehet, fo betraͤgt denn dieſer Vorſchuß fo viel als den
halben Durchmeſſer der Hinterraͤber. Auch huͤtet man
ſich in der gewöhnlichen Praris ihn ſtaͤrker herausrage
zu laſſen.
XI. Was iche eben igt geſagt Sabe, fann Bienen;
dasjenige zu berichtigen, was Camuͤs von den Wagen
und Kutfchen in feinem Trait& des forces mouvantes .
(Abhandlung von den bewegenden Kräften) bey⸗
Bringt, unb bon Dessgüliers- in ‚feinem Cours de.
Phyfique experimentale von Wort zu Wort iſt abge⸗
ſchrieben worden. Er ſagt: Es wuͤrde viel vor⸗
theilhafter ſeyn, die vier Räder an Wagen und
Rutſchen groß und gleich oder ung fäbr (gleich)
zu machen, als die vordern um die Hälfte Fleiner,
D4 ‚wie
- 56 u. Ueber bie vierräbrigen Magen. - |
wie an mebr Orten uͤblich fey. *) Diefer Ausſpruch
und inſonderheit dieſes ungefähr (a peu pres) fommt
vollfommen mit dem Mangel an geometrifcher Strenge,
und mit der unbeſtimmten Art fich auszudrücken überein,
welche in dem ganzen Trait& des forces mouvantes
herefchen; und man muß fich wundern, dag Desagüs
liers nichts dabey zu erinnern gefunden hat. Unfere
Theorie gewaͤhret uns eine beutlichere Einficht in biefe
Sache. Es folgt daraus, daß wenn bie Vorderraͤder
wirklich um die Hälfte Kleiner find als die Hinterraͤder,
alsdbann der Schwerpunct 8 Mal näher bey diefen als
bey jenen ſeyn müßfe; welches nicht flatt finden kann,
—
zum wenigſten, wenn bie Laſt mehr einem Prisma als
einer Pyramide gleichen fol. Hingegen ſehen wir andh,
dag wenn die Hier Raͤder alle einander gleich gemacht
werben, der Schwerpunct in bie Mitte fällt, und die
Schtwingbäume bey einer großen Laſt zu viel leiden wuͤr⸗
ben. Ueberdies, bat man in winklichten Wegen mebe
Mühe den Wagen zu Ienfen, wenn die Vorderraͤder ſehr
groß find, wie Herr Camuͤs heiſchet. Man wird alfe _
beffer thun, fih an fein à peu pres zu halten, es aber
zu beftimmen, wie wir gethan haben, fo daß die Durch«
meffer wie 5 zu 4 fich zu einander verhalten. Und wenn
Die Durchmeffer der Achfen in eben dem Verhältniß ſte⸗
bet, wie fich gehöret (oben VIII), und man die Laft der⸗
geſtalt verteilt, daß der Schwerpunct zweymal näher
bey der Achfe der Hinterräder als der Vorderräder fen,
fp wird die Kraft F voßfommen dieſelbe ſeyn, als wenn
fowohl. die Räder als ihre Achfen von gleicher Groͤße
wären, ‚indem. bag Verhaͤltniß zwiſchen den Durchmeſ⸗
| . | | fern
*) Qu’il feroit beaucoup plus avantageux de faire les quatre
roues de chariot et de carofle grandes er égales ou A peu präs,
que de faire celles de devant moitie plus petites, comme il
pratigue en plufeurs endroits,
. 5 Ein Nachlaß v von J. 9. Sambert. | wi
fern ber Mäder und ihrer Achſen baffelbe blelbt Herr
Eamüs hat weder auf dieſes Verhaͤltniß, noch auf den
Schwerpunct Ruͤckſicht genommen. Außerdem war es
etwas unſchicklich feine Bemerkung ohne Unterſchied auf
alle vierraͤdrige Fuhrwerke auszudehnen. Die Kutſchen
machen aus ganz beſondern Urſachen eine Ausnahme.
Sebermann weiß aber auch, daß ſie nicht beſtimmt find,
vie Güterwagen, Laften von 20 bie 30 Eentnern zu
tragen, und daß, wenn man fie mit fehr ſchweren Cof⸗
fern beladet, diefe auf die Achfe der Hinterräber zu ru⸗
ben kommen. Daher unterfcheibet fich auch eine eigent⸗
‚ liche Reifekutfche genugfam von einer Spatzier⸗ ober
Wiſitenkuiſche, um bemerken zu laſſen, daß man nicht
ohne uͤberwiegende Gruͤnde die Vorderraͤder um mehr
als das Verhaͤltniß der Gleichheit oder wenigſtens von
5 zu 4 erfordert hätte, kleiner gemacht habe.
“
| VER Tafel, um jedes Fahr der Julianiſchen
Sonnen: on N B. Güldne Zahl
nhletion 0 1234596789
0 4200 420 4620 840 5040 1260 5460 ı680 9880
1064 5264 1484 5684 1904 6104 2324 6524.2744 6944
2128 6328 2548 6748 2968 7168 3388 7588 3808 * 28
3193 7392 3612 7812 4032 252 4452 672 4872 1092
4256 476 4676 896 5096 1316 5516 1736 5936 aıs6
5320 1540 5740 1960 6160 2380 6580 2800 7000 3320
6384:.2604 6804 3024 7224 3444 7644 3864 84 4284
7448 3668: 7868 4088 308 4508 728 4928 1148 5343
..532 4733 952 5152 1372 5572 1792 5992 2212 6412
1596 5796 2016 6216 2436 6636 2856 7056 3276: 7476
2660 6860 3080 7280 3500 7700 3920 140 4340 560
3724 7924 4144 364 4564 784 4984 1204 5404 1624
E 1008 5208 1428°5628 1848 6048’ 2268 8468 2688
Oo
|
= O0
5852 2072 6272 2492 6692 2912 7112 3332 7532 3752
4916 3136 7336 3556 7756 3976 196 4396 616 4816
— 2
WW 0
— — —
A 19 18 17 16 15 14 13 12 II 10
B Sonnenzirkel
Iſt das Argument A groͤßer als 15, ſo ziehe man ı5 davon ab
— — B. vo — 159 —
Zu der Zahl, die die Tafel giebt, addirt man noch den
Eonnenzirfel um's Jahr der Julianiſchen Periode
zu haben.
Ueber die Gruͤnde dieſer Tafel ſehe man Herrn Profeſſor
Hindenburgs Abhandlung über die Cykliſchen
Prrioden im Magazin für Mathematik I 786.
St. UI. S. 257 — 324
2100 6300 2520 6720 2940 7140 3366 7560 3780
*
Speriode aus feinen Kennzeichen zu finden.
— Sonnenzirkel.
27420 3640 7840 4060 280 4480. 700 4900 1180
..504 4704 924 5124 1344 5544 1764 5964 2184
2632 6832 3052 7252 3472 7672 3892 112 4312
4760 980 5180 1400 5609 1820 6020 2240 6440
Io 11 12 13 14 15 16 17 18
3164 73064 3584 7784 4004 224 4424 644 4844
4228 448 4648 9868 5068 1288 5488 1708 5908
5292 1512 5712 1932 6132 2352 6552 2772 6972
6356 2576 6776 2996 7196 3416 7616 3336 56
2568 5768.1983 6188 2408 6608 2828 7028 3248
3696 7895 4116 336 4536 756 4956 1176: 5376
5324 2044 6244 2464 6664 2884 7084 3304 7504
6888 3108 7308 3528 7728 3948 168 4368 588
7952 4172 393 4592 812 5012 1232 5432 1652
1036 5236 1456 5656 1876 6076 2296 6496 2716
988 76543 2 1
— Güldne Zahl.
— æG—rrrc
Beyſpiel
fuͤrs Jahr Chriſti 1796 iſt
G. Z. 11; 8S. Z 133 Indiction 14.
13 — 11 2 und 14 - 13—21.
Argument B'== 25. Argument A'=ı;
dieß giebt in der Tafll » 6496
hierzu SZ ee 13
Jahr der Julian. Periode 6509
FE, Burckhardt.
= VIR
..
L
1)
%
So VII. Klügel, der Kreisumfang aus denſelben
Vnl. |
Verſchiedene arithmetifche Zufammenfegungen
des Umfanges eines Kreifes aus denfelben Ele⸗
menten, Bon G. S. Kluͤgel, Profeſſor
zu Halle.
F r. D. areis if in ber Analyſis nicht weniger
merkwuͤrdig, als in ber Geometrie. Der Umfang def
‘gelben kann durch den Halbmeffer auf mehr als eine Are
dargeſtellt werben, und man iſt dadurch im Stande, mit
geringer Mübe ven Umfang viel weiter zu berechnen, ale
8 ben alten Rechnern durch geometeifche Methoden
möglich war. Euler macht in feiner Introd. in Anal. °
Infin, T. I. cap. X. fchönen Gebrauch von den Potenzen
der Zahl w, welche den halben Umfang für den Salbe
nieffer Eins beſeichaet, um gewiſſe unendliche Reihen zu
ſummiren. Hier will ich die Abaͤnderungen der Reihe
‚ angeben, welche den Quadranten durch feinen Sinus
Fiat Hexe. ſo iſt * 2; =;
darſtellt. Dadurch erhält man Summen von Reihen,
welche bey Integrationen häufig vorkommen. |
5. 2. Es ſey (ix) -I=ırax —
3
2.4
1.3.3. 91:3:5:7 |
2.4. 6 2.4.6.8
Ferner fey-fin ®=x, fo ift bekanntermaßen
Dmaxrta®R+FPßxi+FyYxR7 + etc.
. Der halbe Umfang für den Halbmefler Eins fey
sm fo ift
je =ıt3a+3P+3Y+320Tete.
; u. ſ. w.
7*
8. 3.
\
Elementen verſchiedentlich zuſammengeſett. 6
54. 2. Durch’ dieſelben Elemente a, B, y, dete.
und bie Diviſionen 3, 5, 7, 9, etc. läßt ſich der Dußs
brant Z auf unendlich viele Arten darftellen.- Es iM
‚nämlich
Iia=ı +42 +3ß+3y+ 3d-+etc
&. im—4+3at+3ß+ Sylt et
Bir=:2+3ar3ß +. y+rz59 + etc
y3r=3T3 atrh+ ytrt etc.
tete iYtıydr ete.
u. ſ. w. |
6.4. Denn man drucke in der Reihe für Ir in
$. 2. jeden der Coefficienten &, 8, y. etc, durch den vor⸗
hergehenden aus, und ſetze * ir %, fo if
es + +. @—+ + yet |
205.4 7.6 5
das iſt mi tja B-+-7 ib d-Hetc,
+4 ta $ß-Iy— Atem
FEN |
-40—53- Zy— det
folglich £ a late, Ä
$. 5. Diefe Reihe multiplicire man mit 3, fo if
3amı +3 +3I HI yH Hirte
Hieraus wird, mittelft der vorher gebrauchten Suße
ſtitution
3.3
—1
Llend ie st uufeek a +7 y+eter
Ä JOH BREI FRE DANET EU YRFE 5 d Mretc.
+4-32.-$P- Ay A ee.
das if J1 +ta rs Ay HH ete.
and 3 a etc.
| 6
62 vii. Klaͤgel, der Kreisumſang aus denſelben
$. 5. Die Fortſchreitung der gefundenen Formen
für 2 7 allgemein zu erweifen, muß man zeigen, daß ans
einer folchen Form bie baranf folgende fließt.
1...(2m—1)
im
Es w 2. 2m 2757 Far: amtz
1.94 IE + et
. — ete.
— am+7 " 2m+9
.(2m+1 2m+YrI 2m *1
bo in x g2=1 + ——a+—-—Bß
.. 2m. 2m+t3 2m+t5
4. * —E 2m0**1 |
' 4 ö-+ etc
’ . am+7 . '2m+9
" 2m}rI H am+ı . 2m+iı
* .3-+ .30-+ .£
9
em+ı 0
——.3y-t etc
‚,.„. &2mt9
=: ia 3:P +3 y +eto
2m+2 3° ' 5
—— æ —3 ———y-.etc
2m+3 2m+5 2m+7 2m+t9
oam+2 2m+2 2m2 am+2
= — ——— 84 y+etc.
nr 2m+5 2m+t7 2m+9
al — ig | I:
F —8X #7 om+3 em+s5
N +. B+ y-+ etc.
I.
2m+7 " 2m+9
Da die angenommene Form für m o gültig if
($. 4.), fo gilt ſie auch für m == 1, mie es and) ($. 5.)
gefunden ift, baber ferner für m 2, fuͤ m 3,
ne
$. 7:
Elementen verfchiebentlich. jufammengefegt. 6
87. Eine zweyte Gattung von Form für m iſt
[gende :
" I 7 8
er a er
I a ßQ
Ama — — — — — — — — ete.
2 2:7 4-9 -6.ı1I 8.13 |
a ß
— eicy
— 8. Dieſe Form folgt aus der vorher gefundenen
Form für m. Denn man fege in ber Reihe
u .
+ — 422
sm+I 2mt3 2m+5 2m-7
für =, B, y, 9, etc ihre Werthe, durch die vorhergehen⸗
den ausgedruckt, und Z für &, fo iſt dieſe Reihe
1
-+ etc,
ET
—— ‚1 ‚Ja
am+ı 2m%+3 — 2 2m+7
u 1
.7 drei
2m+9 vr sm+tıır 2.
_.ıa er 8 Y
om+i ‚2mt+3 2mt5 2zm+t7 2m*9
I &% ß yo
“ a(amt3) 4(zmts) 6(2m47) u 8(2mt9)
+ etc. | |
1...2m—I) 1...(2m+1) 1
—— — ie
veicuh ( > ..... 2m J 27
1 I. æ
ü — ⏑ — ete.
20m 1 u 3(2m+3) Bu 4(2m45) Gm)
5 das
64 VOL Kluͤgel, der Kreisumfang aus benfelben
—— r un I 1
| Tamt 2(203)
% ß Y |
4lamts) _ ‚6 am) 8 (2m+9)
— EG, -
xndyx
Au abe. Den Wert von —
J 5. 9. Aufg b ee
hdar x*a zu finden. \
Auflöfung. Zu.
es it ——= + er Sr *
it — = (I-be. Ä
"T Va—x’) et
x⸗ꝛm
+. — + etc.) —. |
'x?"dx a 2
ur * (a?—x?) - r am+3; ze :
BB x. y 26 6 23
\ + am+5 ringe: a6 er om+9 ra
j f gzui+r
| amt: Zi + etc) .
Sie x a ift
xndx ade __ I...(2m—1) y sm
Te sun m man
510. Aufg. Den Werth von nf nf ar) dx
zu hoben, wenn xa if.
Aufloͤſung.
x
‘ Eye Ge.
_r — — | — — etc. xy,
8 28 0 ale 4
| Alfe-
| \
Elemencen verſchiedentlich zuſemmenGeſett 6 5
1 ı x?
Mpx” 2x: ax — —_—_._
4 [ y\ g 2m+I 2(2m+3) a?
a x4 ß x6
4(2m+5) a 6(2m+7)' PX.
y_x
8 (2m+9)' 28.
gür za if xꝰm(aꝰ - x?) dx
— etc.) zUtIn,
—
CA. 1, aↄm-2,
2...... 2m 2m+2
| € II. Exempel. Bey der Beſtimmung der Zeit
des — Schmwunges eines einfachen Pendels Fommt man auf
folzende Differentialformel:
——Sax
va) u
Der Factor
vu
wandelt, ſo iſt
tax ri yröthete
Tür xa fen das integral — A, fo iſt
A=(i-+02+- Party? ad? ad-r-etc.) im,
, werde in eine Reihe ver⸗
dx==dX..
Es ift hier a der Sinus bes vierten Theilg *
Schwingungsbogens. Die Zeit eines Schwunges (ei
Hin⸗ und Herganges) ſey —t; die Länge des Pendels
==r, bie Hohe des fichen Falls in einer Secunde — g,
fo iſt t=2Ay *
Fuͤnftes Heſt. | .e€ $. 12.
. . ⸗
J 66 VIII. Rüge be Grelsumfng aus benſelben Ic.
Zu ;
$. 12. Mrempel. Es fey die halbe große Are -
einer Ellipſe == 1; die Errentricität = ®, die Abfciffe
‚von dem Mittelpundte aus genommen = x; ber dazu
gehörige Bogen von bem Scheitel der Heinen Are an ges
Ä nor y2
| J rechnet == s, ſo iſt Gr Ze dx==ds.
Der Zähler dieſes Bruchs entwickelt if
VCI— er)—=ı—tex’— Zaetxt 3ße6x$
1 del ro _ etc.
. Set man in dem Integral x , ſo is der
elliptiſche Quadrant; alſo iſt
Quadr. ellipt. = (ine —Iaßet— 1Qye6“
’ — Ides - Tode —etc.). Im
oder if
. uadr. el . = (I 12, et —
Quai p 4.16 4.16.36
1.9.25.7 RB 1.9.25. 499 _
4.16.36.64 4 10.39. —A—
1.3 1.9.
956
| IR. |
Zufäge zu der allgemeinen Summation einer
Reihe, worinn höhere Differenziale vorkommen;
von J. F. Pfaff, Prof. der Mathematik
zu Helmſtaͤdt.
(Bertfegund des Aufſatzes im dritten Hefte d. A. ©. 397-347) *8
5. 1. Satz. oo
E⸗ iſt, was auch q, v und V bebeuten moͤgen,
I f ın f IT d £+c 2-1 (V -foc
—J (Vg uree. vg ).d!(Vgq >
1 na— I)
f+2C 1:2
—d? (v gi +2C) das2 (Vg“?-2)
1 |
4 ete Fre de (vgftue). Vater m r vde V
+ dran IV Ban 1, gay
f+c 7— 1.2
—- etc+ Pre “er. vm.
€ 2 | Beweis.
®) Das find die in me Note zu Seite 337 bemerften, pen
hin eingefenbdeten, Zufdge, die ich bereits amıo. Marz 1795
eebielt, ſelbige aber aus Mangel an Raum, und mit be
Sauptfaße zugleich, nicht mittheilen konnte. Zindenburg.
“) Das # der Sat, von welchem ich In meiner Anmerkung zu
. III. ©. 345 gefagt habe, Heer Peof. Rotbe babe Ihn, in
eftaft einer Rofalformel, gefunden, ohne von Be Profeſſor
* Praffe gleichneltendem NY etwas zu wiflen. Dee
Sag iſt wichtig; auch möchten fonft bie she allgemeinen Säge
(8 and 12) ſchwer au erweiſen feyn.
* N
—*
68 | IX. Pfaff s Zufüge zu feiner
Beweis, Nach (3. But. 2.0. 9.11. &. 344)
iſt; dag bortige va“ geſetzt,
— ——
ı n(n—ı)
— — d? f+2c de-ı V -f-2c te.
Fre a (gr? )dR7(Vg )-+ete
* — V. Nun entwickle man in dem Ausdrucke des |
Satzes linfer Hand des Gleichheitd- Zeichens, d (vgl ),
d? (vgf*?4), d3(vgf*3d) etc., gewoͤhnlichermaßen als Diffe:
renfiale von Producten aus v in Potenzen von q (wobey
d’ vor) = — vd’ (gf+re) 4 Advd’-! (gtrc)
A—
4 — Da v.d’2 (Hr) u. ſ. w.), fo gerfält
der Ausrut in n mehrere Theile, welche nach der Diffe⸗
rentialen von v geordnet, fich fämtlich durch die nur
angegebene Formel für Sa⸗ V ſummiren laſſen, für n
und f; gefeßtn,n-ı,n-2; ,f+dfr2duf.m. Dee
erſte Theil mit dem Factor v ift =- vd”V, der andre
Ii.n ;
mit. dem Faktor dv iſt — Fre dvd”"!V u. f w.
So ergiebt fich der Ausdruck des Satzes linker Hand des
Gleichheits⸗Zeichens.
6. 2. Zuſatz. Der Ausdruck linker Hand des
Gleichheits⸗Zeichens enthält, außer den Groͤßen v und V,
auch noch Potenzen von q. Der Satz zeigt, daß dem⸗ |
obngeschtet fein Werth nicht von q abhänger
fondern immer dem Werth für qg m ı gleich fey.
EN
/
!
ollgemeinen Summation einer Reife, 69
— 6. 3. Satz. Wenn q, v, V Reiben bedeuten,
welche nach Potenzen einer .veränderlichen Größe mit
einem Erponenten · Unterſchiede fortgehn, ſo iſt
_ zo x1.(Vd)x(ntı) +, — — “2. var xn
4 —V— VITHYLa—N-r. ..
TE:
+ ne IRRE. Va) KL
= - var.Vx (a+ı) + v2. Ven
f He
4
T'
f+#2c
Beweis. 1) Es ſey
g=atalz-+ allz? auit z3,,
vz=A+Alz —Alz? LA 33..
V=YyHQNz A 22 yıı 23.
d’(gFv). .
| P ik — = 1.2.3.9.(g’v)x (v+1)
zZ - | .
d’(q*V) | |
—* 1.2..91.(9"V) x (v+1),
.dz
bey der Differentiation dz als beftändig angenommen,
und in den Differential» Verbältniffen Z== 0 geſetzt.
Druͤckt man nun die höheren Differentiale in dem erften
Gag auf dieſe Ark aus, fo verwandelt fich derfelbe in den
aweyten Satz.
2) Iſt nun allgemeiner |
9* az" -alz «+3 4 —V—— 37
— -ANzetR,,.
v= NY’ yızrt? +yuzrt2, ...
€ 3 u \\
vx3.Vx(a-ı)t.. Paz land '
70 IK. Pfaff's Zufäge zu feiner |
fo bleiben die Coefficienten von q"v, q"V, ber Hrönung |
nach, noch eben diefelben wie in (1). ifo gilt der
Satz auch für die allgemeinere Reihe *). |
$. 4. Zuſatz. Man kann den Sat fürzer fo aus⸗
brüdn: .
—* Mxı.(VgdYxtatr) + * van. ———
4 r
f+2c
== (wV)%* (n* 1), wo w eine neue Reihe bedeutet, -
deren Eoefficienten burch die von v fo beflimmt werden, -
(vgi*29)%3.(Vg”t?)x(n— 1) tete.
daß für jedes n, wi (nt) — * ve (n+1) In
dem Summen⸗ Ausdruck kommt alſo q nicht vor.
5. 5. Zuſatz. Man ſetze (in $. 3.) für die dor⸗
tigen c; f;q; v;V .
bir —c; gi -; 0; U |
3 ſo
) So erſcheint der zweyte Satz als ein ſpecieller Fall des erſten.
Durch eben dieſe Reduction von Coefficienten auf hoͤhere
Differentiale, find auch im vorhergehenden Auflage CHeft, III.
©. 337 ꝛc.) die dortigen Sormeln mit Coefficlenten aus der
Sormel fuͤr du (x y) als fpectelle Falle hergeleitet. Gebraucht
man aber die Rocalformeln für höhere Differentiale €II. Heft
©. 229) fo laffen ſich umgekehrt, aus den Kormeln mit Eoefis .
etenten die mit böbern Differentialen herleiten, und beyde
Sormeln erhalten gleiche Allgemeinheit. Da hievon, fo wie
berhaupt von den nenannten Rocalforıneln, feine Ermäbnung-
von mir in dem vorhergehenden Auffage gefchehen iſt, fo ſey es
mie verfattet, anzumerken, daß derfelbe (nach feinem erſten
Entwurf nicht sum Druck beſtimmt) ſchon im Marz 179. .
des Herrn Herausgebers Handen war. Jene Feealformeln ab
vorzüglich dann nüslich, wenn es auf Reduction ber höhern
Differentiale auf Eoefficienten anfommt: im umgekehrten Fal,
wie bier, ſcheint das andre Verfahren bequemer zu fen.
Pie
‚ allgemeinen Summation einer Heide, 2. .
I) v
n "wird
= (ug Mar. nn
etc. Eur ge a. x (nt1). (Ugs- SITu
=! UXI. Uratnr ux2.Uxn
8 g-06
+ etc - — ux(otn). Uri (WU)x(a+r)
u I
da We (a+tı)= ux (n+I)
oo # gend.
$. 6. Zuſatz. Iſt in (5. 3) vr, oder ins. (5)
=—=ı, fo fallen in den Ausdrücken linker Hand des .
Gleichheitd +» Zeichens alle Glieder big auf dag erſte Oder
letzte weg, wodurch man die Formeln (im 4. Zuf. J. c.)
erhaͤlt.
$.7. Satz. Es iſt ey = = nd (xu‘) d*” ya)
+ — er (xu2°) d"-2 (yu’2°) +...+d? (zu) ya”
| . d du?
==d’(xy)-ned’" (xy —) +n(n-ı)c’d?®(zy —)
ı . ” na
du?
=... +-n(n—r).. Y.c',xy a’
Beweis, Diefe Gleichung folgt unmittelbar aus
der in dem Beweiſe der Formel für dux y (num. 4. l c.)
geehrte wenn flatt des bortigen u gefege wird uf Ü
cdu
vedurch aus = — — wird —.
E4 8. 8.
⸗
72 I X Pfoffs Bufie zu feine
8. 8. Gas Es iſt |
0 geyı.gea(n+ı) + qi*°xa. ven
+ get? 43.47” (n—ı)-Hetc..
+ gtre x (arı).ge"eeı
ts ———— (gite- ‚Oxn
+ c? (gq’r372Q’)x (n—ı) etc...
cl (gi+s- 2QN) xı
wenn Qxn =ng& (n+ 1), für jeded n.
= Beweis. Dan fege in (6. 7) x= —=g; vgl; .
' ug, und brüde, wie in $. 3. die Differentiale durch
. Eoefficienten aus, fo folgt gegenmärtiger Sat aus dem
vorhergehenden, weil, wenn u=a+ßzt yz+d2..,.
du.
Fi Ptayıtadn.. Ä |
du
alfex - a, * (a4 ı)=n. ux(a+ 1).
Fi 9. Zuſatz. Der Werth bes Ausdrucks Iinfer
Hand des Gleichheits- Zeichens hänge alfo nicht von f
und g einzeln, fondern vom ihrer Summe f+g ab.
Man Ebe f+4g = == s, fo ift .
..gar.gta(atı)-Hgt°x2 ———
+ gu (ar). q’” -f- nur u
== qQ’reı:g’ "x (n+ı) + g°°%2.qg"*’°'en
m. genen (a+r). g°” -(n+T)c x1;
und für c=TI M |
qf Ki. .g’” (ot) + gt!xa .g’” f-Iyn ,
— g’2u3. q°7?x (n® 1).. +ga(atı). J
m geı.g te (+) + gq’r2.g’’an-..
tg" rl *(n+1). ‚gArixı.
Dieſe Ausdrücke haben alfo für jedes £ einen
noeh, Ä
. 10. Zuſatz. Wenn man den Sag ($. 8) auf.
Binomial, Foefficienten "A, "3, ?E... anwendet, fo
entfpringe daraus folgende Gleichung : Ä
5 | 0 e(e-1)
allgemeinen Summation einer Reihe. 73
dr)... (gentr) + (Fo). (ge) (g-c-1).. (-e-nt2)
+'% (£+2c) (i+2c-1).(g-2c) (g-2c-1)..(g-2c-n%3)
HE (fr3c) (fr 3c- 1) (fr3C-3).(g-3c) (g-30-1)..
..(g:30-n+4) + etc. etc.
== (g+f) @+—1). .(gtf—-n+r)
x(: „ne ne, an—r)e —— — n(n-1.) (n- —W t )
— etc
g+f we; (gtf-1) (g+M)..(e+f-2)
beyde Ausdrücke werben fortgefeßt, bis bie Glieder wegen
n verſchwinden.
$. 11. Zuſatz. Man ſetze Hoc, fo ift alfo
die Summe folgender Reihe
1. 88-1)... (gen+r) —"Ug. (ge) (g-c-1).. (g-e-n+2)
+ "8 (g-c) (g-et1).(g-2c) (g-2c-1).. .(g-2e-n+3)
— "€ (g- 2) (g-20+1) (g-2012).(8-30) (8301) .
| ..(g-30-n+4) + etc, etc.
von g unabhängig, d. i. wenn man bie Glieder die-
fe8 Ausdrucke, fo viel deren ſeyn mögen, nach Potenzen
von g entwickelt, fo wird jeder folcher Potenz Eoefficient
für fich verſchwinden und nur das Glied ohne g übrig
bleiben.
—G6. 12. zuſatz. Aug dem Sag ($.7.) entfpringt
noch folgende Brhung,, allgemeiner als die ($. 8.)x
xx T.yx(n+ı) 4 (xu)®2.(yu)xn
+ (xu?%) x3.(yu®) x (n—1ı)
-Tetc...+ zu”) x (n+ 1). (yu” * *1
= (xy) % (n+1) —- c. (xy: —) x “n
" u U? . >
| --c” (xy. —) "(ar Hete...
. U" . n
n —
‚+c y: ) x“ı u.
wrenn für jedes n, Unn==n.ux (a+T).
Es... X
74 | x. Kamp, geometriſche Analyſis
X.
Geometriſche Analyſis des Rentals, Hoodon
genannt; eine Widerlegung des Syſtems von
Hauy. Aus einem Schreiben Din, D, Kramp's
an den Herausgeber.
Vorerinnerung des Herausgebers.
n der von mir ohnlaͤngſt herausgegebenen Sammlung
von:Schriften über den polynomiſchen Lehrſatz ꝛc.
iſt dieſer Abhandlung, in einer Anmerkung zu’ Seite gr
bereitd erwähnt worden. Sch habe fie ſchon feit einiger
Zeit erhalten, und ift folthe wieder neuerlich von Heren
D. Rramp in Erinnerung ‘gebracht worden. Der Ans
fang des Briefes oder des Aufſatzes felbft, bezieht ſich
auf ein Verfprechen, das Here D. Rramp in einem
Anbange zu feiner Arpftallograpbie gegeben hatte.
Ehen dafelbft, am Ende diefes ſchaͤtzbaren Werkes, findet
man auch feine Erklärung der Derdoppelunn des fo.
genannten isländifchen Rryſtalls, von melcher. ich,
da in der Folge ausdruͤcklich davon Erwähnung gefchieht,
nur im Vorbengehen, bier nod) anmerken will, daß es
mir ſcheint, man habe auf dieſe Erklaͤrung einer Erſchei⸗
nung, bey welcher ſelbſt Huͤggens und Newton
Schwierigkeiten gefunden haben, nicht ſo viel Ruͤckſicht
genommen, als die Sache verdient. Alles laͤßt ſich in
ber That ſehr leicht und natürlich erklären, wenn man
mit Herrn D. Rramp annimmt, die urfprüngliche
- Korm des Kalchſpaths fey der fogenannte Spath Len-
riculaire, aus dieſem entftche, durch Anfegung neuer
Schichten. der isländifche Kryſtall, von ber urfprünge
lichen Flaͤche aber bleibe fo viel zurück, daß fie eine Ver» |
doppelung des (Begenftandes buch Keflerion ver«
anlaſſen kann.
= - Einige
!
des Kryſtalls, Hyodon genannt. 785
Einige Nachrichten, Herrn D. Rramp betreffend,
habe ich in der oben ungezeigten Sammlung von Abhand⸗
fungen (&.91.-101) gegeben. Noch muß ich hier er-
innern, daß die dortige, feinem Namen beygefügte, Nach⸗
tweifung igt nicht weiter beftehe. Herr D. Rramp bat
das Phnfifat bes Dberamts und der Stadt Meiffenheim
aufgegeben. Die Ereigniffe des Krieges haben ihn nehm⸗
lich, feit beynahe zwey Jahren genoͤthigt, Meiſſenheim zu
verlaſſen. Nach den neueſten Nachrichten hat er ohu⸗
laͤngſt den Ruf als Phyſikus der Reichsſtadt Speier
erhalten und angenommen, feſt entſchloſſen, welches auch
der Wechſel des Krieges ſeyn moͤge, daſelbſt zu verblei⸗
ben. Verſchiedene combinatoriſch⸗ analytiſche Ab⸗
handlungen von ihm, außer den, in oben erwaͤhnter
Sammlung ˖ bereits aufgefuͤhrten, werden in den fol⸗
genden Heſten des Archivs nach nnd nach mitgetheilt
werden.
N — ——— ⏑
— Sie erinnern mich, Hochgeehrteſter Herr Bros
feffor, ‚mein Verfprechen in Anfehung der polygono⸗
merriſchen Beyrräge bald zu erfüllen. Allein, mit
welcher Gelegenheit, und bey welchem Verleger könnte
dies wohl‘ gefcheben? Indeſſen erlauben Sie, daß ich
diefem Schreiben einen furzen Auszug aus einem biefer
Bepträge einverleibe, freylich ohne Beweife, die ie
leicht felbft finden werden. Er betrifft diejenige Abaͤn⸗
derung von Kalchſpath, die bey Linne Hyodon heißt.
Der Hyobon iſt ein Dodekasder von zwoͤlf unter -
fich gleichen, aber ungleichfeitigen Dreyecken eingeſchloſ⸗
fen, deren jedes eine lange Seite AD, eine kurze
Seite AC und eine Bafis CD hat. Diefe zwölf
Bafen machen zufammen ben Aequstor BCDEF deB
Hyodon aus, ein gleichfeitigeg, gleichwintuichtee “a
eck⸗
76 X. Kramp, geometrifhe Analyfis |
ech, deſſen ſechs Seiten aber nicht in einer Ebene liegen.
Ich werde diefe ſechs Seiten bie Aequatorkannten nen
nen, um fie von den Polarkannten zu .unterfcheiden, -
die in ben beyden Polen A und G zufammenftoßen.
Diefe letztern werbe. ich abwechfelnd die böbern und bie '
niedern Rannten nennen, je nachdem fie mehr oder
weniger von der Are des Hyodon abweichen. Es ift
Har, daß die Fürzern Seiten, wie AC, AE u. ſ. w.
mit diefer Age einen größeren Winkel „machen müffen,.
als die längern Seiten AB, AD, AF u. f.w. Ich
werde die Neigung der böbern KRannten gegen die Are
mit x, die Neigung ber niedern Rannten gegen eben
diefelbe mit y bezeichnen; und zugleich annehmen Cotx
=p; Cöy=g. Man erhält hieraus Cot ACG
= _ _rT . © wäre denn ber Winkel befannt, den die
böbern Rannten ber einen. Pyramide mit den niebern
Kannten der andern machen, da, wo ſie am Aequator
zuſammenſtoßen.
Bezeichnet man ferner mit J ben Dolarwinkel
jedes Dreyecks, CAD; mit L den größeren Winkel
an der Baſis ACD; mit M den Eleinern Winkel an
ber Bafis ADC; mit 2Z, den Winkel der Aequa⸗
torkannten CDE, fo iſt J—
et _, u
v@t4Pp—4apgt449) °
CL —RZ2PrIrT
| v@+4pp—4PI+449)
__299=-2pgarI
V@+4Pp — 4Pq+499)"
1+4(p—q)
',3
CtM= *
Ct Z=y
u Wir
des: Kryſtalls, Hyodon genannt, | 71
Wir gehen jegt an die Stächenwinfel des Hyo⸗
Ion über. Es ift offenbar, daß der Slächenwinfrl an
en höhern Rannten (ACD mit ACB) Eleiner feyn
uuß, als der Flächenwinfel an den niedern Rannten
ACD mit AFD).- Bezeichnet man den erjtern mit
29-Pp
‚X, ben letztern mit 2Y, fo ift Ct X == — R
, f V@+t3Ppp)
nd Cot Y== u TI, Eben fo werden auch
YG+3g9Q9)
iefe Stächen gegen ven Aequator verſchiedentlich geneigt
pn: indem der Winkel, den fie mit ihm bilden, an dem:
Sbern Kannten größer, an den niedern Kannten
leiner feyn muß. Bezeichnen wir den erftern mit u
Jie Slächen ACD und ACB mit BCD) ten letztern
ie v (die Flaͤchen GCD und GCB mit BCD), fo if
(app-2pgtr)V3 ._
2(2q-p)ylı+pp- 5
{299-2pgtn)y3
2(2p-q)y -DYCitpp-2pgtgg)
Eben fo ift es mit den Winkeln, die die Kannten
Ibſt mie den anſtoßenden Slächen des Aequators machen;
ir die böbern Rannten wird derſelbe geößer, für
ie niedern Rannten wird er kleiner feyn. Beazeich⸗
et' man den erftern mit S (die. Kannte AC mit der
lähe BCD) ben zweyten mit T (die Kannte CG
ait der Fläche BCD), fo ift
2 pp- ec Cor = 211-2? 2qq 299-2pg+z.
29 — 2p-9
Sieht man bie inte Lund M alg gegeben an
(weil in der That diefe am leichteften zu meffen find), fo
findet man daraus fürs erfte, den Winkel der Aequator⸗
kannten Z auf folgende Weiſe: Man nehme Cot M— &
ot
Ct
Ctvzm —
tP=
[4
78 X. Kramp, geometriſche Analyſis
CtL=P, T— Cot ?L — Cot L. Cot M =
Cot :M=Q, und YPP+QO)=R; fo jſt
+
Ct Z=Yy — Berlangt man bie Ye
| des Kriftalß, fo ift diefelbe v- — 73 I, wobey nem⸗
lich die Aequatorkannte fuͤr die Einheit angenommen if.
Endlich, um die Eotangenten p und q der beyden Win⸗
2 GG;5:
R—
fel x und y zu finden, fo fege man
3RTQO)(2—C+R)
2(2— Q—R)
und 24=F+G. Sind einmal diefe Iegtern Winkel
‚gefunden, fo läßt fich aus ihnen alles andere beflimmen.
Sich babe dieſes für nothiwendig erachtet, um über
das Syſtem des Herrn Hauy einige Anmerfungen zu
machen. Unbegreiflich ift e8 mir, mie diefer Gelehrte |
Berechnungen über Körper machen Eonnte, ohne ſich
der fpharifchen Trigonometrie zu bedienen, die ihm alled
ungemein erleichtert hatte. — Ich werde hier dag ger
meine Parallelepipedon des isländifchen Kryſtalls zum
Grunde legen, das wie befannt, die wahre Mutter ber
Kaldhfpathformen if. Den fiumpfen Winfel deffelben,
102° 40' werde ich mit 2B bezeichnen; und zugleich
annehmen y (3 Ct2B—ı)==CotF. F mwirb ber
Winkel fegn, den die Arc des Kryſtalls mit einer Seiten⸗
fläche madıt.
Das Parallelepipedon de Kalchſpaths fann auf
eine dreyfache Art zum Dobecadder übergehen: je nach⸗
dem nemlich die neue Kroftallenmaterie fich zu beyden
Seiten der Polarfannten HI, IK; oder zu beyden Sei⸗
ten der Arquatorialfannten HL, LK; oder endlich auf
‚bie.
== FF; fo iſt 2p FG;
. des Kryſtalls, Hyodon genannt. ‘ 79
die gu beyden Seiten der Diagonale IL gelegenen Wine
kel H und.K anfegt. Es feyenemlihh HIKL eine Seis
tenfläche des Kryſtalls, I einer ber drey Winkel am Pole,
und IL die Polardiagonale. Und n, die Zahl, die bey
Hauy nombre des rangees Jonstraites heißt.
Im erſtern Fall, den man gewoͤhnlich an den Ab⸗
ſchnitten der Ecke des Aequators erkennt, werden die
Polarkannten des Parallelepipedons, zugleich
Polarktkannten des Dodecaẽders. Ueberſetzt man hier
die ſehr verworrene Sprache des Hauy in die wahre
Sprache der Analyſe, ſo iſt 75* 3 Cot F; und ferner
— To |
1 ant2 u
Im zweyten Fall der fich gewoͤhnlich durch drey⸗
ſache Abſchnitte an beyden Polen auszeichnet, wird der
ganze Aequator des Parallelepipedons, Aequator des
nT 2
Dodecaẽders. Alsdann iſt —— Cot F;
‚ 20-2
= I Cot F.
2n — |
Im dritten Fau werden die Polardiagonalen bes
Parallelepipedons, Polarkannten des Dodecaëkders; oder
vielmehr, ſie werden mit ihnen gleichlaufend ſeyn, und
fehr oft der Laͤnge nach abgeſchnitten erſcheinen. Alsſ⸗
dann iſt p * Cot F ; qg== CotF. Vermittelſt
biefer Formeln, Denn der Werth vom n als befanut an«
gefehen wird (n ift nemlich die Zahl die bey Hauy nom-
.bre des rangees foustraites heißt) läßt ſich daraus
juerft die Cotangente p und q ber beyden Winfel x und
y, und aug biefen letztern alles uͤbrige am Doberaeder
beftimmen.
Der
80 | X. Kramp, geometriſche Analyſis x.
Der große Grundſatz des Haupy iſt nunmehr der,
daß in allen moͤglichen Abaͤnderungen von Kryftallen n
allemal eine gange Zahl ſeyn müfje. Und dies iſt nicht
wahr. Ach babe bie Winfel L und M an fehr vielem :
Dodecaddern gemeſſen; bieraus die Winfel x, y und z,
berechnet, und nie gefunden, daß der Werth von n, idee
2Coty— Cotx
eyn follte, eine ganse Zahl wurde.
2Cot x — Coty feyn follte, ganze Zah
Auf einer prächtigen Kryſtallengruppe dieſer Art
| aus Dauphine‘, die nıan im KRaiferlichen Cabinette ficht, -
und deren fehr vollkommene Kryftallen big zu 8 Zoll in
ber Länge haben, fand ich, mit Weglaffung der Minuten,
L == 109°, M == 18°, Berechnen Sie hieraus nad
der vorhin gegebenen Sormel,. den Winkel 2Z, fo finden
Sie wirflid 2Z==102°9; Ein ficherer Beweis, daß bie _
Beobachtung richtig war. Sie finden weiter x==13945';
y=12°1$'. Die Zahl n fällt alsdann in bie Mitte
zwiſchen 1, und 2; und bie ganze Hypothefe bes Haug
Wwird durch bieſcs einzige Beyſpiel vollkommen twiderlegt,
‚Wenn Sie das Memoire für la double refraction
du Criflal WIslande; Mem. de l’Ac. Roy. de Paris
1788, von eben dieſem Hauy noch nicht gelefen haben, _
fo bitte ich es jege zu thun, und meine phnfifche Erklaͤ⸗
rung der Verdoppelung des Kalchſpaths damit zu ver» '
gleichen. Ste werden finden, daß durch die Beobach⸗
tungen bes Hauy, die er nicht zu erflären wußte, meine
Hypotheſe volfommen beftätigt, und zur Gewißheit eine
geometrifchen Lehrfages erhoben wird. Hauy verfpricht
am Ende, daß er ſich mit der Brechung ber Strahlen,
die nicht in der Normalfläche liegen, ein andermal be⸗
fchäftigen wird. Diefer Mühe kann er fich überheben,
indem in meiner Kryftallographie. Die ganze Sache aus⸗
führlich aus. einander geſebt iſt.
| XI,
|
st. -
XI;
Heßer Gitter und Gitterſchrift; fernere Aeuſſe⸗
rung des Ungenannten. Ueberſetzung der von
Ähm (Arch. H. III. ©. 348.) Mitgetheilten :
‚ geheimen Sitterſchrift u. ſiw.
Da erſte Frage (Arch. S. 347, 1) if, auſſerdem was
der Herausgeber des Archivs. Herr Prof. Hindenburg
darüber beygebracht hat, unbeantibörtet geblieben. Es
muͤſſen aber gleichwohl über die Art, burch Bitter ge
deim: zu fehreiben, gedruckte Nachrichten vorhanden ſeym;
und es iſt zu wuͤnſchen, daß ſolche gelegentlich näher a an⸗
gejeigt. ober bekannt gemacht wuͤrden.
ui 'Die zweyte Srage und deren kuͤnftige Beantwor⸗
tung beſchraͤnkt ſich ganz allein auf dag Mathemati⸗
ſche, das dabey zum Grunde Hegt, indem bie Gitter,
als: figirliche Anorönungen, den dabey vorausge⸗
ſetzten, oft fehe :mannigfaltigen, Bedingungen’ Genüge
leiften ſollen.
‚Der edſte Erfinder folcher Gitter mag wohl mehr
auf Geheimſchreiberey, als auf die combinatoriſchen
»Geſetcze, auf ‚welche.fie ſich beziehen, geachtet haben.
Die. Lambertifche Sorberung: „Wenn eine nach Mes
geln geniachte Sache. gegeben ift, die Regeln zu finden,
m nach denen fle'gemacht worden, ‚oder hätte koͤnnen ges
Autacht werden,“ ndthigte den Unterfucher bey dieſen
fiehen zu bleiben, ohne nebenher ‚auf bie heutiges Tages
ſ0. gewoͤhnliche, leichte und vorwitzig fragende Ausru⸗
qung: zu was? inhenten. ,
Die Gitter findiein Beytrag je einem Theile ber
——— ‚erfinden, fh m atunenen auf.iome |
‚Giafeeh Set, : bina«
42 XI. Ueber Gitter und Gitterfchrift
binstorifche Operationen; und laffen fich, wie fünftig
gezeigt werben wird, auf mehrere und nüglichere Gegege
fände, als auf das bloße Geheimſchreiben, anwenden.
Was die dritte Srage (Arch. a. a. 3.) oder bie
dort don mir gethane Aeufferung anbetrift, fa will ich,
bevor ich weiter etwas binzufege, ben Inhalt des zum
Dechriffriren von mir vorgelegten Aufſahes, zuvor hier
mistheilen: ;
Ueberſetuns der Sietetſchrift
(a. a. O. ©. 348) *),
y Viele Leſer find In der Lage eines Dechifreurs die
zwar alles. zufammen buchflabiren, ber fehr wenig '
„oder gar feinen Verſtand daraus finden können. 8. B
„der Nomanenlefer findet in einem ernſthaften nuͤtzlichen
mBuche weder Geſchmack noch Zufammmenhang: ber Mar
„thematifer verſteht don theologifchen Schriften . weis
„ioeniger, als der Thenlog von mathematifchen **). .
„Es giebt Gegenfände, welche ganz nicht geheim
„geſchrieben, und doch für viele faum zu entrachneln
„ſind, wie die algebraiſchen Formeln.
er —
„Der Lehrert ſollte mit dem jungen Dechifreur zu
„erſt dag Mäthfelrachen treiben, doch. nur. mit wenigen
und gut gewählten Raͤtchſelne dann -wäre.das Rechnen
mit Ziffern und Buchftaben: vorzunehmen; fernekt
.„, Sprachen ,.. Gefchichte und Mathematik. Alſo gehoͤrt
zum Dechifriten mehr, als mancher glaubt. on *
nt ur?
u Zuvor mäfen felaende Deuktete darin herheſfert werden:
st 5 14,26 37 Fr 46, j; u 3
die erſte rg deutet bie Selen de 4* weyte·den⸗ a: des⸗
inn, der —— ee e krection de a *n:
J Gliſcklicherwe z fuͤr den umgekehrten
Wa gone
‚Sub ‚ une —— mf der Em nalelch 7 — Ati A
2 Dat |
fernere Aeuſſerung des Ungenannten. 83
Daß dag Lefen einer Gitterfchrift, ohne das zuge
— Gitter (den Schluͤſſel) dazu zu haben, oder das
Dechiffriren einer ſolchen Schrift, nicht blos ſchwierig,
ſondern (vornehmlich wenn der Faͤcher viele ſind, und
die durchgeſchlagenen Oeffnungen keine in die Augen
fallende Regelmaͤßigkeit befolgen) ſo gut als unmoͤglich
ſey, wird jeder Kenner zugeben, der die ungeheure
Anzahl der möglichen Combinationen oder Daria⸗
tionen dieſer Oeffnungen unter einander in einem gege⸗
benen, nach Faͤchern abgetheilte Quadrate, berechnen
kann. Dieſe Behauptung wird aber auch jedem Lieb⸗
haber, ber eine fo uͤbergroße Anzahl von Verbindungen
nicht einmal vermuthet, noch fonft weis, wie er fie aufe
finden ſoll, ſchon hinlaͤnglich einleuchten; wenn er fich
Die Mühe giebt, nach vorfichender Ueberfeßung das Git⸗
fer zu der Schrift zu ſuchen. Dur fehr geübte und ſehr
geduldige keſer Werden es errathen koͤnnen.
So wie die Einrichtung ſolcher Gitter, nach vor⸗
geſchriebenen Bedingungen, fuͤr combinatoriſche Analyti⸗
ker und Wahrſcheinlichkeitsrechner eine angenehme Unter⸗
tung gewaͤhrt; eben ſo kann auch dieſe Ueberſetzung fuͤr
Liebhaber der Kryptographie, zum Chiffriren und Dehife
feiren dienen, "wenn fie die Zeit bemerken wollen, in tvel«
cher jenes und dieſes mit wirklichen Ehiffren gefchrieben
und geleſen werden kann. Eine folche Vergleichung
. ird- feinen Augenblick mehr zweifeln laffen, daß die Gitb
terfchrift weit kürzek und gefchwinder zu fehreiben und
zu leſen fen, al& jede andere bisher befannte Art, geheim
zu (reiben. u E
VRuuͤuͤr diejenigen Leſer, die weder dad Dlandolfche
"Chafis, noch. fonft ein anderes Gitter diefer Art geſehen
haben oder zu brauchen wiſſen, will ich hier eins bey⸗
fuͤgen (man ſehe die Kupfertafel) durch welches nachſie⸗
ent Schrift in zerſtreuten Zinlaben, mit Leichtigkeit
ge
84 . Ueber Gitter und Gitterſchrife
ı gefchrieben worden, und eben fo leicht durch gehoͤrige
Deckung und Verwendung dee Gitters wieder self
werden Fann. ;
/
Ä 4132 \ Ä
rnasdzichenaisuud
edsoierusaxndron
icilnetallcupoxali'"
gngqvaueirytsee erh
aercotipneonudenue
vedreoidtiussurs....
rin'uanpmieiserg mw"
en iueitrertenwui'et rev
eepvrlean is xrie se:i. -'
etc rereidsteteus..0o,;'
cenuosnarfleesavd R
io ievonseyenste
stopsloväipviEusa un
ent straadinnpsid
ee eunrmsdegädelieöä
bbselonplechufoat
Vorſtehende Schrift vermittelſt des Gitters zu ee |
räthfeln, erfährt man folgendergeftalts
Auf den vier Außerftien Banden des Gitter (auf
der Kupfertafel), ſtehen die Zahlen 1, 2, 3, 4; über der
bier vorgelegten Schrift, die Zahlen 4,1, 3,2. Mau’.
legt alfo das Gitter zuerſt fo über die Buchftaben, . daf 2
die mit 4 bezeichnete Bande gu oberfi horizontal zu liegen
kommt, und lieft fo die Buchſtaben buch bie offenen
Fächer zufammen. Darauf verwendet man, das Gitter,
daß die mit 1, und nachher bie mit 3, und endlich die
mit 2 marfirte Bande oben nu liegen kommt; und fo
findet man, nad) jedesmaligen Zufammenlefen der Buch⸗
ſtaben, nach und nach den ganzen Inhalt der Schrift,
bie, wie man fogleich überficht, m mit Aleicher keichtigten
ſich ſchreiben als keſen rap. *
3
fernere Aeufferung des Ungenanntn. ; 85
Bw: Die über den Buchſtaben angegebenen Zahlen 4, 1,
3, 2 zeigen bie Ordnung ber Seitenanlagen, die bey je«
bem gegebenen Gitter auf nachflehende 24jigerfey Arten
abwechſeln koͤnnen:
1234 2134 3124 4123
1243 2143 3142 4132
1324 2314 3214 4213
1342 2341 3241 4231
1423 2413 3412 4312
1432 2431 3421 4321
Ein gewähltes Gitter, das man nicht felbft unmit⸗
telbar vorlegen kann oder will, kurz anzugeben, und die
durchzufchlagenden Faͤcher deutlich nachzumeifen, kann
auf mehrere Arten geſchehen. Ich will bier folgende
mittheilen, die einen Leſer, der das zu einer Schrift
gehoͤrige Gitter nicht hat, ſogleich in den Stand ſetzen
kann, ſich ſolches zu entwerfen. Es ſey
jedes durchzuſchlagende Quadrat =ı
jedes der übrigen gedeckten Quadrate = o
Beyde Ziffern follen in der Folge als Grundzeichen
des dyadiſchen Syſtems beym. Gitter gebraucht wer⸗
: den; und damit die Ueberfegung ins dekadiſche nicht
unnoͤthig muͤhſam ausfalle, nehme man hoͤchſtens 6
Stellen in jenem, oder von o bis 63 in dieſem, an. Das
Netz oder Gitter der Kupfertafel mag hier zum Beyſpiele
bienen.
Es hat In allem 16? ober 256 fleine Quadrate oder
gacher, die, nach der obigen Vorausſetzung hier, nach der
Zaͤnge herunter in drey Streifen, zu 6 644 daͤcher
(tleine Quadrate) in der Breite, abgetheilt werden. In
den beyden erſten Streifen geben jede 6, und in ‚dem letz⸗
sen Streifen jede 4 Sächer neben einander, ‚eine durch die
53 ' offenen
86 ‚XI. Ueber Gitter und Gitterſchrift
offenen und gedeckten Stellen (durch ı und o) dyadifch
ausgedruͤckte Zahl, die Null (Coooooo oder 0000) nicht
bavon ausgefrhloffen. Und fo erhält man für dag Git⸗
fer auf der Kupfertafel, nachftehende in befadifchen Bahr
Jen ausgedruͤckie Ra weiſuus
6
6 4
35 2 2
' 20 1 4
8 36 8
a0 41 0
35 6 4
o 0 10
5 0 0
2 4 10
| 41 20 5 A
2 32 1
3 22 24
4 8 °
48 © 0
18 0 I
32 53 9
4 4 4
Die Zahlen 6 FE Tr 4 == 16 über dem Strich
geben hier die Seite des Quadrats von 16 Fächern,
nebft der Breite der einzelnen 3 Streifen, ‚nach der Länge "
herunter; die Zahlen unter dem Strich, dyadiſch uͤber⸗
fegt, weifen durch die Ziffer ı die Onrchyufcklagenden, |
durch die Ziffer o die gedeckten Fächer, aufs deutliche
nad). Hat man bag Gitter, wie auf der Kupfertgfel ſo
vor ſich, daß bie mit, 1 bezeichnete Bande oben liegt, ſo
ſtellen die offenen Faͤcher, oben linfer Hand den Bude -
. Raben X, und rechter Hand den Buchflaben X vor; . -
. mn rn an nn an }
| | Zuſat
12
Zuſatz des Herausgebers.
Bey der hier angegebenen Nachweiſung eines willkuͤhr⸗
lich gewaͤhlten Gitters, wird bie Kenntniß des dyadi⸗
ſchen Zahlenſyſtems vorausgeſetzt.
Fuͤr Liebhaber,
die ſich hier nicht zu helfen wiſſen, wird folgendes nicht
uͤberfluͤſſig fepn.
Will man, wie (S. 85) angenommen wird, bey ben
dyadiſch ausgedruͤckten Zahlen nicht, über ſechs Stellen
hinausgehen, fo ift die fürgefte Anweifung zum richtigen .
"Gebrauch ber gegebenen Vorfchriften, die feiner Mis⸗
deutung untertogrfen ift, diefe, Daß man die Zahlen, von
o bis 63, dyadiſch Eund durchaus in 6 Stellen) zu⸗
gleich aber auch dekadiſch ausgedrückt, neben einander
fegt, wie folget:
000900 ==> 05
090001 = 135
KCOIO = 23
oo = 37
XOI00 = 45
co0I01 = 53
'@cıı0 = 63
000111 273
voriooo =. 85
@m01,= 9;
. 81010 = 103
. 0l0ll = 13
eomico = 1235
eorioi == 133
cajlIo == 143
SON m 155
010000 == 165
010001 = 1735
o5I 00o10 =. 1835
0910017 = 19%
3 0191 == 205
OoICIOL = 21;
OI0119 == 2253
oO1OL1lı == 235
OHIOOO 7 245
o11001 z= 255
Q11C1O == 265
OLIOlE = 275
OI1 100 = 2835
OlFIOLl ==. 295
O15110 = 305
OIIIIIA 383
Um daraus (für den
und ſo kann man die zuſammengehoͤrigen Zächer in den
(
10000 = 325
100001 = 333
100010 = 345
106911 = 353
109100 = 363
100101 = 373
100110 = 38;
2100911 = 39 $
101000 23.405
101001 == 4135
101010 = 423
101011 = 43;
101100 = 445
01101 = 455
I0K110 == 463
10111 = 473
119000 == 48
110001 == 49
110010 == g0°
10011 = SI
110100 52%
110101 = 53
110110 = 5%
ımwı1 = 5$
11000 = 56
zzıooı = 57
111010 58 _
111011.== 59
‚111100 = 60
gırıoı = 61
IIIIIO = 63
IIILII 25. 63
Oritten Streifen des vorge⸗
legten Gitters) alle vierftelligen Zahlen, von o bie 15
zu haben, darf man nur hier in der erften Eolonne bie
beyden erften Nullen linfer Hand durchaus abfondern;
84
drey
83 XI. Ueber Gitter und Gitterſchrift
drey Streifen des Gitter, als ſechs/ oder vierftellige
dyadiſche Zahlen angefehen, defadifch fehreiben, und um⸗
gekehrt, wenn die legtern gegeben find, durch ihren dya⸗
diſchen Ausdruck, dad Gitter eutwerfen.
Statt der unmittelbaren Vergleichung durch
Vrebeneinanderftellung von beyderley Zahlen, koͤnnte
man auch nachfiehende Regeln brauchen, wobey die Ans u
- zahl ver Stellen für die einzelnen Ziffern nicht auf feche
eingefchränft ift.
\
A. Eine dyadiſch gefihriebene Zahl bdetadiſch
auszudruͤcken.
LOGOOI I oIoLIoo 0010009
12,4, 8, 17|35 1;2, 5, 1020 12 4|8 3
Hier entftehen, nachdem man bie erfte Eins her⸗ |
‚ unfergefegt bat, bie defadifchen Zahlen nach einander,
durch Verdoppeln der vorhergehenden und Zufegen von '
© oder I, nachdem eine biefer Ziffern in ber obern Stelle
ſteht, unter die man die fo gefundene befadifche Zahl nad
ihrer Ordnung feßt. Die letzte Zahl im Mintel ift ber
gefuchte defgdifch ausgedruͤckte Werth, der gegebenen
dyadiſchen Zahl 100011; 010190; 001000
Die Zahlen aıgı oa und 001000 find Hier
fechsftellig gefchrieben, wie fie im erſten Streifen des
Gitters ald zweyte und britfe Anfangsgahlen erſcheinen,
und auch in obiger Vergleichung vorfommen. An fi
find die Rufen zu aͤußerſt linker Hand überflüffig, und
ihr verfürzter Ausdruck iſt 10100 und 1000.
B. Eine
Zuſatz des Herausgebers, 89
B. Eine dekadiſch gefehriebene Zahl dyadiſch
auszudruͤcken.
35 20 8
76 10 le +le
36 sk 2 lo
“eo 26 Te
‚2 u: olı
eb oh |
ı
‚ Hier feßt man bie Diifion mie 2, mit Bemerkung
‚ der Duotienten und Reſte (o oder ı) fo lange fort, big
im Quotienten o fommt. Diefe Chier in Winfeln einge»
ſchloſſenen) Kefte von unten heraufgelefen, geben alsdenn
die gefuchte dyadifche Zahl, flatt der defadifchen 35,20,8.
Das (S.56) angegebene Verfahren ift finnreich, unb
giebt dag Ne durch wenige dekadiſch ausgedrückte Zahlen,
beren Reduction aber auf byabdifche, durch die Menge
ihrer Ziffern (der gefamten Sächer bes Gitters) etwas
aufhalten Tann. Em anderes Verfahren, dag fich bloß
auf die offenen Stellen bezieht, und auf daffelbe Gitter
bier angewendet werden fol, kann folgendes feyn:
Aseflp; Bhdmo; Cogkn; Dbapim; Eaefklo; Fnp; Gdf; Heknpg
Iacfhkoq; Kegg; Lchkinop; Mdi; Nac; Obeq; Paghkm; Qdko:
‚ Die Sächer der erften Verticalreihe von ober
herunter, ſollen hier durch A,B, C, D... die Fächer der
erften Horizontalreihe durch a, b, c,d... bezeichnet
feyn: fo läßt jebes Fach durch zwey Buchftaben, einen
großen und einen Eleinen (wie in ber Einmaleingtafel)
ſich darſtellen. Hier find nur die offenen Fächer ange
geben, und Aaeflpz;. B. fleht verfürzt, flatt Aa, Ae,
Af, Al, Ap; und fo bey allen übrigen.
Iſt die Zahl der Faͤcher eines Gitters nicht ſehr
| sro Cund zu einer undurchdringlichen Geheimſchrift
Ss braucht
99 XI. Ueber Gitter und Gitterfchrift
braucht es nicht einmal fo groß zu feyn, als dad bisher
als Beyſpiel aufgeführte) fo Ffann man durch zwey Zei⸗
chen, eineg für-die offenen, das andere für die gedeck⸗
ten Fächer, (wie oben ı und 0, dafür ich hir a und d
Brauchen will) dag Gitter felbft unmittelbar und zugleich
@erfleinert darſtellen Bd
.. I.
abbbabb bb...
bbbabbbba
abbbb aa bb
ba babb bb hb
| «bbbbbabab 3 ;
3 bıbbbhbay ,
pbabbabhbb ö
bbabbb bh ah
bebbbh ah bh
j 3
Das Mittelfach ift Hier durch bald gedeckt an
gegeben, und wuͤrde fo bey allen Lagen und Wendungen. „
des Gitters diefe Stelle der Schrift leer bleiben. Man -
kann ſi e daher, dies Fach mag gedeckt oder offen ſeyn,
mit einem der willkuͤhrlichen Sull- oder Misweiſezei⸗
chen (Arch. der Math. 9. II. ©: 351) befegen. |
Der Ungenannte hat fehr richtig geurtheilt, daß
die Einrichtung folcher Gitter combinatorifchen Gefegen
unterworfen fen; es hat ihm aber nicht gefallen, ein
methodiſches Berfahren dafür anzugeben. Herr Magi⸗
ſter Toͤpfer, ein Freund des Ungenannten, dem dieſer
auch zuerſt dergleichen Gitter und Gitterſchrift mitge⸗
theilt hatt., uͤberſah ſogleich, daß die Entwerfung der
moͤglichen Gitter in einem Quadrate von gegebener An⸗
zahl der Faͤcher, von der Aufloͤſung einer combinatori⸗
ſchen Variationsaufgabe abhaͤnge: die ich hier mit⸗
theilen will, da ſich borauſehen lit, bag mehrern ke
fern
Zufag des Herausgebers. 92
fern daran gelegen feyn wird, eine folche, bie dabey fefte
gefegten Bedingungen erfüllende, allgemeine Auflöfung
tennen zu lernen.
Hierbey unterfcheibet Here M. Töpfer die Qua⸗
drate von gerader und ungerader Anzahl von Bächern
d. i. bey denen zn oder (2 a+L1) Fächer an einer Seite
liegen, die folglich 4n? oder 4 n’+4ntI Fächer in
allem haben.
Aufgabe. Zu einem Quadrate, das in
kleinere Quadratfaͤcher abgetheilt iſt, alle moͤg⸗
liche Netze (Chafks) zu finden.
A. Wenn dag’ gegebene Duadrat 4n? Fächer, oben
eine —5 — Anzahl Stellen hat.
Aufloͤſung I. Man mache ein ihm gleiches Qua⸗
drat abcd, von eben fo viel Stellen, und theile felbia
ges in vier gleiche Quadrate, von denen alfo jedes n? -
Stellen enthält,
93 xl. Ueber Bitter und Gitterſchrift
AI. Diefe vier Duadrate mögen von den Buch
Raben, die hier an ihren Winfelpuncten ſtehen, dura
9; b, e, d.von einander unterfchiedben werben.
III. Man begeichne die Sächer oder. Stellen
i ua. a a
; Im Quadrate a mit 1, 2, 3, 4... 0?
dpbbo»d b
1] e b mit I, 2, 3, 4.... n?
. ' ee cc 0 6
e.-. . Mit I, 2, 3: 4...nN?3
aaad a
q p d mit I, 2, 3, 4... n®
Durch diefe Verbindung der Zahlen mit Buche
Raben, wird jedes sad jedes Quadrates deutlich bes
geichnet, |
IV. Nun conftruire man bie Complerionen ber
n’ten Variationsclaſſe mit Wiederholungen, aus
‚den Elementen a, b, c, d gefchrieben, die zur Ordnung a 2
gehören. Jede diefer Buchſtabencomplexionen fängt mit
a an und befteht aus n? Buchſtaben a, b, c, d und ihren
Wiederholungen. Die Anzahl diefer Complexionen zus
fammen, beträge Ju’,
V. So viel es ſolcher Variations⸗Complexionen
(IV) giebt, fo viel mal (alſq „u’— i mal) ſchreibe man
die Zahlenreihe von ı bie n?, oder die Zahlencomplerion
123456....n? |
VI. Jede Zahlencomplerion (V) wird mit einer Buch.
fabencomplerion (IV) fo verbunden, daß die einzelnen
Buchftaben diefer über die einzelnen Zahlen jener, nach
ber Solge ihrer Buchftaben überfchrieben werden. Jede
folche einzelne Verbindung von Zahlen und Buchflaben
ſtellt
Zuſat des Herausgebers. 93
fee ein Netz oder Chaflis vor, wo jeder Buchflabe da
Duadrat, die darunter fichende Zahl aber die Durch»
zuſchlagende Stelle diefes Duadratd anzeigt. Die
Anzahl ver dadurch beſtimmten Gitter oder Nebe beträt
demnach 4n’—ı (IV: V). |
'
Exempel. Fuͤr nes hat das HQuadrat a
uberh det 4:4275=64 Faͤcher, 4 2216 offene, usd
und 3.4? 48 gedeckte. Die Menge der gefamten
Bitter wire tm ie Ein 539 == 1073741324.
Fin einzelnes Gitter unter dieſen, 3. 3. dag, welches
ſich auf die Variations— Complexion der 16ten Claſſe,
adcebbeadeäabadbed
bach, wuͤrde auf folgende Art
adcebbeadeaba dbed
12345678 5.10 11 42 ig 14 15 16 \
Yorgeßelt, und in feiner Ordhung, von dem erſten än
— das 962823388ſte ſeyn. F
B. Denn dae gegebene Quadrat (21 * 1)?
*4 ara I oder eine ungerade Anzahl Stellen hat.
Aufidſung I. Man mache ein ihm gleiches Qua⸗
drat a bed, von eben fo viel Stelfen, theile felbige® aber
in 4 gleiche Rechteche, jedes zu n(n+ı) = n’+n
Stellen, . diefe Rechtede benenne man nach den Buch⸗
Raben a, b, c, d’die hier an ihren Winfelpuncten Reben
und fchreibe in jedes Rechteck die Zahlen 1, 2, 3 4..
... ern; bie mittelfte Stelle bleibt leer.
96 XI. Lehe Gitter. und Gitterſchrift
veydes, a unb d fo lange fortgeſetzt, bis man fo viel
Buchſtaben geſchrieben bat, als in ber Zahl der Claſſt
Einheiten enthalten find. :
2. Aus biefer Vorſchrift die Variationen anzugeben,
uoͤberſieht man ſogleich, daß die Anzahl aller, entweder
Ane -1 oder zuiha—z ſeyn muͤſſe, nachdem fie für ein
Quadrat wie A bber B-zu beſtimmen If. Daraus laͤßt
ſich auch bie Regel ableiten, für eine gegebene Varia⸗
tions : Complerion anzugeben, bie wiepielſte fle in ihrer
Claffe ſey. Man fegt nehmlich für die Buchftaben a, b,
£, d, ihre Drbnungszahlen I, 2, 3, 45 dieſe, ſtatt ber
Buchflaben 5. B. in den beſtimmten Bariatıond, Con
- plerionen der obigen beyden Exempel gehraucht, Iafien .
zun bie gefuchte Zahl durch ein Verfahren finden, das
ich bier bey der Zahl des zweyten Exempels in eine
Beyſpiele zeigen will. Die Subſtitution der zugehoͤri⸗
gen Zahlen für die dortigen Buchſtaben, verwandelt jene
Suchſtabencomplexion in nachfichende Zahlenconplerion:
143 21232141242 3317414 °
und aus biefer findet mean (bie Kleinen‘ Fehlen find bier
potengerponenten von » *
4. * ta + ne * 12:4 Er dt rn +0. p
bus +o. 4 Er 4 ya. 4 —* +0.4 NER 4 Er +. 4 —* 4
245235833396, wie oben.
Die Factoren neben den Potenzen son: x find hierdie
einzelnen Zahlen. der obigen. Zahlencomplexion, :jede un
Giengen die Buͤchſtaben a, b, c, d, in entge —*
itter in B
um, fo’ wären hier blog’ b und d, ober bie Zahlen 3
"And 4 .verwechfelt, und fo beftimmte dag fchon ein an⸗
deres Netz, deſſen Zahtz mach obiget Regel geſacht das
a toi, Güter geben wuͤrde. —F u
3.
Zuſatz des Herausgebers. 97
3. Aus den fo ſehr großen Zahlen uͤberſi eht man ſo⸗
gleich die Unmoͤglichkeit einer wirklichen Darftellung
aller Gitter; auch würden viele dieſer Gitter Die Abficht
für Geheimſchreiberey gar nicht erfüllen. Die ange
führte Vorſchrift ift dennoch nicht überflüfftg. Sie
- zeigt das fehr einfache Gefeß ber Folge und die Abhän-
gigfeit ber Bitter von einander. Diefer fo ganz beftinms
sen Folge wegen, kann man jedem Bitter die ihm zufoms
mende Ordnungszahl anweiſen, und, umgefehrt,. aug
der gegebenen Zahl dag Bitter tonftruiren, mern man
die fo eben angewieſene Regel nur umgekehrt befolgt : ba
dividirt, wo man vorher multiplitirte, und die gefunder
nen Zahlen um ı vermehrt, wie man fie vorher um x
verminderte, bie legte allein ausgenommen. Das fann
fogar kryptographiſch wichtig werben, in fofern men
jemanden, der das Verfahren kennt, blog die Zahl des
Bitters zufenden darf, durch welches man eine Schrift
sefchrieben Hat, damit das Bitter darnach entworfen
werden fann.
4. Daß man bey der Auswabl von Gittern auch noch
auf beſtimmte Abſichten Ruͤckſicht nehmen koͤnne, iſt fuͤr ſich
flar. Wenn es aber blos darum zu thun iſt (und dies
iſt der gewoͤhnliche Fall) uͤberhaupt ein Gitter zu waͤhlen,
ſo, daß die durch daſſelbe geſchriebene Schrift, fuͤr jeden,
nicht blos neugierigen, ſelbſt ſcharfſinnigen Forſcher,
ein undurchdringliches, ganz unlesbares Geheimniß blei⸗
be, fo kann man die obigen Regeln für A und B fo mo»
.. dificiren, daß man nicht einmal noͤthig hat, um die Vor⸗
ſchrift fuͤr eine geſetzmaͤßige Folge der Variationen un⸗
ter einander ſich zu bekuͤmmern. Die Regel iſt dankt
ganz kurz folgende:
IL Die Anzahl aller Faͤcher des gegebenen oder
willkuͤhrlich gewaͤhlten Quadrates (wie oben A oder B)
dividire man durch 4. Der Quotient m g; bey B bleibe
.Bünftes Heft. & für
N y ‘
98 * XI, Ueber Gieter und Gitterſchelſt
für dag Mittelfach 1 übrig, "worauf bier nicht geach⸗
tet wird.
IL. Die Zahlen ı 23:4 5. ..q nach ber Ordnung
fchreibe man in eine Neihe neben einander.
IEL: Darüber fege man bie Buchftaben a, b, e, 4. Bu
nach einer willkuͤhrlichen Zolge und Abwechfelung, fo,
daß über jeder Zahl ein Buchftabe zu fichen kommt.
IV. Einefolche Verbindung von Zahlen und Buchfias .
Ken beſtimmt ein Chaſſis. Die Buchftaben zeigen die be
flimmten Duabranten des Quadrats an, bie Zahlen weis
fen die. darinn auszufchlagenden Stellen nad).
Erempel, für q>= 16, wie oben inA, am Schlaufe:
acbadcbaabb cdbae
223456739 ı0 ıı i2 13 14 15 16
Dieſe ſo ganz nach Willkuͤhr hingeſchriebenen Buch⸗
ſtaben uͤber den Zahlen von 1 bis 16, beſtimmen zuſam⸗
men ein anderes Gitter, als das obige in A vorgege⸗
bene. Auch hier iſt der Anfang von dem Fache ı ma
gemacht worden; welches aber nicht nothmendig iſt.
Man hätte auch b, c oder d uͤber 1 ſetzen Fönnen.
5) Eine ſtil ſchweigend bis hieher angeuommene Bedin⸗
gung iſt, daß bey der viermaligen Verwendung des
Bitters nach und nach alle Faͤcher der Unterlage für bie
‚Schrift beſetzt werden, und dabey fein Zach mehr als
einmal vorfomme. Daraus erfieht man gar bald, bof |
es noch mehrere Aufloͤſungen, als die oben in A undB '
angeführten, giebt, die diefe Bedingung erfüllen. DIE
Yufldfung des Ungenannten, die er aber hier nicht mit
angegeben hat, ift auch von jener ganz verfchieden. Dab
Allgemeine, das bey Aufgaben diefer Art zum Grunde
liegt, ift die Theilung des gegebenen ganzen Duabrats
in verſchiedene (nicht eben nothwendig in vier) gleicht
en und
'
Bufog des Herausgebers - gg
und aͤhnliche Schnitte (auch von anderer als Auabratis
ſcher oder rectangulärer Geſtalt) die ich, beym Verwen⸗
den jedesmal einander decken. Da das auf mehrere Ar⸗
ten geſchehen kann, auch ſolcherley Schnitte bey Aufga—
Ben anderer Art ſchon vorfommen, bey denen an ſteganogra⸗
phiſche Nege garnicht gedacht wird: fo zeigt fich hiee
eine Manniüchfaltigkeit, die bey Aufldfüngen combinatos
riſcher Aufgaben gar nicht felcen iſt.
6) Wollte man ſtatt der Duadrate A und B Andere tes
gulaͤre Figuren ſubſtituiren, oder, ſtatt des viermalis
zen, wie vorher beſtimmten, Verwendens, andere Bea
dinsungen einführen, fo wuͤrde dag Ziel dadurch immek
boeiter geftecht, und die Anzahl ber Aufläſungen noch viel
| — uuehe vermehrt werben:
— ..
Erinnerung. wegen des (©. 83, 84) anagfüßrteiy
am Ende dieſes a in Kupfer geſtochenen
Bittere.
Dieſes Nes oder Bitter ſollte genau bon ber Groͤße
gezeichnet werden, wie es zu der (G. 84) befindlicheit
Gitterſchriſt paßte. Da aber für diefe Schrift die Faͤ⸗
eher des Gitters zu klein ausgefallen feyn würden: ſo
iſt dag Bitter im Kupfer etwas vergrößert dargeftellt,
ſo daß man fich leicht ein Viered mit ben Buchſtaben
j wie auf Seite 84, auf einen beſondern Blatte von
= der Größe entwerfen Fan, wie es zu dem Gitter auf
ber Kupfertafel paßt; um burch ſelbiges die untergelegte
* BSdrift leſen zu Eönnen:
a
Be Kit
D
⸗⸗
100. XU, Auszüge und Recenfionen neuer Bucher.
\
| XII. |
Auszüge und Recenfionen neuer Bücher.
1. Weitere Ausführung der mathematiſchen Geogra⸗
phie, beſonders in Abſicht auf die ſphaͤroidiſche Ge⸗
ſtalt der Erde, von A. G. Kaͤſtner, Goͤttingen 1795.
‚526 &, 8. mit 6 Kupfern.
*
Das Verfahten des um bie Mathematlk fo verdlenten Berfaß
ſers, auf feine Lehrbücher die weitere Ausführung der einzelnen
Theile zu gründen, iſt fo ſchicklich, daß es in andern Wiſſen⸗
fchaften zur Nachahmung empfohlen werden muß, Es wird du
durch für Anfänger und Geuͤbte zugleich geforgt, Wer Höhen
Kenntniffe ſucht, braucht nicht mit den erften Elementen fih
ermüden zu laffen, und der Raum wird dabey für fchwerere
Unterfuhungen gefpart. Das gegenwärtige Werk zeichnet fi
befonder dadurch aus, daß es Materien; über welche mas
nur zerfireuten Unterricht, oft ohne Beyfuͤgung der Gründe -
antraf, in einer fuflematifchen Ordnung, und genau erörtert
vorträgt.
Nach eininen vorangeſchickten trigonometrifchen Lehrfägen :
wird von der Meſſung eines Grades auf der Erde gehandelt,
Diefe wird an dem Beyſpiele von Snells Verfahren, der erften.
geometrifchen Gradmeſſung erläutert. Won den darauf gefolgten
Gradmeſſungen wird nichts angeführt, weil es fehr weirläuftig
geworden feyn würbe, vollfländig zu erklären, ‚wie folche Die
fungen angeftellf, geprüft und berichtigt werden, wozu man
die Bücher, welche fie beſchreiben, durchſtudiren muͤſſe.
(Bon dieſen Meſſungen find zwar die noͤthigſten Nachrichten
in den Anfangsgruͤnden mitgetheilt worden; gleichwohl würde
es vielen Lefern angenehm geweſen feyn, van Unternehmungen
bier ausführlich belehrt zu werden, welche die arößten und
fchwerften in der ganzen angewandten Mathematik fi ıd, befon
ders da die einzelnen Schriften darüber nicht allenthalben zu. F
Hand find.) | .:
ii.
nn un —
XII. Auszüge und Necenfionen neuer Bücher. 101
Sn dem dritten Eap. wird die Erde als ein Sphärold
betrachtet, erftlih im Allgemeinen, darauf als ein zufammens
gedructes elliptiſches. Da die Nichtungen. ber Schwere auf
einem Sphaͤroid nicht nach dem Mittelpuncte ber Erde laufen,
fo ift das erſte, was zu beftimmen nöthig iſt, der Winkel der
Berticallinie mit der nach dem Mittelpuncte gezogenen Linte,
Die Richtungen der Schwere fehneiden fich jede mit der ihr
anendli nahen in der Eoolute der Ellipfe oder jeder andern
Bigur, die der Meridian hat, diebey Bouguer daher gravicen-
. trique und barocentrique heißt. Aus zwey gemefjenen Gras
den wird die Seftalt und Größe des elliptiichen Sphäroids bes
ſtimmt. Die drey, in Peru, bey Parks und in Lappland ges
meflenen Stade paflen nicht in eine-und dieſelbe Ellipfe. Tafel
.für die Abplattungen der Erde nach den verfchiedenen Meffuns
“gen und Rechnungen. Fläche eines elliptifhen Spharoids,
‚ eines gedruckten und eines länglichen. . Geſtalt des Meridians
nad Bouguer. Diefe beflimmt er empiriih, den drey das
mahls gemeflenen Graden gemäß, fo daß die Unterfchiede ber
Grade des. Meridians von dem unter dem Aequator fich wie
die vierte Potenz des Einus der Breite verhalten. Die Vers
gleichung einiger gemeffenen Grade ziwifchen den Breiten von
43 und 46 Gr. mit Bouguersiberechneten Graden, zeigt einen
merklichen Unterfchied. (Dieſe gemefienen Grade zeigen gleich
auf den erften Anblick eine Unregelmäßigkeit, noch mehr, wenn
‚man fie mit bem feht genau gemeſſenen Grade zu Paris ver:
‚gleicht. Bouguers Hypotheſe führt auf eine weitlaͤuftige Be⸗
rechnung; -die Geſtalt des Meridians, wenn fie empirifch beſtimmt
wird, läßt ſich viel genauer darftellen).
Viertes Eap. Bon der Schwungkraft cf einem gegebes
nen. Sphäroid. Ihre Größe auf dem Aequator, und auf einem
Parallelkreiſe. Aufgabe: Aus der Geſtalt der Erde und der
Schwungkraft auf einem Parallel die Richtung und Größe einer
Kraft zu finden, aus welcher, mitder Schwungfraft verbunden,
‚die Schwere ſenkrecht auf die Erdfläche entftehen kann. Der Hr.
Berf. hält es nicht für entſchieden, ob eine ſolche Kraft wirk⸗
dich vorhanden fey. Bey zwey Kräften, die fich nicht gleich
und entgegengefegt find, kann fein Gleichgewicht entfliehen.
Die gefuchte Kraft ift alfo diejenige, welche aus allen Anzies
bungsträften gegen jedes Element des Sphaͤroids entitcht. Sie
5 iſt aber nicht allenthaiben nach dem Pittelpuncte der Erde ges .
3
richtet
N
302 XI. Auszüge und Necenfionen neuer Bücher
richtet. Der Hr. Verf. macht die Anwendung, , der Leichtigkeit
"gegen, nur auf eine Kugel; allein, auf einer fich drebenden Kus ı
gel bleibt die Richtung der Schwere nicht ınehr fenkrecht auf
die Oberfläche. Entweber verwandelt fie fih, wenn fie flüfftg
iſt, in ein Sphaͤroid; oder wenn fie wegen der Feſtigkeit eine
Kugel bleibt, fo weicht die Richtung der Schwere von dem Mits
'telpuncte ad. — Fine andre Frage ift folgende: wenn rings⸗
herum gegen die Erde eine Kraft fenkrecht gegen die Erdflaͤche
allenthalben gleich ſtark wirkte, und diefe Kraft nur an jedem
Orte dur die Schwungtraft vermindert würde, fü, daß dar⸗
aus die beobachtete Schwere entſteht, was wird aus biefer Vor⸗
ausſetzung folgen? Sie widerfpricht den Erfahrungen über be
Pendellaͤngen fehr deutlich, und würde, wenn die Schwungkraft
unter dem Aequator der Schwere gleich wäre, einen geboppelten
paraboliſchen Kegel geben, defien Scheitel In den Polen Hi
(Die Vorausſetzung ift eine bloß geometrifche, bey welcher ben
Mittelpunete alle Anziehungskraft bepgelegt wird. Auf einem
Sphaͤroid, deffen Elemente alle anziehen, ift.fie unmöglich).
Ben Neretons Verfahren die Figur der Erde zu beflinnmen.
Ueber die Kenderungen der Schwere auf des Sphaͤroidę Ober
ache, nad) der Dreite. Es ift hier ein Gab Newtoͤns eir
oͤrtert, daß die verticalen Schweren, und alfo auch die del⸗
längen, ſich beynahe umgetehrt wie die Entfernungen vom
Mittelpuncte verhalthen. |
Fünfses Eap. Bon der Parallare auf einem Sphaͤrold
Schr ausführlicd) md genau. Nur⸗wird die Methode etwas
Schwierigteit machen : weil der Verf. alles aus der ebenen Trb
goncmetrie berleitet, nnd am Ende erſt zeiat, wie man a
bier vorfemmenden Wintel durch Bogen und Winkel auf einer
Kugeifläche daı-rllen Epnne. Es fcheint bequemer zn ſeyn, Die 1
fes gleich anfangs zu thun, die Veränderungen der für den P
Mittelpunct dor. Erde gegebenen Lage eines Welttörpers durch
ben Standort auf der Oberfläche zu beſtimmen, und aus .biefer.
durch Umkehrung der Formeln den fcheinbaren Ort in den waß |
ren oder geocentrifchen zu verwandeln. Webrigens findet maß
Hier in der Kürze alles Wichtige beyfanımen, mas die vorzüglich⸗
be Aſtronomen und Analyſten über die Parallare mitgerheik J
gaben. "
ß
‚ Bechftes Eap. Von Loxodromien und den Seecharten
wit wachſenden Graden. Der Hr. Verf. hatte ſich zwar or Ih
\ ı J—
XII. Auszuͤge und Recenſionen neuer Buͤcher. 103
genommen, die Verzeichnung der geographiſchen und aſtronomi⸗
ſchen Charten vorzutragen, unterließ es aber, da er fand, daß
Hr. Hofr. Mayer in feinem vortrefflihen Werte dieſen Gegen⸗
Rand vollfommener abgehandelt hat, als es in einem Capitel
Biefes Buches gefchehen konnte. Da jenes Werk die Schiffes
funft nicht zum Zweck bat, fo fommt darinn von der Lorodromie
nichts vor, die bier für eine Kugel und für ein Spharoid gefuns
den wird. Mehrere Unterfuchungen Aber Fragen aus der
Steuermannstunft. Nachrichten von Schriftftellern über dieſen
Gegenſtand.
Siebentes Cap. Kleine geographiſche Bemerkungen und
Nachrichten. Die legte betrifft ein Aſtrolabium von de, ie
Hire, das ifl, eine gewille Projectionsart der Kugelfläche, bey.
welcher das Auge in einer foldhen Entfernung von dem großen
Kreife, der zur Tafel dient, geftellt wird, daß die Hälften des
Quadranten von dem Bol der Tafel an gerechnet, gleich große
Abbildungen erhalten. Hr. Mayer hat diefe Entwerfungsart
nicht angeführt.
Dies iſt eine kurze Angabe der wichtigften Stuͤcke des In⸗
Halte dieſes lehrreichen Werts. Ich will zum Beſchluß noch
einige Bemerkungen beyfügen. E
In der Formel für die unbeſtimmte Fläche eines gedruckten
Sphaͤroids (S. 101) iſt durch einen Druckfehler die Conftans
unrichtig, durch in flatt ZH angegeben. Auch muß in-dem.erften
Gllede des veränderlihen Theils 1 — x? flatt 1 — x Yelefen
werden. Das iſt inzwiſchen nur nebenher zu erinnern bie Ab»
Achte. Ich finde uͤbrigens die Formel ſelbſt nicht bequem,
weil die veränderliche Größe eine irrationale Function der Ordi⸗
nate, und diefe wieder eine Function der Breite if. Man wird
aber zur Berechnung einer Zone anf einem Sphaͤroid die Breite
Ber Graͤnzparallele, als das Gegebene gebrauchen. In YTals.
‚lets mathematifcher Geographie iſt eine Formel, welche die ſphaͤ⸗
zoibifche Oberfläche durch die Breite angiebt, nur daß in bers
felben ein Wintel aufgenommen if, ber eine leichte Function
ber Breite iſt. Allein Sie Formel iſt durch einen Rechnungs⸗
fehler, der durch die ganze Auflöfurig geht, in dem erflen Factor
anrichtig. und flellt das nicht dar, was fie angeben fol. Sie
enthält die Zope zwiſchen dem uator ynd einem Para
J u 4 . "
9 X Ueber Gitter und Gitterſchrift
14119 1 20 | 19
14
18
13 | ie’ | ıı
17
üIX
b 0 - 8*
II. Nun conſtruire man die Complexionen der
(on? An)ten Variationsclaſſe mit: Widerholungen,
aus den Elementen a, b, T, d, die zur Ordnung a gehoͤren
fchreibe die Complexion 123456.... (n?+n) fo vid
mal, fo viel es folcher beſtimmter Variations⸗Complexio⸗
nen giebt, alſo (4u’+n—:) mal, und verfahre übrigen
In allem fo, wie bey As fo ſtellt jede folche einzelne Bere
vindung von Zahlen und Buchſtaben ein Chaflıs oder
Gitter vor; und die Anzahl der fäntlichen Gitter beträgt
n’trn—ı, 0 .- . m. u
" JEpempel.. Sie n 4 bat das Quadrat B über
haupt 4.4°+4.4F1 == 81 Fächer, 4.5 == 20 offene
und 3.4.5 +1 == 61 gebedte, das mittelfte mit
‚einbegriffen. Die Menge ber gefamten Gitter märe
I gan 4 298 2748779006944. Ein
8 | | eine
Bufaß.des Herautgebert. 9
- einjelnes Gitter unter diefen, z. ©. das; welches ſich auf
die Bariationd » Eomplerion ber 4?+4 == 2often Elaffe
adebabebadabdberadad
bezieht, wuͤrde auf folgende Art
- adebabebadabdbr.c adad
1234 5678 91h 1amg1a An
sorgefielt, und in feiner Drbnung, von dem erfien an
seht. bad 24523583339 6fle ſeyn.
N \
So weit Herrn M. Toͤpfers rombinatoriſche Aufe
fſung dieſer Variationsaufgabe, die man gewiß ſehr
leicht und ſehr natuͤrlich finden wird, wenn man nur
rinige Kenntniß von tombinatorifhen Operationen und
Verfahren hat. Fuͤr Leſer, denen ſolche Kenntniſſe ab⸗
sehen, koͤnnen folgende Anmerkungen dienen.
1. Die Variationen einer geforderten Elaffe außer bee
Dromung (tie hier der 160den oder zoften) für gegebene
Elemente a, b, c, d... wird man auf feinem Fall bes
‚quemer darſtellen, als wenn man dabey die von mir-ges
gebene Borfhrift *) befolgt. Herrn M. Toͤpfers Auf
loͤſung bezieht ſich auf diejenigen Gitter, bey denen
das Zach ı im Vierecke oder Rechtecke a als erſtes vder
Anfangofach betrachtet wird, daher er auch nur auf
He Ordnung a Ruͤckſicht nimmt, aus welcher ſich bie
Drdnungen'b, &, I leicht herleiten laſſen (Ebend. S. 1609,
30). Es iſt demnach nach jener Aufloͤſang
die erſte Variations⸗Complexion:
* aaaadaaaaaa....n
die letzte Variations » Eömplefiont /
‚adddddddddd.......:. —
. beh⸗
* 9. 85 Ber ncheil fi ei ⸗ Eng N
r
BE uni dan as Aa 5 168, —E
„6 XI. Use Gitter und Gitterfhrift
veydes, a und d fo lange fortgefest, bis, man fo viel
Buchſtaben gefchrieben. bat, als in der Zahl der Ela
‚Einheiten enthalten find. :
2. Aus biefer Borfchrift die Variationen anzugeben,
überficht'man ſogleich, daß die Anzahl aller, entweder
4nꝰ -1 oder ui ſeyn muͤſſe, nachdem fie für ein
Quadrat wie A bber B zu beſtimmen if. Daraus laͤßt
ſich euch die Negel ableiten, für eine gegebene Varia
tions : Complexion anzugeben, bie woienielfte ſie in ihrer
Claſſe fey. Man fegt nehmlich für die Buchftaben a, b,
£, d, ihre Drbnungsjahlen I, 2, 3, 45 biefe, flatt bee
Buchftaben z. B. in den beſtimmten Variations, Com—
plerionen der obigen beyden Exempel gebraucht, Iaffen
nun die gefuchte Zahl ‚durch ein Verfahren finden, das
ich hier bey ber Zahl de zweyten Erempels in einem
Bepfpiele zeigen. will. Die Gubflitution, der zugehoͤri⸗
gen Zahlen für die dortigen Buchfiaben, verwandelt jene
Zuchſtabencomplexion in nachfiehende Zahlencomplerion:
.143212332141242331414 *
und aus biefer findet man (die Kleinen Zehlen ſind bier
potengerponenten von »
I» —8& +3. A ne 2. * 4 Er ta +14 ee |
. 47
143.4 t0.4 41.444 E14 ta ten 4 to
"5.59 245235833396, Wie oben.
Die Factoren neben ben. Potenzen von'g find Biere
einzelnen Zahlen. der obigen. Zahlencompleyion „:jede um
ı verminderf, die letzte Zahl (hier 4), gusgenommen.
@iengen bie Bushfaben a, b, c, d, in entg geſetz⸗
ter Richtung mit der bortigen (©. ep "ung | —* in B
baum, fo’ wären hier blos b und d, ober bie Zablen 3
und 4 .verwechfelt, und fo beftimmte dag fchon ein an
deres Netz, deſſen Zah nach obiger Kegel sefacht, das
Aagiaaoieoai Büter geben wurde. AP ;
3. Au
Zuſatz des Herausgebers. 97
37 Aus den fo ſehr großen Zahlen uͤberſieht man ſo⸗
gleich die Unmoͤglichkeit einer wirklichen Darſtellung
aller Gitter; auch wuͤrden viele dieſer Gitter die Abſicht
für Geheimſchreiberey gar nicht erfüllen. Die ange
führte Vorſchrift ift dennoch nicht überflüfftg. Sie
- zeige das fehr einfache Gefeß ber Folge und bie Abhaͤn⸗
gigfeit der Bitter von einander. Diefer fo ganz beftinms
sen Folge wegen, kann man jedem Bitter die ihm zukom⸗
mende Ordnungszahl anmweifen, und, umgefehrt,. aug
der gegebenen Zahl dag Gitter tonftruiren, mern man
- die fo eben angemwiefene Negel nur umgekehrt befolgt : da
dividirt, wo man vorher multiplitirte, und die gefundes
nen Zahlen um ı vermehrt, wie man fie vorher um x
verminderte, bie legte allein ausgenommen. Das fann
fogar Erpptographifch wichtig werben, in fofern man
jemanden, der dag Verfahren kennt, blog die Zahl des
Bitters zufenden darf, durch welches man eine Echrift
gefchrieben bat, damit das Bitter darnach entworfen
werben kann.
A4. Daß man bey der Auswahl von Gittern auch noch
auf beſtimmte Abſichten Ruͤckſicht nehmen koͤnne, iſt fuͤr ſich
tlar. Wenn es aber blos darum zu thun iſt (und dies
‘ft der gewöhnliche Fall) überhaupt ein Gitter zu wählen,
fo, daß die durch daffelbe gefchriebene Schrift, für jeden,
nicht blos neugierigen, ſelbſt fcharffinnigen Forſcher,
ein undurchdringliches, ganz unlesbares Geheimniß bfeis
be, fo kann man die obigen Regeln für A und B fo mo»
‚bificiren, daß man nicht einmal nöthig hat, um bie Vor⸗
ſchrift für eine gefeßmäßige Folge der Variationen un-
ter einander ſich zu befümmern. Die Kegel ift danft
‚ganj kurz folgende:
+1 Die Anzahl aller Fächer des gegebenen oder
willkuͤhrlich gewaͤhlten Quadrates (wie oben A oder B)
dividire man durch 4. Der Quotient ſey g; bey B bleibe
:. Günftes Heft. B fuͤr
\ . ’ - ‘
y8 v. ‚Weber Gitter und Gitterſchrift
fuͤr das Mittelfach 1 übrig, worauf hier nicht geach⸗
tet wird.
II. Die Zahlen 1234 5. ..q nach der Drbnung .
fchreibe man in eine Reihe neben einander.
IH. Darüber fee man die Buchflaben a, b, e, d,
nach einer willkuͤhrlichen Folge und Abwechſelung, fo,
daß uͤber jeder Zahl ein Buchſtabe zu ſtehen kommt.
IV. Eine ſolche Verbindung von Zahlen und Buchſta⸗
Ben beſtimmt ein Chaſſis. Die Buchſtaben zeigen bie bes
fiimmten Duadranten bed Quadrats an, die Zahlen weis
fen die. darinn auszufchlagenden Stellen nad).
Erempel, für q>= 16, wie oben inA, am Schluffe
acbadcbaabbcedbae
2234567839 10 ı1 12 13 1415 ı6
Diefe fo ganz nach Willkuͤhr Hingefchriebenen Buch«
ftaben über den Zahlen von ı bis 16, beftimmen zuſam⸗
men ein anderes Gitter, ald das obige in A vorgege,
bene. Auch Hier ift der Anfang von dem Fache ı ma
gemacht worden; welches aber nicht nothmendig if.
‚Man hätte auch b, c oder d über 1 fegen koͤnnen.
5) Eine ſtillſchweigend big Hieherangeuommene Bedins
gung: ift, daß bey der viermaligen Verwendung bes
. Bitter8 nach und nad) alle Sächer der Unterlage für bie
Schrift befegt werden, und dabey Fein Zach mehr als
einmal vorfomme. Daraus erficht man gar bald, daß
es noch mehrere Aufiöfungen, als die oben in AunbB 8
angeführten, giebt, die dieſe Bedingung erfüllen. Die
Yufldfung des Ungenannten, die er aber bier nicht mit
angegeben hat, ift auch von jener ganz verfchieben. Das
Allgemeine, das bey Aufgaben diefer Art zum Grunde
liegt, ift die Theilung des gegebenen ganzen Quabdrats
in verſchiedene (nicht eben unothwendig in vier) gleiche
und
.. 2 —
— —
Bufos des Herausgebers - 99
und Ähnliche Schnitte (auch von anderer als Auabratis
ſcher oder rectangulärer Geftalt) die ſich, beym Verwen⸗
den jedesmal einander decken. Da daß auf mehrere Ar⸗
gen gefchehen kann, auch ſolcherley Schnitte bey Aufga—
ben anderer Art fchon vorfommen, bey denen an ſteganogra⸗
phifche Nege gar nicht gedacht wird: fo zeigt fich hier
eine Mannichfaltigkeit, die bey Aufloͤſungen combinato⸗
rifcher Aufgaben gar nicht felcen iſt.
6) Wollte man ftatt der Duadrate A und B andere tes
gulaͤre Figuren fubllituiren, oder, flatt des viermalis
gen, wie vorher beſtimmten, Verwendens, andere Bea
dingungen einfuͤhren, ſo wuͤrde das Ziel dadurch immek
weiter geſteckt, und bie Anzahl ber Auflöfungen noch viel
miehr vermehrt werben: |
Erinnerung. wegen des‘ (©. 83, 84) angefuͤhrten,
“ gm Ende diefes Settes in Kupfer geſtochenen
Gitters.
Dieſes Netz oder Bitter ſollte genau von ber Groͤße
gezeichnet werden, wie es zu der (S. 84) befinblicheit
Gitterſchrift paßte. Da aber für diefe Schrift die Faͤ⸗
eher deu Gitters zu klein ausgefallen feyn würden: fü
iſt das Bitter im Kupfer etwas vergrößert dargeftellt,
ſo daß man fich leicht ein Viereck mit den Buchſtaben
- wie auf Seite 84, auf einen befondern Blatte von
der Größe entwerfen kann, wie es zu dein Gitter auf
. ber Kupfertafel paßt, um burch felbiges die untergelegte
ESchrift Iefen zu koͤnnen.
Ba | zit,
120 XII. Auszüge und Kecenfionen neuer Becher.
x. |
Auszüge und Recenſionen newer Bücher.
ı. Weitere Ausführung ber maerbherhatiichen Geogre-
phie, beſonders in Abſicht auf tie ſphaͤroidiſche Ges
ſiait der Erte,von A. G Kaͤſtner, Öttingen 1795.
526€, 8. mis 6 Kupfern.
Das Berfahten des um die Matbematik ſo verdienten Berfaß
fers, auf feine Lehrbücher bie weitere Ausführung der einzelnen. |
Theile zu gründen, iit ſo ſchicklich, daß es in andern Siſſen⸗
febaften zur Nochahmung empfohlen werden muß. Es wird be
durch für Anfänger und Crüfte zugleich geſerat. Wer haͤhere
Kenntniſſe fücht, braucht nicht mit den erfien Elementen fh
- ermüden zu laſſen, und der Raum wird dabey für ſchwerere
Unter iuchungen geſpert. Dee gegenwärtige Werk zeichner fi
nur zerfireuten Unterricht, oft ehne Berfuͤgung der Graͤnde,
antraf, in einer ſoſtematiſchen Ordaung, und genam erörtert
yorträgt.
Dieie wird an tem Beoſpiele von Snells erfahren, der erfien
geomctriſchen Gradtmeilang erläutert. Von den Darauf gefolgten
Stadmeljungen wird nichts angeführt, weil es ſehr wei “
gewerden ſevn würde, vollſtandia zu ertlären, wie ſolche Dieb
fangen angeſtellt, geprüft und berichtigt werden, weg man
die Buͤcher, weiche fie befchreiben,, durchſtuditen muͤſſe
(Ben dirien Deffungen find zwar die noͤthiaſten Nachrichten '
in den Anfangsgründen mitgetbrilt werden; gleichwohl wärde
es vielen Leſern angenehm geweſen fenn, von Unternehmungen
bier ausfuhrlich beiehrt zu werden, weldhe die eröpten und
ſchwerſten in der ganzen angewandten Matberratif fi :d. befsw
ders da dieeinzeinen Schriften darüber nicht allenthalben
Hand find.) |
-
3a
XIL. Auszüge und Necenfionen neuer Buͤcher. 101
- Sn dem dritten Cap. wird die Erde als ein Sphaͤrold
betrachtet, erftlich im Allgemeinen, darauf als ein zuſammen⸗
gedrucktes elliptiihee. Da die Richtungen. der Schwere auf
einem Sphaͤroid nicht nach dem Mittelpuncte der Erde laufen,
fo ift das erſte, was zu beſtimmen nöthig iſt, der Winkel der
Berticallinie mit der nach dem Mittelpuncte gezogenen Linte,
Die Richtungen der Schwere fchneiden fich jede mit der ihr
unendlich nahen in der Evolute der Ellipfe oder jeder andern
Figur, die der Meridian hat, die bey Bouguer daher gravicen-
trique und barecentrique beißt. Aus zwey gemefjenen Gra⸗
den wied die Geſtalt und Größe des elliptiichen Ephäroids bes
fimmt. Die drey, in Peru, bey Parts und in Lappland ges '
meſſenen Srade paffen nicht in eine-und diefelbe Ellipfe. Tafel
für die Abplattungen der Erde nach den verfchiedenen Meffuns
gen und Nechnungen. Fläche eines elliptifchen Spharoids,
eines gedruckten und eines länglichen. . Geſtalt des Meridiang
nach Bouguer. Diefe beflimmt er empiriſch, den drey dar
mahls gemeflenen Graden gemäß, fo daß die Unterfchiede der
Grade des Meridians von dem unter dem Aequator fich wie
bie vierte Potenz des Sinus der Breite verhalten. Die Vers
gleihung einiger gemeflenen Grade zwifchen den Breiten von
43 und 46 Sr. mit Bouguerstberechneten Graben, zeigt einen
merklichen Unterfchied. (Diefe gemeffenen Grabe zeigen gleich
suf den erften Anblick eine Unregelmäßigfeit, noch mehr, wenn
man fie mit dem fehr genau. gemeſſenen Grabe zu Paris ver:
gleicht. Bouguers Hypotheſe führt auf eine weitläuftige Bes
rechnung 5 -die Seftalt des Meridians, wenn fieempirifch beſtimmt
wird, läßt ſich viel genauer darftellen). |
Viertes Cap. Bon der Schwungkraft uf einem gegebes
nen. Sphäroid. Ihre Größe auf dem Aequator, und auf einem
Daralleikreife.. Aufgabe: Aus der Geſtalt der Erde und der
Schwungkraft auf einem Parallel die Richtung und Groͤße einer
Kraft zu finden, auswelcher, mit der Schwungfraft verbunden,
Die Schwere ſenkrecht auf die Erdfläche entftehen kann. Der Hr.
Berf. hält es nicht für entfchieden, ob eine ſolche Kraft wirk⸗
ich vorhanden ſey. Bey zwey Kräften, die fi nicht gleich
und entgegengefeßt find, kann fein Gleichgewicht entſtehen.
Die gefuchte Kraft ift alfo diejenige, welche aus allen Anzie⸗
hungsträften gegen jedes Element des Sphäroids entflcht. Sie .
ift aber nicht allenthalben nach dem Mittelpuncte der Erde ges .
& 3 richter
N
302 XII. Auszuͤge und Recenfionen neuer Bücher: '
richtet. Der Hr. Verf. macht die Anwendung, , der Leichtigkelt
“wegen, nur auf eine Kırgel; allein, auf einer ſich drehenden Kus
gel bleibt die Richtung der Schwere nicht mehr fenkrecht auf
die Oberfläche. Entweder verwandelt fie fih, wenn fie füflig ;
iſt, in ein Sphaͤroid; oder wenn fie wegen der Feſtigkeit eine
Kugel bleibt, fo weicht bie Richtung der Schwere von dem Mite -
telpunecte ab. — Fine andre Frage iſt folgende: wenn rings⸗
herum gegen die Erbe eine Kraft fenfrecht gegen die Erdflaͤche
:ollenthalben gleich ſtark wirkte, und diefe Kraft nur an jedem
Orte dur) die Schwungkraft vermindert würde, fü, daß dar⸗
aus die beobachtete Schwere entfieht, was wird aus biefer Bors |
ausfehung folgen? Sie widerfpricht den Erfahrungen über he
Denvellännen fehr deutlich, und würde, wenn die Schwüngfeaft
unter dem Aequator der Schwere gleich wäre, einen geboppelten
paraboliſchen Kegel geben, deflen Scheitel in den Polen |
(Die Vorausſetzung ift eine bloß geometrifche, bey welcher ben
Mitteipuncte ade Anziehungskraft beygelegt wird. Auf eine:
Sphaͤroid, defien Elemente alle anziehen, ift.fie unmöglich).
Den Newtons Verfahren die Figur der Erde zu beſtimmen.
Ueber die Aenderungen der Schwere auf des Sphaͤroids Obers
fläche, nach der Breite. Es if hier ein Sab Newtoͤns eir
oͤrtert, daß die verticalen Schweren, und alfo auch die del⸗
laͤngen, ſich beynahe umgetehrt wie die Entfernungen vom
Mittelpuncte verhalten. |
Fuͤnftes Eap. Bon der Parallare auf einem Sphaͤrold.
Schr ausführlich und genau. Nurwird die Methode etwas "
Schwierigteit machen : weil der Verf. alles aus der ebenen Tri
gonometrie berleitet, und am Ende erfi zeigt, wie man ok
bier vorfemmenden Winkel durch Bogen und Winkel auf einer
Kugelfläche daıslien koͤnne. Es fcheint bequemer zn ſeyn, dies
fes gleich anfangs zu thun, die Veränderungen der für ben
Mittelpunct der. Erde gegebenen Lage eines Welttörpers durch
den Standort auf ber Oberfläche zu beflimmen, und aus biefer
durd, Umkehrung der Formeln den fcheinbaren Ort in den wah⸗
ren oder geocentrifchen zu verwandeln. Webrigens findet mas
hier in der Kürze alles Wichtige beyſammen, mas bie vorzüglich
fen Aſtronomen und Analyſten über die Parallare mitgerheilt
hoben. |
Sechſtes Eap. Bon Loxodromien und den Seecharten
wit wachlenden Graden. Der Hr. Verf: hatte fi zwar wor
\ | genom⸗
\ ı u
zit. Auszige und Necenfionen neuer Bücher. 103
genommen, die Verzeichnung der geographifchen und aſtronomi⸗
fhen Charten vorzutragen, unterließ es aber, da er fand, baß
Gr. Hofe. Mayer in feinem vortrefflihen Werke diefen Gegen⸗
fand vollfommener abgehandelt hat, als es In einem Capitel
Biefes Buches gefchehen konnte. Da jenes Wert die Schiffes
Zunft nicht zum Zweck bat, fo fommt darinn vonder Lorodromie
nichts vor, die hier für eine Kugel und für ein Spharoid gefuns .
den wird. Mehrere Unterfuchungen‘ über Fcagen ans der
©teuermannskunft. Nachrichten von Schriftftelern über dieſen
Gegenſtand.
Siebentes Cap. Kleine geographiſche Bemerkungen und
Nachrichten. Die letzte betrifft ein Aſtrolabium von de, la
Site, das iſt, eine gewiſſe Projectionsort der Kugelfläche, bey
weicher das Auge in einer foldhen Entfernung von dem großen
Kreife, der zur Tafel dient, geftelle wird, daß die Hälften des
Quadranten von dem Pol der Tafel an gerechnet, gleich große.
Abbildungen erhalten. Hr. Mayer bat biefe Entwerfungsart:
nicht angeführt.
Dies iſt eine kurze Angabe der wichtigften Stücke des In⸗
halte dieſes lehrreichen Werts. Sch will zum Beſchluß noch
einige Bemerkungen beyfügen. “ E
AIn der Formel für die unbeſtimmte Fläche eines gedruckten
Sphaͤroids (S. 101) iſt durch einen Druckfehler die Conftans
unrichtig, durch In fast Zangegeben. Auch muß in dem erſten
Gllede des veränderlihen Theils 1 — x? fiatt 1 —x veleſen
werden. Das tft inzwiſchen nur nebenher zu erinnern bie Ab⸗
ficht. Ich finde übrigens die Formel ſelbſt nicht bequent,
weil die veränderliche Größe eine irrationale Function der Ordi⸗
nate, und diefe svieder eine Function der Breite ifl. Man wird
aber zur Berechnung einer Zone auf einem Sphaͤroid bie Breite
ber Graͤnzparallele, als das Gegebene gebrauchen. In Mal⸗
‚lets mathematiſcher Geographie iſt eine Formel, welche die ſphaͤ⸗
roidiſche Oberflaͤche durch die Breite angiebt, nur daß in der⸗
ſelben ein Winkel aufgenommen iſt, der eine leichte Function
der Breite iſt. Allein Sie Formel ft: durch einen Rechnungs⸗
fehler, der durch die ganze Aufloͤſung geht, in dein erſten Factor
nurichtig, und flellt das nicht dar, was fie angeben fol. Sie
enthält die Zone zwiſchen dem gene pnd einem Parabel,
l
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204 XII, Auszüge und Kecenfionen neuer Bucher
ba fie doch den Theil, in weichem der Pol liegt, angeben folk: -
Die Conftans ift bey der Integration vergeffen. *)
Ä Der Hr. Berf. hat die Unterfuchung über die Beſtimmung
ber Geſtalt der Erde aus hudroftatifhen Gründen ganz wegs
selafien Es ift volltommen wahr, was S. 147. gefagt wird,
daß dieſe Unterfuchung nur lehrt, was die Oberflache unfers
Planeten füt eine Geſtalt hätte, wenn er einmal flüjfig geweſen
ware, und daß wir gar nicht berechtiat ſind, dieſes anzunehmen,
(Ich fege noch hinzu, daß das fefte Land, worauf die Meſ⸗
ſungen angeſtellt worden find, ſich nicht nad) bydroftatifchen,
fönbern nach chemifchen Geſetzen hoͤchſt wahrſcheinlich gebildet
bat). Auch erlaubte die Adficht und der Umfang des Buches
nicht, die Unterſuchnng mit der gehoͤrigen Vollſtaͤndigkeit und
Gründlichkeit auszuführen, Allein, es ift Doch eine derichonften
Unternehmungen. in der Mathematik, bie Figur eines Welt⸗
pers unter einer gewifien Vorausſetzung a priori zu beſtimmen,
. und den meiften Leſern würde esfehr lehrreich geweſen feyn, die
Geſchichte diefes wichtigen Problems und die Refultate hiſtdriſch
kennen zu lernen. Die Theorie von der Figur der Erde iſt noͤ⸗
tbig, zur Vergleichung der mitgelft ber Pendellängen beobachteten
Srhweren, die wiederum zur Beſtimmung des Verhältnifjeg
der Are und des Aequatoreal : Durchmeffers ſehr dienlich find« ‘
Die Sradmeflungen widerfprechen der elliptiichen Figur der Meris
biane, und‘es iſt alſo bloß eine Hypotheſe der Rechnung wegen,
denn man dieſe Figur annimmt. Die bydroftatiihe Theorie
zeigt, daß fie wirtlich Statt finden würde, wenn die Erde ganz
ein flüffiger gleichföͤrmiger Körper wäre, daher es erlaubt ſeyn
mag, mit Beyſeitſetzung kleiner Abweichungen, die Erde alk "
ein gedrucktes elliptiſches Sphaͤroid zu betrachten. "Wollte mar.
ſich bloß an die Gradmeſſungen halten, fo muß man die eliptifche
Figur aufgeben, und nach einem fchicklichen algebraiſchen Geſetze
bie Figur der Meridiane aus Beobachtungen befiimmen. Sieben
fann man aber nicht folche Külfsfage anbringen, role bey ‚der
Ellipſe aus ihren Eigenfchaften moͤglich tft, da jene Linie ganz
individuell iſt.
e) In dem aſtronomiſchen Jabrbuche für 1790 iſt die richtige For⸗
e mel gegeben, nur daß daſelbſt in dem zweyten Factor ſtatt zu
feten it J. No Sormel, die unmittelbar die Flaͤce
durch die Wreitt gfebt, IR daſellſt mitgetbellt. Einige Druck⸗
_ fehler find auch in dieſem Aufſatze zu verbefiern. u
ö | a 2. Nach⸗
XII. Auszüge und Kecenfionen neuer Bücher. 108
2, Nachtrag zu der Recenfion von Heren Hoſrath
Mayers Anweifung zur Verfertigung der Sands,
See⸗ und Himmelscharten ; im aten Hefte des erften
Dantes des Archivs, ©. 236, |
Der bier unterzeichnete Verfaſſer diefer Necenfion !hat die
. ©. 101 befindliche Tafel zur Vergleichung der Grade der Paral⸗
lelkreiſe auf einem elliptifhen Sphäroid und auf einer Kuͤgel
daher fuͤr unrichtig erklärt, weil in dem Werthe der Normals
linie ein Fehler durch Verwechſelung zweyer Buchſtaben vorges
gangen iſt. Die Tafel iſt aber, wenn aus keinem andern
Grunde etwas gegen fie zu erinnern ift, richtig. Denn bey
der Subflitution des Halbmeſſers des Aequators in der Formel
. für den Halbmeſſer eines Parallelfreifes ift der Fehler‘ ver⸗
ſchwunden, der weiter nichts als eine Verwechslung iſt. Den
Sehler hat Hr. Hofr. Mayer in dem zten Theile feiner practis
ſchen Geometrie felöft angezeiget, die Tafel aber für richtig
Es iſt inzwiſchen zweperley gegen fe zu erinnern. Erſt⸗
lich: die Formel zur Berechnung der Grade auf den Parallels '
freien des Sphäroidg beziehet fich auf ein ellipfiiches; die Grade
des Meridian find aber nach einer Formel berechnet, die einen
nicht s elliptiichen Meridian darftellt, nämlich nach derjenigen,
die ich bloß aus gewilfen Mefjungen hergeleitet habe. Inzwi⸗
ſchen werden die Abweichungen biefes Meridians von einenz
elliptiſchen nur unbetraͤchtlich ſeyn.
Zweytens: Hr. Hofr. Mayer vergleicht das Sphaͤroid
mit einer Kugel, deren Durchmeſſer dem des Aequators auf
dem Sphaͤorid gleich iſt. Hierinn iſt etwas willkuͤhrliches. Man
koͤnnte ja eben fo gut die Umdrehungsaxe, oder einen mittlern
Ducchmeffer. des Sphäroids zum Durchmeffer der Kugel ans
nehmen. Um die Abweichung der fphäroidifchen Geftalt von
der Rugelgeftalt, in Ruͤckſicht auf die Landchatten zu beurtbeilen,
muf man die Grade der Parallelkreife auf dem Sphaͤroid mit
den zugehörigen Graden des ciliptifchen Mieridians vergleichen,
da es hier vorzüglich auf das Verhältniß diefer Grade ankommt.
Nun fey G dem Grade des ehiptiihen Meridians in dee
Breite 43 gm dem Grabe gffelben unter dem Aequator;
0
106 XI. Auszüge und Kecenfonen neuer Bücher; .
G einem Grabe des Aequators; einem Grade bob
Derale treſes in der Breite Br fo iſt nach $. 10. ri
y= Gcolß *
di = la ar’
anftatt daß auf der Kugel 58 col Bift.. Der Halmeffer. dee
Aequators fey a; die Halbe Umbrehungsare —b, fo ift der
Halbmeſſer ber Kruͤmmung unter dem Aequator = —, und
& . ı
unter dem Mole = =, Daber iſt ©: gas: bb; und
unter dein Pole iſt ©: G=bi * Folglich iſt der Factor von
cof & unter dem Aequator — = weil bier G=—g' iſt; und |
unter dem Pole iſt derſelbe = ı. In ber Breit von 45° Pr der
Helbneſer der Krümmung — FRETOrE und daher der
a2 + p⸗
Bas zu co A= — 7*
Demnach find die Grade der Parallelkreiſe auf dem oki
zoib in Vergleichung mit den Graden des Meridians größer ale
auf einet Kugel, und der Unterfchied iſt auf dem Aequator am
rohen, Rach der Mayerifhen Tafel find bie Grade der
arallelkreiſe auf dem Sphärsid auch größer als. auf der Kugel
von gleichem Durchmefier mit dem Aequator des Sphäroidss
allein, auf dem Aequator felbft find fle gleich, und unter dem Pole
"uch, daher um 60 Gr. Breite der Unterfchied ein Größtes if,
Das Meſultat bleibt, daß die ſphaͤrodidiſche Geſtalt der
Erde bey Laudcharten nicht braucht in Betrachtung gezogen: zu
- werden. Denn, wenn ‚man audy das äufferfte Verhältniß
387: 186 für a: b aunimmt,-fo iſt aa: bb= ı: 1,0108,
das Verhättniß eines Grades des Parallelfreifes unter oder nahe
beym Aequator zu einem Grade des Meridians, da es auf der
Sup: 1 Me. Nach meiner Berechnung. für ein ai
XIT. Auszüge und Recenſionen neuer Bücher. x 07
elliptiſches Sphärgid iſt diefes Verhaͤltniß — 56745: 37247
oder 1: 1,009, und das Berhältniß der auſſerſten Grade des
Meridians, unter dem Aequater und bem Dole=—ı: 1,016.
Man wolle diefe Bemerkungen nicht einer Tabdelfucht oder
Rechthaberey äufchreiben. Sch war dem verdienten Hru. Hofr.
Mayer das anfangs mitgetheilte Geſtaͤndniß einer- Uebereilung
fhuldig; bey dieſer Gelegenheit glaube ich es aber auch der
Wiſſenſchaft fchuldig zu ſeyn, eine Verbeſſerung einer vortreff⸗
lichen Schrift anzuzeigen, | BR
N .G. &, Klügel.. .. :
Rp
..d U
3. Aus einem Schreiben Seren D. Kramp's vom
30 May ı796, deflen weitere Sortfchritte in der com«
binatorifchen Analyfis betreffend. - u
Rn Kern D. Kramp’s thätiger Theilnahme an Bearhei⸗
‚tung der combinatorifchen Analyſis babe ich anderwarts'*)
die. herrlichſten Proben. mitgetheilt, und werde noch. mehrere _
‚gelegentlich im Archive, vielleicht aud) in einem aweysen Zeys
rage dazu, bekannt machen. Hier will ich inzwifchen zweyer
Aufaaben nur hiftorifch gedenken, deren combinatoriſch⸗ ange
Iptifche Aufloͤſung für die weitern Fortſchritte der Wiſſenſchaft
wichtig find.“ a
A. Combingtorifh ausgedruͤctte Summen dee Potenzen
der natürlichen Zahlenreihe.
1. Herr Kramp geht von dem Lehrſatze aus:
Die Summe der Potenzen vom Grade n, der Gliebet
in der Zahlenteihe von ı bis n, exchufine, oder 1m + 274 3”
+At.. F— iſt gleih dem combinatorifchen
Integrale: | E
I
*) In dee unlangſt perausgegebenen Sammlung verichichener
(aröftentheils combinarorifch s analytiſchen) Abhandlungen : der.
polynomiſche Lebriag , nebſt einigen verwandten und ans
dern Sägen, neu bearbeitet .... Reipig, 1796. bey Sleifcher.
dem Yüngsen. SHeren D. Bramp’s.combinatorifch a analptikch
behandelte Aufgaben, ſtehen daſelbſt S. 10a, 118, Man .weie,
gleide, Ebendaſ. G. 98.
Pd
2
| og XI. Auszüge und Recenfionen neuer Buͤcher
—— Dy—2)...,y-0xn
(t DAV.. x IR 27 6 20...
Bestrret etetcc=tundet2yt+3d+4:terc=n .
| I. Die Bedeutung dee Zeichen ift hier wiein der (©. 107
in der Note eitirten) Schrift S. 102,2; der Combinationer
aus ß, y, d 8... find bier fo viele, als die unbeftirhmte Siels
dung 34 ay' + 3d+ 40... —n möglidhe Auflöfungen in -
ganzen und bejahten Zahlen zuläßt. Man vergleiche, Eben⸗
daſ. ©. 1115 4, 5, und S. 113,3. Daraus folgt die Sums :
me der aus Zahlenprodurten im Zähler und Nenner befichens
q'
1F 6A.... 18 276 24 ..,
auf die bier alles ankommt.
den Brüche
II. In der Folge bracht Herr K. zur Verkürzung fol
gende Ausdrücke * —8—
*y3; y. y-—)3 y, y (y— 1) ( —2) u. ſ. w.
und findet mm + 21 4 32... T)% oder IX ducch eine
nad) Yatı» Yn Yn-ı e-- Ya» Ya ausgedruͤckte Reihe, deren
einzelne Eoefficianten, unabhängig von den vorhergehens
den, combinatoriſch ſich beftimmen laffen,
IV. Daraus werden weiter die Werthe für Ey’, Zy",
2 y?...gefolgert, ſowohl für die Summe 17+2".... + (y—I)®
als für m + .n...+y235 auch gezeigt, wie man
ya-ı durch Yı Ay,tBy,+Cy, +Dy;...
ausdrüden könne, und die Epeffirienten A,B, C, D... aud
mn - M#.
hier, wie oben, aufler der Ordnung, und von varbergehens. :
den unabhängig, combinatörifch fich beftimmen laffen.
V. Zuletzt wird ein allgemeiner Ausdruck für Syn (das
Glied ya mit eingeſchloſſen) aufgeſtellt, und nachgewieſen,
wie in
Zy'y MI +, I) Mo+) (y—ı) GI yz+..
dieM ı, M2, M 3... ebenfalls, unabhängig von einander,
jedes für ih, combinatoriſch fih finden und ausdrücken
laſſen. .. . . 1
VI.
XII. Auszuͤge und Recenſi onen neuer Bücher. 108
.." VL Herr D. Kramp bemerkt bierbey, daß der Umſtand
daß jene Toefficiengen, auf welchen hier alleg beruht, unabhängig
son der Berechnung der PDotenzen, nur allein durch die
Combinationslebre gefunden werden könnten, eine für die
kuͤnftigen Fortſchritte diefer neuen Wiffenfhaft, wichtige Wahrs.
‚heit fey‘ ‚auch Habe er dadurch bereits mehrere, vorhin noch -
‚sie fummirte Reihen, wirklich fummirt.
Was insbefondere den Werth fuͤr Syn, in ber bier zuletzt
‚Angeführten Form; anbetrifft: fo fen derfelbe (fowohl y als nm
koͤnnen hierbey als veränderliche Größen angefehen werden) um
fo wichtiger, weil durch ihm die veränderliche Große, die fo viele
Schwierigkeiten macht, wenn fie als Erponent vorftommt, aus
demfelben ganz oder zum Theil weggeſchaft und unter die Coeffis
cienten verleßt wird. Die Sache fey auch um fo viel unerwar⸗
teter, da der einzige einigermaßen bieher gebörige Ausdruck von
yn, den die höhere Analyſis bisher gelehrt Bat; erſtens, die
Kenntniß der Baſis des natürlichen Logarithmenſyſtems voraus
ſetzt; ſodann/ derſelbe Ausdruck eine unendliche Reihe iſt, und
alle Beihiverden unendlicher Reihen mit ſich fuͤhrt; und drit⸗
tens, ſelbiger auch nur in den allerwenigſten Fallen, und nur
alsdenn brauchbar iſt, wenn dee Exponent ein Bruch iſt, kleiner
als/die Einheit, indem in allen andern Fallen bie Reihe u
Hder weniger divergirt:
Von To erheblichen Folge Und Vorzuůgen fey bier‘ die com⸗
kinatorifche Aufläfung dieſer Aufgabe vor andern micht / come
binatoriſchen!
II. Ueber die Facultaͤten der Zahlen.
Vrachfichende Extlärungen und Säge werden jeigen, was
die Sache fen. j
I. Produete, wie y 54 1) y+3).. .(y+n-ı)
oder auch, tie y(y—ı1)(y— 2)...(y—n + ı) ſollen Fa⸗
cultaͤten von y heißen; und zwar die erſten, ſteigende, die lebten⸗
fallende Fatultaͤten.
IIede Facultaͤt bat, wie die Potenſen, ihre Baſis ud
iSren s£rponenten. Die Baſis ift der erfte Factor ‚per
Facultät;; der Erponentift gleich) dem Unterſchiede vemerften
und legten Sactoss, um Eins vermeber.
