(navigation image)
Home American Libraries | Canadian Libraries | Universal Library | Community Texts | Project Gutenberg | Children's Library | Biodiversity Heritage Library | Additional Collections
Search: Advanced Search
Anonymous User (login or join us)
Upload
See other formats

Full text of "Archives du Muse Teyler"

\ 



X. 









igENWröRKBOTMCAL(MPl 



ARCHIVES 



DU 



MÜSÉE TEYLER 



SÉRIE III, VOL. IV. 



HAARLEM. LKS HERITIERS LOOSJES. 

1919. 



ARCBIVES DU MUSÉE TEYLER. 
SÉRIE III, Vol. IV. 



n 



Burgers, 'S. M. — Het atoommodel van Rutherford-Bohr. 

Arch. Mus. Teyler. Sér. iii, Vol. iv, xxi — xxxv, 1919, pp. 1 - 265. 

Atoommodel van Rutheiford-Bohr. Het- 
J. M. Burgers. 
Arch. Mus. Teyler. Sér. iii, Vol. iv, xxi -xxxv, 1919, pp. 1 —265. 

DuBOis, EuG. — Over het ontstaan en de geologische geschiedenis 
van vennen, venen en zeeduinen. 

Arch. Mus. Teyler. Sér. iii. Vol. iv, 1919, pp. 266-293. 

Vennen, venen en zeeduinen. Over het ontstaan en de geologische 
geschiedenis van — 

EUG. DUBOIS. 

Arch. Mus. Teyler. Sér. iii. Vol. iv, 1919, pp. 266-293. 

Bljvanck, W. G. C — Spinoza en Molière. 

Arch. Mus. Teyler. Sér. iii, Vol. iv, 1919, pp. 294-296. 

Spinoza en Mohère. 

W. G. C. BiJVANCK. 

Arch. Mus. Teyler. Sér. iii, Vol. iv, 1919, pp. 294-296. 

VAN DER Vlugt, W. — Do oudo Athenors en wij. 

Arch. Mus. Teyler. Sér. iii, Vol. iv, 1919, pp. 297-315. 

De oude Atheners en wy. 
W. VAN DER Vlugt. 
Arch. Mus. Teyler. Sér. iii, Vol. iv, 1919, pp. 297-315. 



.VI .JoY JII aiaaS 



.lAoEi-bioViediuH. nR-7 lebommooiB ieH-.M .1 ,gaaoHua 
.592-1 .qq ,eiGI ,vxxx - ixx ,7i .joV jii.-ièS .leLxeT .8uM .doiA 

-ieH f^'oH-biol'xeilJuH hbv lebomraootA 

.saaoflua. -M .L 
.062 - 1 ,qq ,6161 ,vzxx-izx ,vi.joV ,ni .lèS .-fsfYöT .8fjM .do'iA 

ginebeirfoaeiR erioBisoloeg eb ns rifiBJatno Jerf levO— .ouS .aioauQ 

.neriiübees ns nenev ,n9nnev nsv 
.eeS-böS .qq ,GIG1 ,vi .joV ,ni .lèS .ïsIysT .auM .doiA 

9rio8rgoJo8^ eb ne asiü^s^ao ;teri lavO .neninbees ne nene^ ^nenneV 

— riev sinebeirfoae^ 
.aioaTjd .oua 
.8eS-ö8S .qq ,6161 ,vi .joV jii .198 .ioI'{9T .suM .do'xA 

.9-iéifoM ne fisoniqS — .0 .0 .W ,:ioyiA7nE 
.öe2-:tG2 .qq ,QN1 ji .JoV ,111 .lèS .leL^eT .auM .rioiA 

.eiéiloM ne Bsoniq8 
.aoM/vua .9 .0 .W 
.062-^62 .qq ,9161 ,7i .JoY ,111 .198 .i9l-'{9T .auM .iloiA 

.yw ne sTOaeridA abuo ed-.W ,to-jjY aaa mav 
.Ö18-VG2 .qq ,6161 ,vi .JoY ,m .ië& .lel^eT .euM .do'iA 

.(;w ne aionyriJA ebuö eQ 
.TOUtiY aaa mav .YT 
.dI8-T62 .qq ,6161 ,vi .joV ,111 .leS .lol^eT .aitM do-iA 



ARCHIVES 



DU 



MUSÉE TEYLER 



SERIE III. VOL. IV. 



HAARLEM. — LES HERITIERS- LOOSJES. 
1919. 



FONDATION 

DE 

P. TEYLER VAi^ DER HULST 

a HAARLEM. 



1919. 



Directeurs: Mr. A. W. Thöne, président; J. J. van Oorde' 
J. A. Fontein; Vincent Loosjes; Mr. W. Cnoop 

KOOPMANS. 

Secrétaire: Mr. W. F. C. C. Pijnacker Hordijk. 

Trésorier : J. J. Doeglas. 

Curateur du Laboratoire: Prof. Dr. H. A. Lorentz. 

Conservateur du Cabinet de Physique : Balth. van der 
Pol Jr. i). 

Conservateur du Musée de Paleontologie et de Mineralogie: 
Prof. Dr. EuG. Dubois. 

Bibliothécaire : J. J. Verwijnen. 

Conservateur des Collections de tableaux, de dessins et de gravures: 
H. Buisman. 

Conservateur du Cabinet numismatique : A. O. van Kerkwijk. 



') Pendant ranuée 1918: J. M. Burgers. 



MEMBRES DES SOCIÉTÉS TEYLÉRIEMES. 

Premiere Sociétê ou Société de théologie: Dr. J. G. Boeken- 
oogen; Prof. Dr. D. E. J. Völter; Prof. Dr. H. J. 
Elhorst; P. Feenstra Jr. ; Prof. Dr. A. Bruining; 
Prof. Dr. T. Cannegieter. 



Seconde Société: Prof. Dr. Hugo de Vries; Prof. Dr. P. J. 
Blok; Prof. Dr. H. A. Lorentz; A. O. van Kerkwijk; 
Dr. C. Hofstede de Groot; Prof. Dr. G. Kalff. 



uj 



V 



PROGRAMMA VAN TEYLER'S GODGELEERD 
GENOOTSCHAP TE HAARLEM 

voor het jaar 1918. 



Directeuren van Teyler's Stichting en de Leden van Teyler's 
Godgeleerd Genootschap hebben in hunne vergadering van 
18 Oct. 1917 uitspraak gedaan over een nederlandsch en een 
duitsch antwoord, ingekomen op de prijsvraag: 

„Het genootschap vraagt eene beschrijving van 
de Roomsch-Katholieke moraaltheologie in hare 
kenmerkende trekken en aanwijzing van het ver- 
band, waarin zij staat tot het Roomsch-Katho- 
lieke geloofssysteem in zijn geheel". 

Het onder het motto „luctor et emergo" ingezonden neder- 
landsche antwoord is eene in gebrekkige taal en slechten stijl 
geschreven verhandeling van een blijkbaar niet wetenschappelijk 
geschoold man. Hij werkt met eene aan enkele leerboeken ont- 
leende stof, maar is niet in staat de quaesties grondig aan te 
vatten en principieel te beoordeelen. Het tweede gedeelte der 
prijsvraag (het verband, waarin de Roomsch-Katholieke Moraal- 
theologie staat tot het Roomsch-Katholieke geloofssysteem in 
zijn geheel) is zeer oppervlakkig door hem behandeld: nergens 
dringt de schrijver tot de kern der dingen door. Van eene be- 
kroning van dit antwoord moest derhalve worden afgezien. 

De schrijver van het onder het motto „Es ist eine herrliche 
Sache um die Unschuld" ingezonden duitsche antwoord vindt 
liet motief tot het stellen van de prijsvraag in het feit, dat het 
monisme, hetwelk „morale indépendante" wil, gelijkelijk tegen 
protestantsche en Roomsch-Katholieke moraal zich kant en deze 
op ééne lijn stelt. Daartegenover wil hij dan in het licht stellen, 
dat deze beide onderling nog principieel verschillen, In dit opzicht 
nl. : dat de protestantsche theorie door de wedergeboorte èn het 
rechte zedelijke inzicht èn de kracht om dit in het leven te 
verwezenlijken gegeven acht, terwijl volgens de roomsche op- 
vatting de zedelijke waarheden ook door den wedergeborene 
enkel op gezag der openbaring erkend worden en de weder- 



VI 

gi'l)()()rtü jillooii <I(' k-mclii bijzcl. om /o in hot leven te verwezen- 
lijken. Maar zoodoende komt liij tot eene beschrijving der 
roomseho moniMl nitsluitend ol' ;il(liiin.s voornamelijk nnar haar 
roniicc^l karakter, iloofd/jiak in /.ijii stnk is de hcduuidciling van 
\ivl prohahilisnu!, d. w. /,. de nit(!(ni/,(!tting, hoe volgens roomsehe 
opvatting d(! mensch tot een juist zedelijk oordeel komt. Daar- 
naast worden zeer kt;nmei'kende eigenaardigheden viiii de roomsehe 
moraal, ids bv. het op den voorgrond tr(Mlen v.in de sexueele 
moraal, df onderseheiding vaii gehodcn en ladcii ol' slechts tei'- 
h>()ps ol" in 't geheel niet vernield, llrt antvvofH'd is derhalve 
alles behalve volledig. Met niinxi zijn ook de nlics Ix'JKMisclicnde 
leiden<le g(Mliichten dvv \l. K. moi'iiid uid voldoende in 'I li( lil 
ge.st(dd en is de nauwe samenhang van die moraül iiid de 
grondgedachten van *\v :inthropologio der IJ. K. kerk niet duidelijk 
aangewezen. Ook is, ol'schoon de schrijver ei'kent, dal in de K'. K . 
moraaltheorie iinicrlijk-elbisch-religieuse psychologie wordt gemist 
(8. 50), <Iit l'eit slechts als in 't voorbijgaan vermeld en de beslissende 
beteekenis van dat gemis voor de \l. K. moiiiiil niet uiteengezet. 

Maar al geeft de schrijver geen volledig antwooi'd, wat hij 
geeft is werkelijk wcd.ensebnpixlijk werk. Hij geeft blijk van 
ernstige bronnenstudie, beeft i\v voornaamste nieuwer(ï en oudere 
werken oV(!r roomscdie moraal gebruikt en goed gebruikt. Uij streeft 
ernstig nam- objectiviteit van ooi'deel en is daarin — enkele uitzon- 
deringen diiargelaten — ind(M-daad geslaagd, liet antvvot)r(l kan 
als een stnk van wetenschappelijke waai'de beschouwd wordc^i. 

Om deze i-eden heeft het (Jenootscluip luvsloten de verh;vnd(ding. 
waaraan zij dv. beki-oning niet kon toekennen, onder de werken 
van het genootschap op Ie nemen en daaraan eene belooning 
van tweehonderd gulden te verbinden, wanneer de schrijver daartoe 
zijne toestemming verleent eii zijn naam aan Dii'ecteuren van 
'Peyler's Stichting luikend maakt. ') 

l'ilgescbreven blijven de vc^lgende prijsvragen: 

1 ( )ni beantwooi'd Ie woideii vóc'tr I .lan. 1!MS: 

„liet genootschap vraagt eene v e i- b a ii d e I i u g 
over ZwiNdi.i als d ogni a t i en s". 

M Als Holiriivcr lirrtt /icli l.rkriid ;^-. inaiii^l ilf llirr K. lMsrii|.;ii, Pastor ;iii 
<l<<r lliiii|it Kirciir .SI. .Ijikolii in lliunliur^. 



VII 

2. Om beantwoord te worden vóór 1 Jan. 1919: 

„Het genootschap verlangt eene verhandeling 
, over het vraagstuk van de absoluutheid van het 
Christendom in het licht van de heden.daagsche 
godsdienstwetenscha p". 

Als nieuwe prijsvraag ter beantwoording vóór 1 Jan. 1920 is 
uitgeschreven : 

Het genootschap verlangt eene ontwikkelings- 
geschiedenis van de „be wustzijns- of ervarings- 
theologie" sedert Schleiermachbr. 

De prijs voor het best en voldoend gekeurd antwoord op deze 
vragen bestaat uit een gouden eerepenning op den stempel des 
Genootschaps geslagen, ter innerlijke waarde van vierhonderd 
gulden, of, zoo men daaraan de voorkeur mocht geven, in vier- 
honderd gulden. De prijs wordt uitgekeerd, zoodra de bekroonde 
verhandeling voor de pers gereed is. 

De verhandelingen moeten in het Nederlandsch, Latijn, 
Fransch, Engelsch of Hoogduitsch, met eene latijnsche letter, 
vooral goed en leesbaar (door eene andere hand dan die van den 
auteur of met de schrijfmachine) geschreven zijn. Niet duidelijk 
geschreven verhandelingen worden ter zijde gelegd. Ook moeten 
zij op den bepaalden tijd in haar geheel worden ingezonden en 
geene antwoorden, waaraan eenig gedeelte bij de inlevering 
ontbreekt, zullen tot het dingen naar den gemelden eereprijs 
worden toegelaten. Alle ingezonden stukken blijven het eigendom 
van het genootschap, dat de bekroonde, met of zonder vertaling, 
in zijne werken opneemt, zonder dat de schrijvers, anders dan 
met toestemming der Stichting, die mogen uitgeven. Ook behoudt 
het genootschap aan zich het recht om van de niet bekroonde 
stukken zoodanig gebruik te maken als het raadzaam zal oor- 
deelen, hetzij zonder of met vermelding van den naam des 
schrijvers, in het laatste geval echter niet zonder diens toestem- 
ming. Voorts worden geene afschriften van de niet-bekroonde 
stukken aan de schrijvers verstrekt dan op hunne kosten. De 
in te zenden antwoorden moeten, zonder naam en alleen met 
eene spreuk onderteekend, vergezeld van een verzegeld briefje, 
dezelfde spreuk ten opschrift voerende en van binnen opgaaf 



VIII 



van des schrijvers naam en woonplaats behelzende, gezonden 
worden aan het Fundatiehuis van ivijlen den Heer P. TEYLER 
VAN DER HULST te Haarlem. Het programma van het genoot- 
schap is op aanvrage bij Heeren Directeuren van Teyler's Stich- 
ting jaarlijks omstreeks 15 November kosteloos verkrijgbaar. 



PROGRAMMA VAN TEYLER'S GODGELEERD 
GENOOTSCHAP TE HAARLEM 

V o o )• het jaar 1919. 



Directeuren van Teyler's Stichting en de Leden van Teyler's 
Godgeleerd Genootschap hebben in hunne vergadering van 
17 Oct. 1918 uitspraak gedaan over een onder het motto „In 
allem Wechsel waltet der ewig-eine Gott" ingekomen nederlandsch 
antwoord op de prijsvraag: 

„Het genootschap vraagt eene verhandeling 
over Z w I N G L I als d o g m a t i c u s". 

De schrijver heeft wel met ijver, doch volgens eene averecht- 
sche opvatting van de vraag en naar eene verkeerde methode 
gewerkt. In plaats van eene dogmenhistorische studie te schrijven, 
door ZwiNGLi te plaatsen in de lijst van zijn tijd en het geheel 
zijner beschouwingen in haar onderling verband te laten zien, 
heeft hij zijne eigene dogmatische bespiegelingen gegeven, in 
verband met — vaak slechts naar aanleiding van — Zwingli's 
denkbeelden over bej)aalde dogmatische vraagstukken. Dien- 
tengevolge heeft hij geen duidelijk beeld van Zwingli in zijne 
eigenaardige beteekenis als dogmaticus geteekend. Zelfs is bij 
hem geen sprake van eene poging om de leidende gedachten 
in Zwingli's voorstellingen te zoeken. Over Zwingli's eigen- 
aardige opvatting van geloof, die, in verband met de algemeen- 
protestantsche leus „rechtvaardiging door geloof", zoo kenmerkend 
is voor Zwingli's dogmatisch inzicht, gewaagt hij met geen 
woord. Nergens is zijne uiteenzetting overzichtelijk ; op menig 
punt is ze onvolledig en dikwijls allesbehalve helder; aan juist- 



IX 

« 

heid van voorstelling laat zij zeer veel te wenschen over; niet 
zelden is logische klaarheid verre te zoeken. 

Had de schrijver Zwingli's grondgedachten — b.v. zijne 
symbolische opvatting van de zoogenaamde Sacramenten, in- 
zonderheid van het Avondmaal — duidelijk gezien en eenvoudig, 
kort en bondig, uiteengezet, dan ware de stroom van citaten 
niet zóó overstelpend en de lezing van zijn geschrift minder 
vervelend geworden. Dan had ook kunnen blijken — wat den 
schrijver verborgen is gebleven — dat in menige uitspraak van 
ZwiNGLi de oude termen een geheel nieuwen, wezenlijk geheel 
anderen inhoud hebben gekregen. 

Deze verhandeling is geene bekroning waard. 



Uitgeschreven blijven de volgende prijsvragen : 

1. Om beantwoord te worden vóór 1 Jan. 1919: 

„Het genootschap verlangt een e verhandeling 
over het vraagstuk van de absoluutheid van het 
Christendom in het licht van de hedendaagsche 
godsdienstwetenschap". 

2. Om beantwoord te worden vóór 1 Jan. 1920: 

Het genootschap verlangt eene ontwikkelings- 
geschiedenis van de „bewustzijns- of ervarings- 
theologie" sedert Schleierm achek. 

Als nieuwe prijsvraag ter beantwoording vóór 1 Jan. 1921 is 
uitgeschreven : 

Eene verhandeling over de plaats van „zonde" 
in 's menschen godsdienstig leven naar de be- 
ginselen der moderne richting. 

De prijs voor het best en voldoend gekeurd antwoord op deze 
vragen bestaat uit een gouden eerepenning op den stempel des 
Genootschaps geslagen, ter innerlijke waarde van vierhonderd 
gulden, of, zoo men daaraan de voorkeur mocht geven, in vier- 
honderd gulden. De prijs wordt uitgekeerd, zoodra de bekroonde 
verhandeling voor de pers gereed is. 



-De verhandelingen moeten in het Nederlandsch, Latijn, 
Fransch, Engelsch of Hoogduitsch, met eene latijnsche letter, 
vooral goed en leesbaar (door eene andere hand dan die 
van den auteur of met de schrijfmachine) geschreven zijn. 
Niet duidelijk geschreven verhandelingen worden ter zijde 
gelegd. Ook moeten zij op den bepaalden tijd in haar geheel 
worden ingezonden en geene antwoorden, waaraan eenig ge- 
deelte bij de inlevering ontbreekt, zullen tot het dingen naar 
den gemelden eereprijs worden toegelaten. Alle ingezonden 
stukken blijven het eigendom van het genootschap, dat de be- 
kroonde, met of zonder vertaling, in zijne werken opneemt, 
zonder dat de schrijvers, anders dan met toestemming der 
Stichting, die mogen uitgeven. Ook behoudt het genootschap 
aan zich het recht om van de niet bekroonde stukken zoodanig 
gebruik te maken als het raadzaam zal oordeelen, hetzij zonder 
of met vermelding van den naam des schrijvers, in het laatste 
geval echter niet zonder diens toestemming. Voorts worden geene 
afschriften van de niet-bekroonde stukken aan de schrijvers 
verstrekt dan op hunne kosten. De in te zenden antwoorden 
moeten, zonder naam en alleen met eene spreuk onderteekend, 
vergezeld van een verzegeld briefje, dezelfde spreuk ten opschrift 
voerende en van binnen opgaaf van des schrijvers naam en 
woonplaats behelzende, gezonden worden aan het Fundatiehuis 
van lüijlen den Heer P. TEYLER VAN DER HULST te Haarlem. 
Het programma van het genootschap is op aanvrage bij Heeren 
Directeuren van Teyler's Stichting jaarlijks omstreeks 15 Novem- 
ber kosteloos verkrijgbaar. 



TEYLER'S TWEEDE GENOOTSCHAP TE HAARLEM. 



H.H. Directeuren van Teyler's Stichting en de Leden 
VAN Teyler's Tweede Genootschap hebben in hunne ver- 
gadering van 4 Mei 1918 hun oordeel vastgesteld over het 
antwoord, onder het motto: „Mensch, blijf strijden en vertrouw. 
E. Madach", ingezonden op de voor het jaar 1916 uitgeschreven 
prijsvraag, luidende: 



XI 



De hypothese van Rutherford, volgens welke 
een atoom zou bestaan uit een positief geladen 
kern waaromheen zich electronen bewegen, is in 
de laatste jaren zeer vruchtbaar gebleken en 
werd, ook in verband met de theorie der quant a, 
op vele verschijnselen toegepast. Daarom wordt 
gevraagd, de beteeken is en de waarde van deze 
hypothese en de reeds gemaakte gevolgtrekkin- 
gen te beoordeelen, en haar, zoo daartoe aanlei- 
ding wordt gevonden, verder uit te werken, of 
wel dienstbaar te maken aan de verklaring van 
verschijnselen die tot nog toe niet uit dit oog- 
punt werden beschouwd. 

Deze uitvoerige verhandeling heeft een zeer gunstigen indruk 
gemaakt. Er blijkt uit dat de schrijver het onderwerp geheel 
meester is en de uitgebreide daarop betrekking hebbende litte- 
ratuur grondig heeft bestudeerd. Het overzicht dat hij daarvan 
geeft, munt uit door duidelijkheid, en de wijze waarop hij de 
verkregen uitkomsten beoordeelt en aanwijst in hoeverre zij nog 
te kort schieten, getuigt van scherpzinnigheid en van een helder 
inzicht in de moeilijke vraagstukken die zich op dit gebied 
voordoen. 

Dat aan de theorie der quanta een ruime plaats is gegeven 
en dat de problemen die op de licht-emissie en de spectra be- 
trekking hebben, op den voorgrond zijn geplaatst, is gerecht- 
vaardigd door de uitkomsten die Bohk, Sommerfeld en anderen 
reeds hebben verkregen; de schrijver is terecht van meening 
dat het hoofdvraagstuk moet zijn, de bewegingen in het atoom 
te „quantiseeren", d. w. z. in aansluiting aan de theorie der 
quanta vast te stellen welke van de volgens de gewone wetten 
der mechanica mogelijke bewegingen in werkelijkheid zullen 
voorkomen en welke niet. 

De nadruk wordt er op gelegd, dat vooralsnog de grond- 
stellingen der quantentheorie met de klaesieke mechanica en 
electrodynamica in strijd zijn. Zoolang het niet gelukt is, tot 
«en goed samenhangende „quantenmechanica" te geraken, moet 
men zich er mede tevreden stellen, bij het quantiseeren althans 
een algemeenen vasten regel te volgen. Wat de schrijver in 



XII 



(leze richting gedaan heeft, verdient allen lof. Hij legt daarbij 
een grondige bedrevenheid in de wiskundige methoden der 
moderne mechanica aan den dag. 

Voor het opbouwen van een quantenmechanica zal ongetwijfeld 
Ehrenfest's hypothe.se der adiabatische invarianten van groote 
beteekenis blijken te zijn. Dit onderwierp wordt in het zesde 
hoofdstuk besproken, waarbij ook de gelukkige uitbreiding die 
J. M. Burgers aan de beschouwingen van Ehrenfest heeft 
gegeven, wordt uiteengezet. 

Menig bijzonder vraagstuk van grooter of kleiner omvang is 
door den schrijver opgelost en men vindt in zijn werk vele 
belangrijke opmerkingen die betrekking hebben op nagenoeg 
alle verschijnselen waaruit iets over de structuur der atomen 
kan worden afgeleid. 

Zonder eenige aarzehng kon woorden besloten, den schrijver 
den uitgeloofden prijs toe te kennen. 

Bij opening van het naambriefje bleek de schrijver te zijn 
de Heer J. M. Burgers, conservator van het laboratorium van 
Teyler's Stichting, i) 



') De verhandeling, die hierachter volgt, is ook opgenomen in de „Verhan- 
delingen uitgegeven door ïeyler's Tweede Genootschap" en bovendien als aka- 
demisch proefschrift uitgegeven. 



PROGRAMMA VAN TEYLER'S TWEEDE GENOOTSCHAP 

TE HAARLEM 

voor het jaar 1918. 

H.H. Directeuren van Teyler's Stichting en de Leden van 
Teyler's Tweede Genootschap hebben besloten voor het jaar 
1918 opnieuw de volgende, voor 1913 gestelde prijsvraag uit 
te schrijven: 

Zij verlangen eene geschiedenis der Noord- 
nederlandsche kl eederdrachten in de zeventiende 
eeuw, op te maken aan de hand der schilderijen, 
})renten en teekeningen uit dien tijd. 

Er b e 11 o o 1* t onderzocht te w o r d e n va n w aar o n z e 



XIII 

kleederdrachten hun oorsprong hebben genomen, 
wat er vreemds en wat er eigen in is. 

De verhandeling ga zoo mogelijk vergezeld 
van voor reproductie geschikte afbeeldingen of 
althans van nauwkeurige aanwijzing, waar deze 
te vinden zijn. Er worde tevens opgave gedaan 
van nog in Nederlandsche musea voorkomende 
kleedingst ukken uit dien tijd. 

Het woord kleederdrachten is in den ruimsten zin te nemen, zoodat 
ook het linnen, voor zoover uiterlijk zichtbaar, de hoofdbedekking, 
de haartooi, de lijfsieradien en het schoeisel er onder vallen. Desgelijks 
uniformen te water en te land, hof- en ambtsdrachten en dergelijke. 

Nederland is boven alle andere landen der wereld bevoorrecht door 
een buitengewoon groot aantal portretten en portretgroepen uit den 
bloeitijd van zijn bestaan. Den opmerkzamen beschouwer valt daarbij 
een groote verscheidenheid van kleederdrachten in het oog, gepaard 
met een verbazingwekkenden rijkdom aan lijfsieradien van goud, 
diamanten en paarlen, en aan kantwerk. 

Men heeft tot dusver nog niet getracht aan de hand der gedateerde 
stukken de ontwikkeling van onze oude kleederdrachten te schetsen 
en — op grond der verkregen resultaten — van tal van ongedateerde 
kunstwerken het jaar van ontstaan aan te wijzen en tevens met 
behulp der kunstwerken, waarvan de plaats van ontstaan met zeker- 
heid valt aan te wijzen, het onderscheid na te speuren, dat er tusschen 
de drachten in de verschillende plaatsen heeft bestaan, om ten slotte 
weder door middel der aldus verkregen kennis aan te toonen, dat 
b.v. het eene kunstwerk in Zeeland, het andere in Ovorijsel, het 
derde in Westfriesland thuisbehoort. Invloeden van buiten af o]) 
plaatsen dicht bij de grenzen of met uitgebreid vreemdelingenverkeer, 
ouderwetsche neigingen, zooals die bij personen op leeftijd voorkomen, 
verschillen tusschen arm en rijk, daagsche en zondagsche, zomer- en 
winterkleeding, tusschen den ongehuwden, gehuwden en weduwen- 
staat, voorliefde der artisten om de afgebeelde personen in phantasie- 
kostumes voor te stellen en wat dies meer zij, zullen bij dit onderzoek 
op den voorgrond treden en dientengevolge onderzocht moeten worden. 

De uitkomsten van een nauwgezet onderzoek zullen zoowel aan de 
Nederlandsche kunstgeschiedenis als aan de iconografische studiën 
ten goede komen. 

De prijs voor het best en voldoend gekeurd antwoord op deze 
vraag bestaat in een gouden eerepenning, op den stempel des 



XIV 



Genootschaps geslagen, ter innerlijke waarde van vierhonderd 
gulden, waarbij, als buitengewone toelage, eene som van ƒ 400 
gevoegd zal worden tot tegemoetkoming in de kosten, die aan 
de beantwoording der vraag verbonden zijn. 

De verhandelingen moeten in het Nederlandsch, Fransch, 
Engelsch of Hoogduitsch, met eene latijnsche letter, vooral goed 
en leesbaar geschreven zijn door eene ande^-e hand, dan die van 
den opsteller. Ook moeten zij vóór den bepaalden tijd in haar 
geheel worden ingezonden ; geene antwoorden, waaraan eenig 
gedeelte bij de inlevering ontbreekt, zullen tot het dingen naar 
den gemelden eereprijs worden toegelaten. 

De antwoorden moeten ingezonden worden vóór of op den 
isten April 1920, opdat zij vóór den l^^en ^q{ 1921 kunnen 
beoordeeld worden. 

Alle ingezonden stukken, foto's énz. blijven het eigendom des 
Genootschaps, dat de bekroonde verhandelingen, met of zonder 
vertaling, in zijne werken opneemt, zonder dat de schrijvers, 
anders dan met toestemming der Stichting, die mogen uitgeven. 
Ook behoudt het Genootschap aan zich het recht om van de 
niet bekroonde stukken zoodanig gebruik te maken als het 
raadzaam zal oordeelen, hetzij zonder of met vermelding van 
den naam des schrijvers ; in het laatste geval echter niet zonder 
zijne toestemming. 

Ook worden geene afschriften van de niet bekroonde stukken 
aan de schrijvers verleend, dan te hunnen koste. De in te 
zenden antwoorden moeten, zonder naam en alleen met eene 
spreuk onderteekend, vergezeld van een verzegeld briefje, dezelfde 
spreuk ten opschrift voerende en van binnen des schrijvers 
naam en woonplaats behelzende, gezonden worden aan het Fun- 
datiehuis van wijlen den Heer P. TEYLER VAN DER HULST 
te Haarlem. 



PROGRAMMA VAN TEYLER'S TWEEDE GENOOTSCHAP 

TE HAARLEM 

voor liet jaar 1919. 

HH, Djkkcteuken van Teyler's Stichting en de Leden van 
Teyler's Tweede Genootschap hebben besloten voor het jaar 
1919 de volgende j)rijsvraag uit te schrijven: 



XV 

Verlangd wordt e en e alphabetische lijst van 
penningen, munten, penningplaten (plaquettes) 
van metaal, aardewerk, porselein, hout, hoorn of 
eenig ander materiaal, waarop voorkomen por- 
tretten van personen, die in de Nederlanden ge- 
boren zijn of daartoe in nauwe betrekking hebben 
gestaan en die vóór den aanvang der 1 9^^ eeuw 
zijn vervaardigd. 

Frederik Muller gaf in 1853 zijn bekenden Catalogus van 7000 
portretten van Nederlanders uit, waarop van 1888 — 1891 een vervolg 
in 3 deelen van de hand van J. F. van Someren het licht zag. 

Van 1897 — 1905 verscheen van E. W. Moes een werk in 2 deelen : 
Iconographia Batava. Beredeneerde lijst van geschilderde en gebeeld- 
houwde portretten van Noord-Nederlanders in vorige eeuwen. 

Hebben wij over de gegraveerde en geschilderde portretten van 
Nederlanders, dank zij deze schrijvers, goede bruikbare werken, die 
het mogelijk maken om spoedig te vinden of er, en zoo ja welke 
geschilderde of gegraveerde portretten van een zeker persoon bekend 
zijn, eene dergelijke oi:)gave van penningen, munten en plaquettes, 
waarop portretten van Nederlanders voorkomen ontbrak tot heden 
toe, en deze leemte hoopt men door het uitschrijven van de hier- 
boven vermelde prijsvraag aan te vullen. 

Men wenscht uit te geven een dergelijk werk als dat van Moes, 
waarin de penningen, munten, enz., waarop portretten van personen 
voorkomen, die in de Noordelijke Nederlanden (of in de Zuidelijke 
vóór 1576) zijn geboren of daartoe in nauwe betrekking hebben 
gestaan, kort beschreven worden, zoover bekend met vermelding van 
den naam van den vervaarcliger, verwijzing naar de werken waarin 
de stukken worden beschreven en afgebeeld, met opgave van de 
materie waarvan zij zijn vervaardigd, maat in millimeters en aangifte 
der openbare of particuliere verzameling waarin de stukken zich bevin- 
den of, indien de origineele niet bekend zijn, de plaats waar van het stuk 
wordt melding gemaakt, (b.v. veilingcatalogus, boedelinventaris, enz.). 

Van personen, die slechts korten tijd tot de Nederlanden in nauwe 
betrekking hebben gestaan (als b.v. Alva, Requesens, enz.) is het de 
bedoeling slechts die penningen of plaquettes te vermelden, die ver- 
vaardigd zijn gedurende het tijdperk, dat zij tot ons land in nauwe 
betrekking stonden, zoodat b.v. stukken met Alva's portret, die 
vervaardigd zijn na zijn vertrek uit de Nederlanden niet vermeld 
moeten worden. 

Bij lederen naam zal eene korte biographische aanteekening ge- 



XVI 

voegd moeten worden, bevattende jaar van geboorte, overlijden, beroep, 
enz. Indien de afgebeelde op meer dan een munt, penning, plaquette, 
onz., voorkomt, zullen deze in chronologische volgorde moeten ver- 
meld worden. De voorzijde (het portret) zal meer uitgebreid moeten 
worden beschreven, daar dit hoofddoel is der verlangde lijst, eene 
beknopte aanduiding van de voorstelling op de keerzijde wordt voldoende 
geacht. Alleen wanneer het onbekende stukken betreft, niet in de 
vakliteratuur voorkomende of niet in afbeelding bekend, wordt eene 
meer uitgebreide beschrijving van de keerzijde verlangd. 

Het voornemen bestaat, om het werk van eenige platen te voor- 
zien, waarop in het bizonder nog weinig of niet bekende penningen, 
munten of plaquettes zullen worden afgebeeld. De schrijver gelieve 
aan te geven welke stukken naar zijne meening voor afbeelding in 
aanmerking komen. 

Komen op een penning of ander voorwerp de borstbeelden van man 
en vrouw voor, b.v. op den portretpenning van Cornb!.is van Aerssex 
en M.\RiA Pauw, dan worden de beide portretten beschreven op de 
letter van den naam van den man (dus hier op A), terwijl bij den 
eigennaam der vrouw (Pauw) hiernaar verwezen wordt. 

Aan het einde zal eene alphabetische lijst der vervaardigers van 
de portretten, met verwijzing naar het nommer waarin hun werk in 
het boek voorkomt, worden opgenomen. 

Eenige voorbeelden van beschrijving, hierachter gevoegd, zullen 
naar verwacht wordt, duidelijk maken hoedanige beschrijving men 
verlangt. 

43. Aerssen. Corxeus van, geb. te Delft 1646, Ontvanger-generaal 

van Holland, Zeeland en West-Friesland, overleden te 's-Gra- 

venhage 1728, geh. aldaar 13 Xov. 1678, en zijn vrouw Maria 

P.\uw, geb. te Delft 1653, overleden te "s-Gravenhage 1733. 

Naar rechts gewende borstbeelden. Omschrift: -|- H^ COR- 

np:lis van aerssen en vw maria pauw hr en 

yw VAN H0(;EHHEYDE. Onder de borstbeelden .1. POP- 
KES. F. 

Keerzijde : De beide familiewapens, waaronder een vers in 9 
regels en onderschrift. 

Penning in 1728 vervaardigd bij hun gouden bruiloft, die 
13 Nov. 1728 gevierd had moeten worden. 

DiRKs. Re}»ertorium IH. 374. Cat. Teyij:r pi. XV. 3. Zilver. 
62 ni.M. Verz. Teyler. Tin. Kon. Penningkabinet. 
408. Hermes, Pierre. Burgemeester van Maastricht van 1688—90, 
92—94, 98—1700, 1702—04, 06—08. 



XVII 

P: HERMES. J : U. D. APVD: MOSA = TRAIECTINOS. 
CONSVL .ET: XXXVI. I. M. F: (I. Mansel Feciï). Naar 
rechts gewend borstbeeld. Eenzijdig. 

Ivoor 80 X 62 m.M. Cat. F. L. J. Dumoulin (veiling April 
1896.) n°. 329. 
713. Kaeel V. Keizer. Koning van Spanje, Graaf van Holland, geb. 
1500, overl. 1558. 

Naar links gewend gekroond hoofd van den keizer binnen 
twee lauwertakken, onder het hoofd 1546. 

Keerzijde: opschrift op 5 regels. 

Legpenning van Gelderland. 1546. 

Van Mieris III. p. 126. Dugniolle 1649. 

Koper 29 m.M. Kon. Penningkabinet. 
Maria Stuart 1662 — 1695, gemalin van Willem III. 

Zie N° 1000. 
880. Pauw. Maria. 

Zie N^ 43. 
1000. Willem III, Prins van Oranje, Stadhouder van Holiand en 
Koning van Engeland, geb. 1650, overl. 1702 en zijn gemalin 
Maria Stuart, geb. 1662, overl. 1695, in 1677 gehuAvd. 

Voorzijde: De beide naar rechts gewende borstbeelden, om- 
schrift WILHELMVS ET MARIA REX ET REGINA BRIT- 
TANIGE. Onder de borstbeelden P. H. M. (Philipp Heinrich 
Muller). 

Keerzijde: De Engelsche maagd onder een Oranje- en Rozen- 
boom gezeten, met om- en onderschrift. 

Gedenkpenning bij hunne kroning te Londen, in 1689 ge- 
slagen. 

Van Loon IV, pag. 412 n°. 1. Franks II, pag. 681. 60. 

Zilver 55 m.M. Kon. Penningkabinet. 
1204. \\'illem V. (Willem Batavus), Prins van Oranje-Nassau, 
Stadhouder, geb. 1748, overl. 1806. 

Naar links gewend geharnast borstbeeld van den prins. Door 
Schepp. 

Cat. Oranje-penningen pi. XII, 1021. 

Intaglio. Cornalijn 23 X ^2 m.M. Kon. Penningkabinet. 
1418. Witt. .Iohan de. geb. 1625, overl. 1672, Raadpensionaris en 
Cornelis. geb. 1623, overl, 1672. Burgemeester van Dordrecht. 

Voorzijde: De beide naar rechts gewende borstbeelden, om- 
schrift + JOH. ET CORNE: DE WITT. 

Keerzijde : Binnen een door twee naakte kinderen vastgehou- 
den verdiept schild, de lijken der beide broeders aan de wippaal. 



XVIII 

Gedenkpenning bij hun moord geslagen, 1672. 

Van Loon III, pag. 90. n°. 2. 

Zilver 50 m.M. Kon. Penningkabinet. 

WiTT. CoRNELis DE. Burgemeester van Dordrecht, 1623—1672. 

Zie N°. 1418. 



De prijs voor het best en voldoend antwoord bestaat in een 
gouden eerepenning, op den stempel des Genootschaps geslagen, 
ter innerlijke waarde van ƒ 400. — 

De antwoorden moeten worden ingezonden vóór of op den 
isten Appii 1921, opdat zij vóór den l^^en Mei 1922 kunnen be- 
oordeeld worden. 

De verhandelingen moeten in het Nederlandsch, Franseh, 
Engelsch of Hoogduitsch, met eene latijnsche letter, vooral goed 
en leesbaar geschreven zijn door eene andere hand, dan die van den 
opsteller. Ook moeten zij vóór den bepaalden tijd in haar geheel 
worden ingezonden ; geene antwoorden, waaraan eenig gedeelte 
bij de inlevering ontbreekt, zullen tot het dingen naar den 
gemelden eereprijs worden toegelaten. 

Alle ingezonden stukken blijven het eigendom des Genoot- 
schaps, dat de bekroonde verhandelingen, met of zonder ver- 
taling, in zijne werken opneemt, zonder dat de schrijvers, anders 
dan met toestemming der Stichting, die mogen uitgeven. Ook 
behoudt het Genootschap aan zich het recht om van de niet 
bekroonde stukken zoodanig gebruik te maken als het raadzaam 
zal oordeelen, hetzij zonder of met vermelding van den naam 
des schrijvers; in het laatste geval echter niet zonder zijne 
toestemming. 

Ook worden geene afschriften van de niet bekroonde stukken 
aan de schrijvers verleend, dan te hunnen koste. De in te 
'zenden antwoorden moeten, zonder naam en alleen met een 
spreuk onderteekend, vergezeld van een verzegeld briefje, dezelfde 
spreuk ten opschrift voerende en van binnen des schrijvers naam 
en woonplaats behelzende, gezonden worden aan het Fundatieliuis 
van wijlm den Heer P. TEYLER VAN DER HULST te Haarlem. 



\ 



Conférences faites dans la Fondation Teyler. 

1916—1917. 



EuG. DuBOis, Over het ontstaan en de geologische geschiedenis 

van vennen, venen en zeeduinen. 
W. G. C. BiJVANGK, Spinoza en MoHère. 
W. VAN DER Vlugt, Dc oude Atheners en wij. 
H. A. LoRENTZ, Het licht en de bouw der atomen. 



1918. 

H. A. LoRENTZ, De electronentheorie (3 conf.). 



TABLE DES MATIÈRES. 

PAGE 

J, M. Burgers, Het atoommodel van Rutherford-Bohr . xxi, 1 
EuG. DuBois, Over het ontstaan en de geologische geschiede- 
nis van vennen, venen en zeeduinen 266 

W. G. C. BiJVANCK, Spinoza en Molière 294 

W. VAN DER Vlugt, Dé oude Atheners en wij 297 



J. M. BUEGERS. 



HET ATOOMMODEL VAN KUTHERFORB-BOHR. 



Deze studie over het atoommodel van Rutherford en Bohr, 
en over de problemen van de theorie der quanta welke daarmee 
in verband staan, is oorspronkelijk geschreven als antwoord op 
een prijsvraag, uitgeschreven door Teyler's Tweede Genootschap 
te Haarlem. Na de bekroning ervan hebben H.H. Direkteuren 
der Stichting goedgevonden dat ze tegelijkertijd voor mijn disser- 
tatie zou mogen dienen. 

Bij de uitgave bleek het wenschelijk in de oorspronkelijke 
tekst eenige wijzigingen aan te brengen. Voor een deel dank ik 
deze aan opmerkingen van Prof. Lorentz, en verder leek het ook 
mijzelf van belang op verschillende plaatsen iets in te lasschen, 
vooral in verband met nieuwere onderzoekingen. Deze verande- 
ringen of aanvullingen zijn, voor zoover het geen minder be- 
langrijke verbeteringen van de stijl, en dergelijke, betreft, aangeduid 
door ze in vierkante haken [ ] in te sluiten. De voornaamste 
aanvullingen welke ik heb ingevoegd zijn : bl. 67, noot 2) ; § 16, 
a), c) ; opmerking 4) bij § 22 ; noot H bij § 26 ; opmerking 4) 
bij § 28; § 28*; § 30, slot; § 34, slot; in § 36 het grootste deel 
der opmerkingen 1), o), 6); bl. 241, noot i); bl. 243, noot i). 
Naar aanleiding van de opmerkingen van Prof. Lorentz is 
o.a. de inkleeding van § 16, e) 2) en van § 31 eenigermate om- 
gewerkt en zijn o.m. toegevoegd: noot ^), bl. 28; noot -), bl. 36; 
noot 3), bl. 65; noot i), bl. 233. 

Aan den algemeenen gang van het werk is echter bijna 
niets veranderd. Indien ik het geheel overnieuw had kunnen 
opstellen, zou ik het in veel meer opzichten gewijzigd hebben, 
om verschillende kwesties beter uiteen te zetten dan nu is 
geschied. Zoo hadden b.v. de problemen welke samenhangen 
met de kwestie der „ontaarde systemen" duidelijker behandeld 
kunnen worden door onmiddellijk gebruik te maken van de op 
bl. 240/241 vermelde hypothese van Epstein; het in § 26 over 



XXIV 

de stabiliteitskwestie gezegde had meer naar voren gebracht 
kunnen worden; en vooral behoorde de behandeling van de 
meeste der in hoofdstuk I en hoofdstuk V genoemde problemen 
minder beknopt te zijn. 

Na de inlevering in het einde van Juli 1917 zijn verder over 
het behandelde onderwerp nog zeer vele artikelen verschenen. 
Het was me echter niet mogeli.jk op deze alle acht te geven ; 
slechts zeer weinige ervan zijn in de toevoegingen vermeld. Tot 
de voornaamste van de nieuwere onderzoekingen schijnen me 
te behooren de studies over atomen met meerdere ringen van 
elektronen. Deze zijn begonnen met een artikel van Debye, 
later gevolgd door werk van Vegard, Sommerfeld, Kroo (zie 
bl. 160 — 162; verder heeft Epstein nog eenige onderzoekingen 
gepubliceerd in Die Naturwissenschaften over het spektrum 
van Helium). Deze onderzoekingen hebben voornamelijk betrek- 
king op de verklaring der Röntgenspektra. — Vegard heeft ook 
een voorloopig schema opgesteld van de bouw van alle elementen 
van het periodiek systeem. Het is mij niet mogelijk geweest 
hierop in te gaan ; alleen zijn in de ingelaschte § 28* eenige 
kwesties besproken waarop men komt bij berekeningen over 
dergelijke atoommodellen. Bij deze systemen met veel elektronen 
zal men waarschijnlijk met groot succes gebruik kunnen maken 
van de rekenmethoden der astronomische mechanika (reeksont- 
wikkelingen der storingstheorie). Bij berekeningen over de spektra 
blijken de storingen van de verschillende elektronen op elkaar 
een belangrijke invloed te hebben ; het is wel mogelijk dat men 
elke baan numeriek zal moeten uitwerken, om tot definitieve 
resultaten te komen. 

Niet vermeld is een belangrijk artikel van N. Bohr : On the 
Quantum Theory of Line-Spectra, waarvan het eerste gedeelte 
(algemeehe theorie) in April/Mei 1918 verschenen is. Een groot 
aantal problemen van de quantentheorie wordt hierin besproken; 
enkele hiervan had ik zelf ook reeds nagegaan: l).v. het verband 
tusschen de frequenties die men verwacht volgens de quanten- 
theorie en volgens de klassieke theorie (Bohr, l.c. p. 15, 30; 
zie beneden § 32), en de gewichtsfunktie die men bij statistische 
problemen moet invoeren voor ontaarde systemen (Bohr, l.c. 
p. 26; zie beneden § 41, G, IT). Bohr geeft verder vele be- 
schouwingen over de ontaarde systemen, over de adiaba,tische 



XXV 

beïnvloeding van een systeem, over waarschijnlijkheidspro- 
blemen die optreden bij de uitstraling van energie, enz. 
Jjeidende gedachte hierbij is de overweging dat de formules 
van de quantentheorie bij groote waarden der quantengetallen 
asymptotisch moeten naderen tot die van de klassieke theorie. 

Ik mag hier niet nalaten mijn grooten dank te betuigen aan 
de hoogleeraren der Leidsche Universiteit bij welke ik gestudeerd 
heb. lu het bizonder geldt dit jegens de professoren Ehrenfest 
(mijn promotor), Kamerlingh Onnes en Lorentz, aan welke 
allen ik zeer veel te danken heb, en met wie ik steeds aan- 
genaam heb mogen omgaan. De tijd gedurende welke ik op het 
Kryogeen Laboratorium gewerkt heb is voor mij een prettige her- 
innering; en evenzoo die welke ik in Haarlem in het Natuur- 
kundig Laboratorium van Teyler's Stichting heb doorgebracht. 
Doch ook de professoren Kuenen, de Sitïkr, Kluyver en van 
DER WouDE zal ik steeds zeer erkentelijk blijven. 

Delft, Oktober 1918. 



VOORREDE. 



Omtrent de hierbij geleverde beantwoording der prijsvraag 
door Teyler's Tweede Ge^^ootsohap voor 1916 uitgeschreven: 

4 

„De hypothese van Ruïherford omtrent den bouw der 
atomen" 

zou ik gaarne eenige opmerkingen willen maken. 

Getracht is een zoo duidelijk mogelijk beeld te geven van 
Rutherfoed's theorie over de struktuur der atomen, en van de 
toepassing van de theorie der quanta hierop. In zeer veel punten 
zal blijken dat het werk niet is afgerond : het probleem der 
atoomstruktuur staat met zoovele andere vraagstukken der natuur- 
kunde in verband, en heeft in den laatsten tijd een zoo groote 
uitbreiding gekregen, dat ik me genoodzaakt zag vele kwesties 
slechts zeer onvolledig of in 't geheel niet te bespreken. Zoo er 
meer tijd beschikbaar was geweest had ik deze gaarne nader 
willen uitwerken. Ik heb gepoogd dit gebrek eenigszins te ver- 
helpen door te verwijzen naar de literatuur welke op deze punten 
betrekking heeft, 

In het bizonder is dit het geval met de theorie der radioak- 
tieve verschijnselen, en bij de vele kwesties waar de theorie der 
quanta in strijd is met de opvattingen der klassieke mechanika. 

Ook zijn van vele berekeningen uit de theorie der spektraal- 
reeksen slechts de hoofdzaken besproken: voor de nadere uit- 
werking der formules en voor de vergelijking met de experimen- 
teele resultaten is dan naar de literatuur verwezen (dit is b.v. 
gedaan met de theorie van Sommerfeld over de detailstruktuur 
der spektraallijnen en over de Röntgenspektra). 

Aan den anderen kant was het noodig tamelijk ver in te 
gaan op de grondgedachten van de theorie der quanta — waar- 
mee tengevolge van de onderzoekingen van Bopir, Sommerfeld, 
Epstein en vele anderen de theorie van den bouw der atomen 



XXVJII VOORREUK. 

ten nauwste verbonden is. Ik hoop dat hierdoor de theorie van 
RuTHERFORD niet op den achtergrond gedrongen is: overal is 
de theorie der quanta onmiddelHjk toegepast op het atoom- 
model (met uitzondering van een paar voorbeelden welke ter 
illustratie van enkele theorema's dienen). 

Ik heb mijn best gedaan de quantenonderstellingen zoo alge- 
meen mogelijk te formuleeren, en ze zooveel doenhjk tot een 
samenhangend geheel te vereenigen. Hierbij heb ik gebruik 
gemaakt van den vorm waarin K. Sohwarzschild de quanten- 
formules heeft uitgesproken. Het schijnt me toe dat de door 
ScHWARZscHiLD iugevocrdc hoekvariahelen en de daaraan toege- 
voegde kanonische momenten voor de ontwikkeling der quanten- 
theorie van zeer groot belang zijn. Door de invoering hiervan is 
de mogelijkheid geopend om bij zeer vele mechanische systemen 
quanten voorwaarden in te voeren, vooral doordat men gebruik 
kan maken van de rekenmethoden der astronomische mechanika 
(behandeling der storingsproblemen volgens de methode van 
Delaunay en Whittaker, wat voor de studie van vele samen- 
gestelde problemen van groot gemak is ; en verder de theorie 
der z.g. „periodieke soluties" en der oplossingen in de nabijheid 
ervan, welke ontwikkeld is door H. Poincaré). 

Bovendien kan men aantoonen dat de quantenvoorwaarden 
in den door Schwarzschild gegeven vorm in het algemeen 
eenduidig zijn, dat ze m.a.w. niet afhankelijk zijn van het 
koordinatensysteem waarmee het probleem behandeld is i). 

Aan den anderen kant doen zich echter bij deze problemen 
groote moeilijkheden van meerendeels mathematischen aard voor: 
de oplossingen der mechanische problemen worden gewoonlijk 
verkregen in den vorm van trigonometrische reeksontwikkelingen 
(meervoudige FouRiER-reeksen) naar de hoekvariahelen, en 
men komt dus voor de vraag of deze reeksen konvergeeren 
of divergeeren. Men komt hier in een gebied waarover door 
H. PoiNCARÉ vele onderzoekingen zijn verricht. Ik heb tot nog 
toe geen gelegenheid gehad mij in deze kwesties voldoende ver 

•) Zie hoofdstuk II, § 12. 

Hier zij noj^ vernield dat men op een eenvoudige en algemeene manier een 
verband kan aangeven tusschen de beide hypothesen der quantentheorie (de 
formules voor de quantenbewegingen, en de emissie-hypothese). Zie hoofd- 
stuk V, § 32. 



VOORREDE. XXIX 

in te werken. Er blijft op dit gebied nog zeer veel te doen, 
wil men een vasten grondslag aan de „quanten-mechanika" 
geven. Voorloopig moeten dus sommige theorema's over de 
hoekvariabelen onder voorbehoud worden aanvaard i). 

In het volgende is de stof ongeveer aldus verdeeld: 

Hoofdstuk I geeft een algemeen overzicht van de theorie van 
RuTHERFORD, iu Verband met de verstrooiing der alpha-deeltjes, 
de radioaktieve verschijnselen, enz. 

In II zijn de hoofdgedachten van de theorie der quanta 
besproken. Verschillende punten waar de theorie der quanta 
moeilijkheden oplevert, en kwesties die in verband staan met de 
uitstraling en de absorbtie van energie zijn afzonderlijk gereleveerd 
in hoofdstuk Y. 

In hoofdstuk III is de toepassing van de quantentheorie op 
systemen met slechts 1 elektron (model van het waterstof-atoom, 
enz.) behandeld, en de theorie der spektra van Bohr, Sommer- 
FELD en anderen. 

De systemen na et meerdere elektronen worden besproken in 
hoofdstuk IX. In § 26 is getracht een methode te ontwikkelen 
voor het opstellen der quantenvoor waarden, en is een vermoeden 
geuit in verband met de kwestie der instabiele bewegingen. 
Verder zijn de verschillende onderzoekingen van Bohr, Nichol- 
sox, Sommerfeld, Epstein (theorie der roteerende molekulen) 
kort uiteengezet. 

Tenslotte zijn in VI eenige opmerkingen gemaakt naar aan- 
leiding van de hypothese van Ehrenfest over de adiabatische 
beïnvloeding van een mechanisch systeem, en over enkele 
statistische problemen. 



•) Over de reeksontwikkelingen der astronomische mecbaaika zie men een 
interessant artikel van K. Sciiwarzschild, Über Himmelsmeclianik, Pbys. Zeitscbr. 
4, p. 765, 1903. — Verder natuurlijk: H. Poincaré, Les Métbodes Nouvelles 
de la Mécanique Geleste (in bet vervolg steeds geciteerd als Méc. Cél.), en ook: 
E. T. Whittaker, Encykl. Matb. Wiss. VI, 2, 12 en eenige opmerkingen in : 
Proc. Roy. Soc. Edinb. 37, p. 95, vgl., 1917. 

De reeksontwikkelingen schijnen als ze divergent zijn, in bet algemeen het 
karakter van asymptotwhe reeksen te hebben, zoodat ze toch voor berekeningen 
goed bruikbaar zijn (verg. H. Poincaré, Méc. Cél. II, Ch. VIII). 



Indien men vraagt een algemeen oordeel te geven over de 
hypothese van Ruthekford, moet men naar mij dunkt erkennen 
dat ze van zeer groot nut geweest is en ook nog zijn zal voor 
de ontwikkeling van ons inzicht in den bouw en de eigen- 
schappen der atomen. 

Aan de grondgedachten — dat een atoom een „planeten- 
stelsel" is, met een zeer kleine en zware kern als centraallichaam, 
en de elektronen als planeten : de hypothese van van den Broek 
over de grootte der kernlading; de splitsing der eigenschappen 
van het atoom in eigenschappen van de kern, en eigenschappen 
van het elektronensysteem — kan bijna niet meer getwijfeld 
worden. De experimenten over de verstrooiing der alpha-deeltjes, 
de radioaktieve verschijnselen, de eigenschappen der isotope 
elementen, en vele andere kwesties zijn alle in volkomen har- 
monie hiermee. Ook het algemeene karakter der Röntgenspektra 
levert een groote steun voor de theorie der „atoomnummers". 

Wat de speciale modellen betreft schijnt de bouw van het 
waterstof-atoom — behalve wat de kern aangaat — wel geheel 
vast te staan. Men moet wel als zeker aannemen dat een water- 
stof-atoom bestaat uit 1 kern, waaromheen 1 elektron loopt. 

De systemen met meerdere elektronen en die met meerdere 
kernen leveren nog de grootste moeilijkheden; vooral in verband 
met de kwestie van de stabiliteit der systemen. Tengevolge van 
de groote moeilijkheden die verbonden zijn aan het berekenen 
der bewegingen in deze systemen, welke op het oogenblik bijna 
onoverkomelijk lijken, kan men voorloopig nog weinig zeggen 
over de resultaten welke de theorie van Ruthekford in dit 
gebied zal kunnen opleveren. 

Verder is volgens de op het oogenblik geldende opvattingen 
de theorie over de struktuur der atomen onafscheidelijk ver- 
bonden met de theorie der quanta (gelijk ook reeds boven ver- 
meld is). Hierover durf ik zeer weinig te zeggen. Zooals bekend 
is staan de grondgedachten van de c^uantentlieorie geheel buiten 
de gewone opvattingen, en zijn ze op vele punten ermee in 



VOORREDE. XXXI 

«trijd. Wanneer men echter aan den anderen kant nagaat welke 
schitterende resultaten deze theorie in vele opzichten bereikt 
heeft, wordt men wel gedwongen aan te nemen dat ze een groote 
kern van juistheid bezit. 

Over deze problemen zal de verdere ontwikkeling der Natuur- 
kunde moeten beslissen. 

Leiden, medio Juli 1917. 



INHOUD. 



bl. 

Inleiding 1 

Hoofdstuk I: De theorie van Rutherford 3 

§ 1. Opmerkingen over het model van het atoom, voor- 
gesteld door W. Thomson en J. J. Thomson . . 3 

§ 2. Het atoommodel van Rutherford 7 

§ 3. Verstrooiing van alpha-deeltjes 10 

§ 4. Grootte van de kernlading 17 

§ o. Overzicht van de voornaamste hypothesen over 
den bouw en de eigenschappen der atomen, welke 

met de theorie van Rutherford samenhangen . 20 
Hoofdstuk II: De toepassing van de theorie der quanta 

op het atoommodel 25 

§ 6. De I*^ hypothese der quantentheoiie 27 

§ 7. Algemeene vorm van de quantenvoorwaarden. . 31 
§ 8. II® hypothese der quantentheorie : emissie van 

lichttrillingen 33 

§ 9. Opmerking in verband met het verschijnsel van 

DOPPLER 38 

§ 10. Uitwerking van de quantenvoorwaarden. ... 41 

.§ 11. Andere formuleering van de quantenvoorwaarden 47 

§ 12. Eenduidigheid der quantenformules 49 

§ 13. Opmerkingen over ontaarde systemen .... 52 
§ 14. Voorbeelden van systemen waarop de quanten- 
formules van § 10 kunnen worden toegepast . . 57 
§ 15. Opmerkingen over systemen die niet voldoen aan 

de voorwaarde B van § 10 63 

§ 16. Verschillende opmerkingen 69 



XXXIV INHOUD. 

bl. 
Hoofdstuk TIT: Problemen die betrekking hebben op de 

beweging van een enkel elektron 77 

§ 17. BeM'eging van een elektron om een vaststaand 
attraktie-centrum, met verwaarloozing van de 
afhankelijkheid der massa van de snelheid . . 78 

§ 1<S. Invloed van de beweging van de atoomkern . 92 

§ 19. Invloed van de veranderlijkheid der massa met 

de snelheid 97 

§ 20. Splitsing der spektraallijnen door een magnetisch 

veld (ZEEMAN-effekt) 104 

§ 21. Invloed van een elektrisch veld op de spektraal- 
lijnen (theorie van het ÖTARK-effekt) . . . . 113 

§ 22. Opmerking over het spektrum van roteerende 

molekulen 117 

§ 23. Enkele opmerkingen over kombinaties van ver- 
schillende storingen (ZEEMAN-effekt met inacht- 
name der relativistische korrekties, e.d.) . . . 122 

§ 24. Opmerking over hyperbolische bewegingen . . 129 

§ 25. Opmerking over de verschuiving van spektraal- 
lijnen door druk 131 

Hoofdstuk IV: Systemen met meerdere elektronen. . . 134 

§ 26. Algemeene beschouwingen 134 

§ 27. Kort overzicht van de onderzoekingen van Bohr, 
NiCHOLSON en Föpi'L over systemen met ringen 
. van elektronen 151 

§ 28. Opmerkingen over de spektra van systemen met 

meer dan één elektron 157 

§ 28*. De bouw en de berekening van atomen 'met 

meerdere ringen van elektronen 164 

§ 29. Opmerking over de quantentheorie van roteerende 

molekulen 177 

§ 30. Verschillende opmerkingen 184 

Hoofdstuk V : Verschillende problemen diu met de theorie 

van BoHR in verband staan 189 

§ 31. De tegenstellingen tusschen de hypothesen van 

Bohr en de elektronentheorie 18^ 

§ 32. Verband tusschen de beide hypothesen der quan- 
tentheorie 194 



INHOUD. XXXV 

bl. 

§ 33. Theorie van Einstein over de waarschijnlijkheid 

van de uitstraling en absorbtie van energie . . 197 

§ 34. Verschillende opmerkingen over de eigenschappen 

der „stralende energie" 200 

§ 35. Opmerking over de tweede quantentheorie van 

Planck 208 

§ 36. De dispersietheorie van Debye en Sommerfeld. 211 

§ 37. Opmerkingen over de magnetische eigenschappen 

van het atoommodel 227 

Hoofdstuk VI : Adiabatische beïnvloeding van een mecha- 
nisch systeem. Opmerkingen over statistische 
problemen 235 

§ 38. Beïnvloeding van een mechanisch systeem door 

uitwendige krachten. Adiabatische beïnvloeding.' 235 

§ 39. Opmerkingen over het bewijs voor de invariantie 

der P's 242 

§ 40. Voorbeeld van een adiabatisch proces, dat om 

een ontaardingsgeval heengaat 247 

§ 41. Opmerkingen over statistische problemen . . . 249 

§ 42. Opmerkingen over de statistika van het atoom- 
model van Waterstof 260 



EENHEDEN. 

In alle formules zijn de elektrische grootheden steeds uitge- 
drukt in de gewone elektrostatische eenheden; de magnetische 
in elektromagnetische eenheden. v 



VERBETERING. 

o 

Op bl. 166, bovenaan, moet R^ = 0,080 A.E. vervangen worden 

o 

door R2 = 0,086 A.E. — Overigens maken echter de hier opge- 
geven waarden voor de stralen der banen in het koper-atoom geen 
aanspraak op bizondere nauwkeurigheid ; ze dienen slechts om bij 
benadering een beeld te geven van de afmetingen van het systeem. 



INLEIDING. 



In 1911 is door Sir Ernesï Ruthebford de hj^pothese opgesteld 
dat een atoom zou bestaan uit een positief elektrisch geladen 
kern, waar omheen zich negatieve elektronen in verschillende 
banen bewegen. De grootte van de kern moet zeer gering zijn 
tegenover de afmetingen die men gewoonlijk aan de atomen 
toeschrijft ; de diameter van het atoom zou bepaald worden door 
de elektronenbanen. De lading van de kern is een geheel aantal 
malen de lading van een elektron ; in den normalen (neutralen) 
toestand heeft de kern juist zooveel elektronen om zich heen, 
dat de totale lading van het systeem nul is. Dit aantal is ongeveer 
de helft van het atoomgewicht. De massa van het atoom zetelt 
bijna uitsluitend in de kern i). 

Deze hypothese is door Rutherfoed oorspronkelijk ingevoerd 
ter verklaring van de uitkomsten gevonden bij de studie van 
de verstrooiing van alpha-deeltjes, wanneer deze door metaal- 
laagjes en dergelijke heen gaan. In het bijzonder dwong de 
waargenomen verdeeling der verstrooiingshoeken tot het aan- 
nemen van een sterk elektrisch geladen kern van zeer kleine 
afmetingen en groote massa in het atoom. 

Later is de hypothese verder uitgewerkt en gebruikt om andere 
verschijnselen te verklaren, zooals die der radioaktieve stoffen. 
De grootste ontwikkeling heeft ze echter gekregen sinds het in 
1913 aan N. Bohr gelukt is door toepassing van onderstellingen 
ontleend aan de theorie der quanta op de beweging der elek- 
tronen in het atoom, formules af te leiden voor de reeksen in 
de lijnen-spektra van sommige elementen. Spoedig daarna is de 
theorie van Bohr door anderen uitgebreid, en gebruikt voor de 



1) E. RuTHERFORD, Phil. Mag. 21, p. 669, I!)ll ; 27, p. 488, l'.iU. 



l INLEIDING, 

behandeling van verschillende bijzonderheden der .spektra (detail- 
struktuur der lijnen, enz.). Ofschoon het meerendeel dezer 
onderzoekingen betrekking hebben op het eenvoudigste atoom, 
nl, dat van waterstof, is hun succes toch zoo buitengewoon groot 
geweest, dat men wel moet aannemen dat in deze richting nog 
zeer veel bereikt kan worden. 

Aan den anderen kant is de ontwikkeling van de theorie der 
quanta in de laatste jaren hand in hand gegaan met de uit- 
breiding van de theorie van Bohr. Men kan echter niet zeggen 
dat door deze nieuwe theorieën de bouw der atomen en de oor- 
sprong der spektra verklaard zijn: integendeel, de h^'pothesen der 
quantentheorie zijn zoozeer in strijd met de wetten der mechanika 
en der elektrodynamika, terwijl ook de verhouding dezer hypo- 
thesen tegenover de „klassieke" theorieën nog geheel in het 
duister ligt, dat er een groote omwenteling noodig zal wezen, 
voordat alles een harmonisch geheel kan vormen i). 



') Voor een kort overzicht van de theorie van Rutherfuud en van eenige 
problemen die ermee in verband staan zie men ook : 

„A Discussion on the Structure of the Atom", Proc. Roy. 8oc. A 90, Meeting 
of March 19, 1914. 



HOOFDSTUK I. 
DE THEORIE VAN KUTHEEFORD. 



§ 1. OPMERKINGEN OVER HET MODEL 
^^'^N HET ATOOM, VOORGESTELD DOOR W. THOMSON 

EX J. J. THOMSON. 

Ideën over den bouw der atomen zijn reeds vroeg geuit, o.a. 
in verband met de voortplanting van het licht door de materie 
(dispersietheorieën) ; in verband met de spektra der elementen, 
met de elektrische en magnetische eigenschappen der stof, enz. 
Vooral hebben echter de groote ontdekkingen der moderne 
natuurkunde, zooals die der kathode-stralen en der radioaktieve 
verschijnselen en al hetgeen daarmee samenhangt, een grooten 
invloed hierop gehad. De studie van de kathodestralen had het be- 
staan aangetoond van de z.g. elektronen, deeltjes geladen met nega- 
tieve elektriciteit, welke een massa hebben ca. 1850 maal kleiner 
dan die van een waterstof-atoom, terwijl hun lading dezelfde is als 
van een eenwaardig negatief ion. Men kwam er spoedig toe te 
onderstellen dat deze elektrisch geladen deeltjes, welke men in 
de kathodestralen vrij waarnam, dezelfde waren als die welke 
men reeds sinds lang, ter verklaring van de elektrische en 
optische eigenschappen der materie, aangenomen had in de 
atomen aanwezig te zijn. Vele feiten hebben dit bevestigd, bv. 
de afgifte van elektronen door metalen die met ultraviolet licht 
of met Röntgenstralen bestraald worden, de door Prof. P. ZEE.Nr.\N 
ontdekte splitsing der spektraallijnen in een magnetisch veld, 



4 DE THEORIE VAN RUTHERFORD. [§ 1. 

en tal van andere. Het lag derhalve voor de hand te onderstellen 
dat de elektronen een belangrijke rol innemen onder de bouw- 
steenen der atomen. 

Voordat de theorie van Rutherford nader besproken wordt, 
lijkt het gewenscht een paar woorden te zeggen over een vroeger 
model van het atoom, afkomstig van W. Thomson i), en uit- 
gewerkt door J. J. Thomson 2). 

W. Thomson neemt aan dat een atoom bestaat uit een bol, 
uniform geladen met positieve elektriciteit, welke binnenin een 
aantal elektronen bevat. De materie bestaat uit een verzameling 
dezer atomen, welke juist zooveel elektronen bevatten, dat de 
elektrische kracht in een punt op grooten afstand van de atomen 
gelegen, nul is. De krachten tusschen atomen en elektronen 
volgen de gewone wetten' der elektrostatika. 

W. Thomson heeft eenige problemen onderzocht over het 
evenwicht der elektronen binnen het atoom, en over de 
werking van meerdere atomen op elkaar, en heeft getracht 
aan de hand hiervan verschillende eigenschappen der stof te 
verklaren. 

Een meer gedetailleerde theorie van de struktuur der atomen 
is hieruit ontstaan door een studie van J. J. Thomson over 
de rangschikking der elektronen binnen den positieven bol ^). 
J. J. Thomson gaat de stabiliteit van verschillende konfiguraties 
der elektronen na tegenover storingen van den evenwichts- 
toestand ; ter vereenvoudiging wordt daarbij ondersteld dat alle 
elektronen met groote snelheid ronddraaien om een as in het 
atoom, en dat allen in één plat vlak liggen **). 



•) W. Thomson, Livre jubilaire dédié a M. Bosscha, 4901 ; Baltimore Lec- 
tures, p. 451. 

») J. J. Thomson, Phil. Mag. 7, p. 237, 1904. 

') J. .1. Thomson I.c. 

^) In de berekening is niet gelet op de magnetische krachten van de rond- 
loopende elektronen. Evenzoo is de uitstraling van energie verwaarloosd. 

Met betrekking tot dit laatste kan echter opgemerkt worden, dat indien een 
ring van elektronen met gegeven omtrekssnelheid roteert, de straling per elektron 
des te f/eri/if/er is, naarmate de ring uit meer elektronen bestaat. 

Zie hierover: 

J. J. Thomson, On the Magnetic Properties of Systems of Corpuscles describing 
Circular Orbits, Phil. Mag. 6, p. 6H1, 1903; 

G. A. S( iKiTT, Electromagnetic Radiation (Cambr. 1912), p. 1U3. 



§ 1.] DE THEORIE VAN RUTHERFORD. 5 

Het statische probleem: de evenwichtsfigiiren van siUstaande 
elektronen, is behandeld door L. Föppl i). 

De voornaamste resultaten van dit onderzoek zijn : 

Voor 1, 2 of 3 elektronen is de rangschikking in een vlakke 
„ring" 2) steeds stabiel, onverschillig of de elektronen al of niet 
rondloopen. 

Voor 'Il = 4, 5, is de rangschikking in een ring slechts stabiel 
indien het systeem voldoende snel roteert ; is dit niet het geval, 
dan plaatsen 4 elektronen zich in de hoekpunten van een regel- 
matig tetraeder; 5 elektronen verdeden zich in een ring van 
3 met aan weerszijden 1 elektron. 

Vlakke ringen met meer dan 5 elektronen zijn instabiel, welke 
rotatie-snelheid de ring ook heeft; zij kunnen echter stabiel 
gemaakt worden (bij voldoend snelle rotatie) indien men in het 
centrum van den bol een negatieve lading van passende grootte 
plaatst. Thomson geeft hiervoor op: • ' 

aantal elektronen v/d. ring: 5 6 7 8 9 10 15 20 30 40 
neg. lading in het centrum : O 1 1 1 2 3 15 39 101 232 3) 4) 



Aan het artikel van Thomson is de volgende opgave ontleend: 

aantal elektronen straling per elektron: 

in den ring: (omtrekssnelheid van den ring: 

c . 10-1 cm. ; c . 10-2 cm. ) 

/^ ^ 1 ,9=1^ genomen ; ,S' = 1 genomen 

2 9,6*10-^ 9,6.10-* 

5 5,6.10-^' 5,6.10-13 

6 1,6.10-" 1,6.10-1" 

') L. Föppl, Stabile Anordnungen von Elektronen im Atom, Diss. Cröttingen 
1912. 

2) Nauwkeuriger uitgedrukt: 1 elektron in het centrum van het atoom; 2 elek- 
tronen diametraal tegenover elkaar; 3 elektronen in een gelijkzijdigen driehoek. 

*) Als eenheid van lading zal in het vervolg gewoonlijk gebruikt worden de 
lading van een eenwaardig ion, welke gelijk is aan de lading van het elektron. 
De grootte hiervan is volgens Millikan: 4,774.10—10 E. S. E. Zie: R. A. 
MiLLiKAN, Physik. Zeitschr. 14, p. 796, 191.^ [en Phil. Mag. 34, p. 16, 1917J. 

*) Bij afwezigheid van rotatie zijn volgens Füppr. (1. cl de volgende konfigura- 
ties stabiel: 

u ^ \: tetraeder; « = 5: een ring van 3 elektronen met aan weerszijden 
1 elektron; ;^ = 6: de elektronen plaatsen zich op de hoekpunten van een 
oktaeder; )i = l: ó elektronen vormen een vlakke ring, aan weerszijden hiervan 
bevindt zich een der overblijvende elektronen; /« = .S: twee ringen van 4 elek- 
tronen, die t.o.v. elkaar 45^ verdraaid zijn; bij » = 10, 12, 14 verdeelen de 
elektronen zich over twee ringen en twee ..polen". 



6 DE THEORIE VAN RUTHEKFOKD. [§ 1 

TiroMSON leidt hieruit approximatief af de verdeeling van een 
groot aantal elektronen over meerdere koncentrische ringen, 
waarbij aangenomen wordt dat de elektrostatisclie werking der 
binnenste ringen op een meer naar buiten gelegene berekend 
mag worden alsof de geheele lading der binnenste ringen in 
het centrum vereenigd was. Deze rangschikking der elektronen 
in verschillende ringen vertoont periodiciteitseigenschappen welke 
herinneren aan het periodiek systeem der elementen. Neemt men 
nu aan dat liet atoomgewicht van een element bei)aald wordt 
door het aantal elektronen in het atoom ^), dan kan men met 
dit model de chemische eigenschappen der elementen, si)eciaal 
wat betreft de valentie, eenigermate verklaren. 

Ter verklaring van de radioaktieve verschijnselen geeft Titomson 
de volgende voorstelling: de roteerende elektronen stralen energie 
uit, waardoor hun l)eweging langzamerhand geremd wordt. Op 
een gegeven moment is de rotatie-snelheid niet meer voldoende 
om het systeem stabiel te houden : er vindt een soort van explosie 
plaats in liet atoom, do elektronen nemen nieuwe evenwichts- 
standen in, en het is mogelijk (hit een deel van het atoom 
afgesplitst wordt, en met groote snelheid als alpha- of beta- 
deeltje wegvliegt -). 



') .]. .1. TiioMSüN, 1. c. p. 25S. 

Oorspronkelijk nam Thomson aan dat de geheele massa van het atoom aan de 
elektronen toegeschreven moest worden; waterstof zou dan oa. 1S50 elektronen 
per atoom moeten bezitten ; l.'ranium ca. 400000. 

LatiT leidde hij echter uit verschillende overwegingen uf dat het aantal elek- 
tronen van de orde van grootte van het atoomgewicht moest zijn (Phil. Mag. 
11, p. 7(J!), 1906). 

■■') Deze. opvatting is echter in strijd met het feit dat de sterftekans van een 
individueel radioaktief atoom onaJ'lianMijk Is van den ouderdoM van het (doom ^ zooals 
blijkt uit het exakt exponentieel verloop van de vervalkromnie. Zie: Kiitiikukoiu), 
Radioaktive Substanzen und ihre Strahlungen (Mah\' Handbuch der Hadiologie 
II. 1-eipzig 1913), p. 3(iS, niU. 



§ 2. HET ATOOMMODEI. VAN KT'TIIEKFORD. 

Vergelijkt men het model van liet atoom van Rutherford, 
zooals dat in de inleidino- reeds in lioofdtrekken besproken is, 
met dat van J. J. TTi(>>rsoN, dan verdienen de volgende punten 
de aandacht: 

1) In het model van Kltiiekfort» is de positieve lading ge- 
koncentreerd in een kern van zeer geringe afmetingen (voor 
afstanden kleiner dan lO'-^- cm moet de kern nog zoo werken, 
alsof de geheele lading in een punt gekoncentreerd is; zie 
beneden), terwijl in het model van Thomson de positief geladen 
bol de diameter van het atoom l)epaalt, en dus van de orde van 

grootte van een Angström-eenheid (10~^ cm) is. 

2) In het model van Thomson kunnen de elektronen staljiele 
konfiguraties innemen : de onderlinge afstooting der elektronen 
neemt af met liet kwadraat van den afstand, terwijl de attraktie 
door den positieven bol recht evenredig is met de Ie macht 
van den afstand tot het centrum. Bij Rutherford daarentegen 
volgen alle krachten de wet van Coulomr, en is het systeem 
in het algemeen niet stabiel i), tenzij men bijzondere hypothesen 
invoert omtrent de beweging der elektronen. (N.B. Voorloopig 
zal ()}) de stabiliteitsproblemen niet worden ingegaan, daar deze 
behandeld moeten worden in verband met de toepassing van 
de theorie der quanta op het atoommodel. Zie hoofdstuk IV, 
§ 20 en 27) -'). 

') Zit-: .1. \V. NiciiOLSON, Monthlv Notices Koy. Astr. Soc. 72, p. <JH2 vlg. 
l'.lli^ — Een atoom bestaande uit 1 kern niet slechts 1 elektron (waterstof) is 
natuurlijk steeds stabiel. — 

2) N. üdiiii (Phil. Mag. 26, ]i. -J, l-'l-'J' maakt de volgende opmerking: onder 
de grootheden die het model van Thomson karakteriseeren komt er een voor — 
de strnal van den positieven hol — die de dimensies heeft van een lengte en 
in grootte-orde overeenstemt met de afmetingen van het atoom, terwijl een 
dergelijke lengte niet voorkomt onder de grootheden die het andere atoom 
karakteriseeren (ladingen en massa's van elektronen en kern); ook kan een 
lengte niet alleen door deze grootheden bepaald worden. 



8 DE THEORIE VAN RUTHERFORD. [§ 2. 

Gelijk boven reeds vermeld is lipeft Rutherpord zijn theorie 
ontwikkeld naar aanleiding van de resultaten gevonden omtrent 
de verstrooiing van alpha- en beta-deeltjes door metaallaagjes, e.d. 

Laat men een bundel evenwijdige alpha-stralen door een laagje 
bladgoud gaan, dan blijkt dat de deeltjes uit hun aanvankelijke 
bewegingsrichting geworpen en naar alle kanten verstrooid worden. 
Deze afwijkingen uit de oorspronkelijke baan moeten worden toe- 
geschreven aan de „botsingen" der deeltjes met de metaal-atomen, 
en het ligt voor de hand deze „botsingen" geheel elektrisch op 
te vatten: d.w.z. te onderstellen dat de verandering der bewegings- 
richting ontstaat doordat de alpha-deeltjes door de sterke elek- 
trische velden binnen de atomen vliegen i). 

De reden die Rutherford geleid heeft tot het aannemen van 
een elektrisch geladen kern van zeer kleine afmetingen en groote 
massa in het atoom was het voorkomen van zeer groote afwijkings- 
hoeken (90° en meer), waarvan men moet onderstellen dat ze 
door een enkele botsing veroorzaakt zijn ^). De alpha-deeltjes 
moeten dus door buitengewoon sterke velden heengaan (poten- 
tialen van de orde van 1000 a 2000 E. S. E.) 3). Dergelijke poten- 
tialen komen niet voor bij het atoommodel van Thomson, tenzij 
de positieve bol of een bijzonder hooge lading heeft, of zeer 
klein is ■^). Rutherford heeft toen een atoom beschouwd waar 



') Misschien moet meu ook de Mar/netinclic velden in de atomen in rekening 
brengen (W. M. Hicks, zie literatuur-opgave aan het eind van § 3). 

'-) Geigkr en Marsden i Proc. Koy. Soc. A 82, p. 495 (1909), A 83, p. 492 
(1910)') hadden bij hun proeven over de verstrooiing van alpha-deeltjes o.a. 
het volgende gevonden: gaan alpha-deeltjes door een laagje bladgoud van ca. 
0,00004 cm dikte, dan krijgt ongeveer 1/20000 der 'opvallende deeltjes een gemid- 
delde afwijking van 90^, terwijl de waarschijnliike waarde van de afwijkingshoek 
ca. 0,87^ is. Indien de groote afwijkingen ontstaan door een toevallige super- 
positie van vele kleinere, zou de verdeeling der hoeken ongeveer door de foutenwet 
van Gauss beheerscht moeten worden : 

Men kan gemakkelijk inzien dat dan bij een waarschijnlijke afwijking /Jj<; = 0,87^ 
= 0,48//-, de kans op afwijkingen van 90^ en meer bijna absoluut nul is. De 
waargenomen verdeelingswet der afwijkingshoeken is een gelieel andere. 

') Een schatting krijgt men hiervan door te berekenen tegen welken potentiaal 
een alpha-deeltje met een aanvangssnelheid van b.v. 2.10'' cm kan oploopeu 
{V^ = M n/A e = ca. 1,3.10» E. S. E.). 

* ) Het eerste is niet waarschijnlijk op grond van de schatting van het aantal 
elektronen in het atoom. 



§ 2,] DE THEORIE VAN RÜTHEKFORD. 9 

de massa gekoncentreerd is in een positief geladen kern van zeer 
geringe grootte i), terwijl de elektronen op groote afstanden om 
de kern heenloopen, en heeft nagegaan wat voor verdeeling van 
de afwijkingshoeken dergelijke atomen zouden teweegbrengen. 
De gevonden resultaten bleken zeer goed overeen te stemmen 
met de experimenteele uitkomsten, en het was mogelijk uit de 
proeven af te leiden : 

1) een bovenste grens voor de grootte van de kern ; 

2) een approximatieve waarde voor de kernlading; 

3) vast te stellen dat de afstooting tusschen atoomkern en 
alpha-deeltje omgekeerd evenredig is met het kwadraat 
van den afstand. 



') Indien de kern niet de massa van het atoom droeg, zou deze om zoo te 
zeggen niet vast genoeg staan om de alpha-deeitjes uit hun baan te doen 
afwyken. 



§ 3. \'ERSTROOIING VAN ALPHA-DEELTJES. 

In het volgende zullen enkele hoofdpunten vermeld worden 
van de door Rutherford opgestelde theorie omtrent de ver- 
strooiing van alpha-deeltjes door materie. Voor verdere uit- 
werking der formules wordt verwezen naar de oorspronkelijke 
artikelen van Rutherford en Darwin ^). 

Zoolang men groote afwijkingshoeken beschouwt, mag worden 
aangenomen dat elke waargenomen afwijking ontstaan is bij een 
enkele botsing (z.g. enkelvoudige verstrooiing) ; de kans dat een 
alpha-deeltje tAveemaal achtereen in een dun plaatje een groote 
afwijking krijgt is zeer gering 2). Men kan dan ook volstaan met 
slechts de werking van de kern te onderzoeken, en den invloed 
der omringende elektronen verwaarloozen 3). 



») E. RüTHERroRii, Phil. Mag. 21, p. 669, 1911: 27, p. 488, 1914. 

C. G. Darwin, Phil. Mag. 27, p. 499, 1914. 
2) Om een afwijking te krijgen, grooter dan b.v. 5° moet de afstand van de 
oorspronkelijke baan van het alpha-deeltje tot de kern (iu fig 1: p^^ volgens de 
beneden gegeven formules kleiner zijn dan: 

p = 1/2 . ^/miu. . cot (5/2)° = ca. 4.10-11 cm, 
wanneer men de aanvangssnelheid van het deeltje gelijk 2.105 cm, en de kern- 
lading = 100 aanneemt. Nu liggen in een goudblaadje zooals door Geiger en 
Marsden gebruikt is per cm^ ca. 2,4.1018 atomen, zoodat de kans dat de oor- 
spronkelijke baan op minder dan 4.10-11 cm langs een atoomkern loopt, en dus 
de afwijkingshoek grooter is dan 5^, kleiner is dan : 

2,4.1018 . ;r (4.10-11)2 = ca. 0,012. 

De kans dat eenzelfde deeltje 2 keer achtereen een afwijking grooter dan 5'' 
krijgt is kleiner dan het kwadraat hiervan. 

') De werking van een afzonderlijk elektron is praktisch nul door de kleine 
massa (7400 maal kleiner dan die van een alpha-deeltje). De werking van alle 
elektronen tezamen kan men schatten door ze te vervangen door een uniform 
met negatieve elektriciteit geladen bol (zie Ritherkorh, 1. c). 

Bij kleinere afwijkingshoeken is het wel noodig rekening te houden met de 
samengestelde verstrooiing en met den invloed der elektronen. (Deze laatsten 
veroorzaken ook een remming van de alpha-deeltjes bij hun passage door het 
metaal; zie hierover: N. Boiih, Phil. Mag. 25, p. 10. 191.') . 



§ 3.] DE THEORIE VAN RUTHERFORD. 11 

Bij de berekeningen is verder aangenomen, dat de massa van 
een deeltje als onafhankelijk van de snelheid mag worden be- 
schouwd, -en dat geen energie of hoeveelheid van beweging .ver- 
loren gaat door uitstraling i). 

1) Verstrooiing door een metaallaagje. 

Ter vereenvoudiging wordt aangenom.en dat de kernen der 
metaalatomen onbeweeglijk zijn. Zij de lading van een atoom- 
kern : Ei^= Z .e; die van het alpha-deeltje E.2=^2 .e^); de massa 
van het alpha-deeltje is M2; de oorspronkelijke snelheid V. Onder 
den invloed van d^ afstooting door de atoomkern beschrijft het 
alpha-deeltje een hyperbool (zie fig. 1). 8telt men de loodlijn 



Fig. 1. Afstooting van een alpha-deeltje door een atoomkern. 
F, = atooniiern. 
OC = ff = ll'2 .'■^min. — halve reëele as van de hyperhool. 

uit de kern op de oorspronkelijke baan neergelaten gelijk j), dan 
is de hoek van afwijking D gegeven door: 

COt D/2 = 2.2ydrnin. (1) 

waar draia.^=2 Ei E2/M2 V- de kleinste afstand tot de kern 



') Voor zoover mij bekend is heeft men den invloed van de veranderlijk- 
heid der massa met de snelheid op de formules voor de verstrooiing niet 
nagegaan. 

Dat de uitstraling van energie, enz., verwaarloosd wordt, vermeldt Ritheri'OHI) 
expliciet (Phil Mag. 21, p. 675, 1911). 

2) Zie b.v. E. Ruïijerford, Die Radioaktiven Substanzen und ihre Strah- 
lungen (Marx' Handbuch der Radiologie II, Leipzig 1913), p. 100. 



12 DE THEORIE VAN RUTHERFORD. [§ 3. 

is die het alpha-deeltje zou kunnen bereiken als het recht op 
de kern aanvloog i). 

Alle alpha-deeltjes hadden bij de proef oorspronkelijk dezelfde 
snelheid in grootte en richting. Zij Q het aantal deeltjes dat 
per sekonde door 1 cm- vliegt, dan is het aantal deeltjes dat 
per sekonde een afwijking tusschen D en B -^ dD krijgt : 

Deze vliegen biinien een ruimteboek : 2 n: . sin D . dD. Dus 
komen er per sekonde door een vlakje van 1 cm^ op grooten 
afstand /• van het atoom : 

^^' = 1 oIf4^ '°'"''''''- (^> 

Heeft men te doen met een metaallaagje dat zoo dun is dat 
de alpha-deeltjes niet merkbaar geremd worden, en dat z atomen 
per cm^ bevat, terwijl de doorsnede van den bundel O cm^ is, 
dan moet dit aantal met z . O vermenigvuldigd worden 2)^ zoodat 
men krijgt: 

2) Verstrooiing door lichtere stoffen: invloed van de beweeglijk- 
heid der kernen. 

Door Darwin ^) is nagegaan hoe groot de verstrooiing wordt, 
wanneer men rekening houdt met de beweeglijkheid van de 
atoomkernen: hij komt tot de volgende resultaten: 

a) De massa van de kern (J/i) is grooter dan die van het 
alpha-deeltje {M2). Dan is: 

y_Q.z.0 E\El I , D , / Mi\' 

o-^-i')(ïy••■;•■'^) 

' Indien /;', . E.,_ negatief was lattraktie tusschen kern en alpha-deeltjes) vindt 
men dezelfde formule voor Z>; in de figuur zou dan de kern zich in ^j moeten 
bevinden (in dit geval is '/min. slechts een rekengrootheid). 

*) Bij groote afwijkingshoeken vliegen de alpha-deeltjes zoo dicht langs de 
kernen, dat elk atoom werkt alsof het alleen aanwezig was. 

3^ e. <;. Darwin, Phil. Mag. 27, p. 4iiit, HiU. 



§ 3.] DE THEORIE VAX RUTHERFORD. 1 



o 



Voor metalen met atoomgewicht grooter dan b.v. 50 (Fe, Cu, 
Au, enz.) is de korrektie die bij de formule van Rutherford 
komt kleiner dan 1,3 °/o. 

b) De massa der kernen van de verstrooiende stof is gelijk 
aan, of kleiner dan die van de alpha-deeltjes (verstrooiing door 
Helium of Waterstof). In dit geval krijgen de kernen van de 
verstrooiende stof groote snelheden bij de botsingen (vergelijk- 
baar met, vaak zelfs grooter dan die van de alpha-deeltjes). Door 
deze groote snelheden zullen de teruggestooten He- of ^-atomen 
evenals de oorspronkelijke alpha-deeltjes ionisatie en scintillatie 
kunnen geven i) ; hiermee moet rekening gehouden worden bij 
het tellen van het aantal verstrooide deeltjes (de formules hier- 
voor zijn door Darwix, 1. c. afgeleid). 

iJ-atomen kunnen een snelheid tot 1,6 maal die van een 
alpha-deeltje krijgen; hun draagwijdte („range") is dan vele 
malen grooter dan die van de laatste 2). 

3) Invloed van de ivet van afstooting tusschen kern en alpha- 
deeltjes. 

Indien men onderstelt dat de afstooting tusschen kern en alpha- 
deeltjes niet de wet van Coulomb volgt, maar b.v. evenredig is 
met r~", is het probleem in het algemeen niet meer geheel te 
berekenen. Darwin 3) heeft echter aangetoond dat men steeds kan 
aangeven hoe de verstrooiing van de snelheid der invallende 
, deeltjes afhankelijk is; hij vindt dat N evenredig is met: 

|^-4/(H-l) (0) 

(b.v. : n ^= 2 : N evenredig met T^-* 

?i = 3 : ' F- 2, enz.) 



Verge-lijking van de theorie met de experimenteele resultaten. 

In zijn eerste artikel geeft Rutherford een diskussie van de 
door Geiger & Marsden in 1909 en 1910 gepubliceerde resul- 
taten -1) 5). Voorzoover kon worden nagegaan stemden hun uit- 



') Deze scintillatie door de teruggestooten i7-atomen is experimenteel aan- 
getoond door Marsden (Phil. Mag. 27, p. 824, 1914). 

2) Zie hierover: E. RuTiiERroRD, Phil. Mag. 27, p. 492, 1914. 

^) C. G. Darwin, 1. c. p. 504. 

») E. Rutherford, Phil. Mag. 21, p. 680, 1911. 

5) Geiger & Marsden, Proc. Roy. Soc. A 82, p. 495, 1909; A 83, p. 492, 1910. 



14 DE THEORIE VAN RUTHERFORD. [§ 3. 

komsten bevredigend met de theorie overeen. Naderhand hebben 
Geiger en Marsden uitgebreide nieuwe reeksen van metingen 
gedaan i): hun voornaamte uitkomsten zijn: 
a) Een vrij goede bevestiging van de evenredigheid van N met 

cosec"^ ^1-2, voor afwijkingshoeken D van 150° tot 5°, waarbij 

iV varieerde van 1 tot 250000 (zie tabel, 1. c. p. 610). 
h) Bij dunne blaadjes van eenzelfde metaal is de verstrooiing 

evenredig met de dikte, dus met het aantal atomen per em- 

(1. c. p. 615). 

c) Bij blaadjes van verschillende metalen is bij gelijk aantal 
atomen per cm^ de verstrooiing evenredig met het kwadraat 
van het atoomgewicht (1. c. p. 617). Dus moet de lading van 
de kern Ei evenredig zijn met het atoomgewicht. 

d) De verstrooiing is omgekeerd evenredig met de vierde macht 
van de snelheid der alpha-deeltjes (1. c. p. 620). Dus is de 
afstooting tusschen kern en alpha-deeltje omgekeerd evenredig 
met de tweede macht van den afstand. 

e) Uit een absolute bepaling van het aantal verstrooide deeltjes 
werd afgeleid dat de kernlading van een atoom met atoom- 
gewicht A bedraagt: 

Ei=Z.e-^ll2.A.e. 

De mogelijke fout in deze waarde is ca. 20 °/o (1. c. p. 622). 

Verder dienen hier vermeld te worden de fotografieën van banen 
van alpha-deeltjes door gassen, welke door Wilson en Debendra 
BosE gemaakt zijn 2), Wilson heeft foto's gemaakt van de 
banen van alpha-deeltjes door lucht; deze banen zijn over groote 
afstanden rechtlijnig, doch vertoonen af en toe plotselinge om- 
buigingen, welke ontstaan zijn wanneer een deeltje vlak langs de 
kern van een atoom gepasseerd is. Dit is een direkt bewijs van 
de juistheid der opvatting van Rutherford, dat groote afwij- 
kingen bij een enkele botsing ontstaan. — D. Bose fotografeerde 
banen in waterstofgas ; het gelukte haar op 1038- gefotografeerde 
banen er 7 te krijgen die aan het einde vertakkingen toonden: 
de eene tak moet toegeschreven worden aan het alpha-deeltje 
zelf, de andere aan het teruggestooten waterstof-atoom. 



«) GElfiEK & MAitsbüN, Phil. Majr. 25, p. <;(>4. V.)\:i. 
*) C. T. R. Wii.soN, Proc. Roy. Soc. A 87, p. 277, 11)12. 
ÜKBtNDHA Bose, Phys. Zeitschr. 17, p. 388, 15)16. 



§ 3.] DE THEORIE VAN RUTHERPORD. 15 

Boven is reeds vermeld dat Marsdbn de scintillatie door de 
teruggestooten ^-atomen heeft kunnen aantoonen i). 



Op de theorie van de verstrooiing door een atoom volgens 
het model van J. J. Thomson, en op verdere kwesties omtrent 
de verstrooiing zal hier niet worden ingegaan. 

Slechts wordt naar de volgende literatuur verwezen : 

a) Verstrooiing door een atoom volgens het model van J. J. 
Thomson : 

J. J. Thomson, Cambr. Lit. & Phil. Soc. XV, pt. 5 (1910). 
E. RuTHERFORD, Phü. Mag. 21, p. 669, 1911. 

b) Verstrooiing van alpha-deeltjes door magnetische atoomkernen 
(„magnetonen"): 

^Y. M. HicKS, Proc. Roy. Soc. A 90, Meeting of March, 
19, 1914, p. 12, 16, en nader uitgewerkt: A 90, p. 356, 
1914. 

Prof. HiCKS onderzoekt de verschillende banen die een 
alpha-deeltje om of in de nabijheid van een magneton 
kan beschrijven ; formules voor de verstrooiing zijn hier 
echter niet uit afgeleid. 

c) Samengestelde verstrooiing („compound scattering") in de 
theorie van Rutherford : 

E. Rutherford, 1. c. p. 677. 

d) Verstrooiing van beta-deeltjes: 

Theorie van J. J. Thomson: Cambr. Lit. & Phil. Soc. XV, 
p. 5 (1910); 
van E. Rutherford: Phil. Mag. 21, p. 683, 1911; 

27, p. 491, 1914. 
Experimenteel onderzoek: J. Crowther, Proc. Roy. Soc. A 84, 

p. 226, 1910. 
Banen van beta-deeltjes vlak langs een atoomkern : C. G. 
Darwin, Phil. Mag. 25, p. 201, 1913. 

e) Absorptie van alpha-deeltjes : 

(1) C. G. Darwin, A Theory of the Absorption and Scat- 
tering of the «-Rays, Phil. Mag. 23, p. 907, 1912. — 
Darwin gebruikt als grondslag de theorie van Rutherford 
over den bouw der atomen, en gaat de werking tusschen 

') Marsden, Phil. Mag. 27, p. «24, 1914. 



16 DE THEORIE VAN RUTHERFORD. [§ 3. 

alplia-deeltjes en de elektronen van het atoom na. \^oorhet 
aantal elektronen per atoom worden waarden gevonden, 
liggende tusschen het atoomgewicht en de helft ervan. 
(2) K. BoHR, On the Theory of the Decrease of Velocity of 
Moving electrified Particles on passing through Matter, Phil. 
Mag. 25, p. 10, 1913. — Bohr gaat eveneens uit van 
de theorie van Rutherford, doch behandelt het probleem 
op eenigszins andere wijze, ^^oor het aantal elektronen 
wordt bij elementen van hooger atoomgewicht een waarde 
gevonden, van dezelfde orde van grootte als te verwachten 
is naar de theorie van Rutherford. In het bizonder komt 
Bohr tot het resultaat dat Waterstof 1, Helium 2 elek- 
tronen per atoom heeft. 



§ I. GROOTTE VAN DE KERNLADTNG. 



Volcrens het bovenstaande Ijlijkt de theorie van Kutherford 
in o-oede overeenstemming- te zijn met de waarnemino-en, en de 
onderstelHng dat in een atoom een positief geladen kern van zeer 
geringe afmetingen aanwezig is, welke kern de drager is van de 
massa van het atoom i), heeft groote waarschijnlijkheid. Wat de 
afmetingen betreft het volgende: De formules voor de ver- 
strooiing zijn afgeleid in de onderstelling dat voor de kleinste 
in aanmerking komende afstanden de kernen zich gedragen alsof 
hun lading in een punt gekoncentreerd is. Berekent men wat 
de kleinste afstanden tusschen kern en alpha-deeltje zijn die 
voorkomen, dan vindt men hieruit dat b.v. voor goud de straal 
van de kern kleiner moet zijn dan 3.10-^2 ^.^^^^ yoor Waterstof 
en Helium kleiner dan 1,7.10-1'^ cm 2). 

Van groot belang is nu vooreerst de grootte van de kernlading. 
Deze moet gelijk wezen aan het aantal elektronen dat de kern 
omgeeft, en uit de proeven van Geiger en Marsden is afgeleid 
dat ze ongeveer gelijk is aan de helft van het atoomgewicht ""'). 



') De elektronen om de kern dragen ook bij tot de massa van het atoom, 
doch slechts voor een zeer .klein bedrag. 

i) Zie E. RiïiiERroRn, Phil. Mag. 21, p. 671, 1911; 27, p. 493, 1914. 

Voor de straal van het elektron was berekend 2.1Ü- l'j cm, op grond van de 
veronderstelling dat de geheele massa van het elektron van elektromaguetischen 
aard v/as, en dat het zich gedroeg volgens de door Lorentz gegeven formules. 

(Daar volgens de formules der relativiteitstheorie de gewone of ware massa 
op precies dezelfde wijze van de snelheid afhankelijk is als de elektromagnetische 
massa volgens de formules van Lohünt/., is men door de experimenten over de 
massa van het elektron niet gedwongen tot deze veronderstelling). 

') Het aantal elektronen per atoom is langs geheel anderen weg berekend uit 
de verstrooiing der' Rmtgenstralen door Barki.a. Hierbij wordt verondersteld dat 
deze verstrooiing veroorzaakt wordt door de elektronen in het atoom, overeen- 
komstig de theorie van J. ^. Thomson (Conduction of Electricity tiirough Gases, 

2 



18 DE THEORIE VAN RUTHERFORD. [§ 4. 

Van den Broek heeft de hypothese uito^esproken dat de latiing 
van de kern g'elijk zou zijn aan liet raiujnumm.er van het element 
in h,et periodiek systeem i). Het waterstof-atoom zon de lading 1 
hebben, en dus bestaan uit een kern waaromheen één elektron 
loopt; Helium bezit de lading 2, Lithium 3, enz. Deze hypothese 
heeft grooten bijval gevonden. Va- ])leef echter nog (>ou onzeker- 
heid in de waarde van het rangnummer, daar het mogelijk is 
dat tusschen de bekende elementen n(\g andere behooren te 
staan -). Deze onzekerheid is grootendeels overwonnen door 
de onderzoekingen van Moseley over de Eöntgenspektra der 
elementen •"'). Moseley vond (wat latei' door anderen is beves- 
tigd) dat de Rc'intgon spek tra. 'monotoon van element tot element 
verandei-en, en dat de frequenties van de sterkste lijnen bij 
benadering kunnen worden voorgesteld door fr>nnules van den 
vorm : 

r^~A.{Z--hy (7) 

waar A en h konstanlcn zijn, afhankelijk van de beschouwde 

]). 'Ji')ï')). Aang^(»nomen wordt dat elk elektron met de invallende stralins; meetrilt 
alsof het geheel vrij was. IjAKKi.a komt tot de volgende resultaten: 

(1) Uit de experimenten is gehleken dat Röntgenstralen van korte golflengte 
door gelijke massa's van verschillende stoffen hijna even sterk verstrooid 
worden (bij lichte elementen geldt dit ook voor Röntgenstralen van grootere 
golflengte). Zie C. (1. Bakki.a & Miss .T. (t. ühni.op, Phil. Mag. 31, p. L>-22, 
1910. Het aantal elektronen is dus evenredig met het atoomgewicht. Uit ile 
absolute grootte van de ver.strooiing wordt gevonden dat dit aantal ongeveer 
de helft van het atoomgewicht bedraagt, (Zie C. (t. Barki \, Pliil. Mag. 21, 
p. 648, 1911, en C. (i. Bariu.a & Miss J, Cl. Düni.op, 1. c). 

(2) Bij waterstof is naar verhouding de verstrooiing tweemaal te gnmt, dit 
moet derhalve 1 elektron per atonm hebben (zie ('. (t, Bahki.a & Miss 
J. (t. DlJNl.ol', 1. c). 

Naar aanleiding van de theorit> van ,T. .1. Thomson dient nog het volgende 
ftpgemerkt te worden : 

(i) Hoe deze theorie te vereenigen is met de quantentliedrie der lichtstraling 
is nog niet verklaard. 

/j) Op grond van de radioaktieve verschijnselen neemt men aan dat «lok 
binnen in de kern elektronen kunnen ziju. Deze kern-elektronen zouden dan 
geen verstrooiing mogen veroorzaken, wat verklaard zou kunnen worden door 
te onderstellen dat ze zeer vast gebonden zijn (zie E. Ri"nii:ui-(inr), Phil. Mag. 
27, p. 4%, lill4). 

«) A, VAN riicN Brokk, Phys. Zeitschr. 14, p. :V2, 1913. 

*) Van oen Hhokk geeft in zijn artikel een tabel voor het periodiek systeem 
waarin nog vele nummers tusschen de bekende elementen ingevoegd zijn. 

•■•) H. (i. .1. Mnsi;i i.v. IMiil. Mau'. 26, ].. lOi'J. I'.tl:!; 27, ]>. 7<>;{. i:i||. 



§ 4.] DE THEORIE VAN RUTHERFORD. 19 

lijn, en Z het ran,e:nummer van het atoom is i). In de reeks 
van Aluminium tot Goud bleken slechts 3 plaatsen open te 
zijn: de nummers 43, 01 en 75. Alle anderen zijn door bekende 
elementen ingenomen 2). Aan Aluminium heeft men hierbij het 
nummer 13 o-eaeven, in de onderstellino; dat van AJ naar beneden 
o-een elementen ontl)]'eken •"') "*). 



' I Later zijn door A. SoMMKRFr:;i,D exaktere formules gegeven (Ann. d. Phvs. 
51, p. 125, vgl., 1916). (Zie hoofdstuk ITI, § 19). 

Het algemeene karakter der formules is echter hetzelfde gebleven : de frecjuen- 
ties der verschillende lijnen worden door één getal bepaald, dat van element 
tot element niet 1 opklimt. 

*) In de gevallen waarin de rangschikking der elementen in het periodiek 
systeem niet overeenstemt met de volgorde der atoomgewichten, heeft het onder- 
zoek der Röntgenspektra de rangschikking in het systeem bevestigd (^/- — K en 
Co--Ni: zie bij Moseley, l.c. ; Te — ./: M. Siegbahn, Verh. Deutsch. Phys. 
Ges. 18, p. 39, 1916). 

•') Zie over de nummers der lichtere elementen ook: E. Rutherforh en 
,T. M. NiJTTAT.i,. Phil. Mag. 26, p. 710, 711, 1913. 

Door somniiffe onderzoekers wordt vermoed dat ook beneden Aluminium nog 
elementen ingevoegd moeten worden, speciaal Coronimn en Nebulium. 7A^ hier- 
over: .J. W. NiCHOLSON, Monthly Notices 72, p. 49, 139, 677, 729 (1911/12); 
74, p. 204, 486, 623 (1914): verg. ook beneden, § 30, noot 1). — Hoe deze 
p-li'iiienten in het periodiek systeem moeten worden ondergebracht is niet bekend. 

Yei'der wordt nog vermoed dat een element Metaneon bestaat, dat echter isotoop 
zon zijn met ^eov^ en dus lietzelfde atoomnnmmer zou hebben. Zie hierover: 
J. .1. Thomson, Rays of Positive Electricity, London 1913, p. 116 en: F. Aston, 
Phys. Zeitschr. 14, p. 1303, 1913. 

M M. SiEGi'.AHN heeft de reeks uitgebreid tot Tranium (nunnni'r 92) Verh. 
Deutsch. Phys. Ges. 18, p. 150, 1916. 

Zie voor een algemeen overzicht van de Röntgenspektra: M. Siegbahn, Jahrb. 
d. Rad. u. Elektr. XIII, p. 296, 1916 (bevat nitgebreide tabellen). 



§ 5. OVERZICHT VAN DE VOORNAAMSTE HYPOTHESEN 

OVER DEN BOUW EN DE EIGENSCHAPPEN DER 
ATOMEN, WELKE MET DE THEORIE VAX RCTHERFORD 

SAMENPIANGEN i). 

(1) Een atoom bestaat uit een kom van zeer kleine afmetingen, 
welke positief elektrisch geladen is. De grootte van de positieve 
lading (d.w.z. de algebraische som van de in de kern aanwezige 
ladingen) is een geheel aantal malen de absolute waarde van de 
lading van het elektron. Dit aantal is hetzelfde als het rang- 
nummer van het element in liet periodiek systeem, en wordt 
aloomnummcr genoemd. 

De kern is omgeven door elektronen, wier aantal gelijk is 
aan het atoomnummcr. De elektronen zijn vermoedelijk in kon- 
centrische ringen of bollen gerangschikt; deze rangschikking is 
volkomen bepaald door de kernlading 2). 

(2) De eigenschappen van een atoom zijn te verdeelen in 
twee groepen : die welke bij de kern behooren, en die welke 
aan de elektronen te danken zijn. De laatste hangen af van het 
aantal en van de rangschikking ilci' elektronen, en zijn dus geheel 
bepaald door kct atoomnu'nmier. 

Eigenschappen welke aan de clektmneii moeien worden toe- 
geschreven zijn: 

a) De chemische eigenschap})en, welke samenhangen met de 
buitenste elektrone]i. Vermoedelijk behooren tot deze buitenste 
elekti'onen de z.g. „valentie-elektronen", welke de chemische 
verbinding van verschillende elementen teweegbrengen. Het 
aantal der buitenste elekti'onen scbijiit een (KMiigermat(> ]ie«rio- 

') Een samenvattende besjirekin^^ vaii de meeste dezer hyputliesen is gegeven 
door: K. Fajans, Das Periodische System der Elemeute, die radioaktiven Um- 
wandlungen iind die Struktur der Atorae, Phys. Zeitschr. 16, p. 4.%, 19ir). 

j^) Zie liierovor het in i^ 28* besprdkcn artikel van L. N'iicMiii ( Verli. Dentvdi. 
Phys. Hes. 19, \^. ;J44, liti?.)] 



§ 5.] DE TH1^:()K1K VAN RUÏHEKFÜRD. 21 

dieke funktie van het atoom nummer te zijn, wat de periodi- 
citeit der chemische eigenschappen ten gevolge heeft i). 
h) Het zichtbare spektrum, dat vermoedehjk ook met de buitenste 
elektronen samenhangt -). 

c) Foto-efektrische eigenschappen, ionisatie, enz., eveneens aan 
de buitenste elektronen toe te schrijven. 

d) .Het Röntgenspektrum, dat aan de binnenste elektronen te 

danken is, en dat geen periodiciteit vertoont, doch moiiotoon 
van element tot element verandert •"'). 

(3) Ue krrn van oen atoom schijnt een zeer ingewikkelde 
struktuur te bezitten, waarover zoo goed als niets bekend is. 
Vermoedelijk is de kern opgebouAvd uit i)Ositief geladen deeltjes 
(alpha-deeltjes of Helium-kcrnen (?)), en uit elektronen ■^). 

Door do struktuur van do kei'ii worden bepaald: 

a) J)o massa van de korn, on dus hot atoomgowicht van 
iK't olemont (afgezien van de zeer kleine bijdrage der elek- 
tronen) öj. 

b) De radioaktieve eigenschappen, welke verklaard worden uit een 
uiteeiiviillen van de kern. 

Zendt do kern van een atoom een alpha-deeltje uit, dan gaat 
het atoom over in een ander waarvan het atoommt/mmer 2 lager 
is, terwijl het atoomgewicht tennaastenbij met 4 afneemt "). Bij 
uitzending van een beta-deeltjc (een kern-elektron) neemt het 

[') Zie hierover het in § 28* geciteerde artikel van Vegard.] 

2) Zie hierover: Hoofdstuk UI, i< 17, slot |en § 28*.] 

') Over de elektronen tusschen de buitenste en de allerbinne'nste is weinig 
bekend. Ze zijn o.a. van belang voor de verstrooiing en de remming van alpha- 
en beta-deeltjes. 

^) 7Ae: N. Eoiir, Phil. Mag. 26, p. 500, 191.3; E. RuTiiKiiioKii, Thil. Mag. 
27, p. 495, 1914; K. Fajans, Pliys. Zeitschr. 16, p. 485, 1915. 

') Het atoonigewicht is bij benadering gegeven door de formule: 

yl = 2 . Z + Z'^/löO plus een grillige deviatie-funktie 

waarop ik gekomen ben door een opmerking van Prof. Eiirknkkst. 

Het atoomgewicht is echter niet eenduidig door liet atoomnunmuT Itepaald 
(zie onder (4): isotopen.) — Bij de elementen Ar—K, Go— Ni, Te-^J verandert 
het atoonigewicht in tegengestelden zin als het atoomnummer. 

".) Het atoomijewicht van het element neemt af met het atoomgewieht van 
Helium, plus een bedrag dat in ver1)and staat met de uitgezonden energie. 
Zie hierover: Pt. Swinne, Phys. Zeitschr. 14, p. 145, 191.'); K. Fajans, Phys. 
Zeitschr, 16, p. 459, 1915. 



22 DE THKO.KIE VAN KUTHEREOivD. [§ 5. 

atoomnummer met I toe; het atoonige wicht verandert zoo goed 
als niet ^). 

Op de radioaktieve verscliijnselen zeU' kan hier niet worden 
ingegaan; ik moet me beperken tot het vermelden van enkele 
problemen : 
(I) Zijn behalve de elementen met hooge atoomnummers (laatste 
afdeeling van het periodiek systeem) ook andere radioaktief ? 
Bij Kalium en Rubidium schijnt met groote zekerheid 
vastgesteld te zijn dat ze beta-stralen uitzenden -). 
(II) Er bestaat een verband tusschen de draagwijdte der alpha- 
deeltjes die een radioaktief element uitzendt, en de levens- 
duur van het element •'). 

Deze betrekking is van den vorm : 

Miog l — A-\- B AHog R, 

waarin : /. -= transi'ormatie-konstante ; 
ƒ(! ^r draagwijdte („range"); 
A en B zijn konstanten '). 
Men zie hierover: 
R. SwiNNE, Phys. Zeitschr. 13, }). M, vgl, 1'J12. (Swinne 

stelt ook eenige andere formules voor), 
F. A. LiNDEMANN, Notc OU the Life of Radioactive 8u})- 
stances and the Range of the Rays emitted, Pliil, 
Mag. 30, p. 5(30, 1915. 
LiNDEMANN Onderstelt dat in de kern N deeltjes aan- 
wezig zijn, welke een of andere periodieke beweging uil- 
voeren met de frequentie r. Passeeren alle deeltjes binnen 
een tijdsverloop t een „kritisch gebied" in de kern, dan 
wordt het atoom instabiel, en valt uiteen. De waarschijnlijk- 
heid voor het plaatsvinden hiervan is: {rr)^, w'aaruit volgt: 

transformatie-konstante X = {rvy^'. 
LiNDEMANN stclt UU : I' ^=z Ejli, Waar iii^ = energie van 

•) Cf. K. Fajans, 1. c. ]). 4(j<j („Verschuiviiigswetten"). 
) Cf. RuïiiiiHi'-OKij, Die Radioaktiven .Substanzen, enz. (Ii>li3), p. Ö2S. 
^) E. RiiTiiKRFORij, Die Radioaktiven 8ubstanzen, enz. (1913), p. 547. 
*) F. A. LiNi)KM.\NN — IMiil. Mag. 30, p. 560, 1915 — geeft liiervour i>\): 

T'riiiiiiiin-JvadiuiM-rcrks: A i^ — ."{(),'.) // = 5.'i,.'5. 

Tlii)riiiiii-rt'.ck.s: — ."JS,! 

Actiuiuni-reeks: — 39,G 



i 



11 
I) 



§ 5.] DE TIIEOKIK \ AX RÜTH KK I'OIID. 23 

het deeltje, en li = konstante van Planck, Voor E wordt 
genomen de energie van het uitgezonden alpha-deeltje, welke 
met de draagwijdte vei'honden is door de empirische formule : 

R = 1,35 . 1()8. E'^tK 
Dan is : 

Ig 1 = N . {Ig 5,70 . 10-^ + /(/ tt) + -2 . .V/3 . Ig R. 

