Skip to main content

Full text of "Archiv der reiner und angewandten Mathematik, herausg. von C.F. Hindenburg"

See other formats


Google 


This is a digital copy of a book that was preserved for generations on library shelves before it was carefully scanned by Google as part of a project 
to make the world’s books discoverable online. 

It has survived long enough for the copyright to expire and the book to enter the public domain. A public domain book is one that was never subject 
to copyright or whose legal copyright term has expired. Whether a book is in the public domain may vary country to country. Public domain books 
are our gateways to {he past, representing a wealth of history, culture and knowledge that’s often difficult to discover. 


Marks, notations and other marginalia present in the original volume will appear in this file - a reminder of this book’s long journey from the 
publisher to a library and finally to you. 


Usage guidelines 
Google is proud to partner with libraries to digitize public domain materials and make them widely accessible. Public domain books belong to the 


public and we are merely their custodians. Nevertheless, this work is expensive, so in order to keep providing this resource, we have taken steps to 
prevent abuse by commercial parties, including placing technical restrictions on automated querying. 





‘We also ask that you: 


+ Make non-commercial use of the files We designed Google Book Search for use by individual 
personal, non-commercial purposes. 





and we request that you use these files for 


+ Refrain from automated querying Do not send automated queries of any sort to Google’s system: If you are conducting research on machine 
translation, optical character recognition or other areas where access to a large amount of text is helpful, please contact us. We encourage the 
use of public domain materials for these purposes and may be able to help. 


+ Maintain attribution The Google “watermark” you see on each file is essential for informing people about this project and helping them find 
additional materials through Google Book Search. Please do not remove it. 


+ Keep it legal Whatever your use, remember that you are responsible for ensuring that what you are doing is legal. Do not assume that just 
because we believe a book is in the public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other 
countries. Whether a book is still in copyright varies from country to country, and we can’t offer guidance on whether any specific use of 
any specific book is allowed. Please do not assume that a book’s appearance in Google Book Search means it can be used in any manner 
anywhere in the world. Copyright infringement liability can be quite severe. 






About Google Book Search 


Google’s mission is to organize the world’s information and to make it universally accessible and useful. Google Book Search helps readers 
discover the world’s books while helping authors and publishers reach new audiences. You can search through the full text of this book on the web 
alkttp: /7sooks. google. com/] 

















Arſcchi 
ber 
reinen und angewandten 


- Mathematit 


herausgegeben 


Eari Fri edrich Hindenburg. 


von 





r- 


Zwenter Band 
Fuͤnftes bis achtes Heft. 





Mit vier’ Kupfertafeln. . 
Leipzig, 1798 
in der‘ Sääferifgen Sunhandlung 


. ent 


.. ten - 


y ’ 
® ‘._ 
+ 
‘ 
[4 
> 
[ 
ı 
* 
* ı 
> 
22 
r 
Li 
— 





8* 
° 
4 
. .- ‘ 
u) 
- « er 
, \ “ 
D 
— 
[I 
“ J 
. De] e. 
. 
- 
4: " 
pe er . SC Be 
yo, “ x 
® 
‘ 
. -. \ 
Ss 
DT. 04 
Zu) 
, . 
» 
\ 
. 
x , 
.® 
) 
.d R 
[3 “ 


' FR 
‘ 
.. “ s 
. 
3 
bs 
—X 
⸗ i 
J 
va 
Tr 
4 [1 
[2 
x we 
. 
®. 
im. 
Fass 
, 
1} € 


⸗ 
[3 
4 
x 
X mr 


— [nn mu nur oo .. 


| — 
% 


Snhaltss Anzeige 





ET nftes Hefe 


1.58. Bennert, über die aſtronomiſche Strahlen⸗ 


brechung. ⸗ Seite r 


II. A. G. Kaͤſtner, wie Körner feuchten, die fein 


eigenthümliches Licht haben. Averroes, Roger Baco, 


Euler. 


IM. Deffeiben Berechnung, gie viel Steinen der 


Rabe ins Gefäß werfen muͤß 


| IV. 3. F. Wurm, Srundfäße ber. neuen Kanzoſiſchen 


Zeitrechnung, famt ausfuͤhrlichen Tafeln zur Dergleb 
chung des alten und neuen —5 
V. E. G. Buſſe, Bemerkungen für Eulers Kar⸗ 
ſtens, auch Kaͤſtners Vortrag der Mechanik. 
VI. J. H. Lambert, uͤber die vierraͤdrigen Wagen. 


VII. J. C. Burkhardt's Tafel, um jedes Jahr ber 


Julian. Periode aus ſeinen Kennzeichen zu finden. 


‚ VII. G. S. Kluͤgels verſchiedene arithmetiſche Zuſam⸗ 


menſetzungen des Kreiſes, aus denſelben Elementen. 

IX. J. F. Pfaffs Zuſaͤtze zu ſeiner allgemeinen Sum⸗ 
mation einer Reihe, worinn hoͤhere Differenziale 
vorkommen. ⸗ 

x. Chr. Kramp's Sqhreiben an den Herausgeber, 
über die geometrifche Analyfis des Kıyftalls, Hyos 
do ng genannt; eine Widerlegung des Spfiems von 
Ha 

XI. Leber Gitter und Gittetſchritt, fernere Aeuſerung 


,des Ungenannten. Ueberſetzung der von ihm 


(Heft III. ©. 348) mitgetheilten geheimen Gitter⸗ 
ſchrift. Toͤpfers Eonftruktion folcher Gitter nach 


12 


2 
A 
” 


74 


combinatoriſchen Geſetzen. Zuſah de des Herausgebers. 81 


vu 


ZU, 


vo _ nhalts- Anzeige: 


XIL Auszüge u und Recenfionen neuer Buͤcher. 
1) A. G. Käftners weitere Ausführung der mas 
thematifchen Geographie. 100 
2) G. S. Kluͤgels Nachtrag zu feiner Recenſion 
C(G. II. ©. 236) von Herrn Hofr. Mayers 
Anweiſung zur Verfertigung der Land⸗ See⸗ 
aAnd Himmelscharten. 105 
3) Aus einem Schreiben Herrn D. 8: am p’s an 
: ben Herausgeber; feine weitern Sortfchritte in 
der combinatorifchen Analufis betreffend. . 107 
4) Propofals for publifhing by, fublcription a 
Globe of the Moon, by Fobn Ruſſel. 112 
. XI. Auszüge aus Briefen, verſchiedene Nachrichten 
"und Anzeigen. ⸗ “ 


Sechſtes Heft. 


IL. J. 8. Hennert, über die aftronomifche Strahlen 
brechung, mit Nüdfiche auf Thermometer und Baros 
meter. Forfeßung " so ©. 129 

1. ©. S. Klügels Angabe eines Doppeloßijeftivs, 
das von aller Zerftreuung der Strahlen frey ft. 141 

DI. Buzengeiger,svon einigen merkwürdigen Eigens 
Tchaften der Binomial-Eoefficienten. 161 

IV. %. G. Käftner, Summe und Unterſchied von Tan⸗ 
gente und Secante. 174 

V. E. G. Fifch er, über die Velcefuis der Wurzels 

großen aus den Gleichungen. 180 
1. H. A. Rothe, über die Kussepming ſchief abge⸗ 
ſchnittener Prismen. 195 

VII. A. F. Luͤdicke, eine beſtimnte Aufgabe aus der 
unbeffimmten Analytik, nebft einem Zuſabe des 

Herausgebers. ⸗ ⸗ 206 

— VII. Auszuͤge und Recenſionen neuer Bäder. 221. 

| K. E Langsdorf, Lehrbuh der Hydraulik mit 
beſtaͤndiger Nücficht auf die Erfahrung 1794. 
Fortſetzung des Lehrbuchs der Hydraulik, 1796. 
Della Specola aftronomica de regj fiudj di 
Palermo Libro quinto; di Giufeppe Piuzzi, 

Ä Fortfeßung. 

IX. Auszüge aus Sriefen, Nageiäten und andere ; 
Anzeigen 2 | 239 
Sieben 


' 


nhalts- Anzeige | NV 


Siebentes Heft, — 


LE F. Pfleiderer, Deduktion der Euklidiſchen 
Definitionen 3, 4, 5. 7 bes ven Buhs der 
Elemente. ©. 257, 


2.3.9. Lambert, hier bie wewegung bet Säffer, 
in welchen Kugeln geränbet werden. 287 ı 
III. €. Kramp, über den Mittelpunkt der Omen im 
fphärifchen Dreyede. ⸗ ⸗ 296 


IV. ©. ©. Klügel, Formeln zur leichten Berechnung . 
des Kreifes; nebſt einer Zuſatze des Herausgebers. 308 


V. C.L. Bränings, über verſchiedene merkwürdige 
Bewegungen eines Doppelfegels auf den Rändern 
eine Kanald. ⸗ ⸗ 321 


VI. A. G. Kaͤſtner, uͤber Sangenideis Vorſchlag, den 
Kreis vermittelft bes ſentrechten Cylinders zu, rekti⸗ 
ficiren. ⸗ * 332 


VII. A. G. Kaͤſtner, die Retiemege vor ——9 334 
VII. A. Käftner, was iſt Schuͤnzeug? ? ⸗ 336 


IX. C. F. Hindenburg, Vergleichung der Lagrangi⸗ 
| fhen und combinatoriſchen Reverſi onsformieln für 
Reihen. 39 
X, Auszüge und Hecenfi onen neuer M uͤcher. 


ı) J. F. Pfaſt, Disquifitiones analyticag, ma- 
- xime ad Calculum Integralem et Docitinam 
"Serierum pertinentes. 33 
\ 2) Aus einem Briefe des Sen. Prof. Br affs an 
den Herausgeber. 347 
3) Rohde, mathematifche Ashandlungen: über 
das balliftiihe Problem, und Aenderung der 
Planeten⸗ und Kometenbaßnen im widerſtehen⸗ 
den Mittel. - 354 
4) J. Friedrich, zum wigen Frieden zwiſchen 
den Streitern uͤber einige Rechenexempel. 3760 


XI. Auszuͤge aus drey Briefen von Hrn. pP Kramp 
3 


an’ den Herausgeber. 380 


— vqr 


VI 5: Inhales-Anzeige 
Achtes Heft. 


I. J. Pas quich's Anfangogruͤnde eine neuen Erpos - 
nentialrechnung. S. 385 
II. E. G. Fiſcher, uͤber die Deſſchaſng der Wurzel⸗ 
groͤßen aus den Gleichungen. Fortſetzung. > 426 
III. €. F. Pfleiderer’s Deduktion der Euklidiſchen 
Definitionen 3, 4, 5, 7 des Vten Buchs ber Elemente. 
Fortſetzung. ⸗ ⸗ 440 
IV. Ueber Glenie's Conſtruktionen verſchiedener geometri⸗ 
ſcher Aufgaben; von verſchiedenen Verfaſſern. 
a) von J. K. Hagner, ar Bertheladorf bey 
Herrnhuth. 448 
b) von M. C. F. Hauber zu Tübingen, 458 
c) von M. J. W. Becker, zu Kleinbrembach. 471 
V. M.I W. Beckers Zuſatz zu Prof. Hindenburgs 
AbWaodlung über die cykliſchen Perioden. 481 
VI. Bärmann' 8 numerifche VRexechuung de der Kreiss 
periphetie. 0 
VIL Deffelben vereinfachte Anal; ein Kuss ang 
einem Auszuge. ⸗ 495 
VII. Auszüge aus Seien, Naricten und andere 
Anzeigen. ' 
1— 3. Aus drey Briefen von Hrn. D, Kramp; 
feine weitern Sortfchritte in der Lehre der affro- 


nomifchen Strahlenbrechung betreffend. - 499 
4. Uns zween Briefen von Hrn. Buͤrmann. 309 


487 


Ardıiv 


x 


wrdid 


der - 
seinen und angewandten 
Mathematik. 





— — — 


Sünftes Heft, 1796. i 





J. 


* [| 


Ueber Die affronomifche Strahlenbrechung von 


J. F. Hennert Profeilor der Mathematik 
\ Utrecht. 


Lehrſatze 


F. I. an ein Lichtftrahl durch flüßige Materie: 
(nedia) von verfchiebner , aber zunehmender Dichte ge= 
bet, fo ift der Winkel, welchen der erfie einfallende Strahl 
mit dem zuletzt gebrochenen Strahle macht, gleich der 
Summe aller vorhergehenden Strablenbrechungen. 


Bemeis. 

Die horizontalen Linien HN, PI, LB, ME ber $l# 
gur bezeichnen die Grängen ber Schichten (ſtrata) bee 
verfchiedenen fläßigen Meaterien. Auf dem Einfallspunkt 
I des einfallenden Strahls ST richte man dag Perpendi⸗ 
kel ZIP, der gebrochne Strahl fey IR, weldjer mit dem. 
verlaͤngerten Einfallsſtrahl SIi den Binfl iIR macht, 

° Bünftes Heft 4 ; wels 


= 


ur J J. HOenneit, über die 


welchen bie Aftronomen die Strahlenbrechung nennen; 
- Be heiße R'. Auf gleiche Weiſe richte man ein Perpen- 


dikel ARp auf, fo wird der Winkel B Rr==R'ie zweyte 


Strahlenbrechung bedeuten. Ebenfalls ſoll ber Winkel 
ErO==R bie dritte Strahlenbrechung u. f. w. anwei⸗ 
fen. Man verlängere den zulegt gebrochenen EtrahlOr 
big G, wo derfelbe den zweyten und verlängerten gebro⸗ 
chenen Strahl IRBfchneidet, fir GB=BRr+RrG 
ober OrE=R.TR. Man verlängere auch diefen Or, 
bis derfelbe den erft einfallenden Strahl STi bey F fchnei« 
der, folglich der Winfel iFr=iIR+RGF oder 
rGB=R’+R+R = der Summe aller vorhergehen⸗ 
den Strahlenbrechungen. -- 


6.2: Lehrſatz. Die fcheinbare oder beobachtete 
Höße ift gleich, der wahren Höhe, vermehrt mit der Sum⸗ 
me aller Strahlenbrechungen. 


Beweis. Weil die Linien HN, ME horizontal 
find, fo ift dee Winfel HIS die wahre Höhe des Gegen- 
ſtands S, Wird nun ber zuletzt gebrochene Strahl rO, 
ber ing Auge bey O fällt, nad) Orhf fortgegogen, fo 
ffteht das Auge O den Gegenftand S längft Ohf, bee 
alfo unter dee Höhe Hihf erfcheint, folglich ift Hihf die 
ſcheinbare Hhe= Nho=hIF+IFh=HIS+iFr 
Se der wahren Hoͤhe m dee Summe aller Strahlenbres 
ungen (5. 1.) 

83. Aufgabe. Das Verh altniß der Strahlen⸗ 
brechungen su den ‚entfprechenden Höhen oder Abfländen 
vom Scheitelpunfte zu finden. 


Aufloͤſung. Es iſt bekannt, daß das Verhaͤltniß 
der ſinus des Einfalls⸗ und Brechungswinkels in zwey 
nehmlichen Materien, fuͤr alle Einfallswinkel beſtaͤndig 


iſt: Alſo fege man: ſin SIZ: ſin PIK=m: n, 
—— fin 


aſtronomiſche Strahlenbrechung. 3 


fin PIR oder fin-IRA: finrRp.=n: p, auch 
fin rKp: fo DrO==p: q, folghich SIZ: fin DrO 
=m:p. Nun ift S1Z der wahre Abftand des Sterng 
vom Zenith, und San—ZhH die ſcheinbare He! h, 
auch if OrDz=go®—h, 


Nun ift die wahre Höhe: H+ allen Strahlenbres 
chungen = h. Iſt der ſcheinbare Abftand =orD==Z, 
fo ıft der wahre Abftand ober SIZ = 90° — H 
==900°—h+ alten Str. Br. = Zt Summe der. Er. 
Br. Diefe Summe * R 4R +RrfoyglihaRr, oder 
ein Multiplum der legten Strablenbrechung; alfo SIZ 
—=Z+aR. $olglihfin(Z+aR): finZ==m:g. Alfo 
für-einen andern fcheinbaren Abſtand Z’ und der zugehoͤ⸗ 
rigen Strahlenbrechung = r, wird eine ähnliche Pens 
portion ſtatt finden, naͤmlich in? n 5): finZ=m: 
alfo fin (Z’-+H-nR): fin Z = fin (7 + m)‘: fin * 
Aber zufolge der trigonometriſchen Formeln bekommt 
man, ſin Z cofnR—+- cofZ. fianR: fnZz= finZ 
cfnr+ cofZ finnr: fin Z, woraus folgt, daß 
coffoR + cot Z finnaR — cof. nr + cotZfinnar 
MWeilnunnR und nr fleine Winfel And, fo kaun man 

2An2 3 
otR=ı sd nnr=mır — an 





6 
R? 
ſetzen, woraus dieſe Gleichung entſpringt — — 


2 


©... MR nr? , 
Er ie ae 


2,3 
— cot Z; Die Aufloͤſung dieſer quadratiſchen | 


- Gleichung giebt: | 
a3 (r+R) voR) — cz) m Ds, 
32 r’cotZ —R? cot zit * cotZ —R?’cotZ 
j wenn 





ı 


4 IJ. Hennert, über die. 


wenn man durch D den erſten Terminus bee zweyten Glie⸗ 
des bezeichnet. 


6. 4. ‚Wären wey beobacheete Surhlerbrechun— 
gen, R und r für die Abſtaͤnde Z und Z befannt, fo 
koͤnnte die unbefannte Groͤße n beſtimmt werden. Wir 
wollen zu der Abficht zwey Beobachtungen aus den Ta⸗ 
feln des Bradley nehmen, eine fuͤr den Abſtand 7* 89°, 
wo die Strahlendbredhung oder r == 24 237,6 die 
andre für 2= 869%, deffen GSteahlenbrechung oder 
| R=ır sı,rif. Um den Werth des Coefficienten 
ang diefen Beobachtungen durch Rechnung abzuleiten, muß 
man auf zwey Stücke Acht geben 1) daB die Bogen in 
Sheilen des Radius ı muͤſſen beſtimmt werden, durch 
die bekannte Proportion des Bogen, der dem Radius 


eo hL nR 

gleich if, oder 206264 =S5:.ı==0R: ey Alfo 

muß man überall für nR und ar, nR: Sund ar: S 

ſchreiben. 2) Um die Rechnung gefchwinder zu machen, 

iſt es rathſam — fürn. zu fegen,: wodurch man fölgende 
Gteichung erhaͤt · I | 

(r ER) (r—R)_ 4 V R?cotZ—r?cot —— 


2 





WET Rear Z—rcorZ)  6S°(ReorZ—rcnZ) ° 
Der Zaͤbler R? cot — 13 cot Z laͤßt ſich unter 
cotZ 
biefer Form R or leicht berechnen, 
Ich finde, 
ma ,836516 + Y (— 0,0004 -F 0, 0C6897573) 
== — 0,0830516' — 0,0837571 = — 0, 1058087. 


| aufo Rı=-.=—60z10, 


5. 5. 


NT 
. \ 


aftronemifche Strahlenbrechung. 5 


6.5. Han kann n=—6 fegen, weil bie Rund 
r Heine Größen find. Die allgemeine Gleihung wird als 
fo in diefe beſtimmtere verwandelt fin Z’: ſin Z —6r) 
=={inZ: fn€Z-6R) Daß der angenommene Werth 
für n dem wahren fehr nähert, kann man aus ber 
Nedhuung beweifen, weil log fin Z — log fin Z 
== 0,0009930 giebt, und log fin (Z=6r) — log 
(Z—6 = == 0,0009941. 


5.6. Wenn man für Z’ einen getbiffen Aston 


== 89° und für r die Strablendrehung = 24 287,6 
annimmt, fo bekoͤmmt man eine gemächliche Formel, um 
die Nefraction für einen gegebenen Abſtand Z zu beſtim⸗ 
men; nämlich weil fin 39%: ſin 860 33 8,4 =linZ: 
fin (Z— 6r), fo it log fin (Z— 6r) = log fin Z 
+ 9,9992795. Man ſieht z. E. die Strahlenbrechung 
für den Horizont, ‚to Z== 90°, alfo 0+9,9992795 
= log 86° 42°’2”. Solglich iſt Z —6R==86° 422, 
alfo 6 R= 909° — 86° 42’ 2" = 39 17’ 58”, enblich bie 
Strahlendrechung oder R== 32’ 59”,5. Nach diefer 
Sormel habe ich einige Strahlenbrechungen berechnet, bie 
von der Bradleyfchen wenig abgehen. 











7 1901 89 1 88 | sr I ss. 
Bereihnere ’ 
Strablenbrech · 32 59", 5124 28,6] 18° 34°, SJI 35” Jar sı“,z - 
Bradlenfche n . 
Strahlenbrech. 133 24 28, 6418 35" I14 35", 611 Si, 
Z 85 84 83 52 
Perechnete ' 


Strablenbrech . 
Bradleyſche 
Strahlenbrech. I 9 54, 31 8 27",81 7 207,51 6 29,4 
5.7. Die Bradleyfche Formel, um die Strahlen⸗ 
brechung zu finden, fann aus der vorhergehenden abge» 


leitet werden. Es war 6.5.finz: fin (Z— 6r) 
A 3 == fin 


—J— 


6 | IJ. Henuert, über bie | 
== finZ: fin (Z6R), alfo fin Z’+ fin (Z/ — 6): 
fin Z — fin (2? — 6r)= fin Z+ fin (Z— 6R): 


22 —6 
nz — fin (2 — -6R); tang(? _! : tang 6r 
2 2 





2Z=6R GR 
ober == tang =) : tang — — 9 oder tang 


{2 —3r): tung 3r tang (Z— SR): tang 3 R. 
Sirnd die Strahlenbrechungen klein, nämlich wenn Z 
Peiner als 86° it, fo fann man tang 3R3 R ſetzen: 
dann erſt befommet man die Bradleyſche Kegel, . nämlich 
tang(Z —3r): R. Es erhellet, daß diefe Proportion 
nur eine approrimirte ift; und baf der Gebrauch derſel⸗ 
ben weitläuftiger iſt als die unfrige. Weilman die Strah⸗ 
“ IenbrechungR für den gegebenen Abftand nicht weiß, muß 
man bdiefelbe erft ohngefähr finden, durch diefe Propor⸗ 
tion, tang(Z —3r): r==tangZ: R, und hernad) 
das gefundene R in der erfien Proportion fubftituiren, 
um die verbefferte Strahlenbrechung genauer gu beſtimmen. 
Mir gebrauchen nur- eine Proportion. 


8. Die zwey Lehrſaͤtze (a 1.2.) Finnen auch bes 
tiefen werden, wenn man anftatt gerade horisontale Li⸗ 
nien, concentrifche Echichten nimmt, in welche der Luft« 
kreis um die Erde vertheilet ſey. Man ziehe aus dem 
Mittelpunck der Erde, Linien nach den Puncten der ein- 
fallenden Strahlen, .fo entſtehen die Einfallswinkel, nur 
daß man auf der Erde.eine Tangente ziehen muß, welche 
den Horizont vorſtellk; nach diefem berlängere man den 
erften einfalfenden und den zuletzt gebrochenen Strahl, 
fo wird man ebenfalls finden, daß der Unterſchied der 
fcheinbaren und wahren Höhe der Summe aller Refrac⸗ 
tionen gleich ſey. Alſo laſſen fich: auch die gefundnen For⸗ 
meln auf den Lufttreisꝙ anwenden. 


8.9. 


/ 


aſtronomiſche Strahlenbrechung. . 7 


. 9. Simpſon hat (Mathematical-Diſſorta- 
tions, London 1743. p. 46- 59) bie Strahlenbrechung 
aus der anziehenden Kraft, welchem die Lichtſtrahlen in 
der Luft unterworfen ſind, ſinnreich abgeleitet. Er fin⸗ 
det zwey Formeln, eine fuͤr die Strahlenbrechungen, wo 
die Abſtaͤnde vom Zenith Heiner als 70° find, wo die Tan⸗ 
genten der Abfkände fich wie die Strahlenbrechungen ver» 
halten. Diefe Sormel folgt aus der approgimirten Brada 
Iepfchen; wenn nämlich 3 R fehr klein in Anfehung des 
Z ift, fo iſt tang (Z—=3R): Rwietang Z:R.*). 


Die zweyte Formel ift für die Strahlenbrechung ber 
Abftände die größer ale 20° find. Diefe Formel fomme - 
mit der unfrigen überein, nur dag Simpfon Y oder 
5.5 für unfer n annimmt. Näntlich die Simpfonfihe 
Proportion wuͤrde dieſe ſeyn: 1: ſin 860 584 oder 
0,9986 = fin Z: fin (Z— 5,5R), melde auf bie 
Horizontal Refraftion S 33’ gegründet if. Bosco⸗ 
dich hat diefelbe Materie aus ber. Lehre der anziehenden 
Kraft abgeleitet. „Die Aufldfuna ift im Wefentlichen 
von der Simpfonfchen nicht unterfchieben. Boscovich 
findet nur die approximirte Fotmel des Bradleys, naͤmlich 
daß tang (Z— 3 R)wie Riſt.“ Aber dieſe Formel iſt nicht 
fo genau als die Simpſonſche oder die unſrige A ſtrono- 
mie par M. de la Lande, $. 2200-2203). 


6. 20. Die Aufldfungen von Simpfon und Bos⸗ 
covich find insbefondere auf die Vorausſetzung gegrün« 
bet, daß die Dichte der Luft einförmig von oben. nach, 
unten zunimmt. Weil nun aber unfre Auflsfung auf 

Ä 14 Ä feiner 


*) Diefe Simpfonfhe Proportion kann . aus der Gleichung 

cof nR-+cotZ, finnR= cofn-FcotZ finm abgeleitet wer⸗ 

- den, wenn man cofnR und cof nr = ı, und inonR=nR 

und fn nr=nrfest, woraus entflehet R cor Zr. cotZ, 

R: r=corZ: cotZ =tangZ: tang Z. Alſo dat‘ diefed 
—X nur fuͤr ſehr kleine Kereactionen Batt. 


\ ’ 
" A 


$ IT. Käffner, wie dunkle Koͤrper leuchten 


keiner phyſiſchen Hypotheſe beruhet, nur aus einfachen 
optiſchen Grundſaͤtzen abgeleitet ift, fa koͤnnte die Vor⸗ 
ausſetzung ber einfoͤrmig zunehmenden Dichte der Luft da⸗ 
‚durch einigermaßen: beſtaͤtigt werden. Ich werde mich 
. Bemühen, die Lehre der Strahlenbrechung, wenn dieſel⸗ 
be den Veränderungen des Luftfreifes, mit Ruͤckſicht auf 
<hermometer und Barometer unterworfen iſt, in einem 
andern Aufſatze abzuhandeln. 


Utrecht, den 27. Dftober 1795... en 
| . 
IL 


ie gbrver leuchten, die fein \eigenthümfiches 
Licht haben. — KRoger Bato, 
| Euler. 





9, Srancifcaner, Roger Baco, welcher 1292 oder 
7294 ſtarb, iſt wegen‘ feiner mathematiſchen Einfichten 
und Entdeckungen beruͤhmt. Rogerii Baconis, Angli, 
viri eminentiſſimi Specula mathematica, in qua de 
Specierum multiplicatione, earumdemgne in infe- 
tioribus virtute agitar; liber, omnium Scientiarum 
ſftudioſis apprime utilis; editus Opera et Studio Joh. 
Cömbachii, Philof. Prof. in Ac. Marburgenfi ordi- 

narii, iſt zu Sranffure 1614 in Duart herausgekom⸗ 
men. Enthält außer einigem Allgemeinen: über die Ma⸗ 
thematik, optifche Lehren. Im erften Theile, diſtinct. 4. 
cap: 1. P. 33... wird vom Lichte der Sterne gerebet. 
Baco glaubt dem Ariftoteles, daß alle Sterne ihr Licht 
von der Sonne Baben, den Beweis geben die Mondfin⸗ 


ſterniſſe/ 


nach Averroes, Bacco, Euler: 9 


ſterniſſe, der Schattenkegel reicht nur bis an Merkurs 
Kreis, daher koͤmmt der Mond allein in ihn. 


Nun glaubt totum vulgus Studentium quod lu- 
men quod venit ad nos de luna et ſtellis, quod ſit 
lux Solis reflexa a fuperficious earum, ſed hoc eft”- 
impofhbile propter aequalitatem angulorum inci- 
dentiae et reflexionis . 


Paco zeigt dieſes durch eine Figur. Don ber Son. 
ne-fälle ein Strahl auf den Mond, und der wirft ihn 
nach dem Geſetze der Keflerion auf die Erbe. Dieſer 
Strahl koͤmmt an. eine beftimmte Stelle ber Erde, und fo, 
fagt Baco, werde es mit allem Lichte ſeyn, das auf des 
Mondes Flaͤche faͤllt; es ſey Alles wie ein Strahl, falle 
in ungleichen Winkeln auf die Oberflaͤche des Mondes, 
und werde nach einem beſtimmten Theile reflectirt. Folg⸗ 
ih wenn diefes Kicht fo auf die Erde fäme, würde ber 
Mond nur einen beftinnmten Theil des Horizonts erleuch⸗ 
ten, aber wir ſehen, daß er die ganze Halbfugel erleuche 
tet, tie die Sonne. Alſo ift dag Kicht, das vom Mon⸗ 
de und von den Sternen koͤmmt, nicht reflectirtes. 


Baco erwaͤhnt Auer. 2. Coeli et Mundi, braus 
che diefen Beweis, und beftätige durch fein Anfehen, dag 
Licht, dag von den Sternen gu und koͤmmt, fey nicht 
Sonnenlicht, von der Sterne HDberfläche reflectirt, 
edu&tam tamen de potentia materiae in corpore ftel- 
lae, per virtutem Solis venientis ad ftellam, quae | 
virtus alterat et tranfınutat ftellam, et facit lumen 
in ea, et quando habet lumen naturaliter genitum 
in ea, ficut Sol habet lucen creatam, tunc poteſt 
multiplicare lucem a fe undique ſicut Sol, ettunc 
concedendum quod lumen Solis reflettitur a Super- 
ficie lunae; fed non venit ad terram ſed adaliam par 

. | = 5 tem 


10 II. Käftner, tie dunkle Körper leuchten, 


tem mundi declinat, 'in coeleftibus fecundum aequa- 
litatem angulorum incidentiae et reflexionis. 


‚Euler lehrt befanntermaßen, dunfle undurchfichti- 
ge Körper werden von nnd nicht deswegen gefehen, weil 
ſie Licht, das etwa die Sonne auf fie fendet, nach den 
Geſetzen ber Reflexion zurückfenden, fonderg, weil durch 
das auffallende Licht die Fleinften Theile, die fich in ihrer 
Hberfläche befinden, in eine gewiffe Bewegung fommen, 
Durch welche Strahlen erregt werden, tie für fich leuch- 
tende Korper, durch die Bewegung ihrer Theile in der 
umliegenden Materie bes Lichts erregen. 


Euler, lettres a une princefle d’ ‚Allemagne, 

T.L St. Petersbourg 1768, Lettre 25. p. 96. 
Eulers: Briefe Über verſchiedene Gegenftände aus der 
Naturlehre ... von Kries. keipt 1792. 1. B. 26. Br, 
139 S. 

Findet man nicht in dieſer Lehre, Bacos, aus 
dem Alhazen angeführte: virtusem Solis ... inultipli- 
care lucem a fe undique ſicut Sol? 

Wie Baco ſich vorſtellt, daß die irdifchen Körper 
ung ſichtbar werben, die wir bunfle nennen, fann ich 
nicht fagen, er erwähnt bergleichen nicht. 


Daß wir fie nicht durch zurüchgetworfne Strahlen 
ſehen, ſchließt Euler daraus, meil wir fie felbft fehen, 
nicht auf ihnen Bilder der Gegenftände, die. ihnen Licht zu⸗ 
. fenden. Der Schluß hat mir nie fehr bündig gefchienen. 
Der Spiegel zeigt ein Bild, weil feine glatte Fläche bie 
Strahlen nad) der Drdnung jurücke wirft wie ſie diefelben 

bekoͤmmt; macht man feine Fläche rauh, fo bleibt er nicht 
. Ein Spiegel ; jede Ungleichheit ber Oberfläche, iſt durch 
mehrere Ebenen begrängt, wenn deren jede das Licht wie 


ein fleinee Spiegel zuruckwirft; ſo iſt deutlich, daß alle 
zuſam⸗ 


nach Averroes, Baco, Eule. =  ıı 


| zuſammen die auffallenden Strahlen nicht i in.der Ordnung. 


\ 


nach dem Auge fenden wie fie folche befommen. Eben alfo 
last fich gar leicht erklären, warum. rauhe Slächen keine 
Spiegel find, fo wie gegentheil jeder Körper fpiegelt, 
wenn er eine glatte Oberfläche erhalten kann deren äußere 
Theile für fi) von dem Auge nicht unterfchieden werben. 


- Euler ift alfo durch eine gang andre Reihe von Ges 
danfen auf feine Lehre gekommen, als der Araber, mel 
ches man zu feiner Rechtfertigung anführen Eönnte, wenn. 
er eine gegen den Einfall brauchte: feine Erklaͤrung, 


„wie dunkle Körper ung fichbar werden, fey von Aver⸗ 


roes genommen. 


Daß der Mond das Sonnenlicht ung nicht fo zuſen⸗ 
det, wie ein erhabener Spiegel thun wuͤrde, iſt richtig. 
Ein ſolcher Spiegel wuͤrde um die Oppoſition, ſtatt des 
Vollmondes uns eine glaͤnzende Stelle zeigen, deren 


ſcheinbare Größe etwa 4 Secunden wäre, wie ich im 


meiner Abhandlung de objecti in Speculo Sphaerico 
vii magnetudine apparente gewiefen habe. Novi 
Commentar. Soc. Sc. Gott. Tom. VIII. ad 1777, 
p. 114. Aber daß lehrt nur fo viel: Die Oberfläche 
des Mondes fey nicht glatt, fondern vol Ungleichheiten, 
wovon freylich zu Bacos Zeiten, außer dem Mann im 
Monde nod) nichts befannt war. 


4. G. Käftner. 


ur 


En 


12 m Küfıne, wie viel wirft der Rabe 
m. 


Wie viel Steinchen muͤſte der Rabe ins Gefaͤß 
werſen? berechnet von a G. Kätiner. 


1, Minis Nafurg. X. B. 43. Cap. berichtet: Ein 

durfliger Rabe habe in ein Gefäß Steine geworfen, das 
mit das Waſſer im Gefäß in die Hohe getreten fey, und 
. von ihm habe fönnen erreicht werden. 
u Harsdoͤrfer hat zu dieſer Erzaͤhlung ein Exempel 
berechnet. Mathematiſche und philoſophiſche Erquick- 
ſtunden, zweyter Theil (als Fortſetzung von Schwen- 
ters Erquickſtunden) Nuͤrnb. 1677, im dritten Theile 
(der dritten Abtheilung) 26 Aufgabe, 121. Seite. 

2) Wehn man mit Harsdoͤrfer das Gefäß cplin- 
drifch annimmt, die Steine Fugelförmig, fo laßt fich die 
Frage fo abfaflen: 

- Ein Eplinder habe zum Durchmeffer c. Es ſteht 
in ihm Waffer auf die Höhe b, man fol n Kugeln hin- 
einwerfen, jebe vom Durd,meffer = e, damit das Wafa 
fer auf die Hoͤhe b-Fh fleigt. 

3) Diefe n Kugeln alfo müffen foviel Raum aus⸗ 

- füllen, ‘als ein Eylinder hat, beffen Durchmeffer = c; 
Höhe =h. | 

Sch fage nicht, biefen Eylinder ausfüllen; das 

koͤnnen fie begreiflidy nicht, fo wenig als die Duadrats 

. fuße, die den inhalt eines Dreyecks angeben, dag Drey« 

eck ausfuͤllen. 

4) Ich ſtelle mir zween Cylinder vor; I. Cyl. 
deſſen Durchmeffer = feiner Höhe = e; II, Cpl. deſſen 
Durchmeſſer— c; Höhe = h; So if: | 
— | Kugel 


Steinen ing Boffergefäß? 13 
Kugel vom Durchmeer e: Ip. = 2: 3 
"Il. I Cpl. =e: c®h 
Kugel: U. = 2.0; 3. eꝰ. h 


Oder: Kugel = — — II Cyl. 
3. c°. ch 
Sollen alſo n Kugeln = Mi Cyl. ſeyn (3), ſo iß 


1 2e2 d .c? 
a 2.ch st | | 
5) Man nehme zum Längenmaße die Dicke eine®. 
Gerſtenkorns, und feße den Durchmeffer eineg Steinkuͤ— 
gelchend —= 3 Gerftenfsrner = e, des Cylinders Durch⸗ 
meffer = J Elle = 32 Gerfienförner —= c; das Wafı 
fer um Z Ele = 16 Gerftenförner = h si erheben, fo 


2°; 1 2.32. 
temmt n — 3: 32°. 16 — 3 32.8 „1024. 8 
. 227 ,., 9 29 
* —* | R u 


6) Harsdörfer giebt dieſes Erempel. Er fagt:. man 
rechne acht Duerfinger auf eine Elfe, und auf einen Quer⸗ 
finger 4 Gerftentörnlein, daß alfo auf F Elle 32 kom⸗ 
men, folglich ift die erfte Angabe ein Schreibe. oder Drucks 
fehler, und fol heißen, acht Duerfinger auf 4 Ele. 
"Nach diefer Berichtigung flimmen 9. Zahlen unter fich 
überein, und er findet einerley mit mir, ‚aber Diet weit 
läuftiger, weil er nach der Verhaͤltniß 73: 22 Gefaͤß und 
Kugeln ausrechnet. 


7) Da dieſe Verhaͤltnit nicht die ſchaͤrfſte iſt, ſo 
koͤnnte jemand, der ſo wie H. aber mit einer ſchaͤrfern Ver⸗ 
haͤltniß rechnete, erwarten; etwas genaueres als H. zu 
finden. W 

Das geſchieht aber deswegen nicht, weil die Verhaͤlt⸗ 
niß des Durchmeſſers zum Umkreiſe, aus der Rechnung her⸗ 
ausgeht; 


14 111. Käftner, wie viel wirft der Rabe 


ausgeht: haͤtte H. ſtatt ihrer 1: 3 genommen oder gar 


eine falfche; fo hätte er doch n eben fo richtig heraus ge= 


bracht. Wenn man Räume vergleicht, die durch den 
Kreis begrängt werden, fo geht die Verhältniß des Durch⸗ 
meſſers zum Umfange aus ber Vergleichung, oder auch man 
kann die Vergleichung: fo anftellen, daß diefe Verhaͤltniß 
gar nicht gebraucht wird, wie mein Verfahren in (4) zeigt. 


| 8) Wie hoch das Waffer anfangs fland, koͤmmt in 
(4) gar nicht vor, weil man nur zu wiſſen verlangt tie 
viel nad) Einwerfung ber Kugeln feine Oberfläche Höher 
ſteht ale anfangs. 
Indeſſen nahm nach (2) das Waffer allein anfangs 
denKaumzfarc” bein; jede Kugel nimmt den Raum 7. 


3 \ 
_ ein, alfo dien Kugeln (4). den Raum Zw. c?.h; folg⸗ 


ih Waffer und Kugeln zufanmen ben Raum 4 m. c?. 
(6 * h). Solchergeſtalt muß die wagrechte Oberfläche 
des Wuſſers nur um b+h über des Cylinders Grunds 
fläche ſtehn; ob fich gleich nicht alles Waffer über den 
Kugeln befindet, manches noch den Boden benegt. 


9) Wie die Kugeln im Eplinder liegen, tie viel 
in einee Schicht, wie viel Schichten über einander, dag 
koͤmmt auf die Verhaͤltniß der Durchmefler, einer Kugel 
amd des Cylinders an, und laͤßt fich nicht einmal allge- 
mein angeben. | 

10). Weil nur bie Frage. it, den Kaum 3. cc’. h 
auszufüllen, . fo leifteten eben das n Würfel jeder fo groß 
als jede der Kugeln. Die Seite eines folchen Würfels 


‚wäre = e. Mr; und fo Rörperchen von andern Ge⸗ 

ſtalten. Die Vorausfegung von Kugeln machte nur bie 

Darſtellung und Rechnung am leichtefien. 
| 11) 86 


: Steinchen ins. Woffergeföß ? 15 


11) Db übrigens Situla in monumento beym 
Plinius ein Eplinder heißen kann, das wird wohl hier 
gleichguͤltig ſeyn, mo nur gewieſen wird, wie fih Die 
Rechnung bey:angenommener Geſtalt des Gefäßes führen 
läßt. Die Nachricht vom durfligen Naben ſteht auch 
beym Aelian 2.8. 45.€. mit der metaphpfifchen Bemer- 
fung, daß die Naben alfo wiſſen: Zween Körper können 
niche .an ‚einen und demfelben Drte feyn. Noch kann 
man voͤllig anf die Art berechnen, wie viel fih aus einem 
Eylinder Bley, defien Lange = h, Durchmeffer = c, 
Schrotfügelchen. vom Durchmeſſer == e gießen laſſen— 
nach Raben u perſchithen. | 


Dr w. 


Siumbfige be bei neuen Feampöi (chen Zeitekming 
ſamt qusfuͤhrlichen Tafein zur Zuon wiüns 
des neuen und-. alten. Colenbers; von⸗. 

u Wurm. . ern et 


77.5. 


. . 12 [2 





9), newe politifche Zeitrechnung der Srangofen, wie 
man auch fonft von ihrem Werthe denken, und wie 
furg auch vielleicht ber Zeitraum ihrer Dauer feyn 'mag, 
behält doch, wegen fo vieler urfprünglich nach ihr datir« 
ter Ereigniffe, für die Gefchichte unferer Tage einen ges 
wiffen Grad von Wichtigkeit, und ihre genauere Kennt⸗ 
niß wird zur Reduction vieler Epochen der neueften Welt- 
begebenheiten auf die gewoͤhnliche Zeitrechnung, immer 
nothwendig bleiben. Chronologie, ein Theil ber ange⸗ 
wandten Mathematik, laͤßt fich nur mit Hülfe machema- 
tifcher, vorzüglich aftronomifcher Säge, richtig beurtheilen. 


16 , IV: Wurm, Grunbfäge der neuer 


Sch glaubte daher, manchen Leſern des Archivg 
Durch.gegenwärtigen kleinen Auffag um ſo mehr einigen 
Dienſt zu erweifen, da’ ich bemerft habe, daß die Be 
griffe des teutfchen Publikums von der franzöftfchen Zeit 
rechnung in neuern Schriften, politifchen . Blättern 
u. d. 91. zum Theil ſehr fchmanfend: und. unrichtia, auch 
fogarı wiele durchaus falſche franzoͤſiſche Calender ın 
Zeutfchland im Umlanfe find. So ſah ich z. B. einen-zu 
Baſel bey Flick im 8. erſchienenen „Nenen franzoͤſiſchen 
„m Ealender- vom dritten Fahre der franz. Republik, wel⸗ 
hrs anfängt den 22 Herbſtmonat 1794, und endet 
„den 21 Herbfimonat 1795.% "Schon. der:Zitel ift 
falfch: denn dag dritte franzdfifche Jahr endete fich am 
22 Herbfimonat 1795, und war ein Schaltjahr. Dieß 
beweiſt nicht nur Real's bekaͤnnte Echilderung des 12 
und 13 Vendemiaire (4. und 5. Dit.) 370 50 wo Bege⸗ 
benheiten "dom ſechsten Four complönigntäire, oder 
som Schalttage des 3ten Jahre (22. Sept: 1795) er⸗ 
wähne werden (ſ. Minerog von Archenhols, Oec. 1795), 
fondern auch die aſtr onomiſch ‚berechnete Connoiſſance 
des temps pour | annee 1795 fo mie der neuefte Band 
der Connoiſſauce des teinps pourlannde 4du 23 Sept. 
„1795 au 21 Sept. 1796. Auch felbft dag Jour⸗ 
nal: Frankreich im Jahre 1796, enthält auf der letz⸗ 
ten Seite des ıflen Stuͤcks einen irrigen Calenderauszug 
unter der ungegründeten Vorausfegung, daß dag vierte, 
und nicht das dritte fram: Jahr ein Schaltjahr fey. 
Die gründliche Beurtheilung diefes ganzen Gegenftandeg 
gehoͤrt, wie aus dem folgenden erheflen wird, vor das 
Forum der Aſtronomie: daher ift auch vom gefeßgeben«- 
den Corps in Paris befchloffen worden, daß die aftrono« 
mifchen Mitglieder des neuen Iuſtitut National, die zu⸗ 
gleich Mernbres du Bureau. des Longitudes find, jährlich 
ber Geſetzgebungsſtelle den Entwurf des franzoͤſiſchen Ca⸗ 

lenders 


—3 


| frangöfifchen Zeitrechnung , nebft Tafeln. 17 


lenders auf das nächkfolgende Jahr übergeben follen, um 
die von Staats wegen abgefaßten Ealender, ald Mufter 
der übrigen, darnach reguliren zu können, Einen leſens⸗ 
werthen Auffag über die auffalende Aehnlichkeit des Neu⸗ 
frangdfifchen mit dem Altperfifchen Galender, famt ver« 
ſchiedenen literariſchen Notizen, enthält ber Neichganzei« 
- ger vom 29. Dec. 1794. — Dieß vorausgefchickt, fuche 
ich bier die Grundfäge der franzoͤſiſchen Zeitrechnung felbft, 
auf eine auch für bloße Liebhaber der Mathematik verftänd 
liche Are zu entwiceln. 


8. 1. Bekanntlich beruft die Einrichtung des Gre⸗ 
gorianifchen Calenders, welcher feit 1777 als allgemei⸗ 
ner Keichscalender gilt, außer der Methode dag Dftere 
feſt zu berechnen, hauptfächlich darauf, daß in 4 Jahr⸗ 
hunderten je 3 Schalttage ausfallen, fo daß 5. DB. dag 
Jahr 1600 ein Schaltjahr, hingegen bie Jahre 1700, 
1800, 1900, ungeachtet fie durch. 4 theilbar wären, 
gemeine Fahre find. Das Audlaffen diefer Schalttage 
gründet fich aufdie wahre Größe des Sonnenjahrg, wel⸗ 
ches ungefähr um 11 Minuten Fürzer ift, ald das im 
ulianifchen Galender zu 365 Tagen 6 Stunden ange 
nommene, und daher alle 4 Jahre Einen Schalttag erfo⸗ 
dernde Sonnenjahr. 


‚, & 2. Ganz genau waͤre dieſe Gregorianiſche Art, 
die Schalttage abzugleichen, nur alsdann, wenn das 
tropiſche Sonnenjahr 365 Tage 5 Stunden 49, 12” 
oder 36525 Tage wäre: fo würden mwirflid in 400 
Jahren nur 97 Schalttage, flatt 100, erfordert. Allein, 
ba dag tropifche Sonnenjahr nad) den neueften Beſtim⸗ 


mungen, die man wenigſtens auf 2 bi 3 Gecunden für- 


ſicher zu halten berechtigt if, nur 365 T. 5 ©t. 48' 48° 
gefunden wird, fo nimmt der Gregorianifche Calender 
offenbar das Jahr um 24 Sec. zu groß. 


rauſtes Heſt. B 6. 3. 


. 
\ 
‘ 


18 ı IV. Wurm Grundſaͤtze der neuen 


8.3. In der neuen franzoͤſiſchen Zeitrechnung wirb 
das Jahr in 12 Monate, jeder zu 30 Tagen oder zu 3 
Decaden, abgetheilt: am Ende der 12 Monate werden, 
um die Zahl der Tage bis auf 36 auszufüllen, 5 Er⸗ 
gänzungstage, anfänglich Sansculotrides, jest Fours 
complementaires genannt, und in einem Schaltjahre 
6 s Ergänzungetage eingeſchaltet. 


6. 4. Sowohl der Anfang des Jahrs als der das 
mit genau zufammenhängende Schalttag werden in ber 
franzoͤſiſchen Jahrrechnung anders, als in der Gregoria⸗ 
nifchen befimmt. Da die Sonne fiheinbar in einem 
Kreife läuft; ſo iſt, an fich betrachtet, der Anfang des 
Sonnenjahrs ziemlich gleichgültig; fein Punct des Kreie 
ſes verdient mehr, als ein anderer, der erfle zu feyn. 
. Nun bat der franzöftfche National-Convent im jahr 1793 
decretirt, daß eine nene Jahrrechnung von der Grüns 
dung. oder, wenn man der Wahrheit gemäßer fprechen 
will, von der Ausrufung der franzsfifchen Republik den 
Anfang nehmen follte. Dieſe Ausrufung gefhahb am 
21. Sept. 1792, und der folgende Tag, der 22. Sept. 
‚1792, if, zufolge des Decretd, der erſte Tag des erſten 
Jahrs man waͤhlte dieſen, und nicht den vorhergehen⸗ 
den Tag, weil der 22. Sept zugleich mit der aſtronomi⸗ 
ſchen Herbſtnachtgleiche gerade zuſammentraf. 


| $. 3. Das nämliche Decret (5. 4.) feste folgendes 
feft, was man als erken, das neue chronologifche Sy⸗ 
ſtem gang umfaffenden, Grundſatz zu bemerken bat. „Die 
„Witternachreftunde vor der Gerbfinachtgleiche 
beftimmt jedesmal den Jahreswechſel.“ Nach der 
Vorſchrift des Decrets muß alfo der Anfang eines jeden 
Jahrs fo beſtimmt werden, daß man aus aftronomifchen 
Tafeln den Eintritt der Sonne in die Waage, nach wahrer 
zeit zu Paris, eigentlich nach wahrer Zeit der Stern⸗ 
“ - warte 


 feangöfifchen Zeitrechnung nebft Tafeln. 19 


warte ber Nepublif berechnet; mit der unmittelbar vor, 
bergehenden wahren Mitternacht fünge das Fahr und . 
beffen erfter Tag au. Go fiel, laut der eignen Worte 
des Decretg, „bie Herbſtnachtgleiche 1792 am 22 Gept. 
„Abende 9 St. 18’ 30” wahrer Zeit der Sternwarte zu 
„Paris,“ und daher fieng das erfie Jahr mit dem 22 
Sept. 1792 at. 


$. 6. Bey der Größe des Sonnenjahrs zu 5 Stun⸗ 
den 45 Min. 48 Sec. über 365 Tage ($ 2.) wird die 
Herbſtnachtgleiche alle Jahr ungefaͤhr um 5 St. 48"48" . 
ſpaͤter eintreffen: Die Fleinern Ungleichheiten bes Son. - 
nenlaufs laffen feine vollkommene Gleichfoͤrmigkeit zu. 
Traf nun z. B. die Herbſtnachtgleiche in einem gewiſſen 
Jahre auf den 22 Sept. 7 Stunden o Minuten Abends, 
fo ift offenbar, daß fie im nächften Jahre auf den 22 
Sept. 12 St. 49 Min., dag heißt, nach bürgerlicher Rech⸗ 
nung auf den 23 Sept. o St. 49 Min. Morgens, fal⸗ 
len, und alſo der Anfang des Jahres um einen ganzen 
Tag ſich verſpaͤten muß. Und dieß iſt die Bedingung, un⸗ 
ker welcher neufranzoͤſiſche Schaltjahre entſtehen. All⸗ 
gemein iſt ein franz. Jahr ein Schaltjahr, wenn die Herbſt⸗ 
nachtgleiche des folgenden Jahrs etwas fruͤher als 5 St. 
49 Min. nach per wahren Mitternacht einfällt. So traf 
die Sonne in die Waage 1795 am 23 Sept. 2 St. 43’ 
35” Morgend wahrer Zeit gu Paris: dag dritte franzde 
ſiſche Jahr war demnach das erſte Schaltjahr des neuen 
Spftemg; dena ed hatte mit ben 22. Sept. 1794 angefan« 
gen, und fein legter Tag war der 22. Sept. 1795, weil 
am 23. Sept. 1795 das ate Jahr anfleng. | 


: 67 Da im frangsfifchen. Galender ber Schalt. 
tag jedesmal durch aftronomifche Berechnung ber Herbſt⸗ 
nachtgleiche ſich von ſelbſt beſtimmt (5. 6.); ſo iſt leicht 
in "race, daß In Bälen, ‚wo die Herbfinachtgleiche abe 

B 2 nahe 


20 .IW. Wurm, Grunbfäße der neuen 
nahe, und 'nur ein Paar Minuten vor oder nach der wahr 
ren Mitternacht ſich ereignet, der Anfang des Jahrs, und 
alſo auch, ob es ein gemeines oder ein Schaltjahr ſeyn 
ſoll, von der Genguigkeit der Sonnentafeln abhaͤngt. So 
wird, wie ich aus den Delambreſchen Tafeln gefun⸗ 
den, die Sonne in die Waage treten: 1873 am 22 Sept. 
11 St. 5324 wahrer Zeit zu Parig; nach Hrn. Obriſt⸗ 
wachtmeiſters von Zach Tafeln, um 11 St. 47’2”. In 
- » Sranfreich wird man für diefen Zweck wohl meiftentheifg 
frangöfifche Tafeln. brauchen : die genaueften unter den leg» . 
tern find gegenwärtig die von Hrn. Delambre (Aftrono- 
‚miepar laLande 1792, Tome 1.) welche mit den von Hrn. 
von Zac) 1792 zu Gotha in 4to herausgegebenen Tabu- 
lae motuum Solis etc. immer auf wenige Secunden über» 
einffimmen. Die Sonnenlänge mäßte indeß im Jahre 
1873 bey Hrn. Delambre um 16 Sec. und bey Hrn, 
- von Zac) um-32 See größer feyn, um die Nachtglei⸗ 
che über die Mitternacht hinaus, und alfo den Anfang 
‚ded Jahrs auf den 23 Sept. zu bringen: bey beiden 
Tafeln aber ſteigt, wenigſtens für die gegenwärtige Zeit, 
der Schler nicht leicht auf 10 Sec. 


2 KR Nach 5.1 werden im Sregorianifehen Ca⸗ 
lender die Schalttage, welche bey fortgeſetzter vierjaͤh⸗ 
riger Einſchaltung zuviel ſind, ſo herausgeſchaltet, daß 
in vier Jahrhunderten dreymal nur alle acht Jahre ein 
Schaltjahr angenommen wird. Das franzsfifche neue 
Syſtem von Zeitrechnung, bey welchem ber Ynfang eines 
jeden Jahrs immer auf unmittelbare aftronomifche, und 
demnach immer mit dem Himmel Äbereinftiimmende Ned)» 
‚nungen fich gründet, bedarf jener. fünftlichen, und 
.($. 2.) doch nicht vollkommen genauen Anordnung nicht. 
Bon felbften aber bringt es der aftronomifche Calcul, ohne 
weitere dießfalls noͤthige Vorſchriften, mis fih, daß 
sine 


\ 


franzoͤſiſchen Zeixrechnung nebſt Tafeln. 21 


‚eine Franciade — fo heißt im neuen Calender ein mit 
einem Schaltjahre fich fchließender Zeitraum von vier Jah⸗ 


ren — in gewiſſen Sälen fünf Jahre, flatt der gemahns . 


lichen vier Jahre, in fich begreift. So finde ich z. B. 
für die erften hundert Fahre des franzdfifchen Galenderg 
GVergl. die Tafel bey $. 10.), daß zwiſchen den Schalt« 
jahren 15 und 20, eben fo zwifchen 438 und 53, zwi⸗ 
fchen 77 und 82, Franciaden von fünf Jahren enthals 
ten find, und daß überhaupt je die 7de oder Ste Francia⸗ 
de eine von biefer Art feyn muß. Durch folche außer, 
. ordentliche fünfjabrige Stanciaden fällt dann mehe 
allmählich, und, mie es fcheint, auf eine etwas einfa« 
chere ungefünfteltere Weife die ndthige Anzahl von Tagen 


aus, welche bey der Gregorianifchen Fintichtung, um 


den Calender mit dem Himmel in Harmonie zu erhalten, 
auf eine mehr gewaltfame und willfübrliche Art heraus. 
geworfen wird, 


8.9. Nimmt man, ſtatt bes etwas zu großen Gres | 


gerianifchen Sonnenjahre von 365285 Tagen, und des 
damit zufammmenhängenden Cyclus von 400 Jahren ($. 2.) 
mit den neueren Aftronomen, 5. B. Hrn. von Zac) und 
Ken. ta Lande, das Gonnenjahr zu 365 Tage 5 St. 
48 48” oder zu 365492 Tage an, fo fallen in 450 Jah 
ren nur 109, oder in 900 Sjahren nur 21:8 Schaltjahre, 
alfo 7 Schaltjahre weniger, als bey vieriähriger unun⸗ 
brochener Einfchaltung, melche in diefer zeit 225 Schalte 
jahre fordert, geſchehen mößte, und mithin bleibt im 


Durchfchnitte, alle 129 = Sabre Ein Schalttag bee 


dierjährigen Sntercalationefpftems zuruͤck. An diefen 
moͤglichſt genauen, aus ben neueften Beobachtungen here 
geleiteten Eyclus von goo "Jahren, ſchließt fih nun 
der franzoͤſiſche Salender vollkommen an. In biefen 900 
Sahren nimlich fallen allemal 28 außerordentliche Fran⸗ 





B 3 ciaden 


4 


/ 
22 ° W. Wurm, Grundfäge ver neuen 


ciaden von 5 Jahren ($. 8.), welche sufammen 140 Jahre 
umfaffen. Nun ſollten in 140 Jahren, bey vierjährie 

‚ger Einfchaltung, 35 Tage eingefchalteet werben, ober 
dieſe 140 Jahre follten 35 gewoͤhmiche Franciaden ent- 
halten; da aber die letztere in 28 außerordentliche Fran⸗ 
ciaden mit nicht mehr als 28 Schalttagen ſich verwan⸗ 
belt haben, fo fallen damit die 7 Schalttage, jeder zu 
feiner Zeit, regelmäßig aus, deren Auslaffung, wie oben 
angeführt worden, ber Cyclus von 900 Jahren mie 
ſich bringt. u 
8, 10. Um’bie bisher vorgefragenen Grunbfäge der 
franzoͤſiſchen Zeitrechnung anſchaulich, und auf eine Rei⸗ 
he von Beyſpielen angewendet, darzuſtellen, theile ich die 
hier folgende Tafel fuͤr das erſte Jahrhundert des 
neuen Calenders mit, welche ich ſo berechnet habe, 
daß ich die Herbſtnachtgleiche, wodurch der Anfang jedes 
Jahrs und das Schaltjahr beſtimmt wird ($. 5. 6.), aus 
ben Delambrefchen Tafeln mit hinreichender Genauig⸗ 
feit herleitete. “Der Anhalt diefer Tafel ift von felbften 
flar: man findet in derfelben x) mit welchem Tage des 
gewoͤhnlichen Gregorianifchen Calenders jedes franzsfi- 
fche Jahr von 1792 bie 1891 fich anfängt, und 2) ob 
es ein gemeines oder ein Schaltjahr iſt. Nach derfelben- 
wird 5. B. das 7te Fahr der franzgöfifchen Zeitrechnung 
am 22 Sepf. 1798 anfangen, und (weil der erfie Tag 
bes gten Fahre der 23 Sept. if) am 22 Sept. 1799 
fich fchließen, demnach, wie auch ber beygeſetzte Buch⸗ 
ſtabe B (annus Billa) anzeige, tin Schaltahr 
ron 


franzoͤſiſchen Zeitrechnung nebſt Tafeln. 23 j 
1. Tafel. Anfang der erften hundert: Fahre der ' 


franzoͤſiſchen Zeitrechnung. 





























Jebt Anfang. Jebr Anfang. 
1]22 Sept. 1792. B. 26|23 Sept. 1817 
.2)22 - 1793 | 27|23 - ı$ı8 
B. 3[22 - #794 B.28,23 - 1819 
4123 - 1795 ‚29|23 - 1820. B. 
5|22 - 1796. B. 30123 - 1821 
622 - 1797 sıl23 - 1822 
B. 722 1798 B.32|23 - 1823 , 
8[23 - 1799 33l23 - 1824. B. 
.9j23 - 1800 3423 - 1825 
9— 33 - 1801 35|23 - 1826 
B.ııl23 - 1902 B.36|23 - 1927 
12|24 - 1803 37l23 - 1828. B. 
13|23 - 1804. B. | 38[23 - 1829 
14123 °- 1805 39j23 - 1830 
B. 15123 - 1806 B.40l23 - 1831 
16124 - 1807 41[23 - 1832. B. 
1zs - 1808. B. 42|23 -‘ 1833 
18123 -. 1809 43123 - 1834 
19l23 - 1810 B. 44123 - 1835 
B.20|23 - ıgır 45|23 - 1836: B. 
aılz3 - 1812. B. 4623 - 1837 
-22|23 - 1813 4723 - 1838 
23|23 - 1814 \B.48123 - 1839 
B.24|23 1815 49123 - 1840. B. 
25123 - 1816, B. 50j23 - 1841 
4 L To 


Ä / 
22 : IV. Wurm, Grundſaͤtze der neuen 


ciaden von 5 Jahren (6. 8.), welche gufammen 140, fahre 
umfaffen. Nun follten in 140 Jahren, bey vierjährie - 
ger Einfchaltung, 35 Tage eingefchaltet werden, ober 
diefe 140 Jahre follten 35 gewoͤhmiche Sranciaden ent- 
halten; da aber die Ießtere in 28 außerordentliche Fran⸗ 
ciaden mit nicht mehr als 28 Schalttagen fich verwan⸗ 
belt haben, fo fallen bamit die 7 Schalttage, jeder zu 
“feiner Zeit, regelmäßig aus, deren Auslaffung, wie oben 
‚angeführt worden, ber Cyclus von 900 Jahren mie 

ſich bringt. 
§. 10. Um die bisher vorgetragenen Grundfaͤtze bee 
franzoͤſiſchen Zeitrechnung anſchaulich, und auf eine Rei⸗ 
he von Beyſpielen angewendet, darzuſtellen, theile ich die 
hier folgende Tafel fuͤr das erſte Jahrhundert des 
neuen Calenders mit, welche ich fo berechnet habe, 
daß ich die Herbſtnachtgleiche, wodurch der Anfang jedeg 
Jahrs und das Schaltjahr beftimmt wird ($. 5. 6.), aus 
den Delambrefchen Tafeln mit hinreichender Genauig⸗ 
feit herleitete. Der Anhalt diefer Tafel ift von felbften 
flar: man findet in derfelben x) mit weichem Tage des 
gewoͤhnlichen Gregorianifchen Kalenders jedes franzoͤſi⸗ 
fche Jahr von 1792 big 1891 fich anfängt, und 2) ob 
es ein gemeines oder ein Schaltjahr ifl. Nach derſelben 
‘wird 5. B. das Te Fahr der franzöfifchen Zeitrechnung 
am 22 Sepf. 1798 anfangen, und (Weil der erfie Tag 
bes sten Fahre der 23 Sept. iſt) am 22 Sept. 1799 
fich fchließen, demnach, wie auch ber beygefeßte Buch» 
ftabe B (annus Biffextilis) anjeigt, tin Schaltjahr 
ſeyn. 


n 
. 





frangöfifchen, Zeitrechnung nebſt Tafeln. 23 | 





\ 


‚Sabe Anfang. 
ı]22 Sept. 1792. B. 
2122 - 1793 

B. 322 - 9794 
4|23 - 1795 

.  5i22  _- 1796. B. 

:.6|22 - 1997 
B. 7|22 1798 
‚8123 - 1799 
9123 - 1800 
10123 - 1801 
B. 11l23 - 1802 
12|24 - 1803 
13123 - 1804. 
14123 '- 1805 
B.ı5 3 - 1806 
16124 - 1807 
as - 1808. 
18123 -. 1809 
1923 - 1810 

B. 20|23 - ıgır 

21l23 - ı8ı2. B. 
-22123 - 1813 
23123 - 19814 
.24123 - 1815 
25j23 - 


1816, B. 


1. Tafel. Anfang der erften hundert Jahre der 
| franzoͤſiſchen Zeitrechnung. | 


nn — —_—— 








Jabr Anfang. 
26|23 Sept. 1817 
27123 - 1818 

B.25,23 - 189179 

29123 - 1820. B. 
30'23 - 1821 
3123 - 1822 

B. 32123 - 1823 „, 
33l23 - 1824. B. 
34123 - 1825 
3523 - 1826 

B. 36123 - 1927 
37l23 - 1828. B. 
386123 - 1829 
39|23 - 1830 

B.40l23 - 18931 
4a1l23 - 1832. B. 
42123 -‘ 1833 
43123 .- 1834 

IB. 44j23 - 1835 
45123 - 1836: B. 
46123 - 1837 
47123 - 1838 

IB. 48 23 1839 
49123 - 1840. B. 
5023 - 1841 


LU Qu 


324 w. Wurm; Grunbfäge ber neuen 


J. Tafel, "Anfang der erfien hundert Fahre der 
franzöfifchen Zeitrechnung. 


— —— 











Lebr Anfang. Iabe _ Anfang. 

. 51]23 Sept. 1842 76|23 Sept. 1867 
52]23 - 1843 B.77|22 - 1868. B. 

B.53j22 - 1844 B. 78123 ®- 1269 









































54]23 - 1845 ı 79]23 - 1870 
55 23 - 1846 sol23 - 18971 
56123 - 1847 sıla2 - 1872. B. 
B.57i22 - 1848: B. |B.92]22 - 1873 
58123 -_ 1849 83|23 - 1874 
59123 -" 1850 84123 - 1875 
60l23 - 1851 85|22 - 1876. B. 
B.6ıla2 - 1952. B. |B.86]e2 - 18977 
62|23. - 1853 87|23 - 1978 
63)23 - 1854 88]23 -'. 1379 
"64123 - 1855 89j22 - 1880. B. 
B. 43 - 1856..B. |B.golaa - 1881 
66|23 - 1857 9123 - 1982 
67|23 - 1858 92123 - 1883 
68123 - 18959 93122 - 18394. B. 
B.69122 - 1860. B. {B.94122 - 1885 
_tol23 .- 1861 95|23 - 1886 
72j23 - 13962 96|23 - 1987 
72123 - 1863 97|282 - 1888. B. 
B.73l22 - 1864. B. |B.98|22 -. 1889 
74123 - 1865 l 99j23 - 1890 
75l23. - 1866 . ı00l23. - 1991 


6. 11. 


franzoſſchen Zeitrechnung nebſt Tafeln. 25 


S. 11. Die Tafel (5. 10.) bezeichnet den Anfang 
des franzoͤſiſchen Jahrs im Gregorianiſchen Calender: 
hier fuͤge ich noch eine zweyte allgemeine Vergleichungs⸗ 
tafel bey, wodurch ſich jedes franzoͤſiſche Datum, das 
ganze "fahr Uber, in den ihm entſprechenden Tag ber 
gewoͤhnlichen Zeitrechnung fehe Teicht vermandeln läßt. 
Man wird. ohne Mühe einfehen, wie auch bag umgekehrte 
Problem, Tage des alten auf Tage des neuen Calenders 
u reduciren, mittelft der nämlichen Tafel aufzuldfen ſeyn 
mochte; indeß Fam die erſte Aufgabe in der Anwendung 
bisher häufiger vor. Da, menigftend in dem erften 
Jahrhundert der neuen Zeitrechnung ($. 10.) dag franzoͤ⸗ 
. fifhe Jahr immer mit dem 22, 23 oder 24 Eept. ano ' 
fängt, fo habe ich die Vergleichung auf diefe drey moͤg⸗ 
Uüichen Fälle eingefchränkt, und unter No. A die Neducs 
tion des neuen Ealenders auf den alten für den Fall an⸗ 
‚gegeben, wenn das jahr mit tem 22 Gepf., unter 
No. B wenn es mit dem 23 Sept, und unter Ro. C 
wenn es mit dem 24 Sept. anfängt; nachher folgen noch 
die Ergänzungstage, auf bie gewöhnliche Zeitrechnung 
reducirt, ebenfalls für die Fade A, B,C. Für alle drey 
Faͤlle ift die VBergleichung von 5 zu 5 Tagen, wie auch 
mit Vorausſetzung gemeiner Fahre fowohl ber neuen 
als ter alten Zeitrechnung, angestbnet. Man hat fich 
bey Schaltjahren nur folgender leichten Regeln zu be⸗ 
dienen: 1) Wenn das gegebene frangsfifche Jahr ein 
Schaltjahr ift, fo rechnet man am Ende der fünf Ergän« 
zungstage bloß noch den fechsten (als den franzcfifchen 
Schalttag) Hinzu; 2) wenn dag correfpondirende Grego⸗ 
rianifche Jahr, dasjenige nämlich, welches im Nivoſe 
des gegebenen frangöfifchen Jahre anfängt, ein Schalt« 
jahr ift, fo wird in der dreyfachen Vergleichungstafel 
nach dem 28 Schr. bisans Ende des franzöfijchen 
"jahres, überall ein Tag des gewoͤhnlichen Calenders we⸗ 
‘ B5 niger 


t ⸗ 
— 


26 „IV. Burn Grinbfäße der neuen 


niger gerechnet: vor dem 28 Febr. iſt feine Aenderung 
noͤthig. Der allgemein verſtaͤndliche Gebrauch dieſer Ta⸗ 
fel, welche indeß beſondere franzoͤſiſche Calender fuͤr jedes 
Jahr erſparen kann, wird aus einigen Beyſpielen erhellen. 
Nach oͤffentlichen Nachrichten wurde im lauffenden 
aten Jahre auf den 10 Berminal in Sranfreich ein Ju⸗ 
gendfeſt gefeyert: wie If dieß Datum gu redueiren? Nach 


der Tafel bey $. Lo. iſt daß 4te franzoͤſiſche Jahr ein ge⸗ 


meines Sjahr, . welched mit dem 23 Sept. 1795 angefans 
gen hat: man wählt alfo No. B zur Vergleichung, und 
findet dem zofen Serminal den 31 März zur Seite. Weil 
aber das “jahr 1796, das im Nivofe des 4ten Jahrg 
anfieng, ein Schaltjahr ift, und der 31 Märg nach dem 
23 Februar fält, fo muß, nach der vorigen Regel, ein 
Tag weniger gerechnet, und alfo nicht der 31, fondern 
der 30 Mär; 1796 — 10 Germinal des 4ten Jahrs ge- 
fegßt werden. Wirklich it auch in der Parifer Connai/- 
Jance des temps pour l’annee 4, der 30 März als 
vieux ftyle dem 10 Germinal beygefuͤgt. — Was wird 
ber 1. Prairial dee 5ten Jahrs, an welchen, laut der 
franssfifchen Conftitution von 1795, Artikel 57, ein 
neues gefeggebendes Corps fich das erftemal verfammeln 
fol, für ein Tag im gewöhnlichen Kalender feyn? Das 
Ste Jahr fängt nach der Tafel 5. 10 mit dem 22 Sept. 
1796 an. Man wählt daher zur Vergleihung No: A: 
bier iſt, teil ſowohl dag Ste franzöfifche, ale dag im Ni⸗ 
voſe deffelben Jahrs anfangende Jahr 1797 gemeine 
Jahre find, und meil in der Tafel No. A ber 30 
Floreal am 19 Mai faͤllt, der darauf folgende ı Prair 
sial = == 20 Dei 1797. Ä 


franzoͤſiſchen Zeitrechnung nebft Tafeln: 27 
11, Tafel, um jedes franzoͤſiſche Datum in das 


u A B 
‘ | 22 Sept. 23 Sept. 
26 Sept. 27 Sept, 
U 1 Oct. 2 Oct. 
 Vendemiaire 6 Ocl. 7 Oct. 
II Oct. 12 Oct, 
I6 Oct. 17 Oct. 
21 0ct.. 7,22 Oct. 
26 Oct. 27 Oct. 
31 Oct. I Nov. 
. Ja 5 Nor. 6 Nov. 
Brumäire 10oNov. III Nov. 
15 Nov. 16 Nov. 
20 Nov. 21 Nov. 
DE in 
25 Nov. 26 Nov, 
| 30 Nov. ı Dec. | 
Le 5 Dec. 6 Dec. 
Frimaire Io Dec, II Dec. 
‚15 Dee. !16 Dec. 
20 Dec. 21 Dec. 
— — — — 
25 Dec. 26 Dec. 
30 Dec. 31 Dec. 
np, 4 lan. 5 Ian. 
Nivöfe > Ian. Io Ian. 
‚14 lan. ı5 Ian. 
19 Ian. 20 Ian. 
24 Ian. 25 Ian. 
29 Jan.. 30 Ian. 
. 3 Febr. 4 Febr. 
Pluviöfe 8 Febr. 9 Febr. 
13 Febr. 14 Febr, 
18 Febr. 19 Febr. 
— — —ſ — — — 
23 Febr. 24 Febr. 
23 Febr. ı Matt. 
fo. 5S Matt. . 6 Mart. 
Ventöfe I0o Mart. 11 Mart. 
25 ı 15 Mart. 16 Mart. 
20 Mart. 21 Matt, 


gewoͤhnliche zu verwandeln. 



























28 


IV, Wurm, Grundfäge ber neuen 


U. Tafel, um iedes franzoͤſiſche Datum in das 


———— zu verwandeln. 








Germinal 


— 


Floreal 
— 


Prairial 


Meſſidor 








7Therwidor 


251 12 Aug. 
30,17 17Aug. 
5i 22 Aug. 
101 27 Aug. 
15] 1 Sept. 
20, 6Sept. 
254 11.Sept. 
‚Io 16 Sept, 


Fructidor 











I 
1 


B c 
26 Mart. 27 27 Maıt. 
31 Mart. I Apr. 
5 Apr. 6 Apr. 
10 Apr. 11 Apr. 
15 Apr. 16 Apr. 
20 Apr. 21 Apr. 
— 














25 Apr. 
30 Apr. 
5 Mai. 
10 Mai. 
15 Mai, 
20 Mai. 
25 Mai, 
30 Mai. 
In. 
9 Iun, 
14 Iun. 15 Iun. 
19 Ion. 20 Iun. 
24 Dun. 25 lun. 
29 Iun. 30 Iun. 
4lul. 5 Iul. 
9 Iul, 10 Iul. 
14 Iul. 15 Jul. 
[9 Iul. 20 Iul. 
24 Iul. 25 lul. 
29 Iul. 30 Iul. 
3 Aug. 4 Aug. 
8 Aug. 9 Aug. 
13 Aug, 14 Aug. 
18.Aug. 19 Aug. 
2 _ 2 
23 Aug. 124 Aug. 
128 Aug. 29 Aug. ; 
2 Sept. 3 Sept. 
7 Sept. 8 Sept. ' 
12 Sept. 13 Sept. 
17 Sept. 18 Sept. 


Er gaͤn⸗ 


franzoͤſiſchen Zeltrechnung nebſt Tafeln. 29 
— (‚Faurs_complemen — 
A 8 _ 


17 Sept. 118 ren 19 Sept. 
18 Sept. |ı9 'Sept. 20 Sept. 


nn 


1 

2 
3 19 Sept. 120 Sept. 21 Sept. 
4 |20 Sept. 121 Sept. 22 Sept. - 
_5_j2ı Sept. 22 Sept. 2 Sept. nt 
6 Fr Sept. 123 Sept. 124 Sept. 1Schalttag.  ° 
6. 12. Zum Befchluffe hier noch ein Wort von Der 
neuen Eintheilung der Stunden, bie ebenfalls in 
Sranfreich defretire worden, aber bisher meift bloßes Pro» 
ject geblieben ift. Jeder Tag ſoll, ſtatt in 24 Stunden, 
nach den einfachern Decimalfykeg in To Stunden, jebe 
Stunde in 100 Minuten, jede Minute in Too Secunden 
getheile werden. Es ift alfo ı neue Stunde 27% der 
alten, 1 ı neue Minute, deren der Tag 1000 enthält, 
1706. der alten, und eine neue Secunde „LS, oder 
ungefähr 5 der alten Secunde. Der Tag enthält auf die⸗ 
fe Are 100,000 neue Secunden, flatt der gewoͤhnlichen 
Abtheilung 86,400 Seeunden. Fuͤr die neue fürgere 
Zeitfecunde märe die Länge des Penbeld zu Paris nur ge⸗ 








gen 27 Zolle 5 Linien, Parifer Maas, flatt daß fie‘ 
nad) den neueften Unterfuchunsen, 36 Zolle 8,60 ke . 


nien für.die gewöhnliche Secunde gefunden ward. . (S. 
Connaiffance des temps pour l’annce 1795. p. 284) 
So viele Schwierigfeiten bie wirkliche Einführung jener 
Decimaleintheilung des Tages im gemeinen Leben haben 
- dürfte, fo große Vortheile und Bequemlichkeiten würde 
fie unftreitig den Aftronomen verfchaffen, nicht nur etwa 
weil das nene Pendel fürzere Secunden fchlägt als dag alte, 


und demnach die Zeit in Eleineren Theilen unmittelbar 


zumißt, fondern überhaupt wegen der fchichlichern. Art 
des Ausdrucks, und der bequemern aftronomifchen Nech« 


nung. Statt zu fagen, eine Beobachtung fey gefchehen 


1796 ben 20 Apr. um 9 St. 35° 43° würde man nach 
J der 


PN 


so V. Buſſe, Bemerkungen für Eulers, Karftens, 


der neuen Einrichtung blos fehreiben: 1796. 20, 39980 _ 
Apr. das heißt, am 20 Apr. 3 Stunden, 99 Min. go 
Sector daß immer die .erfte Decimalftele Stunden, bie 
zweyte und dritte Minuten, bie vierte und fünfte Secun- 
den, nach ber neuen Eintheilung bedeuten würde. . Man 
‚findet bereitd in mehreren Sammlungen aftronomifcher Ä 
Tafeln dergläichen · Tafeln, welche zur Verwandlung der 
alten Abſheilungen des Tages in die neuen Stunden, 
Minuten and: Secunden dienen koͤnnen: hierher gehört 
3.3..in ber. Aſronomie par La Lande. Tome I. Tables 
». 2352die (legte: unter ben Kometentafeln‘, welche die 
. Yuffcheift führt: : Table pour reduire les heures, mi- 
wutes et fecondes en Jrasions decimales de jour. 


* ur Ve 
Berterfungen ehr Eulers und Karſtens, auch 


Kaͤſtners Vortrag der Mechanik; von E. G. 
Buſſe, Profeffor zu Deſſau. 





I. Euteri mechanica, tom.I. $. 155. bat die wich- 


dt 
uige Gleichung de= -; die ich bier O nennen, und 





P 
durch de =n. zit föhreiben wit; weil doch Eulers J5 


hier noch die —* des Koͤrpers bedeutet, deſſen p aber 
die Groͤße der vis motricis am Ende der Zeit t ausdruͤckt; 
und ich es in einer anderweitigen Abhandlung, wobey 
mir die hiefigen Betrachtungen entftanden find, ſehr be⸗ 
quem fand, die bewegende Kraft durch P zu bezeich⸗ 
nen. 


1 
J 


Kaͤſtners Vortrag der Mechanik. 31 


nen %). Durch e wird die Geſchwindigkeit am End? dei 
Zeit t angegeben; und wegen das n erinnert Euler, daß 
es eine conflante Größe bedeutet, weil e8 weder von F 
noch dt noch M abhängt. 

2. In $. 157. wird, durch Hülfe der phoronomie 


ds pP 
fchen Gleihunge=-——- Fu aus O aifolgertcde mind 5 


indem s den Raum bedeutet, der wegen P waͤbrend t be⸗ 
ſchrieben wird. 
3. In $. 193 wird Eulers p, alſo mein, P, auf 
eine confante Größe g eingefchränft, die ich. 6 nennen 
will. Dadurch giebt die legte Gleichung, daß 


G . 
v ‚pi 


. In $. 101 und 102 wird ſtatt e, bes bisheri⸗ 
gen — *5 — der Geſchwindigkeit, bie derfelben zuge⸗ 
hoͤrige Hoͤhe v eingefuͤhrt, und v == c? geſetzt. Das 

ir 


⸗ 


iebt —201 
seht v— 20x 


5. Nach $. 204 ſyu G der eingebitpeten' confane 
ten Schwerkraft zugehoͤren, woburch x=Vv wird, ‚folge 


M 
ihn= - GE oder durch Eulers Agefchrieben, = 


Dabey erinnert Euler, baß nunmehr n beſtimmt ſey⸗ 
welches in allen Faͤllen einerley Werth behalte. Dann 
folgt: 

“78,205. Quia nie 6 vim gravitatis üguifiat, 


erit 5 quantitas conftahs ($. 97) *). Hane ergo 


„pages 


, gene Abhandlung beſchaftit ſich mit Tafeln, wodurch die Ueber .. 
ſicht und Aufloͤſung mechaniſcher Aufgaben erleichtert mird, gi 
fol im zweyten Bande meiner Beytraͤge zur Mathematik ıe, 
mitgetheilt werden, hauptſachlich für Praktiker, 


0m 5. 197. foot, daß dad Gewicht dem Maſſen proportionat bleibt, 


. 4 


92 v Zu, Bernertungen für Eulers, Karfrans, 


ponemus 1, id quod licebit, cum potentiae ad cor- 
pora“definitam rationem -habere nequeant. Atque 


hinc fäcile erit, in aliis cafıbus 'valorem ipfius 7 


ſeu potentiae applicatae ad corpus exhibere,  Erit - 


nempe > adr, feu G: A, vt visG, qua corpus fol- 


lioitatur, ad pondus, quod idem corpus haberet in 
noftris regionibus. Litera igitur A non-amplius ma- 


teriae quantitatem denotabit ſed ipſum corporis A 


pondas; ‘fi: füper terra eflet pofitum. Hoc igitur 

inodo omnes potentias cum ponderibus’ comparabi- 

. mus, id quod in potentiis menfurandis' ingentem, 
‚lucem foenerabitur. ." 


— 


A- 
$ 206. Cum in =, G denotet vim gra- 


| G 
‚Aitatis, nofitumique fit za erit n==% Quem 


valorem femper retinebit, fi modo celeritates per 


fadices quadratas altitudinum ipfis debitarum ex- 
nn 4*3 E 
primantur. Ideoque · erit in noſtro cafu ıv=nds 
i Gx 
e va 
A. | 
§. 207. Propterea in hae lege generali cde 


. » P 

* n „is (157), fi fit altitudo celeritati c debita v, 
| , dv 
erit cde= — adeoque obn==, habehiturshaee 


er dvr=jd 


Kaſtuers Vortrag der Mechanik. 44 


5. 6. Dieſe drey Paragraphen bleiben mir undeut⸗ 
lich. Selbſt der letzte koͤnnte immerhin einige Beſorgniß 
dadurch erregen, daß er I fiatt n in die Allgemeine Gleis . 
dung fegt ; da doch dieſer Werth vonn durch Hilfe einer 
integration in $. 3 herausgebracht iſt wie ſie nur fuͤr 
conſtante Kraͤfte Statt findet. 

Wenigſtens weiß ich die ganze hieſtge Abſicht auf 
einem andern Wege F erreichen, ber mie vollkommen 
deutlich bleibt, auch kuͤrzer und natürlicher ſcheint, unb 
jenen Beforaniß gar nicht unternödtfen if; weil er ledig⸗ 
lich durch: Differentialien fuͤhrt. | 


Einleitung. - | 

. 7. Die Gleichung O wird be € Euler ale erfler 

Zuſatz einer vorhergehenden Aufloͤſung eingefuͤhrt. Denke 

man fich nun, neben den M, P, c und t diefer Gleichung, 

unter M, Il, x und ®, die ähnlichen Größen eines andern 

Falles: fo ergedt ſich aus jener Aufloͤſung ſelbſt, daß n 
4 


eigentlich ñ ä „ pebeuten muß; und demnach durch hı 
M 


auf einen anbern Sal hingewieſen wich, det man file 
den eigentlich vorgegebenen. als einen durchaus befannten 
Regelfall, benugen wid. Es entfiche nun der Wunfch, 
jeden Fall mit M, P; c und t, nach dei Kegel der einge 
bildeten conftanten Schwertraft auszumeſſen; ſo wird es 
am natuͤrlichſten ſeyn, gerade jenes n auf dieſen Fall 
der Schwerkraft einzuſchraͤnken, weil doch dieſes n ber 
Virsleichung be es Maßſtabes wegen da ſteht. 


Ausfuͤhrung. 
I. Eulers Gleichung O, aufs deutlichſte vs, 
druͤckt folgende Proportion a aus: | 


P 
d + dx == —dt: = ar. -. 
e: M | 


Sänftes Heft, €. de: 


| 54 57 Buff, Bemerkungen hͤr Eulers, Karſtens, 


Wecenm ferners und & die Raͤume bebeuten, welche we⸗ 
gen der beyden Kräfte, deren ſtatiſtiſches Maß P und II 
angiebt, von den beyden Maffen M und M während t 
‚und 7 beſchrieben werden; ſo hat man, da überhaupt 


| „48 d eben (6 8* iſt 
_ nn dr . 


| P n 

auch ede dx de: — de, 
oo and eaer MM 
1. Nim werder ſtatt FI gefetzt, indem für den Res 
gelfall die obige Schwerkraft genommen werden, und F 
das Gewicht der Maffe M andeuten fol: 


DW 


pP Tr. . 
d  sd«z=—ds: —de, 
fo hat man c ce: % MH‘ 5; F 
m. Wenn & der : Bafe M Gewicht hedente p 
RM: Mxz=G: T5 
p P | 
Be edc: sd ds; -de= Zar— de; von 


dir an Zi ale Zahl gedacht. 


IV: Zeit⸗ und Bängeneinfeit werde fo gewählt, daß 
wu werde, indem v die der Gefchwindigfeit © zuge⸗ 
hoͤrige Hoͤhe bedeutet; fo wird auch 2rda—dv Bey 
den beyden bier geforderten Einheiten ift auch c?==v, 

wenn v der Gefchmwindigfeit e zugehörige Hoͤhe bedeutet; 
und daher 2cde=&dv, 
pP | 
| Solglich dv: du=nds: do, | 
Aber fehon wegen II iſt Hierve, alfo auch du=ade; 
P 
olgih dv==— ds. 
folglich. dv G ds 


$. 9. 


Kaͤſtners Vortrag der Mechanik, 35 
9. Anmerkung. Aus dieſer Gieichung kann 
ds 
man wegen dv==2cdc und — auch wiederum her⸗ 


J 
leiten deseg nd t. Und mit dieſer bie obige O) 


d tn. dt derglichen, kann man fagen: ihr — wird 


= =: wenn man deit Regelfall, auf welchen 


n binweifet, von dei obigen Schwerkraft bei. 
- nimmt, und fich auf die Zeit und Laͤngeneinheit 

eintchränft, bey welchen v=c?ift. Diefe Bemer 
kung ſcheint mie deutlicher als Eulers $. 206: 


Zufag jur obigen Ausführung. 


$, io. Die in IV. geforderten Einheiten find, wie 
befannt genug iſt, 543 einer Feitfecunde, und ı Nheinir 
{her Scrupel, unter der Annahme, daß der Raum, durch 
welchen die öbige Schwere während einer Zeitfecunde bea 
fhleunigt, = 15625 Rheiniſche Scerupel ſey; woraus 
denn folgt, daß dieſer Raum für die obige Zeiteinheit 


* 3 Serupel iſt. Jene beyden Ein⸗ 


heiten nebſt der ahnuen Annahme machen drey Bedin⸗ 
gungen aug, die freylich für die beyden erſten Bände der 
Eulerifchen Mechanik durchaus beybehalten werden. 

$, ır. Aber für meine nachfolgende zweyte Eroͤrte⸗ 
tung wird es dienlich feyn zu bemerken, daß die Gleichung 





15625 
gerade = 


P 
= ds, an und vor fich Befrachtet, von diefen drey 


Bedingungen ganz unabhängig bleibt. Denn wenn aud) 
G nichts Beftimmteres bedeutes, als den Raum, um wels 


om die Schwere in der Zeiteinheit beſchleunigt, ie 
. &2 . ba 


„ 


. | f ' , . \ 
35. V. Buff, Bemerkungen file Eulers, Karftens, 
baß dieſe Einheit bereits geroäplet ſeyn PR; fo iſt doch 


ve ms; 


4G 4G 
ſolslich d Au 2cde 2xdx 
oigli v. ay . 
i 46 4 
: Demnach) kann aus ‚obigen ulms$.g. fogleich ge 


== cde: xdx. 








folgert werden dv: de= = de; 


pP 
And da wegen 11 ſchon vo iſt, auch dr3 ds. 


INS 


6. ı2. So gewiß nun hieraus erhellet, daß dieſe 
Gleichung an und vor ſich auf keine Einheit eingeſchraͤnkt 


iſt, ſo ſetzt doch ihre Beziehung auf c eine gewiſſe Glei⸗ 


dung voraus, welche für bie Forderung, daß irgend 
u ein Zeitraum zur Einheit gewaͤblt werden foll, die Ges 


ſtalt vi gewinnt; indem g ben Raum bedeutet, um | 


welchen bie Schwere wegen ber zu wäblenden, bo) noch 


belichig waͤhlbaren, Zeiteinheit befchleunigt. 
Sobald dieſes g, mie gewoͤhnlich, den Raum: bes 
beuten fol, uni welchen die Schwere während einer Zeite 


: fecunde befchleunigt; fo iſt Dadurch bie Zeiteinheit aller- - 
- dings auf eine Secunde beſtimmt; übrigens aber ift man _ 
dadurch noch auf Feine Längeneinheit eingefchränft. Dem: 


felbft an die fehr gewöhnliche eines Nheinifchen Schuhes, 


wonad man & auszudrücken pflegt, wird man erft da. 


gebunden feyn, wo man ſtatt g fchlechthin die Zahl 15,625 


gefchrieben hat, ohne Nahmen. 
* 13. Soll aber die Gleichung zwiſchen vunb c ſeyn 


v==c?, nad) Eulers Forderung; fo muß g — ſeyn. 


Und eben deshalb, weil bier ſtatt bed obigen allgemeinen 


G (52. 11) fhlechthin Z zu fehreiben iſt, dabey aber an 


genommen wird, daß die Schwere während jeder Se 
cunde 


giſtnen Verrra der Mechanik. 37 


cunde um 15, 625 Rhein. Schuh befchleunige, eben da» 
durch wird man bey Eulerd Gleichungen gezwungen, auch 
ce nach Rheinifchen Scrupeln anzugeben; folglich auch vund 


⸗ P ‘ > 
s für dv= 5 ds, fo bald dieſe Gleichung auf c oderg 
fol bezogen werden. | 


a 


Nunmehr will ich, wegen eines nnbequemen Sprache. 
‚ gebrauches in Rarffene Mechanik, zu erdrtern fuchen, 
dag Eulers Worte, wo er.die bejchleunigen« 
de Kraft erflärt erwas anderes ausdrücken, 
‚als was er wirklich dafür gebraucht und ducch 

feine Sormeln darſtellt. . 


Diefe Worte machen feinen ı 6.213 and. - Man leſe 
ihn bis zu: Vocatur ‚hie effeftus a Neutono vis 
accelerans, | 


| $. 14 Euler win doch hier Newtons Erflärung ber 

folgen , und hat gleichwohl effektus ftatt Jenes eflica- - 
cia gefeßt. Daß aber Jener unter eflicacia Wirkſam⸗ 
keit) nicht effectus (Wirkung) verftehe, wird ſchon aus 
folgendem Theile feiner zten Definition in princ. phil. 
nat. erhellen: .... etvimaceeleratricem....tanguam 
eficaciam quandam, de centro per loca fingula in 
fircustu diffuſam ad mouenda corpora, 


Eulers A fol feit $. 205 nicht fernerhin Maſſe, 
fondern Gewicht bezeichnen. Geſetzt indeffen, daB es hier 
noch einmal in jener alten Bedeutung genommen werde, 


P 
fo ift dann dv= z dx nur als eine Verhaͤltnißglei⸗ 


chung zu verfichen, welche mehrere Dimenfionen ſtill⸗ 
ſchweigend voraus fegt. Durch diefe wird ſehr leicht er- 
e3 hellen 


⸗ 


38 V. Buſſe, Bemerkungen für E Karftens, 
ten, de auch in dieſenn Falle culers — eben das m 


| P 
mad ich oben burg — — ausge * Aindv= 3 ds 


Diefe Steihunn if nun an.und vor fich betrachtet, 
auf Feine beſtimmte Zeiteinheit eingefchränft. ($. 11. 12) 


, Da aber bey Hrn. Euler durch Beziehung auf fein c biefe 


Einheit bereits. aufs 375 Secunde feſtgeſetzt iſt; fo iſt nicht 
P 
eiwa — fondern 4 die Sahl des Raumes, durch 


wan die biefige * waͤhrend der (t 1)ten 25oftel, _ 
Secunde ihrer Wirkungszeit beſchleunigen wuͤrde, wenn 
fie waͤhrend dieſes (tA ı)ten Zeitraumes unveraͤndert 
bliebe, durchaus die Groͤße behielte, welche ſie am Ende 
des tten Zeitraumes, als Function von t, erreicht hatte, 
und wobey fi fie den flatifchen Druck — P auf die Maſſe 
ausüben würde, welche der Schwerkraft unterworfen, =G 
miegen waͤrde. | 


| p 
Mag inbefen die Gteichung dv==- ds’ auf das 


obige unbeſtimmte g bezogen werden; ſo iſt alsdann der 
Raum, um welchen die Bewegung wegen der befchleunis 


P. 
genden Kraft = = Ir während deg (e+ T)ten Zeitrau⸗ 
mes gleichfoͤrmig beſchleunigt wuͤrde, dieſer Raum iſt 


pP 
dann = = g. Daraus erhellet sang allgemein, daß dies 


ir Raum durch die Sabı — nur unter der Bebingung 


ausedrůckt werden koͤnne, at man g=—=ı feht. 
Fguͤr die Gleichungen in-Eulerd Mechanik kann der 


gleichen neue kaͤngeneinheit, *1 nicht angenommen 
wer⸗ 


[| 


1 ! 


Kaͤftners Vortreg der Medanif, 39 


werden, weil die dortige ſchon auf. einen Rheiniſchen 
Scrupel, und bie zeiteinheit auf „Es Secunde feſtgeſetzt 
iſt. Und wenn man anderweitig gerade eine Secunde 
zur Zeiteinheit gewaͤhlt hat, und alle Laͤngen nach Rhei⸗ 
nifhen Schuhen ausmißt, fo ift ebenfalls nicht g=1. 
Geſetzt indeffen, daß dergleichen Bedingungen nich 
vorhergegangen wären, fondern g zur Längeneinheit koͤn⸗ 
ne gewählt werden, fo.mird dann freylich in den obigen 
Gleichungen die beſchleunigende Kraft fomohl, abs 
der Raum, durch. welchen fie während ber Zeiteinheit. be⸗ 
fhleunigs, vermittelſt einerley Zubl ausgedruͤckt, vers 
mittelft der unbenannten a0 nämlich, welche den Ex⸗ 


ponenten des Verhdienigtes * ausmacht Dergleichen 


unbenannte Zahl. aber. iſt 3. noch nicht hinreichend, 
irgend eine von jenen beyden Größen, der Kraft oder des 


P- 
Kaumes, barzuſtellen, ſondern wenn 5 irgend eine von 


dieſen beyden Groͤßen vorſtellen ſoll, ſo muß — eine bes 


nannte Zahl feyn. und da iſt nun ihr Rabe, ibre 
Einheit, entweder die Schwere *) oder die Länge g, je 
nachdem fie, jene Kraft oder jene ‚Größe. des Raus 


pP 
mes voͤrſtellen [n 8 bleibe alſo = — als Ausdruck 


> > 
der beſchleunigenden Kraft gedacht, von G als Ausdruch 


des Beſchleunigungsraumes gedacht, immer noch wie Ur⸗ 
ſach und. Wirkung verſchieden, auch fuͤrg 1. (Wenn 
uͤbrigens y und m zwey Raͤume bedeuten durch welche 

C4 die 


| ) inter Ener verfiche ich hier allenthalben nicht etwa Gewicht, 
ſondern Schwerkraft; nach des. Herrn Hofe. Kufiners Rafange⸗ 
gruͤnden der hoͤhern Meanit, Cap, II. 5. 51. 


| 40 V. Buſſe, Bemerkungen für Eulers, Karftens, 
die Schwere und die andere abſolute Kraft die Maſſe M 
in gleichen Zeiten gleichfoͤrmig beſchleunigen wurden; ſo 


P 
gilt, was ſo eben fuͤr G geſagt iR, auch 8** unter 


der belannten Behauptung, baß =>), J 
Aeußerſt wahrſcheinlich iſt nun ſelbſt ein Rarſten 


Meinung veranlaßt worden, die er in 5. 46 ſeiner Mechanik 
ehrbegriff 3. Theil 1769) zum Grunde legt. 


„Dasjenige, was ich hier Beſchleunigung der 
„Kraft Vinenne, beißt bey dem meiſten übrigen Schrift⸗ 
„felern befchleunigende Kraft (vis acceleratrix), 


 . „Gomäre g == 15,625 Rh. Schuh, die befchleunigende 


„Kraft der Schwere. Mir fcheint jener Ausdruck deut⸗ 
„licher und der Sache angemeßner zu ſeyn.“ 


Ein Gluͤck für die Wiffenfchaften wäre ed, wenn 
man fich endlich dahin vereinigte, nur don den Lehrbuͤ⸗ 
chern der groͤßten Meiſter, fuͤr jeden Zweck, den ſie 
bearbeitet haben, Gebrauch zu machen. Aber Karſtens 
Lehrbuͤcher gehoͤren zu dieſen wenigen, und muͤſſen nah⸗ 
mentlich für die Maſchinenlehre auch neben ben Kaͤſtneri⸗ 
ſchen fehr empfohlen werben, find auch jedem noͤthig, ber 
unſern Langsdorf benutzen will, Daber fehien es mir 
der Mühe werth, bey Ihm, den ich nie ohne einige Ders 
: thrung nennen fann, die obige Uebereilung zu erörtern; 
beſonders da fie viele Folgen gehabt hat, auch bey Ihm 
ſelbſt. Denn in den uͤbrigen Theilen ſeines Lehrbegriffes 
wird gar oft als Beſchleunigung aufgefuͤhrt, was aller⸗ 
dings beſchleunigende Kraft heißen konnte bey Eulẽt, 
H’Alembert und Käftner, (melche Karften bey Augarbei« 


tung feiner Mechanik hauptfächlich fcheint vor Augen ges , 


babe zu babe) was aber Defihleungung nach feiner 
obigen 


. Kaͤſtners Vortrag der Mechanik. | 48 


obigen Erklärung nicht if. Eben fo wird bey ihm auch 
gar oft Winfelbefehleunigung oder · Umdrehungsbeſchleu⸗ 
nigung genannt, was doch nach ſeiner eigenen Erklaͤrung 
dieſen Nahmen nicht verbienet, . B. das betannte 
dy _. ap—M—bq . 
2gdt "Mikk{ Pa aa ar0bb" 34 EheilV. u 

Allerdings fann man ohne den Ausdruck, befchleu« 
nigende Kraft, (und ben ihm gemäßen, winfelbefchleunis 
gende Kraft) allenthalben fertig werden: daß aber viefer 
Ausdruck und Begriff fehe nette und buͤndige Auflöfungen 
an bie Hand giebt, und dadurch für die Ausübung ſehr 
bequem wirb, ift befonders in Kaͤſtners hoͤherer Me⸗ 
chanik fihrbar, und in Pasquichs Verſuch eines 
Beytrages zur .... portbeilbaften Einrichtung 
der Maſchinen, der den Hen. Hofe. Käftner vortreff⸗ 
lich befolgt hat. 

Die bisher erwaͤhnte Kuleriſche Mechanik iſt 
eigentlich als Anfang dieſer Wiſſenſchaft zu Perersburg 
1736 in zwey Baͤnden erſchienen, unter dem Titel, 
Euleri mechanica, etc. Alles aber, was aus dieſem 
Anfange fuͤr ſeine Theoria motus corporum rigido- 
rum etc. Gryphisw. 1765 (und ed. nov. 1790) vor- 
augzufegen nothwendig war, das hat Er in biefer Hin⸗ 
ficht hier aufs neue bearbeitet; for daß dieſes letztere Lehr⸗ 
buch fuͤr ſeinen Zweck allein ausreicht, und man nicht 
genoͤthigt iſt, deſſen Gebrauch auf jenen aͤlteren Theil zu 
gründen. Gerade dieſes neuere Lehrbuch iſt nun freylich 
von Herrn Rarſten hauptſaͤchlich beachtet worden. Da 
es aber von der beſchleunigenden Kraft feine, Erflärung 

65 | giebt 

Aus Folgen Bitte ich meine obige Erörterung zu beurthei⸗ 
fen. Denn übrigens weiß ich gar wohl wie dußerkt abfiraft nahe 
mentlich d’ Alemberts befch[eunigende Kraft if. Auch habeich ' 
nicht aus den Augen verlohsen, daß der Ausdruck ihrer Größe, 

. in Beziehung auf die Schwere, in den Sormeln nur als unbe⸗ 


. nannte Zahl wirft ıc. Aber genug, daß obiges Misverſtandniß vn 
Hrn. Karhen ſelbſt ſchon die errodbnten Solgen gehabt bat. _ 


— 





43 V. Bufle, Bemerkungen für Eulers, Karftens, 


giebt; ſo iſt es wohl gewiß genug, baf Herr Karfien.in 
diefer Hinfiche jenes ältere nachgefchlagen hat, 


Maß ich num bey jenem älteren Lehrbuche wegen des 
dortigen nm erinnert habe, wird ſich mit leichter Muͤhe 
auch aufsdaß A des neuern anwenden laffen, welches hier 
cap. I. $. 162 eingeführt wird. 


Nachdem Hier die Gleichung - rn — An, im Cap: 


IV, af gleichförmig beföjleunigente Kräfte ange 
wandt, und dem gemäß auch integrirt wird; fo wird 


: dann ferner ihr P.auf bie eingebildete conftante Schwer⸗ 


kraft eingeſchraͤnkt, und badurch beſtimmt, daß = 


if, alfo — 2 ge fürt=ı. Da nun biefer Werth von 
A auch in allen Kapiteln beybehalten wird, mo doch nicht 
mehr bloß von couftanten Kräften die Rede ift; fo Eönnte 
Hier fo auf wie oben (5. 10), bie dort erwaͤhnte Beſorg⸗ 


niß entſtehen. Daß fi \ e gegründet fen, win ich keineswe⸗ 


ges behaupten. Ich glaube mich vielmehr zu erinnerhe - 
daß mir felbft vor mehrern Fahren, Eulers Verfahren 
megen des A allein genommen, nicht anftöfig geblieben 
iſt. Viellzicht ſchon deshalb nicht, weil doch der ganze 
Ausdruck für dds auf feine höhere als die zweyte Dignie 
tät von dt ſoll bezogen werden, alfo immer nur vermit⸗ 
telſt der gleichfoͤrmig beſchleunigten Bewegung durch ihn 
gefolgert wird. Aber da ich gegenwaͤrtig die Mechanik 
aus dem Geſichtspunkte eines Practikers "zu ſtudieren 
habe, ſo durfte ich uͤber jenes aufs neue nachzudenken 
mir um ſo weniger erlauben, je gewiſſer ich uͤberzeugt 
wurde, daß ich alles, was Euler vermittelſt jenes n. 
‚und A folgert, auch ohne diefelben aufeinem andern Wege 
zu finden wiſſe, der mir auf jedem Sal für immer der 


deutlichſte bleiben wird. Daß er diefeg, beym Gebrau« 
h | de 


Raͤſtners Vortrag ber Mechanif. 43 


che der Euleriſchen Mechanik, auch für jeden andern feyn 
‚ werde, davon bin ich fehon deshalb überzeugt, weil es 


ſicherlich ſchon bey den phoronomiſchen Lehren deutlicher 


geweſen wäre, zufoͤrderſt die Proportionen zu erwei⸗ 


fen (3 3.v: V — =) und aus ihnen die Gleis - 


“ . 8§ 
chungen (z. B. v=-) erflärend zu rechtfertigen; an 


flatt, daß nach Hrn. Euler die Proportionen aus den Glei⸗ 
chungen. hergeleitet werden. (Tiheoria motus Gap. I 

$. 34.).  Weberdies möchte man die eben erwähnte Ein» 
führung des dt? bey Euler nicht gehörig gerechtfertige 
finden, . wie ich bald berühren werbe.- Mag man fich 
indeffen Bald genug davon überzeugen Finnen, daß obia 
ges A nur durch anders gewählte Einheiten verändert 


- werden fann: fo ift doch dieſes allein noch nicht Binrete 
- hend, um Eulerg Weg völlig deutlich zu finden: ſon⸗ 


P 
dern man muß and 7 722 zu ſetzen wiſſen. Nach ſol⸗ 


chen Betrachtungen ande ich, daß mein in obiges Verfah⸗ 
sen zu empfehlen ſey. 


Indem ich deſſen hieſige Anwendung vor Augen 
nehme, finde ich dienlich, ſie fuͤr den einen Theil des 
gten Problemes Cap. III, $.162 ausfuͤhrlich herzuſetzen 
weil mir dieſes die befte Einleitung zu einer anderweiti⸗ 
gen Erinnerung abgiebt, die mir nothig ſcheint, und zu⸗ 
gleich de’ mit berührt. | 


. Der eine Theil der Aufgabe, welchen ich hier nur 
behandeln will, iſt: ...definire mutationem mo- 
mentanearh in motu .... produftam, 


Daʒu 


4 
\ 


44, V. Buͤſſe, Bemerkungen fuͤr Eulere, Karſtene, E 


8.15. Dazu werde ich alſo, ſtatt Hrn. Eulers Bleichung 
AP- 
ads _ =7 , mitmeinen obigen duchlober die Proportion 


ds dd pP 
a =: - m — 7 = jum Grande legen. N 


de "ae M 


- Run fol ber Fall mit ben glechiſchen Buchſtaben 
als Regelfall betrachtet, und von ber eingebildeten 


conftanten Schwerkraft bergenommen werden, fe 


— 7 ſeyn, indem T bad Gewicht der Mafle M 


x: "Bedeutet Heißt ferner G-der Maffe M Gewicht; fo iſt 


M:; M=G:T, 
' lat . die P - 
folglih — i 77 *32. 


Aber wegen I1= Re g 72, folglih ddo==2gdr?) 
ds P 
alſo Tẽ *—87 G‘ 


dds 
In nun ——8 baß dm — wird, ine 


dem nad) Euler dw.den Raum bedeuten fon ‚ um tolle 
chen die Kraft, nach ſtatiſchen Maße — P, waͤhrend 


pP 
dt(gleichförmig) befehlennigt; fo haben wir da 8 Get 
wie ir Cap. IV, 6. 207, : 


Meine vorhin erwähnte Erinnerung ift nun folgende. Ä 


8.16. Ich Bin hier mit Euler in $. 162 davon auße 
d p j 
gegangen ; daß == bem A proportional ſey. Fuͤr biefe 


Behauptung wird dort vorläufig angeführt, daß doch 
dd | 

da in dem = involvirt fep: und die proportionalitͤt 

| zwi⸗ 


\ 


— 


Kaͤſtners Vortrag der Mechanik. 45 


X 


p 
wwiſchen do und — iſt allerdinge fon vorber abgehan⸗ 
beit. Nachher * dann auf zwdherley Weiſe eroͤrtert 
| dds 

G. 166 und 167) daß du — if. Aber beyde Er⸗ 


Örterungen ſcheinen mir einem togifchen Lirkel unterwor⸗ 
fen zu ſeyn. Denn um die erſte völlig einzuſehen, find 
ja wohl folche Kenntnife don den Wirkungen Conftanter 
Kräfte ndthig, als hier erft im folgenden Kapitel abges 
handelt werben. Und bey der siegten Erdrterung wird 
wiederum die Gleichung ddss=A. -dt?fihon sum Grun⸗ 
de. gelegt. 

- Ueberdieg fehe ich nicht eitt, wie man, ohne jene 
Srfige für die Wirkung conftanter Kräfte ſchon zu ken⸗ 

dds 
nen, aus alle dem, was dem Gebrauche des — > in 
4 162 vorhereht, ſich erklären koͤnne, —8* ee | 
P 

dds außer dem FJauch ven de? proportional gefeßt wird. 


Deshalb babe ich fein Bedenfen getragen , in mei» 
ner Aufloͤſung ($. 15.) es ausdrüdlich als belannt in 
fordern, daß omg? if, fÜrU=T, 


817. In der ſchon oben beruͤhrten Abhandlung, 


ds 
denke ich die Verbindung swifchen u .:,„dum= HELL, 


dt dt 
_d dd | | 
ri == * vermittelſt der bynamiſchen Hauptglel 


chung ſehr kurz und deutlich darzuſtellen. 


Wenn meine hieſigen Bemuͤhungen ihren Zweck er⸗ 
reichen und einigen Leſern der Euleriſchen Mechanik etwas 
Zeit 


46 V. Buſſe , Bemerkungen für Eulers, Karftens, 


Zeit erfparen innen; fo babe ich Urfache mich deſſen zu 


freuen; weil die Zeit aller derer, die ſich mit Euler be 


ſchaͤftigen, etwas Werth if. Im ähnlicher Hoffnung 


will ich nod) in 
Kaſtners Anfangsgrinden der ‚böhern medent 


einen Vortrag. zu erlaͤutern ſuchen, ber uͤberdies hieher 
gehört; weil doc) alle, die etwa über das obige nund A 


zweiter nachdenken wollen, unter. den übrigen Lehrbuͤchern | 


bag Käftnerifche zuerft ergreifen werben. 


| Der dortige Gebrauch des conflanten e, in Kap. J. 
&. 13 und 35 2. wird auch für Anfaͤnger ſehr deutlich 


sand lehrreich ſeyn, wenn ſie deſſen zwiefachen Ausdruck 
genau vor Augen behalten. Dazu möchte nun dienlich 


ſeyn, an Statt der Buchſtaben c und C nebſt S und 87 


fo lang und fo oft fie wie in . 13 nur conſtante Ber 


ſchwindigkeiten, und damit befehriebene Raͤume der 


gleichförmigen Bewegung ‚bedeuten, lieber durchaus 
andere Buchſtaben, etwaſc und E neblt 8 und S, zu 


gebrauchen: weil doch in der Folge c und C folhe Ge⸗ 
fhwindigfeiten bedeuten, die den Zeiten t und Thpropor⸗ 
tional find, unds und S die dahin gehörigen Raͤume bey 


"einer gleichförmig Befchleunigten Bewegung; s insbefons 


dereauchnoch folchen Raum, der überhaupt mit einer vers 
änderlichen Gefchtwindigkeit befchrieben wird, tmelche am 
Ende der Zeit t die Größe u erreicht. Neben S wollen 
wir auch noch D, und neben T auch noch T gebrauchen. 
Es follen ferner die großen Buchftaben alfemahl den Faͤl⸗ 
‚Ien zugehdren, die man bald als durchaus befannt, und 
als Regelfall betrachten will; daher dann Z und S, nach 
aller bisherigen Bearbeitung ber hoͤhern Mechanif, nur 
folche Räume bedeuten wird, welche mit einer gleichfür« 
mig befchleunigsen Bewegung, und nahmentlich vermoͤge 

ber 


RKuͤſtners Vortrag der Mechanif. 47 


ber eingebilderen conftanten Echmerfraft befchrichen Wire 
sn — — Etwa auf folgende Weiſe. — 


.& 
Da me ct er ct) if, twenn c und E bie. 


beyden conſtanten Geſchwindigkeiten bedeuten, bey wel⸗ 
chen in den Zeiten t und T die Räume 8 und © beſchrie⸗ 
ben werben (nad) Käftn. 6.13): fo wirdbauh.ds—e.udt; 
obgleich Hier s einen Raum bedeutet, ber mit einer ver- 
änderlichen Gefchmwindigfeit befchrieben ift, deren Größe 
am Ende ber beliebigen Zeit t gerade Su wird. ($.T4.) 


Kür $. 35 foll nun die veränderliche Geſchwindig⸗ 
feit eine gleichförmig befchleunigte ſeyn, die demnad), 
fans fie am Ende: einer gewiſſen Zeit bie Groͤße C er⸗ 


reicht, am Ende dee Zeit t gerade == Ft: werden muß. 
alſo iſt bier | 
ds=e. cH „dt, folglich ‚=e.Ic- Dieſes Inte⸗ 


gral iſt beitantig, weil hier nur von ſolcher Bewegung 
die Rede ſeyn ſoll, bie mit der Zeit t Ihren Anfang 
nimmt. 


& 
Bboleich e indem es ſtatt cr gefehrichen wurde, 
wicht etwa lediglich dieſen Ausdruck vorſtellen, ſondern 


S 
zugleich auch daran erinnern ſoute, daß man Ratt 


eine Zahl erhalten koͤnne; fo iſt doch.bisher nichts ge: 
fchehen , wodurch wir ung darauf eingefchränft hätten. 
Geſetzt auch dag wir ung bisher fchon die beyden Ver⸗ 
bältniffe c: € und t: T, durch abfolute Zahlen ausges 
drückt gedacht hätten, wobey denn vermöge der Gleichung 
Sase,ct, ihre eine benannte Zahl würde, deren Nah⸗ 

i . me, 


! 


48 v. Buſe Bemerkungen für Eulers, Karfteng, | 


me, deren Einheit = © wäre} fo haben wir doch, um 
zu den urſpruͤnglichen vollſtaͤndigen Dimenfionen zurück 
‚zufehren, nichts weiteres nöthig, ale dag wir flatt e 


wieder = fchreiben. Geſchieht das in ‚der obigen 
Gleichung. wiſchen s und t, fo ee wir fie als 


S 
——. ce 
s=cm:(7 


Es eutftehe nn der Wunfch, zur Beftimmung des 
Raumes s nicht fernerhin & von der gleichförmigen Bewe⸗ 
gung ber beyzubehalten, fondern ftatt deffen den Raum X 
zu gebrauchen, welcher bey eben der gleichförmig beſchleu⸗ 
nigten Bewegung, deren s fuͤr t hier geſucht wird, in einer 
gewiſſen Zeit T beſchrieben wird; fo weiß man aus ber 
eben hergefegten allgemeinen Gleichung (die nämlich. 
für jedes t, folglich auch fürt==T gilt,) daß dieſes 
_= ZCT fepn muß, ö 

(Diefe Gleichung fegt und in ben Stand, dad ganze _ 


> durch E, C und T auszudruͤcken. Denn fie sieht 
S 
CT * 
bracht, giebt dafuͤr 522 —E— Hiemit 


* 
225 Dieſes in die algemeine Gleichung ge⸗ 


"if die Aufgabe in 6 35, „Die Wergleichung zwiſchen 


s undt zu finden,“ dergeſtalt befriedigt, daß dieſe Verglei⸗ 
chung an keine Groͤſſen der gleichfoͤrmigen Vewegunt 
fernerhin gebunden iſt.) 

Hätten wir nicht gerade dieſe Aufgabe vor Yugen 
gehabt, fondern überhaupt nur die Geſetze für gleichfärs 
mig; befchleunigse Bewegung fuchen wollen; fo würden 

wir 


Raͤſtners Vortrag ber Mechanik. 45 


wir etwa die Gleichung vor der Parenepefe: in die Pro⸗ 
portion aufloͤſen: 

| S::== .ET: ICT. 

Aus ihre erhellet, baß «8 sur bequemfien Vergleis 
: Yung zwiſchen S und z nicht nur rathfam fey, beyde 
von gleicher Bewegungsdauer herzunehmen; indem für 
T=T ſchon ziemlich einfah, S:2—= €: 3 C if: 
fondern auch dafür zu forgen fey, daß cc werde; 
denn alsdann I S: —1:4. 


Auf folche Weife erhalten wir suförderft den 
Satz, daß der Kaum T, der bey einer gleichförmig bes 


ſchleunigten Bewegung toährend T befchrieben wird, ges 


räbe halb fo groß ift, ale der Raum S, welcher in eben \ 


ber Zeit gleichförmig mie der Befchwindigkeit würde 
befchrieben werben, bie bey jener gleichfdrmig befchleus 
nigten Bewegung am Ende -ber Zeit T vorhanden iſt. 
(Bey Hrn. Raͤſtner $. 39). 


Bringen wir num diefen Sag, S=3X bey T=T 


und e=cC, in die obige allgemeine Sleichung zwiſchen 


sand t, ſo gieht —— — fish 


43. 
2 
von 


Aus biefer letzten Bolgerung toird erhellen, bag von 
unn an, 100 nad) und neben s== 2 z wiederum e im 
ben Formeln gebraucht wird, dieſes nun nicht mehr auf 
57. fondern auf — — = juci weiſet; obgleich dieſe bepe 


2 ben Ausdrücke unter dem Beding EC umd T=r 
allerdings einerley Größe angeben. — eben nähmlich 
als obige Zahl-e betrachtet; denn ohne diefe Einſchraͤn⸗ 


tung moͤchte wohl von ihrer Größe, fo wie fie da ſtehen, 


: Ghofteb SR, OD icht 


— 


39 V. Buſſe, Bemerkungen für Eulers, Karſtens, 16. 


wicht gut die Rede ſeyn Ednnen. Und von der Bemera 
fung Gebrauch zu machen, dag ihr S== ET und. ihe ° 
22==CT fey, erfordert ja wohl eben dad, wag durch 
fie ſollte gerechtfertigt werden. — — 
In allen den fernern Schluͤſſen, welche fich in dem 
Übrigen Theile dieſes IIIten Kapitels mit den Geſetzen 
der ungleichförmigen Bewegung befchäftigen, muß man 


28 
nun auch ſtatt e ſchreiben duͤrfen er ba bie dortigen 


| S und T mit unferm 2 und T gleichbedeutend find. 
F Thut man dieſes z. B. im 5. 74; fo. wird der bors 
tige Raum, der wegen Wirkung der Kroft f im Zeittheil⸗ 


28 C 
chen dt De wird, * 5* fdte. — m it, alfo 


*2 ge * da er doch nur halb fo groß nk tann 


Dirk Abweichung iſt aber nicht in der Bedeutung des 

& zu ſuchen; ſondern in $. 70, ober eigentlich fchon 
früber in $. 58. ‚Denn der dortige verſchwindende 
Raum lan nicht = e (etde) dt, ſondern nut 


=e «+ dt werden. 
WEG Beepa ſollte auch in §. 77 ſtatt ber Aus⸗ 
dt?- 
Grudes — nur das halb fo große Reben, und eben | 








N 
72 

Da ich die Lehrbuͤcher ans verehrungswuͤrdigen 
Kaͤſtners mit der größten Aufmerkſamkeit zu ſtudieren 
fuche; fo ward ich eigentlich durch die hiefige Gegend 
zuerft veranlagt auf jene Darftelung zu denfen, deren 
ich fchon oben ($. 17.) ermähnt habe; weil fie mir auch 
bo bem Eulerſchen Vortrage noͤthis blieb. 
VL. Ueber 


| fo im vn. Kap. $. 160 fate 


51 
VI. 


Ueber die vierraͤdrigen Wagen. Ein Nachlaß 


Lv 


| 
| 
| 


von J. H. Lambert”). 





J. B tanntlich braucht es, um einen Wagen auf 
ebener Straße gehen zu machen, keiner andern Kraft als 
derjenigen, die erfordert wird, das Reiben, welches die 
Achſen der Raͤder leiden, zu uͤberwinden. Daher kommt, 
daß wenn man die den Wagen in Gang zu bringen hin⸗ 
reichende Kraft haben will, man anſtatt des ganzen Ge⸗ 
wichtes, das die Raͤder tragen, nur den dritten Theil 
deſſelben nimmt; und daß ſelbſt dieſes Drittheil, im 
Verhaͤltniß des Halbmeſſers des Rades zum Halbmeſſer 
der Achſe noch vermindert werden muß. 

II. Dieſe Regel mag, angehen, wenn die Raͤder 
alle gleich ſind, oder wenn wenigſtens das Verhaͤltniß 
ihrer Durchmeſſer zu den Durchmeſſern der Achfen dafs 
felbe ift. Allein, da befondre Gründe erheifchen, daß die 
Vorderräbder Kleiner als die Hinterräder gemacht werben, 
fo entftehen daraus einige Solgerungen, bey welchen wir 
ung etwag aufhalten müffen. 

II. Wenn die Vorderraͤder kleiner find, fo mu 
man fürerft unterfuchen, ob ihre Achfe in eben dem Ver⸗ 
hältnig fann verringert werden. Denn die Kraft der 
Achfen verhält ſich wie der Cubus ihrer Durchmefler, 
dagegen das Reiben nur im einfachen Berhältnig mit 
diefen Durchmeſſern ficher. | 
D 2 VUV. Zu⸗ 


% Das im May 1776 geſchriebene franzoͤſiſche Original dieſes 
Aufſatzes war zü einer afabemifchen Abbandlung unter dem Ti⸗ 
tel: Sur les Voitures &.quatre Roues deſtimmt; und wäre vers 
mutblich noch weiter ausgeführer worden, wenn der fel. Ders 
faſſer (ce Barb.amı asien September 1777) länger gelebt bitte. 


33 . VI. Ueber bie vierräbrigen Bogen, 


IV. Zugleich fol aber auch) die Kraft der Achfen 
mit dem Gewichte, dag die Raͤder tragen, im Verhaͤltuiß 
fiehen.. Hieraus folgt, daß der Schwerpunct näher bey 
den Hinterrädern feyn muß; und daher muß alles dies 
auf eine folche Art berechnet und ausgemittelt werden, 
daß das Verhältniß zwiſchen ben Rädern und ihren Ach⸗ 
fen von allen das vortheilhafteſte ſey. 


V. Es fen der Halbmeffer der Hinterräber =—R;5 
der Vorderräder Sr; die, refpectiven Halbmeffer ihrer 
Achfer = A und a. Ferner, die Diſtanz zwiſchen dem 
Achſen = 13 bie Diſtanz des Schmwerpunctd von bee 

Vordetachſe =D; fo wird die Diftanz deffelben Schweres: 
puncts von ber. Hinterahfe = ı — D fern; und wenn 
das ganze Gewicht, das die Achfen tragen, durch P bes 


geichnet wirdy' fo. trägt 
die Vorderachfe dag Gewicht ((—D)P. 
die Hinterachfe m — DP. 


| Run follen aber biefe Gewichte wie die Würfel bei 
Halbmeſſer der Achfen fich verhalten. Folglich iſt 
== (i—D)P, und nA3==DP. 


VI. Ueberdies foll dad Neiben, melches die Achten 
leiden, durch den brreten Theil des Gewichtes, das fie 
tragen, ausgedruͤckt werden, und bie zum Sange der 
Raͤder erforderte Kraft iſt 


fuͤr die vordern == 4 (1— D) P. 
fuͤr die hinten — IDP. 
Folglich wird die ganze Kraft ſeyn 
| | a A 
FS VP. — [)) — — 
ah [@ +] R 
| oder, 


Pd 


Ein Nachlaß von J. H. Lambert. 53 

aber, wenn man für A und a, ihre Werthe ſetzt, 

3Fnm5z= pt: E (—D% SI. Des]. 
J r R 


VINII. Run kann aber, wenn man D als veraͤnder⸗ 
lich betrachtet, die Kraft F ein Rleinftes werden. Dies 
gefchiepet, wenn man feßt 

R:P==D:(ı—D) 


Bieraus folge R:r == A:a; und 


PA. 5. Ds PR 
| sFn' = — st: oder F=— 
VII. Das fo eben gefundene Verhaͤltniß R:r 
== A : a giebt ung zu erfennen, daß wirklich Die Durch⸗ 
mieſſer der Achfen, im einfachen Verhaͤltniß mit den 
Durchmeffern ihree Räder ftehen müffen, und daß gerade 
das Minimum der Kraft F folches erforder. Man 
ſiehet aber auch, daß fobald ale die Raͤder ungleich find, 
der Schwerpunct von allen, was auf die Räder drückt, 
näher bey ben Hinterraͤdern befindlich feyn muß. Das 
Verhaͤltniß 
Rır=D:(ı—D 
sieht Der’: (R r) 
ı-D=r:R +) 


IX. Bey eimet Vergleichung biefer Formeln mit: 
dem üblichen Gebrauche hat mich gedünft, daß man fie 
An Wagen, bie große Laften führen follen, ziemlich genau 
beobachte. Die Vorderräder macht man in einem nur 
fehr mäßigen Verhaͤltniß Kleiner als die Hinterraͤder. 
Die Laft, mit welcher man diefe Wagen befchweret, ladet 
man ein Stück weit über bie Hinterräder hinaus, dage⸗ 
gen’ man fie nur wenig ober gar nicht vor die Vorder⸗ 

D 3 raͤder 


54° VL Ueber die visrräbrigen Wagen. 


raͤder fich erfitechen läßt. Auf diefe Weile wird ber 
Schwerpunct der ganzen Laſt, die auf die Nabe ber Raͤ⸗ 
der druͤckt, den Hinterraͤdern naͤher gebracht. Dies muß 


auch ſo ſeyn, weil dieſe groͤßer ſind. Hiedurch erbaͤlt 


man ferner den Vortheil, daß der Wagen unter groͤßern 
Winkeln kann gedrehet werden, und man nicht noͤthig 
hat, die Laſt auf den Hinterraͤdern (oder Achſen) aufzu⸗ 
häufen: Außerdem frümmen fich die Wagenleitern viel 
weniger, als wenn die ganze Ladung zwifchen den vor» 
dern und bintern Raͤdern ruhete. Was aber die. Rats 
ſchen anlangt, fo will man, daß bie Vorberräder zwey⸗ 
big dreymal Fleiner feyen, als die Hinterräder. Hieraus 
würde dann folgen, daß der Schwerpunct $ bis 27mal 
näher bey ben NHinterrädern ſeyn müßte. Indeſſen iſt 
dies nicht üblich, weil man anch verlangt, daß ber Kaften 
zroifchen ben Rädern hänge. Naͤher kommt man ber 
Megel auf Reiſen, weil alsdann die Hinterraͤder mit der 
ſchwerſten Bagage belaſtet werden. 


j 


X, Unfere Formeln zeigen ung an, baß bie Kraft, 
- welche erfordert wird, einen vierrädrigen Wagen zu ziehen, 
viel weniger von dem Verhaͤltniß in der Größe der Räder, 
als vor der Art, wie fie beladen werden, abhaͤngt. Wir 
wollen, um ein Beyfpiel zu geben, annehmen, die Laft 
fen ein Parallelepipedum. So wird denn ihr Schwer⸗ 
punct in der Mitte ihrer Länge ſeyn. Raget nun dieſes 
Parallelepipedum wenig oder gar nicht vor der Achſe der 
Vorderraͤder hervor, fo fage man: Wie R3 zu der 
halber Länge fich verhält, cben fo verhält fich 
»? zu der Diftanz zwifchen der Witte des Paͤral⸗ 
lelepipedums . und der Achfe. der Sinterräder. 
Wenn demnach die Laͤnge A if, fo wird diefe Diſtanz 


Folg⸗ 


m 


Ein Nachlaß von J. H. Lambert. 53 


ſolzlich wird dies Parallelepipedum um den Theil 
1 Ar _ RB —- RP 


3-5; =31.— 
über bie Hinterräder berborragen. 





‚Weil aber dieſer Theil nicht ht größer als z\ 
Ar 
ſeyn muß, ſo fe man arm Ne — FF. und man 


erhält. R . 2 I, 26 r. 

Hieraus folgt, daft wenn das mMintmum der Kraft 
F geſucht wird‘, die Durchmeffer vr-Räder in dem Bere 
baͤutniß von I zu 1,26 ſeyn muͤſſen⸗ oder Rir 2524. 


Wenn denmach die Hinterraͤder 5 Fuß in der Hoͤhe 
haben, ſo muͤſſen die Vorderraͤder 4 Fuß hoch ſeyn. Und 
wenn der Zwiſchenraum der Achfen 10 Fuß iſt, fo wird 
der vierte Theil dieſer Bänge S 23Fuß, und weil bie 
Wagenleiter um dieſe Laͤnge uͤber die Hinterraͤder hinaus⸗ 
gehet, fo betraͤgt denn dieſer Vorſchuß fo viel als den 
halben Durchmeſſer der Hinterraͤber. Auch huͤtet man 
ſich in der gewöhnlichen Praris ihn ſtaͤrker herausrage 
zu laſſen. 


XI. Was iche eben igt geſagt Sabe, fann Bienen; 
dasjenige zu berichtigen, was Camuͤs von den Wagen 
und Kutfchen in feinem Trait& des forces mouvantes . 
(Abhandlung von den bewegenden Kräften) bey⸗ 
Bringt, unb bon Dessgüliers- in ‚feinem Cours de. 
Phyfique experimentale von Wort zu Wort iſt abge⸗ 
ſchrieben worden. Er ſagt: Es wuͤrde viel vor⸗ 
theilhafter ſeyn, die vier Räder an Wagen und 
Rutſchen groß und gleich oder ung fäbr (gleich) 
zu machen, als die vordern um die Hälfte Fleiner, 

D4 ‚wie 


- 56 u. Ueber bie vierräbrigen Magen. - | 


wie an mebr Orten uͤblich fey. *) Diefer Ausſpruch 
und inſonderheit dieſes ungefähr (a peu pres) fommt 
vollfommen mit dem Mangel an geometrifcher Strenge, 
und mit der unbeſtimmten Art fich auszudrücken überein, 


welche in dem ganzen Trait& des forces mouvantes 


herefchen; und man muß fich wundern, dag Desagüs 
liers nichts dabey zu erinnern gefunden hat. Unfere 
Theorie gewaͤhret uns eine beutlichere Einficht in biefe 
Sache. Es folgt daraus, daß wenn bie Vorderraͤder 
wirklich um die Hälfte Kleiner find als die Hinterraͤder, 
alsdbann der Schwerpunct 8 Mal näher bey diefen als 


bey jenen ſeyn müßfe; welches nicht flatt finden kann, 


— 


zum wenigſten, wenn bie Laſt mehr einem Prisma als 
einer Pyramide gleichen fol. Hingegen ſehen wir andh, 
dag wenn die Hier Raͤder alle einander gleich gemacht 
werben, der Schwerpunct in bie Mitte fällt, und die 
Schtwingbäume bey einer großen Laſt zu viel leiden wuͤr⸗ 


ben. Ueberdies, bat man in winklichten Wegen mebe 


Mühe den Wagen zu Ienfen, wenn die Vorderraͤder ſehr 
groß find, wie Herr Camuͤs heiſchet. Man wird alfe _ 
beffer thun, fih an fein à peu pres zu halten, es aber 
zu beftimmen, wie wir gethan haben, fo daß die Durch« 
meffer wie 5 zu 4 fich zu einander verhalten. Und wenn 
Die Durchmeffer der Achfen in eben dem Verhältniß ſte⸗ 
bet, wie fich gehöret (oben VIII), und man die Laft der⸗ 
geſtalt verteilt, daß der Schwerpunct zweymal näher 
bey der Achfe der Hinterräder als der Vorderräder fen, 
fp wird die Kraft F voßfommen dieſelbe ſeyn, als wenn 


fowohl. die Räder als ihre Achfen von gleicher Groͤße 


wären, ‚indem. bag Verhaͤltniß zwiſchen den Durchmeſ⸗ 
| . | | fern 


*) Qu’il feroit beaucoup plus avantageux de faire les quatre 
roues de chariot et de carofle grandes er égales ou A peu präs, 
que de faire celles de devant moitie plus petites, comme il 


pratigue en plufeurs endroits, 


. 5 Ein Nachlaß v von J. 9. Sambert. | wi 


fern ber Mäder und ihrer Achſen baffelbe blelbt Herr 
Eamüs hat weder auf dieſes Verhaͤltniß, noch auf den 
Schwerpunct Ruͤckſicht genommen. Außerdem war es 
etwas unſchicklich feine Bemerkung ohne Unterſchied auf 
alle vierraͤdrige Fuhrwerke auszudehnen. Die Kutſchen 
machen aus ganz beſondern Urſachen eine Ausnahme. 
Sebermann weiß aber auch, daß ſie nicht beſtimmt find, 
vie Güterwagen, Laften von 20 bie 30 Eentnern zu 
tragen, und daß, wenn man fie mit fehr ſchweren Cof⸗ 
fern beladet, diefe auf die Achfe der Hinterräber zu ru⸗ 
ben kommen. Daher unterfcheibet fich auch eine eigent⸗ 
‚ liche Reifekutfche genugfam von einer Spatzier⸗ ober 
Wiſitenkuiſche, um bemerken zu laſſen, daß man nicht 
ohne uͤberwiegende Gruͤnde die Vorderraͤder um mehr 
als das Verhaͤltniß der Gleichheit oder wenigſtens von 
5 zu 4 erfordert hätte, kleiner gemacht habe. 


“ 


| VER Tafel, um jedes Fahr der Julianiſchen 





Sonnen: on N B. Güldne Zahl 
nhletion 0 1234596789 


0 4200 420 4620 840 5040 1260 5460 ı680 9880 
1064 5264 1484 5684 1904 6104 2324 6524.2744 6944 
2128 6328 2548 6748 2968 7168 3388 7588 3808 * 28 
3193 7392 3612 7812 4032 252 4452 672 4872 1092 
4256 476 4676 896 5096 1316 5516 1736 5936 aıs6 
5320 1540 5740 1960 6160 2380 6580 2800 7000 3320 
6384:.2604 6804 3024 7224 3444 7644 3864 84 4284 
7448 3668: 7868 4088 308 4508 728 4928 1148 5343 
..532 4733 952 5152 1372 5572 1792 5992 2212 6412 
1596 5796 2016 6216 2436 6636 2856 7056 3276: 7476 
2660 6860 3080 7280 3500 7700 3920 140 4340 560 
3724 7924 4144 364 4564 784 4984 1204 5404 1624 
E 1008 5208 1428°5628 1848 6048’ 2268 8468 2688 


Oo 


| 
= O0 


5852 2072 6272 2492 6692 2912 7112 3332 7532 3752 
4916 3136 7336 3556 7756 3976 196 4396 616 4816 


— 2 
WW 0 











— — — 


A 19 18 17 16 15 14 13 12 II 10 


B Sonnenzirkel 











Iſt das Argument A groͤßer als 15, ſo ziehe man ı5 davon ab 
— — B. vo — 159 — 
Zu der Zahl, die die Tafel giebt, addirt man noch den 
Eonnenzirfel um's Jahr der Julianiſchen Periode 

zu haben. 


Ueber die Gruͤnde dieſer Tafel ſehe man Herrn Profeſſor 
Hindenburgs Abhandlung über die Cykliſchen 
Prrioden im Magazin für Mathematik I 786. 
St. UI. S. 257 — 324 


2100 6300 2520 6720 2940 7140 3366 7560 3780 


* 


Speriode aus feinen Kennzeichen zu finden. 


— Sonnenzirkel. 


27420 3640 7840 4060 280 4480. 700 4900 1180 
..504 4704 924 5124 1344 5544 1764 5964 2184 


2632 6832 3052 7252 3472 7672 3892 112 4312 


4760 980 5180 1400 5609 1820 6020 2240 6440 








Io 11 12 13 14 15 16 17 18 








3164 73064 3584 7784 4004 224 4424 644 4844 
4228 448 4648 9868 5068 1288 5488 1708 5908 
5292 1512 5712 1932 6132 2352 6552 2772 6972 
6356 2576 6776 2996 7196 3416 7616 3336 56 


2568 5768.1983 6188 2408 6608 2828 7028 3248 
3696 7895 4116 336 4536 756 4956 1176: 5376 


5324 2044 6244 2464 6664 2884 7084 3304 7504 
6888 3108 7308 3528 7728 3948 168 4368 588 
7952 4172 393 4592 812 5012 1232 5432 1652 
1036 5236 1456 5656 1876 6076 2296 6496 2716 
988 76543 2 1 
— Güldne Zahl. 
— æG—rrrc 











Beyſpiel 
fuͤrs Jahr Chriſti 1796 iſt 
G. Z. 11; 8S. Z 133 Indiction 14. 
13 — 11 2 und 14 - 13—21. 
Argument B'== 25. Argument A'=ı; 
dieß giebt in der Tafll » 6496 
hierzu SZ ee 13 


Jahr der Julian. Periode 6509 


FE, Burckhardt. 





= VIR 


.. 
L 
1) 


% 


So VII. Klügel, der Kreisumfang aus denſelben 
Vnl. | 
Verſchiedene arithmetifche Zufammenfegungen 


des Umfanges eines Kreifes aus denfelben Ele⸗ 


menten, Bon G. S. Kluͤgel, Profeſſor 
zu Halle. 





F r. D. areis if in ber Analyſis nicht weniger 
merkwuͤrdig, als in ber Geometrie. Der Umfang def 


‘gelben kann durch den Halbmeffer auf mehr als eine Are 


dargeſtellt werben, und man iſt dadurch im Stande, mit 
geringer Mübe ven Umfang viel weiter zu berechnen, ale 


8 ben alten Rechnern durch geometeifche Methoden 


möglich war. Euler macht in feiner Introd. in Anal. ° 
Infin, T. I. cap. X. fchönen Gebrauch von den Potenzen 
der Zahl w, welche den halben Umfang für den Salbe 
nieffer Eins beſeichaet, um gewiſſe unendliche Reihen zu 
ſummiren. Hier will ich die Abaͤnderungen der Reihe 


‚ angeben, welche den Quadranten durch feinen Sinus 


Fiat Hexe. ſo iſt * 2; =; 


darſtellt. Dadurch erhält man Summen von Reihen, 
welche bey Integrationen häufig vorkommen. | 
5. 2. Es ſey (ix) -I=ırax — 
3 
2.4 
1.3.3. 91:3:5:7 | 
2.4. 6 2.4.6.8 
Ferner fey-fin ®=x, fo ift bekanntermaßen 
Dmaxrta®R+FPßxi+FyYxR7 + etc. 
. Der halbe Umfang für den Halbmefler Eins fey 


sm fo ift 
je =ıt3a+3P+3Y+320Tete. 


; u. ſ. w. 








7* 


8. 3. 


\ 


Elementen verſchiedentlich zuſammengeſett. 6 


54. 2. Durch’ dieſelben Elemente a, B, y, dete. 
und bie Diviſionen 3, 5, 7, 9, etc. läßt ſich der Dußs 
brant Z auf unendlich viele Arten darftellen.- Es iM 
‚nämlich 
Iia=ı +42 +3ß+3y+ 3d-+etc 
&. im—4+3at+3ß+ Sylt et 
Bir=:2+3ar3ß +. y+rz59 + etc 
y3r=3T3 atrh+ ytrt etc. 
tete iYtıydr ete. 
u. ſ. w. | 
6.4. Denn man drucke in der Reihe für Ir in 
$. 2. jeden der Coefficienten &, 8, y. etc, durch den vor⸗ 
hergehenden aus, und ſetze * ir %, fo if 
es + +. @—+ + yet | 
205.4 7.6 5 
das iſt mi tja B-+-7 ib d-Hetc, 
+4 ta $ß-Iy— Atem 
FEN | 
-40—53- Zy— det 
folglich £ a late, Ä 
$. 5. Diefe Reihe multiplicire man mit 3, fo if 
3amı +3 +3I HI yH Hirte 
Hieraus wird, mittelft der vorher gebrauchten Suße 
ſtitution 
3.3 
—1 
Llend ie st uufeek a +7 y+eter 
Ä JOH BREI FRE DANET EU YRFE 5 d Mretc. 
+4-32.-$P- Ay A ee. 
das if J1 +ta rs Ay HH ete. 
and 3 a etc. 
| 6 


62 vii. Klaͤgel, der Kreisumſang aus denſelben 


$. 5. Die Fortſchreitung der gefundenen Formen 

für 2 7 allgemein zu erweifen, muß man zeigen, daß ans 
einer folchen Form bie baranf folgende fließt. 

1...(2m—1) 





im 






























































Es w 2. 2m 2757 Far: amtz 
1.94 IE + et 
. — ete. 
— am+7 " 2m+9 
.(2m+1 2m+YrI 2m *1 
bo in x g2=1 + ——a+—-—Bß 
.. 2m. 2m+t3 2m+t5 
4. * —E 2m0**1 | 
' 4 ö-+ etc 
’ . am+7 . '2m+9 
"  2m}rI H am+ı . 2m+iı 
* .3-+ .30-+ .£ 
9 
em+ı 0 
 ——.3y-t etc 
‚,.„. &2mt9 
=: ia 3:P +3 y +eto 
2m+2 3° ' 5 
—— æ —3 ———y-.etc 
2m+3 2m+5 2m+7 2m+t9 
 oam+2  2m+2 2m2 am+2 
= — ——— 84 y+etc. 
nr 2m+5 2m+t7 2m+9 
al — ig | I: 
F —8X #7 om+3  em+s5 
N +. B+ y-+ etc. 


I. 
2m+7 " 2m+9 


Da die angenommene Form für m o gültig if 
($. 4.), fo gilt ſie auch für m == 1, mie es and) ($. 5.) 
gefunden ift, baber ferner für m 2, fuͤ m 3, 


ne 
$. 7: 


Elementen verfchiebentlich. jufammengefegt. 6 
87. Eine zweyte Gattung von Form für m iſt 





[gende : 
" I 7 8 
er a er 
I a ßQ 
Ama — — — — — — — — ete. 
2 2:7 4-9 -6.ı1I 8.13 | 
a ß 
— eicy 








— 8. Dieſe Form folgt aus der vorher gefundenen 
Form für m. Denn man fege in ber Reihe 

u . 

+ — 422 
sm+I 2mt3 2m+5 2m-7 
für =, B, y, 9, etc ihre Werthe, durch die vorhergehen⸗ 
den ausgedruckt, und Z für &, fo iſt dieſe Reihe 

1 











-+ etc, 


ET 























—— ‚1 ‚Ja 
am+ı 2m%+3 — 2 2m+7 
u 1 
.7 drei 
2m+9 vr sm+tıır 2. 
_.ıa er 8 Y 
om+i ‚2mt+3 2mt5 2zm+t7 2m*9 
I &% ß yo 


“ a(amt3) 4(zmts)  6(2m47) u 8(2mt9) 
+ etc. | | 


1...2m—I) 1...(2m+1) 1 
—— — ie 
veicuh ( > ..... 2m J 27 
1 I. æ 


ü — ⏑ — ete. 


20m 1 u 3(2m+3) Bu 4(2m45) Gm) 
5 das 





64 VOL Kluͤgel, der Kreisumfang aus benfelben 


—— r un I 1 
| Tamt 2(203) 
% ß Y | 


4lamts) _ ‚6 am) 8 (2m+9) 












— EG, - 




















xndyx 
Au abe. Den Wert von — 
J 5. 9. Aufg b ee 
hdar x*a zu finden. \ 
Auflöfung. Zu. 
es it ——= + er Sr * 
it — = (I-be. Ä 
"T Va—x’) et 
x⸗ꝛm 
+. — + etc.) —. | 
'x?"dx a 2 
ur * (a?—x?) - r am+3; ze : 
BB x. y 26 6 23 
\ + am+5 ringe: a6 er om+9 ra 
j f gzui+r 
| amt: Zi + etc) . 
Sie x a ift 
xndx ade __ I...(2m—1) y sm 
Te sun m man 


510. Aufg. Den Werth von nf nf ar) dx 
zu hoben, wenn xa if. 


Aufloͤſung. 
x 
‘ Eye Ge. 


_r — — | — — etc. xy, 
8 28 0 ale 4 
| Alfe- 


| \ 


Elemencen verſchiedentlich zuſemmenGeſett 6 5 





1 ı x? 

Mpx” 2x: ax — —_—_._ 
4 [ y\ g 2m+I  2(2m+3) a? 
a x4 ß x6 

4(2m+5) a  6(2m+7)' PX. 


y_x 
8 (2m+9)' 28. 
gür za if xꝰm(aꝰ - x?) dx 


— etc.) zUtIn, 





— 
CA. 1, aↄm-2, 
2...... 2m 2m+2 


| € II. Exempel. Bey der Beſtimmung der Zeit 
des — Schmwunges eines einfachen Pendels Fommt man auf 
folzende Differentialformel: 


——Sax 
va) u 





Der Factor 


vu 
wandelt, ſo iſt 
tax ri yröthete 
Tür xa fen das integral — A, fo iſt 
A=(i-+02+- Party? ad? ad-r-etc.) im, 


, werde in eine Reihe ver⸗ 


dx==dX.. 


Es ift hier a der Sinus bes vierten Theilg * 
Schwingungsbogens. Die Zeit eines Schwunges (ei 

Hin⸗ und Herganges) ſey —t; die Länge des Pendels 
==r, bie Hohe des fichen Falls in einer Secunde — g, 


fo iſt t=2Ay * 
Fuͤnftes Heſt. | .e€ $. 12. 


. . ⸗ 


J 66 VIII. Rüge be Grelsumfng aus benſelben Ic. 


Zu ; 


$. 12. Mrempel. Es fey die halbe große Are - 


einer Ellipſe == 1; die Errentricität = ®, die Abfciffe 
‚von dem Mittelpundte aus genommen = x; ber dazu 
gehörige Bogen von bem Scheitel der Heinen Are an ges 





Ä nor y2 
| J rechnet == s, ſo iſt Gr Ze dx==ds. 


Der Zähler dieſes Bruchs entwickelt if 
VCI— er)—=ı—tex’— Zaetxt 3ße6x$ 
1 del ro _ etc. 


. Set man in dem Integral x , ſo is der 
elliptiſche Quadrant; alſo iſt 


Quadr. ellipt. = (ine —Iaßet— 1Qye6“ 
’ — Ides - Tode —etc.). Im 
oder if 





. uadr. el . = (I 12, et — 
Quai p 4.16 4.16.36 


 1.9.25.7 RB 1.9.25. 499 _ 
4.16.36.64 4 10.39. —A— 








1.3 1.9. 
956 


| IR. | 
Zufäge zu der allgemeinen Summation einer 


Reihe, worinn höhere Differenziale vorkommen; 


von J. F. Pfaff, Prof. der Mathematik 
zu Helmſtaͤdt. 





(Bertfegund des Aufſatzes im dritten Hefte d. A. ©. 397-347) *8 





5. 1. Satz. oo 
E⸗ iſt, was auch q, v und V bebeuten moͤgen, 
I f ın f IT d £+c 2-1 (V -foc 
—J (Vg uree. vg ).d!(Vgq > 


1 na— I) 


f+2C 1:2 





—d? (v gi +2C) das2 (Vg“?-2) 














1 | 
4 ete Fre de (vgftue). Vater m r vde V 
+ dran IV Ban 1, gay 
f+c 7— 1.2 
—- etc+ Pre “er. vm. 
€ 2 | Beweis. 


®) Das find die in me Note zu Seite 337 bemerften, pen 
hin eingefenbdeten, Zufdge, die ich bereits amıo. Marz 1795 
eebielt, ſelbige aber aus Mangel an Raum, und mit be 
Sauptfaße zugleich, nicht mittheilen konnte. Zindenburg. 