She
\
ri xi. Aienige und Denon neuer Bücher ;
*
Fuͤt bie Balls y imd ben Erponenten n, beüce man, N
steigenden Bacultätendurd) y y, die fallenden durch ? aus. E
EKdemnach:
Tu fo SE
yarat) © Tero-n
yarıytutate) Yy —J— |
u ſ. u ſ. m
' ı Unmittelbare Folgen daraus „find: R
x (x Fn— ı) und x= («—-n-+ 1)
n
oder, die fleigende Facultät von x if, bey gleichen Srponenten
n, zugleich die fallende von x-Fn— I, und umgetehrt, die
fallende von * zugleich die ſteigende von x—n+ ı,
‚Gerner x run x x—n)=x “
m n- m ro
„Sr n+m=o, wiroe na und dx(x+m) = =},
elox—ı: x— m) und =: (x-tFim) Ein verneintee
Erponent macht alfo feine Schivierigkeit.
—⸗m E
Srm>xn, ifx=o;fürx>mifx eine bejaht⸗
Broͤße; für x <m iſt Bingegen’x unendlich groß.
' m. Merkwuͤrdio find folgende Saͤtze:
Axn. «+ ) und A x=n. x folglich |
ah |
z «-+ı) serit2t3.. tr
n+ı
u > KDD Me I +43.
.. ‘ » ar
2x oda I+2+3.:x—D)=x
» a a a * n-x
*
I.
x. Auge und Kecenfonen neuer Buͤcher. dt
"Wi Vergleicht man dies mit dem befannten Sake dee
Sntegralsehnung S xad = tr! ſo zeigt ſich die auffallend⸗
ne: Aebnlichtei dieſer gornelmi ben beyden erft gefundenkn
— in - a, die gleichwohl unter ſich nu, darinn werichies |
den find, daß bie erſtern die verlangte Summe mit Einſchluß
des letzen Gliedes x, die andern, die verlangte Summe mit
Ausſchluß des legten Gliedes = zu erfennen geben.
Und in dieſer fo aufferordentlich leichten Integration, die .
nur auf Facultaͤten und auf feine andre Claſſe von Functionen
ſich erſtreckt, liegt eben die Wichtigkeit der fuͤr die hoͤhere Ana⸗
yſis unentbehrlichen Facultaͤtenrechnung, die, in Verbindung
mir dee fo viel umfaflenden Eombinstionslehre, den
Cakul aux differences finies in feiner gangen, Ausdehnung ers
ſchoͤpſt, und kein ‘Problem deſſelben unaufgelöft läßt.
So wie bas gewöhnliche Problem der Integralrechnung
(mo man fein endliches Integral geben kann) diefes ift, den mit
dx multiplicirten Faetor in eine Neihe entwickelt darzuftellen,
die nach fteigenden oder fallenden Progreffionen der Perenzen
von x fortgehts fo iſt es hingegen die Haupraufgabe der weit
ſchwerern Reihenlehre, den Ausdruck der fummirt werden foll,
in eine Reihe feigender oder fallender vacultaten der veraͤnder⸗
Tihen Groͤſſe zu entwickeln.
V—. Hierher gehören folgende von Herrn D. Kramp ſaͤmmt⸗
x gelöfte Aufgaben:
2) Eine gegebene fteigende Facufeit von x, durch eine
Meibe ſteigender Faeultaͤten von x+a auszudrildten, |
b) Eine gegebene fallende Sacultät von x durch eine Reihe
falender Bacultäten von x a auszubräden,
| c) Eine gegebene fteigende Facultaͤt von x durch eine Reihe |
fallender Sacultäten von xPa auszudrücken. . '
qh Eine gegebene fallende Faeultaͤt von x durch eine —*
Reigendet Sarultäten von ta ansrddten zu
272 XII. Auszüge und! Recenfionen nener Bücher,
VI. Auch der binomifche und polynomifche Lehrſat
für Potenzen, find beyde, in ihrer ganzen Form und Ahge⸗
meinheit auf fleigende und, fallende Sarultäten ammendbas,
Zum Benfpiele mag hier die binomifche Form dienen,
’ n n n-I ı n-2 2 n-3 3
wo (y+2)=y+"Iya+”S ya+”Eya-r ete
w(lyr)=y+"I ya+”B yarıe yateto
- n at n-ı I n-.2 2 n-3 3
VII. Als ein Eorollarium fließt hieraus :
n ar-Z n-2 n-
(x x Lnx+nx tnx tete
1 2
1) xän XAꝓn xXx 4* x-ete
n n zn-ı 2n-2 312-3 , .
Dur) diefe Formeln laͤßt ſich alfo die Sacultät von x LE
durch lauter Facultäten von x ausdruͤcken. .d
VIII. So laͤßt ſich auch das Product einer Potenz vonymi |
einer Bacuftät eben diefee Groͤſſe, z. B. x" x, durch eine Neb
he einfacher Bacultäten von x, fleigender.oder fallender, aut:
drücen. Der allgemeine Ausdruck des numerifchen Coefficientens
der häufig hierbey vorkommenden Potenzen vonn, 5.8.
Potenz nF, in dem Factor bes allgemeinnn Gliedes xa+T, det -
n .
dem Produete der Facultät x mit der Potenz xP zugehört, wir
auch bier durch ein combingtorifches Integral, wie oben, ger
fucht und ganz unabhängig gefunden. .
4. Propofals for publif hingby Subfcription a Globeof.
“ theMöon, by John Rujjel, K. A. d. i. Ankündigung
einer Mondskugel, auf Subfeription; von Joh
Ruſſell, Mitglied ver koͤnigl. Arademie der Kuͤnſte *).
Dieſer Globus, das einzige Werk dieſer Art, welches jemals '
dem Publicum unter bie Augen gelegt worden, iſt die Truck.
einer vieljährigen anhaltenden Arbeit, und wird hoffentlich vor
Zu | einer
Dieſe, auf ejnem Heinen Zollebogen geglättet Papier zierlich
t. gedruckte Ankündigung if mir aus London zugeichickt worden.
De Eike! ehe Sfr ae — des er Br 5
er vorberge g worden. - Hier
«ausführliche, Inhalt berielben. 3,
XTI. Auszüge und Recenſionen neuer Bücher. 173
einer Genauigkeit befunden merden, in welcher fie alle bisher
erfchienenen Mondcharten weit übertrifft.
Die Lage eines jeden Theils ift durch ein Mikrometer mit
allem Fleiße beflimmt, und jeder Flecken mittelft wiederholter
telefcopifcher Beobadhtungen an dem Monde ſelbſt nachges
zeichnet, worden. Jede dnrch ein gutes Telefeop ſichtbare
Erhöhung und Vertiefung an: der Mondſcheibe ift abgebildet, und
auf eine Art fchattiret, daß man von der verbältnißmäßigen
Höhe einen Begriff bekommt; auch iſt jeder in der alleräußers
ften Schwantung oder Lihration des Mondes fichtbere Theil
fo wohl nach der Breite als nad) der Länge auf der Kugel ans
gegeben.
Nach dem augenfcheinlichen Nußen einer genauen Abzeichs
nung des Mondes zu aftronomifchem Behufe, beſenders bey Bes
sbachtungen der Mondfinfterniffe, kann eine ſolche nicht anders
als ſehr anziehend feyn, in ſofern als fie einen authentifchen
Abriß der Anficht diefes unfers Trabantens zu einer gewiffen Zeit
barftellet; denn obgleich jeit der Erfindung der Fernroͤhre, an
der Mondfcheibe Feine betraͤchtliche Veränverungsbemerkt worden
ik, fo Hat man doch flarte Gründe zu vermuthen daß dieſelbe
nicht ganz unveränderlich fey, And leicht möglich kann ein Werk
biefer Art in künftigen Zeiten fehr fhaßbar werden. Von ber
Bierlichteit der Ausführung hoffet man, daß fle der Genauigkeit
der Zeichnung gleich Eommen werde; und diefe Arbeit durfte den
‚Bibliotheken und Kunfttammern nicht weniger als ben Studiers
Ruben der Gelehrten zur Zierde gereichen.
„Hevrlius, diefer fleiffige Beobachter der Mondes s Phafen,
empfahl ſchon am Ende feiner im J. 1647 berausgefommenen
Selenographie fehr nahdrüdiich ein Werk von der Art, als
anjebo dem Publieum vorgeichlagen wird ; allein, fo fehr diefer
große Dann die Ausführung deſſelben wuͤnſchte, finden wir
doch nicht daß irgend ein Verſuch in diefer Abficht gemacht wor:
den fey, bis im J. 1745 *), da, wie uns gefagt wird, cine
folche Arbeit von dem vortreflichen Afttonem. Tobias Mayer
angefangen, auch verfhiedene Jahre hindurch fortgefegt wurs
u de.
5) Es beißt, La Sire, in Frankrelch, habe eine Mondkugel vers
fertiget, welche aber nie dffentlich bekannt gemacht morden.
Siehe de Ia Lande (Alftronemie) Vol. III. S. 310 dir gten
Ausgabe. (Anm. des Verf.)
Bönftes Heft.
Era X. Auszige und Neeenfionen neuer Bücher
de *). Der Herausgeber feiner binterlaffenen Schriften bemerft
in Anfehung der im Vorhaben geweſenen Mondkugeln, daß die |
Nachtommenſchaft einigen obwohl geringen Troft davon habe,
daß „das Werk eigentlich nicht durch Mayers Tod ins Stecken
„, gerathen if; dena biefer gelehrte Mann legte dafjelbe ſchon
„„ mehrere Jahre vor feinem ! bflerben bey Seite, theil® weil -
„er mit andern Endeckungen befchäftiget war, theils aus Urs
„lachen, welche ur wenigeinterefliren ionnten ; und wirtlich fas
„, gen feine Freunde, deß es ihm felbft ſehr mißfaͤllig war, wen
„man ſich nad) feinen Mondskugeln erkundigte.““ (Opera
ined.) Vol 1. pag. 105. Appendix.
Nach der Empfehlung eines Hevelius, und den durch
unbekannte Uriachen nicht vollendeten Benuͤhungen eines Tob.
Mayera, darf man hoffen, das Publicunr werde das ihm ans
gebotene Werk jeiner Unterftüßung nicht unwerth finden, be
fonders wenn es in Abficht der Genauigkeit der Ausmeffungen:
und der malerifchen Wirkung der Zeichnung eine ſcharfe Prüfung
der Kenner auehält. Allbereit haben fehr angeſehene Maͤnner
daffelbe mit ihrer Inficht beehrt, die Hülfemittel, bie dabey
‚ gebraucht worden, unterfuchet, feine Wirkung betrachtet, und ihm
ihren velliommznen Beyfall gegeben. Die Methode, die dabey
befolgt worden, nebft dem Apparatus, den Zeichnungen, ben
Diadramımen, und der Kugel ſelbſt; von welchem allen die
Grenzen diefes Blattes nicht erlauben eine umfländliche VBeichıeir .
bung zu liefern, kann man bey dem Berfafler in Augenſchein
nenmen Derfelbe wird auch den Liehhabern eine in Kupfer ge '
y ftochene Probe wie das Werk ausgeführet wird, vorlegen I, {
it
*), Bericht von den Mondekugeln, welche bey der Formos
graphiſchen Geſellſchaft zu Nuͤrnberg verfertiat werden,
durch T. Maver. Zu finden in dee Gomänntichen Offb
ein 175 — In KLamberts deutfhen gelehrten Brief
wechfel, .ze Band, ©. 431 u. f. f. find einige Briefe, welcht
Lambert mit Mayers würdigem Sohn, der jest Profeſſor ber
Mathemathik in Erlangen If, in den Jahren 1772, 73 0
wechfelt bat, aus welchen man erfiebet,, daß von 14 Segmem |
ten, die zu der Mondskugel befiimmt gewefen, 9 bereits sw
flohen waren, und Lambert ſich angelegen ſeyn Tieß, dieſe Ars
Beit an das Tageslicht zu bringen , welches aber doch unterblie
ben iſt. Umfdndlichee handeln biefe Briefe von der Mayerſchen
arte, .
“*) Eine folche Probe iſt auf einem Duartblatte der mir zugeſchick⸗
ten Unfündiaung beynefügt. Man fiehet darauf eine ungefähe '-
2 300 ins Quadrat baltende Figur, und am de die En
m
XII. Auszuͤge und Necenfionen neuer Bid rıy
Die Bedingungen.
. Die Miondefugel, von zwelf Zell im Durchmeſſer,
wird mit der Äufferfien Nichtigkeit verfertiget werden, und
ein geuͤbter Mann wird die Kugel eines jeden Subferibenten,
mit erften Abdrücen der zierlich in Kupfer geſtrchenen Seq⸗
mente, hoͤchſt forgfältig beziehen. Für viejenigen, welche ſich
unterzeichnen, iſt der Preis fünf Guineen; wovon vie Halfte,
zwey und eine halbe Suinee, beym Unterzeichnen, die übrige
- Hälfte beym Abliefern der Kugel, bezahle wird. .
Da das Geſtell zu den Kugeln, nach der Subferibenter
Belieben, auf verfchiedene Weiſe, von Helz eder Mifline, kann
verfertiger werden, fo ift nicht n:nglich den Preis tefjelben ganz
- genau anzugeben. Ein ſchickliches Seftel von Mahony⸗Holz
wird nicht über eine haibe Guinee koften.
Eins dergleichen von Mahony-Holz, aber niit einer vor
den. Kunfel erfundenen graduirten Scale, die libraterüchen
Bewegungen nad) der Breite und Laͤnge anzuzeigen, nebit der
borizontalen Neigung, welche den Anblick des Mendes unter
allen Umſtanden darftellt, jetoch fo, daß der gemeinſchactliche
Mittelpunct allezeit diejelbe Rage behält: — ein ſelches Geſtell
wird nicht über Eine und eine halbe Guinee often.
Unterzeichnungen nehmen für den Autor ans G. Adams;
. Mathematical Inftfument- Maker to his Majesty, Fieet-
Street; P. Elmsly, Bookfeller, Strand; I. Edwards, Book-
Seller, Pall- mall; und V. Faden, Geograher to his Majes-
‚ty, and te his R.H. the Prince of Wales, charing - Croß:
men ber fünf vornehmſten darinn befindlichen Mondoͤflecken: Pro:
lemaeus, Hipparchus, Alphonfus, Albategnius und Arzachel:;
Zeichnung nnd Stich find vortreflich. Auch in Kupfer geſtochen
it dabey eine kurze Engliſche und Franzoͤſiſche Anzeine, daß dies
fes ein Stück der Mondeſlaͤche mit den ohberannten Flecken nah
des Riectoit Benenuung fen. welches dienen ſoll, von der Weiſe,
wie Die Flecken auf der von Joh. Ruſſell angekündigten Mond⸗
Lugel gezeichnet und geſtochen worden, cinen Begriff zu geben:
eben die (weiter unten vorkommenden) Adreilen, wo die An⸗
kuͤndigung ausgegeben werde: B.
—
52 X
116 g XIIL- Auszuͤge aus Briefen,
x.
Auszüge aus Briefen, verfchiedene Nachrichten |
| und Anzeigen, N
?
Sı }
1. Aus einem Briefe des Herrn Obriſtwachtmeiſtert |
von Zad). Bi
des im November 1795 auf der fönigl. Sternwarte zu Berlin ent .
deckten neuen Kometen zu uͤberſchicken; ich, habe fie aus den Beob⸗
achtungen des Geren Prof, Bode, und Ous ienen des Herin Dr. Ob |
berö in Bremen, nach der de la PlaceſchenRethode, berechnet. De:
ich anfänglich nicht mehr als vier Beobachtungen batte, fo ne. 1
eine Auswahl zu treffen; ich legte fie baber ſaͤmtlich zum @euw-
de, machte den ıgten November zur Epoche, und leitete das
aus vorläufig den Abftand der Sonnen⸗Vaͤhe und bie Zeit dei.
Durchgangs durch diefelbe her. Dieſe sum Grunde gelegten Beob⸗
achtungen waren folgende :
Beob. geocentr. Beob. geocent.
1795 Novemb. in
mittl. Zeit in Gotha Länge Breite
13, 343749 92 17° 42° a5'Isı® 31° 47° Nordl.
15, 305554 9 10 10. 48 47 523 11
18, 284723 E 1 55 2141 59 42
24, 266666
8 23 53 20134 ı8 5 J
Hieraus ergaben ſich nachſtehende drey Hauptgleichungen:
I)? = 1,810443. x? — 1,608512.x - 9,9753854
0, 1224326
2) y=—0,1270563 + — * 3. 0441 14. x
3) 02 45, 4797 15. x?-4(0,9002462. y— 3,657406.x)? [
2
-1, 15604542. y+ 3, 844037. x + 1,025236 — =
Obgleich Im Grunde bie de Ta Placeſche Methode feine andere,
als die des Newtons id (Principiorum, Libr. II. Prop. XLL :
Probl. XXI.) fo erleichtert doch die analvtifche Form, in welche fe
Here de la Place überfent hat, die Rechnung ungemein, und gewahrt
noch beſonders den Vortheil, daß man bey Auflöfung der hoͤhern J
Gleichungen, die reellen und pofitiven Wurzeln ſoglelch erkennen
Bann. Denn, obgleich in den obigen drey Hauptgleichungen nur
unbekannte Größen vortommen, und man baber ‚glauben follte A 4
⸗
verſchiedene Nadjrichten und Anzeigen: a1
diefe drey Gleichungen zu Ihrer Beftimmung binlänglich waren, fo:
And fie aber dennoch aus der Entwicelurg anderer Gleichungen
von-einem böberen Grad entdanven, und der Werth von x Fönnte
mehrere wiefliche und pofitive Wurzeln haben. m fich alfo von dem
wahren Werthe zu verfichern, dient eine Derficherungsglei@ung, die
denfelben, oder beonahe denfelben Werth für y geben muß, dem
obiae Gleichung 3 gegeben bat, wenn für x der wahre Werib ges
treffen worden. Diefe Verificationsgleichung if im gegenwärtigen
4) y=2,5706568 x + — 0,1037514.
0989811
75
‚Diefe Gleichungen gehörig entmicelt, geben nachfiehende
e *
Be »
x = 0,28979918 1 = 0, 81319%e = 0, 9827583
woraus für den arithinen des genäherten Ablanıs vom Perihelto
lat Log. 9,2716911, und für Die zuffimmende wahre Anonielle
122% 43° 1",5._ Hieraus ergiebt ficb, mit Zusiehung der olgemeinen
„paeabolifhen Kometentafel, daß der Komet, zur Zeit der angenems
menen Epoche (den zöten Novermb.) das Perthelium nost nicht erreicht,
fondern davon nod a5 Tage ı7 Stunden so Min. 3 Gec. entfernt
war, weiches den gendherten Augendiick jeince Durchgangs urch
die Gonnenndpe glebt, den 1aten Decemb. 1755 um o lihr ss’ 3".
Hat’man-einmal-eine beyläufige Kenneniß der Elemente einer
Kometen» Bahn, fo bat man verfchiedene Mittel, fie nachher durch
entfernte Beobachtungen zu verbeffern, Wan barf alsdann nur zwey
Beftinimungsiite der Bahn nach Wilkühr wäpien, diefelben etwas
werändern, und die Beobachtungen nach dieſen neuen verdnderten
Sepothefen berechnen, fo wird das @efep der Unteriibiede zwiſchen
Ber Berechnung und der Beobachtung febe Leicht die wahrbaften Bers
‚gpberungen Ir ‚erfennen neben, die man mit biefen gewählten Bes
mungsfi räunehmen hat. Obgleich es Memlih eineriey
Int, welches je Glemente ınan zu dieſer Merbefleeung ges
che; fo findet doch Kerr de la Place, daß die Rechnung fürker,
leichter und einfacher wird, wenn man hiezu den Abſtand vom Des
zihelio und die Zeit bes Durchgangs mählet. Alein, fo ganı gene
gi if diefe Uusmahl dennech nicht; denn es kann ber Sal, wie
-negenmwärtigem Kometen, eintreten, wo diefe Metbode ganı und
nicht anwendbae iR. Nimmt man die Barlationen mit dem Abs
land, und bee Zeit bes Durchgangs durbs Veribelium vor, fomuß
man, na biefen verfledenen Hnpothefen die heltogenteifche Fans
sen und Breiten des Kometen berechnen.
Bögt es ſid nun, mie hier der Fall wirklich, dan 13ten Novemb.
mar, dab der Winkel am Xometen jebe nabe beo 90° if, fo Ldht fi
Raraus die bellocenteifhe Ränge gar nicht mobL berleiten. Denn ers
ü, bleibt es ämeifelhaft, 06 diefer Winkel ftumpf oder fpis genom⸗
inen werden fol. Zweytens, da ſich in dem ebenen Deeyeck, wo nur
wed curtiete Difianzen und ein gegenüber Mehender Wintei gegehen ,
End, dee HBinkel am Kometen fiib nicht anders, als durch einen
Binus ergeben kanns fo feht Biete Winkel gar nicht ſchatf Mr in
3
yı8 XIII. Yuszüge aus Briefen,
halten, weil fih die Ginus fehe mente bey 90° dndern. Bismeil⸗
Ien erbdlt man mohl gar einen imagindren Werth dafür, wie mie
ſolches bey einer Hopotbeie nach einer nur ſehr geringen Berdndes
gung des guetrten Radii vectoris begegnetiift. Um daher folchen
unguͤnſtigen timfländen aussumweichen, muß ınan diefen Winkel nicht
aus ten Diſtanzen rechnen, fondern ihn ſelbſt, oder auch ben Wins
Bel an der Sonne, vorausiesen und ändern, und folcheraefkalt aus
Hopotheſen für den Commutationswinkel, nebſt der befannten Elon⸗
gation, undeiner Diſtanz, diefen Winkel berechnen ; oͤfters mird es noth⸗
wendig aanz andere Beſtimmungsſtuͤcke vurauszufegen. So iſt 3.9,
bey Kometen bie eine viel ſtaͤrkere ſcheinbare Hewegung in der Breite
als In ver Lange baden , rathſam, die Hnpothefen mit bee beliocens °
treſchen Breite versunehmen. Derfelbe Sal, wie hier bey dem gen
genwdrtiaen Kometen, iit Bailly bey der Berednung der Bahn dei
beruͤhmten Halleoſchen Kometen vom Jahr 1759 vorgelommen. Mau .
feh: \lemoires prefenres, Tome V. p 17. Auch beym Kometen von -
1757 konnte dieſer Tall flatt finden. De la Lande theorie des Ca
metes in tables de Halley, Tome II. p. 115. 0
Nach einigen Hypotheſen, die dee ſehr geſchickte und fleibige
Herr Burckhardt aus Leiptig, der ſich jetzt, die praktiſche Sternkunde
üben, in Borna aufhält, berechnet bat, erneben ſich nachfolgen⸗
e Elemente dee Bahn, mozu noch nachflehende drey Beobachtune _
gen des Herrn Dactor Olbers gezogen worden.
TU rrn
1795 Novett. ecob. geocent. Berb. geocent.
N. 3. in Gotha Fänge Vreite
21. Nev. ZU 27 !BZ 25° 21 736° 15° 2" Noͤrdl.
220 6 488 23 35 ı9 |3j4 27 10
27 2 5 gern 16 2 40 126 4 54
Elemente ber Bahn des Kometen vom Jahr 1795.
Srhfland von der Sonnennaͤhe 0, 22662
Zeit des Ourchgangs dur:h dieſelbe dem '
15. Decemb. 1795. oU 49 8” M. 3. zu Gotik
1 |
Ort des Knoten 1% 29° ı8 45
Neigung der Bahn 24 16 45
Ort der Sonnenndhe 5 13 36 40 ’
Bewegung vorwaͤrts.
Diefer Komet iſt der 84ſte berechnete, feine Elemente ſtimmen
aber mit feinem der vorbergebenden; er war fehr ſchwer zu beobach⸗
gen, da es nur als ein Feiner Nebeifteck ſehr ſchwach und unbegrdndt
reſchien. Herr Bouvard entdeckte ihn erſt Den 14ten Novemh. feint
GSeits auf der Sternmarte ber Republik zu Paris.
— | 1.
verfchiedene Nachrichten und Anfeigen. 119
5. Aftronomifche Nachrichten aus verfchiedenen Briex
fen tes Deren fa kunde, Director der Sternwarte
der Kepublif, an Herrn Obrijtmachtmeifter von Zach
in Gotha. >
Paris, ben 22. Novemb. 1795.
Di. Connoiföence des temps für 1796 iſt enhlich erſchienen, unb
m rer jur 1797 wird jetzt gedruckt; ein Werzeichniß von 1000 Abs
B'hungen von meinen Cittumpotarſternen wird darinn erſcheinen.
Ich gabe die philorophifchen Zraniactionen für 1795 aefehen, worinn
ine Abhandlung des Hrn. Herſchel über Sonnenfleden ftebet. Er
ebauptet, fie wären tn der Pertiefung, ich bin immer noch der
Reynung, daß fie auf dee Oberfldche, ober auch darüber find. Hr.
Fechain arbeitet- noch immer an feiner Brabmeffung in der Gcaend
on Earcaffone, und Hr. de Lambre in der Gegend von Bourges.
rg:egee geht jetzt nach Dünfischen, um die ‘Breite dafelb, burch eben
ieſelben Sterne zu beftinnmen, deren ſich Hr. Mechain vor 3 Jahren
u Barcelona bedient hatte. *)-
Das Inftitur national der Wilfenfchaften wirb nunmehro ganz
wganifirt,, das Bureau de Longitude iſt in feiner vollen Zhatigkeit,
Ind wir werden ‚jeht von den Miniſtern eben fo gut aufgenommen
ınd begünftiget, ald wir es vorher von ben Comiteen waren. Wie
ben alſo nichts durch Die Berdnderuug der Regierung verlohren.
In der Sternwarte der Republik werden große Verbeſſerungen vors
enommen die Bibliothek tft fehe bereichert, und zwey neue Ob⸗
ervatores, Hr. Biſſy und der Sohn des Hrn. Mechain find. dabey
‚ngeftelle worden. Hr. Bouvard bat den 14. Novemb. einen Kometen,
abe an her Hand des Herkules endeckt „er hat ihn aber bisher nur
in einzigesmat beobachten können. Er it von der Größe des Nebels
lets in der Andeomeda, und unfer 84ter Komet **). In dem Maga⸗
in eneyelopedique. werden Ste meine Gefchichte der Aſtronomie für
1795 finden , wie auch die Pobreden auf Lavoiſier und Eondorcet, als
Ihnfiter und Geometer. Ich war wohl gesmungen es zu thun, da nies
nand dieſe Pflicht übernehmen wollte, obgleich es ihre Sreunde vers
proͤchen hatten, und es befler zu machen im Stande geweſen wären.
94 Ich
x) Heren Mechaines aſtronomiſche Beobachtungen In Catalonien, zu
Barcelona und Figueras in den Jahren 1792, 93, 94 angeftellt,
finder man tn den Mapldnder Ephemeriden auf das Jahr 1795
und in dem Berliner Jahrbuch 1797. S. 230. Der ganze Bogen
des durch ganz Frankreich genieffenen Meridians von Barcelona,
am mitteldändifhen Meere bis Dänkiechen an der Nord⸗See
betraͤgt 9° 39° 22”, 5. )
er, Es iſt derſelbe Komet, ber fchon den 11. Novemb. auf der foͤnfal.
Berifner ternwarte zwiſchen der Leper und dem Halſe be&
Schwans entdeckt wurde, u
‚ie
Darf.
120 XIII. Auszüge aus Briefen,
ch babe endlich die 6 @remplare der Berliner Eobemeriben bes Are,
ode für 1796 erbalten , fie maren ein ganzes Jahr unterweges,
alein, um fie für den Preis eines Keichstbalers zu verkaufen, müßte
an 130mal mehr in Affignaten dafür geben, welches nicht angehet,
enn die Bücher find nicht fo, wie das Geld, geſtiegen.
Darts, den 13. Jenner 1796.
Di Elemente der Kometenbabn, die Sie berechnet haben, haben
wir viel Vergnuͤgen gemacht; Rouvard, der ibn endedte, har ige
eichfalls, unter der Leitung, und nach Der Methode des Hrn. de
Place berechnet , allein er iſt in feiner Rechnung noch nicht niet
gorgerüct, Ich batte die Berechnung dieier, Babhn dem Hrn. Pingıd
yorgefchlagen, allein er geht nun in.fein gztes Jahr, und batır Muͤhe
ch zu einer ſolchen Arbeit zu entichließen. Ich für meinen Theil
in zu febr mit meinen 32,009 ©ternen beichäftiaet. Die Geometes
baben Hrn. de Lambre beym Inſtitut national in ihre Claſſe aufpes
peumen, damit ich Platz behielt, alle Aſtronomen der vormaligtn
kademie der Wiffenichaften, die diter, als er waren, unterzubringen,
deswegon fam er auch nur in das dritte Dritte 9) Die Lobrebe
au
x) Die Pariſer afabeniie der Wiffenfchaften, die vor 130 Jahren
durch Colbert geftftel wurde, und fett 4 Jahren durch-den Vanda⸗
lismus unterbrochen warb, murde den 6- Decemb. 1795 urtee
dem Namen eines Inkitut national auf Pefehl des volliieb-rden
Directorkimsvon dem Miniſter der Inneren Angeleacnbeiten, dem
Bürger Benezech (Sohn eines protellanriichen Prediger in Lan⸗
guedoc) auf das feyerlichfie in ihren unrmaligen Garl im Louvre
— —
wieder inſtallirt. Die Wiederherſtellung diefer arlchrten Geſel⸗
ſchaft bat man hauptſaͤchlich dem alühenden Eifer für Wiſſen⸗
ſchaften, und der thaͤtigen Betriebfamkeit des Hrn. de ka Lande
au verdanken, der febr nachdrücdlich von den Volks s Rep: diens
tanten Lakanal und Calon, Director des Depot für ben Krfeg zu
Land und zur See, unterflügt wurde. Dieſes Inſtitut beſtehet
aqus 144 Mitgliedern, dad Directorlum ernannte aber nur 48 ders
felben, meift von der vormaligen Akademie der Willenftbaften,
biefe mußten bie übrigen wählen. Diele gelebrte Geſellſchaft bes
fiebet daher aus drey Deittel, jedes Drittel bat wieder zwey
Elaffen. In dem erfien Drittel find die Geometer, fa Grange
und La Pace, die Aſtronomen fa Lande und Diechain. Im
ämeyten Drittel die Geometer Borda und Boſſut, die Aſtro⸗
nomen Le Monnier und Bingre‘, und im dritten Drittel bie
Geometer Le Gendre und De Lambre , und die Aſtronomen Meijler
und Eaffint, Der Brdlident wird alle 6 Monate, die Sekretalrs
alle Jahre neu gewaͤhlt. Jede Klaffe verfammelt ſich zweymal
in der Decade, die Sitzungen muͤſſen alle oͤffentlich ſeyn. Das
ganze Inſtitut verſammelt ſich jedem Quintidi der erſten Decade
eines jeden Monats, und die vier oͤffentlichen Sitzungen des
ganzen Inſtituts werden den 15. Vendemigaire, Nivoſe, Gers
winal und Meſſidor gehalten (den 7. Oetob, 6, Decemb,, 4- A
3 Ju
+
{)
— — u -
J
verfchiedene Nachrichten und Anzeigen. 131
uf Lavoiſter iR in dem Magazin 'encnlopeblque, und jene auf Con⸗
oreet im Mercure francois abgedruckt ; ich ſchicke fle Ihnen beite. Es
E zu verwundern, daß Niemand folchen außerordentlichen Merfcben
iefen gerechten Tribut hat zollen wollen, und ich war verbunden, für
e zu tbun, was ich nur für Aſtronomen au thun den Beruf babe.
Es hat mich fehr erfeeitet zu hören, daß mein Eleve, Hr. Henry,
ch in St. Petersburg befinder, und noch immer für die Aſtronomie
rbeitet *). Das Derzeichniß der Caſſiniſchen Schriften hatte mir
eg. Prof. Alamand auf meiner Reife in Holland im Jahr 1774 ges
iehen , ed wurde nachher in Paris von Caſſini IV abgefchrieben, das
ee kommt ed, daß Ste eine Note von meiner Sand darinn gefunden
aben. Ich erfuche Ste eine Nachricht von diefer Sammlung irgends
o Befannt zu machen **). Biſſy iſt ein junger Adlicher, ein Baron,
ee feit einigen Monaten auf der Sternwarte der Kepublif arbeitet;
Hein er bat, fo wie auch der junge Mechain, noch nicht den Play
ihes Adjunften, wir wollen , daß fie im Obſerviren erſt beffer geübt
ya tollen. Eben bringt mie Bouvard die Elemente der Kometens
ahn, allein fie Bimmen nicht dum befien mit den Beobachtungen,
$ es
3. Zulo). Die Reglemens biefer gelehrten Geſellſchaft find haupt⸗
Jachlich von Hrn, Borda entworfen, und von dem geſetzgebenden
Corps, dem Rath der fünfhundert, den za Bentofe (20. Märk
1796) einftimmig genehmigt worden, _
») Dies bezieht ficb auf eine Nachricht, die Ich von Hen. Albert
Euler in Betref des Hrn. Abbe Henry erhalten hatte; der Hr.
Abbe iſt nemlich als Hofmeiſter bey den beuden Prinzen von
Kurland in St. Petersburg angeſtellt, die Kanferl. Akademie dee
Wiſſenſchaften bat ihn unter die Zahl der Aflocies libres aufs
genommen, und er bat dieſer ‚geledrten Geſellſchaft mehrere
afronomifche Abhandlungen vorgelegt, die in Ihre Commenta⸗
sien eingerückt werden follen,
er), Die Sammlung, von der "bier die Rede it, wurde aus des
feel. Profeſſor Alamands Bücher s Auction in Leyden erflanden,
amd enthält. mehrere feltne Schriften und Abhandlungen bes
berühmten Dominic Eaffini. Ich vermuthete, daß es wohl gar
das Eremplar feon koͤnnte, von dem Herr de la Lande im III.
Theil feiner Nfironomie, Art. 3345 Meldung macht. Was mich
auf diefe Vermuthung filbete, war, daß ich barinn eine von
Hrn. de la Lande eigenhaͤndig beugeicbriebene Note fand. Hier
eridrr nun Hr. de la Sande auf meine Anfrage, nie feine Note
in das Ereinplar nefommen iſt. Die feltnen Abhandlungen, von
Denen Here Dberamtmann GSchredter in feinen Beträgen
zu den neueften afteonomifchen Entdedungen, ©, 119 fagt,
doß er bis jest noch feine leinzige in Öffentlichen Biblio⸗
tbefen gefunden habe, find ſaͤmtlich darinn enthalten. Eine
Nachricht von diefer Sammlung, auch Nuszüge daraus, erichtenen
in des Ken. Profefioe Voigt's Magazin für das neuſte aus der
Phoſik, und Naturgefchichte Im aten Stuͤck dei Xten Bandes.
122 XIII. Auszuͤge aus Briefen,
er hatte nur ſehr weniae und dieſe ſchledͤt. Meine Nichte reducirt
al: ANerare 200 Sterne, obgleich bey jeden 30 Operationen ag
mıden jird, und fie dabey einen großen Haushalt zu führen bat.
Sch habe' Joͤre Fedecfung des Jupiter. und auch jene , die zu Gbt⸗
tıngeı beoracktet worden, ,.berech er, fie ſtimmen voetrefflich. Die
wahre Zujanmenfunft fand ib 7U 5 45” Diff. der Breite 4ı’ 31"
und 7 238 3 3 s 4132
Mittags⸗ Iinterfchied zwiſchen
Seeberg 3 27 und Goͤttingen.
AH babe diefe Beobachtungen biefen Moraen berechnet, meine Nies
tb:Ne:iter »-ditif. Wir haben von 9rn. Be ıucbamp Nachricht erhalten,
er iſft der 22. Decemb. in Vened'ig angefommen, und mwird feine. Ki⸗
fen ta erwarten, un ſich nadber tax Couſtantinopel eınsufchiffen,
und den di'ihen Theil der fdhnmrgen Dieeres zu beſtimmen. Er ik
vun Ern. Tcalde zu Padua aut augenemmen worden, aber Hrn. Cag⸗
noli var er nicht geichen, ubglcib er ın Tadua war, welches mid
gemundert, dern ich vermutbhete ihn zu Verona, aliein er beobachtet
nit mbr weren fetner ſchlehten Geſumdheit. De Lambre iſt Text
in Daͤnkirchen, uno wartet da auf helles Wetter, um bie Mreite dies
fer Orts au deſtizumen. Seit zwey Tagen war cd fo ıkön, daß ich
beff. doß er die Polboͤhe von Dürkteden bereits wird erhalten haben,
es it sche hinkd.:glicy, wenn er nur einen, oder zwey Sterne \rcbs
achtet, die Mechain zu derielben Beſtimmung in Barcelona gebraucht
bat, fein ganzer Kreiß gemdhrt De Genauigk:ft vou einer Secunde,
enn er 20 Herbau tungen vor und nach der Kulmination erbalten
nn. Das Bureau de L,ongitude betreibt jest mit vielem
Erfer die Errichtung äiwener Eternwarten, Die eine zu Breſt, bie
andere zu Toulon. Rochon wire die Dirretion jener zu Feel, und
D' ingos von TZoulon übernehmen, diefer Irstere iſt dermalen Biblio⸗
thekar zu Tarbes, allein cr wird nun bald wieder der Alironomie
nüglich werden.
Wir haben fehr ſchoͤne meteorologifche Tabellen zugeſchickt ers
halten, von einem Hrn. Maurice, Sefretair der Kürfte zu Geneve,
allein ed würde febe hoch zu fichen fommen, wenn man fie in Kupfer
fiehen wollte. Die Schiefe der Ekliptik dur ganze Kreiſe bes Hrn.
Mechain und Piaqzzi beſtimmt, ſcheint mir 3 Secunden Meince zu
ſenn, als ich fie in meinen Tafeln angenommen babe, ich werde fie
auch fo in der Conn. d. temps von 1797 gebrauchen. Unſere
Beobachtungen von 1790 — 93 werde ich gleichfalls da einruͤcken
laſſen, weil unfere Memoiren des Inſtitut nationaldoch nicht fo bald
erſcheinen werden. Un der neuen Ausgabe des Montucla wird zwar
gedruckt, allein der Verfaſſer wohnt in Verſailles, und das Werk
wird in Paris gedruckt, dies verzögert die Arbeit etwas. Das Werk
des Sen. Dupuis’über den Urfprung der Religionen durch die Aftros
nomie tif erfcbienen. Drey Biertheile des erſten Bandes dee Ueber⸗
ſetzung von Euler's Introductio in Analyfın infinitorum durch Hrn.
Abbe iſt abüedeudt, fo mie auch Die Hälfte der Iliftorie celeste du
17. Siecle von Pingré, es fehlt an Arbeitern, und an Papier, der Sriede
wird allem abhelfen. Wenn Ihnen eisige neue Beobachtungen 8
"Ebbe
— —— — don
verfchiebene Nachrichten und "Anzeigen: 123
kbbe und Fluth bekannt: find, fo bitte ich, mir folche anzuzeigen,
ch habe Eur mein Werk über (Ebbe und Flutb umzuarbeiten und voll⸗
Andiger zu machen. Borda beichäftiget ſich mit duſſerſt genauen
Berfuchen über. Strahlenbrechung, ſowohl in der Luft, als auch im
uftleeren Kaum. Sch befchäftige mich jetzo ſehr mit Glocken, und
abe jchon viele Unterſuchungen darüber angeftelt, ich erfuche Sie
aber, mir die wahren Maabe der berühmten Erfurter Glocke zu
diden , mad Kitcher davon fant, iſt unvollddndig. Auch wenn Gie
en. Euler na Gr. Petersburg ſchreiben, fo erfuchen Sie ihn doch
im die Digaſſe der gecben Moſcower Glocke. Man behauptet, daß fle
20,000 Pfund ſchwer ſey. Das ift unındglich,, die zu Rouen wog
me 36 tauiend Pfund »).
Darts,
*, So abentheuerliche und unglaubliche Befchreißungen man
auch von diefee Wlode bat, mie 3. B. jene des Verkenmeders,
der ihr in ſtinem Antiquario ©. 672 ein Gewidet von 394000
Hunden giebt, fo gewiß if es, dag diefe Glocke, von dem uns
: gebeuern Gewichte lit, Dad Hr, de la Lande felbit uoch in Zweifel
ziebt. Die Maafle derfelben finder man benm Zannerus in
feiner Legatione Poleno-Lithuanica in Moscoviam, Norimberg,
3689. Cap. 13 p.6ı. Adam Olearius legt ihr in feiner Moſcowiti⸗
ben und Perſiſchen Ketiebefchreibuns cin Gewicht von 3560
entner bey. Hr. Profeſſor Albaum in feinen Anınerfungen zu
es „en. Geheimenrath von Beausobre's Politik, Riga_1773
©. 237 fagt , daß fie 4000 Zentner wieat. "In Hanways Keiten
durch Rußland und Perfier, Hamb. 1754 findet man ebenfalls
eine genaue Beſchreibung und Zeichnung diefer großen. Glocke.
Den größten Glauben vertient aber wohl der Kunenzeige, Wilhelm
Eore, der erſt im Jahr 1778 eine Reife durch Pohlen, Muhland,
Schweden und Daͤnnemark gemacht bat. Er beiibreibt fie im Iten
Band feiner Reifebefchreibung ©. 216 der deutſchen Ueberſekung
von Pezzel, Zücch 1735, nnd niebt ihr ein noch größeres Gewicht,
als das Hr. de Ia Lande Mübe bat zu glauben, nemlich 43230
Bentner, Hr. Core fest aber auch hinzu, daß ibre Größe fo
ungeheuer if, daß ce die bloße Beſchreibung davon nicht würde
genlaubt baben, wenn er fie nieht ſelbſt geſehen, und genau
gemeffen hätte.
Don der Erfurter großen Glocke, Maria Glorlofa, fins
det man felbft in des Ken. von Falkenſtein's Civitatis Erfurtenfis
IIiſtoria critica er diplomatica. Erf. 1739. ©. 441, fehr vers
fcbtedene Angaben; ich babe fie daher ſelbſt gemeffen, und
ihren limfang gefunden 24 franzöf.Suß 7 Zoll, den Ourchmeſſer
von ben dufferken Randern 7 Fuß 10 Zoll. Die untere Dicke
4 Sol, Länge des Kloͤppels 4 Fuß, fein Gewicht 11 Zentner,
das Gewicht dee Glocke 275 Zentner. Der Ton, S Orgelton
oder F Kammerton; fie wird von 16 ſtarken Perfonen geläutet,
Kircher verſichert, man böre fie 4 Meilen weit, allein in Gotha,
Meilen von Erfurt, hat men feine Tradition, daß diefe Glocke
ie da gehoͤrt morden, Dagegen wir fehr deutlich bey ſtillem Dee
124 XI. Auszüge aus" Bricfen,
Daris, den sı. Jenner 1796.
N. fambre bat bereits in Dünfirchen fieben ſchoͤne Beobachtungde
tanc gehabt, er hat die Breite des Thurn gefunden sı° 2’ 10” Aakt
21”, wie die alte Meflung gab. Ge wird nun bald von da abreifen,
und !eine Trfangels Reihe gegen Mittag von Bourges fortfeben. Er
bat deren 27 bis nad Karcaffone; er, und Mechain, werden biefen
Gonımer fertig, fie heffen auch die Grundlinie von 6000 Toiſen bey
Melun gu meſſen, wo man Pyramiden, um ihre Endpuncte zu bes
zeichnen, errichten wird *). Den 24ten dieſes habe ich Ihnen durch
Hrn. Barthefemi die Eobrebe auf Condorcet zugeſchickt ""). 38
oder einem kleinen Oſtwinde, die Kanonen hoͤren, die auf den
MWallen von Erfurt geloͤſt werden. Bey dieſer Gelegenbeit bes
fiimmte ich mittelt meines Metrees und mierometriſchen Stan⸗
genzirkels das Werbälmiß des Pariſer Fußes zur Erfurter Ehe,
und fand es wie 1440 du 2516.
) Here Brong mich dieſe Pnramiden , bie eine zu Liourne, ed
die ändere zu Melun, zur immermäbrenden Bezeichnung der
Stautlinte erbauen; die Ergländer bezeihneten die Endpunkte
- three ben Kounclom» K:ath vom ®eneral Roy im Jabr 1787
und von den Herr.“ Miplamd, Mudge und Dalby im abe
1791 wiederhohlt gemeflene Gtandlinte, mit vertikal in die Erde
eingegrabenen ſchweren eifernen Kanonen,
+2) Diefe Lebensbeſchreibung Condorcet's erhielt ich erfi im März
1796 mit vielen Vermebhrungen, Zufäsen, und bandichriftlichen
Noten des Hrn. de la Lapde begleitet. Sie ik in No. 21 des Mer-
eure frangois von Zoften Nivoſe zoften Januar 1796) abgedruckt,
und nimmt 23 Detavfeiten ein; vielleicht erfibeint eine deutfche
lieberfegung davon. In einem Schreiben beklagt ſich Hr. de
fa Pande , daß er gar Fine Materlalien und Nachrichten über
biefen Gelehrten , weder von feiner binterlaffenen Wittroe, noch
von feinem vertrauteften Sreunde, den Deputirten Sieyes, babe
erhalten können, man boft aber, daß Garat eine fehr umftdnds
Lie Lebensbefchreibung herausgeben wird. Hier nur einige
Hcupts Momente aus feinem Reben. Johann Unton Niklas
Earitat von Eondorcet, ward ben ı sten September 1743 zu Ribe⸗
mont in ter Picardie aus einem altadelicken, ſchon tin zoten
Jabrhundert befannten @efchlechte gebohren, In cinem Alter
von ı5 Rabren fam er 1758 nach Paris, um tm College de Was
varee feine Studien zu macben, nach Deren Vollendung er wieder in
feine Heymath Fehrte. Im Jahre 1762 kam er wieder nach Paris.
Den sten Marz 1769 ward er in die Akademie der Wilfenfchaften
aufgenommen , und den ıoten “jung 1773 ward er ibe Sekre⸗
talr. Gegen Ende des Jahres 1786 vermählte er fich mit einer
jungen Ehanoineffe Marie Foulfe Gopbie de Grouchy. Den ıten
Detober 1791 wurde er zur Affemble'e nationale gewaͤhlt, und
im Februar 1792 war er ihr Praͤſident. Den sten Juiy wurde
sine Berbaftnepmung durch die Robespierriſche Terronienin
they
J
verſchiedene Nachrichten und Anzeigen. 1259
be Ihre Meobachtung des Plancten Herichel vom 23. Novemb. 1795
rechnet und den schler der Tafeln in dee Lange — 10’ und in der
zreite 4 11" befunden, welches Die Vermuthung befkdtiger, die ich
nd de Lambre gehabt haben, daß die Neigung 46° 26° und-nıct
5 16” tft, wie in den Tafeln vorausgelegt moiden. Im Mengt
1dez war ber Fehler dee Tafel — 5” In der Länge, dies beweit,
ı6 der Radıus vector gut beitimmt If} dies beweiſt auch, daß Ihre
pbachtete Abweichungen gut find, obgleich Sie weder den Mauers
adranten, noch Ihren ganzen Kreiß von Ramsden haben. Es
aren doch die Maſkelyniſchen Beobachtungen , die diefen Jrrihum
ı dee Neigung bierer Planetenbahn verurfacht baben, meine Beo⸗
ichtungen erforderten gleichfalls eine größere Yieigung *). Es bat
mie
then decretiet, und er den agten deſſelben Monats als Verrdther
des Vaterlandes für vogelfeeg in die Acht erklart.
Caondoreet hielt ſic einige Monate in Paris, in dem Haufe
einer geoßmütbigen Krau, der Wittme de Vernet, die ihn nicht
Bannte, verborgen ; ald man aber im Mirz ı794 die Hausſu⸗
dungen befürchtete, verlieh er feinen Zuflucätsort, er Brachte die
erfie Nacht unter freyem Simmel in der Ebene von Montenuge
zu ; den andern Morgen fuchte er feinen alten Freund nnd Tits
bruder bey der Akademie Guard in Sontenat anf. Ungluͤcklicher⸗
- weife war biefer auf zwey Tage nach Paris gegangen. Condorert
brachte ſie, die eine Nat in einem Strindruch, bie andere
unter einem Baum auf freyem Kelde_ zu, am dritten Tage traf
ee feinen Freund. Er hatte in 24 Stunden nicht gegeflen, er
wär ganz binfdllid , leidend, und hatte eine Wunde am Fus.
Nachdem er etwas Nahrung zu fit: genommen hatte, murde vers
übredet, daß er fich wieder wegbegeben fol, damit die Dienfks
leute AM Haufe von dieſem gefährlichen Geheimniß nichts args
wohnen moͤgten, Und dab er in der Nacht wiederkommen follte,
wo ihn fein Freund ganz Mn empfangen, und mit mehr Sicher⸗
heit im Haufe verBeraen könnte. Er irrte alio dieſen Tag Aber
auf den Feldern bey Clamar unter Dreudon berum , den 27ten
Mari wagte eres. in ein Wirthshaus zu geben, mo er ſich Euer
. Beben lies. Bein langer Bart, fein ſeltſamer Anzug, machten
ibn einem “italted des Comitd revolutionaire von Elamar
verbächrig. ber va:d feinen Paß frua, und da er diefen nice
vorweifen konnte , Iha zwang nach dem Comite‘ au kommen von
wo rnad dem Difirict Bourg⸗la Reine gebracht wurde. Erfam
bafeibft zu pdt an, um verbdrt zu werden, er murde daher in
ein Befdngniß unter dem Namen Peter Simon aebrakt. Den
asten Mär: 1794 fund man ihn da trdt. Won feinen noch
ungedıuchten wiſſene ſchoſtlichen Schriften find noch vorbanden,
ein geoßes ausführliches WrrP über die Frtepralrechnung, wos
von im Jahr 1785, 123 Seiten ardruckt morden. uud ein Traite
€l&mentaire d’ Arıthinetique. Won beiden befistdie Wittwe die
vollſtandigen Handſchriſten. Condorcet verließ die Wiſſenſchaf⸗
ten nie, und de la Rande verfichert, daß ee mitten unter den
befttofen Revolutionscriſen analntiihe Abbandlungen von
Euler lad, und ſelbſt über fchwere Integrale arbeitete.
) Man febe meine Beobachtungen des Gegenſcheins dieſes
Blaneten im Jahr 1796 in dem Berliner aſtronomiſchen Jahr⸗
buche für das Jahr 1799.
136 XIII. Auszüge aus Briefen, :
inte viel Vergnügen gemacht, dad Berliner Jahrbuch für 1798, und
den zen Sapzlementband zu erhalten, man bat dieſe Buͤcher in
Buſel auf die Poſt aegeden, und tie baden mich 3:0 Livres Porto
gekoſtet, ‚allein auf iSeld reducirt, beteuius ed jehr weise, Ich habe noch
etwas baares Geld (Numeraire) Ich kann eö nicht beffer als dazu vers
wenn Die Abhandlung des Hrn. Heriihel, die im eten Supple⸗
mentband abgedruckt &i, iſt auch ins Scanzöfifihe uͤberſetzt mocden,
uud ſtehet indem Journal, Decade philofophıque. Ich habe darauf
gea:itwortet; Herr Herſchel wiederhoblt vier bis fünfmule, daß die
Sonnenflecfen ganz Juverldiäg unter dem Niveau der DOberfldche der
Sonne wären, allein wie er ſich davon verjichert hat, fagt er Licht
Man bat geſehen, wie ſehr grofe Flecken einen Ausbkuch, oder ſo zu
fozen eine vörharie an Rand der Sonne gebildet haben, dies bätte
ja attr Stute baben koͤnnen, wenn die slecken unter der Oberfläche
der Sonne gemeien wären ! J
Ich babe erwieſen *), daß große Flecken auf einem und dem⸗
ſelben phpſiſchen Punkt der Sonnenſcheibe erſchienen ſind, He. Her⸗
ſchel erwaähnt nichts davon, und es ſollte ihm auch ſchwer werden,
es zu erklaͤren. Wie ſchreibt man Yeipse. Oantzik, Vitemberg, nad
der wahren deutſchen Rechtſchreibung? Ich Liebe die Genauigkeit in
diefen Punkt gar fehr, die Ausländer werfen uns diefe Vernachlaͤßi⸗
gaug oft vor, ich werde mir dagegen Muͤhe geten, zu erforfcben, ab
Gaſſendi ib Maſſand aenenut hat. *c6) Schicken Sie mr doch Ihre
kdugen⸗, B.trarde: und Wein-Maaße aus Ihrer Gegend, mir Ihren
deutichen Namen, ich babe die von Tannheim ınirgebracht, man bat
mie ober mein Tagebuch unter Weges genohlen. Jedes Mitglicd dei :
Juſtitut national foll einen Gehalt von 1000 Miriagrammes Getraide
betkommen, oder 1000 Scheffel, davon jeder 20 Pfund wieat, dies
madht ungefdhr 2020 Livres nach vormaliger Müuͤnze. Unſere Deus
ſa:amlungen Im Inſtitut national fangen an intereſſant zu werden.
Wann Hat ſchon mehrere wichtige Abhandlungen vorgeleſen. Sch babe
eine neue Beſtimmung der Merkurs-Bahn gegeben, die nur menig
von meinen Zafeln abweichet, denn 45 Sef. Vermehrung in der
Mitreipunttss Gleichung, machennie mehr als 10" fiir den geocentels
fen Ort. Sie werden ed in ter Conn. d. temps für 1747 finden.
Hr. Wurm, der fo ichöne Berechnungen über die Bedeckung Jupiters
den zten April 1792 gemacht bat, follte wohl noch folgende Heobads
tungen nach benielben Elenzenten bingufügen.
n Mayland n om {in Palermo
Eintr.de3IRandes 10u 40’ 55"... 10U 57’ 18" am; Palerm
a bee N 10 4232 ...1o SB 56 Mittelpunkt su Za0’.
uöte.deaI s 11 sıı8 "32 11 43
II ⸗ u1 523$7 12 13 21 Mittelpunkt 12 20 28
Schlagen Sie ibm doch diefe Rechnung vor, mit vielen Empfchr
fungen von mir, Der Winter iſt fo gelinde, daß der Aa
er
*, In den Memoiren der Parifer Akademie der Wiſſenſchaſten,
Jahr 1776 5.393 und Jahr 1778 ©. 457.
er) Sieg hat auf eine Anfrage von mir Bezug, 05 Baffendus ode®
Gaffendi nicht etwa der lateinifche, Gaſſand hingegen der wahre
franzoͤſiſche Name biefes berühmten Aſtronomen ſey, ba ih
fein Zeitgenoſſe, der fransöf. Jeſuit Souenter in feiner Hodre⸗
graphie nie anders ald Gaſſand fchreibt,
verfthiedene Nachrichten und Anzeigen. 127
tetd + o® iſt. Der Atlas von Flamſteed von mir und Mechain iſt
ſchienen *). |
Paris, den ı2. Sehr. 1796.
. Jo bin, wife Sie wiſſen, bey der hier errichteten Commiſſion
egen der Meeres-Ldnge (bureau de longırude) u.it angeſtellt **).
tein Neſe, der mir beyh der Sternwarte A 1’ Ecole militaıre ads
jungirt
5) Deeſe Ausgabe der Flamſteediſchen Himmelskarten, iſt nun in
Paris bey dem Herausgeber ka Marche in der rue du Loin St.
Jaques im College de Gervais für 15 Pivres im baaren Gelde
su haben, fie wıro aber mir Unrecht die dritte Ausgabe genen:t,
da fie im Grunde nur die zweyte franzoſiſche Ausgabe ut, cenn
die erſte ik diejenige, welche. Fortin im Jabe 1776 uuf 30 Quart⸗
bidtter herausgab, und die zweyte nannte, weil er Die große
englifche Londner Solioausgabe von 1729 in 28 Blätter für die
erfie rechnete. Wollte man auf biefe Art nur überbaupr alle
Ausgaben der Slamitecdifhen Himmelskarten rech>en, ſo muͤſte
man alödenn diejenige des Hrn. Profefor Bode auf 34 Blätter
(:782) eigentlich als die dritte, und die einsize de [u Landiſche
als die vierte Ausgabe anſehen. Diejenige au der He Bode jetzo
arbeitet, umd in 4 bis s Jahren erſt zu Staude kommen und
in ao Blättern, noch größer aid Flamſteeds Grohfolio: sormat,
nach einer ganz andern und richtigen Prijcction brraurfon:men
wird, dürfte alsdenn die fünfte Flamfeedieche iusaate werden.
Die einzige Parifer Ausgabe iſt von der Her. de ta Lande und
Mechain beſorgt worden, beitchet ebenfells aus zo Quariblaͤttern,
enthält ſehr viel mehr Sterne von der sten and 6ten Größe, uud
eben neue &ternbilder. Hr. de la Lande bat aud ein neues
erzeichniß von 862 &te⸗ nen, die der C. Que la Cdapelle, Aſtrorrom
zu Moutauban aufs Jahr ı800 reduciet hat, anehdrgt. Auch
hat er cine ganz neue Einliitung und Erfidrung mit kritiſhen
- SBernerfungen übe Flamneeds Arbriten beygefuͤgt.
°*) Den ten Meſſidor (sten Jury) 1795 hat die Nationalcons
vention die Errichtung diefes Bureau de Longitude deeretirt.
Diefe Eommilflon beieher aus zwey Geometer, la Grauge,
la Place, vier Aftronomen, la Rande, Exifint, Mechain, „es
lambre, zwey alte Sceſahrer, Yorda, Boupainviße, eincn
Geographen Buache, einen Mechaniker, Carrochez. Es ſind
dabey noch vier Adjunkten der Aſtronomie augeſtellt, weruuter
auch Hrn. de la Lande's Neſe le Fraoçois iſt. Die Naitonal
Sternwarte, und jene der vormalige:. Ecole militaire ſiehet
unter ihrer Aufficht,, ie giebt Bünftta und jahrlich die Gonnoif-
fance des temps heraus, die au: Koften der Republik aedruckt
wird. Sie muß mir alien Sternwarten ber Repub:ik. und uuch
des Auslands einen Eiterariihen Briefwechſei unterhalten, die
Verbeſſerung der aſtronomiſchen Tafeln, und der Methoden aue
Erfindung der MeeressPänge, den Deud und die Bekanutmachung
der aſtronomiſchen Beobachtungen u. f f. beforgen. Eines ihrer
Mitglieder muß alle Jahre einen Curfam Aftronomiae eben,
128 XIII. Auszüge aus Briefen, ꝛc.
jungirt if, ik ein gar vortrefflicher Beobachter, und theilt ebenfalls
die Zeitfecunde in so Thelle. Er hat In hohem Grade Sinn und
Geſchmack an Genauigkeit. Wenn es nach ihm atenge, fo ſollte nichts
eber befannt gemacht werden, bis nicht alles aufs Aufferite verbeflert
worden, und kein Zweifel mehr übrig bleibt. Alein, ich denke man
muß geben, was man bat, bis das andere kommt; man muß ſich
des Buten bedienen , bis das Beſſere nachfolgen fann. Quintiliau
fagt, multa, dum perpoliuntur, intereunt. Wir begeben Sebler, -
sie verbefleen fie aber auch, und mo giebt's nicht Fehler ? Indeſſen
wird das, was wir geben, neu und fehe nüglich ſeyn. .
Die Einführung der neuen Maaffe im Handel wird miz einer
aroßen Pebhaftigkeit fortbauernd betrieben. Man hat hierzu noch eine
befondere Stelle (agence) errichret. Das iſt eine fhdne und wichtige
Dperation. Daß tch bereitd Im vorigen Jahre zu einer Commiſſion
über die Navigationskandle in der Republik ernannt worden bin =), wers
den Sie ſchon willen. Diele Kandfe find ſchon angefangen, und nıan ents
wirft noch mehrere andere, um unfere Soldaten zu befchdftigen,
wenn Feiede gemacht würde. An dem Kanal von ber Oife zur Sams
bre iſt bisher fleiffig gearbeitet worden.
fi erhält eine eigene afeonomifche Bibliothek; jedes Writglieh
efommt gooo Livres Bebalt, ein Adjunkt 4000. Meberdies er⸗
hält die Commiſſion eine jdhrliche Summe yon ı2, ooo £, zur
nterbaltung der Infirumente, Kanzeleygs Spefen, und andern
einen Ttebenausgaben. |
+) Auch in diefem Sache bat fih Hr. de la Lande ausgexeichnete
Verdienſte erworben. Wer kennt nicht fein Hauptwerk des Ca-
naux navigables et fpecialeıment de celui de Languedoc. Paris
1778. großtolio, wozu er noch einen Supplementband heraus
gegeben bat. Schon im Detoder 1790 becretirte die damalige
Affembl&e Nationale den projectirten Kanal des Hrn. Brullee
von Pointoife nach Paris, und der König hatte diefes Project
den zoten Januar ı791 wirklich fanetionter, allein die yanıe
Sache war ein Vrivatunternehmen des Hrn. Brulleſe, die durch
eine Anleihe von 25 Millionen In 25,000 Hetien jede 1000 %.
ausgeführt werden follte, die Fonds kamen nicht Zufammen,
und das- ganze Unternehmen gerietb ins Stecken. Da fih jegt..
die Regierung der Sache annimmt, fo ik su hoffen. Daß dieſe
Entreprifen beffer geben werden ; denn Aetien bey einem folchen
fchweren und Eoftipteligen Bau haben viel abſchreckendes, und
man hat davon fo viele mißlungene und verungluͤckte Bevſpiele.
So haben erft vor wenig Jahren die Unternehmer des Kanals
von Murcia in Spanien banfrut gemacht. Der berühmte italie⸗
niſche Aſtronom Gr. Cagnoll in Verona, ber auch einer von den
Actionnaires war verlohe dabey einen geoßen Theil feines ans .
fehnlichen Vermögens.
Leipzig,
gedruckt bey Chriſtian Friedrich Solbrig.
der
re inen und angewandten
Mathematik.
Sechstes weft. 17295.
.I
Ueber die aftronomifche Strahlenbrechung mit
Ruͤckſicht auf Thermometer und Barometer; von
I 5 Hennert, Profeſſor der Mathematik
— zu Utrecht.
Gortſetzung der Abhandl. I. im sten Hefte, ©, 1.)
4. 11. Sr den Hawksbeeſchen Verfuchen über die Straß»
lenbrechung, flimmen alle Aftronomen überein, daß bie
Strablenbrechung mit der Dichtheit der Luft ab- und zu
‚nehme; baß auch bie Dichtheit der Luft mit der Elafliche
tät gunehme;iäßer mit ber zunehmenden Wärme fich ver⸗
mindere. Die Schnellkraft der Luft ſteht mit der Baro⸗
meter » Höhe im Verhaͤltniß. Wenn alfo-R.und r bie
Strahlenbrechungen, für die Barometer⸗Hoͤhen H und
3, und für.die Grade der Wärme T und z, bezerhnen fo er⸗
halt man folgendes Verhältniß, R:r — 2: 7 : —;fölge
Tb
lich r=R. 57 Man kann alſo durch bieſe Formel,
—
Sechotes Sina . I. | bie
Miem. de l’Academie des fciences de Paris bon 1742 uud
130 J. Hennert, über. die
die Strahlenbrechung vr, die derſelben Hoͤhe eines Sterns, |
als bie Straplenbrechung R entfprieht, für einen jegl⸗
chen Stand ded Barometerd 5, und des Thermometers t,.
. finden, wenn nur die Etrahlenbrechungen für eine gewiſſt
Barometerhoͤhe, z. B. 30 Engliſche Zolle =H, und fuͤr
einen gewiſſen Brad der Wärme == T z. B. des 5 5ſten Gra⸗
des der Fahrenheitiſchen Scale bekannt waͤren.
|
|
fr
6. 12. Anfangs dieſes Jahrhunderts nahmen bie
Aftronomen allein Rücficht auf das Barometer, ‚big le
Monnier durd) genauere Beobachtungen in feiner Hiftoi:
se Celefte, den merflichen Einfluß der Wärme auf die
Strahlenbrechung außer allem Zweifel gefege hatu.
Daffelbe beſtaͤtigten auch bie Verſuche det Caffini in der.
43. Nach der Zeit haben Muyer, de la Caille, Bonne
Kormeln für die Strahlenbrechungen gegeben, melde:
doch mehr auf empirifche als auf phpfifche Gründe w
baut find.
8. 13. Die Formel fin Z: fin (2z -HnR)= fin Z; 4
fin(Z’-+-nr)($ 3.), kann mit Ruͤckſicht auf Barometer
und Thermometer, auf diefe Form gebracht werden, fin! 2
T
fin BR) =Mt: fin (Z Far); dann
bejeichnet r die Refraction, die zu dem Abſtand dom 20
nith zZ, und zu dem Barometerftand 3, und bem her
mometer », gehört, Anſtatt biefer Sormel koͤnnte man ſich
7
des Ausdrucks n Re: ST bedienen (Kı 1), wen
eine Tafel der Straßlenbrechungen R, für bag Barometet 1
NH, und dag Thermowmeter Tſchon —* win.
1
5. 14
aſtronomiſhe Strahlenbrechung. 1334
. 14. Vielleicht koͤnnte die letztere Stihung un⸗
er eine Form, bie zur Berechnung der Tafeln geſchikter waͤ⸗
e, gebracht werden. - Man fege «== dem Unterfchiebe der
Barometerhähen Hund 2, alo HF a h, und 9 für
eu uUnterſchied d der Waͤrme, alfo 7 T +0 tz folglich
u
eſteht alſo die Omoßlnbeesung aus zwei Selm, ober
Iactoren; ber eefte - z dinge von der Wärme
y
er ineite I * — don on der arometerhohe ab. Einige
itronomen, als de la Caille (Memoires de l’Acad. des
riences 175.5) haben zwei Tafeln, bie eine für das Bard-
Beter,, Die andere für dag Thermometer angegeben; bie
Banime der Zahlen in diefen Tafeln giebt ben Coefficienten
kr Strablenbrechung. Allein, die Art bes Einflußeg, bes
Barometer; insbeſondere, von bem Einfluße de Thermo⸗
Rterd auf bie Mefraction zu beflimmen, ift nicht geneu,
Hr approrimire wahr. Denn r=—
, ad: 9
(=) (1 Jar & HT 2)
—zJ > Ur 7% +0 z
I+7z
ber, wenn man den Ichten Terminus pernachläffget, er⸗
u man ben Ausdruck ( +7 —+ +) R, der mit
x de la Eaillifchen Hypochefe —— Wenn die
uerſchiede 4 und I nicht sro find, kann man bie
32 | For⸗
koͤnnte, in allen Himmelsſtrichen unveraͤnderlich (eg?!
| J Pi über ie
*
Formeln le +7 + +a)8 gebrauchen, "Rt aber i
Ihermometer unter dem angenommenen Grad T; per
.. Nenner 1 — d: T ein Bruch wird, fo kaun der Tr
minus nicht tweggelafjen werden. 743
* 4. 15. Ebe wir zur Beſtimmung der ei
chung mit Kädfiht auf’ Barometer. und 9
- forefchreiten, muͤſſen wir unterfuchen, ob der Co j
», ben man ben Erponenten —— ——— wu
habe diefen Exponent 23, 8 für bie lage 2
fein, nach ber Methode des $. 3. gefunden. ‚Dee
tion für die Caffinifche Refractionstafeln iſt diefes k:
log. fin (2 — 3, 8 r)=9,9995289. +7 »
0 Caſſini zeigt wohl in feinen Elemens di
. (Seite.13).die Methode an, bie —— —
der Zeit der Beobachtung und ber beobachteten Hape: i
Sterns, zu finden, iedoch ohne Anweiſung ber Tempen
tur der Luft. Berner Ichre er, aus zwey bekannten Gt
Ieirhrechungen eine Tafel für. alle Höhen zu machen, |
folge einer indirecten Methode, die ich auf eine.
gebracht habe: (Uftronomifches Jahrbuch 1787. 5
Meine Abſicht erlaube mir nicht, uͤber die ken:
feln einige Kritit gu machen.
6. 16. 1a Caille bat feine Refroctlontafeln m
bis ahf 84 Grade bed Abflandes vom Zenith ausgefuͤhl
- Menn man n — — 11,8 annimmt, fann bie 9 1
ctionstafel durch dieſe Gleichung ziemlich berechnet w
log. fin (7 — 11,8 r)= 9,9984377 + log * 9
gen die la Cailliſche Refractionstafel hat la Lande in ſe
Aſtronomie gegruͤndete Anmerlungen gemacht. ET
+‘
\
⸗
aſtronomiſche Strahlenbrechung. 133
n derſelben auch einige Abweichungen, in dem erwähnten
Aſtronomiſchen Jahrbuch bemerfe.
6179. Die Beobachtungen über die Strahlenbrechung,
pelche Bouguer zu Quito, 1479 toifes über bie See ges
Racht hat, geben n — — 8, 4 für den Erponent der
Dtrablendrechung, und bie Gleichung der Strahlenbre⸗
bung für einen gegebenen Abfland vom Zenith, iſt
og fin (2 — 8,4 r) = 9, 9993235 + log fin De.
Siehe Connoiflance des temps, 1778. ©. 201.)
618. In ber Connoiffance des temps, für das
hahr 1773 Seite 247, befinden. ſich fünf Beobachtungen
kber die Strahlenbrechung, auf welche Bonne feine Res
Tactionstafel fcheint gegründet zu haben. Das Barometer
war 48 Zoll, dad Reaum. Therm. auf 10 Grabe. Sür
die Weiten vom Zenith, 90° — 84° 70 — 60° 45" FR
Waren bie Strahlenbrechungen 222 — 8538, 6 —
N40o, — 1741°,7— 59", Aus den zwey erſten Beob⸗
«tungen habe ich den Erponent ber Strahlenbrechung oder
ax⸗ — 6,4, und'folgende Gleichung, log fin (2 — 6,4 r)
King, 9592156. log fin Z' abgeleitet, mit welcher die
kigen Beobachtungen vollfommen übereinftimmen. Diefe
tfeactionstafel ‚befindet ſich in der zweyten Ausgabe ber
Afronomie bes La Lande; doch in ber dritten Ausgabe ift
Bi Dradleyſche Safe für die Tafel des Bonne eingerüft.
6. 19. Aus ben vorhergehenden Verſuchen Fann
hai erfehen, baß der Exponent der Strahlenbrechung
eine beftändige Größe fen. Ich hatte ſchon vor einigen
Fahren an der Allgemeinheit der Bradleyſchen Tafeln ges
weifelt. Geit dem ich aber die zu Palermo von Plazji
jemachten Beobachtungen, durch die guͤnſtige Mittheilung
es Her Obriſtwachtmeiſters von Zach erhalten habe,
33 bin
koͤnnte, in allen Himmelsſtrichen unveraͤnderlich ſey? Ich
= az2 u Pal über die
‘
geman(e — +2); gebrauchen; ſteht aber das
Thermometer * dem angenommenen Brad T, baß ber
Nenner 1 — 8: T ein Bruch wird, fo fann ber hat en
minus nicht wegoelaſſen werden. |
' 6. 15. Ede wir zur eſtimmumg der Strablenbte
chung mit Ruͤckſicht auf Barometer und Thermomettt
fortſchreiten, muͤſſen wir unterſuchen, ob der Coefficient
a, ben man ben Erponenten der Strahlenbrechung nenncn
babe dieſen Exponent n— 3, 8 für bie Caſſiniſchen Tas ;
feln, nad) der Methode des $: 3. gefunden. Die Eau
tion für bie —A Refractionstafeln iſt dieſe: :#”
log. fin (2 - 3, 8r)==919995289. + log. 7 ($ sE:
Caſſini zeigt wohl in feinen Elemens d Aftronomis
ESeite 13) die Methode an, die Strahlenbrechung and:
der Zeit der Beobachtung und der beobachteten Höhe dei
Sterns, zu finden, ieboch ohne Anweiſung der Temprro-
tur der Luft. Berner lehrt er, aus zwey bekannten Straße
lenbrechungen eine Tafel für. alle Höhen zu machen, zw
folge einer indirecten Methode, die ich auf eine direckt
gebracht habe. (Aftronomifches Jahrbuch 1787 Seite 1 54)
Meine Abficht erlaubt mir nicht, über die " Caſſiulſchen ww
feln einige Kritik zu machen.
IJ §. 16. La Caille hat feine Refractionstafeln nur
bis ahf 84 Grade des Abflandes vom Zenith ausgefuͤhrt.
Wenn man n — — 11, 8 annimmt, kann bie Refra⸗
ctlionstafel durch dieſe Gleichung ziemlich berechnet werden:
log. fin (2 — 11819) 9,9984377 + log 2. Get
gen die la Cailliſche Refractionstafel hat la Lande in feiner:
Ä Aſtronomie gegründete Anmerlungen gemacht. Ich *
‘
aftronomifhe Strahlenbrechung. 133
in derſelben auch einige Abweichungen, in bem erwähnten
Aftronomifchen Jahrbuch bemerfe.
6. 17. Die Beobachtungen über die Strahlenbrechung,
welche Bouguer zu Qulto, 1479 toifes über die See ges
macht bat, geben n — — 8, 4 für ben Erponent der
Straßlendrehung, und die Gleichung der Strahlenbre⸗
Hung für einen gegebenen Abftand vom Zenith, iſt
log fin (2’— 8,4 r) == 9,9993235 -+ log fin Z. .
(Siehe Connoiflance destemps, 1778. ©. 201.)
- 18. In der Connoiflance des temps, für das
Jahr 1773 Seite 247, befinden. ſich fünf Beobachtungen
über die Strablenbrechung, auf welche Bonne feine Mes
fractlonstafel fcheint gegründet zu haben. Das Barometer
war 23 Zoll, das Reaum. Therm. auf 10 Grade duͤe
die Weiten vom Zenith, 90° — 84 70 — 60° —45" Pi
Waren die Strahlenbrechungen 2224 — 2 397,6, —
240,4 — 141,7 — 59°, Aus den zwey erften Beob⸗
achtungen habe ich ben Erponent ber Strahlenbrechung oder
n— 6,4, und folgende Gleichung, log ſin (2 — 6,4 r)
S9 9992156 log fin 7 abgeleitet, mit welcher die
weigen Beobachtungen vollkommen uͤbereinſtimmen. Diefe
Befractionstafel befindet fi i in der zweyten Ausgabe der
Aſtronomle des La Lande; boch in der dritten Ausgabe ift
N“ die Bradleyſche Tafel für die Tafel des Bonne eingeruͤkt.
4 6. 19. Aus den vorhergehenden DVerfuchen Tann
F ek erfeben, daß der Erponent der Strahlenbrechung
fine beftändige Größe fen. Ich hatte fchon vor einigen
' Saßren an ber Allgemeinheit der Bradleyſchen Tafeln ges
weifelt. Geit dem ich aber die zu Palermo von Piazsi
+ gemachten Beobachtungen, durch die guͤnſtige Mittheilung
bes Herrn Obriſtwachtmeiſters von Zach erhalten habe,
J 3 bin
| \ " Seffimmen , habe ich zwey Beobachtungen: fuͤr — 835
rowmeterhoͤhe von 29,9 Engliſchen Zollen, und bi
Thermometer von 62 Graden. Die Refraction R
\ debur iſt 4 bey dem Abſtand des Zenith von 84 Geaten
Be Bean, über die ee
bin ich gberzengt, daß bie Sirehlenbrechuug an keine al.
gemeine Regel gebunden iſt, ſondern daß dieſelbe für die
Luftſtriche veraͤndert. Die Palermiſchen Beobachtungen
find, ſo viel mir bewußt iſt, die volRdudigfen, welche |
die Aſtrouomen bekannt gemacht haben. Sie
fich von 40 bis g9 £ Grad vom Zenith. Nur iR sm Be;
Bauern, daß die Veränderungen‘ des Thermometers ia
ſchen den engen Graͤnzen von. 58 bis 78 enthalten find
$. 20; Hm ben Erponent ber Refraction gu. We.
und 7 == 84° erwählet, and den funfzehn Beobachtuw
den, unter berfelben Temperatur, nemlich bey der Be
17 40, 3, Die zweyte == 9/37". Diefe Sab;
achtuugen geben n — 6, 938 oder — — 7 — di:
Exponent der Strahlenbrechung ; alfo die Gleichung de
Strahlenbrechnns ‚ log fin ((2 —..7r) = 9, 999 1716
log 7"; nad) biefer Gleichung babe ich bie Beobach
‚taugen unter gleicher Temperatur berechnet; ber größehe:;
| 8. 21. Wet bie Bradleyſche Regel auf dem
| ponent der Refraction, oder n == — 6, seorabet
biefer aber nicht für alle Gegenden Seftändig ik, of
bie Bradleyſche Proportisn, tang (2’— 31): tang 3 r=:
tang (Z — 3R): tang 3k nicht allgemein ſeyn. (6: 7)
Man müßte für Palermo diefe Proportion tang (2 =2)
W 2. AR Vs
. tung emung(2 — =) ° tang = —
—
| nehmen. u | u | "ou
aſtronomiſche Strahlenbrechung. 139
Das Anſehen der Bradleyſchen Formel ſcheint die
ſſtronomen eingenommen zu haben, Daß die meiſten bie
defractionen nach der Regel berechnet haben, die doch in
Ahen unter 29° von ber Wahrheit ziemlich abweichen
un. Man fieht alfo, daß die aſtronomiſche Strahlen
rechung noch nicht die Vollkommenheit erreicht hat, wel⸗
be der gegenwärtige Zuftand ber peaftifchen Aftronomie
fordert, wo man ſich fehmeichelt, feinen Fehler von 2"
i.ber Hoͤhenmeſſung begehen zu fönnen.
. 22. In Betracht der Unvokfommenheit ber Lehre
er ————— wird man meine Verſuche nicht uͤbel
euten, ſollten ſie auch mißlingen; Inſonderheit den Ver⸗
ich uͤher die Beſtimmung der Refraction, für dag Varo⸗
jeter und Thermometer.
. Die zwey Formeln des zatens. muͤſſen, mit Nuͤckfccht
uf die Jalermiſche Beobachtungen, dieſe Form erhalten,
n J fin Z = = fin (273): fin %
nd r -=7; *, wo T und H und Rfich auf. die Hoͤhe
8 Barometerd an 29, 9 Zollen, und den. 62ſten Grad des
hermometers, und. bie dahin aebärige Reſraction R der
hen.
8. 23. Die , Schwierigkeit, welche d bie Anwendung
liger Formeln verurſacht, trift das Verhaͤltniß der Waͤr⸗
ober die Groͤßen T:. tr. Unmoͤglich kann man bie Bra»
e des Thermometerd dazu gebrauchen. Die Ehntheilung
er Sealen hat dach etwas Willkuͤhrliches. Ueberdem
eht die Ausdehnung der Luft mit der Ausdehnung des
Rercuring, ober mit den Graben bes Thermometerg, in kei⸗
em Verhaͤltniß. Die Ausdehnung der Luft, welche die
34 Wärme
128 XII. Auszuͤge aus Briefen, ıc.
jungirt iſt, if ein gar uprtrefflichee Beobachter, und theilt ebenfalls
die Zeitfecunde in so Thelle. Er hat in hohem Grade Sinn und
Geſchmack an Genauigkeit. Wenn es nach ihm gienge, fo ſolte niints
eber befannt gemacht werben, bis nicht alles aufs auſſerſte verbeffert
worden, und kein Zweifel mehr übrig bleibe. Allein, icy denke man
muß geben, was man bat, bis das andere kommt; man muß ſich
des Guten bedienen , bis das Beſſere nachfolgen kann. Quintilian
fagt, mulca, dum perpoliuntur, intereunt. Wir begeben Fehler,
wir verbeflern fie aber auch, und wo giebi’s nicht Fehler? Indeſſen
wird Das, was wir geben, neu und fehe nüsttch ſeyn.
Die Einführung der neuen Maaffe im Handel wird mit einer
großen Lebhaftigkeit fortdauernd betrieben. Man bat hierzu noch eine
befondere Stelle (agence) errichtet. Das iſt eine ſchoͤne und wichtige
Dperation. Daß ich bereits im vorigen Jahre zu einer Commiſſion
über die Navigationskandle in der Republik ernannt worden bin x), wers
den Sie fchon willen. Diele Kandle find ſchon angefangen, und nıan ents
wirft noch mehrere andere, um unfere Soldaten zu befchäftigen,
wenn Friede gemacht würde. Un dein Kanal uon ber Oife zur Sams
bre if bisher fleiſſig gearbeitet worden.
fie erhält eine eigene aſtronomiſche Bibliothek; jedes Mitglied
befommt 8000 fivres Gehalt, ein Adjunkt 4000. Meberdies ers
halt die Commiſſion eine jährliche Gunme_von ı2, ooo £, zur
nterbaltung der Inſtrumente, Kanzeleg» Spefen, und andern
einen Nebenausgaben. N
+) Auch in diefem Sache bat ih Hr. de la Lande ausgereichnete
Verdienſte erworben. Wer kennt nicht fein Hauptwerk des Ca-
naux navigables et fpecialement de celui de Languedoc. Paris
1778. großtolio, wozu er noch einen Supplementband "herauss
gegeben bat. Schon im Dctober 5790 becretirte die damalige
Aflembl&e Nationale den projectirten Kanal des Hrn. Bruce
von Pointoife nach Paris, und der König hatte dieſes Project
den zoten Januar 1791 wirklich fanetionier, allein die yunie
Sache war ein Prlvaturternehmen des Hrn. Brullde, die durch
eine Anleihe von 25 Millionen in 25,000 Hctien jede 10:0 &.
ausgeführt werden follte, die Fonds kamen nicht zuſammen,
und das ganze Unternehmen gerietb ins Stecken. Da ih jetzt
die Regierung der Sache annimmt, fo If su hoffen. Daß diefe
Entreprifen beſſer Beben werden; denn Aetien bey einem folchen
fchweren und Loflipteligen Bau haben viel abichreddendes, und
man bat davon fo viele mißlungene und verungluͤckte Beyſpiele.
So haben erft vor wenig Jahren die Unternehmer des Kanals
von Murcia in Spanien banfeut gemacht. Der berühmte italie⸗
niſche Aſtronom Sr. Eagnolt in Verona, ber auch einer von den
Actionnaires war verlohr babey einen großen Theil feines ans
fehnlichen Dermögens.
Leipzig,
sedeudt ben Chriſtian Seiedsich Solbrig.
| der
reinen | und angewandten
Mathematik.
Sechstes "Heft. 1797.
.I
Ueber die aftronomifche Strahlenbrechung mit
" Küdficht auf Thermometer und Barometer; von
J. 5 Hennert, Profeffor der Mathematik
zu Utrecht,
XXXX
| (Bortfegung der Abhandl. I. im sten Hefte, ©. 1.)
gr. Fur den Hawksbeeſchen Verfuchen über be Straße
lenbrechung, ſtimmen ale Aftronomen überein, daß die
Strahlenbrechung mit der Dichtheit der Luft ab. und ze
nehme; baß auch die Dichtheit der Luft mit der Elafliche
tat zunehme, aber mie der zunehmenden Wärme fich ver.
mindere. Die Schnellkraft ber Luft ſteht mit ber Baro⸗
meter » Höhe im Verhaͤltniß. Wenn alfo-R.und r bie
Strahlenbrechungen, für die Barometer» Höhen H und
Ä d, und für. bie Grabe der Wärme T und z, bejeichnen, fo ers -
“ hält man folgendes Verhaͤltniß, Rir = —F 7 foig⸗
Tb J
uch r=R. 57 Man kann alſo durch dieſe Formel,
F
Sechetes Stil. > J die
130 J. Hennert, über. die
die Strapienbrechung r, die derfelben Hoͤhe eines Sterns,
als bie Strahlenbrechurig R entfpriehe, für einen jegli-
chen Stand des Barometerd b, und des Thermometerd t,
. finden, wenn nur die Etrahlendrechungen für eine gewiſſe
Barometerhoͤhe 4. ©. 30 Engliſche Zolle —=H, und für
einen geroiffen Grad der Wärme == T 5.3. des 5 5ſten Bra»
des der Fahrenheitiſchen Scale belannt waͤren.
. 12. Anfangs dieſes Jahrhunderts naßımen bie
Aftronomen allein Ruͤckſicht auf bad Barometer, big le.
Monnier durch genauere Beobachtungen in feiner Hiftoi- .
se Celefte, den merflichen Einfluß der Wärme auf bie
Strahlenbrechung außer allem Zweifel gefegt hatte.
Daſſelbe beflätigeen auch die DVerfuche des Caſſini in den:
‚ Mem..de l’Academie des fciences de Paris bon 1742 und _
43. Rach der Zeit haben Muyer, de la Caille, Bonne
Formeln für die Strahlenbrechungen gegeben, melde
doch mehr auf empirifche als auf phpfifche Gründe ge⸗
baut ſind.
$. 13. Die Formel fin Z: fin (Z -HnR)= fin zZ:
fin(Z’-+H-nr)($ 3.), fann mit Räcficht auf Barometer
und Thermometer, auf biefe Form gebracht werben, fin Z:
T.
fin (Zrak q 2, =fnZ: fin (2 bar); dann
bezeichnet r die Refraction, bie iu dem Abſtand vom Ze⸗
— m — “
nith z, und gu dem Barometerfiand 2,. und dem Ther⸗
mometer⸗, gehört, Anſtatt Kiefer Sormel fönnte man ſich
des Ausdrucks r=enR: — =, bedienen (8. 11) weng
eine Tafel ber Ereabienbrehungen R, für. dag Barometer
N, und das Thermometer T fchon berechnet waͤre. |
1
&. 14
afteonomifce Strahlenbrechung. - 231
$. 14. Vielleicht fönute bie letztere Sleichung un⸗
ter eine Form, die zur Berechnung der Tafeln geſchikter waͤ⸗
8% gebracht werden. - Man fege «=== dem Unterfchiebe dee
" Barometerhähen Hund , alfo HT «= h, und 9 für
‚den Unterfchied ber Wärme, alfo 7 T + t; folglich
1
beſteht alſo die Straßtenrechung aus zwei Theilen, ober
becioren; der eefte - 7 dinge von ber Wärme
y;
„ der mWweite 1 * — don on ber Zerometerhehe ab. Einige
uftronomen, als de la Caille (Memoires de l’Acad. des
fiences 1755) haben zwei Tafeln, die eine für das Baro⸗
= meter, die andere für dad Thermometer angegeben; bie
GSumme der Zahlen in diefen Tafeln giebt ben Coefficienten
ber Strablenbrechung. Allein, die Art bes Einflußes, des
varometers. insbeſondere, von bem Einfluße des Thermo⸗
„5. weters auf die Refraction zu beſtimmen, iſt nicht geneu—
uur appraximirt wahr. Denn r =
+ | a4: 98
u H — 9 HT Pr
F el 1*60 )
1* |
über, wenn man ben legten Terminus vernachlaͤſſiget, er⸗
—20
Att man ben Ausdruck (: +7 — + +—) R, ber mit
der de la Cailliſchen Hypotheſe —E Wenn die
Aelerſchiede 4 und I nicht groß find, kann man bie
| Ja2 | vdor⸗
130 L Hennert, über. die
bie Strahlenbrechung r, die derſelben Höhe eines Sterne,
als die Strahlenbrehung R entfprieht, für einen jegli -
chen Stand des Barometerd b, und des Thermometerd t,
finden, wenn nur die Strahlenbrechungen für eine gewiſſe
Baromererhähe, j. ©. 30 Engliſche Zolle —=H, und für
einen gewiſſen Brad der Waͤrme ==T j.B.de8 55ſten Gra⸗
des der Fahrenheitiſchen Scale befannt wären.
$. 12. Anfangs dieſes Jahrhunderts nahmen bie
Afronomen allein Rücdficht auf das Barometer, bis le
Monnier durch genauere Beobachtungen in feiner Hiftoiog
se Celefte, den merflichen Einfluß der Wärme auf DIE
Strablenbrechung außer allem Zweifel geſetzt hatu
Daffelbe beflätigeen auch die Verſuche des Caflini in DEM
Mem. de l’Academie des fciences de Paris von 1742
43. Rad) der Zeit haben Mayer, de la Caille, Bei
Bormeln fr die Strahlenbrechungen gegeben,
doch mehr auf empirifche als auf phyſiſche Gr
baut find.
$. 13. Die Formel fin Z: fin (2
fn(Z’-+ nr) ($, 3.), fann mit RÜhR
und Thermometer, auf biefe Form 9
Tb
In (Zar )—=inZe
bejeichnet die —E
nith 7’, und zu dem Baro
mometer⸗, gehoͤrt. Anſtatt d
des Ausdrucks r —nR: =
eine Tafel der Strahlenbrechut
H, und das Thermometer Tfi
‘
128 XI. Auszüge aus Briefen, x.
jungirt if, if ein gar uprtrefflichee Beobachter, und tbeift ebenfalls
die Zeitfecunde in so Thelle. Er hat in hohem Grade Sinn und
Geſchmack an Genauigkeit. Wenn es nach ihm aienge,!fo follte nichts
eber befannt gemadt werden, bis nicht alles aufs auſſerſte verbeffert
worden, und kein Zweifel mehr übrig bleibe. Alein, ich denke man
muß geben, was man hat, bie das andere kommt; man muß ſich
des Guten bedienen , bis das Beſſere nachfolgen fann. Dutntilian
fagt, mulca, dum perpoliuntur, intereunt. Wir begeben Fehler,
mie verbeflern fie aber auch, und wo gicbt’s nicht Fehler? Indeſſen
wird dad, was wir geben, neu und fehe nuͤtzlich ſeyn. .
' Die Einführung der neuen Maaſſe im Handel wird mix einee
aroßen Lebhaftigkeit fortdauernd betrieben. Man bat hierzu noch eine
beſondere Stelle (agence) errichtet. Das iſt eine ſchoͤne und wichtige
Dperation. Daß ich bereits im vorigen Jahre zu einer Commiſſion
über die Navigationskandle in der Republik ernannt worden bin x), wers
den Siefchon willen. Diele Kandle find (don angefangen, und nıan ents
wirft noch mehrere andere, um unfere Soldaten zu befchdftigen,
wenn Friede gemacht würde. Un dem Kanal von ber ®ife zur Sams
bre if} bisher fleiffig gearbeitet worden.
ie erhält eine eigene aſtronomiſche Bibliothek; jedes Mitglied
ekommt gooo Pivres Sebalt, ein Adjunkt 4000. lieberdies ers
halt die Commiſſion eine jährliche Summe von ı2, 000 ?, zur
nteehaltung der Inſtrumente, Kanzeley» Spefen, und andern
nen Nebenausgaben. \
+) Auch in diefem Sache bat ſich Hr. be la Lande ausgezeichnete
Verdienſte erworben. Wer kennt nicht fein Hauptwerk des Ca-
naux navigables et fpecialement de celuide Languedoc. Paris
1778. großfolio, wozu er noch einen Supplementvand beraus⸗
gegeben bat. Schon im Dectober 1790 deeretitte die damalige
Affembl&e Nationale den projectirten Kanal des Hrn. Brullee
von Pointoiſe nach Paris, und der König hatte dieſes Project
den 30ten Januar ı791 wirklich ſanetionirt, allein die yanıe
Sache war ein Brivaturternehmen des Hrn. Brullde, die durch
eine Anletbe von 25 Millionen in 25,000 Hetien jede 1000 .
ausgeführt werden follte, die Konds kamen nicht zufammen,
und das- ganze Unternebmen gerieth ins Stecken. Da fih jest .
die Regierung der Sache annimmt, fo it su hoffen. Daß diefe
Entereprifen beflee geben werden; denn Actien bey einem folchen
fchweren und Eoflipteligen Bau haben viel abſchreckendes, und
man bat davon fo viele mißlungene und verunglädkte Beyſpiele.
So baten erft vor wenig Jahren die Unternehmer des Kanals
son Murcia in Spanien banfrut gemacht. Der berühmte italies
niſche Aſtronom Sr. Cagnoll in Derona, ber auch einer von den
Actionnaires war verlohr dabey einen großen Theil feines ans
febnlichen Vermoͤgens.
Leipzig,
gedeuckt bey Chriſtian Zriedrich Solbrig.
| der
reinen und angewandten
Mathematik
Sechstes weft. 1797.
.I:
‚Weber die aftronomifche Strahlenbrechung mit
Ruͤckſicht auf Thermometer und Barometer; von
I 5 Hennert, Profeffor der Mathematik
zu Utrecht, |
U 7
| (Zortfegung der Abhandl. I. im sten Hefte, S. 1.)
‚$.rı. Su den Syarofäbeefchen Verſuchen uͤber die Strah⸗
lenbrechung, ſtimmen alle Aſtronomen überein, daß die
Strablenbrechung mit der Dichtheit der Luft ab. und me
nehme; daß auch bie Dichtheit der Luft mit der Elaflicie
taͤt zunehme/ aber mic der zunehmenden Wärme fich ver-
mindere. Die Schnellfraft ber Luft ſteht mit der Baro⸗
meter « Höhe im Verhaͤltniß. Wenn alfo-R.und r die
Strahlenbrechungen, für die Barometer⸗Hoͤhen H und
d, und für.die Grabe der Waͤrme T und z, bezenhnen— fo er⸗
hält man folgendes Verhaͤltniß, R:r = nl oo; folg.
Tb
lich r=R. 57 Man kann alſo durch dieſe dormel,
Sechetes Süd, > > | bie
130 J. Hennert, über. die
die Strahlenbrechung vr, die derſelben Hoͤhe eines Sterne,
als die Strahlenbrehurtg R entfprieht, für einen jeglie -
chen Stand des Barometerd 5, und des Thermometers t,
. finden, wenn nur die Etrahlenbrechungen für eine gewiſſe
Barometerhöhe, z. ©. 30 Englifche Zole =H, und für
einen getoiffen Grad der Wärme ==T 5. B. des 5 5ſten Gra⸗
des der Fahrenheitiſchen Scale befannt wären.
. 12. Anfangs bieſes Jahrhunderts nahmen die
Aſtronomen allein Ruͤckſicht auf das Barometer, bis le
Monnier durch genauere Beobachtungen in feiner Hiftor- .
se Celefte, den merflichen Einfluß der Wärme auf die
Strahlenbrechung außer allem Zweifel gefegt hatte.
Daffelbe beſtaͤtigten auch die Verfuche dee Caflini in den:
Miem. de l’Academie des fciences de Paris bon 1742 und
43. Nach ber Zeit haben Mayer, de la Caille, Bonne -
Formeln fuͤr die Strahlenbrechungen gegeben, welche
doch mehr auf empiriſche als auf phyſiſche Gruͤnde ge⸗
baut ſi nd.
$. 13. Die Sormel in Z: fin (2 -HnR)=fin Zr |
fin(Z’-Fnr)($ 3.), fann mit Räcficht auf Barometer
unb Thermometer, ef diefe Form gebracht werden, inZz:-
T.
fin BR )=mz: fin (Z Has); dann :
bezeichnet r bie Refraction, die gu dem Abſtand vom Zus
nith Z', und zu dem Barometerfiand 5, und dem Thers
moneter s, gehört, Anſtatt Kiefer gormel koͤnnte man ih
des Ausdrucks r=enR: — . bedienen ($- 11), toeng
eine Tafel der Errabiensrehungn R, für dag Barometer
| H ‚ und das Thermometir T fhon Brent win. |
$. 14
aftronomifee Strahlenbrechung. 1341
$- 14. Vielleicht koͤnnte bie letztere Slechung un⸗
ter eine Form, die zur Berechnung der Tafeln geſchikter waͤ⸗
re, gebracht werden. Man ſetze «== dem Unterfchiebe ber
Barometerhähen Hund 2, alfo HF a h, und 9 für
deu Unterfchied der Märme, alfo 7 T +0 t; ; folglich
I
e Ro —o®_ @N,
TOHTHI ge +) 8
beſteht alfo die Straßtenrehung aus zwei Theilen, ober.
fectoren; ber erſte hänge von ber Biene
Y]
ber Weite 1 * — don der Serometerhehe ab. Einige
Uſftronomen, als la Caille (Memoires de l’Acad. des
kiences 175.5) haben zwei Tafeln, die eine für dag Baro⸗
neter , die andere für dag Thermometer angegeben; bie
Summe der Zahlen in diefen Tafeln giebt den Coefficienten
ber Strahlenbrechung. Allein, die Art des Einflußes, des
Sarometerk,ingbefondere, von bem Einfluße des Thermo»
meterd auf bie Refraction zu beſtimmen, iſt nicht genen,
Rus aweaximirt wahr. Denn 75*
tab #
Up ‘ . ——— (um —
+7 nt & HT 2)
II — — R
”) TH TIHrhT)”
I»P— —
1
[8
a
über, wenn man den legten Terminus vernachlaͤſſiget, er⸗
u u _ d J
hits man ben Ausbruc ( 1 +7 —+ +) R ber mif
be de fa Cailliſchen Hypotheſe —— Wenn die
ſaterſchiede 4 und 9 nicht sro find, kann man bie
| 932. For⸗
oͤnnte, In allen Himmelsſtrichen unveränderlich fey? IE.
138 u Pal aber die u
gemanle 2 - +2): gebrauchen; ſteht aber bag
Thermometer unter dem angenommenen Grad T, baß der
Nenner 1 — #5 T ein Bruch wird, fo kann ber kann
minus nicht weggelaſſen werden.
$. 15. Ehe wir zur Beſtimmung der Straßlenben
hung mie Ruͤckſicht auf Barometer und Thermoniet '
- fortfchreiten, muͤſſen wir unterfuchen, ob der Coefficient .
a, den man den Erponenten der Strahlenbrechung nennen
habe diefen Erponent n— 3, 8 für die Caffinifchen Tas
fein, nach der Methode des $. 3. gefunden. Die Equa⸗
tion für die Caſſiniſche Refractionstafeln ift diefea 5°
log. fin (2 — 3, 8 r)== 919995289. + log. 7 ($ 5,
Gaffini zeige wohl in feinen Elemens d’ Aſtronomis
(Seite.13).die Methode an, bie Strahlenbrechung ans.
der Zeit der Beobachtung und der beobachteten Höhe de;
Sterns, zu finden, iedoch ohne Anweiſung der Tempera.
£ur der Luft. Berner lehrt er, aus zwey bekannten Straße
leubrechungen eine Tafel für. alle Höhen zu machen, zw
folge einer indirecten Methode, die ich auf eine directt
‚gebracht habe. (Aftronomifches Jahrbuch 1787 Seite 154)
Meine Abficht erlaubt mir nicht, über die \ Saftaifoen and
feln einige Kritik zu machen.
I 5. 16. La Caille hat feine Refractionstafein nur
bis auf 84 Grade des Abſtandes vom Zenith ausgefuͤhrt.
Wenn man n— — 11, 8 annimmt, kann die Refra⸗
ctionstafel durch dieſe Gleichung ziemlich berechnet werden:
log. fin (7 — 11, 89) 9, 9944377 + log 2. Ge‘
gen bie la Eaillifche Refractionstafel hat laLande in feinet :
Aſtronomie gegruͤndete Anmerlungen gemacht. Ich an
+
4
aftronomifche Strahlenbrechung. 133
derfelben auch einige Abweichungen, in dem erwähnten
tronomiſchen Jahrbuch bemerkt.
6. 17. Die Beobachtungen über die Steahlenbrechung,
[che Bouguer zu Quito, 1479 toifes über die See ges.
ıcht ‚hat, geben n — — 8, 4 für den Erponent der
trahlenbrechung, und bie Gleichung der Strahlenbre⸗
ung für einen gegebenen Abſtand vom Zenith, ift
3 fin (27 — 8,4 r)= 919993235 - log fin Z. .
Siehe Connoiflance des temps, 1778. ©. 201.)
§. 18. In ber Connoiffance des temps, für das
68.1773 Seite 347, befinden. fih fünf Beobachtungen
er die Strahlenbrechung, auf welche Bonne feine Res
ictlonstafel fcheint gegründer zu haben. Das Baromeser
ie 28 300, dad Reaum. Therm. auf 10 Grade duͤe
Weiten vom Zenith, 90° — 84° 70 60° —45" ,
ven bie Strahlenbrechungen 32224 — 8 387,6, —
467,4 — 141,7 — 59", Aus den zwey erften Beob⸗
bangen babe ich ben Erponent der Strahlenbrechung oder
== — 6,4, und'folgende Gleichung, log fin(Z — 6,41)
; 9, 9992156. + log fin Z abgeleitet, mit welcher bie
rigen Beobachtungen vollkommen übereinftimmen. Diefe
feactionstafel befindet fi i in der zweyten Ausgabe der
tronomie des La Lande; doch in der dritten Ausgabe ift
Bradleyſche Tafel für die Tafel des Bonne eingerüft.
6. 19. Aus den vorhergehenden Merfuchen Tann
at erfehen, daß der Erponent der Strahlenbrechung
me beftändige Größe fen. - Sch hatte fchon vor einigen
ahren an der Allgemeinheit der Bradleyſchen Tafeln ge»
seifele. Seit dem ich aber die zu Palermo von Piazzi
machten Beobachtungen, durch die günftigeMittheilung
8 Herru Obriſtwachtmeiſters von Zach erhalten habe,
J 3 bin
bie Aſtronomen bekannt gemacht haben. Sie erſtrechn
zen, unter derſelben Temperatur, nemlich bey ber Bes.
R . Thermometer von 62 Graden. Die Refraction Rue:
BE Beh ik 4“, bey dein Abſtand des Zenith von 84 Graben.
8 n =.
em aber eee
bin ich überzeugt, baß bie Straßlenbreung. an keins N
gemeine Regel gebunden iſt, fondern daß. diefelbe für die
Euftfiriche verändert. Die Palermifchen ‚Beobachtungen :
find, ſo viel mir bewußt iſt, die. vonſtaͤndigſten, weiche
ſich von 40 bis g9 5 Brad vom Zenith. Nür iſt zu bs.
bauern, daß die Veränderungen’ des Thermometers zil |
: fen ben engen Brängen von. 58 bis 78 enthalten find. .
4. 20: Nm ben Erponent der Refraction zu —*
beſtimmen, babe ich zwey Beobachtungen für Z = 2835
und Z == 84" erwaͤhlet, aus den funfzehn Beobachtun⸗
rometerhoͤße von 29, 9 Engliſchen Zollen, und dab
17417, 2, Die zweyte r— 937". Dieſe Seh
achtungen geben n = — 6, 938 oder = — 7 — bi
Expouent der Straplenbrechung;; alfo die Gleichung bee
Strahlenbrechnns ‚ log fin (2 — 7r) == 9, 9991716
log 7"; nad) biefer Gleichung babe ich bie Beobache
tungen unter gleicher Temperatur berechnet; ber groͤßeſte
.$. 21. Weil die Bradleyſche Regel auf dem
ponent die Refraction, oder n == — 6, gegründet
diefer aber nicht für alle Gegenden beftändig ik, fo fang
die Bradfiyfche Proportisn, tang (2 — 31) tang 3 ri
tang (7 — 3R): tang äR- nicht allgemein fepn. ($: %
. Man möße für Palermo bief Proportion tang (7 — _Z
u Yung eung(2- — ED * tang * oder. genau, f
fin 2-2): fin Z in (2— =): in Zt E
aehnien. J u zus
_
aſtronomiſche Strahlenbrechung 135
Das Anfehen ber Brablepfchen Formel ſcheint die
diſtronomen eingenommen zu haben, daß die meiſten die
Refractionen nach der Regel berechnet haben, die doch in
Höhen unter 20° von ber Wahrheit ziemlich abweichen
kanu. Man fieht alfo, daß bie aftronemifche Strahlen
Kae noch nicht die Vollkommenheit erreicht hat, wel⸗
ber gegenwärtige Zuftand ber praftifchen Aftranomie
erfordert, wo man fich fchmeichelt, keinen Fehler von 2”
ih der Hoͤhenmeſſung begehen zu koͤnnen.
6. 22. In Betracht der Unbolllommenhelt der Lehre
ber — Gtraplenbrechung wird man meine Verfuche nicht übel
deuten, follten fie auch mißlingen ; Infonderheit den Ver⸗
ſuch Über die Beftimmung ber Refraction, für das Baros
meter und Thermometer,
Die zwey Formeln. des satens. mäffen, mit Ruͤckſicht
auf die Palermifche Beobachtungen, biefe Form erhalten,
oo RT
fin a —777 12% An Zen fin (2-75): fin Z
und r —— —, wo 7 und H und Rfich auf bie Hoͤhe
des Barometers an 29, 9 Zollen, und den 62ſten Grad des
Thermometers, und bie dahin geherige Refraction R bes
| eben,
$. 23. Die Schwierigkeit, welche die Anwendung
bobiger Formeln verurſacht, trift das Verhaͤltniß ber Waͤr⸗
mie ober bie Groͤßen T: t. Itnmeglich kann man bie Gra⸗
de des Thermometerd dazu gebrauchen. Die Eintheilung
der Sealen bat doch etwas Willführliched. Ueberdem
Recht die Ausdehnung der Luft mit der Ausdehnung bed
Mercurind, oder mit den Graben bes Thermometerg, in kei⸗
vum Verhälmit. Die Ausdehnung der Luft, welche bie
| 34 Wärme
136 L Hennert, über die '
Waͤrme verurfacht, wirkt bie Veränderungen des Thermo⸗
meter, die von der Wärme abhängig find. Das Ber
haͤltniß der Grade‘ ber Wärme ober des T: t muß alfe -
durch das Verhältniß der Dilatationen der Luft, die dei
Graden des Thermometers entfprechen, beftimme werden.
Zu dem Ende habe ich mich der drey Tafeln bedient, di
ich in meiner Preißſchrift de Altitudinum menfuratione .:
ope Barometri. Traiecti ag Rhenum 1788 gegeben ha⸗
be. Die erfte Tafel (A) enthält bie ungleichen Aucdeb⸗
nungen der Luft, wo die Maſſe der Luft — 1000 bey 0°
bes Zahrenheitifchen Therinometers gefegt wird, und
bey dem 62 Grad durch 1147,09 ausgedruͤckt wird. Auf
dieſelbe Weife iſt die zweyte Tafel (B) befchaffen, für die
‘
L)
gleichförmigen Dilatationen der Luft, we 1150, 66 Dem
. 62° des Thermometerd entfpricht. Die dritte Tafel (C)
iſt für die Ausdehnungen ber feuchten Luft, die Zahl
1152,778 ftcht bey dem 62° beffelben Thermometers.
Endlich ift eine vierte Tafel (D) für die Ausdehnungen des
Merkurius; dieſe wird zur WVerbefferung der Barometer
dienlich ſeyn, weil die beodachteten Barometerhoͤhen nur
ſcheinbare find, wegen ber durch die Wärme Frurſachten
Ausdehnung des Merkurius. Man muß nemlich, zufolge
. der 14 Seite der erwaͤhnten Schrift, die beobachtete Hoͤhe
dnech die Einheit — der Zahl aus ber Tafel D theilen, --
um die wahre Barorueterhöhe zu erhalten. So findet man
die Zahl 0,0069777 bey dem 62 Brad des Thermome
ters, folglich muß man die Barometerhöhe, 5. E. 29,9 .
Zolle mit 1,0069 777: theilen; daß alfo bie wahre He
oder H == 29, 699 iſt.
6. 24. Um unfere Methode verfiändlicher zu me
chen, twollen wir die Refraction für den Abſtand de Zenith
oder 7’==72°, die Barometerhdhe von 30 Zollen, und den
Thermometerſtand von 58, 5°, welches der niedrigfte Stand
war, ſuchen. Weil feine Tafel der Refractionen für
. Paler⸗
—
RT.
sn der Formel r— — —
—
—
aſtronomiſche Strahlenbrechung. 137
Valermo berechnet iR, ſucht man zuerſt, die zum Abitand
2 ‚bon 75° "gehörige Refraction, nach ber Gleichung
9,999 1706
"ogfin (72° —7R)= 9,9782068==log fin 72 (Ü 20)
9,9873784
‚alfo 72° -2 —-40, alſo7? R49 59",
alfo it R= 251",:3.
Die Refcaction R entfpricht dem 6 2ſten Grad dee
Thermometer⸗ und der Barometerhoͤhe von 29,9 Zollen,
weil auf dieſer Temperatur die gebrauchte Gleichung ge⸗
Bränder if. Nun muß man dieſe Refraction auf die Tem⸗
peratur von 58,5 Grad und 30 Zollen bringen; vermit⸗
8
b
Gür T habe ich die Zahl aus ber Tafel der Aubdeh
nungen der feuchten Luft genommen, weil fie genauere Res
ſultate giebt; vieleicht auch, daß bie Euft bey niedrigen
Hoͤhen, als bey 2 und 6 Graben feuchter if. Man findet
ig der Tafel (C) für 62°, die Zahl 1152,778,. == T und
. in der Tafel (D) bie Berbefferung der Barometerhoͤhe, oder
| en 99,9
eilee 1,0069777, alfo wird H== — —
| ben The ‚0069777, alſt 10069777
==29, 699
| Folglich
IR==log 171,3==2,2337574
log T , =3,0617343 IogT=3,0617343
5,2954917 log H = 1,4727513
U nn
| T
lg H ==1,4727513 log "== 1,5889830 |
RH |
log — == 3,83227404 Dieſer Logar. ift be⸗
35 Dem
18 — L Sennert, über ie
Dem 533° de8 Thermometers entſpricht in der erſten |
Tafel bie Zahl 1137, 96 9 bie Tafel (D) giebt den
Zpeilee 1, 006501 3, alſo 3
1,00 65
RE
Nun iſt los z,8 27400 | 1,006 5=0,002$137
| T =3,056 +279
Jog 30==1,4771212 log
2098816 | 370589416
/ 429986TE \
3,05894:61
——— 71.
| log r ==2,2409200
alfer=ı74 13==277 54, 13. Die beobachtete Refra⸗
ction war ==2"54" 5. Der Unterfchied iſt ünmerflich.
Mir wollen noch ein Beyſpiel beyfuͤgen, wo dag
Thermometer auf 78°, (der-höchfle Stand) und das Ba⸗
rometer auf 30 Z0ßen Rand; ber Abſtand vom Zenlthod oder
z — 71 30" J
JE 9,999 1716 alfo 2 —7R==71" 10
log 7 == 9,9769566|35” 71! 30 — 7R und
log (27 —7R —9,9761282 2 7R=19 25°, und R=
g[2 —7R)= 9197° ö 2146", 43166", 43.
Demrg* bed Thermometers entfprihtt—= 1187,7455. .
ber. Theiler der Barometerhoͤhe iſt — 1, 0086571.
T log 1,00865 1 = 0,0037436
log 7 115889830| 05 2 : =3,0747212
log R=2,2212316|) u 3,07846438
3,8102146'
{og 30 1,4771212 |
5,2873358
3,0784648° alfer== 161 ‚76=2' 41,76
gr ==2,2088710 bie beobachtete Xefr —2 4
Fehler —2”, 23
Auf
!
aftronomiſche Strahlenbrechung. 39
Auf dieſe Weiſe habe ich verfchiedene Beobaphtun, '
gen: berechnet. Die folgende Tafel enthält einige Re⸗
fultate: —
. zZ ho Therm. beobacht. berechn. | Sehler.
| Refr. Refe.
38° | 29, 7 63° | 447,543”, 85 +0,64
39°30 | 29, 6 64, 6| 45, 4145: 6 9,2
40°30'| 29, 6 | 63, 5| 47, 6147, 85 -6, 25
'43 | 29 7| 63 51, 8152, 64 |-+0,24
45°6 | 29, 9| 61, 5] 57, 2156, 43 |+0,76
4730 | 29, 8 | 62 61, 2 61, 15 40,04 ;
50° | 29, 8[ 66 |1 5” |r 6, T44
6 | 30 |78 1 40 6
62° | 30 .| 77 8511 ‚43 6
67° | 30 ]-77, 512 10 5
625. Die vortreflichen Beobachtungen, - die le
. Monnier. über bie Strahlenbrechungen gemacht hat, kann
ich nicht mie Stillſchweigen übergehen. Die Abficht Die
ſes beruͤhmten Aftronemen war ‚nur, den Einfluß der Waͤr⸗
me auf die Nefraction zu beflimmen; darinn bat er nur bie
| Barometerhoͤhe bey zwey Beobachtungen angezeichnet. Wie
konnten aber die Veraͤnderungen der Strahlenbrechung oh⸗
ne Ruͤckſicht auf das Barometer beurtheilt werden, wie viel
die Waͤrme allein dazu beygetragen hatte, als der Einfluß des
Barometers nicht non den beobachteten Strahlenbrechun⸗
gen abgerechnet wurde? Man findet in ber Hiftoire-ce«
lefte, Seite XXI, daß der Abfland des a Capellae von
Zenith =. 85” 18975” war, bie Kefraction aber 9:20,
da das Barometer auf 27, % parif. Zollen, und das Reau⸗
murſche Thermometer auf 24° über dem Gefrier»-Punft
ftand. Weil mir feine Tafel der Refraction für ben Luftfrei®
vonparis hefannt ift, habe ich verfucht, welche von den brenen
Tafeln oder vo Hypotheſen, die ih aus Piatzi, Bons
w
138", ‚17 +22
145°, 6,6 ı
2 II 158 — 0,08.
| I40 - | I. Hennert, über die
ne und Bradley Beobachtungen abgeleitet habe, am ge
näueften mit den beobachteten Nefractionen uͤbereinſtimmten.
Um diefelben nach Plajzis Beobachtungen zu beſtimmen,
- mußten die feanzöfifchen Angaben auf englifches Maaß ge
bracht werben. Nun 27, 5 Bar. Z0le find 29,208
Englifche Zole. Dem 24° des Keaumurfchen Iherm.
entfpmicht det 84, 5 des Fahrenheitiſchen. Vermitteltt
bieſer Angaben fand ich die Refraction = 9 25“, 98,
. alfo beynahe um 6” größer, als die beobachtete.
Um die Rechnung nach ben Beobachtungen des Bon-
ne zu machen, fuchte ich erſt die Refraction, die zur ges
gebenen Diſttanz Z gehoͤrt, durch die Gleichung, log fin
(85° 18. 5 —6,4R) = 99992016 - log fin 85°
18°5" (6. 18), dieſelbe = 10.22"9 R.
Diefe: Beobachtungen And für 28 Zoll ud T=
1128, 354, ober den 55 Grad des Fahr. Thermometers
gemacht, alfo 28: I, 0062254 — H; ferner iſt
h== 27,5: 1,009347. == und t== 1204, 437. Hier
| R.T. 5 >
aus erhält man Io 9 30 ‚6, welche um
u 10), 6 größer iR als bie beobachtete Refraction.
| In den Bradleyſchen Tafeln findet man die Re⸗
fraction R = 10'26”, 4, fuͤt ? 85° 18° 5”, für die
Barometerhoͤhe von 30 Zollen, alfoH == 30: 1,0062254,
. and den 55 Grad ded Thermometers. Nun iſt = 29,
207: 1,009347, und t==:1204, 437: wie zuvor; hier⸗
durch findet man bie Refracfionr — 9' 29 , alfo um g”
| größer, als die beobachtete. .
In der zweyten Beobachtung des le Monnier, ar
ber Abſtand des æ Capellac vom Zenith oder Z== 85°
45’ 45”, bie Thermometerhoͤhe == 10° unter dem ⸗ des
Reaum.
\
- X * . -
. » ⁊
. i .
n.. . ! .“*
: P
.5. ’ afconomie Sachinhuhung 141 |
Kesum, Thermomeler, ober beym g? be. gFaheenheitſchen:
die Barometerhoͤhe 28 par. Zolle, ober 29, 74 engliſche Zol-·
« Zufolge dieſer Angaben, babe ich folgende De
at⸗ gefunden: :
Beohachtete Fehler.
12 | ır 23° ° IMRefrackon. | m 8
- Bone | 117 317 9 a 1” 16,9.
ei, Ir’ 29" 6
1 +14 6 2
4 . 26. Es erhellet aus dieſen Reſultaten, daß die
Hefrastionen nach den Beobachtungen zu Palermo mit den _
en beffer uͤbereiuſtimmen, als die Bradleyſchen.
"Meine Hypotheſe beftdtiger ‚ daß die Strahlenbrechungen
. Am Winter - größer als im Sommer: find. Sollte dieſer
Verſuch einigen Beyfall verdienen, ſo werde ich mich bemni. Sun
ben, dieſe Materie weitlaͤuftiger auszuarbeiten.
7 und den 17 December 1796.
3 wu | . u. u. J
Angabe eines Doppelobjectids, das von aller
‚Befienung der Strahlen frey iſtz von ©. Ss
| Klqgel, Def zu ‚Hall. |
n einer Abhandluns, bie ber Söttingifchen Geſel.
* der Wiſſenſchaften von mir uͤberreicht iſt ( woraus
ein Auszug In den Goͤtting. gel. Anz: 1796. 47. St.) habe . |
ich eine neue, ſehr verbeſſerte Berechnung eines volllom⸗
.. mienen
442 . J 18, Angabe |
meinen Doppelobfectlvs mitgetheilt. Ich glaube Kunſt
lern und Liebhabern ber praftifchen Optik einen Dienſt zu
erjeigen,, wenn ich die Reſultate meiner Berechnung auch⸗
durch bicfes Archiv ihnen bekannt mache. Zugleich wirb
es noͤthig ſeyn, einige: Erläuterungen darüber be
fügen.
2. Die ‚Biopträfihen Rechnungen haben überhaupt
‚ ben Matheniatifeen viele Schwierigkeit gemacht, insbe⸗
ſondere aber die Unterfuchungen über die Einrichtung. eines
aus zwey ober drey Linfen zuſammengeſetzten Dbjectioß; -
: wodurch bie gleichartigen ſowohl, ald bie ungleichartigen
- Strahlen fo wenig als möglich zerfirent werden. Die Abe :
handlungen von Clairaut, d'Alembert, Klingeuſtierna,
Boscovich, muͤſſen auch einen ſtandhaften Leſer etmuͤden,
und geben am Ende doch feine befriedigende Reſultate.
Euler war der erſte, der Licht in die Dioptrik brachte.
Fu Dennoch hatte ber zweyte Theil feines Werks über dieſe
Wiſſenſchaft, der von dem Bau ber Zernrähre handelt,
eine. Umarbeitung ndthig, vornemlich wegen der zuſam⸗
mengefegten Dbjective. Das ift in einer Abhandlung in
ben Comm. Petrop. novis. T. XVIIL geſchehen, bie in die⸗
fer Materie eine Hauptſchrift iſt. Ich habe nach Anlei.·
tung dieſes großen Meiſters eine Theorie der Dioptrik, mit
einer ausfuͤhrlichen Anwendung auf die optiſchen Werkzen ·
ge, verfaßt *), die beynahe alles leiſtet, mag man von einer \
u allgemeinen Theorie bey diefem Gegenftande fordern kann.
Ich glaubte auch eine Zeitlang, daß fie für die Ausübung
ſicher genug ſeyn mochte. Allein hier hatte ich zuviel von
ihr erwartet.
3. Die Schuld liegt an der Saſchaffenheit des Go
genſtandes. Erſtulch iſt bag underänderliche Verhaͤltniß
oe:
| Hnneldelthe Dioptrik. zeipiig, 1775. 4.
.
i
Wintel ſondern Ihrer Sinus. Dieſes ndthigt, Sinus
ch ihte Winkel naͤherungsweiſe auszudrücken, ober auf
wre Art Formeln für die Lage des Strahls zu ſuchen,
nicht voͤllig genau ſind. Bey einzelnen Brechungen
m man damit zufrieden ſeyn, allein bey mehreren Bre⸗
ugen kann durch dieſes Verfahren eine beträchtliche Abe
Küng entfichn. Denn es iſt zweyte ns zu bemer⸗
„daß eine kleine Veränderung in der Vereinigungs⸗
fe ber einfallenden Strahlen ſchon bey einer einzefnen
chung eine beträchtliche Veränderung in der Vereinie
goweite der gebrochenen Strahlen nach fich ziehen fan,
bey mehrern Brechungen noch vielmehr dieſes verur⸗
Dazu kommt drittens, daß durch die Abweh
ug der Randſtrahlen nicht allein ihr Durchfchnittepunft
ber Mpe ber Linſen, ober ber Abſtand von der naͤchſten
Senden Fläche geändert wird, fondern auch der folgene i
kinfallswinkel, wodurch die Abwelchuns auf eine ſehr
btheillge Art zunehmen kann.
4. Weil kleine Beränderungen in ber Vereinigungs⸗
te der einfallenden Strahlen beträchtliche Veraͤnderun ⸗
Lin der Lage der gebrochenen Strahlen nach ſich ziehen
men, fo kann auch bie Dicke der. Glaͤſer, die ohne große
iehäuftigkeit fich nicht mit in die Rechnung bringen läßt,
e merfliche Unrichtigfeit verurfachen. . Die Veraͤnderun⸗
sin. der Lage der ungleichartigen Strahlen, die daher ente
sen, find zwar gleichnamig, aber nicht gleich groß.
9 ben Randſtrahlen hat die Dicke der Glaͤſer Einfluß
vohl auf ihren Durchfchnite mit der a, ale auf den
nfalld und Brechungsmwintel.
5. Noch ein Umſtand, wofuͤr die Dioptrik zwar
GE verantwortlich iſt, worauf fie aber doch er
| En |);
⸗
⸗
| eines Doppelobjertivs, 143
Brechuug gleichartiger Strahlen nicht bas Verhaͤltnitz |
5
144 Br Klügel, Angabe /
nehmen muß, iſt der. Unterfchleb der Beſchaffenheit des
Glaſes, des, welches ber Rechner voraugfegt, und dei,
welches ‚der Kuünftler verarbeitet. Darum follte die Bes -
rechnung nad) ihren gemachten Annahmen fehr genau ſeyn,
damit nicht die Abweichung der Rechnung und die Abrode
hung wegen der Befchaffenheit des Glaſes die Schler Hans -
. fen. Diefes ift noch aus dem Grunde noͤthig, weil der
Künftler nicht ganz genau die vorgefchriebenen Maaße
treffen wird, wenn auch die Glasarten die angenommene
Befchaffenheit haben. |
6. In der analptifchen Dioptrit habe ich zweyerley
- Einrichtungen eines Doppelobjectiog angegeben. Die eine
flimmt mit derjenigen überein, die Euler in den Petersbut
ger Commentarien berechnet hat, wenn baſelbſt ein Schle
der Formel in einem Vorzeichen verbeffert wird. Zur Ver⸗
gleihung mit meiner neuen Berechnung führe ich die Mag
ße zu dieſem Objectiv hier an.
Die Brennweite des zuſammengeſetzten Dorene |
fey = 10008, fo ift |
1. die Brennweite der vordern converen Linſe 1985.1.
der Halbmeſſer jeder Bläche - ‘ 2103
II. die Brennweite der hintern concaven kinfe 2223 #.
der Halbnieffer der Vorderflaͤche 1768
der Halbmeffer der Hinterflähe 4755:
1m. die Entfernung der Mittel beider Linſen 165
Zwey von dieſen Graͤßen find in der letzten Zifer hiet
genauer angegeben, als in der Rechnung 5. 345. der anal.
Dioptr. gefchehen if.
7. Es iſt hiebey das Brechungsverhaͤltniß der mitt
dern Strahlen in Kronglaſe wie 1, 53; 1, in Slintglak
wie 1, ss: I angenommen. Daß, Verhaͤltniß für die ag
mie
* eines Doppelobjectivs. 145
re und. am wenigſten brechbaren Strahlen iſt nicht
dn „a
— —
ns 1 und.n: x die Brechungsvethaͤltmiſſe für die mitt»
n Erraplen, und dr; do’ die Veränderungen bon m
’ 0" für die aͤuſſern bedeuten. Es iſt angenommen, daB
5 x
ER nn
ſt dn—= & 00928.
nittelbar dabey gebraucht, fondern das
n 34 fey. Man ſetze dn 0,00636
8. Um ben Gang der-Errahlen genau zw berech ·
» muß noch die Diefe der Gläfer beſtimmt werden, die
ber allgemeinen Rechnung weggelaſſen if. Man neh
die halbe Dicke der Convexlinſe — 50; der Concqb⸗
t=20, fo ift das Intervall der innern Flaͤchen
95, da bad Intervall der Mittel = 165 ifl, "Die
de Breite der Converlinfe it — 456, wozu der gehda
Winkel — i2° zı if. Doch ift nicht die Meynung,
dieſe ganze Oeffnung gebraucht werde. Euler nimme
Durchmeſſer der Deffnung — 884, der Hälfte, des
aften Halbmeffer® der brechenden Slächen gleich. Es
img aber nicht auf diefen an, fondern auf die Einfalls⸗
Srechungswinkel.