Vergelijkt men deze formule met de empirische, dan blijkt 
dat V = 3/2 . B] in verband met de waarde van B (zie 
noot ■^), vor. blz.) volgt hieruit : 

N — 80. 

LiNDEMANN brengt verder de grootheid v in verband 
met den straal van de kern, enz. 

Een eenigermate analoog verband schijnt te bestaan 
tusschen de snelheid der beta-deeltjes en de transformatie- 
konstanten i). 

(III) Een radioaktief element dat beta-stralen emitteert zendt deze 
uit in homogene groepen, elk met een bepaalde snelheid '^). 

(IV) Niet opgehelderd is het verband tusschen bèta- en gamma- 
stralen •^). 

{Y) TiQQV eigenaardig zijn de splUsingcn in de transformatie- 
reeksen der radioaktieve elementen bij RaC, AcC, ThO, en 
misschien bij enkele andere ■*) ; verder ook de omzettin- 
gen waarbij geen alpha- of beta-stralen worden uitge- 
zonden 5) (Ac; MsTli 1). 

(4) Elementen kunnen verschillende kernstruktuur l)ezitten, 
terwijl de kernen toch dezelfde totale ladingen hel)]jen, zoodat 
het atoomnummer voor deze elementen hetzelfde is. Dergelijke 
elementen hebben dan verschillend atoomgewicht en verschillende 
radioaktieve eigenschappen; de rangschikking der elektronen 

') E. RuTHERroRD, Uic Radioaktiven Substanzen, enz. (19 lo), p. 540. 
R. SwiNNE, Phys. Zeitschr. 13, p. 17, 1912. 

2) E. RuTHERFORi), 1. c. p. 208, 552 (hier is ook verdere literatuur op- 
^ecreven-). - Verseliik ook P. S. Ei'Stein, Ann. d. 1'hys. 50, p. S15, 1916. (Zie 
benedeu, hoofdstuk III, § 24.) 

=*) Zie E. RuTHERFORD, 1. c. p. 225. 

^) E. RiïTHERFORD, 1. c. p. 607, vgl. - K. Fajans, Phys. Zeitschr. 16, p. 458, 469. 

5) E. Rutherford, 1. c. p. 608, 609. — K. Fajans, 1. c. p. 469. 



24 DE. THEORIE VAN KUTHERFORD. [§ 5. 

om de kern is echter hetzelfde, zoodat ze ook in alle onder (3) 
genoemde eigenschappen met elkaar overeenstemmen. In het 
periodiek systeem nemen deze elementen dezelfde plaats in ; 
men noemt ze isotopen i). 



') Tsotope elemeiilen. 

Het beste bestudeerd zijn de isotopen van UkkI. Voor de atuonigewichten is 
gevonden : 

Hadiolood \RaG\ onderzocht door HöNKiscii.MiuT: 206,06. 

^^Zie K. Fajans, Phys. Zeitsclir. 1. c. p. 47.-5.) 
Thoriunilüod {TliD^)^ onderzocht door F. Soimv: 207,70. 

(Nature 98, p. 46it, 1917.) 
(rewoon lood: 207,20. 

De atoomvolumina dezer loodsoorten zijn gelijk i^dus spec. gewicht evenredig 
met atoomgewicht). 

In dezelfde groep zit ook nog Actiniumlood [Ac Z'._j), dat een atoomgewicht 
ca. 207 moet hebben. Verder zijn er nog een viertal radioaktieve elementen van 
korte periode in deze groep: lial) (vervaltijd: 18 jaar, at. gew. ca. 210): AcB 
^36 min.; at. gew. 211?) ThB (10,6 uur; 212); RaB {21 min.; 214). 

Voor de andere groepen en voor de bewijzen der identiteit van de chemische 
eigenschappen van isotope elementen wordt verwezen naar het meermalen geci- 
teerde artikel van K. Fajans (p. 461, 471, 47(S). 

Overeenstemming van het gamma-stralen-spektrum van liaB en RaC met het 
Eöntgenspektrum van Pb en Bi: zie E. Rutherforü en C'. N. da C. Anoradü, 
Phil. Mag. 27, p. 804, 1914, en een opmerking van Dr. A. I). Fokker [Handel. 
XVIe Natuur- en (jeneesk. Congres (1917), p. 121. | 

Het verschil in de massa van de kern bij isotope elementen veroorzaakt kleine 
verschillen in sommige fysische eigenschappen; zie hierover: K. Fajans, Phys. 
Zeitschr. 16, p. 47S, 1915, en: Eister u. Geitel-Festschrift (Braunschweig 1915), 
p. 623. 

()pinerkl)iij . De atoomnummers der radioaktieve elementen — waaronder vele 
isotopen voorkomen — heeft men afgeleid: 

d) met behulp dei' vermelde verschaivingnwetlen (zie onder (3), b)), waarbij 

men één ervan als bekend moest aannemen (bv. Lood = 82); 
h) vooi' een aantal dezer elementen uit het onderzoek van M. Sik(;i'.aiin over 

de Köntgenspektra. 
De volgens beide methoden afgeleide atoomnummers stemmen onderling vol- 
komen overeen; hierin ligt een mooie bevestiging van de Iiypothesen van Rr- 
THLRFüRii en van van dkn Brukk. 



HOOFDSTUK II. 

DE TOEPASSING VAN DE THEORIE DER 
QUANT A OP HET ATOOMMODEL. 



Onder den naam „Quantentheorie" vat men eenige liy])ot]iesen 
samen, die betrekking hebben op de beweging en de uitstraling 
van energie van mechanische en elektrische systemen. Derge- 
lijke hypothesen zijn het eerst uitgesproken door Planck in zijn 
theorie der warmtestraling (1901); naderhand zijn ze gewijzigd 
en gegeneraliseerd, en vooral toen ze door N. Bohk en anderen 
toegepast werden op het atoommodel van Rutherford hebben 
ze een groote uitbreiding gekregen, zoodat men zeggen kan dat 
de jongste ontwikkeling der quantentheorie en de studie van 
den bouw der atomen hand in hand zijn gegaan. 

Het is er nog verre vandaan dat deze hypothesen een eeni- 
germate afgeronde theorie vormen; ook is men het niet eens 
over hun exakte formuleering. Ze zijn geheel in strijd met dat- 
gene wat men uit de klassieke mechanika en elektrodynamika 
afleidt, en tot nu toe mist men een algemeen princii)e dat aan- 
geeft in wat voor betrekking de klassieke theorie en de quan- 
tentheorie tot elkaar staan. Voorloopig is de quantentheorie te 
beschouwen als een stel rekenregels, waarvan het gel)ied van 
geldigheid wel zeer algemeen is, doch geen scherp omschi-even 
begrenzing heeft. Het valt echter niet te ontkennen dat deze 
rekenregels in vele gevallen tot schitterende resultaten geleid 
hebben i). 



[') In verschillende gevallen naderen de formules van de quantentheorie voor 
groote waarden der quantengetallen asymptotisch tot de formules van de klas- 
sieke theorie, zoodat het schijnt dat men de laatste up moet vatten als grens- 
geval van de eerste. J 



26 !»!■: T()KI'A.SSIN(. VAX DJ-: TllKOKlK UER i|L'ANrA 

De toepassing der quanteiiliypotheseii op Riitiieeford's theorie 
der atomen lieeft geleid tot geliool iiiemve opvattiiioen omtrent 
den oorsprong van de spektra der elementen. Het eerste groote 
resultaat in deze liditing ^V(•rd in 10] 3 bereikt door N. Bohk, 
aan wien het gelukte formules vooi' de spektra van Waterstof 
en Helium af te leiden, welke op verrassende wijze met de uit 
de experimenten gevondene overeenstemden. Later is dit werk 
voortgezet door So^r.\lEKFELD, Epstein, Debye, S(;hwarzschild 
en anderen; deze hehhen formules gevonden voor de detail- 
struktuur der spektraallijnen, den bouw der Röntgenspektra, den 
invloed van een elektrisch veld op het spektrum, en nog meer 
verschijnselen, welke formules zich algemeen onderscheiden door 
een bizonder goede quantitatieve overeenstemming met de waar- 
nemingen. 

In het volgende zullen deze theorieën l)esproken worden ; daarbij 
zal niet de historische ontwikkeling gevolgd worden, doch er zal 
getracht worden de verschillende berekeningen zooveel mogelijk 
van uit één gezichtspunt te behandelen. 



§ (3. DE Ie HYPOTHESE DER QUANTENTHEOKIE. 

Zooals boven reeds gezegd is hebben de hypothesen der quan- 
tentheorie betrekking op de beweging van mechanische en elek- 
trische systemen, speciaal op de beweging van systemen, bestaande 
uit elektrisch geladen deeltjes (elektronen enz.). Volgens de 
klassieke theorie moet men bij de berekening van de beweging- 
van dergelijke systemen letten op de werkingen tusschen de 
elektronen en het elektromagnetische veld. In het algemeen zal 
een zoodanig systeem energie en hoeveelheid van beweging uit- 
stralen, terwijl het veld een reaktie op de elektronen uitoefent 
welke hun beweging remt ij. 

Volgens de Ie hypothese der quantentheorie moet nu een der- 
gelijk systeem bepaalde, op nader te vermelden wijze door 
geheele getallen vastgelegde, bewegingen kunnen uitvoeren, 
waarbij deze uitstraling van energie niet plaats vindt, welke 
bewegingen geheel volgens de vergelijkingen der klassieke me- 
chanika berekend kunnen worden, zonder op de reaktie van het 
eigenveld op de elektronen te letten. (Ter afkorting zullen deze 
bewegingen aangeduid worden met den naam: quantenbewe- 
gingen). 

Aangenomen wordt hierbij dat een in beweging zijnd elektron 
een hoeveelheid van beweging bezit, welke bij groote snelheden 

gegeven is door de formule: G'= ^ , overeenkomstig 



V- 



c^ 



de vergelijkingen der relativiteitstheorie. 

In formules uitgedrukt: de beweging van een elektron wordt 
beheerscht door de LAGRANGE-funktie : 



') Zie enkele opmerkingen hierover: hoofdstuk V, tj 31. 

Een aantal problemen over de beweging van elektronen en de uitstraling van 
energie zijn uitgerekend door: (i. A. Schott, Electroraagn. Radiation, Cam- 
bridge 1912. 



28 TUEI'A.SSING VAN DE THEORIE DER QUANTA [§ (). 

L = — mc^[^[/ 1 — _lj+e|c^ ^ j 

waar q de elektrostatische potentiaal, a, a,j a^ de vektorpoteiiti- 
aleii van het uitwendige (d. w. z. niet door het beschouwde elektron 
zelf veroorzaakte) veld zijn i) -). (lading van het elektron : — c). 



') liij alle lunmileeriiigeii van liypotheseu uit ilc iiiiaiiteiitheorie denke iiicu 
steeds: dit schijnt zou te zijn naar de op het oogeublik geldende opvattingen. 
Bij de snelle ontwikkeling die de quantentheorie in de laatste jaren ondergaan 
heeft, is het zeer goed mogelijk dat men binnen korten tijd deze hypothesen 
anders en duidelijker kau uitspreken. 

[2) De vergelijkingen van Lagrangk: 

( —.- I ^^'Jj enz., 

dt Vc>:r / dx 

uit deze funktie afgeleid, leveren onmiddellijk de gewone bewegingsvergelijkin- 
gen voor het elektron. 
Men heeft vooreerst: 

O L 7nx e a,- ea ,■ 



dx ^ \— v^l(fi c 



e 



wanneer .«y.r , //,/ , //s de komponenten zijn der lioeveelheid van beweging van 
het elektron. Verder is 

d /c>L\ dq,- e / ^ a ,■ , • da, , • da, , • da,\ 
dt \dx/ dt c \ dt dx dij dz / 

daar de verandering der grootheden aanduidt, welke men meet zoo men met 

het elektron meegaat. 

De vergelijking wordt dus: 

dq, G /da,', • da, , • da, , • da,\ da , 



C \ dx dx dx J 



Derhalve: 
dt 



/ dfp 1 day\ e \ ■ /da,/ dax\ /da,, ^ciz\\ 

V dx C 'dl ) ~ C \^ \ dx ~ ^il J"^ K'dz ~ dxj\ 

=.-e(^E,^l \ylh-z //,!), 



waarin : 



§ 6.] OP HET ATOo^rMor)EL. 29 

Indien men, zooals veelal gedaan wordt, onderstelt dat de 
massa van een elektron van elektromagnetischen aard is, zou 
men de aanwezigheid van deze massa nog als een reaktie van 
het eigenveld van het elektron moeten beschouwen. 

De hypothese dat het systeem geen energie uitstraalt wan- 
neer het een quantenbe weging uitvoert, en dat de elektronen 
geen reaktie van hun eigenveld ondervinden, terwijl de bewe- 
gingen toch Volstrekt niet eenparig rechtlijnig zijn, is geheel in 
tegenspraak met de ideeën der klassieke elektrodynamika. Het 
schijnt niet mogelijk te zijn haar af te leiden uit bepaalde aan- 
namen omtrent de beweging van het elektron ; indien ze juist 
is, zou ze erop wijzen dat de grond vergelijkingen der elektro- 
nentheorie gewijzigd moeten worden, zoodat deze Avaarschijnlijk 
wel voor makroskopische systemen met groote elektrische ladin- 
gen, enz. gelden, doch niet voor systemen van de grootteorde 
van atomen. 

Voorloopig zal hiero}) niet nader worden ingegaan ; verschil- 
lende kwesties die hiero}) betrekking hebben zullen in een later 
hoofdstuk besproken worden. 

Men geeft de hj'pothese ook wel in den vorm : het systeem 
kan slechts de quantenbewegingen uitvoeren, en geen andere. 

?(jp 1 öa,- 

E,-^= -r-^ , enz. 

dx c ^t ' 

H, = ^ ~ , enz. 

de elektrische en magnetische veldsterkten voorstellen.] 

Men vergelijke in verband hiermee: 

K. ScHWARzsciiii.D, Gott. Nachr. Math. Phys. KI. Iil03, p. 127; 

G. A. SciioïT, Electroraagnetic Radiatiou (Camhr. 1912), p. 284, verg. (45G). 

Voor snelheden klein t.o.v. de snelheid van het licht wordt de funktie van 
Lagrangk: 

i, = _L^(^24-,;2_|_,2) + , j .... j. 

Indien men rekening wil houden met de gravitatie, zou ze den vorm krijgen: 

L = — m (■ 1 / ^ </„ ,. Xfi X, — c ^ q ,,< X/t 

^ flV f* 

• d x,t 

waar X4 — t ; Xf, — ■ ^J^' 



30 TOEPASSING VAN DE THEORIE DER QUANTA [§ 6. 

Ze ZOU dan misschien op alle mechanische systemen moeten' 
worden toegepast, onverschillig of er elektrisch geladen deeltjes 
in aanwezig zijn of niet i). 

Nog een geheel andere formnleering is de tweede quanten- 
theorie van Planck. Deze sluit echter meer direkt aan hij de 
problemen der statistische mechanika; ze zal hier voorloopig 
niet besproken worden 2). 

De quantenhypothese brengt (tenminste in haar tegenwoordige 
formuleering) geen direkte wijziging in de formules der gewone 
mechanika; de berekening der quantenbanen geschiedt geheel 
volgens de klassieke methoden (afleiding der bewegingsvergelij- 
kingen uit de funktie van Lagrange of uit die van Hamilton, 
enz.). Zijn de bewegingsvergelijkingen geïntegreerd, dan worden 
door middel van de quanten voorwaarden de integratiekonstanten 
geheel of gedeeltelijk vastgelegd. (Zie beneden.) 

De stabiliteitsproblemen bij het atoommodel schijnen er echter op 
te wi,jzen, dat men misschien ook deze grondprincipes zal moeten 
wijzigen, b.v. in dien zin dat de door de quantenvoorwaarden vast- 
gelegde bewegingen stabiel zijn. (Zie hierover: hoofdstuk IV, § 26.) 

Een moeilijke kwestie is ook de wisselwerking tusschen ver- 
schillende systemen, b.v. de molekulen of atomen van een gas. 
Indien de bewegingen van elk molekuul of van elk atoom door 
quantenvoorwaarden bepaald zijn, hoe beïnvloeden ze dan elkaar's 
beweging? ^). 

Een belangrijke hjqiothese die in nauw verband staat met de 
(luantentheorie is de adiahateiihypothcse van Ehrenfest '^). Deze 
zal later afzonderlijk l)esproken worden (hoofdstuk VI, § 38). 

'i l)it komt (lus uciT op de vraan': is ili' iiiiaiitenli_v|»otli('St' een algeiueene 
mechanische hypothese, of behoort ze tot de elektiodynaniika? Echter heeft 
deze opiuerkiiiü; meer een formeel karakter dan een fysisch, daar v(ilD;ens de 
moderne opvattinojen alle materie uit elektrisch s^eladen deeltjes hestaat. 

*) Zie hierover: Hoofdstuk V, § 35. 

') P.ij een vast lichaam moet men waarschijnlijk het geheel als één systeem 
beschouwen. Hiero]i wijzen vele onderzoekingen, zoowel van experimenteelen aard 
(b.v. ouflcrzoek van de struktiiiir der kristallen met Röntgenstralen), als theore- 
tische (speciaal die over de soortelijke warmte). Dan treedt deze moeilijkheid 
niet op. 

Zie over problemen die oj) gassen betrekking hebben: !:j 1.^), m en ,^ .'W. 

*^ P. KiiKKNi-icsT, Versl. Akad. Amsterdam XXV, ]). 412, llUO. 

Zie ook: .1. M. l'.nicKits. ibidem. XX\', y. Sll). '.»1S. lo:,-.. IHIC/IT. 



§ 7. ALGEMEENE VORM VAN DE QUANTEN- 
VOORWAARDEN. 

Zij geo;eveii een mechaniscli systeem van ƒ _gra(len van vrijheid ; 
aan^-enomen wordt dat de tijd niet expliciet in de bewes^ings- 
vergelijkingen voorkomt, zoodat de totale energie van het systeem 
gedurende de beweging konstant is i) -). Volgens de klassieke 
meehanika bezit een zoodanig systeem een kontinuum van ex 2/ 
mogelijke banen, daar bij de volledige integratie "der bewegings- 
vergelijkingen 2 f integratiekonstanten C[ C2/ worden 

ingevoerd, wier waarden een kontinuum van 2 f afmetingen 
kunnen doorloopen. De /'' quantenhypothese luidt dan : 

De quantenbeiregingen van het systeem, zijn die bewegingen, waar- 
voor de integratielconsianten c^ . . . . co/ voldoen aan h betrekkingen 
van. den. vorm: 

Yiicx .... C2/)^= Ui.h {i—l...k) {A) 

Tn deze formule zijn de ;',• bepaalde funkties van do e's ; li is 
een door Planck ingevoerde universeele konstante, van de 
dimensies: energie mmil tijd {l^mt-'^); de waarde ervan is vol- 
gens MiTJJKAX: 

/?, — 6/)7-l<^~-' erg-sek. 2). 

') Deze or.derstellino; geldt niet indien het systeem onder den invloed staat 
van niet den tijd veranderlijke uitwendige krachten. Prohlenien waarbij derge- 
lijke krachten optreden, komen o.a voor bij de theorie van de adiabatische beïn- 
vloeding van een systeem (Rhhenfkst, l.c. — zie .^ 38), en bij de theorie der 
dispersieverschijnselen, (Zie § 36.) 

2) Indien in de funktie van L.\(ii!AN(iF. / niet expliciet voorkomt, is een der 
integralen van de bewegingsvergelijkingen : 

^ . dL 
— fj-l- ^ fj; . — r- m « =L konstante. 
1 '^7'- 

Uitgedrnkt met de funktie van Hamiiton: 

H=: «^= konstante. 
De totale energie wordt gedefinieerd als de waarde «lezer konstante a. 
■-) K. A. MiM.iKAN, Phys. Review VIT, p. 3.^).0. Mrt. 191G; Phys. Zeitschr. 17. 
p. 219, 1916. 

[In Phil. Mag. 34, p. 16, 1917 geeft Mim.ikan op: //== (6,547 + 0,011 1. 10 27 

ercf. sek.l 



32 DE TOEPAf^SINn VAN DK THEORIK DEK (JUANTA [§ 7. 

De getallen /*,• kunnen alle mogelijke positieve geheele waarden 
(loorloopen i). 

Men kan dit met een kleine wijziging ook aldus uitdrukken : 
voer in plaats van de konstanten Ci . . . . C2/ een nieuw stel in: 
/] . . . /o/. Hiei'van zijn •/]... /k de boven reeds genoemde funkties 
der e's; yj, + i . . . /oy zijn op willekeurige wijze hieraan toegevoegde 
funkties ervan, echter zoo dat men een stel verkregen heeft, waarin 
r\ . . . C2f kunnen worden uitgedrukt. Dan zijn de quantenbewe- 
gingen van het beschouwde systeem hierdoor gekarakteriseerd : 

//. + 1 • • • y-zf kunnen een kontinu gebied van waarden doorloopen ; 

•/] ;-/, kunnen sleclits diskontinu veranderen: ze kunnen 

slechts (Ie waai'dcn hebben- 

/,; = 7ii .h (?:—!... Je) 

De vorm en het aantal (k;r funkties / zal beneden (§ 10) wor- 
den besproken ; hier zij slechts vermeld <lat hun aantal k hoogstens 
gelijk in aan ƒ, het aantal graden van vrijheid van het systeem. 
Hun vorm is steeds zoo, dat indien men de totale energie « 
van het systeem (welke een funktie is van de r-'s) uitdrukt in 
de ;''s, deze uitdrukking alleen y\ . . . . •/{,■ bevat: 

De waarde van de energie is dus steeds door de fpmntengetallen 
n\ . . . Uj,- vastgelegd. 

Deze eigenschap is van groot belang. 

') In sommige gevallen moet de waarde nul worden uitgesloten; voor een 
voorbeeld zie men het volgende hoofdstuk, hl. 82. 

Aan den anderen kant komt het ook voor dat een quantengetal alle positieve en 
nfffatit've geheele getallen kan doorloopen; dit treedt b.v. op bij rotatieproblemen, 
waar het teeken van het ijuantengetal samenhangt met de richting der bewe- 
ging. (Zie i^ 16, d.) 



§ 8. IP' HYPOTHESE DER QUANTENTIH^ORIE: 
EMISSIE VAN LICHTTRILLINGEN. 

Als II'' hypothese van de quantentheorie wordt aanejenomen 
dat een S3^steem disJcontinu energie kan uitstralen. \"an tijd tot 
tijd kan het systeem uit een be[)aalden bewegingstoestand 1 in 
een anderen toestand 2 „overspringen", waarbij de quantenge- 
tallen van een stel gebeele waarden u\ . . . n^ overslaan op een 
ander stel geheele waarden n'f , . . nl. Deze verandering kan 
spontaan geschieden, d. w. z. zonder dat uitwendige oorzaken 
werkzaam zijn i); ze verloopt in zoodanige richting dat de totale 
energie van het systeem afneemt 2). 

Het overschot aan energie: 

«(nj . . . ?i[.) — «(//2 . . . nl) 

wordt uitgedraaid in den vorm van lichttrillivgen. met een. frequentie 
v\_2 bepaald, door de vergelijking : 

^ • ^i.2== «(n} ...n\ )-u{n] . . .nl) . . . . ^) (B) 
Deze betrekking is het eerst door Rour opgestebM): met 

') Vergelijk § 83. 

*) a) Het geval is denkbaar dat het systeem in twee toestanden 1 en 2 

dezelfde totale energie bezit. Het is mogelijk dat ook in dit geval een 

spontaan overspringen van 1 naar 2 of omgekeerd kan ))laats hebben. 
bi Men voert ook wel de hypothese in: slechts die overgangpn kunnen 

spontaan plaats vinden, waarbij de quanten getallen afnemen. 

Hierbij valt op te merken; 

(1) Uit waarnemingen over de detailstruktuur der lijnen moet men 
besluiten dat er gevallen voorkomen waarin sommige der (jii:ui- 
tengetallen toenemen. Zie beneden § 16, e). 

(2) Men kan de vraag opwerpen: gaat een afname der energie steeds 
samen met een afname der quantengetallen ? Zie § 16, d), 2). 

*) Met de letter r zal steeds een aantal trillingen per tijdseenheid {s^ekonde) 
worden aangeduid; de letter w heeft betrekking op het aantal trillingen in don 
tyd 'lit. 

*) N. BoiiR, Phil. Mag. 26, p. 1. I'.M:}. 

3 



34 TOKPASSING VAX DE THEORIE DER QUANTA [§ 8. 

beliulp hiervan is het mogehjk geworden de spektni van ver- 
schillende sj'-stemen (b.v. H, He +) te berekenen. 

Evenals de Ie hypothese staat ook de Ile tegenover de elek- 
trodjniamika i). Ze dwingt tot geheel nieuwe ideeën over de 
emissie van licht; het inechanisme ' hiervan is echter geheel 
duister. Zeer merkwaardig hierbij is het volgende, dat Prof. 
H. A. LoRENTz opgemerkt heeft: Indien een sj^steem uit meer- 
dere zich bewegende deelen bestaat, zooals b.v. een iï-atoom, 
waar kern en elektron beide bewegen, of een roteerend molekuul 
waaromheen een elektron loopt, is de totale energie « over de 
verschillende deelen van het systeem verdeeld. Toch wordt bij 
een „katastrofe" van het systeem de door het geheele systeem 
verloren energie in één lichtfrequentie uitgezonden 2). 

De berekening van de s])ektra van verschillende atoommo- 
dellen door middel van deze hypothese heeft echter een zoo groot 
succes gehad dat men haar juistheid wel moet erkennen. 

De emissie-hypothese van Bohr levert ook een bizonder mooie 
en eenvoudige verklaring van het komhinatie-principe van Ritz '^) : 
zijn «1 «2 «3 de waarden der totale energie bij drie verschillende 
quantenbewegingen, dan moet het systeem de frequenties -kunnen 
uitstralen : 

«1 «2 _ «1 — «3 _ «2 «3 



Vi.2 — —^ — ; »'i.3 = — i — ; ''2.3 



h ' ""^ h ' ""^ h ' 

welke voldoen aan de betrekking: 

^2.3 -— ''l.'! ''1.2- 

Do z.g. „termen'^ welko in de spektraall'oi-inulcs optreden krij- 
gen nu de beteekenis van energie-trap prn '). 

BoiTR lieeft — om tot overeensteniming te komen met de wet 

') Er zijn grensgevallen ir aar de lii/polhese van BoiiK hetzelfde remUaui oplevert 
ah de klasniekr theorir. V/w. lii erover § 32. « 

Door l'oiiK is hiervan gebruik gemaakt l)ij het opstellen der hypothese, (l.c.) 

*') Dit wordt zeer scherp hevestigd door den invloed die de IJEweging van de 
kern van het atoom heeft op het spektriun. (Zie hoofdstuk IIT, § 18.) 

^1 AV. Rit/, Phys. Zeitschr. 9, p. 521, UIOS; Oeuvres, p. 141. 

*) Volgens berekeningen van Sommkhi'ioi.h schijnt l)ij de Röntgen spek tra het 
kombinatie-princi]M' niet oy te gaan (A. SoiMMEKI'Ei.u, Ann. d. Pliys. 51, p. 159 
vgl., 191(5). 

\Oj)hii'rl,hig. N'olgens later door DioiiVK en door Vii(;.\i{i> uitgewerkte theorieën 



§ 8-1 OP HET ATOOMMODEL. ''35 

van KiRCHHOFP — tegelijk een aanvullende onderstelling inge- 
voerd omtrent de aJmrbtie van licht, welke liet omgekeerde is 
van bovenstaande hypothese: 

Is het systeem in den toestand 2, en valt er lichtstraling op van 
de frequentie /^i.2 , dan kan het systeem uit die straling een bedrag aan 
energie, gelijk aan hvi,.., opnemen, waarbij het van dev toestand 2 
in den toestand 1 overspringt i). 

Het gedrag van een systeem onder den invloed van invallende 
trillingen zou dus geheel anders moeten zijn, dan men volgens 
de klassieke theorie verwacht. Vooral dient hierbij in het oog 
gehouden te worden, dat de frequentie ;'i.2 die het systeem van 
toestand 2 naar 1 doet overspringen, in het algemeen niets te 
maken heeft met de frequenties der bewegingen in het systeem 
in den toestand 2 of 1. 

De frequenties der bewegingen in het systeem zijn gegeven 
door de formule : 

1 ^u 

"<= h^ , e^') 

in het algemeen komen ook alle „boventonen" en „kombinatie- 
tonen" van deze „grondfrequenties" voor -). [Ze worden dus be- 
paald door de differentiaal-quotiënten van de energie naar de 
quantengetallen ; de frequenties der spektraallijnen worden daar- 
entegen door differentieform.ules gegeven.] 

De hypothesen over de emissie en de absorbtie van straling 
zijn verder ontwikkeld door Einstein •^), die aantoonde dat men 
uit deze onderstellingen met eenige aanvullingen over de waar- 
schijnlijkheid van het overspringen, enz., op eenvoudige wijze de 
formule van Planck voor de verdeeling der energie over het 
spektrum der zwarte straling kan afleiden •*). 



(zie de in § 28 geciteerde artikelen) zou echter het verband dat Sommicrkki-o 
vermoedde tusschen verschillende lijnen der Röntgenspektra niet bestaan, zoodat 
men hieruit geen argumenten zou kunnen putten tegen het konihinatie-principe.| 

') Voor een reeds door Boiiu gegeven uitbreiding van de absorbtie-liypothese 
vergelijke men § 34, f). 

*) Zie § 10, Opmerking III. — In verband ]iier;;iee vergelijke men § 3:^. 

') A. ÉiNSTEiN, Verh. Deutsob. Fhys. (Tes. 18. y. .'HS, lUKi: Pbys. Zeitschr. 
18, p. 121, 1917. 

*) Zie beneden § 33. 



36 TOKPASSINfi VAN DE THEORIE DER QUANTA [§ 8. 

EiNSTKiN heeft er tevens o}) gewezen dat men moet aannemen 
dat het strahngsproces gericht is, en dat de nitwissehng van 
energie samen gaat met een nitwissehng van hoeveelheid van be- 

h V 

weging ten bedrage van: . Bij afgifte van energie krijgt het 

stralende systeem (het atoom) een impuls hvjc in tegengestelde 
richting van de uitgezonden stralenbundel ; bij opname van ener- 
gie krijgt het een impuls hrjc in de richting der invallende 
straling. Deze impulsen veroorzaken een BROWN'sc/ie beiveging 
van het systeem, waarvan de grootte in overeenstemming is met 
de waarde gegeven door de klassieke theorie : 

energie per vrijheidsgraad =^ 1/2 . k . T i). 

Hypothesen omtrent het verloop van het uitstralingsproces zijn 
tot nog toe niet opgesteld. Van groot belang zijn hierbij de vol- 
gende kwesties: 

polarisatie -toestand van de straling; 

richting van de uitstraling t.o v. de richtingen in het s^^steem ; 

tijdsduur van het proces ^). 

Uit de polarisatie der spektraallijnen, waargenomen bij het 
ZEEMAN-effekt en het STARK-efitekt hebben Epstein en Sommer- 
FELD eenige voorloopige regels omtrent de polarisatie kunnen 
afleiden. Zie § 16, e). 

In nauwe betrekking tot de theorie van de energie-uitstraling 
staan verder: 

de vraag of er werkelijk „lichtquanten" bestaan, de theorie 
der foto-elektrische verschijnselen, en eenige andere kwesties. 

Zie hierover enkele opmerkingen in § 34. 

Op grond van bovenstaande hypothesen gescliiedt nu de 



') Zie in verband hiermee de opmerking in § If), a), over translatie-bewe- 
gingen. 

Over emissie van moment ran hoeveelheid xian heweghuj vergelijke men § 16, e). 

1^) Uit waarnemingen van interferentie-verschijnselen bij groote faze-verschillen 
heeft men o.a. afgeleid dat bij de groene kwiklijn in 1 emissieproces een golf-' 
trein van minstens 2600000 golven wordt uitgezonden (tijdsduur ca. .5.10- •' sek.). 
Zie overzicht in Win'kelmann's Handbuch der Physik, Bd. VI, p. 1135. - Langs 
anderen weg heeft STArjK onderzoekingen gedaan over den tijdsduur van het 
emissieproces (Aiin. d. Pliys. 49, p. 731, litl6; zie beneden, bl. 86, 3).] 



§ 8,] OF JIET ATOOMMODEL. 37 

berekening van het .spektriim van een bepaald systeem als volgt : 

1) men tracht voor het systeem quantenvoorwaarden op te 
sporen, en de quantenbewegingen te vinden; 

2) men' bepaalt de energie der quantenbewegingen, en drukt 
deze uit als funktie der quantengetallen ; 

3) uit de formule voor de energie volgt onmiddellijk de for- 
mule voor het spektrum door middel van de emissie-hypo- 
these van BoHR. 



§ 'J. (JFMERKING IN VERBAND MET HET VER- 
SCHIJNSEL VAN DOPPLER i). 

Indien een mechanisch systeem zich met een konstante trans- 
latie-snelheid u beweegt, zal worden aangenomen dat de V)Oven 
geformuleerde quantenonderstellingen betrekking hebben op een 
koordinatenstelsel, ten opzichte waarvan het systeem rust -) '■^). 
De quantenbewegingen en hun energie worden dus berekend 
ten opzichte van dit stelsel : evenzoo geeft de emissie-hypothese 



' Cf. A. EiNSTEiN, Phys. Zeitschr. 18, p. 125, 1917. 

■■') Dit is in overeenstemming met de grondliypothese der speciale relativiteits- 
theorie, volgens welke alle koordinatenstelsels, welke door Lorentz-transformaties 
met elkaar verbonden zijn, gelijkwaardig zijn voor de beschrijving der verschijn- 
selen. 

Het moet natuurlijk mogelijk zijn de quantenformules in zoodanigen vorm 
te schrijven dat ze kovariant zijn ten opzichte van Lorentz-transformaties 
( — en evenzoo ten opzichte van willekeurige kontinue punttransformaties, 
volgens de gravitatie-theorie — ); vermoedelijk zullen ide formules dan vrij 
ingewikkeld worden. 

(Hoe men den invloed van een r/rnvitatie-veld op de (^uanteuformules' in 
rekening moet brengen (men denke b.v. aan de verschuiving der spektraal- 
lijnen) heb ik niet nagegaan.) 
') Indien het systeem uit meerdere zich l)ewcgende deelen bestaat, en men de 
formules der relativistische mechanika toepast, is er in het algemeen in het sy- 
steem geen jjunt aan te wijzen, dat een eenparige rechtlijnige beweging heeft. 
Er bestaan echter steeds de drie ..integralen van de beweging van het 
zwaartepunt" : 

/;•< = kunstante; jjy = konstante: //-. = konstante; 

waar Vx-, Pyi 1'z de koini)onenten der totale hoeveelheid van beweging van het 
geheele systeem zijn. Men kan nu altijd een koordinatenstelsel invoeren, dat ten 
opzichte van het oorspronkelijke een eenparige rechtlijnige beweging heeft en ten 
opzichte waarvan p.f,j)y,]iz alle drie gelijk nul zijn. 

De quantenformules worden ihiii <>]) dit koordinatenstelsel betrokken. Vergelijk 
in verband hiermee ij 15, sij, v^ jii. ji) en vooreenige voorbeelden: lioof'dsliik III, 
t^ IS (1,1. \)\) en !^ 1'.) (hl. 10;j). 

Bij het bovenstaande is stilzw ijgiinl niHlcrstrld dat o|i lirt systeem j/ceii uil- 
wendigr hrKclilcii werki-n. 



§ 9.] OF HET ATOO^[MODEL. 39 

van BoHR de frequentie der liclitt rillingen met ])etrekking op 

dit stelsel. 

Voor een stilstaande waarnemer zal de frequentie echter een 

andere zijn. Met benadering op termen van de eerste orde in 

ujc komt men tot de volgende formules: ^) 

(N.B. De grootheden welke betrekking hebben op het 

x' y' s'-stelsel waarin de waarnemer rust, worden aangeduid 

met geaccentueerde letters ; de ongeaccentueerde letters be- 

hooren bij het x y z-stelsel, dat met het beschouwde sj'steem 

meegaat.) 

In het X y 2-stelsel slaat de Ijeweging van het systeem over 

van een toestand 1 in een toestand 2 : hierbij komt een energie 

e =^ «1 — «o vrij, welke uitgezonden wordt als licht van de fre- 

£ . 
quentie r ^ -^ , in een richting welke een hoek g maakt met 

de bewegingsrichting van het systeem. 




Fig. 2. Aberratie. 

Dan wordt in het x' y' s'-stelsel waargenomen een lichttrilling 
van de frequentie: 



met de energie: 



'IL *" 

r' r= r (1 -] cos qp) (I) 

c 



f ' = f (1 4- 2 ^ cos (^) (II) 



uitgezonden in een richting welke een hoek <;' maakt met de 
richting der snelheid u, waar: 



'^>-, 



') Overgeiioiiieu van \. Einstein, l.f. 



40 TOEPASSING VAN DE THEORIE DER CiLANTA [§ \). 



n 



COS (jp' ^:^ COS (/ + sin- (f (111) 

(' 

Vergelijking (1) drukt het principe van Doitler uit i); verge- 
lijking (III) de aberratie (zie tig. 2). 

Analoge formules gelden voor de absorbtie van licht. 



') Men denke hierbij aan het DopPLER-effekt bij de kanaalstralen (Stark ; zie 
ook: H. M. Konen, Das Leuchten der (iase und Dampfe, Braunscbweig 1913, 
p. 321—323); verder aan de z.g. „tbermokinetische" verbreeding der spektraal- 
lynen van een gas, waar de molekulen of atomen allerlei verschillende snelheden 



en richtingen hebben. 



^ 10. UITWERKING VAN DE QUANTENVOORWAARDEX. 

De in § 7 in zeer algemeenen vorm gegeven quantenvoor- 
waarden moeten nog nader uitgewerkt worden: het is noodig 
vast te stellen welke voor een bepaald systeem de funkties 
/i . , . //,- zijn, die de quantenbewegingen vastleggen. 

De eerste stap in deze richting is geweest Planok's liypothese 
der energie-elementen, welke betrekking had op harmonisch 
trillende systemen van 1 graad van vrijheid i). Naderhand is 
deze hypothese voortdurend uitgebreid en gegeneraliseerd, vooral 
door het werk van Debije, Hasenöhrl, Ehrenfest, Bohk, Som- 
MERFELD, Ei'STEiN, ScHWARZSCHiLD en anderen. Hier zal echter 
de historische ontwikkelingsgang buiten beschouwing Moorden 
gelaten, en zal een meer axiomatische formuleering van de 
Cjuantenvoorwaarden gegeven worden welke zoo goed mogelijk 
de op het oogenblik geldende opvattingen weergeeft. 

Een voor alle mechanische systemen geldende formuleering 
is nog niet gevonden; tot nu toe is ze beperkt tot een groote 
klasse van systemen met periodieke of quasi-periodieke bewegin- 
gen -). De hier gebruikte vorm sluit zich zeer nauw aan bij die 
welke ScHWARZscHiLD gegeven heeft •^). 

Zij gegeven een mechanisch systeem van ƒ vrijheidsgraden; de 
koordinaten zijn qi ... qj; de momenten (hoeveelheden van be- 
weging) /?i ... py. Omtrent het systeem wordt het volgende 
aangenomen : 

A) De funktie van Hamilïon H {q , p) bevat i niet expliciet, 
zoodat 

H (q , p) = konstante = « (1 ) 

de energie-integraal van het systeem is. 

>; M. Planck, Ann. d. Phys. 4, p. 553, 1901. 

Zie verder Die Theorie der Wiirmestrahlung. 

ï) Een uitzondering hierop is de door Ei'Stkin gehezigde quantiseering van 
hyperbolische bewegingen. Voorloopig worden deze buiten beschouwing gelaten. 
Zie § 15, b). 

») K. ScHWARZSCHiLn, Sitz. Ber. Berl. Akad. lOKJ, p. 548. 



42 TOEPASSING VAN DE THEORIE DEK QUANTA [§ 10. 

B) " Gedurende de beweging kan geen der koordinaten of mo- 
menten tot in het oneindige aangroeien; allen Inlijven beneden 
zekere eindige grenswaarden i). 

C) Het systeem bezit oplossingen van den volgenden vorm: 

qi =qi{Pi ... Pf,Qi... Qf) I .. 

Pi=pdPi ... Pf,Q,... Qf), ) ^ ^ 



waarin : 

1) Pi ... P/- ƒ integratiekonstanten zijn (de „intensiteitskon- 

stanten") ; 

2) Qi . . . Qf lineaire funkties zijn van den tijd: 

Q. = ,,.,t + ëi (3) 

(t'i ... f ƒ zijn de overige ƒ integratiekonstanten, de „faze- 
konstanten") ; 

3) De q's en p's periodieke funkties zijn van de Q's met periode 
27r 2). 

De grootheden Qi . ■ . Qf worden hoekvariabelen genoemd 
(„Winkelkoordinaten", cf. Öchwarzschild, l.c); oj^ ... lOf 
zijn de middelbare beivegingen ^). 
D) Aangenomen wordt dat de P's zoo bepaald zijn dat: 

1) de transformatie van de variabelen qi ... pf naar de 
variabelen Qi . . . Pf een kontakt-transformatie is ^), zoodat : 

^Pi.dqi^:EPi.dQi + dW{P,Q) (4) 

i i 

waar d W de totale differentiaal van een funktie 
W {P, Q) is ; 

') Met koordinaten is hier bedoeld: Cartesische koordinaten der systeenipunten. 

Over de reeds genoemde hyperbolische beweging en over translatie-bewegingen 
zie men i^ If). 

^) Deze iuiikties zijn in het algemeen trigonoHK^trische reeksontwikkelingen 
naar sinussen eu cosinussen van kombinaties der Q's (meervoudige Fouriick- 
reeksen). Zooals l)ekend is, worden dergelijke reeksen zeer veel gebruikt in de 
Astronomie, vooral bij de behandeling van st(>rings])roblemen. 

•■') Het is niet onmogelijk dat zoodra de voorwaarde B vervuld is, het systeem 
noodzakelijk oplossingen van den in C aangegeven vorm bezit. Door Poincark 
is aangetoond dal de beweging van een mechanisch systeem dat aan li voldoet 
in het algemeen periodiek of' quasi-periodiek is (Zie Mécanique (!»'leste III). 
Misschien zal het gidukken aas te toduen dat een systeem dat aan I! voldoet 
ook steeds oplossingen heeft die met hoekvariabelen uitgediukt kun.n(Mi worden. 

'*) Zie b.v. WiiiTTAKKK, Analytical Dynamics, ('ambridge 11)17, p. 2.S.S. 



§ 10.] ol' [LET ATOOMMODEL. 43 

2) dat de in deze vergelijking voorkomende fiiuktie irj)erio- 
diek is in de Q's. 

Indien de g's en p's uitgedrukt kunnen worden als periodieke 
funkties van ƒ hoekvariabelen Qi . . . Q/ in het steeds mogelijk 
aan deze twee voorwaarden te voldoen i). 

De onder D 2 genoemde voorwaarde legt de waarden der P's, 
welke anders slechts tot op een additieve konstante bepaald zijn, 
geheel vast 2). 

Doordat de transformatie van de variabelen q en p naar de 
Q's en P's een kontakt-transformatie is, blijft de kanonische vorm 
der bewegingsvergelijkingen behouden; voor Q en P geldt dus: 

dQic _ _ ^ dPk _ _ OA" 

waar K (Q, P) verkregen wordt door in H [q, p) voor q en p de 
formules (2) te substitueeren. Nu zijn de P's wat den tijd betreft 
konstanten, dus moet K onafhankelijk zijn van de Q's. M.a.w. : K 
bevat alleen de intensiteitskonstanten Pi ... P f (natuurlijk tezamen 
met de parameters van het systeem, zooals massa's, elektrische 
ladingen, enz.) 3). 

Nu hangen de P's op eenvoudige wijze samen met de boven 



') ScHWARzscHiLD, l.c. p. 549. Zie wat D 2 betreft: J. M. Burgeks, Versl. 
Akad. Amsterdam XXV, p. 1059, 1917 en beneden, § 11. 

*) ScHWARzscHiLD legt de additieve konstanten der intensiteitsgrootheden P 
vast met behulp van beschouwingen over de grenzen der faze-ruinite van het 
systeem (Sitz. Ber. Berl. Akad. p. 548, 1916). 

Voor de in § 14 genoemde systemen leiden, voor zoover ik beoordeelen 
kan, de methode van Schwarzsciihj) en de hier gegeven methode tot dezelfde 
resultaten. 

Een moeilijkheid heeft zich nog voorgedaan bij de beweging van een elektron 
om een atoomkern, wanneer men rekening houdt met de relativiteitstermen. Deze 
kwestie schijnt echter opgelost te zijn. Zie hierover: 

M. Planck, Ann. d. Phys. 50, p. 401—404, 1916; 

A. SoMMERKELD, Ann. d. Phys. 51, p. 49, 57, 1916: 
Sitz. Ber. Bayr. Akad. p. KJl, 1916. 

Uit de onderzoekingen van Sommkukkih mag men met zekerheid de gevolg- 
trekking maken dat bij dit probleem de methode der fiize-integralen, welke voor 
de vastlegging van de additieve konstanten der /"s op hetzelfde neerkomt als 
de voorwaarde I) 2, het juiste resultaat levert. 

■•) K. .SoiiwAuzscuiiMi, l.c. p. .54!>. 

P. S. Ei'STKiN, Aini. d. Phys. 51, p. 17s, l'.lKI. 

E. T. WiiiTTAKKi!, Analyfical Dynamics (Cainl.r. l'.UTi. |.. 122/42;;. 



44 TOEPASSING VAN DE ÏHEOJRIE DEK QUANTA [§ 10. 

ingevoerde funktie.s -/i .... //.•• Hierbij moeten twee gevallen 

onderscheiden worden : 

I) De middelbare bewegingen Wj zijn onderling onmeetbaar; m.a.w. 

uit de loi zijn geen lineaire kombinaties met geheele koeffi- 

cienten te vormen, welke de Avaardc nul hebben. Dan luiden 

de (juantenvoorwaarden : 

De quantenbewegingen van liet systeem zijn die bewegingen 
waarvoor de P's geheele veelvouden van de universeele honbtanie 
/'/2,r zijn: 

Pi=-ni.^' (ö) 

Z TT 



II) Tusschen de middelbare bewegingen oj, l^estaan /. rationale 
betrekkingen van den vorm : 



; ' ) ?/(/' = geheel getal ) 

Dan kan men door een lineaire transformatie met gelieele koeffi- 
cienten overgaan op een nieuw stel hoekvariablen Qi .... Q/ 
met bijbehoorende kanonische intensiteitskonstanten Pi ... . P/, 
zoodat Q/_^ + i . . . . Q/ de middelbare beweging nul hebben, 
terwijl de middelbare bewegingen van Qi .... Q/-a onderling 
onmeetbaar zijn i). 

De funktie K (Pi . . . 7 / ) gaat dan over in een nieuwe funktie 

K(Pr....P/-;.) 

welke P/ _ /. + 1 . . . P/ niet bevat. 

De (juanienbewegingen zlj)t n.u hierdoor gekarakteriseerd, dat 
P] . . . . P/_;. geheele veelvouden, van ^'/-j.c moeten zijn. 2) 



') Met betrekking tot deze substitutie zij verwezen naar: 

K. ScHWARZsciiiLu, l.c p. .550; 

P. S. Epstein, Atin. der Phys. 51, ]>. 179, 1916; 

J. M. BuKCERS, Versl. Akad. Amsterdam XXV, p. 91H, 191(j. 

De substitutie is niet volkomen eenduidig bepaald (op eenigszius analoge wijze 
als men bij een dubbeli)eriodieke funktie oneindig veel verscbillende perioden- 
parallelogrammen kan aangeven). De verschillende systemen intensiteitskonstanten 
Pi . . . . P/-- /. zijn echter door lineaire substituties met geheele koefficienten en 
determinant + 1 met elkaar verbonden, zoodat ze volkomen ecjuivalent zijn; 
allen leiden ze tot dezelfde quantenbewegingen. Deze nieerduidigheid is dus niet 
van essentieel belang. (Cf. J. M. BuRciKUS, l.c.) 

-) Bij t'xakt iifriodicke systemen vindt men slechts één iiuaiitcnvoniwaarde, nl.: 



§ 10.] OP HET ATOOMMODEL. 45 

Of ook P/_;. +1 . . . P/- gequantiseerd moeten worden is on- 
zeker. In sommige gevallen schijnt het plausibel dit wel te doen, 
in andere niet. Zie in verband hiermee beneden § 13. 

Opmerïciyigen. 

[I) Uit de gegeven formules blijkt de in § 7 vermelde regel 
dat het aantal der quantenvoorwaarden hoogstens gelijk 
■ is aan het aantal der vrijheidsgraden. Bij een niet ontaard 
systeem, waar even zoovele onderling onmeetbare frequenties 
zijn als vrijheidsgraden, is dit onmiddellijk duidelijk. De 
waarden der fazekonstanten e toch hebben geen invloed op 
het karakter der beweging: in den loop der beweging 
komt het systeem- oneindig vele malen willekeurig dicht 
bij eiken toestand, welke bij dezelfde waarden der P's door 
gegeven waarden der ^'s bepaald is. Het zou dus geen zin heb- 
ben deze konstanten door quantenformules vast te leggen.] 

II) Uit het bovenstaande is duidelijk dat zoowel in geval I 
als in II de waarde van de energie (welke gegeven wordt 
door de funktie K of K) door de quantengetallen volkomen 
vastgelegd wordt, zooals in § 7 reeds vermeld was. 

III) Het bewijs der formule voor de frequenties der bewegingen 
van het systeem, vermeld in § 8 (bl. 35), volgt onmiddel- 
lijk uit formule (5), wanneer men bedenkt dat Pi rroj/o.r is. 
Door een korte berekening kan men verifieeren dat ze ook 
in geval II geldig is. 

IV) In het algemeen zijn de middelbare bewegingen w,- funkties 
van de jiarameters van het systeem (massa's, elektrische 
ladingen, konstanten van een krachtveld) en van de inten- 
siteitskonstanten P. Het kan dus gebeuren dat er voor 
speciale waarden der P's rationale betrekkingen optreden 
tusschen de waarden der Wj . Dan moet echter het systeem 
niet als ontaard beschouwd worden : hiervoor is noodig dat 
de rationale betrekkingen tusschen de Wj onafhankelijk zijn 
van de P's. 

V) Mechanische systemen welke oplossingen bezitten die vol- 
doen aan voorwaarde B), laten oplossingen toe welke met 

(Cf. P. Ehrenfest, Versl. Akad. Amsterdam XXV, p. 412, 191G.) 

Hierin is: T = gem. waarde der kinetische energie; 

2 7r,'(u„ = periode v/h systeem. 



46 TOEPASSING VAN DE THEORIE DER QUANTA [§ 10. 

hoekvariabelen uitgedrukt kunnen worden indien het sy- 
steem 

of a) een bei)aalde evenwichts-konfiguratie bezit, 
of h) een bepaalde stationnaire beweging kan uitvoeren, 
of c) een ])eriodieke solutie bezit, 

en in de omgeving van deze partikuliere oj)lossingen de 
funktie van Hamilton regulier is i). 

(Vergelijk: Whittaker, Anal. Dynamics, Chapter XVT, en 
H. Poincaré, Mécanique Geleste I, p. 162, vgl.) 
Het is mij niet l)ekend of men ook andere algemeene ge- 
vallen kan aangeven waai'in oplossingen uitgedrukt met 
hoekvariabelen bestaan. 

'i Hierbij is natuurlijk afgezien van speciale ontaardingsgevallen. 



§ 11. ANDERE FORMULEERING VAN DE QUANTEN- 
VOORWAARDEN. 

Uit vergelijking (4), § 10, volgt door te integreeren naar ()/, 
van O tot 2 TT, waarbij de andere Q's en de 7^'s konstant ge- 
houden worden : 

Qk = 2 7r 

ƒ dQ,.XPi^^='>--Pk (8) 

Men kan de quantenvoarwaarden nu ook als volgt uitdrukken : 
Ondersteld wordt dat het systeem oplossingen bezit van den 
vorm : 

qi=qi(ci. ..Cf,Qi... Qj) I 

Vi=Pi{ci. ..Cf,Qi... Qj) ) ^ '^ 

waarin : 

1) Cl ... cj f integratiekonstanten zijn; 

2) Qi . . . Qf lineaire funkties zijn van den tijd ; 

3) de g's en p's periodieke funkties zijn van de Q's met periode 
2 TT . (Hierbij is het niet noodig dat de e's met de Q's een 
kanoniscli S3^steem van variabelen vormen.) 

T) Indien tusschèn de middelbare bewegingen der Q's geen 
rationale betrekkingen bestaan zijn de quantenvoorwaarden : 

f dQ,.Xpi ^ =^H- .h (/. = 1 . . ƒ) (9) 



II) Bestaan er rationale betrekkingen tusschèn de Q's, dan her- 
leidt men het stelsel Qi . . . Q/ door een lineaire transfor- 
matie met geheele koefficienten tot een stelsel Qi . . . Q/, 
zoodat Q/_; +1 . . . Q/- de middelbare beweging md hebben, 
terwijl tusschèn de middelb. bew. van Qi . . . 0/ _ ; geen 
rationale betrekkingen bestaan. In dit geval zijn de quanten- 
voorwaarden : 



48 TOEPASSING A\\X DPJ THEORIE DKR QUANTA [§11. 

j dd,. X Pi-l^=n,.h (k=l ..f-).) (10) 



Epstein heeft een formuleerino- van de qnantenvoorwaarden 
gegeven welke principieel met liet bovenstaande overeenstemt i). 

Opmerkingen. 

1) Een bewijs voor de stelling dat men steeds kanonische 
variabelen kan invoeren, indien een mechanisch S3\steem 
oplossingen bezit van den vorm (2'^'), is mij meegedeeld 
door Prof. Dr. G. Herglotz. 

Deze kanonische variabelen: Pj-, Q*/,. , zijn in het algemeen 
gegeven door: 

f Q*, = Q, + C\ (c, . . . Cf). 

Hierin zijn de C"s bepaalde funkties van de e's, die })ij de 
fazekonstanten e. gevoegd moeten worden. (In vele gevallen 
zijn deze funkties C gelijk nul.) 

In het geciteerde artikel van Schwarzschild wordt deze 
stelling wel genoemd, doch is er geen bewijs voor mee- 
gedeeld. 

2) Houdt men de e's en dus ook de P's konstant, dan is: 

^Pidq-i 

i 

een volledige differentiaal. 

Dit volg< omuiddcllijk uit formule (4) op 1)1. 42. 

') P. S. Ki'STEiN, Verh. üeutsch. Phys. Ges. 18, j). 411, lillC. 



§ 12. EENDUIDIGHEID DER QUANTENFORMULES. 

Men kan in het algemeen aantoonen dat de ontwikkeling der 
koordinaten en momenten q en p naar ƒ (eventueel bij ontaarde 
S3'stemen naar ƒ— A) hoekvariabelen, tusschen wier middelbare 
bewegingen geen rationale betrekkingen bestaan, slechts op één 
manier mogelijk is. Hieruit volgt dat de qnantenvoorwaarden 
in de boven gegeven formuleering (verg. 9 en 10, § 11) eenchddu/ 
bepaald zijn. 

Bewijs dat een grootheid q, welke een funJdie is van den tijd, 
slechts op één loijzc in een FouRiER-reefe naar hoekvariabelen ont- 
ivikkeld kan worden. 

(Ter vereenvoudiging wordt ondersteld dat slechts twee hoek- 
variabelen in de ontwikkeling voorkomen, en dat alleen cosinus- 
termen aanwezig zijn). 

Stel dat de grootheid q{t) op twee verscliillende wijzen naar 
twee hoekvariabelen ontwikkeld kan worden : 

a) q (t) = ^ Ahk cos {h . Qi + k . Qz) 

b) q [t] — ^ Amu cos (to . Qi + n . Qo) 



waar : 



Q^ z= (Oi . i + 5l ^1 =r tüi . ^ + f 1 

Q2 ^^ Oi<2, . t -\- èo Qo ^^^ ^2 • ^ "T ^2 

(de verhouding toi/wg is onmeetbaar; evenzoo 001/0)2). Aangenomen 
wordt dat deze reeksen gelijkmatig en voldoende sterk konver- 
geeren, zoodat men term voor term mag integreeren en de 
limiet mag nemen ^). 

Vermenigvuldig q {t) met : cos {h . wi -}- k . 102) t en bepaal : 

7' 

Lim ^^ / dt . q . cos {h . wi -[- /.• . 102) t 



ï") De reeks mag vermoedelijk ook een zcr. asymptotisnhe reeks zijn. Veri^elijk 
H. PoiNCAiiK, Mécaiiique Céleste II. 

4 



50 



TOEPASSING VAN V>K THEORIE DER QUANT A 



[§ 12. 



Reeks a) geeft hiervoor: 

-^Akk.cos{h.8i H- k .62) 

Zal reeks b) een bedrag opleveren dat van nul verschillend 
is, dan moet een der termen dezelfde periode hebben als 
cos {h . oji -\- k . C02) t. Dus is een der kombinaties: 



m . coi -j- ?i . tt»2 — h . coi -}- k . ooo 

Voor dezen term moet dan zijn: 

Amn ' COS {m . fi + n . 62) — ■ Ahk . cos {h . ëi~\-k . 62) 



(I) 



ei; 



B 



ft. 






r .• 



^^ 



O 



A'^ ..r .-.r 



B 



r>.^ 






A "^^ 






,' .-'•■ 



A 



.•-•;-^ 



'' .- ■'■ / 



r^"^ 



-?'• 



..-^* 



/ 

/1-' 






<^, 



Fig. 3. Perioden-netten in een twee-dimensionale Q-ruimte. 

Evenzoo volgt door q (t) te vermenigvuldigen met 

sin (// . 0)1 -\- k . ojo) t en te integreeren : 

Amn ■ sin (m . fi + ?* . ^2) = Ahjc • sin {h . £1 -j- k . £2) 
Dus is: 

Amn -— Afij( •. . . (11) 

m . £1 -\- )i . £2^ h . £1 -}- k . £2 (mod. 2 tt)/ 



zoodat : 



m 



r^i + 7i . ^^2 = /'- • ^.^1 + k . Q2 (mod. 2 77)1 



• . (Hl) 



Op analoge wijze kan men stuk vuur stuk de gelijkheid der 
termen van de beide reeksen aantoonen, 

Aan de vergelijkingen (I) kan slechts voldaan worden als 

CO], ÜJ2 cenei-zijds cu cü],wo anderzijds dour lineaire substituties 
met geheele koefficienten en determinant + 1 verbonden zijn, 
iii.a.w. als deze stelsels equivalent zijn. 



§ 12.] OP HET ATOOMMODEL. 51 

Hetzelfde moet gelden voor de Q's (mod. 2 tt), en dus ook 
voor de integralen : 

2 TT 



A=/rfQ,.-.2:p<||^'). 



■) Toelichting. Vergelijk fig. 3. 

Zij b.v. g, =2g, + Q,, (lus: g, = r^, _ g,, 

Dan is, wanneer men in het oog lioudt dat 2:piflqi een rulMifjfi differenUudl 
is (zie opm. 2 bij i< 11): 

'27r ^ 



/,=/.;Q,.fp<^;=/^>Mi,; 



/ -;5/ ^^7/ H j ^P'- ^^7/ = /i — /o . . . . («) 



" A 



B B 



j^pi dq; + [ ^Pi dq-i = 2 /o - il . . . (p') 



B 



De grootheden /,, /j eenerzijds, /,, /, anderzijds, blijken dus door een lineaire 
substitutie met determinant 1 verbonden te zijn. 



§ 13. opmerkin(;ex over ontaarde systemen. 

Volgens liet l)Ovenstaaiide moet men bij een systeem waar l 
rationale betrekkingen bestaan tiisschen de middelbare bewe- 
gingen, slechts ƒ — /. quanten voorwaarden invoeren. Het aantal 
der quantenvoorwaarden is dus gelijk aan het aantal der onder- 
ling onmeetbare „grondperioden" van het systeem. Hierop is 
het eerst gewezen door K. Schwarzschild i). 

In sommige gevallen heeft men echter meer quantenvoor- 
waarden ingevoerd dan het aantal der grondperioden bedraagt, 
zoo o.a. bij de elliptische beweging van een" elektron om een 
atoomkern. Hier is slechts 1 periode (de beweging is exakt 
periodiek); Sommerfeld heeft echter twee quantenvoorwaarden 
ingevoerd, waarvan de eene betrekking heeft o}) de azimuthale, 
de andere op de radiale beweging 2) 3) 

In het algemeen komt dit hierop neer dat men behalve 
Pi ... . P/-/. (verg. bl. 44) ook de grootheden P/_;.+ ! . . . Py, of 
tenminste sommige ervan quantiseert. Bij deze „overtollige" 
quantiseering (welke geen invloed heeft op de waarde van de 
energie) kunnen tegenstrijdigheden optreden ; het blijkt dat men 
door van verschillende oplossingsmethoden gebruik te maken 
(b.v. door verschillende koordinatensystemen in te voeren) tot 
verschillende stelsels grootlieden P/_a^] . . . . P/ kan komen, 
welke niet door lineaire substituties met geheele koefficienten 
en determinant -I- 1 verbonden zijn. 

Een voorbeeld hiervan is de bovengenoemde elliptische be- 
weging. Uitgaande van poolkoordinaten komt men na eenige 

>) K. ScHWARzscHiLi), Sitz. Ber. Berl Akad. li»l»j, p. 548. 

»") A. SoMMKRKEi.n, Sitz. Ber. Bayr. Akad. IVUó, p. 43G; Ann. <i. Phys. 51, 
p. 17. 191t3. 

') Dit heeft betrekking op het geval dat men de relativiteitskorrekties ver- 
waarloost. Brengt men deze in rekening, dan is de beweging niet meer exakt 
periodiek; in dit geval mneten er twee (juantenvoorwaarden ingevoerd worden 
lef. hoofdstuk 111, $ !;•>. 



§ 13,] OP HET ATOOMMODEL. 53 

transformaties (vergelijk hoofdstuk III, § 17) tot de invoering 
van de volgende intensiteitsgrootheden : 



Pa = iX meEa{l — e2) ?s = i^ me Ea{l — e-^) . cos i 

(m m massa elektron ; e = lading elektron ; E = lading kern ; 
a = halve groote as van de elliptische baan; f = excentriciteit ; 
i ^= inkHnatie van het baanvlak t.o.v. een willekeurig gekozen 
vast vlak). 

Hierbij behooren de hoekvariabelen : 

Qj r= middelbare anomalie ; 

Qo = lengte perihelium, gerekend -vanaf de klimmende knoop; 

Q3 = lengte klimmende knoop, gerekend vanaf een bepaalde 
richting in het vaste vlak. 

De middelbare beweging van Q2 en Q3 is nul. (Verg. § 17 en 
fig. 4, bl. 80). 

Het is onmiddellijk in te zien dat quantiseering van P3 geen zin 
zou hebben, daar de waarde van cos i afhangt van de willekeurig 
te kiezen ligging van het vaste vlak. — De door Sommerfeld 
ingevoerde quantenformules komen neer op een quantiseering 
van Pi en P:^, terwijl volgens § 10 en 11 alleen ^i gequantiseerd 
zou moeten worden. 

Gaat men daarentegen uit van een stelsel parabolische koor- 
dinaten, zooals door Epstein gebruikt is in zijn theorie van het 
STARK-effekt 1) dan komt men tot een systeem van intensiteits- 
konstanten I\ P^ P3, w^elke met de bovenvermelde als volgt 
samenhangen : 

Pi + P2 + P3 = Pi 
P1-P2 



=K(^-''p?)(^-'^^o-«M^) 



P1+P2+PS 

P-6 = P.S 

Quantiseering der grootheden Pi Po P.i leidt dus tot een geheel 



') P. S. Epstein, Ann. d. Phvs. 50, [>. 481», IMIB. 

*) Verg. P. S. Epstkin, l.c. p. .506 en 501 (form. 55, 5H, :J9j. De grootheden 
P, /\ Py hangen met de quantengetallen van Epstein aldus samen: 

^. = ''■. ~, i\ - '', 2^ ' ^'••' = "' L ■ ^""«'^"'^ ^ ^^- 

De hoofdas van het koordinatensysteem is in heide gevallen hetzelfde genomen. 



54 TOEPASSING VAX DE THEORIE DER QUANTA [§ 13. 

ander sj'steem van lianen, dan (juantiseering van Pi P2 Pji i). 

Een ander voorbeeld is een isotrope oscillator van twee of 
drie graden van vi'ijlieid, waar men de ])eweging hetzij op ver- 
schillende rechthoekige assenstelsels, hetzij op poolkoordinaten 
kan beschrijven 2). 

Bij de qnantiseering der ontaarde systemen blijken dus moeilijk- 
heden O}) te treden, zoo men verder wil gaan dan met de gegeven 
formuleeri ng overeenstemt. 

Deze moeilijkheid wordt nog verscherpt door hot volgende.: 
men kan een ontaard S3^steem beschouwen als een grensgeval 
van verschillende niet-ontaarde systemen ; indien men dan de 
quantenformules voor het ontaarde systeem afleidt uit die voor 
de niet-ontaarde systemen door hiermee tot de limiet over te 
gaan, komt men tot in het algemeen met elkaar in strijd zijnde 
quantenformules. 

In nauw verband hiermee staan analoge moeilijkheden welke 
optreden bij de theorie der adiabatiscJie beïnvloeding van een 
mechanisch systeem ^). 

Verder hangt hiermee de volgende kwestie samen: 

In vele gevallen kan men ingewikkelde problemen opvatten 
als storingsproblemen van meer eenvoudige gevallen. 

Is H de funktie van Hamilton voor het gegeven systeem, 
Hq die voor het eenvoudige, dan stelt men: 

H^= H^)'\- Hl, 

waar H] de fitoringsfnnktie is. In deze gevallen is het gewoonlijk 
gemakkelijk de hoekvariabelen en de korres})ondeerende inten- 
siteitskonstanten ^^1 . . . Q/ P\ . . . P/ welke bij het ongestoorde 
probleem behooren als nieuwe variabelen in te voeren. Dan gaat 
.^0 over in een funktie Kq (P) welke de Q's niet bevat, terwijl de 
storingsfunktie Hi in een trigonoraetrische reeks naar Qi . . . Q/ 
ontwikkeld kan worden. 

Bestaan er tusschen de middelbare bewegingen der f/s in het 
ongestoorde probleem geen rationale betrekkingen, dan kan men 



') Vergelijk ook: P. S. Epsïkin, l.c. p. fiüO, en Anu. d. Phys. 51, p. 28, 1«H6. 

*) Vergelijk: II. A. Lohiontz, Over energie-elementen, Versl. Akad. Amst. XX, 
p. 1110, V.n-2, en: T. Eiikkni icst, Versl. Akad. Amst. .\XV, p. 412, 191G. 

») Vergelijk: P. Eiihknkest, Versl. Akad. Amst. XXV, p. 412, vgl., 191G; 
zie hierover ook beneden, hoofdstuk VI, § 38, 



§ 13.] OP HET ATOOMMODEL. 55 

het gestoorde probleem vrij gemakkelijk behandelen volgens een 
door Delaunay gegeven methode i). In dit geval zal men voor 
het gestoorde probleein tot (juantenformules komen welke geheel 
aansluiten bij die voor het ongestoorde; omgekeerd uitgedrukt: laat 
men de storingsfunktie nu weer tot nul naderen, dan gaan de 
quantenformules voor het gestoorde probleem over in die van 
het ongestoorde, welke laatste luiden: 

Pi = nih/27T. 

Is evenwel het ongestoorde systeem ontaard, dan stuit men 
op moeilijkheden tengevolge van de meetbare relaties tusschen 
de middelbare bewegingen. Voert men de variabelen Qi . . . Q/ 
P] . . . P/ van bl. 44 in, dan bevat de hoofdterm der funktie van 
Hamilton slechts Pi . . . P/_ a : 

i7or=Ko(Pi...P/-;.). 

In dit geval moet men uit Q/ _ ;. +i . . . Q/- ?ƒ„ ;. j.i . . . P/- (soms 
ook uit het volledige stel : Qi . . . 0/ Pi . . . P/) door bizondere 
substituties een nieuw stel van variabelen afleiden om de storings- 
funktie te kunnen behandelen 2). Heeft men ten slotte het pro- 
bleem opgelost en de quantenvoorwaarden opgesteld, dan blijkt 
dat de gevonden quantenformules in het algemeen niet aansluiten 
bij een quantiseering van alle intensiteitsgrootheden Pi ... P/ van 
het ongestoorde probleem. M.a.w. : laat men, nadat het volledige 
probleem opgelost is, de storingsfunktie tot nul naderen, dan 
gaan de quantenformules van het volledige probleem over in 
twee groepen : 

a) ƒ — l formules, welke equivalent zijn met: P/ = // ,• /i / ".^ /r 

{i=l...f-l) 

b) l formules van geheel anderen aard •'). 

Beperkt men bij ontaarde systemen de quantiseering in over- 
eenstemming met de formuleering van § 10 en 11, dan is in het 
algemeen de vorm van de baan niet geheel vastgelegd. Zoo is 



') Zie b.v. E. T. Whittakeu, Anal. (lynainics (l'yiiibr. l'.HT), i>. i-iO. Voor 
toepassingen dezer methode vergelijke men beneden § 20, lil, en i^ 2l*. 

*) Zie b.v. H. Poincaré, Mécanique Céleste II, p. 133. 

^) Men vergelijke de voorbeelden, behandeld in hoofdstuk ill, ij 20, II; §21, 
Opmerking eH § 23, II. 



56 TOEPASSING VAX DE THEORIE DEK QUANTA [§ 13. 

])ij (Ie KEPLER-ellips door de quantiseering van Pi wel de groote 
as bepaald, doch niet de excentriciteit i). 

Men kan zicli afvragen of er ook experimenteele of andere 
middelen zouden bestaan om iets over de niet gequantiseerde groot- 
heden P,_ A 4-1 . . . P/ te weten te komen (dus in het geval van de 
KEPLEK-ellips iets over de excentriciteit). Tot nu toe is de eenigste 
grootheid waarmee men werkt de totale energie (spektra!); deze 
is echter ongevoelig voor de waarden van Py_/. 4.1 . . . P/ -). 

Tenslotte moet nog op het volgende gewezen worden : 

1) E. T. Whittaker heeft voor een probleem van twee graden 
van vrijheid methoden aangegeven om de reeksontwikke- 
lingen der koordinaten en momenten naar goniometrische 
funkties van twee hoekvariabelen te verkrijgen ^). Hierbij 
wijst hij erop, dat het karakter van deze reeksen geheel ver- 
andert, zoodra de verhouding van de middelbare l)ewegin- 
gen dezer hoekvariabelen een rationale waarde aanneemt. 

(Met deze /kwesties schijnt^ ook het probleem van de kun- 
vergentie of divergentie der reeksontwikkelingen, waarover 
door PoI^X'ARÉ vele onderzoekingen gedaan zijn, in verband 
te staan. Zie een opmerking bij Whittaker, l.c.) 

2) Moeilijkheden bij de verdeeling der faze-ruimte van een ont- 
aard systeem: cf. P. S. Epstein, Ann. d. Phys. 51, p. ISl, 1910. 

3) Invloed van de niet gequantiseerde P's bij statistische i)ro- 
blemen: zie hoofdstuk VI, § 41, C) 2. 

4) M. Plax(^k gebruikt in zijn theorie over de struktuur der 
faze-ruimte de uitdrukking: „koherente vrijheidsgraden" ^). 
Dit begrip van koherentie der vrijheidsgraden komt in som- 
mige gevallen op hetzelfde neer als de meetbare betrekkingen 
tusschen de middelbare bewegingen; de beide begrippen 
dekken elkaar echter niet ^). 

•) Zie hoofdstuk III, § 17. — De ligging van het baanvlak in de ruimte 
blijft ook onbepaald. 

' ) Ef'STEiN heeft de onderstelling uitgesproken dat ontaardingsgevalleu in 
strengen zin niet voorkomen. Zie Ann. d. Phys. 51, p. 1S"2, 1!U6. 

*) E. T. Whittaker, On the Adelphic Integral of the Ec^uations of Dynamics, 
Proc. Roy. Soc. Edinburgh 37, p. 95, vgl., litlT. 

♦) M. Pi.ANCK, Ann. d. Phys. 50, p. .'iSó, vgl., i;tl6. 

*") Bij de KKi'i.KR-beweging, en evenzoo by de beweging van een punt in een 
isotroop quasi-elastisch krachtveid van drie graden van vrijheid zijn alle drie 
middelbare bewegingen onderling meetbaar. Pi.anck spreekt echter van (icee 
koherente graden van vrijheid. 



§ 14. VOORBEELDEN VAN SYSTEMEN 
WAAROP DE QUaNTENFORMULES VAN § 10 KUNNEN 

WORDEN TOEGEPAST. 

a; Harmonisch trillende systemen. 

Neem aan dat een mechanisch systeem zoodanig gebouwd is, 
dat bij een bepaalde keuze der koordinaten de funktie van 
Hamilton den vorm heeft: 

i i 

Indien alle koefficienten Ai^O zijn, is de beweging van iedere 
küordinaat een harmonische trilling met de frecjuentie: 

2jTVi=coi=\yAi (2) 

Stel nu: 

qi=iy2PiliOi.coHQi ; Pi = — 1^2 PiMi.aïnQi i) . . . . (3) 

Dan voldoen Pi en (^i aan de in § 10 genoemde voorwaarden ; 
men heeft: 

Pi rrr konstante ; Qi =^ oj,- 1 + f,- ''} 

De funktie van Hamilton H {q , p) gaat over in: 

K{P) = ^u,iPi (1) 



t 



De ({uantenbe wegingen zijn nu gekarakteriseerd door de relaties : 

Pi — nihl2iT (5) 

hun energie bedraagt: ' ' 

a=.{^ni(x)i) hl2n=z2LniVih '^) (6) 



t i 



Het is duidelijk dat de w's geen negatieve waarden kunnen 

') Deze transformatie is afkomstig van Poinc.vké (Cf. Mécaniq^ue Geleste 1, 
p. 30). 

2) Men heeft: 

Spi dqi^ 2: Pi d Qi — (/(i 2- Pi sin 2 Qi), 

i i i 

dus is ook voldaan aan § 10, D 1 en 2. 

') Dit stemt overeen met de oorspronkelijke formule van Planck. 



58 TOEPASSING VAN DE THEORIE DER QUANTA [§ 14. 

hebben ; er is echter volstrekt geen reden om de waarde nul 
uit te sluiten. 

b) Meer ingewikkelde systemen welke trillingen uitvoeren om 
een evenwichtsstand kunnen op een analoge wijze behandeld 
worden. Zie hiervoor: Whittaker, Analytical Dynamics (Cam- 
bridge 1917), Ch. XVI, Integration by trigonometrie series. 

Opmerking naar aanleiding van formule (4). 

Door Whittaker is aangetoond i) dat voor alle systemen 
waarvan de funktie van Hamilton een kwadratische uitdrukking 
is in de koordinaten en momenten -) : 

H = 2: Ahk PhPk + ^' Bkkph qk + ^ Ohk qhqk-\- 

^ZDuPh^-^Ehqh + F . . . (1*) 

(de koefïicienten A .... F zijn konstanten) 
door middel vaii' kontakttransformaties en door de invoering van 
hoekvariabelen deze funktie te herleiden is tot den vorm : 

K{P) = 2:PiOH (4*) 

indien alle frequenties w; reëel en ongelijk zijn ■^). Stelt men 
Pi=zni}i/2 7T dan is de energie uitgedrukt in de quantengetallen: 

u = {^niiOi) hl2 n- := ^^mhvi (6*) 

Hieruit volgt voor de spektraallijnen die het systeem kan uit- 
zenden bij het overspringen van de eene quantenbeweging in 
de andere : 

^'i2^^\{nih-{ni)o\Pi (6**) 

i 

De Uchtfreqaeiities die het syüeem kan uitzenden zijn das de Jre- 
quenties der beivegingen in het systeem, en alle boven- en kombinatie- 
tonen hiervan. 

(Men kan nog onderstellen dat in H termen met hoogere 
machten der p's en 5's voorkomen, welke zeer kleine koefficienten 

») Zie: E. ï. Whittaker, Anal. Dyuamics (Cambridge 11)17), p. 413—418. 

*) Voor deze systemen is de funktie van Lagrange kwadratisch in de koor- 
dinaten en de snelheden. — Tot deze systemen behooren alle die kleine trillin- 
gen om een evenwichtspositie of om een toestand van stationnaire beweging 
kunnen uitvoeren. 

') Of men tot oen dergelijken vorm komt, indien sommige der frequenties 
gelijk zijn, heb ik niet nagegaan. In verschillende eenvoudige gevallen is dit zoo. 



§ 14.] OP HET ATOOMMODEL. 59 

hebben. Dan komen onder de bewegingen in het systeem ook 
de boventonen en kombinatietonen der grondfrequenties voor, 
terwijl de formules (6*) en (6**) in eerste benadering niet 
veranderen) ^), 



c) Van groot belang voor de ontwikkeling der quantentheorie 
van het atoommodel zijn geweest de systemen die separatie der 
variabelen toelaten. Deze systemen bezitten de volgende eigen- 
schap : men kan een zoodanig koordinatenstelsel invoeren dat elk 
moment pi uit te drukken is als funktie van de bijbehoorende 
koordinaat qi, in verbinding met de integratiekonstanten «i ...«/• 
der ƒ Ie kanonische integralen der bewegingsvergelijkingen : 

Pi = FdqiC^,...af) 2) 3) (7) 

Omtrent de funkties Fi zal worden aangenomen (in verband 
met onderstelling B, § 10) : 
(1) Elke funktie Fi wordt voor (minstens) twee op elkaar vol- 



') Vergelijk in verband tiermee § 32. 

*) Een groote groep van deze systemen is het eerst aangegeven door P. Stückel 
(^Compt. Reud. 116, p. 485, 1893; 121, p. 489, 1895). De theorie ervan is uit- 
voerig behandeld in: Charlier, Die Mechanik des Himmels I (Leipzig 1902). 
STacKEi, voert echter nog een beperking in omtrent den vorm van de funktie 
van Hamilton, die niet noodzakelijk is; gedeeltelijk is deze beperking opgeheven 
door r. S. Epstein, Ann. d. Phvs. 51, p. 170, 1916. 

^) Bij elk willekeurig mechanisch systeem kan men, zooals bekend is, steeds 
{li uitdrukken als funktie van alle y's in verbinding met <« , .... «ƒ. Dit kan 
b.v. geschieden met behulp der integratie van de partieele dift'. verg. van HauMIL- 
ton-Jacobi : 

H \q\ ... 7/- — ... . — 1 = «I =: lotaLe eitvn/ie. 

Indien men een oplossing van deze vergelijking kun vinden die den vorm 
heeft : 

\V=2:Wi{qiU,...Uj), 

i 

m. a. w. indien de variabelen q\ ... y/ ijesepareerd kunnen worden, vindt men 
hieruit voor de 7/s uitdrukkingen van den vorm : 

Pi = -r. = Fi [qi «i . . . «/• ) 

f» qi 

n overeenstemming met (1). 



60 TOEPASSING VAN DE THEORIE DER UUANTA [§ 14 



gende waarden li en ?;,- van qi nul van de orde 1\2; tusschen 
ti en i]i is Fi reëel ^). 
(2) Op een bepaald oogenblik ligt elke koordinaat qi tusschen 
deze wortels li en tji . 
Dan kan bewezen worden dat elke qi een lihratie-heweging 
uitvoert tusschen deze grenzen 2). 

Bij deze systemen luiden de quantenformules: 

2 n Pk= \ 'Pk • d qu— \ d qu . F^ {q a- «i . . . «/ ) — 

= ƒ/, («1 . . . «ƒ) = nj: . h . . . . {8) 

Bij de integratie loojjt q^ eenmaal tusschen 1^ en //a; op en neer 
(aangeduid door <> onder het integraalteeken te schrijven) ^). 

'Deze quantiseering der z.g. „faze-integralen" Ik is voor syste- 
men van 1 graad van vrijheid reeds ingevoerd door Planck, 
Hasenöhkf., Debye en Ehrenfest; op systemen van meer gra- 
den van vrijheid is ze uitgebreid door Hommerfeld, Epstein en 

SCHWARZSCHILD "*). 

Het bewijs dat deze quantenformules in overeenstemming zijn 
met § 10 en 11 zal hier achterwege gelaten worden; men zie 
hiervoor: K. Schwarzschild, Sitz. Ber. Berl. Akad. }>. 548, 1916 
en P. S. Epstein, Ann. d. Pliys. 51, p. 176, 1916. 

Opmerkingen. 

I) Bij de problemen der elektronen-l)eweging, en eveneens bij 
vele andere waar poolkoordinaten gebruikt worden, komt onder de 
koordinaten een azimuthale hoek if voor, welke onbegrensd kan 
toenemen, terwijl de korrespondeerende pq (het moment van 



•) In de gewoonlijk voorkomende gevallen is Fi de wortel uit een rationale 
funktie; b.v. bij harmonische trillingen: 

p = F{q) = \/"2 m a — Aq-^ 

Zie verder de behandelde speciale problemen (hoofdstuk 111 j. 

*) Zie b.v. CiiARMEK, Die Mech. d. Himmels 1, p. S6, lOO. 

•■) Deze integralen krijgen een eenvoudige beteekenis wanneer men qi als kom- 
plexe variabele opvat. Cf. A. Sommkki'kld, Phys. Zeitschr. 17, p. 500, 1916. 

*) M. Planck, Congres Solvay, 1911, p. 99. — F. Hasknöiiri., Phys. Zeitschr. 
12, p. 9.31, 1911. - P. ÜEiiVE, Gött. Vorlesungen (Teubner 191.'}). — P. Ehren- 
KEST, Verh. Deutsch. Phys. Ges. 15, p. 4.')3, 1918. — A. Sommkrfeld, Sitz. Ber. 
Bayr. Akad. p. 425, vgl., 1915. — P. S. Epstein, Ann. d. Phys. 50, p. 489, 
191G. — K. Schwarzschild, Sitz Ber. Berl. Akad. p. 548, 1916. 



§ 14.] OP HET ATOOMMODEL. 61 

hoeveelheid van beweging dat bij q. behoort) een konstante is, 
of een periodieke funktie van (f (periode 2 n). Dit geeft geen 
essentieele verandering in de quantenformules, daar de konfigu- 
ratie van het systeem periodiek is t.o.v. deze variabele; een 
toename van (jp met 2 tt treedt hier in de plaats van het op en 
neer gaan tusschen de grenswaarden bij de andere koordinaten. 
De quanten voorwaarde luidt in dit geval: 



2 



TT 



2 7T Pz= I p,^.d(f = n.h ^) (9) 

o 

Deze formule is de eerste geweest welke men op het atoom- 
model heeft toegepast ; ze is daar ingevoerd door Nicholson en 
BoHR 2). Tevoren was ze reeds door Ehrenfest voor de theorie 
van roteerende systemen gebezigd ^). 

II) „Semi-periodieke systemen^' (ontaardingsgevallen). 

In het bovenstaande was stilzwijgend aangenomen dat tusschen 
de middelbare bewegingen ojj der hoekvariabelen ^) geen ratio- 
nale betrekkingen bestonden. Is hieraan niet voldaan, m. a. w. 
bestaan er tusschen de loi rationale betrekkingen van den vorm : 



') Men kan ook: 

•^- = 1/ "277. cos V > '. f ' p ■^ 

, , , itransi. v. Poincark) 

als nieuwe variabelen invoeren om tot het algemeene geval der faze-integralen 
terug te komen. Dan is: 

// . r/ .r = p^. .(Iif — di^l^ p^ sin 2 </') 
en dus: 

27f 



/ p^,-iif= 1 y -(^x 



o 

*) J. W. NiCHOtsoN, Monthly Notices Roy. Astr. Soc. 72, p. tJ77, 1912. 
N. BoHR, Phil. Mag. 26, p. 1, 1913. 
.1. W. NicHoi.soN, Nature 92, p. 199, 1913. 
3) P. Ehrenfest, Verh. Deutsch. Phys. Ges. 15, p. 453, 1913. 
* 1 In overeenstemming met het in § 10 gezegde worden de Wj gevonden door 
met behulp der formules (8) de totale energie (zij deze l>. v. « , ) uit te drukken als funktie 
der P's. Dan is w; ^= c* « , /^ A' . Zie K. Schwarzsciih.d, Sitz. Ber. Berl. Akad. 
p. 548, 1916 en P. S. Epstein, Ann. d. Phys. 51, p. 178, 1916. 



62 TOEPASSING VAN DE THEORIE DER QUANTA [§ 14. 

i i ' i m'' = geheel getal \ ' 

dan moet in overeenstemming met hetgeen in § 10 en 11 gezegd 
is, door een lineaire substitutie met geheele koefficienten op een 
nieuw systeem van variabelen worden overgegaan. Zie voor den 
vorm der quantenformules de daar opgegeven citaten, en verder 
de in hoofdstuk III behandelde speciale problemen. 

III) Exaht periodieke systemen. 

Het sj'^steem is exakt periodiek als alle co; gelieele veelvouden 
van één grootheid wq zijn: 

lOi r^ ïïli . WO 

(de riii zijn onderling onmeetbare geheele getallen). 
Dan is de eenige te quantiseeren grootheid : 

?Q = 2-mi.P; (10) 

i 

De periode van het systeem is: 

2 TT Pq is gelijk aan de werkings-integraal uitgestrekt over een 
volle periode: 



i) 



-Jf/r2T=2'^'''oi) (11) 



d) In sommige gevallen kan men ook andere vormen van trans- 
formaties gebruiken om tot de hoekvariabelen te komen, doch 
deze verschillen in het algemeen piiucipieel weinig van boven- 
genoemde. Eenige voorbeelden worden in hoofdstuk ITI gegeven. 

') P. KiiRKN'KKST, Versl. Akad. Amsterdam XXV, p. 412, IDIG. 
fUit de foninili' lilijkt dat een exakt periodiek systeem steeds eenduidige t.p 
(juantiseeren is.) 



§ 15. OPMERKINGEN OVER SYSTEMEN DIE NIET VOL- 
DOEN AAN DE VOORWAARDE B VAN § 10. 

a) Translatie-beivegingen. [vergelijk ook: § 16, a).] 

Een mechanisch systeem waarop geen uitwendige krachten 
werken bezit steeds de drie integralen van hoeveelheid van 
beweging : 



Px 




konstante 


Py 




)) 


Pz 




V 



waar Px,Py,Pz de komponenten van de totale hoeveelheid van 
beweging van het geheele systeem zijn. De bij deze momenten 
behoorende koordinaten x,y^z, welke de ligging van het geheele 
systeem in de ruimte aangeven, kunnen onbegrensd toenemen, 
en kunnen dus niet als periodieke funkties van hoekvariabelen 
worden uitgedrukt i). 

In het algemeen heeft men voor de translatie-beweging geen 
quanten voor waarden ingevoerd ; m. a. w. de waarden van p^, Py,Ps 
zijn niet door quantengetallen gebonden, maar kunnen een kon- 
tinu gebied doorloopen 2). 

In de quantentheorie der ideale gassen worden de translatie-bewe- 
gingen door sommige physici wel gequantiseerd. Hierbij worden 
twee verschillende methoden gevolgd : 

1) Men herleidt de translatie-bewegingen van de molekulen 
tot periodieke bewegingen, hetzij door ze te beschouwen als een 
superpositie van sinustrillingen (geluidsgolven) ^), hetzij door te 



') .v^f/iZ zijn cykluehe koordinaten. 

*) Voor een dergelijk systeem is dus het aantal quantenformules minstens .3 
kleiner dan het aantal vrijheidsgraden. [Zie ij 16, a)]. 
2) Cf. H. ÏETRoiJK, Phys. Zeitschr. 14, p. 212, 1913; 

O. Lenz (A. Sommerfeld, Gött. Vorlesungen 1913); 

W. H. Keesom, Versl. Akad. Amst. 1913, p. 98 (= Comm. Leiden, Suppl. 30 a). 



64 TOEPASSING VAN DE THEORIE DER (iUANTA [§ 15. 

letten op de beperkte ruimte waarin de molekulen zich bewe«yen ^)-). 

2) Op een — - oogenscliijnlijk — t^eliéel andere wijze voert 
Planck bij ideale gassen de quantenvoorwaarden in •'). 

Zij p de totale hoeveelheid van bewe^in*^ van een niolekiuil, 
V het volume van het gas, dan zijn de (|uantenbewegingen 
volgens Pi,ANOK gegeven door: 

4 

-^ TT p^ . V^= a (vi h)^ 

o 

Hierin is « een konstante, welke Planck gelijk stelt aan: 

« =r Nje 

wanneer N het totale aantal molekulen van het beschouwde gas 
is, terwijl e — de basis der natuurlijke logarithmen 4). 

Deze methoden kunnen echter niet toegepast worden wanneer 
men te doen heeft met een enkel sj^steem, en er niets gegeven 
is omtrent de ruimte waarin het s_ysteem zich kan bewegen. 

Voorloopig lijkt het me het beste voor de translatie-beweging 
van een afzonderlijk systeem geen quantenvoorwaarden in te 
voeren ^). 

In de theorie der spektra van eenvoudige systemen voert men 
(in overeenstemming met de opmerking van § 9) steeds een koor- 
dinatenstelsel in, ten opzichte waarvan het systeem rust; men 
kan dan de translatie-beweging verder buiten beschouwing laten. 



b) De Jiypcrholischc hcwexjing. 

Epstein heeft formules gegeven voor <le quantiseoi-ing van de 

') Cf. P. SciiERKicit, (TÖtt. Nachr. liUG (zie in verband met dit artikel van 
van W SciiKKiiKu ook J. M. Buküers, Versl. Akad. Anist. XX \', p. 5.^)7, 191(J). 

*) Het in rekening brengen van de beperkte rninite waarin de jfasniolekulen zich 
bewegen k(>n)t essentieel neer o]) het invoeren van een uitwendig krachtvt'Id. 

ï) M. Pi.ANcK, Sitz. Rer. Herl. Akad. 191G, p. i\W.\--WÜ\ speeiaal : lll'^i Teil, 
Eine grosse Anzahl von Atomen mit gegenseitig inkohiireuteu Freiheitsgraden, 
p. 66!")-6G7. 

*) M. Pi.ANfK, l.c. p. f)6G, fonn. (49)— (51). 

•''•) Tndien men de translatie-beweging van een afzonderlijk systeem wil quan- 
tiseeren komt men ook voor het probleem te staan: ten opzichte van welk koor- 
dinatenstelsel moet de snelheid gemeten wnidiMiV 



§ 15.] OP HET ATOOMMODEL. 65 

hyperbolisclie beweging van een elektron om een atoomkern 
welke op het volgende neerkomen : i) 

Gebruikt worden poolkoordinaten r, </ ; de variabelen kunnen 
gesepareerd worden, en men vindt voor de momenten : 

2)^,= konstante; p,- — p^V^'C^l'^ — {r^'^ -^Cf -) ..... (1) 

Evenals steeds gedaan wordt kan men p,,. gelijk stellen aan 
een geheel veelvoud van /t/2 jt. Wat echter de uitdrukking voor 
'Pr betreft, deze vertoont een karakter eenigermate tegengesteld 
aan hetgeen in § 14, c) van de funkties F-, geëiseht werd : p,- is 
reëel voor waarden van r grootei- <lan de grootste (?;) der wortels, 
en voor waarden kleiner dan de kleinste (?) der wortels van de 
vergelijking: 

Verder is: 

Lim p,. ~p ^ = p,,, C\X e^ — 1 (2) 

Epstein voert nu de quantenvoorwaarde in : 

's 

2Jdr[pr—prrJ = n2 h . . . (3) 

bij de integratie loopt r van tj tot -f- co , en dan van — cc tot |. ^) 

' ) P. S. Epstein, Ann. d. Phys. 50, p. 815, 1916. — Epstein houdt in zijn 
fornniles rekening met de formules van de relativistische mechanika; dit ver- 
andert echter het principe niet. 

2) De drie hier ingevoerde konstanteu /y^, (\e (waarvan slechts twee onafhan- 
kelijk zijn) hangen onderling en met de totale energie e. aldus samen: 



C-- 



e Em /;,,, -2 •,,'. = \ e"^ ]<]■> m (f 2 _1 ^ ^ -2 . 



g = excentriciteit ; r-l = parameter van de hyperbool. 

(•') De vergelijking van de liyperhool in poolkoordinaten ("met di^ pool in een 
der brandpunten) luidt: 

\ 

^(1 -j- g cos (/>) 

De hoek die de asymptoten met de poolas maken is bepaald door: 

1 

cos <Pn ^ • 

5 

Voor waarden van n> gelegen tusscheu — ^j en -|- '/o is /• ])ositief; men heeft 

5 



()(i TOEPASSING VAN DE THEORIE DER (^UANTA [§ 15. 

Of Epstein hierin juist gezien heeft, durf ik niet te beoordeelen. 

Misschien kunnen voor de studie van dergelijke problemen 
van nut zijn de opmerkingen die Poincark maakt over de ana- 
lytische voortzetting van banen die naar het oneindige loopen 
(Mécanique Céleste IIT, p. 168). 

Verder doet zich hier de vraag voor: Kan men in dergelijke 
gevallen waar het integratie-gebied oneindig is, steeds op geschikte 
wijze tot konvergente integralen komen? In het l)Ovenstaande pro- 
bleem gelukte dit door van pr de waarde voor r = a:> af te trekken. 

Epstein past deze quantenformules toe op de theorie van het 
foto-elektrisch effekt, en op de beta-stralen van radioaktieve 
stoften. Zie enkele opmerkingen liierover in hoofdstuk III, § 24. 

Het probleem van de quantiseering dezer, in zekeren zin 
„instabiele" bewegingen i), schijnt mij toe van groot belang te 
zijn voor de theorie der quanta. Vooral lijkt het mij van gewicht 
te zijn voor de problemen die zich voordoen bij de systemen 
met meerdere elektronen (zie hoofdstuk IV, § 26). 

Bij deze systemen beschouwt men gewoonlijk periodieke be- 
wegingen der elektronen, b.v. : alle elektronen .zijn op gelijke 
afstanden langs een cirkel verdeeld, en loopen met eenparige 
snelheid rond. In het algemeen zijn deze periodieke soluties der 
bewegingsvergelijkingen instabiel, in dien zin dat bij kleine 
storingen der beweging de elektronen naar het oneindige weg- 
loopen, of (Ij) de kern kunnen vallen ^). Deze stabiliteitsproblemen 
vormen de gi-ootste moeilijkheid voor de tlieorie van atoom- 
inodellen met nie(;i' dan 1 elektron of met niecn-dere kei-inMi. 

Wanneer nicu fiUimtcMivoorwnardcii liad voor "Ik liewegingen 



rlan de tak van de liyperbonl die liet elekti'Dii d(iiirliHi|)1. Di' iniiiiinmiiwaiirdr 
van /■ iperihelium-afstand ) is: 

1 ' 



Is 7,, <^i/' •<^:i ,r — 7'n . dan is /• iic(j(ilirf yn\ steeds ^ /; = ' . Het 



1 

imnt /■, r/, beschrijft dan de andere tak van de livjieibodl. In de in1e<;iaal van 

Epsticin I (1r\pr — y Oo ] doorloojit /• de heiili- takken van de byperltool. 

Men zie fi<f. 1 en '1 op bl. S2."} en S24 van Ki'stkin's verbandelini^.] 
'i Zie de definities van stabilit(dt in i^ 2(5, speciaal del'. (\.). 
») Cf. i^ 2(J, def. (2). 



§ 15.] OP HET ATOOMMODEL. 67 

in de nabijheid van een periodieke soliitie, dus ook voor de bewe- 
gingen waarbij de elektronen naar de kern loopen, of naar het 
oneindige gaan, en men onderstelt dat het systeem slechts de 
quantenbewegingen kan uitvoeren, dan zou het s^^steem ver- 
moedelijk eerst door een storing van eindige grootte in een van 
de „instabiele" bewegingen kunnen overs})ringen i). 

Misschien zou hierin een methode gelegen kunnen zijn om 
de moeilijkheid der instabiele bewegingen te overwinnen. [Men 
vergelijke Noot II bij § 26]. 2) 

' ) T)e ell/pfkc/ie beweging van een elektron om een kern in een krachtveld 
van Nkwton is stabiel; om deze te doen overgaan in een „instabiele" hyper- 
bolische beweging moet men de energie met een bedrag van eiudi(/e grootte 
vermeerderen. 

[2) Een betrekkelijk eenvoudig geval is de beweging van een punt in een 
tweedimensionaal krachtveld met potentiaal: F = A^ . r- i; in dit veld is een 
periodieke beweging mogelijk (cirkelbaan), welke instabiel is tegenover kleine 
storingen. De fiinktie van Hamilton voor dit probleem is: 






,.T- ■ ="■ 



waarin R = /• en = ?. r- (ter vereenvoudiging is de massa gelijk aan 1 
gesteld). Men kan de variabelen separeereu en heeft: 

// 



= konstante = C =^ n^ 



■2 2; 



R = \X^a — C^jrt +2A^lr^. 

Voor de cirkelbeweging is: 

6'* 2A 

R = 0- - = -o = ^Qj,^ ''=~C- 

Is "!<C''o' 'l^"^ ^Ü'^ ^^ bewegingen in twee groepen te verdeden: banen 
tusschen de kern en een zekere maximum -afstand (I), en banen van een 
minimum-waarde van r naar het oneindige (II); voor "-^"-0 gaan de banen 
van de kern naar het oneindige of omgekeerd (III). Men kan nu op het voet- 
spoor van Epstein als quantenvoorwaarden invoeren : 
rmax 

Voor (I): 4 r/r[lX¥«-C='/',.2 + 2^*/^* _ |/ 2^»/,.. ] =.,,, /,; 

o 

(II ) : 4 Lir [ lyY^-C-'lr^. '+^2~A^', - |/ 2 .. ] ^ ;. , // ; 



'mm 

00 



y/j //. 



(III): ■>\dr[\/' -la-C^lr-^ + 2 ^*/,. - |X2yi ï/,» -iX 2. ] = 

u 
Door de integralen uit. te werken (\w\. behulp van de theorie der elliptisclie 



68 TOEPASSING VAN DE THEORIE DEli QUANTA [§ 15. 

integralen, of' door numerieke berekening) kan men de waarden van a vinden 
voor verschillende waarden van ;/, en n^. 

Uit de verkregen uitkomstea kan men dan vervolgens afleiden met welk bedrag 
de energie moet veranderen opdat de cirkelbeweging in een andere beweging omslaat. 
Deze sprongen zijn voor kleine waarden van de t|uantengetallen van dezelfde 
orde van grootte als «g; m.a.w. ze zijn relatief (/root. Hoe grooter echter de 
quantengetallen worden, hoe kleiner de relatieve veranderingen in de energie 
behoeven te zijn voor het omslaan. 

Over de waarde van de hier gebezigde quantenformules durf ik echter niet te 
oordeelen.1 



§ 16. VERSCHILLENDE OPMERKINGEN. 

[il) Bij een mechanisch systeem van ƒ graden van vrijheid dat 
niet door uitwendige krachten wordt beïnvloed, is het aantal 
der qnantenvoorwaarden ten hoogste 

ƒ -4. 

Er vallen nl. vooreerst 3 qnantenvoorwaarden weg in verband 
met de drie integralen dei' beweging van het zwaartepunt (zie 
§ lö, a)); een vierde valt weg in verband met de integralen van 
het moment van hoeveelheid van beweging en de z.g. „elimmatie 
der knoopen" i). 

Om dit te bewijzen kan men uitgaan van het })robleem der 
beweging van n materieele i)unten onder den invloed van 
krachten die de i)unten onderling op elkaar uitoefenen, en dit 
reduceeren door middel van een stel kontakt-transformaties, ge- 
geven door T. L. Bennett -). Deze reduktie zal hier niet in haar 
geheel behandeld worden; ik wil me beperken tot een verkorte 
weergave, welke in iets algemeeneren vorm gehouden is. 
■ Zij de funktie van Hamilton voor het systeem: 

H {pi - ■ ■ psn qi ■ • • qsn), 

waar (j\ ... (/;;,j de rechthoekige koordinaten der n lichamen zijn, 
en Pi . . . p'sn de overeenkomstige hoeveelheden van beweging. 
De' funktie H behoeft slechts aan de voorwaarde te voldoen de 
genoemde 6 integralen toe te laten, is echter overigens geheel 
willekeurig '^). Door middel van een eerste transformatie wordt 
nu overgegaan op het volgende systeem van variabelen : 
q'i q'i 'ï-i, q'i q'ö q'a, ■ • • q'sn-b ^'««-4 q':in-s y^W <^^ relatieve koor- 



') Zie Whittaker, Analytical Dynamics (Canibrid^^e 1K17), p. 841. 

2) T. L. Bennett, Mess. of. Mathematics 34, p. 1 l-'J, lW)i. 

') Men mag dus b.v. de formules van de relativii^tische nieclianika invoeren; 
ook mogen de punten werkingen op elkaar uitoefenen, welke niet slechts van 
hun standen, maar ook van hun snelheden afhankelijk zijn. 



70 TOEPASÖINC; VAN DK THKÜKIE OER (JUANTA [§ U). 

(liiiateii <lei' eerste (n — 1) lichuiiieii ten opzichte van liet //'' 
lichaam; q' ^n-i ^l' :>,n-\ <^l' -^n ^^ij^i '^^ absolute koordinaten van dit 
laatste; p'\ f>' 2 p' ■.;■■■ v':\n-h 'p' -n—i l>:\n^:) y^ijii <lc hoeveelheden van 
bevvegino- der eerste {11 — 1) lichamen ; p-'M-'i p-.in-i p':in ^'ijn de 
komponenten van de totale hoeveelheid van Ijeweging van het 
geheele systeem. Tengevolge van de omtrent ^gemaakte onderstel- 
ling moeten q':i,i-2 q'r,n-\ q'sn ^"t H wegvaWcn: p'sn^ p'sn-i p'nn 
zijn konstanten, welke men zonder bezwaar gelijk nul mag stellen 
(zie boven § 9). Hierdoor vallen reeds 3 koordinaten en 8 mo- 
menten weg. 

Men denke zich een koordinatenstelsel O.ryz aangebracht, 
evenwijdig aan het oorspronkelijke, met den oorsprong O in het 
)V' lichaam. Door een tweede transformatie voert Bennett dan een 
beweeglijk stelsel Oxy'z' in met hetzelfde |)unt als oorsprong; 
het .i-'^/'-vlak gaat door de lichamen {n — 2), (/< — 1) en /;, terwijl 
de .r'-as ligt in het vlak Oxy. Om den momentanen stand van 
dit stelsel te bepalen zijn noodig de hoeken q":in-i (tusschen Ox 
en Ox') en q"-in-'i tusschen Oz en Oz . Als variabelen worden 
ingevoerd : 

(1) de koordinaten der lichamen ten opzichte van het systeem 
Oxy'z , waarvoor Sh — 5 grootheden q"x . . . q"^n-r^ noodig zijn, 
daar voor de lichamen {n — 2) en {11 — 1) de z'-koordinaat 
nul is, en voor het w^ lichaam alle koordinaten nul zijn ; 

(2) de reeds genoemde hoeken q"?^ 4 en q"-in--\\ 

(o) de komponenten p"i . . . p"3n-<d der hoeveelheden van beweging- 
van de eerste (n — 3) lichamen parallel de assen Ox', Oy', Oz' ; 
de komponenten 'p"3n-8, p":\n--i der hoeveeliieid van beweging 
van het {n — 2)'' li(tliaam, parallel Ox' , Oy' \ de komponenten 
P":5m-6, p":\,i-r, analoog voor hei (;/ — 1 )' lidinani : 
(4) p":>„_4 = het tegeiigest(ild(! van het ini>ni(nt \an liocvcclheid 
van beweging van het gehecile systeem om de as Os, en p":\n~:\ 
= het moment vim hoeveelheid van )»eweging om de as Ox . 
In deze grootheden kunnen alle varial)elen </ ] . . . j>':\u-:i worden 
uitgedrukt. Voegt men deze uitdrukkingen in de funktie van 
Hamiltcn in, dan moei de koordinaat q":',n-A liiciiiii wegvallen, 
daai' de bewegingsvei'gelijkingen niet mogen verandcM-en zoo men 
het systeem Oxyzoxov een zekei-en hoek om des-as wentelt. Een der 
integralen van lu^i momcni van hoeveeliieid \aii bcw(!ging is dus : 

(1) />".;/( -1 ^= konstauie =^ k. 



§ IG.] Ol' HET ATOOMMODEL. 71 

Het systeem moet verder eeii „invariabel vlak" bezitten, lood- 
i'ecbt op de richting van het totale moment van hoeveellieid 
van beweging. Kiest men het oors])ronkelijke koordinatenstelsel 
zoo dat het vlak Oxy dit invariabele vlak is, dan zijn de beide 
andere integralen van moment van hoeveelheid van beweging: 

(II) pV-.'i = 0. 

(Hl) Moment van hoeveelheid van bewcgiii;/ (rm. de a.s Oz' =^ 

— k . cos q"3n-3- 

Tengevolge van (II) kan men p"-in-'.i schrappen ; door middel 
van (III) kan men cos q"?M-3 uitdrukken in de andere (dubbel 
geaccentueerde) variabelen. Voor de uitwerking hiervan wordt 
verwezen naar hot geciteerde artikel van Bennett. 

Men komt tenslotte tot, een funktio van Hamilton i?* , welke 
slechts bevat iïn — 10 variabelen : q"i . . . q"3n-->p"i • • •li"^n-5, 
en bovendien de konstante k, welke het totale moment van 
hoeveelheid van beweging van het geheele systeem bepaalt. De 
behandeling van do. funktie H' kan slechts leiden tot hoogstens 
o n ■— 5 hoek variabelen (zoo geen verdere ontaardingen optreden) 
met de hierbij behoorende kanonische momenten. De in te 
voeren quantenformules moeten de waarden van deze kano- 
nische momenten bepalen, en bovendien de waarde van het totale 
moment van hoeveelheid van beweging k van hot systeem i); inm 
aantal is dus hoogstens : 

3 ?i — 5 + ] = 3 ïi — 4. 

Bij liet proljleem der twee lichamen is het aantal quanten- 
voorwaarden hoogstens twee (Ij.v. relativistische KEi'LER-beweging, 
zie § 19); verder kan hier genoemd worden de beweging van 
een vast lichaam (aantal vrijheidsgraden : (> ; aantal der (|uanten- 
voorwaarden : 2 ; zie § 29). | 



b) Gemiddelde 'waarde van de kinetische energie. 
Volgens een bekend theorema der mechanika is de kinetische 
energie 7' van een systeem gelijk aan de volgende uitdrukkingen: 

/ *■ qi I '• / « 

') Deze laatste, de ('Au l i' , i|iiaiiteiiv()(irwiiar(le luidt: 



72 TOEPASSING VAN DE THEOKIE DER QÜANTA [§ 16. 

Transformeert men op hoekvariabelen, dan is volgens verg. 
(4), bl. 42: 

i i 

en dus : 

Hieruit volgt voor de gemiddelde waarde van T: 

T=Lim ^ (dt . T^l^Picoii- J Urn ^^ilT^ i) 
o 
zoodat : 

Indien er rationale bietrekkin^en bestaan tussclien de middel- 
bare l)ewegingen,-kan men deze uitdrukking zoo transformeeren 
dat alleen de intensiteitskonstanten Pi. . .P/-_;. en de bij deze 
behoorende middelbare bewegingen voorkomen. 

In het bizondere geval van een exakt i)eriodiek systeem 
vindt men : 

T— ^ P ,, - "' ^^ " 
i — Y ro wo — -^ — 

Vergelijk form. (11), § 14. 

I '/'/";!/( t ■/>":jn - 1 = - ■' I'' =^ (Jfilicel ri't'lroud rmi li. 

O 

') Ondersteld is dat ilc t'uuUtic // vodi' alle waarden der ^s steeds heneden 
een eindijre j^renswaarde blijft. (Hiervoor is noodzakelijk dat aan de voorwaarde 
1) 2 van § 10 voldaan is.) 

*) Opiiierkhif/. Is de totale energie /.inatm-li^ dan is T^^T^^K\ uit formule 
{!) volgt dat in dit geval K een homogene fnnktie van den tweeden graad in de 
/^'s moet zijn. (Voorbeeld: rotatie van een vast lichaam). 

Bij harnioniscli trillende systemen is A iiomogeen van den eersten graad in 

de /"s; hier is: T= \ K = F. 



§ 16.] OP HET ATOOMMODEL. 73 

(In sommige gevallen kan men op eenvoudige wijze het ver- 
band tusschen de gemiddelde waarde van de kinetische en die 
van de potentieele energie aangeven; zie hiervoor: A. Sommer- 
FELD, Sitz. Ber. Bayr. Akad. p. 456, 1915.) 



[c) Vergelijkt men verschillende gelijkvormige bewegingstoe- 
standen van een mechanisch systeem, waarvan de absolute 
grootte der ]>anen wordt hejxiald door 1 (]uantengetal 7/., dan 
is de energie dezer bewogingstoostanden ontgekcerd evenredig met n^, 
zoo de krachten tusschen de verschillende deelen v:in het systeem 
omgekeerd evenredig zijn met de kwadraten der al'standen. Men 
kan dit aldus aantoonen : in do verschillende toestanden zijn de 
overeenkomstige massa's dezelfde; de krachten (dimensies: 
lmt~^) zijn omgekeerd evem-edig met de tweede machten der 
lengten; de „werkingen" en de kanonische momenten P en P 
(dimensies: l'^mt-^) 'zijn evenredig met n. Dan moeten zijn: 

lengten evenredig met n.-, 
tijden evenredig met n-'; 

waaruit volgt dat de energie (dimensies: l'-^mt-'-') evenredig is 
met n""2. 

Het eenvoudigste voorbeeld hiervan zijn de cirkelvormige 
elektronenbanen in het model van het waterstof-atoom volgens 

BOHR.] 

d) Positieve en negatieve waarden der quantengetallen, enz. 

1) Qit formule (8) § 11 volgt dat men door geschikte keuze 
van het teeken van Qu steeds kan zorgen dat Pi, 'positief is. In 
vele gevallen is hieraan onmiddellijk voldaan, l).v. wanneer de 
P's bepaald worden met de methode der faze-integralen. 

Soms is het gemakkelijker niet hieraan vast te houden. Be- 
schouw b.v. de rotatie van een licliaam om een vaste as. Is A 
het traagheids-moment, dan heeft men: 

Als hoek variabele en kanonisch moment kunnen ingevoerd worden : 



74 TOEPASSING VAN DE THEOHIE DEU <jrANTA [§ 16. 

zoodat : 

2 A 
Hieruit volgt voor de frequentie : 

Q = co=^K^P = P A. 

Het teeken van P hangt dus af van de richting der beweging. 
Wil men steeds met positieve P's werken, dan zou men in het 
geval van een rotatie in negatieven zin moeten stellen : 

Q = — (j[ P — — p,i. 

waardoor w = — oj:r=P^4 positief Avordt. Deze al'hankelijkhcid 

der transformatie-formules van de richting der beweging geeft 
evenwel onnoodige moeite. 

Hetzelfde treedt op bij de rondloopende l)eweging van een 
elektron om een atoomkern, e.d. 

2) Uit de formule voor de middelbare beweging: 

c^ K 



CO: 



^Pi 



volgt dat de energie bij een afname van de absolute waarde der 
quantengetallen zal afnemen, zoo de middelbare beweging van 
elke hoekvariabele hetzelfde teeken heeft als de bijbehoorende 
P. In dit geval is ook in de boven onder b) aangegeven ver- 
gelijking (I) voor T elke term positief. 

In het algemeen komt dit uit; er zijn evenwel gevallen waar 
de jnidd. bew. en de intensiteitskonstante het tegengestelde tee- 
ken hebben. Ken voorl)ecld hiervan is de beweging van een 
niet door uitw('n<lige krachten l)eïnvloede symmetrische tol (V^erg. 
K. ScHWAKZScniLi), Sitz. Ber. Berl. Akad. 1916, p. 565.) De 
funktie K {!*) is hier: 

2 /l ■= ^ 2 \ C Aj' ' 

(P.j = tota;il iiiomciit van boeveellieid v;iii beweging: Pi = kom- 
])oiiciii(' lii(!rvan langs de tiguur-as van de tol.) De iniddell)are 
beweging Viui f^>] is: 

<) Zit' i? ■2\K 



§ iö.] ül' JIKT ATUUM.MUDKL. 75 



(h — '-'h 



(c-i)^^. 



In het geval: A<iC (afgeplatte tol) is c'j^jl\ aeijatkf (men 
heeft clan retrograde precessie). 

e) Intensiteit en polarisatie der uitgezonden spektraallhjneu. 