“) Das # der Sat, von welchem ich In meiner Anmerkung zu 
. III. ©. 345 gefagt habe, Heer Peof. Rotbe babe Ihn, in 


eftaft einer Rofalformel, gefunden, ohne von Be Profeſſor 


* Praffe gleichneltendem NY etwas zu wiflen. Dee 
Sag iſt wichtig; auch möchten fonft bie she allgemeinen Säge 
(8 and 12) ſchwer au erweiſen feyn. 


* N 
—* 


68 | IX. Pfaff s Zufüge zu feiner 


Beweis, Nach (3. But. 2.0. 9.11. &. 344) 
iſt; dag bortige va“ geſetzt, 


— —— 


ı n(n—ı) 
— — d? f+2c de-ı V -f-2c te. 
Fre a (gr? )dR7(Vg )-+ete 


* — V. Nun entwickle man in dem Ausdrucke des | 


Satzes linfer Hand des Gleichheitd- Zeichens, d (vgl ), 

d? (vgf*?4), d3(vgf*3d) etc., gewoͤhnlichermaßen als Diffe: 
renfiale von Producten aus v in Potenzen von q (wobey 
d’ vor) = — vd’ (gf+re) 4 Advd’-! (gtrc) 

A— 

4 — Da v.d’2 (Hr) u. ſ. w.), fo gerfält 
der Ausrut in n mehrere Theile, welche nach der Diffe⸗ 
rentialen von v geordnet, fich fämtlich durch die nur 





angegebene Formel für Sa⸗ V ſummiren laſſen, für n 
und f; gefeßtn,n-ı,n-2; ,f+dfr2duf.m. Dee 
erſte Theil mit dem Factor v ift =- vd”V, der andre 


Ii.n ; 
mit. dem Faktor dv iſt — Fre dvd”"!V u. f w. 


So ergiebt fich der Ausdruck des Satzes linker Hand des 
Gleichheits⸗Zeichens. 


6. 2. Zuſatz. Der Ausdruck linker Hand des 
Gleichheits⸗Zeichens enthält, außer den Groͤßen v und V, 
auch noch Potenzen von q. Der Satz zeigt, daß dem⸗ | 
obngeschtet fein Werth nicht von q abhänger 
fondern immer dem Werth für qg m ı gleich fey. 


EN 


/ 
! 


ollgemeinen Summation einer Reife, 69 


— 6. 3. Satz. Wenn q, v, V Reiben bedeuten, 
welche nach Potenzen einer .veränderlichen Größe mit 
einem Erponenten · Unterſchiede fortgehn, ſo iſt 


_ zo x1.(Vd)x(ntı) +, — — “2. var xn 





4 —V— VITHYLa—N-r. .. 


TE: 





+ ne IRRE. Va) KL 


= - var.Vx (a+ı) + v2. Ven 
f He 


4 





T' 
f+#2c 
Beweis. 1) Es ſey 
g=atalz-+ allz? auit z3,, 
vz=A+Alz —Alz? LA 33.. 
 V=YyHQNz A 22  yıı 23. 
d’(gFv). . 
| P ik — = 1.2.3.9.(g’v)x (v+1) 
zZ - | . 


d’(q*V) | | 
—* 1.2..91.(9"V) x (v+1), 
.dz 





bey der Differentiation dz als beftändig angenommen, 


und in den Differential» Verbältniffen Z== 0 geſetzt. 
Druͤckt man nun die höheren Differentiale in dem erften 
Gag auf dieſe Ark aus, fo verwandelt fich derfelbe in den 
aweyten Satz. 
2) Iſt nun allgemeiner | 
9* az" -alz «+3 4 —V—— 37 
— -ANzetR,,. 
v= NY’ yızrt? +yuzrt2, ... 


€ 3 u \\ 


vx3.Vx(a-ı)t.. Paz land ' 


70 IK. Pfaff's Zufäge zu feiner | 


fo bleiben die Coefficienten von q"v, q"V, ber Hrönung | 
nach, noch eben diefelben wie in (1). ifo gilt der 
Satz auch für die allgemeinere Reihe *). | 


$. 4. Zuſatz. Man kann den Sat fürzer fo aus⸗ 

brüdn: . 

—* Mxı.(VgdYxtatr) + * van. ——— 

4 r 
f+2c 


== (wV)%* (n* 1), wo w eine neue Reihe bedeutet, - 
deren Eoefficienten burch die von v fo beflimmt werden, - 


(vgi*29)%3.(Vg”t?)x(n— 1) tete. 





daß für jedes n, wi (nt) — * ve (n+1) In 
dem Summen⸗ Ausdruck kommt alſo q nicht vor. 


5. 5. Zuſatz. Man ſetze (in $. 3.) für die dor⸗ 
tigen c; f;q; v;V . 


bir —c; gi -; 0; U | 
3 ſo 


) So erſcheint der zweyte Satz als ein ſpecieller Fall des erſten. 
Durch eben dieſe Reduction von Coefficienten auf hoͤhere 
Differentiale, find auch im vorhergehenden Auflage CHeft, III. 
©. 337 ꝛc.) die dortigen Sormeln mit Coefficlenten aus der 
Sormel fuͤr du (x y) als fpectelle Falle hergeleitet. Gebraucht 
man aber die Rocalformeln für höhere Differentiale €II. Heft 
©. 229) fo laffen ſich umgekehrt, aus den Kormeln mit Eoefis . 
etenten die mit böbern Differentialen herleiten, und beyde 
Sormeln erhalten gleiche Allgemeinheit. Da hievon, fo wie 
berhaupt von den nenannten Rocalforıneln, feine Ermäbnung- 
von mir in dem vorhergehenden Auffage gefchehen iſt, fo ſey es 
mie verfattet, anzumerken, daß derfelbe (nach feinem erſten 
Entwurf nicht sum Druck beſtimmt) ſchon im Marz 179. . 
des Herrn Herausgebers Handen war. Jene Feealformeln ab 
vorzüglich dann nüslich, wenn es auf Reduction ber höhern 
Differentiale auf Eoefficienten anfommt: im umgekehrten Fal, 
wie bier, ſcheint das andre Verfahren bequemer zu fen. 


Pie 


‚ allgemeinen Summation einer Heide, 2. . 


I) v 


n "wird 


= (ug Mar. nn 





etc. Eur ge a. x (nt1). (Ugs- SITu 





=! UXI. Uratnr ux2.Uxn 
8 g-06 





+ etc - — ux(otn). Uri (WU)x(a+r) 





u I 
da We (a+tı)= ux (n+I) 
oo # gend. 


$. 6. Zuſatz. Iſt in (5. 3) vr, oder ins. (5) 


=—=ı, fo fallen in den Ausdrücken linker Hand des . 


Gleichheitd +» Zeichens alle Glieder big auf dag erſte Oder 
letzte weg, wodurch man die Formeln (im 4. Zuf. J. c.) 
erhaͤlt. 


$.7. Satz. Es iſt ey = = nd (xu‘) d*” ya) 
+ — er (xu2°) d"-2 (yu’2°) +...+d? (zu) ya” 


| . d du? 
==d’(xy)-ned’" (xy —) +n(n-ı)c’d?®(zy —) 
ı . ” na 


du? 
=... +-n(n—r).. Y.c',xy a’ 


Beweis, Diefe Gleichung folgt unmittelbar aus 
der in dem Beweiſe der Formel für dux y (num. 4. l c.) 
geehrte wenn flatt des bortigen u gefege wird uf Ü 


cdu 
vedurch aus = — — wird —. 


E4 8. 8. 


⸗ 


72 I X Pfoffs Bufie zu feine 


8. 8. Gas Es iſt | 
0 geyı.gea(n+ı) + qi*°xa. ven 
+ get? 43.47” (n—ı)-Hetc.. 
+ gtre x (arı).ge"eeı 
ts ———— (gite- ‚Oxn 
+ c? (gq’r372Q’)x (n—ı) etc... 
cl (gi+s- 2QN) xı 

wenn Qxn =ng& (n+ 1), für jeded n. 


= Beweis. Dan fege in (6. 7) x= —=g; vgl; . 
' ug, und brüde, wie in $. 3. die Differentiale durch 
. Eoefficienten aus, fo folgt gegenmärtiger Sat aus dem 
vorhergehenden, weil, wenn u=a+ßzt yz+d2..,. 


du. 
Fi Ptayıtadn.. Ä | 


du 
alfex - a, * (a4 ı)=n. ux(a+ 1). 


Fi 9. Zuſatz. Der Werth bes Ausdrucks Iinfer 
Hand des Gleichheits- Zeichens hänge alfo nicht von f 
und g einzeln, fondern vom ihrer Summe f+g ab. 
Man Ebe f+4g = == s, fo ift . 
..gar.gta(atı)-Hgt°x2 ——— 
+ gu (ar). q’” -f- nur u 
== qQ’reı:g’ "x (n+ı) + g°°%2.qg"*’°'en 
m. genen (a+r). g°” -(n+T)c x1; 
und für c=TI M | 

qf Ki. .g’” (ot) + gt!xa .g’” f-Iyn , 
— g’2u3. q°7?x (n® 1).. +ga(atı). J 
m geı.g te (+) + gq’r2.g’’an-.. 

tg" rl *(n+1). ‚gArixı. 
Dieſe Ausdrücke haben alfo für jedes £ einen 
noeh, Ä 
. 10. Zuſatz. Wenn man den Sag ($. 8) auf. 
Binomial, Foefficienten "A, "3, ?E... anwendet, fo 
entfpringe daraus folgende Gleichung : Ä 
5 | 0 e(e-1) 


allgemeinen Summation einer Reihe. 73 


dr)... (gentr) + (Fo). (ge) (g-c-1).. (-e-nt2) 
+'% (£+2c) (i+2c-1).(g-2c) (g-2c-1)..(g-2c-n%3) 
HE (fr3c) (fr 3c- 1) (fr3C-3).(g-3c) (g-30-1).. 
..(g:30-n+4) + etc. etc. 
== (g+f) @+—1). .(gtf—-n+r) 


x(: „ne ne, an—r)e —— — n(n-1.) (n- —W t ) 
— etc 
g+f we; (gtf-1)  (g+M)..(e+f-2) 
beyde Ausdrücke werben fortgefeßt, bis bie Glieder wegen 
n verſchwinden. 


$. 11. Zuſatz. Man ſetze Hoc, fo ift alfo 
die Summe folgender Reihe 

1. 88-1)... (gen+r) —"Ug. (ge) (g-c-1).. (g-e-n+2) 
+ "8 (g-c) (g-et1).(g-2c) (g-2c-1).. .(g-2e-n+3) 

— "€ (g- 2) (g-20+1) (g-2012).(8-30) (8301) . 

| ..(g-30-n+4) + etc, etc. 

von g unabhängig, d. i. wenn man bie Glieder die- 
fe8 Ausdrucke, fo viel deren ſeyn mögen, nach Potenzen 
von g entwickelt, fo wird jeder folcher Potenz Eoefficient 
für fich verſchwinden und nur das Glied ohne g übrig 
bleiben. 


—G6. 12. zuſatz. Aug dem Sag ($.7.) entfpringt 
noch folgende Brhung,, allgemeiner als die ($. 8.)x 
xx T.yx(n+ı) 4 (xu)®2.(yu)xn 
+ (xu?%) x3.(yu®) x (n—1ı) 
-Tetc...+ zu”) x (n+ 1). (yu” * *1 


= (xy) % (n+1) —- c. (xy: —) x “n 
" u U? . > 
| --c” (xy. —) "(ar Hete... 
. U" . n 
n — 
‚+c y: ) x“ı u. 
wrenn für jedes n, Unn==n.ux (a+T). 


Es... X 


74 | x. Kamp, geometriſche Analyſis 


X. 
Geometriſche Analyſis des Rentals, Hoodon 
genannt; eine Widerlegung des Syſtems von 
Hauy. Aus einem Schreiben Din, D, Kramp's 
an den Herausgeber. 





Vorerinnerung des Herausgebers. 


n der von mir ohnlaͤngſt herausgegebenen Sammlung 
von:Schriften über den polynomiſchen Lehrſatz ꝛc. 
iſt dieſer Abhandlung, in einer Anmerkung zu’ Seite gr 
bereitd erwähnt worden. Sch habe fie ſchon feit einiger 
Zeit erhalten, und ift folthe wieder neuerlich von Heren 
D. Rramp in Erinnerung ‘gebracht worden. Der Ans 
fang des Briefes oder des Aufſatzes felbft, bezieht ſich 
auf ein Verfprechen, das Here D. Rramp in einem 
Anbange zu feiner Arpftallograpbie gegeben hatte. 
Ehen dafelbft, am Ende diefes ſchaͤtzbaren Werkes, findet 
man auch feine Erklärung der Derdoppelunn des fo. 
genannten isländifchen Rryſtalls, von melcher. ich, 
da in der Folge ausdruͤcklich davon Erwähnung gefchieht, 
nur im Vorbengehen, bier nod) anmerken will, daß es 
mir ſcheint, man habe auf dieſe Erklaͤrung einer Erſchei⸗ 
nung, bey welcher ſelbſt Huͤggens und Newton 
Schwierigkeiten gefunden haben, nicht ſo viel Ruͤckſicht 
genommen, als die Sache verdient. Alles laͤßt ſich in 
ber That ſehr leicht und natürlich erklären, wenn man 
mit Herrn D. Rramp annimmt, die urfprüngliche 
- Korm des Kalchſpaths fey der fogenannte Spath Len- 
riculaire, aus dieſem entftche, durch Anfegung neuer 
Schichten. der isländifche Kryſtall, von ber urfprünge 
lichen Flaͤche aber bleibe fo viel zurück, daß fie eine Ver» | 
doppelung des (Begenftandes buch Keflerion ver« 
anlaſſen kann. 

= - Einige 


! 


des Kryſtalls, Hyodon genannt. 785 


Einige Nachrichten, Herrn D. Rramp betreffend, 
habe ich in der oben ungezeigten Sammlung von Abhand⸗ 
fungen (&.91.-101) gegeben. Noch muß ich hier er- 
innern, daß die dortige, feinem Namen beygefügte, Nach⸗ 
tweifung igt nicht weiter beftehe. Herr D. Rramp bat 
das Phnfifat bes Dberamts und der Stadt Meiffenheim 
aufgegeben. Die Ereigniffe des Krieges haben ihn nehm⸗ 
lich, feit beynahe zwey Jahren genoͤthigt, Meiſſenheim zu 
verlaſſen. Nach den neueſten Nachrichten hat er ohu⸗ 
laͤngſt den Ruf als Phyſikus der Reichsſtadt Speier 
erhalten und angenommen, feſt entſchloſſen, welches auch 
der Wechſel des Krieges ſeyn moͤge, daſelbſt zu verblei⸗ 
ben. Verſchiedene combinatoriſch⸗ analytiſche Ab⸗ 
handlungen von ihm, außer den, in oben erwaͤhnter 
Sammlung ˖ bereits aufgefuͤhrten, werden in den fol⸗ 
genden Heſten des Archivs nach nnd nach mitgetheilt 
werden. 


N — ——— ⏑ 


— Sie erinnern mich, Hochgeehrteſter Herr Bros 
feffor, ‚mein Verfprechen in Anfehung der polygono⸗ 
merriſchen Beyrräge bald zu erfüllen. Allein, mit 
welcher Gelegenheit, und bey welchem Verleger könnte 
dies wohl‘ gefcheben? Indeſſen erlauben Sie, daß ich 
diefem Schreiben einen furzen Auszug aus einem biefer 
Bepträge einverleibe, freylich ohne Beweife, die ie 
leicht felbft finden werden. Er betrifft diejenige Abaͤn⸗ 
derung von Kalchſpath, die bey Linne Hyodon heißt. 


Der Hyobon iſt ein Dodekasder von zwoͤlf unter - 


fich gleichen, aber ungleichfeitigen Dreyecken eingeſchloſ⸗ 
fen, deren jedes eine lange Seite AD, eine kurze 
Seite AC und eine Bafis CD hat. Diefe zwölf 
Bafen machen zufammen ben Aequstor BCDEF deB 
Hyodon aus, ein gleichfeitigeg, gleichwintuichtee “a 

eck⸗ 


76 X. Kramp, geometrifhe Analyfis | 


ech, deſſen ſechs Seiten aber nicht in einer Ebene liegen. 
Ich werde diefe ſechs Seiten bie Aequatorkannten nen 
nen, um fie von den Polarkannten zu .unterfcheiden, - 
die in ben beyden Polen A und G zufammenftoßen. 
Diefe letztern werbe. ich abwechfelnd die böbern und bie ' 
niedern Rannten nennen, je nachdem fie mehr oder 
weniger von der Are des Hyodon abweichen. Es ift 
Har, daß die Fürzern Seiten, wie AC, AE u. ſ. w. 
mit diefer Age einen größeren Winkel „machen müffen,. 
als die längern Seiten AB, AD, AF u. f.w. Ich 
werde die Neigung der böbern KRannten gegen die Are 
mit x, die Neigung ber niedern Rannten gegen eben 
diefelbe mit y bezeichnen; und zugleich annehmen Cotx 
=p; Cöy=g. Man erhält hieraus Cot ACG 
= _ _rT . © wäre denn ber Winkel befannt, den die 
böbern Rannten ber einen. Pyramide mit den niebern 
Kannten der andern machen, da, wo ſie am Aequator 

zuſammenſtoßen. 


Bezeichnet man ferner mit J ben Dolarwinkel 
jedes Dreyecks, CAD; mit L den größeren Winkel 
an der Baſis ACD; mit M den Eleinern Winkel an 
ber Bafis ADC; mit 2Z, den Winkel der Aequa⸗ 

torkannten CDE, fo iſt J— 

et _, u 
v@t4Pp—4apgt449) ° 

CL —RZ2PrIrT 

| v@+4pp—4PI+449) 

__299=-2pgarI 
V@+4Pp — 4Pq+499)" 
1+4(p—q) 

',3 


CtM= * 


Ct Z=y 
u Wir 


des: Kryſtalls, Hyodon genannt, | 71 


Wir gehen jegt an die Stächenwinfel des Hyo⸗ 
Ion über. Es ift offenbar, daß der Slächenwinfrl an 
en höhern Rannten (ACD mit ACB) Eleiner feyn 
uuß, als der Flächenwinfel an den niedern Rannten 
ACD mit AFD).- Bezeichnet man den erjtern mit 


29-Pp 





‚X, ben letztern mit 2Y, fo ift Ct X == — R 
, f V@+t3Ppp) 
nd Cot Y== u TI, Eben fo werden auch 


YG+3g9Q9) 
iefe Stächen gegen ven Aequator verſchiedentlich geneigt 
pn: indem der Winkel, den fie mit ihm bilden, an dem: 
Sbern Kannten größer, an den niedern Kannten 
leiner feyn muß. Bezeichnen wir den erftern mit u 
Jie Slächen ACD und ACB mit BCD) ten letztern 
ie v (die Flaͤchen GCD und GCB mit BCD), fo if 
(app-2pgtr)V3 ._ 
2(2q-p)ylı+pp- 5 
{299-2pgtn)y3 
2(2p-q)y -DYCitpp-2pgtgg) 
Eben fo ift es mit den Winkeln, die die Kannten 
Ibſt mie den anſtoßenden Slächen des Aequators machen; 
ir die böbern Rannten wird derſelbe geößer, für 
ie niedern Rannten wird er kleiner feyn. Beazeich⸗ 
et' man den erftern mit S (die. Kannte AC mit der 
lähe BCD) ben zweyten mit T (die Kannte CG 
ait der Fläche BCD), fo ift 
2 pp- ec Cor = 211-2? 2qq 299-2pg+z. 
29 — 2p-9 
Sieht man bie inte Lund M alg gegeben an 
(weil in der That diefe am leichteften zu meffen find), fo 
findet man daraus fürs erfte, den Winkel der Aequator⸗ 


kannten Z auf folgende Weiſe: Man nehme Cot M— & 
ot 


Ct 


Ctvzm — 


tP= 


[4 


78 X. Kramp, geometriſche Analyſis 


CtL=P, T— Cot ?L — Cot L. Cot M = 
Cot :M=Q, und YPP+QO)=R; fo jſt 


+ 
Ct Z=Yy — Berlangt man bie Ye 
| des Kriftalß, fo ift diefelbe v- — 73 I, wobey nem⸗ 


lich die Aequatorkannte fuͤr die Einheit angenommen if. 
Endlich, um die Eotangenten p und q der beyden Win⸗ 


2 GG;5: 





R— 
fel x und y zu finden, fo fege man 


3RTQO)(2—C+R) 
2(2— Q—R) 

und 24=F+G. Sind einmal diefe Iegtern Winkel 

‚gefunden, fo läßt fich aus ihnen alles andere beflimmen. 


Sich babe dieſes für nothiwendig erachtet, um über 
das Syſtem des Herrn Hauy einige Anmerfungen zu 
machen. Unbegreiflich ift e8 mir, mie diefer Gelehrte | 
Berechnungen über Körper machen Eonnte, ohne ſich 
der fpharifchen Trigonometrie zu bedienen, die ihm alled 
ungemein erleichtert hatte. — Ich werde hier dag ger 
meine Parallelepipedon des isländifchen Kryſtalls zum 
Grunde legen, das wie befannt, die wahre Mutter ber 
Kaldhfpathformen if. Den fiumpfen Winfel deffelben, 
102° 40' werde ich mit 2B bezeichnen; und zugleich 
annehmen y (3 Ct2B—ı)==CotF. F mwirb ber 
Winkel fegn, den die Arc des Kryſtalls mit einer Seiten⸗ 
fläche madıt. 


Das Parallelepipedon de Kalchſpaths fann auf 
eine dreyfache Art zum Dobecadder übergehen: je nach⸗ 
dem nemlich die neue Kroftallenmaterie fich zu beyden 
Seiten der Polarfannten HI, IK; oder zu beyden Sei⸗ 
ten der Arquatorialfannten HL, LK; oder endlich auf 

‚bie. 


== FF; fo iſt 2p FG; 


. des Kryſtalls, Hyodon genannt. ‘ 79 


die gu beyden Seiten der Diagonale IL gelegenen Wine 
kel H und.K anfegt. Es feyenemlihh HIKL eine Seis 
tenfläche des Kryſtalls, I einer ber drey Winkel am Pole, 
und IL die Polardiagonale. Und n, die Zahl, die bey 
Hauy nombre des rangees Jonstraites heißt. 


Im erſtern Fall, den man gewoͤhnlich an den Ab⸗ 
ſchnitten der Ecke des Aequators erkennt, werden die 
Polarkannten des Parallelepipedons, zugleich 
Polarktkannten des Dodecaẽders. Ueberſetzt man hier 
die ſehr verworrene Sprache des Hauy in die wahre 
Sprache der Analyſe, ſo iſt 75* 3 Cot F; und ferner 

— To | 
1 ant2 u 

Im zweyten Fall der fich gewoͤhnlich durch drey⸗ 
ſache Abſchnitte an beyden Polen auszeichnet, wird der 
ganze Aequator des Parallelepipedons, Aequator des 


nT 2 
Dodecaẽders. Alsdann iſt —— Cot F; 
‚ 20-2 


= I Cot F. 
2n — | 
Im dritten Fau werden die Polardiagonalen bes 
Parallelepipedons, Polarkannten des Dodecaëkders; oder 
vielmehr, ſie werden mit ihnen gleichlaufend ſeyn, und 
fehr oft der Laͤnge nach abgeſchnitten erſcheinen. Alsſ⸗ 


dann iſt p * Cot F ; qg== CotF. Vermittelſt 





biefer Formeln, Denn der Werth vom n als befanut an« 
gefehen wird (n ift nemlich die Zahl die bey Hauy nom- 
.bre des rangees foustraites heißt) läßt ſich daraus 
juerft die Cotangente p und q ber beyden Winfel x und 
y, und aug biefen letztern alles uͤbrige am Doberaeder 
beftimmen. 

Der 


80 | X. Kramp, geometriſche Analyſis x. 


Der große Grundſatz des Haupy iſt nunmehr der, 
daß in allen moͤglichen Abaͤnderungen von Kryftallen n 
allemal eine gange Zahl ſeyn müfje. Und dies iſt nicht 


wahr. Ach babe bie Winfel L und M an fehr vielem : 


Dodecaddern gemeſſen; bieraus die Winfel x, y und z, 


berechnet, und nie gefunden, daß der Werth von n, idee 
2Coty— Cotx 


eyn follte, eine ganse Zahl wurde. 
2Cot x — Coty feyn follte, ganze Zah 


Auf einer prächtigen Kryſtallengruppe dieſer Art 


| aus Dauphine‘, die nıan im KRaiferlichen Cabinette ficht, - 


und deren fehr vollkommene Kryftallen big zu 8 Zoll in 
ber Länge haben, fand ich, mit Weglaffung der Minuten, 
L == 109°, M == 18°, Berechnen Sie hieraus nad 
der vorhin gegebenen Sormel,. den Winkel 2Z, fo finden 


Sie wirflid 2Z==102°9; Ein ficherer Beweis, daß bie _ 


Beobachtung richtig war. Sie finden weiter x==13945'; 
y=12°1$'. Die Zahl n fällt alsdann in bie Mitte 


zwiſchen 1, und 2; und bie ganze Hypothefe bes Haug 


Wwird durch bieſcs einzige Beyſpiel vollkommen twiderlegt, 


‚Wenn Sie das Memoire für la double refraction 


du Criflal WIslande; Mem. de l’Ac. Roy. de Paris 


1788, von eben dieſem Hauy noch nicht gelefen haben, _ 


fo bitte ich es jege zu thun, und meine phnfifche Erklaͤ⸗ 


rung der Verdoppelung des Kalchſpaths damit zu ver» ' 


gleichen. Ste werden finden, daß durch die Beobach⸗ 
tungen bes Hauy, die er nicht zu erflären wußte, meine 
Hypotheſe volfommen beftätigt, und zur Gewißheit eine 


geometrifchen Lehrfages erhoben wird. Hauy verfpricht 
am Ende, daß er ſich mit der Brechung ber Strahlen, 
die nicht in der Normalfläche liegen, ein andermal be⸗ 


fchäftigen wird. Diefer Mühe kann er fich überheben, 


indem in meiner Kryftallographie. Die ganze Sache aus⸗ 


führlich aus. einander geſebt iſt. 
| XI, 


| 
st. - 
XI; 


Heßer Gitter und Gitterſchrift; fernere Aeuſſe⸗ 
rung des Ungenannten. Ueberſetzung der von 
Ähm (Arch. H. III. ©. 348.) Mitgetheilten : 

‚ geheimen Sitterſchrift u. ſiw. 


Da erſte Frage (Arch. S. 347, 1) if, auſſerdem was 
der Herausgeber des Archivs. Herr Prof. Hindenburg 
darüber beygebracht hat, unbeantibörtet geblieben. Es 
muͤſſen aber gleichwohl über die Art, burch Bitter ge 
deim: zu fehreiben, gedruckte Nachrichten vorhanden ſeym; 
und es iſt zu wuͤnſchen, daß ſolche gelegentlich näher a an⸗ 
gejeigt. ober bekannt gemacht wuͤrden. 


ui 'Die zweyte Srage und deren kuͤnftige Beantwor⸗ 
tung beſchraͤnkt ſich ganz allein auf dag Mathemati⸗ 
ſche, das dabey zum Grunde Hegt, indem bie Gitter, 
als: figirliche Anorönungen, den dabey vorausge⸗ 
ſetzten, oft fehe :mannigfaltigen, Bedingungen’ Genüge 
leiften ſollen. 

‚Der edſte Erfinder folcher Gitter mag wohl mehr 
auf Geheimſchreiberey, als auf die combinatoriſchen 
»Geſetcze, auf ‚welche.fie ſich beziehen, geachtet haben. 
Die. Lambertifche Sorberung: „Wenn eine nach Mes 
geln geniachte Sache. gegeben ift, die Regeln zu finden, 
m nach denen fle'gemacht worden, ‚oder hätte koͤnnen ges 

Autacht werden,“ ndthigte den Unterfucher bey dieſen 
fiehen zu bleiben, ohne nebenher ‚auf bie heutiges Tages 
ſ0. gewoͤhnliche, leichte und vorwitzig fragende Ausru⸗ 
qung: zu was? inhenten. , 

Die Gitter findiein Beytrag je einem Theile ber 
——— ‚erfinden, fh m atunenen auf.iome | 

‚Giafeeh Set, : bina« 





42 XI. Ueber Gitter und Gitterfchrift 


binstorifche Operationen; und laffen fich, wie fünftig 
gezeigt werben wird, auf mehrere und nüglichere Gegege 
fände, als auf das bloße Geheimſchreiben, anwenden. 


Was die dritte Srage (Arch. a. a. 3.) oder bie 


dort don mir gethane Aeufferung anbetrift, fa will ich, 
bevor ich weiter etwas binzufege, ben Inhalt des zum 
Dechriffriren von mir vorgelegten Aufſahes, zuvor hier 
mistheilen: ; 


Ueberſetuns der Sietetſchrift 
(a. a. O. ©. 348) *), 


y Viele Leſer find In der Lage eines Dechifreurs die 


zwar alles. zufammen buchflabiren, ber fehr wenig ' 


„oder gar feinen Verſtand daraus finden können. 8. B 


„der Nomanenlefer findet in einem ernſthaften nuͤtzlichen 
mBuche weder Geſchmack noch Zufammmenhang: ber Mar 


„thematifer verſteht don theologifchen Schriften . weis 
„ioeniger, als der Thenlog von mathematifchen **). . 
„Es giebt Gegenfände, welche ganz nicht geheim 


„geſchrieben, und doch für viele faum zu entrachneln 
„ſind, wie die algebraiſchen Formeln. 


er — 


„Der Lehrert ſollte mit dem jungen Dechifreur zu 


„erſt dag Mäthfelrachen treiben, doch. nur. mit wenigen 
und gut gewählten Raͤtchſelne dann -wäre.das Rechnen 
mit Ziffern und Buchftaben: vorzunehmen;  fernekt 
.„, Sprachen ,.. Gefchichte und Mathematik. Alſo gehoͤrt 
zum Dechifriten mehr, als mancher glaubt. on * 


nt ur? 


u Zuvor mäfen felaende Deuktete darin herheſfert werden: 


st 5 14,26 37 Fr 46, j; u 3 

die erſte rg deutet bie Selen de 4* weyte·den⸗ a: des⸗ 

inn, der —— ee e krection de a *n: 
J Gliſcklicherwe z fuͤr den umgekehrten 


Wa gone 


‚Sub ‚ une —— mf der Em nalelch 7 — Ati A 
2 Dat | 


fernere Aeuſſerung des Ungenannten. 83 


Daß dag Lefen einer Gitterfchrift, ohne das zuge 
— Gitter (den Schluͤſſel) dazu zu haben, oder das 
Dechiffriren einer ſolchen Schrift, nicht blos ſchwierig, 
ſondern (vornehmlich wenn der Faͤcher viele ſind, und 
die durchgeſchlagenen Oeffnungen keine in die Augen 
fallende Regelmaͤßigkeit befolgen) ſo gut als unmoͤglich 
ſey, wird jeder Kenner zugeben, der die ungeheure 
Anzahl der möglichen Combinationen oder Daria⸗ 
tionen dieſer Oeffnungen unter einander in einem gege⸗ 
benen, nach Faͤchern abgetheilte Quadrate, berechnen 
kann. Dieſe Behauptung wird aber auch jedem Lieb⸗ 
haber, ber eine fo uͤbergroße Anzahl von Verbindungen 
nicht einmal vermuthet, noch fonft weis, wie er fie aufe 
finden ſoll, ſchon hinlaͤnglich einleuchten; wenn er fich 
Die Mühe giebt, nach vorfichender Ueberfeßung das Git⸗ 
fer zu der Schrift zu ſuchen. Dur fehr geübte und ſehr 
geduldige keſer Werden es errathen koͤnnen. 


So wie die Einrichtung ſolcher Gitter, nach vor⸗ 
geſchriebenen Bedingungen, fuͤr combinatoriſche Analyti⸗ 
ker und Wahrſcheinlichkeitsrechner eine angenehme Unter⸗ 
tung gewaͤhrt; eben ſo kann auch dieſe Ueberſetzung fuͤr 
Liebhaber der Kryptographie, zum Chiffriren und Dehife 
feiren dienen, "wenn fie die Zeit bemerken wollen, in tvel« 
cher jenes und dieſes mit wirklichen Ehiffren gefchrieben 
und geleſen werden kann. Eine folche Vergleichung 
. ird- feinen Augenblick mehr zweifeln laffen, daß die Gitb 
terfchrift weit kürzek und gefchwinder zu fehreiben und 
zu leſen fen, al& jede andere bisher befannte Art, geheim 
zu (reiben. u E 


VRuuͤuͤr diejenigen Leſer, die weder dad Dlandolfche 
"Chafis, noch. fonft ein anderes Gitter diefer Art geſehen 
haben oder zu brauchen wiſſen, will ich hier eins bey⸗ 
fuͤgen (man ſehe die Kupfertafel) durch welches nachſie⸗ 
ent Schrift in zerſtreuten Zinlaben, mit Leichtigkeit 

ge 


84 . Ueber Gitter und Gitterſchrife 


ı gefchrieben worden, und eben fo leicht durch gehoͤrige 
Deckung und Verwendung dee Gitters wieder self 
werden Fann. ; 


/ 


Ä 4132 \ Ä 
rnasdzichenaisuud 
edsoierusaxndron 
icilnetallcupoxali'" 
gngqvaueirytsee erh 
aercotipneonudenue 
vedreoidtiussurs.... 
rin'uanpmieiserg mw" 

en iueitrertenwui'et rev 

eepvrlean is xrie se:i. -' 
etc rereidsteteus..0o,;' 
cenuosnarfleesavd R 
io ievonseyenste 
stopsloväipviEusa un 
ent straadinnpsid 
ee eunrmsdegädelieöä 

bbselonplechufoat 


Vorſtehende Schrift vermittelſt des Gitters zu ee | 
räthfeln, erfährt man folgendergeftalts 


Auf den vier Außerftien Banden des Gitter (auf 
der Kupfertafel), ſtehen die Zahlen 1, 2, 3, 4; über der 
bier vorgelegten Schrift, die Zahlen 4,1, 3,2. Mau’. 
legt alfo das Gitter zuerſt fo über die Buchftaben, . daf 2 
die mit 4 bezeichnete Bande gu oberfi horizontal zu liegen 
kommt, und lieft fo die Buchſtaben buch bie offenen 
Fächer zufammen. Darauf verwendet man, das Gitter, 
daß die mit 1, und nachher bie mit 3, und endlich die 
mit 2 marfirte Bande oben nu liegen kommt; und fo 
findet man, nad) jedesmaligen Zufammenlefen der Buch⸗ 
ſtaben, nach und nach den ganzen Inhalt der Schrift, 
bie, wie man fogleich überficht, m mit Aleicher keichtigten 
ſich ſchreiben als keſen rap. * 

3 


fernere Aeufferung des Ungenanntn. ; 85 
Bw: Die über den Buchſtaben angegebenen Zahlen 4, 1, 
3, 2 zeigen bie Ordnung ber Seitenanlagen, die bey je« 
bem gegebenen Gitter auf nachflehende 24jigerfey Arten 
abwechſeln koͤnnen: 


1234 2134 3124 4123 
1243 2143 3142 4132 
1324 2314 3214 4213 
1342 2341 3241 4231 
1423 2413 3412 4312 
1432 2431 3421 4321 


Ein gewähltes Gitter, das man nicht felbft unmit⸗ 
telbar vorlegen kann oder will, kurz anzugeben, und die 
durchzufchlagenden Faͤcher deutlich nachzumeifen, kann 
auf mehrere Arten geſchehen. Ich will bier folgende 
mittheilen, die einen Leſer, der das zu einer Schrift 
gehoͤrige Gitter nicht hat, ſogleich in den Stand ſetzen 
kann, ſich ſolches zu entwerfen. Es ſey 


jedes durchzuſchlagende Quadrat =ı 
jedes der übrigen gedeckten Quadrate = o 


Beyde Ziffern follen in der Folge als Grundzeichen 
des dyadiſchen Syſtems beym. Gitter gebraucht wer⸗ 
: den; und damit die Ueberfegung ins dekadiſche nicht 
unnoͤthig muͤhſam ausfalle, nehme man hoͤchſtens 6 
Stellen in jenem, oder von o bis 63 in dieſem, an. Das 
Netz oder Gitter der Kupfertafel mag hier zum Beyſpiele 
bienen. 


Es hat In allem 16? ober 256 fleine Quadrate oder 
gacher, die, nach der obigen Vorausſetzung hier, nach der 
Zaͤnge herunter in drey Streifen, zu 6 644 daͤcher 
(tleine Quadrate) in der Breite, abgetheilt werden. In 
den beyden erſten Streifen geben jede 6, und in ‚dem letz⸗ 
sen Streifen jede 4 Sächer neben einander, ‚eine durch die 
53 ' offenen 


86 ‚XI. Ueber Gitter und Gitterſchrift 


offenen und gedeckten Stellen (durch ı und o) dyadifch 

ausgedruͤckte Zahl, die Null (Coooooo oder 0000) nicht 

bavon ausgefrhloffen. Und fo erhält man für dag Git⸗ 

fer auf der Kupfertafel, nachftehende in befadifchen Bahr 

Jen ausgedruͤckie Ra weiſuus 
6 








6 4 
35 2 2 
' 20 1 4 
8 36 8 
a0 41 0 
35 6 4 
o 0 10 
5 0 0 
2 4 10 
| 41 20 5 A 
2 32 1 
3 22 24 
4 8 ° 
48 © 0 
18 0 I 
32 53 9 
4 4 4 


Die Zahlen 6 FE Tr 4 == 16 über dem Strich 


geben hier die Seite des Quadrats von 16 Fächern, 


nebft der Breite der einzelnen 3 Streifen, ‚nach der Länge " 
herunter; die Zahlen unter dem Strich, dyadiſch uͤber⸗ 
fegt, weifen durch die Ziffer ı die Onrchyufcklagenden, | 


durch die Ziffer o die gedeckten Fächer, aufs deutliche 


nad). Hat man bag Gitter, wie auf der Kupfertgfel ſo 
vor ſich, daß bie mit, 1 bezeichnete Bande oben liegt, ſo 
ſtellen die offenen Faͤcher, oben linfer Hand den Bude - 


. Raben X, und rechter Hand den Buchflaben X vor; . - 


. mn rn an nn an } 


| | Zuſat 


12 


Zuſatz des Herausgebers. 


Bey der hier angegebenen Nachweiſung eines willkuͤhr⸗ 
lich gewaͤhlten Gitters, wird bie Kenntniß des dyadi⸗ 


ſchen Zahlenſyſtems vorausgeſetzt. 


Fuͤr Liebhaber, 


die ſich hier nicht zu helfen wiſſen, wird folgendes nicht 
uͤberfluͤſſig fepn. 


Will man, wie (S. 85) angenommen wird, bey ben 
dyadiſch ausgedruͤckten Zahlen nicht, über ſechs Stellen 
hinausgehen, fo ift die fürgefte Anweifung zum richtigen . 
"Gebrauch ber gegebenen Vorfchriften, die feiner Mis⸗ 
deutung untertogrfen ift, diefe, Daß man die Zahlen, von 
o bis 63, dyadiſch Eund durchaus in 6 Stellen) zu⸗ 
gleich aber auch dekadiſch ausgedrückt, neben einander 
fegt, wie folget: 


000900 ==> 05 
090001 = 135 
KCOIO = 23 
oo = 37 
XOI00 = 45 
co0I01 = 53 
'@cıı0 = 63 
000111 273 
voriooo =. 85 
 @m01,= 9; 


. 81010 = 103 
. 0l0ll = 13 
eomico = 1235 
eorioi == 133 


cajlIo == 143 


SON m 155 


010000 == 165 
010001 = 1735 
o5I 00o10 =. 1835 
0910017 = 19% 


3 0191 == 205 


OoICIOL = 21; 
OI0119 == 2253 
oO1OL1lı == 235 
OHIOOO 7 245 
o11001 z= 255 


Q11C1O == 265 


OLIOlE = 275 
OI1 100 = 2835 
OlFIOLl ==. 295 


O15110 = 305 
OIIIIIA 383 


Um daraus (für den 


und ſo kann man die zuſammengehoͤrigen Zächer in den 


( 


10000 = 325 
100001 = 333 
100010 = 345 
106911 = 353 
109100 = 363 


100101 = 373 


100110 = 38; 
2100911 = 39 $ 
101000 23.405 
101001 == 4135 
101010 = 423 
101011 = 43; 
101100 = 445 
01101 = 455 
I0K110 == 463 
10111 = 473 


119000 == 48 
110001 == 49 
110010 == g0° 
10011 = SI 
110100 52% 
110101 = 53 
110110 = 5% 
ımwı1 = 5$ 
11000 = 56 
zzıooı = 57 
111010 58 _ 
111011.== 59 


‚111100 = 60 


gırıoı = 61 
IIIIIO = 63 
IIILII 25. 63 


Oritten Streifen des vorge⸗ 
legten Gitters) alle vierftelligen Zahlen, von o bie 15 
zu haben, darf man nur hier in der erften Eolonne bie 
beyden erften Nullen linfer Hand durchaus abfondern; 


84 


drey 


83 XI. Ueber Gitter und Gitterſchrift 


drey Streifen des Gitter, als ſechs/ oder vierftellige 
dyadiſche Zahlen angefehen, defadifch fehreiben, und um⸗ 
gekehrt, wenn die legtern gegeben find, durch ihren dya⸗ 
diſchen Ausdruck, dad Gitter eutwerfen. 


Statt der unmittelbaren Vergleichung durch 
Vrebeneinanderftellung von beyderley Zahlen, koͤnnte 
man auch nachfiehende Regeln brauchen, wobey die Ans u 
- zahl ver Stellen für die einzelnen Ziffern nicht auf feche 
eingefchränft ift. 


\ 


A. Eine dyadiſch gefihriebene Zahl bdetadiſch 


auszudruͤcken. 
LOGOOI I oIoLIoo 0010009 
12,4, 8, 17|35 1;2, 5, 1020 12 4|8 3 


Hier entftehen, nachdem man bie erfte Eins her⸗ | 
‚ unfergefegt bat, bie defadifchen Zahlen nach einander, 
durch Verdoppeln der vorhergehenden und Zufegen von ' 
© oder I, nachdem eine biefer Ziffern in ber obern Stelle 
ſteht, unter die man die fo gefundene befadifche Zahl nad 
ihrer Ordnung feßt. Die letzte Zahl im Mintel ift ber 
gefuchte defgdifch ausgedruͤckte Werth, der gegebenen 
dyadiſchen Zahl 100011; 010190; 001000 


Die Zahlen aıgı oa und 001000 find Hier 
fechsftellig gefchrieben, wie fie im erſten Streifen des 
Gitters ald zweyte und britfe Anfangsgahlen erſcheinen, 
und auch in obiger Vergleichung vorfommen. An fi 
find die Rufen zu aͤußerſt linker Hand überflüffig, und 
ihr verfürzter Ausdruck iſt 10100 und 1000. 


B. Eine 


Zuſatz des Herausgebers, 89 
B. Eine dekadiſch gefehriebene Zahl dyadiſch 


auszudruͤcken. 
35 20 8 
76 10 le +le 
36 sk 2 lo 
“eo 26 Te 
‚2 u: olı 
eb oh | 
ı 


‚ Hier feßt man bie Diifion mie 2, mit Bemerkung 

‚ der Duotienten und Reſte (o oder ı) fo lange fort, big 
im Quotienten o fommt. Diefe Chier in Winfeln einge» 
ſchloſſenen) Kefte von unten heraufgelefen, geben alsdenn 
die gefuchte dyadifche Zahl, flatt der defadifchen 35,20,8. 


Das (S.56) angegebene Verfahren ift finnreich, unb 
giebt dag Ne durch wenige dekadiſch ausgedrückte Zahlen, 
beren Reduction aber auf byabdifche, durch die Menge 
ihrer Ziffern (der gefamten Sächer bes Gitters) etwas 
aufhalten Tann. Em anderes Verfahren, dag fich bloß 
auf die offenen Stellen bezieht, und auf daffelbe Gitter 
bier angewendet werden fol, kann folgendes feyn: 
Aseflp; Bhdmo; Cogkn; Dbapim; Eaefklo; Fnp; Gdf; Heknpg 
Iacfhkoq; Kegg; Lchkinop; Mdi; Nac; Obeq; Paghkm; Qdko: 

‚ Die Sächer der erften Verticalreihe von ober 
herunter, ſollen hier durch A,B, C, D... die Fächer der 
erften Horizontalreihe durch a, b, c,d... bezeichnet 
feyn: fo läßt jebes Fach durch zwey Buchftaben, einen 
großen und einen Eleinen (wie in ber Einmaleingtafel) 
ſich darſtellen. Hier find nur die offenen Fächer ange 
geben, und Aaeflpz;. B. fleht verfürzt, flatt Aa, Ae, 
Af, Al, Ap; und fo bey allen übrigen. 

Iſt die Zahl der Faͤcher eines Gitters nicht ſehr 
| sro Cund zu einer undurchdringlichen Geheimſchrift 
Ss braucht 


99 XI. Ueber Gitter und Gitterfchrift 


braucht es nicht einmal fo groß zu feyn, als dad bisher 
als Beyſpiel aufgeführte) fo Ffann man durch zwey Zei⸗ 
chen, eineg für-die offenen, das andere für die gedeck⸗ 
ten Fächer, (wie oben ı und 0, dafür ich hir a und d 
Brauchen will) dag Gitter felbft unmittelbar und zugleich 
@erfleinert darſtellen Bd 


.. I. 
abbbabb bb... 
bbbabbbba 
abbbb aa bb 

ba babb bb hb 

| «bbbbbabab 3 ; 
3 bıbbbhbay , 
pbabbabhbb ö 
bbabbb bh ah 
bebbbh ah bh 

j 3 


Das Mittelfach ift Hier durch bald gedeckt an 
gegeben, und wuͤrde fo bey allen Lagen und Wendungen. „ 
des Gitters diefe Stelle der Schrift leer bleiben. Man - 
kann ſi e daher, dies Fach mag gedeckt oder offen ſeyn, 
mit einem der willkuͤhrlichen Sull- oder Misweiſezei⸗ 
chen (Arch. der Math. 9. II. ©: 351) befegen. | 
Der Ungenannte hat fehr richtig geurtheilt, daß 
die Einrichtung folcher Gitter combinatorifchen Gefegen 
unterworfen fen; es hat ihm aber nicht gefallen, ein 
methodiſches Berfahren dafür anzugeben. Herr Magi⸗ 
ſter Toͤpfer, ein Freund des Ungenannten, dem dieſer 
auch zuerſt dergleichen Gitter und Gitterſchrift mitge⸗ 
theilt hatt., uͤberſah ſogleich, daß die Entwerfung der 
moͤglichen Gitter in einem Quadrate von gegebener An⸗ 
zahl der Faͤcher, von der Aufloͤſung einer combinatori⸗ 
ſchen Variationsaufgabe abhaͤnge: die ich hier mit⸗ 
theilen will, da ſich borauſehen lit, bag mehrern ke 

fern 


Zufag des Herausgebers. 92 


fern daran gelegen feyn wird, eine folche, bie dabey fefte 
gefegten Bedingungen erfüllende, allgemeine Auflöfung 
tennen zu lernen. 

Hierbey unterfcheibet Here M. Töpfer die Qua⸗ 
drate von gerader und ungerader Anzahl von Bächern 
d. i. bey denen zn oder (2 a+L1) Fächer an einer Seite 
liegen, die folglich 4n? oder 4 n’+4ntI Fächer in 
allem haben. 

Aufgabe. Zu einem Quadrate, das in 
kleinere Quadratfaͤcher abgetheilt iſt, alle moͤg⸗ 
liche Netze (Chafks) zu finden. 

A. Wenn dag’ gegebene Duadrat 4n? Fächer, oben 
eine —5 — Anzahl Stellen hat. 

Aufloͤſung I. Man mache ein ihm gleiches Qua⸗ 
drat abcd, von eben fo viel Stellen, und theile felbia 
ges in vier gleiche Quadrate, von denen alfo jedes n? - 
Stellen enthält, 





93 xl. Ueber Bitter und Gitterſchrift 


AI. Diefe vier Duadrate mögen von den Buch 
Raben, die hier an ihren Winfelpuncten ſtehen, dura 
9; b, e, d.von einander unterfchiedben werben. 


III. Man begeichne die Sächer oder. Stellen 


i ua. a a 
; Im Quadrate a mit 1, 2, 3, 4... 0? 
dpbbo»d b 
1] e b mit I, 2, 3, 4.... n? 
. ' ee cc 0 6 
e.-. . Mit I, 2, 3: 4...nN?3 
aaad a 
q p d mit I, 2, 3, 4... n® 


Durch diefe Verbindung der Zahlen mit Buche 
Raben, wird jedes sad jedes Quadrates deutlich bes 
geichnet, | 


IV. Nun conftruire man bie Complerionen ber 
n’ten Variationsclaſſe mit Wiederholungen, aus 
‚den Elementen a, b, c, d gefchrieben, die zur Ordnung a 2 
gehören. Jede diefer Buchſtabencomplexionen fängt mit 
a an und befteht aus n? Buchſtaben a, b, c, d und ihren 
Wiederholungen. Die Anzahl diefer Complexionen zus 
fammen, beträge Ju’, 


V. So viel es ſolcher Variations⸗Complexionen 
(IV) giebt, fo viel mal (alſq „u’— i mal) ſchreibe man 
die Zahlenreihe von ı bie n?, oder die Zahlencomplerion 
123456....n? | 


VI. Jede Zahlencomplerion (V) wird mit einer Buch. 
fabencomplerion (IV) fo verbunden, daß die einzelnen 
Buchftaben diefer über die einzelnen Zahlen jener, nach 
ber Solge ihrer Buchftaben überfchrieben werden. Jede 
folche einzelne Verbindung von Zahlen und Buchflaben 

ſtellt 


Zuſat des Herausgebers. 93 
fee ein Netz oder Chaflis vor, wo jeder Buchflabe da 
Duadrat, die darunter fichende Zahl aber die Durch» 
zuſchlagende Stelle diefes Duadratd anzeigt. Die 
Anzahl ver dadurch beſtimmten Gitter oder Nebe beträt 
demnach 4n’—ı (IV: V). | 

' 
Exempel. Fuͤr nes hat das HQuadrat a 
uberh det 4:4275=64 Faͤcher, 4 2216 offene, usd 
und 3.4? 48 gedeckte. Die Menge der gefamten 
Bitter wire tm ie Ein 539 == 1073741324. 
Fin einzelnes Gitter unter dieſen, 3. 3. dag, welches 
ſich auf die Variations— Complexion der 16ten Claſſe, 


adcebbeadeäabadbed 
bach, wuͤrde auf folgende Art 


adcebbeadeaba dbed 
12345678 5.10 11 42 ig 14 15 16 \ 
Yorgeßelt, und in feiner Ordhung, von dem erſten än 
— das 962823388ſte ſeyn. F 


B. Denn dae gegebene Quadrat (21 * 1)? 
*4 ara I oder eine ungerade Anzahl Stellen hat. 


Aufidſung I. Man mache ein ihm gleiches Qua⸗ 
drat a bed, von eben fo viel Stelfen, theile felbige® aber 
in 4 gleiche Rechteche, jedes zu n(n+ı) = n’+n 
Stellen, . diefe Rechtede benenne man nach den Buch⸗ 
Raben a, b, c, d’die hier an ihren Winfelpuncten Reben 
und fchreibe in jedes Rechteck die Zahlen 1, 2, 3 4.. 
... ern; bie mittelfte Stelle bleibt leer. 


96 XI. Lehe Gitter. und Gitterſchrift 


veydes, a unb d fo lange fortgeſetzt, bis man fo viel 
Buchſtaben geſchrieben bat, als in ber Zahl der Claſſt 
Einheiten enthalten find. : 

2. Aus biefer Vorſchrift die Variationen anzugeben, 
uoͤberſieht man ſogleich, daß die Anzahl aller, entweder 
Ane -1 oder zuiha—z ſeyn muͤſſe, nachdem fie für ein 
Quadrat wie A bber B-zu beſtimmen If. Daraus laͤßt 
ſich auch bie Regel ableiten, für eine gegebene Varia⸗ 
tions : Complerion anzugeben, bie wiepielſte fle in ihrer 
Claffe ſey. Man fegt nehmlich für die Buchftaben a, b, 
£, d, ihre Drbnungszahlen I, 2, 3, 45 dieſe, ſtatt ber 
Buchflaben 5. B. in den beſtimmten Bariatıond, Con 
- plerionen der obigen beyden Exempel gehraucht, Iafien . 
zun bie gefuchte Zahl durch ein Verfahren finden, das 
ich bier bey der Zahl des zweyten Exempels in eine 
Beyſpiele zeigen will. Die Subſtitution der zugehoͤri⸗ 
gen Zahlen für die dortigen Buchſtaben, verwandelt jene 
Suchſtabencomplexion in nachfichende Zahlenconplerion: 

143 21232141242 3317414 ° 
und aus biefer findet mean (bie Kleinen‘ Fehlen find bier 
potengerponenten von » * 


4. * ta + ne * 12:4 Er dt rn +0. p 


bus +o. 4 Er 4 ya. 4 —* +0.4 NER 4 Er +. 4 —* 4 
245235833396, wie oben. 
Die Factoren neben den Potenzen son: x find hierdie 

einzelnen Zahlen. der obigen. Zahlencomplexion, :jede un 

Giengen die Buͤchſtaben a, b, c, d, in entge —* 

itter in B 
um, fo’ wären hier blog’ b und d, ober bie Zahlen 3 

"And 4 .verwechfelt, und fo beftimmte dag fchon ein an⸗ 

deres Netz, deſſen Zahtz mach obiget Regel geſacht das 

a toi, Güter geben wuͤrde. —F u 

3. 





Zuſatz des Herausgebers. 97 


3. Aus den fo ſehr großen Zahlen uͤberſi eht man ſo⸗ 
gleich die Unmoͤglichkeit einer wirklichen Darftellung 
aller Gitter; auch würden viele dieſer Gitter Die Abficht 
für Geheimſchreiberey gar nicht erfüllen. Die ange 
führte Vorſchrift ift dennoch nicht überflüfftg. Sie 
- zeigt das fehr einfache Gefeß ber Folge und die Abhän- 
gigfeit ber Bitter von einander. Diefer fo ganz beftinms 
sen Folge wegen, kann man jedem Bitter die ihm zufoms 
mende Ordnungszahl anweiſen, und, umgefehrt,. aug 
der gegebenen Zahl dag Bitter tonftruiren, mern man 
die fo eben angewieſene Regel nur umgekehrt befolgt : ba 
dividirt, wo man vorher multiplitirte, und die gefunder 
nen Zahlen um ı vermehrt, wie man fie vorher um x 
verminderte, bie legte allein ausgenommen. Das fann 
fogar kryptographiſch wichtig werben, in fofern men 
jemanden, der das Verfahren kennt, blog die Zahl des 
Bitters zufenden darf, durch welches man eine Schrift 
sefchrieben Hat, damit das Bitter darnach entworfen 
werden fann. 


4. Daß man bey der Auswabl von Gittern auch noch 
auf beſtimmte Abſichten Ruͤckſicht nehmen koͤnne, iſt fuͤr ſich 
flar. Wenn es aber blos darum zu thun iſt (und dies 
iſt der gewoͤhnliche Fall) uͤberhaupt ein Gitter zu waͤhlen, 
ſo, daß die durch daſſelbe geſchriebene Schrift, fuͤr jeden, 
nicht blos neugierigen, ſelbſt ſcharfſinnigen Forſcher, 
ein undurchdringliches, ganz unlesbares Geheimniß blei⸗ 
be, fo kann man die obigen Regeln für A und B fo mo» 


.. dificiren, daß man nicht einmal noͤthig hat, um die Vor⸗ 


ſchrift fuͤr eine geſetzmaͤßige Folge der Variationen un⸗ 
ter einander ſich zu bekuͤmmern. Die Regel iſt dankt 
ganz kurz folgende: 

IL Die Anzahl aller Faͤcher des gegebenen oder 
willkuͤhrlich gewaͤhlten Quadrates (wie oben A oder B) 
dividire man durch 4. Der Quotient m g; bey B bleibe 

.Bünftes Heft. & für 


N y ‘ 


98 * XI, Ueber Gieter und Gitterſchelſt 


für dag Mittelfach 1 übrig, "worauf bier nicht geach⸗ 
tet wird. 


IL. Die Zahlen ı 23:4 5. ..q nach ber Ordnung 
fchreibe man in eine Neihe neben einander. 


IEL: Darüber fege man bie Buchftaben a, b, e, 4. Bu 


nach einer willkuͤhrlichen Zolge und Abwechfelung, fo, 


daß über jeder Zahl ein Buchftabe zu fichen kommt. 


IV. Einefolche Verbindung von Zahlen und Buchfias . 
Ken beſtimmt ein Chaſſis. Die Buchftaben zeigen die be 
flimmten Duabranten des Quadrats an, bie Zahlen weis 
fen die. darinn auszufchlagenden Stellen nad). 


Erempel, für q>= 16, wie oben inA, am Schlaufe: 
acbadcbaabb cdbae 
223456739 ı0 ıı i2 13 14 15 16 


Dieſe ſo ganz nach Willkuͤhr hingeſchriebenen Buch⸗ 
ſtaben uͤber den Zahlen von 1 bis 16, beſtimmen zuſam⸗ 
men ein anderes Gitter, als das obige in A vorgege⸗ 
bene. Auch hier iſt der Anfang von dem Fache ı ma 
gemacht worden; welches aber nicht nothmendig iſt. 


Man hätte auch b, c oder d uͤber 1 ſetzen Fönnen. 


5) Eine ſtil ſchweigend bis hieher angeuommene Bedin⸗ 
gung iſt, daß bey der viermaligen Verwendung des 


Bitters nach und nach alle Faͤcher der Unterlage für bie 


‚Schrift beſetzt werden, und dabey fein Zach mehr als 
einmal vorfomme. Daraus erfieht man gar bald, bof | 
es noch mehrere Aufloͤſungen, als die oben in A undB ' 
angeführten, giebt, die diefe Bedingung erfüllen. DIE 
Yufldfung des Ungenannten, die er aber hier nicht mit 
angegeben hat, ift auch von jener ganz verfchieden. Dab 
Allgemeine, das bey Aufgaben diefer Art zum Grunde 
liegt, ift die Theilung des gegebenen ganzen Duabrats 
in verſchiedene (nicht eben nothwendig in vier) gleicht 
en und 





' 


Bufog des Herausgebers - gg 


und aͤhnliche Schnitte (auch von anderer als Auabratis 
ſcher oder rectangulärer Geſtalt) die ich, beym Verwen⸗ 
den jedesmal einander decken. Da das auf mehrere Ar⸗ 
ten geſchehen kann, auch ſolcherley Schnitte bey Aufga— 

Ben anderer Art ſchon vorfommen, bey denen an ſteganogra⸗ 
phiſche Nege garnicht gedacht wird: fo zeigt fich hiee 
eine Manniüchfaltigkeit, die bey Aufldfüngen combinatos 
riſcher Aufgaben gar nicht felcen iſt. 


6) Wollte man ſtatt der Duadrate A und B Andere tes 
gulaͤre Figuren ſubſtituiren, oder, ſtatt des viermalis 
zen, wie vorher beſtimmten, Verwendens, andere Bea 
dinsungen einführen, fo wuͤrde dag Ziel dadurch immek 
boeiter geftecht, und die Anzahl ber Aufläſungen noch viel 

| — uuehe vermehrt werben: 


— .. 





Erinnerung. wegen des (©. 83, 84) anagfüßrteiy 
am Ende dieſes a in Kupfer geſtochenen 
Bittere. 


Dieſes Nes oder Bitter ſollte genau bon ber Groͤße 
gezeichnet werden, wie es zu der (G. 84) befindlicheit 
Gitterſchriſt paßte. Da aber für diefe Schrift die Faͤ⸗ 
eher des Gitters zu klein ausgefallen feyn würden: ſo 
iſt dag Bitter im Kupfer etwas vergrößert dargeftellt, 

ſo daß man fich leicht ein Viered mit ben Buchſtaben 
j wie auf Seite 84, auf einen beſondern Blatte von 
= der Größe entwerfen Fan, wie es zu dem Gitter auf 
ber Kupfertafel paßt; um burch ſelbiges die untergelegte 
* BSdrift leſen zu Eönnen: 





a 


Be Kit 


D 
⸗⸗ 


100. XU, Auszüge und Recenfionen neuer Bucher. 


\ 


| XII. | 
Auszüge und Recenfionen neuer Bücher. 





1. Weitere Ausführung der mathematiſchen Geogra⸗ 
phie, beſonders in Abſicht auf die ſphaͤroidiſche Ge⸗ 


ſtalt der Erde, von A. G. Kaͤſtner, Goͤttingen 1795. 


‚526 &, 8. mit 6 Kupfern. 


* 


Das Verfahten des um bie Mathematlk fo verdlenten Berfaß 
ſers, auf feine Lehrbücher die weitere Ausführung der einzelnen 
Theile zu gründen, iſt fo ſchicklich, daß es in andern Wiſſen⸗ 


fchaften zur Nachahmung empfohlen werden muß, Es wird du 
durch für Anfänger und Geuͤbte zugleich geforgt, Wer Höhen 
Kenntniffe ſucht, braucht nicht mit den erften Elementen fih 
ermüden zu laffen, und der Raum wird dabey für fchwerere 
Unterfuhungen gefpart. Das gegenwärtige Werk zeichnet fi 
befonder dadurch aus, daß es Materien; über welche mas 


nur zerfireuten Unterricht, oft ohne Beyfuͤgung der Gründe - 


antraf, in einer fuflematifchen Ordnung, und genau erörtert 
vorträgt. 


Nach eininen vorangeſchickten trigonometrifchen Lehrfägen : 


wird von der Meſſung eines Grades auf der Erde gehandelt, 


Diefe wird an dem Beyſpiele von Snells Verfahren, der erften. 


geometrifchen Gradmeſſung erläutert. Won den darauf gefolgten 
Gradmeſſungen wird nichts angeführt, weil es fehr weirläuftig 
geworden feyn würbe, vollfländig zu erklären, ‚wie folche Die 
fungen angeftellf, geprüft und berichtigt werden, wozu man 
die Bücher, welche fie beſchreiben, durchſtudiren muͤſſe. 


(Bon dieſen Meſſungen find zwar die noͤthigſten Nachrichten 


in den Anfangsgruͤnden mitgetheilt worden; gleichwohl würde 
es vielen Lefern angenehm geweſen feyn, van Unternehmungen 
bier ausführlich belehrt zu werden, welche die arößten und 
fchwerften in der ganzen angewandten Mathematik fi ıd, befon 


ders da die einzelnen Schriften darüber nicht allenthalben zu. F 
Hand find.) | .: 





ii. 


nn un — 


XII. Auszüge und Necenfionen neuer Bücher. 101 


Sn dem dritten Eap. wird die Erde als ein Sphärold 
betrachtet, erftlih im Allgemeinen, darauf als ein zufammens 
gedructes elliptiſches. Da die Nichtungen. ber Schwere auf 
einem Sphaͤroid nicht nach dem Mittelpuncte ber Erde laufen, 
fo ift das erſte, was zu beftimmen nöthig iſt, der Winkel der 
Berticallinie mit der nach dem Mittelpuncte gezogenen Linte, 
Die Richtungen der Schwere fehneiden fich jede mit der ihr 
anendli nahen in der Eoolute der Ellipfe oder jeder andern 
Bigur, die der Meridian hat, diebey Bouguer daher gravicen- 
. trique und barocentrique heißt. Aus zwey gemefjenen Gras 

den wird die Seftalt und Größe des elliptiichen Sphäroids bes 
ſtimmt. Die drey, in Peru, bey Parks und in Lappland ges 
meflenen Stade paflen nicht in eine-und dieſelbe Ellipfe. Tafel 
.für die Abplattungen der Erde nach den verfchiedenen Meffuns 
“gen und Rechnungen. Fläche eines elliptifhen Spharoids, 
‚ eines gedruckten und eines länglichen. . Geſtalt des Meridians 
nad Bouguer. Diefe beflimmt er empiriih, den drey das 
mahls gemeflenen Graden gemäß, fo daß die Unterfchiede ber 
Grade des. Meridians von dem unter dem Aequator fich wie 
die vierte Potenz des Einus der Breite verhalten. Die Vers 
gleichung einiger gemeffenen Grade ziwifchen den Breiten von 
43 und 46 Gr. mit Bouguersiberechneten Graden, zeigt einen 
merklichen Unterfchied. (Dieſe gemefienen Grade zeigen gleich 
auf den erften Anblick eine Unregelmäßigkeit, noch mehr, wenn 
‚man fie mit bem feht genau gemeſſenen Grade zu Paris ver: 
‚gleicht. Bouguers Hypotheſe führt auf eine weitlaͤuftige Be⸗ 


rechnung; -die Geſtalt des Meridians, wenn fie empirifch beſtimmt 


wird, läßt ſich viel genauer darftellen). 


Viertes Eap. Bon der Schwungkraft cf einem gegebes 
nen. Sphäroid. Ihre Größe auf dem Aequator, und auf einem 
Parallelkreiſe. Aufgabe: Aus der Geſtalt der Erde und der 
Schwungkraft auf einem Parallel die Richtung und Größe einer 
Kraft zu finden, aus welcher, mitder Schwungfraft verbunden, 
‚die Schwere ſenkrecht auf die Erdfläche entftehen kann. Der Hr. 
Berf. hält es nicht für entſchieden, ob eine ſolche Kraft wirk⸗ 
dich vorhanden fey. Bey zwey Kräften, die fich nicht gleich 
und entgegengefegt find, kann fein Gleichgewicht entfliehen. 
Die gefuchte Kraft ift alfo diejenige, welche aus allen Anzies 
bungsträften gegen jedes Element des Sphaͤroids entitcht. Sie 


5 iſt aber nicht allenthaiben nach dem Pittelpuncte der Erde ges . 
3 


richtet 


N 


302 XI. Auszüge und Necenfionen neuer Bücher 


richtet. Der Hr. Verf. macht die Anwendung, , der Leichtigkeit 
"gegen, nur auf eine Kugel; allein, auf einer fich drebenden Kus ı 
gel bleibt die Richtung der Schwere nicht ınehr fenkrecht auf 
die Oberfläche. Entweber verwandelt fie fih, wenn fie flüfftg 
iſt, in ein Sphaͤroid; oder wenn fie wegen der Feſtigkeit eine 
Kugel bleibt, fo weicht die Richtung der Schwere von dem Mits 
'telpuncte ad. — Fine andre Frage ift folgende: wenn rings⸗ 
herum gegen die Erde eine Kraft fenkrecht gegen die Erdflaͤche 
allenthalben gleich ſtark wirkte, und diefe Kraft nur an jedem 
Orte dur die Schwungtraft vermindert würde, fü, daß dar⸗ 
aus die beobachtete Schwere entſteht, was wird aus biefer Vor⸗ 
ausſetzung folgen? Sie widerfpricht den Erfahrungen über be 
Pendellaͤngen fehr deutlich, und würde, wenn die Schwungkraft 
unter dem Aequator der Schwere gleich wäre, einen geboppelten 
paraboliſchen Kegel geben, defien Scheitel In den Polen Hi 
(Die Vorausſetzung ift eine bloß geometrifche, bey welcher ben 
Mittelpunete alle Anziehungskraft bepgelegt wird. Auf einem 
Sphaͤroid, deffen Elemente alle anziehen, ift.fie unmöglich). 
Ben Neretons Verfahren die Figur der Erde zu beflinnmen. 
Ueber die Kenderungen der Schwere auf des Sphaͤroidę Ober 
ache, nad) der Dreite. Es ift hier ein Gab Newtoͤns eir 
oͤrtert, daß die verticalen Schweren, und alfo auch die del⸗ 
längen, ſich beynahe umgetehrt wie die Entfernungen vom 
Mittelpuncte verhalthen. | 


Fünfses Eap. Bon der Parallare auf einem Sphaͤrold 
Schr ausführlicd) md genau. Nur⸗wird die Methode etwas 
Schwierigteit machen : weil der Verf. alles aus der ebenen Trb 
goncmetrie berleitet, nnd am Ende erſt zeiat, wie man a 
bier vorfemmenden Wintel durch Bogen und Winkel auf einer 
Kugeifläche daı-rllen Epnne. Es fcheint bequemer zn ſeyn, Die 1 
fes gleich anfangs zu thun, die Veränderungen der für den P 

Mittelpunct dor. Erde gegebenen Lage eines Welttörpers durch 
ben Standort auf der Oberfläche zu beſtimmen, und aus .biefer. 
durch Umkehrung der Formeln den fcheinbaren Ort in den waß | 
ren oder geocentrifchen zu verwandeln. Webrigens findet maß 
Hier in der Kürze alles Wichtige beyfanımen, mas die vorzüglich⸗ 
be Aſtronomen und Analyſten über die Parallare mitgerheik J 

gaben. " 

ß 


‚ Bechftes Eap. Von Loxodromien und den Seecharten 
wit wachſenden Graden. Der Hr. Verf. hatte ſich zwar or Ih 








\ ı J— 
XII. Auszuͤge und Recenſionen neuer Buͤcher. 103 


genommen, die Verzeichnung der geographiſchen und aſtronomi⸗ 
ſchen Charten vorzutragen, unterließ es aber, da er fand, daß 
Hr. Hofr. Mayer in feinem vortrefflihen Werte dieſen Gegen⸗ 
Rand vollfommener abgehandelt hat, als es in einem Capitel 
Biefes Buches gefchehen konnte. Da jenes Werk die Schiffes 
funft nicht zum Zweck bat, fo fommt darinn von der Lorodromie 
nichts vor, die bier für eine Kugel und für ein Spharoid gefuns 
den wird. Mehrere Unterfuchungen Aber Fragen aus der 
Steuermannstunft. Nachrichten von Schriftftellern über dieſen 


Gegenſtand. 


Siebentes Cap. Kleine geographiſche Bemerkungen und 
Nachrichten. Die legte betrifft ein Aſtrolabium von de, ie 
Hire, das ifl, eine gewille Projectionsart der Kugelfläche, bey. 
welcher das Auge in einer foldhen Entfernung von dem großen 
Kreife, der zur Tafel dient, geftellt wird, daß die Hälften des 
Quadranten von dem Bol der Tafel an gerechnet, gleich große 
Abbildungen erhalten. Hr. Mayer hat diefe Entwerfungsart 
nicht angeführt. 


Dies iſt eine kurze Angabe der wichtigften Stuͤcke des In⸗ 
Halte dieſes lehrreichen Werts. Ich will zum Beſchluß noch 
einige Bemerkungen beyfügen. E 


In der Formel für die unbeſtimmte Fläche eines gedruckten 
Sphaͤroids (S. 101) iſt durch einen Druckfehler die Conftans 
unrichtig, durch in flatt ZH angegeben. Auch muß in-dem.erften 
Gllede des veränderlihen Theils 1 — x? flatt 1 — x Yelefen 
werden. Das iſt inzwiſchen nur nebenher zu erinnern bie Ab» 
Achte. Ich finde uͤbrigens die Formel ſelbſt nicht bequem, 
weil die veränderliche Größe eine irrationale Function der Ordi⸗ 
nate, und diefe wieder eine Function der Breite if. Man wird 
aber zur Berechnung einer Zone anf einem Sphaͤroid die Breite 
Ber Graͤnzparallele, als das Gegebene gebrauchen. In YTals. 
‚lets mathematifcher Geographie iſt eine Formel, welche die ſphaͤ⸗ 
zoibifche Oberfläche durch die Breite angiebt, nur daß in bers 
felben ein Wintel aufgenommen if, ber eine leichte Function 
ber Breite iſt. Allein Sie Formel iſt durch einen Rechnungs⸗ 
fehler, der durch die ganze Auflöfurig geht, in dem erflen Factor 
anrichtig. und flellt das nicht dar, was fie angeben fol. Sie 
enthält die Zope zwiſchen dem uator ynd einem Para 
J u 4 . " 


9 X Ueber Gitter und Gitterſchrift 





14119 1 20 | 19 


14 


18 


13 | ie’ | ıı 


17 


üIX 

















b 0 - 8* 
II. Nun conſtruire man die Complexionen der 
(on? An)ten Variationsclaſſe mit: Widerholungen, 
aus den Elementen a, b, T, d, die zur Ordnung a gehoͤren 
fchreibe die Complexion 123456.... (n?+n) fo vid 
mal, fo viel es folcher beſtimmter Variations⸗Complexio⸗ 
nen giebt, alſo (4u’+n—:) mal, und verfahre übrigen 
In allem fo, wie bey As fo ſtellt jede folche einzelne Bere 
vindung von Zahlen und Buchſtaben ein Chaflıs oder 
Gitter vor; und die Anzahl der fäntlichen Gitter beträgt 
n’trn—ı, 0 .- . m. u 
" JEpempel.. Sie n 4 bat das Quadrat B über 
haupt 4.4°+4.4F1 == 81 Fächer, 4.5 == 20 offene 
und 3.4.5 +1 == 61 gebedte, das mittelfte mit 
‚einbegriffen. Die Menge ber gefamten Gitter märe 
I gan 4 298 2748779006944. Ein 
8 | | eine 


Bufaß.des Herautgebert. 9 


- einjelnes Gitter unter diefen, z. ©. das; welches ſich auf 
die Bariationd » Eomplerion ber 4?+4 == 2often Elaffe 


adebabebadabdberadad 
bezieht, wuͤrde auf folgende Art 


- adebabebadabdbr.c adad 
1234 5678 91h 1amg1a An 
sorgefielt, und in feiner Drbnung, von dem erfien an 
seht. bad 24523583339 6fle ſeyn. 
N \ 

So weit Herrn M. Toͤpfers rombinatoriſche Aufe 

fſung dieſer Variationsaufgabe, die man gewiß ſehr 
leicht und ſehr natuͤrlich finden wird, wenn man nur 
rinige Kenntniß von tombinatorifhen Operationen und 
Verfahren hat. Fuͤr Leſer, denen ſolche Kenntniſſe ab⸗ 
sehen, koͤnnen folgende Anmerkungen dienen. 

1. Die Variationen einer geforderten Elaffe außer bee 
Dromung (tie hier der 160den oder zoften) für gegebene 
Elemente a, b, c, d... wird man auf feinem Fall bes 
‚quemer darſtellen, als wenn man dabey die von mir-ges 
gebene Borfhrift *) befolgt. Herrn M. Toͤpfers Auf 
loͤſung bezieht ſich auf diejenigen Gitter, bey denen 
das Zach ı im Vierecke oder Rechtecke a als erſtes vder 

Anfangofach betrachtet wird, daher er auch nur auf 
He Ordnung a Ruͤckſicht nimmt, aus welcher ſich bie 
Drdnungen'b, &, I leicht herleiten laſſen (Ebend. S. 1609, 
30). Es iſt demnach nach jener Aufloͤſang 
die erſte Variations⸗Complexion: 
* aaaadaaaaaa....n 
die letzte Variations » Eömplefiont / 
‚adddddddddd.......:. — 
. beh⸗ 
* 9. 85 Ber ncheil fi ei ⸗ Eng N 
r 
BE uni dan as Aa 5 168, —E 


„6 XI. Use Gitter und Gitterfhrift 


veydes, a und d fo lange fortgefest, bis, man fo viel 
Buchſtaben gefchrieben. bat, als in der Zahl der Ela 
‚Einheiten enthalten find. : 

2. Aus biefer Borfchrift die Variationen anzugeben, 
überficht'man ſogleich, daß die Anzahl aller, entweder 
4nꝰ -1 oder ui ſeyn muͤſſe, nachdem fie für ein 
Quadrat wie A bber B zu beſtimmen if. Daraus laͤßt 
ſich euch die Negel ableiten, für eine gegebene Varia 
tions : Complexion anzugeben, bie woienielfte ſie in ihrer 
Claſſe fey. Man fegt nehmlich für die Buchftaben a, b, 
£, d, ihre Drbnungsjahlen I, 2, 3, 45 biefe, flatt bee 
Buchftaben z. B. in den beſtimmten Variations, Com— 
plerionen der obigen beyden Exempel gebraucht, Iaffen 
nun die gefuchte Zahl ‚durch ein Verfahren finden, das 


ich hier bey ber Zahl de zweyten Erempels in einem 


Bepfpiele zeigen. will. Die Gubflitution, der zugehoͤri⸗ 
gen Zahlen für die dortigen Buchfiaben, verwandelt jene 
Zuchſtabencomplexion in nachfiehende Zahlencomplerion: 

.143212332141242331414 * 
und aus biefer findet man (die Kleinen Zehlen ſind bier 
potengerponenten von » 


I» —8& +3. A ne 2. * 4 Er ta +14 ee | 


. 47 
143.4 t0.4 41.444 E14 ta ten 4 to 
"5.59 245235833396, Wie oben. 
Die Factoren neben ben. Potenzen von'g find Biere 


einzelnen Zahlen. der obigen. Zahlencompleyion „:jede um 


ı verminderf, die letzte Zahl (hier 4), gusgenommen. 

@iengen bie Bushfaben a, b, c, d, in entg geſetz⸗ 

ter Richtung mit der bortigen (©. ep "ung | —* in B 

baum, fo’ wären hier blos b und d, ober bie Zablen 3 
und 4 .verwechfelt, und fo beftimmte dag fchon ein an 

deres Netz, deſſen Zah nach obiger Kegel sefacht, das 
Aagiaaoieoai Büter geben wurde. AP ; 
3. Au 


Zuſatz des Herausgebers. 97 


37 Aus den fo ſehr großen Zahlen uͤberſieht man ſo⸗ 
gleich die Unmoͤglichkeit einer wirklichen Darſtellung 
aller Gitter; auch wuͤrden viele dieſer Gitter die Abſicht 
für Geheimſchreiberey gar nicht erfüllen. Die ange 
führte Vorſchrift ift dennoch nicht überflüfftg. Sie 
- zeige das fehr einfache Gefeß ber Folge und bie Abhaͤn⸗ 
gigfeit der Bitter von einander. Diefer fo ganz beftinms 
sen Folge wegen, kann man jedem Bitter die ihm zukom⸗ 
mende Ordnungszahl anmweifen, und, umgefehrt,. aug 
der gegebenen Zahl dag Gitter tonftruiren, mern man 
- die fo eben angemwiefene Negel nur umgekehrt befolgt : da 
dividirt, wo man vorher multiplitirte, und die gefundes 
nen Zahlen um ı vermehrt, wie man fie vorher um x 
verminderte, bie legte allein ausgenommen. Das fann 
fogar Erpptographifch wichtig werben, in fofern man 
jemanden, der dag Verfahren kennt, blog die Zahl des 
Bitters zufenden darf, durch welches man eine Echrift 
gefchrieben bat, damit das Bitter darnach entworfen 
werben kann. 


A4. Daß man bey der Auswahl von Gittern auch noch 
auf beſtimmte Abſichten Ruͤckſicht nehmen koͤnne, iſt fuͤr ſich 
tlar. Wenn es aber blos darum zu thun iſt (und dies 
‘ft der gewöhnliche Fall) überhaupt ein Gitter zu wählen, 
fo, daß die durch daffelbe gefchriebene Schrift, für jeden, 
nicht blos neugierigen, ſelbſt fcharffinnigen Forſcher, 
ein undurchdringliches, ganz unlesbares Geheimniß bfeis 
be, fo kann man die obigen Regeln für A und B fo mo» 
‚bificiren, daß man nicht einmal nöthig hat, um bie Vor⸗ 
ſchrift für eine gefeßmäßige Folge der Variationen un- 
ter einander ſich zu befümmern. Die Kegel ift danft 

‚ganj kurz folgende: 


+1 Die Anzahl aller Fächer des gegebenen oder 

willkuͤhrlich gewaͤhlten Quadrates (wie oben A oder B) 
dividire man durch 4. Der Quotient ſey g; bey B bleibe 
:. Günftes Heft. B fuͤr 


\ . ’ - ‘ 


y8 v. ‚Weber Gitter und Gitterſchrift 


fuͤr das Mittelfach 1 übrig, worauf hier nicht geach⸗ 


tet wird. 


II. Die Zahlen 1234 5. ..q nach der Drbnung . 


fchreibe man in eine Reihe neben einander. 


IH. Darüber fee man die Buchflaben a, b, e, d, 
nach einer willkuͤhrlichen Folge und Abwechſelung, fo, 


daß uͤber jeder Zahl ein Buchſtabe zu ſtehen kommt. 


IV. Eine ſolche Verbindung von Zahlen und Buchſta⸗ 


Ben beſtimmt ein Chaſſis. Die Buchſtaben zeigen bie bes 


fiimmten Duadranten bed Quadrats an, die Zahlen weis 


fen die. darinn auszufchlagenden Stellen nad). 


Erempel, für q>= 16, wie oben inA, am Schluffe 


acbadcbaabbcedbae 
2234567839 10 ı1 12 13 1415 ı6 


Diefe fo ganz nach Willkuͤhr Hingefchriebenen Buch« 


ftaben über den Zahlen von ı bis 16, beftimmen zuſam⸗ 


men ein anderes Gitter, ald das obige in A vorgege, 
bene. Auch Hier ift der Anfang von dem Fache ı ma 


gemacht worden; welches aber nicht nothmendig if. 


‚Man hätte auch b, c oder d über 1 fegen koͤnnen. 


5) Eine ſtillſchweigend big Hieherangeuommene Bedins 
gung: ift, daß bey der viermaligen Verwendung bes 
. Bitter8 nach und nad) alle Sächer der Unterlage für bie 
Schrift befegt werden, und dabey Fein Zach mehr als 
einmal vorfomme. Daraus erficht man gar bald, daß 


es noch mehrere Aufiöfungen, als die oben in AunbB 8 


angeführten, giebt, die dieſe Bedingung erfüllen. Die 
Yufldfung des Ungenannten, die er aber bier nicht mit 
angegeben hat, ift auch von jener ganz verfchieben. Das 
Allgemeine, das bey Aufgaben diefer Art zum Grunde 
liegt, ift die Theilung des gegebenen ganzen Quabdrats 
in verſchiedene (nicht eben unothwendig in vier) gleiche 

und 


.. 2 — 


— — 


Bufos des Herausgebers - 99 
und Ähnliche Schnitte (auch von anderer als Auabratis 
ſcher oder rectangulärer Geftalt) die ſich, beym Verwen⸗ 
den jedesmal einander decken. Da daß auf mehrere Ar⸗ 

gen gefchehen kann, auch ſolcherley Schnitte bey Aufga— 

ben anderer Art fchon vorfommen, bey denen an ſteganogra⸗ 
phifche Nege gar nicht gedacht wird: fo zeigt fich hier 
eine Mannichfaltigkeit, die bey Aufloͤſungen combinato⸗ 
rifcher Aufgaben gar nicht felcen iſt. 


6) Wollte man ftatt der Duadrate A und B andere tes 
gulaͤre Figuren fubllituiren, oder, flatt des viermalis 
gen, wie vorher beſtimmten, Verwendens, andere Bea 
dingungen einfuͤhren, ſo wuͤrde das Ziel dadurch immek 
weiter geſteckt, und bie Anzahl ber Auflöfungen noch viel 
miehr vermehrt werben: | 





Erinnerung. wegen des‘ (©. 83, 84) angefuͤhrten, 
“ gm Ende diefes Settes in Kupfer geſtochenen 
Gitters. 


Dieſes Netz oder Bitter ſollte genau von ber Groͤße 
gezeichnet werden, wie es zu der (S. 84) befinblicheit 
Gitterſchrift paßte. Da aber für diefe Schrift die Faͤ⸗ 
eher deu Gitters zu klein ausgefallen feyn würden: fü 

iſt das Bitter im Kupfer etwas vergrößert dargeftellt, 
ſo daß man fich leicht ein Viereck mit den Buchſtaben 
- wie auf Seite 84, auf einen befondern Blatte von 
der Größe entwerfen kann, wie es zu dein Gitter auf 
. ber Kupfertafel paßt, um burch felbiges die untergelegte 
ESchrift Iefen zu koͤnnen. 





Ba | zit, 


120 XII. Auszüge und Kecenfionen neuer Becher. 
x. | 
Auszüge und Recenſionen newer Bücher. 


ı. Weitere Ausführung ber maerbherhatiichen Geogre- 
phie, beſonders in Abſicht auf tie ſphaͤroidiſche Ges 
ſiait der Erte,von A. G Kaͤſtner, Öttingen 1795. 
526€, 8. mis 6 Kupfern. 


Das Berfahten des um die Matbematik ſo verdienten Berfaß 
fers, auf feine Lehrbücher bie weitere Ausführung der einzelnen. | 
Theile zu gründen, iit ſo ſchicklich, daß es in andern Siſſen⸗ 
febaften zur Nochahmung empfohlen werden muß. Es wird be 
durch für Anfänger und Crüfte zugleich geſerat. Wer haͤhere 
Kenntniſſe fücht, braucht nicht mit den erfien Elementen fh 
- ermüden zu laſſen, und der Raum wird dabey für ſchwerere 
Unter iuchungen geſpert. Dee gegenwärtige Werk zeichner fi 
nur zerfireuten Unterricht, oft ehne Berfuͤgung der Graͤnde, 
antraf, in einer ſoſtematiſchen Ordaung, und genam erörtert 
yorträgt. 


Dieie wird an tem Beoſpiele von Snells erfahren, der erfien 
geomctriſchen Gradtmeilang erläutert. Von den Darauf gefolgten 
Stadmeljungen wird nichts angeführt, weil es ſehr wei “ 
gewerden ſevn würde, vollſtandia zu ertlären, wie ſolche Dieb 
fangen angeſtellt, geprüft und berichtigt werden, weg man 
die Buͤcher, weiche fie befchreiben,, durchſtuditen muͤſſe 


(Ben dirien Deffungen find zwar die noͤthiaſten Nachrichten ' 
in den Anfangsgründen mitgetbrilt werden; gleichwohl wärde 
es vielen Leſern angenehm geweſen fenn, von Unternehmungen 
bier ausfuhrlich beiehrt zu werden, weldhe die eröpten und 
ſchwerſten in der ganzen angewandten Matberratif fi :d. befsw 
ders da dieeinzeinen Schriften darüber nicht allenthalben 
Hand find.) | 


- 


3a 





XIL. Auszüge und Necenfionen neuer Buͤcher. 101 


- Sn dem dritten Cap. wird die Erde als ein Sphaͤrold 
betrachtet, erftlich im Allgemeinen, darauf als ein zuſammen⸗ 
gedrucktes elliptiihee. Da die Richtungen. der Schwere auf 
einem Sphaͤroid nicht nach dem Mittelpuncte der Erde laufen, 
fo ift das erſte, was zu beſtimmen nöthig iſt, der Winkel der 
Berticallinie mit der nach dem Mittelpuncte gezogenen Linte, 
Die Richtungen der Schwere fchneiden fich jede mit der ihr 
unendlich nahen in der Evolute der Ellipfe oder jeder andern 
Figur, die der Meridian hat, die bey Bouguer daher gravicen- 
trique und barecentrique beißt. Aus zwey gemefjenen Gra⸗ 
den wied die Geſtalt und Größe des elliptiichen Ephäroids bes 
fimmt. Die drey, in Peru, bey Parts und in Lappland ges ' 
meſſenen Srade paffen nicht in eine-und diefelbe Ellipfe. Tafel 
für die Abplattungen der Erde nach den verfchiedenen Meffuns 
gen und Nechnungen. Fläche eines elliptifchen Spharoids, 
eines gedruckten und eines länglichen. . Geſtalt des Meridiang 
nach Bouguer. Diefe beflimmt er empiriſch, den drey dar 
mahls gemeflenen Graden gemäß, fo daß die Unterfchiede der 
Grade des Meridians von dem unter dem Aequator fich wie 
bie vierte Potenz des Sinus der Breite verhalten. Die Vers 
gleihung einiger gemeflenen Grade zwifchen den Breiten von 
43 und 46 Sr. mit Bouguerstberechneten Graben, zeigt einen 
merklichen Unterfchied. (Diefe gemeffenen Grabe zeigen gleich 
suf den erften Anblick eine Unregelmäßigfeit, noch mehr, wenn 
man fie mit dem fehr genau. gemeſſenen Grabe zu Paris ver: 
gleicht. Bouguers Hypotheſe führt auf eine weitläuftige Bes 
rechnung 5 -die Seftalt des Meridians, wenn fieempirifch beſtimmt 
wird, läßt ſich viel genauer darftellen). | 


Viertes Cap. Bon der Schwungkraft uf einem gegebes 
nen. Sphäroid. Ihre Größe auf dem Aequator, und auf einem 
Daralleikreife.. Aufgabe: Aus der Geſtalt der Erde und der 
Schwungkraft auf einem Parallel die Richtung und Groͤße einer 
Kraft zu finden, auswelcher, mit der Schwungfraft verbunden, 
Die Schwere ſenkrecht auf die Erdfläche entftehen kann. Der Hr. 
Berf. hält es nicht für entfchieden, ob eine ſolche Kraft wirk⸗ 
ich vorhanden ſey. Bey zwey Kräften, die fi nicht gleich 
und entgegengefeßt find, kann fein Gleichgewicht entſtehen. 
Die gefuchte Kraft ift alfo diejenige, welche aus allen Anzie⸗ 
hungsträften gegen jedes Element des Sphäroids entflcht. Sie . 
ift aber nicht allenthalben nach dem Mittelpuncte der Erde ges . 

& 3 richter 


N 


302 XII. Auszuͤge und Recenfionen neuer Bücher: ' 


richtet. Der Hr. Verf. macht die Anwendung, , der Leichtigkelt 
“wegen, nur auf eine Kırgel; allein, auf einer ſich drehenden Kus 
gel bleibt die Richtung der Schwere nicht mehr fenkrecht auf 
die Oberfläche. Entweder verwandelt fie fih, wenn fie füflig ; 
iſt, in ein Sphaͤroid; oder wenn fie wegen der Feſtigkeit eine 
Kugel bleibt, fo weicht bie Richtung der Schwere von dem Mite - 
telpunecte ab. — Fine andre Frage iſt folgende: wenn rings⸗ 
herum gegen die Erbe eine Kraft fenfrecht gegen die Erdflaͤche 
:ollenthalben gleich ſtark wirkte, und diefe Kraft nur an jedem 
Orte dur) die Schwungkraft vermindert würde, fü, daß dar⸗ 
aus die beobachtete Schwere entfieht, was wird aus biefer Bors | 
ausfehung folgen? Sie widerfpricht den Erfahrungen über he 
Denvellännen fehr deutlich, und würde, wenn die Schwüngfeaft 
unter dem Aequator der Schwere gleich wäre, einen geboppelten 
paraboliſchen Kegel geben, deflen Scheitel in den Polen | 
(Die Vorausſetzung ift eine bloß geometrifche, bey welcher ben 
Mitteipuncte ade Anziehungskraft beygelegt wird. Auf eine: 
Sphaͤroid, defien Elemente alle anziehen, ift.fie unmöglich). 
Den Newtons Verfahren die Figur der Erde zu beſtimmen. 
Ueber die Aenderungen der Schwere auf des Sphaͤroids Obers 
fläche, nach der Breite. Es if hier ein Sab Newtoͤns eir 
oͤrtert, daß die verticalen Schweren, und alfo auch die del⸗ 
laͤngen, ſich beynahe umgetehrt wie die Entfernungen vom 
Mittelpuncte verhalten. | 


Fuͤnftes Eap. Bon der Parallare auf einem Sphaͤrold. 
Schr ausführlich und genau. Nurwird die Methode etwas " 
Schwierigteit machen : weil der Verf. alles aus der ebenen Tri 
gonometrie berleitet, und am Ende erfi zeigt, wie man ok 
bier vorfemmenden Winkel durch Bogen und Winkel auf einer 
Kugelfläche daıslien koͤnne. Es fcheint bequemer zn ſeyn, dies 
fes gleich anfangs zu thun, die Veränderungen der für ben 
Mittelpunct der. Erde gegebenen Lage eines Welttörpers durch 
den Standort auf ber Oberfläche zu beflimmen, und aus biefer 
durd, Umkehrung der Formeln den fcheinbaren Ort in den wah⸗ 
ren oder geocentrifchen zu verwandeln. Webrigens findet mas 
hier in der Kürze alles Wichtige beyſammen, mas bie vorzüglich 
fen Aſtronomen und Analyſten über die Parallare mitgerheilt 
hoben. | 
Sechſtes Eap. Bon Loxodromien und den Seecharten 
wit wachlenden Graden. Der Hr. Verf: hatte fi zwar wor 
\ | genom⸗ 





\ ı u 
zit. Auszige und Necenfionen neuer Bücher. 103 


genommen, die Verzeichnung der geographifchen und aſtronomi⸗ 
fhen Charten vorzutragen, unterließ es aber, da er fand, baß 
Gr. Hofe. Mayer in feinem vortrefflihen Werke diefen Gegen⸗ 
fand vollfommener abgehandelt hat, als es In einem Capitel 
Biefes Buches gefchehen konnte. Da jenes Wert die Schiffes 
Zunft nicht zum Zweck bat, fo fommt darinn vonder Lorodromie 
nichts vor, die hier für eine Kugel und für ein Spharoid gefuns . 
den wird. Mehrere Unterfuchungen‘ über Fcagen ans der 
©teuermannskunft. Nachrichten von Schriftftelern über dieſen 


Gegenſtand. 


Siebentes Cap. Kleine geographiſche Bemerkungen und 
Nachrichten. Die letzte betrifft ein Aſtrolabium von de, la 
Site, das iſt, eine gewiſſe Projectionsort der Kugelfläche, bey 
weicher das Auge in einer foldhen Entfernung von dem großen 
Kreife, der zur Tafel dient, geftelle wird, daß die Hälften des 
Quadranten von dem Pol der Tafel an gerechnet, gleich große. 
Abbildungen erhalten. Hr. Mayer bat biefe Entwerfungsart: 
nicht angeführt. 


Dies iſt eine kurze Angabe der wichtigften Stücke des In⸗ 
halte dieſes lehrreichen Werts. Sch will zum Beſchluß noch 
einige Bemerkungen beyfügen. “ E 


AIn der Formel für die unbeſtimmte Fläche eines gedruckten 
Sphaͤroids (S. 101) iſt durch einen Druckfehler die Conftans 
unrichtig, durch In fast Zangegeben. Auch muß in dem erſten 
Gllede des veränderlihen Theils 1 — x? fiatt 1 —x veleſen 
werden. Das tft inzwiſchen nur nebenher zu erinnern bie Ab⸗ 
ficht. Ich finde übrigens die Formel ſelbſt nicht bequent, 
weil die veränderliche Größe eine irrationale Function der Ordi⸗ 
nate, und diefe svieder eine Function der Breite ifl. Man wird 
aber zur Berechnung einer Zone auf einem Sphaͤroid bie Breite 
ber Graͤnzparallele, als das Gegebene gebrauchen. In Mal⸗ 
‚lets mathematiſcher Geographie iſt eine Formel, welche die ſphaͤ⸗ 
roidiſche Oberflaͤche durch die Breite angiebt, nur daß in der⸗ 
ſelben ein Winkel aufgenommen iſt, der eine leichte Function 
der Breite iſt. Allein Sie Formel ft: durch einen Rechnungs⸗ 
fehler, der durch die ganze Aufloͤſung geht, in dein erſten Factor 
nurichtig, und flellt das nicht dar, was fie angeben fol. Sie 
enthält die Zone zwiſchen dem gene pnd einem Parabel, 


l 


\ 0 at " 
\ 


204 XII, Auszüge und Kecenfionen neuer Bucher 


ba fie doch den Theil, in weichem der Pol liegt, angeben folk: - 
Die Conftans ift bey der Integration vergeffen. *) 


Ä Der Hr. Berf. hat die Unterfuchung über die Beſtimmung 

ber Geſtalt der Erde aus hudroftatifhen Gründen ganz wegs 
selafien Es ift volltommen wahr, was S. 147. gefagt wird, 
daß dieſe Unterfuchung nur lehrt, was die Oberflache unfers 
Planeten füt eine Geſtalt hätte, wenn er einmal flüjfig geweſen 
ware, und daß wir gar nicht berechtiat ſind, dieſes anzunehmen, 
(Ich fege noch hinzu, daß das fefte Land, worauf die Meſ⸗ 
ſungen angeſtellt worden find, ſich nicht nad) bydroftatifchen, 
fönbern nach chemifchen Geſetzen hoͤchſt wahrſcheinlich gebildet 
bat). Auch erlaubte die Adficht und der Umfang des Buches 
nicht, die Unterſuchnng mit der gehoͤrigen Vollſtaͤndigkeit und 
Gründlichkeit auszuführen, Allein, es ift Doch eine derichonften 
Unternehmungen. in der Mathematik, bie Figur eines Welt⸗ 

pers unter einer gewifien Vorausſetzung a priori zu beſtimmen, 
. und den meiften Leſern würde esfehr lehrreich geweſen feyn, die 
Geſchichte diefes wichtigen Problems und die Refultate hiſtdriſch 
kennen zu lernen. Die Theorie von der Figur der Erde iſt noͤ⸗ 
tbig, zur Vergleichung der mitgelft ber Pendellängen beobachteten 
Srhweren, die wiederum zur Beſtimmung des Verhältnifjeg 
der Are und des Aequatoreal : Durchmeffers ſehr dienlich find« ‘ 
Die Sradmeflungen widerfprechen der elliptiichen Figur der Meris 
biane, und‘es iſt alſo bloß eine Hypotheſe der Rechnung wegen, 
denn man dieſe Figur annimmt. Die bydroftatiihe Theorie 
zeigt, daß fie wirtlich Statt finden würde, wenn die Erde ganz 
ein flüffiger gleichföͤrmiger Körper wäre, daher es erlaubt ſeyn 
mag, mit Beyſeitſetzung kleiner Abweichungen, die Erde alk " 
ein gedrucktes elliptiſches Sphaͤroid zu betrachten. "Wollte mar. 
ſich bloß an die Gradmeſſungen halten, fo muß man die eliptifche 
Figur aufgeben, und nach einem fchicklichen algebraiſchen Geſetze 
bie Figur der Meridiane aus Beobachtungen befiimmen. Sieben 
fann man aber nicht folche Külfsfage anbringen, role bey ‚der 
Ellipſe aus ihren Eigenfchaften moͤglich tft, da jene Linie ganz 
individuell iſt. 


e) In dem aſtronomiſchen Jabrbuche für 1790 iſt die richtige For⸗ 

e mel gegeben, nur daß daſelbſt in dem zweyten Factor ſtatt zu 
feten it J. No Sormel, die unmittelbar die Flaͤce 
durch die Wreitt gfebt, IR daſellſt mitgetbellt. Einige Druck⸗ 

_ fehler find auch in dieſem Aufſatze zu verbefiern. u 

ö | a 2. Nach⸗ 


XII. Auszüge und Kecenfionen neuer Bücher. 108 


2, Nachtrag zu der Recenfion von Heren Hoſrath 
Mayers Anweifung zur Verfertigung der Sands, 
See⸗ und Himmelscharten ; im aten Hefte des erften 
Dantes des Archivs, ©. 236, | 


Der bier unterzeichnete Verfaſſer diefer Necenfion !hat die 
. ©. 101 befindliche Tafel zur Vergleichung der Grade der Paral⸗ 
lelkreiſe auf einem elliptifhen Sphäroid und auf einer Kuͤgel 
daher fuͤr unrichtig erklärt, weil in dem Werthe der Normals 
linie ein Fehler durch Verwechſelung zweyer Buchſtaben vorges 
gangen iſt. Die Tafel iſt aber, wenn aus keinem andern 
Grunde etwas gegen fie zu erinnern ift, richtig. Denn bey 
der Subflitution des Halbmeſſers des Aequators in der Formel 
. für den Halbmeſſer eines Parallelfreifes ift der Fehler‘ ver⸗ 
ſchwunden, der weiter nichts als eine Verwechslung iſt. Den 
Sehler hat Hr. Hofr. Mayer in dem zten Theile feiner practis 
ſchen Geometrie felöft angezeiget, die Tafel aber für richtig 
Es iſt inzwiſchen zweperley gegen fe zu erinnern. Erſt⸗ 
lich: die Formel zur Berechnung der Grade auf den Parallels ' 
freien des Sphäroidg beziehet fich auf ein ellipfiiches; die Grade 
des Meridian find aber nach einer Formel berechnet, die einen 
nicht s elliptiichen Meridian darftellt, nämlich nach derjenigen, 
die ich bloß aus gewilfen Mefjungen hergeleitet habe. Inzwi⸗ 
ſchen werden die Abweichungen biefes Meridians von einenz 
elliptiſchen nur unbetraͤchtlich ſeyn. 


Zweytens: Hr. Hofr. Mayer vergleicht das Sphaͤroid 
mit einer Kugel, deren Durchmeſſer dem des Aequators auf 
dem Sphaͤorid gleich iſt. Hierinn iſt etwas willkuͤhrliches. Man 
koͤnnte ja eben fo gut die Umdrehungsaxe, oder einen mittlern 
Ducchmeffer. des Sphäroids zum Durchmeffer der Kugel ans 
nehmen. Um die Abweichung der fphäroidifchen Geftalt von 
der Rugelgeftalt, in Ruͤckſicht auf die Landchatten zu beurtbeilen, 
muf man die Grade der Parallelkreife auf dem Sphaͤroid mit 
den zugehörigen Graden des ciliptifchen Mieridians vergleichen, 
da es hier vorzüglich auf das Verhältniß diefer Grade ankommt. 
Nun fey G dem Grade des ehiptiihen Meridians in dee 
Breite 43 gm dem Grabe gffelben unter dem Aequator; 


0 


106 XI. Auszüge und Kecenfonen neuer Bücher; . 
G einem Grabe des Aequators; einem Grade bob 


Derale treſes in der Breite Br fo iſt nach $. 10. ri 


y= Gcolß * 


di = la ar’ 


anftatt daß auf der Kugel 58 col Bift.. Der Halmeffer. dee 
Aequators fey a; die Halbe Umbrehungsare —b, fo ift der 


Halbmeſſer ber Kruͤmmung unter dem Aequator = —, und 
& . ı 


unter dem Mole = =, Daber iſt ©: gas: bb; und 


unter dein Pole iſt ©: G=bi * Folglich iſt der Factor von 
cof & unter dem Aequator — = weil bier G=—g' iſt; und | 
unter dem Pole iſt derſelbe = ı. In ber Breit von 45° Pr der 


Helbneſer der Krümmung — FRETOrE und daher der 


a2 + p⸗ 
Bas zu co A= — 7* 


Demnach find die Grade der Parallelkreiſe auf dem oki 
zoib in Vergleichung mit den Graden des Meridians größer ale 


auf einet Kugel, und der Unterfchied iſt auf dem Aequator am 


rohen, Rach der Mayerifhen Tafel find bie Grade der 


arallelkreiſe auf dem Sphärsid auch größer als. auf der Kugel 
von gleichem Durchmefier mit dem Aequator des Sphäroidss 
allein, auf dem Aequator felbft find fle gleich, und unter dem Pole 
"uch, daher um 60 Gr. Breite der Unterfchied ein Größtes if, 


Das Meſultat bleibt, daß die ſphaͤrodidiſche Geſtalt der 
Erde bey Laudcharten nicht braucht in Betrachtung gezogen: zu 
- werden. Denn, wenn ‚man audy das äufferfte Verhältniß 
387: 186 für a: b aunimmt,-fo iſt aa: bb= ı: 1,0108, 
das Verhättniß eines Grades des Parallelfreifes unter oder nahe 
beym Aequator zu einem Grade des Meridians, da es auf der 


Sup: 1 Me. Nach meiner Berechnung. für ein ai 


XIT. Auszüge und Recenſionen neuer Bücher. x 07 


elliptiſches Sphärgid iſt diefes Verhaͤltniß — 56745: 37247 
oder 1: 1,009, und das Berhältniß der auſſerſten Grade des 
Meridians, unter dem Aequater und bem Dole=—ı: 1,016. 


Man wolle diefe Bemerkungen nicht einer Tabdelfucht oder 
Rechthaberey äufchreiben. Sch war dem verdienten Hru. Hofr. 
Mayer das anfangs mitgetheilte Geſtaͤndniß einer- Uebereilung 
fhuldig; bey dieſer Gelegenheit glaube ich es aber auch der 
Wiſſenſchaft fchuldig zu ſeyn, eine Verbeſſerung einer vortreff⸗ 

lichen Schrift anzuzeigen, | BR 
N .G. &, Klügel.. .. : 


Rp 
..d U 


3. Aus einem Schreiben Seren D. Kramp's vom 
30 May ı796, deflen weitere Sortfchritte in der com« 
binatorifchen Analyfis betreffend. - u 


Rn Kern D. Kramp’s thätiger Theilnahme an Bearhei⸗ 
‚tung der combinatorifchen Analyſis babe ich anderwarts'*) 

die. herrlichſten Proben. mitgetheilt, und werde noch. mehrere _ 
‚gelegentlich im Archive, vielleicht aud) in einem aweysen Zeys 
rage dazu, bekannt machen. Hier will ich inzwifchen zweyer 
Aufaaben nur hiftorifch gedenken, deren combinatoriſch⸗ ange 
Iptifche Aufloͤſung für die weitern Fortſchritte der Wiſſenſchaft 
wichtig find.“ a 


A. Combingtorifh ausgedruͤctte Summen dee Potenzen 
der natürlichen Zahlenreihe. 


1. Herr Kramp geht von dem Lehrſatze aus: 
Die Summe der Potenzen vom Grade n, der Gliebet 
in der Zahlenteihe von ı bis n, exchufine, oder 1m + 274 3” 
+At.. F— iſt gleih dem combinatorifchen 
Integrale: | E 
I 


*) In dee unlangſt perausgegebenen Sammlung verichichener 
(aröftentheils combinarorifch s analytiſchen) Abhandlungen : der. 
polynomiſche Lebriag , nebſt einigen verwandten und ans 
dern Sägen, neu bearbeitet .... Reipig, 1796. bey Sleifcher. 
dem Yüngsen. SHeren D. Bramp’s.combinatorifch a analptikch 
behandelte Aufgaben, ſtehen daſelbſt S. 10a, 118, Man .weie, 
gleide, Ebendaſ. G. 98. 


Pd 
2 


| og XI. Auszüge und Recenfionen neuer Buͤcher 


—— Dy—2)...,y-0xn 
(t DAV.. x IR 27 6 20... 


Bestrret etetcc=tundet2yt+3d+4:terc=n . 


| I. Die Bedeutung dee Zeichen ift hier wiein der (©. 107 
in der Note eitirten) Schrift S. 102,2; der Combinationer 
aus ß, y, d 8... find bier fo viele, als die unbeftirhmte Siels 


dung 34 ay' + 3d+ 40... —n möglidhe Auflöfungen in - 
ganzen und bejahten Zahlen zuläßt. Man vergleiche, Eben⸗ 
daſ. ©. 1115 4, 5, und S. 113,3. Daraus folgt die Sums : 
me der aus Zahlenprodurten im Zähler und Nenner befichens 


q' 


1F 6A.... 18 276 24 .., 
auf die bier alles ankommt. 


den Brüche 


II. In der Folge bracht Herr K. zur Verkürzung fol 


gende Ausdrücke * —8— 

*y3; y. y-—)3 y, y (y— 1) ( —2) u. ſ. w. 
und findet mm + 21 4 32... T)% oder IX ducch eine 
nad) Yatı» Yn Yn-ı e-- Ya» Ya ausgedruͤckte Reihe, deren 
einzelne Eoefficianten, unabhängig von den vorhergehens 
den, combinatoriſch ſich beftimmen laffen, 


IV. Daraus werden weiter die Werthe für Ey’, Zy", 
2 y?...gefolgert, ſowohl für die Summe 17+2".... + (y—I)® 
als für m + .n...+y235 auch gezeigt, wie man 

ya-ı durch Yı Ay,tBy,+Cy, +Dy;... 
ausdrüden könne, und die Epeffirienten A,B, C, D... aud 


mn - M#. 


hier, wie oben, aufler der Ordnung, und von varbergehens. : 


den unabhängig, combinatörifch fich beftimmen laffen. 


V. Zuletzt wird ein allgemeiner Ausdruck für Syn (das 
Glied ya mit eingeſchloſſen) aufgeſtellt, und nachgewieſen, 
wie in 


Zy'y MI +, I) Mo+) (y—ı) GI yz+.. 
dieM ı, M2, M 3... ebenfalls, unabhängig von einander, 


jedes für ih, combinatoriſch fih finden und ausdrücken 
laſſen. .. . . 1 
VI. 


XII. Auszuͤge und Recenſi onen neuer Bücher. 108 


.." VL Herr D. Kramp bemerkt bierbey, daß der Umſtand 
daß jene Toefficiengen, auf welchen hier alleg beruht, unabhängig 
son der Berechnung der PDotenzen, nur allein durch die 
Combinationslebre gefunden werden könnten, eine für die 
kuͤnftigen Fortſchritte diefer neuen Wiffenfhaft, wichtige Wahrs. 
‚heit fey‘ ‚auch Habe er dadurch bereits mehrere, vorhin noch - 
‚sie fummirte Reihen, wirklich fummirt. 


Was insbefondere den Werth fuͤr Syn, in ber bier zuletzt 
‚Angeführten Form; anbetrifft: fo fen derfelbe (fowohl y als nm 
koͤnnen hierbey als veränderliche Größen angefehen werden) um 
fo wichtiger, weil durch ihm die veränderliche Große, die fo viele 
Schwierigkeiten macht, wenn fie als Erponent vorftommt, aus 
demfelben ganz oder zum Theil weggeſchaft und unter die Coeffis 
cienten verleßt wird. Die Sache fey auch um fo viel unerwar⸗ 
teter, da der einzige einigermaßen bieher gebörige Ausdruck von 
yn, den die höhere Analyſis bisher gelehrt Bat; erſtens, die 
Kenntniß der Baſis des natürlichen Logarithmenſyſtems voraus 
ſetzt; ſodann/ derſelbe Ausdruck eine unendliche Reihe iſt, und 
alle Beihiverden unendlicher Reihen mit ſich fuͤhrt; und drit⸗ 
tens, ſelbiger auch nur in den allerwenigſten Fallen, und nur 
alsdenn brauchbar iſt, wenn dee Exponent ein Bruch iſt, kleiner 
als/die Einheit, indem in allen andern Fallen bie Reihe u 
Hder weniger divergirt: 


Von To erheblichen Folge Und Vorzuůgen fey bier‘ die com⸗ 
kinatorifche Aufläfung dieſer Aufgabe vor andern micht / come 
binatoriſchen! 


II. Ueber die Facultaͤten der Zahlen. 


Vrachfichende Extlärungen und Säge werden jeigen, was 
die Sache fen. j 


I. Produete, wie y 54 1) y+3).. .(y+n-ı) 
oder auch, tie y(y—ı1)(y— 2)...(y—n + ı) ſollen Fa⸗ 
cultaͤten von y heißen; und zwar die erſten, ſteigende, die lebten⸗ 
fallende Fatultaͤten. 


IIede Facultaͤt bat, wie die Potenſen, ihre Baſis ud 
iSren s£rponenten. Die Baſis ift der erfte Factor ‚per 
Facultät;; der Erponentift gleich) dem Unterſchiede vemerften 
und legten Sactoss, um Eins vermeber. 


She 


\ 


ri xi. Aienige und Denon neuer Bücher ; 


* 
Fuͤt bie Balls y imd ben Erponenten n, beüce man, N 
steigenden Bacultätendurd) y y, die fallenden durch ? aus. E 


EKdemnach: 
Tu fo SE 

yarat) © Tero-n 
yarıytutate) Yy —J— | 
u ſ. u ſ. m 


' ı Unmittelbare Folgen daraus „find: R 
x (x Fn— ı) und x= («—-n-+ 1) 


n 
oder, die fleigende Facultät von x if, bey gleichen Srponenten 
n, zugleich die fallende von x-Fn— I, und umgetehrt, die 
fallende von * zugleich die ſteigende von x—n+ ı, 


‚Gerner x run x x—n)=x “ 
m n- m ro 
„Sr n+m=o, wiroe na und dx(x+m) = =}, 
elox—ı: x— m) und =: (x-tFim) Ein verneintee 
Erponent macht alfo feine Schivierigkeit. 


—⸗m E 
Srm>xn, ifx=o;fürx>mifx eine bejaht⸗ 


Broͤße; für x <m iſt Bingegen’x unendlich groß. 
' m. Merkwuͤrdio find folgende Saͤtze: 
Axn. «+ ) und A x=n. x folglich | 
ah | 


z «-+ı) serit2t3.. tr 
n+ı 


u > KDD Me I +43. 





.. ‘ » ar 
2x oda I+2+3.:x—D)=x 
» a a a * n-x 

* 


I. 


x. Auge und Kecenfonen neuer Buͤcher. dt 


"Wi Vergleicht man dies mit dem befannten Sake dee 
Sntegralsehnung S xad = tr! ſo zeigt ſich die auffallend⸗ 
ne: Aebnlichtei dieſer gornelmi ben beyden erft gefundenkn 
— in - a, die gleichwohl unter ſich nu, darinn werichies | 
den find, daß bie erſtern die verlangte Summe mit Einſchluß 
des letzen Gliedes x, die andern, die verlangte Summe mit 
Ausſchluß des legten Gliedes = zu erfennen geben. 








Und in dieſer fo aufferordentlich leichten Integration, die . 
nur auf Facultaͤten und auf feine andre Claſſe von Functionen 
ſich erſtreckt, liegt eben die Wichtigkeit der fuͤr die hoͤhere Ana⸗ 
yſis unentbehrlichen Facultaͤtenrechnung, die, in Verbindung 

mir dee fo viel umfaflenden Eombinstionslehre, den 
Cakul aux differences finies in feiner gangen, Ausdehnung ers 
ſchoͤpſt, und kein ‘Problem deſſelben unaufgelöft läßt. 


So wie bas gewöhnliche Problem der Integralrechnung 
(mo man fein endliches Integral geben kann) diefes ift, den mit 
dx multiplicirten Faetor in eine Neihe entwickelt darzuftellen, 
die nach fteigenden oder fallenden Progreffionen der Perenzen 
von x fortgehts fo iſt es hingegen die Haupraufgabe der weit 
ſchwerern Reihenlehre, den Ausdruck der fummirt werden foll, 
in eine Reihe feigender oder fallender vacultaten der veraͤnder⸗ 
Tihen Groͤſſe zu entwickeln. 


V—. Hierher gehören folgende von Herrn D. Kramp ſaͤmmt⸗ 
x gelöfte Aufgaben: 


2) Eine gegebene fteigende Facufeit von x, durch eine 
Meibe ſteigender Faeultaͤten von x+a auszudrildten, | 


b) Eine gegebene fallende Sacultät von x durch eine Reihe 
falender Bacultäten von x a auszubräden, 


| c) Eine gegebene fteigende Facultaͤt von x durch eine Reihe | 
fallender Sacultäten von xPa auszudrücken. . ' 


qh Eine gegebene fallende Faeultaͤt von x durch eine —* 
Reigendet Sarultäten von ta ansrddten zu 








272 XII. Auszüge und! Recenfionen nener Bücher, 


VI. Auch der binomifche und polynomifche Lehrſat 
für Potenzen, find beyde, in ihrer ganzen Form und Ahge⸗ 
meinheit auf fleigende und, fallende Sarultäten ammendbas, 
Zum Benfpiele mag hier die binomifche Form dienen, 

’ n n n-I ı n-2 2 n-3 3 
wo (y+2)=y+"Iya+”S ya+”Eya-r ete 
w(lyr)=y+"I ya+”B yarıe yateto 
- n at n-ı I n-.2 2 n-3 3 


VII. Als ein Eorollarium fließt hieraus : 
n ar-Z n-2 n- 
(x x Lnx+nx tnx tete 
1 2 
1) xän XAꝓn xXx 4* x-ete 
n n zn-ı 2n-2 312-3 , . 

Dur) diefe Formeln laͤßt ſich alfo die Sacultät von x LE 

durch lauter Facultäten von x ausdruͤcken. .d 


VIII. So laͤßt ſich auch das Product einer Potenz vonymi | 


einer Bacuftät eben diefee Groͤſſe, z. B. x" x, durch eine Neb 
he einfacher Bacultäten von x, fleigender.oder fallender, aut: 
drücen. Der allgemeine Ausdruck des numerifchen Coefficientens 
der häufig hierbey vorkommenden Potenzen vonn, 5.8. 
Potenz nF, in dem Factor bes allgemeinnn Gliedes xa+T, det - 


n . 
dem Produete der Facultät x mit der Potenz xP zugehört, wir 


auch bier durch ein combingtorifches Integral, wie oben, ger 
fucht und ganz unabhängig gefunden. . 






4. Propofals for publif hingby Subfcription a Globeof. 
“ theMöon, by John Rujjel, K. A. d. i. Ankündigung 
einer Mondskugel, auf Subfeription; von Joh 
Ruſſell, Mitglied ver koͤnigl. Arademie der Kuͤnſte *). 


Dieſer Globus, das einzige Werk dieſer Art, welches jemals ' 
dem Publicum unter bie Augen gelegt worden, iſt die Truck. 
einer vieljährigen anhaltenden Arbeit, und wird hoffentlich vor 
Zu | einer 
Dieſe, auf ejnem Heinen Zollebogen geglättet Papier zierlich 
t. gedruckte Ankündigung if mir aus London zugeichickt worden. 
De Eike! ehe Sfr ae — des er Br 5 
er vorberge g worden. - Hier 
«ausführliche, Inhalt berielben. 3, 


XTI. Auszüge und Recenſionen neuer Bücher. 173 


einer Genauigkeit befunden merden, in welcher fie alle bisher 
erfchienenen Mondcharten weit übertrifft. 


Die Lage eines jeden Theils ift durch ein Mikrometer mit 
allem Fleiße beflimmt, und jeder Flecken mittelft wiederholter 
telefcopifcher Beobadhtungen an dem Monde ſelbſt nachges 
zeichnet, worden. Jede dnrch ein gutes Telefeop ſichtbare 
Erhöhung und Vertiefung an: der Mondſcheibe ift abgebildet, und 
auf eine Art fchattiret, daß man von der verbältnißmäßigen 
Höhe einen Begriff bekommt; auch iſt jeder in der alleräußers 
ften Schwantung oder Lihration des Mondes fichtbere Theil 
fo wohl nach der Breite als nad) der Länge auf der Kugel ans 
gegeben. 


Nach dem augenfcheinlichen Nußen einer genauen Abzeichs 
nung des Mondes zu aftronomifchem Behufe, beſenders bey Bes 
sbachtungen der Mondfinfterniffe, kann eine ſolche nicht anders 
als ſehr anziehend feyn, in ſofern als fie einen authentifchen 
Abriß der Anficht diefes unfers Trabantens zu einer gewiffen Zeit 
barftellet; denn obgleich jeit der Erfindung der Fernroͤhre, an 
der Mondfcheibe Feine betraͤchtliche Veränverungsbemerkt worden 
ik, fo Hat man doch flarte Gründe zu vermuthen daß dieſelbe 
nicht ganz unveränderlich fey, And leicht möglich kann ein Werk 
biefer Art in künftigen Zeiten fehr fhaßbar werden. Von ber 
Bierlichteit der Ausführung hoffet man, daß fle der Genauigkeit 
der Zeichnung gleich Eommen werde; und diefe Arbeit durfte den 
‚Bibliotheken und Kunfttammern nicht weniger als ben Studiers 
Ruben der Gelehrten zur Zierde gereichen. 


„Hevrlius, diefer fleiffige Beobachter der Mondes s Phafen, 
empfahl ſchon am Ende feiner im J. 1647 berausgefommenen 
Selenographie fehr nahdrüdiich ein Werk von der Art, als 
anjebo dem Publieum vorgeichlagen wird ; allein, fo fehr diefer 
große Dann die Ausführung deſſelben wuͤnſchte, finden wir 
doch nicht daß irgend ein Verſuch in diefer Abficht gemacht wor: 
den fey, bis im J. 1745 *), da, wie uns gefagt wird, cine 
folche Arbeit von dem vortreflichen Afttonem. Tobias Mayer 
angefangen, auch verfhiedene Jahre hindurch fortgefegt wurs 

u de. 


5) Es beißt, La Sire, in Frankrelch, habe eine Mondkugel vers 
fertiget, welche aber nie dffentlich bekannt gemacht morden. 
Siehe de Ia Lande (Alftronemie) Vol. III. S. 310 dir gten 
Ausgabe. (Anm. des Verf.) 


 Bönftes Heft. 


Era X. Auszige und Neeenfionen neuer Bücher 


de *). Der Herausgeber feiner binterlaffenen Schriften bemerft 
in Anfehung der im Vorhaben geweſenen Mondkugeln, daß die | 

Nachtommenſchaft einigen obwohl geringen Troft davon habe, 

daß „das Werk eigentlich nicht durch Mayers Tod ins Stecken 

„, gerathen if; dena biefer gelehrte Mann legte dafjelbe ſchon 
„„ mehrere Jahre vor feinem ! bflerben bey Seite, theil® weil - 
„er mit andern Endeckungen befchäftiget war, theils aus Urs 
„lachen, welche ur wenigeinterefliren ionnten ; und wirtlich fas 
„, gen feine Freunde, deß es ihm felbft ſehr mißfaͤllig war, wen 
„man ſich nad) feinen Mondskugeln erkundigte.““ (Opera 
ined.) Vol 1. pag. 105. Appendix. 
Nach der Empfehlung eines Hevelius, und den durch 
unbekannte Uriachen nicht vollendeten Benuͤhungen eines Tob. 
Mayera, darf man hoffen, das Publicunr werde das ihm ans 

gebotene Werk jeiner Unterftüßung nicht unwerth finden, be 
fonders wenn es in Abficht der Genauigkeit der Ausmeffungen: 
und der malerifchen Wirkung der Zeichnung eine ſcharfe Prüfung 
der Kenner auehält. Allbereit haben fehr angeſehene Maͤnner 
daffelbe mit ihrer Inficht beehrt, die Hülfemittel, bie dabey 
‚ gebraucht worden, unterfuchet, feine Wirkung betrachtet, und ihm 
ihren velliommznen Beyfall gegeben. Die Methode, die dabey 
befolgt worden, nebft dem Apparatus, den Zeichnungen, ben 
Diadramımen, und der Kugel ſelbſt; von welchem allen die 
Grenzen diefes Blattes nicht erlauben eine umfländliche VBeichıeir . 
bung zu liefern, kann man bey dem Berfafler in Augenſchein 
nenmen Derfelbe wird auch den Liehhabern eine in Kupfer ge ' 
y ftochene Probe wie das Werk ausgeführet wird, vorlegen I, { 
it 

*), Bericht von den Mondekugeln, welche bey der Formos 
graphiſchen Geſellſchaft zu Nuͤrnberg verfertiat werden, 
durch T. Maver. Zu finden in dee Gomänntichen Offb 
ein 175 — In KLamberts deutfhen gelehrten Brief 
wechfel, .ze Band, ©. 431 u. f. f. find einige Briefe, welcht 
Lambert mit Mayers würdigem Sohn, der jest Profeſſor ber 
Mathemathik in Erlangen If, in den Jahren 1772, 73 0 
wechfelt bat, aus welchen man erfiebet,, daß von 14 Segmem | 
ten, die zu der Mondskugel befiimmt gewefen, 9 bereits sw 
flohen waren, und Lambert ſich angelegen ſeyn Tieß, dieſe Ars 
Beit an das Tageslicht zu bringen , welches aber doch unterblie 
ben iſt. Umfdndlichee handeln biefe Briefe von der Mayerſchen 

arte, . 

“*) Eine folche Probe iſt auf einem Duartblatte der mir zugeſchick⸗ 
ten Unfündiaung beynefügt. Man fiehet darauf eine ungefähe '- 

2 300 ins Quadrat baltende Figur, und am de die En 

m 








XII. Auszuͤge und Necenfionen neuer Bid rıy 


Die Bedingungen. 


. Die Miondefugel, von zwelf Zell im Durchmeſſer, 
wird mit der Äufferfien Nichtigkeit verfertiget werden, und 
ein geuͤbter Mann wird die Kugel eines jeden Subferibenten, 
mit erften Abdrücen der zierlich in Kupfer geſtrchenen Seq⸗ 
mente, hoͤchſt forgfältig beziehen. Für viejenigen, welche ſich 
unterzeichnen, iſt der Preis fünf Guineen; wovon vie Halfte, 
zwey und eine halbe Suinee, beym Unterzeichnen, die übrige 
- Hälfte beym Abliefern der Kugel, bezahle wird. . 


Da das Geſtell zu den Kugeln, nach der Subferibenter 
Belieben, auf verfchiedene Weiſe, von Helz eder Mifline, kann 
verfertiger werden, fo ift nicht n:nglich den Preis tefjelben ganz 
- genau anzugeben. Ein ſchickliches Seftel von Mahony⸗Holz 
wird nicht über eine haibe Guinee koften. 


Eins dergleichen von Mahony-Holz, aber niit einer vor 
den. Kunfel erfundenen graduirten Scale, die libraterüchen 
Bewegungen nad) der Breite und Laͤnge anzuzeigen, nebit der 
borizontalen Neigung, welche den Anblick des Mendes unter 
allen Umſtanden darftellt, jetoch fo, daß der gemeinſchactliche 
Mittelpunct allezeit diejelbe Rage behält: — ein ſelches Geſtell 
wird nicht über Eine und eine halbe Guinee often. 


Unterzeichnungen nehmen für den Autor ans G. Adams; 
. Mathematical Inftfument- Maker to his Majesty, Fieet- 
Street; P. Elmsly, Bookfeller, Strand; I. Edwards, Book- 
Seller, Pall- mall; und V. Faden, Geograher to his Majes- 
‚ty, and te his R.H. the Prince of Wales, charing - Croß: 


men ber fünf vornehmſten darinn befindlichen Mondoͤflecken: Pro: 

lemaeus, Hipparchus, Alphonfus, Albategnius und Arzachel:; 

Zeichnung nnd Stich find vortreflich. Auch in Kupfer geſtochen 

it dabey eine kurze Engliſche und Franzoͤſiſche Anzeine, daß dies 

fes ein Stück der Mondeſlaͤche mit den ohberannten Flecken nah 

des Riectoit Benenuung fen. welches dienen ſoll, von der Weiſe, 

wie Die Flecken auf der von Joh. Ruſſell angekündigten Mond⸗ 

Lugel gezeichnet und geſtochen worden, cinen Begriff zu geben: 

eben die (weiter unten vorkommenden) Adreilen, wo die An⸗ 
kuͤndigung ausgegeben werde: B. 


— 





52 X 


116 g XIIL- Auszuͤge aus Briefen, 
x. 


Auszüge aus Briefen, verfchiedene Nachrichten | 
| und Anzeigen, N 


? 


Sı } 


1. Aus einem Briefe des Herrn Obriſtwachtmeiſtert | 





von Zad). Bi 


des im November 1795 auf der fönigl. Sternwarte zu Berlin ent . 
deckten neuen Kometen zu uͤberſchicken; ich, habe fie aus den Beob⸗ 
achtungen des Geren Prof, Bode, und Ous ienen des Herin Dr. Ob | 
berö in Bremen, nach der de la PlaceſchenRethode, berechnet. De: 
ich anfänglich nicht mehr als vier Beobachtungen batte, fo ne. 1 
eine Auswahl zu treffen; ich legte fie baber ſaͤmtlich zum @euw- 
de, machte den ıgten November zur Epoche, und leitete das 
aus vorläufig den Abftand der Sonnen⸗Vaͤhe und bie Zeit dei. 
Durchgangs durch diefelbe her. Dieſe sum Grunde gelegten Beob⸗ 
achtungen waren folgende : 











Beob. geocentr. Beob. geocent. 





1795 Novemb. in 
mittl. Zeit in Gotha Länge Breite 

13, 343749 92 17° 42° a5'Isı® 31° 47° Nordl. 

15, 305554 9 10 10. 48 47 523 11 

18, 284723 E 1 55 2141 59 42 

24, 266666 


8 23 53 20134 ı8 5 J 


Hieraus ergaben ſich nachſtehende drey Hauptgleichungen: 
I)? = 1,810443. x? — 1,608512.x - 9,9753854 

0, 1224326 
2) y=—0,1270563 + — * 3. 0441 14. x 


3) 02 45, 4797 15. x?-4(0,9002462. y— 3,657406.x)? [ 
2 
-1, 15604542. y+ 3, 844037. x + 1,025236 — = 


Obgleich Im Grunde bie de Ta Placeſche Methode feine andere, 
als die des Newtons id (Principiorum, Libr. II. Prop. XLL : 
Probl. XXI.) fo erleichtert doch die analvtifche Form, in welche fe 
Here de la Place überfent hat, die Rechnung ungemein, und gewahrt 
noch beſonders den Vortheil, daß man bey Auflöfung der hoͤhern J 
Gleichungen, die reellen und pofitiven Wurzeln ſoglelch erkennen 
Bann. Denn, obgleich in den obigen drey Hauptgleichungen nur 
unbekannte Größen vortommen, und man baber ‚glauben follte A 4 


⸗ 


verſchiedene Nadjrichten und Anzeigen: a1 


diefe drey Gleichungen zu Ihrer Beftimmung binlänglich waren, fo: 
And fie aber dennoch aus der Entwicelurg anderer Gleichungen 
von-einem böberen Grad entdanven, und der Werth von x Fönnte 
mehrere wiefliche und pofitive Wurzeln haben. m fich alfo von dem 
wahren Werthe zu verfichern, dient eine Derficherungsglei@ung, die 
denfelben, oder beonahe denfelben Werth für y geben muß, dem 
obiae Gleichung 3 gegeben bat, wenn für x der wahre Werib ges 
treffen worden. Diefe Verificationsgleichung if im gegenwärtigen 


4) y=2,5706568 x + — 0,1037514. 


0989811 
75 


‚Diefe Gleichungen gehörig entmicelt, geben nachfiehende 
e * 


Be » 
x = 0,28979918 1 = 0, 81319%e = 0, 9827583 
woraus für den arithinen des genäherten Ablanıs vom Perihelto 
lat Log. 9,2716911, und für Die zuffimmende wahre Anonielle 
122% 43° 1",5._ Hieraus ergiebt ficb, mit Zusiehung der olgemeinen 
„paeabolifhen Kometentafel, daß der Komet, zur Zeit der angenems 
menen Epoche (den zöten Novermb.) das Perthelium nost nicht erreicht, 
fondern davon nod a5 Tage ı7 Stunden so Min. 3 Gec. entfernt 
war, weiches den gendherten Augendiick jeince Durchgangs urch 
die Gonnenndpe glebt, den 1aten Decemb. 1755 um o lihr ss’ 3". 


Hat’man-einmal-eine beyläufige Kenneniß der Elemente einer 
Kometen» Bahn, fo bat man verfchiedene Mittel, fie nachher durch 
entfernte Beobachtungen zu verbeffern, Wan barf alsdann nur zwey 
Beftinimungsiite der Bahn nach Wilkühr wäpien, diefelben etwas 
werändern, und die Beobachtungen nach dieſen neuen verdnderten 
Sepothefen berechnen, fo wird das @efep der Unteriibiede zwiſchen 
Ber Berechnung und der Beobachtung febe Leicht die wahrbaften Bers 
‚gpberungen Ir ‚erfennen neben, die man mit biefen gewählten Bes 

mungsfi räunehmen hat. Obgleich es Memlih eineriey 

Int, welches je Glemente ınan zu dieſer Merbefleeung ges 

che; fo findet doch Kerr de la Place, daß die Rechnung fürker, 
leichter und einfacher wird, wenn man hiezu den Abſtand vom Des 
zihelio und die Zeit bes Durchgangs mählet. Alein, fo ganı gene 
gi if diefe Uusmahl dennech nicht; denn es kann ber Sal, wie 

-negenmwärtigem Kometen, eintreten, wo diefe Metbode ganı und 

nicht anwendbae iR. Nimmt man die Barlationen mit dem Abs 

land, und bee Zeit bes Durchgangs durbs Veribelium vor, fomuß 
man, na biefen verfledenen Hnpothefen die heltogenteifche Fans 
sen und Breiten des Kometen berechnen. 


Bögt es ſid nun, mie hier der Fall wirklich, dan 13ten Novemb. 
mar, dab der Winkel am Xometen jebe nabe beo 90° if, fo Ldht fi 
Raraus die bellocenteifhe Ränge gar nicht mobL berleiten. Denn ers 
ü, bleibt es ämeifelhaft, 06 diefer Winkel ftumpf oder fpis genom⸗ 
inen werden fol. Zweytens, da ſich in dem ebenen Deeyeck, wo nur 

wed curtiete Difianzen und ein gegenüber Mehender Wintei gegehen , 
End, dee HBinkel am Kometen fiib nicht anders, als durch einen 
Binus ergeben kanns fo feht Biete Winkel gar nicht ſchatf Mr in 
3 


yı8 XIII. Yuszüge aus Briefen, 


halten, weil fih die Ginus fehe mente bey 90° dndern. Bismeil⸗ 
Ien erbdlt man mohl gar einen imagindren Werth dafür, wie mie 
ſolches bey einer Hopotbeie nach einer nur ſehr geringen Berdndes 
gung des guetrten Radii vectoris begegnetiift. Um daher folchen 
unguͤnſtigen timfländen aussumweichen, muß ınan diefen Winkel nicht 
aus ten Diſtanzen rechnen, fondern ihn ſelbſt, oder auch ben Wins 
Bel an der Sonne, vorausiesen und ändern, und folcheraefkalt aus 
Hopotheſen für den Commutationswinkel, nebſt der befannten Elon⸗ 
gation, undeiner Diſtanz, diefen Winkel berechnen ; oͤfters mird es noth⸗ 
wendig aanz andere Beſtimmungsſtuͤcke vurauszufegen. So iſt 3.9, 
bey Kometen bie eine viel ſtaͤrkere ſcheinbare Hewegung in der Breite 
als In ver Lange baden , rathſam, die Hnpothefen mit bee beliocens ° 
treſchen Breite versunehmen. Derfelbe Sal, wie hier bey dem gen 
genwdrtiaen Kometen, iit Bailly bey der Berednung der Bahn dei 
beruͤhmten Halleoſchen Kometen vom Jahr 1759 vorgelommen. Mau . 
feh: \lemoires prefenres, Tome V. p 17. Auch beym Kometen von - 
1757 konnte dieſer Tall flatt finden. De la Lande theorie des Ca 
metes in tables de Halley, Tome II. p. 115. 0 


Nach einigen Hypotheſen, die dee ſehr geſchickte und fleibige 
Herr Burckhardt aus Leiptig, der ſich jetzt, die praktiſche Sternkunde 
üben, in Borna aufhält, berechnet bat, erneben ſich nachfolgen⸗ 

e Elemente dee Bahn, mozu noch nachflehende drey Beobachtune _ 
gen des Herrn Dactor Olbers gezogen worden. 


TU rrn 
1795 Novett. ecob. geocent. Berb. geocent. 

N. 3. in Gotha Fänge Vreite 

21. Nev. ZU 27 !BZ 25° 21 736° 15° 2" Noͤrdl. 
220 6 488 23 35 ı9 |3j4 27 10 

27 2 5 gern 16 2 40 126 4 54 


Elemente ber Bahn des Kometen vom Jahr 1795. 


Srhfland von der Sonnennaͤhe 0, 22662 

Zeit des Ourchgangs dur:h dieſelbe dem ' 

15. Decemb. 1795. oU 49 8” M. 3. zu Gotik 
1 | 


Ort des Knoten 1% 29° ı8 45 
Neigung der Bahn 24 16 45 
Ort der Sonnenndhe 5 13 36 40 ’ 


Bewegung vorwaͤrts. 
Diefer Komet iſt der 84ſte berechnete, feine Elemente ſtimmen 
aber mit feinem der vorbergebenden; er war fehr ſchwer zu beobach⸗ 
gen, da es nur als ein Feiner Nebeifteck ſehr ſchwach und unbegrdndt 
reſchien. Herr Bouvard entdeckte ihn erſt Den 14ten Novemh. feint 
GSeits auf der Sternmarte ber Republik zu Paris. 


— | 1. 


verfchiedene Nachrichten und Anfeigen. 119 


5. Aftronomifche Nachrichten aus verfchiedenen Briex 
fen tes Deren fa kunde, Director der Sternwarte 
der Kepublif, an Herrn Obrijtmachtmeifter von Zach 
in Gotha. > 


Paris, ben 22. Novemb. 1795. 


Di. Connoiföence des temps für 1796 iſt enhlich erſchienen, unb 
m rer jur 1797 wird jetzt gedruckt; ein Werzeichniß von 1000 Abs 
B'hungen von meinen Cittumpotarſternen wird darinn erſcheinen. 
Ich gabe die philorophifchen Zraniactionen für 1795 aefehen, worinn 
ine Abhandlung des Hrn. Herſchel über Sonnenfleden ftebet. Er 
ebauptet, fie wären tn der Pertiefung, ich bin immer noch der 
Reynung, daß fie auf dee Oberfldche, ober auch darüber find. Hr. 
Fechain arbeitet- noch immer an feiner Brabmeffung in der Gcaend 
on Earcaffone, und Hr. de Lambre in der Gegend von Bourges. 
rg:egee geht jetzt nach Dünfischen, um die ‘Breite dafelb, burch eben 
ieſelben Sterne zu beftinnmen, deren ſich Hr. Mechain vor 3 Jahren 
u Barcelona bedient hatte. *)- 

Das Inftitur national der Wilfenfchaften wirb nunmehro ganz 
wganifirt,, das Bureau de Longitude iſt in feiner vollen Zhatigkeit, 
Ind wir werden ‚jeht von den Miniſtern eben fo gut aufgenommen 
ınd begünftiget, ald wir es vorher von ben Comiteen waren. Wie 
ben alſo nichts durch Die Berdnderuug der Regierung verlohren. 
In der Sternwarte der Republik werden große Verbeſſerungen vors 
enommen die Bibliothek tft fehe bereichert, und zwey neue Ob⸗ 
ervatores, Hr. Biſſy und der Sohn des Hrn. Mechain find. dabey 
‚ngeftelle worden. Hr. Bouvard bat den 14. Novemb. einen Kometen, 
abe an her Hand des Herkules endeckt „er hat ihn aber bisher nur 
in einzigesmat beobachten können. Er it von der Größe des Nebels 
lets in der Andeomeda, und unfer 84ter Komet **). In dem Maga⸗ 
in eneyelopedique. werden Ste meine Gefchichte der Aſtronomie für 
1795 finden , wie auch die Pobreden auf Lavoiſier und Eondorcet, als 
Ihnfiter und Geometer. Ich war wohl gesmungen es zu thun, da nies 


nand dieſe Pflicht übernehmen wollte, obgleich es ihre Sreunde vers 


proͤchen hatten, und es befler zu machen im Stande geweſen wären. 
94 Ich 


x) Heren Mechaines aſtronomiſche Beobachtungen In Catalonien, zu 


Barcelona und Figueras in den Jahren 1792, 93, 94 angeftellt, 
finder man tn den Mapldnder Ephemeriden auf das Jahr 1795 
und in dem Berliner Jahrbuch 1797. S. 230. Der ganze Bogen 
des durch ganz Frankreich genieffenen Meridians von Barcelona, 


am mitteldändifhen Meere bis Dänkiechen an der Nord⸗See 


betraͤgt 9° 39° 22”, 5. ) 


er, Es iſt derſelbe Komet, ber fchon den 11. Novemb. auf der foͤnfal. 
Berifner ternwarte zwiſchen der Leper und dem Halſe be& 
Schwans entdeckt wurde, u 


‚ie 
Darf. 


120 XIII. Auszüge aus Briefen, 
ch babe endlich die 6 @remplare der Berliner Eobemeriben bes Are, 


ode für 1796 erbalten , fie maren ein ganzes Jahr unterweges, 


alein, um fie für den Preis eines Keichstbalers zu verkaufen, müßte 
an 130mal mehr in Affignaten dafür geben, welches nicht angehet, 
enn die Bücher find nicht fo, wie das Geld, geſtiegen. 


Darts, den 13. Jenner 1796. 


Di Elemente der Kometenbabn, die Sie berechnet haben, haben 


wir viel Vergnuͤgen gemacht; Rouvard, der ibn endedte, har ige 


eichfalls, unter der Leitung, und nach Der Methode des Hrn. de 


Place berechnet , allein er iſt in feiner Rechnung noch nicht niet 
gorgerüct, Ich batte die Berechnung dieier, Babhn dem Hrn. Pingıd 
yorgefchlagen, allein er geht nun in.fein gztes Jahr, und batır Muͤhe 

ch zu einer ſolchen Arbeit zu entichließen. Ich für meinen Theil 
in zu febr mit meinen 32,009 ©ternen beichäftiaet. Die Geometes 
baben Hrn. de Lambre beym Inſtitut national in ihre Claſſe aufpes 
peumen, damit ich Platz behielt, alle Aſtronomen der vormaligtn 
kademie der Wiffenichaften, die diter, als er waren, unterzubringen, 
deswegon fam er auch nur in das dritte Dritte 9) Die Lobrebe 
au 


x) Die Pariſer afabeniie der Wiffenfchaften, die vor 130 Jahren 
durch Colbert geftftel wurde, und fett 4 Jahren durch-den Vanda⸗ 
lismus unterbrochen warb, murde den 6- Decemb. 1795 urtee 
dem Namen eines Inkitut national auf Pefehl des volliieb-rden 
Directorkimsvon dem Miniſter der Inneren Angeleacnbeiten, dem 
Bürger Benezech (Sohn eines protellanriichen Prediger in Lan⸗ 
guedoc) auf das feyerlichfie in ihren unrmaligen Garl im Louvre 


— — 


wieder inſtallirt. Die Wiederherſtellung diefer arlchrten Geſel⸗ 
ſchaft bat man hauptſaͤchlich dem alühenden Eifer für Wiſſen⸗ 


ſchaften, und der thaͤtigen Betriebfamkeit des Hrn. de ka Lande 
au verdanken, der febr nachdrücdlich von den Volks s Rep: diens 
tanten Lakanal und Calon, Director des Depot für ben Krfeg zu 
Land und zur See, unterflügt wurde. Dieſes Inſtitut beſtehet 
aqus 144 Mitgliedern, dad Directorlum ernannte aber nur 48 ders 
felben, meift von der vormaligen Akademie der Willenftbaften, 
biefe mußten bie übrigen wählen. Diele gelebrte Geſellſchaft bes 
fiebet daher aus drey Deittel, jedes Drittel bat wieder zwey 


Elaffen. In dem erfien Drittel find die Geometer, fa Grange 


und La Pace, die Aſtronomen fa Lande und Diechain. Im 
ämeyten Drittel die Geometer Borda und Boſſut, die Aſtro⸗ 
nomen Le Monnier und Bingre‘, und im dritten Drittel bie 
Geometer Le Gendre und De Lambre , und die Aſtronomen Meijler 
und Eaffint, Der Brdlident wird alle 6 Monate, die Sekretalrs 
alle Jahre neu gewaͤhlt. Jede Klaffe verfammelt ſich zweymal 
in der Decade, die Sitzungen muͤſſen alle oͤffentlich ſeyn. Das 
ganze Inſtitut verſammelt ſich jedem Quintidi der erſten Decade 
eines jeden Monats, und die vier oͤffentlichen Sitzungen des 
ganzen Inſtituts werden den 15. Vendemigaire, Nivoſe, Gers 
winal und Meſſidor gehalten (den 7. Oetob, 6, Decemb,, 4- A 

3 Ju 


+ 
{) 


— — u - 


J 


verfchiedene Nachrichten und Anzeigen. 131 


uf Lavoiſter iR in dem Magazin 'encnlopeblque, und jene auf Con⸗ 
oreet im Mercure francois abgedruckt ; ich ſchicke fle Ihnen beite. Es 
E zu verwundern, daß Niemand folchen außerordentlichen Merfcben 
iefen gerechten Tribut hat zollen wollen, und ich war verbunden, für 
e zu tbun, was ich nur für Aſtronomen au thun den Beruf babe. 


Es hat mich fehr erfeeitet zu hören, daß mein Eleve, Hr. Henry, 
ch in St. Petersburg befinder, und noch immer für die Aſtronomie 
rbeitet *). Das Derzeichniß der Caſſiniſchen Schriften hatte mir 
eg. Prof. Alamand auf meiner Reife in Holland im Jahr 1774 ges 
iehen , ed wurde nachher in Paris von Caſſini IV abgefchrieben, das 
ee kommt ed, daß Ste eine Note von meiner Sand darinn gefunden 
aben. Ich erfuche Ste eine Nachricht von diefer Sammlung irgends 
o Befannt zu machen **). Biſſy iſt ein junger Adlicher, ein Baron, 
ee feit einigen Monaten auf der Sternwarte der Kepublif arbeitet; 
Hein er bat, fo wie auch der junge Mechain, noch nicht den Play 
ihes Adjunften, wir wollen , daß fie im Obſerviren erſt beffer geübt 
ya tollen. Eben bringt mie Bouvard die Elemente der Kometens 
ahn, allein fie Bimmen nicht dum befien mit den Beobachtungen, 

$ es 


3. Zulo). Die Reglemens biefer gelehrten Geſellſchaft find haupt⸗ 
Jachlich von Hrn, Borda entworfen, und von dem geſetzgebenden 
Corps, dem Rath der fünfhundert, den za Bentofe (20. Märk 
1796) einftimmig genehmigt worden, _ 


») Dies bezieht ficb auf eine Nachricht, die Ich von Hen. Albert 
Euler in Betref des Hrn. Abbe Henry erhalten hatte; der Hr. 
Abbe iſt nemlich als Hofmeiſter bey den beuden Prinzen von 
Kurland in St. Petersburg angeſtellt, die Kanferl. Akademie dee 
Wiſſenſchaften bat ihn unter die Zahl der Aflocies libres aufs 
genommen, und er bat dieſer ‚geledrten Geſellſchaft mehrere 
afronomifche Abhandlungen vorgelegt, die in Ihre Commenta⸗ 
sien eingerückt werden follen, 


er), Die Sammlung, von der "bier die Rede it, wurde aus des 
feel. Profeſſor Alamands Bücher s Auction in Leyden erflanden, 
amd enthält. mehrere feltne Schriften und Abhandlungen bes 
berühmten Dominic Eaffini. Ich vermuthete, daß es wohl gar 
das Eremplar feon koͤnnte, von dem Herr de la Lande im III. 
Theil feiner Nfironomie, Art. 3345 Meldung macht. Was mich 
auf diefe Vermuthung filbete, war, daß ich barinn eine von 
Hrn. de la Lande eigenhaͤndig beugeicbriebene Note fand. Hier 
eridrr nun Hr. de la Sande auf meine Anfrage, nie feine Note 
in das Ereinplar nefommen iſt. Die feltnen Abhandlungen, von 
Denen Here Dberamtmann GSchredter in feinen Beträgen 
zu den neueften afteonomifchen Entdedungen, ©, 119 fagt, 
doß er bis jest noch feine leinzige in Öffentlichen Biblio⸗ 
tbefen gefunden habe, find ſaͤmtlich darinn enthalten. Eine 
Nachricht von diefer Sammlung, auch Nuszüge daraus, erichtenen 
in des Ken. Profefioe Voigt's Magazin für das neuſte aus der 
Phoſik, und Naturgefchichte Im aten Stuͤck dei Xten Bandes. 