9.: Ich habe den Meg der mittſern und der am meis
brechbaren Strahlen, die der Are ganz nahe durchges
bobder ohne Abweichung wegen des Brechungsverhälts
8; bonn auch den Weg der Strahlen von mittlerer
ichbarfeit, die in der Entfernung eines Bogens von
von der Axe auffallen, berechnet. Der Wen der ers
iſt nach einer befannten Formel für die Brechung
heine Fläche beſtimmt; der andern ift durch trigond⸗
kifche Rechnung gefunden, wobey die Winkel in Se ·
echstes Stuck K cunden
* B Klugel, Angabe
cunden berechnet, und bey den kineargroͤßen nach Cette
fimaltheilchen mitgenommen find, Die Reſultate find in
folgenden beiden Tabellen enthalten. Die Vereinigung
weiten der gebrochenen Strahlen find von der brecheuden
Wlaͤche an gerechnet,
ohne Abweichung. die abmeis
Berein|_____ | chenden
gunger die mitilern bie brechbarſten —
Weiten, | Straten. | Straplen. ger
Abwel·
dung.
1 | 6068 6021 6029 |— 39
u. |, 1966 1943 1859 |— 107
I. 7660» 7648 7767. |+- ıe7 |
W. 11710 | 11767 ‚| 12120 + 410
Brechung. jenen. Brechungsminfel,
7 7 Ver, — 61 Tı —
u. 13 25 17 | 20 45 6
1, 22 6 59 13 47 7
IV. 1234 54 2 2959
10, €8 erhellet aus diefer Berechnung, baf dis
Diefe der Linfen eine befrächtliche Veränderung in ber
Brennweite des zufammengefegten Objectivs hervorbringh
wobey inzmifchen ber Unterſchied der Brennmeiten für die
mittlern und bie brechbarfien Strahlen nicht beträchtlich
1
iſt, nur — ber Brennweite. Allein die Abwelchung der au
dem Rande durchgehenden Strahlen von denen, die durch Dit
Mitte ber Linſen gehen, iſt ſehr beträchtlich. Die Urſache liegt
etſu
!. [7
21
eines Doppelobjectios.: — 147
erſtlich in den großen Einfalls⸗ und Brechungsteinfeln an ber
zweyten und dritten brechenden Släche. Die Formel, nach
welcher die Abweichung gehoben ſeyn follte, ift für fo große
Winkel nicht zureichend genau. Zweytens hätte bey der drit⸗
ten Brechung gar feine Abweichung bleiben folten, weil die
vierte, wegen der Eleinen Winkel des Strahl mit dem
Halbmeſſer der Släche, gar feiner: merklichen Abweichung
unterworſen iſt. Die Abweichung - 410 rührt beynahe
ganz und allein von der Abweichuns - 107 bey ber drit⸗
ten Brechung her.
11. Es muß daher die vordere Linſe ungleichſeitig
gemacht werden, und der Halbmeſſer ihrer Hinterflaͤche
groͤßer ſeyn, als der von der Vorderflaͤche, damit der zweyte
Einfalls, und Brechungswinkel kleiner werden. Sch habe
auch bey der zweyten Angabe eines Doppelobjectivs (Anal.
Dioptr. $. 354.) den Halbmeſſer der Vorderflaͤche etwas
fleingg gemacht, als den von der Hinterflaͤche, in dem
Verßhaltniſſe von 191: 233. Diefes iſt aber nicht zurei⸗
hend. Am beften it es, die Halbmeffer fo zu beſtimmen,
daß die Winfel des auffallenden und augfahrenden Strahl .
mit den Halbmeſſern ſich einander nahe gleich ſeyn. Das
durch werden die Winkelabweichungen auf beiden Seiten
- gufammengenommen ein Kleinfled. Die kaͤngenabweichung
auf der Are durch das erſte Glas wird zwar alddann niche
ein Kleinſtes; allein es iſt an einer Vergrößerung der Laͤn⸗
genabweichung weniger gelegen, ald an einer Vergrößerung
der Winfelabweidhung, die zu ihrer Hebung wieder einen
größern Einfallswinkel an der dritten brechenden Flaͤche
erfordert. Je kleiner die Einfalls⸗ und Brechungswintel
gemacht werben, deſto weniger hat man eine nachtheilige
* Abweichung der duffern Strahlen zu fürchten, wenn bie
ber mittlern gehoben iſt. |
Er 7 ze 12. 68
1
148, HH. Klügel, Angabe ,
12. Es fey der Abſtand des leuchtenden Punkts
ober eined Vrreinigungspunftes ber Strahlen vor einer
biconvexen fine = a; ber Vereinigungspunft- hinter der
Eine — a, das Brechungsoerhältnid — n: 15 ber,
Halbnieffer ber vordern Flaͤche — f, der hintern — g, fo
ift, wenn der Einfallswinkel dee aufallenden Strahlen
dem Brechungswinkel dur ausfahrefiden gleich if, nahe
al—ı)au _2b—r)aa
@—n)atıa" —e—n)atne”
=
und, wenn a unendlich groß if,
2.(n— 1) 2(n—1)
fe ——ai = ——a,
n 2—n
4 B. wenn n = 1,53, ſo iſt ig=47' 153.
13. Die Abweichung bey der Brechung durch die
erfte Linfe muß durch die Abweichung bey der dritten Dres
chung gehoben werden, ‘fo, daß bey diefer gar Feine, oder
weine-fehr geringe bleibe. Die Abtweichung bey der dritten
Brechung entftcht, theil® von der Abweichung bey den bey«
den vorhergehenden, theils bey biefer unmittelbar. Es
fey a ber Abftand des Vereinigungspunktes der auffallen»
den Strahlen hinter der dritten brechenden Fläche; der
Abftand des Vereinigungspunftes der gebrochenen Straße
len, beide ohne die Abweichung; Aa und Ad die Verdi
derungen berfelben durch die Abweichung bey den beiden
erften Srechungen; n: 1 das Brechungsverhältniß, fo ift
nahe Ad=—raa Ferner ſey x der Abftand bes Ein«
falspunftes von der Are, fo iſt die Abweichung, welche
die deiste Örechende Fläche unmittelbar verurfacht, nahe
eines. Doppelobjectivs, 149
(da) (d—a)'x*
2(n—ı)’a’d
Weil aa fubtractio, ift, alfo auch Ad es iſt, fo fege
man, um die Abweichung zu vernichten,
® -. (da) ld—a)'x*
Aa aaa
„oder:
2(n—ı)'ad’. Aa=n(nd—a) d—a)’x",
Hier find a und Aa durch die für die Convexlinſe angeftellte
Rechnung befannt, und x wird nahe genug durch die Law
ge des Strahld nad) ber zweyten Brechung gefunden,
Folglich wird d durch Aufidfung ‚siner cubiſchen Gleichung
erhalten, oder bequemer der Quotient &, um daraus zu
a
»
Berechnen. Ang den beiden’ Vereinigungsmeiten a und-d
ergiebt fich der Halbmeſſer der brechenden Flaͤche, vermite
teift der Gleichung, r — [er -—) & Beil die
= 3
gebrauchten Formeln nicht ganz genau find, fö muß man
durch naumeriſche Rechnung die noch Übrige Abweichung
ſuchen, und durch eine Veränderung bed Halbmeſſers fie
gänzlich heben. Die Beſtimmung des Halbmeſſers ift frey ⸗
lich etwas befchmerlich, „allein, wenn fie einmal für gerotffe
‚Annahmen der Brechungsverhaͤltniſſe und anderer Größen
gemacht ift, fo wird man für andere Fälle den Halbmeſſer
durch Verſuche nit einigen Werthen leichter finden fönnen,
bey welchen zuerſt nicht die völlige Schärfe nöthig iſt.
r 83 i Man
9). Analyt. Dioptrik. 5 1741 wo a megativ zu nehmen; und
ki
150 I. Klügel,; Angabe
- Dan berechne nämlich für eisien nach Gutduͤnken an«
genommenen Halbmeffer der dritten Fläche, x, die Vereini⸗
gungsweite der mittlern Strahlen Rohne die Abweichung,
und bie Vereinigungsmeire d derfelben mit der Abwei⸗
ung, ferner für einen Halbmeſſer, r + A r, bie
Vereinigungsmweiten I Ad und d+Ad. Es ſey
Ad=pArund Ad=gäAr, fo kann man für Feine Ber-
änderungen bie Factoren p, q, als unveränderlich anfes
hen. Diefe findet mar durch numerifche Rechnung, aus
den zwey berechneten Werthen vou Fund. d. Nun bedeute
Ar denjenigen Werth der Veränderung ven r, wodurch
die beiden DVereinigungsmeiten aleich werden, fo if
dp Ar—=d-+gAr,und ae. Sind die Vers
Änderungen des Halbmeſſers und der Vereinigungẽweiten
= und es iſt Arfübs
tractio, (wenn d größer als 2, und p größer als q ift,
ungleichnamig, fo iſt Ar—=
14. Nachdem ber Halbmeffer der dritten brechene
den Fläche beſtimmt ift, Berechne man den Weg ber am
meiften und am wenigſten brechbaren Strahlen durch die
drey erfien Brechungen ohne die Abweichung. Die Bereis
nigungsmweiten der auf die vierte Fläche fallenden Strah⸗
len geben mittelft des Halbmeffers derſelben die Vereini⸗
gungs weite der gebrochenen, welche: für beide Arten die ⸗
felbe if. Dadurch erhält man eine Gleichung für den
Halbmeffer. Die Vereinigungemeiten der auffallenden
Strahlen feyn-a und a, die Brechungsverhaͤltniſſe mız
und psz, ber Halbmeſſer der brecheuden Fläche —r, ſo itt
(n—m)aa = (na—ma)r.
Solchergeſtalt iR das ganze Doppelobjectiv beftimmit
ſo daß beide Arten der Zefteraungen voͤllig gehoben flud.
15. Es
eines) Doppelobjectivs, 151
r5. Es fey num, nach Beguelind Beobachtungen,
das Brechungsverhaͤltniß
in Kronglas für die viofetnen Strahlen 1,53761:1
für die mittleren 1,53175:t
für die rothen 1,52588;1
in Flintglas für die violetnen Strahlen 1,59058:1
für die: mittlern 1,5812131
fuͤr die rothen 1,5718431
Fuͤr dieſe Verhaͤltniſſe habe ich folgende Maaße
zu einem vollfommenen Doppelobjectiv gefunden;
L Drenntveite der Converlinfe von Kronglas
für die mittlern Strahlen 10000
Halbmeſſer der Vor derflaͤche 6943
Hinterflaͤche 22712
Dicke 250
Durchmeſſer der ganzen Oeffnung 32146
U. Brennweite der. Concabliaſe von Flinfe
glas. 14074
Haĩbmeſſer der Vorderflaͤche 14856
Dinterflaͤche 18211
Dicke 100
21. Abſtand der innern Flaͤchen beider einſen 100
IV. Brennweite des Doppelobjectivs 32056
V. Die ganze Oeffnung ber vordern Linfe In
Graben 26° 48 2
Die Maafe haben Feine. beſtimmte Einheit, Ans
der verlangten Brennweite. des Doppelobjectiog, melde
hier 32056 Theile hat, werden alle Maaße, für bie ger
gebene Einheit, als Zolle, durch die Regel de tri gefun⸗
den. Von dem. Falle, da das Glas zu, der Conbexlinſe
84 nicht
m. Klügel; Angabe
nicht die gehörige Dicke hat, wird unten Erwähnung, ges
ſchehen.
16. Den Weg der Strahlen fielen folgende ‚beide
Tabellen dar. Die Vereinigungemeiten der gebrochenen
. Strahlen find von ber brechenden Fläche anzu nehmen.
153
ohne Abweichung. |
Vereini⸗ abwei ·
gung. | | chende
weiten. violefne. | mittler. | rothe. mittlere.
L | 19858 20000 20146 19871
u 9795 9904 | 10015 9753
1m. 25099 25154 25210 25154
IV. 32056 |.32056 | 32056’ | 32054
Einfatswin. | Brechungs ⸗
Drehung. | per, winfel.
L [10° 0°.0*| 630734"
u, 6 30 58) 10 0 37
au. ir 34 31| 7 ı7 26
IV. ı o52| 13615
Die groͤßern Winkel find nur halb fo groß als bey
der obigen Einrichtung ($. 9).
Diefes iſt wegen, der une
gleichartigen "Strahlen wichtig, deren Abweichung nicht
ganz gehoben if. Ben großen Winfeln: wird auch die
„Abweichung derfelben größer ſeyn, und die Laͤngenabwei -
dung des Strahls nad) ber vierten Brechung kann leicht
ſehr beträchtlich werden, da er die Are-unter einem Fleinen
Winkel
BE 4 x
"eines Doppelobjectivs. 153
Wintel ſchueidet Dee Durchfefnittsteinfel iſt fůr die
mittlern Strahlen = 2°6' 37”.
| 17. Es ſey bie Brenntveite des Doppelobjectivs
veon der letzten brechenden Flaͤche an gerechnet ==
10000, ſo ſind
bie Brennweiten der Glaͤſer:
1. 311934. U. 4390.
die Halbmeffer der brechenden Flaͤchen:
L2166, 1.7085. I.46323. 1,5631.
Dieke der Eonverlinfe — 78. Dide der Concade
linſe — 31. Abſtand der innern Slächen beider Gläfer
= 31. Banze Heffaung der Eonverlinfe = 1003.
Diefe Maaße weichen ein weniges won den im meis
ner Abhandlung angegebenen ab, weil ich bey der für-dies
‚fen Auffag. wiederholten Rechnung noch Bruchtheife mit ⸗
. ‚genommen habe, bie bey der erſten Rechnung bey Seite
gefegt find:
18. Das hier berechnete Doppelobjectis vertraͤgt
eine fehr große Oeffnung, faſt die ganze der Vorderlinfe,
da die Abweichung für einen Einfalswinfel von ro Grad
an der erften brechenden Fläche gehoben iſt. Fuͤr kleinere
Einfallswinkel kann ſchwerlich eine Abweichung nach der
5 letzten Brechung Statt haben, oder wird doch nur unbes
traͤchtlich ſeyn. Für größere Einfallswinkel wird aller
> bings eine Abweichung eintreten; allein man wird ohne
Zweifel‘ einen Einfalswinfel von 12 Grad zulaffen kön⸗
nen, wozu die Oeffnung des Vorderglaſes gor-ifl. Die
Erfahrung wird bey einem nach den angegebenen Maaßen
(ausgearbeiteten Objectiv Ichren, wie groß die Oeffnung
genommen werden koͤnne.
K5 19. Die
\
\ N
254 . I Ste, Angabe
x 1% "Die, gefundene Einrichtung weicht bon der oben
. ($. 6) angeführten ſehr ab. "Eine Haupturfache ift die"
Berfchiedenheit der Brechungsverhältniffe. Wenn die Dicke
der Glaͤſer hintan geſetzt, der Abſtand der Dritten der ld
fer aber fo gelaffen wird, wie er Gier angenommen if;
und man nun nach den Sormeln $. 341. der Analyse
‚ , Disptrif die Brenntoeiten. der beiden Glaͤſer berechriet, die
Brennweite des Doppelobjectivs — 10000 gefeßt, |
findet ſich die Brennweite des Convexglaſes — 3052, 1 und .
die Brennweite bes Concavglaſes = — 4218.
20. Die angenommene Dicke der Glaͤſer fann ei |
kleine Abweichung der Ausführung von der Rechnung |
nothwendig machen. Wenn 5. B. die Dicke ber Glaſtafch
gu der Eonveplinfe nur wenig über 2 Ein. beträgt, ſo daß
dieſe nur ‘2 Ein. dick werden kann, fo iſt die Brennwein
des Objeetivs für dieſe Dicke 256 Lin. oder 21 Zoll 4
Lin. Für eine groͤßere Brennweite muß daher, wenn mar:
kein dickeres Glas erhalten fann, eine andere. Nechnung .
angeftele werden ‚ in welcher bie Dicke der Converlinfe in
Verhaͤltniß gegen ihre Brennweite Feiner genommen’ wird.
Inzwiſchen mag auch In diefen Falle unfere. Conſtruction
beybehalten werden. Denn bey einer geringen Veraͤn⸗
berung in. der Lage der Brechenden Slächen, als bier ſich
ereignet, werden die Bereinigungspunfte. der ungleichartle “
tigen Strahlen faft ganz auf diefelbe Are verrückt, fo beb -
- wenn gleich das Bild des Objects ein weniges feine Stelle.
‚verändert, dennoch die Deutlichfeit von der Farbenzer :
freuung gar nichts leidet. Die Strahlen, die um den |
Rand durchgehen, leiden auch fehr nahe diefelbe Werd |
berung. ihrer Lage, als die der Are nahen; ber Untere
ſchied IR nur des zweyer Eleinen Größen, nämlich der .
Abweichungen wegen ber. Geftale der brechenden Flaͤchen,
die teis.möglichft Hein gemacht haben, Sngwifchen wäre
| . «8
2 D
.
oo — ur .
Y nr, ‘ ’ \
— u ı-
\ u '
F eine Depp Bu ss
it, fir. große: Breanweiten die Rechnung beſonder |
machen, theild um fich von ber Abweichung zu verf-
n, bie eine relativ geringere Dice der Siäfer verur⸗
RR, theils auch um bequemere Maafſe zu verſuchen.
* bey einer relativ geringern Dicke werden die Einfalls.
VDerchunsswintet kleiner, und man hat alſo mehr: Frey⸗
die Halbmeſſer der. brechenden Flaͤchen zur Bequem⸗
keit der Ausarbeitung zu beſtimmen, ohne befuͤrchten
härfen, daß die Abweichung der Brechungsktaͤfte und
‚Ausführung nachtheilig. werden mögen, oder daß die 9
meichung wegen der Geſtalt fuͤr die ungleichartigen
rahlen merklich verfchieden aus falle. Ich werde zu ei
andern Zeit eine ſolche Rechnung vornehmen. Gleich⸗
8 iſt es für kleine Brennweiten noͤthig, ben Weg der
rahlen fuͤr relativ groͤßere Dicken der Glaͤſer zu berech⸗
damit bie Oeffnungen groß genug ausfallen... Der
ligkeit wegen koͤnnte man bey biefen bie Vorderlinſe
ichſeitig machen, und ſich dagegen allenfalls eine kleine
veichuns ber Strapien wegen der Sefalt gefallen laſſen.
an. Die uebereinſtimmung des Erfolge, in ber Aus⸗ \
rung mit ber Rechnung,. hänge theild von ber Uchereins
fe der angewandten Glasarten mit den bier angenoms»
wen, theils von ber Genauigkeit des Künftlers in Befol⸗
171 der vorgefchricbenen Maaße ab. Eine Kleine Ver⸗
—2
ledenheit der Brechungsverhaͤltniſſe von den bey der
nung gebrauchten, lann nicht nachtheilig ſeyn, weil in
iu berechneten Ob jectiv alle Farbenzerſtreuung gehoben
pi and unſer Auge keine gebmetrifch genaue Vereinigung .
Strahlen fordert. Wuͤrden die Brechungsverhaͤltniſſe
e ‚gleichförmgg geändert, fo mürbe nur das Bild ver⸗
de, und die ungleichartigen Strahlen werden, wo nicht
nau, doch ſehr nahe, in einen Punkt vereinigt werden.
om einem m Unserfihe in der er Garbenjefiremung Bin a |
—*8
“5:
ur ve 0 JE Klügel, Angabe
Intervalls der. Glaͤſer wieder ver„üret merden koͤnne,
groͤßer geſetzt als es ſonſt noͤthig geweſen waͤre. Iſt Die
genommen ift, fo ift dies nicht hinderlich, meil durch dM
Einrichtung des Glaſes ale ungleichartige Strablen ge ;
—
| 5 - muß mehr als ein Converglag fchleifen, mit etwas verfchle :
| meſſer, als bier angegeben if. Am beften iſt es, wenn
Worde afe von der Unnahme und der Vorſchrift — *
des Glaſes, die nach unferer Rechnung ganz gehoben ib.
Ä Brechungsverhaͤltniſſen ihre Rage ohngefaͤhr eben fo, wi
. Kändiger, die Maafe nach meiner Methode zu berechnen
was meße u Geforgen. Do ‚wird man durch eine Ben
£ änderung in den Abftande der Giäfer beifen können, da Ä
. bie allgemeine Rechnung, mit Weglaffung.der Dicke der
„Glaͤſer, zeigt, daß eine Veränderung in dem Brechungh
aud Zerftreuungsverhältniffe durch die Veränderung 2
daß die Brennweite des Concavglaſes für die mittlern
Strahlen dieſelbe bleibt. Darum ift auch dag Interval
Sarbenzerftreuung durch das zweyte Glas geringer als a
einem noch groͤßern Umfange bereinigt find.
22. Am nachtheiligften ift eine Abweichung an en
Rechnung. Denn die Abweichung ber mittlern, der Axe nahen
Strahlen wird durch das zweyte Glas vergrößert, naht
in dem DBerbileniffe der Quadrate der Vereinigungsweitet
von der Mitte des Glaſes gerechnet, bier wie die Dus
‚brate vom 9754 und 32106, daß iſt, wie 1:10,89. Deu’
‚dem Unterfchiede der Farbenzerſtreuung ift auch bier mehr
su fürchten, al8 von der Abweichung twegen der Geſtalt
Die abweichenden Strahlen ändern bey etwas un
die an der Are nahe hinfahrenden. Eine Veränderung dei j
Libſtandes ber Glaͤſer kann auch bier helfen. Oder mar -
denen Brennweiten, aber demfelben Verhältniffe der Halle.
ber Künftler die Brechungsverhältniffe in feinen Glasartes
genau fennt, woraus er ſelbſt, oder ein Mathemaͤtikver⸗
23. Die
0. . “ v
& . te, si . - «.
43. De veetn— eines breyfachen Diem
F * alle Zerſtreuung iſt fehr muͤhſam. Die Aus.
en mißlich, da wegen’. der Befchaffenpeit der
ten und der Abweichung von der Borfchrift bey den
Barheitung, die Sehler. ben drey Glaͤſern ſich weit mehr
Km: ſonnen, als bey zweyen. Ein vollfommened Dope
tie hat den Vorzug der größern Helligkeit des Bil
attet dag dreyfache Dbjectio einen größern Halbe
Br ‚der -erfien.. brechenben Fläche, ohne die Einfales
—— nachtheilig groß zu machen, ſo
es dadurch iu Abſicht auf Helligkeit dem Doppelob⸗
w gleich kommen, oder gaͤr es uͤbertreffen. Sonſt iſt
Vortheil, daß die Glaͤſer des dreyfachen Objectivs
dere Brennweiten haben, nur alsdann erheblich, wenn
Abweichung wegen der Kugelgeſtalt nicht ganz gehoben
:: Weg großen Brennweiten des Doppelobjectivs kann
u aber auch, wie vorher ſchon bemerfs.ift, Dem.
dena: der. Vorderflaͤche des Convexglaſes relativ
machen, da in diefem Zalle bie Einfalis⸗ und Bre⸗
Big nur mäßig find. Darinn hat da dreyfache
* einen eigenen Vorzug, daß die Angleichartigen
wahlen, die von dem Rande des Objſects durch die
Kge des erſten Glaſes gehen, durch Die zwey audern
‚garaliel gemacht werden koͤnnen, ſo daß auch. in Ab⸗
Mafia Bi Garbengerkreuung unmerklich wird.
I Das von mir gebrauchte Verfahren: weicht.
44 dem ab, deſſen ſich Jeautat in den Pariſer
andiren für 1770 bedient hat. "Er hat hier Tafeln jun
—
2 ei. Dorn, | , 7 .
[2
Er Eu
Ku
%
⸗
mfertigung, nicht allein gedoppelter und dreyfacher, ſon⸗
fü auch vier⸗ und. fuͤnffacher Dbjective geliefert. Eine.
Hfeines. Doppelobjectioߔbefleht aus einer gleichfeitig.
aberen Linſe von Venetianifchem Glafe, und einer Con⸗
— —« von dintalas. Die Halbmeſſer der exſten drop.
; | 0 broe⸗
- “ v
Pr ” . . R .“ N,
vu
⸗
Glasarten find eben fo die Halbmeſſer aller innern Sid.
“ =.
um ä %
258 | n. Klagel Angabe
brechenden gläcen find fich gleich, per halb neffe ve
vierten Fläche iſt relativ beträchtlich groß. Die ander ,
Art beftcht aus einem conver » concaven Vorderglaſe non.
. Slintglad und einem converen Hinterglafe von veneriahk '
ſchem Glaſe. Die Halbmeſſer dee inneren brechenden Sid:
chen find fih gleich, und die ber aͤuſſern find ſich end.
gleich, und viel größer als jene. Bey den andern, *
fammenfeßungen aus abwechſelnden Linſen von den
ſich gleich, und bie der beiden aͤuſſern ebenfalls. DR.
Winkel, welche die Halbmeſſer an ben Brehungspunfim -
eines beſtimmten Strahles mit der Are machen, werden
für die innern brechenden Flächen einander gleich genom -
men, und der Halbmeffer der legten Fläche wird fo be⸗
ſtimmt, daß der Winkel des Halbmeſſers an dem
chungspunkte mit der Axe, dem Winkel des Halbmeſſers de
erften Släche mit der Are ebenfallg gleich wird, und ie |
gleich fo, daß bie ungleicjartigen Strahlen parallel wer⸗
“ben. Jeaurat bedient fich nicht der dioptrifchen Formels
. für Strahlen, die der- Are“ fehr nahe liegen, fondern
berechnet fuͤr zwey verſchiedene Einfallswinkel an der en
fien Släche, den von 1" o und den von 6° 50’, ben Win
kel des Strahls nach jeder Brechung mit der Are: Di‘
Mechnung ift empirifch, das ift, es wird durch arichmetb
ſche Verfuche gefunden, wie groß ber Winfel der Halbe
meſſer an den Brechungspunften der innern Slächen mit
der Are genommen werden müffen, damit der Halbmeffer .
an dem leuten Brechungepunfte denfelben Winkel mit der
Axe mache, welcher für die erſte brechende Flaͤche ange⸗
nommen ward. Die ungleichartigen Strahlen werden bey
dieſer Methode eigentlich nicht in einen Breunpunkt zu⸗
ſammengebracht, wie Jeaurat annimmt, ſondern nur par⸗
allel gemacht, Auch find die Brechungspunkte für Die
moleichartigen Strahlen nicht Bifelben, wie Jeaurat file
ſchwel⸗
l
‘eines Doppelobjectivs. 159
gend vorausſetzt. Wegen ber Eleinen hier vorfome
m Winkel if die. Rechnung etwas mißlich, da die
n Sehler fich häufen können. Die Dicke der Glaͤſer
von Jeaurat in Betracht gezogen, alkin , wie es
t, in der That nur bey dem erſten Glaſe. Denn es
ten bey einer gegebenen Dicke der Glaͤſer bie Winkel |
s ben Brechungepunften gehörigen Halbmeffer mit der
nicht genau die angenommene Größe erhalten, Die
e follen ich faft berühren, daher in der Rechnung,
bſtand ihrer entgegengefeßten Slächen als null betrach⸗
ird. Dieſer Umſtand moͤchte auch einige kleine Ab⸗
ung verurſachen. Was aber als das wichtigſte gegen
rats Verfahren gu erinnern iſt, iſt? daß er die He⸗
der Abweichung wegen ber Kugelgeſtalt ganz vernath
fe Er befriedigt fich damit, daß die Abweichung an
Linfe durch die an ber folgenden, wegen ihrer entges
eſetzten Brennweiten vermindert wird, und hält zur
ing der Abweichung, wenn fie möglich ſey, für das
ge Mittel die Vergroͤſſerung der Halbmeſſer der bre⸗
ven Flaͤchen. Es iſt aber, bey den willkuͤhrlichen
ahnen, die Jeaurat gemacht bat, ſehr zweifelhaft, ob
je Abweichung wegen der Kugelgeſtalt hinlaͤnglich klein
en. Don feiner Conſtruction eines Doppelobjectivs
einem conver⸗ concaven Vorderglaſe und convexen
'erglafe führt er an, daß die Maaße genau dieſelben
„ als er fie an einem Objectiv gefunden, das vortreff«
fl. Dieſes ift begreiflich, weil bier, wegen der Lage
drey erften Flächen Eleine Einfalld- und Brechungs⸗⸗
tel vorkommen, und die legte Flaͤche, wo diefe Winkel
fer werden, einen großen Halbmeffer hat. "Bon einem
fachen Objectiv, das nach feiner Nechnung verfer⸗
if, und 4300 10 kin. Brennweite hat, ruͤhmt er,
es noch eine etwas größere Oeffnung vertrage, als
beſten engliſchen Verſpective von 6 ao. bit eine
Di
Pa |
160 IL Alligel, Angabe eines Doppelobj.
Deffnung von 15 uinien befommen ‚ da fin Objeen |
18, Ein. breis ſey.
25. Die Beobachtungen, welche Jeaurat über be.
, Brechungsverhältniffe des Venetianiſchen und des Flint
glaſes angeftelle Hat, find merfwürdig. Das dazu ange .
. . wandte Verfahren ift folgendes. Es ward von jeder die⸗
fee Glasarten ein halbes Convexglas von 29 Ein. im
Durchmeſſer und 2 Lin. Dicke aus derfelben Schale ger
ſchliffen; beide wurden zu einem zweptheiligen ganzen Glaſe
- - erkunden; das Bild der Sonne durch die eine Hälfte, in⸗
dem bie andere bedeckt war, warb auf einem matten Blafe :.
aufgefangen. Der Abſtand des Bildes von dem Glaſe
gab .die Brennweite der mittlera Strahlen. Die Dream
- weite der rothen ımd dioletnen Strahlen zu erhalten, ward f
ein rothed und violetnes ebened Glas nahe vor bad Dip, '
der Sonne geftellt. Aus den Brennweiten esgeben ſich u
Brechungsverhaͤltniſſe leicht.
26. An dem Venetianiſchen Glaſe, wovon der Cu-
blczoll 950 Graͤn wiegt, iſt
das Brechungsverhaͤltniß der rothen Strahlen 1, 258:1
— — ber mittlen 1,5298:1
— — der violetuen 1,5433:31.
An dem engllſchen Keyſtau⸗ oder Flintglaſe, wovon
der Cubiczoll 1215. Graͤn wiegt, iſt
das Brechungsverbaͤltniß der rothen Sirahlen I, 59208! V
— — der mittlern 1,5973:1
—
Das zerfrenumgoberhditni iſt 175: 309.
Fuͤr die Strahlen, die hier die mittlern genannt wenn
dan fäge das Breungeorhälniß viel näher an: bag fe. |
/
J
— — „ der violetnen 1, 6229:1.'
⁊
*
=. . \
eines Doppelabjetion on 16
die vötßen. es nd eigentlich diejenigen, deren Brechunge-
ltniß aus dem Abſtande des Bildes ber vereinten un.
| glei jartigen Strahlen gefchloffen Al. Man muß fiegang -
pr .
L
. dep Seite ſetzen. Ich werde fünftig die Berechnung eines ’ u
x x Dbjective wach diefen Brechungsberhältniffen vornehmen,
‚damit man fehe,. mas ein Unserfchieb der Brechungsver⸗
J galtniffe für Einfluß auf bie Maaße zu dem Obſjectid
| IE Id, f
Duni von einigen merProürbigen Ligen⸗
ſchaften der Bizonlal Coeffcienten.
“2;
=
2. Bing iſt, meines Wiſſens der er, der den me un
‚würdigen: Sat don den Auabraten der inomlal Cocſſp
cienten,
* ⸗
Pig
z +5 RE rennen X.
2. ı 2% 3°
, 51.305.7. Gn—r) 7
———— —. > ,
ar 4» 6.8... ' an : . yo’
| —J
uad zwar zufaͤlliger Weiſe, veunden Er fand um -
Ve eine gewiſſe Wahrfcheinlichkelt zuerſt den einen, und
fe dieſe nemliche Wahrſcheinlichkeit hernach auch den 5 |
; Uusorucd, woraus er ſchloß, daß fie gleich ſeyen.
nen analytiſchen Beweis aber, fast er, hätte er noch
aicht gefunden, und ein folcher ſcheine auch jieinſtch ver
heeckt gu ſeyn. Die Abbaudluns ſeht in den Berliner
wewoiren.
Sehen Bud. Dar GE
— Sn...
: |
/
I
h
A *
⸗ ' ” Pi
F 1% IR — |
163 II. Bugengeiger) merfwärdige Eigenſchaften
. MwMein erſter Verſuch, dieſen Satz gu beweiſen war,
daß ich die beyde Reifen
KUHN... HI
I—-IHTB... + 9
von denen bie erſte gleich o, mit "emander mipliite nn
das Produft in folgende Form |
\ r
*9 —— mehrere Leſer wird es nicht U ſeyn, zu erinnern
2212⸗⸗21
1, my, md, nC.. IL. En Pa. OP. au
um Poteniesponenten: m ee! ige Binsmials Sueffs
xienten, und zwar, nah ii Tdaung wie bier fiehen, den :
oten, ıften, ateı, Zten... nie... (munter... ten. 9
en au. bedeuten; 10 alfo in
&r mm—I.. ‚m—atrtt
I.2.0ooo.. acthr
Herr Bugengeiget hat ſich nehmlich, in diefer Abhandlung
Sur. ai ig, der yon mir für diefe Coefficienten eingeführrew
Zeige: mer Sylt. Perm, p. XL, 9) bedient, auf deren Be
quenilichteit, in Abſicht auf Furze D meine und leichte Um⸗
wandlung in alle Geftalten,- Herr Vrofeffor Flügel den Vver⸗
jaffer zuerſt aufmerkfam gemacht bat, Durch Beyhülfe die; u
reichen kann man den verwideltiien Verbindungen und
lationen bie Br Eoeffisienten leichter nachſpüren und ihre
Werthe auffuden; wonon auch gegenmärtiger Iehrreiche Aufe
Taß eine übergeut igende Probe sit, Mehrere jolcher Nelar
tionen und Verbindungen babe ich mir vorlängit zu meinem
J ee entwicelt und geſammelt; dergleichen J
J Anal. 167— 171.) und Herr Yrs
Rothe RS binam. — vniuerf, demonftr. 1796. 85. IV; Vy
VI, VI) auf —7 — haben; auch Herr Prof. Klügel, mad) .
einem mir ohnkängft darüber zugefendeten Auffare. Davet-
und wie fi rg ge ‚Sufummenfegungen urminelber auf
der Confiruetion folder Esefficienten, mılt Zusiehung derei
fahten combinateri Verfahren, ableiten laffen, ben Be
jebener Gelegenheit, und vielleicht bald, an einen andern
drte.
Hindenburg
. der Sinsmial, Eofflienten \ 163. i
ra mr 22, DB... + 1.07
— SAL) 231-2) — 2E(ı- mm)
— ZN) HB U) — RE(t- U 2%)
etc.
| brachte, woher man, weil
1 1- Ya
A = — if; 1— BU = I
dur leichte Rechnung erhaͤlt,
1. + 1 my... +1. ne ee “
BR. 2 mg)
woraus fogleich folge
"KIM... PL. mg — mengg
welchen dee Sat von La Grange auf eine leichte Art,
wenn man m=—n feßt, hergeleitet werben fann.
Nachher, als ich diefe Rechnungen laͤngſt zuruͤck⸗
gelegt hatte, fand ich in dem Vand von 1781 ber Ad.
-
Petzob. jivep Abhandlungen von Euler: de mirabjlibus
proprietatibus unciarum binom. etc,, worinn er auch. den
erſtern Sag aus den letztern allgemeinen berleitet, weichen |
er, mittelft feiner befannten Bezeichnung ber Binomjalo
Koeffigienten, auf eine ſehr einfache Art beweiſt. Da Euler
dlefe Eigenſchaften merkwuͤrdig fand, ſo wurde ich bewo⸗
gen, auch meine Rechnungen wieder hervor zuſuchen, und
Be Hier mitzutheilen.
N ı 62 eg Glan, baßı wenn |
I u BE N
* Rh von ren bezeichner und man ſezt
Die Vorzüge der Bezeichnung folcher Glieder durch die von
er eingeführten, . zn et ne — — |
=." TER, u ber gewöhnlichen, O1 Kam 937 94 UND
200 b ) ausführt Be da drũcke, — in
Ss
164 IH. Bujengeiger, merkwuͤrdige Eigenſchaften
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für ungerade genommen werden muß,
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— >. - \ - EEE
£ . y 2 = ! -
166 II. Buyengelget, merkwuͤrdige Eigenfihaften |
6.7. Der Sag in $. 4. läßt ſich unabhängig von dem
in & 2., durch Huͤlfe folgeuber zwey Säge, auf eine ei
fache Art herleiten. |
. 1°, («—P) («1r7. ig - — 17. 6-20)
; ma. — Bir. er -
2°. al. m den. — (a-Aym.m
a (IN. ed AR, et. A-1rT)-
Parka HB. RB... —iv.xxq)
Ä Und wenn wan hier a ſtatt Nſetzt, fo erhält man
"al 1. —B. AB... 1 a ”
= A(i-Hemigl.eX + 13.02... 1. ex)
oder der Rürze wegen aAP=— BQ.
J denn wenn men in 1 ftatt Ylnahundnahit a... X |
; febt,. fo erhält man (.—P -ıYrT . P-ıyT Ä
Ferner fege man in 2” ſtatt Ul nach undnach A, B... u. fm
fo erhält man
@—-Pd (IFA + 3.08... 1)
' u-2
(HDD... 1. “)—
xXX
B614A. PAY--eB.IB... 1. s-ı 4 ).
oder ber Kuͤrze willen (. — B)S= aQ— BP.
Hieraus erpäle man ſogleich 5 er Qb.i.
X
IH HB, — ne
a
-
(ı +. HB. BB... ira )*
*
E u der Binomial⸗Coefficienten. . 167
„mo. man. zulegt, wenn man immer nad) und nach
| sl, æ—2, a — 3 2... 1, ſtatt a fr belemut
| 1.1. X... + ı. 32 —*
|
8. 8. Aus dem Say 1°, in $. 7: kann noch ehr ander
= tee mestndreigen Satz hergeleite werden, da naͤmlich
FT a Fa ſo iſt
4 a Br
8
. .
| 4Væiu— *tivi. xi — (x Bm) WERT
aß—n(e#) “am”
&D.
s =I —2
folgen Hr I —
Woher man, wenn man nach und nach — u. 2 w.
| ſtatt IT ſetzt, belkoumt
——e— ar ur 2. ®. wu
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1 7 aß
„ ePfzn reg |
*
8. 9. Sekt man bier Mi Ratt IT fo iR a;
mb flo alfo ı „an Pie). DD, Zu
MM: — 2 rd 2) “a —— ER
” a4
# Le
“3.08, oß
$. 10. Es ſcheint nicht, daß ſich für bie, Reihe
. 1— A. 4 8. 3... + ein aͤhnlichet
Ansoruc finden laſſe, wie für bie e Reihe , |
nr el. EX te BD. u m 1. AU
.
“-L
.
24 | Auch
“ #=
"268. 11. Bugengeiger, merkwuͤrdige Eigenſchaften
Auch Lit ſich feines der dorhin gebrachten Verfahren
dabey anwenden. Dennoch findet ſich fuͤr die Reihe
(MH D’— + 1° ein ähnlicher
Ausdruck, wie für die Reihe ı RN £ (3°...
|
|
|
|
|
der für ungerabe a aber immer o tird; welches man leicht |
der Reihe anficht.
2 [a3
$..12. Die beyden Relhen z, — "U... PA
ei
and 1.IHA.PY... +. PA find von einander abs
haͤngig/ und man fann bie erfle durch die zweyte and.
brücken;. denn es iſt befannt, daß wenn
a+bx+ cr ete. ⸗S, ſo iſt
Aa+Bbr-+ Cor — ete. ... —
AAxdS AA xd's A'A. xꝰ d's
— ıdx' * 1.2dx* 1.2.3.dx’
Macht man von diefem Sag hier Anwendung, und nat i
anftatt a
die Groͤßen 1, A ,“d, «TC ’
Und flate , 435 2; er D,E et.
die Größen 15; — PA; PB; — PC, PD»
fo RS= (+2), Und nach ($.15 1°) unds. 4.)
—AA=LI+ UN AH'% -
+HAA= LI FH ULUH BB *B
—
N “-. «rt
+ AMA—1. EBD. rl. A
Solglich Hat man
* —
A. AxB Ba — Cr...
(1 -Fs)e — U PHACIHN ec BB (Irene
“-ı
ARE NEIRT . nee"
$. 12.
de Smnonial Eon. as
x 12. Sept man x S1 ſo hät man |
AH. —
a HB... ee. Kr ——
Sett man in $. .y=—ıf edle man Ä PR
am. Li E22 Ze nn —
.. 8. 13. Sch — ſo iſt J |
az + (2). Bımamır ne 2
ar Befes Fe 2 2 u. Solgihik
“X
ee... ie
Reihe, welche fuͤr jedes ungerade a, Null wird BE
16.74 Um nun file 1 (eX)’ a). EL 53
uch einen andern Ausdruck zu finden, —* man
—8 1— Air di— Cr... Le
beyderſeits durch ze (1 J— und nehme bie Integra⸗ —.
"Yin, ſo erhaͤlt man ur
far dem et (ier)ed MR f[x® (t-Fx)ede
peB fat (idnede... * — — dx
Nur iſt allgemein, wenn man nach bem Integriren x0 ſetzt
——— ds fartiraedx. .
wo das obere Zeichen für gerade 16, das untere aber fie ; Be
ungerade gilt. Hieraus folgt |
” ä a 1. a418 *
— 1 . ng
Se: Ir -( + at oo |
Zu m . 3
9 PER " Are un
Be mn. .. .. Pt I ger .
Fee * trade
Br 2 Ryan en
* \ J 9 — | _ | . ® 5 ” u “ \ | Rus . u | 2
” 5 = Ba ” v NG . \ ur *
170 un. Buzengeiger, merkwuͤrdige Eigenfchaften
Nun iſt für 0;
Rd
frrarydı = * I und
ß
Er
Brd
Srursjdı „DE
Pr)
Sierant belommt man fegleich
9—
4 A 3 Bye
et Peg 7
Fr A
$. 15. fo gerade, fo iſt
her
el 2r(BH-r) (+3) (+5)... (Bra—ı)
wu re) REF) re
' Iſt * ungerade, ſo iſt
Er 2 (Br) (BH3) (HS) +)
Ei EB, (etPtı\atBt3
5. 16. Setzt man = — a, fo If
⸗A — —A, Ed Bufn. PER:
“1
ar et. ER⸗A1
> _ ge.
* 2.4.6 .:.:.%
Ueber
. 4
74 — “
ı dee Binoisal, Enefente. 171 .
—R für ein gerades a, wobey aber das obere ober J
untere Zeichen genommen werden u ‚ wagen 7, J
herade oder ungerade iſt. Bu 2 B
Bir ein ungerades a aber if allemal fie R= — a
. Y. Fr | , | \
=0 ' Bun
Fi "
Bun in für. jwes gerade ⸗
el‘ = + instand,
Br 2.4.6... “ u
5. 17 Da |
HD) „he > 3:5:7.. Ge).
4:6.8... 28 |
und nad) $. 16. | |
th 135.00, ie
2.4.6 . 20
fo ficht man, daß bie Seoden Keiben oo
HN FERN. + unb IC)" uhr _
gleicht numeriſche Werthe haben, und daß fle volfommen —
sie find, wenn u gerade mal gerade iſt.
"18. Da nach $. 13. .
r ee) + (2B)',,,. + = 2 2201 ey X
24*1
En 4 2008 2. Ian ee 2 53 Bus
fe iR die Reihe a
au- PER ya: 920-2, a 22. + 1. 4 are
" —_ I 3.5. (au), |
2 + 6. 202%
372 DIL Bujengeiger, merfiwürdige Eigenſchaften
6.19. Noch find folgende zwey allgemeine Säge, m
ben bisherigen von einerlen Art, merfwärdig.
a a —— * a(a—b) =
b(b-+e) 649
„th (3) -b-9) . a(a—b)... (i =
bib-Fe) 649) (+0) ‚ bib-r.e).. 040)
x —b) (@—b—e) web). — >
bb-+e) b+9.. 6+8)
aa-b(a-t+a) —— (aa· (be)(a a)
ST Fi —
(@-bYa-b) b-e) (a-b-e) (au- 649 (a+a))
b.b (b-+c) (b+e) — —*
(ab) (a—b) («—b—e) (ab)
— + —— h (+6) +) u.
en — ——————
64 b-+0) 6-8) (&+*)
- at:
(a-b) (a-b) .(a-b-0) (#-b-0) ..... (a-b-0) (4-50)
bb re. c (+2)
woa,b, eu X * „ jede beliebige Größen ſeyn
#önnen:
Set
. e
der Binomial⸗ Eboefflcienten. 173 |
Sraemeni” 4 —1* =—4; b+0=—$';
b-pc= —ı3’ 3 ——— 16 u. ſ. w.
fo erhält man
1.1 1.1.3.5 1.1.3.5. 7.9.
4:4 4:48.83 4.4.8.8.12.12
_3.5,79, 11.13 2y2
—
4:4 wi 12.12
Welche Reihe Euler ſehr merkwuͤrdig nennt (Vid. d.
Ellipſi minima dato parallelogrammo rectangulo
| Sroumferibenda. Audl. Euler. Ad, Petrop. 1780.)
Setzt man in 2”.
1
en; = —6ete,
- fo erhält man
5.49 4.16 16.13 4.16. 36.17
I _ u
"9.925 9.2549 9.25.49 87
4.16.36..64 . z
— Be
'9.25.49.$81 u. ſ. w. 2
J
*
IV.
J
F
174 Naſtner / Summe und Unterſchied
W.
Summe und Unterſchied von Tangente und
Secante.
ı+fin®
Too ®
Ban febe 9—=90°—6; ſo iſt (Lrig. 19. ©. 9 Zuf. 9
biefe Summe =
ER CE 10 EHRE —“
Ei ag ea 30)=tang(45°440)
2) Aut Seep—tang®—= tang (45°— 30).
"erhellt wie (1) nur die Winkel verneint geſetzt, oder
auch aus Trig. 19 S. 7 Zuſ
3) Daber \
2. lee ¶ — tang 45*0 tang (45 ⸗40
2.tang O — tang (45°-+3P) — tang(45°— 39)
4) Wenn ein Winfel von o Bis 90 Gr, waͤchſt, fo
geigt ſchon (3) daß die Tangente der Summe von 45 Grab
und feiner Hälfte immer näher an das Doppelte ſowohl feiner
Secaute, als feiner Tangente fommt.
s) Dun a TEE TER no) »
Diefer Quotient waͤchſt von ı bis 2; indem & von v Dib
90 Grad wähft.
tang (45° 530) _ 1
9 tang d — Mo RL
Diefer Duotiene nimmt unter ber Bedingung (5) vom
Unendlichen bis an 2 ab.
2 Secp-Htangp =
7”
von Tangente und. Epcante. 178 |
"ang (45° —3P) ,_
n. — *
zdimmt unter: erwaͤhnter Bedingung von 1 die p ab.
) tang (45° —EM . 21
ae mao
immt vom Unendlichen sie an o; ab.
= 1679
main
‚9) Der Unterfchied zwiſchen Secante und Tatigente |
nime immer ab, die Summe koͤmmt immer naͤher an
as Doppelte eins der. beyden, weil beyde der Gleichheit
umer näher fommen.
‘ 10) Erempel: Ein Winkel ſey = 89 30"; ;, feine:
älfte = 44 45, zur Hälfte des ‚echten aidei hai
j 8.9 45°
. fee. 1145930134801
tang 114,5886501293 - |
Summe = 229, 1816636094. N
ben fo groß iſt die Tangente von 99° 45. Die Zahlen
nd, aus Gellibrandi Trig. Britann.
11) Auch iſt die Summe beynahe das Doppelte jäng
rer beyden Theile.
12). Aus (1) koͤnnte einem wohl einfallen ſo zu
chliehen. Wenn der Winkel 90 Gr. ſo iſt die Sum⸗
we feiner Haͤlfte und des Halben rechten auch ein rech⸗
ts; alſo ſee 90° tang 90 ⸗tang 90.
| 13) Das nun verbietet (6). Alemabi iR tang
4539) größer, als 2 tang ®, und ‚nähert ſich
kur, abnehmend, dieſem Doppelten, wenn P ſich 90 Gras
m nähert.
is) Alſo den Winkel — 90 Graben zefebt, wird
ad, was in (6) rechter Hand ſteht — 2, und giebt dieſe
dahl für den Quotienten linker Hand, welches ſich mit
- u. Ä ) (z.
« von bepden gleich ſeyn; gegentwärtiger Satz aber ſagt eben
Ä
176 IV. Käftner, Summe und Unterſchied
‘(r) vergleichen läßt, teil beym vechten Winkel Zangenf
und Secante nicht zu unterfcheiden find. |
15) Eigentlich aber bat rechter Windel weder Tan
gente 'noch Secante. Die Gleichung (12) fagt alfo in
Worte uͤberſetzt:
Seäecante eines Winkels, der Feine Secante bat, und
Tangente eben bieſes Winkels, der auch feine Tangene
hat, machen zuſammen Tangente eines Winkels, der keine
Tangente hat. Oder allgemeiner: Etwas, das nicht jf,
und noch Etwas, das nicht iſt, machen zuſammen dat...
letzte Etwas, das nicht If.
16) Bey dieſem Satze verwechsle man nicht Etwat/
das nicht iſt, mit: Etwas, ohne dabey das Nicht feyn
zu denken. Zwey Etwaſſe zuſammen koͤnnen nicht einm
ſoviel, als: Ein Nichts, und ein ander Nichts, ſind zu⸗
ſammen weder mehr noch weniger, als das andere Nichts
allein.
17) Nur der findet bey (12) Schwierigkeit, der Ach |
das Unendliche ald Etwas Wirk lich es denkt, eine un
endliche Secante, die, mit ihr zugehoͤriger unendlicher
Tangente, ſo viel betragen ſoll, als eben die unendliche
Tangente allein.
| 18) Wenn in (1) der Winfel = 0 iſt, ſo iſt die
Summe ſeiner Secante und Tangente ſo groß, als die
Tangente ber Summe feiner Hälfte und der Hälfte rd
rechten Winkels. Da ift von den brey Dingen, bie in
ber Sleihung vorkommen, das erſte: Etwas, das aw
bere: Nichts; alfo das Dritte dem Erften gleich.
. Ein Winfel —=o, bad if: Fein Winfel, hat auch
eigentlich feine Secante; aber wenn man ben Winfel abe
uchmen läßt, fo nimmt feine Secante zugleich ab, und
koͤmmt dem Sinustotus fo nah, ald man will, wenn man
ben Binfel fo klein werben läßt, als man mil. Des ab
nie hmen⸗
J
\
von Tangente, und Secante. 177
nehmenden Winkels Secante hat alſo eine Graͤnze, die
man angeben, und ſo als erreicht anſehen kaun. In
der Bedeutung nennt man die Secante = ı für den Win⸗
el = 0; aber des Winfeld feiner Secante, der bie zum
rechten waͤchſt, hat. feine Gränze, bie ſich angeben ließe;
"dag fagt dad Wort: Unendlich.
19) &o bebeutet in (12) feiner von ben drey Namen,
De in der Gleichung vorkommen, einer wirklichen Größe,
und was fie alfo fagt, läßt ſich gar nicht fo auslegen, wie
‚das, was eine Gleichung fagte, wo dergleichen Namen alle
drey, ober wenigſtens ein Past, wirlliche Groͤßen be⸗
deuteten.
20) Aus einem Verhalten wiſchen Größen laͤgt ſich
nichts ſchließen, wenn die Größen aufgehoͤrt baben,
Sroͤtgen zu ſeyn. Wenn in einem rechttoinklichten Dreyecke
An Winkel 30 Grad iſt, fo iſt die Seite ihm gegen⸗
über halb fo groß, als die Hypotenuſe. Das bleibt, wenn
Geite und Hppotenufe gufammen abnehmen, big an dee
Winkels Scheitel; ‚aber im Scheitel ſelbſt find nicht etwa
drey Punkte, die ſich wie : 0,5 : 0,866... verhalten,
i 22) Ich ſage aufgehoͤrt haben. Im Aufhö⸗
ren bleibt das Verhalten, nach ſeinem Geſetze, beym
Verſchwinden und beym Unendlichwerden. Vom
letztern iſt für gegenwaͤrtige Unterſuchuns ſchon (10) eine e
Erläuterung. -
22) Wollte man ben Schluß (12) in forma darſtel⸗
ken, fo ſaͤhe er folgendergefialt and:
Tangente und Secante eines Winkels machen zuſam⸗
men Tangente der Summe von ſeiner Haͤlfte und
485 Graden;
Aatqui Tangente und Secante bed rechten Winkels find |
Tangente und Secante eines Winkels,
:GSechotes Stud. R Ergo
N
- j
F moͤge gefreut haben, der auf dieſem Schachbrete drop;
378 Kaͤſtner, Summe und Unterſchled 5 3*
Ergo machen Tangente und Secant⸗ eines —
WWinkels — Tangente ber Eanme ven zu |
und da wuͤrde Fr dem unterſat (dugnen (sy 4
23) So hätte, doch die ſyllogiſtiſche Darſtellang *
Nutzen, daß man bey br fogleich wahrnaͤhie, welchee
Vorderſatz unrichtig iſt. Wenn man "ein Entbymeme
"macht, nur Oberſah und Sqhlußſatz nennt, fo ſchleich
ſich der Unterfag vigleicht durch, ohne daß man er
Unrichtigkeit bemerkt. R
24) Wenn man Geld zaͤhlt, fo wird nicht mebt x. ud
‚weniger, ob man es erdentlich Reihenweiſe hinlegt, One:
nach Würfen zähle; Aber "bey den Wurfen kaum, wenn
man ſlch auch dabey ſelbſt nicht irrte, wohl ein ungätäg. Ä
Stuͤc unterlaufen, das man in den Meißen bemerka
‚würbe.. &o denfe id; don der Syllogiſtik die freyttg
"Bey den jegigen Philoſophen unter die verlohrnen; ei:
"wohl nie gelernten Künfe gehört. Man verachtet |.
"weil durch ſie Feine neuen Wahrheiten gefunden würde .
Und boch iſt erfktich nicht ausgemacht, daß das nie gb;
ſchehe, und zweytens, wie viel neue Wahrheiten haben:
‚dent ihre Berächter erfunden? : Denn. neue Wörter up)‘
neue Streitigkeiten, imit denen man fo. wenig zu Enke;
kommt, als mit den.alten, nennt wenigſtens der Mathe;
matifer nicht: neue Wahrheiten. Ordnung dep
‚ @eldgählen verachtet doch ‚ulemand beßwegen, , weil 13
das Geld nicht vermehrt. 5
2) Ich habe unlängft gelefen, baß en Pbitofopß."d
nener ais Ebriſtian Thomas.. die Spllogiſtik mi eine
Schachbrete vergleicht, und beſchrelbt, wie der erſte All;
Saͤtze geſtellt g tab mit Verwunderung wahrgenonmen
F bat, wie aus ween der dritte folgt. | J
E | , 26) Wr
N
r " .
- .t to. | .
⸗ . .
’ ’ Na
» .
u
von Tangente m Secante. 179 |
1" 26) ie ſcheint doch Im, dae Shadibree und
e Spiele darauf verdienen Adtung als Erfindungen
ntender Köpfe, obgleich nicht alle, welche fich mir die⸗
R: Spiele beluftigen , -deufende Köpfe ‚find. Ich Haste,
gig Freunde , die gute. Schachſpieler waren, und
om ich ihnen geſtand, daß ich zu diefem Spiele keine Ger
Wbrgehabt hatte, mich, ale Mathematiker, deßwegen
halten ; ich bewies ihnen aber, daß dazu fein Mathema⸗
Fästerfordert werde; denn feiner von ihnen fonate eine
abilmurgel ausgehn. So haben ohne Zweifel Schule
Wisfophen die Syllogiſtik gut auswendig gefonnt, ohne
8 Ihe Verſtand dadurch viel gewonnen hat; aber das
weiſt nicht, ‚der Berfiand koͤnne fie nicht brauchen.
.:07) aß ich bisber erinnert habe, wird auch dent⸗
q machen, warum man aus (3) nicht ſchließen darf,
d rechten Winkels doppelte Secante; oder doppelte Tan⸗
ae, ſey feiner. einfachen gleich. Die Bleichungen gelten
w von allen Binteln, bie Taugenten und Secanten
chen.
28) Wenn man in jeder berechnet, was rechter Hand
it, fo findet man doppelte Secante oder Tangente
Ki yanyen Winkels durch Secante oder- Tangente des
Hin ausgedruckt; alſo Wahrheit, die noch bleibt.
m man din halben Winkel — 45 Gr. ſetzt, da geigen
| Nastrichngen was Unendliches an; alfo, wenn
Sad Wort brauchen will: doppelte Unendliche, dop⸗
Einfachen gleich, erſcheint, wenn man rechter
nicht. gehörig berechnet bat, was für jeden unbe»
amiten Werth von 3 D aus beyden Theilen rechter Hand
immenfdiumt, und was fi in ihnen aushebt, das
WE man im jeden Ausdrucke zuerſt berechnen, und dann
k Sedingung, Die auf was linendliche® führt, hinein
Hugen. Dieſe Vorſchrift verwahrt allemahl vor Arnthan
— — M2——
Unendlichen gleich. Die Schwierigkeit, ein Doppeltes
a 30 v. ziſet, über bie Besfbaffung
in den gu früßgeitige Unbeinging bed Unendlichen füße
fann. .
- 29) Daß Eofecante und Eotangente zuſammen R
tangente des halben Bogens ausmachen, habe ih me
ner geometrifchen Abhandlung II. Samml. 30 we:
gezeigt, wo ein Gebrauch davon gemacht if,
30) Geometriſche Conftruction eine Sapıd ji
bekanntlich e8 an, wenn man ihn auf Fälle a
win, auf die er fich nicht anwenden laͤßt. So hie fürf
Man verzeichne des gegebenen Winfeld Tangente uhb
cante. Von dem Punkte, wo fie einander fchmeiden, tet
man auf bie verlängerte Tangente die Secante, fo
man ſich leicht überzeugen, daß bepde Summen =
(45°4+ 39) Nur, wenn der gegebene Winkel:
tee ift, ‚giebt es feinen Durchfchnitt von Tangente |
Serantt, alfo findet da biefe Conſtruction niche ſtatt.
2. G. Kaͤſtner.
V.
Ueber die Wegſchaffung der Wurzelgroͤßen —
den Gleichungen, von E. G. Fiſcher, 70
feffor am — Gymnaſium m
erlin,
at 0 d
6.1. Io ber Theorie von der Wegſchaffung ber Ku
lien findet ſich in unfern Lehrbücheen der ——
eine wirkliche Lücke, indem die Regeln, die man
noch nicht einmal binreichen, aus jeder einzelnen
gleichung, und noch vielmeniger au „Bleichungen
allgemeinen Sormeln, die Murzelzeichen zu entfernen
der Wurzelgroͤßen aus den Gleichungen. 131
ei meine Kenutniß mathematiſcher Schriften reicht, iſt
eſe Luͤcke noch nirgends ausgefüllt, und ich hoffe daher,
Bee dem mathematiſchen Publikum nicht unangenehm
wird, bier wenigftend einen Verfuch dazu zu finden.
42. Die gewöhnliche Regel lautet befanntlich fo:
au foll die wegzuſchaffende Wurzelgröße
kit Seite der Bleihung allein bringen,
nd alsdenn zur Höhe des Wurzelerponen»
w potenglicen; wären ber Wurzelzeichen
ehrere da, fo muͤſſe diefelbe Arbeit nur
ee wiederholt werben. Dieſe Regel aber er»
nur ‚in folgenden zwey Fallen ihren Zweck vollkom⸗
it 1) wenn feine höheren Radicalien als vom weyten
Mde vorkommen; 2) wenn ein einziges ‚höheres
fe, mit oder ohne Duabratwurzeln, da ift; in wels
fe man nur noch die Regel beobachten muß, das
ve Rabicale zuerſt wegzufchaffen.
1: $. 3. Finden ſich Hingegen mehrere höhere Wurzels
j | (es derſteht fi verſchiedene, als Vx, Yy;
N g z 3 *, + Fe
Yx > Vx, vr; oder Yyx, Vx; u. d. 9. m), in
&teihung, fo wird bey Anwendung der obigen Res
(2), bie Anzahl der Wurzelgrößen bey jeder Poren
ung vermehrt, anftatt vermindert zu werden; wovon
ſich leicht durch die erfte befte Gleichung, die zwey oder
5 höhere Wurjelzeichen enthält, z. B. * x a y y,
gen kann. Denn man erhaͤlt zuerſt
+ satyypioa’yy’+1oa Yy’ısayytty
eher Verſuch durch eine bloße Potenziirung eine der
fjeln wegzuſchaffen, ihre Anzahl nur noch vergrößern, |
; doch nicht vermindern wuͤrde.
m 3 | 6.4.
278 Käftner, Summe und Unterſchied
Ergo machen Tangente. und Eecante eines rechten
Winkels zufammen Tangente der Summe von zwey
Halben rechten.
und da wuͤrde ich den Unterſatz laͤugnen (15).
23) So hätte, doch bie ſyllogiſtiſche Darſtellung den
Nutzen, daß man bey ihr ſogleich wahrnaͤhme, welcher
Vorderſatz unrichtig iſt. Wenn man ein Enthymema
macht, nur Oberſatz und Schlußſatz nennt, fo fchleiche
ſich der Unterfag vielleicht durch, ohne daß man ſeine
Unrichtigkeit bemerkt. |
24) Wenn man Geld zaͤhlt, ſo wird nicht mehr noch
weniger, ob man es ordentlich Reihenweiſe hinlegt, oder
nach Wuͤrfen zaͤhlt; aber bey den Würfen kann, wenn
u man fich auch dabey ſelbſt nicht irrte, wohl ein ungültige .
‚&tüd unterlaufen, das man in ben Reihen bemerken
würde. So denfe ich don der Syllogiſtit, die freyfich
Bey den jetzigen Philoſophen unter die verlohrnen, auch
wohl nie gelernten Kuͤnſte gehoͤrt. Man verachtet ſte,
weil durch ſie keine neuen Wahrheiten gefunden wuͤrden.
Und boch iſt erſtlich nicht ausgemacht, daß das nie ge⸗
ſchehe, und zweytens, wie viel neue Wahrheiten haben F
«denn Ihre Verächter erfunden? : Denn neue Wörter und !-
neue Streitigfeiten, mit denen man fo wenig zu Ende .
kommt, ald mit: den.alten, nennt wenigſtens ber Mathe
matifer nicht: neue Wahrheiten. Drbnung bey |
‚ Geldzählen verachtet doch niemand deßwegen, weil fie
das Selb nicht vermehrt. E
2) Ich babe unlaͤngſt gelefen, daß ein Bhilofoph... F
nener als Epriftian Thomas .. « die Epllogifif mit einen
Schachbiete vergleicht, und befchreibt, wie ber erfte ſich
moͤge gefreut haben, der auf dieſem Schachbrete drey
Saͤtze geſtellt, und mit Verwunderung wahrgenommen
hat, wie aus zween der dritte folgt.
26) Mir
-
u
= 26) ir ſchemt doch —* das Ecachbret und
Sie Spiele darauf verdienen Adtung ale Erfindungen
dentender Köpfe, obgleich nicht alle, welche fich mit dies
Br: Spiele beluſtigen, deukende Köpfe ‚find. Ich haste,
m. Leipjig Zreunde, die gute. Schachſpieler waren, und
‚wenn ich ihnen geftand, daß ich zu dieſem Spiele keine Ger
| gehabt hatte, mich, ald Mathematiker, deßwegen
erfordert werde; denn feiner von ihnen fonute eine
urgel ausgiehn. So haben ohne Zweifel Schule
— die Syllogiſtik gut auswendig gekonnt, ohne
ß Ahr Verſtand dadurch viel gewonnen hat; aber das
t nicht, der Verſtand koͤnne fie nicht brauchen.
5 Was ic) bieber Erinnert babe, wird auch deut⸗
\ aachen, warum man auß (3) nicht fchließen darf,
4 sechten Winkels doppelte Secante; oder Doppelte Tan⸗
te Tep (einer einfachen gleich. Die Bleichungen gelten
wen "allen Winkein, die Tangenten und Secanten
fo findet man doppelte Secante oder Tangente
—*** Winkels durch Secante oder- Tangente des
” a ausgedruͤckt; alſo Wahrheit, bie noch bleibe.
| Bien man den halben Winkel == 45 Gr. feht, da zeigen
e-Ausdrüctungen was Unendliches an; alfo, wenn
da Wort brauchen will: doppelte Unendliche, dop⸗
eu Einfachen gleich, erſcheint, wenn man rechter
Pr | * i Werth von 3 d aus beyden Theilen rechter Hand
akoͤmmt, und was fi in ihnen aushebt, das
— die auf was Unendliches führe, hinein
*
J
; ich bewies ihnen aber, daB dazu fein Mathema⸗
v nicht gehoͤrig berechne bat, was für jeden unbe»
F nat in jeden Ausdrucke juerft berechnen, und daun
— u. Dieſe Vorſchrift verwahrt allemahl vor Itrthum,
—8 Wenn man in ſeder berechnet, was rechter Hand \
"von Tangente m Secante. 179 u
elten Unendlichen gleich. Die Schwierigkeit, ein Doppelte® J
. Sefanntlich es an, wenn man ihn auf Ale anwe
man auf bie verlängerte Tangente die Secante, 2
man ſich leicht überzeugen, daß beyde Summen ==
a” v. She, über Die Weagſeffung
in den PM feüßgeitige Unbringung bed Unendlichen fi
fann. . x
- 29): Daß Eofecante und Cotangente muſammen
tangente des halben Pogens ausmachen, babe ich im
ner geomettiſchen Abhandlung II Samml. 30 Ubb. 93
gezeigt, wo ein Gebrauch davon gemacht if, . ..
:30y Geometrifche Conftruction eines Satzes
win, auf die er ſich nicht anwenden laͤßt. So hie für
. Man verzeichne des gegebenen Winfeld Tangente ud >
'cante. - Bon dem Punkte, wo fie einander fchueiden,
(45 40). Nur, wenn der gegebene Winkel.
ter ift, giebt es keinen Durchfchnitt von Same 4
Sean, alfo finde da dieſe Conſtructlon nicht ſtatt.
A. G. Kaͤſtner.
V.
ueber die Wegſchaffung der Wutzelcrͤhen ci
den Gleichungen, von E. G. Fiſcher, Per
feffor am € llniſchen Gymnaſium A
Berli lin.
4. 1. 6, ber Theorie von der Wegſchaffung der Rabl
lien findet ſich in unſern Lehrbuͤchern der Analyſis me
eine wirkliche Lücke, indem die Regeln, die man ge
noch nicht einmal hinreichen, aus jeder einzelnen Zapf
gleichung ‚_ und noch vielmeniger aus „Bleichungen 9 |
allgemeinen Sormeln, die Wurzelzeichen zu entfernen. OR
der Wurzelgrößen aus den Gleichungen. 192
weit meine Kenntniß mathematifcher Schriften reicht, iſt
Hefe Luͤcke noch nirgends ausgefüllt, und ich hoffe daher, .
bed dem mathematiſchen Publifum nicht unangenehm
tyn wird, hier wenigſtens einen Verfuch dazu zu finden.
4 2. Die gewoͤhnliche Regel lautet befanntlich fo:
TR foll die weggufhaffende Wurzelgroͤße
feine Seite ber Gleichung allein bringen,
ind alsdenn zur Höhe des Wurzelerponen»
en potenziiren; mären ber Wurgelseihen
ſehtere da, fo muͤſſe biefelbe Arbeit nur
free. wiederholt werben. Diele Regel aber ers
ME nur ‚in folgenden zwey Faͤllen ihren Zweck vollkom⸗
ſetz: 1) wenn keine hoͤheren Radicalien als vom zweyten
Nabe vorkommen; 2) wenn ein eingiges höheres
adicale. mit oder ohne Quadratwurzeln, da iſt; in wel⸗
em Falle man nur noch die Regel beobachten muß, das
Here Radicale zuerft wegzuſchaffen.
6. 3. Finden ſich Hingegen mehrere hoͤher e Wurzels
köen, (e verſteht ſich verfchiedene, ale x, Yy;
be yx, Yx, Ve; oder Yx, Vs; u. d. g. m.), in
ee Gleichung, fe wird bey Anwendung der obigen Neo
I (2), bie Anzahl der Wurzelgrößen bey jeder Potenz
ang vermehrt, anſtatt vermindert zu werden; wovon
an fich leicht dvurch die erſte beſte Gleichung, die zwey oder
ehr. höhere Wurzelzeichen enthält, z. B. * x ar y y,
ſeezeugen kann. Denn man erhaͤlt zuerſt
—* ———— +ioa'yy’ +sayy'+y.
r Verſuch durch eine bloße Potenziirung eine der
icjeln wegzuſchaffen, ihre Anzahl nur noch) vergrößern,
im doch nicht vermindern wuͤrde.
M 3 | | 6.4
E 153 V. Fiſcher, über die Wegſchaff ung
gabe in dieſer kleinen "Abhandlung -ift, auf das beſtimm⸗
alfo n mal fo viele Wurzeln; ed kann daher der letzten
—
\
6.4. Vollkommen allgemein wird ſich bie Elimini⸗
rung der Nadicalien bewerkſtelligen laffen, wenn ſich fol
gendes Problem allgemein auflöfen laͤßt. ’
"Eine genebene Gleichung
A)o=arbı-rcH + de‘ Hupe
In. eine andere Ä u
B) o=A-+ Ban + Cx2? + Dis... Pr"
zu verwandeln, deren Erponenten nwmal,;
größer find; wobey n ats ganz und pofieie,
vorausgeſetzt wird.
Um den Sinn dieſer Aufgabe, welche die Haupianfe,
tefte auszudrücken, fo werden in dem Geſagten für B) fob:
gende Bebingungen feſtgeſctzt: 1) jeder Erpenent von xie',
B) fol mmal größer feyn, als der Erponent vom eben⸗
fovielften Gliede in A); alfo fann 2) B weder mehr,
noch weniger Glieder enthalten, ald A; 3) B muß eim
Verwandlung von Afenn; d. h. es muß fo Befchafe
fen fepn. daß es auf alle Faͤlle für A geſetzt werben kann;
nun ift aber B von einem n mal hoͤheren Grad ald A, bat!
Sorderung auf feine andere Art Genuͤge gefcheben, alb
wenn B ohne Ausnahme alle Wurzeln von A enthält.
Es fey uflr übrigens erlaubt, dieſes Problem zur Ab
kuͤrzung im Ausdruck schlechthin das Erhoͤhungs⸗
problem zw nennen, fo tie ich auch die Gleichung B
fhiechthin die erhöhte Gleichung nennen werde ”
$. 5. Daß aber diefe Aufgabe nichts Unmoͤgliches
fordere, iſt nicht ſchwer zu ermeifen. Denn beſtuͤnde d
Slecchung A) aus den einfachen Factoren (æ - 79)
BEN ).....; fo koͤnnte man eine neut
Gleichung aus den Sactoren ( an z"x®) Br!)
( 4 aaan)..., formiren; man ſieht aber aus DIE.
| The
der Wurzelgroͤßen aus den Öleihungen. 133
Theodrie der Gleichungen leicht ein, daß diefe neue Glei⸗
chungen alle Bedingungen der Aufgabe erfüllen wuͤrde.
6. 6. Um nun den Zufammenhang beyder Probleme
(1 und 4) vollftändig einzufehen, bemerke man folgende®.
| Wenn man alle Wurzelgroͤßen, die in einer Gleichung
-sorfommen, durch gebrochene Exyponeuten ausdrüdt, ſo
. Werden diefe Bruscherponenten entweder einerley, oder ver⸗
ſchiedenin Srößen zugehoͤren. (Der erfte Fall if, in
| a ‚x, x? ‚etc. deögleichen in (—) J: IL etc.
De letzte Salt iſt, m x? , =), yi etc.)
Allle diejenigen Rabicalien unn, melche einer und ber⸗
ſelben Groͤße zugehoͤren, nenne ich eine Klaffe von
Rabitalien.
Eine Gleichung enthalte ſolcher Klaſſen von Radita⸗
Sen, fo viele man will, ‚fo richte man fine Aufmerkſam⸗
keit zuerſt nur auf cine berfelben. Sie mag Radicalien
enthalten, die ſich auf x beziehen. Man bringe die Bruch⸗
erponenten dieſer Klaffe unter einen einzigen Nenner n,
"and ordne dann die Gleichung nach dieſen Diynitdeen
von x, fo wird fie die Form | -
02 3 E
em=a-rbın +cia + +... +-pxa
- erhalten, wo die übrigen Klaffen von Radicalien In den
Eorfficienten enthalten find. -
Hier überficht man aber mit einem Blick, daß, wenn
diefe Gleichung. n mal erhoͤhet wird, bie ganze
- Klaffe von Radicalien auf einmal wegfallen werde;
denn die erhoͤhte Gleichung wird ſeyn
0A-Bx CxA DX +. ‚+ Pır
Die Radicallen, welche in a,b,e, a. etc. enthalten
And, mögen ne hierbey ſo ſehr verviclfältigen, als man.
M 4 will
. giſwher, über: die Wegſheffuns
mil, fo iſt doch Mac, Ba feine neuen Klaffen ven
Radicalien hinzugekommen ſeyn koͤnnen, weil die Coeffi⸗
eienten 4, B, C, ete. bloß durch a,b,c etc. beim
ſeyn muͤſſen
Schafft man demnach auf die nehmliche Yet dr
\ Klaffe: von Rabicalien nach der andern weg, fo IE klat,
“ Kaffen da find, auf eine Gleichung kommen müffe, im der
„gar. kein’ ‚Rabicale mehr vorhanden iſt.
8. 7. Es laſſen fich aber zur Kufldfung ber ehe
- Hungsaufgabe (4), ſehr verfchiedene Wege einfchlagen, die
‘ aber alle am Ende zu einerley Reſultat fuͤhren, und fuͤt⸗ |
ren müffen, u
0. Zuerft iſt (aus 5) Elar, daß, wenn man bie Burj, a
folglich auch die einfachen Bactoren, vpn.A (4) bättt,
B leicht zu finden wäre. Da aber bie Auffindung der
Wurzeln oft fo große Schwierigkeiten bat, fo iſt es noͤthig,
Wege zu fuchen, auf welchen B gefunden werben kann,
ohne die Wurzeln von Ä zu haben. .
Ich kann dergleichen Wege dreye beſchreiben, von
denen ich aber vor jetzt nur zweye anzeigen werde, dba es
meine Zeit nicht verftattet hat, den dritten, ber unter den
übrigen hier erwaͤhnten vielleiche der vorzuͤglichſte ſeyn
dürfte, in allen Stellen. fo gangbar zu machen, als ich
wuͤnſchte. Noch zwey andere findet man in Lamberts
Beytraͤgen Th. 2. Ab. 1. ©. 202. $. 20. ff., und
©. 222.643. Denn daß das Problem, welches La m⸗
bert dort aufläfer, nur. im Ausdrud von dem unfrigen
verſchieden if, wird auß 5. 5. deutlich ſeyn.
5.8. Indeſſen iſt dennoch unter allen biefen Metho⸗
ben feine, Die mich vollkommen befriedigte; denn unges
achtet fie fih sum Sheil duch combinatorifche
Zeichen fehr einfach darſtellen laſſen, fo fcheint mir doch
feine einjige für die wirlliche Anwendung recht bequem zu
ſeyn.
J daß man nach fo vielmaliger Wiederholung der Arbeit, als
der Wurjegröfen aus den Sauume⸗ 25. .
J fopn. Allein es darfte vermuthlich nicht ieicht ſeyn, hierin‘ on
den Wuͤnſchen ded Analyſten voͤlig Genäge zu lim
Denn wenn man mit der Erhöhung einer Gleichung uue
bis zum aten ober sten Grad fortfchreitet, fo werben die
Coefficienten fchon fo zuſammengeſetzt, daß die wirkliche
"= Berechnung auch. bep ber einfachſten Regel wmeitlänftig und
@miübdend bleibt.
© . Erſte Methode . ur |
‚werben ſollen), gerade bie verwickelteſte. Dem obnges
6. 9.. Die erſte Methode, welche ich erklaͤren will, iR
“ Msficht der Regeln, (fobald fie ganz allgemein gefaßt
achtet gewaͤhrt fie, wenn bie Erhöhung ben gten Grab
. währt überfteige, eine leichtere und kuͤrzere Rechnung, al® - .
die Übrigen. Sie wich dazu dienen koͤnnen, das Problem.
änfhaulicher gu machen. Ich habe den Gebrauch: come
binatoriſcher Zeichen gefliffentlich dabey vermichen, um fü
: el als moͤglich allgemein verfländlich zu werben, und ich -
Eontite dieß. hier um fo füglicher thun, da fie fuͤr die Er-/
Tr nr
*
hobung⸗ bis zum vierten Brad, ohne erheblichen Nach .-
- BER entbehet werben Können. "Dagegen drften fie für .
die höheren Grade fo gut als unmtbehrlich feyn.
$. 10. Aufgabe Eine nach Potenzen von
x zeorduete Gleichung in eine andere zu
wperwandeln, bie bloß gerade Potenzen von a8
1 enthaͤlt, d. h. welche noch einmal ſo bobe
Erp onenten hat.
Aufl. Wenn die gegebene Gieichung hoͤhere Potengen,
8 x felbft enthält, fo ziehe man ale diejenigen Glieder, .. .
In denen x. fchon- gerade Erponenten bat, In ein einziges
Slied jufammen. Chen dieß thue man mit. den übrigen
Sliedern, die ungerade Erponenten haben, fege aber ein
‚x außer der Klammer, damit in der Klammer bloß gerade
Exponenten bleiben, fo erhält die Gleichung die Form
= Te \ 5
—Aä
26 V. Sitte, aber bie Besfhaffung
ae oma bi \
"wa, mb b zwar Potenzen von x enthalten fönnen,
aber bioß gerade. Die üßrige Rechnung iſt Teiche; nehme
u ig —a—bz älſo a —=br „und daher endlich
D) o —:a“ — b’x a
wo a undeb entweder gar feld, ober, doch: feine andern
als gerade Potenzen von x enthalten; die hoͤchſte Potenz
vdomx aber, die in D vorkommt, nicht mehr als doppelt
ſo hoch ſeyn kann, als bie hoͤchſte Potenzi in C. |
$. 11. Aufgabe. Eine nad x geordnete
Gleichung in eine andere mit breymal höhe
EN ven, Porenzen von x gu verwandeln.
7. Aufl. Wenn die gegebene Gleichung höhere Poten⸗
jen von x, als x" enthält, fo ziehe man alle die Glieder
in eines jufemncn, deren Erponenten durch 3 theilbag j
fd.
Eben dag thue man mit allen Gliedern, deren po»
nenten, burd) 3 setheilt, ben, Reſt laffen, und fege x außer
der Klammer.
Eben dus thue man endlich auch mit allen Gliedern,
beren Erponenten, durch 3 getheilt, ben Reſt 2 laffen, und
re x” außer der Klammer.
. Auf diefe Art erhält die Gleichung bie ‚Sorm.
E)o=arbı + cr
wo a, b, c entweder gar feine, oder bloß ſolche Potenzen
von x enthalten, deren Exponenten durch 3 theilbar ſind.
Bann rechne man wie folgt:
—ıa—br + cz
— = 57 + 3b’cx* + 3b + dr
dar = ab’ ze
das willkuͤhrlich angenommene a läßt ſich nun ſo beſtim⸗
men, daß in der Summe der beyden letzten Zeilen die
Glie⸗
dem
. R , .
1“
bee Bautgelgräßen aus den Slehangen. 135
u Stieder, welche 3% und x enthalten, Nuf werden. Die |
geſchicht, wenn:a + 3be =o, aloa—m—gbe : . :.
| ke. "Die Summe. beyder Zeilen iſt aledenn
— a* * 3aber br’ + ext .
ober Ä
mir bir di
—3abeu ,
+. woa,b,e;, entweder gar feine, oder nur (old Bor
zen von ⁊ enthalten werden, deren Exponenten mit 3 auf -/
gehn. Auch iſt leicht ein mſehen, daß ber hoͤchſte Expo-⸗·
nent F aur vieynel ſp groß on föune, als ber hoͤch⸗ |
$. 12. Aufgabe ‚Eine nad x georbnete,
Bleiyung in eine andere zu verwandeln, -
beren Erponenten fimmelid viermal » on.
‚seoß find.
| Aufl. Wenn die Slbichuns nicht fuͤe. ſich ſcon die
Gern
Wow axbrrer +är
Sat, fo rebucire man fie auf ähnliche Art, als in den bey⸗
den vorigen 56, indem. man ı) alle Glieder, deren Ex
ponenten mit 4 aufgehn, 2) ale Blieder, deren Expouen⸗
tens mit 4 getheilt, den Reſt 1 laffen, 3) aße. Glieder,
deren: Erponenten, mit 4 geteilt, den Reſt 2 laffen, J
J 4) alle ‚Glieder, deren Erponenten, mit 4 getbeilt, den
MER 2 laffen, "jede in ein einziges Glied uſammenzieht.
Dann ſchaffe man a auf. bie linke Seite, und erhebe fo - :
die Gleichung zur 2ten und sten por, und reas |
wie folgt: Zn |
V. diſcher, über dil Wegſchaffung
— a= bi ce: dr
— — 000 0
bix 4 aber + aba 4 2cdr dx
+. cs
ET re Se ER. El
+i—=btirr 4er abdx4i ab edꝛ bd +12bed’r’r abdx ger gie
Höbiergbe s-praberd, + 4edı +öcdt,
+ ce
et -Artußi acc dr + Pbr+ per Bi,
— — —— era ybdrit zyedr-r ya"
B * *ve |
Mas
p' . F J— ⸗
’». . . l
der Wurhelgroͤßen uns den Glckhlingen. 199
Was unter dem Striche ſteht, fol abbirt werben. Vorder
aber läßt ſich , 9, und y, fo beſtimmen, daB in der :
Summe alle die Glieder, mo der, Exponent vonx nie '-
mit 4 aufgeht, ausfallen, Zu dem Ende fege man guet -
.ab+4be=o, alba — — 4b!e; fene .
d - 4ed' 0, alſo = —gcd; abi
yb' 4 6b 4bd — 0 das iſt:
vb' — 4b'e - 6be 4bd mm o, aiſo“
— 2 — 4b. “ en
Auf dieſe Art find die. Glieder, welche X ,x", und" -
enthalten, unmittelbar, jedes — o gemacht. - Bringt.
man aber die gefundenen Werthe von a, , y auch im’ -
‚ diejenigen Glieder, welche x’ , x”, und x’ enchalten, fe
findet ih, daß auch diefe S o geworden ſind. (Der .
Kürze wegen fey es mir verſtattet, die an fich leichte Rech⸗
nung wegzulaſſen). Auf biefe Art bleiben, wedn man,
was unter dem Striche fteht, wirklich adbirt, bloß ſolche
Glieder uͤbrig, wo die Exponenten mit 4 aufgehen. Die
Summe iſt nehmlich: — —
ee best ch’ r + dr":
. — à ax J wı2bc’d ‚8
ty — cd;
| + 2ybds.
—ßfaı 0.0. yh
| u ae 1 2 - 6 b dx Sy 2
oe gabtcı* +ı2beds ... Ka
— 2.0 5. + Is u
hd beide
nn — 5 ur er
42ed' — en
En — 4beed 04.
RVW
.. 3
. . A \
1 Biiher, Über bie Wegfhaffung
ober endlich
Mo, + Art
— brxt — 4beid +
+ gab’os +yacd's
— q4@bds +2 b’d’;
— 20.0 _ dt,"
too bie, Coefficienten entweder gar Fein x, oder nur-foldhe
Porenzen enthalten, deren Exponenten mit 4 aufgehen.
Auch fiebt man leicht, daß die hoͤchſte Potenz von x, die
in H vorfommen faun, nur viermal’fo bech ſeyn wird,
als die hoöchſte in G.
5. 13. Das Allgemeine dieſer Methode iſt ziem⸗
«ich verwickelt; "doch will ich verſuchen, die Regel derſel⸗
ben allgemein darzuftellen.
Wofern die Reihung, welchen mal erhöher werden
fen, ‚nicht ſchon bie Form v
pen dı Het +... + mo-ı >
bat, fondern höhere Potenzen, als xe—a enthält, fo bringe
man fie in dieſe Form dadurch, daß man die Glieder,
deren Erponenten, mit n dividirt, die Reſte 1,2,3,4,
5... (n—1) laffen, refpretive in einzelne Glieder zu⸗
fammenziebt, und von dieſen Gliedern reſpective bie Facto⸗
ren x,x’,x°... NP abfondert, fo daß in den Klammern
Bloß folche. Potenzen von x bleiben, deren Erponenten
burch n ıheilbar find.
Dann void die Gleichung in der Form x
—a—_bı tet +dr +... mai
zur 2ten, zten, 4ten, ... bis ntert Potenz erhoben, mit
Auslaffung der n—ıten, (die im Berfolge der Rechnung
nicht gebraucht wird).
Ale biefe Potenzen werden dann mit willführlic, an⸗
genommene Größen &,A,y ‚d, etc. multiplicirt, und fo
unter einander gefeßt, daß immer gleiche Porenzen von x
unter einander zu fichen fommen. Die Regel, für die
» Drd»
* F {N ar % - \
=, .. s „ Fi J
L ;
N ‚der ver inrjelgrößen: aus den en Gliungen. 298
. Deötung und Bolge dieſer Arbeit, liegt im folgendem
|. Schema;
Auf ber linken Seite kommt folgendes unfer einander
| ‚" ſtehen
| Ä Ir
a . " , 8 83 “ )
— Bu Bun Ve u BE Ä
u vn E. NR
’ Tee Va SE ee See —
s A u p 2 . ge * —
* a | = » 2 B
in & ”"» . mM. ” » . 4
Kun . J 8 3 3 2 1
= * I. # | 9*
L 0. u > - * F
u Men ee
’ 4+.:.0.80%: "
— 3255352
> 3
— | .- In u
n . a JJ. % “
un. t-! |
mn
> » +
..».. '
" m |
U | AZ
N = gt , >
. ” .
t , , ! "
a w auf der rechten. Seite m fıhen fon, iſt aus de |
, 1 Schema von felbft klar. oo.
Endlich laffen fih @,8,y . ,. so allegeit fo beſtimmen,
daß dadurch in der Summe h ber durche Schema beſtimm.
ten u
v | 2 =
| 19 V. Fiſcher, übe die Wegfihaffung
7208 Gleichungen, ale diejenigen Blieder NUN werden,
welche folche Potenzen von x enthalten, deren Erp6uen Ä
ven niche mit n aufgehen.
Den Beweis biefer ganzen Regel bitte ih mir zu er⸗
often. Es war meine Abficht nicht, eine vollſtaͤndigt
CTheorie biefee Methode zu liefern, was ſchwerlich ohne
Weitlaͤuftigkeit gefchehen koͤnnte; fondern nur durch bie
| .. Mufgaben 5. 10, 11, 12 das Problem felbft anſchaulicher
zu machen, und durch biefen 6. penigſtens zu zeigen, wie
. bie Sache angegriffen werden müßte, wenn man dieſe
Methode zur Allgemeinheit erheben wollte. |
$. 14. Es ift uͤbrigens leicht einzufehen, daß bie Yu
Ze beit, auf. dieſem Fuß fortgeſetzt, fon beym sten’ Grab
wemlich weitlaͤuftig werden muß: Da ich indeſſen für mich -
. Die Rechnung noch bis zum sten und 6ten Grad fortges
9 gum Druck unbequem ſeyn.
ſetzt habe, fo. wird es vieleicht dem Leſer nicht unangenehm, |
ſeyn, Hier wenigſtens noch pas Reſultat einer fünffachen
Erhoͤhung zu fehen. Fuͤr die fechsfache aber würde das
Reſultat in gemeinen. Zeichen, feiner Weitlaͤuftigkeit wegen,
Die Slihungo—=a-+rbr-+ cr dr’ er
verwandelt ſich durch die im ‚vorigen $. befchriebene Arbeit is
ti + [ +5 a b’d) x
sabce —sacd
[Fiese —5 abe
+#f “ —sade)x"
— 5b ed —sıbd
5 b'ed — 5 abede
Ip 5b’ce +sabe
Fa 1-sb’de 45° ’d’e
J u —— ‚+5, ce)
+ d’ +5 bd’e 3x"
Iiscde —sbce]|.
#5 c’de? 5 ad 5)
be x
su
-
RT hu.
der Wurzelgrößen aus den Oleihungen. 193 |
J— s 15. Die Weiclaͤuftigkeit dieſer Formel zelgt Deut
Ach, tie fehr das ganze Problem ber Hilfe combinatos _
riſcher Zeichen bedarf, ohne die das Gefeß ber Formeln
ſchwerlich voͤllig ſichtbar gu machen iſt. Kenner der com⸗
binatoriſchen Analyſis werden leicht bemerken, auf -
ige Art biefe Zeichen, ſowohl Bey diefer, ale bey ber fü
genen Methode angewendet werden mäßten.
ar ' Zweyte Methode. a
. 16. Die gegebene Steichung ſey: |
Data ben. „.Fpıg=o
u geſuchte n mal erboͤhte fey: |
an Ara Bale—ao. ‚Pa Q0=o. er
. Veege der vebinguuben des Problems ($.4), enthaͤlt K
‚abe Bargeln von I; alfo ik J ein Factor von K.
32.9 17. Dividirt man alſo K durch I fo Tange, bie in
u "Duotienten ein Glied vorfommt, das Fein x mehr enthaͤlt,
2. jo muß der ſcheinbar uͤbrigbleidende Reſt, Glted vor Glied,
mo fan. Diefer Meft aber wird aus nBlitern ir Ä
Abe.
aus chen fo vielen, beſtehet alfo auch das legte, was beym
; Dividiren abgezogen wird; bey dieſer Subtraction heben .
"aber die beyden Anfangsglieder gänzlich, da fie, wie.
Immer beym Divibieen, völlig identifch find; alle übrigen :
ASlieder ‚heben fich zwar (ſcheinbar) uicht, mäffen aber doch
delegen wird, Glied vor Slied einander gleich ſeynz der
fſcheinbare Reſt wird alfo ud r Sliedern · eſtehen, deren
ches —0 iſt.
„Wr@eößen A, B > C,D, ee. |
DR 207 307 oo N 5 7 se
Deim der Divifor (I) befteber aus r-—ı Gliedern;
A der Formel wonon, und in der Formel welche. ab». |
: Man erhält ai r&leichuhgen für be in beſtimmen⸗ | \ |
w
welches mit 7 4.11. mutatis mutandis og ski £ |
§. 21. Dieſe Methobe iſt, wie der Augenſchein tepeh.
1
N _ \
* N
| 194 | Silben; über die Beifäafun
6 18. Ein einztges Beyſpiel wird volllommen vr
reichen, Die Sache 36, erläutern,
Die gegebene Gleichung ſeh on Ä
'D) sd. ax pe bu 6
Die gefuche fen dit 3mal erhöhte |
M) x + Ar B0
divibirt man M wirllich burdh L, fo ahält wi ihn vn
Duotienten
x — ax’ 4 by — a ner
+ @— 3b baä).
beit on | J
7
—— 4ab + sah aA + bayı
— (db gab! + b’—abA—B).
$: 19. Das erſte Glied biefed Reſtes giebt die eun
huns
a (a —b) - — zab (a —b - = .A(a u —
alſo Ac a’ — zab.
Das aweyte Glied giebt.
scher Ya mh Baer |
alſo B = bi”
920, Die erhöhte Sleichuns ** + Ay’ + B er7
# demnach va
a rue FBF: DR: | 0
gabs. 2
einer weit ginfachern Darftellung fähig, .. alg die world
und daher zu allgemeinen Unterfüchungen weit bequemet⸗
Sie J uͤbrigens mit der oben 6.7) erwaͤhnten erſten Lam⸗
berti⸗
Be
“..;.
vo.
bei Warzelgrͤßen aus den GSleichungen. 158
beklifchen Wethode ſehr nahe verwandt. Was bier durch
Dipifion , wird dort durch Multiplitation bewirkt. Unſer
Quotlent wird dort angenommen, und mit unbeftimm-
Im Ebeffieftiieen verſeden. Multiplicirt man ihn fo mit
hem Dibiſor, fo muß das Probuft dem Dividendug oleich
kin ‚welche Vergleichung bie zur - Beftimmung: bon
N C, ete. neigen — lieferk
—* bie Anrehamu if abgeſchnitener
Prismen; von Herrn Bert al
4 tik, Cs did, wieABDE . t ) wo
Kr pen AB:uhb ED eitnder parallel. find,
rapez, ſy tie man ein Wieterk, wo Reine Seite
Wr andern paraüel iſt, ein Srapenbid nennen konn .
ulfsſatz Me a Srapı ei ABDE jü
ih bepben parallelen, Seiten noch ine
ändere Linie ER parauel pn, FAN To. verhaͤlt ſich
DEE: AE = DF BET md Li) tern niafı.biefe ver⸗
Mami < —
n * m
Bewels. Mai, ie bie Linie AD, if
YcE:AE=DG:AG = DE a
"folglich
ger: Ai
BOEDFE- um:
ns
B:
F&ally .
nmäß: =
Ä |
196 VI. Rothe, über die Ausrechnung 2
. m.CD »-n.AB
EG = et und *
n.AB + m.CD,
am
3. Lehrſatz Der Inhalt eines dreyeckigten Pers
rechten, jedoch oben schief abgefchnittenen Yridmia
ABCDEF (fig. 2.), mwo.bie inim AD, BE, er
ſenkrecht auf der Ebene ABC ſtehen, fi | |
AD --BE-+ cF
== AABC. ——— —
EG + FG =. EF =
| Bheweis— Man * durch die drey Bunte A, E, c
und auch durch die drey Punkte A,E,F Ebenen, fo wirt.
dadurch das fehief abgefchnittene Prisma in drey drepe '
eddigte Pyramiden. ABEC,AECF,ADEF geheilt.
Nimmt man nun bey den. beyden Pvhramiden ABEC
und? AECF bie Dreyecke BCE und CEF für vie
Granbfiächen an, fo haben fie eineriey Höhen, folglich
‚Pr. ABEG: Por. AECFo=ABCE: aCEF
== BE: CE. |
gimme man ferner bey den beyden Pyramiden AECF |
und ADEF bie Dreyecke ACF, ADF für die rund
flaͤchen an, fo haben fie einerley Höhe, folglich -
Pyr. AECF: : Ppr. ADEF==AACF: : AADF
=CF:AD.
| Da nun BE fenfeecht ‚auf ABC ſteht, fo ift
Pyr- ABCE — T AABC,BE
- Br AECF AABC.CF
pyr. ADEF= 3 AABC.AD
folglich, wenn man jufammen addirt, fo iſt
ABCDERF = AABC. AD HaEHor
3
W Zufaß
„? \'
ſchief abgeſchnitte ner Prismen. 7
Zuſatz 1. Da bie. Linken AD, BE,CF parallel
Br fo Buben Re Degen die Eben DER alle einerley
gmugstvintel,. (Kaͤſner s Geometrie 47 Cab 8 Zuſ)
—R Man ſatze aus A auf die Ebent
F das Perpendikel AG, und zehe DE, ſe iſt
DG=-a. Run fr. ADEF = aber. au ;
war aber auch ‚nach dem Bene bed Bayer
A falsli$ ADER. AG=aABC. AD
u daraus folgt . |
ADEF ı ABC == AD :AG a 2: fine,
ei bey einem fenfrechten, oben (het ab»
fanitienen dreyeckigten Pris wa, verhaͤlt
ch die durch den ſchieſen Abſchnitt entſte⸗
ade Figur ADEF, sur Gruubdflaͤche AABC,
‘
. der Halbmorfer, sum Sinus, des Bi
——— 2. Diefer Satz it nicht Bfos fie dreheckigie,
dein auch für alle vielſeitige Priemen wahr, Denn
evielſeitiges Prisma ARCDE abcde (fg-4,, wo.
Bain aA, bB, uf w. auf der Ebene ABCDE
Kine ſtehen, \äße fich ih beepedigte Prismen
BDabd, BEDbed, CDE ede zerlegen, bey denen
ade Winkel cinerley iR. Deewegen iſt
:Äabd : AAB : fm
Abed: ABCD = fine ⸗
Acde: ACDE ſin alfe
abod e x ABCD Sı I: Im @
ener iſt
abed;: ancD — Y: Fa a da nun auch
Acde: ACDE Fr 1 + fin fo verhält ſich
ebed: ABED= Anode: ACDEmb
; abed: Acde == ABCD : ACDE. |
98 VE: Rothe, Aber bie Auscäinung | |
u 4. behrſat ABCDEabede (fig 4) ſey ein ſenb
‚rechtes oben ſchief abgeſchnittenes —*8 woaA,bB
p. ſ. w. fenfrecht auf der Ebene ABCDE fichen. Be
—* durch den ———— H- ber Grundfidch ˖
ABCDE bie inie hH fenkrecht auf ABODE u
vwelche Linie bie Ebene ahede in dem Punkte h tee
mag, fo ift I) auch h der Schwerpunkt ber Flgur ahede
. ab H) ber Inhalt des Prisma
ABCDEabcde = ABCDE.hH _
Ur Beweis. Fr ein dreyeckigtes Prisma wird der Saz
fo bewieſen: Es ſey ABC abe (fig. 3) ein feufnechted, -
ohen ſchief abgeſchnittenes dreyeckigtes Fe wogA,
PB, EC fenfrecht auf der Grundfläche ARC ſtehen.
. Man halbire AB in D, und ziehe dD parallel mit bB,
lege dann durch die Linie AD und den Punkt C «ine
Ebene, welche ABC und abe in DCund de — * —
mache DF= 3CD und ziehe kFparallel mit eC,
ID) Da nad) ber Conſtruction dD mit bB und fR.
mit EC parallel if, und bB,cC ſenkrecht auf ABG:
find, fo ſtehen auch (8 äfiner 8 Geometrie 46 Sag)
- dD und fr ſenkrecht auf ABC, Da nun.in dem Tra⸗
pez a A bB;. AD = BD und In dem Sr
eCdD, DE" —=1IDC, fo if auch (2. I)ad = b
und if} de folglich find F upd-f bie Scöwerpunfte.
Ä der Dteyecke ARC und abc.
II) Da in den Traptz aA bB, AD—BD, und
in dem Trapez cCdD, DF:CE = 132, IT
(2. dd — aA hR
—— Ant none
A-+b
BABG-ÄFRAARO, Dr fo |
1
if gefänitne Prismen. 199
Dal der Sat aber auch für jedes vielſeitige Prisma
. ABETeyn. muͤſſe, laͤßt fich fo. heweiſen; Wenn ber Satz
für jedes nedligte Prisma wahr iſt, ſo iſt er auch fuͤr
"jedes (1 4 1) eckigte Priema wahr. Denn es fep
Han abcde (fig. 4) ein (nr n) eckiges Prima.
Ebene, "in.Welcher die beyben Paradellinien CC und
MD fiegen, ſchneidet die Ebenen ABCDE usb abcde, -
SD. und £%,: und theils das (q FA) edigte Prisma,
Re * nattiges ARCD abed, und ein dreyeckiges
EDE Ad Nun ſoy Eder Schwerpunkt des
ABGD,amh F-der Schwerpunfe. bed Dreyecke
" Dean; siehe. durch G und. big-Pinjen:g G. und
— ERifenticht auf.A BEDE, Melde die; Ebene abede
. Ange und Frsffen mogen. - IE; mm der Sad für jedes
auskiar. Prigma mehr. fo. it: Coremöge I) auch g der
‚Cchwerpunft bes n Eds abed- uhd (vermdge. I) ”
RBGDabad AB CD:8G. ‚Doß Fber Schwer⸗
uankk das Dyevecks c.de und: 'CDEederACHE. fF =
Ga ſchon⸗ bewieſen _worten,... Man.. ‚giehe ferner FG
nnd g gebimen ben Vunkt . in E.G fp an, daß
ARGD: A DGE und gehe durch HE
‚Bi Since h N Aapkrepft auf ABCRE aber parafel mit
wa: eder EF; ſo iſt
Er ·nach der Cunitutinen. H&=ABED:ADCE
a ec 7 2 2uf‘) ABCD: aDCE = abod: Adce.
Atgti 5
‚fh:hg = FH: Ho— ARCD: ADGE-abed: Adce
and alfo, da F,G,f,g bie Schwerpunkte von
*CDE, ABCD, Acde ‚abced, ſind quch H und n
Me Schwerpunfte von ABCDE und abcde.
BR MB), In dem Tuapıı FF EG iR sah der wetteten
: Us * —ABCD: aCDE, ‚felglig 2.1. -
RD. in bein Sram FB (2. D eh: he—FH: HG
d
⸗
a0. VI. Roche, über die Ausrechnuns
a
vo.
ABCD ..:.8gG + ACDE. er,
0) ABCD a ACDE
„AscD. gG + ACDE.FF
in nn
ABCDE. hH == 'ABCD. gG + ACDE. tr
— ABCDabed-HCDEcdo=ABCDE abode
FZolglich iſt bewieſen, daß wenn bee Saß für jedes neckigte |
Prisina wahr iſt, er anch fuͤr jedes (n 1) eckigte
dreyeckigte
Prisma wahr ſeyn muͤſſe. Nun iſt er für jebes
folglich auch. für jedes viereckigte, mithin auch für jedes
fůnfeckigte u. ſ. w. fuͤr jedes Prisma von jeber Auzahl
von Ecken wahr. Der Gap muß aber auch für ein Prisma
wahr fen, mo die Srundflaͤche feine geradlinigee Sigur
ig; man fann nehmlich ein ſolches Peisma als eines von |
| unendlich viel Ecken betrachten.
Beyſpiel. ABCDEF (fig. 5) ſey die Srunbfiäche
eines (chief abgefchnittenen fenfrechten Prisma, auf welcher
alle Seiten ſenktecht Reben. Die Ebene, melche ein ſolches
Prisma fchief abſchneidet, (welches in der vierten Figut
bie Ebene abc de war) fchneide die Brundfläche imeiner
Linie, welche auf der verlängerten AF fenfrecht, ober mit
aA parallel iR, und zwar unter einem Winkel von w'
nach der Seite von A nach F zu. Die Länge der Seite, :
welche in A auf ber Grundfläche ſenkrecht Rebe ſey = g
und
Ab= 4 bB
be = 3 ee = 13
cd — ı dD=$6
de = 14 eE — 4.
eF — 3
wo die Einheit ein Fuß ſeyn mag: Mat fragt MT dem
Inhalte dieſes Prien.
a
J ' Ran face zuerſt den Schwerpankt der Grunbfiädhe,
und biefen findet man bald, wenn. tuan folgende leicht gm
erweiſende Gähe zu Hulfe nimmt:
Erſtens. Das Moment eines Thepejer ABCD
ſg. 1) gegen gine, mit den beyden Bein AB,CD,
"parallele Linie HI,-if, wenn man
"AB=2,CD=b,KL=o, LMend ſeſt ·
erde: c —8
F Zueytene. Das Moment eines Zrapesed ABCD
"X. 8), wo bie Winkel BAC, ABD rechee find, .
die Linie AB, ifl, wenn man
-AC=a,BDub, AB mw e fehl,
er \ —— ı 4-b*
Lo — 7 ==
r7 —
„»
Wertes des erſten Hultelades inber man “ DH
Moment gegen bie Einie nA, |
'ä'’b e ur: j
sa AbB.. fir 0,3,4,0,m 8
des Rechtecks bBC für ,3,3,4,== 24
bdes Trapezes cCdD füe 336 1,7, — 285
des Trapezes dDeE für 6 , 4 ‚14, 10
WE AchF fie 4, 0, 2, 22, 2 908
= folglich iſt, wenn man alle dieſe Momente zuſammenab⸗
dirt, das Moment der ganzen Figur ABCDEF, gegen
‚die einie AR == 21695. unb fm ar Saal
des A AbB ==
dbdes Rechtecks bB cC = a
bes Trapezes cCdD— 3
des Trapetzes ADeE == 70 |
| J Me ACcEF — Zr |
BEE Rs dolglich
ff egefönietne Prismen. Taoi -
I
/
-
ABCDE. —8* == 'ABCD.gG -- ACDE. tr
4
WM
u vr. otech aber Be Kusschmung '
ABCD . '8G + ACDE. fe,
_ABCD. + ACDE
ABCD. 26 + ACDE. Lö
ABCDE
Sm. ABCD abed + CDEcde=»ABCDE abede .
Golglich iſt bewieſen, daß wenn bee Sag für jebes neckigu |
Prisma. wahr iſt, en anch fuͤr jebes (nz) eckigte
köma wahr ſeyn muͤſſe. Nun iſt er für jebdes dreyeckigte
olglich auch fuͤr jedes viereckigte, mithin auch für jedes
fünfedigte u. ſ. w. für jebes Prisma von jeder Aujahl .
von Ecken wahr. Dir Sag muß aber auch für ein Prise .
wahr ſeyn, mo die Srundflaͤche feine gerablinigee Figne
iſt; man kann nehmlich ein ſolches Yeisna, als eines von |
unendlich viel Ecken betrachten. -
Beyfpiel. ABCDEF (fig. 5) fen die Srundfläch
eines fchief abgefchnittenen ſenkrechten Prisma, auf welchet
alle Seiten fenkrecht Reben. - Die Ebene, melche cin ſolches
Prisma fchief abſchueidet, (welches in ber vierten Figur
die Ebene abc de war) ſchneide die Grundfläche imeiner
Linie, welche auf der verlängerten AF fenfrecht, ober mit
aa parallel I, umd zwar unter einem Winkel von w°
nach der Seite von Anach F u. Die Länge der Seite, :
welche in A auf der Grundfläche ſenkrecht keht/ ſey = 5
und on
Ab= 4 bB |
be = 3 Han 13
ed ı dD=6
de =14 _ eE = 4
| 2
wo bie * ein Fuß ſeyn mag: Mat frast * bem
Inhalte dieſes prione. |
8
i
j J an fache uerſt den Schwerpunkt ber
und Biefen findet man bald, wenn man folgende leicht zu
erweiſende Saͤtze zu Haife nimmt:
Erſtens. Das Moment eines Trapejer ABED
»(Er. 1) gegen gine, mit den beyden Seiten AB,CD ,
parallele Linie HI, if, wenn man
AB=a,CD-b, RL = 0, LMend far
er b)ed — —
2 6
. Zune Das Moment eines Arapejes ABCD
| Tg. 8), wo bie Winkel BAC, ABD rechee find, ie
die Einie AB, ift, ment man.
"Alma, BDub, Anm en
_ Were des een Srdfages finder man (ie DI
Moment gegen bie einie aA,
on el ——e— —b1
u
z —
ab ed
ua AbB:. für o,3,4,0, == 8
des Rechtecks bBeC fut 3,3, 24
des Trapezes cCdD fie 3, 6 ,1,7,=m..28$
des Trapezes AD eE fü 6,4 „24, 8, Dr
U AcHF - fürg,o, 2, 22, - of
> folglich iſt, wenn man alle dieſe Momente zuſammenab⸗
dirt, bad Moment der ganzen Figur ABCDEF, gegen
‚die Einie Aa == 11695. und. if ferner der apa
des AAbB = 3
dbes 'Rechtecks bBcC == 4i
tes Trapezes cCdD— 33 _
... bes Trapeges dD eE= 70
Eu bes A eEF = Bu Zu
Ä Rs Folglich
dief egfönictene Prismen. u Tor
9
son Vi Mofber über die Ausrehuung
Felzlich ABCDEF = 854 und ‚ber Abſtand bei .
Schwerpunttes ber, Figur ABCDEF. son der line
11698 .
aA — Der gmegen iſt die Länge des aus dem
Schwerpuntte vder Srundflache ABCDEF, bis-äk .
bie fchief ſchneidende Ebene aufgerichteten- Perpendife®
| (as in F vierten. igur die Linke: KH war). ı
9
1658, tung w' ; dieſes mit der Genndllach
—
5" Aniktiplice, - ‚giehe den Anhalt . des Prism
A -
we 7a 11695 uüg wi. un w Wr =,
ſo iſt
log 11691 = ' 3,0679074
Ig tang 37° = 2 NB771144 mg
. — — ——
: Äpgr16gktang a7. == 7= 2,9450278 —*
27698 tang 37°; == 881,093 hierzu
— 5 767,25 . ehe.
. "Prisma | - = 1648, 343
Weni die fünfte Figur ben Profilrig einer Bruß⸗
wehr Im Felde vorſtellt, ſo giebt gegentwärsige Rechnung - '
ben Inhalt eines Stuͤcks einer ſolchen Bruſtwehr, das
u
in der fechfien Sigur im Grunbeiß duch AFGFJ vor⸗
geſtellt wird, wo AG. = 9 der Be
:AGK = 106% ==.180° — a. Ä
und die Länge der Linien Ab,be ‚ed, ie er gleich
groß iſt, mit denen auf gleiche Art' in der fuͤnften Figur
vezeichneten Linien. Hat man das Moment, der Figur.
- . ABCDEF gegen bie Linie aA (11698) einmal berech⸗
‚net, fa kann man dies aBemal bräuchen, wenn auch der
Minke| w anters angenommen Bde wenn pur die .
Maaft
{) ‘ —
u: Waef gef —8* 203
Maske behin Profil einerley bleiben, und ie Rechnung
Mein jedem Falle außerordentlich leicht. Die Naaße für
Bad Profil finden ſich beym Srkruen fee (Anfangegrun⸗
de ber Kriegsbaukunſt, erſter Theil, zte Auflqge.72.)
Bey · gegenwaͤrtiger Berechunng Brauchte man bloß
"en Abſtand des Sqwetpunttes des Profiles AB CD, ET
(kg. 5) von der Binie An, zu wiſſen. Um aber ben Ort
pes Schwernunktes volllomman zu befimmen, muß man
ach ſeinem Abſtan von ben Linie A F berechnen. Man
Auche zu dem Ende: nach dem zweyten Huͤlfsſatze, das
Woment der Figur ABGDEF; gegen die Lienie AF,
b+-b
mach der Bor > - * * um. ſa Poda man
das Moment | | » | nn . ‘2
9 *8œ N} ı8 Tide
des decheke AB SR Ge 1
des Rehtecks bB CC für. Buche ve
des Trapezes cCAD für z * 6, ı yo: 4
| dvet Trapeped dDeB für 6; 4 ’ 14} * ee; ri rw
des Dreyecks ER. für a ah
folglich, wenn man addirt, * Moment "er Sigur |
AB CDEF gegen bie Sinle ÄF : 195% , {nd ben
. Abſtand des Schwerhunltes von vera AF SF Fr
Dieſes Abſtandes wuͤrde man fi bedienen, wenn man
"den Inhalt eines Stuͤcks einer folchen Bruſtwehr wiſſen
—— das von einer Ebene abgeſchnitten wird die wit
bem Horijont einen fehiefen Winfel made, jedoch das \ .
From in einer Linie ducchfchneidet, welche mit A Fe paral-
el iſt. Geſetzt, man wollte den Inhalt des Stuͤcks der
“ Bruſtwehre wiſſen, das in der ſechſten Figur im Grund⸗
ef durch aAbragrs vorgefilk wird, und es
No.
\ D
W | J ——
2604 VI Nethe, über die Ausschnung
KG == 15, ber Reigungsiwinfel ber Ebene 268
gegen, ben Heeljont nach der Richtung von.K nad)
w=rv, ſo iſt bie Laͤnge Did aus dem Säwerpntt
195
aufgerichtxen Perpeubitcie — 12 — Er oot v,
dleſes mit dem Jubalte be⸗ Profils 351 mulkiplicht,
siehe den Inbalt des Stuͤcks
Aß yAfLG um 1033 — 1958 60€ v.
SR num die Anlage der Bildung Ay dad; gleich bie
‚Hälfte der Hoͤhe, oder cot vum, fo if A ylıdLa
— 10331957}. | mn 1023 — 975 = 92538.
Zuſatz 1. um ein auf beyden Seiten ſchief abge⸗
— Mniisenes Prikma ABCD abed (fig.7) zu Berechnen,
füge man durch einen Selichigen Punkt =, ber Linie Ar
‚eine Ebene, auf welcher Ad, folglich auch Bb, Ccu.f.m..
ſenkrecht ſehen. ME nun O ber Schrwerpunti bee. Figur
aßyd, welche durch den Durchſchnitt der gebachten
Ebene mit dem Pridma entſteht, und bie Linie FO F fenfr
echtaufaßyd, folglich.parallel mit Aa,Bb u. ſ. w.
fo find auch F und f bie Schwerpuntte von AB cD und
J abed uib
A‘8CD aRyd = aßyd. FO und
abedaßyd==aßyd.f® folglich
ABCD Abed = aßyd.Ff |
ober der Inhalt eines auf beyden Seiten fchief abgefehnit-
- genen Prisma iſt gleich dem Produkte aus dem fenkrechten
Schnitte 409, in den Abſtand FF der Schwerpuntte
Fund fber beyden Grunbflaͤchen. Zugleich erhellet, baß
die Linie FF, welche durch den Schwerpunkt F eines
Schnittes ARCD, mit den Seiten bes Prisma parallel
gejogen wirb, durch bie Schtwerpunfte aller nur möglichen
Schnitts, + 2. durch die Schwerpunfte © und f der
| Schnir |
_ .
[4 “on . , X
|
/
} — ſwiel bgefönierenir Polen. —
Ehre «ßyd md abced hindurch geht, und daß
umgefchrt, wenn men die Schwerpunkte F auD f weyer
Schnitte ABCD und abcd burdy eine gerade Linie ver ·
Birdet, diefe Linie auch durch bie Schwerpunfte alte
EGchniete bindurd Fa und melaq mit ben Seiten bed
Weit parallel
Zuſatz =- den die Änien aA, bB,u.E 0
—E der Ebene abcd machen, heiße &, und der Winl
ben dieſelben Linien mit ber. Ebene ABCD magen.B, fo
. Ra 23Uf)
‚abed: aßydmı: fin «
A4APy: ABCD = finß: ı folgich
Ba abed : ABCD = Minß : find, | |
: Oder die Inhalte zweyer Schnitte verhalten Mich umgekehrt
die die Smus der Winkel, die bie Sritenlinien bed Priama
J it ihnen machen.
Bufaß + Man laffe and F im ſerpendiket Fg auf
ab ed herab, und siehe fg, fo ik Ffg ma
| er: Fg = ı: fina Dan iſt aber auch
abed: aßyd = 1: : fina, folglich
abed: aByd = Pf: Fg und
abed.Fg — «ßyd.Ffw= ABCDabcd (i Zuſ)
kelglich findet man auch den Juhalt eines auf beyden
| du ſchief abgefchuittenen Prisma’d, wenn man eine
— —. —
der beyden Grundflaͤchen, z. B. abed mit dem Perpen⸗ 9F
dl Fg multiplicirt, das auf Re ans dem Gchwerpumfte
F der andern Grundflache ABCD herabgelaffen wird. -
Annmerkung. Waͤre NE der Schwerpunkt des ums
ſangs der Figur aß yd, fo würde bas Prodult aus
dem umfange der Gew Bye; in bis ink a ie |
20 Mi ‚Sant, ar N —8
iche des Prismm, "(die beyden Grundflaͤchen —
R
nn m
abcd nicht sigrechunn) Yeben, "ober es wäre bank | x
(aß. & Ay -H.yd +.ad) Fi aa bB.
a bBeC + cCdD + aAdD.
Wan würde aber irren; mwenn..inan auch, wie verhen
ſchließen wollte, daB auch F und f die Sthwerpunkte dei
lmfänge der Figuren ABCD und abcd wären. De
awöräpeliche Bits biefes Sabes seht nicht hieher |
\-
Vi, Zu
Einẽ heſtimmte. Aufhade aus dei unhehtntucn |
Arnalytik. An einehgüten Sreund; von M. A.
= rudicke Lehret der Mathematik anf der
‚Hanf zu Beiden | |
ee. 2
ä
|
{
Be
!
A
1
BE
©. Gaben bie Auflöfung folgender Aufgabe fehr müh⸗
.fam gefunden: Ein Kaufmann mird gefragt; wie vie
Stuͤck ſeidener Zeche einer getviffen Gattung er verkauft
habe? Er antwortet: die Zahl der einzelnen Stücke habe
ſich jufammen mwiſchen 14 und 15 Schock belaufen *):
Nach
H Durch bie an gabe: die Ahr bei öinjeinen Stuͤde ſed 1wi⸗
Ichen 14 und ıs Schock gefallen, wird die Aufgabe bes
» Rimmt, die, ohne fie, fonk unbefimmt geweſen feyn würde:
Dies rechtfertigt die Ueberſchrift des Aufſatzes, in welcheni
auch die Aufgabe, aus den übrigen Bedingungen wie, eine
. Bnbekiinnite geld, und Hinterher jene Angabe zu Be
ttimmung der wirklichen Anzapl benugt worden iſt. Gani
7. übers verhaͤlt es fi, wenn man die Aufloͤſung von dieſet
Augabe beginnt, und die folgenden Bedingungen damit
— Hiervon in meinem Br) zu * Abhandlung:
*T indenb urg.
aus bee unbeſtimmten Aualetit. 207
ach 2;3,5,6,9, 18 Stuͤcken bucchfkhoffen, fenen ihm
ich der Ordnung 1,2,4,5,5,9 Stück übrig geblieben;
ıch 11 Stücen hingegen überzäplt, fey alles aufgegangen:
8 wird gefragt, tie viel Stuͤck ſolchen Zeuches der
auf mann gehabt habe?
Das die Auflsſung dieſer Aufgabe auf Enlers D
et ſehr muͤhſam Fey, darin bin ich vollkommen Ihrer
deynung. Sie wuͤrden aben fehr viel Arbeit erſpart
iben, wenn Sie die ſehr ſchaͤtzbare Abhandlung bed Herrn
rof. Hindenburg von den cykliſchen Perioden
ı 3ten Stücke des Leigziget Magazins für Mathematik
m Jahr 1786 gelefen Härten.“ Man findet darin nicht
ve verſchiedene Fehr bequeme Aufldfungsmerhopen meh
ver dergleichen Aufgaben, fondern man kann auch über
uge werden, daß die co mbinatorifche Analyſis
dr Allgemein und viel umfaſſend ſey, und nicht immer
eitläuftige, oder, wie Sie vor Kurzem äußerten, ab⸗
hreckende Formeln gebe wi ‚Belieben Sie hierbey zu
beden⸗
*) Voußaͤndige Anleit. zur A. 2% 2. Abſchn. 6. 19. ar.
89) Gehoͤrig redueirte Formeln find nie weitiduftig. Auch find
‚die eombinatoriſchen, fo wie die Lokal⸗Ansbruͤk⸗
Se — nenn man ihre Bedeutung und Entwicelang kennt —
nichts weniger als abſchreckend; fle.find vielmehr in hohem
: Grabe anziehend und belehrend: die lokalen, weil fie.die
Beſtandtheile der oft fo fehr verwickelten shfartnichgefehteh
Brögen, und diefer BeRandkhelle Anbrdnung und Verbin⸗
.„dung uüter einander, nn deutlih vor Augen legeus die
“eombinatsrifchen, weil fe jederzeit auf ganz beflimiite
und leichte Vorfchriften und Verfahren hinweiſen, nad). wel⸗
chen ihre Entwickelung ohne Schwierigkeit vorgenommen wer⸗
den kann. Daß Bierbep die Kenutnig comdinatokifcher
Dperationen und Juvolutionen, ale Hälfemittef
dorausgeſetzt wird, iſt nun fchon befatint, und Pie Worfchriften
und Regeln, die ich darüber gegeben habe, gehoͤren offenbar
zu den leihteften, die man ſich nur denken kann. Hier kan
u re von etwas Abſchreaendemn A gar nase d bie Rebe
203 VIE: Ludicke, eine beſtimmte Aufgabe ze
bebenfen, daß der Schrec nme relativ und zuweilen eine
> Krankheit ſey, für welche man bie Gewohnheit als Arzuey
empfielt, und daß mit der größern Allgemeinheit meiften,
theils mehrere Weitlaͤuftigkeit verbunden fey. Der Beweis
des Ginomifchen-Echrfages faͤllt ungleich weitläuftiger aus,
en wen ber Erponent jede Zahl, ald wenn er eine ganze.
5 pofitive Zahl iſt. Mehrere Beyſpiele werden Ihnen
ſelbſt beyfallen; ſo wie auch der gegenwaͤrtige Fall als
Beyſpiel dienen ſaun.
gu Yuflöfung ofen Aufgabe tönen Sie ſich der |
Zeichen, Formeln und Vorſtellungen Bedienen, welche -
Herr Prof. Hindenburg in. der oben angeführten U |
beadluns (©. 306, 30%) gebraucht hat.
Es find nämlich in Ihrem Kalle
bie Städedes Durchſchiehens BA DI) a 1)
bie zugehoͤrigen Reſte 124
wodurch alfo (in den unsern Zahlen 11 — o geſetzt) ie
ceykliſche Eomplerion vollkommen beſtimmt iſt. Da
nun 2, 3, 5, 6, (nit aber 11) in 9. 10 90
enthalten find; fo — ſich die Ordnungszahl ber gege |
DIOLDICKOLOKD FE
benen Complexion 245509
nach bem Probufte 9. 10. I1 == 990 der brigen Zah⸗
len ober Faktoren, und man hat nur die Ordnungs⸗
8 (10) (m) obe
| zahl für eine Eomplerion twie 9
" 9 > an gu ſuchen.
Sie iR die Sure folgender Ausbrüde:
J .
i Sunset „LO 1
&
;
-
| nn. FR
-
2 aus: der unbeftimmten Analptil: * 209
wenn 2 Z, folglith ag |
b- N, bug.
10
9.10
Zu € ”.0 s Tr’ wa 2,
; Aion bat daher bie Yusbräde: .
9A oB+ I C
AS 0 ER er,
R ne man für A,B,C ſoiche Zahlen (und vorjüglig die
- , Behnflen) zu wählen bat, daß fein Bruch entſtehe. In
diefer Abſicht ſetze man Ama 1, B=wo und c2 fü
erhält. man für biefe Ausdrücke |
" 770 99 + 990 == 1859.
. (ober 11) in der 185 9ften Complexion ber nad) den Zah⸗
re. Im (2) (3) (5) (6) (9) (zo) (11) angeordneten cyElis
. ſchen Periode Da aber dieſe Complexion mit der
9.20. ııten oder mit ber 990ſten Complexion, vor⸗
Eder ruckwaͤrts von jener gezählt, uͤbereinkoͤmmt, fo iſt
. die gefüchte Ordnungszahl auch 1359 — 990 8693
Be Complexion 1,2,4,5,5,9, 11 ift nehmlich Sie 869fte
3 der Überhaupt aus 990 Complexionen befichenden eine -
"fechen Periode. Auch faͤllt die Zahl 869 == 14.6029
wiſchen 14 und 15 Schock, wie in der Aufgabe ift ange ·
: ben worden. Sie ift alfo die, vermittelft der Aufle
fangsformel einer unbeftimmien Yufgabe, gefüne " -
bene beſtimmte Zahl, und zugleich die Fleinfte, bey
Weichen. die Diviſoren und Reſte der Aufgabe zuſammenge⸗
tunen ſtatt haben. a
Die Beweiſe hiervon darf Ih Ihnen nicht wiederho⸗ |
’ ib deutlich audcinanber or. worden ſind. nn
oh Sr Bin.
Es befinden ſich alfo ale gegebme Neſte 1,2,4,5,5,9,0 .. ”
li, Dale in. der angeführten Abhanblung fehr grändlip —.
8. vn huͤdicke, eine beſtimmte Aufgabe *
m Bebente; daß der Sud une relativ und zuweilen em -
Erankheit ſey, für welche man die Gewohnheit gls Arzuey
exmpflelt, und daß mit der größten Allgemeinheit meiſten⸗
theils mehrere Weitlaͤuftigkeit verbunden ſey. Der Beweis
des biuomiſchen Lehrſatzes faͤllt ungleich weitläuftiger aus,
wenn der Erponent jebe zahl, als wenn er eine ganze.
2o fitide Zabl iſt. Mehrere Bepfpiele werden mn |
ſelbſt beyfallen; fe wie * der seseumärtige Sal as ;
Beopſpiel dienen lann.
gu Huflöfung ofeer Aufabe camen Sie ſich dee
Zeichen, Formeln und Borftellunge bedienen, melde -
Herr Prof. Hindenburg in. der oben angefäßrten %
| Danblung G. 306, 309) gebraucht hat. . .