1) Door SoMMERFELD zijn voorloopige regels opgesteld voor 
de intensiteit der uitgezonden spektraallijnen i). Deze hebben 
betrekking op de beweging van een elektron om een atoomkern, 
waarbij rekening wordt gehouden met de relativiteitskorrekties. 
Zijn n en n de quantengetallen voor de azimuthale en de radiale 
beweging 2), dan komt Sommerfeld tot de resultaten : 

a) Steeds geldt dat n~{-n' afneemt bij de emissie van een spek- 
traallijn ^); onder normale omstandigheden neemt n' nooit 
toe; in sommige gevallen kan dit echter wel gebeuren, de 
lijnen zijn dan zwak. 

b) Uit de proeven van Paschen ■^) is gebleken dat bij sterke ont- 
ladingen door gassen zoowel n' als n kan toenemen. In dit ge- 
val kan men bij benadering de intensiteit van elke lijn voor- 
stellen door het produkt van twee getallen, waarvan het eene 
betrekking heeft op de beginbaan, het andere op de eindbaan : 

Hier is Wi een funktie der cjuantenge tallen ni, n'i van de 
beginbaan, IF2 een funktie van de quantengetallen n2, n'2 van 
de eindbaan. Vergelijkt men de lijnen die ontstaan bij di^ over- 
gangen waarvoor ni + n\ en «2 + ^2 beide steeds dezelfde 

•) A. SoMMERi-Ei.i), Aiiii. d. Phys. 51, ]). 23, lillö; Sitz. Ber. Bayr Akad. 
1917, p. 83-109. 

*) Deze quantengetallen hangen samen niet de faze-integralen : 

2;t 

11 h^= j p(f, . d(p ; /(' Jt = I pr . dr. 

Vergelijk verder hoofdstuk III, i> 11). - Tusscheii de liier ingevoerde quanten- 
getallen H en n' eenerzijds, en de daar gebezigde //,, //^ anderzijds, bestaan de 
betrekkingen : 

•'1 Dit is noodzakelijk o])(liit de f/zf/y/if (ijnefml hij lift overspringen van de 
eene beweging in de andere. (Zie de formules in i< 17 en s< IH, hoofdstuk 111. J 
*) K. PAScriKN, Ann. d. Thys. 50, y '.tul. lÜH;. 



76 TOEPASSING VAN DE THEORIE DER QÜANTA [§ 16. 

waarden hebben, dan kunnen de lunkties II' vourgesleld 
worden door : 

Wi == nil{ni + n'i), enz. 

of een andere dergelijke uitdrukking i). 
c) Werkt men niet gelijkstroom dan schijnen andere regels te 
gelden -). — Men vergelijke verder de diskussie van de waar- 
nemingen over het STARK-effekt, door Epstein '•^) en Sommer- 
FELD •*). 
2) Uit hetgeen "waargenomen wordt omtrent de ])olarisatie-toe- 
s'tand der lijnen bij het ZEEMAN-effekt en bij het STARK-effekt 
schijnt men den volgenden regel te mogen afieiden'^): 

Is II;; het ({uantengetal voor (\v komponente van het 
moment van hoevoclhoid van beweging volgens de i'ichting 
der a-as '•), dan zijn (k; uitgezonden trillingen evciiioijduj aan 
deze, indien /<;; met een even. l)e<lrag toe- of afneemt ; een 
verandering van n^ met een oneven bedrag geeft cirkulaire 
trillingen, loodrecht op de 2-as. Lichtstralen die in de + rich- 
ting der 2-as worden uitgc^zonden zijn rechts cirkulair gej^o- 
hirisecu'd als /i- toeneemt, links cirkulair als Ji.-i afneemt. '') 
Men schijnt hier te doen te hebben met een emissie van 
moment van hoeveelheid van beweging: 

Bij de emissie van links cirkulair gepolariseerd licht is 
de rotatie van den elektrischen vektor volgens de elektro- 
magnetische lichttheorie passend bij de richting van den 
lichtstraal ; dus voor lichtstralen in de + ricliting der 2-as 
uitgezonden linksom loopend (voor een waarnemer die van 
de zijde der pos. 2-as naar het .r//-vlak ziet). In dit geval 
neemt ^3 af, en is er dus een positief bedrag aan moment 
van hoeveelheid van beweging uitgestraald ^). 

«) Cf. A. SoMMicKiKLh, Sitz. Ber. Bayr. Akad. 1!M7, j). 104. 

2) Idem, p. lOH. 

^P. S. Ki'STEiN, Aiiii. d. l'hys. 50, p. 514, lÜlG. iZic ook beneden §21) 

'>) A. SoMMKRKEi.i.., Sitz. Her. Bayr. Akad. 1917, p. lOlt. 

5) A. .S(.M.MKUii;i.h. rhys. Zeitsclir. 17, \<. IDl, l'.lKi. en P. S. Ki'stiin, l.c 

") De 2-as is geuomeu in de riclitin<,Mleriiiagnetisclie()rder elektrische krachtlijnen. 

7) Vergelijk hoofdstuk 111, § 20 en 21 en iiir. ^i l)ij j; 20. 

" I Dit hedrag aan moment van liocveoJlicid van beweging moet men volgens 
de klassieke theorie terug kunnen viinlcii in liet eliktromagnetische veld. (Zie 
l).v. M. AiiitAHAM, Theorie dei' Klcklrizitiit, 11.» 



HOOFDSTUK III. 

PROBLEMEN DIE BETREKKING HEBBEN OP DE 
BEWEGING VAN EEN ENKEL ELEKTRON. 

(QLTANTENTHEORTE DER ATOMEN, BESTAANDE UIT 

EEN POSITIEF GELADEN KERN, WAAROMHEEN 

ÉÉN ELEKTRON LOOPT.) 



Bij de studie der quantenbewegingen en der lichtemissie van 
zoo eenvoudig mogelijke atomen wordt in overeenstemming met 
het voorgaande aangenomen: 

a) Kern en elektron mogen als puntvormig worden beschouwd ; 

b) De aantrekking tusschen beide is gegeven door de wet van 

COULOMB : 

e) Het systeem straalt geen energie uit naar het veld, zoolang 
het elektron een (juantenbe weging uitvoert; de berekening 
der quantenbewegingen kan geschieden met behulp van de 
gewone mechanika, zonder de reaktie-krachten van het cigen- 
veld van het elektron in rekening te brengen; 

d) Bij groote snellieden is de massa van het elektron afhankelijk 
van de snelheid, overeenkomstig de formules der relativiteits- 
theorie. 



§ 17. BEWEGING VAN EEN ELEKTRON OM EEN 

VASTSTAAND ATTRAKTIE-CENTRUM, MET VERWAAR- 

LOOZING VAN DE AFHANKELIJKHEID DER MASSA 

VAN DE SNELHEID. 

De volgende theorie van de spektra van Waterstof en van 
positief geladen Helium is essentieel reeds door Bohr gegeven 
in zijn eerste verhandeling i) ; de hier gebruikte methode van 
behandelen sluit zich echter meer aan bij die van Sommerfeld ~), 
om de overeenstemming met de in het voorgaande hoofdstuk 
gegeven regels te laten uitkomen. . 

De lading van het elektron zij — e; de massa m, welke voor de 
in aanmerking komende snelheden als konstant wordt beschouwd. 
De kern heeft de lading + £"; aangenomen wordt dat deze stil- 
staat. Voert men een rechthoekig koordinatenstelsel in met de 
kern als oorsprong, dan is de funktie van Lagrange: 

en die van Hamilton : 

In poolkoordinaten uitgedrukt: 

Lz= '^^^ (;•2 + r2.^2_f ,.2. sin'-^ .'» ..■/^) + rA7r (la) 

resp. : 

il^^^^^iPf+Plr'- +P^/r2sin-' {^) -eEjr . . . (2a) 

A. Afleiding 'dn' quanten f ormulefi volgens de metliode der faze- 
integralen. 

>j N. BoiiK, Phil. Mag. 26, \>. 1, 487, li)13. 

ï) A. S(tMMi:iii F.i.i», Site. Ber. Bayr. Akad. 191;'», ]•. 42;'»; Aiiii. d. Pliys. 51, 
].. 1 vjr]., ]91fi. 

Verfrelijk (M,k : 1'. I)i:i;vi;, Tliys. Zntsclir. 17, ]>. ;'»12, linC. 



§ 17.] OP DE BEWEGING VAN EEN ENKEL ELEKTRON. 79 

De fuiiktie van Hamilton (2a) laat separatie der variabelen 
toe ; voor de momenten worden de uitdrukkingen oevonden : 



«■? 



Pa 



1/ «^ "^ 


; 




y "-^ sin2 iy 




pr — Y^ 2 m «1 - 


«2 


ImeE 
r 



■ ■ (3) 

Beteekenis der 3 integratie-konstanten : «^ r= totale energie ; 
«2 '=■ totaal moment van hoeveelheid van beweging ; «3 = de 
komponente hiervan met betrekking tot de as van het koordi- 
natensysteem (2-as). «1 moet negatief zijn opdat de baan zich 
niet tot in het oneindige uitstrekt. 

Voor de faze-integralen vindt men : 

• 2 TT P«5 = I p,f, . (/ (jp = 2 TT tco, I 

I) I 

2 77- 1\ = I pf^.d O = 2 JT («o — uy) l ^^ ' ' ^^^ 

J Vl-'^ — ^ m «1 / 

dus : 

a.:rzzP,^^\P^\ ' . . (5) 

Do totale energie hangt dus slechts af van de som van 
/'i, P2 en I's . De middelbare bewegingen der korrespondee- 
rende hoekvariabelen zijn gelijk ; men heeft hier te doen met 
een geval van ontaarding: het 'systeem is exakt periodiek. Over- 
eenkomstig hetgeen in hoofdstuk II, § 10 is gezegd moet men 
nu door een lineaire substitutie met geheele koefficienten en 
determinant ± 1 op een ander systeem van hoekvariabelen en 
bijbehoorende intensiteitskonstanten overgaan, zoodat twee der 
nieuwe hoekvariabelen de middelbare beweging nul hebben ; 
men kan hiervoor nemen : 

*j P, en Pj zijn steeds positief; het teeken van Pj hangt af van de richtincr 
der rondloopende beweging (verg. § 10, (1). — In de formule voor de energie 
IcDint de fib<<ühitp waarde van /'., voor. 



80 



PROBLEMEN DIE BETREKKING HEBBEN 



[§ 17. 



Qi = (h Pi 

Qo = Q. — Qx P-2 
Q, = Q. + Q. P, 



I\ -f- Pi + ' P-^ j 

P., + P,, (=: «o ) 



P:'. (-^-«:0 ) 1) 



((>) 



B. Andere mctJiodc van heltandeling. 

Voordat hiermee verder wordt ge,^aan, zal noo- een andere 
behandelingswijze gegeven worden, welke mt-er aan de metliodes 
der astronomisehe inechanika herinnert, en direkt tot de P's 
leidt -). 

Op de in rechtlioekige kooi'dinaten geschreven Innktie van 
Hamilton (verg. 2) woi'dt de kontakt-transforinatie toegepast, 
gegeven dcxtr: 



waar 



c> W, I 



d W, 



. enz. 



T^'i = (py sin '/;; + p., cos (p,) . (j\ eos q^ + 



(7) 



+ ^P'i + (py COS (/3 — p.r sin q?)- . qx sin y.j . . (8) 




Fiii^. 4. KUiptisclie liewegini;' van eeii elektron. 
A' = atoomkern ; A'= elektron. 
.V = klimmende knoop. 
P== perihelium. 

AA' = y , ; — XK = q^ ; - T.V = yj. 
-. V/» = Qj ; - .V.\ = Q,. 

De beteekenis dei- nieuwe variabelen 71 , 7- 
nit ))iigaande figimr. Betee'kenis der nieuwe p's: 



7:; is te zien 



') Men moet Ü3 = Q.^ — <^j , resp. Qj = V:i + Vï "«"'en, ui naar dat /'^ jmv 
sitief of negatief is, daar steeds voldaan moet worden aan de betrekking: 

*) Zie b.v. WiiiTTAKKK, Anal. Dynamics, Cambr. l'.UT, ji. 348 en 419. 



§ 17.] or 1)1-: J!K^v^:GIN« van ken enkel elektron. 81 

Pi = r)i <ii ; 

p.2 =: totaal moment van hoeveelheid van beweging; 

ps = komponente hiervan om de z-as. 

De funktie van Hamilton gaat over in : 

^=Tn^^p'+py'jv-''^:<i. ■■••(9) 

Daarna past men de kontakttransformatie toe : 

Q^-= ^^^^P, , Pi^^^'^l^qi (10) 



^Vo =jd<j,[/— -f !- + P2 yo + P3 q. . (11 ) 

^ rï (71 qi 

(I z=: de minimumwaarde van qi = |de perihelium-afstand.) 
Deze doet de funktie van Hamilton overgaan in : 

fl = K<P) = -^' (12) 

De hier ingevoerde P's zijn dezelfde als boven onder A) zijn 
aangegeven (verg. (6)). 
Beteekenis van Qi Qo Q^ : 

Qi = middelbare anomalie van het elektron in de baan; 

Qo ^ lengte perihelium, gerekend vanaf de klimmende knoop; 

Qy = lengte klimmende knoop, gerekend vanaf de .r-as. (zie fig.) 

Q2 en Qo hebben de middelbare beweging nul: de elliptische 
baan staat vast in de ruimte, i) 

') P, Pj P3 Q, Q2 Ü3 stemmen overeeu met de elementen van Delaunay voor 
een planetenbaan; de rechthoekige koordinaten .r // r kunnen, zooals hekend is, 
in FouHiER-reeksen naar Q, Q^ Q, ontwikkeld worden. Zie h.v. (Iharlier, Die 
Mechanik des Himmels I, p. 210. 

Verband van de P's met de afmetingen en de stand van de baan: 
Zij a de halve groote as van de ellips; 6 de excentriciteit; i de helling van 
het haanvlak t. o, v. het ./-^-vlak; dan is: 

P, =^\y^ me Éli ^. 

Pj = |/^eT«'(T— £2) ' '13) 

Pj =1/^ meEar(l — e'^) . cos / 1 

Dus: halve groote as: e ^=^ ^1 ,^i e ]>] \ 

halve kleine as: // = Pi Pi'^^, ,, /i' '1^* 

^/« = P./P, ) 

6 



82 PROBLEMEN DIK BETKEKKINc; I F KT-HKN [§ 17. 

C. Quantenformules. 

Volgens hetgeen in § 10 besproken is, moet nu Pi gequantiseerd 
worden ; stel derhalve : 

Pi 3= ,1 /i/2 TT (15) 

dan wordt de energie: 

2n^me'^E^ 



u 



/i2l2 



')-) (16) 



Opmerking over de quantiseering van P2 en P3. 

a) Quantiseert men P2, dan wordt de excentriciteit van de baan 
vastgelegd ; dit is gedaan door Sommerpeld '''). Men kan deze 
handelwijze rechtvaardigen door de beweging te beschouwen als 
ontaarding van de relativistische planetenbe weging ; de formules 
voor de laatste vertoonen groote overeenkomst met die van het 
hier behandelde probleem, echter is de middelbare beweging van 
Qo niet gelijk nul, zoodat Pg gequantiseerd moet worden ^) ^). 

Gaat men evenwel uit van de beweging bij aanwezigheid van 
een elektrisch veld (theorie van het STARK-efiekt), en laat men 
deze ontaarden door het elektrische veld tot nul te laten afnemen, 
dan komt men op een ander systeem van banen *'). 

') Men kan deze uitkomst ook direkt afleiden uit de quantenformule voor exakt 
])eriodieke systemen : 2 ?'ƒ ,, = n h^ door T en r in a uit te drukken. 

^) Het is duidelijk dat in deze formule n niet gelijk aan nul kan zgn. 

Uit fonu. (18), t'w eveneens uit (4) en (6), blijkt dat P, en dus n een positief 
getal is. 

=») A. SoMMKKi-Ki.h, Sitz. Ber. Bayr. Akad. liHó, p. 43G; Aun. il. Phx s. 51, 
p. 17, 1916. 

♦) Vergelijk § 19, bl. 100. 

h « h 

«) Stelt men Pj = «j ;y-, terwijl P, =«, ^— is, dan volgt uit (14) voor de 

assenverhouding der ellipsen: lija = '"il»y 

Uit (13) blijkt Pj ^ P, , dus: //^ ^»i- 

SoMMKRi-KM) sluit de waarde Pj=()(f = l) uit; dit zou rechtlijnige banon 
geven, waarbij het elektron door de kern zou moeten gaan („Pendelbahnen"). 
Zii- liierover: A. .SommicrkI' i,i>, Sitz. Ber. Bayr. Akad. 191ó, p. 445; Ann. d. Phys. 
51, p. 21. 191(5. (Vergelijk ook: P. S. Ecstkin, Ann. d. Phys. 50, p. noo, 1916.) 

Houdt men rekening met de afhankelijkheid der massa van de sneliieid, dan is 
de energie wel afhankolijk van de waarde van Pj (zie ^ 19); de verschillende 
elli])scn worden „uiteengehaald". Vergelijk in verband hiermee een opmerking 
van S().MMi.:ui-ni,h, Sitz. Ber. Bayr. Akad. 191;'), ji. 1 19, 4r)9. 

6) Verg. V. S. K|.sTi:i.N, Aun. d. IMiys. 50, \k ;'.(•(), I'.IIC, m 51, p. ISI, l'.MC. 



§ 17.] ()}' DI^] BEWEGINli VAN lOKN ENKEL ELKKTRON. 83 

b) '^s'Pg = ('OS i bepaalt de hellino; der baan t.o.v, het :r?/-vlak. 
Daar dit vlak echter willekeurig in de ruimte gekozen kan 
worden, zou het geen zin hebben door quantiseering van P3 de hoek 
i vast te leggen. (Indien een uitwendig magnetisch veld aanwezig 
is, waarvan de krachtlijnen in de richting der 2-as loopen, krijgt 
Q3 een middelbare beweging (draaiing van de knoopenlijn : pre- 
cessiebeweging van het baanvlak) ; in dit geval moet Pg gequan- 
tiseerd worden. Cf. § 20) i). 

Men vergelijke overigens § 13. 

Het al of niet quantiseeren van Po en P3 heeft echter geen 
invloed op de waarde van de energie, en dus ook niet op de 
spektraa] formule. 



Uit (16) volgt als formule voor het spektrum : 



2 71^ me'^E^ 



h^ 



D. Diskussic der formules. 

Toepassing op Waterstof en positief geladen Helium. 

Waterstof. 

Een waterstof-atoom wordt beschouwd als te bestaan uit een 
positief geladen kern, waaromheen zich één elektron beweegt. 
De lading van de kern is numeriek gelijk aan die van liet 
elektron. De formule voor de energie wordt dus: 



2 7r2 ra e^ 



« 



(lOa) 



nUS 

Neemt men voor de hierin voorkomende grootlioden de waarden : 

e = 4,774 . 10-10 E. S. E. 
ejm = 5,31 . lO+i^ E. S. ^./gram 
h = 6,57 . 10-2' erg. sek. •'') 

') Verg. ook: A. Sommkrkri.h, Ann. d. 1'hys. 51, p. :^H, 191(j. 
2) N. Bomi, Phil. Mag. 26, p. H, 4«7, i;»l;J. 
*) Deze waarden zijn ontleend: 

e en // aan R. Miij.ikan. Phys. Kev. VII,^ p. 219, 191G; 
^Im aan een artikel van M. Woii- kio, Phys, Zeitsclir. 17, p. 199, 1916. 
[Zie voor /i ook bl. ;:Jl, noot 3)J. 



84 PROBLEMEN DIE BETREKKING HEBBEN [§ 17. 

dan wordt gevonden: 

voor de halve groote as van de baan : a = 0,53 . 10~^ . n- cm ; 

voor de energie : « = — 2,14 . 10 ~^^ . n~" erg; 

voor de spektraalformiile : v = 3,25 . lO^-"* { ^ .. V • • (18) 

\nl nf / 

In den normalen toestand kan men aannemen : n = 1 ; dus 
is dan de baan een ellips (vermoedelijk een cirkel) met halve groote 
as: 0,53 . 10"^ cm, wat in grootteorde overeenstemt met de 
waarden uit de kinetisclie gastheoi'ie afgeleid voor de afmetingen 
der molekulen en atomen. — De arbeid, noodig om het elektron 
van de kern weg te halen is: 2,14. 10~^^ erg; hieruit volgt voor 
de ionisatie-spanning van waterstof: 

2,14 . 10-iy4,774 . 10-1" E. S. E. = ca. 13,4 Volt i). 

Experimenteel is gevonden : 1 1 Volt -). 

De mooiste resultaten geeft evenwel de rDiiinile voor het 
s})ektrum. 

Stelt men \n foriii. (18): r/o = 2, 9i, =: 3, 4, 5, evz. dan ki-ijgi 
men de bekende l'oriiuilo van Bai-mioii vooi' liet gewone s|)ektrum 
van Waterstof: 

"=^(t-.t) ^'^ 

waarin volgens de metingen R de waarde heeft: 
1,097. 10-^. 3.101'^ = 3,29.1 01-' ?>) 

Dit resultaat, het eerste dat Bojir bereikt heeft •'), is een der 
verrassendste van de quantentheorie van het atoom ; aan deze 
theorie is het dus g(4ukt de konstante van Rydberü R terug- 
te biengen tot i-eeds bekende fysische konstanten : 

R = ^^^,^ (19) 



') N. liniin. Pliil. Mag. 26, p. ó, 488, litl.'l 

'h 7Ae: .1. .1. Thomson, Phil. Mag. 24, ].. iMS, l{»li>; 

.]. Fhank & G. Hkhtz, Phys. Zeitsclir 17, p. 41.'J, l«»l(i; 

.1. Stauk, Jahrh. d. Rad. ii. Elektr. 13, p. 41.'}. 1916. 
'■^ ) 7jW b.v. M. KoNKN, Das Ijeucliton iler (iase iind Püiiipfe, p, 78 (Braunschweig 
1913). 

») N. Bonn, IMiil. Mill,^ 26, p. 4, l!»i;{. 



§ 17.] or DE BE\VK(il\(i VAX EEN ENKEL ELEKTRON. 85 

wat tevoren nog langs geen anderen weg bereikt was ^). Ook 
de quantitatieve overeenstenuiiing is bizonder goed 2) '^y 

Stelt men : n^ = 3, tii = 4, 5. . . . dan krijgt men een reeks 
lijnen in het ultrarood, waarvan de eerste twee waargenomen 
zijn door Paschen ^). — De reeksen voor no r= 4, 5, enz., welke 
nog verder in het ultrarood liggen, zijn nog niet gevonden. 

712 = 1 geeft een reeks in het ultraviolet ; deze was nog niet 
waargenomen toen Bohr zijn theorie publiceerde ^). Twee lijnen 
ervan (?i,i = 2, 3) zijn kort daarop gevonden door Lyman ^). 

In verband met het bovenstaande kan nog het volgende op- 
gemerkt worden : 

1) Bij proeven met vakuumbuizen heeft men nooit meer dan 
13 lijnen van de BALMEK-reeks gevonden; daarentegen vond 
men in de spektra van sommige nevelvlekken 29 of 33 lijnen ''). 
Volgens de theorie van Bohr is de diameter der baan 
voor n = 15 : 2,4 . 10 ~^ cm, wat de gemiddelde afstand der 
molekulen is bij een gasdruk van 1 a. 2 mm kwik ; voor 
u=^o5 is de diameter: 13 . 10""*^ cm, de gemiddelde afstand bij 
ca. 0,01 mm kwikdruk. Bij proeven met vakuumbuizen kan 



') Verschillende methodes ter afleiding der formule van Balmkr zijn voor- 
gesteld door W. RiTZ ; zie: Oeuvres, p. 1 vgl. (Inaug.-Diss. Gött.); p. 91, 95, 
98, 175. RiTz maakt in geen van zijn afleidingen gebruik van qnantenonderstel- 
lingen. — Door F. Hasenüiiri- (Phys. Zeitschr. 12, p. 981, 1911) is een afleiding 
gegeven welke hiervan wel gebruik maakt; Hasenührl heeft echter niet de 
tweede quantenhypothese over de emissie van lichttrilliugen, en identifteert de 
frequenties van de Bai, MER-reeks niet frequenties van elektroneubewegingen in 
het atoom. 

ï) lu de fornuile komt >■ in de Ie, // in de oe macht voor; ze is dus zeer 
gevoelig voor kleine fouten in deze grootheden. Voor een goede beoordeeling 
der overeenstemming is het noodig rekening te houden met den invloed van de 
beweging van de kern en met de relativistische korrekties. Zie hiervoor: 
A, SüMMERiEi.i., Ann. d. Phys. 51, |). 90, 191»i en F. Pas.hen, Ann. d. Phys. 
50, p. 901, 1916. 

') Vergelijk ook een opmerking van Woi.ike, Phys, Zeitschr. 17, p. 198, 
1916. 

") F. Paschen, Ann. d. Phys. 27, p. 565, 19()S. 

5) N. BüMR, Phil. Mag. 26, p. 9, 191?!. 

Beide reeksen waren reeds vermoed door \V. Knv. <.[i i;r()ml van ziju kombi- 
natieprincipe. Zie: W. Rrrz, Oeuvres, p. Ml l'hys. Zeitschr. 9, p. 521, 1908). 

6) Th. Lyman, Nature 93, p. 241, 1914. 

^) H. Kayser, Handbuch der Spektroskopie ( Lcipzig 1910i V, p. 482, 48.3. 



86 TROBLEMEN DIE BETREKKING HEBBEN [§ 17. 

men het gas niet voldoende verdund nemen, om meer dan de 
15e baan toe te laten; bij grootere verdunningen, welke noodig 
zijn om grootere banen en dus meer lijnen te verkrijgen, is 
het spektrum te lichtzwak i). 

2) Absorbtie-spckti'wm van waterstof gas. 

Om licht van de golflengte eener lijn van de BALMER-reeks 
te absorbeeren moet de waterstof in d(;n toestand zijn waarin 
ze zelf deze lijnen uitzendt 2). Dit is in overeenstemming met 
de theorie van Bohr : om de BALMER-frequenties te absorbeeren 
moeten in het gas atomen aanwezig zijn, waarin liet elektron 
op de 2e baan loopt. Deze komen onder normale omstandigheden 
niet voor : vooreerst zijn dan bijna alle //-atomen tot molekulen 
vereenigd, en ten tweede bevinden zich in de meeste losse ato- 
men de elektronen op de binnenste baan ■'') ^). 

3) SïARK heeft een onderzoek ingesteld naar den tijdsduur 
van de emissie van het licht der verschillende spektraallijnen 
bij H, He en andere elementen 5), en komt tot de konklusie 
dat deze tijdsduur stijgt met het rangnummer van de lijn in de 
reeks. M. a. w. : hoe verder beginbaan en eindbaan uiteenliggen, 
des te langer duurt de emissie. (Als schatting van een bovenste 
grens voor de emissieduur geeft Stark ca. 4.10'"'^ sek.) 

4) Volgens Stark worden de bovenvermelde reeksen uitge- 
zonden door het positieve waterstof-ion {H+) "). Stark besluit dit 
uit het optreden van het DoppLER-efïekt bij deze lijnen in het 
spektrum der kanaalstralen van waterstof, terwijl hij vaststelt 
dat de drager de massa heeft van het waterstof-atoom. De dra- 
gers van deze lijnen moeten dus een groote snelheid verkregen 
hebben. Om dit te verklaren moet men aannemen dat ze zich 



') Dit is opt^eiiiei'kt door N. BoiiR, 1. c. p. 11. 

-) Zie: H. Kayser, 1. c. p. 4<S6; M. Konen, Das Leuchten der (jase und 
Diimpfe (Braunschweig 1913), p. 295. 

3) N. Boiiu, 1. c. p. 16. 

*) Over de statistische verdeeling der elektronen over de verschillende ringen 
zie: K. F. Hi;ii/.ii:i.i., Ann. d. Phys. 51, p. 261, 1916. 

Cf. beneden: hoofdstuk VI. § 42. 

s) J. Stakk, Ann. d. Phys. 49, p. 731, 1916. 

Men vergelijke ook een artikel van L. Veüakh, Ann. d. Phys. 52, p.72, vgl., 
1917 (speciaal p. 90-93). 

") .1. Stahk, Ann. d. Phys. 49, p. 179, 1916; 

50, p. 61, 1916; 
52, p. 251, 1916. 



§ 17.] OP DE BEWEGING VAN EEN ENKEL ELEKTRON. 87 

als positieve ionen in het elektrische veld tusschen kathode en 
anode bevonden, en daar sterk versneld werden. Met de theorie 
van BoHR zou dit in overeenstemming gebracht kunnen worden, 
door te veronderstellen dat deze ionen dan onderweg een elek- 
tron opvangen. Dit elektron zal eerst in een der buitenste banen 
komen (de hierbij vrijkomende energie is zeer gering, en zou 
lijnen ver in het ultrarood geven) ; daarna valt het van deze 
baan op een die meer naar binnen ligt, b.v. de Ie, 2e of 3e waarbij 
een der lijnen van bovengenoemde reeksen wordt uitgezonden i) ^) 
5) Van de spektra van waterstof blijven nog onverklaard : 

a) het z.g. witte of veellijnen-spektrum ; 

b) de beide spektra van S(;humann in het ultra-violet; 

c) de bandenspektra (twijfelachtig?) •^). 

Stark schrijft a) toe aan het H2'^-ion ^); verder behooren 
volgens hem: b) gedeeltelijk aan het neutrale i2-atoom, gedeel- 
telijk aan het neutrale i72 -molekuul ; c) aan de „quantenparen": 
ir+-ion plus neg. elektron, en iÏ2+-ion plus neg. elektron S). 
Hoe dit in verband met bovenstaande theorie opgevat moet 
worden, is nog niet bekend. 

Q) Tenslotte blijven er nog eenige lijnen-reeksen over die 
verband houden met de reeks van Balmer, en langen tijd aan 
waterstof toegeschreven zijn : de z.g. 2e nevenreeks, en de beide 
hoofdreeksen, deels door Pickering in het spektrum van C Pup- 
pis en van andere hemellichamen gevonden, deels door Fowler 
bij sterke elektrische ontladingen door een mengsel van water- 
stof en Helium waargenomen. 

A-^olgens de theorie van Bohr behooren deze reeksen aan Helium. 

Helium. 

Men onderstelt dat een Helium-atoom bestaat uit een kern 

1) Misschien gebeurt het terugvallen met meerdere trappen. Echter zullen 
slechts die overgangen waargenomen worden, welker lichtemissie binnen het 
onderzochte spektraalgebied valt. 

2) Voor zoover ik kan nagaan schijnen mij de argumenten van Stark de 
theorie van l^oiiu niet te weerleggen. — In verband hiermee vergelijke men: 

L. Vecjaui), i'ber die Lichterregung bei deu Kanalstrahlen, Aun. d. Phys. 
52, p. 72—100, 1917. — (Zie ook noot ' ) op bl. '.n\ 
■■') Zie: H. Kavser, 1. e. p. 4.S7— 402. 
*) .J. Stark, Ann. d. Phys. 51, p. 221, l'.tK!. 

Vergelijk ook: K. Gri.rrsciiER, Sitz. Ber. Bayr. Akad. IMKi, p. 125. 
s) .J. Stakk, Ann. d. Phys. 52, ].. 2r);5, 2.5.5, i;tl7. 



88 PROBLEMEN DIE BETREKKING HEBBEN [§ 17. 

met lading £■=2 e, waaromheen twee elektronen loopen. Indien 
liet atoom een der elektronen verloren heeft krijgt men het z.g. 
positief geladen Helium i) ; hierop kan hovenstaande theorie 
worden toegei)ast. De s})ektraalformule (17) Avordt: 



8 'T- 711 c ' 






/<j=4: jii = 6, 8, 10, enz. geeft een reeks welke samenvalt met 

de BAL^rER-reeks van waterstof -). 

?i2 rr 4 ; ni = 5, 7, 9, enz. geeft de reeks door Pickering in Z 

Puppis ontdekt. 

?io=3; ?ii rr 4, 5, enz. geeft de beide z.g. ,,hoofdreeksen vai) 

waterstof", door Fowler gevonden. 

Dat deze lijnen inderdaad aan Helium toebehooren is gebleken : 

a) door exaktere formules te berekenen, waarin de korrektie 
voor het meebewegen van de kern is aangebracht, welke 
korrektie voor waterstof een grootere waarde heeft dan voor 
Helium (Bour) en door deze formules met de gemeten golfleng- 
ten te vergelijken '-') ; 

1)) door een onderzoek van Evans ■^), die de lijnen (o . 4) en 
(4 . o) waarnam in een buis met Helium, welke geen spoor 
van de waterstoHijnen gaf; 

c) door het bizonder nauwkeurige onderzoek van Paschen •''). 

Opmerkingen. 

1) Tweevoudig i)ositief geladen Lithiiini, d. w. z. Lithium-ato- 
men welke in }»l;iats van 3 elektronen er slechts 1 bezitten, 
zouden volgens de theorie van Bojik een spektiiun moeten ver- 
toonen, gegeven door de formule : 



18 TT 



^^(4-;^)=««a-i)...r^«^ 



') De alpha-deeltjes zijn //«-kernen die beide elektronen missen. 

*) Zie echter § 18. 

») N. BüHK, Nature 92, p. -281, i;tl.'5. 

A. Fowi.KH, idem p. 2.'{2. 

Zie beneden § IH. 
*) Evans, l'liil. Masf. 29, p. 284, 1915. 
•"■) F. Pasiiikn, Aiin. <\. I'liys. 50, p. '.Ktl. ]<M(\. 



§ 17.] OP DE BEWEGING VAN EEN ENKEL ELEKTRON. 89 

BoHR meent dat een aantal lijnen, welke in het spektruni 
der WoLF-RAYET-sterren (sterren van . het spektraaltype O : wor- 
den beschouwd als de heetste sterren) voorkomen, door middel 
van deze formule verklaard kunnen worden i). 

2) De reeksen, die zooals de door de formule (20) voorgestelde, 
de konstante 4jR bezitten, behooren tot een type, dat men in 
navolging van Norman Lockyer met den naam: „vonk-reeksen" 
of „versterkte reeksen" aanduidt {„enhanced series"). Ze komen ook 
bij vele andere elementen voor. — Deze reeksen onderscheiden 
zich van de gewone reeksen met de konstante R door de vol- 
gende bizonderheden : 

a) ze treden op bij hooge temperaturen (sterke elektrische 
ontladingen: „condensed spark"); 

I)) de detailstruktuur van de lijnen dezer reeksen is o]i 16 maal 
grootere schaal gebouwd dan die van de lijnen der gewone 
reeksen -). 

De Lithium-reeks (20") zal vermoedelijk eerst bij zeer sterke 
elektrische ontladingen optreden : ik weet niet of men dergelijke 
reeksen ook bij andere elementen heeft waargenomen 3). 

Spektra van andere elementen. 

Bij elementen met hoogere atoomnummers zal de toestand 



') Zie: N. Bohr, Phil. Mag. 26, p. 490/491, 1913; 
J. W. NiCHOLSON, Monthly Notices 73, p. 382, 1913: 

74, p. 119, 1913/14. 
In het spektrum van de Woi.p'-RAYKT-sterren komen voor de lijnen: 
(6.10), (6.13), (6.14), (4.5); de eerste drie waren reeds door Nicimi.sdN in een 
reeks van het type (20*) ondergebra(3ht ( M. N. 73, l.c. ). 

!n het spektrum dezer sterren komt ook voor de lijn: //."+ (3.4); Nicikh.- 
soN merkt (jp dat de Wdi.F-RAViOT-.sterren sterke elektrisclie ladingen moeten 
bezitten, indien de opvatting van BoiiK juist is (M. N. 74, l.c.). 

2) Zie de formules voor de detailstruktuur, beneden § 19; voor riieer uitvoe- 
rige beschouwingen wordt verwezen naar A. Sommerfem), Ann. d. Phys. 51, 
p. 62, vgl., 1916. 

3) J. Stark (Jahrb. Rad. u. Elektr. XIV, p. 139, vgl., 1917) vermeldt iets 
over y//-+ + + , wat in de theorie van Bokk zou overeenkojnen met J.r++. 

Verder zij vermeld het z.g. „super-spark-spectrum" van zuurstof, gevonden 
door A. Fowi,!:k & .1. Brookskank (Monthly Notices 77, p. 511, 1917), waar- 
van sommige lijnen ook in het spektrum der W.-R.-sterren voorkomen. Een for- 
mule voor de lijnen is echter niet medegedeeld, evenmin gegevens over de, 
detailstruktuur. 



90 ' PROBLEMEN DIE BETREKKING HEBBEN [§ 17. 

waarin de kern alle elektronen op één na mist, praktisch nooit 
voorkomen, zoodat form. (17) niet toe^i^epast kan worden. 

Er zijn echter twee grensgevallen waarin deze formule approxi- 
matief geldt: 

a) alle elektronen op één na bevinden zich vrij dicht om de 
kern; het laatste elektron beschrijft op grooten afstand banen 
om dit systeem. Bij benadering werkt het geheele systeem als 
een kern met lading E=^e; de energie van het buitenste elek- 
tron heeft dus tennaastenbij de door (16) gegeven waarde. De 
termen van de spektraalformules zullen dus voor groote waarden 
van n tot den vorm B/n- moeten naderen i). Dit is in overeen- 
stemming met de theorie van Rydberg, e. a. -) ■^). 

b) een elektron beweegt zich vlak om de kern ; de andere 
zijn verder weg, en ongeveer symmetrisch verdeeld, zoodat ze 
slechts een zeer geringen invloed uitoefenen vergeleken met de 
sterke werking van de kern. In form. (16) is dan E ongeveer 
gelijk aan de Averkelijke kernlading; de energie stijgt met liet 
kwadraat hiervan, zoodat de fre(|uenties zeer hoog worden. Bij 
hooffe atoomnummers komt men zoo tot de formules voor de 
Röntgenspektra 4). 

Ojmierking hij a). 

Over de „versterkte" spektra („enhanced .spectra") van vele 
elementen welke optreden bij hooge temperaturen (sterke elek- 
trische ontladingen) zie men : 

A. FowLER, Proc. Roy. Soc. A 90, p. 426, 1914. 

(Series Lines in Spark Spectra). 

De in deze spektra voorkomende reeksen hebben de konstante 
4 jR, evenals het spektrum van pos. geladen Helium ; ze moeten 
worden toegescln^even aan atomen die 1 elektron verloren heb- 
ben ; van de overige elektronen loopt er één op betrekkelijk 



«) N. I^.HiK, 1'hil. .Ma,i,^ 26, \>. l'i, HHo. 

ï) Zie b.v. II. M. Konkn, Das Leuchten <ler (iusc und l)iiiiii>f'o ( Mraunschweig 
1913). 

') Voor oen nadere uitwerkiiiii' hiervan wordt verwezen naar: A. Sommkhi i;i.i., 
SitJ5. Her. I'.a.vr. Akad. ]i. l:;i, l'.tK;. Zie nnk: ll.mtdsliik 1\\ i< 2S jen '2X*\. 

») Ver^^ H. (i. M()si;i,i:v, Pliil. Mat,^ 26, |>. lO.TJ. l'.U;;. 

De theorie der Ki>ntireiis|iekt,ra niet inachlnaine van <lt' relativitcitskorrek- 
ties) is uitvoeri*,' ontwikkeld door A. S()MMb:nri;i.i), Ann. d. IMiys. 51, \k 1i'">, 
1916. [Later zijn door Diiui.ii': en Vügahd eeni<;szins gewijzigde theorieën uit- 
gewerkt; zie de in § 28 geciteerde artikelen]. 



§ 17.] OP DE BEWEGING VAN EEN ENKEL ELEKTRON. 91 

grooteii afstand om liet atooin, terwijl de rest vrij dicht om de 
kern zit i). 



>"! Men zie ook: J. Stark, Die Trager der Spektren der chemischen Elemente, 
Jahrb. Rad. u. Elektr. XIV, p. 139, vgl., 1917. 

Om de uitkomsten van Stark met de theorie van Bohr te vergelijken, moet 
men de door Stark opgegeven pos. ladingen der ionen met 1 verminderen. 



§ 18. INVLOED VAN DE BEWEGING VAN 
DE ATOOMKERN. 

In (ie voorgaande paragraaf is, om in het eerste overzicht de 
formules eenvoudiger te houden, aangenomen dat de kern van 
het atoom vast stond. Dit mag slechts gebeuren als de massa 
van de kern zeer vele malen grooter is dan die van het elek- 
tron. Bij het waterstof-atoom is de verhouding dezer massa's 
ca. 1850 : 1 ; deze verhouding is niet zoo groot dat ze bij de 
nauwkeurigheid der spektraalmetingen buiten rekening gelaten 
mag worden. 

Bij de studie van den invloed der kernbeweging komen hoofd- 
zakelijk de volgende faktoren ter sprake : 

1) Kern en elektron bewegen beide om hun gemeenschappelijk 
zwaartepunt. De invloed hiervan is van de orde m/ilf (m = massa 
van het elektron, i¥= massa van de kern). Zie beneden ^). 

2) Kern en elektron oefenen behalve de elektrische aantrek- 
king, ook magnetische krachten op elkaar uit 2). Indien men 
veronderstelt dat de snelheden en versnellingen zoo klein zijn 
dat de beweging als quasi-stationnair opgevat mag worden, 
kunnen de elektrische en magnetische krachten tezamen het 
gemakkelijkst aldus in rekening gebracht worden: 

De kooi'dinaton van het elektron zijn: x, y, z: die v;in de kcni : 
.V, )', Z. Dan zijn d(.' j)utentialen door de kern op de [daais 
van het elektron veroorzaakt: 

// EX E y EZ .., 



r c re re 

De LAGRANGE-funktie van het systeem wordt derhalve 



•) Vergelijk N. Rour, Nature 92, p. 231, litl.'i. — Vcrclcr: A. Sommkiu loi.n, 
Sitz. Bcr. liayr. Akad. IDlf), p. 440; Ann. d. Pliys. 51, ca. p. 90, 191G. 
*) Cf. A. SnMMKui Kin, Sitz. l!cr. Bayr. Akad. liUfi, y. 1(57. 



§ IS.1 Ol- DE P.EWKGINO VAN KEN ENKEL ELEKTJION. 03 

1^="^ (^ + 2/^ + ^-) + f (-^- + y' + ^') + 

^e^^_.X+yY + .Z^ ') (21) 

Hieruit blijkt dat de maonetische krachten t. o. v. de elek- 
trische van de orde vV\c-=^mv^lMc^ zijn (ïj = snelheid elektron; 
F z= snelheid kern) 2). Zelfs bij hooge atoomnuramers (groote 
waarden van v) is de invloed nog zeer gering (voor nadere uit- 
werking zie men de noot bij deze §). 

3) De retardeering der potentialen. 

In het bovenstaande is gerekend alsof de elektrische en mag- 
netische krachten zich met een oneindige snelheid voortplanten, 
wat echter niet het geval is. De werkingen die het elektron van 
de kern ondervindt en omgekeerd, zijn te danken aan de poten- 
tialen die een tijd r\c te voren zijn uitgezonden. Dit heeft o. m. 
ten gevolge dat de richting der elektrische aantrekking niet meer 
van het elektron naar de kern wijst, maar e. w. naar voi-en 
(d. w. z. naar de bewegingsrichting toe) afwijkt. 

Men heeft hiermee geen rekening gehouden bij de studie der 
spektra. (Dit zou nog des te lastiger worden, doordat men niet 
met zekerheid kan aangeven tot hoever de klassieke elektronen- 
theorie mag worden toegepast.) 3) 

Beweging van kern en elektron om hun gemeenscJiappelijk massa- 
centrum. 

\'olgens de gewone formules der mechanika is de funktie 
van Hamilton voor het systeem elektron plus kern: 

H=^(pl + P'y+Pl)+'^ (Pl+Pr+Pl)- ^. (22) 

Door middel van een kontakttransformatie kan men op de 
relatieve koordinaten ^, //, C van het elektron overgaan ; stel 
hiertoe 4) : 

') Cf. K. ScHWARzsciHLD, Grött. Nachr. 1903, p. 127. 

-) Men kan dit ook langs meer direkten weg aantooneii. 

ï) Gr. A. ScHOTT heeft in zijn berekeningen over elektronen-bewegingen de 
retardeering niet verwaarloosd (Zie: Electromagnetic Radiation (Cambridge 1912) 
b.v. p. 168, 186.) 

*j Naar Whittaker, Anal. Dynamics, p. 348 teenigszins gewijzigd). 



94 l'ROP.LEMEN dip: BETREKKING HEBREN [§ IS. 



(23) 



^W ^ dW i 

P.T = -^ — , ? = V — , enz. ] 

^ dx o Pi j ■ 

Dan is: 

4- TT' 1 I / "^ 

l i,r ^-r i,r GHZ. . . (24) 

^, _ m X -\-MX __ M ' 

^ ~~ ^m-i-M ^^^' ~~ ~ ^^^' "^ ^ ^' in^M 

De funktie van Hamilton wordt: 



1? = 



waar; 



2,(pi+i>j+p:)+TFT^(pi+i^';+i>'y-v(2^) 



/i=milf/(^j^^) (26) 

p'l, jj' , p'> zijn konstant: het zwaartepunt van het systeem 

heeft een eenparige rechthjnige beweging. Aangenomen wordt 
dat het zwaartepunt in rust is, zoodat de term : 

weggelaten kan worden i). Dan wordt de funktie van Hamilton : 



Deze kan evenzoo verder behandeld worden als in ^ 17 go 

tot de ene: 

2 7T^fie^E'^ 



daan is; lueii komt tenslotte tot de energie-formule: 



a 



n2 h 



:> h9. 



(27) 



Van (h' vroegere formule (16), bl. S2, verschilt doze slechts 
hierin dat de massa van liet elektron ni vervangen is dooi- de 
grootheid ,«. 

De konstantc van RvDRERt; wordt dientengevolge: 

'; Vergelijk iii vei'ltaml liifrinee: § 9 eii ^ If), a). 



^ IS.] Ol" DE JÏB^WEGINC; VAN KEN ENKEL ELEKTJION. 95- 

K — i^i — K cc 



waar : 

2 7r2 m e^ 



R 00 



h^ 



Neemt men m/M// = 1/1850, dan is: 

i^j^ =r 0,999460 R cc 
Ej^, = 0,999865 i^oo 
i:>^^'i^^^ = 1,000405. 

Experimenteel is dit schitterend bevestigd. 

Zie: a) X. Bohr, Nature 92, p. 231, 1913; 
A. FowLER, „ „ p. 232, „ ; 
en vooral: 
b) F. Paschen, Ann. d. Phys. 50, p. 935, 1916. 

Paschen geeft op: i^H/c = 109677,691 ± 0,06 i) 

i^^^,/c=r 109722,144 + 0,04 
i^ 00 /c = 109737,18 ±0,06. 

Hieruit: m/MK^ 1/1843,7 

(nauwkeurig tot op ca. 2,5 ^/oo)- 

Noot. 

Berekening van den invloed der „magnetische termen" op de ener- 
gie-formule. 

Als uitgangspunt dient de in verg. (21) gegeven Lagrange- 
funktie van het systeem elektron plus kern; hieruit leidt men 
af voor de funktie van Hamilton (met verwaarloozing van ter- 
men die c* in den noemer hebben) : 

e_E^ I 1 _P^J^'+ • • - • I (9S^ 

r ( ' mMc' ) ^" 

Deze wordt op dezelfde wijze getransformeerd als boven gedaan 

is (verg. 24). Na de substitutie komen 5', i/, 'C niet voor ; dus 
zijn f/i, p',i^ p'; konstanten (integralen v/d beweging van het 

'j Voor de berekening dezer getallen zijn door Paschen de genieten golfleng- 
ten op vakuum gereduceerd. 



96 PROBLEMEN ])IK TïETKEKKING HEBllEN [§ 18. 

zwaartepunt). Aaiijienomen zal worden dat het systeem als ge- 
heel geen translatie heeft; dan zijn deze grootheden gelijk nul. 
De substitutie- vergelijkingen zijn dan : 

P.r = Pi , IKy = — pi , x — X=^, enz. 
zoodat H wordt: 

Uitgedrukt in poolkoordinaten (evenals '\)\} de vroegere pro- 
blemen is de baan een plat vlak, dus is het niet noodig de 
{>-koordinaat in te voeren) : 

U^i (Pl + ^'i rO - '-^ i 1 + ~~ ip'r + P''/r^ ) I . 
z/i ' ' r \ niM c^ ' ' \ 

Hierin zijn de variabelen te separeeren; met dezelf<le ver- 
waarloozingen als boven vindi nuMi voor de faze-integralen : 

De formule voor de energie wordt tenslotte : 

«,_K(P)- ^- _ ^^-p^,^ + ^^^ ^^ 1) . . . . (29) 

waarin onmiddellijk Pj + Po = P^ ; 7^ — Rg gesteld is. 

De extratermen zijn t. o. v. den hoofdterm van de oi'de van 
grootte : 

w.e^E'^ ^^ ^ Z ( Z := atoonnuimmer = A7e: ) 

Mc^ Pi P2 '"^' " • ' ïii 7io I Pi = wi /i/277- ; Pg =«0 /i/27r I 

') Uit de verg. l)lijkt ilat er een perihelium-heweging ter grootte viin : 

2 »/-* (?* E'' 
üi = -v^— j-pj-p^ is. A. SoMMKiU' i:i.D i^Sitz. I'x'r. Bayr. Akad. liilf), p. 4<j7) 

gppft ilezcH'dc waarde oi). crliter met liet tegeiiirestelde teekeii. 



§ 19. INVLOED VAN DE VERANDERLIJKHEID DER 
MASSA MET DE SNELHEID i). 

Volgens de formules der relativistische mechaiiika is voor eoii 
bewegend massa-punt de LAGRANGE-funktie : 



L = -m c2 [|/ 1 _ ^7,2- l] - ü . . . . . 2) (30) 

(f/rrpotentieele energie). — Beweegt een elektron zieli in het 
veld van een vaststaande kern, dan wordt dit: 



+ -' "^ .... (30a) 



waaruit volgt voor de funktie van Hamilton: 



(31) 



Wil men ook de beweging van de kern in rekening brengen, 
dan kan volstaan worden met in formule (31) m te vervangen 
door ,u (cf. form. 26). Hierdoor worden slechts grootheden ver- 
waarloosd welke t. o. v. de relativistische termen van de orde 
van grootte mjM zijn ^'). 

A. In poolkoordinaten geschreven wordt H: 
H = mc^\\/l + ^^{^pf.+ Pil,, + 'Pi 1,2 ,in2 l> ) - 1 ] - '^ . . (31a) 



') Het eerst berekend door N. Boiir, Phil. Mag. 29, p. .'532, 191.5. — Zie 
verder: A. .Sommkrfkld, Sitz. Eer. Bayr. Akad. 1915, p. 459; Ann. d. Pliys. 51, 
p. 1, 1916; en P. Debye, Phys. Zeitschr. 17, p. 512, 191fj. 

'^) Vergelijk § 6. 

') Vergelijk de noot bij deze i>. — Men zie de formules gegeven door: N. Boiiu, 
Phil. Mag. 29, p. 332, 1915; F. Pasciien, Ann d. Phys. 50, ]>. 907, 191(5; 
A. SoMMERFELD, Ann. d. Phys. 51, p. 91, 1916. 

7 



98 1'rohlk.men hik i'.ktriok' icing iikuben [§ 19. 

D;i;n- lid iiiojxelijk is do v;ni;il)clcii te soparecreii, kan inoii 
<1(' ({iiaiitcnvoorwiiaidcii licl eenvoudigste! opstellen niet hcliidi» 
van de niclliodc der ra/,f-in(<'nr;den •): men \'ind( dnii (ver^'. ook 
§ 17, A): 






Faze-integralen: 

2 n P.. = 2 /r «;. 

2 TT ]\ =: 2 Jr («2 — i «3 i ) i 



^ 



«1 



Met benadei'ing tot oj» tcinien van de 1<' orde in v-jc- vindt 
men vooi- de enei-gie : 

2 (P, + Po + i\ ' y^ 8 c2 • L (P2+TP3I ) (Pi + P2 H-TPsT} 



r 4Pi 

L(P2+!P3|)(Pl + P2 + |P8|)4 ^ 

"^ (Pi + pr+!"/^'y^ J ^^^^ 



Deze hlijkt slechts van twee lineaire kondiinaties niet ijjeheele 
koeflicienten P, /', | /', + P.., ! en P,. = p., -\- \Pq\ der /''s af 
te handen : 

rné^E'^ mei E^ r 4 3-1 

"^ = - 2P^ - 8.^ Lp;P."pJ ■••• ^"^'^ 

IJ. ()}) analoge wijze als in ^ 17, IJ is gedaan kan men ook 
liier met heliulp van kontakttransformaties de f'iuiktie van Ha- 
Mli/roN herleiden. Deze worden hier 110^ kort vermeld. In recht- 
hoekige; knoi'dinaten is // gegeven door veru;. (31); dezcdfdc 
transformatie als in § 17 (iorm. 7, 8) ^ehruikt is, doet // over- 
gaan in : 

') 1'. Dinvi:, \.i\ 



19.J op DE BEWEGIN(i VAX EEN ENKEL ELEKTRON. • 99 

71 



H= m c^ []/^l + ^^ {p\ + Pllq^^ ) " ^ j - ^;7 • • ^^''^ 



De tweede transformatie woi'dt in plaats van de door (10) en 
(11) gegevene : 



X^* 






+ P2fy2+P3 93 (37) 

waar A een afkorting is voor: 

me2^2 me^E^ r 4 



2 P? 8 c: 



^* r 4 8 1 



Hierdoor wordt de fnnktie van Hamilton: 



«1 . . (34a) 



evenals boven. 

Beteekenis der ingevoerde hoekvariabelen : 

De baan ligt in een plat vlak : ze is een ellips met perihe- 
lium-beweging. 

Qg = lengte van de klimmende knoop, gerekend vanaf de .T-as. 

Q;; = O : de knoopenlijn staat vast. De helling van het baan- 

vlak, welke gegeven is door: cos i=:P:5/p^, is natuurlijk even- 
eens konstant. 

Qo = leiigte van het perihelium, gerekend vanaf de klimmende 
knoop. Er is een perihelium-beweging ter grootte van : 

Qi =: middelbare anomalie t.o.v. het momentane jierilielium, 

C. Quanten formules. 

Vergelijkt men het verkregen resultaat met dat van § 17, dan 
blijkt dat de beweging niet meer exakt periodiek is: de perio- 



100 l'Ji()J:]>l<:MKN DIK r.I<:THKKKIX(; IIKI'.P.KN [§ 19. 

den der r- en der 7-beweging zijn uit elkaar gehaald ; echter 
zijn die der (/- en der i)-beweging onderling gelijk gebleven. Er 
moeten im twee quantenvoorwaarden ingevoerd worden: 

P,=n, %^ : P2^nJy^^ (39) 

Daarbij is steeds : ui ^ ^2 > O i). 

De foi'nmle voor de energie woi'di dus iu eei'ste benade- 



ring : 






i^^-i]-^--^^ 



XooY de banen van verschillende excentriciteit die bij een- 
zelfde waarde van tii behooren zijn dus de waarden van de energie 
verschillend. M. a. w. : de waarde van w^ heeft invloed op 
de ligging der spektraallijnen ; de lijnen die volgens de for- 
mules van § 17 over elkaar zouden vallen zijn nu gesplitst. De 
hierdoor teweeggebrachte detailstruktuur is door SoMMERFELn 
zeer nauwkeurig nagegaan •') ; zijn resultaten zijn experimenteel 
voor een groot deel bevestigd door het reeds meermalen ge- 
noemde werk van Paschen *), 

Uit de formules blijkt dat de grootte van de relativiteitskor- 
rektie stijgt met de vierde macht van de kernlading (dus met 
de vierde macht van het atoomnummer). Van zeer groot belang 
is ze dientengevolge bij de theorie der Rcintgenstralen, waar 
het noodig is ook de volgende termen in de berekening o]) te 
nemen. 

\"oor de verdere uitwerking van de theorie der detailstruktuur 
en voor de theorie der Köntgenspektra wordt verwezen naar het 
werk van A. Sommerfeld, Ann. d. Phys. 51, p. 1 en 125, 1910. — 
Het is aan Sommerfeld gelukt vele bizonderheden van de Könt- 
genspektra te verklaren, en voor een aantal lijnen zeer goede 
formules af te leiden; er blijven evenwel ook verscheidene pun- 

') Vergelijk bl. H2, noot ^) \ P, en P.^ liel»l)i'n hier bij bcnailering dezcllde 
beteekcnis als iii !^ 17. 

SoMMiCKi'Ki.D schrijft: Wj = w ; ?;^^u-\- //'. 

*) Voor ile kurrektie-ternien van hoogere orde zie: A. Sommkri 1:1.11, Ann. d. 
Phys. 51, p. 54, vgl., IMltl. 

') A. SoMMKKrKl.lt, l.c. p. <i2, Vi;l. 

♦) F. Paschkn, Aun. d. Phys. 50, p. 9Ul, 191G. 



§ 19.] OP DE BEWEGING VAN EEN ENKEL ELEKTRON. 101 

ten onopgehelderd, welke vermoedelijk samenhangen met den 
invloed der omringende elektronen ^). 



Opmerkingen. 

1) Met betrekking tot de z.g. „grenswaarde van het moment 
van hoeveelheid van beweging" po = e^jc zie men : 

M. Planck, Ann. d. Phys. 50, p. 401—404, 191(5; 

A. SoMMERFELD, Ami. (1. Pliys. 51, p. 49, 57, 1916; 
Sitz. Ber. Bayr. Akad. 1916, p. 131. 

Door de onderzoekingen van Sommerfeld schijnt met zeker- 
heid vastgesteld te zijn dat de quantenformule voor het moment 
van hoeveelheid van beweging moet luiden : P2 ^ n-j hj"! n en 
niet : Po — • pQ = ïio /i/2 tt. 

2) Over de spiraalbanen van een elektron om een vaststaande 
kern zie men : 

G. H. Darwin, Phil. Mag. 25, p. 201, 1913; 

A. SoMMERPELi), Ann. d. Phys. 51, p. 49, 1916 -) ••). 

HoMMERFELD vermoedt dat deze banen in verband staan met 
het z.g. witte of veellijnen-spektrum van waterstof. Vergelijk 
hierover ook: K. Glitscher, Sitz. Ber. Bayr. Akad. 1916, 
p. 125. 

3) De bovenstaande theorie van Sommerfeld berust op de 
onderstelling dat de hoeveelheid van beweging van het elektron 
zich gedraagt volgens de formules der relativiteitstheorie, of — 
wat op hetzelfde neerkomt — volgens de door Lorentz gegeven 
formules Voor de elektromagnetische hoeveelheid van beweging 
van een elektron dat bij de Ijeweging van vorm verandert ■^). 

Door Glitscher zijn de formules voor de detailstruktuur der 
spektraallijnen ook berekend voor het geval dat de hoeveel- 
heid van beweging van het elektron voldoet aan de formules 

' 1 Zie in verband liiennet' het in 5^ 2.S n-efiteenlr artikel v;ui V. J)ij;vk [en dat 
van li. ViiGARu], waarin eenigszins gewijzigde opvattingen omtrent het ontstaan 
der Küntgenspektra ontwikkeld worden. 

2 ) Voor het geval van een bewegende kern zie men de opmerkingen van 
A. SdM.MKUiKi.D in de Sitz. Ber. Bayr. Akad. llM(i, p. l.'il. 

^) J)e analoge bewegingen in de gravitatie-tlieuiic zijn onderzocht dour J. Dikistk, 
Diss. Leiden, bl. 2S. 

*i H. A. LoRKNT/,, Versl. Akail. Anisl. l'.ml, |,. '.ISC. -- \Clgens de llie.irie 
van {'rol'. L(iiii:nt/, is het elekfruii iii nist li(d vuniiii;- ; beweegt het elekirdii zieli 
' dan is het een rotatie-el Iliisuide, alge]ilat in de liclilinu- der beu. 'ging. 



102 PROBLEMEN DIE BETREKKING 1IE15BEN [§ 19. 

welke Abraham heeft afgeleid voor een elektron van onveran- 
derlijken vorm i) -). 

De resultaten waartoe Glitscher komt zijn de volgende: 

a) detailstruktuur der spektraallijnen van Waterstof, Helium, enz. 
De voor de splitsing dezer lijnen waargenomen grootte wordt 

door de formules van de theorie van Bohr en Sommerfeld slechts 
dan exakt weergegeven, indien de massa van het elektron ge- 
hoorzaamt aan de formules van Lorentz en Einstein, Bij toe- 
passing van de formules van Abraham is een overeenstemming 
op geene wijze te verkrijgen •^). 

b) Röntgenspektra, speciaal het z.g. Z-doublet •*). 

Berekent men den z.g. L-term ^), in de onderstelling dat het 
elektron zich gedraagt volgens de formules van Abraham, dan 
vindt men voor den noemer (1,892)- in plaats van (2,000)-, welke 
laatste waarde gevonden wordt met de formules van Lorentz- 
EiNSTEiN. Indien de noemer echter niet het kwadraat van een 
geheel getal is zou de geheele theorie moeten vervallen en zou 
men niets meer kunnen besluiten '•). 

Beide gedeelten van Glits(!Her's onderzoek spreken ten gunste 
van de formules van Lorentz-Einstein. 

Noot. 

Korreklie voor liet meebewegeti van de kern. 

a) Volgens § 18, Noot (verg. 29) is de magnetische invloed van 
de kernbeweging ongeveer 4 mjM keer de relativ.-korrektie "). 

6) Met verwaarloozing van de „magnetische termen" wordt 
de funktie van HAMii/roN voor het systeem e1okti-on plus kern : 

+Mc^ [ |Xl + ^ (pi+pV+pD- l] - 
- Ee \ {X- X)" -f (^ - ly + (z - Zf i -V. (41) 

') K. Gi.iTscHKK, Inaug.-Dissert. München, lïtlT. 

>) M. AmiAiiAM, Gött. Nachr. 1902, p. 20; Ann. d. Phys. 10, p. 105, 190^. 

') K. (JI.ITSCIIKK, 1. c. p. 19. 

*) Zie A. Sd.M.MicRKEi.n, Ann. d. Phys. 51, p. 125, vgl., 1916. 

*) A. .SoMMERKKI.r», 1. C. 

•) K. GrMTSCHER, 1. c. p. '50. 

') Vergelijk ook A. Sommkri i:i,i>, Sitz. Ber. Bayr. Akad. 1915, p. 467. 



§ 19.]- OP DE BEWEGING VAN EEN ENIvP:L ELEKTRON. 1 Oo 

Na ontwikkeling tot' op termen vun de 1^ orde in v-jc-: 

- 8^. [,^(i>?+P^+P^)H-^pO>V+2>V+p3.)2]+ . . . (41a) 

Pas hierop de kontakttransformatie toe gegeven door de formu- 
les (23) en (24) van § 18. In de funktie van Hamiltün komen na 
de substitutie ?' // 'C niet voor ; de korrespondeerende hoeveelhe- 
den van beweging p'ip' //]/;- zijn dus konstant (integralen van 
de beweging van het zwaartepunt i)). 

Aangenomen wordt dat het systeem als geheel in rust is : 
P'i^P'*iyP'< worden gelijk iml gesteld. Dan worden de substitutie- 
formules : 

px = Pi ; p.Y = — pi ; X — X = I, enz. 
zoodat de funktie van Hamiltün overgaat in: 

^ = 2.^^^^+^+^^^^^ , -8c^ ilf3m3 (^ï+i>.H-^:)^+-- 
Vervangt men dit door: 

H= 27. (Pi +Pl + Pl) - ',^- s^ï J <ft' +P-' + 'P'>''- + ■ ■ ^^'^> 
dan is de gemaakte fout: 



2\'> 



1 3if2m+...., 2 1 2 1 2v 

dus ongeveer gelijk aan SmjM keer de relativiteitsterm. 

') De beweging van het zwaartepunt is niet eenparig rechtlijnig: i", 7', ;■' 
blijken niet alleen van //t /;' //'•- af te hangen, maar ook van pï_^ "i],Pï;. 



$^ 20. SPLITSING DER SPEKTRAALLIJNEN DOOR 
EEN MAGNFllSCH VELD (ZEEMAN-EFFEKT) i). 

Aangenoinen wordt dal <k' keni vnn liet atoom vast staat, en 
(lat de relativistische termen verwaarloosd mogen worden -). De 
krachtlijnen van het magnetische veld M zijn parallel de z-as ge- 
richt. Het veld kan beschreven worden met den vektorpotentiaal : 

a^; = — ' /z M 7/ ; a,^ = + ' /i M a; ; «3 = (43) 

De LAGRANGE-funktie wordt dus : 

1 = "^ {x^^ +f^ + z^)-\- "-^ -'^^{xy - yx) (44) 

de funktie van Hamilïon : 

H = ./^ ipJ+pl + P?) - 'f + / {xpv - //i>.-) + 

+ '^{^-'^y') (45) 

waar : 

efH 

Y 



'L mc 



\. indien men den term met /- verwaarloost"), en door middel 
van dezelfde transformaties als in 55 17, B gebruikt zijn, de ele- 
menten van Delaunay voor de momentane elli])tisehe baan in- 
voert, gaat H over in : 

K = K(P) = -7pf + .P. (4«) 



'1 1'. Dkhvi:, (lütt. Naclir. l'.tlti, p. 142; Pliys. Zeitsclir. 17, ]). r)U7, l'.Mt;. 
A. SoMMimKKr.ri, Phys. Zeitsclir. 17, p. l'.'l, lOlC. 

-) Voor (Ie berekening met inachtname der relativistische termen zie: tj 2;^, 11. 

') Schatting van de orde van grootte der termen van verg. (45) voor M = 
.50000 (tanss : />ï/2 ni = m i'»/2 = ca. lO-H ; e iqr = ca. 10 -H ; y {xpy — 1/ p^.) = 
ca. 10-10; ///y"' ur* -f .;/»)/2 = ca. 10--iO. Hierbij is do straal v/d baan gelijk ca. 

1 A . E . genomen, wat slechts geldt voor lage ranginiiiinicrs. Zie vcnlcr II. 



§ 20.] OP DK BEWEGING VAN EEN ENKEL ELEKTRON. 105 

K lianot af van tweo «lor iiitoiisiteitskonstantcn : P| en P;; . Q- = 
) 1/ 
= tü3=' ^^p :=:;' o-eeft het vooi-uitloopen dor knoopenlijn '). 

Het iiiagiietiscli veld heeft de periode der <f-bewegiiig veranderd : 
deze verscliilt nu van de (onderling gelijke) perioden der r- en 
der O'-beweging. 

F] en P3 moeten beide gequantiseerd worden : 



Splitsing der spektraalUjnen. 

De energie der qiiantenbewegingen is gegeven door : 

zoodat de si^ektraalformule wordt: 
E\'^[ 1 1 



R 



(e) IW-I,d + ^-("'«-""^'- ••''''* 



De eerste term geeft de gewone lijnen van de in § 17 vermelde 
reeksen ; de tweede term geeft bij elke lijn hiervan een reeks 
begeleiders, die op onderling gelijke afstanden : 

{W) norm. = ^r— = ~. — — (oO) 

2 TT 4 TT iVlC 

staan. De twee binnenste vormen met de hoofdlijn het z.g. nor- 
male triplet : de hier voor den afstand gevonden waarde is dezelfde 
als door Lokentz is afgeleid uit de elektronentheorie 2). — Van 
meerdere equidistante lijnen (wier aantal zou moeten toenemen 
met het rangnummer van de lijn in de reeks ■^) ) is echter nooit 
iets waargenomen, — aan den anderen kant geven de formules 
niets omtrent het anomale ZEEMAN-eftekt, zooals dat l).v. bij do 
BALMER-lijnen van waterstof oi)treedt ^). 

') De helling van het baanvlak is konstan t. 

-^ H. A. LoRKNTZ, Theory of Electrons, j». 101. — Het is merkwaardig dat 
in de formules (49) en (50) h juist weggevallen is. 

3) Volgens form. ri.Sï § 17 is steeds Ps^P,, en dus n.^■^//^. 

*) Bij de lijnen A/,/, Z/^', U-, van waterstof is waargenomen : splitsing in 
triplets, fjrooter dan het normale triplet, met anomale intensiteitsverdeeling en 
polarisatie-toestand. Bij groote veldsterkten krijgt men het normale triplet (Pa- 



106 



PROBLEMEN DIE BETREKKING HEBBEN 



[§ 20. 



Polarisatie-toestand der lijnen. 

Volgens hetgeen in § 16, bl. 76, meegedeeld is, wordt de vol- 
gende regel aangenomen : 

a) is \n's — n"^ even, dan zijn de trillingen van het licht pa- 
rallel aan de 2;-as (dus parallel aan de magnetische krachtlijnen); 

b) is 7i':i — n"s\ oneven, dan zijn de tiillingen cirkulair; de 
cirkels staan loodrecht op de s-as. 

Lichtstralen die in de richting der })usitieve 2-as worden 
uitgezonden (dus in de + richting der magnetische kracht) zijn 
rechts cirkulair gepolariseerd als n'3 — vz/'s negatief is; Unks cir- 
kulair in het tegenovergestelde geval (Zie tig. 5). 

Voor de binnenste drie lijnen is dit in overeenstemming met 
de klassieke theorie. 




AV 



i 



av 




■^H 



>■ — A • •■ ' + A <■ 

(;/',> ;/j) («"3<«'3> 

Fig. f). Splitsing van een spektraallijn door 

een magnetisch veld. Normaal triplet. 
De pijltjes geven de richting der liclittrillin- 

gen aan. — H = richting der magnetische 

krachtlijnen. 
üe spektraallijn niet de grootste frequentie 

(in dl' figuur: rechts) is links cirkulair 

gepolariseerd. 

II. Men kan zicli afvragen of een betere overeenstemming 
tè bereiken is, indien men den term met /^ niet verwaarloost i). 
Het blijkt dat in dit geval de quantenformules wel eenigszins 



sciii;n-1),m K-eHekt). Vergelijk: 11. M. Kunkn, Das Lcuclitfii der (iase uud Dampte 
(Braunschweig l'.li;5), p. 288 (hier is ook verdere literatuur opgegeven); en 
Tm. v. LiiinjizicN, Arch. Must'e Teyler ( I I I 2, p. 1<>">. I'.MI 
') Vergelijk A. Summkkkici.h, Phys. Zeitschr. 17, 1>. ;")(>■'), IIMC. 



§ 20.] OP DE BEWEGING VAN EEN ENKEL ELEKTRON. 107 

gewijzigd worden, doch dat de invloed op het eindresultaat 
(tenminste voor bijna cirkelvormige banen) gering is. 

De formules die hierop betrekking hebben zullen in het kort 
vermeld worden. 

De transformatie (7) — (8), bl. 80, doet de funktie van Hamilton 
overgaan in: 

TT ^ f 'y \ Pl\ ^E . . 

•lm Y ' q\ ) q, ^ ' 

+ ^' r. i^^^'U+^^'l?) (51) 

Na invoering der elementen van Delaunay (form. (10)— (11), 
§ 17) wordt dit : 

-\-^~ 2 [a„, (Pi P, P,) j "^^ j (/.Q,+ /:Q,)] . . . (52) 

De behandeling van deze Ha.milton'scIic funktie vertoont in 
zooverre een moeilijkheid doordat in den hoofdterm van H 
de intensiteitskonstante P2 niet voorkomt, zoodat de middelbare 
beweging van Qq in eerste benadering nul is ^). Men moet nu 
de volgende substitutie uitvoeren '^) : 

Pi = '-^1 ; Qi + Q2 = wi ; 1^ 2 (Pi —ƒ2) cos Q2 = I I 

P3= ">i ; Ci3=M^3 ; — 1/ 2 (Pi— "Po) sin Q2 = vy )• • ^ ^ 

/ 

De nieuwe variabelen: Wi , |, w-^ , cO^ , ?;, tb^, zijn kanonisch. 
De funktie van Hamilton wordt dientengevolge : 



H = 



2 co 



^ + / ^'^3 + -2 4^ [^'' ^'"1 '"- ^ 'i^ sin i ^'J ■ ■ ^ ^ 

De koefRcienten Bk kunnen ontwikkeld worden naar o})klim- 
mende machten van | en 7/ •'). — Men overtuigt zich gemakke- 
lijk dat om de energie tot op termen van de orde van ;'-^ te be- 



') Cf. H. PoiNCARÉ, Mécani(iue Geleste II, p. 133. Verg. ook de opmerkingen 
in § 13 over de behandeling van ingewikkelde systemen als storingsprobleem 
van een eenvoudig systeem. 

*) Verg. H. PoiNCARÉ, l.c. I, p. 30; II, p. 57. 

») Verg. H. PoiNCARÉ, Mécanique Geleste I, p. 30; G. L. GiiAiii.iKit, Die 
Mechanik des Himmels J, p. 295. 



lOS PROBLEMEN DIE BETREKKING HEBBEN [§ 20. 

rekenen, het voldoende is nclit te geven oj) den term vtin de reeks 
welke onafhankelijk is van de „snelle variabele" vj] . Voor dezen 
term wordt gevonden: 



waar de ontwikkeling afgebroken is bij termen van den tweeden 

graad in i' en /y i). Stelt men mi tenslotte: 

?= 1/2 0*2 /w cos tü 2» ., -l"^i .,, .--.. 

, ,^ - . , ^vaa^: lo-— _ .., ^., -) (ob) 

1/ -=: —1/2 0^2 (X) sni W-2 I , '' <",^ — "^T 

dan M'ordt de energie-formule: 

• me^E'^ . ^ y^ OJ* Pil '^^3 I ^ ^2 



" "2 



2o5 



+ /'^3+/-tv[l + '?!+- ..■]•. (57) 



Nu zijn i^i, i(;2, 1Ü3 de drie hoekvariabelen : tOi, 0^3, ojg de inten- 
siteitskonstanten, die gequantiseerd moeten worden. Berekent men 
de orde van grootte der drie termen van «, dan wordt gevonden : 
eerste term = ca. 10~^Y"? ^^'§5 
, tweede term = ca. 10~^*' . 713 erg; 
derde term = ca. IO-21 . n* erg. 
De derde term heeft dus een zeer gcringen invloed op de eerste 
lijnen der BALMER-reeks, waar ni klein is; voor grootere waar- 
den, b.v. ïi] = 12 komt deze term echter in aanmerking 3) ^). 

p p^ 

') Deze ontwikkeling geldt dus slechts voor kleine waarden van '^^ -, d. w. z. 

voor banen van kleine excentriciteit (5^ — {i^ + '/^)/<''l )• ~ (Dan moet ook zijn: 

-) Aangenomen wordt dat ówj^ — w,->0 is (helling van het liaaiivlak klei- 
ner dan ca. (>o°). Ik lieb niet nagegaan hoe de invloed wnnlf hij grootere hel- 
lingen. 

■'; K. Hi;i!/,ii;i.h kunit in zijn theorie van liet ZioKMAN-etlekt hij liet atoom- 
model van Hoiiii (zie opni. ."i beneden) voor cirkelvormige l)anen tot bijna hctzeltde 
resultaat (er is slechts een verschil van een getal lenfaktor 2 of 4). Daar bij 
HicRZi Ki.it de ligging van de baan in de ruimte niet bepaald is, krijgt hij een 
verbreeding der lijnen; dit treedt volgens bovenstaande tiieorie niet op: hier 
is de ligging van de baan vastgelegd door: 

cos i =■ ca. <'•^y|ü)^ = //^l» , 

bij nagenoeg cirkelvormige banen ibij niet cirkelvurmige Itaneii komt udk ../j in 
de formule voor). 

*j Jndieii men zirli be|i( rkt tot banen in een plat vbik. loodrecht oji de mag- 



§ 20.] op ViK P,EWE(iTN(; VAX KEN' ENKRf. Er,EK'Ti;0\. 109 

III. Opmerking over den invloed van het magnetisch veld op de 
beweging van een anisotroop gebonden elektron. 

Aangenomen wordt dat een elektron zich beweegt in een 
anisotroo}) krachtveld (b.v. liet veld van een willekeurig asym- 
metrisch molekuul, dat niet roteert) ; dan luidt de funktie van 
Hamilton in poolkoordinaten uitgedrukt (de 2-as van het systeem 
is in de richting van het magnetisch veld gedacht): 

//=^^ {j>}-\-Pl r^ + ^V4-^sin^ {))+ r(r, ;>,</) + ;- P. =.-(59) 

— H(^-^yp„ (ö9a) 

Ondersteld wordt dat van het door Hq gekarakteriseerde 
probleem (magnetisch veld afwezig) een oplossing bekend is, en 
dat voor deze oplossing de koordinaten en momenten uitgedrukt 
kunnen worden met behulp van drie hoekvariabelen Qx Q-i Qs en 
de korrespondeerende intensiteitskonstanten Pi P2 Ps- Verder 
wordt nog ondersteld dat tusschen de middelbare bewegingen 
der drie hoekvariabelen geen rationale betrekkingen bestaan. 

In het bizonder zij de uitdrukking voor p^-. 

p,= ^/>o(PiPoPo) + 

+ ^r I COS) 

+ S1 'K.^ .n. ,.. (Pi Pi Ps) ,. , (mi Q, -fm2 Q2+m, Q,) i) . (60) 

- co *- ' ^^^^ ' 

Om nu oplossingen voor de door het ' magnetisch . veld ge- 
stoorde beweging te vinden, substitueert men de uitdrukkingen 
voor: ?• .') q pr po 2h' iii (')9a), waardoor deze overgaat in: 

H--'^K{P) = uo (P, /', Ps) + y 'h (A Pi P:0 + 

4- vV* \'i> »'"°'i(_) 1 (61) 



netische krachtlijnen, kan het probleem iets eenvoudiger behandeld worden; in 
poolkoordinaten geschreven is in dit geval de funktie van Hamii.ton: 






(nK) 



Hierin zijn de variabelen te separeercn, zoodat men de faze-integralen kan be- 
rekenen. 

') Met '^\* is bedoeld: sommatie over alle waarden der m's, met uitzonde- 
ring van den term waarin alle drie w's gelijktijdig nul zijn. 



110 PKOBLEMEX DIE BETKEKKINU HEBBEN [§ 20. 

Deze fuiiktie van Hamiltox kan Ijehandeld worden volt^ens 
(Ie methode van Delaunay^); niet heperking tot op termen van 
(Ie eerste orde in ;- vindt men voor de oplossing: 

P; = Pi +;-X* r^'"'. -i -:« j''!''|0"iQH ru,Qo-fm., Q,)] 
^; = Q, + ;• ;^^ [a., .,, .3 j "^^ { ( -) ] 

Hierin zijn Q^ Qj Q;; nieuwe hoekvariabelen, en Pi Pj P.-; de er 

l)ij behooreude kanonische momenten '■^). Voor de energie wordt 
gevonden : 

« =: K (^ ) = «o (Pi Po P3) + / 'h (Pi P2 Ps) ... (63) 
. of als funktie der drie quantengetallen geschreven: 

u=: uq ('Hl '/i2 ns) + /' '^'0 (hi h2 us) (G3a) 

Hieruit volgt voor de spektraalformule : 

_ «o (n'i n'2 ih) — «o {n"i n"2 n\) '/'o (n.'i n'a n'3) - *o {n\ n"2 n"z) _ 

= ^'0 + { (^/''o — '/*'o) (04) 

Diskussie van formule (64). 

Uit formule (64) zou m.en besluiten (hit elke spektraallijn door 
liet magnetiscli veld verschoven wordt over een bedrag: 

A''= 'j^ ('"'u -'/'"..) (64a) 

Dit bedrag is dus afhankelijk van de gemiddelde waarde '/'o 
van het moment van hoeveelheid van beweging j),/ in de l)cide 
bewegingstoestanden •^). 

Nu is echter duidelijk dat indien men alle bewegingen in het 
ongestoorde probleem omkeert, de waarde van de energie «o de- 
zelfde blijft, terwijl daarentegen het teeken van het moment 

') Zie l).v. E, T. WiiiTTAKKii, Anulytical Dynamics (Cambr. 1917) jt. 4-JO. 

*) In het gestoorde probleem zijn P, P^ P3 konstanten, en zijn Q, Q, Q., line- 
aire funkties van /. — P, P.^ P^ moeten u;e(|iiantiseerd worden. 

') Indien de «femiddelde waarde van het iiiom<'nt van hoeveelheid van bewe- 
ginjj nul is, j^eeft bet magn. veld in eerste benadering geen verschuiving. Dit 
is b.v. het geval bij de beweging in een anisotroop quasi-elastisch krachtveld. 



§ 20.] nv DE BE\VEr,IN(i VAN EEN ENKEL ELEKTRON. 111 

van hoeveelheid van beweging omkeert. In liet gestoorde pro- 
bleem zal voor deze bewegingen de energie (volgens formule 63 
en G3a) in tegengestelden zin veranderen. In het algemeen zal 
dus elke oorspronkelijke term van de spektraalformules twee 
termen opleveren. Elke spektraallijn kan dus in het algemeen 
in een quadruplet gesplitst worden. 

Deze splitsing moet het meest algemeene geval zijn. (Om split- 
sing in meerdere komponenten te krijgen, zouden er verschil- 
lende quantenbewegingen moeten bestaan, waarvoor «q dezelfde 
waarde heeft, doch f/^o verschillende waarden i). Voor ;' = 
geven deze bewegingen aanleiding tot emissie van dezelfde 
spektraallijn i'q, doch bij aanwezigheid van een magnetisch veld 
worden ze uiteengehaald.) 

IV. De invloed van de beweging van de kern van het atoom 
op de splitsing der spektraallijnen heb ik niet nagegaan. 

(Daar E/M voor de kern een geheel andere waarde heeft dan 
ejm voor het elektron, ondergaat de beweging van de kern een 
andere beïnvloeding door het magnetisch veld dan die van het 
elektron). 



Verdere opmerkingen. 

1) Uit het bovenstaande blykt dat de invloed van een mag- 
netisch veld op de emissie van de spektraallijnen door de for- 
mules der quantentheorie slechts onvolkomen wordt verklaard. 
Omtrent het pASCHEN-BACK-ettekt geven de formules niets "). 

[2) Over den invloed van een magnetisch veld op atomen met 
meerdere elektronen vergelijke men § 28*, 3.] 

3) Vóór Debye en SoMivrEKFELD waren i-eeds door Bohr en 
door Herzfeld theorieën over het ZEEMAN-effekt ontwikkeld ^). 



') Dit was inderdaad het geval in het boven onder 1 heliandehle probleem. 

ï) Ook van de asymmetrie, welke in sommige gevallen bij het ZuKMAN-effekt 
schijnt op te treden fverg. een opmerking bij H. M. Konkn, Das Leuchten der 
Gase und Darapfe, EH,vuNS(:iiw[ii(j 1913, bl. 2H.')) blijkt niets uit de afgeleide 
formules. 

3) N. Bohr, Phil. Mag. 27, p. 5()(;, 1914. 

K. Herzfeld, Phys. Zeitschr. 15, p. 1!>;J, 1914. 



112 l'üor.LKMKX T)I1': i;i':TRKk'KI\(; ITKimEN [§ 20. 

BoiTR iieoint aun dat bij aanwezigheid van een niagn. veld 
de gewone eniissie-foiiiiiile vervangen moet worden door: 

« — « ;- 

'■= /, ±2,-r- 

Volgens deze formule zou steeds het normale triplet moeten 
optreden. ' 

Herzfeld maakt van verschillende onderstellingen gebruik, 
en berekent het etfekt zoowel voor het model van Bohr als voor 
dat van J. J. Thomson en van F. Hasenohrl i). 

4) Over den invloed van de relativistische termen op het 
ZEEMAN-effekt zie men § 23, II. 

5) Over den invloed van een imcendig magnetisch veld o]) de 
])eweging der elektronen zie men: hoofdstuk IV, § 28 (bl. IT)!^)) 2^. 

G) Het Inv&i'se ZEEMAN-eJè^;^ 

Op grond van de hypothese omtrent de absorptie van licht 
(zie bl. 35), zal het z.g. „inverse ZEEMAN-effekt" (de invloed van 
een magnetisch veld op een absorbtie-spektrum) geheel moeten 
overeenstemmen met den invloed op het emissie-spektrum, dus 
met het direkte ZEEMAN-effekt. (Het is mogehjk dat de kwestie 
van den polarisatie-toestand der Hjnen hierbij nog een bizonder 
onderzoek verlangt.) 

7) Men vergelijke ook Noot II bij § 37 over den invloed van 
het aanzetten van het veld o\> de beweging der elektronen. 



') F. Hasenöhri,, Phys. Zeitschr. 12, p. 931, 1911. 

*) Deze invloed is ter sprake gebracht door H. G. S'FANr.EV Ai.len (Phil. 
Mag. 29, \). 40, 140, 1915), welke aannam dat de kern van het atoom een mag- 
netisch moment zou bezitten, en door A. SümmerI'I-ij) (Sitz. Ber. Bayr. Akad. 
1916, p. 166) bij een onderzoek over het effekt van een elektronenring dicht om 
de kern oji de beweging van een meer naar buiten gelegen elektron. 



§ 21. INVLOED VAN EEN ELEKTRISCH VELD 
■ OP DE SPEKTRAALLIJNEN (THEORIE VAN HET 

STARK-EFFEKT) i). 

Over de splitsing der spektraallijnen door een elektrisch veld 
zullen hier slechts enkele opmerkingen gemaakt worden; voor 
de nadere uitwerking wordt verwezen naar de oorspronkelijke 
artikelen van Epsteix en Schwarzschild. 

De behandeling van het probleem wordt het eenvoudigste als 
men het volgende (parabolische) koordinatenstelsel invoert: als 
as van het systeem (2-as) dient de richting van het elektri- 
sclie veld E; door deze as l)rengt men meridiaan vlakken, wier 
azimutli bepaald is door een hoek (p. In deze meridiaanvlakken 
wordt de ligging van een punt beschreven met de koordinaten 
I en 7;, welke met de cilinderkoordinaten z en o verV)ondcn zijn 
door de vergelijking: 

Voor de funktie van Hamilton, uitgedrukt in deze koordina- 
ten, wordt gevonden : 

^= 2m7FT^) [i^"^+^^'/^+V(^'-' + ^^-')- ■ 

— 4 m e J5; — 7/1 e E (|i — ?/*) I ((>0) 

Hierin zijn de variabelen te separeeren, zoodat men de faze- 
integralen kan berekenen. Epsteix komt tenslotte voor de oni^rgie 
tot de formule : 



') Een voorloopige theorie is ofegeven door N. Bniii;, IMiil. Masf. 27, p.' ')0(j, 
1914. Volledig uitgewerkt is het probloeiu iloor P. S. Ki-stkin, Ann. d. IMiys. 
50, p'. 4S9, li)l(; (zie ook Ann. d. Phys. 51, p. IHo, li)l(;i en door K. Sciiwak/- 
sciiii.ii, Sitz. Ber. Berl. Akad. li»HJ, p. f):')!], — Men vergelijke ook een opmerking 
van E. ^VAFiBiR.i, Verh. Deiits.h. Phvs. Ges. 15, p. 1259, 1913. 

8 



, 114 PROJJLKMEN DIE BETREKKING HE15REN [§ 21. 

" = - 2 (P, +T>r+ 'ft^ - 2 m Ji C' +^^ + ' r":' ' > ('''-'''^)+ • • ■') (6') 



waar : 



2 TT Pi =r I y>t fZ I z= /il //,, enz. 



< > 



Uit de uitdrukking voor de energie komt men op de gewone 
manier onmiddellijk tot de spektraalformule 2). 

V'oor de diskussie der formule en de vergelijking met de waar- 
nemingen van Stark wordt verwezen naar het artikel van Ep- 
STEiN. Hier zij slechts hot volgende vermeld : 

a) De theoretisch afgeleide splitsing der eerste 4 lijnen van 
de BALMER-reeks van waterstof blijkt bizonder goed met de expe- 
rimenteel gevondene overeen te komen; ook de quantitatievc 
overeenstemming is zeer goed. 

b) Om alle waargenomen lijnen te kunnen verklaren, moet 
men aannemen: 

1) dat in sommige gevallen het derde quantengetal (113) bij het 
overspringen van de eene baan in de andere met 1 toeneemt; 

2) dat er z.g. „Pendelbahnen" voorkomen, waarbij het elektron 
langs de 2-as rechtlijnig heen en weer schommelt, en oneimUg 
dicht bij de kern komt •^). 

De lijnen waarbij deze overgangen of deze banen optreden zijn 
evenwel zeer zwak. 

c) Polarisatie-regel. (Veergelijk § 10, bl. 7G.) 

Indien bij het overspringen van de eene baan in de andere 
W;3 met een even bedrag verandert, zijn de uitgezonden lichttril- 
lingen parallel aan de richting van het elektrische veld ; veran- 
dert U:', met een oneven l)edrag, dan is do ti'illingsrifhtiiig lood- 
i'cclit op do elektrische krachilijncii. 

Opmcrkhuf . 

Tndicu men hei probleem van het S'i'AiMC-cIlrkt laat ontaarden 
door (Ie intensiteit van liet elektrische veld tot nul te laten af- 

') Zie 1*. S. iv'STciN, Aiin. (i. i'liys. 50, p. 508. — Ontwikkelt men tot op 
hoKgere machten van E, dan komt ook /*.j afzontlerlijk voor, zoodat men liiiT 
niet met een geval van nntaai'iliiiL;- te ilucn licclt < rï. Mi'stimn, Anii. d. IMiys. 
51, p. Is;i/1H4, lOlO). 

-] Zie Ki'STKiN, Ann. d. I'li.vs. 50, ].. .'•(•'.•, li)l(J. 

^) Vergelijk noot ■''•1 op bl. H'2. 



§ 21.] OP DE nEWEGlXG VAX KEN ENKEL ET.EKTKON. 1 1 .', 

nemen, terwijl men voor de quantenvoorwaarden denzelfden 
vorm behoudt, dan blijken de bier ingevoerde intensiteits- 
konstanten Pi^P,,!'.. niet in de in § 17, A voor de elliptische 
beweging ingevoerde grootheden over te gaan. Slechts is de som 
dezer 'drie grootheden in beide gevallen dezelfde, t-erwijl boven- 
dien de Po's met elkaar overeenstemmen, zoo mfn in beide 
gevallen dezelfde richting tot 2-as gekozen heeft, ij 
Deze kwestie hangt samen met de volgende: 
Men kan het SïAKK-effekt opvatten als een storing van de 
gewone Ki:PLER-beweging. Drukt men de funktie van Hamilton 
uit in de elementen van Delaunay (§ 17, B), dan heeft ze 
den vorm : 

+ S* Bi: (Pi P2 Pr^) sin (Q2 + /^ Qi; 1 (68; 

In den Iioofdterm komt P2 niet voor, zoodat de middelbare 
beweging van Q2 in eerste benadering nul is (hetzelfde geldt 
voor Q.'i, doch deze variabele komt niet voor in de storingstermen). 
Men heeft hier dus dezelfde moeilijkheid als in § 20, II. Voor 
. banen van kleine excentriciteit en kleine helling kan men het 
probleem behandelen door de transformatie van Poincaré uit 
te voeren 2) : 

^■'1 = Pi ; Il = 1/ '2(Pi - P2 j cos rQs - Qs; ; h= \/2i?cy-??^cos%] 

u'i == Q, -r Qo 4- Q.,: r,^=: \X2(F^'-P^) .sinrQo4-Qo;; 7; 2- I/2XP2 - P^J-sinQoj 

waardoor H overgaat in: Cde ontwikkeling is afgebroken bij 
termen van den tweeden graad in §1 7,1 I2 V2)' 

rae^E'- E a:>i r3 , 

-2* C',.ra>, Il ^1 1,^-2)1^!'"/. 7.1 1 (70) 

Om de energie tot op termen van de eerste orde in E te l^e- 
Ijalen behoeft men slechts rekening te houden met den term 

van deze reeks welke wi niet bevat : — 1^ ■ , ^h Vi — ?2 ^1 ) -- • • • 

«j Vergelijk ook .^ l.S, bl. h?,. 

*i H. PuiNX-ARÉ, Mécani'^oe Céleste I, p. 3<); II. p. "iT. 



116 l'HOBLEMEN DIE BETREKKING HEBBEN [§ 21. 

Door de substitutie i) : 



Il = + |/'a>2 cos Wo + 1/^W3 cos Ws : 
IJl = — l/^tÖ2 sin iv-z — y^(^s sin Ws' 
^2 =■ — l/% sin W2 + l/w3 sin Wp\ 

7/2 = — l/^"''^2 f os W2 + l/f'"';; COS W^ ' 



(71) 



kan men nieuwe hoekvariabelen W2 w-s en de korrespondeerende 
intensiteitskonstanten t02 W3 invoeren ; hierdoor gaat H over in : 

Quantiseert men de intensiteitskonstanten m^, d>2, W3, dan levert 
deze formule hetzelfde resultaat als die van Ei'Stein. Ze is echter 
slechts voor banen van geringe excentriciteit en helling afge- 
leid, en mist dus het algemeene karakter van de formule van 

El'STEIN. 



') H. PniNCAUK, Mi'eauique Céleste II, ]>. 42. 



§ 22. OPMEKKlNc; OVEU HET SPEKTRUM 
VAN ROTEERENDE MOLEKULEN i). 

Indien een elektron zich beweegt in het veld van een wille- 
keurig asymmetrisch molekuul dat om een vaste as roteert, 
heeft de rotatie van het molekuul op de spektraallijnen een in- 
vloed welke eenigszins te vergelijken is met die van een mag- 
netisch veld. 

De formules voor dit probleem zullen liier in 't kort weerge- 
geven worden. 

Ingevoerd worden [toolkoordinaten; de as van het systeem valt 
samen met de rotatie-as van het molekuul. De koordinaten van 
het elektron zijn : r, O, qji ; de stand van het molekuul is bepaald 
door (f2- De potentieele energie F van het systeem is een f unktie 
van r, O- en qji — 92 ^)- Stelt men : 

dan wordt voor de funktie van Hamiltox gevonden: ' 

Het totale moment van hoeveelheid van beweging van het systeeuj, 
Py, is een konstante. 

Indien jiy =z {) is, wordt de beweging van liet elektron be- 
paald door: 

/ƒ„= ./ (jfl+'f + -^^ )+ ^^ + V(r,o,,F) .... (73a) 
2 7ji \ ' r^ r^ sin^ 0/ 2 A 

Ondersteld wordt dat men voor liet door Hq gekarakteriseerde 
(het niet door de rotatie „gestoorde") probleem een oplossing 
kan vinden, en dat de koordinaten en momenten uitgedrukt 
kunnen worden als funkties van 3 hoekvariabelen (/i (^2 (h en 
de korrespondeerende kanonische momenten 1\ P2 P-.i- 

') Vergelijk: J. M. Bikkers, Versl. Akad. Amsterdam XXVI, \>. 11"., IDIT. 
^) In V moet «/, — i/j noodzakelijk voorkomen, daar anders de rotatie van het 
molekuul geen invloed kan hebben op de beweging van liet elektron. 



118 PKÜBLEMEN DIE BETKEKKINÜ HEBBEN [§ 22. 

\'cr(ler wordt iio»; aangenomen dat tussclien de middelbare 
bewegingen der drie (J's geen lineaire betrekkingen be.staan. 

Het „gestoorde" probleem, bepaald door de funktie (73), kan 
dan op dezelfde wijze behandeld worden als in § 20, III gedaan 
is ; men komt tenslotte voor de energie tot de formule : 

« =: K (P) = «o (Pi P2 Ps) - 2 ''^''o (Pi P2 Ps) + 2^ + . . (74) 

'*/'o is de gemiddelde waarde van het moment van hoeveelheid 
van beweging ^>i;. van het elektron. — De vierde intensiteitskon- 
stante P4 {^= J^/) is het totale moment van het geheele systeem '). 

Als funktie' der (juantengetallen geschreven wordt de energie- 
formule : 

« = «o (ril ^2 ïis) — ih II ^ . h n| ^ „ . . • • • ('4a) 

Hieruit volgt voor de spektraalformule : 

=^ i'o — enz (75a) 

Voor tle (hskussie tlezer iormiüe wordt naar het boven aan- 
gehaalde artikel verwezen. Hier worden sleehts de volgende 
punten vermeld: 

1) Is 11.1 -= ii".i = O, «laii is de uitgezonden frequentie: 

if -:= i-'q (76a) 

2) Is ii'i =^ ii".\ ^ O, dan vindt men : 

'^'^-''^ 2rrA ^"^^'^ 

De oorspronkelijke lijn /'o wordt dus naar weerszijden begeleid 
door equidistante satellieten. Dergelijke systemen zijn waargeno- 
men in de absorbtiebanden van sommige gassen, ]).v. waterdanq) -), 

3) Is n\ ^n"4, zoodat men de algemeene formule (75a) houdt, 



') Vergelijk bl. (JO, opmerking J [en bl. 71]. 

*) Zie o.m. Eva von Bahr, Verh. Deutsch. Thys. Ges. 15, p. 780, 1150, 19i;j; 
H. Rubens & G. Hbtïnicr, Sitz. Rer. Berl. Akad. p. 1(J7, l'.tlG. 

Voor de struktuur dezer absorbtiebanden is het eerst door N. Hjükrum een 
theorie opgesteld (Nernst-Festschrift, p. it.S, 1912); B.iicriuim nam hierbij aan dat 
het moiekuul een trillende resonator droeg, welke liet licht uitzond. — Zie in 
verband hiermee het geciteerde artikel van Biirgkrs. [Vergelijk ook beneden 
opmerking 4.J 



§ 22.] OP DE BEWEGING VAN EEN ENKEL ELEKTRON. 119 

dun blijkt clku lijn /'u cvw IwcevoLulig oiieiiulig stel .sutcllicteii 
te bezitten, waarvan do afstanden gegeven zijn door een kwa- 
dratische formule. Deze formule stemt in vorm overeen met die 
welke door Deslandres en anderen voor de bandenspektra 
opgesteld zijn ^). Een dergelijke formule is het eerst door Schwarz- 
SCHILD uit de quantentlieorie afgeleid 2) ; deze heeft er ook op 
gewezen dat indien men uit de koefficient van {n'l — n"p het 
traagheidsmoment A van liet molekuul berekent, de gevonden 
waarden van de goede orde van grootte zijn. 

Opmerkingen. 

1) Het zou zeer wenschelijk zijn dat het probleem van den 
invloed der rotatie van een molekuul algemeener behandeld 
werd door rekening te houden met de preeessiebeweging van 
het molekuul. 

2) Het is niet onmogelijk dat een onderzoek over den gelijk- 
tijdigen invloed van de rotatie van het molekuul en van een 
uitwendig magnetisch veld iets zou kunnen leeren over het 
ZEEMAN-effekt in bandenspektra, vooral indien men de rotaties 
niet beperkt tot die om een vaste as. 

3) De „edele" gassen {He, Ar, Ne, Kr, Xe) hel)l)en geen l)an- 
denspektra (cf. H. M. Konen, Das Leuchten der Gase und 
Diimpfe). Deze gassen zijn steeds eenatomig, en komen nooit in 
verbindingen voor, zoodat men hier geen asymmetrische mole- 
kulen kan krijgen. 

[4) Boven is opgemerkt en in het geciteerde artikel in de 
Versl. Akad. Amst. is dit nader uiteengezet, dat de afgeleide for- 
mule, o.a. zou kunnen dienen ter verklaring van de struktuur 
der absorl)tiebanden ])ij verschillende gassen in het ultraruod 
waargenomen. Bij nader inzien schijnt mij evenwel een groot 
bezwaar hiertegen te l)estaan : daar de spektraallijnen het resul- 
taat zijn van het overspringen van een elektron uit de eene 
baan iu een andere, zullen de frequenties vq in het algemeen 



') Zie b.v. H. M. Konen, Das Leuchten der Gase und Diiinpfe, Braunschweig 
liJl3, p. 214. 

2) K. ScHWARzsciiii.ij, Sitz. Eer. Berl. Akad. p. .566, ISMG. 

ScnwARZsiHiLD nceiut echter aan dat de rotatie van het molekuul geen invloed 
op de beweging van het elektron uitoefent, wat in het bovenstaande een nood- 
zakelijke onderstelling was. In de formule van Sciiwauzschii.d ontbreken daar- 
door de termen lineair in h' ,, en /i" ,^. ^ 



120 TKOBLEMKN DIE IJETREKKlNc; IIEJJIJEN [^ 2'2. 

liggen in liet ziclithare en ultraviolette spektrum, ut' in het ultra- 
rood van kleine golüengte. Dit blijkt o.a. ook uit de als voorl)eeld 
gegeven formule in het artikel in de Versl. Akad. Amst. (p. 122): 






Avaar X de konstante van Kydberg is. Neemt men K zoo klein 
mogelijk, dus gelijk aan e, dan stemt de hoofdterm overeen met 
de formule van Balmer voor waterstof. — De waargenomen 
absorbtiebanden hebl^en echter grootc golflengten: 

fAjO 6,26 .u 

HCl ca. 3,5 u 
HBr ca. 3,1) u 

In de theorie van Bjerrum werd de frequentie welke bij het 
midden van do ])and behoort toegeschreven aan de trillingen 
van tegengesteld elektrisch geladen atomen; tengevolge van de 
groote massa's der atomen zijn deze trillingen zooveel langzamer 
dan elektronenbewegingen. — In verband hiermee is het niet 
onaardig nog de volgende punten te vermelden : 

a) Tweeatomige elementgassen {H-2) ^M, ^-2, ^h, Br^, enz.) heb- 
ben dergelijke absorbtielmnden niet i) ; de banden zijn dus ge- 
Ijonden aan de aanwezigheid van ongelijksoortige atomen in het 
molekuul. -) 

h) Brinsmade en Kemble hebben „harmonische bovcnlonen" 
dezer frequenties gevonden bij sommige gassen"^); l).v.: 

CO : primaire band : maxima bij 1,60 « en 4,72 m 

„oktaaf" 2,36 n 2,31) ;i ■ 

HiJl: {)rimair(' band 3,394 ." 3,557 n 

„oktaaf" 1,742 /* 1,783 .u 

Voor l)izonderheden (o.a. het dichter l)ijeen liggen van de 



'i W. C. Mandicusi.oot, Anii. d. Phys. 49, ]>. T.iO, VMW. 
-) Men vergelijke liierniee het feit dat cenatoiiiige kristallen, zouals Diamant, 
geen reststralen geven, wel daarentegen XaCl., KCl, enz. 

■') .T. B. BfiiNSMADK & E. C. Kii.Miii.E, Proc. Nat. Acad. Sciences 3, p. 420, liHT; 
K. C'. Kemri.e, Phys. Rev. A'IIl, ].. 701, 1!»1G. 



§ 22.] Or DE BEWE(ilNCi VAN EKN EXKKJ, Kl-KKTRüN. 121 

maxima in de sekundaire l)aud) vergelijke men de geciteerde 
artikelen. 

Het is me niet gelukt een quantentheoretisch model te vinden 
dat deze banden op de góéde plaats geeft. Men zou natuurlijk 
het eerst denken aan een tweeatoraig molekuul, waarvan de 
atomen volgens hun verbindingslijn kunnen trillen, terwijl het 
geheel een rotatie uitvoert, juist zooals in de theorie van Bjerrum. 
Men kan dan zoowel de trillingen als de rotatie quantiseeren ; 
beide bewegingen zijn geheel onafhankelijk van elkaar, en de 
formule voor de energie wordt: ') 



7 1 it'2 "' o\ 



Hieruit volgt de s[)ektraalformule : 



i; = {ni' — rti") ri + 



Sjc^A 



De eerste term geeft het centrum van de band, en de boven- 
tonen; de tweede, van de rotatie afkomstige, term kan echter 
geen volledig stel equidistante satellieten geven : stelt men 

h 7 1 ■• 1 1 -^ " 

= rt, dan zijn de waarden van 



Stt'^A ' ' d ' 

AL= O, 1, ^ 3, 4, 5, *, 7, 8, 9,... 

hierin ontbreken : 2, 6, . . . . 

Het l)oven besproken model schijnt me daarentegen wel ge- 
schikt voor de theorie van de bandenspektra.] 



' ) Deze quantiseering is reeds aangegeven door E. C. KiiMni.i:, IMiys. Kev. 
VliJ, p. 701, 1916. Kk.müM'; onderstelt echter dat de absorbtie van lielittrillingen 
op de klassieke wijze geschiedt (evenals in de tweede quantentheorie van Pi.anck). 

-) Daar het traagheidsmoment van het molekuul om de figuuras gelijk nul 
sresteld ma<r worden, heeft men slechts te' doen met rotaties om een dwarsas; het 
moment van hoeveelheid van beweging hiervoor is gelijk aan: i/.,Iii2:r^ zoodat 
de energie van de rotatie is: 

f'.R =■ '— 

{A = traagheidsmoment van het molekuul om de dwarsas.) 



§ 23. ENKELE OPMERKINGEN OVER KOMBlN.VriES 

VAN \'ERSCH1LLENDE STORINGEN (ZEEMAN-EFEEKT 

MET INACHTNAME DER RELATIVISTISCHE KOR- 

REKTIES, e. cL). 

I, 'Uit het voorgaande is g-el)leken dat men l)ij de gewone 
elliptische l)e\veging van een elektron om een atoomkern Ie 
doen heeft met een geval van ontaarding: er is slechts 1 grond- 
frequentie, zoodat ook slechts 1 quantenvoor waarde kan worden 
ingevoerd, ofschoon het probleem drie vrijheidsgraden bezh:. 

Indien deze ))eweging gestoord wordt, b.v. door de verander- 
lijkheid der massa, de invloed van een magnetisch of elektrisch 
veld, enz., zoodat de exakte periodiciteit verdwijnt, moet men 
meerdere c|uantenvoorwaarden invoeren (zooveel als het aantal 
der grondfrequenties bedraagt), waarlxij de nieuw ingevoerde quan- 
tenvoorwaarden bij de verschillende problemen in hot algemeen 
geheel anders zullen zijn. Men vergelijke de opmerkingen in § 13. 

De quantenvoorwaarden voor de verschillende gestoorde i)ro- 
blemen gaan dus niet in elkaar over, wanneer men de storings- 
funkties tot nul laat naderen. 

Interessant is het uu na te gaan wat de quantenvoorwaarden 
worden, intlien meerdere storende invloeden gelijktijdig werkzaam 
zijn; het is te verwachten dat men dan in het algemeen geen een- 
voudige superpositie dezer etfekten zal krijgen. — Het blijkt 
dat men 1)ij dergelijke problemen tot quantenfonnules komt, die 
overgangen vormen tusschen de fornudes vooi" „enkc^lvoudig 
gestoorde" systemen. 

Het l)erekenen dezer formules is l)ij het aloommodel van wa- 
terstof nogal bewerkelijk, en ik kan dan ook slechts enkele 
aanwijzingen erover geven. Ter illustratie zij hier echter een 
])robleem ingelascht dat gemakkelijk te behandelen is, en waarop) 
ik gekomen ben door een opmerking van Prof. Eiirknfkst '). 



') Cf. r. EuuENKEST, Versl. Akad. Amst. XXV, p. 42Ü uf 427, 1Ü16; Anu. 
>\. Phys. 51, p. 343, l'.ilC. 



§ 23.] OP DE BEWEGING VAX EEN ENKEL ELEKTRON. 123 

Hierin is het krachtveld van de utuunikern vervangen door een 
isotroüj) (juasi-elcistiseli kraehtveld, teTwijl ter vereenvondigin^- 
de l^eweging tot twee vrijheidsgraden wordt beperkt. De beweging 
is hier eveneens exakt periodiek, en de eenige qnantenvoor- 
Avaarde luidt: 

YTjv — nh : (77) 

Men kan de periodieiteit storen: 

ü) door het veld ankotroop te maken ; dan moeten de loeide 
hoofdtrillingen afzonderlijk gequantiseerd worden. 

h) door loodrecht op het vlak der beweging een magnetisch 
veld aan te brengen; in dit geval zijn de quantenvooi'waarden : 

moment v. hoev. v. beweging = vtj -^ — I 

^ '^"^ ' (78) 

\ Pr dr — /tl Jl ■ 1) ") 

Indien beide storende invloeden tegelijk aanwezig zijn, is de 
funktie van Hamiltox (ter vereenvoudiging is de massa in = 1 
gesteld) : 

De oplossing luidt, uitgedrukt met behulp van twee hoekva- 
rial:)elen : 

Qi = ct»i f -f~ ^1 ; Qi — ^ ^'^1 i~\~ ^1 ) 

waar =h i oj| , ± i wo de wortels zijn van de vergelijking: 

oj-t + c-y-^ (x + /.4-4r) + xA = o (80) 

.1- — Cl COS Qi + C2 -ö ^ ^^^ ^^2 I 

^' '■'; (SI) 

11 — c; COS Qo — Cl -^ '— sni (^ ' 

') Verg. ElIKENFEST, l.c. 

2) Men zou als storing kunnen invoeren een term van den vorm : ,/ . /•''' 
■(/:>2of<'0) in de potentieele energie, doch dit maakt de berekening ingewik- 
kelder. • 



124 PROBLEMEN DIE BETKEKKlNCi HEBBEN [§ 23. 

met jiiuilüge uitdrukkingen voor y>., en p,, {<■[ en c^, zijn twee iute- 
grutiekonstanteji). 

Volgens !^ 11 zijn tle quantenvoorwaarden: 

7/1 //. =r 2 TT y^i = I (p., d X -f pydy) = 



(J,=0 



10^ -y- ('Jj' 



— 2 :r Cj . ^ ; 

(82") 
/_. /> _ _.> ,, /.2+4/.;'^-2Xca|j-^l ^^^^ 

7t.> /(, — Zni'o — — 2/rc;. ,, ., -\ 

b too y ) ■ 

De energie-ibrniule wordt: 

a = K ( ƒ') = c.Ji Pi f ojo Po (83) 

Men kan nu de volgende twee grensgevallen beseliouwen : 

1) Bij eindige anisotropie verdwijnt het magnetisch veld. Dan 
wordt : 

X = Cl cos Q[ '> U -^ ^-2 ^'OS Q2 
coi =: l/;{ Pi = - c-^ V^ '/. 

C02 = l/T po rz -L c^ l/T 

De l)eweging is een superpositie van twee enkelvoudige har- 
monische trillingen, welke loodrecht of) elkaar staan en elk 
afzonderlijk gequantiseerd zijn. 

2) De anisotropie neemt tot lud af, terwijl het magnetisch 
veld aanwezig blijft. De beide hoofdtrillingen zijn dan cirkulair; 
bij (l\ behoort de positieve trilling (linksom-loopend); bij (^2 de 
negatieve (rechtsom). De formules worden: 

'j: =^ c'i cos (l\ -f- Cq sin i}<i 
y = Ci sin (^i -f- C2 cos (/^ 
oji — k^x + ;'- -f- / = ioq 4- ;' Pi = c'ï V y.^ ;'- 

too = iXx -f ;'^ - ;' = co, -y Po r= cl V" v. + y^ 

energie = « = K (P) = «o (Pi + P2) + / (/'i — i'^i). 

P\ en 7*2 zijn de absolute waarden der momenten van hoe- 
veelheid van beweging van de l)eide cirkulaire trillingen. 



§ 23.] OP DE llKWEOINft VAX EEN ENKEL ELEKTRON. 125 

(Had men in dit laatste geval onmiddellijk poolkoordinaten 
ingevoerd en de faze-integralen gequantiseerd, dan was men op 
twee intensiteitskonstanten Pi en Po gekomen, die met de 1)0- 
ven ingevoerde samenhangen door de formules: 

Pi = -^ — 1 p,. d r = de kleinste der heide grootheden Px, Po] 



-<-> 



Po := p,, =, p^^p.,, • 

energie = « r= o)q (2 Pi + Po ) + / Po . 

Deze beide methoden van qnantiseering komen dus op liet/.elfde 
neer.) 

II. Opmerking , over het ZEEMAN-effekt, berekend met inacht- 
name der relativistische korrekties. 

Vergelijk: A. So^[merfeld, Phys. Zeitschr. 17, p. 495, 1916. 

In het volgende zal een berekening gegeven worden welke 
lirnikbaar is voor groote banen, met kleine excentriciteit en kleine 
helling; in dit geval mag men aannemen dat de relativistische 
korrekties slechts tot op termen van de eerste orde, de magne- 
tische tot op termen van de tweede orde berekend moeten wor- 
den 1). 

Indien men onderstelt dat de kern van het atoom in rust is 
wordt de funktie van LAfiRANGE : 

en de funktie van Hamilton : 

J=-c., + mc^[\/l + Jj(^p, + '-^y-^{...r + (...r^\ -l]2)(S5 
Hierin wordt gesteld : 



'j Bij de grootere banen worden de relativiteitskorrekties kleiner, verg. A. Som- 
MKfiKELn, Ann. d. Phys. 51, \k 54, vgl., 191G, en de boven in § lil gegeven for- 
mules; de magnetische termen der tweede orde worden grooter, zie § 20, Tl. 

Houdt men slechts rekening met de termen v/d eerste orde in de inagu veld- 
sterkte, dan krijgt men een eenvoudige superpositie der beide eflfekten; verg. A. 
SoMMERi'^Ei.F), Phys. Zeltschr. 1. c. 