122 XIII. Auszuͤge aus Briefen, 


er hatte nur ſehr weniae und dieſe ſchledͤt. Meine Nichte reducirt 
al: ANerare 200 Sterne, obgleich bey jeden 30 Operationen ag 
mıden jird, und fie dabey einen großen Haushalt zu führen bat. 
Sch habe' Joͤre Fedecfung des Jupiter. und auch jene , die zu Gbt⸗ 
tıngeı beoracktet worden, ,.berech er, fie ſtimmen voetrefflich. Die 
wahre Zujanmenfunft fand ib 7U 5 45” Diff. der Breite 4ı’ 31" 
und 7 238 3 3 s 4132 


Mittags⸗ Iinterfchied zwiſchen 
Seeberg 3 27 und Goͤttingen. 


AH babe diefe Beobachtungen biefen Moraen berechnet, meine Nies 
tb:Ne:iter »-ditif. Wir haben von 9rn. Be ıucbamp Nachricht erhalten, 
er iſft der 22. Decemb. in Vened'ig angefommen, und mwird feine. Ki⸗ 
fen ta erwarten, un ſich nadber tax Couſtantinopel eınsufchiffen, 
und den di'ihen Theil der fdhnmrgen Dieeres zu beſtimmen. Er ik 
vun Ern. Tcalde zu Padua aut augenemmen worden, aber Hrn. Cag⸗ 
noli var er nicht geichen, ubglcib er ın Tadua war, welches mid 
gemundert, dern ich vermutbhete ihn zu Verona, aliein er beobachtet 
nit mbr weren fetner ſchlehten Geſumdheit. De Lambre iſt Text 
in Daͤnkirchen, uno wartet da auf helles Wetter, um bie Mreite dies 
fer Orts au deſtizumen. Seit zwey Tagen war cd fo ıkön, daß ich 
beff. doß er die Polboͤhe von Dürkteden bereits wird erhalten haben, 
es it sche hinkd.:glicy, wenn er nur einen, oder zwey Sterne \rcbs 
achtet, die Mechain zu derielben Beſtimmung in Barcelona gebraucht 
bat, fein ganzer Kreiß gemdhrt De Genauigk:ft vou einer Secunde, 

enn er 20 Herbau tungen vor und nach der Kulmination erbalten 

nn. Das Bureau de L,ongitude betreibt jest mit vielem 
Erfer die Errichtung äiwener Eternwarten, Die eine zu Breſt, bie 
andere zu Toulon. Rochon wire die Dirretion jener zu Feel, und 
D' ingos von TZoulon übernehmen, diefer Irstere iſt dermalen Biblio⸗ 
thekar zu Tarbes, allein cr wird nun bald wieder der Alironomie 
nüglich werden. 


Wir haben fehr ſchoͤne meteorologifche Tabellen zugeſchickt ers 
halten, von einem Hrn. Maurice, Sefretair der Kürfte zu Geneve, 
allein ed würde febe hoch zu fichen fommen, wenn man fie in Kupfer 
fiehen wollte. Die Schiefe der Ekliptik dur ganze Kreiſe bes Hrn. 
Mechain und Piaqzzi beſtimmt, ſcheint mir 3 Secunden Meince zu 
ſenn, als ich fie in meinen Tafeln angenommen babe, ich werde fie 
auch fo in der Conn. d. temps von 1797 gebrauchen. Unſere 
Beobachtungen von 1790 — 93 werde ich gleichfalls da einruͤcken 
laſſen, weil unfere Memoiren des Inſtitut nationaldoch nicht fo bald 
erſcheinen werden. Un der neuen Ausgabe des Montucla wird zwar 
gedruckt, allein der Verfaſſer wohnt in Verſailles, und das Werk 
wird in Paris gedruckt, dies verzögert die Arbeit etwas. Das Werk 
des Sen. Dupuis’über den Urfprung der Religionen durch die Aftros 
nomie tif erfcbienen. Drey Biertheile des erſten Bandes dee Ueber⸗ 
ſetzung von Euler's Introductio in Analyfın infinitorum durch Hrn. 
Abbe iſt abüedeudt, fo mie auch Die Hälfte der Iliftorie celeste du 
17. Siecle von Pingré, es fehlt an Arbeitern, und an Papier, der Sriede 
wird allem abhelfen. Wenn Ihnen eisige neue Beobachtungen 8 

"Ebbe 


— —— — don 


verfchiebene Nachrichten und "Anzeigen: 123 


kbbe und Fluth bekannt: find, fo bitte ich, mir folche anzuzeigen, 
ch habe Eur mein Werk über (Ebbe und Flutb umzuarbeiten und voll⸗ 
Andiger zu machen. Borda beichäftiget ſich mit duſſerſt genauen 
Berfuchen über. Strahlenbrechung, ſowohl in der Luft, als auch im 
uftleeren Kaum. Sch befchäftige mich jetzo ſehr mit Glocken, und 
abe jchon viele Unterſuchungen darüber angeftelt, ich erfuche Sie 
aber, mir die wahren Maabe der berühmten Erfurter Glocke zu 
diden , mad Kitcher davon fant, iſt unvollddndig. Auch wenn Gie 
en. Euler na Gr. Petersburg ſchreiben, fo erfuchen Sie ihn doch 
im die Digaſſe der gecben Moſcower Glocke. Man behauptet, daß fle 
20,000 Pfund ſchwer ſey. Das ift unındglich,, die zu Rouen wog 
me 36 tauiend Pfund »). 


Darts, 


*, So abentheuerliche und unglaubliche Befchreißungen man 
auch von diefee Wlode bat, mie 3. B. jene des Verkenmeders, 
der ihr in ſtinem Antiquario ©. 672 ein Gewidet von 394000 
Hunden giebt, fo gewiß if es, dag diefe Glocke, von dem uns 
: gebeuern Gewichte lit, Dad Hr, de la Lande felbit uoch in Zweifel 
ziebt. Die Maafle derfelben finder man benm Zannerus in 
feiner Legatione Poleno-Lithuanica in Moscoviam, Norimberg, 
3689. Cap. 13 p.6ı. Adam Olearius legt ihr in feiner Moſcowiti⸗ 
ben und Perſiſchen Ketiebefchreibuns cin Gewicht von 3560 
entner bey. Hr. Profeſſor Albaum in feinen Anınerfungen zu 
es „en. Geheimenrath von Beausobre's Politik, Riga_1773 
©. 237 fagt , daß fie 4000 Zentner wieat. "In Hanways Keiten 
durch Rußland und Perfier, Hamb. 1754 findet man ebenfalls 
eine genaue Beſchreibung und Zeichnung diefer großen. Glocke. 
Den größten Glauben vertient aber wohl der Kunenzeige, Wilhelm 
Eore, der erſt im Jahr 1778 eine Reife durch Pohlen, Muhland, 
Schweden und Daͤnnemark gemacht bat. Er beiibreibt fie im Iten 
Band feiner Reifebefchreibung ©. 216 der deutſchen Ueberſekung 
von Pezzel, Zücch 1735, nnd niebt ihr ein noch größeres Gewicht, 
als das Hr. de Ia Lande Mübe bat zu glauben, nemlich 43230 
Bentner, Hr. Core fest aber auch hinzu, daß ibre Größe fo 
ungeheuer if, daß ce die bloße Beſchreibung davon nicht würde 
genlaubt baben, wenn er fie nieht ſelbſt geſehen, und genau 
gemeffen hätte. 


Don der Erfurter großen Glocke, Maria Glorlofa, fins 
det man felbft in des Ken. von Falkenſtein's Civitatis Erfurtenfis 
IIiſtoria critica er diplomatica. Erf. 1739. ©. 441, fehr vers 
fcbtedene Angaben; ich babe fie daher ſelbſt gemeffen, und 
ihren limfang gefunden 24 franzöf.Suß 7 Zoll, den Ourchmeſſer 
von ben dufferken Randern 7 Fuß 10 Zoll. Die untere Dicke 
4 Sol, Länge des Kloͤppels 4 Fuß, fein Gewicht 11 Zentner, 
das Gewicht dee Glocke 275 Zentner. Der Ton, S Orgelton 
oder F Kammerton; fie wird von 16 ſtarken Perfonen geläutet, 
Kircher verſichert, man böre fie 4 Meilen weit, allein in Gotha, 

Meilen von Erfurt, hat men feine Tradition, daß diefe Glocke 
ie da gehoͤrt morden, Dagegen wir fehr deutlich bey ſtillem Dee 


124 XI. Auszüge aus" Bricfen, 
Daris, den sı. Jenner 1796. 


N. fambre bat bereits in Dünfirchen fieben ſchoͤne Beobachtungde 
tanc gehabt, er hat die Breite des Thurn gefunden sı° 2’ 10” Aakt 


21”, wie die alte Meflung gab. Ge wird nun bald von da abreifen, 


und !eine Trfangels Reihe gegen Mittag von Bourges fortfeben. Er 
bat deren 27 bis nad Karcaffone; er, und Mechain, werden biefen 
Gonımer fertig, fie heffen auch die Grundlinie von 6000 Toiſen bey 
Melun gu meſſen, wo man Pyramiden, um ihre Endpuncte zu bes 
zeichnen, errichten wird *). Den 24ten dieſes habe ich Ihnen durch 
Hrn. Barthefemi die Eobrebe auf Condorcet zugeſchickt ""). 38 


oder einem kleinen Oſtwinde, die Kanonen hoͤren, die auf den 
MWallen von Erfurt geloͤſt werden. Bey dieſer Gelegenbeit bes 
fiimmte ich mittelt meines Metrees und mierometriſchen Stan⸗ 
genzirkels das Werbälmiß des Pariſer Fußes zur Erfurter Ehe, 
und fand es wie 1440 du 2516. 


) Here Brong mich dieſe Pnramiden , bie eine zu Liourne, ed 
die ändere zu Melun, zur immermäbrenden Bezeichnung der 
Stautlinte erbauen; die Ergländer bezeihneten die Endpunkte 

- three ben Kounclom» K:ath vom ®eneral Roy im Jabr 1787 
und von den Herr.“ Miplamd, Mudge und Dalby im abe 
1791 wiederhohlt gemeflene Gtandlinte, mit vertikal in die Erde 
eingegrabenen ſchweren eifernen Kanonen, 


+2) Diefe Lebensbeſchreibung Condorcet's erhielt ich erfi im März 
1796 mit vielen Vermebhrungen, Zufäsen, und bandichriftlichen 
Noten des Hrn. de la Lapde begleitet. Sie ik in No. 21 des Mer- 
eure frangois von Zoften Nivoſe zoften Januar 1796) abgedruckt, 
und nimmt 23 Detavfeiten ein; vielleicht erfibeint eine deutfche 
lieberfegung davon. In einem Schreiben beklagt ſich Hr. de 
fa Pande , daß er gar Fine Materlalien und Nachrichten über 
biefen Gelehrten , weder von feiner binterlaffenen Wittroe, noch 


von feinem vertrauteften Sreunde, den Deputirten Sieyes, babe 


erhalten können, man boft aber, daß Garat eine fehr umftdnds 
Lie Lebensbefchreibung herausgeben wird. Hier nur einige 
Hcupts Momente aus feinem Reben. Johann Unton Niklas 
Earitat von Eondorcet, ward ben ı sten September 1743 zu Ribe⸗ 
mont in ter Picardie aus einem altadelicken, ſchon tin zoten 
Jabrhundert befannten @efchlechte gebohren, In cinem Alter 
von ı5 Rabren fam er 1758 nach Paris, um tm College de Was 
varee feine Studien zu macben, nach Deren Vollendung er wieder in 
feine Heymath Fehrte. Im Jahre 1762 kam er wieder nach Paris. 
Den sten Marz 1769 ward er in die Akademie der Wilfenfchaften 
aufgenommen , und den ıoten “jung 1773 ward er ibe Sekre⸗ 
talr. Gegen Ende des Jahres 1786 vermählte er fich mit einer 
jungen Ehanoineffe Marie Foulfe Gopbie de Grouchy. Den ıten 
Detober 1791 wurde er zur Affemble'e nationale gewaͤhlt, und 
im Februar 1792 war er ihr Praͤſident. Den sten Juiy wurde 
sine Berbaftnepmung durch die Robespierriſche Terronienin 

they 


J 


verſchiedene Nachrichten und Anzeigen. 1259 


be Ihre Meobachtung des Plancten Herichel vom 23. Novemb. 1795 
rechnet und den schler der Tafeln in dee Lange — 10’ und in der 
zreite 4 11" befunden, welches Die Vermuthung befkdtiger, die ich 
nd de Lambre gehabt haben, daß die Neigung 46° 26° und-nıct 
5 16” tft, wie in den Tafeln vorausgelegt moiden. Im Mengt 
1dez war ber Fehler dee Tafel — 5” In der Länge, dies beweit, 
ı6 der Radıus vector gut beitimmt If} dies beweiſt auch, daß Ihre 
pbachtete Abweichungen gut find, obgleich Sie weder den Mauers 
adranten, noch Ihren ganzen Kreiß von Ramsden haben. Es 
aren doch die Maſkelyniſchen Beobachtungen , die diefen Jrrihum 
ı dee Neigung bierer Planetenbahn verurfacht baben, meine Beo⸗ 
ichtungen erforderten gleichfalls eine größere Yieigung *). Es bat 


mie 
then decretiet, und er den agten deſſelben Monats als Verrdther 
des Vaterlandes für vogelfeeg in die Acht erklart. 
Caondoreet hielt ſic einige Monate in Paris, in dem Haufe 
einer geoßmütbigen Krau, der Wittme de Vernet, die ihn nicht 
Bannte, verborgen ; ald man aber im Mirz ı794 die Hausſu⸗ 
dungen befürchtete, verlieh er feinen Zuflucätsort, er Brachte die 
erfie Nacht unter freyem Simmel in der Ebene von Montenuge 
zu ; den andern Morgen fuchte er feinen alten Freund nnd Tits 
bruder bey der Akademie Guard in Sontenat anf. Ungluͤcklicher⸗ 
- weife war biefer auf zwey Tage nach Paris gegangen. Condorert 
brachte ſie, die eine Nat in einem Strindruch, bie andere 
unter einem Baum auf freyem Kelde_ zu, am dritten Tage traf 
ee feinen Freund. Er hatte in 24 Stunden nicht gegeflen, er 
wär ganz binfdllid , leidend, und hatte eine Wunde am Fus. 
Nachdem er etwas Nahrung zu fit: genommen hatte, murde vers 
übredet, daß er fich wieder wegbegeben fol, damit die Dienfks 
leute AM Haufe von dieſem gefährlichen Geheimniß nichts args 
wohnen moͤgten, Und dab er in der Nacht wiederkommen follte, 
wo ihn fein Freund ganz Mn empfangen, und mit mehr Sicher⸗ 
heit im Haufe verBeraen könnte. Er irrte alio dieſen Tag Aber 
auf den Feldern bey Clamar unter Dreudon berum , den 27ten 
Mari wagte eres. in ein Wirthshaus zu geben, mo er ſich Euer 
. Beben lies. Bein langer Bart, fein ſeltſamer Anzug, machten 
ibn einem “italted des Comitd revolutionaire von Elamar 
verbächrig. ber va:d feinen Paß frua, und da er diefen nice 
vorweifen konnte , Iha zwang nach dem Comite‘ au kommen von 
wo rnad dem Difirict Bourg⸗la Reine gebracht wurde. Erfam 
bafeibft zu pdt an, um verbdrt zu werden, er murde daher in 
ein Befdngniß unter dem Namen Peter Simon aebrakt. Den 
asten Mär: 1794 fund man ihn da trdt. Won feinen noch 
ungedıuchten wiſſene ſchoſtlichen Schriften find noch vorbanden, 
ein geoßes ausführliches WrrP über die Frtepralrechnung, wos 
von im Jahr 1785, 123 Seiten ardruckt morden. uud ein Traite 
€l&mentaire d’ Arıthinetique. Won beiden befistdie Wittwe die 
vollſtandigen Handſchriſten. Condorcet verließ die Wiſſenſchaf⸗ 
ten nie, und de la Rande verfichert, daß ee mitten unter den 
befttofen Revolutionscriſen analntiihe Abbandlungen von 
Euler lad, und ſelbſt über fchwere Integrale arbeitete. 
) Man febe meine Beobachtungen des Gegenſcheins dieſes 
Blaneten im Jahr 1796 in dem Berliner aſtronomiſchen Jahr⸗ 
buche für das Jahr 1799. 


136 XIII. Auszüge aus Briefen, : 


inte viel Vergnügen gemacht, dad Berliner Jahrbuch für 1798, und 
den zen Sapzlementband zu erhalten, man bat dieſe Buͤcher in 
Buſel auf die Poſt aegeden, und tie baden mich 3:0 Livres Porto 
gekoſtet, ‚allein auf iSeld reducirt, beteuius ed jehr weise, Ich habe noch 
etwas baares Geld (Numeraire) Ich kann eö nicht beffer als dazu vers 
wenn Die Abhandlung des Hrn. Heriihel, die im eten Supple⸗ 
mentband abgedruckt &i, iſt auch ins Scanzöfifihe uͤberſetzt mocden, 
uud ſtehet indem Journal, Decade philofophıque. Ich habe darauf 
gea:itwortet; Herr Herſchel wiederhoblt vier bis fünfmule, daß die 
Sonnenflecfen ganz Juverldiäg unter dem Niveau der DOberfldche der 
Sonne wären, allein wie er ſich davon verjichert hat, fagt er Licht 
Man bat geſehen, wie ſehr grofe Flecken einen Ausbkuch, oder ſo zu 
fozen eine vörharie an Rand der Sonne gebildet haben, dies bätte 
ja attr Stute baben koͤnnen, wenn die slecken unter der Oberfläche 
der Sonne gemeien wären ! J 
Ich babe erwieſen *), daß große Flecken auf einem und dem⸗ 
ſelben phpſiſchen Punkt der Sonnenſcheibe erſchienen ſind, He. Her⸗ 
ſchel erwaähnt nichts davon, und es ſollte ihm auch ſchwer werden, 
es zu erklaͤren. Wie ſchreibt man Yeipse. Oantzik, Vitemberg, nad 
der wahren deutſchen Rechtſchreibung? Ich Liebe die Genauigkeit in 
diefen Punkt gar fehr, die Ausländer werfen uns diefe Vernachlaͤßi⸗ 
gaug oft vor, ich werde mir dagegen Muͤhe geten, zu erforfcben, ab 
Gaſſendi ib Maſſand aenenut hat. *c6) Schicken Sie mr doch Ihre 
kdugen⸗, B.trarde: und Wein-Maaße aus Ihrer Gegend, mir Ihren 
deutichen Namen, ich babe die von Tannheim ınirgebracht, man bat 
mie ober mein Tagebuch unter Weges genohlen. Jedes Mitglicd dei : 
Juſtitut national foll einen Gehalt von 1000 Miriagrammes Getraide 
betkommen, oder 1000 Scheffel, davon jeder 20 Pfund wieat, dies 
madht ungefdhr 2020 Livres nach vormaliger Müuͤnze. Unſere Deus 
ſa:amlungen Im Inſtitut national fangen an intereſſant zu werden. 
Wann Hat ſchon mehrere wichtige Abhandlungen vorgeleſen. Sch babe 
eine neue Beſtimmung der Merkurs-Bahn gegeben, die nur menig 
von meinen Zafeln abweichet, denn 45 Sef. Vermehrung in der 
Mitreipunttss Gleichung, machennie mehr als 10" fiir den geocentels 
fen Ort. Sie werden ed in ter Conn. d. temps für 1747 finden. 
Hr. Wurm, der fo ichöne Berechnungen über die Bedeckung Jupiters 
den zten April 1792 gemacht bat, follte wohl noch folgende Heobads 
tungen nach benielben Elenzenten bingufügen. 
n Mayland n om {in Palermo 
Eintr.de3IRandes 10u 40’ 55"... 10U 57’ 18" am; Palerm 
a bee N 10 4232 ...1o SB 56 Mittelpunkt su Za0’. 
uöte.deaI s 11 sıı8 "32 11 43 
II ⸗ u1 523$7 12 13 21 Mittelpunkt 12 20 28 
Schlagen Sie ibm doch diefe Rechnung vor, mit vielen Empfchr 
fungen von mir, Der Winter iſt fo gelinde, daß der Aa 
er 


*, In den Memoiren der Parifer Akademie der Wiſſenſchaſten, 
Jahr 1776 5.393 und Jahr 1778 ©. 457. 

er) Sieg hat auf eine Anfrage von mir Bezug, 05 Baffendus ode® 
Gaffendi nicht etwa der lateinifche, Gaſſand hingegen der wahre 
franzoͤſiſche Name biefes berühmten Aſtronomen ſey, ba ih 
fein Zeitgenoſſe, der fransöf. Jeſuit Souenter in feiner Hodre⸗ 
graphie nie anders ald Gaſſand fchreibt, 





verfthiedene Nachrichten und Anzeigen. 127 


tetd + o® iſt. Der Atlas von Flamſteed von mir und Mechain iſt 
ſchienen *). | 


Paris, den ı2. Sehr. 1796. 


. Jo bin, wife Sie wiſſen, bey der hier errichteten Commiſſion 
egen der Meeres-Ldnge (bureau de longırude) u.it angeſtellt **). 
tein Neſe, der mir beyh der Sternwarte A 1’ Ecole militaıre ads 

jungirt 


5) Deeſe Ausgabe der Flamſteediſchen Himmelskarten, iſt nun in 
Paris bey dem Herausgeber ka Marche in der rue du Loin St. 
Jaques im College de Gervais für 15 Pivres im baaren Gelde 
su haben, fie wıro aber mir Unrecht die dritte Ausgabe genen:t, 
da fie im Grunde nur die zweyte franzoſiſche Ausgabe ut, cenn 
die erſte ik diejenige, welche. Fortin im Jabe 1776 uuf 30 Quart⸗ 
bidtter herausgab, und die zweyte nannte, weil er Die große 
englifche Londner Solioausgabe von 1729 in 28 Blätter für die 
erfie rechnete. Wollte man auf biefe Art nur überbaupr alle 
Ausgaben der Slamitecdifhen Himmelskarten rech>en, ſo muͤſte 
man alödenn diejenige des Hrn. Profefor Bode auf 34 Blätter 
(:782) eigentlich als die dritte, und die einsize de [u Landiſche 
als die vierte Ausgabe anſehen. Diejenige au der He Bode jetzo 
arbeitet, umd in 4 bis s Jahren erſt zu Staude kommen und 
in ao Blättern, noch größer aid Flamſteeds Grohfolio: sormat, 
nach einer ganz andern und richtigen Prijcction brraurfon:men 
wird, dürfte alsdenn die fünfte Flamfeedieche iusaate werden. 
Die einzige Parifer Ausgabe iſt von der Her. de ta Lande und 
Mechain beſorgt worden, beitchet ebenfells aus zo Quariblaͤttern, 
enthält ſehr viel mehr Sterne von der sten and 6ten Größe, uud 
eben neue &ternbilder. Hr. de la Lande bat aud ein neues 

erzeichniß von 862 &te⸗ nen, die der C. Que la Cdapelle, Aſtrorrom 
zu Moutauban aufs Jahr ı800 reduciet hat, anehdrgt. Auch 
hat er cine ganz neue Einliitung und Erfidrung mit kritiſhen 

- SBernerfungen übe Flamneeds Arbriten beygefuͤgt. 


°*) Den ten Meſſidor (sten Jury) 1795 hat die Nationalcons 
vention die Errichtung diefes Bureau de Longitude deeretirt. 
Diefe Eommilflon beieher aus zwey Geometer, la Grauge, 
la Place, vier Aftronomen, la Rande, Exifint, Mechain, „es 
lambre, zwey alte Sceſahrer, Yorda, Boupainviße, eincn 
Geographen Buache, einen Mechaniker, Carrochez. Es ſind 
dabey noch vier Adjunkten der Aſtronomie augeſtellt, weruuter 
auch Hrn. de la Lande's Neſe le Fraoçois iſt. Die Naitonal 
Sternwarte, und jene der vormalige:. Ecole militaire ſiehet 
unter ihrer Aufficht,, ie giebt Bünftta und jahrlich die Gonnoif- 
fance des temps heraus, die au: Koften der Republik aedruckt 
wird. Sie muß mir alien Sternwarten ber Repub:ik. und uuch 
des Auslands einen Eiterariihen Briefwechſei unterhalten, die 
Verbeſſerung der aſtronomiſchen Tafeln, und der Methoden aue 
Erfindung der MeeressPänge, den Deud und die Bekanutmachung 
der aſtronomiſchen Beobachtungen u. f f. beforgen. Eines ihrer 
Mitglieder muß alle Jahre einen Curfam Aftronomiae eben, 


128 XIII. Auszüge aus Briefen, ꝛc. 


jungirt if, ik ein gar vortrefflicher Beobachter, und theilt ebenfalls 
die Zeitfecunde in so Thelle. Er hat In hohem Grade Sinn und 
Geſchmack an Genauigkeit. Wenn es nach ihm atenge, fo ſollte nichts 
eber befannt gemacht werden, bis nicht alles aufs Aufferite verbeflert 
worden, und kein Zweifel mehr übrig bleibt. Alein, ich denke man 
muß geben, was man bat, bis das andere kommt; man muß ſich 
des Buten bedienen , bis das Beſſere nachfolgen fann. Quintiliau 
fagt, multa, dum perpoliuntur, intereunt. Wir begeben Sebler, - 
sie verbefleen fie aber auch, und mo giebt's nicht Fehler ? Indeſſen 
wird das, was wir geben, neu und fehe nüglich ſeyn. . 

Die Einführung der neuen Maaffe im Handel wird miz einer 
aroßen Pebhaftigkeit fortbauernd betrieben. Man hat hierzu noch eine 
befondere Stelle (agence) errichret. Das iſt eine fhdne und wichtige 
Dperation. Daß tch bereitd Im vorigen Jahre zu einer Commiſſion 
über die Navigationskandle in der Republik ernannt worden bin =), wers 
den Sie ſchon willen. Diele Kandfe find ſchon angefangen, und nıan ents 
wirft noch mehrere andere, um unfere Soldaten zu befchdftigen, 
wenn Feiede gemacht würde. An dem Kanal von ber Oife zur Sams 


bre iſt bisher fleiffig gearbeitet worden. 


fi erhält eine eigene afeonomifche Bibliothek; jedes Writglieh 
efommt gooo Livres Bebalt, ein Adjunkt 4000. Meberdies er⸗ 
hält die Commiſſion eine jdhrliche Summe yon ı2, ooo £, zur 
nterbaltung der Infirumente, Kanzeleygs Spefen, und andern 
einen Ttebenausgaben. | 

+) Auch in diefem Sache bat fih Hr. de la Lande ausgexeichnete 
Verdienſte erworben. Wer kennt nicht fein Hauptwerk des Ca- 
naux navigables et fpecialeıment de celui de Languedoc. Paris 
1778. großtolio, wozu er noch einen Supplementband heraus 
gegeben bat. Schon im Detoder 1790 becretirte die damalige 
Affembl&e Nationale den projectirten Kanal des Hrn. Brullee 
von Pointoife nach Paris, und der König hatte diefes Project 
den zoten Januar ı791 wirklich fanetionter, allein die yanıe 
Sache war ein Vrivatunternehmen des Hrn. Brulleſe, die durch 
eine Anleihe von 25 Millionen In 25,000 Hetien jede 1000 %. 
ausgeführt werden follte, die Fonds kamen nicht Zufammen, 
und das- ganze Unternehmen gerietb ins Stecken. Da fih jegt.. 
die Regierung der Sache annimmt, fo ik su hoffen. Daß dieſe 
Entreprifen beffer geben werden ; denn Aetien bey einem folchen 
fchweren und Eoftipteligen Bau haben viel abſchreckendes, und 
man hat davon fo viele mißlungene und verungluͤckte Bevſpiele. 
So haben erft vor wenig Jahren die Unternehmer des Kanals 
von Murcia in Spanien banfrut gemacht. Der berühmte italie⸗ 
niſche Aſtronom Gr. Cagnoll in Verona, ber auch einer von den 
Actionnaires war verlohe dabey einen geoßen Theil feines ans . 
fehnlichen Vermögens. 





Leipzig, 
gedruckt bey Chriſtian Friedrich Solbrig. 


der 
re inen und angewandten 
Mathematik. 








Sechstes weft. 17295. 








.I 


Ueber die aftronomifche Strahlenbrechung mit 
Ruͤckſicht auf Thermometer und Barometer; von 


I 5 Hennert, Profeſſor der Mathematik 
— zu Utrecht. 





Gortſetzung der Abhandl. I. im sten Hefte, ©, 1.) 


4. 11. Sr den Hawksbeeſchen Verfuchen über die Straß» 
lenbrechung, flimmen alle Aftronomen überein, daß bie 
Strablenbrechung mit der Dichtheit der Luft ab- und zu 
‚nehme; baß auch bie Dichtheit der Luft mit der Elafliche 
tät gunehme;iäßer mit ber zunehmenden Wärme fich ver⸗ 
mindere. Die Schnellkraft der Luft ſteht mit der Baro⸗ 
meter » Höhe im Verhaͤltniß. Wenn alfo-R.und r bie 
Strahlenbrechungen, für die Barometer⸗Hoͤhen H und 
3, und für.die Grade der Wärme T und z, bezerhnen fo er⸗ 


halt man folgendes Verhältniß, R:r — 2: 7 : —;fölge 
Tb 
lich r=R. 57 Man kann alſo durch bieſe Formel, 
— 
Sechotes Sina . I. | bie 


Miem. de l’Academie des fciences de Paris bon 1742 uud 


130 J. Hennert, über. die 


die Strahlenbrechung vr, die derſelben Hoͤhe eines Sterns, | 
als bie Straplenbrechung R entfprieht, für einen jegl⸗ 
chen Stand ded Barometerd 5, und des Thermometers t,. 
. finden, wenn nur die Etrahlenbrechungen für eine gewiſſt 
Barometerhoͤhe, z. B. 30 Engliſche Zolle =H, und fuͤr 
einen gewiſſen Brad der Wärme == T z. B. des 5 5ſten Gra⸗ 
des der Fahrenheitiſchen Scale bekannt waͤren. 


| 
| 








fr 


6. 12. Anfangs dieſes Jahrhunderts nahmen bie 
Aftronomen allein Rücficht auf das Barometer, ‚big le 
Monnier durd) genauere Beobachtungen in feiner Hiftoi: 
se Celefte, den merflichen Einfluß der Wärme auf die 
Strahlenbrechung außer allem Zweifel gefege hatu. 
Daffelbe beſtaͤtigten auch bie Verſuche det Caffini in der. 


43. Nach der Zeit haben Muyer, de la Caille, Bonne 
Kormeln für die Strahlenbrechungen gegeben, melde: 
doch mehr auf empirifche als auf phpfifche Gründe w 
baut find. 


8. 13. Die Formel fin Z: fin (2z -HnR)= fin Z; 4 
fin(Z’-+-nr)($ 3.), kann mit Ruͤckſicht auf Barometer 
und Thermometer, auf diefe Form gebracht werden, fin! 2 


T 
fin BR) =Mt: fin (Z Far); dann 


bejeichnet r die Refraction, die zu dem Abſtand dom 20 
nith zZ, und zu dem Barometerftand 3, und bem her 
mometer », gehört, Anſtatt biefer Sormel koͤnnte man ſich 


7 
des Ausdrucks n Re: ST bedienen (Kı 1), wen 


eine Tafel der Straßlenbrechungen R, für bag Barometet 1 
NH, und dag Thermowmeter Tſchon —* win. 


1 


5. 14 


aſtronomiſhe Strahlenbrechung. 1334 


. 14. Vielleicht koͤnnte die letztere Stihung un⸗ 
er eine Form, bie zur Berechnung der Tafeln geſchikter waͤ⸗ 
e, gebracht werden. - Man fege «== dem Unterfchiebe der 
Barometerhähen Hund 2, alo HF a h, und 9 für 
eu uUnterſchied d der Waͤrme, alfo 7 T +0 tz folglich 
u 


eſteht alſo die Omoßlnbeesung aus zwei Selm, ober 


Iactoren; ber eefte - z dinge von der Wärme 
y 


er ineite I * — don on der arometerhohe ab. Einige 


itronomen, als de la Caille (Memoires de l’Acad. des 
riences 175.5) haben zwei Tafeln, bie eine für das Bard- 
Beter,, Die andere für dag Thermometer angegeben; bie 
Banime der Zahlen in diefen Tafeln giebt ben Coefficienten 
kr Strablenbrechung. Allein, die Art bes Einflußeg, bes 
Barometer; insbeſondere, von bem Einfluße de Thermo⸗ 
Rterd auf bie Mefraction zu beflimmen, ift nicht geneu, 
Hr approrimire wahr. Denn r=— 











, ad: 9 

(=) (1 Jar & HT 2) 
—zJ > Ur 7% +0 z 
I+7z 


ber, wenn man den Ichten Terminus pernachläffget, er⸗ 
u man ben Ausdruck ( +7 —+ +) R, der mit 


x de la Eaillifchen Hypochefe —— Wenn die 


uerſchiede 4 und I nicht sro find, kann man bie 
32 | For⸗ 


koͤnnte, in allen Himmelsſtrichen unveraͤnderlich (eg?! 




















| J Pi über ie 


* 


Formeln le +7 + +a)8 gebrauchen, "Rt aber i 


Ihermometer unter dem angenommenen Grad T; per 
.. Nenner 1 — d: T ein Bruch wird, fo kaun der Tr 
minus nicht tweggelafjen werden. 743 


* 4. 15. Ebe wir zur Beſtimmung der ei 
chung mit Kädfiht auf’ Barometer. und 9 
- forefchreiten, muͤſſen wir unterfuchen, ob der Co j 
», ben man ben Erponenten —— ——— wu 


habe diefen Exponent 23, 8 für bie lage 2 
fein, nach ber Methode des $. 3. gefunden. ‚Dee 
tion für die Caffinifche Refractionstafeln iſt diefes k: 
log. fin (2 — 3, 8 r)=9,9995289. +7 » 


0 Caſſini zeigt wohl in feinen Elemens di 
. (Seite.13).die Methode an, bie —— — 
der Zeit der Beobachtung und ber beobachteten Hape: i 
Sterns, zu finden, iedoch ohne Anweiſung ber Tempen 
tur der Luft. Berner Ichre er, aus zwey bekannten Gt 
Ieirhrechungen eine Tafel für. alle Höhen zu machen, | 
folge einer indirecten Methode, die ich auf eine. 
gebracht habe: (Uftronomifches Jahrbuch 1787. 5 
Meine Abſicht erlaube mir nicht, uͤber die ken: 
feln einige Kritit gu machen. 


6. 16. 1a Caille bat feine Refroctlontafeln m 

bis ahf 84 Grade bed Abflandes vom Zenith ausgefuͤhl 
- Menn man n — — 11,8 annimmt, fann bie 9 1 
ctionstafel durch dieſe Gleichung ziemlich berechnet w 
log. fin (7 — 11,8 r)= 9,9984377 + log * 9 
gen die la Cailliſche Refractionstafel hat la Lande in ſe 

Aſtronomie gegruͤndete Anmerlungen gemacht. ET 


+‘ 
\ 





⸗ 


aſtronomiſche Strahlenbrechung. 133 


n derſelben auch einige Abweichungen, in dem erwähnten 
Aſtronomiſchen Jahrbuch bemerfe. 


6179. Die Beobachtungen über die Strahlenbrechung, 
pelche Bouguer zu Quito, 1479 toifes über bie See ges 
Racht hat, geben n — — 8, 4 für den Erponent der 
Dtrablendrechung, und bie Gleichung der Strahlenbre⸗ 
bung für einen gegebenen Abfland vom Zenith, iſt 
og fin (2 — 8,4 r) = 9, 9993235 + log fin De. 
Siehe Connoiflance des temps, 1778. ©. 201.) 


618. In ber Connoiffance des temps, für das 
hahr 1773 Seite 247, befinden. ſich fünf Beobachtungen 
kber die Strahlenbrechung, auf welche Bonne feine Res 
Tactionstafel fcheint gegründet zu haben. Das Barometer 
war 48 Zoll, dad Reaum. Therm. auf 10 Grabe. Sür 
die Weiten vom Zenith, 90° — 84° 70 — 60° 45" FR 
Waren bie Strahlenbrechungen 222 — 8538, 6 — 
N40o, — 1741°,7— 59", Aus den zwey erſten Beob⸗ 
«tungen habe ich den Erponent ber Strahlenbrechung oder 
ax⸗ — 6,4, und'folgende Gleichung, log fin (2 — 6,4 r) 
King, 9592156. log fin Z' abgeleitet, mit welcher die 
kigen Beobachtungen vollfommen übereinftimmen. Diefe 
tfeactionstafel ‚befindet ſich in der zweyten Ausgabe ber 
Afronomie bes La Lande; doch in ber dritten Ausgabe ift 
Bi Dradleyſche Safe für die Tafel des Bonne eingerüft. 


6. 19. Aus ben vorhergehenden Verſuchen Fann 
hai erfehen, baß der Exponent der Strahlenbrechung 
eine beftändige Größe fen. Ich hatte ſchon vor einigen 
Fahren an der Allgemeinheit der Bradleyſchen Tafeln ges 
weifelt. Geit dem ich aber die zu Palermo von Plazji 
jemachten Beobachtungen, durch die guͤnſtige Mittheilung 
es Her Obriſtwachtmeiſters von Zach erhalten habe, 

33 bin 


koͤnnte, in allen Himmelsſtrichen unveraͤnderlich ſey? Ich 


= az2 u Pal über die 


‘ 


geman(e — +2); gebrauchen; ſteht aber das 


Thermometer * dem angenommenen Brad T, baß ber 
Nenner 1 — 8: T ein Bruch wird, fo fann ber hat en 
minus nicht wegoelaſſen werden. | 


' 6. 15. Ede wir zur eſtimmumg der Strablenbte 
chung mit Ruͤckſicht auf Barometer und Thermomettt 
fortſchreiten, muͤſſen wir unterſuchen, ob der Coefficient 
a, ben man ben Erponenten der Strahlenbrechung nenncn 


babe dieſen Exponent n— 3, 8 für bie Caſſiniſchen Tas ; 
feln, nad) der Methode des $: 3. gefunden. Die Eau 
tion für bie —A Refractionstafeln iſt dieſe: :#” 
log. fin (2 - 3, 8r)==919995289. + log. 7 ($ sE: 


Caſſini zeigt wohl in feinen Elemens d Aftronomis 
ESeite 13) die Methode an, die Strahlenbrechung and: 
der Zeit der Beobachtung und der beobachteten Höhe dei 
Sterns, zu finden, ieboch ohne Anweiſung der Temprro- 
tur der Luft. Berner lehrt er, aus zwey bekannten Straße 
lenbrechungen eine Tafel für. alle Höhen zu machen, zw 
folge einer indirecten Methode, die ich auf eine direckt 
gebracht habe. (Aftronomifches Jahrbuch 1787 Seite 1 54) 
Meine Abficht erlaubt mir nicht, über die " Caſſiulſchen ww 
feln einige Kritik zu machen. 






IJ §. 16. La Caille hat feine Refractionstafeln nur 

bis ahf 84 Grade des Abflandes vom Zenith ausgefuͤhrt. 
Wenn man n — — 11, 8 annimmt, kann bie Refra⸗ 
ctlionstafel durch dieſe Gleichung ziemlich berechnet werden: 
log. fin (2 — 11819) 9,9984377 + log 2. Get 
gen die la Cailliſche Refractionstafel hat la Lande in feiner: 
Ä Aſtronomie gegründete Anmerlungen gemacht. Ich * 


‘ 


aftronomifhe Strahlenbrechung. 133 


in derſelben auch einige Abweichungen, in bem erwähnten 
Aftronomifchen Jahrbuch bemerfe. 


6. 17. Die Beobachtungen über die Strahlenbrechung, 
welche Bouguer zu Qulto, 1479 toifes über die See ges 
macht bat, geben n — — 8, 4 für ben Erponent der 
Straßlendrehung, und die Gleichung der Strahlenbre⸗ 
Hung für einen gegebenen Abftand vom Zenith, iſt 
log fin (2’— 8,4 r) == 9,9993235 -+ log fin Z. . 
(Siehe Connoiflance destemps, 1778. ©. 201.) 


- 18. In der Connoiflance des temps, für das 
Jahr 1773 Seite 247, befinden. ſich fünf Beobachtungen 
über die Strablenbrechung, auf welche Bonne feine Mes 
fractlonstafel fcheint gegründet zu haben. Das Barometer 
war 23 Zoll, das Reaum. Therm. auf 10 Grade duͤe 
die Weiten vom Zenith, 90° — 84 70 — 60° —45" Pi 
Waren die Strahlenbrechungen 2224 — 2 397,6, — 
240,4 — 141,7 — 59°, Aus den zwey erften Beob⸗ 
achtungen habe ich ben Erponent ber Strahlenbrechung oder 
n— 6,4, und folgende Gleichung, log ſin (2 — 6,4 r) 
S9 9992156 log fin 7 abgeleitet, mit welcher die 
weigen Beobachtungen vollkommen uͤbereinſtimmen. Diefe 
Befractionstafel befindet fi i in der zweyten Ausgabe der 
Aſtronomle des La Lande; boch in der dritten Ausgabe ift 
N“ die Bradleyſche Tafel für die Tafel des Bonne eingeruͤkt. 


4 6. 19. Aus den vorhergehenden DVerfuchen Tann 
F ek erfeben, daß der Erponent der Strahlenbrechung 
fine beftändige Größe fen. Ich hatte fchon vor einigen 
' Saßren an ber Allgemeinheit der Bradleyſchen Tafeln ges 

weifelt. Geit dem ich aber die zu Palermo von Piazsi 

+ gemachten Beobachtungen, durch die guͤnſtige Mittheilung 
bes Herrn Obriſtwachtmeiſters von Zach erhalten habe, 

J 3 bin 


| \ " Seffimmen , habe ich zwey Beobachtungen: fuͤr — 835 


rowmeterhoͤhe von 29,9 Engliſchen Zollen, und bi 
Thermometer von 62 Graden. Die Refraction R 


\ debur iſt 4 bey dem Abſtand des Zenith von 84 Geaten 


Be Bean, über die ee 
bin ich gberzengt, daß bie Sirehlenbrechuug an keine al. 
gemeine Regel gebunden iſt, ſondern daß dieſelbe für die 
Luftſtriche veraͤndert. Die Palermiſchen Beobachtungen 
find, ſo viel mir bewußt iſt, die volRdudigfen, welche | 

die Aſtrouomen bekannt gemacht haben. Sie 
fich von 40 bis g9 £ Grad vom Zenith. Nur iR sm Be; 
Bauern, daß die Veränderungen‘ des Thermometers ia 
ſchen den engen Graͤnzen von. 58 bis 78 enthalten find 


$. 20; Hm ben Erponent ber Refraction gu. We. 

















und 7 == 84° erwählet, and den funfzehn Beobachtuw 
den, unter berfelben Temperatur, nemlich bey der Be 


17 40, 3, Die zweyte == 9/37". Diefe Sab; 
achtuugen geben n — 6, 938 oder — — 7 — di: 
Exponent der Strahlenbrechung ; alfo die Gleichung de 
Strahlenbrechnns ‚ log fin ((2 —..7r) = 9, 999 1716 
log 7"; nad) biefer Gleichung babe ich bie Beobach 
‚taugen unter gleicher Temperatur berechnet; ber größehe:; 





| 8. 21. Wet bie Bradleyſche Regel auf dem 
| ponent der Refraction, oder n == — 6, seorabet 
biefer aber nicht für alle Gegenden Seftändig ik, of 
bie Bradleyſche Proportisn, tang (2’— 31): tang 3 r=: 
tang (Z — 3R): tang 3k nicht allgemein ſeyn. (6: 7) 


Man müßte für Palermo diefe Proportion tang (2 =2) 
W 2. AR Vs 
. tung emung(2 — =) ° tang = — 
— 
| nehmen. u | u | "ou 


aſtronomiſche Strahlenbrechung. 139 


Das Anſehen der Bradleyſchen Formel ſcheint die 
ſſtronomen eingenommen zu haben, Daß die meiſten bie 


defractionen nach der Regel berechnet haben, die doch in 
Ahen unter 29° von ber Wahrheit ziemlich abweichen 
un. Man fieht alfo, daß die aſtronomiſche Strahlen 
rechung noch nicht die Vollkommenheit erreicht hat, wel⸗ 
be der gegenwärtige Zuftand ber peaftifchen Aftronomie 
fordert, wo man ſich fehmeichelt, feinen Fehler von 2" 

i.ber Hoͤhenmeſſung begehen zu fönnen. 


. 22. In Betracht der Unvokfommenheit ber Lehre 


er ————— wird man meine Verſuche nicht uͤbel 
euten, ſollten ſie auch mißlingen; Inſonderheit den Ver⸗ 
ich uͤher die Beſtimmung der Refraction, für dag Varo⸗ 
jeter und Thermometer. 


. Die zwey Formeln des zatens. muͤſſen, mit Nuͤckfccht 
uf die Jalermiſche Beobachtungen, dieſe Form erhalten, 


n J fin Z = = fin (273): fin % 


nd r -=7; *, wo T und H und Rfich auf. die Hoͤhe 


8 Barometerd an 29, 9 Zollen, und den. 62ſten Grad des 
hermometers, und. bie dahin aebärige Reſraction R der 
hen. 

8. 23. Die , Schwierigkeit, welche d bie Anwendung 
liger Formeln verurſacht, trift das Verhaͤltniß der Waͤr⸗ 
ober die Groͤßen T:. tr. Unmoͤglich kann man bie Bra» 


e des Thermometerd dazu gebrauchen. Die Ehntheilung 


er Sealen hat dach etwas Willkuͤhrliches. Ueberdem 
eht die Ausdehnung der Luft mit der Ausdehnung des 


Rercuring, ober mit den Graben bes Thermometerg, in kei⸗ 


em Verhaͤltniß. Die Ausdehnung der Luft, welche die 
34 Wärme 


128 XII. Auszuͤge aus Briefen, ıc. 


jungirt iſt, if ein gar uprtrefflichee Beobachter, und theilt ebenfalls 
die Zeitfecunde in so Thelle. Er hat in hohem Grade Sinn und 
Geſchmack an Genauigkeit. Wenn es nach ihm gienge, fo ſolte niints 
eber befannt gemacht werben, bis nicht alles aufs auſſerſte verbeffert 
worden, und kein Zweifel mehr übrig bleibe. Allein, icy denke man 
muß geben, was man bat, bis das andere kommt; man muß ſich 
des Guten bedienen , bis das Beſſere nachfolgen kann. Quintilian 
fagt, mulca, dum perpoliuntur, intereunt. Wir begeben Fehler, 
wir verbeflern fie aber auch, und wo giebi’s nicht Fehler? Indeſſen 
wird Das, was wir geben, neu und fehe nüsttch ſeyn. 

Die Einführung der neuen Maaffe im Handel wird mit einer 
großen Lebhaftigkeit fortdauernd betrieben. Man bat hierzu noch eine 
befondere Stelle (agence) errichtet. Das iſt eine ſchoͤne und wichtige 
Dperation. Daß ich bereits im vorigen Jahre zu einer Commiſſion 
über die Navigationskandle in der Republik ernannt worden bin x), wers 
den Sie fchon willen. Diele Kandle find ſchon angefangen, und nıan ents 
wirft noch mehrere andere, um unfere Soldaten zu befchäftigen, 
wenn Friede gemacht würde. Un dein Kanal uon ber Oife zur Sams 


bre if bisher fleiſſig gearbeitet worden. 


fie erhält eine eigene aſtronomiſche Bibliothek; jedes Mitglied 
befommt 8000 fivres Gehalt, ein Adjunkt 4000. Meberdies ers 
halt die Commiſſion eine jährliche Gunme_von ı2, ooo £, zur 
nterbaltung der Inſtrumente, Kanzeleg» Spefen, und andern 
einen Nebenausgaben. N 

+) Auch in diefem Sache bat ih Hr. de la Lande ausgereichnete 
Verdienſte erworben. Wer kennt nicht fein Hauptwerk des Ca- 
naux navigables et fpecialement de celui de Languedoc. Paris 
1778. großtolio, wozu er noch einen Supplementband "herauss 
gegeben bat. Schon im Dctober 5790 becretirte die damalige 
Aflembl&e Nationale den projectirten Kanal des Hrn. Bruce 
von Pointoife nach Paris, und der König hatte dieſes Project 
den zoten Januar 1791 wirklich fanetionier, allein die yunie 
Sache war ein Prlvaturternehmen des Hrn. Brullde, die durch 
eine Anleihe von 25 Millionen in 25,000 Hctien jede 10:0 &. 
ausgeführt werden follte, die Fonds kamen nicht zuſammen, 
und das ganze Unternehmen gerietb ins Stecken. Da ih jetzt 
die Regierung der Sache annimmt, fo If su hoffen. Daß diefe 
Entreprifen beſſer Beben werden; denn Aetien bey einem folchen 
fchweren und Loflipteligen Bau haben viel abichreddendes, und 
man bat davon fo viele mißlungene und verungluͤckte Beyſpiele. 
So haben erft vor wenig Jahren die Unternehmer des Kanals 
von Murcia in Spanien banfeut gemacht. Der berühmte italie⸗ 
niſche Aſtronom Sr. Eagnolt in Verona, ber auch einer von den 
Actionnaires war verlohr babey einen großen Theil feines ans 


fehnlichen Dermögens. 





Leipzig, 
sedeudt ben Chriſtian Seiedsich Solbrig. 


| der 
reinen | und angewandten 
Mathematik. 





Sechstes "Heft. 1797. 





.I 


Ueber die aftronomifche Strahlenbrechung mit 
" Küdficht auf Thermometer und Barometer; von 


J. 5 Hennert, Profeffor der Mathematik 
zu Utrecht, 





XXXX 


| (Bortfegung der Abhandl. I. im sten Hefte, ©. 1.) 


gr. Fur den Hawksbeeſchen Verfuchen über be Straße 
lenbrechung, ſtimmen ale Aftronomen überein, daß die 
Strahlenbrechung mit der Dichtheit der Luft ab. und ze 
nehme; baß auch die Dichtheit der Luft mit der Elafliche 
tat zunehme, aber mie der zunehmenden Wärme fich ver. 
mindere. Die Schnellkraft ber Luft ſteht mit ber Baro⸗ 
meter » Höhe im Verhaͤltniß. Wenn alfo-R.und r bie 
Strahlenbrechungen, für die Barometer» Höhen H und 

Ä d, und für. bie Grabe der Wärme T und z, bejeichnen, fo ers - 


“ hält man folgendes Verhaͤltniß, Rir = —F 7 foig⸗ 

Tb J 

uch r=R. 57 Man kann alſo durch dieſe Formel, 
F 

Sechetes Stil. > J die 


130 J. Hennert, über. die 
die Strapienbrechung r, die derfelben Hoͤhe eines Sterns, 


als bie Strahlenbrechurig R entfpriehe, für einen jegli- 
chen Stand des Barometerd b, und des Thermometerd t, 


. finden, wenn nur die Etrahlendrechungen für eine gewiſſe 
Barometerhoͤhe 4. ©. 30 Engliſche Zolle —=H, und für 
einen geroiffen Grad der Wärme == T 5.3. des 5 5ſten Bra» 
des der Fahrenheitiſchen Scale belannt waͤren. 


. 12. Anfangs dieſes Jahrhunderts naßımen bie 


Aftronomen allein Ruͤckſicht auf bad Barometer, big le. 
Monnier durch genauere Beobachtungen in feiner Hiftoi- . 


se Celefte, den merflichen Einfluß der Wärme auf bie 
Strahlenbrechung außer allem Zweifel gefegt hatte. 


Daſſelbe beflätigeen auch die DVerfuche des Caſſini in den: 

‚ Mem..de l’Academie des fciences de Paris bon 1742 und _ 
43. Rach der Zeit haben Muyer, de la Caille, Bonne 
Formeln für die Strahlenbrechungen gegeben, melde 


doch mehr auf empirifche als auf phpfifche Gründe ge⸗ 


baut ſind. 


$. 13. Die Formel fin Z: fin (Z -HnR)= fin zZ: 


fin(Z’-+H-nr)($ 3.), fann mit Räcficht auf Barometer 
und Thermometer, auf biefe Form gebracht werben, fin Z: 


T. 
fin (Zrak q 2, =fnZ: fin (2 bar); dann 
bezeichnet r die Refraction, bie iu dem Abſtand vom Ze⸗ 


— m — “ 


nith z, und gu dem Barometerfiand 2,. und dem Ther⸗ 


mometer⸗, gehört, Anſtatt Kiefer Sormel fönnte man ſich 
des Ausdrucks r=enR: — =, bedienen (8. 11) weng 


eine Tafel ber Ereabienbrehungen R, für. dag Barometer 
N, und das Thermometer T fchon berechnet waͤre. | 


1 


&. 14 


afteonomifce Strahlenbrechung. - 231 


$. 14. Vielleicht fönute bie letztere Sleichung un⸗ 

ter eine Form, die zur Berechnung der Tafeln geſchikter waͤ⸗ 

8% gebracht werden. - Man fege «=== dem Unterfchiebe dee 

" Barometerhähen Hund , alfo HT «= h, und 9 für 

‚den Unterfchied ber Wärme, alfo 7 T + t; folglich 
1 


beſteht alſo die Straßtenrechung aus zwei Theilen, ober 


becioren; der eefte - 7 dinge von ber Wärme 
y; 
„ der mWweite 1 * — don on ber Zerometerhehe ab. Einige 


uftronomen, als de la Caille (Memoires de l’Acad. des 
fiences 1755) haben zwei Tafeln, die eine für das Baro⸗ 
= meter, die andere für dad Thermometer angegeben; bie 
GSumme der Zahlen in diefen Tafeln giebt ben Coefficienten 
ber Strablenbrechung. Allein, die Art bes Einflußes, des 
varometers. insbeſondere, von bem Einfluße des Thermo⸗ 
„5. weters auf die Refraction zu beſtimmen, iſt nicht geneu— 
uur appraximirt wahr. Denn r = 











+ | a4: 98 
u H — 9 HT Pr 
F el 1*60 ) 

1* | 


über, wenn man ben legten Terminus vernachlaͤſſiget, er⸗ 
—20 
Att man ben Ausdruck (: +7 — + +—) R, ber mit 


der de la Cailliſchen Hypotheſe —E Wenn die 
Aelerſchiede 4 und I nicht groß find, kann man bie 
| Ja2 | vdor⸗ 


130 L Hennert, über. die 


bie Strahlenbrechung r, die derſelben Höhe eines Sterne, 
als die Strahlenbrehung R entfprieht, für einen jegli - 
chen Stand des Barometerd b, und des Thermometerd t, 
finden, wenn nur die Strahlenbrechungen für eine gewiſſe 
Baromererhähe, j. ©. 30 Engliſche Zolle —=H, und für 
einen gewiſſen Brad der Waͤrme ==T j.B.de8 55ſten Gra⸗ 
des der Fahrenheitiſchen Scale befannt wären. 
$. 12. Anfangs dieſes Jahrhunderts nahmen bie 
Afronomen allein Rücdficht auf das Barometer, bis le 
Monnier durch genauere Beobachtungen in feiner Hiftoiog 
se Celefte, den merflichen Einfluß der Wärme auf DIE 
Strablenbrechung außer allem Zweifel geſetzt hatu 
Daffelbe beflätigeen auch die Verſuche des Caflini in DEM 
Mem. de l’Academie des fciences de Paris von 1742 
43. Rad) der Zeit haben Mayer, de la Caille, Bei 
Bormeln fr die Strahlenbrechungen gegeben, 
doch mehr auf empirifche als auf phyſiſche Gr 
baut find. 





















$. 13. Die Formel fin Z: fin (2 
fn(Z’-+ nr) ($, 3.), fann mit RÜhR 
und Thermometer, auf biefe Form 9 


Tb 
In (Zar )—=inZe 


bejeichnet die —E 
nith 7’, und zu dem Baro 
mometer⸗, gehoͤrt. Anſtatt d 


des Ausdrucks r —nR: = 


eine Tafel der Strahlenbrechut 
H, und das Thermometer Tfi 


‘ 


128 XI. Auszüge aus Briefen, x. 


jungirt if, if ein gar uprtrefflichee Beobachter, und tbeift ebenfalls 
die Zeitfecunde in so Thelle. Er hat in hohem Grade Sinn und 
Geſchmack an Genauigkeit. Wenn es nach ihm aienge,!fo follte nichts 
eber befannt gemadt werden, bis nicht alles aufs auſſerſte verbeffert 
worden, und kein Zweifel mehr übrig bleibe. Alein, ich denke man 
muß geben, was man hat, bie das andere kommt; man muß ſich 
des Guten bedienen , bis das Beſſere nachfolgen fann. Dutntilian 
fagt, mulca, dum perpoliuntur, intereunt. Wir begeben Fehler, 
mie verbeflern fie aber auch, und wo gicbt’s nicht Fehler? Indeſſen 
wird dad, was wir geben, neu und fehe nuͤtzlich ſeyn. . 
' Die Einführung der neuen Maaſſe im Handel wird mix einee 
aroßen Lebhaftigkeit fortdauernd betrieben. Man bat hierzu noch eine 
beſondere Stelle (agence) errichtet. Das iſt eine ſchoͤne und wichtige 
Dperation. Daß ich bereits im vorigen Jahre zu einer Commiſſion 
über die Navigationskandle in der Republik ernannt worden bin x), wers 
den Siefchon willen. Diele Kandle find (don angefangen, und nıan ents 
wirft noch mehrere andere, um unfere Soldaten zu befchdftigen, 
wenn Friede gemacht würde. Un dem Kanal von ber ®ife zur Sams 


bre if} bisher fleiffig gearbeitet worden. 


ie erhält eine eigene aſtronomiſche Bibliothek; jedes Mitglied 
ekommt gooo Pivres Sebalt, ein Adjunkt 4000. lieberdies ers 
halt die Commiſſion eine jährliche Summe von ı2, 000 ?, zur 
nteehaltung der Inſtrumente, Kanzeley» Spefen, und andern 
nen Nebenausgaben. \ 


+) Auch in diefem Sache bat ſich Hr. be la Lande ausgezeichnete 
Verdienſte erworben. Wer kennt nicht fein Hauptwerk des Ca- 
naux navigables et fpecialement de celuide Languedoc. Paris 
1778. großfolio, wozu er noch einen Supplementvand beraus⸗ 
gegeben bat. Schon im Dectober 1790 deeretitte die damalige 
Affembl&e Nationale den projectirten Kanal des Hrn. Brullee 
von Pointoiſe nach Paris, und der König hatte dieſes Project 
den 30ten Januar ı791 wirklich ſanetionirt, allein die yanıe 
Sache war ein Brivaturternehmen des Hrn. Brullde, die durch 
eine Anletbe von 25 Millionen in 25,000 Hetien jede 1000 . 
ausgeführt werden follte, die Konds kamen nicht zufammen, 
und das- ganze Unternebmen gerieth ins Stecken. Da fih jest . 
die Regierung der Sache annimmt, fo it su hoffen. Daß diefe 
Entereprifen beflee geben werden; denn Actien bey einem folchen 
fchweren und Eoflipteligen Bau haben viel abſchreckendes, und 
man bat davon fo viele mißlungene und verunglädkte Beyſpiele. 
So baten erft vor wenig Jahren die Unternehmer des Kanals 
son Murcia in Spanien banfrut gemacht. Der berühmte italies 
niſche Aſtronom Sr. Cagnoll in Derona, ber auch einer von den 
Actionnaires war verlohr dabey einen großen Theil feines ans 


febnlichen Vermoͤgens. 





Leipzig, 
gedeuckt bey Chriſtian Zriedrich Solbrig. 


| der 
reinen und angewandten 
Mathematik 





Sechstes weft. 1797. 








.I: 
‚Weber die aftronomifche Strahlenbrechung mit 


Ruͤckſicht auf Thermometer und Barometer; von 


I 5 Hennert, Profeffor der Mathematik 
zu Utrecht, | 





U 7 


| (Zortfegung der Abhandl. I. im sten Hefte, S. 1.) 


‚$.rı. Su den Syarofäbeefchen Verſuchen uͤber die Strah⸗ 
lenbrechung, ſtimmen alle Aſtronomen überein, daß die 
Strablenbrechung mit der Dichtheit der Luft ab. und me 

nehme; daß auch bie Dichtheit der Luft mit der Elaflicie 
taͤt zunehme/ aber mic der zunehmenden Wärme fich ver- 
mindere. Die Schnellfraft ber Luft ſteht mit der Baro⸗ 

meter « Höhe im Verhaͤltniß. Wenn alfo-R.und r die 

Strahlenbrechungen, für die Barometer⸗Hoͤhen H und 

d, und für.die Grabe der Waͤrme T und z, bezenhnen— fo er⸗ 


hält man folgendes Verhaͤltniß, R:r = nl oo; folg. 


Tb 
lich r=R. 57 Man kann alſo durch dieſe dormel, 
Sechetes Süd, > > | bie 





130 J. Hennert, über. die 


die Strahlenbrechung vr, die derſelben Hoͤhe eines Sterne, 

als die Strahlenbrehurtg R entfprieht, für einen jeglie - 

chen Stand des Barometerd 5, und des Thermometers t, 

. finden, wenn nur die Etrahlenbrechungen für eine gewiſſe 

Barometerhöhe, z. ©. 30 Englifche Zole =H, und für 

einen getoiffen Grad der Wärme ==T 5. B. des 5 5ſten Gra⸗ 
des der Fahrenheitiſchen Scale befannt wären. 

. 12. Anfangs bieſes Jahrhunderts nahmen die 
Aſtronomen allein Ruͤckſicht auf das Barometer, bis le 
Monnier durch genauere Beobachtungen in feiner Hiftor- . 
se Celefte, den merflichen Einfluß der Wärme auf die 
Strahlenbrechung außer allem Zweifel gefegt hatte. 
Daffelbe beſtaͤtigten auch die Verfuche dee Caflini in den: 


Miem. de l’Academie des fciences de Paris bon 1742 und 


43. Nach ber Zeit haben Mayer, de la Caille, Bonne - 
Formeln fuͤr die Strahlenbrechungen gegeben, welche 
doch mehr auf empiriſche als auf phyſiſche Gruͤnde ge⸗ 

baut ſi nd. 


$. 13. Die Sormel in Z: fin (2 -HnR)=fin Zr | 
fin(Z’-Fnr)($ 3.), fann mit Räcficht auf Barometer 
unb Thermometer, ef diefe Form gebracht werden, inZz:- 


T. 
fin BR )=mz: fin (Z Has); dann : 


bezeichnet r bie Refraction, die gu dem Abſtand vom Zus 
nith Z', und zu dem Barometerfiand 5, und dem Thers 
moneter s, gehört, Anſtatt Kiefer gormel koͤnnte man ih 


des Ausdrucks r=enR: — . bedienen ($- 11), toeng 
eine Tafel der Errabiensrehungn R, für dag Barometer 
| H ‚ und das Thermometir T fhon Brent win. | 


$. 14 


aftronomifee Strahlenbrechung. 1341 


$- 14. Vielleicht koͤnnte bie letztere Slechung un⸗ 
ter eine Form, die zur Berechnung der Tafeln geſchikter waͤ⸗ 
re, gebracht werden. Man ſetze «== dem Unterfchiebe ber 
Barometerhähen Hund 2, alfo HF a h, und 9 für 
deu Unterfchied der Märme, alfo 7 T +0 t; ; folglich 
I 


e Ro —o®_ @N, 
TOHTHI ge +) 8 


beſteht alfo die Straßtenrehung aus zwei Theilen, ober. 


fectoren; ber erſte hänge von ber Biene 
Y] 


ber Weite 1 * — don der Serometerhehe ab. Einige 


Uſftronomen, als la Caille (Memoires de l’Acad. des 
kiences 175.5) haben zwei Tafeln, die eine für dag Baro⸗ 
neter , die andere für dag Thermometer angegeben; bie 
Summe der Zahlen in diefen Tafeln giebt den Coefficienten 
ber Strahlenbrechung. Allein, die Art des Einflußes, des 
Sarometerk,ingbefondere, von bem Einfluße des Thermo» 
meterd auf bie Refraction zu beſtimmen, iſt nicht genen, 
Rus aweaximirt wahr. Denn 75* 
tab # 


Up ‘ . ——— (um — 
+7 nt & HT 2) 
II — — R 
”) TH TIHrhT)” 
I»P— — 





1 





[8 
a 


über, wenn man den legten Terminus vernachlaͤſſiget, er⸗ 
u u _ d J 
hits man ben Ausbruc ( 1 +7 —+ +) R ber mif 


be de fa Cailliſchen Hypotheſe —— Wenn die 
ſaterſchiede 4 und 9 nicht sro find, kann man bie 
| 932. For⸗ 


oͤnnte, In allen Himmelsſtrichen unveränderlich fey? IE. 


138 u Pal aber die u 


gemanle 2 - +2): gebrauchen; ſteht aber bag 


Thermometer unter dem angenommenen Grad T, baß der 
Nenner 1 — #5 T ein Bruch wird, fo kann ber kann 
minus nicht weggelaſſen werden. 


$. 15. Ehe wir zur Beſtimmung der Straßlenben 
hung mie Ruͤckſicht auf Barometer und Thermoniet ' 
- fortfchreiten, muͤſſen wir unterfuchen, ob der Coefficient . 
a, den man den Erponenten der Strahlenbrechung nennen 


habe diefen Erponent n— 3, 8 für die Caffinifchen Tas 
fein, nach der Methode des $. 3. gefunden. Die Equa⸗ 
tion für die Caſſiniſche Refractionstafeln ift diefea 5° 
log. fin (2 — 3, 8 r)== 919995289. + log. 7 ($ 5, 


Gaffini zeige wohl in feinen Elemens d’ Aſtronomis 
(Seite.13).die Methode an, bie Strahlenbrechung ans. 
der Zeit der Beobachtung und der beobachteten Höhe de; 
Sterns, zu finden, iedoch ohne Anweiſung der Tempera. 
£ur der Luft. Berner lehrt er, aus zwey bekannten Straße 
leubrechungen eine Tafel für. alle Höhen zu machen, zw 
folge einer indirecten Methode, die ich auf eine directt 
‚gebracht habe. (Aftronomifches Jahrbuch 1787 Seite 154) 
Meine Abficht erlaubt mir nicht, über die \ Saftaifoen and 
feln einige Kritik zu machen. 





I 5. 16. La Caille hat feine Refractionstafein nur 
bis auf 84 Grade des Abſtandes vom Zenith ausgefuͤhrt. 
Wenn man n— — 11, 8 annimmt, kann die Refra⸗ 
ctionstafel durch dieſe Gleichung ziemlich berechnet werden: 
log. fin (7 — 11, 89) 9, 9944377 + log 2. Ge‘ 
gen bie la Eaillifche Refractionstafel hat laLande in feinet : 
Aſtronomie gegruͤndete Anmerlungen gemacht. Ich an 


+ 


4 


aftronomifche Strahlenbrechung. 133 


derfelben auch einige Abweichungen, in dem erwähnten 
tronomiſchen Jahrbuch bemerkt. 


6. 17. Die Beobachtungen über die Steahlenbrechung, 
[che Bouguer zu Quito, 1479 toifes über die See ges. 
ıcht ‚hat, geben n — — 8, 4 für den Erponent der 
trahlenbrechung, und bie Gleichung der Strahlenbre⸗ 
ung für einen gegebenen Abſtand vom Zenith, ift 
3 fin (27 — 8,4 r)= 919993235 - log fin Z. . 
Siehe Connoiflance des temps, 1778. ©. 201.) 


§. 18. In ber Connoiffance des temps, für das 

68.1773 Seite 347, befinden. fih fünf Beobachtungen 
er die Strahlenbrechung, auf welche Bonne feine Res 
ictlonstafel fcheint gegründer zu haben. Das Baromeser 
ie 28 300, dad Reaum. Therm. auf 10 Grade duͤe 
Weiten vom Zenith, 90° — 84° 70 60° —45" , 
ven bie Strahlenbrechungen 32224 — 8 387,6, — 

467,4 — 141,7 — 59", Aus den zwey erften Beob⸗ 
bangen babe ich ben Erponent der Strahlenbrechung oder 
== — 6,4, und'folgende Gleichung, log fin(Z — 6,41) 
; 9, 9992156. + log fin Z abgeleitet, mit welcher bie 
rigen Beobachtungen vollkommen übereinftimmen. Diefe 
feactionstafel befindet fi i in der zweyten Ausgabe der 
tronomie des La Lande; doch in der dritten Ausgabe ift 
Bradleyſche Tafel für die Tafel des Bonne eingerüft. 


6. 19. Aus den vorhergehenden Merfuchen Tann 
at erfehen, daß der Erponent der Strahlenbrechung 
me beftändige Größe fen. - Sch hatte fchon vor einigen 
ahren an der Allgemeinheit der Bradleyſchen Tafeln ge» 
seifele. Seit dem ich aber die zu Palermo von Piazzi 
machten Beobachtungen, durch die günftigeMittheilung 
8 Herru Obriſtwachtmeiſters von Zach erhalten habe, 

J 3 bin 


bie Aſtronomen bekannt gemacht haben. Sie erſtrechn 


zen, unter derſelben Temperatur, nemlich bey ber Bes. 
R . Thermometer von 62 Graden. Die Refraction Rue: 


BE Beh ik 4“, bey dein Abſtand des Zenith von 84 Graben. 


8 n =. 


em aber eee 


bin ich überzeugt, baß bie Straßlenbreung. an keins N 
gemeine Regel gebunden iſt, fondern daß. diefelbe für die 
Euftfiriche verändert. Die Palermifchen ‚Beobachtungen : 
find, ſo viel mir bewußt iſt, die. vonſtaͤndigſten, weiche 








ſich von 40 bis g9 5 Brad vom Zenith. Nür iſt zu bs. 
bauern, daß die Veränderungen’ des Thermometers zil | 
: fen ben engen Brängen von. 58 bis 78 enthalten find. . 


4. 20: Nm ben Erponent der Refraction zu —* 
beſtimmen, babe ich zwey Beobachtungen für Z = 2835 
und Z == 84" erwaͤhlet, aus den funfzehn Beobachtun⸗ 


rometerhoͤße von 29, 9 Engliſchen Zollen, und dab 


17417, 2, Die zweyte r— 937". Dieſe Seh 
achtungen geben n = — 6, 938 oder = — 7 — bi 
Expouent der Straplenbrechung;; alfo die Gleichung bee 
Strahlenbrechnns ‚ log fin (2 — 7r) == 9, 9991716 
log 7"; nad) biefer Gleichung babe ich bie Beobache 
tungen unter gleicher Temperatur berechnet; ber groͤßeſte 


.$. 21. Weil die Bradleyſche Regel auf dem 
ponent die Refraction, oder n == — 6, gegründet 
diefer aber nicht für alle Gegenden beftändig ik, fo fang 
die Bradfiyfche Proportisn, tang (2 — 31) tang 3 ri 
tang (7 — 3R): tang äR- nicht allgemein fepn. ($: % 


. Man möße für Palermo bief Proportion tang (7 — _Z 


u Yung eung(2- — ED * tang * oder. genau, f 


fin 2-2): fin Z in (2— =): in Zt E 


 aehnien. J u zus 


_ 


aſtronomiſche Strahlenbrechung 135 


Das Anfehen ber Brablepfchen Formel ſcheint die 
diſtronomen eingenommen zu haben, daß die meiſten die 
Refractionen nach der Regel berechnet haben, die doch in 
Höhen unter 20° von ber Wahrheit ziemlich abweichen 
kanu. Man fieht alfo, daß bie aftronemifche Strahlen 
Kae noch nicht die Vollkommenheit erreicht hat, wel⸗ 

ber gegenwärtige Zuftand ber praftifchen Aftranomie 

erfordert, wo man fich fchmeichelt, keinen Fehler von 2” 
ih der Hoͤhenmeſſung begehen zu koͤnnen. 

6. 22. In Betracht der Unbolllommenhelt der Lehre 
ber — Gtraplenbrechung wird man meine Verfuche nicht übel 
deuten, follten fie auch mißlingen ; Infonderheit den Ver⸗ 

ſuch Über die Beftimmung ber Refraction, für das Baros 

meter und Thermometer, 


Die zwey Formeln. des satens. mäffen, mit Ruͤckſicht 
auf die Palermifche Beobachtungen, biefe Form erhalten, 


oo RT 
fin a —777 12% An Zen fin (2-75): fin Z 


und r —— —, wo 7 und H und Rfich auf bie Hoͤhe 


des Barometers an 29, 9 Zollen, und den 62ſten Grad des 
Thermometers, und bie dahin geherige Refraction R bes 


| eben, 


$. 23. Die Schwierigkeit, welche die Anwendung 
bobiger Formeln verurſacht, trift das Verhaͤltniß ber Waͤr⸗ 
mie ober bie Groͤßen T: t. Itnmeglich kann man bie Gra⸗ 
de des Thermometerd dazu gebrauchen. Die Eintheilung 
der Sealen bat doch etwas Willführliched. Ueberdem 
Recht die Ausdehnung der Luft mit der Ausdehnung bed 
Mercurind, oder mit den Graben bes Thermometerg, in kei⸗ 
vum Verhälmit. Die Ausdehnung der Luft, welche bie 
| 34 Wärme 


136 L Hennert, über die ' 


Waͤrme verurfacht, wirkt bie Veränderungen des Thermo⸗ 
meter, die von der Wärme abhängig find. Das Ber 


haͤltniß der Grade‘ ber Wärme ober des T: t muß alfe - 


durch das Verhältniß der Dilatationen der Luft, die dei 
Graden des Thermometers entfprechen, beftimme werden. 
Zu dem Ende habe ich mich der drey Tafeln bedient, di 
ich in meiner Preißſchrift de Altitudinum menfuratione .: 
ope Barometri. Traiecti ag Rhenum 1788 gegeben ha⸗ 
be. Die erfte Tafel (A) enthält bie ungleichen Aucdeb⸗ 
nungen der Luft, wo die Maſſe der Luft — 1000 bey 0° 
bes Zahrenheitifchen Therinometers gefegt wird, und 
bey dem 62 Grad durch 1147,09 ausgedruͤckt wird. Auf 
dieſelbe Weife iſt die zweyte Tafel (B) befchaffen, für die 


‘ 
L) 


gleichförmigen Dilatationen der Luft, we 1150, 66 Dem 


. 62° des Thermometerd entfpricht. Die dritte Tafel (C) 


iſt für die Ausdehnungen ber feuchten Luft, die Zahl 


1152,778 ftcht bey dem 62° beffelben Thermometers. 
Endlich ift eine vierte Tafel (D) für die Ausdehnungen des 
Merkurius; dieſe wird zur WVerbefferung der Barometer 
dienlich ſeyn, weil die beodachteten Barometerhoͤhen nur 
ſcheinbare find, wegen ber durch die Wärme Frurſachten 


Ausdehnung des Merkurius. Man muß nemlich, zufolge 


. der 14 Seite der erwaͤhnten Schrift, die beobachtete Hoͤhe 
dnech die Einheit — der Zahl aus ber Tafel D theilen, -- 
um die wahre Barorueterhöhe zu erhalten. So findet man 
die Zahl 0,0069777 bey dem 62 Brad des Thermome 
ters, folglich muß man die Barometerhöhe, 5. E. 29,9 . 
Zolle mit 1,0069 777: theilen; daß alfo bie wahre He 
oder H == 29, 699 iſt. 

6. 24. Um unfere Methode verfiändlicher zu me 
chen, twollen wir die Refraction für den Abſtand de Zenith 
oder 7’==72°, die Barometerhdhe von 30 Zollen, und den 
Thermometerſtand von 58, 5°, welches der niedrigfte Stand 
war, ſuchen. Weil feine Tafel der Refractionen für 

. Paler⸗ 


— 





RT. 
sn der Formel r— — — 


— 
— 


aſtronomiſche Strahlenbrechung. 137 


Valermo berechnet iR, ſucht man zuerſt, die zum Abitand 

2 ‚bon 75° "gehörige Refraction, nach ber Gleichung 
9,999 1706 

"ogfin (72° —7R)= 9,9782068==log fin 72 (Ü 20) 


9,9873784 


‚alfo 72° -2 —-40, alſo7? R49 59", 


alfo it R= 251",:3. 

Die Refcaction R entfpricht dem 6 2ſten Grad dee 
Thermometer⸗ und der Barometerhoͤhe von 29,9 Zollen, 
weil auf dieſer Temperatur die gebrauchte Gleichung ge⸗ 
Bränder if. Nun muß man dieſe Refraction auf die Tem⸗ 
peratur von 58,5 Grad und 30 Zollen bringen; vermit⸗ 

8 
b 

Gür T habe ich die Zahl aus ber Tafel der Aubdeh 
nungen der feuchten Luft genommen, weil fie genauere Res 
ſultate giebt; vieleicht auch, daß bie Euft bey niedrigen 


Hoͤhen, als bey 2 und 6 Graben feuchter if. Man findet 


ig der Tafel (C) für 62°, die Zahl 1152,778,. == T und 


. in der Tafel (D) bie Berbefferung der Barometerhoͤhe, oder 


| en 99,9 
eilee 1,0069777, alfo wird H== — — 
| ben The ‚0069777, alſt 10069777 
==29, 699 
| Folglich 


IR==log 171,3==2,2337574 


log T , =3,0617343 IogT=3,0617343 


5,2954917 log H = 1,4727513 


U nn 


| T 
lg H ==1,4727513 log "== 1,5889830 | 





RH | 
log — == 3,83227404 Dieſer Logar. ift be⸗ 
35 Dem 


18 — L Sennert, über ie 


Dem 533° de8 Thermometers entſpricht in der erſten | 
Tafel bie Zahl 1137, 96 9 bie Tafel (D) giebt den 


Zpeilee 1, 006501 3, alſo 3 





1,00 65 


RE 
Nun iſt los z,8 27400 | 1,006 5=0,002$137 
| T =3,056 +279 


Jog 30==1,4771212 log 
2098816 | 370589416 


/ 429986TE \ 
3,05894:61 
——— 71. 
| log r ==2,2409200 
 alfer=ı74 13==277 54, 13. Die beobachtete Refra⸗ 
ction war ==2"54" 5. Der Unterfchied iſt ünmerflich. 
Mir wollen noch ein Beyſpiel beyfuͤgen, wo dag 
Thermometer auf 78°, (der-höchfle Stand) und das Ba⸗ 
rometer auf 30 Z0ßen Rand; ber Abſtand vom Zenlthod oder 
z — 71 30" J 
JE 9,999 1716 alfo 2 —7R==71" 10 
log 7 == 9,9769566|35” 71! 30 — 7R und 
log (27 —7R —9,9761282 2 7R=19 25°, und R= 
g[2 —7R)= 9197° ö 2146", 43166", 43. 
Demrg* bed Thermometers entfprihtt—= 1187,7455. . 
ber. Theiler der Barometerhoͤhe iſt — 1, 0086571. 


T log 1,00865 1 = 0,0037436 
log 7 115889830| 05 2 : =3,0747212 
log R=2,2212316|) u 3,07846438 

3,8102146' 
{og 30 1,4771212 | 
5,2873358 


3,0784648° alfer== 161 ‚76=2' 41,76 


gr ==2,2088710 bie beobachtete Xefr —2 4 


Fehler —2”, 23 
Auf 


! 
aftronomiſche Strahlenbrechung. 39 


Auf dieſe Weiſe habe ich verfchiedene Beobaphtun, ' 
gen: berechnet. Die folgende Tafel enthält einige Re⸗ 
fultate: — 
. zZ ho Therm. beobacht. berechn. | Sehler. 


| Refr. Refe. 

38° | 29, 7 63° | 447,543”, 85 +0,64 
39°30 | 29, 6 64, 6| 45, 4145: 6 9,2 
40°30'| 29, 6 | 63, 5| 47, 6147, 85 -6, 25 
'43 | 29 7| 63 51, 8152, 64 |-+0,24 
45°6 | 29, 9| 61, 5] 57, 2156, 43 |+0,76 
4730 | 29, 8 | 62 61, 2 61, 15 40,04 ; 

50° | 29, 8[ 66 |1 5” |r 6, T44 


6 | 30 |78 1 40 6 
62° | 30 .| 77 8511 ‚43 6 
67° | 30  ]-77, 512 10 5 


625. Die vortreflichen Beobachtungen, - die le 
. Monnier. über bie Strahlenbrechungen gemacht hat, kann 
ich nicht mie Stillſchweigen übergehen. Die Abficht Die 
ſes beruͤhmten Aftronemen war ‚nur, den Einfluß der Waͤr⸗ 
me auf die Nefraction zu beflimmen; darinn bat er nur bie 
| Barometerhoͤhe bey zwey Beobachtungen angezeichnet. Wie 
konnten aber die Veraͤnderungen der Strahlenbrechung oh⸗ 
ne Ruͤckſicht auf das Barometer beurtheilt werden, wie viel 
die Waͤrme allein dazu beygetragen hatte, als der Einfluß des 
Barometers nicht non den beobachteten Strahlenbrechun⸗ 
gen abgerechnet wurde? Man findet in ber Hiftoire-ce« 
lefte, Seite XXI, daß der Abfland des a Capellae von 
Zenith =. 85” 18975” war, bie Kefraction aber 9:20, 
da das Barometer auf 27, % parif. Zollen, und das Reau⸗ 
murſche Thermometer auf 24° über dem Gefrier»-Punft 
ftand. Weil mir feine Tafel der Refraction für ben Luftfrei® 
vonparis hefannt ift, habe ich verfucht, welche von den brenen 
Tafeln oder vo Hypotheſen, die ih aus Piatzi, Bons 
w 


138", ‚17 +22 
145°, 6,6 ı 


2 II 158 — 0,08. 





| I40 - | I. Hennert, über die 


ne und Bradley Beobachtungen abgeleitet habe, am ge 
näueften mit den beobachteten Nefractionen uͤbereinſtimmten. 
Um diefelben nach Plajzis Beobachtungen zu beſtimmen, 


- mußten die feanzöfifchen Angaben auf englifches Maaß ge 


bracht werben. Nun 27, 5 Bar. Z0le find 29,208 
Englifche Zole. Dem 24° des Keaumurfchen Iherm. 
entfpmicht det 84, 5 des Fahrenheitiſchen. Vermitteltt 
bieſer Angaben fand ich die Refraction = 9 25“, 98, 
. alfo beynahe um 6” größer, als die beobachtete. 


Um die Rechnung nach ben Beobachtungen des Bon- 

ne zu machen, fuchte ich erſt die Refraction, die zur ges 

gebenen Diſttanz Z gehoͤrt, durch die Gleichung, log fin 

(85° 18. 5 —6,4R) = 99992016 - log fin 85° 
18°5" (6. 18), dieſelbe = 10.22"9 R. 


Diefe: Beobachtungen And für 28 Zoll ud T= 
1128, 354, ober den 55 Grad des Fahr. Thermometers 
gemacht, alfo 28: I, 0062254 — H; ferner iſt 
h== 27,5: 1,009347. == und t== 1204, 437. Hier 


| R.T. 5 > 
aus erhält man Io 9 30 ‚6, welche um 
u 10), 6 größer iR als bie beobachtete Refraction. 


| In den Bradleyſchen Tafeln findet man die Re⸗ 
fraction R = 10'26”, 4, fuͤt ? 85° 18° 5”, für die 
Barometerhoͤhe von 30 Zollen, alfoH == 30: 1,0062254, 
. and den 55 Grad ded Thermometers. Nun iſt = 29, 
207: 1,009347, und t==:1204, 437: wie zuvor; hier⸗ 
durch findet man bie Refracfionr — 9' 29 , alfo um g” 
| größer, als die beobachtete. . 


In der zweyten Beobachtung des le Monnier, ar 
ber Abſtand des æ Capellac vom Zenith oder Z== 85° 
45’ 45”, bie Thermometerhoͤhe == 10° unter dem ⸗ des 

Reaum. 


\ 


- X * . - 
. » ⁊ 


. i . 


n.. . ! .“* 
: P 


.5. ’ afconomie Sachinhuhung 141 | 


Kesum, Thermomeler, ober beym g? be. gFaheenheitſchen: 
die Barometerhoͤhe 28 par. Zolle, ober 29, 74 engliſche Zol-· 
« Zufolge dieſer Angaben, babe ich folgende De 
at⸗ gefunden: : 


Beohachtete Fehler. 


12 | ır 23° °  IMRefrackon. | m 8 
- Bone | 117 317 9 a 1” 16,9. 
ei, Ir’ 29" 6 


1 +14 6 2 


4 . 26. Es erhellet aus dieſen Reſultaten, daß die 
Hefrastionen nach den Beobachtungen zu Palermo mit den _ 
en beffer uͤbereiuſtimmen, als die Bradleyſchen. 
"Meine Hypotheſe beftdtiger ‚ daß die Strahlenbrechungen 
. Am Winter - größer als im Sommer: find. Sollte dieſer 


Verſuch einigen Beyfall verdienen, ſo werde ich mich bemni. Sun 


ben, dieſe Materie weitlaͤuftiger auszuarbeiten. 
7 und den 17 December 1796. 








3 wu | . u. u. J 
Angabe eines Doppelobjectids, das von aller 


‚Befienung der Strahlen frey iſtz von ©. Ss 
| Klqgel, Def zu ‚Hall. | 





n einer Abhandluns, bie ber Söttingifchen Geſel. 
* der Wiſſenſchaften von mir uͤberreicht iſt ( woraus 
ein Auszug In den Goͤtting. gel. Anz: 1796. 47. St.) habe . | 
ich eine neue, ſehr verbeſſerte Berechnung eines volllom⸗ 
.. mienen 


442 . J 18, Angabe | 


meinen Doppelobfectlvs mitgetheilt. Ich glaube Kunſt 
lern und Liebhabern ber praftifchen Optik einen Dienſt zu 
erjeigen,, wenn ich die Reſultate meiner Berechnung auch⸗ 
durch bicfes Archiv ihnen bekannt mache. Zugleich wirb 
es noͤthig ſeyn, einige: Erläuterungen darüber be 
fügen. 
2. Die ‚Biopträfihen Rechnungen haben überhaupt 
‚ ben Matheniatifeen viele Schwierigkeit gemacht, insbe⸗ 
ſondere aber die Unterfuchungen über die Einrichtung. eines 
aus zwey ober drey Linfen zuſammengeſetzten Dbjectioß; - 
: wodurch bie gleichartigen ſowohl, ald bie ungleichartigen 
- Strahlen fo wenig als möglich zerfirent werden. Die Abe : 
handlungen von Clairaut, d'Alembert, Klingeuſtierna, 
Boscovich, muͤſſen auch einen ſtandhaften Leſer etmuͤden, 
und geben am Ende doch feine befriedigende Reſultate. 
Euler war der erſte, der Licht in die Dioptrik brachte. 
Fu Dennoch hatte ber zweyte Theil feines Werks über dieſe 
Wiſſenſchaft, der von dem Bau ber Zernrähre handelt, 
eine. Umarbeitung ndthig, vornemlich wegen der zuſam⸗ 
mengefegten Dbjective. Das ift in einer Abhandlung in 
ben Comm. Petrop. novis. T. XVIIL geſchehen, bie in die⸗ 
fer Materie eine Hauptſchrift iſt. Ich habe nach Anlei.· 
tung dieſes großen Meiſters eine Theorie der Dioptrik, mit 
einer ausfuͤhrlichen Anwendung auf die optiſchen Werkzen · 
ge, verfaßt *), die beynahe alles leiſtet, mag man von einer \ 
u allgemeinen Theorie bey diefem Gegenftande fordern kann. 
Ich glaubte auch eine Zeitlang, daß fie für die Ausübung 
ſicher genug ſeyn mochte. Allein hier hatte ich zuviel von 
ihr erwartet. 


3. Die Schuld liegt an der Saſchaffenheit des Go 
genſtandes. Erſtulch iſt bag underänderliche Verhaͤltniß 
oe: 


| Hnneldelthe Dioptrik. zeipiig, 1775. 4. 


. 
i 


Wintel ſondern Ihrer Sinus. Dieſes ndthigt, Sinus 
ch ihte Winkel naͤherungsweiſe auszudrücken, ober auf 


wre Art Formeln für die Lage des Strahls zu ſuchen, 


nicht voͤllig genau ſind. Bey einzelnen Brechungen 
m man damit zufrieden ſeyn, allein bey mehreren Bre⸗ 
ugen kann durch dieſes Verfahren eine beträchtliche Abe 


Küng entfichn. Denn es iſt zweyte ns zu bemer⸗ 


„daß eine kleine Veränderung in der Vereinigungs⸗ 
fe ber einfallenden Strahlen ſchon bey einer einzefnen 


chung eine beträchtliche Veränderung in der Vereinie 
goweite der gebrochenen Strahlen nach fich ziehen fan, 


bey mehrern Brechungen noch vielmehr dieſes verur⸗ 


Dazu kommt drittens, daß durch die Abweh 


ug der Randſtrahlen nicht allein ihr Durchfchnittepunft 
ber Mpe ber Linſen, ober ber Abſtand von der naͤchſten 


Senden Fläche geändert wird, fondern auch der folgene i 


kinfallswinkel, wodurch die Abwelchuns auf eine ſehr 
btheillge Art zunehmen kann. 


4. Weil kleine Beränderungen in ber Vereinigungs⸗ 


te der einfallenden Strahlen beträchtliche Veraͤnderun ⸗ 


Lin der Lage der gebrochenen Strahlen nach ſich ziehen 
men, fo kann auch bie Dicke der. Glaͤſer, die ohne große 
iehäuftigkeit fich nicht mit in die Rechnung bringen läßt, 
e merfliche Unrichtigfeit verurfachen. . Die Veraͤnderun⸗ 
sin. der Lage der ungleichartigen Strahlen, die daher ente 
sen, find zwar gleichnamig, aber nicht gleich groß. 
9 ben Randſtrahlen hat die Dicke der Glaͤſer Einfluß 


vohl auf ihren Durchfchnite mit der a, ale auf den 


nfalld und Brechungsmwintel. 


5. Noch ein Umſtand, wofuͤr die Dioptrik zwar 
GE verantwortlich iſt, worauf fie aber doch er 
| En |); 


⸗ 


⸗ 


| eines Doppelobjertivs, 143 
Brechuug gleichartiger Strahlen nicht bas Verhaͤltnitz | 


5 


144 Br Klügel, Angabe / 


nehmen muß, iſt der. Unterfchleb der Beſchaffenheit des 
Glaſes, des, welches ber Rechner voraugfegt, und dei, 

welches ‚der Kuünftler verarbeitet. Darum follte die Bes - 
rechnung nad) ihren gemachten Annahmen fehr genau ſeyn, 
damit nicht die Abweichung der Rechnung und die Abrode 
hung wegen der Befchaffenheit des Glaſes die Schler Hans - 
. fen. Diefes ift noch aus dem Grunde noͤthig, weil der 
Künftler nicht ganz genau die vorgefchriebenen Maaße 
treffen wird, wenn auch die Glasarten die angenommene 

Befchaffenheit haben. | 


6. In der analptifchen Dioptrit habe ich zweyerley 
- Einrichtungen eines Doppelobjectiog angegeben. Die eine 
flimmt mit derjenigen überein, die Euler in den Petersbut 
ger Commentarien berechnet hat, wenn baſelbſt ein Schle 
der Formel in einem Vorzeichen verbeffert wird. Zur Ver⸗ 
gleihung mit meiner neuen Berechnung führe ich die Mag 
ße zu dieſem Objectiv hier an. 


Die Brennweite des zuſammengeſetzten Dorene | 
fey = 10008, fo ift | 
1. die Brennweite der vordern converen Linſe 1985.1. 






der Halbmeſſer jeder Bläche - ‘ 2103 
II. die Brennweite der hintern concaven kinfe 2223 #. 
der Halbnieffer der Vorderflaͤche 1768 
der Halbmeffer der Hinterflähe 4755: 


1m. die Entfernung der Mittel beider Linſen 165 


Zwey von dieſen Graͤßen find in der letzten Zifer hiet 
genauer angegeben, als in der Rechnung 5. 345. der anal. 
Dioptr. gefchehen if. 


7. Es iſt hiebey das Brechungsverhaͤltniß der mitt 
dern Strahlen in Kronglaſe wie 1, 53; 1, in Slintglak 
wie 1, ss: I angenommen. Daß, Verhaͤltniß für die ag 

mie 


* eines Doppelobjectivs. 145 


re und. am wenigſten brechbaren Strahlen iſt nicht 
dn „a 
— — 
ns 1 und.n: x die Brechungsvethaͤltmiſſe für die mitt» 
n Erraplen, und dr; do’ die Veränderungen bon m 
’ 0" für die aͤuſſern bedeuten. Es iſt angenommen, daB 
5 x 
ER nn 
ſt dn—= & 00928. 





nittelbar dabey gebraucht, fondern das 





n 34 fey. Man ſetze dn 0,00636 


8. Um ben Gang der-Errahlen genau zw berech · 
» muß noch die Diefe der Gläfer beſtimmt werden, die 
ber allgemeinen Rechnung weggelaſſen if. Man neh 
die halbe Dicke der Convexlinſe — 50; der Concqb⸗ 
t=20, fo ift das Intervall der innern Flaͤchen 
95, da bad Intervall der Mittel = 165 ifl, "Die 
de Breite der Converlinfe it — 456, wozu der gehda 
Winkel — i2° zı if. Doch ift nicht die Meynung, 


dieſe ganze Oeffnung gebraucht werde. Euler nimme 


Durchmeſſer der Deffnung — 884, der Hälfte, des 
aften Halbmeffer® der brechenden Slächen gleich. Es 
img aber nicht auf diefen an, fondern auf die Einfalls⸗ 
Srechungswinkel. 


9.: Ich habe den Meg der mittſern und der am meis 
brechbaren Strahlen, die der Are ganz nahe durchges 
bobder ohne Abweichung wegen des Brechungsverhälts 
8; bonn auch den Weg der Strahlen von mittlerer 
ichbarfeit, die in der Entfernung eines Bogens von 
von der Axe auffallen, berechnet. Der Wen der ers 
iſt nach einer befannten Formel für die Brechung 
heine Fläche beſtimmt; der andern ift durch trigond⸗ 
kifche Rechnung gefunden, wobey die Winkel in Se · 
echstes Stuck K cunden 

















* B Klugel, Angabe 


cunden berechnet, und bey den kineargroͤßen nach Cette 
fimaltheilchen mitgenommen find, Die Reſultate find in 
folgenden beiden Tabellen enthalten. Die Vereinigung 
weiten der gebrochenen Strahlen find von der brecheuden 
Wlaͤche an gerechnet, 


ohne Abweichung. die abmeis 
Berein|_____ | chenden 


gunger die mitilern bie brechbarſten — 
Weiten, | Straten. | Straplen. ger 


Abwel· 
dung. 








1 | 6068 6021 6029 |— 39 
u. |, 1966 1943 1859 |— 107 
I. 7660» 7648 7767. |+- ıe7 | 





W. 11710 | 11767 ‚| 12120 + 410 











Brechung. jenen. Brechungsminfel, 








7 7 Ver, — 61 Tı — 
u. 13 25 17 | 20 45 6 
1, 22 6 59 13 47 7 
IV. 1234 54 2 2959 


10, €8 erhellet aus diefer Berechnung, baf dis 
Diefe der Linfen eine befrächtliche Veränderung in ber 
Brennweite des zufammengefegten Objectivs hervorbringh 
wobey inzmifchen ber Unterſchied der Brennmeiten für die 
mittlern und bie brechbarfien Strahlen nicht beträchtlich 


1 
iſt, nur — ber Brennweite. Allein die Abwelchung der au 


dem Rande durchgehenden Strahlen von denen, die durch Dit 
Mitte ber Linſen gehen, iſt ſehr beträchtlich. Die Urſache liegt 


etſu 


!. [7 


21 


eines Doppelobjectios.: — 147 


erſtlich in den großen Einfalls⸗ und Brechungsteinfeln an ber 
zweyten und dritten brechenden Släche. Die Formel, nach 
welcher die Abweichung gehoben ſeyn follte, ift für fo große 
Winkel nicht zureichend genau. Zweytens hätte bey der drit⸗ 


ten Brechung gar feine Abweichung bleiben folten, weil die 


vierte, wegen der Eleinen Winkel des Strahl mit dem 
Halbmeſſer der Släche, gar feiner: merklichen Abweichung 


unterworſen iſt. Die Abweichung - 410 rührt beynahe 
ganz und allein von der Abweichuns - 107 bey ber drit⸗ 


ten Brechung her. 


11. Es muß daher die vordere Linſe ungleichſeitig 


gemacht werden, und der Halbmeſſer ihrer Hinterflaͤche 
groͤßer ſeyn, als der von der Vorderflaͤche, damit der zweyte 
Einfalls, und Brechungswinkel kleiner werden. Sch habe 
auch bey der zweyten Angabe eines Doppelobjectivs (Anal. 
Dioptr. $. 354.) den Halbmeſſer der Vorderflaͤche etwas 
fleingg gemacht, als den von der Hinterflaͤche, in dem 
Verßhaltniſſe von 191: 233. Diefes iſt aber nicht zurei⸗ 
hend. Am beften it es, die Halbmeffer fo zu beſtimmen, 


daß die Winfel des auffallenden und augfahrenden Strahl . 


mit den Halbmeſſern ſich einander nahe gleich ſeyn. Das 
durch werden die Winkelabweichungen auf beiden Seiten 
- gufammengenommen ein Kleinfled. Die kaͤngenabweichung 
auf der Are durch das erſte Glas wird zwar alddann niche 
ein Kleinſtes; allein es iſt an einer Vergrößerung der Laͤn⸗ 
genabweichung weniger gelegen, ald an einer Vergrößerung 
der Winfelabweidhung, die zu ihrer Hebung wieder einen 
größern Einfallswinkel an der dritten brechenden Flaͤche 
erfordert. Je kleiner die Einfalls⸗ und Brechungswintel 
gemacht werben, deſto weniger hat man eine nachtheilige 
* Abweichung der duffern Strahlen zu fürchten, wenn bie 

ber mittlern gehoben iſt. | 


Er 7 ze 12. 68 


1 


148, HH. Klügel, Angabe , 


12. Es fey der Abſtand des leuchtenden Punkts 
ober eined Vrreinigungspunftes ber Strahlen vor einer 
biconvexen fine = a; ber Vereinigungspunft- hinter der 
Eine — a, das Brechungsoerhältnid — n: 15 ber, 
Halbnieffer ber vordern Flaͤche — f, der hintern — g, fo 
ift, wenn der Einfallswinkel dee aufallenden Strahlen 
dem Brechungswinkel dur ausfahrefiden gleich if, nahe 


al—ı)au _2b—r)aa 
@—n)atıa" —e—n)atne” 


= 


und, wenn a unendlich groß if, 


2.(n— 1) 2(n—1) 
fe ——ai = ——a, 
n 2—n 


4 B. wenn n = 1,53, ſo iſt ig=47' 153. 

13. Die Abweichung bey der Brechung durch die 
erfte Linfe muß durch die Abweichung bey der dritten Dres 
chung gehoben werden, ‘fo, daß bey diefer gar Feine, oder 

weine-fehr geringe bleibe. Die Abtweichung bey der dritten 
Brechung entftcht, theil® von der Abweichung bey den bey« 
den vorhergehenden, theils bey biefer unmittelbar. Es 
fey a ber Abftand des Vereinigungspunktes der auffallen» 
den Strahlen hinter der dritten brechenden Fläche; der 
Abftand des Vereinigungspunftes der gebrochenen Straße 
len, beide ohne die Abweichung; Aa und Ad die Verdi 
derungen berfelben durch die Abweichung bey den beiden 
erften Srechungen; n: 1 das Brechungsverhältniß, fo ift 


nahe Ad=—raa Ferner ſey x der Abftand bes Ein« 


falspunftes von der Are, fo iſt die Abweichung, welche 
die deiste Örechende Fläche unmittelbar verurfacht, nahe 


eines. Doppelobjectivs, 149 
(da) (d—a)'x* 


2(n—ı)’a’d 
Weil aa fubtractio, ift, alfo auch Ad es iſt, fo fege 
man, um die Abweichung zu vernichten, 
®  -. (da) ld—a)'x* 
Aa aaa 
„oder: 
2(n—ı)'ad’. Aa=n(nd—a) d—a)’x", 
Hier find a und Aa durch die für die Convexlinſe angeftellte 
Rechnung befannt, und x wird nahe genug durch die Law 


ge des Strahld nad) ber zweyten Brechung gefunden, 
Folglich wird d durch Aufidfung ‚siner cubiſchen Gleichung 


erhalten, oder bequemer der Quotient &, um daraus zu 
a 


» 


Berechnen. Ang den beiden’ Vereinigungsmeiten a und-d 
ergiebt fich der Halbmeſſer der brechenden Flaͤche, vermite 


teift der Gleichung, r — [er -—) & Beil die 
= 3 


gebrauchten Formeln nicht ganz genau find, fö muß man 
durch naumeriſche Rechnung die noch Übrige Abweichung 
ſuchen, und durch eine Veränderung bed Halbmeſſers fie 
gänzlich heben. Die Beſtimmung des Halbmeſſers ift frey ⸗ 
lich etwas befchmerlich, „allein, wenn fie einmal für gerotffe 
‚Annahmen der Brechungsverhaͤltniſſe und anderer Größen 
gemacht ift, fo wird man für andere Fälle den Halbmeſſer 
durch Verſuche nit einigen Werthen leichter finden fönnen, 
bey welchen zuerſt nicht die völlige Schärfe nöthig iſt. 
r 83 i Man 


9). Analyt. Dioptrik. 5 1741 wo a megativ zu nehmen; und 
ki 





150 I. Klügel,; Angabe 


- Dan berechne nämlich für eisien nach Gutduͤnken an« 
genommenen Halbmeffer der dritten Fläche, x, die Vereini⸗ 
gungsweite der mittlern Strahlen Rohne die Abweichung, 
und bie Vereinigungsmeire d derfelben mit der Abwei⸗ 
ung, ferner für einen Halbmeſſer, r + A r, bie 
Vereinigungsmweiten I Ad und d+Ad. Es ſey 

Ad=pArund Ad=gäAr, fo kann man für Feine Ber- 
änderungen bie Factoren p, q, als unveränderlich anfes 
hen. Diefe findet mar durch numerifche Rechnung, aus 
den zwey berechneten Werthen vou Fund. d. Nun bedeute 
Ar denjenigen Werth der Veränderung ven r, wodurch 
die beiden DVereinigungsmeiten aleich werden, fo if 


dp Ar—=d-+gAr,und ae. Sind die Vers 
Änderungen des Halbmeſſers und der Vereinigungẽweiten 
= und es iſt Arfübs 
tractio, (wenn d größer als 2, und p größer als q ift, 





ungleichnamig, fo iſt Ar—= 


14. Nachdem ber Halbmeffer der dritten brechene 
den Fläche beſtimmt ift, Berechne man den Weg ber am 
meiften und am wenigſten brechbaren Strahlen durch die 
drey erfien Brechungen ohne die Abweichung. Die Bereis 
nigungsmweiten der auf die vierte Fläche fallenden Strah⸗ 
len geben mittelft des Halbmeffers derſelben die Vereini⸗ 
gungs weite der gebrochenen, welche: für beide Arten die ⸗ 
felbe if. Dadurch erhält man eine Gleichung für den 
Halbmeffer. Die Vereinigungemeiten der auffallenden 
Strahlen feyn-a und a, die Brechungsverhaͤltniſſe mız 


und psz, ber Halbmeſſer der brecheuden Fläche —r, ſo itt 


(n—m)aa = (na—ma)r. 
Solchergeſtalt iR das ganze Doppelobjectiv beftimmit 
ſo daß beide Arten der Zefteraungen voͤllig gehoben flud. 


15. Es 


eines) Doppelobjectivs, 151 


r5. Es fey num, nach Beguelind Beobachtungen, 
das Brechungsverhaͤltniß 


in Kronglas für die viofetnen Strahlen 1,53761:1 
für die mittleren 1,53175:t 
für die rothen 1,52588;1 
in Flintglas für die violetnen Strahlen 1,59058:1 
für die: mittlern 1,5812131 
fuͤr die rothen 1,5718431 


Fuͤr dieſe Verhaͤltniſſe habe ich folgende Maaße 
zu einem vollfommenen Doppelobjectiv gefunden; 


L Drenntveite der Converlinfe von Kronglas 


für die mittlern Strahlen 10000 
Halbmeſſer der Vor derflaͤche 6943 
Hinterflaͤche 22712 
Dicke 250 
Durchmeſſer der ganzen Oeffnung 32146 
U. Brennweite der. Concabliaſe von Flinfe 
glas. 14074 
Haĩbmeſſer der Vorderflaͤche 14856 
Dinterflaͤche 18211 
Dicke 100 
21. Abſtand der innern Flaͤchen beider einſen 100 
IV. Brennweite des Doppelobjectivs 32056 
V. Die ganze Oeffnung ber vordern Linfe In 
Graben 26° 48 2 


Die Maafe haben Feine. beſtimmte Einheit, Ans 
der verlangten Brennweite. des Doppelobjectiog, melde 
hier 32056 Theile hat, werden alle Maaße, für bie ger 
gebene Einheit, als Zolle, durch die Regel de tri gefun⸗ 
den. Von dem. Falle, da das Glas zu, der Conbexlinſe 

84 nicht 


m. Klügel; Angabe 


nicht die gehörige Dicke hat, wird unten Erwähnung, ges 
ſchehen. 


16. Den Weg der Strahlen fielen folgende ‚beide 
Tabellen dar. Die Vereinigungemeiten der gebrochenen 
. Strahlen find von ber brechenden Fläche anzu nehmen. 


153 


























ohne Abweichung. | 
Vereini⸗ abwei · 
gung. | | chende 
weiten. violefne. | mittler. | rothe. mittlere. 
L | 19858 20000 20146 19871 
u 9795 9904 | 10015 9753 
1m. 25099 25154 25210 25154 
IV. 32056 |.32056 | 32056’ | 32054 

Einfatswin. | Brechungs ⸗ 

Drehung. | per, winfel. 

L [10° 0°.0*| 630734" 

u, 6 30 58) 10 0 37 

au. ir 34 31| 7 ı7 26 

IV. ı o52| 13615 


Die groͤßern Winkel find nur halb fo groß als bey 


der obigen Einrichtung ($. 9). 


Diefes iſt wegen, der une 


gleichartigen "Strahlen wichtig, deren Abweichung nicht 
ganz gehoben if. Ben großen Winfeln: wird auch die 
„Abweichung derfelben größer ſeyn, und die Laͤngenabwei - 
dung des Strahls nad) ber vierten Brechung kann leicht 
ſehr beträchtlich werden, da er die Are-unter einem Fleinen 
Winkel 


BE 4 x 


"eines Doppelobjectivs. 153 


Wintel ſchueidet Dee Durchfefnittsteinfel iſt fůr die 
mittlern Strahlen = 2°6' 37”. 


| 17. Es ſey bie Brenntveite des Doppelobjectivs 
veon der letzten brechenden Flaͤche an gerechnet == 
10000, ſo ſind 
bie Brennweiten der Glaͤſer: 
1. 311934. U. 4390. 
die Halbmeffer der brechenden Flaͤchen: 
L2166, 1.7085. I.46323. 1,5631. 


Dieke der Eonverlinfe — 78. Dide der Concade 
linſe — 31. Abſtand der innern Slächen beider Gläfer 
= 31. Banze Heffaung der Eonverlinfe = 1003. 


Diefe Maaße weichen ein weniges won den im meis 
ner Abhandlung angegebenen ab, weil ich bey der für-dies 
‚fen Auffag. wiederholten Rechnung noch Bruchtheife mit ⸗ 

. ‚genommen habe, bie bey der erſten Rechnung bey Seite 
gefegt find: 


18. Das hier berechnete Doppelobjectis vertraͤgt 
eine fehr große Oeffnung, faſt die ganze der Vorderlinfe, 
da die Abweichung für einen Einfalswinfel von ro Grad 
an der erften brechenden Fläche gehoben iſt. Fuͤr kleinere 
Einfallswinkel kann ſchwerlich eine Abweichung nach der 


5 letzten Brechung Statt haben, oder wird doch nur unbes 


traͤchtlich ſeyn. Für größere Einfallswinkel wird aller 


> bings eine Abweichung eintreten; allein man wird ohne 


Zweifel‘ einen Einfalswinfel von 12 Grad zulaffen kön⸗ 
nen, wozu die Oeffnung des Vorderglaſes gor-ifl. Die 
Erfahrung wird bey einem nach den angegebenen Maaßen 
(ausgearbeiteten Objectiv Ichren, wie groß die Oeffnung 
genommen werden koͤnne. 


K5 19. Die 


\ 


\ N 


254 . I Ste, Angabe 


x 1% "Die, gefundene Einrichtung weicht bon der oben 
. ($. 6) angeführten ſehr ab. "Eine Haupturfache ift die" 
Berfchiedenheit der Brechungsverhältniffe. Wenn die Dicke 
der Glaͤſer hintan geſetzt, der Abſtand der Dritten der ld 
fer aber fo gelaffen wird, wie er Gier angenommen if; 

und man nun nach den Sormeln $. 341. der Analyse 
‚ , Disptrif die Brenntoeiten. der beiden Glaͤſer berechriet, die 
Brennweite des Doppelobjectivs — 10000 gefeßt, | 
findet ſich die Brennweite des Convexglaſes — 3052, 1 und . 


die Brennweite bes Concavglaſes = — 4218. 


20. Die angenommene Dicke der Glaͤſer fann ei | 
kleine Abweichung der Ausführung von der Rechnung | 
nothwendig machen. Wenn 5. B. die Dicke ber Glaſtafch 
gu der Eonveplinfe nur wenig über 2 Ein. beträgt, ſo daß 
dieſe nur ‘2 Ein. dick werden kann, fo iſt die Brennwein 
des Objeetivs für dieſe Dicke 256 Lin. oder 21 Zoll 4 
Lin. Für eine groͤßere Brennweite muß daher, wenn mar: 
kein dickeres Glas erhalten fann, eine andere. Nechnung . 
angeftele werden ‚ in welcher bie Dicke der Converlinfe in 
Verhaͤltniß gegen ihre Brennweite Feiner genommen’ wird. 
Inzwiſchen mag auch In diefen Falle unfere. Conſtruction 
beybehalten werden. Denn bey einer geringen Veraͤn⸗ 
berung in. der Lage der Brechenden Slächen, als bier ſich 
ereignet, werden die Bereinigungspunfte. der ungleichartle “ 
tigen Strahlen faft ganz auf diefelbe Are verrückt, fo beb - 
- wenn gleich das Bild des Objects ein weniges feine Stelle. 
‚verändert, dennoch die Deutlichfeit von der Farbenzer : 
freuung gar nichts leidet. Die Strahlen, die um den | 
Rand durchgehen, leiden auch fehr nahe diefelbe Werd | 
berung. ihrer Lage, als die der Are nahen; ber Untere 
ſchied IR nur des zweyer Eleinen Größen, nämlich der . 
Abweichungen wegen ber. Geftale der brechenden Flaͤchen, 
die teis.möglichft Hein gemacht haben, Sngwifchen wäre 
| . «8 


2 D 
. 





oo — ur . 
Y nr, ‘ ’ \ 
— u ı- 
\ u ' 


F eine Depp Bu ss 


it, fir. große: Breanweiten die Rechnung beſonder | 
machen, theild um fich von ber Abweichung zu verf- 
n, bie eine relativ geringere Dice der Siäfer verur⸗ 
RR, theils auch um bequemere Maafſe zu verſuchen. 
* bey einer relativ geringern Dicke werden die Einfalls. 


VDerchunsswintet kleiner, und man hat alſo mehr: Frey⸗ 


die Halbmeſſer der. brechenden Flaͤchen zur Bequem⸗ 


keit der Ausarbeitung zu beſtimmen, ohne befuͤrchten 


härfen, daß die Abweichung der Brechungsktaͤfte und 


‚Ausführung nachtheilig. werden mögen, oder daß die 9 


meichung wegen der Geſtalt fuͤr die ungleichartigen 


rahlen merklich verfchieden aus falle. Ich werde zu ei 
andern Zeit eine ſolche Rechnung vornehmen. Gleich⸗ 


8 iſt es für kleine Brennweiten noͤthig, ben Weg der 


rahlen fuͤr relativ groͤßere Dicken der Glaͤſer zu berech⸗ 
damit bie Oeffnungen groß genug ausfallen... Der 


ligkeit wegen koͤnnte man bey biefen bie Vorderlinſe 


ichſeitig machen, und ſich dagegen allenfalls eine kleine 


veichuns ber Strapien wegen der Sefalt gefallen laſſen. 


an. Die uebereinſtimmung des Erfolge, in ber Aus⸗ \ 


rung mit ber Rechnung,. hänge theild von ber Uchereins 
fe der angewandten Glasarten mit den bier angenoms» 


wen, theils von ber Genauigkeit des Künftlers in Befol⸗ 
171 der vorgefchricbenen Maaße ab. Eine Kleine Ver⸗ 


—2 


ledenheit der Brechungsverhaͤltniſſe von den bey der 


nung gebrauchten, lann nicht nachtheilig ſeyn, weil in 


iu berechneten Ob jectiv alle Farbenzerſtreuung gehoben 
pi and unſer Auge keine gebmetrifch genaue Vereinigung . 
Strahlen fordert. Wuͤrden die Brechungsverhaͤltniſſe 


e ‚gleichförmgg geändert, fo mürbe nur das Bild ver⸗ 


de, und die ungleichartigen Strahlen werden, wo nicht 


nau, doch ſehr nahe, in einen Punkt vereinigt werden. 
om einem m Unserfihe in der er Garbenjefiremung Bin a | 


—*8 


“5: 


ur ve 0 JE Klügel, Angabe 


Intervalls der. Glaͤſer wieder ver„üret merden koͤnne, 


groͤßer geſetzt als es ſonſt noͤthig geweſen waͤre. Iſt Die 


genommen ift, fo ift dies nicht hinderlich, meil durch dM 
Einrichtung des Glaſes ale ungleichartige Strablen ge ; 


— 


| 5 - muß mehr als ein Converglag fchleifen, mit etwas verfchle : 


| meſſer, als bier angegeben if. Am beften iſt es, wenn 


Worde afe von der Unnahme und der Vorſchrift — * 


des Glaſes, die nach unferer Rechnung ganz gehoben ib. 


Ä Brechungsverhaͤltniſſen ihre Rage ohngefaͤhr eben fo, wi 


. Kändiger, die Maafe nach meiner Methode zu berechnen 


was meße u Geforgen. Do ‚wird man durch eine Ben 


£ änderung in den Abftande der Giäfer beifen können, da Ä 
. bie allgemeine Rechnung, mit Weglaffung.der Dicke der 
„Glaͤſer, zeigt, daß eine Veränderung in dem Brechungh 











aud Zerftreuungsverhältniffe durch die Veränderung 2 


daß die Brennweite des Concavglaſes für die mittlern 
Strahlen dieſelbe bleibt. Darum ift auch dag Interval 


Sarbenzerftreuung durch das zweyte Glas geringer als a 


einem noch groͤßern Umfange bereinigt find. 
22. Am nachtheiligften ift eine Abweichung an en 


Rechnung. Denn die Abweichung ber mittlern, der Axe nahen 
Strahlen wird durch das zweyte Glas vergrößert, naht 
in dem DBerbileniffe der Quadrate der Vereinigungsweitet 
von der Mitte des Glaſes gerechnet, bier wie die Dus 
‚brate vom 9754 und 32106, daß iſt, wie 1:10,89. Deu’ 
‚dem Unterfchiede der Farbenzerſtreuung ift auch bier mehr 
su fürchten, al8 von der Abweichung twegen der Geſtalt 


Die abweichenden Strahlen ändern bey etwas un 


die an der Are nahe hinfahrenden. Eine Veränderung dei j 
Libſtandes ber Glaͤſer kann auch bier helfen. Oder mar - 


denen Brennweiten, aber demfelben Verhältniffe der Halle. 


ber Künftler die Brechungsverhältniffe in feinen Glasartes 
genau fennt, woraus er ſelbſt, oder ein Mathemaͤtikver⸗ 


23. Die 


0. . “ v 
& . te, si . - «. 


43. De veetn— eines breyfachen Diem 


F * alle Zerſtreuung iſt fehr muͤhſam. Die Aus. 


en mißlich, da wegen’. der Befchaffenpeit der 
ten und der Abweichung von der Borfchrift bey den 
Barheitung, die Sehler. ben drey Glaͤſern ſich weit mehr 
Km: ſonnen, als bey zweyen. Ein vollfommened Dope 
tie hat den Vorzug der größern Helligkeit des Bil 
attet dag dreyfache Dbjectio einen größern Halbe 
Br ‚der -erfien.. brechenben Fläche, ohne die Einfales 
—— nachtheilig groß zu machen, ſo 

es dadurch iu Abſicht auf Helligkeit dem Doppelob⸗ 
w gleich kommen, oder gaͤr es uͤbertreffen. Sonſt iſt 
Vortheil, daß die Glaͤſer des dreyfachen Objectivs 
dere Brennweiten haben, nur alsdann erheblich, wenn 





Abweichung wegen der Kugelgeſtalt nicht ganz gehoben 


:: Weg großen Brennweiten des Doppelobjectivs kann 
u aber auch, wie vorher ſchon bemerfs.ift, Dem. 
dena: der. Vorderflaͤche des Convexglaſes relativ 
machen, da in diefem Zalle bie Einfalis⸗ und Bre⸗ 
Big nur mäßig find. Darinn hat da dreyfache 
* einen eigenen Vorzug, daß die Angleichartigen 
wahlen, die von dem Rande des Objſects durch die 
Kge des erſten Glaſes gehen, durch Die zwey audern 
‚garaliel gemacht werden koͤnnen, ſo daß auch. in Ab⸗ 
Mafia Bi Garbengerkreuung unmerklich wird. 


I Das von mir gebrauchte Verfahren: weicht. 
44 dem ab, deſſen ſich Jeautat in den Pariſer 





andiren für 1770 bedient hat. "Er hat hier Tafeln jun 


— 


2 ei. Dorn, | , 7 . 


[2 
Er Eu 
Ku 
% 


⸗ 


mfertigung, nicht allein gedoppelter und dreyfacher, ſon⸗ 


fü auch vier⸗ und. fuͤnffacher Dbjective geliefert. Eine. 


Hfeines. Doppelobjectioߔbefleht aus einer gleichfeitig. 


aberen Linſe von Venetianifchem Glafe, und einer Con⸗ 


— —« von dintalas. Die Halbmeſſer der exſten drop. 


; | 0 broe⸗ 


- “ v 
Pr ” . . R .“ N, 


vu 


⸗ 


Glasarten find eben fo die Halbmeſſer aller innern Sid. 


“ =. 
um ä % 


258 | n. Klagel Angabe 


brechenden gläcen find fich gleich, per halb neffe ve 
vierten Fläche iſt relativ beträchtlich groß. Die ander , 
Art beftcht aus einem conver » concaven Vorderglaſe non. 
. Slintglad und einem converen Hinterglafe von veneriahk ' 
ſchem Glaſe. Die Halbmeſſer dee inneren brechenden Sid: 
chen find fih gleich, und die ber aͤuſſern find ſich end. 
gleich, und viel größer als jene. Bey den andern, * 
fammenfeßungen aus abwechſelnden Linſen von den 





ſich gleich, und bie der beiden aͤuſſern ebenfalls. DR. 
Winkel, welche die Halbmeſſer an ben Brehungspunfim - 
eines beſtimmten Strahles mit der Are machen, werden 
für die innern brechenden Flächen einander gleich genom - 
men, und der Halbmeffer der legten Fläche wird fo be⸗ 
ſtimmt, daß der Winkel des Halbmeſſers an dem 
chungspunkte mit der Axe, dem Winkel des Halbmeſſers de 
erften Släche mit der Are ebenfallg gleich wird, und ie | 
gleich fo, daß bie ungleicjartigen Strahlen parallel wer⸗ 
“ben. Jeaurat bedient fich nicht der dioptrifchen Formels 
. für Strahlen, die der- Are“ fehr nahe liegen, fondern 
berechnet fuͤr zwey verſchiedene Einfallswinkel an der en 
fien Släche, den von 1" o und den von 6° 50’, ben Win 
kel des Strahls nach jeder Brechung mit der Are: Di‘ 
Mechnung ift empirifch, das ift, es wird durch arichmetb 
ſche Verfuche gefunden, wie groß ber Winfel der Halbe 
meſſer an den Brechungspunften der innern Slächen mit 
der Are genommen werden müffen, damit der Halbmeffer . 
an dem leuten Brechungepunfte denfelben Winkel mit der 
Axe mache, welcher für die erſte brechende Flaͤche ange⸗ 
nommen ward. Die ungleichartigen Strahlen werden bey 
dieſer Methode eigentlich nicht in einen Breunpunkt zu⸗ 
ſammengebracht, wie Jeaurat annimmt, ſondern nur par⸗ 
allel gemacht, Auch find die Brechungspunkte für Die 
moleichartigen Strahlen nicht Bifelben, wie Jeaurat file 
ſchwel⸗ 


l 


‘eines Doppelobjectivs. 159 


gend vorausſetzt. Wegen ber Eleinen hier vorfome 
m Winkel if die. Rechnung etwas mißlich, da die 
n Sehler fich häufen können. Die Dicke der Glaͤſer 
von Jeaurat in Betracht gezogen, alkin , wie es 
t, in der That nur bey dem erſten Glaſe. Denn es 
ten bey einer gegebenen Dicke der Glaͤſer bie Winkel | 
s ben Brechungepunften gehörigen Halbmeffer mit der 
nicht genau die angenommene Größe erhalten, Die 
e follen ich faft berühren, daher in der Rechnung, 
bſtand ihrer entgegengefeßten Slächen als null betrach⸗ 
ird. Dieſer Umſtand moͤchte auch einige kleine Ab⸗ 
ung verurſachen. Was aber als das wichtigſte gegen 
rats Verfahren gu erinnern iſt, iſt? daß er die He⸗ 
der Abweichung wegen ber Kugelgeſtalt ganz vernath 
fe Er befriedigt fich damit, daß die Abweichung an 
Linfe durch die an ber folgenden, wegen ihrer entges 
eſetzten Brennweiten vermindert wird, und hält zur 
ing der Abweichung, wenn fie möglich ſey, für das 
ge Mittel die Vergroͤſſerung der Halbmeſſer der bre⸗ 
ven Flaͤchen. Es iſt aber, bey den willkuͤhrlichen 
ahnen, die Jeaurat gemacht bat, ſehr zweifelhaft, ob 
je Abweichung wegen der Kugelgeſtalt hinlaͤnglich klein 
en. Don feiner Conſtruction eines Doppelobjectivs 
einem conver⸗ concaven Vorderglaſe und convexen 
'erglafe führt er an, daß die Maaße genau dieſelben 
„ als er fie an einem Objectiv gefunden, das vortreff« 
fl. Dieſes ift begreiflich, weil bier, wegen der Lage 
drey erften Flächen Eleine Einfalld- und Brechungs⸗⸗ 
tel vorkommen, und die legte Flaͤche, wo diefe Winkel 
fer werden, einen großen Halbmeffer hat. "Bon einem 
fachen Objectiv, das nach feiner Nechnung verfer⸗ 
if, und 4300 10 kin. Brennweite hat, ruͤhmt er, 
es noch eine etwas größere Oeffnung vertrage, als 
beſten engliſchen Verſpective von 6 ao. bit eine 


Di 


Pa | 


160 IL Alligel, Angabe eines Doppelobj. 


Deffnung von 15 uinien befommen ‚ da fin Objeen | 


18, Ein. breis ſey. 


25. Die Beobachtungen, welche Jeaurat über be. 
, Brechungsverhältniffe des Venetianiſchen und des Flint 
glaſes angeftelle Hat, find merfwürdig. Das dazu ange . 

. . wandte Verfahren ift folgendes. Es ward von jeder die⸗ 


fee Glasarten ein halbes Convexglas von 29 Ein. im 


Durchmeſſer und 2 Lin. Dicke aus derfelben Schale ger 
ſchliffen; beide wurden zu einem zweptheiligen ganzen Glaſe 
-  - erkunden; das Bild der Sonne durch die eine Hälfte, in⸗ 
dem bie andere bedeckt war, warb auf einem matten Blafe :. 


aufgefangen. Der Abſtand des Bildes von dem Glaſe 


gab .die Brennweite der mittlera Strahlen. Die Dream 
- weite der rothen ımd dioletnen Strahlen zu erhalten, ward f 


ein rothed und violetnes ebened Glas nahe vor bad Dip, ' 


der Sonne geftellt. Aus den Brennweiten esgeben ſich u 


Brechungsverhaͤltniſſe leicht. 


26. An dem Venetianiſchen Glaſe, wovon der Cu- 
blczoll 950 Graͤn wiegt, iſt 
das Brechungsverhaͤltniß der rothen Strahlen 1, 258:1 
— — ber mittlen 1,5298:1 
— — der violetuen 1,5433:31. 


An dem engllſchen Keyſtau⸗ oder Flintglaſe, wovon 


der Cubiczoll 1215. Graͤn wiegt, iſt 


das Brechungsverbaͤltniß der rothen Sirahlen I, 59208! V 


— — der mittlern 1,5973:1 


— 


Das zerfrenumgoberhditni iſt 175: 309. 
Fuͤr die Strahlen, die hier die mittlern genannt wenn 


dan fäge das Breungeorhälniß viel näher an: bag fe. | 


/ 


J 


— — „ der violetnen 1, 6229:1.' 





⁊ 


* 


=. . \ 


eines Doppelabjetion on 16 
die vötßen. es nd eigentlich diejenigen, deren Brechunge- 
ltniß aus dem Abſtande des Bildes ber vereinten un. 
| glei jartigen Strahlen gefchloffen Al. Man muß fiegang - 


pr . 
L 


. dep Seite ſetzen. Ich werde fünftig die Berechnung eines ’ u 


x x Dbjective wach diefen Brechungsberhältniffen vornehmen, 
‚damit man fehe,. mas ein Unserfchieb der Brechungsver⸗ 
J galtniffe für Einfluß auf bie Maaße zu dem Obſjectid 
| IE Id, f 
Duni von einigen merProürbigen Ligen⸗ 

ſchaften der Bizonlal Coeffcienten. 


“2; 


= 





2. Bing iſt, meines Wiſſens der er, der den me un 


‚würdigen: Sat don den Auabraten der inomlal Cocſſp 
cienten, 


* ⸗ 
Pig 





z +5 RE rennen X. 
2. ı 2% 3° 


, 51.305.7. Gn—r) 7 
———— —. > , 
ar 4» 6.8... ' an : . yo’ 


| —J 
uad zwar zufaͤlliger Weiſe, veunden Er fand um - 
Ve eine gewiſſe Wahrfcheinlichkelt zuerſt den einen, und 


fe dieſe nemliche Wahrſcheinlichkeit hernach auch den 5 | 





; Uusorucd, woraus er ſchloß, daß fie gleich ſeyen. 
nen analytiſchen Beweis aber, fast er, hätte er noch 
aicht gefunden, und ein folcher ſcheine auch jieinſtch ver 
heeckt gu ſeyn. Die Abbaudluns ſeht in den Berliner 
wewoiren. 


Sehen Bud. Dar GE 


— Sn... 


: | 


/ 
I 
h 
A * 


⸗ ' ” Pi 
F 1% IR — | 


163 II. Bugengeiger) merfwärdige Eigenſchaften 


. MwMein erſter Verſuch, dieſen Satz gu beweiſen war, 
daß ich die beyde Reifen 


KUHN... HI 
I—-IHTB... + 9 


von denen bie erſte gleich o, mit "emander mipliite nn 
das Produft in folgende Form | 
\ r 


*9 —— mehrere Leſer wird es nicht U ſeyn, zu erinnern 


2212⸗⸗21 


1, my, md, nC.. IL. En Pa. OP. au 


um Poteniesponenten: m ee! ige Binsmials Sueffs 
xienten, und zwar, nah ii Tdaung wie bier fiehen, den : 
oten, ıften, ateı, Zten... nie... (munter... ten. 9 
en au. bedeuten; 10 alfo in 


&r mm—I.. ‚m—atrtt 





I.2.0ooo.. acthr 


Herr Bugengeiget hat ſich nehmlich, in diefer Abhandlung 
Sur. ai ig, der yon mir für diefe Coefficienten eingeführrew 
Zeige: mer Sylt. Perm, p. XL, 9) bedient, auf deren Be 
quenilichteit, in Abſicht auf Furze D meine und leichte Um⸗ 
wandlung in alle Geftalten,- Herr Vrofeffor Flügel den Vver⸗ 
jaffer zuerſt aufmerkfam gemacht bat, Durch Beyhülfe die; u 
reichen kann man den verwideltiien Verbindungen und 
lationen bie Br Eoeffisienten leichter nachſpüren und ihre 
Werthe auffuden; wonon auch gegenmärtiger Iehrreiche Aufe 
Taß eine übergeut igende Probe sit, Mehrere jolcher Nelar 
tionen und Verbindungen babe ich mir vorlängit zu meinem 
J ee entwicelt und geſammelt; dergleichen J 
J Anal. 167— 171.) und Herr Yrs 
Rothe RS binam. — vniuerf, demonftr. 1796. 85. IV; Vy 
VI, VI) auf —7 — haben; auch Herr Prof. Klügel, mad) . 
einem mir ohnkängft darüber zugefendeten Auffare. Davet- 
und wie fi rg ge ‚Sufummenfegungen urminelber auf 








der Confiruetion folder Esefficienten, mılt Zusiehung derei 
fahten combinateri Verfahren, ableiten laffen, ben Be 
jebener Gelegenheit, und vielleicht bald, an einen andern 


drte. 
Hindenburg 








. der Sinsmial, Eofflienten \ 163. i 


ra mr 22, DB... + 1.07 
— SAL) 231-2) — 2E(ı- mm) 
— ZN) HB U) — RE(t- U 2%) 


etc. 


| brachte, woher man, weil 


1 1- Ya 


A = — if; 1— BU = I 


dur leichte Rechnung erhaͤlt, 


1. + 1 my... +1. ne ee “ 


BR. 2 mg) 
woraus fogleich folge 
"KIM... PL. mg — mengg 
welchen dee Sat von La Grange auf eine leichte Art, 


wenn man m=—n feßt, hergeleitet werben fann. 


Nachher, als ich diefe Rechnungen laͤngſt zuruͤck⸗ 


gelegt hatte, fand ich in dem Vand von 1781 ber Ad. 


- 


Petzob. jivep Abhandlungen von Euler: de mirabjlibus 
proprietatibus unciarum binom. etc,, worinn er auch. den 


erſtern Sag aus den letztern allgemeinen berleitet, weichen | 
er, mittelft feiner befannten Bezeichnung ber Binomjalo 
Koeffigienten, auf eine ſehr einfache Art beweiſt. Da Euler 
dlefe Eigenſchaften merkwuͤrdig fand, ſo wurde ich bewo⸗ 
gen, auch meine Rechnungen wieder hervor zuſuchen, und 
Be Hier mitzutheilen. 


N ı 62 eg Glan, baßı wenn | 


I u BE N 
* Rh von ren bezeichner und man ſezt 


Die Vorzüge der Bezeichnung folcher Glieder durch die von 
er eingeführten, . zn et ne — — | 
=." TER, u ber gewöhnlichen, O1 Kam 937 94 UND 

200 b ) ausführt Be da drũcke, — in 


Ss 


164 IH. Bujengeiger, merkwuͤrdige Eigenſchaften 


er 3 
your ; ayayly ya 


* 1 J 


— EAN 
yyay 5 Ay—ay—ar ; Ay ay— Aryl 


PR Es oe 

y-y=Ay »Ay—Ay=Ay; Ay-Ay—Ay 
urſ. w. u. ſ w. u. ſ. w. 

ſo iſt 


— 


ı 2 — 
a Ary — — Ay By... hy +ry 


mo das obere Zeichen Für gerade, das untere abır | 


für ungerade genommen werden muß, 
. . 
Byayt May + Bei'yan. Hay 
MU DB. 


% 2. Sag. Es iſt ı ae er 
.—ı .-ı 
C.E..... 1.r% ray 
— 78 Ehe — 
ra A 





De 
man z 3 
U, Br 5 a420C 
ſoita * nf 
Auf 


— 
und 2°, für Sauy und y votkommen, ſtehen Sun (One " 


v. und 97 VIE) wenn man, im erften Falle m — x ul 
a AZ ET >. 


.., * * 

= ‘ . 
v.y - * e J \ ; x ° 

. 5 Eu Br nr N r - : “ . "- 2 3 

. pr So : ” * R 1} ” j * ® 

x ur . at . » s — X 
Ver, Binomials Eoefficienten. 268 
x WE oo, 9— —— 


— u j | ori) u 
| ar — ; woher Det it. | u. 
— u 


- 


| 13 3- Subfituiet man abe in 2"; $. ı bie Greten, | . 


Bed EN 

a . A. ne I 8. Ay. PR, By 

3 — —n m Tom | 
* 7B F 75 


we Sedt man in 2, y— —i fi 
F A 1 2 +1, rd —ı u. ſ. w. — 


wear men erhalt: = | u \ Da 
„st MB. IEREFUEN SEE, 

ur: Sept man $. 2.,y=ß—ı fo erhält man, ve. - 
Bas Fi ar -. = — 
446 8 | 


Ir —%— WR..— 
J un; m 





J 


A EI SELTEN I er I 

SU OFTGREn.JAFER 02420 + — I — N 

7 ug a “2 J F* yrıe Zu | 
ou ut 

er a u ya. ” ee! 

83. 5.7. 











. 
\ - 
* ” sv “ 
r Sr . ö » 
. - ‚ t - 
. ; B 
. [2 \ { - I? Re win. j 4 8. un 
. N Bu: \ . - en nr . . m . Pc 
a ’»* . 
* > FR - 
DR en 1 \ J 
mi B „8 * * 
N 1 J 
— Dr Br R > 
Pr \ — 
— >. - \ - EEE 
£ . y 2 = ! - 


166 II. Buyengelget, merkwuͤrdige Eigenfihaften | 
6.7. Der Sag in $. 4. läßt ſich unabhängig von dem 


in & 2., durch Huͤlfe folgeuber zwey Säge, auf eine ei 


fache Art herleiten. | 

. 1°, («—P) («1r7. ig - — 17. 6-20) 

; ma. — Bir. er - 
2°. al. m den. — (a-Aym.m 


a (IN. ed AR, et. A-1rT)- 
Parka HB. RB... —iv.xxq) 


Ä Und wenn wan hier a ſtatt Nſetzt, fo erhält man 


"al 1. —B. AB... 1 a ” 


= A(i-Hemigl.eX + 13.02... 1. ex) 
oder der Rürze wegen aAP=— BQ. 


J denn wenn men in 1 ftatt Ylnahundnahit a... X | 
; febt,. fo erhält man (.—P -ıYrT . P-ıyT Ä 


Ferner fege man in 2” ſtatt Ul nach undnach A, B... u. fm 


fo erhält man 


@—-Pd (IFA + 3.08... 1) 
' u-2 
(HDD... 1. “)— 
xXX 


B614A. PAY--eB.IB... 1. s-ı 4 ). 


oder ber Kuͤrze willen (. — B)S= aQ— BP. 


Hieraus erpäle man ſogleich 5 er Qb.i. 


X 
IH HB, — ne 
a 





 - 
(ı +. HB. BB... ira )* 


* 


E u der Binomial⸗Coefficienten. . 167 
„mo. man. zulegt, wenn man immer nad) und nach 
| sl, æ—2, a — 3 2... 1, ſtatt a fr belemut 
| 1.1. X... + ı. 32 —* 
| 


8. 8. Aus dem Say 1°, in $. 7: kann noch ehr ander 
= tee mestndreigen Satz hergeleite werden, da naͤmlich 
FT a Fa ſo iſt 

4 a Br 


8 


. . 


| 4Væiu— *tivi. xi — (x Bm) WERT 


aß—n(e#) “am” 
&D. 


s =I —2 


folgen Hr I — 


Woher man, wenn man nach und nach — u. 2 w. 


| ſtatt IT ſetzt, belkoumt 


——e— ar ur 2. ®. wu 


+ — 
1 7 aß 


„ ePfzn reg | 
* 


8. 9. Sekt man bier Mi Ratt IT fo iR a; 


mb flo alfo ı „an Pie). DD, Zu 


MM: — 2 rd 2) “a —— ER 
” a4 


# Le 
“3.08, oß 
$. 10. Es ſcheint nicht, daß ſich für bie, Reihe 


. 1— A. 4 8. 3... + ein aͤhnlichet 


Ansoruc finden laſſe, wie für bie e Reihe , | 
nr el. EX te BD. u m 1. AU 


. 
“-L 
. 


24 | Auch 


“ #= 
"268. 11. Bugengeiger, merkwuͤrdige Eigenſchaften 


Auch Lit ſich feines der dorhin gebrachten Verfahren 


dabey anwenden. Dennoch findet ſich fuͤr die Reihe 
(MH D’— + 1° ein ähnlicher 
Ausdruck, wie für die Reihe ı RN £ (3°... 


| 
| 
| 
| 
| 


der für ungerabe a aber immer o tird; welches man leicht | 


der Reihe anficht. 
2 [a3 
$..12. Die beyden Relhen z, — "U... PA 
ei 


and 1.IHA.PY... +. PA find von einander abs 
haͤngig/ und man fann bie erfle durch die zweyte and. 
brücken;. denn es iſt befannt, daß wenn 
a+bx+ cr ete. ⸗S, ſo iſt 
Aa+Bbr-+ Cor — ete. ... — 
AAxdS AA xd's A'A. xꝰ d's 
— ıdx' * 1.2dx* 1.2.3.dx’ 


Macht man von diefem Sag hier Anwendung, und nat i 


anftatt a 
die Groͤßen 1, A ,“d, «TC ’ 
Und flate , 435 2; er D,E et. 
die Größen 15; — PA; PB; — PC, PD» 
fo RS= (+2), Und nach ($.15 1°) unds. 4.) 
—AA=LI+ UN AH'% - 
+HAA= LI FH ULUH BB *B 
— 
N “-. «rt 
+ AMA—1. EBD. rl. A 
Solglich Hat man 
* — 
A. AxB Ba — Cr... 
(1 -Fs)e — U PHACIHN ec BB (Irene 


“-ı 
ARE NEIRT . nee" 
$. 12. 


de Smnonial Eon. as 
x 12. Sept man x S1 ſo hät man | 
AH. — 
a HB... ee. Kr —— 
Sett man in $. .y=—ıf edle man Ä PR 
am. Li E22 Ze nn — 


.. 8. 13. Sch — ſo iſt J | 
az + (2). Bımamır ne 2 


ar Befes Fe 2 2 u. Solgihik 
“X 


ee... ie 
Reihe, welche fuͤr jedes ungerade a, Null wird BE 
16.74 Um nun file 1 (eX)’ a). EL 53 
uch einen andern Ausdruck zu finden, —* man 
—8 1— Air di— Cr... Le 
beyderſeits durch ze (1 J— und nehme bie Integra⸗ —. 

"Yin, ſo erhaͤlt man ur 

far dem et (ier)ed MR f[x® (t-Fx)ede 
peB fat (idnede... * — — dx 
Nur iſt allgemein, wenn man nach bem Integriren x0 ſetzt 


——— ds fartiraedx. . 


wo das obere Zeichen für gerade 16, das untere aber fie ; Be 
ungerade gilt. Hieraus folgt | 











” ä a 1. a418 * 
— 1 . ng 
Se: Ir -( + at oo | 
Zu m . 3 
9 PER " Are un 
Be mn. .. .. Pt I ger . 
Fee * trade 
Br 2 Ryan en 
* \ J 9 — | _ | . ® 5 ” u “ \ | Rus . u | 2 
” 5 = Ba ” v NG . \ ur * 


170 un. Buzengeiger, merkwuͤrdige Eigenfchaften 
Nun iſt für 0; 








Rd 
frrarydı = * I und 
ß 
Er 
Brd 
Srursjdı „DE 
Pr) 
Sierant belommt man fegleich 
9— 
4 A 3 Bye 
et Peg 7 
Fr A 
$. 15. fo gerade, fo iſt 
her 
el  2r(BH-r) (+3) (+5)... (Bra—ı) 


wu re) REF) re 


' Iſt * ungerade, ſo iſt 


Er 2 (Br) (BH3) (HS) +) 


Ei EB, (etPtı\atBt3 





5. 16. Setzt man = — a, fo If 
⸗A — —A, Ed Bufn. PER: 


“1 


ar et. ER⸗A1 





> _ ge. 
* 2.4.6 .:.:.% 


Ueber 


. 4 
74 — “ 


ı dee Binoisal, Enefente. 171 . 


—R für ein gerades a, wobey aber das obere ober J 
untere Zeichen genommen werden u ‚ wagen 7, J 


herade oder ungerade iſt. Bu 2 B 
Bir ein ungerades a aber if allemal fie R= — a 
. Y. Fr | , | \ 
 =0 ' Bun 
Fi " 


Bun in für. jwes gerade ⸗ 


el‘ = + instand, 
Br 2.4.6... “ u 


5. 17 Da | 
HD) „he > 3:5:7.. Ge). 
4:6.8... 28 | 
und nad) $. 16. | | 
th 135.00, ie 
2.4.6 . 20 


fo ficht man, daß bie Seoden Keiben oo 

HN FERN. + unb IC)" uhr _ 
gleicht numeriſche Werthe haben, und daß fle volfommen — 
sie find, wenn u gerade mal gerade iſt. 


"18. Da nach $. 13. . 
r ee) + (2B)',,,. + = 2 2201 ey X 
24*1 
En 4 2008 2. Ian ee 2 53 Bus 
fe iR die Reihe a 
au- PER ya: 920-2, a 22. + 1. 4 are 
" —_ I 3.5. (au), | 
2 + 6. 202% 


372 DIL Bujengeiger, merfiwürdige Eigenſchaften 
6.19. Noch find folgende zwey allgemeine Säge, m 
ben bisherigen von einerlen Art, merfwärdig. 
a a —— * a(a—b) = 
b(b-+e) 649 
„th (3) -b-9) . a(a—b)... (i = 
bib-Fe) 649) (+0) ‚ bib-r.e).. 040) 


x —b) (@—b—e) web). — > 


bb-+e) b+9.. 6+8) 
aa-b(a-t+a) —— (aa· (be)(a a) 
ST Fi — 


(@-bYa-b) b-e) (a-b-e) (au- 649 (a+a)) 
b.b (b-+c) (b+e) — —* 


(ab) (a—b) («—b—e) (ab) 
— + —— h (+6) +) u. 








en — —————— 
64 b-+0) 6-8) (&+*) 
- at: 
(a-b) (a-b) .(a-b-0) (#-b-0) ..... (a-b-0) (4-50) 
bb re. c (+2) 
woa,b, eu X * „ jede beliebige Größen ſeyn 
#önnen: 
Set 





. e 


der Binomial⸗ Eboefflcienten. 173 | 


Sraemeni” 4 —1* =—4; b+0=—$'; 


b-pc= —ı3’ 3 ——— 16 u. ſ. w. 
fo erhält man 


1.1 1.1.3.5 1.1.3.5. 7.9. 
4:4 4:48.83  4.4.8.8.12.12 
_3.5,79, 11.13 2y2 
— 


4:4 wi 12.12 


Welche Reihe Euler ſehr merkwuͤrdig nennt (Vid. d. 


Ellipſi minima dato parallelogrammo rectangulo 
| Sroumferibenda. Audl. Euler. Ad, Petrop. 1780.) 


Setzt man in 2”. 
1 
en; = —6ete, 


- fo erhält man 
5.49 4.16 16.13 4.16. 36.17 


I _ u 


"9.925 9.2549 9.25.49 87 
4.16.36..64 . z 
— Be 
'9.25.49.$81 u. ſ. w. 2 
J 
* 
IV. 


J 
F 


174 Naſtner / Summe und Unterſchied 


W. 


Summe und Unterſchied von Tangente und 
Secante. 








ı+fin® 
Too ® 
Ban febe 9—=90°—6; ſo iſt (Lrig. 19. ©. 9 Zuf. 9 
biefe Summe = 
ER CE 10 EHRE —“ 
Ei ag ea 30)=tang(45°440) 
2) Aut Seep—tang®—= tang (45°— 30). 
"erhellt wie (1) nur die Winkel verneint geſetzt, oder 
auch aus Trig. 19 S. 7 Zuſ 
3) Daber \ 
2. lee ¶ — tang 45*0 tang (45 ⸗40 
2.tang O — tang (45°-+3P) — tang(45°— 39) 
4) Wenn ein Winfel von o Bis 90 Gr, waͤchſt, fo 
geigt ſchon (3) daß die Tangente der Summe von 45 Grab 
und feiner Hälfte immer näher an das Doppelte ſowohl feiner 
Secaute, als feiner Tangente fommt. 


s) Dun a TEE TER no) » 


Diefer Quotient waͤchſt von ı bis 2; indem & von v Dib 
90 Grad wähft. 
tang (45° 530) _ 1 
9 tang d — Mo RL 
Diefer Duotiene nimmt unter ber Bedingung (5) vom 
Unendlichen bis an 2 ab. 


2 Secp-Htangp = 


7” 


von Tangente und. Epcante. 178 | 


"ang (45° —3P) ,_ 
n. — * 
zdimmt unter: erwaͤhnter Bedingung von 1 die p ab. 
) tang (45° —EM . 21 
ae mao 
immt vom Unendlichen sie an o; ab. 


= 1679 


main 


‚9) Der Unterfchied zwiſchen Secante und Tatigente | 


nime immer ab, die Summe koͤmmt immer naͤher an 


as Doppelte eins der. beyden, weil beyde der Gleichheit 


umer näher fommen. 