Es find nämlich in Ihrem Falle .
bie Stuͤcke bes Durchfchkeßend ——
bie zugehoͤrigen Reſte 124 5 9.0
wodurch alſo (in den untern Zahlen 11 har Oo gefent) die
ceykliſche Eomplerion vollkommen beftimms.ift. Da
un 2,3,5 5,6, (nicht aber 11) In 9.T0o==90
enthalten find; fo * ſich die —— der gege⸗ |
8 3) (5) (6) (9) (10) 12 f
Genen Eomplerion 3 45509 blos
nach bem Produkte 10.11 == 990 ber übrigen Zah⸗
len ober Faktoren, und man hat nur die ae |
abl für eine Complerion twie 5 (10) I. 2,
—8 (19) (12) Mn Muse
Si 1 die Summe folgender Autdrick:
. 9A 7 10B+ nero,
——— 1 a IH. 9.0
Er
.
. 4 j N
aus der unbeſtimmten Analytik u 209
in 3 10. 11
wao a ber Reſt don 3 folglith — a
en ‚„9.ır .
„ _ “ \ U um -
— ‚b J DET Be b
Fa 9.10 |
| ee v.0 9 — * 4 ce za 2,
te bat daher bie Husbricer .
—— ı10B-+9 11040
o+- — 05 + — ˖ 903;
ne man fir A,B,C folche Zahlen (und vorzüglich die
MAeinſten) zu wählen bat, daß fein Bruch entfehe. In
diefer: Abſicht ſetze man Am 1, Bo und c2 a |
erhaͤlt man fuͤr dieſe Ausdruͤcke
om 778 4 959 4 990 == 1859.
7} ‚befinden fich alſo alle gegebene Reſte 1,2,4,5,5,9,0 ..
(oder 11) in der 185 9ften Complerion ber nach ben Zah⸗
Im (2) (3) (5) (6) (9) (zo) (11) angeordneten cyE£lis
fen Periode Da aber diefe Complerion mit ber
9. 10. zıten ober mit der 990ſten Complexion, vors
Oder rückwärts von jener gezaͤhlt, uͤbereinkoͤmmt, ſo iſt |
1\” gefuchte Ordnungszahl auch 1859 — 990 =: 869;
: De Complexion 1,2,4,5,9,9, 11 if nehmlich Sie b 69ſte
: Die überhaupt aus 990° Complexionen beſtehenden ein
> fen Periode. Auch fällt die Zahl 869 == 14.60 4 29
“Telfchen 14 und 15 Schock, wie in der Aufgabe iſt ange
ngeben worden. Sie iſt alſo die, vermittelft der Auflde
bene bekimmte Zahl, und zugleich die Fleinfte, bey
‘Minen ſtatt haben.
Die Beweiſe hiervon darf ich Ihnen nicht wiederho⸗
* deutlich h auschnanber FB. morben bu
—* . , “ .g: n
“ ‘ . . i
. I
füngsformel einer unberimmien Yufgabe, gefüne -
"Weichen. die Diviſoren und Reſte der Uufgabe sufammıenge-
ir ba‘fie in der angeführten Abhandlung fehr gradlich | .
‚ Ste BD. BE '&h | i |
210 VI. fadicke, eine hſummt— Aufgabe
er koͤnnen aber auch das Eulerfche Verfahren vie |
. Se
er ,
L
bequemer machen *): Diefe Abkuͤrzungsmethode iſt Ihnen
vermuthlich nicht bekannt; da ich mich nicht erinnere, daß
ſte ſchon gebraucht worden iſt.
Es ſey die Anzahl der Durchſchuͤſſe in jedem Falle
a,b,c,d,e,f,g, und die Menge aller einzelnen Stüde
oboer die gefuchte Zahl —x; fo hat man
2a #1 = 3b+2 = 5c+4 = 6d+s
\
wege +s-rfgengm=x
mw2a— 3bFı = sc+3 — 6cd+r4
= ye +4 = 10f+$g — 1g—-Ii—=ı-I
2 Weil aber @ bey 2 a in 6d 4 ober auh in 10f 8 -
aulfgehet, fo kann man ohne Nachtheil 2a weglaſſen und
weiter geben, und fp kommt
| 3b= sc+2 — 6d+3 = 90+3.
2 10f+7 = Iııg—2 = x—2
Weil 3 in 6d-- 3 enthalten iſt, fo Fällt 3 b bintetg;
folglich hat man
sc = 64“—à1 = ge-+ı = 10f+5
= 1g—-4 =ı—4
Es iſt aber 5 in 1of-+-5 enthalten; es rät alfo auch
sc wg, und man hat
"6d = yge— 10f+4 = 113 - 5 x—53
folglich |
* =: e=Ii» =g-+' <— 7
Die Gier hegelrachte Abtümund verdient alle Aufmerkſam⸗
keit. Es werden bey ihr die ſaͤmmtlichen Bedingungen gleich
Anfangs, ar. nähern Bergleihung, neben einander geſtellt,
‚wie ben mir (angef. Abhandl. S. 308, IV, a). Dat ber
von mir angewieſene Verfahren ift aber von den hier gebrauch
. den gan verſchieden. Bepbe find übrigens ganz allgeme
Megen des meinigen vergleiche man noch Die angef. Abhaudl u
H.
(6 311. Anmerk. ».
um-
x B a der unbeftnmeen Ana, an
un bie Sri mweasufchaffen, ſetze man I
e — ah, fo 31— 1, g =, —— fo with
‚sh= si—T == ıık+1 = —; folglich
= bei? a gt
Dierfepemn N
di gloı,k= 3m-+ı und a— 85453 Br
:f6 wid sl—2 = fık-44 folglich
51 11k6 = y+2 und
j
N Amakrı Hi yr2
5. 5
| ;. Man ſetze eudlich k—= sm—ı und y= s2—2; ri iR
ıık—ı =.
’ ' gu Befimmung ber Zahl x hat man num fülgende Gleis
chungen: 23
11K—13. I 5—-2; z=1y+5,
Es ſey k= 1; ſo iſt = 10 »y 48 unda=: 369, |
ie oben
Aus dem Vorhergehenden erhellet, daß man Die De .
fahren noch mehr abfürgen könne. Weil nehmlich 2, 3, 5, 6
N 9:10 aufgehen, fo find die Reſte 1, 2, 4, 5 nicht wille
; Hhrlich, fondern fie hängen von din Neften 5 und 9 ab.
: Men hat dahero nur folgende Saͤtze noͤthig: =
ga — 10649 rc x alſo
9 == 10b+4 = I1c—5 == x—5 und
' 2c# x— =
a ‚ 9 9 9
5 manbgd—ge =Ige—22==9y-45j “
wird ı0d—4 == ıre—3 == folgtich
10d IrIe+ır =yr4 m
wi. dem + — Ir, .
Er 10. 10° u
I u A .
[h ot > j
„Tr .
— Da Wenn
, a —
N WMW . .
> . . . ®
sı3 Vm Südieke, eine beſtinmte Aufgabe
Menn man nın e—= 1of— ı undy— 107— 4fthh,
ſo wird ıf—ı = z. Man bat daher die Beſtim⸗
mgaz=uf—ı, y — 102 — 4m
x=9y+5; und ſo fommt, f= 1 geſetzt, — 10,
und daraus y — 19 10 — 4 = 96, und daraus
x=9.96+5 = 869, wie vorher.
Auf eben diefe Ant kann das Hindenburgfche Exempil
(a. a. D. ©. 310,10) ziemlich bequem ae werben:
Man hat nehmlich:
1225 15414 = 20049 = Bi 1
= 36e +5 =x; alfo
1a ı5b+9 = 200+4 = 24d+ı2
— 36e =x—5,
Es fällt ader 12a hinweg, weil 12 in 24d-+ 12 ohtt
in.36e enthalten iſt. Man hat daher
15b= 2005 = a4d-H3 = Be H—x—ıl
Weil jeboh 15 — 5.3 in 20c—5 undin 24d-+3
aufgehet, fo faͤllt 15 b hinweg. Folglich iſt
20e — 24d 48 = — — x—9 um!
ne er N
> 2 20
Dun fe man d st—n, e = 5g—ı m
x= 20y-+9, fo wird
6f—2 = 9g—2—y, folglih
F=9g—=y+r2,un
f=g+is = =.
Wenn nun g= 2h und y= 672—2 gefeßt wird, ſo
batnanzh=z,y=62—2 und x—=z0oy+9
E&yaph=ı; pwidza—zy3,y=ı6 m
xXS 329.
Da aber diefe Abkürzungen bequeme Zahlen voraus⸗
fegen, bie ald Disiforen In andern dabey vorklommenden
zahlen
%
aus der unbeftimmren Analhtik. 213
zahlen ohne Reſt aufgehen, fo muß ich Ihnen auch zei-
tm, wie man ſich bey fehr unbequemen Zablen, wo das
iiche der Fall iſt, die Operation erleichtern Ednne, Die
auͤhſamſte Arbeit iſt das fortgeſetzte Sobſtituiren;
ieſes vermeidet man, wenn man ſich waͤhrend des Divi⸗
irens den Ausdruck bequem macht, mie es in den vori⸗
en. Erempeln einigemal gefchehen If. Der Ausdruck
> I
sgr+: ' 2. giebt eigentlich den unbequem. Duo
ı 6
enten 1 + 2, Wenn man aber an ven
99 r1 —64_ 99 —
* =
Statt: 444 7 444 EA: kan. *
hreibt; ſo ſtehet man leicht, daß q— 7 ſich mit 16 bie
diren laſſen ſolle, und daß man q == 167 7 ſetzen
6
uͤſſe. Damit man den Ausdruck ————
——
⸗ gq-+ Bequemer mache, fo fege man ihm
229 — . wo 29 — 1 mit 39 dividirt
kiben follen, und wo alfo, 9*3 9r- —.19 gefeßt, den
II
nsdrud 2
9223.13 ift, fo.fann man bier erft mit 3 und ale
enn mit 13 divibiren. Bey der erſten Diviſidn beloͤmmt
ig—34 2
ff, und den Ausdruck in 56 — 15 verwandelt:
deſer Aucdeuæ, mit 13 dividirt, giebt. eigenelich
ir 1 +: _ ; ‚man feßt aber an deſſen Stelle
v D3 0.0 4E
= 56r—27 giebt. Oder, da
wo man q = 3r—ı Ä
⸗
214 | vn. J eine beftimmte Aufgabe
loan
4r +24
“ 4173 je: re, fo wird r= 1316 ab:
der Ausdruck wid wie vorhin, 56t — 27: Eine andert |
Berlegung, des Ausorudd
= Hier fege man
alſo af = 15g-+5 == 17h +9 19k -6— |
we gti —— u bp
Bu 13 | 13
u l=n-ı+
+1
——— (a. a. 8.6. 317).
-Um dieſes mit einem Beyfpiele zu’ belegen, füge ion f
3, Hindenburgifche Exempel (Ebend. &.313, 12) ben, tech
ches wirklich ſehr mre ueme Zablen hat. Dan hat
demfelben —
4a12 * igbrr 15* = 15— 1 = rd
=ıge—ı2=x folglich, u
ab — 18
br +2 rt 4 |
6 Ge ‚IE
„ sd—30 | 3e+9
11 =;
b= ııf—a ‚c- 11843 ‚d= 11h45 |
ez ıık—3 und xr= ııy fo wird
3f- erg 44 =ırh+, = kr
2g— 8 464°
= 6k—6_ y+ıI |
13 } & 1414
‚ Wenn man mung = 13l+4, ho 13m+15:
k=ı13n+-ı und y — 132— 7 fe; fo wird
sI+#s5s=ı7mHr2=19n +11, folglich _
si=r7m—3=1ın-4=ı—s,umd
2m-+ 12 an—4 —
—n m —
15 15
Hier
aus der unbeftimmten Analytif, 215
Hier fehe‘ man m=15p-—6, n— sort ‚und
= I5a-s, und man erhält .
17p -7 — 199 1 — 4, aalſo
mp 9 r3 =a-r7, und
294+8 ar,
ı7 7 17.
Senn man nun endlih = 17t— 4 undba=m 17 6
ſetzt; fo. baf man 19t—4=ß Danuna=17ß-—7,
1m 15&+5,y = 137—ı umdı=Iıy war;
fo wird die kleinſte geſuchte Zabl gefunden, wenn man J
= 1 annimmt. Dan hat ndmlid) alsbenn
B=15, a=248 ,12= 3725
.y > 48424 und 1* : 532664; wie nahe
. 314 |
Diefer Abkürzungen obnerachtet, werden Sie finden,
—— dieſe allgemeinere Aufloͤſungsart, die ſo viel Erleich⸗
erung beym fortgeſetzten Subſtituiren ſchaft, gleichwohl
weitlaͤuftiger fen, als die Hindenhurgiſche allgemeine Auf⸗
oſungsmethode, die nicht allein bey dergleichen unbequte
men Zahlen ſehr vortheifhaft, fondern auch überhaupt,
wegen anderer bey Diefer Gelegenheit angeſtellten Unter:
fadjungen, lehrreich: und fehr zu enpfehlen iſt.
Zuſatz des Herousgebers.
D. Aufgabe: Eine Zaͤhl iu finden, welche dutch,
viel als man will, gegebene Zahlen dividirt, eben fo viel
Rtgebene Reſte laͤßt gehoͤrt, wenn weiter nichts von der
3 ſuchenden Zahl angegeben wird, da fie näher kennen
Hr holz au den undeſtimmten Aufgaben. Daß Herra
D4 M.8is
* Bie 1.8. in der Aufgabe (S. 206) der Umfanb, daß die
dort zu fuchende Zahl der einzelnen. Side wiſchen 24 nud
185 eged liege m fl | ’
\
—
\
N
r
sı6 V. Bufg, des Serausges, |
'M. Labickens Freund bie * ſolcher — |
wenn man erfährt, daß ſelbſt Glausberg, biefer fo ges
üÜbte Rechner, dergleichen Aufgaben zu den fchwerern-ge
zähle, und fchon die Auffuchung ber Zahl, 4.8. (durch
sebentlihe Rechnung, nicht burch Verfuche) welche
„in aufgeht, und in 15 bividirt zo übrig läßt, en
harten Knoten genannt hat. Seine. Benfpiele er
ſtrecken fich auch nicht über zwey Diviſoren hinaus, dis
“noch dazu Fein Igemeinfihaftliches Maaß Haben dürfen) -
-
0";
Indeſſen hat doch ſchon Bachet die bahin gehoͤrige Haupt⸗
aufgabe vollſtaͤndig geloͤſt, und gezeigt, wie man alle Glei⸗
chungen vom erſten Grade mit zwey oder mehrern unbe⸗
kannten Groͤßen, in ganzen Zablen qufloͤſen koͤnnen.
Buch haben Euler (a. a. O.) und vornehmlich Herr de
. a &range*) den Zufammenbang biefer Aufgabe ut .
- der unbeflimmten Gleichung a —bx-—oy für diegans
. gen Zahlena,b,c,x,y, nachgewieſen und erläutert, Daß
‚man celfo diefe Aufgabe vorlängft durch ordentliche
Rechnung, wie fi Ela usberg ausdrückt, aufzuloͤ⸗
fen gawußt habe, das iſt aus dem hier angeführten klar;
es fragt ſich nur, ob dieſe Aufloͤſungen auch alle erforder⸗
liche Leichtigkeit und Geſchmeidigkeit haben? Die Weit⸗
laͤuftigkeit, auf die man ſchon verfaͤllt, wenn man das fuͤr
zwey Diviſoren und Reſte von Euler gelehrte allgemeine
Verfahren auf ben (a. a. 2. 5. 21) überträgt, oder die
. von
u) Berronfrät Rechk. 4. T. 9.1366. No. 3. Not. 2. u
#*) Mem. de l’Ac, des Sc: Berl. annde 1768. p. 220238, '
probl. 4, artꝰ24. und Coroll. a5. Eine andere Auflöfung
(die einfache unter den am meiſten abgekürsge
gen, wie fie dort genannt mird) wird fchon Im vorhergehen⸗
den Jahrgauge (1767. p. 294, 295.) beugebraht, uud, eben
pm wie jene, anf die Auflöfung der unbefimmten Gleichung.
br cy (art, % p- a vurücgefüßrt
A oo | F
vi Zufa d bes berauthebete. | 217°:
von Kern’ de la Srange nachgetviefene Verbindung and
‚ Behandlung der gegebenen ‚Bunctionen zu unbeſtimmten
* Gleichungen vornimmt, laͤßt die Verwickelung voraus -
'säßerfehen, in die man bey mehrern Diviforen und Neften
nothwendig gerathen muß, und fpricht fo für das Gegen-
gell. Dieſer Umftand veranlaßte mich vor einigen Jahren,
dieſem Problem weiter nachzubenfen, und feine Aufloͤſung
auf einem ganz neuem Wege — dem combinatori⸗
—Fſchen — zu verſuchen. Dies veranlaßte die obenange⸗
"führte Abhandlung von den cyflifchen Perioden. _
Wie die eyklifchen Perioden durch der gegebenen Rei⸗
hai, 2u..a; 1,2,3...ß5 1, 2, 3, 4... Yu fe w.
- fortgefegtes Schreiben in fenfrechten Colonnen neben ein
-i@aber, formirt werben, und wie fie, nach Beſchaffenheit
Eder Zahlen =, P,y... auf eine doppelte Art verſchieden
x Rad, umß in der angeführten Abhandlung ſelbſt nachge⸗
: fehen werben. Hier genügt es anzumerken, daß, fo wie
"Sie &,9;Y 5... In einer horizontalen Reihe nes
u)
u
beneinaunder zu fliehen -fommen, ber Period geenbige -
9. Ein folcher Period. befteht demnach, aus der Ane .
‚feugecomplerlon 1,151, 1,0 2.0, ber Endcoms
“'pleriona;,ß,y,d Ber und allen Äbrigen bazmifchen.
» fallenden Complexionen, beren feftbeftimmte Folge
‘uf einander von bem angenom mibenen Verbindungsgefege .
ent Daraus erhellet zugleich, daß hierbey up
Sauptfragen vorfommen müffen: x) Die Hrdnungeggpl
‘eier Complexion in der Periode (bie wievielſte fie in dee -
Periode ſey) If} gegeben, man foll bie Complexion angeben
: 8) Aus der gegebenen Complexion, ihre Ordnungszahl in
: We Periode, zu beſtimmen. Die Beantwortung ber erſten
BR Im die Augen; anders verhält es fich mit der zwey ⸗
, deren Beantwortung zugleich bie Auflsfang ber im
le Aufſatze vorgelegten mArtgahe enthält,
; inte je
hat nicht‘ die geringfte Schtoierigfeit und-fäle von
' 4
218 . VIL Zufaß des Herausgebers,
unter mehrern in der oft angefuͤhrten Abhandlung von
J mir gegebenen Aufldfungen, ift unfireitig die don "Herrn.
. M: füdide oben (S. 208.) aufgeführte die allgemeinke -
e und directeſte, welche, für die geſuchte Zahl x, auf bie. |
| Bormel. fuͤhrt:
Ä 710B ICH
rear * 9 En g. 108.
Hier giebt «8 mım "unendlich viel Werthe für 4,B,C, ne r
eine ganze Zahl bleibt. Die in der Abhandlung gebrauch;
ON
—
ten Werthe A=1; Bo ; C==2, geben x==1859,
von welcher Zahl 990 (die Menge aller Eomplerionen bet
Periode) abgezogen, die beſtimmte Zahl 869 ber Aufs
gabe giebt; wie Daraus: erhellet, daß 369 — 14 Echo
-) 29, alfo zwifchen 14 und 15 Schod liegt, und jüs
gleich ale übrige Bedingungen der Aufgabe erfüllt. Die
B==0; C=o fegen. FürrA=—ı; B==0; C==0o
kaͤme x= — 121, folglid — 121 + 990 = 869,
- wie vorbin. Man kann fich nehmlich mehrere (unendlich
viele) Perioden an einander gefeßt denken; und von ire'
gend einer milführlih gewählten Anfangscomplexion
1,1,1,1,1.., (als einer erfien) die Complerion vor⸗
und ruͤckwaͤrts (pofitio und negativ) zählen; und fo
Zahl 869 geradezu zw treffen, dürfte man nur A=13"
überfiche man “fogleich, daß die von 1,1,1, 1,1... 8 .
aufwärts gezaͤhlte — ızıfle Complerion, mit der von
eben dem Anfange herunter waͤrts gegählten A 869ſten
uͤbereinkommen müffe; mie auch daraus erhellt, daß beybe |
Zahlen (ohng Ruͤckſicht auf ihre Zeichen) die Zahl 990
(die Summe aller Complerionen der Periode) zufammen
geben. Natürlich verlangt und fucht man bie pofitiven
Werthe von x. Dieſe find, für die unbeſtimmte Aufgabe
as865 39+:. 990; 869-+2.9905 u. fi.
Die
9— VII. Zuſatz des Herausgebers, 219
Die Aufloſung der Aufgabe iſt in der Abhandlung
offenbar deshalb gewaͤhlt worden, um ein Bey ſpiel meiner
MWMethode zu geben; ſonſt koͤnnte man noch die erhebliche
Einwendung dagegen machen, daß die Aufgabe, wie fie
Hier von ihrem Verfaſſer iſt Jorgelegt worden, eine un⸗
Pr
gleich viel leichtere Aufldfung zulaffe, die man auch nicht |
‚leicht verfehlen kann, wenn man die erfte Bedingung (der
—5 — zwiſchen 14 und is Schock) mit den folgenden J
etwas näher zuſammenhaͤlt und vergleicht.
Dieſe erſte Bedingung giebt nehmlich fir die Menge
‘der einzelnen Stücke, bie der Kaufmann gehabt hat, die
Sleichung x 14. 60--y = g40-+y; wo ybn
— —— uͤber 14 Schock bedeutet. Dieſes y naͤher zu
beſtimmen, dient vor andern die letzte Bedingung, nach
: Welcher x durch 11 ohne Reſt ſich muß dividiren laſſen.
Daraus folgen fuͤr y die fuͤnf Werthe 7, 18, 29, 40, 515
die eben. fo viel verſchiedene Ausdruͤcke 840 73
Bois: 840 - 29; 840-440; 840 +5ı für -
: x geben, Bon bdiefen können aber 840 + ı8 und.
, 840 4 40, und eben fo 840 7 und 340 51,
‚nicht ſtatt haben ; bie beyden erften, meil fie, durch 2 bie
‚ Hibirt, nicht 1, bie beyden letzten, weil fie, durch 3 divi⸗
dirt, nicht 2 übrig laſſen. Folglich ik x— 940. + 29
8869 bie gefuchte Zahl, bie auch allen Bedingun⸗
gem zugleich Genuͤge thut. .”
1 Dies hat vermuthlich der Verfaſſer der Aufgabe nicht J
dedacht, bie er doch gewiß nicht fo hat abfaſſen wollen, daß
fie außer der von ihm verfuchten Euleriſchen, oder einer
. andern ähnlichen Methode, noch eine fo dußerft leichte -.
N Anfloͤſung zulleß. Es it ihm bier fo gegaugen, tie es
„ Aumeilen.ben Berfaffern von Raͤthſeln zu gehen pflegt, daB
ft, wider ihr Wiffen und Erwarten, eine Bedingung mit -
J
A einmal su viel verrth Es lonnte auch die erſte
‚angeben, bie für. ſich oder mit andern zufammengehalten,
Bein
‚
'
— VII. Zuſatz des Herausgebers.
Bedingung (wodurch nehmlich bie Zahl 869, aus un
zaͤhlig viel andern beſtimmt wird, die außerdem ſtatt haben
fönnten) auf fehr mannichfaltige Art anders ausgebrudt
werben. 8. durfte nur, um ein Beyſpiel zu geben, dir.
Antwort des Kaufmanns am Ende noch Folgendes bes
gefuͤgt werden:
„Auch habe er (ber Kaufmann) gefunden, daß bie |
»Zahl der Stücke, bie er gehabt habe, gerade die Eleins |
„ſt e gemwefen fey, bie man haben muͤſſe, wenn alle Bw
„dingungen, zufammen. zutreffen. follen. Es wird ge
»fragt u. ſ. m.“
‚Hier faͤllt nun ber obige Einwurf ganz weg, weil man
ſchlechterdings genoͤthiget iſt, biefe, obſchon beftimmite
Aufgabe, anfangs wie eine unbeftimmete anzufehen,
und auch eben fo aufguldfen, Co etwas hat vermushlic
‚Herrn M. Luͤdickens Freund in Gedanken gehabt.
Hindenburg.
Auszüge
Se
"Ausjige und ecenfionen neuer Rüen \
—
AUhtbuch der Sopran, mit be —* ade
;auf die Erfahrung. an Chriſtian
:$angsd.orf, Kön. Drug. Math. Altenburg, in.
‚der Richterſchen Buchhandlung 2794. .
‚Sortfegung des Lehrbuchs der. Hydraulik. Das
"feIoR, 1796. Zuſammen 4 Alpb.. 10 B. Test;
Vorreden und Inhalt 16 B. 4. mit 53 Kupfert. B
Ei wird keiner Eotſhuldigung bedurfen, daß ie Sun
Iklang diefes Werts bis jetzt verfihoßen worden, da nun .°
icht mehr die Abficht dabey iſt, es bekannt zu machen,
’
mbern die dem Verfaſſer eigenen Behauptungen zu prüfen.
Jen Inhalt deſſelben Hat fon ein fachkundiger Necenfent
n der Allgem. Litteratumgeitung 1795, Mr. 26, und 1796,
Ar. 70, ausführlih mit guten Bemerkungen angegeben.
Ich will mich alſo damit nicht aufhalten. Man wird ſchon
biſſen/ daß diefes Lehrbuch der Hydraulik das vollſtaͤndigſte
fi; was, wir befigen; daß es nicht allein die theoretiſchen
ind empiriſchen Lehren mon. der Bewegung des Waſſere,
ondern auch eine umſtaͤndliche Anwendung auf das Mas
chinenweſen enthält. Man finder. darin zugleich die Lehre
on den Gewoͤlben zum Brüdenbau, die. Unterſuchung der
Beiyegung ber Windmühlenflügel, die Theorie der Dampfs
naſchinen, Berechnungen über Stangenkunſte Getraide⸗
nuͤhlen und Schwungraͤder, wenn gleich das meiſte hievon
ucht ſowohl in die Hydraulik als in die Maſchinenlehre ge⸗
Rt. Im firengen Verſtande gehört zu der hydrauliſchen
Mechanik nur die Unterfuhung über die Bewegung dei -
vera, feiern es entweder daR oder bewegende Kraft iR.
| In⸗
LE
a Nm
vr
-
4
N
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7 Pd
, .
ER
“ . ‘ ’ .
' ' . 9
’ a . *
220 vm. Auerige und Decenft tionen neuer « Se
|
|
4
Inzwiſchen braucht ein Schriftſteller ſich nit ganz genau
an die methodiihen Graͤnzen zu binden, wenn die Ueber
’ ſchreitung mit Nutzen fuͤr den Leſer, wie in dem gegenmön
tigen Falle, verbunden iſt.
Der Vortrag bes Verfaſſers unterſcheidet ſich beſonders |
dadurch, daß er die Erfahrung überall der Theorie als Gu
Hälfin an die Hand gehen läßt. Durch bie Erfahrung
. * Ieltet (ſagt er Votr. VIL.) mäffe man lieber auf manche De -:
monftration Verzicht thun, als daB man ungeprüfte Vor
ausſetzungen mit in den Calcul verwebe, und wichtige ph⸗
. Nice Umſtaͤnde aus der Acht laſſe, ohne ſich um Abweichum :
gen von der Erfahrung zu befümmern, bloß weil man dm. .
. rund diefer Abweichungen nicht einfehen kann, oder.
- einem mathematifchen Lehrbuche als einen unverzeihlichen
Fehler anrechnet, Säge ohne eigentliche Demonftration one
. auftellen, F
Es iſt allerdings wahr, daß in der Hydraulik 9—
Theorie nicht vermag, die Erfolge Hinlänglih genau aus
dem Gegebenen zu Heftimmen, weil man theils Umſtaͤnde
ennehnien muß, die in ber Wirklichkeit eine Abänderung
feiden, theils aber auch Umftände Hey Seite feßt, die einen
beträchtlichen Einfluß auf den Erfolg haben. Die Hydraulil
iſt gewiſſermaßen ſchwerer, als die phyſiſche Aftronomit, u
weil man es in diefer größtentheile mit einzelnen ſchweren
Puncten zu thun hat, in jener aber mit unzählig vielen, =
die jeder ihre befondern Bewegungen haben. Die Erfahe
rung allein iſt aber noch viel unzuverläßiger, als die bloße
Theorie, weil durch Weränderungen der Umftände die Er⸗
folge ganz anders ausfallen können, als wie fie die aus
einzelnen beobachteten Fällen hergeleitete Regel angiedt.
emptrifche Formel mag brauchbar ſehn, wenn in einer Reihe.
von Effesten nur eine‘ e einzige Größe veränderlich it, um
das
- Die reine Theorie iſt fiherer, wenn man nur bey ihrer .
Anwendung das Quatenus derfelßen nicht vergißt. . Eine
. K- . , . _
. . J fi *
% 2
‚VL X und .D Decenfonen Beier Bde. 223°
per Sefep derſelben darzuſtellen, * man auch dafſelbe
‚aut. errathen, ohne den Grund davon begreiflih machen zu
können. Denn.es iſt hier nur um eine individuelle Inter⸗
‚polationsformel zu thun. Allein hydrauliſche Lehrfäge kann
die Erfahrung nicht geben. Das Errathen aus undeutlich
gedachten Gründen ift fehr mißlich; ‚man müßte einen ems
giröfchen Lehrſatz verihmähen, wenn ihn auch die Erfah⸗
zung zu beftätigen ſchiene. Herr Langsdorf hat perfchler
dene folche Lehrſaͤtze aufgeftellt; aber wie. unzuverläßig diefe
Methode iſt, mag ihn -feine eigen: Erfahrung belehren, da
er in $. 688 ſi ch genoͤthigt bekennt, ſeine in eben dieſem
Werte vorgetragene Theorie von dem Stoße eines iſolirten
Strahls zuruͤckzunehmen. Ein ſolcher Fall komme auch
6 386 und $. 740 vor. Es wird noͤthig ſeyn, einige
Yahıfäge des Verf. von: diefer Art anıuzeigen, um Ungeübte
auf tie ſchwachen Stellen des Werts aufmerffam zu machen,
vhne darum den daran gewandten großen Fleiß und die
praktiſche Brauchbarkeit deſſelben zu verkennen. Das Ins
tereſſe der, Wiſſenſchaft ſelbſt erfordert es, nichts Muth,
maopliches darin. einzulaffen. |
Die. allgemeine Gleichung für die Bewegung des Waſ⸗
fees durch ein Gefäß von irgend einer Geftalt hat Hr. 2.
wicht zum Grunde gelegt, weil er. die Theorie, worauf fit
deruht, für unzuverläßig hält, daher es nicht noͤthig ſey, .
dem Lehrlinge der Hydraulik damit Mühe zu machen. Man
wuͤſſe doch Erfahrungen dabey zu Huͤlfe nehmen, und.fönne
he nur in fo fern als gültig erfennen, als fie mit der Er⸗
fahrung übereinftimmt. Es ift wahr, daß in.der Theorie
. bon, der Bewegung bes Waſſers durch Röhren und andere
Gefoaͤße der Weg aller Woſſertheilchen als derſelbe angeſehen
Bed, "nämlich als der längs der centrifchen Linie; daß alfo
Me Kraft zu. der Ablenkung auf den wirklichen Weg, der
Unterſchied der Zeit auf dem erdichteten und dem wirklichen
Bars und bie dadurch erfolgende Ahänberung ber Bewe⸗
gung _
“\
task ‚yal. Auszige und Ofesenfionen w neuer = vige.
gung auf der centrifchen Linle, nicht in Rechnung gebrach
werden. Allein wenn wir bie Theorie wegen dieſer biß
jegt unvermeidlichen Mangelhaftigkeit wegwerfen wollen,
fſo geben wir den wiſſenſchaftlichen C Grund ber Hybrodyns⸗ |
mit ganz auf.
Eſt quiddam prodire tenus, fi non datur ultra,
. Bir müßten in jedem einzelnen Falle eine muthmaaßliche
Jormel der. Erfahrung anzupaͤſſen ſuchen, oder uns som '
und gar mit Erfahrungsfägen behelfen. Freylich muß mag;
‚nicht die Gleichung ‚, welche das Refultat der Theorie I .
.. anf jedes Gefäß für anwendbar halten. Waͤtte das Gef:
eine oder. mehrere beträchtliche Werengerungen, fo könnte.
‚ ber Erfolg von der Berechnung merklich abweichen. Gef:
bey einem prismatifchen Gefäße, das voll erhalten mich,
zeigt fih, daß die wirkliche Waflermenge nur etwa $ der
berechneten iſt, wenn das Waſſer naͤmlich durch eine kurn
Anſatzroͤhre ausfließt. Inzwiſchen wird bey einem aus ip:
lindriſchen Stuͤcke zuſammengeſetzten Gefaͤße, welches in
der Anwendung der wichtigſte Fall iſt, die Boransfetung
der Theorie beynahe Statt finden, bis auf die Stellen, wo
ber Ducchmefler ſich ändert. . Warum wollten wir hier ein
Mittel verfhmähen, wodurch ſich Die vortheilhafteite Ein⸗
richtung der Mafchine, und, wenn gleich nicht der wirkliche.
Effect doch die Graͤnze defielden, beſtimmen laͤßt? Die :
Erfahrung muß allerdings mit zu Huͤlfe genommen werden,
um die Berechnung mit dem Erfolge zu vergleichen. Eine.
‚gut bearbeitete Theorie ift das einzige Mittel die Erfahrung
“ gehörig zu benugen. Wenn aber die Theorie unficher if,
ſo bleibt alle Erfahrung nur ifolirte Kenntniß. Die von
Hr. 2. bey Seite gefegte Theorie ift, wenn fie gut vorge
- tragen wird, nicht fo fchwer, daß man mit mäßiger Kennte
niß der Analyfis und der Bewegungsgeſetze fie nicht folte
begreifen können, Ohne biefe Huͤlfsmittel kann man auch
- Ken. 2. Lehrbuch nicht verftehen, wie es Überhaupt unmöge
EL. Auszuge und Hecenfionen neuer Buͤcher. af
‚if, mit gemeinen alementatiſhen Kenntuiſſen in Dr.
dpmamif audzureichen. _ I
Das erſte Kapitel fuͤhrt die uUeberſhrife: allgemeine Du
chtungen aͤber die Bewegung des Waſſeis. Es enthaͤlt ober
: Beobachtungen über die Menge des aus prismatifchen Ges -
en in einer Gecunde ausfließenden Waflers. Daß die Ger
Windigkei fi wie die Quadratwurzel aus der Waſſerhihe
balte, bet einem weiten Gefäße und. kleiner Deffnung, wird. :
ein Erfahrungsſatz vorgelegt, Die Theorie giebt, mie bea
nei, für ein ſehr weites, ‚immer volles Gefaͤß, die Ge⸗
pindigkeft fo groß. als die durch den Fall von der Waſſer⸗
e erhaltene, ſobald die Veſchleunigung unmerklich klein ges
den iſt. Sie weicht nur in der abſoluten Groͤße von der
ahrung ab, welches aus den uorher angeführten Umfländen
teiflich iſt. Hr. 2. fast. 3. daß das Waſſer durch eine:
ne Deffnung mit derjenigen, Geſchwindigkeit gehe, . die M.
‚ganzen. Waſſerhoͤhe geboͤrt. Allein wie ſtimmt damit bie
Ingere Waffermenge,, welche die Beobachtung nieht? Nun
Boet Herr L. zwar ſeiner Vorausſetzung zufolge den Que
uͤtt des zulſammengeogenen Strahls, den er 0,63 der Oeff⸗
ig finder; allein bei einer kurzen Anſatzroͤhre, wo die Zu⸗
ninenziehung wegfaͤllt, iſt Die Waffermenge nur m. O8 _
vollen, welche die underichtigte Theorie giebt. Die Hohe
der BGeſchwindigkeit iſt alfo nur nahe 0,66 der Waſſerhoͤhe
dieſem Falle. Nach Newtons Benbachtungen iſt der veren⸗
a Querſchnit =0,766 der Oeffnung. Die Behauptung
gruͤndet ſich auf eine angebliche Erfahrung, daß ein loth⸗
* Waſſerſtrahl die Hoͤhe des Waſſers im Gefaͤbe erreiche, ur
in. die Waſſerboͤbe nicht über 4 F. betrage. Wenn die Era
Bung auch ihre Nichtigkrit hätte, fo würde der Satz von der
ſae indigkeit au auf eine Hoͤhe unter 4 F. ‚einzufgjränten:
* Was koͤnnte aber ein ſo eingeſchtaͤnkter 12972 beifen?.
worde auch dem vorher angeführten Erfabrungsſab wider⸗
den. Was noch in 5. 8. gefagt wird, Daß dey gi 'eih
D
5, 4
. 226 VI. 1. Kusjige und Kecenfionen neuer n Schriften, m
Ze
E
4;
u —*— —— aus He 4
wie a gan nz unverſtaͤndliche —ã— wird hier —* das V
n allgeneimmen Kenn
. fließenden Waffermenge bloß die oe I I, fo it es
[4
FSolge das letztere Product für das erfiere m
| aus einem Sefäße, das n ein anderes mit Wafler einge
Kap. der Fal fopn.
. . der Luft bey einem ſpringenden Strahle faſt gar WIR,
| —* te hergeleitet
fern Wafferhhe als 4F. ber Widerſtand ber Luft und andere
Unftände die Höhe des Otrahls vermindern, widerſpricht
Theil dem $. 116, wo es ganz richtig beißt, daß der W
— kommen k nme
En ganz kurze Kapitel handelt von er.
Bes ohne Soden, in welchem jebe be
— unter dem Beh
flees zu erweiſen. |
fies aus einem IH Sefüße u dem ;
des zu numengejogenen sing fagen auf "les (dei
ob man bie Deffnung oder den verengerte erſchnitt des
Waſſerſtrahl⸗ mir der wirklichen Sefhmnindigteit But |
oder die gehörig verminderte Deffnung mit der Geſchwindi
Die zu der Waflerhöhe gehört, wie es ber Vf. thut.
wo es auf bie Sefhwindigkelt zugleich ankommt, iſt es ni {
einerley. Das tft aber der Fall bey der Unterfachung über den
Stoß des Waflers gegen eine Fläche, y der Bf. in der:
Die Formel (6:27 d) für die beſchleunigende Kra y7
einer. Rößrenleitung it unrichtig. Die von Hr. 2. znrädgen:
gete Srundgleihung der Hydrodynamik giebt einen andern;
usdruck. Den Beweis, der aufeine Vergleihung mit Lräfe‘
een, die an Scheiben auf einer gemeinfhafftlien Are en Ä
gebaut it, verfiehe ift gar nicht. Bey dem WE heißt die $
be in einer Secunde für eine Schwerkraft die Def
»igung der Kraft, noch dazu ohne alle Ceflärung e
Ungeübsen. Die ganze Rechnung führt zu nichts Bra
rem. Auch Die v enge enben Rechnungen über den
ee:
de?
ft, möchten weber theoreti raktiſch brauchba
Das ‚möchte auch een — *
Fr
— R
Nu. Auszige und Recenfionen neuer Schriften. 227
Sn dem 6. Kap. wird von dem Ausflug aus Gefäßen
hit wagrechten oder lorhredhten Schiedwänden, in welchen fi
dnfnungen befinden, gehandelt. Die Unterfachung ft in juebe
Als einer Abfiht brauchbar. Hr. L. theilt einige von ib ans,
tellte Berfuche mit. Anftatt das Bafr in einem lothrech⸗
Strable herausfpringen zu laſſen, es beſſer gewefen,
em Boden eine Oeffnung zu geben, weil man aus. der Höhe
6 nice ‚mie Sicherheit auf die dazu angewandte
J — ann. Hr. 8, nirime feine vormoblige Theorie,
den Anmerkungen Rn Doffärs Hydrodynamik vorges
ftagen hatte, bier zurüd. Ob die neue ſicherer fen, iſt noch
Brage. Es tomme darauf an zu beſtimmen, was die Ver⸗
gen ber. Geſchwindigkeit und der Richtung. bey dem
inge durch eine Deffnung in einer Schledwand für eine
ung auf Die Geſchwindigkeit des ausfließenden Waſſere
haben. Dies möchte Ihwerlich ſich erhalten laffen, da man es
[) Bu einfahen Ausfluffe aus einem Gefäße nicht zu bes. .
en vermag, I .
a dem: achten Kapitel wird der Ausfuß des affers
tenleitungen unterfucht , das fhwerite in der Hyoro⸗
nie, Den Unterſchled ziifchen der Waſſerboͤhe und der
ber Geichrwindigkeit des ausfließenden Waflers gebörigen
"werhalte: Uebrigens iſt die % 65. Ni; 4. aufgeſtellte
für bie Geſchwindigkeit des Ausfluffes ganz unrikrig,".
‚die Prüfung nad) den $. 83 angeführten, von Buãt
fen Brobachtungen jeiat. Lege man bier Die erſte Be⸗
iq des 7. Paars zum Grunde, ſo ergiebt ſich für bie
te Beobachtung dejlelben Paare die She u der Ser
Biakeit — 3,659 Zol, da die Beobachtung nur 0,067
‚Zur, die erfte — des. achten Paars gict *
a
\
v⸗
v
- . 5 ‚228 VIII. Aus juͤge und Mecenfionen neuer Särl
Rechnung 18,235. Zoll, die Beobachtung 4,785 3. Bü
"erfte des 9. Paars jene 9,425 3. diefe 0,039 Zof.
theile Hr. 2 eine. von Duat gefundene. Formel mit, di
‚gemachten Beobachtungen: faft genau darſtellt. Er ruͤhm
iefer-, daß fie.allein der Hydraulif mehr nuße, als sine
= ge der tieffinnigften akademifcben Abbandlungen,, die ,.4
untsrfücht, am. Ende zu weiter nichts dienen als zu Ueb—
‚im Rechnen. Rür eine bloße empirische Sinterpolationgt
‚ möchte dieſe Lobpreifung ein wenig zu ftarf feun. Sie if
Dinge Bänftlich genug; ich würde aber. eine weniger ge
ober :begreiflichere und beffer uͤberſehbare Formel ver
‘ Was aber befreniden muß;, iſt, daß Dr L. eine au
Tafel für die.Sefchioinhiakele des
affers. in Roͤhren u
bis.1300 Toiſen Länge von 24 verſchledenen Durchmeffern
nach der hochgelobten Buatſchen Formel, fondern nach
eigenen: berechnet hat. Bey dieſer hat. er zwar andere |
adjtungen zum Grunde gelegt, als ich gethan habe, und
zwey, um daraus. ein Diittel zu nehmen; auch nimmt i
Höhe zu der Geſchwindigkeit nur etwa 2 der eigentlichen
böpen. „dein fie,bieibe bey alledem unzuverläßig. '
In dem 9. Kap. wird der Druck des Waſſers g
Hände der Roͤhren ‚ und der. Xusfluß durch eine —⸗
in der Nöprenleitung unterſucht. Hr. L. tadelt, und mir!
Ude
J die Schriftſteller uͤber die Hydrodynamik, die, wie er
alle behaupten, daß bey einem vollen Ausfluß der Druck
die Roͤhre an jeder Otelle glelch groß fey. eine Form⸗
den Fall, da die Ausflußmuͤndung die ganze Weite der-f
Bat, iſt auf eine bloße Proportionsredhnung aegründer, 4
>, fen doch richtig:, wenn bie Geſchwind igkeit aus. der Day,
tigen. Hoͤhr richtig beſtimmt wird. Die Höhe des Waafter
Befgdaͤlter über der Mitte der Ausflußöffnung (ry H, Bier
Seſchwindigkeit in der Roͤhre gehörige Fallhoͤbe fey.—a;
Länge ber Roͤhre —L; die Länge von der Einflußmuͤ
‚einer gewiffen Stelle = X, die Höhe des Drau
ſelbſt —.h,,.fo iſt (und zwar zufolge ber hydrobynam
Grundgleichung) h=- — (H-2),, Hr. L. ſetzt 2*
wenn V die Geſchwindigkelt in Zollen bedeutete, ai
daß 2 = ‚feyn muß , die Fallhoͤhe in einer S
de — 15,1 Par. F. genommen. Daber trifft feine. Red
mit den —8 ihm ſelbſt angeſtellten Beruaen — —
Der Waſſerſtrahl ſprang aus einer, Oeffnung 2,75 AN.
—
"VIEL. Auezuͤge und Recenfionen neuer Schriften, 329
Ma ‚Sem. 2. Formel iſt die Höhe des Druds mar 1,76 Zolls
nad) meiner 2,42 Zol, Anfatt eines fpringenden Otraßls -
märe es beſſer geweſen, den Druc durch eine aufgefegte Glass
'töhre zu erforfhen. — Die Formel $. 107. für den all, da
"die Yusfingmündung Eleiner ift als der Querſchnitt der Rohre,
ft unrferia. Aus der hydrodpnamtihen Srundgleichung finde
id, wenn D den Durchmeſſer der Röhre, den der Deffman
"beheuter, die Nühre horizontal und gerade angenommen, Bal
bie Höhe des Drucks in .
Li 46 B
’ ı=7T ne (7 —8 F
Die Rechnungen für den Fall, da die Einflißmändung klelner
Ak als die Weite dr Röhre, und den, da Beitenöffnungen in
ber Rohre angebracht find, ſcheinen Überfläfig. VBey Diefer
Selegenheit gebe t den-Starh v eine been feitung,, die zu
wenig Wafıer giebt, am Ende nach der Ausflugmändung ete
as zu erweitern, 557 on
E Dös 10. Kap. handelt von Springwerken. Richtig wird
I Bemerke,- daß die Luft die Höhe des Strahle nicht vermindern -
Hansi. Die Hauptarfache, welche Hier angegeben wird, If.
"richtig, nur daß nicht fowwoßl ein Sufeummenptsfien ‚ats ein Korts
treiben der höhern &&ichten vergeht. In fo fern fich dieſe
ausbreiten ‚ find fie-ticht Hinderlich , wie hier (heint gedacht zu
werden, Wergefien If der nicht unwichtige Umftand, daß die
Rraft, welche auf die Bewegung des Waſſers in dem Behal⸗
‚ter und der Kalltöhte verwandt wird ,. nicht auf die Hervot⸗
"Beingung der Geſchwindigkeit In der Mündung derwandt wer⸗
ven fan. Die empiriihe Megel, die Maristte gehen Hat,
"läßt fi etwas genauer abfaffen.. Die Unterichiede der Wal
a en und Strahlhößen kommen dent Verhaͤltniß der Qua⸗
‚te der Wafierhühen näher als bem der Quadrate der Straͤhl⸗
höben ; darum muß man die Sn I Otrahls nicht durch die
Aufiöfung einet guadratiſchen Sleihung fuchen,, twie'$."117 ges
Ffheben üft., 55 finde aus Mariotte's Erfahrungen, daß ber
‚Unterfchied' beider Höhen nahe das Dundrat der Wafferhöhe
durch 376 dividirt in. Freplich bleibe die Regel unfiher,. da
die verſchiedenen Umftände nice dabey in Betracht getogen
"erden. - Auch finde ich aus denfelhen "Haß die vortheithaftefte
."Wläche ber Sprunafffinungen fich nahe wie die Waflerhöhe ver
fe, as dem Na 3 Ki EN aus ih r 6),
d da| y einer Waſſerhoͤhe von 35 #. die vortheilhaftefle
?Reffiung We e Lin fondern 33 Lin. weit if. "Es müchalfe
uns
290 vn Auszüge und Necenſionen neuer Schriften,
anticheie eine Falll die
—22 in, fi: — — * = Di verehrt
B u: ſe oh die —— nadaes Formel zu verbeſſern feym
eu Bernd er en
Bar en dann In in einem Falle eine weitere, in andern
am dienlichften ſeyn.
”
Sn dem ı — von dem Widerſtande und Stoß bes
Be und ver, u ausführlich und Iebtreih. Der Verf
Diefe mit eigenen vielen Verfuchen über den
Eredhten und —— Sioß eines ifolirten Strahie auf eine
bereichert. Die mehreſten ber Darüber angeftellten Ber
Jade wird man bier finden. Die von de Bord.a gemachten,
blen, Die mrurden von Hurion und Chapman haben
lid ſchon benugt werden 1. Das Verfahren, dei
Das Linde bebieng bat, Die Staͤrke des Stoßes zu meffen,
int zu je nicht brauchbar, wiewohl Ar. 2: eg güt
ansacbacht rg ft lehrreich nennt. Der —— ftoße g,
Die Mündung einer gebogenen Möhre, deren ei t Obentel
En Eee heat ne SUR
nen i2 u nung efähes.
fo find jene und biefes wie ee Gefäß anzufehen, das
zum eine Dei hun zum Ausflufe bat. Cs muß ai a Si
‚fer in der Möhre und dem Gef: be ‚gleich hoch ſtehen.
Sen er often der Baffereheilhen Bien tein Drud gegen 2
" Böaffer in der Röhre entfleht, fo leider das Wafler in der Mühe
ze nur bloß Drad der Michrung des @rrabls, und Birfee ,
Drud. ift dem ruckwaͤrts gehenden nad dem Gefäße gieih.
Wr der Berednung, bie Hr. 2. über feine eigenen Berfade -
anf-üt, möchte folgendes er! werben fönnen. Er mine :
Ben Querfchnitt bes zufammengezogenen Strobis für. die Grunde :
einer le an, Die 1 Dach als bie eſei
and a ah ri mit a Y— —9 —
e die
— ie, En "ein, mn und Bl tie 44
eier — 53 Zei eat Süße Und aus ie
e an ki t un!
wer Gefchroindigkeie die Starke des Großes beftimmen? Die .
Sramiengtt win man nnide dt eurläßiger beffimmen können, "
als Burs Den a nat Ausfiußoffnung win der in ri
*
Sn in; weni; — —— — die v.
Fu der Geſchwindigkeit in derfelben nimme. Der
ſeht weniges kieiner als das doppelte des min
NEL. Kunyige ind Reeenflonen neuer Sorſin ⸗231
äßer je by "einer Höhe, Se — ge
Be Sin — ch if. Mach Hr. 2. Rechnung ik”
“ of ein ſehr — gehßir.. Cs iR Schatz, daf nie -
* Verfuche mir Flächen von verſchiedener Größe angeftele
‚um zu zeigen, was. die Ausbreitung bes Strahls auf der. - '
Häche und ‚die Ablenkung von der Richtung auf die Größe dee
| toßes für Einfluß hat. Die Zufammenfekung des Stoßes
aus.einem hydroſtatiſchen und ‚einem hydrauliſchen Drude ($.-. '
207:) ſcheint —* hellch, Warum wird hier der Bernoule. ".
und Ealeriſchen Rechnung über die Größe des Stoßes
je erwähnt? Sie machen — im der dabey gemach⸗
I zen Borausfegung die Sache fehr Elar, Die krumnie Linie,“
| welche die —— beſchteiben, {ft feine Dypertelartige,
|
wie Hr.2. glaubt. Noch bemerke id, daß in der Tafel S.
7 Col, die erfte Zahl 6,0324 unrichtig iſt, und. 0,05237 heiß
welches die Vergleihung mit dem wirklichen Stoße fehe
Den ſchiefen Stop findet Hr; 2. durch viele Verſi
| K genau dem Quadrat des Sinus des Anftoßwintele pro⸗
4 Für dieſe Bemuͤhung verdient er vielen Dank.
1 Sea toted ſich nur wenig ändern, wenn es nöthig in ,
eine Aendernng der Nechnung wie beym ſentti
vorzunehmen. Den Widerſtand, den ein bemegter ie ’
| hi Den Bi b
| En einer unbegrenzten (beträchtlich as, ehreiteten) flüffigem
leidet, — t. 2. DE Recht forgfältig von dent .
en e — —— fiät hen Maſſe gegen einen tuhenden
| Körper. Geine Theorie möchte zwar nit genügen; doch die
fammenfegung eines hybraulifchen und bybroftatiichen Druds
Dar ‚gehörig begründet; allein die Erfahrungen, die er an. -
. ‚rt, geben doch ante Licht über diefe ſchwere Materie. Die
Sormel ($..219) über ben Miderftand der Luft fcheint errathen,
| Er durch eine Sinterpolationsmerhode gefunden zu feym.-
| je trifft inzwiſchen ziemlich zu- Um Boſſuͤts Erfahrungen
I mit einem Körper, der vorn zivey unter lan veraͤnderlle
I a ufanımenftoßende Flaͤchen hatte, barau ellen, liefert
| nt eine Sormel, die theils eine eiteulate, eils eine ‚ogas
B eöimifche Function” des Anftoßwintels in. Wielleicht ‚Eönnte.- '
fie einfacher ist werden, Der Bf. hatte — eine andete
folgendergeſtalt darftellen läßt,
R g9= AFG—smter), ur
Ei x in Sin, * Er F ber ſenktechte Wider⸗
eine eb Ki u ber
hen Pr die Ey ie: den Se
Ei et x fin 19°. ein
«
| en v
"sa VIE Auspöge mb Koceftonen neue Schettin
Wan Siebe, fie iR nur errathen. Die Bormel müßte dich
DW
J Q@=(a-rbx? -cxt retc.), .7
" du deswegen, damit der Widerſtand deiſlhe Bleibe, — wen
r Anſtoßwinkel negativ iſt. Chapıpans Formel für Anftc
vintel unter 409 hat, wenn. fle auf eine veränderliche Größe
"g@bueter wird, eine ſoich Form. Wan fann jene Formel aber
‚Ib mus innerhalb geriffer beftimmten Bränzen der Erfahrung
-,attpaflın.
5 Kntton hat in_feinem matbematiiden Mörtere
e,. Mer. Refiftance, eine Zormel mituetheilt „die ih zu al⸗
° fen Anſtoßwinlein, ſeibſt nahe genug-ben kleinen, fehr
* Nice. Die bewegte Ebrne iR 3 Au. Buß, ihre —X |
keit 12 8. in einer. Gecunde, der Anftogwinkel:P, und dee
Bilberfann gleich dem Gewicht „von]o,s4 (in g) 3 eh |
Anm: : . 5
B 4
Babe mich Bey ber-Mräfung ber vhoſiſgen Hybrauiid -}
ee Ya iu der her techn 1
Spdraulic, die etwa zwey Dritthtil des Werts einnii ä
fein Raum’übrig dleibt. Man wird auch In dieler mutbmanfe
Hide Saͤtze, ohne eigentlichen Beweis, antrefien. ’ Die Thies :
tie von Ber Bewegung der Windmühlenflägel möchte aanz ireig
fepn. Der Winkel eines ebenen’ Flügels, welchet das ſtatiſche
Moment am: arößten'madt', foll 35°16’ bettauen, 6 320),
ba die gewähnliche Theorie, die mir ganz richtia fcheint, 54044'
ſlebt.Inwiſchen iſt diefer Theil des Werts für bie Droste
brreich wenn man auch ben den Rechnunasformeln Vorſicht
anzutvenden bat. "Man wird einige neue Angaben darin ats
treffen. dem.ıg. Kap. wird eine von dem Verf. erfundene
Moaſd ine defhhrieben, die das Waſſer durch Schwungkraft hebt.
Esg wird freylich noch darauf antommen‘, ob die Kraft, die zit. »
Erthe ilumg der Schwungkraft noͤthig iſt, beträchtlich Eleiner:
ausfole „ ats die zu der directen Erhebung des Waſſers erfots
scRerlihe, Die Einrihtung mit dem doppelten Hahn an det
afferfänlenmafchine C$. 393), wodurch eine ununterbrodem
Kraft erhalten wird, üft ſinnreich. Diefelbe Einrichtung fehl
Hr. 2. auch zur Anwendung bey Dampfmafchinen vor ($. 400),
welches Aufmerkfamkeit zu verdienen Icheint. — Bey der Ber
bindung von vier Ausgußrähten eines Drudwerks von vier
Stiefein mit einer auf jene ſenkrechten Roͤhre muß die ſtarke
Aenderung der Richtung der Woffertheilhen viele Kraft weg⸗
nehmen. "Veffer möchte es fepn, die Möhren in einen Eleinen
VBehalter ſich Öffnen zu laffen.
- ↄ
mi. Aunzige und Kecenfiorien neuer Schriften. 233 .
In dem 32. Kap. von den Gtampfmühlen erzähle
le Berfuche , Beide ke mit einem —8 einet eadt 95 I
€ ’angefteht bat, aber das Rad durch einen ffolirten ,
Birahl (nicht durch Waffer in einem Seine) en —
werd; finder feine\in. dem anfgefe
fe'von der Erfahrung bettä reihen, un — 7
her ©elegenbrit fie zu verbeffern. Adein, ‚sie ‚den eine Bit,
nel, die teinen\theoretiichen Grund bat, ans drey Erfähruis
jen "an einem. Modell zuwerläßig beridhtige werden? Die ges
Beine Theorie giebt Hier einen Stoß oder Drud, der 2] ja zmahl
"einer ift als nah der Erfahrung.
- dem 33. Kap. Bin Padınerten wird ans den ume
Händlihen Dale an einem Podmerke mit unterſchlaͤchtigem
Baflertade die Kraft berechnet, Beide | der Laft und der 1
ton gleich iſt Mac des Verf. Theorie iſt die Kraft 404
in der gefanmte Widerftand zu 395. f. berechnet dit» Na
Beine in den Gotting Comment. Th. IX. vorgettagenen An
findet Hr. 2. dem Werth der Ktaft.nur 94 Pfugroß.
er bat einen Rechnungefebler in der Befktimmung der En
—6 der Schaufeln begangen. Nach Verbeſſerung deſ⸗
kiben giebt meine Theorie 404 Pf. Kraft; Hr L. Theorie 483
[43 Bey der Berechnung des Widerfandes ſind kleine Fehler
Hngefhlichen, nach deren Verbeſſerung derfelbe 398 Pf. aroß
gen Doc ift die ganze Berechnung der Friction mißlich.
Druck gegen die Scheidelatten, der von dem ſcieſen
Druct der Hebedaumen gegen die Hebelatten enzfteht ,. iſt aicht
Bor Betracht gejogen.” Dagegen möchte bie Zrietion--an E- ö
Hatten eiwas zu groß gemacht ſehn HL 5*
aus dieſem a nicht HR dai Theorie. vn —
mer fo gut mic der Ei —X reffe fen werde.c te IR hype
theriich richtig 5 allı 8 die Bir! auf ein untere
Khlächtiges Rad ift via an fo, wie die
Bevenntkinem an ber Dafaine KR. Ders eher
jenipirkingen an ai te
Einrichtungen kann viele Kraft :verloren geben,
Be bey det. von Belder — ä
Me:
F u;
Br . .
fefe, .
Pr, Wei
„Dir, jo aahaufehen, .
‚234 VIE: Kusplge und Recenſionen neuer Sören,
. m bie Borlehung biefes Ihtes Charakters zu erklären. Gef
a freundfe ſten — iffe muͤſſen dei
& — niit mäffen m Snterefe de
S & Ligen.
2. Dells Specols Aftrgnömica de’ regj ftudj di Pa;
lermg, Libro quinto, di Giufeppe Piazzi C.R.
"Regio Prof. d’Aftron;; focio della reale Acad,
delle 'fcienze di Napoli et Corrifp. di quelle di
- Torino et Pietroburgo. Palermo 1794 dell
zcale flamperia. 232 Folio Selten, . 5
1
i
j F
Den erfien Theil dieſes vortrefllchen Werks haben wir im:
gweyten und dritten Heſt dieſes Archivs den deutfhen Läfern
angezeigt s biefem fügen wir 1 den aten — bey, der an ſehe
Tarägbaren Beobachtungen nicht eniger teih iſt. Zugleih
empfiehlt ſich diefe ammalung durch den Umftand, daß ale
Berbaheingen bier febr ſorgfaͤltig berechnet und mic den Ta
(quörglichen worden And, toben Hrn. P. feine beyden Schr
jee B Franı Sambins-und D. Franz Buffalo untere
ten. Schon Darquier zeigte wie nöthig bieß fey, und
achtete es felbft in den beyden herausgegebenen Bänden feiner“
Beobachtungen 5 ‚doch Eonnte Hr. Darauier zur. Erfparung der
Koften hur die legten Nefultare feiner Berechnungen abdruden .
daffen. Da diefes Hier nicht fo fehr — fo liefert Hrek.
Immer bie Hauptrefultate; wodurch jede künftige etwa nöchige
Prüfung fehr erleichtert wird. .
Diefer ate Theil oder Das ste Buch iſt in 4 Theile (part)
PR wovon der ıfle den Kometen im Ian. vr Bi
IL Auszüge unb Recenſionen neuer Schriften. 532
er ate Gonnenbeobachtungen ; ber 3te Dlanetenbeobachtun en
nd der. ate Die uͤbrigen Beobachtungen enthält. 3
arte J. _ Den Kometen entdeckte ‚St. Nic, Cariotti, der Ges
hälfe des ar. P., Cer iſt der Sıfle und ward auch von Drig
Herſchel entbedt) am 10: Jan. Bis zum 15. Februar
konnte er nur ısmal beobadhter werben, fo daß mittelft
Bes ganzen Kreiſes Zenithdiſtan en und Azimuthe beob⸗
achtet worden. Erlaubte es das Wetter ſo wuͤrden mehrere
Weohachrungen Hinter einander gemacht; aus bieſen bie
flirndliche Bewegung des Kometen ber rgelettet, und dann
alle Beobachtungen auf eine Epoche gebracht, und aus deu
verſchiedenen VBeftimmungen Ike o Mittel genommen. Man
flieht, daft St P. feine Abe gefpart bat, um feine Bes
obachtungen fo genau als moͤglich zu machen. Um dem
Grad der Genauigkeit näber kennen zu lernen, beobachtete
er & Ceri auf eben bie Art; die fo gefundene ne An Aufe
firloung war um 20” von ber befannten verfi Da
Femeren bekanntlich fehlecht begrenzt find, ° glaube Hr.
np a den Fehler noch großer. Wielleiche wäten die Fehler
fleinee wenn Hr. P. die Aymurbe mit umgewanden Hoͤ⸗
henkreis haͤtte deobachtet; ein Umſtand deſſen Nothiwenbig⸗
keit Hr. P. a fpäter entdedtt. Nah der la Cailliſchen
intiretten Methode berechnete Hr. P. folgende Elemente
diefes Kometen, die wir zugleich mit denen, die Hr. Me-
ehain aus feinen Beobachtungen ſchloß,
Jahrb, 1797 P. 136).
®
pi ĩ Moͤel 2
Me des aufſteigenden note 9°.130.14.44”.. Y. 13.47. * J
eigung der Bahn 49. 7. 14 v0 49. ©. 24
red. Soñennaͤhe auf d. Bahn 4. 15. 32. 35. ...4 16. 3. 33
98. Entfern. d. Soñennaͤhe 9, 9853499 ... 9,9848926 !
urchgang im d. Soñennaͤhe au Pal.ı792 zu Paris 1792
‚Dec. 37,2619 37.Dshss’ ng:
ichtug ber Berveguig Rädiäufis " Küdiäufig
Bey der Neigung der Bahn bemerkt. Ar. P. FR,
daß durch Verminderung derfelben um ungefähr =",
Fehler in Länge und Breite fämmelih Lleinet meiden,
außer bey zwey Weobadtungen,
EM ö
J
x. ” .
a Li
1} ‘. ‘
236 VIM. Auszuͤge und Mecenfionen neuer Schriften,
Part. IL. Beobachtungen ber. Sonne. — Merkwaͤrdig find
folgende Schiefen dar Eeliptid': Ä | u
Ba u 2.7.5 apparens nuüttlere
im Winterſolſtiz 1191 23. 27:44”,35 oder 23. 27. 33,25
im Enter, . 1792 7 +.4% 6... ne 36,5 |
inm Ser 48, 0.. . 3 36.5
Ih Winsen... 1293. 2 2 4,2 0. SS
Demnach ware die mittlers — d. Eel. {m Anfang
1799... 23°.27°54%,8,. Mecaln fand. zu Barcei
Iona 3” weniger; Sr, la Lande nimmt das Mittel aus
bepden’an, n ich 27°.47°.93° 3. | el
ME darauf folgenden Zeften’der Nachtgleichen bat .
Hr. Bee aus den beohächteten Zenithdiſtanzen abgeiei⸗
tet. In mehrern Ruͤckſichten würde es fehr intereffant
feyn,..- wenn zugleich gerähe: Auffteigung. vermiitteift der
Maskelynſchen &terne. beobachtet worden, und daraus:
ebenfalls die Zeit der Nachtgleichen beffimme worden
>
ren.
oo. . * .111
Zuletzt füge noch Kr. P. die mit dem Rreife beobad⸗
5% teten Od, Durchineffet bey (mäbrend der culmination ward
naͤmlich le Höhe beyder Ränder beobachtet ). und findet
aus fehr vielen Beobachtungen in der Erdferne 31°, 32,4
welches genau das Mittel zwiſchen den Besimmungen von
nt. Meyer und la;Lande iſt.
“Part. III." Planetenbeohachtungen. 0
ü Die Zeit des Durchgangs durch den Meridian wur,
... derniht am Fernrohr des ganzen Kreifes, fondern am
“" Dordigangefernreßr von den' Gehuͤlfen des Hrn. P. beob⸗
F achtet, theils weil die Klammer; die den Hoͤhenkreis in
„ber. Mittagsebene haͤlt, bisweilen nachgiebt, theils weil
nur sin Stundenfaden im Fernrohr, und weil «s nur 49
mal vergrößert, da jenes 5 Faͤden hat und zomal vers
’
groͤßert. — |
"Bart. IV. Werfhiebene Beobagemgen. ——— '
ı) prüfung der Polhoͤ)ͤh)e.
Im vorigen Theil gab der Palarſtern 389,6°. 44, 12 3
St verſuchte Hr. P. Boſcorichs Methode mit ⸗ Cir⸗
cum⸗
* ⸗
24
vul. Auszüge nnd Recenſionen neuer Schriften. 237
cumpolarfternen , die Polhoͤhe und Nefraction. zugleich
giebt. Er fand über 38°. 6 folgende Setunden 44,17;
45,16; 46,115 45°,345 45,505 45, 983 ‚47'',00
im Mittel 45,70. | BE
. . Der Vortheil diefer Methode iſt aber wirklich nur
x fiheinbar. Man beftimmt naͤmlich die Refraction aus
den beobachteten Unterſchied zweyer Nefractionen: fol
alſo dieſer ‚nicht zu tlein und dadurch unficher ſeyn, fo
- muß ber eine. Stern ſehr tief un; in ſolchen Eleinen
“ Höben iſt aber die Neftaction bekanntlich, wieder weit
anfichrer , welches denn bey dieſer Methode auch'a::f bie
Kefraction des hoben Sterns Einflug bat. — Denn bes
obachtete Hr. P. Zenitalfterne und fand aus Wega 380.
6°. 44,0 aus Denep 44”,7 aus Capella 45',,ı. ' Im
Mittel 38%. 6°. 44,6. “
Aus den obigen Solſtizen findet fi 38. 6. 44“,7.
Aus allen dieſen Beftimmungen iſt sun das Mit⸗
tel 38°. 6. 45 nn
2) Beflimmung der Reftaetlon durch Azimuthe und Ze⸗
nithdiſtanzen. | N
Seit Tycho's Zeiten, ber diefe Methode peft vor
ſchlug und ausübte, hat fie niemand, vorzüglich aus
: Mangel eines guten Inſtruments, angeivendet. Natuͤr⸗
lid war alfo den erfte Gedanke des Sen. P. feinen vote
treflihen Azimuthalkreis darzu zu benugen; allein die °
erften Verſuche mißriechen und Kr. P. hatte damals -
nicht Zeit, die Urfache davon aufzuſuchen. Izt nahm
er Diefen Gegenftand von neuen vor. und fand, dag mal
nicht unterlaflen dasf, die Azimuthe zweymal mic ente
gegengelegter Lage des Hoͤhenkreiſes zu beobachten, wo⸗
durch natürlich der Collimationsfehler am fiyerften ‚aufs
eboben wird. Dieſer Umfland erfchtvert aber auch die
eobadhtungen , da man nun zwey Tage auf einander
gut Wetter haben muß. Die NRefultate diefer muͤhſa⸗
‚men Beobachtungen und Berechnungen, beftehen in
folgenden: „Der mittlere Unterfchied der Nefractios
„nen aus Piazzis Beobachtungen von der Bradleyi⸗
„ſchen Tafel ift Tafel ift von 38° bis 500 Zenichbiftang
„» »4-0,006 von 60° bis 73° .... 0,020; von 70° big
„800 —0,003 von 80° bis 84? —0,0024 von 84° bis
286% 0,013 Yon 86% bis 29 0,029. °°
| U | Se
\
338 VI. Auszüge und’Xecenfionen neuer Schriften.
Die Tafel die er nach diefem Erfahrungsfäßen eon⸗
firuiee bat giebt flt 45° die Reft. 57,2. Sie finder
ih auch in Bodens Zahrbud 1798 p. ıc8,
Vielleicht laſſen fich diefe Unterſchiede aus den noch
unbefannten von Feuchtigkeit abhängenben Kenderungen
der Strahlendrechung erklären. Li
9) Deeultationen und Ofinfterniffe; aus diefen diel Länge
d. Sternwarte 319.0, 35", nnd des föniglichen Pals
laftes in Neapel 31: 54. 20. Darauf gründer ſich die
nun folgende Tafel der Meridianunterſchiede der wich⸗
tigſten Öerter und Sternwarten.
©) Declinationen der 34 Maskelynſchen Sterne. Aus
feinen und den Mastelonfdien Beobachtungen Ichloß >;
Piazzi die eigenen Bewegungen diefer Gterne.
Adruck diefer vorrreflihen Tafel finder fih in Bodens
Sahrbud 1798. p. 106; *
5) Meteorologiſche Beobachtungen.
6) Ein Emeryſches Chronometer des Cavaliere D. Gio.
Vivenzio gebe] ben. Längenunterfchied zwiſchen Neapel
und Palermo 3°. 33”. aus der. Ofinft. 5. Sept. 93 iſt
fl er 335.
D Auf einem befondern Blatt finder ſich die Beobachtun⸗
m des Mondes; man finder fie in Bodens Jahr
uch a798 p. 101, .
Bey ber berechneten FAnp 1797 12. Jun. iſt hochſt mahrs
ſcheinlich ein Drudfehler von 10”, ſo daß ſtatt aohı7’, 36,2
au lefen ift 46,2. A
BE : ERS
. Nachrichten und Anzeigen.
Ketten Roheichee aus verfiehenen Br
‚fen des Herm la tande, Director der Stern⸗
warte der Republic, an an Obei =. M. von
Bat in Gotha. re
en a, bean Br.
fe Sefchichte dei Eäntäfkihen € ums college de France ers
15063) Beinen hei On Bra @ata ——
mbte gelebt, aber fein. Sraeiil bieräber fehn fann *).
| Kepplets parelipomena if
ae für’ and bes. an ker: nd namlich
33 deswegen findet er eine Kruͤmmung von 3 M fi
Ba bie no nie über 1 Bey einer A
Dr. l bat in den Doll 2 12, onen
air — a en 1 7
in mit diefen Beobamtungen umd ——— Arne Sa
einer Epochen: rin
‚ und finde folgende Verbeſſerungen m
ausben Beobachtungen nach Hr. „Derfib. Eifel
Satelit 1 —3%. 33° 605g
2 * Y, 33. in}, a: N‘
3 - Lu 57 +2 48
4 —2 44. “ 78. 10.
5 Hl 33. | +0, 59.
‚Meine Tafeln vom sten Zraßanten entfernen ib wie um ⸗2⸗
der werbechtune des * Jap. sin vom 12. Nov, 1790.
. u ' r ne Hr.
Sieh bezlehet 16 auf ine demächke Anfedge von *
febe Das ste Heft, L Brhlnch Sci 106 De ki
Vie
| 240 i. Nachrlchten und Anzeigen.
Ä Hr. Dalby berechmet in den. Pbiloſ. Tranf. von 2791 die Mr .
eidiandifferenz zwiſchen Paris und Keeenwich 9°: 19,7 und 9°. 20%,5
aber er nimmt bie Abplartung zu groß ans braucht man „Ez, ie
findet man 9°. 21°, Oben die fand General Roy (Phil. Trank. ;
1787. p. 144 & 214.) und Legendre (Mem. de l’acad. 1738 p. 758) .
Wabrſcheinlich werden unfre neuen &radmeflungen den Muterfcbied -
"der Grade mit größerer Genauigkeit geben, und dadurch die
. Aber die Abplattung entfcbeiden, die man Zur Berechnung der '
Drevede und des Langenunterſchieds zwiſchen Srechwich und Yard -
- anmenden nruß. —
Die kaͤnge killentbals findet He. Wurm 26°. 1700 durch dee
ABedeckung vom 7. April 1792; ich finde 26° 17% durch die Sor⸗
nenfinflerniß vom s. Gent. 1793 und 26°. 19 durch die Bedeckun
a8 vom 8. Nov. 1794, die gu Varid Beobachtet worden ik: Di
—X Orts, die noch zweifelhaft war, ſcheint mie nun enb⸗
eden. A
Dieb IR noch nicht der Sal ben Neapel; Viaui ſindet 47°.36"; 2
ons der fin. 1793 47'.26 und durch die Bededung 3% 8. Re:
1794 finde Ich nur 47°. 17° )
/ Diegelt derCohjunetlom Mnteehheib dee Cᷣ verite⸗
au Paris 8258 8. 2
gu. Neapel 9. 39. 25. 55. 2.
zu Eiltenthal 9. 18.27. ‘ 75. 5.
Bis ist habe ich alle Ofinſt. und alle Bedefungen von Stew
wen ıfler Größe, die mir bekannt worden find, berechnet; felt (760
babe ich mich bemüber ein Beyſpiel zu geben. denn vorber 'bercchs
nete man. fie nicht, ob man fie aleich haufig beobachtete. . Sind
Sterne Ihres Eatalege 191 & 296, deren Größe Sie 4. 6 bee
.*) Hr. Wurm findet aus der Ofinſtern. 5. Sept. 1793 47.. 0.
25, aus dem Ende, welches doch die ſicherſte Beobachtung
it, 47 33 28 (Berl. J. B. 1799 ©. 161). Mittel eines
Emerpichen Ehronometers des Cavaliere Vivenzie, welcher I ,
4 Tagen von Neapel nach Palerino transportirt worden, ‚fand
Er Piazzi den Meridianunterfchted , zwiſchen den Koͤnigl.
Pallaſt in Neapel, und der Könisl. Sternwarte in Malerm⸗
33”, folalich zwiſchen Neapel And Paris 47’. 35, 3. .
cheint daber, daß man diefen Pängen s linterichied fo lange '
annebmen kann, bis man mehrere Sternbedeckungen wird
. berechnet baben, welche Hr. Jofeph Cafella. bereits in große .
Anzabl beobachtet bat, ©. Berl. J. B. 1798 ©, 10% Hell
de IeLaude’s Angabe fcheint zuveridgig au Elein zu ſeyn. v. 3.
!
on
xx. Maceldten und Anplgen. man
en, veränderlih; No. 37 Supra find ben s& ste Gröke,
io gamte 4 as hal ne Wedndert? *)
a ——
LE
R Ka muß veflcbrichen fepn, bi
j I berrchue ale Vededai
in: Die @lemente habe ic f
BA € ente babe hamer {m Drau
Bu fe Bo 199 Beb6 15. Mpeik Bett 15, Gepk: für Die In⸗
*
#3, dab
6%, Cie und la Gais um 1’ Dep *
nn: h B . u 2
">03 Bean 16 fa metsem Eteenoergeiceth, benfelßen tern
ED a edener DRShE Backönes 18 Debeite Di Hit, Di6
ich — fondern Blo6, daß ibn verichledene
———
a ei “
J en (7) — in dieler w anf ——
Diefer Sereichnungsert IR demnach, erfililb, die Aufmerkir
RI dor Ioihe StrrBe au senfen, und dann Die Brobadunam
"Food 18 (bon im Berl: Y. ©. 1756 @, 8
& ee * de la Bandelfindet ibn merkroürdig ——
Vdeatuichen Atronomen ſoůte es nicht ichwer fepn, eine befrichts - "
. kung er fich nicht derangteen fonnte, um nach der Pendel zu fes
£:. oben; bat nun der erfie Vorganger einen Schrelb⸗ oder Drucke
B Meler von einer Minute gemashk, fo fuppliren ale Nachfofs
* man um eine ganze Minute nicht Ärven könne, und nr die
Eyuden das Weſentliche ſeyn, wer dieſe Sebler in runder
\ .
i
DS
Bun - un Pa
insen von Otrrncn ıfeı Größe fa-
Bere -
ben dem abrplichen Stern der eille ‚bee
——S
—— Me ame, mie fie verkhiebene Beobachter Befunden. ,
‚ger diefe-feblerbafte Minute, in ber ficbern Borausfehung, dab-
5
fü wie Danges; ich Kanaren, ge ba angeboten. **)
. ‚den; die Berechnung derfelben: gab mir eine —— *
mieſſer und Jeradiativnen ‚die ich ber den Rinfiernifien —8 er.
"aus andern m Bebbadı tungen fie beimmt batten. Die —* —
xreni 3
u) — Reile des Herren Verdun /Bordo und *
240 x MR. Nachrichten und Anzeigen. |
In Anſehuna O AK. 135, 52° find Sie und de Barker -
aue um 17° verichieben; ich ‚babe. aber 2 Beobachtungen, auf Be:
an =) Gbereinkimmend, and die 7’ mebr schen, ald Ihe Beh
ni6
Wihdal hat zu Mirepoir ben Zouloufe eine Sternwarte se
ti der Himmel if fo en daß ee T in feiner obern Sonjue ;
bt. Das Bureau des longirudes bat ihm das Direct
foufer Sternwarte ang bat es aber ars a
Die Min: 1793 HR da Beraben rinafdemia *33 oe; i
fand nämlich Vreite des A 18“, -fo sie
a 0 und — findet ſich dadurch 12‘. 3”.
'@ w - en
“N ı
autenzadt | * Beofoummenbehanbe Stewe, on zwor alempl
Bey. dem vorbergebenden Stern; dieß trift 8 bier Bier beb den
Baden Sternen der Pilte zu, die In ⸗ Minuten auf einander...
ſolaen, und zualeich fm Fernrohr ericheinen, der erſte No 39
iſt um die Minute verſchrieben weil dieſe aus la Caille gebt ©.
baft il fupplirt porden, obgleich übrigens meine Beobachtu
son der Ta Cailliſchen um ı3 Sekunden differitt. Beſon $
ſolche Aſtronomen, melche Sternkataloa⸗ veraleichen, oder
felhafte Sterne. ausmittin wollen, muͤſſen anf dieſen —
aufmerffam fen, ee wird ihnen dſter Aufichliffe neben, ven 2*
ale andere Hopotheſen nicht zu:eichen, alles, Rerkwuͤrdiae wer‘:
küwinte et ben Ermägang dieſer einfachen praktiſchen Gens:
> In der AR. dieſes Sterns tert Herr de u Lande zu verldſ⸗
ig, mehr als 20 Beobachtungen geben mir die gerabe a
‚gung diefed Sterns für 1300 — 383°. 10°. 17°. fo habe
in meinem neuen unter der Preſſe Indl'chen —
und Rebet & aus im meinem ditem 2 Dergeichnit Tb um. 4
pag: nach Beobachtungen vom Jabr 1788. ann
nicht eine Sekunde, noch weniger 7” nachgeben. 9. 3. ..
0) Hat dieſen Ruf ebenfalls nicht angenommen, und verbleut
‚in Viviers. v. 3...
“er, Dieſelbe Beobachtung bat Wurm Berechnet ſindet Pr
| diefen ——— ur 5 F ken Dr:
y u vi runde ’ !
* —XX em v. 3.
wo. m 3 berechnet, id finde die Breite D. 40°. 20%. Mas
erfehleh “der Meribiane xı‘. a“, Diele Vreite if ein menig groß,
* die Marfeiller Beobachtung gebt 40 14°. und das Mit
man beuden ringförmigen ——85— ‚indre 16%, us
nicht behaupten, daß die Unge: 2
deko mehr, meil 2 Neränderung der ball Bam dep R
—X um 8 unterſchied in der Breite derver zu bringen. ge⸗
"7 0. Behr. Die ——— — tems de:1797. # aedruckt,
a viele Beobantumgen upd eine
Be ve ET Be 1739 ta dem Band —X
. I babe die merkwürdige Benborhtung des Ser
au. Danzig (Bodens Jabpd- .ı * der .Eten
at Die Beobachtung befehrt uns biarı nd, 1
‚omplette ng ei 7
Breen nicht. 1“ welt vom Nond deb Wonds wessleng PR
meinen Tafeln der D’sbalbmeflee 15‘. se und bie fübeinbare
jung des Monde 29” innerhalb 1° Bett mar, fo finde ic, daß,
die Bedectung 1’ gedauert bat, die fenfeehte Linie auf -
in 15°. 51% gemwefen ſeyn muß. geieh-
Be en Dem bie nur 1" von dee — die mir die
ne a ren iu Geninuben gb PR]
Bm. 5 er 6° vom Gtem wege bebatigt
em Diameter und die Parallape deb Mondeh,
Mein Kreis vom ao Sol it ls beendigt; es IR ein ſebr
Juftrument, und c6 —X mtb febe, daß men feine
te Qtek; in England macht. **) fein fie kommen au« Seai
Bie Beflimmmen damit die Höhen bid-auf } "Gekunde durch Werviels .
der Beobachtungen; auf dem ganzen Umkreid: Ich babe
aufendtheile des Quodranten abtheilen faflen, und ich wäh!
* Diele Metdode bey den —— mehe eria finde.
Wurm findet am üngepogenen Dite Die as
Ds 20. fnte 49 alfo über’ sı Min. een als
ln Lande, 6 muß als eig Ice ‚hr größer Impum soigeraßien
B fohte Herr de is — ame © — ** mis
BR fand. derwechſeit Vans ”B
E id Shofe BA. To ‚bean, —
3 init jmep bemenlicen Berner nah
*
“ Wodriäiten und Anzeige, 243...
E iet debe · ch Die au Cbriklanfunb rinaffrmiar Beach
Ch R
— En Ba a oc HERR, in. ne
livers in faule 9.3 .
a4 1X, Nachrichten und Anzeigen.
sied endlich die Pothäbe von Paris, die Eiblefe-derk@cttpi,
Be — meines Mauerquadranten, fo nie auch die Abweichungen
Der vorsüglichiten Sterne genauer als auf 1“ beflimmen.
De Lambre befindet ſich zu Dunterque, wo er die Breite
‚aoo bit 300 nn des Polarfierns mit einem I
"s Buß beſtimmt bi
3% Nivofe von 8 Beobachtungen gegeben **
n 2
.. Ber
den ... feneernnd) bin alegaben., . „a, |
‚Im 4 .r ———— ———— aben
daher der urm gi Na
‚Sie fehen, daß eb bis jest fein 53
‚Genauigkeit verfbaffen konnte, fel SEE
ofüßige — —— ‚man nur and vo
int, und 100 ber Sebler des Tbeilunnep AR und #
de Art für den ndmlichen Stern Einflus wird, wer
1oo mal die Beobachtungen wieberbolte, —
Mathematit wird ist ing Bänden ato gedrudt, wovon
abgedruckt iñ. iR zu Kyom Ss. Gept, 1725 gebobten,
ihm den Sebler mitgeteilt, den Ste in der 1 :4tem Ziffer AM
agnofcben Zaht für den Umtreis gefunden Haben.
Nach einem Monat ſchlecht Wetter baden mir endlich fh}
achte. Die Oppofition des Uranus if gelungen; den 24, Seh
57", mittl. Zeit war feine gerade Aufftelaung 1580. 2.2:
Mbreihung 100.57. 414. Länge ss. 59.57.53. Breite 48.4)
Werbefierung der Tafeln — 11” in Ränge und. + 15° in der B
Dieb beftdtigt, was Sie. und ich fon vermutheten, daß die
ung der Babn dieſes Wanetem, wie fie in de Pambres Tafeln
am 10" vermebrr werben muß. Die Beobachtungen 2 auf einat
34 6 aeben auf die Sekunde den ndnlichen debler der:
in der
1, Din, ie Lambre hat {ih von der Breite des Thuen
"30 Dünterque bis auf 4 # Set, dur « und @des Heiuen Bärs ver"
2 Er wird aueddtommen, um ficb zu —* Abreiſe * Bun
6 vorzubereiten, Er findet den Bogen ae en bem Th,
interque und dem Sbfervatorium ofen. A Ir Ye
— in Satin bab F 2 * Pr - % meridienne ver"
. Aber der Bogen zwifcben Dünferque und Bow
eine betwächklichere Grhke Heiner fepn, Ya übrigens —
een wir * ed pt * * BEE ALLER der Cal
alfben, eh eine. neue Duele von eben milde
den aitern und neuen Bermeflungene
Der Stern, der nach. Jhrem Catalog 17 38” Zeit auf VNocr⸗
{f nur 0%, 38% fäter.“ Dein Neffe bay * Eat
Bu und wir Rinmen win Dapere — vn
EU Radeln nd Anzeigen. —8
Beobachtur bes Merkur vom 5a. 39
b je p- ii babe ich berechnen welen,
eh Mittute verkbrieben feun. —8 EA
_ a Satestntn bat die EBablen von 6 —
— departemens angeſtelt. Da babe für die
seftion der Aleonomie Darqeier, d’ Angos, Duc- Ia- Cha;
de Sylvabello, Thulis und Flaugerguas ernennen
in dee Connoiffance de tes 1798 werflbiebene Me- ' ,
3. beittmint_ waren, weil mir nicht wiflen. ob fe were
werden. Die Bände von 129 9 1790
jere Dupont verkaufe fle nicht, **). weil er numernire
Geld fehr var if; die Affignaten Reben zo und Biele Bew
wollen fie gar nicht annehmen. \
St erſcheint die sofie Lieferung det enoyclep. methodiquej.
enthält Stücke des Wörterbuhs A oe ai
au, — 28 Are du asd er ’
— ee or Beobachtung bes Merkur vom zı. Upett 2*
des Weribellums if, if‘ von meinen Tafeln nur:
f — Ich babe fie eben in die Druckeren fürdie com. ·
nce des tems 1798 Araeben, * wie auch Kehmungen ader
n Bewegungen vi⸗ier Sierne.
Das ter ig feit einigen Tagen 6° tmterm Unterm Qispentt
A ER to —* aber ich glaube, *
D dee Erdnahe dep feinem Dueggang durch den wa
Bermutgung — iu, a um —72 + r
Beobachtung im —
jert a —— * Mile. Gi. Ra Dit
Zeit in Gorha (mit Geeberg), gerade
= 31%.7.3379. 0.3.
Durd die Gefdligkeit des de Is Lande «a
Exemplar dieſes Bandes — tee
oh bat ‚Hert D. Burckhardt, in den Erfurter. Rahrichten,
ER
eingerädt, v. 3- i
&
Ai Jade 1738. Ba Bered. 4 7.Npril 1792, 33. 42. Bededc. #
23. Geht. ı
o) Diefe fernen Befattate finden fib Im Berl. I. ©. oh
"da; ‚bie air wiek Derandeen ‚machen werden. „Ich habe einige
» “allen andern Behlmmungen. Ich nebme unterdefien 33", Ei
346 1X: Mathrlchten mb Argelgen,
eint Berän Inderana kn Wette Verbeofühern Bi; ——
8 serien tal diefe Wirkungen auf
Wabrgenmmn. Haben &ie Sie uichts über BA —E net
Natienaliokitut bat feine ausldnblichen focies exue⸗
wen wollen, aus Furcht, daß die Deutichen und Engländer unſce
Stellen nie annehmen möchten; wir ermarten den Srichen.; 1
Dos Gonvergemeät il nicht allen 194 Ditalledern dee
Rituts Benfionen geben -fondeen nuz ben dltchen und BerAhmt
besen, melde die weißen dicbeiten und de mebrefien Sebürfnilt
io. Dun. Ci erbafte ih Be Mailändifchen pl
den von 1796, ‚Ein aufs ‚son Driani über. die Vertun
de Dertues us Venus IE. Febr merkmi:dig; fie geben: bis
24", — man bie zten Votenen der Excintricitäten mita
Ts find aud Y Beobachtungen am arofen Dauerquadranten,
you’ Seren Dongos zum Verechnen zugeichldt,
(6 fand ouch darin Die Bedenftichkeit = W_2.Yan. : 295.
PR: Kine ha If Dee Aheiacn u Sic Qeimerlior Mm
fer mit 33%. 40% al6 mit 33°. 35” Unterichled Uuniter ——
Haben Sie fit or da Ste 33‘. 35 baben drucken laffen, einit
deue Kefultate über dieſep Begenhand ? *) Diejenigen, die ich habt
Bimmen gar ars 33%. a5" Ofink: 1792: 33°. 39". Bedek.ı $
(& babe mehr Zutrauen zu @reenbededungen dd
Ober 37" ans allein es konnie leichi nur 34° fenn-
J 23. Marz. Ih babe meine tafeln mit den Orianiſchen
turbation von neuem bearbeitet. Sch finde für 1796,
8%..13°%, »g*. 28” die Gonnenferne * 17°. 17° und Die
larbemmegungen 2°. 14°, 4°. 10” ui 23. 15%. So werben fl
auch in der Cennoifl. 3798 erkoeinen; ie find fon abgebrudt
Pr a ai hd aebr mehe
a fo wi jentae, ber für ie geben wol
Lebler Berfelben —E fo wie Wurm für die Tafeln ha
©. 235 und 236 und fimmen vortreflich, auch barmeniren al
meine Giernbedetungen. die Herr Wurm berechnet bat; bie
ben von Here de la Lande Serechnet, Kimmen nicht Po al
ug alfo der debler Hegın? u
U" anesniomte e8 netbanvat, etfe Arbeit üBernebink, beren Ni
h we langer Dauer wire. *) EN vn oh
j Ich babe mit. genen in dem Archiv des Hrn. Prof. Hins
—* den Gebrauch geſeben, den Sie von meinen Briefen mas
; dieß mat fie nur noch — doch ware es mir zurei⸗
nd, wenn fie nur Sie intereffiet hätten, —
> ollonius des Camerer i ten; fi
ae ———— A ee g — Mg
"Hrn, Monticla fein Eremplar ae
Nach neuen Unterfuchunnen nehme ich Die ſrace von sol, 18
en Sabebun ert ans die Beesdeung her rl il 0%, 138
die —— und, 0“, 147 auf dem Mequator; der erfte_ Theil dee
45,98. , Und der hivehte s0“,ags. finus AR.
a Si ndmfiche Größe muttiplietet mit dem finus =
BEE En REF
jeclination 20° c: oel
5 Molapen —— —
2, Anzeige eines ‚Repertoriums ber RE RE
von Fr. Wild, Aug. Mürpatd, ‚ber Pbilofr
Dr. in Göttingen,
»
De —5 if in her Tagen fo febr, defieien, und di may
Wahrbeiten hat ficd dernellalt gehäuft, das es fo gu
die das menſchliche — zu tragen im Stande ihr
ot Schon iange mußten baber die groben Köpfe unter d
jematifern auf den Gedanen kommen, diesem Mangel zu des
. "Dan fab aber leicht ein, dag —— biee- durch ſwiguse
jeln dem 66 om befem zu Hülfe kommen könne. Lam⸗
fbrieb: daber tn diefer Abſicht feine Zufäge zu den, [ogas
tnmifhen und trinonometrikben Zafein (Berk
70.8.) und babnte fo den Weg zu dbnlichen Sammlungen,
br
E: außer diefen-und an manchen ten (fo nie in ia sun
Gere Wurm, der 9— —* Bush die Reviſon des son.
"ge la Landes Jabeb.. und de Lambre’s 4 Satellitentafel
Dient gemacht bat, hat man ebenfaßs diefe u dee die
uichen Taſcin übernommen. | ug
J
Erz IE Mate mb Am -
Afronanie; la Lande Aftron. etc.) befindlichen nimm
friichen —— Befigen mir noch gar nichis .
Po muß gefleben, ba mir Diefer Imftand Anfates bei meinen
tuNien der Analgtif das aröfte Hindernis war, das ımte auflich,
‚Denn da ich midy im Etande lab, das weite Teld derfelben zw Aber
febatenz fo wor ich denmoch oft nicht im Stande eine Abhandlung
von Eufee, fa Gramae, Eondorcet, Monge, la —
Coufin, le Gendre 1..2c wöllig au verſteben, und. ba ich nick
eüben. tonnte,. bie ich fie verftands fo brachte ich oft ganze Tage,
mit eiteln Berechnungenbin., und, verfchmendete ſo bie mir ſo edie
tt_ Bold aber merkte ich es, worauf es anfdıte. En 172 [1
Aa — Unterfücbungen,, tie und mo ich fie ſand
Pr je aufzugei ich — JInteoralſormein/ trigonometriſche
Au⸗ de wg Sn bee Pogarithmen, der
onen, ,
der ünendlichen Keil —————— — und bald beſh ih
= fo voßftdndiges > aller Kefultate,. tworauf der Kalkul je
side Berechnungen mit Mecht Ent 8 bieten Fonnte,
Tagen mie meine mathematifcben
sachrjäbeiget Fieit nefammelt hätte, durch den Drud
tiſchen * herbaunt mitgutbellen, Aber tbeils febite e⸗ — an
örlgee Mufe, tbeils.mar ich auch noch nicht u einig,
die Saen am vortbeilbaftehen ordien fölte? Aber nos
inde am —— —— J
nn i auch nicht den Fiebbabern avaigtiſder ——“ ei.
Wer? vorenthalten, das 5 su taufenderlen neuen —
Anlaß geben wied · und dc kündtge biermit ein Nepertorium
earalformeln ats die erite Probe eines foldhen für hie sen 1 “ni
4 Sußerft wichtigen linternebmens an.» DMandyen wi
er Titel vorador aenug fcheinen , um, wäre der ——
‚ Mathematik, Sloffen darüber zu fhmteben, aber nad dem Urtheile ,
vieict aroken Mothematitverfändiaen, deren Natb is ınir bieräben .
bet, R diefet Titel gemiß der Khan Side Baier von dee
ae jet ale
fei
ut ud verheht ftegt, mit —A Bid zu Deren a Auf Ei
einen fee 4 Die Differenttalformeln mit — 5
ber andern, die dusch die Jntegratton erbi Woeribe.
obe können — — Veiſpicie dienen, die th Zus der Mike
fripts, wie ich es aufichlage, derſchrelbe:
1X. Nechrichten Any Bee
Free "any, ® —— *8
sn! —VX
— |.
c, adx .= -_. *
Trade agree
al He em Bat une
denn Kenner werden ihn von feldf erden, und bei andern
si en ih nid ocen als zu kauben Ohren veden. Jeder, deraub .
Wanen, was er geleifiet. bat. und durch eben Died Hültsmittel nuurs
in gersih Inslide neue Entdeckungen im weiten Belde der Anas
20: IE Mochtichten md Anpiget.
3. Aſtronomiſche Nachricten aus “Briefen bes Henn
Flsügergues,. ‚Afttonomen zu: Viviers : Departe-
ment de I’ Ardäche, Mitglied des Inſtitut Na-
ae in Paris, an Herrn O. W. M. v. Zadı
in Sch, 9 ee,
—J — — J
—RV 2 4
J. zormel, um die Lange des Gries vom Rica 7
turnus auf. der. Ecliptif aus dern beobachteren Ver⸗
ſchminden und Mlgvererfipeinen beffiben zu befthmuied |
gast oa ee be Beta ur Zt
Serbachtunoen Exrſche inens —J
J— Längen —— Berlin, wenn diefe Mhafen d
urdaang der Ebene "bed. Wings durch den 2er Ci 4
Gonne veranlaßt wistdens fermre fei die Metgung der
r.Riagk seeen. die Ebene bes Ecliptik, ſo wird man haben, .
Bee des’ Cnotens ve u. Bi ul ber Ertl Fehr Ar we
Trap, eng i.) J
©.‘ 4 3 x ’ 7 J
1 Kormeln, um bie Wirkung der — be ben Durch
“ gängen Fund? durch bie Sonne ‚zu finden
ei 7 dee Wutel, den dei’ Hafbmeffer det ©, der am wahrer '
‚> Berbtannakpunft orsogen mörhen iR, mit der relativen Baba F, |
" be Winkel, den eben diefer Halbmeſſer mit eidem ⸗ten mocte
der an den ſcheinbaren Berübrungspunkt gezogen iſt;
2 der Winkel des Vertiealkreiſes mit einem auf die rear
Babn fenkrechten Kreis, fm Mittelpunkt der Senne... .:
dee Unterſchied der Söbenparollaren von E und O und
e bie Bitans ber Varalere in: Besug-auf die Berührung, I
tm
fin (a1. ib 72)
Ta ”
|
" [3 % .
“ .
M. Nochtichten und Anzelgen. nst
geiden — — Bat beim Winter Eb Katt, wenn Die ſenk⸗
febte Fr auf die selative Bahn oberhalb des Gonnendiameters
Henze, dee im Augenblick dee Beruͤhrung bortzontal if; im entor⸗
ieſeote Zah" findet Das Srichen «+ Matt,
= gen biefe — auf etert der el
dr ven Winkel z muß man das Beichen — dann Branchen,
des Bertirafteeifes , deu
zur Zeit des Contacts durch den Mittelpunkt dee Sonne gebt, lie
wo fich aud der Beruͤhrungspunkt befindet; tin eutgeaengefeßten 8
draucht man »r. Eundlich iR die Groͤße e oder die Wirkung der Bas
rallaxe für bicjenigen Beruͤbrungen negatif, die oberhalb des hori⸗
gentaten Dutchmeſſers ſich ereinnen; duo die Wirkung der Parolis |
| wied namtich dann der Einteitt weripdtig. und der ustel
BT ana a 0 —X ea
!
3 ..
beobachten, 2 y
u Formel zer hg dea Merkursdurchmeffer durch
| —F beobachtete Zeit, Dr 5 ie Eintritt oder: Anstrist:
in bie Sengenfcpeibe nem Durchgange braucht,
d der Duck eh 8 FA dee. )burch — Der Ba
Porn Def e ae fe ee relativen 2m Om E der du *
rrubrung m bat, und e der katret⸗
— fo WW. ’
d= —— J
| gerntteik dieler Sormelrbabe ich aus Verbindungen der
tungen des hi Dur ogan be 5. Nov. 1789. felden Dusch
gelandet, 8,665. vr aalax ver an Diem Bass 13 — *
Neueſte Betimmung der Polhohe von Lig, |
von Herrn Prof. Rüdiger, Hoſervatore be der
Sternwarte doſelbſt.
Ma einem 10 zolligen Eotesetfetuntin von Teonshton, diffen u
| uns dus Grem Dal von Zach 52° 80
Nonius die Sekunden von 10 gu 10 angtebt, und einem känftlichen
Blashorizont vom Yen. Sekt. Schröder in Botba verfertigt, babe.
ich die Polboͤhbe der Leipziger Sternwarte aus 40 Beobachtungen im
Mittel — 510 21° 0’ erbalten, welches Beta von einer Sekims
6”, in Hm. Bodens Ja
—
*
273 IX. Nochrichten und Anzeigen.
Bud auf n7g1 Gelte —* wenig abweicht. Die Wolböben ink
— nt —** — außer dem —— Bel bie Zeit dee
bereinftimmende * ben befannt 18 aus Son⸗
— m den Ba —— Amin Beten berechnet
fer Rechnungen h
Be I ind ne ir Ahead —
Beyſpiel
te doppelte: Höhen bes unten
FR e in * ——— Vendelupr um
21. 24° 13’ mahe. Zelt Ye Badmikags; Abweichung der Som
7 130 8/8" nie.
Em. Hd. d- unt. Orand. = 92° 0’
Jerthum des. Belgerd z'-3 0
Sonnenparallare
Summe
Sonnenpalbmefler
Wahre Höbe dee ©, |
Stundenwintel
abweichung der ©
«... Die Yolhöbe
aber ih nun durch:
Tang u = Cosr Cora;
en
vun.
se =
WE 0-e
kog ung u == 10, 575 1588 J
sm 7 6
. log Cos u = 9, 469 98
+ log Sin # == 9, 8ı8 1173
J
Gum = 10 2 "u
- log Sin.d — 9, 323 BY
ee — ——r ——— _i
log Ca z = 9, 905 4216
z = 36% af 19%
0 me'78 5.680
Et Sy SZ | BE | ae De
6*41 8 u
Benfpiel a
Minagehohen den 15. Jualius 1797.
Bet der ude, — Kae I Kg 0% -
3
N
119 ss ° 8, 333
Seh. VW a fr) Re
36 0, 735 5989
N F
i 395 ĩ4 BETT TOR 33 101 SE Dale 44s 35153
212 a zu mo) s 1, 860 5776
Cr:
hatbeu m = 1, 9048 ‚Con m
300 = ginn fir Leinti, giebt
\ı.e
Er — Gr RR 5950 = loʒ —*
—CERRGRI
> 131% 2773 log Cos 3 == 9. 968 Bra
3 99 sui-leginle-D— 9 697 6545
1
KR == 9, 271 1735
+ log Goal. — ar 088 Soso.
U N +}
log ar — kg nk == 0, 159 7678
log ai == 0, 859 7675 log ns
\ 2... für que a Sbrobachtungen,
\
.
.
Le
. [
x
2
1X, Nachrichten und Anzeigen, "
Bür die 1. Beobachtung iſt:
log n2 —.0, 735 5999
40, 359 7675
log Ar — 1, 095 3664
“ am 12, 45"
Dopv. Höhe des
ant. Orand. 119° 55" oW
Srrth. d. Zeig. 13 30
Reh ng 4 30
Kälte sg 50 4
Strablenbr. 31
Beh R 39.50.14
Sonnenparallage + 4
Eumme 259,50, 18
Sonnenhalbm. = +54
en —
mabre peter © = 6° 6 5
® Ga fo ſindet ſich aus der
sten Beobachtung « ‚sw art. 0%
7, ⸗ sı 20 53
un ,
IX. Nachrichten "und Anzeigen, 255
Ebendeſſelben / Beobachtung der Gonnenfinflernig
vom 24. Junius 17974
\ X
I der Gonnenfinferni6 vorberaehenden Tane waren trabe doch
Tage der Finferniß felbff beiterte ſich der Himmel etivas auf,
daß. fch mit dem Hadlepifhen Gpfegelfrrtonten venug Gonnens
ven die Zeit der ihr zu beitimmen. nebmen konnte, welches auch. .
nächfifolgenden Tage verſtatt · mar, Den Anfang der Sennens
temig babe ich mit: einem’ 35 füßigen achromat. ober won
we, Afeonom, Szmaliner Bergrößerung, nach Wuliamy’s Ger
denubr, fo ziemlich genau um Ss U. 32° 26 Wh, m 3. beobachs
Die Sonne war noch furp vorber bäufig mit Wolfen umneben,
b trat.fie bervor.. als der Anfang berannabete: Mährend der
Lerniß Tießen ſich nicht mit der gebdrigen Nube und Senauiateit
ben meſſen, da außer den um Die Sonne fhiwebenden Moiten,
bemals Regen einfel. Um das Ende beiterte fi der Himmel
Gegend der Sonne auf, fo das Ich fehe eichtin das Ende
1. 2.9, 75% m. 3. anfegen fann. Mernleiht man dieſe Angar
I der Beobachtung mit der Berechnung dieſer Sonnenfinfternig
meinem Handbuche der rehnenden Afironomie, (Bxı. -
ite 80) fo ergeben, ſich nur „folgende ganz geringe Unterihiede:
Anfang Ende
soll ı a
Besbachtung Ss sa | 7 29 75
Rechnung ⸗ 32 2517 2 26
unterſhied 35
256 Macyrichten und Anzeigen,
} 6. Das arlthmerifche Mittel, in einer wichtigen Ye
ſtimmung bes deutſchen Staatsrechts gebraucht.
— — — als — * in
ui te ein, vom Keligionszufa: Im deutſchen
Keiher da fiebt 197. 5, vom,anno decrerorio folnendes. !
‚Die Katholiken mwohten dazu das Jabe 1630, in melden
ann vdo Wefttütionseblet an mebreen Drten gelten’Su machen I
mußt batte, -behinmt baben, die Protefianten, dag michrs Billie
v, ald auf das Jade, in welchem der teten ausnebrochen war, I
en, alfo auf 1418. - Endlich gaben bepde Theile nach, und io
. ward denn der. Beflsliand des ı. Jan. 2624 zur künftigen Ridb
Knaur beftimmt.’ N
Gerade alfo das Jahr, das mitten zwiſchen den Bepben Ile,
welche beude Partbeyen vorichlugen. Bolksmmen, wie man
aritbinetiiher Mittel nimmt. angewandte Kecbenkunft
diefes feeglicb nur, wenn bie dußern Zablen näber beufammen lie
en. So viel mir aus dee Gefcichte bekannt ik, war Ind.fien id
rund dieſee Beftimmun micht arithmetiftd, fondern Poltird, mil
— a Sabre bepde Vartpenen ohngeläpr gleiche Borkheils e
2. ©. Käftner,
——
Verbefferungen,
199 ‚Zeile 25 hatt Confitution lles Confructions gelle ·
en Hi 1. adce; eite 203 legte Zeile, und
jelle ı — 10 {fi durchadngig ati A, $ au lefen R, 1; G.
. 27 ſtatt im lies ein.
jegen Seite 201 fehlt in der Fla. r, über AB eine zu AB paralelk
» 0 eine AI, und.eine Die Varallelen CD, AB, Hl'in K, L,N
wechtioinkelicht dursbfchneidende Linie. In Fig. 7. mub DE
Endpunkt der Finie Fo Hinter Hand innırpalb ABCD mi
Bppeihnek werden,
ber; 5 ;
reinen und angemandten
Mathematik, -
. GSiebentes 'seft. 1797: :
Seduction der Euclidifchen Definitionen 3, 4, 517
des V. Buchs der Eiemente; von E. F. Pflei⸗
derer, der Phyſik und Mathematik Profeſſor
J
zu Tübingen *).
I. E. mögen m, m, p, q,r in ber Folge ganze Zahlen bes
jeichnen; manchmal mit Einfchluß der Einheit, wo es
aber ausdrücklich bemerft werden wird.
..2. Die Frage: Welches (geometriſche) Verhälmig
zwey ungleiche hofnogene Ördßen A, B gegen einander has
ben? wird, wenn es möglich ift, d.h. menn A und B
-sommenfurabel find, durch die Angabe beantwortet: A
| ent⸗
"m Diefer lehrreiche Aufſatz if eine Reviſion und Erganzung eines
Theiles der Tateinifchen Differtatton des Herrn Verfaſſers über
das ste Buch von Euklid's Elementen, und if sum Theil, durch
die Erneuerung: der Klagen über Undeutlichkeit, Schwierigke
und Uneichtigkeit dee Euklidiſchen Lehre von Verhaltniſſen un
Proportionen, in Seren Prof Büldy’s Encyklopaͤdie der mas
tbemstifchen Wiffenfcy, (Hamb. 1795.) Seite sı und Anhang,
veranlaßt morden. Hier werben die blos fheinbaren Schwie⸗
rigkeiten geündlich gehoben, ohne jene Differtation daben nöthig
su haben. _ | Ä i Sindenburg.
Sicbentes Heſt. N Ä |
\ “
258 1. Pfleiderer, über einige Definitionen
sr ar 5
enthalte B, mımal, „mal, zul; A ſeye =mB, ober
b I m ım *
= -B, oderBꝛ undm, —, — heißen der Exponent
na na nn
des Verhältniffes A: B.
- Sind aber A undB incommenfurabel; ſo giebt man
für irgend eine angenommene Zahl an: A enthalte B.,
1
mehr ale u und weniger als Fat, (mo auch
= ı feyn fann); A ſey — en: und,
Z beißen Grenzen des — des Verhaͤltniſſs
—
A:B; - die Eleinere, Er bie größere, Je größer
die Zahl a iſt, deſto näher fallen beyde Se zus
fammen.
3. In dem erftern Falle it A=mB, oder n A—=B,
oder nA=mB; und in, dem zweyten it nA >rB,
aber <(r-H1)B. Das heißt: ein gewiſſes Vielfaches
der einen Groͤße ift entweder der andern, ‚oder einem Biel
fachen der andern gleich; oder ein gewiſſes Vielfaches der
erſten iſt größer ald ein gewiſſes Vielfaches der zwey⸗
ten, aber” Eleinee als dag nächffolgende Vieifacht
derſelben.
4. Umgekehrt folgen aus den Angaben $. 3. bie
F. 2. d. h. weiß man, wenn A und B commenfurabel
find, welchem Bielfachen von B die andere Größe A gleich
ſey; oder, welches Vielfache von A der Größe B gleich
ſey; oder, welche Vielfache beyder Größen einander gleich
ſeyen; fo weiß man a ihres Verhaͤltniſſes
Sind
2 in Euklids V. Bude, der Elemente 259
Sind hingegen A undB incommenfuraßel; und weiß,
man, zwiſchen welche zunächft auf einander folgende
ielfache von B irgend ein Vielfaches von A falle: fo
kennt man die Grenzen des Erponenten des Verhaͤltniſſes
. A:B für die Zahl, welche das Vielfache von A angiebt.
5, So reducirt fich im Algemginen die Unterfin
chung des Berhäftiiffee A: B auf die Vergleichung (ig.
Ruͤckſicht auf Gleichheit und Ungleichheit) entweder ber
“einen Größe mit den Vielfachen der andern, ober dee,
BWielfachen bepder unter einander; auf die Unterfuchung: -
qualiter magnitudines A, B fe habeant quoad multi--
‚plieitatem? vofe Joh. Wallis (De Algebra Tractatus“ _
Cap. IX. p. 85. Oper. Math. Vol: IL) den Sinn dee
% Definition des V. B. der Elem angiebt: Aoryos ses
0 us yeIwv oHROyYEvaV N RATS RANKoTNTa reos aA
Au moi egeois. Auf eben diefe Erflärung weifen bie -
Folge der 1. 2. 3- Be und bie deſſuns der: 3, 5,
"7. hin.
6. Die Reductlon $. 3. 4: gewährt den Vortheil,
zu der Behandlung der Verhaͤltniſſe nicht, mie die erſtere
. Worftellungsart 6. 2, Divifion einer Größe durch bie.
> andere, weiche eigentlich nur bey zahlen flatt hat, wur
nigſtens Theilung der Größen ingleiche Theile, föndern bloß
— BRelelicaton der Größen, oder wiederholte Uddition ders .
felben zu ſich ſelbſt, vorauszuſetzen und zu fodern. Letz⸗
. tere-allein, und aimgefehrt, wiederholtes Abziehen einer ge⸗
gebenen kleinern Groͤße von einer gegebenen groͤßeren⸗ J
nimmt Euclides ſtillſchweigend als Poſtulate anı Thei⸗
- fung ‚gerader Linien, Winkel, Eirfelbdgen ingleiche Theile
lehrt er, ehe er fie gu den Conſtructionen feiner Beweiſe
gebraucht. Daher bemerkt Rob. Simſon (Euclidig.
- ‚Element. Oxon. 1756 p. 3357. fq.).bey dem sten Gag _
des V: Buchs: In conftructione demonftrationi hu; »
: heprashi, aa. naher in in.textp Gräeco ejüs- .
| | ge
1
«
x
0 i , ‘
260 1 Pfleiderer , über einige Definitionen,
. que, verlionibus Latinis, requiritur, ut — EB fe-
eetur in tot partes aequales, quot funt inAE. aegqua-
les ipfi CF. Ex.hoc autem manifeftum eft, con-
ſtructionem hanc non effe Euclidis. . Non eniın do-
cet .Euclides, 'quomodo fecari poflint rectae lineas,
nedum .aliae magnitudines, in partes aequales, an-
tequam ad’ V], 9. yeniat.. Nunquam autem in con
fructione jübet aliquid fieri, quod facere non prius
docuerat [vel poflulaverati. Conftructionem igi-
tur mutavimus in eam,- quam ſine dubio Euclideg
daderat; in qua nihil requiritur, praeterquam quod
me ſibi ipſi aliquoties addatur.
. Sind ‚Aund B commenfurabef; ; :alfo entweder
Bie * einem Vielfachen der andern, ober ein Vielfaches
der einen einem Vielfachen der andern gleich; AmmmB,
oder nA==B, vdernA=mB: fo if in dem erften
Sale A Ab. 42A>mB, und mB-HB oder
(m-+ ı)B>A; in dem zweyten n A-HA d.-i. (a-+ 1)
A>B, und B--B over 2B>nA; in dem dritten
nA+Ab.i.(n-Hı)A>mB, und mB-H-B ober
(m+ı) B>nA. Da nun, wenn A und B: income«
menfürabel find, fih. immer: nur angeben läßt:
nA>rB<(r + nB ode @--n)B>nA;. fo foßt
Euclides in der 4. Defin. wider beyde Fälle zufammen,
und fest. als allgemeines Merkmal homogener Groͤßen,
oder ſolcher, die ein Verhaͤltniß zu einander haben, feſt:
daß fie vervielfaͤltiget einander übertreffen koͤnnen: Aoc-
vov exe MeocarlAnka Meyedn Asyeraı, & duvaraı
molNamAacınfousa arAnAwy umegixEw. |
8. In der Folge nimmt er beſonders, entweder ale |
Mm diefer Definition enthalten, ober flilfchweigend als
Poſtulat an: von zweyen dergleichen homogenen Größen
Kaffe fich die Kleinere fo vervielfältigen, daß fie größer
werde, als bie groſert. Eben dieſes poſtulirt Archime⸗
des
. in Euclivs V. Buche der Elemente. as
des (de ſphaera et. ‚eylindro, Lib. L. und quadratu-
‘ra parabolae: Praef.) von dem Ueberſchuſſe einer-geges
benen größern Einie,. slähe, Körper ‚ über eine gegebe⸗
ne kleinere.
7
9. Zwey Werbäftnifte A: B, €:D, heißen nach ber
‘ Borfclungdert 2. gleich, wenn ihre Frponenten glejch
“find, oder Immer zwiſchen einerley Grenzen fallen.
D. h. fol A:B ps verhalten wie C: D; fo. maß, . u
wenn A bie Größe B, mn mal enthält, auch C die.
‚Größe D, —— — mal entfalten; und umgeftt, wenn .
fo wohl A die Groͤße B, als c bie StößeD, m—, Enel.
“ enthält; fo fagt man, «8 (ey A:B=C:D. Die Sie
‘der beyder Berbältnife muͤſſen alſe zugleich commenſura⸗
bel ſeyn.
Enthaͤlt A weder B, ne irgend einen aliquoten
Theil von B, ein oder etlichemal genau; fo kann auch
weder D, noch irgend einen aliquoten Theil von D, ein oder
etlichemal genau euthalten, wenn dieVerhaͤltniſſe A:B,CHD -
⸗
e anter einander einerley ſeyn ſollen. Die Glieder beyder
gleichen Verhaͤltniſſe muͤſſen alſo auch zugleich commen⸗
. "farabel ſeyn. Und nun wuͤrde G:D’fich nicht wie A: B.
| verhalten— wenn, fuͤr irgend eine Basta, für. welche
r—tı ri
A>- =B<
cos
| wäre
* Aonbern entieber C ſchon < =D, ober. ng >
"go. Der Borfilungsart 5 2. r zufſoige, wird die“ Zu
ſennaq jur Suerlinben zweyer Behäimift A; B,C:D.
R 3 |
erfo⸗
Bilnigeaud > D
v
1*
a /
\ - -
262 .I. Pfleiderer, uͤber "einige Definitionen
» erfobert: daß, wenn A= mB, ober nA ==B, 'oder
nA=mB if, auch C=mnD, nC=D, nC=mD-
Mens und in bem alle der Jucommenſurabilitaͤt, daß
für jede Zahl n, zuglih nA>rB< (r+ 1) B,
‚nc>rB<(rtuBfeyen. Diefe Bedingungen muͤſſen
ſtatt haben, wenn man zu der Folgerung berechtiget ſeyn
ſolle: Averhalte ſich zu B, wie C zu D. Und umgekehrt
- wenn man angiebt: A und B, C und D haben gu einan-
der einerley Verhaͤltniß; ; fo muß verſtanden werden, daß
Im Beflimmungen bey ihnen ſtatt haben. —
11, Euclids ste Definition: Ey Tw ausw Acrya .
nsyedn Asyeroa Mich, TQWTOV mEoS devregor, xtu Tei-
roy Aeos rer æçꝙtov orav Ta T8 TOWTE Kas Tess ımd-
nis MONMaTAaCIa TV TB ÖsUTegE no TSTÄLTE 1Tanı
moNariacıwv, na$.opoiovsy WoAAuamhacınaov, ene
TELB 1 alu eÄAuan, N ana ı0a n,n ana UnSEENM,
Andserra naraAAnda; welche alfo zur Einerleyheit
zweyer Verhaͤltniſſe A:B, C:D die Bedingung erfodert,
oder aus derſelben die Conſequenz folgert: daß fuͤr jede
Zahlen n. m immer zugleich —mB
n <=>mD ſeyen; enthält nun theils mehr, theils
weniger, als $. 10. angegeben iſt. Fuͤr Verbhaͤltniſſe
commenſurabler Groͤßen fehlen nämlich bie Faͤlle Am B,
nA==B: für Verhaͤltniſſe incommenfurabler Größen wird '
hingegen mit jeder Zahln, ſtatt dei beſtimmten darauf fi fi
bejziehenden v,r-1,nach welhenn A>r B<(r-- DIB
iſt, jede anderem verbunden, und anf n A<> mB Rüde
fiht genommen; ferner, eben. dieſes auf gleiche Berpält ö
niſſe ohne Unterfchied ausgedehnt.
12. Was dag zweyte betrift: fo ift ohme Zweifel
die beftimmte Bedingung 6. 10. unter ber Euclivifcher |
‚ Weiteren als ein befonderer Fall begriffen, in fo. fern dr
Beweis der ‚Einerleyh:it zweyer Berhältniffe bdarnach ge⸗
"führt wird. Und die Anwendung wird, vie die Dep.
fpiele davon seigen, durch dieſe Erweiterung nicht nur |
ni
-
ı
nicht erſchwert; ſondern in.ber Ruͤckſicht erleichtert, daß
man nicht noͤthig hat, für jedes Vielfache von A (nA)
die naͤchſtvielfachen bon B (rB, (r + ı) B), zwiſchen
- Welche es faͤllt, zu beſtimmen; oder für jede Zahl n die
r r-tI . oo . .
Grenzen 7 des Exponenten des Verhaͤltniſſes
N A: B anzugeben. - Diefe Grengen mögen feyn, welche fie
„wollen: fo wird, wenn man gezeigt hat,, daß immer zus .
seihnA><mB und CCu D ſeyen; aud be
ſtimmt » C)VD ) D ſeyn, wenn nA>rB,
<< + ı)B if.
13. Die. Rechtfertigung der Faſſung ber Euclidie-
ſchen Definition in Beziehung auf die Converſe des Falls
$. 12. fo wie in Betreff der bey andern. 11. erwähnten '
Puncte, beruhet auf einigen Sägen über die gleich Viel⸗
fache zweyer Grdßen; welche theils Euclides felbft der
Anwendung feiner 5. Defin. voranſchickt; theild Folge⸗
rungen aus benfelben und aus den Grundſaͤtzen des er⸗
fen Buches find.
14. Satz J. Einerley ober gleicher Größen gleich
Vielfache ſind gleich.
Bew. Iſt nämlich AB: fo ifl auch AHA
#B+B02. Ar. 2);d.5.2A=2B.
“ \
- Und nun ferne 2 A--Am=2B--B I. B. Ur. 2. 3
» h. 3 A=3B; u. ſ. w. un us
J ueberhaupt nA-HA=nBHB (I. 2. ar. 2
bio) A=ln-nDB, wendnA=nB.
15. Sag IL (V. 1.) Sind a, b,o... gleihare
tige Größen; und A,B, CG,.... gleich Wielfache derfelbens
fo ift die Summe A-+- B-HC — ;,.. der letztern, das
eben ſo Vielfache der Summe —— .5. der er⸗
RE. Fe
. in Euclids V. Buche der Elemente. 263
N.
—
*
264 I. Pfleiderer, fiber einige Definitionen
ſtern, das twievielfache jedes der letztern von jebem der
erftern ift, A nämlich von a, B von b, C vone, u. fm,
Kurz, wenn A=na, B=nb, C=nc... if; ſo iſt
auh A-+ B+C-+... oder na nb--nc ..
Znla-bH+cH...). -
2 Dew. Nämlich unter ber angegebenenen Bebin⸗
gung ‚find
2 2 5 4 — n
A=a+2 +2 +2-+24+...+a
B=b+bHb+b+b4+...nb
C=c+He-c+c+c+..te
etc.
Sefotich (1.8. U. 2) A+B-+ C+ etc.
a+a+3a+2+2+...+a
Herr. „+b
Ihe+cehcterhcH...te
L etc. etc; etc. etc, etc, etc.
= .e+2 rare tat... +0
d. h. ne, wenn ama--b+c..-
16. Zuſatz 1. Eben fo iſt
bi 4 5
wurkna-Ena-nat nat... end
1 ® 5 4 5 x
=nlatata+atat.. ta
dh. =u.ra, oder dem nfachen des rfachen von =
17. Zuſatz 2. Gleich Vielfache ungleicher Größen
find ungleich, nämlich, Bag der größeren if größer.
Denn, wenn A>B=B-+-C ift:
Kt nA =n(B+Ö) (6. 14.)
Aber nB-HnC = u(B-+C) ($ 15.)
Ai nA —=nB-+nC (LE Un)
>nB (LS; U 2) J
18. Ju⸗
in Euklids V. Buche der Elemente. 265
Fe Zufan 3. Groaͤßen, deren gleich Vielfache
gleich ſind, ſind gleich.
Iſt nämlich nA=nB: fo kann von den Groͤßen
A, B nicht die eine A größer als die andere B feyn; in⸗
bein fonft n A>nB wäre [C 17)
19. Zuſatz 4 Größen ‚ deren gleich Vielfache un⸗
gleich find, find ungleich; nämlich, diejenige ift größer,
deren gleich Vielfaches größer iſt. Ä
Denn, wenn nA>aB iſt: fo fann weber AB nn
ſeyn, meil fonft nA==nB wäre ($. 14.);
Roh fann A<B, BA ſeyn, weil font B>nA
wäre ($. 17.).
‚20. Sag III. Wenn A,E,G, ... Vlelfache find |
einer nämlichen Größe B; fo ift ihre Summe daß fo Biel»
fache von B, als die Zahl angiebt, welche die Summe
der Zahlen ift, die die Vielfachheit von jeder derfelben ir
zeichnen: d. h. tern A=pB, E=gB, G==rB,.
and "eptgthrt.. u. iſt: ſo IRA-HE+G+..
== nB,
Bew. Denn fo beſtehet AHE+ G-+.. aus
?, undg, und r, ... Theilen oder Größen, jeder —B;
d. i. aus B, geſetzt ober su ſich ron addirt, p+ga+r-t...
— mal.
+21. Anmerk. Der einfachfte Salt. ift, wenn je
irgend einem Bielfachen A einer Größe B, dieſe Groͤße ſelbſt
noch addirt wird. Alsdann enthält A—-B die Größe.
B,(r + 1)mal, wenn A diefelbe rmal enthält; oder es se
A—-B=(r-+-ı)B, wenn A==rB.
22. Zufag 1. (V, 2.) Wenn A und C aleich Viel⸗
fache find von Bund D; E und F wieder. gleich Biclfa« .
che von Bund. D; G und H ebenfalls gleich) Vielfache
‚son Bund D; u ſ. w.: fo find ah AHE+-G-Tt. or |
Ä ‚CHF -+H-+.. ” gl ice Vielfache von B undD. .
‘ u R5— "Dim
266 1. Pfleiderer, Über einige Definitionen,
Denn, wenn ſowohl Am—pBalCc=pD
E=gB F=gD
G=rB H=rD
etc.
ſo iſt auch, ſowohl AHEAGH. „==nB, alsChF+H+.,
=ınD, wm n=p+tg+r+... ($.20.) |
23. Anmerk Wenn n und m gleiche Zahlen find; |
fo find nA und m A, als gleich Vielfache derfelben Sei]
A, gleich ($.. 14): |
24. Zuſatz 2. Iſt aber n>m— m-Hp: % ik
mA--pA=nA (5. 20.); folglich nA>mA ¶. B.