*) Deze vorm van de funktie van Hamii.ton is ook gegeven door Tl. Ili-u- 
OKOTz (zie A. SoMMEUFEi.ii, Phvs. Zeitschr. 1. c. p. 4i)8). 



r2() PROBLE>[EX DIE JiETREKKING HEP.I'.KX [§ 23. 

./ = ; ff, , = — - 2/ ; % = + r ; a. = O ; ;- =: 

7' 2 2 2 m c 



waardoor ƒ/ overgaat in 



r 



()|) <leze funktie wordt de kontakttransforniatie (7) — (8), §17, 
toegepast, terwijl de wortelvorin tot op den boven aangegeven 
graad van benadering wordt ontwikkeld ; men komt dan tot : 

e E 1 / n^\ 1 / 7>2\2 






7)1 y^ n^ 

+ /P3 + ^T- g? (cos2 (j2 -\-^^ sin2 72) + • • • • (^^>) 

Door toepassing der kontakttransformatie (36) — (37), § 19, gaat 
dit over in: 

''— 2Pf ~ 8^^ (P^Po-pM + ^'*^^'+^ '"^'^ 

Hierin stelt J^ voor de laatste term van verg. (8G) : 
— ^ -' ' (cos^ ^2 + -^ sin2 ^2), ontwikkeld in een trigonometrische 

reeks naar de hoekvariabelen Qi en Qq. Indien men de energie wil 
berekenen tot op termen van de orde van y^, hebben die termen 
van ^**;) welke de „snelle variabele" Qi bevatten geen invloed; 
de termen ecbtei- welke alleen de „langzame variabele'' Q2 be- 
vatten kunnen wel invloed hebben, zoo de middelbare l)ewe- 
ging van Q^: 

Do ^^^ ('Jo — 

^ 2 c^ P^ P^ 

klf'iii is. 

De termen van § welke Qi niet l>eval(en /.ijn: 

+K'-p:)0-pD'"^'"=' ■■■] '''' 



§ 23.] OV DE BEWEGING VAN EEN ENKEL ELEKTRON. 127 

(Bij deze ontwikkeling is afgezien van de relativistische korrek- 

ties daar ^ reeds de faktor /^ heeft ; men zou deze desgewenscht 
in rekening kunnen brengen, wat echter een belangrijke ver- 
grooting van het rekenwerk zou geven.) 

Men kan nu de funktie van Hamilton transformeeren met 
behulp van de substitutie (53) van § 20, III; daardoor gaat ze 
over in: 



me^E^ me* E^ ^ ^ , y^ tb* / , w^X 



, ,, I ;-^ c^ m éE *\ \f oj, (5 d^l-a^l) m é E* \ 

"* "■ bne^E-^ Ad^ (x>\ \'^ ' \ 4:meUiJ^ ie' o/^ \^ "^^' ' 

Deze funktie kan verder behandeld worden op dezelfde wijze 
als in § 20, II is gedaan. Dit zal hier niet worden uitgewerkt i). 



III. Opmerking over het STARK-effekt, berekend met inacht- 
name der relativistische korrekties^). 
De funktie van Hamilton luidt in rechthoekige koordinaten: 

H = rn c"^ [ ]Xl + ^, ipl + Pi + p?) - 1 ] - ~ - ^= E ,: (00) 

Na toepassiiig der kontakttransforraatie (7) — (8), § 17: 



H=mc^- 






sin 72 (^1) 

of na ontwikkeling tot op termen van de eerste orde in l/c- : 



•) Tn de koefficienten <ler variabelen i- en //^ komen tormen voor welke af- 

m f'* /i'* 
komstig zijn van de relativistische korrekties (ontstaan uit den t(M-iii : — ^^ -^ - ^- 

" ' • I ' 2 

van de funktie (87)) en termen welke afkomstig zijn van liet magnetisch veld, 
ea vermenigvuldigd zijn met y*. 

Deze beide „storingen" worden hier om zoo to zeggen ,.door elkaar heen gewerkt". 

2) Cf. A. SoMMEiu-|.:i.i), Phys. Zeitschr. 17, y. :')();"), 191(5. 

Het is aan SoMMERKEi.n niet gelukt het i)roblpem door te rekenen met de 
methode der faze-integralen. 



128 PROBLEMEN' DIE nETKEKKIXtl HEBI5EN [§ 23. 

— eEqi\/' 1—^'l^h) 7, ; . (91*) 

Door toepassing van de transformatie (3()) — (37), § 19, wordt dit: 

_ me^^^ _ m é E ^ \ 4 _ 3 j 
~ 2 P]" S7^ " I PfPp P] I "^ 

+ 2* 5A.sin(Q2+/^Qi)! ('^2) 



Bij de verdei'e behandeling hiervan kan men twee gevalh'n 
onderscheiden : 

a) Het elektrisch veld E is zeer zwak, zoodat: 

EP' 1 

;.. m 

jn, E co.2 ' 

((0 0^=.. .. ot Dï ^^ middelljarc l)ew(ïging van Qo in oorsto bona- 

dci'iiig) klein is ien opzichle van P.j .(l).v. : E < 10' •"/•>. >S'. 7*/'.). 

Dan kan men de mei E vcrmcnigvnldigdc storingstermon in 
(92) behandelen volgens de methode van Delaunay; en men 
komt tot het resultaat: 

De formule voor de energie is — bij verwaarloozing van termen, 
welke met E", enz., vermenigvuldigd zijn — dezelfde als men vindt 
voor E = 0. 

M. a. w. : Het STARK-effekt is in eerste orde nul. 

h) Indien het elektrisch veld sterk is, zoodat de door (93) ge- 
geven verhouding niet verwaarloosd mag worden tegenover P2, 
moet men zijn toevlucht nemen tot dergelijke substituties als 
toegepast zijn in § 21, Opmerking. 

Deze berekening — welke overeenktunst vertoont iiu't <h' boven 
onder II uitscvoerde — zal hier worden wcirofelaten. 



§ 24. OPMERKING OVER. HYPERBOLISCHE 
BEWEGINGEN i). 

Over de door Epstein gevolgde methode voor het opstellen 
van quantenformules voor de hyperholische bewegingen is reeds 
gesproken in § 15, b). 

Ter herinnering zij hier vermeld dat de door Epstp:in inge- 
voerde quantenformules luiden: 

2 jdr{pr—pc/,) = n h; p^.=n~^ (94) 

waar p ^ de waarde van p,- is voor r = od , terwijl de integratie 
uitgestrekt is over het geheele interval waarin de funktie p,0') 
reëel is ^). 

Epstein vindt voor de energie der hierdoor bepaalde quanten- 
l:)ewegingen : > 

a) wanneer rekening gehouden wordt met de relativistische 
korrekties : 

« = mc^ [^|Xl + ^-l] (95) 

waarin : 



en 



A = ^^ (07) 

fl c 



b) wanneer men deze korrekties verwaarloost: 

2 7f2 m e2 E-2 



«„ = — . (95*) 



waarni 



•) P. S. Epstein, Ann. d. Thys. 50, \>. «15 840, 1910. 

2) P. S. Epstein, 1. c. p. 820, vgl. 

Zie speciaal fig. 1 en 2 o|i y. 82;» en 824. 

9 



130 PROBLEMEN DIE BETREKKING HEBBEN [§ 24, 



7J-2 



R\= ^{n + n'f-n^ (96*) 

Epstein past deze formules toe op de theorie van het foto- 
elektrisch effekt, en op de theorie der beta-stralen. 
Hierover zij het volgende vermeld : 

1) Foto-elektrisch effekt. 

7a\ «e de (negatieve) energie van het elektron wanneer het op 
een elliptische baan loopt; «/, de (positieve) energie behoorende 
bij een hyperbolische baan. 

Dan neemt Epstein aan dat indien op het atoom lichl valt 
van een frequentie ;- welke voldoet aan : 

lir^cKi, — u, (98) 

het elektron uit de elliptische baan met energie «^ in de hyper- 
bolische baan met energie «h geworpen kan worden. 

Het elektron vliegt dan uit het atoom met de energie «/,, en 
kan tegen een potentiaal oploopen, gegeven door: 

Trzz "^^^^'^^ Volts 1)2) (99) 

e Rl 

Voor de toepassing hiervan op waterstof wordt naar het artikel 
van Epstein verwezen. 

2) Wat de beta-stralen betreft tracht Epstein met behulp van 
de formule (95) de homogene groepen van beta-stralen te ver- 
klaren, welke men bij verschillende radioaktieve stoffen heeft 
waargenomen •'5). Hierbij wordt aangenomen dat de uit de kern 
komende beta-deeltjes slechts langs een der hyperbolische banen 
het atoom kunnen verlaten 4). 

Zie verder het artikel van Epstein. 



') Cf. P. S. Epstkin, 1. c. p. 828, 829, vgl. 

*) Men versTelijke in verband liiormce beneden J^ 34. f). 

') Zie literatuur bij: E. RLTiii-uioitK, Hadioaktive Substanzen, enz. (M.\i!x 
Handbuch II), p. 208, vgl., p. 552; en bij P. S. Epstein, l.c. p. 833. 

*) Het zy vergund hier de volgende opmerking te maken: Zouden de radio- 
aktieve transformaties misschien beKchouwd moeten worden als het overspringen 
der elektronen in de kern uit de eene (luantenbeweging in de andere? Men zou 
kunnen onderstellen dat deze elektronen twee typen van quantenbewegingen 
kuiiucii uitvoeren: a\ in nf vlak om de kern, waarvan zoo goed als niets bekend 
is, en //) hyperbolische bewegingen. Bij een beta-transformatie zou dan ile be- 
weging van bet type e/) in bet type h) overslaan. 



§ 25. OPMERKING OVER DE VERSCHUIVING 
VAN SPEKTRAALLIJNEN DOOR DRUK. 

Indien men het spektmni van een damp onder hooge druk- 
king waarneemt worden de spektraallijnen in liet algemeen ver- 
plaatst; gewoonlijk krijgen ze een verschuiving naar de roode 
zijde van het spektrum i). 

In de klassieke theorie heeft men dit soms verklaard door te 
veronderstellen dat de binding van een elektron aan een bepaald 
atoom verzwakt werd door de aantrekking der omringende atomen ; 
de frequentie der trillingen van het elektron werd dan kleiner, 
waardoor de uitgezonden spektraallijnen naar het rood ver- 
schoven 2). 

Op een dergelijke wijze zou men een verklaring kunnen geven 
op grond der formules van de quantentheorie. Het volgende wordt 
meegedeeld als een vluchtige schets hiervan. 

Aangenomen wordt dat het elektrische veld, veroorzaakt door 
de omringende atomen een potentiaal heeft, die naar opklim- 
mende machten van r (de afstand van het elektron tot de atoom- 
kerii, waarbij het behoort) kan worden ontwikkeld. De totale 
potentiaal van het veld is dan: 

^= + f+Ê^'*"' (!) 

en de funktie van Hamilton : 



.') Zie b.v. H.M. Konen, Das Leuchten der Gfase und Diluipfe, Braunsclnveig 
1913, },. .310. 

De grootte der verschuiving houdt verband met de spektraalreeksen, terwijl bij 
bandenspektra zeer ingewikkelde betrekkingen optreden. 

De verschuiving schijnt bepaald te worden door de iolale druk van het gas, 
niet door de partieele druk van de damp waarvan men het spektrum onderzoekt. 

;. o ^ 

Grootte-orde der verschuiving: bij ijzer is . / A = .^^w. X 2,3 A.E. per atmos- 
feer (F. Kayser, Handb. d. Spektroskopie). 

De waterstof-lijnen //(<, i/p', //y, J/() worden in een vlamboog door druk zeer 
sterk verbreed, oncreveer evenredi}' met de druk en met de derde of vierde maclit 

7 3 O 

der frequentie. De verschuiving is hier niet te meten. 

*) Zie b.v. Campbell, Moderne Elektrizitiitslehre (Duitsche vertaling door 
U. Meyer, Dresden-Leipzig li)13), bl. 213. 



132 PROBLEMEN DIE BETREKKING HEBBEN [§ 25. 

De quanten voor waard en kunnen worden ingevoerd mot be- 
liulp van de faze-integralen ; men krijgt dan : 

y>.=^^ = "2^- . .' (III) 



jp.. <h' = j ,h ]/ 2 m « + ^"^^^ - ^^ + 2 m r^^i '"' ^ 



-<-> -<-> 



2 7rPi=ni h (IV) 



De koefïicienten Ai worden als zeer klein bescliouwd, zoodat 
de kwadraten en hoogere machten ervan verwaarloosd mogen 
worden ; men kan dan in vergelijking (IV) de wortelvorm ont- 
wikkelen. Door de integraties uit te voeren komt men tot: 



^b' 



meE ^ 

K — 2 m « o 

In de koefïicienten Bi is « vervangen door de eerste bena- 
dering: 

"» alPT+iP^lT^ <^^' 

Deze koefïicienten Bi zijn allen positief -). 

Uit (V) leidt men tenslotte de energie-vergelijking af: 



') Uit de onderstelling omtrent den potentiaal van het krachtveld volgt direkt 
dat de baan in een 7;fo/ vlak ligt. Het is dus niet noodig drie koordinaten in te 
voeren. (Deed men dit wel, dan zon men in het eindresultaat een hoekvariabele 
krijgen — de lengte van de klimmende knoop van het baiinvlak — welke de 
middelbare beweging 7iid heeft.) 

*) De koefficienten Bi zijn gegeven door de integralen : 



Bi = I dr -~ (Va) 

J l^ lm ar'^ A- '2m fi Kr — /-*? 



o 



Hierin is r steeds positief (;• ligt tusschen twee pos. wortels ingesloten); tfr 
heeft steeds hetzelfde teeken als de wortelvorm. 

f>/i/iir'r/,/nf/. Met betrekking tot de grenzen der integralen (Vai voor de bere- 
kening van Jii vergelijke men: 

A. SriMMKiirici.ii, Phys. Zeitsohr. 17, ]>■ ">ol, lltUj. 



§ 25.] OP DE BEWEGING VAN EEN ENKEL ELEKTRON. 133 



« 



2(Pi+ P, )^ 



^Ai.C'i (/',,/',) . . . (Vil) 



waarin de koefficienteii C',- allen positief zijn, en in het algemeen 
met toenemende waarden van Pi en Po aangroeien. 
De eersten dezer koeflficienten zijn: 

Co=e \ 

_ 8P,^ + öPi,p2, + 2Pi i 

^ 2mE . . (VIII) 

.. ^ (Pi + Pi Ï' (5 P? + 10 Pi P2i + 2 P .^) \ 
'^ 2m^eE-^ \ 

enz. 

Speciaal voor cirkelvormige banen (Pi := U) wordt de formule 
voor de energie : 



m é- E' 
« -^ — 



^-^eAA-^) (IX) 



'2P, 

Gaat men van de formule voor de energie over op de spek- 
traalformule, dan vindt men: 

i'^=Vq — A^ (X) 

waar ^o de lijnen der gewone reeksen geeft (zie § 17), en A r, zoo 
de Ai positief zijn (aantrekking door de omringende molekulen), 
een positief bedrag is, dat de verschuiving van de lijnen naar de 
roode kant van het spektrum bepaalt. 

Voor cirkelvormige banen is de volledige spektraalformule : 

•In^méE^ / 1 1 \ ^ , (n')--2^— ('/i")2i 



K^ 



/ 1 1 \ ^ (n')-^--( riT .XD 

KjJ^z— n'-'7 ^ ' mi ei Ei ' ' ^^ ^ 



n' heeft betrekking op de oorspronkelijke baan; n" op de eind- 
baan ; dus is n' > n". 

De verschuiving neemt toe met het rangnummer der lijn in 
de reeks. 

De grootte der verschuiving hangt af van de grootte der koef- 
ficienten Ai. ' 



HOOFDSTUK IV. 
SY8TEMEfJ MET MEEEDERE ELEKTRONEN. 



§ 26. ALGEMEENE BESCHOUWINGEN. 

De in het vorige hoofdstuk besproken problemen liebben bijna 
alle betrekking op een zeer speciaal geval van het vraagstuk 
der atoomstruktuur : nl. de beweging van één enkel elektron 
om een atoomkern. De verkregen resultaten kunnen voor het 
meerendeel slechts worden toegepast op waterstof en positief 
geladen helium; bij andere elementen kunnen ze in enkele ge- 
vallen als een eerste benadering dienen. 

Het is natuurlijk van het grootste belang dat ook de bewe- 
gingen van elektronen in ingewikkelder systemen bestudeerd 
worden; eerst hierdoor kan men hopen een inzicht te krijgen 
in den bouw der atomen, en in bet periodiek systeem en de 
vele daarmee samenhangende vraagstukken. 

De studie van deze systemen imt meerdere elektronen biedt 
echter buitengewoon groote moeilijkheden; er is ook nog be- 
trekkelijk weinig ovei' onderzocht, terwijl het karakter dezer 
onderzoekingen geheel anders is dan dat van die welke op wa- 
terstof betrekking hebben. Een algemeene berekening der be- 
wegingen zooals in hoofdstuk ITl voor een enkel elektron gegeven 
wei-d, is vooi- een systeem met meerdere elektronen tot nog toe 
onmogelijk : nicn liceft hier te doen met problemen der beweging 
van n lichamen, waarvan de oplossing nog niet gevonden is. 
Ook omtrent het algemeene karakter der oj)lossingen (vooral wat 
betreft de stabiliteit) is zoo goed als niets b('k(>iid i). 

') Bij de eloktruiu'iibewegiug is de moeilijkheid in sommige opzichten nog 
grooter dan bij de astronomische problemen: 



§ 26.] SYSTEMEN MET >[EKRDERE ELEKTRONEN. 135 

Men moet zieh hier tevreden stellen met partikuliere oplos- 
singen der bewegingsvergelijkingen ; hierbij komen in de eerste 
plaats in aanmerking de z.g. „periodieke soluties" en de soluties 
in de nabijheid hiervan, welke ook voor de theorie der plane- 
tenbeweging van zoo groot gewicht zijn i). 

Zeer belangrijk is de vraag naar de stabiliteit der bewegingen. 
Men kan de stabiliteit van uit twee verschillende gezichtspunten 
beschouwen, welke als volgt gekarakteriseerd kunnen worden : 

(1) in aansluiting aan H. Poincaré, Mécanique Geleste III, 
p. 141: 

Bewegingen heeten stabiel indien aan de volgende voorwaar- 
den is voldaan: 

a) geen der elektronen verwijdert zich tot in het oneindige; 

b) geen der elektronen valt op de kern: m. a. w. de afstand 
kern — elektron kan niet beneden een zekere eindige grenswaarde 
dalen ; 

c) het systeem passeert een onbegrensd aantal malen wille- 
keurig dicht langs de oorspronkelijke ligging 2). 

(2) Men kan vragen naar de stabiliteit van een partikuliere 
oplossing (welke oplosssing zelve stabiel is in bovengenoemden 
zin) tegenover kleine storingen der beweging. 

Als definitie van stabiliteit kan men hier gebruiken : een op- 
lossing is stabiel tegenover storingen, indien de gestoorde baan 
zich nergens onbegrensd ver van de ongestoorde verwijdert •^). 



a) De massa's van de elektronen zijn wel zeer klein t.u. van de massa van het 
centrale lichaam, maar de ladingen die de onderlinge krachten bepalen zijn van 
dezelfde orde van grootte als de lading van de kern. 

b) Vermoedelijk is de moeilijkheid ook grooter doordat de elektronen onderling 
elkaar afstooten. (Vergelijk in verband hiermee ook een opmerking van J. W. 
NiciioLsoN, Phil. Mag. 27, p. 546, 1914). 

1) Vergelijk b.v. E. T. Whittaker, Anal. Dynamics, p. 386. 

») Is alleen aan (1), c) voldaan, dan heeft men „stabilité a la Poisson" (zie 
Poincaré, l.c). Dit treedt op als in de reeksontwikkelingen voor de koordinaten 
termen van den vorm : a. t. mi (h. f -\- €) voorkomen. 

») Over de verschillende definities van de stabiliteit van een bepaalde oplos- 
sing tegenover storingen vergelijke men: Ki.kin-Sommerfeld, Theorie des Krei- 
sels, p. 343, vgl. Als strenge definitie geven zij : Een beweging is stabiel in 
den zin van (2) als ze overeenstemt met de limiet waartoe de gestoorde bewe- 
ging nadert, indien de storing onbegrensd afneemt fl.c. p. 350). 

Omtrent de definitie van stabiliteit met behulp van de ..karakteristieke expo- 
nenten" vergelijke men: Whittaker, l.c. p. 400; H. Poincaré, l.c. I. Zie ook 
beneden, bl. 141. 



136 SYSTEME>; MET MEERDERE ELEKTRONEN. [§ 26. 

Het is duidelijk dat de bewegingen der elektronen in een 
atoom stabiel moeten zijn in den zin van definitie (1), o})dat 
men van een stationnairen bewegingstoestand kan sjtreken. In 
de tweede plaats komt dan in aanmerking of deze bewegingen 
stabiel zijn tegenover kleine storingen. 

De in hoofdstuk III beschouwde problemen l)ezitten een alge- 
meene klasse van oplossingen (approximatief te karakteriseeren 
door de negatieve waarde van de totale energie) welke stabiel 
zijn in den zin van definitie (1) i). Deze oplossingen vullen in 
de ruimte der integratiekonstanten een 2/-dimensionaal gebied 
van eindige grootte kontinu, zoodat alle oplossingen in de nabij- 
heid van een stabiele oplossing eveneens stabiel zijn. Hieruit 
volgt dat elke oplossing ook stabiel is in den zin van definitie (2), 

Bij het probleem der beweging van u elektronen kan men geen 
dergelijke algemeene groepen van oplossingen aangeven welke 
in den zin van (1) stabiel zijn; men kent slechts enkele partiku- 
liere periodieke soluties. 

De meest onderzochte hiervan is de volgende-): 

Alle elektronen (aantal := s) staan op onderling gelijke afstanden 
langs een cirkel om de kern, en loopen met dezelfde hoek snel- 
heid 0} rond. Tusschen de straal van de ring R, de lading van 
de kern E = Ze en de hoeksnelheid ca bestaat de betrekking: 

-^ \Z—G,,\ rrzviofi R (1) 

waarin : 



" X ^osec-; 3) 4) (2) 



(• = 1 



•) De in § 21 vermelde rechtlijnige „Pendelbalinen" voldoen naar het schijnt 
niet aan (1), ö). Deze banen zijn echter nog bijna niet onderzocht. 

^) Deze oplossing is bestudeerd door: 

H. Nagaoka, Phil. Mag. 7, p. 445, 1904; J. W. Nicholson, Monthly Notices 
Roy. Astr. Soc. 72, p. 45), 135», 677, 729 (1911/12); 74, p. 204, 425, 486 (1913/14); 
N. Bonn, Phil. Mag. 26, p. 1, 476, 1913; L. Püi'pl, Phys. Zeitschr. 15, p. 707, 
1914. Bovendien zijn ze reeds door J. J. Thomson onderzocht in verband met 
het door hem uitgewerkte atoommodel, Phil. Mag. 7, p. 237, 1904. 

(Volgens NicHoi.soN heeft Naoaoka eenige fouten in zijn berekeningen ge- 
maakt. Cf. J. W, NiCHOi.soN, Monthly Not. 72, p. 687, 1911/12). 

') Zie voor de waarden van a.s een tabel l)ij N. Boiir, 1. c. 

*i .\ndere periodieke soluties. 

(1) Alle elektronen staan steeds op onderling gelijke afstanden van elkaar en 
op gelijke afstanden van de kern; ze beschrijven onder invloed van de resul- 



§ 26.] SYSTEXÏEN MET MEERDERE ELEKTRONEN. 137 

Men heeft de stabiliteit dezer oplossing tegenover kleine sto- 
ringen onderzocht, en gevonden dat, indien men tenminste dit 
probleem volgens de klassieke mechanika mag behandelen, ze 
instabiel is voor s>>l. 

Deze onderzoekingen zullen in § 27 kort besproken worden. 

Behalve het geval dat alle elektronen op één cirkel loopen 
zijn ook onderzoekingen gedaan over de beweging van meerdere 
ringen van elektronen, doch deze hebben alle een meer quali- 
tatief karakter i). 



Opineikingen over de invoering der quanten voorwaarden. 

In verband met hetgeen over de berekening der l)anen is ge- 
zegd, is het duidelijk dat de quantenvoorwaarden niet op een 
zoo algemeene manier kunnen worden ingevoerd als in hoofdstuk 
II en III is gedaan, temeer daar niet bekend is in hoeverre de 
banen quasi-periodiek (stabiel in den zin van def. (1)) zijn. Men 
moet hier dus genoegen nemen met speciale onderstellingen. 

NicHOLSON en Bohr -) hebben voor de bovengenoemde bewe- 



teerende attraktie e^ (Z—os)lr'^ allen elliptische banen, welke banen kongruent zijn, 
en door een draaiing van 27r/s om de kern uit elkaar afgeleid kunnen worden, 
terwijl de elektronen op overeenkomstige punten dezer ellipsen staan. Cf. N. 
BoHK, Phil. Mag. 26, p. 21, lOK}; J. ^V. Nicholson, Phil. Mag. 27, p. 557, 1914. 

(2) J. W. NiCHOLSON heeft periodieke oplossingen gegeven waar de elektronen 
in verschillende vlakken rondloopen. Monthly Notices 74, p. 434, 1914; Phil. 
Mag. 27, p. 5G0, 1914. ('Aia lig. G, bl. 153). 

Deze periodieke oplossingen vertoonen eenige analogie met de periodieke op- 
lossingen van Lapl.vce voor het drielichamen-probleem (verg. Whittakkk, Anal. 
Dyn. p. 390). 

1) N. Bohr, Phil. Mag. 26, p. i^S, 1913; J. W. Niciiui.sok, Phil. Mag. 27, 
p. 541, vgl., 1914. Voor het TiioMSON-mode.l: J. J. Thomson, Phil. Mag. 7, 
p. 253, vgl., 1904. 

Een speciaal probleem is door Sommerfeld uitgewerkt met het oog op de 
theorie der spektra: dicht om de kern beweegt zich een ring van u elektronen, 
waarvan het elektrisch veld op grooten afstand vervangen mag worden door dat 
van een gelijkmatig elektrisch geladen ring. In het veld van de kern en van deze 
ring beweegt zich één enkel elektron. Dit probleem heeft, zoo men de beweging 
van de ring als onveranderlijk gegeven beschouwt, groote analogie met de in 
111 besprokene, en kan op dezelfde wijze behandeld worden. Het is aan Sommer- 
feld gelukt hiermee de spektraalformules van Ryduero en van Eitz af te leiden 
(Sitz. Ber. Bayr. Akad. p. 131, 1916). (Zie §28). 

2) J. W. NiCHOLSON, Monthly Notices 72, p. 679, 1912; 74, p. 215, 429, 
1914; N. Bohr, Phil. Mag. 26, p. 24, 1913. 



138 SYSTEMEN MET MEERDERE ELEKTRONEN, [§ 26. 

ging van ^s elektronen in een cirkel de voorwaarde ingevoerd 
dat het moment van hoeveelheid van beweging van elk elektron 

een geheel veelvoud is van ^ : 

h 
Pa, rr mr^ fp = m R' lo = /t _— i) (3) 

In den normalen toestand is n:=l. 

Door de invoering dezer voorwaarde is de absolute grootte 
van het systeem vastgelegd. 



Zooals boven reeds is opgemerkt, is deze oplossing niet stabiel, 
speciaal tegenover storingen iit, het baanvlak. Bohr heeft nu het 
vermoeden uitgesproken dat voor de berekening dezer stabiliteits- 
problemen de klassieke mechanika niet meer geldig zou zijn, en 
dat ook hier de quantenvoorwaarden een rol zouden spelen, in 
dien zin dat slechts storingen kunnen optreden welke de quanten- 
voorwaarden onveranderd laten ^). 



1) Opmerkitiff. 

De beweging van het systeem is exakt periodiek; men zou dus in aansluiting 
aan i> 14, slot (form. 11) als (|uantenvoorwaarde kunnen invoeren: 











Nu is: 


2T = 2T 


— ■''• -j'q ■ <i - •'•■•/v •"' ' 


(1) 

271 


dus: 









WowK neemt steeds: «, = geheel veelvoud van s =i n. s. (Nifiioi.soN doet dit niet 
altijd: cf. iVionthly Notices 72, p. (ïHO, 1912.) De vraag rijst of dit noodzakelijk 
is? Als tegenvoorbeelden zou men kunnen aanvoeren: 

1) bij hét probleem van de beweging van een elektron om een niet vaststaande 
kern (§ 18) quantiseert men het totale moment van hoeveelheid van beweging 
van kern plus elektron, en niet dat van elk afzonderlijk. 

2) In de theorie der soortelijke warmte van vaste lichamen (Einstüin, Deüve, e.a.) 
([uantiseert men elke hoofdtrilling van het atoomraster in overeenstemming met 
de formule van Pi.anck (energie/frequentie = t/ . li) zonder de voorwaarde in te 
voeren dat n een veelvoud moet zijn van het aantal atomen in het raster (dit 
laatste zou tot geheel afwijkende resultaten voeren). [Zie ook opmerking 6 bij 
§36.] 

ï) N. BoiiR, Phil. Mag. 26, p. 1, vgl., 1913. 



§ 26.] SYSTEMEN MET MEERDERE ELEKTRONEN. 139 

Bij het bovenstaiinde probleem zou dan elk elektron steeds 
hetzelfde moment van hoeveelheid van beweging: 

X>^ — mT-q^—~ (0=^) 

moeten behouden. Voert men dit als een kinematische relatie 
in, dan blijkt in een aantal gevallen de instabiliteit te verdwijnen i). 

Zoodra men echter de quantenvoorwaarden op deze manier 
gaat gebruiken, komt men voor vele moeilijkheden te staan, 
waarvan de oplossing nog niet gevonden is. Vooral doet zich 
hier het gemis aan een algemeen grondprincipe gevoelen, zoodat 
er groote onzekerheid is omtrent den te volgen weg. 

In verband hiermee kan het misschien van nut zijn nog eens 
de in hoofdstuk II en IJl behandelde systemen te beschouwen. Bij 
deze systemen was ondersteld dat men een groep van oplossingen 
kende welke stabiel zijn in den zin van def. (1) ; elke dezer op- 
lossingen is stabiel in den zin van def. (2). De stabiliteit bestaat 
hier dus onafhankelijk van de quantenvoorwaarden (inderdaad 
werd geëischt dat de bewegingen stabiel waren opdat de quan- 
tenvoorwaarden konden worden ingevoerd). 

Men kan nu bij deze systemen de voorwaarde invoeren : slechts 
die bewegingen zijn mogelijk welke aan de quantenvoorwaarden 
voldoen. 

De bewegingen zijn gekarakteriseerd door de 2/ integratiekon- 
stanten Pi .... Pf éi .... èj (zie § 10) ; door de quantenvoorwaarden 
zijn Pi ... . Pf vastgelegd, dus kunnen slechts de fazekonstanten 
ei .... e f veranderen. De kleine trillingen van het systeem om een 
bepaalden bewegingstoestand zijn derhalve in deze onderstelling: 

dPi = 8Pot^ .... ÓP/ = O 

d Qi zn konstante 

f5 Q2 ^= konstante ■ ... (4) 



\ 



d Qf = konstante 

(N.B. : fU}i = . . . . d Qj - 0). 

Het systeem blijkt indifferent te zijn tegenover de nog toegelaten 
storingen. 



') L. Föppi., Phys. Zeitschr. 15, p. 707, 1914. Deze „verbindingsvergelij- 
king" (kinematische relatie) heeft een niet-holonoom karakter. (Over trillingen 
van niet-holonome systemen zie men: Whittaker, Anal. Dynamics, p. 221). 



140 SYSTEMEN MET MEERDERE ELEKTRONEN. [§ 26. 

Indien men to doen heeft met een geval xan ontaarding zou 
men sleelits de ƒ — l geqnantiseerde P's kunnen vasthouden. Dan 
zijn de trilHngen: 

,) P ■ = konstante (j = ƒ — /. -f 1 • ■ • ƒ) (5) 

i) Q/. == konstante (^ ^= 1 . . . ƒ ) i 



U(jk in 'dit geval is het systeem indifferent tegenover de toege- 
laten storingen i). 

{Voorbeeld: Bij de elliptische beweging van een elektron om 
een atoomkern is alleen de groote as van de baan vastgelegd; 
elke naburige baan met dezelfde groote as kan opgevat worden 
als een kleine trilling om deze baan.) 

Bij het probleem van de beweging van s elektronen in een 
periodieke baan om de kern kan men zich nu ook denken dat 
slechts die storingen toegelaten zijn welke de ingevoerde quan- 
tenvoorwaarden onveranderd laten. Men komt dan echter onmid- 
dellijk op de vraag: w^elke zijn de ingevoerde quantenvoorwaarden ? 
Is (speciaal voor het bovenstaande probleem der beweging in een 
cirkel) de voorwaarde (3) of (3*) de eenige, of moet men niet even 
goed de voorwaarde dat de baan een cirkel is, en dat ze in een 
])lat vlak ligt, als quantenvoorwaarden opvatten van den vorm : 



!' 



-<^> 



dr — O 
/ 



ƒ 



p- dz 



,\ 



<-> 



(voor elk elektron). 



(ö) 



Dan zouden de trillingen nog meer beperkt worden dan door 
de voorwaarde van Bohr gedaan wordt, en hot zou niet onmo- 
gelijk zijn zooveel quantenvoorwaarden in te voeren dat voor de 
nog toegelaten storingen het systeem indifferent is evenals boven. 

Om deze kwestie nog eenigszins nauwkeuriger te onderzoeken 
kan men als volgt te werk gaan: 

Aangenomen men kent een partikuliere periocUekc solutie der 
bewegingsvergelijkingen. Dan kan men met behulj) van een door 

' ) Hiermee hangt samen dat de toegelaten storingen de energie onveranderd 
laten. 



§ 26.] SYSTEMEN MET MEERDERE ELEKTRONEN. 141 

PoiNCARÉ 1) gegeven methode de Holiities in de nabijheid hier- 
van onderzoeken. Zij de periodieke sokitie : 

gi = </<(0; Pi=n>i(t) (") 

waar <fj en ij-'i periodieke fnnktie.s van t zijn met de periode: 
T=: . De naburige oplossingen hebben dan den vorm: 



(O 



2/ 



1 / 

Hierin zijn q . . . . ^2/ integratiekonstanteii (welke de amplitu- 
den en fazen der storingen bepalen) ; «i . . . . «o/ zijn de z.g. „karak- 
teristieke exponenten:' welke funkties zijn van de parameters die 
de periodieke solutie bepalen, doch onafhankelijk zijn van de r's. 
De Si]t en S^iu zijn periodieke funkties van t, met de periode T. 

PoiNCARÉ heeft aangetoond dat indien de bewegingsvergelij- 
kingen een kanonisch systeem vormen, en indien de funktie van 
Hamilton de tijd t niet expliciet bevat — wat in het beschouwde 
probleem ondersteld wordt — de karakteristieke exponenten twee 
aan twee gelijk en tegengesteld zijn, en dat één paar gelijk nul is ~). 

Aangenomen is verder dat de paren van karakteristieke expo- 
nenten verschillend zijn ^). 

De voorwaarde voor de stabiliteit van de beschouwde periodieke 
solutie (de „solution génératrice") tegenover storingen is dat 
alle karakteristieke exponenten zuiver imaginair moeten 'zijn. 

(1) Ondersteld wordt vooreerst dat dit het geval is, zoodat de 
„solution génératrice" stabiel is. 

Indien men (in overeenstemming met het hierboven opge- 
merkte) aanneemt dat «a- == — «a.- -i- ƒ = ^k \^ — 1» en dat «j = «/ -y i 
= O is, kan men stellen : 

Q^ = O) t-\- konstante ) .q^ 

Qi^ r= coa ^ + konstante (k^=2 . . . ƒ ) I 



') H. PoiNCARÉ, Mécanique Céleste 1, p. 162, vgl. 
Zie ook: Whittakki!, Anal. Dynamics, p. 400. 
ï) Er is (lus steeds eeii storing waar tegenover het systeem indifferent is. 
3) Indien dit niet het geval is krijgt men termen van den vorm : /" . e" ..S'. 



142 SYSTEMEN MET MEERDERE ELEKTRONEN. [§ 20. 

In de formules (8) kan men de exponentieele funkties van t 
vervangen door goniometrisehe funkties van de Q's; ze zijn dan 
in den vorm te schrijven: 

üi = 2 ^n,. ^jj^ rn Q.-i- 

■f- + =^ ■ l COS 






X-^' ■ 1 cos ) ^, , 



cc 
/ + o. 



(10) 



cos 



+ X /A- X (5aJ* . '/, (m r^i + Q.) 

/• = 2 — cc ' ' ; 

Het eerste stuk van de rechterleden dezer vergelijkingen be- 
vat de funkties (jfj en i/'.j-, en de storing waartegenover het systeem 
indiflerent is; de (ƒ — 1) reeksen van het tweede stuk bevatten 
de overige storingen. De konstanten //, bepalen de amplituden 
der storingen ; deze worden verondersteld klein te zijn, evenals 
boven met de r/,. het geval was. De grootheden A, A'^% B, B* 
zijn konstante funkties van de parameters der oorspronkelijke 
periodieke oplossing. 

Men kan nu in overeenstemming met de in hoofdstuk II be- 
sproken principes de Q's als hoekvariabelen opvatten, en de 
grootheden invoeren : 

2 TT 

o 

(zie § 11). Dan is het duidelijk dat Pi,-{k=:^2 . . .f) gi'Hjk is 
aan (//,)'- maal een funktie van de parameters der „solution 
génératrice" ; terwijl in Pi de /'s alleen als kwadraten (/a)- 
voorkomen, tezamen met deze parameters. 

Men zou nu als (juantenvoorwaarden kunnen invoeren: 

Pk = nJ^ (12) 

De quantengetallen rio . . . .Vf bei)alen de amplituden der kleine 
Irilhiigcii nm tic „solution génératrice". Deze zelf is gekarakte- 



§ 26.] SYSTEMEN MET MEERDERE ELEKTRONEN. 143 

riseerd door : 71-2 =: n3 = . . . . n/ ^= O, terwijl de grootte van de 
baan vastgelegd wordt door ïh i). 

Drukt men de energie uit als funktie van de P's, dan krijgt 
men een formule van den vorm : 

a:=K{P) = Ko{Pi) + ^c^KPk ^^ (13) 

wnar : 



dpl 

Uitgedrulct als funktie der quantengetallen 



« = «o("i) + 2l ^'^ki'ih) .11},- ^ (13a) 



TT 



In dit geval is de quantiseering van het systeem tenminste 
principieel uitvoerbaar. 

Stelt men nu evenals boven de voorwaarde dat slechts die 
storingen toegelaten zijn welke de quantenvoorwaarden onver- 
anderd laten, dan zijn in de onmiddellijke nabijheid der oor- 
spronkelijke periodieke solutie geen kleine trillingen mogelijk, 
behalve de indifferente storing: 

.)Fr=0 ] 

;'2=/3 = .../A:=-0 (14) 

^ Qi z=: konstante ] 

Pas op „grooteren afstand" hiervan krijgt men de bewegingen 
waarvoor : 



') Men dient hierbij na te gaan of bij een bepaalde waarde van P, (b.v. 
„ As) voor Pk = b.v. ' (Z=2.../) de amplituden yk der storingen vol- 

2 TT 2 TT 

doende klein zijn tegenover de bewegingen m de oorspronkelijke oplossing. 

Is dit niet het geval, dan zou men de variatie-vergelijkingen welke voor de 
afleiding der naburige soluties dienen (cf. Poincaré, 1. c. en Whittaki:r, 1. c.) 
tot op hoogere machten van de storingen moeten ontwikkeien om nauwkeuriger 
oplossingen te krijgen. De reeksen (^10 ^ worden dan minder eenvoudig: er komen 
termen van den algemecnen vorm : 

^cos^ 



^"'' ••••«ƒ• sin! ^"'' ^'^ "'^^•^''' 



m voor. 

*) Dit is eigenlijk het begin van een reeksontwikkeling naar opklimmende 
machten van P, P, (Vergelijk Wiiittakki!, 1. e. Ch. XVI). 



144 SYSTEMEN MET MEERDERE ELEKTRONEN. [§ 26. 

P, = n,h/2n (7. = 2... f) 

is, welke eerst door storingen van bepaalde, eindige grootte kun- 
nen worden opgewekt i). 

(2) Indien sommige der kurukteristieke exponenten reëel of 
komplex zijn, is de oorspronkelijke periodieke oplossing instabiel. 
In dit geval komt men weer op de moeilijkheid van bl. 138/139. 

Misschien zou men hier den volgenden weg kunnen inslaan : 

Men voert zoovele hoek variabelen in als er imaginaire «'s 
zijn (m. a. w. zooveel als het aantal der stabiele en der indiffe- 
rente trillingen bedraagt); hiervoor tracht men quantenvoor- 
waarden o}) te stellen op dezelfde wijze als boven gedaan is. 

Dan moet getracht worden cjuantenvoorwaarden te vinden 
voor de instabiele bewegingen, welke bij de reëele «'s behooren. 
Of dit mogelijk is, en hoe dit zou moeten geschieden kan ik 
echter niet zeggen ; misschien zal de door Epstein gegeven 
quantiseering van de hyperbolische beweging ~) hierbij een vin- 
gerwijzing kunnen geven. 

Onderstel evenwel dat dit gelukt, en dat W2 . . . n,- de quan- 
tengetallen zijn voor de stabiele trillingen; nr+i.-.n/ die voor 
de instabiele bewegingen; terwijl de oorspronkelijke solutie ge- 
karakteriseerd is door Til. 

Voor de oorspronkelijke periodieke oplossing, en voor alle sta- 
biele bewegingen in de omgeving ervan, heeft men dan: 

Ur+i = n, +2 = n./ =: 0. 

Zal een instaljielc beweging optreden, dan moeten een of meer 
dezer quantengctallcn itr+i ■ ■ ■ n/ van O op een. of ander geheel 
getal springen ; deze instabiele bewegingen zullen dus — evenals 
boven reeds omtrent de stabiele is opgemerkt — eerst door 
atorinf/en van een bepaalde eindige grootte kunnen worden opge- 
wekt. 



') UiH in ovcrceiisteniiiiiiif,' te blijven met de idecrn van hoofdstuk TT zon men 
moeten aannemen dat deze soliities kunnen optreden wanneer op het systeem 

lichttrillingen van een der frequenties: r^. = ^^ {/.■ — '!.../ } vallen, waaruit 

het systeem „energie-quanten" kan opnemen. Zie "Noot I hij lUzc !;;. 
ï) Vergelijk" boven 1:^ If), b). 



^ 2').] SYSTEMKN MET ^rKERDERK Er.EKTRONEN. 145 

Hierdoor zou de stabiliteit tenminste eenigermute verzekerd 
zijn ; het blijft dan een kwestie van verder onderzoek of de sto- 
7'ino-en welke de instabiele bewegingen doen ontstnnn yoo] zullen 
voorki^inen, of dat ze zeer zelden o))troden '). 



Het bovenstaande geeft geen direkt antwoord op de vraag of 
men de quantenvoorwaarden als kineniatische relaties moet in- 
voeren. 

- De boven gevolgde metbodo kan men in liet kort aldns karak- 
teriseeren : 

Bij de berekening der bewegingen is nergens een quanten- 
voorwaarde als kineniatische relatie gebruikt; de quantenvoor- 
waarden zijn eerst opgesteld nadat het probleem geheel uitge- 
werkt was volgens de formules der klassieke mechanika. Daarna 
is ondersteld dat het systeem slechts de door de quantenvoor- 
waarden gegeven bewegingen kan uitvoeren en geen andere. 
De „mogelijke" bewegingen van het systeem vormen dus geen 
kontinuë verzameling; dit heeft tengevolge dat er storingen van 
eindige grootte noodig zijn om het systeem uit de ,eene „moge- 
lijke" beweging in een andere „mogelijke" beweging te doen 
overspringen. 

Het probleem van de stabiliteit heeft hierdoor dus een geheel 
ander karakter gekregen. [Zie Noot II bij deze §.] 

Wil men echter, zooals b.v. door Föppl 2) is gedaan, de 
quantenvoorwaarden invoeren als kinematische nevenvoorwaarden 
bij het onderzoek naar de trillingen in de nalnjheid van een 
periodieke solutie, dan zou men naar mij toeschijnt ze ook reeds 
onmiddellijk bij de oorspronkelijke bewegingsvergelijkingen in 
rekening moeten brengen; hierbij kan men echter op het be- 
zwaar stuiten dat men eerst het probleem moet o])l ossen om de 
quantenvoorwaarden te leeren kennen. 

In dit geval zou het waarschijnlijk noodig zijn de gi-ondvor- 



') Bewegingen waarvoor de quantengetallen der instabiele „trillingcu" «,. , ^. . . w ^. 
niet allen = O zijn, moeten misschien worden opgevat als een dissociatie van het 
systeem. Vergelijk een opmerking van J. W. Niciioi.soN, Monthly Notices 72, 
p. 690, 1912. 

2) L. FiiiM'i,, Phys. Zeitschr. 15, p. 707, 1914. 

10 



146 SYSTEMEN .MET MEERDERE ELEKTRONEN. [§ 26. 

(;el ij kingen der meehanika geheel te wijzigen: <)]> wal. voor wijze 
«lit iiioi't geseliieden is evenwel nog onbekend ') -). 



Bij al liet l)oven besprokene is nog niet gelet op de moeilijk- 
beden van elekii'omagnetiseben aai'd, welke bij deze i)roblenien 
natiuirlijk even zoo optreden als bij de beweging van een enkel 
ek^ktron. In de nitgewerkte problemen heeft men steeds (]o nit- 
straling door de bewegende elektronen verwaai-loosd en liecl'l 
men g'eini rekc^ning gebonden mei de rcaktie van hel eigenveld 
op elk elektron '■'). 



Noot 7. 

Opvierkriifi 'm verJxiiuJ met forimdcf^ (IH) en (ISa) van hl. 143. 
Volgens bl. 1 bl viiidi men vooi' de i-nei'gie van een beweging 
iii de nabijlicjd eener periodieke sohitie : 

«r:r7r(/^) = /^,(Pl) + i:-/,/V+ (I). 

of nitgedinkt in de cinantengetallen : 

« = «oK) + 2'"''('"i) -'^A-o h (TT) 

1} A TT 

' ) Indien de grondvergelijkingen der meehanika gewijzigd worden zouden ook 
de berekeningen van hoofdstuk II en FIT op geheel andore hasis moeten worden 
gegrondvest. 

*) In verband met het boven besprokene lijkt me vooral het invoeren van de 
voorwaarde : . 

/y^, = /// /-ï ./ ^ — //j-J :r = Iconstante 

als de eenige kinematische relatie niet goed te verdedigen. 

Zie in verband hiermee nok de npiiierkinü- in noot 2\, l)l. if)!. ,,v("r het stalii- 
liteitskriterium van Bonn. 

•') Het verwaarloozen van de uitstraling is bij systemen met meerdere elek- 
tronen beter te reelitvaardigen dan bij een systeem met sleidits 1 elektron, daar 
de onderzoekingen van .1. .1. Thomson en (t. A. Sciiott aangetoond hebben dat 
de uitstraling zeer L;i'ring wordt, zoo de vektor-soni van ile versnellingen der 
elnkti^onen nul is. 

[*>ij een riug van elektronen is de straling des te geringer naarmate de ring 
meer elektronen bevat; zie bl. 4, noot * l. 



§ 26.] SYSTEMEN' .\[ET MEEKDEKE ELEKTRONEN. 147 

Onderstelt men nu dat liet systeem lichttri Hingen kan uitzen- 
den of absorbeeren bij een verandering der qnantengetallen van 
de waarden )i\ u'.j .... n'/ naar de waarden n"i n"-2 .... n"/-, vol- 
gens de hypothese van Bohr, dan vindt men nit (TI) voor *\o 
spektraalformnle : 

_ «o (^'i ) — «o ("-"i ) , ^ n'k • ^'J k{n'i) — n"i, . (-j/, („'\ ) 

h "^ 4^ 27r "*"••' '"" 

Tndien nioii aanneemt dat do waarde van //] vod oi'oob-r is 
dan die van iio n-.] . . . 'iij-, en men: 

ïi', — n",=:An, (IV) 

stelt, kan men formule (III) in eerste approximatie vervangen 
door : 

r =: — — - . A '/>., + 2^ - -f . . . . =: 

= ^r;.Sn;^.... 2) (V) 



De frequenties die het systeem uitzendt volgens de h^'pothese 
van Bohr zijn dus in eerste benadering dezelfde als de frequen- 
ties der bewegingen in het systeem met al hun boventonen en 
kombinatietonen 3). 

In twee opzichten is dit resultaat merkwaardig: 
A) Nif'HOLSON heeft voor verschillende eenvoudige atoommo- 
dellen de kleine trillingen om een jxii'iodieke solutie (eenjiarige 



'j De hoogere termen dezer formule hebben minstens den f'aktor //. 
*) Men heeft: 

{ [«oKi)-«o(H"i)] = 2^1 • ^ "■' - S k /p, ^^ "^^'+ • • • 

Il d O),- 

«i {n'x ) — O}; (n"i ) = 2T yp -^ " i + 

Alle hoogere termen van formule iV) zijn dus minstens vcnin'iiigviildigd met 
den iaktor //. 

3j Vergelijk iu verband hiermee bl. fiS en § 32. 



148 SYSTEMEN MET MEEKDERE ELEKTRONEN. [§ 26. 

cirkelbeweging der elektronen) onderzocht i). Hij onderstelde dat 
het systeem — volgens de klassieke theorie — liehttrillingen 
zou uitzenden die dezelfde frequenties hebben als de bewegingen 
in het systeem, zoodat liij hot spektrnm van het systeem kon 
berekenen. 

Volgens het ])Ovenstaande komt men door de hypotliese van 
BoHR toe te passen in eerste benadering tot dezelfde frequenties 
voor de uitgezonden liehttrillingen, zoodat het misschien mogelijk 
zal zijn de merkwaardige resultaten waartoe Nicuolson gekomen 
is, ook met behulp der quantentheorie te interi)reteeren ^). 

B) Uit de formule (V) blijkt dat de frequenties der kleine 

trillingen ri^.=:~^ o.a. ook gekombineerd moeten worden met 

de frequentie i'i = -^ — der grondperiode (periode der oorspron- 

kelijke periodieke solutie). 

Dit treedt ook oj) in de algemeene uitdrukkingen voor de 
koordinaten als funkties van den tijd ; zie boven formule (10). 

Ook in dit opzicht ])lijkt dus het resultaat dat men vindt met 
behulp der (juantenformules en der hypothese van Boiir analoog 
te zijn aan lietgeen men uit de klassieke theorie zou afleiden. '^) 

Men vergelijke in verband hiermee : 

(1) J. W. Nk'HOLSon, Monthly Notices 72, p. 54 ("Periods rela- 
tively to a stationary observer") 1911/12. 

•) .1. \\. Nini..Ls<iN, Munthly N(.ti(H>,s 72, \k l'.l, 1.".'.», 1177, 12\) (1911/12); 

74, p. 204, 4s<j, 628 (1Ü13/14). 

2) Jii de (lour Nk^ikii.son hescluiuwde systemen is het quantengetal i/ , dat 
aan de grondperiode wordt toegekend vrij groot (b.v. 25, 22, IS; zie Monthly 
Notices 72, \k tj8(), lill2); dit is gunstig voor formule (V). 

2 ) In de meeste gevallen is de oorspronkelijke periodieke solutie een eenparige 
cirkell)eweging. Zij de tVrnuentie hiervan r,, en besclmuwt men ter vereenvou- 
diging slechts één kleine trilling met eigenrre([uentie ij (dit is de fre([uentie 
voor een waarnemer die met de oors})ronkelijke cirkelbeweging meeroteert), 
dan zullen volgens de klassieke theorie de uitgezonden liehttrillingen voor een 
stilstaanden waarnemer in het algemeen de drie frequenties: 

''l i ''2 T" '■ 1 i ''2 '' I 

vertoonen. 

Volgens de formules der quantentheorie zullen de uitgezonden trillingen de 
frequenties bezitten : 



§ 26.] SYSTEMEN MET MEERDERE ELEKTRONEN. 149 

(2) A, SoMMERFELD, EiiiG allgemeiiie Dispersionsformel .... 
Eister u. Geitel-Festschrift (Braunschweig 1915), p. 577. Zie be- 
neden bl. 214, noot 1). 

(3) De theorie van de spektra van roteerende molekiilen (klas- 
sieke opvatting: formule van Rayleigh-Bjerrum, en daartegen- 
over de opvatting volgens de quantentheorie, cf. J. M. Burgers, 
Versl. Akad. Amsterdam XXVI, p. 115, 1917. (Zie boven § 22). 



\_Noot IL 

De hier ontwikkelde opvatting van het ])rul)leeni der stabili- 
teit zou ik gaarne nog eens aldus willen samenvatten : 

In do klassieke meehanika beseliouwt men het gedrag van een 
beweging tegenover willekeurig kleine storingen. In de ([uanten- 
theorie zijn echter uillckcurUi hleine veranderingen van een be- 
wegingstoestand uitgesloten (bdialvc dan die tegenover welke 
het systeem indiftereiit is, vergelijk Wovcii ld. loi'j, zoodat de oude 
manier oin liet pi'obleem te onderzoeken hier vei'valt. Oneindig 
kleine storingen kuinicn (his de Ix'weging niet wijzigen. Waar- 
door dit wordt teweeggebi-acht is nog onbekend, voorloopig zal 
men dit als een liypothese moeten aannemen. 

De stabiliteitskwestie gaat nu in een geheel ander probleem 
over: in de vraag naar de kans op het voorkomen van bepaalde 
storingen van emdige grootte, dus in een probleem van waar- 
schijnlijkheid 1). 

Om deze storingen te leeren keinien, en speciaal om de ver- 
anderingen in de energie te berekenen, welke gepaard gaan met 
het overspj'ingen van de eene beweging in een andere, moet men 
alle quantenbewegingen in de nabijheid van de beschouwde op- 
sporen. Deze bewegingen zijn dan te splitsen in twee groepen, 
al naar dat ze stabiel of instaljiel zijn in den zin van de l'' de- 
finitie van bl. 135. 

In het algemeen zal men echter mogen aannemen, dat hoe 
grooter de quantengetallen zijn, hoe kleiner de relatieve sprongs- 
gewijze veranderingen in de energie moeten wezen, opdat de 

') Vermoedelijk zal onder deze storingen een belangrijke plaats innemen de 
inwerking van een stralingsveld. Omtrent de hypothesen welke men kan maken 
over de waarschijnlijkheid van het overspringen uit de eene beweging in een 
andere vergelijke men de in ij 33 besproken theorie van Einstkin. 



150 SY8TEMKX MET MEKRlJKRE ELEKTKUNEN. [§ 2G. 

]jt'\vef>ing omslaat in een andere, welke eventueel instabiel kan 
wezen. Men nadei't dus ook hier weer bij groote quantengetal- 
len asyni})totiscli tot de opvatting van de klassieke mechanika, 
volgens welke men oneindig kleine storingen der beweging in 
het oog moet vatten. 

(In verl)and met deze kwestie zij hier nog gewezen op een 
}>robleem dat er nauw mee samenhangt, en dat opgeworpen is 
door de dispersietheorie van Dedye en So.mmerfeld, nl. het mee- 
trillca der indahiele vrijheidsgraden van een systeem waarop periodieke 
vdlwendigc krachten werken. Men vergelijke hierover § 06, ojomer- 
king 5) (bl. 222).] 



§ 27. KORT OVERZICHT \MN DE ONDERZOEKINC^EN 

WIN B( )HR, NICHOLSON EN FÖPPL OVER 

SYSTEMEN MET RINOEN VAX ELEKTRONEN. 

A. St/stemcn met één. ring Dan deldroncn. 

Door NicHOLSOX is ^•evondeii <lal, iiidicn mcji geen iieveii- 
voorwaardeii iuvoert, een ring vun s elektronen InsiaJnel is tegen- 
over verplaatsingen in het baanvlak, tenzij s = l is i). 

BoHR voert als voorwaarde voor de stabiliteit in : de onder- 
zochte beweging is stabiel, indien de totale energie hierin kleiner 
is dan in elke nabnrige kontiguratie waarin elk elektron hetzelfde 
moment van hoeveelheid van beweging heeft. Hier wordt dus 
het konstant zijn van het moment van hoeveelheid van beweging 
als kinematische relatie ingevoerd 2). Door, Bohk is alleen een 



>) J. W. NicHOLSON, Monthly Not. 72, p. 677, vgl., 1912. 
2) N, BonK, Phil. Mag. 26, p. 23, 1913. 

Past men het door Boük gegeven kriterium voor de stabiliteit toe op een 
systeem bestaande uit een kern met één elektron, zooals in hoofdstuk III onder- 
zocht is, dan komt men tot het resultaat dat alleen ccii cirkelvormige beweging 
dahiel is, doch geen elliptische beweging. 

Volgens formules (5\ (6j, (12) van 4^ ! 7 kan men voor de totale energie schrijven : 

_ w. e^ E^ 

waar: P% — moment van hoeveelheid van beweging; 



(1\ -{• F% =P, ^^ I '^meËa, waar a.. =^ groolc as van fle el lip- . 
J)e waarde van de energie is dus bij gegeven waarde van hi( inoiiienl van 
hoeveelheid van beweging P\ een iiiiniiniini voor: 

wat slechts het geval is voor cirkelvormige banen. 

Houdt men rekening met de relativistische korrekties, dan lilijft liij benadiTing 
hetzelfde gelden. Toch moet men zeker aannemen dat er elliptische banen met 
eindige excentriciteit voorkomen, om de dctailstruktuur iler spektraallijneii te 
verklaren (Sommeki'Ei.k, Ann. d. I'liys. 51, |i. 1, vgl.. lüKJ). 



152 SYSTEMEN MET MEEKDEKE ELEKTRONEN. [§ 27. 

verundering van den straal der ring onderzocht i), waarbij de 
energie steeds bleek toe te nemen; hieruit konkludeerde liij dat 
de beweging stabiel is tegenover storingen in het baanvlak. 
Een nader onderzoek hierover is verricht door L. Föi'FL -). Föppl 
leidt het door Boiir gebruikte kriterium af uit een theorema 
van KoüTH, en gaat de stabiliteit van verschillende ringen na 
tegenover willekeurige storingen in het baanvlak. Is Ze de grootte 
van de kernlading, s het aantal elektronen in de ring, dan is voor: 

het systeem -stabiel als ^=^ 1 > '■^, '^, -Ij 5 ', 

voor grootere waarden van .s is het systeem slechts stabiel zoo 
de kernlacUng Z grooter is dan liet aantal der elektronen (b.v. 
sr=6 eischt: Z=S of meer, enz.) 

De stabiHteit tegenover storingen loodreclit o}) het vlak van 
(Ie ring is onderzocht door Nicholson en door Bohr; deze 
onderzoekingen berusten geheel op de klassieke mechanika. Bohr 
vindt dat voor: 

Z=s 

de ring stabiel is, als ö*^=1, 2, 8, 4, ö, 6, 7; 

bij grootere waarden van s is liet systeem slechts stabiel als Z 

veel grooter is dan -s' •'). 

Nicholson heeft vooi- verschillende eenvoudige systemen de 
kleine trillingen om den stationnairen bewegingstoestand onder- 
zocht •^). 

Hij nam aan dat het systeem — volgens de klassieke elek- 
trodynamika — lichttrïllingen van dezelfde fref[uenties zou cmit- 
teeren als de frequenties dezer kleine trillingen zijn, en ])ere- 
kende op grond daarvan het spektrum van het systeem. De zoo 
gevonden spektra vergeleek hij met reeksen v;in lijnen, waarge- 
nomen in nevelvlekken, in de Corona van de zon en in de 
WoLF-RAYET-sterren, waarl^j hij dikwijls merkwaardige over- 
eenstemming vond •''). 

' I N. KiUlli, l.r. |.. ISII. 

-) L. l*'i.i'i'i,, I'hys. Zeilsclir. 15, \>. T(»7, l'.il 1. 

'j N. Bnint, I. c p. isi. — i.l. W. Nicikh.son, I.i-. y. frJj 

*) J. AV. NiriKH.soN, iMoiithly Notices 72, ].. Il», L')!», (177, 7-j;i ( l'.M l/l:^i; 

74, 1.. -'04, 'LSt), (52;] (i;ii;vi4). 

^) liidiin liet spektrum Ix-rektMid wcnl \ oljftuis de eiiiissie-liypothese van Bonn 

ZDii iiiiMi iii cerstu benadering dezelfdr lijnen vinden, daar de i|iiantengetalleu 



§ 27.] 



SYSTEMEN MET MEERDERE ELEKTRONEN. 



153 



IJ. Systemen met meerdere ringen van elektronen. 

Indien er vele elektronen in een atoom zijn ligt het voor de 
hand te onderstellen dat ze zich niet alle op één cirkel zullen 
bewegen, doch dat ze over meerdere ringen verdeeld kunnen zijn. 
Het onderzoek van dergelijke 1)ewegingen is echter nog veel 
moeilijker dan dat van de beweging in één ring, zelfs indien 
het aantal elektronen in elke ring niet groot is. 

BoHR onderstelt dat alle ringen cirkelvormig zijn, en in één 
plat vlak liggen i) ; hij geeft hiervoor een approximatieve be- 




e; 






:^:> 



----^ 



E, 



Fig. <). 

Voorbeelden vtin systemen waarin de elektronen 
niet alle in hetzelfde vlak loopen (Nu imi.soN). 
A', , A'^ , A'.; , A'^ : elektronen; A : kern. 

(lu het bovenste systeem beweegt de kern zich 
in een kleine cirkel; in het onderste lioiiden de 
krachten die de 4 elektronen op de kern uitoefenen 
elkaar in evenwicht, en staat de kein stil.) 



(w,) die Nicnoi-SON aan de grond])eriode geeft vrij gront zijn.i Moiithl}- Notices 
72, p. 680, 1912). (Zie Noot T bij i^ 26.) 
') N. BüiiK, l.c. p. 484. 



154 SYSTEMEN MET MEERDERE ELEKTKONEN. [§ 27. 

liandeliiig vu Iridt ren voorwaarde af vooi' de stabiliteit. Hierop 
is een uitvoeri^oe kritiek verschenen van Nicjiülson i); deze heeft 
verschihende voorbeelden van systemen met meerdere koncen- 
trische ringen in één [)lat vlak onderzocht, o.a. om een model 
voor het Litliiuin-aloom te vinik'ii: [definitieve resultnten heeft 
dit ecbter niet opu-eleverd.] 

Ntciioi.sox heeft Ook nog eenige perio(üeke soluties aan.^cgeven, 
waai' de ringen iilrl in één jdat'vlak li.u'i^'cn (zie lio;. ())-). Zooals 
reeds dixn' liet woord periodiek is uit^"e<h'ukt voldoen dt-zi' aan 
de slal>iliteits\()oi'vvaarden (1) van 1)1. loo; bet zou zeer de moeite 
waard zijn deze soluties en de oplossingen in <le nabijheid i-rvan 
nader te onderzoeken. 

C. Jiojiii geeft ook nog beschouwingen over de verdeeling tlei' 
elektronen over de verschillende ringen bij eenige eenvoudige 
systemen, en brengt deze verdeeling in verband met de chemi- 
sche valentie der elementen ^). Deze beschouwingen hebben meer 
een qualitatief karakter; Boiir voert als voorwaarde voor den 
meest stabielen toestand in, dat voor deze de totale energie een 
minimum is (bij gegeven moment van hoeveelheid van beweging); 
deze voorwaarde wordt echter niet streng vastgehouden. Nichol- 
soN heeft deze valentie-theorie aan een kritiek onderworpen '^), 
en men krijgt het idee dat op dit gebied bijna nog niets be- 
reikt is 5). 

D. Systemen met meerdere kernm. 

Zo(jdra men onderzoekingen wil doen over den bouw der niole- 
kulen ki'ijgt men met systemen te d(»en welke meer dan één 
p(jsitief geladen kern bezitten. Door I>()nii''') zijn verseliillende 
(jualitatieve beschouwingen over de koidiguralie, de stabiliteit 

n J. W. Ni. ii.MsoN, IMiil. :\Ia--. 27, |'. T)!!, v-i.. l'.Mi; .Moiilliiv Nuti.T^ 74, 
1). i;jO/4;:il, 1'.»14: IMiil. MaJ,^ 28, ]k '.">, lltI4. 

-) J. ^V. Ni(;ii()i.soN, Monthly Notices 74, ]). 4.'J4/43r), l'.»!!: IMiil. Mag. 27, 
II. 5(30, 11)14; riiil. Ma^^ 28, ].. UO. vgl., IMM. 

•'^ N. Jifiiiu, i'hil. Mag. 26, ca. 1)1. 1S7, vgl., l'.»!:;. /ie duk : A. v. n. Hiini.K, 
Kisler u. (ieitel-Festschrift, p. 42H (1915^ [eu J.. VniAui., Verli. Deutsuii. flivs. 
(ies. 19, ]). ;544, 1917]. 

V .1. W. Ni.Mioi.soN, IMiil. Mag. 27, ]). öó.s, IMM. 

■''I Men vergelijke in verhaml liierince udk de donr .1 . .1 . Tikimshn mif wikkelde 
ideeën (IMiil. .Ma-. 7, \<. L'.'iS, i;m»4). 

fi) N. l'.niiii, 1'iiii. Mag. 26, }). ><r)7, i;>i;;. 



§ 27.] SYSTKMEN MET MEERDEJtiE EJJOKÏRUXEX. 155 

en de vorming dezer systemen gegeven, wat liet laatste betrel't 
met het oog op een mogelijke verklaring van het proces der 
chemische verbinding. 

Het meest onderzocht is het model van het lüaterstof-molekuul, 
{H2). Dit systeem wordt ondersteld te bestaan uit twee kernen 
inet de lading + e en de massa van een f/-atoom, en twee elek- 
tronen ; de laatsten bewegen zich in een cirkel welks vlak den 
afstand der kernen loodreclit middendoor deelt (zie fig. 7). Is 
2a de afstand der kernen, R de straal van de ek'ktronenbaan, 
dan heeft men : 

R=a\^3 : co'- , ~ ,- (31/ 3— Ij (15) 

waar oj de hoeksnelheid der elektronen is. 







la 








• 


1 




V 




/ 






S 




/ 






V 


__ __ . 


y* 









■ " " 




' 


X; 


,_--■ 




R ,,_ 


ia 


. — — — -' 
• 
• 


y 


'-é'--~ 


V 

V 






N 


1 


/ 








1 / 










1 / 

1 y 








'•> 


^*K, 







E. 



Fig. 7. 

Müdel van liet watersiofiiiDlekuul 
volgeus Üdiin en J)i:i;vi;. 
A I , A „ : kernen ; A', , A', : eleklroneü. 

Dit model heeft zijn grooto bekendheid te flaiikcii aan de dis- 
persietheorie van Debye ^). Onderzoekingen ovci' de stabiliteit 
zijn gedaan door Mej. H. J. van Leeuwen, die de trillingen van de 
elektronen om de stationnaire beweging naging in <le onderstel- 
ling dat de kernen vastgehouden worden-) en door Kri'.iNowicz 
welke ook de trillingen van de kernen in de berekening ojmam ■'). 

') 1'. Dkkvk, .Sit;^. J]er. Bav r. Akad. [>. 1, l'-'l... Zir Ijciiedcn .^ .Jfi. 

2) Mej. H. .]. VAN Lki;i;\vkn, Versl. Akad. Amst. WIV, p. 1(»47; l'.iir)/l(i. 

•') A. lil i.inowk;/,, Phys. Zeitschr. 18, y. 1>=7. i'.il7. 



156 SYSTEMEN MET MEERDERE ELEKTRONEN. [§ 27. 

Het i.s gebleken dat het systeem tegenover sommige storingen 
instabiel is. 

Deze onderzoekingen, hoe interessant en belangrijk ze ook zijn, 
zullen hier niet nader besproken worden. Slechts zullen enkele 
opmerkingen over de precessie-bewegingen en de quantentheorie 
van roteerende molekulen beneden in § 29 vermeld worden i). 

') Met betrekking tot den bouw der molekulen zij hier ook verwezen naar 
een artikel van W. Kossel ; Über Molekülbildung als Frage des Atombaus, Ann. 
d. Phys. 49, p. 229, 1916 (speciaal het Ille gedeelte, p. 350, vgl.). Kossel geeft 
evenwel meer algemeene beschouwingen, zonder direkt van het atoommodel van 
RiiTiiERFoUD-BuiiK gebruik te maken. 



§ 28. ()pmerkin(;p:n over de spektra van 
systemen met meer dan een elektron. 

Over de spektra van systemen met meerdere elektronen zijn 
nog weinig onderzoekingen gedaan. Voornamelijk is dit toe te 
schrijven aan de moeilijkheden die men ondervindt bij het op- 
stellen der quantenvoorwaarden. 

Door NicHOLSox is voor verschillende eenvoudige systemen 
met één ring van elektronen het spektrum onderzocht, in de 
onderstelling dat de lichtfreqiienties die het systeem uitzendt 
dezelfde zijn als de frequenties der kleine trillingen in het sy- 
steem (Zie § 27, A). 

Door BoiiE en door Nicholson is verder nagegaan wat voor 
frequenties worden uitgezonden op grond van de emissie-hypo- 
these van BoHR indien bij de beweging van alle elektronen op 
één ring het moment van hoeveelheid van beweging der elek- 
tronen van een bepaald veelvoud van ^ — op een ander springt. 

Belangrijke resultaten heeft dit echter niet opgeleverd ^). 

Berekeningen van de spektra welke in verband staan met de 
oplossingen in de nabijheid van een periodieke solutie, uitgevoerd 
in aansluiting aan den gedaclitengang van § 26 (en speciaal 
Noot I), zijn voorzoover mij bekend is nog niet gemaakt. 



Een interessant probleem heeft Sommerfeld uitgewerkt ^), ge- 
lijk reeds op bl. 137 (noot i)) vermeld is. 

SoMMERFELD bcschouwt een atoom waarin alle elektronen op 
één na in een ring vrij dicht om de kern heen loopen, terwijl 
het laatste elektron zich op betrekkelijk grooten afstand om dit 
systeem beweegt. Aangenomen wordt dat de beweging van de 



') Zie: J. W. Nicholson, Monthly Notices 74, p. 425, vgl., 1914. 
[Men krijgt een spektraalformule van het BALMiiR-type op grond van de eigen- 
schap vermeld in § 16, c).J 

*) A. SoMMERFEi.i., Sitz. Ber. Bayr. Akad. p. 152, vgl., 1916. 



158 SYSTK.MKN' MK'I' M llKKDKltK lll.KKTRONEN. [§ 28. 

ring onveranderlijk is (ni. a. w. de reaktie van het V)uitenste 
elektron op de rinü,- wordt verwaarloosd); verder dat het elek- 
trische veld veroorzaakt door de ring van elektronen vervangen 
mag worden door het veld van een kontinn met dezelfde hoe- 
veelheid elektriciteit geladen ring. 

Men kan nu de heweging van het elektron in het veld door kern 
en ring veroorzaakt onderzoeken. Sommerfeld beperkt zich liierbij 
tot bewegingen van het elektron in liet vlak van de ring i). De 
berekeningen van Sommerfeld zullen hier niet herhaald worden ; 
slechts zij meegedeeld dat de potentiaal van het elektrische veld 
iii het vlak van de ring in een reeks naar negatieve machten 
van r ontwikkeld kan worden : 

e^ eE*\ 1 a^ 3^ a^ | 



Hierin is: 



J5J* = — {E — e) ^= lading vnn de ring; 
a r= straal van de rimr. 



Breekt men de ontwikkeling af bij <h> term met a", dan kdiiii 
men tenslotte tot een formule voor de energie, welke luidt 
(uitgedrukt in de quantengetallen) : 

_ -K-h 

(/^ 3r konstante van Rydberg; ?i = quantengetal voor de azi- 
muthale beweging, m.a. w. : n Ji/2 rr = moment van hoeveelheid 
van beweging; ?</=: quantengetal voor de radiale beweging) 2). 

Neemt men ook de term met a'* mee, (hm wordt de fonmde 
voor de energie : 

{(jn en kn zijn bepaalde funkties van //., cf. SoM^rERFEL■^, l.c). 



') In dit geval is het probleem door separatie der variabelen te behandelen. 
Wil men de elektroncnbanen berekenen welke niet in dit vlak liggen, dan zal 
men vermoedelijk zijn toevlucht moeten nemen tot de formules van de storinjrs- 
fheorie; vergelijk de analoge problemen in hoofdstuk 111, i^ "20, 21, e. a. 

*) De grootheid y is evenreilig met hel kwadraat van de straal f/ van de rin^^ 
zie formiib' f'Jüaj, bl. KJOi. 



§ 28.] ,SYSTE>[EN MKT MKKRDKKK l'.r.KKTltOXKX. 159 

Uit deze formules kan men de spektraalformides van RYDP.ERf; 
en van Ritz afleiden; hiervoor wordt verwezen naar het artikel 

van So^[MERFELD. 

\'(tor de termen der hoofdreeks is: /i ^ 2 ; /i' :i= O, ], 2, . . . 

Ie neveureeh : n. -"-= 3 ; 'ii' = 0, 1 . 2, . . . 
BEI{r!^rAX^Mw;/.■s : // = 4 : n:=(), 1, 2, . . . ^j 

Opmerkirigen. 

1) SoM^FERi-'ELD heeft ook het geval ondei'zoeht dat de ring 
v;in elektronen ver hiviten de kern ligt, terwijl een elektron 
liiiinen de ring vrij dicht om de kern loopt 2).. Dit is van he- 
lang voor de theorie der Röntgenstralen; het onderzoek heeft 
echter niet die resultaten oi)geleverd, welke Bo.MMERF-'Er.D oor- 
spronkelijk gehoopt had te hereiken 3). 

2) Een roteerende ring van elektronen oefent behalve een elek- 
trische, ook een magnetische werking uit, wat invloed kan lieh])en 
o|) de beweging van een meer naar buiten gelegen elektron. 

ITet magnetische veld is l)ij benadering hetzelfde als dat van 
oen elementair magneetje met moment: 

, = -^''' ^) (19) 

Indien de as van het magneetje in de ,-:-as ligt, is de vektor- 
])otentiaal van het veld : 



a, = --f (-;:-) ; «, = + l i-'l) ; a.. = . . . (1!)*) 



^ 

^y 



^"'olgens de formules van § 6 kan men voor het elektron de 
funktie van Lagrange opstellen, en op de bekende manier 
hieruit de funktie van Hamilton afleiden; de verdere l)ehande- 
ling van het probleem gaat op de gewone wijze. 

Verwaarloost men termen die de straal a van de ring in de 



Ij Vergelijk over de tweede nevenreeks: Sommerkki.d, l.c. p. 132. .SoMMKHiKLn 
vermoedt dat deze verband houdt met elektronenbanen welke «/>/ in lu't vlak 
van de ring liggen. 

2) A. SoM-MKKiKLD, Sitz. Ber. Bayr. Akad. p. 174, liUG. 

3) A. SoMMERFKLD, l.c. p. 17i». — Zie ook het beneden geciteerde artikel van 
V. Deijve. 

*) Zie § 37, Noot 1. — w is de hoeksnelheid van de ring. 



\{'){) SYSTKMKN MKT M KKKDKH K KI-KKTItoNKN. [i? 28. 

4e of hooirere iiiadit ])evatteii, dan vindt nu'U voor de energie 
v;in de li;in('ii in het vlak van do rinu: de tbrnude: 

u= ziAii _ 1) (-20) 

(?/ + "' + <J ^1"^ — 7* v.-^Y 

wanrin : 






ie 
'I' = J''- -"-. \ 



4 7r2 m e2 



(20n) 



Drukt men liet magnetisch moment /< nit in magnetonen ("*)-), 
dan vindt men voor (j* : 

(f — ca. 0,o4.10 "'.M* . (21) 

Is het aantal elektronen in de ring Z*, het moment van 
hoeveelheid van beweging van elk k lij'ln , dan is het magne- 
tisch moment: 

u* z= ca. 5 k Z"^' magnetonen ^). i 

Hieruit blijkt dat de invloed van het magnetisch veld van 
een elektronenring in het algemeen zeer gering is. — De grootheid 
q is in dit geval ca. k^/A Z* ; dit heeft een veel belangrijker in- 
vloed op de spektraalformule **) 5). 

3) Over de Röntgenspektra is nog verschenen een artikel van 
P. Deijyk, Der erste Elektronenring der Atome, Phys. Zeitschr. 
18, p. 27(-), 1017. 

') A. SoMMKl;! Kl.li, l.C. ]». 170. 

*) Een Magneton is ca. 1,.S4 . 10"""^ c. tj. s. 

5) Zie § :M. 

'') H. (t. Stam. KV Ai.i.kn lieeft een atooinniixlcl voorirostcld, waarin de kern 
beiialve een elektrische ladinüf, een niasjnetiscii nionifiit ilraaj^'t (IMiil, Mao". 29, 
p. 40, 1-10, \{)U)K 

Voor de (■neri,Me der ([uanteubewegingen van een dergelijk atoom krijgt men 
dezelfde forninle als (20), waarin evenwel </ ^^ O is. 

Om een merkbaren invloed te hebben zou het magnetisch moment van de kern 
zeer groot moeten zijn (Stanley Ai.i.kn vindt dat om bij Lithium de afwijking 
van de spektraalformule van het BAi.MEU-type te verklaren de kern eenige duizen- 
den magnetonen zou moeten bezitten). 

•"■•) In verband met de magnetische eigenschappen van het atoommodel verge- 
lijke men verder § ïil. 



§ 28.] SYSTEMEN MET MEERDERE ELEKTRONEN. 161 

Debye komt hierin tot het resultaat: 

Binnen in het atoom bevindt zich het dichtst bij de kern 
een ring van 8 elektronen, welke op gelijke afstanden langs een 
cirkel staan, en elk met een moment van lioeveelheid van be- 
weging van 1 quantum (hl'ln) rondloopen. Uit deze cirkel kan 
1 elektron verwijderd worden, en met een moment van 2 quanta 
voorzien een baan er buiten beschrijven, terwijl de overige twee 
elektronen dichter bij de kern komen, en diametraal tegfenover 
elkaar staande een nieuwe cirkel beschrijven. 

De Eöntgenlijn Kax wordt uitgezonden als de elektronen uit 
de konfiguratie (II) overspringen in de konfiguratie (I). 

Deze opvattingen van Debye blijken dus in sommige opzichten 
belangrijk af te wijken van de ideeën van Soa[merpeld. Debye 
vermoedt dat het met zijn theorie mogelijk zal zijn verschillende 
problemen te verklaren (in verband met het kombinatie-principe 
en de absorbtiegrens) die in de theorie van Sommerfeld onop- 
gelost bleven. 

De resultaten van Debye schijnen in zeer goede overeen- 
stemming te zijn m<^t de metingen over de golflengten der Rönt- 
genstralen. 

Men zou misschien nog eenige kritiek kunnen uitoefenen op 
de gevolgde rekenmethoden (1. e. p. 27('^), in verband met de 
volgende kwestie : 

Volgens Debye kan het buitenste elektron in de IP konfigu- 
ratie loopen : 

öf op een cirkelbaan (II-l), mot fuze-integralen : 

2.'c 



I P,f. d(f = 2/i ; f Pr rf?' = O ; 



<> 

uf op een elliptische baan (II-2), met faze-integralen : 

2 TT 

1 p^ dcf' = h; I Pr dr = h . 

De overgang (TI-1) -> (I) geeft de lijn: A'«i; de overgang 
(11-2) > (I) geeft: 7v «o (Debye, 1. c. p. 283). 

Het schijnt me echter dat de periheliuiu-afstand van de ellips 
(II-2) kleiner is dan de straal van de ring mot 2 elektronen, 
welke er binnen moot liggen. 

11 



162 SVSTKMKN MET MEKRDKRK KI.EKTllONKN. [§ 28. 

Men heeft nl. in do tweede konfis^uratie : 
straal van do binnenste eirkel : 



é^ 



«1 = ö 



straal van do buitenste eirkel of lialve groote as van de ellips: 

— 4c2 _ . 

""^ - 2 h R (Z-2) - '''• ^ ""' • 

(Hier is: Z= lading van de kern; j^^konstanto van Ryd- 
r.ERo; zie Deivye, 1. o. p. 278, form. 8 en 9). 

De ellips (II-2) heeft de excentriciteit : ^=\ ^-{^hf = 0,865; 
dus is de perihelinm-afstand : 

«2 (1 — ^) = 0,135 «2 ^=^ fa. 0,54 a\ . 

[De verklaring van de doublets in de Röntgenspektra, welke 
in de theorie van Sommerfeld zoo mooi tot haar recht kwam, zal 
dus in do theorie van Debye nog groote moeilijkheden opleveren.] 

[4) Het bovenvermelde onderzoek van Debye is voortgezet 
door Tj. Vegard (Über die ErklJirung der Ri'intgenspektren, Verh. 
Deutsch. Phys. Ges. 19, p. 328, 1917.) Vegaru komt tot de kon- 
klusie ilat bij de zwaardere elementen de door Debye gevonden 
ring van drie elektronen omgeven wordt door een ring van 
zeven elektronen, welke ter verklaring van de lijnen der ilf-reeks 
moet dienen. Vegard geeft dan nog beschouwingen over de ver- 
dere ringen, en in een artikel volgende op het eerstgenoemde (Der 
Atombau auf Grundlage der Röntgenspektren, ibidem p. 344) 
geeft hij gedeeltelijk hierop steunende, gedeeltelijk op grond van 
chemische beschouwingen, een schema van de verdeeling der 
elektronen over de verschillende ringen voor alle elementen van 
het periodiek systeem. Ofschoon dit schema nog voor het grootste 
deel op hypothesen berust schijnt mi.] toch het o])stellen ervan 
van groot nut te zijn, vooral in heuristisch opzicht. Zie in ver- 
band hiermee § 28*.] 

fOndertusschen zijn nog de volgende artikelen hierovei" ver- 
schenen : 

A. SoAf.MEREELD, Atombau iiiid UrnitgenspoktriMi, T. Toil, Phys. 
Zeitsohr. 19, p. 297, 1918; 

,1. Kroo, Der erste iiiid zwoito I^lcklroiicniing «Ut Atomo, 
ibidem p. 307.] 



§ 28. 1 SYSTEMKN MET MEEKDERK ELEKTRONEN. 163 

Verdere opmerkingen. 

De modellen, welke na het Waterstof-atoom het meest de aan- 
dacht waard zijn, zijn die van Helium, Lithium en van het Wa- 
terstof-molekunl. iVan den eenen kant zijn dit de eenvoudigste 
atomen en het eenvoudigste molekuul, aan den anderen kant 
zou de konnis van deze drie modellen een inzicht kunnen ver- 
schaften in vele eigenschappen der elementen, zooals de valentie, 
het wezen der chemische verbinding, de bizonderheden der meta- 
len, enz. Op het oogenblik is hiervan nog zeer weinig bekend. 

Helium. 

Men zou kunnen vermoeden dat de beide spektra van Helium 
en z.g. Parhelium (zie b.v. Kayser, Handb. d. Spektroskopie V) 
behooren bij twee verschillende konfiguraties der elektronen : 

a) beide elektronen loopen in eenzelfde cirkel om de kern ; 

b) de elektronen loopen in cirkels welke in verschillende 
vlakken liggen (de door Nicholson aangegeven i^eriodieke solutie, 
zie § 27, B en fig. 6). [?] 

Vergelijk ook: J. W. Nicholson, Monthly Notices 74, ]). 439, 
1914 ; Phil. Mag. 28, p. 90, 1914. 

Lithium. 

Zie: N. Bohr, Phil. Mag. 26, p. 487 (ongeveer), 1913. 

J. W. Nicholson, Phil. Mag. 27, p. 550, 1914; 28, p. 90, 
vgl, 1914. 

A. Hartmann, Phys. Zeitschr. 18, p. 14, 1917. 
• Hartmann onderzoekt het spektrum van Lithium, en volgt 
een weg welke de omgekeerde is van die van Sümmerfeld : uit 
de empirische spektraalformule tracht hij het inwendige elektri- 
sche veld te berekenen. Het door hem meegedeelde (voorloopige) 
resultaat is: men moet aannemen dat twee elektronen vrij dicht 
bij de kern zitten, terwijl het derde elektron zich op grooten 
afstand daaromheen beweegt. 

Waterstof-molelcuvl. 

Zie: N. Bohr, Phil. Mag. 26, p. 862 of 863, 1913. 

J. W. Nicholson, Monthly Notices 74, p. 436, 1914. 

M. WoLFKE, Phys. Zeitschr. 17, p. -71 en 198, 1916. 

K. Glitscher, Sitz. Ber. Bayr. Akad. 1916, p. 125. 

P. S. Epstein, Verh. Deutsch. Phys. Ges. 18, p. 409/410, 1916. 

Onderzoekingen over de kleine trillingen van h(!t systeem : 
zie de oj) I»!. 155 genoemde artikelen en § 36. 



[§ 28*. DE BOUW EN DE BEREKENING VAN ATOMEN 
MET MEERDERE RINGEN VAN ELEKTRONEN i). 

Zooals reeds vermeld is heeft L. \'k<;ahI) in een artikel in 
de Verhandl. d. Deutsch. Pliysik. Gesellschaft ^l) een schema ge- 
geven van de vermoedelijke konstitntie der elementen van het 
periodiek S3^steem. Naar aanleiding hiervan zou ik eenige jiun- 
ten willen vermelden welke zich voordoen l)ij de berekening van 
deze systemen. 

1) In de eerste plaats doet zich de vraag voor of men moet 
aannemen dat alle ringen in eenzelfde ])lat vlak liggen. Geeft 
men deze onderstelling voorloopig toe (beneden zal liierop nog 
nader teruggekomen worden), en neemt men ook aan dat alle 
ringen in eerste benadering cirkelvormig zijn, dan kan men 
vragen naar de afmetingen van het systeem. Om een eerste 
approximatie te verkrijgen kan men zich de ladingen van alle 
naar binnen gelegen ringen in de kern gekoncentreerd denken, 
zoodat men slechts de buitenste ring overhoudt, met b.v. s elek- 
tronen, welke roteeren om een kern met effektieve lading 6^ . e. 
Voor de straal van deze ring vindt men : 



R 






s — (Tc 4:iT^ m C^ 



s is het aantal elektronen van de ring; n het aantal quanta van 
moment van hoeveellicid van beweging per elektron ; «Ts is de reeds 
op bl. 136 genoemde grootheid, welke dieni om de onderlinge af- 
stooting van de elektronen van de ring in rekening te brengen •^). 



') N.B. Deze § is ingelascht bij de uitgave. 
2) L. Vk(iaui), Verh. Deutsch. Phys. (les. 19, p .•i44, 1Ü17. 
^) Houdt men rekening niet de relativistische i<urrekties, dan wordt de 1'or- 
mule vermenigvuldigd met: 

1 / i_'7^^^^ ^,, I /i_o,o,„H153^l-qi)^ Bij een eerste be- 



§ 28*.] SYSTEMEN MET MEERDERE ELEKTRONEN. 165 

7)2 

De faktor -i — x -„ , welke c-eliik is aan de straal van het water- 

4 TT'^ m e^ 

stof-atoom in normalen toestand (vergelijk bl. S4) bedraagt: 

o 

0,53.10"^ cm. of 0,53 A.E. Berekent men deze uitdrukking voor 
alle elementen volgens de tabel van Vegard, dan verkrijgt men 
een kromme welke een geringe analogie vertoont met die der 
atoomvolumina : ze heeft maxima bij de elementen welke 1 elek- 
tron in de buitenste ring bezitten : 



H 


0,53 


o 

A.E 


Li 


2,12 




Na 


2,12 




K 


4,77 




Cu 


4,77 




Rb 


8,48 


enz. 



De elementen Cu, Ag, Aa liggen echter Ijij de miiiima der 
atoomvoluminakromme, terwijl ze hier maxima zouden vormen. 
Verder is het verloop tusschen de maxima niet goed : Vj.v. van 
Na tot Ar daalt de straal van de buitenste ring steeds, terwijl 
de atoomvolumina reeds na Al weer beginnen te stijgen. En ten 
slotte stijgen de diameters bij de hoogere atoomgewichten te 
sterk 1). 

Men kan nu natuurlijk de tegenwerping maken dat de atoom- 
volumina zooals deze gewoonlijk berekend woorden (het quotiënt 
van atöomgewicht en soortelijk gewicht in vasten toestand) be- 
trekking hebben o}) den vasten, (gekristalliseerden) toestand, en 
dus mede bepaald worden door de krachten die de verschillende 
atomen in het kristfil raster op elkaar uitoefenen. Maar men zal ' 
dan noodzakelijk tot de koiiklusie moeten komen dat de atomen, 
zoo ze tot een kristal zijn verbonden, anders gebouwd zijn, dan 
volgens het schema van Vkcjard. Om dit toe te lichten wil ik 
het element koper nemen; volgens Vegard bezit dit 5 ringen, 
met van binnen naar buiten gaande, resp. 3, 7, <S, 10 en 1 



nadering kan men deze korrektie verwaarloozen. Voor de aHeiding der forDiiiIc 
vergelijke men b.v. P. Dkiivi:, Phys. Zeitsclir. 18, \). 2H), l'.tlT. 

M Uit sterke stijgen is een gevolsj; van hot grooter worden der (j^iianteugetal- 
len voor de buitenste elektronen, dat door Vkiiakd ondersteld wordt. — Bij een 
nauwkeuriger berekening — zie onder 2) — vindt nitii nog iets grootere waar- 
den voor deze stralen. 



166 SYSTEMEN MET MEERDERE ELEKTRONEN. [§ 28*. 

elektron ; de quantengetallen voor de elektronen zijn resp. 1, 2, 
2, 3, 3. Voor de stralen der eloktronenbanen vindt men ongeveer 
de volgende waarden i) : 

ie ring : Ri — 0,01 «6 A.E. 
2« „ P.2 = 0,080 
8<^ „ i^:3 = 0,148 
4^ „ R, = 0,71 

Nu is volgens \V. H. Bragci -) de struktuur van koper-kris- 
tallen (welke tot het reguliere stelsrl behooren): kubisch met 
gecentreerde zijvlakken; de ribbe van een kubus welke atomen 
op de hoekpunten en op de middens der zijvlakken draagt is 

ca. 3,60 A.E. ^5). 

Men zal dus in ieder geval moeten aannemen dat het buitenste 
elektron in het kristal niet oj) bovengenoemde baan met straal 
R^ rondloopt, doch een andere baan beschrijft, misschien om de 
verbindingslijn van twee naburige atomen of iets dergelijks. 
Bovendien zullen ook de elektronen der verschillende atomen, 
welke zich op de baan R^ bevinden sterke storingen op elkaar 
uitoefenen. In nog hoogere mate komt dit uit bij zilver, waar 
de straal van de buitenste baan volgens Vegard's model ca. 

o 

10 A.E. bedraagt; de struktuur der kristallen is dezelfde als bij 

o 

koper, terwijl de ribbe van een kubus 4,06 A.E. is *). 

2) Spektra. 

Wil men iets berekenen over de sjjcktra der elementen in 
verband met deze modellen, dan moet men volgens de theorie 
van BoHR verschillende bewegingstoestanden der elektronen in het 
oog vatten, en de energieverschillen tusschen deze bepalen. Men 
kan dus niet bij de onderstellingen van Vio«.\i;i) i)lijven staan: 
de door Vegard aangegeven schema's hebben betrekking op den 
„normalen" toestand van het atoom; daarnaast moeten er vele 

'i Om een iets grootere iiauwkcuriglieid te verkrijgen zijn hij de herekening 
dezer stralen de onder 2) genoemde korrekties izie lil. Ul'.h reeds eenigermate in 
aanmerking genomen. 

») W. II. HüA.i.;, IMiil. Mii,--. 28, ).. ;!.m, l'.M 1. 

•') De kleinste arstiinil \;iii twee l<(i]»er-atoiii(ii linlraagt Ü,!);") A.l'ï- 

»i L. Vi;.i\i(i., I'liil, Mag. 31, \>. SI, i;in;. 



§ 28*.] SYSTKMEN MET MEERDERE ELEKTRONEN. 167 

andere mogelijk zijn, welke door bizondere omstandigheden 
kunnen optreden, en welke sprongsgewijze in elkaar en in den 
normalen toestand kunnen overgaan. Hoe men deze moet kiezen 
zal voor elk model afzonderlijk onderzocht moeten worden. 

Bij berekeningen hierover — welke een groote nauwkeurig- 
heid eischen — levert het veel gemak gebruik te maken van 
het volgende stelsel van eenheden, ontleend aan den normalen 
toestand van het waterstof-atoom: 

eenheid van elektrische lading : de lading van het elektron e ; 

eenheid van massa: de massa van het elektron w; 

eenheid van lengte: de straal van de baan van het elektron 

in het waterstof-atoom a = ,— „ ., (= ca. 0,53.10 ^ cm.) ; 

eenheid van hoeksnelheid : w = ^^ — ; 

eenheid van tijd: l/?i) = --- ^ (= ca. 2,4.10-i' sek.); 



eenheid van kracht: e^/a' 



8 tt"^ rn e^ 

16 TT-i m" é^ 



eenheid van moment van hoeveelheid van beweging: mwor' =^^ — ; 

Zi TT 

, . , . 4 7r2 m e^ 
eenheid van energie : e = — p . '■) 

De energie van het waterstof-atoom is dan : 

— 1/2.5 = — *" p — (zie § IV). In de formules voor de fre- 

f il 

quenties der spektraallijnen komt voor de konstante van Rydberg : 

7\^=r^ = 109737,18 {zie § 18); 
Z h c 

om de termen der spektraalformules te verkrijgen behoeft men 
dus slechts de dubbele energie van het systeem, uitgedrukt in 
e als eenheid, te vermenigvuldigen met N. 2) 

>) Deze eenheden voldoen aan de betrekkingen welke door de diniensiefor- 
mules verlangd worden, zooals men gemakkelijk kan verifieeren. 

*) Houdt men geen rekening met de beweging van de kern van het atoom, 
en met magnetische krachten e. d., dan is de konstante van Rvdukrg j\ de eenige 
experimenteele konstante welke in de formules voor de spektra voorkomt. De 
bewegingen in het atoom zijn overigens slechts gekarakteriseerd dom- geheele 
getallen: de kernladiiig, de aantallen der elekti'-men op t]('. ringen, en de ipian- 
tengetallcii. 



168 SYSTEM KX MP:T meerdere ELEKTRONEN'. [§ 28*. 

Voor (Ie berekening van de energie kan men, zoolang men 
slechts met de elektrostatisclie krachten wei-kt, en ook de rela- 
tivistische korrekties verwaarloost, bovendien gebruik maken van 
de eigenschap dat voor mechanische systemen, waar de onder- 
linge ki-achten alleen bestaan in aantrekkingen en afstootingen 
volgens de wet van Newtox-Coulomi;, de totale energie gelijk 
is aan het tegengestelde van de gemiddelde w<iarde der kinetische 
energie i). 

Daar verder volgens bl. 72 : 

l TT 

heelt men: 2E=^ — ^nnoi 

L Tl 

of wanneer alles in bovengenoemde eenheden is uitgedrukt: 

2 E =^ — /v = — 2^ rii c-jj . 



') C. Gr. J. Jacüiu, Vorlesungen iiber Dynamik; 
H. PoiNCARÉ, -Méc. Cél. III, p. 279 ; 

A. SoMMERFEi.D, Sitz. Ber. Bayr. Akad. 191-5, p. 450. — Boiiu gebruikt 
deze eigenschap in het speciale geval van het waterstof-atoom. 
De eigenschap berust op de volgende onderstellingen : 

a) de kinetische energie T is homogeen van den 2^!" graad in de snelheden 
en is onafhankelijk van de koordinaten; 

b) de potentieele energie F is homogeen van den ( — 1)''>^ graad in de koor- 
dinaten ; 

c) de bewegingen van het systeem zijn stabiel in den zin van delinitie \lj, 
bl. 135, zoodat men van gemiddelden van 7' en /' kan spreken. 

Dan is: 

1 i^T ■ ^. i^ / 1 

(> '/; i^ '/; 

en dus ook, wanneer men liet tijdi^iMniddeldf dour ecu streeji aauduiilt: 

74-= 2 2>.y. + 2/y,.y. . 

d 
Verder is: ^^^ 2.-[/,. ,j.) = 2.-/j->/. -\- 2.'/j; >/; = i) , op gn.iid van ci 

Zoodat: E^— J 2.- /i ■'</■--= — 7' . 

Zooilra iiifii dl' relat! vistisclu' termen ol de iiiagnetisclic werkingen, rnz., in 
aanmerking neemt blijft de onderstelling ai in liet algemeen niet gelden, waar- 
door ook deze eigenschap ongeldig wordt. 



§ 28*.] SYSTEMEN MET MEERDERE ELEKTRONEN. 169 



Als voorbeeld zou ik nu enkele opmerkingen willen maken 
over het Nati'iuvi- atoom. Volgens Veüard zijn de 11 elektronen 
hiervan verdeeld over drie ringen, welke van binnen naar bui- 
ten gaande resp. 3, 7 en 1 elektron bevatten; de quantengetallen 
voor deze ringen zijn resp. 1, 2, 2. — Men moet nu zooals boven 
reeds gezegd is verschillende konfiguraties van het systeem be- 
schouwen, en het ligt voor de hand voorloopig te blijven bij de 
onderstelling dat alle ringen in één plat vlak liggen, en de ge- 
noemde aantallen elektronen bezitten, doch aan te nemen dat 
het buitenste' elektron zich op verschillende cirkelvormige banen 
kan bewegen, met quantengetallen 2, 3, 4, ... ad inf. Deze banen 
vertoonen overeenkomst met die welke voor het waterstof-atoom 
onderzocht zijn. 

Om nu de krachten die de verschillende elektronen op elkaar 
uitoefenen nauwkeuriger in aanmerking, te nemen kan men als 
eerste schrede aldus te werk gaan. Ondersteld wordt dat alle 
elektronen met eenparige snelheden langs de genoemde cirkel- 
banen loopen. De invloed van de elektronen van eenzelfde 
ring op elkaar wordt, zooals reeds boven gedaan is, in rekening- 
gebracht door van de kernlading Z (=11) af te trekken het 
bedrag Os (s = aantal elektronen van de ring), dat de resultante 
der afstootende krachten van de elektronen bepaalt. Om de in- 
vloed van de verschillende ringen op elkaar te vinden zullen 
de ladingen 3, 7 en 1 kontinu over de ringen verdeeld worden ; 
men kan dan de formules toepassen voor de potentiaal en de 
elektrische kracht uitgeoefend door een geladen ring. Is s het 
aantal elektronen (en dus de lading) van de ring, R'de straal, 
dan is de (radiale) kracht, uitgeoefend in een punt gelegen in 
het vlak van de ring op afstand r van het middelpunt: 

voor-: oi — < 1 : 
lx 

;i = -^, [2''^+16^' + 128^^ + '--J 

voor : 1^2=^ < 1 : 
r 

') Deze formules worden in verseliillt'inlc IciTlxHiken opgegeven. 



170 SYSTEMEN MET MEERDERE ELEKTRONEN. [§ 28*. 

De formules voor het Natrium-atoom worden nu, zoo men de 
stralen der ringen voorstelt door A'i, R^, Rs, de hoeksnelheden 
der elektronen door wi, 102, 103, en door n het quantengetal van 
het elektron op de 3e ring: 

11 _ o, 7 rl /»! <,) R^ 75 A'^ 



o)\ A'i — ^,2 



('j 



7 r 1 Al ^) A? 7o A? -I 

"^ A2 L 2 Ao "^ 16 A| • 128 A^ ' " * J ^ 

1>1 Ai^ 9 AJ 1 

^R'i L2 A3 ^16 A^g ^ ■ ■ J 

. ^ _ 8-.T; _ 3 r3 Af 45 Aï 175 A? 1 

- - "" Rl Rl 14 Rl "^ 64 A^2 ~^ 256 A« "^ • • ■ J '^ 

1^ rl A2 , 9 A| . 75^ A;^ 1225 A^ 1 

"^ A2 |_2 A3 "^ 16 Aij "^ 128 A'^ "^ 2048 AJ "^ J 

r3A? 45 P^t, 1_ 

L4 A2 "^ 64 A^, J 

_7 r3A2 45 A^ 175 A« 11025 A« "l 

Rl [4 At "^ 64 'r\ "^ 256 A| ^ 16384 A« J 



1 _ 3 r3A2 45 P^t 

l AfL4A^"^64A^ 



cos A; 



' ""^ A;' A? 



Hierbij komen de quantenformules: 

a>i Aj = 1 
coo A^ ^^^ 2 

t03 R\ nz ?i 

De dubbele totale energie van het systeem wordt tenslotte: 

— ?v = — (3 Vil + 14 wj -\- n 0)3) 

Het oplossen van bovenstaande vergelijkingen moet numeriek 
geschieden; voor een paar waarden van ii heb ik dit uitgevoerd, 
en gevonden : 

n=2 A = 382,606169 

3 382,487593 

4 382,440868 
00 A^ = 382,378804 

De l)edragen l moeten uu, vermenigvuldigd met N, termen 
opleveren van de s|>ektraalformules. Het komt hierbij er echter 
op aan wat men als nultoestand aanneemt voor de vaststelling 
vaii de Wiuirdc van /•>: l)ovcn is genomen de toestand waarbij 
;illc clcktroiicii v;in bet atoom naar bet oneindige uiteengcbaald 
zijn: liet lijkt luc ccbtcr moer j>assend om de toestand waarl)ij 



§ 28*.] SYSTEMEN MET MEERDERE ELEKTRONEN. ' 171 

alleen liet buitenste elektron in het oneindige is, doch de beide 
binnenste ringen nog aanwezig zijn, als nultoestand aan te nemen. 
Men heeft dan voor de energie : 

/ — l~l^ L = N .1 

n — 2 0,227365 24950 i) 

3 0,108789 11938 

4 0,062064 , 6811 

De laatste rij getallen L zou nu een reeks van termen moeten 
voorstellen uit de spektraalformules van Natrium. In H. M. Konen, 
Das Leuchten der Gase und Dampfe, is opgegeven (p. 152, vgl.): 

VP{m) VI){m) VS{m) 

24481 -') 41445 

11176 12274 15706 

6403 6897 8246 

Een bevredigende overeenstemming niet een dezer reeksen is 
niet aanwezig ; het beste sluiten zich de waarden van L aan bij 
de P-termen, wanneer men tenminste de eerste term (n ^^ 2) er 
bij wil nemen. 

Nu is bij de bovenstaande berekening evenwel slechts gelet op 
de gemiddelde werking der ringen; in werkelijkheid treden echter 
doordat de standen der verschillende elektronen ten opzichte 
van elkaar voortdurend wisselen, krachten op die periodiek van 
grootte en richting veranderen, welke veroorzaken dat de elek- 
tronen geen eenparige cirkelbewegingen uitvoeren, maar veel 
ingewikkelder banen beschrijven. Deze periodieke storingen blij- 
ken een belangrijken invloed te hebben op de waarde van de 
energie. Vooral zijn hierbij van gewicht de storingen door het 
buitenste elektron op de elektronen der binnenste ringen uitge- 
oefend. Om de werking hiervan te beoordeelen kan men een 

') Een iets nauwkeurigere berekening, waarbij de waarden der verschillen 
/ = ^. — /. g direkt zijn bepaald, gaf: 

u = 2 : / = 0,227MHS L = LM'.>50,7 

3 0,1()S791 ll'JoH,4 

4 (),U(52057 (;<Sü9,i) 

De verschillen met de bovengegeven waarden zijn ilus gering. 

2) Hier is het gemiddelde eouomen van de beide /'-reeksen ide /'-tcriucii zijn 
doublets, wat samenhangt met de. dupliciteit van <lc lijnen der iKMildreeks vini 
Natrium i. 



172 SYSTEMEN MET MEERDERE ELEKTRONEN. [§ 2^*. 

koordinatensysteem invoeren, dat b.v. ronddraait met de hoek- 
snelheid wo van de tweede ring. Ten opzichte van dit koordi- 
natensysteem is de gemiddelde beweging van de elektronen der 
tweede ring nul : het buitenste elektron heeft de hoeksnelheid 
^3 — "^2 • Men ziet gemakkelijk in, dat onder den invloed van 
de afstooting van het buitenste elektron, welke van de orde 1/i^^ 
is, elk elektron van de tweede ring een kleine ellips moet be- 
schrijven, met de frequentie '/~-(o^ — w^ ; de fazen dezer bewe- 

2 TT 

gingen verschillen voor de opvolgende elektronen _ i). Aan den 

anderen kant blijkt de invloed van de tweede ring o}) het Inii- 
tenste elektron veel geringer te zijn; doordat deze ring 7 elektronen 
bevat, hebben de storingen een zeven maal zoo groote frequentie 
en zijn ze eerst van de orde RH Bi . Analoge opmerkingen 
gelden met betrekking tot de eerste ring. 

Om deze storingen te berekenen lijkt het mij het beste de 
methode der onbepaalde koefficienten te gebruiken. Men ont- 
wikkelt de bewegingsvergelijkingen in reeksen, en substitueert 
dan voor do koordinaten der elektronen reeksontwikkelingen 
van den vorm : 

Vi z= 7? + « cos {Qi — Qii) + 

waarbij men het aantal der termen kan kiezen in verband met 
de storingen die men in rekening wil In-engen, en met de nauw- 
keurigheid die de berekening vereisclit. De R'a zijn de stralen 
der gemiddelde cirkelbanen : de (/h de „mi(ldelV)are anomalieën" 
der elektronen-), niet de frequenties (niiildelbare bewegingen): 
i"i, 10-2, oj:> : de u'h en fJ's zijn konstanten. \'oeg( men dov.o uit- 
(li'ukkingen in de dp nul hei-leiile N-eruclijkingeii in. en stelt men 
de konsianle geclecHcn en de koellieieiilen <ler verseliillende 
goniometrisclie tonnen gelijk nul, dan vindt men vergelijkingen 
voor doz(> onbekendon. Hierbij komen nog de drie (juantonvoor- 
waarden (zoixlor welke het probleem onbepaald zou zijn), die 
een andoren vorni krijgen dan eerst: oj) grond van de algomeene 
vergelijking van bl. 17 luiden ze: 

') Men iiiiii'l liiciliij iL'ki'iiiii^ lioinlcn nut il<' ('oriol/s-knwUU'w, daiir met een 
rotecrend kdordinatensystecni gewerkt wordt. 

-) f/\\ lieef't betrokkint;- op liet buitenste elektron. 



§ 28*.] SYSTEMEN MH:T MEERDERE ELEKTRONEN. 17 

L 
2 



<? 



1 Tï 

.- / dQ}- . "^ /)/ -j' = ///.. , of :=:ni- in de oe])i'uikte eenheden. 

2 TT J i ^ Qk 2 7r 



Berekent men deze uitdrukkingen, dan krijgt nien behalve de hoofd- 
term (O R^, termen welke de storingskoefïicienten «, [^ . . . bevatten. 

Berekeningen hierover heb ik onderhanden ; door hun groote 
bewerkelijkheid is het mij echter nog niet gelukt ze tot een 
einde te brengen. 

Een bizonderheid dient hier echter nog vermeld te worden: 
de periode en de grootte van de storingen hangt er van af of 
de bewegingsrichting van het buitenste elektron dezelfde is als 
die van de binnenste ringen (voorloopig onderstellende dat de 
twee l)innenste ringen steeds in dezelfde richting rondloopen) of 
er tegengesteld aan is. Dit lieeft tengevolge dat men voor elke 
waarde van n twee bewegingstoestanden, en dus twee termen van 
de spektraalformule vindt. Het is mogelijk dat dit de verklaring 
zou kunnen zijn van de dupliciteit der P-termen, welke de dupli- 
citeit van de hjnen der hoofdreeks van Natrium veroorzaakt. 
Over cTe orde van grootte van het verschil kan ik echter nog 
niet oordeelen ; uit de voorloopige berekeningen lijkt het mij 
grooter te worden, dan met de waarnemingen zou ovef eenkomen. 

Bij deze berekeningen zal ïuen verder nog in aanmerking 
moeten nemen: de beweging van de atoomkern (tenminste bij de 
lichtere elementen) ; de relativistische korrekties en de magnetische 
werkingen die de elektronen op elkaar uitoefenen. Wat de rela- 
tivistische korrekties betreft, deze lijken me van dezelfde orde 
van grootte te zijn als bij het waterstof-atoom. Ze zijn wel groot 
voor de beide binnenste ringen, maar de invloed hiervan valt 
grootendeels weg, doordat men slechts de verschillen l = ^ — Ig 
behoeft te kennen. Met de magnetische werkingen zal het ver- 
moedelijk evenzoo zijn. (Zie in verband hiermee ook het onder- 
zoek van SoMMERFELD, vemield in § 28.) Neemt men de rela- 
tivistische en de magnetische korrekties in aanmerking, zoo 
wordt de berekening zeer veel lastiger, doordat de o}) bl. 168 ver- 
melde eigenschap dan niet meer geldt. 

Men kan nu verder nog aannemen dat de banen der elektronen 
elliptisch zijn, of dat ze niet alle in één plat vlak liggen. Wat het 
eerste betreft, elliptische banen zullen aanleiding gewQw tot groote 
moeilijkheden bij de berekening, daar de door de quantenformules 



174 SYSTEMKN MET MKERDKHK KLKKTKONKX. [§ 28*. 

bepaalde excentriciteiten in liet algemeen groot zijn i), zoodat de 
afstanden der elektronen tot elkaar sterk veranderen. Zelfs kan 
het gebeuren, dat de banen door elkaar heen zouden gaan. (Zie 
de opmerking op hl. 161.) 

Cirkelvormige banen in verschillende vlakken geven niet zulke 
groote moeilijkheden -). Men kan h.v. aannemen dat de twee 
binnenste i-ingen steeds in hetzelfde vlak liggen •"') en dat het 
baanvlak van het l)uitenste elektron ten opzichte hiervan helt. 
De hellingshoek wordt dan door quanten voorwaarden bepaald. 
Is M het totale moment van hoeveelheid van beweging van het 
systeem, mi dat van alle elektronen der binnenste ringen samen, 
m2 dat van het buitenste elektron alleen, en is i de hoek tus- 
schen mj en mo, wat men in eerste benadering kan nemen 
voor de hoek tusschen de baanvlakken, dan is: 
M2 = 9^2 _|_ ^^2 _|_ 2 riii mo cos i. 

M is een konstante, en is gelijk aan een geheel aantal quanta 4) ; 
lYii en rtio zijn niet exakt konstant; hun gemiddelde waarden 
moeten echter op grond van de ingevoerde quantenformules 
ongeveer zijn: 

mi = 3 . 1 + 7 . 2 = 17 
mg =n 

Zoodat de hellingshoek bepaald is door: 

cos i = — ^ ' " 

2 mi mo 

Is b.v. n = 2, dan kan M varieeren van 19 tot 15; er zijn dus 
5 verschillende standen mogelijk, waarvoor: 

') Vergelijk voor het waterstof-atoom hl. 82; de verhoiuling hja van de assen 
der elliptische haan is gelijk aan het quotiënt van twee quantcngetallen. 

*) "Voor de ontwikkeling der z.g. „storingsfunktie" voor deze banen zie men: 
Encycl, der Math. Wiss. VI, 2, 1.">, H. v. ZiapKi., Die Entwicklung der Stö- 
rungsfunktion, speciaal p. 577 en vgl. 

■''') Het is duidelijk dat de elektronen van de binnenste ringen zich niet 
exakt in een plat vlak zullen bewegen. Men kan evenwel op elk oogenblik een 
vlak aanwijzen, waarvan gedurende korten tijd de bewegingen zoo weinig moge- 
lijk afwijken. Met het baanvlak van het buitenste elektron wordt het oskulee- 
rende vlak bedoeld, zooals dat in de astronomie beschouwd wordt. Deze vlakken 
staan niet vast in de ruimte, doch veranderen van stand (precessie- en nutatie- 
bewegiugen om de as van het totale moment van hoeveelheid van beweging). 

•>) Zie bl. 71. 



§ 28*.] SYSTEMEN MKT MEERDKRIO lOr.EKTEONEN. 175 

i = 0° 
63° 

93° 
123° 

180°. 

Dit vergroot het aantal mossel ijk e banen nog meer. 

3) Invloed van een magnetisch veld. 

Zoo men zich beperkt tot termen van den 1"^ graad in de veld- 
sterkte, en de kern van het atoom als vast staand beschouwt, 
kan men den invloed van een uitwendig magnetisch veld op het 
systeem gemakkelijk in rekening brengen. Zijn xi, yi, zi de recht- 
hoekige koordinaten der elektronen, u; , vi , ivi de hoeveelheden 
van beweging, en is het magnetisch veld volgens de s-as gericht, 
dan is, in analogie met de formules van bl. 104, de funktie van 
Lagrange voor het systeem : 

en de funktie van Hamilton: 

i? = ö" 2 (■«? + ^1 + ^1) + -^ + / 2 i^i ^i -yi ^i ) 

e M 

waarin: /:= ^ , en .Q = potentieele energie. 