‘ 10) Erempel: Ein Winkel ſey = 89 30"; ;, feine: 


älfte = 44 45, zur Hälfte des ‚echten aidei hai 
j 8.9 45° 
. fee. 1145930134801 
tang 114,5886501293 - | 
Summe = 229, 1816636094. N 
ben fo groß iſt die Tangente von 99° 45. Die Zahlen 
nd, aus Gellibrandi Trig. Britann. 
11) Auch iſt die Summe beynahe das Doppelte jäng 
rer beyden Theile. 
12). Aus (1) koͤnnte einem wohl einfallen ſo zu 
chliehen. Wenn der Winkel 90 Gr. ſo iſt die Sum⸗ 
we feiner Haͤlfte und des Halben rechten auch ein rech⸗ 
ts; alſo ſee 90° tang 90 ⸗tang 90. 
| 13) Das nun verbietet (6). Alemabi iR tang 
4539) größer, als 2 tang ®, und ‚nähert ſich 


kur, abnehmend, dieſem Doppelten, wenn P ſich 90 Gras 


m nähert. 
is) Alſo den Winkel — 90 Graben zefebt, wird 


ad, was in (6) rechter Hand ſteht — 2, und giebt dieſe 


dahl für den Quotienten linker Hand, welches ſich mit 


- u. Ä ) (z. 


« von bepden gleich ſeyn; gegentwärtiger Satz aber ſagt eben 


Ä 
176 IV. Käftner, Summe und Unterſchied 


‘(r) vergleichen läßt, teil beym vechten Winkel Zangenf 
und Secante nicht zu unterfcheiden find. | 

15) Eigentlich aber bat rechter Windel weder Tan 
gente 'noch Secante. Die Gleichung (12) fagt alfo in 
Worte uͤberſetzt: 
Seäecante eines Winkels, der Feine Secante bat, und 
Tangente eben bieſes Winkels, der auch feine Tangene 
hat, machen zuſammen Tangente eines Winkels, der keine 
Tangente hat. Oder allgemeiner: Etwas, das nicht jf, 
und noch Etwas, das nicht iſt, machen zuſammen dat... 
letzte Etwas, das nicht If. 

16) Bey dieſem Satze verwechsle man nicht Etwat/ 
das nicht iſt, mit: Etwas, ohne dabey das Nicht feyn 
zu denken. Zwey Etwaſſe zuſammen koͤnnen nicht einm 





ſoviel, als: Ein Nichts, und ein ander Nichts, ſind zu⸗ 
ſammen weder mehr noch weniger, als das andere Nichts 
allein. 

17) Nur der findet bey (12) Schwierigkeit, der Ach | 
das Unendliche ald Etwas Wirk lich es denkt, eine un 
endliche Secante, die, mit ihr zugehoͤriger unendlicher 
Tangente, ſo viel betragen ſoll, als eben die unendliche 
Tangente allein. 
| 18) Wenn in (1) der Winfel = 0 iſt, ſo iſt die 

Summe ſeiner Secante und Tangente ſo groß, als die 
Tangente ber Summe feiner Hälfte und der Hälfte rd 
rechten Winkels. Da ift von den brey Dingen, bie in 
ber Sleihung vorkommen, das erſte: Etwas, das aw 
bere: Nichts; alfo das Dritte dem Erften gleich. 

. Ein Winfel —=o, bad if: Fein Winfel, hat auch 
eigentlich feine Secante; aber wenn man ben Winfel abe 
uchmen läßt, fo nimmt feine Secante zugleich ab, und 
koͤmmt dem Sinustotus fo nah, ald man will, wenn man 
ben Binfel fo klein werben läßt, als man mil. Des ab 

nie hmen⸗ 


J 
\ 


von Tangente, und Secante. 177 


nehmenden Winkels Secante hat alſo eine Graͤnze, die 
man angeben, und ſo als erreicht anſehen kaun. In 
der Bedeutung nennt man die Secante = ı für den Win⸗ 
el = 0; aber des Winfeld feiner Secante, der bie zum 
rechten waͤchſt, hat. feine Gränze, bie ſich angeben ließe; 
"dag fagt dad Wort: Unendlich. 

19) &o bebeutet in (12) feiner von ben drey Namen, 
De in der Gleichung vorkommen, einer wirklichen Größe, 
und was fie alfo fagt, läßt ſich gar nicht fo auslegen, wie 
‚das, was eine Gleichung fagte, wo dergleichen Namen alle 


drey, ober wenigſtens ein Past, wirlliche Groͤßen be⸗ 


deuteten. 


20) Aus einem Verhalten wiſchen Größen laͤgt ſich 


nichts ſchließen, wenn die Größen aufgehoͤrt baben, 
Sroͤtgen zu ſeyn. Wenn in einem rechttoinklichten Dreyecke 
An Winkel 30 Grad iſt, fo iſt die Seite ihm gegen⸗ 
über halb fo groß, als die Hypotenuſe. Das bleibt, wenn 
Geite und Hppotenufe gufammen abnehmen, big an dee 
Winkels Scheitel; ‚aber im Scheitel ſelbſt find nicht etwa 
drey Punkte, die ſich wie : 0,5 : 0,866... verhalten, 


i 22) Ich ſage aufgehoͤrt haben. Im Aufhö⸗ 
ren bleibt das Verhalten, nach ſeinem Geſetze, beym 
Verſchwinden und beym Unendlichwerden. Vom 


letztern iſt für gegenwaͤrtige Unterſuchuns ſchon (10) eine e 


Erläuterung. - 


22) Wollte man ben Schluß (12) in forma darſtel⸗ 
ken, fo ſaͤhe er folgendergefialt and: 


Tangente und Secante eines Winkels machen zuſam⸗ 


men Tangente der Summe von ſeiner Haͤlfte und 
485 Graden; 


Aatqui Tangente und Secante bed rechten Winkels find | 


Tangente und Secante eines Winkels, 
:GSechotes Stud. R Ergo 


N 
- j 


F moͤge gefreut haben, der auf dieſem Schachbrete drop; 


378 Kaͤſtner, Summe und Unterſchled 5 3* 
Ergo machen Tangente und Secant⸗ eines — 

WWinkels — Tangente ber Eanme ven zu | 
und da wuͤrde Fr dem unterſat (dugnen (sy 4 


23) So hätte, doch die ſyllogiſtiſche Darſtellang * 
Nutzen, daß man bey br fogleich wahrnaͤhie, welchee 
Vorderſatz unrichtig iſt. Wenn man "ein Entbymeme 
"macht, nur Oberſah und Sqhlußſatz nennt, fo ſchleich 
ſich der Unterfag vigleicht durch, ohne daß man er 
Unrichtigkeit bemerkt. R 
24) Wenn man Geld zaͤhlt, fo wird nicht mebt x. ud 
‚weniger, ob man es erdentlich Reihenweiſe hinlegt, One: 
nach Würfen zähle; Aber "bey den Wurfen kaum, wenn 
man ſlch auch dabey ſelbſt nicht irrte, wohl ein ungätäg. Ä 
Stuͤc unterlaufen, das man in den Meißen bemerka 
‚würbe.. &o denfe id; don der Syllogiſtik die freyttg 
"Bey den jegigen Philoſophen unter die verlohrnen; ei: 
"wohl nie gelernten Künfe gehört. Man verachtet |. 
"weil durch ſie Feine neuen Wahrheiten gefunden würde . 
Und boch iſt erfktich nicht ausgemacht, daß das nie gb; 
ſchehe, und zweytens, wie viel neue Wahrheiten haben: 
‚dent ihre Berächter erfunden? : Denn. neue Wörter up)‘ 
neue Streitigkeiten, imit denen man fo. wenig zu Enke; 
kommt, als mit den.alten, nennt wenigſtens der Mathe; 
matifer nicht: neue Wahrheiten. Ordnung dep 
‚ @eldgählen verachtet doch ‚ulemand beßwegen, , weil 13 
das Geld nicht vermehrt. 5 
2) Ich habe unlängft gelefen, baß en Pbitofopß."d 
nener ais Ebriſtian Thomas.. die Spllogiſtik mi eine 
Schachbrete vergleicht, und beſchrelbt, wie der erſte All; 























Saͤtze geſtellt g tab mit Verwunderung wahrgenonmen 
F bat, wie aus ween der dritte folgt. | J 
E | , 26) Wr 


N 


r " . 
- .t to. | . 
⸗ . . 
’ ’ Na 
» . 


u 


von Tangente m Secante. 179 | 


1" 26) ie ſcheint doch Im, dae Shadibree und 


e Spiele darauf verdienen Adtung als Erfindungen 


ntender Köpfe, obgleich nicht alle, welche fich mir die⸗ 
R: Spiele beluftigen , -deufende Köpfe ‚find. Ich Haste, 
gig Freunde , die gute. Schachſpieler waren, und 
om ich ihnen geſtand, daß ich zu diefem Spiele keine Ger 
Wbrgehabt hatte, mich, ale Mathematiker, deßwegen 
halten ; ich bewies ihnen aber, daß dazu fein Mathema⸗ 
Fästerfordert werde; denn feiner von ihnen fonate eine 
abilmurgel ausgehn. So haben ohne Zweifel Schule 
Wisfophen die Syllogiſtik gut auswendig gefonnt, ohne 
8 Ihe Verſtand dadurch viel gewonnen hat; aber das 
weiſt nicht, ‚der Berfiand koͤnne fie nicht brauchen. 


.:07) aß ich bisber erinnert habe, wird auch dent⸗ 


q machen, warum man aus (3) nicht ſchließen darf, 
d rechten Winkels doppelte Secante; oder doppelte Tan⸗ 
ae, ſey feiner. einfachen gleich. Die Bleichungen gelten 
w von allen Binteln, bie Taugenten und Secanten 
chen. 


28) Wenn man in jeder berechnet, was rechter Hand 


it, fo findet man doppelte Secante oder Tangente 
Ki yanyen Winkels durch Secante oder- Tangente des 
Hin ausgedruckt; alſo Wahrheit, die noch bleibt. 
m man din halben Winkel — 45 Gr. ſetzt, da geigen 
|  Nastrichngen was Unendliches an; alfo, wenn 

Sad Wort brauchen will: doppelte Unendliche, dop⸗ 













Einfachen gleich, erſcheint, wenn man rechter 
nicht. gehörig berechnet bat, was für jeden unbe» 
amiten Werth von 3 D aus beyden Theilen rechter Hand 

immenfdiumt, und was fi in ihnen aushebt, das 
WE man im jeden Ausdrucke zuerſt berechnen, und dann 
k Sedingung, Die auf was linendliche® führt, hinein 
Hugen. Dieſe Vorſchrift verwahrt allemahl vor Arnthan 

— — M2—— 


Unendlichen gleich. Die Schwierigkeit, ein Doppeltes 


a 30 v. ziſet, über bie Besfbaffung 


in den gu früßgeitige Unbeinging bed Unendlichen füße 
fann. . 

- 29) Daß Eofecante und Eotangente zuſammen R 
tangente des halben Bogens ausmachen, habe ih me 


ner geometrifchen Abhandlung II. Samml. 30 we: 


gezeigt, wo ein Gebrauch davon gemacht if, 
30) Geometriſche Conftruction eine Sapıd ji 
bekanntlich e8 an, wenn man ihn auf Fälle a 
win, auf die er fich nicht anwenden laͤßt. So hie fürf 
Man verzeichne des gegebenen Winfeld Tangente uhb 
cante. Von dem Punkte, wo fie einander fchmeiden, tet 
man auf bie verlängerte Tangente die Secante, fo 
man ſich leicht überzeugen, daß bepde Summen = 
(45°4+ 39) Nur, wenn der gegebene Winkel: 
tee ift, ‚giebt es feinen Durchfchnitt von Tangente | 
Serantt, alfo findet da biefe Conſtruction niche ſtatt. 


2. G. Kaͤſtner. 







V. 


Ueber die Wegſchaffung der Wurzelgroͤßen — 
den Gleichungen, von E. G. Fiſcher, 70 
feffor am — Gymnaſium m 
erlin, 





at 0 d 
6.1. Io ber Theorie von der Wegſchaffung ber Ku 
lien findet ſich in unfern Lehrbücheen der —— 
eine wirkliche Lücke, indem die Regeln, die man 
noch nicht einmal binreichen, aus jeder einzelnen 
gleichung, und noch vielmeniger au „Bleichungen 
allgemeinen Sormeln, die Murzelzeichen zu entfernen 


der Wurzelgroͤßen aus den Gleichungen. 131 


ei meine Kenutniß mathematiſcher Schriften reicht, iſt 

eſe Luͤcke noch nirgends ausgefüllt, und ich hoffe daher, 

Bee dem mathematiſchen Publikum nicht unangenehm 
wird, bier wenigftend einen Verfuch dazu zu finden. 


42. Die gewöhnliche Regel lautet befanntlich fo: 

au foll die wegzuſchaffende Wurzelgröße 
kit Seite der Bleihung allein bringen, 
nd alsdenn zur Höhe des Wurzelerponen» 
w potenglicen; wären ber Wurzelzeichen 
ehrere da, fo muͤſſe diefelbe Arbeit nur 
ee wiederholt werben. Dieſe Regel aber er» 
nur ‚in folgenden zwey Fallen ihren Zweck vollkom⸗ 
it 1) wenn feine höheren Radicalien als vom weyten 
Mde vorkommen; 2) wenn ein einziges ‚höheres 

fe, mit oder ohne Duabratwurzeln, da ift; in wels 
fe man nur noch die Regel beobachten muß, das 
ve Rabicale zuerſt wegzufchaffen. 


1: $. 3. Finden ſich Hingegen mehrere höhere Wurzels 
j | (es derſteht fi verſchiedene, als Vx, Yy; 


N g z 3 *, + Fe 
Yx > Vx, vr; oder Yyx, Vx; u. d. 9. m), in 
 &teihung, fo wird bey Anwendung der obigen Res 
(2), bie Anzahl der Wurzelgrößen bey jeder Poren 
ung vermehrt, anftatt vermindert zu werden; wovon 
ſich leicht durch die erfte befte Gleichung, die zwey oder 


5 höhere Wurjelzeichen enthält, z. B. * x a y y, 
gen kann. Denn man erhaͤlt zuerſt 


+ satyypioa’yy’+1oa Yy’ısayytty 
eher Verſuch durch eine bloße Potenziirung eine der 


fjeln wegzuſchaffen, ihre Anzahl nur noch vergrößern, | 
; doch nicht vermindern wuͤrde. 


m 3 | 6.4. 

















278 Käftner, Summe und Unterſchied 


Ergo machen Tangente. und Eecante eines rechten 
Winkels zufammen Tangente der Summe von zwey 
Halben rechten. 

und da wuͤrde ich den Unterſatz laͤugnen (15). 


23) So hätte, doch bie ſyllogiſtiſche Darſtellung den 
Nutzen, daß man bey ihr ſogleich wahrnaͤhme, welcher 
Vorderſatz unrichtig iſt. Wenn man ein Enthymema 
macht, nur Oberſatz und Schlußſatz nennt, fo fchleiche 
ſich der Unterfag vielleicht durch, ohne daß man ſeine 
Unrichtigkeit bemerkt. | 
24) Wenn man Geld zaͤhlt, ſo wird nicht mehr noch 
weniger, ob man es ordentlich Reihenweiſe hinlegt, oder 
nach Wuͤrfen zaͤhlt; aber bey den Würfen kann, wenn 


u man fich auch dabey ſelbſt nicht irrte, wohl ein ungültige . 


‚&tüd unterlaufen, das man in ben Reihen bemerken 
würde. So denfe ich don der Syllogiſtit, die freyfich 
Bey den jetzigen Philoſophen unter die verlohrnen, auch 
wohl nie gelernten Kuͤnſte gehoͤrt. Man verachtet ſte, 
weil durch ſie keine neuen Wahrheiten gefunden wuͤrden. 
Und boch iſt erſtlich nicht ausgemacht, daß das nie ge⸗ 
ſchehe, und zweytens, wie viel neue Wahrheiten haben F 
«denn Ihre Verächter erfunden? : Denn neue Wörter und !- 
neue Streitigfeiten, mit denen man fo wenig zu Ende . 
kommt, ald mit: den.alten, nennt wenigſtens ber Mathe 
matifer nicht: neue Wahrheiten.  Drbnung bey | 
‚ Geldzählen verachtet doch niemand deßwegen, weil fie 
das Selb nicht vermehrt. E 
2) Ich babe unlaͤngſt gelefen, daß ein Bhilofoph... F 
nener als  Epriftian Thomas .. « die Epllogifif mit einen 
Schachbiete vergleicht, und befchreibt, wie ber erfte ſich 
moͤge gefreut haben, der auf dieſem Schachbrete drey 
Saͤtze geſtellt, und mit Verwunderung wahrgenommen 
hat, wie aus zween der dritte folgt. 
26) Mir 





- 
u 


= 26) ir ſchemt doch —* das Ecachbret und 


Sie Spiele darauf verdienen Adtung ale Erfindungen 


dentender Köpfe, obgleich nicht alle, welche fich mit dies 
Br: Spiele beluſtigen, deukende Köpfe ‚find. Ich haste, 
m. Leipjig Zreunde, die gute. Schachſpieler waren, und 
‚wenn ich ihnen geftand, daß ich zu dieſem Spiele keine Ger 
| gehabt hatte, mich, ald Mathematiker, deßwegen 










erfordert werde; denn feiner von ihnen fonute eine 
urgel ausgiehn. So haben ohne Zweifel Schule 
— die Syllogiſtik gut auswendig gekonnt, ohne 
ß Ahr Verſtand dadurch viel gewonnen hat; aber das 
t nicht, der Verſtand koͤnne fie nicht brauchen. 


5 Was ic) bieber Erinnert babe, wird auch deut⸗ 


\ aachen, warum man auß (3) nicht fchließen darf, 
4 sechten Winkels doppelte Secante; oder Doppelte Tan⸗ 
te Tep (einer einfachen gleich. Die Bleichungen gelten 
wen "allen Winkein, die Tangenten und Secanten 














fo findet man doppelte Secante oder Tangente 
—*** Winkels durch Secante oder- Tangente des 
” a ausgedruͤckt; alſo Wahrheit, bie noch bleibe. 
| Bien man den halben Winkel == 45 Gr. feht, da zeigen 
e-Ausdrüctungen was Unendliches an; alfo, wenn 
da Wort brauchen will: doppelte Unendliche, dop⸗ 


eu Einfachen gleich, erſcheint, wenn man rechter 


Pr | * i Werth von 3 d aus beyden Theilen rechter Hand 
akoͤmmt, und was fi in ihnen aushebt, das 


— die auf was Unendliches führe, hinein 


* 
J 


; ich bewies ihnen aber, daB dazu fein Mathema⸗ 


v nicht gehoͤrig berechne bat, was für jeden unbe» 


F nat in jeden Ausdrucke juerft berechnen, und daun 


— u. Dieſe Vorſchrift verwahrt allemahl vor Itrthum, 


—8 Wenn man in ſeder berechnet, was rechter Hand \ 


"von Tangente m Secante. 179 u 


elten Unendlichen gleich. Die Schwierigkeit, ein Doppelte® J 


.  Sefanntlich es an, wenn man ihn auf Ale anwe 


man auf bie verlängerte Tangente die Secante, 2 
man ſich leicht überzeugen, daß beyde Summen == 













a” v. She, über Die Weagſeffung 


in den PM feüßgeitige Unbringung bed Unendlichen fi 
fann. . x 
- 29): Daß Eofecante und Cotangente muſammen 
tangente des halben Pogens ausmachen, babe ich im 
ner geomettiſchen Abhandlung II Samml. 30 Ubb. 93 
gezeigt, wo ein Gebrauch davon gemacht if, . .. 
:30y Geometrifche Conftruction eines Satzes 


win, auf die er ſich nicht anwenden laͤßt. So hie für 
. Man verzeichne des gegebenen Winfeld Tangente ud > 
'cante. - Bon dem Punkte, wo fie einander fchueiden, 


(45 40). Nur, wenn der gegebene Winkel. 
ter ift, giebt es keinen Durchfchnitt von Same 4 
Sean, alfo finde da dieſe Conſtructlon nicht ſtatt. 


A. G. Kaͤſtner. 


V. 


ueber die Wegſchaffung der Wutzelcrͤhen ci 
den Gleichungen, von E. G. Fiſcher, Per 


feffor am € llniſchen Gymnaſium A 


Berli lin. 





4. 1. 6, ber Theorie von der Wegſchaffung der Rabl 
lien findet ſich in unſern Lehrbuͤchern der Analyſis me 
eine wirkliche Lücke, indem die Regeln, die man ge 
noch nicht einmal hinreichen, aus jeder einzelnen Zapf 
gleichung ‚_ und noch vielmeniger aus „Bleichungen 9 | 
allgemeinen Sormeln, die Wurzelzeichen zu entfernen. OR 


der Wurzelgrößen aus den Gleichungen. 192 


weit meine Kenntniß mathematifcher Schriften reicht, iſt 
Hefe Luͤcke noch nirgends ausgefüllt, und ich hoffe daher, . 
bed dem mathematiſchen Publifum nicht unangenehm 
tyn wird, hier wenigſtens einen Verfuch dazu zu finden. 


4 2. Die gewoͤhnliche Regel lautet befanntlich fo: 
TR foll die weggufhaffende Wurzelgroͤße 
feine Seite ber Gleichung allein bringen, 
ind alsdenn zur Höhe des Wurzelerponen» 
en potenziiren; mären ber Wurgelseihen 
ſehtere da, fo muͤſſe biefelbe Arbeit nur 
free. wiederholt werben. Diele Regel aber ers 
ME nur ‚in folgenden zwey Faͤllen ihren Zweck vollkom⸗ 
ſetz: 1) wenn keine hoͤheren Radicalien als vom zweyten 
Nabe vorkommen; 2) wenn ein eingiges höheres 
adicale. mit oder ohne Quadratwurzeln, da iſt; in wel⸗ 
em Falle man nur noch die Regel beobachten muß, das 
Here Radicale zuerft wegzuſchaffen. 


6. 3. Finden ſich Hingegen mehrere hoͤher e Wurzels 
köen, (e verſteht ſich verfchiedene, ale x, Yy; 


be yx, Yx, Ve; oder Yx, Vs; u. d. g. m.), in 
ee Gleichung, fe wird bey Anwendung der obigen Neo 
I (2), bie Anzahl der Wurzelgrößen bey jeder Potenz 
ang vermehrt, anſtatt vermindert zu werden; wovon 
an fich leicht dvurch die erſte beſte Gleichung, die zwey oder 


ehr. höhere Wurzelzeichen enthält, z. B. * x ar y y, 
ſeezeugen kann. Denn man erhaͤlt zuerſt 


—* ———— +ioa'yy’ +sayy'+y. 
r Verſuch durch eine bloße Potenziirung eine der 
icjeln wegzuſchaffen, ihre Anzahl nur noch) vergrößern, 
im doch nicht vermindern wuͤrde. 


M 3 | | 6.4 





E 153 V. Fiſcher, über die Wegſchaff ung 


gabe in dieſer kleinen "Abhandlung -ift, auf das beſtimm⸗ 


 alfo n mal fo viele Wurzeln; ed kann daher der letzten 


— 


\ 


















6.4. Vollkommen allgemein wird ſich bie Elimini⸗ 
rung der Nadicalien bewerkſtelligen laffen, wenn ſich fol 
gendes Problem allgemein auflöfen laͤßt. ’ 

"Eine genebene Gleichung 

A)o=arbı-rcH + de‘ Hupe 

In. eine andere Ä u 
B) o=A-+ Ban + Cx2? + Dis... Pr" 
zu verwandeln, deren Erponenten nwmal,; 
größer find; wobey n ats ganz und pofieie, 
vorausgeſetzt wird. 

Um den Sinn dieſer Aufgabe, welche die Haupianfe, 


tefte auszudrücken, fo werden in dem Geſagten für B) fob: 
gende Bebingungen feſtgeſctzt: 1) jeder Erpenent von xie', 
B) fol mmal größer feyn, als der Erponent vom eben⸗ 
fovielften Gliede in A); alfo fann 2) B weder mehr, 
noch weniger Glieder enthalten, ald A; 3) B muß eim 
Verwandlung von Afenn; d. h. es muß fo Befchafe 
fen fepn. daß es auf alle Faͤlle für A geſetzt werben kann; 
nun ift aber B von einem n mal hoͤheren Grad ald A, bat! 


Sorderung auf feine andere Art Genuͤge gefcheben, alb 
wenn B ohne Ausnahme alle Wurzeln von A enthält. 
Es fey uflr übrigens erlaubt, dieſes Problem zur Ab 
kuͤrzung im Ausdruck schlechthin das Erhoͤhungs⸗ 
problem zw nennen, fo tie ich auch die Gleichung B 
fhiechthin die erhöhte Gleichung nennen werde ” 
$. 5. Daß aber diefe Aufgabe nichts Unmoͤgliches 
fordere, iſt nicht ſchwer zu ermeifen. Denn beſtuͤnde d 
Slecchung A) aus den einfachen Factoren (æ - 79) 
BEN ).....; fo koͤnnte man eine neut 
Gleichung aus den Sactoren ( an z"x®) Br!) 
( 4 aaan)..., formiren; man ſieht aber aus DIE. 
| The 


der Wurzelgroͤßen aus den Öleihungen. 133 


Theodrie der Gleichungen leicht ein, daß diefe neue Glei⸗ 
chungen alle Bedingungen der Aufgabe erfüllen wuͤrde. 
6. 6. Um nun den Zufammenhang beyder Probleme 
(1 und 4) vollftändig einzufehen, bemerke man folgende®. 
| Wenn man alle Wurzelgroͤßen, die in einer Gleichung 
-sorfommen, durch gebrochene Exyponeuten ausdrüdt, ſo 
. Werden diefe Bruscherponenten entweder einerley, oder ver⸗ 
ſchiedenin Srößen zugehoͤren. (Der erfte Fall if, in 


| a ‚x, x? ‚etc. deögleichen in (—) J: IL etc. 


De letzte Salt iſt, m x? , =), yi etc.) 


Allle diejenigen Rabicalien unn, melche einer und ber⸗ 
ſelben Groͤße zugehoͤren, nenne ich eine Klaffe von 
Rabitalien. 

Eine Gleichung enthalte ſolcher Klaſſen von Radita⸗ 
Sen, fo viele man will, ‚fo richte man fine Aufmerkſam⸗ 
keit zuerſt nur auf cine berfelben. Sie mag Radicalien 

enthalten, die ſich auf x beziehen. Man bringe die Bruch⸗ 

erponenten dieſer Klaffe unter einen einzigen Nenner n, 
"and ordne dann die Gleichung nach dieſen Diynitdeen 
von x, fo wird fie die Form | - 

02 3 E 
 em=a-rbın +cia + +... +-pxa 

- erhalten, wo die übrigen Klaffen von Radicalien In den 

Eorfficienten enthalten find. - 
Hier überficht man aber mit einem Blick, daß, wenn 
diefe Gleichung. n mal erhoͤhet wird, bie ganze 
- Klaffe von Radicalien auf einmal wegfallen werde; 
denn die erhoͤhte Gleichung wird ſeyn 
0A-Bx CxA DX +. ‚+ Pır 

Die Radicallen, welche in a,b,e, a. etc. enthalten 


And, mögen ne hierbey ſo ſehr verviclfältigen, als man. 
M 4 will 


. giſwher, über: die Wegſheffuns 


mil, fo iſt doch Mac, Ba feine neuen Klaffen ven 
Radicalien hinzugekommen ſeyn koͤnnen, weil die Coeffi⸗ 

eienten 4, B, C, ete. bloß durch a,b,c etc. beim 
ſeyn muͤſſen 


Schafft man demnach auf die nehmliche Yet dr 


\ Klaffe: von Rabicalien nach der andern weg, fo IE klat, 


“ Kaffen da find, auf eine Gleichung kommen müffe, im der 
„gar. kein’ ‚Rabicale mehr vorhanden iſt. 


8. 7. Es laſſen fich aber zur Kufldfung ber ehe 


- Hungsaufgabe (4), ſehr verfchiedene Wege einfchlagen, die 


‘ aber alle am Ende zu einerley Reſultat fuͤhren, und fuͤt⸗ | 
ren müffen, u 
0. Zuerft iſt (aus 5) Elar, daß, wenn man bie Burj, a 
folglich auch die einfachen Bactoren, vpn.A (4) bättt, 

B leicht zu finden wäre. Da aber bie Auffindung der 


Wurzeln oft fo große Schwierigkeiten bat, fo iſt es noͤthig, 
Wege zu fuchen, auf welchen B gefunden werben kann, 
ohne die Wurzeln von Ä zu haben. . 

Ich kann dergleichen Wege dreye beſchreiben, von 


denen ich aber vor jetzt nur zweye anzeigen werde, dba es 


meine Zeit nicht verftattet hat, den dritten, ber unter den 


übrigen hier erwaͤhnten vielleiche der vorzuͤglichſte ſeyn 


dürfte, in allen Stellen. fo gangbar zu machen, als ich 


wuͤnſchte. Noch zwey andere findet man in Lamberts 
Beytraͤgen Th. 2. Ab. 1. ©. 202. $. 20. ff., und 
©. 222.643. Denn daß das Problem, welches La m⸗ 


bert dort aufläfer, nur. im Ausdrud von dem unfrigen 
verſchieden if, wird auß 5. 5. deutlich ſeyn. 

5.8. Indeſſen iſt dennoch unter allen biefen Metho⸗ 
ben feine, Die mich vollkommen befriedigte; denn unges 
achtet fie fih sum Sheil duch combinatorifche 
Zeichen fehr einfach darſtellen laſſen, fo fcheint mir doch 
feine einjige für die wirlliche Anwendung recht bequem zu 


ſeyn. 


J daß man nach fo vielmaliger Wiederholung der Arbeit, als 


der Wurjegröfen aus den Sauume⸗ 25. . 


J fopn. Allein es darfte vermuthlich nicht ieicht ſeyn, hierin‘ on 
den Wuͤnſchen ded Analyſten voͤlig Genäge zu lim 
Denn wenn man mit der Erhöhung einer Gleichung uue 
bis zum aten ober sten Grad fortfchreitet, fo werben die 
Coefficienten fchon fo zuſammengeſetzt, daß die wirkliche 


"= Berechnung auch. bep ber einfachſten Regel wmeitlänftig und 
 @miübdend bleibt. 


© . Erſte Methode . ur | 


‚werben ſollen), gerade bie verwickelteſte. Dem obnges 


6. 9.. Die erſte Methode, welche ich erklaͤren will, iR 


“ Msficht der Regeln, (fobald fie ganz allgemein gefaßt 


achtet gewaͤhrt fie, wenn bie Erhöhung ben gten Grab 


. währt überfteige, eine leichtere und kuͤrzere Rechnung, al® - . 
die Übrigen. Sie wich dazu dienen koͤnnen, das Problem. 
änfhaulicher gu machen. Ich habe den Gebrauch: come 
binatoriſcher Zeichen gefliffentlich dabey vermichen, um fü 
: el als moͤglich allgemein verfländlich zu werben, und ich - 
Eontite dieß. hier um fo füglicher thun, da fie fuͤr die Er-/ 


Tr nr 
* 


hobung⸗ bis zum vierten Brad, ohne erheblichen Nach .- 


- BER entbehet werben Können. "Dagegen drften fie für . 


die höheren Grade fo gut als unmtbehrlich feyn. 
$. 10. Aufgabe Eine nach Potenzen von 


x zeorduete Gleichung in eine andere zu 


wperwandeln, bie bloß gerade Potenzen von a8 
1 enthaͤlt, d. h. welche noch einmal ſo bobe 


Erp onenten hat. 
Aufl. Wenn die gegebene Gieichung hoͤhere Potengen, 


8 x felbft enthält, fo ziehe man ale diejenigen Glieder, .. . 


In denen x. fchon- gerade Erponenten bat, In ein einziges 
Slied jufammen. Chen dieß thue man mit. den übrigen 


Sliedern, die ungerade Erponenten haben, fege aber ein 

‚x außer der Klammer, damit in der Klammer bloß gerade 
Exponenten bleiben, fo erhält die Gleichung die Form 

= Te \ 5 


—Aä 


26 V. Sitte, aber bie Besfhaffung 


ae oma bi \ 


"wa, mb b zwar Potenzen von x enthalten fönnen, 


aber bioß gerade. Die üßrige Rechnung iſt Teiche; nehme 


u ig —a—bz älſo a —=br „und daher endlich 


D) o —:a“ — b’x a 
wo a undeb entweder gar feld, ober, doch: feine andern 
als gerade Potenzen von x enthalten; die hoͤchſte Potenz 
vdomx aber, die in D vorkommt, nicht mehr als doppelt 
ſo hoch ſeyn kann, als bie hoͤchſte Potenzi in C. | 


$. 11. Aufgabe. Eine nad x geordnete 
Gleichung in eine andere mit breymal höhe 


EN ven, Porenzen von x gu verwandeln. 


7. Aufl. Wenn die gegebene Gleichung höhere Poten⸗ 
jen von x, als x" enthält, fo ziehe man alle die Glieder 

in eines jufemncn, deren Erponenten durch 3 theilbag j 

fd. 

Eben dag thue man mit allen Gliedern, deren po» 
nenten, burd) 3 setheilt, ben, Reſt laffen, und fege x außer 
der Klammer. 

Eben dus thue man endlich auch mit allen Gliedern, 
beren Erponenten, durch 3 getheilt, ben Reſt 2 laffen, und 
re x” außer der Klammer. 

. Auf diefe Art erhält die Gleichung bie ‚Sorm. 

E)o=arbı + cr 
wo a, b, c entweder gar feine, oder bloß ſolche Potenzen 
von x enthalten, deren Exponenten durch 3 theilbar ſind. 
Bann rechne man wie folgt: 
—ıa—br + cz 





— = 57 + 3b’cx* + 3b + dr 


dar = ab’ ze 


das willkuͤhrlich angenommene a läßt ſich nun ſo beſtim⸗ 
men, daß in der Summe der beyden letzten Zeilen die 
Glie⸗ 


dem 


. R , . 
1“ 


bee Bautgelgräßen aus den Slehangen. 135 


u  Stieder, welche 3% und x enthalten, Nuf werden. Die | 
geſchicht, wenn:a + 3be =o, aloa—m—gbe : . :. 
| ke. "Die Summe. beyder Zeilen iſt aledenn 


— a* * 3aber br’ + ext . 

ober Ä 

mir bir di 
—3abeu , 


+. woa,b,e;, entweder gar feine, oder nur (old Bor 
zen von ⁊ enthalten werden, deren Exponenten mit 3 auf -/ 


gehn. Auch iſt leicht ein mſehen, daß ber hoͤchſte Expo-⸗· 
nent F aur vieynel ſp groß on föune, als ber hoͤch⸗ | 


$. 12. Aufgabe ‚Eine nad x georbnete, 


Bleiyung in eine andere zu verwandeln, - 
beren Erponenten fimmelid viermal » on. 
‚seoß find. 


| Aufl. Wenn die Slbichuns nicht fuͤe. ſich ſcon die 
Gern 


Wow axbrrer +är 


Sat, fo rebucire man fie auf ähnliche Art, als in den bey⸗ 
den vorigen 56, indem. man ı) alle Glieder, deren Ex 

ponenten mit 4 aufgehn, 2) ale Blieder, deren Expouen⸗ 
tens mit 4 getheilt, den Reſt 1 laffen, 3) aße. Glieder, 


deren: Erponenten, mit 4 geteilt, den Reſt 2 laffen, J 


J 4) alle ‚Glieder, deren Erponenten, mit 4 getbeilt, den 


MER 2 laffen, "jede in ein einziges Glied uſammenzieht. 


Dann ſchaffe man a auf. bie linke Seite, und erhebe fo  - : 
die Gleichung zur 2ten und sten por, und reas | 


wie folgt: Zn | 


V. diſcher, über dil Wegſchaffung 


— a= bi ce: dr 


— — 000 0 


bix 4 aber + aba 4 2cdr dx 
+. cs 


ET re Se ER. El 


+i—=btirr 4er abdx4i ab edꝛ bd +12bed’r’r abdx ger gie 
Höbiergbe s-praberd, + 4edı +öcdt, 





+ ce 
et -Artußi acc dr + Pbr+ per Bi, 
— — —— era ybdrit zyedr-r ya" 
B * *ve | 


Mas 


p' . F J— ⸗ 
’». . . l 


der Wurhelgroͤßen uns den Glckhlingen. 199 


Was unter dem Striche ſteht, fol abbirt werben. Vorder 
aber läßt ſich , 9, und y, fo beſtimmen, daB in der : 
Summe alle die Glieder, mo der, Exponent vonx nie '- 
mit 4 aufgeht, ausfallen, Zu dem Ende fege man guet - 

.ab+4be=o, alba — — 4b!e; fene . 
d - 4ed' 0, alſo = —gcd; abi 
yb' 4 6b 4bd — 0 das iſt: 
vb' — 4b'e - 6be 4bd mm o, aiſo“ 

— 2 — 4b. “ en 
Auf dieſe Art find die. Glieder, welche X ,x", und" - 
enthalten, unmittelbar, jedes — o gemacht. - Bringt. 
man aber die gefundenen Werthe von a, , y auch im’ - 

‚ diejenigen Glieder, welche x’ , x”, und x’ enchalten, fe 

findet ih, daß auch diefe S o geworden ſind. (Der . 
Kürze wegen fey es mir verſtattet, die an fich leichte Rech⸗ 
nung wegzulaſſen). Auf biefe Art bleiben, wedn man, 
was unter dem Striche fteht, wirklich adbirt, bloß ſolche 
Glieder uͤbrig, wo die Exponenten mit 4 aufgehen. Die 
Summe iſt nehmlich: — — 


ee best ch’ r + dr": 


. — à ax J wı2bc’d ‚8 
ty — cd; 
| + 2ybds. 
—ßfaı 0.0. yh 
| u ae 1 2 - 6 b dx Sy 2 
oe gabtcı* +ı2beds ... Ka 
— 2.0 5. + Is u 
hd beide 
nn — 5 ur er 
42ed' — en 
En — 4beed 04. 


RVW 
.. 3 
. . A \ 


1 Biiher, Über bie Wegfhaffung 


ober endlich 
Mo, + Art 
— brxt — 4beid + 
+ gab’os +yacd's 
— q4@bds +2 b’d’; 
— 20.0 _ dt," 
too bie, Coefficienten entweder gar Fein x, oder nur-foldhe 
Porenzen enthalten, deren Exponenten mit 4 aufgehen. 
Auch fiebt man leicht, daß die hoͤchſte Potenz von x, die 
in H vorfommen faun, nur viermal’fo bech ſeyn wird, 
als die hoöchſte in G. 
5. 13. Das Allgemeine dieſer Methode iſt ziem⸗ 
«ich verwickelt; "doch will ich verſuchen, die Regel derſel⸗ 
ben allgemein darzuftellen. 
Wofern die Reihung, welchen mal erhöher werden 
fen, ‚nicht ſchon bie Form v 
pen dı Het +... + mo-ı > 
bat, fondern höhere Potenzen, als xe—a enthält, fo bringe 
man fie in dieſe Form dadurch, daß man die Glieder, 
deren Erponenten, mit n dividirt, die Reſte 1,2,3,4, 
5... (n—1) laffen, refpretive in einzelne Glieder zu⸗ 
fammenziebt, und von dieſen Gliedern reſpective bie Facto⸗ 
ren x,x’,x°... NP abfondert, fo daß in den Klammern 
Bloß folche. Potenzen von x bleiben, deren Erponenten 
burch n ıheilbar find. 

Dann void die Gleichung in der Form x 
—a—_bı tet +dr +... mai 
zur 2ten, zten, 4ten, ... bis ntert Potenz erhoben, mit 
Auslaffung der n—ıten, (die im Berfolge der Rechnung 

nicht gebraucht wird). 

Ale biefe Potenzen werden dann mit willführlic, an⸗ 
genommene Größen &,A,y ‚d, etc. multiplicirt, und fo 
unter einander gefeßt, daß immer gleiche Porenzen von x 
unter einander zu fichen fommen. Die Regel, für die 

» Drd» 


* F {N ar % - \ 
=, .. s „ Fi J 
L ; 


N ‚der ver inrjelgrößen: aus den en Gliungen. 298 
. Deötung und Bolge dieſer Arbeit, liegt im folgendem 
|. Schema; 

Auf ber linken Seite kommt folgendes unfer einander 
| ‚" ſtehen 





| Ä Ir 
a . " , 8 83 “ ) 
— Bu Bun Ve u BE Ä 
u vn E. NR 
’ Tee Va SE ee See — 
s A u p 2 . ge * — 
* a | = » 2 B 
in & ”"» . mM. ” » . 4 
Kun . J 8 3 3 2 1 
= * I. # | 9* 
L 0. u > - * F 
u Men ee 
’ 4+.:.0.80%: " 
— 3255352 
> 3 
— | .- In u 
n . a JJ. % “ 
un. t-! | 
mn 
> » + 
..».. ' 
" m | 
U | AZ 
N = gt , > 
. ” . 
t , , ! " 
a w auf der rechten. Seite m fıhen fon, iſt aus de | 
, 1 Schema von felbft klar. oo. 
Endlich laffen fih @,8,y . ,. so allegeit fo beſtimmen, 
daß dadurch in der Summe h ber durche Schema beſtimm. 
ten u 
v | 2 = 


| 19 V. Fiſcher, übe die Wegfihaffung 


7208 Gleichungen, ale diejenigen Blieder NUN werden, 


welche folche Potenzen von x enthalten, deren Erp6uen Ä 
ven niche mit n aufgehen. 

Den Beweis biefer ganzen Regel bitte ih mir zu er⸗ 
often. Es war meine Abficht nicht, eine vollſtaͤndigt 
CTheorie biefee Methode zu liefern, was ſchwerlich ohne 
Weitlaͤuftigkeit gefchehen koͤnnte; fondern nur durch bie 


| .. Mufgaben 5. 10, 11, 12 das Problem felbft anſchaulicher 


zu machen, und durch biefen 6. penigſtens zu zeigen, wie 

. bie Sache angegriffen werden müßte, wenn man dieſe 

Methode zur Allgemeinheit erheben wollte. | 
$. 14. Es ift uͤbrigens leicht einzufehen, daß bie Yu 


Ze beit, auf. dieſem Fuß fortgeſetzt, fon beym sten’ Grab 


wemlich weitlaͤuftig werden muß: Da ich indeſſen für mich - 
. Die Rechnung noch bis zum sten und 6ten Grad fortges 


9 gum Druck unbequem ſeyn. 





ſetzt habe, fo. wird es vieleicht dem Leſer nicht unangenehm, | 
ſeyn, Hier wenigſtens noch pas Reſultat einer fünffachen 
Erhoͤhung zu fehen. Fuͤr die fechsfache aber würde das 
Reſultat in gemeinen. Zeichen, feiner Weitlaͤuftigkeit wegen, 


Die Slihungo—=a-+rbr-+ cr dr’ er 
verwandelt ſich durch die im ‚vorigen $. befchriebene Arbeit is 


ti + [ +5 a b’d) x 
sabce —sacd 
[Fiese —5 abe 
+#f “ —sade)x" 
— 5b ed —sıbd 
5 b'ed — 5 abede 
Ip 5b’ce +sabe 
Fa  1-sb’de 45° ’d’e 
J u —— ‚+5, ce) 
+ d’ +5 bd’e 3x" 
Iiscde —sbce]|. 
#5 c’de? 5 ad 5) 


be x 
su 


- 


RT hu. 
der Wurzelgrößen aus den Oleihungen. 193 | 


J— s 15. Die Weiclaͤuftigkeit dieſer Formel zelgt Deut 
Ach, tie fehr das ganze Problem ber Hilfe combinatos _ 

riſcher Zeichen bedarf, ohne die das Gefeß ber Formeln 

ſchwerlich voͤllig ſichtbar gu machen iſt. Kenner der com⸗ 


binatoriſchen Analyſis werden leicht bemerken, auf - 
ige Art biefe Zeichen, ſowohl Bey diefer, ale bey ber fü 


genen Methode angewendet werden mäßten. 


ar ' Zweyte Methode. a 
. 16. Die gegebene Steichung ſey: | 
Data ben. „.Fpıg=o 
u geſuchte n mal erboͤhte fey: | 


an Ara Bale—ao. ‚Pa Q0=o. er 


. Veege der vebinguuben des Problems ($.4), enthaͤlt K 
‚abe Bargeln von I; alfo ik J ein Factor von K. 
32.9 17. Dividirt man alſo K durch I fo Tange, bie in 
u "Duotienten ein Glied vorfommt, das Fein x mehr enthaͤlt, 
2. jo muß der ſcheinbar uͤbrigbleidende Reſt, Glted vor Glied, 


mo fan. Diefer Meft aber wird aus nBlitern ir Ä 


Abe. 





aus chen fo vielen, beſtehet alfo auch das legte, was beym 
; Dividiren abgezogen wird; bey dieſer Subtraction heben . 
"aber die beyden Anfangsglieder gänzlich, da fie, wie. 
Immer beym Divibieen, völlig identifch find; alle übrigen : 
ASlieder ‚heben fich zwar (ſcheinbar) uicht, mäffen aber doch 


delegen wird, Glied vor Slied einander gleich ſeynz der 
fſcheinbare Reſt wird alfo ud r Sliedern · eſtehen, deren 
ches —0 iſt. 


„Wr@eößen A, B > C,D, ee. | 
DR 207 307 oo N 5 7 se 


Deim der Divifor (I) befteber aus r-—ı Gliedern; 


A der Formel wonon, und in der Formel welche. ab». | 


: Man erhält ai r&leichuhgen für be in beſtimmen⸗ | \ | 


w 


welches mit 7 4.11. mutatis mutandis og ski £ | 
§. 21. Dieſe Methobe iſt, wie der Augenſchein tepeh. 


1 
N _ \ 
* N 


| 194 | Silben; über die Beifäafun 
6 18. Ein einztges Beyſpiel wird volllommen vr 


reichen, Die Sache 36, erläutern, 


Die gegebene Gleichung ſeh on Ä 


'D) sd. ax pe bu 6 
Die gefuche fen dit 3mal erhöhte | 
M) x + Ar B0 


divibirt man M wirllich burdh L, fo ahält wi ihn vn 
Duotienten 


x — ax’ 4 by — a ner 
+ @— 3b baä). 


beit on | J 


7 


—— 4ab + sah aA + bayı 
— (db gab! + b’—abA—B). 
$: 19. Das erſte Glied biefed Reſtes giebt die eun 
huns 


a (a —b) - — zab (a —b - = .A(a u — 


alſo Ac a’ — zab. 
Das aweyte Glied giebt. 


scher Ya mh Baer | 


alſo B = bi” 


920, Die erhöhte Sleichuns ** + Ay’ + B er7 
# demnach va 
a rue FBF: DR: | 0 


gabs. 2 


einer weit ginfachern Darftellung fähig, .. alg die world 


und daher zu allgemeinen Unterfüchungen weit bequemet⸗ 
Sie J uͤbrigens mit der oben 6.7) erwaͤhnten erſten Lam⸗ 
berti⸗ 





Be 


“..;. 
vo. 


bei Warzelgrͤßen aus den GSleichungen. 158 


beklifchen Wethode ſehr nahe verwandt. Was bier durch 
Dipifion , wird dort durch Multiplitation bewirkt. Unſer 
Quotlent wird dort angenommen, und mit unbeftimm- 
Im Ebeffieftiieen verſeden. Multiplicirt man ihn fo mit 
hem Dibiſor, fo muß das Probuft dem Dividendug oleich 
kin ‚welche Vergleichung bie zur - Beftimmung: bon 
N C, ete. neigen — lieferk 





—* bie Anrehamu if abgeſchnitener 
Prismen; von Herrn Bert al 








4 tik, Cs did, wieABDE . t ) wo 

Kr pen AB:uhb ED eitnder parallel. find, 
rapez, ſy tie man ein Wieterk, wo Reine Seite 

Wr andern paraüel iſt, ein Srapenbid nennen konn . 


ulfsſatz Me a Srapı ei ABDE jü 
ih bepben parallelen, Seiten noch ine 
ändere Linie ER parauel pn, FAN To. verhaͤlt ſich 


DEE: AE = DF BET md Li) tern niafı.biefe ver⸗ 
Mami < — 





n * m 
Bewels. Mai, ie bie Linie AD, if 
YcE:AE=DG:AG = DE a 
"folglich 
ger: Ai 
BOEDFE- um: 
ns 










B: 
F&ally . 
nmäß: = 


Ä | 
196 VI. Rothe, über die Ausrechnung 2 


. m.CD  »-n.AB 
EG = et und * 


n.AB + m.CD, 
am 


3. Lehrſatz Der Inhalt eines dreyeckigten Pers 
rechten, jedoch oben schief abgefchnittenen Yridmia 
ABCDEF (fig. 2.), mwo.bie inim AD, BE, er 
ſenkrecht auf der Ebene ABC ſtehen, fi | | 
AD --BE-+ cF 
== AABC. ——— — 


EG + FG =. EF = 


| Bheweis— Man * durch die drey Bunte A, E, c 
und auch durch die drey Punkte A,E,F Ebenen, fo wirt. 
dadurch das fehief abgefchnittene Prisma in drey drepe ' 
eddigte Pyramiden. ABEC,AECF,ADEF geheilt. 
Nimmt man nun bey den. beyden Pvhramiden ABEC 
und? AECF bie Dreyecke BCE und CEF für vie 

Granbfiächen an, fo haben fie eineriey Höhen, folglich 
‚Pr. ABEG: Por. AECFo=ABCE: aCEF 
== BE: CE. | 


gimme man ferner bey den beyden Pyramiden AECF | 
und ADEF bie Dreyecke ACF, ADF für die rund 
flaͤchen an, fo haben fie einerley Höhe, folglich - 
Pyr. AECF: : Ppr. ADEF==AACF: : AADF 
=CF:AD. 
| Da nun BE fenfeecht ‚auf ABC ſteht, fo ift 

Pyr- ABCE — T AABC,BE 
- Br AECF AABC.CF 

pyr. ADEF= 3 AABC.AD 
folglich, wenn man jufammen addirt, fo iſt 


ABCDERF = AABC. AD HaEHor 


3 
W Zufaß 





„? \' 


ſchief abgeſchnitte ner Prismen. 7 


Zuſatz 1. Da bie. Linken AD, BE,CF parallel 
Br fo Buben Re Degen die Eben DER alle einerley 


gmugstvintel,. (Kaͤſner s Geometrie 47 Cab 8 Zuſ) 
—R Man ſatze aus A auf die Ebent 
F das Perpendikel AG, und zehe DE, ſe iſt 


DG=-a. Run fr. ADEF = aber. au ; 


war aber auch ‚nach dem Bene bed Bayer 


A falsli$ ADER. AG=aABC. AD 


u daraus folgt . | 

ADEF ı ABC == AD :AG a 2: fine, 
ei bey einem fenfrechten, oben (het ab» 
fanitienen dreyeckigten Pris wa, verhaͤlt 
ch die durch den ſchieſen Abſchnitt entſte⸗ 
ade Figur ADEF, sur Gruubdflaͤche AABC, 


‘ 


. der Halbmorfer, sum Sinus, des Bi 
——— 2. Diefer Satz it nicht Bfos fie dreheckigie, 


dein auch für alle vielſeitige Priemen wahr, Denn 


evielſeitiges Prisma ARCDE abcde (fg-4,, wo. 


Bain aA, bB, uf w. auf der Ebene ABCDE 
Kine ſtehen, \äße fich ih beepedigte Prismen 


BDabd, BEDbed, CDE ede zerlegen, bey denen 


ade Winkel cinerley iR. Deewegen iſt 
:Äabd : AAB : fm 
Abed: ABCD = fine ⸗ 

Acde: ACDE ſin alfe 

abod e x ABCD Sı I: Im @ 


ener iſt 

abed;: ancD — Y: Fa a da nun auch 
Acde: ACDE Fr 1 + fin fo verhält ſich 
ebed: ABED= Anode: ACDEmb 
; abed: Acde == ABCD : ACDE. | 


98 VE: Rothe, Aber bie Auscäinung | | 
u 4. behrſat ABCDEabede (fig 4) ſey ein ſenb 
‚rechtes oben ſchief abgeſchnittenes —*8 woaA,bB 
p. ſ. w. fenfrecht auf der Ebene ABCDE fichen. Be 


—* durch den ———— H- ber Grundfidch ˖ 
ABCDE bie inie hH fenkrecht auf ABODE u 


vwelche Linie bie Ebene ahede in dem Punkte h tee 


mag, fo ift I) auch h der Schwerpunkt ber Flgur ahede 
. ab H) ber Inhalt des Prisma 
ABCDEabcde = ABCDE.hH _ 
Ur Beweis. Fr ein dreyeckigtes Prisma wird der Saz 
fo bewieſen: Es ſey ABC abe (fig. 3) ein feufnechted, - 
ohen ſchief abgeſchnittenes dreyeckigtes Fe wogA, 
PB, EC fenfrecht auf der Grundfläche ARC ſtehen. 
. Man halbire AB in D, und ziehe dD parallel mit bB, 
lege dann durch die Linie AD und den Punkt C «ine 
Ebene, welche ABC und abe in DCund de — * — 


mache DF= 3CD und ziehe kFparallel mit eC, 


ID) Da nad) ber Conſtruction dD mit bB und fR. 
mit EC parallel if, und bB,cC ſenkrecht auf ABG: 
find, fo ſtehen auch (8 äfiner 8 Geometrie 46 Sag) 

- dD und fr ſenkrecht auf ABC, Da nun.in dem Tra⸗ 

pez a A bB;. AD = BD und In dem Sr 

eCdD, DE" —=1IDC, fo if auch (2. I)ad = b 

und if} de folglich find F upd-f bie Scöwerpunfte. 

Ä der Dteyecke ARC und abc. 

II) Da in den Traptz aA bB, AD—BD, und 
in dem Trapez cCdD, DF:CE = 132, IT 


(2. dd — aA hR 


—— Ant none 


A-+b 
BABG-ÄFRAARO, Dr fo | 





1 


if gefänitne Prismen. 199 


Dal der Sat aber auch für jedes vielſeitige Prisma 
. ABETeyn. muͤſſe, laͤßt fich fo. heweiſen; Wenn ber Satz 
für jedes nedligte Prisma wahr iſt, ſo iſt er auch fuͤr 
"jedes (1 4 1) eckigte Priema wahr. Denn es fep 
Han abcde (fig. 4) ein (nr n) eckiges Prima. 
Ebene, "in.Welcher die beyben Paradellinien CC und 
MD fiegen, ſchneidet die Ebenen ABCDE usb abcde, - 
SD. und £%,: und theils das (q FA) edigte Prisma, 
Re * nattiges ARCD abed, und ein dreyeckiges 
EDE Ad Nun ſoy Eder Schwerpunkt des 
 ABGD,amh F-der Schwerpunfe. bed Dreyecke 
" Dean; siehe. durch G und. big-Pinjen:g G. und 
— ERifenticht auf.A BEDE, Melde die; Ebene abede 
. Ange und Frsffen mogen. - IE; mm der Sad für jedes 
 auskiar. Prigma mehr. fo. it: Coremöge I) auch g der 
‚Cchwerpunft bes n Eds abed- uhd (vermdge. I) ” 
RBGDabad AB CD:8G. ‚Doß Fber Schwer⸗ 
 uankk das Dyevecks c.de und: 'CDEederACHE. fF = 
Ga ſchon⸗ bewieſen _worten,... Man.. ‚giehe ferner FG 
nnd g gebimen ben Vunkt . in E.G fp an, daß 
ARGD: A DGE und gehe durch HE 
‚Bi Since h N Aapkrepft auf ABCRE aber parafel mit 
wa: eder EF; ſo iſt 















Er ·nach der Cunitutinen. H&=ABED:ADCE 
a ec 7 2 2uf‘) ABCD: aDCE = abod: Adce. 
Atgti 5 


‚fh:hg = FH: Ho— ARCD: ADGE-abed: Adce 
and alfo, da F,G,f,g bie Schwerpunkte von 
*CDE, ABCD, Acde ‚abced, ſind quch H und n 
Me Schwerpunfte von ABCDE und abcde. 

BR MB), In dem Tuapıı FF EG iR sah der wetteten 
: Us * —ABCD: aCDE, ‚felglig 2.1. - 


RD. in bein Sram FB (2. D eh: he—FH: HG 


d 


⸗ 


a0. VI. Roche, über die Ausrechnuns 


a 


vo. 


ABCD ..:.8gG + ACDE. er, 
0) ABCD a ACDE 

„AscD. gG + ACDE.FF 
in nn 


ABCDE. hH == 'ABCD. gG + ACDE. tr 


— ABCDabed-HCDEcdo=ABCDE abode 
FZolglich iſt bewieſen, daß wenn bee Saß für jedes neckigte | 


Prisina wahr iſt, er anch fuͤr jedes (n 1) eckigte 
dreyeckigte 


Prisma wahr ſeyn muͤſſe. Nun iſt er für jebes 

folglich auch. für jedes viereckigte, mithin auch für jedes 
fůnfeckigte u. ſ. w. fuͤr jedes Prisma von jeber Auzahl 
von Ecken wahr. Der Gap muß aber auch für ein Prisma 
wahr fen, mo die Srundflaͤche feine geradlinigee Sigur 
ig; man fann nehmlich ein ſolches Peisma als eines von | 


| unendlich viel Ecken betrachten. 


Beyſpiel. ABCDEF (fig. 5) ſey die Srunbfiäche 
eines (chief abgefchnittenen fenfrechten Prisma, auf welcher 
alle Seiten ſenktecht Reben. Die Ebene, melche ein ſolches 
Prisma fchief abſchneidet, (welches in der vierten Figut 
bie Ebene abc de war) fchneide die Brundfläche imeiner 
Linie, welche auf der verlängerten AF fenfrecht, ober mit 
aA parallel iR, und zwar unter einem Winkel von w' 


nach der Seite von A nach F zu. Die Länge der Seite, : 


welche in A auf ber Grundfläche ſenkrecht Rebe ſey = g 
und 

Ab= 4 bB 

be = 3 ee = 13 


cd — ı dD=$6 
de = 14 eE — 4. 
eF — 3 


wo die Einheit ein Fuß ſeyn mag: Mat fragt MT dem 


Inhalte dieſes Prien. 


a 


J ' Ran face zuerſt den Schwerpankt der Grunbfiädhe, 
und biefen findet man bald, wenn. tuan folgende leicht gm 
erweiſende Gähe zu Hulfe nimmt: 

Erſtens. Das Moment eines Thepejer ABCD 
ſg. 1) gegen gine, mit den beyden Bein AB,CD, 
"parallele Linie HI,-if, wenn man 
"AB=2,CD=b,KL=o, LMend ſeſt · 


erde: c —8 
F Zueytene. Das Moment eines Zrapesed ABCD 


"X. 8), wo bie Winkel BAC, ABD rechee find, . 
die Linie AB, ifl, wenn man 
-AC=a,BDub, AB mw e fehl, 


er \ —— ı 4-b* 
Lo — 7 == 


r7 — 


„» 


Wertes des erſten Hultelades inber man “ DH 


Moment gegen bie Einie nA, | 

'ä'’b e ur: j 
sa AbB.. fir 0,3,4,0,m 8 
des Rechtecks bBC für ,3,3,4,== 24 
bdes Trapezes cCdD füe 336 1,7, — 285 
des Trapezes dDeE für 6 , 4 ‚14, 10 
WE AchF fie 4, 0, 2, 22, 2 908 
= folglich iſt, wenn man alle dieſe Momente zuſammenab⸗ 


dirt, das Moment der ganzen Figur ABCDEF, gegen 


‚die einie AR == 21695. unb fm ar Saal 
des A AbB == 


dbdes Rechtecks bB cC = a 
bes Trapezes cCdD— 3 
des Trapetzes ADeE == 70 | 
| J Me ACcEF — Zr | 

BEE Rs dolglich 


ff egefönietne Prismen. Taoi - 


I 


/ 


- 
ABCDE. —8* == 'ABCD.gG -- ACDE. tr 


4 


WM 


u vr. otech aber Be Kusschmung ' 
ABCD . '8G + ACDE. fe, 


_ABCD. + ACDE 
ABCD. 26 + ACDE. Lö 


ABCDE 








Sm. ABCD abed + CDEcde=»ABCDE abede . 


Golglich iſt bewieſen, daß wenn bee Sag für jebes neckigu | 
Prisma. wahr iſt, en anch fuͤr jebes (nz) eckigte 


köma wahr ſeyn muͤſſe. Nun iſt er für jebdes dreyeckigte 
olglich auch fuͤr jedes viereckigte, mithin auch für jedes 
fünfedigte u. ſ. w. für jebes Prisma von jeder Aujahl . 
von Ecken wahr. Dir Sag muß aber auch für ein Prise . 
wahr ſeyn, mo die Srundflaͤche feine gerablinigee Figne 
iſt; man kann nehmlich ein ſolches Yeisna, als eines von | 


unendlich viel Ecken betrachten. - 


Beyfpiel. ABCDEF (fig. 5) fen die Srundfläch 
eines fchief abgefchnittenen ſenkrechten Prisma, auf welchet 
alle Seiten fenkrecht Reben. - Die Ebene, melche cin ſolches 
Prisma fchief abſchueidet, (welches in ber vierten Figur 
die Ebene abc de war) ſchneide die Grundfläche imeiner 
Linie, welche auf der verlängerten AF fenfrecht, ober mit 
aa parallel I, umd zwar unter einem Winkel von w° 


nach der Seite von Anach F u. Die Länge der Seite, : 


welche in A auf der Grundfläche ſenkrecht keht/ ſey = 5 


und on 
Ab= 4 bB | 
be = 3 Han 13 
ed ı dD=6 
de =14 _ eE = 4 


| 2 


wo bie * ein Fuß ſeyn mag: Mat frast * bem 
Inhalte dieſes prione. | 


8 
i 


j J an fache uerſt den Schwerpunkt ber 


und Biefen findet man bald, wenn man folgende leicht zu 
erweiſende Saͤtze zu Haife nimmt: 


Erſtens. Das Moment eines Trapejer ABED 
»(Er. 1) gegen gine, mit den beyden Seiten AB,CD , 


parallele Linie HI, if, wenn man 


AB=a,CD-b, RL = 0, LMend far 


er b)ed — — 
2 6 


. Zune Das Moment eines Arapejes ABCD 
| Tg. 8), wo bie Winkel BAC, ABD rechee find, ie 


die Einie AB, ift, ment man. 


"Alma, BDub, Anm en 


_ Were des een Srdfages finder man (ie DI 
Moment gegen bie einie aA, 


on el ——e— —b1 
u 


z — 


ab ed 


ua AbB:. für o,3,4,0, == 8 
des Rechtecks bBeC fut 3,3, 24 


des Trapezes cCdD fie 3, 6 ,1,7,=m..28$ 


des Trapezes AD eE fü 6,4 „24, 8, Dr 


U AcHF - fürg,o, 2, 22, - of 
> folglich iſt, wenn man alle dieſe Momente zuſammenab⸗ 


dirt, bad Moment der ganzen Figur ABCDEF, gegen 
‚die Einie Aa == 11695. und. if ferner der apa 


des AAbB = 3 
dbes 'Rechtecks bBcC == 4i 
tes Trapezes cCdD— 33 _ 
... bes Trapeges dD eE= 70 
Eu bes A eEF = Bu Zu 

Ä Rs Folglich 


dief egfönictene Prismen. u Tor 


9 


son Vi Mofber über die Ausrehuung 
Felzlich ABCDEF = 854 und ‚ber Abſtand bei . 


Schwerpunttes ber, Figur ABCDEF. son der line 


11698 . 
aA — Der gmegen iſt die Länge des aus dem 
Schwerpuntte vder Srundflache ABCDEF, bis-äk . 


bie fchief ſchneidende Ebene aufgerichteten- Perpendife® 


| (as in F vierten. igur die Linke: KH war). ı 


9 


1658, tung w' ; dieſes mit der Genndllach 





— 
5" Aniktiplice, - ‚giehe den Anhalt . des Prism 


A - 


we 7a 11695 uüg wi. un w Wr =, 


ſo iſt 


log 11691 = ' 3,0679074 
Ig tang 37° = 2 NB771144 mg 





. — — —— 
: Äpgr16gktang a7. == 7= 2,9450278 —* 


27698 tang 37°; == 881,093 hierzu 
— 5 767,25 . ehe. 









. "Prisma | - = 1648, 343 
Weni die fünfte Figur ben Profilrig einer Bruß⸗ 

wehr Im Felde vorſtellt, ſo giebt gegentwärsige Rechnung - ' 
ben Inhalt eines Stuͤcks einer ſolchen Bruſtwehr, das 


u 


in der fechfien Sigur im Grunbeiß duch AFGFJ vor⸗ 


geſtellt wird, wo AG. = 9 der Be 


:AGK = 106% ==.180° — a. Ä 
und die Länge der Linien Ab,be ‚ed, ie er gleich 
groß iſt, mit denen auf gleiche Art' in der fuͤnften Figur 


vezeichneten Linien. Hat man das Moment, der Figur. 


- . ABCDEF gegen bie Linie aA (11698) einmal berech⸗ 


‚net, fa kann man dies aBemal bräuchen, wenn auch der 
Minke| w anters angenommen Bde wenn pur die . 


Maaft 


{) ‘ — 


u: Waef gef —8* 203 


Maske behin Profil einerley bleiben, und ie Rechnung 
Mein jedem Falle außerordentlich leicht. Die Naaße für 


Bad Profil finden ſich beym Srkruen fee (Anfangegrun⸗ 


de ber Kriegsbaukunſt, erſter Theil, zte Auflqge.72.) 
Bey · gegenwaͤrtiger Berechunng Brauchte man bloß 
"en Abſtand des Sqwetpunttes des Profiles AB CD, ET 
(kg. 5) von der Binie An, zu wiſſen. Um aber ben Ort 
pes Schwernunktes volllomman zu befimmen, muß man 
ach ſeinem Abſtan von ben Linie A F berechnen. Man 
Auche zu dem Ende: nach dem zweyten Huͤlfsſatze, das 
Woment der Figur ABGDEF; gegen die Lienie AF, 





b+-b 
mach der Bor > - * * um. ſa Poda man 
das Moment | | » | nn . ‘2 
9 *8œ N} ı8 Tide 


des decheke AB SR Ge 1 


des Rehtecks bB CC für. Buche ve 
des Trapezes cCAD für z * 6, ı yo: 4 


| dvet Trapeped dDeB für 6; 4 ’ 14} * ee; ri rw 


des Dreyecks ER. für a ah 


folglich, wenn man addirt, * Moment "er Sigur | 


AB CDEF gegen bie Sinle ÄF : 195% , {nd ben 


. Abſtand des Schwerhunltes von vera AF SF Fr 
Dieſes Abſtandes wuͤrde man fi bedienen, wenn man 
"den Inhalt eines Stuͤcks einer folchen Bruſtwehr wiſſen 
—— das von einer Ebene abgeſchnitten wird die wit 


bem Horijont einen fehiefen Winfel made, jedoch das \ . 


From in einer Linie ducchfchneidet, welche mit A Fe paral- 
el iſt. Geſetzt, man wollte den Inhalt des Stuͤcks der 
“ Bruſtwehre wiſſen, das in der ſechſten Figur im Grund⸗ 
ef durch aAbragrs vorgefilk wird, und es 


No. 


\ D 


W | J —— 

2604 VI Nethe, über die Ausschnung 

KG == 15, ber Reigungsiwinfel ber Ebene 268 

gegen, ben Heeljont nach der Richtung von.K nad) 

w=rv, ſo iſt bie Laͤnge Did aus dem Säwerpntt 
195 


aufgerichtxen Perpeubitcie — 12 — Er oot v, 


dleſes mit dem Jubalte be⸗ Profils 351 mulkiplicht, 
siehe den Inbalt des Stuͤcks 

Aß yAfLG um 1033 — 1958 60€ v. 
SR num die Anlage der Bildung Ay dad; gleich bie 
‚Hälfte der Hoͤhe, oder cot vum, fo if A ylıdLa 
— 10331957}. | mn 1023 — 975 = 92538. 


Zuſatz 1. um ein auf beyden Seiten ſchief abge⸗ 
— Mniisenes Prikma ABCD abed (fig.7) zu Berechnen, 
füge man durch einen Selichigen Punkt =, ber Linie Ar 
‚eine Ebene, auf welcher Ad, folglich auch Bb, Ccu.f.m.. 
ſenkrecht ſehen. ME nun O ber Schrwerpunti bee. Figur 
aßyd, welche durch den Durchſchnitt der gebachten 
Ebene mit dem Pridma entſteht, und bie Linie FO F fenfr 
echtaufaßyd, folglich.parallel mit Aa,Bb u. ſ. w. 
fo find auch F und f bie Schwerpuntte von AB cD und 


J abed uib 


A‘8CD aRyd = aßyd. FO und 
abedaßyd==aßyd.f® folglich 
ABCD Abed = aßyd.Ff | 

ober der Inhalt eines auf beyden Seiten fchief abgefehnit- 
- genen Prisma iſt gleich dem Produkte aus dem fenkrechten 
Schnitte 409, in den Abſtand FF der Schwerpuntte 
Fund fber beyden Grunbflaͤchen. Zugleich erhellet, baß 
die Linie FF, welche durch den Schwerpunkt F eines 
Schnittes ARCD, mit den Seiten bes Prisma parallel 
gejogen wirb, durch bie Schtwerpunfte aller nur möglichen 


Schnitts, + 2. durch die Schwerpunfte © und f der 
| Schnir | 


_ . 
[4 “on . , X 

| 
/ 


} — ſwiel bgefönierenir Polen. — 


Ehre «ßyd md abced hindurch geht, und daß 
umgefchrt, wenn men die Schwerpunkte F auD f weyer 
Schnitte ABCD und abcd burdy eine gerade Linie ver · 
Birdet, diefe Linie auch durch bie Schwerpunfte alte 
EGchniete bindurd Fa und melaq mit ben Seiten bed 
Weit parallel 

Zuſatz =- den die Änien aA, bB,u.E 0 
—E der Ebene abcd machen, heiße &, und der Winl 
ben dieſelben Linien mit ber. Ebene ABCD magen.B, fo 
. Ra 23Uf) 

‚abed: aßydmı: fin « 
A4APy: ABCD = finß: ı folgich 
Ba abed : ABCD = Minß : find, | | 
: Oder die Inhalte zweyer Schnitte verhalten Mich umgekehrt 
die die Smus der Winkel, die bie Sritenlinien bed Priama 
J it ihnen machen. 
Bufaß + Man laffe and F im ſerpendiket Fg auf 
ab ed herab, und siehe fg, fo ik Ffg ma 
| er: Fg = ı: fina Dan iſt aber auch 
abed: aßyd = 1: : fina, folglich 
abed: aByd = Pf: Fg und 
abed.Fg — «ßyd.Ffw= ABCDabcd (i Zuſ) 


kelglich findet man auch den Juhalt eines auf beyden 
| du ſchief abgefchuittenen Prisma’d, wenn man eine 





— —. — 


der beyden Grundflaͤchen, z. B. abed mit dem Perpen⸗ 9F 


dl Fg multiplicirt, das auf Re ans dem Gchwerpumfte 
F der andern Grundflache ABCD herabgelaffen wird. - 


Annmerkung. Waͤre NE der Schwerpunkt des ums 
ſangs der Figur aß yd, fo würde bas Prodult aus 
dem umfange der Gew Bye; in bis ink a ie | 


20 Mi ‚Sant, ar N —8 
iche des Prismm, "(die beyden Grundflaͤchen — 


R 
nn m 


abcd nicht sigrechunn) Yeben, "ober es wäre bank | x 


(aß. & Ay -H.yd +.ad) Fi aa bB. 
a bBeC + cCdD + aAdD. 


Wan würde aber irren; mwenn..inan auch, wie verhen 


ſchließen wollte, daB auch F und f die Sthwerpunkte dei 
lmfänge der Figuren ABCD und abcd wären. De 
awöräpeliche Bits biefes Sabes seht nicht hieher | 


\- 


Vi, Zu 


Einẽ heſtimmte. Aufhade aus dei unhehtntucn | 
Arnalytik. An einehgüten Sreund; von M. A. 


= rudicke Lehret der Mathematik anf der 
‚Hanf zu Beiden | | 


ee. 2 









ä 


| 
{ 
Be 


! 


A 


1 
BE 


©. Gaben bie Auflöfung folgender Aufgabe fehr müh⸗ 
.fam gefunden: Ein Kaufmann mird gefragt; wie vie 


Stuͤck ſeidener Zeche einer getviffen Gattung er verkauft 


habe? Er antwortet: die Zahl der einzelnen Stücke habe 
ſich jufammen mwiſchen 14 und 15 Schock belaufen *): 
Nach 


H Durch bie an gabe: die Ahr bei öinjeinen Stuͤde ſed 1wi⸗ 
Ichen 14 und ıs Schock gefallen, wird die Aufgabe bes 
» Rimmt, die, ohne fie, fonk unbefimmt geweſen feyn würde: 
Dies rechtfertigt die Ueberſchrift des Aufſatzes, in welcheni 
auch die Aufgabe, aus den übrigen Bedingungen wie, eine 
. Bnbekiinnite geld, und Hinterher jene Angabe zu Be 
ttimmung der wirklichen Anzapl benugt worden iſt. Gani 
7. übers verhaͤlt es fi, wenn man die Aufloͤſung von dieſet 
Augabe beginnt, und die folgenden Bedingungen damit 
— Hiervon in meinem Br) zu * Abhandlung: 
*T indenb urg. 


aus bee unbeſtimmten Aualetit. 207 


ach 2;3,5,6,9, 18 Stuͤcken bucchfkhoffen, fenen ihm 
ich der Ordnung 1,2,4,5,5,9 Stück übrig geblieben; 
ıch 11 Stücen hingegen überzäplt, fey alles aufgegangen: 
8 wird gefragt, tie viel Stuͤck ſolchen Zeuches der 
auf mann gehabt habe? 

Das die Auflsſung dieſer Aufgabe auf Enlers D 
et ſehr muͤhſam Fey, darin bin ich vollkommen Ihrer 
deynung. Sie wuͤrden aben fehr viel Arbeit erſpart 
iben, wenn Sie die ſehr ſchaͤtzbare Abhandlung bed Herrn 
rof. Hindenburg von den cykliſchen Perioden 
ı 3ten Stücke des Leigziget Magazins für Mathematik 
m Jahr 1786 gelefen Härten.“ Man findet darin nicht 


ve verſchiedene Fehr bequeme Aufldfungsmerhopen meh 


ver dergleichen Aufgaben, fondern man kann auch über 
uge werden, daß die co mbinatorifche Analyſis 
dr Allgemein und viel umfaſſend ſey, und nicht immer 
eitläuftige, oder, wie Sie vor Kurzem äußerten, ab⸗ 
hreckende Formeln gebe wi ‚Belieben Sie hierbey zu 

beden⸗ 


*) Voußaͤndige Anleit. zur A. 2% 2. Abſchn. 6. 19. ar. 

89) Gehoͤrig redueirte Formeln find nie weitiduftig. Auch find 
‚die eombinatoriſchen, fo wie die Lokal⸗Ansbruͤk⸗ 
Se — nenn man ihre Bedeutung und Entwicelang kennt — 

nichts weniger als abſchreckend; fle.find vielmehr in hohem 

: Grabe anziehend und belehrend: die lokalen, weil fie.die 
Beſtandtheile der oft fo fehr verwickelten shfartnichgefehteh 
Brögen, und diefer BeRandkhelle Anbrdnung und Verbin⸗ 
.„dung uüter einander, nn deutlih vor Augen legeus die 
“eombinatsrifchen, weil fe jederzeit auf ganz beflimiite 
und leichte Vorfchriften und Verfahren hinweiſen, nad). wel⸗ 
chen ihre Entwickelung ohne Schwierigkeit vorgenommen wer⸗ 
den kann. Daß Bierbep die Kenutnig comdinatokifcher 
Dperationen und Juvolutionen, ale Hälfemittef 


dorausgeſetzt wird, iſt nun fchon befatint, und Pie Worfchriften 


und Regeln, die ich darüber gegeben habe, gehoͤren offenbar 
zu den leihteften, die man ſich nur denken kann. Hier kan 
u re von etwas Abſchreaendemn A gar nase d bie Rebe 


203 VIE: Ludicke, eine beſtimmte Aufgabe ze 


bebenfen, daß der Schrec nme relativ und zuweilen eine 


> Krankheit ſey, für welche man bie Gewohnheit als Arzuey 
empfielt, und daß mit der größern Allgemeinheit meiften, 
theils mehrere Weitlaͤuftigkeit verbunden fey. Der Beweis 

des Ginomifchen-Echrfages faͤllt ungleich weitläuftiger aus, 


en wen ber Erponent jede Zahl, ald wenn er eine ganze. 
5 pofitive Zahl iſt. Mehrere Beyſpiele werden Ihnen 


ſelbſt beyfallen; ſo wie auch der gegenwaͤrtige Fall als 
Beyſpiel dienen ſaun. 


gu Yuflöfung ofen Aufgabe tönen Sie ſich der | 
Zeichen, Formeln und Vorſtellungen Bedienen, welche - 
Herr Prof. Hindenburg in. der oben angeführten U | 


beadluns (©. 306, 30%) gebraucht hat. 
Es find nämlich in Ihrem Kalle 


bie Städedes Durchſchiehens BA DI) a 1) 


bie zugehoͤrigen Reſte 124 
wodurch alfo (in den unsern Zahlen 11 — o geſetzt) ie 
ceykliſche Eomplerion vollkommen beſtimmt iſt. Da 


nun 2, 3, 5, 6, (nit aber 11) in 9. 10 90 
enthalten find; fo — ſich die Ordnungszahl ber gege | 
DIOLDICKOLOKD FE 


benen Complexion 245509 


nach bem Probufte 9. 10. I1 == 990 der brigen Zah⸗ 


len ober Faktoren, und man hat nur die Ordnungs⸗ 


8 (10) (m) obe 


| zahl für eine Eomplerion twie 9 
" 9 > an gu ſuchen. 


Sie iR die Sure folgender Ausbrüde: 


J . 





i Sunset „LO 1 
& 


; 





- 
| nn. FR 


- 


2 aus: der unbeftimmten Analptil: * 209 





wenn 2 Z, folglith ag | 


b- N, bug. 





10 

9.10 
Zu € ”.0 s Tr’ wa 2, 
; Aion bat daher bie Yusbräde: . 
9A oB+ I C 
AS 0 ER er, 


R ne man für A,B,C ſoiche Zahlen (und vorjüglig die 
- , Behnflen) zu wählen bat, daß fein Bruch entſtehe. In 
diefer Abſicht ſetze man Ama 1, B=wo und c2 fü 
erhält. man für biefe Ausdrücke | 
" 770 99 + 990 == 1859. 


. (ober 11) in der 185 9ften Complexion ber nad) den Zah⸗ 
re. Im (2) (3) (5) (6) (9) (zo) (11) angeordneten cyElis 
. ſchen Periode Da aber dieſe Complexion mit der 
9.20. ııten oder mit ber 990ſten Complexion, vor⸗ 
Eder ruckwaͤrts von jener gezählt, uͤbereinkoͤmmt, fo iſt 
. die gefüchte Ordnungszahl auch 1359 — 990 8693 
Be Complexion 1,2,4,5,5,9, 11 ift nehmlich Sie 869fte 
3 der Überhaupt aus 990 Complexionen befichenden eine - 
"fechen Periode. Auch faͤllt die Zahl 869 == 14.6029 
wiſchen 14 und 15 Schock, wie in der Aufgabe ift ange · 
: ben worden. Sie ift alfo die, vermittelft der Aufle 
fangsformel einer unbeftimmien Yufgabe, gefüne " - 
bene beſtimmte Zahl, und zugleich die Fleinfte, bey 
Weichen. die Diviſoren und Reſte der Aufgabe zuſammenge⸗ 
tunen ſtatt haben. a 
Die Beweiſe hiervon darf Ih Ihnen nicht wiederho⸗ | 





’ ib deutlich audcinanber or. worden ſind. nn 
oh Sr Bin. 


Es befinden ſich alfo ale gegebme Neſte 1,2,4,5,5,9,0 .. ” 


li, Dale in. der angeführten Abhanblung fehr grändlip —. 


8. vn huͤdicke, eine beſtimmte Aufgabe * 


m Bebente; daß der Sud une relativ und zuweilen em - 
Erankheit ſey, für welche man die Gewohnheit gls Arzuey 


exmpflelt, und daß mit der größten Allgemeinheit meiſten⸗ 

theils mehrere Weitlaͤuftigkeit verbunden ſey. Der Beweis 
des biuomiſchen Lehrſatzes faͤllt ungleich weitläuftiger aus, 
wenn der Erponent jebe zahl, als wenn er eine ganze. 


2o fitide Zabl iſt. Mehrere Bepfpiele werden mn | 


ſelbſt beyfallen; fe wie * der seseumärtige Sal as ; 


Beopſpiel dienen lann. 


gu Huflöfung ofeer Aufabe camen Sie ſich dee 
Zeichen, Formeln und Borftellunge bedienen, melde - 
Herr Prof. Hindenburg in. der oben angefäßrten % 
| Danblung G. 306, 309) gebraucht hat. . . 


Es find nämlich in Ihrem Falle . 
bie Stuͤcke bes Durchfchkeßend —— 
bie zugehoͤrigen Reſte 124 5 9.0 


wodurch alſo (in den untern Zahlen 11 har Oo gefent) die 
ceykliſche Eomplerion vollkommen beftimms.ift. Da 


un 2,3,5 5,6, (nicht aber 11) In 9.T0o==90 


enthalten find; fo * ſich die —— der gege⸗ | 
8 3) (5) (6) (9) (10) 12 f 
Genen Eomplerion 3 45509 blos 


nach bem Produkte 10.11 == 990 ber übrigen Zah⸗ 
len ober Faktoren, und man hat nur die ae | 


abl für eine Complerion twie 5 (10) I. 2, 
—8 (19) (12) Mn Muse 


Si 1 die Summe folgender Autdrick: 


. 9A 7 10B+ nero, 
——— 1 a IH. 9.0 


Er 








. 


. 4 j N 


aus der unbeſtimmten Analytik u 209 





in 3 10. 11 
wao a ber Reſt don 3 folglith — a 


en ‚„9.ır . 

„ _ “ \ U um - 

— ‚b J DET Be b 

Fa 9.10 | 
| ee v.0 9 — * 4 ce za 2, 

te bat daher bie Husbricer . 

—— ı10B-+9 11040 





o+- — 05 + — ˖ 903; 
ne man fir A,B,C folche Zahlen (und vorzüglich die 
MAeinſten) zu wählen bat, daß fein Bruch entfehe. In 
diefer: Abſicht ſetze man Am 1, Bo und c2 a | 
erhaͤlt man fuͤr dieſe Ausdruͤcke 

om 778 4 959 4 990 == 1859. 
7} ‚befinden fich alſo alle gegebene Reſte 1,2,4,5,5,9,0 .. 
(oder 11) in der 185 9ften Complerion ber nach ben Zah⸗ 
Im (2) (3) (5) (6) (9) (zo) (11) angeordneten cyE£lis 
fen Periode Da aber diefe Complerion mit ber 
9. 10. zıten ober mit der 990ſten Complexion, vors 


Oder rückwärts von jener gezaͤhlt, uͤbereinkoͤmmt, ſo iſt | 


1\” gefuchte Ordnungszahl auch 1859 — 990 =: 869; 
: De Complexion 1,2,4,5,9,9, 11 if nehmlich Sie b 69ſte 


: Die überhaupt aus 990° Complexionen beſtehenden ein 


> fen Periode. Auch fällt die Zahl 869 == 14.60 4 29 


“Telfchen 14 und 15 Schock, wie in der Aufgabe iſt ange 


ngeben worden. Sie iſt alſo die, vermittelft der Auflde 
bene bekimmte Zahl, und zugleich die Fleinfte, bey 





‘Minen ſtatt haben. 
Die Beweiſe hiervon darf ich Ihnen nicht wiederho⸗ 


* deutlich h auschnanber FB. morben bu 


—* . , “ .g: n 
“ ‘ . . i 
. I 


füngsformel einer unberimmien Yufgabe, gefüne  - 
"Weichen. die Diviſoren und Reſte der Uufgabe sufammıenge- 


ir ba‘fie in der angeführten Abhandlung fehr gradlich | . 
‚ Ste BD. BE '&h | i | 


210 VI. fadicke, eine hſummt— Aufgabe 
er koͤnnen aber auch das Eulerfche Verfahren vie | 


. Se 
er , 
L 


bequemer machen *): Diefe Abkuͤrzungsmethode iſt Ihnen 
vermuthlich nicht bekannt; da ich mich nicht erinnere, daß 
ſte ſchon gebraucht worden iſt. 

Es ſey die Anzahl der Durchſchuͤſſe in jedem Falle 
a,b,c,d,e,f,g, und die Menge aller einzelnen Stüde 


oboer die gefuchte Zahl —x; fo hat man 
2a #1 = 3b+2 = 5c+4 = 6d+s 


\ 


wege +s-rfgengm=x 
mw2a— 3bFı = sc+3 — 6cd+r4 
= ye +4 = 10f+$g — 1g—-Ii—=ı-I 


2 Weil aber @ bey 2 a in 6d 4 ober auh in 10f 8 - 
aulfgehet, fo kann man ohne Nachtheil 2a weglaſſen und 
weiter geben, und fp kommt 
| 3b= sc+2 — 6d+3 = 90+3. 
2 10f+7 = Iııg—2 = x—2 


Weil 3 in 6d-- 3 enthalten iſt, fo Fällt 3 b bintetg; 


folglich hat man 


sc = 64“—à1 = ge-+ı = 10f+5 


= 1g—-4 =ı—4 


Es iſt aber 5 in 1of-+-5 enthalten; es rät alfo auch 
sc wg, und man hat 


"6d = yge— 10f+4 = 113 - 5 x—53 





folglich | 
* =: e=Ii» =g-+' <— 7 


Die Gier hegelrachte Abtümund verdient alle Aufmerkſam⸗ 
keit. Es werden bey ihr die ſaͤmmtlichen Bedingungen gleich 
Anfangs, ar. nähern Bergleihung, neben einander geſtellt, 
‚wie ben mir (angef. Abhandl. S. 308, IV, a). Dat ber 


von mir angewieſene Verfahren ift aber von den hier gebrauch 


. den gan verſchieden. Bepbe find übrigens ganz allgeme 
Megen des meinigen vergleiche man noch Die angef. Abhaudl u 
H. 


(6 311. Anmerk. ». 


um- 


x B a der unbeftnmeen Ana, an 
un bie Sri mweasufchaffen, ſetze man I 
e — ah, fo 31— 1, g =, —— fo with 
‚sh= si—T == ıık+1 = —; folglich 


= bei? a gt 


 Dierfepemn N 


di gloı,k= 3m-+ı und a— 85453 Br 


:f6 wid sl—2 = fık-44 folglich 
51 11k6 = y+2 und 


j 
N Amakrı Hi yr2 





5. 5 
| ;. Man ſetze eudlich k—= sm—ı und y= s2—2; ri iR 
ıık—ı =. 

’ ' gu Befimmung ber Zahl x hat man num fülgende Gleis 
chungen: 23 

11K—13. I 5—-2; z=1y+5, 
Es ſey k= 1; ſo iſt = 10 »y 48 unda=: 369, | 
ie oben 

Aus dem Vorhergehenden erhellet, daß man Die De . 
fahren noch mehr abfürgen könne. Weil nehmlich 2, 3, 5, 6 

N 9:10 aufgehen, fo find die Reſte 1, 2, 4, 5 nicht wille 
; Hhrlich, fondern fie hängen von din Neften 5 und 9 ab. 

: Men hat dahero nur folgende Saͤtze noͤthig: = 
ga — 10649 rc x alſo 
9 == 10b+4 = I1c—5 == x—5 und 








' 2c# x— = 





a ‚ 9 9 9 
5 manbgd—ge =Ige—22==9y-45j “ 
wird ı0d—4 == ıre—3 == folgtich 
10d IrIe+ır =yr4 m 
wi. dem + — Ir, . 
Er 10. 10° u 


I u A . 
[h ot > j 
„Tr . 
— Da Wenn 
, a — 
N WMW . . 
> . . . ® 


sı3 Vm Südieke, eine beſtinmte Aufgabe 


Menn man nın e—= 1of— ı undy— 107— 4fthh, 
ſo wird ıf—ı = z. Man bat daher die Beſtim⸗ 
mgaz=uf—ı, y — 102 — 4m 
x=9y+5; und ſo fommt, f= 1 geſetzt, — 10, 
und daraus y — 19 10 — 4 = 96, und daraus 
x=9.96+5 = 869, wie vorher. 

Auf eben diefe Ant kann das Hindenburgfche Exempil 
(a. a. D. ©. 310,10) ziemlich bequem ae werben: 
Man hat nehmlich: 


1225 15414 = 20049 = Bi 1 


= 36e +5 =x; alfo 
1a ı5b+9 = 200+4 = 24d+ı2 
— 36e =x—5, 

Es fällt ader 12a hinweg, weil 12 in 24d-+ 12 ohtt 
in.36e enthalten iſt. Man hat daher 

15b= 2005 = a4d-H3 = Be H—x—ıl 
Weil jeboh 15 — 5.3 in 20c—5 undin 24d-+3 
aufgehet, fo faͤllt 15 b hinweg. Folglich iſt 


20e — 24d 48 = — — x—9 um! 


ne er N 
> 2 20 
Dun fe man d st—n, e = 5g—ı m 
x= 20y-+9, fo wird 
6f—2 = 9g—2—y, folglih 
F=9g—=y+r2,un 
f=g+is = =. 
Wenn nun g= 2h und y= 672—2 gefeßt wird, ſo 
batnanzh=z,y=62—2 und x—=z0oy+9 
E&yaph=ı; pwidza—zy3,y=ı6 m 
xXS 329. 
Da aber diefe Abkürzungen bequeme Zahlen voraus⸗ 





fegen, bie ald Disiforen In andern dabey vorklommenden 


zahlen 


% 


aus der unbeftimmren Analhtik. 213 


zahlen ohne Reſt aufgehen, fo muß ich Ihnen auch zei- 
tm, wie man ſich bey fehr unbequemen Zablen, wo das 
iiche der Fall iſt, die Operation erleichtern Ednne, Die 
auͤhſamſte Arbeit iſt das fortgeſetzte Sobſtituiren; 
ieſes vermeidet man, wenn man ſich waͤhrend des Divi⸗ 
irens den Ausdruck bequem macht, mie es in den vori⸗ 
en. Erempeln einigemal gefchehen If. Der Ausdruck 


> I 
sgr+: ' 2. giebt eigentlich den unbequem. Duo 


ı 6 
enten 1 + 2, Wenn man aber an ven 


99 r1 —64_ 99 — 


* = 
Statt: 444 7 444 EA: kan. * 


hreibt; ſo ſtehet man leicht, daß q— 7 ſich mit 16 bie 
diren laſſen ſolle, und daß man q == 167 7 ſetzen 


6 
uͤſſe. Damit man den Ausdruck ———— 


—— 


⸗ gq-+ Bequemer mache, fo fege man ihm 


229 — . wo 29 — 1 mit 39 dividirt 
kiben follen, und wo alfo, 9*3 9r- —.19 gefeßt, den 

II 
nsdrud 2 


9223.13 ift, fo.fann man bier erft mit 3 und ale 
enn mit 13 divibiren. Bey der erſten Diviſidn beloͤmmt 


ig—34 2 


ff, und den Ausdruck in 56 — 15 verwandelt: 
deſer Aucdeuæ, mit 13 dividirt, giebt. eigenelich 


ir 1 +: _ ; ‚man feßt aber an deſſen Stelle 
v D3 0.0 4E 


= 56r—27 giebt. Oder, da 





wo man q = 3r—ı Ä 





⸗ 


214 | vn. J eine beftimmte Aufgabe 


loan 


4r +24 


“ 4173 je: re, fo wird r= 1316 ab: 


der Ausdruck wid wie vorhin, 56t — 27: Eine andert | 


Berlegung, des Ausorudd 


= Hier fege man 


alſo af = 15g-+5 == 17h +9 19k -6— | 
we gti —— u bp 
Bu 13 | 13 


u l=n-ı+ 


+1 
——— (a. a. 8.6. 317). 


-Um dieſes mit einem Beyfpiele zu’ belegen, füge ion f 


3, Hindenburgifche Exempel (Ebend. &.313, 12) ben, tech 


ches wirklich ſehr mre ueme Zablen hat. Dan hat 
demfelben — 

4a12 * igbrr 15* = 15— 1 = rd 

=ıge—ı2=x folglich, u 

ab — 18 

br +2 rt 4 | 

6 Ge ‚IE 

„ sd—30 | 3e+9 


11 =; 








b= ııf—a ‚c- 11843 ‚d= 11h45 | 
ez ıık—3 und xr= ııy fo wird 


3f- erg 44 =ırh+, = kr 


2g— 8 464° 





= 6k—6_ y+ıI | 
13 } & 1414 
‚ Wenn man mung = 13l+4, ho 13m+15: 
k=ı13n+-ı und y — 132— 7 fe; fo wird 
sI+#s5s=ı7mHr2=19n +11, folglich _ 
si=r7m—3=1ın-4=ı—s,umd 
2m-+ 12 an—4 — 
—n m — 
15 15 
Hier 








aus der unbeftimmten Analytif, 215 


Hier fehe‘ man m=15p-—6, n— sort ‚und 
= I5a-s, und man erhält . 

17p -7 — 199 1 — 4, aalſo 
mp 9 r3 =a-r7, und 
294+8 ar, 


ı7 7 17. 

Senn man nun endlih = 17t— 4 undba=m 17 6 
ſetzt; fo. baf man 19t—4=ß Danuna=17ß-—7, 
1m 15&+5,y = 137—ı umdı=Iıy war; 








fo wird die kleinſte geſuchte Zabl gefunden, wenn man J 


= 1 annimmt. Dan hat ndmlid) alsbenn 

B=15, a=248 ,12= 3725 

.y > 48424 und 1* : 532664; wie nahe 

. 314 | 

Diefer Abkürzungen obnerachtet, werden Sie finden, 
—— dieſe allgemeinere Aufloͤſungsart, die ſo viel Erleich⸗ 
erung beym fortgeſetzten Subſtituiren ſchaft, gleichwohl 
weitlaͤuftiger fen, als die Hindenhurgiſche allgemeine Auf⸗ 
oſungsmethode, die nicht allein bey dergleichen unbequte 
men Zahlen ſehr vortheifhaft, fondern auch überhaupt, 
wegen anderer bey Diefer Gelegenheit angeſtellten Unter: 
fadjungen, lehrreich: und fehr zu enpfehlen iſt. 





Zuſatz des Herousgebers. 


D. Aufgabe: Eine Zaͤhl iu finden, welche dutch, 
viel als man will, gegebene Zahlen dividirt, eben fo viel 
Rtgebene Reſte laͤßt gehoͤrt, wenn weiter nichts von der 
3 ſuchenden Zahl angegeben wird, da fie näher kennen 
Hr holz au den undeſtimmten Aufgaben. Daß Herra 

D4 M.8is 


* Bie 1.8. in der Aufgabe (S. 206) der Umfanb, daß die 


dort zu fuchende Zahl der einzelnen. Side wiſchen 24 nud 
185 eged liege m fl | ’ 


\ 


— 
\ 


N 


r 


sı6 V. Bufg, des Serausges, | 


'M. Labickens Freund bie * ſolcher — | 


wenn man erfährt, daß ſelbſt Glausberg, biefer fo ges 


üÜbte Rechner, dergleichen Aufgaben zu den fchwerern-ge 
zähle, und fchon die Auffuchung ber Zahl, 4.8. (durch 


sebentlihe Rechnung, nicht burch Verfuche) welche 


„in aufgeht, und in 15 bividirt zo übrig läßt, en 
harten Knoten genannt hat. Seine. Benfpiele er 
ſtrecken fich auch nicht über zwey Diviſoren hinaus, dis 


“noch dazu Fein Igemeinfihaftliches Maaß Haben dürfen) - 


- 
0"; 


Indeſſen hat doch ſchon Bachet die bahin gehoͤrige Haupt⸗ 
aufgabe vollſtaͤndig geloͤſt, und gezeigt, wie man alle Glei⸗ 


chungen vom erſten Grade mit zwey oder mehrern unbe⸗ 


kannten Groͤßen, in ganzen Zablen qufloͤſen koͤnnen. 
Buch haben Euler (a. a. O.) und vornehmlich Herr de 


. a &range*) den Zufammenbang biefer Aufgabe ut . 


- der unbeflimmten Gleichung a —bx-—oy für diegans 


. gen Zahlena,b,c,x,y, nachgewieſen und erläutert, Daß 


‚man celfo diefe Aufgabe vorlängft durch ordentliche 


Rechnung, wie fi Ela usberg ausdrückt, aufzuloͤ⸗ 
fen gawußt habe, das iſt aus dem hier angeführten klar; 
es fragt ſich nur, ob dieſe Aufloͤſungen auch alle erforder⸗ 


liche Leichtigkeit und Geſchmeidigkeit haben? Die Weit⸗ 


laͤuftigkeit, auf die man ſchon verfaͤllt, wenn man das fuͤr 
zwey Diviſoren und Reſte von Euler gelehrte allgemeine 
Verfahren auf ben (a. a. 2. 5. 21) überträgt, oder die 
. von 
u) Berronfrät Rechk. 4. T. 9.1366. No. 3. Not. 2. u 
#*) Mem. de l’Ac, des Sc: Berl. annde 1768. p. 220238, ' 
probl. 4, artꝰ24. und Coroll. a5. Eine andere Auflöfung 
(die einfache unter den am meiſten abgekürsge 
gen, wie fie dort genannt mird) wird fchon Im vorhergehen⸗ 
den Jahrgauge (1767. p. 294, 295.) beugebraht, uud, eben 
pm wie jene, anf die Auflöfung der unbefimmten Gleichung. 
br cy (art, % p- a vurücgefüßrt 


A oo | F 


vi Zufa d bes berauthebete. | 217°: 


von Kern’ de la Srange nachgetviefene Verbindung and 
‚ Behandlung der gegebenen ‚Bunctionen zu unbeſtimmten 


* Gleichungen vornimmt, laͤßt die Verwickelung voraus - 


'säßerfehen, in die man bey mehrern Diviforen und Neften 
nothwendig gerathen muß, und fpricht fo für das Gegen- 
gell. Dieſer Umftand veranlaßte mich vor einigen Jahren, 
dieſem Problem weiter nachzubenfen, und feine Aufloͤſung 
auf einem ganz neuem Wege — dem combinatori⸗ 
—Fſchen — zu verſuchen. Dies veranlaßte die obenange⸗ 
"führte Abhandlung von den cyflifchen Perioden. _ 
Wie die eyklifchen Perioden durch der gegebenen Rei⸗ 
hai, 2u..a; 1,2,3...ß5 1, 2, 3, 4... Yu fe w. 
- fortgefegtes Schreiben in fenfrechten Colonnen neben ein 
-i@aber, formirt werben, und wie fie, nach Beſchaffenheit 


Eder Zahlen =, P,y... auf eine doppelte Art verſchieden 


x Rad, umß in der angeführten Abhandlung ſelbſt nachge⸗ 
: fehen werben. Hier genügt es anzumerken, daß, fo wie 


"Sie &,9;Y 5... In einer horizontalen Reihe nes 


u) 


u 





beneinaunder zu fliehen -fommen, ber Period geenbige - 
9. Ein folcher Period. befteht demnach, aus der Ane . 
‚feugecomplerlon 1,151, 1,0 2.0, ber Endcoms 
“'pleriona;,ß,y,d Ber und allen Äbrigen bazmifchen. 
» fallenden Complexionen, beren feftbeftimmte Folge 
‘uf einander von bem angenom mibenen Verbindungsgefege . 
ent Daraus erhellet zugleich, daß hierbey up 
Sauptfragen vorfommen müffen: x) Die Hrdnungeggpl 
‘eier Complexion in der Periode (bie wievielſte fie in dee - 
Periode ſey) If} gegeben, man foll bie Complexion angeben 


: 8) Aus der gegebenen Complexion, ihre Ordnungszahl in 


: We Periode, zu beſtimmen. Die Beantwortung ber erſten 





BR Im die Augen; anders verhält es fich mit der zwey ⸗ 
, deren Beantwortung zugleich bie Auflsfang ber im 


le Aufſatze vorgelegten mArtgahe enthält, 


; inte je 


hat nicht‘ die geringfte Schtoierigfeit und-fäle von 


' 4 


218 . VIL Zufaß des Herausgebers, 


unter mehrern in der oft angefuͤhrten Abhandlung von 
J mir gegebenen Aufldfungen, ift unfireitig die don "Herrn. 
. M: füdide oben (S. 208.) aufgeführte die allgemeinke - 
e und directeſte, welche, für die geſuchte Zahl x, auf bie. | 

| Bormel. fuͤhrt: 





Ä 710B ICH 
rear * 9 En g. 108. 


Hier giebt «8 mım "unendlich viel Werthe für 4,B,C, ne r 


eine ganze Zahl bleibt. Die in der Abhandlung gebrauch; 


ON 


— 


ten Werthe A=1; Bo ; C==2, geben x==1859, 
von welcher Zahl 990 (die Menge aller Eomplerionen bet 
Periode) abgezogen, die beſtimmte Zahl 869 ber Aufs 


gabe giebt; wie Daraus: erhellet, daß 369 — 14 Echo 
-) 29, alfo zwifchen 14 und 15 Schod liegt, und jüs 


gleich ale übrige Bedingungen der Aufgabe erfüllt. Die 


B==0; C=o fegen. FürrA=—ı; B==0; C==0o 


kaͤme x= — 121, folglid — 121 + 990 = 869, 
- wie vorbin. Man kann fich nehmlich mehrere (unendlich 
viele) Perioden an einander gefeßt denken; und von ire' 


gend einer milführlih gewählten Anfangscomplexion 
1,1,1,1,1.., (als einer erfien) die Complerion vor⸗ 
und ruͤckwaͤrts (pofitio und negativ) zählen; und fo 


Zahl 869 geradezu zw treffen, dürfte man nur A=13" 


überfiche man “fogleich, daß die von 1,1,1, 1,1... 8 . 


aufwärts gezaͤhlte — ızıfle Complerion, mit der von 


eben dem Anfange herunter waͤrts gegählten A 869ſten 
uͤbereinkommen müffe; mie auch daraus erhellt, daß beybe | 


Zahlen (ohng Ruͤckſicht auf ihre Zeichen) die Zahl 990 
(die Summe aller Complerionen der Periode) zufammen 
geben. Natürlich verlangt und fucht man bie pofitiven 
Werthe von x. Dieſe find, für die unbeſtimmte Aufgabe 


as865 39+:. 990; 869-+2.9905 u. fi. 


Die 


9— VII. Zuſatz des Herausgebers, 219 


Die Aufloſung der Aufgabe iſt in der Abhandlung 
offenbar deshalb gewaͤhlt worden, um ein Bey ſpiel meiner 
MWMethode zu geben; ſonſt koͤnnte man noch die erhebliche 
Einwendung dagegen machen, daß die Aufgabe, wie fie 
Hier von ihrem Verfaſſer iſt Jorgelegt worden, eine un⸗ 


Pr 


gleich viel leichtere Aufldfung zulaffe, die man auch nicht | 


‚leicht verfehlen kann, wenn man die erfte Bedingung (der 
—5 — zwiſchen 14 und is Schock) mit den folgenden J 


etwas näher zuſammenhaͤlt und vergleicht. 


Dieſe erſte Bedingung giebt nehmlich fir die Menge 
‘der einzelnen Stücke, bie der Kaufmann gehabt hat, die 
Sleichung x 14. 60--y = g40-+y; wo ybn 
— —— uͤber 14 Schock bedeutet. Dieſes y naͤher zu 
beſtimmen, dient vor andern die letzte Bedingung, nach 
: Welcher x durch 11 ohne Reſt ſich muß dividiren laſſen. 
Daraus folgen fuͤr y die fuͤnf Werthe 7, 18, 29, 40, 515 
die eben. fo viel verſchiedene Ausdruͤcke 840 73 


Bois: 840 - 29; 840-440; 840 +5ı für - 


: x geben, Bon bdiefen können aber 840 + ı8 und. 
, 840 4 40, und eben fo 840 7 und 340 51, 
‚nicht ſtatt haben ; bie beyden erften, meil fie, durch 2 bie 
‚ Hibirt, nicht 1, bie beyden letzten, weil fie, durch 3 divi⸗ 
dirt, nicht 2 übrig laſſen. Folglich ik x— 940. + 29 
8869 bie gefuchte Zahl, bie auch allen Bedingun⸗ 


gem zugleich Genuͤge thut. .” 
1 Dies hat vermuthlich der Verfaſſer der Aufgabe nicht J 
dedacht, bie er doch gewiß nicht fo hat abfaſſen wollen, daß 


fie außer der von ihm verfuchten Euleriſchen, oder einer 
. andern ähnlichen Methode, noch eine fo dußerft leichte -. 


N Anfloͤſung zulleß. Es it ihm bier fo gegaugen, tie es 
„ Aumeilen.ben Berfaffern von Raͤthſeln zu gehen pflegt, daB 
ft, wider ihr Wiffen und Erwarten, eine Bedingung mit - 





J 
A einmal su viel verrth Es lonnte auch die erſte 


‚angeben, bie für. ſich oder mit andern zufammengehalten, 


Bein 


‚ 


' 


— VII. Zuſatz des Herausgebers. 


Bedingung (wodurch nehmlich bie Zahl 869, aus un 
zaͤhlig viel andern beſtimmt wird, die außerdem ſtatt haben 
fönnten) auf fehr mannichfaltige Art anders ausgebrudt 
werben. 8. durfte nur, um ein Beyſpiel zu geben, dir. 
Antwort des Kaufmanns am Ende noch Folgendes bes 
gefuͤgt werden: 

„Auch habe er (ber Kaufmann) gefunden, daß bie | 
»Zahl der Stücke, bie er gehabt habe, gerade die Eleins | 
„ſt e gemwefen fey, bie man haben muͤſſe, wenn alle Bw 
„dingungen, zufammen. zutreffen. follen. Es wird ge 
»fragt u. ſ. m.“ 

‚Hier faͤllt nun ber obige Einwurf ganz weg, weil man 
ſchlechterdings genoͤthiget iſt, biefe, obſchon beftimmite 
Aufgabe, anfangs wie eine unbeftimmete anzufehen, 
und auch eben fo aufguldfen, Co etwas hat vermushlic 
‚Herrn M. Luͤdickens Freund in Gedanken gehabt. 


Hindenburg. 


Auszüge 


Se 
"Ausjige und ecenfionen neuer  Rüen \ 





— 


AUhtbuch der Sopran, mit be —* ade 
;auf die Erfahrung. an Chriſtian 
:$angsd.orf, Kön. Drug. Math. Altenburg, in. 
‚der Richterſchen Buchhandlung 2794. . 

‚Sortfegung des Lehrbuchs der. Hydraulik. Das 


"feIoR, 1796. Zuſammen 4 Alpb.. 10 B. Test; 
Vorreden und Inhalt 16 B. 4. mit 53 Kupfert. B 


Ei wird keiner Eotſhuldigung bedurfen, daß ie Sun 


Iklang diefes Werts bis jetzt verfihoßen worden, da nun .° 


icht mehr die Abficht dabey iſt, es bekannt zu machen, 


’ 


mbern die dem Verfaſſer eigenen Behauptungen zu prüfen. 


Jen Inhalt deſſelben Hat fon ein fachkundiger Necenfent 
n der Allgem. Litteratumgeitung 1795, Mr. 26, und 1796, 
Ar. 70, ausführlih mit guten Bemerkungen angegeben. 
Ich will mich alſo damit nicht aufhalten. Man wird ſchon 


biſſen/ daß diefes Lehrbuch der Hydraulik das vollſtaͤndigſte 


fi; was, wir befigen; daß es nicht allein die theoretiſchen 
ind empiriſchen Lehren mon. der Bewegung des Waſſere, 
ondern auch eine umſtaͤndliche Anwendung auf das Mas 
chinenweſen enthält. Man finder. darin zugleich die Lehre 
on den Gewoͤlben zum Brüdenbau, die. Unterſuchung der 


Beiyegung ber Windmühlenflügel, die Theorie der Dampfs 
naſchinen, Berechnungen über Stangenkunſte Getraide⸗ 


nuͤhlen und Schwungraͤder, wenn gleich das meiſte hievon 


ucht ſowohl in die Hydraulik als in die Maſchinenlehre ge⸗ 


Rt. Im firengen Verſtande gehört zu der hydrauliſchen 
Mechanik nur die Unterfuhung über die Bewegung dei - 
vera, feiern es entweder daR oder bewegende Kraft iR. 

| In⸗ 


LE 


a Nm 
vr 


- 


4 
N 


- 
7 Pd 
, . 
ER 


“ . ‘ ’ . 
' ' . 9 
’ a . * 


220 vm. Auerige und Decenft tionen neuer « Se 


| 
| 
4 


Inzwiſchen braucht ein Schriftſteller ſich nit ganz genau 


an die methodiihen Graͤnzen zu binden, wenn die Ueber 
’ ſchreitung mit Nutzen fuͤr den Leſer, wie in dem gegenmön 


tigen Falle, verbunden iſt. 


Der Vortrag bes Verfaſſers unterſcheidet ſich beſonders | 
dadurch, daß er die Erfahrung überall der Theorie als Gu 
Hälfin an die Hand gehen läßt. Durch bie Erfahrung 
. * Ieltet (ſagt er Votr. VIL.) mäffe man lieber auf manche De -: 
monftration Verzicht thun, als daB man ungeprüfte Vor 
ausſetzungen mit in den Calcul verwebe, und wichtige ph⸗ 
. Nice Umſtaͤnde aus der Acht laſſe, ohne ſich um Abweichum : 
gen von der Erfahrung zu befümmern, bloß weil man dm. . 
. rund diefer Abweichungen nicht einfehen kann, oder. 
- einem mathematifchen Lehrbuche als einen unverzeihlichen 
Fehler anrechnet, Säge ohne eigentliche Demonftration one 
. auftellen, F 
Es iſt allerdings wahr, daß in der Hydraulik 9— 
Theorie nicht vermag, die Erfolge Hinlänglih genau aus 
dem Gegebenen zu Heftimmen, weil man theils Umſtaͤnde 
ennehnien muß, die in ber Wirklichkeit eine Abänderung 


feiden, theils aber auch Umftände Hey Seite feßt, die einen 


beträchtlichen Einfluß auf den Erfolg haben. Die Hydraulil 

iſt gewiſſermaßen ſchwerer, als die phyſiſche Aftronomit, u 
weil man es in diefer größtentheile mit einzelnen ſchweren 
Puncten zu thun hat, in jener aber mit unzählig vielen, = 
die jeder ihre befondern Bewegungen haben. Die Erfahe 
rung allein iſt aber noch viel unzuverläßiger, als die bloße 
Theorie, weil durch Weränderungen der Umftände die Er⸗ 
folge ganz anders ausfallen können, als wie fie die aus 





einzelnen beobachteten Fällen hergeleitete Regel angiedt. 


emptrifche Formel mag brauchbar ſehn, wenn in einer Reihe. 


von Effesten nur eine‘ e einzige Größe veränderlich it, um 


das 


- Die reine Theorie iſt fiherer, wenn man nur bey ihrer . 
Anwendung das Quatenus derfelßen nicht vergißt. . Eine 


. K- . , . _ 
. . J fi * 
% 2 


‚VL X und .D Decenfonen Beier Bde. 223° 


per Sefep derſelben darzuſtellen, * man auch dafſelbe 
‚aut. errathen, ohne den Grund davon begreiflih machen zu 
können. Denn.es iſt hier nur um eine individuelle Inter⸗ 
‚polationsformel zu thun. Allein hydrauliſche Lehrfäge kann 
die Erfahrung nicht geben. Das Errathen aus undeutlich 
gedachten Gründen ift fehr mißlich; ‚man müßte einen ems 
giröfchen Lehrſatz verihmähen, wenn ihn auch die Erfah⸗ 
zung zu beftätigen ſchiene. Herr Langsdorf hat perfchler 
dene folche Lehrſaͤtze aufgeftellt; aber wie. unzuverläßig diefe 
Methode iſt, mag ihn -feine eigen: Erfahrung belehren, da 
er in $. 688 ſi ch genoͤthigt bekennt, ſeine in eben dieſem 
Werte vorgetragene Theorie von dem Stoße eines iſolirten 


Strahls zuruͤckzunehmen. Ein ſolcher Fall komme auch 


6 386 und $. 740 vor. Es wird noͤthig ſeyn, einige 
Yahıfäge des Verf. von: diefer Art anıuzeigen, um Ungeübte 
auf tie ſchwachen Stellen des Werts aufmerffam zu machen, 
vhne darum den daran gewandten großen Fleiß und die 
praktiſche Brauchbarkeit deſſelben zu verkennen. Das Ins 
tereſſe der, Wiſſenſchaft ſelbſt erfordert es, nichts Muth, 
maopliches darin. einzulaffen. | 
Die. allgemeine Gleichung für die Bewegung des Waſ⸗ 
fees durch ein Gefäß von irgend einer Geftalt hat Hr. 2. 
wicht zum Grunde gelegt, weil er. die Theorie, worauf fit 


deruht, für unzuverläßig hält, daher es nicht noͤthig ſey, . 


dem Lehrlinge der Hydraulik damit Mühe zu machen. Man 
wuͤſſe doch Erfahrungen dabey zu Huͤlfe nehmen, und.fönne 
he nur in fo fern als gültig erfennen, als fie mit der Er⸗ 
fahrung übereinftimmt. Es ift wahr, daß in.der Theorie 
. bon, der Bewegung bes Waſſers durch Röhren und andere 
Gefoaͤße der Weg aller Woſſertheilchen als derſelbe angeſehen 
Bed, "nämlich als der längs der centrifchen Linie; daß alfo 
Me Kraft zu. der Ablenkung auf den wirklichen Weg, der 
Unterſchied der Zeit auf dem erdichteten und dem wirklichen 
Bars und bie dadurch erfolgende Ahänberung ber Bewe⸗ 


gung _ 


“\ 


task ‚yal. Auszige und Ofesenfionen w neuer = vige. 


gung auf der centrifchen Linle, nicht in Rechnung gebrach 
werden. Allein wenn wir bie Theorie wegen dieſer biß 
jegt unvermeidlichen Mangelhaftigkeit wegwerfen wollen, 


fſo geben wir den wiſſenſchaftlichen C Grund ber Hybrodyns⸗ | 


mit ganz auf. 
Eſt quiddam prodire tenus, fi non datur ultra, 
. Bir müßten in jedem einzelnen Falle eine muthmaaßliche 


Jormel der. Erfahrung anzupaͤſſen ſuchen, oder uns som ' 
und gar mit Erfahrungsfägen behelfen. Freylich muß mag; 


‚nicht die Gleichung ‚, welche das Refultat der Theorie I . 


.. anf jedes Gefäß für anwendbar halten. Waͤtte das Gef: 
eine oder. mehrere beträchtliche Werengerungen, fo könnte. 
‚ ber Erfolg von der Berechnung merklich abweichen. Gef: 


bey einem prismatifchen Gefäße, das voll erhalten mich, 
zeigt fih, daß die wirkliche Waflermenge nur etwa $ der 


berechneten iſt, wenn das Waſſer naͤmlich durch eine kurn 





Anſatzroͤhre ausfließt. Inzwiſchen wird bey einem aus ip: 


lindriſchen Stuͤcke zuſammengeſetzten Gefaͤße, welches in 


der Anwendung der wichtigſte Fall iſt, die Boransfetung 


der Theorie beynahe Statt finden, bis auf die Stellen, wo 


ber Ducchmefler ſich ändert. . Warum wollten wir hier ein 


Mittel verfhmähen, wodurch ſich Die vortheilhafteite Ein⸗ 
richtung der Mafchine, und, wenn gleich nicht der wirkliche. 


Effect doch die Graͤnze defielden, beſtimmen laͤßt? Die : 


Erfahrung muß allerdings mit zu Huͤlfe genommen werden, 
um die Berechnung mit dem Erfolge zu vergleichen. Eine. 
‚gut bearbeitete Theorie ift das einzige Mittel die Erfahrung 
“ gehörig zu benugen. Wenn aber die Theorie unficher if, 
ſo bleibt alle Erfahrung nur ifolirte Kenntniß. Die von 
Hr. 2. bey Seite gefegte Theorie ift, wenn fie gut vorge 
- tragen wird, nicht fo fchwer, daß man mit mäßiger Kennte 
niß der Analyfis und der Bewegungsgeſetze fie nicht folte 


begreifen können, Ohne biefe Huͤlfsmittel kann man auch 


- Ken. 2. Lehrbuch nicht verftehen, wie es Überhaupt unmöge 


EL. Auszuge und Hecenfionen neuer Buͤcher. af 


‚if, mit gemeinen alementatiſhen Kenntuiſſen in Dr. 
dpmamif audzureichen. _ I 
Das erſte Kapitel fuͤhrt die uUeberſhrife: allgemeine Du 

chtungen aͤber die Bewegung des Waſſeis. Es enthaͤlt ober 

: Beobachtungen über die Menge des aus prismatifchen Ges - 
en in einer Gecunde ausfließenden Waflers. Daß die Ger 
Windigkei fi wie die Quadratwurzel aus der Waſſerhihe 
balte, bet einem weiten Gefäße und. kleiner Deffnung, wird. : 
ein Erfahrungsſatz vorgelegt, Die Theorie giebt, mie bea 
nei, für ein ſehr weites, ‚immer volles Gefaͤß, die Ge⸗ 
pindigkeft fo groß. als die durch den Fall von der Waſſer⸗ 
e erhaltene, ſobald die Veſchleunigung unmerklich klein ges 
den iſt. Sie weicht nur in der abſoluten Groͤße von der 
ahrung ab, welches aus den uorher angeführten Umfländen 
teiflich iſt. Hr. 2. fast. 3. daß das Waſſer durch eine: 
ne Deffnung mit derjenigen, Geſchwindigkeit gehe, . die M. 


‚ganzen. Waſſerhoͤhe geboͤrt. Allein wie ſtimmt damit bie 


Ingere Waffermenge,, welche die Beobachtung nieht? Nun 


Boet Herr L. zwar ſeiner Vorausſetzung zufolge den Que 


uͤtt des zulſammengeogenen Strahls, den er 0,63 der Oeff⸗ 
ig finder; allein bei einer kurzen Anſatzroͤhre, wo die Zu⸗ 
ninenziehung wegfaͤllt, iſt Die Waffermenge nur m. O8 _ 
vollen, welche die underichtigte Theorie giebt. Die Hohe 
der BGeſchwindigkeit iſt alfo nur nahe 0,66 der Waſſerhoͤhe 
dieſem Falle. Nach Newtons Benbachtungen iſt der veren⸗ 
a Querſchnit =0,766 der Oeffnung. Die Behauptung 

gruͤndet ſich auf eine angebliche Erfahrung, daß ein loth⸗ 


* Waſſerſtrahl die Hoͤhe des Waſſers im Gefaͤbe erreiche, ur 


in. die Waſſerboͤbe nicht über 4 F. betrage. Wenn die Era 
Bung auch ihre Nichtigkrit hätte, fo würde der Satz von der 
ſae indigkeit au auf eine Hoͤhe unter 4 F. ‚einzufgjränten: 
* Was koͤnnte aber ein ſo eingeſchtaͤnkter 12972 beifen?. 
worde auch dem vorher angeführten Erfabrungsſab wider⸗ 
den. Was noch in 5. 8. gefagt wird, Daß dey gi 'eih 
D 


5, 4 


. 226 VI. 1. Kusjige und Kecenfionen neuer n Schriften, m 
Ze 

E 

4; 


u —*— —— aus He 4 
wie a gan nz unverſtaͤndliche —ã— wird hier —* das V 


n allgeneimmen Kenn 
. fließenden Waffermenge bloß die oe I I, fo it es 


[4 


FSolge das letztere Product für das erfiere m 


| aus einem Sefäße, das n ein anderes mit Wafler einge 


Kap. der Fal fopn. 


. . der Luft bey einem ſpringenden Strahle faſt gar WIR, 


| —* te hergeleitet 


fern Wafferhhe als 4F. ber Widerſtand ber Luft und andere 
Unftände die Höhe des Otrahls vermindern, widerſpricht 
Theil dem $. 116, wo es ganz richtig beißt, daß der W 
























— kommen k nme 


En ganz kurze Kapitel handelt von er. 
Bes ohne Soden, in welchem jebe be 
— unter dem Beh 


flees zu erweiſen. | 
fies aus einem IH Sefüße u dem ; 
des zu numengejogenen sing fagen auf "les (dei 


ob man bie Deffnung oder den verengerte erſchnitt des 
Waſſerſtrahl⸗ mir der wirklichen Sefhmnindigteit But | 
oder die gehörig verminderte Deffnung mit der Geſchwindi 
Die zu der Waflerhöhe gehört, wie es ber Vf. thut. 
wo es auf bie Sefhwindigkelt zugleich ankommt, iſt es ni { 
einerley. Das tft aber der Fall bey der Unterfachung über den 
Stoß des Waflers gegen eine Fläche, y der Bf. in der: 


Die Formel (6:27 d) für die beſchleunigende Kra y7 
einer. Rößrenleitung it unrichtig. Die von Hr. 2. znrädgen: 
gete Srundgleihung der Hydrodynamik giebt einen andern; 

usdruck. Den Beweis, der aufeine Vergleihung mit Lräfe‘ 
een, die an Scheiben auf einer gemeinfhafftlien Are en Ä 
gebaut it, verfiehe ift gar nicht. Bey dem WE heißt die $ 
be in einer Secunde für eine Schwerkraft die Def 
»igung der Kraft, noch dazu ohne alle Ceflärung e 
Ungeübsen. Die ganze Rechnung führt zu nichts Bra 
rem. Auch Die v enge enben Rechnungen über den 


ee: 
de? 


ft, möchten weber theoreti raktiſch brauchba 
Das ‚möchte auch een — * 


Fr 


— R 


Nu. Auszige und Recenfionen neuer Schriften. 227 


Sn dem 6. Kap. wird von dem Ausflug aus Gefäßen 
hit wagrechten oder lorhredhten Schiedwänden, in welchen fi 
dnfnungen befinden, gehandelt. Die Unterfachung ft in juebe 
Als einer Abfiht brauchbar. Hr. L. theilt einige von ib ans, 
tellte Berfuche mit. Anftatt das Bafr in einem lothrech⸗ 
Strable herausfpringen zu laſſen, es beſſer gewefen, 
em Boden eine Oeffnung zu geben, weil man aus. der Höhe 
6 nice ‚mie Sicherheit auf die dazu angewandte 
J — ann. Hr. 8, nirime feine vormoblige Theorie, 
den Anmerkungen Rn Doffärs Hydrodynamik vorges 
ftagen hatte, bier zurüd. Ob die neue ſicherer fen, iſt noch 
Brage. Es tomme darauf an zu beſtimmen, was die Ver⸗ 
gen ber. Geſchwindigkeit und der Richtung. bey dem 
inge durch eine Deffnung in einer Schledwand für eine 
ung auf Die Geſchwindigkeit des ausfließenden Waſſere 
haben. Dies möchte Ihwerlich ſich erhalten laffen, da man es 
[) Bu einfahen Ausfluffe aus einem Gefäße nicht zu bes. . 
en vermag, I . 


a dem: achten Kapitel wird der Ausfuß des affers 
tenleitungen unterfucht , das fhwerite in der Hyoro⸗ 
nie, Den Unterſchled ziifchen der Waſſerboͤhe und der 
ber Geichrwindigkeit des ausfließenden Waflers gebörigen 






















"werhalte: Uebrigens iſt die % 65. Ni; 4. aufgeſtellte 
für bie Geſchwindigkeit des Ausfluffes ganz unrikrig,". 
‚die Prüfung nad) den $. 83 angeführten, von Buãt 
fen Brobachtungen jeiat. Lege man bier Die erſte Be⸗ 
iq des 7. Paars zum Grunde, ſo ergiebt ſich für bie 
te Beobachtung dejlelben Paare die She u der Ser 
Biakeit — 3,659 Zol, da die Beobachtung nur 0,067 
‚Zur, die erfte — des. achten Paars gict * 
a 


\ 


v⸗ 
v 


- . 5 ‚228 VIII. Aus juͤge und Mecenfionen neuer Särl 


Rechnung 18,235. Zoll, die Beobachtung 4,785 3. Bü 
"erfte des 9. Paars jene 9,425 3. diefe 0,039 Zof. 

theile Hr. 2 eine. von Duat gefundene. Formel mit, di 
‚gemachten Beobachtungen: faft genau darſtellt. Er ruͤhm 
iefer-, daß fie.allein der Hydraulif mehr nuße, als sine 


= ge der tieffinnigften akademifcben Abbandlungen,, die ,.4 


untsrfücht, am. Ende zu weiter nichts dienen als zu Ueb— 


‚im Rechnen. Rür eine bloße empirische Sinterpolationgt 


‚ möchte dieſe Lobpreifung ein wenig zu ftarf feun. Sie if 


Dinge Bänftlich genug; ich würde aber. eine weniger ge 
ober :begreiflichere und beffer uͤberſehbare Formel ver 


‘ Was aber befreniden muß;, iſt, daß Dr L. eine au 
Tafel für die.Sefchioinhiakele des 


affers. in Roͤhren u 
bis.1300 Toiſen Länge von 24 verſchledenen Durchmeffern 
nach der hochgelobten Buatſchen Formel, fondern nach 
eigenen: berechnet hat. Bey dieſer hat. er zwar andere | 
adjtungen zum Grunde gelegt, als ich gethan habe, und 
zwey, um daraus. ein Diittel zu nehmen; auch nimmt i 
Höhe zu der Geſchwindigkeit nur etwa 2 der eigentlichen 


böpen. „dein fie,bieibe bey alledem unzuverläßig. ' 


In dem 9. Kap. wird der Druck des Waſſers g 
Hände der Roͤhren ‚ und der. Xusfluß durch eine —⸗ 


in der Nöprenleitung unterſucht. Hr. L. tadelt, und mir! 
Ude 


J die Schriftſteller uͤber die Hydrodynamik, die, wie er 
alle behaupten, daß bey einem vollen Ausfluß der Druck 


die Roͤhre an jeder Otelle glelch groß fey. eine Form⸗ 


den Fall, da die Ausflußmuͤndung die ganze Weite der-f 


Bat, iſt auf eine bloße Proportionsredhnung aegründer, 4 


>, fen doch richtig:, wenn bie Geſchwind igkeit aus. der Day, 


tigen. Hoͤhr richtig beſtimmt wird. Die Höhe des Waafter 


Befgdaͤlter über der Mitte der Ausflußöffnung (ry H, Bier 


Seſchwindigkeit in der Roͤhre gehörige Fallhoͤbe fey.—a; 

Länge ber Roͤhre —L; die Länge von der Einflußmuͤ 
‚einer gewiffen Stelle = X, die Höhe des Drau 

ſelbſt —.h,,.fo iſt (und zwar zufolge ber hydrobynam 


Grundgleichung) h=- — (H-2),, Hr. L. ſetzt 2* 
wenn V die Geſchwindigkelt in Zollen bedeutete, ai 
daß 2 = ‚feyn muß , die Fallhoͤhe in einer S 


de — 15,1 Par. F. genommen. Daber trifft feine. Red 
mit den —8 ihm ſelbſt angeſtellten Beruaen — — 
Der Waſſerſtrahl ſprang aus einer, Oeffnung 2,75 AN. 


— 





"VIEL. Auezuͤge und Recenfionen neuer Schriften, 329 
Ma ‚Sem. 2. Formel iſt die Höhe des Druds mar 1,76 Zolls 


nad) meiner 2,42 Zol, Anfatt eines fpringenden Otraßls - 


märe es beſſer geweſen, den Druc durch eine aufgefegte Glass 
'töhre zu erforfhen. — Die Formel $. 107. für den all, da 
"die Yusfingmündung Eleiner ift als der Querſchnitt der Rohre, 
ft unrferia. Aus der hydrodpnamtihen Srundgleichung finde 
id, wenn D den Durchmeſſer der Röhre, den der Deffman 
"beheuter, die Nühre horizontal und gerade angenommen, Bal 
bie Höhe des Drucks in . 


Li 46 B 

’ ı=7T ne (7 —8 F 
Die Rechnungen für den Fall, da die Einflißmändung klelner 
Ak als die Weite dr Röhre, und den, da Beitenöffnungen in 
ber Rohre angebracht find, ſcheinen Überfläfig. VBey Diefer 
 Selegenheit gebe t den-Starh v eine been feitung,, die zu 
wenig Wafıer giebt, am Ende nach der Ausflugmändung ete 
as zu erweitern, 557 on 





E Dös 10. Kap. handelt von Springwerken. Richtig wird 
I Bemerke,- daß die Luft die Höhe des Strahle nicht vermindern - 
Hansi. Die Hauptarfache, welche Hier angegeben wird, If. 
"richtig, nur daß nicht fowwoßl ein Sufeummenptsfien ‚ats ein Korts 
treiben der höhern &&ichten vergeht. In fo fern fich dieſe 
ausbreiten ‚ find fie-ticht Hinderlich , wie hier (heint gedacht zu 
werden, Wergefien If der nicht unwichtige Umftand, daß die 
Rraft, welche auf die Bewegung des Waſſers in dem Behal⸗ 
‚ter und der Kalltöhte verwandt wird ,. nicht auf die Hervot⸗ 
"Beingung der Geſchwindigkeit In der Mündung derwandt wer⸗ 
ven fan. Die empiriihe Megel, die Maristte gehen Hat, 
"läßt fi etwas genauer abfaffen.. Die Unterichiede der Wal 
a en und Strahlhößen kommen dent Verhaͤltniß der Qua⸗ 
‚te der Wafierhühen näher als bem der Quadrate der Straͤhl⸗ 
höben ; darum muß man die Sn I Otrahls nicht durch die 
Aufiöfung einet guadratiſchen Sleihung fuchen,, twie'$."117 ges 
Ffheben üft., 55 finde aus Mariotte's Erfahrungen, daß ber 
‚Unterfchied' beider Höhen nahe das Dundrat der Wafferhöhe 
durch 376 dividirt in. Freplich bleibe die Regel unfiher,. da 
die verſchiedenen Umftände nice dabey in Betracht getogen 
"erden. - Auch finde ich aus denfelhen "Haß die vortheithaftefte 
."Wläche ber Sprunafffinungen fich nahe wie die Waflerhöhe ver 
fe, as dem Na 3 Ki EN aus ih r 6), 
d da| y einer Waſſerhoͤhe von 35 #. die vortheilhaftefle 
?Reffiung We e Lin fondern 33 Lin. weit if. "Es müchalfe 







uns 


290 vn Auszüge und Necenſionen neuer Schriften, 


anticheie eine Falll die 
—22 in, fi: — — * = Di verehrt 
B u: ſe oh die —— nadaes Formel zu verbeſſern feym 
eu Bernd er en 
Bar en dann In in einem Falle eine weitere, in andern 
am dienlichften ſeyn. 





” 


Sn dem ı — von dem Widerſtande und Stoß bes 
Be und ver, u ausführlich und Iebtreih. Der Verf 
Diefe mit eigenen vielen Verfuchen über den 
Eredhten und —— Sioß eines ifolirten Strahie auf eine 
bereichert. Die mehreſten ber Darüber angeftellten Ber 
Jade wird man bier finden. Die von de Bord.a gemachten, 
blen, Die mrurden von Hurion und Chapman haben 
lid ſchon benugt werden 1. Das Verfahren, dei 
Das Linde bebieng bat, Die Staͤrke des Stoßes zu meffen, 
int zu je nicht brauchbar, wiewohl Ar. 2: eg güt 
ansacbacht rg ft lehrreich nennt. Der —— ftoße g, 

Die Mündung einer gebogenen Möhre, deren ei t Obentel 
En Eee heat ne SUR 
nen i2 u nung efähes. 
fo find jene und biefes wie ee Gefäß anzufehen, das 
zum eine Dei hun zum Ausflufe bat. Cs muß ai a Si 
‚fer in der Möhre und dem Gef: be ‚gleich hoch ſtehen. 

Sen er often der Baffereheilhen Bien tein Drud gegen 2 
" Böaffer in der Röhre entfleht, fo leider das Wafler in der Mühe 
ze nur bloß Drad der Michrung des @rrabls, und Birfee , 
Drud. ift dem ruckwaͤrts gehenden nad dem Gefäße gieih. 
Wr der Berednung, bie Hr. 2. über feine eigenen Berfade - 
anf-üt, möchte folgendes er! werben fönnen. Er mine : 
Ben Querfchnitt bes zufammengezogenen Strobis für. die Grunde : 
einer le an, Die 1 Dach als bie eſei 

and a ah ri mit a Y— —9 — 

e die 
— ie, En "ein, mn und Bl tie 44 
eier — 53 Zei eat Süße Und aus ie 
e an ki t un! 

wer Gefchroindigkeie die Starke des Großes beftimmen? Die . 
Sramiengtt win man nnide dt eurläßiger beffimmen können, " 


als Burs Den a nat Ausfiußoffnung win der in ri 
* 
Sn in; weni; — —— — die v. 


Fu der Geſchwindigkeit in derfelben nimme. Der 
ſeht weniges kieiner als das doppelte des min 


NEL. Kunyige ind Reeenflonen neuer Sorſin ⸗231 


äßer je by "einer Höhe, Se — ge 
Be Sin — ch if. Mach Hr. 2. Rechnung ik” 
“ of ein ſehr — gehßir.. Cs iR Schatz, daf nie - 
* Verfuche mir Flächen von verſchiedener Größe angeftele 
‚um zu zeigen, was. die Ausbreitung bes Strahls auf der. - ' 
Häche und ‚die Ablenkung von der Richtung auf die Größe dee 
| toßes für Einfluß hat. Die Zufammenfekung des Stoßes 
aus.einem hydroſtatiſchen und ‚einem hydrauliſchen Drude ($.-. ' 
207:) ſcheint —* hellch, Warum wird hier der Bernoule. ". 
und Ealeriſchen Rechnung über die Größe des Stoßes 
je erwähnt? Sie machen — im der dabey gemach⸗ 
I zen Borausfegung die Sache fehr Elar, Die krumnie Linie,“ 
| welche die —— beſchteiben, {ft feine Dypertelartige, 
| 





wie Hr.2. glaubt. Noch bemerke id, daß in der Tafel S. 
7 Col, die erfte Zahl 6,0324 unrichtig iſt, und. 0,05237 heiß 
welches die Vergleihung mit dem wirklichen Stoße fehe 

Den ſchiefen Stop findet Hr; 2. durch viele Verſi 

| K genau dem Quadrat des Sinus des Anftoßwintele pro⸗ 
4 Für dieſe Bemuͤhung verdient er vielen Dank. 

1 Sea toted ſich nur wenig ändern, wenn es nöthig in , 
eine Aendernng der Nechnung wie beym ſentti 
vorzunehmen. Den Widerſtand, den ein bemegter ie ’ 

| hi Den Bi b 
| En einer unbegrenzten (beträchtlich as, ehreiteten) flüffigem 
leidet, — t. 2. DE Recht forgfältig von dent . 
en e — —— fiät hen Maſſe gegen einen tuhenden 
| Körper. Geine Theorie möchte zwar nit genügen; doch die 
fammenfegung eines hybraulifchen und bybroftatiichen Druds 
Dar ‚gehörig begründet; allein die Erfahrungen, die er an. - 
. ‚rt, geben doch ante Licht über diefe ſchwere Materie. Die 
Sormel ($..219) über ben Miderftand der Luft fcheint errathen, 
| Er durch eine Sinterpolationsmerhode gefunden zu feym.- 
| je trifft inzwiſchen ziemlich zu- Um Boſſuͤts Erfahrungen 
I mit einem Körper, der vorn zivey unter lan veraͤnderlle 
I a ufanımenftoßende Flaͤchen hatte, barau ellen, liefert 
| nt eine Sormel, die theils eine eiteulate, eils eine ‚ogas 
B eöimifche Function” des Anftoßwintels in. Wielleicht ‚Eönnte.- ' 





fie einfacher ist werden, Der Bf. hatte — eine andete 


folgendergeſtalt darftellen läßt, 
R g9= AFG—smter), ur 
Ei x in Sin, * Er F ber ſenktechte Wider⸗ 


eine eb Ki u ber 
hen Pr die Ey ie: den Se 
Ei et x fin 19°. ein 


« 


| en v 








"sa VIE Auspöge mb Koceftonen neue Schettin 


Wan Siebe, fie iR nur errathen. Die Bormel müßte dich 
DW 
J Q@=(a-rbx? -cxt retc.), .7 


" du deswegen, damit der Widerſtand deiſlhe Bleibe, — wen 
r Anſtoßwinkel negativ iſt. Chapıpans Formel für Anftc 
vintel unter 409 hat, wenn. fle auf eine veränderliche Größe 


"g@bueter wird, eine ſoich Form. Wan fann jene Formel aber 
‚Ib mus innerhalb geriffer beftimmten Bränzen der Erfahrung 
-,attpaflın. 


5 Kntton hat in_feinem matbematiiden Mörtere 
e,. Mer. Refiftance, eine Zormel mituetheilt „die ih zu al⸗ 
° fen Anſtoßwinlein, ſeibſt nahe genug-ben kleinen, fehr 





* Nice. Die bewegte Ebrne iR 3 Au. Buß, ihre —X | 


keit 12 8. in einer. Gecunde, der Anftogwinkel:P, und dee 
Bilberfann gleich dem Gewicht „von]o,s4 (in g) 3 eh | 
Anm: : . 5 


B 4 
Babe mich Bey ber-Mräfung ber vhoſiſgen Hybrauiid -} 
ee Ya iu der her techn 1 
Spdraulic, die etwa zwey Dritthtil des Werts einnii ä 
fein Raum’übrig dleibt. Man wird auch In dieler mutbmanfe 
Hide Saͤtze, ohne eigentlichen Beweis, antrefien. ’ Die Thies : 
tie von Ber Bewegung der Windmühlenflägel möchte aanz ireig 
fepn. Der Winkel eines ebenen’ Flügels, welchet das ſtatiſche 
Moment am: arößten'madt', foll 35°16’ bettauen, 6 320), 
ba die gewähnliche Theorie, die mir ganz richtia fcheint, 54044' 
ſlebt.Inwiſchen iſt diefer Theil des Werts für bie Droste 
brreich wenn man auch ben den Rechnunasformeln Vorſicht 
anzutvenden bat. "Man wird einige neue Angaben darin ats 
treffen. dem.ıg. Kap. wird eine von dem Verf. erfundene 
Moaſd ine defhhrieben, die das Waſſer durch Schwungkraft hebt. 
Esg wird freylich noch darauf antommen‘, ob die Kraft, die zit. » 
Erthe ilumg der Schwungkraft noͤthig iſt, beträchtlich Eleiner: 
ausfole „ ats die zu der directen Erhebung des Waſſers erfots 
scRerlihe, Die Einrihtung mit dem doppelten Hahn an det 
afferfänlenmafchine C$. 393), wodurch eine ununterbrodem 
Kraft erhalten wird, üft ſinnreich. Diefelbe Einrichtung fehl 
Hr. 2. auch zur Anwendung bey Dampfmafchinen vor ($. 400), 
welches Aufmerkfamkeit zu verdienen Icheint. — Bey der Ber 
bindung von vier Ausgußrähten eines Drudwerks von vier 
Stiefein mit einer auf jene ſenkrechten Roͤhre muß die ſtarke 
Aenderung der Richtung der Woffertheilhen viele Kraft weg⸗ 
nehmen. "Veffer möchte es fepn, die Möhren in einen Eleinen 


VBehalter ſich Öffnen zu laffen. 


- ↄ 


mi. Aunzige und Kecenfiorien neuer Schriften. 233 . 


In dem 32. Kap. von den Gtampfmühlen erzähle 

le Berfuche , Beide ke mit einem —8 einet eadt 95 I 

€ ’angefteht bat, aber das Rad durch einen ffolirten , 
Birahl (nicht durch Waffer in einem Seine) en — 
werd; finder feine\in. dem anfgefe 

fe'von der Erfahrung bettä reihen, un — 7 
her ©elegenbrit fie zu verbeffern. Adein, ‚sie ‚den eine Bit, 
nel, die teinen\theoretiichen Grund bat, ans drey Erfähruis 
jen "an einem. Modell zuwerläßig beridhtige werden? Die ges 
Beine Theorie giebt Hier einen Stoß oder Drud, der 2] ja zmahl 
"einer ift als nah der Erfahrung. 


- dem 33. Kap. Bin Padınerten wird ans den ume 
Händlihen Dale an einem Podmerke mit unterſchlaͤchtigem 
Baflertade die Kraft berechnet, Beide | der Laft und der 1 
ton gleich iſt Mac des Verf. Theorie iſt die Kraft 404 
in der gefanmte Widerftand zu 395. f. berechnet dit» Na 
Beine in den Gotting Comment. Th. IX. vorgettagenen An 
findet Hr. 2. dem Werth der Ktaft.nur 94 Pfugroß. 
er bat einen Rechnungefebler in der Befktimmung der En 
—6 der Schaufeln begangen. Nach Verbeſſerung deſ⸗ 
kiben giebt meine Theorie 404 Pf. Kraft; Hr L. Theorie 483 
[43 Bey der Berechnung des Widerfandes ſind kleine Fehler 
Hngefhlichen, nach deren Verbeſſerung derfelbe 398 Pf. aroß 
gen Doc ift die ganze Berechnung der Friction mißlich. 
Druck gegen die Scheidelatten, der von dem ſcieſen 
Druct der Hebedaumen gegen die Hebelatten enzfteht ,. iſt aicht 
Bor Betracht gejogen.” Dagegen möchte bie Zrietion--an E- ö 
Hatten eiwas zu groß gemacht ſehn HL 5* 
aus dieſem a nicht HR dai Theorie. vn — 
mer fo gut mic der Ei —X reffe fen werde.c te IR hype 
theriich richtig 5 allı 8 die Bir! auf ein untere 
Khlächtiges Rad ift via an fo, wie die 
Bevenntkinem an ber Dafaine KR. Ders eher 
jenipirkingen an ai te 
Einrichtungen kann viele Kraft :verloren geben, 
Be bey det. von Belder — ä 


Me: 
F u; 
Br . . 


fefe, . 
Pr, Wei 
„Dir, jo aahaufehen, . 


‚234 VIE: Kusplge und Recenſionen neuer Sören, 


. m bie Borlehung biefes Ihtes Charakters zu erklären. Gef 
a freundfe ſten — iffe muͤſſen dei 
& — niit mäffen m Snterefe de 


S & Ligen. 





2. Dells Specols Aftrgnömica de’ regj ftudj di Pa; 
lermg, Libro quinto, di Giufeppe Piazzi C.R. 
"Regio Prof. d’Aftron;; focio della reale Acad, 
delle 'fcienze di Napoli et Corrifp. di quelle di 
- Torino et Pietroburgo. Palermo 1794 dell 
zcale flamperia. 232 Folio Selten, . 5 


1 

i 
j F 
Den erfien Theil dieſes vortrefllchen Werks haben wir im: 
gweyten und dritten Heſt dieſes Archivs den deutfhen Läfern 
angezeigt s biefem fügen wir 1 den aten — bey, der an ſehe 
Tarägbaren Beobachtungen nicht eniger teih iſt. Zugleih 
empfiehlt ſich diefe ammalung durch den Umftand, daß ale 
Berbaheingen bier febr ſorgfaͤltig berechnet und mic den Ta 

(quörglichen worden And, toben Hrn. P. feine beyden Schr 
jee B Franı Sambins-und D. Franz Buffalo untere 
ten. Schon Darquier zeigte wie nöthig bieß fey, und 
achtete es felbft in den beyden herausgegebenen Bänden feiner“ 
Beobachtungen 5 ‚doch Eonnte Hr. Darauier zur. Erfparung der 
Koften hur die legten Nefultare feiner Berechnungen abdruden . 
daffen. Da diefes Hier nicht fo fehr — fo liefert Hrek. 
Immer bie Hauptrefultate; wodurch jede künftige etwa nöchige 
Prüfung fehr erleichtert wird. . 


Diefer ate Theil oder Das ste Buch iſt in 4 Theile (part) 
PR wovon der ıfle den Kometen im Ian. vr Bi 


IL Auszüge unb Recenſionen neuer Schriften. 532 


er ate Gonnenbeobachtungen ; ber 3te Dlanetenbeobachtun en 
nd der. ate Die uͤbrigen Beobachtungen enthält. 3 


arte J. _ Den Kometen entdeckte ‚St. Nic, Cariotti, der Ges 
hälfe des ar. P., Cer iſt der Sıfle und ward auch von Drig 
Herſchel entbedt) am 10: Jan. Bis zum 15. Februar 
konnte er nur ısmal beobadhter werben, fo daß mittelft 
Bes ganzen Kreiſes Zenithdiſtan en und Azimuthe beob⸗ 
achtet worden. Erlaubte es das Wetter ſo wuͤrden mehrere 
Weohachrungen Hinter einander gemacht; aus bieſen bie 
flirndliche Bewegung des Kometen ber rgelettet, und dann 
alle Beobachtungen auf eine Epoche gebracht, und aus deu 
verſchiedenen VBeftimmungen Ike o Mittel genommen. Man 
flieht, daft St P. feine Abe gefpart bat, um feine Bes 
obachtungen fo genau als moͤglich zu machen. Um dem 
Grad der Genauigkeit näber kennen zu lernen, beobachtete 
er & Ceri auf eben bie Art; die fo gefundene ne An Aufe 
firloung war um 20” von ber befannten verfi Da 
Femeren bekanntlich fehlecht begrenzt find, ° glaube Hr. 
np a den Fehler noch großer. Wielleiche wäten die Fehler 
fleinee wenn Hr. P. die Aymurbe mit umgewanden Hoͤ⸗ 
henkreis haͤtte deobachtet; ein Umſtand deſſen Nothiwenbig⸗ 
keit Hr. P. a fpäter entdedtt. Nah der la Cailliſchen 
intiretten Methode berechnete Hr. P. folgende Elemente 
diefes Kometen, die wir zugleich mit denen, die Hr. Me- 
ehain aus feinen Beobachtungen ſchloß, 
Jahrb, 1797 P. 136). 