Ar. 9.).
25. Zufag 3. ‚Umgekehrt iea=m, wenn nA
= mA. \
Denn nun fann nicht eine der beyden Zahlen n>
als die andere am ſeyn ; fonft wäre nA>mA ($. 24.)
26. Zuſatʒ 4. Hingegen ifty >ın, wennn A>smA
Denn fo kann weder nm ſeyn; Meil fonfi nd
= mA märe ($ 23.).
ı Noch fann n<in, m>n feyn;. weil ſonſt mA
- >nA wäre ($. 24.).
27. Zufag 5. Sind alfo A und C gleich Vielfache
von-B’und D; und miederum E und F gleich Vielfacht
berfelben Bund D; fo wird C<—=>F feyn, fo wit
A<=> E if, '
” Denn, wenn A und C die nfache, E und F diemfa
che von B und D find; fo muß
2) wenn A=E, b. h. uB=mBif;ja—n
G. 25.), folglich „D—=mD ($:23.), d.i. CF fept-
2) wenn A>E, d.h:;nB >mB if; n >
G. 26); folglih nD>mD ($. 24), d.N. CF ſeyn.
3) wenn
. F FE . !
° . - ⸗
* « U -" nu
in Euklids V. Buche der Eleniente.: 267 °
3) wenn A<E, alſo E>A, b. .mB>yB if:
muß >n ($. 26 ), baber ‚n D >nD ($. 24), b. I.
F>C, C<F ſeyn.
2. Satz IV. Das rfache des nfachen einer Groͤße
iſt dem nfachen des rfachen der nämlichen Größe glei;
d. h. rXnA= nxrA. |
Bew.r.n A n An Atn Atn An At... dm A
u. eben ſo rs A=ATAFAH+A+A Hr. +A
folslich N. rAzzn(A Ar ATATA r.. + A)
58
—nA+nA+nA4nAnAt.. nA
(6 16.)
AforKnA=nXrA(ll®, Ar. 1). .
| 29. JZuſatz. (VII, 16.) Mithin iſt —E
(6. 25.): d. h. das rfache der Zahl n ift dem.nfachen der
‚Zahlr gleich ; ober, das Product zweyer ganzen Zahlen. .
‚wird durch bie Verwechslung dee Multiplicandus und
Multiplicators nicht geändert. |
Dieſes läßt fich auch fchon, fo wie in dem Beweiſe
5.28. ‚folgen, und als ein befonderer Zal des Satzes
6.28. betrachten; da die-gangen. Zahlen N, Y das nfache,
rfache der Einheit find.
J 30. Sue V. (V, 3 R Wenn A und c gleich Viele -
.fache find von- B und D; ae man nimmt E und Fgleih
Vielfache von A und C: fü find auch E und F gleich Viel⸗
fache von Bund D.
v Bew. Den Bedingungen zufolge find
A=pB C==pD
nn —-A= pB de = +c=pD
ſowohl E⸗ a
- .. + A=pB been .D -
%
⁊
N
z . :
268 1 Pfleiderer; uͤber einige Definitionen
folglich ($.. 22.) E und F :gleich Vielfache von B und D,
nämlich, ſowohl E=nXpB, als F=nXpD, weil
beydeg, E=nA und FC, f
31: Sag VI Wenn A=mB, und C=mD|
ift; oder wenn nA=B, und nC—=D; oder wenn
nA—mB, und nC=mD ift: fo find jede gleich Biel
fache von A und C irgend gleich Vielfachen von B undD,
das von A nämlich.dem von B, und bag von C dem von
‚ entweder beyde gleich, oder zugleich größer, oder
Heimr; d. 5. pC it=yD, >4D, <gD, fo wie
pA=gB, S B, <gB iſt, für jede zweh ganze Zah
len p, q-
ö Bew. 1°. Wenn A=mB, md C= mD;
alſo auch A yXm B, pC=pXmD ($. 14);
fo iſt, fo wie pA<—=>gB, chen daher p Xb
(als =pA), <=>gB;
„und nun ebenfäls PX mD <—=>gD ($. 30. 27);
folglich, da pX mD=pC, auch PC<—=>gD.
2°. Eben fo, wenn nA=B, und nC=D; alſo
ahgXnA=—gB, yXnC=gD($ 19):
ift, P we PA<—>gB, ebenfalls pP A<—=>
gXnA;z daher auch PC <—=>gXnEC (S. 30.87.)
oder gD. n
3°. Wenn nA—=mB, ind nC=mD:,
fo if, fo wie PA<—=>gB, auch uxpA<=?> }
nXqßB ($. 14. 17.)
Da aber nA—=ımB (hypoth.); fo Ep X nA
=pXmB ($, 14.)
und pXnA=nXpA ($. 23.); und h
So wiepa<—=>gb: if alfo auch p X mbr
<=>nXgB;
amd daher ebenfalg PXwD<—=>nXgD
6, 30. 27.)
Da
in Euklids V. Buche der Elemente, 269
Da ddr C in D (hypoth.): fo if
‚nc =pXmD ($. 14)
Folglich iſt zugleich au PXnC< =>nXgD.
Nun iſt XnC=nxXpC(S. 28)
Mithin gleichfalls auch Xp C <—>nXgD;
ı daher ebenfalls zugleich Pp C<—=>yD (6. 18. 19.).
32. Aus der Einerlegheit zweyer Verhältniffe com⸗
iſurabler Groͤßen, A:B, C:D, ber gemeinfchaftliche Ä
| 1
onent derſelben mag mı —, oder = — fepn, wird alfo
D;
ner‘ richtig gefolgert: daß zugleich Ace >mB,
ınc<m=> m D Pa nie jebe ganze. Zahlen n, m
31.).
33. Sind aber A und B, C und D incommenfüra»
r-+-1
; und - rm bie gemeinſchaftliche Grenzen der Ex⸗
kenten ber gleichen Verhaͤltniſſe A: B; C:D, für die:
En; ift alſo beſtimmt nA>rB< (r--1) B, und
lid nC>rD< (r-H-1)D: fo muß,
ı) wenn überhaupt nA>mB iſt; mB == oder.
rB; folglih m==oder<'r (8.25. 26.), mD==ober
r D (9: 23. 24.); daher nC,.. welche > rD ar
>mD feyn.
2): Eben fo, wenn nAemB: muß mB = oder
(r—+1) B; daher u —oder >r+ 1 ($. 25. 26.);
D== oder > (r +ı1)D (6. 23. 24.); folglich nC,
(ches <er+n)D (byp.), auch <mD fegn.
34. Die allgemeine Angabe der Enclidifchen 5. De⸗
ion, daß, ‚wenn A:B=C;D, immer zugleich
\<=>mB nCc<z=>mD fon, iſt alſo ge⸗
Inder G. 32 33 | u |
35. Du
nn :bältniffe A: B,.C:D dargethan wird, es feyen inmer- zu⸗
gleich n A <=>mB, nct<—=>mD; eben daraus
. menfurabel find, bewieſen merde, iſt ſchon $. 12. Se
.
—
”
-
| pC=pXmD, und. daher auch C=- mD (6. 18.).
fuͤr den Fall, wenn die Groͤßen commenſurabel ſind, den
Beweis ber, Gleichheit ihrer Erponenten, von welcher Form
I dieſe auch ſeyn moͤgen n oder — 7’ ober =; und für U
commenſurable Groͤßen, den olfändigen Beweis der
durchgängigen Einerleiheit ber Grenzen ihrer Erponent.
i mehreres in fi. Diefer weitere Umfang aber, ber ii 1
' und if
| Exponent bes Verhaͤltniſſes C: D.
ſo iſt wieder‘ vermoͤge des Beweifed und $. 30, —
.
P .1 *.
270I. Pfleiderer, über, einige Definitisgten
35. Daß amaelehet, wenn in dem nach eben dieſer
Definition geführten Beweiſe der Einerleyheit ; iweyer Ver⸗
die durchgaͤngige Einerleyheit der Grenzen der Exponenten
beyder Verbaͤltniſſe, wenn A und B, C und D incom
merkt worden.
"Sind aber A und 3, e und D eemenfuge 5
| DE _ 2 per Erponent des Bernie A: B; in
vAzzmB: : folglich vermöge des reitet nach Off 5
zugleich nC=mD: fo ift auch = D, ober = der
2) wenn A=MhB; alſo pA= pXmB (6. 14)
iſt: fo iſt vermoͤge des Beweiſes und 6. 30. zugleich
3) WennnA==B; alfo pXnA==pB ($. 14)
PXnC=pD; folglich nE==D ($. 18.).
36. Der nach der Euclidifchen 5. Definition gef
Beweis der Einerleyheit zweyer Verhaͤltniſſe, enthält alſo
Er ſchließt zwar, beſonders in dem erſtern Fall, viel
%
„in Euklids V. Buche der Elemente... 271
18 feine Anwendung nicht erſchweret, verſchaft ihm den
ortheil, alle verſchiedene Faͤlle und dormen auf einmal
umfaſſen. |
37. Nach. ber Vorſtellungsart 2. werden die
erhaͤltniſſe A: B, C:D-verfchieden ſeyn, wenn ihre Ex⸗
nenten ungleich find, oder nicht immer viren. einer⸗
Grenzen fallen. |
Und: bag Verhaͤltniß A: B wird größer heißen als
8 C:D, wenn C die Groͤße D wenigermal enthält oder
thalten kann, ale vielmal A bie.B enthält; oder went
die Größe B mehrmal enthält, wenigſtens enthalten - '
if, ale C die D enthaͤlt o oder ‚enthalten ann: und |
agekehrt. |
- 38. Hiebey koͤnnen nanlich eunweder die Glieder
yder Verhaͤltniſſe commenſurabel; oder die Glieder bey
e incommenfurabel; oder bie des einen commenſura⸗
l, und bie des andern: incommenfurabel ſeyn.
39. Sind ſowohl· A und B/ als C und D commen⸗
rabel; die Exponenten Ihrer Verhaͤltniſſe aber ungleich:
heißt dasjenige von beyden A: B das ‚größere, beffen
wponent der größere iſt. Wenn ap A—mB, ‚oder
=—B, ni aber. e<mD, ober <-D;
er EDin: folglich, pen A=mB, aber O<mD; er
er wenn nAÄ==B, abe nCc <D; oder wenn nA |
=mB, aber nC<mD if: ſo iſ A: BSC:D.
Umgefehrt:foß A:B>C:D feyn: fo muß, wenn :
e Glieder beyder Verbältniffe commenfurabel find ,. der
rponent bes erfien-größer feyn, als der Exponent bed
eyten: role, wenn AzzmB: if, C< «sD > kon;
Wenn
272 1. Pfleiderer fer einige Definitionen
wenn HAB, muß. nC< D; wenn nA Bi,
nC<mD ſeyn.
40. Sind. A und B commenfurabel, aber C und
D ee ar wird A;B > C:Dheißen, wenn |
der Erponent mn, nn _ 2 pe Verhaͤltniſſes A:B oroͤer it |
als die größere ren des Erponenten des Berbättnifie” |
C:D /$2.); und umgekehrt: wenn A=mB, aber |
C>ım—ı) D<mD; oder wenn nA—=B, aber |
nC>rD<D; ode wenn nA=anB, ‚aber nC
> ım—ı1)D<mD: und umgekehrt.
4r. Sind C und D commenfurabel, A und B im
commenfurabel:. fo wird’ A: B>C;D feyn, wenn die
kleinere Grenze des Erponenten des Berhältniffes A;B
den Erponenten des Verhältniffes C:D gleich iſt, ober,
denſelben noch übertrift, und umgekehrt: d. h. wenn,
ri
Indem A>-B — iſt, entweder C =-D
n nn,
oder < 5 Dit; folglich wenn, indem »A>rB ifi, nC
ift=rDsder<rD; und umgekehrt.
42. Sind endlich fowohl A und B, ald C und D
Incommienfürabel: fo wird A:B>C:D heißen, wenn
die Fleinere ‚Grenze des Erponehten des Verhaͤltniſſes
A :B der größeren Grenze des Erponenten des Verbälte
niſſes C:D gleich, oder größer als fie ift; und umgekehrt;
N r „+1
d.h. wenn, indem A>TB <——B if, enttweder C
In + n
—
nur ——D und ſchon —— D, oder ſogar ſchon
n
I
€e< = D if; fotstich wenn wiederum, indem
nA>rBif, ac hingegen iſt <rD; und umgekehrt,
43. Eu
in Euklids V. Buche der Elemente. 273
43. Euclidg „te Definition: Orav de Tuv ITa=
ug MoNAarAacım, To ev Ta TEWTEs moAAamAacıov
agexn TE TB ÖEUTEeEB MoNAamAaCıE, To ds TE TEITE
FOAAGTARTIOV un vmegsyn TB TE TETagTs moManAa-
rIB" TOTE TO MEWTOV MeoS To deuTegou weıeovz koyov
Xew Asyeraı, nmegl TO TOIBCV- Meos TO TETAETOV;
chraͤnkt fich bloß auf die Bedingungen und Folgerungen
je 41. 42. ein, ohne der Säle $. 39. 40. zu erwähnen.
Dieſes wird durch ‚folgende zwey Säge gerecht
fertiget.
» 44. Satz VII. Wenn A=mB, aber C <mD;
oder wenn u A B, aber nC<D; ober wenn
„A=mB, abır nC<,mD; fo. laffen fi fih immer ein
gleich Vielfaches von A und C, 'und ein gleich Vielfaches
bon B und D angeben‘; fo, daß dad Vielfache von A groͤ⸗
Ber ift als dag von B, das Bielfache von C aber nicht
größer iſt als das don D.
Bew. 10. Es ſey A=mB, aber C<mD,
hämlich mD=C--E: fo wird ur
4) wenn C=<Eif; ? C CE, oder
mD ſeyn (I. B. Ur. 2. 9.), da hingegen 2 4 2 B
(66. 19) >mB if.
PB) wenn C>E if: fo nehme man.E dag Zweifa⸗
che, Dreyfache, u. ſ. w. bis man ein Vielfaches von E
erhält, das größer als Ci (5. 8.). Diefes fey das
rfache von E: alW C<rE,
SrC-HC<rCHrEl.B Ua) b. 8.
(1) C<r (CE) oder rX mD (21. 15); da
hingegen ($.24.) 1) A>rA ober (5. 14.)rXmB
fi. rXmBun rXmD aber find gleich Vielfache |
von Bund D ($. 30.)
. 2°. Es fynA=B, aber ne<Dr nämlich.
==nC-+E: fmwid
Slebentes Heft, ©. 4) wenn
J
274 ‚I Pfleiverer, über einige Definitionen
a) wann G=<E, alfo (18. Ar, 2. 4.)
nCH-c=<ncHE, d. i. 4) C=<D if,
2(n-H1)C=<2D ſeyn ($. 14. 17), indem (n +1)
A>nA oder B, folglich 2 (n +1) A>zE ift ($. 173
P) wenn C>E ift;, fo fey wieder, wie no, 1,
C<rE. .
So MrKXnCHe<rXnCc+r EB. Y.4);
beb. +1) C< r(uC-HE) odirrD (8. 21.15.):
hingegen Xn AA oder ("Xu +1) A>rXnA
oder rB ($. 21.14.) Dun fd - Xn-ı)A |
(Xn+1)C gleich Vielfache von A und C \$. 30.) ]
3°. EsfynA—mB, aber nC<mD, nämlid
mD=nC-+E; fo wird
- a) wenn C=<E, wider (1,8. U. 2.4)
nC+t=<nC+E, 5.5: (n+1),C=<imD ſehn-
indem (n+ 1)A>nA, alfo > nB ift.
LE) wenn C>E, und, wie no. 1. C<rEift:
fo ft wieder er Xn C-C<rXnCH+rEcl,B. Ar 4)
d.h. rXn+ı1) C<rxX(nC-+E) oder rXmD
@. 21. 15.);
‚ ba hingegen X mA A, b.i(r Xu) AD>r x⸗ea
oder rXmB'ift ($ 21. 14.). x
Nun find.(r Xn+1)A,(r Xa+T)C gleich Diele
fache von A und. C; rXmB, 7 XmD gleich Vielfache
von Bund D ($. 30. 22.).
45. Sag VII. "Umgekehrt, wenn unter den gleich
Vielfachen von A und C, und den gleich Vielfachen von
Bund D, ein Vielfaches von A großer iſt, als das von
B, daß Vielfache von C aber nicht größer iſt, als das
vonD; wenn nämli pA>gB, aber p C nicht >
fondern = <gD: und 8 iſt A= mb;
fo iſt C<mD: oder es iſt n A==B; piffinc<D:
oder es iſt uAm—mB; ſo iſt nC<muD.
Bexw.
in Euklids V. Buche der Elemente. 275
‚Bew. 1°. Es ſey A—mB; alfopA= px mB
14.)
Da (hyp.) pA>agB: fo ift auch PXmB >gB;
> daher ebenfalld PXmD>gD (\. 30. 27.).
Aberp C==<gDehyp.) Mithin, dag D<pXmD;
aequo, ober a fortiori, pC< PX m D; und baber
DS 19.).
. Es fynA=B; alfo IXRA=IRS.1g).
Dap A>gBChyp.); ſo iſt auh pA>gXnA;
glich ebenfald p D>gqxXnD ($. 27. 30).
Aber pC—=<gD (hyp.);. daher and) a X pC
<nXyD($. 14.17.) oder PXnG—=<gxXnD
28.);
folglich, da xDCS pD: ex aequo vder a fortiori
— mithin nC<D ($. 19.)
o. Es ſey na —B: alſo pXnA=p XmB
14): oder nXpA=mxXpB($ 28.).
DapA>gBhyp.); folglich m XpA>nxXyB
17.); fe it m XpB>nXgB, und daher auch
xpD>nxXgD (o. 27. 30.)
Aber pC=<gD (hyp.); mithin „X pC
<uXgD ($. 14:17.)
In beyden Fällen ift alfo wieder nXpC<mXpD
r pPXnG<pxmD * 28. I; und daher nC<nD
‚19.).
46. So erhellet aus dem Bisherigen: daß die Eu
jifchen Definitionen 5. 7. des V. Buche, die Bedingun⸗
und Eigenſchaften zweyer Verhaͤltniſſe, und des
oͤßerſeyns bes einen, welche ſich aus dem. gemeinen
griffe des Enthaltenſeyns einer Größe in. der andern
2.) nad) den mancherley Faͤllen, bie babey ſtatt ha⸗
ı fönnen, ergeben, in größter Allgemeinheit, auf bie
inſtmoͤgliche Anzahl reducirt, enthalten und angeben.
62 47. Km
Er ’
276 1. Pfleiderer , uͤber einige Definitionen
47. Jene gewoͤhnliche Vorſtellungsart c$. 2.) dep
‚ Seite gefegt; dagegen den Euclidifchen Begriff vom Vers
baͤltneß (9. 3. f.) zum Grunde gelegt, vermoͤge deffen die
Einerfepheit oder Verfchiedenpeit zweyer Verhaͤltniſſe
A:B,'C:D, von der Vergleichung der erſten A und ber
dritten G, oder ihrer gleich Vielfachen, mit gleich Biel .
fachen der zweyten B und ber vierten D, oder mit ihnen '
ſelbſt, abhängen muͤſſen: laͤßt fich eben diefes auf folgende
Art darſtellen. |
48. Bey, der Vergleichung von A und C mit gleich |
. Vielfachen von B und D, fo mie bey der von B und D
mit gleich Vielfachen von A und€, Fommen folgende Sir
3 in Betrachtung:
1°. A iſt einem m Bielfachen von B,- und nugeich €
dem eben fo Bielfachen von D gleich; oder ein Vieifaches
von A ift gleich B, und das nämliche Vielfache von G
‚if gleih D: es it A ——mB, und zugleih C==1nD;
oder es iſt nA==B, und zugleich nCc=D.
In beyden Faͤllen ſind alsdenn jede gleich Vielfache
son A und C, irgend gleich Vielfachen von B ünd D, das
von A nämlich dem von B, und dag von C dem vonD, :
entweder beyde gleich, oder beyde zugleich größer oder
kleiner: 88 find immer zuslih PA<=>agB, um
pC<=>gD; was auch »4 für ganze Zahlen fepn
| . mögen S 31. 00.1. 2.).
A ift zwar einem Vielfachen von B gleich, ode
‚ ein —* von A iſt gleich B; aber C ift dem gleich
Vielfachen von D nicht gleich, ‘oder das gleich Vielfache J
von Cift nicht gleih D: es iſ A==mB, aber C<>mD;
oder es iſt AB, aber nC<>D. 0
Sin den Sälma—mB, aber C<mD; nA=B,
Ä aber nc<D: a ea immer ein gleich Vilfeches er
—
in Euklids V. Buche der Elemente: Er Ball
und C, und ein gleich Vielfaches von B und D anges.
n; fo daß das Vielfache von A größer ift,-ale das von _
das Vielfache von C aber nicht größer iſt, als das
n D($. 44..n0. 1. 2.).
Und in den Sällen AzımB, aber. C>mD;
A=B, abenc>D:_ |
find ($. 14.17.) 2A==2mB, aber 2C>2mD;.
nA==2B, aber 2nC>2D:
Man bat alfo gleich Vielfache von A und C, und
. 30.) gleich Vielfache von B und D; fo daß das Viel⸗
che von C größer iſt, als das von D, das Vielfache
n A aber nıcht größer ift, als das von B.
3°. C ift einem Bielfachen von D gleich, ober ein.
jelfaches von C ift gleich D; aber A ift nicht dem gleich
ielfachen von B gleich, oder das gleich Virlfache von
iſt nicht gleih B: et C—=mD, aber A<> mB;
er es it nC==D, aber n A< >B; |
Aug den Fällen C=mD,atr A<mB;nC—D,
ee nA<B; ergiebe ſich bie srucpts holgeruns no. 2.
is §. 44. no. 1. 2.
Und aus den Faͤllen c= mD, aber A: >mB;:
C=D, aber nA>B; ergiebt ſich die erſte Folge
ng no. 2,; indem nun wieder 2 0 2MD,
A>zmB; 2anC=2D, 2anA>2B ($. 14.17.)
Iſt weder A einem Vielfachen von B, noch Ceinem
Ielfachen von D gleich; und auch, weder ein Vielfaches
n A gleich B, noch irgend ein Vielfaches von C gleich
z fo berubet bag meitere auf. ber Vergleichung der
ich Vielfachen von A und C, mit den gleich Vielfachen
n B und D.
49. Hierbey ergiebt Ah m nun entweder: baf Viel⸗
che von A Vielfachen von B, und wollt die eben fo
63 WViiel⸗
“ “ ” .
. “ [4 ' R Di
.8 J 3 N
+
" 278 J. fire, über einige Definitionen
Vielfuchen von C, wie von A, den nämlichen Vielfachen
von D, wie von B, gleich find; oder nicht: d. h. eg find
-
a3
entweder zugleich nA==ınB ! und aC=mD für eiab |
ge ganze Zahlen.n, ur; oder für feine.
In dem erſten Falle hat die Folgerung $. +. 00.1.
wieder flatt, vermoͤge §. 31. no. 3.
„In dem zweyten iſt entweder, für gewiſſe ganzehäß
lenen, m, jwarnA==smB, aber nicht zugleich au
sC=mD, fondernn <> mD; oder swarun C==mD,
aber nicht zugleich nA=mB, fondern nA<>mBE;.
oder «8 ift weder irgend ein Vielfaches von A einem Sieh
fachen von B, noch irgend ein Vielfaches bpn C einem
Wielfachen von D gleih. Ä
Ä Iſt nun nAB, aber ı sC>mD; ode.
nC=mD, abe nA>mB: fo hat man gleich Ries
fache von A und C, und gleich" Vielfache von B und D,
die fo befchaffen fi nd; daß entweder dag Vielſache von C
srößer if, ald das von D, das Vielfache von A abe
nicht größer if, ale dag von B; ‚oder daft umgefebrt, daß .
Vielfache von A größer ift, als dag von B, hingegen das
Mielfache von © nicht großer ifi, ald dag von 1 D: wie
5. 48. no. 2. 3.
Und wenn nA==mB, aber nC < mD; oder
nC==emD, aber nA<mB: fo haben bie naͤmlichen
Folgerungen ſtatt, vermoͤge 6. 44: no. 3.
Endlich wenn weder irgend ein A irgend ainemmb,
noch irgend ein nC irgend einem »u D gleich iſt: fo find
entweder immer zugleich A<>mB, ud uaC<>mD:i |
oder 28 if für gewiffe Zahlen n, m, indem nA< >mb |
im Gegentheil nc>< mD. .
Der erſtere von diefen Fanen iſt wieder in ber *
gerung $. 48. no. 1.5 und der zweyte in den Solgerun .
i sn s 48. no. 2, 3. begriffen,
50, Die
ed
J
in Eutlide v. Bud der Elemente. 279
| 50. Die Erfolge ber Bergleichung fowohl ber Größen:
"A undC mit den gleich Vielfachen von B und D, as
der ‚gleich Bielfachen von A und C, beydes mit den
Groͤßen BundD, und mit den gleich Vielfachen derſelben,
„ tebuciren fich alfo auf die zwey allgemeine in ben zwey
Euclidiſchen Definitionen 5.7 angegebene Refultdte. .
[
10. Entweder ſind immer zugleich pA<—=>gB,
0D; was auch 2,.q für ganze Zahlen (mit.
Ausſchluß der Einheit) bedeuten, ur
L
2°, Dder es iſt für einige ganze Zahlen nm (wire u
| der mit Ausſchluß der Einheit) nA>mB, aber nC nicht.
> ſondern =<wuD.
Das Reſultat: nC>mD, aber nA <mB;. '
reducirt fich naͤmlich auf das vorige durch Verwechelung
von A und C, B und D.
51. Durch welche techniſche Benennungen Euclides
"pie Beziehung ber Verhaͤltniſſe A:B,.C:D, nach jenen
zwey Hauptrefultaten, Abkürzung des Vortrags halber,
bezeichnen und unterſcheiden wollte, war im Grunde will⸗
kuͤhrlich. Mur mußte er, wenn er in der gemeinen Spra⸗
„ehe, ſchon gangbare Worte dazu wählen wollte, dieſelben
dem Sprachgebrauche und feiner Analogie moͤglichſt ge⸗
ven anpaflen.
Das erſte Reſultat enthalt bie befondern gaue, wo
| Aus nA== Br und nC=mD; -alfo bhbre,
= und =—D;. mis Einfluß der Einpeit. in
{ den Bedeutungen von und nd. 4 48.): in welchen alſo J |
A die Groͤße B, (ſowohl nach der auf das Gange eingei
Ichraͤnkten Bedeutung, als nach ber weitern Ausbeh⸗
Bung derſelben auf Zeile) en ſe vlelmal enthält, are =
j * die Seoe D.
In J J 3 2 J u
ss DEE Das e
[1
*
⸗ —*
⸗ . f} 4
58.
„-rF.' u
..
BE >.
280 I. Pfleiderer uͤber einige Definitionen” Ä
Dis porgte Reſultat: nA>mB,aben C—=<mD;
“ folglich A>=B, aber C== <= —D, beſagt, wenigſtens
wenn ſowohl A und B, als C und D commenſurabel
u find, in dem erft angegebenen Anfange: A enthalte B
mehrmal, als C die Groͤße D enthält.
. %
& Maren für das erftere Refultat die Benennungen :
einerley, gleiche, ähnliche Verhältniffe, oder der Aus⸗
druck, A' verhalte fih zu B wie C zu D; und für das
zweyte der Ausdruck „A babe zu B ein groͤßeres Ver⸗
haͤltniß, als C zu D, der allgemeinen Bedeutung dieſer
Worte gemaͤß; vielleicht auch ſchon mit ihrer Anwendung
auf Verhaͤltniſſe commenfurabler Größen, wenigſtens auf,
‚bie einfachen Sälle derfelben, übereinftinmend.
| 52. Was einerley und gleiche Größen, berfihichen. |
und ungleiche, groͤßere und Heinere heißen, hat Euclides
nicht definirt; ſondern bie Bedeutung dieſer Benennungen
von Groͤßen, als aus dem gemeinen Sprachgebrauche be⸗
kannt, angenommen. Dagegen hat er, um den Abgang -
dieſer vieleicht an und für fich nicht genan möglichen Be⸗
fiimmung zu ergänzen, und ben Mißbrauch unbefchränfe
ter, ſchwankender Berufung auf den Sprachgebrauch zu
verhüten, ausbrädlich in den 1 —7. und 9. Ariomen |
bes. I. Buchs, die auf Gleichheit und Ungleichheit der '
‚Größen überhaupt fich beziehende Saͤtze angegeben, deren
er ſich, als in den gemeinen Begriffen derſelben enthal⸗
en, in der Folge zu Begründung feiner Schlüffe bedienen
werde. . Außer diefen nimmt er in feinen Beweiſen Gleſch
amd Ungleich, und in dem letztern Falle Größer und Klei⸗
nerſeyn, als fo entgegengefegte Eigenfchaften homogener
Größen an, daß die Folgerungen allgemein gelten: A fl
entroeder gleich B, oder größer als B, oder Kleiner als b;
A und B find si, twenn feine von bryden graßen
in Euclids V. Buche der Elemente. aBı
als die andere; A ift größer als B, wenn A toeber gleich
B, noch feiner ale B if.
53. Gleiche und ungleiche Verhaͤltniſſe fe kennt der ge”
meine Sprachgebrauch wenigſtens nur dunfel, fchwan« |
fend, und weder in der Beſtimmtheit einerfeitd, noch
in der Ausdehnung andrerfeits, deren der Mathematiker
bebarf.
_ Indem nun Euclides die Bedeutung der Benennun⸗
gen Einerley, Groͤßer, fuͤr Verhaͤltniſſe in feiner.5. und
7.Defin. genau beſtimmt: nimmt er zugleich die Verbind⸗
lichfeit auf fih, feine Säge von den Verhältniffen bloß
‚biernach, ohne Einmifhung der gewoͤhnlichen Bedeutung
der Worte Einerley, Gleich, Verſchieden, Ungleich,
Größer, Kleiner, und der darauf fich besichenden Ariome,
abzufaſſen und zu bemweifen. Letztere bleiben hiebey für ihn
nur noch zur Anwendung bey den Gleichvielfachen brauch«
bar, auf deren Gleichheit. und Ungleichheit, in der gemeis .
nen Bedeutung, fich feine Definitionen beziehen. Daher
beweifet er wirklich in den Sägen V, 7— 11.13. von
Verhältniffen, was er von Größen als Axiome angenoms :
‚ men hatte. Und Rob. Simfon (l. cs p. 362. fgg.) ta«
delt und verwirft mit Necht die nun in den Elementen fies
hende Beweife der Säge V, 9. 10. theils als unbollſtaͤn⸗
dig, theild als fehlerhaft und unächt, mit folgender Be⸗
merfung: Hujas propofitionis (V, 9.) demonftra«-
- tionem dedimus magis explicitam ea, quae in Ele- .
mentis hactenus habetur. Aliam hujus (V, 10.) de- . |
. monftrationem tradere neceffarium fuit: ea enim,
quae in editionibus Graecis et Latinis aliisque ha-
betur, legitima non efl. Verba enim: major,
eadem five aequalis, minor, de magnitudinibus et
rationibus .diverfo prerfus fenfu dieuntur; ut ex
‚Defin.”s. et 7. hujus Libri patet — Videtur autem,
eum, qui demonkratiönem decimae, quae jam ha-
ZZ — S 5 betur⸗
J
‘
x
’ .& * 4
282 I. Pfleiderer, über einige Definirionen
| betar, pofuit vice ejus, quam Eudoxus aut Encli-
des. dederat, deceptum fuiffe, transferendo id, quod
manifeftum quidem eft de magnitudinibus, ad ra-
tiones: magnitudinem ſeilicet quamvis non poſſe
Lmul majorem et minorem eſſe alia. Quae eidem
aequalia, et inter fe ſunt aequalia, Axioma eſt
maxime evidens, ſi de magnitudinibus intelligatur.
. Euclides autem eo non vtitur-ad oſtendendum: ra-
tiones, quae eidem rationı funt eaedem, inter fe
easdem elle; fed hoc’ explicite deinonftrat D1: 5
V, IL. —
.. 54- uUebrigens folgt aus der obigen Deduction
F. 48. ff. daß die zwey oder drey Endreſultate derſelben,
mithin auch die darauf bezogene Benennungen einerley
bdder gleicher, ardßerer, kleinerer Verhaͤltniſſe, einander
eben fo entgegengeſetzt ſind, wie nach dem gemeinen Sprach⸗
gebrauche die Benennungen einerley oder gleicher, großer
“zer, Fleinerer Größen; daher denn die zulegt $. 32. von
den Größen angeführte Saͤtze auch von Verhältniffen in
Euclidiſchem, feinen Defin. 5. 7. gemäßen, Sinne gelten:
wie es in allewege die Sprachanalogie erfoderk.
55, Hieron. Saccherius (Euclidesab omni nae-
vo vindicatus. Mediol, 1733.) hat p. 113. fgg. inder
Abfichk aus den Beweifen der Säße V, 18. XII, 2. die
u Vorausſezzung einer vierten Proportionalgröße zu drey gee
gebenen wegzufchaffen, einen nicht ganz gerathenen Verſuch
gemacht, die Deduckion $. 49. zu dem Zwecke $. 54 zu
gebrauchen; welchen Rob. Simfon (I. c. Not. ad V, 18.
P. 366. fqgq.) noch fehlechter aufgenommen bat.
Seinen Hälfefag, oder, wie er ihn nenne, Axiom: |
‚Sint quatuor magnitudines A, B, C, D, quarum duae
priores in fuo.proprio genere, ac -fimiliter pofte-
ziores, veli in, eodem ‚cum prioribus genere, vel ig
on | alio
in Euclids V. Buche der Elemente. 283
alio quodam fuo proprio genere, confiftant; dico, ra.
tionem tertiae IC ad quartam D vel aequalem fore,
vel majorem, vel minorem ratione primae A ad
- fecundam B— zu beweifen, ſchickt Saccherius voraus:
Sumantur ipfarum A primae et tertiae C quaelibet
aequemultiplices E, G; atque item ipfarum B fe-
cundae et quartae D duae quaelibet aequemultipli-
ces I, L. Conſtat primo: rationem ipfius A adB
aequalem fore rationi ipfius C ad.D, fi vel in una
cafu talium aflumtarum aequemultiplicium con-
tingat, ut E aequemultiplex primae aequalis fit
ipfi I multiplici fecundae, et G multiplex tertiae
aequalis fit ipfi L multiplici quartae — Conftat
‚fecundo: rationem primae A ad fecundam B majo-
rem fore ratione tertiae C ad quartam D, fi vel in
uno cafu talium aflumtarum aequemultiplicium
contingat, vt E multiplex primae excedat ipfam I
multiplicem fecundae, fed G multiplex tertiae non
- excedat. illam L multiplicem quartae; aut illae E
aequalis fit praedictae I (prout ego cum Clavio in-
terpretor), dum altera G minor eft fibi correfpon-
„dente L— Und fährt darauf fort: Vel inter pofli-
biles‘ aequemultiplices primae A et tertiae ©, ag
ſimul inter pofübiles aequemultiplices fecundae B
et quartae D, una quaepiam reperitur E multiplex
primae A et I multiplex fecundas B invicem äequa-
les; ac fimul (in eodem cafa) una quaedam G mul-
tiplex tertiae C aequalis ipfisL, multiplici quartaeD:
vel nusquam talis aequalitas reperitur. Si primum:
conftat ex jam deimonftratis, ita fore A ad ButC
: ad D. Sin vero 'nusquam reperitur ejusmodi fimul
. ex utraque parte aequalitas: vel faltem ad alteru-
train partem reperitur, ut puta ad partem primae
“A; velnusquam. Si primum: ergo (ex praemifla _
Euclidea majoris ac minoris propörtionis defini-
tione)
> \
“ "284 L pfleiderer, ‚Über einige Definitionen -.;
4
L
v
—
⸗
plici ipſius D; ſumtis feilicet ipſarum A, C aeque-
multiplicibus, et ipſarum B, D aequemultiplicibus,
weis des Saccherius nicht fuͤr ganz untauglich, nur fuͤr |
4,
ar , . ..4
J
tione) babebit AadB majorem, aut minordm pro: \
‚portionem quam Cad D, prout G multiplex tertiae
“€, minor fuerit, aut 'major ipfa L multipliei quar-
tae D. Sin vero fecundum: ergo ex una quidem
' parte, v. gr. ad ipfas A primam et B fecundam, con-
tingere poterit, ut illa'multiplex E minor fit altera
- multiplici I,‘ dum vice verfa .ex altera parte illa
‘ multiplex G major eft altera multiplici L. Tune
autem (fub. eadem Euclidea -definitione) ratio pri- '
mae A.ad fecundam B erit minor ratione tertiae C
ad quartam D: aut vice verfa. Igitur demonſtra-
_ tum manet fubftitutum lud axioma —
Minime, fuͤgt Rob. Simfon bey, fed fine de. J
'.imonftratione manet. Quod enim dicit poſſe contin-.
gere, poterit ianumeris cafıbus nunquam contin«'
gere; et proptereä demonftratio ejus nulla eft.
Nam ex, gr. fi fuerit A latus et B diameter quadrati,
. C vero latus et D diameter alterius quadrati: nun-
quam poterit multiplex ipfius A Aequalis effe multi-
plici ipfius B, nec aliqua ipfius C aequalis alicui
ipfius D, ut notum eft; tamen nunquam 'continge-
re poterit, ut, exiftente ınultiplici quadam ipfius A
inajore, vel minore multipliei quadam, ipfius B, mul-
tiplex ipfius C vice verfa minor, vehmajor fit multi-
Sunt enim A, B, C, D proportionales.
Seiner Bemerkung zu folge, hälte Simfon den Bes
‚ unbvollſtaͤndig, aber leicht ergängbar, erklären ſollen; in⸗
Gleichheit beyder Verhaͤltniſſe angiebt.
7Friftig möchte aber gegen den Beweis, den Sac⸗
cherlus dem erſen ſeiner vorausgeſchickten Saͤtze beyge |
„fügt
dem der von ihm überfehene Fall nur einen zweyten der
4
\
in Euflid3 V, Bude der Elemente, 285 E
fügt hat, eingewendet werben, daß er nicht allgemein gül«
tig ſey. Er ift nämlich kurz gefaßt folgender: .. Wenn fü» -
wohl nA=mB, als nC==mD; fo ift beydes, A: B
und C:D= min (VII, 19.); folgid A:B=C:D
(V, 11.). In dem Sage VII, 19. findabr ,B.GD D
Zahlen: und fein Beweis, .in fo fern er fich jum Theil auf
Vi„l, 17. gründet, verftattet nicht, ibn-auf jede andere
Größen auszudehnen. |
Zweytens befennet Saccherius felbft p. 122. 126.
Die Auslegung und Ausdehnung der 7. Definition in feis.
ner zweyten Prämiffe koͤnne blos Bebärfniffes halber ge»
macht zu ſeyn fcheinen. Und die Necitfertigungen davon.
-p. 122. fq. möchten eben fo wenig als der p. 125. fgq.
beygefuͤgte Beweis des zweyten Theils jener Prämie Du
‚genugshuend feyn.
56. Sonft laſſen fich die Saͤtze 6. 54. 55. auch a aus _
den Euchdifchen Definitionen 5. 7. mit Zuziehung des
Satzes, $. 43. no. 3. und einiger anderer, ‚die ghich
Vielfache betreffenden, herleiten. Naͤmlich
10. Wenn die Verhaͤltniſſe A:B, C:D unter ſich
einerley; alſo (Defin. 5.) immer zuglahn A<==>mB,
und un C<=>mD find; folglich niemald weder
snA>mB, aber nc=<mD; nd nC>mD, .
aber uk—=<mB ift: fo fann weder A.B>C:D,
noch C:DXA: B, oder A:B<C:D nad Defin. 7.
ſeyn.
0. Umaelehrt, ı wenn weder A:B>C; D, 106
C: D>SA; B; fo fann,\
2.0) indem nA==mB, weder nC>mD Kon, weil
fon (Defin. 7.) C:D>A:B wärs nohnC<mD,
weil fonft ($. 43. no. 3. und Defin. 7.) A:B>C:D.
wäre. Alfo muß and nC=mD feyn. |
| | 0) In
N
285 I. Pfleiderer, uͤber einige Definitionen
P) Indem nA>mB, wird auch nC>mD fiyn:
weil, wenn n„C—=<mD follte ſeyn fönnen, A:B>C:D
waͤre (Defin..7.).
Y) Indem nA<zmB,. muß ebenfalls nCc<mD
fegn: da ſonſt, wenn aC—=>mD wär, C;D>A:B
fegn würde Defin. 7. UNDd’$. 43.00, 3.).
Y Folglich ift alsdenn immerzugleih n A<— > mB,
und ne<—=>mD; alfo (Defin. 5.) A:B=C;D.
ze. Wenn bie Verhältniffe ArB, C:D nicht unter |
einandereinerkey ;alfo nicht immer zugleihn AX<— >ınB,
nCE<—=>mD find (Defin. 5.): fo wire für einige
ganze Zahlen n, am,
&) entweder nC><mD ey, indemn A—mB
iſt: alsdenn ift in dem erſten ale C:D>A:B(Def. 7.);
und in dem zweyten A:B>C;D ($..43. no. 3. und“
Defin. 7.). Q
P Der nid a cC=<mD feyn, indem
nA>mB if: foift A:B>C:D (Defin. 7.).
V Dder es wird uC—=>mD ſeyn, indem
nA<mB if: alsdann iſt C;D> A:B (Drfin. 7. und
9.43. no. 3.).
4°. Wenn A:B>C:D; alfo (Defin. 7.) für eini⸗
ge Zahlen n, m iftnA>mB, aber nC=<mD;
fo find
a) nicht für jede Zahlen n, m zugleich MA<—=>mB,
und nc<=> mD; alſo nidt A:B=C:D:
(Defin. 7). s
O) kann aud) alsbenn niht A:B<C:D, ode
C:D>A:B ſeyn; 8. 6. (Defin. 7.) e8 können für feine
zwey ganze Zahlen 2, g, fiyn PC>gB, hingegen
ı pA=<gB.
Denn
in Euklids V. Buch der Elemente. 987
* Denn wegen "A>mB, saber n0=<mD | |
hypoth. );
ift auch ($.17. 14) PXnA>pXmB, aber PXnC
=<pXmD, oepXmD=>pXnC.
Und wenn »C>gD: fo ift auch G. 17.nXPCr E
oder ($. 28.) pXxnC>nXgD.
Alſo ex aequo oder a fortiori PXmD>nXgD,. |
Daher ebenfalls ($. .27.) pxmB>uXogB.
Folglich um fo vielmehr op X nA oder (9.28).
»XxpA>nXgB; und alſo noch pA>gB (5. 19.).
IL ”
ueber die Bewegung der Faͤſer in welchen Su
gein geruͤndet werden; von J. H.
| Lambert .
1. Rasen son Stein oder gegoffehem Eiſen abzuruͤn⸗
den, werden fie in ein Faß getban, das man fodann um.
feine Achfe drehen läßt. Hierdurch gefchiehet, daß die
barein gethanen Stücke ſich unter einander anfloßen und
abnutzen, fo daß alle Ungleichheiten ihrer Oberflächen ver
ſchwinden, und diefsiben eine fohärifche Figur, wie auh .
‘eine ziemlich glatte Oberfläche gewinnen. Dies gelingt : -
um fo viel beffer, wenn die Steine in allen ihren Theilen.
‚einen gleihen Grab von Härte haben. Auf eben bie
Weiſe ungefähr haben. fich nach. der Meyrung des Car⸗
teſius die Elementartheilchen der Welt nach und nach
abge
*), Aus⸗ beffen binterlaffener feangöfifcher Handſchriſt, welde, wie : .
fein Tagıbuch brzeuget, im Sunius 1776 (ein da E vor feinem
Zode) aufoefett woeden. I, Dernouik, |
ne ı
288 IL Eambert, Bewegung der Fäffer, .-
abgeruͤndet. _ Und gleichermaßen ründen ſich die Seine in '
den fie fortwälgenden Fluͤſſen ab.
I. Dieſer Mechanismus ift fehr einfach. Indeſſen
erfordert er doch einige Aufmerkſamkeit, wenn die Mas
ſchine folchergeftalt foll eingerichtet werden, daß die Abe
ründung ſo geſchwind als möglich Statt finde. Zu dem
Ende muß ſowohl die Kraft als die Vielhtit, oder dftere
Wiederholung der Stoͤße, ein Maximum werden. Die
Vermehrung. der Geſchwindigkeit· traͤgt etwas daryu bey.
Sobald aber biefe Geſchwindigkeit bis auf einen. gewiffen
Grab zugenommen hat, theilet die drefende Bewegung |
des Zaffes ben Kugeln eine Fliehkraft (vim centrifu-
gam) mit, welche verurfächet, daß fie an der inneren
Zläche des Faſſes wie.anfleben, und fodann dag Anein⸗
anderſtoßen aufhoͤret.
IH. Es ſey BAEV, gig. r. der Durchſchnitt der
Tonne, C der Mittelpunkt der Achſe, AC=r be
* Halbmeffer,. und c die Geſchwindigkeit des Umkreiſes
oder irgend eines Punktes M deffelben. Es habe Eine
mit dieſer Gefchwindigfeit big zu dem Punkt M ge
Tangte Kugel bie Slichfraft MF =, fo ift
cc
V *— —
Nun ſey ferner MG==g die Wirkung der Schwere.
Vollendet man das Parallelogramm MGNF, fo giebt
die Diagonallinie MN den Werth und die Richtung der
"aus - der Zufammenfegung der zwey Kräfte MF, MG |
entftehenden Kraft. Nennen wir O den Winfel VCM
= GMC, welchen der Halbmeſſer CM mit den fenk«
rechten Linien. VC, GM bildet, fo haben wir
MN=gH-y— 2gy co.
IV, €8 werde aus dem Punfte G eine fenfrechte
ginie GP auf den Halbmeſſer CM gezogen, fo: wird die
ir
bw.
Wirkung ber Schwere‘ MP in zwey andere PG, PM .
:aufgeldfet. Und unftreitig wird die Kugel aufhören, ges
‚gen die Oberflaͤche angedrückt zu werden, fobald ala PM
anfängt größer als FM zu feyn. In ſolchem Fall
wird der Winkel CMN = 90°, und man hat ‚
g. cof = = Ye | 1
che ſich abloͤſende Kugel ſich frey bewegen; fie wird die
Tangentialgeſchwindigkeit c haben, und indem fie nach.
dem Gefege der ſchief geworfenen Körper. fänt, eind krum⸗
me Linie befchreiben, welche parabolifch feyn wird, wenn
- man den Widerſtand der Enft aus der Acht laffen fann.
Auf ſolche Weife fällt dann bie Kugel in einen Punkt Q
des Umkreiſes zuruͤck.
V. Es ſey der Winkel ACQ =); ferner 7 die
” Zeit, welche die Kugel braucht, Die Parabel MQ zu ben
"fpreiben; und wenn die Verticallinie QKD Gig zur Tan.
- gente MD gegogen worden, foit |
R Mu=cr und QD=grr
. woraus man durch Eliminirung bes 7 erhält
QD M DD
g Fiss cc’
| Alein man ben auch durch die Eigenfot des Keeifee
u J * 20D
gets, ft .K D= == =
N
| cc
| und mil g eo p=y =
ar
p geben biefe Gleichungen, wenn c eliminiret wird
KD= == 2r.cof®
. chen Se u os MA
A
a in welchen Kugeln gerundet werden. 289
Von dem Augenblicke an wird die von der Eberfil
.
2
250 11. Lambeet Bewegung der Fäffer, -
* Man findet aber durch die Gonftruction
QD=r [cf P+ coſ + (P—IY). tangQ]
QKk=ar.cofy \
Demnach
KD=rf[ct9 — cd ——— tang9] '
‚ — eo ( 0
coſ
Subſtituirt man dieſen Werth in der Gleichung
’„KD=2rcfl®
fo hat man 2c0f @® = 1 —cof (P—Y)
oder coſ 2P=— co (P—Y)
Woraus fich leicht ergiebt
= 60’ + Y.
VL Dieſes Verhältniß der Winfel @ und vi
ſehr einfach. Allein da es nicht hinreicher, diefe Winkel
ſelbſt zu beftimmen; fo muß man noch andere Betrachtune
gen zu Hülfe nehmen. Sch bemerfe demnach, daß dit
Befchtindigfeit zunimmt, je mehr der Punfe M dem
Stheitelpunft V näher if. Deswegen wird man beſſet
thun, den Punkt Q irgendwo in dem Bogen AB anju⸗
nehmen. Denn alsdann ift ı) verneinend, und der Wine
kel O wird um fo viel Heiner. Außerdem babe ich im ber
vorigen Rechnung angenommen, bie Kugel in M fey dit
böchfte von allen. Man kann aber auch zugleich anneh⸗
men,” die Rugel in Q fey an dem andern Ende ſo daß
elle Kugeln in dem Bogen QM fich befinden. Dieſet
Bogen muß nicht über 280° betragen. Und wenn man
ihn dem halben Kreiſe gleich feget, fo hat man P—=45°,
ud y=— 45°. In diefem Zalte können die Kugelt
die Hälfte des innern Raumes ber Tonne einnehmen, und
wenn dieſe mit ber erforderlichen Gefchwindigfeit umge
drehet wird, fo werden die Kugeln ſolchergeſtalt ihren
\ Pag bekommen, daß ber Durchmeſſer des: halben
x
*s
in welchen Kugel gerundet werden. 291.
ſes, den ſi ſ e ausfuͤllen / eine Neigung von 45 Graden hat.
Wenn uͤbrigens das Faß auf ſolche Weiſe angefuͤllt iſt,
fo werden die den Punkt M erreichenden Kugeln, nur‘
ſeehr felten ın der Parabel MQ wieder herabfallen, fon-
bern über die andern megrollen. "Hierdurch entftchen
gwar minder ftarfe Stoͤße, aber deflo dftere: welches
denn mehr oder weniger auf eins herauskommt.
VII. Ich beobachte num weiter, daß nur ber Win⸗
kel Dallein auf die Beſtimmung der Geſchwindigkeit, mit
welcher das Faß umgedrehet werden ſoll, Einfluß hat.
Du Gefchwindigfeit der Punkte der inneren Släge iſt
Maerg. coſ O).
Man ſiehet leicht ein, daß ſie nicht kann größer
ſeyn als Y (zrg), und daß, wenn man 9=45 macht,
bieſelhe wird |
e=Y(rgy2) Ä —
daß — e nur etwa um den Z Theil kleiner iſt, als wenn
‚man D = ſetzt. Nun aber iſ die Viquadracwuthe
von 2= 1, 13920o3.
Demnach c == 1,189207. Yep). 9 I J
Daher wenn g== 151 625 Rheiniſche Fuß ange⸗
nommen wird, iſt V3, 95307 und ſolglich
*4 7009: fe bein. Fuß. | 5
‚ VII Nachdem bie Geſchwindigkeit e mittelſt.des
Dalbmeſſers der Tonne gefunden worden, bat man auch
noch den Widerftand, welchen dag Gewicht der Kugeln
der bewegenden Kraft entgegen febt, zu beſtimmen. Es
ſey der Winkel VCM=0=45° , Sig, 2. und werde!
‚iser Durchmeſſer MQ gejogen, fo hat. man’ den Winkel.
QCA —= — 450. Wenn denn die Tonne halb
. sol iftz fo werden bie Kugeln den Raum des halben + -
:Kreifed QCMEQ, oder vielmehr den frummlinichten :
„MaumgHMEg sinubeun. Es fey I der en
| \ iche
t " X
*
“..
J
292 I. Lambert Bewegung der Faͤſſer,
liche Schwerpunkt der Kugeln; man ziehe die Vertical⸗
linie IL, welche den Horijontaldiameter B CE unter
rechten Winfeln durchfchneiden wird. Go giebt alsdann
die mit dem Gerichte der Kugeln multiplicirte Diftany,
CL bag ftarifche Momentum ber Kugeln, Man
ſetze jenes Gewicht —=p, und CL=a, fo iſt das Pro⸗
duct ap. das Maaf diefed Momentums.
. Die Kugeln laffen leere Zwiſchenraͤume zwiſchen
einander, und dieſe machen ungefähr 34 Theile, des gan
zen Raumes / den bie Kugeln einnehmen, aus. Wenn
nun die innere Länge der Tonne = A iſt, fo wird ihr
Inhalt — rrA ſeyn, und die Hälfte diefer Maffe
=!rır‘. Der 518 Theildiefer Hälfte FI wırh
Eubiffuß, Kennt man dann das Gewicht eine Cubit ⸗
fußes der Materie, aus welcher die Kiraeln beſtehen, ſo
multiplicire man diefes Gewicht mit 39 arrA, ode
(weil m —= fann gefegt werden) mie. 789rrA, umd
man erhält das Gewicht p der fümmtlichen Kugeln
Hiernächft hat man CI—=4#r, und da der Winkl
ICL= 45° if, ſo wird CL=14,rYI=a.
Wenn die Kugeln von Eifen find, Wird der Nhein,
Cubikfuß ungefähr 5310 Pfund Berliner Gewichtes mie
gen. Dies giebt p—594rrA Pf. und das ſtatiſche
Momenum ap=ı78 rrrA. Diefes Momentum
zeigt ein Gewicht an, welches an einem Hebel, in der,
Entfernung von ı Fuß angehängt if. Gind die Ku—
geln von Stein, fo hat manap =44rrrA, und wäre
von Pulverförnern die Rede, fo hätte man für bieſes
Momentum nur ap=28rrrA. Dabey if allemal
zu verftchen, daß diefe Werthe für die Fälle gelten, mo
die Kugeln die Hälfte der Tonne füllen, und ber Wins
tel. 945° if.
X. Nach ⸗
. %.-
” ⸗ I. 2 \
on in welchen Kugeln gerundet werden. | 293
x Nachdem auf dieſe Weiſe das hatiſche Mor =
ment und die Geſchwindigkeit, mit welcher ein Faß von '
einem gegebenen Durchmeffer fol gedrehet werden, be⸗
ſtimmt worden, ſo findet man keine Schwierigkeit in An⸗ |
ſehung der Art, die bewegenden Kräfte dabey anzubrin⸗
gen. Wir wollen z. B. annehmen, man wolle vier
Pferde hierzu gebrauchen, ‚die Kugeln ſeyen von Eifen,
and die Abficht ſey, bie Anzahl und die Groͤße der Faͤſ—
fer, welche mit der erforderlichen Geſchwindigkeit koͤnnen
umgedrehet werden, zu beſtimmen. Die an die Hebel
‚D, D; $ig. 3. angefpannten Pferde werden bag '
Kammrad R, R umpreben, welches wiederum, indem ;e8
in die Getriebe L,L eingreifet, die Säffer T, T umwaͤl⸗
zet. Wir wollen den Halbmeſſer der Laternen oder Ge⸗
triebe ę nennen; R den Halbmeſſer des Rades R, und
: D den Abftand der Pferde von der Achfe der Welle, Ich
fee ferner voraus, daß die Pferde einen Weg von 10 Fuß
“in 3 Secunden zurücklegen, und mit Anwendung einer '
Kraft von 178 Pfunden: (Ich hätte koͤnnen 175 fehreie
ben; ich wähle aber 178 ‚ um die Rechnung abzukuͤrzen).
XI. Weil nun die teſchwindigkeit des innern Um⸗
fanges der Faͤſſer ce = 47.Y rift,. fo wird die Ge
ſchwindigkeit ber Triebſtoͤcke oder Stäbe ber katexnen,
wie e auch der Zaͤbne des Rades 8
_ 8° €
-. —#4 7» Yr
und bie Sechvndign der Pferde
4 7. — —
Dies giebt
DR _ Yr
R “ —J 41
—
Dr Be XI. ueber |
204 II. Lambert, Bewegung der Faffer,
ı XII Ueberbies haben wir für das ſtatiſche Mos
ment eines jeden Faſſts, wenn die Kugeln von mn ſind,
ap=1ı7$8.r X,
Es ſey die Anzahl der Faͤſſer =m; ſo iſt dieſes Mor
ment — 178 mAr3. Betrachtet man daſſelbe in Anſe⸗
Hung der aternenfläbe, und durch diefen Weg, der Zähne
des Rades R, fo ik ed — 178 mAT}:P; endlich in Ans
febung der Punkte D wird ed = 173 mARR: eD.
Diefe Größe iſt aber der Kraft der 4 Pferde gleich, d, ir
a 178 Pfunde, Demnach hat man
gmARr» 3
RE en Z = 4.178. =
Dies giebt
"De mAr
; Rn 4 5
und weil
De _ vr
Rn 1,41
fo it R
x
XII. Diefe Gleichung giebt ung gu erfennen, daß
wenn die innere Länge der Fäffer —-ı Fuß angenommen
wird, man für 2 Säfrm=2, um r —, 15 Fuß
erhält, Wollte man aber lieber vier Faͤſſer gebrauchen,
fo wäre m=4, und r=0, 9325 Fuß.
XIV. Ich habe dag Reiben nicht in Betrachtung
gezogen, nicht, als ob es nicht von einigen Belang ſeyn
koͤnnte, fondern weil man daffelbe am beſten in Anfchlag
bringt, indem man die Anzahl der Kugeln um fo viel
vermindert, als die Erfahrung anzeigen wird, daß ndtbig
fen. Es ſchadet nichts, dag die Kugela nicht ganz die
Hälfte des innen Raumes der Faͤſſer anfülen,
XV, Das
N
x
in welchen Kugeln gerundet werdet. 295
XV. Das Verhältniß der Halbmefferg, R eines zu
m andern muß rational ſeyn, nämlich g zu R, wie eine
ange Zahl zu einer ganzen Zahl. Denn diefes Verhält
IB ift daffelbe, als das Verhältnig der Anzahl der Stäbe
s Getriebes L zw der Anzahl der Zähne des Rades R.
tan. hat demnach *
—
R 1,41. D
Da nun der Abſtand D, wwenigftens 7 bis 8 Fuß be⸗
agen muß, und r von der Einheit 1 wenig verfchieden
+ fo ſiehet man leicht ein, daß die Zahl Ai beyläufig
amal g betragen wird. Macht man demnach
ıR= 17: 168, und r — 1,15, welches, der Fall
r 2 Säffer ift, fo befomme man
Died giebt D7,513, oder 73 uf; und fole
ergeftalt wird die Laterne Lr 17 Stäbe, das Rad R
ver 168 Zähne haben,
4 IL,
|
206 UL SKramp, über d, Mittelpunkt d. Schwer
; II.
Ueber den Mittelpunkt der Schtwere im fohätie |
fehen Dreyecke; von Ehriftian Kramp, ver |
Arznepkunde Doctor, und Phyſikus des Ober
amts Homburg bey Zweybruͤkken. |
Wıpaave L AP
A
„Bogen eines größten Kreiſes auf der Kugelflaͤche. Die
rechtwinklichten Koordinaten, durch ben Mitteldunft der
Kugel gehend, find a, b, c für den Punft A; und x,y,2
für. den Punkt P. Der Halbmeffer der Kugel ift R. |
Man verlangt den Kofinug des Winfeld AP. |
i
ax+by+cz
RR ö
Aufgabe II. Außer den Punkten A und P, ber
finder fich noch ein dritter Punft auf der Kugelflaͤche, def
fen Koordinaten X, Y, Z find. Unter welcher allgemei⸗
nen Bedingung kann Diefer dritte Punkt irgendwo auf dem
Bogen AP, 5.2. in X zu liegen fommen?
Auflöfung. Alsdann, warn (bz—cy)N
H(ex—az) Y+-(ay—bx)Z=o.-
Erklaͤrung. Wir werden die Koſinus der Boden
AX,AY, mit N, O; ihte Sinus mit N'O' bezeichnen.
Es ift demnach
ax--by-+cı:=RN
aX-+-bY-+cZ=RO.
Aufloͤſung. Cof AP=
Aufı
im ſphaͤriſchen Diepede. 297
Aufgabe II. Man fennt bie Koordinaten der
inkte A, P; folglich auch den Winkel AP, und noch
m den Winfel AX; man fucht die Koordinaten
8 Punktes X,
Aufloͤſung. EL SAD o'
NRY=bNO-H(Ry—bN)O”
NRZ=eN’O-+-(Rz— ceN)O'.
Aufgabe IV. Neben dem Bogen AP befindet fich
rt anderer, ihm gleicher Bogen AQ, der mit ihm den
ıendlich Fleinern Winkel dW macht. Welches iſt big,
äche des Differentials U VAR: ingleichen die des gan«
3 Elements AX V?
Auflöfung. EsiRUVXY=—RdO. dw
AXV =RR— O).dW.
Aufgabe V. Man verlangt die drey Momente
s Differentials UVXY, fuͤr die drey Aren.
Aufloͤſung. Sie ſind
aN ONOHRS—NIOHO, „,
-RXdO.dW= S
BN’OA0+(Ry—Nb)O/d
-RYdO.dW=— —————
— —
-RZEO.AW= — I — dW.
Aufgabe VI. Man verlangt die Integrale der vos
‚gen Differentialformeln; oder die drey Momente des
anzen Elements AXV, .
Rx-—-Na
R sine AX,dW #—— IN
(Ang AX—SinAX.CotAR) RRAW
Ss bRR
Auflsfung.
298 Ul. Kramp uͤber d. Mittelpunkt d. Schwere
R Nb
FE simax. aw⸗ zZ —*
* ————— CofAXIRR.dW
ELgia Ax a wNex
2
(AngAXSin AX.CoLAKIR R.dw
ufgabe VI. Man verlangt; bie Momente des
ganzen Elements APQ, von A bis P.
Auflöfung.
a(in AP—AngAP.CofAP)-+ x(AngAP — Sin AP. CofAP)
Sin AP
b (Sin AP —AngAP.CofAP)+ y(AngAP —SinAP. Cof AP)
’ SmAP
(Sin AP —AngAP.Cof AP)+z (AngAP--SinAP.CofAM
Sin AP |
& » 2 |
Aufgabe‘ VIII. Welches find die drey Koordis
naten des Schwerpunfts des Elementd APQ, die mir
mit X, Y, Z Öezeichnen werden?
Auflöſung.
a (Sin AP— AngAP; CofA Ps Ang P-SinAP.CofAP) |
25inAP (1—CofAP)
b Sin AP--AngAP.CofAP)+y(Ang AP—SinAP. CoCAR)
2SinAP (1 —Co[AP)
_ &(SinAP—AngAP.CofAP)tz (Ang AP—SinAP.CofAP) |
—
Aufgabe IX, Die Eatfernung des Schwerpunkts
vom Mittelpunkt der Kugel?
Aufloͤſung.
RV Gine AR— a Ang AP. Sin AP.CofAP-+ Ang? AM
2(1—CofAP)
Aufgabe X. Die Lage der Schweraxe (fo nen, |
ne ich die Linie, die durch den Mittelpunft und den
Schwerpunkt geht, und „verlängert der Oberfläche auf
den
im pie Drenede, = 209
den unendlich einen Bogen GH
begegnet) oder den Winkel AG
zu beffimmen.
Auflöfimg,
. AngAP —SinAP.C tar
Sin? AP: > tn }
Anwendung. 2 der folgenden Tabelle Ans von .
30° zu 30° ‚berechnet: die Boͤgen AG... II. bie Ent⸗
fernung des Schwerpunkts vom Mittelpunkte der Kugel
für das Element APC. III. Die naͤmlichen Entfernun-
gen für den einzelnen ‚Bogen AP. Die erſtern find mit
R' die andern mit!R” bejeichnet. J
:AP). . 30° .. 60° 907 ..120° ., 150° ... 180°
AG)..19°55'..39°19. .57° 30 .73°28 ..85°19..90°0’
R) ..0,9924..0,9694...0,9319..0,8785 ..0,8204. 0,7854
R7)...0,9886 ..0,9549 . 019003 . «9,8270...0,7379 . 9,6366
Solge I. Der Bogen’AG beträgt bis gegen 60°. '
Fin, ‚ohne einen merflichen Fehler, zwey Drittheile bes
‚ganzen Bogeng AP; gang mie beym gerablinichten Drey⸗ .
ecke: indem für AP = 10° der unterſchied erſt 5 auf
20°; für AP== 60° eben derſelbe nur 41 auf 40T. —
betraͤgt.
Folge II. Der Schwerpuntt des Apbaͤriſchen Ele J
ments APQ liegt, wie natürlich, der Oberfläche naͤher,
als der Schwerpunft des Bogens AP; indeſſen ift Bey.
30° der Unterfchied zwiſchen beyden nur dem 26 fen, .
und bey 60° nur dem Hüften Theil des Halbmeffer gleich,
Fuͤr AP 180' iſt eben dieſer uUnterſchied etwa der ſie⸗ J
Erklaͤ⸗
eo
bente gel des Halbmeſſers. £ ;
w
v —
300 II, Kramp, über d. Mittelpunkt d. Schwere
Erklaͤrung. Ich gehe von. dem ſphaͤriſchen Ele
mente APQ zum ſphaͤriſchen
Deeyecke ABP — ſelbſt uͤber; und
erklaͤte, daß AP ich in demfelben,
die Seite AB 19.3. und den Winfel
B für: beftän dig, alles ander
fuͤr veraͤnder £ lich; insbeſondert
aber den Win LA und die Se
te AP, denA B_ erfern mie W,bie
letztere mit U bezeichnet, für die beyden veränderlichen
Größen anfehe, wodurch die Rage des dritten Punktes P
beftimmt wird, Die Gleichung zwifchen beyden iſt, wenn
Cot,
B
Cot AB=r, und — * A geſetzt wird, mach din
erſten Grundfägen der Trigonometrie,
Cot U=rCof W-FASinW.
Die Koordinaten ber beyden feften Punfte A undBr
werben für den erftern a, b, c; für den Iegtern p, qet
beißen: für den dritten Punkt P find eben diefelben, mie
bisher, x, y, z. Die Kofinus ber drey Seiten AB, AP,
BP ſollen mit O, N, M; ihre Sinus mit O', N’, M' be⸗
zeichnet fepn; fo daß
ap+bgq+cer=RO
ax+by+cz=RN
px-+-qy+trz=RM
Aufgabe XI. Die drey Seiten des Dreyecks, und
bie Koordinaten der beyden Punkte A, B find gegeben;
man ſacht die Koordinaten des dritten Punktes P.
Auflsfung. Die drey Gleichungen dazu find
ax+by-+cz=RN
pPx-+-qgy-+rz=RM
xx+-yy-+zz=RR
Sort
im ſphaͤriſchen Dreyecke. ‘.gor.
Ihre Aufldfung führe ung Auf bie Sunftion
RB—RM’—RN?’-—RO?--2MNDO Sin, die wir:
mit Rr bezeichnen wollen, Zerlegt man fie nach den
gewöhnlichen Regeln der Analyſis in ihre Faktoren, fo
zeigt es fich, daß fie gleich iſt dem Würfel des Halbmeſ⸗
ſers, mit dem vierfachen Producte folgender vier Sinuſſe
ABHA P+BB, sin ZABTAP+PB
' “‘
multiplicirt; Sin ———
2
AB—AP-H-BP AB-HAP—B
Sin Fo ‚ Sin —— Man
weiß, daß die Quadratwurzel diefe® Preducts, durch
das Produkt der Sinus zweyer Seiten dividirt, den Sie
nus des dazmwifchen liegenden Winkels giebt; und daß
eben diefelbe, durch den Sinus einer. Seite bivibirt, den
Sinus des Bogens giebt, der von dem entgegengefeßten
Winkel fenfrecht auf fie herabfaͤllt. Vermittelſt der fo
berechneten Größe a erhalten wir
OOx=(aN +pM)R{aM+pN)O + br—cgq)r
CO'y=(bN+qM)R—(bM+gN)Ot+lep—arn«
0/0’ :=(eN+rMR(cMHEN)Ottag bp)
“ Aufgabe XIL Da die Seite AP und der Winfel
A die veränderlichen Größen der Aufgabe feyn follen, fo -.
verlangt man, auß den drey vorigen Gleichungen, alles
was die Seite BP angeht, naͤmlich M und M’ wegzu⸗
fchaffen, und dagegen vermittelſt der Gleichung
RM=ON-+O N’Cof W, den Winkel W einzuführen: |
Aufl. O’x==a0 Col U+(pR—a O)SinU CofW.
—+-(br—cg) SinaUSinW
oy=b0 Co UHR —bO)Sinl/CorW
—+- (cep—ar)SinU SınW
0 z=c0O CoflU-H-{rR—cO)SinUCAdW -
\ = +(aq—bp) SinaUSinw
Auf·
302 in Kramp, uͤber d. Mittelpunkt d. Schwaꝛr
Aufgabe XIII. Die Koordinaten am Schwet ⸗
puntte des, Elements APP’ "I
nämlich. X, Y, Z Qlufg. VII.) Pr;
follen durch die jetzt eingeführten "
veränderlichen Größen ausge
drückt, und daher an die Stelle
von x, y, 2,sihre ſo gen gefun ⸗
dene Werthe geſetzt werden. 4
Anufloͤſuna. Es iſt
BEN R—a0) CofW (U— SipU fD)'
OX= BB eu —
2 (1 - CoD)
O'Sin®U rar R—bO) Cof W (U—Sin U. Cof U)Y
+ ER BEER Sin W (U — Sin U-ColD)
2 (1 Co) 3
R ſeo sin" U+ ER 0) Co W (U Sin UCof U)
0Z=1 +tigq—bp) Sin W (U— Sin U.CofÜ)
D 2(1- Col D)
Aufgabe XIV, Die drey Momente des Ele⸗
ments APP’, für die drey Axen?
Auflsfun ÖORRAdW
Aofupg. Sie fi — multiplicirt mit
2
DaO’Sin: U-HfpR—a 0) CofW (U— Sin U CofÜ)
—+(br—cg)SinW (U —Sin U.CofÜ)
IDbO Sin? U-L(qg R—b O)Cof W(U—Sin U. CofU)
—+-(ep — ar) Sin W(U— Sin U.C»fÜ)
III) e O’Sin? U+(r R—c 0) CofW (U—Sin U. CofÜ)
-+(a9—bp)Sin W (U— Sin U. CofU)
Aufgabe XV. Die Momente des ganzen Dreycdd
ſind die Integrale der Momente des Elemenrs Mat
verlange demnach, die Differentiale genau anzugeben, vol
deren Sintegration ihre Beſtimmung, und demnach auf
die Aufloͤſung der Aufgabe abhängt,
—— Auflo⸗
—
im ſphaͤriſchen Dreyede. 303
| Aufldfung. Es find ihrer in allem fuͤnfe; und wie
werden fie indeſſen mit den Buchſtaben C, D, E, F, G
bezeichnen. Naͤmlich
| [ dW .Si U=C
faq U.SnW=D
: (dU.CAW=E
SAW. CofW. SinU.CofU=F
SW. Sin W. Sin U. Cof U=G
=
RR
Die Momente find elsbann > multiplicirt mit
2) Conf+a0'C-H({pR— a0) (USnW—D—F) .
—(br— eg) (UCfW—E+G)
2) Conft-+b 0’C-H(gR—bO)(USinW—D-F)
—(ep—ar) (UCW—E-H-G)
» Con He0C-HR— c0) (USinwW—D-—-F) .
—(ag—bp) (U CofW —E-HG)
Aufgabe xvi. Alle hier vorlommenden Aungna IJ
auf ein einziges zurück zu fuͤhren.
Auflöfung.. Die ſehr vortheilhafte Geſtalt der
Gleichung zwiſchen UundW, nämlich. Cot U==r CofW.
—ASin W, madt dies wirklich moͤglich. Denn man“
„nehme Cot W=x, fo iſt ur
dx —
/5 — — — — —
— 5
rdx—
J
Adx |
— Tara Fan.
dat alſo, wenn das Integral Don |
ix — mitK be eichnet
Gern — (AA-+-1) I)
©. PR \ rn '- J — wird, a
un u — Ne
B . —
— —RP .
-E+G0=—
— ⸗ br, Ve Zen
\
\ \
304 I. Kramp, über d. Mittelpunkt d, Schtvere
*—
Bird, die drei Momente fein werden, 20" multiplicitt
mit folgenden, drei Faktoren:
Coaft + a0'’K-+ (pRı—-a0) (U Sin ——
— (br—eg)(U Cof W—AR)
Con + bO'K-+ (dR—bO) (U SinW-HrK),
— (ep--ar) (U Cof W —AR)
Cont +eO’K-# (rR —cO) (USin W-+ rk)
— ag— bp) (U Cof W—AK)
Aufgabe XVII. ' Man verlangt den mirflichen
Werth des Integtals K, zugleich die hinzuzufezzende ber
ſtaͤndige Größe, und alfo den Ausdruck der drei Mo⸗
mente vollftändig und volllommen enttoickelt.
“ AYuflöfung. Das Jategral K ift — Sin AB. Sin,
Cot W. SinB
Sin AB
—+-CotAB.CofB ift, daß heißt, mit der andern Seitt
des fphärifchen Dreiecks, BP, multiplicirt. Die bee |
ſtaͤndige Größe it br— eg, multiplicirt mit dem was
AP wird, wenn Wo, daß ift, mit der dritten Sei⸗
te AB. So find demnach die drei Momente, ZRR multir |
plicitt mit
aBP.Sin.AB, Sin — (USin W—BPCof AB. Sind)
_ br-
o
bBP, Sin AB. Sin 22 (USinW-BPCof AB. SinB)
mit einer Winfelgröße, deren Contangente
i
. (u Cof W-HBP CofB—AB) |
I WO W+BP OB- AB)
R-
BR. Sin AB. Sin B+ eo
(USin W—BP Cof ABSinB)
= Pe (U Cot W-+ BP Cof B-AB)
\ Aufgabe
im fohärifchen Dreyecke. 305
Aufgabe XVII. Die drey Koordinaten des
chwerpunkts X, Y, Z?
Aufldfung. Sie find gleich den drey Momenten}
ech die Oberfläche des Dreyecks, alfo den drey Zafto-
ı der vorigen Aufgabe, durch dag doppelte von
ı-B-+-P— 130°) dividirt.
Aufgabe XIX. Die Entfernung des Schwer⸗
nfts vom Mitselpunft der Kugel, oder R’?
Auflöfung. CRR—yRX-HYY-+ZZ)
er \
AR (AB? HAPS +RP2—2AB,AP.CofA
( v —2AB.BPCofB—3AP.BP.Co(P)
ArB+rZıR
Aufgabe XX. Man verlangt die Koordinaten
Punktes G, wo die Schweraxe
slängert, der : Kugelfläche begeg ⸗
Wir wer 9,5. pen fiemie X, X,2
eichnen. A B
Auflöſung. Es iſt KXN=Y:Y—ZIZR:R.
e Koordinaten ſind alfo gleich den drey Faltoren der
fgabe NVII, dividirt durch
V (AB? + BP2+ AP? — 2 AB. BP.CofB
— zAB, AP. CofA—2BP.AP. CofB)
Sch werde ſtatt ‚diefer Dnadratwurgel, Künftig T
en. 3 =
Aufgabe XXI. Und zur Befiimmung der
‚ge dev Schwerare, die Bögen AG, B BER:
X+HbY-+ecz
Auflöfung, Es not .
_PX4gY'HrZ" ._&X4HyY+2Z
RR ORG —
Aebentes Heſt. u Die
*
306. II. Keamnp, über d. Mittelpunkt d. Schtere
Die Entwickelung dieſer drey Ausdruͤcke führt ung auf
einen beftändigen Koefficienten hin, den wir mit S ber
zeichnen werden, und ber auf folgende Ast beſtimmt wird.
Man bezeichne mit M das fchon in der Aufgabe XI er⸗
waͤhnte vierfache Prodult der vier Faltoren, —
. AB+-AP-+-BP —AB--AP-+-BP
Sin m — Sin in —
—AP-EBP- -_ AB-HAP—BP |
Sin mu, Sin LE . Si),
Sin AB.SihAP.SinBP/SiA:SiB.SinB M,,,,
= ,100-%
Tym, 5
B
und fobanp MAC- SH Fa Kae ne
AB
CPG— F
eg:
Es verhält fich denmach jeder diefer drey Rofind,
gerade wie die entgegengefegte Seite des Dreyecks, und
umgekehrt wie ber Sinus dieſer Seite. Das Problm 4
vom Schwerpunkte des fphärifchen Dreyecks ift alfo nun⸗
mehr ganz aufgelöf. Sch füge noch nun ve Auf
be hinzu,
Aufgabe XXIL Gift
ein beliebiger Punkt in der —.
Slaͤche des ſphaͤriſchen Drey⸗ A 1.6
ecks ABP, oder auch außer
Ihr. "Wann von den fehd -B
Bogen AB, BP, AP,PG. AG, BG, fünfe gegeben ad
fo it. durch fie au) der fechste beftimme. Es muß dem
nach eine allgemeine Gleichung zwiſchen ihnen ſtatt babe
und biefe verlangt man zu wiſſen. % f
u
©) Beode gucdelae find BA 5 alein ber Iegtere weit im:
im fohärifchen Dreyecke. 307
Auflöfung. Es ſey Col AB=a; Coſ BPb;
fAp=c; Coſ PGx; Cd AG—=y;
[BG 2. So if aaxx-+bbyy+cezz
zabxy—zaexg—2beyz-+- 2cxy-tzayz
2bx2-Haabe—aa— bb—cc—xx—yy
22-10. Si
Solge.. Wenn G ber Punkt ift, wo die Schwer⸗
verlängert, die Kugelfläche ſchneidet, fo werben die
nfel A, B, P, durch die Bögen AG, BG, PG nicht
wey gleiche Theile ‚getheilt, wie beym geradlinichten
eyecke. Es ift auch die Summe der Quadrate der Si»
3 von AG, BG, PG fein Aleinftes, noch die Sum⸗
der Duadrate der Coſinus dieſer Bogen ein Bröß«
„ wie fich dies aus dem Benfpiel des geradlinichten
eyecks vermuthen ließe. Diefe Aufgaben, die fich
cch die erſt gegebene allgemeine Gleichung für das ſpha⸗
he Dreyeck leicht aufloͤſen ließen, führten ung auf
ıter algebraiſche Funktionen bin; und die Aufgabe vom
Hiverpunfte enthält-in allen ihren Formeln tranſcen⸗
ıte Größen. Kechnungen, die ich in Zahlen angeſtellt
de, führen mich darauf, daß, im Falle des Schwer-
nftes, die Summe ber Duadrate der Bogen AG,
G, PG ein Rleinftes feyn müffe. Ich fehe diefe Bere
ithung für fehr wahrſcheinlich an, und behalte mir den
weis dieſes Satzes auf ein andermal vor,
308. IV. Kluͤgel, Formeln zur Berechnung
; IV. !
Formeln zur leichten: Berechnung des Umfanges
eines Kreifes, von G. ©. Klügel, Prof.
; zu Halle *).
&T. Euler bat zuerſt eine bequeme Formel zur Berech⸗
nung des Umfanges eines Kreifes angegeben, da man.
vorher ſich der Tangente des Bogens von 30 Gr. bedient
hatte, die aber durch ihre Jrrationalität die Nechnung
ungemein befchwerlich macht. Der Kunftgriff, den En
Ter gebraucht, befteht darin, daß er den Bogen von 45°
in zwey Theile zerfällt, deren Tangenten rational findy
und aug diefen Tangenten die beyden Bogen berechnet,
deren Summe der halbe Quadrant iſt. Die beyden Tan⸗
genten Finnen auf unzählig viele’ Arten angenommen
werben, ° Am. bequemften find fie = und J, indem
Arc. 45° = Arc. tg 3-+Arc. tg} Man fehe die In-
trod. in Anal. Infin. T. J. $. 142, oder meine analy«
tifche Trigonometrie, mo ich den Anfang zur Berechnung
des Umfangeg gemacht habe,
$. 2. Die Rechnung wird noch mehr abgefürit,
wenn man ben Bogen von 45 Gr. in mehr als zwey Theile
zerfaͤllt, fo aber, baf hieraus zwey Haupttheile entſtehen,
die jeder gleiche Theile mit rationalen Tangenten enthal
ten, Es iſt
ẽ Arc,
*) Man vergleiche hlermit die Abhandlung verwandten Anhalt
deffelben Derfaffere, Berfchiedene arithmetiicbe Zufammen
fesungen des Umfangs eines Kreifes aus denfelden Elementen.
Archiv der Mathem. Vies Heft, S. 60— 66.
‚zindenburg.
des Umfangs eines Kreiſes, 309
Arc. 45°= Arctg 4 2Arc. tg4
Arc. 45° =3Arctg $—+ 2 Arc. tg
Arc. =5Arc.tg 3+ 2 At. tg F
Arc. 45° =7Arc.tg 7 — 2 Arc, tg ⸗
etc,
Eee
Nach der dritten Formel hat Herr. Vega den Ums
ing des Kreifes aufs neue berechnet, Bis auf 143 Des
malftellen; 16 Stellen weiter als ſeine Vorgänger, wo⸗
ty er auch eine bisher in allen Anfuͤhrungen der Zahl für
m Umfang’ des Kreifes fehlerhafte Ziffer entdeckt hat.
vie numerifche Entwickelung der Formel ift in dem von
eren Vega herausgegebenen Thefauro Logarithmo-
ım-completo, pag. 633 zu finden. Die analptifche *
ormel ift nicht beygefügt. Zur Prüfung der Rechnung
it Here Vega die erfte Formel gebraucht, und hiebey
'n Umfang bis auf 126 Decimalftellen berechnet. Da
e angeführten Formeln fonft noch nicht vorfommen, fo
ird es nüglich feyn, ihre Entwickelung hier mitzutheilen.
5.3. Es feyen a, ß, 'y, detc. die Binomialcoeffie
meen ber Poren; (I +2)”, naͤmlich em;
=, etc, und tang Pt, fo if ”
at— Yt’-Hst°— nt? + etc.
Bm
$. 4. Man zerfäne den halben Quadranten in drey
jeile, fo daß Arc.45°—=A+-2B. Demnad) if
ı1—tgA.tg2B=tgA-+tg2B
d ı—tgA =(I-HtgA).tg2B.
u3 Es
I Analpt, Trigonomettie, S. 108,
310 IV, Kluͤgel, Formeln zur Berechnung
Es ſey tg ASt; tgB==u, fo iſt
au,
und
— uu
tg2B=7
5* 2u
It: 1— uu
alſo (L—t) W +2 (1 HHu=ı—t.
Damit u rational werde, wenn t rational ift, muß
*
14 =) ein Duadrat feyn, ober a+2r’—#,
Es fällt gleich in bie Augen, daß Diefe Forderung buch
die Werte t—7, undt=% erfüllt wird. Die For⸗
mel 2-+ 2? läßt ſich noch auf unzäplig viele Arten zu
einem Duadrate machen, wie in Eulers Algebra, in dem.
Abſchnitte von der unbeftimmten Analytik, |. 56. gejeist
wird. Hier gebrauchen wir nur den Werth t—H, nr
durch u=+ wird, fo daß
Arc. 45° Arc.tg} + 2 Arc. tg$.
8:5. Nach der befannten Gleichung für O Arc. tgtr
nämlich
P=t— FR 4Itꝰ — 7 + etc,
giebt bie ‚gefundene Zufammenfegung des halben Hug }
dranten den Werth des halben Kreisumfanges für den
Halbmeffer Eing,
(1
1 1 1 1
4+—--<+ -
3.7: 8574 77° 978° a7"
—- etc,)
+4 (1 1 + 1 1 * I I
3:9 59 79 994 119
ö + etc.).
Oder, durch die Zufammenziehung je zweyer Bruͤche
mit entgegengefegten Vorzeichen,
Bu 2 L
des Umfangs eines Kreiſes. 3u
sl —
343\1.3 5.77% 9.11.78 13. 15. 28
+ etc.)
16 a 61
N er i
1.3 °5:7.9° 9.1198 13.15.09)
+ etc.).
gIn der erſten Reihe machen die Zaͤhler der Bruͤche
eine arithmetiſche Progreſſton aus, in welcher der Unter⸗
ſchied der Glieder — 96 iſt; in der zweyten eine Pro⸗
greffion mit dem Unterfchiede — 16. Hieraus ergiebt
ſich eine für die numerifche Berechnung von m vortheil⸗
bafte —— der beyden Reihen. Es iſt naͤmlich
1 ı 1
[EL GE SEE HE 2
In =— *
343 11.3 5774 gııyd 13.15.7'%
+ etc.)
768. ı 2 3
= ——H — —
343 5.. *9. 11.78 1315.72
++ etc.)
K 2087 ı 1 I ı
= — — rR ——
27 \1.3 | 5,7.9° 9.11.9* 13, 15,9
+ etc)
— en a EL,
27 5.719° 9.11.9* 13. 15.9
-+ etc.)
Diefe Form von m iſt zu der —— Berech ⸗
nung ſehr bequem, da die Potenzen von und durch
die ſucceſſive Diviſton leicht gefunden werden, und ſchnell
abnehmen. Die folgenden Formeln für m können auf eine
Ähnliche Art behandelt werden. Sie erfordern in dem
zweyten Haupttheile von 7 zwar weniger Glieder; dieſe
find aber nicht fo leicht zu berechnen, als in der hier ent ⸗
wickelten einfachften Form für m, Herrn Vega's
u Bes
512 IV; Kluͤgel, Formeln zur Berechnung
Behandlung diefer Formeln iſt von der meinigen etwas
verſchieden.
$. 6.: Ferner zetlege man den halben Quadrauten
in fünf Theile, fo daß Arc. 45°—=3 A--2B. Es if
daher nr —tg 3 (1 i 3 4) tg 2B. Man fege
tg ASt; tgB=u, ſo iſt
3t—B > 2u
3A=T— * tg 26*
und
1313-40, 2u n
14+3t—3?—B —7
Die Funktion von t heiße z, fo iR
urz+2u— 20,
1—u”
Damit u rational werde, wenn z rational genom- |
men wird, muß z?—- 1 ein Quadrat feyn, oder es muß
tfo genommen werden, daß
( — 3t tt HP Hat got
folglich dag
- 2(ı +32’ +3 tt 16) ff,
oder daß 2 ‚at —=ff.
Demnach muß 2611?) ein Quadrat ſeyn. Da⸗
her iſt t ⸗3, olslich z—=#, und u —F alſo
Arc. 45° 3 Arc. tg 3 2 Arc. 187%.
$. 7. Weiter jerlege man den Halben Duabranten in
fieben Theile, fo daß Arc. 45° —=sA+-2B.
Nun J 1—tg5A=(1 +tg5A)tg2B, und
——— — e
— 108 1
5A olgli ;
#5 . ee folstich . i
1 — 51t t⸗ — 2u “
EN FTaR SER u
'
r
des Umfangs eines Kreifed, 313
Die Funktion vom t heiße z, fo ift
Wz+-2u—2=o \
Damit u rational fey, wenn z rational ift, muß
2’ 1 ein Quadrat ſeyn. Demnach muß
2(ı+-5t?-H rot -H 1064-58 -HO)—ff
oder 2 (IH )EL ſeyn.
Wiederum muß alſo 2(ı +1?) ein Duadrat feyn;
und es iff, wie vorher, t S zu nehmen. Alsdann
zz du, fo daß
Arc. 45°=5 Arc. 15542 Arc tg 755,
2. Es iſt
3 56142 11 2 1.1 4+ Lı
„Arıtg— = (2 3“ — —
5E +57 79. *
un
+ Ban
13. 15 79.
74784 6: ‘+ 1.2 2)
J— * 9. 11
— etc.)
J— 79
Das Vierfache-ded Arc. tg, $ 5, ift in den beyden er⸗
ſten Tpeilen des Werthes von ($. 5.) — Mul⸗
tiplicirt man daſſelbe mit 5, und Arc. tg H mit 8, fo
erhält man in der Summe der Producte einen Werth. von
7, in welchem die beyden Neihen des zweyten Haupt ⸗
theils fehr ſchnell convergiren.
$..9. Seht man die Zerfälung noch weiter fort,
und nimmt Arc. 45;°=7A+-2B, fo findet fich, ba
2 (141% ein Quadrat feyn muß, fo daß auch hier
16124 zu
u nehmen iſt. Es ift nun — — — =———
Fi b iſt. ſt 76443 10
und u ⸗ — 5
45 \ Das
\
314 W. Kluͤgel, Seren sur —
Daher iſt
Arc, 45° = 7Are.tg5 —2 Arc. KR >
$. 10. Leichter findet man die Reihe ber Wertfe.
von u, und zugleich das Geſetz ihter Fortſchreitung a
folgende Art.
Es fey mArc, fg-4 + 2 Arc.tgu 450,
and (m. + 2) Arc, tg $ + 2 Arc, tg x==45°,
ſo iſt J
Are· tg 4 + Arc. tg x Are. tg u,
und Arc. tg x = Arc. tg J es
Daher
Arc.tg. 95 = 2. 10. 29, 08
‚Arc. tg #yg== 5. 57. 191 29.
Die Decimaltheile der Secunden find aus Sem großen
Eanon in dem Opere Palatino berechnet.
«5.12, Die obigen Gleichungen zwiſchen t undn |
> ändern ſich nicht, wenn man fuͤt t ſetzt und für u
indem beyde Theile derfelben dag Entgegengfige der
vorigen Zunctionen werben.
Alſo it
Arc. tg. 1 Arc.tg. 7 + 2Arc. tg. 3
= 3 Arc, tg. 7 + 2Arc. tg
= 5Arc.tg,7 + 2Arc. tg, >
=7Arc, tg, 7 — 2Arc, * 57.
ete.
= \ &
de3 Umfangs eines Kreiſes. 915
Es ift nämlich
Arc 7 = $ı°52° +
Arctg. 3 71 34. —
Arc.tg. F 79. 42. —
Arc. tg, 9 = 97. 50. ⸗
Arte. Sm I. 2 +
fo daß bie erfte Summe den Bogen 225°, die zweyte 405%
die dritte 585°, die Dierte 405° giebt, deren Tangenten
=-+ 1 find.
Es if
90° — A +2 (90°—B) =3, Jost A—aB;.
3(90°—A)-H2(90° —D=5.900°-3A—aB; |
u. ff
Iſt a Arc, tg 47 B= Arc, tg J, fo ift
A-+2B=45°, und 909° —A = Arc. 18.7;
90° — B== Arc. tg.3, alfo
Arc.tg. 7 +2Arc.tg.3==3.90°—45°=180°-445°
ut f
$ 13. In den Gleichungen $: 4. bis 9. hat u audy
einen negativen Werth, welcher wegen des gegebenen
Gliedes ı (nach der Diviſion durch z) der umgekehrte von
dem pofitiven if. Daher ift
Arc.tg ı== Arc.tg $>—2Arctg 3 = — 135°
= 3 Arc. tg 3— 2 Arc tg — 135°
=5Arc, tg 3—2Arc, tg en =— 135%
=7Arec. tg #++2Arctg PP = -+225°
Die Tangenten der negativen Winkel zwifchen 90°
. und 130° find poſitiv, fo dag tg (— 135°) =-+ı.
" $. 14. Bey der Berechnung der Werthe vonz’-- EL,
‚wird man auf die Bemerfung geleitet, daß bie doppelten,
Producte ie zweyer Binomialcoefficienten irgend einer Po«
teng, bie von einem unter ihnen gleich weit abftehen,
wechfelsweife von dem Duadrate dieſes Iröten ſubtrahirt,
und
"316. W. Stüger, Formeln zur Berechnung ıc.
und zu demfelben abbirt, biefen Coefficienten felbft geben.
3. 3. für die uate Potenz find die Eoefficienten mit Ein
ſchluß der ı folgende :
"1; 12; 66; 220; 4955 792; 9243 79535 etc.
Hier ift :
495.495 — 2.220.792-4-2.66.924
2.12.7924 2.1.495 = 495
und
220.220 — 2.66.495 -+2.12.792 —2.1.924
= 220. h
$.15. Ein firenger Beweis dieſes Satzes Fann an |
fange ſchwierig ſcheinen; er laͤßt fich aber dennoch auf
folgende Art ganz leicht und allgemein geben:
Es feyen, die Yinomialcoefficienten ber mten Po:
tenz, mit der Eins, nach der Hindenburgifchen Zeichnung
Arch. d. Math. Heft V. ©. 162. Anm.)
—8 r
1, »A, 7, *C, „D...
ſo iſt
(1 CxDX-—-te
und
¶ xB xꝰ ICH + "Dxt—ete
folglich beyder Product ( x)”. (L— xyn
das iſt
Gr = 1 xXB xXCxsu D xb-ete
Durch die wirkliche Multiplication der erſten bey⸗
den Reihen erhaͤlt man aber
1 "U B xt Ta xDe X.
42B —2P UNE, HIHI, NE...
H2"D + —aNTE HB"Fr ·...
Hang „anyng,
279 0.
...
. ! . Sol
—
Iv. Zuſat des 2 Semi. 37
Folglich | N
my? — 2m8 — nf
— znyng Hemden 5
ng? __ „NY Lo" AE— 2 mx mg .
MD?— 2NETE Hoi, mE My Pas —
eIc etc etc etc Fu
ax x
Zuſat des Heraugebers.
Fuͤr "IT, den allgemeinen nten Snondlvimcim
ten ("A als den guten gerechnet) wäre |
any ae ei A.. a.
| | . Faden J
Hier iſt N der n--n==2 nte, und af] der
"n—nz=ote, das iſt der vor dem erſten my vorhergehende,
Binomial officient
m.m—1.m—.2... (m—20-+ 1
alfo ze Zen 2
Is 2 u; 3 v„.... 2n
und a I=Uy np ng etc
‚wie aus ben correfpondirenden Werthen für a und n i u
folgt; denn
ften= u 2, 9% 4... jucceflive, Pa
iſt na — my, m, ng, un, ... ‚ refpective. -
Setzt man alfo nach und nach "4, "B, TE, ur PR
ſtatt "CT, in obige Gleichung für "LT, fo findet man ihre
Werthe nach ber Reihe, wie fie am Ende ber Abhandlung
von Herrn Prof. Kluͤgel ſtehen.
Fuͤr jeden Werth von m und n, iſt Br
(ame ya np Endzeit.
.GFW=ı+ 9x + 8x4 "6x7 DE...
are tg ZH ie )
ii ce Beer me
| Mus
{
‘
.
[\
318 IV. Zuſatz des Herausgebers.
Aus dieſen und ähnlichen‘ Gleichungen laſſen ſich
mancherley Relationen der Binomialcoefficienten ableiten,
3. B. wenn man die Reihe für (tr +-x)”*" mit dem Pro»
ducte aus der Multiplication der beyden Reifen (1 +x)”,
(1 +-x)? vergleicht, fo findet man - 1
mau — 1.A A. 1
I BUND.
BR CH WBHNTBAU HE, 1
I LIDHWEHBEBHTEHHTDE
. . .
. . .
. . Er _ . 4:
RR HERR RER FTIR;
er —ı ;
R +H"R’3 HRUHR.
Hier wird A, mit dem beygeſchriebenen Erponenten,
eben fo für den allgemeinen rten, wie vorher LT für den '
nten Binomialcoefficienten gebraucht.
Daraus findet man ferner, für nm,
my om. J
ke 1 a
zug a", 1 H-2"B"4
D2D. IHR HB?
Ang —anE, 1 + 2"D"Y-H 2ER
u. ſ. w f.
So laſſen ſich Binomialcoefficienten vam Erxpo⸗
nenten m, und ihre Verbindung, durch Binomialcoeffi
cienten-vom Erponenten 2 m, und umgekehrt diefe durch '
jene, ausdruͤcken. Lieſet man dieſe Reihen rückwärts,
fo wechfeln in den Anfangsgliedern, Quadrate ber |
einzelnen Eoefficienten von Erponentenm, mit Producten
jeder ziocen nächften Coefficienten regelmäßig ab. Das
giebt zween verſchiedene Säge folgenden Inhalts:
RP en vaͤc
IV. Zuſatz des Herausgebers. + 319
„duͤr die Binomialcoefficienten nad) der Nelhe
TE, FD, BEZ.
iſt ;
„1) Das Quadrat bes nen (jedes willkuͤhrlich ges
waͤhlten) Binomialcoefficienteng vom Erponenten m, nebſt
‚der doppelten Summe aller Producte aus jedem Paare,
‚som nten zu bepden Geiten gleichweit abſtehenden Coef-
ficienten — gleich dem 2 nten Coefficienten vom Erponen«
‚ten 2m.“ \ . i
2) Die doppelte Summe aller Producte, des
‚(a— ı)ten und nten (jeder zween naͤchſten, willkuͤhrlich
‚gewählten) Binemialcorfficienten vom Erponenten m,
‚nebft aller Übrigen, vom (n— Hten und nten zu bey«
‚ben Seiten gleichweit abfichenden, Paare von Coefficien -
‚ten — gleich dem (2n — z)ten Eorfficienten vom Expo⸗
‚nenten 2m.
Beyde Säge laſſen ſich gleichwohl durch nachfichen«
‚en. combinatoriſchen Ausdruck kurz zufammenfaffen
Nn2M. 658
1,7, B/*C, *D, TEN”)
( I 3 Ar 5.
Darı
Es liehe fih zwar die Gleichung für 27rz noch kürzer durch
2m, n+ı
a=b"tip.
1, mu, TB, DE, PD.
MB 3 Ar Fran
auebeücken; aber da würden, nach dem bier beugefügten Zeiger,
bie Binomialcoefficienten anders gesdhlt, als ich fie im combis
natorifchen Caleui bisher tmmer gerdble habe und nothivendig
babe adhlen müffen, wenn diefe Egefficienten mit-den Bariationgs
. amd CombinetionssEfaffen, mit denen fle am bdufiaten zufama
mengefegt werden, volfommen harnoniren folten. Sch nenne
«nicht. ı fondern) "' den erften Binomialcoeffisienten, weil feis
ne Zahl die erfte if, die ſich auf m besteht (die erite ducchmauss ı
gedeäctte) fo wie die folgenden, nach einem alleh gemeinichaftlis
Den Gefege ‚gleichfalls durch ın gegeben find, Daher ift ı (dee
gemeinchaftliche Anfang diefer Coefficienten. für alle Erponens
ten) bey mir der ote (der vor dem eriten vorhergehende) Coeffis
eient. Wollte mas Binpmialcoeffctenten fo adblen, wie hier
im Zeiger,. ſo mürde das auch Einfuß auf den Husbruc der
‚obigen broden, Se babenz u. m,
320 IV. Zuſatz des Herausgebers.
Daraus folgt, a— 1, 2, 3, 4 5... nach und
nach geſetzt:
any 2*u. 140
*B⸗ 2*B.146B
C2*C. 163 B
2nD ⸗ 2*D64B 4
mE ù 2*E. 1b6 B
u ſ. w. r i
deren combinatorifche Aufldfung die obigen Formeln, wie
ſie (S. 318) ſtehen (alfo vorwaͤrts gelefen) giebt.
Man kann auch · einen, von den beyden Erpomenfen,
m.oder n, in Zahlen Eeftimmen, den andern unbeftimme
laſſen (Töpf. comb, Anal. ©. 166— 169.); auch poly⸗
nomiſche Wurzeln, wie hler binomifche, zum Grunde legen;
nicht minder mehrerer Reihen (als zwey) Verbindung das
bey in Betrachtung ziehen u. ſ. w. WIN man die Gefeger
nach welchen fich diefe Coefficienten zufammenfegen, kuth
darſtellen, fo drückt nian fie (bey großen Verwickelungen
ift das um fo nöthiger) durch Variations⸗ oder Com⸗
binationsclaffen aus. Die Abficht ift hierbey durch⸗
gängig, zufaimmengefegte Großen biefer Art durch einfar
he auszudrücken; modurd die combinatorifch «ana
Iptifchen Sormeln, und das von ihnen abhängige Verfah⸗
ren für die Endrefultate, nicht felten aͤußerſt ſimplificitt
werden, Ein fehr eminentes Benfpiel dafür giebt bie
eombinatorifche Reverfionsformel für Reihen.
Hindenburg. |
v
321
V.
Ueber verſchiedene merkwuͤrdige Bewegungen,
welche ein doppelter Kegel vermoͤge der Schwere
darſtellt, wenn er auf die Raͤnder zweyer in einem
Winkel zuſammenlaufender Waͤnde eines Kanals
gelegt wird. Bon C. L. Bruͤnings, zu
Utrecht.
TH. Geometrie wird wegen ber vorzüglichen Deutlich“
feit und Gewißheit ihrer Lehren gepriefen. Der Grund
bievon ift einleuchtend. Der Geometer betrachtet nur
bie Werke feiner eigenen Schöpfung; er Hat nicht noͤthig,
die Möglichkeit ihres Daferns außerhalb dem Verſtaͤnde
gu erproben... In feinem Verſtande aber find fie nebſt
alien ihren: Eigenfchaften (welche letztere nur eine Ent⸗
wiefelung der Vorſtellung ihres Daſeyns ſind) moͤglich,
weil er ſie als moͤglich denkt. — Ganz anders verhaͤlt
zs ſich mit der angewandten Groͤßenlehre; ihren Lehren
ift bey weitem ber Grab von Deutlichkeit und Gewißheit
nicht eigen. Auch hievon laͤßt fich die Urfache Leicht an»
geben. Zwar braucht der Phpfifomathematiker auch nicht
das Dafıpn feiner Gegenftände barzuthun; die Natur lies
fert fie ihm. Aber er'muß fich zuvor sine richtige Kennt«
niß derfelben erwerben; das Heißt: er muß in feinem
Merftande ein Wefen bilden, das dem, außerhalb des
Verſtands vorhandenen, ähnlich iſt. In fo fern er num
die Groͤßenlehre auf das Bild ded Gegenftandes im Ber-
ande anivendet, find alle feine Unterfuchungen eben fo
deutlich, eben fo gewiß als jene des Geometers. So⸗
bald er aber das Bild mit dem Gegenſtande verwechſeln
will; von dieſem behaupten, was von jenem erwiefen iſt,
*
Siebentes HR. muß
323 V. Bruͤnings, merkwürdige Bewegungen
muß er uͤberzeugen: daß ſeinem Bilde der außerhalb des
Verſtands exiſtirende Gegenſtand in der That aͤhnlich iſt,
und da wird ihm der Trug der aͤußeren Sinne allenthal⸗
ben im Wege ſtehn. — So nachtheilig dieſe Bemerkun⸗
gen auch Überhaupt der angewandten Mathematik, als
Wiffenfhaft, find; fo vortheilhaft fprechen fie für meire
bermalige Abficht, weil fie, mit andern Worten, den Gag
enthalten: „daß phyſikomathematiſche Unterfuchungen des
flo.deutlicher, deſto gewiſſer find, fich der geometrifchen
Strenge defto mehr nähern werden, je minder der Trug
der Äußeren Sinne irre führen kann“ — und dieſer
Auffag gerade verfchiedenen merkwürdigen Bewegungen
eines Körpers gewidmet ift, bie auf eine aͤußerſt einfache
Seife veranftaltee werden Finnen. —
Der berüchtigte Verfuch mit dem fcheinbar freywil
Jig fleigenden doppelten Kegel hat mich veranlaßt, diefer
Materie nachzudenken. Derfelbe koͤmmt unter dieſen af
gemeinen Betrachtungen vor ald Art des Geſchlechts. —
So wie die Naturlepre ſich in den meiften Faͤllen begndgt;
die allgemeinen Urfachen einer Erfcheinung anzugeben,
und e8 der angewandten Mathematik überläßt, Die Grit
jener Urfachen zu erforfchen, ann fie doch für dieſen Fall
hiemit nicht ausfommen. Denn die gewöhnliche Erklaͤ⸗
rung jenes Verſuchs, aus dem Ginfen des Schwerpunkts
während der Bewegung des Doppel» Stegeld, fcheint mie
eine ſehr unvollſtaͤndige Deduckion zu ſeyn: weil manfid
durch den Augerfchein jebesmal nur für eine beſtimmte
Lage des Kegeld nach vollendeter Bewegung dergewiſſert
fann, daß fein Schwerpunft, in Abficht auf beffen Lage
beym Anfange der Bewegung, gefunfen iſt; hieraus aber
folgt feineswegs, daß er nimmer während ber Bewe⸗
gung geftiegen feyn kann; — und biefem Einwurfe mi
bem Sage vorzubeugen: „daß der Schwerpunfe eines
Körpers nicht feigen koͤnne“ das waͤre eine petitio prin-
cipü
eines doppelten Kegels. 923
cipii für einen Fall, da man gerade erſt unterſuchen fol:
ob dag paradoxe Steigen bed doppelten Kegels auch etwa
jenem Sage mwiderfpricht. — Es iſt fuͤrwahr nicht zu
verwundern, baß bie reine Naturlehre in allen ben Faͤl⸗
len unzureichend iſt, wo die Richtigkeit ber Grnnbfäge,
beren fie. fih zur Erflärung einer Erfcheinung bedient,
bezweifelt wird, fo, toie für dieſen Sal flate finder. —
Die Mathematiker (Kraft in Comment. Nov, Petrop.
T. VL und X. Kononow in Act. Nov. Petrop. 1789.
T, VII. welcher leßtere aud) den Widerſtand der Rei⸗
bung betrachtet hat) in ihren Unterfuchungen: über dieſen
Gegenſtand haben erftlich erwiefen: daß für jede Lage
des Kegels eine drehende Kraft vorhanden iſt, bie benfels
ben um die beyden Unterlagen wälzt, und zweytens, wie
groß befagte Kraft iſt. Nun ift die drehende Kraft nichts
anders als bie Schwere, mobifisirt durch die Lage bes
- Kegel. Sie iſt derobalben eine Function gebachter
Schwere:und Lage; weil aber die Schwere eine beftändige
Große if, fo bleibt Die drehende Kraft eine Sunction deu
Lage, und die Lage eine Function der drehenden Kraft; —
daher Beflimmungen ber drehenden Kraft aus der gege⸗
benen Lage, und umgekehrt, Beflimmungen der Lage aus
dem wilführlih angenommenen Werthe der drebenden
Kraft. — Go weit geht bie bisherige Theorie bes mehr⸗
erwähnten Verſuchs, meines Wiffens, die fürwahr voͤl⸗
Sig zureicht, die Nothwendigkeit der erfolgenden Bewe⸗
gungen aus ben allgemeinften Grundfäßen der Mechanif
ju erfennen, und einzufehn, "wie für sine’gegebene Lage
die Größe der drehenden Kraft berechnet werden koͤnne.
Auch iſt es klar, daf, wenn bie drehende Kraft == O ge⸗
funden wird, alsdann feine Bewegung erfolgen koͤnne. —
Der Grundſatz, daß der Schwerpunkt eines Körpers jeber«
zeit, wenn er nicht gehindert wird, den niebrigften Ort
einnehmen wird, ift fo allgemein anerfannt, ald.er fruchts
bar iſt. Derſelbe iſt das — nach weichem alle
FJ 2 Be⸗
324 V. Brünings, merkwuͤrdige Bewegungen
Dewegungen beurtheilt werden muͤſſen, welche allein aus
ber Schwerkraft, ohne Zuthun einer andern Kraft, ente
ſpringen. Wenn man nämlid) Bewegungen fingirt, wel
che unter gewiffen Bedingungen durch die Schmere des
würft werben follen, und deren Moglichkeit und Noth⸗
wendigfeit darthun wil, muß man.erweifen: daß ber
Schwerpunkt des zu bewegenden Körpers, während ber
Bewegung finfen wird, Uebrigens verficht es fich von
ſelbſt, daß die Reibung und ber Widerfland der Luft
hier nicht ‚betrachtet werden. — . Mit Hülfe dieſes
Srunbfape® werd’ ich von dergleichen Bewegungen, die
einfachfte aus einem fehr merkwuͤrdigen Gefchlechte abs
bandlen. — Durch zwey in einem Winkel zuſammenlau⸗
fender- Seitenwände wird ein Kanal gebildet. Legt man
nun auf dergleichen Kanaͤle im Scheitel einen doppelten
Kegel, der alſo im einem Punkte des Umfreifes: von er⸗
wähnten Kegels Grundflaͤche, durch den Scheitel des
befagten Kanals geffügt wird, — fo ift bie Trage :. wird
die Schwere dem doppelten Kegel eine fortrollende Bewe⸗
gung fiber die Ränder der Seitenwände bed Kanals mit⸗
epeilen? — Der befagte Kanal wird nerfchieben fegn,
hr nachdem ‚feine Wände
A Ebenen, oder Jund deren Ränder A wagerecht
B trumme Flaͤchen oder B geneigt ſind.
Fuͤr A und A find die Raͤnder wagerechte gerade
· Linien.
2. duͤr B und A find bieſelben wagerechte krumme
Linien.
3: Sir A und 2 find es geneigte Linien.
4 Sir B und B find e8 doppelt gefrümmte Einien..
2L. Aus 2 werd' ih ı ableiten, indem ich auſtatt ber
x... Gleichumg.für'eine Eurer jene für die gerabe &init
2 — |
238* % ” I. Bean
eines doppelten Kegel; ' 925
3. Wenn für 3.und 4 die Ränder, vom Scheitel dee
Kanals anzurechnen, unter ben Horizont geneigt
find, fann die zu erfofgende Bewegung des doppel⸗
ten Kegels zu deutlich ans dem bereits angeführten
Grundfage abgeleitet werden, ale daß er mir einet
nähern Unterfuchung werth ſchien.
III. Wenn fuͤr 3 die rRaͤnder, vom Scheitel an auf⸗
waͤrts, geneigt find, werd' ich, um der muͤhſamen
Rechnung willen, bie Aufgabe nur fiir den Fall auf
loͤſen, da bie Neigung des Rands beſtaͤndig ift,
dag heißt: wenn er eine gerade Linie if.
IV, 4. Die boppelt gekruͤmmten Linien erfodern einen zu
weitfchweifigen Calcul, als daß ich diefen Fall bier
abhandeln koͤnnte.
[4
u J.
(Fig. 1.) Wenn ap, pc, bie wagerechten Ränder dee
lothrechten Wände des Kanals apc find; wenn elf der -
vertifale Schnitt der Hälfte eines gedoppelten Kegels ift,‘
fo daß g der Schwerpunkt des doppelfen Kegels,
ef 2eg == 2R beffelben Höhe, gel==r ber Halb»
. meffer.feiner Grundfläche; hmk bie wagerechte Durch⸗
fchnittslinie des Kegels mit der ‚Släheapc; h,k, bie
Bünkte, in welchen befagter' Kegel won ben Rändern des
Kanals pa, pe geſtuͤtze wird; ehmkfg der über die
Raͤnder hervorragende Theil des Kegels; dagegen der
<heilhmklih unterhalb denſelben; — fo beſtimme man
Die Bahn des Schwerpunfkts g (oder jene des unterſten
unkts |, die gleichlaufend und gleich an die Bahn bes
chwerpunkts iſt) mitkleribeite' der doppelte Hegel fih von
- p nach ac fortwaͤlzt. — Eine merfwürdige Eigenſchaft
dieſer Bewegung iſt die: 1°. die krumme Linie ahp und.
bie Seite des Kegels ah! haben einerley Ordinate
hm =y 2%, Die Linie ahp umd die Bahn des Krane
u & 3 I (wel
*
| 926 V. Brimings, merkwuͤrdige Bewegungen
1 (welche letztere durch die Coordinaten ml==x ud.
mp==x beſtimmt wird) haben einerley Abfciffepm = x.
3°. Die Seite des. Kegeld eh! hat ml==x zur Abfcifie,
und diefelbe x iſt Ordinate für die Bahn bes Puntts .—
Serner If für die Geitenlinie bed Fegels ehl
Im:mk=lg:ge
u L
xıy=r:R
Aber x als Ordinate ber Bahn bed Punkts I iſt eine.
"Sunftion der Abſciſſe x, ‚Hader x==F.x, folglid
x =- y==F.x. Hieraus erhellt, wie aus der Glei⸗
chung zwiſchen y und x für die Einie ph a, y=Fx
durch x beſtimmt werden kann, woraus — x oder
die Gleichung für die Bahn des Punkts Jentſpringt: und
umgefehrt, wenn <= Fx, oder bie Seftalt der Bahn des
Punkts 1 als bekannt vorausgeſetzt wird, erhält man
R
„= —F- x oder die Gleichung für ahp.
Deyfpiele: a) wenn ahp eine gerade Linie ifl,
r r
und berobalden yz=a wird yz=— *
h y x, fo wir nY K æ x x
und die Bahn bes Punfes 1 ift alfo eine unter den Horigont
geneigte gerade Linie. Die Tangente ihres Neigungs⸗
winkels iR — —
b) wenn ahp eine Parabel if, und berohalben
— — ==x, fo iſt die Bahn des
Punkts Lebenfalls eine Parabel, deren Parameter < ;
und ihre Außenfeite gegen bie Abſeiſſenlinie pm gekehrt.
c) (dis.
eines doppelten. Kegels. 397
c) (8ig. 2.) Wenn bie Bahn bes Punkts 1 die Linie
des geſchwindeſten Falls iſt; der Anfangspunft der Rab»
linie, f ihe Scheitel, ef == 2a der Durchmeffer des fie
erzeugenden Kreifed; x das Verhältniß bes Umkreiſes
zum Durchmeffer, fo ifl, gemäß der Natur ber Kablinie,
c=ar * der Hälfte des Umkreiſes von dem fie erzeu⸗
genden Kreife; es ſey Übrigens fg ==u, fo wird
gl=yzau _ us + Arc. Sin. Vers u, alfo Im =pe
Ä —lg=ar— (Vrau—us —+ A. /[V.u), und weil
pm=x=cf—fg=2a2a—u, wird um 22 —x,
un m=r—ar (Ya -iihA [V(zea—x))
R
=y, y=-. ‚Im. Zufolgel dieſer Gleichung läßt ſich
die * pha auf eine fehr einfache Weife eonfiruiren.
Zu dem Ende drehe man die vertifale 2te Figur (ich nen⸗
ne fie vertikal, weil die Bahn des Punkte 1, pl£ in!der-
feiben gelegen ift) um bie Achfe pın ober pm (Fig. 1.)
fo, daß fie in der Horigontalfläche apc (Fig. 1.) liege
Sin der Lage wird bie Linie ml mit der Richtung der Dr»
dinate mh uͤbereinkommen: diefe ml nun vergrößere man
R R
— mal, made mh = = ml, und verzeichne durch bie
Pu x
dergeftalt beſtimmten Punkte h bie Linie pha. — Zu
diefen Benfpielen gehören noch einige Bemerkungen:
7°. Die allgemeine Sormel = y=Fx geist, daß im
allen möglichen Fällen Bewegung erfolgen wird für die
wagerechten Ränder eines Kanals.
a”. Man würde irren, wenn man daraus, daß x die Dre
dinate der Bahn des Punftslzu jener ber Linie ph Y:
für gleiche Abfciffen x, eine beftändige, Berpätsniß —
. Hat, — ableiten wollte, daß heyde Linien ähnlich kon |
2* 4. | muͤſſen.
528 V. Brünings, merkwuͤrdige Bewegungen
muſſen. Obwohl bie zwey erſten der angeführten Bey⸗
ſpiele dieſe Behauptung zu beſtaͤtigen ſcheinen, ſo er⸗
hellt doch aus dem dritten Beyſpiele zur Genuͤge, daß
jene Vermuthung allerdings ungegruͤndet if.
3°, In der Borausfegung, daß bie Höhe bed Kegels den
Halbmeffer feiner Grundfläche gleich if, wird r—R
‚udx=y=Fx Nun if bie Bahn des Punktsl
ber Linie pha ähnlich und gleich. |
II.
(Sig. 3.) ap, pc, find die geraden Ränder lothrech—⸗
fer Seitenwände eines Kanal apc, fie find gegen die
wagerechte Flaͤche np q biefed Papiers geneigt. Der dop⸗
pelte Kegel liege mit den Punkten h, k auf beſagten Raͤn⸗
dern; hk ift die Durchfchnittslinie deſſelben mit der ſchie⸗
fen Släche apc; ehkfg- oberhalb der: fchiefen Flaͤche
apc, und hmkl unterhalb derfelben befindlich. Zieht
man in ber Fläche apc die Abfeifienlinie pm, die dem
R
Winkel apc halbire, fo iſt, wie zuvor, y =—x die Ot⸗
dinate für die Seitenlinie des Kegels ehl und den ſchie⸗
fon Rand ahp. Ueberdas iſt für bie gerade Linie ahp,
y=cx, wenn pm, wie zuvor, = x iſt. Alſo wird
RA er
TECH, x = Be Beil nun für diefen Fall die
Flaͤche apc geneigt iſt; obwohl ml=x vertifal bleibt,
fo iſt x nunmehr nicht mehr lothrecht auf pm, fondern
ſchief gegen dieſe Abſciſſenlinie, und == —,xifibie Glei⸗
äning zwiſchen den fehiefen Coordinaten x F x für bie
Bahn des Punkts 1. Diefe Bahn ift in allen Faͤllen eine
gerade Linie, Jedoch, wenn diefelde vom Scheitel an auf
wärte geneigt waͤre, Fönnte feine Bewegung: erfolgen:
man
- eines doppelten Kegels. : 929g
man muß berohalben bie Bedingungen beſtimmen, Für wel⸗
che fie vom Scheitel an unter ben Horizont geneige iſt,
damit Bewegung erfolge: Zu bem Ende lege man durch
pp ml eine Vertifalflähe bps (Fig. 4.); ferner durch
den Punkt p eine magerechte Einie ps, fo ift rl bie Tiefe
des Punkts l unter dem Horisont =x — x, Sin ——
rc .
- ie x SINE (2 Sna)=a, wenn rlez;
weil pr=u>=xcosa, fo wird x== ——, und
Ba cos a
u "GI Sin «)
cos &
Dieß ift die Steihung swifchen rechtwinklichten Coor⸗
dinaten, z, u, für bie Bahn des Punktsl, und fo lange
rc
Sin <z iſt, muß allerdings Bewegung ſtatt finden,
weil die Tiefe, zu welcher der Schwerpunft des Kegels
während der Bewegung herabfinft, einen bejahenden Werth
erhält. Es fey der Winkel apm=P, fo ft c==tang; 8
| (weit, v=cx), alfo muf Sina< —tang ß ſeyn. Wenn
i=R, muß Sin«<tangß < Sin 8
- cos.ß
folglich Sina < — ſeyn.
os.apc
goderungsſaͤne u So wie ein jeder nad) einer
Sefiiimeen Linie ausgebildete geneigte Kanal dazu dient,
einem ſchweren Koͤrperchen den Weg vorzufchreiben, längft
welchem es fich dem Mittelpunfte der Erdenähern muß, —
ten fo kann man die Känder der Kanäle, über weiche ich
ber doppelte Kegel fortwälst, als Hülfgmittel betrachten,
X 5 die.
930 V. Bruͤninge, merkwuͤrdige Bewegungen
bie dem Schwerpunkte des Kegels eine beſtimmte Laufbahn
vorzeichnen, laͤngſt Welcher ſich derſelbe dem Mittelpunkte
der Erde naͤhere. 2. So wie die Gefaͤhrden der fort⸗
fchreitenden Bewegung, Geſchwindigkeit und Zeit, im er⸗
fien Sale jedesmal von der Geſtalt bed Kanals abhängen,
und gänzlich unabhängig find von der drehenden Bewe⸗
gung des ſchweren Koͤrperchens: — eben ſo kann man
auch fuͤr den letzten Fall die fortſchreitende Bewegung des
doppelten Kegels, in deſſen Schwerpunkt concentrirt, mit
Huͤlfe der Bahn des Schwerpunkts ausmeſſen, ohne daß
die drehende Bewegung des Kegels den mindeſten Ein⸗
fluß auf jene Ausmeſſungen hat. — Man kann demnach
nach der bereits angewieſenen Verfahrungsart (I, IIL)
anzeigen :
1) wann und warum Bewegung ſtatt finden muß;
und durch die gewoͤhnlichen phoronomiſchen Lehren be⸗
ſtimmen:
dergleichen Bewegungen iſt.
Folglich wird der Punfe | (is. 2.) gleichzeitig vn
Scheitel f der Taptochrone plf erreichen, ob die Bene.
gung des Kegeld von l aus, von p aus oder von jedem
andern Punfte derfeldben beginne. Won p aus wird ber
Punkt lin f eine Gefchwindigfeit erlangt haben, die der
Tiefe pe==ar entfpricht, mit welcher er längft der ans
dern Hälfte der Radlinie, £ Ip, fteigen wird; dag heißt:
mittelft welcher der doppelte Kegel fich über die Raͤnder
des Kanals von ac nach dem entgegengefegten Scheitel p’
fortwälgen. wird; wo er fich wiederum gerade in benfelben
Umſtaͤnden befindet als in p, und dergeftalt feine rollende
Bewegung unabläßig fortfegt, fo daß alle feine mechfel-
feitigen Gänge von gleicher Dauer find. — Vielleicht
dürften die Bewegungen eines doppelten Kegels, aus die
| ſem
2) wie groß die Geſchwindigkeit und Zeit ‘u
eines doppelten Kegels. 378
Sefichtöpunfte betrachtet, für bie Anwendung nicht
unnäge fepn; denn obwohl ber Umftand, daß bey
gewöhnlichen Werfuchen mit ſchweren laͤngſt —**
alen gleitenden kleinen Kugeln, dieſe Koͤrperchen nicht
ſchwere Punkte ſeyn koͤnnen, keine Veraͤnderung in
cht auf die fortſchreitende Bewegung bewuͤrken kann,
ſich der Schwerpunkt der kleinen Kugel allerdings
iner mit dem Kanale gleichlaufenden Bahn bewegt,
alfo die nömlichen Gefege befolgt, als menn er uns
elbar laͤngſt dem Kanale glitte; — fo wird doch die
elmäßigfeit jener Bermegungen dadurch geſtoͤrt, daß
leine Kugel, jedesmal nur in einem Yunfte vom Ka⸗
geftügt, außer der drehenden Bewegung um eine
erechte Are (die lothrecht auf der .Vertifalfläche des
als ſteht) von welcher bie fortfchreitende Bewegung
gens ganz unabhängig if, — daß die Fleine Kugel,
ich, außer jener drefenden Bewegung, noch gerin⸗
Abweichungen feitwärts unterworfen iſt (gleichwie
e Körper, deffen Schwerpunft nur in einem Punkte
erftügt iſt) die natürlicher Weiſe für bie fortſchrei⸗
ve Bewegung nicht gleichgültig find; obwohl diefel-
an beyden Seiten durch die Ränder des Kanal ein«
hränft werden. — Diefe Abweichungen nun wer⸗
mittelſt des doppelten Kegeld vollig vermieden, deſ⸗
Schwerpunkt nicht in einem Punfte nur geftüge
fondern jedesmal in zween Punkten, in gleicher
fernung vom Schwerpunfte, auf den Raͤndern des
mis aufliegt.
vi
2 WM. Räfne, über Jungenickels
. * J
Jungenickels Vorſchlag, den Kreis vermittelt
des ſenkrechten Cylinders zu rectificiren; darge⸗
he von a G. Kaͤſtner. |
I) Aır der krummen Släche eines folchen Cplinderk
befchreibe man eine krumme Linie, die mit jeber Seite de 1)
Cylinders Winkel von 45 Graden macht.
2) Zwiſchen den zween Punkten, to biefe Erum
me Linie in eine. und dDiefelbe Seite einfchneider, If da
Stuͤck der Seite, fo lang ale der Umfang ber Srundſo
che des Cylinders. 3
3) Bon. einem rechtwinklichten gleichfehenttichtn
Dreyecke, deffen Grunblinie ih um den Umfang. det
Grundflaͤche des Eylinders Iegen ließe, gäbe die Hype
tenufe, erwähnte krumme Linie ald Schraubengang.
Die Höhe des Schraubenganges wäre der Grundlinie bed
Dreyeckes, oder dem ilmfange der Grundfläche des. Cy
linders gleich, und diefe Hoͤhe ift das genannte Stuͤck
der Seite.
4) Das lehret Jungenickel, Schluͤſſel zur Mecha⸗
nica; (Nürmb. 1661;) 193.%. 289. S., und meynt,
man koͤnne das beym Krummgerademachen ja ſo wobhl
Brauchen, als die zufammengeflichte Duadraticem, mit
welcher doch Schwenter weiblich pranget. Und wenn
man des MWinfeld von 45 Graden, Hälfte, Viertheile
u. ſ. w. braucht, bekoͤmmt man Hälfte, Viertheile u. ſ. w.
des Umfanges.
5. Nur hat Jungenickel nicht gezeigt: wie man
um einen Cylinder eine krumme Linie ziehe, die mit jeder
| Seite
a
Vorſchlag den Kreis zu rectifieiren. 333
Ssite des Cylinders einen und benfelben gegebenen
Binfel. macht?