2 m c 

Door middel van de kontakttransformatie : 

W — ^ \Ji {Xi cos / i—iii sin / /) + Vi {xi sin yt + yi cos / t) + Wi z; 

Xi — -fY^ , enz. ; Ui = - — , enz. 
\ o Ui cXi 

kan men overgaan op het systeem X Y Z, dat ten oj)zichte van 
het eerste met konstante snelheid — / om de z-as roteert. Dan 
wordt de funktie van Hamilton i) : 

K{XYZUV W) = H—^^ = 

= II - y M, = J^X {m-j- J1+ ir?) 4- ii (X YZ) 

2 771 / 
') Zie E. T. Whittakkr, Anal, Dynamics, p. 354. 



176 SYSTEMEN MET MEERDERE ELEKTRONEN. [§ 28*. 

{M. is het moment van hoeveelheid van beweging van het sj'steem 
om de z-as). Beschrijft men dus de bewegingen met de variabelen 
X Y Z U V W, dan worden de vergelijkingen dezelfde als die 
welke gelden voor de variabelen xyzuvw bij afwezigheid van 
het magnetisch veld, wat een bekend resultaat is. De quanten- 
voorwaarden voor de bewegingen in het magnetisch veld, be- 
schreven met eerstgenoemde variabelen, zullen dus ook dezelfde 
zijn als die voor de bewegingen buiten het veld, beschreven met 
het tweede stel variabelen. Als extra quantenvoorwaarde zal men 
nu echter nog moeten aannemen dat het moment van hoeveel- 
heid van beweging M^ om de 2-as (welke de richting van het 
veld aangeeft) gelijk is aan een geheel veelvoud van hl^n (in de 
gewone eenheden uitgedrukt). 

Heeft men dus voor het sj-'steem bij afwezigheid van een 
magnetisch veld verschillende quantenbewegingen gevonden met 
energieën: E\, E-i, E^, . . . . , dan vindt men bij aanwezigheid 
van het veld dezelfde bewegingen gekombineerd met een een- 
parige rotatie om de veldrichting. Bij deze bewegingen heeft 

K{X VZ U V W) de waarden Ex, E-., E-^, ; de energie van 

het systeem is dus: 

E=H=K+y M. = El + n '^ 

I 

De invloed van het magnetisch veld op de spektraallijnen is 
dus, bij de gebruikte graad van nauwkeurigheid, dezelfde als 
l)ij het waterstof-atoom, zoodat ook hier geen middel schijnt te 
zijn om het anomale ZEEMAN-effekt te verklaren. 

4) Voor chemische beschouwingen in verband met deze model- 
len wordt verwezen naar het artikel van \"E(iAi;i).] 



§ 29. OPMERKING OVER DE QUANTENTHEORTE 
VAN ROTEERENDE MOLEKULEN. 

Voor rle theorie der soortelijke warmte van meeratomige gas- 
sen is het noodig hehalve de translatie-heweging der molekulen 
ook hun inwendige hewegingen te kennen, In de eerste plaats 
komt hierbij in aanmerking de rotatie van het molekuul als geheel; 
verder de trillingen van de atoomkernen ten opzichte van elkaar. 
Ofschoon het niet algemeen bewezen is kan men met vrij groote 
zekerheid het vermoeden uitspreken dat de snelle bewegingen 
der elektronen bij gewone temperatuur zoo weinig energie op- 
nemen, dat hun bijdrage in de soortelijke warmte te verwaar- 
loozen is i). 

De rotaties der molekulen zijn verder van groot belang voor 
de theorie van het magnetisme, voor de theorie der banden- 
spektra, enz. 

De behandeling van roteerende molekulen in overeenstemming 
met de theorie der quanta is voornamelijk bestudeerd door 
P, Éhrenfest, K. Schwarzschild en P, S, Epstein; eenigszins 
terzijde hiervan staat een studie van F. Krügek ^). 



') Men zie b.v, K, F. Herzfeld, Zur Statistik des Bohr'schen Atommodells, 
Ann, d, Phys. 51, p. 261, 1916, (Cf, beueden § 42.) 

Men denke verder aan de theorie der soortelijke warmte van een ensemble van 
harmonisch trillende oscillatoren (Planck); bij een bepaalde temperatuur is de 
energie-inhoud en de soortelijke warmte des te kleiner, naarmate de frequentie 
hooger is, 

2) P. Ehrenkest, Verh. Deutsch, Phys. Ges. 15, p. 451, 1913, — K, Schwarz- 
schild, Sitz, Ber, Berl. Akad. p, 564, 1916. — P. S. Epstein, Verh. Deutsch. 
Phys. Ges. 18, p. 398, 1916, — 

Het verband van het werk van F. Krüher (Ann, d. Phys. 50, p. 346, 1916; 
51, p, 450, 1916) met dat van Schwarzschild en Epstein zal beneden (opm, 1) 
besproken worden. 

Verder dient gewezen te worden op een onderzoek van Planck (Ann. d. Phys. 
50, p. 412, 1916). Planck volgt een geheel andere methode, en komt ook tot 
een andere quantenformule. De door hem gebezigde methode schijnt mij echter 
toe niet eenduidig te zijn; ik meen dat men met behulp van een analoge rede- 
neering als de zijne ook tot de formules van Schwarzscmild en Epstein kan 
komen, 

12 



178 



SYSTEMEN MET MEERDERE ELEKTRONEN. 



[§ 29. 



Enkele uitkomsten van hun onderzoek zullen hier kort ver- 
nield worden. 

Men neemt aan dat het molekuul als een vast lichaam be- 
schouwd mag worden, zoodat de trillingen der atoomkernen e. d. 
ten opzichte van elkaar verwaarloosd worden i). Men heeft dus 
te doen met het probleem der beweging van een asymmetrische 
of een S3'mmetrische tol, welke niet door uitwendige krachten 
wordt beïnvloed. 

Het blijkt dat men voor de bewegingsvergelijkingen een o})- 
lossing kan vindon, uitgedrukt met behulp van hoekvariabelen, 
en men kan aantoonen dat er slechts twee hoekvariabelen zijn 
tusechen welker middelbare bewegingen geen rationale betrek- 
king bestaat. Dit geldt zoowel voor de asymmetrische als voor de 
symmetrische tol, en volgt uit de algemeene eigenschappen der 
PoiNSOT-beweging ^). 

In het volgende zal de afleiding der formules gegeven wor- 
den voor een symmetrische tol; voor de asymmetrische wordt 
verwezen naar het geciteerde artikel van Epstein. 




izon 



Equator 



Fig. 8. 

OZ = vertikaal ; OX = vaste riclitiiig 
in het horizontale vlak. 

OF = figuur-as van de tol; OX' : lijn 
welke vast met de tol verbonden is. 

<r ZOF = O ; ' XN = ,j. ; ^ NX' = ./ 



•) Vergelijk niet betrekking tot het waterstof-niolekuul beneden (ipin. 'J. 

*) De PoiNSOT-beweging kan beschreven worden als de beweging van een 
ellipsoïde, waarvan het centrum vast is, en dat zonder glijden langs een vast 
vlak rolt. Het probleem vertoont een formeele analogio met de relativistische 
Ki;i'i.K.i;-ltc\v('ging, waarbij lid bmuivlak vast staat, livoials l)ij de Ki:pi.i;u-b('\vu- 



§ 29.] SYSTEMEN MET MEERDERE ELEKTRONEN. 179 

Als koordinateii worden gebruikt de hoeken van Euler: 
^^ t//, (jf (zie f]g. 8). De funktie van Hamilton wordt, hierin 
uitgedrukt: 

H^ pI, Vl (i^.-J^ .cos(>)^ 

Pas hierop de kontakttransformatie toe, bepaald door: 

Pa=^ ^^id{\ , enz.; (h= '^ ^% J\ , enz (23) 



o 



ir= ƒ rf » V PI ^ p- - *^=iA-f^ + r'. *+P3 v . . (24) 

dan gaat H over in: 

Beteekenis der ingevoerde hoekvariabelen (zie lig. 9): 
Qi =r wenteling van de tol om de figuur-as; 
Qz ^= precessie-beweging van de figuur-as om de invariabele lijn ; 
Q:i = azimuth van de invariabele lijn. 

Pi =: komponente van het moment van hoeveelheid van be- 
weging langs de figuur-as; 
P2 zz: totaal moment van hoeveelheid van beweging; 
P3 = komponente hiervan langs de vertikaal (2-as). 
Verder is: cos « = Pi/Po ; cos {^^P^jP^ i). 
Het is geschikt nog de volgende substitutie uit te voeren ^j: 

P2 = Pi -f P2 (h= Q2 I ^^^ 



ging wordt ook hier de stand van het vlak ten opzichte van een in de ruimte 
gegeven koordinatensysteem vastgelegd door de komponente der hoeveelheid van 
beweging in de richting der 2-as, en door een hoek Q3 welke het azimuth van 
de normaal op dit vlak (de „invariabele lijn") bepaalt (eventueel de stand van 
de knoopenlijn). Vergelijk § 17 en voor het geval v/d symm. tol bl. 179 en 
fig. \). 

De middelbare beweging van r/3 is O (het vlak staat vast in de ruimte). 

Opmerking. Planck (l.c.; komt tot een hiermee overeenstemmend i'esultaat; 
Pr.ANCK drukt dit uit door te zeggen: twee der drie vrijheidsgraden zijn koherent. 

') De hoeken «, <^j en Qy vormen een koordinatenstelsel van Em.EU met 
betrekking tot de invariabele lijn en de „ekliptika". Vergelijk figuur !). 

*) Zie K. Sciiw.vRzsciiii.n, 1. c. p. ófjij. 



180 



SYSTEMEN MET MEERDERE ELEKTRONEN. 



[§ 29. 



waardoor (25) overgaat in: 



^^^^^''•Wa^ + ^'^+'-'^'ya 



(27) 



Pi is de komponente van het moment van hoeveelheid van be- 
weging huigs de figuur-as; dit bepaalt als het ware de eigen- 




Fig. 9. 

OZ = vertikaal; 01 = richting vali het 
totale moment van hoeveelheid van bewe- 
ging (invariabele lijn); OF = figuur-as van 
de tol. 

- AB = ö; < DAB = -e. 
L ACB = Qi ; L DAG = Qj ; ^ BC = a ; -■ AC = p'. 
(P, behoort bij de richting OF; P^ bij de richting 01 ; 1\ 
bij de richting OZ). 



lijke rotatie van de tol. P2 kan men beschouwen als liet aandeel 
der precessie-beweging in liet totale moment van hoeveelheid 
van beweging. 

Hoeksnellioid der precessie: 



Qo W.) — 



PH:P2 

A 



(28) 



§ 29.] SYSTEMEN MET MEERDERE ELEKTRONEN. 181 

Opeiiingslioek van de precessie-kegel : 

--< = p,Ïp, <--^9' 

De beide inteiisiteitskonstaiiteii Pi en Po moeten nu gequanti- 
seerd worden; men krijgt dus voor de energie uitgedrukt in de 
quantengetallen : 

Uit formule (29) blijkt dat de openingslioek van de preces- 
sie-kegel slechts bepaalde diskrete waarden kan krijgen. 

Opmerkingen. 

1) Men kan het volgende bizondere geval beschouwen: Pi is 
zeer groot en heeft een vaste waarde ; Po is klein ten opzichte 
van Pi, en kan verschillende waarden krijgen. Dan kunnen de 
benaderingsformules opgesteld worden : 

F - pp. 

energie ^= ^~ + -^-7-- + . . = konstante + ^2 P2 + (27a) 

p 

hoeksnelheid der precessie : a»2 = ca. := konstante .... (28a) 

[openingslioek van de precessiekegel : «^ca. 1/ "_ - . . (29a)] 

Hieruit blijkt dat men in dit geval de precessie-beweging k^m 
opvatten als een kleine trilling om de stationnaire wenteling om 
de tiguur-as, voor welke trilling bij benadering dezelfde formules 
gelden als voor een harmonisch trillende resonator -). 

Dit is de gedachte die naar mij schijnt ten grondslag ligt 
aan het werk van F. Krüger •^). Zoolang men de precessie als 
een kleine trilling kan beschouwen gelden voor haar precies 
dezelfde formules als voor een lineaire resonator; bij hoogere 



1) K. ScHWARZSCHiLD, 1. c. p. 566; P. 8. Epstein, 1. c. p. .'599 (en 406). 
Epstein stelt ook nog een geheel andere quantenformule voor de tol vuor 

(1. c. p. 407); deze wijkt echter geheel af van alle hier ontwikkelde principes van 
de quantentheorie en lijkt mij niet goed te verdedigen. (Dit is ook opgemerkt 
door Prof. Lorentz op zijn kollege Quantentheorie, 191G/1917). 

2) Vergelijk in verband hiermee de algemeene formule (13) in § 26. 
2) F. Krüger, Ann. d. Phys. 50, p. 346, 1916. 



1S2 SYSTEMEN MET MEERDERE EI.EKTRONEN. [§ 29. 

teiiipei-aturen, waarde equipartitie-wet geldt, /.al een ensemble van 
systemen welke dergelijke precessie-bewegingen uitvoeren even- 
veel energie opnemen als een ensemble van lineaire resonatoren : 
R T calorie i)er grammolekuul, zoodat de soortelijke warmte der 
precessie-beweging dan gelijk is aan: i? = ca. 2 cal/gr. i). 

Bij het waterstof-molekunl mag men echter de precessie-bewe- 
ging niet als een kleiije trilling opvatten : volgens de theorie van 
BoHR en Debye is hier : Pj = 2 . hjl n (elk elektron heeft het 
moment van lioev. van beweging : /i/2 n), zoodat reeds bij kleine 
waarden van vi^ ^le hoek « groot wordt (verg. 20). Dan moet 
men wel degelijk rekening houden met het kwadraat van P2, en 
moeten formules (27) en (oU) gebruikt worden. 

2) Toepassing op hei model van het waterstof -mok l:md. 

Indien men bovenstaande formules wil toepassen o}> het model 
van het Ho-molekuul moet men zich eerst afvragen, of dit model, 
dat zeker geen vast lichaam is, ook precessie-bewegingen kan uit- 
voeren. Deze vraag is opgeworpen door Rubi^^owicz -) ; door 
hem zijn de kleine trillingen van het model om de stationnaire 
beweging onderzocht. Ziet men af van de trillingen met be- 
trekkelijk hooge („ultraviolette") frequenties (waaronder ook een 
instabiele trilling voorkomt), dan zijn voor de theorie der soor- 
telijke warmte van belang: 

«) een trilling welke overeenstemt met de reguliere precessie 
van het luolekuul; de frequentie hiervan is dezelfde als die welke 
door fornmle (28a) gegeven wordt; 

b) een trilling waarbij de beide kernen zich afwisselend naai- 
elkaar toe en van elkaar af bewegen in de richting hunner ver- 
bindingslijn, terwijl de elektronen lange, smalle ellipsen beschrij- 
ven in hun baanvlak. De frequentie hiervan is echter nog vrij 
hoog, zoodat deze trilling bij gewone temperaturen niet veel tot 
de soortelijke warmte zal bijdragen •^). 



') KiuitiKit maakt hierbij de oi)iiierking: De eigciitrilliui;- van de reguliere 
precessie van een syniinetrisch lichaam heeft de bizonderheid dat ze twee graden 
van vrijheid bezit, doch dat ze alleen kinetische, en geen potentieele energie repre- 
senteert. Aan den anderen kant heeft een lineaire oscillator slechts één graad 
van vrijheid; hier is echter de gemiddelde waarde van de potentieele energie 
dezelfde als die van de kinetische energie. 

2) A. RiJuiNOWic?, Phys. Zeitschr. 18, p. 1S7, l'.HT (zie ook boven bl. 1.55). 

^) Een schatting hiervan kan imii krijgen door de z.g. „karakteristieke tem- 



§ 29.] SYSTEMEN MET MEERDERE ELEKTRONEN. 183 

Uit liet bestaan van de „precessie-trilling" a) zou men mogen 
besluiten dat de afgeleide formules op Ho kunnen worden toe- 
gepast. Hierbij komt men echter op het bezwaar : de door Rubi- 
Nowicz afgeleide formule geldt slechts voor kleine trillingen, en 
stemt daarvoor overeen met de formules van Schwarzschild- 
Epstein. Mag men nu onderstellen dat de formules van Schwarz- 
SCHILD en Epstein ook voor groote precessie-bewegingen oj) het 
waterstof-molekuul mogen worden toegepast? Boven is reeds ver- 
meld dat voor waarden van 712 = 1, 2, enz., de openingshoek van 
de precessie-kegel een belangrijke grootte krijgt. 

Het komt me voor, dat men hierin de oorzaak moet zoeken 
van het verschil tusschen Epstein's resultaat voor de soortelijke 
warmte van waterstof en de experimenteele uitkomsten i). Dat 
men het model van het waterstof-molekuul behandelt als een 
symmetrische tol, terwijl in werkelijkheid de beide traagheids- 
momenten om assen in het baanvlak der elektronen een weinig 
verschillen, geeft, voor zoover ik kan beoordeelen, geen merk- 
bare fout in de formules. 

peratuur" behoorende bij deze frequentie te berekenen; deze bedraajjt ongeveer: 
f)^/i vjk = ca. 4, H . 10-11 . 1,9 . lOU = ca. 9000^. 

') Vermoedelijk zullen ook enkele onderstellingen welke Ei'stein gehruikt bij 
het opstellen der statistische formules nader onderzocht moeten worden; zuo b.v. 
de kwestie of /<, en n., slechts ereit, waarden kunnen krijgen (Ei'stein, l.c. 
p. 400, 403 1, en de vraag: welke gewichten moet men aan de verschillende 
(^uantenbewegingen toekennen? (^Epstein, l.c. p. 403). Men vergelijke in ver- 
band met het laatste de opmerkingen over ontaarde systemen in § 41. Beschouwt 
men de behandelde beweging van de symmetrisclie tol als de ontaarding van 
een beweging in een richtend (b.v. een elektrisch) krachtveld, dan zou men 
er toe komen aan de beweging met de quantengetalleu /^,, //^ het gewicht: 
'■2{tl^ -\- n^)-{-l toe te kennen. (Afleiding: bij aanwezigheid van een richtend 
krachtveld moet ook de komponente van het moment van hoeveelheid van be- 
weging in de richting der krachtlijnen gequantiseerd worden. Het quantengetal 
ii^ hiervoor kan alle geheele waarden van O tot en met ±_ {n^ -\- n^) doorloopen). 



§ 30. VERSCHILLENDE OPMERKINGEN. 

1) Door de onderzoekingen van J. J, Thomson en anderen 
over de kanaalstralen is gebleken dat hierin behalve neutrale, zeer 
veel positief en negatief geladen atomen en molekulen aanwezig 
zijn 1). Deze ionen ontstaan uit een neutraal systeem door de 



1) Zie o. a. J. J. ïmomson, Eays of Positive Electricity (London litl3). 
Verder artikelen van T. Retscuinsky (b.v. Aun. d. Phys. 50, p. 3G!t, 1916) en 
anderen. 

Eenige interessante resultaten van het onderzoek van J. J. Thomson zijn: 

a) Molekulen hebben zeer zelden een negatieve lading, terwijl positief geladen 
molekulen zeer gewoon zijn (1. c. p. 40). 

b) Wat de atomen betreft is bij He, Ne, Ar, Kr, Xe, X en Hff nooit een 
negatieve lading waargenomen. 

c) Bij waterstof is gevonden: //, H^ , 11^, 1/.^, H.^^, JI.^ (het laatste zeer 
zelden; 1. e. p. 40 en Phil. Mag. 24, p. 253, 1912). 

d) Atomen met Multipele ladingen. 

Kwik-atomen zijn waargenomen met 1, 2, 3, 4, 5, 6 en 7 ladingen; atomen 
met H-voudige lading moeten aanwezig zijn, doch zijn niet direkt gezien (1. c. 
p. 48). — Het maximale aantal ladingen schijnt voornl. van het atoomgewicht 
af te hangen en niet van de chemische eigenschappen (1. c. p. 53): 

//(/ (200) kan tot S ladingen hebben; 

Kr ( 82) tot 4 of 5; 

Jr ( 40) tot 3; 

Ne ( 20) tot 2; 

O (16) en N (14) tot 2, misschien zelden 3; 

He (4) tot 2; 

H (1) heeft nooit meer dan 1 lading (1. c. p. 53). 

De beide laatste resultaten zijn in overeenstemming met de theorie van BoiiR. 

e) J. .1. Thomson meent in de kanaalstralen ook nog onbekende elementen 
gevonden te hebben : een met een atoomgewicht 22 (misschien een isotoop van 
NiioN, 1. c. p. 116) en een met een atoomgewicht 3 (-\ a), 1- c. p. 115, vgl.) (Zie 
over Metaneon ook: F. Aston, Phys. Zeitschr. 14, p. 1303, 1913.) 

Opmerlcing. Met betrekking tot deze nieuwe elementen vergelijke men ook de 
reeds boven aangehaalde onderzoekingen van J. W. Niciioi.son over de spektra 
van eenvoudige atoommodelien (zie boven bl. 1.52'i; zie speciaal Monthly Notices 
74, p. 623, 1914 over de lijn /. 3729, welke in nevelvlekken voorkomt, en vol- 
<;ens onderzoekinjren van BoraciET, Faiiry en Bijisson behoort aan een element 
met atoomgewicht 3 (Comptes Rendus 6 .\iiril 1914.) 



§ 30.] SYSÏEMKN MET MEERDERE ELEKTRONEN. 185 

o|)ncinie of afgifte van een of meer elektronen ; liet aantal dei- 
elektronen dat opgenomen of afgegeven kan worden hangt ver- 
moedelijk nauw samen met de konfiguratie van het elektronen- 
systeem om de kern. Enkele onderzoekingen hierover zijn door 
BoHR gedaan; 4:ot bepaalde theoretische resultaten is hij echter 
niet gekomen (evenmin voor de kwestie der chemische valen- 
tie, die misschien verband hiermee houdt), i) 

2) Van groot belang zal het atoommodel van Rutherford en 
BoHR zijn voor de theorie der gassen en van de toestandsver- 
gelijking. Het schijnt tenminste principieel mogelijk om voor 
eenvoudige gassen zooals Waterstof en Helium theoretisch de 
bouw en de afmetingen der molekulen aan te geven, zoodat men 
de attraktie tusschen de molekulen, hun volume, enz., als bekende 
grootheden kan beschouwen, en met behulp daarvan de toe- 
standsvergelijking van het gas zal kunnen opstellen. 

Wat het volume betreft, het is duidelijk dat men niet langer 
de molekulen mag beschouwen als harde elastische bollen of 
ellipsoïden; de theorie van de botsingen der molekulen zal nu 
op een anderen grondslag gebouwd moeten worden (op een 
manier welke in beginsel overeenstemt met de theorie van Ru- 
therford en Darwin over de botsingen der alpha-deeltjes). 

Met betrekking tot de attraktie-krachten zij hier vermeld dat 
door Keesom berekeningen uitgevoerd zijn over de tweede viriaal- 
koefficient voor molekulen welke een elektrische dipool of qua- 
drupool dragen -). 

Hoe deze elementen in het periodiek systeem gerangschikt moeten worden ligt 
nog geheel in het duister. (Indien het isotopen van bekende elementen waren 
zouden ze hetzelfde spektrum moeten hebhen als deze elementen.) 

') NiCHOLSON heeft ook de spektra van sommige positief en negatief geladen syste- 
men onderzocht (zie de reeds meermalen geciteerde artikelen in de Monthly Notices.) 

») W. H.' Keesom, Versl. Akad. Amsterdam XX, p. 1390, 1406, 1912; XXI, 
p. 492, 67«, 1912; XXIV, p. 614, 766, 1916; W. H. Keesom en Mej. C. van 
Leeuwen, idem XXIV, p. 1699, 1916 (Comm. Leiden, Suppl. 24a, 24b, 25, 26, 
39a — c). 

Onder viriaalkoefficienten worden verstaan de koefficienten A, B, C, enz., in de 
reeksontwikkeling van de toestandsvergelijking, gegeven door Kamermngu Onnes: 

Deze koefficienten zijn funkties van de temperatuur. 

Men diene in het oog te houden dat het onderzoek van Keesom geheel berust 
op de klassieke mechanika en statistika, zoodat ook nergens quantenonderstel- 
lingen gebruikt z^n. 



186 SYSTEMEN MET MEERDERE EJ.EKTRONEN. [§ 3ü. 

Het laatste kan toegepast worden op waterstof, zooals door 
Këesom gedaan is. Uit een vergelijking van de theoretische 
1'ornuiles met de experimenteel bepaalde waarden wordt gevon- 
den voor het elektrisch moment van een //o-molekuul : 

.«, r= 2,03.10-26 E. S. E. cm2 i). 

Neemt men voor waterstof het model van Bohr en Debye 
aan, dan vindt men voor het moment: 

— ^ ;•' 

{Ij := afstand der positieve kernen)-); voegt men hierin: 
c; = 4,77.10-10 E. S. E. ; 6=0,586 A. E. ■>) 

dan is : «, = 2,05.10" -'' E. Ö. E. em-. 

De overeenstemming is dus bizonder goed *). 



') L.e. XXIV, p. (il4, vgl. 

*) Berekening van het elektrisch moment van liet //j-molekuu]. 

Zij het centrum van het molekuul in de oorsprong; de kernen liggen in de 

2-as up hoogte + v 'i de elektronen in de jz-as in de punten ^ = + /^ — ^ -. 

Dan vindt men voor de jiotentiaal in een punt: 



V. 



X = (j cos ff -^ jj =. (» sin (/ ; 2 = z 

-? y 3 (^* 9 Ij->- ()2 sinï «^ IA '6 (A r^ / 

,- I 47* ■" 4 7-^ 4/^ "^ 4 "7*~ ■ ■ ^ 



=:^-^(2.ï+y--ï- -9,.2sinï^, .... (I, 

Het m(dekiiiii slaat ecliter niet stil, doch wentelt met gro(jte snellieid om «Ie 
~-as. (in den tijd waarin een molekuul ongeveer zijn eigen diameter aflegt vin- 
den gemiddeld 300—400 omwentelingen plaats.) Men krijgt dus een gemiddelde 
waarde voor de potentiaal, welke berekend kan worden door het gemiddelde van 
(1) te nemen voor alle waarden van (f> van O tot '2 r. Dit geeft: 



8 r* 4 



'**•,' ''=(;.) 



5 

Derhalve: /'«= n fi"-. 

4 

•■) Deze waarde van // volgt uit de quantenformules voor het model met behulp 
van de bekende waarden van e^ m en //. 

*) Kkesom onderstelt dat de quadrupool bestaat uit 2 positieve ladingen e op 

afstand d van elkaar, en midden tusschen beide een lading — 1c. 

1 o 

Dan is: ne= ^ed"^^ waaruit: e/ = 0,*»2 A. E. 



§ 30.] SYSTEMEN MKT MEEllDERE ELEKTRONEN. 187 

Bij de berekening van Keesom is echter aangenomen dat het 
molekunl als bolvormig mag worden behandeld ; voor de diameter 
wordt uit de experimenteel gevonden waarde van de viriaal- 
koefficient berekend: 2,32.10"^ cm. Dit sluit niet aan bij het 
model van Bohr en Debye ; de afstand der kernen in het laat- 
ste is 0,586.10-^ cm; die der elektronen: 1,014,10-8 cm i). 

3) In verband met het bovenstaande kan men de vraag op- 
werpen : hoe werken in het algemeen verschillende mechanische 
systemen op elkaar in, wanneer in beide de bewegingen door 
cjuantenvoorwaarden gebonden zijn? 

Zie hierover een opmerking in § 38 (1)1. 238). 

4) Voor zoover mij bekend is heeft men het model van Ru- 
THERFORD en BoHR nog niet gebruikt ter verklaring van de 
eigenschapijen van vloeistoffen en vaste lichamen. . 

Echter dient nog wel vermeld te worden een artikel van 
J. Frenkel ^) over de elektrische eigenschappen van metalen 
en diëlektrika. Frenkel beweert op grond van het atoommo- 
del dat aan het oppervlak van elk metaal een elektrische dub- 
bellaag zetelt, welke een „inwendige potentiaal" van het metaal 
teweegbrengt, en ook een oppervlakte-spanning geeft. De ver- 
schillen in deze inwendige potentiaal bij verschillende metalen 
bepalen de kontakt-potentialen die optreden wanneer twee meta- 
len elkaar aanraken. Frenkel voert een aantal V)erekeningen 
door, en vindt met zijn theorie tennaastenbij de volgorde der 
metalen in de elektromotorische spanningsreeks •"'). 

[Eenige problemen uit de theorie der vaste lichamen in ver- 
band met de atoommodellen van Bohr zijn behandeld door Prof. 
H. A, LoRENTz op zijn kollege van 1917/18. 

Naar aanleiding daarvan zou ik het volgende willen vermelden. 
Het ligt voor de hand om te onderstellen dat de atoomkernen 



') Interessante problemen in verband met de toestandsvergelijking zijn b.v. 
ook: uit het atoommodel de kritische temperaturen van waterstof en Helium af 
te leiden. Verder te verklaren waarom waterstof zich hij lage temperaturen als 
een ét-mtomig gas gedraagt (zie o. a. de geciteerde artikelen van Kkesom). Ge- 
deeltelijk hangt dit samen met de theorie der soortelijke warmte van waterstof, 
en met de precessie-trillingen van het waterstof-molekuul, welke bij lage tempe- 
raturen zeer gering worden. 

2) J. Frenkel, Phil. Mag. 33, p. 297, 1<)17. 

=) Zie over de kontakt-potentialen ook : R. A. Mili.ikan, Phys. Zeitschr. 17, 
p. 217, 1916 (Phys. Rev. ^, p. 73, 1914; 6, p. 55, 1915). 



188 SYSTEMEN MET MEERDERE ELEKTRONEN. [§ 30. 

niet hel grootste deel der elektroiuii in de hoekpunten van het 
kristah'iister stuan, terwijl waarschijnlijk enkele elektronen, die 
misschien hanen om de verhindingslijnen der kernen beschrijven, 
de binding tusschen de verschillende atomen /.uilen vormen, 
zooals dit ook het geval is in het model van het waterstof- 
molekuul. liet is niet onmogelijk dat men hiermee de bekende 
elasticiteits-eigenschappen der materie kan verklaren. 

^'^olgens de berekeningen van Rubtnowicz i) is het waterstof- 
molekuul stabiel tegenover een verandering van den afstand der 
kernen, en wel is de elastische kracht: ƒ = — 1,35.10" f) ö dyne, 
waar () h de verandering van den afstand h der kernen aangeeft. 
De elasticiteitsmodulus is dus: 

E^= — b Ir = 0,586.10-'^.1, 35.106 = 0,0079. 
o o 

Denkt men zich een laagje bedekt met waterstof-molekulen, 
w^elke alle met de as loodrecht op de laag staan, in een kwa- 

dratisch net op afstanden van b.v. 2 A. E., dan is de elastici- 
teitsmodulus per cm^ (waarop zich 25.10^'* molekulen bevinden) : 

E— 25.10^^ . Ex — 1,98.1013 dyne/cm^ r= ca. 2.10' KG/cm2. 

Dit is van de orde van grootte der elasticiteitsmoduli van 
vaste stoH'en (staal: ca. 0,2.10^ KG/cm-).] 



') Zi.' A. R( iiiNoNMc/, I'l)ys. Zeitschr. 18, y. \'^i. IIMT. 



HOOFDSTUK V. 

VERSCHILLENDE PROBLEMEN DIE MET 
DE THEORIE VAN BOHR IN VERBAND STAAN. 



In dit hoofdstuk zullen enkele bizondere punten van de theorie 
van BoHR vernield worden, welke in verband staan met de uit- 
straling van licht en met de magnetische eigenschappen der 
atomen, o. a. met het doel te wijzen op eenige der moeilijkheden 
welke nog onopgelost zijn. 



§ 31. DE TEGENSTELLINGEN 

TUSSCHEN DE HYPOTHESEN VAN BOHR EN DE 

ELEKTRONENTHEORIE i). 

Zooals reeds is opgemerkt zijn de bij de berekeningen over de 
atoommodellen gevolgde methoden op verschillende punten niet 
in overeenstemming met de elektronentheorie. Gedeeltelijk zijn 
er principieele tegenstellingen tusschen de opvattingen van de 
theorie van Bohr en die van de klassieke theorie; aan den an- 
deren kant echter moeten sommige der gemaakte onderstellingen 
beschouwd worden als slechts te dienen ter voorloopige vereen- 
voudiging van de problemen, welke later door een meer exakte 
behandeling moet worden vervangen. De grens tusschen deze 
twee groepen kan men niet scherp aangeven. 

Volgens de elektronentheorie ondervindt een elektron dat een 
niet eenparig rechtlijnige beweging heeft, een zeer gekompli- 
ceerde reaktie van het elektromagnetische veld -). Men kan vr)or 



') [N.B. Deze i^ is bij de uitgave eenigsziiis omgewerkt.] 

2) Zie H. A. LoRENTz, The Theory of Electrons (Leipzig 1915), p. 48. 40. 

M. Abraii.\m, Theorie der Elektricitiit (Leipzig 190,'j), p. 121, vgL 

G. A. ScuoTT, Electromagnetic Radiation (Cambridge 1912), p. 23.') — 261, 
waar exakte uitdrukkingen voor de reaktie van het veld op het elektron gege- 
ven zijn, en de beteekenis der verschillende termen onderzocht is. 



liJO VERSCniI. LENDE 1'ROBLEMEN DIE MIOT DE [§ 31. 

deze reaktie eeii reeksontwikkeling afleiden, voortschrijdende 
naar de afgeleiden van de snelheid en naar de opklimmende 
machten hiervan, welke reeks te schrijven is in den vorm: 

F = -G-f K (1) 

(F, G en K moeten hier, evenals ook heneden de snelheid v, 

opgevat worden als vektoren). Hier zijn in G de termen vereenigd 

welke slechts de versnelling v in den eersten graad (en geen 
hoogere afgeleiden van y) bevatten; G is de z.g. hoeveelheid van 
beweging van het elektromagnetische veld. Yoov een in den toe- 
stand van rust bolvormig elektron dat slechts aan de oppervlakte 
geladen is, en dat overeenkomstig de onderstelling van Lorentz, 
zoo het in beweging is afgeplat wordt in de bewegingsrichting 

in de verhouding (1 •> ) ^' ^^^^^^' ^ ^^ waarde: 

G= o-^-v(l-\)-^ (2)- 

waar n de straal van het elektron in den toestand van rust is. 
De overige termen van de reeks zijn in K vereenigd ; de eerste 
en voornaamste ervan is: 

2 e- •• 
'^^=3c3'' ^"^ 

De bewegingsvergelijking voor een elektron waarop een uit- 
wendige kracht F,, werkt, luidt dus, zoo men in verband met 
de opvattingen der elektronentheorie aan het elektron geen „ware" 
massa toekent: 

F, = — F = G-K (1*) 

Men kan nu G ook opvatten als de hoeveelJieid van beweging 
van het elektron; de koefficient: 

in forinulo (2) geeft dan do grootte van do (elektromagneti- 
schej massa. Het gedeelte van F, dal aan G gelijk is dient ter 
vergrooting van de energie van het elektron '): liet andere ge- 

') Vergelijk in verbaiid liicriuce : il. A. I>oI(i;m'/, 'IMh' 'i'licdix of' i^iectruns, 
p. ai.*] en Versl. Akiul. Ainstenlum XXVI, p. USD, I'.IIT. 



§ 31.] THEORIE VAN BOHR IN VERBAND STAAN. 191 

deelte, — K, doet zich in vele gevallen voor als de kracht noodig 
om een weerstand te overwinnen die de beweging van het elektron 
ondervindt door de reaktie van het eigenveld, en houdt verband 
met de energie die naar het oneindige wordt uitgestraald. Men 
vindt nl. voor de arbeid door dit gedeelte geleverd : 



/(-K,v)rf< = -|^(vv) J+/n 



dt (5) 



waarni : 

2 e^ • 
s=^.y' (6) 

o C 

de per tijdseenheid naar het oneindige uitgestraalde energie is. 
De eerste term van vergelijking (5) verdwijnt in vele gevallen, 
b.v. • bij een periodieke beweging (bij een quasi-periodieke is ze 
evenmin van belang). De tweede term is steeds positief, en geeft 
dus een verlies van arbeid aan i). 

In de theorie van Bohr wordt aangenomen dat de uitstraling 

S en de kracht K niet bestaan. Alleen de traagheidsterm G wordt be- 
houden. Praktisch komt dit laatste hierop neer dat men aan het 
elektron een massa m toekent ; volgens de formules der relativiteits- 
theorie is dan de hoeveelheid van beweging steeds gegeven door : 

G = mv(l-^)-i (2*) 

onverschillig of men m beschouwt als elektromagnetische of als 
„ware" massa. 

De kracht die het elektron ondervindt van een uitwendig 
elektromagnetisch veld wordt op de gewone wijze in rekening 
gebracht, waarbij steeds ondersteld is dat het elektron als een 
punt mag worden behandeld; ze is dan gegeven door: 



1) Vergelijk H. A. Lorentz, The Theory of Electrons, p. 49. 
Zie ook G. A. Sciiott, l.c. 
Indien er meerdere bewegende ladingen in het systeem zijn wordt de uit- 

straling hoofdzakelijk bepaald door ., ., U>v)ï. (Zie O. W. Ki. ii \i;hsnN, 'I he 

Electron ïheory of Matter, Cambr. 11)14, p. SóHj. Zijn er dus in een atoom 
meerdere elektronen, symmetrisch ten opzichte van de kern gerangschikt (b.v. 
in een ring), dan is de uitstraling zeer gering. Men vergelijke hieromtrent J. J. 
Thomson, Phil. Mag. 6, p. <J81, 1903 (zie noot *;, bl. 4, boven) en (i. A. 
Sliiott, l. c. p. lOÜ. 



192 VERSCHILLENDE PROBLEMEN DIE MET DE [§ 31. 

f==-^|E + ^ [vM]j (7) 

Men kan dit ook samenvatten, zooals reeds in § 6 gedaan is, 
door als funktie van Lagrange voor het elektron aan te nemen : 



L = — ïu 



]/ '-l-'\+^\^-l^< •■■■(«) 



waar (jf en a de potentialen van het uitwendige veld zijn (de lading 
van het elektron is — e) i). 

Allerlei andere problemen, zooals b.v. de rotatie van een elek- 
tron, de retardeering der potentialen welke zich doet gevoelen 
indien meerdere elektronen, of elektronen en atoomkern, zich be- 
Avegen, zijn voor zoover mij bekend is nog niet in verband met 
de theorie der quanta beschouwd. Ook de magnetische werkingen 
die de verschillende deelen van een atoom op elkaar kunnen 
uitoefenen zijn nog slechts onvolledig nagegaan. 

Er dient hier nog op de volgende twee verhandelingen ge- 
wezen te worden : 

1) Th. V. Wereide, Maxwells Gleichungen und die Atom- 
strahlung, Ann. d. Phys. 52. p. 276, 1917. 

Wereide meent te kunnen aantoonen dat de gewoonlijk gege- 
ven afleiding van de formule (6) voor de uitstraling foutief is, 
en dat deze formule vervangen moet worden door: 

*"" 3 («i ld( '" ! * ' 

Voor een cirkelbeweging is volgens formule (6) <S > O ; vol- 
gens (9) is (S«, = O : volgens Wereide zou een atoom dat met een 
eenparige snelheid in een cirkel loopt geen energie uitstralen. 

De door Wereide vermelde en gekritiseerde atieiding der 
formule (6) is echter niet de eenige welke hiertoe dienen kan ; 
door Prof. Lorentz is een meer algemeene gegeven '^), en het 
schijnt mij toe dat deze volkomen tegen de kritiek van Wereide 
bestand is. — De afleiding van formule (9), door Wereide voor- 
gesteld, schijnt me echter geheel onhoudbaar; men zou met meer 



') Zie bl. 28. — De magnetische veldsterkte is hier dom- M ivangetluid. 
*) Theory of Electrons, p. 25';, vgL 



§ 31.] THEORIE VAN BOHR IN VERBAND STAAN. 193 

recht tegen haar het bezwaar kunnen aanvoeren, dat Wereide 
zelf tegen de afleiding van (6) meende te moeten inbrengen. 

2) C. W. OsEEN, Das Boim'sche Atommodel und die Max- 
WELL'schen Gleichiingen, Phys. Zeitschr. IG, p. 395, 1915. 

OsEEN komt na een lange l)erekening — die ik niet lieb kun- 
nen nagaan — tot het resultaat (1. c. p. 403): 

Wanneer men een model van het waterstof-atoom volgens Bohr 
met een zoodanige bol wil omgeven dat de vergelijkingen van 
Maxwell daarbuiten als geldig beschouwd kunnen worden, en 
wanneer de krachten die een elektron in een atoom uitoefent 
beperkt zijn op de elektrostatische en de daarbij behoorende 
magnetische kracht, moet de straal van de bol grooter zijn dan 
10-^ cm. 

In waterstofgas is de gemiddelde afstand der atomen ca. 
10~*^ cm ; hierin zou dus nergens een eenigermate samenhan- 
gend gebied zijn waarin de vergelijkingen van Maxwell gel- 
dig zijn. 

Oseen geeft nog een diskussie van zijn resultaat en spreekt 
als eindstelling uit dat het onmogelijk is het atoommodel van 
Bohr mot de elektronentbeorie van Lorentz te vereenigen. 

M. Planck heeft een vorm van de quantentheorie voorgesteld 
waarin wordt aangenomen dat de emissie van energie diskon- 
tinu, de absorbtie daarentegen Jwntinu kan geschieden. 

Het is duidelijk dat hierdoor de tegenstrijdigheden met de 
elektronentheorie niet worden opgeheven. 

Zie over deze theorie van Planck beneden § 35. 



L3 



§ 32. VERBAND TQSSCHEN DE BETDE HYPOTHESEN 
DER QUANTENTHEORIE. 

Til do theorie van Bohr kunnen de systeinen diühontlmi ener- 
gie uitstralen; daarl)ij is de frequentie der uitgezonden tril- 
lingen gegeven door de formule : 

«1 — «2 /in\ 

(zie bl. 33). 

Tusschen deze formule en de formules die de quantenbewe- 
gingen bepalen (zie hoofdstuk H, § 10), l)estaat het volgende 
verband : 

Zij de energie van het systeem uitgedrukt als funktie der 
quantengetallen n\, «o, tik'. 

« zr « (rij, 7i2 ''i/f) 

Dan zijn de frequenties der bewegingen in het systeem gegeven 
door : 



V 



1 d« 



Il è Ui 



(11) 



terwijl in het algemeen ook alle boventonen en kombinatietonen 
hiervan voorkomen (zie opmerking Hl, bl. 45). 

De „licht-frequenties" die het systeem kan uitzenden bij het 
overs])ringen uit den eenen toestand in een anderen zijn: 

^e= )^ A« (12) 

Indien de quantengetallen groot zijn kan men in het algemeen 
aannemen dat approximatief: 

du 



A« = 2 ' •-^^'.■+ (13) 

, o 'Ui 



IS. 



§ 32.] THEORIE VAN BOHR IN VERBAND STAAN. 195 

Diis zijn dan de frequenties Vg in eerste benadering dezelfde als 
de frequenties ri van het systeem, of hiin hoventonen en kombinatie- 
tonen i). 

Hiervan is door Bohr in eoii speciaal ^eval ,^ebriiik gemaakt 
bij het opstellen der emissie-hypothese -). 



Andere formuleering. 

In(hen de energie wordt uitgedrukt als funktie der intensiteits- 
konstanten P\,P.2.--- (welke met de quantengetallen samenhan- 
gen door de betrekking: ni ]t^=2 7r P'^), vindt men voor de 
frequenties fier bewegingen in liet systeem : 

en voor de lichtfrequenties die het systeem kan uitzenden bij 
het overspringen uit den eenen toestand in den anderen : 

'V = ö- 2 Tp- -^ '>^'i - -Q-.> S Y pTTT ^ ^^' ^ ^':/ + • • • (12a) 
2n i^ dPi «Stt- ij dPidPj 

= ^ri\n,-h\ j (12b) 

Beschouwt men nu voor een oogenblik h als een grootheid 
welke men willekeurig klein kan laten worden, dan gaat formule 
(12b) voor Lim.. ]t=:-0 over in: 

Lim.. iy. =: ^ )■[ . A ni (14) 

In dit geval zijn de uitgezonden lichtfrequenties dezelfde 
als of de boven- of kombinatietonen van de frequenties in het 
systeem : de formules van' de quantentheorie gaan over in die 
van de klassieke theorie ^). 



') Het eenvoudigste voorbeeld is een resonator van Pi.anck ; hier is: 
n = n/iv; dus is de „liclit-frequentie" die de resonator volgens Boiiu kan 
emitteeren: re = («, —//^)v — v of een geheel veelvoud ervan. Zie ook § 14, 
bl. 58. 

2) N. Bohr, Phil. Mag. 26, p. 12/13, 1918. 

^) Het is duidelijk dat het bovenstaande niet mag worden toegepast indien 
de funktie r. singulariteiten vertoont, zoodat ze niet in een reeks ontwikkeld 
kan worden. Dit is echter slechts bij uitzondering bij mechanische systemen 
het geval. 



196 VERSCHILLENDE PROBLEMEN DIE MET DE [§ 32. 

Opmerking. 

Zooals reeds in noot i) op de vorige bladzijde vermeld is 
zijn er gevallen waarin de energie « een lineaire funktie is 
van de qnantengetallen, en waarin bovenstaande betrekkingen 
voor alle waarden der quantengetallen exakt gelden ; zie liier- 
over bl. 58. 



§ 33. THEORIE VAN EINSTEIN OVER DE 

WAARSCHIJNLIJKHEID VAN DE UITSTRALING EN 

ABSORBTIE VAN ENERGIE. 

EiNSTEiN 1) heeft de volgende hypothesen opgesteld in verband 
met het stralingsproces: 

a) Toestandsver deelirig der systemen. 

Aangenomen wordt dat een systeem slechts in die toestanden 
kan voorkomen, welke voldoen aan de quantenformules (andere 
toestanden komen dus niet voor). Zij de energie van het systeem 
in een toestand Zg (gekarakteriseerd door de waarden: ni., , n-^s , 
. . . Uks der quantengetallen): «s- In, een ensemble van een zeer 
groot aantal N van dergelijke systemen dat in thermisch even- 
wicht is met een stralingsveld zal een bepaalde toestandsverdee- 
ling ontstaan; de relatieve waarschijnlijkheid van een toestand 
Zs Avordt gelijkgesteld aan: 

W, = rj,.c~'f^ (15) 

waar (js een z.g. „gewichtsfunktie" is, in het algemeen een funktie 
der quantengetallen (doch onafhankelijk van de temperatuur 7'). 
Deze formule kan opgevat worden als een uitbreiding van de 
formule van Maxwp:ll-Boltzmann in de klassieke statistika (zie 
ook hoofdstuk VI). 

b) Uitstraling. 

De waarschijnlijkheid dat een systeem in den tijd dt uit den 
toestand Zr in den toestand Z, overspringt onder emissie van 
de energie «,• — «s als lichttrillingen van de frequentie Vrs , buiten 
invloed van uitwendige oorzaken, zij : 

d W=Al.dt (16) 

EiNSTEiN merkt op dat deze formule herinnert aan die welke 
voor de radioaktieve processen geldt ^). 



•) A. EiNSTEiN, Verh. Deutsch. Phys. Ges. 18, p. 318, l'Jlö; 

Phys. Zeitschr. 18," p. 121, 1917. 
■■') Vergelijk de opmerking in noot * i, bl. 130 



1U8 VERSCHILLENDE l'KOBLEMEN DIK MET DE [§ 33. 

c) „Instraling". 

Bevindt een systeem zich in een .striilinf^sveld met de energie- 
dichtheid (> (/■), dan kan het systeem onder invloed der strahng 
energie opnemen of uitzenden. 

1) „Positieve instraling". Het systeem gaat uit den toestand Zs 
over in Zr en neemt daarbij uit het veld op de energie «,• — ««, 
afkomstig van trillingen met de frequentie Vj-s. De waarschijn- 
lijkheid hiervoor is: 

dW=Bl.Q{v,,).dt (17) 

2) „Negatieve instraling". Even goed kan het systeem onder 
invloed van de straling uit den toestand Zr in Zg overgaan, 
onder emissie van energie. Waarschijnlijkheid: j 

dW=Bl.n{i^r.s).dt (18) 

Deze hypothesen over het stralingsproces zijn opgesteld naar 
analogie van het gedrag van een resonator op grond van de 
klassieke theorie. 

Uit bovenstaande formules heeft Einstein o}) eenvoudige wijze 
de formule van Planck voor de verdeeling der energie over 
het spektruni der zwarte straling afgeleid. Is nl. een ensemble 
van systemen in evenwicht met een stralingsveld, dan moet: 

g,.C~'''^^'rB:.o{rr^ = g,.c~'''-^^-^'\B:..n{rr;) + Ar\...il\)) 

zijn. Hieruit volgt: 

'A^rs)= ^' (20). 

^f.s i5.s kT -1 

9r BI 

Neemt lucn nu aan dat: 

a) bij hooge temperaturen de dichtiicid der energie o (r) on- 
eincUg wordt; 

b) dat de verschuivingswet van Wiks geldt; 

<lan moet zijn: y^Bl = gr B^ (I) 

«r — «s = h i'rs ' (H) 

A'rlBl—Cvl, (Hl) 

waarin // en (J universeelc konstanien ziiii. 



§ 33.] THEORIE VAN BOHR IN VERBAND STAAN. . 199 

Hierdoor gaat (20) over in: 



e'' 



Meer bevredigend zou het zijn indien de drie betrekkingen 
(I), (II), (III) uit de quantentheorie waren afgeleid. (II) kan 
onmiddellijk worden ingevoerd als de emissie-hypothese van 
BoHR ; om tot (I) en vooral om tot (III) te komen zal men echter 
nadere onderstellingen moeten invoeren omtrent de waarschijn- 
lijkheid van het overspringen, enz. 

Opmerkingen. 

1) Vergelijkt men formule (20) of (21) met de formule van 
Planck 1), dan blijkt dat: 

AtlBr^^S 71 h V^/C^ =: S TT h/l^ (Illa) 

2) Het is interessant na te gaan wat de verhouding o is tusschen 

de „vrije straling" : Ar . dt ,en de „gedwongen straling" : Br . q . dt . 
De formules (20) en (21) geven: 

= ^r/5«^=/"^-^' — 1 (IV) 

Voor een absolute temperatuur 7'= 1500° vindt men voor: 



A = 100 u , i' = 3.1012 (ultrarood) 

l — 6000 A. E. , v = 5.10" (geel) 
P. = 1A. E. , i' = 3.1018 (R.str.) 



(ïz= ca. 0,1. 
a = ca. 10". 
a = ca. 10^-o«JO. 



') M. Planck, Die Theorie der Warmestralilung, Leipzig lJ)lo, p. 162. 



§ 34. VERSCHILLENDE OPMERKINGEN OVER DE 
EIGENSCHAPPEN DER „STRALENDE ENERGIE". 

In nauw verband met de emissie-hypothese der quantentheorie 
staan een aantal problemen over de energie der lichtstraling, 
b.v. de vraag of er werkelijk „lichtquanten" bestaan ; het foto- 
elektrisch efïekt; één-lijn-spektra, en vele andere. Enkele dezer 
problemen zullen hier kort vermeld worden ; het gegeven over- 
zicht is echter zeer onvolledig. 

a) De onderstelling dat „lichtquanten'' met energie e = h r 
een werkelijk bestaan hebben is o. a. door Einstein besproken i), 
in verband met statistische onderzoekingen over de warmtestra- 
ling, het foto-elektrisch eftekt, e. d. 

Experimenteele onderzoekingen over de ionisatie door Rönt- 
genstralen hebben Bragg tot hetzelfde resultaat geleid -). 

Zooals bekend is levert deze opvatting groote moeilijkheden 
zoo men de gewone optische verschijnselen (breking, terug- 
kaatsing, interferentie, enz., in 't kort alles wat met liet begrip 
„kojierentie" samenliangt) wil verklaren ^) i). 

b) Foto-elektrisch cffekt. 

Valt licht van een frequentie r oj) een metalen plaat, dan 
wordt deze positief elektrisch geladen tot een maximale poten- 
tiaal V, gegeven door de vergelijking van Einstein: 

e V=hi> — pe (22) 

waarin — c de lading van het elektron is, en p een konstante, 
afliankelijk van het onderzochte metaal ■'^). 

'( A. EiNSTUiN, Anii. .1. I'livs. 17, i>. l.'J'.i, litO.f). 

*) Zie Bk.\(;g, Durcligang der «, /; iiud ;'-Stralilfii ilniili .Matciic (vert. dimr 
Max Tki.k), Leipzig 11118, p. 166. 

5) Zie b.v. II. A. Lorkntz, Phys. Zidtsclir. 11, p. ."il'.t, lUlO. 
*) Over de dispersie-problemen zie meu beneden § .'JG. 
«) Cl. A. KiNsTKiN, Anii. d. I'liys. 17, p. Mf), 11)05. 



§34.] THEORIE VAN EOHK IN VEK1]AND STAAN. 201 

De maximale potentiaal V is onafhanicch'jk van de inkasiteit 
van het invallende licht, ze wordt slechts bepaald door de fre- 
quentie. Het maakt den indruk alsof trillingen van de frequentie 
f energie bij porties Ji r aan de elektronen meedeelen ; de laatsten 
verbruiken een deel der verkregen energie om uit het elektrisch 
veld van het metaal te komen, en met het overschot hr — pe 
kunnen ze tegen de potentiaal V oploopen. — Zie in verband 
hiermee beneden, f). 

Deze vergelijking is door de onderzoekingen van R. A. Mjlli- 
KAN bizonder goed bevestigd i); met behulp van haar is het 
mogelijk zeer nauwkeurig de waarde van Jbje te bepalen. -) 



c) Emissie van Röntgenstralen. 

Door de proeven van Duane en Hull 3) en van Webster ^) 
is aangetoond dat voor de emissie van Röntgenstralen van de 
frequentie v de kathodestralen een spanningsverval moeten door- 
loopen gelijk aan of grooter dan: 

V=— 5) (23) 

e 

Is dus de spanning tusschen kathode en anode gegeven, dan 
is de maximale frequentie van het door de buis uitgezonden 
„witte Röntgensjjektrum" bepaald door: 

k v,,a, = c F •^) (23a) 



') K. A. MiM.iKAN, Phys. Rev. 4, p. 73, 11)14; 6, p. 55, 11M5; 
Phys. Zeitschr. 17, p. 217, lOlG. 

*) Verwant met het bovenstaande is de z.g. fotochemkclu: cqulcaleiitie-a-el van 
Einstein; zie hierover: Ann. d. Phys. 37, p. 832, 1912, en Verh. Deutsch. Phys. 
(jes. 18, p. :n8, 1916. 

In verband hiermee zie men ook de theorie van F. Hauek over chemische 
reaktie-warmten : Verh. Deutsch. Phys. Ges. 13, ^i. 1117, 1911. 

-) Phys. Rev. 6, p. 166, 1915. 

*) Phys. Rev. 7, p. 599, 1916. 

5) In deze formule treedt geen konstante // (jp, zooals in i'orm. (22). Men diene 
hierbij echter in het oog te houden dat de koustante p in (22) van ilc orde van 
grootte van 1 Volt is, terwijl in (23) V lOOUO a 100000 Volt bedraagt. — Zie 
ook form. (24). 

«) E. RuTHERFORD (Phil. Mag. Sept. 1915) had gevonden dat bij groote K: 
Ji f' ,„n.<l e V^ is- DüANE en Hull toonen echter aan dat de door R. gebe- 
zigde methode ter bepaling van i-^^^^,. niet het juiste resultaat oplevert. 



202 VERSCHILLENDE PROBLEMEN DIE MET DE [§ 34. 

Dit geldt niet voor de emissie der „karakteristieke straling" ; 
deze wordt i)as uitgezonden zoo e Vjh een z.g. absorbtie-grens 
passeert. Neem l).v. de iT-straling, Hierin komen 4 lijnen voor: 
«',«,;)',;'; voor hun frequenties geldt: 

'V > 'V > ''" > ''"■' 

Even boven r., ligt de absorbtie-grens vj belioorende bij de 
K-reekn i). Zal een element hat'^iT-spektrum emitteeren, dan moet 
e V^hvji zijn. Cf. Webster, l.c. -). 

Een dergelijke regel geldt voor de fluorescentie der Röntgen- 
stralen. Zie hierover: 

\V. KossEL, Verh. Deutsch. Phys. Ges. 16, p. 898, 953, 1914. 

E. Wagxer, Ann. d. Phys.. 46, p. 868, 1915; Sitz. Ber. Bayr. 
Akad. p. 31, 1916. 

Verder: A. Sommerfeld, Ann. d. Phys. 51. \k 161, 1916. (Verg. 
ook beneden, f)). . 

d) „Eén-lijn-sjyekira" . 

J. Frank en G. Hertz hebben bij k\vikdamp het volgende 
gevonden ^) : 

1) de ionisatie-spanning van kwikdamp is: 4,9 Volt; 

2) worden kwik-atomen gebombardeerd met elektronen wier 
snelheid iets grooter is, dan aan een potentiaal verval van 4,9 Volt 
beantwoordt, dan zendt de kwikdamp alleen de spektraallijn: 

;. 2537 -i) 
uit. 

De frequentie van deze lijn is met de ionisatie-spanning ver- 
bonden door de formule : 

eV=hr (24) 

In verband hiermee staan analoge resultaten van Mc Lenxan 
en IIendersox en van Tate bij Hg, Cd, Zn, Mg ''^). 

'} Zie l).v. A. SoMMKHi-Ein, Ann. il. Phvs. 51, j». 12;'», IGl, IDIG. 
*) Zie voor de Z-reeks: J). L. Weuster & H. Ci.akk, Proc. Nat. Aoad. 
Sciences U. S. A. 3, p. ISf, 1917. 

^) J. Frank & (i. Hertz, Phys. Zeitschr. 17, y. t:57, vgl., 1916. 
*) Dit is de bekende „resonatitie-lijn'' bij kwikdamp vau Wooo. 
5) Mc Lknnan & Hkndkrson, Proc. Roy. Soc. A 91, p. 48.'!, 1915. 
Mc Lknnan, Proc. Roy. Soc. A 92, p. 305, 191(3. 
J. ï. Tate, Phys. Rev. 7, p. 686, 1916. 



§ 34.] THEORIE VAN BOHR IX VP:KBAXL) STAAN. 203 

Hun uitkomsten zijn in 't kort de volgende : 

Worden metaalatomen gebombardeerd door elektronen die een 
zeker potentiaalverval l^i doorloopen hebben, dan zendt de damj) 
slechts één spektraallijn uit, gegeven door de formule : 2 .^2 — 1,5. iS 
in de notatie van Paschen i). Is het potentiaalverval gelijk 
aan of grooter dan een hooger bedrag V2, dan wordt een spek- 
trum met vele lijnen uitgezonden, welke aan weerszijden der 
eerste liggen. Hierbij korrespondeert de potentiaal J\ volgens 
form. (24) met de frequentie der eerste lijn 2 . p2 — 1,5.6'; ter- 
wijl T^o tennaastenbij overeenstemt met de grens van het spek- 
trum: 1,5 . S -). 

(Verder is gevonden dat deze metaaldampen absorbtiebanden 
bezitten, waarvan de kanten liggen bij: 2 . po — 1,5.6' 

en: 1,5 .S — 2 .P). ^) 



e) Fluorescentie. — Resonaatie-spektra. 

Onder fluorescentie wordt het verschijnsel verstaan dat een 
stof waar men licht op laat vallen, zelf licht gaat uitzenden. 

In vele gevallen geldt hierbij de z.g. regel van Stokes : de 
frequenties die voorkomen in de fluoresceerende straling zijn 
kleiner dan of hoogstens gelijk aan die van de opvallende stra- 
ling. EiNSTPJiN heeft dit evenals het foto-elektrisch efiékt en de 
fotochemische werkingen in verband gebracht met de theorie 
der lichtquanten ^). Er zijn uitzonderingen op deze regel : zoo 
zendt b.v. fluoresceerende Natrium-damp ook licht uit van hoo- 
gere frequentie dan het invallende licht 5). 

Als een bizondere vorm van fluorescentie zou men de door 
WooD ontdekte „Resonantie-straling" kunnen opvatten ''). Hiermee 
bedoelt Wood dat wanneer men een damp verlicht met mono- 



') Zie: F. Pasciikn, Aiiii. d. Phys. 30, p. 74(;, 1901»; 35, p. 860, 1911. 
WoLi-F, Ann. d. Phys. 42, p. H2b, 11113. 

2) Cf. WOLI-K, l.C. 

^) [Op deze onderzoekingen over één-lijn-spektra is kritiek uitgeoefend door 
VAN DER Bijl, Phys. Rev. 9, p. 173, 1917 en door T. C. H\a:i: en R. A. Mii.- 
LiKAN, Phys. Rev. 9, p. 371, 378, 1917.] 

♦) A. EiNSTEiN, Ann. d. Phys. 17, p. 139, vgl., l^tÜ5. 

5) Cf. R. W. Wood, Physical Opties (New York 1911) p. 574. 

«) Cf. R. W. Wood, Recent Researches in Phys. Opties (New York 1913), 
p. 1, vgl. ; verder vele artikelen in de Phil. Mag. 1 ook van Dunoyer en 
anderen). 



204 V^EKSCHILLENDE PROBLEMEN DIE MEÏ DE [§ 34. 

cliromiitisc'li licht, ze een bei)aald spektruiu uitzendt, indien de 
spektruallijn der primaire lichtbron valt op een absorbtielijn 
van de onderzochte damp. De hierbij optredende verschijnselen 
zijn echter bizonder gekompliceerd. — Een paar interessante 
voorbeelden zijn : 

a) Resonantie van Jodium-damp oj) de kwiklijn /. 5460,74, 
Jodium geeft door bestraling met deze lijn een resonantie-spek- 
trum van ca. 20 a. 30 lijnen ; hiervan hebben drie een grootere 
frequentie dan de kwiJclijn ; de andere liggen aan de zijde der 
kleinere frecjuenties. De lijnen zijn doublets op regelmatig ver- 
deelde afstanden ; de afstand is echter niet konstant. Wood 
merkt op dat binnen de breedte van de kwiklijn l 5460,74 nog 
ca. 7 ahsorhtie- lijnen van de Jodium-damp vallen i). 

b) Resonantie van Natrium-damp. Indien Natriura-damj) be- 
straald wordt met het licht van de lijn D-i (de komponente met 
de grootste frequentie van het doublet), dan zendt de damp 
alleen de lijn Do uit. — Hoogstwaarschijnlijk geldt het analoge 
voor de andere komponente D^ -), 

Over het algemeen schijnt een scherp samenvallen van de 
opvallende lijn met een absorbtielijn van de fluoresceerende 
damp noodig te wezen ^). 

Voor zoover mij bekend is heeft men tot nog toe deze reso- 
nantie-spektra niet met de theorie van Buiik in verband ge- 
bracht. 

De fluorescentie der Röntgeiistralcu schijnt aan eenvoudigei- wet- 
ten te gehoorzamen. Men zie hierover de onderzoekingen van 
C. G. I>Aiik'LA *) en verder de boven onder c) genoemde artikelen. 



f) Absorbtie van straling. 

Reeds meermalen is boven de door liouji uitgcs[)i-oken hypo- 
these vermeld, volgens welke een mechanisch systeem dat zich 
in een stralingsveld bevindt, uit een quantenbeweging met 



') Cf. Recent Researches, p. 15, iJO. 

ï) \l. W. Wooi. & L. DiiNuvEK, Phil. Mag. 27, p. 1'»IS, 1'JM. 
') Cf. \[. W . \\uu\) i*t L. Di'NOYEU, l.c. — Üok: Recent Rcsearclies, p. IS. 
») Zie voornamelijk C. G. Bakki.a, Jahrb. d. Radioakt. u. Elektr. 8, p. 471, IIMI. 
Voor een overzicht van de latere onderzoekinj^en : C. (i. Bahki.a, Troe. Roy. 
Soc. A 92, 1). óUl, l'.ll»;. 

Verder vele artikelen iii de 1'Jiil. Mag. 



§ 34,] THEORIE VAN BOHK IX VERBAND STAAN. 205 

energie «i over kan springen in een andere beweging met groo- 
tere energie «2» onder absorbtie van de energie «o — «i uit 
lichtstraling van de frequentie : 

«2 — «1 
1' 

h 
Deze hypothese verklaart op eenvoudige wijze de wet van 

KiRCHHOPF. 

BoHR heeft echter nog de volgende uitbreiding hieraan ge- 
geven 1) : 

Bescliouw een model van een atoom, waarin een elektron op 
verschillende banen kan loopen. Zij «i de energie bij een be- 
paalden bewegingstoestand 1 ; « ^ de energie in een toestand 
waarin het beschouwde elektron geheel vrij is (b.v. zonder snol- 
heid zich op oneindigen afstand van liet atoom bevindt) '■^). Dan 
kan volgens Bohr het systeem (het atoom) ook licht absorbeeren 
van de frequentie : 



r> 



«oo — «1 



h 

Uit de straling wordt opgenomen de energie // r ; het overschot 

h V — (« 00 — «O 

krijgt het elektron als Jdnetische enei^gie. (Zie echter opmerking II). 
Men kan liierl)ij de volgende opmerkingen maken: 
I) In het absorbtiespektrum van een damp, bestaande uit 

dergelijke atomen, zal men moeten waarnemen : 
1) een reeks ahHorhtielvjnen: 



«2 «1 «3 «1 «4 «1 

"" h ' Tl ' h 



(A) 



welke overeenkomen met een bepaalde reeks uit het emissie- 
spektrum van de damp ; 

2) een kontinuë ahsorbtieband, waarvoor: 

^^c^-«^ (B) 



') N. Boim, Phil. Mag. 26, p. 17, 1913. 

2) In de in hoofdstuk TTI besproken problemen was steeds de energie zoo ge- 
meten, dat Urj, gelijk aan O was. Dan is m negatief, dus gelijk te stellen aan: 
ni — — Ai^ waarin Ai positief is. 



200 VERSCHILLENDE PROBLEMEN DIE MET DE [§ 34. 

Deze band strekt zich dus uit van de grens der reeks (A) 
( r,j = ^^ ï- j naar de zijde der grootere frequenties i). 

p]en bevestiging voor deze onderstelling kan men vinden : 

u) In oen onderzoek van R. W. Wood over de absorbtic van 
iVa-damp -). Wood nam waar 48 absorbticlijnen, exakt overeen- 
stemmende met de lijnen der hoofdreeks van Natrium, en boven- 
dien een absorbtieband, die zich uitstrekte vanaf de grens van 
de reeks tot in hot uiterste ultraviolet. 

{i) ]\\ (Ui absorhtiebanden, waargononicn l>ij d(> s])oktr;i dor 
Ri'intgcnstralen. 

Zio hierover: \V. Kossel, Verh. Dentscl). IMiys. Ges. 16, p. S9.S, 
953, 1914; 

E. WAciNEK, Aim. d. Ph.vs. 46. jx SOS, 1915; Sitz. Ber. Bayr. 
Akad. p. 31, 1916. 

Men vergelijke echter ook: A. So^rMERFELD, Ann. d. Phys. 51, 
p. 101, vgl., 19J0. SóMMERERLD komt tot rosultateu die naar het 
schijnt niet overeenstemmen met bovenstaande hypothese. 

Il) Volgens de onderstelling van Botir moot bij dil j)r()ces 
hot elektron oen overschot aan kinetische energie krijgen, ge- 
geven dool' de loiMinilo: 

hr — («co — «O- 

Men kan dit in verband brengen met het foto-elektrisch efiPekt, 
en de ionisatie door bestraling met Röntgenstralen. 

Zie hiervoor: P. S. Epstein, Ann. d. Phys. 50, p. S'29, 191G. 

Epstein wijzigt de onderstelling eenigszins: volgens hem kan 
het elektron het atoom slechts langs bei)aalde, door (piaiitenfor- 
iiinlos gegeven hyi)erbolische banen verlaten. Zij tle energie 

'j Indien — zuoals bijna steeds het geval is — « ^ := ü is (zie noot *), 
vorige bl.), dan is de grens van de spektraalreeks. i'ii dus de scherpe kant van 
de absorbtieband, gegeven door: 

Deze „grensfrequentie" y,j is d(! konstante term in df toniiiili' vmir de spek- 
traalreeks iy/), welke geschreven kan worden: 

Ui Ai 

2) K. W Wouh, I'liys. ()i)tics, New Vork l'.Hl, p. r)i;j. 



§ 34.] THEORIE VAN r.OHR IN VERBAND STAAN. 207 

behoorende bij een dezer hyperbol, banen : «u, dan zal het 
elektron uit de ellipt. baan met energie «, in dczo liyperb. 
haan geworpen kunnen worden, zoo: 

h r ^ «/, — «1 ^) -). 

Het elektron verlaat het atoom met de kinetische energie «/;, 
welke slechts bepaalde waarden kan hebben, gegeven door de 
quantenformules. 

Men zie hierover het geciteerde artikel. •"') 

[De breedte van ahsorhtielijnen. 

De verklaring van de breedte van absorbtielijnen zal in de 
theorie van Bohr nog groote moeilijkheden kunnen opleveren. 
In het bizonder is dit het geval met de verbreeding die samen- 
hangt met de dispersie-verschijnselen, en in de klassieke theorieën 
verklaard werd als een gevolg van het resoheeren der elektronen- 
bewegingen op de invallende trillingen, welke bewegingen door 
een of anderen weerstand gedempt worden. 

Enkele gevallen van verbreeding zullen echter gemakkelijk 
met de theorie van Bohr in overeenstemming gebracht kunnen 
worden, ]).v. de z.g. thermokinetische verbreeding (zie § 9, slot). 
Verder kan men zich voorstellen dat door de onderlinge wer- 
kingen der molekulen van een gas de quantenbewegingen in elk 
molekuul kleine (adiabatische — zie § 38) veranderingen onder- 
gaan, waardoor de energie dezer bewegingen iets gewijzigd wordt, 
en dus ook de frequentie der uitgezonden spektraallijnen. Daar 
deze „storingen" niet voor alle molekulen even groot behoeven 
te zijn, en in den loop der tijd zullen veranderen, kan hier- 
door een verbreeding van de lijnen teweeggebracht worden. 
(Vergelijk in verband hiermee ook § 25).] 



') Zie enkele opmerkingen hierover in § 24. 
') Steeds is : «;; ]> "- oc • 

3) [In verband met het bovenstaande vergelijke men de volgende artikelen : 
P. Debue, Optische Absorbtionsgrenzen, Phys. Zeitschr. 18, ]>. 428, liHT; 
J. Haktmann, Ein ausgedehntés Absorbtionsgebiet ini Spektnim der Wasser- 
ptoffsterne, Phys. Zeitschr. 18, ]>. 429, 1917; 

The spectra of Nebulae, Nature 99, p. '-'''A, 1917. J 



§ 35. OPMERKING OVER DE TWEEDE QUANTENTHEOHTE 

VAN PLANCK i). 

De bespreking van deze theorie moet liier zeer beperkt wor- 
den. Naar mij toeschijnt kan men de lioüfdgedachten ervan als 
volgt uitdrukken: 

1) De quantenformules hebben in de eerste plaats belang voor 
de statistische mechanika, ter l)epaling van een indeeling der 
faze-ruimte in elementaire gebieden -). De quantenforniules: 
P;=n;.h kuinien beschouwd worden als de vergelijkingen van 
oppervlakken : 

A ifj\ ■ ■ ■ 'ir ï>\ ■ ■ -Pr) ^= Jconfitnntr. =: n-, h (25) 

welke de faze-ruimte (do ry-yv-ruimte) in cellen verdeden. Planok 
onderstelt nu dat indien men een ensemble van gelijksoortige 
systemen heeft, en men den toestand van elk systeem voorstelt 
door een punt in de faze-ruimte, deze punten bij de stationnaire 
toestandsverdeeling in elke cel gclijbnatig over het volume dcv 
cel verdeeld zijn. De dichtheid der punten kan echter van cel 
tot cel veranderen. De formules (h'r statistisclie mechanika l)e- 
])alen slechts het totale aantal jmnten in elke cel, doch niet line 
d(!zc jaintcn in de cc;! verdeeld zijn '•'). 

' 1 Zie: M. PiANCN, Die Tlicorit; der Wiirnicstrahliinif, 2'' Aulliii^-c, I.cipzii,' 191,'!. 

^) Zie speciaal hiervoor: M. Tlanmu, Verli. i)(Mitscli. l'liys. Ges. 17, ]'■ l"T, 
4;}S, 1915 en Ami. <1. Pliys. 50, p. 385, 19 IG. 

De quaiitenfoniiules zelve van Pi..\N(;k stemmen in hoofdzaak overeen mef die 
van .S().\i.Mi:nFi;i,ii, Boiiu, enz, 

^) Zij .\' het totale aantal der systemen; \'y liet aanfalin de tdcmcntaire cel /; 

ilan wordt de waarsehijnlijklieid van een hejiaalde toestandsverdeeling / ( Xj ) 
voltjens Pi.ANCK iredefinieerd door: 



n 



Y I ■' I • * ï • ' .1 

-V , !A,!yVj! 



§ 35.| THEORIE VAN BOHR IN VERBAND STAAN. '209 

Indien een dergelijke verdeeling tot stand moet komen door 
de wisselwerkingen tusschen de systemen, zal men genoodzaakt 
zijn belangrijke wijzigingen aan te brengen in de wetten der 
meebanika en der elektrodynamika. (Reeds bij de eenatomige 
gassen geeft de tbeorie van Planck in dit opzicht groote 
moeilijkbeden. Hier moeten b.v. de wetten van de botsing der 
molekulen geheel veranderd worden, daar anders de toestands- 
verdeeling van Maxwell-Boltz.mann ontstaat.) 

2) Emissie en absorhtie van licht i). 

Planok heeft oorspronkelijk voor lineaire," harmonisch tril- 
lende oscillatoren de hypothese opgesteld : 

Een oscillator (of een mechanisch systeem), die zich bevindt in 
een stralingsveld, absorbeert kontinii en gelijkmatig energie, volgens 
de wetten der klassieke elektrodynamika; zoodra echter tenge- 
volge hiervan de oscillator een grensvlak tusschen twee of meer 
cellen' van de faze-ruimte passeert kan emissie plaats vinden -). 
De waarschijnlijkheid der emissie hangt samen met de dichtheid 
der energie in het stralingsveld (zie Die Theorie der Warme- 
strahlung p. 149). Indien emissie plaats vindt, zendt het systeem 

waarin y • = de waarschijnlijkheid a priori is dat een systeeinpunt in cel / valt (de 
z.g. gewichtsfunktie). — Is het volume der cel = G- , dan stelt Pi.ancic: 
G. — y.. /i-^ (/ = siSi-atal vrijheidsgraden van het systeem). 

Uit (I) volgt voor de absolute waaide der entropie van het ensemble: 

S = /.AogJF (II) 

De stationiuiirc toestandsverdeeling wordt gedefinieerd als de meest waarschijn- 
lijke verdeeling (maximum van //', resp. S) bij gegeven totale energie, en gege- 
ven totaal aantal der systemen (.V). Voor deze verdeeling is: 

Xi = ny.e~'^^i (III) 

g.= gemiddelde energie der punten in de cel /; a en ,J zijn konstanten die be- 
paald worden door K en door de totale energie van het ensemble. 

Deze formules kunnen ook geïnterpreteerd worden in de andere vorm der 
([uantentheorie, waarin slechts de quantenbemegbigen. als mogelijk bescliouwd wor- 
den, en alle bewegingen die niet aan de quantenvoorwaarden voldoen „verboden" 
zijn (zie § 41). \S- is dan het aantal der systemen die een bepaalde quantenbe- 
weging uitvoeren; e^ is de energie dezer beweging.] 

'i Zie: Die Theorie der Warmestrahlung, p. 148; en: M. I'i.an.k, Sitz. Ber. 
Berl. Akad 1915, p. 909. 

2) A^og eerder zal volgens Planck emissie optreden, indien een systeem- 
punt een „grenslijn" of een „lioekpuiif tiissrlicn inccnlcrc (;rllfn passeert. 

14 



210 VERSCHILLENDE PROBLEMEN DIE MET DE [§ 35. 

iii eens alle energie uit, met de frequentie van de bewegingen 
in het systeem '). 

De hypothese van Planck omtrent de emissie van licht is 
evenzeer in strijd met de formules der elektrodynamika als de 
theorie van Boiir. De theorie van Planck tracht eenigermate 
een kompromis te vormen tusschen de klassieke mechanika en 
elektrodynamika en de quantentheorio. Ofschoon men hierover 
weinig kan zeggen, schijnt het mij toch dat ze de verklaring 
der moeilijkheden en tegenstrijdigheden niet eenvoudiger maakt. 

Men vergelijke ook een ojimerking van A. Sommerfeld, Ann. 
d. Phys. 51, p. 12/13, 1916. 

Over de emissie en absorbtic van energie heeft Planck ook 
nog eenige opmerkingen gegeven in twee artikelen in de Siiz. 
Ber. Beri. Akad. 1914, p. 91.S, en 1915, p. 913. 

•) Deze laatste kwestie is door Pf.anck niet algemeen onderzocht. — In het 
artikel in de Sitz. Ber. Rerl. Akad. van 1915 geeft Planck op p. 913 ook een 
geheel andere hypothese, waardoor het spektrum van Waterstof verklaard kan 
worden. Hierover schijnen echter geen verdere onderzoekingen gedaan te zijn, 
terwijl aan den anderen kant de hypothese van Boim eenvoudiger is. 

In het bizonder heeft Pi.antk zich nog bezig gehouden niet nifceroxlr niole- 
kulen (zie Ann. d. Phys. 52, p. 'IIH, 1017). 

In het absorbtiespektruni van waterdanip komt een systeem van lijnen voor 
dat men naar alle waarschijnlijkheid moet toeschrijven aan de absorbtie van 
licht (of warmtestralen) door roteerende molekulen (zie H. RuisiiNS en Gr. Hettnkk, 
.Sitz, Ber. Berl. Akad. p. 1G7, 191GK De aanwezigheid van deze lijnen schijnt in 
strijd te zijn met de onderstelling der kontinuë absorbtie (men houde in het oog 
dat bij roteerende systemen de frequentie der rotatie tegelijk met de energie- 
inhoud van het systeem toeneemt). 

Pf.ANCK leidt echter af dat in een ensemble van molekulen met verdeelings- 
funktie W{w) (w : hoeksnelhoid der rotatie^ de absorbtie van strülen van de 
frequentie w evenredig is met: 

O ir 

(rj 

Onderstelt men nu dat IF geen kontinuë fuuktie van «j is, maar een ,.trap- 

vormig" karakter heeft i afwisselend horizontale gedeelten, waar t^ If'/^ w = (^ is, 
en diskontinuïteitenj, dan kunnen de absorbtielijnen verklaard worden. 

Zie over een mogelijke andere verklaring dezer absorbtielijnen § 22 en het 
daar geciteerde artikel. 



§ 30. DE DISPERSIETHEOIIIE VAX DEBYE EN 

SOMMERFELD i). 

Zooals reeds is opgemerkt levert de verklaring van vele opti- 
sche verschijnselen van uit het standpunt dor quantentheorie 
groote moeilijkheden. Vooral geldt dit voor de theorie van de 
breking en de dispersie van het licht. Aan don eenen kant is 
men in het onzekere omtrent de aard van het licht zelf — of 
dit op de klassieke wijze moet worden opgevat, of dat men te 
doen heeft met de z.g. „lichtqnanten" — aan den anderen kant 
staat het probleem : hoe reageeren molekulen of atomen (in het 
algemeen mechanische systemen), wier bewegingen door quan- 
tenvoorwaarden gebonden zijn, op de invallende straling? 

De hypothese van Bour heeft slechts betrek]^ing op een zeer 
speciaal geval van dit laatste probleem: nl. op het geval dat 
liet invallende licht een der frequenties bezit van het spektrum 
dat het systeem zelf kan uitzenden. In dit geval kan absorbtie 
intreden, als het systeem in een daarvoor gunstigen toestand 
verkeert (zie bl. 198). 

Hoe zit het echter indien het invallende licht een frequentie 
heeft, welke afwijkt van de frequenties van het spektrum van 
het beschouwde systeem? 2) In dit geval zal volgens de experi- 
menten — en evenzoo volgens de klassieke theorie ^) — indien 
licht gaat door een ensemble van systemen (b.v. de molekulen 
van een gas) de voortplantingssnelheid van liet licht gewijzigd 



') P. Debye, Sitz. Ber. Bayr. Akad. 191.5,- p. 1. 

A. SoMMiCRFEi.D, Elster und Greitel-Festsclirift, Braunschweig 1915, p. .549. 
P. ScHERRER, Inaug. Dissert. Göttingen 1916. 

[Samenvatting en algemeene diskussie: A. Sommerfei.u, Anii. d. Phys. 53, 
p. 497, 1917.1 

ï) Indien het systeem als geheel een translatie-beweging heeft ten opzichte 
van het koordinatenstelsel waarin de frequentie van het licht gemeten wordt, 
is de frequentie welke geabsorbeerd wordt een weinig anders dan wanneer het 
systeem in rust is. Zie hierover § 9 [vergelijk ook bl. 207]. 

=5) Zie voor de theorie der dispersieverschijnselen b.v. H. A. Lorentz, ïheory 
of Electrons, Leipzig 1909, Ch. IV. — Voor het experimenteele gedeelte b.v. 
II. ^V. WooD, Physical Opties, New York 1911, Cli. XIV, XV. 



212 VERSCHILLENDE PROBLEMEN DIE MET DE [§ 36. 

worden i) (brekings- en dispersieverschijnselen), en er heeft een 
gedeeltelijke absorbtie van energie plaats. De formules hiervoor 
worden in de klassieke theorie afgeleid in de onderstelling dat 
de elektronen door quasi-elastische krachten gebonden zijn, en 
dat ze gedwongen trillingen kunnen uitvoeren onder invloed der 
invallende elektrische golven. De absorbtie wordt teweeggebracht 
door de weerstand die de trillende elektronen bij hun bewe- 
ging ondervinden. 

Het is nu echter de vraag of een dergelijke behandeling ook 
mogelijk is, indien men onderstelt dat de bewegingen van de 
beschouwde mechanische systemen door quantonvoorwaarden zijn 
gebonden. 

Debye heeft de volgende oplossing van liet })robleem voor- 
gesteld ^) : 

Aangenomen wordt dat de invallende straling uit elektrische 
(of juister uit elektromagnetische) trillingen bestaat, evenals men 
in de klassieke theorie onderstelt. 

Zijn er geen invallende trillingen dan voert het mechanische 
systeem een of andere stationnaire beweging uit, b.v. een perio- 
dieke solutie der bewegingsvergelijkingen ^). De waarden van de 
intensiteitskonstanten van deze solutie (grootte van de baan, e.d.) 
zijn door de quanten voorwaarden vastgelegd; overigens worden echter 
de quanteitonderstellingen niet gebruikt, en wordt geheel gerekend 
volgens de klassieke mechanika en elektrodynamika. 

Het systeem kan in het algemeen kleine trillingen om de be- 
schouwde periodieke solutie uitvoeren 4). Is het systeem nu onder 
invloed van een periodieke uitwendige kracht (b.v. een invallende 
elektrische trilling) met frequentie cog, dan zal het gedwongen 
trillingen uitvoeren om de beschouwde stationnaire beweging. 
Men kan voor deze trillingen het elektrisch moment van het 
systeem berekenen •''), en Iiieruit, door het gemiddelde te nemen 

') Met voortplantingssnellieid vuu het lielit is liier bedoeld de ijnlfsoieUieid. 

») P. Dehyk, l.c. 

•' I P.i) de beschouwde systemen had men steeds niet een periodieke solutie te 
doen (eenparige rotatie van een ring van elektronen). 

*j Oplossingen in de nabijheid der periodieke solutie; zie § 'iO. 

•■"j Zijn r- de koordinaten als vektoren opgevat) der elektrische ladingen p- in 
het systeem, dan is het elektrisch moment gedefinieerd door: 



/'e = 



2 '''• ■*'■ • 



§ 36.] THEORIE VAN EOHK l\ VERBAND STAAN. 213 

voor een groot aantal sj^stemen in verscbillende liggingen, enz., 
de diëlektriciteitsEonstante van een ensemble van dergelijke 
systemen i). Hieruit volgt op de bekende wijze de voortplan- 
tingssnelheid der elektrische trillingen door het ensemble als 
funktie van de frequentie cog -). 

Debye heeft deze berekening uitgevoerd voor het model van 
het waterstof-molekuul, en is tot een formule gekomen welke 
zeer goed overeenstemt met de experimenteele bepalingen van 
de brekingsindex van waterstofgas ^). 

ÖOMMERFELD heeft een meer algemeene behandeling gegeven 
voor een molekuul met axiale symmetrie, dat bestaat uit een 
aantal kernen die op de symmetrie-as liggen, en een aantal 
elektronen welke rondloopen op een cirkel om deze as *). 

Door ScHERRER is de dispersie onderzocht van waterstof wan- 
neer de bewegingen der elektronen door een konstant mag- 
netisch veld gestoord zijn (dispersie van de elektroitiagnetische 
draaiing van het polarisatievlak). De door hem afgeleide formule 
stemt goed overeen met de metingen van Siertsema hierover 

(l.C.) 5). ^^ 

Het zij veroorloofd de berekeningen zelf hier niet weer te 
geven. 

Slechts zij vermeld dat de algemeene vorm der formule voor 
de brekingsindex x luidt: 

-^' = 1 V'' S4^-^^") (20) 

waarin X het aantal molekulen per volume-eeiiheid is; s het 
aantal elektronen per molekuul. De grootheden Cki zijn nume- 



') Voor nadere bizonderheden van deze berekeningen wordt verwezen naar de 
geciteerde artikelen van Dn:r!YK en Sommkhfeld. 

-) Cf. Dküvi: en 8ojiMi:RKEt.n, 1. c. Zie echter ook beneden, opmerking '2. 

^) P. Derye, l.C. 

'•) Deüye en Sommkukeii) hebben ook de dispersie-formule voor Helium vol- 
gens dezelfde methode berekend, in de onderstelling dat de beide elektronen van 
het Helium-atooui op eenzelfde cirkel rondloopen, diametraal tegenover elkaar. 
De gevonden formule stemt echter, zooals zij opmerken, niet overeen met de 
experimenteele resultaten (l.c.) [Zie ook A. Sommereei.d, Ann. d. Phys. 53, p. 
557, 1917 1. 

^) [SoMMERi-Ei.ii lieeft op de berekeningen van Sci[erueh kritiek uitgeoefend; 
zie Ann. d. Phys. 53, p. 500, 1917.] 

^1 A. SoMMERKELij, Elster und Geitel-Festschrift, p. 576. 



214 VERSClllLLKNDK J'KOKLEMEN DiK M KT DK [§ o(3. 

rieke konstanten; de w/.; zijn de eigenfrequenties der klciiu' 
trillingen vuu het systeem om de beschouwde periodieke 
solutie 1). 

Bij de berekening is verder een demping der trillingen }»rin- 
cipieel verwaarloosd, zoodat men geen al)Sorbtie heeft, en de 
dispersie normaal verloopt. 



In V(!rband niet de theorie van Dep.yk en Som.mekfeld kan 
het volgende opgemerkt worden: 



*) Opmerkinrieu hij formule (26). 

1) De algemeenc uitdrukkiiif^ voor de koordiiiaten vuur een oplossing in de 
nabijheid van een periodieke solutie is gegeven in i? 2t;, tbrnuile (lOV Fit deze 
formule blijkt dat de frequenties der kleine trillingen om de periodieke solutie 
t.o.v. een koordiuatenstelsel, dat niet met de oorspronkelijke periodieke solutie mee- 
gaat lin de ijewone gevallen: een koordinatenstelsel dat niet met de onfi;estoorde 
cirkelbeweging der elektronen meeroteert) in het algemeen van den vorm zijn: 



'k l ■ 



±1.0^ ^Wj. (A) 



waar w de frequentie is van de ongestoorde periodieke solutie, terwijl de groot- 
heden uj^=t>i. I — 1 de zoogenaamde karakteristieke exponenten zijn. — Men 
kan de grootheden o>^ . . .o),. . . . opvatten als rle frequenties der kleine trillingen, 
„beschouwd van uit de periodieke solutie". In de gewoonlijk voorkomende ge- 
vallen, waar de periodieke solutie een eenparige cirkelbeweging der elektronen 
is, zijn dit de frequenties, beschouwd van uit een koordinatenstelsel, dat met 
de elektronen meeroteert; in dit geval heeft in tormule (A) / alleen de waarden 
O en 1. Zie hierover een opmerking van A. .Sommicui'ki.ü, j.c. p. ö77. (Zie ook 
boven, bl. 148, B). 

2) In de klassieke dispersietheorie i Lürentz, DüihpK) beschouwt men de elek- 
tronen als isotroop, quasi-elastisch gebonden; in dit geval komt men tot een 
dergelijke formule als ('26), echter zijn dan de koeilicienten ('=1. In de theorie 
van J)i;itvK en SoM.MiiRrKi.ii heeft men daarentegen te doen met trillingen om een 
stationnairen bewegingstoestand; de elektroifen zijn dan als het ware anisotroop 
gebonden, wat tengevolge heeft dat de ("s niet meer gelijk aan 1 zijn. 

Men kan dit aldus interpreteeren: In <le theorie van Duiuje staat in de tellers 
der breuken eenvoudig .V maal het aantal elektronen per molekuul .v; in de 
theorie van Dkiiyk en SoMMiiru'Hi.i) is het aantal .v vervangen door het „schijn- 
bare aantal" .v^^^ = C/^^ .y , wat niet noodzakelijk een geheel getal behoeft te zijn. 

J. Kocii had reeds uit zeer nauwkeurige metingen der dispersie in waterstof 
en lucht de gevolgtrekking gemaakt dat het aantal elektronen per molekuul in 
de formule van I)hi;i)k niet steeds een geheel getal kan wezen. In de theorie van 
Dekve en SoMMiiurEi.D vindt dit een ongedwongen verklaring. (P. Dküvi;:, l.c. 
p. li); A. SoMMiiHi Ki.h, l.c. p. 576 [en Ann. d. Phys. 53, p. 4!I7, 1917J). 



§ 36.] THEOKIE VAN liüHR IN VERBAND STAAN. 215 

1) Zooals boven reeds vermeld is, wordt l)ij de berekening geen 
gebruik gemaakt van quantenonderstellingen, l)ehalve voor de 
bepaling van de absolute grootte der banen. — De berekening 
berust geheel op klassieken grondslag. 

De vraag doet zich dus voor : Is dit in overeenstemming met 
de grondgedachten der quantentheorie? De groote onzekerheid 
die heerscht omtrent den vorm der principes van de quanten- 
theorie maakt echter een beantwoording dezer vraag tenminste 
voor het oogenblik bijna onmogelijk. Juist in gevallen als dit 
waar een systeem beïnvloed wordt door een veranderlijke .uit- 
wendige kracht zijn de gebruikelijke formuleeringen der quan- 
tenhypothese ongeldig. 

De vraag: kan een systeem, waarvan de bewegingen door 
quantenvoorwaarden zijn vastgelegd, kleine trillingen om deze 
beAvegingen uitvoeren, moet dus voorloopig open blijven. 

[Het komt mij voor dut men om deze vraag te kunnen be- 
antwoorden, probeeren moet of het mogelijk is de gedwongen 
bewegingen op te vatten als grensgeval van vrije bewegingen 
van een uitgebreider systeem, daar men voor de vrije bewegin- 
gen van een mechanisch systeem in het algemeen quantenfor- 
mules kan opstellen. Daartoe kan men onderstellen dat de z.g. 
„uitwendige krachten" die op het gegeven systeem (I) werken, 
uitgeoefend worden door een ander systeem (II), dat met het 
eerste op de een of andere wijze gekoppeld is i). Indien men 
de koppeling tusschen (I) en (II) zeer zwak maakt, doch aan de 
bewegingen van (II) een groote intensiteit geeft, zal (II) een 
merkbaren invloed op (I) uitoefenen, terwijl omgekeerd (II) door 
(I) slechts weinig gestoord wordt. Gaat men tot het grensgeval 
over, dan komt het tenslotte op hetzelfde neer alsof op (I) be- 
paalde krachten werken, welke gegeven funkties van den tijd zijn. 

Wil men nu quantenvoorwaarden invoeren, dan moet men 
eerst die voor het totale systeem (dat ontstaan is door de kop- 
peling van (I) met (II)) opstellen, en daarna onderzoeken waarin 
deze overgaan, wanneer men de koppeling onbeperkt laat af- 
nemen, en tegelijk de bewegingen van (II) sterker en sterker 
maakt, door bepaalde quantengetallen — nl. die welke om zoo 
te zeggen behooren bij de vrijheidsgraden van (II) — steeds 
grooter te nemen. 

'j Zie liieruver een mededeeling in de Versl. Akad. Auist. XXVI, p. 702, 1917. 



216 VEKSCHILLENDE 1'KUBLEMKN DIK M I;T [)K [§ 36. 

Voor (Ie nadere uitwerking en een eenigszins algenieene be- 
handeling dezer gedachte wordt verwezen naar het geciteerde 
artikel. — Hier zij slechts kort een voorbeeld gegeven van een 
systeem dat kleine trillingen om een evenwichtsstand of een 
stationnairen Ijewegingstoestand kan uitvoeren, en waarop een 
periodieke uitwendige kracht werkt. Zij de funktie van Lagkange 
voor het systeem: 

en zij de uitwendige kracht: i^= J cos (.s i + ^o); de ontl)ondene 
hiervan in de richting der koordinaat f//,. : F^ = ;'a- F. De be- 
wegingsvergelijkingen voor de koordinaten f//, zijn dan: 

d / dLi \ dLj ^ , , . 

— ( - -^ ) - — = F, = y, A cos f,s- t + e,) .... (6) 

In i)laats van deze uitwendige kracht voert men nu een hulp- 
systeem (II) in, mot de LAGRANGE-funktie : 

Ln= l ix^-f^^x^ (c) 

Hierin is .c een koordinaat welke een periodieke l)eweging uit- 
voert en de kracht F bei)aalt. Men kan dan veronderstellen 
dat beide systemen gekoppeld zijn, en dat de funktie van La- 
gkan(;e voor het resulteerende systeem luidt: 

L = L, -^ Ln+ iix^Yuqk {d) 

k 

De funktie : A = ,« x -l';';. q^. bepaalt de koppeling tusschen de beide 
S3''stemen ; ,u is een parameter welke men kleineren kleiner kan 
nemen om de koppeling willekeurig zwak te maken. De bewe- 
gingsvergelijkingen luiden nu: 

„ ( , ■ ) --^ -t^yicx (e) 

> at \ i) qi- / (* qi; 

^": .;■— s-'.t-=.(2-;';,7/, ' (ƒ) 

A- 

/t ;-/..'• is dus gekomen in de plaats van Fi,-. Daar ,u zeer klein 
is en .'■ groot (zoodaf lim. nx een eindige, dorji kleine grootheid 



§ 36.] THEORIE VAN P.OHR IX VERBAND STAAN. 217 

is), zal men in vergelijking (ƒ") liet tweede lid, als zijnde klein 
van de tweede orde t.o.v. het eerste, mogen verwaarloozen ; men 
heeft dus: 

x=Co cos{stï-eo) ig) 

De vergelijking (c) gaat dus over in {b), zoo men ,u C'o := .1 
neemt. 

Stel dat men nu de vergelijkingen (e) geheel heeft opgelost, ' 
dan zal men voor iedere koordinaat qk een uitdrukki^ig vinden 
van den vorm : 

qk — A* h Co cos {S t-\- ëo) + 2: i^ki d cos [to; t~{-£i) . . . {Jl) 

i 

De eerste term in het tweede lid stelt voor de gedwongen 
trilling; de termen van de som zijn de vrije trillingen van het 
beschouwde sj^steem (1). Vat men echter het residteerende systeem 
in het oog, waarvan (g) en (h) tezamen de oplossing vormen, dan zijn 
natuurlijk alle trillingen als vrije op te vatten. ■ — De konstanten 
Co, Cl, 0-2, ... Cf zijn de amplituden der trillingen. Voert men 
als hoekvariabelen in : 

QQ=st + ëo ) ,. 

Q- == 0Jit-\- ëi\ 

dan kan men de quantenvoorwaarden opstellen volgens de for- 
mule : 



Voor de Qi heeft men : 

2 TT 

o 
voor (^0 bij verwaarloozing van {fi C'o)^ 

2 ;c 



ƒ 



• d C 
d Qr, . ;l' ^z-yr = /r S C',^ ^^ ïto ^^ i'>n) 



O 



Bij verwaarloozing van /<" ])lijken dus de beide groepen van 
quantenvoorwaarden geheel onafhankelijk van elkaar te zijn. 



218 VERSCHILLENDE PROBLEMEN DIE MET DE [§ 36. 

De formules (/) Ijepalen 6'i, Co . . ; uit {;m) volgt voor C'o : 



4=K' 



TT S 



over in : 



►Stelt II Kil liiii. uCo = Iin). /< 1/ " =--1, dan guat {k) 

' TT H 

qi, = §K-^ COS {st-\- 5o) + 2: f]fri d (iii ) cos Qi («) 

Men komt dan tot hetzelfde resultaat als hetgeen door de 
klassieke theorie wordt geleverd. Praktisch kan men .1 als kon- 
tinu veranderlijk beschouwen. 

Hierin ligt dus een rechtvaardiging van de rekenmethode 
gebezigd door Debye en Sommekeeld i). Om het dispersiepro- 
bleem geheel in overeenstemming te brengen met het hier be- 
handelde zou men de elektrische trillingen welke op de gas- 
molekulen werken, moeten opvatten als de eigentrillingen van 
een mechanisch systeem. Dit zou b.v. kunnen geschieden door 
het stralingsveld te beschouwen in een holle ruimte met volko- 
men geleidende wanden, waarin het gas is opgesloten. De be- 
wegingen van de elektronen in de molekulen en de eigentril- 
lingen van het elektromagnetische veld zullen elkaar dan weder- 
keerig beïnvloeden; kan men al deze bewegingen berekenen, 
dan is het mogelijk (|uantenformules op te stellen, welke zoowel 
de elektronenbewegingen in de molekulen als de elektrische 
trillingen van het veld vastleggen. De dis})ersieformule komt 
hier dan te voorschijn als een betrekking tusschen de frecpientic 
van de elektromagnetische hoofdtrillingen van de ruimte en hun 
golflengte -). 



• ) Zie over de kwestie der instabiele trilliiigeu beneden onder ó). 

t) Is de dichtheid van het gas eindig, dan zal men liier niet de verwaarloo- 
zingen kunnen toepassen, welke hoven gemaakt zijn (schrappen van termen met 
|tï|. Het aantal termen b.v. in het tweede lid van vergelijking (ƒ) is dan gelijk 
aan of een veelvoud van het aantal molekulen, welk aantal toeneemt naarmate 
'men de afmetingen der ruimte vergroot om n kleiner te maken. Dit heeft ten 
gevolge dat men het tweede lid niet willekeurig klein kan maken, hetgeen ook 
te verwachten is, daar aaders de aanwezigheid van het gas geen invloed zou 
hebben op de frequentie der eigentrillingen van de ruimte, en er dus geen dis- 
persie zou zijn. — Bij de quantenformules kan zich iets dergelijks voordoen. De 



§ oH.J THEORIE VAN liOhlK IS VKKBAND STAAN. 219 

Bij (leze berekeningen diene men wel in liet oog te houden, 
dat ondersteld is dat geen resonantie optreedt tussclien liet systeem 
(I) en het systeem (II), resp. het systeem van uitwendige krachten. 
Het is mogelijk dat indien dit laatste wel het geval is, men 
volgens andere methoden te werk moet gaan ; in ieder geval zijn 
dan de lienaderingen waarvan hoven gebruik is gemaakt niet 
meer geldig. 

Op de dispersietheorie van Debye en Sommerfeld heeft dit 
echter geen direkten invloed, daar deze slechts opgesteld is voor 
een gebied dat ver van de resonantie-frequenties aHigt. (Zie in 
verband hiermee Ijeneden, 3) en 4)).] 

2) Moeilijkheden leveren verder op : 

a) de onzekerheid omtrent de aard van het licht zelve : 

b) het probleem : mag men uit de gemiddelde waarde van het 
elektrisch moment der molekulen op de klassieke wijze de pola- 
risatie en de dielektriciteitskonstante berekenen? Volgens de 
theorie van Bohr mag het stralingsveld van een systeem niet 
volgens de formules der elektrodynamika berekend worden, en 
als ik me niet vergis, heeft men hier toch met een eenigermate 
verwant probleem te doen. Men heeft wel het vermoeden geuit, 
dat de hypothese van Bohr omtrent de afwezigheid van uitstra- 
ling van energie slechts zou gelden voor de bewegingen die aan 
de (juantenvoorwaarden voldoen (dus voor de ongestoorde l)ewe- 



berekening verloopt dus minder eenvoudig dan boven is aangegeven; de prin- 
cipes blijven echter geheel dezelfde. 

Ook wanneer men bij dergelijke berekeningen termen van de tweede orde, enz., 
in aanmerking wil nemen, worden de formules ingewikkelder, vooral wanneer de 
.,uitwendige krachten" (resp. de koppeling met het systeem (Il)j de perioden der 
bewegingen van het systeem (I) beïnvloeden. 

Algemeen kan men echter tot het resultaat komen : eefi mechanisch systeem^ 
waarvan de bewegingen door (juantenvoorwaarden zijn gebonden^ kan meetrillen mei 
uitwendige krachten; de juiste vorm der bewegingen en der quantenvoorwaarden. zal 
men in elk speciaal geoal moeten nagaan door een hulpsj/deem in te voeren dat met 
het eerste gekoppeld irordt^ en dan een grensproces toe te passen. 

(In § 4 van het artikel in de Versl. Akad. Amst. is hier eenigszins luchtig 
overheen gegaan, doordat aangenomen is dat men alle voorkomende grootheden 
naar opklimmende machten van /< kan ontwikkelen. Indien evenwel n of ^k^, enz., 
voorkomt in de periode van een goniometrische funktie zou dit moeilijkheden 
kunnen opleveren. Het begrip superpositie is daar misschien in te ruimen zin 
gebezigd.) 



220 VERSCHILLENDE PROBLEMEN DIE MET DE [§ 36. 

ging in liet bovenstaande geval); bewegingen die echter niet 
aan de qiiantenvoorwaarden voldoen, zooals de gestoorde bewe- 
ging (de gedwongen trillingen om de periodieke solutie), zouden 
energie kunnen uitstralen in overeenstemming met de formules 
der klassieke theorie i). 

Speciaal zij verw^ezen naar een kritiek welke C. W. Osekn -) 
geeft O}) de theorie van Debye en Sommerfeld, vooral in ver- 
band met het niet geldig zijn der vergelijkingen van Maxw^ell. 
(Zie ook boven bl. 193). 

OsEEN zegt dat de voornaamste opgave der dis^^ersietheorie 
door het werk van Debye en Sommerfeld nog onopgelost is 
gebleven : nl. te bewijzen dat de voo^-tplanting van het licht in 
een gas beheerscht wordt door een differentiaalvergelijking 
van het bekende type, en dat de verschijnselen aan het opper- 
vlak gehoorzamen aan de bekende, experimenteel bevestigde 
wetten. 

3) De formules geven niet de absorbtie en de anomale dis- 
persie. 

Öm deze te verklaren zou men ergens een demping der elek- 
tronen! )e weging moeten invoeren ; hoe dit echter geschieden kan 
zonder in strijd te komen met de eigenschappen van het mole- 
kuul, is niet bekend-^). 

é) De „resonantie-frequenties", waarl)ij de brekingsindex een 
singulariteit vertoont, zijn volgens formule (26) — indien men 
deze zoover extrapoleert — de frequenties loj^i der oplossingen 
in ile buurt van de beschouwde stationnaire beweging. Deze fre- 
quenties zijn in het algemeen niet dezelfde als de frequenties 
der spektraallijnèn w^elke het systeem kan uitzenden. 

Bij elektrisch lichtgevende ivatcrstof (H-atomcn) heeft men echter 
anomale dispersie waargenomen in de buurt der spektraallijnèn 

') Cf. een opincrkin;;- vim A. Sommkui i;i.ii. Aini. d. Pliys. 51, \k l"!. r.'ll!. 
Verder N. Bonn, riiil. .Mag. 26, p. 2;{/24, Hll;J. 

|Men zal deze kwestie moeten herzien in verband niet hetgeen op bl. 218 is 
opgemerkt.1 

») C. W. OsKEN, IMiys. Zeitschr. 16, ).. 396, 405, IHlf). 

^) \. S(tMMi:ni-Ki.i) (1. e. p. hll) maakt de opmerking dat de afgeleide dispersie- 
iormiile shschts op grooten afstand van ile emissie- en absorbtielijnen en voor 
normale dispersie geldig is. 



§ 36.] THEORIE VAN BOHR IN VERBAND STAaN. 221 

die fle waterstof zelf kan uitzenden i) ; hier vindt ook absorbtie 
plaats -). 

De dispersie kan in de omgeving van de lijn H,, voorgesteld 
worden door de fornnile: 

/' = ."o+ r^V')- • • • ^27) 

Deze formule heeft dus een singulariteit voor : 

frequentie . van het invallende licht (w,. )= frequentie van 
de Ujn iZ, . - (28) 

^"olgens de theorie van Bohr wordt de frequentie van de lijn 
Hfi bepaald door het verschil in energie tusschen twee quanten- 
bewegingen van het waterstof-atoom ; in de eene is de inten- 
siteitskonstante pj = 3 . /i/2 n ; in de andere is Pi =: 2 . /i/2 n . De 
formule voor de frequentie van H^, luidt: 



4 TT^m e^ /l 



r^X2^--p)^> (2^) 



Aan den anderen kant vindt men voor de frequenties w/. van 
de kleine trillingen om een stationnaire elliptische l)eweging, 
waarvoor Pi = a . /t/2 n is : 

_ 8 ttS TO e4 

Voor geen enkele waarde van k of n is een frequentie m^ gelijk 
aan w,,. 

De anomale dispersie in de omgeving der lijn H„ kan dus niet 
door de theorie van Debye en Sommkrfeld verklaard worden. 



') Zie voor literatuur over anomale dispersie ia de nabijheid van spektraallijnen : 
H. M. Konen, Das Leuchten der Gase und Diimpfe (Braunscliweig 1913), y. ;30G. 
Speciaal voor Wafer.siof: R. L\L)ENBUR(i, Pliys. Zeiischr. 12, p. 10, lltll. 

Over anomale dispersie in Natriunidamp in de buurt der /-'-lijnon: o. a. 1). 
RosciiDESTWENSKY, Ann d. Phys. 39, p. .'307, 1012; verder vele ouderzoekiiigeu 
van R. W. Wood (Physical Opties). 

-) Cf boven bl. Sd, 2), waar ook eitaten opgegeven zijn. 

=•) Voor de lijn H .j geldt een dergelijke formule; de konstante /) is bij // .j 
ca. 10 maal kleiner dan bij //„ (Pt. Ladenisijrh, ]. c). 

»l Zie § 17, bl. 82, 83. 



222 VERSCiriLLKNDE PROBLEMEN DIE MET DE [§ 36, 

5) Door Mej. H. J. van Leeuwen is er op gewezen dat één 
der kleine trillingen welke voorkomt in de berekening van Debye 
over de dispersie van waterstof, instabiel is ^). 

Men komt hier dus voor een nieuw prol)leem te staan: mogen 
de instabiele trillingen op dezelfde wijze l)eliandeld worden als 
de stal)iole? Men zou verwachten dat na een tijdelijke werking- 
van .een uitwendige kracht op bot systeem de instabiele bewe- 
gingen niet zullen ophouden, en dat het systeem uiteen zal vallen -). 

Door Mej. van Leeuwen zijn verschillende methoden onder- 
zocht om deze instabiele trilling te doen verdwijnen; voor do 
aldus stabiel gemaakte systemen zijn dispersieformules berekend, 
welke echter veel minder goed met de experimenteel gevondene 
blijken overeen te stemmen dan de formule van Debye. 

Een s{>eciale methode is nog nagegaan door C. Davtsson en 
door J. M. Burgers 3). Hierl)ij is het model stabiel gemaakt 
door als kinematische relatie in te voeren dat het moment van 
hoeveelheid van beweging van elk elektron steeds gelijk moet 
blijven aan h/'Z n . De afgeleide dispersieformule stemt echter 
evenmin goed overeen met de experimenteole formule. 

Zie in verhaiid hiermee hetgeen oj) 1)1. 14;") en 140 is oi)ge- 
merkt omtrent de invoering dezer kinematische voorwaarde. 

l)c' oorspronkelijke berekening van Debve, waarin de insta- 
biele trillingen op dezelfde wijze behandeld zijn als de stabiele, 
heeft bij het model van het waterstof-molekuul de beste resul- 
taten gegoven. Evenzoo is er goede overeenstemming voor de 
rotatie-dispersie, welke door Scherrer berekend is ^y. 

[Tn verband met hetgeen boven is opgemerkt omtrent de be- 
handeling van de gedwongen trillingen (zie l>ij oj)merking 1), 
en met de in § 26, Noot Tl, ontwikkelde beschouwingen over 
instabiele systemen, krijgt echter ook deze kwestie een geheel 
ander karakter. Het komt mij voor dat men ook hier (h' door 



') Mej. H. J. VAN LiïEUWEN, Vers]. Akad. Amsterdam XXIV. p. 1047, liUó/K). 
Zie ook: A. SoMMEurELD, 1. c. p. 577 en: A. Ri iunowk /. Pliys. Zeitschr. 
18, p. 1S7, 1017. 

*) Mej. H. .1. VAN Li;i;i WKN, 1. e. p. IO.'jS. 
ï) C. Davisson, Phys. Rev. 8, p. i^O, 19KJ. 

J. M. BciiOERS, Versl. Akad. Am.sterdam XX\', ]i. 404, 191G. (Zie ook een 
opmerking in de Engelsche vertaling hiervan — l'roc. Aoad. Amst. XIX, 
p. 4ö<S — over het artikel van Davisson.) 
♦) [Zie noot •"•), 1»I. 2i;i.| 



§ 36.] THEORIE VAN BOHIl TX VERBAND STAAN. 223 

Debye gevolgde methode van berekening als juist moet aanne- 
men. Om dit toe te lichten zou ik het volgende voorl)eeld willen 
geven, waarin de beïnvloeding van een eenvoudig instabiel 
systeem door een periodieke uitwendige kracht wordt nagegaan. 
Zij de IjAGRANGE-funktie van het instabiele systeem: 

L, = l (.r2 -h /-^ .'•"), 

waarvoor de algcmeene oplossing is: 

X r= C\ cosh {Jd-\- £[) . 

De koordinaat x neemt onbegrensd toe; de beweging is insta- 
biel. De vorm der quantenvoorwaarde voor een dergelijke bewe- 
ging is niet l)ekend ; men zal echter kunnen aannemen dat 
voor een bepaalde waarde van het quantengetal (l).v. de waarde 
nul) de amplitude Cy gelijk nul is, zoodat er geen beweging 
plaats heeft. 

Wordt dit systeem nu beïnvloed door een periodieke uitwen- 
dige kracht (b.v. door elektrische trillingen), dan moet men 
zooals in de toevoeging aan opmerking 1) is uiteengezet, onder- 
stellen dat deze uitwendige kracht uitgeoefend wordt door een 
tweede systeem dat met het eerste gekoppeld is, en dan de be- 
wegingen van het resulteerende systeem onderzoeken. Voor de 
LAGRANGE-funktie van het tweede systeem kan men nemen: 

Zy/ = ^ \\j^ — s~ y~),. en voor de koppelingsfunktie : ). = /t x y, zoo- 

dat men voor het resulteerende systeem heeft: 

1 ,-. , •.. , 1 



L 



= 2 (^^■^+^^) + 2 ^^'^ •'"' - «^ 2/' + 2 /^ .^• y). 



Verwaarloost men kwadraten, enz., van de kleine parameter «, 
dan vindt men voor dit pro])leem als algemeene oplossing: 

' u Co 

i X = C'i cosh (/d + fi ) — ^i , ^^. cos {st + t-2) 

y = -^ ^^^, cosh {kt + t-i ) + Ca cos {st + f2 ) 

Daar er twee graden van vrijheid zijn moet men twee (pian- 
tenvoorwaarden invoeren om de konstanten C\ en Co te be- 
palen. De tweede luidt, zooals steeds voor harmonische trillingen : 



224 VERSCHILLENDE PKOÜLKMEN DIE MET DE [§ 36. 

7tCls{=2TrP2) = n2 h. 