® 


pi ĩ Moͤel 2 


Me des aufſteigenden note 9°.130.14.44”.. Y. 13.47. * J 
eigung der Bahn 49. 7. 14 v0 49. ©. 24 


red. Soñennaͤhe auf d. Bahn 4. 15. 32. 35. ...4 16. 3. 33 
98. Entfern. d. Soñennaͤhe 9, 9853499 ... 9,9848926 ! 
urchgang im d. Soñennaͤhe au Pal.ı792 zu Paris 1792 


‚Dec. 37,2619 37.Dshss’ ng: 
ichtug ber Berveguig Rädiäufis " Küdiäufig 


Bey der Neigung der Bahn bemerkt. Ar. P. FR, 
daß durch Verminderung derfelben um ungefähr =", 
Fehler in Länge und Breite fämmelih Lleinet meiden, 
außer bey zwey Weobadtungen, 


EM ö 


J 


x. ” . 


a Li 
1} ‘. ‘ 


236 VIM. Auszuͤge und Mecenfionen neuer Schriften, 
Part. IL. Beobachtungen ber. Sonne. — Merkwaͤrdig find 
folgende Schiefen dar Eeliptid': Ä | u 

Ba u 2.7.5 apparens nuüttlere 

im Winterſolſtiz 1191 23. 27:44”,35 oder 23. 27. 33,25 
im Enter, . 1792 7 +.4% 6... ne 36,5 | 
inm Ser 48, 0.. . 3 36.5 

Ih Winsen... 1293. 2 2 4,2 0. SS 
Demnach ware die mittlers — d. Eel. {m Anfang 

1799... 23°.27°54%,8,. Mecaln fand. zu Barcei 
Iona 3” weniger; Sr, la Lande nimmt das Mittel aus 
bepden’an, n ich 27°.47°.93° 3. | el 
ME darauf folgenden Zeften’der Nachtgleichen bat . 
Hr. Bee aus den beohächteten Zenithdiſtanzen abgeiei⸗ 
tet. In mehrern Ruͤckſichten würde es fehr intereffant 
feyn,..- wenn zugleich gerähe: Auffteigung. vermiitteift der 


Maskelynſchen &terne. beobachtet worden, und daraus: 
ebenfalls die Zeit der Nachtgleichen beffimme worden 


> 


ren. 
oo. . * .111 
Zuletzt füge noch Kr. P. die mit dem Rreife beobad⸗ 
5% teten Od, Durchineffet bey (mäbrend der culmination ward 
naͤmlich le Höhe beyder Ränder beobachtet ). und findet 
aus fehr vielen Beobachtungen in der Erdferne 31°, 32,4 
welches genau das Mittel zwiſchen den Besimmungen von 
nt. Meyer und la;Lande iſt. 
“Part. III." Planetenbeohachtungen. 0 
ü Die Zeit des Durchgangs durch den Meridian wur, 
... derniht am Fernrohr des ganzen Kreifes, fondern am 
“" Dordigangefernreßr von den' Gehuͤlfen des Hrn. P. beob⸗ 
F achtet, theils weil die Klammer; die den Hoͤhenkreis in 
„ber. Mittagsebene haͤlt, bisweilen nachgiebt, theils weil 
nur sin Stundenfaden im Fernrohr, und weil «s nur 49 
mal vergrößert, da jenes 5 Faͤden hat und zomal vers 


’ 


groͤßert. — | 
"Bart. IV. Werfhiebene Beobagemgen. ——— ' 


ı) prüfung der Polhoͤ)ͤh)e. 
Im vorigen Theil gab der Palarſtern 389,6°. 44, 12 3 
St verſuchte Hr. P. Boſcorichs Methode mit ⸗ Cir⸗ 
cum⸗ 


* ⸗ 


24 


vul. Auszüge nnd Recenſionen neuer Schriften. 237 


cumpolarfternen , die Polhoͤhe und Nefraction. zugleich 
giebt. Er fand über 38°. 6 folgende Setunden 44,17; 
45,16; 46,115 45°,345 45,505 45, 983 ‚47'',00 
im Mittel 45,70. | BE 


. . Der Vortheil diefer Methode iſt aber wirklich nur 
x fiheinbar. Man beftimmt naͤmlich die Refraction aus 
den beobachteten Unterſchied zweyer Nefractionen: fol 
alſo dieſer ‚nicht zu tlein und dadurch unficher ſeyn, fo 
- muß ber eine. Stern ſehr tief un; in ſolchen Eleinen 
“ Höben iſt aber die Neftaction bekanntlich, wieder weit 
anfichrer , welches denn bey dieſer Methode auch'a::f bie 
Kefraction des hoben Sterns Einflug bat. — Denn bes 
obachtete Hr. P. Zenitalfterne und fand aus Wega 380. 
6°. 44,0 aus Denep 44”,7 aus Capella 45',,ı. ' Im 
Mittel 38%. 6°. 44,6. “ 


Aus den obigen Solſtizen findet fi 38. 6. 44“,7. 


Aus allen dieſen Beftimmungen iſt sun das Mit⸗ 
tel 38°. 6. 45 nn 


2) Beflimmung der Reftaetlon durch Azimuthe und Ze⸗ 
nithdiſtanzen. | N 


Seit Tycho's Zeiten, ber diefe Methode peft vor 
ſchlug und ausübte, hat fie niemand, vorzüglich aus 
: Mangel eines guten Inſtruments, angeivendet. Natuͤr⸗ 
lid war alfo den erfte Gedanke des Sen. P. feinen vote 
treflihen Azimuthalkreis darzu zu benugen; allein die ° 
erften Verſuche mißriechen und Kr. P. hatte damals - 
nicht Zeit, die Urfache davon aufzuſuchen. Izt nahm 
er Diefen Gegenftand von neuen vor. und fand, dag mal 
nicht unterlaflen dasf, die Azimuthe zweymal mic ente 
gegengelegter Lage des Hoͤhenkreiſes zu beobachten, wo⸗ 
durch natürlich der Collimationsfehler am fiyerften ‚aufs 
eboben wird. Dieſer Umfland erfchtvert aber auch die 
eobadhtungen , da man nun zwey Tage auf einander 
gut Wetter haben muß. Die NRefultate diefer muͤhſa⸗ 
‚men Beobachtungen und Berechnungen, beftehen in 
folgenden: „Der mittlere Unterfchied der Nefractios 
„nen aus Piazzis Beobachtungen von der Bradleyi⸗ 
„ſchen Tafel ift Tafel ift von 38° bis 500 Zenichbiftang 
„» »4-0,006 von 60° bis 73° .... 0,020; von 70° big 
„800 —0,003 von 80° bis 84? —0,0024 von 84° bis 
286% 0,013 Yon 86% bis 29 0,029. °° 


| U | Se 


\ 


338 VI. Auszüge und’Xecenfionen neuer Schriften. 


Die Tafel die er nach diefem Erfahrungsfäßen eon⸗ 
firuiee bat giebt flt 45° die Reft. 57,2. Sie finder 
ih auch in Bodens Zahrbud 1798 p. ıc8, 


Vielleicht laſſen fich diefe Unterſchiede aus den noch 
unbefannten von Feuchtigkeit abhängenben Kenderungen 
der Strahlendrechung erklären. Li 


9) Deeultationen und Ofinfterniffe; aus diefen diel Länge 
d. Sternwarte 319.0, 35", nnd des föniglichen Pals 
laftes in Neapel 31: 54. 20. Darauf gründer ſich die 
nun folgende Tafel der Meridianunterſchiede der wich⸗ 
tigſten Öerter und Sternwarten. 


©) Declinationen der 34 Maskelynſchen Sterne. Aus 
feinen und den Mastelonfdien Beobachtungen Ichloß >; 
Piazzi die eigenen Bewegungen diefer Gterne. 
Adruck diefer vorrreflihen Tafel finder fih in Bodens 
Sahrbud 1798. p. 106; * 

5) Meteorologiſche Beobachtungen. 


6) Ein Emeryſches Chronometer des Cavaliere D. Gio. 
Vivenzio gebe] ben. Längenunterfchied zwiſchen Neapel 
und Palermo 3°. 33”. aus der. Ofinft. 5. Sept. 93 iſt 

fl er 335. 

D Auf einem befondern Blatt finder ſich die Beobachtun⸗ 

m des Mondes; man finder fie in Bodens Jahr 
uch a798 p. 101, . 





Bey ber berechneten FAnp 1797 12. Jun. iſt hochſt mahrs 
ſcheinlich ein Drudfehler von 10”, ſo daß ſtatt aohı7’, 36,2 
au lefen ift 46,2. A 





BE : ERS 
. Nachrichten und Anzeigen. 


Ketten Roheichee aus verfiehenen Br 
‚fen des Herm la tande, Director der Stern⸗ 
warte der Republic, an an Obei =. M. von 
Bat in Gotha. re 


en a, bean Br. 


fe Sefchichte dei Eäntäfkihen € ums college de France ers 
15063) Beinen hei On Bra @ata —— 
mbte gelebt, aber fein. Sraeiil bieräber fehn fann *). 


| Kepplets parelipomena if 
ae für’ and bes. an ker: nd namlich 


33 deswegen findet er eine Kruͤmmung von 3 M fi 
Ba bie no nie über 1 Bey einer A 


Dr. l bat in den Doll 2 12, onen 
air — a en 1 7 


in mit diefen Beobamtungen umd ——— Arne Sa 
einer Epochen: rin 


‚ und finde folgende Verbeſſerungen m 
ausben Beobachtungen nach Hr. „Derfib. Eifel 


Satelit 1 —3%. 33° 605g 
2 * Y, 33. in}, a: N‘ 
3 - Lu 57 +2 48 
4 —2 44. “ 78. 10. 
5 Hl 33. | +0, 59. 


‚Meine Tafeln vom sten Zraßanten entfernen ib wie um ⸗2⸗ 


der werbechtune des * Jap. sin vom 12. Nov, 1790. 
. u ' r ne Hr. 
Sieh bezlehet 16 auf ine demächke Anfedge von * 
febe Das ste Heft, L Brhlnch Sci 106 De ki 


Vie 


| 240 i. Nachrlchten und Anzeigen. 


Ä Hr. Dalby berechmet in den. Pbiloſ. Tranf. von 2791 die Mr . 
eidiandifferenz zwiſchen Paris und Keeenwich 9°: 19,7 und 9°. 20%,5 
aber er nimmt bie Abplartung zu groß ans braucht man „Ez, ie 
findet man 9°. 21°, Oben die fand General Roy (Phil. Trank. ; 
1787. p. 144 & 214.) und Legendre (Mem. de l’acad. 1738 p. 758) . 
Wabrſcheinlich werden unfre neuen &radmeflungen den Muterfcbied - 

"der Grade mit größerer Genauigkeit geben, und dadurch die 
. Aber die Abplattung entfcbeiden, die man Zur Berechnung der ' 
Drevede und des Langenunterſchieds zwiſchen Srechwich und Yard - 
- anmenden nruß. — 
Die kaͤnge killentbals findet He. Wurm 26°. 1700 durch dee 
ABedeckung vom 7. April 1792; ich finde 26° 17% durch die Sor⸗ 
nenfinflerniß vom s. Gent. 1793 und 26°. 19 durch die Bedeckun 
a8 vom 8. Nov. 1794, die gu Varid Beobachtet worden ik: Di 
—X Orts, die noch zweifelhaft war, ſcheint mie nun enb⸗ 

eden. A 
Dieb IR noch nicht der Sal ben Neapel; Viaui ſindet 47°.36"; 2 
ons der fin. 1793 47'.26 und durch die Bededung 3% 8. Re: 

1794 finde Ich nur 47°. 17° ) 


/ Diegelt derCohjunetlom Mnteehheib dee Cᷣ verite⸗ 






au Paris 8258 8. 2 
gu. Neapel 9. 39. 25. 55. 2. 
zu Eiltenthal 9. 18.27. ‘ 75. 5. 


Bis ist habe ich alle Ofinſt. und alle Bedefungen von Stew 
wen ıfler Größe, die mir bekannt worden find, berechnet; felt (760 
babe ich mich bemüber ein Beyſpiel zu geben. denn vorber 'bercchs 
nete man. fie nicht, ob man fie aleich haufig beobachtete. . Sind 
Sterne Ihres Eatalege 191 & 296, deren Größe Sie 4. 6 bee 


.*) Hr. Wurm findet aus der Ofinſtern. 5. Sept. 1793 47.. 0. 
25, aus dem Ende, welches doch die ſicherſte Beobachtung 
it, 47 33 28 (Berl. J. B. 1799 ©. 161). Mittel eines 
Emerpichen Ehronometers des Cavaliere Vivenzie, welcher I , 
4 Tagen von Neapel nach Palerino transportirt worden, ‚fand 
Er Piazzi den Meridianunterfchted , zwiſchen den Koͤnigl. 

Pallaſt in Neapel, und der Könisl. Sternwarte in Malerm⸗ 
33”, folalich zwiſchen Neapel And Paris 47’. 35, 3. . 
cheint daber, daß man diefen Pängen s linterichied fo lange ' 

annebmen kann, bis man mehrere Sternbedeckungen wird 
. berechnet baben, welche Hr. Jofeph Cafella. bereits in große . 
Anzabl beobachtet bat, ©. Berl. J. B. 1798 ©, 10% Hell 
de IeLaude’s Angabe fcheint zuveridgig au Elein zu ſeyn. v. 3. 


! 


on 


xx. Maceldten und Anplgen. man 


en, veränderlih; No. 37 Supra find ben s& ste Gröke, 
io gamte 4 as hal ne Wedndert? *) 
a —— 
LE 

R Ka muß veflcbrichen fepn, bi 

j I berrchue ale Vededai 

in: Die @lemente habe ic f 
BA € ente babe hamer {m Drau 


Bu fe Bo 199 Beb6 15. Mpeik Bett 15, Gepk: für Die In⸗ 


* 





#3, dab 
6%, Cie und la Gais um 1’ Dep * 
nn: h B . u 2 


">03 Bean 16 fa metsem Eteenoergeiceth, benfelßen tern 
ED a edener DRShE Backönes 18 Debeite Di Hit, Di6 
ich — fondern Blo6, daß ibn verichledene 
——— 

a ei “ 
J en (7) — in dieler w anf —— 


Diefer Sereichnungsert IR demnach, erfililb, die Aufmerkir 
RI dor Ioihe StrrBe au senfen, und dann Die Brobadunam 











"Food 18 (bon im Berl: Y. ©. 1756 @, 8 
& ee * de la Bandelfindet ibn merkroürdig —— 


Vdeatuichen Atronomen ſoůte es nicht ichwer fepn, eine befrichts - " 





. kung er fich nicht derangteen fonnte, um nach der Pendel zu fes 
£:. oben; bat nun der erfie Vorganger einen Schrelb⸗ oder Drucke 
B Meler von einer Minute gemashk, fo fuppliren ale Nachfofs 





* man um eine ganze Minute nicht Ärven könne, und nr die 
Eyuden das Weſentliche ſeyn, wer dieſe Sebler in runder 


\ . 
i 
DS 
Bun - un Pa 


insen von Otrrncn ıfeı Größe fa- 
Bere - 


ben dem abrplichen Stern der eille ‚bee 
——S 


—— Me ame, mie fie verkhiebene Beobachter Befunden. , 


‚ger diefe-feblerbafte Minute, in ber ficbern Borausfehung, dab- 


5 


fü wie Danges; ich Kanaren, ge ba angeboten. **) 


. ‚den; die Berechnung derfelben: gab mir eine —— * 
mieſſer und Jeradiativnen ‚die ich ber den Rinfiernifien —8 er. 


"aus andern m Bebbadı tungen fie beimmt batten. Die —* — 
xreni 3 
u) — Reile des Herren Verdun /Bordo und * 


240 x MR. Nachrichten und Anzeigen. | 


In Anſehuna O AK. 135, 52° find Sie und de Barker - 
aue um 17° verichieben; ich ‚babe. aber 2 Beobachtungen, auf Be: 
an =) Gbereinkimmend, and die 7’ mebr schen, ald Ihe Beh 

ni6 
Wihdal hat zu Mirepoir ben Zouloufe eine Sternwarte se 
ti der Himmel if fo en daß ee T in feiner obern Sonjue ; 
bt. Das Bureau des longirudes bat ihm das Direct 
foufer Sternwarte ang bat es aber ars a 









Die Min: 1793 HR da Beraben rinafdemia *33 oe; i 


fand nämlich Vreite des A 18“, -fo sie 
a 0 und — findet ſich dadurch 12‘. 3”. 


'@ w - en 


“N ı 


autenzadt | * Beofoummenbehanbe Stewe, on zwor alempl 
Bey. dem vorbergebenden Stern; dieß trift 8 bier Bier beb den 
Baden Sternen der Pilte zu, die In ⸗ Minuten auf einander... 
ſolaen, und zualeich fm Fernrohr ericheinen, der erſte No 39 
iſt um die Minute verſchrieben weil dieſe aus la Caille gebt ©. 
baft il fupplirt porden, obgleich übrigens meine Beobachtu 
son der Ta Cailliſchen um ı3 Sekunden differitt. Beſon $ 
ſolche Aſtronomen, melche Sternkataloa⸗ veraleichen, oder 
felhafte Sterne. ausmittin wollen, muͤſſen anf dieſen — 
aufmerffam fen, ee wird ihnen dſter Aufichliffe neben, ven 2* 
ale andere Hopotheſen nicht zu:eichen, alles, Rerkwuͤrdiae wer‘: 
küwinte et ben Ermägang dieſer einfachen praktiſchen Gens: 


> In der AR. dieſes Sterns tert Herr de u Lande zu verldſ⸗ 
ig, mehr als 20 Beobachtungen geben mir die gerabe a 
‚gung diefed Sterns für 1300 — 383°. 10°. 17°. fo habe 
in meinem neuen unter der Preſſe Indl'chen — 
und Rebet & aus im meinem ditem 2 Dergeichnit Tb um. 4 
pag: nach Beobachtungen vom Jabr 1788. ann 
nicht eine Sekunde, noch weniger 7” nachgeben. 9. 3. .. 


0) Hat dieſen Ruf ebenfalls nicht angenommen, und verbleut 
‚in Viviers. v. 3... 

“er, Dieſelbe Beobachtung bat Wurm Berechnet ſindet Pr 

| diefen ——— ur 5 F ken Dr: 

y u vi runde ’ ! 

* —XX em v. 3. 








wo. m 3 berechnet, id finde die Breite D. 40°. 20%. Mas 
erfehleh “der Meribiane xı‘. a“, Diele Vreite if ein menig groß, 
* die Marfeiller Beobachtung gebt 40 14°. und das Mit 
man beuden ringförmigen ——85— ‚indre 16%, us 
nicht behaupten, daß die Unge: 2 
deko mehr, meil 2 Neränderung der ball Bam dep R 
—X um 8 unterſchied in der Breite derver zu bringen. ge⸗ 


"7 0. Behr. Die ——— — tems de:1797. # aedruckt, 


a viele Beobantumgen upd eine 
Be ve ET Be 1739 ta dem Band —X 


. I babe die merkwürdige Benborhtung des Ser 


au. Danzig (Bodens Jabpd- .ı * der .Eten 
at Die Beobachtung befehrt uns biarı nd, 1 
‚omplette ng ei 7 
Breen nicht. 1“ welt vom Nond deb Wonds wessleng PR 
meinen Tafeln der D’sbalbmeflee 15‘. se und bie fübeinbare 
jung des Monde 29” innerhalb 1° Bett mar, fo finde ic, daß, 
die Bedectung 1’ gedauert bat, die fenfeehte Linie auf - 
in 15°. 51% gemwefen ſeyn muß. geieh- 
Be en Dem bie nur 1" von dee — die mir die 
ne a ren iu Geninuben gb PR] 
Bm. 5 er 6° vom Gtem wege bebatigt 
em Diameter und die Parallape deb Mondeh, 


Mein Kreis vom ao Sol it ls beendigt; es IR ein ſebr 
Juftrument, und c6 —X mtb febe, daß men feine 
te Qtek; in England macht. **) fein fie kommen au« Seai 


Bie Beflimmmen damit die Höhen bid-auf } "Gekunde durch Werviels . 


der Beobachtungen; auf dem ganzen Umkreid: Ich babe 
aufendtheile des Quodranten abtheilen faflen, und ich wäh! 
* Diele Metdode bey den —— mehe eria finde. 





Wurm findet am üngepogenen Dite Die as 
Ds 20. fnte 49 alfo über’ sı Min. een als 
ln Lande, 6 muß als eig Ice ‚hr größer Impum soigeraßien 

B fohte Herr de is — ame © — ** mis 
BR fand. derwechſeit Vans ”B 


E id Shofe BA. To ‚bean, — 
3 init jmep bemenlicen Berner nah 





* 


“ Wodriäiten und Anzeige, 243... 
E iet debe · ch Die au Cbriklanfunb rinaffrmiar Beach 


Ch R 
— En Ba a oc HERR, in. ne 
livers in faule 9.3 . 


a4 1X, Nachrichten und Anzeigen. 


sied endlich die Pothäbe von Paris, die Eiblefe-derk@cttpi, 
Be — meines Mauerquadranten, fo nie auch die Abweichungen 
Der vorsüglichiten Sterne genauer als auf 1“ beflimmen. 
De Lambre befindet ſich zu Dunterque, wo er die Breite 
‚aoo bit 300 nn des Polarfierns mit einem I 
"s Buß beſtimmt bi 


3% Nivofe von 8 Beobachtungen gegeben ** 
n 2 


.. Ber 
den ... feneernnd) bin alegaben., . „a, | 
‚Im 4 .r ———— ———— aben 
daher der urm gi Na 


‚Sie fehen, daß eb bis jest fein 53 
‚Genauigkeit verfbaffen konnte, fel SEE 
ofüßige — —— ‚man nur and vo 
int, und 100 ber Sebler des Tbeilunnep AR und # 
de Art für den ndmlichen Stern Einflus wird, wer 
1oo mal die Beobachtungen wieberbolte, — 
Mathematit wird ist ing Bänden ato gedrudt, wovon 
abgedruckt iñ. iR zu Kyom Ss. Gept, 1725 gebobten, 
ihm den Sebler mitgeteilt, den Ste in der 1 :4tem Ziffer AM 
agnofcben Zaht für den Umtreis gefunden Haben. 
Nach einem Monat ſchlecht Wetter baden mir endlich fh} 
achte. Die Oppofition des Uranus if gelungen; den 24, Seh 
57", mittl. Zeit war feine gerade Aufftelaung 1580. 2.2: 
Mbreihung 100.57. 414. Länge ss. 59.57.53. Breite 48.4) 
Werbefierung der Tafeln — 11” in Ränge und. + 15° in der B 
Dieb beftdtigt, was Sie. und ich fon vermutheten, daß die 
ung der Babn dieſes Wanetem, wie fie in de Pambres Tafeln 
am 10" vermebrr werben muß. Die Beobachtungen 2 auf einat 
34 6 aeben auf die Sekunde den ndnlichen debler der: 
in der 
1, Din, ie Lambre hat {ih von der Breite des Thuen 
"30 Dünterque bis auf 4 # Set, dur « und @des Heiuen Bärs ver" 
2 Er wird aueddtommen, um ficb zu —* Abreiſe * Bun 
6 vorzubereiten, Er findet den Bogen ae en bem Th, 
interque und dem Sbfervatorium ofen. A Ir Ye 
— in Satin bab F 2 * Pr - % meridienne ver" 
. Aber der Bogen zwifcben Dünferque und Bow 
eine betwächklichere Grhke Heiner fepn, Ya übrigens — 
een wir * ed pt * * BEE ALLER der Cal 
alfben, eh eine. neue Duele von eben milde 
den aitern und neuen Bermeflungene 
Der Stern, der nach. Jhrem Catalog 17 38” Zeit auf VNocr⸗ 
{f nur 0%, 38% fäter.“ Dein Neffe bay * Eat 
Bu und wir Rinmen win Dapere — vn 








EU Radeln nd Anzeigen. —8 
Beobachtur bes Merkur vom 5a. 39 


b je p- ii babe ich berechnen welen, 
eh Mittute verkbrieben feun. —8 EA 















_ a Satestntn bat die EBablen von 6 — 
— departemens angeſtelt. Da babe für die 
seftion der Aleonomie Darqeier, d’ Angos, Duc- Ia- Cha; 

de Sylvabello, Thulis und Flaugerguas ernennen 


in dee Connoiffance de tes 1798 werflbiebene Me- ' , 


3. beittmint_ waren, weil mir nicht wiflen. ob fe were 
werden. Die Bände von 129 9 1790 
jere Dupont verkaufe fle nicht, **). weil er numernire 
Geld fehr var if; die Affignaten Reben zo und Biele Bew 
wollen fie gar nicht annehmen. \ 
St erſcheint die sofie Lieferung det enoyclep. methodiquej. 
enthält Stücke des Wörterbuhs A oe ai 
au, — 28 Are du asd er ’ 
— ee or Beobachtung bes Merkur vom zı. Upett 2* 
des Weribellums if, if‘ von meinen Tafeln nur: 
f — Ich babe fie eben in die Druckeren fürdie com. · 
nce des tems 1798 Araeben, * wie auch Kehmungen ader 
n Bewegungen vi⸗ier Sierne. 
Das ter ig feit einigen Tagen 6° tmterm Unterm Qispentt 
A ER to —* aber ich glaube, * 
D dee Erdnahe dep feinem Dueggang durch den wa 


Bermutgung — iu, a um —72 + r 


Beobachtung im — 
jert a —— * Mile. Gi. Ra Dit 
Zeit in Gorha (mit Geeberg), gerade 

= 31%.7.3379. 0.3. 


Durd die Gefdligkeit des de Is Lande «a 
Exemplar dieſes Bandes — tee 
oh bat ‚Hert D. Burckhardt, in den Erfurter. Rahrichten, 
ER 

eingerädt, v. 3- i 








& 


Ai Jade 1738. Ba Bered. 4 7.Npril 1792, 33. 42. Bededc. # 
23. Geht. ı 


o) Diefe fernen Befattate finden fib Im Berl. I. ©. oh 


"da; ‚bie air wiek Derandeen ‚machen werden. „Ich habe einige 


» “allen andern Behlmmungen. Ich nebme unterdefien 33", Ei 


346 1X: Mathrlchten mb Argelgen, 


eint Berän Inderana kn Wette Verbeofühern Bi; —— 

8 serien tal diefe Wirkungen auf 
Wabrgenmmn. Haben &ie Sie uichts über BA —E net 
Natienaliokitut bat feine ausldnblichen focies exue⸗ 
wen wollen, aus Furcht, daß die Deutichen und Engländer unſce 
Stellen nie annehmen möchten; wir ermarten den Srichen.; 1 


Dos Gonvergemeät il nicht allen 194 Ditalledern dee 


Rituts Benfionen geben -fondeen nuz ben dltchen und BerAhmt 


besen, melde die weißen dicbeiten und de mebrefien Sebürfnilt 















io. Dun. Ci erbafte ih Be Mailändifchen pl 
den von 1796, ‚Ein aufs ‚son Driani über. die Vertun 
de Dertues us Venus IE. Febr merkmi:dig; fie geben: bis 
24", — man bie zten Votenen der Excintricitäten mita 
Ts find aud Y Beobachtungen am arofen Dauerquadranten, 


you’ Seren Dongos zum Verechnen zugeichldt, 


(6 fand ouch darin Die Bedenftichkeit = W_2.Yan. : 295. 
PR: Kine ha If Dee Aheiacn u Sic Qeimerlior Mm 
fer mit 33%. 40% al6 mit 33°. 35” Unterichled Uuniter —— 
Haben Sie fit or da Ste 33‘. 35 baben drucken laffen, einit 
deue Kefultate über dieſep Begenhand ? *) Diejenigen, die ich habt 
Bimmen gar ars 33%. a5" Ofink: 1792: 33°. 39". Bedek.ı $ 


(& babe mehr Zutrauen zu @reenbededungen dd 
Ober 37" ans allein es konnie leichi nur 34° fenn- 


J 23. Marz. Ih babe meine tafeln mit den Orianiſchen 
turbation von neuem bearbeitet. Sch finde für 1796, 

8%..13°%, »g*. 28” die Gonnenferne * 17°. 17° und Die 
larbemmegungen 2°. 14°, 4°. 10” ui 23. 15%. So werben fl 
auch in der Cennoifl. 3798 erkoeinen; ie find fon abgebrudt 


Pr a ai hd aebr mehe 
a fo wi jentae, ber für ie geben wol 
Lebler Berfelben —E fo wie Wurm für die Tafeln ha 






©. 235 und 236 und fimmen vortreflich, auch barmeniren al 
meine Giernbedetungen. die Herr Wurm berechnet bat; bie 
ben von Here de la Lande Serechnet, Kimmen nicht Po al 
ug alfo der debler Hegın? u 





U" anesniomte e8 netbanvat, etfe Arbeit üBernebink, beren Ni 
h we langer Dauer wire. *) EN vn oh 
j Ich babe mit. genen in dem Archiv des Hrn. Prof. Hins 
—* den Gebrauch geſeben, den Sie von meinen Briefen mas 
; dieß mat fie nur noch — doch ware es mir zurei⸗ 
nd, wenn fie nur Sie intereffiet hätten, — 
> ollonius des Camerer i ten; fi 
ae ———— A ee g — Mg 
"Hrn, Monticla fein Eremplar ae 
Nach neuen Unterfuchunnen nehme ich Die ſrace von sol, 18 
en Sabebun ert ans die Beesdeung her rl il 0%, 138 
die —— und, 0“, 147 auf dem Mequator; der erfte_ Theil dee 
45,98. , Und der hivehte s0“,ags. finus AR. 
a Si ndmfiche Größe muttiplietet mit dem finus = 
BEE En REF 
jeclination 20° c: oel 
5 Molapen —— — 


















2, Anzeige eines ‚Repertoriums ber RE RE 
von Fr. Wild, Aug. Mürpatd, ‚ber Pbilofr 
Dr. in Göttingen, 





» 
De —5 if in her Tagen fo febr, defieien, und di may 
Wahrbeiten hat ficd dernellalt gehäuft, das es fo gu 
die das menſchliche — zu tragen im Stande ihr 
ot Schon iange mußten baber die groben Köpfe unter d 
jematifern auf den Gedanen kommen, diesem Mangel zu des 
. "Dan fab aber leicht ein, dag —— biee- durch ſwiguse 
jeln dem 66 om befem zu Hülfe kommen könne. Lam⸗ 
fbrieb: daber tn diefer Abſicht feine Zufäge zu den, [ogas 
tnmifhen und trinonometrikben Zafein (Berk 
70.8.) und babnte fo den Weg zu dbnlichen Sammlungen, 


br 
E: außer diefen-und an manchen ten (fo nie in ia sun 





Gere Wurm, der 9— —* Bush die Reviſon des son. 
"ge la Landes Jabeb.. und de Lambre’s 4 Satellitentafel 

Dient gemacht bat, hat man ebenfaßs diefe u dee die 
uichen Taſcin übernommen. | ug 








J 


Erz IE Mate mb Am - 


Afronanie; la Lande Aftron. etc.) befindlichen nimm 
friichen —— Befigen mir noch gar nichis . 
Po muß gefleben, ba mir Diefer Imftand Anfates bei meinen 
tuNien der Analgtif das aröfte Hindernis war, das ımte auflich, 
‚Denn da ich midy im Etande lab, das weite Teld derfelben zw Aber 
febatenz fo wor ich denmoch oft nicht im Stande eine Abhandlung 
von Eufee, fa Gramae, Eondorcet, Monge, la — 
Coufin, le Gendre 1..2c wöllig au verſteben, und. ba ich nick 
eüben. tonnte,. bie ich fie verftands fo brachte ich oft ganze Tage, 
mit eiteln Berechnungenbin., und, verfchmendete ſo bie mir ſo edie 
tt_ Bold aber merkte ich es, worauf es anfdıte. En 172 [1 
Aa — Unterfücbungen,, tie und mo ich fie ſand 
Pr je aufzugei ich — JInteoralſormein/ trigonometriſche 
Au⸗ de wg Sn bee Pogarithmen, der 


onen, , 
der ünendlichen Keil —————— — und bald beſh ih 


= fo voßftdndiges > aller Kefultate,. tworauf der Kalkul je 


side Berechnungen mit Mecht Ent 8 bieten Fonnte, 
Tagen mie meine mathematifcben 
sachrjäbeiget Fieit nefammelt hätte, durch den Drud 
tiſchen * herbaunt mitgutbellen, Aber tbeils febite e⸗ — an 
örlgee Mufe, tbeils.mar ich auch noch nicht u einig, 
die Saen am vortbeilbaftehen ordien fölte? Aber nos 


inde am —— —— J 


nn i auch nicht den Fiebbabern avaigtiſder ——“ ei. 


Wer? vorenthalten, das 5 su taufenderlen neuen — 
Anlaß geben wied · und dc kündtge biermit ein Nepertorium 
earalformeln ats die erite Probe eines foldhen für hie sen 1 “ni 
4 Sußerft wichtigen linternebmens an.» DMandyen wi 

er Titel vorador aenug fcheinen , um, wäre der —— 


‚ Mathematik, Sloffen darüber zu fhmteben, aber nad dem Urtheile , 


vieict aroken Mothematitverfändiaen, deren Natb is ınir bieräben . 


bet, R diefet Titel gemiß der Khan Side Baier von dee 
ae jet ale 


fei 
ut ud verheht ftegt, mit —A Bid zu Deren a Auf Ei 
einen fee 4 Die Differenttalformeln mit — 5 
ber andern, die dusch die Jntegratton erbi Woeribe. 
obe können — — Veiſpicie dienen, die th Zus der Mike 
fripts, wie ich es aufichlage, derſchrelbe: 


1X. Nechrichten Any Bee 
Free "any, ® —— *8 


sn! —VX 
— |. 
c, adx .= -_. * 
Trade agree 
al He em Bat une 


denn Kenner werden ihn von feldf erden, und bei andern 
si en ih nid ocen als zu kauben Ohren veden. Jeder, deraub . 


Wanen, was er geleifiet. bat. und durch eben Died Hültsmittel nuurs 
in gersih Inslide neue Entdeckungen im weiten Belde der Anas 





20: IE Mochtichten md Anpiget. 


3. Aſtronomiſche Nachricten aus “Briefen bes Henn 
Flsügergues,. ‚Afttonomen zu: Viviers : Departe- 
ment de I’ Ardäche, Mitglied des Inſtitut Na- 
ae in Paris, an Herrn O. W. M. v. Zadı 
in Sch, 9 ee, 

—J — — J 


—RV 2 4 


J. zormel, um die Lange des Gries vom Rica 7 


turnus auf. der. Ecliptif aus dern beobachteren Ver⸗ 


ſchminden und Mlgvererfipeinen beffiben zu befthmuied | 


gast oa ee be Beta ur Zt 
Serbachtunoen Exrſche inens —J 
J— Längen —— Berlin, wenn diefe Mhafen d 
urdaang der Ebene "bed. Wings durch den 2er Ci 4 
Gonne veranlaßt wistdens fermre fei die Metgung der 
r.Riagk seeen. die Ebene bes Ecliptik, ſo wird man haben, . 
Bee des’ Cnotens ve u. Bi ul ber Ertl Fehr Ar we 


Trap, eng i.) J 


©.‘ 4 3 x ’ 7 J 


1 Kormeln, um bie Wirkung der — be ben Durch 
“ gängen Fund? durch bie Sonne ‚zu finden 


ei 7 dee Wutel, den dei’ Hafbmeffer det ©, der am wahrer ' 


‚> Berbtannakpunft orsogen mörhen iR, mit der relativen Baba F, | 


" be Winkel, den eben diefer Halbmeſſer mit eidem ⸗ten mocte 
der an den ſcheinbaren Berübrungspunkt gezogen iſt; 
2 der Winkel des Vertiealkreiſes mit einem auf die rear 
Babn fenkrechten Kreis, fm Mittelpunkt der Senne... .: 

dee Unterſchied der Söbenparollaren von E und O und 


e bie Bitans ber Varalere in: Besug-auf die Berührung, I 
tm 


fin (a1. ib 72) 


Ta ” 






| 


" [3 % . 
“ . 


M. Nochtichten und Anzelgen. nst 


geiden — — Bat beim Winter Eb Katt, wenn Die ſenk⸗ 


febte Fr auf die selative Bahn oberhalb des Gonnendiameters 
Henze, dee im Augenblick dee Beruͤhrung bortzontal if; im entor⸗ 


ieſeote Zah" findet Das Srichen «+ Matt, 


= gen biefe — auf etert der el 


dr ven Winkel z muß man das Beichen — dann Branchen, 


des Bertirafteeifes , deu 
zur Zeit des Contacts durch den Mittelpunkt dee Sonne gebt, lie 


wo fich aud der Beruͤhrungspunkt befindet; tin eutgeaengefeßten 8 


draucht man »r. Eundlich iR die Groͤße e oder die Wirkung der Bas 
rallaxe für bicjenigen Beruͤbrungen negatif, die oberhalb des hori⸗ 


gentaten Dutchmeſſers ſich ereinnen; duo die Wirkung der Parolis | 
| wied namtich dann der Einteitt weripdtig. und der ustel 
BT ana a 0 —X ea 


! 


3 .. 


beobachten, 2 y 
u Formel zer hg dea Merkursdurchmeffer durch 
| —F beobachtete Zeit, Dr 5 ie Eintritt oder: Anstrist: 
in bie Sengenfcpeibe nem Durchgange braucht, 
d der Duck eh 8 FA dee. )burch — Der Ba 
Porn Def e ae fe ee relativen 2m Om E der du * 
rrubrung m bat, und e der katret⸗ 
— fo WW. ’ 


d= —— J 


| gerntteik dieler Sormelrbabe ich aus Verbindungen der 


tungen des hi Dur ogan be 5. Nov. 1789. felden Dusch 
gelandet, 8,665. vr aalax ver an Diem Bass 13 — * 


Neueſte Betimmung der Polhohe von Lig, | 


von Herrn Prof. Rüdiger, Hoſervatore be der 
Sternwarte doſelbſt. 


Ma einem 10 zolligen Eotesetfetuntin von Teonshton, diffen u 


| uns dus Grem Dal von Zach 52° 80 


Nonius die Sekunden von 10 gu 10 angtebt, und einem känftlichen 
Blashorizont vom Yen. Sekt. Schröder in Botba verfertigt, babe. 
ich die Polboͤhbe der Leipziger Sternwarte aus 40 Beobachtungen im 
Mittel — 510 21° 0’ erbalten, welches Beta von einer Sekims 
6”, in Hm. Bodens Ja 


— 


* 


273 IX. Nochrichten und Anzeigen. 


Bud auf n7g1 Gelte —* wenig abweicht. Die Wolböben ink 
— nt —** — außer dem —— Bel bie Zeit dee 
bereinftimmende * ben befannt 18 aus Son⸗ 


— m den Ba —— Amin Beten berechnet 
fer Rechnungen h 
Be I ind ne ir Ahead — 


Beyſpiel 


te doppelte: Höhen bes unten 
FR e in * ——— Vendelupr um 
21. 24° 13’ mahe. Zelt Ye Badmikags; Abweichung der Som 
7 130 8/8" nie. 


Em. Hd. d- unt. Orand. = 92° 0’ 
Jerthum des. Belgerd z'-3 0 





Sonnenparallare 
Summe 
Sonnenpalbmefler 
Wahre Höbe dee ©, | 
Stundenwintel 
abweichung der © 

«... Die Yolhöbe 
aber ih nun durch: 

Tang u = Cosr Cora; 





en 


vun. 


se = 


WE 0-e 


kog ung u == 10, 575 1588 J 
sm 7 6 
. log Cos u = 9, 469 98 
+ log Sin # == 9, 8ı8 1173 


J 





Gum = 10 2 "u 
- log Sin.d — 9, 323 BY 
ee — ——r ——— _i 


log Ca z = 9, 905 4216 
z = 36% af 19% 
0 me'78 5.680 
Et Sy SZ | BE | ae De 
6*41 8 u 
Benfpiel a 
Minagehohen den 15. Jualius 1797. 


Bet der ude, — Kae I Kg 0% - 


3 


N 


119 ss ° 8, 333 


Seh. VW a fr) Re 
36 0, 735 5989 


N F 
i 395 ĩ4 BETT TOR 33 101 SE Dale 44s 35153 
212 a zu mo) s 1, 860 5776 


Cr: 
hatbeu m = 1, 9048 ‚Con m 
300 = ginn fir Leinti, giebt 


\ı.e 


Er — Gr RR 5950 = loʒ —* 


—CERRGRI 


> 131% 2773 log Cos 3 == 9. 968 Bra 


3 99 sui-leginle-D— 9 697 6545 
1 
KR == 9, 271 1735 


+ log Goal. — ar 088 Soso. 
U N +} 


log ar — kg nk == 0, 159 7678 
log ai == 0, 859 7675 log ns 


\ 2... für que a Sbrobachtungen, 


\ 
. 
. 
Le 
. [ 
x 


2 


1X, Nachrichten und Anzeigen, " 


Bür die 1. Beobachtung iſt: 


log n2 —.0, 735 5999 
40, 359 7675 

log Ar — 1, 095 3664 

“ am 12, 45" 

Dopv. Höhe des 


ant. Orand. 119° 55" oW 





Srrth. d. Zeig. 13 30 
Reh ng 4 30 
Kälte sg 50 4 
Strablenbr. 31 
Beh R 39.50.14 
Sonnenparallage + 4 

Eumme 259,50, 18 
Sonnenhalbm. = +54 


en — 
mabre peter © = 6° 6 5 





® Ga fo ſindet ſich aus der 





sten Beobachtung « ‚sw art. 0% 
7, ⸗ sı 20 53 








un , 


IX. Nachrichten "und Anzeigen, 255 


Ebendeſſelben / Beobachtung der Gonnenfinflernig 
vom 24. Junius 17974 


\ X 
I der Gonnenfinferni6 vorberaehenden Tane waren trabe doch 
Tage der Finferniß felbff beiterte ſich der Himmel etivas auf, 
daß. fch mit dem Hadlepifhen Gpfegelfrrtonten venug Gonnens 
ven die Zeit der ihr zu beitimmen. nebmen konnte, welches auch. . 
nächfifolgenden Tage verſtatt · mar, Den Anfang der Sennens 
temig babe ich mit: einem’ 35 füßigen achromat. ober won 
we, Afeonom, Szmaliner Bergrößerung, nach Wuliamy’s Ger 
denubr, fo ziemlich genau um Ss U. 32° 26 Wh, m 3. beobachs 
Die Sonne war noch furp vorber bäufig mit Wolfen umneben, 
b trat.fie bervor.. als der Anfang berannabete: Mährend der 
Lerniß Tießen ſich nicht mit der gebdrigen Nube und Senauiateit 
ben meſſen, da außer den um Die Sonne fhiwebenden Moiten, 
bemals Regen einfel. Um das Ende beiterte fi der Himmel 
Gegend der Sonne auf, fo das Ich fehe eichtin das Ende 
1. 2.9, 75% m. 3. anfegen fann. Mernleiht man dieſe Angar 
I der Beobachtung mit der Berechnung dieſer Sonnenfinfternig 
meinem Handbuche der rehnenden Afironomie, (Bxı. - 
ite 80) fo ergeben, ſich nur „folgende ganz geringe Unterihiede: 


Anfang Ende 

soll ı a 
Besbachtung Ss sa | 7 29 75 
Rechnung ⸗ 32 2517 2 26 


unterſhied 35 


256 Macyrichten und Anzeigen, 


} 6. Das arlthmerifche Mittel, in einer wichtigen Ye 
ſtimmung bes deutſchen Staatsrechts gebraucht. 


— — — als — * in 
ui te ein, vom Keligionszufa: Im deutſchen 
Keiher da fiebt 197. 5, vom,anno decrerorio folnendes. ! 
‚Die Katholiken mwohten dazu das Jabe 1630, in melden 
ann vdo Wefttütionseblet an mebreen Drten gelten’Su machen I 
mußt batte, -behinmt baben, die Protefianten, dag michrs Billie 
v, ald auf das Jade, in welchem der teten ausnebrochen war, I 
en, alfo auf 1418. - Endlich gaben bepde Theile nach, und io 
. ward denn der. Beflsliand des ı. Jan. 2624 zur künftigen Ridb 
Knaur beftimmt.’ N 
Gerade alfo das Jahr, das mitten zwiſchen den Bepben Ile, 
welche beude Partbeyen vorichlugen. Bolksmmen, wie man 
aritbinetiiher Mittel nimmt. angewandte Kecbenkunft 
diefes feeglicb nur, wenn bie dußern Zablen näber beufammen lie 
en. So viel mir aus dee Gefcichte bekannt ik, war Ind.fien id 
rund dieſee Beftimmun micht arithmetiftd, fondern Poltird, mil 
— a Sabre bepde Vartpenen ohngeläpr gleiche Borkheils e 


2. ©. Käftner, 





—— 


Verbefferungen, 


199 ‚Zeile 25 hatt Confitution lles Confructions gelle · 
en Hi 1. adce; eite 203 legte Zeile, und 
jelle ı — 10 {fi durchadngig ati A, $ au lefen R, 1; G. 

. 27 ſtatt im lies ein. 
jegen Seite 201 fehlt in der Fla. r, über AB eine zu AB paralelk 
» 0 eine AI, und.eine Die Varallelen CD, AB, Hl'in K, L,N 
wechtioinkelicht dursbfchneidende Linie. In Fig. 7. mub DE 
Endpunkt der Finie Fo Hinter Hand innırpalb ABCD mi 

Bppeihnek werden, 


ber; 5 ; 
reinen und angemandten 
Mathematik, - 


. GSiebentes 'seft. 1797: : 





Seduction der Euclidifchen Definitionen 3, 4, 517 
des V. Buchs der Eiemente; von E. F. Pflei⸗ 
derer, der Phyſik und Mathematik Profeſſor 


J 


zu Tübingen *). 





I. E. mögen m, m, p, q,r in ber Folge ganze Zahlen bes 
jeichnen; manchmal mit Einfchluß der Einheit, wo es 
aber ausdrücklich bemerft werden wird. 

..2. Die Frage: Welches (geometriſche) Verhälmig 
zwey ungleiche hofnogene Ördßen A, B gegen einander has 
ben? wird, wenn es möglich ift, d.h. menn A und B 
-sommenfurabel find, durch die Angabe beantwortet: A 
| ent⸗ 


"m Diefer lehrreiche Aufſatz if eine Reviſion und Erganzung eines 
Theiles der Tateinifchen Differtatton des Herrn Verfaſſers über 
das ste Buch von Euklid's Elementen, und if sum Theil, durch 

die Erneuerung: der Klagen über Undeutlichkeit, Schwierigke 
und Uneichtigkeit dee Euklidiſchen Lehre von Verhaltniſſen un 
Proportionen, in Seren Prof Büldy’s Encyklopaͤdie der mas 
tbemstifchen Wiffenfcy, (Hamb. 1795.) Seite sı und Anhang, 
veranlaßt morden. Hier werben die blos fheinbaren Schwie⸗ 
rigkeiten geündlich gehoben, ohne jene Differtation daben nöthig 
su haben. _ | Ä i Sindenburg. 
Sicbentes Heſt. N Ä | 


\ “ 


258 1. Pfleiderer, über einige Definitionen 
sr ar 5 
enthalte B, mımal, „mal, zul; A ſeye =mB, ober 


b I m ım * 
= -B, oderBꝛ undm, —, — heißen der Exponent 
na na nn 


des Verhältniffes A: B. 
- Sind aber A undB incommenfurabel; ſo giebt man 


für irgend eine angenommene Zahl an: A enthalte B., 


1 
mehr ale u und weniger als Fat, (mo auch 


= ı feyn fann); A ſey — en: und, 


Z beißen Grenzen des — des Verhaͤltniſſs 


— 
A:B; - die Eleinere, Er bie größere, Je größer 


die Zahl a iſt, deſto näher fallen beyde Se zus 
fammen. 


3. In dem erftern Falle it A=mB, oder n A—=B, 
oder nA=mB; und in, dem zweyten it nA >rB, 
aber <(r-H1)B. Das heißt: ein gewiſſes Vielfaches 
der einen Groͤße ift entweder der andern, ‚oder einem Biel 
fachen der andern gleich; oder ein gewiſſes Vielfaches der 


erſten iſt größer ald ein gewiſſes Vielfaches der zwey⸗ 


ten, aber” Eleinee als dag nächffolgende Vieifacht 
derſelben. 


4. Umgekehrt folgen aus den Angaben $. 3. bie 
F. 2. d. h. weiß man, wenn A und B commenfurabel 
find, welchem Bielfachen von B die andere Größe A gleich 
ſey; oder, welches Vielfache von A der Größe B gleich 
ſey; oder, welche Vielfache beyder Größen einander gleich 


ſeyen; fo weiß man a ihres Verhaͤltniſſes 
Sind 


2 in Euklids V. Bude, der Elemente 259 


Sind hingegen A undB incommenfuraßel; und weiß, 
man, zwiſchen welche zunächft auf einander folgende 
ielfache von B irgend ein Vielfaches von A falle: fo 
kennt man die Grenzen des Erponenten des Verhaͤltniſſes 
. A:B für die Zahl, welche das Vielfache von A angiebt. 


5, So reducirt fich im Algemginen die Unterfin 
chung des Berhäftiiffee A: B auf die Vergleichung (ig. 
Ruͤckſicht auf Gleichheit und Ungleichheit) entweder ber 
“einen Größe mit den Vielfachen der andern, ober dee, 
BWielfachen bepder unter einander; auf die Unterfuchung: - 
qualiter magnitudines A, B fe habeant quoad multi-- 
‚plieitatem? vofe Joh. Wallis (De Algebra Tractatus“ _ 
Cap. IX. p. 85. Oper. Math. Vol: IL) den Sinn dee 
% Definition des V. B. der Elem angiebt: Aoryos ses 
0 us yeIwv oHROyYEvaV N RATS RANKoTNTa reos aA 
Au moi egeois. Auf eben diefe Erflärung weifen bie - 
Folge der 1. 2. 3- Be und bie deſſuns der: 3, 5, 
"7. hin. 


6. Die Reductlon $. 3. 4: gewährt den Vortheil, 
zu der Behandlung der Verhaͤltniſſe nicht, mie die erſtere 
. Worftellungsart 6. 2, Divifion einer Größe durch bie. 
> andere, weiche eigentlich nur bey zahlen flatt hat, wur 
nigſtens Theilung der Größen ingleiche Theile, föndern bloß 
— BRelelicaton der Größen, oder wiederholte Uddition ders . 
felben zu ſich ſelbſt, vorauszuſetzen und zu fodern. Letz⸗ 
. tere-allein, und aimgefehrt, wiederholtes Abziehen einer ge⸗ 
gebenen kleinern Groͤße von einer gegebenen groͤßeren⸗ J 
nimmt Euclides ſtillſchweigend als Poſtulate anı Thei⸗ 

- fung ‚gerader Linien, Winkel, Eirfelbdgen ingleiche Theile 
lehrt er, ehe er fie gu den Conſtructionen feiner Beweiſe 
gebraucht. Daher bemerkt Rob. Simſon (Euclidig. 
- ‚Element. Oxon. 1756 p. 3357. fq.).bey dem sten Gag _ 
des V: Buchs: In conftructione demonftrationi hu; » 
:  heprashi, aa. naher in in.textp Gräeco ejüs- . 
| | ge 


1 


« 


x 
0 i , ‘ 


260 1 Pfleiderer , über einige Definitionen, 


. que, verlionibus Latinis, requiritur, ut — EB fe- 
eetur in tot partes aequales, quot funt inAE. aegqua- 
les ipfi CF. Ex.hoc autem manifeftum eft, con- 
ſtructionem hanc non effe Euclidis. . Non eniın do- 
cet .Euclides, 'quomodo fecari poflint rectae lineas, 
nedum .aliae magnitudines, in partes aequales, an- 
tequam ad’ V], 9. yeniat.. Nunquam autem in con 
fructione jübet aliquid fieri, quod facere non prius 
docuerat [vel poflulaverati. Conftructionem igi- 
tur mutavimus in eam,- quam ſine dubio Euclideg 
daderat; in qua nihil requiritur, praeterquam quod 
me ſibi ipſi aliquoties addatur. 


. Sind ‚Aund B commenfurabef; ; :alfo entweder 
Bie * einem Vielfachen der andern, ober ein Vielfaches 
der einen einem Vielfachen der andern gleich; AmmmB, 
oder nA==B, vdernA=mB: fo if in dem erften 
Sale A Ab. 42A>mB, und mB-HB oder 
(m-+ ı)B>A; in dem zweyten n A-HA d.-i. (a-+ 1) 
A>B, und B--B over 2B>nA; in dem dritten 
nA+Ab.i.(n-Hı)A>mB, und mB-H-B ober 
(m+ı) B>nA. Da nun, wenn A und B: income« 
menfürabel find, fih. immer: nur angeben läßt: 
nA>rB<(r + nB ode @--n)B>nA;. fo foßt 
Euclides in der 4. Defin. wider beyde Fälle zufammen, 
und fest. als allgemeines Merkmal homogener Groͤßen, 


oder ſolcher, die ein Verhaͤltniß zu einander haben, feſt: 


daß fie vervielfaͤltiget einander übertreffen koͤnnen: Aoc- 
vov exe MeocarlAnka Meyedn Asyeraı, & duvaraı 
molNamAacınfousa arAnAwy umegixEw. | 


8. In der Folge nimmt er beſonders, entweder ale | 

Mm diefer Definition enthalten, ober flilfchweigend als 
Poſtulat an: von zweyen dergleichen homogenen Größen 
Kaffe fich die Kleinere fo vervielfältigen, daß fie größer 


werde, als bie groſert. Eben dieſes poſtulirt Archime⸗ 
des 


. in Euclivs V. Buche der Elemente. as 
des (de ſphaera et. ‚eylindro, Lib. L. und quadratu- 


‘ra parabolae: Praef.) von dem Ueberſchuſſe einer-geges 


benen größern Einie,. slähe, Körper ‚ über eine gegebe⸗ 


ne kleinere. 


7 


9. Zwey Werbäftnifte A: B, €:D, heißen nach ber 


‘ Borfclungdert 2. gleich, wenn ihre Frponenten glejch 


“find, oder Immer zwiſchen einerley Grenzen fallen. 


D. h. fol A:B ps verhalten wie C: D; fo. maß, . u 
wenn A bie Größe B, mn mal enthält, auch C die. 


‚Größe D, —— — mal entfalten; und umgeftt, wenn . 


fo wohl A die Groͤße B, als c bie StößeD, m—, Enel. 


“ enthält; fo fagt man, «8 (ey A:B=C:D. Die Sie 
‘der beyder Berbältnife muͤſſen alſe zugleich commenſura⸗ 


bel ſeyn. 


Enthaͤlt A weder B, ne irgend einen aliquoten 


Theil von B, ein oder etlichemal genau; fo kann auch 


weder D, noch irgend einen aliquoten Theil von D, ein oder 


etlichemal genau euthalten, wenn dieVerhaͤltniſſe A:B,CHD - 


⸗ 


e anter einander einerley ſeyn ſollen. Die Glieder beyder 


gleichen Verhaͤltniſſe muͤſſen alſo auch zugleich commen⸗ 


. "farabel ſeyn. Und nun wuͤrde G:D’fich nicht wie A: B. 
| verhalten— wenn, fuͤr irgend eine Basta, für. welche 


r—tı ri 





A>- =B< 


cos 


| wäre 


* Aonbern entieber C ſchon < =D, ober. ng > 


"go. Der Borfilungsart 5 2. r zufſoige, wird die“ Zu 
ſennaq jur Suerlinben zweyer Behäimift A; B,C:D. 
R 3 | 


erfo⸗ 


Bilnigeaud > D 


v 


1* 


a / 
\ - - 


262 .I. Pfleiderer, uͤber "einige Definitionen 


» erfobert: daß, wenn A= mB, ober nA ==B, 'oder 


nA=mB if, auch C=mnD, nC=D, nC=mD- 
Mens und in bem alle der Jucommenſurabilitaͤt, daß 
für jede Zahl n, zuglih nA>rB< (r+ 1) B, 
‚nc>rB<(rtuBfeyen. Diefe Bedingungen muͤſſen 
ſtatt haben, wenn man zu der Folgerung berechtiget ſeyn 
ſolle: Averhalte ſich zu B, wie C zu D. Und umgekehrt 


- wenn man angiebt: A und B, C und D haben gu einan- 
der einerley Verhaͤltniß; ; fo muß verſtanden werden, daß 
Im Beflimmungen bey ihnen ſtatt haben. — 


11, Euclids ste Definition: Ey Tw ausw Acrya . 
nsyedn Asyeroa Mich, TQWTOV mEoS devregor, xtu Tei- 


roy Aeos rer æçꝙtov orav Ta T8 TOWTE Kas Tess ımd- 


nis MONMaTAaCIa TV TB ÖsUTegE no TSTÄLTE 1Tanı 
moNariacıwv, na$.opoiovsy WoAAuamhacınaov, ene 
TELB 1 alu eÄAuan, N ana ı0a n,n ana UnSEENM, 
Andserra naraAAnda; welche alfo zur Einerleyheit 
zweyer Verhaͤltniſſe A:B, C:D die Bedingung erfodert, 
oder aus derſelben die Conſequenz folgert: daß fuͤr jede 
Zahlen n. m immer zugleich —mB 
n <=>mD ſeyen; enthält nun theils mehr, theils 
weniger, als $. 10. angegeben iſt. Fuͤr Verbhaͤltniſſe 
commenſurabler Groͤßen fehlen nämlich bie Faͤlle Am B, 
nA==B: für Verhaͤltniſſe incommenfurabler Größen wird ' 
hingegen mit jeder Zahln, ſtatt dei beſtimmten darauf fi fi 
bejziehenden v,r-1,nach welhenn A>r B<(r-- DIB 
iſt, jede anderem verbunden, und anf n A<> mB Rüde 
fiht genommen; ferner, eben. dieſes auf gleiche Berpält ö 
niſſe ohne Unterfchied ausgedehnt. 

12. Was dag zweyte betrift: fo ift ohme Zweifel 
die beftimmte Bedingung 6. 10. unter ber Euclivifcher | 


‚ Weiteren als ein befonderer Fall begriffen, in fo. fern dr 


Beweis der ‚Einerleyh:it zweyer Berhältniffe bdarnach ge⸗ 

"führt wird. Und die Anwendung wird, vie die Dep. 

fpiele davon seigen, durch dieſe Erweiterung nicht nur | 
ni 


- 


ı 





nicht erſchwert; ſondern in.ber Ruͤckſicht erleichtert, daß 
man nicht noͤthig hat, für jedes Vielfache von A (nA) 
die naͤchſtvielfachen bon B (rB, (r + ı) B), zwiſchen 
- Welche es faͤllt, zu beſtimmen; oder für jede Zahl n die 


r r-tI . oo . . 
Grenzen 7 des Exponenten des Verhaͤltniſſes 





N A: B anzugeben. - Diefe Grengen mögen feyn, welche fie 
„wollen: fo wird, wenn man gezeigt hat,, daß immer zus . 
seihnA><mB und CCu D ſeyen; aud be 
ſtimmt » C)VD ) D ſeyn, wenn nA>rB, 
<< + ı)B if. 


13. Die. Rechtfertigung der Faſſung ber Euclidie- 
ſchen Definition in Beziehung auf die Converſe des Falls 
$. 12. fo wie in Betreff der bey andern. 11. erwähnten ' 
Puncte, beruhet auf einigen Sägen über die gleich Viel⸗ 
fache zweyer Grdßen; welche theils Euclides felbft der 
Anwendung feiner 5. Defin. voranſchickt; theild Folge⸗ 
rungen aus benfelben und aus den Grundſaͤtzen des er⸗ 
fen Buches find. 


14. Satz J. Einerley ober gleicher Größen gleich 
Vielfache ſind gleich. 


Bew. Iſt nämlich AB: fo ifl auch AHA 
#B+B02. Ar. 2);d.5.2A=2B. 


“ \ 


- Und nun ferne 2 A--Am=2B--B I. B. Ur. 2. 3 


» h. 3 A=3B; u. ſ. w. un us 


J ueberhaupt nA-HA=nBHB (I. 2. ar. 2 
bio) A=ln-nDB, wendnA=nB. 


15. Sag IL (V. 1.) Sind a, b,o... gleihare 


tige Größen; und A,B, CG,.... gleich Wielfache derfelbens 
fo ift die Summe A-+- B-HC — ;,.. der letztern, das 
eben ſo Vielfache der Summe —— .5. der er⸗ 

RE. Fe 


. in Euclids V. Buche der Elemente. 263 


N. 


— 
* 


264 I. Pfleiderer, fiber einige Definitionen 


ſtern, das twievielfache jedes der letztern von jebem der 
erftern ift, A nämlich von a, B von b, C vone, u. fm, 
Kurz, wenn A=na, B=nb, C=nc... if; ſo iſt 
auh A-+ B+C-+... oder na nb--nc .. 
Znla-bH+cH...). - 


2 Dew. Nämlich unter ber angegebenenen Bebin⸗ 
gung ‚find 
2 2 5 4 — n 
A=a+2 +2 +2-+24+...+a 
B=b+bHb+b+b4+...nb 
C=c+He-c+c+c+..te 
etc. 
 Sefotich (1.8. U. 2) A+B-+ C+ etc. 
a+a+3a+2+2+...+a 
Herr. „+b 
Ihe+cehcterhcH...te 
L etc. etc; etc. etc, etc, etc. 
= .e+2 rare tat... +0 
d. h. ne, wenn ama--b+c..- 


16. Zuſatz 1. Eben fo iſt 
bi 4 5 
wurkna-Ena-nat nat... end 


1 ® 5 4 5 x 
=nlatata+atat.. ta 
dh. =u.ra, oder dem nfachen des rfachen von = 


17. Zuſatz 2. Gleich Vielfache ungleicher Größen 
find ungleich, nämlich, Bag der größeren if größer. 
Denn, wenn A>B=B-+-C ift: 
Kt nA =n(B+Ö) (6. 14.) 
Aber nB-HnC = u(B-+C) ($ 15.) 
Ai nA —=nB-+nC (LE Un) 
>nB (LS; U 2) J 


18. Ju⸗ 


in Euklids V. Buche der Elemente. 265 
Fe Zufan 3. Groaͤßen, deren gleich Vielfache 
gleich ſind, ſind gleich. 

Iſt nämlich nA=nB: fo kann von den Groͤßen 


A, B nicht die eine A größer als die andere B feyn; in⸗ 
bein fonft n A>nB wäre [C 17) 


19. Zuſatz 4 Größen ‚ deren gleich Vielfache un⸗ 
gleich find, find ungleich; nämlich, diejenige ift größer, 
deren gleich Vielfaches größer iſt. Ä 


Denn, wenn nA>aB iſt: fo fann weber AB nn 


ſeyn, meil fonft nA==nB wäre ($. 14.); 


Roh fann A<B, BA ſeyn, weil font B>nA 
wäre ($. 17.). 


‚20. Sag III. Wenn A,E,G, ... Vlelfache find | 


einer nämlichen Größe B; fo ift ihre Summe daß fo Biel» 


fache von B, als die Zahl angiebt, welche die Summe 


der Zahlen ift, die die Vielfachheit von jeder derfelben ir 
zeichnen: d. h. tern A=pB, E=gB, G==rB,. 
and "eptgthrt.. u. iſt: ſo IRA-HE+G+.. 


== nB, 


Bew. Denn fo beſtehet AHE+ G-+.. aus 
?, undg, und r, ... Theilen oder Größen, jeder —B; 


d. i. aus B, geſetzt ober su ſich ron addirt, p+ga+r-t... 
— mal. 


+21. Anmerk. Der einfachfte Salt. ift, wenn je 
irgend einem Bielfachen A einer Größe B, dieſe Groͤße ſelbſt 
noch addirt wird. Alsdann enthält A—-B die Größe. 
B,(r + 1)mal, wenn A diefelbe rmal enthält; oder es se 
A—-B=(r-+-ı)B, wenn A==rB. 


22. Zufag 1. (V, 2.) Wenn A und C aleich Viel⸗ 
fache find von Bund D; E und F wieder. gleich Biclfa« . 
che von Bund. D; G und H ebenfalls gleich) Vielfache 
‚son Bund D; u ſ. w.: fo find ah AHE+-G-Tt. or | 
Ä ‚CHF -+H-+.. ” gl ice Vielfache von B undD. . 
‘ u R5— "Dim 


266 1. Pfleiderer, Über einige Definitionen, 


Denn, wenn ſowohl Am—pBalCc=pD 
E=gB F=gD 
G=rB H=rD 
etc. 
ſo iſt auch, ſowohl AHEAGH. „==nB, alsChF+H+., 
=ınD, wm n=p+tg+r+... ($.20.) | 

23. Anmerk Wenn n und m gleiche Zahlen find; | 
fo find nA und m A, als gleich Vielfache derfelben Sei] 
A, gleich ($.. 14): | 

24. Zuſatz 2. Iſt aber n>m— m-Hp: % ik 
mA--pA=nA (5. 20.); folglich nA>mA ¶. B. 
Ar. 9.). 

25. Zufag 3. ‚Umgekehrt iea=m, wenn nA 
= mA. \ 
Denn nun fann nicht eine der beyden Zahlen n> 

als die andere am ſeyn ; fonft wäre nA>mA ($. 24.) 

26. Zuſatʒ 4. Hingegen ifty >ın, wennn A>smA 

Denn fo kann weder nm ſeyn; Meil fonfi nd 
= mA märe ($ 23.). 

ı Noch fann n<in, m>n feyn;. weil ſonſt mA 
- >nA wäre ($. 24.). 

27. Zufag 5. Sind alfo A und C gleich Vielfache 
von-B’und D; und miederum E und F gleich Vielfacht 
berfelben Bund D; fo wird C<—=>F feyn, fo wit 
A<=> E if, ' 

” Denn, wenn A und C die nfache, E und F diemfa 

che von B und D find; fo muß 

2) wenn A=E, b. h. uB=mBif;ja—n 
G. 25.), folglich „D—=mD ($:23.), d.i. CF fept- 

2) wenn A>E, d.h:;nB >mB if; n > 
G. 26); folglih nD>mD ($. 24), d.N. CF ſeyn. 


3) wenn 


. F FE . ! 
° . - ⸗ 
* « U -" nu 


in Euklids V. Buche der Eleniente.: 267 ° 


3) wenn A<E, alſo E>A, b. .mB>yB if: 
muß >n ($. 26 ), baber ‚n D >nD ($. 24), b. I. 
F>C, C<F ſeyn. 

2. Satz IV. Das rfache des nfachen einer Groͤße 
iſt dem nfachen des rfachen der nämlichen Größe glei; 
d. h. rXnA= nxrA. | 


Bew.r.n A n An Atn Atn An At... dm A 


u. eben ſo rs A=ATAFAH+A+A Hr. +A 
folslich N. rAzzn(A Ar ATATA r.. + A) 


58 
—nA+nA+nA4nAnAt.. nA 

(6 16.) 

AforKnA=nXrA(ll®, Ar. 1). . 
| 29. JZuſatz. (VII, 16.) Mithin iſt —E 
(6. 25.): d. h. das rfache der Zahl n ift dem.nfachen der 


‚Zahlr gleich ; ober, das Product zweyer ganzen Zahlen. . 


‚wird durch bie Verwechslung dee Multiplicandus und 
Multiplicators nicht geändert. | 
Dieſes läßt fich auch fchon, fo wie in dem Beweiſe 

5.28. ‚folgen, und als ein befonderer Zal des Satzes 
6.28. betrachten; da die-gangen. Zahlen N, Y das nfache, 
rfache der Einheit find. 

J 30. Sue V. (V, 3 R Wenn A und c gleich Viele - 
.fache find von- B und D; ae man nimmt E und Fgleih 
Vielfache von A und C: fü find auch E und F gleich Viel⸗ 

fache von Bund D. 

v Bew. Den Bedingungen zufolge find 


A=pB C==pD 
nn —-A= pB de = +c=pD 
ſowohl E⸗ a 
- .. + A=pB been .D - 


% 
⁊ 
N 


z . : 


268 1 Pfleiderer; uͤber einige Definitionen 


folglich ($.. 22.) E und F :gleich Vielfache von B und D, 
nämlich, ſowohl E=nXpB, als F=nXpD, weil 
beydeg, E=nA und FC, f 


31: Sag VI Wenn A=mB, und C=mD| 
ift; oder wenn nA=B, und nC—=D; oder wenn 
nA—mB, und nC=mD ift: fo find jede gleich Biel 
fache von A und C irgend gleich Vielfachen von B undD, 
das von A nämlich.dem von B, und bag von C dem von 

‚ entweder beyde gleich, oder zugleich größer, oder 
Heimr; d. 5. pC it=yD, >4D, <gD, fo wie 
pA=gB, S B, <gB iſt, für jede zweh ganze Zah 
len p, q- 

ö Bew. 1°. Wenn A=mB, md C= mD; 
alſo auch A yXm B, pC=pXmD ($. 14); 

fo iſt, fo wie pA<—=>gB, chen daher p Xb 
(als =pA), <=>gB; 

„und nun ebenfäls PX mD <—=>gD ($. 30. 27); 
folglich, da pX mD=pC, auch PC<—=>gD. 

2°. Eben fo, wenn nA=B, und nC=D; alſo 
ahgXnA=—gB, yXnC=gD($ 19): 

ift, P we PA<—>gB, ebenfalls pP A<—=> 
gXnA;z daher auch PC <—=>gXnEC (S. 30.87.) 
oder gD. n 

3°. Wenn nA—=mB, ind nC=mD:, 

fo if, fo wie PA<—=>gB, auch uxpA<=?> } 
nXqßB ($. 14. 17.) 

Da aber nA—=ımB (hypoth.); fo Ep X nA 
=pXmB ($, 14.) 

und pXnA=nXpA ($. 23.); und h 

So wiepa<—=>gb: if alfo auch p X mbr 
<=>nXgB; 

amd daher ebenfalg PXwD<—=>nXgD 
6, 30. 27.) 





Da 


in Euklids V. Buche der Elemente, 269 


Da ddr C in D (hypoth.): fo if 
‚nc =pXmD ($. 14) 


Folglich iſt zugleich au PXnC< =>nXgD. 
Nun iſt XnC=nxXpC(S. 28) 
Mithin gleichfalls auch Xp C <—>nXgD; 
ı daher ebenfalls zugleich Pp C<—=>yD (6. 18. 19.). 


32. Aus der Einerlegheit zweyer Verhältniffe com⸗ 
iſurabler Groͤßen, A:B, C:D, ber gemeinfchaftliche Ä 


| 1 
onent derſelben mag mı —, oder = — fepn, wird alfo 
D; 


ner‘ richtig gefolgert: daß zugleich Ace >mB, 
ınc<m=> m D Pa nie jebe ganze. Zahlen n, m 
31.). 


33. Sind aber A und B, C und D incommenfüra» 
r-+-1 
; und - rm bie gemeinſchaftliche Grenzen der Ex⸗ 


kenten ber gleichen Verhaͤltniſſe A: B; C:D, für die: 
En; ift alſo beſtimmt nA>rB< (r--1) B, und 
lid nC>rD< (r-H-1)D: fo muß, 

ı) wenn überhaupt nA>mB iſt; mB == oder. 
rB; folglih m==oder<'r (8.25. 26.), mD==ober 
r D (9: 23. 24.); daher nC,.. welche > rD ar 
 >mD feyn. 


2): Eben fo, wenn nAemB: muß mB = oder 
(r—+1) B; daher u —oder >r+ 1 ($. 25. 26.); 
D== oder > (r +ı1)D (6. 23. 24.); folglich nC, 
(ches <er+n)D (byp.), auch <mD fegn. 

34. Die allgemeine Angabe der Enclidifchen 5. De⸗ 
ion, daß, ‚wenn A:B=C;D, immer zugleich 
\<=>mB nCc<z=>mD fon, iſt alſo ge⸗ 
Inder G. 32 33 | u | 
35. Du 


nn :bältniffe A: B,.C:D dargethan wird, es feyen inmer- zu⸗ 
gleich n A <=>mB, nct<—=>mD; eben daraus 


. menfurabel find, bewieſen merde, iſt ſchon $. 12. Se 


. 
— 
” 
- 


| pC=pXmD, und. daher auch C=- mD (6. 18.). 


fuͤr den Fall, wenn die Groͤßen commenſurabel ſind, den 
Beweis ber, Gleichheit ihrer Erponenten, von welcher Form 


I dieſe auch ſeyn moͤgen n oder — 7’ ober =; und für U 
commenſurable Groͤßen, den olfändigen Beweis der 
durchgängigen Einerleiheit ber Grenzen ihrer Erponent. 


i mehreres in fi. Diefer weitere Umfang aber, ber ii 1 


' und if 


| Exponent bes Verhaͤltniſſes C: D. 


ſo iſt wieder‘ vermoͤge des Beweifed und $. 30, — 


. 


P .1 *. 


270I. Pfleiderer, über, einige Definitisgten 


35. Daß amaelehet, wenn in dem nach eben dieſer 
Definition geführten Beweiſe der Einerleyheit ; iweyer Ver⸗ 









die durchgaͤngige Einerleyheit der Grenzen der Exponenten 
beyder Verbaͤltniſſe, wenn A und B, C und D incom 


merkt worden. 
"Sind aber A und 3, e und D eemenfuge 5 


| DE _ 2 per Erponent des Bernie A: B; in 
vAzzmB: : folglich vermöge des reitet nach Off 5 
zugleich nC=mD: fo ift auch = D, ober = der 


2) wenn A=MhB; alſo pA= pXmB (6. 14) 
iſt: fo iſt vermoͤge des Beweiſes und 6. 30. zugleich 


3) WennnA==B; alfo pXnA==pB ($. 14) 


PXnC=pD; folglich nE==D ($. 18.). 


36. Der nach der Euclidifchen 5. Definition gef 
Beweis der Einerleyheit zweyer Verhaͤltniſſe, enthält alſo 


Er ſchließt zwar, beſonders in dem erſtern Fall, viel 


% 


„in Euklids V. Buche der Elemente... 271 
18 feine Anwendung nicht erſchweret, verſchaft ihm den 


ortheil, alle verſchiedene Faͤlle und dormen auf einmal 
umfaſſen. | 


37. Nach. ber Vorſtellungsart 2. werden die 
erhaͤltniſſe A: B, C:D-verfchieden ſeyn, wenn ihre Ex⸗ 
nenten ungleich find, oder nicht immer viren. einer⸗ 
Grenzen fallen. | 


Und: bag Verhaͤltniß A: B wird größer heißen als 
8 C:D, wenn C die Groͤße D wenigermal enthält oder 
thalten kann, ale vielmal A bie.B enthält; oder went 


die Größe B mehrmal enthält, wenigſtens enthalten - ' 


if, ale C die D enthaͤlt o oder ‚enthalten ann: und | 
agekehrt. | 


- 38. Hiebey koͤnnen nanlich eunweder die Glieder 
yder Verhaͤltniſſe commenſurabel; oder die Glieder bey 
e incommenfurabel; oder bie des einen commenſura⸗ 
l, und bie des andern: incommenfurabel ſeyn. 


39. Sind ſowohl· A und B/ als C und D commen⸗ 


rabel; die Exponenten Ihrer Verhaͤltniſſe aber ungleich: 
heißt dasjenige von beyden A: B das ‚größere, beffen 
wponent der größere iſt. Wenn ap A—mB, ‚oder 


=—B, ni aber. e<mD, ober <-D; 


er EDin: folglich, pen A=mB, aber O<mD; er 


er wenn nAÄ==B, abe nCc <D; oder wenn nA | 
=mB, aber nC<mD if: ſo iſ A: BSC:D. 


Umgefehrt:foß A:B>C:D feyn: fo muß, wenn : 


e Glieder beyder Verbältniffe commenfurabel find ,. der 
rponent bes erfien-größer feyn, als der Exponent bed 
eyten: role, wenn AzzmB: if, C< «sD > kon; 

Wenn 


272 1. Pfleiderer fer einige Definitionen 


wenn HAB, muß. nC< D; wenn nA Bi, 
nC<mD ſeyn. 

40. Sind. A und B commenfurabel, aber C und 
D ee ar wird A;B > C:Dheißen, wenn | 


der Erponent mn, nn _ 2 pe Verhaͤltniſſes A:B oroͤer it | 


als die größere ren des Erponenten des Berbättnifie” | 
C:D /$2.); und umgekehrt: wenn A=mB, aber | 
C>ım—ı) D<mD; oder wenn nA—=B, aber | 
nC>rD<D; ode wenn nA=anB, ‚aber nC 
> ım—ı1)D<mD: und umgekehrt. 

4r. Sind C und D commenfurabel, A und B im 
commenfurabel:. fo wird’ A: B>C;D feyn, wenn die 
kleinere Grenze des Erponenten des Berhältniffes A;B 
den Erponenten des Verhältniffes C:D gleich iſt, ober, 
denſelben noch übertrift, und umgekehrt: d. h. wenn, 


ri 
Indem A>-B — iſt, entweder C =-D 
n nn, 


oder < 5 Dit; folglich wenn, indem »A>rB ifi, nC 


ift=rDsder<rD; und umgekehrt. 

42. Sind endlich fowohl A und B, ald C und D 
Incommienfürabel: fo wird A:B>C:D heißen, wenn 
die Fleinere ‚Grenze des Erponehten des Verhaͤltniſſes 
A :B der größeren Grenze des Erponenten des Verbälte 
niſſes C:D gleich, oder größer als fie ift; und umgekehrt; 


N r „+1 
d.h. wenn, indem A>TB <——B if, enttweder C 
In + n 


— 
nur ——D und ſchon —— D, oder ſogar ſchon 
n 





I 





€e< = D if; fotstich wenn wiederum, indem 
nA>rBif, ac hingegen iſt <rD; und umgekehrt, 
43. Eu 


in Euklids V. Buche der Elemente. 273 


43. Euclidg „te Definition: Orav de Tuv ITa= 
ug MoNAarAacım, To ev Ta TEWTEs moAAamAacıov 
agexn TE TB ÖEUTEeEB MoNAamAaCıE, To ds TE TEITE 
FOAAGTARTIOV un vmegsyn TB TE TETagTs moManAa- 
rIB" TOTE TO MEWTOV MeoS To deuTegou weıeovz koyov 
Xew Asyeraı, nmegl TO TOIBCV- Meos TO TETAETOV; 
chraͤnkt fich bloß auf die Bedingungen und Folgerungen 
je 41. 42. ein, ohne der Säle $. 39. 40. zu erwähnen. 


Dieſes wird durch ‚folgende zwey Säge gerecht 
fertiget. 


» 44. Satz VII. Wenn A=mB, aber C <mD; 
oder wenn u A B, aber nC<D; ober wenn 
„A=mB, abır nC<,mD; fo. laffen fi fih immer ein 
gleich Vielfaches von A und C, 'und ein gleich Vielfaches 
bon B und D angeben‘; fo, daß dad Vielfache von A groͤ⸗ 
Ber ift als dag von B, das  Bielfache von C aber nicht 
größer iſt als das don D. 


Bew. 10. Es ſey A=mB, aber C<mD, 
hämlich mD=C--E: fo wird ur 

4) wenn C=<Eif; ? C CE, oder 
mD ſeyn (I. B. Ur. 2. 9.), da hingegen 2 4 2 B 
(66. 19) >mB if. 


PB) wenn C>E if: fo nehme man.E dag Zweifa⸗ 


che, Dreyfache, u. ſ. w. bis man ein Vielfaches von E 


erhält, das größer als Ci (5. 8.). Diefes fey das 


rfache von E: alW C<rE, 


SrC-HC<rCHrEl.B Ua) b. 8. 


(1) C<r (CE) oder rX mD (21. 15); da 
hingegen ($.24.) 1) A>rA ober (5. 14.)rXmB 
fi. rXmBun rXmD aber find gleich Vielfache | 
von Bund D ($. 30.) 


. 2°. Es fynA=B, aber ne<Dr nämlich. 
==nC-+E: fmwid 


Slebentes Heft, ©. 4) wenn 


J 


274 ‚I Pfleiverer, über einige Definitionen 


a) wann G=<E, alfo (18. Ar, 2. 4.) 
nCH-c=<ncHE, d. i. 4) C=<D if, 
2(n-H1)C=<2D ſeyn ($. 14. 17), indem (n +1) 
A>nA oder B, folglich 2 (n +1) A>zE ift ($. 173 

P) wenn C>E ift;, fo fey wieder, wie no, 1, 
C<rE. . 

So MrKXnCHe<rXnCc+r EB. Y.4); 
beb. +1) C< r(uC-HE) odirrD (8. 21.15.): 
hingegen Xn AA oder ("Xu +1) A>rXnA 
oder rB ($. 21.14.) Dun fd - Xn-ı)A | 
(Xn+1)C gleich Vielfache von A und C \$. 30.) ] 

3°. EsfynA—mB, aber nC<mD, nämlid 
mD=nC-+E; fo wird 

- a) wenn C=<E, wider (1,8. U. 2.4) 
nC+t=<nC+E, 5.5: (n+1),C=<imD ſehn- 
indem (n+ 1)A>nA, alfo > nB ift. 

LE) wenn C>E, und, wie no. 1. C<rEift: 

fo ft wieder er Xn C-C<rXnCH+rEcl,B. Ar 4) 
d.h. rXn+ı1) C<rxX(nC-+E) oder rXmD 
@. 21. 15.); 

‚ ba hingegen X mA A, b.i(r Xu) AD>r x⸗ea 
oder rXmB'ift ($ 21. 14.). x 

Nun find.(r Xn+1)A,(r Xa+T)C gleich Diele 
fache von A und. C; rXmB, 7 XmD gleich Vielfache 
von Bund D ($. 30. 22.). 

45. Sag VII. "Umgekehrt, wenn unter den gleich 
Vielfachen von A und C, und den gleich Vielfachen von 
Bund D, ein Vielfaches von A großer iſt, als das von 
B, daß Vielfache von C aber nicht größer iſt, als das 
vonD; wenn nämli pA>gB, aber p C nicht > 
fondern = <gD: und 8 iſt A= mb; 

fo iſt C<mD: oder es iſt n A==B; piffinc<D: 
oder es iſt uAm—mB; ſo iſt nC<muD. 

Bexw. 


in Euklids V. Buche der Elemente. 275 


‚Bew. 1°. Es ſey A—mB; alfopA= px mB 
14.) 


Da (hyp.) pA>agB: fo ift auch PXmB >gB; 


> daher ebenfalld PXmD>gD (\. 30. 27.). 
Aberp C==<gDehyp.) Mithin, dag D<pXmD; 


aequo, ober a fortiori, pC< PX m D; und baber 


DS 19.). 
. Es fynA=B; alfo IXRA=IRS.1g). 
Dap A>gBChyp.); ſo iſt auh pA>gXnA; 
glich ebenfald p D>gqxXnD ($. 27. 30). 

Aber pC—=<gD (hyp.);. daher and) a X pC 
<nXyD($. 14.17.) oder PXnG—=<gxXnD 
28.); 
folglich, da xDCS pD: ex aequo vder a fortiori 
— mithin nC<D ($. 19.) 


o. Es ſey na —B: alſo pXnA=p XmB 


14): oder nXpA=mxXpB($ 28.). 
DapA>gBhyp.); folglich m XpA>nxXyB 
17.); fe it m XpB>nXgB, und daher auch 
xpD>nxXgD (o. 27. 30.) 
Aber pC=<gD (hyp.); mithin „X pC 
<uXgD ($. 14:17.) 


In beyden Fällen ift alfo wieder nXpC<mXpD 
r pPXnG<pxmD * 28. I; und daher nC<nD 


‚19.). 


46. So erhellet aus dem Bisherigen: daß die Eu 
jifchen Definitionen 5. 7. des V. Buche, die Bedingun⸗ 
und Eigenſchaften zweyer Verhaͤltniſſe, und des 


oͤßerſeyns bes einen, welche ſich aus dem. gemeinen 
griffe des Enthaltenſeyns einer Größe in. der andern 
2.) nad) den mancherley Faͤllen, bie babey ſtatt ha⸗ 
ı fönnen, ergeben, in größter Allgemeinheit, auf bie 
inſtmoͤgliche Anzahl reducirt, enthalten und angeben. 


62 47. Km 


Er ’ 


276 1. Pfleiderer , uͤber einige Definitionen 


47. Jene gewoͤhnliche Vorſtellungsart c$. 2.) dep 


‚ Seite gefegt; dagegen den Euclidifchen Begriff vom Vers 
baͤltneß (9. 3. f.) zum Grunde gelegt, vermoͤge deffen die 


Einerfepheit oder Verfchiedenpeit zweyer Verhaͤltniſſe 
A:B,'C:D, von der Vergleichung der erſten A und ber 


dritten G, oder ihrer gleich Vielfachen, mit gleich Biel . 


fachen der zweyten B und ber vierten D, oder mit ihnen ' 
ſelbſt, abhängen muͤſſen: laͤßt fich eben diefes auf folgende 
Art darſtellen. | 


48. Bey, der Vergleichung von A und C mit gleich | 


. Vielfachen von B und D, fo mie bey der von B und D 


mit gleich Vielfachen von A und€, Fommen folgende Sir 


3 in Betrachtung: 


1°. A iſt einem m Bielfachen von B,- und nugeich € 


dem eben fo Bielfachen von D gleich; oder ein Vieifaches 


von A ift gleich B, und das nämliche Vielfache von G 


‚if gleih D: es it A ——mB, und zugleih C==1nD; 


oder es iſt nA==B, und zugleich nCc=D. 


In beyden Faͤllen ſind alsdenn jede gleich Vielfache 
son A und C, irgend gleich Vielfachen von B ünd D, das 


von A nämlich dem von B, und dag von C dem vonD, : 
entweder beyde gleich, oder beyde zugleich größer oder 


kleiner: 88 find immer zuslih PA<=>agB, um 
pC<=>gD; was auch »4 für ganze Zahlen fepn 


| . mögen S 31. 00.1. 2.). 


A ift zwar einem Vielfachen von B gleich, ode 


‚ ein —* von A iſt gleich B; aber C ift dem gleich 
Vielfachen von D nicht gleich, ‘oder das gleich Vielfache J 


von Cift nicht gleih D: es iſ A==mB, aber C<>mD; 


oder es iſt AB, aber nC<>D. 0 


Sin den Sälma—mB, aber C<mD; nA=B, 


Ä aber nc<D: a ea immer ein gleich Vilfeches er 


— 


in Euklids V. Buche der Elemente: Er Ball 


und C, und ein gleich Vielfaches von B und D anges. 

n; fo daß das Vielfache von A größer ift,-ale das von _ 
das Vielfache von C aber nicht größer iſt, als das 
n D($. 44..n0. 1. 2.). 


Und in den Sällen AzımB, aber. C>mD; 
A=B, abenc>D:_ | 


find ($. 14.17.) 2A==2mB, aber 2C>2mD;. 
nA==2B, aber 2nC>2D: 


Man bat alfo gleich Vielfache von A und C, und 
. 30.) gleich Vielfache von B und D; fo daß das Viel⸗ 
che von C größer iſt, als das von D, das Vielfache 
n A aber nıcht größer ift, als das von B. 


3°. C ift einem Bielfachen von D gleich, ober ein. 
jelfaches von C ift gleich D; aber A ift nicht dem gleich 
ielfachen von B gleich, oder das gleich Virlfache von 
iſt nicht gleih B: et C—=mD, aber A<> mB; 
er es it nC==D, aber n A< >B; | 


Aug den Fällen C=mD,atr A<mB;nC—D, 
ee nA<B; ergiebe ſich bie srucpts holgeruns no. 2. 
is §. 44. no. 1. 2. 


Und aus den Faͤllen c= mD, aber A: >mB;: 
C=D, aber nA>B; ergiebt ſich die erſte Folge 
ng no. 2,; indem nun wieder 2 0 2MD, 
A>zmB; 2anC=2D, 2anA>2B ($. 14.17.) 


Iſt weder A einem Vielfachen von B, noch Ceinem 
Ielfachen von D gleich; und auch, weder ein Vielfaches 
n A gleich B, noch irgend ein Vielfaches von C gleich 

z fo berubet bag meitere auf. ber Vergleichung der 
ich Vielfachen von A und C, mit den gleich Vielfachen 
n B und D. 


49. Hierbey ergiebt Ah m nun entweder: baf Viel⸗ 
che von A Vielfachen von B, und wollt die eben fo 
63 WViiel⸗ 


“ “ ” . 
. “ [4 ' R Di 
.8 J 3 N 


+ 


" 278 J. fire, über einige Definitionen 


Vielfuchen von C, wie von A, den nämlichen Vielfachen 


von D, wie von B, gleich find; oder nicht: d. h. eg find 


- 
a3 


entweder zugleich nA==ınB ! und aC=mD für eiab | 


ge ganze Zahlen.n, ur; oder für feine. 


In dem erſten Falle hat die Folgerung $. +. 00.1. 
wieder flatt, vermoͤge §. 31. no. 3. 


„In dem zweyten iſt entweder, für gewiſſe ganzehäß 


lenen, m, jwarnA==smB, aber nicht zugleich au 


sC=mD, fondernn <> mD; oder swarun C==mD, 
aber nicht zugleich nA=mB, fondern nA<>mBE;. 
oder «8 ift weder irgend ein Vielfaches von A einem Sieh 
fachen von B, noch irgend ein Vielfaches bpn C einem 
Wielfachen von D gleih. Ä 


Ä Iſt nun nAB, aber ı sC>mD; ode. 
nC=mD, abe nA>mB: fo hat man gleich Ries 
fache von A und C, und gleich" Vielfache von B und D, 
die fo befchaffen fi nd; daß entweder dag Vielſache von C 
srößer if, ald das von D, das Vielfache von A abe 
nicht größer if, ale dag von B; ‚oder daft umgefebrt, daß . 


Vielfache von A größer ift, als dag von B, hingegen das 


Mielfache von © nicht großer ifi, ald dag von 1 D: wie 
5. 48. no. 2. 3. 

Und wenn nA==mB, aber nC < mD; oder 
nC==emD, aber nA<mB: fo haben bie naͤmlichen 
Folgerungen ſtatt, vermoͤge 6. 44: no. 3. 

Endlich wenn weder irgend ein A irgend ainemmb, 
noch irgend ein nC irgend einem »u D gleich iſt: fo find 


entweder immer zugleich A<>mB, ud uaC<>mD:i | 


oder 28 if für gewiffe Zahlen n, m, indem nA< >mb | 
im Gegentheil nc>< mD. . 


Der erſtere von diefen Fanen iſt wieder in ber * 


gerung $. 48. no. 1.5 und der zweyte in den Solgerun . 


i sn s 48. no. 2, 3. begriffen, 


50, Die 





ed 


J 


in Eutlide v. Bud der Elemente. 279 


| 50. Die Erfolge ber Bergleichung fowohl ber Größen: 
"A undC mit den gleich Vielfachen von B und D, as 
der ‚gleich Bielfachen von A und C, beydes mit den 
Groͤßen BundD, und mit den gleich Vielfachen derſelben, 
„ tebuciren fich alfo auf die zwey allgemeine in ben zwey 
Euclidiſchen Definitionen 5.7 angegebene Refultdte. . 


[ 


10. Entweder ſind immer zugleich pA<—=>gB, 


0D; was auch 2,.q für ganze Zahlen (mit. 


Ausſchluß der Einheit) bedeuten, ur 


L 


2°, Dder es iſt für einige ganze Zahlen nm (wire u 


| der mit Ausſchluß der Einheit) nA>mB, aber nC nicht. 
> ſondern =<wuD. 


Das Reſultat: nC>mD, aber nA <mB;. ' 


reducirt fich naͤmlich auf das vorige durch Verwechelung 
von A und C, B und D. 


51. Durch welche techniſche Benennungen Euclides 


"pie Beziehung ber Verhaͤltniſſe A:B,.C:D, nach jenen 


zwey Hauptrefultaten, Abkürzung des Vortrags halber, 
bezeichnen und unterſcheiden wollte, war im Grunde will⸗ 


kuͤhrlich. Mur mußte er, wenn er in der gemeinen Spra⸗ 


„ehe, ſchon gangbare Worte dazu wählen wollte, dieſelben 
dem Sprachgebrauche und feiner Analogie moͤglichſt ge⸗ 
ven anpaflen. 

Das erſte Reſultat enthalt bie befondern gaue, wo 
| Aus nA== Br und nC=mD; -alfo bhbre, 


= und =—D;. mis Einfluß der Einpeit. in 


{ den Bedeutungen von und nd. 4 48.): in welchen alſo J | 


A die Groͤße B, (ſowohl nach der auf das Gange eingei 
Ichraͤnkten Bedeutung, als nach ber weitern Ausbeh⸗ 


Bung derſelben auf Zeile) en ſe vlelmal enthält, are = 


j * die Seoe D. 


In J J 3 2 J u 
ss DEE Das e 


[1 
* 
⸗ —* 
⸗ . f} 4 
58. 
„-rF.' u 
.. 


BE >. 
280 I. Pfleiderer uͤber einige Definitionen” Ä 
Dis porgte Reſultat: nA>mB,aben C—=<mD; 

“ folglich A>=B, aber C== <= —D, beſagt, wenigſtens 
wenn ſowohl A und B, als C und D commenſurabel 


u find, in dem erft angegebenen Anfange: A enthalte B 


mehrmal, als C die Groͤße D enthält. 


. % 


& Maren für das erftere Refultat die Benennungen : 


einerley, gleiche, ähnliche Verhältniffe, oder der Aus⸗ 


druck, A' verhalte fih zu B wie C zu D; und für das 
zweyte der Ausdruck „A babe zu B ein groͤßeres Ver⸗ 


haͤltniß, als C zu D, der allgemeinen Bedeutung dieſer 


Worte gemaͤß; vielleicht auch ſchon mit ihrer Anwendung 


auf Verhaͤltniſſe commenfurabler Größen, wenigſtens auf, 
‚bie einfachen Sälle derfelben, übereinftinmend. 


| 52. Was einerley und gleiche Größen, berfihichen. | 
und ungleiche, groͤßere und Heinere heißen, hat Euclides 
nicht definirt; ſondern bie Bedeutung dieſer Benennungen 
von Groͤßen, als aus dem gemeinen Sprachgebrauche be⸗ 
kannt, angenommen. Dagegen hat er, um den Abgang - 


dieſer vieleicht an und für fich nicht genan möglichen Be⸗ 


fiimmung zu ergänzen, und ben Mißbrauch unbefchränfe 
ter, ſchwankender Berufung auf den Sprachgebrauch zu 
verhüten, ausbrädlich in den 1 —7. und 9. Ariomen | 
bes. I. Buchs, die auf Gleichheit und Ungleichheit der ' 


‚Größen überhaupt fich beziehende Saͤtze angegeben, deren 


er ſich, als in den gemeinen Begriffen derſelben enthal⸗ 


en, in der Folge zu Begründung feiner Schlüffe bedienen 

werde. . Außer diefen nimmt er in feinen Beweiſen Gleſch 

amd Ungleich, und in dem letztern Falle Größer und Klei⸗ 
nerſeyn, als fo entgegengefegte Eigenfchaften homogener 


Größen an, daß die Folgerungen allgemein gelten: A fl 
entroeder gleich B, oder größer als B, oder Kleiner als b; 


A und B find si, twenn feine von bryden graßen 





in Euclids V. Buche der Elemente. aBı 


als die andere; A ift größer als B, wenn A toeber gleich 
B, noch feiner ale B if. 


53. Gleiche und ungleiche Verhaͤltniſſe fe kennt der ge” 
meine Sprachgebrauch wenigſtens nur dunfel, fchwan« | 
fend, und weder in der Beſtimmtheit einerfeitd, noch 


in der Ausdehnung andrerfeits, deren der Mathematiker 
bebarf. 


_ Indem nun Euclides die Bedeutung der Benennun⸗ 
gen Einerley, Groͤßer, fuͤr Verhaͤltniſſe in feiner.5. und 
7.Defin. genau beſtimmt: nimmt er zugleich die Verbind⸗ 
lichfeit auf fih, feine Säge von den Verhältniffen bloß 
‚biernach, ohne Einmifhung der gewoͤhnlichen Bedeutung 
der Worte Einerley, Gleich, Verſchieden, Ungleich, 
Größer, Kleiner, und der darauf fich besichenden Ariome, 
abzufaſſen und zu bemweifen. Letztere bleiben hiebey für ihn 
nur noch zur Anwendung bey den Gleichvielfachen brauch« 
bar, auf deren Gleichheit. und Ungleichheit, in der gemeis . 
nen Bedeutung, fich feine Definitionen beziehen. Daher 
beweifet er wirklich in den Sägen V, 7— 11.13. von 
Verhältniffen, was er von Größen als Axiome angenoms : 
‚ men hatte. Und Rob. Simfon (l. cs p. 362. fgg.) ta« 
delt und verwirft mit Necht die nun in den Elementen fies 
hende Beweife der Säge V, 9. 10. theils als unbollſtaͤn⸗ 
dig, theild als fehlerhaft und unächt, mit folgender Be⸗ 
merfung: Hujas propofitionis (V, 9.) demonftra«- 
- tionem dedimus magis explicitam ea, quae in Ele- . 


mentis hactenus habetur. Aliam hujus (V, 10.) de- . | 


. monftrationem tradere neceffarium fuit: ea enim, 
quae in editionibus Graecis et Latinis aliisque ha- 
betur, legitima non efl. Verba enim: major, 

eadem five aequalis, minor, de magnitudinibus et 
rationibus .diverfo prerfus fenfu dieuntur; ut ex 
‚Defin.”s. et 7. hujus Libri patet — Videtur autem, 
eum, qui demonkratiönem decimae, quae jam ha- 
ZZ — S 5 betur⸗ 


J 
‘ 
x 
’ .& * 4 


282 I. Pfleiderer, über einige Definirionen 


| betar, pofuit vice ejus, quam Eudoxus aut Encli- 

des. dederat, deceptum fuiffe, transferendo id, quod 
manifeftum quidem eft de magnitudinibus, ad ra- 
tiones: magnitudinem ſeilicet quamvis non poſſe 


Lmul majorem et minorem eſſe alia. Quae eidem 


aequalia, et inter fe ſunt aequalia, Axioma eſt 
maxime evidens, ſi de magnitudinibus intelligatur. 
. Euclides autem eo non vtitur-ad oſtendendum: ra- 
tiones, quae eidem rationı funt eaedem, inter fe 
easdem elle; fed hoc’ explicite deinonftrat D1: 5 


V, IL. — 


.. 54- uUebrigens folgt aus der obigen Deduction 
F. 48. ff. daß die zwey oder drey Endreſultate derſelben, 
mithin auch die darauf bezogene Benennungen einerley 
bdder gleicher, ardßerer, kleinerer Verhaͤltniſſe, einander 
eben fo entgegengeſetzt ſind, wie nach dem gemeinen Sprach⸗ 
gebrauche die Benennungen einerley oder gleicher, großer 
“zer, Fleinerer Größen; daher denn die zulegt $. 32. von 
den Größen angeführte Saͤtze auch von Verhältniffen in 
Euclidiſchem, feinen Defin. 5. 7. gemäßen, Sinne gelten: 
wie es in allewege die Sprachanalogie erfoderk. 


55, Hieron. Saccherius (Euclidesab omni nae- 
vo vindicatus. Mediol, 1733.) hat p. 113. fgg. inder 
Abfichk aus den Beweifen der Säße V, 18. XII, 2. die 


u Vorausſezzung einer vierten Proportionalgröße zu drey gee 


gebenen wegzufchaffen, einen nicht ganz gerathenen Verſuch 
gemacht, die Deduckion $. 49. zu dem Zwecke $. 54 zu 
gebrauchen; welchen Rob. Simfon (I. c. Not. ad V, 18. 
P. 366. fqgq.) noch fehlechter aufgenommen bat. 


Seinen Hälfefag, oder, wie er ihn nenne, Axiom: | 
‚Sint quatuor magnitudines A, B, C, D, quarum duae 
priores in fuo.proprio genere, ac -fimiliter pofte- 


ziores, veli in, eodem ‚cum prioribus genere, vel ig 
on | alio 


in Euclids V. Buche der Elemente. 283 


alio quodam fuo proprio genere, confiftant; dico, ra. 
tionem tertiae IC ad quartam D vel aequalem fore, 
vel majorem, vel minorem ratione primae A ad 
- fecundam B— zu beweifen, ſchickt Saccherius voraus: 
Sumantur ipfarum A primae et tertiae C quaelibet 
aequemultiplices E, G; atque item ipfarum B fe- 
cundae et quartae D duae quaelibet aequemultipli- 
ces I, L. Conſtat primo: rationem ipfius A adB 
aequalem fore rationi ipfius C ad.D, fi vel in una 
cafu talium aflumtarum aequemultiplicium con- 
tingat, ut E aequemultiplex primae aequalis fit 
ipfi I multiplici fecundae, et G multiplex tertiae 
aequalis fit ipfi L multiplici quartae — Conftat 
‚fecundo: rationem primae A ad fecundam B majo- 
rem fore ratione tertiae C ad quartam D, fi vel in 
uno cafu talium aflumtarum aequemultiplicium 
contingat, vt E multiplex primae excedat ipfam I 
multiplicem fecundae, fed G multiplex tertiae non 
- excedat. illam L multiplicem quartae; aut illae E 
aequalis fit praedictae I (prout ego cum Clavio in- 
terpretor), dum altera G minor eft fibi correfpon- 
„dente L— Und fährt darauf fort: Vel inter pofli- 
biles‘ aequemultiplices primae A et tertiae ©, ag 
ſimul inter pofübiles aequemultiplices fecundae B 
et quartae D, una quaepiam reperitur E multiplex 
primae A et I multiplex fecundas B invicem äequa- 
les; ac fimul (in eodem cafa) una quaedam G mul- 
tiplex tertiae C aequalis ipfisL, multiplici quartaeD: 
vel nusquam talis aequalitas reperitur. Si primum: 
conftat ex jam deimonftratis, ita fore A ad ButC 
: ad D. Sin vero 'nusquam reperitur ejusmodi fimul 
. ex utraque parte aequalitas: vel faltem ad alteru- 
train partem reperitur, ut puta ad partem primae 
“A; velnusquam. Si primum: ergo (ex praemifla _ 
Euclidea majoris ac minoris propörtionis defini- 


tione) 


> \ 


“ "284 L pfleiderer, ‚Über einige Definitionen -.; 


4 
L 


v 
— 


⸗ 


plici ipſius D; ſumtis feilicet ipſarum A, C aeque- 
multiplicibus, et ipſarum B, D aequemultiplicibus, 


weis des Saccherius nicht fuͤr ganz untauglich, nur fuͤr | 


4, 


ar , . ..4 


J 


tione) babebit AadB majorem, aut minordm pro: \ 


‚portionem quam Cad D, prout G multiplex tertiae 
“€, minor fuerit, aut 'major ipfa L multipliei quar- 
tae D. Sin vero fecundum: ergo ex una quidem 


' parte, v. gr. ad ipfas A primam et B fecundam, con- 


tingere poterit, ut illa'multiplex E minor fit altera 
- multiplici I,‘ dum vice verfa .ex altera parte illa 
‘ multiplex G major eft altera multiplici L. Tune 


autem (fub. eadem Euclidea -definitione) ratio pri- ' 


mae A.ad fecundam B erit minor ratione tertiae C 


ad quartam D: aut vice verfa. Igitur demonſtra- 


_ tum manet fubftitutum lud axioma — 


Minime, fuͤgt Rob. Simfon bey, fed fine de. J 


'.imonftratione manet. Quod enim dicit poſſe contin-. 
gere, poterit ianumeris cafıbus nunquam contin«' 


gere; et proptereä demonftratio ejus nulla eft. 
Nam ex, gr. fi fuerit A latus et B diameter quadrati, 
. C vero latus et D diameter alterius quadrati: nun- 


quam poterit multiplex ipfius A Aequalis effe multi- 


plici ipfius B, nec aliqua ipfius C aequalis alicui 
ipfius D, ut notum eft; tamen nunquam 'continge- 
re poterit, ut, exiftente ınultiplici quadam ipfius A 
inajore, vel minore multipliei quadam, ipfius B, mul- 
tiplex ipfius C vice verfa minor, vehmajor fit multi- 


Sunt enim A, B, C, D proportionales. 
Seiner Bemerkung zu folge, hälte Simfon den Bes 


‚ unbvollſtaͤndig, aber leicht ergängbar, erklären ſollen; in⸗ 


Gleichheit beyder Verhaͤltniſſe angiebt. 


7Friftig möchte aber gegen den Beweis, den Sac⸗ 
cherlus dem erſen ſeiner vorausgeſchickten Saͤtze beyge | 
„fügt 


dem der von ihm überfehene Fall nur einen zweyten der 


4 
\ 


in Euflid3 V, Bude der Elemente, 285 E 


fügt hat, eingewendet werben, daß er nicht allgemein gül« 
tig ſey. Er ift nämlich kurz gefaßt folgender: .. Wenn fü» - 
wohl nA=mB, als nC==mD; fo ift beydes, A: B 
und C:D= min (VII, 19.); folgid A:B=C:D 
(V, 11.). In dem Sage VII, 19. findabr ,B.GD D 
Zahlen: und fein Beweis, .in fo fern er fich jum Theil auf 
Vi„l, 17. gründet,  verftattet nicht, ibn-auf jede andere 

Größen auszudehnen. | 


Zweytens befennet Saccherius felbft p. 122. 126. 
Die Auslegung und Ausdehnung der 7. Definition in feis. 
ner zweyten Prämiffe koͤnne blos Bebärfniffes halber ge» 
macht zu ſeyn fcheinen. Und die Necitfertigungen davon. 
-p. 122. fq. möchten eben fo wenig als der p. 125. fgq. 


beygefuͤgte Beweis des zweyten Theils jener Prämie Du 


‚genugshuend feyn. 


56. Sonft laſſen fich die Saͤtze 6. 54. 55. auch a aus _ 
den Euchdifchen Definitionen 5. 7. mit Zuziehung des 
Satzes, $. 43. no. 3. und einiger anderer, ‚die ghich 

Vielfache betreffenden, herleiten. Naͤmlich 


10. Wenn die Verhaͤltniſſe A:B, C:D unter ſich 
einerley; alſo (Defin. 5.) immer zuglahn A<==>mB, 
und un C<=>mD find; folglich niemald weder 
snA>mB, aber nc=<mD; nd nC>mD, . 
aber uk—=<mB ift: fo fann weder A.B>C:D, 
noch C:DXA: B, oder A:B<C:D nad Defin. 7. 
ſeyn. 


0. Umaelehrt, ı wenn weder A:B>C; D, 106 
C: D>SA; B; fo fann,\ 


2.0) indem nA==mB, weder nC>mD Kon, weil 
fon (Defin. 7.) C:D>A:B wärs nohnC<mD, 
weil fonft ($. 43. no. 3. und Defin. 7.) A:B>C:D. 
wäre. Alfo muß and nC=mD feyn. | 
| | 0) In 


N 


285 I. Pfleiderer, uͤber einige Definitionen 


P) Indem nA>mB, wird auch nC>mD fiyn: 
weil, wenn n„C—=<mD follte ſeyn fönnen, A:B>C:D 
waͤre (Defin..7.). 

Y) Indem nA<zmB,. muß ebenfalls nCc<mD 
fegn: da ſonſt, wenn aC—=>mD wär, C;D>A:B 
fegn würde Defin. 7. UNDd’$. 43.00, 3.). 

Y Folglich ift alsdenn immerzugleih n A<— > mB, 
und ne<—=>mD; alfo (Defin. 5.) A:B=C;D. 


ze. Wenn bie Verhältniffe ArB, C:D nicht unter | 
einandereinerkey ;alfo nicht immer zugleihn AX<— >ınB, 
nCE<—=>mD find (Defin. 5.): fo wire für einige 
ganze Zahlen n, am, 

&) entweder nC><mD ey, indemn A—mB 
iſt: alsdenn ift in dem erſten ale C:D>A:B(Def. 7.); 
und in dem zweyten A:B>C;D ($..43. no. 3. und“ 
Defin. 7.). Q 

P Der nid a cC=<mD feyn, indem 
nA>mB if: foift A:B>C:D (Defin. 7.). 

V Dder es wird uC—=>mD ſeyn, indem 
nA<mB if: alsdann iſt C;D> A:B (Drfin. 7. und 
9.43. no. 3.). 


4°. Wenn A:B>C:D; alfo (Defin. 7.) für eini⸗ 
ge Zahlen n, m iftnA>mB, aber nC=<mD; 
fo find 


a) nicht für jede Zahlen n, m zugleich MA<—=>mB, 
und nc<=> mD; alſo nidt A:B=C:D: 
(Defin. 7). s 


O) kann aud) alsbenn niht A:B<C:D, ode 
C:D>A:B ſeyn; 8. 6. (Defin. 7.) e8 können für feine 
zwey ganze Zahlen 2, g, fiyn PC>gB, hingegen 

ı pA=<gB. 
Denn 


in Euklids V. Buch der Elemente. 987 


* Denn wegen "A>mB, saber n0=<mD | | 


hypoth. ); 


ift auch ($.17. 14) PXnA>pXmB, aber PXnC 
=<pXmD, oepXmD=>pXnC. 


Und wenn »C>gD: fo ift auch G. 17.nXPCr E 


oder ($. 28.) pXxnC>nXgD. 


Alſo ex aequo oder a fortiori PXmD>nXgD,. | 


Daher ebenfalls ($. .27.) pxmB>uXogB. 


Folglich um fo vielmehr op X nA oder (9.28). 


»XxpA>nXgB; und alſo noch pA>gB (5. 19.). 
IL ” 
ueber die Bewegung der Faͤſer in welchen Su 


gein geruͤndet werden; von J. H. 
| Lambert . 





1. Rasen son Stein oder gegoffehem Eiſen abzuruͤn⸗ 


den, werden fie in ein Faß getban, das man fodann um. 


feine Achfe drehen läßt. Hierdurch gefchiehet, daß die 


barein gethanen Stücke ſich unter einander anfloßen und 
abnutzen, fo daß alle Ungleichheiten ihrer Oberflächen ver 
ſchwinden, und diefsiben eine fohärifche Figur, wie auh . 
‘eine ziemlich glatte Oberfläche gewinnen. Dies gelingt : - 
um fo viel beffer, wenn die Steine in allen ihren Theilen. 


‚einen gleihen Grab von Härte haben. Auf eben bie 


Weiſe ungefähr haben. fich nach. der Meyrung des Car⸗ 


teſius die Elementartheilchen der Welt nach und nach 


abge 
*), Aus⸗ beffen binterlaffener feangöfifcher Handſchriſt, welde, wie : . 


fein Tagıbuch brzeuget, im Sunius 1776 (ein da E vor feinem 
Zode) aufoefett woeden. I, Dernouik, | 
ne ı 


288 IL Eambert, Bewegung der Fäffer, .- 


abgeruͤndet. _ Und gleichermaßen ründen ſich die Seine in ' 


den fie fortwälgenden Fluͤſſen ab. 


I. Dieſer Mechanismus ift fehr einfach. Indeſſen 


erfordert er doch einige Aufmerkſamkeit, wenn die Mas 
ſchine folchergeftalt foll eingerichtet werden, daß die Abe 
ründung ſo geſchwind als möglich Statt finde. Zu dem 
Ende muß ſowohl die Kraft als die Vielhtit, oder dftere 
Wiederholung der Stoͤße, ein Maximum werden. Die 
Vermehrung. der Geſchwindigkeit· traͤgt etwas daryu bey. 
Sobald aber biefe Geſchwindigkeit bis auf einen. gewiffen 


Grab zugenommen hat, theilet die drefende Bewegung | 


des Zaffes ben Kugeln eine Fliehkraft (vim centrifu- 
gam) mit, welche verurfächet, daß fie an der inneren 


Zläche des Faſſes wie.anfleben, und fodann dag Anein⸗ 


anderſtoßen aufhoͤret. 


IH. Es ſey BAEV, gig. r. der Durchſchnitt der 


Tonne, C der Mittelpunkt der Achſe, AC=r be 
* Halbmeffer,. und c die Geſchwindigkeit des Umkreiſes 
oder irgend eines Punktes M deffelben. Es habe Eine 
mit dieſer Gefchwindigfeit big zu dem Punkt M ge 
Tangte Kugel bie Slichfraft MF =, fo ift 
cc 


V *— — 


Nun ſey ferner MG==g die Wirkung der Schwere. 
Vollendet man das Parallelogramm MGNF, fo giebt 
die Diagonallinie MN den Werth und die Richtung der 


"aus - der Zufammenfegung der zwey Kräfte MF, MG | 


entftehenden Kraft. Nennen wir O den Winfel VCM 

= GMC, welchen der Halbmeſſer CM mit den fenk« 
rechten Linien. VC, GM bildet, fo haben wir 
MN=gH-y— 2gy co. 

IV, €8 werde aus dem Punfte G eine fenfrechte 

ginie GP auf den Halbmeſſer CM gezogen, fo: wird die 

ir 


bw. 


Wirkung ber Schwere‘ MP in zwey andere PG, PM . 


:aufgeldfet. Und unftreitig wird die Kugel aufhören, ges 
‚gen die Oberflaͤche angedrückt zu werden, fobald ala PM 
anfängt größer als FM zu feyn. In ſolchem Fall 
wird der Winkel CMN = 90°, und man hat ‚ 

g. cof = = Ye | 1 


che ſich abloͤſende Kugel ſich frey bewegen; fie wird die 
Tangentialgeſchwindigkeit c haben, und indem fie nach. 
dem Gefege der ſchief geworfenen Körper. fänt, eind krum⸗ 


me Linie befchreiben, welche parabolifch feyn wird, wenn 


- man den Widerſtand der Enft aus der Acht laffen fann. 
Auf ſolche Weife fällt dann bie Kugel in einen Punkt Q 
des Umkreiſes zuruͤck. 


V. Es ſey der Winkel ACQ =); ferner 7 die 
” Zeit, welche die Kugel braucht, Die Parabel MQ zu ben 
"fpreiben; und wenn die Verticallinie QKD Gig zur Tan. 
- gente MD gegogen worden, foit | 
R Mu=cr und QD=grr 


. woraus man durch Eliminirung bes 7 erhält 





QD M DD 
g Fiss cc’ 
| Alein man ben auch durch die Eigenfot des Keeifee 
u J * 20D 


gets, ft .K D= == = 


N 


| cc 
| und mil g eo p=y = 


ar 
p geben biefe Gleichungen, wenn c eliminiret wird 
KD= == 2r.cof® 


. chen Se u os MA 


A 


a in welchen Kugeln gerundet werden. 289 


Von dem Augenblicke an wird die von der Eberfil 


. 


2 


250 11. Lambeet Bewegung der Fäffer, - 


* Man findet aber durch die Gonftruction 
QD=r [cf P+ coſ + (P—IY). tangQ] 
QKk=ar.cofy \ 

Demnach 
KD=rf[ct9 — cd ——— tang9] ' 
‚ — eo ( 0 
coſ 


Subſtituirt man dieſen Werth in der Gleichung 
’„KD=2rcfl® 
fo hat man 2c0f @® = 1 —cof (P—Y) 
oder coſ 2P=— co (P—Y) 
Woraus fich leicht ergiebt 
= 60’ + Y. 


VL Dieſes Verhältniß der Winfel @ und vi 
ſehr einfach. Allein da es nicht hinreicher, diefe Winkel 
ſelbſt zu beftimmen; fo muß man noch andere Betrachtune 
gen zu Hülfe nehmen. Sch bemerfe demnach, daß dit 
Befchtindigfeit zunimmt, je mehr der Punfe M dem 
Stheitelpunft V näher if. Deswegen wird man beſſet 
thun, den Punkt Q irgendwo in dem Bogen AB anju⸗ 
nehmen. Denn alsdann ift ı) verneinend, und der Wine 
kel O wird um fo viel Heiner. Außerdem babe ich im ber 
vorigen Rechnung angenommen, bie Kugel in M fey dit 
böchfte von allen. Man kann aber auch zugleich anneh⸗ 
men,” die Rugel in Q fey an dem andern Ende ſo daß 
elle Kugeln in dem Bogen QM fich befinden. Dieſet 
Bogen muß nicht über 280° betragen. Und wenn man 
ihn dem halben Kreiſe gleich feget, fo hat man P—=45°, 
ud y=— 45°. In diefem Zalte können die Kugelt 
die Hälfte des innern Raumes ber Tonne einnehmen, und 
wenn dieſe mit ber erforderlichen Gefchwindigfeit umge 
drehet wird, fo werden die Kugeln ſolchergeſtalt ihren 

\ Pag bekommen, daß ber Durchmeſſer des: halben 


x 


*s 


in welchen Kugel gerundet werden. 291. 


ſes, den ſi ſ e ausfuͤllen / eine Neigung von 45 Graden hat. 
Wenn uͤbrigens das Faß auf ſolche Weiſe angefuͤllt iſt, 

fo werden die den Punkt M erreichenden Kugeln, nur‘ 
ſeehr felten ın der Parabel MQ wieder herabfallen, fon- 
bern über die andern megrollen. "Hierdurch entftchen 
gwar minder ftarfe Stoͤße, aber deflo dftere: welches 
denn mehr oder weniger auf eins herauskommt. 


VII. Ich beobachte num weiter, daß nur ber Win⸗ 
kel Dallein auf die Beſtimmung der Geſchwindigkeit, mit 
welcher das Faß umgedrehet werden ſoll, Einfluß hat. 
Du Gefchwindigfeit der Punkte der inneren Släge iſt 

Maerg. coſ O). 
Man ſiehet leicht ein, daß ſie nicht kann größer 
ſeyn als Y (zrg), und daß, wenn man 9=45 macht, 


bieſelhe wird | 
 e=Y(rgy2) Ä — 

daß — e nur etwa um den Z Theil kleiner iſt, als wenn 

‚man D = ſetzt. Nun aber iſ die Viquadracwuthe 

von 2= 1, 13920o3. 


Demnach c == 1,189207. Yep). 9 I J 


Daher wenn g== 151 625 Rheiniſche Fuß ange⸗ 
nommen wird, iſt V3, 95307 und ſolglich 
*4 7009: fe bein. Fuß. | 5 


‚ VII Nachdem bie Geſchwindigkeit e mittelſt.des 
Dalbmeſſers der Tonne gefunden worden, bat man auch 
noch den Widerftand, welchen dag Gewicht der Kugeln 
der bewegenden Kraft entgegen febt, zu beſtimmen. Es 
ſey der Winkel VCM=0=45° , Sig, 2. und werde! 
‚iser Durchmeſſer MQ gejogen, fo hat. man’ den Winkel. 
QCA —= — 450. Wenn denn die Tonne halb 
. sol iftz fo werden bie Kugeln den Raum des halben + - 
:Kreifed QCMEQ, oder vielmehr den frummlinichten : 
„MaumgHMEg sinubeun. Es fey I der en 
| \ iche 


t " X 
* 


“.. 


J 


292 I. Lambert Bewegung der Faͤſſer, 


liche Schwerpunkt der Kugeln; man ziehe die Vertical⸗ 
linie IL, welche den Horijontaldiameter B CE unter 
rechten Winfeln durchfchneiden wird. Go giebt alsdann 
die mit dem Gerichte der Kugeln multiplicirte Diftany, 
CL bag ftarifche Momentum ber Kugeln, Man 
ſetze jenes Gewicht —=p, und CL=a, fo iſt das Pro⸗ 
duct ap. das Maaf diefed Momentums. 


. Die Kugeln laffen leere Zwiſchenraͤume zwiſchen 
einander, und dieſe machen ungefähr 34 Theile, des gan 
zen Raumes / den bie Kugeln einnehmen, aus. Wenn 
nun die innere Länge der Tonne = A iſt, fo wird ihr 
Inhalt — rrA ſeyn, und die Hälfte diefer Maffe 
=!rır‘. Der 518 Theildiefer Hälfte FI wırh 
Eubiffuß, Kennt man dann das Gewicht eine Cubit ⸗ 
fußes der Materie, aus welcher die Kiraeln beſtehen, ſo 
multiplicire man diefes Gewicht mit 39 arrA, ode 
(weil m —=  fann gefegt werden) mie. 789rrA, umd 
man erhält das Gewicht p der fümmtlichen Kugeln 
Hiernächft hat man CI—=4#r, und da der Winkl 
ICL= 45° if, ſo wird CL=14,rYI=a. 


Wenn die Kugeln von Eifen find, Wird der Nhein, 
Cubikfuß ungefähr 5310 Pfund Berliner Gewichtes mie 
gen. Dies giebt p—594rrA Pf. und das ſtatiſche 
Momenum ap=ı78 rrrA. Diefes Momentum 
zeigt ein Gewicht an, welches an einem Hebel, in der, 
Entfernung von ı Fuß angehängt if. Gind die Ku— 
geln von Stein, fo hat manap =44rrrA, und wäre 
von Pulverförnern die Rede, fo hätte man für bieſes 
Momentum nur ap=28rrrA. Dabey if allemal 
zu verftchen, daß diefe Werthe für die Fälle gelten, mo 
die Kugeln die Hälfte der Tonne füllen, und ber Wins 
tel. 945° if. 


X. Nach ⸗ 


. %.- 
” ⸗ I. 2 \ 


on in welchen Kugeln gerundet werden. | 293 


x Nachdem auf dieſe Weiſe das hatiſche Mor = 


ment und die Geſchwindigkeit, mit welcher ein Faß von ' 
einem gegebenen Durchmeffer fol gedrehet werden, be⸗ 
ſtimmt worden, ſo findet man keine Schwierigkeit in An⸗ | 


ſehung der Art, die bewegenden Kräfte dabey anzubrin⸗ 
gen. Wir wollen z. B. annehmen, man wolle vier 
Pferde hierzu gebrauchen, ‚die Kugeln ſeyen von Eifen, 
and die Abficht ſey, bie Anzahl und die Groͤße der Faͤſ— 
fer, welche mit der erforderlichen Geſchwindigkeit koͤnnen 


umgedrehet werden, zu beſtimmen. Die an die Hebel 
‚D, D; $ig. 3. angefpannten Pferde werden bag ' 


Kammrad R, R umpreben, welches wiederum, indem ;e8 
in die Getriebe L,L eingreifet, die Säffer T, T umwaͤl⸗ 
zet. Wir wollen den Halbmeſſer der Laternen oder Ge⸗ 


triebe ę nennen; R den Halbmeſſer des Rades R, und 


: D den Abftand der Pferde von der Achfe der Welle, Ich 
fee ferner voraus, daß die Pferde einen Weg von 10 Fuß 


“in 3 Secunden zurücklegen, und mit Anwendung einer ' 


Kraft von 178 Pfunden: (Ich hätte koͤnnen 175 fehreie 


ben; ich wähle aber 178 ‚ um die Rechnung abzukuͤrzen). 


XI. Weil nun die teſchwindigkeit des innern Um⸗ 


fanges der Faͤſſer ce = 47.Y rift,. fo wird die Ge 
ſchwindigkeit ber Triebſtoͤcke oder Stäbe ber katexnen, 
wie e auch der Zaͤbne des Rades 8 


_ 8° € 
-. —#4 7» Yr 
und bie Sechvndign der Pferde 
4 7. — — 
Dies giebt 


DR _ Yr 
R “ —J 41 





— 


Dr Be XI. ueber | 


204 II. Lambert, Bewegung der Faffer, 


ı XII Ueberbies haben wir für das ſtatiſche Mos 
ment eines jeden Faſſts, wenn die Kugeln von mn ſind, 
ap=1ı7$8.r X, 


Es ſey die Anzahl der Faͤſſer =m; ſo iſt dieſes Mor 
ment — 178 mAr3. Betrachtet man daſſelbe in Anſe⸗ 
Hung der aternenfläbe, und durch diefen Weg, der Zähne 
des Rades R, fo ik ed — 178 mAT}:P; endlich in Ans 
febung der Punkte D wird ed = 173 mARR: eD. 
Diefe Größe iſt aber der Kraft der 4 Pferde gleich, d, ir 
a 178 Pfunde, Demnach hat man 





gmARr» 3 
RE en Z = 4.178. = 
Dies giebt 
"De mAr 
; Rn 4 5 
und weil 
De _ vr 
Rn 1,41 
fo it R 


x 


XII. Diefe Gleichung giebt ung gu erfennen, daß 
wenn die innere Länge der Fäffer —-ı Fuß angenommen 
wird, man für 2 Säfrm=2, um r —, 15 Fuß 
erhält, Wollte man aber lieber vier Faͤſſer gebrauchen, 
fo wäre m=4, und r=0, 9325 Fuß. 


XIV. Ich habe dag Reiben nicht in Betrachtung 
gezogen, nicht, als ob es nicht von einigen Belang ſeyn 
koͤnnte, fondern weil man daffelbe am beſten in Anfchlag 
bringt, indem man die Anzahl der Kugeln um fo viel 
vermindert, als die Erfahrung anzeigen wird, daß ndtbig 
fen. Es ſchadet nichts, dag die Kugela nicht ganz die 
Hälfte des innen Raumes der Faͤſſer anfülen, 

XV, Das 


N 


x 


in welchen Kugeln gerundet werdet. 295 


XV. Das Verhältniß der Halbmefferg, R eines zu 
m andern muß rational ſeyn, nämlich g zu R, wie eine 
ange Zahl zu einer ganzen Zahl. Denn diefes Verhält 
IB ift daffelbe, als das Verhältnig der Anzahl der Stäbe 
s Getriebes L zw der Anzahl der Zähne des Rades R. 
tan. hat demnach * 


— 
R 1,41. D 


Da nun der Abſtand D, wwenigftens 7 bis 8 Fuß be⸗ 
agen muß, und r von der Einheit 1 wenig verfchieden 
+ fo ſiehet man leicht ein, daß die Zahl Ai beyläufig 
amal g betragen wird. Macht man demnach 
ıR= 17: 168, und r — 1,15, welches, der Fall 
r 2 Säffer ift, fo befomme man 





Died giebt D7,513, oder 73 uf; und fole 
ergeftalt wird die Laterne Lr 17 Stäbe, das Rad R 
ver 168 Zähne haben, 


4 IL, 


| 
206 UL SKramp, über d, Mittelpunkt d. Schwer 
; II. 
Ueber den Mittelpunkt der Schtwere im fohätie | 
fehen Dreyecke; von Ehriftian Kramp, ver | 


Arznepkunde Doctor, und Phyſikus des Ober 
amts Homburg bey Zweybruͤkken. | 


Wıpaave L AP 





A 
„Bogen eines größten Kreiſes auf der Kugelflaͤche. Die 
rechtwinklichten Koordinaten, durch ben Mitteldunft der 
Kugel gehend, find a, b, c für den Punft A; und x,y,2 
für. den Punkt P. Der Halbmeffer der Kugel ift R. | 
Man verlangt den Kofinug des Winfeld AP. | 
i 


ax+by+cz 
RR ö 


Aufgabe II. Außer den Punkten A und P, ber 
finder fich noch ein dritter Punft auf der Kugelflaͤche, def 
fen Koordinaten X, Y, Z find. Unter welcher allgemei⸗ 
nen Bedingung kann Diefer dritte Punkt irgendwo auf dem 
Bogen AP, 5.2. in X zu liegen fommen? 


Auflöfung. Alsdann, warn (bz—cy)N 
H(ex—az) Y+-(ay—bx)Z=o.- 


Erklaͤrung. Wir werden die Koſinus der Boden 
AX,AY, mit N, O; ihte Sinus mit N'O' bezeichnen. 
Es ift demnach 

ax--by-+cı:=RN 
aX-+-bY-+cZ=RO. 





Aufloͤſung. Cof AP= 





Aufı 


im ſphaͤriſchen Diepede. 297 


Aufgabe II. Man fennt bie Koordinaten der 
inkte A, P; folglich auch den Winkel AP, und noch 
m den Winfel AX; man fucht die Koordinaten 

8 Punktes X, 


Aufloͤſung. EL SAD o' 
NRY=bNO-H(Ry—bN)O” 
NRZ=eN’O-+-(Rz— ceN)O'. 


Aufgabe IV. Neben dem Bogen AP befindet fich 
rt anderer, ihm gleicher Bogen AQ, der mit ihm den 
ıendlich Fleinern Winkel dW macht. Welches iſt big, 
äche des Differentials U VAR: ingleichen die des gan« 
3 Elements AX V? 


Auflöfung. EsiRUVXY=—RdO. dw 
AXV =RR— O).dW. 


Aufgabe V. Man verlangt die drey Momente 
s Differentials UVXY, fuͤr die drey Aren. 
Aufloͤſung. Sie ſind 
aN ONOHRS—NIOHO, „, 








-RXdO.dW= S 
BN’OA0+(Ry—Nb)O/d 

-RYdO.dW=— ————— 
— — 

-RZEO.AW= — I — dW. 


Aufgabe VI. Man verlangt die Integrale der vos 
‚gen Differentialformeln; oder die drey Momente des 
anzen Elements AXV, . 

Rx-—-Na 
R sine AX,dW #—— IN 
(Ang AX—SinAX.CotAR) RRAW 
Ss bRR 





Auflsfung. 


298 Ul. Kramp uͤber d. Mittelpunkt d. Schwere 














R Nb 
FE simax. aw⸗ zZ —* 
* ————— CofAXIRR.dW 
ELgia Ax a wNex 
2 


(AngAXSin AX.CoLAKIR R.dw 


ufgabe VI. Man verlangt; bie Momente des 
ganzen Elements APQ, von A bis P. 


Auflöfung. 
a(in AP—AngAP.CofAP)-+ x(AngAP — Sin AP. CofAP) 
Sin AP 


b (Sin AP —AngAP.CofAP)+ y(AngAP —SinAP. Cof AP) 


’ SmAP 
(Sin AP —AngAP.Cof AP)+z (AngAP--SinAP.CofAM 
Sin AP | 
& » 2 | 
Aufgabe‘ VIII. Welches find die drey Koordis 
naten des Schwerpunfts des Elementd APQ, die mir 
mit X, Y, Z Öezeichnen werden? 
Auflöſung. 
a (Sin AP— AngAP; CofA Ps Ang P-SinAP.CofAP) | 


25inAP (1—CofAP) 
b Sin AP--AngAP.CofAP)+y(Ang AP—SinAP. CoCAR) 


2SinAP (1 —Co[AP) 
_ &(SinAP—AngAP.CofAP)tz (Ang AP—SinAP.CofAP) | 


— 


Aufgabe IX, Die Eatfernung des Schwerpunkts 
vom Mittelpunkt der Kugel? 
Aufloͤſung. 
RV Gine AR— a Ang AP. Sin AP.CofAP-+ Ang? AM 
2(1—CofAP) 


Aufgabe X. Die Lage der Schweraxe (fo nen, | 
ne ich die Linie, die durch den Mittelpunft und den 


Schwerpunkt geht, und „verlängert der Oberfläche auf 
den 











im pie Drenede, = 209 


den unendlich einen Bogen GH 
begegnet) oder den Winkel AG 


zu beffimmen. 


Auflöfimg, 
. AngAP —SinAP.C tar 
Sin? AP: > tn } 


Anwendung. 2 der folgenden Tabelle Ans von . 
30° zu 30° ‚berechnet: die Boͤgen AG... II. bie Ent⸗ 
fernung des Schwerpunkts vom Mittelpunkte der Kugel 


für das Element APC. III. Die naͤmlichen Entfernun- 


gen für den einzelnen ‚Bogen AP. Die erſtern find mit 
R' die andern mit!R” bejeichnet. J 


:AP). . 30° .. 60° 907 ..120° ., 150° ... 180° 


AG)..19°55'..39°19. .57° 30 .73°28 ..85°19..90°0’ 
R) ..0,9924..0,9694...0,9319..0,8785 ..0,8204. 0,7854 
R7)...0,9886 ..0,9549 . 019003 . «9,8270...0,7379 . 9,6366 


Solge I. Der Bogen’AG beträgt bis gegen 60°. ' 





Fin, ‚ohne einen merflichen Fehler, zwey Drittheile bes 


‚ganzen Bogeng AP; gang mie beym gerablinichten Drey⸗ . 


ecke: indem für AP = 10° der unterſchied erſt 5 auf 


20°; für AP== 60° eben derſelbe nur 41 auf 40T. — 


betraͤgt. 


Folge II. Der Schwerpuntt des Apbaͤriſchen Ele J 


ments APQ liegt, wie natürlich, der Oberfläche naͤher, 
als der Schwerpunft des Bogens AP; indeſſen ift Bey. 


30° der Unterfchied zwiſchen beyden nur dem 26 fen, . 


und bey 60° nur dem Hüften Theil des Halbmeffer gleich, 


Fuͤr AP 180' iſt eben dieſer uUnterſchied etwa der ſie⸗ J 
Erklaͤ⸗ 


eo 


bente gel des Halbmeſſers. £ ; 


w 


v — 
300 II, Kramp, über d. Mittelpunkt d. Schwere 
Erklaͤrung. Ich gehe von. dem ſphaͤriſchen Ele 


mente APQ zum ſphaͤriſchen 
Deeyecke ABP — ſelbſt uͤber; und 
erklaͤte, daß AP ich in demfelben, 
die Seite AB 19.3. und den Winfel 
B für: beftän dig, alles ander 
fuͤr veraͤnder £ lich; insbeſondert 
aber den Win LA und die Se 
te AP, denA B_ erfern mie W,bie 


letztere mit U bezeichnet, für die beyden veränderlichen 

Größen anfehe, wodurch die Rage des dritten Punktes P 

beftimmt wird, Die Gleichung zwifchen beyden iſt, wenn 
Cot, 


B 
Cot AB=r, und — * A geſetzt wird, mach din 


erſten Grundfägen der Trigonometrie, 
Cot U=rCof W-FASinW. 


Die Koordinaten ber beyden feften Punfte A undBr 
werben für den erftern a, b, c; für den Iegtern p, qet 
beißen: für den dritten Punkt P find eben diefelben, mie 
bisher, x, y, z. Die Kofinus ber drey Seiten AB, AP, 
BP ſollen mit O, N, M; ihre Sinus mit O', N’, M' be⸗ 
zeichnet fepn; fo daß 

ap+bgq+cer=RO 
ax+by+cz=RN 
px-+-qy+trz=RM 





Aufgabe XI. Die drey Seiten des Dreyecks, und 
bie Koordinaten der beyden Punkte A, B find gegeben; 
man ſacht die Koordinaten des dritten Punktes P. 


Auflsfung. Die drey Gleichungen dazu find 
ax+by-+cz=RN 
pPx-+-qgy-+rz=RM 
xx+-yy-+zz=RR 


Sort 


im ſphaͤriſchen Dreyecke. ‘.gor. 

Ihre Aufldfung führe ung Auf bie Sunftion 
RB—RM’—RN?’-—RO?--2MNDO Sin, die wir: 
mit Rr bezeichnen wollen, Zerlegt man fie nach den 
gewöhnlichen Regeln der Analyſis in ihre Faktoren, fo 
zeigt es fich, daß fie gleich iſt dem Würfel des Halbmeſ⸗ 
ſers, mit dem vierfachen Producte folgender vier Sinuſſe 
ABHA P+BB, sin ZABTAP+PB 


' “‘ 





multiplicirt; Sin ——— 


2 
AB—AP-H-BP AB-HAP—B 
Sin Fo ‚ Sin —— Man 


weiß, daß die Quadratwurzel diefe® Preducts, durch 
das Produkt der Sinus zweyer Seiten dividirt, den Sie 
nus des dazmwifchen liegenden Winkels giebt; und daß 
eben diefelbe, durch den Sinus einer. Seite bivibirt, den 
Sinus des Bogens giebt, der von dem entgegengefeßten 
Winkel fenfrecht auf fie herabfaͤllt. Vermittelſt der fo 
berechneten Größe a erhalten wir 

OOx=(aN +pM)R{aM+pN)O + br—cgq)r 
CO'y=(bN+qM)R—(bM+gN)Ot+lep—arn« 
0/0’ :=(eN+rMR(cMHEN)Ottag bp) 


“ Aufgabe XIL Da die Seite AP und der Winfel 





A die veränderlichen Größen der Aufgabe feyn follen, fo -. 


verlangt man, auß den drey vorigen Gleichungen, alles 
was die Seite BP angeht, naͤmlich M und M’ wegzu⸗ 
fchaffen, und dagegen vermittelſt der Gleichung 
RM=ON-+O N’Cof W, den Winkel W einzuführen: | 


Aufl. O’x==a0 Col U+(pR—a O)SinU CofW. 
—+-(br—cg) SinaUSinW 
oy=b0 Co UHR —bO)Sinl/CorW 

—+- (cep—ar)SinU SınW 

0 z=c0O CoflU-H-{rR—cO)SinUCAdW - 

\ = +(aq—bp) SinaUSinw 


Auf· 


302 in Kramp, uͤber d. Mittelpunkt d. Schwaꝛr 


Aufgabe XIII. Die Koordinaten am Schwet ⸗ 
puntte des, Elements APP’ "I 
nämlich. X, Y, Z Qlufg. VII.) Pr; 
follen durch die jetzt eingeführten " 
veränderlichen Größen ausge 
drückt, und daher an die Stelle 
von x, y, 2,sihre ſo gen gefun ⸗ 
dene Werthe geſetzt werden. 4 


Anufloͤſuna. Es iſt 


BEN R—a0) CofW (U— SipU fD)' 
OX= BB eu — 


2 (1 - CoD) 


O'Sin®U rar R—bO) Cof W (U—Sin U. Cof U)Y 
+ ER BEER Sin W (U — Sin U-ColD) 


2 (1 Co) 3 


R ſeo sin" U+ ER 0) Co W (U Sin UCof U) 
0Z=1 +tigq—bp) Sin W (U— Sin U.CofÜ) 
D 2(1- Col D) 








Aufgabe XIV, Die drey Momente des Ele⸗ 
ments APP’, für die drey Axen? 
Auflsfun ÖORRAdW 
Aofupg. Sie fi — multiplicirt mit 
2 
DaO’Sin: U-HfpR—a 0) CofW (U— Sin U CofÜ) 
—+(br—cg)SinW (U —Sin U.CofÜ) 
IDbO Sin? U-L(qg R—b O)Cof W(U—Sin U. CofU) 
—+-(ep — ar) Sin W(U— Sin U.C»fÜ) 
III) e O’Sin? U+(r R—c 0) CofW (U—Sin U. CofÜ) 
-+(a9—bp)Sin W (U— Sin U. CofU) 


Aufgabe XV. Die Momente des ganzen Dreycdd 
ſind die Integrale der Momente des Elemenrs Mat 
verlange demnach, die Differentiale genau anzugeben, vol 
deren Sintegration ihre Beſtimmung, und demnach auf 
die Aufloͤſung der Aufgabe abhängt, 

—— Auflo⸗ 





— 


im ſphaͤriſchen Dreyede. 303 


| Aufldfung. Es find ihrer in allem fuͤnfe; und wie 
werden fie indeſſen mit den Buchſtaben C, D, E, F, G 

bezeichnen. Naͤmlich 

| [ dW .Si U=C 

faq U.SnW=D 

: (dU.CAW=E 

SAW. CofW. SinU.CofU=F 

SW. Sin W. Sin U. Cof U=G 


= 


RR 
Die Momente find elsbann > multiplicirt mit 


2) Conf+a0'C-H({pR— a0) (USnW—D—F) . 
—(br— eg) (UCfW—E+G) 
2) Conft-+b 0’C-H(gR—bO)(USinW—D-F) 
—(ep—ar) (UCW—E-H-G) 
» Con He0C-HR— c0) (USinwW—D-—-F) . 
—(ag—bp) (U CofW —E-HG) 


Aufgabe xvi. Alle hier vorlommenden Aungna IJ 
auf ein einziges zurück zu fuͤhren. 


Auflöfung.. Die ſehr vortheilhafte Geſtalt der 
Gleichung zwiſchen UundW, nämlich. Cot U==r CofW. 
—ASin W, madt dies wirklich moͤglich. Denn man“ 
„nehme Cot W=x, fo iſt ur 


dx — 


/5 — — — — — 
— 5 
rdx— 
J 
Adx | 

— Tara Fan. 

dat alſo, wenn das Integral Don | 

ix — mitK be eichnet 

Gern — (AA-+-1) I) 

©. PR \ rn '- J — wird, a 

un u — Ne 


B . — 
— —RP . 


-E+G0=— 


— ⸗ br, Ve Zen 
\ 


\ \ 


304 I. Kramp, über d. Mittelpunkt d, Schtvere 


*— 
Bird, die drei Momente fein werden, 20" multiplicitt 


mit folgenden, drei Faktoren: 
Coaft + a0'’K-+ (pRı—-a0) (U Sin —— 
— (br—eg)(U Cof W—AR) 
Con + bO'K-+ (dR—bO) (U SinW-HrK), 
— (ep--ar) (U Cof W —AR) 
Cont +eO’K-# (rR —cO) (USin W-+ rk) 
— ag— bp) (U Cof W—AK) 


Aufgabe XVII. ' Man verlangt den mirflichen 
Werth des Integtals K, zugleich die hinzuzufezzende ber 
ſtaͤndige Größe, und alfo den Ausdruck der drei Mo⸗ 
mente vollftändig und volllommen enttoickelt. 


“ AYuflöfung. Das Jategral K ift — Sin AB. Sin, 
Cot W. SinB 
Sin AB 
—+-CotAB.CofB ift, daß heißt, mit der andern Seitt 
des fphärifchen Dreiecks, BP, multiplicirt. Die bee | 
ſtaͤndige Größe it br— eg, multiplicirt mit dem was 

AP wird, wenn Wo, daß ift, mit der dritten Sei⸗ 
te AB. So find demnach die drei Momente, ZRR multir | 
plicitt mit 
aBP.Sin.AB, Sin — (USin W—BPCof AB. Sind) 
_ br- 
o 
bBP, Sin AB. Sin 22 (USinW-BPCof AB. SinB) 


mit einer Winfelgröße, deren Contangente 








i 
. (u Cof W-HBP CofB—AB) | 


I WO W+BP OB- AB) 
R- 
BR. Sin AB. Sin B+ eo 





(USin W—BP Cof ABSinB) 


= Pe (U Cot W-+ BP Cof B-AB) 
\ Aufgabe 


im fohärifchen Dreyecke. 305 


Aufgabe XVII. Die drey Koordinaten des 
chwerpunkts X, Y, Z? 


Aufldfung. Sie find gleich den drey Momenten} 
ech die Oberfläche des Dreyecks, alfo den drey Zafto- 
ı der vorigen Aufgabe, durch dag doppelte von 
ı-B-+-P— 130°) dividirt. 


Aufgabe XIX. Die Entfernung des Schwer⸗ 
nfts vom Mitselpunft der Kugel, oder R’? 

Auflöfung. CRR—yRX-HYY-+ZZ) 
er \ 


AR (AB? HAPS +RP2—2AB,AP.CofA 
( v —2AB.BPCofB—3AP.BP.Co(P) 


ArB+rZıR 
Aufgabe XX. Man verlangt die Koordinaten 
Punktes G, wo die Schweraxe 
slängert, der : Kugelfläche begeg ⸗ 
Wir wer 9,5. pen fiemie X, X,2 
eichnen. A B 


Auflöſung. Es iſt KXN=Y:Y—ZIZR:R. 
e Koordinaten ſind alfo gleich den drey Faltoren der 


fgabe NVII, dividirt durch 
V (AB? + BP2+ AP? — 2 AB. BP.CofB 
— zAB, AP. CofA—2BP.AP. CofB) 


Sch werde ſtatt ‚diefer Dnadratwurgel, Künftig T 
en. 3 = 
Aufgabe XXI. Und zur Befiimmung der 
‚ge dev Schwerare, die Bögen AG, B BER: 
X+HbY-+ecz 
Auflöfung, Es not . 
_PX4gY'HrZ" ._&X4HyY+2Z 
RR ORG — 


Aebentes Heſt. u Die 





* 


306. II. Keamnp, über d. Mittelpunkt d. Schtere 


Die Entwickelung dieſer drey Ausdruͤcke führt ung auf 

einen beftändigen Koefficienten hin, den wir mit S ber 

zeichnen werden, und ber auf folgende Ast beſtimmt wird. 

Man bezeichne mit M das fchon in der Aufgabe XI er⸗ 

waͤhnte vierfache Prodult der vier Faltoren, — 
. AB+-AP-+-BP —AB--AP-+-BP 















Sin m — Sin in — 
—AP-EBP- -_ AB-HAP—BP | 
Sin mu, Sin LE . Si), 
Sin AB.SihAP.SinBP/SiA:SiB.SinB  M,,,, 
= ,100-% 
Tym, 5 
B 

und fobanp MAC- SH Fa Kae ne 

AB 

CPG— F 
eg: 


Es verhält fich denmach jeder diefer drey Rofind, 
gerade wie die entgegengefegte Seite des Dreyecks, und 
umgekehrt wie ber Sinus dieſer Seite. Das Problm 4 
vom Schwerpunkte des fphärifchen Dreyecks ift alfo nun⸗ 
mehr ganz aufgelöf. Sch füge noch nun ve Auf 
be hinzu, 


Aufgabe XXIL Gift 


ein beliebiger Punkt in der —. 
Slaͤche des ſphaͤriſchen Drey⸗ A 1.6 
ecks ABP, oder auch außer 


Ihr. "Wann von den fehd -B 
Bogen AB, BP, AP,PG. AG, BG, fünfe gegeben ad 
fo it. durch fie au) der fechste beftimme. Es muß dem 
nach eine allgemeine Gleichung zwiſchen ihnen ſtatt babe 
und biefe verlangt man zu wiſſen. % f 
u 


©) Beode gucdelae find BA 5 alein ber Iegtere weit im: 


im fohärifchen Dreyecke. 307 


Auflöfung. Es ſey Col AB=a; Coſ BPb; 
fAp=c; Coſ PGx; Cd AG—=y; 
[BG 2. So if aaxx-+bbyy+cezz 
zabxy—zaexg—2beyz-+- 2cxy-tzayz 
2bx2-Haabe—aa— bb—cc—xx—yy 
22-10. Si 





Solge.. Wenn G ber Punkt ift, wo die Schwer⸗ 
verlängert, die Kugelfläche ſchneidet, fo werben die 
nfel A, B, P, durch die Bögen AG, BG, PG nicht 
wey gleiche Theile ‚getheilt, wie beym geradlinichten 
eyecke. Es ift auch die Summe der Quadrate der Si» 
3 von AG, BG, PG fein Aleinftes, noch die Sum⸗ 
der Duadrate der Coſinus dieſer Bogen ein Bröß« 
„ wie fich dies aus dem Benfpiel des geradlinichten 
eyecks vermuthen ließe.  Diefe Aufgaben, die fich 
cch die erſt gegebene allgemeine Gleichung für das ſpha⸗ 
he Dreyeck leicht aufloͤſen ließen, führten ung auf 
ıter algebraiſche Funktionen bin; und die Aufgabe vom 
Hiverpunfte enthält-in allen ihren Formeln tranſcen⸗ 
ıte Größen. Kechnungen, die ich in Zahlen angeſtellt 
de, führen mich darauf, daß, im Falle des Schwer- 
nftes, die Summe ber Duadrate der Bogen AG, 
G, PG ein Rleinftes feyn müffe. Ich fehe diefe Bere 
ithung für fehr wahrſcheinlich an, und behalte mir den 
weis dieſes Satzes auf ein andermal vor, 


308. IV. Kluͤgel, Formeln zur Berechnung 
; IV. ! 


Formeln zur leichten: Berechnung des Umfanges 
eines Kreifes, von G. ©. Klügel, Prof. 
; zu Halle *). 