Es wäre eine Lorodromie auf einer cplinbeifchen
krde. |
...6) Gleichwohl thut Jungenickel, ald wenn bie
Srechanifer das fehr in. der. Uebung bitten: „Wie
reiffen auf der Spindel der Länge nach eine Lineam, bie
mit dem Schraubenfuß zweene rechte Winkel macht, fol
eher einen Winkel theilen wir in zweene gleiche Theile mit
einer Linea, die da um die Spindel herum laufe, das
Kr bie. ſich gleich aner Schrauden- tinea binauf
Rinde “ BEE:
") Jungenickels Sud, ift ein. "Sefprih zwiſchen
einem ingenieur, der in Strasburg und: Altdorf ſtudirt
bat, uud einem Mechaniker, nämlich Jungenickel ſelbſt.
Der. ingenieur zeigt gar nichtd von ‚ber Faͤbigkeit Des
Seele, von ber er den Titel hat, und, fo unvolfommen
auch in angemandter Mathematik und Naturlehre, der
damalige UniverfitätSuntergicht gewefen feyn mag, ſcheint
es mir doch, er hätte meht lernen fönnen, und gegen
den Mechaniker eine beffere Figur machen. Er lernt vom
Mechaniker, die erften Lehren vom Hebel und den eine
fachen Ruͤſtzengen. Sn fo vielen alten Gortificationd«
büchern wird doch fhon von Mafchinen gehandelt, daß
ein Ingenieur das wohl hätte wiſſen ſollen. Weil aber
ei Mechaniker das Such gefchrieben bat, fo iſt bie Schlla
verung des Studirten vielleicht fo gerashen, wie nach
deln Gedanken jenes Löwen, Kämpfe zwiſchen Löwen
und. Menſchen vorgeftellt würden, - wenn Loͤwen Mahler
wären. Sie wäre doch natürlich zu fragen: Wie
rriſſet ihr denn dieſe Lineam? Des rechtwinklichten
me Grundlinie muß ſich um des Kreiſes Um⸗
fang
⁊
334 VIE Kaͤſtner, die Kettenregel
fang legen laſſen, alſo kann man ſie nicht eher geld,
nen, bis man ſchon die Laͤnge des Umfangs weiß.
8) Unter den unzähligen verungluͤckten Vorſchlaoͤ⸗
gen, den Kreis zu rectificiren, verdient dieſer wohl im⸗
mer noch mit aufbewahrt gu werden, weil er vi.
ter feine Fehler hat, als bie, daß er das Verlangte
gäbe, wenn man ihn ausführen koͤnnte, ohne das Bu
fangte fchon zu haben. Auch ſicht die Analyfe, -durd
die J. darauf koͤmmt, fpigfündig genug aus: „el
rund und gerade. zwey widerwaͤrtige Dinge find, ...'
und boch mit einander verbunden find, fo bleibt ein jebed
in feiner eiguen. Art. Darum, wenn man. eine cirkk
sunde Lineam, oder eine cirfelrunde Flaͤche in eine gem
de verwandeln will, fo muß man es nicht auf bem fe
hen Papier verrichten, ober auf einer andern gerade.
Flaͤche, fondern es gehört eine folche Fläche dazu, bie pe
gleich beydes hat, als, bie da rund und auch lang ik,
allerdings wie ein Cylinder oder Schraubenfpindel.“
VII.
Die Kettenregel; vor Graumann.
J. ber kaufmaͤnniſchen Rechenkunſt, wird Braumam
gewoͤhnlich fuͤr den Erfinder der Kettenregel angegeben
Der Mathematiker kann das nicht anders verfichn, alt
daß Gr. fle etwa zuerſt auf erwähnte Rechnungen auge '
wandt habe. (Meine Fortfegung der Rechenkunſt, 1. Kap.
3. Abſchn. 27 uf S.) Im x1. Th. der neuen auserle⸗
ſenen arithmetiſchen Geldtabellen. .. von J. P. Grau⸗
mann, 2. Ausg. Hamb. 1734. ſagt Gr.: Er habe
Ket⸗
|
‚dor Graumann. 335
Kettenregel ober Conjointe zu Hamburg suerft bekannt
gemacht.
Die Hamburger Nechenmeifter, denen dieſe Negel
allerdings neu war, hätten fie gleichwohl feit dem An«
fange des Jahrhunderts aus einem holänbifchen Rechen⸗
buche lernen fönnen: De vernieuwde Cyfferinge
van Mr. Willem Bartjens ... . vermeerdert ende ver»
betert door Mr. Jan van Dam. En nu in defen
laatften Druk ... door Willem Koolenkamp. Utrecht
1705. 8. 192 Seiten.
Da ſteht 176: S.: Den Regel conjoin, of
« 1’Samengevoegden Regel, anders Regel van Ver-
. gelijkinge
Iſt die Kettenregel, auch mit einem der Namen,
die Gr. ihr giebt, auf Vergleichungen von Maaßen,
Gelde u, fe to. durch Zwiſchenverhaͤltniſſe angewandt, wo⸗
bey auch gezeigt iſt, wie die Rechnung durch Regeln Detri
gefuͤhrt wuͤrde.
| Sie wird auch da nicht für new ausgegeben, und
muß alfo ſchon ſeyn in ber Kaufmannsrechnung welipre
worden.
Ihrem Namen nad) ſolite man vermuthen, baß fie
ans Sranfreich abſtamme. Graumann veranlaßte bey
mir diefen Gedanken nicht, weil. bie Deutſchen gern alles
franzoͤſiſch neunen, wenn gleich Frankreich manchmal ſo
wenig davon weiß, als von vielen franzoͤſiſch benahmten
Moden. Der Hollaͤnder aber iſt gewohnt, ſelbſt Kunſt⸗
woͤrter in ſeine Sprache zu uͤberſetzen, denen der Deut⸗
ſche die Spuren Ihres Urſprungs läßt. Es iſt alſo zu
vermuthen, daß er vom Franzoſen gelernt hat, was er
feangöfifch benennt. Die Benennung von ber Kette
koͤnnte allenfalls Graumanns fepn.
A. G. Kaͤſtner.
VIII.
° vm. “hen, was ift Schünzeug?
VIII.
Was r Schünzeug?
En“ mathematiſches, in allen großen Bergwerken
braͤuchliches und alſo genanntes Inſtrument, womit mas
. bie Bergwerke abſchuͤnet, d. i. abmißt.
2. . Irb. Balnafors: Ehre des Herzogthums Era
aybach 1689. Fol.) 1. Th. 4. B. 12.. 6. 554 ©.
‚Der Frepherr ergäßlt: „er habe 1685, mit. fh
em Schünzenge bie bepden Seen, ben bey Kumpel und”.
ben bey Podpetſchio, welche eine Meilwegs von'einde i
der liegen, mit großer“ Muͤhe abgeſchuͤnet, und befune
ben, daß beyde Seen juſt unter einem Hoͤrijont liegen“
Es muß alſo eine Art von Waſſerwaage (ey. ä
Mir iſt der Name in dem, was ich auch von großes
Bergwerfen gelefen babe, nicht vorgefommen, auch fin
de ich Ihn in Friſchens und Adelungs Woͤrterbuͤchern
nicht. Es muß alſo ein Probinzlalname fon wie ſelbß
das Zeitwort abfehimen. Ä
2.6. Kaͤſtner.
I,
._
r
Rn ———— im — — —
37
|
Auszüge und Recenfionen neuer. Bücher.
tt -
1. Disquifitiones analyticae, maxime ad Calculum
Integralem et Doctrinam Serieruim -pertinentes.
Auctore Jo Frider. Pfaff, Prof, Math, P: OÖ. in
Vniv. litt. Helınftad. Acad. Sc. Imp. Petrop. et
Soc. Reg. Sc. Gotting. Correipondente. . Vol. I,
Hlelmft, ap. C. G. Fleckeifen 1797, 133 Df.
Herrn Prof. Pfaff's Verdienfte um die Analyſis Überhaupt,
und die Summirung der Reihen insbefondere, find befannts
auch iſt der von ihm (1788 Berlin, bey Himburg) herausgege⸗
dene Verſuch einer neuen Summationsmerhode, nebſt anvern
damit zufammenhängenden analytifchen Bemerkungen, mit alt
gemeinem verdientem Beyfalle aufgerrommen worden... In die⸗
fem Verfuche, ber größtentheils Ausdräcde für Summer von
Reihen der Sinuffe und Eofinuffe vielfacher Bögen, auch mie
geometrifchen,, algebraifhen und recurrtrenden Reihen. verbun⸗
den, enthält, ſah Herr Pr. Pf. feine Methode keinesweges für ers
ſchoͤpft, noch die Unterfuchungen alle für gänzlich vollendet an;
er erklärte ihn vielmehr für ein Fragment von ausführlicher
- Unterfuchungen über die Lehre von den-Neihen und ihren Sums
men, und gab fo zu fernerer Ausbildung und Ermeiterung dien
fer fo wichtigen Theorie die angenehme Hofnung.
Diefer Erwartung entfpricht dog, was vorißt von dem
erfien Dande analytifcher Unterfüchungen nur allein erfchienen
ft — die erſte Abhandlung: de Progreflionibus arcuum
- eircularium, quorum tangentes fecundum daiam legem
ocedunt, vollkommen. Zu den merfivürdigften Reihen von
eishögen, deren Tangenten nach einem gegebenen ober wills
tührlich angenommenen Gefeße fortgehen, find diejenigen vors
nehmlich zu rechnen, von denen Euler bereits (Comm. Vett.
Ac. Sc. Petrop. T. IX, p. 234) ein Paar Benfpiele. anführt,
und ſpaͤterhin (Nov. Comm, T. IX. p. 40 — 52) bie Sums
mirung folder Reigen, aber nach einem indirecten Verfahren,
. Gichentes Heft, P vor⸗
338 IX, Anszlige und Kecenfionen neuer Bücher.
vortraͤgt. Sie fehlenen diefem großen Geometer um fo mehr
alle Aufmerkfamfeit zu verdienen, weil nod keine Methode bes
kannt fey, ihre Summe a priori zu finden, und die Bogen
ſelbſt unter ſich alle incommenfurabel find. Er hielt fogar bie
Auffindung einer allgemeinen directen Diethode zu Summirung
ſolcher Reihen, für jedes willtüßrlich angenommene Geſetz ber
Tangenten, wo nicht für unmöglich doch für fehr ſchwierig, begnuͤgte
fi daher mit der Anwendung feines an fich zwar fimpeln, abet
nur a pofteriori gefundenen, Verfahrens auf leichtere Fälle, und
mit der Empfehlung, diefen Gegenſtand, der es allerdings ver
diene, gelegentlich weiter zu verfolgen.
Das iſt die Veranlaffung zu ber gegentwärtigen Abhand⸗
tung. Here Prof. Pfaff hat zwar im jener erſten Schrift
(Abſchn. XIX. ©. 99), auch von folhen Reihen gehandelt, |
uUnd fein Summationsverfahren,, nebft noch einem andern, base
auf angewendet; aber nur fehr kurz und unvollfländig; indem
er ſich begnuͤgt, bie Gründe a. a. O. nur überhaupt anzuzeigen,
ohne fich ins Detail der Rechnung näher einzulaffen (daf. G.
103.).. In der gegenwärtigen Schrift hingegen wird diefer der
genftand ausführlich behandelt, und zugleich eine Directe, ſehr
viel umfaffende Methode, die Summe von dergleichen Reihen
zu finden, vorgelegt; eine Methode, bie von jener erften (nad
welcher die Summen unendliher Reihen dadurch gefunden wer
den, daß man die einzelnen Glieder derſelben felbft in unendlis
che Reihen aufloft) ganz verfhieden ift, indem bier die Summi⸗
sungen fämtlic auf Producte aus einer unbeſtimmten Menge
Sactoren (Producta indefinita) und ihre Werthe zurückgeführt
werden.
Das Ganze enthält drey Abſchnitte. Der erfie (©.
g— ı0) giebt (Probl. und Theor. I. nebſt Coroll. ı, 2, 3) all.
gemeine Sormeln, aus gemeinen trigonometrifchen und alge
braifchen Lehren abgeleitet, die fich auf jedes willtührliche Fort
gangsgefeb der Tangenten, fo wie auf endliche und unendliche
Summen der Kreisbogen erſtrecken. Won den nur erwähnten
Productis indefinitis und ihren verfchiedenen Ausdruͤcken unb
Werthen handeln iInsbefondere ss. VI — IX. S. 7 —9. In
der Folge werben, bey der Anwendung dieſer Grundformeln,
zwey Gattungen von Reihen unterſchieden, und ihre Behand⸗
lung in den beyden folgenden Abſchnitten ausführlich nachgewie⸗
fen. Der zweyte, In zwey Capitel abgetheilte, Abfchmitt 8
10 — 65
IX, Auszuͤge und Hecenfionen neuer Bücher. 339
15 — 65) befchäftiget fi) mit Summirung der erfien jener bey⸗
den Gattungen von Reihen, dahin alle diejenigen gehören, des
ren Summe aus den allgemeinen Formeln des erfien Abſchnitts
fid) zwar nicht, ohne Beyhuͤlfe anderer Säge ber Anafyfis des
Unendlichen, ableiten, aber doc) durch einen Bogen ausdrüden
läßt, deflen Tangente man algebraifd, angeben kann. Solche
Meiben nennt hier Hr. Pf. in diefer doppelten Hinſicht alges
braiſch ſummabel. Daher die Ueberſchrift dieſes Abfchnitts :
_ Inveftigatio ferierum algebraice fummabilium, und der Sins
halt der Aufgabe (Probl. II. p. 10) womit er anfängt: Inve-
ftigare formam generalem ferierum, A.tangt'+ A.tang t”
“> Astangt”...... A. tang tx, algebraice fummabilium.
Ale Reihen, die Euler in der oben angeführten Abhandlung
fummitt bat, gehören zu der erfien Gattung, die hier wieder in
z3wey verfchiedene Arten abgetheilt, und jede in .einem eignen
Eapitel behandelt wird. Zu der erften Art gehören die meiften
Enieriihen Erempel, die bier (p. 16, XVIII, p. ı7, 5) nur
nachgewieſen, deflo genauer aber die Analyfis berfeiben, und ihre,
fo viel ſichs chun läßt, einfachen allgemeinen Formeln (derglets
hen Euler nicht gegeben Hat) dargeftellt werden, infofern fie
ämtlich der fummabeln allgemeinen Forms A,tan !
ſamtlich —E
+ A, tan +-A.tang
I- I
®4LFaMFN SLFaMEN
I >
.. H+ A. tang —— — — A.tan , mit der Bes
+ SIz2rMxFN STFM .
dingungsgleihung sa LN =M?— L+ 4 unterworfen find. Bon
der zweyten Art hat Euler nur vier Benfpiele gegeben (hier
p. 35, XLIII, 25 p.41,LIV; p. 43, LVI, 2; p. so, LXXII, 2)
I I
von denen das erfie der Form: A. tang - — A, ai —— —
Ä f ip —ãA
— etc + A. tang I. r ete
7
1
A. — —
t ·a. tang A(A?+2)?—A
*44 tung — (wo die Nenner ineiner recurrirenden Reihe von
der Scale A?-+2,— 1, fortgehen) das zweyte der Form:
A. ung HA. tagt etc-+ A. tang 4 ete==4A. —*
Z
. (bie Nenner find bier Quadrate, deren Wurzeln eine reeurri⸗
| Ya rende
340 IX: Hahjüge und Recenſinen neuen Blcher:
gende Relhe ber Siale A,— 1, bilden; B=A? gefeht) zuge ⸗
* welche Fotmen gleichwohl · in auderer Ruͤcſicht nur, fpes
"elalle Bälle anderer viel allgemeinerer Sizmmationen dorſteticn
n ber beynen oͤbri⸗ | t Euler ni einmaf &
ee ber Bönne ia ben Miphriden 55
sten des, Bogen angegeben, das hier nachgeiviejen Ypird;
und im lehten Sale seine tesurriende Reihe mit Yubän
(iiem jecutientempeumlappendice; vergl. ©, 27.
. Die Auffuchung der allgemeinen Form der. Neiben,
A.tang. U + A.tang, 2’ A,tang. "+ etc, die ſich al “
ſummiten laſſen, (wie hier in zweyten Abſchnitte nur allein bes
grachtet werden) laßt, ſich auf den Ausdtuck eines unbefimmten
* Propurts (6. VI) zurückführen; und fe ift denn für die Sums
ſolcher Reiben uͤnſtreitig der einfachfte, und daher, auch zuerſt
. XU, XV) in Erwägung gezogene Fall, wenn die unbejkimmte
ge ber Bactoren Des Products, welches die gefüchte Sum |
me barftellt, Brüche find, deren Zäpfer und. Nenner fo auf eine |
ander folgen, baß fie ſich immer wehfelfeltig-aufbeben, und
nur der. erſte Zähler und lette Meuner Übsig bleiben, wie üt
91 9203 Oma) 9x __9ı Ei
—. — — * — Ein an⸗
92 9394 .Px .Plxtı) Plxtı) :
“ derer. Fall, wo ein unbeflimmtes Product auf ein beftimmie® -
zurückgeführt vofrd, iſt (6. XII, 5, p. 12.) B
BI - 92 Or: P(ıtr) ©ox
9Gtr) PICH 75) 92r @lıt2r) Plx+tn) \
or 92... pr. wenn
_— u 75 davon auch ſpaͤt
Yiatı).9(&+2)...o(xtz) ‘ » in
eine Anwendung auf Probl. VII. s. LXXX VII. gemacht wors
den iſt. Die Summe der Bogenreihe: A.cot A+ A.corB
eh Acot Z.., deren Eotangenten in einer recurrirenden
Reihe fortgehen und gegeben find, mit den Bedingungen, wenn
ſich ſelbige aigebraiſch angeben läßt, wird 5. XXXLV. in Bes
trachtung gezogen, auch ($. XXX VL) gezeigt, wie man aus der
Surmme der Reihen von unendlich viel Gliedern (mie hier ges
wöhnlid vorfommen) die, für eine beftimmte Anzahl lieber, leicht
herieiten könne. Ver Hauptfag für dergleichen durch Cetch⸗
genten gegebene, Vogenreihen, iſt in dem allgemeinen ($.
vn. 2, p. 31 aufgeftellten) Theorem enthalten. Zu der
quemer Veberficht des weitläuftigen Inhalts deſfelben, And be
fondere Säle davon in 7 fpeciellern Lehrfägen (55. ——
* —* 7 91
IX. Auszüge und Recenfionen neuer Bücher. 341
XLVII; LI; LVII; LXIV; LXVIII; LXXXV) aufge
fiellt, wo mehrere Beftimmungsgleichungen auch Aufſuchung ra⸗
tionaler Werthe für gewiffe Großen gegebener Functionen ober
Gleichungen vorfommen ($. LXLII und der Lehnſatz s. LXXVII
mit feinen Anwendungen) und überall Erläuterungen ber aufges
führten Säße an Buchſtaben⸗ und Zahlen : Erempeln nachgeivies
- fen werden. "Aus dem bier Beygebrachten kann man fhon, ohne
die Lehrfäße felbft vor Augen zu haben, die große Verwickelung
‚abnehmen, die hier vorfommt, too gleichwohl der Herr Verfafs
fer alles mit größter Deutlichkeit und hinreichender Ausführlichs
feit auseinander gefebt hat. Wollte man, wie 5. XXX ein
Benfriel vorfommt, aus der unzähligen Menge von Reihen,
die fi) nach den Saͤtzen des zweyten Abfchnitts fummiren laſ⸗
fen, zwey oder mehrere zufammen addiren, fo würden das
durch neue Bogenreihen entftehen, die fi, fummiren ließen, des
ron Cotangenten aber nicht mehr das bisher betrachtete recurri⸗
rende, fondern ein anderes, mehr zufammengefebtes, Geſetz
befolgen würden. Da die Betrachtung ſolcher Reihen auf fehr
verwickelte, wenig allgemeine und vielfach beſchraͤnkte Saͤtze fühs
ten würde: fo bar Herr Prof. Pfaff, um allzugroße Weitläufs
tigceit zu vermeiden, es bloß bey der Anzeige Cs. XC, 2), wie
nran bier weiter gehen koͤnne, bewenden laffen. Der Dritte
Abſchnitt (p. 65 — 132) bat die Ueberſchrift: Inveſtigatio
ferıerum tranfcendenter ſummabilium, betrift alſo Reiben,
wo die Summen ſich traſcendentiſch angeben laſſen; deren Er⸗
forſchung ſchon ſchwieriger, als die im vorhergehenden Abſchnitte
iſt, und Kenntniſſe der hoͤhern Trigonometrie und Analyſis vor⸗
ausſetzt. Im erſten Capitel (Ss. XCII —- CXXXIII) voran
einige Lehnſaͤtze, wo der Werth von Producten aus unzaͤhlig viel
Sactoren, durch logarithmiſche⸗ Kreis und trigonometrifche Func⸗
tionen, alfo tranſcendentiſch, ausgedrückt wird, von Süßen abges
leiter, die Job. Bernoulli erfunden, Euler, Kaͤſtner, 2’Zuilier
erwiefen und zum Theil weiter angewendet haben. Dann fols.
.. gen (Probl. VIII - XV. mit ihren Zufäßen und Anmerkungen)
yerfchiedene den verwicelten Unterfuchungen zum Grunde liegens
de einfachere Aufgaben. Bey. diefen wird, aus der Reihe
allgemeinem Gliede das Product aus unzähligen Factoren
-(Productum indefinitum) nad) den Lehrſaͤtzen hierüber ım er⸗
fien Abfchnitte, abgeleitet, und der Werth diefes Products. (die
Summe der gegebenen Reihe) nach einem der vorangeſchickten
Lehnfähe ausgedrückt. Weitere, zum Theil ſehr verwidelte Ans.
wendungen diefer Aufgaben Tomas" im folgenden zweyten Kar
Ä 3 Ä pite
2342 IX. Auszüge und Necenfionen neuer Bücher,
pitel (s. CXXXIV —CLXII) vor, weldhes Summationes
generaliords enthält, und mit ber wichtigen Unterſuchung
(Probl. XVI. $. CXXXIV— CXL) anhebt: Einen Bogen,
deſſen Tangente irgend eine gebrochene Function von z ifl, 3.8,
| Aug in fo viel Bogen zu zerlegen, deren Tangenten ein?
g’ a” .
A.tang — 4 etc
z+ Fr z+b" re
> A.tang * „auf wie viel Grade der Nenner Q fleigt;
2 0. |
und diefe Zerlegung iſt immer real, welches bey ähnlichen; Zer⸗
legungen der Funktionen nicht der Fall iſt. Diefes, und was
der Herr Verfaffer hierbey über die Kennzeichen fummabler Rei⸗
ben beybringt, nachdem F irgend eine functio fracta par oder
fache Brüche find, wie A.tang
impar der veränderlichen Größe, mit durchgängig pofitiven oder
abwechſelnden Zeihen iſt, zeigt den großen Nußen bey ſolchen
Reihen, deren Summe durch einen Bogen ausgedrückt wird,
deffen Tangente felbft tranfcendentifche Größen enthält. Bey⸗
fpiele folher Summen von Reihen, die man In doppelter Hins
ſicht tranfcendent » ſummabel nennen kann, Het vor Herrn
Prof. Pf. niemand gegeben. Die Schwierigkeit des in biefer
Schrift fo meifterhaft behandelten Gegenftandes har nicht felten
zu lehrreichen analytifhen Bemerkungen und Unterfuchungen
Anlaß gegeben, 3. ©. über die Factoren der unmoͤglichen Groͤße
Q+Py-ı=xatbtay—ı. Diefe innen zwar aus
den Factoren von zU-+-B, vermittelft des Cotcſiſchen Cehr⸗
farzes, abgeleitet werden, wenn man dort B=b+tay —ı
feßt; aber in dem Beweiſe diefes Lehrfaßes wird B gewoͤhnlich
als: eine mögliche Große vorausgefeßt (5, CXLVI). Dieſes,
und der Umftand, daß man bey Behandlung der imaginären
Groͤßen ſich leicht verfehen und in Fehler verfallen kann, hat
Heren Pf. bewogen, die Auffindung der einfachen Factpren der .
unmöglihen Größe m +b +ayY —ı in einem Lehnſatze
($. CXLVII) aus befannten trigonometrifchen Gründen ; aus
. führlih nachzuweiſen. Deutlichkeit, Ordnung und firenge
Buͤndigkeit in den Auflöfungen und Beweiſen der Säge, mar
chen diefe Schrift, durch welche die Analyfis der Reihen fo fehr
iſt erweitert worden, befonders lehrreich; auch find. darinn ver
ſchiedne neue, den Druck erleichternde und. Raum erfparen
ei
4
IX Auszüge und Recenſionen neuer. Buͤcher. 343
leicht faßliche Zeichen eingeführt worden; welches um fo verdienſt⸗
licher iſt, jemehr durch felbige bey fo großen Verwickelungen,
als bier nicht felten vorfomnien, die allgemeine Weberficht Ges
fördert wird.
Es iſt befanng, wie ſchwierig es ift, aus der Tangente t
des einfachen Bogens die Tangente » des nfachen (aus Arc,
ang t ben Arc. tang r) für jeden Wertb von n allgemein zu
beſtimmen (Käftn. Anal. des Unendl. s. 331. ©. 255). Herr
M. Eſchenbach bat über diefen Abfchnitt der Käftn. Anal. com⸗
mentirt: Ad Fratrem, Cbriſt. Gotth. epiftola:' ineft iꝶ
locum Kaefinerianum de multipli angulorum rangentibus com-
mentatio (Lipf. 1785. 20 pagg. IVto.). Der gewößnliche
Ausdruck durch die Sinus und. Cofinus des nfachen Bogens
fährt auf die vationale gebrochene: Function
nAt — Ctꝰ Et⸗ — nr’ ete
ı —ã— Bie + Det nFrc+etc
die fich ſehr ſchwer auf eine brauchbare rationale ganze bringen
läßt, wie erfordert wird, wenn man r, für alle Wertbe vonn
(nicht bloß für ganze pofitive) zur Berechnung hinreichend bes
quem ausgedruckt verlangt. Kerr E. hat fich Hierbey, das Ges
feß des. Fortgangs in den Eoeffickenten der entwicelten Reihe
für # deutlich darzuftellen, der Combinationsclaffen: aA,
buB, enC, etc bedient; da aber, auf dem von ihm gewählten
Wege, diefe Eoefficienten nicht nach Potenzen von n geordnet
(wie man fie der Bequemlichkeit der Rechnung wegen braucht)
fid) ergeben, auch nicht ohne viele Mühe zufammenrechnen lafe
fen: fo hat Recenſ. (Leipz. Diagaz. der Mathem. 1786. ©. 270)
gezeigt, wie ſich, durch eine verbeflerte Analyfis, der geſuchten
Heide 7 allgemeines mte Glied 7m, vermittelft der ers
noutlifchen Sablen, in einer combinstorifchen, nad) Poten⸗
gen von n geordneten, Sormel *) darftellen laffe. Aus den
Yg Schwie⸗
Igch bediene mich dieſer Gelegenheit, das a. a. D. aufgeführte
allgemeine mte Glied der Reihe x in einer verbeſſerten Bei
nung bier vorzulegen, und zugleid ein paar Druckfehler, in
den gpoen legten Sellen des Zeigers, aufzuheben. Es if
namlich:
2(32. Ant
s7m= Fr. aMmAn'+ ——.atica® ...
m
Ri F_YY gm—ı | m—ı
1, 2, 3. 4. .. 2m
wo
ik:
344 Vlachige und Reeenſionen u,
Sqwierigkeiten, die Ayo hier:· vackommen/ wo Doch alle eins
⁊
Ze
fache Bogen ; und eben: ſo auch ihre Tangenten, einander
Pe find, kann man ſchon auf Die große unih ſchwierige Wer
. widelung rechnen, welche die Auflofung der. in gegenwärtige. .
Abhandlung vorgettagenen weit allgemeinern Aufgabe, Haben
muͤſe, wo die Bogen unter ſich, und eben fo ihre Tangenten
t X; r, ete ſaͤmtlich verfchieden find. Daß die Summe.
J —— dem Geſetze beruhe, ihre Taripeniten
in die Augen; dahin gehören bie von Herrn Pf.
angegeberien Bedingungen, unter welchen die Tangerkte-des Der:
gene Fre Summe —— oder æ tranſcendentiſch 4 a
t. u
Einzelne Hroben Biefer muflerbaften Anckuhrnng aufzuſtel⸗
fen, wuͤrde ſelbſt fuͤr dieſes Journak zu weitlaͤuftig ſeyn. Statt
aller andern’ mag Jedoch hier die erſte Aufgabe (9. IV.), die
Grundlage aller übrigen, dienen, beren Aufloͤſung Here Pr. Pf.
in einer combinatoriſchen Formel gegeben bat: „Die Sum :
. „me seiner unbeſtimmten Menge von Kreisboͤgen, deren. Tan ;
„genten einzeln gegeben fi fin ad, in einem Bogen amszudrüden, :
ndeſſen Tangente aus den Tangenten jener Bogen zuſammenge
„ießt, alſo eu beſtimmt gegeben ift.‘ |
Für
w, -. |
fe m=1 2, 3, % et
mM—I
kommt A = Y, 3, €, D, etc
2m—3
. und a — a, 6, et, 9, etc
3m—2
‚und A = A, C, E, G, etc
und hieraus folgen der gefuchten Reihe Glieder, nach ber Ord⸗
nung. Namud A, B, C... bedeuten hier die Bernoulliſchen
Zahblen; , ben um m—ı Gtelen von A vorwarts entferrt
Hegenden Suhflaben; A, bie (2 m— ı)te Combinationschafft, :
- 23734
und zwar hier zur (nebenfiehenden) Summe 2m — 1; a; de .
Dazu gehoͤrſgen (2 m—r)ten Polnnomtalcoefficienten. Die Bew :
noulifchen Zahlen find bier nach Euler duch U, ©, au:
gedruckt; die Abeigen, combinstorifchen Zeichen befolgen Die
einmal von mir teinelnhete und fefigefegte Bedeutung, Ä
„IX Abzüge und Kecenfonen neuer Bücher. 345
Für zufammengebörige 7
Kreisbogen «, 3, Y, I 8 .ıe 2
und Tangenten t!, tl, U, UV, tV...
«wo alſo
tang. & =t; 3 #2 Arc tang. Ü
tang. B=t; ; B = Arc. tang.t
tang. y—=t"; y= Arc, tang.t
% f. w. ift befanntermaßen :
tang “+, = it „;
she ober A. tg. t Hate. "A. tg. ——
tt
Daraus wird (die Summe von zween Bogen als dem ers
ſten, und dazu einen dritten als den zweyten, genommen) der
Werth der Summe von drey Bogen, und fo toeiter von vier,
< fünf und mehrern Bogen, gefolgert und erwiefen. Die eombie
natoriſche Sormel dafür (flatt @, 8, y, ⸗ .. die obigen Werthe
geſetzt) iſt, folgende:
Arc. tang.t'+ Arc. tang.t t"+ Arc. tang, !”+etc
A—E+E— _ GEHT —L’+ere
—B+D— F+-H'—K'tetc *)
c, tb, ni, DI...
.„. “Arc. tang. ——
Demnach iſt, fuͤr di Summe von zwey, drey, vier, fünf...
Bogen nad) ber Dronung, oder
1}
"Arc, tang.ı'+ Arc. tang.t"= Arc. tang
. , 1 —
| (t, e)
3g.rttFAtgt+ A. tg. t A. tg. — = 5
I —
(t t t“)
Ys La | A,., wz.
Hier bedeuten A', B', C. D, etc die erſte, zweyte, dritte,
vierte; u. |. m. Combinationsclaffe , in deren Complerionen
. bie Elemente d, t", €"... des Zeigers, fimpliciser Und ohne
iederholung, vortommen, Das fehe Leichte comdinatoriſche
| erfahren dafür zeigt Inf. Dign. p. 161,
nn v un” ⸗
⸗ * 1
. 346. 1X. Mid;lge und Recenſtenen neuer Batte
| | | ya, re —F
0 0 0 . 0 tav ==A. ———— —————
A, tg. t -FA.tg En %
j (v, te, "s m) “
| . A—C+E -
u .' . { PK ur —0 . 9 Y — A, 0 mg —
Et. A = SIEB}
| 0 Ce, te, t", ev, t”) on
u. ſ. w. fo, daß immer die Anzabl der aufzufuͤhrenden Combi
"> mationtelaffen A’, B',... und F — r, * m
iger, mit der Menge der zu fummirenden Bogen KK.
—— ——— Werden z. B. hier in der verl J
ten Formel, die cınzeinen Eomplerionen für ihre Claſſen u‘;
“fee, fo yermanbet fi, für die Summe von vier Bogen, }
A
AS TZEHD ver
HH
A. ——— ⏑⏑ — ——— —
*8 1 BT A Glen 3) Sud da dl a 11 ee 20 ZU Fr Dr
\ . . »
Statt der hier mit + und — verbundenen Blieder ; (be
ren Anzahl in der Folge beträchtlich anwächft und größer wit) -
laſſen fich bequemer Factoren ſchaffen; und fo wird (6. VI) ge :
zeigt, wie man aus dem erften und einfachfien Satze der Ste
ungen (vom Verbalten der orten berfelben zu ihren
Wurzeln) die Ausdruͤcke A-C+E — G' ter mw:
1 B+D—Fterc[auf(r HZ) (FL)... beige |
2 2 — 4
and nachher 22=ı oder z=y —geſetzt] in Faetoren von
der Form (I Fr" Y—ı) verwandeln, und dadurch vermit
telſt bequemer Zeichen (6. V. hypoth.) das Productum indef-
nitum darftellen Eonne, um felbiges an die Stelle der obigen:
combinatorifchen Functionen zu feßen, J
Der erſte Band enthält voritzt nur dieſe einzige Abhand⸗
lung, die fih. mit S. 132 fehließt. Der unten auf diefer Geite
ehende Cuſtos Noua verſpricht zwar- eine Fortſetzung; es IR
aber bis itzt noch nichts weiter, als diefer erfte Auffaß, erſchie⸗
nen und in den Buchhandel gekommen ; obgleich ſchon damals,
als er ausgegeben ward, mehrere Bogen, als hier geliefert-find,
bereits fertig abgedruckt waren. Was bierbey Aufenthalt ver.
arſacht, und: was man fih bey einer weitern hortſcbun⸗ des
f
X. Auszüge und Recenfionen neuer Buͤcher. 347
Werks zu verfprechen bat, ‚wird man aus folgenden, für die
Renner bier mitgeteilten intereffanten, Nachrichten am beſten
rſehen und beurtheilen tünnen.
3. Auszug eines Briefes von Herrn Profeflor Pfaff an
den Herausgeber,
Helmſtadt, den 16 April 1797.
Ms die von Ahnen verlangte Nachricht wegen der Hers
ausgabe meiner Disquif. analyt. anbetrift, fo melde ich Ih⸗
nen, daß ich fehr wuͤnſchte (da es mit dem Drucke derfelben,
mancher Schwierigkeiten wegen, etwas langſam gieng) doch den
erſten Theil zur bevorftchenden Dftermeffe fertig zu iehrn. Es
yeigte fich aber dabey , nach einem ungcfähren Ueberſchlage, daß
das Manufeript dazu zu groß war. sch entichloß mich daher,
sine weitläuftige Abhandlung von Reibens Summicung, um
berentivillen ich eigentlich die Ihnen fchon befannte Unterfuchung
über die Integration einer Differenzialgleichung angeftellt hatte,
für den zweyten Theil aufzuheben, und dagegen eine Fleinere
Abhandlung Über die Reverfion der Reiben zu entwerfen, wor⸗
inn ich die beyden Auffäße im erfien Hefte Ihres Archivs weis
ter ausführen und ergänzen wollte. Diefe Abhandlung dachte
ih nun, zu Süllung des erfien Bandes, und, wegen deg Zus
fammenhangs, auch die beyden nurerwähnten Auffäße, beyzufüs
gen. Die Abhandlung über die Neverfion der Neihen habe ich
auch fat ganz ins Keine gearbeitets. fie iſt aber ungleich auss
führlicher ausgefallen, als ich es anfangs gedacht hatte. Weil
nämlich bey der Reverſion der Reihen doch am Ende das Wichs
tigfte auf den polynomiſchen KLehrſatz ankommt, von dieſem
aber die combinatoriſche Behandlung manchem Lefer, befons
ders auswärts, noch nicht recht geläufig feyn möchte, fo hielt
Ich es für zweckmaͤßig, auch von diefem Theorem zu handeln. -
Dabey mußte ich nun zugleich mic, auf das eigenslich combi⸗
nasorifibe einlaffen, und vornehmlich die neuen wichtigen Aufs
fchtäffe benußen, die Sie in der neueſten Schrift (der polyno⸗
mifche Lehrſatz zc. Leipzig, bey Fleiſcher 1796. H.) hauptſaͤch⸗
lich über die combinatorifchen Involutionen gegeben haben,
Nuͤtzliche literarifche Notizen babe ich überall mit beygebracht,
auch das Nöthige von Herrn Statsrath Teens Verfahren, wor⸗
über ich Ihnen meine Gedanken in einem meiner vorigen ni
0 | fe
343 IX. Auszüge und Necenfionen neuer Buͤcher.
fe *) geſchrieben habe. Herr Tetens wird wenigſtens voͤllige Uns
partheplichkeit in meinen Aeußerungen wahrnehmen. Vermuth⸗
*, Dom 28. Septbr. 1796. Dieſer Brief enthaͤlt ein ausſuͤheli⸗
ches Urtheil, meine neueſte Schrift, die Combinationslehre
ih.
und ihren hoͤchſtwichtigen Einfluß auf Die Analyfis, betreſ⸗
fend (polyn. Lehrf. ©. 153 — 304). , Die hieher gehörige Stele
wegen Herrn Etatsratb Tetens Subititurionsverfabhren (a.a.D,
©. 1 —47.) das er überall ſtatt meiner Combinationsmethode
glaubte brauchen zu können (Ebend. ©. 3, 4.) if folgende: —
„Aus Heren Terens Auffage babe ich das Wefentliche abſtrahiet,
„und, glaube, daß ſich das kürzer hatte können fagen laffen. Diefe
‚meine Bermutbung haben Ste auch befldtiget, Indem das, mad
„Sie darüber (©. 250. u f.) fagen, eine deutliche anfchaulide
„ueberiicht in ver Kürze gemdhrt. Daß fich jedes Glied der Pas
„eng eines Polynoms, auch obne Combinationen unmittelber
„zu Hülfe zu nehmen, darſtellen laſſe, kann Heren Tetens nicht
„nbgefprochen werden. Indeſſen fcheinen mir doch feine Opera
„tionen etwas zu Involviren, was den beym Combiniten erfor
„berlichen Operationen ſehr aͤhnlich if. Es iſt daher allemul
„metbodiſcher, dieſes nicht involvirt zu laſſen, ſondern als ein
„eigenes Problem zu entwickeln, das ſich noch weiter as
Iſtreckt, und von dem auf das Potenzen⸗Theorem nur cine fre
„cielle Anwendung Kemacht wird. Go wird denn das ganze Ber
„fabren ſicherer, leichter zu uberieben, und (auch ſchon we
„gen der. anfangs nicht nöthisen Rücklicht auf die Polhnomial⸗
zevefficienten oder Verſetzungszahlen) einfacher. Ein Bora
„dee combinatorifhen Darkellung , ber vieleicht allein ſchon den
„Ausſchlag geben Fann, beſteht auch darinn, daß fie nicht eine
„blos in Worten mweitlduftig auszudruͤckende Regel, fondern zu
„gleich eine deutlich gezeichnete allgemeine Sormel giebt. —
„Herr Tetens jicht die combinatoriſchen Operationen in der Ana⸗
„ſyſis fremde an, da fie doch fett Inaper Beit von mehrern Mi
„tbematifern (Leibniz, de Moivre, Zar. Bernoulli, Cra⸗
„mer, Boscovich, Caſtillonz 9.) vielfditig, namentlich bey
„dem Potenzen s Theorem und bey der Reverfion dee Reiben, ſind
„gebraucht worden. Auch if der Grund, worauf fein Merfahr
„een gebaut iR, indem ndmiid p=a+bz-+cz?--erc=a+y
— m.em — 1
echt, und fo a m an-i,
1. event,
„w. gefunden wird; dieſe Reduction iſt auch von andern, z. 8.
„Simfon, Euler, auch bereitö von YO. Jones (Synopfis etc.
. 2706) gebraucht und zu Entwickelung ber Potenzen von unbe
„ten Erponenten angewendet worden.’ —
Eine ansführlihe detaillirte Verufeichung meiner Combinas
tionsmethode mir Herrn Tetens Gubſtitutionsverfahren, findit
man in meiner oben erwähnten Schrift (S. 241 — 283); 'auch
hat der Recenſent berfelben in der allgemeinen Litteratur⸗ Bels
. tung (vom 7. Dec. 1796. No. 380, 381) ſich umſtandlich (9.
378 — 581) darauf eingelaffen, 8.
IX, Auszüge und Necenfionen neuer Bücher. 349
lich wird er bereits für fi den Vorzug der combinatorifchen
Methode. vor ſeinem Bubititutionsverfahren anerkannt haben.
Mein Urtheil ftimmt in der Hauptſache volllommen mit dem
überein, das Sie mir einmal aus einem Briefe von Herrn
P. K. mitgetheilt Haben, und das ic) auch überaus pafjend aus⸗
gedruckt fand *). Ich freue mich der angenehmen Hofnung,
daß meine Abhandlung über. ein Hauptproblem der Analyfis
- Ihren Beyfall nicht verfehlen wird. Zugleich glaube id) einer
Bunfd) einigermaßen erfüßt zu haben, den Sie einmal ſchrift⸗
lich gegen mich geäußert haben, daß ich mich nämlich auf das
Bigentbämliche der combinatorifben Operationen und In⸗
volutionen genauer einlaffen ſoilte **). Das habe ih nun
on - u woirl
) Aus Briefen, vom 29. Aug. und 30. Nov. 1796. — ui
balte eö für etwas nicht au besweifelndes, daß der polynomi
nie Lehriag ganz auf combinatoriihe Ausdrüce gegründet
„werden mülfe. Denn mas gpeicieht bey der Erhebung einer
nvieltheltigen @röße auf eine Potenz anders, als daß man ale
mdglihe Eombinationen der Theile vormimmt? Gubiittutios
nen machen hier die Sache dunkel und meitlduftig. — Hexen
Tetens Sormel und Beweis des polynomiſchen Pehrfages find
untcht bequem, und erfchweren megen dee Gubflitutionem die
u nMeberficht. Das einzige genuine Verfahren. if dasjenige,
was auf den Combinaftonen beruht. Dabey ſicht man die ganze
ngeneßn deutlich ein. Die combinatorifhen Ausdrücke find
Kormen von bekannter fehr einfacher Structur: biefe kann
man alfo mit der größten Klarheit anwerden; bey Gubfitus
toren bingenen, die bald auf diefe, Bald auf jene Art, gemacht
nrerden, entlicht unvermeidlich ein Nebel, dee das Vergnügen
an ber Unterfuchung Rört, fo mie der pbofliche eine Bußtan
e0) Gewöhnlich geräth man nicht gleich anfangs, fo wie man das
Zauptmoment einer Sache entdeckt bat, auf.den kürzeten und
. nathrlichlten Wes es darjufellen und au benuden; noch menis
ger kann man darauf rechnen, was in ber Sache Let, fogleich
"und auf einmal gu erfihöpfen. Wen den combinatöriicheie
‚Operationen iq verfchledentlich aezeiat, wie fih— Toms
: »leplonen aus Complerionen, Claffen aus Ciaffen,, Drönungen
** aus Drdnungen , Merthe aus Werthen — folgende aus vorbers
gebenden, nach Zahlen s und leritographifcber Ordnting, in hos
eisontaler und vertifaler Lage (buech Gihreiben der Elemente nes
- ben und unter einander) von einander ableiten Laffen. Wie vers
. Agieden find aber nicht die Vorfcheiften und Anordnungen dar⸗
er in meinen erfien Schriften und in der Ieäten! in weicher
- ich alles aufs ındglichfie zu vereinfachen, alles auf rein combinas
bilſche Begeifie als jelbERdndIge Wiflenrchaft aufzubauen, alles
unter Ach mit den folgenden Hülfes und Kauptfdgen in Krengen
wirtiich seen, Fig — In Se net —e
ſer nomi rſatz“ won nen gegebene
u i a —— en, Audit. — Won den von.
— 8 Auſſatzen wird wenigſtens der eine als Ani Ir
„der Reverfion en kommen. Zu dem Bud babe ii
igmente ni net: vermurl werde
—— das Archiv al we Sener handele a
verwickelten Coefiienengleiävungen ). 3 find Sen N
‘ folgende:
1) Die Gleichung * en q’ can
— x(n—:2)+ uch
— giebt
N N
ſammenhang zu Bringen ‚gefüi
verfchieden dan Beer
zeigen et ‚von den
4®. 202.und 204, nebft
2 in abfice auf Gtmplicktdt und Allgemeinheit, Kürse und Ber
quemlickelt, als ganz vollendete Involutionen empfohlen wer
“. den. Eben das gi auch. von der ———— combiagtotb
fchen Charakteriftif (Nov. Syſt. Comb. p. xi
deren nothmendige Einführung iu die te ic (©. —
288 jener Schrift) dargethan habe; gilt auch’ von dem in de
fen are ausgedrückten fo vielfachen un! ne - en Belas
tionen (©. 212—223, 235, 265—267) und Ber
(8. 227 — 2405 289 u. f. und andermärts)
mannichfattigftlen Anwendung. — efachen genug, Die micans
treiben fonnten, an Heren Prof. Pfaff, der ſchon jo manche wihr
» tige Anwendung per — Re Analyfis gemacht hat
(Ar. 9. 1. ©. 3; &.67— 73. und ©. 125-193
der obigen Särtfe) Vie 3 img zu (hun, feinen tiefeindrins
’ genden Shatfjinn mit den Gründen der Sache felbjt ju ir
fdfrigen. fe fehr würde nicht 3. ©. die Wilfenichaft nen
2 mal — und der Wolle — — racht
‚wenn Jemand ‚combinatoeifhen Suvofutioni
Ka? 55 und ipnen
Dr Art von — 2 bi die fit Prof.
icienten + Bleichungen: nennt, v
nennung, ned ‘Benfpielen ihrer fung, Gehe m man. defien (iR
25
oe ut sen Aufsfungen eben bafelbit 5. 7— 115 verwoiczeltet,
bier erwahnt werden, ae icon, dort $. 13, 16 vor. Die
% Benennung Angbefondere sechtfertigen 5. 1, 2, 14 %
w R dutige und Roeccr ſienen neuer Bde.
menden, Fönnen bier —* mehtern als Some ao und, |
als Grumdlagen der
x, Auszüge und Recenſionen neuer Bücher. 351
-gxn=pxzn—4p?«:(n—ı)tzps(n—2)—,
Br £ _p x1.
.‘
2) Die Gleichung pen=qrn— ——g’«(n—ı)
+ ——1 ’«(n—2)—.. ent 21,
1. 1.2... 2n—1
mc q sufgelä, giebt |
gen=pent — p’ x(n—ı)+ 5* p? x (n — 2)
u 13.5 1 .(2n—3) __
a? Pat. na u
3) Folgende Goeficentengfeigung zwifchen deey Reiben
pP 9,0; prn—= Qæi. quan - Qx 2.q*+ix (n—ı)
7.0 x3 quad (n—2) +... + Qxn. 4
giebt |
. a) nach q aufge
. 22 24 std
.g .n=-Q ” 1. p* nt ar a 23.p ® ® e(a—ı)
u DT 3 Ya
+ — 0 x3.p <(n—2)L...
-s-(n—nd ran
ent xNn.p | al3>,
py) nach aufgeloͤſt,
I :
: Q’ x = — Er multiplicirt in
- gap’«ı „gstta—nd, nt[satd]p* x2.,g* en 1
ur .+[sa+(n— ı)d]pun.gqrre(n-nd,.;
u Dieſe Aufgaben ſcheinen mir ſehr geſchickt, den Nutzen der
eombinatorifchen Analyſis darzuthun, da ſchon, um fie vorzules
‚ noch mehr um fie aufzuloͤſen, unfere Bekanntſchaft mit
und ihren Zeichen vorausgeſetzt wird *) — ©
on
, usfährkicher, in feiner bs
— er Ne
552 IX. Auszüge und Recenſionen neuer Bücher,
‚Bon tem bereits Abgebructen (21 Bogen) überfende ich
Ihnen hierbey die erften 17 Bogen, welche die erſte, für fich
ſchon als ein Ganzes, beftehende, Abhandlung ausmachen. ch
wunfche ſehr, bald Ihr Urtheil zu vernehmen, wie Sie mit dem
Inhalte und der Methode zufrieden find. Als ih Herrn P.L.
vor geraumer Zeit einige der einfachiten Summationen mittels
te, bezeigte er mir darüber feine Verwunderung; auch. ift @&
wirklich auffallend, Laß diefe eigne Art von Reihen, deren Be
trachtung doc) auf intereffante Reſultate führe, bisher faſt gang
iſt überfehen worden *). — ie äuperten vor einiger Zeit den
| | Wunſch/
124 — 126 über bie Wichtigkeit meiner Cokal⸗Zeichen und For⸗
mein geurtheit. Die dort —8* 125 — 151) vorkommenden zahle:
zeichen Vevſpiele find eben ſoviel Belege zu Beſtaͤtigung d |
eils. .
2) Das Wefentliche von Herrn Prof. Piaffs Verfahren if, daß er
feine Reiultate "auf Weoduete einer unbeſtiimmten Menge ven
Factoren reduciet, deren Werthe ich angeben laffen. Die We
theile folder Reductionen fallen in die Augen; um jo mehr wi.
folgende Nacheicht den Kennern wichtig und erfreulich fegn. E&- '
in namlich Here D. Rramp, durth weitere Anwendung der mä
ibm fogenannten Sacultäten der Zaͤhlen (rch H. V. & -
109— ıı2) veranlaßt morden, an ausführlichen Beyträgen zu
Summstionslebre der Reiben zu arbeiten, mo alle3 in deu
gleichen Producten ausgedrückt wird, deren Werthe auf eineieht
leichte und allgemeine Art find gefunden worden. Den
3.8. des Products oder der Facultdt: y(y#r) (y+2r)..-
(y-+mr—r) auszudruͤcken, bat Euler, Inſtit. Calcul. Difter.
ol. II. $. 401 (die dortigen a, b, « find bier y, r, m) ejne ſehe
zuſammengeſetzte Kormel angegeben, welche, für m oder „ einen
Bruch geſetzt, in den meiften, außer den dort angezeigten, Fal⸗
fen gar nicht zu überfehen if. Here Kramp hingegen bat Pros
ducte von dergleichen ins unendliche nach einem befdndigen Gr .
fege fortfcheeitenden Facteren, durch ſehr einfache, fo weit
als man will, convergieenve Bormeln jummirt, auch gefanden,
daß, ins unendliche fortgehende Sactorengruppen, mie
A,B.C.D.E. etc, ere.... .
P.Q.R.S.T. erc. etc.... ſich durchsangio als dacultaten mit ge
brochenen Exponenten (m oderw) darſtellen laſſen; wo atsbend,
"nad Herrn Kramps Lehrſatzen, bie Rechnung ſehr Leicht ik
Don der Wichtigkeit des Inhalts dee bier vorkommenden Satze,
und dee Vortrefflichkeit der hierbey angewendeten Methoden, bat
mich dee fcharfjinnige Erfinder derfelben, durch Leberfendung
des Anfangs und eines großen Theils der Fortfegung feines Werk,
vollkommen überseugt Eine ausführlichere Anzeige dieſer Unter
fuchungen fol in dieſem Archive gegeben werden. Dielleicht dab,
als Probe derfelben, eben igt, da ich dieſes fchreibe, ſchon ber
Drud von Herrn Kramps üubhandlung; Fractionum Walliöe-
. ‚narum Analyüs, vollendet ifl. | 3
IX. Auszüge und Necenfionen neuer Bücher. 353
Wunſch, daß ich eine vorläufige Anzeine des Inhalte meiner
Disquilitionum für das Archiv uͤberſchicken möchte. Ich vers
mied es bisher, weil ich nicht verfprechen Eonnte, wenn der fo
ſehr verzögerte Druck zu Stande fommen würde, ic) auch we⸗
gen ber Auswahl für den erften Theil noch nicht ganz entſchie⸗
den war, und den Schein vermeiden wollte, als ob ich das Pus
blikum auf meine Arbeit, als hielt ich fie für wichtig, aufmerfs
fam zu machen fuchte. — Sollten Sie indeß von der nun vols
lendeten erften Abhandlung, cder von dem, was ich bier ger
fhrieben habe, vorläufig etwas im Archiv zu referiren willens
feyn, fo würde id) itzt nichts dawiter haben *). Mein Herr
Verleger wird, was inzwilchen fertig wird, auf die Meffe neh⸗
men. Das übrige wird dann, da der Druck itzt unausgeſetzt
fortgeht, bald nach der Oſtermeſſe (1797) nachgeliefert wer⸗
den **). Wann der zwocrt: Theil erfcheinen wird, wird wohl
sum Theil von der Aufnahme des erften abhängen.
Nachſchrift des Herausgebers vom sten Jaͤn⸗
ner 1798.
So eben erhalte ich von Herrn Prof. Pfaff viersehn ges
druckte, zum erflen Bande feiner Disquifitionum, als Forts
Teßung derfelben, gehörige Bogen. Darinn flehen folgende Abs
Handlungen: Noua disquifitio de Integratione aequationis
differentio - dıfferentialis;
x?
°, Die-Beicheidenheit, mit melcher bier Heer Prof. Pfaff alle vors
Idufige Bekanntmachung feincd Werts ablehnt, jo Lanue Davon
noch nichts dem Publico vorgelegt if, macht feinem Charakter
Ehre, und contraßirt gar ſehr mit den aemanten Verſprechungen
Anderer , bie oft eben fo übereift hingeworfen als unvollſtandig
- ausgefühet werden. — Itzt habe ich mich der gegebenen Ers
laubniß bedient. Ih babe geliefert, was ich empfannen habe;
nicht zwar ald Referent, fondern als Epitomator, im Auszuge
and mit den eigenen Worten des Heren Verfaffees, welches hofs
fentlich den Leſern um fo angenehmer fcgn wird. Ö.
'#) Die Ergaͤnzung des erfien Bandes wird auf bie Diieemeffe
=.1798 nachgeliefert, mie ich aus einer eigenhandigen Nachricht
bes Seren Verlegers zuverldbig verfibern fann. Der Zweyte
Band — wenn feine Erſcheinung größtenthrils davon abhdnat,
wie das Yuhlifum den erften autnehmen wird und zum Theil
(don aufgenommen hat — Farin und darf nicht ange außen blei⸗
n. 8.
Glebentes Heft. 3
354 1X. Auszüge und Recenſionen neuer Bücher,
x”arbxm)d?’y+xlctex)dydxHi+gx)ydxt=Xdı®
auf 11 und 3 Bogen; dann: Tra&tatus de Reuerfione ferie-
rum, fiue de Reſolutione aequationum per feries ; von bie
fer aber nur erſt den Anfang, anf 2.und $ Bogen. Man kann
alfo der vollen Ergänzung des erſten Bandes auf künftige Offer
meſſe um fo gewilfer fepn. Der Herr Verfaſſer has übrigens
die zufällige Verfpätigung der Ausgabe diefes Werks, ſowohl
durch die Wichtigkeit feines Inhalts, als durch die intereffante
Behandlung defielben, reichlich verguͤtet. Ein Mehreres davon
kuͤnftig. 8.
3. Mathematiſche Abhandlungen. L Ueber das balli⸗
ſtiſche Problem. II Ueber die Aenderungen ber Ele⸗
mente der Planeten⸗ und Cometenbahnen in einem
swiderftehenden Mittel. Yon Rohde, Eönigl. Preuß.
Hauptmann von ber Armee. Potsdam, bey Kor
vath. 1767. 5 dog. 4.
Dr Herr Verfaffer bat ſich ſchon durch feine Erläuterunges |
uͤber Karſtens mathematifche Analyfis und hoͤhere Geometrie
(Berlin 1789) vortheilhaft befannt gemacht. Die beyden Aufı
gaben, mit welchen er ſich hier befchäftigt, gehören zu ben ſchwe⸗
rern in der Mathematit. An dem balliftiihen Problem haben
die angefehenften Mathematiker ihre Kräfte verſucht. Eine der
vorzüglichften Abhandlungen darüber iſt die von dem Herrn Ge
neralmajor von Tempelboff, die er le Bombardier Pruflien
betitelt bat. Ste fam 1781 heraus. Nachher Hat er: in den
Mem. de l’Acad. de Pruffe, années 17$8F'et 1789 die Uns
terfuchung aufs neue vorgenommen, bie Auflöfung einfacher ge⸗
madt, und die Formeln bequemer für die Praxis eingerichtet.
Es ift in derfeiden die Gleichung für die Bahn eines geworfenen
Körpers auf eine zweyfache Art gefunden. Die zweyte iſt dieje
nige, welche Herr Hauptmann Rohde im Wefentlichen befolgt,
mit einigen Abkürzungen. So ift wirklich die Beſtimmung de -
Eoefficienten inder Reihe, welche die Tangente des Winkels eine
Berührungslinie mit der Abfeiffenlinte durch Potenzer der Abfeiffe
ausdrüct, leichter als die vom Hrn. von Tempelhof angewandte
Methode, Die Dezeichnung in s. 5. aber iſt unrichtig. gr
X. Auszüge und Recenfionen neuer Blicher. 355
ach derſelben wäre dx ein unveränderliches Differential, wos
ie es doch in den Fundamentaigleihungen nicht angenommen
t. Doc) diefes läßt füch leicht verbefiern. Allein das ganze
3erfahren iſt zu willtührlic) und unzuverlaͤßig. Die vorberges
achte Reihe ift eine angenommene, nicht eine aus den Grund⸗
leihungen durch Rechnung hergeleitete. Die -Abfeiffe Heiße x,
x Wurfswiniel o, der Winkel der Beruͤhrungslinie in einem
yunste der Bahn mit der Abfeiffenlinie fey 0; fo wird gerade
ı Lauch von Hrn. von Tempelhof) angenommen, es fey
ungp—=tang»e >Ax+Bx?+- Cx’+ er,
oraus denn für die Ordinate y folgt (6. 9)
y=tangox+3Ax’+3Bx’+zCx* + etc.
Nun mag man zwar aus den Grundgleichungen ben Orbinas
n diefe Form aufzwingen, wie man ein elaftiiches Blech durch
schrauben in eine vorgezeichnete Krümmung bringen kann; auch
nn man zur Rechtfertigung x in dem vorliegenden Falle ans
ihren, daß die Gleichung für y die für die Orbinaten an einer Pas
ibel mit enthalten muß, weiche die Seftalty =tangw.x +3 A x?
it; allein beyallemdem, wie kann man bier von der Convergenz
re Reihe fich überzeugen? Es find vielleicht gar viele Glieder
dthig, um y durch x nur erträglich genau darzuflellen. Dax
ne Linie ift, fo Eönnen die Potenzen diefer Größe nicht als abs
ehmende Größen betrachtet werden. Vielmehr find, wenn x
ı Sußen ausgedrädt wird, bie Potenzen von x fehr ſtark zuy
ehmende Größen, fo daß alles auf die Eoefficienten antommt.
zenn es richtig wäre, daß man jede Größe y durch eine nad)
m Potenzen einer ihr zugehörigen x ausdrüden koͤnnte, fo
eße das ja, jede krumme Linie als eine von der paraboliſchen
iattung betrachten. Einen Bogen jeder frummen Linie mag
an mit geringer Abweichung von der Senauigtelt für varabo⸗
& halten, aber man muß die Sränzen in jedem Falle beitims
en tonnen. Beym Interpoliren giebt man der einzufchiebens
n Groͤße die Form der Ordinate an einer parabolifchen Linie;
lein diefelbe darf nicht außerhalb der äußerften, die diefe Form .
apirifcher Weife haben, hinaus fallen, oder hoͤchſtens ſich nicht
eit davon entfernen. In dem gegenwärtigen Galle ift es defto
denklicher, eine folche Gleichung, wie die angeführte, zu ges
auchen, da der herabfteigende Zweig der Wurfslinie eine von
m auffleigenden fehr ebene Geſtalt hat. Eine so
N . 3
356 IX. Auszüge und Hecenfionen nener Bücher,
‚die für die Orbinaten beider Zweige gelten foll, möchte bey einer |
$leinen Anzahl von Sliedern der Gleichung beiden nur fehr wer-
nig anpaflend feyn. Wenn in manden Erummen Linien gan
verſchiedene Seftalten ihrer Theile einerlen analytifche Form haben,
fo berechtigt das doch nicht, ohne Nechnungsgründe verjchiedene
Geſtalten durch einerley Öteichung darzuftellen.
Es ift am beften, bier gar feine Gleichung zwiſchen x um
yzu fuchen, fondern jede der Coordinaten durch eine trigonom⸗
trifche Function des Winkels @ oder 3 9 auszudrücken. Zürx
giebt es eine ſolche, und für y: zwey, worauf die Rechnung durch
fich ſelbſt führe. Dabey bat man den VBortheil, daß man bie
größte Drdinate leicht findet, mebft der ihr zugehörigen Abfchie,
daher man die Koordinaten bequem verlegen kann.
Noch ein paar weniger wichtige Bemerkungen. — Im
‘6. 6. fol der Kruͤmmungshalbmeſſer in die Rechnung eingefühet
werden, weil diefer als der vollEommenfte Inbegriff aller befanm
ten und unbekannten Eigenfchaften einer frummen Linie are
fehen fey. Wenn demnach, heißt es, die Coeffteienten der ob
gen Reihe für tang @ unmittelbar durch ihn allein beſtimmt net»
den, fo fey diefe Beſtimmung feinesweges bloß eine gemeine
Methode des Indetermindes, fondern nehme dadurch die Rw
tur der directeften und volltommenften an, die je die Analyſi
darbieten toͤnne. Was das etfte von dem Kriimmungshalbmefe
behauptete betrifft, fo wollen wir diefes nicht unterfuchen,, abe
wir finden nicht, daß der Kruͤmmungshalbmeſſer benutzt fr
Es wird eigentlich das Differential von I in die Differential⸗
X
gleichung fuͤr die Erumme Linie eingeführt, und die Nechnung
fo wie fie hier weiter angeftellt wird, ift nichts mehr als eime
gewoͤhnliche Beſtimmung unbefannter aber unveränderlicer
Eoefficienten.
Die Methode 6. 15, aus der Schußweite die anfängliche
Geſchwindigkeit zu fuchen, fiheint nicht ficher zu ſeyn, weil fe
auf den Loefficienten der obigen Reihe für y beruht, von web
den man vielleicht viele zu nehmen bat, und dann tft hier eim
Umkehrung nöthig, die vielleicht wiederum viele Glieder in der
umgekehrten Reihe erforderlih macht. Herr Rohde bemetft
ſelbſt, daß der vierte und fünfte Cocfficient der umzufehrendm
Reihe nicht vollftändig find, oder, wie er fich ausdrückt, daß
man
— —2
IX. Auszüge und Kecenfionen neuer Bücher, 357
man ihnen die Schwindfucht anfehe. Dean müffe alfo aus ber
zum Örunde liegenden Reihe noch ein paar Glieder berechnen,
aber nun das fehste und flebente Glied weglaffen, weil biefes
neue Ehepaar wiederum eben fo traurig ausfehen würde, als
jenes vorige. Wermuthlich möchte es nicht allein ficherer, fons
dern auch leichter feyn, aus einigen angenommenen Wurfsges
ſchwindigkeiten die Schußmweiten zu berechnen, und durch Inter⸗
polation die zu der gegebenen Schußweite gehörige Geſchwindig⸗
keit zu finden. .
In der Vorrede wird ein Eürzerer Weg zur Berechnung
der horizontalen Schußwelten vorgefchlagen.. Es fey, heißt es,
nothivendig einmahl an eine nüßlihe Simplification des ballis
ſtiſchen Problems zu denken. Die in der Abhandlung felbft vors
gelcgte Bearbeitung ſey in diefen nur zu weit gehenden Simplis
ficationszeiten, da man oͤfters Arbeiten, ohne fie einmal ges
hoͤrig zu Eennen, in Spiele mit Sylphen und Gnomen (??)
zu verwandeln fuhe *), als Creditiv zu jener Simplification
erforderlich gemefen. Allein ec. muß geftehen, daß er den Zus
fammenhang der abgekürzten Rechnung mit ‚der genauen gar
nich: einfieht. Es wird angenommen, daß die gauze Zeit in
der krummlinichten Bahn, von der Wurfftelle an bis zu der Ho⸗
rizontalebne, durch diefe eben fo groß fen, als die Zeit des Steis
gens und Fallens in einer Tothrechten Linie, wenn der Körper
mit der verticalen Wurfsgefchwindigkeit in die Höhe geworfen
würde, alfo gerade wie in der Parabel. Der Weg des Koͤr⸗
pers nad) horizontaler Richtung wird fo beftimmt, als wenn er
ohne Wirkung der Schwere fortgienge, und die-anfängliche Ges
ſchwindigkeit die horizontale Wurfsgeſchwindigkeit wäre. Die
Zeit auf dem horizontalen Wege bey diefer Vorausſetzung ift der
Zeit bey jener gleich, und fo ergiebt ſich ein Werth für die
Schußweite. Allein diefes ift ein viel zu willkührliched Verfah⸗
sen. Herr R. vergleicht einige von- D’Antoni gemachte Vers
ſuche mit feiner Hypotheſe, vermindert aber vorher die Geſchwin⸗
digkeiten, welche d’Antont angiebt, in dem Verhältniffe von
17:11, welches etwas flark ff, und findet fo die berechnete
Schußweire, einmal mit der wirklichen fehr nahe übereinftims
mend, aber auch um 386 Fuß und um 214 $. Eleiner, einmal
um 203 $. größer. Dieſes fcheint anzuzeigen, daß die Formel
nur zufälliger Weife zutreffen kann.
33 In
#) Man ſehe No, 4. beym Schluſſe der Recenſion. &
958 IX, Auszlıge und Necenfionen neuer Buͤcher.
In der zweyten Abhandlung Über bie Aenderungen det
Elemente der Planeten: und Kometenbahnen in einem widerſte⸗
henden Mittel wird die Unterfuchung ohne alle phyſiſche Rüds
fichten, bloß als mathematifche Hppothefe, vorgenommen. is
gentlich ift die Nechnung nur eine Uebung in dem Exponential⸗
ealcul. Doc mag fie dienen, die Unftatthaftigteit eines wider⸗
ſtehenden Mittels in dem Weltraume darzuthun, da die Ell⸗
fen, welche die Planeten befchteiben, fo wenig veränderlich find,
und diefe Veränderungen von andern Urfachen, bey fcharfen
Stechnungen, hergeleitet werden konnen. Nur wäre es gutge -
wefen, zu ertlären, mie man bey einer Bahn, die gar feine
Ellipſe iſt, die Elemente einer elliptifchen Bahn und deren Vers
änderungen, beftimmen wollen koͤnne. Dan fucht die Ellipſe,
in welcher bey derfelben Tentraltraft, der Radius Vector, die
Richtung der Bewegung und die Sefchwindigfeit, diefelben ſind
wie in einem gegebenen Puncte der in einem widerſtehenden
Mittel befchriebenen Bahn. Durch die deutliche Darftellung
des Zwecks hätte wirklich die Rechnung an Faßlichkeit und Kür
. —⸗
gewinnen koͤnnen. Gegen die Formen der hier gebrauchten
Reihen möchte daſſelbe einzuwenden ſeyn, mas bey ber erſten
Abhandlung erinnert iſt. Sn 6. ı5. wird eine Exponential⸗
größe, wo der Erponent (bey unveränderlicher Dichtigkeit dei
Mittels) ein befchriebener Bogen ift, durch eine nach den Par
tenzen des befchriebenen Winkels geordnete Reihe ausgedrudt. :
Das ift zu willtührlih. Sollten bey einer fo tranfcendenten .
Bad. diefelben Eoefficienten bleiben koͤnnen, man mag den dos
gen anfangen wo man will? Daß nicht bloß trigonometrifhe
Bunctionen des Winkels angewandt werben konnen, iſt freylich
Bars aber darum nicht, daß bloß Potenzen des Winkels Gen
ge thun. Noch mehr wird diefer Zweifel bey der. Reihe 5. ı71
eintreten. Bey der Reihe s. 18. No. 16. iſt der Anſtoß, bb
fie nicht in die für die Ellipfe uͤbergeht, wenn der Widerſtand
verſchwindet. Die Stelle s. 17. „man überlaffe das Ganze
„dem zarten Krüämmungshalbmeffer “ ift dem Sec. ums .
ſtaͤndlich. Auch ſcheint der Kruͤmmungshalbmeſſer bier feines
Einfluß zu haben.
4. de '
t
;
—
IX, Auszüge und Recenſionen neuer Bücher. 359
4. Vergleihung ber Sagrangifchen und combinatori-
ſchen Reverfionsformeln für Reihen; auf Veranlaſ⸗
fung einer Stelle in der fo eben. recenfirten Schrift.
Bon dem Herausgeber. |
Sn der Vorrede (S. VIIL.) zu vorher recenfirten beyden Abhand⸗
tungen, äußert fih- Herr Hauptmann Robde über bie ist nur
gu tet gehenden Simplifications ı Zeiten, ba man öfters Ars
ten, obne fte einmal gehörig zu Eennen, in. Spiele mit Syle
pben und Gnomen zu verwandeln ſuche. — ‚Der Herr Bers
faffer vorſtehender Recenfion bat dabey (©. 357) zwey Frage⸗
zeichen aufgeftellt, und dadurch fein Befremden über dieſe Aeuße⸗
zung zu erfennen gegeben. Auch ich muß gefleben, daB mie
eine ſolche Simpfificationemethobde, wie bier charakterifirt wird,
nicht befannt fey. Indeſſen ift die Misbilligung eines Verfah⸗
rens, das ganz oder doc) größtentheils auf ein leeres Spiel, wie
das mit Spiphen und Snomen, binausläuft, fehr gerecht, und
der Tadel um fo verdienter, wenn man ſich noch bamit an Ars
beiten macht, die man nicht einmal gehörig kennt; vielleicht nur
halb, oder auch wohl gar niche verfieht —
Ganz anders verhält es ſich mit der combinatgrifchen
Analvfis. Diefe lehrt zwar auch ihre Refultate gleichſam fpies
lend finden; aber — |
bi ludi in feria ducunt.
Diefes, und die häufigen Anwendungen, die bisher dan
son auf fehr voichtige zum Theil fehr verwicelte Aufgaben bereite
gemacht worden find, haben ihr aud das Vertrauen und bie
Achtung aller Renner erworben, die fie einer genauen und ſtren⸗
gen Prüfung unterworfen haben. 2
Hierbey babe ich nun weiter nichts zu erinnern s auch iſt es
nicht dieſe, fondern eine andere Stelle der Vorrede, welche ges
genwaͤrtigen Auffaß veranlaßt hat. „Meine Abhandlung über
„das balliftifche. Problem, fagt daſelbſt (&. VII) der Here
Verfaffer, „iſt fo abgefoße, daB des Leſers Auge vorzüglich auf
„alle unfere Reverfionsmerboden ununterbrochen firiret wird.
„Keine einzige berfelben (meder die KTewtonifche, noch die von
„Herrn de la Grange, nody andere 5.) führt hier unmittel⸗
„bar zu convergirenden Reifen, und eben fo wenig verhilft
34 „dazu
4
360 IX. Auszuͤge und Recenfionen neuer Buͤcher.
„dazu die combinatorifch »analytifche Methode.” — " Gier
wird es für mehrere Lefer noͤthig ſeyn, das Verhalten der de la
Grangifcben und combinatoriſchen, Formeln und Verfahren
bey Umkehrung der Reihen, in nähere Betrachtung zu ziehen;
um fo mehr, da Here R. von erftern in der Folge mehrmals
Gebrauch gemacht hat, und es alfo fcheinen möchte, als konn
dadurch bey dem balliftifchen Problem etwas gefchaft werden,
was letzztere zu leiften unvermögend feyen. Daß übrigens gem
relle Formeln in ihrer Anwendung auf fpecielle Unterfuchungen
nicht immer geradesu und unmittelbar auf convergirende Rei⸗
ben führen, iſt bekannt; auch Bin ich überzeugt, der Herr Ver⸗
faffer Habe das nur überhaupt bier anmerken, keiñesweges abet -
diefen Formeln zum Vorwurf antechnen wollen. Die zum
Grunde liegenden Data und Bedingungen eines Pıoblerus, und
die damit verbundene Beſchaffenheit der Eoefficienten feines anas
lytiſchen Ausdrucks, erfchweren nicht felten die Anwendung und
hindern die Convergenz; daher man in folden Fallen vornebmw :
lich zu Umformungen und Reductionen der Reihen auch wohl
zu Einführung anderer (wenigſtens Abänderung einiger der ge
gebenen) Elemente, feine Zuflucht zu nehmen pflegt. Was nun
insbefondere die zu feicher Abfiht am häufisiften in Ausubung
gebrachten Iransformationen und Netuctienen der Reihen an.
betrift: ſo hat neuerlich Here D. Rramp cine befondere feht .
ergiebige Quelle dafür eröfnet, aber noch nicht oͤffentlich bekannt
gemacht. Sein auf Summirung der Reihen angewendeter
Calcul der Sacultäten der Zablen (die Anm. bier S. 352)
fcheint zu Bewuͤrkung der Convergenz der Reihen recht geeignet
. zu feyn. Davon überzeugen mich nicht nur die Hefte feine
Summationsmethode, die id) in Händen habe, fondern auch
die ausdrückliche Verſicherung des Erfinders in feinem Briefe
vom 14 Sänner 1798 — „Sie werden ſich roundern (if
„führe bier Herrn K's eigene Worte an) wie meine Lehre von
„den Bacultäten mit gebrochenen Erponenten bisher gewachſen
‚ft. In meinen Händen find fie ein allgemeines Mittel, Re
„hen, die noch fo fehr divergiren, nach Belieben convergent
‚zu machen.“
I. Umkehrungsformeln bes Herrn de la range.
Die hierher gehörigen. von Herrn R. in feiner Abhand⸗
ung über das balliftifche Problem gebrauchten, Umteprungeie®
m
C Auszuͤge und Necenfionen neuer Bücher. 361
ein des Herrn de la Stange find in einem Memoire *) ents
Iten, das unter die vorzuglichften analytifchen Arbeiten diefes
oßen Geometers zu rechnen ift. In demfelben wird eine fehe
Wache und fehr allgemeine Methode angegeben, die Wurzeln
r Buchflabengleihung o =a— bx +cx?— dx’ + erc in
endlichen Reihen darzuftellen; auch werden die Vorzüge dies
er Methode vor andern bis dahin bekannten, unter s Numern
ıfgeführt, und zugleid) auf der erften-Seite (p. 251) von dem
egenftande felbft, und den Vorzuͤgen feiner Behandlung, deuts
he Nachwelfung gegeben. Das Ganze ift in-vier Abfchnitte
getheilt. Der erſte (6. I. p. 252 — 261) ehrt die Sums
e Der Potensen jeden Grades aHer Wurzeln einer gegebenen
jleihung, mie die obige, finden, und dient zugleich als Bors
teitung des Folgenden; det zweyte ($. IL. p. 261— 292)
igt, wie man den Werth einer von den Wurzeln der Glei⸗
ung, oder einer beliebigen Sunction diefer Wurzel, in einer
teihe ausdrüden Eonne; der dritte (S. IIL p. 292 — 313)
eifet das Verfahren nah, alle Wurzeln der gegebenen Glei⸗
ung in unendlichen Reihen barzuftellen; lehrt, wie man die
Zurzeln gehörig von einander unterfheiden Eünne (art. 23.
. 293)5 welche Wurzel die erſte, zweyte, dritte u. f. w. ges
ennt werde (art. 24. p. 294)5 daß überhaupt, was immer für
ne Sleihung gegchen feyn mag, jedesmal fo viel verfchiedene
teihen für ihre Wurzeln fich angeben laffen, fo oft man bie
Slieder diefer Gleichung, zu 3wey und zwey combiniren (art.
7 — 32. p. 300 — 305), und folde als die beyden eriien
zlieder der allgemeinen Gleichung « — x p9x o anſehen
ann (art. 31. p. 304); daß die in den verſchiedenen Exempeln
es vorhergehenden zweyten Abſchnitts gefundenen Reihen, Eelne
ndern als erſie Wurzeln der zugehörigen Gleichungen find
— "TE (art.
) Nouvelle Methode pour r&foudre les Equations litt&rales par
le moyen des Series. Hift, de PAcad. Roy. des Sciences etc.
Tome XXIV. Annde 1768. & Berlin 1770. Der Hauptſatz ſteht
daſelbſt $. II. art. 15. p. 275. Die bier im Tert erwähnten, von
jenem Sage abgeleiteten und von Herrn R. in feiner erfien Abs
handlung nur allein gebrauchten beyden Kormeln (Ebend. art. 20.
. 287. 288 und art. 21. p. 290.291). Noch muß ich erinnem,
das man bier und in der Folge durchgangig gedachtes Memoive
für die daraus citirten Stellen und Formeln immer vor Augen
sben muͤſſe. Nur dadurch habe ich vieled in der Kürze ſagen
im baritelen fönnen, was fonft ſehr weitlduftig ausgelaufen
eyn wurde, — |
362 IX. Auszüge und Recenſionen neuer Buͤcher.
- (art. 33. p. 306), d. i. ſolche, bey deren Aufſuchung man die bey⸗
den Anfangsglicder a und b x als combinirte erſte Glieder
betrachtet, und deren Werthe für ao verſchwinden; ber
vierte und leßte Abfchnitt (5. IV. p. 314 — 326) handelt von
der Convergenz und Divergenz ber gefundenen Reihen, und den
aus dem Geſetze felbft, das fie befolgen, abgeleiteten Kenne
chen dafür. e
&o viel ſchien mir nöthig zu ſeyn, im Allgemeinen ww
dem Inhalte diefes Memoires in gedrängter Kürze hier beyr⸗
dringen. Die Lefer, die es noch nicht kennen follten, werden :
daraus. das Vielumfaſſende des Lagrangifchen Verfahrens: aus
. der Sleihung «—x-FOx=o, wo Px jede Function vonx
bedeutet, ihre Wurzeln x, oder jede beliebige Junction des
Klben, dx, in Reihen auszudrüden, mit einen Blick uͤberſe⸗
ben. Der (art. 14,15) angegebene Ausdrud für dx (dostyp-
für eine beftimmte Wurzel ps der Werth dafür ſteht auch Im
Arch. H. J. ©. 89) dient dabey als allgemeine Aufldfungss
zeibe. Eben derfeibe gilt aber auch (nach der VBehandhung
$. II, mo die Wurzel p zugleich al& erſte angefehen, und
2__ 3 .
e0x—=_. dx Frei angenommen wird) als allgemein
LmEebrungsformel für Reihen. Denn die Bedingung (bie
natürlichfte von allen, auf die man aud) vor allen übrigen zuerſt
verfällt) für die erſte Wurzel der Sleihung a —bx + cx
„ — dx? + etc die beyden erſten Glieder a—hbx als combi⸗
nirte anzujehen, und foldhe mit den erflen Sliedern « — x def
allgemeinen Gleichung ⸗ — x + @ x— 0 zu vergleichen (art.
33, 14, 18) ſtimmt vollfommen mit den, Übrigens gar fehr von
einander verfchiedenen, Verfahren überein, nach welchen man
die bis igt bekannten Umfehrungen für y—=bx + ex
+dx?.rerc und ihre Formeln gefunden hat. Diefe Formeln,
zu denen man, nad) den verfchiedenen Anfichten auf ganz ver
ſchiedenen Wegen, nach und nach gefommen ift, konnen daher—
nur nach ihrer äußern Geflalt, der mehrern oder mindern Ab
gemeinhrit, der größern oder geringern Leichtigkeit in der An
wendung, nicht aber in Abficht auf ihre Nefultate, verfchieden
ſeyn. Herr de la Grange findet feine Formel, indem er x al .
die Wurzel (aber als beſtimmte, erſte, p) der gegebenen Glei⸗
‚chung betrachtet (daher er auch = für y febt), und gemeralifitt
e im Berfolg feiner Analyfe dergeftalt, daß fie allgemein ben
erth für dx, jeder Function von x, darftellt. Und In dieſer
| Allge⸗
, # '
Auszuͤge und Recenſionen neuer Blcher. 363
Igemeinheit Übertrift fie jede andere bis itzt befannte Umkeh⸗
ngsformel. nicht aber in Abficht auf Leichtigkeit in der Ans
endung, wo ihr und allen übrigen die combinatorifche vorzu⸗
hen iſt *).
Die bäufigfte Anwendung der Formel gefchieht für die
zerthe ya — x“, oder )x—log.x, wo man nehmiich irgend
ne Potenz oder den Logarithmen von x durch Umkehrung
iszudruͤcken ſucht. Herr de la Orange hat daher diefe beyden
3erthe von x befonders betrachtet, und in Formeln ausführs
h dargeflelle. Sch werde bier nur die von xm aufführen,
weils, weil das, was bey diefer erinnert wird, auch fogleich
ıf jene fih anwenden läßt, theils aber‘ auch, weil Herr R.
ur davon in feiner Abhandlung Gebrauch gemacht bat.
In oft gedachtem Memoire werden (art. 20 und 21) zwo
Heichungen: |
o=u—x + Br? + yxPtI LdxPt3IL etc
0o x BXP yıptaLdxpted + etc
im Grunde gelegt, und für beyde der Werth von x, für jene
ırt. 20. p. 287, 288), für diefe (art. 21. p. 290. 291) im
tehrern Sliedern nachgewielen, bey denen nachflehende, nach
N Geſese von einander abhängige, Koefficienten
d* 286 . .
A=Bß;5
B=y; B=$A
C=!d; C=yAtpB
D=:; D=dAtyB+BC
E=(d; EF=ıAtdB+,C+sD
⸗ . 0 >» 4 ⸗ ⸗ ⸗
5 . ec
2,6: babe ich fchon In meinem Auffate über diefe Formel (Arch.
y
jede Zunction von x, in y und 2, durch eine nach Potenzen von
den koͤnne. Dev Heren de la Grange
fungereibe, um dadurch alle Wurzeln (mie dort 6. FIL) sw:
b
dung der Wurzeln der Gleichungen, ausführliche Belehrun:
gen in Herrn —— Sifchers en der onen L
deſonders im zweyten Theile und dem Zufate am Ende beffeiben;
. . \
a.
»
“
“ Y
| si X. 2 use und —* warnt
:C'=sB ' . . .r *
‚D’=yB+sC D” oc asia
=is.+C +0 ‚Elserc'taD“ —*
—— vorkommen, beten, auf fo welt
4
16 —— nB, what eusgebehtte, Werge Cor an)
., Mab biefe,. auf recurrirende Subſtitution Serie: |
Aucbride der HL weile, her: auch ihr Geſeb *
won Coefficienten find es, welche bindet.
A BER funchl De fü x= (art. 20, aı) ale viele andere, auffer bin
eben angeführten, In obgedachtem Memoire vorkommenden Bor '
und Leichtigkeit in. der. Anwendung,
mein,
"lä jahen, Di fe erden haben könnten. .2
——— te abzufelfen darf man sine —*
De Diefer
— ——
att A, B, .. vn C, en. C, Di... etc “
itzt ara, a?A,.. . 62B; 3 . PC, C, ... ete
das heißt, ſiatt der willtaͤbelichen unveducieten;die zugehörigen
combinatorifchen reducieten Sormen feßen. Ich will bie |
benfpielsweife von obigen beyben Ausdruͤcken für xm den zweyten
(art, 21) auf die Gleichung
oe xt pre tyarta+ ete u
ſich beziehenden, waͤhlen; aus welchem jener erſte (art. 20) ſo
gleich folgt, wenn man in letzterm r—ı feßt. Zugleich wil
. I in vorfiehender Gleichung, y flatt « feßen, und ihre Glieder .
u ‚nach der do orm y=x— px (vorh. Arm.) fo ordnen,
u —*
yx — BRP—yaPta— Irr+rI — etc _ Br
nie die Glieder der. ampifeprenben Reihe gewoboli
&.
“ ze
* Fit Alto (ri. 21. p. 290. 91) wenn man, fat we
“ * g fine Beh @. 289) ine —8 in DIL
alley 3 Sale Bringt,’ auf ber he |
bt un oefficienten von y a
sldTen and Disominlsoefficienten anedtuͤckt·
*
x. Auszüge und. Recenſionen neuer Bücher. 365
m .
xRr
ze n+p-r
+-ı1.a! Ay x
oO ma+prg—r
. 3a |
n| 1.0 Ay r
+7 1 p - 5* m+-ep-2r
+7- x 4b? By *
m+p+sg-r
naAy'‘ r
m g B-HSp+I-r m+tsp+qg-arf
—-it—. * AbeB r
+-|r7- | y |
1 m-+-3p—-r m-+3p—sr
*5 . ss Be’Cy +
m+p-r3g-r
ı.0*Ay r
y mtsp+-sg“r mtrap +9g-sr
— 4 ö—
m + r U) .. 4b By 1
7 m+t3p+g-r m3* gq=3r
+7. X B.ctCy x
1 m+4p-r mt4p-4r
+7 R r € de Dy zT.
+etc - ete etc . etc
B, I de, e, g .. )
1, 27, 3r 4 SS...
. Hier iſt yr ein gemeinfcaftlicher Factor in alle Glieder
id ihre Theile; daher Herr de la Grange dafür das jenem gleich
iltige m als Divifor unter xm febt. Dadurch, und wenn
an, nad) feinem Beyſpiele, auch die Übrigen Potenzen von y
p ausdruͤckt, erfcheinen folche in einer etwas einfachern Geſtalt.
Rir Hat es, vornehmlich wegen ber unmittelbaren Vergleichung
it dem folgenden, beſſer gefchlenen, keinen fremden Vuchſtaben
vie bier e) dabey einzuführen, und die zufammengehörigen Pos
nzen von y nicht zu trennen. Setzt man bier r—ı, fo vers
andelt fich ‚die gegenwärtige Sormel für x= (art. 21) in oe *
Da | —RW
366 1X. Auszüge und Recenſionen neuer Bücher,
fachere für x@ (art. 20); deren befondere Darftellung alfo hier
nicht nöthig iſt. Der untergefegte Zeiger bleibt in beyden Fällen
derſelbe; die Vorzeichen der Buchſtaben 8, 7, d... im Zeiger
und in der umzufehrenden Gleichung y=x! — BxP—yıPtl
— 6x? +34. erc find einander entgegengefeßt. ! |
Das Fortgangsgefeb der Formel fällt fehe deutlich in be
Augen. Zugleich. iſt — und das iſt bey weiten das Wichtig
fie — was jene Zeihen A, B... B, CC4.. C, D”... D”,E”...
u. ſ. w. noch involviert und durcheinandergeworfen, enthalten, in ih⸗
gen combinatorifchen Surrogaten anA, b"B, cuC, daD... auft
volltommenfte evoloire und auseinander gelefen. Die combin⸗
toriichen Zufeinmenfeßungen und Involutionen, auf welche fich dieſe
und ähnliche Zeichen beziehen, find nehmlich, ſelbſt mach. bem
Ansfpruche jenes vortreflihen Analyfien (hier ©. 349 Anm.)
Bormen von bekannter ſehr einfa her Structure, die man,
ohne alle läftige Subflitutionen und Rebuctionen, ohne afle weir-
tere Vorbereitung anordnen, und, wenn man fo fagen wi,
gleichſam fpielend darftellen kann (poly. Lehrſ S. 187— 189 _
u. f. mehrere Beyſpiele). Durch ihre Beyhuͤlfe kann man dw.
ber jedes Glied des Merthes von xm, fo wie jeden einzelnen .
Theil deffelben, auffer der Grdnung, und ohne die vorberge
benden zu wiffen, berechnen; welches bey dem Ausdrucke deſſeb⸗
ben, vermittelft der Zeichen A...5 B...5 C”...3 D’”...sere ''
(art. 20, 21) der Fall nicht iſt.
Erempel. Für y=x?— Bx? — yxt— etc das ste
Glied der Reihe für x; d. i. x75, durd) Umkehrung zu ſuchen.
Aus Vergleihung der bier gegebenen, mit der obigm .
Grundreihe (&. 364) folgt r=2;5 p=35; q=ı. i
Werthe in das ste Glied der zugehörigen Formel für x gefeht,
und m==ı genommen, giebt
aA -+E, "A6eB} f
t3.B e+C+z. CtD
Daraus folge, flatt der Combinationsklaffen Die einzelnen
Complexionen mit ihren Verfeßungszahlen nach obigem Zeiger ge⸗
feßt (polyn. Lehrſ. a. a. ©. oder auch Inf. Dign. Tab, V. p. 167
ı 7
xI1s=4[et2.7 (282472)
x]7s =;
IX. Auszüge und Necenfionen neuer Bücher. 367
vollkommen wie in Herrn Hauptmann Rohde's Abhandlung über
das balliffifche Problem (S. ı8. no. 5) wenn man « flatt des
biefigen y’s ſetzt. Sch habe hier mit Fleiß einige Zahlenfactds
gen, oben und unten, noch nicht gehoben, damit man den Be⸗
trag der einzelnen Claſſen atA...d*D mit den Verfeßungszahs
len ihrer Complerionen deutlicher vor Augen habe.
Der unendlih mannichfaltige Gebrauch und Nutzen, ben
dieſe Toefficienten in der Analyfis gewähren, hat Herrn de la
Srange veranlaßt, eine weiter fortgeſetzte Berechnung berfels
ben, als von ihm (art. 22. p. 292. nur bis mit EiY) gegeben
iſt, nahdrädlid, zu empfehlen, weil fie für alle mögliche Func⸗
sionen von x dienen könnten. Kine folhe Berechnung würde
genau die Slieder meiner, auf dem viel leichteren Wege der coms
hinatoriſchen Anvolution conftruirten Tafel (Infin. Dien. Tab.
V. p. 167 oder Nov. Syft. Perm. Tab. III. p. LIX) geben,
wenn man darinn ß,y, d, a... ſtatt a, ß; 7, d... febt. Und
fo würde denn dies zugleich die Functionen naͤher beſtimmen,
für welche dergleichen Coefficienten nüglih wären, ſolche naͤm⸗
Lich, deren Entwidelung auf Größen führt, deren einfachfte
Darftelung auf Verbindungen gutgeordnneter Complexionen zu
beftimmten Summen, mit ihren Verſetzungszahlen, berubet.
Dahin gehört unter mehrern, die bey ber Umkehrung zum Bruns
de liegende Entwicelung gebrochener Functionen in Reihen, bey
welcher auch Here Magifter Töpfer (Eomb. Anal. &. 116—ı22)
die Sdentität der ofterwähnten beyderley Coefficienten wahrges
nommen und (daf. ©. ı23) ſehr richtig geurtheilt Hat; eine ges
nauere Analyfe diefer Coefficienten, auf die Herr de la Grange
nothwendig hätte verfallen muͤſſen, wenn es ihm eingefallen
wäre, die Abhängigkeit der folgenden von allen vorhergehenden
ſchlechterdings aufzuheben — eine folhe Analyfe wäre für
ihn fchon allein hinreichend geweſen, die ausgedehnte hoͤchſtwich⸗
tige Verbindung der Combinationsiehre mit der Analyfis deuts
lich wahrzunehmen und welter darüber nachzudenken. |
-. Eine noch nähere Veranlaſſung zu einer folchen Analyſe
ſtellte fich ihm in der Folge (Mem. del’Ac. ... Berlin, annee
1769.p. 312) dar, wo von Entwidelung der unbeſtimmten Potenz
. eines Polynoms die Rebe iſt. Dafelbft werden. die Werthe der
Eoeffteienten P,Q,R ... ihrer Glieder nach der Ordnung, in den
geroöhnlichen befannten recurrirenden Ausdruͤcken angegeben, und
über eine zu. bewirken mögliche Aufbebung der Dependen; ve
er
368 IX. Auszüge und Hecenfionen neuer Buͤche |
fer Eoefficienten von einander, folgende Aeußerung gethan:
Si on ne vouloit pas faire dependre les coefficiens P,Q,
Retc, les uns des autres, on pourroit les determiner ım-
mediasement de la maniere ſuivante: Qu’on cherche, par
exemple, le coefficient de xm dans la puiflancen du po
linome A+Bx+Cx?+Dx?’+erc, je dis. 10. quece ;
coeflicient fera forme de tous les termes, qui penvent
ötre reprefentds par APBICFDS..., p, q, 7, 5 etc, etant
des nombres entiers politifs, errels, ueptg tr +ste&
==n, et igF+2r7r--3s-etc=m. 2°. que chacun de fe
termes aura pour coöfheient numerique
BP LEE Br Br 4... . 2
(1.2.3...P) (1.2.3...9) (1.2.3220 1)...
La demonftration de ce theoreme eft aifee a tirer de la
theorie des combinaifens , et nous ne croyons pas deroit
nous y arröter. Einen ähnlichen, das allgemeine Polynom -
atb+ctdtetc betreffenden Sag, hatte fchon lange vorhe
Jacob Bernoulli (Opp. T. IL. p. 994— 996) gegeben, abe
auch zugleich die vollſtaͤndigſte Auflöfung deſſelben nachgewieſen.
Herr de la range hingegen hat bey feinem, auf die (nah Pr I
tenzen einer veränderlichen Größe fortgehende) Reihe A+Rx I
+Cx?-+ etc ſich beziehenden, in der Anwendung viel häufen FI
vortommenden. Saße, ſich begnügt, das Verfahren zu Auffins
dung der Prrenzcoefficienten bloß im Allaemeinen angezeigt I
haben. Die Aeufferung, daß ein Beweis des Sahlencocffiie .
sens, oder des Theorems (no. 2), hier nicht nöthig fen, iftfehe J
gegründet, um fo mehr, da ſolches Jac. und Joh. Berno |
Leibnig und de Moivre (man fehe die in Inf. Dign. s. Xll.
XIII. von mir citirten Stellen) vorlangft gebraucht und erwir
fen haben. Anders verhält es ſich mit der (no. 1) nur obenhin
berührten Zulammenfeßung des gefuchten Buchſtabencocfficien⸗
tens, nad) den bengefügten beyden Bedingungegleichungen,
deren Ausführung hier nur geforders *), aber weder da, I
fon
*) Es iſt nämlich in no. ı nur angegeben, was geichehen fol; die
Ausfuͤhrung aber, oder dad wie? wird immer etwas meitlduftig
ausfallen, fo lange man dabey nicht auf combinatorifche Der
fahren verfällt, die alles auf einmal, und Über alle Ermwartum
inaus, verkuͤrzen und erleichtern. Herr de la Grange fagt, det
eis des Theorems (no. 2.) Laffe fih aus der Combinationds
theorie ableiten; eben dus bitte auf ragen eines Merfahrend
für no, ı gefagt werden koͤnnen. Dee Nutzen ber Cembinan
X; Außzüge und Recenfionen neuer Bücher. 369
vnſt irgendwo, gegeben‘, oder auch nur verſucht worden iſt⸗
te aber neuerlih Herr D. Bramp (polyh. Lehrſ. S. 102)
hne von jenem Saße etwas zu wiſſen, vollſtaͤndig auseinander ges
ebt, auch auf die allgemeinere Grundreihe ax’+b zer x’ tete
ıngeivendet bat. Die Ausführung der bedingten Forderung _
no. ı) leitet, wie (a.a. O. ©. 119) iſt erinnert werden, auf
de Auflöfung eines unbeftimmten Problema, deſſen Zufams
nenhang mit den combinstorifhen Bperstionen, und wie fols
he mit großem Vortheile babey anzuwenden feyen, Herrn be la
Srange wohl nicht leicht entgangen feyn dürfte, mern es ihm
fallen hätte, die Sorm für die Buchflabencomplırionen
no. 1) eben fo deutlich als den Ausdruck für die Verſetzungs⸗
ablen derfelben (no. 2) anzugeben — das, was nur obenhin
nd im Allgemeinen gefordert worden, in einer befondern Ans
sendung auseinandergejeßt, ſich und feinen Lefern vorzulegen.
(uf welchem, von dieſem garız verfchiedenem, Wege id) zu
em independenten Ausdrucke dieſer Koefficienten gekommen
in, zeigt meine Analyfis derſelben (Infin. Dien. Ss. XXI.).
ſch verfiel zuerft (daſ. p. 71, 3) alıf eine Lokalformel, die den
anzen inhalt des (n+ ı)ten Sliedes det Potenz (1 + y,”,
nd was darinn von den Potenzen y', y?, y?... yn vors
ymmt, deutlich angiebt, und dieſe Formel leitete mich gerades
s auf das combinatoriſche von mir fogenannte Discerptions
roblem (5. XXII) und beyder Verbindung auf den combinas
iſch⸗ analytifchen Ausdruck (s. XXIII, ı - 35 XXV, ı,2)
allgemeinen Gliedes der Potenz; und bier zeigte fich mir
serft die fo wichtige innige Berbindung zwifchen Lokal. und
mbinatorifch » analptifhen Formeln, von welcher jene immer
ı möglichfter Kürze den inhalt, diefe die combinatorifche Aus⸗
ihrung deffelben angeben. Die unmittelbare Bergleihung beys
| derley
lehre in der Analyſis iſt namlich nur einſeitig und febe beſchrankt,
wenn man bey ihr (was man bisher nur allein gethan hat) bloß
auf die Anzahl und Menge der einzelnen Complexionen und
Bälle, nicht aber (mas doch mit der eigentlichen Analyſis in weit
engerer Verbindung ſteht) auch auf die wirkliche Daerftellung
. berfelben Ruͤckſicht nimmt (polyn. Lehrſ. ©. 297. $. 207). Das
- Ben zeigt ſich aleichwohl eine große Mannichfaltigkeit gleich leicht
anzuordnender Sormen, davon Ich , mas den gegenwärtigen Tat
enbetrift (Arch. d. Math. H. IV. ©. 385 — 433) ausführlich
gebandelt habe. Eine merkwuͤrdige, mit ber Forderung no. ı
im Texte zu vergleichende Stelle von de Moivre, habe ich (pol,
ı Lehrſ. ©. 119. 4.) angeführt.
Siebentes Heft.
ei 1x. Stisige u eg hg
Yertep Bere Rinder man an mehren Oiten Cauch all i
&. 15. Aum. ©. 247. 5. 153)5 Wie günftig
de la range meinen combinatoriſch⸗ analytiſchen
deicen, Bormeln, und den daraus ſliegenden Zahlen⸗ und.
ffeln. —— erhellet aus der unten⸗ zhtten
*) mit J
RAR. diefer , ‚mit der Hauptſache in der genauen
“ ſiehenden Disrefflon, gebe ich wieder zu dem i
ö Ani. Der Umfland, daf, in Bepichüng auf Wat
gel, füe-meihe bie Slieder verfchiebentlic zu combinieen
Beyſpleie im-art. 39. p. 309 — 313 bes..o|
:) in. ber umgafehrenden Grundreihe y=xr ax
—— u ein Stied = — iſt ——
2
2 u 10 Aug. 3* Antwort auf die vnn
22 Er menge Jufnis. Dign. Hifloria, Leges ar For
* —* hu votre — avec beaucoup de fat
FH ar le regard« cömme tr&s E a lhi
. Papa —— — —
» y donnez pour | es p uiffences d’un polinome quelcon-
ne me paroit rien er er A defirer fur cer objer. J’aurois
ilement fouhait& ytrouver des tables soures confPruires,pout)
le developpement des differens termes de ces puiffances, &
auxquelles on.pür toujours avoir recours dans le befoin. Cr
feroitune entreprife d'une tr&s grande utilit€, d’enrichitles dif®
ferentes branches de YAnalife de pareilles tables. — „Dans
Letat ou eff aujourd hui cette fcience un femblable —*
feroit certainement bien u avanrageux que tan de col
polon, Lebei. ©. 187 oder mE, ab. X mit Beyfügung
ber Werfegungsgaplen) gleihftm Mielend gefhepen. Sit war
Bortheil, den’ die —— durch ſo grobe Erfeichier
ung dee Conl Icher Zafeln zeigt! Co nüslich aber \
Fr) dergleichen Zafeln nur immer fegn mögen: fo find doddle |
Far: fden , und die in engfter Verbindung mit
Bin Em ie, rennen Ban a
wi auch Fönnen felbige, erforderlichen 3, fogleii
von al unabhängig mit größter Peich, — 17 Er
r Mate Kufe ‚und ganp entiwicelt Dargeelit werden,
; Auzuge und Kecenfionen.neuer Buͤcher. 371
r mitiden Erponenten p, p-}+q u. f. w. der übrige, nach
inden in einer arithmetiſchen Reihe ſeyn oder nicht feyn kann:
v. Umftand - macht den Ausdrud für xm (S. 365) weits
tiger, als er fi geben läßt, wenn die Erponenten der -
indreihe ſaͤmtlich in arithmetifher Progreffion fortgehen,
nn aber die Werthe für s, p ptg, p+2g, u. f.w.
hmetifch ſteigen oder fallen, oder (was damit auf eins bins
tommt) wenn die Erponenten der Reihe für y, wie gewoͤhn⸗
‚ gleich anfangs p, p tg, pt24.n. f. w. find, fo läßt ſich
‚er Formel für x®, aueh der, durch Einführung der Kombis
ionsclaffen a®A, buB, cXC... ſchon bengebrachten Verbeſſe⸗
g, noch eine nicht weniger wichtige Reduction anbringen,
nittelft welcher die. nach ihr beſtimmten Werthe der einzelnen
eder diefer Formel nicht felten.anfehnlich abgekürzt, und zum
zrauch bequemer gefunden werden. Diefe Reduction, auf
che Herr de la Grange nicht verfallen iſt, fol fogleich geges
werden.
[. Lofal- und combinatorifch - analytifche Umkehrungs⸗
| formeln.
Hier koͤnnen (mie oben ©. 365) nur die Formeln für xm
jeführe werden. Die Weweife derfelben, und ihre Beziehung
einander, erhellen aus den Cpolyn. Lehrf. ©. 297 — 299)
geführten Stellen. — |
A. Lokalformel für die Umkehrung ber Reihen.
1. Für yl=as! ex tdLyurtodLere iſt (polon,
ef. ©. 297, 45 hier m für s, und ſtatt der dortigen °m,
100. ihre Werthe aus (3) gefeßt)
mn u
a — g zI. yi
m
m-+d (m-+d)i
a q = x»2.
md
m _Ber2d (m-+2d)1
— T [) 1
mtad. "3.y
m _m+5 (m-+3d)8
4 ___ 5 xA. *
ANaꝰ 47 | =
+ u f w.
ul, An te] 2. Dar⸗
m —E Bien
— Denn fee a
: len = —— —
Paper: ai ‚aber über
sale q [m A, % * ang
Gi —— —
fficie
ſchwietige Umkehrung, auf eine. für Me gsmbLiakeriige2
- fie ſo ne aurücgefüßtrt g* =Cn+ " 3 für jeden
- Wath von «(ale mi fi = — ET) up b der Qi
nung darzuſtellen (pol, Lehrſ. ©. 232. 233).
x. 4. Des Ausdruck für x” bleibt immer derfelbe, wie
. nun. die Vorzeichen der Coefficienten -der gegebenen Meihe 4
die hier fümtlich + find, ſich abändern mögen. Diefe Abe
rung hat nämlich bloß auf die Potehz von.q Einfluß, Feines
weges aber auf den allgemeinen Ausdruck der — Dieſe
gilt alfo auch für die gleich folgende Reihe, die ü wegen der uu
mittelbaren Vergleichung mit der Lagrangiſchen ©. 36
' „in B zum Örunde legen werde.
—
B. Combinatoriſch-analytiſche Umkehrungs formel.
5. Sir ar exttd— yartedtere, if
——
IX, autor nd ef onen neuer Vichet. 373
ymfaa r BR
* = 0
"r L &
3 2 ⸗
⸗ 8 9 9 93
( m+-nd-+r —
| ar 15 UbrB 4 _ Benc
..ım & 20° Ze ] zen
+—| m+ndät3r un T_, (2°
| r €mD —
rer ya 6 ——— — —
na. | B
En Y; 6, € eo 2 0 j
34 4 ..% .. ‘)
Das hier zuleßt ſthend Glied iſt das allgemeine (n-Hi)te,
oder der in combinatorifchen Zeihen ausgedrückte Werth der
£otalformel für xa7(n+ 1): in (2) auf die obige Neiße
. y! — ax! —Burrt rn di etc bezogen (4).
zuirt, und ſtatt der bortigen abwechſelnden Zeichen — + lauter
— ſetzt. Dieſe Abwechslung der Zeichen nämlich bezieht ſich
auf der dortigen Reihe Eoefficienten +8, P , FPeie, die
er — , - . —h—eic f ind, und folglich für die ungerne
n Claſſen TA, ac, 2E... lauter negative, für die geras
den Claſſen "B, "D, °F. . lauter pofitioe Complerionen ges
ben. Da nun die Zeichen — gerade da fliehen, wo jene, die
ichen -+ da, wo dieie Claſſen vorfoinmen : fo find alle Coms
lexionen aller Claſſen pofitiv, und es iſt am beften, in der
Reibe fir x Bucchgängig das Vorzeihen +, und im Zeiger
AN, 8... ſtatt —B, — 9, — 2... zu feßen.
0% Dan hätte den Werth für xm auch aus der Formel
«Cpölyn. Lehrf. ©. 298, 6) ableiten Eonnen. Das würde eire
von der bier (in 5) ganz verjchiedene Darftellung gegeben haben,
wobey ich mich aber nicht aufhalten will.
3. Setzt man in die Reihe für xw (S. 365) r+d
ſtatt p, und d ftatt q, fo kommt daraus die Hiefige (5), für
= 01,
Aa 3 9, Cyp
DEE" . ML
"xu7(a+ — ——
J ‚in B zum Grunde legen werde.
7
B. Combinatotiſch/analytiſche umkehrungsfotmel
5. Fuͤr VSar—extd—ygrtedtere, iſt
m
„= Cr
7
m+a 4%
ma'A Dr D ’
. Auszüge wen onen neuer wie y 393
m+
mfa>A ‚7 ey B} —
nen Turn, *
r %& 20%
3 3 8
3 6 Be 3
m+-nd-+r m+nd+2r
(aA y r AbnB — Dec)
m — 20° — zen
— m+ndt3r mind mar r * une).
r7 x ChonD r-
4° 12 | rn
6, % ö, € ).
1, 2, 33 4... 00
Das hier zuleßt ftehende Glied iſt das allgemeine (n+#1)te,
er der in. combinatoriſchen Zeichen ausgedrückte Werth der
kalformel für xm7(n+ 1) in (2) auf die obige Reihe
max pxtd at 2d_ etc bejogen (4). |
6. Die Reihe für xw in (5) folgt (aus polyn. Lehrſ. *
7, 3 und ©. 298, s), wenn man für die dortigen s, °
1» 2m up hier m, —,— — — .. and
r r x
rt, und ſtatt der dortigen abwechfelnden Zeichen — + lauter
ſetzt. Diefe Abwechslung der Zeichen nämlich bezieht fich
f der dortigen Reihe Coefficienten +, +y, FP Peie, bie
—AMA -— ete fm und folglich für die ungera⸗
3 Claffeh mA; ac, nE,.. lauter negative, für die gera⸗
3 Claſſen »B, "D, »F. , lauter pofitive Compferionen ges
. Da nun die Zelchen — gerade da ſtehen, wo jene, die
chen -+ da, wo dieie Claſſen vorfuinmen: fo find alle Coms
rionen ‚aller Claſſen pofttiv, und es iſt am beften, in der
be fi x durchgaͤngig das Vorzeihen +, und im Zeiger
y,d... flatt — 6, —y, —d... zu feßen.
7. Man hätte den Werth für xm auch aus der Formel
lyn. Lehrſ. ©. 298, 6) ableiten Eonnen. Das würde eine
ı der bier (in 5) ganz verichiedene Darftellung gegeben haben,
bey ich mich aber nicht aufhalten will.
8. Seht man in die Reihe für xm (©. 365) r d
t pr t und d flatt q, fo kommt daraus bie hiefige (5), für
Aa 3 9, Ep
nn Wi=g7 ur: ig Fan! rt . #
— las user 3:
alu —A — eꝛe]
F
ur ara TE —R Fast, *
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13 ‚tert Yd) | 13:13 erter)
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* 15.13 * — —— A er: le
en mn
—7 3.0.28 5
ve letzte Ausdruck volllommen, wie in Seren. Hauptmann Reh⸗
des Abhandlung über das ballififche Problem (&. 12, 5), mt
daß dort im Nenner des Bruches vor 8° durch einen
er 16 flatt 2.4.16 ſteht, Me * en 2
ndlichen Bruches erhellet, die ih aber hier, a
. er wie Beym Cyempel (&. 366), nicht ——
jen
10. DieReductionsformel([ı) giebt nicht felten große Bes
türzungen bey der Umkehrung. Da, wo man bie
der umzufehtenden Neihe ſchon Hat; oder andersmoher
oder (wie bey Binomien) für fich leicht beſtimmen Eanınz.-ebit-
auch (und das iſt bey weitem das Wichtigfte) wenn die
dienten der gegebenen Reihe fo befchaffen find, dag ihre F
- gen ſich “x finden und auedrucken laſſen, als durch
EX. Auszüge und Necenfionen neuer Bücher. 375
meine Formel pm7 (n-+ 1) nad) pol. Lehrſ. ©. 232 gefchehen
kann ; wie das der Fall i. B. bey ben Scalen q [a, 2a, 3a...J;
ale td ara... a, , —
1 1.2 1.2.3
fehr vielen andern tft — in allen folchen Fällen wuͤrden die For⸗
meln (©. 365. ©, 372,5) in unnöthige Weitlaͤuftigkeit und
Verwickelungen führen, deren Reduction auf die kürzere Form
aus der Lokalformel (1) nicht felten Außerft ſchwierig fallen würde
+ 2d
11. Exempel. Es iſt yl—=xtgı.xitiı —
x34ô
4
‘1.2.3
darftellen. |
Die- gegebene Reihe gehört zu ber obigen Scale
2 2
...] und bey
1.2. .
+ etc gegeben, man fol, die erften Glieder von x⸗
alu — — : - 5 ... .] fuͤr welche —A 1)
—— —— — für a=ı (Eul. Introd. in An,
’ 1,3.34..nN 1.2.3 ..,N
Inf. T.L ſ. 116. 117).
Das giebt al ie Lokalformel ebraucht, a
gie eſſo, bie kolaſor ms —X
u — : s(s+2d)" —
*57 2? + an A
| rn lur4M)
ers aha Tu; mm
, 1.2:3.r? ‚1.2.3.4.r* .
gleich viel kuͤrzer, als durch die Formeln (S. 365, 372) ge⸗
>
ſchehen ſeyn würde. u u
Die nähere Ausführung diefes und einiger andern Erems
pel Gaben Kr. Prof. Rothe (de Ser. Reverf. — difl.
13 —ı5) und Here Mag. Toepfer (Tombin. Anal, S. 176
. 180) gegeben. | | u
12. So wie bisher x, eben fo läßt ſich auch log x aus der
Gleichung für y oder y! (©. 364,372) duch Umkehrung fins
den. Die Lokalformel für log x, aus welcher die combinatori⸗
ſche fogleich fließt: ©. 369) kann man (polyn. Lehrſ. ©. 299, 8)
nachfehen. Sch will mich Hier dabey nicht aufhalten. . Die Vers
gleihung derfelben mit jener zeigt aber ſogleich, daß der Aus⸗
| | Aa 4 NSG 9
376 IX. Auszüge und Hecenfionen neuer Bücher,
druc für loe. x noch einfacher iſt, als der für xm; voſttonmes/ |
ivie bey Heren de fa Grange (art.-20, 21). 2. u.
13. Zumeilen fteht ſtatt des einzelnen Gliedes y oder yl au
eine Reihe, wodurch die Umkehrung noch fchiwieriger with
Weitläuftigkeiten In der allgemeiner Darftellung der zugehörigen
Umeehrungsformel zu vermeiden, und zugleich die Deutlichkeit
befördern, Hat Here Profeffor Rothe hiebey Lokalausdruͤcke nah
der reduchten Form gebraucht. Ausführlic über die allgemein
ſte Form folcher Doppelreihen, fo wie überhaupt von der Ums
kehrung, babe ich in meinen Paralipomenis ad Serierum Re-
verfionem (Lipf. 1797) gehandelt. Etwas davon, nebſt eini⸗
gen Veyſplelen, kommt auch (polyn. Lehrſ. ©. 299 302) vor
5. Zum ewigen Frieden unter den Steeitern in ffentlis
chen Zeitungen, wegen einiger Kechenerempel, Ein |
arithmetiſcher Verſuch, auch Layen genüßbar. Nebſt
Beylagen, welche die in den öffentlichen Blättern bes
findfichen, dieſen Gegenftand betreffenden Aufſaͤtze,
nebft der Beurtheilung eines jeden enthalten. Leip⸗
zig, bey 3. G. H. Nichter 1798. 96 Seiten. 8.
Zweck und Inhalt dieſer Schrift iſt auf dem Titel deutlich ans
gezeigt; die Veranlaſſung dazu hat das Steinbeckſche Rechen⸗
exempel gegeben: was herauskomme, „wenn man 9 Thle. 23.91.
vi pf. mit fich ſelbſt multiplieirt?“ Woran, der Layen wegetr
ine kurze Einleitung in die Arithmetik, worinn der Verfaflet,
—* ſich am Ende der Vorrede Immanuel Friedrich unte
ſchreibt) vorzüglich den Unterſchied zwiſchen benannten und um
Amannten Zahlen auseinanderſetzt, und $. ı2 richtig zeigt, daß
Multiplication in henannten Zahlen, nichts anders heißen Eins
ne, als eine benannte. Größe, jovielmal nehmen, als eine ans
dere gegebene unbenannte Zahl anzeigt, woraus von ſelbſt folgt,
daß nur der Multiplicand eine benannte Zahl feyn kann, dei
Multiplicator aber ſchlechterdinas unbenannt feyn muß. Kies
aus ergiebt ſich nber auch, daß derjenige, welcher zwey benannte
Zahlen mit einander ju multipiieiren aufgiebt, was Ungereime
ses verlanäts wodurch die Steinbecffche Aufgabe in ihrer ganzen
Bloͤße erſcheint. In der That macht es von dem Zuftande de
Irterrichts-tn der Aeithmetik keinen vortheilhaften Begriff, wert
on man
Auszuge und Recenſionen neuer Bücher. 377
in ſleht, daß von ſo vielen, die uͤber dieſe Aufgabe ihre Mei⸗
ng öffentlich geaͤußert haben, nur wenige ben Sauptumfland
) ber. Aufgabe, daß fie an fich ungereimt iſt, erwähnen,
meiſten abet, und uriter denen fogat Lehrer der Arithmetik,
ſes überfehen haben.
* Sur unter einer einzigen willkuͤhrlichen Vorausfetzung koͤn⸗
n, die Steinbeckiſche und“ andere ähnliche Aufgaben , einen
inn erhalten, wenn man eine gewiſſe Geldgröße als $Einbeit
niteint, und den einen benannten Factor Tovielmal nim t
s die für die Einheit angenommene Seldgröße in dem andern
tor enthalten ift. Iſt diefe Geldeinheit ein Thaler, fo heißt
e. Aufgabe, man foll 9 Thlr. 23 gr zu pf. fo vielnmi.nehmen,
t.ein Thaler in 9 Thlr. 23 gr. 11 pf. enthalten. iſt/ das heißt,
mal, und dann kommt 99 Thlr. 22 gr. Ausg pf. heraus.
ft aber die Geldeinheit cin Groſchen, fo muß, weil ein Gros
en der vier und zwanzigſte Theil des Thalers iſt die Zahl, wel⸗
e anzeigt, wievielmal ein Groſchen in s Thlr. 45-gr. II. pf
thaiten.ift, 2 amal ſo groß ſeyn, als die, Zahl Awelche an⸗
igt, wie vielmal ein Thaler in eben der Summe enthalten iſt,
iglich wird, bey ungeaͤndertem Multiplicand, der Miltiplicas
r, mithin auch das Product 24mal fo groß, als vorher, und
na kommt 2398 Thlr. 8 gr. Spf. heraus: "ft aber die Gelds
aheit ein Pfennig, fo kommt aus eben dem Grunde das Zwoͤlf⸗
che des jetzt angeführten, oder das 288fache des vorigen Mes
ltats, nämlich 28780 Thlr. ı pf. Da nun in dei Aufgabe
oß Thaler, Groſchen und Pfennige vorkommen, f6 war es
eylich natuͤrlich, eine von dieſen drey Geldſorten zur Einheit
waͤhlen, und am natuͤrlichſten, den Thaler, als die hoͤchſte
eldſorte; welches die mehreſten auch ſtillſchweigend, und ohne
h deſſen deutlich bewußt zu ſeyn, gethan haben, und daher das
fie Refultat fanden, welches auch wahrſcheinlich Herr Steins
ch ſelbſt im Sinne Hatte, nur daß er fich darüber nicht deuts
ch erklärte. Sa, nicht nur. bey diefer Aufgabe, fondern auch
andern, wo nur in dem einen Factor Thaler vorkommen,
& bey der Aufgabe s Thaler X 18 gr. oder bey diefer (7 Thlr.
- 786.) X (798. — 7 pf) nahm man ſtillſchweigend den
haler zur Einheit an. Obgleich diefes narhrlich ift, fo iſt es
nicht nothwendig, und jede andere Geldgroͤße hätte zur Ein⸗
et angenommen werden koͤnnen. Iſt z. B. ber der Steine
ecliſchen Aufgabe:
| A 5 R
.-
J
m ca unten ae
hie Eiaheit * pt das Reſulut
——— CHR. 21,96, Gehe
Mer 7
Sr " . —* =
21⸗
** — au ug Zt, EN
Sa, fogar jedes ganz aus
ES ER | s
ie Refultat, 48
54. Colt, na gr, 7.91. Kann eldeig, fa 3, in ſo fern man ficpeine |
Geldotihe von ı FI 19 er 44 Pf. dabey. als Einheit
dedenit.
EN : Danger kette Ser bj? al
: fasın Wis Otrind eckthe Erempel: * #
x Dean Re naͤmilich⸗ Belegung auf Taler, a=ım,
et abs
1 8, .
— — —— bu
“er, 12: \ ——
eis giebt apf. mit ſich ſelbſt multiplieirt, und den
Orolden-an: "einher angenommen, 16 96. —
1 5tn4ra Pe. Auch hier gäben andere Einbeiren andere
Qefukatz , eins fo richtig wie das andere,. wenn fie.zichtig ger
rechnet find ;-der Aeußerung ($. 19. ©. 16) entgegen.
29°: Diefen Erläuterungen will ich noch folgende Benterkungen
Ierfügen. „Die Gleichungen (©. 26, ſind fo zu werdeffen:
0 B2886g1
J Ber FRE 29 = U.
* 282
Eben ſo die Quotienten, wie folget:
‚199 Tr: 22 90. Anke pf): (9 The: 23 gr. u)
"Ars gear pf)eGar. u pf) =
a Sr. vn akt: {120 gt pi)
“4 Dis
Er
XI, Auszüge und Recenſionen neuer Bücher. 379
Das Erempel 9. 39 iſt falfch berechnet: .es kommen 117 9
3N ıD 3B. Auch hätte der Verfaffer zu den von ihm
$. a2 und ©. 55 —.57 vorgelegten Aufgaben, wenn gleich nicht
die Auflöfungen, doch die Refultate, der Ungeüßtern wegen,
angeben füllen. " Diele find ($. 42. Er. ı) 11C 109P 318
3Qn3Pı9;5 (Er 3) 9W M882V3M; Imre.
muß ein Drudfehler vortommen, wenn anders, wie zu vermus
then ift, das Reſultat rational feyn ſoll. Ferner (&, ss, ı)
Sie. Erben empfiengen: der erfle 95645, der ate 52635, dei
te q14%5, der ate 382455, der. ste.38249$ Thaler an baa⸗
rem Selde und die Uhr 95773 Thaler am Werthe. Doch viels
leicht iſt durch einen Druckfehler die Verlaffenfchaft 2758 flate
2768 Thaler angegeben; in diefem Falle kommen lauter ganze
Zahlen für die Erbtheife nach der Ordnung! 960, 3a8, 416,
334, 384 und die Uhr 96 Thlr. am Werthes (©. ss, 2) die
Tiefe des Brunnens if 129,218 Fuß; (©. 55, 3) Er hat bes
zahle für ein Duzend 80 Thlr. und auch 80 Thle. gewonnen;
(©. 56, 4) der Streit fiel vor 1797... die juͤngſte Schwerer. war
36, die ältere a2 Jahre alt; (©. 56, 5) die Heerde beſtand
aus 277199 Stuͤck. Ä U
Der Bruch, den die Gebruͤder Thieme (S. 85) angege⸗
ben haben, iſt nicht falſch, wie (S. 26) behauptet wird; er iſt
einerley mit dem der Herren Wagner und Häfchfe (©. 84, 85)
wenn man biefen mit.3 aufhebt. Durchgehends iſt hierbey ans
genommen , die zu verzehrende Summe werde erfl zu Ende des
Jahres ausgezahlt; Tollte fie gieich zu Anfange des Jahres bes
zahlt werden: fo gäbe das ein anderes Nefultat Ä
. 1479 Thle. 12 gr. rar Pf.
welches fich zu jenem, wie 10: 11 verhält. on
Zuletzt noch folgendes, in der Kürze: Herr Steinbeck
Sat ganz Unrecht, wenn er (S. 76) die zweyte und dritte der
von Herrn Wagner angeführten Proportionen für zwey von fels
nem Exempel ganz verfchiedne Aufgaben erklärt, und behauptet,
le erſte Proportion fey zwar richtig, erleichtere aber doch bie
uflöfung nicht. Es war ja nothwendig, vor allen Dingen dee
Aufgabe einen vernünftigen Sinn unterzulegen. Auch iſt Herrn
Steinbeis Tadel gegen Herrn Fiſcher, Schulmeifter zu 3. ganz
ungegrändet. Die beyden mittlern Säße einer Proportion koͤn⸗
nen, wenn alle vier Glieder benannt find, durchaus nicht, we⸗
nigſtens nicht als benannte Zahlen, vote Kerr Tifcher richtig bes
‚merkt, mit einander multipficirt werden. Zu den beieürenten
X Ausziige aus Briefen,
Auffäßen über die Steinhetkſche Aufgabe gehören auch, der von
B. (S. 81, 82) und vonM. (8. 90°— 94) beyde aus Diese
den. Der lebte iſt zugleich der ausführlichfte. on : J
u ' H. % Rothe, ‘
alle —6 X. ZZ j u
Auszige aus Briefen ; verfchiedene Nachrichten
— Fund Anzeigen. J
ne
Ka or
3 ENTER ii.
.ıs Aus einem Briefe von Herm D. Kramp an bau:
2 jeiausgeber. eier
BEER OR, - „Hamburg: deu Smenbrüden, ben 28. 1.1297
Dieschimmang der aſtronowmiſchen Ptrabienbreähung, nach optifch⸗
hoſtſcwen Gründen, / mit Añwendung des Mariottifchen kebrſatzes of
die Abnahme der Denfitdten der armofphärtfchen: Luft, und vermittelt
genauer, volftdudiger Jntegratiog der hier vorliegenden fehe ſchweren
Diffetentialgleichung, mit Weglaſſung alles beffen, was bioße Muth⸗
masung , bloß aufs Geratbewohl bin gewigte Ndherung mar — il
basienige Problem, mit. melcpem ich von meinen erfien Univerſitats⸗
fahren de unaufhoͤrlich, .mit dem größten Fleiße, abge immer vergeb
lich Und ohne allen Cefolg, mich abgegeben babe. Vergedlich war meb
ne Bemähung, aus chen dem Beunde, warum bisher alle Bemuͤhm⸗
gen, ſelbſt der geößten Geometer, vergeblich gewefen maren, und
Aufgabe felbit bis auf diefe-Stunde unaufgelöf. geblieben war. DIE
Hefache ndmlich tft, die ungeheure Divergenz aller der Reiben, inweh
che ſich das vorliegende Differential entwickeln laffen mußte, und de
ren ſamtliche Coefficienten nath den Potenzen einer Zahl fortgienzer
beren mittlerer Werth, in gegenwdrtigem Sale, wenigſtens goo war.