De vorm vaii do eerste is onbekend ; men zal deze echter zoo 
kunnen kiezen dat 6'i = O is, zoodat men een stabiele bewe- 
ging lieeft. Om mi over te gaan tot het grensgeval van ge- 
dwongen trillingen moet men het qnantengetal v^ grooter en 
grooter nemen, en tegelijk de koppelingskoefïicient^ ;< khMiier en 
klcintM' : stoK men : 

Wm.A/ "^^'^F 

' TT S 

dan luM^ft men tenslotte de oplossing in den gewonen vorm: 

F 

^ cos (st + eo) 



S2 + k^ 

Neemt men nog l)Ovendien de hypothese aan dat de beide 
ingevoerde quantengetallen onafhankelijk van elkaar kunnen 
veranderen (wat zeer waarschijnlijk is), dan komt men tot het 
resultaat (hit het beschouwde systeem van uit een toestand van 
rust kan overgaan in een toestand van meetrillen en omgekeerd, 
zonder dat er gevaar is voor het optreden der instabiele bewe- 
ging, daar hierbij slechts het quantengetal n^ verandert, zoodat 
C'i steeds gelijk nul blijft.] 

6) Voor andere molekulen' (Helium — Debye, So.mmerfeld; 
Zuurstof en Stikstof — So.mmeiïfeld, 1. c.) is liet niet gelukt goede 
disi)ersieformules af te leiden. Dit zou echter aan onze onbe- 
kcndlieid met den bouw dezer molekulen kunnen worden toe- 
geschreven. 

[Men vergelijke hiervoor echter het laatste artikel van Som- 
MERFELD, Auu. d. Phys. 53, p. 497, 1917, speciaal Kap. III. De 
modellen welke Som.mei^feld aanneemt voor Oo en .Vo hel)ben 
eenige gelijkenis met het model voor Ho', in de onmiddellijke 
nabijheid van elke kern bevinden zich nu echter 4 elektronen; 
de overige looi)en in een ring tusschen beide kernen. Bij Water- 
stof heeft dus de ring 2 elektronen, bij Zuurstof 4, bij Stikstof 0. 

Wat de quantenformulès betreft komt Som.mkki'kli) lot liet eigen- 
aardige resultaat, dat in een ring van 2 n elektronen ht't moment 
van hoeveelheid van beweging van ieder elektron de waarde: 

P = 2 >T ^'' 



§ 36.] THEORIE VAX BOHR TN VERBAND SÏAAN. 225 

moet hebben. In verband met de algemeene gedachten die ik 
hier heb uiteengezet, lijkt mij dit zeer vreemd; veel meer zou 
ik voelen voor de onderstelling dat alleen het totale moment van 

de geheele ring een geheel aantal malen ,^t— behoeft te zijn, doch 

^ TC 

dat het moment van een afzonderlijk elektron wel een gebroken 
aantal malen dit bedrag mag wezen. Dit kan bij So>rMERFELD's 
resultaten vrijwel even goed aansluiten, zooals uit bijgaand 
tabelletje blijkt (zie het gecit. art. p. 546): 

P disp. , . Hz O2 N2 

hj'ln ^'"'P''-^- 1,10 1,47 1,74 

(Sommerfeld): l/T=i,00 1^2 = 1,41 1/3 = 1,73 

(gebroken quantenge- 
tallen voor de afzon- 
derlijke elektronen) : - = 1,00 ^ = 1,50 ^ = 1,67 ^) 

Met betrekking tot de hier opgeworpen onderstelling zou ik 
nog willen opmerken dat volgens de heerschende opvattingen 
de quantenformules steeds moeten worden toegepast op het 
geheele mechanische systeem, en niet op de afzonderlijke deelen. 
Dit blijkt b.v. zeer duidelijk uit de invloed die de beweging van 
de atoomkern bij waterstof op het spektrum heeft (zie § 18), 
Zie ook noot i) op bl. 138.] 

7) In verband met de dispersieproblemen zij hier nog even 
gewezen op de theorie van J. J. Thomson over de verstrooiing 
van Röntgenstralen (zie: Conduction of Electricity throiïgh Gases, 
p. 255). 

Thomson onderstelt dat de elektronen meetrillen met de in- 



') Hierbij is aangenomen dat het totale moment van de elektronenring be- 
draagt bij i/, : 2, bij Oj : (5 en bij N'^ : 10 quanta. 

Op p. 549/550 geeft Sommerfei.d op voor /V O (dat een ring van 5 elek- 
tronen moet bebben): moment per elektron: p disp. = 1^1^ . hl2;t. 

Geeft men aan de geheele ring 8 quanta (als het ware 5 voor de stikstof, 
en 3 voor de zuurstof), dan vindt men hiervoor: 1,6.// 2 7f; met 9 quanta voor 
de geheele ring: l,8./i/2.r. 

SoMMUUFEi.D geeft de formule: -p- (3 1/ Ü + 2 j/ 2) . hft ;i — 1,G1 . 7^/2 ,t. 

15 



226 VERSCHILLENDE PROBLEMEN DTE MET DE [§ 36. 

valk'ii(k' Ivüritgeiistriilen — (hierbij worden de kraeliten die het 
elektron aan liet atoom l^inden verwaarloosd, daar de frequentie 
der invallende trillingen zeer hoog is, en dus de traagheidsreakties 
veel grooter zijn dan deze krachten) — en dat ze daarbij energie 
uitstralen volgens formule (6) van § 31, welke energie onttrokken 
wordt aan de invallende straling. 

Deze theorie is door C. G. Bakkla met goed gevolg toegepast 
ter berekening van het aantal elektronen in een atoom; zie bl.'17, 
noot 3). 

Verder is hiermee nauw verwant de theorie van de'diffraktie 
en reflektie der Röntgenstralen door kristallen (Laue, Bragg.) 

J>ij een herziening van de dispersietheorie zal men ook (»p 
deze kwestie moeten letten. 



§ 37. OPMERKINGEN OVER DE MAGNETISCHE 
EIGENSCHAPPEN VAN HET ATOOMMODEL. 

A^olgens de algemeen geldende opvattingen doet een rondloo- 
pend elektron, evenals een gesloten elektrische stroom, een 
magnetisch veld om zich heen ontstaan. In eerste benadering — 
voor groote afstanden tot de baan van het elektron — is het 
veld hetzelfde als dat van een magneetje met moment: 

," = -^' (31) 

(<S' = opjjervlak van de baan; t = omloopstijd ^) ). De as van het 
magneetje staat loodrecht oj) het baan vlak. 

Is j)^ het moment van hoeveelheid van beweging van het elek- 
tron, dan is: S/r = p^ /2 m, en dus: 

(31a) 



2 me 



Neemt men p^, = n . h/'2 n , zooals bij de behandelde atooni- 
modellen steeds werd aangenomen, dan vindt men: 

u r= ca. 5 n magnetonen -) (32) 

Men zou dus verwachten dat alle atomen — of tenminste de 
eenvoudige modellen : II, He, Li, en het IZ^-molekuul '^) — sterh 
magnetisch zijn, terwijl hiervan experimenteel niets gebleken is : 
H2, He en Li zijn diamagnetisch'^). 



') Deze formule geldt voor een exakt periodieke beweging. Zie voor de aflei- 
ding noot I bij deze paragraaf. 

2) Cf. H. Stanley Allen, Proc. Roy. Soc. A 90, Meeting 19 March 1914, 
p. 17/18. Verder twee artikelen van Tii. v. Wereiue, Ann. d. Phys. 52, p. 283, 
289, 1917. 

^) Bij meer gekompliceerde atomen is het misschien mogelijk dat de elektronen 
gedeeltelijk in tegengestelde richtingen loopen, en eikaars werking opheffen. 

*) Het waterstof-molekuul zou 10 magnetonen moeten bezitten (Cf. W. H. 
Keesom, Versl. Akad. Amst. XXIV, ]>. 02'), litl.")); men vergelijke hiermee de 



228 VERSniILLEXDE PROBLE^[EX DIE MET DE [§ 37. 

Nu hangt de vraag naar het magnetisch gedrag van een stof 
(b.v. van een gas) samen met de vraag: welke invloed oefenen 
de verschillende molekulen of atomen op eikaars bewegingen 
nit, en met statistische problemen. 

VoiGT heeft de volgende beschouwingen ontwikkeld i) : 
Indien men de molekulen als gyroskopen opvat van onvcr- 
anderlijken vorm, welke gyroskopen elektrische ladingen dragen, 
en door liun rotatie een magnetisch veld veroorzaken, kan nuMi 
drie gevallen onderscheiden: 

a) De molekulen beïnvloeden eikaars rotatie-beweging in geen 
enkel opzicht. Dan treedt alleen een diamagnetisch effekt op. 

b) Door de botsingen der molekulen wordt wel de richting- 
van de rotatie-as beïnvloed, doch niet de rotatie-snelheid. In dit 
geval gedraagt het gas zich paramagnetisch. 

c) Indien bij de botsingen ook de snelheid der rotatie-beweging 
voortdurend gestoord wordt, treedt in het geheel geen magne- 
tisch effekt op. 

In hoeverre de bewegingen van de elektronen in de atoom- 
modellen van Rutherford en Bohr beschouwd mogen worden 
analoog te zijn aan de rotaties van gyroskopische molekulen 
verlangt nog een nader onderzoek -). 

Neemt men echter voorloopig aan dat er een volkomen ana- 
logie bestaat, dan komt het er nog op aan uit te maken met 
welke der drie bovengenoemde gevallen men te doen heeft. 
Vermoedelijk zal het antwoord hierop luiden : met geval b). Wal 
men ook aanneemt omtrent de wijze waarop de verschillende 
molekulen eikaars inwendige beweging beïnvloeden, het is tocli 
zeer waarschijnlijk chit de ligging van het l)aanvlak dor elek- 
tronen voortdurend veranderd wordt •'). Aan den anderen kant 



waarde gevonden voor liet /.uurstof-inolekuul : 7 magnetonen, voor het yzer-atooni : 
11 magnetonen, enz. 

') Geciteerd naar: II. A. Lniii:.NT/,, Kncykl. Matli. Wis.s. V, 14, p. 231 (1003). 

2) Volgens VoKiT i^Ann. d. Pliys. 9, p. 11'), 1;hI2 - cf. M. A. Lorentz, l.c.) 
schijnt dit niet steeds het geval te zijn. 

^) Bij het waterstof-niolekuul ligt dit zeer voor do hand: men denke slechts 
aan de afstooting tusschen de kernen der verschillende molekulen. — Bij //- en 
//(?-atomen kan men zich voorstellen dat wanneer twee atomen langs elkaar 
vliegen het magnetisch veld van het eene atoom een precessie-beweging van het 
baanvlak der elektronen van het andere doet ontstaan, en omgekeerd. — (l)it 
effekt is echter naar ruwe schatting zeer gering. Een atoom met /i* magnetonen 



§ 37.] THEORIE VAN BÜHIC IN VEKKAND STAAN. 229 

loopeii in tien tijd waarin twee molekiüen elkaar voorbij vliegen 
de elektronen zoovele malen rond, dat men wel mag aanne- 
men dat de rotatie-snelheid der elektronen gemiddeld niet wordt 
beïnvloed i). 

Indien dit juist is zouden dus Ho, He, enz., paramagnetisch 
moeten zijn, in tegenspraak met hetgeen wordt waargenomen. 

Er doen zich derhalve de volgende problemen voor: 

1) waardoor zijn H^ , He, enz. niet paramagnetisch? 

2) hoe komt het dat bij die elementen welke wel paramag- 
netisch zijn, de eenheid van het magnetisch moment van het 
atoom — het magneton — vijf maal zoo klein is als het magne- 
tisch moment van een elektron dat met een moment van hoe- 
veelheid van beweging van 1 quantum — A/2 n — rondlooj^t? 
Bestaat er werkelijk verband tnsschen het magneton en dit mag- 
netisch moment, of is dit slechts een toevallige uitkomst? 

Sommige onderzoekers hebben de hypothese uitgesproken dat de 
kern van het atoom een magnetisch moment bezit, en dat dit de 
magnetische werking der elektronen geheel of gedeeltelijk opheft 2). 

In ieder geval blijkt dat het probleem van het magnetisch ge- 
drag der atoommodellen nog verre van opgelost is •^). 



heeft op een afstand van 2 A. E. een magfietisch veld van de urde van grootte: 

,«* . 10* Grauss. De hierdoor teweeggebrachte precessiesnelheid is van de orde 

van grootte: lO"" izie noot II hij deze paragraaf). Neemt men nu in aau- 

o 
merking dat Helium-atomen de afstand 2 A. E. gemiddeld in ca. 2.1Ü ' ^ sek. 

afleggen, dan blijkt dat de totale draaiing van het baan vlak van de orde 0,1 a 1 

graad is). 

') Bij waterstof-mol ekulen is het aantal malen dat de elektronen rbndloopen 
gedurende den tijd waarin twee molekulen elkaar voorbij vliegen naar een riiwi' 
schatting van de orde van grootte: 100 a 1000. 

De rotatie-snelheid der elektronen is bovendien door quantenvoorwaarden 
gebonden; men zal dus moeten aannemen dat zoodra de molekulen elkaar ge- 
passeerd zijn deze snelheid precies dezelfde waarde heeft als te voren. (Vermoe- 
delijk mag men aannemen dat een overspringen van uit de; cene quantenbeweging 
in een andere bij een „botsing" van twee molekulen praktisch niet voorkomt). 

"-) Zie: H. (t. Stani.i.y Ai.lkn, Proc. lioy. -Soc. A 90, i.c. p. 17/18; 

1'hil. Mag. 29, p. 40, 140, 1915. 
Til. V. Wkhkiih., Ann. d. Pliys. 52, p. 28.j, 1917. 

=') E. Ri'THEHKORr) (Proc. Roy. Soc. A 90, I.c. p. 19) maakt de opmerking 
dat het sterke magnetisch gedrag van Ff en A/ vermoedelijk samenhangt met 
de rangschikking der elektronen aan het oppervUd- van liet atoom, daar het in 
hooge mate afhankelijk is van de pliysische en chemische toestand der atomen 
(allotropie, verbinding met andere elementen, enz.i. 



230 VEKSClllLLKNDE l'KOBLKMEN DIE MET DE [§ 37. 

Diamag iietisme van Waterstof, IIcUuvi en Lithium. 

Men kan onderstellen dat door nog onl)ekende oorzaken de 
paramagneti.se] ie werkingen niet tot uiting komen, doeli dat 
wèlalle atomen waarin elektronen rondloopen een diamagneiisch 
efFekt vertoonen, volgens de theorie van Langevin (1904). De 
grootte van de diamagnetische susceptibiliteit is evenredig met 
het totale oppervlak *S*/ der elcktronenbancn in het atoom, en 
is gegeven door de formule: 

Ï,._-A,,,. ^^-^-^- (00) 

Voor de aHeiding dezer formule zie men noot 11 bij deze pa- 
ragraaf. 

Neemt men voor e en ejm de 0}) ]A. "So gegeven waarden, 
dan is: 

_ ■/ ^ — t),8.10'' . .S', (33a) 

Nu is gevonden : 

voor Waterstof (77.): — z^ = 2,7.10-6 a 2,9.10" « i) 
„ Helium {He): 39,2.10-« ^) 

„ Lithium \U): 4,2.10-6 3) 

Hieruit volgt voor het totale oppervlak der elektronenbanen: 

Waterstof: ^'< = ca. 4,1 A. E.- 
Helium : 58 A. E.2 

Lithium : 6,2 A. E.- 

[Jit het model van Deüve berekent men vooi- het waterstof- 
molekuul : 

St — ca. 1,6 A. E.- 

Dit stemt (his niet overeen. Ook de voor Helium gevonden 



1) II. KA.MKRi,TN(;n Onnes & A. Pküuikr, Coimii. Leiden, N°. 122a, p. 10, 
lüll ; P. Pascal, Comptes Rendus 158, p. 1895, 11)14. — Over liet liier besproken 
probleem is ook iets opgemerkt door Jcn Isiiiwaua, Proc. ïókyö Math.-Phys. 
Soc. (2j 8, p. 181, r.ll.5. 

2) Paui. TaNzi.ER, Ann. d. Phys. 24, j). !»;H, lüll. 
') Pascal, l.c. 

Opmerfiinr/. Volgens Pascal is de diamagnetische susceptibiliteit der elementen 
in hun verbindingen een periodieke funktie van het atoomgewicht (of atoom- 
nummer); ze wordt dus vermoedelijk bepaald door de buitenste elektronen van 
het atoom (evenals de eliciiiische eigenscliappen, e.d.). 



§ 37.] THEORIE VAN V.OUll IN VERBAND STAAN. 231 

waarde lijkt veel te groot om met liet utoommodel in overeen- 
stemming te kunnen zijn. 



Xoot L 

Magnetisch veld van een elektron dat in een periodieke baan rond- 
loopt. 

Breng een rechthoekig koordinatensysteem aan, waarvan de 
oorsprong in of zeer dicht bij de baan ligt. De koordinaten van 
het elektron zijn § ?/ C; deze worden als zeer klein beschouwd 
tegenover de koordinaten .r y z van het punt waar men het 
magnetisch veld wil kennen. 

Neemt men aan dat de snelheid van het elektron klein is t.o. 
van de lichtsnelheid, dan vindt men voor de gemiddelde waarde 
der x'-komponente van de vektor-potentiaal in het punt .f y z: 



',= Lim ^ldt.^^^^\{x-^r + iy~vï' + {z-^^)T''--(^) 



o 



T 

Lim -J,- (dt .=^\^+ -\ {X ^l + y >i 1 4- 2 C i) 1 . . . (II; 



Nu is: 



Lim ■ -^ j dt .'i ^^ Lim ^ '^-^^^^-^ =z o , 
o f 

\^ fdt . ,^ I . < Lim ^ff- - O \ 



(lil; 



Lim 

1 

o 



Ir S 

Um ,j, jdt.ti^ = — ^- j 



o 

T 



(IV) 



Lim j dt .'C'i ^=-{- 
waar Sx 6^ S^ de projekties van het oppervlak van de Ijaan 



232 VERSCHJLLEXDE i'KOBLEMEN DIE MET DE [§ 37. 

(van het juiste teeken voorzien) op. de drie kuoidinaat-vlakken 
voorstellen. Hieruit volgt tenslotte voor «,i-: 

a,= -<=(.-y^' + '-Sy) . .(V) 

Analoog voor üy en a^. 

Het mae:netisch veld is dus hetzelfde als dat van een elenien- 
tair-magneetje, waarvan de as loodrecht op het baanvlak staat, 
en dat het moment heeft: 

u^-'^ (VI) 

t* T 



j^OOt II. 

Invloed van een aitwendig ruaynctiscJi veld op de beweging van 
een elektron om een, atoomkern (verg. hoofdstuk IH, § 20). 

N^olgens bl. 104, formule (46) kan de funktie van Hamilton 
voor de beweging van een elektron om een atoomkern bij aan- 
wezigheid van een magnetisch veld steeds tot den vorm herleid 
worden : 

i/=K(P)=-^^;pf h/p. (Vil) 

Deze loniiuie is ook geldig wanneer de sierkte van iiel mag- 
netisch veld, en dus de grootheid /, een funktie is van den tijd. 

Hieruit volgt dat de twee elementen van de baan Pi en P,j 
steeds konstant zijn, ook als het magnetisch veld verandert i). 



') Bewijs. Uit de funimles der elektronuiitheorie volgt dat de beweging vau 
een elektron in een willekeurig elektromagnetisch veld steeds beheersclit wordt 
door de in ;? (! gegeven L.vGRANUK-funktie (ook als het veld veranderlijk is\ 
Hetzelfde geldt dus van de LAORANcnc-funktie (44) in i< 20 welke slechts een 
bizondere vorm is van de eerste. De transformatie van Hamilton om van de 
LA(iUAN{ii:-funktie op de funktie van Hamilton over te gaan is steeds mogelijk, 
ook wanneer t expliciet in deze funkties voorkomt (zie b.v. Wiiittaker, Modern 
Analysis, Cambr. 1917, p. 263.) Dus geldt de funktie van Hamilton (45), § 20, 
ook in het geval van een veranderlijk veld. Daar tenslotte de kontakt-trans- 
formaties welke gebruikt zijn om van (4.5) op (4(5) te komen, de grootheid y 
iiicl bevatten en dus iiirl expliciet van / afhankelijk zijn, is ook (^40) steeds geldig 
wanneer / veranderlijk is (verg. Wiiittakli;, l.e. j). 309). 

P, «Il Pj zijn liiir ailiabatische invarianteii. Vergelijk ij 3S. 



§ 37.] TllEOKlE VAN liOHK IN VKKBANI) STAAN. 233 

De middelbare beAveging der variable Qi, do grootte van de 
baan, en de helling van liet Ixianvlak ten opzichte van het 
.f «/-vlak veranderen derhalve niet indien men een magnetisch 
veld aanzet. 

De eenige invloed van het magnetisch veld is dat het baan- 
vlak een precessie-beweging krijgt om de z-as (vooruitgaan der 
knoopenlijn) : 

t,= ^^^=y') (VIII) 

Berekent men nu de gemiddelde waarde van de vektor- 
potentiaal over een tijd T, zoo groot dat de knoopenlijn zeer 
vele malen rondgedraaid is -), dan vindt men : 

T 

Lim Idf. ^1 = ^ = 0, enz (JX) 

o 
r 

Lim l dt. ij'i — ^ — ^^\Ss' (X) 

O 

Het atoom gedraagt zich dus als een magneetje met moment : 

e 



c 



(^ + ¥^^'^0 ^-^" 



waarvan de as gericht is langs de 2-as van het koordinalen- 
svsteem (dus volo-ens de richting: van het uitwendig magnetisch 
veld). 

Heeft men te doen met een gas, bestaande uit atomen wier 
baanvlakken alle dezelfde grootte hebben, doch gelijkmatig over 
alle mogelijke standen verdeeld voorkomen, dan is: 

,s;=o |^' = i|^'| . (XII) 

Men vindt dus voor de totale magnetisatie per grammolekuul 
(event. per gramatoom) 

-NAv.-r—e.S, (XlIT) 

4 TT C 

I') Deze beweging van de knoopenlijn is identiek niet hetgeen men gewoonlijk 
aanduidt als de versnelling of vertraging van de elektronenbeweging door de 
induktie-werkingen bij het aanzetten van het magnetisch veld.J 

*) Voor een magnetische veldsterkte M = lÜOO Gauss is y ongeveer 9.10» ; de 
tijd 7' kan dus b.v. 0,0001 sek. zijn. 



234 VERSCHILLENDE PROBLEMEN DIK MET DE [§ o7. 

(.'11 vuur (k' iliaiiKi^'iirlisclio sii.sc'C'i)ti1iilik'it : 

ludiüii iiK'ii te doen heeft met atomen of molekulen die 
meerdere elektronen bevatten, waarvan de baanvlakken parallel 
zijn, inao- men met groote waarschijnlijkheid aannemen dat de 
diamagnetische werkingen der verschillende elektronen geaddeerd 
worden. Men komt dus voor de susceptibiliteit tot de formule : 

8 TT m c- 

waarin »S de som der absolute waarden der oppervlakken van 
alle elektronenbanen in het systeem voorstelt. 



HOOFDSTUK VI. 

ADIABATLSCHE BEÏNVLOEDING VAN EEN 

MECHANISCH SYSTEEM. 

OPMERKINGEN OVER STATISTISCHE 

PROBLEMEN. 



§ 38. BEÏNVLOEDING VAN EEN MECHANISCH SYSTEEM 
DOOR UITWENDIGE KRACHTEN. ADIABATISCHE 

BEÏNVLOEDING. 

Do aanleiding tot de volgende opmerkingen is een hypothese 
opgesteld door Ehrenfest over de z.g. omkeerbiiar-udiubatische 
veranderingen van een mechanisch systeem i). 

Indien een mechanisch systeem onderworpen is aan de werking 
van uitwendige krachten blijven in het algemeen de bewegings- 
vergelijkingen van Hamiltox niet meer geldig. De berekeningen 
van hoofdstuk II kunnen dan niet worden toegepast, en men 
kan — tenminste volgens de tegenwoordige stand der theorie — 
geen quantenvoorwaarden invoeren. Er is nog geen methode be- 
kend om deze problemen aan te passen aan de quantentheorie ^). 

Er bestaat evenwel een bizondere wijze van beïnvloeden waarbij 
de vergelijkingen van Hamilton hun geldigheid wel behouden ; 
dit geschiedt in vele gevallen waarin de beïnvloeding bestaat in 
een langzame verandering van bepaalde parameters die in de 
funktie van Hamilton voorkomen. 



») P. Ehrenfest, Versl. Akad. Amsterdam XXV, p. 412 vg]., l'.HÜ. 

(= Ann. d. Phy.s. 51, p. 327, 1916). 
[2) De beïnvloeding door periodieke krachten, waarmede men te doen heeft bij 
het probleem der dispersie, is besproken in § ."Xi. lil. 215 — 218.] 



236 ADlAIiATISCHE BEÏNVLOEDING [§ 38. 

Als V()()i-l)ec]<I kun o.a. het volgende genoemd worden: 
De l)e\Yeging van een elektron in een elektromagnetisch veld 
wordt heheerscht door de LAGRANGE-funktie : 



L^=^ — m c- 



(zie § 6). Deze funktie geldt — op grond van de vergelijkingen 
der elektronentheorie — ook indien de vier potentialen: g;, a^ 
a,;, «r funkties van den tijd t zijn i). 

Uit L leidt men met behulp der bekende transformatie van 
Hamiltox de funktie van PIamiltox af: 



H = 



,,+„,,. (]/r+-i-:x(p„+^-:f-i) . . r.) 



De transformatie van Hamilton mag ook toegepast worden 
in het geval dat in L (en dus in H) t expliciet voorkomt -). 

Dus is de funktie van Hamilton (2) ook geldig zoo het elektro- 
magnetische veld veranderlijk is ^). 

Men stelle zich nu voor dat een elektron in een gegeven 
konstant elektromagnetisch veld een bepaalde beweging Bq uit- 
voert. Dan kan men door de parameters ai , ao , . . . die het veld 
bepalen onenidig langzaam te veranderen van de oorspronkelijke 
waarden «lo, a-^o, • . • naar waarden «u , a2i , . . , de gegeven be- 
weging Bq van het elektron in een nieuwe ^i doen overgaan. 
De konstanten die de beweging Bi bepalen kan men met l)ehulp 
van de vergelijkingen der meclumika berekenen uit de konstanten 
der beweging Bq, zoo de variaties der parameters a],a2... l>e- 
kend zijn 4). De variaties dezer konstanten zijn onafhankelijk van 
de wijze waarop de variatie der parameters plaats vindt, mits 
de laatste slechts oneindig langzaam geschiedt. 

Deze wijze een mechanisch systeem te beïnvloeden definieert 
EiiKENFEST als: reversibel-adiahatiscJi ^). 



») K. SciiWAK/.bi iiii.i), (Jütt. Naclir. Matli. Tliys. I\l. l'.HJ.]. bl. 127; 

(j. A. ScnoTT, Electromagnetic Radiatioii (Cambr. 191'2), p. 284, verg. (456). 
») Zie b.v. E. T. Wihttaker, Anal. Dynamics, Cambr Utl7, p. 26:5. 
•■') Ditzclfdf! bewijs is voor oen iiicor spociaal jjoval reeds boven gegeven (in 
noot • ) op 1)1. 2:52). 

*) ('f. .1. M. Hir<(ii;i{s, Versl. Akad. Amsterdam \XV, p. Sf)!, IKK). 
5) r. EriuKNi' IJST, 1. c. 



§ 38.] VAN EEN MECHANISCH SYSTEE^f. 237 

Ehrenfest heeft nu de hypothese uitgesproken : indien de 
oorspronkelijke beweging Bo voldoet aan do quantenvoorwaarden, 
zal dit ook het geval zijn met elke bewoging Bi die door oon 
adiabatisch-reversibele transformatie er uit is afgeleid. 

Geeft men de quantenvoorwaarden in den vorm (zie hoofd- 
stuk II, § 10): 

Pi = ni .hl2 7T (3) 

waar Pi . . . P^ de z.g. intensiteitskonstantcn der beweging zijn, 
dan kan de hypothese aldus uitgedrukt worden : 

De grootheden : Pi , P^ , . . ■ Pk zijn invariant tegenover een 
adiabatische beïnvloeding van het systeem (4) 

Indien deze hypothese juist is zou men er uit mogen afleiden 
dat de reversibele adiabatische processen geheel volgens de klas- 
sieke mechanika behandeld mogen worden. Dit zou een middel 
aan de hand doen om weer een belangrijke schrede verder door 
te dringen in de „quanten-mechanika". 

Een groote steun voor deze onderstelling is de verschuiving swet 
van W. WiEN, welke betrekking heeft op de adiabatische kom- 
pressie van straling. Ofschoon deze te midden van de quanten- 
theorie der straling staat, is ze geheel langs klassieken weg- 
afgeleid 1). 

Ehrenfest heeft bewezen dat in bepaalde gevallen de quan- 
tenvoorwaarden niet verbroken woorden bij een adiabatische be- 
ïnvloeding 2) ; naderhand is door Burgers een algemeen bewijs 
gegeven van stelling (4), dat echter in sommige opzichten niet 
mathematisch streng is, en daardoor niet volkomen zeker •^). 
Bovendien doen zich nog groote moeilijkheden voor bij de z.g. 
semi-periodieke of ontaarde systemen (zie hoofdstuk II, § 13); 
deze zullen beneden besproken worden. 

Voorloopig zal worden aangenomen dat de hypothese juist is, 
en dat van de moeilijkheden die bij ontaarde systemen optreden 
mag worden afgezien. 

•) Zie P. ElIRENFKST, 1. c. 

^) L.C. — EiiRiiNFEST noemt de grootheden welke niet veranderen bij een adiai). 
proces: atliahathche invariaiitnn ; men moet dus aantoonen dat de quanten voor- 
waarden betrekking hebben op dergelijke adiabatische invariaiiten. 

») Zie: J. M. Burgers, Versl. Akad. Amsterdam XXV, 1)1. «4!!, iHH, en spe- 
ciaal 10.5.5, 191G/17. 



238. ADIABATISCHE BEÏNVLOEDING [§ 38. 

Men kan de hypothese plaatsen naast de reeds vroeger ge- 
noemde hypothesen der quantentlieorie. Men krijgt dan de vol- 
gende (voorloopige) grondstellingen der „(|uantenmechanika": 

A) de hypothesen over de stationnaire of quantenbewegingen 
(geen uitstraling van energie; formuleering der quantenvoor- 
waarden); zie hoofdstuk II, § 6, 7 en 10. 

B) hypothesen over de beïnvloeding van een mechanisch 
systeem door uitwendige oorzaken: 

I) Bij een acliabatiscJi proces blijven de intensiteitskonstanten 
Pi onveranderd ; de beweging blijft voldoen aan de quanten- 
voorwaarden, en de quantengetallen veranderen niet. 

II) Bij stralingsprocessen veranderen de quantengetallen direkt ; 
voor deze processen gelden de hypothesen van Bohr en Einstein 
(hoofdstuk II, § 8; Y, § 33). 

Door middel van beide processen kan energie aan het systeem 
geleverd worden: 

bij een adia])atisch proces is: 

^ dK{P,a) 

(waar /\' (P , a) de funktie van Hamilton is, uitgedrukt in tle 
P's en de parameters); 
bij een stralingsproces is: 

A « = « {n"i .... n"h) — u {n'i .... 7^'^) (0) 

Men kan zich nu ook eenigszins een denkbeeld vormen van 
de wijze waarop verschillende mechanische systemen elkaar be- 
ïnvloeden (zooals b.v. de molekulen van een gas). Men kan liierbij 
evenzoo twee typen van werkingen onderscheiden: 

I) adiahatische: het eene molekunl wijzigt door zijn eigen 
krachtveld het veld van een ander molekuul, waar het langs 
vliegt. Gedurende dit proces blijven voortdurend de liewegingen 
in elk molekuul quantenbewegingen. 

TI) Beide systemen kunnen door straling energie afstaan en 
o[)nemen; in het algemeen zijn beide in wisselwerking met het 
stralingsveld. Hierdoor kan indirekt energie (en hoeveelheid van 
beweging — hypothese van Einstkin, zie boven bl. 36) van liet 
eene sj'steem aan het andere worden meegedeeld. 

Deze voorstelling moet ecliter mei de grootst mogelijke i-eserve 
wolden bescliouwd. Er zijn groote moeihjklieden aan verbonden, 
welke nog bijna volkomen onopgelost zijn: 



§ 38,] VAN EEN MECHANISCH SYSTEEM, 239 

A) Bij het bovenstaande is niet gesproken over het geval dat 
op een mechanisch systeem krachten werken, welke niet oneindig 
langzaam veranderen, zooals b,v, ■periodieke krachten (elektrische 
trillingen, e. d.). Deze kwestie, welke ook de groote moeilijkheid 
vormde bij de dispersieproblemen, blijft nog onopgelost. [Zio 
echter § 36, bl. 215—218.] 

(Wanneer twee molekulen langs elkaar vliegen zal men ver- 
wachten dat ze ook periodiek wisselende krachten op elkaar 
uitoefenen, tengevolge van de periodieke bewegingen der elek- 
tronen, enz, in elk molekuul. Het zou echter mogelijk zijn dat 
deze periodieke krachten niet werkzaam zijn, door een of andere 
oorzaak welke verband houdt met de afwezigheid van een uit- 
straling van energie door deze bewegingen.) 

B) Een tweede kwestie (vermoedelijk van minder gewicht) is: 
hoe moet men de gewone botsingen opvatten ? Dit hangt samen 
met het probleem van de translatie- bewegingen (zie hoofdstuk JI, 
§ 15, a). Men kan zich hier (1^) op het standpunt plaatsen dat 
translatie-bewegingen niet gequantiseerd moeten worden, en de 
botsingen op de klassieke wijze behandelen (zooals b,v. door 
RuTHERFORD gedaan is in de theorie van de verstrooiing der 
alpha-deeltjes; zie hoofdstuk I, § 3). 

(2^) kan men de translatie-bewegingen wel aan quantenvoor- 
waarden onderwerpen, volgens de methode waarop dit geschiedt 
in de gastheorie van Planck i). De wetten van de botsing 
zullen dan geheel gewijzigd moeten worden, vooral indien men 
de tweede quantentheorie van Planck gebruikt. 

(3^) kan men de translatie-bewegingen der molekulen tot 
periodieke herleiden, zooals in sommige gastheorieën geschiedt 
(Lenz, Keesom, e. a.). Dan zullen de botsingen op een geheel 
andere wijze moeten worden opgevat, 

C) De grootste moeilijkheid hangt evenwel samen met het 
probleem der ontaarde systemen. 

Volgens de formuleering der quantenvoorwaarden in hoofd- 
stuk II, § 10, 11, wordt bij ontaarde systemen (d, z. systemen 
waar rationale betrekkingen bestaan tusschen de middelbare be- 
wegingen) slechts een gedeelte der P's (eventueel der P's) ge- 
quantiseerd. Omtrent de waarden der overige intensiteitskon- 



•) M, Pi.ANCK, Sitz. Ber. Berl. Akad. lliK!, p. i'>'>3 v^]. (zie boven .^ 1.'», a). 



240 ADIABATISCHE BEÏNVLOEDING [§ 38. 

stanten kan in het algemeen niets worden vastgesteld, daar deze 
niet eenduidig bepaald zijn (zie hierover § 13). 

Men kan bij deze systemen twee typen van adiabatische be- 
ïnvloeding onderscheiden : 

(1) Een l)eïnvloeding waarl)ii de eenmaal bestaande ratioiiale 
betrekkingen onveranderd geldig l)lijven. Dan zijn de geqnan- 
tisoerde P's adiabatische invarianten; over de andere kan in het 
algemeen niets gezegd worden. Dit geval geeft niet tot bizondere 
moeilijkheden aanleiding i). 

2) In de meeste gevallen zullen bij een verandering der para- 
meters de rationale betrekkingen tnsschen de middelbare bewe- 
gingen geheel of ten deele verdwijnen. Men gaat dan van een 
systeem met beperkte quantiseering over op een volledig (of 
althans minder beperkt) gequantiseerd systeem, en de vraag 
doet zich voor : hoe komen de oorspronkelijk niet gequantiseerde 
P's op hun juiste waarden? 

(Men houde hierbij vooral in het oog dat indien men van een 
ontaard systeem naar verschillende niet-ontaarde overgaat, men 
()}) geheel uiteenloopende quantenvoorwaarden kan komen 2) ). 

Ter oplossing dezer moeilijkheid kan men twee wegen inslaan: 

(a) Men kan als een bizondere hypothese invoeren dat bij den 
overgang van een ontaard systeem o}) een niet-ontaard, de oor- 
spronkelijk niet gequantiseerde P's a. h. w. „automatisch" (door 
nog onbekende werkingen) de juiste waarden krijgen. Deze hypo- 
these lijkt evenwel zeer gekunsteld ; bovendien strijdt ze ook 
tegen de oorspronkelijke hypothese van Ehkenfest dat de adia- 
batische processen geheel volgens klassieke methoden berekend 
kunnen worden. 

(6) Men kan met Epstein •') aannemen dat ontaardingsgevallen 



') Voorbeeld: Een periodiek systeem, waar de exakte periodiciteit gedurende 
het variatie-proces steeds behouden blijft. Hier is de adiabatische invariante: 



f 

(I 



'2.T 1 
fll .'2 T = {c = — periode) ^7) 



Zie EiiRKNi'EST, 1. c. en BtmcicHS l.c. p. ÜIS. 

*) Zie lioofdstuk 11, .ij l.'J. Het in i^ 13 beschouwde grensproces waarbij een 
systeem ontaardt, kan in vele gevallen een adiabatisch proces zijn. 

Op deze kwesties is reeds gewezen door P. Kiiukni- i;st in het geciteerde arti- 
kel. Üaar is ook een voorbeeld behandeld. 

») P. S. Epstkin, Ann. d. Phys. 51, p. 1H"2, llUC. 



§ 38.] VAN EEN MECIIANISCn SYSTEEM. 241 

in strengen zin niet voorJcomen. De beweging van een elektron 
om een atoomkern zal 1).v. steeds gestoord worden door de elek- 
trische en magnetische krachten der naburige atomen, welke 
een anisotropie van het veld veroorzaken, enz. 

Alle systemen zijn dan steeds volledig geqiiantiseerd ; wat ons 
als ontaard systeem voorkomt is een soort overgangsgebied, waar 
een bepaald type van quantenvoorwaarden in een ander overgaat. 

Het schijnt dat men op deze wijze de moeilijkheden geheel 
kan ontgaan. Een voorbeeld van een dergelijk overgangsproces 
zal benoden (§ 40) vermeld worden ij. 

Afgezien van het bovenstaande blijft de kwestie der rationale 
betrekkingen tusschen de middelbare bewegingen bij de theorie 
der adiabatische in varianten nog een andere moeilijkheid op- 
leveren; men zie hiervoor bl. 244, opmerking 1). 



[') Neemt men deze onderstelling van Epstein aan, dan zal in het algemeen 
een door een beperkt aantal quantengetallen gekarakteriseerde bewegingstoestand 
van een systeem dat ons als ontaard voorkomt, inderdaad zijn een bepaalde groep 
van bewegingstoestanden van een volledig ge([uantiseerd systeem. De vorm van 
de quantenformules die men moet toevoegen aan het beperkte stel van ƒ — X 
voorwaarden dat voor het „ontaarde" systeem is opgesteld, hangt, zooals in 
§ 13 besproken is, af van de aard der storingen welke maken dat het systeem 
inderdaad niet ontaard • is. Heeft men een bepaalde storing en gaat men langs 
adiabatischen weg naar een andere over, zonder dat een oogenblik exakte ont- 
aarding optreedt, dan gaan deze „aaiivullings"-quantenvoorwaarden van het eeue 
type over in het andere; het beperkte stel dat men aan het ontaarde systeem 
had toegekend blijft daarbij in eerste benadering onveranderd. (N.B. Het ver- 
anderen van den vorm der quantenvoorwaarden is niet in strijd met de adiabaten- 
hypothese; deze eischt dat de quanteufjetuUeu onveranderd blijven). 
« De energie van het systeem is daarbij gegeven door een formule van de 
gedaante : 

a = Ko (P., P2, ■ • • P/ - a) + K, (P,, P^, . . . P/ _ A, P/- A + 1, • . • 

P/;^, i'i, •••) 

waarin h^,lj^_^... de parameters voorstellen die de storingen bepalen; deze 
komen niet voor in de hoofdterm K,,. De funktie K, is zeer klein ten opzichte 
van Kq, daar aangenomen is dat de storingen zeer gering zijn. 

In de meeste gevallen zal men de bewegingen slechts behoeven te kennen 
voor zoover ze bepaald zijn door P, ...P/_;_ (b.v. wanneer men de energie 

moet berekenen); bewegingen waarvoor P/ _ ;. ^ 1 . . . P/ verschillend zijn onder- 
scheiden zich dan niet. 

Men vergelijke in verband hiermee ook de opmerkingen over de gewichts- 
funktie voor ontaarde systemen, bl. 2.")G, vgl.] 



16 



§ 39. OPMERKINGEN OVER HET BEWIJS VOOR DE 

INVARIANTIE DER P's. 

Een bewijs voor de invariantie der P's (eventueel der P's) 
bij een adiabatische beïnvloeding van het systeem is gegeven 
door Burgers i). 

Dit bewijs zal hier niet herhaald worden; slechts wil ik er 
enkele punten van vermelden. 

Ondersteld wordt dat gedurende de variatie van een parameter 
a de vergelijkingen van Hamilton, uitgedrukt in de oorspronke- 
lijke koordinaten en momenten q enp, blijven gelden (definitie van 
„adiabatisch"); verder wordt aangenomen dat dajdt konstant is '•^). 

Omtrent het mechanische systeem zelf is aangenomen dat de 
beschouwde groep van oplossingen stabiel is in den zin van 
definitie (1) op bl. 135, en dat deze oplossingen kunnen worden 
uitgedrukt met behulp van reeksontwikkelingen naar de sinussen 
en cosinussen van n hoek variabelen. 

Is de parameter a konstant, dan wordt de beweging der groot- 
heden Q en P beheerscht door de funktie van Hamilton: 

H=K{P,a) (8) 

welke de Q's niet ])evat (zie bl. 43). De middelbare l)ewegingen 
der Q's zijn gegeven door : 

-<u -"'"-fp. ^^^ 

Ondersteld wordt dat er geen rationale l)Ptrekkingen tusschen 
de oj's bestaan •'). 



>) J. M. Burgers, Versl. Akad. Amsterdam XXV, p. 1055, 1917. 

*) Dat de wijze waarop a met den tijd verandert zonder invloed is op het 
resultaat der adiabatische beïnvloeding, is nog niet bewezen. Vermoedelijk is dit 
juist, indien slechts niet ihijdl „resoneert" op een der frequenties van het systeem, 
en oneindig klein is t. o. v. de snelheden in liet systeem. 

*) Indien er een aantal rationale betrekkingen tusschen de middelbare bewe- 
gingen bestaan, en men zich beperkt tot die beïnvloedingen welke deze betrok- 



§ 39.] VAN EEN MECHANISCH SYSTEEM. 243 

Indien a niet konstant is, blijft voor de beweging der Q's en 
P's de funktie van Hamilton (8) in het algemeen niet geldig, 
daar de parameter in de transformatie-vergelijkingen kan voor- 
komen. In de plaats van (8) komt dan de funktie : 

n'' = K{P ,a) — F{Q,l',a).daldt (10) 

waar F te schrijven is als een meervoudige PouniER-reeks naar 
de Q'si). 

Uit (10) volgt dat de bewegingsvergelijking voor P^ is: 

dP,, _ _ dH* _ ■ r^ r. i sin 



(11) 



Bestaan er nu i^ecn rationale betrekJcingen. tusschen de middel- 
bare bewegingen der Qs, dan is het tijdgemiddelde van deze 



kingen onveranderd laten, zal op een analoge wijze aangetoond kunnen worden 
dat die P's welke volgens § 10 en 11 gequantiseerd moeten worden, adiabatische 
invarianten zijn. (Vergelijk voor het geval dat de bewegingsvergelijkingen met 
behulp der methode v/d separatie der variabelen behandeld kunnen worden; 
.T. M, Burgers, 1. c. p; 918.) 

') [De vorm der funktie //"- is af te leiden met behulp van de theorie der 
kontakttransformaties; zie WifiTTAKER, Analytical Dynamics (Cambr. 1917), p. 288 
en vgl. Volgens deze theorie moet men in den differentiaalvorm: 

^ pdq — II {q,2y, a) dt ' (I) 

voor de (/s en y/s hun uitdrukki'ngen in de C/s, de P's en a substitueeren, 
waarbij a aks gegeven funktie van t beschouwd moet worden. Hierdoor gaat (I) 
over in: 

2:PdQ — H--^{Q,P,a)dt + ]J]V{Q,P,a) (II) 

waar 1) W de volledige differentiaal van een funktie //' van de (^'s, de P's en t h: 

De koefficient H* van dt in (II) is dan de funktie van Hamilton voor de Q's 
en P"s gedurende het variatieproces, en men kan aantoonen dat deze van de 
boven aangegeven gedaante is, m.a.w. dat de Q's hierin slechts in den vorm van 
trigonometrische funkties voorkomen. Op dit laatste berust de afwezigheid van 

dPif 

sekulaire termen in de vergelijking (11; voor —rri zoodat de totale verandering 

van Pk willekeurig klein gemaakt kan worden t.o.v. de verandering van de 
parameter a.] 

Zie J. M. Burgers, l.c. p. 1057, 1059. 



244 ADTABATISCIIE BEÏNVLOEDING [§ 39. 

uitdrukking nul, en dus is: 

Um.'^l''^ — 1) (12) 

o a 

Opmc^'kingcn. 

1) In liet bovenstaande is steeds aangenomen dat er geen 
rationale betrekkingen bestaan tusschen de middelbare bewe- 
gingen. Deze middelbare bewegingen zijn echter in het algemeen 
i'unkties van de parameters a, zoodat hun waarden veranderen 
bij de variatie der a's. Dan loopcn liun verhoudingen voortdurend 
door rationale waarden heen ~). 

In hoeverre dit tot moeilijkheden aanleiding kan geven is nog 
niet nader onderzocht. 

In verband hiermee moét het volgende opgemerkt worden : 

Steeds is omtrent de gebruikte reeksontwikkelingen aange- 
nomen dat ze gelijkmatig en voldoende sterk voor alle waarden 
van t konvergeeren. Dit schijnt bij vele problemen niet het geval 
te zijn ; de meeste reeksen die in de astronomische mechanika 
gebruikt worden zijn z.g. asymptotische reeksen ^). 

Hierbij schijnt ook de kwestie van het al of niet aanwezig- 
zijn van rationale betrekkingen tusschen de middelbare bewe- 
gingen van belang te zijn: het kan voorkomen, dat men zoodra 
er rationale betrekkingen tusschen de w's bestaan, reeksontwikke- 
lingen moet gebruiken welke niet aansluiten bij die voor naburige 
problemen, waar deze rationale betrekkingen niet bestaan 4). 

Al deze problemen moeten grondig onderzocht zijn, voordat 
de theorie der adial)atische invarianten op vasten grondslag 
gesteld kan worden. De laatstgenoemde (over de konvergentie 
der reeksen) zijn trouwens ook voor de geheele tlieorie der lioek- 
variabelen van groot belang. 

Het is mogelijk dat alle theorema's over de ontwikkeling 
naar hoekvariabelen en wat hiermee samenhangt, slechts uit- 
gesproken mogen worden voor een begrensd tijdsverloop 7', 



') Cf. J. M. Burgers, l.c. p. 1058. 

») Idem, p. 1061. 

') Zie b.v. een interessant artikel van K. Sciiwah/.sciiii.h, Pliys. Zeitschr. 4, 
p. 7G.Ó, 1903: ('ber Hininielsmechanik. 

*) Vergelijk in verband liierniec: E. T. AViiittaki:!!, On the Adelpbic Integral 
(if tlic Equatiuns of Dynamics, Proe. Roy. Soc. Edinbnrgb 37, p i'.'), 1!>17. 



§ 39.] VAN EEN MECHANISCH SYSTEEM. 245 

dat in het algemeen wel zeer groot is, doch niet oneindig i). 
In vele gevallen schijnt het me toe dat de moeilijkheid ver- 
minderd, of soms geheel weggenomen wordt, doordat men zich 
kan beperken tot een eindig aantal termen in de reeksontwikke- 
lingen en ook in de funktie F {Q, P, a) in verg. (10). Dan zijn 
er in het algemeen slechts bepaalde rationale betrekkingen welke 
gevaar kunnen opleveren, terwijl de overige niet hinderen. 
Met het volgende voorbeeld kan dit toegelicht worden: 
Beschouw een anisotrope oscillator van twee graden van vrij- 
heid; de beide elasticiteitskonstanten wj en (a\ zijn de para- 
meters. De funktie van Hamilton luidt: 

i^ = i(i>a:^+i>/)+^-(c0^^2 + Co2^^) (13) 

Transformatie- vergelijkingen ter invoering der hoek variabelen: 

.T = 1/2 Pi 'wi cos Qi I 

' enz (14) 

Pa; = — 1/ 2 Pi coi sin Qi \ 

Vergelijking (10) wordt in dit geval: 

o=<_ pip • Pi sin 2 Qi • Pa sin 2 Q2 ,-,-. 

2 wi 2 W2 



Zoodat : 



dPi ■ Pi cos2Qi 

— — = + a>i (Ibj 

a t loi 



Uit vergelijking (16) blijkt dat bij dit eenvoudige probleem 
rationale betrekkingen tusschen wi en wo niet storen; de eenige 
waarden van wi en io.2 waarvoor een singulariteit kan o])- 
treden zijn : 

coi =: O en: too = O (17) 

Een nader onderzoek omtrent deze problemen is echter zeer 
gewenscht. 

2) Een algemeen kriterium om te beslissen wanneer een ver- 
andering der parameters als een adiabatische beschouwd mag 
worden, en wanneer niet, is nog niet gegeven 2). 



') In de astronomie kan men sleclits bewijzen dat ons planetenstflsel gedurende 
een eindige, zeer groote tijd stabiel is (cf. K. Schwarzschild, l.c). 

^) Eenige voorbeelden zijn door Burgers genoemd, l.c. p. 851; zie ook 
boven bl. 236. 



246 ADIABATISCHE BEÏNVLOEDING [§ 39. 

Ook moet nog onderzocht worden of liet voldoende is dat de 
vergelijkingen van Hamilton voor de oorspronkelijke koordi- 
naten en momenten q en p slechts tot op termen van de 

2® en hoogere orde in a onveranderd blijven i). 

3) De theorie der adiabatische invarianten kan — in den boven, 
gegeven vorm — niet worden toegepast op bewegingen die het 
karakter van periodiciteit of quasi-periodiciteit geheel missen, 
zooals Ij.v. hyperbolische bewegingen ^). 

Of het mogelijk zal zijn een zoodanige uitl^reiding te vinden 
dat dergelijke bewegingen er ook onder vallen, is nog niet 
onderzocht ^). 



•) BUKCERS, l.c. p. 10(30. 

2) Vergelijk P. Eiirenfest, Versl. Akad. Amsterdam XXV, p. 427 of 428, Jni6; 

Ann. d. Phys. 51, p. ^{45, 1916. 
[Evenmin is een oplossing gevonden voor de moeilijkheid die zich voor- 
doet bij het passeeren van een singuliere beweging met oneimlig (jroote periode 
(asymptotische bewegingen). Vergelijk P. Eu ken f est, l.c. ongeveer p. 420, en 
ook Versl. Akad. Amst. XXII, p. 586, 1913.] 

■') Misschien kunnen voor deze problemen van uut zijn de opmerkingen van 
PoiNCARÉ over de analytische voortzetting van banen die naar het oneindige 
loopen (H. Poincaré, Mécanique Geleste III, p. 168). 



§ 10. VOORBEELD VAN EEN ADIABATISCH PROCES, 
DAT OM EEN ONTAARDINGSGEVAL HEENGAAT, i) 

In het volgende zal worden afgezien van de in § 39 genoemde 
moeilijkheden; aangenomen wordt dat de adiabaten-hypothese 
juist is. 

Beschouwd wordt de beweging van een elektron in een ge- 
geven elektromagnetisch veld; ter vereenvoudiging wordt het 
probleem tot twee afmetingen beperkt. 

Men kan uitgaan van een anisotrooj), quasi-elastisch krachtveld, 
en dit door een adiabatische transformatie omzetten in een 
isotroop, niet quasi-elastisch (m.a.w. in een willekeurig centraal) 
krachtveld -). In het eerste geval moeten de beide hoofdtril- 
lingen gequantiseerd worden ; in het tweede het moment van 
hoeveelheid van beweging, en de faze-integraal : 



1^ 



Pr d r. 

Voert men nu den overgang aldus uit: men laat eerst het 
krachtveld : 

in een isotroop overgaan, door de beide elasticiteitskonstanten 
y. en l aan elkaar gelijk te maken, en men maakt daarna het veld 
niet quasi-elastisch door termen van den vorm: Aif'- aan de 
potentieele energie toe te voegen, dan gaan deze quantenvoor- 
waarden niet in elkaar over zooals door Ehrenfest is aan- 
getoond. 



•) Dit voorbeeld is gekozen naar aanleiding van een 02)inerking van P. Eiikkn- 
i'-EST, Versl. Akad. Amsterdam XXV, p. 426 of 427, 1916; Ann. d. Phys. 51, 
p. 343, 1916. 

*) Deze overgang geeft een verband tussclien de oorspronkelijke ([uanten- 
onderstellingen van Planck, en die van So.m.mkri ei.h. 
Cf. P. Ehuenkest, 1.0. 



248 ADIABATISOHli BEÏNVLOEDING [^ -10. 

Wil men dut liet ecne stel quantenvoorwaardeii kontina in 
het andere overgaat, dan moet worden zorg gedragen dat het 
singuliere geval van een isotroop quasi-elastisch veld niet op- 
treedt. Men kan dit bereiken door reeds voordat /.rzzl geworden 
is termen van den vorm: AiV^ aan V toe te voegen. 

Een andere methode — welke voor de lierekening gemakkelijker 
is — bestaat hierin dat men een magnetisch veld aanbrengt, 
loodrecht op het vlak der beweging; de oorspronkelijk recht- 
lijnige hoofdtrillingen in het anisotrope veld gaan dan over 
in elliptische, die bij het verdwijnen der anisotropie cirkulair 
worden. Daarna kan men aan V de extra termen Ai r^ toe- 
voegen, en het magnetisch veld laten verdwijnen. 

Het eerste gedeelte van dit proces — tot aan de beweging in 
een isotroop veld, onder invloed van een magnetische kracht — 
is in een eenigszins ander verband boven (§ 23, I) behandeld; 
daar is aangetoond dat de qiiantenformules voor het anisotrope, 
quasi-elastisch e veld kontinu overgaan in die voor een centraal veld : 



/ p^. dr — 7ii h; 2n2\= ^2 h 



-<-> 



De overgang van hier naar een niet quasi-elastisch centraal 
veld, zonder magnetisme, is zeer gemakkelijk i). 



') Het probleem is gekarakteriseerd duur de funktie van Hamuton: 

In het geval van een quasi-elastisch krachtveld zijn alle koefficienten Ji =^ ü, 
met uitzondering van A^-^ in het andere grensgeval hebben deze koefficienten 
willekeurige waarden, doch is ;' = 0. 

De quantenvoorwaarden zijn: 



< > 



2 Tl 2^q> = vij h . 



§ 41. OPMERKINGEN OVER STATISTISCHE 
PROBLEMEN. 

Over de statistika van een ensemble van systemen wier be- 
wegingen door quantenvoor waarden zijn gebonden, zullen hier 
slechts enkele punten vermeld worden. 

Voor eenige algemeene onderzoekingen die op dit gebied be- 
trekking hebben wordt verwezen naar artikelen van P. Ehren- 
FEST, speciaal: Phys. Zeitschr. 15, p. 657, 1914 en Akad. Amsterd. 
XXY, p. 423, 1916 {— Ann. d. Phys. 51, p. 340, 1916). De ver- 
schillende problemen die door Ehrenfest opgeworpen en onder- 
zocht zijn zullen in het volgende niet worden behandeld: ik wil 
me beperken tot het aangeven van een bepaalde toestandsver- 
deeling en aantoonen dat deze voldoet aan de door Ehrenfest 
gestelde eischen. 

A. Ondersteld wordt dat men een ensemble heelt van V niet- 
ontaarde (dus volledig geijuantiseei'de) systemen i). 

De bewegingstoestand van elk systeem kan gekarakteriseerd 
worden door de waarden der 2 f integratiekonstanten : Pi . . . P/ 
&]_... Sf (cf. boven, § 10), zoodat de systemen afgebeeld kunnen 
worden door punten in een 2 /-dimensionale e-P-ruimte. — De 
P's kunnen slechts de diskrete waarden : P; = ni . /i/2 n hebben ; 
de f's daarentegen kunnen alle waarden van O tot 2 tt kontinu 
doorloopen. 

Nu wordt aangenomen dat de stationnaire toestandsverdeeling 
in de f-P-ruimte beschreven kan worden als de luaarschijnlijhtc 
verdeeling der systemen bij gegeven totale energie, wanneer men 
elke bewegingstoestand : 



') Voor ontaarde systemen zie men Ijciiedim C, II. 



250 STATISTISCHE PROBLEMEN. [§ 41. 

= luillekcurig ] 






als a priori even waayschijnlijk beschouwt i). 

liet aantal systemen waarvoor: Pi^^Uihj'lTi is, terwijl ile 
1'aze-konstanten tussclien 5j en f,- + d t; liggen, zij voorgesteld door : 

N 
r^^f ■ '^* ("1 'V" ^1 ^/ «1 «2 • . .) dëi. . .d £f -) . • • {'^) 

Volgens h\. 43 is de energie van een bepaald systeem slechts 
een funktie der P's (dus der quantengetallen ni . . . nj) en der 
parameters «102... van het systeem; ze is onafhankelijk van 
de e's: 

« =z a {n\ . .../(,ƒ fti ffln •• •) (3) 

Hieruit volgt dat ook 'de verdeelingsfunktie 'i> onafhankelijk 
moet zijn van de faze-konstanten, zoodat het totale aantal syste- 
men waarvoor Pi=^nihj2 n is bedraagt: 

iV . (l> {til .... 11/ «1 «o . . . .) •^) (4) 

De funktie fl^ moet nu voldoen aan de volgende voorwaarden : 

^ . . . ^ N . ü) (u , a) . « (ii. ,a)=^E~ totale energie . (6) 

«j il f 

^"^ n...n'{N.ü>)\ ='''^^>''^"' (') 

De laatste voorwaarde kan ook geschreven worden: 

l(j IF= konst. — ^^ . . . ^ iV . '/> . lij 'l> m maxmuiit . . (7a) 

') In de terminologie van Eiirenfest uitgedrukt: 

in de f-y^-ruinite wordt ingevoerd de (jeicichtsfunktie'. 






a{e, . .^ /', ... 



') «, , ^/.^ ... zijn de parameters van het systeem. 

') Men kan dit ook gemakkelijk uit de formules afleiden indien men eerst 
f , . .e., in de Cunktie laat staan, en dan op de gewone wijze doorrekent. 



§41.] STATISTISCHE PROBLEMEN. 251 

Uit (leze drie voorwiiarden vindt men volgens bekende 
methoden : 

1 — A^ ''- 
'^*= Z' ^^^ 

wjuir u = ,« {K , «1 , «13 , . . .) een ingevoerde multi[)likator is (on- 
afhankelijk van de n's); terwijl: 

Z=Z{E,a,....):=X...X^-""- ') r^) 

"7 



B. De gevonden verdeelingsfunktie ^/' bezit de volgende eigen- 
schappen : 

I). Ze voldoet aan de door Ehrenfest gestelde eischen, welke 
noodig zijn opdat het ensemble aan de tweede hoofdwet kan 
voldoen ^). 

Bewijs. 

a) Beschouw een kleine verandering van den toestand van 
het ensemble, waarbij de parameters «j toenemen met d cii , en 
de totale energie met li E wordt vermeerderd •^). 

Bij dit proces wordt door het ensemble een uihvendige arbeid 
verricht, gegeven door de formule : 



') [Hierbij is ondersteld dat de reeks ^... ^e ''' "' kouvergeert. Vergelijk 

voor een geval waarbij dit niet zoo is : § 42.] 

-) P. Ehrenfest, Pbys. Zeitschr. l.c. 

^) De verandering geschiedt oneindig langzaam ten opzichte van de bewe- 
gingen en de energie-uitwisseling in het ensemble, zoodat men mag onderstellen 
dat op elk oogenblik de toestandsverdeeling een stationnaire is. 

^) Indien men — adiabatisch — de parameters rf^^ c/^, . . . van het systeem 
varieert, neemt de energie toe met: 

,) a = ^ T— «^ tti = ^ — ^ — '^ ar (I) 

daar bij het proces de grootheden /* , . . . Fp an dus de quantengetallen « , ... n^-^ 
niet ceraudereu (vergelijk ook § 38, formule 5j. 



252 STATISTISCHE PROBLEMEN. [§ 41. 

Als „auii het ensemble toegevoerde warmte" wordt gedetini- 
eerd de grootlieid : 

d Q — () E^ () A — <) E — X^ '/' .> « (11) 

Nu is u (■) (l een volledige differentiaal : 

iiÖQ = () (,u 7!;) — E i) u — N ^ u (l> i) u — 

= f) (u E)— i V (« ei II + Il i) a) c-i'"- — 

— ^{uE-\-NlgZ) '. (12) 

Uit formule (7a) volgt dat voor deze toestandsverdeeling : 

hj W = konst. -^ {^i E -\- N Ig Z) (13) 

zoodat: 

u^Q = ^{uE-^X Ig Z)=ii^lg W (14) 



Deze vermeerdering van energie is daaraan te danken dat bij de verandering 
der parameters door uitwendige krachten arbeid aan het systeem is geleverd. 
Het tijdgemiddelde van deze uitwendige krachten is dus gelijk aan: 

j.^l^± („, 



^ 'ba 



en de gemiddelde kracht door het sijsleem „in de richting van de parameter a^' 
uitgeoefend : 

f.= ^'^^ (111) 

(Cf. J. M. BüHCERS, Versl. Akad. Amst. XXV, p. 1058, noot »j.) 
Heeft men een eusenihli'^ dan volgt uit de ge lijk matige verdeeling der systemen 
over de f-ruimte, in verband met de periodiciteitseigeuschappen der systemen, 
dat men het tijdgemiddelde voor een bepaald systeem mag vervangen door 
het getalgemiddelde voor alle systemen waarvoor de quantengetallen dezelfde 
waarden hebben. 

De kracht door het ensemble .,in de richting van de parametor c/^" uitgeoefend 

is dus: 

i^=_^... v^',/,^« (IV) 

terwijl bij een verandering der parameters door het ensemble een arbeid wordt 
geleverd : 

,^\4=2i«VUi=: — 2-...^.V'/>/^^^()aA . . . (V) 






§ 41.] STATISTISCHE PEOBLEMEN. 253 

b) Koppelt men twee ensembles van systemen, en bepaalt men 
de waarschijnlijkste toestands verdeeling bij gegeven totale energie, 
dan treedt bij beide ensembles dezelfde parameter /.t in de ver- 
deelingsfunktie op i). Neemt men voor het eene ensemble een 
klassiek ideaal gas, dan is ,u de parameter van de snelheidsver- 
deeling van Maxweli., en is dus gelijk aan : 

waar T de absolute temperaiMur is. 

c) Op grond van het bovenstaande kan men nu 

S^^h.lgW (Ifi) 

definieeren als de entropie van het ensemble, en verder : 

F — E — T . S = — N . h . T . Ig Z (17) 

als de vrije energie 2). 

Men heeft dan de volgende relaties: 

uit (14), (15), (ir,): ^ =<^S (IS) 

verder: "^i; ~T ''^ ^ ^ 

■en uit (17): _ ^ F{T, a,,a, . . .)_^ ^_ ^^^^^ 

d tti 

Hierin stelt Fi de kracht voor, door het ensemble in de rich- 
ting van de parameter ai uitgeoefend 4). 



«) Zie P. Ehrenfest, Phys. Zeitschr. 15, p. 661 (§ 4, (II)), 1914. 

ï) *S' moet beschouwd worden als funktie der totale energie IJ en der para- 
meters «, (/^ . . .: S = >^'(^i ('\i ^21 • • •)• 

F moet opgevat worden als funktie van de absolute temperatuur T en van de 
parameters : F = F {2\ « , , «21 • • •)• 

3j Bewijs: Uit (13) volgt: — (N.B.: ?r is evenals ,V funktie van Zf, «,, enz.) — 

èlqW , ^,'d^i , N dZ , E, tV N ^ du ^ , 

*) Dit volgt onmiddellijk nit vei-g. (17) door differentiatie naar een der pa- 
rameters. (Zie noot '•), bl. 251/252). 



254 STATISTISCHE PROBLEMEN. [§ 41. 

Uit de bovenstaande formules blijkt dat een ensemble met de 
door vergelijkingen (8) en (9) gegeven toestands verdeeling vol- 
doet aan de verschillende formules der thermodynamika. 

Opmerkingen. 

1) Over de thermodynamisehe funktie 'l' van Planck zie 
noot 1). 

2) Op de kwestie van de absolute waarde der entropie zal hier 
niet worden ingegaan. 

Il) De beschouwde gewichtsfunktie G sluit zoo nauw mogelijk 
aan bij die welke in de klassieke statistische mechanika door 
BoLTZMANN is iugcvoerd : nl. dat aan gelijke volumina der faze- 
ruimte (5-^)-ruimte) gelijke gewichten worden toegekend. (Zie 
P. Ehrenfest) -). 

Men heeft nl. "): 

et (r/i . . . qfpi . .^pf) _ '^Jsii . . . qfPi... p/) _ -, ..), . 

d\e,. . .ej Pi . . . Pf) c> {(},... QjPr ...P;-)' ■ ' ' ^^ ^ 

Met gelijke volumina in de g'-])-ruimte korrespondeeren dus ge- 
lijke volumina in de f-P-ruimte. 

Volgens BoLTZMANN zou men derhalve aan gelijke volumina van 
de Ê-P-ruimte gelijke gewichten moeten toekennen. Bij de boven 
gebruikte gewichtsfunktie hebben gelijke volumina in de 5-ruimte 
hetzelfde gewicht, terwijl in de P-ruimte een net van equidis- 
tante punten genomen is („hj^perkubisch net"), aan elk waarvan 
lietzelfde gewicht is gegeven. 



') Zie M. Pi.ANCK, Verh. Deutsch. Phys. Ges. 17, p. 444, 191;-). 

a 

'/'•z= -./'(y; ai, rt2 . . ) = ^^^ lgZ~NJ: hi^e~^ . 

Uit '/' volgt omgekeerd voor de energie: 

O ■'/'■ 
E—T- 

(> T ' 

iliciiiit lic, siMirtfliJke warmte: 

C — . «, \ — C,< , a-i ...) • 

2) 1'. 1;iiiii;nii;st, Phys. Zeitschr. 15, p. i>'y~(, 1'.I14; 

Vcrsl. Akad. Amsterdam XXV, p. 423/424, liUG. 
') Zie b.v. E. '1'. \\'iiiTT.\Ki;it, Aiialytical Dynamics, Canibr. 1917, p. 312, Ex. 3. 



§ 41.] STATISTISCHE PROBLEMEN. 255 



III) Voor zeer hooge temperaturen levert de beschouwde toe- 
standsverdeeling het equipartitie-theorcma. 

Volgens formule (I) in § 16, b) kan men als gemiddelde kine- 
tische energie per vrijJieidsgraad van een bepaald systeem beschouwen : 

T,= ]p,Q,= ^P,o,= l P.. ||=|«4^. . . (22) 

De gemiddelde waarde voor alle systemen van het ensemble 
is dus: 

''-^'X---Xe^^ ' ^^^ 

Bij .zeer hooge temperaturen mag men approximatief de som- 
maties door integraties vervangen; men krijgt dan op de be- 
kende wijze: 



c-''"- 



I . . . I diii . . . dn f ni "— V • j rji 

j...dn,...dnjer''"- ^ 

Opmerking. 

Hierbij is aangenomen dat: 

a) over de n's hetzij van O tot oo , hetzij van — o» tot + od 
geïntegreerd wordt ; 

b) dat voor «^=0 de funktie « geen singulariteiten vertoont; 

c) dat voor ni = ± co : 

Lim . « (nt . . . nj) = co. 

Wj= ± c» 

Aan deze voorwaarden i^ niet steeds voldaan; zie b.v, beneden, 
§ 42 (statistika van liet atoom model van Waterstof — K. V. 
Herzfeld). 



C. Verdere opmerkingen. 

I) De besproken toestandsverdeeling is axiomatiscli afgeleid 



25G STATISTISCHE PROBLEMEN. [§ 41. 

als een waarschijnlijkste verdeeling onder bepaalde voorwaarden. 
Men moet echter ook aantoonen : 

a) dat ze werkelijk stationnair is ; 

h) dat een willekeurig gegeven toestandsverdeeling vanzelf in 
deze overgaat. 

Voor zoover ik weet zijn in deze richting nog geen onderzoe- 
kingen gedaan. — Het zal hiervoor noodig zijn nader in te gaan 
op de werkingen tusschen de systemen onderling, en op de 
wisselwerking der S3^stemen met het stralingsveld. Dit laatste zal 
vermoedelijk een belangrijke rol spelen, daar de qnantengetallen 
in de eerste plaats, zoo niet viitsluitend, veranderen tengevolge 
van emissie of absorbtie van lichtstraling i). 

II) „Ontaarde systemen'^ 

Indien een systeem niet volledig gequantiseerd is kan men 
de boven aangenomen gewichtsfunktie G niet meer gebruiken. 

Door het ontaarde systeem op te vatten als een grensgeval van 
een niet-ontaard (volledig gequantiseerd) systeem, wordt men er 
toe gebracht te onderstellen dat de (juantenbewegingen : 

P, = 7i;A/2 7r (^ = !...ƒ-/) 2) 

niet alle hetzelfde (jewlcht hehhen, doch dat aan elk een zoo groot 
gewicht moet worden toegekend, als het aantal der niet-ontaarde 
bewegingen bedraagt, waaruit de beschouwde ontstaan is. ^) 

Voorheelden. 

t\) hotrope oscillator van twee graden van vrijheid. 

Bij een anisotrope oscillator wordt aan elke beweging: 

1\ — m /i/2 TT ; P2 = «2 V2 TT 

hetzelfde gewicht toegekend. 

Gaat de oscillator over in een isotropo, dan worden de niid- 



') Men zou het probleem kunnen vereenvoudigen door zich te beperken tot 
systemen die niet onmiddellijk op elkaar inwerken, doch slechts energie uitwis- 
selen niet het stralingsveld, terwijl de parameters alleen door uitwendige 
krachten kunnen worden beïnvloed. 

*) ). is het aantal der rationale betrekkingen tusschen de middelbare bewe- 
gingen (zie § 10). 

[^) Vergelijk noot ') op bl. 241.] 



I 



§ 41.] STATISTISCHE PROBLEMEN. 257 

delbare bewegingen van Qi en Q2 aan elkaar gelijk. Pas de 
transformatie toe : 

A + P-2 = Pi - Qx =Qi 

Po = Po — Ql + Q.2 = Q2 

Bij een anisotrope oscillator zijn de quantenbewegingen dan 
voor te stellen door: 

Pi =z nc /i/2 TT ; Po =z 7io- A/2 tt. 

Elke kombinatie: ?ii*,n2* heeft hetzelfde gewicht i); echter is steeds: 

O < 710* < Hl* 

zoodat er bij één waarde van ni* : (7i]* + 1) waarden van ivi zijn. 
Ontaardt nu de oscillator in een isotrope, dan wordt de mid- 
delbare beweging van Qa nul; alleen Pi wordt gequantiseerd. 



Aan elke beweging: 



Pl =: m * hj2 7T 



zal men nu een gewicht : 



r^nr + 1 



moeten toekennen. 

(Men kan de isotrope oscillator ook laten ontstaan uit een 
beweging in een niet quasi-elastisch, centraal krachtveld. Dit moet 
hetzelfde resultaat geven, 

In een niet quasi-elastisch, centraal krachtveld zijn de quan- 
tenformules : 



^' = ènh^'^'="'2n' ^'2=P. 



h 

nr> 






Gaat het veld over in een quasi-elastisch krachtveld, dan wordt 
de middelbare beweging van Qi gelijk aan tweemaal die van Q2 -)• 
Men voere nu de substitutie uit: 



') Men (ienke hierbij aan de betrekking: 



') Voor de energie, uitgedrukt in de P's, vindt men : 

u = K (P) = w (2 Pi + Po ) (o) = frequentie). 

17 



258 STATISTISCHE PROBLEMEN. [§ 41. 

2Pi + |Po' = Pi + Q2 = Qi • 

Pi =P2 g, +2Q.2 = Q2l)2). 

In het niet-ontaarde geval zijn fle bewegingen gekarakteri- 
seerd door: 

Pi r= m * h/'I TT ; Po = 7/0* /i/2 TT 

waarbij het teeken van Po positief of negatief kan zijn. 

Bij de aftelling van het aantal (luantenl)ewegingen waarvoor 
Pt r=?^* Jij^In is, moot onderselieiden worden tiissohon ni"^ roeven 
of := oneven: 

a) ïj.i* zeeven. 

Dan kan ??i de waarden hebben: O, 1 , . . .n^^/'I; 

en 7i2 : + ni"'% + (?ii* — 2), . , . . 0. 

Totaal: ni* + 1 bewegingen. 

b) ni* -= oneven. 

AVaarden van ni: O , 1 , . . . . {ni'- — l)/2; 

van 7io : ± ?ii* , ± (?zi* — 2) , . . . . ±1. 

Totaal: 7?.i* -J- 1 bewegingen. 

In beide gevallen vindt men dus ni*-\-l bewegingen, zoodat 
in hot geval van een quasi-elastisch, isotrooj) vold aan do ])o- 
weging waarvoor: 

Pi — 71 1* /i/2 TT is, 
het gewicht: 

r=n^' + l 

moet worden toegekend. 

Dit stemt overeen met het boven gevonden resultaat, daar in 
beide gevallen Pi dezelfde grootheid voorstelt •').) 

(2) KEVLER-beiucgingen. 

Op analoge wijze als l)ovcn vindt men ])ij de elliptische be- 
weging met inachtnanie der relativistische termen, dat aan de 
beweging, Ijepaald door de quantenvoor waarden : 

Pi = ?ii /i/2 n ; P., = Il 2 li/'2 TT 

') Men moet de bovenste, resp. de onderste teekens nenion al naar dat /\, 
positief of negatief is. 

c>(PiPo) 0((>1 Q>) _- -, 

*) Fiinktionaaldeterminant: ,. ,. — ^ « — + J. 

^ d{J\p.2) ^HQi Q-^) 

*) Dit blijkt het eenvoudigste uit de formule voor de energie, welke in beide 
«gevallen luidt: f« = wP,. 



§ 41.] STATISTISCHE I'KOBLEMEN. 259 

waar n-2 ^ /<i is, het gewicht moet worden toegekend : 

r — 2/(0 + 1. i) 



Houdt men geen rekening met de relativistische korrekties, 
zoodat de beweging zuiver periodiek is, en alleen Pi gequanti- 
seerd wordt, dan heeft de beweging waarvoor: 

Pi = lil h/2 TT 

het gewicht : 

^ = 2 (2 n. + 1) = (m + !)--! ^). 

«2 = 1 

Een algemeene formule voor deze gewichtsfunktie jT* heb ik 
niet kunnen vinden. 



>) Zie hoofdstuk III, § 17 en 19. 

Is een magnetisch veld aanwezig met krachtlijnen // de ^■-a.s — zie hoofd- 
stuk III, § 20 — dan zyn er bij gegeven waarden van «, en n^: 2/z., + 1 
verschillende standen van het baanvlak mogelijk, daar «3 alle waarden van 
— «, tot +«2 kan doorloopen. 

-) In aansluiting aan Somivierfeld wordt aangenomen dat een ellips met 
excentriciteit 1 niet kan voorkomen: de waarde «, = O wordt uitgesloten (zie 
boven, bl. 82 noot ^)). In de uitdrukking voor F moet de sommatie dus 
loopen van h^=.1 tot n^ — «,. 

N.B, tl 2 kan geen negatieve waarden hebben. 
[Sluit men «, =0 niet uit, dan is T = (Uf -{- Ij^.J 



§ 42. OPMERKINGEN OVER DE STATISTIKA VAN HET 
ATOOMMODEL VAN WATERSTOF. 

De toepassing der besproken statistische formules op ver- 
schillende systemen zal hier voorlnjgegaan worden i). 

Slechts zou ik een paar opmerkingen willen maken naar aan- 
leiding van een onderzoek van K. F. Herzfeld over de statistika 
van het model van het Waterstof-atoom volgens Bohr ^), 

Wanneer men afziet van de relativistische korrekties is de 
beweging van het elektron om de atoomkern exakt periodiek ; 
de intensiteitskonstanten („elementen") der elliptische baan zijn: 

Pi = \/~m é^ a ; Po = \Xlne'^~a{l — e~) \ 

Ps = ]X 7^2 tt (1 _ 52) .cosi\' ' ' ^ 

(Zie hoofdstuk III, § 17.) — Van de drie grootheden Pi Po P;} 
wordt slechts de eerste, Pi, gequantiseerd. 

Voor de energie, uitgedrukt als funktie der P's, wordt ge- 
vonden: 

m e^ 2 7t2 m eA , , . 

"=-Tp';= — Wh^ <"' 

Het i)ro.l)k'em vertoont de volgende bizonderheden : 

1) er is ontaarding; 

2) het quantengetal n kan slechts positieve waarden vanaf 1 
tot oneindig doorloopen; 

3) wanneer n. oneindig wordt, nadert « tot een eindige grens- 
waarde (in casu : 0). 

') Statistische problemen in verband met de ([uantentheorie zijn behandeld 
door Pi.ANCK, Ehrenfest, Epstkin en vele anderen. — Met betrekking tot de 
roteerende systemen, speciaal het model van het y/j-molekuul, zij hier slechts 
vermeld: P. Ehrknkicst, Verh. Deutsch. Phys. Ges. 15, p. 4.^)1, 15)13 en P. S. 
Ei'STKiN, idem, 18, p. 398, 191G. 

(Vergelijk over het laatste ook noot •) aan het slot van § 29). 

2; K. F. llKii/.i Ki.h, Anii. d. Phys. 51, ]). 2(51, I'.IKJ. 



§ 42.] STATISTISCHE PROBLEMEN. 201 

I) Ter vereenvoudiging zul vooreerst worden afgezien van de 
ontaarding en zal worden gerekend alsof liet i)robleem slechts 
1 graad van vrijheid bezit (gerepresenteerd door Pi en Qi). 

Dan volgt uit 3) dat: 



n = 00 



Z=:^^(? "''^'^ divergeert. 

n = 1 

Men kan hier dus niet de statistische formules van § 41 
toepassen. 

Om een konvergente funktie Z te verkrijgen zou men een 
gewiclitsfunktie r (n) kunnen invoeren, zoodat: 

Z* = ^ r{n) .c-'kT {III) 

1 
eindig is ^). 

In aansluiting aan het artikel van Herzfeld zal hier ge- 
nomen worden: 

. r(»)=/; ;^<';<^'| (IV) 

o (a > s) I 

waar s een gegeven getal is. 
Dan is: 

.s ".(n) s 64000 

Z* ~^e- icT =2 10 ~^^ 2) (V) 

1 1 

De waarschijnlijkheid „a posteriori" of verdeelingsfunktie ^/^ 
(cf. bl. 251, form. 8) is: 

1 ' 64000 
r/i -^^ 101^ (U<6') (VI) 

De zoo verkregen toestandsverdeeling bezit o.a. de volgende 
eigenaardigheden : 

s 
S *(^) «2-«, _ 48000 

«) -V(ïr^^'~^^'" '^^ , dus: <(s- 1)10- ^. 

' ) Bij invoering van een gewiclitsfunktie F kan men met de hier gedefinieerde 
funktie Z* evenzoo rekenen als vroeger met de funktie Z (zie boven § 41, B, 
en: M. Planck, Verh. Deutsch. Phys. Ges. 17, p. 444, 1915). — Zal het en- 
semble voldoen aan de tweede hoofdwet^ dan moet de gewichtsfunklie aan bepaalde 
eischen gehoorzamen^ welke door 'Eurenfest geformuleerd zijn (Phys. Zeitschr. 15, 
p. 657, 1914). 

Zie hierover het slot van deze §. 

*) De getallenwaarde is overgenomen van Herzküi-d, l.c. p. 26'.>. 



262 STATISTISCHE l'KOBLEMEN. [§ 42. 

Voor niet te groote waarden van s en T is deze verliouding 
zeer klein, zoodat praktisch alle elektronen zich op de binnenste 
baan {n — 1) bewegen i). 

b) De soortelijke warmte is bij lage temperaturen nul, neemt 
dan toe tot een maximumwaarde, en neemt voor hoogere tempera- 
turen weer tot nul af ^). 

II) Wil men in aanmerking nemen dat de beweging 3 graden 
van vrijheid heeft doch ontaard is, dan kan men in aansluiting 
aan bl. 259 als gewichtsfunktie invoeren b.v. 

Het algemeene karakter van de toestandsverdeeling bij niet 
te hooge temperaturen verandert hierdoor niet. 

III) Herzfeld zelf voert niet in een bovenste grens voor n 
— wat neer zou komen op een maximumwaarde voor de groote 
as van de baan — maar een grenswaarde Rq voor den afstand 
elektron-kern '^). 

De aphelium-afstand elektrön-kern is: 

Men kan 3 groepen van banen onderscheiden : 
(Ter bekorting der notatie wordt geschreven : 

4 TT^ m e^ 2 TT 2 tt 

waai'in s, no, ns niet geheel behoeven te zijn). 

A) n2^s2/2. 

Deze banen liggen alle binnen een bol met straal Eq, onaf- 
hankelijk van de grootte der excentriciteit. 

B) 6'2/2<w2<s2. 

De banen liggen sleclits dan binnen den bol, zoo de excen- 
triciteit niet te groot is: m.a.w. zoo: 

u| > 2 S-' — sV/'- (X) 



>) Zie HicRZKKi.b, l.c. p. 269-271. 
») Heh/kei.I), l.c. p. 272-27.5. 
') Hkiiziki.I), l.c. p. 261, vgl. 



§ 42.] STATISTISCHE PROBLEMEN, 263 

C) n2>s2. 

Alle banen snijden den bol. 

De vraag is nu: hoe moet in dit geval do gewichtsfunktie F 
gekozen worden? 

In aansluiting aan het voorgaande (bl. 256 — 259) zou men 
kunnen nagaan hoeveel verschillende geheelc waarden van no en 
7^3 mogelijk zijn bij een gegeven waarde van n, en daarnaar de 
gewichten kunnen verdeelen. , 

Men komt dan tot: 

A) r(H)==(n + l)2 — 1 (Xla) 

B) r{n) = (n + lf-{ir''-f (XTb) 

waar : 7i* r^ ïi* {n) de Jdeinste gclieele waarde van >io is, die aan 
vergelijking (X) voldoet i). 

C) r(7i) = () 2) (XIc) 

Herzfeld zelf kiest een andere gewichtsfunktie 3). 

Aan welke gewichtsfunktie men bij dit probleem do voor- 
keur moet geven, valt moeilijk te zeggen; hoogst waarschijnlijk 
zal men later de middelen vinden, noodig om deze problemen 
op te lossen. 



Op de statistika der hyperbolische banen, on de theorie van 
de dissociatie van waterstof-atomen welke Herzfeld geeft '^), 
zal hier niet worden ingegaan. 

Echter moeten nog eenige woorden gezegd worden over de 
vraag of de besproken toestandsverdeelingen voldoen aan de 
tweede hoofdwet. 



') Steeds is: «*^1 (cf. bl. 259, noot ^).) 
^) Voorbeeld. 

Zij : s = 10. Dan heeft men : 

«=12 .3 4 5 G 7 8 i) 10 11, enz. 

«*=11 1 1 1 1 1 7 9 10 — 

r =r 3 H 15 24 35 48 G3 32 19 21 O, enz. 

*) Herzfeld, l.c. p. 268. 

Men vergelijke ook: A. Sommeiu'ei.d, Sitz. Ber. Münch. Akad. 1917, p. 1S;5, vgl. 

(SoMMERFELD bespreckt verschillende methoden om tot een gewichtsfunktie 
te komen). 

*) Herzfeld, l.c. 



264 STATISTISCHE PROBLEMEN. [§ 42. 

Ter vereenvoudiging wil ik me beperken tot het boven onder 
I) (bl. 261) besproken probleem. 

In de gebruikte gewichtsfunktie (IV), en dus ook in de ver- 
kregen verdeelingsfunktie fl>, komt een parameter ,s voor, de 
bovenste grens voor het quantengetal n. In plaats van s kan 
men, zooals reeds gezegd is, een bovenste grens B invoeren voor 
de groote as van de elliptische baan. 

Zal de verkregen toestandsverdeeling voldoen aan de tweede 
hoofdwet, dan moet volgens Ehrenfest ^) de gewichtsfunktie 
gehoorzamen aan de betrekking: 

_n(n) ■^r(w) . „ ,,„^, 

of — wat op hetzelfde neerkomt — aan: 

y\ ^^""^ (U = o 2) (xn-) 

n = A ^S 

Hieraan is niet voldaan; dus schijnt de verkregen toestands- 
verdeeling niet in overeenstemming te wezen met de tweede 
hoofdwet. 

Men zou dit op twee verschillende wijzen in orde kunnen 
brengen : 

a) Men zou kunnen aannemen dat bij geen enkel proces dat 
met een verzameling van waterstof-atomen wordt uitgevoerd, de 
grootheid s (of E) verandert, s verliest dan het karakter van 
een parameter, en (XII) en (XTl*) vervallen. 

Dit lijkt me echter in strijd te zijn met de opvatting van 
Herzfeld: Herzfelt) denkt zich de maximumwaarde voor de 
grootte der banen een gevolg te zijn van de botsingen der 
atomen ; volgens hem moet R (of Rq) van de orde van grootte 
van de middelbare vrije weglengte zijn 3). Dan zou R en dus 
s veranderen met de dichtheid van het gas. 

h) Men zou de funktie voor de energie zoo kunnen wijzigen, 
dat voor ïi > s de energie oneindig groot wordt, zoodat reeds 



') P. EiiRENFEST, Phys. Zcitschr. 15, p. 057, vgl., 1914. 
*) P. Ehrenfest, l.c. p. UGO. 
•'' I K. F. Hi:n/.i'i:i II, l.c p. 271. 



§ 42.] STATISTISCHE PROBLEMEN. 265 

zonder dat men een extra gewichtsfunktie invoert: 

Lim e-7^r=:0 is, 



en 



Z = ^S\ € kx konvergeert. 
1 

Men is dan nog volkomen vrij in de manier waarop men deze 
wijziging wil aanbrengen en hoe men s b.v. van het volume 
van het gas zal laten afhangen ; steeds zal voldaan zijn aan de 
tweede hoofdwet daar er nu geen van s afhankelijke gewichts- 
funktie meer is. 

Zoodra men de parameter s in de energie-formule brengt, 
zal het ensemble een .,kracht" in de richting van deze parameter 
uitoefenen (zie bl. 252, formule (IV) ). Indien s een funktie is van 
het volume van het gas zou dit een bijdrage geven in de druk ^). 



') Het probleem vertoont groote aualogie met het probleem van de druk iu 
de klassieke kinetische gastheorie. Schrijft men bij de berekening van de 
toestandsverdeeling aan de molekulen eenvoudig voor dat ze alle binnen een 
volume F moeten liggen — voert men dit dus in als een „gewichtsfunktie" — 
dan o-eeft de aan (IVi, bl. 252, analoge formule ntei de druk van het gas tegen 
de wanden van het volume, en de afleiding van formule (14) voor de tweede 
hoofdwet geldt niet meer tin de klassieke theorie verloopt de afleiding hiervan 
op dezelfde wijze als in § 41. B, 1). Voert men evenwel een potentieele energie 
van de molekulen in welke oneindig groot wordt, zoodra de molekulen buiten F 
zouden komen, dan hoeft men geen extra gewichtsfunktie in te voeren: de oj) 
de o-ewone wijze verkregen toestandsverdeeling levert vanzelf dat alle molekulen 
binnen F liggen, terwijl men de druk van het gas volgens formule (IV) van 
bl. 252 kan berekenen. 



18 



EUG. DUBOIS. 

OVER HET ONTSTAAN EN DE GEOLOGISCHE 
GESCHIEDENIS VAN VENNEN, VENEN EN ZEEDUINEN. 

(Korte inhoud eener voordracht, gehouden op 15 November 1916.) 



De geologische geschiedenis van de vennen: meertjes, moe- 
rassen, droge kommen in het landschap van Brabant en Limburg's 
noordelijke helft, is zeker nauw verbonden met die van de Maas 
en haar bijrivieren. Dat bewijst reeds hun, in zekeren zin, 
regelmatige ligging in de delta-bocht van de Maas, welker wateren 
zich ongetwijfeld steeds meer in noordoostelijke richting zijn gaan 
beperken, en hun ligging in min of meer aan de rivieren paral- 
lele rijen. Zij is dan nauw verbonden ook met het ontstaan van 
den diluvialen bodem. 

Waar de Maas, bij Eysden, komt op Nederlandsch gebied, en 
tot bij Maastricht, loopt zij in een dal, dat S'/o tot 4 kilometer 
breed en meer dan 60 meter diep, in het krijtplateau van Zuid- 
Limburg is uitgesneden. 

Uit de tegenwoordige toestanden kan men de wording van 
dat wijde dal onmogelijk verklaren, want lang zoo ver breiden 
zich de wateren van de Maas bij de hoogste overstroomingen 
niet uit ; zij bereiken zelfs nooit een anderen in het landschap 
zichtbaren, op belangrijk lager niveau gelegen ouden oever, den 
rand van het zoogenaamd middenterras. Wel naderen de hoogste 
buitenwaterstanden den veel dichter bij den tegenwoordigen 
oever gelegen rand van het laagterras. Maar deze is bij Eysden 
toch nog 8 meter boven het gemiddeld rivierpeil gelegen, en 
bij die grootsche metamorphose van de rustig mooie Maas in 
den ontzaglijken, twintig maal breederen stroom, zag men dezen 
aldaar nooit tot voorbij het laagterras stijgen. 



ONTSTAAN EN GESCHIEDENIS VAN VENNEN, VENEN EN ZEEDUINEN. 267 

Toch staat het v^st, dat de Maas, in lang verleden tijd, den 
rand van het dal in het krijtplateau ver heeft overschreden en 
op het hoogterras, d.w.z. over het plateau stroomde. Niet, dat de 
rivier toen ook de geheele dalgleuf vervulde ; de zooeven aan- 
geduide terrassen bewijzen, dat eerst na die grootste breedte 
geleidelijk het dal dieper is geworden, maar ook telkens minder 
breed. 

Inderdaad begon, in die oudste phase van de Maas, bij Eysden 
hare delta, en deze verbreedde zich van daar noordwaarts en 
oostwaarts over het grootste deel van Limburg en westwaarts 
ver in Noord-Brabant en de Belgische Kempen. Wij kunnen 
dat met zekerheid beoordeelen uit hare afzettingen. In het Zuiden 
van Limburg treffen wij op het krijtplateau afzettingen van de 
oudste phase van de Maas aan, vooral grind, welks hoofdbe- 
standdeelen, blijkens den aard der gesteenten, slechts kunnen 
komen uit het stroomgebied van den bovenloop der Maas, uit 
de Ardennen vooral. Het massief van de Ardennen is het ook 
hoofdzakelijk, dat het materiaal geleverd heeft voor den diluvialen 
bodem van de oostelijke helft van Brabant en het noordelijk 
gedeelte van Limburg, waarin de vennen gelegen zijn en de 
venen van de Peel. 

Alleen van de hardste deelen der rotsen van de Ardennen 
(vooral kwartsieten en gangkwarts uit de zandsteenen, een enkel 
zeer hard conglomeraat e.d.) en vuursteen uit het tufkrijtgebergte 
van Zuid-Limburg kunnen die hoofdbestanddeelen van het 
Maas-grind : kwartsieten van verschillende soort, witte kwarts, 
een hard, bont conglomeraat, vuursteen en enkele andere, af- 
komstig zijn. Door den stroom werden deze niet geheel fijn te 
maken of op te lossen deelen tot rolsteenen geslepen en dan als 
grind opgehoopt of wel als afzonderlijke keien en keitjes in het 
zand, dat als hoofdproduct der verweering en afschuring van den 
gebergteromp der Ardennen werd medegevoerd, op bedoeld 
plateau neergelegd. 

Een ander bewijs, dat inderdaad de Maas eenmaal over het 
Zuidlimburgsche krijtplateau stroomde leveren ons de „aardpijpen'' 
of „geologische orgelpijpen" van den Sint-Pietersberg. Dat zijn 
mBest rechtstandige, buisvormige, onder gesloten holten in het 
tufkrijt, die bij de grotvormige excavatie van den berg, de 
vorming van steengroeven ter verkrijging van bouwsteen, 



268 OVER HEÏ ONTSTAAN EN DE GEOLOGISCHE GESCHIEDENIS 

open kwamen. Al moge ook oplossing van tufkrijt medegewerkt 
hebben tot het eerste ontstaan van die pijpen, en de kleinste 
daaraan wel geheel het aanzijn te danken hebben, zoo moeten 
toch de grootere, steeds min of meer vertikale, op andere wijze 
verder gevormd zijn. Ongetwijfeld zijn zij van denzelfden aard 
als de „reuzenketels", die in zandsteenachtige bedden van snel- 
stroomende rivieren (vooral in tegenwoordige of vroegere glet- 
scherstreken, doch ook wel elders) werden uitgeschimrd door 
steenen, welke in holligheden van het rivierbed door den stroom 
werden rondgevoerd. Meestal zijn die rechtstandige pijpen met 
grind, ten deele ook met de eigenaardige leemsoort van Zuid- 
Limburg, de loss, welke als een jongere laag het grind bedekt, 
opgevuld. Sommige van die aardpij pen vertoonen nog duidelijke 
sporen van het wielen der steenen waardoor zij gevormd werden. 
Het onderzoek van het grind, dat de Maas op het krijtplateau, 
o.a. ook op den Sint-Pietersberg, heeft neergelegd, leert ons niet 
alleen zijne herkomst kennen, maar ook de wijze waarop het 
hier is gekomen. Het is veelal zeer grof en bevat niet zelden 
reusachtig groote steenblokken, zoodat het onmogelijk uit de 
Ardennen door water alleen kan getransporteerd zijn. Drijfijs 
moet daarbij mede geholpen hebben. Op den Sint-Pietersberg, 
nabij het dorp Sint-Pieter (niet ver van Slavante), bij ongeveer 
50 M. boven de tegenwoordige Maas, werd in grove grind een 
3^2 ^- lang steenblok (geelachtig grijze kwartsiet) aangetroffen, 
dat ik in 1912 gefotografeerd heb. In 1904 mat ik o.a. twee 
blokken, met ongeveer 1.80 M. grootste afmeting, van een donker- 
grijze geaderde kwartsiet uit een grindgroeve in Savelsbosch, op 
het plateau van den oostelijken Maaskant. Groote steenblokken 
worden telkens in het plateaugrind aangetrotien en Ekens heeft, 
reeds lang geleden, vele van die „zwerfblokken" op het plateau 
van Zuid-Limburg beschreven. Het is te betreuren, dat deze en 
dergelijke verschijnselen, die voor de kennis der wording van 
den bodem van Nederland ten minste even belangrijk zijn als 
die aan het noordelijk landijs moeten worden toegeschreven, wel 
sterk verwaarloosd zijn. Het reusachtig gletscherijs der Alpen en 
dat der Vogezen, en stellig niet minder het winterlijk rivierijs, 
vooral ook der Ardennen, hadden voor de wording van onzen 
bodem zeker nog wel grooter beteekenis dan het Finsch-Scandi- 
navische landijs. lieeds lang voor den diluvialen tijd was ons 



VAN VENNEN, VENEN EN ZEEDUINEN. 269 



land bijna geheel Rijn -Maasdelta en het materiaal van den dilu- 
vialen ondergrond is tot in Drente en Friesland, Terschelling en 
onder onze voeten door die rivieren, hier vooral den Rijn, ge- 
leverd. Van het oppervlakkig diluvium van ons land is ongeveer 
de helft van zuidelijken oorsprong. Toch heeft de omstandigheid, 
dat, na Staring's tijd, vooral van Groningen en Utrecht het 
onderzoek van ons diluvium is voortgezet geworden, ten gevolge 
gehad, dat de noordelijke helft van den bodem van ons land 
veel beter onderzocht en bekend is dan de zuidelijke. Intusschen 
is door onderzoekingen van geologen der Rijksopsporing van 
Delfstoffen daarin wel groote verbetering gekomen. Maar de 
beteekenis van het zuidelijk ijs voor het ontstaan van ons land 
wordt toch nog onderschat. 

Heeft aldus ontwijfelbaar ijstransport bij het ontstaan van het 
Maasdiluvium een zoo belangrijke rol gespeeld, hoe moet men 
zich dat transport dan voorstellen? 

Daar aldus het grind op den Sint-Pietersberg en ook veel 
verder noordelijk — gewezen zij slechts op de groote blokken 
van gesteenten der Ardennen, benevens tal van andere uit het 
stroomgebied van den Rijn, die bij Tegelen en ook bij Maarn 
worden aangetroffen — noodzakelijk in een ijstijd moet zijn 
afgezet, heeft men dus na te gaan of, in koude luchtstreken, 
tegenwoordig nog zulk een transport door rivieren plaats heeft, 
misschien, gedurende koude winters, onder bijzondere omstan- 
digheden, zelfs in Europa. 

Inderdaad nam men deze waar, in den winter van 1879 op 
1880, in den loop van de Loire en van de Saóne. Er vormden 
zich, op plaatsen waar in den rivierloop belemmeringen voor- 
komen, reusachtige ijsdammen (embacles), die van de oppervlakte 
tot den bodem uit opeengestapelde ijsschotsen bestonden, gemengd 
met grind, die ze van het rivierbed hadden opgeploegd. Bij 
Saumur had zich in 1880 zulk een erabacle in de Loire gevormd, 
van 9 kilometer lengte; de ijsblokken waren een halve meter 
dik en in het midden der rivier verhief zich de ijsdam 5 tot 
6 meter hooger dan aan de kanten. 

De vorming van ijsdammen is een gewoon verschijnsel, dat 
zich ieder jaar herhaalt, in de Sint-Laurens-rivier, boven Montreal. 
Wanneer dan, bij ingetreden dooi, de ijsdam verbroken wordt 
en het ijs ten slotte den normalen rivierloop afdaalt, heeft er 



270 OVER HET ONTSTAAN EN DE GEOLOGISCHE GESCHIEDENIS 

op groote schaal met dat drijfijs transport van grind en zand 
plaats. Maar het gebeurt ook wel, dat de ijsdam aan de afkomende 
wateren een onoverwinnelijken weerstand biedt en hen dAvingt 
«en nieuwen uitweg ernaast te zoeken. Dan blijven later, na het 
afsmeken van het ijs, de vaste bestanddeelen (zand en grind), 
die de opeengestapelde ijsschotsen aan den bodem hadden ontrukt, 
als een heuvelachtige dijk liggen. 

In Siberië bevriezen vele rivieren (behalve de zeer grootej 
in den winter tot den bodem en ook hier verheifen zich de 
ijsmassa's hoog boven het normale oppervlak, doordien nog steeds 
water uit het Zuiden, waar de Siberische rivieren in het algemeen 
ontspringen, wordt aangevoerd. Wanneer dan, bij zachter weers- 
gesteldheid, de dooi intreedt, beginnen ook het eerst in het 
Zuiden de rivieren weder te loopen. Het water stroomt eerst 
rechts en links van de opgehoopte ijsmassa's en vormt twee 
zijdelingsche rivieren ; dan zet zich ook het door de winterkoude 
gescheurd en gebroken ijs op zijn beurt in beweging. De stukken, 
die aan het rivierbed kleefden komen aan de oppervlakte, be- 
laden met zand, grind en zelfs groote steenblokken. Die massa, 
op haren weg naar het Noorden dikwijls opgehouden door nog 
vast gebleven ijsdammen, ploegt diepe gleuven in den bodem 
en geeft lederen winter den stroom nieuwe oeverlijnen. Zij 
vervracht aldus geleidelijk, van afstand tot afstand, materialen, 
Avelke de rivier als zoodanig nooit zou hebben kunnen verplaatsen. 

In Alaska hebben soortgelijke verschijnselen plaats aan de 
monding van de reusachtige Yoekon. Gedurende acht maanden 
van het jaar is hare strooming onderbroken. Bij het losraken 
van het ijs doorploegen zijne massa's de delta, de steile rivier- 
oevers worden afgebroken en de mondingen verplaatsen zich 
telkens. 

Ik heb deze verschijnselen van den tegenwoordigen tijd, die 
zoover mij bekend is, het eerst door de Lapparent zijn in het 
licht gesteld, eenigszins uitvoerig besproken, omdat zij niet 
alleen het ontstaan der grindafzettingen in het Nederlandsclie 
diluvium kunnen verklaren, maar ook licht werpen op apdere 
problemen van Onzen bodem, oiider andere het ontstaan van 
vennen. 

Het kon wel niet anders of ook op de delta dier oudste Maas 
moeten drijvende ijsmassa's het grindachtig „Maasdiluvium" heb- 



VAX VENNEN, VENEN EN ZEEDÜINEN. 271 

ben afgezet, toen het klimaat zeer koud geworden was. Maar 
het Hgt ook voor de hand, dat na het transport, in de eerste 
ijstijden, van het grind, dat zich, gedurende den langen vooraf- 
gaanden warmen tijd, in den bovenloop der rivier gevormd had, 
in de latere ijstijden toch nog ontzaglijke massa's ijs naar de 
delta kunnen zijn afgedreven. 

Meerdere ijstijden hebben zich inderdaad bij de vorming van 
het diluvium van Nederland doen gelden. In het noordoostelijk 
gedeelte van ons land is duidelijk waar te nemen hoe op het 
.,grinddiluvium" van de Rijn- en (Maas-)delta rust het „Scan- 
dinavisch diluvium", daarvan wel gescheiden door de intergla- 
ciale „Potklei'"'. Dat Rijn- (elders Maas-)diluvium behoort dus 
tot een of meer oudere ijstijden. In Noord-Brabant en de noor- 
delijke helft van Limburg wordt het grindachtige Maasdiluvium 
bedekt door het „zanddiluvium". Het ligt voor de hand, althans 
het diepste deel van dit zanddiluvium als synchronisch met het 
Scandinavisch diluvium te beschouwen. 

Het komt mij voor, dat de eigenaardige Zuidlimburgsche 
leemsoort, die men met den Duitschen naam „loss" aanduidt, 
welke op het grindachtig Maasdiluvium van het krijtplateau 
werd afgezet, eveneens als met het Scandinavisch diluvium 
gelijktijdig ontstaan te beschouwen is. Tot voor korten tijd pleegde 
men wel de loss als een interglaciale formatie aan te zien. Het 
droge klimaat, waarin de bestanddeelen van deze leemsoort als 
steppenstof, vooral ook blijkens de daarin aangetroffen over- 
blijfselen van steppendieren, door den wind moeten zijn afgezet, 
werd onvereenigbaar geacht met het klimaat van een ijstijd. 
Penck toonde evenwel (in 1905) aan, dat noodzakelijk het groote 
noordsche landijs op zijne omgeving zulk een invloed moest 
uitoefenen, dat eene zone met droog klimaat het in het Oosten 
en Zuiden omgaf. Evenals thans op het Antarktische landijs 
een groote anticyclone gelegen is, moet op dat noordsche ijs 
een groot luchtdrukmaximum, eene anticyclone, gelegen hebben; 
van welk ijsgebied de lucht als noordelijke en oostelijke winden 
afvloeide. Ten zuiden van het landijs, dat op het noordelijk 
gedeelte van Nederland lag, tot aan een iets bezuiden Utrecht 
verloopende, ter hoogte van Nijmegen het tegenwoordig bed der 
Maas naderende schuine lijn, moeten toen, in plaats van de 
tegenwoordig overwegende westelijke winden, oostenwinden ge- 



272 OVER HET ONTSTAAN EN DE GEOLOGISCHE GESCHIEDENIS 

Avaaid hebben. Die winden kunnen slechts droog geweest zijn. 
Men moet aldus wel tot een steppenklimaat ook voor het zuidelijk 
gedeelte van ons land besluiten. Een krans van loss is inderdaad 
aan de continentale en zuidzijde van het groote landijs, in 
Rusland, Duitsehland, Nederland, België en Frankrijk, ook in 
het zuiden van Engeland, te vinden. Deze leemsoort heeft, ten 
minste in haren oorspronkelijken toestand (primaire loss), alle 
eigenschappen van steppenleem en aan hare basis worden vele 
door den wind glad geslepen kantenkeien gevonden, die ook 
bewijzen voor een droog klimaat. Zij komt onder locale omstan- 
digheden voor, die hare afzetting door water uitsluiten, bevat 
overblijfselen van steppendieren, zooals de Saiga-anlilope en de 
Springmuis en heeft algemeen, waar zij niet secundair ontkalkt 
werd, een hoog kalkgehalte. Deze laatste eigenschap is niet wel 
te vereenigen met een herkomst van het materiaal uit rivier- 
leem, daarentegen zeer begrijpelijk indien men de h'iss beschouwt 
als verstoven gletscherslib van het noordsche landijs, dat, naar 
men mag aannemen, algemeen kalkrijk geweest is. 

In de omstandigheid, dat primaire (kalkrijke) loss in Limburg 
op het plateau-grind werd afgezet, nadat de Maas zich reeds een 
l)ed van zekere diepte daarin had uitgesneden, en tot dat hoog 
terrein beperkt is, ligt op zich zelf, reeds een bewijs voor haar 
ontstaan als een afzetting door den wind en uit gletscherslib 
— anders kon het kalkgehalte niet zoo hoog zijn — , aldus voor 
gelijktijdigheid met het „Scandinavisch diluvium". De klima- 
tische omstandigheden, waaronder loss als steppenleem moet zijn 
afgezet, laten geen plaats voor twijfel aan die gelijktijdigheid 
over. 

Lag op het noordsche landijs een luchtdrukmaximum, dan 
waren daardoor de banen der atlantische depressies welke tegen- 
woordig boven de Noord- en Oostzee verloopen, afgesloten. De 
hichtwervels, die het noordwestelijk Europa nu den meesten 
neerslag brengen, zullen gedAvongen zijn geweest de mediterrane 
baan te volgen en veelvuldiger dan tegenwoordig waren op de 
Zuideuropeesche schiereilanden de regenbrengende westelijke 
winden. Daardoor heerschten aan de westkusten dier schierei- 
landen, gedurende den ijstijd dergelijke klimatische toestanden 
als tegenwoordig heerschen in westelijk Patagonië, in Nieuw- 
Zeeland, in Zuid-Alaska: buitengewoon lage ligging der sneeuw- 



VAN VENNEN, VENEN EN ZEEDUINEN, 273 

grens ; de boomgrens daaronder op zoo klein mogelijken afstand 
en onmiddellijk zwaar bosch. Penck kwam tot deze voorstelling, 
doordien hij werkelijk de dikiviale sneeuwgrens op de westzijde 
der schiereilanden bijzonder laag gevonden had en, palaeon- 
tologisch bewezen, het mediterraangebied het ijstijdelijk woud- 
land van Europa was. Ook Noord-Afrika genoot een pluviaal 
klimaat, waardoor in de tegenwoordige woestijnen rivieren kon- 
den bestaan, uit welker dalen ten deele wadis geworden zijn. 

Wat nu betreft de noordelijke helft van Limburg en Noord- 
Brabant, daar rust op het Rijn-Maasdiluvium het zoogenaamd 
„zanddiluvium", een volstrekt niet eenvoudig samenstel van 
lagen zand, ten deele met, ten deele zonder rolsteentjes en 
keien, en leem, dat zeer wel in verschillende glaciale (en inter- 
glaciale) tijdvakken kan zijn gevormd. Voldoende gegevens, 
waarop een algemeene indeeling van dit zanddiluvium zou kun- 
nen gegrond worden, staan nog niet ter beschikking. Waarschijn- 
lijk is het evenwel, dat van tivee zuidelijke ijstijden daarin af- 
zettingen voorkomen. 

Penck en Brückner hebben in de Alpen de sporen van vier 
ijstijden kunnen onderscheiden, als de Günz-, Mindel-, Riss- en 
Würm-tijden. Met een enkel woord zij betoogd, dat het zand- 
diluvium slechts op de Riss- en de Würm-glaciatie der Alpen 
en Vogezen kan betrekking hebben. Het Rijn-Maasdiluvium is 
namelijk in een oudere en jongere helft te verdeelen. Dit is o.a. 
gebleken bij eene boring door de nog in haar normale ligging 
zich bevindende lagen in een der kleigroeven bij Tegelen. Bij 
die, onder mijne leiding, in opdracht van Teyler's Stichting, in 
December 1904, uitgevoerde boring werd bevonden, dat ondei^ 
de 8.5 M. dikke kleilaag, die aldaar bedekt wordt door ongeveer 
8 M. Rijn-Maasdiluvium, eene diepere laag Rijn-Maas-diluvium, 
van 13 M. dikte, gelegen is, welke op hare beurt een diepere 
kleilaag, van 6 M. dikte, bedekt, waaronder weder zand, ten 
deele met rolsteentjes. Ook leerden, omstreeks denzelfden tijd, 
boringen in de prise d'eau der Amsterdamsche waterleiding, 
de duinstreek tusschen Vogelenzang en Zandvoort, duidelijk een 
bovenste en een onderste „grove" (grindachtige) afdeeling in het 
diluvium onderscheiden, waartusschen een middelste „fijne" 
(zand- en kleiachtige) afdeeling. Het ligt voor de hand, de twee 
grindlagen hier en ginds als produkten van twee ijstijden te 



274 OVER HET ONTSTAAN EN DE GEOLOGISCHE GESCHIEDENIS 

beschouwen, die slechts de Günz- en de Mindel-tijd kunnen zijn. 
De Klei van Tegelen en de kleiachtige en fijnzandige laag in 
het duin moeten dan tot het oudste interglaciaal gerekend worden. 

Er is hier aanleiding een geologisch gebruik te herzien. Men 
pleegt namelijk de geheele periode der ijstijden, met de tusschen- 
ijstijden, de Diluviale periode (de periode van de groote vloeden) 
te noemen en deze, samengevat met het tegenwoordig of nieuwste 
tijdperk der geschiedenis van de aarde, als Kwartair tijdperk te 
stellen tegenover het Tertiaire. Daarbij neemt men aan, dat de 
diluviale periode zich, behalve door de klimatische bijzonderheid 
der ijstijden, ook nog zou onderscheiden hebben van het vooraf- 
gaand Tertiair tijdvak, doordien reeds in het begin der periode 
het meeste in de dieren- en plantenwereld nieuw zou zijn ge- 
weest, plistoceen (van het grieksch pleiston =r het meeste en 
kainos =z nieuw), in tegenstelling zelfs met de jongste of plio- 
cene afdeeling van het Tertiair tijdvak, toen het verschil met 
de tegenwoordige planten- en dierenwereld nog betrekkelijk groot 
was. (Plioceen, van pleioon -^iz meer en kainos ^ nieuw, beteekent 
dat wel meer nieuw in de levensvormen was dan in het ouder 
tertiair). 

De interglaciale Klei van Tegelen behoort evenwel, naar hare ' 
fossiele fauna en flora, tot het Plioceen. In tegenstelling met 
hetgeen men als vanzelfsprekend en algemeen geldig aannam, 
is hier Diluvium niet hetzelfde als Plistoceen. Vooral herten- 
soorten van Aziatisch type, zooals zij het Plioceen van centraal 
Frankrijk kenmerken (en waarnaast moderne Europeesche t^'pen 
ontbreken) en eene pHocene paardesoort {Equus Stenonis), naast 
andere zoogdieren, die in Europa althans nooit in het jonger 
diluvium worden aangetroffen, zooals Hippopotamus major, 
Rhinoceros etruscus en Trogontherium Cuvieri en vooral eene 
boom- en zoetwatertlora met de Oostaziatische Magnolia Kobus 
en Euryale, met de Amerikaansche Juglans dnerea en Taxodium 
distichum, de mediterrane en Himalaya-typen Pterocarya cav- 
casica, Staphylea pinnata en Picea morinda, stempelen de Klei 
van Tegelen tot eene jong-pliocene laag. Men wordt aldus ge- 
noopt aan te nemen, dat de Diluviale periode, in den zin van 
glaciale periode, reeds begon in de Pliocene afdeeling van het 
tertiaire tijdvak en heeft de voorstelling, dat Plistocene en Gla- 
ciale of Diluviale periode elkander dekkende begrippen zijn, 



VAN VENNEN, VENEN EN ZEEDUINEN. 275 

op te geven. Het eene is dan ook, naar zijnen aard, een palae- 
ontologisch, het andere een klimatologisch begrip ; deze behoeven 
niet parallel te gaan. 