&T. Euler bat zuerſt eine bequeme Formel zur Berech⸗ 


nung des Umfanges eines Kreifes angegeben, da man. 
vorher ſich der Tangente des Bogens von 30 Gr. bedient 
hatte, die aber durch ihre Jrrationalität die Nechnung 
ungemein befchwerlich macht. Der Kunftgriff, den En 
Ter gebraucht, befteht darin, daß er den Bogen von 45° 
in zwey Theile zerfällt, deren Tangenten rational findy 
und aug diefen Tangenten die beyden Bogen berechnet, 
deren Summe der halbe Quadrant iſt. Die beyden Tan⸗ 
genten Finnen auf unzählig viele’ Arten angenommen 
werben, ° Am. bequemften find fie = und J, indem 
Arc. 45° = Arc. tg 3-+Arc. tg} Man fehe die In- 
trod. in Anal. Infin. T. J. $. 142, oder meine analy« 
tifche Trigonometrie, mo ich den Anfang zur Berechnung 
des Umfangeg gemacht habe, 


$. 2. Die Rechnung wird noch mehr abgefürit, 
wenn man ben Bogen von 45 Gr. in mehr als zwey Theile 
zerfaͤllt, fo aber, baf hieraus zwey Haupttheile entſtehen, 
die jeder gleiche Theile mit rationalen Tangenten enthal 
ten, Es iſt 
ẽ Arc, 


*) Man vergleiche hlermit die Abhandlung verwandten Anhalt 
deffelben Derfaffere, Berfchiedene arithmetiicbe Zufammen 
fesungen des Umfangs eines Kreifes aus denfelden Elementen. 
Archiv der Mathem. Vies Heft, S. 60— 66. 

‚zindenburg. 


des Umfangs eines Kreiſes, 309 


Arc. 45°= Arctg 4 2Arc. tg4 

Arc. 45° =3Arctg $—+ 2 Arc. tg 

Arc. =5Arc.tg 3+ 2 At. tg F 

Arc. 45° =7Arc.tg 7 — 2 Arc, tg ⸗ 
etc, 


Eee 


Nach der dritten Formel hat Herr. Vega den Ums 
ing des Kreifes aufs neue berechnet, Bis auf 143 Des 
malftellen; 16 Stellen weiter als ſeine Vorgänger, wo⸗ 
ty er auch eine bisher in allen Anfuͤhrungen der Zahl für 
m Umfang’ des Kreifes fehlerhafte Ziffer entdeckt hat. 
vie numerifche Entwickelung der Formel ift in dem von 
eren Vega herausgegebenen Thefauro Logarithmo- 
ım-completo, pag. 633 zu finden. Die analptifche * 
ormel ift nicht beygefügt. Zur Prüfung der Rechnung 
it Here Vega die erfte Formel gebraucht, und hiebey 
'n Umfang bis auf 126 Decimalftellen berechnet. Da 
e angeführten Formeln fonft noch nicht vorfommen, fo 
ird es nüglich feyn, ihre Entwickelung hier mitzutheilen. 


5.3. Es feyen a, ß, 'y, detc. die Binomialcoeffie 
meen ber Poren; (I +2)”, naͤmlich em; 
=, etc, und tang Pt, fo if ” 

at— Yt’-Hst°— nt? + etc. 
Bm 


$. 4. Man zerfäne den halben Quadranten in drey 
jeile, fo daß Arc.45°—=A+-2B. Demnad) if 
ı1—tgA.tg2B=tgA-+tg2B 
d ı—tgA =(I-HtgA).tg2B. 
u3 Es 


I Analpt, Trigonomettie, S. 108, 


310 IV, Kluͤgel, Formeln zur Berechnung 
Es ſey tg ASt; tgB==u, fo iſt 


au, 
und 
— uu 





tg2B=7 


5* 2u 


It: 1— uu 
alſo (L—t) W +2 (1 HHu=ı—t. 








Damit u rational werde, wenn t rational ift, muß 
* 
14 =) ein Duadrat feyn, ober a+2r’—#, 


Es fällt gleich in bie Augen, daß Diefe Forderung buch 
die Werte t—7, undt=% erfüllt wird. Die For⸗ 

mel 2-+ 2? läßt ſich noch auf unzäplig viele Arten zu 

einem Duadrate machen, wie in Eulers Algebra, in dem. 

Abſchnitte von der unbeftimmten Analytik, |. 56. gejeist 

wird. Hier gebrauchen wir nur den Werth t—H, nr 

durch u=+ wird, fo daß 

Arc. 45° Arc.tg} + 2 Arc. tg$. 


8:5. Nach der befannten Gleichung für O Arc. tgtr 
nämlich 
P=t— FR 4Itꝰ — 7 + etc, 
giebt bie ‚gefundene Zufammenfegung des halben Hug } 
dranten den Werth des halben Kreisumfanges für den 
Halbmeffer Eing, 
(1 


1 1 1 1 





4+—--<+ - 
3.7: 8574 77° 978° a7" 
—- etc,) 


+4 (1 1 + 1 1 * I I 
3:9 59 79 994 119 
ö + etc.). 


Oder, durch die Zufammenziehung je zweyer Bruͤche 
mit entgegengefegten Vorzeichen, 


Bu 2 L 


des Umfangs eines Kreiſes. 3u 


sl — 
343\1.3 5.77% 9.11.78 13. 15. 28 
+ etc.) 
16 a 61 
N er i 
1.3 °5:7.9° 9.1198 13.15.09) 
+ etc.). 
gIn der erſten Reihe machen die Zaͤhler der Bruͤche 
eine arithmetiſche Progreſſton aus, in welcher der Unter⸗ 
ſchied der Glieder — 96 iſt; in der zweyten eine Pro⸗ 
greffion mit dem Unterfchiede — 16. Hieraus ergiebt 
ſich eine für die numerifche Berechnung von m vortheil⸗ 
bafte —— der beyden Reihen. Es iſt naͤmlich 


1 ı 1 
[EL GE SEE HE 2 























In =— * 
343 11.3 5774 gııyd 13.15.7'% 
+ etc.) 
768. ı 2 3 
= ——H — — 
343 5.. *9. 11.78 1315.72 
++ etc.) 
K 2087 ı 1 I ı 
= — — rR —— 
27 \1.3 | 5,7.9° 9.11.9* 13, 15,9 
+ etc) 





— en a EL, 
27 5.719° 9.11.9* 13. 15.9 
-+ etc.) 


Diefe Form von m iſt zu der —— Berech ⸗ 
nung ſehr bequem, da die Potenzen von und durch 


die ſucceſſive Diviſton leicht gefunden werden, und ſchnell 
abnehmen. Die folgenden Formeln für m können auf eine 
Ähnliche Art behandelt werden. Sie erfordern in dem 
zweyten Haupttheile von 7 zwar weniger Glieder; dieſe 
find aber nicht fo leicht zu berechnen, als in der hier ent ⸗ 
wickelten einfachften Form für m, Herrn Vega's 
u Bes 


512 IV; Kluͤgel, Formeln zur Berechnung 


Behandlung diefer Formeln iſt von der meinigen etwas 
verſchieden. 


$. 6.: Ferner zetlege man den halben Quadrauten 

in fünf Theile, fo daß Arc. 45°—=3 A--2B. Es if 

daher nr —tg 3 (1 i 3 4) tg 2B. Man fege 
tg ASt; tgB=u, ſo iſt 

3t—B > 2u 

3A=T— * tg 26* 


und 
1313-40, 2u n 
14+3t—3?—B —7 


Die Funktion von t heiße z, fo iR 
urz+2u— 20, 








1—u” 








Damit u rational werde, wenn z rational genom- | 
men wird, muß z?—- 1 ein Quadrat feyn, oder es muß 
tfo genommen werden, daß 
( — 3t tt HP Hat got 

folglich dag 

- 2(ı +32’ +3 tt 16) ff, 
oder daß 2 ‚at —=ff. 

Demnach muß 2611?) ein Quadrat ſeyn. Da⸗ 
her iſt t ⸗3, olslich z—=#, und u —F alſo 

Arc. 45° 3 Arc. tg 3 2 Arc. 187%. 


$. 7. Weiter jerlege man den Halben Duabranten in 
fieben Theile, fo daß Arc. 45° —=sA+-2B. 


Nun J 1—tg5A=(1 +tg5A)tg2B, und 


——— — e 








— 108 1 
5A olgli ; 
#5 . ee folstich . i 
1 — 51t t⸗ — 2u “ 





EN FTaR SER u 


' 


r 


des Umfangs eines Kreifed, 313 


Die Funktion vom t heiße z, fo ift 
Wz+-2u—2=o \ 

Damit u rational fey, wenn z rational ift, muß 

2’ 1 ein Quadrat ſeyn. Demnach muß 
2(ı+-5t?-H rot -H 1064-58 -HO)—ff 
oder 2 (IH )EL ſeyn. 

Wiederum muß alſo 2(ı +1?) ein Duadrat feyn; 
und es iff, wie vorher, t S zu nehmen. Alsdann 
zz du, fo daß 

Arc. 45°=5 Arc. 15542 Arc tg 755, 


2. Es iſt 


3 56142 11 2 1.1 4+ Lı 
„Arıtg— = (2 3“ — — 

5E +57 79. * 
un 


+ Ban 
13. 15 79. 


74784 6: ‘+ 1.2 2) 
J— * 9. 11 
— etc.) 
J— 79 


Das Vierfache-ded Arc. tg, $ 5, ift in den beyden er⸗ 
ſten Tpeilen des Werthes von  ($. 5.) — Mul⸗ 
tiplicirt man daſſelbe mit 5, und Arc. tg H mit 8, fo 
erhält man in der Summe der Producte einen Werth. von 
7, in welchem die beyden Neihen des zweyten Haupt ⸗ 
theils fehr ſchnell convergiren. 








$..9. Seht man die Zerfälung noch weiter fort, 

und nimmt Arc. 45;°=7A+-2B, fo findet fich, ba 

2 (141% ein Quadrat feyn muß, fo daß auch hier 
16124 zu 

u nehmen iſt. Es ift nun — — — =——— 

Fi b iſt. ſt 76443 10 


und u ⸗ — 5 
45 \ Das 


\ 


314 W. Kluͤgel, Seren sur — 


Daher iſt 
Arc, 45° = 7Are.tg5 —2 Arc. KR > 
$. 10. Leichter findet man die Reihe ber Wertfe. 
von u, und zugleich das Geſetz ihter Fortſchreitung a 
folgende Art. 
Es fey mArc, fg-4 + 2 Arc.tgu 450, 
and (m. + 2) Arc, tg $ + 2 Arc, tg x==45°, 
ſo iſt J 
Are· tg 4 + Arc. tg x Are. tg u, 
und Arc. tg x = Arc. tg J es 


Daher 





Arc.tg. 95 = 2. 10. 29, 08 
‚Arc. tg #yg== 5. 57. 191 29. 
Die Decimaltheile der Secunden find aus Sem großen 
Eanon in dem Opere Palatino berechnet. 


«5.12, Die obigen Gleichungen zwiſchen t undn | 


> ändern ſich nicht, wenn man fuͤt t ſetzt und für u 


indem beyde Theile derfelben dag Entgegengfige der 
vorigen Zunctionen werben. 
Alſo it 
Arc. tg. 1 Arc.tg. 7 + 2Arc. tg. 3 
= 3 Arc, tg. 7 + 2Arc. tg 
= 5Arc.tg,7 + 2Arc. tg, > 
=7Arc, tg, 7 — 2Arc, * 57. 
ete. 
= \ & 





de3 Umfangs eines Kreiſes. 915 


Es ift nämlich 
Arc 7 = $ı°52° + 
Arctg. 3 71 34. — 
Arc.tg. F 79. 42. — 
Arc. tg, 9 = 97. 50. ⸗ 
Arte. Sm I. 2 + 
fo daß bie erfte Summe den Bogen 225°, die zweyte 405% 
die dritte 585°, die Dierte 405° giebt, deren Tangenten 
=-+ 1 find. 
Es if 
90° — A +2 (90°—B) =3, Jost A—aB;. 
3(90°—A)-H2(90° —D=5.900°-3A—aB; | 
u. ff 


Iſt a Arc, tg 47 B= Arc, tg J, fo ift 
A-+2B=45°, und 909° —A = Arc. 18.7; 
90° — B== Arc. tg.3, alfo 
Arc.tg. 7 +2Arc.tg.3==3.90°—45°=180°-445° 
ut f 


$ 13. In den Gleichungen $: 4. bis 9. hat u audy 
einen negativen Werth, welcher wegen des gegebenen 
Gliedes ı (nach der Diviſion durch z) der umgekehrte von 
dem pofitiven if. Daher ift 
Arc.tg ı== Arc.tg $>—2Arctg 3 = — 135° 
= 3 Arc. tg 3— 2 Arc tg — 135° 
=5Arc, tg 3—2Arc, tg en =— 135% 
=7Arec. tg #++2Arctg PP = -+225° 
Die Tangenten der negativen Winkel zwifchen 90° 
. und 130° find poſitiv, fo dag tg (— 135°) =-+ı. 


" $. 14. Bey der Berechnung der Werthe vonz’-- EL, 
‚wird man auf die Bemerfung geleitet, daß bie doppelten, 
Producte ie zweyer Binomialcoefficienten irgend einer Po« 

 teng, bie von einem unter ihnen gleich weit  abftehen, 
wechfelsweife von dem Duadrate dieſes Iröten ſubtrahirt, 

und 








"316. W. Stüger, Formeln zur Berechnung ıc. 


und zu demfelben abbirt, biefen Coefficienten felbft geben. 
3. 3. für die uate Potenz find die Eoefficienten mit Ein 
ſchluß der ı folgende : 
"1; 12; 66; 220; 4955 792; 9243 79535 etc. 
Hier ift : 
495.495 — 2.220.792-4-2.66.924 
2.12.7924 2.1.495 = 495 
und 
220.220 — 2.66.495 -+2.12.792 —2.1.924 
= 220. h 


$.15. Ein firenger Beweis dieſes Satzes Fann an | 


fange ſchwierig ſcheinen; er laͤßt fich aber dennoch auf 
folgende Art ganz leicht und allgemein geben: 

Es feyen, die Yinomialcoefficienten ber mten Po: 
tenz, mit der Eins, nach der Hindenburgifchen Zeichnung 
Arch. d. Math. Heft V. ©. 162. Anm.) 

—8 r 

1, »A, 7, *C, „D... 
ſo iſt 
(1 CxDX-—-te 
und 
¶ xB xꝰ ICH + "Dxt—ete 
folglich beyder Product ( x)”. (L— xyn 
das iſt 
Gr = 1 xXB xXCxsu D xb-ete 

Durch die wirkliche Multiplication der erſten bey⸗ 
den Reihen erhaͤlt man aber 
1 "U B xt Ta xDe X. 

42B —2P UNE, HIHI, NE... 
H2"D + —aNTE HB"Fr ·... 
Hang „anyng, 


279 0. 


... 


. ! . Sol 


— 


Iv. Zuſat des 2 Semi. 37 
Folglich | N 


my? — 2m8 — nf 
— znyng Hemden 5 
ng? __ „NY Lo" AE— 2 mx mg . 
MD?— 2NETE Hoi, mE My Pas — 
eIc etc etc etc Fu 


ax x 


Zuſat des Heraugebers. 


Fuͤr "IT, den allgemeinen nten Snondlvimcim 
ten ("A als den guten gerechnet) wäre | 
any ae ei A.. a. 

| | . Faden J 

Hier iſt N der n--n==2 nte, und af] der 

"n—nz=ote, das iſt der vor dem erſten my vorhergehende, 


Binomial officient 
m.m—1.m—.2... (m—20-+ 1 
alfo ze Zen 2 











Is 2 u; 3 v„.... 2n 


und a I=Uy np ng etc 


‚wie aus ben correfpondirenden Werthen für a und n i u 


folgt; denn 


ften= u 2, 9% 4... jucceflive, Pa 


iſt na — my, m, ng, un, ... ‚ refpective. - 
Setzt man alfo nach und nach "4, "B, TE, ur PR 
ſtatt "CT, in obige Gleichung für "LT, fo findet man ihre 


Werthe nach ber Reihe, wie fie am Ende ber Abhandlung 


von Herrn Prof. Kluͤgel ſtehen. 
Fuͤr jeden Werth von m und n, iſt Br 
(ame ya np Endzeit. 
.GFW=ı+ 9x + 8x4 "6x7 DE... 
are tg ZH ie ) 
ii ce Beer me 
| Mus 


{ 
‘ 
. 


[\ 


318 IV. Zuſatz des Herausgebers. 


Aus dieſen und ähnlichen‘ Gleichungen laſſen ſich 
mancherley Relationen der Binomialcoefficienten ableiten, 
3. B. wenn man die Reihe für (tr +-x)”*" mit dem Pro» 
ducte aus der Multiplication der beyden Reifen (1 +x)”, 
(1 +-x)? vergleicht, fo findet man - 1 
mau — 1.A A. 1 
I BUND. 

BR CH WBHNTBAU HE, 1 
I LIDHWEHBEBHTEHHTDE 
. . . 


. . . 





. . Er _ . 4: 
RR HERR RER FTIR; 
er —ı ; 

R +H"R’3 HRUHR. 

Hier wird A, mit dem beygeſchriebenen Erponenten, 


eben fo für den allgemeinen rten, wie vorher LT für den ' 
nten Binomialcoefficienten gebraucht. 


Daraus findet man ferner, für nm, 
my om. J 
ke 1 a 
zug a", 1 H-2"B"4 
D2D. IHR HB? 
Ang —anE, 1 + 2"D"Y-H 2ER 
u. ſ. w f. 


So laſſen ſich Binomialcoefficienten vam Erxpo⸗ 
nenten m, und ihre Verbindung, durch Binomialcoeffi 
cienten-vom Erponenten 2 m, und umgekehrt diefe durch ' 
jene, ausdruͤcken. Lieſet man dieſe Reihen rückwärts, 
fo wechfeln in den Anfangsgliedern, Quadrate ber | 
einzelnen Eoefficienten von Erponentenm, mit Producten 
jeder ziocen nächften Coefficienten regelmäßig ab. Das 
giebt zween verſchiedene Säge folgenden Inhalts: 


RP en vaͤc 








IV. Zuſatz des Herausgebers. + 319 


„duͤr die Binomialcoefficienten nad) der Nelhe 

TE, FD, BEZ. 
iſt ; 

„1) Das Quadrat bes nen (jedes willkuͤhrlich ges 
waͤhlten) Binomialcoefficienteng vom Erponenten m, nebſt 
‚der doppelten Summe aller Producte aus jedem Paare, 
‚som nten zu bepden Geiten gleichweit abſtehenden Coef- 
ficienten — gleich dem 2 nten Coefficienten vom Erponen« 
‚ten 2m.“ \ . i 

2) Die doppelte Summe aller Producte, des 
‚(a— ı)ten und nten (jeder zween naͤchſten, willkuͤhrlich 
‚gewählten) Binemialcorfficienten vom Erponenten m, 
‚nebft aller Übrigen, vom (n— Hten und nten zu bey« 
‚ben Seiten gleichweit abfichenden, Paare von Coefficien - 
‚ten — gleich dem (2n — z)ten Eorfficienten vom Expo⸗ 
‚nenten 2m. 

Beyde Säge laſſen ſich gleichwohl durch nachfichen« 
‚en. combinatoriſchen Ausdruck kurz zufammenfaffen 

Nn2M. 658 
1,7, B/*C, *D, TEN”) 
( I 3 Ar 5. 


Darı 


Es liehe fih zwar die Gleichung für 27rz noch kürzer durch 
2m, n+ı 
a=b"tip. 
1, mu, TB, DE, PD. 
MB 3 Ar Fran 
auebeücken; aber da würden, nach dem bier beugefügten Zeiger, 
bie Binomialcoefficienten anders gesdhlt, als ich fie im combis 
natorifchen Caleui bisher tmmer gerdble habe und nothivendig 
babe adhlen müffen, wenn diefe Egefficienten mit-den Bariationgs 
. amd CombinetionssEfaffen, mit denen fle am bdufiaten zufama 
mengefegt werden, volfommen harnoniren folten. Sch nenne 


«nicht. ı fondern) "' den erften Binomialcoeffisienten, weil feis 
ne Zahl die erfte if, die ſich auf m besteht (die erite ducchmauss ı 
gedeäctte) fo wie die folgenden, nach einem alleh gemeinichaftlis 
Den Gefege ‚gleichfalls durch ın gegeben find, Daher ift ı (dee 
gemeinchaftliche Anfang diefer Coefficienten. für alle Erponens 
ten) bey mir der ote (der vor dem eriten vorhergehende) Coeffis 
eient. Wollte mas Binpmialcoeffctenten fo adblen, wie hier 
im Zeiger,. ſo mürde das auch Einfuß auf den Husbruc der 
‚obigen broden, Se babenz u. m, 


320 IV. Zuſatz des Herausgebers. 


Daraus folgt, a— 1, 2, 3, 4 5... nach und 
nach geſetzt: 
any 2*u. 140 
*B⸗ 2*B.146B 
C2*C. 163 B 
2nD ⸗ 2*D64B 4 
mE ù 2*E. 1b6 B 
u ſ. w. r i 
deren combinatorifche Aufldfung die obigen Formeln, wie 
ſie (S. 318) ſtehen (alfo vorwaͤrts gelefen) giebt. 








Man kann auch · einen, von den beyden Erpomenfen, 
m.oder n, in Zahlen Eeftimmen, den andern unbeftimme 
laſſen (Töpf. comb, Anal. ©. 166— 169.); auch poly⸗ 
nomiſche Wurzeln, wie hler binomifche, zum Grunde legen; 
nicht minder mehrerer Reihen (als zwey) Verbindung das 
bey in Betrachtung ziehen u. ſ. w. WIN man die Gefeger 
nach welchen fich diefe Coefficienten zufammenfegen, kuth 
darſtellen, fo drückt nian fie (bey großen Verwickelungen 
ift das um fo nöthiger) durch Variations⸗ oder Com⸗ 
binationsclaffen aus. Die Abficht ift hierbey durch⸗ 
gängig, zufaimmengefegte Großen biefer Art durch einfar 
he auszudrücken; modurd die combinatorifch «ana 
Iptifchen Sormeln, und das von ihnen abhängige Verfah⸗ 
ren für die Endrefultate, nicht felten aͤußerſt ſimplificitt 
werden, Ein fehr eminentes Benfpiel dafür giebt bie 
eombinatorifche Reverfionsformel für Reihen. 


Hindenburg. | 





v 


321 
V. 


Ueber verſchiedene merkwuͤrdige Bewegungen, 
welche ein doppelter Kegel vermoͤge der Schwere 
darſtellt, wenn er auf die Raͤnder zweyer in einem 
Winkel zuſammenlaufender Waͤnde eines Kanals 
gelegt wird. Bon C. L. Bruͤnings, zu 
Utrecht. 


TH. Geometrie wird wegen ber vorzüglichen Deutlich“ 
feit und Gewißheit ihrer Lehren gepriefen. Der Grund 
bievon ift einleuchtend. Der Geometer betrachtet nur 
bie Werke feiner eigenen Schöpfung; er Hat nicht noͤthig, 
die Möglichkeit ihres Daferns außerhalb dem Verſtaͤnde 
gu erproben... In feinem Verſtande aber find fie nebſt 
alien ihren: Eigenfchaften (welche letztere nur eine Ent⸗ 
wiefelung der Vorſtellung ihres Daſeyns ſind) moͤglich, 
weil er ſie als moͤglich denkt. — Ganz anders verhaͤlt 
zs ſich mit der angewandten Groͤßenlehre; ihren Lehren 
ift bey weitem ber Grab von Deutlichkeit und Gewißheit 
nicht eigen. Auch hievon laͤßt fich die Urfache Leicht an» 
geben. Zwar braucht der Phpfifomathematiker auch nicht 
das Dafıpn feiner Gegenftände barzuthun; die Natur lies 
fert fie ihm. Aber er'muß fich zuvor sine richtige Kennt« 
niß derfelben erwerben; das Heißt: er muß in feinem 
Merftande ein Wefen bilden, das dem, außerhalb des 
Verſtands vorhandenen, ähnlich iſt. In fo fern er num 
die Groͤßenlehre auf das Bild ded Gegenftandes im Ber- 
ande anivendet, find alle feine Unterfuchungen eben fo 
deutlich, eben fo gewiß als jene des Geometers. So⸗ 
bald er aber das Bild mit dem Gegenſtande verwechſeln 
will; von dieſem behaupten, was von jenem erwiefen iſt, 
* 


Siebentes HR. muß 


323 V. Bruͤnings, merkwürdige Bewegungen 


muß er uͤberzeugen: daß ſeinem Bilde der außerhalb des 
Verſtands exiſtirende Gegenſtand in der That aͤhnlich iſt, 
und da wird ihm der Trug der aͤußeren Sinne allenthal⸗ 
ben im Wege ſtehn. — So nachtheilig dieſe Bemerkun⸗ 
gen auch Überhaupt der angewandten Mathematik, als 
Wiffenfhaft, find; fo vortheilhaft fprechen fie für meire 
bermalige Abficht, weil fie, mit andern Worten, den Gag 
enthalten: „daß phyſikomathematiſche Unterfuchungen des 
flo.deutlicher, deſto gewiſſer find, fich der geometrifchen 
Strenge defto mehr nähern werden, je minder der Trug 
der Äußeren Sinne irre führen kann“ — und dieſer 
Auffag gerade verfchiedenen merkwürdigen Bewegungen 


eines Körpers gewidmet ift, bie auf eine aͤußerſt einfache 


Seife veranftaltee werden Finnen. — 


Der berüchtigte Verfuch mit dem fcheinbar freywil 

Jig fleigenden doppelten Kegel hat mich veranlaßt, diefer 
Materie nachzudenken. Derfelbe koͤmmt unter dieſen af 
gemeinen Betrachtungen vor ald Art des Geſchlechts. — 
So wie die Naturlepre ſich in den meiften Faͤllen begndgt; 
die allgemeinen Urfachen einer Erfcheinung anzugeben, 
und e8 der angewandten Mathematik überläßt, Die Grit 
jener Urfachen zu erforfchen, ann fie doch für dieſen Fall 
hiemit nicht ausfommen. Denn die gewöhnliche Erklaͤ⸗ 
rung jenes Verſuchs, aus dem Ginfen des Schwerpunkts 
während der Bewegung des Doppel» Stegeld, fcheint mie 
eine ſehr unvollſtaͤndige Deduckion zu ſeyn: weil manfid 
durch den Augerfchein jebesmal nur für eine beſtimmte 
Lage des Kegeld nach vollendeter Bewegung dergewiſſert 
fann, daß fein Schwerpunft, in Abficht auf beffen Lage 
beym Anfange der Bewegung, gefunfen iſt; hieraus aber 
folgt feineswegs, daß er nimmer während ber Bewe⸗ 
gung geftiegen feyn kann; — und biefem Einwurfe mi 
bem Sage vorzubeugen: „daß der Schwerpunfe eines 
Körpers nicht feigen koͤnne“ das waͤre eine petitio prin- 
cipü 


eines doppelten Kegels. 923 


cipii für einen Fall, da man gerade erſt unterſuchen fol: 
ob dag paradoxe Steigen bed doppelten Kegels auch etwa 
jenem Sage mwiderfpricht. — Es iſt fuͤrwahr nicht zu 
verwundern, baß bie reine Naturlehre in allen ben Faͤl⸗ 
len unzureichend iſt, wo die Richtigkeit ber Grnnbfäge, 
beren fie. fih zur Erflärung einer Erfcheinung bedient, 
bezweifelt wird, fo, toie für dieſen Sal flate finder. — 
Die Mathematiker (Kraft in Comment. Nov, Petrop. 
T. VL und X. Kononow in Act. Nov. Petrop. 1789. 
T, VII. welcher leßtere aud) den Widerſtand der Rei⸗ 
bung betrachtet hat) in ihren Unterfuchungen: über dieſen 
Gegenſtand haben erftlich erwiefen: daß für jede Lage 
des Kegels eine drehende Kraft vorhanden iſt, bie benfels 
ben um die beyden Unterlagen wälzt, und zweytens, wie 
groß befagte Kraft iſt. Nun ift die drehende Kraft nichts 
anders als bie Schwere, mobifisirt durch die Lage bes 
- Kegel. Sie iſt derobalben eine Function gebachter 
Schwere:und Lage; weil aber die Schwere eine beftändige 
Große if, fo bleibt Die drehende Kraft eine Sunction deu 
Lage, und die Lage eine Function der drehenden Kraft; — 
daher Beflimmungen ber drehenden Kraft aus der gege⸗ 
benen Lage, und umgekehrt, Beflimmungen der Lage aus 
dem wilführlih angenommenen Werthe der drebenden 
Kraft. — Go weit geht bie bisherige Theorie bes mehr⸗ 
erwähnten Verſuchs, meines Wiffens, die fürwahr voͤl⸗ 
Sig zureicht, die Nothwendigkeit der erfolgenden Bewe⸗ 
gungen aus ben allgemeinften Grundfäßen der Mechanif 
ju erfennen, und einzufehn, "wie für sine’gegebene Lage 
die Größe der drehenden Kraft berechnet werden koͤnne. 
Auch iſt es klar, daf, wenn bie drehende Kraft == O ge⸗ 
funden wird, alsdann feine Bewegung erfolgen koͤnne. — 
Der Grundſatz, daß der Schwerpunkt eines Körpers jeber« 
zeit, wenn er nicht gehindert wird, den niebrigften Ort 
einnehmen wird, ift fo allgemein anerfannt, ald.er fruchts 
bar iſt. Derſelbe iſt das — nach weichem alle 

FJ 2 Be⸗ 


324 V. Brünings, merkwuͤrdige Bewegungen 


Dewegungen beurtheilt werden muͤſſen, welche allein aus 
ber Schwerkraft, ohne Zuthun einer andern Kraft, ente 
ſpringen. Wenn man nämlid) Bewegungen fingirt, wel 
che unter gewiffen Bedingungen durch die Schmere des 
würft werben follen, und deren Moglichkeit und Noth⸗ 
wendigfeit darthun wil, muß man.erweifen: daß ber 
Schwerpunkt des zu bewegenden Körpers, während ber 
Bewegung finfen wird, Uebrigens verficht es fich von 
ſelbſt, daß die Reibung und ber Widerfland der Luft 
hier nicht ‚betrachtet werden. — . Mit Hülfe dieſes 
Srunbfape® werd’ ich von dergleichen Bewegungen, die 
einfachfte aus einem fehr merkwuͤrdigen Gefchlechte abs 
bandlen. — Durch zwey in einem Winkel zuſammenlau⸗ 
fender- Seitenwände wird ein Kanal gebildet. Legt man 
nun auf dergleichen Kanaͤle im Scheitel einen doppelten 
Kegel, der alſo im einem Punkte des Umfreifes: von er⸗ 
wähnten Kegels Grundflaͤche, durch den Scheitel des 
befagten Kanals geffügt wird, — fo ift bie Trage :. wird 
die Schwere dem doppelten Kegel eine fortrollende Bewe⸗ 
gung fiber die Ränder der Seitenwände bed Kanals mit⸗ 
epeilen? — Der befagte Kanal wird nerfchieben fegn, 
hr nachdem ‚feine Wände 


A Ebenen, oder Jund deren Ränder A wagerecht 
B trumme Flaͤchen oder B geneigt ſind. 
Fuͤr A und A find die Raͤnder wagerechte gerade 
· Linien. 
2. duͤr B und A find bieſelben wagerechte krumme 
Linien. 
3: Sir A und 2 find es geneigte Linien. 
4 Sir B und B find e8 doppelt gefrümmte Einien.. 
2L. Aus 2 werd' ih ı ableiten, indem ich auſtatt ber 
x... Gleichumg.für'eine Eurer jene für die gerabe &init 


2 — | 
238* % ” I. Bean 


eines doppelten Kegel; ' 925 


3. Wenn für 3.und 4 die Ränder, vom Scheitel dee 
Kanals anzurechnen, unter ben Horizont geneigt 
find, fann die zu erfofgende Bewegung des doppel⸗ 

ten Kegels zu deutlich ans dem bereits angeführten 
Grundfage abgeleitet werden, ale daß er mir einet 
nähern Unterfuchung werth ſchien. 


III. Wenn fuͤr 3 die rRaͤnder, vom Scheitel an auf⸗ 
waͤrts, geneigt find, werd' ich, um der muͤhſamen 
Rechnung willen, bie Aufgabe nur fiir den Fall auf 
loͤſen, da bie Neigung des Rands beſtaͤndig ift, 
dag heißt: wenn er eine gerade Linie if. 

IV, 4. Die boppelt gekruͤmmten Linien erfodern einen zu 


weitfchweifigen Calcul, als daß ich diefen Fall bier 
abhandeln koͤnnte. 


[4 


u J. 
(Fig. 1.) Wenn ap, pc, bie wagerechten Ränder dee 


lothrechten Wände des Kanals apc find; wenn elf der - 
vertifale Schnitt der Hälfte eines gedoppelten Kegels ift,‘ 


fo daß g der Schwerpunkt des doppelfen Kegels, 
ef 2eg == 2R beffelben Höhe, gel==r ber Halb» 


. meffer.feiner Grundfläche; hmk bie wagerechte Durch⸗ 


fchnittslinie des Kegels mit der ‚Släheapc; h,k, bie 
Bünkte, in welchen befagter' Kegel won ben Rändern des 
Kanals pa, pe geſtuͤtze wird; ehmkfg der über die 
Raͤnder hervorragende Theil des Kegels; dagegen der 
<heilhmklih unterhalb denſelben; — fo beſtimme man 
Die Bahn des Schwerpunfkts g (oder jene des unterſten 

unkts |, die gleichlaufend und gleich an die Bahn bes 


chwerpunkts iſt) mitkleribeite' der doppelte Hegel fih von 


- p nach ac fortwaͤlzt. — Eine merfwürdige Eigenſchaft 
dieſer Bewegung iſt die: 1°. die krumme Linie ahp und. 
bie Seite des Kegels ah! haben einerley Ordinate 


hm =y 2%, Die Linie ahp umd die Bahn des Krane 


u & 3 I (wel 


* 


| 926 V. Brimings, merkwuͤrdige Bewegungen 


1 (welche letztere durch die Coordinaten ml==x ud. 
mp==x beſtimmt wird) haben einerley Abfciffepm = x. 
3°. Die Seite des. Kegeld eh! hat ml==x zur Abfcifie, 
und diefelbe x iſt Ordinate für die Bahn bes Puntts .— 
Serner If für die Geitenlinie bed Fegels ehl 


Im:mk=lg:ge 
u L 


xıy=r:R 


Aber x als Ordinate ber Bahn bed Punkts I iſt eine. 
"Sunftion der Abſciſſe x, ‚Hader x==F.x, folglid 


x =- y==F.x. Hieraus erhellt, wie aus der Glei⸗ 


chung zwiſchen y und x für die Einie ph a, y=Fx 


durch x beſtimmt werden kann, woraus — x oder 
die Gleichung für die Bahn des Punkts Jentſpringt: und 
umgefehrt, wenn <= Fx, oder bie Seftalt der Bahn des 
Punkts 1 als bekannt vorausgeſetzt wird, erhält man 


R 
„= —F- x oder die Gleichung für ahp. 
Deyfpiele: a) wenn ahp eine gerade Linie ifl, 
r r 
und berobalden yz=a wird yz=— * 
h y x, fo wir nY K æ x x 


und die Bahn bes Punfes 1 ift alfo eine unter den Horigont 
geneigte gerade Linie. Die Tangente ihres Neigungs⸗ 


winkels iR — — 
b) wenn ahp eine Parabel if, und berohalben 
— — ==x, fo iſt die Bahn des 


Punkts Lebenfalls eine Parabel, deren Parameter < ; 


und ihre Außenfeite gegen bie Abſeiſſenlinie pm gekehrt. 
c) (dis. 


eines doppelten. Kegels. 397 


c) (8ig. 2.) Wenn bie Bahn bes Punkts 1 die Linie 
des geſchwindeſten Falls iſt; der Anfangspunft der Rab» 
linie, f ihe Scheitel, ef == 2a der Durchmeffer des fie 
erzeugenden Kreifed; x das Verhältniß bes Umkreiſes 
zum Durchmeffer, fo ifl, gemäß der Natur ber Kablinie, 

c=ar * der Hälfte des Umkreiſes von dem fie erzeu⸗ 
genden Kreife; es ſey Übrigens fg ==u, fo wird 
gl=yzau _ us + Arc. Sin. Vers u, alfo Im =pe 
Ä —lg=ar— (Vrau—us —+ A. /[V.u), und weil 
pm=x=cf—fg=2a2a—u, wird um 22 —x, 
un m=r—ar (Ya -iihA [V(zea—x)) 


R 
=y, y=-. ‚Im. Zufolgel dieſer Gleichung läßt ſich 


die * pha auf eine fehr einfache Weife eonfiruiren. 
Zu dem Ende drehe man die vertifale 2te Figur (ich nen⸗ 
ne fie vertikal, weil die Bahn des Punkte 1, pl£ in!der- 
feiben gelegen ift) um bie Achfe pın ober pm (Fig. 1.) 
fo, daß fie in der Horigontalfläche apc (Fig. 1.) liege 
Sin der Lage wird bie Linie ml mit der Richtung der Dr» 
dinate mh uͤbereinkommen: diefe ml nun vergrößere man 


R R 
— mal, made mh = = ml, und verzeichne durch bie 
Pu x 


dergeftalt beſtimmten Punkte h bie Linie pha. — Zu 

diefen Benfpielen gehören noch einige Bemerkungen: 

7°. Die allgemeine Sormel = y=Fx geist, daß im 

allen möglichen Fällen Bewegung erfolgen wird für die 
wagerechten Ränder eines Kanals. 


a”. Man würde irren, wenn man daraus, daß x die Dre 
dinate der Bahn des Punftslzu jener ber Linie ph Y: 


für gleiche Abfciffen x, eine beftändige, Berpätsniß — 


. Hat, — ableiten wollte, daß heyde Linien ähnlich kon | 
2* 4. | muͤſſen. 


528 V. Brünings, merkwuͤrdige Bewegungen 


muſſen. Obwohl bie zwey erſten der angeführten Bey⸗ 
ſpiele dieſe Behauptung zu beſtaͤtigen ſcheinen, ſo er⸗ 
hellt doch aus dem dritten Beyſpiele zur Genuͤge, daß 
jene Vermuthung allerdings ungegruͤndet if. 


3°, In der Borausfegung, daß bie Höhe bed Kegels den 

Halbmeffer feiner Grundfläche gleich if, wird r—R 

‚udx=y=Fx Nun if bie Bahn des Punktsl 

ber Linie pha ähnlich und gleich. | 
II. 

(Sig. 3.) ap, pc, find die geraden Ränder lothrech—⸗ 
fer Seitenwände eines Kanal apc, fie find gegen die 
wagerechte Flaͤche np q biefed Papiers geneigt. Der dop⸗ 
pelte Kegel liege mit den Punkten h, k auf beſagten Raͤn⸗ 
dern; hk ift die Durchfchnittslinie deſſelben mit der ſchie⸗ 
fen Släche apc; ehkfg- oberhalb der: fchiefen Flaͤche 
apc, und hmkl unterhalb derfelben befindlich. Zieht 
man in ber Fläche apc die Abfeifienlinie pm, die dem 

R 


Winkel apc halbire, fo iſt, wie zuvor, y =—x die Ot⸗ 


dinate für die Seitenlinie des Kegels ehl und den ſchie⸗ 
fon Rand ahp. Ueberdas iſt für bie gerade Linie ahp, 
y=cx, wenn pm, wie zuvor, = x iſt. Alſo wird 


RA er 
TECH, x = Be Beil nun für diefen Fall die 


Flaͤche apc geneigt iſt; obwohl ml=x vertifal bleibt, 
fo iſt x nunmehr nicht mehr lothrecht auf pm, fondern 


ſchief gegen dieſe Abſciſſenlinie, und == —,xifibie Glei⸗ 


 äning zwiſchen den fehiefen Coordinaten x F x für bie 
Bahn des Punkts 1. Diefe Bahn ift in allen Faͤllen eine 
gerade Linie, Jedoch, wenn diefelde vom Scheitel an auf 
wärte geneigt waͤre, Fönnte feine Bewegung: erfolgen: 

man 


- eines doppelten Kegels. : 929g 


man muß berohalben bie Bedingungen beſtimmen, Für wel⸗ 
che fie vom Scheitel an unter ben Horizont geneige iſt, 
damit Bewegung erfolge: Zu bem Ende lege man durch 
pp ml eine Vertifalflähe bps (Fig. 4.); ferner durch 
den Punkt p eine magerechte Einie ps, fo ift rl bie Tiefe 


des Punkts l unter dem Horisont =x — x, Sin —— 
rc . 
- ie x SINE (2 Sna)=a, wenn rlez; 
weil pr=u>=xcosa, fo wird x== ——, und 
Ba cos a 
u "GI Sin «) 


cos & 


Dieß ift die Steihung swifchen rechtwinklichten Coor⸗ 
dinaten, z, u, für bie Bahn des Punktsl, und fo lange 


rc 
Sin <z iſt, muß allerdings Bewegung ſtatt finden, 


weil die Tiefe, zu welcher der Schwerpunft des Kegels 
während der Bewegung herabfinft, einen bejahenden Werth 
erhält. Es fey der Winkel apm=P, fo ft c==tang; 8 


| (weit, v=cx), alfo muf Sina< —tang ß ſeyn. Wenn 


i=R, muß Sin«<tangß < Sin 8 
- cos.ß 
folglich Sina < — ſeyn. 


os.apc 


goderungsſaͤne u So wie ein jeder nad) einer 
Sefiiimeen Linie ausgebildete geneigte Kanal dazu dient, 
einem ſchweren Koͤrperchen den Weg vorzufchreiben, längft 

welchem es fich dem Mittelpunfte der Erdenähern muß, — 
ten fo kann man die Känder der Kanäle, über weiche ich 
ber doppelte Kegel fortwälst, als Hülfgmittel betrachten, 
X 5 die. 


930 V. Bruͤninge, merkwuͤrdige Bewegungen 
bie dem Schwerpunkte des Kegels eine beſtimmte Laufbahn 


vorzeichnen, laͤngſt Welcher ſich derſelbe dem Mittelpunkte 
der Erde naͤhere. 2. So wie die Gefaͤhrden der fort⸗ 
fchreitenden Bewegung, Geſchwindigkeit und Zeit, im er⸗ 
fien Sale jedesmal von der Geſtalt bed Kanals abhängen, 
und gänzlich unabhängig find von der drehenden Bewe⸗ 


gung des ſchweren Koͤrperchens: — eben ſo kann man 
auch fuͤr den letzten Fall die fortſchreitende Bewegung des 
doppelten Kegels, in deſſen Schwerpunkt concentrirt, mit 
Huͤlfe der Bahn des Schwerpunkts ausmeſſen, ohne daß 
die drehende Bewegung des Kegels den mindeſten Ein⸗ 
fluß auf jene Ausmeſſungen hat. — Man kann demnach 
nach der bereits angewieſenen Verfahrungsart (I, IIL) 
anzeigen : 


1) wann und warum Bewegung ſtatt finden muß; 


und durch die gewoͤhnlichen phoronomiſchen Lehren be⸗ 
ſtimmen: 


dergleichen Bewegungen iſt. 


Folglich wird der Punfe | (is. 2.) gleichzeitig vn 


Scheitel f der Taptochrone plf erreichen, ob die Bene. 
gung des Kegeld von l aus, von p aus oder von jedem 
andern Punfte derfeldben beginne. Won p aus wird ber 
Punkt lin f eine Gefchwindigfeit erlangt haben, die der 
Tiefe pe==ar entfpricht, mit welcher er längft der ans 
dern Hälfte der Radlinie, £ Ip, fteigen wird; dag heißt: 
mittelft welcher der doppelte Kegel fich über die Raͤnder 
des Kanals von ac nach dem entgegengefegten Scheitel p’ 
fortwälgen. wird; wo er fich wiederum gerade in benfelben 
Umſtaͤnden befindet als in p, und dergeftalt feine rollende 
Bewegung unabläßig fortfegt, fo daß alle feine mechfel- 
feitigen Gänge von gleicher Dauer find. — Vielleicht 
dürften die Bewegungen eines doppelten Kegels, aus die 

| ſem 


2) wie groß die Geſchwindigkeit und Zeit ‘u 


eines doppelten Kegels. 378 


Sefichtöpunfte betrachtet, für bie Anwendung nicht 
unnäge fepn; denn obwohl ber Umftand, daß bey 
gewöhnlichen Werfuchen mit ſchweren laͤngſt —** 
alen gleitenden kleinen Kugeln, dieſe Koͤrperchen nicht 
ſchwere Punkte ſeyn koͤnnen, keine Veraͤnderung in 
cht auf die fortſchreitende Bewegung bewuͤrken kann, 
ſich der Schwerpunkt der kleinen Kugel allerdings 
iner mit dem Kanale gleichlaufenden Bahn bewegt, 
alfo die nömlichen Gefege befolgt, als menn er uns 
elbar laͤngſt dem Kanale glitte; — fo wird doch die 
elmäßigfeit jener Bermegungen dadurch geſtoͤrt, daß 
leine Kugel, jedesmal nur in einem Yunfte vom Ka⸗ 
geftügt, außer der drehenden Bewegung um eine 
erechte Are (die lothrecht auf der .Vertifalfläche des 
als ſteht) von welcher bie fortfchreitende Bewegung 
gens ganz unabhängig if, — daß die Fleine Kugel, 
ich, außer jener drefenden Bewegung, noch gerin⸗ 
Abweichungen feitwärts unterworfen iſt (gleichwie 
e Körper, deffen Schwerpunft nur in einem Punkte 
erftügt iſt) die natürlicher Weiſe für bie fortſchrei⸗ 
ve Bewegung nicht gleichgültig find; obwohl diefel- 
an beyden Seiten durch die Ränder des Kanal ein« 
hränft werden. — Diefe Abweichungen nun wer⸗ 
mittelſt des doppelten Kegeld vollig vermieden, deſ⸗ 
Schwerpunkt nicht in einem Punfte nur geftüge 
fondern jedesmal in zween Punkten, in gleicher 
fernung vom Schwerpunfte, auf den Raͤndern des 
mis aufliegt. 





vi 


2 WM. Räfne, über Jungenickels 
. * J 


Jungenickels Vorſchlag, den Kreis vermittelt 
des ſenkrechten Cylinders zu rectificiren; darge⸗ 
he von a G. Kaͤſtner. | 





I) Aır der krummen Släche eines folchen Cplinderk 
befchreibe man eine krumme Linie, die mit jeber Seite de 1) 
Cylinders Winkel von 45 Graden macht. 


2) Zwiſchen den zween Punkten, to biefe Erum 
me Linie in eine. und dDiefelbe Seite einfchneider, If da 
Stuͤck der Seite, fo lang ale der Umfang ber Srundſo 
che des Cylinders. 3 


3) Bon. einem rechtwinklichten gleichfehenttichtn 
Dreyecke, deffen Grunblinie ih um den Umfang. det 
Grundflaͤche des Eylinders Iegen ließe, gäbe die Hype 
tenufe, erwähnte krumme Linie ald Schraubengang. 
Die Höhe des Schraubenganges wäre der Grundlinie bed 
Dreyeckes, oder dem ilmfange der Grundfläche des. Cy 
linders gleich, und diefe Hoͤhe ift das genannte Stuͤck 
der Seite. 

4) Das lehret Jungenickel, Schluͤſſel zur Mecha⸗ 
nica; (Nürmb. 1661;) 193.%. 289. S., und meynt, 
man koͤnne das beym Krummgerademachen ja ſo wobhl 
Brauchen, als die zufammengeflichte Duadraticem, mit 
welcher doch Schwenter weiblich pranget. Und wenn 
man des MWinfeld von 45 Graden, Hälfte, Viertheile 
u. ſ. w. braucht, bekoͤmmt man Hälfte, Viertheile u. ſ. w. 
des Umfanges. 


5. Nur hat Jungenickel nicht gezeigt: wie man 


um einen Cylinder eine krumme Linie ziehe, die mit jeder 
| Seite 


a 


Vorſchlag den Kreis zu rectifieiren. 333 


Ssite des Cylinders einen und benfelben gegebenen 
Binfel. macht? 


Es wäre eine Lorodromie auf einer cplinbeifchen 
krde. | 


...6) Gleichwohl thut Jungenickel, ald wenn bie 
Srechanifer das fehr in. der. Uebung bitten: „Wie 
reiffen auf der Spindel der Länge nach eine Lineam, bie 
mit dem Schraubenfuß zweene rechte Winkel macht, fol 
eher einen Winkel theilen wir in zweene gleiche Theile mit 
einer Linea, die da um die Spindel herum laufe, das 
Kr bie. ſich gleich aner Schrauden- tinea binauf 
Rinde “ BEE: 


") Jungenickels Sud, ift ein. "Sefprih zwiſchen 
einem ingenieur, der in Strasburg und: Altdorf ſtudirt 
bat, uud einem Mechaniker, nämlich Jungenickel ſelbſt. 
Der. ingenieur zeigt gar nichtd von ‚ber Faͤbigkeit Des 
Seele, von ber er den Titel hat, und, fo unvolfommen 
auch in angemandter Mathematik und Naturlehre, der 
damalige UniverfitätSuntergicht gewefen feyn mag, ſcheint 
es mir doch, er hätte meht lernen fönnen, und gegen 
den Mechaniker eine beffere Figur machen. Er lernt vom 
Mechaniker, die erften Lehren vom Hebel und den eine 
fachen Ruͤſtzengen. Sn fo vielen alten Gortificationd« 
büchern wird doch fhon von Mafchinen gehandelt, daß 
ein Ingenieur das wohl hätte wiſſen ſollen. Weil aber 
ei Mechaniker das Such gefchrieben bat, fo iſt bie Schlla 
verung des Studirten vielleicht fo gerashen, wie nach 
deln Gedanken jenes Löwen, Kämpfe zwiſchen Löwen 
und. Menſchen vorgeftellt würden, - wenn Loͤwen Mahler 
wären. Sie wäre doch natürlich zu fragen: Wie 
rriſſet ihr denn dieſe Lineam? Des rechtwinklichten 
me Grundlinie muß ſich um des Kreiſes Um⸗ 
fang 


⁊ 


334 VIE Kaͤſtner, die Kettenregel 


fang legen laſſen, alſo kann man ſie nicht eher geld, 


nen, bis man ſchon die Laͤnge des Umfangs weiß. 


8) Unter den unzähligen verungluͤckten Vorſchlaoͤ⸗ 
gen, den Kreis zu rectificiren, verdient dieſer wohl im⸗ 
mer noch mit aufbewahrt gu werden, weil er vi. 
ter feine Fehler hat, als bie, daß er das Verlangte 
gäbe, wenn man ihn ausführen koͤnnte, ohne das Bu 
fangte fchon zu haben. Auch ſicht die Analyfe, -durd 
die J. darauf koͤmmt, fpigfündig genug aus: „el 


rund und gerade. zwey widerwaͤrtige Dinge find, ...' 


und boch mit einander verbunden find, fo bleibt ein jebed 
in feiner eiguen. Art. Darum, wenn man. eine cirkk 
sunde Lineam, oder eine cirfelrunde Flaͤche in eine gem 
de verwandeln will, fo muß man es nicht auf bem fe 


hen Papier verrichten, ober auf einer andern gerade. 


Flaͤche, fondern es gehört eine folche Fläche dazu, bie pe 
gleich beydes hat, als, bie da rund und auch lang ik, 
allerdings wie ein Cylinder oder Schraubenfpindel.“ 


VII. 
Die Kettenregel; vor Graumann. 





J. ber kaufmaͤnniſchen Rechenkunſt, wird Braumam 
gewoͤhnlich fuͤr den Erfinder der Kettenregel angegeben 
Der Mathematiker kann das nicht anders verfichn, alt 


daß Gr. fle etwa zuerſt auf erwähnte Rechnungen auge ' 
wandt habe. (Meine Fortfegung der Rechenkunſt, 1. Kap. 
3. Abſchn. 27 uf S.) Im x1. Th. der neuen auserle⸗ 


ſenen arithmetiſchen Geldtabellen. .. von J. P. Grau⸗ 
mann, 2. Ausg. Hamb. 1734. ſagt Gr.: Er habe 


Ket⸗ 
| 


‚dor Graumann. 335 


Kettenregel ober Conjointe zu Hamburg suerft bekannt 
gemacht. 

Die Hamburger Nechenmeifter, denen dieſe Negel 
allerdings neu war, hätten fie gleichwohl feit dem An« 
fange des Jahrhunderts aus einem holänbifchen Rechen⸗ 
buche lernen fönnen: De vernieuwde Cyfferinge 
van Mr. Willem Bartjens ... . vermeerdert ende ver» 
betert door Mr. Jan van Dam. En nu in defen 
laatften Druk ... door Willem Koolenkamp. Utrecht 
1705. 8. 192 Seiten. 

Da ſteht 176: S.: Den Regel conjoin, of 

« 1’Samengevoegden Regel, anders Regel van Ver- 
. gelijkinge 

Iſt die Kettenregel, auch mit einem der Namen, 

die Gr. ihr giebt, auf Vergleichungen von Maaßen, 

Gelde u, fe to. durch Zwiſchenverhaͤltniſſe angewandt, wo⸗ 
bey auch gezeigt iſt, wie die Rechnung durch Regeln Detri 
gefuͤhrt wuͤrde. 

| Sie wird auch da nicht für new ausgegeben, und 

muß alfo ſchon ſeyn in ber Kaufmannsrechnung welipre 

worden. 

Ihrem Namen nad) ſolite man vermuthen, baß fie 
ans Sranfreich abſtamme. Graumann veranlaßte bey 
mir diefen Gedanken nicht, weil. bie Deutſchen gern alles 
franzoͤſiſch neunen, wenn gleich Frankreich manchmal ſo 
wenig davon weiß, als von vielen franzoͤſiſch benahmten 
Moden. Der Hollaͤnder aber iſt gewohnt, ſelbſt Kunſt⸗ 
woͤrter in ſeine Sprache zu uͤberſetzen, denen der Deut⸗ 
ſche die Spuren Ihres Urſprungs läßt. Es iſt alſo zu 
vermuthen, daß er vom Franzoſen gelernt hat, was er 

feangöfifch benennt. Die Benennung von ber Kette 
koͤnnte allenfalls Graumanns fepn. 
A. G. Kaͤſtner. 





VIII. 


° vm. “hen, was ift Schünzeug? 
VIII. 


Was r Schünzeug? 


En“ mathematiſches, in allen großen Bergwerken 
braͤuchliches und alſo genanntes Inſtrument, womit mas 
. bie Bergwerke abſchuͤnet, d. i. abmißt. 


2. . Irb. Balnafors: Ehre des Herzogthums Era 
aybach 1689. Fol.) 1. Th. 4. B. 12.. 6. 554 ©. 


‚Der Frepherr ergäßlt: „er habe 1685, mit. fh 
em Schünzenge bie bepden Seen, ben bey Kumpel und”. 
ben bey Podpetſchio, welche eine Meilwegs von'einde i 
der liegen, mit großer“ Muͤhe abgeſchuͤnet, und befune 
ben, daß beyde Seen juſt unter einem Hoͤrijont liegen“ 


Es muß alſo eine Art von Waſſerwaage (ey. ä 


Mir iſt der Name in dem, was ich auch von großes 
Bergwerfen gelefen babe, nicht vorgefommen, auch fin 


de ich Ihn in Friſchens und Adelungs Woͤrterbuͤchern 


nicht. Es muß alſo ein Probinzlalname fon wie ſelbß 
das Zeitwort abfehimen. Ä 


2.6. Kaͤſtner. 





I, 


._ 
r 
Rn ———— im — — — 


37 
| 
Auszüge und Recenfionen neuer. Bücher. 





tt - 


1. Disquifitiones analyticae, maxime ad Calculum 
Integralem et Doctrinam Serieruim -pertinentes. 
Auctore Jo Frider. Pfaff, Prof, Math, P: OÖ. in 
Vniv. litt. Helınftad. Acad. Sc. Imp. Petrop. et 
Soc. Reg. Sc. Gotting. Correipondente. . Vol. I, 
Hlelmft, ap. C. G. Fleckeifen 1797, 133 Df. 


Herrn Prof. Pfaff's Verdienfte um die Analyſis Überhaupt, 
und die Summirung der Reihen insbefondere, find befannts 


auch iſt der von ihm (1788 Berlin, bey Himburg) herausgege⸗ 


dene Verſuch einer neuen Summationsmerhode, nebſt anvern 
damit zufammenhängenden analytifchen Bemerkungen, mit alt 
gemeinem verdientem Beyfalle aufgerrommen worden... In die⸗ 
fem Verfuche, ber größtentheils Ausdräcde für Summer von 
Reihen der Sinuffe und Eofinuffe vielfacher Bögen, auch mie 
geometrifchen,, algebraifhen und recurrtrenden Reihen. verbun⸗ 
den, enthält, ſah Herr Pr. Pf. feine Methode keinesweges für ers 
ſchoͤpft, noch die Unterfuchungen alle für gänzlich vollendet an; 
er erklärte ihn vielmehr für ein Fragment von ausführlicher 
- Unterfuchungen über die Lehre von den-Neihen und ihren Sums 
men, und gab fo zu fernerer Ausbildung und Ermeiterung dien 
fer fo wichtigen Theorie die angenehme Hofnung. 


Diefer Erwartung entfpricht dog, was vorißt von dem 
erfien Dande analytifcher Unterfüchungen nur allein erfchienen 
ft — die erſte Abhandlung: de Progreflionibus arcuum 
- eircularium, quorum tangentes fecundum daiam legem 

ocedunt, vollkommen. Zu den merfivürdigften Reihen von 

eishögen, deren Tangenten nach einem gegebenen ober wills 
tührlich angenommenen Gefeße fortgehen, find diejenigen vors 
nehmlich zu rechnen, von denen Euler bereits (Comm. Vett. 
Ac. Sc. Petrop. T. IX, p. 234) ein Paar Benfpiele. anführt, 
und ſpaͤterhin (Nov. Comm, T. IX. p. 40 — 52) bie Sums 
mirung folder Reigen, aber nach einem indirecten Verfahren, 


. Gichentes Heft, P vor⸗ 


338 IX, Anszlige und Kecenfionen neuer Bücher. 


vortraͤgt. Sie fehlenen diefem großen Geometer um fo mehr 
alle Aufmerkfamfeit zu verdienen, weil nod keine Methode bes 
kannt fey, ihre Summe a priori zu finden, und die Bogen 
ſelbſt unter ſich alle incommenfurabel find. Er hielt fogar bie 
Auffindung einer allgemeinen directen Diethode zu Summirung 
ſolcher Reihen, für jedes willtüßrlich angenommene Geſetz ber 
Tangenten, wo nicht für unmöglich doch für fehr ſchwierig, begnuͤgte 
fi daher mit der Anwendung feines an fich zwar fimpeln, abet 
nur a pofteriori gefundenen, Verfahrens auf leichtere Fälle, und 
mit der Empfehlung, diefen Gegenſtand, der es allerdings ver 
diene, gelegentlich weiter zu verfolgen. 


Das iſt die Veranlaffung zu ber gegentwärtigen Abhand⸗ 
tung. Here Prof. Pfaff hat zwar im jener erſten Schrift 
(Abſchn. XIX. ©. 99), auch von folhen Reihen gehandelt, | 
uUnd fein Summationsverfahren,, nebft noch einem andern, base 
auf angewendet; aber nur fehr kurz und unvollfländig; indem 
er ſich begnuͤgt, bie Gründe a. a. O. nur überhaupt anzuzeigen, 
ohne fich ins Detail der Rechnung näher einzulaffen (daf. G. 
103.).. In der gegenwärtigen Schrift hingegen wird diefer der 
genftand ausführlich behandelt, und zugleich eine Directe, ſehr 
viel umfaffende Methode, die Summe von dergleichen Reihen 
zu finden, vorgelegt; eine Methode, bie von jener erften (nad 
welcher die Summen unendliher Reihen dadurch gefunden wer 
den, daß man die einzelnen Glieder derſelben felbft in unendlis 
che Reihen aufloft) ganz verfhieden ift, indem bier die Summi⸗ 
sungen fämtlic auf Producte aus einer unbeſtimmten Menge 
Sactoren (Producta indefinita) und ihre Werthe zurückgeführt 
werden. 


Das Ganze enthält drey Abſchnitte. Der erfie (©. 
g— ı0) giebt (Probl. und Theor. I. nebſt Coroll. ı, 2, 3) all. 
gemeine Sormeln, aus gemeinen trigonometrifchen und alge 
braifchen Lehren abgeleitet, die fich auf jedes willtührliche Fort 
gangsgefeb der Tangenten, fo wie auf endliche und unendliche 
Summen der Kreisbogen erſtrecken. Won den nur erwähnten 
Productis indefinitis und ihren verfchiedenen Ausdruͤcken unb 
Werthen handeln iInsbefondere ss. VI — IX. S. 7 —9. In 
der Folge werben, bey der Anwendung dieſer Grundformeln, 
zwey Gattungen von Reihen unterſchieden, und ihre Behand⸗ 
lung in den beyden folgenden Abſchnitten ausführlich nachgewie⸗ 
fen. Der zweyte, In zwey Capitel abgetheilte, Abfchmitt 8 

10 — 65 


IX, Auszuͤge und Hecenfionen neuer Bücher. 339 


15 — 65) befchäftiget fi) mit Summirung der erfien jener bey⸗ 
den Gattungen von Reihen, dahin alle diejenigen gehören, des 
ren Summe aus den allgemeinen Formeln des erfien Abſchnitts 
fid) zwar nicht, ohne Beyhuͤlfe anderer Säge ber Anafyfis des 
Unendlichen, ableiten, aber doc) durch einen Bogen ausdrüden 
läßt, deflen Tangente man algebraifd, angeben kann. Solche 
Meiben nennt hier Hr. Pf. in diefer doppelten Hinſicht alges 
braiſch ſummabel. Daher die Ueberſchrift dieſes Abfchnitts : 
_ Inveftigatio ferierum algebraice fummabilium, und der Sins 
halt der Aufgabe (Probl. II. p. 10) womit er anfängt: Inve- 
ftigare formam generalem ferierum, A.tangt'+ A.tang t” 
“> Astangt”...... A. tang tx, algebraice fummabilium. 
Ale Reihen, die Euler in der oben angeführten Abhandlung 
fummitt bat, gehören zu der erfien Gattung, die hier wieder in 
z3wey verfchiedene Arten abgetheilt, und jede in .einem eignen 
Eapitel behandelt wird. Zu der erften Art gehören die meiften 
Enieriihen Erempel, die bier (p. 16, XVIII, p. ı7, 5) nur 
nachgewieſen, deflo genauer aber die Analyfis berfeiben, und ihre, 
fo viel ſichs chun läßt, einfachen allgemeinen Formeln (derglets 
hen Euler nicht gegeben Hat) dargeftellt werden, infofern fie 


ämtlich der fummabeln allgemeinen Forms A,tan ! 
ſamtlich —E 





+ A, tan +-A.tang 


I- I 
®4LFaMFN SLFaMEN 
I > 

.. H+ A. tang —— — — A.tan , mit der Bes 
+ SIz2rMxFN STFM . 

dingungsgleihung sa LN =M?— L+ 4 unterworfen find. Bon 

der zweyten Art hat Euler nur vier Benfpiele gegeben (hier 

p. 35, XLIII, 25 p.41,LIV; p. 43, LVI, 2; p. so, LXXII, 2) 


I I 
von denen das erfie der Form: A. tang - — A, ai —— — 
Ä f ip —ãA 


— etc + A. tang I. r ete 
7 





1 
A. — — 
t ·a. tang A(A?+2)?—A 


*44 tung — (wo die Nenner ineiner recurrirenden Reihe von 

der Scale A?-+2,— 1, fortgehen) das zweyte der Form: 

A. ung HA. tagt etc-+ A. tang 4 ete==4A. —* 
Z 


. (bie Nenner find bier Quadrate, deren Wurzeln eine reeurri⸗ 
| Ya rende 


340 IX: Hahjüge und Recenſinen neuen Blcher: 
gende Relhe ber Siale A,— 1, bilden; B=A? gefeht) zuge ⸗ 


* welche Fotmen gleichwohl · in auderer Ruͤcſicht nur, fpes 
"elalle Bälle anderer viel allgemeinerer Sizmmationen dorſteticn 


n ber beynen oͤbri⸗ | t Euler ni einmaf & 
ee ber Bönne ia ben Miphriden 55 


sten des, Bogen angegeben, das hier nachgeiviejen Ypird; 
und im lehten Sale seine tesurriende Reihe mit Yubän 
(iiem jecutientempeumlappendice; vergl. ©, 27. 

. Die Auffuchung der allgemeinen Form der. Neiben, 
A.tang. U + A.tang, 2’ A,tang. "+ etc, die ſich al “ 
ſummiten laſſen, (wie hier in zweyten Abſchnitte nur allein bes 
grachtet werden) laßt, ſich auf den Ausdtuck eines unbefimmten 

* Propurts (6. VI) zurückführen; und fe ift denn für die Sums 
ſolcher Reiben uͤnſtreitig der einfachfte, und daher, auch zuerſt 
. XU, XV) in Erwägung gezogene Fall, wenn die unbejkimmte 
ge ber Bactoren Des Products, welches die gefüchte Sum | 
me barftellt, Brüche find, deren Zäpfer und. Nenner fo auf eine | 
ander folgen, baß fie ſich immer wehfelfeltig-aufbeben, und 
nur der. erſte Zähler und lette Meuner Übsig bleiben, wie üt 
91 9203 Oma) 9x __9ı Ei 
—. — — * — Ein an⸗ 
92 9394 .Px .Plxtı)  Plxtı) : 
“ derer. Fall, wo ein unbeflimmtes Product auf ein beftimmie® - 
zurückgeführt vofrd, iſt (6. XII, 5, p. 12.) B 
BI - 92 Or: P(ıtr) ©ox 
9Gtr) PICH 75) 92r @lıt2r) Plx+tn) \ 
or 92... pr. wenn 
_— u 75 davon auch ſpaͤt 
Yiatı).9(&+2)...o(xtz) ‘ » in 
eine Anwendung auf Probl. VII. s. LXXX VII. gemacht wors 
den iſt. Die Summe der Bogenreihe: A.cot A+ A.corB 
eh Acot Z.., deren Eotangenten in einer recurrirenden 
Reihe fortgehen und gegeben find, mit den Bedingungen, wenn 
ſich ſelbige aigebraiſch angeben läßt, wird 5. XXXLV. in Bes 
trachtung gezogen, auch ($. XXX VL) gezeigt, wie man aus der 
Surmme der Reihen von unendlich viel Gliedern (mie hier ges 
wöhnlid vorfommen) die, für eine beftimmte Anzahl lieber, leicht 
herieiten könne. Ver Hauptfag für dergleichen durch Cetch⸗ 
genten gegebene, Vogenreihen, iſt in dem allgemeinen ($. 
vn. 2, p. 31 aufgeftellten) Theorem enthalten. Zu der 
quemer Veberficht des weitläuftigen Inhalts deſfelben, And be 
fondere Säle davon in 7 fpeciellern Lehrfägen (55. —— 
* —* 7 91 










IX. Auszüge und Recenfionen neuer Bücher. 341 


XLVII; LI; LVII; LXIV; LXVIII; LXXXV) aufge 
fiellt, wo mehrere Beftimmungsgleichungen auch Aufſuchung ra⸗ 
tionaler Werthe für gewiffe Großen gegebener Functionen ober 
Gleichungen vorfommen ($. LXLII und der Lehnſatz s. LXXVII 
mit feinen Anwendungen) und überall Erläuterungen ber aufges 
führten Säße an Buchſtaben⸗ und Zahlen : Erempeln nachgeivies 
- fen werden. "Aus dem bier Beygebrachten kann man fhon, ohne 

die Lehrfäße felbft vor Augen zu haben, die große Verwickelung 
‚abnehmen, die hier vorfommt, too gleichwohl der Herr Verfafs 
fer alles mit größter Deutlichkeit und hinreichender Ausführlichs 
feit auseinander gefebt hat. Wollte man, wie 5. XXX ein 
Benfriel vorfommt, aus der unzähligen Menge von Reihen, 
die fi) nach den Saͤtzen des zweyten Abfchnitts fummiren laſ⸗ 
fen, zwey oder mehrere zufammen addiren, fo würden das 
durch neue Bogenreihen entftehen, die fi, fummiren ließen, des 
ron Cotangenten aber nicht mehr das bisher betrachtete recurri⸗ 
rende, fondern ein anderes, mehr zufammengefebtes, Geſetz 
befolgen würden. Da die Betrachtung ſolcher Reihen auf fehr 
verwickelte, wenig allgemeine und vielfach beſchraͤnkte Saͤtze fühs 
ten würde: fo bar Herr Prof. Pfaff, um allzugroße Weitläufs 
tigceit zu vermeiden, es bloß bey der Anzeige Cs. XC, 2), wie 
nran bier weiter gehen koͤnne, bewenden laffen. Der Dritte 
Abſchnitt (p. 65 — 132) bat die Ueberſchrift: Inveſtigatio 
ferıerum tranfcendenter ſummabilium, betrift alſo Reiben, 
wo die Summen ſich traſcendentiſch angeben laſſen; deren Er⸗ 
forſchung ſchon ſchwieriger, als die im vorhergehenden Abſchnitte 
iſt, und Kenntniſſe der hoͤhern Trigonometrie und Analyſis vor⸗ 
ausſetzt. Im erſten Capitel (Ss. XCII —- CXXXIII) voran 
einige Lehnſaͤtze, wo der Werth von Producten aus unzaͤhlig viel 
Sactoren, durch logarithmiſche⸗ Kreis und trigonometrifche Func⸗ 
tionen, alfo tranſcendentiſch, ausgedrückt wird, von Süßen abges 
leiter, die Job. Bernoulli erfunden, Euler, Kaͤſtner, 2’Zuilier 
erwiefen und zum Theil weiter angewendet haben. Dann fols. 
.. gen (Probl. VIII - XV. mit ihren Zufäßen und Anmerkungen) 
yerfchiedene den verwicelten Unterfuchungen zum Grunde liegens 
de einfachere Aufgaben. Bey. diefen wird, aus der Reihe 
allgemeinem Gliede das Product aus unzähligen Factoren 
-(Productum indefinitum) nad) den Lehrſaͤtzen hierüber ım er⸗ 

fien Abfchnitte, abgeleitet, und der Werth diefes Products. (die 
Summe der gegebenen Reihe) nach einem der vorangeſchickten 
Lehnfähe ausgedrückt. Weitere, zum Theil ſehr verwidelte Ans. 
wendungen diefer Aufgaben Tomas" im folgenden zweyten Kar 
Ä 3 Ä pite 


2342 IX. Auszüge und Necenfionen neuer Bücher, 


pitel (s. CXXXIV —CLXII) vor, weldhes Summationes 
generaliords enthält, und mit ber wichtigen Unterſuchung 
(Probl. XVI. $. CXXXIV— CXL) anhebt: Einen Bogen, 
deſſen Tangente irgend eine gebrochene Function von z ifl, 3.8, 


| Aug in fo viel Bogen zu zerlegen, deren Tangenten ein? 
g’ a” . 
A.tang — 4 etc 
z+ Fr z+b" re 
> A.tang * „auf wie viel Grade der Nenner Q fleigt; 
2 0. | 


und diefe Zerlegung iſt immer real, welches bey ähnlichen; Zer⸗ 
legungen der Funktionen nicht der Fall iſt. Diefes, und was 
der Herr Verfaffer hierbey über die Kennzeichen fummabler Rei⸗ 


ben beybringt, nachdem F irgend eine functio fracta par oder 





fache Brüche find, wie A.tang 





impar der veränderlichen Größe, mit durchgängig pofitiven oder 
abwechſelnden Zeihen iſt, zeigt den großen Nußen bey ſolchen 
Reihen, deren Summe durch einen Bogen ausgedrückt wird, 
deffen Tangente felbft tranfcendentifche Größen enthält. Bey⸗ 
fpiele folher Summen von Reihen, die man In doppelter Hins 
ſicht tranfcendent » ſummabel nennen kann, Het vor Herrn 
Prof. Pf. niemand gegeben. Die Schwierigkeit des in biefer 
Schrift fo meifterhaft behandelten Gegenftandes har nicht felten 
zu lehrreichen analytifhen Bemerkungen und Unterfuchungen 
Anlaß gegeben, 3. ©. über die Factoren der unmoͤglichen Groͤße 
Q+Py-ı=xatbtay—ı. Diefe innen zwar aus 
den Factoren von zU-+-B, vermittelft des Cotcſiſchen Cehr⸗ 
farzes, abgeleitet werden, wenn man dort B=b+tay —ı 
feßt; aber in dem Beweiſe diefes Lehrfaßes wird B gewoͤhnlich 
als: eine mögliche Große vorausgefeßt (5, CXLVI). Dieſes, 
und der Umftand, daß man bey Behandlung der imaginären 
Groͤßen ſich leicht verfehen und in Fehler verfallen kann, hat 


Heren Pf. bewogen, die Auffindung der einfachen Factpren der . 


unmöglihen Größe m +b +ayY —ı in einem Lehnſatze 
($. CXLVII) aus befannten trigonometrifchen Gründen ; aus 
. führlih nachzuweiſen. Deutlichkeit, Ordnung und firenge 
Buͤndigkeit in den Auflöfungen und Beweiſen der Säge, mar 
chen diefe Schrift, durch welche die Analyfis der Reihen fo fehr 
iſt erweitert worden, befonders lehrreich; auch find. darinn ver 
ſchiedne neue, den Druck erleichternde und. Raum erfparen 

ei 


4 


IX Auszüge und Recenſionen neuer. Buͤcher. 343 


leicht faßliche Zeichen eingeführt worden; welches um fo verdienſt⸗ 
licher iſt, jemehr durch felbige bey fo großen Verwickelungen, 
als bier nicht felten vorfomnien, die allgemeine Weberficht Ges 
fördert wird. 

Es iſt befanng, wie ſchwierig es ift, aus der Tangente t 
des einfachen Bogens die Tangente » des nfachen (aus Arc, 
ang t ben Arc. tang r) für jeden Wertb von n allgemein zu 
beſtimmen (Käftn. Anal. des Unendl. s. 331. ©. 255). Herr 
M. Eſchenbach bat über diefen Abfchnitt der Käftn. Anal. com⸗ 
mentirt: Ad Fratrem, Cbriſt. Gotth. epiftola:' ineft iꝶ 
locum Kaefinerianum de multipli angulorum rangentibus com- 
mentatio (Lipf. 1785. 20 pagg. IVto.). Der gewößnliche 
Ausdruck durch die Sinus und. Cofinus des nfachen Bogens 
fährt auf die vationale gebrochene: Function 

nAt — Ctꝰ Et⸗ — nr’ ete 
ı —ã— Bie + Det nFrc+etc 

die fich ſehr ſchwer auf eine brauchbare rationale ganze bringen 
läßt, wie erfordert wird, wenn man r, für alle Wertbe vonn 
(nicht bloß für ganze pofitive) zur Berechnung hinreichend bes 
quem ausgedruckt verlangt. Kerr E. hat fich Hierbey, das Ges 
feß des. Fortgangs in den Eoeffickenten der entwicelten Reihe 
für # deutlich darzuftellen, der Combinationsclaffen: aA, 
buB, enC, etc bedient; da aber, auf dem von ihm gewählten 
Wege, diefe Eoefficienten nicht nach Potenzen von n geordnet 
(wie man fie der Bequemlichkeit der Rechnung wegen braucht) 
fid) ergeben, auch nicht ohne viele Mühe zufammenrechnen lafe 
fen: fo hat Recenſ. (Leipz. Diagaz. der Mathem. 1786. ©. 270) 
gezeigt, wie ſich, durch eine verbeflerte Analyfis, der geſuchten 
Heide 7 allgemeines mte Glied 7m, vermittelft der ers 
noutlifchen Sablen, in einer combinstorifchen, nad) Poten⸗ 
gen von n geordneten, Sormel *) darftellen laffe. Aus den 
Yg Schwie⸗ 


Igch bediene mich dieſer Gelegenheit, das a. a. D. aufgeführte 
allgemeine mte Glied der Reihe x in einer verbeſſerten Bei 
nung bier vorzulegen, und zugleid ein paar Druckfehler, in 
den gpoen legten Sellen des Zeigers, aufzuheben. Es if 
namlich: 


2(32. Ant 

s7m= Fr. aMmAn'+ ——.atica® ... 
m 

Ri F_YY gm—ı | m—ı 


1, 2, 3. 4. .. 2m 
wo 


ik: 


344 Vlachige und Reeenſionen u, 


Sqwierigkeiten, die Ayo hier:· vackommen/ wo Doch alle eins 


⁊ 


Ze 


fache Bogen ; und eben: ſo auch ihre Tangenten, einander 
Pe find, kann man ſchon auf Die große unih ſchwierige Wer 


. widelung rechnen, welche die Auflofung der. in gegenwärtige. . 


Abhandlung vorgettagenen weit allgemeinern Aufgabe, Haben 
muͤſe, wo die Bogen unter ſich, und eben fo ihre Tangenten 


t X; r, ete ſaͤmtlich verfchieden find. Daß die Summe. 
J —— dem Geſetze beruhe, ihre Taripeniten 


in die Augen; dahin gehören bie von Herrn Pf. 

angegeberien Bedingungen, unter welchen die Tangerkte-des Der: 
gene Fre Summe —— oder æ tranſcendentiſch 4 a 
t. u 


Einzelne Hroben Biefer muflerbaften Anckuhrnng aufzuſtel⸗ 
fen, wuͤrde ſelbſt fuͤr dieſes Journak zu weitlaͤuftig ſeyn. Statt 
aller andern’ mag Jedoch hier die erſte Aufgabe (9. IV.), die 
Grundlage aller übrigen, dienen, beren Aufloͤſung Here Pr. Pf. 
in einer combinatoriſchen Formel gegeben bat: „Die Sum : 


. „me seiner unbeſtimmten Menge von Kreisboͤgen, deren. Tan ; 


„genten einzeln gegeben fi fin ad, in einem Bogen amszudrüden, : 


ndeſſen Tangente aus den Tangenten jener Bogen zuſammenge 


„ießt, alſo eu beſtimmt gegeben ift.‘ | 

Für 

w, -. | 
fe m=1 2, 3, % et 


mM—I 

kommt A = Y, 3, €, D, etc 
2m—3 

. und a — a, 6, et, 9, etc 





3m—2 
‚und A = A, C, E, G, etc 
und hieraus folgen der gefuchten Reihe Glieder, nach ber Ord⸗ 
nung. Namud A, B, C... bedeuten hier die Bernoulliſchen 


Zahblen; , ben um m—ı Gtelen von A vorwarts entferrt 
Hegenden Suhflaben; A, bie (2 m— ı)te Combinationschafft, : 


- 23734 
und zwar hier zur (nebenfiehenden) Summe 2m — 1; a; de . 
Dazu gehoͤrſgen (2 m—r)ten Polnnomtalcoefficienten. Die Bew : 
noulifchen Zahlen find bier nach Euler duch U, ©, au: 
gedruckt; die Abeigen, combinstorifchen Zeichen befolgen Die 
einmal von mir teinelnhete und fefigefegte Bedeutung, Ä 


„IX Abzüge und Kecenfonen neuer Bücher. 345 


Für zufammengebörige 7 
Kreisbogen «, 3, Y, I 8 .ıe 2 
und Tangenten t!, tl, U, UV, tV... 
«wo alſo 
tang. & =t; 3 #2 Arc tang. Ü 
tang. B=t; ; B = Arc. tang.t 
tang. y—=t"; y= Arc, tang.t 
% f. w. ift befanntermaßen : 


tang “+, = it „; 
she ober A. tg. t Hate. "A. tg. —— 
tt 


Daraus wird (die Summe von zween Bogen als dem ers 
ſten, und dazu einen dritten als den zweyten, genommen) der 
Werth der Summe von drey Bogen, und fo toeiter von vier, 

< fünf und mehrern Bogen, gefolgert und erwiefen. Die eombie 
natoriſche Sormel dafür (flatt @, 8, y, ⸗ .. die obigen Werthe 
geſetzt) iſt, folgende: 


Arc. tang.t'+ Arc. tang.t t"+ Arc. tang, !”+etc 


A—E+E— _ GEHT —L’+ere 


—B+D— F+-H'—K'tetc *) 
c, tb, ni, DI... 


.„. “Arc. tang. —— 


Demnach iſt, fuͤr di Summe von zwey, drey, vier, fünf... 
Bogen nad) ber Dronung, oder 


1} 


"Arc, tang.ı'+ Arc. tang.t"= Arc. tang 
. , 1 — 








| (t, e) 
3g.rttFAtgt+ A. tg. t A. tg. — = 5 
I — 
(t t t“) 
Ys La | A,., wz. 


Hier bedeuten A', B', C. D, etc die erſte, zweyte, dritte, 

vierte; u. |. m. Combinationsclaffe , in deren Complerionen 

. bie Elemente d, t", €"... des Zeigers, fimpliciser Und ohne 
iederholung, vortommen, Das fehe Leichte comdinatoriſche 

| erfahren dafür zeigt Inf. Dign. p. 161, 


nn v un” ⸗ 
⸗ * 1 


. 346. 1X. Mid;lge und Recenſtenen neuer Batte 
| | | ya, re —F 
0 0 0 . 0 tav ==A. ———— ————— 
A, tg. t -FA.tg En % 
j (v, te, "s m) “ 

| . A—C+E - 

u .' . { PK ur —0 . 9 Y — A, 0 mg — 

Et. A = SIEB} 
| 0 Ce, te, t", ev, t”) on 
u. ſ. w. fo, daß immer die Anzabl der aufzufuͤhrenden Combi 
"> mationtelaffen A’, B',... und F — r, * m 
iger, mit der Menge der zu fummirenden Bogen KK. 
—— ——— Werden z. B. hier in der verl J 
ten Formel, die cınzeinen Eomplerionen für ihre Claſſen u‘; 
“fee, fo yermanbet fi, für die Summe von vier Bogen, } 


A 
AS TZEHD ver 
HH 


A. ——— ⏑⏑ — ——— — 
*8 1 BT A Glen 3) Sud da dl a 11 ee 20 ZU Fr Dr 






\ . . » 
Statt der hier mit + und — verbundenen Blieder ; (be 
ren Anzahl in der Folge beträchtlich anwächft und größer wit) - 
laſſen fich bequemer Factoren ſchaffen; und fo wird (6. VI) ge : 
zeigt, wie man aus dem erften und einfachfien Satze der Ste 
ungen (vom Verbalten der orten berfelben zu ihren 


Wurzeln) die Ausdruͤcke A-C+E — G' ter mw: 
1 B+D—Fterc[auf(r HZ) (FL)... beige | 
2 2 — 4 


and nachher 22=ı oder z=y —geſetzt] in Faetoren von 
der Form (I Fr" Y—ı) verwandeln, und dadurch vermit 
telſt bequemer Zeichen (6. V. hypoth.) das Productum indef- 
nitum darftellen Eonne, um felbiges an die Stelle der obigen: 
combinatorifchen Functionen zu feßen, J 


Der erſte Band enthält voritzt nur dieſe einzige Abhand⸗ 
lung, die fih. mit S. 132 fehließt. Der unten auf diefer Geite 
ehende Cuſtos Noua verſpricht zwar- eine Fortſetzung; es IR 
aber bis itzt noch nichts weiter, als diefer erfte Auffaß, erſchie⸗ 

nen und in den Buchhandel gekommen ; obgleich ſchon damals, 
als er ausgegeben ward, mehrere Bogen, als hier geliefert-find, 
bereits fertig abgedruckt waren. Was bierbey Aufenthalt ver. 
arſacht, und: was man fih bey einer weitern hortſcbun⸗ des 


f 


X. Auszüge und Recenfionen neuer Buͤcher. 347 


Werks zu verfprechen bat, ‚wird man aus folgenden, für die 
Renner bier mitgeteilten intereffanten, Nachrichten am beſten 
rſehen und beurtheilen tünnen. 


3. Auszug eines Briefes von Herrn Profeflor Pfaff an 
den Herausgeber, 


Helmſtadt, den 16 April 1797. 


Ms die von Ahnen verlangte Nachricht wegen der Hers 
ausgabe meiner Disquif. analyt. anbetrift, fo melde ich Ih⸗ 
nen, daß ich fehr wuͤnſchte (da es mit dem Drucke derfelben, 
mancher Schwierigkeiten wegen, etwas langſam gieng) doch den 
erſten Theil zur bevorftchenden Dftermeffe fertig zu iehrn. Es 
yeigte fich aber dabey , nach einem ungcfähren Ueberſchlage, daß 
das Manufeript dazu zu groß war. sch entichloß mich daher, 
sine weitläuftige Abhandlung von Reibens Summicung, um 
berentivillen ich eigentlich die Ihnen fchon befannte Unterfuchung 
über die Integration einer Differenzialgleichung angeftellt hatte, 
für den zweyten Theil aufzuheben, und dagegen eine Fleinere 
Abhandlung Über die Reverfion der Reiben zu entwerfen, wor⸗ 
inn ich die beyden Auffäße im erfien Hefte Ihres Archivs weis 
ter ausführen und ergänzen wollte. Diefe Abhandlung dachte 
ih nun, zu Süllung des erfien Bandes, und, wegen deg Zus 
fammenhangs, auch die beyden nurerwähnten Auffäße, beyzufüs 
gen. Die Abhandlung über die Neverfion der Neihen habe ich 
auch fat ganz ins Keine gearbeitets. fie iſt aber ungleich auss 
führlicher ausgefallen, als ich es anfangs gedacht hatte. Weil 
nämlich bey der Reverſion der Reihen doch am Ende das Wichs 
tigfte auf den polynomiſchen KLehrſatz ankommt, von dieſem 
aber die combinatoriſche Behandlung manchem Lefer, befons 
ders auswärts, noch nicht recht geläufig feyn möchte, fo hielt 
Ich es für zweckmaͤßig, auch von diefem Theorem zu handeln. - 
Dabey mußte ich nun zugleich mic, auf das eigenslich combi⸗ 
nasorifibe einlaffen, und vornehmlich die neuen wichtigen Aufs 
fchtäffe benußen, die Sie in der neueſten Schrift (der polyno⸗ 
mifche Lehrſatz zc. Leipzig, bey Fleiſcher 1796. H.) hauptſaͤch⸗ 
lich über die combinatorifchen Involutionen gegeben haben, 
Nuͤtzliche literarifche Notizen babe ich überall mit beygebracht, 
auch das Nöthige von Herrn Statsrath Teens Verfahren, wor⸗ 
über ich Ihnen meine Gedanken in einem meiner vorigen ni 
0 | fe 


343 IX. Auszüge und Necenfionen neuer Buͤcher. 


fe *) geſchrieben habe. Herr Tetens wird wenigſtens voͤllige Uns 


partheplichkeit in meinen Aeußerungen wahrnehmen. Vermuth⸗ 


*, Dom 28. Septbr. 1796. Dieſer Brief enthaͤlt ein ausſuͤheli⸗ 


ches Urtheil, meine neueſte Schrift, die Combinationslehre 


ih. 


und ihren hoͤchſtwichtigen Einfluß auf Die Analyfis, betreſ⸗ 


fend (polyn. Lehrf. ©. 153 — 304). , Die hieher gehörige Stele 
wegen Herrn Etatsratb Tetens Subititurionsverfabhren (a.a.D, 


©. 1 —47.) das er überall ſtatt meiner Combinationsmethode 


glaubte brauchen zu können (Ebend. ©. 3, 4.) if folgende: — 


„Aus Heren Terens Auffage babe ich das Wefentliche abſtrahiet, 


„und, glaube, daß ſich das kürzer hatte können fagen laffen. Diefe 
‚meine Bermutbung haben Ste auch befldtiget, Indem das, mad 
„Sie darüber (©. 250. u f.) fagen, eine deutliche anfchaulide 
„ueberiicht in ver Kürze gemdhrt. Daß fich jedes Glied der Pas 
„eng eines Polynoms, auch obne Combinationen unmittelber 
„zu Hülfe zu nehmen, darſtellen laſſe, kann Heren Tetens nicht 
„nbgefprochen werden. Indeſſen fcheinen mir doch feine Opera 
„tionen etwas zu Involviren, was den beym Combiniten erfor 
„berlichen Operationen ſehr aͤhnlich if. Es iſt daher allemul 


„metbodiſcher, dieſes nicht involvirt zu laſſen, ſondern als ein 


„eigenes Problem zu entwickeln, das ſich noch weiter as 
Iſtreckt, und von dem auf das Potenzen⸗Theorem nur cine fre 
„cielle Anwendung Kemacht wird. Go wird denn das ganze Ber 
„fabren ſicherer, leichter zu uberieben, und (auch ſchon we 
„gen der. anfangs nicht nöthisen Rücklicht auf die Polhnomial⸗ 
zevefficienten oder Verſetzungszahlen) einfacher. Ein Bora 
„dee combinatorifhen Darkellung , ber vieleicht allein ſchon den 
„Ausſchlag geben Fann, beſteht auch darinn, daß fie nicht eine 
„blos in Worten mweitlduftig auszudruͤckende Regel, fondern zu 
„gleich eine deutlich gezeichnete allgemeine Sormel giebt. — 
„Herr Tetens jicht die combinatoriſchen Operationen in der Ana⸗ 
„ſyſis fremde an, da fie doch fett Inaper Beit von mehrern Mi 
„tbematifern (Leibniz, de Moivre, Zar. Bernoulli, Cra⸗ 


„mer, Boscovich, Caſtillonz 9.) vielfditig, namentlich bey 


„dem Potenzen s Theorem und bey der Reverfion dee Reiben, ſind 
„gebraucht worden. Auch if der Grund, worauf fein Merfahr 
„een gebaut iR, indem ndmiid p=a+bz-+cz?--erc=a+y 


— m.em — 1 
echt, und fo a m an-i, 


1. event, 

„w. gefunden wird; dieſe Reduction iſt auch von andern, z. 8. 

„Simfon, Euler, auch bereitö von YO. Jones (Synopfis etc. 

. 2706) gebraucht und zu Entwickelung ber Potenzen von unbe 
„ten Erponenten angewendet worden.’ — 

Eine ansführlihe detaillirte Verufeichung meiner Combinas 
tionsmethode mir Herrn Tetens Gubſtitutionsverfahren, findit 
man in meiner oben erwähnten Schrift (S. 241 — 283); 'auch 
hat der Recenſent berfelben in der allgemeinen Litteratur⸗ Bels 

. tung (vom 7. Dec. 1796. No. 380, 381) ſich umſtandlich (9. 
378 — 581) darauf eingelaffen, 8. 





IX, Auszüge und Necenfionen neuer Bücher. 349 


lich wird er bereits für fi den Vorzug der combinatorifchen 
Methode. vor ſeinem Bubititutionsverfahren anerkannt haben. 
Mein Urtheil ftimmt in der Hauptſache volllommen mit dem 
überein, das Sie mir einmal aus einem Briefe von Herrn 
P. K. mitgetheilt Haben, und das ic) auch überaus pafjend aus⸗ 
gedruckt fand *). Ich freue mich der angenehmen Hofnung, 
daß meine Abhandlung über. ein Hauptproblem der Analyfis 
- Ihren Beyfall nicht verfehlen wird. Zugleich glaube id) einer 
Bunfd) einigermaßen erfüßt zu haben, den Sie einmal ſchrift⸗ 
lich gegen mich geäußert haben, daß ich mich nämlich auf das 
Bigentbämliche der combinatorifben Operationen und In⸗ 
volutionen genauer einlaffen ſoilte **). Das habe ih nun 
on - u woirl 


) Aus Briefen, vom 29. Aug. und 30. Nov. 1796. — ui 
balte eö für etwas nicht au besweifelndes, daß der polynomi 
nie Lehriag ganz auf combinatoriihe Ausdrüce gegründet 
„werden mülfe. Denn mas gpeicieht bey der Erhebung einer 
nvieltheltigen @röße auf eine Potenz anders, als daß man ale 
mdglihe Eombinationen der Theile vormimmt?  Gubiittutios 
nen machen hier die Sache dunkel und meitlduftig. — Hexen 
Tetens Sormel und Beweis des polynomiſchen Pehrfages find 
untcht bequem, und erfchweren megen dee Gubflitutionem die 

u nMeberficht. Das einzige genuine Verfahren. if dasjenige, 
was auf den Combinaftonen beruht. Dabey ſicht man die ganze 
ngeneßn deutlich ein. Die combinatorifhen Ausdrücke find 
Kormen von bekannter fehr einfacher Structur: biefe kann 
man alfo mit der größten Klarheit anwerden; bey Gubfitus 
toren bingenen, die bald auf diefe, Bald auf jene Art, gemacht 
nrerden, entlicht unvermeidlich ein Nebel, dee das Vergnügen 
an ber Unterfuchung Rört, fo mie der pbofliche eine Bußtan 


e0) Gewöhnlich geräth man nicht gleich anfangs, fo wie man das 
Zauptmoment einer Sache entdeckt bat, auf.den kürzeten und 

. nathrlichlten Wes es darjufellen und au benuden; noch menis 

ger kann man darauf rechnen, was in ber Sache Let, fogleich 

"und auf einmal gu erfihöpfen. Wen den combinatöriicheie 
‚Operationen iq verfchledentlich aezeiat, wie fih— Toms 

:  »leplonen aus Complerionen, Claffen aus Ciaffen,, Drönungen 

** aus Drdnungen , Merthe aus Werthen — folgende aus vorbers 
gebenden, nach Zahlen s und leritographifcber Ordnting, in hos 
eisontaler und vertifaler Lage (buech Gihreiben der Elemente nes 

- ben und unter einander) von einander ableiten Laffen. Wie vers 
. Agieden find aber nicht die Vorfcheiften und Anordnungen dar⸗ 
er in meinen erfien Schriften und in der Ieäten! in weicher 

- ich alles aufs ındglichfie zu vereinfachen, alles auf rein combinas 
bilſche Begeifie als jelbERdndIge Wiflenrchaft aufzubauen, alles 
unter Ach mit den folgenden Hülfes und Kauptfdgen in Krengen 





wirtiich seen, Fig — In Se net —e 
ſer nomi rſatz“ won nen gegebene 

u i a —— en, Audit. — Won den von. 

— 8 Auſſatzen wird wenigſtens der eine als Ani Ir 

„der Reverfion en kommen. Zu dem Bud babe ii 
igmente ni net: vermurl werde 
—— das Archiv al we Sener handele a 


verwickelten Coefiienengleiävungen ). 3 find Sen N 


‘ folgende: 


1) Die Gleichung * en q’ can 





— x(n—:2)+ uch 
— giebt 


N N 


ſammenhang zu Bringen ‚gefüi 


verfchieden dan Beer 
zeigen et ‚von den 
4®. 202.und 204, nebft 





2 in abfice auf Gtmplicktdt und Allgemeinheit, Kürse und Ber 
quemlickelt, als ganz vollendete Involutionen empfohlen wer 
“. den. Eben das gi auch. von der ———— combiagtotb 
fchen Charakteriftif (Nov. Syſt. Comb. p. xi 
deren nothmendige Einführung iu die te ic (©. — 
288 jener Schrift) dargethan habe; gilt auch’ von dem in de 
fen are ausgedrückten fo vielfachen un! ne - en Belas 
tionen (©. 212—223, 235, 265—267) und Ber 
(8. 227 — 2405 289 u. f. und andermärts) 
mannichfattigftlen Anwendung. — efachen genug, Die micans 
treiben fonnten, an Heren Prof. Pfaff, der ſchon jo manche wihr 
» tige Anwendung per — Re Analyfis gemacht hat 
(Ar. 9. 1. ©. 3; &.67— 73. und ©. 125-193 
der obigen Särtfe) Vie 3 img zu (hun, feinen tiefeindrins 
’ genden Shatfjinn mit den Gründen der Sache felbjt ju ir 
fdfrigen. fe fehr würde nicht 3. ©. die Wilfenichaft nen 
2 mal — und der Wolle — — racht 
‚wenn Jemand ‚combinatoeifhen Suvofutioni 
Ka? 55 und ipnen 


Dr Art von — 2 bi die fit Prof. 
icienten + Bleichungen: nennt, v 

nennung, ned ‘Benfpielen ihrer fung, Gehe m man. defien (iR 
25 
oe ut sen Aufsfungen eben bafelbit 5. 7— 115 verwoiczeltet, 


bier erwahnt werden, ae icon, dort $. 13, 16 vor. Die 


% Benennung Angbefondere sechtfertigen 5. 1, 2, 14 % 


w R dutige und Roeccr ſienen neuer Bde. 


menden, Fönnen bier —* mehtern als Some ao und, | 


als Grumdlagen der 


x, Auszüge und Recenſionen neuer Bücher. 351 
-gxn=pxzn—4p?«:(n—ı)tzps(n—2)—, 
Br £ _p x1. 


.‘ 


2) Die Gleichung pen=qrn— ——g’«(n—ı) 
+ ——1 ’«(n—2)—.. ent 21, 
1. 1.2... 2n—1 


mc q sufgelä, giebt | 
gen=pent — p’ x(n—ı)+ 5* p? x (n — 2) 


u 13.5 1 .(2n—3) __ 
a? Pat. na u 
3) Folgende Goeficentengfeigung zwifchen deey Reiben 
pP 9,0; prn—= Qæi. quan - Qx 2.q*+ix (n—ı) 
7.0 x3 quad (n—2) +... + Qxn. 4 
giebt | 
. a) nach q aufge 














. 22 24 std 
.g .n=-Q ” 1. p* nt ar a 23.p ® ® e(a—ı) 
u DT 3 Ya 
+ — 0 x3.p <(n—2)L... 
-s-(n—nd ran 
ent xNn.p | al3>, 
py) nach aufgeloͤſt, 
I : 
: Q’ x = — Er multiplicirt in 


- gap’«ı „gstta—nd, nt[satd]p* x2.,g* en 1 
ur .+[sa+(n— ı)d]pun.gqrre(n-nd,.; 
u Dieſe Aufgaben ſcheinen mir ſehr geſchickt, den Nutzen der 
eombinatorifchen Analyſis darzuthun, da ſchon, um fie vorzules 
‚ noch mehr um fie aufzuloͤſen, unfere Bekanntſchaft mit 
und ihren Zeichen vorausgeſetzt wird *) — © 
on 


, usfährkicher, in feiner bs 
— er Ne 


552 IX. Auszüge und Recenſionen neuer Bücher, 


‚Bon tem bereits Abgebructen (21 Bogen) überfende ich 
Ihnen hierbey die erften 17 Bogen, welche die erſte, für fich 
ſchon als ein Ganzes, beftehende, Abhandlung ausmachen. ch 
wunfche ſehr, bald Ihr Urtheil zu vernehmen, wie Sie mit dem 
Inhalte und der Methode zufrieden find. Als ih Herrn P.L. 
vor geraumer Zeit einige der einfachiten Summationen mittels 
te, bezeigte er mir darüber feine Verwunderung; auch. ift @& 
wirklich auffallend, Laß diefe eigne Art von Reihen, deren Be 
trachtung doc) auf intereffante Reſultate führe, bisher faſt gang 
iſt überfehen worden *). — ie äuperten vor einiger Zeit den 

| | Wunſch/ 


124 — 126 über bie Wichtigkeit meiner Cokal⸗Zeichen und For⸗ 
mein geurtheit. Die dort —8* 125 — 151) vorkommenden zahle: 
zeichen Vevſpiele find eben ſoviel Belege zu Beſtaͤtigung d | 
eils. . 
2) Das Wefentliche von Herrn Prof. Piaffs Verfahren if, daß er 
feine Reiultate "auf Weoduete einer unbeſtiimmten Menge ven 
Factoren reduciet, deren Werthe ich angeben laffen. Die We 
theile folder Reductionen fallen in die Augen; um jo mehr wi. 
folgende Nacheicht den Kennern wichtig und erfreulich fegn. E&- ' 
in namlich Here D. Rramp, durth weitere Anwendung der mä 
ibm fogenannten Sacultäten der Zaͤhlen (rch H. V. & - 
109— ıı2) veranlaßt morden, an ausführlichen Beyträgen zu 
Summstionslebre der Reiben zu arbeiten, mo alle3 in deu 
gleichen Producten ausgedrückt wird, deren Werthe auf eineieht 
leichte und allgemeine Art find gefunden worden. Den 
3.8. des Products oder der Facultdt: y(y#r) (y+2r)..- 
(y-+mr—r) auszudruͤcken, bat Euler, Inſtit. Calcul. Difter. 
ol. II. $. 401 (die dortigen a, b, « find bier y, r, m) ejne ſehe 
zuſammengeſetzte Kormel angegeben, welche, für m oder „ einen 
Bruch geſetzt, in den meiften, außer den dort angezeigten, Fal⸗ 
fen gar nicht zu überfehen if. Here Kramp hingegen bat Pros 
ducte von dergleichen ins unendliche nach einem befdndigen Gr . 
fege fortfcheeitenden Facteren, durch ſehr einfache, fo weit 
als man will, convergieenve Bormeln jummirt, auch gefanden, 
daß, ins unendliche fortgehende Sactorengruppen, mie 


A,B.C.D.E. etc, ere.... . 
P.Q.R.S.T. erc. etc.... ſich durchsangio als dacultaten mit ge 
brochenen Exponenten (m oderw) darſtellen laſſen; wo atsbend, 

"nad Herrn Kramps Lehrſatzen, bie Rechnung ſehr Leicht ik 
Don der Wichtigkeit des Inhalts dee bier vorkommenden Satze, 
und dee Vortrefflichkeit der hierbey angewendeten Methoden, bat 
mich dee fcharfjinnige Erfinder  derfelben, durch Leberfendung 
des Anfangs und eines großen Theils der Fortfegung feines Werk, 

vollkommen überseugt Eine ausführlichere Anzeige dieſer Unter 
fuchungen fol in dieſem Archive gegeben werden. Dielleicht dab, 
als Probe derfelben, eben igt, da ich dieſes fchreibe, ſchon ber 
Drud von Herrn Kramps üubhandlung; Fractionum Walliöe- 

. ‚narum Analyüs, vollendet ifl. | 3 





IX. Auszüge und Necenfionen neuer Bücher. 353 


Wunſch, daß ich eine vorläufige Anzeine des Inhalte meiner 
Disquilitionum für das Archiv uͤberſchicken möchte. Ich vers 
mied es bisher, weil ich nicht verfprechen Eonnte, wenn der fo 
ſehr verzögerte Druck zu Stande fommen würde, ic) auch we⸗ 
gen ber Auswahl für den erften Theil noch nicht ganz entſchie⸗ 
den war, und den Schein vermeiden wollte, als ob ich das Pus 
blikum auf meine Arbeit, als hielt ich fie für wichtig, aufmerfs 
fam zu machen fuchte. — Sollten Sie indeß von der nun vols 
lendeten erften Abhandlung, cder von dem, was ich bier ger 
fhrieben habe, vorläufig etwas im Archiv zu referiren willens 
feyn, fo würde id) itzt nichts dawiter haben *). Mein Herr 
Verleger wird, was inzwilchen fertig wird, auf die Meffe neh⸗ 
men. Das übrige wird dann, da der Druck itzt unausgeſetzt 
fortgeht, bald nach der Oſtermeſſe (1797) nachgeliefert wer⸗ 
den **). Wann der zwocrt: Theil erfcheinen wird, wird wohl 
sum Theil von der Aufnahme des erften abhängen. 


Nachſchrift des Herausgebers vom sten Jaͤn⸗ 
ner 1798. 


So eben erhalte ich von Herrn Prof. Pfaff viersehn ges 
druckte, zum erflen Bande feiner Disquifitionum, als Forts 
Teßung derfelben, gehörige Bogen. Darinn flehen folgende Abs 
Handlungen: Noua disquifitio de Integratione aequationis 
differentio - dıfferentialis; 


x? 

°, Die-Beicheidenheit, mit melcher bier Heer Prof. Pfaff alle vors 
Idufige Bekanntmachung feincd Werts ablehnt, jo Lanue Davon 
noch nichts dem Publico vorgelegt if, macht feinem Charakter 
Ehre, und contraßirt gar ſehr mit den aemanten Verſprechungen 
Anderer , bie oft eben fo übereift hingeworfen als unvollſtandig 

- ausgefühet werden. — Itzt habe ich mich der gegebenen Ers 
laubniß bedient. Ih babe geliefert, was ich empfannen habe; 
nicht zwar ald Referent, fondern als Epitomator, im Auszuge 
and mit den eigenen Worten des Heren Verfaffees, welches hofs 
fentlich den Leſern um fo angenehmer fcgn wird. Ö. 


'#) Die Ergaͤnzung des erfien Bandes wird auf bie Diieemeffe 
=.1798 nachgeliefert, mie ich aus einer eigenhandigen Nachricht 
bes Seren Verlegers zuverldbig verfibern fann. Der Zweyte 
Band — wenn feine Erſcheinung größtenthrils davon abhdnat, 
wie das Yuhlifum den erften autnehmen wird und zum Theil 
(don aufgenommen hat — Farin und darf nicht ange außen blei⸗ 

n. 8. 


Glebentes Heft. 3 


354 1X. Auszüge und Recenſionen neuer Bücher, 


x”arbxm)d?’y+xlctex)dydxHi+gx)ydxt=Xdı® 
auf 11 und 3 Bogen; dann: Tra&tatus de Reuerfione ferie- 
rum, fiue de Reſolutione aequationum per feries ; von bie 
fer aber nur erſt den Anfang, anf 2.und $ Bogen. Man kann 
alfo der vollen Ergänzung des erſten Bandes auf künftige Offer 
meſſe um fo gewilfer fepn. Der Herr Verfaſſer has übrigens 
die zufällige Verfpätigung der Ausgabe diefes Werks, ſowohl 
durch die Wichtigkeit feines Inhalts, als durch die intereffante 
Behandlung defielben, reichlich verguͤtet. Ein Mehreres davon 
kuͤnftig. 8. 


3. Mathematiſche Abhandlungen. L Ueber das balli⸗ 


ſtiſche Problem. II Ueber die Aenderungen ber Ele⸗ 


mente der Planeten⸗ und Cometenbahnen in einem 
swiderftehenden Mittel. Yon Rohde, Eönigl. Preuß. 
Hauptmann von ber Armee. Potsdam, bey Kor 


vath. 1767. 5 dog. 4. 


Dr Herr Verfaffer bat ſich ſchon durch feine Erläuterunges | 


uͤber Karſtens mathematifche Analyfis und hoͤhere Geometrie 
(Berlin 1789) vortheilhaft befannt gemacht. Die beyden Aufı 
gaben, mit welchen er ſich hier befchäftigt, gehören zu ben ſchwe⸗ 
rern in der Mathematit. An dem balliftiihen Problem haben 
die angefehenften Mathematiker ihre Kräfte verſucht. Eine der 
vorzüglichften Abhandlungen darüber iſt die von dem Herrn Ge 
neralmajor von Tempelboff, die er le Bombardier Pruflien 
betitelt bat. Ste fam 1781 heraus. Nachher Hat er: in den 
Mem. de l’Acad. de Pruffe, années 17$8F'et 1789 die Uns 
terfuchung aufs neue vorgenommen, bie Auflöfung einfacher ge⸗ 
madt, und die Formeln bequemer für die Praxis eingerichtet. 
Es ift in derfeiden die Gleichung für die Bahn eines geworfenen 
Körpers auf eine zweyfache Art gefunden. Die zweyte iſt dieje 
nige, welche Herr Hauptmann Rohde im Wefentlichen befolgt, 


mit einigen Abkürzungen. So ift wirklich die Beſtimmung de - 


Eoefficienten inder Reihe, welche die Tangente des Winkels eine 
Berührungslinie mit der Abfeiffenlinte durch Potenzer der Abfeiffe 
ausdrüct, leichter als die vom Hrn. von Tempelhof angewandte 


Methode, Die Dezeichnung in s. 5. aber iſt unrichtig. gr 


X. Auszüge und Recenfionen neuer Blicher. 355 


ach derſelben wäre dx ein unveränderliches Differential, wos 
ie es doch in den Fundamentaigleihungen nicht angenommen 
t. Doc) diefes läßt füch leicht verbefiern. Allein das ganze 
3erfahren iſt zu willtührlic) und unzuverlaͤßig. Die vorberges 
achte Reihe ift eine angenommene, nicht eine aus den Grund⸗ 
leihungen durch Rechnung hergeleitete. Die -Abfeiffe Heiße x, 
x Wurfswiniel o, der Winkel der Beruͤhrungslinie in einem 
yunste der Bahn mit der Abfeiffenlinie fey 0; fo wird gerade 
ı Lauch von Hrn. von Tempelhof) angenommen, es fey 


ungp—=tang»e >Ax+Bx?+- Cx’+ er, 
oraus denn für die Ordinate y folgt (6. 9) 
y=tangox+3Ax’+3Bx’+zCx* + etc. 


Nun mag man zwar aus den Grundgleichungen ben Orbinas 
n diefe Form aufzwingen, wie man ein elaftiiches Blech durch 
schrauben in eine vorgezeichnete Krümmung bringen kann; auch 
nn man zur Rechtfertigung x in dem vorliegenden Falle ans 
ihren, daß die Gleichung für y die für die Orbinaten an einer Pas 
ibel mit enthalten muß, weiche die Seftalty =tangw.x +3 A x? 
it; allein beyallemdem, wie kann man bier von der Convergenz 
re Reihe fich überzeugen? Es find vielleicht gar viele Glieder 
dthig, um y durch x nur erträglich genau darzuflellen. Dax 
ne Linie ift, fo Eönnen die Potenzen diefer Größe nicht als abs 
ehmende Größen betrachtet werden. Vielmehr find, wenn x 
ı Sußen ausgedrädt wird, bie Potenzen von x fehr ſtark zuy 
ehmende Größen, fo daß alles auf die Eoefficienten antommt. 
zenn es richtig wäre, daß man jede Größe y durch eine nad) 
m Potenzen einer ihr zugehörigen x ausdrüden koͤnnte, fo 
eße das ja, jede krumme Linie als eine von der paraboliſchen 
iattung betrachten. Einen Bogen jeder frummen Linie mag 
an mit geringer Abweichung von der Senauigtelt für varabo⸗ 
& halten, aber man muß die Sränzen in jedem Falle beitims 
en tonnen. Beym Interpoliren giebt man der einzufchiebens 
n Groͤße die Form der Ordinate an einer parabolifchen Linie; 
lein diefelbe darf nicht außerhalb der äußerften, die diefe Form . 
apirifcher Weife haben, hinaus fallen, oder hoͤchſtens ſich nicht 
eit davon entfernen. In dem gegenwärtigen Galle ift es defto 
denklicher, eine folche Gleichung, wie die angeführte, zu ges 
auchen, da der herabfteigende Zweig der Wurfslinie eine von 
m auffleigenden fehr ebene Geſtalt hat. Eine so 
N . 3 


356 IX. Auszüge und Hecenfionen nener Bücher, 


‚die für die Orbinaten beider Zweige gelten foll, möchte bey einer | 


$leinen Anzahl von Sliedern der Gleichung beiden nur fehr wer- 


nig anpaflend feyn. Wenn in manden Erummen Linien gan 
verſchiedene Seftalten ihrer Theile einerlen analytifche Form haben, 
fo berechtigt das doch nicht, ohne Nechnungsgründe verjchiedene 
Geſtalten durch einerley Öteichung darzuftellen. 


Es ift am beften, bier gar feine Gleichung zwiſchen x um 
yzu fuchen, fondern jede der Coordinaten durch eine trigonom⸗ 
trifche Function des Winkels @ oder 3 9 auszudrücken. Zürx 
giebt es eine ſolche, und für y: zwey, worauf die Rechnung durch 
fich ſelbſt führe. Dabey bat man den VBortheil, daß man bie 
größte Drdinate leicht findet, mebft der ihr zugehörigen Abfchie, 
daher man die Koordinaten bequem verlegen kann. 


Noch ein paar weniger wichtige Bemerkungen. — Im 
‘6. 6. fol der Kruͤmmungshalbmeſſer in die Rechnung eingefühet 
werden, weil diefer als der vollEommenfte Inbegriff aller befanm 
ten und unbekannten Eigenfchaften einer frummen Linie are 


fehen fey. Wenn demnach, heißt es, die Coeffteienten der ob 


gen Reihe für tang @ unmittelbar durch ihn allein beſtimmt net» 
den, fo fey diefe Beſtimmung feinesweges bloß eine gemeine 
Methode des Indetermindes, fondern nehme dadurch die Rw 
tur der directeften und volltommenften an, die je die Analyſi 
darbieten toͤnne. Was das etfte von dem Kriimmungshalbmefe 
behauptete betrifft, fo wollen wir diefes nicht unterfuchen,, abe 
wir finden nicht, daß der Kruͤmmungshalbmeſſer benutzt fr 


Es wird eigentlich das Differential von I in die Differential⸗ 
X 


gleichung fuͤr die Erumme Linie eingeführt, und die Nechnung 
fo wie fie hier weiter angeftellt wird, ift nichts mehr als eime 
gewoͤhnliche Beſtimmung unbefannter aber unveränderlicer 
Eoefficienten. 


Die Methode 6. 15, aus der Schußweite die anfängliche 
Geſchwindigkeit zu fuchen, fiheint nicht ficher zu ſeyn, weil fe 
auf den Loefficienten der obigen Reihe für y beruht, von web 
den man vielleicht viele zu nehmen bat, und dann tft hier eim 
Umkehrung nöthig, die vielleicht wiederum viele Glieder in der 
umgekehrten Reihe erforderlih macht. Herr Rohde bemetft 


ſelbſt, daß der vierte und fünfte Cocfficient der umzufehrendm 


Reihe nicht vollftändig find, oder, wie er fich ausdrückt, daß 
man 


— —2 


IX. Auszüge und Kecenfionen neuer Bücher, 357 


man ihnen die Schwindfucht anfehe. Dean müffe alfo aus ber 
zum Örunde liegenden Reihe noch ein paar Glieder berechnen, 
aber nun das fehste und flebente Glied weglaffen, weil biefes 
neue Ehepaar wiederum eben fo traurig ausfehen würde, als 
jenes vorige. Wermuthlich möchte es nicht allein ficherer, fons 
dern auch leichter feyn, aus einigen angenommenen Wurfsges 
ſchwindigkeiten die Schußmweiten zu berechnen, und durch Inter⸗ 
polation die zu der gegebenen Schußweite gehörige Geſchwindig⸗ 
keit zu finden. . 

In der Vorrede wird ein Eürzerer Weg zur Berechnung 
der horizontalen Schußwelten vorgefchlagen.. Es fey, heißt es, 
nothivendig einmahl an eine nüßlihe Simplification des ballis 
ſtiſchen Problems zu denken. Die in der Abhandlung felbft vors 
gelcgte Bearbeitung ſey in diefen nur zu weit gehenden Simplis 
ficationszeiten, da man oͤfters Arbeiten, ohne fie einmal ges 
hoͤrig zu Eennen, in Spiele mit Sylphen und Gnomen (??) 
zu verwandeln fuhe *), als Creditiv zu jener Simplification 
erforderlich gemefen. Allein ec. muß geftehen, daß er den Zus 
fammenhang der abgekürzten Rechnung mit ‚der genauen gar 
nich: einfieht. Es wird angenommen, daß die gauze Zeit in 
der krummlinichten Bahn, von der Wurfftelle an bis zu der Ho⸗ 
rizontalebne, durch diefe eben fo groß fen, als die Zeit des Steis 
gens und Fallens in einer Tothrechten Linie, wenn der Körper 
mit der verticalen Wurfsgefchwindigkeit in die Höhe geworfen 
würde, alfo gerade wie in der Parabel. Der Weg des Koͤr⸗ 
pers nad) horizontaler Richtung wird fo beftimmt, als wenn er 
ohne Wirkung der Schwere fortgienge, und die-anfängliche Ges 
ſchwindigkeit die horizontale Wurfsgeſchwindigkeit wäre. Die 
Zeit auf dem horizontalen Wege bey diefer Vorausſetzung ift der 
Zeit bey jener gleich, und fo ergiebt ſich ein Werth für die 
Schußweite. Allein diefes ift ein viel zu willkührliched Verfah⸗ 
sen. Herr R. vergleicht einige von- D’Antoni gemachte Vers 
ſuche mit feiner Hypotheſe, vermindert aber vorher die Geſchwin⸗ 
digkeiten, welche d’Antont angiebt, in dem Verhältniffe von 
17:11, welches etwas flark ff, und findet fo die berechnete 
Schußweire, einmal mit der wirklichen fehr nahe übereinftims 
mend, aber auch um 386 Fuß und um 214 $. Eleiner, einmal 
um 203 $. größer. Dieſes fcheint anzuzeigen, daß die Formel 
nur zufälliger Weife zutreffen kann. 


33 In 
#) Man ſehe No, 4. beym Schluſſe der Recenſion. & 


958 IX, Auszlıge und Necenfionen neuer Buͤcher. 


In der zweyten Abhandlung Über bie Aenderungen det 
Elemente der Planeten: und Kometenbahnen in einem widerſte⸗ 
henden Mittel wird die Unterfuchung ohne alle phyſiſche Rüds 
fichten, bloß als mathematifche Hppothefe, vorgenommen. is 
gentlich ift die Nechnung nur eine Uebung in dem Exponential⸗ 
ealcul. Doc mag fie dienen, die Unftatthaftigteit eines wider⸗ 
ſtehenden Mittels in dem Weltraume darzuthun, da die Ell⸗ 
fen, welche die Planeten befchteiben, fo wenig veränderlich find, 


und diefe Veränderungen von andern Urfachen, bey fcharfen 
Stechnungen, hergeleitet werden konnen. Nur wäre es gutge - 
wefen, zu ertlären, mie man bey einer Bahn, die gar feine 


Ellipſe iſt, die Elemente einer elliptifchen Bahn und deren Vers 
änderungen, beftimmen wollen koͤnne. Dan fucht die Ellipſe, 
in welcher bey derfelben Tentraltraft, der Radius Vector, die 
Richtung der Bewegung und die Sefchwindigfeit, diefelben ſind 
wie in einem gegebenen Puncte der in einem widerſtehenden 
Mittel befchriebenen Bahn. Durch die deutliche Darftellung 
des Zwecks hätte wirklich die Rechnung an Faßlichkeit und Kür 


. —⸗ 


gewinnen koͤnnen. Gegen die Formen der hier gebrauchten 


Reihen möchte daſſelbe einzuwenden ſeyn, mas bey ber erſten 
Abhandlung erinnert iſt. Sn 6. ı5. wird eine Exponential⸗ 
größe, wo der Erponent (bey unveränderlicher Dichtigkeit dei 
Mittels) ein befchriebener Bogen ift, durch eine nach den Par 


tenzen des befchriebenen Winkels geordnete Reihe ausgedrudt. : 
Das ift zu willtührlih. Sollten bey einer fo tranfcendenten . 


Bad. diefelben Eoefficienten bleiben koͤnnen, man mag den dos 
gen anfangen wo man will? Daß nicht bloß trigonometrifhe 
Bunctionen des Winkels angewandt werben konnen, iſt freylich 


Bars aber darum nicht, daß bloß Potenzen des Winkels Gen 


ge thun. Noch mehr wird diefer Zweifel bey der. Reihe 5. ı71 


eintreten. Bey der Reihe s. 18. No. 16. iſt der Anſtoß, bb 


fie nicht in die für die Ellipfe uͤbergeht, wenn der Widerſtand 
verſchwindet. Die Stelle s. 17. „man überlaffe das Ganze 


„dem zarten Krüämmungshalbmeffer “ ift dem Sec. ums . 


ſtaͤndlich. Auch ſcheint der Kruͤmmungshalbmeſſer bier feines 
Einfluß zu haben. 





4. de ' 


t 


; 


— 


IX, Auszüge und Recenſionen neuer Bücher. 359 


4. Vergleihung ber Sagrangifchen und combinatori- 
ſchen Reverfionsformeln für Reihen; auf Veranlaſ⸗ 
fung einer Stelle in der fo eben. recenfirten Schrift. 
Bon dem Herausgeber. | 


Sn der Vorrede (S. VIIL.) zu vorher recenfirten beyden Abhand⸗ 
tungen, äußert fih- Herr Hauptmann Robde über bie ist nur 
gu tet gehenden Simplifications ı Zeiten, ba man öfters Ars 

ten, obne fte einmal gehörig zu Eennen, in. Spiele mit Syle 
pben und Gnomen zu verwandeln ſuche. — ‚Der Herr Bers 
faffer vorſtehender Recenfion bat dabey (©. 357) zwey Frage⸗ 
zeichen aufgeftellt, und dadurch fein Befremden über dieſe Aeuße⸗ 
zung zu erfennen gegeben. Auch ich muß gefleben, daB mie 
eine ſolche Simpfificationemethobde, wie bier charakterifirt wird, 
nicht befannt fey. Indeſſen ift die Misbilligung eines Verfah⸗ 
rens, das ganz oder doc) größtentheils auf ein leeres Spiel, wie 
das mit Spiphen und Snomen, binausläuft, fehr gerecht, und 
der Tadel um fo verdienter, wenn man ſich noch bamit an Ars 
beiten macht, die man nicht einmal gehörig kennt; vielleicht nur 
halb, oder auch wohl gar niche verfieht — 


Ganz anders verhält es ſich mit der combinatgrifchen 
Analvfis. Diefe lehrt zwar auch ihre Refultate gleichſam fpies 
lend finden; aber — | 

bi ludi in feria ducunt. 


Diefes, und die häufigen Anwendungen, die bisher dan 
son auf fehr voichtige zum Theil fehr verwicelte Aufgaben bereite 
gemacht worden find, haben ihr aud das Vertrauen und bie 
Achtung aller Renner erworben, die fie einer genauen und ſtren⸗ 
gen Prüfung unterworfen haben. 2 


Hierbey babe ich nun weiter nichts zu erinnern s auch iſt es 
nicht dieſe, fondern eine andere Stelle der Vorrede, welche ges 
genwaͤrtigen Auffaß veranlaßt hat. „Meine Abhandlung über 
„das balliftifche. Problem, fagt daſelbſt (&. VII) der Here 
Verfaffer, „iſt fo abgefoße, daB des Leſers Auge vorzüglich auf 
„alle unfere Reverfionsmerboden ununterbrochen firiret wird. 
„Keine einzige berfelben (meder die KTewtonifche, noch die von 
„Herrn de la Grange, nody andere 5.) führt hier unmittel⸗ 


„bar zu convergirenden Reifen, und eben fo wenig verhilft 
34 „dazu 


4 


360 IX. Auszuͤge und Recenfionen neuer Buͤcher. 


„dazu die combinatorifch »analytifche Methode.” — " Gier 
wird es für mehrere Lefer noͤthig ſeyn, das Verhalten der de la 
Grangifcben und combinatoriſchen, Formeln und Verfahren 
bey Umkehrung der Reihen, in nähere Betrachtung zu ziehen; 
um fo mehr, da Here R. von erftern in der Folge mehrmals 
Gebrauch gemacht hat, und es alfo fcheinen möchte, als konn 
dadurch bey dem balliftifchen Problem etwas gefchaft werden, 
was letzztere zu leiften unvermögend feyen. Daß übrigens gem 
relle Formeln in ihrer Anwendung auf fpecielle Unterfuchungen 
nicht immer geradesu und unmittelbar auf convergirende Rei⸗ 
ben führen, iſt bekannt; auch Bin ich überzeugt, der Herr Ver⸗ 
faffer Habe das nur überhaupt bier anmerken, keiñesweges abet - 
diefen Formeln zum Vorwurf antechnen wollen. Die zum 
Grunde liegenden Data und Bedingungen eines Pıoblerus, und 
die damit verbundene Beſchaffenheit der Eoefficienten feines anas 
lytiſchen Ausdrucks, erfchweren nicht felten die Anwendung und 
hindern die Convergenz; daher man in folden Fallen vornebmw : 
lich zu Umformungen und Reductionen der Reihen auch wohl 
zu Einführung anderer (wenigſtens Abänderung einiger der ge 
gebenen) Elemente, feine Zuflucht zu nehmen pflegt. Was nun 
insbefondere die zu feicher Abfiht am häufisiften in Ausubung 
gebrachten Iransformationen und Netuctienen der Reihen an. 
betrift: ſo hat neuerlich Here D. Rramp cine befondere feht . 
ergiebige Quelle dafür eröfnet, aber noch nicht oͤffentlich bekannt 
gemacht. Sein auf Summirung der Reihen angewendeter 
Calcul der Sacultäten der Zablen (die Anm. bier S. 352) 
fcheint zu Bewuͤrkung der Convergenz der Reihen recht geeignet 
. zu feyn. Davon überzeugen mich nicht nur die Hefte feine 
Summationsmethode, die id) in Händen habe, fondern auch 
die ausdrückliche Verſicherung des Erfinders in feinem Briefe 
vom 14 Sänner 1798 — „Sie werden ſich roundern (if 
„führe bier Herrn K's eigene Worte an) wie meine Lehre von 
„den Bacultäten mit gebrochenen Erponenten bisher gewachſen 
‚ft. In meinen Händen find fie ein allgemeines Mittel, Re 
„hen, die noch fo fehr divergiren, nach Belieben convergent 
‚zu machen.“ 


I. Umkehrungsformeln bes Herrn de la range. 


Die hierher gehörigen. von Herrn R. in feiner Abhand⸗ 
ung über das balliftifche Problem gebrauchten, Umteprungeie® 
m 


C Auszuͤge und Necenfionen neuer Bücher. 361 


ein des Herrn de la Stange find in einem Memoire *) ents 
Iten, das unter die vorzuglichften analytifchen Arbeiten diefes 
oßen Geometers zu rechnen ift. In demfelben wird eine fehe 
Wache und fehr allgemeine Methode angegeben, die Wurzeln 
r Buchflabengleihung o =a— bx +cx?— dx’ + erc in 
endlichen Reihen darzuftellen; auch werden die Vorzüge dies 
er Methode vor andern bis dahin bekannten, unter s Numern 
ıfgeführt, und zugleid) auf der erften-Seite (p. 251) von dem 
egenftande felbft, und den Vorzuͤgen feiner Behandlung, deuts 
he Nachwelfung gegeben. Das Ganze ift in-vier Abfchnitte 
getheilt. Der erſte (6. I. p. 252 — 261) ehrt die Sums 
e Der Potensen jeden Grades aHer Wurzeln einer gegebenen 
jleihung, mie die obige, finden, und dient zugleich als Bors 
teitung des Folgenden; det zweyte ($. IL. p. 261— 292) 
igt, wie man den Werth einer von den Wurzeln der Glei⸗ 
ung, oder einer beliebigen Sunction diefer Wurzel, in einer 
teihe ausdrüden Eonne; der dritte (S. IIL p. 292 — 313) 
eifet das Verfahren nah, alle Wurzeln der gegebenen Glei⸗ 
ung in unendlichen Reihen barzuftellen; lehrt, wie man die 
Zurzeln gehörig von einander unterfheiden Eünne (art. 23. 
. 293)5 welche Wurzel die erſte, zweyte, dritte u. f. w. ges 
ennt werde (art. 24. p. 294)5 daß überhaupt, was immer für 
ne Sleihung gegchen feyn mag, jedesmal fo viel verfchiedene 
teihen für ihre Wurzeln fich angeben laffen, fo oft man bie 
Slieder diefer Gleichung, zu 3wey und zwey combiniren (art. 
7 — 32. p. 300 — 305), und folde als die beyden eriien 
zlieder der allgemeinen Gleichung « — x p9x o anſehen 
ann (art. 31. p. 304); daß die in den verſchiedenen Exempeln 
es vorhergehenden zweyten Abſchnitts gefundenen Reihen, Eelne 
ndern als erſie Wurzeln der zugehörigen Gleichungen find 

— "TE (art. 


) Nouvelle Methode pour r&foudre les Equations litt&rales par 
le moyen des Series. Hift, de PAcad. Roy. des Sciences etc. 
Tome XXIV. Annde 1768. & Berlin 1770. Der Hauptſatz ſteht 
daſelbſt $. II. art. 15. p. 275. Die bier im Tert erwähnten, von 
jenem Sage abgeleiteten und von Herrn R. in feiner erfien Abs 
handlung nur allein gebrauchten beyden Kormeln (Ebend. art. 20. 

. 287. 288 und art. 21. p. 290.291). Noch muß ich erinnem, 
das man bier und in der Folge durchgangig gedachtes Memoive 
für die daraus citirten Stellen und Formeln immer vor Augen 

sben muͤſſe. Nur dadurch habe ich vieled in der Kürze ſagen 
im baritelen fönnen, was fonft ſehr weitlduftig ausgelaufen 
eyn wurde, — | 


362 IX. Auszüge und Recenſionen neuer Buͤcher. 


- (art. 33. p. 306), d. i. ſolche, bey deren Aufſuchung man die bey⸗ 
den Anfangsglicder a und b x als combinirte erſte Glieder 
betrachtet, und deren Werthe für ao verſchwinden; ber 
vierte und leßte Abfchnitt (5. IV. p. 314 — 326) handelt von 
der Convergenz und Divergenz ber gefundenen Reihen, und den 
aus dem Geſetze felbft, das fie befolgen, abgeleiteten Kenne 
chen dafür. e 


&o viel ſchien mir nöthig zu ſeyn, im Allgemeinen ww 
dem Inhalte diefes Memoires in gedrängter Kürze hier beyr⸗ 
dringen. Die Lefer, die es noch nicht kennen follten, werden : 
daraus. das Vielumfaſſende des Lagrangifchen Verfahrens: aus 
. der Sleihung «—x-FOx=o, wo Px jede Function vonx 
bedeutet, ihre Wurzeln x, oder jede beliebige Junction des 
Klben, dx, in Reihen auszudrüden, mit einen Blick uͤberſe⸗ 
ben. Der (art. 14,15) angegebene Ausdrud für dx (dostyp- 
für eine beftimmte Wurzel ps der Werth dafür ſteht auch Im 
Arch. H. J. ©. 89) dient dabey als allgemeine Aufldfungss 
zeibe. Eben derfeibe gilt aber auch (nach der VBehandhung 
$. II, mo die Wurzel p zugleich al& erſte angefehen, und 


2__ 3 . 
e0x—=_. dx Frei angenommen wird) als allgemein 


LmEebrungsformel für Reihen. Denn die Bedingung (bie 
natürlichfte von allen, auf die man aud) vor allen übrigen zuerſt 
verfällt) für die erſte Wurzel der Sleihung a —bx + cx 
„ — dx? + etc die beyden erſten Glieder a—hbx als combi⸗ 
nirte anzujehen, und foldhe mit den erflen Sliedern « — x def 
allgemeinen Gleichung ⸗ — x + @ x— 0 zu vergleichen (art. 
33, 14, 18) ſtimmt vollfommen mit den, Übrigens gar fehr von 
einander verfchiedenen, Verfahren überein, nach welchen man 
die bis igt bekannten Umfehrungen für y—=bx + ex 
+dx?.rerc und ihre Formeln gefunden hat. Diefe Formeln, 
zu denen man, nad) den verfchiedenen Anfichten auf ganz ver 
ſchiedenen Wegen, nach und nach gefommen ift, konnen daher— 
nur nach ihrer äußern Geflalt, der mehrern oder mindern Ab 
gemeinhrit, der größern oder geringern Leichtigkeit in der An 
wendung, nicht aber in Abficht auf ihre Nefultate, verfchieden 
ſeyn. Herr de la Grange findet feine Formel, indem er x al . 
die Wurzel (aber als beſtimmte, erſte, p) der gegebenen Glei⸗ 
‚chung betrachtet (daher er auch = für y febt), und gemeralifitt 
e im Berfolg feiner Analyfe dergeftalt, daß fie allgemein ben 
erth für dx, jeder Function von x, darftellt. Und In dieſer 
| Allge⸗ 








, # ' 


Auszuͤge und Recenſionen neuer Blcher. 363 


Igemeinheit Übertrift fie jede andere bis itzt befannte Umkeh⸗ 
ngsformel. nicht aber in Abficht auf Leichtigkeit in der Ans 
endung, wo ihr und allen übrigen die combinatorifche vorzu⸗ 
hen iſt *). 

Die bäufigfte Anwendung der Formel gefchieht für die 
zerthe ya — x“, oder )x—log.x, wo man nehmiich irgend 
ne Potenz oder den Logarithmen von x durch Umkehrung 
iszudruͤcken ſucht. Herr de la Orange hat daher diefe beyden 
3erthe von x befonders betrachtet, und in Formeln ausführs 
h dargeflelle. Sch werde bier nur die von xm aufführen, 
weils, weil das, was bey diefer erinnert wird, auch fogleich 
ıf jene fih anwenden läßt, theils aber‘ auch, weil Herr R. 
ur davon in feiner Abhandlung Gebrauch gemacht bat. 

In oft gedachtem Memoire werden (art. 20 und 21) zwo 
Heichungen: | 

o=u—x + Br? + yxPtI LdxPt3IL etc 

0o x BXP yıptaLdxpted + etc 
im Grunde gelegt, und für beyde der Werth von x, für jene 
ırt. 20. p. 287, 288), für diefe (art. 21. p. 290. 291) im 
tehrern Sliedern nachgewielen, bey denen nachflehende, nach 
N Geſese von einander abhängige, Koefficienten 
d* 286 . . 

A=Bß;5 

B=y; B=$A 

C=!d; C=yAtpB 

D=:; D=dAtyB+BC 

E=(d; EF=ıAtdB+,C+sD 

⸗ . 0 >» 4 ⸗ ⸗ ⸗ 

5 . ec 

2,6: babe ich fchon In meinem Auffate über diefe Formel (Arch. 


y 
jede Zunction von x, in y und 2, durch eine nach Potenzen von 
den koͤnne. Dev Heren de la Grange 


 fungereibe, um dadurch alle Wurzeln (mie dort 6. FIL) sw: 


b 

dung der Wurzeln der Gleichungen, ausführliche Belehrun: 
gen in Herrn —— Sifchers en der onen L 
deſonders im zweyten Theile und dem Zufate am Ende beffeiben; 
. . \ 


a. 


» 
“ 


“ Y 


| si X. 2 use und —* warnt 





:C'=sB ' . . .r * 
‚D’=yB+sC D” oc asia 
=is.+C +0 ‚Elserc'taD“ —* 


—— vorkommen, beten, auf fo welt 


4 
16 —— nB, what eusgebehtte, Werge Cor an) 


.,  Mab biefe,. auf recurrirende Subſtitution Serie: | 
Aucbride der HL weile, her: auch ihr Geſeb * 


won Coefficienten find es, welche bindet. 


A BER funchl De fü x= (art. 20, aı) ale viele andere, auffer bin 


eben angeführten, In obgedachtem Memoire vorkommenden Bor ' 
und Leichtigkeit in. der. Anwendung, 


mein, 
"lä jahen, Di fe erden haben könnten. .2 


——— te abzufelfen darf man sine —* 


De Diefer 
— —— 


att A, B, .. vn C, en. C, Di... etc “ 
itzt ara, a?A,.. . 62B; 3 . PC, C, ... ete 


das heißt, ſiatt der willtaͤbelichen unveducieten;die zugehörigen 


combinatorifchen reducieten Sormen feßen. Ich will bie | 
benfpielsweife von obigen beyben Ausdruͤcken für xm den zweyten 
(art, 21) auf die Gleichung 

oe xt pre tyarta+ ete u 
ſich beziehenden, waͤhlen; aus welchem jener erſte (art. 20) ſo 
gleich folgt, wenn man in letzterm r—ı feßt. Zugleich wil 


. I in vorfiehender Gleichung, y flatt « feßen, und ihre Glieder . 


u ‚nach der do orm y=x— px (vorh. Arm.) fo ordnen, 


u —* 


yx — BRP—yaPta— Irr+rI — etc _ Br 
nie die Glieder der. ampifeprenben Reihe gewoboli 


&. 


“ ze 


* Fit Alto (ri. 21. p. 290. 91) wenn man, fat we 


“ * g fine Beh @. 289) ine —8 in DIL 


alley 3 Sale Bringt,’ auf ber he | 
bt un oefficienten von y a 
sldTen and Disominlsoefficienten anedtuͤckt· 





* 





x. Auszüge und. Recenſionen neuer Bücher. 365 























m . 
xRr 
ze n+p-r 
+-ı1.a! Ay x 
oO ma+prg—r 
. 3a | 
n| 1.0 Ay r 
+7 1 p - 5* m+-ep-2r 
+7- x 4b? By * 
m+p+sg-r 
naAy'‘ r 
m g B-HSp+I-r m+tsp+qg-arf 
—-it—. * AbeB r 
+-|r7- | y | 
1 m-+-3p—-r m-+3p—sr 
*5 . ss Be’Cy + 
m+p-r3g-r 
ı.0*Ay r 
y mtsp+-sg“r mtrap +9g-sr 
— 4 ö— 
m + r U) .. 4b By 1 
7  m+t3p+g-r m3* gq=3r 
+7. X B.ctCy x 
1 m+4p-r mt4p-4r 
+7 R r € de Dy zT. 
+etc - ete etc . etc 


B, I de, e, g .. ) 
1, 27, 3r 4 SS... 
. Hier iſt yr ein gemeinfcaftlicher Factor in alle Glieder 
id ihre Theile; daher Herr de la Grange dafür das jenem gleich 
iltige m als Divifor unter xm febt. Dadurch, und wenn 
an, nad) feinem Beyſpiele, auch die Übrigen Potenzen von y 
p ausdruͤckt, erfcheinen folche in einer etwas einfachern Geſtalt. 
Rir Hat es, vornehmlich wegen ber unmittelbaren Vergleichung 
it dem folgenden, beſſer gefchlenen, keinen fremden Vuchſtaben 
vie bier e) dabey einzuführen, und die zufammengehörigen Pos 
nzen von y nicht zu trennen. Setzt man bier r—ı, fo vers 
andelt fich ‚die gegenwärtige Sormel für x= (art. 21) in oe * 
Da | —RW 


366 1X. Auszüge und Recenſionen neuer Bücher, 


fachere für x@ (art. 20); deren befondere Darftellung alfo hier 
nicht nöthig iſt. Der untergefegte Zeiger bleibt in beyden Fällen 
derſelbe; die Vorzeichen der Buchſtaben 8, 7, d... im Zeiger 
und in der umzufehrenden Gleichung y=x! — BxP—yıPtl 

— 6x? +34. erc find einander entgegengefeßt. ! | 


Das Fortgangsgefeb der Formel fällt fehe deutlich in be 
Augen. Zugleich. iſt — und das iſt bey weiten das Wichtig 
fie — was jene Zeihen A, B... B, CC4.. C, D”... D”,E”... 
u. ſ. w. noch involviert und durcheinandergeworfen, enthalten, in ih⸗ 
gen combinatorifchen Surrogaten anA, b"B, cuC, daD... auft 
volltommenfte evoloire und auseinander gelefen. Die combin⸗ 
toriichen Zufeinmenfeßungen und Involutionen, auf welche fich dieſe 
und ähnliche Zeichen beziehen, find nehmlich, ſelbſt mach. bem 
Ansfpruche jenes vortreflihen Analyfien (hier ©. 349 Anm.) 
Bormen von bekannter ſehr einfa her Structure, die man, 
ohne alle läftige Subflitutionen und Rebuctionen, ohne afle weir- 
tere Vorbereitung anordnen, und, wenn man fo fagen wi, 
gleichſam fpielend darftellen kann (poly. Lehrſ S. 187— 189 _ 
u. f. mehrere Beyſpiele). Durch ihre Beyhuͤlfe kann man dw. 
ber jedes Glied des Merthes von xm, fo wie jeden einzelnen . 
Theil deffelben, auffer der Grdnung, und ohne die vorberge 
benden zu wiffen, berechnen; welches bey dem Ausdrucke deſſeb⸗ 
ben, vermittelft der Zeichen A...5 B...5 C”...3 D’”...sere '' 
(art. 20, 21) der Fall nicht iſt. 

Erempel. Für y=x?— Bx? — yxt— etc das ste 
Glied der Reihe für x; d. i. x75, durd) Umkehrung zu ſuchen. 

Aus Vergleihung der bier gegebenen, mit der obigm . 
Grundreihe (&. 364) folgt r=2;5 p=35; q=ı. i 
Werthe in das ste Glied der zugehörigen Formel für x gefeht, 
und m==ı genommen, giebt 

aA -+E, "A6eB} f 
t3.B e+C+z. CtD 

Daraus folge, flatt der Combinationsklaffen Die einzelnen 
Complexionen mit ihren Verfeßungszahlen nach obigem Zeiger ge⸗ 
feßt (polyn. Lehrſ. a. a. ©. oder auch Inf. Dign. Tab, V. p. 167 


ı 7 
xI1s=4[et2.7 (282472) 


x]7s =; 


IX. Auszüge und Necenfionen neuer Bücher. 367 


vollkommen wie in Herrn Hauptmann Rohde's Abhandlung über 
das balliffifche Problem (S. ı8. no. 5) wenn man « flatt des 
biefigen y’s ſetzt. Sch habe hier mit Fleiß einige Zahlenfactds 
gen, oben und unten, noch nicht gehoben, damit man den Be⸗ 
trag der einzelnen Claſſen atA...d*D mit den Verfeßungszahs 
len ihrer Complerionen deutlicher vor Augen habe. 


Der unendlih mannichfaltige Gebrauch und Nutzen, ben 
dieſe Toefficienten in der Analyfis gewähren, hat Herrn de la 
Srange veranlaßt, eine weiter fortgeſetzte Berechnung berfels 
ben, als von ihm (art. 22. p. 292. nur bis mit EiY) gegeben 
iſt, nahdrädlid, zu empfehlen, weil fie für alle mögliche Func⸗ 
sionen von x dienen könnten. Kine folhe Berechnung würde 
genau die Slieder meiner, auf dem viel leichteren Wege der coms 
hinatoriſchen Anvolution conftruirten Tafel (Infin. Dien. Tab. 
V. p. 167 oder Nov. Syft. Perm. Tab. III. p. LIX) geben, 
wenn man darinn ß,y, d, a... ſtatt a, ß; 7, d... febt. Und 
fo würde denn dies zugleich die Functionen naͤher beſtimmen, 
für welche dergleichen Coefficienten nüglih wären, ſolche naͤm⸗ 
Lich, deren Entwidelung auf Größen führt, deren einfachfte 
Darftelung auf Verbindungen gutgeordnneter Complexionen zu 
beftimmten Summen, mit ihren Verſetzungszahlen, berubet. 
Dahin gehört unter mehrern, die bey ber Umkehrung zum Bruns 
de liegende Entwicelung gebrochener Functionen in Reihen, bey 
welcher auch Here Magifter Töpfer (Eomb. Anal. &. 116—ı22) 
die Sdentität der ofterwähnten beyderley Coefficienten wahrges 
nommen und (daf. ©. ı23) ſehr richtig geurtheilt Hat; eine ges 
nauere Analyfe diefer Coefficienten, auf die Herr de la Grange 
nothwendig hätte verfallen muͤſſen, wenn es ihm eingefallen 
wäre, die Abhängigkeit der folgenden von allen vorhergehenden 
ſchlechterdings aufzuheben — eine folhe Analyfe wäre für 
ihn fchon allein hinreichend geweſen, die ausgedehnte hoͤchſtwich⸗ 
tige Verbindung der Combinationsiehre mit der Analyfis deuts 
lich wahrzunehmen und welter darüber nachzudenken. | 


-. Eine noch nähere Veranlaſſung zu einer folchen Analyſe 
ſtellte fich ihm in der Folge (Mem. del’Ac. ... Berlin, annee 
1769.p. 312) dar, wo von Entwidelung der unbeſtimmten Potenz 

. eines Polynoms die Rebe iſt. Dafelbft werden. die Werthe der 
Eoeffteienten P,Q,R ... ihrer Glieder nach der Ordnung, in den 
geroöhnlichen befannten recurrirenden Ausdruͤcken angegeben, und 
über eine zu. bewirken mögliche Aufbebung der Dependen; ve 
er 


368 IX. Auszüge und Hecenfionen neuer Buͤche | 


fer Eoefficienten von einander, folgende Aeußerung gethan: 
Si on ne vouloit pas faire dependre les coefficiens P,Q, 
Retc, les uns des autres, on pourroit les determiner ım- 
mediasement de la maniere ſuivante: Qu’on cherche, par 
exemple, le coefficient de xm dans la puiflancen du po 
linome A+Bx+Cx?+Dx?’+erc, je dis. 10. quece ; 
coeflicient fera forme de tous les termes, qui penvent 
ötre reprefentds par APBICFDS..., p, q, 7, 5 etc, etant 
des nombres entiers politifs, errels, ueptg tr +ste& 
==n, et igF+2r7r--3s-etc=m. 2°. que chacun de fe 
termes aura pour coöfheient numerique 
BP LEE Br Br 4... . 2 


(1.2.3...P) (1.2.3...9) (1.2.3220 1)... 
La demonftration de ce theoreme eft aifee a tirer de la 
theorie des combinaifens , et nous ne croyons pas deroit 
nous y arröter. Einen ähnlichen, das allgemeine Polynom - 
atb+ctdtetc betreffenden Sag, hatte fchon lange vorhe 
Jacob Bernoulli (Opp. T. IL. p. 994— 996) gegeben, abe 
auch zugleich die vollſtaͤndigſte Auflöfung deſſelben nachgewieſen. 
Herr de la range hingegen hat bey feinem, auf die (nah Pr I 
tenzen einer veränderlichen Größe fortgehende) Reihe A+Rx I 
+Cx?-+ etc ſich beziehenden, in der Anwendung viel häufen FI 
vortommenden. Saße, ſich begnügt, das Verfahren zu Auffins 
dung der Prrenzcoefficienten bloß im Allaemeinen angezeigt I 
haben. Die Aeufferung, daß ein Beweis des Sahlencocffiie . 
sens, oder des Theorems (no. 2), hier nicht nöthig fen, iftfehe J 
gegründet, um fo mehr, da ſolches Jac. und Joh. Berno | 
Leibnig und de Moivre (man fehe die in Inf. Dign. s. Xll. 
XIII. von mir citirten Stellen) vorlangft gebraucht und erwir 
fen haben. Anders verhält es ſich mit der (no. 1) nur obenhin 
berührten Zulammenfeßung des gefuchten Buchſtabencocfficien⸗ 
tens, nad) den bengefügten beyden Bedingungegleichungen, 
deren Ausführung hier nur geforders *), aber weder da, I 
fon 





*) Es iſt nämlich in no. ı nur angegeben, was geichehen fol; die 
Ausfuͤhrung aber, oder dad wie? wird immer etwas meitlduftig 
ausfallen, fo lange man dabey nicht auf combinatorifche Der 
fahren verfällt, die alles auf einmal, und Über alle Ermwartum 
inaus, verkuͤrzen und erleichtern. Herr de la Grange fagt, det 
eis des Theorems (no. 2.) Laffe fih aus der Combinationds 
theorie ableiten; eben dus bitte auf ragen eines Merfahrend 
für no, ı gefagt werden koͤnnen. Dee Nutzen ber Cembinan 





X; Außzüge und Recenfionen neuer Bücher. 369 


vnſt irgendwo, gegeben‘, oder auch nur verſucht worden iſt⸗ 
te aber neuerlih Herr D. Bramp (polyh. Lehrſ. S. 102) 
hne von jenem Saße etwas zu wiſſen, vollſtaͤndig auseinander ges 


ebt, auch auf die allgemeinere Grundreihe ax’+b zer x’ tete 
ıngeivendet bat. Die Ausführung der bedingten Forderung _ 
no. ı) leitet, wie (a.a. O. ©. 119) iſt erinnert werden, auf 
de Auflöfung eines unbeftimmten Problema, deſſen Zufams 
nenhang mit den combinstorifhen Bperstionen, und wie fols 
he mit großem Vortheile babey anzuwenden feyen, Herrn be la 
Srange wohl nicht leicht entgangen feyn dürfte, mern es ihm 
fallen hätte, die Sorm für die Buchflabencomplırionen 
no. 1) eben fo deutlich als den Ausdruck für die Verſetzungs⸗ 
ablen derfelben (no. 2) anzugeben — das, was nur obenhin 
nd im Allgemeinen gefordert worden, in einer befondern Ans 
sendung auseinandergejeßt, ſich und feinen Lefern vorzulegen. 
(uf welchem, von dieſem garız verfchiedenem, Wege id) zu 
em independenten Ausdrucke dieſer Koefficienten gekommen 
in, zeigt meine Analyfis derſelben (Infin. Dien. Ss. XXI.). 
ſch verfiel zuerft (daſ. p. 71, 3) alıf eine Lokalformel, die den 
anzen inhalt des (n+ ı)ten Sliedes det Potenz (1 + y,”, 
nd was darinn von den Potenzen y', y?, y?... yn vors 
ymmt, deutlich angiebt, und dieſe Formel leitete mich gerades 
s auf das combinatoriſche von mir fogenannte Discerptions 
roblem (5. XXII) und beyder Verbindung auf den combinas 
iſch⸗ analytifchen Ausdruck (s. XXIII, ı - 35 XXV, ı,2) 
allgemeinen Gliedes der Potenz; und bier zeigte fich mir 
serft die fo wichtige innige Berbindung zwifchen Lokal. und 
mbinatorifch » analptifhen Formeln, von welcher jene immer 
ı möglichfter Kürze den inhalt, diefe die combinatorifche Aus⸗ 
ihrung deffelben angeben. Die unmittelbare Bergleihung beys 
| derley 


lehre in der Analyſis iſt namlich nur einſeitig und febe beſchrankt, 
wenn man bey ihr (was man bisher nur allein gethan hat) bloß 
auf die Anzahl und Menge der einzelnen Complexionen und 
Bälle, nicht aber (mas doch mit der eigentlichen Analyſis in weit 
engerer Verbindung ſteht) auch auf die wirkliche Daerftellung 
. berfelben Ruͤckſicht nimmt (polyn. Lehrſ. ©. 297. $. 207). Das 
- Ben zeigt ſich aleichwohl eine große Mannichfaltigkeit gleich leicht 
anzuordnender Sormen, davon Ich , mas den gegenwärtigen Tat 
enbetrift (Arch. d. Math. H. IV. ©. 385 — 433) ausführlich 
gebandelt habe. Eine merkwuͤrdige, mit ber Forderung no. ı 
im Texte zu vergleichende Stelle von de Moivre, habe ich (pol, 
ı Lehrſ. ©. 119. 4.) angeführt. 