Doher flebt ed auch um die Lehre von der aftronomifchen Refractioa
ungefähr. fo aus, mie mit dem Planeten⸗ und Mondenlaufe vor dem
Tewstomifchen Syſteme, da man die allgemeinen Gelege und die Gri⸗
de der Wechnung noch nicht fannte, nach welchen ſich das. Geſuchte
e.priori beſtimmen ließ. Auch fand ich über die vorliegende analotl
de Schwierigkeit nirgends Aufſchluß, ſelbſt in beyden Abhandlungeß
es Laplace, ſur Approximation des formules qui font fonctions
trös grands nombres. Mem. de l Acad. des Sciences. Annẽt 1782. 178
—* die doch zu allerndchſt hicher zu gehören ſchien. Endlich, ab
er alles Vermuthen, gelang es. mir in der vorigen Woche, die fer
große Schwierigkeit ganz aus dem Grunde zu heben. sch fand nam
lich für jedes Integral ydx, zwey allgemeine, einfache, in der Am
wendung Tefchte ſummatoriſche Meiben, deren bie eine allemal convert
eiren muß, wann die andere aus ber erſterwahnten Urſache ˖divergick
Die eine dieſer Reiben IR gany nen, wod fAc die höhere analufie
| au
verſchiedene Nachrichten und Anzeigen, 381
außersebentlich wichtiger Wenteag; auch werde ich Ipn, nebfi den dor⸗
dns berfliedenden wichtigen Folgen , du feiner Zeit ” Ihrem Arch he
betanng machen. Ib wahre nun fogleich die Anmendnng auf die
aßsonomiihe Refractions und flehe da, das Problem war. in feiner
größten Allgemeinheit, durch febe convergente Reihen aufgeläft. " &6
ergaben ſich hierauf folgende Refultate, bie ich hier mittheile :
1, Die von mir, nacp meiner Integration berechnete Kefrartios
nentafel dimmt, für die Yarometerhöhe 283oN und + 10° Keaumur,
die ta Baland's Afronomie Rebt, von ba in die Berliner Sammlung
aftton. Tafeln übergegangen, und bekanntlich das Refultat der zahle
eeiöften und. ticbtieen Beobachtungen it, bis_auf 86° fcheinbaree
Entfernung vom Zenit, felbft in den einzelnen Secunden übereln.
a. lieber 86° hinaus, bis volends an den Horizont hin, belaus
kt ih die linterfchiede auf mehrere, und bid gegen 30 Gecunden;
telchwohl aber Aft für die Horisontalrefeaction der Unterfchled noch
gering, daß ſolcher ‚ben der vollfoinmenen Liebereinfimmung alles
Ibrigen, und der bekannten großen Schwieriufeit, die Horliontalres _
wefpaction richtig su beobachten, offenbar auf Rechnung der Beobachs
tung, und nicht der Sormel, fallen kann, die ohnehin die analptiige
Demonßration für fi bat. .
> 3. &8 folgt demnach [1 allererfi hieraus, daß die Anwendung des
Matiottifchen Gefeges.auf Die Anordnung der atmofppdrifchen Schich«
ten volltommen richtig fen; daß Überall, ſelbſ in den höchken Keglon
Den, bie Dichte.fich verhalte wie dee Druck, daß Temperatur, Eiek⸗
teicität, unglelcartige Michung der atmojpbdrifchen Luft, durdaus
Reine Abmeldung bewirken; und dab alle die angeblich beobachteten
Abweichungen debler der Beobachtung, nicht der. Theorie find.
4 Dabvon 4 bis 5 Grad ſcheinbater Höhe an dis ans Zenith, die
Nefräction fich verbalte wie Die Dichte der Luft, dies HE wahr. Us
Tein, daß Dies bey hiedrigern Höben auch ſtatt habe, bies IR nicht wahr,
Meine Formel fagt hierüber, daß für eine Temperatur über ıc° die
Derminderung der Kefraction weniger, für Teinperatur hingegen
unter 10°, bie Vermehrung derfelben mehr, weit mehr austrägt,
ed nach jener Kegel ſeyn folte: fo, Daß ben folchen @raden der Rdls
€, sole 4. &. in Schweden oft Hart haben „mögen, die Horizontaleee
in gar wohl vier und mehr ganze Grade betragen kann, mie fols
es nach Is Lande Afronomie, Tom. IV. p.662; und .Lemennier Mem.
de Idcad, Anne 1780, p- 87. der Sal war,
> +. Dermittelfi meinee Formei alfo wird der Ahronom in ben Sand
it, für ale mögliche, von der mittlern nech fo fehe abmeichende
peratüren , die felöit den allerniedrigften Göben sulommende Res
‚ mit der geößten Genauigkeit zu berechnen; und fo fiele denn
te er Scörierigteit von felbit wea, die jene Weobactungen Bis
ber für die Wiſſenſchaft fo gut ald unbrauchbar machte. Auch Läkt fi
eine Revifion ber vorsüglichen, bey dergleichen niedrigen Höhen an⸗
sehelten Beobachtungen machen, aus welchen man, bloß wegen der
—& angegebenen Reftacilon, die fehlerhaften Schlaſſe Bezogen
6. Und zuletzt, babe Ich noch zu bemerken, dab alle, won Lambert,
Seablep, Maer, Gtupfon ıc. gegebene allgemeine Defeastiondfors
wen, iwar für größere Höhen anwendbar, aber auch al&dann übers
Rüsis: für ganz niedrige Höhen hingegen nicht einmai als Pe
. Pr 2 ER aus gie, :
. rechnung lag.
“0 12 Daß e8 mit dem fo ſehr Beimeifelten ——
welches: Sen. meiner Secarvie gu * 5
an.dis in die der \
Ei en — er Mean ne *
— Da ui de ern vi
” wenn
ih a alien —— unwigtigen Yes
\ I dit F — Bas ic)
ib einfiweilen mit den gehörigen gel
jemitteln ef erde, herausgeben —— unter dem Litel
Aftranemicarum argue Terrefirium Hifteria‘ Das
te dann ein Buch werben, wie das Buch des ae Ja Place,
Syfiime da Monde es la figure des Plaueres,
Eee u: auch, wern fich auf bilige Bedingungen ein
Si
2. Zweytes Schreiben, von eben dem Verfaffer, indie
felben Angelegenheit.
Homburg, den 14. Fan. 1798.
9, &le meinem vorigen Schreihen eine Stelle in dem ndäen.
‚Hefte Ihres Archivs zugedaat haben, fo bitte ich, demfelben
meinen N ea für die Yortgontalrefraction
a Halbmeffer der Erde. Unter dem Aequator Bene Ei —
h,dfe Subtangente der Logifficn , durch deren Dri
Aitdt der Nuft für jede gegebene Höhe ausgedeüct wird. en RR [
- Gelb. der Weroft- babe ic) eine Tabelle der Subtangenten für. jeden
Grad des Reaum. Therm, gegeben: die auf de Puc’s Höhenmellungen
Gegründet it. dar 10° Reaum. ift h= 4218 Toiſen. *
e, ei Heiner Bruch, Der. Stege weg, für 2 ——
1:1 F w, Berhälmig dee Sinufe des Einfall und
winkels für den Durchgang aus Luft In den leeren — * ta eis
Eleiner, dee Denfitdt der Luft, proportionaler Bruch. B
"Wacom. und 4 10° Keaum. If w = 0,0003869. iind nı —
ich übergeugt, dab * 5 BP
— en
a he de A
. Jaß Die
au ee nm eakm Ben Kresa 5
föber behauptete Linz
N — 5 nit De Er 1. *
m.od
derſchiedene Nachrichten und Anzeigen, 383
M. Daß die Kefrangibititdt der atmoſphariſchen Luft ſich durch⸗
gehends verhaͤlt wie de enfitdts und daß aller Zuſatz von use
umd fremden Euftarten, fo mie auch aller Einfluß der Wdrme, Kälte,
Trockne und Feuchtigkeit, an biefen beyden großen Naturgeſetzen niche
das geringfte abzudndern vermögend if.
Die Berechnung der Refeactionen nahe am Horizonte, bis auf 7°
scheinbarer Höhe, If dagegen fehr fchwer. Das Integealfe Ta y
das bey der Horizontalrefraetion =o wird, koͤmmt alsdann mit in6
Spiel; und bier mar fchlechterdings nichts anders zu thun, als eine
Zabelle dieſer Integrale zu berechnen, von t==o,0ı bi6 ı==4,00, auf
ı2 Decimalfiellen. Es war eine ungeheure Arbeit; allein, Gottlob,
ich bin damit fertig.
> Eine Erlduterung muß ich mir von Ihnen ausbitten. De Luc
bat angenommen, daß der Gang des Queckſilbers am Thermometer
mit dem der dußern Luft gleichfoͤrmig ſey; das iſt: daß zwiſchen dem
Srade des Thermometers y und der zugehoͤrigen fpecififchen Feder⸗
eaft der Luft, Y, eine Gleichung vom erſten Grade hatt habe. Dies
IR gewiß nicht anders ald cum Grano Salis zu verfiehen. Ich erins
‚nere mich Dagegen, In Prony (dem erfien Theil, gegen das Ende)
eine Tabelle gefehen zu haben, wo für fünf der vorzuͤglichſten Grabe
Des Therm. das zugehörige Volumen ber gemeinen, bepblogificten,
brennbaren ꝛc. Luft in Ganzen und vier Decimalen ausgedrückt iſt.
Vrond hat die Gleichung. dabey verfuht: Ye) Fe) Lei Y
-LePY-Lerc; und es iſt ihm gelungen. Dürfte ich mir wohl von I
nen eine Abichrift diefer Stelle von Prony ausbitten? Ich brauche
fie zu meinen Refractionen fchlechterdings „ und an Bücher biefer Art
46 in dem Orte, wo ich Ist wohne, nicht gu denken: auch feine Ges
fegenheit, fie anders als mit großen Koßen und ungebeurem Zeitvers
kufle au dr mmen. —
\
3. Aus Heren D. Kramp’s neueftem Schreiben.
Homburg, den aten Marz 1798,
Forem geneigten Rathe aufolge, babe ich mein Werk über die Re⸗
feaetionen in fransöflicher Sprache auszuarbeiten angefangen; und
mehr als bie Hälfte der Analyfe des Re£fraetions Aftrenomiques et
Tarreftres if bereits fertig. Das dritte Kapitel, Analyfe des Facul-
-t&s numöriques, enthält, auf etwa zwoͤlf Bogen im Manufeript,
weit weit mehr, als alles was ich nod) bisher Ihnen augefendet habe.
Ich babe das eberfüßige weggelaſſen, Die Beweiſe ſehr ins Kurze ges
zogen, und das Ganze mit Anwendungen auf mehrere der wichtighen
Aufgaben der höhern Analofis bereichert, die auverldäig vorhin nies
mand verınutbet batte. Ich glaube behaupten zu können, ohne die
GSranzen der Beſcheidenheit au überfchreiten, dab das Meile, mad
bier gefchrieben habe, für die Mathematik eben fo neu ik, als es
die Snfinttefimalrechnung au Ihrer Seit mar. Ein ſtarker Grund zu
diefer Behauptung Liegt einerfeits in dem Benfalle, womit Sie meine
no el
nr Ania as Bein |
ER —5553
ein febe aroßer Abland if, daß de
— Instant „als erfere.. Ih =
ie mei
a ER — — Knete — DH nr ken
u - 3 Anwendungen increff
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J are na Set —— —*
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— „8 möchte —— ph
Banane
Abel men. 30 ne mob, * die Serge für
KR,
— wen Ib af
— — ee ir =
md etwanigen eigung auaufchii
*) Die Bevtedge, in drey Abthellungen, wurden mehrere sche
Gede beunabe ein ganzes) gefüllt haben. Ich hatte
vorgenommen, einen Yuszua des Wefentliben und mn
daraus, im Archive mitzutheilen, Nunmehr iſt aber auch bie
fer nicht nöthig. CH
* An einen Derleger für ein fo wichtiaed Werf, das —
aſt von einer doppelten Seite ntereſſirt, kann und fol e6,
16 nit fehlen. Herr D. Ktamp bat nicht nöthig, fein PM
nufeeipt im voraus, als vorzurcigende Probe, herzufenden. Det
Fe Frl ————— Ka ae wir
e Schriften rübm! iannten Berfaflers, m
hinreichend, die Güte des Werks zu verblrgen. Re
Reipzig,
gedruckt bey Chtiſtian Friedtich Golbrig.
der
reinen und angewandten
Mathematik.
» .
N Actes Hefe 1708
J.
Anfangsgruͤnde einer neuen Ervonentialrechnung:
von Johann Paſauich.
4
J. babe dieſe Abhandlung in der Beylage zum er⸗
ſten und zweyten Bande meines Unterrichts in der
mathematiſchen Analyſis (Leipz. 1798) verſprochen.
Meiner Ueberzeugung nach iſt die Rechnungsmethode, von
welcher bier die Rede ift, dergeſtalt beſchaffen, daß ſie,
wegen der Einfachheit der Begriffe, worauf ſie beruhet,
dee Sründlichkeit, womit fie ausgeführt werden kaun,
und des Allgemeinheit ihrer Gründe, mehr Aufmerffam-
Seit verdient, als manche andere Rechnungsmethoden,
wodurch man das, mas der fchlecht abgehandelten Miſe⸗
zentialrechnung fehlet, zu erſetzen gefucht hat: bloß aus
dieſem Grunde mache ich fie befannt., in der gegrändeten
Hoffnung, daß jeder Kenner von ihr eben fo, wie ic) davon
denke, urtheilen wird; daß ſie nämlich beym gegenwärtie
gen Zuftande der Differential» und Integral Rechnung,
zwar eutbehrlih, aber immer doch werth ift, in dieſem
Archive aufbewahrt zu werben.
Achtes Heft. OB LENWM
s N
1 D . .
| 386 1. Paſquich, Aufangsgruͤnde
| L. |
Von der Erponentüirung algebraifcher Funktionen,
Ä g. 1.
Paoſtulat. jede Funktion y von einer ver
änderlichen Gipe z foll fich unter der allgemein-
fien Som y—= Az! + Bz’ +-Cz°+ Dei etc
betrachten laffen, entweder weil jie wirklich diefe
Form bat, oder weil fie einer Reihe von derfelben
Sorm'gleich geſetzt werden kann.
.. 3%
Melldrung. Wenn y was immer für eine Funk⸗
tion don einer abfoluten veränderlichen Groͤße x ift (mel
che nämlich unabhängig iſt von riner andern veraͤnder⸗
lichen Größe); fo nenne man diejenige Funktion, melde
aus der Funftion y entſtehen würde, mwenn man ale
Glieder der gleichgültigen Reihe ($. 1.) einzeln genommen
mit den ihnen zugehoͤrigen Erponenten von x multiplie
cirte, (den Exponenten o nicht ausgenommen), bag Ex⸗
ponential der Zunftion y, und bezeichne es mit sy:
die Funktion y feldft fol, in Beziehung auf ey, bie ef«
ponentiürte Sunftion beiffen: die Methode bie Erpo»
nentialien der Funktionen, und die erponentüirten Sunf
tionen für gegebene Erponentialien zu finden, wollen mie
die Erponentialrechnung nennen.
Beyſpiele.
|
ym3R sr) 2x" — 7x? giebt
6
ya
Ä 4 3
y(a — 3 9 a — 62 x49x8 giebt
yaſf. - Gary, 8 — 240° xt-725*.
ar
‘
’
s
einer neuen Erponentialrehnung. 387
$. 3. .
1. Zuſatz. Das Erponential einer beftändigen Größe
C ift gleich Null; nämlich Cc= == 6. ‚cr Cx°.o==o
(6. 2.).
J 5. 4 |
2. Zuſatz. Das Erponential jeder abfoluten vers
Anderlichen Größe x iſt derſelben Groͤße gleich; nanuch
IXSSG. 1Xx(G6. 2.) |
— 5.5.
3. Zuſatz. Das Erponeneial einer Zunftion y-Z.
-+- von x, wenn D eine beftändige Größe bedeutet, iſt
gleich dem Erponential ihres veränberlichen Theils 2.
Denn fegt man nach ($. 1.)
. TAX +-Br’-+-Cx'--D x tete;
fo iſt y=PxX HA Br COxe Dxi- ete:
alſo y=aArbix4 +-cCx'--dDxi-retc
*67 (5. 2.).
4. Zuſatz. Das Erponenlt jeder unter der Form
y=Px’-+ Qx1--Rx'+-Sx’-+ ete vorkommenden
Funktion von x iſt gleich der Summe der Erponentialien |
Ahrer einzelnen Glieder: nämlich nach (5. 2.)
| sy=pPx’+-qQxi-HrRxz'-HsSxtete .
=. Px’e, Qxirs. Rx’ 8.5x°-4 ete,
6. 7.
5. Zufag. Das Erponential der Summe U--V
X -+- Y-Hetc mehrerer Funktionen von einer abfolu«
‘ten veränderlichen Größe x ift gkeichh der Summe ber
* Erponentialien derfelden Zunftionen einzeln genommen:
nämlih e(UTVFXHY ter) m eU+EV-heX
+eY-rete $ 1.2.
86 2 8 &
288° m: Paſquich Anfangegrunde
§. 8.
Aufgabe. Fuͤr bekannte Exponentialien
zwoer Hunktionen von einer abſoluten veraͤnder⸗
lichen Größe x das Erponential des Produkts aus
- denfelben $unftionen zu finden, Ä
Auflöfung. Man multiplicire jede Funktion ein⸗
zeln gehommen mit dem Erponential ber andern Sunftion, :
‚and adbire die Probufte in eine Summe; To wird dleſe
das derlangte Exponential ſeyn.
Beweis. Es ſollen hier drey mögliche Säle ve
" trachtet werben: deun entweder find |
1) beyde Sunftiogen, etwa u = 5x’ , = Rz’,
einfach; oder?
2) eine unter ihnen iſt einfach, und bie andere je .
fanmengefegt, wie umSsx U=Kr+L 2-4-M3"
-}- etc;
-Lx!-Mx" tete, V=Ax'tBx’tCx + ete;
alles in der Bedeutung ($. 1.).
4) Im erfien Fall findet man nun nach ($. 2.)
uv=SRx‘’'; ‚alſo s.uv==(s+r)SRx°’*"
= Rx'.sSx--Sx’.rRx
3 =veu->-usv,
Eu 5) Im iiepten Fall aber findet man daffelde af
folgende Art:
uU==u.Kx!-+-u,Lx! -Hu.Mx"+ete:
alſo ift nach ($. 7.)
‚s.uUz=elu. Kx)+s(uLxU+s(u.Mxm)-tete
Wenn man baher bie einzelnen Erponentialien nah
(4) nimmt; fo wird ſeyn .
‚s.uU=us.Kx'+Kx“ ‚eu
‚ t+us.Lx!’+-Lxl.eu
-—+-us.Mx? FMx”, su
-j— etc, re TR
v
3) oder beyde find zufammengefeht, wie Umkx |
einer neuen Exponentialrechnung. 389
eu(s.Kx*-Hs.Lx Ihe, Mx”-+-etc)
„r(Kx'-H-Lx'--Mx"”-tete) eu
=usU-+Ueu ($.5.).
6) Auf diefe Are erhellet nım bie Richtigkeit der
gegebenen Aufloͤſung auch für den 3ten Fall. Denn es
wird ſeyn
VUVM. V-PL. V-HMxn . V4 et:
alfo nad) ($. 7.)
ur UVEsKRN-+eLx. V)-He(Mx" Ve
Daber wenn man bie einzelnen Erponentialien nah
(5) ausdruͤcket, muß ſeyn =
| Kxt.sV--Ve.Kx“ }
UV— —Lx!.eV+VeLx ı\ı
a Mxm, VVs. Mxm — —
—+- etc. etc. I) Zu
Bi (Kri+-Lx --Mx"—+-etc) eV 1
— Ve. Kx'+e.Lx'-+s. Max" -hete) *
== UsV--V eU (6. 6.).
| Ä 9. 9. .
2. Zuſatz. Sir drey Junktionen P,Q,R von.
zeiner abfoluten veränderlichen Größe x waͤre s(PQR)
==Re(PO)--POsR=R (PeEQ-+-QsP)+-PQeR
6 BIERPEQHRQEP-EEQER. |
hi
6. 10, .
2. Zuſatz Nimmt man an, daß das BroduftDEF
---ST aus n-+-ı Zunftionen D,E,F, ---S, T beſtehet,
und das Erponentlal des Produits DEF-.-S be
"Summe ber Produkte gleich ift, welche entftehen würden,
wenn man das Erponential jedes Faktors von DEF---S
æmit allen übrigen Faktoren multiplicieee; fo muß dad Ex⸗
ponential e(DEF---ST)J)=(DEF---)ıT+Te
_ EF--- ” 8 3.) die Summe der Produkte (eyar
5 3 | wahr
. Bunftionen gelten ($. 10.)z daher gilt es überhaupt für
* Aufiöfung. Man multiplicire bie um einen Brad :
nen Potenz, und dem befannten Erponential Yon Z; fü M
300 I. Pamich, Anfongsgeinde n
weiche man erbielte, wenn man va Erponential jedes i
Gaftors von DEF---ST mit allen Abrigen Gaktoren Ä
multiplicitte.
ER Ya | I ’
3. Zufan, Verlangt man demnach das Erpein⸗ 5
tial des Produfts aus ſobiel man will Gunftionen; z
-multiplicire man das Erpomential jeder einzelnen Funl⸗
-tion mit allen übrigeu Sunftionen, und addire bie erhal⸗
eenen Probufte in eine Summe. Denn dieſes gile wird °
Sich für 2 und 3 Funktionen ($. 8.9.), und wenn es für -
u Zunttionen gälte; fo ‚müßte daſſelbe auch fir n 41
| jede moͤgliche Anjahl von Sunftionen.
5. 12.
| | 4. zuſan. Fuͤr jebe Sunftion 7 von einer abſoln⸗
ten veraͤnderlichen Groͤße x, und jede ganze bejahte Zahl m
muß ſeyn 5. Zr, 222... 2=mZ""!lsz (G6. 11.).
§. 13.
Aufgabe. Fuͤr das gegebene Exponential
einer Funktion Z von der abſoluten veraͤnderlichen
- Größe x das Erponential ihrer unbeſtimmten Po⸗
tenz Z° zu finden.
‚niedrigere Potenz von Z mit dem Erponenten ber gezebe⸗
wird ſeyn s.Z’—nZU1sZ,
Beweis. Zür einen ganzen bejahten Exponenten a
erhellet dieſes aus (6. 12.). Sey aber
.ı= - eine bejahte gebrochene Zahl, und mas
/ , u.
tyra Tı ht yazı
e
alle
‘
einer neuen Erponentialrechnung. 391
alfe ift nach . 12.) yy eymuzUigz, und num
uU _--ı \
sy= - Zy 2. | |
2. Endlih fy n= — r eine verneinte, übrigens -
ganze oder gebrochene Zahl, und
y=2#=7Z", ſo iſt ya zZ; alſo nach ($. 8.)
ye.Z2'+-Zeyzelt. |
Weil aber 2r, r bejahte Zahl find, wofaͤr die gegen
bene Auflöfung bereits erwieſen worden if; fo bat man
e. 2m 2arZ2'leZ;, E. WM merZi!sZ,
Daher iſt auf aryZPtsz t Z'sym —— zZ,
- und hieran folge y — r ZU "1 eZ,
4. 14
Auf gab e. Sür gegebene $Erponentialien
zwoer Sunktionen u, v von einer abfoluten verän-
derlichen Größe x des Exponential der gebroches
nen Funktion y=- zu finden.
Aufloͤſung. Man ziehe das Produkt aus dem
Exponential des Nenners in den Zaͤhler vom Produkt aus
dem Exponential des Zaͤhlers in den Nenner ab, und
dinidire den Reſt durch das Quadrat des Renners; ſo
wird ſeyn u __ vu —usv | |
e ——— — — — —,
u eyn eye 7* Ir
Beweis. Es if vy=u: alfo nach 6 2.)
vey--ysev=su,
su — YEV — Vsu — UV
und nun ey —
y= Y y?
»
$. 15.
Nach der bisherigen Theorie Täßt fich demnach das
Erponential jeder, wie immer verwickelten, algebraifchen
\ B 4 | | u
298 2 Pofauich,” Anfangsgründe
[5
= Gurtelon von einer abfoluten veränberlichen SGroße x be
*ſtimmen.
an
\\
23.82. y=(@-hx?) |
giebt nach (6. 8.) ”
ERDE, :
Bu iſt nach (8. 2.5.)
er N) =cx— 3x;
s(a-+-x?)==2x?: alſo iſt
y* ——
y=YV ut)‘
giebt nah ().13) 0
y—4l-x9" (1 — x),
und (1 N=—4xt nach (5. 2. 5.):
| fe zart. 2(1— xt), = style Ä
I
=
she nach (6. 13.)
— V — Ig—xny ne (1—x?),
und r = — 2x nad G25
2
alfo e x - x iu — *
y —yta— er;
y-- — giebt nach ($. 14.). |
KCEROL UT) Zar),
’ (14+-x#)) u
‚und e [may
58(1xt) = 4xt nach (5.2. 5:
rum mer
CE
‚=
alſo ey
Am
. oa * . 4. 16.
— einer neuen en J 393
Etmarung. Das in * 2) atlarte Erponential
einer Funktion y ſoll das erſte Exponential davon heiſſen:
dividirt man es durch die abſolute veraͤnderliche x, auf
welche die Funktion y fich bezieht; fo fol das erfie nach
6. 2.) genommene Exponential bed Quotienten das
zweyte Exponential der Funktion y genannt werden: _
” und überhaupt fol aus jedem nten Exponential von y. ®-
das (n i)te entfichen, ‚wenn man das nte durch die
. - abfolute veränderliche Größe x dividirt, und das erſte
Erponential des Duotienten nach ($.2.) nimmt. Alle _
‚x. biefe Erponensialien kann man mit keyı ”y;# ye8'yı, Br
atıy, bexeichgen. J 0
5.1
1. Zuſatz. Diefen —X und Vejeichnungen
gemaͤß iſt daher überhaupt Hy. Z, wenn x die
abſoinke veraͤnderliche Größe bedeutet, auf weit die
Sunftion y ſich beziehen mag.
5. 18.
m Zufag. Nach der vorhergehenden Theorie de
fd das achte Erponential jeber algebraifchen Zunktion y
. von tiner -abfoluten veränderlichen Größe x volllommen
beſtimmen: diefelbe Theorie iſt alfo zue Beftimmung bee...
4 £ Erponentialien von allen Brdnungen fuͤr alle algebraiſche |
dunttionen hinreichend . 16).
. 19. | Zu
Er Zuſatz. Bas für. bed nee Ewonental gr y
- ‚einer Funktion y von x der uoticut I benfalle eine
Funktion von x iſt; ſo werben aus der Funttion y bie, *
Erxponentialien von allen Ordnunten abgeleitet werden
"rinnen ($. 16.) "
ws en Ey
J — J -
— — 42
F — x
zu » 1. —— ga
28 y= =r’;
giebt. y=-3r ae. 2.); -
_ |
Yan
x
— Jar ya. 6x en 16 8
s
Tausch. | u
re, x ; j
. 2. —
ay
-24
| Aa 3 | 120 . | F
8 I sty 1205 — c(6. 16, 2.) u. ſ. v.
x xI . |
6. 20.
4. Zuſatz. Iſt hingegen eine Zunftion y von x fs .
Sefhafen, dag für igend ein ntes Erponential "y der
Duotient I feine Sunftion von x, fordern eine beſtaͤn⸗
dige Groͤße iR: fo muß das (n-FI)te, und jedes hoͤhere |
Erponential davon gleich Null ſeyn ($. 16. 3.); mithin
‚wird die Funktion y nur derjenigen Erponentialien fähig
feyn, welche unter der (n-Fı)ten Ordnung liegen,
| 3. B. a23 giebt ⸗* 343;
— zu 3ax’; eyzcaxı i
max Hyabax
x | a
X.
— — -. PER
einer neuen Error 3
\ 3y ER SE
—_ 635. sty=o.
x =
| y=at+bx— cX?+d%.
giebt sy=bx — z2cx’-+ 3dx?.
⸗
I=b—2cx + 3de.
X |
ey=—acx+sde,
ey
x
N
ey >.
ey 6dx; oo 64; ymmo.
— x
6. 21
5. Zuſatz. Sür eine abſolute veraͤnderliche Groͤße
und die Funktion y=Ax!--Bx’--Cx +-Dxi—---
.-+-Px? findet man dag rte Erponential nach ($.16.20.), -
wie folgt
sy=a(a—ı)(la—2)---(a—r+ı)Axttt!
+b(b.- 1) (b—2)---(b—r+ı)Bx?"t!
ce (—1)(c—2)--- (c—r+ı)Cx'*!
) ı
,
0) 0 | 0
--)) Part
§. 22.
6. Zuſatz. Gang anders verhält ſich die Erponene ⸗·
tlirung nach ($.16.), wenn bie Zunftion y burch eine
veraͤnderliche Größe 2 gegeben wird, welche felbft eine
- Sunftion von der abfoluten veränderlichen Größe x ift:
"man muß nämlich z, nicht ale die abfolute veränderliche
“Größe, fondern als eine wirkliche Zunftion davon nach
ı (9. 16.) behandeln, .
EB
596, 1. Paſquich, Anfangsgründe
3.8 y=az
giebt ey—3az’sz nad) (5. 13.)
say ez
3a. >e
adı 7
ey 5 8Zz gez
I + "na .
* — 3a22 nach (5.8)
€ez €z
= 32227 — + —.6azız ($. 13.).
x x
Alfo wegen ($. 16.)
6az.
eyzzaz,ez-
Im F Sy.
Er BAU 2rs az
2 2 2
IL 327% er 3a2* 7
x a
= gez
+6a2. 6 —D—
®
z
ee 6azez }
Daher nad) ($.16.)
ıgazez.ez 6ae,
syzya.dz-
uf w·
\. ı
einer neuen Erponentialrechnung. 1997
1.%
Anwendung der vorhergehenden Theorie auf die
Tranſcendenten Funktionen.
..ı 23.
| Aufs abe. Die Potenz (a+b,” durch eine
Reihe —— ;
Aufloͤſung. Fuͤt u? = if (arb)r— manı,
es koͤmmt demnach alles barauf an, daß man eine ‚Reihe
für (1-+x)” finde. Daher fee man
kı +)" ı+-Ax-+-Bxr?-+-CQ3--Dxt +
. „.--Px' -+-Ox''!=y.
So wird ſeyn nach ($. 13.4.5.)
+ n
nz OT *
alſo (1+x) ey—mıy==0.
Nimme man bemnah sy—Ax-+ 2 Be 3 ca
-+>-4Dxt + --- PXA (r+1) Qx’*! + etc
($.2.5.); multiplicirt man hierauf 1 PX damit, und mix
‚mit y; fo wird man, nach gehöriger Rebuftion, aus deu
- Vegten Gleichung die Werthe von A,B,C, D,---P, Q,ete:
für y nach der befannten Methobe beflimmen toͤnnen Le
$. 24. |
Zuſatz. So wie jede Zunftion y don eiher adſo⸗
bunten veränderlichen Größe x durch ya AR Bxi
+ Cx + -- + Px? tete fann. außgebrückt wer«
diden ($. 1.); eben fo laßt fich dee Werth, dem fie erlangen
wuͤrde, wenn bie veränderliche Groͤße x um irgend «int
Größe w zunäbtüg, durch y A (x+o)'-+- B(x+u)?
+ C(x+o) = -- + P(x to -M.etc ausbrüden:
„au wenn man die bier sorpanbenen Poteagen Hm ——
oh as
N ‚
1 4
v das
2 1. Pafanich, Anfangkgrinde
nach dem bimomiſchen tar entwickelt (. 23.); os
, ſindet man
dur. — art,
hB b- br
+Bx’+— — „a er Be —— ai
I. 1.2- «Mr. 1
.. * | u
—— 44. — ———
I. I .2-..-r
. 0» ne re |
." . .. i
121
u
· 28. .* p 4 * 2. .. J
+ PxP 4 xPIQ-4e. „Dre, Pre
v I on 2---T I. J
+ \ etc. u u ee J 2
6. 25.
‚ae gabe. Enke die bekannten ‚one
I zu 2 finden ‚ voelchen diefelbe Funktion erhalten |
wuͤrde wenn x um eine Größe ⸗ zunaͤhme
Auflöſung. Dafür hat man in (5. 24.) einen
allgemeinen Ausdruck: die erſte vertikale Reihe daſelbſt
enthaͤlt die Funktion y; die darauf folgenden vertikaler
Heiden nach der Drbnung würde man aus ber dortigen
letzten unbeſtimmten Reibe erhalten, wenn man bey ibr
| nad) und nah r=ı, r==2, 1==3, 14 u. ſ. f. ſetzte:
‚ba. alfo, biefelbe unbeſtimmte Reihe durch BETEN rg E
aͤnsgedruͤckt werden kann (5. 21.); fo iſt einleuchtend, daß F
der verlangte Werth y! durch folgende Reihe beftimmt ih f:
5? 3
——— a Er
uk | —
7 Zr ve i. dad 3. rx
per 5 . \ u ge 36,
I |
einer neuen Exponentialrechuung. 399
$. 26. on
1. Zuſatz. Sept man — w flatt win ($ 25.); fo
erhält man folgende Reihe, wodurch derjenige Werth bes
ſtimmt wird, welchen eine Funktion y von ber abſoluten
veraͤnderlichen Größe. x.,erlangen wuͤrde, wenn x um
irgend eine Groͤße w ‚abnäpme
— 1.2,3...1X
En.
2. Zuſas. Zieht man die Zunftion y von dem
Werthe y? ab, welchen fie erhalten fol, wenn die abfolute
deränberliche Größe x um eine gegebene Groͤße » zunimmt;
fo erhält.man die Größe, um welche y fich bey diefer Vor⸗
ausfegung ändert, nämlich zu» oder abnimmt: dieſe Größe
iſt aber nach ($.25.)
Y-,= =7.+7 Y ——
9. 28. u Br
u: Aufgabe. Den Logarithmen von 12
durch en. Reihe zu beftimmen. - \
ung. . Um eine gang algemeine Aufloͤſung
zu geben, wi ich annehmen, es fey z, mithin auch
I(ı +2) = y eine Sunftion von der. abfoluten veränder«
Hchen Größe x, nicht aber z die abſolute veränderliche
Größe ſelbſt ($. 2.).
- "2. Die Coefficienten A,B, C, Dete feyen fo beſchaf⸗
fon, daß für fie und jeden Maag von u folgende Steigung
Start ſinde
Alto)
[2 . . a
v
| ‚90 H. Vaſquich, Aufendedinbe u
—R == Au-+ Bu: +-CW-- Du* 4..
© ee Pu Qui ete.
7, So wirb auch ſeyn 1101 ——
wo Dat 04 Prtsh Qzittpete, --
“ un bie abfolnte viräwberliche Größe x;' en |
weiche die. unftionen y z, vernloͤge der Vorändfehtüg
- fd begiehen, „um os zunimmt; fo-nimme yun folsine
Werth @, und.z um folgenden Barth Bw ($.27);
sy sy: 2
- = “+ -whete,
x J Pie i⸗
— —— etc,
2X 2.3X Ä
“a Bey der Voransfeguüg. 5), weil y= ld: +)
13 muß aber ſeyn ya} (1. +2+ß): alſo ik
aldi HH Un) = Icı + re, Be
Ga) if daher a ’ | a ur
Aß Bp? :C 3 "Dpt ,
7 —— ya Bere
5. Einleuchtend iſt es aber, daß, wegen (3) /eniſſe
von w unabhängige Coefficienten k,.l, m, n etc moͤglich
find, für welche der Werth von & in (4) ſich auch folgen
dermaßen würde ausdrücken Iaffen, wenn man nämlich bie
möglichen Potenzen von P in (3) ſtatt B, 8°, 8, Pt er
in (4) ſubſtituirte.
A
4* — a ku” Zuruer Pin
x(1+2z)
6. Aus (a) s) erhielte man bennach "I Yu
.® As: u
EL, ls peiee * +
BEIX 0 2.324. . .x(t+32)- : 8.
+ia Tma- v3;
124 3 u | . | “ . Da
a
einer nenen Erponentialrechnnng. 401
7. Da aber dieſe Gleichung überhaupt für jeben
Werth ve @ gelten fol; fo hr nothwendig
2 A⸗2
x = ap) ey
8. Es iſt aber in cn nah (9. 5.13.)ey==Asz
—+2Bze2z-+-3C2’2zz +4Dr’sz + --- HrPalsz
. $ (rF+ 1) Qz’sz.
Hieraus und aus (7) findet man folgende Gleichung
aB) z-+-3C) 2’ +4D) 3-+---E(r+1)Q)zt
u, und (Iı+z)sy—Aez==o,
-+-A) +2B) +30) -+------- +- rPl=o
Demnach hat man
2B+ A=o B=—iA
3C-- 2B=o = 5A
4D-+ 3C=o D=—JA
Ä ‘ . . _r
m — PP,
G+ı)Q-+-ı? =o Q ar
Und für diefe Werthe findet man In (2) die befannte
Reihe I(1 +z) = Al — 32-4 2’ — Zz’-Hete),
wobey A der unbeſtimmte Modul des logarithmifchen
Polens iR.
$. 29. Ä
I Zufag, Sy um ı+rz; ſo iſt eu=m s2(9.5.)r-
__ Asz
ud lu = Kı ta); e,lu = e.l(1I+z) 275
Asu
—*& 7.): alſo if s. la
Das Erponential des zu was immer für einem
Syſtem gehörigen Logarithmen von u wird alfo gefunden,
. wehn man das Erponential von u durch u dividirt, und
den Duotienten mis dem Modul A des Spfiems multi⸗
plicirt.
Aques Heſt. Ce 38%
42 1. Paſquich, Aufangsgruͤnde |
$. 30.
2. Zufag, Kür die natürlichen Logarithmen E
der Modul A=ı: alfo für dieſe kogarithmien iſt e.lu
eu
un. |
Beyſpiele.
y=l4®) .
’ is 2
giebt yalıtd * (5.2. 3)
ı+xX ı+x?
_ * = l(I=x) — Ic tx?) \
gebt sy=e. 10 — s.1(1+x°)
tx) _ e(ı+x?) _
IX it’
X _
($.2
y=1-
| 0]
u
I—X —
$ 31.
3. Zuſatz. In dem beftimmten Fall, wenn u eine
ebfohe veränderfiche Größe ift, nicht aber eine Zunktion
von einer abfoluten veränderlichen Größe, It eu=—u
(. 4.), mithin elu = A für jedes Syſtem, deſſen Modul
A if 6 und elu = ı für natürliche Togarithun.
FB 5. 32.
4. Zuſatz. Hieraus erhellet, wie mar 1 Bogarithme
von Kogarithmen erponentiicen fol: man kann naͤmlich
jeden Logarithmen für fich als eine veränderliche Groͤße
betrachten, und das Erponential nach (9. 30.) ſuchen.
3.3. y=1llu
. slu
iebt —*
giet == — 6.30)
ul
%
einer neuen Erponentialrechnung. - "403
y=lllu
sllu su
geh ya, ale
| 6. 34.
5. Zuſatz. Und nun kann man auch bie fogenann«
ten Erponentialgroßen von der Form y == a" exponentii⸗
ren; wenn man nämlich zuerft Ihre Logarithmen nimmf,
hernach nad) ($. 30.) exponentiirt: nämlich
y=lamula; Z=lan;
mithin .amsymarla.su.
$. 34
6. Zuſatz. Fuͤr die Bafld a —e ber natürlichen
ogarithmen iftla=mle=ı; alfo ($.33.) e.e '=eteu,
9. 35.
Aufgabe. Die Größe z, welcher der Lo⸗
zarithme y = 12 in irgend einem Syſteme zuge⸗
hört, durch eine Reihe auszudruͤcken.
Aufloͤſung. 1. Es ſoll ſeyn z= —E— —
-Cy-Dy+---+ Py’—+-Qy'*!'-- etc.
2. So iſt (8. 5.13.) ez = Asy + 2Byey
hr 3Cy?ey + 4Dylsy-+- --- »rPy”!sy.
> (+1) Qy'sy- etc.
| NMe
3. Uber wegen y * 12 iſt y=—, wenn M
en Modul des Syſtems bedeutet ($. 29.): fegt man
aher diefen Werth in (2); fo findet man
2=MA-H2MBy-H3MCy?-H4MDy3-he..
--"+rMPy"’+-(cr+n)MQy’ tete
—
et 2. + Die
« AN
404 1. Pafauich, Anfangsgründe
4. Die Heiden (1) 3) foßten nun einander gleich
ſeyn; Gen ihnen waͤre alfo '
1
aMB=A B=
zM3'
I.
3MC=B = 7
„MD=C De — :
i ] 2 3.4M*
a 5
M —P —— — —
(+) MQ Q —5
g Pa für diefe Werthe findet man aus (1) bie Seat |
eihe
,y y’ y
== I 4 4 nt
2 Tu 2M? FERN — —
4. 36.
Aufgabe. Den Sinus und Cofinus von P
durch zwo Reihen sussudrücen.
Aufisfung. 1. Es kann feyn, daß der Bogen A,
wicht eine abfolute veränderliche Groͤße, fondern eine Zunb
tion von einer abfoluten veränderlichen Größe x iſt: bite
ſes will ich auch wirklich vorausfegen, um die Auflöfung
allgemeiner zu machen.
2. Nimmt man alfo an, daß x um @ waͤchſt, und.
bafüc ber Bogen O in Dre uͤbergehet; fo iſt nach (6.27)
w* 4 . [Ay . etc.
2.3X
. 3. 8%
einer neuen Erponentiafrechnung. 408
3. Bey berfelben Vorausſetzung muß Sin N in Sin
(O4) übergeben, und es ift nadı ($. 27.)
2
Sin (PHe) = Sin O* ‚Sind „ Sin® ,
X 2X
3 5; .
„EMO 7b ete,
2.2X
4 Seyen nun bie Coefficienten A,B,C,-- -P,Q
dergeſtalt befchaffen, daß für fie und jeden denkbaren
Kreisbogen folgende Reihe Statt finde
SpPp=P--AP +-BP -+-C97 +...
... 4 Po?»+1 4 Qp:"r3,
5. Daher auch Sin e==me +FAd-+BeS+ Ce’ +...
-.--+-0Qe?"?3, Hieraus und aus (2) würde aber,
folgen, daß gewiffe von w unabhängige Coefficienten
k, I, m etc moͤglich find, für welche wäre |
Sne= © o KkKa 103-- mat + etc,
6. Da aber Cof e== (r —Sin e?) Fin; fo müßten
nothwendig andere von a unabhängige Coefficienten &, ß,
y etc möglich feyn, wofür wegen (5) wäre
Col e= ı-+ au’ Pod yut-H etc.
7. Run iſt Sin (P+e) = Sin 9 Cole -+ Cot®
Sin e: wegen (6) 5) wäre alfo |
Sin (P+e)= Sin P + «Sin 9.0? -- PB Sin P. a
— Sin ®. w* -- etc,
„2 us®-H-kCofP.-H 1009.03 .
mot RA + etc: mithin
Sın (Pre) —Sind= 8 E +(%Sin Grk: Cof DO)?
| HRSRPHICH SIR GHmCOLe
sp etc, .
ee3 . 3. Aus
406 I Paſquich, Anfangdgründe
sSi —2 & Sin
2X
3. Aus (3) 7) erhielte man ——
3
1 — - 1 trete Col — O+kCol9)o
+ @: Sin P-+ICotGJar+ etc,
9. Bey der Vorausſetzung (4) muß alſo die Glel⸗
Kung (8) für jedes w gelten, welches nicht ſeyn Fans,
ſ0
wenn nicht bey ihr — = ed, und «Sing Ä
e= Cof De if.
10. Serner it Co =—=Y(1—Sin 99: alfo nad
_—SindsSin®_ —Sin®sSin .
(913) .Gfp= y (1-—Sin 5* Cof
Wegen (9) müßte daher ſeyn eColP=—=— SinPsQ. -
11. Nimmt man e Sin® in (4) nach ($.13.), und
fegt man e8 = ColdsDd wegen (9); fo erhält man
CfP=1-+3AP-+5BP-+7Cp°-+-
---.+(2n+ı)PP"-+-(2n+3) age.
12. Und nimmt man sCofQ In (11) nach (6. 13.)
weil dieſes = — Sin®s® ſeyn muß, wegen (10); ſo
wird fenn
Snp=—2. 240 —- 4. 5803 - 6. 7C0--
— an(antı) Pp=-t_- (ant2) (2043) —8*
13. Aus (4) 12) erhält man alfo
» ”
Mn. "
— 2,3 A=ı — —.
2.3
u m . B==A. B— —
45 | | 2.3.4.5
. . . —r
— 6, — + —— — — —.
97° 2. 2.3:4.5.6.7 5:
—p
c=
——— — =P.| — —5
——— 2* er) a,
| einer neuen Exponentialrechnung. 407
Fuͤr dieſe Werthe in (4) I genommen findet man
endlich foͤlgende belannte Reihen
5 or
Sinp=P— — — en
99 2.3 2.3.4.5 2.3 ...7
N .-.. EN A . z *
— 2.3... (20-* 1)
2 Dr _ , 1
FORTE BER. AJR RE
2 1.2.3.4 1.2.3546 .
_ Q2a+2
.. IE ee ‘_ wi
I. ————
a! “gr 37. J Ze. * on.
2. Zuſatz. ge Sin O und Col & als itee Sunf«
onen von Dhat man nad) (5. 36. p, 9. io.)
| Sin O CoCOCO.
Faro = = — Sin e 9
Ä . 8. 38. —W
2. Zufas. Wegen Siovd= I— Cop, und.
sofvd=ı— Sin O, daher eSin v = — sColQ,
ds Coſ v *. - eSin O , 5. muß nach E. 7)
epn sSnv® =Sin®ed.
e Cofy = — Col dep. Ä
Sin ®
3. duſatz. Gerner iſt Tang 9= =. Corp daher
| Ä Cof
Tang == —— —— 2; und Corp
| Cof p
1 * ETan *°
= nd ; daher £ —XRX * — 7 Sin;
nd nad) ($ 37.) ir man "alte
Ta — 2 Sec.®°;
€ an = co * Sec Pꝛ. e
er eg eCot
408 J. Paſquich Anfangtheunde
0
Cot p- — Coſec 9.12. |
6. 40.
4. Zuſatz. Endlich iſt Sec O = Sg’ ‚Cofec®
= 3) dabe s Sec P _ — er s Cofec®
——— ——
Sec = = Sec® Tang P..P.
led —. ne Cofec ® CotQ.ıP.
a 4.. |
5. Zuſatz. Die bisherigen Formuln ($. 37. 38.
39.40.) gelten für jeden Sal, es mag Dale eine abſo⸗
Inte veränderliche Größe, ober als eine Funktion von ir⸗
gend einer abfoluten veränderlichen Größe betrachtet wer⸗
den ($. 36. n. 1.): im erfien Fall if bey allen Formuln
6 ® — ® (6. 4.)
5. 42.
6. Zuſatz. Sept man Sin® == x, baher Cof®
= fY(1—x?), oder Coſ x, mithin Sin®
== Y(1—x?); fo erhält man aus ($. 37.) für ®
== ArcSın x. oder D = Arc Cofx. |
wei px , x ‘X
» in x —
ArcS Ya
— iX
Arc Colx zu ——
— recox · 5
6,4%
einer neuen Erponentialrechnung. 409
$. 43-
7. Sufan. Fuͤr © = Arc Sinvx, daher Sinvx
x, und Sin®=y (2x -- x), oder O= ArcCofvx,
e Coſ x, und Coſ = y(2x--x?), finde
\ aus (6. 38.).
ex
eArcSin vr
V —*—ùY |
X
V (2x-2°)
$. 44
+ 8: Zufag. Und für © = Arc Tang x, mithin
ngP=x, und Secc P = yYy(1-rx?), obe ®
‚Arc Cot x, baher Cot OP = x, und Cofec P
V(ırx?), erhält man aus ($. 39.)
ex
5
ArcCotx= -
e Arc = 75 |
9 45.
9. Zuſatz. Endlich für ® — Arc Sec x, folge
‚Secc® = x, und Secc® Tang x Vi
er © = Arc Cofec x, mithin Cofec ® = x unb
Hec® Ct P = xy (x’- 1), erhält man aus ($. 40.)
ex
xy (&*-1) |
IX
Yen)
6, at.
10. Zuſatz. Alle diefe Formuln gelten für jede ver⸗
derliche Größe x, fie mag eine abſolute veraͤnderliche
sArcColvx =
s Arc Tang ı=
# Arc Sec zu ——
sÄrc Cofecx= *
&c 5 Groͤße,
410 I. Bafquich, Anfangegründe.
Größe, oder was immer für eine Funktion Bon -irgend
einer abfoluten ‚Seräubsrlichen Größe feyn; im erſten u
IR beral ex x (5. 4.
III. ln
Erfindung der Funktionen aus ihren Exponentialien.
a...
“Die vorhergehende Theorie dient zur Vefkimmung
ber Erponentialien gegebener Funktionen, und, fie if fü
sonftändig, daß man nach ihr die Erponentialien von je⸗
ber Drdnung ($. 16.), fowehl.algebraifcher, als trauſcen⸗
denter, und der aus jenen und biefen zufanmmengefeßtet '
Sunftionen beſtimmen kann. Run aber laſſen fi) darauß
die Vorſchriften zur Erfindung ber exponentiirten Gunk
tionen ($. 2.) aus ihren Erponentialien herleiten: des
Zeichen der einem gegebenen Erponential #Z: zugehörigen
erponentiirten Funftion fol der Buchſtab F vor dem
Erponential feyn, dergeflalt, daß FeZ nichts anders
bedeute, als diejenige Funktion, derer Erponential bem
gegebenen sZ gleich iſt.
% 4. ur
‚I Zuſatz Daher it FeZ==Z, under ‚ZZ
(6. 47.): nämlih FeZ ıft die Funktion Z, derer Eppoe
nential mit e Z iſt begeichnet worden; und &.FsZ ift dab
Erponential der Zunftion, derer Erponential mit eZ if
bezeichnet worden.
$. 49.
2. Zufag. Unmitteldar aus einem gegebenen Expo⸗
nential sy fann nur der veränderliche, nicht aber auch der
beftändige, wenn einer wirklich da ift, Theil der exponen
tiirten Sunftion Fey hergeleitet werden. (. 5.): nenn
man alſo unmittelbar aus ey findef,, daß Z die, Sun
— — — nn — ⸗ im
einer neuen Erponentialrechnung. an
If, derer Erponential dem gegebenen ey gleich ift; fo muß
man, um bie erponentürte Funktion Fey — y vollſtaͤn⸗
Big ausgubrüden, y 2 —0 ſchreiben, wobey C bie
noch zu beſtimmende Conſtante bedeuten ſoll.
$. 50.
3. Zuſatz. Aber aus dem bekannten veränberlichen
Theil Z einer Funktion y= Z-+-C fann auch ber Werth
‚der Eonftante C beſtimmt werden, wenn nur berjenige
beftimmte Werth W bekannt ik, welchen die Funktion y
. erlangen mag, fobald die veränderliche Größe, auf welche
y fich bezieht, einen beffimmten Werth w erhält: denn
bey diefer Vorausfegung wäre V-C=W, wenn Z
für den Werth w dei veränderlichen Größe in V uͤber⸗
gienge; mithin C=W—V, und y=Z-W—YV.,
| 5. | |
4. Zuſatz. Iſt das Erponential sy = AsZ burdh
das Produkt aus einem andern Erponential sZ in eine
beftändige Größe A beſtimmt; fo iſt auch die ihm zuge-
hoͤrige erponentürte ZunftionFey=AFeZ ($.47.2.),
5. 52.
5. Zuſatz. Und für ey—=sıP+sQ=ıR +--.
„—sZ itanhFey=FsP-+-FeQ-+-FeR-----
-.. FsZ ($. 47. 7), naͤmlich: die erponentlicte
Funktion, welche einem aus mehreren anders Exponentia⸗
lien zufammengefeßten Erponential zugehoͤrt, iſt ebenfalls
aus den erponentiirten diefen einzeln genommenen Expo⸗
nentiglien zugehörigen Funktionen zuſammengeſetzt.
$. 53. Be us
6. Zuſatz. Unmittelbar aus der in ($. 47.) gege⸗
benen Erklärung, und der vorhergehenden Theorie laffın
ch folgende Fundamentalformuln Herleiten:
— v J. F
43. I Pafquich, Anfangsgründe
"I Furtro= uv+C (6. 8.49.)
2. Frum ante ($. 13.).
1] EV
vu
. FT =,
+F-=l+c (6.30)
5, — = Arc Sinx-+C
vum (. 42.).
6. le een Ta rel
7. — „ == ArcSinvx--C
* * ($. 43.).
8. Fox u = Mrelofrx mt.
9. F * = ArcTangx-+-C
x ($. 44.)
* == Arc Cot x -> C
v — C ($. 14.)
ex
10,
x == ArcSecx+C
11. F xy (x-1) ($. N
—6X
12. Te == Arc Cofec x C
$. 54
7. Zuſatz. Alle diefe Formuln gelten für jeben Zah,
e8 mag bey ihnen eine abfolute veränderliche Grüße, ode
eine folche, welche felbft eine Zunftion von einer abſolu⸗
ten veränberlichen Größe ift, vorhanden fepn: wird ein
Erponential sy gegeben, bey welchem das Erponentiel
der beränberlichen Größe, 52. der Groͤße x gar nick
vor⸗
!
. einer neuen Erponentialrechnung. 413
rkoͤmmt ; fo iſt dieſes ein Zeichen, daß x: eine abfolute
ränderliche Größe, und x == ex iſt ($. 4.); daher
un man sy mit - — — multiplicen, hernachd die exponen⸗
ste Funktion ſuchn.
Beyſpiele.
5x
ya — zxy/ıx;
⸗ yx xt. xx;
x4
ebt yazre ($. 53. 2. Form.).
ya tn "-Igx;
X .
x!
1 “x
yalsrsr. = re
xt -L |
| — — C . 46ö .
By * + ($. 53. 2.)
— |
2x*
ebt y„a—=iYertsen.
1
1*7558* x;
— an _
= Tr —, +66. 53.2.)
ey == 4xt Y(IH+x) für se rrxt
jebt e2 4x? (9. 2, 5.); yamalızı
fo ya}: S 32) — J
sy
ebt y=
44 1 Paſquich, Anfangsgrinde
222 _ e(1 *22) ,
7 422 1*2* *5. 135
sieh y=llırz’)-+C 6. 53. 4).
x
für zz arbxS,
ey rbz s
giebt ez = sbxS (52.5); = nr
‘z
y=-;, —32 alfo nah (& 51. 53. 4.)
2
—— 5 ,
y= zı= 5 !@+b2) +C
f 55.
8. Zuſatz. Da alſo jedes Erponential Xex inet
Reihe von der Form Axtsx +Bx’sx + Cxsx trete "
fann verwandelt werden; fo koͤnnte ſchon die bigherige
Theorie binreichen, Die erponentiirte jedem gegebenen
Erponential Xex zugehsrige Funktion wenigſtens duch
Naͤherung zu beſtimmen. Doch koͤnnte man fich der aus
der Sintegralrechnung bereits befannten Runftgriffe bedie⸗
nen, um die Erfindung der erponentiirten Funktionen aus
befannten Erponentialien gu erweiten, wovon auch une
ein Beyſpiel hier überflüßig feyn würde. |
Pi
IV,
Anleitung zur Anwendung der Erponentilrechnung
G. 56.
Man kann fih nun diefer Erponentialrechnung by
allen Unterfuchungen, bey melchen: fonft dfe Differential
rechnung ihren Gebrauch findet, -mit gleichem Erfolg be
dienen, und ich halte für ganz überflüßig bier erſt gu zei⸗
gen, tie man bie Erponentialrechnung auf bie nn 4
einer neuen Exponentialrechnung. 415
zroͤßten und Kleinſten, bie Summirung ber Reihen u. ſ. f.
awenden fol: Indeſſen bleibe noch ein wichtiger Umſtand
a beruͤhren übrig, nämlich die Erfindung ber Erponen⸗
alien fuͤr unbekannte Funktionen.
§. 57.
Wenn eine Funktion y ſich auf die abſolute veraͤnder⸗
de Groͤße x beziehet; fo wächft fie um eine Differenz
!’— yz=Ay, wenn x um irgend eine Differenz Ax
animmt: will man Ay durch die Erponentialien von y
efimmen; fo muß feyn ($ 27.) R
sy= = art: Zaxw+ AQD-h&--.
22· 4*.
2.3.
3. %. y—xr giebt nad) 6. 2.16.)
ey mm 2x’; Ze; eyzax; I
2 ..
Yo, 3y* 0. 20.): alfe .
‚x? |
—m2xAxH A.
y=a+bx "giebt nad ($. 2.5. 16.20.)
ey=3bx?; I == 3bx’;
x 0
Aymaxar-
2
eymsbr; — = 6bx; —
I u
dy= 6bx; 6b; yo: alfa
2 3
— 4 6bAx
.2
2.3.
u: 3bx* Ax ——— bAxkı
vr, 5. 58:
N "Aymmsbrtaxt
‚416 1. Paſquich, Anfangsgründe
6. 58. |
Wenn man doch bemerkt, daß bie Sunftion y eb
nehmen muß, wenn bie abfolute veränderliche Groß: x,
auf welche fie fich beziehet, zunimmt, weil alsdan
y!—y== Ay einen verneinten Werth erlanget; fo muf
die nach (5. 57.) erhaltene Differenz mit entgegengefehts
Zeichen genommen werben. 5
$. 59. ey.
Aus (5.57.) erhält man xoy: Ax (y+- Ar ;
EL. A |
+ 5 0% +7 AX-F- etc): ı, und biefed Ver⸗
haͤltniß nähert fih ber Gränge sy: 1, wenn Ax unafı «
hoͤrlich abnimmt: das Werbältniß sy: ı des Erponentiald
sy jeder Funktion y von einer abfoluten veränderfichen
Größe x gegen ı ift alfo bie Gränze, welcher das Verbält
niß xAy:Ax bed Produkts aus ber veraͤnderliche
Größe x in die Differenz ber Funktion y gegen bie Diff
renz ber veränderlichen Größe fich ohne Ende nähern wir °
de, wenn bie Differeng Ax ohne Ende abnähme,
6. 60.
Sonft kann man mit vollkommenſter Gewißheit be
xAY
baupten, ey entfiche aus — wenn Ax==o nit
($. 57.) Doch mag man sy auf was Immer für eine Art
aus Ay berleiten; fo muß sy allemal mit entgegengefe
ten Zeichen genommen werben, wenn bie Sunftion y ab
nimme bey zunehmender veränderlichen Größe x (5. 53.)
5. 61.
_ Sindet man, baß für gewiffe von Ax unabhängie
Eoefficienten P,Q,R,S---p,g,ns u. ſ. f. und fk
jeben wie immer Kleinen Werth ber Differenz Ax
foms
einer neuen Erponentialrechnnng. 47 |
\XAY,,
ſewebl —I>L+pAX+gAx+rAR + etc,
als * ZAY ZH — — + Raute
if; fo maß sy == Z das Eyponkntial der Funktion y
ſeyn. Man kann nämlich aus. bekanaten Gründen bewei⸗
fen, daß Z: 1 bey biefer Vorausſetzung die Graͤnze if,
welcher xXAY: x fich nähern würde, wein Ax ellmähe
lich abnaͤhme: daher f öys;ı =2: ı ($. ʒ und
5y — — de
er 62.
Auf bieſen Gründen beruhet bie ſicher ſte Erſtnbung
der Exponentialien unbekannter Funktionen: ich wuͤrde
mich ihrer Eben fo bebienen, mie ich mich ſolcher Gruͤnde
zur Beſtimmung der Exponenten der Differentialvethaͤlt⸗
niſſe zu bedienen pflege: dieſes Habe ich in ber Beylage
zum erften-und zweyten Bande meines Unterrichts in ber
mathematifchen Analyfis umſtaͤndlich gezeigt; zur Erläus
terung werden daher folgende Beyſpiele hinreichen:
1. Fuͤr die gegebene Gieichung zwiſchen den
rechtwintlichten Coordinaten x, y einer krummen
Linie, die Subtangente zu finden.
Man betrachte die Abſciſſe x als eine abſolute ver⸗
aͤnderliche Groͤße, und die Ordinate y als eine Sunftion
bon ihr. Waͤchſt x um Ax; fo übergeht y in y', und
wenn man durch die Punkte, in welchen die frumme Linie
von den Drdinaten y, y! Betroffen wird, eine Gecante
zieht, wodurch eine Subfecante S entfliehen mag; fo ift
Ay:Ax=y:S; alſo ad xAy:Ax==xy!S,
Nimmt aber Ax alınäblich ab; fo nähert ſich bie Sub⸗
fecante S der Subtangente, welche t heißen mag, und dag
Verhaͤltniß xy:S nähert ſich dem Verhaͤltniſſe zy:t als
Achtes Heft. Dd feiner
418 1. Paſquich, Anfangsgruͤnde
feiner Graͤnze. Daher iſt sy: ı = xy:t (6. 590:
folglich die Eubtangente t = er
Yus der Subtangente folgt bie Tangente, Normale
und Subnormallinie fehr leicht: die Tangente fey T, bie .
Rormallinie N, unb n bie Subnormallinie; fo ift
Tery)=VYH *** Ney·x⸗
—* =yp: .
t „= Xx
ee FH nelyorm
2. 2. Beym Kreiſe iſt J ah
nach ($. 13.) Ä
— x’)? ==I(arx—x?) : (ar)
und e(arx— x") =2rx— 2x” 4 2.)5
rx—x” — rx— x”
Y(2arx—x”) y ’
(rx—x?)? ”x—2rx2?2+x3
daher sy=
yo ==
2rx—x” 21I—X
Solglich if
= xy — *
2x— 3
ie 2 air en.
2 f-rX
LI. Fuͤt
einer neuen Erponentialrechnung. 419
UI. Fuͤr die gegebene Gleichung zwifchen den
echtwinklichten Coordinaten y, x einer krummen
Linie den Bogen ® zu finden, welcher zwifchen
er Ordinate y, und der am Anfangspunfte der
bfeiffen errichteten liege. :-
1. Seyen T, t, bie der Abſciſſe x jugehdrigen Tan⸗
ente und Subtangente.
2. Waͤchſt x, als eine abſolute veraͤnderliche Größe,
m Ax; fo nimmt yum Ay = AX-+ aAx?
-BPAQ-Hete für gewiffe von Ax "unabhängige Eoef⸗
cienten &, B etc zu ($. 57.): daher muͤſſen andere Coef⸗
cienten k, l, m etc möglich ſeyn, wofür Y (Ay’ +Ax?)
1
2 (Ay— AR’ — (5 Fe) a AxX4+ kax®
1a + et = ger’ +29) -+ kax
- AR + ete ſeyn —8 u ar
3. Bey derfelben Vorausſetzung (2) waͤcht der Bogen
um AP, die Ordinate y uͤbergeht in y'—=y+ Ay,
nd die Tangente T in Cr), gehörig verlängert... trifft die
rdinate y! irgendwo in einem Punkte, fo, daß der Bogen
x für jede wie immer Heine Differenz A x größer als
ine Sehne, und zugleich Keiner MS: das Skuͤck Dir Tan⸗
init goifchen dem Beruͤhrungspunkte und der Ordinate
tgeſetzt werden fann: - heißt "fo dieſes Stuͤck s, und
8 Bogens AD Schne c; ſo hat man allemal |
. AP>e um APSE
Aber s- ik -die Hypotenufe ines rechtwinklichten
reyecks, wovon eine Seite: A X ift, und eben dieſem
reyecke IR jenes ähnlih, wo T in (1) die Hppotenufe,
dt die niit Ax homologe Seite if: alſo 3: axe=T: t,
ithin nach (1)
db 2 S: AXx
420 1. Paſquich, Anfangsgründe
— 222y. X. _ A* 2329
Army +8 y = — VayrR).
Nimmt man demnad des Bogend AP Schuec=
V(CAy?’+Ax°) nad (2); fo hat man
AOö> — Vey rd) -ka® 1A re;
AP< — Y (ey?+ x”): alfo auch
x, y(ey’+ x) FKAXAIAX: + ete;
I ver +2)
Nach €. 61.) erhaͤlt mian ed V(yx) füs :
das Erponential des Bogens D, als einer Funktion von '
der Abſciſſe x, welche als eine abſolute veraͤnderliche
Größe iſt betrachtet worden, ſtatt welcher Formel man
demnach aud) folgende annehmen kann (5. 55,)
ed == — < Yleey? +29); und nun iſt
9=F — V@y:+xD nah ($. 47.).
3.3. Beym Kreiſe iſt * (ar) = == (a):
alfo, wie oben in (I)
Nr — ori +xt
2 mn
sy Sr : baher
Zr ’ Im x ‘7 (2rx--x?) 7 (21x--x°)
rEeX J
und Dumm FE —— —.
? Y(ırx-x?)
J Drädt
u.
— —— — -
’
. einer neuen Erponentialrechnung. 4ar
N — dur ei
Drüct man demnach Fark) durch eine
Reihe aus, und multiplicire man diefe mit rex; fo wird
man hierauf D nach ($..54. 55.) fuchen fönnen.
III. Wenn bey der Vorausfegung (II) R den Raum
bedeutet, welcher zwifchen dem Bogen O, der Abfciffe x,
und ven beyden Drdinaten liegt; fo nimmt auch R um
AR gu, wenn x um Ax waͤchſt, und ee iſt
AR>yAx; — AVY) Axʒ;
— AR
AT xy; —_ <x ytAy)
Seal ne denfelben Werth von A y, wie bey CAT)
au
xAR R
— — E—— Ax-HaxAx®
+ Bxax * ete. Mithin nach 61.)
— — (6. 55.)3
und nun RFyex. .
Tach diefer Sormel Iaffen ſich demnach Bi ebenen
Slaͤchen quadriren.
IV. Eben ſo leicht findet man die Formul für die
Cubatur runder Koͤrper, welche durch die Umdrehung
einer krummen Linie um ihre Axe erzeugt werden. Wenn
man ſich nämlich am Endpunkte der Abſciſſe x, woran
eine Ordinate y ftehen mag, einen auf die Are fenfrechsen _
Durchfchnite denkt, und mit S das Stück des ganzen Koͤr⸗
pers bezeichnet, welches zwoifchen bemfelben Durchfchnitte
und der Spike liest; fo müffen S, y, wenn x um AX
zunimmt, um AS, Ay wachſen; es muß ferner AS
größer ſeyn als der Eplinder, der AxX iur Höhe, andy
| Dd 3 sum
422 1. Paſquich, Anfangsgründe
zum Halbmeſſer feiner Grundfläche hat, zuglelch aber klei⸗
ner, als der Eylinder, welcher bey derſelben Hoͤhe, + Ay
zum Halbmeſſer ſeiner Grundflaͤche hat: alſo
AS>ry’ ax, und ASCRTRCXMAVAX
für das Verhaͤltniß 1 : m des Halbmeſſers zur halben
Deripherie. Nimmt man aber ben Werth von Ay mie
in (ID; fo erhäleman
xos 2, xAS r ey | 3
N x >aAXY’; * <sıx(yt x AX-MaAx |
+ BAx?-+ etc)”.
Daher muß es gewiffe von Ax unabhängige Coef⸗
ficienten p, q, r etc r wofür wäre Ä
xAS
AX
= <ery: —pAxX-HgArR
rägichete Solglich nad} ($. 61.)
sany=ny-= ay’ex (9. 55.)
und nun S=Fry’ex.
V. Sep s ber Raum , telchen ein Punkt binnen
einer Zeit t durchläuft; bie Bewegung ſey wie immer ver»
änderlich, und c bedeute die binnen ber Zeig t erzeugte
Befhmwindigfeite Nimmt tum At zu; fo nimmt s um
As zu, die Gefchwindigfeit c aber nimmt um Ack
oder ab, und es if bey zunehmender Geſchwindigkeit
As>cAts As<(c+Ao) At;
bey abnehmender Geſchwindigkeit aber
As<cAt; As>(c—Ac) At.
Man kann aber s, c als zwo Funftionen von ber Ze
t, als einer abfoluten veränderlichen Groͤße, betrachten,
daher für gemwiffe von At unabhängige Eoefficienten ,ß,
etc, Ac=aAt-+-PAr’+ yarı etc ($.57)
ſetzen: alfo
t As
einer neuen Erponentialrechnung. 423
tAs 'tAs
— >tc; — Ete PetaAt tA®
At C, Mr c A +-ß A
+-YtAP-+ etc oder
tAs tAs
— te: — te — atAt— BtAt?
At <te; nr ° | % ai " ß [4\
— ytAl — etc.
In beyden Faͤllen wäre nach ($. 61.)
et
ste te. == cst (6, 55.):
Dieſes wäre demnach die erfte Geundformul ber gan⸗
n Dypnamif: bie zweyte findet man fo:
VI Eine bloß träge Maſſe M merde von einer vers
aberlichen Kraft nach der durch ihren Schwerpunft gehen«
m gerablinichten Richtung getrieben, fo, daß fie binnen
w Zeit t eine Geſchwindigkeit c erlauget: die Kraft am
nude dieſer Zeit fey v, und, wenn t, als eine abfolute
sänberliche Größe betrachtet, um At zunimmt, nehme
um Av gu oder ab. Bey diefen Vorausſetzungen erhält
an aus befannten Gründen für die zunehmende Kraft .
| 2 28 (v+Av) |
Ac> At; Ae<—— At;
r die abnehmende Kraft |
28gv 2g(v-Av)
—ıAt; — — at
Nec< M At; Ac> M A
tAc_ 2gtv tAc 2gtv a2gt
— — AV
ſo At > M ’ At < M + M "
‘it tv t t 28t
„as 2str IAc 28V 250,7
At Mat M M
TI Db4 Da
424 1. Anmerkung des Herausgebers,
Da aber v als eine Funktion von t kann betrachtet,
A Zu ev ev -
daher Av= —At — At’ - — —+ ete
| t 2t .3t
geſetzt werden (5. 57.); fo ſieht man leicht ein, Warum |
nach (9. 61.) in beyben Sällen
2zptv 2ptv et_ 228
Bein, 78 —* 55.)
EC
feyn muß,
Anmerfung des Herausgeberd,
Tun te net ne
Hr vorſtehende Icehrreiche Aufſatz, ben fein ſcharfun⸗
ger Verfaſſer in feinem fo eben (kLeipzig 1798) heraus⸗ i
gekommenen Linterricht in der marbemarifchen Ana⸗
Iyfis und Maſchinen-Lehre, fo wie in einer befon
dern (im Intelligenzblatte der Allg. Litt. Zeit. No. 99. b. J.
befindlichen) Nachricht, für das mathematifche Archid
zu liefern verfprochen hatte, enthalt bie weitere Ausfäah⸗
rung der in jenem Unterrichte (S. 42 u. f.) gegebener
erften Gründe einer neuen Nechnungsmethode, bie vor
einem, das Polynomialtheorem und deffen Beweig betreſ⸗
fenden, Mitterpacherifehen Eutwurfe (daf. S. 38-42) °
abfirahirt und abgeleitet worden iſt. Ihr Ucheber, Het
Prof. Pafquich, nennt fie die Exponentialrechnung
in einem allgemeinern, weniger befchränften Sinne, ald
in weichem das Wort fonft vorkommt; weil dabey nut
die Erponenten ber Differentialverhäftniffe, als endlicht
Größen, zum Gegenſtande der Differentialrechnung gemacht
werben. In jener Nachricht wird fie ale eine neue, voR
allen Begriffen des unendlich Kleinen ganz unabhängig
und auf den einfachſten Gründen beruhende Rechnung an⸗
| gege⸗
1. Anmerkung des Heraudgeberd. 425
gegeben, die alles, mas bisher nur immer bie Differentials
rechnung geleiftes bat, eben fo ſchnell und leicht zu leiften
vermögend fep; eine Behauptung, die man nun, aus dem
Hier vorliegenden ausführlicherm Entwurfe, mit Bergnüs
gen beftätiget finden wird. Noch wird in jener Nachricht
angeführt: daß Herr Prof. Grüfon zu Berlin, am Schluffe
bed Vorberichts zu feiner Ueberfegung von Lagrange's
Theorie der analptifchen Funktionen (vom öten Febr.
1798) einsn ganz neuen Ealcul angekündigte habe, den .
er SErponicungscalcul nennt, und naͤchſtens befannt
mächen werde, mittelft welchem fich eben fo ſchnell und
Leicht alles dasjenige verrichten laſſe, was bisher nur
immer bie Differentialrechnäng geleiftet Hat, und der
gänzlich auf Principien beruhe, die zur Analyſis endlicher
Größen gehoͤren, und alle Betrachtungen von unendlich
kleinen Größen entfernen ; einen Calcul alfo, der vollkom⸗
men die oben angezeigten Eigenfchaften der Pasquichiſchen
Erponentialrechnung hat. ‚Herr Pasquich verfichert, ſchon
Bor neun jahren in dem Beſitze feiner Methode geweſen zu
ſeyn, auch habe er vor fünf Jahren Herrn Prof. Kraft
in Petersburg einen Auffag darüber zugefchickt, und fole
chen nachher verfchtedenen Gelchrten in Deutfchland mite
getheilt. Wie weit beyde Verfaffer mit einander zufam«
mentreffen, oder von einander abweichen, wird dan,
wenn auch Heer Prof. Grüfon feinen Calcul wird vor⸗
gelegt haben, aus beyder Vergleichung echellen. Herr
Prof. Pasquich ſchlaͤgt Übrigens den Werth feiner Expo⸗
nentialrechnung fo wenig hoch an, daß er fi, vielmehr
am Ende der ofterwähnten Nachricht dahin erflärt, wie
er jeden neuen Calcul, wodurch man dag zu erfegen fuche,
was der ſchlechtabgehandelten Differentialrechnung
fehlet, für ganz entbehrlich halte.
ı &
⸗
Hindenburg.
Ddb 5 II,
426 II, Zifcher, über die Wegichaffung
11.
neber die Wegſchaffung der Wurzelgrößen aus den
Gleichungen; von Herrn Prof. E. G.Fiſcher,
zu Berlin.
Fortſezung bes Aufſatzes im Sten Heft. S. 180 u. f.
Dritte Methode.
4. 22. Ehe ich die dritte Methode auseinanberfege, muß
ich die Erklärung einer eigenen Art von Zeichen, bie ich
dabey gebraucht habe, und bie auch bey andern Recdhnum
gen Bequemlichfeiten gewähren, vorausſchicken.
$. 23. Die merfivärdige, und durch ihre Auwen⸗-
dungen fo fruchtbare, Formel Cl DO -—- Y—ıSind,
begeichne ich mit einem einzigen griechifchen x, und fege
über bdaffelbe den Winkel oder Bogen, worauf fie fih
bezieht, als Marke Ich feße alſo CIlO-—-yY—ı
®
Snd=x
Diefe Bezeichnung hat ihren ganz eigenen Algorith⸗
mus, den ich der Hauptfache nach Fürzlich erflären muß.
$. 24. Da, wenn p= 2%, für folgende Bogen
0: p+9; 2p+P; 3p+®; etc etc
Sinus und Cofinus voͤllig die nämlichen find, fo hat men
» .pte 2pto 3p+o
“mi KK % == etc
oder, wenn n eine ganze Zahl bedeutet, allgemein
o np-+®
x — 0%; v
5. 25. Da ferner (CP -+-Y — ı Sin 0)
(Coſ +-y—ı Sin ) Cof Pr +-y-il
oo v tv
Sin(O+Y), fhtmnx.x = x
| folglich
der Wurzelgroͤßen aus den Gleichungen, 427
ee v 9—
folglich uh x: = x " folgtich auch ‚ Wenigfieng
Ä eN. no
le gange n, x) = x 0
ee pte 2pto ° 3p+9
26. Da mn mu = x ete
6. 24.) fo if, wenigſtens für ganzen,
ete te ‚3ete
m
(=C)= oo “im siehe
Obgleich alle. diefe Formeln — Y x ? ind, ſo iſt boch
leicht einzuſehen, daß ſie nicht unter einander gleich ſind.
Doch find fie auch nicht ſaͤmmtlich verſchieden. Per
* ⸗ 2y*0 nongte
n — n n
KR K -. . .. bie %
ind verfchieden. Gebt man weiter, fo ift
a u 2 2
n Pen n
x — = X
(6. 24.). Desgleichen ..
—— *
pr 07
— 22 ($. 24.) u. ſ. f.
aan. bat alfo aut n verfchiebene Werthe, welches bie
n Werthe von Y M find.
6. 27. Wenn P wie bisber die Kreisperipherie oder
2 a iſt, fo if allezeit x = -+- 1, weil Cofp= = +1
und Sin p = 0. Alfo bat man
sp 5p 4p np
‚m mim, =. zmı=Hr
und eben diefen Werth bat auch x.
$. 28. Ed fey a irgend eine pofitive, oder negative,
mögliche, oder unmdaliche Größe, fo darf Man allezeit
8
ſetzen am am za=ma= — ax. 6. 27.)
— . 29
428 11. Fiſcher, Über die Wegſchaffung
. 529. Die n Wurzeln aus irgend einer Groͤßt bie
man als eine nte Potenz anfieht, und bie wir «” nennen
wollen, laffen fich demnach fo ausdruͤcken:
Da a" = a" % fo if
2 ar sr æ
n n n n
gamax;m an; max; --- max.
nn m De
$. 30. Da bie eben angegebenen Werthe son «,
die Wurzeln der Gleichung x" — a” == o find, fo if.
aus ber Theorie der Gleichungen klar, daß Ä
B 2? 35? np
2a n n n
al -- x --- HR) 0
E De 3; np
2 n n n
der x mr x + - -- x =0
2 BR 3p 2 |
n 72 n n
ferner daß l(.. nn -- - a) mc,
2 22 3P np
ı n n . n P
oder K.ı%.k--- = I en
feyn werde. =
q
Die Summe der Combinationen von weniger alsn
Gliedern find in jeder Klaffe = 0; da in x — a0
alle Zwifchenglieder fehlen.
$. 31. Diefe Art, die Wurzeln aus a" ausjubdruͤt⸗
fen ($. 29), iſt für allgemeine Rechnungen bequem, weil
man nicht noͤthig hat, die Fälle, wo «@" pofitio oder neg%
tiv, moͤglich oder unmoͤglich iſt, zu unterfheiden. Dage⸗
gen iſt ſte fir beſtimmte Rechnungen nicht immer bequem -
Sefist es wäre a" negativ, etwa — B, undn=h
alſo Yazız ‘ — 6, fo müßte wenigſtens ech
ein
der Wurzelgroͤßen aus den Gleichnnger. 429
ein Werth von 4* — PB beſonders gefuct werden. Iſt
dieſer aber gefunden, und heißt er &, fo ergeben ſich ale
übrige Werthe, wie oben ($.29.).
. 32. Nach diefee Erläuterung. des Zeichens x unh
ſeines Algorithmus, komme ich zur Hauptſache zuruͤck.
Wenn man r Faktoren von ber Form x’ — a" mit
einander multiplicirt, fo it Far, daß im Produft feine
andere Potenzen von x.vorfommen Finnen, als folche,
beren Exponenten burch nm theilbar find. Das Produle
wird alfo folgende Form haben:
gm —AxG-i Bxoen__ Oyemn
—+----ttQ=..
: 6, 33. Umgekehrt, muß jede Gleichung son biete
Korm, in-r Saftoren von der Form x? — a” zerlegt wer⸗
den tönnen.
% 34. Es ſey bie Gleichung
* — ax! bar? — cXT . ... +qg350
gegeben, und ihre r an ſollen feyu "
W 4, .. . 4 ...-6; ſo daß J
xa x 1 hxt2—- --t+ ga (x—.a) Pier
... K—L). rl)
6,35, Sol aus biefer Gleichung eine andere, mit
nmal größeren Erponenzen, gefunden werden, ſo wird man
biefe Abſicht erreichen, wenn ſich eine Gleichung ſunden
laͤßt, die aus den r Faktoren (x —a”) (xn — Pr)...
- (2) jufaimnrengefege iſt (6. 5). Dieſe Gele
ung aber laͤßt fh in der That. finden, ohne daß man
nötig bat, die Bargeln a, B,y--- zu wiſſen.
. 6. 36: Bermittelß: ($ 29. 30) laͤßt ſich jeder on
Gaftaren ( x — a). (— R).ete: in feine n einfaches
Saftoren zerfaͤllen. Es IR: naͤmlich, wenn man ſtatt
=
“il
%:
430 II. Fiſcher, Über die Wegfchaffung -
a”, PP, y* etc nach ($. 28.) überall ar, par, y’ nz ete
[dei
2 22 sr 2
[=
(—a’ = (ax) (x—- x) (x—a x) (X ı)
EZ ep 2; n?
En) =a—B) (Br) (Br) (Pr)
| z sep 2 8 *
Pay) a-yr) a@-ym--- (1)
etc nn te ete
| a. 8. 8 =
Ä * — namen) en) Ken) x
I. 2. 3. u
Es ift Mar, daß wenn die fämmtlichen über
1.2. 3. - - - n fiehenden einfachen Faktoren mit ein.
ander multiplicire werden, eben dag herausfommen mil,
als wenn man die Saftoren (x — a”) (x — 9) -.-
- - (x — e") mit einander multiplicirte: d. 6. Ihe
Produkt wirb die gefuchte Gleichung mit nmal erhöhten
Erponenten ſeyn.
. 37. Betrachtet man nun bieſe einfachen Faktoren
mit einiger Aufmerkſamkeit, nicht nach den horizontalta⸗
ſondern nach den vertikalen Reihen, wie fie unter einandet
ſtehn ‚ fo wird man leicht gewahr, daß jede einzelne Ver⸗
tikalreihe ein Produkt geben müffe, das der urfprünglid
gegebenen Gleichung X — ax" bx!”? — etc
vollkommen aͤhnlich iſt. Vermittelſt der befannten Säpt,
durch welche die Coefficienten einet Gleichung aus ihren
Wurzeln beſtimmt werden, iſt es demnach tik, vu
biefer Produkte zu finden. Nämlich
de
der Wurzelgrößen aus den Gleichungen, 431
die ' '
Bir | geben das Probuft
über oo.
er > = . =
. u,
1. |x’—xa Xi tabatin...trgie
Wo... a. . ‚er
2. |x' gar pa bxr —i.ctrgme
Br "Sp 6p . J sp iv ,
. 2 n- zu ri n
3. Ira! Habe? .-2g=o
te 1: etc de Wr
. | | n " im: nz 2 .. . *
na IX —xaxT+abx?—...tegm=o
"Daß bie legte dieſer Gleichungen mit der urſpruͤng⸗
ich gegebenen ($. 34.) völlig einerley ſey, ift leicht einzu⸗
fehen (ſ. 27.). Das Produkt von allen aber ift Die ge⸗
ſuchte erhöhte Gleichung.
2.838. Da aber alle hier vorkommende « Sfannke
nd gegebene Größen find, und das Gefeß, nach welchem
fe: horigontal und vertifal fortfchreiten, ‚fo einfach, und
inleuchtend if, fo iſt klar, daß wenn bie unterfe
Reihe gegeben: iſt, bie daruͤber lebenden augenblicklich
formirt.werden Eönnen: b. h. zu jeder gegebenen Glei⸗
hung wird man augenblicklich die übrigen n—ı Hülfde
gleichungen beſtimmen Finnen, von ‚denen, nebſt der gege⸗
benen, die geſuchte ein Prodnukt ift. Auch iſt es klar,
daß man dazu gar nicht die Wurzein der gegeltenen Glei⸗
chung zu wiſſen noͤthig habe.
5. 39. Um nun die Evefficicaten A, B,C---
ber geſuchten Gleichung (deren Form 6. 37: ſteht) zu fin⸗
den, iſt nichts weiter noͤthig, als daß die gegebene Glei⸗
Hung, nebſt ben ni Sätreofäigunge | it einander
multipliciret Werden. -
5. 4%
42 11. Fifcher, über die Wegſchaffung
N 49. Das Kefultat diefer Multiplication laͤßt Rd
vermittelt der Varistionszeichen des Herren Profeſot
Hindenburg auf eine fehr einfache Art vorſtellen. Den
man fege in $. 37. über bie Glieder die Exponenten
son x als Indices, und es zeige N, Variationen vorn
Gliedern, aus den Elementen n, — 1, d—2--- 2,1,0
an:..fo ift das gefuchte Produkt
DIN gar _ı mar) N gulrıı) ne) Yun —8 en
„EN ON o
"Da nämlich in Voraus bekannt if, daß im Produkie
feine andere Potenzen von x vorkommen koͤnnen, als fol
che, deren Erponent mit'n aufgeht, fo Dürfen anch fein
andern Variationen formirt werden, als folche, deren
Summenerponent mit n aufgeht. Im Produkte. haben
alle Glieder dag Zeichen + erhalten, weil beym Gebrauch
das Zeichen jedes Glledes fich von ſelbſt aus ben zeichen
ergiebt, welhe a,b, c---q in ber gegebenen Gleichung
haben,
: & 41. Um das Verfahren anfchaulicher zu machen,
wollen wir. aus ber Gleichung x" — ax — b o dit
andere, mit dreymal größeren Exponenten, ableiten. Es
if alfo hier 2 und n=3, und bie drey zu multi
plicivenben Gleichungen ſind nach 9 37.38) u
9 x’ er dar- Sb
5p 6p
\ m. x’ 7 ax — zb 0
r, 20 16 fiub. bie Indites.
| 4. 42. Das Produkt p qur, iſt nach ($. 40) in
Bariationggeichen SCx IC 0550 2
un
ber Vitzeutien aust den Gleichungen 433
Nun iſt 6 = 2 + 2 2 + 2, und da ber Goefficiene
‚von x? in alleh brtp Gleichungen = 1 if, ſo iſt Ci.
Ferner ift
“ 24
5
s=o+ti+2 daher C=—xb. *a.1
| I 3 Zu
5 8
o+2+1 u — xb.1,%xa
» mt . . Ñ $ ‘2p Sp‘
‚ 57 30.5
ıtıTtı + xa.na,xa
. . Ar : . 2 X‘ 2 . ö Pe ap“ .
— | E85,
Iı$o+2 "7! ea.%b.r
.. on " r 6p
8 5
a+ro+ı mt en 1,%b.% 2
.. . FR u | &
2+17r0 -r. warb
oder Menn man die x in jenem Gliede neh J 25. «mie
plicirt we
4p Ä 2
3 | 5
30 — — b 6).
8 5
— ab 5 — dab
. Ep i —
Ei 5 un
dd 3
Ba et Tg
— LÜIEHER TE NT äehtn .3. 1 | ZUSe BEN ae
v
434 15 Fiſcher; Aber die Weoſchaffung
7p =
Ba. |
= xab . . — Fab * u
22 E
3 oe
u na | — xab
. 8P.. . . j sp
20 u EL u:
— xab — xab
2P
MC alt rab+ren. Da aber
EZ E = =. * 9
5 4
FF 7
“+ Pr + „== o ($. 30.), der = —r
m, ww 1 (8. 27.) fo iß
J bh
Entlih, un o — o - ö + 0, fo if
= 8
= zb. 4b. — 6 ($. 30.)
— b3. ($. 27.).
Demnad verwandelt fih 6Cx6 +>3Cx3 +°C=0
in x°+(3ab+a3) x? — b==o0, gerade fo, mie mie”
es oben ($. 1 F mutatis mütandis) anf einem andım
Wege gefunden haben.
Ein Beyſpiel von der Eliminirung der Kadicalim,
vermitteift Der vorgerragenen Theorie.
$. 43. Dis Kegeln felbft find fchon oben ($. 6.) vor
getragen. Hier wollen wir zur Verdeutlichung noch ein
Beyſpiel hinzufügen, wo, fo einfach es auch if, denne
die gemöhnlichen Regeln nicht hinreichen.
5.44. Aufgabe. Die Gleichung a = Y xy y
von den Vuthihtcien in detzenen.
ing» 3 Anf⸗
⁊
der Wurzelgrößen aus den Gleichungen, . 435
Auflöſung. Die Rabicalien gehören zu zwey LKlaſſen
($. 6.), und müffen daher Durch zwey Operationen weg⸗
gefchaft werden, Da aber aus jeder Klaffe nur ein ein⸗
ziges Radicale ba iſt, fo wird bie erſte Arbeit eine bloße
Potenzitrung ſeyn; naͤmlich
A) yı=ı — Yyı daher
5
sa —sayyt+ 10a y’ 10 ei
5
i +sayyt—
By) um die zweyte Klaſſe der Radicalien wegzuſchaffen,
ordne man die Gleichung ſo:
—— — 10 2y'+ 102? y* say? .
Aus .diefer Gleichung leite man num eine andere mit
fänfmal größern Erponenten ab, welches man entweder
Dermittelft des Schema ($. 14), oder nach der dritten
Methode bewerkſtelligen kann.
8. 45. Im legten Sal find die fünf Huͤlfsgleichun⸗
gen nach $. 37. folgende, deren Entftehung aus der Gleis
chung des vorigen $. Teiche zu uͤberſehen iſt, wenn man
“nur bemerkt, daß um mehrerer Einfachheit willen —b
Bart x a +y sefehrieben aorben. .
pP
E se Ze
5 7 5 ı 6,
2 yti. 2ay? +. 2a”y na ’y’+cbmmo
ET UsE H ap u AP = er. .
u BE SL
By. Bay 7. 2a? y x. y Fra ben
h 8P - . “x er
—* + s *
8) yıır.2 ax: yon y +xbo
2 Br. > Zee Zu
6 op 25 5
A 2ay +5 J—
ae EEE 62 ı0p = -
5) Yor.sapier, 2a y. F_aayanbmo
| [7 2 En IR
436 1..Fifcher, über die Wegſchaffung
erben dieſe fuͤnf Gleichungen vermittelſt dee Varia·
tionszeichen in einander multiplicirt, fo erhält man das
Geſuchte. Die Rechnung felbft fey mir erlaubt wegzulaf
fep, da es bier nicht auf die Sache felbft, fondern nur auf
die Erklärung der Methode anfommt.
Veber die Umkehrung der Aufgabe.
® .$, 46. Es ift far, daß es gu dem Progreſſus von der
niedrigen auf die hoͤhere Gleichung, auch einen Regreſſas
von diefer auf jene gebe. Auch hiermit hat fich Lambert
a. a. D. (Deyträge Theil 2. Abſchn 1. &. 224.) be⸗
fchäftigt, aber die Anwendung, von der wir bier ein Paar
Morte fagen wollen, nur beyläufig und in einem einge -
nen Falle erwähnt. Wird. nämlich der Regreſſus auf eint
gewiſſe beflimmte Art gemacht, fo zeigt jich ein allgemei⸗
ner, und ganz gleichförmiger Zuſammenhang, mit der Auf⸗
loͤſung folcher Gleichungen, in welchen die nächfte Potenj
nach der hoͤchſten fehlt, auf welche Form fich bekanntlich
alle Gleichungen bringen laffen. Nun iſt es mir zwar
nicht gelungen, auf diefem Wege etwas mehr, als dad
ſchon Lingft Bekannte zu finden; auch bemerfe ich, daß det
Weg, den ich gegangen bin, im Wefentlichen nicht von
bem vesfchieden ift, auf welchem Euler, im gten Band
der neuen Petersb. Comment *) die Aufldfung der Glds
chungen verfucht hat, indeſſen halte ich es doch nicht füt
Äberflüffig, die Merhode, welche ich gebraucht habe, mit
ein Paar Worten zu befchreiben, theils, weil ben eine
Materie, wo in der Theorie der Analpfis noch eine ſo
große Lücke ift, jede moͤgliche Anſicht der Sache einiget
Aufmerkſamkeit werth iſt, theils auch, weil dasjenige, was
Euler a. a. O. über die Form der Wurzeln bloß fharke
| | finnig
— — —⸗
LS
.) gun michelſen bat von biefer Abba in. ben Zufdnen t
Inlettung tu die Anal. des Knentl. ©. 22 ff. eihe Ueberſeeun
geliefert. ,
der Wurzelgroͤßen aus den Gleichungen, 437
fiunig gemuthmaßt hatte, hier zum Theil als ein allge⸗
mein erwiefener Satz erfcheint,
6. 47: Um mich moͤglichſt kurz zu faffen, will ih
bloß zeigen, wie man zu verfahren habe, um die Auflsfung .
ber Gleichungen vom: dritten Grade vermittelt der vers
getragenen Theorie zu finden.
$. 48. Die Gleichung ($, 11.)
A) o= 23 - (b’—3abc) rer
bat nach $. 37. bie drep Saltoren
B) mir ierien.
| = Ar
ematabihuch
4 TE > Ge >;
“ e=atsbitxor
6. 49. Da dieß offenbar richtig bleiben muß, was
man auch. irgend für Werthe den Buchſtaben a, b, c und
x geben mag; fo fege man x== 1, und fehe a ale bie
uubefannte Größe an, bie wir 2. nennen wollen: fo ver⸗
wandelt ſich
C) die erſte Steichung A in
3 — 3bez + -d==o
D) und ihre drey Saktoren bey B werben
pP ıp ⸗
. 2 53
2 0
—A |
5 5 |
z--ab--rcec=e
| 2 =
at+ebHrc=o |
vodurch man alſo offenbar die vo Vunzla ber Glei⸗
Yung C erhält. |
&3 G. a9.
8 Mühen, Aber die Wegſchaffung
6. 50. Es kommt alfo nur noch darauf an, bie
Gleichung C mit jeder cubifhen Gleihung, worin das
zweyte Glied fehle, gehoͤrig zu vergleichen; welches bey
dieſem Grabe feine Schwierigkeit batıe. Mir fegen alſo,
daß die Gleichung
E) 32-HAr +-B=o
gegeben fey; fo ift klar, dag man hier ($. 90
.MA=-—3be, un
G) B=b-+- .d
fegen muͤſſe, um C und E ibentifch zu machen, Mau ;
darf alfo bloß b und c aus F und G beflimmen, um ver
mittel D alle drey Wurzeln von E zu erhalten.
$. 51. Bringt man alfo ben Werth von c, aus F
beſtimmt, in G, fo verwandelt fich dieſes in |
bo Sp 9
B=Db— 37b3' aber : s
. 6b —Bb — 3, A3= 0; baraug folgt
3
b=y(BtLv(4B’+3749)
Der doppelte Werth von b in diefer Formel ift nichts
anders, ala b, und-c, weil b und c in den Gleichungen
Fund G völlig auf einerley Art enthalten find,
$, 52. Wir koͤnnen demnach Di
b=yGB+Y@B+ 34549)
e=y@B—y@BR-+ 549)
welche Werthe in D gebracht, die drey Wurzeln ber Glei⸗
chung E voNftändig geben.
$. 53. Daß diefe Methode fih auf eine vollkommen
gleichförmige Art, auf alle Sleihungen von jedem Grade
anwenden Laffe, iſt leicht einzufehen. Doc) ift e8 zu bie
fem Zwecke nicht noͤthlg, don der Form der erhöhten Glei⸗
hung auszugehn; fondern es wird, wenigſtens Gep det
allgemeinen Unteriucung , riet und bequnemer ſeyn, von
' den
>»
den Wurgeln-änzufangen. Es iſt nimuch ‚and: dem bis⸗
Berigen klar, daß die Wurzelgleichungen einer Steigung
vom nten Stade folgende Sorm haben: muͤſſen: u ,
* = . Sp "eo
1) z-+bx mc x da... En. x
.. = “= 8 00 a(a=ı)p
2) EHbE HlenHäck. ea. J
| 23 Eu er Bu DD: BR sr
Darbshentdeng- +n: Wie
ete .eteo ete u
>: | E22 ‚ae „nr
Datbuher task mann: 3
| Die Multiplication diefer Gleichungen giebi Gerade
eihe Gleichung vom nten Grade, ,. worin ba; gweyte Glied
fehlt. Denn dieß zweyte Steh iſt |
p * re
zu! b(ix a tat --- +8)
Aber, was in der Klammer ficht, Ik nah 6. 30 0.
Vergliche man nun dag gefundene Produfti mit Ber. ale
gemeinen Form 2? -—- BE"? HC I HH eNDng,
fo würden: die Vergleichungen der Coefficienten gerade fo
viele —— Beben, als noͤthig ſiad, um b,c,d--n .
aus B, C, D--- N au beſtimmen. Allein, die Beſtim⸗
mung dieſer Groͤßen fuͤhrt ſchon bey Gleichungen des 5ten
-Grades, zw einer unabſehbaren Weitlaͤuftigkeit von Rech⸗
nungen, die einer eifernen. Geduld ſpottet. Uebrigens
“müßte swar dieſe Rechnung, nad) ben aͤußerſt fcharffinnis
gen Unterfuhungen des Herrn Fagrange, im 2ten und
3ten Bande der neuen Memoiren der Berl. Ac. (man fehe
Michelſen's Zifäge zu Eulers Einl. S. 271 bis zu Ende),
nothwendig auf Gleichungen führen, die weis höher wären,
Er 4 NE
440 IH. Pfleiderer, über einige Definitionen
als vom nten Grade, fo wie und ſchon die Aufloͤſung bee
enbifchen Gleichung im zoften $. auf eine. Gleichung
vom sten Grade führte; allein, es iſt wohl fein Zweifel,
Daß ed nur folche Gleichungen ſeyn werben, bie ſich nach
Art der niedrigeen aufloͤſen laſſen.
5. 54. Es läße“fich mit Grund erwarten, daß bie
combinatoriſche Analyfis, die ſchon fo viel ſchwierige
und faſt unmöglich feheinende Probleme aufgeloͤſet hat,
au) hier bie Schwierigkeiten des Calculs noch uͤberwaͤl⸗
tigen werde, indem nichts weiter dazu erforderlich iſt, als
daß dad: Eliminirungsproblem in vollkommener Allge⸗
meinheit aufgeloͤſt werde.
6.55. Ich bedaure uͤbrigens, daß ich dieſe kleine
Arbeit dem Publikum in einer ziemlich unvollendeten Ge⸗
ſtalt vorlegen muß, da es mir ganz unmöglich geweſen if,
die noͤthige Muße zu mehrerer Vollendung derſelben zu
finden. Dennoch hielt ich auch fo ihre Bekanntmachung
‚nicht für überfläßig, um vieleicht gefchicktern und freyern
Händen Veranlaffung zu ihrer Vollendung zu geben.
II.
Deduction der Euclidiſchen Definitionen 3,457
des V. Buchs der Elemente; von C. F. Pfleide
rer, der Phyſik und Mathemasif Profeſſor
zu Tuͤbingen.
Fortſetzung des Aufſatzes im zten Heft. ©. 2 7 u. f. |
57 Wenn nA==nB, ynd nC =nD iſt: fo ik
A=B,C==D (6. 13.)
Und nun folgt rogiter, wenn PA<—=>gB: mil
qB==qA (6. 14), olſo nun pA<=>gAif; F
da
in Euclid's V. Buche der Elemente: - 441
daß p <= >g lH 25.26.) pPi<=DgC
(&. 23.24); und, weilgC == gD ($. 4) auch p ex
=>qgPD fey.
: Der Sub 6.32. 00.3: beh, wenn nA mB, und.
nC==mD if, jede Gleichvielfache von -A und © irgend
Gleichvielfachen von B und D, das von A nämlich dem
ven B, und das von dem von D, entweder beyde gleich,
oder beyde zugleich groͤßer oder kleiner ſeyen; gilt alſo.
auch fuͤr die Bedingung nA= nB, ud aC=—=nD,
58. So folgt auch aus der Bebingung.n A —nB,
aber nC<n.D, eben fo wie $. 44. no. 3. aus ber Bedin⸗
guggaAs=mB, aber nC<mD; daß ſich ein Gleiche . .
vielfaches von A und C, und ein Gleichvielfaches von BE
und D angeben laffen, fo, daß das Vielfache von A großer
als das von B, das Bielfache von C aber nicht größer als
dag von D ft.
Wenn nämlich nA=nB, aber ne<nD, ünd
nD= nC-+E if: fo wird
eo) Wenn C=<Eif; ncC+Cl=<nCc+E,b$.
(n+r) C=<nD feyn, indem (n+ı) A>nA odee
nB ift.
6) Wenn C>E, aber C<rEik::fe wir rXq
C+C<rXnC+rE bb: EXntNE<eactE)
oder rXnD fen;
Inden rXnA-A b.i. (eXn+1) A>rXnA oder
rXnB if.
59. Die Reſultate §. 49. f. ergeben ſich alſo auch
aus der Vergleichung Gleichvielfacher von A und C mit
den nämlichen Gleichvielfachen vom B und D; aus der
Vergleichung (in Ruͤckſicht auf Gleichheit und Ungleich-
heit) vonnA und nB, nCund nD, eben fo wie auf
der Bergleichung pon nA und mB.nC und mD. Und
fo ift man berechtiget, den auf beyde Definitionen S, 7:
ne begichenden Ausdruck der sten: Gleichvielfache. der,
Ee 5 erften
E”
443 II. Pfleiderer, über einige Definitionen
erfien und dritten, Gleichvielfache ber zweyten und vierien
Größe, xa9 omoovsv RoMan\xsıaruov, fecandım
quamcunque multiplicationem, auch vom Gleichviel—
fachen aller vier Größen zu verſtehen; mithin bie Definle
tionen auch auf biefer ihre gegenfeitige Vergleichung an⸗
zuwenden.
60. Dieſemnach iſt 10. A: B=C: D, wenn A=B,
und C=D; folglid ($.14.)nA=nB, und nC=ıD
($. 57.und Defin, 5.).
2°, A:B>C:D, wenn A>B; aber C=<D; folg⸗
lich (5.14. 17.)nA>nB, aber nC=<nD (Defin. 7);
oder wenn A=B. aber C<D; folglich ($. 14. 17)
nA==nB, aber nC<nD (8.53. und Defin. 7.), .
und 3°. A:B<C:D, oder C:D>A:B, wem
A=<B, abeC>D; folglich ($. 14. 17.) nA=<ob,
aber nC>nD (Defin. 7.) ;
‚ oder wenn A<B, aber C=D; folglich ( 6. 14.17)
nA<nB, abrnC=nD ($.5$. und Defin. 7.).
.61. Umgekehrt, wenn A:B==C:D; fo find uugleic
-A<=>B, ud C<=>D.
Denn fp wie A<=>B: ffnA<=>nB (£. 14.
17:); alfo auch Chyp. und Defin. 5.) nC<==>nD;
und baher (5.18,.19.) C<=>D.
Oder 1) wenn A=B, fann nicht C<>D fen:
weil fonft ($.60.n0.2.3) A:B><C:D märe;
2) wenn A>B; fann night C=<D fepn: weil fonf
($,60.n0.2.) A:B>C:D märe; ı
3) wenn A<B; fann nicht C=>D ſeyn: meilfonf.
($. 60. n0.3.) AıB<.C:D ware,
‚alles gegen bie Voaugſchzuns A:B —=C: D und
$. 54. 56.n0. 1.
62. Wenn hingenen A:B >C:D: mug C<D
ſeyn, wenn AZSS B iſt; aber Amuß >B fepn, wern
c=>D iſt.
Dan
—
in Euklid's V. Buche der Elemente. 443
: Denn:ı°. Wenn A=—=<DB iſt; fo fann weder C==D
feyn:. weil fonft (8.60. 10.1.3. A:B==< C:D wäre;
noch C>D feyn: weil fonft ($. 60:no. 394 B<C: D
wäre.
2?, Wenn cC=D it; kann nicht A <B fen:
weil fonft ($. 60.n0. E: 3.) A:B=<C:D wäre
Auch, wenn C>D if; kann ih A=—=<B ſeyn;
weil fenft ($.60.n0:3..,A:B<C:D wäre;
alles gegen bie Vorausſckung A: B>C: D, und $. 54
56.n0.4
. 163, Verhaͤltniſſe deren Glieder gleich find, heiſſin
Verhaͤltniſſe der Gleichheit, rationes aequalitatis:
Verhaͤltniſſe hingegen, deren Glieder ungleich ſind, heiſſen
Verhaͤltniſſe der Ungleichheit, rationes inaequalita-
tis; und zwar der größeren Ungleichheit, majoris in⸗
aequalitatis, wenn das Vorberglied größer iſt, als das
Hinterglied;. der kleineren Ungleichheit, minoris in-
aequalitatis, wenn das Vorderglied tleiner iſt, als das
Hinterglied.
64. Nach bieſen Benennungen beſagen die Saͤtze 8,60,
1°, Jede zwey Verhaͤltniſſe der Gleichheit find. unter
einander einerley. |
2°, Jedes Verhaͤltniß der größeren Ungleichheit ift
größer, als jedes Verhaͤltniß der Gleichheit, oder der klei⸗
nern Ungleichheit, und jedes Verhaͤltniß der Gleichheit ift
groͤßer, als jedes Verhaͤltniß der kleinern Ungleichheit.
65. Die Saͤtze . 61. 62. aber Heiffen:
10. Zwey gleiche Verhaͤltniſſe find entweder beyde ratio
nes aequalitatis, oder beyde rationes majoris inaequa-
litatis, oder beyde rationes minoris inaequalitatis.
2% Von zwey ungleichen Verhältniffen:ift dag kleinere
%atio minoris inaequalitatis, wenn das größere ratio
“ aequalitatis, "ober minoris inaequalitatis if; und das
größere ift ratio ‚majoris. inaequalitatis, wenn das klei⸗
nere ratio aequalitatis oder majoris inaequalitatis iſt.
66.
[ . .
444 TI. Pfleiderer, über einige Definitionen
-66. Gleichheit zweyer Größen wind gewoͤhnlich wicht
unter der Geſtalt von Verbättniß, fondern bloß als Ba
genſatz unbeflimmter Ungleichheit derfelben betrachtet, des
ren Beſtimmung durch die Angabe des gegenfeitigen Were
haͤltniſſes der ungleichen Groͤſten erhalten werbe.
Die Folgerung der Verbältniffe ungleicher Größen,
die von gewiffen Beftimmungsftäcken abhängen, beruhet
auch, wenigſtens m ihrer Grundlage, auf vorläufiger,
befonderg dazu geeigneter Seftfegung ber Bedingung Ihrer
Gleichheit" und Ungleichheit. So wird erftlich bach
SHhlüffe, die am Ende auf den Grundſatz ber Eongenen;
(1.3. Ax 8) beruhen, erwiefen: baß gleich hohe Triangel
auf gleichen Grundlinien, gleich, folglich auf ungleichen
Grundlinien, ungleich ſeyen; und nun bieraugs (VI, 1.)
gefolgerts Baß dergleichen ungleiche Triangel auf. unglel«
chen Grundlinien, fich wie ihre Grunblinien verhalten.
67. Diefemnach iſt $. 2. die Frflärung von Verhälte
niß nur auf ungleiche Größen bezogen; und 6. 3. ff. die
Dergleihung Gleichvielfacher beyder Glieder eines Ders
hältniffes bey Seite aelaffın werden; welche Gleichviel⸗
fache ohnehin, bey vorausgefeßter Ungleichheit ber Glie -
der, immer auch ungleich find, fo, daß dag des größeren
Glieds größer ift ($. 17.).
68. Uebrigens find nach ber Vorſtellungsart 4. 2.
der Exponent eines Verhaͤltniſſes der Gleichheit == 1;
der Exponent, oder die Fleineren Grenzen des Exrponenten
eines Werhältniffes der greßeren Ungleichheit > ı; dee
Erpauent, oder die größeren Grenzen bes Erponentn
eines Verhältniffes der Eleineren Ungleichheit <ı; und
umgekehrt, ein Verhältnig. deffen Erponent = ı, If
ratio aequalitatis; ein Verhaͤltniß, deffen Exponent felft,
oder eine kleinere Grenze deffelben > ı, iſt ratio majoris
inaequalitatis; und ein Verhaͤltniß, deſſen Erponent
ſelbſt, oder eine groͤßere Grenze deſſelben * I, iſt ratio
minoris inaequautatis.
9.
in Euclid's V. Buche der Elemente, 445
69. Und fo. ergeben fih nach diefer Borfteßungsart
die Säße 6. 60.61. 62.64.65. nad) 8.9.37. ff. gleichſam
als Ariome, wenigſtens ale bloße unmittelbare Anwen⸗
Bungen Der Ariome von Bleichheit und Ungleichheit dee
Größen.
70. Dieſe Art, jene und andere dergleichen Saͤtze zu
folgern, welche uͤberdieß bey der Auwendung auf Bew
haͤltniſſe incommenſurabler Groͤßen ohne. vollſtaͤndige deut
liche Entwicklung unzuverlaͤßig und iſchwankend ausfaͤllt,
darf in den Cuclidiſchen Vortrag, nach Feſtſetzung dei
Pefinitlonen 5. 7. eben fo wenig, als die gemeine Bebeu⸗
ung dee Worte Gleich, Ungleich. ($..53.) eingemifät
werden.
71, Der Sas s. 61. fehlt in den Elementen; ung⸗⸗
achtet in verſchiedenen Beweiſen Anwendungen davon vor⸗
kommen: und Alphonſ. Borellus (Euclides reſtitutus.
Pifis 1658. p. 126.) machte der 5. Defin. des V. Buche
Den Vorwurf, «8 laffe fich. nicht einmal diefer einfache
Sag aus derſelhen besleiten.: 5 Barrow |. c. P. 322
Rob. Simfon p. 142. 358 [q Ä orig
347
Das Ende des sten, und Ber Anfang des cum $
find auf fölgende Art ubzuändern:
5. — — quoad multiplieitatem, Auf eben diete
Erklärung weiſet die Folge der a. 2. 3. Defn. ſo wie. die
Faſſung der 4. 5.7» |
Aber die Worte des Septede Rover 261 duo —*
ouoyevav 4 Kılıan RAÄIKOTHTR Tg: AAN Boikiggenic,
geben diefen Stan nich: IinAmorncherßtquantitas; wie in
Ptolemaei Magnae Conftruct: Lib.E.p. 8 (Bafıl. 1538)
eg INS RNÄNKOTNTOS TRY Ev Ti Burke EUIRAHN: folglich
raræ —X OR, quoad quunttatem
| Clavius
2
446 111. SPfleiderer; über einige Definitionen
Clavius (Euclidis Elem. Fraricof: 1607. p. 35219.)
erläutert dieß fo: Quando duae quantitates ejusdem
generis — inter fe comparantur-fecundum quantita-
tem, h. e. fecundum quod una major eft quam alte
ra, vel minor, vel aequalis, appellatur hujusmodi
comparatio feu habitudo, Ratio. : Wallis (Opp. math,
Oxon. 1651. Pars I. Math. univ. Cap. 25. 29. Ad-
verfus Meibomii-de prdportienibus dialogum Tracta-
tus p. 6 fqq. 19fqy.. Opp. math. Oxon. 1693. VoLII.
De Algebra TractatusCap. 19. DePoftulato 5. Lib.E.
9. Defin. 5 Lib. WI. Euclidis Difceptatio) will einen
befonderen Nachdruck abf won xscıs gelegt wiffen, und
überfegt: Ratio eft duarum magnitudinum homoge-
Yearum ea relatid, qua dicitur, qualiter fe habet
earum una ad alteram fecandum quantuplicitatem
confiderata; h. e.:quot vicibus, aut etiam qua vel
quanta parte unias vicis, una alteram contineat.
Barrow (Lectiones habitae in fcholis publ. Acad.
Cantabrig. anno 1666. Lond. 1684. Lect. III.) miß- |
billiget beyde; überfegt (p. 220.) Kara mnAkorms
quoad quantitatem, h. e. quoad magnitudinis fuae
determinationem, vel magnitudinem ipfam_ deter-
minatam; faltem fecundum quod quaeritur: quantae
{unt? et refpondetur: tantae; befinnt aber am Ende:
diefe Definition, ſey nicht mathematifch genug; und, fo
mie die gte, für die Folge ganz entbehrlich. Rob. Simſon
(p. 354 fq.) fagt, nach Anführung dieſes Urtheils Bar-
row's: Quibus nihil addendum video, praeterquam
quod hifce rationibus de inutilitate hujus et Tequentis
gvae definitionis perfuafus firmiter credam, eas non
Euclidis eſſe, fed cujusdam minus periti editoris.
Kinen andern Anlaß gu diefem Verdachte giebt bie Bezie⸗
hung, welche biefe 3. Defin. des V. Buchs auf die zuver⸗
däßig unächte, von: Theon, ober wenigſtens aus deſſen
Eommentar Über des Vtolomaͤus Magn, Conftr. (ib
Pe . ꝑ. 62.
—-
.
Pi . — — — — — —e — —
$
„In Euclid's V. Buche der Elemente. 447
62.) eingefchobene 5. Defin, bes VI. Buchs zu haben
heine (&. Rob. Simfon p. 370. 372 fqq.).
. 6. Wie man aber auch die 3. Definition anfehen
nag; fo liegt bie Reduktion 6. 3. 4. wenigſtens -in den
olgenden Definitionen, und in ben auf diefelbe fich bezie⸗
yenden Beweiſen des V. Buche, fo wie der übrigen, zum
Srunde. And hieraus erwaͤchſt der Vortheit —
Noch fuͤge ich einige Verbefferungen, cheils des —E
heils des Textes bey. |
6. 9. Lin. 16 iſt, ſtatt: sommenfurabel, zu feßen: incom⸗
anenſurabel
‚$. 17: Lin. 7. I. B. Ax. 9, ſtatt; J. B. Ax. .
"gs. Bew. 2°, in. 2. F. 14. fat: F.9.
6. 32: Lin. 4, 5. platt: .n, q flatt: m
6: 40. Lin. 3 ff. flapt: geößer iſt u. ſ. w. iſt zu ſetzen: ſo groß
‚der größer iſt, als eine der größeren. Grenzen ($..2.) des Erpo⸗
ıenten des Verhaͤltniſſes C:D; und umgefehrt: alfo wenn
\=mBC>ırD<(t+1)D, und m —= oder > i+l,
olglich C<mD; oder wenn nA— Bader n0 <D; oder
venn na=mB, nC> rD<(r+n)D, und tieder m ==
der > r+ 1, alfo nC <mD: "und umgekehrt.
$. 41. Ein. 2 f. eine der tleinern Grenzen, ſtatt: die klei⸗
ere Grenze
S. 42. Lin. 3 f. wenn für irgend eine Zahl n die kleinere
Srenje, flatt: wenn bie kleiner Grenz 9 '
$. 44. Bew. 19. æ. Lin. 2 J. B. Ax. 2. 4,flatt: J. B. Ar. 2.9.
F. 45. Bew.s°. Ün.s 'nXpA, flatt:mXpA
...$. 46. kin. 3 ber Gleichheit zweyer Verhältniffe, ft. zweyer
Lerhaͤltniſſe | \
F. 51. ©. 280 Lin. 4 Umfange, ftatt: Anfange
55. ©. 283 %in: ııE multiplex, flatt: E’ aeguemul-
iplex
u : $. 55. G. 283 Ein, 19 le E, are: lag E.
-, $. s6.Bin. 3. u. ſ. w. in der Folge biefes Sphen, 'E gi Pr
30, fh, Bart: 9. E33 no, 3.
ee
a Du er ur "4a u
443 IV, a. Hagner, über Glenie's Conſtruktion
IV.
Weber Glenie's Conſtruktionen verfchiedener ger
metrifcher Aufgaben; von berfchiedenen
i Verfaſſern.
Vorerinnerung des Herausgebers.
E⸗ war zu erwarten, daß die von Herrn Hofr. Kaͤſtner
im erſten Bande des Archivs (Heft IV, S. 481 uf),
mitgetheilten Conftruftionen von Glenie: Aufgaben (wie
we fich ausdruͤckt) vom Dritten Stade durch Verzeichtung
des zweyten Grades zu loͤſen — bie Neugierde inehrerit
Kenner zu näherer Unterfudung und. Prüfung derfelben
reisen und befchäftigen würde. Seit jener Bekanntmachung
Diefer Gonftruftionen find drey dahin gehörige Auffäge bey
mir eingegangen, die ic) in der Ordnung, wie fie mir vor
ihren Berfaffern zugefendes worden find, bier folgen lafk.
Die erſe Abhandlung
IV, a.
Ueber Glenie's Conſtruktion der Aufgabe (Ari
H.1V. S. 481; 19, 1) von J. K. Hagner zu der
thelsdorf bey Herenhut
‚enthält zugleich folgende Nachricht über die Veranlafun
dazu, die ich aus einem Briefe ihred Verfaſſers im Aus⸗
zuge mittheile:
— „Ein Freund theilte mir, aus dem ten Heftt
„Ihres mathematiſchen Archivs, die von dem Englaͤnder
„Glenie bekannt gemachte Conſtruktion eines Drepeds
„mit, worin die Summe der Würfel von zween
„Seiten dem Wuͤrfel der dritten Seite gleich ſſt,
u mit der Anzeige, daß Glenie feinen Beweis feiner Eon
„ftruftion
einer geometrichen Aufgabe - 449
„firuftion gegeben habe. Dies veranlafte mich, ben
„Beweis zu fuchen, und ich entdeckte eine allgemeine
n Formel zu gedachter Eonfiruftion, bie den von Glenie
„beſchriebenen Fall in fi begreift. Vorerwaͤhnter
- nreund zeigte mir nachher die trigonometrifche Prüfung
„der Eonftruftion von Glenie, welche Herr Hofrath
„» Käftner angeſtellt hat, jedoch ohne einen Beweis davon
„zu Heben. Da e8 fcheint, diefer große Mathematiker
malte eine weitere Unterfuchung über dieſe und ähnliche
„Faͤlle für eine nicht unnäge Bemuͤhung, fo hoffe ich,
„Sie werden dein, was ich bierüber gefunden habe, eine
„Stelle in Ihrem tele einzuräumen, ſich geneigt Naben
alaſſen“ —
Aufgabe.
In dem Dreyedke ABE ſey
ABR+AC == BC; der Durch⸗
meffee HR eines um ABC beſchrie-
Ic denen Kreiſes fchneide BC in G; AF
ſtehe in F lothrecht auf HR: man
fuhe GH, GF, wenn BC gegeben ift,
Aufisfung.
1. Es fy BC=a, alfo BG=GC=2a;
GH=b; GF==c.
Nun iſt BAA=FG’+(BG+FAP
=F@--B@--FA?-+2BGXFA .
und AC=FG?-+- (GC—FA) |
=FG?--BG?--FA?— 2BGXFA.
Beruer, ba GH:GB GB: GR, fo finder meh
GR =, felglih FR==cH F⸗ und da HF:FA
b— be+a”)
== FA:FR, fo hat man Fer em
Aqtes Heft. 5 st Dem⸗
1
R
450 IV, a. Hagner, über Glenie's Conftruftion |
Demnach iſt FG?-BG?+ FA’ —c? + 3a
(b—c) (abe+a”) gbc+a? a?cb—c)
—= +
4b 40° gb
ri
‚sbeta' a'cb-c) 1. aut,
ii a rav
uber S 9 ya men a’)
oder BA. Y(gbet@) + La va
un AC== Z Y(gbce+a”) — 3 ay—. Ä
alfo BA +AC= 3(4bc+a? +33 9)
b’—- 33? b
Van —— v (4be+2’).
Setzt man nun 4be-44 ==(a+2f)?, fo findet fh
BA+AC— F
4b
(4 (a’raf+f’)b’—3a ———
Da nun auch BAꝰ AC BC a, ſo it
44ꝰ b? = (4(a’+af+f”) bꝰ— 3a’ (a-+f)f) (a-2
3a (a 4f) (a+2f)
oder b 3 w
Ro; — — ars oraus denn auch
—8 a-+f)
u b
2. Damit die Werthbe von AB, AC, nicht um
möglich- werden, muß man £ fo uchmen, baß b>cı
folgih b’>(a+f)f fe. Es iſt demnach
z3a”(ar2f) >4f(2a”+(a+f) (a+2f))
oder ya>a’r+saf+ı2zafrgPf.
T gefunden wird.
Hier⸗
A —
—“*
einer geometrifchen Aufgabe, 45
Hieraus findet eh 2 f< aly 4-1) oder f it,
Ne bejahte Werthe von £, die Heiner find, ale CR
2
== 4.0,29..., thun alfo ber Foderung ein Genüge,
Einer von diefen Werthen, fa giebt die Aufloͤſung
des Herrn Glenie. Alsdann iſt naͤmlich
3 und be2 3ays
3 m
BUT D 4. 31. —— —
BC 3V5_ sat Ay av 5.38 —— V5.31
ayaı) ——— Er
3 Ban ber fol ——
————— —— Wan,
4
bee —— 1) ‚ abeta? aa: Y2; un
BA=AC= Ev bet)—Fayay.
Dieſes get Ba AC Ja g. 2 4 aë,
und 2BA AC a Bẽ'.
In dieſem Falle faͤllt A und F mit H jufammen, und
‚ABC ift ein: gleichfchenklichted Dreyeck, in welchem bie
- Sumnie der Würfel beyder Schenkel gleich ift dem Würfel -
ber Srundlinie, und die Höfe HG=FBCyY (212-1),
4, Fuͤr ein verneintes f fege man f = — gi fo iſt
— 3 a(a—g) (a - 2 22 und en _@-D)8
4(22°+(a--g).(a--2g)) — Tan
- (gma)g PER |
m —, GSolhirr ct, ſawohl als b, bejaht fepn,
b
fo it g>a, Wenn aber, für bejahte b und c, Y(b-c)
möglich ſeyn ſoll, fo muß e<_b, oder (g- a)g< b? ſeyn.
Sf 2 Dieſes
—
7
452 IV,a. Hagner, über Glenie's Conſtruktion
Dieſes giebt J |
ga ( - ayg - 4(3 - a) ag) (a—2g)g
< 323?(a—g)(a—2g), und, mit g— a dividirt,
ga? g -4(a — ) a2 g<zar(leg—a)
woraus man endlich (2g-a)’<--4a’ und —— 4)
findet. Daraus erhellet, daß, wenn b-und c bejaht und _
g >aiftl, Y (bc) feinen möglichen Werth hat.
5. Wenn g >a und b verneint ift,. fo ift an c
verneint; alsdan wird zwar b—c bejaht, weil c eine
größere verüeinte Zahl iſt, als b, aber * iſt verneint,
folglich y= unmöglich. Es giebt däfer fürg>a
in feinem Salle mögliche Werthe von BA und AC,
6. Sürg<aund2g>a, if, In dem Ausdruck
von b?, (4) der Zähler 32° (a—g) (a—2g) verneint, |
und ber Nenner 4(2 at-H- (a—g) (a—2g))
= 4(220°— (2g—a) (a—g)) bejaht,
weil ſowohl 2 — a ald a—g, feiner if, als a. Dem
nach wird in diefem Falle b? verneint und b unmoͤglich.
7. Fuͤr 2ag<aifb?. =
7 8 — ſ 4(22°+(a--g)(a--2g))
bejaht, alfo b moͤglich. Wenn Bier b bejaht genommen
wird, fo iſt c =— IE
verneint, und b—c be⸗
jahr ; wird hingegen b verneint genommen, fo ift c de
jabt, und b— c verneint. Sn beyden Faͤllen iſt * |
tn „be
bejaht, und Y — moͤglich.
x Und
3 a (a — g) (a - 29
— —— ——— Bl her et — —
— — —
einer geometrifchen Aufgabe. 455
8. Aus 4— 7 erhellet, baß alle verneinte Werthe
von f, bie Feiner find, als Fa, fonft aber Feine, die
Aufgabe fo aufldfen, daß AB, A.C möglich find.
Es ſey z. B. —Ze— ſo iſt
332. 3°, _—ay1
b5 Serie
Bag, De 31
4be +a==a’ j =43; az
ay3ı ay3ı |
AB=3a-+ — acxa — ——; und
4/3 Bann zz
AB+ACH a ( + —BR
9. Will man ſich nicht mit . Glenie begnuͤgen,
irrationale Ausdruͤcke für b und c zu finden; fo ſuche
‚man, unter welchen Umftänden der für b? gefundene Aus⸗
3a’(a+f)(a+2f)
dr uck Ga +@+N(at2D) ein Ouedeet wird.
Ein folcher Fall if, wenn b? = —wirb, ober
galatf) (ar2f) = a’l2a+(ar+f)(ar2N)
Diefes giebt e = — 3a. Da aber für diefen Werth
Y(b—c) unmoͤglich wird, fo iſt er nur dazu brauche
bar, um vermittelft deſſelben einen andern zu finden.