Welke opvatting men hieromtrent moge huldigen, zeker laat 
het palaeontologisch karakter der Klei van Tegelen slechts de 
chronologische interpretatie toe, haar als oudste interglaciaal te 
beschouwen en derhalve het bovenste Rijn-Maasgrind tot den 
Mindel-tijd te rekenen. Het op dat „Rijn-Maasdiluvium" rustend 
Zanddiluvium moet dan, voor zoover het in ijstijden gevormd 
werd, tot den Ris^s- en den Würm-tijd gerekend worden. Want 
het is ondenkbaar, dat deze beide zuidelijke ijstijden niet, en de 
vroegere wel belangrijke afzettingen in ons land zouden hebben 
nagelaten. 

In den Riss-tijd lag op de grootste, noordelijke helft van Ne- 
derland het fenno-scandinavische landijs, waardoor de wateren 
van den Rijn gedwongen werden naar het Zuiden uit te wijken. 
Bezuiden den tegenwoordigen Maasloop werd in de toen tot 
Noord-Brabant en de noordelijke helft van Limburg met de 
Belgische Kempen beperkte, doch daarom des te waterrijker 
delta, door Rijn- en Maaswateren en, in het Westen, door wa- 
teren van de Schelde, het ouder zanddiluvium, ter dikte van 
gemiddeld enkele tientallen meters, over het in den vooraf- 
ga'anden langen interglacialen tijd ongelijk geworden grinddilu- 
vium uitgespreid. Met het eindigen van dezen derden zuidelijken 
ijstijd en het terugtrekken tevens van het landijs, dat de noor- 
delijke helft van ons land bedekt had, verlegde de Rijn zijn 
takken weder naar het Noorden en liet de delta in het tegen- 
woordig vennengebied geheel aan de Maas en de Schelde over. 
Het klimaat bleef nu weder langen tijd gematigd en de wateren 
krompen tot een beperkt aantal takken in, die diepe geulen 
uitschuurden. 

In den alsdan intredenden vierden of laatsten zuidelijken 
ijstijd, den Würm-tijd, werd nogmaals dit gebied, nu dan alleen 
door de Maas en de Schelde, overstroomd en het jongste gla- 
ciale zanddiluvium aldaar afgezet. Het waarschijnlijk synchro- 
nisch „Baltisch landijs" bereikte Nederland niet. 

Toen ook deze laatste koude, natte tijd ten einde gekomen 
was, trokken de wateren van de Maasdelta zich voor goed in 
bepaalde, meestal wel nieuwe loopen terug, waaruit ongetwijfeld 



276 OVER HET ONTSTAAN EN DE GEOLOGISCHE GESCHIEDENIS 

de tegenwoordij^e Maas en vele beken in het vennengebied ont- 
staan zijn. Aldus tot weinige geulen beperkt, schuurden zij hun 
])edden meer of min diep in de zandvlakte. Aan de westzijde 
van de Maas en langs de Neerbeek,- tegenover Roermond, zijn 
duidelijk de randen van de toenmalige valleien te herkennen, 
aan den bovenkant van het zoogenaamd „middenterras". De 
wateren brachten het dan nooit meer tot een overstrooming 
van de oude zanddelta, maar wel verlaagden zij, sprongsgewijs, 
haar niveau binnen de valleien van de Maas en haar bijrivieren. 
Het „middenterras" en het „laagterras", welke o.a. in de be- 
doelde streek te herkennen zijn, moeten dan aan minder betee- 
kenende klimaatschommelingen (van den „Post-Würm-tijd") of 
aan bodembewegingen in hot stroomgebied van de Maas gedu- 
rende den postglacialcn tijd worden toegeschreven i). 

Uit dat alles blijkt, dat de in liet zanddiluvium van den 
vierden zuidelijken ijstijd gelegen venkommen na haar ontstaan 
niet aan overstrooming en gevaar van dichtspoelen zijn bloot- 
gesteld geweest. Maar tevens is het duidelijk, dat de vennen in 
geen geval ouder kunnen zijn dan het jongste zanddiluvium van 
de Maasdelta. Stellig zijn vele even oud. Men heeft haar ont- 
staan wel toegeschreven aan uitkolking door de „wilde" delta- 
wateren, deze eigenschap blijkbaar niet alleen bedoelend in den 
zin van onregelmatig of nog niet in bepaalde banen geleid, doch 
ook van woest, krachtig. Maar zou integendeel uit de omstan- 
digheid, dat het door de deltawateren van de Maas nu alleen, 
niet meer van den Rijn, afgezette zand zelden zeer grof is en 
(zoover niet drijfijs bij het vervoer medewerkte) slechts weinig 
en lichte steentjes bevat, niet moeten worden afgeleid, dat de 
stroomsnelheden op de delta slechts gering waren en zeker niet 
groot genoeg voor de bedoelde uitkolking, die niet zelden eenige 
meters diepte zou bereikt liebben? 

Meer voor de hand liggend was het om de heuvels, die de 
vennen algemeen vergezellen, alleen naar hun voorkomen, voor 



^j In een artikel „liue uiitstondeii de vennen bij Oi.sterwijlc V" opgenomen iii 
(Ie Verslagen van de Vereeniging tot Behoud van Natuurmonumenten in Neder- 
liind (Amsterdam 1917, p. S), schreef ik ten onrechte alleen het „laagterras" 
aan deze oorzaken toe. Met voorluinden zijn van een „niiddenterras"' aan de 
Neerbeek, zoowel als aan de Maas, bewijst zijn postglaciaal ontstaiin. 



VAN VENNEN, VENEN KN ZEEDUINEN. 277 

duinen te houden en de venkommen zelf door iiitwaaiing te 
verklaren. 

Deze verklaring is evenwel oogenschijnlijk niet bestand tegen 
het nader onderzoek van de samenstelling der heuvels. Het zand 
van de vermeende oude stuifheuvels blijkt namelijk steentjes te 
bevatten. Wel zijn deze dikwijls niet groot — de grootste en 
zwaarste, in de vermeende duinen bij de vennen van Gister wijk 
door mij en anderen verzameld, bereikten slechts 1 c.M. lengte- 
maat en wogen een halve gram — maar toch wel te groot voor 
duinzand. In de naast vennetjes gelegen zandheuvels bij Horn, 
ten westen van Roermond, die op de Topographische kaart als 
„duinen" en in den Atlas van Staring als zandstui vingen staan 
aangegeven, komen zij, tot bovenaan, in horizontale snoertjes 
van grof zand voor; een vuursteenkeitje werd daaraan ontno- 
men van 22 m.M. grootste lengtemaat en 3.15 G. gewicht i). 
Deze heuvels vertoonen ook overigens duidelijk fluviatiele ge- 
laagdheid, doordien horizontale lagen van grover en fijner zand 
met elkander afwisselen. Toch ziet het landschap geheel duin- 
achtig uit, maar de wind werkt er veeleer afbrekend, waardoor 
op vlakke plaatsen nabij de toppen tal van keitjes vrij komen te 
liggen. Waar ook ik in Noord-Limburg en Noord-Brabant het 
zanddiluvium daarop onderzocht, ontbraken keitjes nergens, noch 
in de heuvelachtige, noch in de vlakke streken — al zijn ze 
niet overal even talrijk — ; men vindt ze meestal verstrooid, 
maar in deze en gene Oök wel in horizontale en dan duidelijk 
door water afgezette laagjes. 

Op geringe diepte, onder dit zanddiluvium, dat in de vlakke 
streken de oppervlakte vormt en waaruit zeker althans de meeste 
heuvels bestaan, nog een paar meter boven het niveau van den 
bodem der diepste vennen, wordt in het vennengebied der 
Neerbeek eene gemiddeld ongeveer 70 c.M. dikke laag van 
bruine, fijnzandige leem aangetroffen. Deze is duidelijk en scherp 
gestratificeerd. Daarboven bevindt zich eene zone van eenigszins 
leemhoudend fijn zand, die hier en daar keien bevat van karak- 
teristieke Maasgesteenten (o.a. kwartsiet van Revin en conglo- 
meraat van Burnot uit de Ardennen, vuursteen van het Zuid- 



') Dit is het grootste in de heuvels door mij in situ aangetroffen keitje (in 
Augustus 1918). 



278 OVER HET ONTSTAAN EN DE GEOLOGISCHE GESCHIEDENIS 

limburgsclie krijtplateau). Gedurende de laatste tien jaar had ik 
gelegenheid die streek nader te onderzoeken en bevond, dat 
kilometers ver de samenstelling van den bodem in dat vennen- 
gebied gelijk blijft. De gemiddelde, uit vele ingravingen voor 
slooten berekende onderlinge afstand der keien van meer dan 
4 C.M. grootste lengteafmeting (de grootste, kunnen enkele deci- 
meters bereiken ; gen kwartsiet woog 22.7 K.G.) is 2.5 tot 3 M. 
Op enkele plaatsen vindt men bepaald ophoopingen. Zulk een 
dichte uitstrooiing van keien in fijn zand is wel niet anders te 
verklaren dan door ijstransport. Andere verschijnselen bevestigen 
dit. In het profiel vertoont namelijk de bedoelde zone, waarin de 
keien gelegen zijn, waar ook zij eene, hoewel onregelmatige ge- 
laagdheid bezit, algemeen verbuigingen of kronkels en de door- 
loopend duidelijk gestratificeerde bruine leemachtige laag daaron- 
der, welke de regen scherp van de keienvoerende fijnzandige zone 
in het profiel afscheidt, menigvuldige rechtopstaande of scheeve 
scheuren en breede gapingen, waar dan het grovere witte zand van 
den bovengrond is ingedrongen ; ook wel heeft dit laatste brokken 
van het gelaagde afgerukt en scheef gedrukt of naar boven ver- 
plaatst. Dit zijn welbekende verschijnselen van ijsdruk, zooals zij,, 
op veel grooter schaal, in de noordelijke helft van ons land^ 
welke het landijs schuivend bedekt heeft, worden waargenomen. 

Zware ijsschotsen en ijsmassa's moeten dus ook op de jongste 
zanddelta nog altijd talrijk aan den grond geraakt zijn. Wel 
vervoerden zij slechts zelden en weinig keien en dan juist bij de 
geringe stroomsnelheid, waarin het eenigszins leemhoudend fijn 
zand tot afzetting gekomen is. 

De daaronder gelegen leemachtige laag heeft hare donker- 
bruine kleur te danken aan een hoog ijzergehalte. De zwarte 
kleur der laagvoegjes dezer scherp gestratificeerde afzetting 
wordt veroorzaakt door mangaanoxyde. Mangaanconcreties wor- 
den ook veel in secundair ontkalkte loss van Zuid-Limburg 
aangetroffen en men weet, dat waar ijzer- en mangaanoplossin- 
gen, bij aanwezigheid van voldoende hoeveelheden lucht, in den 
bodem met koolzure kalk in aanraking komen, niet slechts het 
ijzer, doch ook het mangaan wordt neergeslagen. Het is daarom 
volstrekt niet onwaarschijnlijk, dat de bruine leemachtige, thans 
mangaanhoudende laag oorspronkelijk zeer kalkrijk geweest is 
en als afspoelingsproduct der Zuidlimburgsche loss in het op 



VAN VENNEN, VENEN EN ZEEDÜINEN. 279 



den Riss-ijstijd volgend interglaciaal tijdvak te beschouwen is. 
Deze beschouwingswijze als juist aannemend, zou daarboven dan 
het jonger zanddiluvium, dat in den Würm-ijstijd gevormd werd, 
gelegen zijn. De met betrekking tot de oudere afdeeling van het 
zanddiluvium dan zeer geringe dikte van het jonger zanddilu- 
vium is in goede overeenstemming met de omstandigheid, dat 
tot het ouder zanddiluvium Rijn en Maas gezamenlijk, tot het 
jonger alleen de Maas heeft bijgedragen. 

Tot eenig begrip van het ontstaan der vennen kunnen wij, 
behalve door het onderzoek van de geologische samenstelling 
van den bodem in het vennengebied, slechts geraken door tevens 
hunne topographie na te gaan. 

Blijkbaar behooren de meertjes, of vennen in engeren zin, 
met de moerassige of met veen opgevulde en met de droge, op 
gelijke wijze als de omgeving, — bijvoorbeeld met heideplan- 
ten — begroeide verdiepingen van de bodemoppervlakte in dat 
gebied genetisch te zamen. Het zijn alle min of meer ronde of 
langwerpige, in eene bepaalde streek naar ligging en vorm 
karakteristiek gerichte en ook wel herhaaldelijk in gelijke rich- 
ting gelobde kommen. Inderdaad bestaat er tusschen die drie 
soorten van kommen menigvuldige overgang en samenhang. 
Al deze bodemverdiepingen plegen in groepen voor te komen 
en in een en dezelfde groep ziet men de verschillende soorten 
van kommen met elkander afwisselen. Eenvoudig ten gevolge 
van de zeer verschillende en wisselende diepteligging van hare 
bodems, van de grooter of geringer vruchtbaarheid van den 
grond, van de verschillende opneming van lucht door het water, 
bij meer of minder blootstelling aan den wind en al of niet 
aanwezige strooming. Inderdaad hangt het van deze natuurlijke 
omstandigheden af of de vennen „blauw als zomerlucht" of wel 
moerassig begroeid en zelfs met veen opgevuld zijn. 

Bijzonder opvallend is nu de groepeering van vele vennen in 
richtingen, evenwijdig met die van rivieren en beken, richtingen 
die zich ook in hunne vormen openbaren. 

Men kan dit het best nagaan door de waterstaatskaart van 
het vennengebied voor zich uit te leggen. 

Dan ziet men bedoelde groepeering en richting op de grootste 
schaal tot openbaring komen in de vennenreeks, waarin op een 
flauw gewelfden rug de venen van de Peel ontwikkeld werden. 



280 OVER HET ONTSTAAN EN DE GEOLOGISCHE GESCHIEDENIS 

Hoewel op aanzienlijken afstand van, en hoog boven het dal 
van de Maas gelegen, volgt zij, van de Belgische grens bij Weert 
tot bezuiden Grave, de groote Noordlimburgsche bocht dier 
rivier. Een veel kleinere vennenreeks met venen ligt ook aan de 
Oostzijde van de Maas, evenwijdig met den loop dier rivier 
tusschen Venlo en Aflferden en, veel zuidelijker, een andere ten 
Oosten van Susteren en Echt. 

Duidelijke scharing is ook te herkennen in de meest zuid- 
oostelijke kleine vennenreeksen, aan de linkerzijde van de Maas, 
ten Westen en Noordwesten van Roermond, parallel met de 
algemeene noordoostelijke stroomrichting van de Neerbeek en 
de Maas aldaar. 

Een in het oog springende vennenrichting is verder die op 
de eveneens flauw gewelfde strook tusschen de Astensche Aa 
en het Dommelbekken. 

Schijnbaar minder regelmatig liggen vele vennen tusschen de 
beken van het bovenstroomgebied van de Dommel en de Beerze, 
maar ook hier openbaart zich toch plaatselijk scharing, parallel 
met beken. Aldus vooral bezuiden A^alkenswaard, langs den Avortel 
van de eigenlijke Dommel. 

De vennen van Oisterwijk openbaren zeer duidelijk een alge- 
meene ricliting van het Zuidwesten naar het Noordoosten, gelijk 
de stroomrichting van de Run, den Voorsten Stroom of Lei en 
het deel van den Achtersten Stroom of Reusel, naast hetwelk 
de meeste gelegen zijn. Ook in de lobben van het Choorven en 
het Kolkven komt die richting te voorschijn. 

Ontwijfelbaar is de oorzaak van die in het oog loopende even- 
wijdigheid te zoeken in gelijksoortigheid van de omstandigheid, 
waaronder èn al deze venkommen èn beken en rivieren ontstaan 
zijn. Maar de ligging der eersten ten opzichte van de laatsten, 
op grooten afstand, in hooger terreinen, en met hunne bodems — 
zooals ik in eenige gevallen dooi- waterpassing en peiling heb 
kunnen vaststellen — wel dieper reikend dan de bedden dier 
stroomende wateren, ofschoon deze toch nog steeds uitschuur- 
den, is wel alleen te verklaren door aan te nemen, dat eerst de 
venkommen en daarna de beken ontstaan zijn. 

Zeker zijn niet alle venkommen genetisch gelijkwaardig. Eenige 
liggen in het verlengde van beken of ten minste in de dalen. 
Voor deze kan wel aan gemeenschappelijk en gelijktijdig ontstaan 



YAX VENNEN, VENEN EN ZEEDUINEN. 281 

met de beken gedacht worden. Sommige andere vennen zouden 
door uitwaaiing in een na den laatsten zuidelijken ijstijd ontwij- 
felbaar geheerscht hebbenden drogen tijd kunnen ontstaan zijn. 
Maar ik meen, op grond voorg,l van die detail-topographie, dat 
toch andere wijzen van ontstaan dan fluviatiel uitzonderingen 
zijn. In vele gevallen is inderdaad de overeenkomst van vennen- 
rijen of ook wel van enkele samengestelde vennen met deelen 
van oude rivierloopen onmiddellijk in het oog springend en on- 
afwijsbaar ; alleen de tusschen deze oude stukken waterloop zich 
verheffende en onderbrekende heuvels zijn met zulk een een- 
voudig ontstaan niet wel te vereenigen. Stuifheuvels toch zijn 
deze zeker in de meeste gevallen niet, wegens hunne samenstel- 
ling en ook omdat zij niet l)eantwoorden aan de verdiepingen. 
Achter — dat zou dan zijn aan de lijzijde van — ondiepten en 
landtongen in de vennen plegen, in de heerschende richting, 
juist de hoogste toppen te liggen en de grootste diepten en wijdste 
deelen van de kom liggen volstrekt niet regelmatig voor — aan 
de loefzijde van — de hoogste en breedste heuvels. Als eenvoudig 
overgebleven rivierstukjes zouden deze ook niet zoo beperkt zijn 
tot enkele groepen, doch in de bedoelde richtingen veel alge- 
meener gevonden worden en zouden in iedere groep de diepten 
niet zoo afwisselend zijn als wordt waargenomen. 

Van een regelmatig oud rivierdal vindt men zelden, overblijf- 
selen, hoewel de bodems, zeker wel van vele vennen, beneden 
die van naburige parallele dalen reiken. Aldus in het gebied 
van de Neerbeek, dwars op de algemeene stroomrichting, ligt 
de bodem van de Heythuizer beek bij 24 M. + A. P., van het 
meertje den Bedelaar (in het midden) bij 23.15 M. -j- A. P. en 
van de Haelender beek bij 22.10 M. + A. P. ; de bodem van 
de iets meer stroomopwaarts gelegen Groote of Heelder Peel 
(in het midden) bij 22.60 M. -[- A. P. en van de Haelender beek 
daarnaast ongeveer 2 Meter hooger. Aan de vennenzijde van de 
Haelender beek neemt men wel, over zekeren afstand, als revers 
van den steilrand der oudste Haelender beek, een flauw naar 
de vennen afhellenden valleirand waar, maar dat is volstrekt 
geen algemeen verschijnsel. 

Blijkbaar zijn de meeste vennen wel uit oude rivierloopen, 
doch op zeer bijzondere wijze ontstaan, het mBest waarschijnlijk 
op analoge wijze als vele van de meertjes, veentjes en droge 

19 



282 OVER HET ONTSTAAN EN DE GEOLOGISCHE GESCHIEDENIS 

kommen, die als Pfuhle of Sölle bij honderden in de Noordduit- 
sche laagvlakte verspreid liggen. De Duitschc geologen zijn het 
er nu wel over eens, deze kommen alle als onder direkte mede- 
werking van het ijs of zijn smeltwateren ontstaan te beschouwen 
en vele als ontstaan door het smelten van in het zand bedolven 
stukken „dood ijs", welke zich van de landijsmassa, bij haar 
terugtrekken, hadden afgescheiden. Betrekkelijk veel talrijker dan 
deze incidenteel afgescheiden ijsstukkon zullen nu ontwijfelbaar, 
in den laatsten zuidelijken ijstijd, geweest zijn de schotsen en 
vlotten van het drijfijs op de delta van de Maas. De verklaring 
van het ontstaan der venkommen uit aan den grond geraakte 
ijsschotsen en -vlotten heeft dan nog wel meer recht van bestaan 
dan de bedoelde interpretatie van de Sölle. 

Wanneer namelijk ook over de geheele delta het water in vele, 
telkens verlegde takken zich heeft uitgebreid, kan toch worden 
aangenomen, dat in sommige standvastige, breede en diepe geulen 
de meeste met zand beladen en onbelaste ijsschotsen en -vlotten 
afdreven, zich ophoopten en vastraakten. Het laat zich dan 
denken, dat aldus en door zand, dat de stroom achter deze ijs- 
hindernissen moest afzetten — waardoor de heuvels beneden- 
strooms of aan de „lijzijde" van de vennen gevonden wor- 
den — , vele van die oude geulen over het grootste deel harer 
breedte met ijs en zand, plaatselijk zelfs hoog boven de delta- 
vlakte, opgevuld werden of wel geheel verstopt raakten. Hier- 
mede waren dan de voorwaarden gegeven voor het ontstaan 
van venkommen, op analoge wijze als Sölle in het diluvium van 
Noord-Duitschland, en van hen vergezellende heuvels, zoo 
omtrent als in den benedenloop van Siberische rivieren, van de 
Yoekon in Alaska en van de Sint-Laurens in Canada nog tel- 
kenjare geweldige zandophoopingen ontstaan. Ter verklaring 
van de evenwijdigheid der vennenscharen met tegenwoordige 
rivieren en beken, zij herinnerd aan de telkens waargenomen 
vorming van een of twee zijdelingsche waterloopen aan de Sint- 
Laurens en Siberische rivieren, waar ijsdammen het bij inge- 
treden zachter weersgesteldheid afkomende water dwingen nieuwe 
uitwegen te zoeken. In andere gevallen zijn vennenrijen als 
overblijfselen van gelijktijdige })arallele takken te beschouwen. 

Aan het einde van dien laatsten pluvioglacialen tijd moeten 
aldus de wateren op de delta zich weder in ])e])aalde, voor een 



VAN VENNEN, VENEN EN ZEEDUINEN. 283 

groot deel nieuw gevormde, takken hebben teruggetrokken. Uit 
deze deltatakken zijn de tegenwoordige beken en rivieren 
geworden. 

Venen. — Vele venkommen zijn opgevuld met veen ; vooral 
is dit het geval in de Peel i). Meestal, zoo niet altijd, is zeker 
wel de ontwikkeling van het veen uitgegaan van de venkom- 
men. Van daar heeft het zich dan ook over de omgeving uitge- 
breid, maar de onderste laag is tot de venkommen beperkt, de 
bovenste wordt wel alleen, zonder de andere, op hooge punten 
der omgeving gevonden. 

De onderste bestaat uit veenmodder of darg, wordt in de Peel 
„sleep" en „smeer" genaamd en is eene ook in Drentsche en Noord- 
Duitsche venen welbekende, in water ontstane — limnische — af- 
zetting 2). Daarop volgt, in de Peel zoowel als elders, eene laag, 
die vele overblijfselen van moerasplanten bevat, in de Peel 
vooral Seggen (Carex), en die zich aldus onder- moerastoestanden 
— telmatisch — ontwikkeld heeft 3). Zij heet in de Peel „pijpert" 
en beantwoordt aan hetgeen in Drente „haverstroo" genoemd 
wordt. Deze telmatische laag gaat naar boven over in het, onder 
nog weder minder natte toestanden van den bodem, semiter- 
restrisch, gevormde zwartveen, welke als „zwarte turf" met de 
daaronder gelegen turfsoorten vooral voor brandmateriaal ge- 
bruikt wordt. Tusschen de drie genoemde veenlagen bestaan 
min of meer geleidelijke overgangen, maar van het zwartveen 
is naar boven scherp gescheiden het grauwveen, de „vale turf" 
van de Peel, zoowel door zijne veel geringer dichtheid in drogen 
staat (die gemiddeld nauwelijks een derde van de dichtheid der 
zwarte turf bereikt) als door zijne kleur. Dit grauwveen levert 
het turfstrooisel. 

Vooral in het zwartveen, onregelmatig verspreid of als laag- 
jes van geringe uitgestrektheid, doch ook wel in het grauwveen 
komt het zoogenaamde „lok" of „vlok" voor, als min of meer 
bleeke vezelige massa's, overblijfselen van wollegrasplanten 



') Peel beteekent poel en is verwant met het latijnsche palus voor poel, moeras. 
Paludi noemden de Romeinen de bewoners van die streken. Het Limburgsche 
„peel" is synoniem met „ven", dat ecliter meest voor kleiner uitgestrektheden 
gebruikt wordt. 

*) Limne (Gr.) = meer. 

') Telma (Grr.) = moeras. 



284 OVER HET ONTSTAAN EN DE GEOLOGISCHE GESCHIEDENIS 

(Eriophoruin). Dat deze eene bepaalde, regelmatig voorkomende 
zone aan den bovenkant van het zwartveen zouden vormen, ge- 
lijk in Noord-Duitschland, naar het schema van C. A. Weber, 
als „Grenztorf", moet voor de Peel en ook voor Drente ont- 
kend worden i). In de Peel zag ik haar nooit. Het zwartveen 
werd, naar de onderzoekingen van Weber, evenals bet grauw- 
veen, hoofdzakelijk door veenmos (Sphagnum) gevormd, doch 
dit is in liet zwartveen (of ouder sphagnetum) veel meer ver- 
gaan en aldus moeilijker te herkennen. Overblijfselen van heide- 
planten spelen in beide een ondergeschikte rol. 

Verder treft men veelvuldig onder het veen, en niet alleen 
op de hoogere terreinen, doch ook in de kommen, overblijf- 
selen aan van boomen, in de Peel Grove Den, Berk en Eik, 
als zoogenaamde „zandstobben", aldaar „zandpoesten" genoemd. 
Deze wortelstronken, waarnaast ook wel gevonden wordt wat van 
de omgevallen stammen aan verrotting ontkomen is, vertak- 
ken zich op normale wijze en met behoorlijken penwortel naar 
beneden in het zand. Daarentegen vindt men in of op de 
pijpertlaag de veenstobben van Den en Berk met zeer wijd, 
plaatachtig vlak uitstrijkend wortelgestel, van slechts rudimen- 
tairen penwortel voorzien. Merkwaardig is aan deze „veen- 
poesten", dat de stamrestanten, die naar boven min of meer 
spits, kegelvormig eindigen (ten gevolge van het doorrotten, 
juist in het niveau waar te gelijk lucht en water dit proces, na 
den stikkiiigsdood der boomen door den veenmosgroei, begun- 
stigden) zeer algemeen sabelvormig gebogen zijn. De holle zijde, 
van deze kromme stamstukken is algemeen naar het Westen 
gericht. Men kan zich het ontstaan dier kromming niet anders 
voorstellen dan zoo, dat de heerschende wind krachtig en weste- 
lijk was. Niettegenstaande de verankering der boomen door de 
stevige, lange, vlak uitgespreide wortels, drukte de wind den 
stam telkens scheef, maar de top van dezen groeide toch weder 
loodrecht omhoog. 

Bijzonder merkwaardig zijn ook de in het zwartveen voor- 
komende brandlagen, welbekend ook in Drente en Noord-Duitsch- 



') .J. VAN Baren, die het schema van Wkbkr ook oji de Drentsche venen 
meende te moj^en toepassen, kon toch slechts in 1 van Moi.kngraaff's 3 en 2 
van zijn eio;en 3 profielen iets als „Grenztorf" (mdcrsclKiden. 



VAN VENNEN, VENEN EN ZEEDUINEN. 285 

land. Men kan ze, in verschillende, onbepaalde niveaux, niet 
zelden over groote uitgestrektheden, vervolgen. De worteldeelen 
der boomen en de daarbij aangetroffen losse stammen vindt men 
dan dikwijls oppervlakkig meer of min verkoold; ook kan men 
wortelplaten tegenkomen, die van boven litteekens vertoonen 
van zelfs herhaaldelijk plaats gehad hebbende brandverwonding ; 
de wonden werden dan van de randen uit weder gedeeltelijk 
overwald. Aan den Heer A. Bos, directeur der Maatschappij 
lielenaveen, die mij herhaaldelijk in de gelegenheid stelde de 
veenderijen te bezoeken, heeft het Geologisch laboratorium der 
Amsterdamsche Universiteit ook zulk een fraaie wortelplaat met 
oude brandwonden te danken. 

Zeer waarschijnlijk werden die voorhistorische veenbranden 
niet door menschenhand, doch door den bliksem aangesticht. 
Menschen waren toen in die streken althans zeker te zeldzaam in 
vergelijking met de veelvuldigheid van de bedoelde brandsporen. 

De aanwezigheid van den mensch in oude veentijden herken- 
nen wij daarentegen met zekerheid aan de zoogenaamde veen- 
brusfo-en of houtwegen van Drente en Noord-Duitschland. In 
ons land hebben de Valther brug en de Buiner brug groote 
bekendheid gekregen. De meeste veenbruggen liggen onmiddel- 
lijk onder, in, of boven de grens van de zwarte en de grauwe 
turf. Daar omstreeks het begin onzer tijdrekening de legers der 
Romeinen van de door hen pontes longi genoemde veenbruggen 
gebruik hebben gemaakt en vele, naar hun constructie, alleen 
door een hoog georganiseerd volk kunnen zijn aangelegd, zouden 
deze, naar de heerschende meening, ongeveer tweeduizend jaar 
oud zijn. Slechts enkele zouden dan ouder, vóór-Romeinsch 
zijn, enkele andere zijn zeker middeleeuwsch. Het is evenwel 
zeer goed mogelijk, dat de door de Romeinen gebruikte en te 
voren wel in orde gebrachte pontes longi reeds lang voor hunnen 
tijd bestonden. Door de onderzoekingen van Conwentz weet men, 
dat eene veenbrug van oogenschijnlijk Romeinsch karakter, 
aan de grens van Oost- en West-Pruisen (20 K.M. ten Zuiden 
van Elbing, bij het Frische Hatf), eenige eeuwen voor het begin 
onzer tijdrekening door een Germaanschen volksstam, waar- 
schijnlijk Gothen, moet zijn aangelegd. Ook beschreef Frejawa 
eene veenbrug, in Oldenburg, (zijn n°. VI), die naar haar karak- 
ter echt Romeinsch, toch midden in het grauwveen gelegen is. 



286 OVER HET ON'TSTAAN EN DE GEOLOGISCHE GESCHIEDENIS 

De hontweg bij Buinerveen daarentegen ligt, volgens van Giffen 
0.9 tot 1.0 M. onder den bovenkant van het zwartveen. 

Dat alles geeft grond aan de meening, dat de vorming van 
het grauwveen vroeger begonnen is dan 2000 jaar geleden. 

Ook vele andere feiten zijn niet wel te vereenigen met den 
aldus gelimiteerden ouderdom. De scherpe begrenzing van het 
zwartveen ten opzichte van het grauwveen, welks vorming nog 
in onzen tijd voortgaat, bewijst dat de natuurlijke omstandig- 
heden waaronder de vorming van het grauwveen })laats had, 
gelijk waren aan de tegenwoordige, maar bewijst tevens, dat de 
vorming van het zwartveen — niettegenstaande gelijke planten- 
typen als het grauwveen hebben opgebouwd daarbij werkzaam 
waren — onder eenigszins andere uitwendige omstandigheden heeft 
plaats gehad, of wel, dat deze tijdelijk, vanaf bedoeld tijdstip, 
gewijzigd waren, waardoor het ouder sphagnetum, dat oorspron- 
kelijk geheel het -voorkomen had van grauwveen, tot zwartveen 
veranderd werd. 

Dit laatste is de voorstelling van C. A. Weber, waarbij zich 
velen hebben aangesloten. De „Grenztorf", met veel wollegras- 
en heideplanten-overblijfselcn, zou dan in dien tusschentijd ont- 
staan zijn. Inderdaad laat het zich goed denken, dat in een 
tijdelijk droger klimatischen toestand het oude sphagnetum kan 
zijn uitgedroogd en, aldus voor lucht meer toegankelijk geworden, 
in zwartveen veranderd werd. Immers iets dergelijks neemt men 
waar als gevolg van ontwatering van venen. De bedoelde droge 
tusschentijd zou, met het begin van onze tijdrekening ongeveer 
samenvallende, 2000 jaar achter ons liggen. Maar er zijn geen 
onomstootelijke bewijzen voor het bestaan van zulk een drogen 
tijd; integendeel is nu wel afdoend aangetoond, o. a. door Leo 
Berg, dat omstreeks het begin onzer tijdrekening de klimatische 
toestanden gelijk waren aan de tegenwoordig heerschende. Is 
dus de voorstelling van Weder juist, -lan moet een veel vroe- 
gere droge tusschentijd worden aangenomen. 

In de andere voorstelling past do tijdsduur van tweeduizend 
jaar ook niet voor de vorming van het grauwveen, daar eene 
plotselinge wijziging van de klimatische omstandigheden, die 
omstreeks 2000 jaar geleden zou hebben plaats gehad, uit niets 
gebleken is. 

Toch is uit de samenstelling der venen veel leering te trekken 



VAX VENNEN, VENEN EN ZEEDUINEN. 287 

voor de beoordeeliiig van de klimatische toestanden gedurende 
de tijdsruimte hunner ontwikkeling. 

Om te beginnen kunnen wij aannemen, dat, toen op den bodem 
van venkommen boomeii groeiden, welker overblijfselen nu als 
zandstobben, onder limnisehe, telmatische en semiterrestische 
veensubstantie, die de venkommen opvult, worden aangetroffen, 
een droger klimaat dan het tegenwoordige moet geheerscht 
hebben. Wij kunnen ook eenigszins nagaan in welken geologischen 
tijd dat geweest is. De gemiddelde dikte en de gemiddelde 
dichtheid van al het veen onder het grauwveen zijn zoodanige, 
in vergelijking met die van deze bovenste laag, welker ouderdom 
wij op meer, doch wel niet veel meer dan twee duizend jaar 
kunnen stellen, dat zeer wel het geheel zich in een dergelijk 
tijdsbestek als twaalf duizend jaar of eenige duizendtallen meer 
kan ontwikkeld hebben. Twaalf duizend jaren verliepen namelijk, 
naar de zekerste schatting, van de Geer, sedert het eind van 
den laatsten ijstijd in Scandinavië. Het is dan wel geoorloofd 
aan te nemen dat de dennen, berken en eiken der zandstobben 
op den bodem van vele vennen groeiden aan het eind van den 
laatsten ijstijd en dat destijds het 'klimaat droger was dan het 
daarna ooit geweest is. Want eene terrestrische vegetatie heeft 
daarna slechts voorbijgaand voet kunnen vatten, toen de dennen 
en berken der veenstobben op het omhoog gegroeide moerasveen 
gunstiger voorwaarden vonden dan de moerasplanten zelven. 
Weber en de meeste andere onderzoekers achten het, ter ver- 
klaring van de veenstobbenlagen, niet noodig seculaire veran- 
deringen van het klimaat aan te nemen. Tot aan het grauwveen 
zijn, volgens Weber, alle lagen onder gelijke klimatische om- 
standigheden ontstaan. 

Het postglaciale droge khmaat, waaronder de boomen der zand- 
stobben groeiden, kan aan soortgelijke toestanden, als die welke 
het steppenklimaat aan den omtrek van het landijs in zijn grootste 
uitbreiding veroorzaakten, worden toegeschreven. Mogelijk hebben 
na het afsmelten van het laatste landijs. in Scandinavië, gedu- 
rende den zoogenaamdenL/itonna-tijd, toen de Oostzee uitgestrekter 
en vermoedelijker iets kouder was dan tegenwoordig, veelvuldiger 
oostenwinden dan tegenwoordig dat droog klimaat veroorzaakt. 
Het is evenwel waarschijnlijker dat de aan de veenontwikkeling 
onmiddellijk voorafgaande droge tijd samenvalt met het zoo- 



288 OVER HET ONTSTAAN EN DE GEOLOGISCHE GESCHIEDENIS 

genaamd Ancylus-ü^d^erk, toen de Oostzee in den toestand van 
een groot, afgesloten zoetwatermeer verkeerde en in Scandinavië 
nog over een niet onaanzienlijk oppervlak zich landijs uitstrekte. 
Neemt men dit laatste aan, dan wordt het begrijpelijk hoe die 
terrestrische toestand door een limnische vervangen werd : De 
van den Atlantischen Oceaan komende regenbrengende lucht- 
wervels konden namelijk, gedurende het afsmelten van dat ijs, 
allengs meer de tegenwoordige noordelijke banen volgen, en er 
moet dan een tijd geweest zijn, dat die regenbrengende depressies 
meer dan tegenwoordig over Nederland en Noord-Daitschland 
hun weg namen. Dit kan vele droge kommen in het vennengebied 
tot meertjes gemaakt hebben, waarin het limnisch veen, de darg, 
zich vormde. Als de groote vochtigheid van het klimaat dan weder 
voorbij ging, ontwikkelde zich eerst telmatisch- of moerasveen en 
toen dit zijn hoogtegrens bereikt had, doordien de moerasplanten 
door de^ dikke veenlaag belemmerd werden, hun levenselement 
het bodemwater te bereiken, het semiterrestrisch sphagnetum of 
mos veen, plaatselijk wel voorafgegaan door boom vegetatie. Waar- 
schijnlijk was in Noord-Duitschland de atmospherische water- 
voorziening van het ouder sphagnetum iets minder gunstig dan 
in de Peel, waardoor aldaar de veenmosvegetatie meer afhankelijk 
van het grondwater was en bij het omhoog groeien zich eindelijk 
veelal een „Grenztorf"- vegetatie ontwikkelde, met veel wollegras 
en heideplanten, in de Peel niet. 

De scherpe onderscheiding van dit sphagnum-veen in een oudere 
en een jongere laag, het zwart- en het grauwveen, is geographisch 
beperkt tot Nederland, Denemarken en een groot deel van Noord- 
Duitschland. In de venen van het meest oostelijk gedeelte van 
Duitschland ontbreekt, gelijk elders in Europa, zulk een scheiding. 
Het door de klassieke beschrijving van Webër bekend geworden 
veen van Augstumal in de Memel-delta behoort, chronologisch, 
geheel tot het bovenste sphagnetum. Andere venen zijn veel ouder, 
maar het scherp en regelmatig onderscheid van een jongere en 
een oudere laag komt buiten het bedoelde gebied niet voor. 

Het Hgt voor de hand, de oorzaak van deze geographische be- 
perking ook in een geographisch beperkte verandering van het 
klimaat te zoeken, die alsdan zeker meer dan tweeduizend jaar 
geleden heeft plaats gehad en waardoor de tegenwoordige toestand 
ontstaan is. 



VAN VENNEN, VENEN EN ZEEDUINEN. ■ 289 

Algemeen is in dat geographisch gebied voorhanden het op- 
vallend onderscheid en de scherpe scheiding van het ouder- of 
zwart veen en het jonger of grauwveen. Daar de veenmossen, 
welke deze lagen gevormd hebben, biologisch van andere planten 
afwijken, doordien zij van andere dan klimatische levensvoor- 
waarden vrijwel onafhankelijk zijn, kan die tweedeeligheid wel 
alleen door eene verandering van het klimaat verklaard worden. 

De Veenmos- of Sphagnum-soorten hebben de zeer bijzondere 
eigenschap, dat zij door cellen in de bladeren, welker wanden 
van gaatjes voorzien zijn, lederen regendruppel en vooral ieder 
nevelbolletje dadelijk opzuigen en vasthouden. Zij zuigen zich 
aldus telkens vol als een spons en kunnen tamelijk lang van 
het water, dat de groene cellen aan de watercellen ontnemen, 
leven. Zij kunnen dus alleen bij behoorlijke vochtigheid van 
het klimaat gedijen en daar het water in het midden van het 
veenmostapijt het best bewaard blijft groeit het veen daar ook 
het snelst en vertoont een horlogeglasvormige welving. Vandaar 
dat men de Sphagnum-venen hooge venen of hoogvenen genoemd 
heeft, in tegenstelling met de uit andere planten gevormde, 
vlakke laag- en moerasvenen. Vele hoogvenen hebben zich op 
laag- en moeras venen ontwikkeld. De behoefte der veenmossen 
aan minerale voedingsstoffen is gering; dat bewijst hun laag 
aschgehalte. Zij ontvangen daarvan genoeg uit de lucht. Maar ook 
in hunne stikstofvoeding voorziet de atmosfeer. Gelijk de in de 
vochtige heiden der hoogveenstreek en op het hoogveen zelf thuis 
zijnde Zonnedauw haar stikstof voedsel ontleent aan insekten, welke 
de plant vangt en het Blaaskruid der veenplassen aan kleine schaal- 
en andere waterdiertjes, welke het in fuikvormige blaasjes op- 
sluit, kan men zeggen, dat de Veenmossen vooral door de opge- 
vangen nevelbolletjes in hun stikstof voeding voorzien. Dat deze 
niets te wenschen overlaat bewijst de schitterend smaragdgroene 
kleur van het groeiende hoogveen. In het v-eenlandschap zijn 
nevelvormingen, vooral in den herfst en den winter, de hoofdgroei- 
periode van de veenmossen, bijzonder veelvuldig en uit vele 
onderzoekingen is gebleken, dat in het nevelwater gemiddeld 
3 maal meer stikstofverbindingen zijn dan in het regenwater. 
In enkele monsters van door mij in de Peelstreek opgevangen 
nevel- en regenwater vond Dr. C. Blomberg nog belangrijk 
sterker verhouding. De waterbolletjes, miniem kleine druppeltjes 



290 OVER HET ONTSTAAN EN DE GEOLOGISCHE GESCHIEDENIS 

waaruit de nevel bestaat, vormen zich inderdaad voor een groot 
deel ora kernen van stikstofverbindingen (vooral ammoniak). 
Ook draagt wel de rook onzer vuurhaarden, lokomotieven. enz., 
veel tot de nevelvorming bij — men kan dat door den reuk 
in de veenstreken waarnemen — en daar die rook veel zwavel- 
verbindingen bevat, kan aldus wel het hoog zwavelzuurgehalte 
van veenwater verklaard worden. 

Wat wij van de biologie der veenmossen weten doet ons aldus 
aannemen, dat het een plotseling ingetreden verandering der 
vochtigheid van het klimaat moet geweest zijn, waardoor in de 
kustlanden ten Oosten van de zuidelijke helft der Noordzee het 
door gelijke planten in den grauw veen- en tegen woordigen tijd 
gevormde veen zich in een zoo geheel anderen toestand bevindt 
als dat van den zwartveen-tijd. Tn eens is het — laten wij zeggen 
drie duizend jaar geleden ; het kan nog iets vroeger geweest 
zijn — blijkbaar vochtiger geworden. Dat het in den zwartveen- 
tijd droger was bewijzen de herhaaldelijk gewoed hebbende 
veenbranden, en uit het feit, dat daarna toch telkens weer de 
veenmossen konden gedijen blijkt dat deze droogte periodiek 
was. Ook in onzen tijd zijn in den zomer de veenstreken droger 
dan in de overige jaargetijden en in meerjarige periode keeren 
droge zomers terug. Deze tijdehjke veranderingen moeten bij 
algemeen geringer vochtigheid van het klimaat veel grooter 
beteekenis gehad hebben. Daardoor kan dan ook telkens het 
veen uitgedroogd, en ten slotte in den meer verganen toestand, 
dien het zwartveen vertoont, gekomen zijn. 

Wij liebben dus nu om te zien naar meer directe bewijzen 
voor het intreden eener geographische verandering, waardoor in 
bedoeld gebied het klimaat plotsehng in zijn tegenwoordigen 
voclitigheidstoestand gekomen is. 

Die meer directe bewijzen levert ons de geologische geschiedenis 
der Nederlandsche zeeduinen, in liet bijzonder van het gedeelte 
dat ik zou willen noemen onze zuidelijke of blonde zeeduinen, in 
onderscheiding van de noordelijke of ivitte duinen der noordelijke 
helft van het Noordhollandsche vasteland en den eilandenboog 
aan den ingang der Zuiderzee. Laatstbedoelde duinen zijn blijk- 
baar ouder, uit door de Noordtijstroomingen aangevoerd bleekzand 
van de Doggersbank en omgeving opgebouwd, in een tijd toen 
de zuidelijke duinen nog niet bestonden. Bleek, dat wil zeggen 



VAN VENNEN, VENEN EN ZEEDUINEN. 291 

ijzerarm, is het zand aldaar ook op groote diepte onder de duinen, 
en tevens veel kalk- (schelpen-) armer dan de zuidelijke duinen. 

Deze rusten, in hun geheele breedte, op strandzand met schel- 
pen, en daar de jongste diluviale laag vele meters dieper dan 
deze basis der duinen gelegen is, dateeren zij van geruimen tijd 
na het diluvium. Eenig oordeel omtrent het tijdstip van het 
begin hunner vorming kunnen wij verkrijgen uit de beschou- 
wing van bedoeld strandvlak. Dat dit ter breedte van wel 5 K.M. 
nooit te gelijker tijd strand kan zijn geweest blijkt vooral ook 
uit de afhelling, die het niet zeewaarts, doch landwaarts ver- 
toont. Uit honderden boringen en ingravingen kon worden vast- 
gesteld, dat die helling een bedrag van 3 tot 4 meter bereikt; 
zooveel lager liggen de hoogste schelpenbanken onder de duinen 
aan de landzijde dan nabij de zee. Men kan dat verschil in 
hoogteligging niet wel anders verklaren, dan door aan te nemen 
dat de duinvorming aan de landzijde begonnen is en zich zee- 
waarts heeft voortgezet, terwijl te gelijker tijd de bodem daalde. 
Onder de oudste duinen moet dan het strand zooveel verzakt 
zijn als sedert hunne vorming de bodem gedaald is. 

Naar de peilschaalonderzoekingen van Ramaer kan, als men 
daarbij in aanmerking neemt de door periodieke klimatologische 
oorzaken teweeggebrachte veranderingen van het zeeniveau, de 
daling van den bodem in de duinstreek op circa 10 c.M. per 
eeuw oresteld worden. Voor den ouderdom der duinen vindt men 
aldus drie- tot vierduizend jaar. Evenals de voor den ouderdom 
van het grauwveen berekende tijdsduur is ook deze, naar den aard 
der gegevens, slechts als een benaderende schatting te beschouwen. 
Aan de gevonden overeenstemming kan intusschen wel beteekenis 
worden toegekend, indien er verband blijkt te bestaan tusschen 
het begin der grauw veen vorming en het begin der duinvorming. 

Dit verband nu bestaat, naar ik meen, werkelijk. Hadden 
getij denstroomen uit het Noorden, van bezuiden Texel's vaste 
diluviale kern en van Texel zich langs verderen diluvialen grond- 
slag in den naar buiten afgeronden boog der tegenwoordige eilan- 
den voortzettend, reeds veel vroeger de tuitte duinen opgebouwd, 
zoo begon eerst drie- of vierduizend jaar geleden een plotselinge 
afdamming van het zuideHjk deel der oude stille zeebocht, die 
gedurende zeer langen tijd de plaats had ingenomen van het 
tegenwoordige Nederlandsche laagland en de Zuiderzee. De ge- 



292 OVER HET ONTSTAAN EN DE GEOLOGISCHE GESCHIEDENIS 

beurtenis, welke tot die plotselinge afsluiting aanleiding gaf, kan 
geen andere geweest zijn dan de doorbraak der landengte van 
Calais-Dover, de opening van het Nauw van Calais. Nu werd 
het, als afslag van ongetelde eeuwen in het Engelsche Kanaal 
en de Noordzee neergezette zand door de zeestroomingen uit het 
Zuiden mobiel gemaakt en tusschen de beide vaste punten, de 
krijtrotsen van Calais en de diluviale kern van Texel, die als 
twee hoofden aan de zuid- en aan de noordzijde van de oude 
Nederlandsche zeebocht lagen, werd in vloeiende lijn, welker ver- 
lenging door den reeds bestaanden noordelijken duinhaak ging, de 
boog uitgespannen van wat de eerste gesloten duinketen worden zou. 
Dan werden geleidelijk de gesloten duinen zeewaarts uitgelegd. 
Er zijn geen bewijzen van een algemeene tijdelijke onderbreking 
in die duinvorming, want in het middelste stuk der duinen van 
het vasteland, dat nog heden aangroeit, is de helling van het 
oude strandvlak, de algemeene basis der duinen, zeer gelijkma- 
tig, zooals het geval moet zijn bij geleidelijke daling van die 
basis en geleidelijke aanwas naar buiten van de duinen daarop. 
Aan het voorkomen van tal van ondergestoven duin vlakten, 
vooral in de landzijde-helft der duinbreedte, een lang bekend 
feit, kan niet het recht ontleend worden om zulk een tijdperk 
van stilstand in de duinvorming aan te nemen. Ook tegenwoor- 
dig toch treft men tal van sedert menschenheugenis bestaande 
duinvlakten, en de meeste en best begroeide, in de oostelijke 
helft der duinen aan; de nabijheid van de zee is en was voor 
de begroeiing en dus voor humus- en veenvorming niet gunstig. 
Evenwel nadert in het midden van de duinketen van Hollands vast- 
land een enkele veenlaag de zee tot dichter dan 1000 meter en in 
het noordelijk (afnemend) stuk komt een uitgestrekte veenlaag op 
het strand aan den dag. De ondergestoven humus- en moerasveen- 
lagen van oude duinvlakten liggen op zeer verschillende niveaux 
en vormen volstrekt geen doorloopende of zelfs maar algemeene 
zone, hetgeen wel het geval zou moeten zijn, waren zij in eene peri- 
ode van algemeenen stilstand der duinvorming (als wel ondersteld 
is geworden) ontstaan. De veen- en humuslagen zijn blijkbaar 
van verschillenden tijd, doch ontwikkeld in soortgelijke (hiin- 
vlakten als de tegenwoordige. Dat onder die veen- en humus- 
lagen niet zelden het zand over eenige decimeters dikte gel^leekt 
en ontkalkt is en daaronder tot een zandoerlaag verhard — een 



VAN VENNEN, VENEN EN ZEEDUINEN. 293 

ook in vele buitenlandsche duinen waargenomen verschijnsel — 
mag niet als een kenmerk van bijzonderen en hoogen ouderdom 
beschouwd worden. Hetzelfde proces van uitlooging door humus- 
zuren is op vele heiden, vooral ook in het vennengebied, bijna 
onder lederen voetstap aan te treffen en kan daar, in niet zeld- 
zame gevallen, onmiskenbaar van recenten datum, immers door 
menschelijk toedoen ontstaan, zijn. Onder een, 60 jaar geleden 
gemaakte greppel, bijvoorbeeld, heeft de daarin uit mos en 
bladeren gevormde humus bleekzand en zandoer doen ontstaan. 
Evenmin kan met reden beweerd worden, dat oudere en aan de 
landzijde gelegen duinen zich algemeen door gelijke kalkarmoede 
onderscheiden. 

Een vertikale bouw der zeeduinen, die zou beantwoorden aan 
de vertikale tweedeeling van het sphagnetum der hoogvenen, 
welke in de duinen gelijk in de venen zou zijn teweeggebracht 
door een droge tusschenperiode met oostenwind, die hier de 
duinvorming, ginds de veen vorming tijdelijk deed stilstaan, 
kunnen wij derhalve niet met eenig recht aannemen. 

Er is daarentegen alle reden om aan te nemen, dat met de 
opening van het Nauw van Calais niet slechts de zuidelijke 
<luinen zich zijn gaan vormen, maar te gelijker tijd de veen- 
vorming sterk begunstigd is geworden. Uit de onderzoekingen 
van VAN DER Stok is gebleken, dat vooral gedurende de maanden 
van September tot Februari (dat is juist de voornaamste groeitijd 
der veenmossen) de temperatuur van het noordzeewater nabij 
onze kust belangrijk hooger is dan op het land. Dit moet weste- 
lijke windrichtingen bevorderen en het landklimaat vochtiger 
maken, in vergelijking met den toestand toen de Noordzee in 
het zuiden, bij Calais, was afgesloten en alleen met de kouder 
noordelijke zeeën in open verbinding stond. Het valt wel niet 
te betwijfelen, dat door de opening van het Nauw van Calais 
het klimaat van Nederland, noordwestelijk Duitschland en Dene- 
marken vochtiger geworden is, waardoor zoowel de conserveerings- 
■als de groeivoorwaarden der Veenmossen permanent beter wer- 
den en de grauwveenlaag kon ontstaan; maar te gelijker tijd 
werden door die gebeurtenis de eerste zuidelijke duinen aan- 
gelegd en een haf gevormd, waarin zich veen ontwikkelde. 



W. G. C. BIJVANCK. 

SPINOZA EN MOLIÈRE. 

THEOLOGISCH-POLITISCH TRACTAAT en TARTUFFE. 
(Uittreksel uit een voordracht gehouden op 20 December 1916.) 



De namen van deze tijdgenooten staan' ongetwijfeld op een 
verren afstand van elkander. Zoo plaatsen zij zich ten minste 
in ons vizier naar de gewone beschouwing. De vraag is echter 
of niet werk van den een door vergelijking licht zal geven aan 
Averk van den ander, wanneer w^ij, ons los makend van de 
uiterlijke voorstelling, het type van de actie zooals Molière haar 
schept, gaan meten aan het voortbrengsel van Spinoza. 

Wij verkeeren hier dus niet in het gebied van den uiterlijken, 
maar van den innerlijken vorm. 

Toch wil ik eerst op eenige uiterlijke punten van overeen- 
komst wijzen tusschen den Tartujfe van den Franschen blijspel- 
dichter en den Tractatm theologico-poUticus van den Hollandschen 
wijsgeer, want zonder eenig reëel houvast loopt men gevaar zijn 
gedachte in het vage te doen opgaan. 

Beide, Tractatus en Comedie, zijn zeer diep overlegde stukken 
geweest, geschreven in meesterschap; de volledige uitwerking 
van het plan heeft niet alleen de schrijvers ongeveer een gelijke 
ruimte tijd, maar ook ongeveer dezelfde jaren bezig gehouden 
(1665—1670). Dezelfde strooming van den tijd heeft op de ge- 
dachte van twee denkers ingewerkt. 

Is dan het product van den een een drama en van den ander 
een politiek philosolische verhandeling, zij gelijken hierin op 
elkander dat zij voor een dadelijk doel zijn geschreven: het 



SPINOZA EX MOLIÈRE. 295 

komische drama houdt de maatschappij van den dag den zede- 
spiegel voor, maar ook de verhandeling heeft een bepaalde strek- 
king ingrijpend in het maatschappelijk en staatsieven van die 
dagen. Het Tractatus van Spinoza heeft wel een omvattenden 
inhoud, men heeft er zelfs in gevonden de grondslagen van de mo- 
derne Bijbelkritiek, de drift van het geheel bemoeit zich echter om 
de vraag van de orde in den staat en de machten die de orde verstoren. 

HuME heeft het, in de volgende eeuw, zeer gelukkig uitgedrukt 
toen hij, handelend over de beroering door geestelijken in de 
wereld gebracht, ■yan de mannen, sprak, die gevonden hebben luaar- 
naar Archimedes zocht, nl. een standpunt buiten de aarde waarmede 
zij de aarde in beweging konden brengen. Als Ijondgenoot van 
JoHAX DE WiTT, maar ook in zijn eigen recht als uitgestootene 
uit de Jodengemeenschap, heeft Spinoza in zijn tractaat den waan 
bestreden van een geestelijkheid, die krachtens een liooger recht 
en een hemelsche opdracht haar oordeel wilde uitspreken over 
wetten en instellingen van staat en samenleving, hij heeft daartoe 
de Bijbelboeken ontleed, en de hooge aanspraken onder het licht 
der redeneering tot hun eenvoudigsten vorm herleid. Dat alles in 
een levendige voorstelling, prikkelend van satire en bittere wijs- 
heid, op een manier die meer doet denken aan Romaanschen dan 
aan Germaanschen stijl (Spinoza van afkomst is Spanjaard). Hier- 
door komt ook uiterlijk veel voor wat den wijsgeer doet toenaderen 
tot den comicus. 

De hoofdzaak echter voor de vergelijking moet blijven het 
type van de actie. 

Voor Molière is dat de handeling van den schijnheilige, die 
onder het dek van vroomheid zijn eigen belangen dient en door 
de verheffing van geestelijke waarden, eenzijdig, de orde van 
het burgerhuishouden verstoort, ja, den staat aantast omdat hij de 
burgers te gronde wil richten. Zoover dringt de beroering door, 
dat alleen de opperste staatsmacht haar weerstand kan bieden. 

Het is dezelfde gang en het zijn dezelfde wezenstrekken in 
het Tractatus. Daar is het de profeet van het O. Testament 
voortlevend in de strenge predikanten die het geregelde gezag 
niet tot rust laat komen ; ook daar moet de arm van den mach- 
tige te hulp worden geroepen. Wij zien haar onder andere mas- 
kers in onze Republiek dan in het Frankrijk van Lodewijk 
XIV, maar het is dezelfde wereld. 



296 SPINOZA EN MOLIÈRE. 

Zoo trekken wij onze conclusie. 

In het gelijktijdige verschijnen van Tradaat en Comedie zien 
wij een voorgevoel van een tijd van geestelijke reactie; zij komt 
nader in de jaren na 1670, in 1680 is zij reeds doorgebroken. 
In Holland gaat zij gepaard met strenge kerkelijke censuur en 
onderdrukking van vrije gedachte, in Frankrijk met de niet 
meer verafiiggende terugroeping van het edict van Nantes en de 
dragonnades. 

Analogieën als tusschen tradaat en comedie bewijzen de alge- 
meenheid van de gedachtengolven die over West-Europa gaan. 



W. VAN DER VLUCtT. 

DE OUDE ATHENERS EN WIJ. 

(Voordracht, gehouden op 21 Februari 1917.) 



D. & H., Ter voldoening aan het gewaardeerde verzoek, dat 
tot mij kwam van directeuren dezer, ook mij dierbare, stichting, 
heb ik een onderwerp gekozen, waaraan ik den titel geef: „De 
„oude Atheners en wij". Ik wilde, namelijk, gaarne U den indruk 
doen deelen, dien studie der Helleensche oudheid bij toeneming 
op mij heeft gemaakt: dat Athenae in de anderhalve eeuw tus- 
schen Themistokles en Demosthenes onder ettelijke opzichten 
een leerzaam spiegelbeeld geeft te zien van wasdom en gesteld- 
heid onzer eigen samenleving. 

Tweeledig is, over het algemeen, het geheel der kenmerken, 
bruikbaar ter bepaling van het groeitijdperk, waarin zich eene 
gegeven maatschappij bevindt: de stand van haar geestelijk en 
van haar volkshuishoudelijk leven. Wat de ons omringende 
wereld haar vergelijkenderwijs nieuwerwetsch stempel opdrukt, 
het is, éenerzijds, een wijdverbreid besef der geesten van te zijn 
ontgroeid aan geloofsvoorstellingen, waarin zij vroeger rust heb- 
ben gevonden, te moeten zoeken naar een herzienen kijk op 
wereld en leven, meer strokend met hunne gewijzigde behoeften ; 
en het is, daarnaast, die eigenaardige verschuiving in het stof- 
felijk volksbestaan, te wier gevolge het landbouwbedrijf, de kost- 
winning uit den voorvaderlijken tijd, al meer en meer wordt 
overvleugeld door de twee jongere takken van rijkdomsvoort- 
brenging: handel en nijverheid. 

Welnu, zoo van de éene als de andere dier twee bewegingen 

2ü 



298 DE OUDE ATHENERS EN WIJ. 

vinden wij in het tijdperk, dat ik zooeven afbakende, ook het 
Atheensche leven vol. De beschikbare uren vergunnen mij niet, 
helaas! eerst iets te zeggen over het pogen tot vrijmaking der 
gedachte. Ik moet terstond en bij uitsluiting uwe aandacht vra- 
gen voor de wijze, waarop gelijktijdig de volkshuishouding en 
het maatschappelijk leven zich vernieuwden. Daartoe ga ik dan 
nu over. 

Tot aan de Medische oorlogen, het begin der 5e eeuw vóór 
onze jaartelling, vertoont ons Attika het beeld van een land- 
schap met eene opkomende hoofdstad nabij de zee, maar toch 
voorshands nog minder van de stedelijke bedrijven, koophandel 
en ambachten, dan veeleer van landbouw zich geneerend. Macht 
en aanzien berustten daarom bij de bezitters van den grond, de 
„lieden van goede familie" — zoo noemden zij zich zelven — , 
de „jonkers", gelijk wij thans hen betitelen zouden. Zij woonden 
het grootste deel des jaars op hunne goederen, door het vlakke 
middelstuk van Attika verspreid. Een korter tijd verbleven zij 
in hunne stadswoningen, die, rondom den voet der burchtrots, 
de nauwe kromme straten belijnden der deftige wijk. Hun vooral 
had de aanvankelijke opkomst der stad-bij-het-zeestrand winst 
gebracht. Want zij verschafte hun eene markt, waar zij de over- 
schotten van hun oogst voor geld konden kwijt raken. Eene 
winst, intusschen, die de gezondheid van het samenleven ten plat- 
ten lan,de niet bevorderde. Hoe meer toch de heer op het groote 
huis zijne voortbrengselen teelde voor den uitvoer, te minder 
was er allengs sprake van zijne oude, aartsvaderlijke mildheid 
jegens den kleinen buurman, mildheid met overtollig zaaikoren, 
of met een stuk jong vee, dat den arme kon schadeloos stellen 
voor het zijne, plotseling verloren. Een vroeger nooit gezien 
verschijnsel kwam het leven op Attika's platteland binnen: het 
„interest" bij geldleening. En een „interest", dat te hooger kon 
zijn, naarmate de winsten, gemiddeld op de Atheensche markt 
te behalen, nog grover plachten te wezen. Dat alles kweekte in 
's jonkers hart een ongemoedelijken geest van „zaken doen": 
eene stemming, eene gezindheid, die ook op de verhoudingen 
binnen'shuis tot vrouw en kroost en knechten een stempel 
drukte van hard, inhalig meesterschaj). Naast den stand der 
jonkers noem ik nog twee andere groepen uit de bevolking van 
het landschap. Vooreerst: de karre-boeren, kleine lieden, maar 



DE OUDE ATHENERS EN WIJ. 299* 

die ten minste op een gedoetje zaten, dat voor zijne bewerking 
een trekdier vergde. En dan: de allerarmsten in grondbezit, 
deels keuterboertjes, een schamel stuk brood ontwringend aan 
den dorren grond, daar, waar de vruchtbare vlakte eindigde en 
het schrale heuvelland begon, deels strandbewoners, wien de 
zee een bestaan verzekerde met kustvaart en vischvangst, en 
op wie inzonderheid, de groeiende hoofdstad bij toeneming hare 
aantrekkingskracht oefende. Het spreekt wel van zelf: die „kleine 
„luyden", hoe dichter zij iii de buurt der groote grondbezitters 
woonden, hadden een te zwaarder strijd te strijden, om staande 
te blijven in de mededinging en zich te houden buiten de grijp- 
klauwen hunner winst en woeker bejagende geburen. Nogtans: 
een deel van hen maakte zich — en gevoelde dat — steeds 
meer van het jonkerdom onafhankelijk. Dat waren de kustvaar- 
ders en visschers langs het strand, maar bovenal de bouwers, 
reeders, bevrachters en optakelaars der schepen, de houders 
van herbergen en werfkantoren voor matrozen in de drie strand- 
dorpen, die eerlang de beroemde havens van Athenae zouden 
worden, kortom: zij allen, wien de steeds tieriger zeevaart een 
bestaan verschafte. Sinds dien viel wrijving, strijd eerlang tusschen 
de machthebbers van dusver en de opkomelingen, die zich 
voelden, niet te vermijden. De honderdvijfentwintig jaren, die 
de Medische oorlogen voorafgingen, waren er vol van. Solon's 
gelegenheidswetgeving was een pogen om de strijdende machten 
te verzoenen, de „tyrannis'" van Peisistratos en zijne zonen eene 
rustpoos in den kamp, naardien de twee partijen, strijdensmoê, 
zich tijdelijk schikten onder het gezag van een „redder" des 
gemeenen lands. Totdat de inval van den Perzenkoning eene 
kentering bracht, waardoor voor goed de oude machtsverhoudin- 
gen werden omgekeerd, het onderste boven kwam en het bovenste 
onder geraakte. 

Gij weet, voor welke keuze de nadering des vijands, de toe- 
bereiding tot zijn afweer het volk van Attika plaatste. Landoor- 
log? of zeeoorlog? dat was de tweesprong. Het was, voor wie 
haar hadden te beslissen, natuurlijk, eene vraag van krijgsbeleid. 
Voor ons echter was het in zijne gevolgen tevens een besluit 
van maatschappelijke strekking. Zou men, om de zee, de kost- 
geefster der stedelingen, open te houden, het platteland, de be- 
zittingen der jonkers, prijsgeven? Of voor het minst eene poging 



300 DE OUDE ATHENERS EN WIJ. 

doen om die goederen voor vernieling te bewaren? Onder de 
leiding van Themistokles werd in den eersten zin beslist. Het 
platteland bleef tegen Xerxes' scharen onverdedigd ; landhui- 
zen, akkers, ook de zoo kostbare olijven-plantaadjes, die minstens 
40 jaren noodig hadden, om weer hersteld te worden in hun 
vorigen staat, de Pers maakte alles tot eene wildernis. De vloot 
echter, op wier uitrusting en bemanning Athenae hare volle 
kracht had saamgetrokken, veegde niet slechts de zee van Perzen 
schoon, maar werd eerlang ook het middel om Attika's koop- 
vaarders te bevrijden van hunne geduchtste mededingers in den 
Saronischen zeeboezem: de Aegineten. 

Het was voor het jonkerdom een onherstelbare slag. Hoezeer 
het platbranden harer grondbezittingen ettelijke der „goede fa- 
„miliën'" had verarmd, laat daarvan éen als voorbeeld dienen. 
Neemt Aristeides. Hij was vóór den oorlog een rijk man geweest, 
bezitter van heel wat land onder Phaléron. Zelfs had hem zijn 
vermogen in staat gesteld om kostbare tooneelvoorstellingen te 
betalen uit zijne beurs. Na 480 evenwel was het met die heer- 
lijkheid gedaan. En daar hij nog niet er aan denken kon, zijn 
fortuin te herstellen met oorlogswinsten, als eerlang in de dagen 
van Kimon in zwang kwamen, stierf hij, 13 jaar later, in armoede. 
Hij moest begraven worden op staatskosten. Zijne dochters kre- 
gen, bij haar huwelijk, een bruidschat uit de openbare kas, 
Lysimachos, zijn zoon, werd van staatswege geholpen aan een 
hoefje van 10 hectaren. Toch kwam het geslacht er niet meer 
boven op. Omstreeks 310 ontmoette Demetrios van Phaléron 
een afstammeling van Aristeides „den rechtvaardige". De stum- 
per verdiende den kost, als droomuitlegger! 

Evenals de groote grondeigenaars, beleefden ook de „karre- 
„boertjes" terstond na den inval der Perzen een zwaren tijd. De 
verre krijgstochten, zoo spoedig volgende op het verlies ook van 
hun have en goed, lieten hen niet op adem komen. Terwijl het 
schamele deel, dat den zwaar gewapenden soldaat werd toegewe- 
zen uit den buit, wel allerminst hem zijne verliezen en zijne offers 
vergoedde. Hooge uitzondering, o zeker, was het jaar, waarin 
men op de gedenkzuilen der „Pottebakkerswijk" niet minder 
dan 177 namen had te schrijven van gevallenen uit eene enkele 
der 10 „phylen" (kantons) waarin Attika was ingedeeld. Doch 
ook de gemiddelde verliescijfers dier klasse waren zeer gevoelig. 



DE OUDE ATHENEKS EN WIJ. 301 

Zoo niettemin de middelgroep zich wist staande te houden, 
het was dank zij haar vermogen om zich te schikken in den 
nieuwen toestand. Toen de aanwas van de kapitaalsmacht der 
stedelingen op allengs grooter schaal den invoer vergunde van 
koren uit den vreemde, liet de „karreboer" den, onprofijtelijk 
geworden, graanteelt varen, om zich bij voorkeur toe te leggen 
op den kweek van de beroemde Attische vijgen en bovenal op 
honingwinst. Was het wegens de aanhoudende zorg, welke die 
fijnere bedrijven van hem vergden? Hoe het zij, het gros van 
hen, die de trouw bewaarden aan het landleven, sloot meer en 
meer zichzelf van deelneming aan wat er in de stad gebeurde 
uit. Voortaan kwamen de meesten nog slechts voor de Dionysische 
feesten naar Athenae, om te genieten van hoe hunne lievelings- 
dichters de staatsknutselaars aan de kaak stelden, wien, onder- 
tusschen, hunne lakschheid maar altijd door het heft in handen liet. 

Eene minderheid der karreboeren zocht tegen hare verliezen 
op den graanbouw eene toevlucht in stedelijke winkelnering of 
ambachtsoefening. Dus, bijvoorbeeld, het echtpaar, dat Sokrates 
het leven schonk. De man, Sophroniskos, won den kost met 
beeldjes snijden voor den huislijken eeredienst zijner klanten. 
En als de verdiensten wat traag vloeiden, ging moeder de vrouw 
uit bakeren. Talrijk echter waren zulke voormalige boertjes 
onder de stedelingen nooit. Want het teveel dier middelklasse 
op het land werd regelmatig gespuid, als kolonisten, naar ver- 
beurd verklaarde grondstukken in veroverd gebied. 

Waren dus de stadsfamiliën van karreboersche afkomst nooit 
zeer vele, des te sterker was de vloedgolf der armsten, der 
keuterboertjes uit het heuvel- en bergland, der visschers uit de 
kuststreek, die eerlang Athenae overstroomde. Toen, na Plataeae, 
Kimon jaarlijks zee koos met een honderdtal „driedekkers", 
waren daarvoor duizenden roeiers noodig. De strandkantons 
alleen konden zooveel niet leveren. Nog lezen wij op de steenen, 
die in den Peiraieus eiken aangeraonsterden matroos zijne plaats 
aanwezen op de roeibanken, ettelijke namen uit buurtschappen 
van het binnenland. De meesten nu dier zeelieden bleven tusschen 
twee krijgstochten in telkens te Athenae hangen. Eerst in de 
bovenstad, zoolang daar de winnende hand der opkomelingen 
mild genoeg bleef om den slenteraars den mond open te houden. 
Kimon vooral was, tot aan zijne uitwijzing door het scherven- 



302 DE OUDE ATHENERS EN WIJ. 

gericht in 461, de voorzienigheid voor velen zijner min fortuin- 
lijke kameraden. Dan, als de schare te talrijk werd, streken 
allengs meer op den Peiraieus neder, om er schuitevoerderswerk 
te verrichten, of een bestaan te vinden in dokken en op scheeps- 
werven. Dat werden ten slotte de roerigste bestanddeelen in het 
Atheensche volk, zich voelend door het besef, dat de stad voor 
haar nieuwen bloei hen noodig had, altijd bijeen en dus voor 
volksmenners gemakkelijk te vinden, met de dommekracht van 
hun getal in staat om elke vergadering der burgerij te zetten 
naar hunne hand. De ommekeer, waardoor in 4(J1 Epliialtes de 
Atheensche volksregeering vestigde, was bovenal hun werk. Voor 
hen werden in Perikles' dagen en later de groote praalgebouwen 
opgericht: het „Parthenon", de „Propylaeën", het nieuwe 
„Erechtheion". Voor de armsten onder hen waren de presentie- 
gelden ter rechtzitting en het kostelooze toegangsbewijs tot den 
schouwburg bestemd ; de twee nieuwigheden, door welke Perikles 
en Kleophon op kosten der bondgenooten de allemansrechtspraak 
en de allemansverzorging pas recht tot eene waarheid maakten. 
Later ook het paar „oboloi", waarmee aanwezigheid ter volks- 
vergadering werd beloond; het middel tot volledige verwezen- 
lijking van allemansbewind. Het kan u niet verbazen, dat, 
zorgeloos en genotziek, het grauw die aalmoezen opstak, om te 
lanterfanten. De heeren gingen als heeren leven en bedankten 
ervoor, ter zee hun oude bedrijf voort te zetten. Toen dan ook, 
onder Perikles' bewind, opnieuw vloten werden uitgezonden van 
100 driedekkers, lieten zij nog hoogstens zich aanmonsteren voor 
loods- en zeesoldatendienst en voor het hooger bezoldigde werk 
der roeiei's op de eerste bank, die de zwaarste riemen hanteerden. 
De rest, zoover niet slaven voor dat werk werden geprest, moest 
tegen ruim handgeld onder vreemdelingen worden geworven. 

Nu, vreemdelingen waren er eerlang genoeg. Sinds het neêr- 
werpen van Aegina, stond niets den opbloei van Athenae's zee- 
handel meer in den weg. De Peiraieus, reeds lang door Themis- 
tokles tot hoofdhaven verkozen, was, terstond na de mislukking 
van den Perzen-aanslag, met een' muur versterkt; daar ook 
verrees welhaast het arsenaal. De dokken kwamen in 450 gereed. 
Hippodamos van Milete ontwierp het regelmatige plan der breede, 
rechthoekig elkaar snijdende straten, dat zulk eene tegenstelling 
vormde met de bochtige stegen der bovenstad. Reeds in 453 



DE OUDE ATHENERS EN WIJ. 303 

was er het verkeer zoo druk, dat eene afzonderlijke rechtbank 
voor scheepvaartgedingen moest worden ingesteld. En nu begon 
voor de Aegeïsche zee het tijdperk der „pax Atheniensis". De 
Archipel kreeg een nieuw aanzien door de zeepolitie, die Athenae 
zoo krachtig handhaafde, dat zeerooverij verdween. Nog wanneer 
hij spreekt over den toestand tot dicht voor den krijgstochtvan 
Xerxes, schildert ons Herodotos het Helleensche eilandenrijk, 
als wemelend van „piraten". Doch sinds Athenae er meesteresse 
werd, kwam aan dien gruwel een einde. Roofnesten als Skj^os 
en Karystos werden getuchtigd en gezuiverd van hun gespuis. 
Tijdens Perikles handhaafden, in de wateren van den Delischen 
bond, 60 politievaartuigen eene voorbeeldige orde. Zoo kon de 
zeeschuimerij, waarvan Herodotos nog heugenis bewaarde als 
van een onvermijdelijk kwaad, reeds door Thoukydides worden 
gebrandmerkt als barbaarsche misdadigheid. Drie en zestig jaren, 
van 475 tot 412, heeft die „pax Atheniensis" geduurd. Eerst de 
noodlottige vloottocht naar Sikelië verlamde den arm der stad, 
die zoo lang de zee had beveiligd. 

Reusachtig voor die dagen moet in den bloeitijd, dien ik daar 
afbakende, Atlienae's scheepvaartbeweging zijn geweest. Bedenkt 
toch, dat zelfs in den aanvang der 4e eeuw vóór onze jaartelling, 
toen de Delische bond in puin lag en Athenae bloedde uit duizend 
wonden, die het de lange oorlog en daarna de herhaalde omwente- 
lingen hadden toegebracht, de waarde van in- en uitvoer naar 
en van den Peiraieus nog ongeveer Vis beliep van het verkeer 
in alle Archipel-havens samen, '/g van wat de handelsbeweging 
in de gezamenlijke overige havens van den Delischen bond nog 
ten jare 421, tijdens den vrede van Nikias, was geweest. Waarlijk, 
het laat zich verstaan, dat de Athener uit Perikles' dagen, als 
hij in zijne ruim aangelegde havens de schepen zag binnen- 
vallen uit Pontos, uit Phoinikië, uit Aegypte, uit Kyrene, uit 
Sikelia, uit Zuid-Italië, — om van de handelsvloot der bond- 
genooten niet eens te spreken! — zich de borst voelde zwellen 
van rechtmatigen trots. 

Veel minder dan door den handel werd de kapitaalkracht 
der Atheners gevoed door eene eigene nijverheid. Nu ja: aan 
voorbeelden, zelfs van door burgers gedreven groote inrichtingen 
ontbreekt het niet geheel. Wel is waar, noemt het eerste voorbeeld 
eener machtige nij verheidsonderneming, dat wij in de Helleensche 



304 DE OUDE ATilENERS EN WIJ. 

letteren ontmoeten, als ondernemer, niet een' burger, maareen' 
bijwoner. Het is de, met niet minder dan 120 slaven aan den 
gang gehouden, schildensmederij van Kephalos, Lysinas' vader, 
welbekend uit Plato's „dialoog"' over den staat. Daarnaast echter 
herinner ik aan de leerlooierij van den Athener Kleon, de zaak 
in koper- en bronswerk, vooral lampen en lantaarns, van den 
Athener Hyperbolos, de messenmakerij van den Athener Alkisthenes, 
Demosthenes' vader, de reukwerken-distilleerderij van den gewik- 
sten Athener Aeschines, Sokrates' onwaardigen leerling, over 
wiens allesbehalve wijsgeerige streken Lj'sias, in een vermakelijk 
pleidooi, een boekje heeft opengedaan. Ook is het bewijsbaar, 
dat in het vermaarde Atheensche platteelbakkersbedrijf, hetwelk, 
als kunstnijverheid, het karakter van huisvlijt behield, wel menig 
meester uit Attika geboortig is geweest. Nogtans: de bloei van 
Athenae's nijverheid hield niet met het opleven van den han- 
del gelijken tred. En wat er dan nog was van ambachten 
en groote werkplaatsen, bevond zich meerendeels in vreerade 
handen. Voor den handwerksmeester, zelfs voor den ondernemer 
met een heirleger van slaven tot zijn dienst, koesterde de ouder- 
wetsche zoon van Attika eene onverholen minachting. Kleon, 
Hyperbolos ondervonden die gezindheid aan den lijve. Er was 
dan ook geen sprake van, dat ooit een der aan lager Aval ge- 
raakte jonkers zou hebben getracht weer op de been te komen 
door eenig nijverheidsbedrijf. Er waren er ten slotte, wien het 
gelukte, het verlorene fortuin terug te winnen. Maar nooit langs 
dien gesmaden weg. Voor legeraanvoerders en vlootvoogden, 
waartoe het volk nog bij voorkeur edelen koos, was de aanvals- 
oorlog tegen Perzië, die volgde op den geslaagden afweer, met 
zijn kostbaren buit een middel tot snelle verrijking. Kimon, 
bijvoorbeeld, zag op die wijs kans om niet alleen de, door zijn' 
vader onbetaald gelaten, boete te voldoen, maar ook om zich 
een fortuin te verwerven, dat hem in staat stelde tot menige 
milde gave aan stad en medeburgers. Eene andere bron van 
rijke inkomsten was voor den jonker, die het kon machtig 
worden, het ambt van rrQo^erog, welks bekleeder de belangen 
had waar te nemen van te Athenae verblijvende vreemdelingen, 
aanhoorigen der stad, die hem den post had toevertrouwd. Doch 
de voornaamste oorzaak van <len wederopbloei sommiger adels- 
vermogens was wel geldbelegging in de zilverwerken van het 



DE OUDE ATHENERS EN WIJ. 305 

Laurion-gebergte. Sedert de stichting van den Delischen bond, 
had te Athenae de munt veel meer zilver noodig dan voorheen. 
Dientengevolge werd, sinds 483, het graven naar het Laurion'sche 
zilver, lang te voren reeds door de Phoinikiërs verricht, maar 
later gestaakt, met ijver hervat. Bij den lagen prijs van slaven- 
arbeid, leverden profijtelijke zilveraderen wel een interest van 
30 ^lo. De schatten, bijvoorbeeld, van Nikias, die echter zelf geen 
jonker was, stamden van daar. In dien trant kwam menig ont- 
redderd jonkerfortuin weer terecht. Slechts in ondernemingen 
van nijverheid, neen, zoo niet. 

Wij hebben nu de lieden in Attika van eene, in hoofdzaak 
akkerbouwende, wereld zien opklimmen tot den rang van een 
kapitaalrijk volk. Thans eenige trekken, trekjes veeleer, waaraan 
gij de nieuwerwetsche grootestadslucht, gelijk ook onze tijd haar 
in zoo'n omgeving kent, als het ware, kunt proeven. 

Ik noem een drietal, maar ze zijn sprekend. Vooreerst de eigen- 
aardige, veelszins lastige vermaardheid, die destijds te Athenae, 
juist gelijk thans bij" ons, de bezitters van groote fortuinen als 
met den vinger bekend maakte aan de schare. Daarvan levert 
wel het sterkste staaltje het lot van Nikias, Perikles' achtbaren 
en nauwgezetten opvolger in het bezit der volksgunst. Zoo wij 
de blijspeldichters uit zijne dagen mogen gelooven, verliet dien 
armen rijkaard nooit een oogenblik de vrees van door dezen of 
genen gauwdief te worden bedot. Zijn fortuin, schreef geestig 
Ploutarchos, was aanvankelijk eene vaste bron van inkomsten 
geweest voor allerlei slampampers. Ten slotte door schade ge- 
leerd, verviel hij tot het andere uiterste : hij werd ongenaakbaar. 
Uit vrees voor onbescheiden aanspraak, vertoonde hij zich op 
straat niet meer. Uitnoodigingen van vrienden tot den avond- 
maaltijd werden door hem afgeslagen. Hij vermeed stelselmatig, 
met iemand onder vier oogen te zijn. Toen hij „archont" was, 
bleef hij, avond aan avond, totdat het donker werd, in het re- 
ge eringsgebouw. Om zelfs „apartjes" met een' zijner ambtgenooten 
te ontloopen, richtte hij zijn komen en zijn gaan zoo in, dat hij 
de geringste kans liep, met een ander alleen te wezen. Ambte- 
loos, sloot hij zich in zijne woning op. Zekere Hiëro, dien hij 
diensten had bewezen, was er op afgericht, om dan een 
iegelijk, die tot hem wilde doordringen, te weren onder het 



306 DE OUDE ATHENEKS EX WIJ. 

voorwendsel: „Nikias heeft 't te druk met de zaken der stad". 
Inderdaad: hier is een „type", welks nieuwerwetschen te.^en- 
hanger wel ieder zou kunnen noemen, die in onze dagen soms 
gegluurd heeft achter de schermen van een rijkaardsbestaan. 
Nogtans: Nikias, schoon de bekendste, was niet de eenige in 
zijne soort. Een Timotheos, de zoon van Konon, een Nikeratos, 
de zoon van Nikias, een Kallias en enkele anderen dankten aan 
den roep van hun rijkdom een soortgelijken, uit jaloerschheid, 
bewondering en verlangen naar meegenieten geweven, roem, als 
waaronder thans te Londen een Lord Rothschild, te New- York 
een John Rockefeller gaat gebukt. Men vertelde elkaar, als een 
publiek geheim, het bedrag van hun vermogen. Natuurlijk, evenals 
bij ons, in geld. Want sinds, met de opkomst van het handels- 
verkeer, alle rijkdom steeds standvastiger was herleid tot koop- 
kracht van meer of minder gewicht aan muntmetaal, dacht geen 
schepsel nog er aan, gelijk slechts eene eeuw vóór de Medische 
oorlogen, iemands vermogen te waardeeren door het noemen 
van het aantal-schepels-gerst, dat hij kon oogsten van zijn land ; 
men zeide, bij voorbeeld van Timotheos, dat hij 17 „talenten" 
bezat. En dan (nog een trekje precies als bij ons!) Jan Alleman 
greep bij die schattingen geregeld te hoog. Toen Nikeratos werd 
ter dood gebracht onder het schrikbewind der bekende „dertig", 
en zijn fortuin verbeurd verklaard, bleek dit, op 100 „talenten" 
door het openbaar gerucht begroot, er 14 te bedragen. En van 
Kallias, dien, bij zijn leven, het» alwetende Atheensche volk niet 
of amper voor 200 „talenten" had laten opstaan, wordt door een 
voorzichtig geschiedvorscher (Beloch) het bezit op omstreeks 
1/4 van die som geschat. 

Een tweede sprekend trekje: de woningnood in Attika's groote 
stad. In haar bloeitijd omvatte zij binnen de ruimte, in hare 
vestingwerken en de versterkingen van den Peiraieus omsloten, 
eene uitgestrektheid van 585 „hectaren", ongeveer 100.000 zielen. 
De dichtheid der bevolking was dus vrijwel zoo groot als in het 
hedendaagsche Berlijn. In zoo'n toestand werd het bewonen van 
een eigen huis, dat men niet met andere gezinnen had t-e deelen, 
(van buds de regel voor elke burgerfamilie en in landelijke 
vlokken de regel tot aan het einde) natuurlijk eene weelde, die 
slechts de meest bemiddelden zich in de vroegere stadswbningen 
der oude jonker-geslachten kond(^n verguimen. Dio deftige wonin- 



DE OUDE ATHENERS EN WIJ. 307 

gen, niet ongelijk aan de „hotels princiers" van den „faubourg 
„St. Germain" te Parijs, aan de straat slechts met een blinden 
muur belendend, waarin eene min of meer „monumentale" poort 
uitzicht en toegang opende op het, aan drie kanten ombouwde, 
voorplein, zij waren het, die, afgezien van de openbare praal- 
gebouwen, aan de kern der stad haar naargeestig aanzien gaven. 
Steeds talrijker werden dan ook, in het geheel, dat x\thenae met 
de havens vormde, de huurkazernen. De bankier Pasion, bij- 
voorbeeld, ait de pleidooien van Demosthenes en zijne tijdge- 
nooten met roem bekend om zijne rechtschapenheid en zijn 
milden zin, bezat en verhuurde een zeer groot perceel van dien 
aard. Een bemiddeld man, als Demosthenes' vader, bewoonde 
met de zijnen kamers in het gebouw zijner messenmakerij. Bij 
zulke woniugtoestanden moest, natu-urlijk, reeds de middelstand 
met zeer beknopte ruimte zich behelpen. En van de verblijven 
der armoede geeft ons Aristophanes in zijn „Ploutos" te verstaan, 
dat zij de somberste verbeelding tartten. 

Mijne derde bijzonderheid, kenschetsend voor den geur van 
nieuwerwetschheid, die uit Athenae's groote stadslucht tot ons 
komt, is de toeneming der eischen, bovenal der eischen van ver- 
fijnden smaak, die men er stelde aan het leven binnen's huis. 
Ik spreek dus hier niet over de groote bouwwerken van Perikles, 
noch over het tooneel. Dat alles was rijkszaak. Wat ik thans 
zeggen wil, is dit: Nergens zoozeer als te Athenae (of het moest 
zijn geweest in dat Sikelie, dat Godefroid Cavaignac als „het 
„Helleensche America" betitelde), vonden kunst en wetenschap de 
duidelijkst zichtbare waardeering in de stoffaadje van het woon- 
huis. Terwijl nog om en bij 480 de woningen van Miltiades, 
Aristeides, Themistokles verstoken waren geweest van sierlijkheid 
en gemak, prees men in 415 het huis van Alkibiades als een 
„museum", vol van kostbare kunstwerken. En de smaakvolle 
weelde der huisinrichting nam later nog wel hoogere vlucht. 
De middelstand volgde, gelijk meestal, de verruinnng, geestelijk 
en stoffelijk, van den levensvoet der grooten uit de verte na. 
Vooreerst geestelijk. Let, wat dat aangaat, hierop: Te Athenae 
ontlook voortaan, wat vroeger, in de Oe eeuw, slechts Milete 
had gekend, een eigenlijke boekhandel. Nog in den vorigen 
menschenleeftijd had Pindaros door een vriend (Aineias) zijne 
gedichten moeten doen overschrijven voor de enkele grooten der 



308 DE OUDE ATHENERS EN WIJ. 

aarde, die verlangden ze te bezitten. Nu kocht men te Athenae, 
en dat niettegenstaande het papier er telkens opsloeg in prijs, 
in de winkeltjes op het marktplein, bijvoorbeeld, de werken van 
Anaxagoras voor een „drachme" (± 64 cents). Een ondernemend 
man kon er dus afschriften laten maken naar boeken van 
zuivere bespiegeling uit Oost of West en er op rekenen, dat een 
burger uit Acharne of Alopeke, die op de markt zijn stalletje 
voorbijdrentelde, zoo'n boek wel koopen zou. In waarheid kon 
slechts dit Athenae den lonischen „sophisten", gelijk den wester- 
schen „rhetoren", een zoo talrijk en zoo deugdelijk onderlegd 
gehoor beloven, bekwaam om Protagoras te volgen en te waar- 
deeren de „charme" van Herodotos. 

Maar ook van verruiming der levensgewoonten sprak ik in 
stóffelijken zin. Daarbij werd door mij, onder andere, gedacht 
aan de liooge waardeering van verfijnd tafelgenot en de omvang- 
rijke boekerij van kookboeken voor lekkerbekken, die eerlang 
de kunst, waarvan zij handelden, opvoerden tot een, later wel 
niet overtroffen, peil. Zoo roemde men „De{n) Sikelische(n) Kok", 
eene zorgvuldig bewerkte „recepten"-verzameling van Mithaikos, 
en de nauwelijks minder vermaarde pennevruchten in gelijken 
trant van Noumenios uit Herakleia, Hegemon uit Thasos en 
Tyndarikos uit Sikyon. Boven die alle werd echter geprezen een 
gedicht: ,.Gastronomia", vervaardigd door zekeren Archestratos, 
die nog wel bevriend was met een' van Perikles' zonen. Die 
dichter had de wereld rondgereisd, niet, om landen en volkeren 
te leeren kennen, maar enkel om in alle voorname keukens te 
speuren naar de smakelijkste, de geurigste snuljes, met wier 
beschrijving hij zijne zangen kon verrijken. Dat werk werd het 
wetboek, waaruit de kundigste mannen der practijk, pastei- 
kunstenaars en banketvirtuosen, op Sikelie, in Elis, te Athenae 
(van de laatsten noem ik slechts den, een kwart eeuw later hoog- 
geroemden, keukenmeester Thibro) hunne wijsheid putten. 

Wanneer ik nu nog, als toegift, heb vermeld, hoe kleine 
Imrgers met smalle beurzen de weelde der grooteren getrouwelijk 
nabootsten, door voor hunne feestmalen tafelbedienden te huren 
en de eetkamer tijdelijk op te sieren met ten gebruike ontvangen 
wand- en vloertapijten, dan liebt gij, dunkt mij, teekenachtige 
bij(h-agen genoeg tot richtig verstand van mijne bedoeling, toen 
ik de oude Atlieners sinds <!(■ lielft der 5e eeuw liet ademen 



DE OUDE ATHENERS EN WIJ. 309 

in grootestadslucht, veelszins naar hedendaagschen trant. 

Tot nog toe noemde ik enkel kleinigheden, kenmerkend, wel 
is waar, maar die alleen de oppervlakte van het leven rimpelden ; 
nopens hetgeen er in de diepte omging, gaven zij weinig of 
niets te vermoeden. Laat ons nu ook eens naar de diepte afsteken 
en een paar teekenende nieuwigheden op het stuk van recht en 
zeden aanroeren. Om te beginnen met een tweetal grepen uit 
het familieleven. Gij herinnert u wat ik zooeven opmerkte over 
de ontwikkeling, die de daar aanwezige verhoudingen doorleefden 
in het voorafgaande tijdperk. Het veldwinnend woekerbedrijf, 
zoo sprak ik, kweekte in de harten der jonkers een ongemoede- 
lijken geest van zaken doen, eene stemming, eene gezindheid, 
die ook op de verhoudingen binnenshuis tot vrouw en kroost 
en knechten een stempel drukte van hard, inhalig meesterschap. 
Die dingen alweer werden in de jaren, waarover wij thans 
handelen, geheel anders. Wel nauwelijks iemand onder ons, die 
somtijds vergelijkingen kon maken van het huislijk leven — nu 
en een 75, 50 jaar geleden, of hij is daarbij, hetzij dan pijnlijk 
of aangenaam, getroffen door de tegenstelling tusschen — destijds — 
de straife saamhoorigheid van het gezin onder gestreng huis- 
vaderlijk gezag, en — thans — de veelvuldige ontrafeling van 
den éenheidsband, het voormalige gezag veelal de teugels vierend 
aan eene vrijgevochten bende, waar ieder doet wat goed is in 
zijne oogen. Nu dan, een dergelijk contrast vertoont ons ook 
weer de Atheensche wereld van voor en van na (laat ons 
zeggen) 450. 

Niet, alsof er de ontbinding van het huisgezin geheel onge- 
hinderd haar loop nam. Bijzondere gebruiken, overgebleven uit 
Attika's verleden, niet in de laatste plaats de sterke behoud- 
zucht der schare, zij handhaafden hardnekkig een ouden regel, 
die de overheid inscherpte, voor de instandhouding althans der 
adellijke „dynastieën" naar vermogen zorg te dragen. In de lijn 
dier staatswijsheid lag het dan tevens, dat de rechtstoestand van 
vrouwen en dochters gedurende de anderhalve eeuw, waarin te 
Athenae de verlichting veld won, van toenemende achting voor 
de vrijheid der „sekse" ons teekenen, sporen zoo goed als niet 
geeft te zien. De echtgenoote, het meisje in den „galanten" 
riddertijd, dien ons de oude Homeros schetst, was er beter aan 
toe, werd meer in waarde gehouden, dan in de dagen van wijs- 



310 DE OUDE AÏHENERS EN WIJ. 

geerige bespiegeling, ons, bijvoorbeeld, door de blijspelen van 
Aristophanes geschilderd. Van daar, dat de sterke „emancipatie"- 
beweging, die onder Perikles' bewind in gang kwam en voor 
onzen blijsj)eldichter eene mijn ontsloot van te dikwijls alles 
behalve fijne kwinkslagen, het toenemend getal van geestelijk 
hoogstaande vrouwen, die, als Aspasia, uit verontwaardiging over 
het Attische huwelijk de voorkeur gaven aan samenleven met 
den man harer keuze buiteil echt, tot het einde toe het karakter 
behield van een protest tegen de bestaande orde, zonder te 
slagen in haar streven naar hervorming. Toch : spoorloos gingen, 
dat spreekt! de machten ter ondermijning der familie-éénheid 
ook de vrouwenvertrekken in het Atheensche huis niet voot-bij. 
Ten spijt der starre rechtsordening wist, in de zeden, de practijk, 
wel menige Attische vrouw haar hennetje koning te doen kake- 
len. Dat lijkt vooral te zijn geschied in de niet zeldzame echt- 
verbintenissen, waar de dochter uit een verarmd jönkergeslacht 
zich had laten koppelen aan een, door spaarzaamheid of oorlogs- 
winst verrijkten, kinkel. Hoort, hoe de Atheensche Molière 
(Aristophanes) in zijne ten jare 423 opgevoerde „Wolken" zoo'n 
George Dandin uit zijn tijd, met name Strepsiades, zich laat 
beklagen: „Waarom is zij niet terstond met smaad aan haar 
„einde gekomen, de huwelijksmakelaarster, die mij de ijdelheid 
„aanpraatte om jou moeder (m'n jongen!) te trouwen! Ik leidde 
„een heerlijk boerenle ventje, liet alles maar waaien, zat dik onder 
„het stof, merkte niets van een bezem, maar genoot van mijn 
„bijen, mijn schapen, mijn olijven. En daar trouw ik, — ik, 
„lummel, die ik ben! — de nicht van Megakles, Megakles' zoon, 
„eene indrukwekkende jufier, stijf van plichtplegingen, het vol- 
„ maakte evenbeeld van de groote Kesyra, jonker Alkmaion's 
„gemalin ! Op onzen trouwdag naast haar aan tafel gezeten, rook 
„ik naar mijne wijnbakken, mijne kaasplanken en mijne schapen- 
„wol, kortom: naar welvaart; maar zij, ze rook alleen naar reuk- 
„zalven, saffraangele japonnen, verkwisting en lekkerbekkerij . . . 
„Later, toen ons die jongen geboren werd, kregen wij ruzie over 
„zijn naam. Zij wou zoo iets van paardensport: Xanthii)pos, 
„Kallippides. Ik wou hem, naar mijn zuinigen grootvader, 
„Pheidonides noemen. Het duurde lang. Eindelijk werden we 
„het roerend eens over Pheidippides. ü, die kwajongen! Als 
„zijne moeder hem liefkoosde, zei ze: „Wanneer zal ik je, als 



DE OUDE ATHENERS EN WIJ. 311 

„„Megakles, in purper, zegepralend, de stad zien binnenrijden 
„„op een' mooien wagen?" En dan zei ik: „Veel liever zie ik 
„„je, als je grootvader, met een vacht over den schouder de 
„ „geiten naar den stal brengen, neêrklauterend van steenblok op 
„„steenblok." Maar hij gaf wat om mijn preêken! In zijne han- 
„den zijn mijne goede goudstukken er van door gegaloppeerd !" 

Werd dus de plaats, de rol der gehuwde vrouw slechts voor 
de zeden eene andere, ook rechtens kreeg in het, handelsstad 
geworden. Athenae de vaderlijke macht over de zonen een nieuwer- 
wetsch karakter. Verschillende omstandigheden werkten daartoe 
meè. Wat vooral bijdroeg tot versterking van den staat der 
jongens, was de voet van gelijkheid, waarop het stadsleven vaders 
en zonen deed verkeeren in het leger, in de kameraadschappe- 
lijke „clubs" der krijgsmakkers („phratriai") en, niet te vergeten! 
in de volksvergaderingen. Eindelijk, ziet niet voorbij den invloed, 
dien de wijsbegeerte eerlang te Athenae oefende. Bleef er al de 
schare diep steken in oude geloofsvoorstellingen, onder de wei- 
gestelden vond de vrijere zin voor verstandelijke ontleding en 
zelfs de twijfelarij der ..sophisten" veel aanhang. En die denk- 
wijze wekte onder de jeugd een zelfgevoel, dat den, geen reden 
gevenden, geest van onderworpenheid aan den vader niet langer 
met geduld verdroeg. 

Nog eens is het Aristophanes, die, zij het met zijn gewonen 
schaterlach der overdrijving, ons dien ommekeer te tasten geeft 
in een gesprek tusschen den reeds genoemden Strepsiades en 
zijn verwenden zoon. „O," zegt de knaap, „wat is het een genot, 
„nieuwigheden te leeren en de geldende wetten te kunnen ver- 
„achten ! Toen ik mij alleen toelegde op rijden en harddraverijen 
„met paard en wagen, zag ik geen kans om drie woorden achter 
„elkaar te zeggen zonder fout. Maar nu ben ik met het fijnste 
„en het teerste in de redeneerkunde vertrouwd en leg ik me 
„enkel toe op nadenken over de hoogste aangelegenheden. Zoo 
„houd ik mij, bijvoorbeeld, verzekerd, gemakkelijk te kunnen 
„bewijzen, dat het in den haak kan zijn, als een zoon zijn vader 
„afrost." 

„Bij Zeus," zegt dan de oude heer, „stijg jij maar weer te 
„paard. Liever onderhoud ik je wagenspan, dan dagelijks slaag 
„te krijgen." 

„Zeg mij eens," vraagt Pheidippides, „toen ik een kind 



312 DE OUDE ATHENERS EN WIJ. 

„was, gaaft Ge nnj toen niet soms eene gevoelige kastijding?" 
En als dan de vader de onvoorzichtigheid hegaat, te ant- 
woorden, dat het om 's jongskens bestwil was, „zeg mij nog eens," 
redekavelt de kwajongen dan, „is het niet rechtvaardig, dat ik 
„L' gelijk met gelijk betaal, en dat ik ook, vermits genegenheid 
„in slagen zich kan toonen, U, vader, nu en dan in Uw belang 
„kastijd? Krachtens welk recht zoudt Gij meer dan ik gevrij- 
„ waard zijn tegen klappen? Mij dunkt: ik ben vrijgeboren even- 
„goed als Gij. Gelooft Ge nu waarlijk, dat kinderen mogen worden 
„geslagen, maar de ouders niet, op hunne beurt, evengoed?" 

Mijne laatste voorbeeldengroep om te staven de evenwijdig- 
heid tusschen ettelijke ontwikkelingslijnen van toen en van 
nu betreft het onderwerp, dat thans, helaas! meer dan eenig 
ander onze hoofden en harten vervult. Het is weder ontleend 
aan Aristophanes. Tot driemaal toe ondernam de uitbundige 
potsenmaker eene verdienstelijke poging om zijn volk te winnen 
voor het beëindigen van dien noodlottigen Peloponesischen oor- 
log, die wel eeuwig scheen Ie moeten duren. Voor ons is de 
leerzaamste dier pogingen de middelste, het blijspel „De A^rede'', 
opgevoerd tijdens de Dion^-sos-f eesten van 421. Opmerkelijk is 
het, inderdaad, hoeveel punten van gelijkenis de klachten, daar 
door den dichter geuit, vertoonen met hetgeen ook wij thans 
dag aan dag kunnen vernemen. Is het niet, bijvoorbeeld, of wij 
een stukje geschiedenis lezen van onzen tijd, wanneer wij er 
den god Hermes, bij zijne opsomming van de oorzaken der ramp, 
hooren zinspelen op een besluit van Perikles, typisch; trouwens, 
tot kenschetsing van heel de oorlogstactiek der beide partijen, 
(lat beoogde, een onwillig buurvolk, de lieden van Megara, door 
uithongering tot rede te brengen? En dan de ergernis van den, 
naar vrede snakkenden, dichter over den verderfelijkeii invloed 
dergenen, wien de krijg profijten in den schoot werpt; vooreerst 
de gewetenlooze spitsbroederschap tusschen de vuur en vlam 
spuwende blaaskaken onder de volksmenners binnensmuurs en 
den vreemdeling, die van voortzetting der ellende zich winst 
belooft; voorts het geknoei van sommige schcepsgezagvoerders 
o]) de oorlogsvloot, volgens wier last een deel der openingen, 
die de riemen doorlieten, werd dicht gespijkerd, opdat zij de 
soldij konden opsteken der alzoo vrijvallende roeiers; de angst 
voor vrede, eindelijk, gekoesterd door de zwaardvegers, de lansen- 



DE OUDE ATHENERS EN WIJ. " 313 

vervaardigers, de helmsmeden en de handelaars in helmpluimen, 
zoo scherp afstekend tegen het vredesverlangen der ploeg- en 
zeismakers, wier verdiensten karig blijven, zoolang het vechten 
duurt. Hoe hedendaagsch ook klinken ons uit Aristophanes' ge- 
dicht de twistredenen tegen, waarvan zich, éenerzijds, de oorlogs- 
partij, ten andere de groep der pleiters voor den vrede bedient ; 
daar: de bekende neuswijze dooddoeners over de natuurlijke 
onuitroeibaarheid van den geest der vijandschap. „De goden," 
laat de dichter zekeren Hiërokles leeraren, „de goden willen 
„niet dat wij met strijden eindigen, zoolang de wolf niet met 
„het lam verkeert, terwijl nog de bladluis op zijne vlucht een 
„vuilen stank verspreidt, totdat de jankende teef zal ophouden, 
„blinde jongen te werpen. Ge zult nimmer eene kreeft leeren 
„loopen in eene rechte lijn, noch ooit eene egelhuid zacht maken." 
(Nu, zoo is het ook met den oorlog.) Maar dan weer aan den 
anderen kant de vertwijfelende verzuchting over den onwil tot 
vredesluiten, telkens aan de zijde, waar voor het oogenblik de 
kansen gunstig staan. „Toen," heet het weer uit den mond van 
Hermes, „de Lakedaimoniërs aan de winnende hand waren, 
„klonk het daar : „Bij Kastor en Polydeukes ! nu zullen de Atheners 
„„het gelag betalen." Doch, als dan op hunne beurt de Atheners 
„een voordeel hadden behaald, konden zij geen vredes-afgezant 
„van Lakedaimonië zien aankomen, of zij riepen: „Neen, bij De- 
„ „meter! wij laten ons niet bedotten."" Merkt aan dezelfde zijde 
ook op: den toorn over al, wat in de opvoeding de kinderen 
eraan gewent, den oorlog te verheerlijken. „Muze," zoo vangt 
een kleuter zijn van buiten geleerd versje aan; „laten wij in 
„onze liederen de heldendaden der jonge krijgslieden bezingen," 
Dan echter barst de vreedzame boer Trygaios in heftige ver- 
wijten los. En als daarna het kind nog eenigen tijd is voort- 
gegaan, buldert het uit Trygaios' mond: „Je moest duizend 
„dooden sterven, kleine zot met je gevechten! Je zingt alleen 
„maar van bakkelijen. Loop heen en dreun je liedjes op voor 
„een of anderen zwaardveger!" 

Voor zoover Aristophanes durft hopen op het einde der bloe- 
dige verdwazing, steunt zijne verwachting haast alleen op het 
vredesverlangen der kleine landlieden. „Ons," dus zingt een koor 
dier schamele akkerbouwers, „ons de taak om de vredesgodin 
„te bevrijden uit haar gevangenis." En Trygaios beaamt dat met 

21 



314 DE OUDE ATHENERS EN WIJ. 

de woorden: „Ja, inderdaad, ons bevrijdingswerk gelukt pas van 
„het oogenblik, dat de boertjes bovenal zich ervoor spannen." 
De dichter meende dat. De mooiste verzen, buiten kijf, uit zijn 
gelegenheidstuk, waar de strekking zoo dik opligt, zijn de koor- 
liederen, die, onder den gezichtshoek van zoo'n kleinen man, 
de rampen schilderen van den krijg, de zegeningen bezingen 
van den vrede. „Terwijl aan alle kanten het liedje van de 
„krekel klinkt, mag ik gaarne eens nakijken, of mijne Lemni- 
„sche druif, die zoo vroeg kan zijn, al rijp wil worden. Ook is 
„het- mij een genot, mijne jonge vijgen te zien zwellen, iiaar 
„lekkeren smaak te genieten en te denken; gelukkige tijd!... 
„Ik word dan ook steeds wat dikker in dat jaargetij. Ja, al die 
„dingen zijn mij liever dan het gezicht van een werfofficier, 
„gehaat bij de goden, met drie pluimen op zijne helm en eene 
„schitterend-purperen „tuniek" aan . . . Die lafaards sparen altijd 
;,de stedelingen en leggen den oorlogslast vooral op onze schou- 
„ders . . . Wat heb ik niet al ondervonden van zulke leeuwen 
„bij den haard, vossen in het gevecht!" En dan tot slot die 
boeren-jubelzang, als de vrede gesloten is: „Laat nu allen elkaar 
„gelukwenschen, hunne vreugde uitdaveren en opnieuw hunne 
„gereedschappen naar de akkers dragen. Maar eerst wat reidansen 
„uitgevoerd, wijn geplengd, en de goden gesmeekt, dat zij de 
„Hellenen zullen zegenen met velerlei welvaart, hun allen over- 
„vloedige oogsten schenkend van gerst, van wijn en van vijgen. 
„Ook zullen wij hen vragen om vruchtbaarheid voor onze vrou- 
„wen, om herstel van hetgeen ons de oorlog deed verliezen, en 
„om de genade, niet langer het moordend staal te doen blin- 
„ken in onze handen." 

In zulke liederen gaf Aristophanes wel het dichterlijkste, wat 
hij geven kon. Is het dan niet te treffender, dat wij juist bij 
hunne lezing ons op eenmaal den afgrond bewust worden, die, 
trots alle gelijkenis in menigen trek, zich opent tusschen de 
oude Atheners en ons? Die afgrond wordt niet in de eerste 
plaats gegraven (gelijk men wel gezegd heeft) door de slavernij, 
daar ginds voorhanden, bij ons afwezig. Noch zelfs door het 
ontzaglijke verschil tusschen destijds en thans in heerschappij 
over de onbezielde natuur. Neen, er is iets anders. Zoodra wij 
heen zijn over de eerste bekoring der Helleensche zangkunst, 
treft liet ons, hoe gelijkvloersch dat alles is. Viel dan over de 



DE OUDE ATHENERS EN WIJ. 315 

ontzaglijke tegenstelling tusschen oorlog en vrede niets diepers 
te zeggen? Voor de Hellenen niet. Wel voor ons, omdat wij 
Christenen zijn, althans, of wij het weten en willen, of niet, 
gedoopt met Christelijke gedachten en gevoelens. Omdat ons, 
hoezeer wij ervan huiveren, het strijden zelfs op leven en dood 
kan worden opgelegd, als een gebod, door de Christelijke ge- 
dachte van het offer, verschuldigd aan den plicht. En anderer- 
zijds ook weer, omdat voor ons de vrede zijne hoogste waardij 
ontleent, niet aan de overvloedige oogsten, die hij schenkt van 
druiven en van vijgen, maar hieraan, dat slechts zijne heer- 
schappij ten volle strookt met het echt-Christelijk gevoel der 
achting, door al wat menschenaangezicht vertoont, den naaste 
toe te dragen. 



ARCHIVES 



DU 



MUSÉE TEYLER 



SÉRIE III, VOL V. 



HAARLEM. — LES HERTTIERS LOOS.TES. 
1922. 



ARCHIVES 



ARCHIVES DU MUSÉE TEYLER. 
SÉRIE III, Vol. V. 



1^ V — w^^r- .'-j nar^TT 



.TTjlT 



M R 



LoEENTz, H. A. — De electronentheorie 

Arch. Mus. Teyler. Sér. iii, Vol. v, 1922, pp. 1 

Electronentheorie. De- 

H. A. LORENTZ. 

Arch. Mus. Teyler. Sér. iii, Vol. v, 1922, pp. 1-76. 

LoRENTZ, H. A. — Het magnetisnoe. 

Arch. Mus. Teyler. Sér. iii, Vol. v, 1922, pp._77-134. 

Magnetisme. Het— 

H. A. LoRENTZ. 

Arch. Mus. Teyler. Sér. iii, Vol. \, 1922, pp. 77-134. 

Sleen, G. van der - Quelques recherches a propos du nettoyage 
des tableaux de Frans Hals a Harlem. [Avec une „Introduction" 
de G. D. Gratama]. 

Arch. Mus. Teyler. Sér. iii. Vol. v, 1922, pp. 135-174. 

Quelques recherches a propos du nettoyage des tableaux de Frans 
Hals a Harlem. [Avec une „Introduction" de G. D. Gratama]. 
G. TAN der Sleen. 
Arch. Mus. Teyler. Sér. iii. Vol. v, 1922, pp. 135-174. 



.V .joY ,111 aiflaa 



.enosriJnanoiioele eOL — .A .H ,STH3aoJ 
.87-1 .qq ,2261 .V .joY ,iii .198 .lel^sT .8i;M .rio'iA 

— 9(1 .9no9ri:tn9noito9l3 
.ST'/iafloJ .A .H 
.aV-I .qq ,2261 ,v .joY ,iii .198 .igl^gT .auM .doiA 

.9m8iJ9n^Bfa ^eH — .A .H ,ST5i3aoJ 
.4.?^r_TT .qq .LüPT .7 .JoY ,111 .-198 .-iöIysT .suM .doiA 

— i9H .9m8i;t9n§fiM 
.STViaHoJ .A .H 
.:t8I-TV .qq ,S2er .7 .joY ,111 .198 .i9lY9T .suil .rioiA 

9:§eY0^^9fi J^f) soqoiq £ 89£ioi9iiD9i 89upl9u9 - aaa HAv .0 ,Ma3j8 
"noUouboilnl,, 9njj oevA] .raglifiH é 8lfjH gaüi'i eb xueelóai aab 

.[amataht) .d .0 9b 
.^■71-081 m ,2261 .7 .joY ,nr .198 .19Iy9T .auM .iloiA 

afitói'4 eb xuRoiónl aeb 9§B'{o^^9'i ^J^ aoqoiq b 89ri'Ji9rio9i aeupleuy 
.[akata«t3 .a .f) ob "roüoxjboiJnI„ 9nu 09vA] .nighüH b sIbH 

.Maaj8 aaa ma7 .£) 
.^•VI-ö8I .qq ,2261 ,7 .joY ,111 .lèS .igl^eT .8uM .doiA 



ARCHIVES 



DU 



MUSÉE TEYLER 



SERIE III, VOL. Y. 



HAARLEM. — LES HERITIERS LOOSJES. 
1922. 



F o N D A T I o N 

DE 

P. TEYLER Ykl^ DER HULST 

Il HAARLEM. 



1922. 



Directeurs: J. A. Fontein, président; J. J. van Oorde; 
Vincent Loosjes; Mr. W. Cnoop Koopmans; J. C. 
Tadema. 

Secrétaire: Mr. A. Maclaine Pont. 

Trêsorier: J. J, Doeglas. 

Curateur du Laboratoire: Prof. Dr. H. A. Lorentz. 

Conservateur du Cabinet de Physique: Dr. Balth. van der 
Pol Jr. 

Conservateur du Musée de Paleontologie et de Mineralogie: 
Prof. Dr. EuG. Duiiois. 

Bibliothécaire : J. J. Verwijnen. 

Conservateur des Collections de tableaux, de dessins et de gravures : 
H. Buisman. 

Conservateur du Cabinet numismatique : A. O. van Kerkwijk. 



MEMBRES DES SOCIETÉS TEYLÉRIEMES. 

Première Société ou Société de théologie: Dr. J. G. Boeken- 
oogen; Prof. Dr. D. E. J. Völter; Prof. Dr. H. J. 
Elhokst; P. Feenstra Jr. ; Prof. Dr. T. Cannegieter; 
Prof. Dr. H. U. Meyboom. 