Siebentes Heft. 


ei 1x. Stisige u eg hg 


Yertep Bere Rinder man an mehren Oiten Cauch all i 
&. 15. Aum. ©. 247. 5. 153)5 Wie günftig 
de la range meinen combinatoriſch⸗ analytiſchen 
deicen, Bormeln, und den daraus ſliegenden Zahlen⸗ und. 

ffeln. —— erhellet aus der unten⸗ zhtten 


*) mit J 

RAR. diefer , ‚mit der Hauptſache in der genauen 
“ ſiehenden Disrefflon, gebe ich wieder zu dem i 
ö Ani. Der Umfland, daf, in Bepichüng auf Wat 
gel, füe-meihe bie Slieder verfchiebentlic zu combinieen 

Beyſpleie im-art. 39. p. 309 — 313 bes..o| 

:) in. ber umgafehrenden Grundreihe y=xr ax 

—— u ein Stied = — iſt —— 


2 


2 u 10 Aug. 3* Antwort auf die vnn 
22 Er menge Jufnis. Dign. Hifloria, Leges ar For 
* —* hu votre — avec beaucoup de fat 
FH ar le regard« cömme tr&s E a lhi 
. Papa —— — — 
» y donnez pour | es p uiffences d’un polinome quelcon- 
ne me paroit rien er er A defirer fur cer objer. J’aurois 
ilement fouhait& ytrouver des tables soures confPruires,pout) 
le developpement des differens termes de ces puiffances, & 
auxquelles on.pür toujours avoir recours dans le befoin. Cr 
feroitune entreprife d'une tr&s grande utilit€, d’enrichitles dif® 
ferentes branches de YAnalife de pareilles tables. — „Dans 
Letat ou eff aujourd hui cette fcience un femblable —* 
feroit certainement bien u avanrageux que tan de col 








polon, Lebei. ©. 187 oder mE, ab. X mit Beyfügung 

ber Werfegungsgaplen) gleihftm Mielend gefhepen. Sit war 
Bortheil, den’ die —— durch ſo grobe Erfeichier 
ung dee Conl Icher Zafeln zeigt! Co nüslich aber \ 
Fr) dergleichen Zafeln nur immer fegn mögen: fo find doddle | 

Far: fden , und die in engfter Verbindung mit 
Bin Em ie, rennen Ban a 

wi auch Fönnen felbige, erforderlichen 3, fogleii 
von al unabhängig mit größter Peich, — 17 Er 
r Mate Kufe ‚und ganp entiwicelt Dargeelit werden, 


; Auzuge und Kecenfionen.neuer Buͤcher. 371 


r mitiden Erponenten p, p-}+q u. f. w. der übrige, nach 
inden in einer arithmetiſchen Reihe ſeyn oder nicht feyn kann: 
v. Umftand - macht den Ausdrud für xm (S. 365) weits 
tiger, als er fi geben läßt, wenn die Erponenten der - 
indreihe ſaͤmtlich in arithmetifher Progreffion fortgehen, 
nn aber die Werthe für s, p ptg, p+2g, u. f.w. 
hmetifch ſteigen oder fallen, oder (was damit auf eins bins 
tommt) wenn die Erponenten der Reihe für y, wie gewoͤhn⸗ 
‚ gleich anfangs p, p tg, pt24.n. f. w. find, fo läßt ſich 
‚er Formel für x®, aueh der, durch Einführung der Kombis 
ionsclaffen a®A, buB, cXC... ſchon bengebrachten Verbeſſe⸗ 
g, noch eine nicht weniger wichtige Reduction anbringen, 
nittelft welcher die. nach ihr beſtimmten Werthe der einzelnen 
eder diefer Formel nicht felten.anfehnlich abgekürzt, und zum 
zrauch bequemer gefunden werden. Diefe Reduction, auf 
che Herr de la Grange nicht verfallen iſt, fol fogleich geges 
werden. 


[. Lofal- und combinatorifch - analytifche Umkehrungs⸗ 
| formeln. 


Hier koͤnnen (mie oben ©. 365) nur die Formeln für xm 
jeführe werden. Die Weweife derfelben, und ihre Beziehung 
einander, erhellen aus den Cpolyn. Lehrf. ©. 297 — 299) 
geführten Stellen. — | 


A. Lokalformel für die Umkehrung ber Reihen. 


1. Für yl=as! ex tdLyurtodLere iſt (polon, 
ef. ©. 297, 45 hier m für s, und ſtatt der dortigen °m, 
100. ihre Werthe aus (3) gefeßt) 


mn u 


a — g zI. yi 
m 
m-+d (m-+d)i 
a q = x»2. 
md 
m _Ber2d (m-+2d)1 
— T [) 1 
mtad. "3.y 
m _m+5 (m-+3d)8 
4 ___ 5 xA. * 
ANaꝰ 47 | = 
+ u f w. 


ul, An te] 2. Dar⸗ 


m —E Bien 
— Denn fee a 
: len = —— — 


Paper: ai ‚aber über 













sale q [m A, % * ang 


Gi —— — 


fficie 
ſchwietige Umkehrung, auf eine. für Me gsmbLiakeriige2 
- fie ſo ne aurücgefüßtrt g* =Cn+ " 3 für jeden 
- Wath von «(ale mi fi = — ET) up b der Qi 
nung darzuſtellen (pol, Lehrſ. ©. 232. 233). 


x. 4. Des Ausdruck für x” bleibt immer derfelbe, wie 
. nun. die Vorzeichen der Coefficienten -der gegebenen Meihe 4 

die hier fümtlich + find, ſich abändern mögen. Diefe Abe 

rung hat nämlich bloß auf die Potehz von.q Einfluß, Feines 

weges aber auf den allgemeinen Ausdruck der — Dieſe 

gilt alfo auch für die gleich folgende Reihe, die ü wegen der uu 

mittelbaren Vergleichung mit der Lagrangiſchen ©. 36 
' „in B zum Örunde legen werde. 






— 
B. Combinatoriſch-analytiſche Umkehrungs formel. 
5. Sir ar exttd— yartedtere, if 


—— 





IX, autor nd ef onen neuer Vichet. 373 





ymfaa r BR 


* = 0 











"r L & 
3 2 ⸗ 

⸗ 8 9 9 93 

( m+-nd-+r — 
| ar 15 UbrB 4 _ Benc 
..ım & 20° Ze ] zen 
+—| m+ndät3r un T_, (2° 

| r €mD — 

rer ya 6 ——— — — 

na. | B 


En Y; 6, € eo 2 0 j 
34 4 ..% .. ‘) 

Das hier zuleßt ſthend Glied iſt das allgemeine (n-Hi)te, 

oder der in combinatorifchen Zeihen ausgedrückte Werth der 


£otalformel für xa7(n+ 1): in (2) auf die obige Neiße 
. y! — ax! —Burrt rn di etc bezogen (4). 


zuirt, und ſtatt der bortigen abwechſelnden Zeichen — + lauter 
— ſetzt. Dieſe Abwechslung der Zeichen nämlich bezieht ſich 
auf der dortigen Reihe Eoefficienten +8, P , FPeie, die 
er — , - . —h—eic f ind, und folglich für die ungerne 
n Claſſen TA, ac, 2E... lauter negative, für die geras 
den Claſſen "B, "D, °F. . lauter pofitioe Complerionen ges 
ben. Da nun die Zeichen — gerade da fliehen, wo jene, die 
ichen -+ da, wo dieie Claſſen vorfoinmen : fo find alle Coms 
lexionen aller Claſſen pofitiv, und es iſt am beften, in der 
Reibe fir x Bucchgängig das Vorzeihen +, und im Zeiger 
AN, 8... ſtatt —B, — 9, — 2... zu feßen. 
0% Dan hätte den Werth für xm auch aus der Formel 
«Cpölyn. Lehrf. ©. 298, 6) ableiten Eonnen. Das würde eire 
von der bier (in 5) ganz verjchiedene Darftellung gegeben haben, 
wobey ich mich aber nicht aufhalten will. 
3. Setzt man in die Reihe für xw (S. 365) r+d 
ſtatt p, und d ftatt q, fo kommt daraus die Hiefige (5), für 


= 01, 
Aa 3 9, Cyp 














DEE" . ML 
"xu7(a+ — —— 








J ‚in B zum Grunde legen werde. 


7 


B. Combinatotiſch/analytiſche umkehrungsfotmel 


5. Fuͤr VSar—extd—ygrtedtere, iſt 


m 
„= Cr 
7 


m+a 4% 
ma'A Dr D ’ 


. Auszüge wen onen neuer wie y 393 








 m+ 
mfa>A ‚7 ey B} — 
nen Turn, * 
r %& 20% 
3 3 8 
3 6 Be 3 
m+-nd-+r m+nd+2r 
(aA y r AbnB — Dec) 
m — 20° — zen 
— m+ndt3r mind mar r * une). 
r7 x ChonD r- 
4° 12 | rn 


6, % ö, € ). 


1, 2, 33 4... 00 


Das hier zuleßt ftehende Glied iſt das allgemeine (n+#1)te, 
er der in. combinatoriſchen Zeichen ausgedrückte Werth der 
kalformel für xm7(n+ 1) in (2) auf die obige Reihe 

max pxtd at 2d_ etc bejogen (4). | 


6. Die Reihe für xw in (5) folgt (aus polyn. Lehrſ. * 
7, 3 und ©. 298, s), wenn man für die dortigen s, ° 
1» 2m up hier m, —,— — — .. and 

r r x 

rt, und ſtatt der dortigen abwechfelnden Zeichen — + lauter 
ſetzt. Diefe Abwechslung der Zeichen nämlich bezieht fich 
f der dortigen Reihe Coefficienten +, +y, FP Peie, bie 

—AMA -— ete fm und folglich für die ungera⸗ 
3 Claffeh mA; ac, nE,.. lauter negative, für die gera⸗ 
3 Claſſen »B, "D, »F. , lauter pofitive Compferionen ges 
. Da nun die Zelchen — gerade da ſtehen, wo jene, die 
chen -+ da, wo dieie Claſſen vorfuinmen: fo find alle Coms 
rionen ‚aller Claſſen pofttiv, und es iſt am beften, in der 
be fi x durchgaͤngig das Vorzeihen +, und im Zeiger 
y,d... flatt — 6, —y, —d... zu feßen. 

7. Man hätte den Werth für xm auch aus der Formel 
lyn. Lehrſ. ©. 298, 6) ableiten Eonnen. Das würde eine 
ı der bier (in 5) ganz verichiedene Darftellung gegeben haben, 
bey ich mich aber nicht aufhalten will. 

8. Seht man in die Reihe für xm (©. 365) r d 
t pr t und d flatt q, fo kommt daraus bie hiefige (5), für 


Aa 3 9, Ep 










nn Wi=g7 ur: ig Fan! rt . # 
— las user 3: 
alu —A — eꝛe] 


F 
ur ara TE —R Fast, * 
is \ are YoesE Ken ; 
— 6 

7 D 


nn 
1, 2, 33 5 5 


13 ‚tert Yd) | 13:13 erter) 





=il4— — * 
* 15.13 * — —— A er: le 
en mn 
—7 3.0.28 5 





ve letzte Ausdruck volllommen, wie in Seren. Hauptmann Reh⸗ 
des Abhandlung über das ballififche Problem (&. 12, 5), mt 
daß dort im Nenner des Bruches vor 8° durch einen 
er 16 flatt 2.4.16 ſteht, Me * en 2 
ndlichen Bruches erhellet, die ih aber hier, a 
. er wie Beym Cyempel (&. 366), nicht —— 
jen 


10. DieReductionsformel([ı) giebt nicht felten große Bes 
türzungen bey der Umkehrung. Da, wo man bie 
der umzufehtenden Neihe ſchon Hat; oder andersmoher 
oder (wie bey Binomien) für fich leicht beſtimmen Eanınz.-ebit- 
auch (und das iſt bey weitem das Wichtigfte) wenn die 
dienten der gegebenen Reihe fo befchaffen find, dag ihre F 
- gen ſich “x finden und auedrucken laſſen, als durch 


EX. Auszüge und Necenfionen neuer Bücher. 375 


meine Formel pm7 (n-+ 1) nad) pol. Lehrſ. ©. 232 gefchehen 
kann ; wie das der Fall i. B. bey ben Scalen q [a, 2a, 3a...J; 


ale td ara... a, , — 
1 1.2 1.2.3 


fehr vielen andern tft — in allen folchen Fällen wuͤrden die For⸗ 
meln (©. 365. ©, 372,5) in unnöthige Weitlaͤuftigkeit und 
Verwickelungen führen, deren Reduction auf die kürzere Form 
aus der Lokalformel (1) nicht felten Außerft ſchwierig fallen würde 


+ 2d 
11. Exempel. Es iſt yl—=xtgı.xitiı — 
x34ô 


4 
‘1.2.3 


darftellen. | 
Die- gegebene Reihe gehört zu ber obigen Scale 
2 2 


...] und bey 








1.2. . 


+ etc gegeben, man fol, die erften Glieder von x⸗ 








alu — — : - 5 ... .] fuͤr welche —A 1) 
—— —— — für a=ı (Eul. Introd. in An, 





’ 1,3.34..nN 1.2.3 ..,N 


Inf. T.L ſ. 116. 117). 


Das giebt al ie Lokalformel ebraucht, a 
gie eſſo, bie kolaſor ms —X 





u — : s(s+2d)" — 
*57 2? + an A 
| rn lur4M) 
ers aha Tu; mm 
, 1.2:3.r? ‚1.2.3.4.r* . 
gleich viel kuͤrzer, als durch die Formeln (S. 365, 372) ge⸗ 


> 


ſchehen ſeyn würde. u u 


Die nähere Ausführung diefes und einiger andern Erems 
pel Gaben Kr. Prof. Rothe (de Ser. Reverf. — difl. 
13 —ı5) und Here Mag. Toepfer (Tombin. Anal, S. 176 
. 180) gegeben. | | u 

12. So wie bisher x, eben fo läßt ſich auch log x aus der 
Gleichung für y oder y! (©. 364,372) duch Umkehrung fins 
den. Die Lokalformel für log x, aus welcher die combinatori⸗ 
ſche fogleich fließt: ©. 369) kann man (polyn. Lehrſ. ©. 299, 8) 
nachfehen. Sch will mich Hier dabey nicht aufhalten. . Die Vers 
gleihung derfelben mit jener zeigt aber ſogleich, daß der Aus⸗ 
| | Aa 4 NSG 9 


376 IX. Auszüge und Hecenfionen neuer Bücher, 


druc für loe. x noch einfacher iſt, als der für xm; voſttonmes/ | 
ivie bey Heren de fa Grange (art.-20, 21). 2. u. 


13. Zumeilen fteht ſtatt des einzelnen Gliedes y oder yl au 
eine Reihe, wodurch die Umkehrung noch fchiwieriger with 
Weitläuftigkeiten In der allgemeiner Darftellung der zugehörigen 
Umeehrungsformel zu vermeiden, und zugleich die Deutlichkeit 
befördern, Hat Here Profeffor Rothe hiebey Lokalausdruͤcke nah 
der reduchten Form gebraucht. Ausführlic über die allgemein 
ſte Form folcher Doppelreihen, fo wie überhaupt von der Ums 
kehrung, babe ich in meinen Paralipomenis ad Serierum Re- 
verfionem (Lipf. 1797) gehandelt. Etwas davon, nebſt eini⸗ 
gen Veyſplelen, kommt auch (polyn. Lehrſ. ©. 299 302) vor 


5. Zum ewigen Frieden unter den Steeitern in ffentlis 

chen Zeitungen, wegen einiger Kechenerempel, Ein | 
arithmetiſcher Verſuch, auch Layen genüßbar. Nebſt 

Beylagen, welche die in den öffentlichen Blättern bes 
findfichen, dieſen Gegenftand betreffenden Aufſaͤtze, 
nebft der Beurtheilung eines jeden enthalten. Leip⸗ 
zig, bey 3. G. H. Nichter 1798. 96 Seiten. 8. 


Zweck und Inhalt dieſer Schrift iſt auf dem Titel deutlich ans 

gezeigt; die Veranlaſſung dazu hat das Steinbeckſche Rechen⸗ 
exempel gegeben: was herauskomme, „wenn man 9 Thle. 23.91. 
vi pf. mit fich ſelbſt multiplieirt?“ Woran, der Layen wegetr 
ine kurze Einleitung in die Arithmetik, worinn der Verfaflet, 
—* ſich am Ende der Vorrede Immanuel Friedrich unte 


ſchreibt) vorzüglich den Unterſchied zwiſchen benannten und um 


Amannten Zahlen auseinanderſetzt, und $. ı2 richtig zeigt, daß 
Multiplication in henannten Zahlen, nichts anders heißen Eins 
ne, als eine benannte. Größe, jovielmal nehmen, als eine ans 
dere gegebene unbenannte Zahl anzeigt, woraus von ſelbſt folgt, 
daß nur der Multiplicand eine benannte Zahl feyn kann, dei 
Multiplicator aber ſchlechterdinas unbenannt feyn muß. Kies 
aus ergiebt ſich nber auch, daß derjenige, welcher zwey benannte 
Zahlen mit einander ju multipiieiren aufgiebt, was Ungereime 
ses verlanäts wodurch die Steinbecffche Aufgabe in ihrer ganzen 
Bloͤße erſcheint. In der That macht es von dem Zuftande de 
Irterrichts-tn der Aeithmetik keinen vortheilhaften Begriff, wert 

on man 


Auszuge und Recenſionen neuer Bücher. 377 


in ſleht, daß von ſo vielen, die uͤber dieſe Aufgabe ihre Mei⸗ 
ng öffentlich geaͤußert haben, nur wenige ben Sauptumfland 
) ber. Aufgabe, daß fie an fich ungereimt iſt, erwähnen, 
meiſten abet, und uriter denen fogat Lehrer der Arithmetik, 
ſes überfehen haben. 


* Sur unter einer einzigen willkuͤhrlichen Vorausfetzung koͤn⸗ 

n, die Steinbeckiſche und“ andere ähnliche Aufgaben , einen 
inn erhalten, wenn man eine gewiſſe Geldgröße als $Einbeit 
niteint, und den einen benannten Factor Tovielmal nim t 
s die für die Einheit angenommene Seldgröße in dem andern 
tor enthalten ift. Iſt diefe Geldeinheit ein Thaler, fo heißt 
e. Aufgabe, man foll 9 Thlr. 23 gr zu pf. fo vielnmi.nehmen, 
t.ein Thaler in 9 Thlr. 23 gr. 11 pf. enthalten. iſt/ das heißt, 
mal, und dann kommt 99 Thlr. 22 gr. Ausg pf. heraus. 
ft aber die Geldeinheit cin Groſchen, fo muß, weil ein Gros 
en der vier und zwanzigſte Theil des Thalers iſt die Zahl, wel⸗ 
e anzeigt, wievielmal ein Groſchen in s Thlr. 45-gr. II. pf 
thaiten.ift, 2 amal ſo groß ſeyn, als die, Zahl Awelche an⸗ 
igt, wie vielmal ein Thaler in eben der Summe enthalten iſt, 
iglich wird, bey ungeaͤndertem Multiplicand, der Miltiplicas 
r, mithin auch das Product 24mal fo groß, als vorher, und 
na kommt 2398 Thlr. 8 gr. Spf. heraus: "ft aber die Gelds 
aheit ein Pfennig, fo kommt aus eben dem Grunde das Zwoͤlf⸗ 
che des jetzt angeführten, oder das 288fache des vorigen Mes 
ltats, nämlich 28780 Thlr. ı pf. Da nun in dei Aufgabe 
oß Thaler, Groſchen und Pfennige vorkommen, f6 war es 
eylich natuͤrlich, eine von dieſen drey Geldſorten zur Einheit 
waͤhlen, und am natuͤrlichſten, den Thaler, als die hoͤchſte 
eldſorte; welches die mehreſten auch ſtillſchweigend, und ohne 
h deſſen deutlich bewußt zu ſeyn, gethan haben, und daher das 
fie Refultat fanden, welches auch wahrſcheinlich Herr Steins 
ch ſelbſt im Sinne Hatte, nur daß er fich darüber nicht deuts 
ch erklärte. Sa, nicht nur. bey diefer Aufgabe, fondern auch 
andern, wo nur in dem einen Factor Thaler vorkommen, 
& bey der Aufgabe s Thaler X 18 gr. oder bey diefer (7 Thlr. 

- 786.) X (798. — 7 pf) nahm man ſtillſchweigend den 
haler zur Einheit an. Obgleich diefes narhrlich ift, fo iſt es 
nicht nothwendig, und jede andere Geldgroͤße hätte zur Ein⸗ 
et angenommen werden koͤnnen. Iſt z. B. ber der Steine 
ecliſchen Aufgabe: 


| A 5 R 


.- 


J 


m ca unten ae 





hie Eiaheit * pt das Reſulut 
——— CHR. 21,96, Gehe 
Mer 7 
Sr " . —* = 
21⸗ 





** — au ug Zt, EN 
Sa, fogar jedes ganz aus 


ES ER | s 


ie Refultat, 48 


54. Colt, na gr, 7.91. Kann eldeig, fa 3, in ſo fern man ficpeine | 


Geldotihe von ı FI 19 er 44 Pf. dabey. als Einheit 
dedenit. 
EN : Danger kette Ser bj? al 

: fasın Wis Otrind eckthe Erempel: * # 
x Dean Re naͤmilich⸗ Belegung auf Taler, a=ım, 





et abs 
1 8, . 
— — —— bu 
“er, 12: \ —— 








eis giebt apf. mit ſich ſelbſt multiplieirt, und den 
Orolden-an: "einher angenommen, 16 96. — 
1 5tn4ra Pe. Auch hier gäben andere Einbeiren andere 
Qefukatz , eins fo richtig wie das andere,. wenn fie.zichtig ger 
rechnet find ;-der Aeußerung ($. 19. ©. 16) entgegen. 


29°: Diefen Erläuterungen will ich noch folgende Benterkungen 


Ierfügen. „Die Gleichungen (©. 26, ſind fo zu werdeffen: 
0 B2886g1 








J Ber FRE 29 = U. 
* 282 


Eben ſo die Quotienten, wie folget: 
‚199 Tr: 22 90. Anke pf): (9 The: 23 gr. u) 
"Ars gear pf)eGar. u pf) = 
a Sr. vn akt: {120 gt pi) 


“4 Dis 


Er 


XI, Auszüge und Recenſionen neuer Bücher. 379 


Das Erempel 9. 39 iſt falfch berechnet: .es kommen 117 9 
3N ıD 3B. Auch hätte der Verfaffer zu den von ihm 
$. a2 und ©. 55 —.57 vorgelegten Aufgaben, wenn gleich nicht 
die Auflöfungen, doch die Refultate, der Ungeüßtern wegen, 
angeben füllen. " Diele find ($. 42. Er. ı) 11C 109P 318 
3Qn3Pı9;5 (Er 3) 9W M882V3M; Imre. 
muß ein Drudfehler vortommen, wenn anders, wie zu vermus 
then ift, das Reſultat rational feyn ſoll. Ferner (&, ss, ı) 
Sie. Erben empfiengen: der erfle 95645, der ate 52635, dei 
te q14%5, der ate 382455, der. ste.38249$ Thaler an baa⸗ 
rem Selde und die Uhr 95773 Thaler am Werthe. Doch viels 
leicht iſt durch einen Druckfehler die Verlaffenfchaft 2758 flate 
2768 Thaler angegeben; in diefem Falle kommen lauter ganze 
Zahlen für die Erbtheife nach der Ordnung! 960, 3a8, 416, 
334, 384 und die Uhr 96 Thlr. am Werthes (©. ss, 2) die 
Tiefe des Brunnens if 129,218 Fuß; (©. 55, 3) Er hat bes 
zahle für ein Duzend 80 Thlr. und auch 80 Thle. gewonnen; 
(©. 56, 4) der Streit fiel vor 1797... die juͤngſte Schwerer. war 
36, die ältere a2 Jahre alt; (©. 56, 5) die Heerde beſtand 
aus 277199 Stuͤck. Ä U 


Der Bruch, den die Gebruͤder Thieme (S. 85) angege⸗ 
ben haben, iſt nicht falſch, wie (S. 26) behauptet wird; er iſt 
einerley mit dem der Herren Wagner und Häfchfe (©. 84, 85) 
wenn man biefen mit.3 aufhebt. Durchgehends iſt hierbey ans 
genommen , die zu verzehrende Summe werde erfl zu Ende des 
Jahres ausgezahlt; Tollte fie gieich zu Anfange des Jahres bes 
zahlt werden: fo gäbe das ein anderes Nefultat Ä 
. 1479 Thle. 12 gr. rar Pf. 
welches fich zu jenem, wie 10: 11 verhält. on 
Zuletzt noch folgendes, in der Kürze: Herr Steinbeck 
Sat ganz Unrecht, wenn er (S. 76) die zweyte und dritte der 
von Herrn Wagner angeführten Proportionen für zwey von fels 
nem Exempel ganz verfchiedne Aufgaben erklärt, und behauptet, 
le erſte Proportion fey zwar richtig, erleichtere aber doch bie 
uflöfung nicht. Es war ja nothwendig, vor allen Dingen dee 
Aufgabe einen vernünftigen Sinn unterzulegen. Auch iſt Herrn 
Steinbeis Tadel gegen Herrn Fiſcher, Schulmeifter zu 3. ganz 
ungegrändet. Die beyden mittlern Säße einer Proportion koͤn⸗ 
nen, wenn alle vier Glieder benannt find, durchaus nicht, we⸗ 
nigſtens nicht als benannte Zahlen, vote Kerr Tifcher richtig bes 
‚merkt, mit einander multipficirt werden. Zu den beieürenten 


X Ausziige aus Briefen, 


Auffäßen über die Steinhetkſche Aufgabe gehören auch, der von 
B. (S. 81, 82) und vonM. (8. 90°— 94) beyde aus Diese 
den. Der lebte iſt zugleich der ausführlichfte. on : J 
u ' H. % Rothe, ‘ 
alle —6 X. ZZ j u 
Auszige aus Briefen ; verfchiedene Nachrichten 
— Fund Anzeigen. J 


ne 


Ka or 





3 ENTER ii. 


.ıs Aus einem Briefe von Herm D. Kramp an bau: 
2 jeiausgeber. eier 
BEER OR, - „Hamburg: deu Smenbrüden, ben 28. 1.1297 
Dieschimmang der aſtronowmiſchen Ptrabienbreähung, nach optifch⸗ 
hoſtſcwen Gründen, / mit Añwendung des Mariottifchen kebrſatzes of 
die Abnahme der Denfitdten der armofphärtfchen: Luft, und vermittelt 
genauer, volftdudiger Jntegratiog der hier vorliegenden fehe ſchweren 
Diffetentialgleichung, mit Weglaſſung alles beffen, was bioße Muth⸗ 
masung , bloß aufs Geratbewohl bin gewigte Ndherung mar — il 
basienige Problem, mit. melcpem ich von meinen erfien Univerſitats⸗ 
fahren de unaufhoͤrlich, .mit dem größten Fleiße, abge immer vergeb 
lich Und ohne allen Cefolg, mich abgegeben babe. Vergedlich war meb 
ne Bemähung, aus chen dem Beunde, warum bisher alle Bemuͤhm⸗ 
gen, ſelbſt der geößten Geometer, vergeblich gewefen maren, und 
Aufgabe felbit bis auf diefe-Stunde unaufgelöf. geblieben war. DIE 
Hefache ndmlich tft, die ungeheure Divergenz aller der Reiben, inweh 
che ſich das vorliegende Differential entwickeln laffen mußte, und de 
ren ſamtliche Coefficienten nath den Potenzen einer Zahl fortgienzer 
beren mittlerer Werth, in gegenwdrtigem Sale, wenigſtens goo war. 
Doher flebt ed auch um die Lehre von der aftronomifchen Refractioa 
ungefähr. fo aus, mie mit dem Planeten⸗ und Mondenlaufe vor dem 
Tewstomifchen Syſteme, da man die allgemeinen Gelege und die Gri⸗ 
de der Wechnung noch nicht fannte, nach welchen ſich das. Geſuchte 
e.priori beſtimmen ließ. Auch fand ich über die vorliegende analotl 
de Schwierigkeit nirgends Aufſchluß, ſelbſt in beyden Abhandlungeß 
es Laplace, ſur Approximation des formules qui font fonctions 
trös grands nombres. Mem. de l Acad. des Sciences. Annẽt 1782. 178 
—* die doch zu allerndchſt hicher zu gehören ſchien. Endlich, ab 
er alles Vermuthen, gelang es. mir in der vorigen Woche, die fer 
große Schwierigkeit ganz aus dem Grunde zu heben. sch fand nam 
lich für jedes Integral ydx, zwey allgemeine, einfache, in der Am 
wendung Tefchte ſummatoriſche Meiben, deren bie eine allemal convert 
eiren muß, wann die andere aus ber erſterwahnten Urſache ˖divergick 
Die eine dieſer Reiben IR gany nen, wod fAc die höhere analufie 
| au 


verſchiedene Nachrichten und Anzeigen, 381 


außersebentlich wichtiger Wenteag; auch werde ich Ipn, nebfi den dor⸗ 
dns berfliedenden wichtigen Folgen , du feiner Zeit ” Ihrem Arch he 
betanng machen. Ib wahre nun fogleich die Anmendnng auf die 
aßsonomiihe Refractions und flehe da, das Problem war. in feiner 
größten Allgemeinheit, durch febe convergente Reihen aufgeläft. " &6 
ergaben ſich hierauf folgende Refultate, bie ich hier mittheile : 

1, Die von mir, nacp meiner Integration berechnete Kefrartios 
nentafel dimmt, für die Yarometerhöhe 283oN und + 10° Keaumur, 
die ta Baland's Afronomie Rebt, von ba in die Berliner Sammlung 
aftton. Tafeln übergegangen, und bekanntlich das Refultat der zahle 
eeiöften und. ticbtieen Beobachtungen it, bis_auf 86° fcheinbaree 
Entfernung vom Zenit, felbft in den einzelnen Secunden übereln. 

a. lieber 86° hinaus, bis volends an den Horizont hin, belaus 
kt ih die linterfchiede auf mehrere, und bid gegen 30 Gecunden; 

telchwohl aber Aft für die Horisontalrefeaction der Unterfchled noch 
gering, daß ſolcher ‚ben der vollfoinmenen Liebereinfimmung alles 

Ibrigen, und der bekannten großen Schwieriufeit, die Horliontalres _ 
wefpaction richtig su beobachten, offenbar auf Rechnung der Beobachs 
tung, und nicht der Sormel, fallen kann, die ohnehin die analptiige 
Demonßration für fi bat. . 

> 3. &8 folgt demnach [1 allererfi hieraus, daß die Anwendung des 
Matiottifchen Gefeges.auf Die Anordnung der atmofppdrifchen Schich« 
ten volltommen richtig fen; daß Überall, ſelbſ in den höchken Keglon 
Den, bie Dichte.fich verhalte wie dee Druck, daß Temperatur, Eiek⸗ 
teicität, unglelcartige Michung der atmojpbdrifchen Luft, durdaus 
Reine Abmeldung bewirken; und dab alle die angeblich beobachteten 
Abweichungen debler der Beobachtung, nicht der. Theorie find. 

4 Dabvon 4 bis 5 Grad ſcheinbater Höhe an dis ans Zenith, die 
Nefräction fich verbalte wie Die Dichte der Luft, dies HE wahr. Us 
Tein, daß Dies bey hiedrigern Höben auch ſtatt habe, bies IR nicht wahr, 
Meine Formel fagt hierüber, daß für eine Temperatur über ıc° die 
Derminderung der Kefraction weniger, für Teinperatur hingegen 
unter 10°, bie Vermehrung derfelben mehr, weit mehr austrägt, 

ed nach jener Kegel ſeyn folte: fo, Daß ben folchen @raden der Rdls 

€, sole 4. &. in Schweden oft Hart haben „mögen, die Horizontaleee 

in gar wohl vier und mehr ganze Grade betragen kann, mie fols 

es nach Is Lande Afronomie, Tom. IV. p.662; und .Lemennier Mem. 

de Idcad, Anne 1780, p- 87. der Sal war, 

> +. Dermittelfi meinee Formei alfo wird der Ahronom in ben Sand 

it, für ale mögliche, von der mittlern nech fo fehe abmeichende 

peratüren , die felöit den allerniedrigften Göben sulommende Res 

‚ mit der geößten Genauigkeit zu berechnen; und fo fiele denn 

te er Scörierigteit von felbit wea, die jene Weobactungen Bis 

ber für die Wiſſenſchaft fo gut ald unbrauchbar machte. Auch Läkt fi 

eine Revifion ber vorsüglichen, bey dergleichen niedrigen Höhen an⸗ 

sehelten Beobachtungen machen, aus welchen man, bloß wegen der 

—& angegebenen Reftacilon, die fehlerhaften Schlaſſe Bezogen 
6. Und zuletzt, babe Ich noch zu bemerken, dab alle, won Lambert, 
Seablep, Maer, Gtupfon ıc. gegebene allgemeine Defeastiondfors 
wen, iwar für größere Höhen anwendbar, aber auch al&dann übers 
Rüsis: für ganz niedrige Höhen hingegen nicht einmai als Pe 





. Pr 2 ER aus gie, : 


. rechnung lag. 


“0 12 Daß e8 mit dem fo ſehr Beimeifelten —— 
welches: Sen. meiner Secarvie gu * 5 
an.dis in die der \ 
Ei en — er Mean ne * 





— Da ui de ern vi 


” wenn 
ih a alien —— unwigtigen Yes 


\ I dit F — Bas ic) 


ib einfiweilen mit den gehörigen gel 
jemitteln ef erde, herausgeben —— unter dem Litel 
Aftranemicarum argue Terrefirium Hifteria‘ Das 
te dann ein Buch werben, wie das Buch des ae Ja Place, 

Syfiime da Monde es la figure des Plaueres, 


Eee u: auch, wern fich auf bilige Bedingungen ein 
Si 


2. Zweytes Schreiben, von eben dem Verfaffer, indie 
felben Angelegenheit. 


Homburg, den 14. Fan. 1798. 


9, &le meinem vorigen Schreihen eine Stelle in dem ndäen. 
‚Hefte Ihres Archivs zugedaat haben, fo bitte ich, demfelben 
meinen N ea für die Yortgontalrefraction 


a Halbmeffer der Erde. Unter dem Aequator Bene Ei — 
h,dfe Subtangente der Logifficn , durch deren Dri 
Aitdt der Nuft für jede gegebene Höhe ausgedeüct wird. en RR [ 


- Gelb. der Weroft- babe ic) eine Tabelle der Subtangenten für. jeden 


Grad des Reaum. Therm, gegeben: die auf de Puc’s Höhenmellungen 
Gegründet it. dar 10° Reaum. ift h= 4218 Toiſen. * 


e, ei Heiner Bruch, Der. Stege weg, für 2 —— 


1:1 F w, Berhälmig dee Sinufe des Einfall und 
winkels für den Durchgang aus Luft In den leeren — * ta eis 
Eleiner, dee Denfitdt der Luft, proportionaler Bruch. B 
"Wacom. und 4 10° Keaum. If w = 0,0003869. iind nı — 


ich übergeugt, dab * 5 BP 
— en 


a he de A 
. Jaß Die 
au ee nm eakm Ben Kresa 5 
föber behauptete Linz 
N — 5 nit De Er 1. * 





m.od 


derſchiedene Nachrichten und Anzeigen, 383 


M. Daß die Kefrangibititdt der atmoſphariſchen Luft ſich durch⸗ 
gehends verhaͤlt wie de enfitdts und daß aller Zuſatz von use 
umd fremden Euftarten, fo mie auch aller Einfluß der Wdrme, Kälte, 
Trockne und Feuchtigkeit, an biefen beyden großen Naturgeſetzen niche 
das geringfte abzudndern vermögend if. 


Die Berechnung der Refeactionen nahe am Horizonte, bis auf 7° 


scheinbarer Höhe, If dagegen fehr fchwer. Das Integealfe Ta y 
das bey der Horizontalrefraetion =o wird, koͤmmt alsdann mit in6 
Spiel; und bier mar fchlechterdings nichts anders zu thun, als eine 
Zabelle dieſer Integrale zu berechnen, von t==o,0ı bi6 ı==4,00, auf 
ı2 Decimalfiellen. Es war eine ungeheure Arbeit; allein, Gottlob, 
ich bin damit fertig. 


> Eine Erlduterung muß ich mir von Ihnen ausbitten. De Luc 
bat angenommen, daß der Gang des Queckſilbers am Thermometer 
mit dem der dußern Luft gleichfoͤrmig ſey; das iſt: daß zwiſchen dem 
Srade des Thermometers y und der zugehoͤrigen fpecififchen Feder⸗ 
eaft der Luft, Y, eine Gleichung vom erſten Grade hatt habe. Dies 
IR gewiß nicht anders ald cum Grano Salis zu verfiehen. Ich erins 
‚nere mich Dagegen, In Prony (dem erfien Theil, gegen das Ende) 
eine Tabelle gefehen zu haben, wo für fünf der vorzuͤglichſten Grabe 
Des Therm. das zugehörige Volumen ber gemeinen, bepblogificten, 
brennbaren ꝛc. Luft in Ganzen und vier Decimalen ausgedrückt iſt. 


Vrond hat die Gleichung. dabey verfuht: Ye) Fe) Lei Y 


-LePY-Lerc; und es iſt ihm gelungen. Dürfte ich mir wohl von I 
nen eine Abichrift diefer Stelle von Prony ausbitten? Ich brauche 
fie zu meinen Refractionen fchlechterdings „ und an Bücher biefer Art 
46 in dem Orte, wo ich Ist wohne, nicht gu denken: auch feine Ges 
fegenheit, fie anders als mit großen Koßen und ungebeurem Zeitvers 
kufle au dr mmen. — 


\ 


3. Aus Heren D. Kramp’s neueftem Schreiben. 


Homburg, den aten Marz 1798, 


Forem geneigten Rathe aufolge, babe ich mein Werk über die Re⸗ 
feaetionen in fransöflicher Sprache auszuarbeiten angefangen; und 
mehr als bie Hälfte der Analyfe des Re£fraetions Aftrenomiques et 
Tarreftres if bereits fertig. Das dritte Kapitel, Analyfe des Facul- 
-t&s numöriques, enthält, auf etwa zwoͤlf Bogen im Manufeript, 
weit weit mehr, als alles was ich nod) bisher Ihnen augefendet habe. 
Ich babe das eberfüßige weggelaſſen, Die Beweiſe ſehr ins Kurze ges 
zogen, und das Ganze mit Anwendungen auf mehrere der wichtighen 
Aufgaben der höhern Analofis bereichert, die auverldäig vorhin nies 
mand verınutbet batte. Ich glaube behaupten zu können, ohne die 
GSranzen der Beſcheidenheit au überfchreiten, dab das Meile, mad 
bier gefchrieben habe, für die Mathematik eben fo neu ik, als es 

die Snfinttefimalrechnung au Ihrer Seit mar. Ein ſtarker Grund zu 
diefer Behauptung Liegt einerfeits in dem Benfalle, womit Sie meine 


no el 


nr Ania as Bein | 
ER —5553 


ein febe aroßer Abland if, daß de 
— Instant „als erfere.. Ih = 


ie mei 
a ER — — Knete — DH nr ken 
u - 3 Anwendungen increff 


— Ber ET, PR dm dem Druck 


J are na Set —— —* 
ner Eh ann —J—— * ——— | 
17 ni er bevoi er 
N ine Knie mt de Sage mehr fble A aud Br 
— „8 möchte —— ph 
Banane 
Abel men. 30 ne mob, * die Serge für 


KR, 
— wen Ib af 
— — ee ir = 


md etwanigen eigung auaufchii 


*) Die Bevtedge, in drey Abthellungen, wurden mehrere sche 
Gede beunabe ein ganzes) gefüllt haben. Ich hatte 
vorgenommen, einen Yuszua des Wefentliben und mn 

daraus, im Archive mitzutheilen, Nunmehr iſt aber auch bie 
fer nicht nöthig. CH 


* An einen Derleger für ein fo wichtiaed Werf, das — 
aſt von einer doppelten Seite ntereſſirt, kann und fol e6, 
16 nit fehlen. Herr D. Ktamp bat nicht nöthig, fein PM 
nufeeipt im voraus, als vorzurcigende Probe, herzufenden. Det 
Fe Frl ————— Ka ae wir 
e Schriften rübm! iannten Berfaflers, m 
hinreichend, die Güte des Werks zu verblrgen. Re 


Reipzig, 
gedruckt bey Chtiſtian Friedtich Golbrig. 








der 
reinen und angewandten 
Mathematik. 
» . 
N Actes Hefe 1708 





J. 
Anfangsgruͤnde einer neuen Ervonentialrechnung: 


von Johann Paſauich. 


4 


J. babe dieſe Abhandlung in der Beylage zum er⸗ 
ſten und zweyten Bande meines Unterrichts in der 
mathematiſchen Analyſis (Leipz. 1798) verſprochen. 
Meiner Ueberzeugung nach iſt die Rechnungsmethode, von 
welcher bier die Rede ift, dergeſtalt beſchaffen, daß ſie, 
wegen der Einfachheit der Begriffe, worauf ſie beruhet, 
dee Sründlichkeit, womit fie ausgeführt werden kaun, 
und des Allgemeinheit ihrer Gründe, mehr Aufmerffam- 
Seit verdient, als manche andere Rechnungsmethoden, 
wodurch man das, mas der fchlecht abgehandelten Miſe⸗ 
zentialrechnung fehlet, zu erſetzen gefucht hat: bloß aus 
dieſem Grunde mache ich fie befannt., in der gegrändeten 
Hoffnung, daß jeder Kenner von ihr eben fo, wie ic) davon 
denke, urtheilen wird; daß ſie nämlich beym gegenwärtie 
gen Zuftande der Differential» und Integral Rechnung, 
zwar eutbehrlih, aber immer doch werth ift, in dieſem 
Archive aufbewahrt zu werben. 


Achtes Heft. OB LENWM 


s N 
1 D . . 


| 386 1. Paſquich, Aufangsgruͤnde 
| L. | 
Von der Erponentüirung algebraifcher Funktionen, 


Ä g. 1. 

Paoſtulat. jede Funktion y von einer ver 
änderlichen Gipe z foll fich unter der allgemein- 
fien Som y—= Az! + Bz’ +-Cz°+ Dei etc 
betrachten laffen, entweder weil jie wirklich diefe 
Form bat, oder weil fie einer Reihe von derfelben 
Sorm'gleich geſetzt werden kann. 


.. 3% 


 Melldrung. Wenn y was immer für eine Funk⸗ 

tion don einer abfoluten veränderlichen Groͤße x ift (mel 
che nämlich unabhängig iſt von riner andern veraͤnder⸗ 
lichen Größe); fo nenne man diejenige Funktion, melde 
aus der Funftion y entſtehen würde, mwenn man ale 
Glieder der gleichgültigen Reihe ($. 1.) einzeln genommen 
mit den ihnen zugehoͤrigen Erponenten von x multiplie 
cirte, (den Exponenten o nicht ausgenommen), bag Ex⸗ 
ponential der Zunftion y, und bezeichne es mit sy: 
die Funktion y feldft fol, in Beziehung auf ey, bie ef« 
ponentiürte Sunftion beiffen: die Methode bie Erpo» 
nentialien der Funktionen, und die erponentüirten Sunf 
tionen für gegebene Erponentialien zu finden, wollen mie 
die Erponentialrechnung nennen. 


Beyſpiele. 


| 
ym3R sr) 2x" — 7x? giebt 


6 
ya 
Ä 4 3 
y(a — 3 9 a — 62 x49x8 giebt 
yaſf. - Gary, 8 — 240° xt-725*. 


ar 


‘ 


’ 
s 


einer neuen Erponentialrehnung. 387 


$. 3. . 
1. Zuſatz. Das Erponential einer beftändigen Größe 
C ift gleich Null; nämlich Cc= == 6. ‚cr Cx°.o==o 
(6. 2.). 
J 5. 4 | 
2. Zuſatz. Das Erponential jeder abfoluten vers 


Anderlichen Größe x iſt derſelben Groͤße gleich; nanuch 
IXSSG. 1Xx(G6. 2.) | 


— 5.5. 
3. Zuſatz. Das Erponeneial einer Zunftion y-Z. 
-+- von x, wenn D eine beftändige Größe bedeutet, iſt 
gleich dem Erponential ihres veränberlichen Theils 2. 
Denn fegt man nach ($. 1.) 

. TAX +-Br’-+-Cx'--D x tete; 

fo iſt y=PxX HA Br COxe Dxi- ete: 
alſo y=aArbix4 +-cCx'--dDxi-retc 
*67 (5. 2.). 


4. Zuſatz. Das Erponenlt jeder unter der Form 
y=Px’-+ Qx1--Rx'+-Sx’-+ ete vorkommenden 
Funktion von x iſt gleich der Summe der Erponentialien | 

Ahrer einzelnen Glieder: nämlich nach (5. 2.) 
| sy=pPx’+-qQxi-HrRxz'-HsSxtete . 
=. Px’e, Qxirs. Rx’ 8.5x°-4 ete, 


6. 7. 

5. Zufag. Das Erponential der Summe U--V 
X -+- Y-Hetc mehrerer Funktionen von einer abfolu« 
‘ten veränderlichen Größe x ift gkeichh der Summe ber 
* Erponentialien derfelden Zunftionen einzeln genommen: 
nämlih e(UTVFXHY ter) m eU+EV-heX 

+eY-rete $ 1.2. 


86 2 8 & 


288° m: Paſquich Anfangegrunde 


§. 8. 
Aufgabe. Fuͤr bekannte Exponentialien 
zwoer Hunktionen von einer abſoluten veraͤnder⸗ 


lichen Größe x das Erponential des Produkts aus 
- denfelben $unftionen zu finden, Ä 


Auflöfung. Man multiplicire jede Funktion ein⸗ 
zeln gehommen mit dem Erponential ber andern Sunftion, : 
‚and adbire die Probufte in eine Summe; To wird dleſe 
das derlangte Exponential ſeyn. 


Beweis. Es ſollen hier drey mögliche Säle ve 


" trachtet werben: deun entweder find | 
1) beyde Sunftiogen, etwa u = 5x’ , = Rz’, 


einfach; oder? 

2) eine unter ihnen iſt einfach, und bie andere je . 
fanmengefegt, wie umSsx U=Kr+L 2-4-M3" 
-}- etc; 


-Lx!-Mx" tete, V=Ax'tBx’tCx + ete; 
alles in der Bedeutung ($. 1.). 
4) Im erfien Fall findet man nun nach ($. 2.) 
uv=SRx‘’'; ‚alſo s.uv==(s+r)SRx°’*" 
= Rx'.sSx--Sx’.rRx 
3 =veu->-usv, 


Eu 5) Im iiepten Fall aber findet man daffelde af 


folgende Art: 
uU==u.Kx!-+-u,Lx! -Hu.Mx"+ete: 


alſo ift nach ($. 7.) 


‚s.uUz=elu. Kx)+s(uLxU+s(u.Mxm)-tete 


Wenn man baher bie einzelnen Erponentialien nah 
(4) nimmt; fo wird ſeyn . 
‚s.uU=us.Kx'+Kx“ ‚eu 
‚ t+us.Lx!’+-Lxl.eu 
-—+-us.Mx? FMx”, su 
-j— etc, re TR 


v 


3) oder beyde find zufammengefeht, wie Umkx | 


einer neuen Exponentialrechnung. 389 


eu(s.Kx*-Hs.Lx Ihe, Mx”-+-etc) 
„r(Kx'-H-Lx'--Mx"”-tete) eu 
=usU-+Ueu ($.5.). 


6) Auf diefe Are erhellet nım bie Richtigkeit der 
gegebenen Aufloͤſung auch für den 3ten Fall. Denn es 
wird ſeyn 

VUVM. V-PL. V-HMxn . V4 et: 
alfo nad) ($. 7.) 
ur UVEsKRN-+eLx. V)-He(Mx" Ve 
Daber wenn man bie einzelnen Erponentialien nah 
(5) ausdruͤcket, muß ſeyn = 
| Kxt.sV--Ve.Kx“ } 
UV— —Lx!.eV+VeLx ı\ı 
a Mxm, VVs. Mxm — — 
—+- etc. etc. I) Zu 
Bi  (Kri+-Lx --Mx"—+-etc) eV 1 
— Ve. Kx'+e.Lx'-+s. Max" -hete) * 
== UsV--V eU (6. 6.). 


| Ä 9. 9. . 

2. Zuſatz. Sir drey Junktionen P,Q,R von. 
zeiner abfoluten veränderlichen Größe x waͤre s(PQR) 
==Re(PO)--POsR=R (PeEQ-+-QsP)+-PQeR 

6 BIERPEQHRQEP-EEQER. | 
hi 


6. 10, . 

2. Zuſatz Nimmt man an, daß das BroduftDEF 
---ST aus n-+-ı Zunftionen D,E,F, ---S, T beſtehet, 
und das Erponentlal des Produits DEF-.-S be 
"Summe ber Produkte gleich ift, welche entftehen würden, 
wenn man das Erponential jedes Faktors von DEF---S 
æmit allen übrigen Faktoren multiplicieee; fo muß dad Ex⸗ 
ponential e(DEF---ST)J)=(DEF---)ıT+Te 
_ EF--- ” 8 3.) die Summe der Produkte (eyar 

5 3 | wahr 


.  Bunftionen gelten ($. 10.)z daher gilt es überhaupt für 


* Aufiöfung. Man multiplicire bie um einen Brad : 


nen Potenz, und dem befannten Erponential Yon Z; fü M 


300 I. Pamich, Anfongsgeinde n 


weiche man erbielte, wenn man va Erponential jedes i 
Gaftors von DEF---ST mit allen Abrigen Gaktoren Ä 
multiplicitte. 


ER Ya | I ’ 
3. Zufan, Verlangt man demnach das Erpein⸗ 5 
tial des Produfts aus ſobiel man will Gunftionen; z 
-multiplicire man das Erpomential jeder einzelnen Funl⸗ 
-tion mit allen übrigeu Sunftionen, und addire bie erhal⸗ 

eenen Probufte in eine Summe. Denn dieſes gile wird ° 

Sich für 2 und 3 Funktionen ($. 8.9.), und wenn es für - 

u Zunttionen gälte; fo ‚müßte daſſelbe auch fir n 41 


| jede moͤgliche Anjahl von Sunftionen. 


5. 12. 


| | 4. zuſan. Fuͤr jebe Sunftion 7 von einer abſoln⸗ 
ten veraͤnderlichen Groͤße x, und jede ganze bejahte Zahl m 
muß ſeyn 5. Zr, 222... 2=mZ""!lsz (G6. 11.). 


§. 13. 
Aufgabe. Fuͤr das gegebene Exponential 
einer Funktion Z von der abſoluten veraͤnderlichen 


- Größe x das Erponential ihrer unbeſtimmten Po⸗ 
tenz Z° zu finden. 


‚niedrigere Potenz von Z mit dem Erponenten ber gezebe⸗ 


wird ſeyn s.Z’—nZU1sZ, 


Beweis. Zür einen ganzen bejahten Exponenten a 
erhellet dieſes aus (6. 12.). Sey aber 


.ı= - eine bejahte gebrochene Zahl, und mas 


/ , u. 
tyra Tı ht yazı 


e 


alle 





‘ 


einer neuen Erponentialrechnung. 391 


alfe ift nach . 12.) yy eymuzUigz, und num 
uU _--ı \ 
sy= - Zy 2. | | 
2. Endlih fy n= — r eine verneinte, übrigens - 
ganze oder gebrochene Zahl, und 
y=2#=7Z", ſo iſt ya zZ; alſo nach ($. 8.) 
ye.Z2'+-Zeyzelt. | 
Weil aber 2r, r bejahte Zahl find, wofaͤr die gegen 
bene Auflöfung bereits erwieſen worden if; fo bat man 
e. 2m 2arZ2'leZ;, E. WM merZi!sZ, 
Daher iſt auf aryZPtsz t Z'sym —— zZ, 
- und hieran folge y — r ZU "1 eZ, 


4. 14 
Auf gab e. Sür gegebene $Erponentialien 
zwoer Sunktionen u, v von einer abfoluten verän- 
derlichen Größe x des Exponential der gebroches 


nen Funktion y=- zu finden. 


Aufloͤſung. Man ziehe das Produkt aus dem 
Exponential des Nenners in den Zaͤhler vom Produkt aus 
dem Exponential des Zaͤhlers in den Nenner ab, und 
dinidire den Reſt durch das Quadrat des Renners; ſo 
wird ſeyn u __ vu —usv | | 

e ——— — — — —, 
u eyn eye 7* Ir 

Beweis. Es if vy=u: alfo nach 6 2.) 

vey--ysev=su, 
su — YEV — Vsu — UV 


und nun ey — 
y= Y y? 


» 


$. 15. 
Nach der bisherigen Theorie Täßt fich demnach das 


Erponential jeder, wie immer verwickelten, algebraifchen 
\ B 4 | | u 


298 2 Pofauich,” Anfangsgründe 


[5 


= Gurtelon von einer abfoluten veränberlichen SGroße x be 


*ſtimmen. 


an 


\\ 


23.82. y=(@-hx?) | 
giebt nach (6. 8.) ” 
ERDE, : 
Bu iſt nach (8. 2.5.) 
er N) =cx— 3x; 
s(a-+-x?)==2x?: alſo iſt 
y* —— 
y=YV ut)‘ 
giebt nah ().13) 0 
y—4l-x9" (1 — x), 
und (1 N=—4xt nach (5. 2. 5.): 


| fe zart. 2(1— xt), = style Ä 


I 


= 
she nach (6. 13.) 
— V — Ig—xny ne (1—x?), 


und r = — 2x nad G25 
2 
alfo e x - x iu — * 

y —yta— er; 
y-- — giebt nach ($. 14.). | 
KCEROL UT) Zar), 
’ (14+-x#)) u 
‚und e [may 

58(1xt) = 4xt nach (5.2. 5: 
rum mer 
CE 





‚= 


alſo ey 


Am 


. oa * . 4. 16. 


— einer neuen en J 393 
Etmarung. Das in * 2) atlarte Erponential 

einer Funktion y ſoll das erſte Exponential davon heiſſen: 

dividirt man es durch die abſolute veraͤnderliche x, auf 
welche die Funktion y fich bezieht; fo fol das erfie nach 

6. 2.) genommene Exponential bed Quotienten das 

zweyte Exponential der Funktion y genannt werden: _ 

” und überhaupt fol aus jedem nten Exponential von y. ®- 
das (n i)te entfichen, ‚wenn man das nte durch die 

. - abfolute veränderliche Größe x dividirt, und das erſte 

Erponential des Duotienten nach ($.2.) nimmt. Alle _ 
‚x. biefe Erponensialien kann man mit keyı ”y;# ye8'yı, Br 

atıy, bexeichgen. J 0 


5.1 
1. Zuſatz. Diefen —X und Vejeichnungen 
gemaͤß iſt daher überhaupt Hy. Z, wenn x die 


abſoinke veraͤnderliche Größe bedeutet, auf weit die 
Sunftion y ſich beziehen mag. 


5. 18. 
m Zufag. Nach der vorhergehenden Theorie de 
fd das achte Erponential jeber algebraifchen Zunktion y 
. von tiner -abfoluten veränderlichen Größe x volllommen 
beſtimmen: diefelbe Theorie iſt alfo zue Beftimmung bee... 
4 £ Erponentialien von allen Brdnungen fuͤr alle algebraiſche | 
dunttionen hinreichend . 16). 


. 19. | Zu 
Er Zuſatz. Bas für. bed nee Ewonental gr y 
- ‚einer Funktion y von x der uoticut I benfalle eine 


Funktion von x iſt; ſo werben aus der Funttion y bie, * 
Erxponentialien von allen Ordnunten abgeleitet werden 
"rinnen ($. 16.) " 


ws en Ey 


J — J - 
— — 42 


F — x 


zu » 1. —— ga 
28 y= =r’; 


giebt. y=-3r ae. 2.); - 


_ | 
Yan 
x 


— Jar ya. 6x en 16 8 


s 
Tausch. | u 

re, x ; j 

. 2. — 


ay 


-24 


| Aa 3 | 120 . | F 
8 I sty 1205 — c(6. 16, 2.) u. ſ. v. 
x xI . | 


6. 20. 


4. Zuſatz. Iſt hingegen eine Zunftion y von x fs . 
Sefhafen, dag für igend ein ntes Erponential "y der 


Duotient I feine Sunftion von x, fordern eine beſtaͤn⸗ 


dige Groͤße iR: fo muß das (n-FI)te, und jedes hoͤhere | 


Erponential davon gleich Null ſeyn ($. 16. 3.); mithin 
‚wird die Funktion y nur derjenigen Erponentialien fähig 
feyn, welche unter der (n-Fı)ten Ordnung liegen, 

| 3. B. a23 giebt ⸗* 343; 


— zu 3ax’; eyzcaxı i 


max Hyabax 
x | a 
X. 


— — -. PER 


einer neuen Error 3 
\ 3y ER SE 


—_ 635. sty=o. 
x = 
| y=at+bx— cX?+d%. 
giebt sy=bx — z2cx’-+ 3dx?. 

⸗ 

I=b—2cx + 3de. 

X | 
ey=—acx+sde, 
ey 

x 


N 


ey >. 
ey 6dx; oo 64; ymmo. 
— x 


6. 21 


5. Zuſatz. Sür eine abſolute veraͤnderliche Groͤße 
und die Funktion y=Ax!--Bx’--Cx +-Dxi—--- 
.-+-Px? findet man dag rte Erponential nach ($.16.20.), - 

wie folgt 
sy=a(a—ı)(la—2)---(a—r+ı)Axttt! 
+b(b.- 1) (b—2)---(b—r+ı)Bx?"t! 
ce (—1)(c—2)--- (c—r+ı)Cx'*! 


) ı 
, 
0) 0 | 0 


--)) Part 


§. 22. 

6. Zuſatz. Gang anders verhält ſich die Erponene ⸗· 

tlirung nach ($.16.), wenn bie Zunftion y burch eine 
veraͤnderliche Größe 2 gegeben wird, welche felbft eine 
- Sunftion von der abfoluten veränderlichen Größe x ift: 
"man muß nämlich z, nicht ale die abfolute veränderliche 
“Größe, fondern als eine wirkliche Zunftion davon nach 
ı (9. 16.) behandeln, . 


EB 


596, 1. Paſquich, Anfangsgründe 


3.8 y=az 
giebt ey—3az’sz nad) (5. 13.) 


say ez 


3a. >e 
adı 7 
ey 5 8Zz gez 
I + "na . 
* — 3a22 nach (5.8) 
€ez €z 
= 32227 — + —.6azız ($. 13.). 
x x 


Alfo wegen ($. 16.) 





6az. 





eyzzaz,ez- 


Im F Sy. 
Er BAU 2rs az 


2 2 2 
IL 327% er 3a2* 7 
x a 


= gez 
+6a2. 6 —D— 
® 


z 
ee 6azez } 


Daher nad) ($.16.) 


ıgazez.ez 6ae, 








syzya.dz- 
uf w· 


\. ı 


einer neuen Erponentialrechnung. 1997 
1.% 


Anwendung der vorhergehenden Theorie auf die 
Tranſcendenten Funktionen. 


..ı 23. 


| Aufs abe. Die Potenz (a+b,” durch eine 
Reihe —— ; 


Aufloͤſung. Fuͤt u? = if (arb)r— manı, 


es koͤmmt demnach alles barauf an, daß man eine ‚Reihe 
für (1-+x)” finde. Daher fee man 
kı +)" ı+-Ax-+-Bxr?-+-CQ3--Dxt + 
. „.--Px' -+-Ox''!=y. 


So wird ſeyn nach ($. 13.4.5.) 
+ n 
nz OT * 





alſo (1+x) ey—mıy==0. 


Nimme man bemnah sy—Ax-+ 2 Be 3 ca 
-+>-4Dxt + --- PXA (r+1) Qx’*! + etc 
($.2.5.); multiplicirt man hierauf 1 PX damit, und mix 
‚mit y; fo wird man, nach gehöriger Rebuftion, aus deu 
- Vegten Gleichung die Werthe von A,B,C, D,---P, Q,ete: 
für y nach der befannten Methobe beflimmen toͤnnen Le 


$. 24. | 
Zuſatz. So wie jede Zunftion y don eiher adſo⸗ 
bunten veränderlichen Größe x durch ya AR Bxi 
+ Cx + -- + Px? tete fann. außgebrückt wer« 
diden ($. 1.); eben fo laßt fich dee Werth, dem fie erlangen 
wuͤrde, wenn bie veränderliche Groͤße x um irgend «int 
Größe w zunäbtüg, durch y A (x+o)'-+- B(x+u)? 
+ C(x+o) = -- + P(x to -M.etc ausbrüden: 
„au wenn man die bier sorpanbenen Poteagen Hm —— 
oh as 
N ‚ 


1 4 
v das 


2 1. Pafanich, Anfangkgrinde 
nach dem bimomiſchen tar entwickelt (. 23.); os 


, ſindet man 
dur. — art, 


hB b- br 
+Bx’+— — „a er Be —— ai 
I. 1.2- «Mr. 1 
.. * | u 
—— 44. — ——— 
I. I .2-..-r 
. 0» ne re | 


." . .. i 
121 


u 





· 28. .* p 4 * 2. .. J 

+ PxP 4 xPIQ-4e. „Dre, Pre 
v I on 2---T I. J 
+ \ etc. u u ee J 2 


6. 25. 
‚ae gabe. Enke die bekannten ‚one 





I zu 2 finden ‚ voelchen diefelbe Funktion erhalten | 
wuͤrde wenn x um eine Größe ⸗ zunaͤhme 

Auflöſung. Dafür hat man in (5. 24.) einen 
allgemeinen Ausdruck: die erſte vertikale Reihe daſelbſt 
enthaͤlt die Funktion y; die darauf folgenden vertikaler 
Heiden nach der Drbnung würde man aus ber dortigen 
letzten unbeſtimmten Reibe erhalten, wenn man bey ibr 
| nad) und nah r=ı, r==2, 1==3, 14 u. ſ. f. ſetzte: 
‚ba. alfo, biefelbe unbeſtimmte Reihe durch BETEN rg E 
aͤnsgedruͤckt werden kann (5. 21.); fo iſt einleuchtend, daß F 
der verlangte Werth y! durch folgende Reihe beftimmt ih f: 


5? 3 
——— a Er 

















uk | — 
7 Zr ve i. dad 3. rx 


per 5 . \ u ge 36, 


I | 
einer neuen Exponentialrechuung. 399 


$. 26. on 
1. Zuſatz. Sept man — w flatt win ($ 25.); fo 
erhält man folgende Reihe, wodurch derjenige Werth bes 
ſtimmt wird, welchen eine Funktion y von ber abſoluten 
veraͤnderlichen Größe. x.,erlangen wuͤrde, wenn x um 
irgend eine Groͤße w ‚abnäpme 





— 1.2,3...1X 


En. 


2. Zuſas. Zieht man die Zunftion y von dem 
Werthe y? ab, welchen fie erhalten fol, wenn die abfolute 
deränberliche Größe x um eine gegebene Groͤße » zunimmt; 
fo erhält.man die Größe, um welche y fich bey diefer Vor⸗ 
ausfegung ändert, nämlich zu» oder abnimmt: dieſe Größe 
iſt aber nach ($.25.) 


Y-,= =7.+7 Y —— 





9. 28. u Br 

u: Aufgabe. Den Logarithmen von 12 
durch en. Reihe zu beftimmen. - \ 

ung. . Um eine gang algemeine Aufloͤſung 
zu geben, wi ich annehmen, es fey z, mithin auch 
I(ı +2) = y eine Sunftion von der. abfoluten veränder« 

Hchen Größe x, nicht aber z die abſolute veränderliche 
Größe ſelbſt ($. 2.). 

- "2. Die Coefficienten A,B, C, Dete feyen fo beſchaf⸗ 
fon, daß für fie und jeden Maag von u folgende Steigung 
Start ſinde 

Alto) 


[2 . . a 
v 


| ‚90 H. Vaſquich, Aufendedinbe u 


—R == Au-+ Bu: +-CW-- Du* 4.. 
© ee Pu Qui ete. 

7, So wirb auch ſeyn 1101 —— 
wo Dat 04 Prtsh Qzittpete, -- 

“ un bie abfolnte viräwberliche Größe x;' en | 
weiche die. unftionen y z, vernloͤge der Vorändfehtüg 

- fd begiehen, „um os zunimmt; fo-nimme yun folsine 
Werth @, und.z um folgenden Barth Bw ($.27); 

sy sy: 2 









- = “+ -whete, 
x J Pie i⸗ 

— —— etc, 
2X 2.3X Ä 


“a Bey der Voransfeguüg. 5), weil y= ld: +) 
13 muß aber ſeyn ya} (1. +2+ß): alſo ik 


aldi HH Un) = Icı + re, Be 


Ga) if daher a ’ | a ur 
Aß Bp? :C 3 "Dpt , 
7 —— ya Bere 


5. Einleuchtend iſt es aber, daß, wegen (3) /eniſſe 
von w unabhängige Coefficienten k,.l, m, n etc moͤglich 
find, für welche der Werth von & in (4) ſich auch folgen 
dermaßen würde ausdrücken Iaffen, wenn man nämlich bie 
möglichen Potenzen von P in (3) ſtatt B, 8°, 8, Pt er 
in (4) ſubſtituirte. 


A 
4* — a ku” Zuruer Pin 


x(1+2z) 
6. Aus (a) s) erhielte man bennach "I Yu 


.® As: u 
EL, ls peiee * + 
BEIX 0 2.324. . .x(t+32)- : 8. 
+ia Tma- v3; 
124 3 u | . | “ . Da 


a 














einer nenen Erponentialrechnnng. 401 


7. Da aber dieſe Gleichung überhaupt für jeben 
Werth ve @ gelten fol; fo hr nothwendig 
2 A⸗2 
x = ap) ey 
8. Es iſt aber in cn nah (9. 5.13.)ey==Asz 
—+2Bze2z-+-3C2’2zz +4Dr’sz + --- HrPalsz 
. $ (rF+ 1) Qz’sz. 
Hieraus und aus (7) findet man folgende Gleichung 
aB) z-+-3C) 2’ +4D) 3-+---E(r+1)Q)zt 


u, und (Iı+z)sy—Aez==o, 


-+-A) +2B) +30) -+------- +- rPl=o 
Demnach hat man 
2B+ A=o B=—iA 
3C-- 2B=o = 5A 
4D-+ 3C=o D=—JA 
Ä ‘ . . _r 
m — PP, 
G+ı)Q-+-ı? =o Q ar 


Und für diefe Werthe findet man In (2) die befannte 
Reihe I(1 +z) = Al — 32-4 2’ — Zz’-Hete), 
wobey A der unbeſtimmte Modul des logarithmifchen 
Polens iR. 

$. 29. Ä 
I Zufag, Sy um ı+rz; ſo iſt eu=m s2(9.5.)r- 


__ Asz 
ud lu = Kı ta); e,lu = e.l(1I+z) 275 


Asu 
—*& 7.): alſo if s. la 


Das Erponential des zu was immer für einem 
Syſtem gehörigen Logarithmen von u wird alfo gefunden, 
. wehn man das Erponential von u durch u dividirt, und 
den Duotienten mis dem Modul A des Spfiems multi⸗ 
plicirt. 
Aques Heſt. Ce 38% 


42 1. Paſquich, Aufangsgruͤnde | 


$. 30. 
2. Zufag, Kür die natürlichen Logarithmen E 
der Modul A=ı: alfo für dieſe kogarithmien iſt e.lu 





eu 
un. | 
Beyſpiele. 
y=l4®) . 
’ is 2 
giebt yalıtd * (5.2. 3) 


ı+xX  ı+x? 





_ * = l(I=x) — Ic tx?) \ 


gebt sy=e. 10 — s.1(1+x°) 
tx) _ e(ı+x?) _ 
IX it’ 


X _ 
($.2 


y=1- 


| 0] 
u 








I—X — 


$ 31. 

3. Zuſatz. In dem beftimmten Fall, wenn u eine 
ebfohe veränderfiche Größe ift, nicht aber eine Zunktion 
von einer abfoluten veränderlichen Größe, It eu=—u 
(. 4.), mithin elu = A für jedes Syſtem, deſſen Modul 
A if 6 und elu = ı für natürliche Togarithun. 

FB 5. 32. 
4. Zuſatz. Hieraus erhellet, wie mar 1 Bogarithme 
von Kogarithmen erponentiicen fol: man kann naͤmlich 


jeden Logarithmen für fich als eine veränderliche Groͤße 
betrachten, und das Erponential nach (9. 30.) ſuchen. 
3.3. y=1llu 
. slu 
iebt —* 
giet == — 6.30) 


ul 





% 


einer neuen Erponentialrechnung. - "403 


y=lllu 
sllu su 
geh ya, ale 


| 6. 34. 

5. Zuſatz. Und nun kann man auch bie fogenann« 
ten Erponentialgroßen von der Form y == a" exponentii⸗ 
ren; wenn man nämlich zuerft Ihre Logarithmen nimmf, 
hernach nad) ($. 30.) exponentiirt: nämlich 


y=lamula; Z=lan; 
mithin .amsymarla.su. 
$. 34 


6. Zuſatz. Fuͤr die Bafld a —e ber natürlichen 
ogarithmen iftla=mle=ı; alfo ($.33.) e.e '=eteu, 


9. 35. 


Aufgabe. Die Größe z, welcher der Lo⸗ 
zarithme y = 12 in irgend einem Syſteme zuge⸗ 
hört, durch eine Reihe auszudruͤcken. 


Aufloͤſung. 1. Es ſoll ſeyn z= —E— — 
-Cy-Dy+---+ Py’—+-Qy'*!'-- etc. 


2. So iſt (8. 5.13.) ez = Asy + 2Byey 


hr 3Cy?ey + 4Dylsy-+- --- »rPy”!sy. 


> (+1) Qy'sy- etc. 
| NMe 
3. Uber wegen y * 12 iſt y=—, wenn M 


en Modul des Syſtems bedeutet ($. 29.): fegt man 

aher diefen Werth in (2); fo findet man 
2=MA-H2MBy-H3MCy?-H4MDy3-he.. 

--"+rMPy"’+-(cr+n)MQy’ tete 


— 


et 2. + Die 


« AN 


404 1. Pafauich, Anfangsgründe 


4. Die Heiden (1) 3) foßten nun einander gleich 

ſeyn; Gen ihnen waͤre alfo ' 
1 
aMB=A B= 











zM3' 
I. 
3MC=B = 7 
„MD=C De — : 
i ] 2 3.4M* 
a 5 
M —P —— — — 
(+) MQ Q —5 


g Pa für diefe Werthe findet man aus (1) bie Seat | 
eihe 








 ,y y’ y 
== I 4 4 nt 
2 Tu 2M? FERN — — 


4. 36. 


Aufgabe. Den Sinus und Cofinus von P 
durch zwo Reihen sussudrücen. 


Aufisfung. 1. Es kann feyn, daß der Bogen A, 
wicht eine abfolute veränderliche Groͤße, fondern eine Zunb 
tion von einer abfoluten veränderlichen Größe x iſt: bite 


ſes will ich auch wirklich vorausfegen, um die Auflöfung 
allgemeiner zu machen. 


2. Nimmt man alfo an, daß x um @ waͤchſt, und. 
bafüc ber Bogen O in Dre uͤbergehet; fo iſt nach (6.27) 


w* 4 . [Ay . etc. 
2.3X 


. 3. 8% 


einer neuen Erponentiafrechnung. 408 


3. Bey berfelben Vorausſetzung muß Sin N in Sin 
(O4) übergeben, und es ift nadı ($. 27.) 


2 
Sin (PHe) = Sin O* ‚Sind „ Sin® , 
X 2X 
3 5; . 
„EMO 7b ete, 


2.2X 
4 Seyen nun bie Coefficienten A,B,C,-- -P,Q 
dergeſtalt befchaffen, daß für fie und jeden denkbaren 
Kreisbogen folgende Reihe Statt finde 
SpPp=P--AP +-BP -+-C97 +... 
... 4 Po?»+1 4 Qp:"r3, 

5. Daher auch Sin e==me +FAd-+BeS+ Ce’ +... 
-.--+-0Qe?"?3, Hieraus und aus (2) würde aber, 
folgen, daß gewiffe von w unabhängige Coefficienten 
k, I, m etc moͤglich find, für welche wäre | 


Sne= © o KkKa 103-- mat + etc, 
6. Da aber Cof e== (r —Sin e?) Fin; fo müßten 
nothwendig andere von a unabhängige Coefficienten &, ß, 


y etc möglich feyn, wofür wegen (5) wäre 
Col e= ı-+ au’ Pod yut-H etc. 
7. Run iſt Sin (P+e) = Sin 9 Cole -+ Cot® 
Sin e: wegen (6) 5) wäre alfo | 
Sin (P+e)= Sin P + «Sin 9.0? -- PB Sin P. a 
— Sin ®. w* -- etc, 


„2 us®-H-kCofP.-H 1009.03 . 
mot RA + etc: mithin 

Sın (Pre) —Sind= 8 E +(%Sin Grk: Cof DO)? 

| HRSRPHICH SIR GHmCOLe 


sp etc, . 
ee3 . 3. Aus 








406 I Paſquich, Anfangdgründe 
sSi —2 & Sin 
2X 


3. Aus (3) 7) erhielte man —— 


3 
1 — - 1 trete Col — O+kCol9)o 
+ @: Sin P-+ICotGJar+ etc, 
9. Bey der Vorausſetzung (4) muß alſo die Glel⸗ 
Kung (8) für jedes w gelten, welches nicht ſeyn Fans, 


ſ0 
wenn nicht bey ihr — = ed, und «Sing Ä 


e= Cof De if. 
10. Serner it Co =—=Y(1—Sin 99: alfo nad 
_—SindsSin®_ —Sin®sSin . 
(913) .Gfp= y (1-—Sin 5* Cof 
Wegen (9) müßte daher ſeyn eColP=—=— SinPsQ. - 
11. Nimmt man e Sin® in (4) nach ($.13.), und 
fegt man e8 = ColdsDd wegen (9); fo erhält man 
CfP=1-+3AP-+5BP-+7Cp°-+- 
---.+(2n+ı)PP"-+-(2n+3) age. 
12. Und nimmt man sCofQ In (11) nach (6. 13.) 
weil dieſes = — Sin®s® ſeyn muß, wegen (10); ſo 
wird fenn 
Snp=—2. 240 —- 4. 5803 - 6. 7C0-- 
— an(antı) Pp=-t_- (ant2) (2043) —8* 
13. Aus (4) 12) erhält man alfo 














» ” 
Mn. " 


— 2,3 A=ı — —. 


2.3 
u m . B==A. B— — 
45 | | 2.3.4.5 
. . . —r 
— 6, — + —— — — —. 
97° 2. 2.3:4.5.6.7 5: 


—p 


c= 
——— — =P.| — —5 
——— 2* er) a, 





| einer neuen Exponentialrechnung. 407 


Fuͤr dieſe Werthe in (4) I genommen findet man 
endlich foͤlgende belannte Reihen 





5 or 
Sinp=P— — — en 
99 2.3 2.3.4.5 2.3 ...7 
N .-.. EN A . z * 
— 2.3... (20-* 1) 
2 Dr _ , 1 
FORTE BER. AJR RE 
2 1.2.3.4 1.2.3546 . 
_ Q2a+2 
.. IE ee ‘_ wi 
I. ———— 
a! “gr 37. J Ze. * on. 


2. Zuſatz. ge Sin O und Col & als itee Sunf« 
onen von Dhat man nad) (5. 36. p, 9. io.) 
| Sin O CoCOCO. 
Faro = = — Sin e 9 


Ä . 8. 38. —W 
2. Zufas. Wegen Siovd= I— Cop, und. 
sofvd=ı— Sin O, daher eSin v = — sColQ, 
ds Coſ v *. - eSin O , 5. muß nach E. 7) 
epn sSnv® =Sin®ed. 

e Cofy = — Col dep. Ä 
Sin ® 








3. duſatz. Gerner iſt Tang 9= =. Corp daher 
| Ä Cof 
Tang == —— —— 2; und Corp 
| Cof p 
1 * ETan *° 
= nd ; daher £ —XRX * — 7 Sin; 


nd nad) ($ 37.) ir man "alte 

Ta — 2 Sec.®°; 

€ an = co * Sec Pꝛ. e 
er eg eCot 


408 J. Paſquich Anfangtheunde 
0 





Cot p- — Coſec 9.12. | 
6. 40. 

4. Zuſatz. Endlich iſt Sec O = Sg’ ‚Cofec® 
= 3) dabe s Sec P _ — er s Cofec® 
——— —— 

Sec = = Sec® Tang P..P. 
led —. ne Cofec ® CotQ.ıP. 

a 4.. | 


5. Zuſatz. Die bisherigen Formuln ($. 37. 38. 
39.40.) gelten für jeden Sal, es mag Dale eine abſo⸗ 
Inte veränderliche Größe, ober als eine Funktion von ir⸗ 
gend einer abfoluten veränderlichen Größe betrachtet wer⸗ 
den ($. 36. n. 1.): im erfien Fall if bey allen Formuln 
6 ® — ® (6. 4.) 


5. 42. 

6. Zuſatz. Sept man Sin® == x, baher Cof® 
= fY(1—x?), oder Coſ x, mithin Sin® 
== Y(1—x?); fo erhält man aus ($. 37.) für ® 
== ArcSın x. oder D = Arc Cofx. | 

wei px , x ‘X 
» in x — 
ArcS Ya 
— iX 


Arc Colx zu —— 
— recox · 5 


6,4% 


einer neuen Erponentialrechnung. 409 


$. 43- 

7. Sufan. Fuͤr © = Arc Sinvx, daher Sinvx 
x, und Sin®=y (2x -- x), oder O= ArcCofvx, 
e Coſ x, und Coſ = y(2x--x?), finde 
\ aus (6. 38.). 


ex 
eArcSin vr 


V —*—ùY | 
X 
V (2x-2°) 
$. 44 
+ 8: Zufag. Und für © = Arc Tang x, mithin 
ngP=x, und Secc P = yYy(1-rx?), obe ® 
‚Arc Cot x, baher Cot OP = x, und Cofec P 
V(ırx?), erhält man aus ($. 39.) 
ex 
5 
ArcCotx= - 
e Arc = 75 | 
9 45. 

9. Zuſatz. Endlich für ® — Arc Sec x, folge 
‚Secc® = x, und Secc® Tang x Vi 
er © = Arc Cofec x, mithin Cofec ® = x unb 
Hec® Ct P = xy (x’- 1), erhält man aus ($. 40.) 
ex 


xy (&*-1) | 


IX 
Yen) 
6, at. 


10. Zuſatz. Alle diefe Formuln gelten für jede ver⸗ 
derliche Größe x, fie mag eine abſolute veraͤnderliche 


sArcColvx = 





s Arc Tang ı= 


 # Arc Sec zu —— 


sÄrc Cofecx= * 


&c 5 Groͤße, 


410 I. Bafquich, Anfangegründe. 


Größe, oder was immer für eine Funktion Bon -irgend 


einer abfoluten ‚Seräubsrlichen Größe feyn; im erſten u 


IR beral ex x (5. 4. 


III. ln 


Erfindung der Funktionen aus ihren Exponentialien. 


a... 
“Die vorhergehende Theorie dient zur Vefkimmung 
ber Erponentialien gegebener Funktionen, und, fie if fü 
sonftändig, daß man nach ihr die Erponentialien von je⸗ 


ber Drdnung ($. 16.), fowehl.algebraifcher, als trauſcen⸗ 
denter, und der aus jenen und biefen zufanmmengefeßtet ' 


Sunftionen beſtimmen kann. Run aber laſſen fi) darauß 
die Vorſchriften zur Erfindung ber exponentiirten Gunk 


tionen ($. 2.) aus ihren Erponentialien herleiten: des 


Zeichen der einem gegebenen Erponential #Z: zugehörigen 
erponentiirten Funftion fol der Buchſtab F vor dem 
Erponential feyn, dergeflalt, daß FeZ nichts anders 
bedeute, als diejenige Funktion, derer Erponential bem 
gegebenen sZ gleich iſt. 


% 4. ur 

‚I Zuſatz Daher it FeZ==Z, under ‚ZZ 
(6. 47.): nämlih FeZ ıft die Funktion Z, derer Eppoe 
nential mit e Z iſt begeichnet worden; und &.FsZ ift dab 
Erponential der Zunftion, derer Erponential mit eZ if 
bezeichnet worden. 


$. 49. 

2. Zufag. Unmitteldar aus einem gegebenen Expo⸗ 
nential sy fann nur der veränderliche, nicht aber auch der 
beftändige, wenn einer wirklich da ift, Theil der exponen 
tiirten Sunftion Fey hergeleitet werden. (. 5.): nenn 
man alſo unmittelbar aus ey findef,, daß Z die, Sun 


— — — nn — ⸗ im 


einer neuen Erponentialrechnung. an 


If, derer Erponential dem gegebenen ey gleich ift; fo muß 
man, um bie erponentürte Funktion Fey — y vollſtaͤn⸗ 
Big ausgubrüden, y 2 —0 ſchreiben, wobey C bie 
noch zu beſtimmende Conſtante bedeuten ſoll. 


$. 50. 

3. Zuſatz. Aber aus dem bekannten veränberlichen 
Theil Z einer Funktion y= Z-+-C fann auch ber Werth 
‚der Eonftante C beſtimmt werden, wenn nur berjenige 
beftimmte Werth W bekannt ik, welchen die Funktion y 
. erlangen mag, fobald die veränderliche Größe, auf welche 
y fich bezieht, einen beffimmten Werth w erhält: denn 
bey diefer Vorausfegung wäre V-C=W, wenn Z 
für den Werth w dei veränderlichen Größe in V uͤber⸗ 
gienge; mithin C=W—V, und y=Z-W—YV., 


| 5. | | 
4. Zuſatz. Iſt das Erponential sy = AsZ burdh 
das Produkt aus einem andern Erponential sZ in eine 
beftändige Größe A beſtimmt; fo iſt auch die ihm zuge- 
hoͤrige erponentürte ZunftionFey=AFeZ ($.47.2.), 


5. 52. 

5. Zuſatz. Und für ey—=sıP+sQ=ıR +--. 
„—sZ itanhFey=FsP-+-FeQ-+-FeR----- 
-.. FsZ ($. 47. 7), naͤmlich: die erponentlicte 
Funktion, welche einem aus mehreren anders Exponentia⸗ 
lien zufammengefeßten Erponential zugehoͤrt, iſt ebenfalls 
aus den erponentiirten diefen einzeln genommenen Expo⸗ 
nentiglien zugehörigen Funktionen zuſammengeſetzt. 


$. 53. Be us 

6. Zuſatz. Unmittelbar aus der in ($. 47.) gege⸗ 
benen Erklärung, und der vorhergehenden Theorie laffın 
ch folgende Fundamentalformuln Herleiten: 
— v J. F 


43. I Pafquich, Anfangsgründe 
"I Furtro= uv+C (6. 8.49.) 


2.  Frum ante ($. 13.). 
1] EV 


vu 
. FT =, 


+F-=l+c (6.30) 


5, — = Arc Sinx-+C 
vum (. 42.). 


6. le een Ta rel 


7. — „ == ArcSinvx--C 
* * ($. 43.). 


8. Fox u = Mrelofrx mt. 


9. F * = ArcTangx-+-C 


x ($. 44.) 
* == Arc Cot x -> C 


v — C ($. 14.) 


ex 








10, 
x == ArcSecx+C 


11. F xy (x-1) ($. N 


—6X 
12. Te == Arc Cofec x C 


$. 54 


7. Zuſatz. Alle diefe Formuln gelten für jeben Zah, 
e8 mag bey ihnen eine abfolute veränderliche Grüße, ode 
eine folche, welche felbft eine Zunftion von einer abſolu⸗ 
ten veränberlichen Größe ift, vorhanden fepn: wird ein 
Erponential sy gegeben, bey welchem das Erponentiel 


der beränberlichen Größe, 52. der Groͤße x gar nick 
vor⸗ 


! 


. einer neuen Erponentialrechnung. 413 


rkoͤmmt ; fo iſt dieſes ein Zeichen, daß x: eine abfolute 
ränderliche Größe, und x == ex iſt ($. 4.); daher 


un man sy mit - — — multiplicen, hernachd die exponen⸗ 
ste Funktion ſuchn. 
Beyſpiele. 


5x 
ya — zxy/ıx; 
⸗ yx xt. xx; 
x4 
ebt yazre ($. 53. 2. Form.). 
ya tn "-Igx; 
X . 
x! 


1 “x 
yalsrsr. = re 
xt -L | 
| — — C . 46ö . 
By * + ($. 53. 2.) 
— | 
2x* 
ebt y„a—=iYertsen. 


1 
1*7558* x; 


— an _ 





= Tr —, +66. 53.2.) 
ey == 4xt Y(IH+x) für se rrxt 
jebt e2 4x? (9. 2, 5.); yamalızı 
fo ya}: S 32) — J 
sy 


ebt y= 


44 1 Paſquich, Anfangsgrinde 


222 _ e(1 *22) , 
7 422 1*2* *5. 135 
sieh y=llırz’)-+C 6. 53. 4). 
x 
für zz arbxS, 





ey rbz s 


giebt ez = sbxS (52.5); = nr 


‘z 


y=-;, —32 alfo nah (& 51. 53. 4.) 


2 


—— 5 , 
y= zı= 5 !@+b2) +C 


f 55. 
8. Zuſatz. Da alſo jedes Erponential Xex inet 
Reihe von der Form Axtsx +Bx’sx + Cxsx trete " 
fann verwandelt werden; fo koͤnnte ſchon die bigherige 
Theorie binreichen, Die erponentiirte jedem gegebenen 
Erponential Xex zugehsrige Funktion wenigſtens duch 
Naͤherung zu beſtimmen. Doch koͤnnte man fich der aus 
der Sintegralrechnung bereits befannten Runftgriffe bedie⸗ 
nen, um die Erfindung der erponentiirten Funktionen aus 
befannten Erponentialien gu erweiten, wovon auch une 
ein Beyſpiel hier überflüßig feyn würde. | 


Pi 


IV, 
Anleitung zur Anwendung der Erponentilrechnung 


G. 56. 

Man kann fih nun diefer Erponentialrechnung by 
allen Unterfuchungen, bey melchen: fonft dfe Differential 
rechnung ihren Gebrauch findet, -mit gleichem Erfolg be 
dienen, und ich halte für ganz überflüßig bier erſt gu zei⸗ 
gen, tie man bie Erponentialrechnung auf bie nn 4 





einer neuen Exponentialrechnung. 415 


zroͤßten und Kleinſten, bie Summirung ber Reihen u. ſ. f. 
awenden fol: Indeſſen bleibe noch ein wichtiger Umſtand 
a beruͤhren übrig, nämlich die Erfindung ber Erponen⸗ 
alien fuͤr unbekannte Funktionen. 


§. 57. 
Wenn eine Funktion y ſich auf die abſolute veraͤnder⸗ 
de Groͤße x beziehet; fo wächft fie um eine Differenz 
!’— yz=Ay, wenn x um irgend eine Differenz Ax 
animmt: will man Ay durch die Erponentialien von y 





efimmen; fo muß feyn ($ 27.) R 
sy= = art: Zaxw+ AQD-h&--. 
22· 4*. 
2.3. 


3. %. y—xr giebt nad) 6. 2.16.) 
ey mm 2x’; Ze; eyzax; I 
2 .. 
Yo, 3y* 0. 20.): alfe . 
‚x? | 
—m2xAxH A. 
y=a+bx "giebt nad ($. 2.5. 16.20.) 


ey=3bx?; I == 3bx’; 
x 0 





Aymaxar- 


2 
eymsbr; — = 6bx; — 
I u 


dy= 6bx; 6b; yo: alfa 





2 3 
— 4 6bAx 
.2 


2.3. 
u: 3bx* Ax ——— bAxkı 
vr, 5. 58: 


N "Aymmsbrtaxt 


‚416 1. Paſquich, Anfangsgründe 


6. 58. | 

Wenn man doch bemerkt, daß bie Sunftion y eb 
nehmen muß, wenn bie abfolute veränderliche Groß: x, 
auf welche fie fich beziehet, zunimmt, weil alsdan 
y!—y== Ay einen verneinten Werth erlanget; fo muf 
die nach (5. 57.) erhaltene Differenz mit entgegengefehts 
Zeichen genommen werben. 5 


$. 59. ey. 

Aus (5.57.) erhält man xoy: Ax (y+- Ar ; 

EL. A | 
+ 5 0% +7 AX-F- etc): ı, und biefed Ver⸗ 
haͤltniß nähert fih ber Gränge sy: 1, wenn Ax unafı « 
hoͤrlich abnimmt: das Werbältniß sy: ı des Erponentiald 
sy jeder Funktion y von einer abfoluten veränderfichen 
Größe x gegen ı ift alfo bie Gränze, welcher das Verbält 
niß xAy:Ax bed Produkts aus ber veraͤnderliche 
Größe x in die Differenz ber Funktion y gegen bie Diff 
renz ber veränderlichen Größe fich ohne Ende nähern wir ° 
de, wenn bie Differeng Ax ohne Ende abnähme, 


6. 60. 


Sonft kann man mit vollkommenſter Gewißheit be 
xAY 

baupten, ey entfiche aus — wenn Ax==o nit 

($. 57.) Doch mag man sy auf was Immer für eine Art 

aus Ay berleiten; fo muß sy allemal mit entgegengefe 

ten Zeichen genommen werben, wenn bie Sunftion y ab 

nimme bey zunehmender veränderlichen Größe x (5. 53.) 


5. 61. 
_ Sindet man, baß für gewiffe von Ax unabhängie 
Eoefficienten P,Q,R,S---p,g,ns u. ſ. f. und fk 


jeben wie immer Kleinen Werth ber Differenz Ax 
foms 





einer neuen Erponentialrechnnng. 47 | 


\XAY,, 
ſewebl —I>L+pAX+gAx+rAR + etc, 


als * ZAY ZH — — + Raute 
if; fo maß sy == Z das Eyponkntial der Funktion y 
ſeyn. Man kann nämlich aus. bekanaten Gründen bewei⸗ 
fen, daß Z: 1 bey biefer Vorausſetzung die Graͤnze if, 
welcher xXAY: x fich nähern würde, wein Ax ellmähe 
lich abnaͤhme: daher f öys;ı =2: ı ($. ʒ und 
5y — — de 
er 62. 


Auf bieſen Gründen beruhet bie ſicher ſte Erſtnbung 
der Exponentialien unbekannter Funktionen: ich wuͤrde 
mich ihrer Eben fo bebienen, mie ich mich ſolcher Gruͤnde 
zur Beſtimmung der Exponenten der Differentialvethaͤlt⸗ 
niſſe zu bedienen pflege: dieſes Habe ich in ber Beylage 
zum erften-und zweyten Bande meines Unterrichts in ber 
mathematifchen Analyfis umſtaͤndlich gezeigt; zur Erläus 
terung werden daher folgende Beyſpiele hinreichen: 


1. Fuͤr die gegebene Gieichung zwiſchen den 
rechtwintlichten Coordinaten x, y einer krummen 
Linie, die Subtangente zu finden. 


Man betrachte die Abſciſſe x als eine abſolute ver⸗ 
aͤnderliche Groͤße, und die Ordinate y als eine Sunftion 
bon ihr. Waͤchſt x um Ax; fo übergeht y in y', und 
wenn man durch die Punkte, in welchen die frumme Linie 
von den Drdinaten y, y! Betroffen wird, eine Gecante 
zieht, wodurch eine Subfecante S entfliehen mag; fo ift 
Ay:Ax=y:S; alſo ad xAy:Ax==xy!S, 
Nimmt aber Ax alınäblich ab; fo nähert ſich bie Sub⸗ 
fecante S der Subtangente, welche t heißen mag, und dag 
Verhaͤltniß xy:S nähert ſich dem Verhaͤltniſſe zy:t als 

Achtes Heft. Dd feiner 


418 1. Paſquich, Anfangsgruͤnde 


feiner Graͤnze. Daher iſt sy: ı = xy:t (6. 590: 
folglich die Eubtangente t = er 
Yus der Subtangente folgt bie Tangente, Normale 
und Subnormallinie fehr leicht: die Tangente fey T, bie . 
Rormallinie N, unb n bie Subnormallinie; fo ift 


Tery)=VYH *** Ney·x⸗ 
—* =yp: . 


t „= Xx 
ee FH nelyorm 
2. 2. Beym Kreiſe iſt J ah 
nach ($. 13.) Ä 
— x’)? ==I(arx—x?) : (ar) 
und e(arx— x") =2rx— 2x” 4 2.)5 
rx—x” — rx— x” 


Y(2arx—x”) y ’ 


(rx—x?)? ”x—2rx2?2+x3 





daher sy= 


yo == 
2rx—x” 21I—X 


Solglich if 


= xy — * 











2x— 3 
ie 2 air en. 


2 f-rX 
LI. Fuͤt 








einer neuen Erponentialrechnung. 419 


UI. Fuͤr die gegebene Gleichung zwifchen den 
echtwinklichten Coordinaten y, x einer krummen 
Linie den Bogen ® zu finden, welcher zwifchen 
er Ordinate y, und der am Anfangspunfte der 
bfeiffen errichteten liege. :- 

1. Seyen T, t, bie der Abſciſſe x jugehdrigen Tan⸗ 
ente und Subtangente. 

2. Waͤchſt x, als eine abſolute veraͤnderliche Größe, 
m Ax; fo nimmt yum Ay = AX-+ aAx? 
-BPAQ-Hete für gewiffe von Ax "unabhängige Eoef⸗ 
cienten &, B etc zu ($. 57.): daher muͤſſen andere Coef⸗ 
cienten k, l, m etc möglich ſeyn, wofür Y (Ay’ +Ax?) 


1 
2 (Ay— AR’ — (5 Fe) a AxX4+ kax® 


1a + et = ger’ +29) -+ kax 
- AR + ete ſeyn —8 u ar 


3. Bey derfelben Vorausſetzung (2) waͤcht der Bogen 
um AP, die Ordinate y uͤbergeht in y'—=y+ Ay, 
nd die Tangente T in Cr), gehörig verlängert... trifft die 
rdinate y! irgendwo in einem Punkte, fo, daß der Bogen 
x für jede wie immer Heine Differenz A x größer als 
ine Sehne, und zugleich Keiner MS: das Skuͤck Dir Tan⸗ 
init goifchen dem Beruͤhrungspunkte und der Ordinate 

tgeſetzt werden fann: - heißt "fo dieſes Stuͤck s, und 
8 Bogens AD Schne c; ſo hat man allemal | 
.  AP>e um APSE 

Aber s- ik -die Hypotenufe ines rechtwinklichten 
reyecks, wovon eine Seite: A X ift, und eben dieſem 
reyecke IR jenes ähnlih, wo T in (1) die Hppotenufe, 
dt die niit Ax homologe Seite if: alſo 3: axe=T: t, 

ithin nach (1) 
db 2 S: AXx 


420 1. Paſquich, Anfangsgründe 


— 222y. X. _ A* 2329 
Army +8 y = — VayrR). 


Nimmt man demnad des Bogend AP Schuec= 


V(CAy?’+Ax°) nad (2); fo hat man 
AOö> — Vey rd) -ka® 1A re; 


AP< — Y (ey?+ x”): alfo auch 


x, y(ey’+ x) FKAXAIAX: + ete; 
I ver +2) 


Nach €. 61.) erhaͤlt mian ed V(yx) füs : 


das Erponential des Bogens D, als einer Funktion von ' 
der Abſciſſe x, welche als eine abſolute veraͤnderliche 


Größe iſt betrachtet worden, ſtatt welcher Formel man 
demnach aud) folgende annehmen kann (5. 55,) 


ed == — < Yleey? +29); und nun iſt 
9=F — V@y:+xD nah ($. 47.). 
3.3. Beym Kreiſe iſt * (ar) = == (a): 


alfo, wie oben in (I) 
Nr — ori +xt 


2 mn 
sy Sr : baher 
Zr ’ Im x ‘7 (2rx--x?) 7 (21x--x°) 
rEeX J 
und Dumm FE —— —. 
? Y(ırx-x?) 


J Drädt 





u. 


— —— — - 


’ 


. einer neuen Erponentialrechnung. 4ar 


N — dur ei 
Drüct man demnach Fark) durch eine 
Reihe aus, und multiplicire man diefe mit rex; fo wird 
man hierauf D nach ($..54. 55.) fuchen fönnen. 


III. Wenn bey der Vorausfegung (II) R den Raum 
bedeutet, welcher zwifchen dem Bogen O, der Abfciffe x, 
und ven beyden Drdinaten liegt; fo nimmt auch R um 
AR gu, wenn x um Ax waͤchſt, und ee iſt 

AR>yAx; — AVY) Axʒ; 


— AR 
AT xy; —_ <x ytAy) 


Seal ne denfelben Werth von A y, wie bey CAT) 
au 





xAR R 
— — E—— Ax-HaxAx® 


+ Bxax * ete. Mithin nach 61.) 
— — (6. 55.)3 





und nun RFyex. . 


Tach diefer Sormel Iaffen ſich demnach Bi ebenen 
Slaͤchen quadriren. 


IV. Eben ſo leicht findet man die Formul für die 
Cubatur runder Koͤrper, welche durch die Umdrehung 
einer krummen Linie um ihre Axe erzeugt werden. Wenn 
man ſich nämlich am Endpunkte der Abſciſſe x, woran 
eine Ordinate y ftehen mag, einen auf die Are fenfrechsen _ 
Durchfchnite denkt, und mit S das Stück des ganzen Koͤr⸗ 
pers bezeichnet, welches zwoifchen bemfelben Durchfchnitte 
und der Spike liest; fo müffen S, y, wenn x um AX 
zunimmt, um AS, Ay wachſen; es muß ferner AS 

größer ſeyn als der Eplinder, der AxX iur Höhe, andy 
| Dd 3 sum 


422 1. Paſquich, Anfangsgründe 


zum Halbmeſſer feiner Grundfläche hat, zuglelch aber klei⸗ 
ner, als der Eylinder, welcher bey derſelben Hoͤhe, + Ay 
zum Halbmeſſer ſeiner Grundflaͤche hat: alſo 
AS>ry’ ax, und ASCRTRCXMAVAX 
für das Verhaͤltniß 1 : m des Halbmeſſers zur halben 
Deripherie. Nimmt man aber ben Werth von Ay mie 
in (ID; fo erhäleman 
xos 2, xAS r ey | 3 
N x >aAXY’; * <sıx(yt x AX-MaAx | 
+ BAx?-+ etc)”. 
Daher muß es gewiffe von Ax unabhängige Coef⸗ 
ficienten p, q, r etc r wofür wäre Ä 
xAS 


AX 


= <ery: —pAxX-HgArR 
rägichete Solglich nad} ($. 61.) 
sany=ny-= ay’ex (9. 55.) 








und nun S=Fry’ex. 


V. Sep s ber Raum , telchen ein Punkt binnen 
einer Zeit t durchläuft; bie Bewegung ſey wie immer ver» 
änderlich, und c bedeute die binnen ber Zeig t erzeugte 
Befhmwindigfeite Nimmt tum At zu; fo nimmt s um 
As zu, die Gefchwindigfeit c aber nimmt um Ack 
oder ab, und es if bey zunehmender Geſchwindigkeit 

 As>cAts As<(c+Ao) At; 
bey abnehmender Geſchwindigkeit aber 
As<cAt; As>(c—Ac) At. 


Man kann aber s, c als zwo Funftionen von ber Ze 

t, als einer abfoluten veränderlichen Groͤße, betrachten, 

daher für gemwiffe von At unabhängige Eoefficienten ,ß, 

etc, Ac=aAt-+-PAr’+ yarı etc ($.57) 
ſetzen: alfo 

t As 


einer neuen Erponentialrechnung. 423 


tAs 'tAs 

— >tc; — Ete PetaAt tA® 

At C, Mr c A +-ß A 
+-YtAP-+ etc oder 

tAs tAs 

— te: — te — atAt— BtAt? 

At <te; nr ° | % ai " ß [4\ 
— ytAl — etc. 


In beyden Faͤllen wäre nach ($. 61.) 
et 
ste te. == cst (6, 55.): 


Dieſes wäre demnach die erfte Geundformul ber gan⸗ 
n Dypnamif: bie zweyte findet man fo: 


VI Eine bloß träge Maſſe M merde von einer vers 
aberlichen Kraft nach der durch ihren Schwerpunft gehen« 
m gerablinichten Richtung getrieben, fo, daß fie binnen 
w Zeit t eine Geſchwindigkeit c erlauget: die Kraft am 
nude dieſer Zeit fey v, und, wenn t, als eine abfolute 
sänberliche Größe betrachtet, um At zunimmt, nehme 
um Av gu oder ab. Bey diefen Vorausſetzungen erhält 
an aus befannten Gründen für die zunehmende Kraft . 





| 2 28 (v+Av) | 
Ac> At; Ae<—— At; 
r die abnehmende Kraft | 
28gv 2g(v-Av) 
—ıAt; — — at 
Nec< M At; Ac> M A 
tAc_ 2gtv tAc 2gtv a2gt 


— — AV 
ſo At > M ’ At < M + M " 
‘it tv t t 28t 
„as 2str IAc 28V 250,7 


At Mat M M 
TI Db4 Da 








424 1. Anmerkung des Herausgebers, 
Da aber v als eine Funktion von t kann betrachtet, 


A Zu ev ev - 
daher Av= —At — At’ - — —+ ete 
| t 2t .3t 
geſetzt werden (5. 57.); fo ſieht man leicht ein, Warum | 
nach (9. 61.) in beyben Sällen 
2zptv 2ptv et_ 228 
Bein, 78 —* 55.) 





EC 


feyn muß, 


Anmerfung des Herausgeberd, 


Tun te net ne 


Hr vorſtehende Icehrreiche Aufſatz, ben fein ſcharfun⸗ 
ger Verfaſſer in feinem fo eben (kLeipzig 1798) heraus⸗ i 
gekommenen Linterricht in der marbemarifchen Ana⸗ 
Iyfis und Maſchinen-Lehre, fo wie in einer befon 
dern (im Intelligenzblatte der Allg. Litt. Zeit. No. 99. b. J. 
befindlichen) Nachricht, für das mathematifche Archid 
zu liefern verfprochen hatte, enthalt bie weitere Ausfäah⸗ 
rung der in jenem Unterrichte (S. 42 u. f.) gegebener 
erften Gründe einer neuen Nechnungsmethode, bie vor 
einem, das Polynomialtheorem und deffen Beweig betreſ⸗ 
fenden, Mitterpacherifehen Eutwurfe (daf. S. 38-42) ° 
abfirahirt und abgeleitet worden iſt. Ihr Ucheber, Het 
Prof. Pafquich, nennt fie die Exponentialrechnung 
in einem allgemeinern, weniger befchränften Sinne, ald 
in weichem das Wort fonft vorkommt; weil dabey nut 
die Erponenten ber Differentialverhäftniffe, als endlicht 
Größen, zum Gegenſtande der Differentialrechnung gemacht 
werben. In jener Nachricht wird fie ale eine neue, voR 
allen Begriffen des unendlich Kleinen ganz unabhängig 
und auf den einfachſten Gründen beruhende Rechnung an⸗ 
| gege⸗ 


1. Anmerkung des Heraudgeberd. 425 


gegeben, die alles, mas bisher nur immer bie Differentials 
rechnung geleiftes bat, eben fo ſchnell und leicht zu leiften 
vermögend fep; eine Behauptung, die man nun, aus dem 
Hier vorliegenden ausführlicherm Entwurfe, mit Bergnüs 
gen beftätiget finden wird. Noch wird in jener Nachricht 
angeführt: daß Herr Prof. Grüfon zu Berlin, am Schluffe 
bed Vorberichts zu feiner Ueberfegung von Lagrange's 
Theorie der analptifchen Funktionen (vom öten Febr. 
1798) einsn ganz neuen Ealcul angekündigte habe, den . 
er SErponicungscalcul nennt, und naͤchſtens befannt 
mächen werde, mittelft welchem fich eben fo ſchnell und 
Leicht alles dasjenige verrichten laſſe, was bisher nur 
immer bie Differentialrechnäng geleiftet Hat, und der 
gänzlich auf Principien beruhe, die zur Analyſis endlicher 
Größen gehoͤren, und alle Betrachtungen von unendlich 
kleinen Größen entfernen ; einen Calcul alfo, der vollkom⸗ 
men die oben angezeigten Eigenfchaften der Pasquichiſchen 
Erponentialrechnung hat. ‚Herr Pasquich verfichert, ſchon 
Bor neun jahren in dem Beſitze feiner Methode geweſen zu 
ſeyn, auch habe er vor fünf Jahren Herrn Prof. Kraft 
in Petersburg einen Auffag darüber zugefchickt, und fole 
chen nachher verfchtedenen Gelchrten in Deutfchland mite 
getheilt. Wie weit beyde Verfaffer mit einander zufam« 
mentreffen, oder von einander abweichen, wird dan, 
wenn auch Heer Prof. Grüfon feinen Calcul wird vor⸗ 
gelegt haben, aus beyder Vergleichung echellen. Herr 
Prof. Pasquich ſchlaͤgt Übrigens den Werth feiner Expo⸗ 
nentialrechnung fo wenig hoch an, daß er fi, vielmehr 
am Ende der ofterwähnten Nachricht dahin erflärt, wie 
er jeden neuen Calcul, wodurch man dag zu erfegen fuche, 
was der ſchlechtabgehandelten Differentialrechnung 
fehlet, für ganz entbehrlich halte. 


ı & 
⸗ 


Hindenburg. 


Ddb 5 II, 


426 II, Zifcher, über die Wegichaffung 


11. 


neber die Wegſchaffung der Wurzelgrößen aus den 
Gleichungen; von Herrn Prof. E. G.Fiſcher, 
zu Berlin. 


Fortſezung bes Aufſatzes im Sten Heft. S. 180 u. f. 





Dritte Methode. 


4. 22. Ehe ich die dritte Methode auseinanberfege, muß 
ich die Erklärung einer eigenen Art von Zeichen, bie ich 
dabey gebraucht habe, und bie auch bey andern Recdhnum 
gen Bequemlichfeiten gewähren, vorausſchicken. 


$. 23. Die merfivärdige, und durch ihre Auwen⸗- 

dungen fo fruchtbare, Formel Cl DO -—- Y—ıSind, 

begeichne ich mit einem einzigen griechifchen x, und fege 

über bdaffelbe den Winkel oder Bogen, worauf fie fih 

bezieht, als Marke Ich feße alſo CIlO-—-yY—ı 
® 


Snd=x 
Diefe Bezeichnung hat ihren ganz eigenen Algorith⸗ 
mus, den ich der Hauptfache nach Fürzlich erflären muß. 
$. 24. Da, wenn p= 2%, für folgende Bogen 
0: p+9; 2p+P; 3p+®; etc etc 
Sinus und Cofinus voͤllig die nämlichen find, fo hat men 
» .pte  2pto 3p+o 
“mi KK % == etc 
oder, wenn n eine ganze Zahl bedeutet, allgemein 
o np-+® 
x — 0%; v 
5. 25. Da ferner (CP -+-Y — ı Sin 0) 
(Coſ +-y—ı Sin ) Cof Pr +-y-il 
oo v tv 
Sin(O+Y), fhtmnx.x = x 
| folglich 


der Wurzelgroͤßen aus den Gleichungen, 427 


ee v 9— 
folglich uh x: = x " folgtich auch ‚ Wenigfieng 
Ä eN. no 
le gange n, x) = x 0 
ee pte 2pto ° 3p+9 
26. Da mn mu = x ete 
6. 24.) fo if, wenigſtens für ganzen, 
ete te ‚3ete 


m 
(=C)= oo “im siehe 


Obgleich alle. diefe Formeln — Y x ? ind, ſo iſt boch 
leicht einzuſehen, daß ſie nicht unter einander gleich ſind. 
Doch find fie auch nicht ſaͤmmtlich verſchieden. Per 

* ⸗ 2y*0 nongte 
n — n n 
KR K -. . .. bie % 
ind verfchieden. Gebt man weiter, fo ift 
a u 2 2 
n Pen n 
x — = X 


(6. 24.). Desgleichen .. 
—— * 


pr 07 
— 22 ($. 24.) u. ſ. f. 
aan. bat alfo aut n verfchiebene Werthe, welches bie 
n Werthe von Y M find. 
6. 27. Wenn P wie bisber die Kreisperipherie oder 


2 a iſt, fo if allezeit x = -+- 1, weil Cofp= = +1 


und Sin p = 0. Alfo bat man 
sp 5p 4p np 
‚m mim, =.  zmı=Hr 


und eben diefen Werth bat auch x. 


$. 28. Ed fey a irgend eine pofitive, oder negative, 


mögliche, oder unmdaliche Größe, fo darf Man allezeit 
8 
ſetzen am am za=ma= — ax. 6. 27.) 


— . 29 


428 11. Fiſcher, Über die Wegſchaffung 


. 529. Die n Wurzeln aus irgend einer Groͤßt bie 
man als eine nte Potenz anfieht, und bie wir «” nennen 
wollen, laffen fich demnach fo ausdruͤcken: 


Da a" = a" % fo if 
2 ar sr æ 


n n n n 
gamax;m an; max; --- max. 


nn m De 


$. 30. Da bie eben angegebenen Werthe son «, 
die Wurzeln der Gleichung x" — a” == o find, fo if. 


aus ber Theorie der Gleichungen klar, daß Ä 


B 2? 35? np 
2a n n n 
al -- x --- HR) 0 
E De 3; np 
2 n n n 
der x mr x + - -- x =0 
2 BR 3p 2 | 
n 72 n n 
ferner daß l(.. nn -- - a) mc, 
2 22 3P np 
ı n n . n P 
oder K.ı%.k--- = I en 


feyn werde. = 





q 


Die Summe der Combinationen von weniger alsn 
Gliedern find in jeder Klaffe = 0; da in x — a0 
alle Zwifchenglieder fehlen. 


$. 31. Diefe Art, die Wurzeln aus a" ausjubdruͤt⸗ 
fen ($. 29), iſt für allgemeine Rechnungen bequem, weil 
man nicht noͤthig hat, die Fälle, wo «@" pofitio oder neg% 
tiv, moͤglich oder unmoͤglich iſt, zu unterfheiden. Dage⸗ 
gen iſt ſte fir beſtimmte Rechnungen nicht immer bequem - 
Sefist es wäre a" negativ, etwa — B, undn=h 


alſo Yazız ‘ — 6, fo müßte wenigſtens ech 
ein 


der Wurzelgroͤßen aus den Gleichnnger. 429 


ein Werth von 4* — PB beſonders gefuct werden. Iſt 
dieſer aber gefunden, und heißt er &, fo ergeben ſich ale 
übrige Werthe, wie oben ($.29.). 


. 32. Nach diefee Erläuterung. des Zeichens x unh 
ſeines Algorithmus, komme ich zur Hauptſache zuruͤck. 


Wenn man r Faktoren von ber Form x’ — a" mit 
einander multiplicirt, fo it Far, daß im Produft feine 
andere Potenzen von x.vorfommen Finnen, als folche, 
beren Exponenten burch nm theilbar find. Das Produle 
wird alfo folgende Form haben: 

gm —AxG-i Bxoen__ Oyemn 

 —+----ttQ=.. 


: 6, 33. Umgekehrt, muß jede Gleichung son biete 
Korm, in-r Saftoren von der Form x? — a” zerlegt wer⸗ 
den tönnen. 


% 34. Es ſey bie Gleichung 
* — ax! bar? — cXT . ... +qg350 
gegeben, und ihre r an ſollen feyu " 
W 4, .. . 4 ...-6; ſo daß J 
xa x 1 hxt2—- --t+ ga (x—.a) Pier 
... K—L). rl) 
6,35, Sol aus biefer Gleichung eine andere, mit 
nmal größeren Erponenzen, gefunden werden, ſo wird man 
biefe Abſicht erreichen, wenn ſich eine Gleichung ſunden 
laͤßt, die aus den r Faktoren (x —a”) (xn — Pr)... 
- (2) jufaimnrengefege iſt (6. 5). Dieſe Gele 
ung aber laͤßt fh in der That. finden, ohne daß man 
nötig bat, die Bargeln a, B,y--- zu wiſſen. 


. 6. 36: Bermittelß: ($ 29. 30) laͤßt ſich jeder on 
Gaftaren ( x — a). (— R).ete: in feine n einfaches 
Saftoren zerfaͤllen. Es IR: naͤmlich, wenn man ſtatt 

= 


“il 
%: 


430 II. Fiſcher, Über die Wegfchaffung - 


a”, PP, y* etc nach ($. 28.) überall ar, par, y’ nz ete 
[dei 


2 22 sr 2 


[= 


(—a’ = (ax) (x—- x) (x—a x) (X ı) 


EZ ep 2; n? 

En) =a—B) (Br) (Br) (Pr) 
| z sep 2 8 * 
Pay) a-yr) a@-ym--- (1) 
etc nn te ete 

| a. 8. 8 = 


Ä * — namen) en) Ken) x 
I. 2. 3. u 


Es ift Mar, daß wenn die fämmtlichen über 
1.2. 3. - - - n fiehenden einfachen Faktoren mit ein. 
ander multiplicire werden, eben dag herausfommen mil, 
als wenn man die Saftoren (x — a”) (x — 9) -.- 
- - (x — e") mit einander multiplicirte: d. 6. Ihe 
Produkt wirb die gefuchte Gleichung mit nmal erhöhten 
Erponenten ſeyn. 


. 37. Betrachtet man nun bieſe einfachen Faktoren 
mit einiger Aufmerkſamkeit, nicht nach den horizontalta⸗ 
ſondern nach den vertikalen Reihen, wie fie unter einandet 
ſtehn ‚ fo wird man leicht gewahr, daß jede einzelne Ver⸗ 
tikalreihe ein Produkt geben müffe, das der urfprünglid 
gegebenen Gleichung X — ax" bx!”? — etc 
vollkommen aͤhnlich iſt. Vermittelſt der befannten Säpt, 
durch welche die Coefficienten einet Gleichung aus ihren 
Wurzeln beſtimmt werden, iſt es demnach tik, vu 
biefer Produkte zu finden. Nämlich 

de 


der Wurzelgrößen aus den Gleichungen, 431 


die ' ' 
Bir | geben das Probuft 
über oo. 
er > = . = 
. u, 
1. |x’—xa Xi tabatin...trgie 
Wo... a. . ‚er 
2. |x' gar pa bxr —i.ctrgme 
Br "Sp 6p . J sp iv , 
. 2 n- zu ri n 
3. Ira! Habe? .-2g=o 
te 1: etc de Wr 
. | | n " im: nz 2 .. . * 
na IX —xaxT+abx?—...tegm=o 


"Daß bie legte dieſer Gleichungen mit der urſpruͤng⸗ 
ich gegebenen ($. 34.) völlig einerley ſey, ift leicht einzu⸗ 
fehen (ſ. 27.). Das Produkt von allen aber ift Die ge⸗ 
ſuchte erhöhte Gleichung. 


2.838. Da aber alle hier vorkommende « Sfannke 
nd gegebene Größen find, und das Gefeß, nach welchem 
fe: horigontal und vertifal fortfchreiten, ‚fo einfach, und 
inleuchtend if, fo iſt klar, daß wenn bie unterfe 
Reihe gegeben: iſt, bie daruͤber lebenden augenblicklich 
formirt.werden Eönnen: b. h. zu jeder gegebenen Glei⸗ 
hung wird man augenblicklich die übrigen n—ı Hülfde 
gleichungen beſtimmen Finnen, von ‚denen, nebſt der gege⸗ 
benen, die geſuchte ein Prodnukt ift. Auch iſt es klar, 
daß man dazu gar nicht die Wurzein der gegeltenen Glei⸗ 
chung zu wiſſen noͤthig habe. 


5. 39. Um nun die Evefficicaten A, B,C--- 
ber geſuchten Gleichung (deren Form 6. 37: ſteht) zu fin⸗ 
den, iſt nichts weiter noͤthig, als daß die gegebene Glei⸗ 
Hung, nebſt ben ni Sätreofäigunge | it einander 
multipliciret Werden. - 


5. 4% 


42 11. Fifcher, über die Wegſchaffung 


N 49. Das Kefultat diefer Multiplication laͤßt Rd 
vermittelt der Varistionszeichen des Herren Profeſot 
Hindenburg auf eine fehr einfache Art vorſtellen. Den 
man fege in $. 37. über bie Glieder die Exponenten 
son x als Indices, und es zeige N, Variationen vorn 
Gliedern, aus den Elementen n, — 1, d—2--- 2,1,0 
an:..fo ift das gefuchte Produkt 

DIN gar _ı mar) N gulrıı) ne) Yun —8 en 
„EN ON o 


"Da nämlich in Voraus bekannt if, daß im Produkie 
feine andere Potenzen von x vorkommen koͤnnen, als fol 
che, deren Erponent mit'n aufgeht, fo Dürfen anch fein 
andern Variationen formirt werden, als folche, deren 
Summenerponent mit n aufgeht. Im Produkte. haben 
alle Glieder dag Zeichen + erhalten, weil beym Gebrauch 
das Zeichen jedes Glledes fich von ſelbſt aus ben zeichen 
ergiebt, welhe a,b, c---q in ber gegebenen Gleichung 
haben, 
:  & 41. Um das Verfahren anfchaulicher zu machen, 
wollen wir. aus ber Gleichung x" — ax — b o dit 
andere, mit dreymal größeren Exponenten, ableiten. Es 
if alfo hier 2 und n=3, und bie drey zu multi 
plicivenben Gleichungen ſind nach 9 37.38) u 


9 x’ er dar- Sb 
5p 6p 


\ m. x’ 7 ax — zb 0 
r, 20 16 fiub. bie Indites. 


| 4. 42. Das Produkt p qur, iſt nach ($. 40) in 
Bariationggeichen SCx IC 0550 2 
un 





ber Vitzeutien aust den Gleichungen 433 


Nun iſt 6 = 2 + 2 2 + 2, und da ber Goefficiene 
‚von x? in alleh brtp Gleichungen = 1 if, ſo iſt Ci. 


Ferner ift 


“ 24 
5 
s=o+ti+2 daher C=—xb. *a.1 
| I 3 Zu 
5 8 
o+2+1 u — xb.1,%xa 
» mt . . Ñ $ ‘2p Sp‘ 
‚ 57 30.5 
ıtıTtı + xa.na,xa 
. . Ar : . 2 X‘ 2 . ö Pe ap“ . 
— | E85, 
Iı$o+2 "7! ea.%b.r 
.. on " r 6p 
8 5 


a+ro+ı mt en 1,%b.% 2 


.. . FR u | & 
2+17r0 -r. warb 


oder Menn man die x in jenem Gliede neh J 25. «mie 
plicirt we 


4p Ä 2 
3 | 5 
30 — — b 6). 
8 5 
— ab 5 — dab 
. Ep i — 
Ei 5 un 


dd 3 


Ba et Tg 
— LÜIEHER TE NT äehtn .3. 1 | ZUSe BEN ae 


v 


434 15 Fiſcher; Aber die Weoſchaffung 


7p = 
Ba. | 
= xab . . — Fab * u 
22 E 
3 oe 
u na | — xab 
. 8P.. . . j sp 
20 u EL u: 
— xab — xab 
2P 
MC alt rab+ren. Da aber 
EZ E = =. * 9 
5 4 


FF 7 
“+ Pr + „== o ($. 30.), der = —r 


m, ww 1 (8. 27.) fo iß 
J bh 


Entlih, un o — o - ö + 0, fo if 


= 8 


= zb. 4b. — 6 ($. 30.) 
— b3. ($. 27.). 

Demnad verwandelt fih 6Cx6 +>3Cx3 +°C=0 
in x°+(3ab+a3) x? — b==o0, gerade fo, mie mie” 
es oben ($. 1 F mutatis mütandis) anf einem andım 
Wege gefunden haben. 


Ein Beyſpiel von der Eliminirung der Kadicalim, 
vermitteift Der vorgerragenen Theorie. 
$. 43. Dis Kegeln felbft find fchon oben ($. 6.) vor 
getragen. Hier wollen wir zur Verdeutlichung noch ein 
Beyſpiel hinzufügen, wo, fo einfach es auch if, denne 
die gemöhnlichen Regeln nicht hinreichen. 


5.44. Aufgabe. Die Gleichung a = Y xy y 
von den Vuthihtcien in detzenen. 
ing» 3 Anf⸗ 


⁊ 


der Wurzelgrößen aus den Gleichungen, . 435 


Auflöſung. Die Rabicalien gehören zu zwey LKlaſſen 
($. 6.), und müffen daher Durch zwey Operationen weg⸗ 
gefchaft werden, Da aber aus jeder Klaffe nur ein ein⸗ 
ziges Radicale ba iſt, fo wird bie erſte Arbeit eine bloße 
Potenzitrung ſeyn; naͤmlich 


A) yı=ı — Yyı daher 
5 
sa —sayyt+ 10a y’ 10 ei 


5 

i +sayyt— 
By) um die zweyte Klaſſe der Radicalien wegzuſchaffen, 
ordne man die Gleichung ſo: 
—— — 10 2y'+ 102? y* say? . 

Aus .diefer Gleichung leite man num eine andere mit 
fänfmal größern Erponenten ab, welches man entweder 
Dermittelft des Schema ($. 14), oder nach der dritten 
Methode bewerkſtelligen kann. 
8. 45. Im legten Sal find die fünf Huͤlfsgleichun⸗ 
gen nach $. 37. folgende, deren Entftehung aus der Gleis 
chung des vorigen $. Teiche zu uͤberſehen iſt, wenn man 
“nur bemerkt, daß um mehrerer Einfachheit willen —b 


Bart x a +y sefehrieben aorben. . 
pP 


E se Ze 

5 7 5 ı 6, 
2 yti. 2ay? +. 2a”y na ’y’+cbmmo 
ET UsE H ap u AP = er. . 


u BE SL 


By. Bay 7. 2a? y x. y Fra ben 


h 8P - . “x er 
—* + s * 

8) yıır.2 ax: yon y +xbo 
2 Br. > Zee Zu 
6 op 25 5 
A 2ay +5 J— 

ae EEE 62 ı0p = - 


5) Yor.sapier, 2a y. F_aayanbmo 
| [7 2 En IR 


436 1..Fifcher, über die Wegſchaffung 


erben dieſe fuͤnf Gleichungen vermittelſt dee Varia· 


tionszeichen in einander multiplicirt, fo erhält man das 
Geſuchte. Die Rechnung felbft fey mir erlaubt wegzulaf 
fep, da es bier nicht auf die Sache felbft, fondern nur auf 
die Erklärung der Methode anfommt. 


Veber die Umkehrung der Aufgabe. 


® .$, 46. Es ift far, daß es gu dem Progreſſus von der 
niedrigen auf die hoͤhere Gleichung, auch einen Regreſſas 


von diefer auf jene gebe. Auch hiermit hat fich Lambert 
a. a. D. (Deyträge Theil 2. Abſchn 1. &. 224.) be⸗ 
fchäftigt, aber die Anwendung, von der wir bier ein Paar 


Morte fagen wollen, nur beyläufig und in einem einge - 
nen Falle erwähnt. Wird. nämlich der Regreſſus auf eint 


gewiſſe beflimmte Art gemacht, fo zeigt jich ein allgemei⸗ 
ner, und ganz gleichförmiger Zuſammenhang, mit der Auf⸗ 
loͤſung folcher Gleichungen, in welchen die nächfte Potenj 
nach der hoͤchſten fehlt, auf welche Form fich bekanntlich 
alle Gleichungen bringen laffen. Nun iſt es mir zwar 
nicht gelungen, auf diefem Wege etwas mehr, als dad 
ſchon Lingft Bekannte zu finden; auch bemerfe ich, daß det 


Weg, den ich gegangen bin, im Wefentlichen nicht von 


bem vesfchieden ift, auf welchem Euler, im gten Band 
der neuen Petersb. Comment *) die Aufldfung der Glds 
chungen verfucht hat, indeſſen halte ich es doch nicht füt 
Äberflüffig, die Merhode, welche ich gebraucht habe, mit 
ein Paar Worten zu befchreiben, theils, weil ben eine 
Materie, wo in der Theorie der Analpfis noch eine ſo 
große Lücke ift, jede moͤgliche Anſicht der Sache einiget 
Aufmerkſamkeit werth iſt, theils auch, weil dasjenige, was 
Euler a. a. O. über die Form der Wurzeln bloß fharke 

| | finnig 





— — —⸗ 


LS 


.) gun michelſen bat von biefer Abba in. ben Zufdnen t 


Inlettung tu die Anal. des Knentl. ©. 22 ff. eihe Ueberſeeun 
geliefert. , 


der Wurzelgroͤßen aus den Gleichungen, 437 


fiunig gemuthmaßt hatte, hier zum Theil als ein allge⸗ 
mein erwiefener Satz erfcheint, 

6. 47: Um mich moͤglichſt kurz zu faffen, will ih 
bloß zeigen, wie man zu verfahren habe, um die Auflsfung . 
ber Gleichungen vom: dritten Grade vermittelt der vers 
getragenen Theorie zu finden. 

$. 48. Die Gleichung ($, 11.) 

A) o= 23 - (b’—3abc) rer 

bat nach $. 37. bie drep Saltoren 


B) mir ierien. 
| = Ar 
ematabihuch 
4 TE > Ge >; 
“ e=atsbitxor 
6. 49. Da dieß offenbar richtig bleiben muß, was 
man auch. irgend für Werthe den Buchſtaben a, b, c und 
x geben mag; fo fege man x== 1, und fehe a ale bie 
uubefannte Größe an, bie wir 2. nennen wollen: fo ver⸗ 


wandelt ſich 
C) die erſte Steichung A in 
3 — 3bez + -d==o 
D) und ihre drey Saktoren bey B werben 
pP ıp ⸗ 


. 2 53 
2 0 
—A | 
5 5 | 
z--ab--rcec=e 
| 2 = 
at+ebHrc=o | 
vodurch man alſo offenbar die vo Vunzla ber Glei⸗ 


Yung C erhält. | 
&3 G. a9. 


8 Mühen, Aber die Wegſchaffung 


6. 50. Es kommt alfo nur noch darauf an, bie 
Gleichung C mit jeder cubifhen Gleihung, worin das 
zweyte Glied fehle, gehoͤrig zu vergleichen; welches bey 
dieſem Grabe feine Schwierigkeit batıe. Mir fegen alſo, 
daß die Gleichung 

E) 32-HAr +-B=o 
gegeben fey; fo ift klar, dag man hier ($. 90 
.MA=-—3be, un 
G) B=b-+- .d 
fegen muͤſſe, um C und E ibentifch zu machen, Mau ; 
darf alfo bloß b und c aus F und G beflimmen, um ver 
mittel D alle drey Wurzeln von E zu erhalten. 


$. 51. Bringt man alfo ben Werth von c, aus F 
beſtimmt, in G, fo verwandelt fich dieſes in | 
bo Sp 9 

B=Db— 37b3' aber : s 

. 6b —Bb — 3, A3= 0; baraug folgt 
3 
b=y(BtLv(4B’+3749) 

Der doppelte Werth von b in diefer Formel ift nichts 


anders, ala b, und-c, weil b und c in den Gleichungen 
Fund G völlig auf einerley Art enthalten find, 


$, 52. Wir koͤnnen demnach Di 
b=yGB+Y@B+ 34549) 
e=y@B—y@BR-+ 549) 


welche Werthe in D gebracht, die drey Wurzeln ber Glei⸗ 
chung E voNftändig geben. 


$. 53. Daß diefe Methode fih auf eine vollkommen 
gleichförmige Art, auf alle Sleihungen von jedem Grade 
anwenden Laffe, iſt leicht einzufehen. Doc) ift e8 zu bie 
fem Zwecke nicht noͤthlg, don der Form der erhöhten Glei⸗ 
hung auszugehn; fondern es wird, wenigſtens Gep det 
allgemeinen Unteriucung , riet und bequnemer ſeyn, von 
' den 


>» 


den Wurgeln-änzufangen. Es iſt nimuch ‚and: dem bis⸗ 
Berigen klar, daß die Wurzelgleichungen einer Steigung 


vom nten Stade folgende Sorm haben: muͤſſen: u , 
* = . Sp "eo 
1) z-+bx mc x da... En. x 
.. = “= 8 00 a(a=ı)p 
2) EHbE HlenHäck. ea. J 
| 23 Eu er Bu DD: BR sr 
Darbshentdeng- +n: Wie 
ete .eteo ete u 
>: | E22 ‚ae „nr 


Datbuher task mann: 3 


| Die Multiplication diefer Gleichungen giebi Gerade 
eihe Gleichung vom nten Grade, ,. worin ba; gweyte Glied 
fehlt. Denn dieß zweyte Steh iſt | 


p * re 
zu! b(ix a tat --- +8) 


Aber, was in der Klammer ficht, Ik nah 6. 30 0. 
Vergliche man nun dag gefundene Produfti mit Ber. ale 
gemeinen Form 2? -—- BE"? HC I HH eNDng, 
fo würden: die Vergleichungen der Coefficienten gerade fo 
viele —— Beben, als noͤthig ſiad, um b,c,d--n . 
aus B, C, D--- N au beſtimmen. Allein, die Beſtim⸗ 
mung dieſer Groͤßen fuͤhrt ſchon bey Gleichungen des 5ten 
-Grades, zw einer unabſehbaren Weitlaͤuftigkeit von Rech⸗ 
nungen, die einer eifernen. Geduld ſpottet. Uebrigens 
“müßte swar dieſe Rechnung, nad) ben aͤußerſt fcharffinnis 
gen Unterfuhungen des Herrn Fagrange, im 2ten und 
3ten Bande der neuen Memoiren der Berl. Ac. (man fehe 
Michelſen's Zifäge zu Eulers Einl. S. 271 bis zu Ende), 
nothwendig auf Gleichungen führen, die weis höher wären, 
Er 4 NE 


440 IH. Pfleiderer, über einige Definitionen 


als vom nten Grade, fo wie und ſchon die Aufloͤſung bee 
enbifchen Gleichung im zoften $. auf eine. Gleichung 
vom sten Grade führte; allein, es iſt wohl fein Zweifel, 
Daß ed nur folche Gleichungen ſeyn werben, bie ſich nach 
Art der niedrigeen aufloͤſen laſſen. 

5. 54. Es läße“fich mit Grund erwarten, daß bie 
combinatoriſche Analyfis, die ſchon fo viel ſchwierige 
und faſt unmöglich feheinende Probleme aufgeloͤſet hat, 
au) hier bie Schwierigkeiten des Calculs noch uͤberwaͤl⸗ 
tigen werde, indem nichts weiter dazu erforderlich iſt, als 
daß dad: Eliminirungsproblem in vollkommener Allge⸗ 
meinheit aufgeloͤſt werde. 

6.55. Ich bedaure uͤbrigens, daß ich dieſe kleine 
Arbeit dem Publikum in einer ziemlich unvollendeten Ge⸗ 
ſtalt vorlegen muß, da es mir ganz unmöglich geweſen if, 
die noͤthige Muße zu mehrerer Vollendung derſelben zu 
finden. Dennoch hielt ich auch fo ihre Bekanntmachung 
‚nicht für überfläßig, um vieleicht gefchicktern und freyern 
Händen Veranlaffung zu ihrer Vollendung zu geben. 


II. 


Deduction der Euclidiſchen Definitionen 3,457 
des V. Buchs der Elemente; von C. F. Pfleide 
rer, der Phyſik und  Mathemasif Profeſſor 
zu Tuͤbingen. 





Fortſetzung des Aufſatzes im zten Heft. ©. 2 7 u. f. | 





57 Wenn nA==nB, ynd nC =nD iſt: fo ik 

A=B,C==D (6. 13.) 
Und nun folgt rogiter, wenn PA<—=>gB: mil 
qB==qA (6. 14), olſo nun pA<=>gAif; F 
da 


in Euclid's V. Buche der Elemente: - 441 


daß p <= >g lH 25.26.) pPi<=DgC 
(&. 23.24); und, weilgC == gD ($. 4) auch p ex 
=>qgPD fey. 

: Der Sub 6.32. 00.3: beh, wenn nA mB, und. 
nC==mD if, jede Gleichvielfache von -A und © irgend 
Gleichvielfachen von B und D, das von A nämlich dem 
ven B, und das von dem von D, entweder beyde gleich, 
oder beyde zugleich groͤßer oder kleiner ſeyen; gilt alſo. 
auch fuͤr die Bedingung nA= nB, ud aC=—=nD, 


58. So folgt auch aus der Bebingung.n A —nB, 
aber nC<n.D, eben fo wie $. 44. no. 3. aus ber Bedin⸗ 
guggaAs=mB, aber nC<mD; daß ſich ein Gleiche . . 
vielfaches von A und C, und ein Gleichvielfaches von BE 
und D angeben laffen, fo, daß das Vielfache von A großer 
als das von B, das Bielfache von C aber nicht größer als 
dag von D ft. 


Wenn nämlich nA=nB, aber ne<nD, ünd 
nD= nC-+E if: fo wird 

eo) Wenn C=<Eif; ncC+Cl=<nCc+E,b$. 
(n+r) C=<nD feyn, indem (n+ı) A>nA odee 
nB ift. 

6) Wenn C>E, aber C<rEik::fe wir rXq 
C+C<rXnC+rE bb: EXntNE<eactE) 
oder rXnD fen; 

Inden rXnA-A b.i. (eXn+1) A>rXnA oder 
rXnB if. 


59. Die Reſultate §. 49. f. ergeben ſich alſo auch 
aus der Vergleichung Gleichvielfacher von A und C mit 
den nämlichen Gleichvielfachen vom B und D; aus der 
Vergleichung (in Ruͤckſicht auf Gleichheit und Ungleich- 
heit) vonnA und nB, nCund nD, eben fo wie auf 
der Bergleichung pon nA und mB.nC und mD. Und 
fo ift man berechtiget, den auf beyde Definitionen S, 7: 
ne begichenden Ausdruck der sten: Gleichvielfache. der, 
Ee 5 erften 


E” 


443 II. Pfleiderer, über einige Definitionen 


erfien und dritten, Gleichvielfache ber zweyten und vierien 
Größe, xa9 omoovsv RoMan\xsıaruov, fecandım 
quamcunque multiplicationem, auch vom Gleichviel— 
fachen aller vier Größen zu verſtehen; mithin bie Definle 


tionen auch auf biefer ihre gegenfeitige Vergleichung an⸗ 


zuwenden. 


60. Dieſemnach iſt 10. A: B=C: D, wenn A=B, 
und C=D; folglid ($.14.)nA=nB, und nC=ıD 


($. 57.und Defin, 5.). 
2°, A:B>C:D, wenn A>B; aber C=<D; folg⸗ 


lich (5.14. 17.)nA>nB, aber nC=<nD (Defin. 7); 
oder wenn A=B. aber C<D; folglich ($. 14. 17) 


nA==nB, aber nC<nD (8.53. und Defin. 7.), . 
und 3°. A:B<C:D, oder C:D>A:B, wem 


A=<B, abeC>D; folglich ($. 14. 17.) nA=<ob, 


aber nC>nD (Defin. 7.) ; 
‚ oder wenn A<B, aber C=D; folglich ( 6. 14.17) 
nA<nB, abrnC=nD ($.5$. und Defin. 7.). 


.61. Umgekehrt, wenn A:B==C:D; fo find uugleic 
-A<=>B, ud C<=>D. 

Denn fp wie A<=>B: ffnA<=>nB (£. 14. 
17:); alfo auch Chyp. und Defin. 5.) nC<==>nD; 
und baher (5.18,.19.) C<=>D. 

Oder 1) wenn A=B, fann nicht C<>D fen: 
weil fonft ($.60.n0.2.3) A:B><C:D märe; 


2) wenn A>B; fann night C=<D fepn: weil fonf 


($,60.n0.2.) A:B>C:D märe; ı 


3) wenn A<B; fann nicht C=>D ſeyn: meilfonf. 


($. 60. n0.3.) AıB<.C:D ware, 
‚alles gegen bie Voaugſchzuns A:B —=C: D und 
$. 54. 56.n0. 1. 

62. Wenn hingenen A:B >C:D: mug C<D 
ſeyn, wenn AZSS B iſt; aber Amuß >B fepn, wern 
c=>D iſt. 

Dan 


— 


in Euklid's V. Buche der Elemente. 443 


: Denn:ı°. Wenn A=—=<DB iſt; fo fann weder C==D 
feyn:. weil fonft (8.60. 10.1.3. A:B==< C:D wäre; 
noch C>D feyn: weil fonft ($. 60:no. 394 B<C: D 
wäre. 
2?, Wenn cC=D it; kann nicht A <B fen: 
weil fonft ($. 60.n0. E: 3.) A:B=<C:D wäre 
Auch, wenn C>D if; kann ih A=—=<B ſeyn; 
weil fenft ($.60.n0:3..,A:B<C:D wäre; 
alles gegen bie Vorausſckung A: B>C: D, und $. 54 
56.n0.4 
. 163, Verhaͤltniſſe deren Glieder gleich find, heiſſin 
Verhaͤltniſſe der Gleichheit, rationes aequalitatis: 
Verhaͤltniſſe hingegen, deren Glieder ungleich ſind, heiſſen 
Verhaͤltniſſe der Ungleichheit, rationes inaequalita- 
tis; und zwar der größeren Ungleichheit, majoris in⸗ 
aequalitatis, wenn das Vorberglied größer iſt, als das 
Hinterglied;. der kleineren Ungleichheit, minoris in- 
aequalitatis, wenn das Vorderglied tleiner iſt, als das 
Hinterglied. 
64. Nach bieſen Benennungen beſagen die Saͤtze 8,60, 
1°, Jede zwey Verhaͤltniſſe der Gleichheit find. unter 
einander einerley. | 
2°, Jedes Verhaͤltniß der größeren Ungleichheit ift 
größer, als jedes Verhaͤltniß der Gleichheit, oder der klei⸗ 
nern Ungleichheit, und jedes Verhaͤltniß der Gleichheit ift 
groͤßer, als jedes Verhaͤltniß der kleinern Ungleichheit. 


65. Die Saͤtze . 61. 62. aber Heiffen: 
10. Zwey gleiche Verhaͤltniſſe find entweder beyde ratio 
nes aequalitatis, oder beyde rationes majoris inaequa- 
litatis, oder beyde rationes minoris inaequalitatis. 
2% Von zwey ungleichen Verhältniffen:ift dag kleinere 
%atio minoris inaequalitatis, wenn das größere ratio 
“ aequalitatis, "ober minoris inaequalitatis if; und das 
größere ift ratio ‚majoris. inaequalitatis, wenn das klei⸗ 
nere ratio aequalitatis oder majoris inaequalitatis iſt. 
66. 


[ . . 


444 TI. Pfleiderer, über einige Definitionen 


-66. Gleichheit zweyer Größen wind gewoͤhnlich wicht 
unter der Geſtalt von Verbättniß, fondern bloß als Ba 
genſatz unbeflimmter Ungleichheit derfelben betrachtet, des 
ren Beſtimmung durch die Angabe des gegenfeitigen Were 
haͤltniſſes der ungleichen Groͤſten erhalten werbe. 

Die Folgerung der Verbältniffe ungleicher Größen, 
die von gewiffen Beftimmungsftäcken abhängen, beruhet 
auch, wenigſtens m ihrer Grundlage, auf vorläufiger, 
befonderg dazu geeigneter Seftfegung ber Bedingung Ihrer 
Gleichheit" und Ungleichheit. So wird erftlich bach 
SHhlüffe, die am Ende auf den Grundſatz ber Eongenen; 
(1.3. Ax 8) beruhen, erwiefen: baß gleich hohe Triangel 
auf gleichen Grundlinien, gleich, folglich auf ungleichen 
Grundlinien, ungleich ſeyen; und nun bieraugs (VI, 1.) 
gefolgerts Baß dergleichen ungleiche Triangel auf. unglel« 
chen Grundlinien, fich wie ihre Grunblinien verhalten. 

67. Diefemnach iſt $. 2. die Frflärung von Verhälte 
niß nur auf ungleiche Größen bezogen; und 6. 3. ff. die 
Dergleihung Gleichvielfacher beyder Glieder eines Ders 
hältniffes bey Seite aelaffın werden; welche Gleichviel⸗ 
fache ohnehin, bey vorausgefeßter Ungleichheit ber Glie - 
der, immer auch ungleich find, fo, daß dag des größeren 
Glieds größer ift ($. 17.). 

68. Uebrigens find nach ber Vorſtellungsart 4. 2. 
der Exponent eines Verhaͤltniſſes der Gleichheit == 1; 
der Exponent, oder die Fleineren Grenzen des Exrponenten 
eines Werhältniffes der greßeren Ungleichheit > ı; dee 
Erpauent, oder die größeren Grenzen bes Erponentn 
eines Verhältniffes der Eleineren Ungleichheit <ı; und 
umgekehrt, ein Verhältnig. deffen Erponent = ı, If 
ratio aequalitatis; ein Verhaͤltniß, deffen Exponent felft, 
oder eine kleinere Grenze deffelben > ı, iſt ratio majoris 
inaequalitatis; und ein Verhaͤltniß, deſſen Erponent 
ſelbſt, oder eine groͤßere Grenze deſſelben * I, iſt ratio 


minoris inaequautatis. 
9. 


in Euclid's V. Buche der Elemente, 445 


69. Und fo. ergeben fih nach diefer Borfteßungsart 

die Säße 6. 60.61. 62.64.65. nad) 8.9.37. ff. gleichſam 
als Ariome, wenigſtens ale bloße unmittelbare Anwen⸗ 
Bungen Der Ariome von Bleichheit und Ungleichheit dee 
Größen. 

70. Dieſe Art, jene und andere dergleichen Saͤtze zu 
folgern, welche uͤberdieß bey der Auwendung auf Bew 
haͤltniſſe incommenſurabler Groͤßen ohne. vollſtaͤndige deut 
liche Entwicklung unzuverlaͤßig und iſchwankend ausfaͤllt, 
darf in den Cuclidiſchen Vortrag, nach Feſtſetzung dei 
Pefinitlonen 5. 7. eben fo wenig, als die gemeine Bebeu⸗ 
ung dee Worte Gleich, Ungleich. ($..53.) eingemifät 
werden. 