Man fege naͤmlich = (k—3)a, fo erhält man
'3(2k-- r)(2k-- 2)? 3(2k — 1) k— 1) a
— 4grak-1)(ak-2)) er (2k-1) (k-1))
4b’(2+(2k—1)(k— 1)
Nun muß
— 3(2k—=1) (k—1) (2+(2k—ı)(k—1)) |
— 3(2k—ı) k—ı1)(3 — 3Kk 2kK)
—9 — 36k-- sık’— 36k! > ı2kt, ein Qua⸗
drat ſeyn. |
— Sf > Ä x
2
454 V,a Hagner, uͤber Glenie's Conſtruktion
Es ſey dieſes Quadrats Wurzel = 3 — 6kake,
fe it 15 k — 36 12 k* Sak?—ızak’+ ak‘.
Um biefer- Bleicuuns ein Genuͤge zu thun, nehme mar
6415 ober amd, w ern 36=—=ak— ı24,
ober k= - —. Demmad) if —-
a 12 —a 4 1
ein Werth, für welchen „&-
2mwmoglich iſt (7). Ab
5?. a | 5a —_ 5.19.214
denn ift = 7 b=+ —⸗ c=F? I
u. f. w.
10. Man kann auch in ı fegen BA= day |
+4 /(4bera?, AC=* ay —— — 1 (beta),
und um einer Quadratzahl. Da Ifte==b(ı--m‘)
b—
m AB AO=(" * +3 Wer)
—
——— (m?a?-+ 3 (4b’(r - mꝰ) + a})),
Weil nun APHACBC— a’, fo finder fid
(4 — 3m—m’)a’
1
daraus b’== |
3.4m(I—m) |
|
|
Soll bier b und e zugleich bejaht ſeyn, fo iſt mqIn.
Es ſey z. B. m — 33;
fo if —— = 2, ARE
einer geometrifihen Aufgabe, 453°
Wenn b bejaht und c verneint if, fo Em>r.
Damit aber Y (+be+a’) nicht unmdglich werde, muß
s4bc+a’==a’--4m’-ı)b? bejaht, oder a?>4(m? -1)b®
ſeyn. Diefed giebt 3,.m > m’ +3 m — 4, oder m<Y/4
Demnach muß in biefem Kalle m größer ald ı, aber. Heis
‚ser ale Y4= == J, 58. ... genommen werben. |
3ıa ayar .
Es ſey z3. B. m==}; ſo iſt Pe ——, be
* 459° 65"
ay 5.31 b—c. o 5a?
mo —; = be HH’ = —;
ur T Eu ze 36°
| a
AB=4ar 3, Kera— 7.
12 | 12
IL. Wenn, wie in g und ro, b und c verfchiebene
Zeichen haben, fo ift von den Linien GEF, GEL! die eine |
über, bie andere unter BC zu nehmen.
In ſolchen Faͤllen, hat AC einen verneinten Werth,
welches anzeigt, daß nicht die Summe, fondern der Untere
fhied, dee Würfel von den Selten AB und AC dem
Würfel von BC gleich if. Man darf fich daher auch
nicht wundern, daß die gefundenen Wertbe von AB und
AC sufammen genommen, Eleiner find, als BC, ba doch
die Summe jeder zwo Seiten eines Dreyecks größer if,
als die dritte; denn die Summe der gefundenen Werthe,
iſt nicht die Summe ber beyden Seiten, fondern ihr Unter _
ſchied.
1. Anmerkung.
12. Die gefundene Aufloͤſung ſcheint vorauszuſetzen,
daß eine Gleichung des dritten Grades durch eine krumme
Linie der zweyten Ordnung conſtruirte werden koͤnne. Es
haͤngt aber damit folgendermaßen zuſammen. Wenn in
der Gleichuns x = = 2; z gegeben iR, und x,y
f 4 geſucht
‚456 IV,a Hagner, über Glenie's Eonftruftion
gefucht werden, fo verwanbelt ſich bie Gleichung bes drit⸗
ten Grades in eine bed zweyten Grades, und eg ift eine
unbeftimmte quabratifche Aufgabe. Denn, man fh
z=p--g, y=p—g; fo vertvandelt fid, die ge
gebene Gleichung in folgende: zp(p?-—-3qg”) = 7.
Man multiplicire folche mit der unbeſtimmten Größe r,
und zerfälle fle fodann in zwo Gleichungen, 2p r2
und r(p?+3q?) = 2’. Wenn man nun den Werth von
p aus der erften diefer Gleichungen in die andere ſetzt, fo
e 2 _
findet man daraus DE und —— (4-P)
’ |
2y 3r
rz 2 —r3 rz 2 nr}
„tr, 8a „U _ u)
2 ay3r 2 2y 3r
man für r jede bejahte Zahl nehmen kann, bie Eleiner if,
ale 741,58... Nimmt man z. B. 3, fo fin
det man unmittelbar bie Werthe von AB, AC, in vors
berftchender Aufaabe, welche man vermoͤge der Conſtruk⸗
tion des Herren Glenie mit den von ihm angegebenen
Werthen von GH, G F, erhält,
2. Anmerkung.
13. Wenn m, n beliebige Zahlen ſind, und mx?+ny?
== 23; fo läßt fich bie Aufgabe, x und y durch z and
dieſer Gleichung gu finden, ebenfalls in eine unbeftimmte
quadratifche Aufgabe verwandeln. Es iſt nämlich, aus
der gegebenen Sleichung m (x? + y?) == 2?°— (n--m)y
Hier zerfällt die Größe rechter Hand in die beyden Fakto⸗
ren.z--yy(n-m) und z’+zy y(n--m) +y? y(a-n),
und, wenn man x=p-+g, y=p—q fest, fo erhält
man zmp (pP + 39 (z—-(p—q) y (n—m))
@’+z(p—gq)y(a—m) + p—qQ’yYla—m))
Man multiplicire beyderſeits mit einer unbeſtimmten
Größe r, und zerfaͤlle dann die Gleichung in folgenhe
beyde:
einer geometrifchen Aufgabe, - 457
beybe: ampr(2- (p--g) Y(a--m)) und r(pꝰ3)
2426- m)- - wy.
(2q( -æ w)
7 m+r; Yan)"
Die andere giebt, wenn man ben gefundenen Werth von
p ſubſtituirt: rz’+ar’zqy/(n— m) |
+44 y(o —- m)’-+-ı2mr? Yyn— m) + 12 m‘))
=—=2?’(2m+r y (a-m))’+ z(rz-2my)(2m-+r /(d-m)).
y@a-m)+(rz-2mg) y (na--m)’, woraus q duich
⸗ und r gefunden wird. |
| Aus der erften findet man p =
So findet man z. B. wenn
m=n=I1, fit oJ,
_—@+3r+2)2+446+2)2Y 3(121r°—(r-1)9)
rg) —
Nimmt man r==2,
—4242Y 3,47 47,
25
z+q__ — 17).
fd wird gq=
_ 2(13 +3 y3:4),
50
z(29+y 3.47)
und diefe Werthe werden der Gleichung ein Genüge hun:
y=P49=
Sf 5 mb
a8 I, b. Sauber, über Glenie's Conſtruktien
IV, b.
Bemerkungen über Glenie's (Archiv Band I. Heft 4.
angeführte S 481 u.f.) Aufgaben, und Anzeige eins
Weges, auf die von ihm angegebenen Eonftruktios
nen derfelben jzu fommen; von M. C. 5.
Hauber.
1 Auf einer gegebenen geraden Linie als Grundlinie
ein Dreyeck zu befchreiben, deffen beyde andere Seiten zur
ſammen einer gegebenen Länge gleich, oder um ejne gege⸗
bene Länge von einander unterfchieden, oder von dıfm
beyden andern Seiten die Quadrate zufammen einen gegt
benen Raume gleich, oder um einen gegebenen Kaum von
einander unterfchieben feyen; find unbeftimmee Aufgaben,
deren jeder durch unendlich viele Dreyecke Genuͤge geleiftt
werden fann; welche Übrigens alle das mit einander ge
meinfchaftlich haben, daß ihre Spitzen im Umfang einer
bder kage nach) gegebenen Ellipſe im Fall ber erften, Hyperbel
im Sal der zweyten der genannten Aufgaben, im Zal ker
dritten and vierten aber in einer ber Lage nach gegebenen
Kreisperipherie und geraden Linie liegen, deren Beſtim⸗
mung man im sten und ıflen Satze des IIten Buchs
von Apollonius ebenen Dertern finden kann.
Die Aufgaben: Auf einer gegebenen Grundlinie ein
Dreyeck von ber Befchaffenheit zu befchreiben , daß Die
Summe oder Differenz der Würfel feiner beyden —
Ar voer citen
|
verſchiedener geometrifcher Aufgaben. :459
Seiten zum Würfel ber Grunblinie ein Gegebenes Ver»,
haͤltniß babe; gehören ebenfalls unter die unbeftimmten;
und die Spigen aller Dreyecke, welche der einen und der
andern diefet Aufgaben Genüge thun, liegen im Umfang
£rummer Sinien, oder vielmehr nerfchiebener Theile einer
Curve, welche, wenn man bie Seiten des Dreyecks (Fig. 1.)
AB=2, AC=y,BC==3, dad: gegebene Verhaͤltniß
p:q ſetzt, durch die Gleichung 3 4. y? —.2 23 in
Abſicht auf das mechfelfeitige Verhalten in ihrem. Umfange
fi) kreuzender, um bie Pole B, C fich drehender, gerader
Linien, oder, wenn man will, in Abficht auf das Verhals
ten swifchen einem an irgend einen ihrer Punfte (wie A)
vom Punkt B aus gtzegenen Nabiug vector (BA), und
der Entfernung (AF, weld;e man z fege) deſſelben Punkts
von dem auf der BC in ihrer Mitte G errichteten Loth
durch die Gleichung 212 = x’ v2 3 (denn |
im Dreyeck BAC ift bekanntlich 2BCXAF, d. 1. wenn
auch AK auf BC fenfrecht if, aBCX GK==AB!--ACN,
oder endlich, wenn In letzterer Gleichung V(datz)+ v?
ſtatt x geſetzt wird, in Abſicht auf das Verhalten recht»
winklicher Coordinaten (GK==z, KA==v); von wel⸗
”chen die Abſciſſen auf BC von deren Mitte G an genom⸗
men ſind, charakteriſirt wird.
Uebrigens wuͤrde, wenn AB von irgend einer Laͤnge
beliebig angenommen wird, die Beſtimmung der dazu ge⸗
hoͤrigen kaͤnge von AC (welche = =+ VE „BO—AB,
di i. die dritte von Hier flefigen Proportionallinien iſt, von
welchen BC die erſte, die Differenz zwiſchen > BC und
AG,
3C die vierte if), ober von GK, und hiedurch des dazu
gehoͤ⸗
460 IV, b. Hauber, über Glenie's Eonftruftion
gehoͤrigen Dreyecks, von Aufldfung ber Aufgabe: zwir
ſchen zwo gegebenen geraden Linien zwo mittlere ſtetig
proportionirte zu finden, abhangen, welche vermittelſt
der Poftulate der Elementargeometrie nicht bewerkſtelligt
werden kann.
Die von Glenie (am angef. D. 36.37.) angegebe⸗
nen Beftimmungsftüce aber, der auf gegebenen Grumds
linien gu conftruirenden Dreyede, deren Summe ober
Unterfchied dee Würfel der beyden andern Seiten dem
Würfel der Srundlinie glei, das doppelte, dreyfache
deffelben ſey, hängen nur von Nadicalien des zweyten
Grades ab, und die dadurch beflimmten Dreyecke laſſen
ich durch Elementargeometrie confiruiren.
2, Um gu prüfen, ob die (a. a. O. 36.) angegebe⸗
nen Beflimmungsftücke ihren correfpondirenden Aufgaben
Genüge leiften, drücke man die beyden Seiten AB, AC
eines in einen Kreis befchriebenen Dreyecks aus bdeffen
Grundlinie BC und Hoͤhe AK oder GF, und aug der
Höhe GH de an einerley Seite und auf ber nämlichen
Srundlinie auf dem Dreyeck befindlichen Abſchnitts des
genannten Kreifeg aus. Es ift nämlich
ABI>AC! == 2 AKT +BKI+-CK! (ET, 47.)
= 2(AK?+-BGI+-GKN) (ELIL, 9. ment
dag Loth AK die Grundiinie zwiſchen
B,C (ig. 1.); 11, 10, wenn es ihn
Verlängerung trifft (Fig. 2.)).
= 2(FG!+BGI->AF9)
== 2(FGI+HGR+ HFR) (€. III, 35.)
== 2(FGI->-FGR+HFG+2HFXGR)
(€. II, 1.)
= 3(HRXFG + 2HFXGR) (€. 1], 1.)
Ind
derfchiedener gometiſher Aufgaben. 461
.. Und
2 ABXAC= aHRXFG; Cdenn man ziehe durch A
ben Durchmeſſer AL, und siehe BL;
- fo,find die Winkel ABL, AKC einan«
| Pe old Rechte (E. III, 310;
die Winfel ALB, ACK aber (in Sig,r.),
weil fie in einerley Abſchnitt fihen
(III, 21.), oder (Fig. 2.) weil jeber
derfelben mit dem Winkel ACB zweyen
- Rechten gleich iſt (III, 3 1,); daher bil
Dreyecke ABL, ACK gleichwinklich;
und AB: AL das iſt HR = AK
d.i. FG:AC; daher ABXAC
„=HRXFG)
L
0) (A B-HAC)® == - 4(HRXFG + HFXGR)
== 4 (HGF+FGR-+HFXGB)
= 4(HGF+HGR) E. Il, 1.)
=4(HGF+BGY;
(AB—AC) = =4HFXGR=4 7 16 Bär *
Mithin AB-AC= 2YHGF+BG®
| VMF
Folglich AB — HarHaBCH BC Yı
- ACz= VHGF+4BCi-4 sch —g-
Setzt man nun nach Glenies Vorfchrift für Aufg. I.
(a. a.O. 18.) GH= 3ECY Gm GE= 3 BCyY531;
fo findet fi hieraus ganz Teiche AB= — BC,
— |
AC= — BC; woraus man ganz genau
EEE | u AB®
462 IV, b. Sauber, über Glenie's Conſtruktion
2.9-+2.3.9.5 3:945
AB --AUC= — BC
33.4 2044
b.i. 32 BC == BC“ finden, auch, wenn man will, bie
Werthe b == 0,936333, c = 9663666 (ebend, 34.)
herleiten kann. Man koͤnnte 3 verfahren, um zu
prüfen, ob die Aufg. IT. u. III. (36) durch die daſelbſt an⸗
gegebenen ihnen zugehoͤrigen GH, GF aufgeläft werden.
3. Um aber flatt deffen lieber a priori auf einen
Meg zu kommen, auf welchem man die Beſtimmungs⸗
ftücke des zu findenden Dreyecks von feinen andern Wur⸗
zelgroͤßen, als vom zweyten Grab abhängig erhalten
möge; nehme man fürs erſte die Gleihung x’ + y’
* — a’ wiederum dor; und man wird ſich erinnern
oder * feicht finden, daß die Werthe der Groͤßen x, yr
welche dieſer Gleichung Genuͤge thun, die geforderte
Eigenſchaft, nur von Wurzelgroͤßen genannter Art ab⸗
haͤngig zu ſeyn, haben werden, wenn man auch x+y
einer gegebenen Größe gleich, z. B. — — — afeßt. Man
findet nämlich, wenn x die größere iſt
GH CHEm):
(7 -YrQaz.a =. nm) a;
wobey erhellt, bag, damit x, y möglich feyen, 4 r nicht
* 3 3
< (-) ‚oder >= nicht >y(“?) ſeyn darf.
m n q
Die Summe der Würfel zwoer geraden Rinien naͤm⸗
Ich, bat zum Würfel ihrer Summe, wenn die geraden
Linien gleich find, das Verhältniß wie 134; wenn fi
aber ungleich find, ein größeres,
II
Y
Denn
derfchiedener geometrifcher- Aufgaben. 463
Denn es feyen DE, EF ($ig. 3.) zwo gerade Linien.
Und fie feyen fuͤrs erſte gleich, DE äFM DE,
DE ln
mithin Ver) DF=:: a5.
fo pre! }: DFI= ir (EXT, 33)
daher DEHEF:DFZ= 2:8 mr:
Ä Sie feyen aber. ungleich; fo it DF? > 4DEE..
(E. 1,8) .
. mithin pr !‘DEF-
d.i. (E.XL 32.) DF°;: DEFXD
DF°b.i. DE°+EF° + 3DEF XDF; 3DEFXDF>4i37
n. felgl. DE“+-EF* oo. 3DEF XDF>1:4.
Da ferner der Würfel der Summe größer iſt, ale
die Summe der Würfel, fo. mug (2)? >2-fepn.
4 . Sollen nun die x, y fo wie wir fie durch Pen) a
beftimme haben, nebft a, Seiten eines gerablinichen Die
ecks abgeben koͤnnen; ſo muß vermsge El. J, 21. * => I
| ſeyn, damit x4 y>afty; und aus der Belag daß
| a+y>x fey, folgt, daß — +3 z>ı+ 8 ſeyn
muͤſſe. Und da vermoͤge des vorhergehenden ($. IR =
nie < (=) feyn darf, aber — und mithin —*
(5 >ı ſeyn muß; fo ergiebt ſich Hieraus, daß auch
= > ı oder < > 3, das iſt, daß gegebene Verhaͤltniß,
welches die Summe der Würfel der Seitenlinie zum Wür«
fel der Grundlinie haben fol, größer ſeyn mäfffe, als 134;
welcher Seftimmung-auch (a. a. O. 23.1.) erwähnt iſt.
= — Da
Fj 124 I, daber
464 IV, b. Hauber, über Glenie's Eonftruftion
Da nämlih, wenn AB, AC, BC Seiten eines
Dreyecks find, ABFAC>BC, mithin (AB-+-AC}
> BC‘, dab Verhältnig AB +AC°:(AB-+ AC)
aber entweder —= 1:4, wenn nämlih AB, AC gleich
find, oder, wenn fie ungleich find, > 1:4 iſt; fo folgt
dag immer AB-+AC°:BC°>1:4 ſeyn muſſe.
5. Um: diefe Beftimmungen auf die befondern Faͤl⸗
der Hufgaben I, IT, In (a.a.D.18. 19.), we = 1,2,3
iſt, anzuwenden; fo ergiebt ſich aus denſelben, auſſer ver
bey allen gemeinfchaftlichen Bedingung, daß — 1 ſey,
noch insbeſondere, daß
für = 7 aiche > Y4r aber 2) +32>4
für 2; u... D>2,aber>y 2, le-..-.n. DD),
fie 23; - - - Dymo, > nun. >12
ſeyn Nuſſe
Dieſen Forderungen zeſchieht ſenüge, wenn man
z. B. feßt
bey Aufgabe. — 33 und denn wird
n
x. DE atzt
9 —
* Fuck
bey Aufgabe II. — = 5; fo wird
a st, „IZYH
X
bey Aufgabe II. — == 2; F wird
x=z(tryYG)s y=(i— YO)“
Ä Es
derfchiedener geometsifcher Aufgaben. 465
Es wird demnach jeber: ber genannten drey Aufga⸗
ben durch ein, aus den dazu. gehoͤrigen hier angegebenen
x,y und a, ald Eeiten, (nach EI. I, 22:) biſchriebenes
Dreyeck, Genuͤge geſchehen: welches für Aufg. I. durch
die Proberechnung (in 6. 2) ſchon beftätige iſt, indem bie
dortigen AB, AC, BC mit den hier. bey Yufg. I. genann-
ten x; y; 3 uͤbereinſtimmen. Und man wird eben fo bie
bier für Aufg..IE, III. angegebenen Werthe von x,.y mie
benjenigen gleichgültig finden, welche man fuͤr AB, AC
aus ben. von Glenie zu Eonftruftion dieſer Aufgaben
(a. a. D. 36.).angegebenen Werthen von GF, GH ver⸗-
mittelf ber ns 2. gegebenen. Ausdruͤcke herleiten kann.
6. Umgekehrt, wenn man die zu beſchreibenden Drey⸗
ecke, ſtatt ſie aus den drey gegebenen Seiten, BC oder a,
und ben angegebenen x, y gu conftruiren, mit Glenie
vermittelſt ihrer Höhen und der Kreife, in welche. fie be⸗
fchrieben werden können, beftimmen wollte; fo hätte man
nur in den allgemeinen Ausdruͤcken der Höhe GEF eines
Dreyecks und der Höhe GH des Kreisabfchnittg, der mie
ihm einerley Grunblinie und’ die Spige des Dreyecks in
‚feiner Peripherie liegend hat, durch des Dreyecks Seiten,
‚ sänlih-GE
Y (AB V(ABFACHEO) tAB-FAC-BO) (BC-FAB-AC) (BC-AB-LAC)
2BC.
| ABH-AC-HBC) (AB+AC— BC)
GH=; BC (Ferse (BC-AB-HACO)
(welche. Ausdrücke, und für fchiefwinfliche 8
beſtimmt, uͤbrigens auch, als den Fall der rechtwinklichen,
ABXAR |
für welche GE == I ‚GH=3BC wird,
unter ſich begreifen angefehen werden fönnen; ber erfte
derſelben iſt befaune genug: den zweyten zu beweiſen,
Achtes Heſt. 69 siehe
466 W, b. Hauber, über Glenie's Conſtruktion
ziehe man von B an den Mittelpunkt O die BO, und fäle
von C auf AB dad Loth CM, welches die AB zwifchen
A, B, wenn der Winfel BAC fpisig (Fig. 2.), Ihre Vers
laͤngerung aber £rifft, wenn derfelde ſtumpf ift (Fig. 1.));
und da die Winfel BGO, AMC einander gleich find als
rechte, die Winkel BOG, CAM aber, teil jeder derſel⸗
ſelben die Hälfte des Winfels BOC (Ei. III, 20; und
22 gig. 1; 2ı in Fig. 2.); mithin find die Dreyecke
ACM, OBG gleichwinklich, und
OBb. i. HO oder OR:OG=AC:HAM == BBAC: '2BAM
BC’— (ABI+ ACHEig.r.
== 2BAC; (Et: II, 12, 13.)
(ABI + ACI— Bc9 Sig. 2,
goiglich HO- 0G:OR-+-0G (Sid. 1j1
HO-H0G:OR—0G (gig, al
d. i. GH: GR
d.i, (EL. VI, 9,20.) GHI:BGT J
FCAB-+- AC)T— BC1:BCI— (AB=- AC)*
(AB+AC+BC) (AB + AC--BC): (BC-HAB--AC)
(BC—AB-+AC)
GH:BGb.1.3BC
—— ANGER) ACBO:V (BOHAB-ACHEO AN)
ſtatt AB, AC In die $. 3 angegebenen x, y zu ſubſtuuſtn;
wodurch man die genannten beyden Hoͤhen dur = —* *
a oder BC ausgedruͤckt, naͤmlich
— Te EC Er
Ya.
GH='35C era a -
14.2.2447
n?)
und hieraus wicderum fuͤr die einzelnen Sälle, wenn
q
verſchiedener geometrifcher Aufgaben. 467
== 3; — SGB
Piekiirten: —=BCy(H)GF=4BCY(H)
1 Eon, ..GF==3BC, .
das ift, für Aufgabe I, IL, III gerade die (a. a. D. 36.)
angegebenen Werthe von GF, GH erhalt.
:7. Um num auf ben Fall zu fommen, da auſſer der
Grundlinie des zü beſchreibenden Dreyecks das Verhaͤlt⸗
niß des Unterſchieds der Wuͤrfel der beyden andern Sei⸗
ten zum Wuͤrfel der Grundlinie gegeben iſt; ſo wird ſich,
wenn. Ian. wiederum die Bidingung x — * 2 a’
mit der x — -y= m — —a ‚a verbindet
— 1 NE * 9.
entweder unmittelbar finden, oder au aus den 6. 3. ge⸗
fundenen Werthen, indem man Dort negativ nimmt,
herleiten Iaffen. Uebrigens, da bet Unterſchied ber Wire
fel zwoer geraden Linien. größer iſt, als der Würfel ihres
Unterſchieds, fo muß — n 2>( 2) ſeyn; und wenn dies
iR, fo find y Ime.or möglich,
8. Setzt man hiezu noch die vermoͤge ei L, 21. es
ferberliche Beſtimmung, daß =< 1 fey, worinn alsdenn,
wenn = eine ganze Zahl iſt, dieſe⸗ le <#
ſeyn miſe, ſchon enthalten ift; fo kann man bie für I
gend ein gegebenes . E und den erwähnten Beſtimmungen
69 2 gemaͤß
468 IV, b. Sauber, über Glenie's Conſtruktionen
gemäß angenommenes = beſtimmten x, y; namentlid,
— = geſetzt, |
_Y/G ——— =
für — Det, G —
nebſt der BC gebrauchen, um aus ihnen, als ben drey ge
gebenen Seiten, vermöge EI. I, 22. bie Dreyecke zu cow
firuicen, melche bie dieſen beftimmten * entfprechenben
Aufgaben auflöfen werden.
BC,
m
9. Oder man wird late deffen aus dem ſchon angeführ-
sen Safe, daß eines Dreyecks ABC Hoͤhe GF oder AK
__V (AB--AC+HBC) (AB-HAC-BC) (BCHAB-AC) (BC-AB-+AC)
a IT
und dem befannten, daß GK die Entfernung des Punkte,
in welchem dag von der Spige eines Dreyecks auf deſſen
Grundlinie gefäfte Loth Diefeibe trifft, von der Mitte der
J —
ABI - AC
Grundlinie = — — (ep, die ben Dreyecken, deren
2BC
Seiten die — 7. angegebenen x, y ſind, uaeboͤrigen
TCHH EHE)
GRKBC. -V, 2 a_m
| $.- am m |
und namentlich, =! 3 gefegt, für die beſtimmten Gilt,
da
u. IS
verfchiedener geometrifcher Aufgaben. 469
=1;GK=1H BCyY@ r AK=FBCYigr
=; BCyVs, AK=3BCy5n
=3;,GK=3 2 I BCy (2), AK=!BCyY3)
herleiten, und mit Glenie diefe Elemente zur Compofition
der Aufgaben IV, V, VI gebrauchen koͤnnen. Denn die’
bier für die genannten drey Zäle angegebenen Werthe
von GK, AK find mit den (a. a.D. 37.) angegebenen von
GE,ED für Aufgabe IV; GF,FL für V; GH, HK
u
j für VI, reſpektive einerley.
10. Uebrigens iſt offenbar, daß den nr — angegebe⸗
nen Bedingungen, baß es < r und < ‘7 * Aufloͤ⸗
ſung der Aufgabe, welche den Unterſchied 8.), bey der
“ andern aber, welche die Summe der Würfel der Seiten
betrifft, — >ıumd< NG (* ‚aber (+32 3 Is *
ſeyn möge ($. 3. 4.), nicht durch bie Werthe allein Sendge
geſchieht, welche wir $. 8, 5. dafür angenommen haben;
daß mitbin den gleich anfangs gemachten Bemerkungen
über die Unbeſtimmtheit diefer Aufgaben gemäß, bie für
die Aufgaben I-IIL in $. 5. oder 6. für V/-VI. in 6. 8.
oder 9. angegebenen Werthe der Elemente der zu finden«
den Dreyedke nur einzelne Aufldfungen aus den unendlich
vielen geben, welche fi) aus ber Annahme immer ver.
ſchiedener, wenn nur mit den angeführten Einſchraͤnkun⸗
gen beſtehender Werthe von — ergeben würden. Daher
ganz begreiflich: „Jede ſolche Aufgabe laͤßt ſich, vermit⸗
telſt der ebenen Geometrie, auf mannigfaltige Art ver⸗
zeichnen. (a. a. O. 20.)
69 3 So
.
470 IV, b. Sauber, über Glenie's Conſtruktionen
So bietet ſich z B. von ſelbſt dar, daß der Aufg. II.
durch ein auf der gegebenen Grundlinie beſchriebenes
gleichſeitiges Dreyeck Genuͤge geſchieht; welches ſich auch
wait, wenn man in 6.5. für den Fall, da re = 2,
7 2 fehl.
11. Da ferner die 5. 3. 6. oder 7: 9 m. —, za
ausgedruͤckten Werthe der Beftimmunggftücke ber zu file
denden Dreyecke für jedes gegebene Verhältniß, welches
die Summe oder ber Unterſchied der Würfel der Seiter
zum Würfel der Grundlinie haben fol, ohne daß ber
Erponent deffelben auf ganze Zahlen eingefchränft waͤre,
wenn er nur für den Fall der Summe > % if, gültig
find, und auf jeden Defondern Fall, wo diefer Erponent
in beſtimmten gangen oder gebrochenen Zahlen benannt ift,
durd) Subftitution des fo benannten Erponenten fatt
fogleich anwendbar gemacht werben; ſo verſteht fich von
ſelbſt, was Glenie fagt: „daß er mit gleicher Leichtigkeit
ohne Ende fo fortgehe;“ daß man für das Verhaͤltniß,
welches die Summe der Würfel der Seiten zum Würfel
der Grundlinie haben fol, auch 5. B. „ein Verhälmiß
nehmen inne, welches zroifchen die Verhältniffe 2: ı und
3:ı faͤllt;“ daß er „ganz leicht ohne Ende fortgehen
koͤnnte, felche Aufgaben durch ebene Geometrie zu der
zeichnen, hätte cr nur Zeit genug dazu." (a.a. O. 20,23.)
12, Ueberfläffig ift aber wohl zu erinnern, ba,
wenn Glenie feine Analyfe von folchen Aufgaben einem -
geroiffen eigenthümlichen Beflg geometrifcher Grundiehres
zufchreibt, und ſich aus dem Felde, mworein fie gehören
fol, eine hochgepriefene Erweiterung reiner Geometrie
verfpricht (ebendaf 23.), die hier gegebene im Gegentheil
fich aller folcher Anfprüche begeben muß.
IV, e.
onhiceie ncometiiſher Aufgaben. a7
IV, a
Ueber Glenie's. Conſtruktionen verſchiedener geome⸗
triſcher Aufgaben (Arch. d. Math. 4. Heft. S. 481u. f.);
von M. Jacob Wilhelm Becker, Pfarrer zu Kleine
Bremdarh unweit ie Buttſtaͤdt. u
°
I. Glenie ruͤhmt ch (l.c.$. 23.) bed Beſitzes geome⸗
kriſcher Grundlehren, durch die ſich auſſerordentlich viel
leiſten laſſe; die ein ganz neues Feld eroͤffnen, unbegraͤnzt
und vol unzaͤhliger Mannichfaltigkeit 2c. ꝛc. Zum Beweiſe,
was er dadurch bewirken koͤnne, liefert er einige Conſtruk⸗
tionen, wo Dreyecke, in denen die Wuͤrfel ihrer Seiten
ein gegebenes Verhalten gegen einander bekommen ſollen,
durch den Kreis und gerade Linien verzeichnet werden.
2. Wenn dieſe Beyſpiele neue geometriſche Grund⸗
lehren vorausſetzen: ſo duͤrfte ich mich auch wohl ſolcher
ruͤhmen, weil ich dieſelben Aufgaben, weit einfacher als
Glenie, conſtruire, auch durch den Kreis und gerade
Linien, aber mit Vermeidung aller Irrationalitaͤt. Eu
iſt meine Conftruftion. |
3. Aufgabe] Radius Ä
No, IIH=IR | RGI REF
I 152 124 | 279.
II 639 ı 198 1 550.
III 5 I 4
IV 56. | 36] 9.
V 40 121 63.
VI 184 361 285.
Nach einem beliebigen Maßſtabe faſſe ich aus hier
ſtehender Zafel den Radius IH ==IR; siehe mit ihm
einen Kreis, nnd im · Areiſe einen Durchmeſſer RH, auf
894 ben
472 IV,c Becker, über Glenie's Conſtruktionen
den ich, vom Anfangspunfte R an, aus berfelben Tafel
und nach dem nämlichen Maßftabe, die beyden Stuͤcke
RG; FR trage. Nun ziehe ich, fenfreht auf RH, durd)
G und F, bie beyden Sehnen BC; AE, von weichen die
untere die Bafis, ein Endpunkt der obern, A oder E, die
Spitze des geſuchten Dreyecks iſt. on
4. BC wirb ber gegebenen Grunblinie freylich nicht
gleich ſeyn, es müßte zufällig treffen. Indeß verzeichnet
man nun leicht, durch eine Parallele mit BC, ein anders
ähnliches Dreyedl von gegebener Baſis. — Dber flat
der Baſis fönnte auch eine andere Seite bes Dreyecks
gegeben ſeyn.
Ueberhaupt beſtimmt das gegebene Verhalten ber
Seiten nur Formen von Dreyecken, die auch nach ihrer
Größe beſtimmt werben, fobald eine Seite gegeben if.
5. Nennt Herr Hofrath Käftner (l. c. $. 25.) Gle⸗
nie's Conftcuftionen Blumen, ‘welche dag Auge des Ver»
ſtandes weiden: fo läßt fich von der gegenwärtigen dafs
felde doch wohl auch fagen, meil fie, ohne mehr Linien zu
bebürfen, durch rationale Groͤßen volführt wird; wede
halb fie um fo eher eine Stelle in der unbeflimmten geos
metriſchen Analyſe verdient.
6. Zugleich liefere ich auch das Verfahren, wie dieſe
Blumen erzogen wurden, was der Herr Hofrath Kaͤſtner
vermißt und wuͤnſcht (J. c.$.$. 25. 38). &o wichtige
und geheime Runftgriffe, die fogar Newton's Erfindun
gen befchämen follen (1. c. $. 23.), werden nicht ndthig
ſeyn; meiter nichtg, als eine leichte Analyfe und befanntt
geometrifche und Erigonometrifche Saͤtze. So lange aber
auch Herr Glenie von feinen Geheimniffen nichts weiter
befannt macht, als was in dem Zten und gten Hefte des
Archive ſteht, wird er erlauben, daß man feine wichtigen
Entdeckungen noch in Zweifel ziehe. Ein Paar einfache
Differentialformeln und leichte Conftruftionen berechtigea
noch nicht zum Glauben an mathematiſche Geheimniſſe.
7.
‚verfchiedenet hedmetriſcher Aufgaben; 473°
7. Die erfie allgemeine Aufgabe it (l.c. 23,1.)
Ueber einer gegebenen Grundlinie ein Dreyeck zu machen,
daß die Summe der Würfel der beyden andern Seiten
zur Sreundlinie ihrem fich verhalte wie e: 1.
= g. Die gegebene Baſis BC ſey == a; ber beyden
übrigen Seiten .
Summe = a.85; Unterſchied == 2.d-
_ dunds find Zahlen, die Erponenten der beyden Vechaͤlt⸗
niſſe der gedachten Summe und Differenz zur Baſis.
Die beyden Seiten ſelbſt Ednnten nur durch eine un«
reine quabratifche Gleichung gefunden werden, weil ein
Zeichen beyde zugleich ausdruͤcken wuͤrde.
9. Aus Summe und Unterſchied ſinden ſich die bey⸗
den Seiten
a.(1s+43d) und a. (I1S — 3d)
10. Nun ſoll ſeyn
3Be=23(35+4dY- 3 (IS—I d—
oder e=(35+3d)’ + (I S— d
a faͤllt aus der Rechnung leraus, weil es zu die Form
des Dreyecks keinen Einfluß hat. (vergl. 4.)
11. e—83 38d⸗e; daher endlich
————
d=
V ar
wo man s nad) Belieben annehmen darf.
12. Damit aber das Dreyeck möglich werde, muß:
1. s pofitio feyn.
II. S 1
— 83
IL adı>d; b. i. 1 >
.- “ 8
oder 34382 4e |
S5 - W.
474. IV, c. Becker, über Glenie's Conſtruktionen
IV. Mau hat von s zwey minima zu bemerfen.
Setzt man das erſte, 1, flats in +35, fo
wird 4 daraus. 1
Iſt daher e=ı fo ſagen beyde Graͤnzen IIund IIl
einerley.
e<ı fo If die Graͤnze IL anzuwenden.
e > I ⸗ o⸗ .. III PP EEE
V. Das maximum von sift: s nicht > Y4e
x». VI. Das maximum (V) barf mit den minimis
nicht im Widerfpruche fichen, barum muß, II
und V verglien, /4E> 1, oder e > Z fen.
Das iſt die Einfchränfung (1. c. $. 23.1.)
II und V miderfprechen fich nie,. was anch ber
Werth von e ifl. Denn wenn s nicht > /46,
fo it 3+3s niht > 4e+ 374e
aber 3438 4e
beydes kann zuſammen beſtehen.
Anmerk. Ganz läßt ſich die kubiſche Gleichung doch
nicht wegbringen, wenigſtens als Graͤnze der unbeſtimm⸗
ten Groͤße zeigt ſie ſich wieder.
13. Die beyden geſuchten Seiten bed Dreyecks find
num (9) |
— 53
Ja(s —49 2 Sa. V )
38
14. Diefe allgemeinen Formeln wende ich auf Gle⸗
nie’ 8 drey befondere Faͤlle (l.c. $.18. L.IL.IIL) an, m
e=ı1; =2; = 3 ift; dabey wähle ich für s bie
Werthe, die Glenie's Dreyecke geben; wie ich fie gefunden
babe, zeigt unten (30)
Aufgabe I II ID
eilt e — 1 | 2 | 3
mannebme s = | 3 5 I >
fe wid d = | v5 [IV | ıve
n—
verfchiedener geometrifcher Aufgaben; “
Sir Nr. J ſind bie beyden Seiten = 1 geſetzt 41%
= 0,75 -
73 V5 = 0,18633900
größere. Seite = 0,9363390. BE
Hleinere Seite = 0,5626609..
(vergl. l. c. $. 34. dad Refultat dee Hrn. Hofr. Laͤſtners.
15. Schon die hier gefundenen Formeln haben offen»
bare Vorzüge vor denen des Herrn Glenie; fie geben
bie unbekannten Seiten des Dreyecks felbft, die fich als⸗
dann leichter mit der gegebenen Baſts vergleichen laſſen.
Zugleich enthalten fie nur eine ebenfalls bloß quadratifche
Strrationalgröße, 'von der man uͤberdieß unterfuchen kann,
ob fie fich durch eine gefchickte Annahme von s heben laſſe,
und man die Seiten des Dreyecks Insgefamme rational
machen koͤnne oder nit. 3.8.
e=ı; und Überhaupt = einem Würfel, Iäße wegen
der Gleichung (9) feine rationalen Werthe zu,
e==2; man fee au) s=— 2, fo wird d==o, und
das Dreyeck gleichfeitig, in melchem offenbar
Die Summe von den Würfeln zweyer Seiten
tag doppelte dee Würfe ber dritten Seite
ausmacht.
u. ff. vergl. Euler Algebr. 2 TH. II. Abſchn. Rap, 9, 10,
16. Bon ben gefundenen Sormeln leite ich nun auch
Glenie's beyde Eonftruftionen, fo wie meine gleich an⸗
- fange gegebene, fehr leicht ab. Ich werde in der Folge
bie Größe d bepbehalten, ohne den für fie in (11) gefun-
denen Werth zu fubflituiren. Die Ausdrüce werden ein«
facher, und laffen fich alsdann auch ſogleich auf die Brent
Hauptaufgabe anwenden.
17. Die eine Eonfiruftion bes Herrn Glenie, deren
er ſich bey der 4ten, sten und Gten Aufgabe bedient, die
aber auf die drey seen eben fo gut anwendbar ifl; derjeiche
net
476 IV, c. Becker, über Glenie's Conſtruktionen
net das Dreyeck durch das Perpenbifel von ber Spitze und
Die dadurch entfiandenen Segmente der Baſis. Hierin
bedarf man
GD bie Entfernung des Perpendifel® AD von ber
Mitte der Baſis G.
AD==GF die Größe des Perpendikels felbft.
Sch benenne die Seiten des Dreyecks mit den Buchftaben
Der gegemüherfiebenden Winfel, aber aus dem Fleinn
Tateinifchen Alphabere.
19. AD='3\ (a+b+c) (b+c-a) (atc-b) (a+b-c): 2a
== y.(a+as) (as-a) (atad) (a--ad)
=43ay (*—ı) (1 —d’)
20, Aug (18.19) berechnet man die Größe von AD,
GD für die drey Faͤlle in (14)
Aufgabe I II III
.91
GD a JVs5 av | a.y3
‚AD=a-,y5.31 a.t,/ 17 ara
für 1188 Perpendifl AD—= GEF find die Ausdrüde oil.
lig triefelben, die auch Glenie nad) (1. c. $. 36.) angiebt.
| 21. Die Eonftruftion, deren ſich Glenie bey den dry
erſte n Aufgaben bedient, feßt auffer dem Perpenbifel AD
== IT G noch die Linie GH voraus. Es iſt aber:
GH=BG.coBHG=%a.cotz3A
Ilm GH zu finden, und gugleich die oben (3) geli«
ferte Conſtruktion zu entwickeln, berechnt ich die Winkel
bes Dreyecks, wobey ich den Radius der trigonometrifchen
Ein in = 1 feße.
22. Bon den beyden Winfeln an ber Baſis BC ſep
die Halbe Summe == S; die halbe Differen; = D
v
rd
verfchiebener geometrifcher Aufgaben. 477
fo find die drey Winkel ſelbſt \.
S-+-D der Seite 1 a (s-+d) gegen über - N
sSs—D .» 5 4 a (s-d) » ⸗ ⸗
18300 - 28 — — a Dur 0
S+D
23. Nun if 3 al+d)=ä, ec urn
Lst2d {in$, :cofD+finD Dacocs
Ä | » inS. cof $::
er TR TH —
24. Auf gleiche Aet Andet m man 7
—ND
iac—d)=a imß-D)
25 x.
cfD finD
= * der —d — — —.
de cfS finS
25, Yus 23 und 24 folgen bie beyden Gleichungen
cfD D —_ aD Te;
—cf$’ — Ss“
woraus man D und S durch ihre rigonmetefen ba
finde; nämlich .
s
52 — 1
— de
1 —
ols=Y3-a “
I s? —ıI
ang S = sn Ye 1
27. Und ko D=d. fin $S
; ofD==s.cofS. :
tang D = — hans
Sg OstD * u
| | 28. Nun
478 IV,c. Becker, über Glenie s Conſtruktionen
28. Nun hat man auch
GH ==Ja.cot$A;- an=3 ı a cot (90°--S); (22)
— J «ı:
2? (26).
29. Fuͤr bie drin galle (14) * GH
D=alyfı DÜa V IM) 4a
Em fo wie Glenie (I. c. $. 36.) |
30. Aus den (19. 28) gefundenen allgemeinen Aus⸗
drücken fär AD=FG und GH und den Werthen, die
Glente fuͤr dieſe Groͤßen angiebe, findet man, melde
Werthe Gon s in ſeinen Angaben vorausseſetzt werden.
4GF.GH
Denn es ‚wird — — —71
a.
3. B. Fuͤr die J. Sfr
ZatangS= ay-
2. und s 3 wie ich es (14) auch angenom⸗
men habe.
31. So waͤren Glenie's Conſtruktionen entwickelt,
dargethan und mit neuen. Conftruftionen vermehrt, die
aber, im Allgemeinen, insgefammt die Verzeichnung von
Irrationalgroͤßen erfordern. Legtere fallen weg, wenn
man cof 25 und cof 2D zur Verzeichnung anwendet,
denn für fie erhält man rationale Ausdrücke:
2
cfl2S=2c0ol’S—ı==2. =
| s’— d?
—d?
vol 2 Da cof D- 1=2.5s? —— —ı
5” —
32. Es iſt aber, wenn man auch IR=RH == ı ſetzt,
IG = cofRC== cof Aa cof (1909-25) == — cof2$
u.RGH= 1 —IG == 14 c0f2$= 2 ——
5*—
33, Fer⸗
- RF=ı-+-IF=i +c0f2D=2s?
verfchiedener geometrifcher Aufgaben. 479
33, Ferner IF = cof AH==cof2D und
= s’RG.
34. Beyde Formeln (32.33) liefern die in ber Tabelle
(3). enthaltenen Zahlen u IH; RG;.RF für.die Aufgas
ben LILJIL (14). Eigentlich foßte, nad) (32) IH =}
ſtehen; ich, habe aber dafür bie Eleinften. ganzen Zahlen von
henfelben Berhältniffen in die. Tafel geſetzt. 4
35. Genau auf bie bisherige: ur wird en die. weytt
Hanptaufgabe behandelt:
‚Weber einer gegebenen‘ Grundlinie — a ein Dreyeck
zu verzeichnen, daß der Veberſchuß des Wuͤrfels wer
einen Seite uͤber der andern ihren, zum Wuͤrfel der
Grundlinie eine gegebene Verhaͤltniß e: 1 babe.
Gegenwaͤrtige Aufgabe entſteht ſogar aus der vorigen,
wem man MBor, s<ı annimmt, und die Bedeutungen
son d unb s verwechſelt. Ich werde aber die vorigen
Bedeutungen beybehalten, und bie. Analyfe auch bey ie—
ſer Aufgabe ganz kurz durchfuͤhren.
36. Aus der Gleichung ee (I y- Io:
findet mans == ——— —
37. s wird durch d fo beſtimmt, ie oben (1 1): d
durchs. Damit auch hier das Dreyeck moͤglich werde, niug
J. d pofitio ſeyn.
a⸗ 2*
II. s>ı; bi 1< I; oder +3d<4e,
worin zugleich bie Bedingung d’< 4e ſteckt,
welche die Sormel für s (36) erfordert. ”
II. d< ı., “
IV. FuͤreZi treffen beyde Srängen In. ofen
Fuͤre <ı muß man II anivenden.
. Süre >ı muß man Ill anwenden. ° ::
V. Einen kleinſten Werth von d giebt es ht, und q
kann bier jeden Werth haben.
38:
480 IV;c. Weder, über Glenies Conſtrukt. x.
38. Herrn Glenie's drey legte Aufgaben (l.c. 5.21,
IV.V. VI.) gehören hierher ; in denfelben it e==1; 2; 3
Man erhält die Glenieſchen Dreyedke, meun man do 4
fest; es wird alddann
-W)s=y3;, W=tY3ı; WDeeyı
woraus ſich die‘ Dreyecke verzeichnen laſſen (vergl. 15)
39. Weil man zu dieſen Dreyecken dieſelben Stuͤcke,
wie oben (16) hat: fo laſſen ſich auch die vorigen Con⸗
ſtenktionen hier jnsgeſammt anwenden.
40. Zur Verzeichnung durch das Perpenbitel und die
Segmente der Baſis, die Glenie im gegenwaͤrtigen Falle
gebraucht hat, dienen die Formeln (18. 19); aus ihnen
findet man Ale (38):
V. VI
om. #vz. | agvar |. a4y&
4. d. c. $. 37) enthält Herrn Glenie's Ausdruͤcke,
für Nr. IV genau diefelben wie bier. Die Aufldfung der
folgenden zwey Aufgaben V. VI gründet er gang unndthig
auf die Auflöfung von Nr. IV, von melcher fie doc, im
geringfien nicht abhängen. Man rebucire fein FG;FL
uns GH; HK ebenfalls auf BC == a, fo kommen meine
Ausdruͤcke heraus.
V,GF=GEyS$S!=BC.2/$3.:
FL=EDYS3= = 50.4 —— I
98.
AKZEnrA— BC. 82, 9=Beiyg
42. Die in (21) angegebene, aud) bier brauchbare Con
firuftion durch GEF == AD und GH erfordert, daß man
nach (28) vun GH beredhne.
Ä V VI.
GH=akfıy =masy5ı =aly/383
43. Endlich giebt (32.33) die zur rationalen Ber
zeichnung erforderlichen Größen IH; RF; RG her, bie in
ihren Fleinften ganzen Zahlen in der Zafel (3) fliehen.
= u ng
Zufag zu Heren Prof. Hindenburgs Abhandlung
über Die wein Perioden; v. Hrn. M. Jacob
Wilhelm Becker.
(Beipziger Mobazin der Mathematik. ztes St. 1786.) er
Dı 6te $. (S. 293) gedachter vortrefflichen Abhanb⸗ "
lung enthält mehrere ſehr einfache Regeln, zu einer ges
gebenen Complerion in einer gleichfalls gegebenen
cpElifchen Deriode die Oednungssab! zu finden,
wofern die, Zahlen &, ß, y, 8... relative Primzabs -
len find. Im oten 5. (8.306 ff.) wird hierauf der Fall |
unterſucht, wenn die Zahlen &, B, y, d... nicht ing
- gefamt Primzahlen unter fih find. Hierbey untere
ſcheidet der HercWerfaſſer vier Befondere Fälle, von wel⸗
wr
chen er die drey erſten auf jene Regeln ($. 6.) zuruͤckkuͤhrt,
aber bey dem fehr gewöhnlichen vierten -ein eigenes weit«
läuftigeres- Berfahren vorfchreibt, nach welchem mak
arithmetifche Reihen mit einander vergleichen muß. :€8
"wäre recht Schade, wenn die ſchoͤnen Regeln ($. 6.) nicht
ganz allgemein waͤren und jenen Fall nieht aud) umfaß⸗
“ten; indeß läßt er fd demſelben auch unterorbnen, mau
ändern:
darf nur No. IV. im ar 6. (S. 308) etwa ſo um⸗
IV. a) ueberhaupt, wenn die Zahlen «, P, y, d..
keine Primzahlen unter ſich ſind: ſo kann es doch durch
Divifionen mit gemeinfchaftlichen Saftoren jederzeit dahin .
‚gebracht werden, daß man relative Primzahlen erhält,
. deren Probuft den Dividuus minimus giebt. Die fo
abgekuͤrzten Zahlen nehme man flatt der gegebenen Reihen⸗
oder Cykelzahlen an, und ſuche fuͤr ihren Cykel die Ord⸗
Achtes Heſt. Hh | nungs⸗
[
u 7
- . n ..
28 = [4 - . „.* . t ‘
\ .
7
482 v. Bein) Zufag zu oindawathe abhenhie
nungszabl der gegebenen Cemplexion nad 8. 6 Jr: de
. man aber, wenn fie gefunden it Gach 4. EA pedfen
nf.
“b). Im ı0ten $; wird das Serhiel gegiben
'G2) (15) (a0) (2) (36):
.5 14 9 17 3.
- per Dividuas minimus iſt 5,8..9 (==360) In feine drey ;
relative Primzahlen gerlegt, toelche als Faltoren in den
gegebenen Zahlen 20; 24; 35 enthalten find. Man
uhne daber ſtatt bes gegebenen Cykels den neuen an! _
(5) (8) (9) - ‚oder abgekärge (9. (8) (9)
29:17 5 ULnach 5. 4. III.. 4 5
für de Senden. übrigen Zahlen (12) (1 5) To man 7; 1
ſetzen, doi. man laͤßt ſie einſtweilen gan; weg. Ze
—0) Zu dieſes CEykels Complexion 4 I, 5 9
| man die Ordnungszahl nad ($. 6.). Es laffen nehmlich
(daſ. V. VI)
3:9 den Reſt 2; 2 den Ref 5; Et den Reſt 4
5
daher wird die Ordnungszahl
5. A 4 8 8BT1 5 904
2
9 9 * 2 Fu,
Ä 4
(fürAm=o; B=C=3)=2.3.9+5. 5.9 8.5.8
= = 699; und die kleinſte 689 - 360* — 329 9.
h Beweis. Von ben beyden Cykeln aus din
Reihenzahlen |
(20) (24) (36); (0) und (5) (8) (9); (D)-
hat jede Periode des einen fo viele, insgeſammt verſchie⸗
dene, Gomplerionen als die. des andern. Dabey erhält
Ä man aus jeder Eomplerion a, dt 2 von D die gleich⸗
ZT aͤhlige
hr Am; C= 7 aber B=—ı kaͤme fi ei) a. 2.9
ana 2 9 ns 0 [9% einge Dir
nungösahl. =, _ N
. / —X
a Über. die chkliſchen Perioden. 5 483
zaͤhlige Eompferlon in OD), werin nian- bon eder 28 Kr 2 N
b, © der erften, die zugehörige des abgefürzten Cykels
aus 5, 8, 9 fo oft- ale möglich abziehe, und bloß den
Reſt beybehaͤlt. Dieß folgt aus der Eonſtruktion beydeÿy
Cykeln deutlich genug. Man halte nüt-ihre beyden erſten
Kolumnen fuͤr 20 und 5 gegen einander; ich ſchreibe ſie
horizontal unter einander: Ä
12345678... 15 16 17 18.19 20° 2:
. 32.3 4 5 I 2 3... .. 5 I 2 3. 4 5 I2,.,.
In der erſten Kolumne zählt man⸗bis 20 fort; in der an⸗
der nur bis 5, von den Zahlen über 5 behält man’ bloß
die Reſte. Und weil 20 ein Multiplum von 5 ift, fo
fallen beyder Gränzen, 20 und 5, zufammen, und. beyde
Eolumnen fangen zugleich wieder mit an. Der dllgemeine
Ausdruck für die Ordnungszahl eines Gliedes aus deu
Reihe für 20, iſt 20 A-+a, der mit 20 bivibirt den Reſt
a läßt; man bividire ihn mit 5, fo bleibe fein anderer
Reſt ald den a giebt. — Was bisher im Beyfpiele von
20 und 5 gefagt iſt, gilt von jeden Paar Zahlen, deren |
eine ein Vielfaches der andern iſt.
Iſtalſo9; 17; 5 eine Complerion von (3), fo iſt
auch 4; 1; 5 die eben fo vielſte Complexion in DO), berem
Drönungsjaßl man nad) ($. 6.) findet.
e) Es giebt aber mehrere fcheinbare Complerionen
des Epfels (©), die insgeſammt die einzige Complexion
45 155 in (D) beflimmen. . Statt 4 könnte man dig. vier
Werthen, 93, 143 19 ſetzen; ſtatt ı die Zahlen 1; 95-
17; flatt 5 die Zahlen 5; 14) 235 32 *). Das A
h 2 zu⸗
5) Dieſe verſchiedenen Werthe fuͤr die Complerion 4,.1, 5 findet.
man, wenn man zu ihren Zahlen, oder den Kelten 45 15 s
‘ die zugehörigen Reihenzahlen (5) (8) (9) jo oft und fo lange
—5 — als ſolche die groͤßern Reihenzahlen (20) (24) (36) nicht
uͤberſteigen; oder, wenn man su ben beyden Calumnen für 20
und 5 {in d) noch zwo andere, für 24 und 8, für 36 und'y _
—5 — f ur ihre sufammengepörigen Zahlen mit einander ver⸗
€
;
”._
= ‚ v. —* Zuſatz zu Hinbensuiige Aopantı
afummn 4. 4 48 Complexlonen in )., 2"
weichen allen die einzige 43 1; 5 in (M folgte. Alle,
aur eine vom ihnen kann im Enkel (O) vorkommen, bie
übrigen 47 find falſch. Damit ſtimmt überein, da
Produkt 20. 24. 36 (die Anzahl aller Complexionen,
wenn 205 24;. 36 relative Primzahlen waͤren) 48
fo groß if, ald 5.8. 9 ’ (bie Anzahl ber ' wirklichen ar
plexionen).
Deshalb muß man mit ber z sefadenen Biömake
hl erft die Probe ($. 5.) anſtellen.
Br f) Diefe Probe muß nit bloß mit 203. 243
J vorgenommen werden, ſondern auch mit den übrigen Zab⸗
len 12 und 15, bie bisher aus der Rechnung gang weg⸗
ficken. Sie muͤſſen für ſich zur. Rechnung paffen, aber die
Aufgabe if unmöglich.
g) Statt nach ($. 5.) die Probe durch die Divifion
anzuftellen, vergleicht man von ben Zahlen &; B; yʒ d...
jede niedere nicht relative Primzahl mit der ober den *
hern, die ihre gemeinſchaftlichen Faktoren erſchoͤpfen, uͤnd
unterſucht bey jedem ſolchen Paare, ob der Unterfchieb
ihrer zugehoͤrigen Reſte denſelben Theiler habe, wie die
beyden Zahlen ſelbſt; denn hierauf beruht die Moͤglichkeit
der Aufloͤſung. 3. B.
18 wird mit 24 verglichen, worin « aufgeht; det
Unferfchied ihrer Reſte 17—5 iſt aug durch |
12 tbeilbar,,
‚X 32=3.5 muß’megen bes Theilers 3 mit 24; wegen
des Faktors 5 mit 20 verglichen werden.
20==4.5 Wegen 4 mit 2455 ift fein. Tpeiler en
| folgenden Zahl,
24 mit 36; bepde ſind mit 12 heilen, fo aud) 17-5-
— Dieſe |
über die cpklifchen Perioden. ' 483
Diefe Probe fann man noch vor der Berechnung der
Hrönunggzahl vornehmen, damit man nicht etwas uames⸗
liches ſuche. | \ Ä
h) Eine Aufgabe dieſer Yet IR zugleich anbefing
und uͤberbeſtimmt. Bergl 5. 12.8.2. Anmerl. 3 un
bier f.
Anmerk. ‘Indem man diefen Fall auf $. 6. redu⸗
cirt, bekommt die bortige ſchoͤne Aufidfung Allgemeinheit
und Vollendung. Das Verfahren des Herrn Verfaffers
beruht auf abgefürzten Verſuchen, und führt bey unbe⸗
quemen Zahlen auf die Vergleichung weitlauftiger arith⸗
metiſcher Progreſſionen.
— — —— —
Anmerkung des gerauogebers
Herr M. Becker Hat bie Jehane uns des Falls, wenn
die Reihenzahlen a, P, y, d... nicht insgeſammt Prim⸗
zahlen unter ſich find (die Aufloͤſung der Aufgabe $. 9.)
auf die Vorfchriften, ‚wenn diefe Zahlen burchaug relafive
Primsaplen find (auf die Auflöfung ber Aufgabe $.,6.)
grändlich zuruͤckgefuͤhrt, und ſo den Umfang ihrer Regeln
erweitert. Daß die Vorſchriften der Aufloͤſung bey der
im vorhergehenden Aufſatze angegebenen Reduktion fuͤr
§. 9. nicht fo kurz find, noch auch ſeyn koͤnnen, als in dem
* —
Galle des Seen $. erhellet, theils aus ber Vorbereitung.
. and Prüfung (hier IV, a, b), welche Iegtere man wegen
der mehrern ſcheinbaren Complexionen des neu ange⸗
nommenen, ſtatt des gegebenen, Cykels ſowohl, (e) als
wegen der uͤbrigen, anfangs uͤbergegangenen Zahlen (HD)
vornehmen muß, theils aus der, noch vor ber Berechnung,
anzuftellenden Wergleichung der Zahlen, (g) um unmoͤg⸗
| 23, liche
-
\ , .
6 V. Berker, Zuſatz zu Hindenb, Abhandl. es
Ucche Faͤlle auszufchliegen. Es dürfte daher dis hier vor 4
geſchlagene Reduktion mit dee zuseboͤrigen Aufteſſuns wohl
uilcht viel kuͤrzer ausfallen, als die von mir gegebene, be⸗
. honders wenn man bey letzterer auf die bortigeßdemerfung -
‚ke: &. 309). Rücficht allnit. Wenn es Alle anf der
- Ösen Seite verdienftlich IE; den zweyten Fall (9. 9.) auf
den erfien ($. 6.) reduzirt zu haber, fo Hat auch auf ber
andern Seite meine zweyte Auflaͤſung Erg. IV) die eigene .
eHüngliche Enipfehlung für Ach, daß ſie in. ihren Gründen .
noch einfacher It, als bie erſte, und daß fie ganz. allge '
"mein auch auf ben erſten SAN (wo has Prodult aus allen
er tgren a, P, Y, d... voie fie gegeben find, den Divi
n
us’minimüs darſtellt) ſich erſitecktz nie ſchen 6. 10.
Aum. 1 ) erinnert worden if. nn
" Diefe Aufloͤſang alfo, mit den Übrigen ($. v. 8)
iufanmen, bewaͤhrt zugleich bie vorlängft von mir ges
-. machte Bemerkung bon bem Reichthume combinatorifcher
WVrerfahren und Kegeln bey Aufloͤſung analytifcher Aufga-
ben, und wie wichtig es fen, bey dergleichen Aufgaben
fi umgufehen, mit welchen Combinationsaufgaben fie zu⸗
ſammenhaͤngen oder übereinfommen, um auf biefens Wege |
hie molicht einfache und leichte Aufldfung aufzufinden. Ä
"Einige Bemerkungen, diefe Aufgaben, betreffend,
enthalten Heern M. Luͤdickens Meet und mein Fri |
, dem (Arch. ” VI. 206- J—
Be ... |
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VL “ j | )
Bercchnmung des Kreiſes; von Hrn. Buͤrmann,
oͤffentlichen Lehrer der Handlung
zu Mannheim.
Bih numeriſchen Reihen koͤmmt es vornehmlich auf die
leichte Umſetzung in Decimalen an, und die Guͤte einer
Formel iſt immer im umgekehrten Verhaͤltniſſe der Zeit
ihrer Berechnung. Folgende Rektification duͤrfte auf
dieſe Art den Vorzug vor convengentern erhalten. Herr
Profeſſor Kluͤgel war ihr aͤuſſerſt nahe, in ſeiner ſinnrei⸗
chen Abhandlung (Archiv der Mathem. Heft VII), welche
ich mit Vergnügen und Nutzen geleſen habe. Indeſſen
bat die Arbeit dieſes Gelehrten die meinige keineswegs
veranlaßt. Vor einigen Jahren ſchon habe ich meine
Formel dem Herrn Obrifiwachtmeifter Bega,: und etwas
ſpaͤter dem Herrn D. Kramp mitgetheilt.
: > Man erlaube mir elementariſch zu Werke zu gehen;
und nichts vorauszuſetzen als den trigonometriſchen Sag :
| —— m-+tangn
tang (mt) — — —.
—tang m tang n-
$. r. Beil Akang x mit x Null verfehröinde, und
für die negative Tangente nur bag Zeichen ändert, fo Tanke
deffen Eutwicklung nad) Potenzen von x, bloß:
x 1 3-4 Isl x5 + Ir! x7. + etc ſeyn, wo oR
Coefficienten 31. 11 etc zu deſtinimen find. BE
Attang (x Pa) iſt demnach J
"axial (+25 (K+a)$+ ete.
— bl 3115 + etc.
—- G+3 bl x? +. +5 Isl Is! + ete) ah
bie hoͤhern Potenzen von a. 7—
= — 4 4 | E
J
Ir
. y'
i .
ne
..
Pr VL. Shan, Berehung db Sec,
gietaus folge fürAtang (<a) Abang x
‚= Arctang. tang [Ang (+2). 7 Atanp- x].
0 Do ee nn
"(a +3 BI + 5 E xt ete) a+a? (etc)
a,
— a etc —
.ıhx Fax + [ ). ur
Beyderſeits wit a Blbibirt,. erhalten Bir
| \ | X-43 Isl +5 Is] 24 + etc + a(ete).
12 [et
= u +2? [etc],_
eine Gieichuns, welche für jeden Werth von a beſteht;
alſo auch für ao. . Diefe Annahme giebt
13 1|x? +5 Is] xt +72. 4 eis
1 J— 4J U——
— * Torte + etc.
14x2
Aus der nothwendigen Identitaͤt beyder Reihen,
entſpringen die Bedingniſſe 3] — 1,5 [s| = +1,
Tl = —ı, 9Wl ete u sole haben dem:
3 $
nach Atang x =x— + il = -+- etc. mit der
3
Gewißheit, daß bie Diviforen die dolge ber ungeraden
= Zahlen ausmachen.
.. 2. Fürxmı, bie einzige rationale Zangen
eines „bekannten Bogens läuft bie Reihe ſehr traͤge ab.
8 fey barum Atang ı + Atang p==4 Atang }
- Man fchreite gu den Zangenten über und es koͤmmt |
I pP 4 rf — 130.
I, 1% — — t8 alſo p =: “
Atang 1* = 4 Atans 5 3— > Atang Er
= s_ 1 _r[fi4
78 33 — (17 . 57121 +
win
\
VL Burmann, Bereipnung des Kreiſes. 480
8.44 5 "
+3 (2 239. m) | rs
DL
10000000 , 323). m
eine Reihe, deren DVierfaches das Verhältnis des aane
zu ſeinem Durchmeſſer iſt.
5. 3. Ueberſchlag der Zeit, um vaonys Reti
fication zu prüfen.
Ich nehme einen guten Rechner an, welcher Aber
jedes Verfahren, bie kurzen Proben durch 9 und 11 anzu—
ſtellen weiß. |
| 8.4 be 1
(2n+ rot und (2n+ ang eyde * . 1017
gefetst, geben in ganzen Zahlen go Glieder von ber erfen
und 26 von der zweyten Form.
90 fleigende Multiplicationen durch 4, deren
böchfte 55 Ziffern fat >» Stunden 10
. 26 Divifionen durch 57121. Kür die erfte
von etwa goo Ziffern feße Ich 15 Stunde :
an, und für alle, da fie immer "in arithe
metifcher Progreffion abnehmen 20
26 abnehmende Subtraltionen bir größte Be
zu einer J ⸗ ⸗ "7
90 abnehmende Divifionen durch bie ungera» J
den Zahlen von 3 bis 181, eine in bie
“andere zu 20 Minen . 4 08: 90
endlich eine Multiplication durch 4 ⸗ 6
Wer Uebung und Vorficht bat, bekoͤmmt
auf meine Art nur Eleine Fehler zu verbeſſern,
für welche ich fchon zugegeben habe. Jedoch
..
.oir
zum Ucberfluffe eände ich noch Bie-gahl mie 9 7
: — — — —
FE &tunden 90
\ , v. . IE EEE 55 BR et
Ein u
Lö - ”
’., * 1 ⁊
4090 Dh, Bereämung See
Ein cechnet der nichts Seffees en thuu hat, fan |
demnach in 8 fertigewerben. - ‚Während dem gIwoͤlf⸗
tagigen Bombardement :unfrer. Stadt, wait natuͤrlich
ohne Bibliothek und Geſchaͤfte war, hatte ich zum Zeit⸗
vertreibe die Ansrechnung in 163 Dectmalen. ondefengn -
und bereits weit gebracht. Aber in Der Unsroͤnnug jener
_ Brruelfcene verlor ich elumal einen heil der Papiere a
mit / ihnen die Luft wieder anzufangen, . Meine Abſicht wer
bie Kreisberechnung in einem Baͤndchen von etwa hundert
Seiten voliſtaͤndig abbrucken zu laffen, mit allen. Ref, 1
Vgmit jeder Liebhaber mein Verhälmig” aeg und.
‘ wach Belieben fortfegen eöune |
s. 4. Da ib. in keinem der nie Gehanafın dr
Säge eine fofiematifche Anleitung zu großen Berechunn⸗
gen weiß, fo win ich einige ber. Wortheile detſchreiben,
ouf bie mich etwas Nachdenken und dick Uebung gebracht
haben. Sehr zu wuͤnſchen wäre. es, daß unfere großen
praktiſchen Mathematiker äpnliche Beytraͤge Tieferten:
Anfänger und Nichtaufänger würben babey’ gewinnen. »
Wer viel rechnen muß, hat freplich feine Werfürgungen;
ale hingegen find nicht gleich gut, und ich kenne berühmte
Analyſten, welche mittelmäßige Rechner find.
- 2) Meine Ziffern mache ich alle ‚gleich groß, ſenkrecht
und fehr beutlih. Damit die Kolummen fich nicht ger
wechfeln, fchreibe,ich die Ziffern dicht unter einander und
entferne fie etwas von der Rechten zur Zinten.:
b) Bons 0-5 Ziffern ziehe ich eependieularen, wel⸗
che ich abwechſelnd verdoppele und u erſchreibe. a
ce) Große Berechnungen mache ih laut, doc) ſpreche
ich ſo wenig als möglich aus. Im Abdiren Page: Ich nit
auch nicht einmal im Siume, 9 und 4 if 13), 13 und 8 iſ
21; ſondern bloß 13, 2%. : In 77845 ſpreche ich:56, 61
aus, und wenn ich bereite .«in paar Sfumben. gerechnet
— Stelle 61. Seitdem ich nich beym Subtra
iren des bleibt foviel entwoͤhnet habe, verwechſele ich
dag Behaltene aͤußerſt fetten. ueberhaupt ermũdet das
viele
m.
n
.
VI. Buͤrmann, Berechnung des Kreiſes. 498 | |
viele, laute: oder nichtlaute, Ausſorechen den Geiſt und
macht ihn Irre: Das gute Nechnen haͤngt mit dem ge«
— ** Rechnen genau'zuſammen. Man kann eg durch
eine ziechmäßige Uebung bafin. bringen, fo geſchwind zu |
‚rechnen ald man Ziffern ſchreibt.
4) Wenn die Beſtandtheile einer aeimetiihen Regel
nicht ſehr viel Ziffern haben, fo ‚halte ich: für fie und fuͤr
das Facit keine beftimmte Stelle. Beym Divibiren ziehe
ich dann dag Produkt ab, indem ich e8 mache. Das Ein»
maleins und die Mehrfachen von 11, 12, 15 und 25 geben
mir, da ich immer mit der nächflen Zahl frage, in jedem,
Falle fchnell den Duotienten. Die folgende Ziffer fee ich)
auch in großen Diviftonen nicht herab. Das fehräge Abs
zieben vermeidet bier viele Sehler: es iſt nicht ſchwer, und
jeder meiner Schüler iſt den dritten Tag daran gewöhnt.
Kaum und Zeit, wird damit gewonnen. O Bus Bpuxis, #_
de sbxın wanpı). Divifiie tionen wie folgende erfodern, fammt
der Probe durch 9, 33, hoͤchſtens 2 Minuten .
Divik ,19876.496907 Quot. Neunerprobe —
Divid. 98765 43210.
19261 07378 | . nn
71373486 U BEE
| 180 9 | |
EN u 7.27
— Ncherſchuß
y) zFuͤr weitlaͤuftige Multiplicationen und Disifiheit
mache ich auf.einem befondern Papiere durc Addition eine
Tabelle, welche ich durch multiplicicen berichfige. Im
Großen ſtelle ich den Quotienten, Ziffer für Ziffer, über den
Dividend; bey jedem Abjuge mache ich Die Neunprobe,
und bey jeder Abtheilung von To. Ziffern prüfe ich den
| Duorient dur) 9 und 11. eil das Abſchreiben großer
ER eine ergiebige Fehlerquelle if, fo vermelde ich es gan,
ch daß ich jebes Facit gleich auf die Stelle rehnm:
6 ich es brauche. Durch dag Bienen eines-Dlattes und -
das Unterlegen eined andern it dieß immer leicht. Meine |
gleichfernen uͤberſchriebenen Perpendicularen geſtatten kein
Verſchieben der Stellen. Das Umſtaͤndlichere mag bey⸗
gehendes Beyſpiel lehren.
| | 2 Xobelle
oe
| 493 VI. Bürmann, Berechnung des Kreiſes.
Tabelle
‚dee
Mehrfachen des Divifors
| syı2ıfl ı]]z
114242
171363
228434
285605
342726
399847
456968
514089
veonjlaua|jwv
vonjloaua|w no
0 — —
Dieſe Tabelle macht
ſich am beſten ſchraͤge,
wenn der Diviſor fehr]
groß iſt; man⸗diegt dann
das Papier, damit der
Subtrahend Ziffer fuͤr
Ziffer uͤber den Minuend
komme, und man zieht
von oben herunter ab.
— —
Der Dividend if die — — —
ſehr einfache Periode von
335, und der Quotient
iſt alſo =
I
— —
239. 57124
Quotient
EDEN
NReunrelte - |
Divid. 418
18
I
— Reunrefte_ Reunrefte
_ Quotient
" Dividend-
056
10
732 || 49775
820416
"18410
79745
84238
06691
00474
I 443 1 231121
93176
76716
18410
25344
63819
54188
52614
I0104
Quotient
Neunreſte
Dividend
1
Quotient
Neunreſte
Dividend
84532
13534.
04184
20652
49013
76803
3 |
E
130
“Er
53317
10041
30473
37903
59000
52094
023204.
O
ww
m
2
on
u
36125
78543
04184
78069
46657
33042
98355
63516
10041
54405
44405
57634
10041
06943
13977
84100
02975
67262
03974 | 34694
06230
41123
86307
84100
71895
| GO eu
5
46244
23304
63666
— —
00418
94069
66972
19882
55181
40115
28391
34350
—F —
19315 214861
60736
158608
41841
10465
92734
42072
70436
31340 ||
N mn ⏑Â — mm
41004
61795
64402
23432
59168
35543 | 23500
vo
mL (een
pm nd
49 150 .
16459 | 80319 || 68985
— ö mente ——— [| — — J — ———
10063
|
50423
46807
. 320 « 40
14108 | 82235 || 67690 | 37378
— — j ——— —
1383320
— —
30078
41841 | 00418
27689
88613
8—165
32354
61316
21214
24244
Ä 80
52581 | 36969
23241
75886
00418 | 41004
58937 | 15145
07211 ı 86852
48183 | 78782
| 23835 44485
23535 | 30422
N 45255 52781
41004 | 18410
06859 | 66739
91748 | 21004 || S
75186 | 42987
10546 | 74450
31440 | 13000
18410
50535
91826
81270]
16326
33231
41004
84251 | 73140 || 96643
87324
30219
13803
51143.
60844
704352
18410
58676
51789
66284
— —— .
Vi. Burmann, Berechnung des Kreiſes. 493
LO
20%
-
| 494 VI. Bürmann, Berechnung des Kreiſes.
Wegen meines von Jugend auf bloͤden Gefichtes,
Hat mir das Abſchreiben dieſer Diviſion mehr Zeit als ihre
Berechnung gekoſtet. Sch hatte fie noch übrig, und habe
fie, um gang ficher gu feyn, wiederholt, wozu ich etwas
über 1 4 Stunde gebraucht habe, nachdem, her Dividend
fland. Die Uebereinftimmung großer Berechnungen, je
verfchiedenen Zeiten oder von verfchiedenen Rechnern gr
macht, ift ein guter Beweis ber Richtigkeit: eim beſſeret
iſt dad Endrefuldat auf einem andern Wege zu finden.
Dergleichen Arbeiten find nicht In jedem Betrachte
nugae difhciless dem jungen Mathematiker find fie ſehr
anzurathens er erlangt daburch jene. Fertigkeit und XAuf-
merffamfeit, ohne welche man in feiner Wiffenfchaft did
leiſtet. | | En | |
. Sollte bie combinatorifche Analyſis nicht ein Geſetz
auffinden Finnen, um die Ziffern der Ordnung nad) hin
zu fchreiben ? *) 0 Ä |
*%) Die Anforderung, bie der Here Verfaſſer der obigen, für Mi
Praxis bey großen und meltlduftigen Berechnungen fehr nis
lihen Bemerkungen ‚. an dir combinatorifche Analyfis bier
“macht, dürfte wohl manchem Leſer etwas zu gemagt fiheinen.
Das iſt fie gleichwohl nicht; denn dic Combtnationslehre kann
wirklich ein Verfahren nachweiſen, durch welches man die ZU
fern der Duotienten ganz mechanifch, nicht nur nach der Ord⸗
nung, jondern auch auffer Der Drdnung, von feber beliedigen
Siffer aus der Mitte anfangent, und zwar, nach Willkuͤhr, vor
oder rückwärts, fo weit man will, finden und binfchreiben fat.
Ich babe zwar das Verfahren dafür im Wefentlichen fchon ar
derwarts Öffentlich befannt gemacht ; e3 ſcheint aber doch, d5
eine fpecielere Nacbweijung und Anrsendung auf vorkonmende
Faͤlle erft noch hinzukommen muͤſſe, um eine fo nügliche Erfir
dung tn Gang zu bringen. ‚Davon alfo in einem der folgen
den Hefte ausführlich.
Bon mechaniſchen und andern (aus finärlicdher, combins
torifcher größtentheils involutifcher Anordnung der Zahlen
and Ziffern abgeleiteten) Rechnungsvortheilen, meine Beichrel
bung einer ganz neuen Are — Zahlen — bequem und ſichet
zu fiıden — ber ausführliche Titel diefee Scheift und dert
Inhaltsanzeige ſteht Archiv 9. II. ©. 243 f. .
VII.
| Verſuch einer vereinfachten Analyſis; ein Aus⸗
ws eines Auszuges von Herrn Bürmann.
vorerinnerung⸗ des Zerauehebero.
Herr Buͤrmann hat mir von ſeinem unten angefuͤhrten
Effai ddCalcul fonctionnaire.aux Conftantes ad -Iibi- ".
tum einen Auszug fürs Archiv mitgetheilt, ber aber file
dag gegenmärtige Heft zu fpät eingieng. Sch gebe alfo
hier nur einen Auszug aus jenem Auszuge, und werde
bie ausfuͤhrlichere Ueberſicht des vortrefflich gearbeiteten
Ganzen in meiner zweyten Sammlung combinato⸗
riſch⸗ analytiſcher Abhandlungen, an welcher bereits
gedruckt wird, aufführen. Sie verdient um fo. mehr
darinn einen Platz, da Herr Buͤrmann vornehmlich dahin -
"arbeitet, die combinatorifche Analyfis (über die er ſehr
vortheilhaft fich aͤuſſert) mie der Funktionen⸗ Analyſis in
die engſte Verbindung zu feßen, und beyde mit einander.
. zu verfchmiftern. Die Erfahrung. nehmlich hat Herrn
Buͤrmann gelehrt, daß die Funktionen⸗Analyſis, die mei⸗
ſterhaft fagt was zu thun ift, im verwickelten Faͤllen nur
ſelten die Ausführung, Übergjmmt, fondern folche der com⸗
binatorifchen überläßez wodurch alfo ein großer Theil der -
ganz alldemeinen Formeln erft wirkliche Brauchbarkeit er⸗
Hält, und folche fonach aufhoͤren bloße Spiele bes Witzes und
Scharfſinns ihrer Erfinder zu ſeyn. Diefee Weg, wenn
er einmal geebnet ift, führt fehe weit. — Ce n'eſt qu’en
generalifant les combinaifons et en Gimplifiant leurs fym-
boles que l’ame diftingue les parties d’un Tout immenfe,
C'eft en foulageant ainfi la memoire, que l’imagination
“ difpofe de toutes fes forces, que l’homme concentre,
pour ainfi dire, P Univors au foyer de fon efprit, Eſſai de
Calc. foner. Secr. I.
_ ‘ Hindenburg. ur
— u Erſter
—
—
496 ‚VIL Slrmann, Verſuch
Erſter Abſchnitt. Erſte Grundſatʒe det
Groͤnʒbeſtimmung. * * — ete vor odet
über einer Größe leſen ſich Funktion biefer Größe,
Gleiche Zeichen deuten einen gleichen Bau an.
In ungemeiner Kürze und elementarifcher Eoideny,
werben, in einer ‚andern Seeichnung, | bie Werthe von
a 2 — [ie DE
— —— Ge): su
hirousgebracht, und damit im,
Zweyten Abfchnitte, bie Reiben bon
'(1+x)% 4% ICr+ x), fin x; col’x erwieſen. 5
Dritter Abſchnitt. Analytiſche Haupt ⸗
formel; Y
“2, (el) , = Cem? sin?
Kr va tler
In dieſer identiſchen Gleichung find x, v, und der
Bau von F, willluͤhrlich. Man hat zum Haupte
Eoefficienten der Neibe
neh a ein ER:
7 — :dy
wo A ber conſtante Be von v iſt.
Jeder Coefficient iſt auch das 5 Differential des vorher,
gehenden, durch djv dividirt. Taylors beruͤhmte der⸗
mel wird als Einjelfall abgeleitet.
Allgemeine Entwickelungs · Aufgabe. Ein
Funktion nach den Potenzen einer gleichartigen Funktion
orduen:
Man ſetze = 0, ſo lſt
e_2,2eh\ eR 2
——
ete.
u . einer prince Analyſ. 8. er “
Dieſe Reihe vertraͤgt fo viele Gefſtalten, als ei durch -
die verſchiedenen Wurzeln von 7c2x 0, Werthe erhalten
kann.
Beyfpiel. x xa* in Reihe nach x verwandeln.
v’=o sicht vo und damit iv = 3 |
| de: Grlatı) hr I) — (da—Ic) da alej"> und
y
xatzexct (la- Ic) er, +(la-- 1) (la-- 17
| —⸗ ale) (ta 4167 222 — ete.
Allgemeine inbebrungeriufigabe Yus dem
befannten Werthe einer Funktien, jede gleichartige Gänf- .
tion befiimmen.
x=o enthalte ef Werth; damit iſt
— — „zZ iv vV’.
keh-b + IV 3 ee
&e weniger ſich dag ganz wiffführlihe v von x entfernt⸗
deſto ſchneller lauft die Reihe ad: ſie kann demnach ar
Werthe von ix erhalten und ausdruͤcken. j
Beyſpiel. Durch x 100x + 200320 we
man xt aud. Wir haben,’
[7 = 44" [v’ (vi Hla1oo) vH A larood)"]: dr,
Fuͤr a o 5, gebtn vier Eoeffitienten |
==99919991, 99359440. .
Beni k=u Fi in Reihe nach U finden.
Beyſpiel. XfecX 2/3 in Reihe von U darſtellen,
durch fin Xco X == U,
Schwerere Aufgabe, Beweis der ſchoͤnen Lagran⸗
giſchen Reverſionsformel, Einzgelfaß der meinigen. Ver⸗
fchiedehe nügliche und unnäge Allgemsingeiten. |
aAchtes Heſt. de. Diem
A.
x
498 VIL Buͤrmann, Verſuch
Vierter Abſchnitt. Verwandlung der
Aauptformel in Iwegeal, » Reibe.
rk
fe; za hr MAR
„Fl MAR
AR ——
(kA
* * RE = BE +ete
HR Hr He"
Mas =)
x ——
Fee
iſt der Rn
8,8,% ete find die s Conftanten, welche den Bebing«
niffen des Integraleg entfprechen muͤſſen. Da in dir
Reihe Tv und Ax conftant find, fo find ihre Sategralın
3° (ix — iv)" Ajx von der befannten Form zu 2
vund ber Bau von [find wilführlicht man ber
meldet damit immer die ungereimten ——— und giebt
der Reihe eine beliebige Eonvergen.
Vertauſcht man Z und A gegen [und 4 fo koͤmm
S'R.ax er Bez Re
FIIR HI HE
Der Haupt · Mau iſt
J
.. \ -— einer vereinfachten Analyſi 8. u 499
und hiemit iſt die Benennung analytifche Saupıformel,
festem, wie ich hoffe, gerechtfertigt. Diele Formel macht. .
en Haupsgegenfland meines Eflai de Calcul fonctionnaire
aus, welchen der verehrungswuͤrdige Lalande verfloffencs
Fruͤhjahr dem Franzoͤſiſchen National⸗Inſtitute guͤtigſt
uͤberreichte.
Es iſt zu verwundern, da! eine fo natürliche und leichte
Methode nicht laͤngſt gefunden worden iſt: aber das Leichte
ift ed nur, wenn man es kennt. Seit zwanzig Jahren war
ich bundertmal auf meiner Entdeckung, und nahn fie im⸗
mer nicht wahr: fo mag es andern auch geaangen fenn.
Durch obige Formeln werden brey große Aufgaben
der Analpfis allgemein aufgelöft:
1) Eine Funktion nach Potenzen einer andern sunt⸗ ar
tion entwickeln.
\ 2) Aus dem Werthe einer Funktion, den Werth jeder
gleichartigen Funktion Cogerion ilogene, ou de la meme ,
14
variable) in beliebiger Coffdergenz ſchlieſſen.
3) Bür ein Integral, von welcher Ordnung e8 fen, ende
licher oder verſchwindender Differenzen, eineni Immer brauch⸗
baren Ausdruck angeben.
Die Methode wird weiter ausgedehnt, und auf die
J widerſpenſtigen Partial⸗Differenzen Da werben.
vi
Auszüge aus Briefen, verfchiedene Nadricten |
und Anzeigen,
⸗
N
| I. Aus einem Briefe: von Herrn D. Kramp
an den Herausgeber.
Homburg, den 23. Rdn, 1798. |
och etmad „über die Horizontalrefraktion. Die Aufferfi eins
fache Formel — = (Archiv. H. VII, ©. 382, 2) ift eigentlich, nur
das erfte Blied der Reihe, bie fie ausbedt. Die Reihe iſt ſehr
convergent, und aus dieſem Grunde hatte ich "anfangs auf bie fols
| Sie id nen A nn Rh wohl anf enter klauen.
en Pönnen. Dies veran aloe eine gem genauere 19 dee
Pa .
bei.
0
*
. —*
LE Fr ⸗
ui. ° j
500 vll. Auszlige ans Briefen, ’
, vornehmlich in Asfiht auf Be jeichen ihrer Glieder. .
te zweyte Glied bejebt, fo würde das eit —
bie 37 Minuren 9 — und ſo die —
I& babe mich aber —
und es Ar vollen Gewisheit a daß die Glieder *
——— bejaht und — find, L. das zweyte SL vers
PR Fi Horis — if, in Shelfen — ————— nk
drüdt, ganz gelau, * -Bealaflung tegend einer, hoch fo unbedew
ME
tenben Größe, gleich * 7 En, multiplieiet mit * ——
er r — —
+7 r — —— ass
Wenden Sie dies auf den Fall an, wo das Barometer auf 28
‚Bol, das Reaumueliche Shermoter auf + —— ſteht; da dann
we, = — der Subtangente
Ian ber, Looiſtlea, durch den "Halbe der, Erde dividiet, fo
imdet ih die Horipontalrefraftiun 32° 34”. Salande beffinimt fie für
Hefe Teinperatur, aus Beobachtung, auf 324 30%, ine arößere
Uebereinſtimmung zwiſchen Theorie und Erfahrung hat wohl. die ge⸗
fawte Aftronomie nicht aufſumeiſen.
Es lebe das Mariottiſche Geſetz, die Sacultärens Rechnung,
und die combinarorifche Analyfis!!! denn dies alles’ babe ich ge⸗
Brau-bt, um mein ſeht ſchweres Problem aufzuldſen, das one diefe
Huͤlfsmittel unaufgeldft geblieben ſeyn würde,
2. Zweytes Schreiben, von eben dem Verfaſſer.
Homburg, den 29. April, 1798
% babe e apnen Bereit in einigen vorhergegangenen Schreiben
(Arch. 9. VII. ©. 380-384. und bier ©. 499.) von meinen Fort
föritten in dir Sehre der aftronomifhen Eiräenbre gung Nacridt
geneben. Die Freude Über meine algemeine Sormel der KHorisontuls
Refraftion werden Sie um fo ufel vergeihlicher finden, da Diefelbt
dad Refuftat einer mebridbrigen Unterfuhung war, da ich die größten
analytifcben Sch.vierterigfeiten zu überwinden botte, und da bie dub
Terfte Kürze und Einfachheit der Jotmel fomopl, als ihr genaues Zus
fommentreffen mit dem mas bie Beobachtung lehrt, weit über melne
Exrwartung binausateng. Aufferdem ſchien mis meine Theosie der
afronomijchen Strabfenbrechung auch für den Meteorologen und Pho⸗
filter wichtig; für den erflern , weil fie uns über gemiffe noch ftreitige
Bunfte der Wiſſenſchaft, Die bey allen Bergreifen, bey allen Höhen
meffungen, unentishteden geblieben waren, Gewißheit — —
den leblern, weiß fie uns Durch Beobasptung Dinge lehrt, über
Pi
—
J
\
verfchiedene Nachrichten und Anzeigen. sor
fich entweder gar nicht, oder nue mit dufferffer Mühe, und Bey einem
ganz befondren Bofammenfuß günfiger umfdnde, Verſuche anftellen .
Iaffen. Ich habe alles diefes zum Gegenftande einer Reihe von Brie⸗
fen gemacht, die ich Ihnen zuzuſchicken, mie die Sreuhelt nehmen. :
werde, und die Ste mit eben der Nachſicht, wie meine andern Arbei⸗
gen, aufzunehmen Belichen. |
Der bey meiner Formel für die Horlzontal s Mefeaktion ald geges
ben vorausgefegten Größen, find, wie Ste willen, nicht mehr ald drey
an der Zahl. Namlich: ; _
a; Entfernung des Beobachters vom Mittelpunft der Erde.
Auf dee Dberfldche der Erbe iſt a der Halbmeſſer feld; und unter .
- dem Aequator haben wir demnach a = 3277123 Toiſen. .
g hs; Subtengente der Logiflica, wodurch die Abnahme der
Denſitaͤt in den verichtedenen Höhen der Atmosphäre ausges
druckt wird. In meiner Geſchichte der Aerofatit habe ich bemies
fen, «a8 dieſe Subtangente im ganzen, der (pecifiichen Zedetkraft dee '
etmosphärifchen Luft proportionaf bleibt, indem fie ſich beſtandig zur
Barometerböbe verhalten muß, wie die Dichte des Queckſilbers zur
Dichte der Luft. Aus der bekannten Beobachtung ded de Luc, daB
bey 16 3 Graden des Neaumuriſchen Thermometers, der Unterfchted -
der gemeinen Rogarithmen zwener Yarometerflände , den unterſcued
der Hoͤhen in Toiſen zu erkennen giebt, folgt unmittelbar, daß bey
derſelben Temperatur, die Subtangente 4343 Toiſen gleich feyn muͤſſe.
Kür jeden andern Grad des Thermometers faͤllt dieſe Subtangente
anders aus; und verhaͤltnißmaͤßig mit ide andert ſich auch die ſpezi⸗
fiſche Federkraft der gemeinen Luft. Es iſt auſſerſt unangenehm, daß
hier der verſchiedenen Angaben der Beobachter eben ſo viele, als der
Beobachter ſelbſt find. De Luc nimmt vom erwähnten Punkte an,
für jeden Grab des Thermometers 3475 folglich von Gefrierpunkte
aus, 5 an. Ich habe hier aus mehrern Beobachtungen ein Mit⸗
bel genommen; und fo gefunden, daß beym zehnten Grade des Reau⸗
mürtfchen Thermometers die Subtangente 4218 Toiſen betragen muß.
Auf diefe Angabe, h == 4218, iſt die Berechnung meince Refraktio⸗
nentafel für die Temperatur, 28 Zoll Barometer, und 10° Reaum.
Thermometer gegründet s und da diefe, vom Zenith‘ an bis zu 84°
fcdeinbarer Entfernung , au) nicht um eine. Gecunde von der Beob⸗
achtung ‚abweicht, fo folgt, daß die befagte Angabe für h fehr zuver⸗
laͤßig feyn muß.
1:1 mw; DVerbälmiß ber Sinuffe des Einfalls⸗ und Bre⸗
chungswinkels beym 9 aus der Duft in den leeren
Ranm. Da diefes Verhd fi der Einheit fehr nähert, fo iſt w
ein fehr kleiner, der Dichte WE Luft propsrtionaler Beuch ; der ſich
alfo verhalt, gerade wie die Mrometerhoͤhe, und umgekehrt wie die
foecififche Federkraft der Luft, oder die ihr proportionale Subtangenteh.
Am beften nimmt man diefen Bruch aus der Wefraktionentafet ſelbſt.
Da nach) allem, was Theorie und Beobachtung gelehrt bat, das Ver⸗
baltniß ber Ginuffe der fheindbaren und wahren Entfernung, vom
Zenith an bis übes fechzig Grade hinaus, vontonmen bekdndig it,
fo wird w ſchr genau dee Bruch feyn, der die. Tangente irgend einer
diefee ſcheinbaren Entfernungen un Nenner, und bie zugehörige
v we 3 .
efrak⸗
\
502 viull. Auszige aus Briefen,
Refraftion zum Zabler hat. > In ber Lalandifchen Refraktionentafel
ficht bey der ſcheindaren Höhe non 45°, die Refraktion 59’; und fo
wird demnach für bie befagte Semperatur, w — 0, =
Diefe drey Gedgen nunmehr , a, h, w, find die Ki
fandtbeile meiner Berechnung dee Korizontaleefraktionen. AWundern
Sie ſich nicht, daß diefes michtige Problem bis“ auf diefe Stunde
unaufaetöft geblieben. iR5_ und der ganze theoretifche Theil dirkr
‚gebre ungefäbe eben fo ausfleht, als etwa die Kenntnt6 des Wlanet
Taufes vor Repler ausaefeben haben mag.. Das Vroblem if ii
{
meiten eines der Ihwerfien, das bie Analufis bisher gekannt bat. |
Die große, beynahe undbermindlihe Schivieriafeit, lteat in der un
‚nebeuern Diveracnz ber bier vorfommenden Reiben. Meines Mir
fens it de la Place bis jeet der. einzige Geomerer, der diefe nank
— Klaſſe von Schwierigkeiten tief gefühlt, merklich erleichtern,
aber ben weitem nicht ganz gehoben hat. *luch geftehe ich aufrichtig,
der formaler, ei venfermens des — Eltves A de grandes pwi,fınce,
Ic ei
Re De la Place erreicht auf ungeheuer, mübjanen Umtegen,
= 0 bis t deren Berechnung er uns zu My: ‚ganz vergeflen,
und eigentlich nichts über fie geleiſtet hat, als daß er fie, und-dies
nur in gewiſſen befondern Fallen, auf andere tranfcendente Geösen
reduclert, deren Berechnung um nichts leichter it, find nichts andred
‚als ſehr einfache Sacultdten mit gebrochenen Exponenten. In meis
nem ndchit berausfommenden Werke über bie Refraftionen werden
‚Sie biefes, und noch weit mehreres andere, erörtert finde.
Auf Wegen alfo die für die Anatofis noch ganz neu find, babe
ich für die HorigontalsKefeaftion folgende fchr einfache und allges
meine Sormel gefunden: m Sie können leicht erachten, mit
melcher ungeduld ich nach biefer Formel meine Berechnung anftellte,
Innerhalb einer Minute follte es entibieden feyn, ob meine ganze
Arbeit anwendbar oder vergeblich war. Entipracb meine Berechnung
dem, was die Beobachtung lehrt, fo hatte ich nirklich eine Entdeckung
gemacht, die in mebe als einer Ruͤckſicht für die Wilfenfchaft neu und
nichtig wars; fiel die Berechnung anders aus, fo mar auch mein
Arbeit für Aftronomte und Kenntnif der Atmosphäre verloren; und
Eonnte höchftens noch für den Analoften von einigem Wertbe fen.
Mehrere Gründe Lehen mich das letztere befdechten. Won jeher rubte '
auf,ben Gteahlendsrechungen für die erſten acht bis zehn Grade
fpeinbater Höhe, das allgemeine jetheil, dab fe ſich Durban
Reiner Berechnung unterwerfen ließen, dab bier die Theorie ihre
Grdnze finde, und dag bey ber Unmöglichkeit derjelben es für Are
‚nomen am beiten fey, fit aller Horizontal-Beobachtungen gar zu ents
balten. Aufferdem verfibert Lalande in feiner größern Yikeonomie
ausbeücklich, dak die Anwendung der Mhofit und Analyfis für die
Horizontal» Refraftion funfzig Serunden gebe: und führt dies al
einen Benyeid an, dab bie Theorie bier nichts vermöge- Es mar alle
an einen günftigen Erfolge meiner Berechnung wenig Waprjcheinlic
Feit vorhanden, Du
Pa N _
veföiam Nachrichten und Ankeigen, sog 7
9 pet eb ibefen gan ae 6. Die er genebene -» —\
‘Bi an. Und ich habe ale- —7 — die dab
men: genau zu halten, daß ich, übe Togar ke rn
tung einsdümen möchte. .
Die‘ Lalannifdye Tafel hat 92‘ 2477; fir mine own ben
Befiltat meiner Zormel um anen — E⸗it aber an alıe 1
8 gefagt, daß biefe Angabe FR) eine Beobadtung ih Ten
Ne gerade der Tempera) Bo Barom. und 10° Im, !
engehelt wäre. * Die Tatel I ng * Semel berechnet, bie veder
auf einer —— —8 Boch auf einem anatptifchen Ealcut -
tt, fondern afein das Mefültat einer Induktion ift, bie genife _
eingelne,, deehrente —5 — en, wie rien nicht einmal welhey N
für fi Haben fol: Gind gen Beobachtungen auf ber’ Löntglichen
Sternwarte nk t, fo — ne — auſſerſt verdächrtg fenn,
indem e6 ja befanı AR, daß Ach auf ibe von der Gtadticite ber
gar feine, und gegen —8 geld a ar Immer zuverläßige ——
tungen machen laffen.
unden gleich, 9 J
wobl —— in au warmen Klima, ae N Er Be im
# mein inige Corollarie
zes Tune u nee meiner Some inte oroflarien jlehen⸗ .
>21. 30 Inte big meiner gamen Verechnung die beyden von- \
Mariote und enton zuerf angenehenen Naturgeiege zum Grande - x
a Dr — X " ‚it die ER F Sun, .
rtional: verw 68 let — ver halt e anziel
dee Körper auf das Licht, bey Hehe it aleichen umfanden, wie: 28
und da ae auf diefen Borderfägen, gegrän!
Beeonug mit der Erfapeung sufammenteifit, o.erbeit cd deffeg Sn - -,
bi aus, al eein — (cher Berfuch und befehten Fünnte , Daß jene \
edben Gefege vollommen eichtla, und bie Zweifel, Die man verkhlen.‘. " -
bentlich gegen fe oufbeahte, —2 find, De I b
vr 2
N one
4 Mat Pi raten, £ *
Pi ; Vvim Auszüige'ans Briefen, ar
"Körpern bemerfte bereits Keuton, daß Ihre Drechende daft
Me, der Megel nach Tellte;
ne ae au diefe, bie — * ee Be
eten aus
ir einlihen Grü beimeifelt; von einer Seite: glaubte
Sie brenndnzen Weflandtbeile dee atmosphdtifihen Luft, ver
\ Peichtigkeit {ib in die dibern Regionen erheben; und dort Em
weit fi& ausdehnende Luftibicht von weit arößerer fpecifij
meffängen; ıwefentlibe und befdndige Uinteefchlede gefunden zu
and fchloß daraus, daß jene Regel nur als Ndherung braudbar ſch
Lambert gab ſich viele Mühe, diefe Unterihiede einer befondern Kegel
au unterwerfen, und-brachte eine Ergänpungeformeh heraus, beo roels
un — — * ps der Fonfica nicht bes
en, fondern mit der Höhe nm Horizonte zunehmie.
Es verhalte fih nun mit jenen theoretifchen Gründen, und Dielen
Höherimelfungen wie es wolle , fo erhellt nunmehr aus Der MRichtigs
Feit meiner $ormel über die Horfyontal:Refrattion, daß jenes
tifche Gefen mehr ald Naberung fen "und dab die geglaubten
ungen deffelben von der Erfahrung, auf Rechnung des Beobachtert,
and. nicht der Atmosphäre gefchrichen werden müffen.
2. Man ficht offenbar, daß die Refraktivnen bey ganz geringen
Höhen fib mit eben der Prdcifion wie andere berechnen Laffen, und
daß das bisherige Mistrauen der Aftonomen gegen fie ſehr ungegrüns
det war. Es tam blos darauf an, fie nach richtigen Geſetzen zu bes
eechnen. Ich gebe indeh gerne zu, daß es Falle diebt, wo Frine Regel
weiter anivendbar ift;_fo wie es auch Zeiten giebt, mo Feine Beotah⸗
tungen fich ma den laffen, Beydes fest voraus, daß die Atmosphire
erbte fen, Daß ihre verichtedenen Schichten ſich dem Marlottifden
Gefete gemäß in ihr geböriges Gleirhaemicht gefest haben; und nur
amter dieſer Voraus ſetzung find afieonomilhe Beobachtungen zuwera
Ldbig, Berechnungen anwendbar, Denn aufferdem find wir durd
Erfahrung belehrt , daß ſelbſt die Mefraftion von ganz nahen, mittel
mäßig erhabenen Bergfpisen her, fich nicht nur, wie in. mehreen pbv
firhen Büchern griant U, auf drenfig Minuten, ſendern ‘fegskt auf
nebrere Grabe belaufen Fönne. ch erinnere mich ſehr mopt, da Ib
im. Jahr 1790 auf einer meiner Schweizetreifen, in einer finfern
ürmifchen Nacht, den hoben Berg Rügi am lifee, des Pucernerierd
!befieg, um Zeuge der atmospbdeiichen Kevofltion beym Mufgange
der Sonne zu feon, ich dort beffer, als ich es Je in Wilchern gelefen
jatte, belehrt wurde, mie" tweit Die Nefraktion geben könne. Lange
‚bon hatte ich mit meinem Reifegefdhrten, auf der böchften Gpite bed
Berges flehend,, Die Sonne 53 und noch nichts von ihr gefehen,
als auf einmal die von ihr surdckaedrängten Wolfenmaifen, aleihlam
eeichrocen auf uns zuffrömten , und eine Atmosphäre um ung bildetetr
Die menigftens.chen fo undurddeinglich mar, als diejenige gemeien feun
joß, in welcher Venus tpren Sohn Aeneas in Carthago einziehen Met.
einer ſah, Feiner hörte ben andern; In der ganzen Nasır Bu ——
J derſchiedene Nachrichten und Anzeigen, 305
je für und, als die dunkelrothe, gTähende Kugel, die ꝙ eben
Kae A Hoͤrizont erhoben batter und die Wolfen vor % bee
febeuchte. Ziemlich lange dauerte der Kampf zroifchen Sonne und '
Nebel, bis endlich die ichtern von dee höhe Kraft der erſtern bers
untergefhleubert , die Höhen verliehen, indie Tiefe zuſammeuſtuͤrz⸗
ten, und nach eiauf einer halben Stunde etwa, unter der truͤgeri⸗
fchen Geftalt eines Lünklichen, plöglich entKandenen Weltmerres, die
Sibaründe Lberad ansfülten. Nun fiengen auch‘ die Bergfpigen ums
I an fichtbar gu werdens aber nicht da, mo wir fle vermusheten.
jer Höhe unfers Standpunktes bemuft, hatten mir fie nie anders ald .
anter und, oder böckens in mwagerechter Linie gefeben; jett faben
wir fie weit über uns, und menigfiens unter einer ſcheinbaren Kühe
von vier bis fünf Graden, über die Wolken hervorsagen. Gie ers
Dielten fich dort bis der Himmel überall aufgeheilt, der ganze Horizont
ãchtdar war, die Nebel in der Tiefe ſich volends Aufgeldf hatten,
und die Sonne fich in dem unter und liegenden. Aeterfee zu fplegeln
anfieng. So mie died geicbah , fo fenkten ſich auch die —
almäplig vor ung herab, und blieben endlich auf der fcheinbaren Höhe
ftehen, die fie haben foltten. Solche Kefraktionen wird wohl niemand
berechnen wollen, fo wie auch bey einem folhen Kampfe ber Natur
niemand Beobachtungen. anftellen wird. Allein folhe Revolutionen
fo häufig fie ſch, beſonders in bergihten Gegenden ereignen,, dauern
doc nie lange. Das große Naturgefes, das die Dichte der Euft dem
Deude proportional macht, behauptet immer zulegt feine Rechtes
und fobal es mieber In Diefelbe eingefeßt ük, fobald mid es aud
möglich feyn, die Horisontal» Refeaktionen fo gut wie jede anderch
mit ber größten Genauigkeit zu beftimmen.
3. Die Refenktion verhält ſich ben unverdnderter fpecifiiher
Federkraft, gerade wie die Dichte der Luft, Indem a die Entfernung
des Beobachters vom Mittelpunkt der Erde, und noch mehr die Qua⸗
dratwurzel dieſer Größe, vom Horisonte an bis Auf die Gpigen ber
böchkten Berge, als befdndig angefepen werden kann. Go wie wie
daher und vom Korlzonte erheben, fo nimmt au die Horisontals
Kefeaktion in eben dem Verhalthiſſe ab, in welchen das Barometer
fFält. Ben der Temperatur 10° Reaum. wird fie alſo auf einer Höhe
von 1200 Zoffen um ben vlerten Theil, und auf 2900 Tolſen um die
Hälfte vermindert ſeyn; und auf der erſtern noch 25° sı“, auf der
Tegteen noch 17° 14° betragen. Diefe Regel geht übrigens nicht die
KHorisontalsRefraktion allein an; fie iR allen Kefrakttonen gemein...
4. Allein die fonk allgeınein angenommene Regel, nach welcher
auch die Reduktion der Strablenbrechung von einer Temperatur zur
andern gemacht wird, tk nur, fo Lange richtig, ald man ohne merk⸗
lichen Fehler die Steahlenbredhung der Tangente der ſcheinbaren Ente
fernung proportional nehmen kann ; das if, vom Zenith an bis gegen
270 Grade Hin, oder über-swanyig Graben fcheinbarer Höhe. Bey
niedrigern Höben if die analgtifhe Verbindung zwiſchen Dichte bee
Luft und Refraktion Bein einfaches geometeifhes Verhältnis mehr,
fondeen eine ſeht Jufammengefegte tranfcendente Gleichung, von mi
er I Cie ein andermal unterbalten meede. Der Ausdruc der
Korisontal»Kefeaktion hat vor den andern fouiel voraus, daß er eins
jan is Me, verhält Ich ndmtich fehe genau, gerade nie die Dichte
und uıngefel
Seberkraft. Da nun die erſere ih TeIhR gerade mie Die Suromet:
ker
et mie die Quabratwurgel aus der fpecifiichen,
ers
eichtigt find, in der Praris unswverfdßig befund · n werben.
E
56. vun, Auszüge aus Briefen,
vdde / und umgebchet, tie Die fbecifiche Geberfraft verhält, fo 15 beta
mach die Hortzontal· Reſrattlon dem Beruche proportional =: und,
ift demnach Bey gleicher Barometerböhe, das gerade Berbältniß bed
j rat F u das umgekehrte des Würfels der
en Federkraft. r
* unterfchled ift Feine Kleinigkeit. Geſetzt das ometet
auf acht Grade Unter dem Gefrierpunfte, fo iſt nach der gemähns
jet Regel 1,085 die Zahl, mit dee man die Kefraktion bey 10° iu
mulsiptieiren bat, um fe auf die veränderte Temperatur angumenben.
Bey Refrattionen über zwangiag Graden fbeinbarer Höhe, mag dicke
mwabe feon ; allein bey der HorisontafeMefeaktion if der Muftiplicater
FE 1,035, Fondern 1,125. Nach der eriiern, üblichen Regel, wäre
je HoelsontalRefeaktion der Falandifchen Tafel aus 334 2444 in 359"
ngen , Nach dem hiet gelehrten, wahren Verhaltniffe binges
‚ wied’die Horigontal-Refeattion 34 27° du 58’ 46”. Der
3/ 37° A doch gewiß nicht gleichgültig; und fo IR es dan fein
Wunder, wenn Beobachtungen, die nach fo fehlerhaften Kegeln ber
imdeffen iſt dies moch nicht alles. “Meine vorz er⸗
de Bejleht fi daranf, daß wir-über Die Gcale det It dee
ö gr guft für die verfchiebenen Grade der Wärme überhaupt noch
"uneichtig belehrt find: . s
> Den Verfuchen der Hetren Morveau und du Vernois ins
u wie eine folcbe Geale, nicht Aur-für die gemeine Quft, fondern
(ch File noch einige andere Luftarten. Ihnen zufolge iſt die fpechfiiche
dedertraſt der gemeinen Luft . .
ben 0 "Grad Reaumur 1,00005
by20o — — 1,07895
bey oo — = 1,25705
by 60 — = 1,65745
bey go -— — 1,9368. \
ich geffche iadeß, daß mein Zutrauen zu diefer Seale nicht ſehr
jroß ft. Zuerſt hat das hier angegebene Molumen der Luft bepm
tedpunfte, die Zenaniffe aller andern Ppuflker offenbar gegen fih.
Nach de Luc if daſſelbe 1,372; nach Bonne in, Lalande’s Äſtrono ⸗
mie 1,414; nach Dandermonde, Bertholler und Mionge 1,4329;
nah Morveau fell es nun auf ‚einmal 1,9368; alfo die. wirkte
"Vermehrung des Volumens, mehr ald doppelt fo.viel ausmachen, ald
eö.ber Angabe aller übrigen zufolge, feon folte,
Sodann empfiehlt ſich Die Scale duch Ihren regelmäßigen Gang
nicht fehe. Ibte eriten Differenzen fon find-febr ungleich; die amenten
won 0° bis 60° bejaht, unn dort bis zu 80°-auf einmal verneint.
—7— ſehe unwahrſcheinlich, daß die Natur in einer fo einfachen
ie fich dergleichen Sprünge erlauben werde.
Deittens widerfbricht Diefe Scale den bepden andern Gcalen für
dus Stigas und das Sauerfioffgas ofienbar. Aus beydentift die ges
meine Suft in dem Verhdltniß von 73:27 sufammengefegt; Durch die
benden erftern Scalen folte num bie legtere ſchon fe fich gegeben
fepn. In meiner Geichichte der Aero aatik Habe-ich Die Regei aufacfucht,
und mit geometriiber Schhärie eristeien, Gtatt biefer Regel zu ents
fprechen, fieht hier bie Wusdehnbartett TIAHt Anmal in fer Mitte. dee
Ä
f
derfchiedene Nachrichten und Anzeigen. $07
beyben andern, wie:doch wenigſtens dieſe⸗ feyn follte. Nach der Seale .
des Morvesu müßte von o® bis 40° die gemeine Luft ausbehnbarer-
ſeyn, als jeder ihrer Beſtandtheile für fich iſt; von 40° bis Sor-mire:
unmgekehtt jeder diefer letztern ausdehubarer ald fie. Es If ſchwer abs,
zufehen, was dieſer Phyſiker gemacht haben muß, um fo verkehrte
Kefultate zu erhalten.
- @ndlich feblt. ben dieſer Scale gerade der Theil von Ihe, der für
Die Altronomie dee wichtigſte IR, der Theil unter dem Gefrierpunkte.
Aus mehreren aſtronomiſchen Beobachtunden wird .e8 ganz zuverlabig,
daß die gemeine Luft unter dem Gefrierpunkte fich nach Verhaltniſſen
sufammenzieht, von welchen fich die Phyfik bisher noch gar keinen
Begriff machte. Der Aſtronom Lemonnier iſt meines MWiffens der
erfte ver hierauf aufmerkfam wurde. FH feinen Abhandlung: Examen:
des canfes Generales des principes de Phyfique, es de ce qui a port:
des Obfervatenrs da Siecle pröcädent , a püblier des Tables de Höfra,
ctions qui differeht le$’änes des auträs Donr les mêmes hautenrs, Men.
de 1’ Acad. Annee 1780, führt er Benpiele von Horizontal: Refraktio⸗
nen an, die von der aewoͤhnlichen Kegel aufleroedentlich abweichen,
- Nach der oben gegebenen Regel, dab bey unverdnderter Baro⸗
meterböbe, die Horizontal⸗Refraktion fich umgekehrt verhalten muß,
laßt fih aus einer gegebenen Horizöntal:
wie groß bie fpecifiiche Federkraſt der Luft Ju derfelben Zeit gemwefert‘
feun muß. Ich werde nach dieſer Regel, einige der Beyſpiele, die:
Lemonnier anführt, beustheilen. I wo J
Aus einer Beobachtung des Picard vom 2. Januar 16075, um
7 Ubr 52’ 38° wahrer Zeit, ſchien der obere Rand der Sonne um
25° 35“ über ben —2 erhoͤht. Die Fefraktion war alſo fuͤr
dieſe Zeit, und dieſe ˖ſcheinbare Höhe 34'553 und Died giebt eine
Horizontal⸗Refraktion von wenigſtens go Minuten. Das Verhaltniß
dieſer Refraktion, und der meinigen von 34° 27° ben 10° Reaum.
demnad "5: s' 2400: 200o535 —
Logarithme dieſes Verhaltniſſes 9,9351293
Mit zwey multipliirt + + 9,8702586
Durch drey Dividiret ⸗2 HIST
Alſo, die ſpeclſiſche Federkraft bey 10° der Einheit gleich geſetzt, mußte
fie damals geweſen ſeyn 0,905. Dies ſetzte nun nach den gewoͤhnlich
angenommenen Verhältniffen 16° der Kälte voraus,
Es moͤchte dies immer noch hingehen , da eine ſolche Kälte zwat
aufferordentlich „ aber nicht ohne Beyſpiel if, und man zu derſelben
Zeit noch feine übereinftimmmende Thermometer hatte. Allein, dem
folgenden Tag, um 7 Uhr 48° 18° wahrer Zelt, ſchlen der obere Hand
dee Gonne bereitd um fechd Minuten über den Horisont erhaben.:
Die Rechnung giebt bier eine Refraktion von 44’ 43, und eind:
mie die Dundratwurzel aus dem —— bör erinwen Seberkrafts
efraftion allemal bereihnen,. -
ne:
Horlspntals Kefraktion von wenigſtens 45°. Das Derbditniß beyder
0
HorizontalsRefraftionen il bee » °"s =700:2067 |
bogartthme deffelben » 98839767 wie
Mit zwey muleiplicret — 9976079534 =:
Durch deep bividßiret 0 m" Qgaabs 6
Es war demnach Ne-fpecififche Federkraft 0.8368. Nach der gewoͤhn⸗
lichen Kegel müßte’ dies beym 30° Reaum.: geiihetien \eya, UN Veh.
35 weniäftens auf der Pariſer Sternwarte gerate ya wamtaliig. SA
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| 508 VIIL Auszüge aus Briefen,
gemonnier vermutbet hier eine Kälte, bie nur unter 5°, unb alle -
etwa 8° oder ı0° gewefen. feun mag; und fo folgt aus biefer Beob⸗
achtung, daß vom zehnten Grab über dem Gefrierpunkte, bis etwa
zum achten Grade unter ihm, fich die al in dem Berbälmiß von
10n284 verbidt, folglich einen vollen ſechſten Theil ihres Bolumens
verliert.
Dies iſt indeß noch Lange nicht alles, Die Befchichte der Wiſſen⸗
ſchaft hat Beobachtungen von Horizontal s Refraktionen aufgezeichnet,
die auf mebrere Grade gehen. Aus dem im Jahr 1599 gebrucdten
Tagebuche der Holldnder, die zwey Jahre vorher, unter y6 Graben
Morderbreite, auf Xovas3embla überwintern mußten, und mehrere
sMonate Lang die Sonne gar nicht ſahen; und aus ber Zeit, bafe
"Ionen wieber aufsugeben. fchien, erbellet, daß die Horlzontal⸗Refraktlon
meniaftend 4° 30° betragen haben muß. Was giebt dies. für eine
ſpecifiſche Federkeaft? Wie wollen ſehen: on
Verhalltniß beyder Refraktionen 16200: a2067
Logarithme deſſelben ⸗ .10s845
Mit zwey multiplicirt ⸗⸗ 8,2116510
Durch drey dividiet ss 9,4238837
mn erhält hieraus die ſpecifiſche Federkraft der Luft 0,25345; alſo
etwa dem vierten Theile ihrer gewöhnlichen gleich. Und bey welchem
- Kättegrabe ? böchitens doch bey benyenigen, ir. melchehr das Queck⸗
filber gefrtert; alio etwa 46° unter dem Gefrierpunfte. Es folgt «lfe
hieraus, dab von 10° über dem Gefeterpunfte, bis zu 46" Unter ihm,
Die Luft etwa um drey Viertheile ihres Bolumens verdickt murde.
Dee Reſpiration fand diefe fo fehr verminderte fpecififche Feder⸗
kraft gar nicht im Wege, indem es bey ihe nur auf die abfolute Ela—
ſticitat ankoͤmmt, bie Deswegen immer diefelde war. Allein, daß durch
böchftens funfzig Grade Kaͤlte, die Luft bi8 auf ben vierten Theil
ibres Volumens zufanımengepreßt werben könne, dies meicht wenig
eng von den bisher befannt gewordenen Verbaltniſſen auſſerordentlich
ab, und zeigt, mie weit wie noch in dieſer Lehre zurück find.
*
3. Aus Herrn D. Kramp's neueſtem Schreiben.
Strasburg, den 26. Fruͤktidor, VI.
E. freuet mich, daß Sie einen Verleger meines Werks uͤber die
aſtronomiſche Strahlenbrechung gefunden haben. Es wird gewlß,
wegen der darinn enthaltenen wichtigen Entdeckungen, den Befall
der Kenner nicht verfeblen. Auch U — mit welchem ich ſeit meiner
KFuͤckkehr unfere ehemalige Breundichaft wieder erneuert habe, vers
ſichert mich, daß das in meinem Buche enthaltene, und forgfältig von
ihm geprüfte, vollkommen neu und wichtig fen; fagte mir aber zus
gleich, daß de Ia Place und Borda feit einiger Zeit mit dem ndına
lichen Gegenſtande beſchaftigt find, und vielleicht noch diefen Winter
eine weitlduftige Ausarbeitung darüber herausgeben werden. Es tk
möglich, daß fie auf die nämlichen Mefultate geratben; um ſo mehr
wuͤnſche ich mit dem Drucde meines Werkes, deſſen Inhalt mid,
| nie — wiſſen, ſchon fo Lange Zeit beichäftiget bak, nicht zurüd iu
| FE Eine
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verſchiedene Nachrichten und Anzeigen. 509
Eine qduſſerſt fonderbare Bemerkung if, daß Nemwton’s Tabula
Refractionum, die in ben Lectionibus Opticis_und den Philofoph.
Transact. von 1721. Ro. 368 fteht, mit meinen Formeln genau, und
weit beffer als feine andere Refraktionstafel Übereinkimmt. Ich kann
mir die Sache nicht anders denken, ald daB Newton nıeine Kormel
getannt baben muß. Dies hat aber auch wieder feine Schwierigkei⸗
ten; denn es folgte daraus, daß Newton von gewiſſen Methoden dee
höbeen Analnjis eine Kenntniß gehabt haben müßte, die Eulern Im
Jabr 1754,.und überhaupt allen, ſelbſt den geößten Analyſten, den.
einzigen de Ia Place (17381) ausgenommen, noch volllommen fremde
war. Nachſt Newtons Tafel, bin Ich mit den drey Nefraktionstafeln
von Bouguer in dee Zona torrida am beiten, und immer noch ſehr
wohl zufrieden. Mit Bradlen vertragt fich meine Unalufs fchon-
weniger; und von Lacaille's Refraktionstafel bin ich überzeugt, daß
fie gar nichts taugt.
Sie werden in meinem Buche audy bie File beſtimmt finden, in.
welchen die HorizontalsRefraktion unendlich groß wird, und die gar
nit unmöglich, und ſelbſt in unferm Klima nicht einmal felten find.
Daß man die Beobachtung dee Holldndber auf Novaszembla 1598.
über die Horizontal» Refraktion von .4° 30’ In Zweifel 308, daran,
hatte man großes Unrecht. Es wird weiter nichts dazu erfordert, als
eine um die Hälfte verminderte fpecififche Elaſticität der Luft; und
diefes iſt ein gar nicht feltener Zah, von dem ich durch auverfldßige
Beobachtungen, vollfonmen überseugt bin. \ .
Alles dieſes hat mich auf bie Nothwendigkeit der Erfindung eines
befonders genauen Dichtemeffers (Manometers) geführt, mit welchen
ich nachſtens auftreten werde. Die Scale diefes aͤuſſerſt empfindlichen
Sufruments giebt für jeden Uugendlif an: a . Ä
1) Das Verhältniß der Dichte der Ruft und des Queckſilbers;
oder die Zahl, die mit der Barometerhöbe multiplicirt, die Subtan⸗
gente der atmosphäriichen Logiſtica giebt |
2) Das NefraktionssVerbältnis für die Luft, oder den ber Dichte
der Ruft propoetionalen Bruch ww; vorausgefest, daß 1: ı + ſin.
Incid: fin. Refract. Der biefine Mechaniker Diebord verfertiget itzt
diefes Werkzeug, von welchem ich Sie, wenn es fertig If, noch weiter
unterhalten werde.
4. Aug zween Briefen von Kern Buͤrmann.
Mannheim, d. 17. Aug. u. 15. Sept. 1798.
\
— Die eombinatorifche Analyſis lernte ich zuerſt aus Toepfers
polemiſcher Schrift kennen, die mir unſer Freund Kramp zu leſen
gab: Dieſe lehrte mich die erſten combinatorifchen Zellen. Die ſchoͤ⸗
nen Auffäge Ihres Archive, Praſſens Uſus Logarithmerum Infiniti-
nomii. und die von Ihnen neuerlich herausgegebene Schrift: polynos
miſcher Rebrfag ıc. erweiterten meine Kenntniß, und haben mich volle
. fommen überzeugt, daß bie combinatorifche Analyſis, vornehmlich in
verwickelten Fallen, ungleich mehr vermag, als die gemöpnliche. <a
.
510 VII. Auszüge aus Briefen, ꝛc.
Ich hatte anfangs, ich geſtehe es, nicht viel Zutrauen zu der
eombinatorifchen Methode, da ich fie nur obenhin Lannte, und ſchien
mir felbige mente Aufmerkſamkeit zu verdienen; um fo wenfger mird
man, mir einen Borwurf daraus machen, daß ich ihr jeut das Wort
rede, nachdem tch fie, nach abgelegtem Vorurtheile, genauer babe
kennen lernen. Ich habe feitbem, ben fo vielen von mir gemachten,
nicht unerheblichen Anwendungen, haufig Gelegenheit aebabt, der combi⸗
natorlichen Verfahren mich zu bedfenen, aber nie vorher dieje Einfach—
beit, und dieſen direften Gang gemutbmaßet. Darum fage ib auch
in meinem bier beufolgendem Aussuge aus meinem Eflai de Calcul
fonctionnaire „du8 @infache Tiegt im Verwickelten tief vergraben, und
das Leichte iſt unendlich ſchwer Zu enideden, mern es ein vollſtaͤndi⸗
ged Syſtem ausmacht.“
Was Sie von großen Analyſten in Betreff der combinatoriſchen
Analyſis Sagen, if fehr wahr, und erfireckt fich weiter. Ich batte
einen großen Dann in dem Bache urı ein lirtheil Aber mein Werk:
Effai de Calcul fonctionnaire gebeten ; er {ft auch von Adern mehrs
mald daran erinnert worden, aber Immer vergebens. Ich weis nun,
daß ee es nur durchbldttere und nicht gelefen hat, A caufe du Neolo:
isme, welcher doch bey neuen Gegenitänben, oder neuer und befferer
arfteung der alten unumgdnglich noͤthig iſt. Menige, feltene Fdlle
ausgenommen, haben nur junge Peute, die frey von Vorurtheilen
find, Sinn für nügliche Neuerungen; und auf dieſe muß man alle
am meilten rechnen.
In meinen früheren Jahren, mo durch vieles Reiſen und Lefen
bie Neigung zu ſchwierigen Unternehmungen in mie erreat und 96
ndhet worden mar, mollte ich des aroßen Leibnitz herrlichen Gedanken
einer Univerfal: Schristfprache ausführen. Da tih aber nichts vors
gearbeitet fand, ſchreckte mich bald die fo ſchwere und meitldurtige
Arbeit der Ideen⸗-Claſſification ab. Geduldigere und einſichtsvollere
Männer haben indeſſen die Bahn gebrochen, und meine vorigen
Ideen wieder in mir aufgeweckt. Die Verſuche der deutichen Unis
verfalichreiber kenne ich nur aus der Allgem. Pitt. Zeitung. Memieu's
Paſigraphie babe ich gefehen und gefunden, daß meine Idéographie
analytique, wie ich fie nenne, ungleich einfacher, reichbaltiger und
leiter iſt. Seitdem ich mit Ihrer combinatorifhhen Analnfis vers
trauter geworden bin, babe ich meinen Plan noch fehr verbeffert, und
eles auf das Zahlenſyſtem zuruͤckgebracht; doch nicht mechaniſch, mi?
Jaucour in der Encyclopedie vorfchldat. In der That kann nur ein
Mathematiker ein folches Werk aut ausführen. ;
Ich gedenfe einft Anfangs: "ünde dee Mathematik zu ideogras
phiren. Um dee allgemeinen Verſtandlichkeit willen, werde ich gar
feine Buchfiaben (im eigentlichen Ginne) gebrauchen. Durch die
combinatorifche Anordnung, und mit der ganz freuen Wahl in den
Beichen, merde ich Deutlichkeit und Reichtiakrit in einem hohen Grade
vereinigen. In meiner Ideographie habe ich, mas die combinato:
riſchen Symbole anbeteift, Ihre Alobabete bloß Überfegt, und damit
be Fhöne Harmonie, welche Ihrer Bezeichnung eigen if, ganz beys
%
CCCCCECCCCC..
GG GG, —— —
| | Fig. 3.
_..