71, Der Sas s. 61. fehlt in den Elementen; ung⸗⸗ 
achtet in verſchiedenen Beweiſen Anwendungen davon vor⸗ 
kommen: und Alphonſ. Borellus (Euclides reſtitutus. 
Pifis 1658. p. 126.) machte der 5. Defin. des V. Buche 
Den Vorwurf, «8 laffe fich. nicht einmal diefer einfache 
Sag aus derſelhen besleiten.: 5 Barrow |. c. P. 322 
Rob. Simfon p. 142. 358 [q Ä orig 





347 


Das Ende des sten, und Ber Anfang des cum $ 
find auf fölgende Art ubzuändern: 


5. — — quoad multiplieitatem, Auf eben diete 
Erklärung weiſet die Folge der a. 2. 3. Defn. ſo wie. die 
Faſſung der 4. 5.7» | 

Aber die Worte des Septede Rover 261 duo —* 
ouoyevav 4 Kılıan RAÄIKOTHTR Tg: AAN Boikiggenic, 
geben diefen Stan nich: IinAmorncherßtquantitas; wie in 
Ptolemaei Magnae Conftruct: Lib.E.p. 8 (Bafıl. 1538) 
eg INS RNÄNKOTNTOS TRY Ev Ti Burke EUIRAHN: folglich 
raræ —X OR, quoad quunttatem 

| Clavius 


2 
446 111. SPfleiderer; über einige Definitionen 


Clavius (Euclidis Elem. Fraricof: 1607. p. 35219.) 
erläutert dieß fo: Quando duae quantitates ejusdem 
generis — inter fe comparantur-fecundum quantita- 
tem, h. e. fecundum quod una major eft quam alte 
ra, vel minor, vel aequalis, appellatur hujusmodi 
comparatio feu habitudo, Ratio. : Wallis (Opp. math, 
Oxon. 1651. Pars I. Math. univ. Cap. 25. 29. Ad- 
verfus Meibomii-de prdportienibus dialogum Tracta- 
tus p. 6 fqq. 19fqy.. Opp. math. Oxon. 1693. VoLII. 
De Algebra TractatusCap. 19. DePoftulato 5. Lib.E. 
9. Defin. 5 Lib. WI. Euclidis Difceptatio) will einen 


befonderen Nachdruck abf won xscıs gelegt wiffen, und 


überfegt: Ratio eft duarum magnitudinum homoge- 
Yearum ea relatid, qua dicitur, qualiter fe habet 
earum una ad alteram fecandum quantuplicitatem 
confiderata; h. e.:quot vicibus, aut etiam qua vel 
quanta parte unias vicis, una alteram contineat. 
Barrow (Lectiones habitae in fcholis publ. Acad. 


Cantabrig. anno 1666. Lond. 1684. Lect. III.) miß- | 


billiget beyde; überfegt (p. 220.) Kara mnAkorms 
quoad quantitatem, h. e. quoad magnitudinis fuae 
determinationem, vel magnitudinem ipfam_ deter- 
minatam; faltem fecundum quod quaeritur: quantae 
{unt? et refpondetur: tantae; befinnt aber am Ende: 
diefe Definition, ſey nicht mathematifch genug; und, fo 
mie die gte, für die Folge ganz entbehrlich. Rob. Simſon 
(p. 354 fq.) fagt, nach Anführung dieſes Urtheils Bar- 
row's: Quibus nihil addendum video, praeterquam 
quod hifce rationibus de inutilitate hujus et Tequentis 
gvae definitionis perfuafus firmiter credam, eas non 
Euclidis eſſe, fed cujusdam minus periti editoris. 
Kinen andern Anlaß gu diefem Verdachte giebt bie Bezie⸗ 
hung, welche biefe 3. Defin. des V. Buchs auf die zuver⸗ 
däßig unächte, von: Theon, ober wenigſtens aus deſſen 
Eommentar Über des Vtolomaͤus Magn, Conftr. (ib 
Pe . ꝑ. 62. 


—- 


. 
Pi . — — — — — —e — — 


$ 
„In Euclid's V. Buche der Elemente. 447 


62.) eingefchobene 5. Defin, bes VI. Buchs zu haben 
heine (&. Rob. Simfon p. 370. 372 fqq.). 

. 6. Wie man aber auch die 3. Definition anfehen 
nag; fo liegt bie Reduktion 6. 3. 4. wenigſtens -in den 
olgenden Definitionen, und in ben auf diefelbe fich bezie⸗ 
yenden Beweiſen des V. Buche, fo wie der übrigen, zum 
Srunde. And hieraus erwaͤchſt der Vortheit — 





Noch fuͤge ich einige Verbefferungen, cheils des —E 
heils des Textes bey. | 


6. 9. Lin. 16 iſt, ſtatt: sommenfurabel, zu feßen: incom⸗ 
anenſurabel 

‚$. 17: Lin. 7. I. B. Ax. 9, ſtatt; J. B. Ax. . 

"gs. Bew. 2°, in. 2. F. 14. fat: F.9. 

6. 32: Lin. 4, 5. platt: .n, q flatt: m 

6: 40. Lin. 3 ff. flapt: geößer iſt u. ſ. w. iſt zu ſetzen: ſo groß 
‚der größer iſt, als eine der größeren. Grenzen ($..2.) des Erpo⸗ 
ıenten des Verhaͤltniſſes C:D; und umgefehrt: alfo wenn 
\=mBC>ırD<(t+1)D, und m —= oder > i+l, 
olglich C<mD; oder wenn nA— Bader n0 <D; oder 
venn na=mB, nC> rD<(r+n)D, und tieder m == 
der > r+ 1, alfo nC <mD: "und umgekehrt. 

$. 41. Ein. 2 f. eine der tleinern Grenzen, ſtatt: die klei⸗ 
ere Grenze 

S. 42. Lin. 3 f. wenn für irgend eine Zahl n die kleinere 
Srenje, flatt: wenn bie kleiner Grenz 9 ' 

$. 44. Bew. 19. æ. Lin. 2 J. B. Ax. 2. 4,flatt: J. B. Ar. 2.9. 
F. 45. Bew.s°. Ün.s 'nXpA, flatt:mXpA 
...$. 46. kin. 3 ber Gleichheit zweyer Verhältniffe, ft. zweyer 
Lerhaͤltniſſe | \ 
F. 51. ©. 280 Lin. 4 Umfange, ftatt: Anfange 
55. ©. 283 %in: ııE multiplex, flatt: E’ aeguemul- 
iplex 
u : $. 55. G. 283 Ein, 19 le E, are: lag E. 

-, $. s6.Bin. 3. u. ſ. w. in der Folge biefes Sphen, 'E gi Pr 
30, fh, Bart: 9. E33 no, 3. 


ee 
a Du er ur "4a u 





443 IV, a. Hagner, über Glenie's Conſtruktion 


IV. 


Weber Glenie's Conſtruktionen verfchiedener ger 
metrifcher Aufgaben; von berfchiedenen 
i Verfaſſern. 








Vorerinnerung des Herausgebers. 


E⸗ war zu erwarten, daß die von Herrn Hofr. Kaͤſtner 
im erſten Bande des Archivs (Heft IV, S. 481 uf), 
mitgetheilten Conftruftionen von Glenie: Aufgaben (wie 
we fich ausdruͤckt) vom Dritten Stade durch Verzeichtung 
des zweyten Grades zu loͤſen — bie Neugierde inehrerit 
Kenner zu näherer Unterfudung und. Prüfung derfelben 
reisen und befchäftigen würde. Seit jener Bekanntmachung 
Diefer Gonftruftionen find drey dahin gehörige Auffäge bey 
mir eingegangen, die ic) in der Ordnung, wie fie mir vor 
ihren Berfaffern zugefendes worden find, bier folgen lafk. 
Die erſe Abhandlung 


IV, a. 


Ueber Glenie's Conſtruktion der Aufgabe (Ari 
H.1V. S. 481; 19, 1) von J. K. Hagner zu der 
thelsdorf bey Herenhut 


‚enthält zugleich folgende Nachricht über die Veranlafun 
dazu, die ich aus einem Briefe ihred Verfaſſers im Aus⸗ 
zuge mittheile: 


— „Ein Freund theilte mir, aus dem ten Heftt 
„Ihres mathematiſchen Archivs, die von dem Englaͤnder 
„Glenie bekannt gemachte Conſtruktion eines Drepeds 
„mit, worin die Summe der Würfel von zween 
„Seiten dem Wuͤrfel der dritten Seite gleich ſſt, 
u mit der Anzeige, daß Glenie feinen Beweis feiner Eon 

„ftruftion 


einer geometrichen Aufgabe - 449 


„firuftion gegeben habe. Dies veranlafte mich, ben 
„Beweis zu fuchen, und ich entdeckte eine allgemeine 
n Formel zu gedachter Eonfiruftion, bie den von Glenie 
„beſchriebenen Fall in fi begreift. Vorerwaͤhnter 
- nreund zeigte mir nachher die trigonometrifche Prüfung 
„der Eonftruftion von Glenie, welche Herr Hofrath 
„» Käftner angeſtellt hat, jedoch ohne einen Beweis davon 
„zu Heben. Da e8 fcheint, diefer große Mathematiker 
malte eine weitere Unterfuchung über dieſe und ähnliche 
„Faͤlle für eine nicht unnäge Bemuͤhung, fo hoffe ich, 
„Sie werden dein, was ich bierüber gefunden habe, eine 
„Stelle in Ihrem tele einzuräumen, ſich geneigt Naben 
alaſſen“ — 


Aufgabe. 


In dem Dreyedke ABE ſey 
ABR+AC == BC; der Durch⸗ 
meffee HR eines um ABC beſchrie- 
Ic denen Kreiſes fchneide BC in G; AF 
ſtehe in F lothrecht auf HR: man 
fuhe GH, GF, wenn BC gegeben ift, 


Aufisfung. 
1. Es fy BC=a, alfo BG=GC=2a; 
GH=b; GF==c. 

Nun iſt BAA=FG’+(BG+FAP 
=F@--B@--FA?-+2BGXFA . 
und AC=FG?-+- (GC—FA) | 

=FG?--BG?--FA?— 2BGXFA. 

Beruer, ba GH:GB GB: GR, fo finder meh 


GR =, felglih FR==cH F⸗ und da HF:FA 


b— be+a”) 
== FA:FR, fo hat man Fer em 


Aqtes Heft. 5 st Dem⸗ 


1 





R 


450 IV, a. Hagner, über Glenie's Conftruftion | 
Demnach iſt FG?-BG?+ FA’ —c? + 3a 


(b—c) (abe+a”) gbc+a? a?cb—c) 
—= + 
4b 40° gb 








ri 


‚sbeta'  a'cb-c) 1. aut, 


ii a rav 


uber S 9 ya men a’) 


oder BA. Y(gbet@) + La va 


un AC== Z Y(gbce+a”) — 3 ay—. Ä 


alfo BA +AC= 3(4bc+a? +33 9) 
b’—- 33? b 
Van —— v (4be+2’). 


Setzt man nun 4be-44 ==(a+2f)?, fo findet fh 


BA+AC— F 
4b 


(4 (a’raf+f’)b’—3a ——— 


Da nun auch BAꝰ AC BC a, ſo it 


44ꝰ b? = (4(a’+af+f”) bꝰ— 3a’ (a-+f)f) (a-2 
3a (a 4f) (a+2f) 
oder b 3 w 
Ro; — — ars oraus denn auch 
—8 a-+f) 
u b 
2. Damit die Werthbe von AB, AC, nicht um 
möglich- werden, muß man £ fo uchmen, baß b>cı 
folgih b’>(a+f)f fe. Es iſt demnach 
z3a”(ar2f) >4f(2a”+(a+f) (a+2f)) 
oder ya>a’r+saf+ı2zafrgPf. 





T gefunden wird. 


Hier⸗ 


A — 


—“* 


einer geometrifchen Aufgabe, 45 


Hieraus findet eh 2 f< aly 4-1) oder f it, 


Ne bejahte Werthe von £, die Heiner find, ale CR 
2 


== 4.0,29..., thun alfo ber Foderung ein Genüge, 

Einer von diefen Werthen, fa giebt die Aufloͤſung 

des Herrn Glenie. Alsdann iſt naͤmlich 
3 und be2 3ays 


3 m 





BUT D 4. 31. —— — 
BC 3V5_ sat Ay av 5.38 —— V5.31 
ayaı) ——— Er 


3 Ban ber fol —— 


————— —— Wan, 


4 
bee —— 1) ‚ abeta? aa: Y2; un 
BA=AC= Ev bet)—Fayay. 

Dieſes get Ba AC Ja g. 2 4 aë, 
und 2BA AC a Bẽ'. 

In dieſem Falle faͤllt A und F mit H jufammen, und 
‚ABC ift ein: gleichfchenklichted Dreyeck, in welchem bie 
- Sumnie der Würfel beyder Schenkel gleich ift dem Würfel - 

ber Srundlinie, und die Höfe HG=FBCyY (212-1), 


4, Fuͤr ein verneintes f fege man f = — gi fo iſt 





— 3 a(a—g) (a - 2 22 und en _@-D)8 
4(22°+(a--g).(a--2g)) — Tan 

- (gma)g PER | 

m —, GSolhirr ct, ſawohl als b, bejaht fepn, 


b 

fo it g>a, Wenn aber, für bejahte b und c, Y(b-c) 
möglich ſeyn ſoll, fo muß e<_b, oder (g- a)g< b? ſeyn. 
Sf 2 Dieſes 


— 


7 


452 IV,a. Hagner, über Glenie's Conſtruktion 


Dieſes giebt J | 
ga ( - ayg - 4(3 - a) ag) (a—2g)g 
< 323?(a—g)(a—2g), und, mit g— a dividirt, 
ga? g -4(a — ) a2 g<zar(leg—a) 


woraus man endlich (2g-a)’<--4a’ und —— 4) 


findet. Daraus erhellet, daß, wenn b-und c bejaht und _ 


g >aiftl, Y (bc) feinen möglichen Werth hat. 


5. Wenn g >a und b verneint ift,. fo ift an c 
verneint; alsdan wird zwar b—c bejaht, weil c eine 


größere verüeinte Zahl iſt, als b, aber * iſt verneint, 
folglich y= unmöglich. Es giebt däfer fürg>a 
in feinem Salle mögliche Werthe von BA und AC, 

6. Sürg<aund2g>a, if, In dem Ausdruck 


von b?, (4) der Zähler 32° (a—g) (a—2g) verneint, | 


und ber Nenner 4(2 at-H- (a—g) (a—2g)) 

= 4(220°— (2g—a) (a—g)) bejaht, 
weil ſowohl 2 — a ald a—g, feiner if, als a. Dem 
nach wird in diefem Falle b? verneint und b unmoͤglich. 


7. Fuͤr 2ag<aifb?. = 
7 8 — ſ 4(22°+(a--g)(a--2g)) 
bejaht, alfo b moͤglich. Wenn Bier b bejaht genommen 


wird, fo iſt c =— IE 





verneint, und b—c be⸗ 


jahr ; wird hingegen b verneint genommen, fo ift c de 


jabt, und b— c verneint. Sn beyden Faͤllen iſt * | 


tn „be 
bejaht, und Y — moͤglich. 
x Und 


3 a (a — g) (a - 29 


— —— ——— Bl her et — — 
— — — 


einer geometrifchen Aufgabe. 455 


8. Aus 4— 7 erhellet, baß alle verneinte Werthe 
von f, bie Feiner find, als Fa, fonft aber Feine, die 
Aufgabe fo aufldfen, daß AB, A.C möglich find. 

Es ſey z. B. —Ze— ſo iſt 








332. 3°, _—ay1 
b5 Serie 
Bag, De 31 
4be +a==a’ j =43; az 
ay3ı ay3ı | 
AB=3a-+ — acxa — ——; und 
4/3 Bann zz 


AB+ACH a ( + —BR 


9. Will man ſich nicht mit . Glenie begnuͤgen, 
irrationale Ausdruͤcke für b und c zu finden; fo ſuche 
‚man, unter welchen Umftänden der für b? gefundene Aus⸗ 


3a’(a+f)(a+2f) 
dr uck Ga +@+N(at2D) ein Ouedeet wird. 


Ein folcher Fall if, wenn b? = —wirb, ober 


galatf) (ar2f) = a’l2a+(ar+f)(ar2N) 
Diefes giebt e = — 3a. Da aber für diefen Werth 
Y(b—c) unmoͤglich wird, fo iſt er nur dazu brauche 
bar, um vermittelft deſſelben einen andern zu finden. 
Man fege naͤmlich = (k—3)a, fo erhält man 
'3(2k-- r)(2k-- 2)? 3(2k — 1) k— 1) a 
— 4grak-1)(ak-2)) er (2k-1) (k-1)) 
4b’(2+(2k—1)(k— 1) 








Nun muß 


— 3(2k—=1) (k—1) (2+(2k—ı)(k—1)) | 
— 3(2k—ı) k—ı1)(3 — 3Kk 2kK) 
—9 — 36k-- sık’— 36k! > ı2kt, ein Qua⸗ 


drat ſeyn. | 
— Sf > Ä x 


2 


454 V,a Hagner, uͤber Glenie's Conſtruktion 


Es ſey dieſes Quadrats Wurzel = 3 — 6kake, 
fe it 15 k — 36 12 k* Sak?—ızak’+ ak‘. 
Um biefer- Bleicuuns ein Genuͤge zu thun, nehme mar 
6415 ober amd, w ern 36=—=ak— ı24, 





ober k= - —. Demmad) if —- 
a 12 —a 4 1 


ein Werth, für welchen „&- 





2mwmoglich iſt (7). Ab 








5?. a | 5a —_ 5.19.214 
denn ift = 7 b=+ —⸗ c=F? I 


u. f. w. 





10. Man kann auch in ı fegen BA= day | 





+4 /(4bera?, AC=* ay —— — 1 (beta), 


und um einer Quadratzahl. Da Ifte==b(ı--m‘) 


b— 
m AB AO=(" * +3 Wer) 
— 
——— (m?a?-+ 3 (4b’(r - mꝰ) + a})), 





Weil nun APHACBC— a’, fo finder fid 
(4 — 3m—m’)a’ 


1 
daraus b’== | 
3.4m(I—m) | 

| 
| 





Soll bier b und e zugleich bejaht ſeyn, fo iſt mqIn. 
Es ſey z. B. m — 33; 
fo if —— = 2, ARE 





einer geometrifihen Aufgabe, 453° 


Wenn b bejaht und c verneint if, fo Em>r. 
Damit aber Y (+be+a’) nicht unmdglich werde, muß 
s4bc+a’==a’--4m’-ı)b? bejaht, oder a?>4(m? -1)b® 
ſeyn. Diefed giebt 3,.m > m’ +3 m — 4, oder m<Y/4 
Demnach muß in biefem Kalle m größer ald ı, aber. Heis 
‚ser ale Y4= == J, 58. ... genommen werben. | 








3ıa ayar . 

Es ſey z3. B. m==}; ſo iſt Pe ——, be 
* 459° 65" 
ay 5.31 b—c. o 5a? 
mo —; = be HH’ = —; 
ur T Eu ze 36° 

| a 
AB=4ar 3, Kera— 7. 
12 | 12 


IL. Wenn, wie in g und ro, b und c verfchiebene 
Zeichen haben, fo ift von den Linien GEF, GEL! die eine | 
über, bie andere unter BC zu nehmen. 


In ſolchen Faͤllen, hat AC einen verneinten Werth, 
welches anzeigt, daß nicht die Summe, fondern der Untere 
fhied, dee Würfel von den Selten AB und AC dem 
Würfel von BC gleich if. Man darf fich daher auch 
nicht wundern, daß die gefundenen Wertbe von AB und 
AC sufammen genommen, Eleiner find, als BC, ba doch 
die Summe jeder zwo Seiten eines Dreyecks größer if, 
als die dritte; denn die Summe der gefundenen Werthe, 
iſt nicht die Summe ber beyden Seiten, fondern ihr Unter _ 


ſchied. 
1. Anmerkung. 


12. Die gefundene Aufloͤſung ſcheint vorauszuſetzen, 
daß eine Gleichung des dritten Grades durch eine krumme 
Linie der zweyten Ordnung conſtruirte werden koͤnne. Es 
haͤngt aber damit folgendermaßen zuſammen. Wenn in 
der Gleichuns x = = 2; z gegeben iR, und x,y 

f 4 geſucht 


‚456 IV,a Hagner, über Glenie's Eonftruftion 


gefucht werden, fo verwanbelt ſich bie Gleichung bes drit⸗ 
ten Grades in eine bed zweyten Grades, und eg ift eine 
unbeftimmte quabratifche Aufgabe. Denn, man fh 
z=p--g, y=p—g; fo vertvandelt fid, die ge 
gebene Gleichung in folgende: zp(p?-—-3qg”) = 7. 
Man multiplicire folche mit der unbeſtimmten Größe r, 
und zerfälle fle fodann in zwo Gleichungen, 2p r2 
und r(p?+3q?) = 2’. Wenn man nun den Werth von 
p aus der erften diefer Gleichungen in die andere ſetzt, fo 


e 2 _ 
findet man daraus DE und —— (4-P) 


’ | 
2y 3r 
rz 2 —r3 rz 2 nr} 
„tr, 8a „U _ u) 
2 ay3r 2 2y 3r 


man für r jede bejahte Zahl nehmen kann, bie Eleiner if, 
ale 741,58... Nimmt man z. B. 3, fo fin 
det man unmittelbar bie Werthe von AB, AC, in vors 
berftchender Aufaabe, welche man vermoͤge der Conſtruk⸗ 
tion des Herren Glenie mit den von ihm angegebenen 
Werthen von GH, G F, erhält, 


2. Anmerkung. 


13. Wenn m, n beliebige Zahlen ſind, und mx?+ny? 
== 23; fo läßt fich bie Aufgabe, x und y durch z and 
dieſer Gleichung gu finden, ebenfalls in eine unbeftimmte 
quadratifche Aufgabe verwandeln. Es iſt nämlich, aus 
der gegebenen Sleichung m (x? + y?) == 2?°— (n--m)y 
Hier zerfällt die Größe rechter Hand in die beyden Fakto⸗ 
ren.z--yy(n-m) und z’+zy y(n--m) +y? y(a-n), 
und, wenn man x=p-+g, y=p—q fest, fo erhält 
man zmp (pP + 39 (z—-(p—q) y (n—m)) 
@’+z(p—gq)y(a—m) + p—qQ’yYla—m)) 
Man multiplicire beyderſeits mit einer unbeſtimmten 
Größe r, und zerfaͤlle dann die Gleichung in folgenhe 

beyde: 


einer geometrifchen Aufgabe, - 457 


beybe: ampr(2- (p--g) Y(a--m)) und r(pꝰ3) 
2426- m)- - wy. 
(2q( -æ w) 
7 m+r; Yan)" 
Die andere giebt, wenn man ben gefundenen Werth von 
p ſubſtituirt: rz’+ar’zqy/(n— m) | 
+44 y(o —- m)’-+-ı2mr? Yyn— m) + 12 m‘)) 
=—=2?’(2m+r y (a-m))’+ z(rz-2my)(2m-+r /(d-m)). 
y@a-m)+(rz-2mg) y (na--m)’, woraus q duich 
⸗ und r gefunden wird. | 


| Aus der erften findet man p = 


So findet man z. B. wenn 
m=n=I1, fit oJ, 
_—@+3r+2)2+446+2)2Y 3(121r°—(r-1)9) 
rg) — 
Nimmt man r==2, 
—4242Y 3,47 47, 
25 
z+q__ — 17). 


fd wird gq= 


_ 2(13 +3 y3:4), 
50 
z(29+y 3.47) 
und diefe Werthe werden der Gleichung ein Genüge hun: 


y=P49= 





Sf 5 mb 


a8 I, b. Sauber, über Glenie's Conſtruktien 


IV, b. 


Bemerkungen über Glenie's (Archiv Band I. Heft 4. 
angeführte S 481 u.f.) Aufgaben, und Anzeige eins 
Weges, auf die von ihm angegebenen Eonftruktios 
nen derfelben jzu fommen; von M. C. 5. 
Hauber. 





1 Auf einer gegebenen geraden Linie als Grundlinie 
ein Dreyeck zu befchreiben, deffen beyde andere Seiten zur 
ſammen einer gegebenen Länge gleich, oder um ejne gege⸗ 
bene Länge von einander unterfchieden, oder von dıfm 
beyden andern Seiten die Quadrate zufammen einen gegt 
benen Raume gleich, oder um einen gegebenen Kaum von 
einander unterfchieben feyen; find unbeftimmee Aufgaben, 
deren jeder durch unendlich viele Dreyecke Genuͤge geleiftt 
werden fann; welche Übrigens alle das mit einander ge 
meinfchaftlich haben, daß ihre Spitzen im Umfang einer 

bder kage nach) gegebenen Ellipſe im Fall ber erften, Hyperbel 
im Sal der zweyten der genannten Aufgaben, im Zal ker 
dritten and vierten aber in einer ber Lage nach gegebenen 
Kreisperipherie und geraden Linie liegen, deren Beſtim⸗ 


mung man im sten und ıflen Satze des IIten Buchs 


von Apollonius ebenen Dertern finden kann. 

Die Aufgaben: Auf einer gegebenen Grundlinie ein 
Dreyeck von ber Befchaffenheit zu befchreiben , daß Die 
Summe oder Differenz der Würfel feiner beyden — 

Ar voer citen 


| 


verſchiedener geometrifcher Aufgaben. :459 


Seiten zum Würfel ber Grunblinie ein Gegebenes Ver», 
haͤltniß babe; gehören ebenfalls unter die unbeftimmten; 
und die Spigen aller Dreyecke, welche der einen und der 
andern diefet Aufgaben Genüge thun, liegen im Umfang 
£rummer Sinien, oder vielmehr nerfchiebener Theile einer 
Curve, welche, wenn man bie Seiten des Dreyecks (Fig. 1.) 
AB=2, AC=y,BC==3, dad: gegebene Verhaͤltniß 


p:q ſetzt, durch die Gleichung 3 4. y? —.2 23 in 


Abſicht auf das mechfelfeitige Verhalten in ihrem. Umfange 
fi) kreuzender, um bie Pole B, C fich drehender, gerader 
Linien, oder, wenn man will, in Abficht auf das Verhals 
ten swifchen einem an irgend einen ihrer Punfte (wie A) 
vom Punkt B aus gtzegenen Nabiug vector (BA), und 
der Entfernung (AF, weld;e man z fege) deſſelben Punkts 
von dem auf der BC in ihrer Mitte G errichteten Loth 


durch die Gleichung 212 = x’ v2 3 (denn | 
im Dreyeck BAC ift bekanntlich 2BCXAF, d. 1. wenn 
auch AK auf BC fenfrecht if, aBCX GK==AB!--ACN, 
oder endlich, wenn In letzterer Gleichung V(datz)+ v? 


ſtatt x geſetzt wird, in Abſicht auf das Verhalten recht» 
winklicher Coordinaten (GK==z, KA==v); von wel⸗ 

”chen die Abſciſſen auf BC von deren Mitte G an genom⸗ 
men ſind, charakteriſirt wird. 


Uebrigens wuͤrde, wenn AB von irgend einer Laͤnge 
beliebig angenommen wird, die Beſtimmung der dazu ge⸗ 


hoͤrigen kaͤnge von AC (welche = =+ VE „BO—AB, 
di i. die dritte von Hier flefigen Proportionallinien iſt, von 


welchen BC die erſte, die Differenz zwiſchen > BC und 

AG, 

3C die vierte if), ober von GK, und hiedurch des dazu 
gehoͤ⸗ 





460 IV, b. Hauber, über Glenie's Eonftruftion 


gehoͤrigen Dreyecks, von Aufldfung ber Aufgabe: zwir 
ſchen zwo gegebenen geraden Linien zwo mittlere ſtetig 
proportionirte zu finden, abhangen, welche vermittelſt 
der Poftulate der Elementargeometrie nicht bewerkſtelligt 
werden kann. 


Die von Glenie (am angef. D. 36.37.) angegebe⸗ 
nen Beftimmungsftüce aber, der auf gegebenen Grumds 
linien gu conftruirenden Dreyede, deren Summe ober 
Unterfchied dee Würfel der beyden andern Seiten dem 
Würfel der Srundlinie glei, das doppelte, dreyfache 
deffelben ſey, hängen nur von Nadicalien des zweyten 
Grades ab, und die dadurch beflimmten Dreyecke laſſen 
ich durch Elementargeometrie confiruiren. 


2, Um gu prüfen, ob die (a. a. O. 36.) angegebe⸗ 
nen Beflimmungsftücke ihren correfpondirenden Aufgaben 
Genüge leiften, drücke man die beyden Seiten AB, AC 
eines in einen Kreis befchriebenen Dreyecks aus bdeffen 
Grundlinie BC und Hoͤhe AK oder GF, und aug der 
Höhe GH de an einerley Seite und auf ber nämlichen 
Srundlinie auf dem Dreyeck befindlichen Abſchnitts des 
genannten Kreifeg aus. Es ift nämlich 


ABI>AC! == 2 AKT +BKI+-CK! (ET, 47.) 
= 2(AK?+-BGI+-GKN) (ELIL, 9. ment 
dag Loth AK die Grundiinie zwiſchen 
B,C (ig. 1.); 11, 10, wenn es ihn 
Verlängerung trifft (Fig. 2.)). 
= 2(FG!+BGI->AF9) 
== 2(FGI+HGR+ HFR) (€. III, 35.) 
== 2(FGI->-FGR+HFG+2HFXGR) 
(€. II, 1.) 
= 3(HRXFG + 2HFXGR) (€. 1], 1.) 


Ind 


derfchiedener gometiſher Aufgaben. 461 


.. Und 
2 ABXAC= aHRXFG; Cdenn man ziehe durch A 
ben Durchmeſſer AL, und siehe BL; 
-  fo,find die Winkel ABL, AKC einan« 
| Pe old Rechte (E. III, 310; 
die Winfel ALB, ACK aber (in Sig,r.), 
weil fie in einerley Abſchnitt fihen 
(III, 21.), oder (Fig. 2.) weil jeber 
derfelben mit dem Winkel ACB zweyen 
- Rechten gleich iſt (III, 3 1,); daher bil 
Dreyecke ABL, ACK gleichwinklich; 
und AB: AL das iſt HR = AK 
d.i. FG:AC; daher ABXAC 
„=HRXFG) 


L 








0) (A B-HAC)® == - 4(HRXFG + HFXGR) 
== 4 (HGF+FGR-+HFXGB) 
= 4(HGF+HGR) E. Il, 1.) 
=4(HGF+BGY; 


(AB—AC) = =4HFXGR=4 7 16 Bär * 
Mithin AB-AC= 2YHGF+BG® 


| VMF 
Folglich AB — HarHaBCH BC Yı 
- ACz= VHGF+4BCi-4 sch —g- 


Setzt man nun nach Glenies Vorfchrift für Aufg. I. 
(a. a.O. 18.) GH= 3ECY Gm GE= 3 BCyY531; 


fo findet fi hieraus ganz Teiche AB= — BC, 
— | 
AC= — BC; woraus man ganz genau 


EEE | u AB® 


462 IV, b. Sauber, über Glenie's Conſtruktion 


2.9-+2.3.9.5 3:945 


AB --AUC= — BC 
33.4 2044 


b.i. 32 BC == BC“ finden, auch, wenn man will, bie 
Werthe b == 0,936333, c = 9663666 (ebend, 34.) 
herleiten kann. Man koͤnnte 3 verfahren, um zu 
prüfen, ob die Aufg. IT. u. III. (36) durch die daſelbſt an⸗ 
gegebenen ihnen zugehoͤrigen GH, GF aufgeläft werden. 








3. Um aber flatt deffen lieber a priori auf einen 
Meg zu kommen, auf welchem man die Beſtimmungs⸗ 
ftücke des zu findenden Dreyecks von feinen andern Wur⸗ 
zelgroͤßen, als vom zweyten Grab abhängig erhalten 
möge; nehme man fürs erſte die Gleihung x’ + y’ 


* — a’ wiederum dor; und man wird ſich erinnern 


oder * feicht finden, daß die Werthe der Groͤßen x, yr 
welche dieſer Gleichung Genuͤge thun, die geforderte 
Eigenſchaft, nur von Wurzelgroͤßen genannter Art ab⸗ 
haͤngig zu ſeyn, haben werden, wenn man auch x+y 
einer gegebenen Größe gleich, z. B. — — — afeßt. Man 


findet nämlich, wenn x die größere iſt 


GH CHEm): 
(7 -YrQaz.a =. nm) a; 


wobey erhellt, bag, damit x, y möglich feyen, 4 r nicht 


* 3 3 
< (-) ‚oder >= nicht >y(“?) ſeyn darf. 
m n q 


Die Summe der Würfel zwoer geraden Rinien naͤm⸗ 
Ich, bat zum Würfel ihrer Summe, wenn die geraden 
Linien gleich find, das Verhältniß wie 134; wenn fi 
aber ungleich find, ein größeres, 


II 


Y 


Denn 


derfchiedener geometrifcher- Aufgaben. 463 
Denn es feyen DE, EF ($ig. 3.) zwo gerade Linien. 
Und fie feyen fuͤrs erſte gleich, DE äFM DE, 


DE ln 
mithin Ver) DF=:: a5. 


fo pre! }: DFI= ir (EXT, 33) 
daher DEHEF:DFZ= 2:8 mr: 
Ä Sie feyen aber. ungleich; fo it DF? > 4DEE.. 
(E. 1,8) . 

. mithin pr !‘DEF- 
d.i. (E.XL 32.) DF°;: DEFXD 
DF°b.i. DE°+EF° + 3DEF XDF; 3DEFXDF>4i37 
n. felgl. DE“+-EF* oo. 3DEF XDF>1:4. 


Da ferner der Würfel der Summe größer iſt, ale 

die Summe der Würfel, fo. mug (2)? >2-fepn. 

4 . Sollen nun die x, y fo wie wir fie durch Pen) a 
beftimme haben, nebft a, Seiten eines gerablinichen Die 
ecks abgeben koͤnnen; ſo muß vermsge El. J, 21. * => I 

| ſeyn, damit x4 y>afty; und aus der Belag daß 

| a+y>x fey, folgt, daß — +3 z>ı+ 8 ſeyn 
muͤſſe. Und da vermoͤge des vorhergehenden ($. IR = 


nie < (=) feyn darf, aber — und mithin —* 
(5 >ı ſeyn muß; fo ergiebt ſich Hieraus, daß auch 


= > ı oder < > 3, das iſt, daß gegebene Verhaͤltniß, 


welches die Summe der Würfel der Seitenlinie zum Wür« 
fel der Grundlinie haben fol, größer ſeyn mäfffe, als 134; 
welcher Seftimmung-auch (a. a. O. 23.1.) erwähnt iſt. 

= — Da 


Fj 124 I, daber 


464 IV, b. Hauber, über Glenie's Eonftruftion 


Da nämlih, wenn AB, AC, BC Seiten eines 
Dreyecks find, ABFAC>BC, mithin (AB-+-AC} 
> BC‘, dab Verhältnig AB +AC°:(AB-+ AC) 
aber entweder —= 1:4, wenn nämlih AB, AC gleich 
find, oder, wenn fie ungleich find, > 1:4 iſt; fo folgt 
dag immer AB-+AC°:BC°>1:4 ſeyn muſſe. 


5. Um: diefe Beftimmungen auf die befondern Faͤl⸗ 
der Hufgaben I, IT, In (a.a.D.18. 19.), we = 1,2,3 
iſt, anzuwenden; fo ergiebt ſich aus denſelben, auſſer ver 
bey allen gemeinfchaftlichen Bedingung, daß — 1 ſey, 
noch insbeſondere, daß 


für = 7 aiche > Y4r aber 2) +32>4 
für 2; u... D>2,aber>y 2, le-..-.n. DD), 
fie 23; - - - Dymo, > nun. >12 
ſeyn Nuſſe 


Dieſen Forderungen zeſchieht ſenüge, wenn man 
z. B. feßt 
bey Aufgabe. — 33 und denn wird 


n 


x. DE atzt 
9 — 
* Fuck 


bey Aufgabe II. — = 5; fo wird 
a st, „IZYH 


X 


bey Aufgabe II. — == 2; F wird 
x=z(tryYG)s y=(i— YO)“ 
Ä Es 


derfchiedener geometsifcher Aufgaben. 465 


Es wird demnach jeber: ber genannten drey Aufga⸗ 
ben durch ein, aus den dazu. gehoͤrigen hier angegebenen 
x,y und a, ald Eeiten, (nach EI. I, 22:) biſchriebenes 
Dreyeck, Genuͤge geſchehen: welches für Aufg. I. durch 
die Proberechnung (in 6. 2) ſchon beftätige iſt, indem bie 
dortigen AB, AC, BC mit den hier. bey Yufg. I. genann- 
ten x; y; 3 uͤbereinſtimmen. Und man wird eben fo bie 
bier für Aufg..IE, III. angegebenen Werthe von x,.y mie 
benjenigen gleichgültig finden, welche man fuͤr AB, AC 
aus ben. von Glenie zu Eonftruftion dieſer Aufgaben 
(a. a. D. 36.).angegebenen Werthen von GF, GH ver⸗- 
mittelf ber ns 2. gegebenen. Ausdruͤcke herleiten kann. 


6. Umgekehrt, wenn man die zu beſchreibenden Drey⸗ 
ecke, ſtatt ſie aus den drey gegebenen Seiten, BC oder a, 
und ben angegebenen x, y gu conftruiren, mit Glenie 
vermittelſt ihrer Höhen und der Kreife, in welche. fie be⸗ 
fchrieben werden können, beftimmen wollte; fo hätte man 
nur in den allgemeinen Ausdruͤcken der Höhe GEF eines 
Dreyecks und der Höhe GH des Kreisabfchnittg, der mie 
ihm einerley Grunblinie und’ die Spige des Dreyecks in 

‚feiner Peripherie liegend hat, durch des Dreyecks Seiten, 
‚ sänlih-GE 
Y (AB V(ABFACHEO) tAB-FAC-BO) (BC-FAB-AC) (BC-AB-LAC) 
2BC. 
| ABH-AC-HBC) (AB+AC— BC) 
GH=; BC (Ferse (BC-AB-HACO) 
(welche. Ausdrücke, und für fchiefwinfliche 8 
beſtimmt, uͤbrigens auch, als den Fall der rechtwinklichen, 


ABXAR | 
für welche GE == I ‚GH=3BC wird, 


unter ſich begreifen angefehen werden fönnen; ber erfte 
derſelben iſt befaune genug: den zweyten zu beweiſen, 
Achtes Heſt. 69 siehe 











466 W, b. Hauber, über Glenie's Conſtruktion 


ziehe man von B an den Mittelpunkt O die BO, und fäle 
von C auf AB dad Loth CM, welches die AB zwifchen 
A, B, wenn der Winfel BAC fpisig (Fig. 2.), Ihre Vers 
laͤngerung aber £rifft, wenn derfelde ſtumpf ift (Fig. 1.)); 
und da die Winfel BGO, AMC einander gleich find als 
rechte, die Winkel BOG, CAM aber, teil jeder derſel⸗ 
ſelben die Hälfte des Winfels BOC (Ei. III, 20; und 
22 gig. 1; 2ı in Fig. 2.); mithin find die Dreyecke 
ACM, OBG gleichwinklich, und 
OBb. i. HO oder OR:OG=AC:HAM == BBAC: '2BAM 
BC’— (ABI+ ACHEig.r. 
== 2BAC; (Et: II, 12, 13.) 
(ABI + ACI— Bc9 Sig. 2, 
goiglich HO- 0G:OR-+-0G (Sid. 1j1 
HO-H0G:OR—0G (gig, al 
d. i. GH: GR 
d.i, (EL. VI, 9,20.) GHI:BGT J 
FCAB-+- AC)T— BC1:BCI— (AB=- AC)* 
(AB+AC+BC) (AB + AC--BC): (BC-HAB--AC) 
(BC—AB-+AC) 
GH:BGb.1.3BC 
—— ANGER) ACBO:V (BOHAB-ACHEO AN) 
ſtatt AB, AC In die $. 3 angegebenen x, y zu ſubſtuuſtn; 
wodurch man die genannten beyden Hoͤhen dur = —* * 


a oder BC ausgedruͤckt, naͤmlich 
— Te EC Er 


Ya. 
GH='35C era a - 
14.2.2447 


n?) 


und hieraus wicderum fuͤr die einzelnen Sälle, wenn 








q 


verſchiedener geometrifcher Aufgaben. 467 


== 3; — SGB 
Piekiirten: —=BCy(H)GF=4BCY(H) 


1 Eon, ..GF==3BC, . 
das ift, für Aufgabe I, IL, III gerade die (a. a. D. 36.) 
angegebenen Werthe von GF, GH erhalt. 


:7. Um num auf ben Fall zu fommen, da auſſer der 
Grundlinie des zü beſchreibenden Dreyecks das Verhaͤlt⸗ 
niß des Unterſchieds der Wuͤrfel der beyden andern Sei⸗ 
ten zum Wuͤrfel der Grundlinie gegeben iſt; ſo wird ſich, 
wenn. Ian. wiederum die Bidingung x — * 2 a’ 


mit der x — -y= m — —a ‚a verbindet 


— 1 NE * 9. 


entweder unmittelbar finden, oder au aus den 6. 3. ge⸗ 
fundenen Werthen, indem man Dort negativ nimmt, 
herleiten Iaffen. Uebrigens, da bet Unterſchied ber Wire 
fel zwoer geraden Linien. größer iſt, als der Würfel ihres 


Unterſchieds, fo muß — n 2>( 2) ſeyn; und wenn dies 
iR, fo find y Ime.or möglich, 

8. Setzt man hiezu noch die vermoͤge ei L, 21. es 
ferberliche Beſtimmung, daß =< 1 fey, worinn alsdenn, 
wenn = eine ganze Zahl iſt, dieſe⸗ le <# 
ſeyn miſe, ſchon enthalten ift; fo kann man bie für I 


gend ein gegebenes . E und den erwähnten Beſtimmungen 
69 2 gemaͤß 


468 IV, b. Sauber, über Glenie's Conſtruktionen 


gemäß angenommenes = beſtimmten x, y; namentlid, 


— = geſetzt, | 
_Y/G ——— = 


für — Det, G — 
nebſt der BC gebrauchen, um aus ihnen, als ben drey ge 
gebenen Seiten, vermöge EI. I, 22. bie Dreyecke zu cow 
firuicen, melche bie dieſen beftimmten * entfprechenben 


Aufgaben auflöfen werden. 


BC, 


m 


9. Oder man wird late deffen aus dem ſchon angeführ- 
sen Safe, daß eines Dreyecks ABC Hoͤhe GF oder AK 
__V (AB--AC+HBC) (AB-HAC-BC) (BCHAB-AC) (BC-AB-+AC) 
a IT 
und dem befannten, daß GK die Entfernung des Punkte, 
in welchem dag von der Spige eines Dreyecks auf deſſen 


Grundlinie gefäfte Loth Diefeibe trifft, von der Mitte der 
J — 


ABI - AC 
Grundlinie = — — (ep, die ben Dreyecken, deren 


2BC 
Seiten die — 7. angegebenen x, y ſind, uaeboͤrigen 


TCHH EHE) 


GRKBC. -V, 2 a_m 

| $.- am m | 

und namentlich, =! 3 gefegt, für die beſtimmten Gilt, 
da 


u. IS 


verfchiedener geometrifcher Aufgaben. 469 
=1;GK=1H BCyY@ r AK=FBCYigr 
=; BCyVs, AK=3BCy5n 


=3;,GK=3 2 I BCy (2), AK=!BCyY3) 


herleiten, und mit Glenie diefe Elemente zur Compofition 
der Aufgaben IV, V, VI gebrauchen koͤnnen. Denn die’ 

bier für die genannten drey Zäle angegebenen Werthe 
von GK, AK find mit den (a. a.D. 37.) angegebenen von 
GE,ED für Aufgabe IV; GF,FL für V; GH, HK 


u 


j für VI, reſpektive einerley. 


10. Uebrigens iſt offenbar, daß den nr — angegebe⸗ 
nen Bedingungen, baß es < r und < ‘7 * Aufloͤ⸗ 
ſung der Aufgabe, welche den Unterſchied 8.), bey der 


“ andern aber, welche die Summe der Würfel der Seiten 


betrifft, — >ıumd< NG (* ‚aber (+32 3 Is * 
ſeyn möge ($. 3. 4.), nicht durch bie Werthe allein Sendge 


geſchieht, welche wir $. 8, 5. dafür angenommen haben; 


daß mitbin den gleich anfangs gemachten Bemerkungen 
über die Unbeſtimmtheit diefer Aufgaben gemäß, bie für 
die Aufgaben I-IIL in $. 5. oder 6. für V/-VI. in 6. 8. 
oder 9. angegebenen Werthe der Elemente der zu finden« 


den Dreyedke nur einzelne Aufldfungen aus den unendlich 


vielen geben, welche fi) aus ber Annahme immer ver. 


ſchiedener, wenn nur mit den angeführten Einſchraͤnkun⸗ 


gen beſtehender Werthe von — ergeben würden. Daher 


ganz begreiflich: „Jede ſolche Aufgabe laͤßt ſich, vermit⸗ 
telſt der ebenen Geometrie, auf mannigfaltige Art ver⸗ 


zeichnen. (a. a. O. 20.) 


69 3 So 


. 


470 IV, b. Sauber, über Glenie's Conſtruktionen 


So bietet ſich z B. von ſelbſt dar, daß der Aufg. II. 
durch ein auf der gegebenen Grundlinie beſchriebenes 
gleichſeitiges Dreyeck Genuͤge geſchieht; welches ſich auch 


wait, wenn man in 6.5. für den Fall, da re = 2, 
7 2 fehl. 


11. Da ferner die 5. 3. 6. oder 7: 9 m. —, za 


ausgedruͤckten Werthe der Beftimmunggftücke ber zu file 
denden Dreyecke für jedes gegebene Verhältniß, welches 
die Summe oder ber Unterſchied der Würfel der Seiter 
zum Würfel der Grundlinie haben fol, ohne daß ber 
Erponent deffelben auf ganze Zahlen eingefchränft waͤre, 
wenn er nur für den Fall der Summe > % if, gültig 
find, und auf jeden Defondern Fall, wo diefer Erponent 
in beſtimmten gangen oder gebrochenen Zahlen benannt ift, 


durd) Subftitution des fo benannten Erponenten fatt 


fogleich anwendbar gemacht werben; ſo verſteht fich von 
ſelbſt, was Glenie fagt: „daß er mit gleicher Leichtigkeit 
ohne Ende fo fortgehe;“ daß man für das Verhaͤltniß, 
welches die Summe der Würfel der Seiten zum Würfel 
der Grundlinie haben fol, auch 5. B. „ein Verhälmiß 
nehmen inne, welches zroifchen die Verhältniffe 2: ı und 
3:ı faͤllt;“ daß er „ganz leicht ohne Ende fortgehen 
koͤnnte, felche Aufgaben durch ebene Geometrie zu der 
zeichnen, hätte cr nur Zeit genug dazu." (a.a. O. 20,23.) 


12, Ueberfläffig ift aber wohl zu erinnern, ba, 
wenn Glenie feine Analyfe von folchen Aufgaben einem - 
geroiffen eigenthümlichen Beflg geometrifcher Grundiehres 
zufchreibt, und ſich aus dem Felde, mworein fie gehören 
fol, eine hochgepriefene Erweiterung reiner Geometrie 
verfpricht (ebendaf 23.), die hier gegebene im Gegentheil 
fich aller folcher Anfprüche begeben muß. 





IV, e. 


onhiceie ncometiiſher Aufgaben. a7 


IV, a 


Ueber Glenie's. Conſtruktionen verſchiedener geome⸗ 
triſcher Aufgaben (Arch. d. Math. 4. Heft. S. 481u. f.); 
von M. Jacob Wilhelm Becker, Pfarrer zu Kleine 

Bremdarh unweit ie Buttſtaͤdt. u 


° 





I. Glenie ruͤhmt ch (l.c.$. 23.) bed Beſitzes geome⸗ 
kriſcher Grundlehren, durch die ſich auſſerordentlich viel 
leiſten laſſe; die ein ganz neues Feld eroͤffnen, unbegraͤnzt 
und vol unzaͤhliger Mannichfaltigkeit 2c. ꝛc. Zum Beweiſe, 
was er dadurch bewirken koͤnne, liefert er einige Conſtruk⸗ 
tionen, wo Dreyecke, in denen die Wuͤrfel ihrer Seiten 
ein gegebenes Verhalten gegen einander bekommen ſollen, 
durch den Kreis und gerade Linien verzeichnet werden. 


2. Wenn dieſe Beyſpiele neue geometriſche Grund⸗ 
lehren vorausſetzen: ſo duͤrfte ich mich auch wohl ſolcher 
ruͤhmen, weil ich dieſelben Aufgaben, weit einfacher als 
Glenie, conſtruire, auch durch den Kreis und gerade 
Linien, aber mit Vermeidung aller Irrationalitaͤt. Eu 
iſt meine Conftruftion. | 


3. Aufgabe] Radius Ä 
No, IIH=IR | RGI REF 


I 152 124 | 279. 
II 639  ı 198 1 550. 
III 5 I 4 
IV 56. | 36] 9. 
V 40 121 63. 
VI 184 361 285. 





Nach einem beliebigen Maßſtabe faſſe ich aus hier 
ſtehender Zafel den Radius IH ==IR; siehe mit ihm 
einen Kreis, nnd im · Areiſe einen Durchmeſſer RH, auf 

894 ben 


472 IV,c Becker, über Glenie's Conſtruktionen 


den ich, vom Anfangspunfte R an, aus berfelben Tafel 
und nach dem nämlichen Maßftabe, die beyden Stuͤcke 
RG; FR trage. Nun ziehe ich, fenfreht auf RH, durd) 
G und F, bie beyden Sehnen BC; AE, von weichen die 
untere die Bafis, ein Endpunkt der obern, A oder E, die 
Spitze des geſuchten Dreyecks iſt. on 

4. BC wirb ber gegebenen Grunblinie freylich nicht 
gleich ſeyn, es müßte zufällig treffen. Indeß verzeichnet 
man nun leicht, durch eine Parallele mit BC, ein anders 
ähnliches Dreyedl von gegebener Baſis. — Dber flat 
der Baſis fönnte auch eine andere Seite bes Dreyecks 
gegeben ſeyn. 

Ueberhaupt beſtimmt das gegebene Verhalten ber 
Seiten nur Formen von Dreyecken, die auch nach ihrer 
Größe beſtimmt werben, fobald eine Seite gegeben if. 


5. Nennt Herr Hofrath Käftner (l. c. $. 25.) Gle⸗ 
nie's Conftcuftionen Blumen, ‘welche dag Auge des Ver» 
ſtandes weiden: fo läßt fich von der gegenwärtigen dafs 
felde doch wohl auch fagen, meil fie, ohne mehr Linien zu 
bebürfen, durch rationale Groͤßen volführt wird; wede 
halb fie um fo eher eine Stelle in der unbeflimmten geos 
metriſchen Analyſe verdient. 

6. Zugleich liefere ich auch das Verfahren, wie dieſe 
Blumen erzogen wurden, was der Herr Hofrath Kaͤſtner 
vermißt und wuͤnſcht (J. c.$.$. 25. 38). &o wichtige 
und geheime Runftgriffe, die fogar Newton's Erfindun 
gen befchämen follen (1. c. $. 23.), werden nicht ndthig 
ſeyn; meiter nichtg, als eine leichte Analyfe und befanntt 
geometrifche und Erigonometrifche Saͤtze. So lange aber 
auch Herr Glenie von feinen Geheimniffen nichts weiter 
befannt macht, als was in dem Zten und gten Hefte des 
Archive ſteht, wird er erlauben, daß man feine wichtigen 
Entdeckungen noch in Zweifel ziehe. Ein Paar einfache 
Differentialformeln und leichte Conftruftionen berechtigea 
noch nicht zum Glauben an mathematiſche Geheimniſſe. 

7. 


‚verfchiedenet hedmetriſcher Aufgaben; 473° 


7. Die erfie allgemeine Aufgabe it (l.c. 23,1.) 


Ueber einer gegebenen Grundlinie ein Dreyeck zu machen, 
daß die Summe der Würfel der beyden andern Seiten 
zur Sreundlinie ihrem fich verhalte wie e: 1. 


= g. Die gegebene Baſis BC ſey == a; ber beyden 
übrigen Seiten . 


Summe = a.85; Unterſchied == 2.d- 


_ dunds find Zahlen, die Erponenten der beyden Vechaͤlt⸗ 
niſſe der gedachten Summe und Differenz zur Baſis. 


Die beyden Seiten ſelbſt Ednnten nur durch eine un« 
reine quabratifche Gleichung gefunden werden, weil ein 
Zeichen beyde zugleich ausdruͤcken wuͤrde. 


9. Aus Summe und Unterſchied ſinden ſich die bey⸗ 
den Seiten 


a.(1s+43d) und a. (I1S — 3d) 
10. Nun ſoll ſeyn 
3Be=23(35+4dY- 3 (IS—I d— 
oder e=(35+3d)’ + (I S— d 
a faͤllt aus der Rechnung leraus, weil es zu die Form 
des Dreyecks keinen Einfluß hat. (vergl. 4.) 
11. e—83 38d⸗e; daher endlich 
———— 
d= 
V ar 


wo man s nad) Belieben annehmen darf. 





12. Damit aber das Dreyeck möglich werde, muß: 
1. s pofitio feyn. 
II. S 1 
— 83 
IL adı>d; b. i. 1 > 
.- “ 8 
oder 34382 4e | 
S5 - W. 


474. IV, c. Becker, über Glenie's Conſtruktionen 


IV. Mau hat von s zwey minima zu bemerfen. 
Setzt man das erſte, 1, flats in +35, fo 
wird 4 daraus. 1 
Iſt daher e=ı fo ſagen beyde Graͤnzen IIund IIl 
einerley. 
e<ı fo If die Graͤnze IL anzuwenden. 
e > I ⸗ o⸗ .. III PP EEE 
V. Das maximum von sift: s nicht > Y4e 
x». VI. Das maximum (V) barf mit den minimis 
nicht im Widerfpruche fichen, barum muß, II 
und V verglien, /4E> 1, oder e > Z fen. 
Das iſt die Einfchränfung (1. c. $. 23.1.) 
II und V miderfprechen fich nie,. was anch ber 
Werth von e ifl. Denn wenn s nicht > /46, 
fo it 3+3s niht > 4e+ 374e 
aber 3438 4e 
beydes kann zuſammen beſtehen. 
Anmerk. Ganz läßt ſich die kubiſche Gleichung doch 
nicht wegbringen, wenigſtens als Graͤnze der unbeſtimm⸗ 
ten Groͤße zeigt ſie ſich wieder. 


13. Die beyden geſuchten Seiten bed Dreyecks find 


num (9) | 
— 53 
Ja(s —49 2 Sa. V ) 
38 
14. Diefe allgemeinen Formeln wende ich auf Gle⸗ 
nie’ 8 drey befondere Faͤlle (l.c. $.18. L.IL.IIL) an, m 
e=ı1; =2; = 3 ift; dabey wähle ich für s bie 
Werthe, die Glenie's Dreyecke geben; wie ich fie gefunden 
babe, zeigt unten (30) 


Aufgabe I II ID 
eilt e — 1 | 2 | 3 
mannebme s = | 3 5 I > 
fe wid d = | v5 [IV | ıve 








n— 


verfchiedener geometrifcher Aufgaben; “ 


Sir Nr. J ſind bie beyden Seiten = 1 geſetzt 41% 
= 0,75 - 
73 V5 = 0,18633900 
größere. Seite = 0,9363390. BE 
Hleinere Seite = 0,5626609.. 
(vergl. l. c. $. 34. dad Refultat dee Hrn. Hofr. Laͤſtners. 


15. Schon die hier gefundenen Formeln haben offen» 
bare Vorzüge vor denen des Herrn Glenie; fie geben 
bie unbekannten Seiten des Dreyecks felbft, die fich als⸗ 
dann leichter mit der gegebenen Baſts vergleichen laſſen. 
Zugleich enthalten fie nur eine ebenfalls bloß quadratifche 
Strrationalgröße, 'von der man uͤberdieß unterfuchen kann, 
ob fie fich durch eine gefchickte Annahme von s heben laſſe, 
und man die Seiten des Dreyecks Insgefamme rational 
machen koͤnne oder nit. 3.8. 

e=ı; und Überhaupt = einem Würfel, Iäße wegen 

der Gleichung (9) feine rationalen Werthe zu, 

e==2; man fee au) s=— 2, fo wird d==o, und 

das Dreyeck gleichfeitig, in melchem offenbar 

Die Summe von den Würfeln zweyer Seiten 

tag doppelte dee Würfe ber dritten Seite 
ausmacht. 

u. ff. vergl. Euler Algebr. 2 TH. II. Abſchn. Rap, 9, 10, 


16. Bon ben gefundenen Sormeln leite ich nun auch 
Glenie's beyde Eonftruftionen, fo wie meine gleich an⸗ 
- fange gegebene, fehr leicht ab. Ich werde in der Folge 
bie Größe d bepbehalten, ohne den für fie in (11) gefun- 
denen Werth zu fubflituiren. Die Ausdrüce werden ein« 
facher, und laffen fich alsdann auch ſogleich auf die Brent 
Hauptaufgabe anwenden. 


17. Die eine Eonfiruftion bes Herrn Glenie, deren 
er ſich bey der 4ten, sten und Gten Aufgabe bedient, die 
aber auf die drey seen eben fo gut anwendbar ifl; derjeiche 

net 


476 IV, c. Becker, über Glenie's Conſtruktionen 


net das Dreyeck durch das Perpenbifel von ber Spitze und 
Die dadurch entfiandenen Segmente der Baſis. Hierin 
bedarf man 

GD bie Entfernung des Perpendifel® AD von ber 

Mitte der Baſis G. 

AD==GF die Größe des Perpendikels felbft. 
Sch benenne die Seiten des Dreyecks mit den Buchftaben 
Der gegemüherfiebenden Winfel, aber aus dem Fleinn 
Tateinifchen Alphabere. 


19. AD='3\ (a+b+c) (b+c-a) (atc-b) (a+b-c): 2a 
== y.(a+as) (as-a) (atad) (a--ad) 
=43ay (*—ı) (1 —d’) 
20, Aug (18.19) berechnet man die Größe von AD, 
GD für die drey Faͤlle in (14) 





Aufgabe I II III 
.91 
GD a JVs5 av | a.y3 
‚AD=a-,y5.31 a.t,/ 17 ara 


für 1188 Perpendifl AD—= GEF find die Ausdrüde oil. 
lig triefelben, die auch Glenie nad) (1. c. $. 36.) angiebt. 


| 21. Die Eonftruftion, deren ſich Glenie bey den dry 

erſte n Aufgaben bedient, feßt auffer dem Perpenbifel AD 
== IT G noch die Linie GH voraus. Es iſt aber: 
GH=BG.coBHG=%a.cotz3A 


Ilm GH zu finden, und gugleich die oben (3) geli« 
ferte Conſtruktion zu entwickeln, berechnt ich die Winkel 
bes Dreyecks, wobey ich den Radius der trigonometrifchen 
Ein in = 1 feße. 

22. Bon den beyden Winfeln an ber Baſis BC ſep 


die Halbe Summe == S; die halbe Differen; = D 
v 


rd 


verfchiebener geometrifcher Aufgaben. 477 


fo find die drey Winkel ſelbſt \. 
S-+-D der Seite 1 a (s-+d) gegen über - N 
sSs—D .» 5 4 a (s-d) » ⸗ ⸗ 


18300 - 28 — — a Dur 0 
S+D 
23. Nun if 3 al+d)=ä, ec urn 
Lst2d {in$, :cofD+finD Dacocs 
Ä | » inS. cof $:: 
er TR TH — 
24. Auf gleiche Aet Andet m man 7 
—ND 
iac—d)=a imß-D) 
25 x. 
cfD finD 


= * der —d — — —. 

de cfS finS 
25, Yus 23 und 24 folgen bie beyden Gleichungen 
cfD D —_ aD Te; 


—cf$’ — Ss“ 


woraus man D und S durch ihre rigonmetefen ba 
finde; nämlich . 


s 


52 — 1 
— de 

1 — 

ols=Y3-a “ 


I s? —ıI 
ang S = sn Ye 1 


27. Und ko D=d. fin $S 
; ofD==s.cofS. : 





tang D = — hans 
Sg OstD * u 
| | 28. Nun 


478 IV,c. Becker, über Glenie s Conſtruktionen 


28. Nun hat man auch 
GH ==Ja.cot$A;- an=3 ı a cot (90°--S); (22) 


— J «ı: 
2? (26). 


29. Fuͤr bie drin galle (14) * GH 

D=alyfı DÜa V IM) 4a 
Em fo wie Glenie (I. c. $. 36.) | 

30. Aus den (19. 28) gefundenen allgemeinen Aus⸗ 
drücken fär AD=FG und GH und den Werthen, die 
Glente fuͤr dieſe Groͤßen angiebe, findet man, melde 
Werthe Gon s in ſeinen Angaben vorausseſetzt werden. 

4GF.GH 

Denn es ‚wird — — —71 


a. 


3. B. Fuͤr die J. Sfr 





ZatangS= ay- 


2. und s 3 wie ich es (14) auch angenom⸗ 
men habe. 


31. So waͤren Glenie's Conſtruktionen entwickelt, 
dargethan und mit neuen. Conftruftionen vermehrt, die 
aber, im Allgemeinen, insgefammt die Verzeichnung von 
Irrationalgroͤßen erfordern. Legtere fallen weg, wenn 
man cof 25 und cof 2D zur Verzeichnung anwendet, 
denn für fie erhält man rationale Ausdrücke: 

2 
cfl2S=2c0ol’S—ı==2. = 
| s’— d? 
—d? 
vol 2 Da cof D- 1=2.5s? —— —ı 
5” — 
32. Es iſt aber, wenn man auch IR=RH == ı ſetzt, 
IG = cofRC== cof Aa cof (1909-25) == — cof2$ 


u.RGH= 1 —IG == 14 c0f2$= 2 —— 
5*— 


33, Fer⸗ 


- RF=ı-+-IF=i +c0f2D=2s? 


verfchiedener  geometrifcher Aufgaben. 479 


33, Ferner IF = cof AH==cof2D und 
= s’RG. 

34. Beyde Formeln (32.33) liefern die in ber Tabelle 
(3). enthaltenen Zahlen u IH; RG;.RF für.die Aufgas 
ben LILJIL (14). Eigentlich foßte, nad) (32) IH =} 
ſtehen; ich, habe aber dafür bie Eleinften. ganzen Zahlen von 
henfelben Berhältniffen in die. Tafel geſetzt. 4 

35. Genau auf bie bisherige: ur wird en die. weytt 
Hanptaufgabe behandelt: 

‚Weber einer gegebenen‘ Grundlinie — a ein Dreyeck 
zu verzeichnen, daß der Veberſchuß des Wuͤrfels wer 
einen Seite uͤber der andern ihren, zum Wuͤrfel der 
Grundlinie eine gegebene Verhaͤltniß e: 1 babe. 

Gegenwaͤrtige Aufgabe entſteht ſogar aus der vorigen, 
wem man MBor, s<ı annimmt, und die Bedeutungen 
son d unb s verwechſelt. Ich werde aber die vorigen 
Bedeutungen beybehalten, und bie. Analyfe auch bey ie— 
ſer Aufgabe ganz kurz durchfuͤhren. 


36. Aus der Gleichung ee (I y- Io: 
findet mans == ——— — 


37. s wird durch d fo beſtimmt, ie oben (1 1): d 
durchs. Damit auch hier das Dreyeck moͤglich werde, niug 
J. d pofitio ſeyn. 


a⸗ 2* 
II. s>ı; bi 1< I; oder +3d<4e, 


worin zugleich bie Bedingung d’< 4e ſteckt, 
welche die Sormel für s (36) erfordert. ” 
II. d< ı., “ 
IV. FuͤreZi treffen beyde Srängen In. ofen 
Fuͤre <ı muß man II anivenden. 
. Süre >ı muß man Ill anwenden. ° :: 
V. Einen kleinſten Werth von d giebt es ht, und q 
kann bier jeden Werth haben. 





38: 


480 IV;c. Weder, über Glenies Conſtrukt. x. 


38. Herrn Glenie's drey legte Aufgaben (l.c. 5.21, 
IV.V. VI.) gehören hierher ; in denfelben it e==1; 2; 3 
Man erhält die Glenieſchen Dreyedke, meun man do 4 
fest; es wird alddann 

-W)s=y3;, W=tY3ı; WDeeyı 
woraus ſich die‘ Dreyecke verzeichnen laſſen (vergl. 15) 
39. Weil man zu dieſen Dreyecken dieſelben Stuͤcke, 
wie oben (16) hat: fo laſſen ſich auch die vorigen Con⸗ 
ſtenktionen hier jnsgeſammt anwenden. 

40. Zur Verzeichnung durch das Perpenbitel und die 
Segmente der Baſis, die Glenie im gegenwaͤrtigen Falle 
gebraucht hat, dienen die Formeln (18. 19); aus ihnen 
findet man Ale (38): 





V. VI 
om. #vz. | agvar |. a4y& 


4. d. c. $. 37) enthält Herrn Glenie's Ausdruͤcke, 
für Nr. IV genau diefelben wie bier. Die Aufldfung der 
folgenden zwey Aufgaben V. VI gründet er gang unndthig 
auf die Auflöfung von Nr. IV, von melcher fie doc, im 
geringfien nicht abhängen. Man rebucire fein FG;FL 
uns GH; HK ebenfalls auf BC == a, fo kommen meine 
Ausdruͤcke heraus. 
V,GF=GEyS$S!=BC.2/$3.: 
 FL=EDYS3= = 50.4 —— I 
98. 


AKZEnrA— BC. 82, 9=Beiyg 
42. Die in (21) angegebene, aud) bier brauchbare Con 
firuftion durch GEF == AD und GH erfordert, daß man 
nach (28) vun GH beredhne. 
Ä V VI. 
GH=akfıy =masy5ı =aly/383 
43. Endlich giebt (32.33) die zur rationalen Ber 
zeichnung erforderlichen Größen IH; RF; RG her, bie in 
ihren Fleinften ganzen Zahlen in der Zafel (3) fliehen. 





= u ng 
Zufag zu Heren Prof. Hindenburgs Abhandlung 


über Die wein Perioden; v. Hrn. M. Jacob 


Wilhelm Becker. 


(Beipziger Mobazin der Mathematik. ztes St. 1786.) er 


Dı 6te $. (S. 293) gedachter vortrefflichen Abhanb⸗ " 
lung enthält mehrere ſehr einfache Regeln, zu einer ges 
gebenen Complerion in einer gleichfalls gegebenen 
cpElifchen Deriode die Oednungssab! zu finden, 
wofern die, Zahlen &, ß, y, 8... relative Primzabs - 
len find. Im oten 5. (8.306 ff.) wird hierauf der Fall | 


unterſucht, wenn die Zahlen &, B, y, d... nicht ing 
- gefamt Primzahlen unter fih find. Hierbey untere 


ſcheidet der HercWerfaſſer vier Befondere Fälle, von wel⸗ 


wr 


chen er die drey erſten auf jene Regeln ($. 6.) zuruͤckkuͤhrt, 


aber bey dem fehr gewöhnlichen vierten -ein eigenes weit« 


läuftigeres- Berfahren vorfchreibt, nach welchem mak 
arithmetifche Reihen mit einander vergleichen muß. :€8 


"wäre recht Schade, wenn die ſchoͤnen Regeln ($. 6.) nicht 


ganz allgemein waͤren und jenen Fall nieht aud) umfaß⸗ 


“ten; indeß läßt er fd demſelben auch unterorbnen, mau 


ändern: 


darf nur No. IV. im ar 6. (S. 308) etwa ſo um⸗ 


IV. a) ueberhaupt, wenn die Zahlen «, P, y, d.. 
keine Primzahlen unter ſich ſind: ſo kann es doch durch 
Divifionen mit gemeinfchaftlichen Saftoren jederzeit dahin . 


‚gebracht werden, daß man relative Primzahlen erhält, 
. deren Probuft den Dividuus minimus giebt. Die fo 


abgekuͤrzten Zahlen nehme man flatt der gegebenen Reihen⸗ 


oder Cykelzahlen an, und ſuche fuͤr ihren Cykel die Ord⸗ 


Achtes Heſt. Hh | nungs⸗ 


[ 


u 7 


- . n .. 
28 = [4 - . „.* . t ‘ 


\ . 


7 


482 v. Bein) Zufag zu oindawathe abhenhie 


nungszabl der gegebenen Cemplexion nad 8. 6 Jr: de 


. man aber, wenn fie gefunden it Gach 4. EA pedfen 


nf. 

“b). Im ı0ten $; wird das Serhiel gegiben 
'G2) (15) (a0) (2) (36): 
.5 14 9 17 3. 


- per Dividuas minimus iſt 5,8..9 (==360) In feine drey ; 


relative Primzahlen gerlegt, toelche als Faltoren in den 
gegebenen Zahlen 20; 24; 35 enthalten find. Man 
uhne daber ſtatt bes gegebenen Cykels den neuen an! _ 
(5) (8) (9) - ‚oder abgekärge (9. (8) (9) 
29:17 5 ULnach 5. 4. III.. 4 5 
für de Senden. übrigen Zahlen (12) (1 5) To man 7; 1 


ſetzen, doi. man laͤßt ſie einſtweilen gan; weg. Ze 


—0) Zu dieſes CEykels Complexion 4 I, 5 9 


| man die Ordnungszahl nad ($. 6.). Es laffen nehmlich 


(daſ. V. VI) 


3:9 den Reſt 2; 2 den Ref 5; Et den Reſt 4 


5 
daher wird die Ordnungszahl 











5. A 4 8 8BT1 5 904 
2 


9 9 * 2 Fu, 


Ä 4 
(fürAm=o; B=C=3)=2.3.9+5. 5.9 8.5.8 


= = 699; und die kleinſte 689 - 360* — 329 9. 


h Beweis. Von ben beyden Cykeln aus din 
Reihenzahlen | 

(20) (24) (36); (0) und (5) (8) (9); (D)- 
hat jede Periode des einen fo viele, insgeſammt verſchie⸗ 
dene, Gomplerionen als die. des andern. Dabey erhält 


Ä man aus jeder Eomplerion a, dt 2 von D die gleich⸗ 


ZT aͤhlige 


hr Am; C= 7 aber B=—ı kaͤme fi ei) a. 2.9 
ana 2 9 ns 0 [9% einge Dir 
nungösahl. =, _ N 





. / —X 


a Über. die chkliſchen Perioden. 5 483 


zaͤhlige Eompferlon in OD), werin nian- bon eder 28 Kr 2 N 


b, © der erften, die zugehörige des abgefürzten Cykels 
aus 5, 8, 9 fo oft- ale möglich abziehe, und bloß den 
Reſt beybehaͤlt. Dieß folgt aus der Eonſtruktion beydeÿy 
Cykeln deutlich genug. Man halte nüt-ihre beyden erſten 
Kolumnen fuͤr 20 und 5 gegen einander; ich ſchreibe ſie 
horizontal unter einander: Ä 


12345678... 15 16 17 18.19 20° 2: 
. 32.3 4 5 I 2 3... .. 5 I 2 3. 4 5 I2,.,. 


In der erſten Kolumne zählt man⸗bis 20 fort; in der an⸗ 
der nur bis 5, von den Zahlen über 5 behält man’ bloß 


die Reſte. Und weil 20 ein Multiplum von 5 ift, fo 


fallen beyder Gränzen, 20 und 5, zufammen, und. beyde 
Eolumnen fangen zugleich wieder mit an. Der dllgemeine 
Ausdruck für die Ordnungszahl eines Gliedes aus deu 
Reihe für 20, iſt 20 A-+a, der mit 20 bivibirt den Reſt 
a läßt; man bividire ihn mit 5, fo bleibe fein anderer 
Reſt ald den a giebt. — Was bisher im Beyfpiele von 


20 und 5 gefagt iſt, gilt von jeden Paar Zahlen, deren | 


eine ein Vielfaches der andern iſt. 


Iſtalſo9; 17; 5 eine Complerion von (3), fo iſt 
auch 4; 1; 5 die eben fo vielſte Complexion in DO), berem 
Drönungsjaßl man nad) ($. 6.) findet. 


e) Es giebt aber mehrere fcheinbare Complerionen 


des Epfels (©), die insgeſammt die einzige Complexion 


45 155 in (D) beflimmen. . Statt 4 könnte man dig. vier 
Werthen, 93, 143 19 ſetzen; ſtatt ı die Zahlen 1; 95- 
17; flatt 5 die Zahlen 5; 14) 235 32 *). Das A 
h 2 zu⸗ 

5) Dieſe verſchiedenen Werthe fuͤr die Complerion 4,.1, 5 findet. 
man, wenn man zu ihren Zahlen, oder den Kelten 45 15 s 

‘ die zugehörigen Reihenzahlen (5) (8) (9) jo oft und fo lange 
—5 — als ſolche die groͤßern Reihenzahlen (20) (24) (36) nicht 
uͤberſteigen; oder, wenn man su ben beyden Calumnen für 20 


und 5 {in d) noch zwo andere, für 24 und 8, für 36 und'y _ 
—5 — f ur ihre sufammengepörigen Zahlen mit einander ver⸗ 


€ 


; 


”._ 


= ‚ v. —* Zuſatz zu Hinbensuiige Aopantı 


 afummn 4. 4 48 Complexlonen in )., 2" 
weichen allen die einzige 43 1; 5 in (M folgte. Alle, 


aur eine vom ihnen kann im Enkel (O) vorkommen, bie 
übrigen 47 find falſch. Damit ſtimmt überein, da 
Produkt 20. 24. 36 (die Anzahl aller Complexionen, 
wenn 205 24;. 36 relative Primzahlen waͤren) 48 

fo groß if, ald 5.8. 9 ’ (bie Anzahl ber ' wirklichen ar 


plexionen). 


Deshalb muß man mit ber z sefadenen Biömake 
hl erft die Probe ($. 5.) anſtellen. 


Br f) Diefe Probe muß nit bloß mit 203. 243 


J vorgenommen werden, ſondern auch mit den übrigen Zab⸗ 


len 12 und 15, bie bisher aus der Rechnung gang weg⸗ 


ficken. Sie muͤſſen für ſich zur. Rechnung paffen, aber die 
Aufgabe if unmöglich. 


g) Statt nach ($. 5.) die Probe durch die Divifion 
anzuftellen, vergleicht man von ben Zahlen &; B; yʒ d... 
jede niedere nicht relative Primzahl mit der ober den * 
hern, die ihre gemeinſchaftlichen Faktoren erſchoͤpfen, uͤnd 


unterſucht bey jedem ſolchen Paare, ob der Unterfchieb 
ihrer zugehoͤrigen Reſte denſelben Theiler habe, wie die 


beyden Zahlen ſelbſt; denn hierauf beruht die Moͤglichkeit 
der Aufloͤſung. 3. B. 


18 wird mit 24 verglichen, worin « aufgeht; det 
Unferfchied ihrer Reſte 17—5 iſt aug durch | 
12 tbeilbar,, 


‚X 32=3.5 muß’megen bes Theilers 3 mit 24; wegen 
des Faktors 5 mit 20 verglichen werden. 


20==4.5 Wegen 4 mit 2455 ift fein. Tpeiler en 
| folgenden Zahl, 


24 mit 36; bepde ſind mit 12 heilen, fo aud) 17-5- 
— Dieſe | 


über die cpklifchen Perioden. ' 483 
Diefe Probe fann man noch vor der Berechnung der 


Hrönunggzahl vornehmen, damit man nicht etwas uames⸗ 
liches ſuche. | \ Ä 


h) Eine Aufgabe dieſer Yet IR zugleich anbefing 


und uͤberbeſtimmt. Bergl 5. 12.8.2. Anmerl. 3 un 
bier f. 


Anmerk. ‘Indem man diefen Fall auf $. 6. redu⸗ 
cirt, bekommt die bortige ſchoͤne Aufidfung Allgemeinheit 
und Vollendung. Das Verfahren des Herrn Verfaffers 
beruht auf abgefürzten Verſuchen, und führt bey unbe⸗ 
quemen Zahlen auf die Vergleichung weitlauftiger arith⸗ 
metiſcher Progreſſionen. 


— — —— — 


Anmerkung des gerauogebers 


Herr M. Becker Hat bie Jehane uns des Falls, wenn 
die Reihenzahlen a, P, y, d... nicht insgeſammt Prim⸗ 
zahlen unter ſich find (die Aufloͤſung der Aufgabe $. 9.) 
auf die Vorfchriften, ‚wenn diefe Zahlen burchaug relafive 
Primsaplen find (auf die Auflöfung ber Aufgabe $.,6.) 
grändlich zuruͤckgefuͤhrt, und ſo den Umfang ihrer Regeln 
erweitert. Daß die Vorſchriften der Aufloͤſung bey der 


im vorhergehenden Aufſatze angegebenen Reduktion fuͤr 


§. 9. nicht fo kurz find, noch auch ſeyn koͤnnen, als in dem 


* — 


Galle des Seen $. erhellet, theils aus ber Vorbereitung. 


. and Prüfung (hier IV, a, b), welche Iegtere man wegen 
der mehrern ſcheinbaren Complexionen des neu ange⸗ 
nommenen, ſtatt des gegebenen, Cykels ſowohl, (e) als 


wegen der uͤbrigen, anfangs uͤbergegangenen Zahlen (HD) 


vornehmen muß, theils aus der, noch vor ber Berechnung, 
anzuftellenden Wergleichung der Zahlen, (g) um unmoͤg⸗ 
| 23, liche 


- 


\ , . 


6 V. Berker, Zuſatz zu Hindenb, Abhandl. es 


Ucche Faͤlle auszufchliegen. Es dürfte daher dis hier vor 4 
geſchlagene Reduktion mit dee zuseboͤrigen Aufteſſuns wohl 
uilcht viel kuͤrzer ausfallen, als die von mir gegebene, be⸗ 

. honders wenn man bey letzterer auf die bortigeßdemerfung - 

‚ke: &. 309). Rücficht allnit. Wenn es Alle anf der 
- Ösen Seite verdienftlich IE; den zweyten Fall (9. 9.) auf 
den erfien ($. 6.) reduzirt zu haber, fo Hat auch auf ber 
andern Seite meine zweyte Auflaͤſung Erg. IV) die eigene . 
eHüngliche Enipfehlung für Ach, daß ſie in. ihren Gründen . 


noch einfacher It, als bie erſte, und daß fie ganz. allge ' 


"mein auch auf ben erſten SAN (wo has Prodult aus allen 
er tgren a, P, Y, d... voie fie gegeben find, den Divi 
n 


us’minimüs darſtellt) ſich erſitecktz nie ſchen 6. 10. 
Aum. 1 ) erinnert worden if. nn 


" Diefe Aufloͤſang alfo, mit den Übrigen ($. v. 8) 
iufanmen, bewaͤhrt zugleich bie vorlängft von mir ges 


-. machte Bemerkung bon bem Reichthume combinatorifcher 
WVrerfahren und Kegeln bey Aufloͤſung analytifcher Aufga- 


ben, und wie wichtig es fen, bey dergleichen Aufgaben 


fi umgufehen, mit welchen Combinationsaufgaben fie zu⸗ 


ſammenhaͤngen oder übereinfommen, um auf biefens Wege | 
hie molicht einfache und leichte Aufldfung aufzufinden. Ä 


"Einige Bemerkungen, diefe Aufgaben, betreffend, 
enthalten Heern M. Luͤdickens Meet und mein Fri | 


, dem (Arch. ” VI. 206- J— 





Be ... | 
\ . Pa 
BET ARE | 25 IN X 
er ————a a Made) 
er ..* . ; . ... F * Fan b .. Pr) 
ur a GE Zn io re ER Br ra 5 um. DE 
7 " *ı. Pe Bu ns PH .- .. .- .. un) - [1 .. 
Be TIL 444 — RZ u u Er De 
.®% F u. .. » Fu [3 a 
1) 90: Beer, runder Do 
arme „. EL Vor 
tm“ 


Eanı ven . y . . . * as 5 —P 
B44248 S is \c ’ 1 ' 26. vr s . ur „ter 8%. "u Tas 4. 





VL “ j | ) 


Bercchnmung des Kreiſes; von Hrn. Buͤrmann, 


oͤffentlichen Lehrer der Handlung 
zu Mannheim. 


Bih numeriſchen Reihen koͤmmt es vornehmlich auf die 


leichte Umſetzung in Decimalen an, und die Guͤte einer 
Formel iſt immer im umgekehrten Verhaͤltniſſe der Zeit 
ihrer Berechnung. Folgende Rektification duͤrfte auf 


dieſe Art den Vorzug vor convengentern erhalten. Herr 
Profeſſor Kluͤgel war ihr aͤuſſerſt nahe, in ſeiner ſinnrei⸗ 


chen Abhandlung (Archiv der Mathem. Heft VII), welche 
ich mit Vergnügen und Nutzen geleſen habe. Indeſſen 


bat die Arbeit dieſes Gelehrten die meinige keineswegs 


veranlaßt. Vor einigen Jahren ſchon habe ich meine 
Formel dem Herrn Obrifiwachtmeifter Bega,: und etwas 
ſpaͤter dem Herrn D. Kramp mitgetheilt. 


: > Man erlaube mir elementariſch zu Werke zu gehen; 
und nichts vorauszuſetzen als den trigonometriſchen Sag : 
| —— m-+tangn 
tang (mt) — — —. 
—tang m tang n- 


$. r. Beil Akang x mit x Null verfehröinde, und 


für die negative Tangente nur bag Zeichen ändert, fo Tanke 


deffen Eutwicklung nad) Potenzen von x, bloß: 
x 1 3-4 Isl x5 + Ir! x7. + etc ſeyn, wo oR 
Coefficienten 31. 11 etc zu deſtinimen find. BE 
Attang (x Pa) iſt demnach J 
"axial (+25 (K+a)$+ ete. 
— bl 3115 + etc. 
—- G+3 bl x? +. +5 Isl Is! + ete) ah 
bie hoͤhern Potenzen von a. 7— 
= — 4 4 | E 


J 


Ir 
. y' 
i . 


ne 
.. 


Pr VL. Shan, Berehung db Sec, 
gietaus folge fürAtang (<a) Abang x 
‚= Arctang. tang [Ang (+2). 7 Atanp- x]. 

0 Do ee nn 
"(a +3 BI + 5 E xt ete) a+a? (etc) 


a, 
 — a etc — 
.ıhx Fax + [ ). ur 


Beyderſeits wit a Blbibirt,. erhalten Bir 


| \ | X-43 Isl +5 Is] 24 + etc + a(ete). 





12 [et 
= u +2? [etc],_ 


eine Gieichuns, welche für jeden Werth von a beſteht; 
alſo auch für ao. . Diefe Annahme giebt 
13 1|x? +5 Is] xt +72. 4 eis 
1 J— 4J U—— 
— * Torte + etc. 
14x2 
Aus der nothwendigen Identitaͤt beyder Reihen, 
entſpringen die Bedingniſſe 3] — 1,5 [s| = +1, 
Tl = —ı, 9Wl ete u sole haben dem: 
3 $ 
nach Atang x =x— + il = -+- etc. mit der 


3 
Gewißheit, daß bie Diviforen die dolge ber ungeraden 





= Zahlen ausmachen. 


.. 2. Fürxmı, bie einzige rationale Zangen 
eines „bekannten Bogens läuft bie Reihe ſehr traͤge ab. 
8 fey barum Atang ı + Atang p==4 Atang } 
- Man fchreite gu den Zangenten über und es koͤmmt | 

I pP 4 rf — 130. 
I, 1% — — t8 alſo p =: “ 


Atang 1* = 4 Atans 5 3— > Atang Er 


= s_ 1 _r[fi4 
78 33 — (17 . 57121 + 


win 


\ 





VL Burmann, Bereipnung des Kreiſes. 480 


8.44 5 " 
+3 (2 239. m) | rs 
DL 
10000000 , 323). m 


eine Reihe, deren DVierfaches das Verhältnis des aane 
zu ſeinem Durchmeſſer iſt. 


5. 3. Ueberſchlag der Zeit, um vaonys Reti 
fication zu prüfen. 

Ich nehme einen guten Rechner an, welcher Aber 
jedes Verfahren, bie kurzen Proben durch 9 und 11 anzu— 
ſtellen weiß. | 
| 8.4 be 1 

(2n+ rot und (2n+ ang eyde * . 1017 
gefetst, geben in ganzen Zahlen go Glieder von ber erfen 
und 26 von der zweyten Form. 

90 fleigende Multiplicationen durch 4, deren 

böchfte 55 Ziffern fat >» Stunden 10 
. 26 Divifionen durch 57121. Kür die erfte 

von etwa goo Ziffern feße Ich 15 Stunde : 

an, und für alle, da fie immer "in arithe 


metifcher Progreffion abnehmen 20 
26 abnehmende Subtraltionen bir größte Be 
zu einer J ⸗ ⸗ "7 


90 abnehmende Divifionen durch bie ungera» J 
den Zahlen von 3 bis 181, eine in bie 
“andere zu 20 Minen . 4 08: 90 
endlich eine Multiplication durch 4 ⸗ 6 

Wer Uebung und Vorficht bat, bekoͤmmt 
auf meine Art nur Eleine Fehler zu verbeſſern, 
für welche ich fchon zugegeben habe. Jedoch 


.. 
.oir 


zum Ucberfluffe eände ich noch Bie-gahl mie 9 7 
: — — — — 
FE &tunden 90 
\ , v. . IE EEE 55 BR et 


Ein u 


Lö - ” 
’., * 1 ⁊ 


4090 Dh, Bereämung See 


Ein cechnet der nichts Seffees en thuu hat, fan | 


demnach in 8 fertigewerben. - ‚Während dem gIwoͤlf⸗ 


tagigen Bombardement :unfrer. Stadt, wait natuͤrlich 
ohne Bibliothek und Geſchaͤfte war, hatte ich zum Zeit⸗ 
vertreibe die Ansrechnung in 163 Dectmalen. ondefengn - 
und bereits weit gebracht. Aber in Der Unsroͤnnug jener 


_ Brruelfcene verlor ich elumal einen heil der Papiere a 


mit / ihnen die Luft wieder anzufangen, . Meine Abſicht wer 
bie Kreisberechnung in einem Baͤndchen von etwa hundert 


Seiten voliſtaͤndig abbrucken zu laffen, mit allen. Ref, 1 


Vgmit jeder Liebhaber mein Verhälmig” aeg und. 


‘ wach Belieben fortfegen eöune | 


s. 4. Da ib. in keinem der nie Gehanafın dr 
Säge eine fofiematifche Anleitung zu großen Berechunn⸗ 
gen weiß, fo win ich einige ber. Wortheile detſchreiben, 
ouf bie mich etwas Nachdenken und dick Uebung gebracht 
haben. Sehr zu wuͤnſchen wäre. es, daß unfere großen 


praktiſchen Mathematiker äpnliche Beytraͤge Tieferten: 


Anfänger und Nichtaufänger würben babey’ gewinnen. » 
Wer viel rechnen muß, hat freplich feine Werfürgungen; 
ale hingegen find nicht gleich gut, und ich kenne berühmte 
Analyſten, welche mittelmäßige Rechner find. 
- 2) Meine Ziffern mache ich alle ‚gleich groß, ſenkrecht 
und fehr beutlih. Damit die Kolummen fich nicht ger 
wechfeln, fchreibe,ich die Ziffern dicht unter einander und 
entferne fie etwas von der Rechten zur Zinten.: 
b) Bons 0-5 Ziffern ziehe ich eependieularen, wel⸗ 
che ich abwechſelnd verdoppele und u erſchreibe. a 
ce) Große Berechnungen mache ih laut, doc) ſpreche 
ich ſo wenig als möglich aus. Im Abdiren Page: Ich nit 
auch nicht einmal im Siume, 9 und 4 if 13), 13 und 8 iſ 
21; ſondern bloß 13, 2%. : In 77845 ſpreche ich:56, 61 
aus, und wenn ich bereite .«in paar Sfumben. gerechnet 
— Stelle 61. Seitdem ich nich beym Subtra 
iren des bleibt foviel entwoͤhnet habe, verwechſele ich 
dag Behaltene aͤußerſt fetten. ueberhaupt ermũdet das 
viele 


m. 
n 
. 





VI. Buͤrmann, Berechnung des Kreiſes. 498 | | 


viele, laute: oder nichtlaute, Ausſorechen den Geiſt und 
macht ihn Irre: Das gute Nechnen haͤngt mit dem ge« 
— ** Rechnen genau'zuſammen. Man kann eg durch 


eine ziechmäßige Uebung bafin. bringen, fo geſchwind zu | 


‚rechnen ald man Ziffern ſchreibt. 


4) Wenn die Beſtandtheile einer aeimetiihen Regel 
nicht ſehr viel Ziffern haben, fo ‚halte ich: für fie und fuͤr 
das Facit keine beftimmte Stelle. Beym Divibiren ziehe 

ich dann dag Produkt ab, indem ich e8 mache. Das Ein» 

maleins und die Mehrfachen von 11, 12, 15 und 25 geben 
mir, da ich immer mit der nächflen Zahl frage, in jedem, 

Falle fchnell den Duotienten. Die folgende Ziffer fee ich) 

auch in großen Diviftonen nicht herab. Das fehräge Abs 

zieben vermeidet bier viele Sehler: es iſt nicht ſchwer, und 
jeder meiner Schüler iſt den dritten Tag daran gewöhnt. 

Kaum und Zeit, wird damit gewonnen. O Bus Bpuxis, #_ 

de sbxın wanpı). Divifiie tionen wie folgende erfodern, fammt 

der Probe durch 9, 33, hoͤchſtens 2 Minuten . 

Divik ,19876.496907 Quot. Neunerprobe — 

Divid. 98765 43210. 

19261 07378 | . nn 
71373486 U BEE 
| 180 9 | | 


EN u 7.27 


— Ncherſchuß 


y) zFuͤr weitlaͤuftige Multiplicationen und Disifiheit 
mache ich auf.einem befondern Papiere durc Addition eine 
Tabelle, welche ich durch multiplicicen berichfige. Im 
Großen ſtelle ich den Quotienten, Ziffer für Ziffer, über den 
Dividend; bey jedem Abjuge mache ich Die Neunprobe, 
und bey jeder Abtheilung von To. Ziffern prüfe ich den 
| Duorient dur) 9 und 11. eil das Abſchreiben großer 
ER eine ergiebige Fehlerquelle if, fo vermelde ich es gan, 

ch daß ich jebes Facit gleich auf die Stelle rehnm: 
6 ich es brauche. Durch dag Bienen eines-Dlattes und - 


das Unterlegen eined andern it dieß immer leicht. Meine | 


gleichfernen uͤberſchriebenen Perpendicularen geſtatten kein 
Verſchieben der Stellen. Das Umſtaͤndlichere mag bey⸗ 
gehendes Beyſpiel lehren. 


| | 2 Xobelle 


oe 


| 493 VI. Bürmann, Berechnung des Kreiſes. 


Tabelle 
‚dee 
Mehrfachen des Divifors 
| syı2ıfl ı]]z 
114242 
171363 
228434 
285605 
342726 
399847 
456968 
514089 


veonjlaua|jwv 
vonjloaua|w no 
0 — — 


Dieſe Tabelle macht 
ſich am beſten ſchraͤge, 


wenn der Diviſor fehr] 


groß iſt; man⸗diegt dann 
das Papier, damit der 
Subtrahend Ziffer fuͤr 
Ziffer uͤber den Minuend 
komme, und man zieht 
von oben herunter ab. 


— — 


Der Dividend if die — — — 
ſehr einfache Periode von 
335, und der Quotient 


iſt alſo = 


I 
— — 
239. 57124 


Quotient 


EDEN 
NReunrelte - | 


Divid. 418 
18 
I 





— Reunrefte_ Reunrefte 


_ Quotient 
" Dividend- 


056 


10 
732 || 49775 


820416 
"18410 
79745 
84238 
06691 
00474 
I 443 1 231121 








93176 
76716 
18410 
25344 
63819 
54188 
52614 
I0104 





Quotient 


Neunreſte 


Dividend 


1 


Quotient 


Neunreſte 


Dividend 


84532 
13534. 
04184 
20652 
49013 
76803 
3 | 





E 


130 


“Er 








53317 


10041 
30473 
37903 
59000 
52094 
023204. 





O 
ww 
m 
2 
on 
u 


36125 


78543 


04184 
78069 
46657 
33042 
98355 


63516 


10041 


54405 
44405 


57634 


10041 
06943 
13977 


84100 


02975 
67262 


03974 | 34694 


06230 
41123 


86307 
84100 
71895 


| GO eu 


5 
46244 


23304 





63666 
— — 
00418 


94069 
66972 
19882 
55181 
40115 


28391 
34350 


—F — 
19315 214861 


60736 


158608 
41841 
10465 
92734 
42072 
70436 
31340 || 


N mn ⏑Â — mm 


41004 
61795 
64402 
23432 
59168 


35543 | 23500 





vo 


mL (een 
pm nd 


49 150 . 
16459 | 80319 || 68985 


— ö mente ——— [| — — J — ——— 


10063 


| 


50423 





46807 


. 320 « 40 
14108 | 82235 || 67690 | 37378 


— — j ——— — 


1383320 
— — 


30078 
41841 | 00418 
27689 
88613 
8—165 


32354 
61316 
21214 


24244 





Ä 80 
52581 | 36969 
23241 





75886 
00418 | 41004 
58937 | 15145 
07211 ı 86852 
48183 | 78782 
| 23835 44485 


23535 | 30422 





N 45255 52781 


41004 | 18410 
06859 | 66739 


91748 | 21004 || S 


75186 | 42987 
10546 | 74450 


31440 | 13000 


18410 
50535 
91826 
81270] 
16326 





33231 


41004 
84251 | 73140 || 96643 


87324 
30219 
13803 
51143. 


60844 


704352 


18410 
58676 
51789 
66284 


— —— . 


Vi. Burmann, Berechnung des Kreiſes. 493 


LO 


20% 
- 


| 494 VI. Bürmann, Berechnung des Kreiſes. 


Wegen meines von Jugend auf bloͤden Gefichtes, 
Hat mir das Abſchreiben dieſer Diviſion mehr Zeit als ihre 
Berechnung gekoſtet. Sch hatte fie noch übrig, und habe 
fie, um gang ficher gu feyn, wiederholt, wozu ich etwas 
über 1 4 Stunde gebraucht habe, nachdem, her Dividend 
fland. Die Uebereinftimmung großer Berechnungen, je 
verfchiedenen Zeiten oder von verfchiedenen Rechnern gr 
macht, ift ein guter Beweis ber Richtigkeit: eim beſſeret 
iſt dad Endrefuldat auf einem andern Wege zu finden. 


Dergleichen Arbeiten find nicht In jedem Betrachte 
nugae difhciless dem jungen Mathematiker find fie ſehr 
anzurathens er erlangt daburch jene. Fertigkeit und XAuf- 
merffamfeit, ohne welche man in feiner Wiffenfchaft did 
leiſtet. | | En | | 

. Sollte bie combinatorifche Analyſis nicht ein Geſetz 
auffinden Finnen, um die Ziffern der Ordnung nad) hin 
zu fchreiben ? *) 0 Ä | 


*%) Die Anforderung, bie der Here Verfaſſer der obigen, für Mi 
Praxis bey großen und meltlduftigen Berechnungen fehr nis 
lihen Bemerkungen ‚. an dir combinatorifche Analyfis bier 
“macht, dürfte wohl manchem Leſer etwas zu gemagt fiheinen. 
Das iſt fie gleichwohl nicht; denn dic Combtnationslehre kann 
wirklich ein Verfahren nachweiſen, durch welches man die ZU 
fern der Duotienten ganz mechanifch, nicht nur nach der Ord⸗ 
nung, jondern auch auffer Der Drdnung, von feber beliedigen 
Siffer aus der Mitte anfangent, und zwar, nach Willkuͤhr, vor 
oder rückwärts, fo weit man will, finden und binfchreiben fat. 
Ich babe zwar das Verfahren dafür im Wefentlichen fchon ar 
derwarts Öffentlich befannt gemacht ; e3 ſcheint aber doch, d5 
eine fpecielere Nacbweijung und Anrsendung auf vorkonmende 
Faͤlle erft noch hinzukommen muͤſſe, um eine fo nügliche Erfir 
dung tn Gang zu bringen. ‚Davon alfo in einem der folgen 
den Hefte ausführlich. 


Bon mechaniſchen und andern (aus finärlicdher, combins 
torifcher größtentheils involutifcher Anordnung der Zahlen 
and Ziffern abgeleiteten) Rechnungsvortheilen, meine Beichrel 
bung einer ganz neuen Are — Zahlen — bequem und ſichet 
zu fiıden — ber ausführliche Titel diefee Scheift und dert 
Inhaltsanzeige ſteht Archiv 9. II. ©. 243 f. . 


VII. 





| Verſuch einer vereinfachten Analyſis; ein Aus⸗ 
ws eines Auszuges von Herrn Bürmann. 


vorerinnerung⸗ des Zerauehebero. 


Herr Buͤrmann hat mir von ſeinem unten angefuͤhrten 
Effai ddCalcul fonctionnaire.aux Conftantes ad -Iibi- ". 
tum einen Auszug fürs Archiv mitgetheilt, ber aber file 
dag gegenmärtige Heft zu fpät eingieng. Sch gebe alfo 
hier nur einen Auszug aus jenem Auszuge, und werde 
bie ausfuͤhrlichere Ueberſicht des vortrefflich gearbeiteten 
Ganzen in meiner zweyten Sammlung combinato⸗ 
riſch⸗ analytiſcher Abhandlungen, an welcher bereits 
gedruckt wird, aufführen. Sie verdient um fo. mehr 
darinn einen Platz, da Herr Buͤrmann vornehmlich dahin - 
"arbeitet, die combinatorifche Analyfis (über die er ſehr 
vortheilhaft fich aͤuſſert) mie der Funktionen⸗ Analyſis in 
die engſte Verbindung zu feßen, und beyde mit einander. 
. zu verfchmiftern. Die Erfahrung. nehmlich hat Herrn 
Buͤrmann gelehrt, daß die Funktionen⸗Analyſis, die mei⸗ 
ſterhaft fagt was zu thun ift, im verwickelten Faͤllen nur 
ſelten die Ausführung, Übergjmmt, fondern folche der com⸗ 
binatorifchen überläßez wodurch alfo ein großer Theil der - 
ganz alldemeinen Formeln erft wirkliche Brauchbarkeit er⸗ 
Hält, und folche fonach aufhoͤren bloße Spiele bes Witzes und 
Scharfſinns ihrer Erfinder zu ſeyn. Diefee Weg, wenn 
er einmal geebnet ift, führt fehe weit. — Ce n'eſt qu’en 
generalifant les combinaifons et en Gimplifiant leurs fym- 
boles que l’ame diftingue les parties d’un Tout immenfe, 
C'eft en foulageant ainfi la memoire, que l’imagination 
“ difpofe de toutes fes forces, que l’homme concentre, 


pour ainfi dire, P Univors au foyer de fon efprit, Eſſai de 
Calc. foner. Secr. I. 


_ ‘ Hindenburg. ur 
— u Erſter 


— 


— 


496 ‚VIL Slrmann, Verſuch 


Erſter Abſchnitt. Erſte Grundſatʒe det 


Groͤnʒbeſtimmung. * * — ete vor odet 
über einer Größe leſen ſich Funktion biefer Größe, 
Gleiche Zeichen deuten einen gleichen Bau an. 

In ungemeiner Kürze und elementarifcher Eoideny, 
werben, in einer ‚andern Seeichnung, | bie Werthe von 
a 2 — [ie DE 

— —— Ge): su 
hirousgebracht, und damit im, 
Zweyten Abfchnitte, bie Reiben bon 
'(1+x)% 4% ICr+ x), fin x; col’x erwieſen. 5 

Dritter Abſchnitt. Analytiſche Haupt ⸗ 

formel; Y 

“2, (el) , = Cem? sin? 

Kr va tler 
In dieſer identiſchen Gleichung find x, v, und der 

Bau von F, willluͤhrlich. Man hat zum Haupte 

Eoefficienten der Neibe 


neh a ein ER: 

7 — :dy 
wo A ber conſtante Be von v iſt. 

Jeder Coefficient iſt auch das 5 Differential des vorher, 
gehenden, durch djv dividirt. Taylors beruͤhmte der⸗ 
mel wird als Einjelfall abgeleitet. 

Allgemeine Entwickelungs · Aufgabe. Ein 
Funktion nach den Potenzen einer gleichartigen Funktion 
orduen: 

Man ſetze = 0, ſo lſt 
e_2,2eh\ eR 2 
—— 











ete. 








u . einer prince Analyſ. 8. er “ 


Dieſe Reihe vertraͤgt fo viele Gefſtalten, als ei durch - 
die verſchiedenen Wurzeln von 7c2x 0, Werthe erhalten 
kann. 

Beyfpiel. x xa* in Reihe nach x verwandeln. 


v’=o sicht vo und damit iv = 3 | 
| de: Grlatı) hr I) — (da—Ic) da alej"> und 


y 
 xatzexct (la- Ic) er, +(la-- 1) (la-- 17 





| —⸗ ale) (ta 4167 222 — ete. 


Allgemeine inbebrungeriufigabe Yus dem 
befannten Werthe einer Funktien, jede gleichartige Gänf- . 
tion befiimmen. 

x=o enthalte ef Werth; damit iſt 





— — „zZ iv vV’. 
keh-b + IV 3 ee 


&e weniger ſich dag ganz wiffführlihe v von x entfernt⸗ 

deſto ſchneller lauft die Reihe ad: ſie kann demnach ar 

Werthe von ix erhalten und ausdruͤcken. j 
Beyſpiel. Durch x 100x + 200320 we 

man xt aud. Wir haben,’ 

[7 = 44" [v’ (vi Hla1oo) vH A larood)"]: dr, 

Fuͤr a o 5, gebtn vier Eoeffitienten | 

==99919991, 99359440. . 

Beni k=u Fi in Reihe nach U finden. 
Beyſpiel. XfecX 2/3 in Reihe von U darſtellen, 

durch fin Xco X == U, 


Schwerere Aufgabe, Beweis der ſchoͤnen Lagran⸗ 
giſchen Reverſionsformel, Einzgelfaß der meinigen. Ver⸗ 
fchiedehe nügliche und unnäge Allgemsingeiten. | 


aAchtes Heſt. de. Diem 


A. 


x 
498 VIL Buͤrmann, Verſuch 


Vierter Abſchnitt. Verwandlung der 
Aauptformel in Iwegeal, » Reibe. 
rk 
fe; za hr MAR 


„Fl MAR 


AR —— 
(kA 
* * RE = BE +ete 
HR Hr He" 
Mas =) 
x —— 
Fee 
iſt der Rn 


8,8,% ete find die s Conftanten, welche den Bebing« 
niffen des Integraleg entfprechen muͤſſen. Da in dir 
Reihe Tv und Ax conftant find, fo find ihre Sategralın 
3° (ix — iv)" Ajx von der befannten Form zu 2 

vund ber Bau von [find wilführlicht man ber 
meldet damit immer die ungereimten ——— und giebt 
der Reihe eine beliebige Eonvergen. 

Vertauſcht man Z und A gegen [und 4 fo koͤmm 


S'R.ax er Bez Re 


FIIR HI HE 
Der Haupt · Mau iſt 


J 


.. \ -— einer vereinfachten Analyſi 8. u 499 


und hiemit iſt die Benennung analytifche Saupıformel, 


festem, wie ich hoffe, gerechtfertigt. Diele Formel macht. . 
en Haupsgegenfland meines Eflai de Calcul fonctionnaire 


aus, welchen der verehrungswuͤrdige Lalande verfloffencs 


Fruͤhjahr dem Franzoͤſiſchen National⸗Inſtitute guͤtigſt 


uͤberreichte. 
Es iſt zu verwundern, da! eine fo natürliche und leichte 


Methode nicht laͤngſt gefunden worden iſt: aber das Leichte 


ift ed nur, wenn man es kennt. Seit zwanzig Jahren war 


ich bundertmal auf meiner Entdeckung, und nahn fie im⸗ 
mer nicht wahr: fo mag es andern auch geaangen fenn. 


Durch obige Formeln werden brey große Aufgaben 


der Analpfis allgemein aufgelöft: 


1) Eine Funktion nach Potenzen einer andern sunt⸗ ar 


tion entwickeln. 


\ 2) Aus dem Werthe einer Funktion, den Werth jeder 
gleichartigen Funktion Cogerion ilogene, ou de la meme , 


14 


variable) in beliebiger Coffdergenz ſchlieſſen. 


3) Bür ein Integral, von welcher Ordnung e8 fen, ende 
licher oder verſchwindender Differenzen, eineni Immer brauch⸗ 


baren Ausdruck angeben. 
Die Methode wird weiter ausgedehnt, und auf die 


J widerſpenſtigen Partial⸗Differenzen Da werben. 


vi 


Auszüge aus Briefen, verfchiedene Nadricten | 


und Anzeigen, 


⸗ 


N 





| I. Aus einem Briefe: von Herrn D. Kramp 
an den Herausgeber. 


Homburg, den 23. Rdn, 1798. | 


och etmad „über die Horizontalrefraktion. Die Aufferfi eins 
fache Formel — = (Archiv. H. VII, ©. 382, 2) ift eigentlich, nur 


das erfte Blied der Reihe, bie fie ausbedt. Die Reihe iſt ſehr 

convergent, und aus dieſem Grunde hatte ich "anfangs auf bie fols 

| Sie id nen A nn Rh wohl anf enter klauen. 
en Pönnen. Dies veran aloe eine gem genauere 19 dee 


Pa . 


bei. 


0 
* 
. —* 
LE Fr ⸗ 
ui. ° j 


500 vll. Auszlige ans Briefen, ’ 


, vornehmlich in Asfiht auf Be jeichen ihrer Glieder. . 
te zweyte Glied bejebt, fo würde das eit — 
bie 37 Minuren 9 — und ſo die — 
I& babe mich aber — 
und es Ar vollen Gewisheit a daß die Glieder * 
——— bejaht und — find, L. das zweyte SL vers 
PR Fi Horis — if, in Shelfen — ————— nk 
drüdt, ganz gelau, * -Bealaflung tegend einer, hoch fo unbedew 


ME 
tenben Größe, gleich * 7 En, multiplieiet mit * —— 


er r — — 


+7 r — —— ass 

Wenden Sie dies auf den Fall an, wo das Barometer auf 28 
‚Bol, das Reaumueliche Shermoter auf + —— ſteht; da dann 
we, = — der Subtangente 
Ian ber, Looiſtlea, durch den "Halbe der, Erde dividiet, fo 





imdet ih die Horipontalrefraftiun 32° 34”. Salande beffinimt fie für 
Hefe Teinperatur, aus Beobachtung, auf 324 30%, ine arößere 
Uebereinſtimmung zwiſchen Theorie und Erfahrung hat wohl. die ge⸗ 
fawte Aftronomie nicht aufſumeiſen. 


Es lebe das Mariottiſche Geſetz, die Sacultärens Rechnung, 
und die combinarorifche Analyfis!!! denn dies alles’ babe ich ge⸗ 
Brau-bt, um mein ſeht ſchweres Problem aufzuldſen, das one diefe 
Huͤlfsmittel unaufgeldft geblieben ſeyn würde, 


2. Zweytes Schreiben, von eben dem Verfaſſer. 
Homburg, den 29. April, 1798 


% babe e apnen Bereit in einigen vorhergegangenen Schreiben 
(Arch. 9. VII. ©. 380-384. und bier ©. 499.) von meinen Fort 
föritten in dir Sehre der aftronomifhen Eiräenbre gung Nacridt 
geneben. Die Freude Über meine algemeine Sormel der KHorisontuls 
Refraftion werden Sie um fo ufel vergeihlicher finden, da Diefelbt 
dad Refuftat einer mebridbrigen Unterfuhung war, da ich die größten 
analytifcben Sch.vierterigfeiten zu überwinden botte, und da bie dub 
Terfte Kürze und Einfachheit der Jotmel fomopl, als ihr genaues Zus 
fommentreffen mit dem mas bie Beobachtung lehrt, weit über melne 
Exrwartung binausateng. Aufferdem ſchien mis meine Theosie der 
afronomijchen Strabfenbrechung auch für den Meteorologen und Pho⸗ 
filter wichtig; für den erflern , weil fie uns über gemiffe noch ftreitige 
Bunfte der Wiſſenſchaft, Die bey allen Bergreifen, bey allen Höhen 
meffungen, unentishteden geblieben waren, Gewißheit — — 
den leblern, weiß fie uns Durch Beobasptung Dinge lehrt, über 


Pi 
— 
J 
\ 


verfchiedene Nachrichten und Anzeigen. sor 


fich entweder gar nicht, oder nue mit dufferffer Mühe, und Bey einem 
ganz befondren Bofammenfuß günfiger umfdnde, Verſuche anftellen . 
Iaffen. Ich habe alles diefes zum Gegenftande einer Reihe von Brie⸗ 
fen gemacht, die ich Ihnen zuzuſchicken, mie die Sreuhelt nehmen. : 
werde, und die Ste mit eben der Nachſicht, wie meine andern Arbei⸗ 
gen, aufzunehmen Belichen. | 


Der bey meiner Formel für die Horlzontal s Mefeaktion ald geges 
ben vorausgefegten Größen, find, wie Ste willen, nicht mehr ald drey 
an der Zahl. Namlich: ; _ 

a; Entfernung des Beobachters vom Mittelpunft der Erde. 
Auf dee Dberfldche der Erbe iſt a der Halbmeſſer feld; und unter . 
- dem Aequator haben wir demnach a = 3277123 Toiſen. . 

g hs; Subtengente der Logiflica, wodurch die Abnahme der 
Denſitaͤt in den verichtedenen Höhen der Atmosphäre ausges 
druckt wird. In meiner Geſchichte der Aerofatit habe ich bemies 
fen, «a8 dieſe Subtangente im ganzen, der (pecifiichen Zedetkraft dee ' 
etmosphärifchen Luft proportionaf bleibt, indem fie ſich beſtandig zur 
Barometerböbe verhalten muß, wie die Dichte des Queckſilbers zur 
Dichte der Luft. Aus der bekannten Beobachtung ded de Luc, daB 
bey 16 3 Graden des Neaumuriſchen Thermometers, der Unterfchted - 
der gemeinen Rogarithmen zwener Yarometerflände , den unterſcued 
der Hoͤhen in Toiſen zu erkennen giebt, folgt unmittelbar, daß bey 
derſelben Temperatur, die Subtangente 4343 Toiſen gleich feyn muͤſſe. 
Kür jeden andern Grad des Thermometers faͤllt dieſe Subtangente 
anders aus; und verhaͤltnißmaͤßig mit ide andert ſich auch die ſpezi⸗ 
fiſche Federkraft der gemeinen Luft. Es iſt auſſerſt unangenehm, daß 
hier der verſchiedenen Angaben der Beobachter eben ſo viele, als der 
Beobachter ſelbſt find. De Luc nimmt vom erwähnten Punkte an, 
für jeden Grab des Thermometers 3475 folglich von Gefrierpunkte 


aus, 5 an. Ich habe hier aus mehrern Beobachtungen ein Mit⸗ 


bel genommen; und fo gefunden, daß beym zehnten Grade des Reau⸗ 
mürtfchen Thermometers die Subtangente 4218 Toiſen betragen muß. 
Auf diefe Angabe, h == 4218, iſt die Berechnung meince Refraktio⸗ 

nentafel für die Temperatur, 28 Zoll Barometer, und 10° Reaum. 
Thermometer gegründet s und da diefe, vom Zenith‘ an bis zu 84° 
fcdeinbarer Entfernung , au) nicht um eine. Gecunde von der Beob⸗ 
achtung ‚abweicht, fo folgt, daß die befagte Angabe für h fehr zuver⸗ 
laͤßig feyn muß. 


1:1 mw; DVerbälmiß ber Sinuffe des Einfalls⸗ und Bre⸗ 
chungswinkels beym 9 aus der Duft in den leeren 







Ranm. Da diefes Verhd fi der Einheit fehr nähert, fo iſt w 
ein fehr kleiner, der Dichte WE Luft propsrtionaler Beuch ; der ſich 
alfo verhalt, gerade wie die Mrometerhoͤhe, und umgekehrt wie die 
foecififche Federkraft der Luft, oder die ihr proportionale Subtangenteh. 
Am beften nimmt man diefen Bruch aus der Wefraktionentafet ſelbſt. 
Da nach) allem, was Theorie und Beobachtung gelehrt bat, das Ver⸗ 
baltniß ber Ginuffe der fheindbaren und wahren Entfernung, vom 


Zenith an bis übes fechzig Grade hinaus, vontonmen bekdndig it, 


fo wird w ſchr genau dee Bruch feyn, der die. Tangente irgend einer 
diefee ſcheinbaren Entfernungen un Nenner, und bie zugehörige 
v we 3 . 


efrak⸗ 


\ 
502 viull. Auszige aus Briefen, 


Refraftion zum Zabler hat. > In ber Lalandifchen Refraktionentafel 
ficht bey der ſcheindaren Höhe non 45°, die Refraktion 59’; und fo 
wird demnach für bie befagte Semperatur, w — 0, = 
Diefe drey Gedgen nunmehr , a, h, w, find die Ki 
fandtbeile meiner Berechnung dee Korizontaleefraktionen. AWundern 
Sie ſich nicht, daß diefes michtige Problem bis“ auf diefe Stunde 
unaufaetöft geblieben. iR5_ und der ganze theoretifche Theil dirkr 
‚gebre ungefäbe eben fo ausfleht, als etwa die Kenntnt6 des Wlanet 
Taufes vor Repler ausaefeben haben mag.. Das Vroblem if ii 


{ 


meiten eines der Ihwerfien, das bie Analufis bisher gekannt bat. | 


Die große, beynahe undbermindlihe Schivieriafeit, lteat in der un 
‚nebeuern Diveracnz ber bier vorfommenden Reiben. Meines Mir 
fens it de la Place bis jeet der. einzige Geomerer, der diefe nank 
— Klaſſe von Schwierigkeiten tief gefühlt, merklich erleichtern, 
aber ben weitem nicht ganz gehoben hat. *luch geftehe ich aufrichtig, 


der formaler, ei venfermens des — Eltves A de grandes pwi,fınce, 
Ic ei 
Re De la Place erreicht auf ungeheuer, mübjanen Umtegen, 


= 0 bis t deren Berechnung er uns zu My: ‚ganz vergeflen, 
und eigentlich nichts über fie geleiſtet hat, als daß er fie, und-dies 
nur in gewiſſen befondern Fallen, auf andere tranfcendente Geösen 
reduclert, deren Berechnung um nichts leichter it, find nichts andred 
‚als ſehr einfache Sacultdten mit gebrochenen Exponenten. In meis 
nem ndchit berausfommenden Werke über bie Refraftionen werden 
‚Sie biefes, und noch weit mehreres andere, erörtert finde. 

Auf Wegen alfo die für die Anatofis noch ganz neu find, babe 
ich für die HorigontalsKefeaftion folgende fchr einfache und allges 


meine Sormel gefunden: m Sie können leicht erachten, mit 


melcher ungeduld ich nach biefer Formel meine Berechnung anftellte, 
Innerhalb einer Minute follte es entibieden feyn, ob meine ganze 
Arbeit anwendbar oder vergeblich war. Entipracb meine Berechnung 
dem, was die Beobachtung lehrt, fo hatte ich nirklich eine Entdeckung 
gemacht, die in mebe als einer Ruͤckſicht für die Wilfenfchaft neu und 
nichtig wars; fiel die Berechnung anders aus, fo mar auch mein 
Arbeit für Aftronomte und Kenntnif der Atmosphäre verloren; und 
Eonnte höchftens noch für den Analoften von einigem Wertbe fen. 


Mehrere Gründe Lehen mich das letztere befdechten. Won jeher rubte ' 


auf,ben Gteahlendsrechungen für die erſten acht bis zehn Grade 
fpeinbater Höhe, das allgemeine jetheil, dab fe ſich Durban 
Reiner Berechnung unterwerfen ließen, dab bier die Theorie ihre 
Grdnze finde, und dag bey ber Unmöglichkeit derjelben es für Are 
‚nomen am beiten fey, fit aller Horizontal-Beobachtungen gar zu ents 
balten. Aufferdem verfibert Lalande in feiner größern Yikeonomie 
ausbeücklich, dak die Anwendung der Mhofit und Analyfis für die 
Horizontal» Refraftion funfzig Serunden gebe: und führt dies al 
einen Benyeid an, dab bie Theorie bier nichts vermöge- Es mar alle 
an einen günftigen Erfolge meiner Berechnung wenig Waprjcheinlic 
Feit vorhanden, Du 


Pa N _ 


veföiam Nachrichten und Ankeigen, sog 7 
9 pet eb ibefen gan ae 6. Die er genebene -» —\ 


‘Bi an. Und ich habe ale- —7 — die dab 
men: genau zu halten, daß ich, übe Togar ke rn 
tung einsdümen möchte. . 

Die‘ Lalannifdye Tafel hat 92‘ 2477; fir mine own ben 
Befiltat meiner Zormel um anen — E⸗it aber an alıe 1 
8 gefagt, daß biefe Angabe FR) eine Beobadtung ih Ten 
Ne gerade der Tempera) Bo Barom. und 10° Im, ! 
engehelt wäre. * Die Tatel I ng * Semel berechnet, bie veder 
auf einer —— —8 Boch auf einem anatptifchen Ealcut - 
tt, fondern afein das Mefültat einer Induktion ift, bie genife _ 
eingelne,, deehrente —5 — en, wie rien nicht einmal welhey N 
für fi Haben fol: Gind gen Beobachtungen auf ber’ Löntglichen 
Sternwarte nk t, fo — ne — auſſerſt verdächrtg fenn, 
indem e6 ja befanı AR, daß Ach auf ibe von der Gtadticite ber 
gar feine, und gegen —8 geld a ar Immer zuverläßige —— 
tungen machen laffen. 


unden gleich, 9 J 
wobl —— in au warmen Klima, ae N Er Be im 


# mein inige Corollarie 
zes Tune u nee meiner Some inte oroflarien jlehen⸗ . 
>21. 30 Inte big meiner gamen Verechnung die beyden von- \ 
Mariote und enton zuerf angenehenen Naturgeiege zum Grande - x 


a Dr — X " ‚it die ER F Sun, . 
rtional: verw 68 let — ver halt e anziel 
dee Körper auf das Licht, bey Hehe it aleichen umfanden, wie: 28 


und da ae auf diefen Borderfägen, gegrän! 
Beeonug mit der Erfapeung sufammenteifit, o.erbeit cd deffeg Sn - -, 
bi aus, al eein — (cher Berfuch und befehten Fünnte , Daß jene \ 
edben Gefege vollommen eichtla, und bie Zweifel, Die man verkhlen.‘. " - 
bentlich gegen fe oufbeahte, —2 find, De I b 





vr 2 





N one 


4 Mat Pi raten, £ * 


Pi ; Vvim Auszüige'ans Briefen, ar 


"Körpern bemerfte bereits Keuton, daß Ihre Drechende daft 
Me, der Megel nach Tellte; 
ne ae au diefe, bie — * ee Be 


eten aus 
ir einlihen Grü beimeifelt; von einer Seite: glaubte 
Sie brenndnzen Weflandtbeile dee atmosphdtifihen Luft, ver 


\ Peichtigkeit {ib in die dibern Regionen erheben; und dort Em 


weit fi& ausdehnende Luftibicht von weit arößerer fpecifij 


meffängen; ıwefentlibe und befdndige Uinteefchlede gefunden zu 
and fchloß daraus, daß jene Regel nur als Ndherung braudbar ſch 
Lambert gab ſich viele Mühe, diefe Unterihiede einer befondern Kegel 
au unterwerfen, und-brachte eine Ergänpungeformeh heraus, beo roels 
un — — * ps der Fonfica nicht bes 
en, fondern mit der Höhe nm Horizonte zunehmie. 
Es verhalte fih nun mit jenen theoretifchen Gründen, und Dielen 
Höherimelfungen wie es wolle , fo erhellt nunmehr aus Der MRichtigs 
Feit meiner $ormel über die Horfyontal:Refrattion, daß jenes 
tifche Gefen mehr ald Naberung fen "und dab die geglaubten 
ungen deffelben von der Erfahrung, auf Rechnung des Beobachtert, 
and. nicht der Atmosphäre gefchrichen werden müffen. 
2. Man ficht offenbar, daß die Refraktivnen bey ganz geringen 
Höhen fib mit eben der Prdcifion wie andere berechnen Laffen, und 
daß das bisherige Mistrauen der Aftonomen gegen fie ſehr ungegrüns 
det war. Es tam blos darauf an, fie nach richtigen Geſetzen zu bes 
eechnen. Ich gebe indeh gerne zu, daß es Falle diebt, wo Frine Regel 
weiter anivendbar ift;_fo wie es auch Zeiten giebt, mo Feine Beotah⸗ 
tungen fich ma den laffen, Beydes fest voraus, daß die Atmosphire 
erbte fen, Daß ihre verichtedenen Schichten ſich dem Marlottifden 
Gefete gemäß in ihr geböriges Gleirhaemicht gefest haben; und nur 
amter dieſer Voraus ſetzung find afieonomilhe Beobachtungen zuwera 
Ldbig, Berechnungen anwendbar, Denn aufferdem find wir durd 
Erfahrung belehrt , daß ſelbſt die Mefraftion von ganz nahen, mittel 
mäßig erhabenen Bergfpisen her, fich nicht nur, wie in. mehreen pbv 
firhen Büchern griant U, auf drenfig Minuten, ſendern ‘fegskt auf 
nebrere Grabe belaufen Fönne. ch erinnere mich ſehr mopt, da Ib 
im. Jahr 1790 auf einer meiner Schweizetreifen, in einer finfern 
ürmifchen Nacht, den hoben Berg Rügi am lifee, des Pucernerierd 
!befieg, um Zeuge der atmospbdeiichen Kevofltion beym Mufgange 
der Sonne zu feon, ich dort beffer, als ich es Je in Wilchern gelefen 
jatte, belehrt wurde, mie" tweit Die Nefraktion geben könne. Lange 
‚bon hatte ich mit meinem Reifegefdhrten, auf der böchften Gpite bed 
Berges flehend,, Die Sonne 53 und noch nichts von ihr gefehen, 
als auf einmal die von ihr surdckaedrängten Wolfenmaifen, aleihlam 
eeichrocen auf uns zuffrömten , und eine Atmosphäre um ung bildetetr 
Die menigftens.chen fo undurddeinglich mar, als diejenige gemeien feun 
joß, in welcher Venus tpren Sohn Aeneas in Carthago einziehen Met. 
einer ſah, Feiner hörte ben andern; In der ganzen Nasır Bu —— 





J derſchiedene Nachrichten und Anzeigen, 305 


je für und, als die dunkelrothe, gTähende Kugel, die ꝙ eben 
Kae A Hoͤrizont erhoben batter und die Wolfen vor % bee 


febeuchte. Ziemlich lange dauerte der Kampf zroifchen Sonne und ' 


Nebel, bis endlich die ichtern von dee höhe Kraft der erſtern bers 
untergefhleubert , die Höhen verliehen, indie Tiefe zuſammeuſtuͤrz⸗ 
ten, und nach eiauf einer halben Stunde etwa, unter der truͤgeri⸗ 
fchen Geftalt eines Lünklichen, plöglich entKandenen Weltmerres, die 
Sibaründe Lberad ansfülten. Nun fiengen auch‘ die Bergfpigen ums 
I an fichtbar gu werdens aber nicht da, mo wir fle vermusheten. 


jer Höhe unfers Standpunktes bemuft, hatten mir fie nie anders ald . 


anter und, oder böckens in mwagerechter Linie gefeben; jett faben 
wir fie weit über uns, und menigfiens unter einer ſcheinbaren Kühe 
von vier bis fünf Graden, über die Wolken hervorsagen. Gie ers 
Dielten fich dort bis der Himmel überall aufgeheilt, der ganze Horizont 
ãchtdar war, die Nebel in der Tiefe ſich volends Aufgeldf hatten, 
und die Sonne fich in dem unter und liegenden. Aeterfee zu fplegeln 
anfieng. So mie died geicbah , fo fenkten ſich auch die — 
 almäplig vor ung herab, und blieben endlich auf der fcheinbaren Höhe 
ftehen, die fie haben foltten. Solche Kefraktionen wird wohl niemand 
berechnen wollen, fo wie auch bey einem folhen Kampfe ber Natur 
niemand Beobachtungen. anftellen wird. Allein folhe Revolutionen 
fo häufig fie ſch, beſonders in bergihten Gegenden ereignen,, dauern 
doc nie lange. Das große Naturgefes, das die Dichte der Euft dem 
Deude proportional macht, behauptet immer zulegt feine Rechtes 
und fobal es mieber In Diefelbe eingefeßt ük, fobald mid es aud 
möglich feyn, die Horisontal» Refeaktionen fo gut wie jede anderch 
mit ber größten Genauigkeit zu beftimmen. 
3. Die Refenktion verhält ſich ben unverdnderter fpecifiiher 
Federkraft, gerade wie die Dichte der Luft, Indem a die Entfernung 


des Beobachters vom Mittelpunkt der Erde, und noch mehr die Qua⸗ 


dratwurzel dieſer Größe, vom Horisonte an bis Auf die Gpigen ber 
böchkten Berge, als befdndig angefepen werden kann. Go wie wie 
daher und vom Korlzonte erheben, fo nimmt au die Horisontals 
Kefeaktion in eben dem Verhalthiſſe ab, in welchen das Barometer 
fFält. Ben der Temperatur 10° Reaum. wird fie alſo auf einer Höhe 
von 1200 Zoffen um ben vlerten Theil, und auf 2900 Tolſen um die 
Hälfte vermindert ſeyn; und auf der erſtern noch 25° sı“, auf der 
Tegteen noch 17° 14° betragen. Diefe Regel geht übrigens nicht die 
KHorisontalsRefraktion allein an; fie iR allen Kefrakttonen gemein... 

4. Allein die fonk allgeınein angenommene Regel, nach welcher 
auch die Reduktion der Strablenbrechung von einer Temperatur zur 
andern gemacht wird, tk nur, fo Lange richtig, ald man ohne merk⸗ 
lichen Fehler die Steahlenbredhung der Tangente der ſcheinbaren Ente 
fernung proportional nehmen kann ; das if, vom Zenith an bis gegen 
270 Grade Hin, oder über-swanyig Graben fcheinbarer Höhe. Bey 
niedrigern Höben if die analgtifhe Verbindung zwiſchen Dichte bee 
Luft und Refraktion Bein einfaches geometeifhes Verhältnis mehr, 
fondeen eine ſeht Jufammengefegte tranfcendente Gleichung, von mi 
er I Cie ein andermal unterbalten meede. Der Ausdruc der 
Korisontal»Kefeaktion hat vor den andern fouiel voraus, daß er eins 
jan is Me, verhält Ich ndmtich fehe genau, gerade nie die Dichte 

und uıngefel 
Seberkraft. Da nun die erſere ih TeIhR gerade mie Die Suromet: 


ker 


et mie die Quabratwurgel aus der fpecifiichen, 
ers 


eichtigt find, in der Praris unswverfdßig befund · n werben. 


E 


56. vun, Auszüge aus Briefen, 


vdde / und umgebchet, tie Die fbecifiche Geberfraft verhält, fo 15 beta 


mach die Hortzontal· Reſrattlon dem Beruche proportional =: und, 


ift demnach Bey gleicher Barometerböhe, das gerade Berbältniß bed 
j rat F u das umgekehrte des Würfels der 
en Federkraft. r 
* unterfchled ift Feine Kleinigkeit. Geſetzt das ometet 
auf acht Grade Unter dem Gefrierpunfte, fo iſt nach der gemähns 
jet Regel 1,085 die Zahl, mit dee man die Kefraktion bey 10° iu 
mulsiptieiren bat, um fe auf die veränderte Temperatur angumenben. 
Bey Refrattionen über zwangiag Graden fbeinbarer Höhe, mag dicke 
mwabe feon ; allein bey der HorisontafeMefeaktion if der Muftiplicater 
FE 1,035, Fondern 1,125. Nach der eriiern, üblichen Regel, wäre 
je HoelsontalRefeaktion der Falandifchen Tafel aus 334 2444 in 359" 
ngen , Nach dem hiet gelehrten, wahren Verhaltniffe binges 

‚ wied’die Horigontal-Refeattion 34 27° du 58’ 46”. Der 
3/ 37° A doch gewiß nicht gleichgültig; und fo IR es dan fein 
Wunder, wenn Beobachtungen, die nach fo fehlerhaften Kegeln ber 


imdeffen iſt dies moch nicht alles. “Meine vorz er⸗ 


de Bejleht fi daranf, daß wir-über Die Gcale det It dee 
ö gr guft für die verfchiebenen Grade der Wärme überhaupt noch 


"uneichtig belehrt find: . s 

> Den Verfuchen der Hetren Morveau und du Vernois ins 
u wie eine folcbe Geale, nicht Aur-für die gemeine Quft, fondern 
(ch File noch einige andere Luftarten. Ihnen zufolge iſt die fpechfiiche 
dedertraſt der gemeinen Luft  . . 
ben 0 "Grad Reaumur 1,00005 


by20o — — 1,07895 
bey oo — = 1,25705 
by 60 — = 1,65745 
bey go -— — 1,9368. \ 


ich geffche iadeß, daß mein Zutrauen zu diefer Seale nicht ſehr 

jroß ft. Zuerſt hat das hier angegebene Molumen der Luft bepm 
tedpunfte, die Zenaniffe aller andern Ppuflker offenbar gegen fih. 
Nach de Luc if daſſelbe 1,372; nach Bonne in, Lalande’s Äſtrono ⸗ 
mie 1,414; nach Dandermonde, Bertholler und Mionge 1,4329; 
nah Morveau fell es nun auf ‚einmal 1,9368; alfo die. wirkte 
"Vermehrung des Volumens, mehr ald doppelt fo.viel ausmachen, ald 
eö.ber Angabe aller übrigen zufolge, feon folte, 

Sodann empfiehlt ſich Die Scale duch Ihren regelmäßigen Gang 
nicht fehe. Ibte eriten Differenzen fon find-febr ungleich; die amenten 
won 0° bis 60° bejaht, unn dort bis zu 80°-auf einmal verneint. 
—7— ſehe unwahrſcheinlich, daß die Natur in einer fo einfachen 

ie fich dergleichen Sprünge erlauben werde. 

Deittens widerfbricht Diefe Scale den bepden andern Gcalen für 
dus Stigas und das Sauerfioffgas ofienbar. Aus beydentift die ges 
meine Suft in dem Verhdltniß von 73:27 sufammengefegt; Durch die 
benden erftern Scalen folte num bie legtere ſchon fe fich gegeben 
fepn. In meiner Geichichte der Aero aatik Habe-ich Die Regei aufacfucht, 
und mit geometriiber Schhärie eristeien, Gtatt biefer Regel zu ents 
fprechen, fieht hier bie Wusdehnbartett TIAHt Anmal in fer Mitte. dee 


Ä 


f 


derfchiedene Nachrichten und Anzeigen. $07 


beyben andern, wie:doch wenigſtens dieſe⸗ feyn follte. Nach der Seale . 


des Morvesu müßte von o® bis 40° die gemeine Luft ausbehnbarer- 


ſeyn, als jeder ihrer Beſtandtheile für fich iſt; von 40° bis Sor-mire: 
unmgekehtt jeder diefer letztern ausdehubarer ald fie. Es If ſchwer abs, 
zufehen, was dieſer Phyſiker gemacht haben muß, um fo verkehrte 


Kefultate zu erhalten. 

-  @ndlich feblt. ben dieſer Scale gerade der Theil von Ihe, der für 
Die Altronomie dee wichtigſte IR, der Theil unter dem Gefrierpunkte. 
Aus mehreren aſtronomiſchen Beobachtunden wird .e8 ganz zuverlabig, 
daß die gemeine Luft unter dem Gefrierpunkte fich nach Verhaltniſſen 
sufammenzieht, von welchen fich die Phyfik bisher noch gar keinen 
Begriff machte. Der Aſtronom Lemonnier iſt meines MWiffens der 
erfte ver hierauf aufmerkfam wurde. FH feinen Abhandlung: Examen: 
des canfes Generales des principes de Phyfique, es de ce qui a port: 
des Obfervatenrs da Siecle pröcädent , a püblier des Tables de Höfra, 
ctions qui differeht le$’änes des auträs Donr les mêmes hautenrs, Men. 
de 1’ Acad. Annee 1780, führt er Benpiele von Horizontal: Refraktio⸗ 
nen an, die von der aewoͤhnlichen Kegel aufleroedentlich abweichen, 


- Nach der oben gegebenen Regel, dab bey unverdnderter Baro⸗ 
meterböbe, die Horizontal⸗Refraktion fich umgekehrt verhalten muß, 
laßt fih aus einer gegebenen Horizöntal: 
wie groß bie fpecifiiche Federkraſt der Luft Ju derfelben Zeit gemwefert‘ 
feun muß. Ich werde nach dieſer Regel, einige der Beyſpiele, die: 
Lemonnier anführt, beustheilen. I wo J 

Aus einer Beobachtung des Picard vom 2. Januar 16075, um 
7 Ubr 52’ 38° wahrer Zeit, ſchien der obere Rand der Sonne um 
25° 35“ über ben —2 erhoͤht. Die Fefraktion war alſo fuͤr 
dieſe Zeit, und dieſe ˖ſcheinbare Höhe 34'553 und Died giebt eine 
Horizontal⸗Refraktion von wenigſtens go Minuten. Das Verhaltniß 
dieſer Refraktion, und der meinigen von 34° 27° ben 10° Reaum. 
demnad "5: s' 2400: 200o535 — 
Logarithme dieſes Verhaltniſſes 9,9351293 

Mit zwey multipliirt + +  9,8702586 
Durch drey Dividiret ⸗2 HIST 
Alſo, die ſpeclſiſche Federkraft bey 10° der Einheit gleich geſetzt, mußte 
fie damals geweſen ſeyn 0,905. Dies ſetzte nun nach den gewoͤhnlich 
angenommenen Verhältniffen 16° der Kälte voraus, 


Es moͤchte dies immer noch hingehen , da eine ſolche Kälte zwat 
aufferordentlich „ aber nicht ohne Beyſpiel if, und man zu derſelben 
Zeit noch feine übereinftimmmende Thermometer hatte. Allein, dem 
folgenden Tag, um 7 Uhr 48° 18° wahrer Zelt, ſchlen der obere Hand 
dee Gonne bereitd um fechd Minuten über den Horisont erhaben.: 
Die Rechnung giebt bier eine Refraktion von 44’ 43, und eind: 


mie die Dundratwurzel aus dem —— bör erinwen Seberkrafts 
efraftion allemal bereihnen,. - 


ne: 
Horlspntals Kefraktion von wenigſtens 45°. Das Derbditniß beyder 
0 


HorizontalsRefraftionen il bee » °"s  =700:2067 | 
bogartthme deffelben » 98839767 wie 
Mit zwey muleiplicret — 9976079534 =: 
Durch deep bividßiret 0 m" Qgaabs 6 
Es war demnach Ne-fpecififche Federkraft 0.8368. Nach der gewoͤhn⸗ 


lichen Kegel müßte’ dies beym 30° Reaum.: geiihetien \eya, UN Veh. 


35 weniäftens auf der Pariſer Sternwarte gerate ya wamtaliig. SA 


- 


\, 3 
—RXR 


| 508 VIIL Auszüge aus Briefen, 


gemonnier vermutbet hier eine Kälte, bie nur unter 5°, unb alle - 
etwa 8° oder ı0° gewefen. feun mag; und fo folgt aus biefer Beob⸗ 
achtung, daß vom zehnten Grab über dem Gefrierpunkte, bis etwa 
zum achten Grade unter ihm, fich die al in dem Berbälmiß von 
10n284 verbidt, folglich einen vollen ſechſten Theil ihres Bolumens 


verliert. 

Dies iſt indeß noch Lange nicht alles, Die Befchichte der Wiſſen⸗ 
ſchaft hat Beobachtungen von Horizontal s Refraktionen aufgezeichnet, 
die auf mebrere Grade gehen. Aus dem im Jahr 1599 gebrucdten 
Tagebuche der Holldnder, die zwey Jahre vorher, unter y6 Graben 
Morderbreite, auf Xovas3embla überwintern mußten, und mehrere 
sMonate Lang die Sonne gar nicht ſahen; und aus ber Zeit, bafe 
"Ionen wieber aufsugeben. fchien, erbellet, daß die Horlzontal⸗Refraktlon 
meniaftend 4° 30° betragen haben muß. Was giebt dies. für eine 
ſpecifiſche Federkeaft? Wie wollen ſehen: on 

Verhalltniß beyder Refraktionen 16200: a2067 
Logarithme deſſelben ⸗ .10s845 
Mit zwey multiplicirt ⸗⸗ 8,2116510 

Durch drey dividiet ss 9,4238837 
mn erhält hieraus die ſpecifiſche Federkraft der Luft 0,25345; alſo 
etwa dem vierten Theile ihrer gewöhnlichen gleich. Und bey welchem 

- Kättegrabe ? böchitens doch bey benyenigen, ir. melchehr das Queck⸗ 
filber gefrtert; alio etwa 46° unter dem Gefrierpunfte. Es folgt «lfe 
hieraus, dab von 10° über dem Gefeterpunfte, bis zu 46" Unter ihm, 
Die Luft etwa um drey Viertheile ihres Bolumens verdickt murde. 

Dee Reſpiration fand diefe fo fehr verminderte fpecififche Feder⸗ 
kraft gar nicht im Wege, indem es bey ihe nur auf die abfolute Ela— 
ſticitat ankoͤmmt, bie Deswegen immer diefelde war. Allein, daß durch 
böchftens funfzig Grade Kaͤlte, die Luft bi8 auf ben vierten Theil 
ibres Volumens zufanımengepreßt werben könne, dies meicht wenig 
eng von den bisher befannt gewordenen Verbaltniſſen auſſerordentlich 
ab, und zeigt, mie weit wie noch in dieſer Lehre zurück find. 


* 


3. Aus Herrn D. Kramp's neueſtem Schreiben. 


Strasburg, den 26. Fruͤktidor, VI. 


E. freuet mich, daß Sie einen Verleger meines Werks uͤber die 
aſtronomiſche Strahlenbrechung gefunden haben. Es wird gewlß, 
wegen der darinn enthaltenen wichtigen Entdeckungen, den Befall 
der Kenner nicht verfeblen. Auch U — mit welchem ich ſeit meiner 
KFuͤckkehr unfere ehemalige Breundichaft wieder erneuert habe, vers 
ſichert mich, daß das in meinem Buche enthaltene, und forgfältig von 
ihm geprüfte, vollkommen neu und wichtig fen; fagte mir aber zus 
gleich, daß de Ia Place und Borda feit einiger Zeit mit dem ndına 
lichen Gegenſtande beſchaftigt find, und vielleicht noch diefen Winter 
eine weitlduftige Ausarbeitung darüber herausgeben werden. Es tk 
möglich, daß fie auf die nämlichen Mefultate geratben; um ſo mehr 
wuͤnſche ich mit dem Drucde meines Werkes, deſſen Inhalt mid, 
| nie — wiſſen, ſchon fo Lange Zeit beichäftiget bak, nicht zurüd iu 
| FE Eine 


f 


verſchiedene Nachrichten und Anzeigen. 509 


Eine qduſſerſt fonderbare Bemerkung if, daß Nemwton’s Tabula 
Refractionum, die in ben Lectionibus Opticis_und den Philofoph. 
Transact. von 1721. Ro. 368 fteht, mit meinen Formeln genau, und 
weit beffer als feine andere Refraktionstafel Übereinkimmt. Ich kann 
mir die Sache nicht anders denken, ald daB Newton nıeine Kormel 
getannt baben muß. Dies hat aber auch wieder feine Schwierigkei⸗ 
ten; denn es folgte daraus, daß Newton von gewiſſen Methoden dee 
höbeen Analnjis eine Kenntniß gehabt haben müßte, die Eulern Im 
Jabr 1754,.und überhaupt allen, ſelbſt den geößten Analyſten, den. 
einzigen de Ia Place (17381) ausgenommen, noch volllommen fremde 
war. Nachſt Newtons Tafel, bin Ich mit den drey Nefraktionstafeln 
von Bouguer in dee Zona torrida am beiten, und immer noch ſehr 
wohl zufrieden. Mit Bradlen vertragt fich meine Unalufs fchon- 
weniger; und von Lacaille's Refraktionstafel bin ich überzeugt, daß 
fie gar nichts taugt. 


Sie werden in meinem Buche audy bie File beſtimmt finden, in. 
welchen die HorizontalsRefraktion unendlich groß wird, und die gar 
nit unmöglich, und ſelbſt in unferm Klima nicht einmal felten find. 
Daß man die Beobachtung dee Holldndber auf Novaszembla 1598. 


über die Horizontal» Refraktion von .4° 30’ In Zweifel 308, daran, 


hatte man großes Unrecht. Es wird weiter nichts dazu erfordert, als 
eine um die Hälfte verminderte fpecififche Elaſticität der Luft; und 
diefes iſt ein gar nicht feltener Zah, von dem ich durch auverfldßige 

Beobachtungen, vollfonmen überseugt bin. \ . 


Alles dieſes hat mich auf bie Nothwendigkeit der Erfindung eines 
befonders genauen Dichtemeffers (Manometers) geführt, mit welchen 
ich nachſtens auftreten werde. Die Scale diefes aͤuſſerſt empfindlichen 
Sufruments giebt für jeden Uugendlif an: a . Ä 


1) Das Verhältniß der Dichte der Ruft und des Queckſilbers; 
oder die Zahl, die mit der Barometerhöbe multiplicirt, die Subtan⸗ 
gente der atmosphäriichen Logiſtica giebt | 


2) Das NefraktionssVerbältnis für die Luft, oder den ber Dichte 
der Ruft propoetionalen Bruch ww; vorausgefest, daß 1: ı + ſin. 
Incid: fin. Refract. Der biefine Mechaniker Diebord verfertiget itzt 
diefes Werkzeug, von welchem ich Sie, wenn es fertig If, noch weiter 
unterhalten werde. 


4. Aug zween Briefen von Kern Buͤrmann. 


Mannheim, d. 17. Aug. u. 15. Sept. 1798. 


\ 
— Die eombinatorifche Analyſis lernte ich zuerſt aus Toepfers 
polemiſcher Schrift kennen, die mir unſer Freund Kramp zu leſen 
gab: Dieſe lehrte mich die erſten combinatorifchen Zellen. Die ſchoͤ⸗ 
nen Auffäge Ihres Archive, Praſſens Uſus Logarithmerum Infiniti- 
nomii. und die von Ihnen neuerlich herausgegebene Schrift: polynos 
miſcher Rebrfag ıc. erweiterten meine Kenntniß, und haben mich volle 


. fommen überzeugt, daß bie combinatorifche Analyſis, vornehmlich in 


verwickelten Fallen, ungleich mehr vermag, als die gemöpnliche. <a 


. 


510 VII. Auszüge aus Briefen, ꝛc. 


Ich hatte anfangs, ich geſtehe es, nicht viel Zutrauen zu der 
eombinatorifchen Methode, da ich fie nur obenhin Lannte, und ſchien 
mir felbige mente Aufmerkſamkeit zu verdienen; um fo wenfger mird 
man, mir einen Borwurf daraus machen, daß ich ihr jeut das Wort 


rede, nachdem tch fie, nach abgelegtem Vorurtheile, genauer babe 


kennen lernen. Ich habe feitbem, ben fo vielen von mir gemachten, 
nicht unerheblichen Anwendungen, haufig Gelegenheit aebabt, der combi⸗ 
natorlichen Verfahren mich zu bedfenen, aber nie vorher dieje Einfach— 
beit, und dieſen direften Gang gemutbmaßet. Darum fage ib auch 
in meinem bier beufolgendem Aussuge aus meinem Eflai de Calcul 
fonctionnaire „du8 @infache Tiegt im Verwickelten tief vergraben, und 
das Leichte iſt unendlich ſchwer Zu enideden, mern es ein vollſtaͤndi⸗ 
ged Syſtem ausmacht.“ 


Was Sie von großen Analyſten in Betreff der combinatoriſchen 
Analyſis Sagen, if fehr wahr, und erfireckt fich weiter. Ich batte 
einen großen Dann in dem Bache urı ein lirtheil Aber mein Werk: 
Effai de Calcul fonctionnaire gebeten ; er {ft auch von Adern mehrs 
mald daran erinnert worden, aber Immer vergebens. Ich weis nun, 
daß ee es nur durchbldttere und nicht gelefen hat, A caufe du Neolo: 

isme, welcher doch bey neuen Gegenitänben, oder neuer und befferer 

arfteung der alten unumgdnglich noͤthig iſt. Menige, feltene Fdlle 
ausgenommen, haben nur junge Peute, die frey von Vorurtheilen 
find, Sinn für nügliche Neuerungen; und auf dieſe muß man alle 
am meilten rechnen. 


In meinen früheren Jahren, mo durch vieles Reiſen und Lefen 
bie Neigung zu ſchwierigen Unternehmungen in mie erreat und 96 
ndhet worden mar, mollte ich des aroßen Leibnitz herrlichen Gedanken 
einer Univerfal: Schristfprache ausführen. Da tih aber nichts vors 
gearbeitet fand, ſchreckte mich bald die fo ſchwere und meitldurtige 
Arbeit der Ideen⸗-Claſſification ab. Geduldigere und einſichtsvollere 
Männer haben indeſſen die Bahn gebrochen, und meine vorigen 
Ideen wieder in mir aufgeweckt. Die Verſuche der deutichen Unis 
verfalichreiber kenne ich nur aus der Allgem. Pitt. Zeitung. Memieu's 
Paſigraphie babe ich gefehen und gefunden, daß meine Idéographie 
analytique, wie ich fie nenne, ungleich einfacher, reichbaltiger und 
leiter iſt. Seitdem ich mit Ihrer combinatorifhhen Analnfis vers 
trauter geworden bin, babe ich meinen Plan noch fehr verbeffert, und 
eles auf das Zahlenſyſtem zuruͤckgebracht; doch nicht mechaniſch, mi? 
Jaucour in der Encyclopedie vorfchldat. In der That kann nur ein 
Mathematiker ein folches Werk aut ausführen. ; 


Ich gedenfe einft Anfangs: "ünde dee Mathematik zu ideogras 
phiren. Um dee allgemeinen Verſtandlichkeit willen, werde ich gar 
feine Buchfiaben (im eigentlichen Ginne) gebrauchen. Durch die 
combinatorifche Anordnung, und mit der ganz freuen Wahl in den 
Beichen, merde ich Deutlichkeit und Reichtiakrit in einem hohen Grade 
vereinigen. In meiner Ideographie habe ich, mas die combinato: 
riſchen Symbole anbeteift, Ihre Alobabete bloß Überfegt, und damit 
be Fhöne Harmonie, welche Ihrer Bezeichnung eigen if, ganz beys 


% 


CCCCCECCCCC.. 















































GG GG, —— — 


| | Fig. 3. 











_..