Seconde Société: Prof. Dr. Hugo de Vries; Prof. Dr. P. J. 
Blok; Prof. Dr. H. A. Lorentz; A. O. van Kerkwijk; 
Dr. C. Hofstede de Groot; Prof. Dr. G. Kalff. 



L'.53VIAR.Y 

^ï: .V YORK 

BüTANICAL 

ÜA^DBN 

PROGRAMMA VAN TEYLER'S GODGELEERD 
GENOOTSCHAP TE HAARLEM 

voor het jaar 1920. 



Directeuren van Teyler's Stichting en de Ledeu van Teyler's 
Godgeleerd Genootschap hebben in hunne vergadering van 
23 Oct. 1919 uitspraak gedaan over twee ingekomen Nederlandsche 
antwoorden op de prijsvraag : 

„Het genootschap verlangt e en e verhandeling 
over het vraagstuk van de absoluutheid van het 
Christendom in hetlicht van de hedendaagsche 
godsdie nstwetensc ha p". 

De verhandeling ingezonden onder het motto „Sine me" is, 
voor zoover ze eenige waarde heeft in verband met de gestelde 
vraag, niet meer dan een vluchtig schetsje over den aard en de 
strekking van Jezus' prediking. 

Omtrent de beteekenis van het aangegeven probleem heeft de 
schrijver zich geen rekenschap gegeven. 

Aangaande het licht, dat de hedendaagsche godsdienstweten- 
schap daarop werpt, vernemen we zoo goed als niets. 

Derhalve kan deze verhandeling, ondanks enkele goede ge- 
dachten, die ze bevat, niet voor bekroning in aanmerking komen. 

De verhandeling, die is ingezonden onder het motto: „latet 
dolus in generalibus" bezit in formeel opzicht vrij groote ver- 
diensten. Doch haar inhoud is, in zijn geheel genomen, volstrekt 
onbevredigend. 

Ook deze schrijver heeft omtrent den aard en de beteekenis 
van het aangegeven probleem zich niet voldoende rekenschap 
gegeven. 

Dientengevolge heeft hij voor meer dan de helft een historisch 
overzicht geleverd, dat doelmatiger in een beknopt bestek had 
kunnen saamgevat worden, en bovendien in oordeelkundig 
opzicht te kort schiet. 

De beteekenis van het begrip „absoluutheid" komt in zijne 
vluchtige opmerkingen daaromtrent niet tot haar recht. 



VI 

Over den geestelijken inhoud van het Christendom heeft de 
schrijver niet diep nagedacht. 

Hij beweert, dat het Christendom geen „verschijiiseV^ mag 
heeten, geen innerlijken, onvergankelijken geesteUjken inlioud 
bezit; doch rechtvaardigt die bewering niet. 

Dat geestelijke stroomingen realiteit hebben als achtergrond, 
uit geestelijke werkelijkheid ontspringen, en deze door de eeuwen 
heen voortdragen, daarvan schijnt hij geen besef te hebben. Ten 
minste aan het Christendom ontzegt hij alle blijvende realiteit; 
evenwel zonder eenige toelichting, die als eene ernstige poging 
tot rechtvaardiging van zijne meening ten deze zou kunnen 
beschouwd worden. 

Van een voortplanten van geestelijk leven kan, volgens hem, 
dan ook in eigenlijken zin geen sprake zijn. Men neemt — ver- 
klaart hij — enkel uitdrukkingsvormen over, waarin ieder zijn 
eigen inhoud legt. 

Beweringen, waarin wel betrekkelijke waarheid is te erkennen, 
doch die door den schrijver kortweg als volstrekte waarheid wor- 
den gegeven. 

Of hij deze opvattingen op de resultaten der hedendaagsche 
godsdienstwetenschap heeft kunnen bouwen, mag zeker wel 
betwijfeld worden. 

Trouwens, van een ernstig onderzoek naar het licht door die 
wetenschap op het verschijnsel „godsdienst" geworpen, vinden we 
in deze verhouding geen spoor. 

De schrijver heeft zijne negatieve conclusie dan ook zeer onvol- 
doende toegelicht en niet wetenschappelijk gerechtvaardigd. 

Het kort samengevat oordeel over deze verhandeling moet 
derhalve aldus luiden : 

Zij bevat eensdeels overtollig, en anderdeels onvolledig, niet 
wijsgeerig doordacht, en daardoor betrekkelijk waardeloos werk. 
Van eene bekroning kan ook bij dit antwoord geen sprake zijn. 



Uitgeschreven blijven de volgende prijsvragen: 
1. Om beantwoord te worden vóór 1 Jan. 1920: 

Het genootschap verlangt eene ontwikkelings- 
geschiedenis van de „bewustzijns- of er var in gs- 
theologie" sedert Schleierm achek. 



VII 

2. Om beantwoord te worden vóór 1 Jan. 1921 : 

Eene verhandeling over de plaats van „zonde" 
in 'smenschen godsdienstig leven naar de be- 
ginselen der moderne richting. 

Als nieuwe prijsvraag ter beantwoording vóór 1 Jan. 1922 is 
uitgeschreven : 

Eene oordeelkundige beschrijving van de on- 
derscheidene geestelijke stroomingen in den 
kring van het Protestantisme in Nederland sedert 
het begin der 19<ie eeuw. 

De prijs voor het best en voldoend gekeurd antwoord op deze 
vragen bestaat uit een gouden eerepenning op den stempel des 
Genootschaps geslagen, ter innerlijke waarde van vierhonderd 
gulden, of, zoo men daaraan de voorkeur mocht geven, in 
vierhonderd gulden. De prijs wordt uitgekeerd, zoodra de 
bekroonde verhandeling voor de pers gereed is. 

De verhandelingen moeten in het Nederlandsch, Latijn, 
Fransch, Engelsch of Hoogduitsch, met eene latijnsche letter, 
vooral goed en leesbaar (door eene andere hand dan die van 
den auteur of met de schrijfmachine) geschreven zijn. Niet 
duidelijk geschreven verhandelingen worden ter zijde gelegd. 
Ook moeten zij op den bepaalden tijd in haar geheel worden 
ingezonden en geene antwoorden, waaraan eenig gedeelte bij de 
inlevering ontbreekt, zullen tot het dingen naar den gemelden 
eereprijs worden toegelaten. Alle ingezonden stukken blijven het 
eigendom van het genootschap, dat de bekroonde, met of zonder 
vertaling, in zijne werken opneemt, zonder dat de schrijvers, 
anders dan met toestemming der Stichting, die mogen uitgeven. 
Ook behoudt het genootschap aan zich het recht om van de niet 
bekroonde stukken zoodanig gebruik te maken als het raadzaam 
zal oordeelen, hetzij zonder of met vermelding van den naam 
des schrijvers, in het laatste geval echter niet zonder diens 
toestemming, ^^oorts worden geene afschriften van de niet- 
bekroonde stukken aan de schrijvers verstrekt dan op hunne 
kosten. De in te zenden antwoorden moeten, zonder naam en 
alleen met eene spreuk onderteekend, vergezeld van een verzegeld 



VIII 



briefje, dezelfde spreuk ten opschrift voerende en van binnen 
opgaaf van des schrijvers naam en woonplaats behelzende, 
gezonden worden aan het Fundatiehuis van ivijlen den Heer P. 
TEYLER A'AN DER HULST ie Haarlem. Het programma van 
het genootschap is op aanvrage bij Heeren Directeuren van 
Teyler's Stichting jaarlijks omstreeks 15 November kosteloos 
verkrijgbaar. 



PROGRAMMA VAN TEYLER'S GODGELEERD 
GENOOTSCHAP TE HAARLEM 



voor het jaar 1921, 



vastgesteld in de vergadering van 28 Oct. 1920. 



Directeuren van Teyler's Stichting en de Leden van Teyler's 
Godgeleerd Genootschap deelen mede, dat geen antwoord is 
ingekomen op de prijsvraag: 

Het genootschap verlangt e e n e ontwikkelings- 
geschiedenis van de „ b e w u s t z ij n s- of e r v a r i n g s- 
theologie" sedert S c h l e i e r m a c ii e r. 

Uitgeschreven blijven de volgende j)rijsvragen : 

1. Om beantwoord te worden vóór 1 Jan. 1921 : 

Een e verhandeling over de plaats van „zonde" 
in 's m e n s c h e n godsdienstig leven naar de begin- 
selen der moderne richting. 

2. Om beantwoord te worden vóór 1 Jan. 1922: 

Eene oordeelkundige beschrijving van de on- 
derscheidene geest el ij ke stroomingen in den 
kring van het Protestantisme in Nederland sedert 
het begin der 1 9''^ eeuw. 

Als nieuwe prijsvraag ter beantwoording vóór 1 Jan. 1923 is 
uitgeschreven : 



IX 



De verhouding tusschen de Oosterse h e en de 
Westersche beschaving in wijsgeerig, godsdien- 
stig en zedelijk opzicht. 

De prijs voor het best en voldoend gekeurd antwoord op deze 
vragen bestaat uit een gouden eerepenning op den stempel des 
Genootschaps geslagen, ter innerlijke waarde van vierhonderd 
gulden, of, zoo men daaraan de voorkeur mocht geven, in vier- 
honderd gulden. De prijs wordt uitgekeerd, zoodra de bekroonde 
verhandehng voor de pers gereed is. • 

De verhandelingen moeten in het Nederlandsch, Latijn, Fransch, 
Engelsch of Hoogduitsch, met eene latijnsche letter, vooral goed 
en leesbaar (door eene andere hand dan die van den auteur of 
met de schrijfmachine) geschreven zijn. Niet duidelijk geschreven 
verhandelingen worden ter zijde gelegd. Ook moeten zij op den 
bepaalden tijd in haar geheel worden ingezonden en geene ant- 
woorden, waaraan eenig gedeelte bij de inlevering ontbreekt, 
zullen tot het dingen naar den gemelden eereprijs worden toe- 
gelaten. Alle ingezonden stukken blijven het eigendom van het 
genootschap, dat de bekroonde, met of zonder vertaling, in zijne 
werken opneemt, zonder dat de schrijvers, anders dan met toe- 
stemming der Stichting, die mogen uitgeven. Ook behoudt het 
genootschap aan zich het recht om van de niet bekroonde stukken 
zoodanig gebruik te maken als het raadzaam zal oordeelen, hetzij 
zonder of met vermelding van den naam des schrijvers, in het 
laatste geval echter niet zonder diens toestemming. Voorts worden 
geene afschriften van de niet-bekroonde stukken aan de schrijvers 
verstrekt dan op hunne kosten. De in te zenden antwoorden 
moeten, zonder naam en alleen met eene spreuk onderteekend, 
vergezeld van een verzegeld briefje, dezelfde spreuk ten opschrift 
voerende en van binnen opgaaf van des schrijvers naam en 
woonplaats behelzende, gezonden worden aan het Fundatiehuis 
van wijlen dm Heer P. TEYLER VAN DER HULST te Haarlem. 
Het programma van het genootschap is op aanvrage bij Heeren 
Directeuren vanTeyler's Stichting jaarlijks omstreeks 15 November 
kosteloos verkrijgbaar. 



X 



PROGRAMMA VAN TEYLER'S G0DC4ELEERD 
GENOOTSCHAP TE HAARLEM 

voor het jaar 192 2. 



Directeuren van Tkyler's Sttchtinu en de Leden van Teyler's 
Godgeleerd Genootschap hebben in hunne vergadering van 
27 October 1921 uitspraak gedaan over vier ingekomen ant- 
woorden op de prijsvraag: 

Eene verhandeling over de plaats van .,zonde" 
in 's m e n s c h e n godsdienstig leven naar de be- 
ginselen der moderne richting. 

Twee van deze antwoorden waren in de Nederlandsche taal 
geschreven, de andere twee in de Duitsche taal. 

I. De verhandeling, ingezonden onder liet motto „Uit Llern 
en door Hem en tot Hem zijn alle dingen", geschreven in de 
Nederlandsche taal, is een opstelletje van 9 bladzijden; het geeft 
eene gemoedeUjke ontboezeming, waarin wel enkele juiste opmer- 
kingen worden aangetroffen, doch waaraan alle wetenschappe- 
lijkheid ontbreekt. 

n. De verhandeling, ingezonden onder het motto: yvco&i aiavróv, 
geschreven in de Nederlandsche taal, is een zeer uitvoerig 
geschrift, waarvan verreweg het grootste gedeelte buiten de 
gestelde vraag omgaat. 

Eerst op bl. 483 begint eene bespreking van 't wezen van 
„zonde". 

In het dan volgend betoog ontmoet men zonderlinge tegen- 
strijdigheden en talrijke herhalingen. 

Voorzoover deze verhandeling verband lioudt met de gestelde 
vraag, draagt zij allerminst liet karakter van een degelijk onder- 
zoek Zij is O}) menig punt niets meer dan eene gemoedelijke 
ontboezeming, vertoont geen zuiver geteekende en nauwkeurig 
gevolgde lijnen. 

Het is een verward en verwarrend geschrift. 



XI 



III. De verhaiicleliiig, ingezonden onder het motto: „Ueber 
das Prinzip woraus Sittlichkeit abzuleiten sei, hat man sich nie 
volkommen vereinigen können u.s.w." (Goeihe an Carlyle), is in 
de Duitsche taal geschreven. 

Zij bevat een onbelangrijk betoog, grootendeels gewijd aan 
eene weinig steekhoudende kritiek van stelsels, inzonderheid van 
de nuttigheidsleer, welke de schrijver, blijkens zijne geheel 
onjuiste voorstelling er van, niet begrijpt. 

IV. De vierde verhandeling, ingezonden onder het motto: 
„Der Begriff „„des Menschen Sohn"", ist eine „„ewige"" Tat- 
sachlichkeit" — JSietzsche im Antichrist — is in de Duitsche taal 
geschreven. 

Deze verhandeling bezit naar vorm en inhoud uitmuntende 
eigenschappen. 

Ze kenmerkt zich: 

door eene juiste opvatting van de gestelde vraag; 

door eene zorgvuldige beoordeeling van begrippen ; 

door een rustig voortgaand onderzoek ; 

door eene duidelijke uiteenzetting van de voorgedragen inzichten; 

door een goed gemotiveerd oordeel over de éénheid van 's men- 
schen geestelijk leven en zijn natuurlijk wezen; 

door eene goed toegelichte erkenning van het louter geestelijk 
karakter van „zonde" ; 

door tal vfin fijne psychologische opmerkingen omtrent het 
innerlijk verband tusschen 's menschen idealen en de werkelijkheid 
van zijn bestaan. 

Op grond van een en ander wordt deze verhandeling met 
goud bekroond. 

Bij opening van het naambriefje bleek de schrijver te zijn : 

Prof. Dr. Fritz Ziller te Osnabrück. 

Uitgeschreven blijven de volgende prijsvragen: 

1. Om beantwoord te worden vóór 1 Januari ]922: 

Eene oordeelkundige beschrijving van de onder- 
scheidene geestelijke stroom ingen in den kring 
van het Protestantisme in Nederland sedert het 
begin der 19»ie eeuw. 



xri 
2. Om beantwoord te worden vóór 1 Januari 1923 : 

De verhouding tusschen de Oosterse h e en de 
Westersche beschaving in wijsgeerig, godsdien- 
stig en zedelijk opzicht. 

Als nieuwe prijsvraag, ter beantwoording vóór 1 Januari 1924, 
is uitgeschreven : 

Eene verhandeling over het thema: 

„De verlossings- en heilsgedachte uit Vrijzin- 
nig Protestantsch oogpunt." 

De prijs voor het best en voldoend gekeurd antwoord op deze 
vragen l^estaat uit een gouden eerepenning op den stempel des 
Genootschaps geslagen, ter innerlijke waarde van vierhonderd 
gulden, of, zoo men daaraan de voorkeur mocht geven, in vier- 
honderd gulden. De prijs wordt uitgekeerd, zoodra de bekroonde 
verhandeling voor de pers gereed is. 

De verhandelingen moeten in het Nederlandsch, Latijn, Fransch, 
Engelsch of Hoogduitsch, met eene latljnsche letter, vooral goed 
en leesbaar (door eene andere hand dan die van den auteur of 
met de schrijfmachine) geschreven zijn. Niet duidelijk geschreven 
verhandelingen worden ter zijde gelegd. Ook moeten zij op den 
bepaalden tijd in haar geheel worden ingezonden en geene ant- 
woorden, waaraan eenig gedeelte bij de inlevering ontbreekt, 
zullen tot het dingen naar den gemelden 'eereprijs worden toe- 
gelaten. Alle ingezonden stukken blijven liet eigendom van het 
genootschap, dat de bekroonde, met of zonder vertaling, in zijne 
werken opneemt, zonder dat de schrijvers, anders dan met toe- 
stemming der Stichting, die mogen uitgeven. Ook behoudt het 
genootschap aan zich het recht om van de niet bekroonde 
stukken zoodanig gebruik te maken als het raadzaam zal oor- 
deelen, hetzij zonder of met vermelding van den naam des 
schrijvers, in het laatste geval echter niet zonder diens toe- 
stemming. Voorts worden geene afschriften van do niet-bekroonde 
stukken aan de schrijvers verstrekt dan oj) liunne kosten. De 
in te zenden antwoorden moeten, zonder naam en alleen met 
eene spreuk onderteekend, vergezeld van een verzegeld briefje, 
dezelfde spreuk ten opschrift voerende en van binnen opgaaf 



XIII 



van des schrijvers naam en woonplaats behelzende, gezonden 
worden aan het Fundatiehuis van luijlen den Heer F. TEYLER 
VAN DER HULST te Haarlem. Het programma van het genoot- 
schap is op aanvrage bij Heeren Directeuren van Teyler's 
Stichting jaarlijks omstreeks 15 November kosteloos verkrijgbaar. 



PROGRAMMA VAN TEYLER'S TWEEDE GENOOTSCHAP 

TE HAARLEM, 

V o o r h e t j a a r 1 9 2 0. 



H.H. Directeuren van Teyler's Stichting en de Leden 
VAN Teyler's Twp:ede Genootschap hebben besloten voor het 
jaar 1920 de volgende prijsvraag uit te schrijven: 

De Nederlandsche roman van 1870 tot c. 1920 in 
zijn ontwikkeling naar inhoud en vorm geschetst. 

Het jaar 1870 is gekozen als uitgangspunt, omdat tusschen 
1870 en 1880 een nieuw geslacht van schrijvers in onze letter- 
kunde optreedt, dat een overgang vormt tusschen twee oudere 
geslachten van auteurs eenerzij ds, de mannen van De Nieuwe 
Gids anderzijds. 

Het eindjaar 1920 is gekozen slechts om den onderzoeker 
niet te binden ; de gevraagde schets kan eindigen ook met een 
jaar tusschen 1900 en 1920, indien daarvoor goede gronden 
vallen aan te wijzen. 

Zooals reeds uit het bovenstaande kan gebleken zijn, wordt 
hier met roman het verhalend letterkundig proza in het algemeen 
bedoeld, dat ook de novelle, de novellistische schets, het reis- 
verhaal e. d, omvat. 

Een volledig onderzoek der stof zal noodig zijn ; niet noodig 
daarentegen, en zelfs ongewenscht. alle uitkomsten van dat 
onderzoek mede te deelen ; beperking tot de voornaamste werken 
zij aanbevolen. 

Aan den invloed der buitenlandsche letterkunde in dezen 
worde niet meer plaats gegeven dan strikt noodzakelijk is; aart 
de biografie der auteurs niet meer aandacht gewijd dan de 



XIV 



verklaring van hun werk eischt. Aanhalingen behooren, met het 
oog op den omvang van het werk, zooveel mogelijk te worden 
vermeden; hoofdzaak dienen te blijven de groepeering en de 
onderlinge samenhang, de karakteristiek en de waardeering der 
werken zelve of die van de letterkundige persoonlijkheid en de 
kunst der auteurs. 

Het geheel zij, met vermijding van artistiek jargon, in zuiver 
Nederlandsch en aangenaam leesbaar geschreven. 

De prijs voor het best en voldoend antwoord bestaat in een 
gouden eerepenning, op den stempel des Genootschaps geslagen, 
ter innerlijke waarde van ƒ 400. 

De antwoorden moeten worden ingezonden vóór of op den 
Isten April 1923, opdat zij voor den Isten Mei 1924 kunnen 
beoordeeld worden. 

De verhandelingen moeten in het Nederlandsch, Fransch, 
Engelsch of Hoogduitsch, met eene Latijnsche letter, vooral goed 
en leesbaar geschreven zijn door eene andere hand, dan die van 
den opsteller, of met de schrijfmachine. Ook moeten zij vóór den 
bepaalden tijd in haar geheel worden ingezonden: geene ant- 
woorden, waaraan eenig gedeelte bij de inlevering ontbreekt, zullen 
tot het dingen naar den gemelden eereprijs worden toegelaten. 

Alle ingezonden stukken blijven het eigendom des Genoot- 
schaps, dat de bekroonde verhandelingen, met of zonder vertaling, 
in zijne werken opneemt, zonder dat de schrijvers, anders dan 
met toestemming der Stichting, die mogen uitgeven. Ook behoudt 
het Genootschap aan zich het recht om van de niet bekroonde 
stukken zoodanig gebruik te maken als het raadzaam zal oordeelen, 
hetzij zonder of met vermelding van den naam des schrijvers; in 
het laatste geval echter niet zonder zijne toestemming. 

Ook worden geene afschriften van de niet bekroonde stukken 
aan de schrijvers verleend, dan te hunnen koste. De in te zenden 
antwoorden moeten, zonder naam en alleen met een spreuk 
onderteekend, vergezeld van een verzegeld briefje dezelfde spreuk 
ten opschrift voerende en van binnen des schrijvers naam en 
woonplaats behelzende, gezonden worden aan het Fundatiehuis 
van wijlen den Heer P. TEYLER VAN DEK HULST te Haarlem. 



XV 



PROGRAMMA VAN TEYLER'S TWEEDE GENOOTSCHAP 

TE HAARLEM, 

voor het jaar 19 21. 



H.H. Directeuren van Teyi.er's Stichting en de Leden 
VAN Teyler's Tweede GENOOTSCiiAr hebben in hunne vergade- 
ring van 23 December 1920 uitspraak gedaan over het antwoord, 
onder het moto: „Eenvoud is het kenmerk van het ware", inge- 
zonden op de door hen voor het jaar 1918 uitgeschreven prijs- 
vraag, luidende : 

Zij verlangen eene geschiedenis der Noord- 
nederlandsche kleederdrachten in de zeventien- 
de eeuw, op te maken aan de hand der schild e- 
rijen, prenten en teekeningen uit dien tijd. 

Er behoort onderzocht te worden vanwaar onze 
kleederdrachten hun oorsprong h e b b e n g e n o m e n, 
wat er vreemds en wat er eigen in is. 

De verhandeling ga zoo mogelijk vergezeld 
van voor reproductie geschikte afbeeldingen of 
althans van nauwkeurige aanwijzing, waar deze 
te vinden zijn. Er worde tevens opgave gedaan 
van nog in Nederlandsche musea voorkomende 
kleedingst ukken uit dien tijd. 

Dit stuk voldoet zelfs niet aan de matigste eischen, die men 
aan eene beantwoording van een dergelijke vraag mag stellen, 
waarvan de bedoeling zoo weinig is begrepen, dat men er aan 
mag twijfelen, of de schrijver wel den officieelen tekst ervan 
onder de oogen heeft gehad. Lnmers aan geen der wenken, in 
de toelichting gegeven omtrent de wijze, waarop het Genoot- 
schap zich de beantwoording had voorgesteld, is ook maar de 
geringste aandacht gewijd. 

De schrijver heeft niet begrepen, dat het Genootschap eene 
nauwkeurige studie wenschte van het voorhanden materiaal op 
het gebied der zeventiende-eeuwsche-drachtenkunde, zoowel met 
behulp der nog in Nederlandsche musea voorkomende kleeding- 



XVI 

stukken uit dien tijd als der afbeeldingen: schilderijen, prenten, 
teekeniugen, enz. Aan de hand hiervan ware een verhandeling 
te leveren geweest in den geest van de studie van Jvr. Dr. O. H. 
DE Jonge over het XVIe eeuwsch costuum (Utrechtsch proef- 
schrift en opstellen in Oud Holland). 

In het werk van den schrijver is zelfs geen poging te ont- 
dekken, om iets dergelijks te leveren. Er worden van XVIIe 
eeuwsche kunst slechts een schilderij, een enkele teekening en 
verder „de etsen" van Van de Venne genoemd; geen enkel 
XVIIe eeuwsch kleedingstuk wordt opgegeven. 

Ook de gevraagde „voor reproductie geschikte afbeeldingen, 
of althans nauwkeurige aanwijzing, waar deze te vinden zijn" 
ontbreekt geheel en al. 

Daar het opstel als wetenschappelijk betoog alle waarde mist. 
kan het niet voor bekroning in aanmerking komen. 



Als nieuwe prijsvraag voor het jaar 1921 is uitgeschreven: 

Naar aanleiding van de studiën van Victor 
Grégoire over de samenstelling der celkernen 
uit karyomeren verlangt het Genootschap een 
onderzoek naar den bouw dezer kerndeelen, voor- 
al in den zoogenoemde toestand van rust, en 
naar de beteekenis van dezen bouw voor de leer 
der erfelijkheid. 

Zie V. Grégoire, La Cellule T 21, ]9()4. 

De prijs voor het best en voldoend antwoord bestaat in een 
gouden eerepenning, op den stempel des Genootschaps geslagen, 
ter innerlijke waarde van ƒ 400. 

De antwoorden moeten worden ingezonden vóór of op den 
Isten April 1923, opdat zij voor den Istm Mei 1924 kunnen be- 
oordeeld worden. 

De verhandelingen moeten in het Nederlandsch, Fransch, 
Engelsch of Hoogduitsch, met eene Lalijnsclie letter, vooral goed 
en leesbaar geschreven zijn door eene andere hand, dan die van 
den opsteller, of met de schrijfmachine. Ook moeten zij vóór den 
bepaalden tijd in haar (jeheel worden ingezonden : geene ant- 



XVII 

woorden, waaraan eenig gedselte bij de inlevering ontbreekt, 
zullen tot het dingen naar den gemelden eereprijs worden toe- 
gelaten. 

Alle ingezonden stukken blijven het eigendom des Genoot- 
schaps, dat de bekroonde verhandelingen, met of zonder ver- 
taling, in zijne werken opneemt, zonder dat de schrijvers, anders 
dan met toestemming der Stichting, die mogen uitgeven. Ook 
behoudt het Genootschap aan zich het recht om van de niet 
bekroonde stukken zoodanig gebruik te maken als het raadzaam 
zal oordeelen, hetzij zonder of met vermelding van den naam 
des schrijvers ; in het laatste geval echter niet zonder zijne toe- 
stemming. 

Ook worden geene afschriften van de niet bekroonde stukken 
aan de schrijvers verleend, dan te hunnen koste. De in te zenden 
antwoorden moeten, zonder naam en alleen met een spreuk 
onderteekend, vergezeld van een verzegeld briefje dezelfde spreuk 
ten opschrift voerende en van binnen des schrijvers naam en 
woonplaats behelzende, gezonden worden aan het FundatieJiuis 
van ivijlen den Heer P. TEYLER \^AN DER HULST te Haarlem. 



PROGRAMMA VAN TEYLER'S TWEEDE GENOOTSCHAP 

TE HAARLEM, 

voor het j a ar 192 2. 



H.H. Directeuren van Teyler's Stichting en de Leden 
VAX Teyler's Tweede Genootschap hebben besloten voor het 
jaar 1922 de volgende prijsvraag uit te schrijven. 

Men vraagt een e verhandeling over de betee- 
kenis van Utrecht, als middelpunt van het ge- 
lijknamige bisdom, voor de ge est e sont wikkeling 
der tot het bisdom behoorende gewesten iu de 
Middeleeuwen, 

De jjrijs voor het best en voldoend antwoord beslaat in een 
gouden eerepenning, op den stempel des Genootschaps geslagen, 
ter innerlijke waarde van ƒ 400. 



XVIII 

De antwoorden moeten worden ingezonden vóór of op den 
Isten April 1923, opdat zij vóór den Isten Mei 1924 kunnen 
beoordeeld worden. 

De verhandelingen moeten in het Nederlandsch, Fransch, 
Engelsch of Hoogduitsch, met eene Latijnsche letter, vooral goed 
en leesbaar (door eene andere hand, dan die van den opsteller of 
met de schrijfmachine) geschreven zijn. Ook moeten zij vóór 
den bepaalden tijd in haar geheel worden ingezonden ; geene ant- 
woorden, waaraan eenig gedeelte bij de inlevering ontbreekt, 
zullen tot het dingen naar den gemelden eereprijs worden toe- 
gelaten. 

Alle ingezonden stukken blijven het eigendom des Genoot- 
schaps, dat de bekroonde verhandelingen, met of zonder ver- 
taling, in zijne werken opneemt, zonder dat de schrijvers, anders 
dan met toestemming der Stichting, die mogen uitgeven. Ook 
behoudt het Genootschap aan zich het recht om van de niet 
bekroonde stukken zoodanig gebruik te maken als het raadzaam 
zal oordeelen, hetzij zonder of met vermelding van den naam 
des schrijvers; in het laatste geval echter niet zonder zijne toe- 
stemiping. 

Ook worden geene afschriften van de niet bekroonde stukken 
aan de schrijvers verleend, dan te hunnen koste. De in te zenden 
antwoorden moeten, zonder naam en alleen met een spreuk 
onderteekend, vergezeld van een verzegeld briefje, dezelfde spreuk 
ten opschrift voerende en van binnen des schrijvers naam en 
woonplaats behelzende, gezonden worden aan het Fundatiehuis 
van wijlen den Heer P. TEYLER VAN DER HULST te Haarlem. 



Conférences faites dans la Fondation Teyler. 

1921. 



H. A. LoRENTZ, Het magnetisme (3 conf.). 



TABLE DES MATIERES. 



PAGE 

H. A. LoREXTZ, De electroneiitheorie 1 

H. A. LoRENTz, Het magnetisme 77 

G. VAN DER Sleex, Quelques recherches a. propos du net- 

toyage des Tableaux de Frans Hals a Harlem . . .135 



H. A. LORENTZ. 

DE ELEOTRONENTHEORIE. 

Voordrachten gehouden in October 1918, 
bewerkt door W. H. KEESOM. 



§. 1. Het overzicht, dat wij ons voorstellen in deze drie voor- 
drachten over de electronentheorie te geven, zal noodzakelijker- 
wijze kort moeten zijn. Daarbij zal blijken dat in die theorie, zelfs 
in de grondslagen ervan, groote moeilijkheden niet ontbreken. 
Intusschen zullen wij deze moeilijkheden in deze eerste voordracht 
niet op den voorgrond stellen en ons dezen keer liever alleen 
wenden tot de mooie zijde der theorie. 

Daarbij rijst dan allereerst de vraag: hoe zijn wij tot de elec- 
tronentheorie gekomen? Het antwoord daarop luidt: op eene 
zeer natuurlijke wijze. De diepere studie der lichtverschijnselen 
moest wel noodzakelijk daartoe leiden. 

Reeds lang had men zich voorgesteld, dat de lichtgolven 
worden uitgezonden door kleine deeltjes in de lichtbron, die 
tengevolge van hunne beweging trillingen aan den aether mede- 
• deelen. Toen nu de electromagnetische lichttheorie van Maxwell, 
volgens w^elke de lichttrillingen electriciteitsbewegingen zijn, boven 
allen twijfel verheven was, lag het voor de hand aan te nemen, 
dat in een lichtbron of in een lichaam waarvan warmtestralen 
uitgaan, heen- en weergaande bewegingen der electriciteit jDlaats 
hebben, m. a. w. dat de zooeven genoemde kleine deeltjes elec- 
trische ladingen bezitten. 

Dit denkbeeld was in overeenstemming met hetgeen men uit 

1 



Z DE ELECTRONENTHEORIE. 

de verschijnselen der electrolyse had afgeleid. Wordt een elec- 
trische stroom van links naar rechts door een oplossing van 
H Cl geleid, dan bewegen zich de waterstofatomen naar de rech- 
terzijde en de chlooratomen naar links. De oorzaak daarvan is 
te zoeken in een positieve lading der waterstof- en een negatieve 
der chlooratomen. Evenzoo in andere electrolvten ; de atomen 
van de waterstof 'of het metaal hebben een positieve, de daar- 
mede verbonden atomen of atoomgroepen een negatieve 
lading. 

De electrische stroom in een electrolvt is dus een convectie- 
stroom van geladen deeltjes. Deze geladen deeltjes in een elec- 
trolvt worden ionen genoemd. 

Later is deze naam ook op andere geladen deeltjes toegepast. 
Zoo b.v. op de geladen deeltjes, die soms in gassen optreden : 
gas-ionen. Daarnaast is de naam eledronen, door Johnstone Stoney 
ingevoerd, in gebruik gekomen. In het bijzonder wordt deze 
laatste naam nu gegeven aan straks te bespreken uiterst kleine 
negatief geladen deeltjes. 

§ 2. Het licht plant zich ook in ponderabele stoffen, b.v. in 
glas, voort, en wel met eene snelheid, die anders is dan de 
voortplantingssnelheid in het vacuüm. Ten einde dezen invloed 
van de ponderabele stof op de voortplantingssnelheid te verkla- 
ren, lag het voor de hand in de moleculen van de ponderabele 
stof, van het glas dus, de aanwezigheid van positieve en negatieve 
electrische ladingen aan te nemen. Deze electrische ladingen zijn 
door zoogenaamde quasi-elastische krachten meer of minder sterk 
aan bepaalde evenwichtsstanden gebonden. 

Dit laatste wordt vooral duidelijk, wanneer wij b.v. beschouwen 
wat er in het diëlectricum gebeurt wanneer wij een condensator 
laden. Denken wij een vlakken condensator, en stellen wij ons 
eerst voor, dat zich tusschen de platen slechts de aether bevindt. 
Laden wij den condensator, doordat wij op de eene plaat posi- 
tieve electriciteit brengen en de andere plaat met de aarde 
verbinden, dan heeft in den aether tusschen de platen eene 
opschuiving van electriciteit plaats. Denken wij nu, dat zich 
tusschen de platen glas bevindt, dan zullen bovendien in de 
moleculen van het glas positieve ladingen zich naar één kant, 
negatieve ladingen zich naar den anderen kant begeven. De deel- 
tjes van het glas worden gepolariseerd. Het resultaat is, dat de 
diëlectrische verschuiving in het glas, die het gevolg is van het 



DE ELECTKONENTHEORIE. ö 

aanbrengen van eene bepaalde electrische kracht, als zijnde 
samengesteld uit de diëlectrische verschuiving in den aether en 
de polarisatie van de moleculen, grooter is dan in den aether alleen. 

De diëlectrische verschuiving blijkt in verschillende diëlectrica 
bij gelijke electrische kracht eene verschillende grootte te hebben, 
verschillende moleculen worden dus in ongelijke mate gepola- 
riseerd, m. a. w. in verschillende stoffen zijn de electrische ladin- 
gen niet even sterk aan haar evenwichtsstanden gebonden. 

Denken we nu dat op glas een lichtstraal invalt. Dan worden 
de electrische deeltjes in het glas aan het trillen gebracht. Dit 
heeft tengevolge, dat de voortplantingsnelheid van het licht in 
het glas eene andere is dan in den aether. Dit veroorzaakt weder, 
dat het licht bij overgang in het glas, in het algemeen bij eiken 
overgang in een ander medium, gebroken wordt. 

De mate, waarin de electrische deeltjes in het glas onder den 
invloed van den invallenden lichtbundel zullen gaan medetrillen, 
hangt af van de frequentie van de eigen trillingen, welke de 
electronen onder den invloed van de quasi-elastische krachten 
kunnen uitvoeren, in vergelijking met de frequentie van het 
invallende licht. Dientengevolge zullen de voortplantingssnelheid 
van het licht en de brekingsindex afhangen van de golflengte, 
waardoor het verschijnsel der kleurschifting verklaard wordt. 

Wij willen nu de aandacht vestigen op een paar vraagstukken, 
die meer bepaaldelijk door de eigenlijke electronentheorie tot 
oplossing gebracht zijn en tot de ontwikkeling daarvan hebben 
bijgedragen. 

In de eerste plaats de vraag hoe de brekingsindex n van de 
dichtheid d afhangt. 

Laplace had hiervoor de formule 

, — = const (1) 

d 

opgesteld. Deze formule geeft echter de veranderingen, die n 
tengevolge van veranderingen in d ondergaat, aanmerkelijk te 
klein weer. 

Daarentegen was men empirisch gekomen t(jt de formule: 



— - — = const (2) 



4 DK ELECTRONENTHEORIE. 

welke formule de Avijze, waarop n van d afhangt, veel beter 
weergeeft. 

§ 3. Het tweede der bedoelde vraagstukken is het volgende : 
hoe plant zich licht voort in materie, die zelf zich beweegt? 

De aanleiding tot het stellen van deze vraag leverde de studie 
van de astronomische aberratie. Het onderzoek daarvan en van 
ermede samenhangende verschijnselen had Fresnel ^) tot de 
onderstelling geleid, dat do aether niet aan de beweging der 
ponderabele materie deelneemt. 

Dit sluit in zich, dat de materie, b.v. onze aarde, voor den 
aether volkomen doordringbaar moet zijn. 

Dit laatste zou voor onze voorstelling eene moeilijkheid kunnen 
opleveren. Ontzegt men intusschen met Einstein aan den aether 
alle substantialiteit, dan vormt dit geen moeilijkheid meer. 

Men moet inderdaad volkomen doordringbaarheid van de 
materie voor den aether aannemen. Met eene andere opvatting 
stuit men ten slotte altijd op onoverkomelijke bezwaren. 

Stel nu dat een lichtstraal zicli voortplant in glas, dat zelf 
zich beweegt in de richting van de voortplantingssnelheid van 
het licht. Indien er bij de voortplanting van dezen lichtstraal 
niets anders in het spel was dan het glas, dan zou de voort- 
plantingssnelheid van het licht in het zich bewegende glas een- 
voudig de som zijn van de voortplantingssnelheid van het licht 
in stilstaand glas en de bewegingssnelheid van het glas. 

Echter is de stand van zaken niet zoo eenvoudig. De lichtstraal 
plant zich voort in den aether, die ook in het glas aanwezig is, met 
eene snelheid die door de aanwezigheid van het glas veranderd is. 
Daarbij doet de aether aan de beweging van het glas niet mee. 

Zij u de snelheid waarmede de materie, in casu het glas, zich 
ten opzichte van den aether verplaatst en v de snelheid, waar- 
mede het licht zich in de materie zou voortplanten als deze 
stilstond. Dan zal, nu zij zich beweegt, de voortplantingssnelheid 
van het licht ten opzichte van den stilstaanden aether zijn 

v-{-fu, 

waarin ƒ oen zekere coëfficiënt, kleiner dan 1. is. 



') Lettre d'Ai'orsïiN Fui:sni;i. ;i Füanqois Aii.\(i(), Sur rinfluence du mouve- 
ment terrestre dans queli|ues phénoniènes d'optique. Ann. de diim. et de phys. 9 
(181 H), ]i. r»7. Oeuvres complètes do Füksnki , t. '2,yJ^21. 



DE ELECTRONENTHEORIE. O 

Fresnel toonde aan dat men, om de aberratieverschijnselen 
te verklaren, aan dezen meesleepingscoëfficiënt de waarde 

■f^'-^ (3) 

moet toekennen. 

Hierin is n de brekingsindex. Is c de voortj^lantingssnel- 
lieid van het licht in het vacuüm, dan is 

n = ^ (4) 

V 

De formule (3) is door proeven van Fizeau i) over de voort- 
planting van het licht in stroomend water bevestigd. Met groo- 
tere nauwkeurigheid hebben Michelson en Morley ~), en in 
den laatsten tijd Zeeman ''>) dit gedaan. 

Wij zullen bij de proeven van Zeeman een oogenblik stil- 
staan. 

Wij merken in de eerste plaats even op hoe klein het te meten 
effect zal moeten zijn. De voortplantiugssnelheid van het licht 

o 

in water bedraagt 4" X 3 X lO^»^ = 2,25 X lO^o cm/sec. De 

4 

stroomingssnelheid van het water, waardoor' de lichtbundel ge- 
zonden wordt, is hoogstens te brengen op ongeveer 5 M. per sec, 
of 5 X ^0^ cm/sec. De meesleepingscoëfficiënt in water bedraagt 

-7- ) = ,--. Het licht wordt dus met eene snel- 



\4; 16 



heid ^~ X ó X 10- = 2,2 X 10^ cm/sec. meegesleept. De verande- 
ring in de voortplantiugssnelheid bedraagt dus het lO^-ste deel 
ervan. Dit doet dus wel de groote experimenteele kunde van de 
genoemde natuurkundigen bewonderen, die niet alleen dit effect 
wisten aan te toonen, maar het ook konden meten. 



'j H. FiZEAi . 8ur les hypotheses relatives a réther lumineux et sur uiie ex- 
périence qui parait démontrer que Ie mouvement dos corps change la vitesse 
avec laquelle la lumière se propage dans leur intérieur. Ann. de chini. et de 
phys. (3) 57 (1859), p. 385. Pogg Ann. Erg. bd. 3 (1853), p. 457. 

*) A. A. MiciiELSON and E. W. Mowi.iiv. Influence of niotion of the medium 
on the velocity of light. Amer. .Journ. of Sc. (3) 31 (188(3). p. 377. 

^) P. Zeeman. De meesleepingscoëfficiënt van Fres.nki. voor verschillende kleu- 
ren. Versl. K. Ak. van Wet. Amsterdam 23 (1914), p. 245; 24 (1915), p. 18. 
Men zie verder dezelfde Vérsl. 24 (lïUü), p. 13(KJ; 25 (1916). p. 134. 



DE ELECTRONENTHEORIE. 



De inrichting der proeven van Zeeman wordt schematisch 
aangegeven door Fig. 1. Het licht valt, komende van L, op een 
aan de eene zijde half verzilverd plaatje a. Daar wordt de licht- 



'/: :-- -: - -^C 



'\ 






Ji. 




Fiff. 1. 



'o 



bundel gesplitst in een teruggekaatsten en een doorgelaten bun- 
del. De eerste wordt door den spiegel b geworpen in de richting 
van de as van de buis P Q (waarvan in de teekening in het 
midden een deel als weggebroken is voorgesteld), wordt dan' door 
het glasprisma M in f en g totaal gereflecteerd, doorloopt de 
buis R S, wordt in c en a gereflecteerd in de richting Ji. De 
door a doorgelaten bundel doorloopt den omgekeerden weg 
acgfbah, en komt langs a Ji met den eersten bundel tot inter- 
ferentie. In den in de richting h opgestelden kijker ziet men 
een stel interferentiestrepen. Wordt het water in de buizen P Q 
en RS in de richting der pijlen in beweging gebracht, dan 
doorloopt de eene bundel in beide buizen het water in de rich- 
ting van de snelheid ervan, de andere in tegengestelde richting. 
Ten gevolge van de omstandigheid, dat daardoor de voortplan- 
tingssnelheid van den eenen lichtbundel wordt vergroot, die van 
den anderen verkleind, ontstaat een phaseverschil, m. a. w. de 
interferentiestrepen verplaatsen zich. Door de snelheid van het 
water in l)eide buizen om te keeren verkrijgt men eene ver- 
plaatsing der interferentiestrepen in tegengestelde richting. 

Plet mooie in deze methode is, dat de beide bundels geheel 
dezelfde deelen van den toestel doorloopen, zoodat b.v. plaatse- 
lijke temperatuurveranderingen beide bundels gelijkelijk beïn- 
vloeden en derlialve de interferentieHguur niet storen. 

In de volgende tabel zijn de door Zeeman verkregen uitkom- 
sten samengevat. 



DE ELECTRONENTHEORIE. 



;. 


ƒ 


1 \ 

n^ 


1 A dn 
n^ n dl 


o 

in A 


waargenomen 






4500 


0,465 


0,443 


0,464 


4580 


0,463 


0,442 


0,463 


5461 


0,451 


0,439 


0,454 


6870 


0,445 


0,435 


0,447 



Vergelijkt men de tweede en de derde kolom, dan blijkt, dat 
de overeenstemming met de formule (3) niet zoo heel mooi is. 
Hier is n.1. nog op eene finesse te letten. De verandering in de 
voortplantingssnelheid, die door (3) aangewezen wordt, geldt 
voor het geval dat men de voortplantingssnelheden vergelijkt 
van twee lichtstralen, de eene zich voortplantend in zich bewe- 
gend, de andere in stilstaand water, waarvan de eerste met 
betrekking tot een waarnemer, die zich met het water mee 
beweegt, dezelfde frequentie heeft als de laatste met betrekking 
tot een stilstaanden waarnemer. Ingevolge het principe van 
DoppLER zal de eerste lichtstraal met betrekking tot een stil- 
staanden waarnemer eene iets andere frequentie hebben dan de 
laatste, en dus ook in frequentie verschillen met den lichtstraal 
die het stroomende water in tegengestelde richting doorloopt. 

Daarentegen hebben wij bij de proef te doen met twee licht- 
stralen, die ten opzichte van een buiten het toestel geplaatsten, 
dus stilstaanden, waarnemer dezelfde frequentie hebben, wat men 
gemakkelijk inziet als men de lichtstralen vervangen denkt door 
reeksen van elkaar regelmatig volgende lichtsignalen. 

Brengt men deze finesse in rekening i), dan is de derde kolom 
te vervangen door de vierde, en blijkt de overeenstemming heel 
mooi te zijn. 

Daarmede is dus de meesleepingscoëfficiënt experimenteel ge- 
heel vastgesteld. Aangezien de overeenstemming eerst bij toe- 
passing van het principe van Doppler verkregen wordt, kan 
men tevens zeggen, dat Zeeman door deze proeven er in geslaagd 
is, voor het licht het principe van Doppler met eene kunst- 
matig voortgebrachte snelheid aan te toonen. 



•) Vergelijk H. A. Lorentz, Versuch einer Theorie der electrischen und opti- 
schen Erscheinungen in bewegten Körpern, Leiden 18i^*5, pp. 100 — 102, 



10 DE ELECTRONENTHEORIE. 

kingen zijn te beschouwen als eene andere uitdrukking van 
de wet van Biot en Savart. Zij drukken uit dat de arbeid dien de 
magnetische kracht verricht als een eenheidspool langs den rand 

van een begrensd o .pervlak rondgaat, gelijk is aan de met — 

vermenigvuldigde hoeveelheid electriciteit, die per tijdseenheid 
door het oppervlak heenstroomt, als de algebraïsche teekens 
geschikt gekozen worden. Men krijgt de eerste der formules als 
men voor het begrensde oppervlak dat van een oneindig kleinen 
rechthoek neemt, waarvan de zijden evenwijdig aan de y- en de 
z-as loopen. 

De volgende vergelijkingen : 



?d. 


Bd^ 


1 Bh,. 


c>d,- Bd, 1 ^hy 


7>y 


ïtz 


c èt ' 


B 2 ^X C ^t ' 

d d,/ d d,, ld h, 

B re ? w c ^ t 



(8) 



geven antwoord op de vraag: wanneer liet magnetisch veld 
verandert, welke electrische krachten werken dan? Zij vormen 
dus de vergelijkingen voor de inductiewerkingen, en kunnen uit 
de bekende fundamenteele wet voor deze werkingen worden af- 
geleid door een redeneering die veel gelijkt op die waardoor men 
tot de formules (7) komt. 

Bijzonder treffend is, dat deze weinige vergelijkingen de ge- 
heele electriciteitstheorie bevatten, althans pretendeeren zulks 
te doen. 

Wij kunnen b.v. vragen : welke wetten beheerschen de electro- 
magnetische verschijnselen in den vrijen aether? Wij hebben in 
(5) en (7) slechts q = O te stellen, en komen dan tot de verge- 
lijkingen van Maxwell. 

Hieruit volgt verder dat de constante c voorstelt de voort- 
plantingssnelheid van het licht in den aether. De vergelijkingen 
van Maxwell laten namelijk voortplanting van trillingen toe 
met eene voortplantingssnelheid c. Meer algemeen volgt uit die 
vergelijkingen, dat alle electrische en magnetische verschijnselen 
zich met de snelheid c voortplanten. 

Aan de boven gegeven vergelijkingen moet intusschen nog 
ééne vergelijking toegevoegd worden, n.1. de vergelijking die 
antwoord geeft op de vraag: wat is ilc kracht die in een electro- 



DE ELECTRONENTHEORIE. 11 

magnetisch veld op een electron werkt? Deze kracht wordt per 
eenheid van lading gegeven door de formule : 

d+-}[v.h] (9) 

De componenten dier kracht zijn: 

dx H (Vt, h, — V, hy), óy 4- - - (v, h,. — v^ h^), 

d.+ -(Vxhy-v,h^). . . (10) 

De kracht hestaat blijkbaar uit twee deelen. Het eerste deel, 
d, is het gevolg van de aanwezigheid van het electrische veld. 
Daarbij komt een tweede deel, dat afkomstig is van het mag- 
netische veld. De grootte van dit deel wordt aangegeven door 

- [V • h]. 

c 

' Daarin stelt het teeken [v . h] een vector voor, loodrecht op 
het vlak door v en h gebracht, en gericht naar die zijde, van 
waar gezien de wenteling van v naar h tegengesteld is aan de 
beweging der wijzers van een uurwerk. De grootte van den 
vector wordt gegeven door het oppervlak van het op v en h 
beschreven parallelogram. Wij merken hierbij op dat bij boven- 
staande formules een geschikte keus van de richtingen der po- 
sitieve coördinaatassen ondersteld is, zoo n.1. dat wanneer v met OX 
en h met O }^ samenvalt, de vector [v . h] de richting van OZ krijgt. 

De laatstgenoemde kracht openbaart zich b.v. wanneer w^e 
een magneet in de nabijheid van een kathodestraalbuudel bren- 
gen. Plaatsen wij de eene poql van den magneet in een hori- 
zontaal vlak zijdelings bij den horizontaal gerichten kathode- 
straalbuudel, dan zien wij dezen in verticale richting afwijken. 

Met een tweede voorbeeld van 
de werking van deze kracht heb- 
ben wij te doen als wij een metaal- 
draad beschouwen, waarin een 
electrische stroom loopt, in een 
magnetisch veld. Op den stroomge- 
leider wordt dan een kracht K 
uitgeoefend in den zin als in Fig. 2 is aangegeven. 




10 DE KLECTKONENTHEORIE. 

kingen zijn te bescliouwen als eene andere uitdrukking van 
de wet van Biot en Savart. Zij drukken uit dat de arbeid dien de 
magnetische kracht verricht als een eenheidspool langs den rand 

van een begrensd o )pervlak rondgaat, gelijk is aan de met — 

vermenigvuldigde hoeveelheid electriciteit, die per tijdseenheid 
door het oppervlak heenstroomt, als de algebraïsche teekens 
geschikt gekozen worden. Men krijgt de eerste der formules als 
men voor het begrensde oppervlak dat van een oneindig kleinen 
rechthoek neemt, waarvan de zijden evenwijdig aan de y- en de 
2-as loopen. 

De volgende vergelijkingen : 



^ds 


?dv 


1 ?h. 


C^d,. ?d, 1 d[\y 


'èy 


?2 


c ë^t ' 


?d, ^d,_ 1 ^h, 

'èx 'èy c 'd t 



(8) 



geven antwoord op de vraag: wanneer het magnetisch veld 
verandert, welke electrische krachten werken dan? Zii vormen 
dus de vergelijkingen voor de inductiewerkingen, en kunnen uit 
de bekende fundamenteele wet voor deze werkingen worden af- 
geleid door een redeneering die veel gelijkt op die waardoor men 
tot de formules (7) komt. 

Bijzonder treffend is, dat deze weinige vergelijkingen de ge- 
heele electriciteitstheorie bevatten, althans pretendeeren zulks 
te doen. 

Wij kunnen b.v. vragen : welke wetten beheerschen de electro- 
magnetische verschijnselen in den vrijen aelher? Wij hebben in 
(5) en (7) slechts « = O te stellen, en komen dan tot de verge- 
lijkingen van Maxwell. 

Hieruit volgt verder dat de constante c voorstelt de voort- 
plantingssnelheid van het licht in den aether. De vergelijkingen 
van M.wwELL laten namelijk voortplanting van tiillingen toe 
met eene voortplantingssnelheid c. Meer algemeen volgt uit die 
vergelijkingen, dat alle electrische en magnetische verschijnselen 
zich met de snelheid c voortplanten. 

Aan de boven gegeven vergelijkingen moet intusschen nog 
ééne vergelijking toegevoegd worden, n.1. de vergelijking die 
antwoord geeft op de vraag: wat is de kracht die in een electro- 



DE ELECTRONENTHEORIE. 



11 



magnetisch veld op een electron werkt? Deze kracht wordt per 
eenheid van lading gegeven door de formule : 



d + — [V . h] 



(9) 



De componenten dier kracht zijn: 

drr + — (Vj, h.,— v.hy), dy-f -(v.h,. — v^hg), 

dsH (Vxhj, — Vy hx) 



(10) 



De kracht hestaat blijkbaar uit twee deelen. Het eerste deel, 
d, is het gevolg van de aanwezigheid van het electrische veld. 
Daarbij komt een tweede deel, dat afkomstig is van het mag- 
netische veld. De grootte van dit deel wordt aangegeven door 

- [V . h]. 

' Daarin stelt het teeken [v . h] een vector voor, loodrecht op 
het vlak door v en h gebracht, en gericht naar die zijde, van 
waar gezien de wenteling van v naar h tegengesteld is aan de 
beweging der wijzers van een uurwerk. De grootte van den 
vector wordt gegeven door het oppervlak van het op v en h 
beschreven parallelogram. Wij merken hierbij op dat bij boven- 
staande formules een geschikte keus van de richtingen der po- 
sitieve coördinaatassen ondersteld is, zoo n.1. dat wanneer v met OX 
en h met O F samenvalt, de vector [v . h] de richting van OZ krijgt. 

De laatstgenoemde kracht openbaart zich b.v. wanneer we 
een magneet in de nabijheid van een kathodestraalbundel bren- 
gen. Plaatsen wij de eene poql van den magneet in een hori- 
zontaal vlak zijdelings bij den horizontaal gerichten kathode- 
straalbundel, dan zien wij dezen in verticale richting afwijken. 

Met een tweede voorbeeld van 
de werking van deze kracht heb- 
ben wij te doen als wij een metaal- 
draad beschouwen, waarin een 
electrische stroom loopt, in een 
magnetisch veld. Op den stroomge- 
leider wordt dan een kracht K 
uitgeoefend in den zin als in Fig. 2 is aangegeven. 











30 




y/ -i 




y^ 


* 


Fig. 


2. 





12 



DE ELECTRONENTHKORIE. 



Ten slotte kunnen wij denken dat een koperdraad geplaatst 
is in een magnetisch veld, en daarin verplaatst wordt, op de 
wijze als in Fig. 3 is aangegeven. Dan werkt een kracht op de 

electronen in de richting van den 
draad. Daardoor ontstaat in den 
draad een inductiestroom. 

Wij gaan er nu toe over te doen 

zien, welke resultaten met de boven 
gegeven vergelijkingen zijn ver- 
kregen. 

§ 5. In de eerste plaats stellen 
die vergelijkingen in staat voor de betrekking tussclien brekings- 
index en dichtheid af te leiden i) de formule: 




Fig. 3. 






= const (11) 



Het scherpst wordt deze betrekking op de proef gesteld door 
den brekingsindex van eenzelfde stof in damp- en vloeistoftoe- 
stand met elkander te vergelijken. Eene zoodanige vergelijking 
is weergegeven in de volgende tabel ; de laatste kolom bevat 
den brekingsindex van den damp, zooals die met behulp van de 
formule uit den brekingsindex der vloeistof kan woorden afgeleid. 
Natuurlijk hebben voor eiken damp de twee waarden van n op 
denzelfden toestand betrekking, maar wij behoeven daarover 
niet uit te weiden. 





Vloeistof 




Damp 






d 


n 


d 


n 
waargen. 


II 
ber. 


Water 


0,!)9!»1 


i,;i;;;;7 


0,000809 


1,000250 


1,000250 


Zwavelkoolstof. 


1,2709 


1,0320 


0,00341 


1,00148 


1,00144 


Aethylaether. . 


0,7200 


l,3ó58 


0,00332 


1,00152 


1,00151 



Men vindt in het algemeen, dat verg. (11) niet volkomen 

Zij geeft de veran- 



nauw keurig aan de waarnemingen aanshii 



') 11. A. Lori:nïz. Ovei- Int verband tussclien de vtiortplantingssnelheid van 
liet liclit en de dichtheid en samenstelling der middenstoff'en. Verh. Kon. Akad. 
van Wet. .Amsterdam, deel 18, 1879. Wied. Ann. 9 (1880), p, 641. Dezelfde 
vergelijking was reeds vroeger uit de oude liehttlieorie afgeleid door L. LoiiKNZ. 
Ueber die Refractionsconstante. Wied. Ann. 11 (1H80), p. 70. 



DE ELECTRONENTHEORIE. 



13 



deringen in het algemeen iets te groot. Men kan zeggen, dat 
zij ongeveer even goed voldoet als de empirische betrekking (2). 

Ook de meesleepingscoëfficiënt is behoorlijk uit deze grond- 
vergelijkingen afgeleid kunnen worden. Dit is daaraan te danken, 
dat de grond vergelijkingen in overeenstemming zijn met het 
relativiteitsprincipe. De meesleepingscoëfficiënt is dan ook uit het 
relativiteitsprincipe veel sneller af te leiden dan uit de grond- 
vergelij kingen ; hij zou in elke theorie worden gevonden, waarvan 
de grondslagen met dat principe in overeenstemming zijn. 

§ 6. Wij zullen nu in het oog vatten de vrije ionen en elec- 
tronen. Deze treden o. a. op: als positieve ionen in kanaalstralen 
en in «-stralen (heliumatomen, die met groote snelheden door 
verschillende radio-actieve stoffen vrorden uitgezonden), als nega- 
tieve electronen in de kathodestralen en in de [^-stralen. 

Daarvan zullen wij in deze § behandelen de wijze, waarop het 



en de verhouding 



gelukt is hunne snelheid 

ding en massa te bepalen. 

Wanneer een ion of electron zich in een 
electrisch veld beweegt, beschrijft het in het 
algemeen eene gekromde baan. Is het elec- 
trisch veld homogeen, d. w. z. £■= constant 
en overal gelijk gericht, dan is die baan een 
parabool (Fig. 4). In een punt, waar de be- 
wegingsrichting loodrecht is op de electrische 
kracht, wordt de kromtsstraal r van de baan 
bepaald door 



e 
lil 



tusschen la- 




mv- 



= eE 



(12) 



Beweegt^ een ion of electron zich in een magnetisch veld, dat 
op zeker oogenblik loodrecht op de bewegings- 
richting gericht is, dan beschrijft het een ge- 
kromde baan in een vlak loodrecht ap het 
magnetische veld. Is dit homogeen, dan is de 
baan een cirkel (Fig. 5). 

De kracht, die op het zich bewegende deeltje 
werkt, wordt bepaald door het tweede deel 
van (9). Daaruit volgt, dat de kromtestraal 




Fig. 5. 



14 



DE ELECTRONENTHEORIE. 



r' van de baan in een magnetisch veld H, loodrecht op de be- 
wegingsrichting, gevonden wordt uit: 



mv-^ 1 TT 
— 7— = — e Hv 
r c 



(13) 



Wij kunnen een zelfden kathodestraal gelijktijdig twee afwij- 
kingen, b.v. in onderling loodrechte richtingen, doen ondergaan, 
de eene ten gevolge van een electrisch veld, de andere ten ge- 
volge van een magnetisch veld. Wij kunnen deze afwijkingen 
zich op eene photografische plaat doen afteekenen, ze daarop 
uitmeten, en de kromtestralen r en r' berekenen. 

Uit (12) en (13) volgt: 



V = 



Er 



e 
m 



Er 



(14) 



zoodat uit de waarnemingen de twee gezochte grootheden, de 

snelheid v en de verhouding — van lading en massa kunnen 

m 

worden gevonden. 



Voor gebonden electronen kan men een waarde voor 



m 



afleiden uit het ZEEMAN-effect of uit de daarmede samenhan- 
gende magnetische draaiing van het polarisatievlak (Siertsema) i). 
Bezien wij het ZEEMAN-efïect iets nader. 

We denken een electron, dat zich onder de werking van eene, 
steeds naar een vast punt O gerichte, quasi- 
elastische kracht k r, in een cirkel om O kan 
bewegen (Fig. 6). 

Zij nu een magnetisch veld H aangebracht 
loodrecht op het vlak van teekening. Het 
electron beweegt zich dan onder de werking 
van eene kracht 




kr ± 



vH 



') L. ]l. SiicitTsiiMA. Berekening,' van 



uit (Ie magnetische draaiing van liet 



jmlarisatievlak, vour stott'en zonder absorptieband in het zichtbare sjjectrum. Versl 
K. AU. van Wet. Amsterdam 11 (1902), p. IMi», Leiden Communications No. 82. 



DE ELECTRONENTHEORIE. 15 

en kan ook nu een cirkel doorloopen. Daarbij geldt het teeken 
+ of — naar gelang van de richting van het magnetisch veld 
in verband met de richting van oraloopen in den cirkel. Er 
kunnen zoo bij bepaalde sterkte en richting van het veld twee 
verschillende cirkels doorloopen worden, in tegengestelde rich- 
ting, en met een verschillend aantal omloopen in de tijdseen- 
heid. Zij dit aantal omloopen n, zoodat v r= 2 ir rn, dan zal n 
gevonden worden uit: 

19 9 j . ^TtrneH 

Aii^r m n-^ =z kr ± 

c 

of 

A 9 9 _ / , 2 TT >i e iï 

4 TT- m n-^ = /: ± . 

c 

Noemen wij Hq het aantal omloopen in de tijdseenheid voor 
het geval dat H =^0: 

4 7r2 m Uff' ^^ k , 

dan vinden wij na substitutie van deze waarde van k in de 
vorige vergelijking, en deeling door 4.n-m: 

..He 

z TT c m 

Hierin is in den laat'sten term in het tweede lid n vervangen 
door ?!q, wat geoorloofd is daar deze term steeds klein is ver- 
geleken met den anderen. 

Uit de laatste vergelijking volgt, als men weder in aanmerking 
neemt dat de laatste term van het tweede lid klein is : 

- 4. H e 



'o -^ ~i • 

4i TT c m 

Behalve in deze twee cirkels, kan het electron ook trillen 
volgens eene rechte lijn in de richting van het magnetische 
veld, en wel met de frequentie Hq, daar bij deze beweging het 
magnetische veld geen kracht op het electron uitoefent. 

Een lichaam bevattende een aantal dergelijke gebonden elec- 
tronen, geplaatst in een magnetisch veld, zal dus gelijktijdig 
licht met drie verschillende frequenties uitzenden. Op deze wijze 
wordt in de elementaire theorie van het ZEEMAN-efFect het op- 
treden van een triplet verklaard. 



16 DE ELECÏRONENTHEORIE. 

Daarbij zien wij tevens, dat uit de wijdte van het triplet, de 

waarde van — van deze gebonden electronen kan worden af- 
m ° 

geleid. 

De hier genoemde methoden hebben nu geleid tot uitkomsten 

betreffende — van de electronen, waarvan wii slechts de vol- 
m 

gende noemen : 

Kathodestralen, KaufmannI) 1,80.10" 

Classen 2) 1,773.10' 

ji-stralen, Wolz S) 1,767.107 

Neumann *) 1,765.10" 

ZEEMAN-effect, LOHMANN ^) 1,787.10^. 

De overeenstemmino- van de waarde van — afgeleid uit het 

ZEEMAN-effect met de andere boven gegeven waarden van — 

voert wel tot het besluit, dat de deeltjes die in een lichtbron 
de lichtuitstraling bewerkstelligen, dezelfde zijn als die, welke 
zich in de kathodestralen en de j^-stralen voortbewegen. Intus- 
schen moet de genoemde overeenstemming niet te hoog worden 
aangeslagen. Immers, de elementaire theorie, die wij van het 
ZEEMAN-effect gegeven hebben, blijkt slechts zelden van toepas- 
sing te zijn. Het komt dus daarop neer, dat er wel spectraal- 
lijnen zijn, die een zoodanig triplet geven, dat de daaruit bere- 



') W. Kai I MANN, Die magnetische Ableukbarkeit oleftrostatiscli beeinflusster 
Kathodcnstrahlen. Ann. Phys. u. Cheni. 65 (189ö), p. 4ol. 

2) J. Ci.ASSE.N. Eine Neubestimmunff von - fiir Kathodcnstrahlen. Phvsik. ZS. 

/' . " 

1? 
9 (1908), p. 762. Kaukmann en Classen leiden af uit de magnetische af- 

/// 

wijking eenerzijds, en eene betrekking tusschcn r', - en het ])Otentiaalverschil, 

dat door de kathodestralen longitudinaal doorloopen is, anderzijds. 

») K. Woi.z. Die Bestimmung von <^'„, . Ann. d. Phys. (4) 30 (1909), p. '273. 

'') (i. NtaiMANN. Die triige Masse schnell bewegter Elektronen. Ann. d. Phys. 
(4) 4.Ó (1014), p. .'Ï29. Cu. SciiAKKEii. Die triige Masse schnell bewegter Elektro- 
nen. (Erganzungcn zu der gleichnamigcn Arlu'it des Ifcirn G. Xii m \n\. i Ann. d. 
Phys. (4) 49 (1916), p. 934. 

*) Zie bv. P. Zeeman. Magneto-optische Untersuchungen. Leipzig 1914, p. 71. 



DE ELECÏRONENTHEORIE. 17 

kende — met de andere daarvoor gevonden waarden overeenstemt. 
'lil 

In tegenstelling met de negatieve deeltjes werd voor de posi- 
tieve, die zich in de «-stralen voortbewegen, een veel kleiner 

getal voor — gevonden. De proeven van Rutherford en 
m 

RoBiNsox 1) gaven 4,82 X 10^- Hieruit volgt dat bij de «-stralen 

een zelfde lading door eene veel grootere massa gedragen wordt 

dan dat bij de [^-stralen het geval is. 

Opgemerkt zij nog dat bij de opgaven in deze § de lading e 
in electromagnetische eenheden is uitgedrukt gedacht. 

Voor de snelheden, waarmede de betreffende deeltjes zich 
voortbewegen, werd gevonden : 

voor «-stralen: ongeveer -tttt a — ^ van de lichtsnelheid. 

20 15 

voor (j-stralen : tot 0,9 lichtsnelheid. 

§ 7. Terwijl in de vorige § de verhouding van lading tot 
massa werd beschouwd, stellen wij nu de vraag: hoe is het met 
de grootte der lading zelf gesteld? 

Herinneren we ons daartoe eerst hoe de stand van zaken is 
bij de electrolytische ionen. Uit de wetten van Faraday over 
de electrolyse besluiten wij dat alle éénwaardige ionen eene 
even groote electrische lading dragen, die positief kan zijn 
zooals b.v. bij K en H, of negatief zooals b.v. bij Cl. 

Tweewaardige ionen dragen eene dubbele lading, enz. 

Dit alles doet er aan denken, dat er in de natuur een funda- 
menteele eenheidslading is, de lading van een een waardig elec- 
trolytisch ion. De grootte van deze eenheidslading berekenen wij 
als volgt: 

Een stroom van 1 amp. scheidt per seconde 0,01045 mg. wa- 
terstof af, d. i. : 

1,045 X 10-5 X 62 X 1022 = 65 X iqit atomen, 

als men voor het aantal molekulen in een grammolekuul het 
door Planck uit de verschijnselen der warmtestraling afgeleide 
getal 62 X 10^^ neemt 2). 



') E. Rutherford and H. Robinson. The Mass and Velocities of the « Par- 
ticles from Radio-active Substances. Phil. Mag. (6) 28 (1914), p. 552. 
*) Volgens Mii-LIKAN (Zie volgende §) bedraagt dit aantal 6,06X10* 8. 



18 



DE ELECTRONENTHEORIK. 



De gezamenlijke lading van deze atomen is één coulomb 
= 3 X 10^ electrostatische eenheden. Dus: 

3 X 10^ 

e= ---^— -7,7- = 4,G X 10-10 electrostatische eenheden. 
DO X 10^' 

§ 8. Het is gebleken, dat de negatieve electronen steeds deze 
zelfde eenheid van lading (met het negatieve teeken genomen) 
bezitten. J. J. Thomson i) is wellicht de eerste geweest, die dit 
geconstateerd heeft. 

De lading van een gas-ion, positief of negatief, en van een 
a-deeltje, is gelijk aan deze elementaire lading of een veelvoud 
ervan. 

In den laatsten tijd is het aan Millikan 2) gelukt heel scherp 
te bewijzen, dat alle ladingen gelijk zijn aan of een veelvoud 
zijn van die van een eenwaardig electrolytisch ion. Millikax 
voerde door middel van een verstuiver bij O (Fig. 7) heel kleine 



X 



t^. 



a 



mm^mmL.,^^:/-^^^>^i'^:y - 



\ .- . ^^'^y<^/m^^^ >^ A,:-^.mm^^m\ 



3h 



:: (3 



n^ 



Fig. 7. 



oliedruppeltjes in, in een zorgvuldig stofvrij gemaakte, op con- 
stante temperatuur gehouden kamer K. In deze kamer bevindt 
zich een luchtcondensator, bestaande uit twee aan de binnenzijde 



'j J. J. Thomson. On the Masses of the lons in Gases at Low Pressures. Phil. 
Mag. (5) 48 (1899), p. 547. 

*) R. A. MiLUKAN. i'ber die elektrische Elementarladung und die Avogadrosche 
Konstante. Physik. ZS. 14 (1913), p. 796. Uitvoeriger: Phys. Rev. (2) 2 (1913), 
p. 109. A new Determination of e, A', and related Constants. Phil. Mag. (6) 
34 (1917), p. 1. 



DE ELECTKONENTHEOKIE. 19 

ZOO volkomen mogelijk vlak gepolijste en evenwijdig aan elkaar 
opgestelde metaalplaten A en B. In de plaat A bevinden zich 
eenige zeer kleine openingen, waardoor soms een enkel olie- 
druppeltje naar binnen, tussclien de condensatorplaten, geraakt. 

Dit oliedruppeltje kan eene electrische lading hebben. Is de 
lucht tusschen de platen geïoniseerd, b.v. door er door X Rönt- 
genstralen in te laten vallen, dan zal het oliedruppeltje van tijd 
tot tijd een positief of negatief ion opvangen en dan dus zijne 
lading veranderen. 

Is er geen electrisch veld, dan valt de druppel met een snel- 
heid, die na onmerkbaar korten tijd standvastig wordt. 

Door tusschen A en B een spanningsverschil aan te brengen, 
kan men de snelheid grooter of kleiner maken, of ook den 
druppel doen stijgen of zwevend houden i). 

De beweging van den druppel, die door eene voor L geplaatste 
lamp verlicht wordt, wordt met een microscoop met kruisdraden 
waargenomen, en de tijd gemeten, dien de druppel noodig heeft 
om den weg tusschen twee draden af te leggen. 

Wat kan nu uit die beweging worden afgeleid? 

Noemen wij : 

Massa van den druppel m 

Dichtheid van den druppel s 

Wrijvingscoëfficiënt der lucht .... 7/ 
De weerstand, dien de druppel bij de 

snelheid v ondervindt zij av 

Het electrische veld (naar boven positief 

gerekend) E 

Bij het vallen van den druppel onder de werking van de 
zwaartekracht alleen {E = 0) geldt : 

m (j = a V 

of -y = — —] (lo) 

bij het stijgen onder den invloed van het electrische veld E: 

'J Terwijl tusschen A en B het electrische veld is aangebracht, vangt de 
druppel bijna nooit een ion ; wel is dit laatste het geval als er geen electrisch 
veld is. 



\ 



20 DE ELECTRONENTHEORIE. 



e E — m g := a v' 



01 V = -^ (16) 

a 



Dus: 



e = -^(v-hv') (17) 



Met behulp van deze vergelijking is de electrisclie lading e 
van den druppel af te leiden. Daartoe maken wij voor den 
•weerstandscoëfficiënt « gebruik van de wet van Stokes: 

« r=: 6 TT 7/ a (18) 

Uit deze formule en (15), waarin voor het geval dat van den 
opAvaartschen druk van de lucht, die nog in den toestel aan- 

4 

wezig is, wordt afgezien, m^=^—'7rw>s te stellen is, kan men 

a en « berekenen. 

Daartoe is de wrijvingscoëfficiënt ij van de lucht door Millikan 
riog eens opzettelijk bepaald. 

Wij kiezen als voorbeeld uit de door hem medegedeelde waar- 
nemingen de volgende: 

Een druppel doorliep steeds een afstand van 1,021 cm. : bij 
het vallen in 11,88 sec, bij het stijgen in 140,565 sec. 

7; = 0,000 1824 ; s' = 0,9100 — 0,0013 =i 0,9186 i) 

Uit (15) en (18) berekent men dan: 

a = 0,000 280 en log « = 3,9830 — 10. 

De afstand der platen Avas 1,6 cm., het potentiaalverschil 
5085 Volts. Hieruit volfft: 



'^i' 



,, 5085.108 1 ,.„ 

Dan volgt uit (17): 

cr= 84,5 X 10'^^ electrostat. eenheden. 



' I Hier is van de diclitlicid s de diclithcid der lucht afgetrokken ten einde met 
den opwaartsclien druk rekening te houden. 



DE ELECTRONENTIIEORIE. 21 

Nadat de lading van den druppel veranderd was, werd waar- 
genomen dat de voor het stijgen benoodigde tijd bedroeg 79,60 sec. 
Toen was dus v' = 0,0128, waaruit verder volgt : e = 89,5 X lO-io. 

De verandering der lading heeft dus bedragen 5,0 X 10~io, 

Vergelijken wij deze uitkomst met de lading van een een- 
waardig elektrolytisch ion, die wij in § 7 berekend hebben. Wij 
vonden daar 4,6 X lO-i"^, waarbij op te merken is, dat wij, ten- 
einde zeker te zijn dat de aldaar berekende grootheid uit waar- 
nemingen van geheel anderen aard is afgeleid, voor het getal 
van AvoGADRO de waarde hebben gekozen, die Planck uit de 
theorie der straling heeft afgeleid. Aangezien laatstgenoemde 
waarde eenigszins onzeker is, kunnen wij de twee waarden als 
samenvallend beschouwen, en besluiten wij dus dat in het be- 
schouwde geval de verandering van de lading van den oliedrup- 
pel gelijk was aan de lading van een een waardig electrolytisch ion. 

Een ander maal was de snelheid bij het stijgen eerst 0,0131 
en na verandering van e 0,0241. De verandering der lading is 
toen twee maal zoo groot geweest als zoo even, want de ver- 
andering in de stijgsnelheid was nu 0,0110, en in het vorige 
geval 0,0055. 

De geheele reeks waarnemingen, die met dezen zelfden druppel 
gedaan zijn, levert de volgende veranderingen in stijgsnelheid: 
10-^X330, 383, 55, 165, 274, 220, 166, 440, 498, 396, 110. 
Deze veranderingen zijn alle te beschouwen als veelvouden van 
0,0055. De druppel heeft dus telkens een zelfde lading of een 
veelvoud van deze lading gekregen. Millikan berekent uit deze 
geheele waarnemingsreeks e = 4,991 X 10~^^- 

De waarnemingsreeksen gedaan met andere druppels, die dus 
een anderen straal hadden, gaven wel is waar voor e getallen 
van dezelfde orde van grootte, maar deze getallen vertoonden toch, 
duidelijke verschillen, die met de grootte van den straal van den 
druppel in vei'band bleken te staan. 



II. 



§ 9. Wij eindigden de vorige maal met de bespreking van de 
proeven van Millikan, welke aantoonen dat de electriciteit eene 
atomistische structuur bezit, dat er dus eene elementaire lading 
is, waarvan alle ladingen veelvouden zijn. Dit werd afgeleid uit 



22 DE ELECTRONENTHEORIE. 

het feit, dat de stijgsnelheid der oliedruppeltjes telkens met 
eenzelfde bepaald bedrag of een veelvoud hiervan veranderde. 

Intusschen was er vooreerst nog eene moeilijkheid. 

Bij de proeven van Millikax werd n.1. eerst voor de elemen- 
taire electrische lading een des te grooter waarde gevonden, 
naarmate (bij eenzelfden druk van de lucht in den condensator) 
de straal a van het oliedruppeltje kleiner was. Dit is hieraan te 
wijten, dat de formule van Stokes voor den weerstandscoëfficiënt 

« = 6 /r 7; a (IS) 

in het onderhavige geval niet geheel juist is. Bij de afleiding 
van de wet van Stokes is aangenomen, dat het gas, waarin de 
druppel zich beweegt, langs het oppervlak ervan niet glijdt. Dit 
is echter, wanneer de straal van den druppel de grootte van de 
gemiddelde vrije weglengte in het gas gaat naderen, wel het 
geval. Men moet dan aan (18) eene correctie aanbrengen, en wel 
moet in (18) de wrijvingscoëfficiënt ■>] der lucht vervangen wor- 
den door 

V=^Sr' • • • ^1'^^ 

1-4- "^ 

' a 

waarin 7 eene constante is. Doet men dit, dan krijgt men goed 

overeenstemmende waarden. 

Wanneer men uit (18) en (lö), in acht nemende dat 771 = 

4 

-^ n o?' 8, a elimineert en aldus eene waarde van « afleidt, en 
o 

daarna deze waarde in (17) substitueert, dan vindt men e even- 
redig met ;; V2 . 

Hierin moet nu // door ?/' volgens (11>) vervangen worden. 
Noemen wij e^ de waarde, die voor e verkregen wordt wanneer 
op deze correctie niet gelet wordt, dan volgt: 

, ^ '1 



.w(.+ :). 



MiLUK.^N zette in eene grafische voorstelling e 1 s als functie 



DE ELECTKONENTHEORIE. 23 

van — uit, en daarbij bleek, dat de verschillende punten inder- 
daad zeer mooi op eene rechte lijn kwamen te liggen i). 

Uit deze rechte lijn is nu de waarde van e te verkrijgen 

doordat het snijpunt met de as der ordinaten direct de waarde 

i 
van e * doet kennen. 

Hierbij kan nog opgemerkt worden, dat de aldus voor e ver- 
kregen uitkomst niet meer afhankelijk is van de theoretische 
juistheid van den vorm, die voor de correctie is aangenomen. 
De uitkomst kan beschouwd worden als te zijn verkregen door 
eene empirische extrapolatie tot het geval van groote druppels, 
en voor deze is de wet van Stokes nog eens afzonderlijk bewezen. 

Millikan's aldus verkregen einduitkomst is: 

e — 4,774 (+ 0,005) X lO-i» electrost. eenh. 

§ 10. Fletcher 2) heeft nog een tweeden weg gevolgd om aan 
te toonen dat bij de veranderingen in lading, die Millikan's 
oliedruppels ondergaan, eene elementaire lading in het spel is, 
die overeenkomt met de lading van een eenwaardig electrolytisch 
ion. Deze tweede weg heeft het voordeel, dat hij geheel onaf- 
hankelijk is van elke onzekerheid in den weerstandscoëfficiënt «. 

Als men met een electrisch veld van geschikte sterkte den 
druppel zwevende houdt, staat hij niet stil, maar vertoont hij de 
Brownsche beweging. Dit is zelfs eene ideale manier om de 
Brownsche beweging waar te nemen en te bestudeeren, daar de 
zwaartekracht bij deze proef door de werking van het veld ge- 
heel opgeheven wordt. 



') In de latere proeven varieerde Milmkan ook den druk der lucht iu den 
condensator. Daar de in (19) uitgedrukte correctie afhangt van de verhouding 

— , als / de gemiddelde vrije weglengte is, en deze laatste omgekeerd evenredig 
is aan den druk p^ zoo is dan -- te vervangen door waarin nu h eene 

constante is. Voor deze proeven zette Mii.i.ikan dan ook e,^ uit als functie van 

1 
j) a ' 



en vond hiervoor eene rechte lijn. 



*) H. Fi.ETCHKR. A verification of the theory of Brownian niovements and a 
direct determination of the value of Ne for gaseous ionisation. Phys. Rev. 33 
(1911), p. 81. 



24 DE ELECTRONENTHEORIE. 

Stel dat in een bepaalden tijd t de druppel in deze of gene 
richting, b.v. naar rechts (of naar links) op een afstand /J van 
zijn oorspronkelijke plaats is gekomen. 

Men kan J een groot aantal malen meten en het gemiddelde 
der "waarden van /t- opmaken. 

Hiervoor heeft Einstein i) de volgende formule gegeven, waar- 
van de afleiding niet geheel zonder bezwaar is, doch die goed 
uitkomt, en zeer vernuftig gevonden is : 

^=¥/' (20) 

waarin 7"=: absolute temperatuur, iY= aantal molekulen ineen 
grammolekuul (constante van Avogadro), R := gasconstante voor 
een grammolekuul (optredende in de formule p v=z R T). 
Wij leiden uit (17) af: 

^ = ^-'>~^', (21) 

waarin e de elementaire electrische lading is, en <^ v' de veran- 
dering in stijgsnelheid, die het gevolg is van eene verandering 
der lading van den druppel met één elementaire lading. 
Uit (20) en (21) volgt: 

2 RT f 

Hierin is « " weggevallen. Wij leeren dus, onafhankelijk van 
elke onzekerheid in den weerstandscoëfficiënt «, het product Ne 
kennen, wat juist zeer geschikt is om de quaestie uit te maken 
of de elementaire lading al of niet dezelfde is als die van een 
eenwaardig electrolytisch ion. 

Is n.1. ei de lading van een eenwaardig electroh'tisch ion, dan 
kan men uit het electrochemisch aequivalent onmiddellijk het 
product Nci afleiden. 

Fletcher vond iVe = 2,88 X 10^^ (1735 metingen van -^ bij 
9 druppels). Uit de nauwkeurigste bepalingen over de electro- 
lytische afscheiding van zilver volgt iV6,= 2,896 X lO^"*. 



') A. Einstein. Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wiirme 
geforderte Bewegung voii in riihondpn Flüssigkeiten suspendierten Teilchon. Atin. 
d. Phys. (4) 17 (1905), p. 549. Zur Theorie der Brownschen Bewegung. Ann. d. 
Phy8.'(4) 19 (190G), p. 371. 



DE ELECTKONENTIIEORIE. 25 

Hiermede is, onafhankelijk van de kennis van N, bewezen, 
dat men altijd met dezelfde elementaire lading te doen heeft. 

Ofschoon dit alles zeer overtuigend is, heeft het toch zeer 
ernstige bestrijding gevonden, vooral van de zijde van Ehrex- 
HAFT 1). Deze natuurkundige bestrijdt de atomistische structuur 
der electriciteit, beweert in ieder geval dat hij ladingen of ladings- 
veranderingen heeft geconstateerd, die kleiner zijn dan de boven 
genoemde elementaire lading, en die hij daarom subelectronen 
noemt. 

Spreker gelooft intusschen dat er wel niet aan te twijfelen 

valt of MiLLiKAX en Fletcher hebben gelijk. Den volgenden 

keer zal nog op een geheel andere wijze blijken, dat wij met 

het aannemen eener elementaire lading op den goeden weg zijn. 

§ 11. Wij zullen nu met elkander vergelijken de waarde van 
g 

— voor een electron (zie S 6) en die voor een waterstofion. 
m 

De lading van 1,045 X 10 "^ gram waterstof in een electrolyt is 

(§ 7) 0,1 electromagnetische eenheid. Dus voor een waterstofion : 

_L = Q'^ - 9570 

m 1,045X10-5 — ^'-''"- 

De waarde van — voor negatieve electronen 1,77 X 10^ (zie 

m 

§ 6) is 1850 maal zoo groot. Daar nu volgens de voorgaande 

§§ e in beide gevallen hetzelfde is, moet het verschil in de waarden 

g 
van — aan m toegeschreven worden, d. w. z. de massa van een 

negatief electron moet 1850 maal zoo klein zijn als die van een 
waterstofatoom. 

Aan de negatieve electronen zit eigenlijk geen materie meer 
vast. Wel bezitten zij nog eene massa, .die namelijk aan het 
electromagnetische veld, dat zij met zich dragen, te danken is. 

Positieve ladingen worden steeds gevonden gedragen door 
atomen of atoomgroepen. 

Dit laatste kan ook met negatieve ladingen het geval zijn. 
Wanneer zich nl. /j-stralen of kathodestralen in lucht voort- 



') Zie b.v. diens jongste samenvatting: F. Ekrenhakt. Üher die Teilbarkeit 
der Elektrizitat. Ann. d. Phys. 56 (1918), p. 1. 



26 DE ELECTRONENTHEORIE. 

bewegen, dan worden de negatieve electronen ten slotte door 
de atomen gevangen en vormen zij aldus negatief geladen gas- 
ionen. 

In dit verband kan de vraag rijzen: bebben de druppels in 
de proeven van Millikan wel ooit vrije electronen gevangen? 
Of namen zij soms gas-ionen op? 

Hieromtrent is op te merken, dat Millikan behalve met 
oliedruppels ook proeven heeft gedaan met glycerine en met 
kwik. Bij kwik veranderde hij de lading van den druppel door 
er ultraviolet licht op te laten vallen. Bij andere gelegenheid is 
bewezen dat bij het beschijnen van kwik met ultraviolet licht 
electronen van het kwik weggaan, zoodat dus bij deze proeven 
zeker vrije electronen in het spel zijn. Hierbij verkreeg Millikan 
intusschen dezelfde uitkomsten als bij zijne proeven met olie- 
druppels. 

Nog zij hierbij opgemerkt, dat Millikan niet kon werken 
met waterdruppels, maar moest w^erken met stoffen die niet snel 
verdampen, ten einde een zelfden druppel gedurende langen tijd 
te kunnen waarnemen. Zoo was hij b.v. in staat een druppel 
3 uren achtereen in het gezichtsveld te houden. Hij kon dan 
een groot aantal keeren het dalen en weer opstijgen van den 
druppel waarnemen, en de daarvoor verkregen afzonderlijke 
uitkomsten middelen, hetgeen noodig is om den invloed der 
Brown'sche beweging te elimineeren. 

§ 12. Vrije electronen komen ook voor in metalen. Zij zijn 
het wier beweging den electrischen stroom in een metaal vormt. 
Daarentegen zijn de positieve ladingen vast aan de metaalatoraen 
gebonden. De vraag doet zich voor: als in een metaal een elec- 
trische stroom loopt, is er dan zoo iets als stof in beweging? Is 
er dan massa in beweging? 

Als voorbereiding voor de nadere beantwoording dezer vraag 
herinneren wij ons een eenvoudige lesproef, waarbij een verti- 
cale cilinder waarin water is gegoten, om zijne figuuras in 
draaiende beweging wordt gebracht. Men ziet dan, dat l)ij het 
in beweging zetten van den cilinder het water niet dadelijk 
meegaat. Omgekeerd draait na het ophouden der beweging van 
den cilinder het water nog eenigen tijd door, totdat de bewe- 
ging ervan ten gevolge van de wrijving is uitgeput. 

Ten einde dit verder mathematiscli te behandelen, in zooda- 
nigen vorm, dat de uitkomst voor toepassing op het overeen- 



DE ELECTRONENTHEORIE. 



27 



■W 



komstige electrische vraagstuk geschikt is, denken wij het vol- 
gende geval (zie Fig. 8). 

Een buis B, die den vorm van een 
cirkelvormigen ring heeft, is met wa- 
ter gevuld en kan om de lijn, lood- 
recht op het vlak van den ring door 
het middelpunt gaande, wentelen. 

De snelheid van den wand der buis 
zij V, de snelheid van de vloeistof in 
de buis ten opzichte van den wand 
w. Zij de massa van de vloeistof m, 
de weerstand dien de vloeistof bij hare 
beweging ten opzichte van den buis- 

wand ondervindt u iv (« eene constante), waarbij wij beide (massa 
en weerstand) per lengte-eenheid rekenen. 

De beweging van de vloeistof wordt dan bepaald door de 
vergelijking 




Fig. 8. 



m 



dt 



= — aw. 



(22) 



In den tijd dt stroomt door een bepaalde, zich met de buis 
meebewegende doorsnede s van de buis een vloeistofkolom van 
de lengte 



wdt^= d (v -j- w) 

u 



(23) 



Zijn dus de snelheden eerst 'i^i,iüi, en later v.2,iü-2, dan is in 
den tusschentijd een kolom van de lengte 



m 



« 



[_{v-i + iv.2) - {V, + w^)-\ (24) 



doorgestroomd. 

Stel nu dat de buis zich eerst eenigen tijd met de standvas- 
tige snelheid u beweegt en dan plotseling in rust wordt gebracht. 
Dan is eerst Vi = m, wi =^0\ later (als ook de vloeistof in rust 
is gekomen) is ü2 = O, w-i -— 0. Dan volgt uit (24) voor de lengte 
van de doorgestroomde kolom 



m 



« 



u 



(25) 



28 DE ELECTRONENTIIEORIE. 

§ 13. Wij beschouwen nu een cirkelvormige draadwinding, 
die plotseling in draaiende beweging wordt gezet om een as 
loodrecht op haar vlak en gaande door het middelpunt. De vrije 
negatieve electronen zullen dan tijdelijk wat bij den draad 
achterblijven. Wordt de draad winding daarna weer stilgezet, 
dan zullen de electronen even doorschieten. 

Dit constitueert een kortstondigen electrischen stroom. Immers, 
elke relatieve beweging van de electronen ten opzichte van het 
metaal hebben wij als een electrischen stroom op te vatten. 

Wij kunnen de uitkomst verkregen in (25) op dit geval toe- 
passen. Zij het aantal bewegelijke electronen in de lengte-eenheid 
van den draad ii. In (25) moet dan m door nm vervangen 
worden (m = massa van één electron). De gezamenlijke lading 

dier electronen in een deel vaji de lengte u is dan de hoe- 

« 

veelheid electriciteit, die bij het plotseling tot rust brengen van 

den draad door een doorsnede vloeit, d. w. z. de sterkte i van 

den kortstondigen electrischen stroom. Deze wordt dus: 

nm n^em «^^^^ 

izzzne . u = u (2d) 

« « 

De weerstand van den kring, in den gewonen zin van het 
woord, is i) 

2 TT a « ,n7x 

als a de straal van den kring is. Uit (27) on (26) volgt: 2) 



') Men vindt deze lictnkkiiig- als volgt: Voor de vrije electronen in de lengte- 
eenheid van den draad geldt: 

E il e =■ n «', 

als E de electrisclie kracht (= het potentiaalverval) voorstelt. Deze electrische 
kracht zou aanleiding geven tot een constanten electrischen stroom /, waarvan 
de grootte bepaald wordt door: 

l = W H <i := /'/ . . 



Hieruit volgt voor den weerstand per lengte-eenheid ,'., , en dus voor den ge- 

heelen draad de uitdrukking (27). 

*) Ter vereenvoudiging is in den tekst uict ges])roken van de zelfinductie. 
Zooals men weet is de kracht die tengevolge daarvan op de electriciteitseenheid 



DE ELECTRONENTHEORIE. 



29 



2 TT a w 



m 






(28) 



Deze formule geldt ook als men de enkele draadwinding ver- 
vangt door een draadklos, mits dan ook 2 tt « vervangen wordt 
door de gezamenlijke lengte der wendingen. Dit zou echter als 
de klos kort gesloten was geen voordeel opleveren, daar de weer- 
stand r in dezelfde reden vergroot wordt als de lengte. 

Wel wordt door een grooter aantal windingen het effect ver- 
groot als in de keten een galvanometer is opgenomen. Dan moet 
nl. in den weerstand r de weerstand van den galvanometer mede 
begrepen worden. Het is duidelijk dat dan bij vergrooting van 
het aantal windingen de totale weerstand r niet in dezelfde mate 
toeneemt als de gezamenlijke lengte der windingen. 

Het hier besproken verschijnsel is waar- 
genomen door Tolman en Stewart i). Zij 
lieten (Fig. 9) een klos K, bestaande uit 600 
windingen door middel van een motor om 
een verticale as ronddraaien. De klos werd 
vervolgens plotseling geremd. De daarbij 
optredende stroom werd door twee draden 
d naar een galvanometer geleid. Deze draden 
waren, ten einde een sleepcontact te vermij- 
den, naar boven zeer lang, zoodat zij zich 
bij de draaiing om elkander heen konden 
wikkelen. 

Verder moest op de volgende foutenbron gelet worden. Bij 
het wentelen wordt het door de -windingen omsloten oppervlak 
ten gevolge van de centrifugaalkracht iets vergroot. Bij het 
remmen van den klos trekken zij zich weer samen en daarbij 
doet het magnetisch veld der aarde een inductiestroom ontstaan, 




Fig. 9. 



werkt, evenredig met de afname per tijdseenheid van de stroomsterktc. Deze laatste 

wordt door de relatieve snelheid lo van de electronen ten opzichte van den draad 

bepaald en men moet dus in het tweede lid van (22) als wij die vergelijking 

dw ^ 
op de electronen toepassen, een term — /. — —- toevoegen, waarin / een 

((• t 

constante is. Bij de bewerking die tot de uitkomst (26) heeft geleid, verdwijnt 
echter die term. 

') R. C. Tolman and T. D. Stkwaht. The electromotive force produced by 
the acceleration of metals. Phys. Rev. (2) 8 (1916), p. 97. Proc. Am. Nat. Ac. 
3 (1917), p. r>8. 



30 



DE ELECTRONENTHEORIE. 



die van dezelfde orde van grootte bleek als het gezochte effect. 
Het ontstaan van dezen inductiestroom werd verhinderd door 
de verticale component van het aardraagneetveld te compen- 
seeren. 

De door Tolman en Stewart verkregen resultaten zijn zeer 
bevredigend. De richting van den stroom was zoo als zij bij 
bewegelijke negatieve electronen moet zijn. Voor m werd bij koper, 

1 1 1 



aluminium en zilver 



en 



van de massa van 



(5V Qö 



1660 ' 1590 "" 1540 
een waterstofatoom gevonden, waarden die alle iets grooter zijn 
dan de vroeger (§ 11) gevonden waarde, 

§ 14. Wij brengen nu aan de in § 12 genoemde buis deze 

verandering aan (zie Fig. 10), dat 
zij slechts langs een deel van den 
cirkel (bijna den geheelen cirkel) 
loopt, van de uiteinden A en B 
daarvan naar punten C en D op de 
as, nabij het middelpunt, en van C 
en D in tegengestelde richting langs 
de as, C P en D Q., De buis P C A 
B D Q zij geheel met water gevuld. 
Wij denken nu dat dit water in be- 
weging wordt gebracht door krachten 
die werken in een der rechte deelen 
C P en D Q. Dan krijgt de vloeistof 
in het cirkelvormig deel een moment 
van hoeveelheid van beweging ten 
opzichte van de as. 

Wij herinneren ons nu de stelling uit de mechanica, dat indien 
op een stelsel geen krachten werken die een moment hebben 
ten opzichte van een as, het totale moment van de hoeveelheid 
van beweging van het stelsel met betrekking tot die as onver- 
anderd blijft. 

Hieruit volgt dat de buiswand een even groot moment van 
hoeveelheid van beweging moet krijgen als de vloeistof, doch in 
tegengestelde richting. 

Is l de lengte van het cirkelvormige deel, a de straal, v de 
snelheid der vloeistof, en is m weer de massa van de vloeistof 
per lengte-eenheid van de buis, dan is dat moment van hoeveel- 
heid van beweging: 




Fig. 10. 



DE ELECTRONENTHEORIE. 31 

M=lmav '(29) 

Als de kring bijna gesloten is: 

M=2 7Ta^mv (30) 

De buis zal dus even, in eene ricbting tegengesteld aan die 
van de beweging van het water, gaan draaien. Slechts even, 
omdat die beweging door de wrijving wordt uitgeput. 

Men kan dit verschijnsel gemakkelijk demonstreeren als men 
een glazen buis, die tot een spiraal is gewonden, en waarvan de 
uiteinden als in Fig. 10 in de as van de spiraal zijn gebracht, 
met de as verticaal bifilair ophangt, met water vult en dit dan 
door het openen van een klemkraan plotseling laat uitstroomen. 

Daarbij is het gewenscht, dat het bovenste uiteinde van de 
buis tot een reservoir is verwijd, of onder een trechter is ge- 
plaatst, opdat gezorgd kan worden, dat het vloeistofniveau niet 
onmiddellijk het gewonden gedeelte van de buis bereikt. 

§ 15. Op soortgelijke wijze als de buis van de vorige § zal 
een cirkelvormige winding, als er een electrische stroom in ont- 
staat, een moment van hoeveelheid van beweging krijgen, dus 
plotseling in wenteling gebracht worden. Tusschen de stroom- 
sterkte i en de snelheid v der electronen bestaat het verband 

iznnev, (31) 

als n weder het aantal vrije elektronen per lengte-eenheid is. 

Uit (30) vinden wij nu, m door n m vervangende, zoodat m 
hier de massa van een electron is : 

■j «vil 

M=27ra^nm . = 27r aH. (32) 

ne e 

De cirkelvormige stroom i werkt naar buiten als een vlakke 
magneet, waarvan het magnetisch moment gegeven wordt door 

jx =z 71 a"i, (33) 

als i in electromagnetische eenheden is uitgedrukt, hetgeen wij 
dan ook van e zullen onderstellen. 

Uit (32) en (33) volgt dus de mooie betrekking: 

M = 2fi-^ (34) 

In deze betrekking tusschen het moment van hoeveelheid van 



32 UE ELECTKOXENTHEORlIi. 

beweging, lietwelk de winding verkrijgt, en het ontstane mag- 
netisch moment, treedt het aantal der rond'loopende electronen 
niet meer op. De formule geldt ook voor een draadklos. 

Deze proef, waarbij dus een draadklos bij het ontstaan of 
ophouden van een electrischen stroom in beweging moet gera- 
ken, is nog niet gelukt. Wel hebben echter Einstein en de 
Haas 1) aangetoond, dat -een staafje ijzer, dat om zijn as kan 
wentelen, in beweging wordt gebracht als het in de richting van 
de lengte gemagnetiseerd wordt. Men heeft hier met de mole- 
kulaire stroomen van AMriiRE te doen, en mocht men aannemen 
dat deze bij het magnetiseeren ontstaan, dan zou men, als ook 
de molekulaire stroomen in een rondloopen van negatieve elek- 
tronen bestaan, in het wezen der zaak hetzelfde als het zooeven 
besproken geval hebben. In werkelijkheid is er dit onderscheid, 
dat in het ijzer bij het magnetiseeren geen electrische stroomen 
ontstaan; de molekulaire stroomen van Ampère zijn reeds van 
te voren aanwezig, zij worden alleen l)ij liet magnetiseeren min 
of meer gelijk gericht. Intusschen beantwoordt aan het magne- 
tisch moment dat hierdoor ontstaat een daaraan evenredig mo- 
ment van hoeveelheid van beweging, terwijl er eerst, toen al de 
magnetische momenten der molekulen elkaar ophieven, geen 
resulteerend moment van hoeveelheid van beweging was. Men 
gevoelt dus dat de betrekking (34) van toepassing blijft -). 

Bij deze proef waren vele moeilijkheden te overwinnen. Niet- 
tegenstaande dat gelukte het niet alleen Einstein en de Haas 
het verwachte effect te constateeren, maar zij slaagcïen er zelfs 

c 
iii met behulp van (34) voor de waarde 1,8X10' te ver- 

^ m 

krijgen, welke waarde met de in § 7 gevondene zeer bevredigend 

overeenstemt. Hieruit kan wel besloten worden dat het dezelfde 

electronen als de aldaar beschouwde zijn, die in de molekulaire 

stroomen van Ampisre rondloopen en aldus het magnetisme 

veroorzaken. 

§ 16. Een tegenhanger van het door Einstein en de Haas 



') A. EiNSTi;iN f-n \V. ,1. di-: Haas. PruefoTKlerviDdelijk bewys voor het bestaau 
der moleculaire stroomen van Ami'I':ki:. Yersl. K. Ak. van Wet. Amsterdam 23 
(l".il.">), )). 144'J. AV. J. DK Haas. Verdere i)roeven over het iu een magneet aan- 
wezige moment van hoeveelheid van beweging. Versl. K. Ak. van Wet. Am- 
Bterdam 24 (ISHó), p. (J.'iS. 

^) Zie het aanhangsel onder 1. 



DE ELECTRONEXTHEORIE. 33 

waargenomen verschijnsel is een proef gedaan door Barnett i). 
Deze vond namelijk dat een eerst onmagnetische ijzeren cilinder 
gemagnetiseerd wordt als hij om de as in wenteling gebracht 
wordt, en dit blijft, zoolang de beweging duurt. 

Denken wij deze proef uitgevoerd met een diamagnetisch 
lichaam, dan hebben wij een geval dat analoog is aan het in 
§§ 12 en 13 besprokene. Van de eigenschappen van diamagne- 
tische lichamen geeft men zich nl. rekenschap door aan te nemen 
dat rondom de deeltjes ervan electronen in bepaalde voorgeschre- 
ven banen kunnen rondloopen. Bestaat eerst zoodanige beweging 
nog niet, dan zal zij bij het aanzetten van een uitwendig mag- 
netisch veld door een inductiewerking worden opgewekt, zoodat 
het lichaam een magnetisch moment krijgt. Ondervinden nu de 
electronen geen weerstand, dan zullen de kringstroomen en het 
magnetisch moment blijven bestaan, tot dat het uitwendige 
magnetische veld wordt opgeheven. Dan heeft een nieuwe induc- 
tiewerking plaats, die de rondloopende beweging der electronen 
tot staan brengt. 

Het is nu duidelijk wat de invloed van een wentelende be- 
weging van het geheele lichaam zal zijn. Bij het ontstaan der 
draaiing blijven de electronen in hun kringvormige banen achter; 
m. a. w. zij krijgen, ten opzichte van het lichaam, een omloops- 
snelheid in die banen. Deze relatieve omloopssnelheid — en de 
daardoor teweeggebrachte magnetisatie — , blijft bestaan tot het 
lichaam in rust wordt gebracht. Wij merken hierbij op dat, als 
in het geval van § 12 « =: O was, de door het in beweging 
brengen of stilzetten van de buis opgewekte vloeistofstroom 
steeds zou voortduren ; evenzoo zou de electrische stroom bij de 
proeven van Tolman cuStewart blijven rondloopen, als r = was. 

Voor een ferro-magnetisch lichaam als ijzer, of een paramag- 
netisch lichaam is de voorstelling, die wij ons van het verschijnsel 
moeten maken, ingewikkelder. Toch kan men eene theorie ont- 
wikkelen, die zoowel voor deze als voor de diamagnetische 
lichamen geldig is. 

Men kan n.1. de volgende algemeene reciprociteitsstelling be- 
wijzen -). 

,Wanneer het ontstaan van een magnetisch moment /x in een 



') S. J. Bai:n-i:tt. Magnetization by rotation. Phys. Rev. (2) B (1915), p. 239. 
') Zie het aanhangsel onder 2. 

3 



34 DE ELECTRONENTHEORIE. 

lichaam, in de richting van een lijn h, aan het lichaam een 
koppelstoot a « om de lijn h geeft, dan veroorzaakt een hoek- 
snelheid s om h dezelfde magnetisatie in het lichaam als 
een volgens h gericht magnetisch veld — « s er in zou op- 
wekken. 

Barxett heeft werkelijk bij zijn proeven een magnetisch 
effect van de rotatie van de goede orde van grootte verkregen. 

Volgens de theorie had bij zijn proeven door de rotatie dezelfde 
magnetisatie moeten zijn opgewekt als door een magnetisch veld 

van 2,8 X 10-^ gauss, d. i. ongeveer -T^rpr^ van de horizontale 
' o ' o boUu 

intensiteit van het aard magneetveld hier te lande, kan worden 
teweeggebracht. In werkelijkheid verkreeg Barnett slechts on- 
geveer de helft van deze magnetisatie. 

Barnett stelde zich nog de vraag of misschien het aardmag- 
netisme een gevolg is van de aswenteling der aarde. Het ant- 
woordt hierop luidt ontkennend. Het aardmagnetisme zou, als 
het dezen oorsprong had, slechts 2 tienduizendmilhoensten van 
de werkelijke grootte hebben. 

§ 17. Proeven van Richardson i). Een verhit metaal zendt 
voortdurend geladen deeltjes uit, veelal zoowel positieve als nega- 
tieve, maar bij voortgezette verhitting in het vacuüm ten slotte 
alleen negatieve electronen. Men kan zich voorstellen, dat dit 
de vrije electronen in het metaal zijn, die aan de warmtebe- 
weging deelnemen en dientengevolge uit het metaal ontwijken. 

Richardson heeft de snelheden 
dier uitgezonden electronen geme- 




ten. Tegenover het verhitte metaal- 

^ plaatje A (Fig. 11) staat een tweede 

jp{„ jj daaraan evenwijdige metaalplaat JB, 

die met een electrometer verbonden 
is. Uit de snelheid waarmede de stand van dezen laatsten ver- 
andert, kan men afleiden hoeveel electronen in zekeren tijd B 
bereiken. Men kan dit doen, terwijl tusschen A en B een po- 
tentiaalverschil is aangebracht. 



') O. W. Richardson and F. V. Brown. The kinetic energy of the negative 
electrons emitted hy hot bodies. Phil. Mag. (6) 16 (1908), p. 353. O. W. Ri- 
chardson. The kinetic energy of the ions emitted by hot bodies. Phil. Mag. 
(0) 16 (1908), p. 890; (G) 18 (1909), p. 6S1. 



DE ELECTRONENTHEORIË. 35 

In dit geval zullen, wanneer A een hongeren potentiaal heeft 
dan B, en de electronen dus een naar A gerichte kracht onder- 
vinden, niet alle van A vertrekkende electronen B bereiken. Zij 
zullen in het algemeen parabolen beschrijven; voor electronen 
met kleine snelheden zal de top dier parabool tusschen A en B 
liggen, d. w. z.^deze electronen zullen wepr naar ^ terugkeeren. 

Noemen wij de potentialen van A en B <pa en cpi, en zij 
<Pa > <Pb' De electronen kunnen B alleen dan bereiken als de 
component v volgens de loodlijn op ^4 van de snelheid waarmee 
zij die plaat verlaten, een voldoende grootte heeft. Het aan die 
component beantwoordende arbeidsvermogen van beweging 

-^mv- moet grooter zijn dan de arbeid die noodig is om de 

genoemde kracht over den afstand der platen te overwinnen, 
n.1. e {(pa — *ifó). Men kan dus bepalen voor hoeveel van de uit- 
gezonden electronen 



1 /^2e((jpa — qpb) 



v>[/ tl^lt^^ïlL. (35) 

is. Door dit bij verschillende potentiaalverschillen te doen, kan 
men nagaan hoe de verschillende snelheden over de electronen 
verdeeld zijn. Richardson vond dat hier dezelfde regel geldt 
als voor gasmolekulen (wet van Maxwell) en dat de gemid- 
delde kinetische energie f even groot is als die van een gas- 
molekuul bij dezelfde temperatuur. Zijn uitkomst is (met vrij 
groote afwijkingen) 

iVe = 12,3 X 107 T (N constante van Avogadkg) 

terwijl voor een gas 

Ne = ~ RT= 12,4 X 10^ T 

is. 

De stroom van negatieve electronen uitgezonden door een 
verhit metaal, of de thermionische stroom, zoosds hij door Richard- 
SON genoemd is, kan gemakkelijk aangetoond worden met be- 
hulp van een toestelletje, audion genaamd, dat in den laatsten 
tijd als detector of als geluidsversterker bij de radio-telegrafie 
gebruikt wordt. Het bestaat (Fig. 12) uit een gloeilamj) waarin 
behalve de electroden voor den gloeidraad nog twee hulpelec- 



36 



DE ELECTRONENTIIEORIE. 



d 




troden zijn aangobraclit: c en d, beide plaatjes, waarvan c met 
openingen voorzien is i). Bij de volgende j)roef doet slechts een 
dezer hulpelectroden dienst, 1)V. c. 

Terwijl wij door c b een stroom zenden die den 
draad tot gloeien brengt, schakelen wij bij de eerste 
proef tusschen a en c een galvanometer, ]>[} een 
tweede j)roef tusschen h en r (Fig. 13 a en b). 

Onderstellen wij dat in den gloeidraad de stroom 
loopt van a naar b. Daar het gas tusschen a b en 
<• geïoniseerd is, zal door den galvanometer een 
aftakstroom loopen in de richting van de pijl met 
enkele spits. Verder bewegen zich electronen vanaf 
a b Tiaar c, aangegeven door de gebroken })ijltjes. 
Deze vormen een thermionischen stroom in tegen- 
gestelde richting, aangegeven door de pijlen met dubbele spits. 
Bij de schakeling van Fig. 13o ondersteunen aftakstroom en 



n 



a 



b 
Fig. V2. 





Fig. \3u. 



Fiff. Vi/j. 



thermionische stroom elkaai- in den galvanometer, in Fig. ISb 
verzwakken zij elkander, liet halve verschil, of de halve som, 
der uitslagen van den galvanometer in de twee trevallen is een 
maat voor den therniionischen stroom. 

§ IS. Wij zullen in deze § nog eens in lieriiuiering brengen 
de theorie van Dijroi: -') over de geleiding van warmte en elec- 
tri<'iteit in metalen. 



') I)f liiil|M'l(;i-troilni kunnen «xik andere vornu-n hebben. 

») V. 1)1111)1.. Ziir Klektroncntlinirir dir Metiillc Aini. .1. IMiys. (4) 1 (19ÜÜ), 



|i. .'»•;(;; ( 1 :; (Iïmioi. p .".c'.i 



DE ELECTRONENTHEORIE. 37 

Volgens deze theorie bewegen zich in een metaal vrije elec- 
tronen met zoodanige snelheden, dat de gemiddelde kinetische 
energie van een electron gelijk is aan de gemiddelde kinetische 
energie van voortgaande beweging van een gasmolekiml, te weten 

2N ' 
Wij noemen u de hieraan beantwoordende snelheid, zoodat 

is, en nemen ter vereenvoudiging met Drude aan dat alle elec- 
tronen zich met deze snelheid u bewegen. 

Zij het aantal vrije electronen per volurae-eenheid : n. 

De electronen botsen telkens tegen een metaalatoom. Zij de 
gemiddelde vrije weglengte tusschen twee opeenvolgende bot- 
singen l. 

Evenals in de kinetische gastheorie reeds door Clausius werd 
afgeleid, is dan het geleidingsvermogen voor warmte i) : 

Rnlu 



(ï 



W .1 UT 

2 N 



(37) 



Beschouwen wij nu het geleidings vermogen voor electriciteit. 
Tusschen twee achtereenvolgende botsingen van een electron 

verloopt gemiddeld een tijd — . In dien tiid brengt een elec- 

trische kracht E een snelheid 

eEl 



m u 



voort. Op een bepaald oogenblik is de gemiddelde stroomsnel- 
heid der electronen in de richting van de electrische kracht 

eEl 

2 m u 

Dit is n.1. de helft van het zoo even genoemde bedrag. Im- 
mers, van de electronen hebben sommige pas even te voren 

') Zie b.v. L. Boltzmann, Vorlesungen über Gastheorie 1, Leipzig 1896, § 11, 
in het bijzonder verg. (8(i). Voor eene afieiiliiig, waarbij met de snelheidsverdee- 
ling volgens Maxwell is rekening gehouden zie men H. A. Loijkntz. The theory 
of electrons. Leipzig 1909, § öO, 



38 DE ELECTROXENTHEORIE. 

gebotst, andere zijn bijna aan het eind van hun vrijen weg; de 
eerste hebben nog slechts een geringe snelheid door de werking 
van E verkregen, de laatste bijna het geheele eindbedrag; ge- 
middeld hebben de electronen de helft hiervan gekregen. 
De electrische stroom is dan 

e El _e^Enl ._, 

_ .ne — -^ (38) 

Imu 2mu 

of, volgens (36) 

Ne'^Enlu ,_, 

WR~^~ ^^^^ 

Daaruit volgt voor het geleidingsvermogen voor electriciteit 

Ne-nlu ,.^, 

"' = ^ëRT- <'"» 

Het mooie van deze theorie van Drude is vooral hierin ge- 
legen, dat zij de wet van Wiedemann en Franz levert. Be- 
schouwen wij n.1. de verhouding tusschen de beide geleidings- 
vermogens. 

Deze verhouding zou dus bij dezelfde temperatuur voor alle 
metalen dezelfde zijn (wet van Wiedemann en Franz). In het 
bijzonder volgt hieruit dat goede geleiders voor warmte ook 
goede geleiders voor electriciteit zijn en omgekeerd. 

Verder blijkt dat -^ evenwijdig zou moeten zijn met T. Ook 

dit is vrijwel het geval, zooals blijkt uit de volgende tabel, die 
ontleend is aan metingen van Jaeger en Diesselhorst i). 



') W. jAKdi'R und H. DiESSEi.iiousT. Wiiniieleitung, Elektricitiitsleitung. 
"Warmtecai)acitat und Thermokraft einiger ^i'talle. AViss. Al)li. d. Pliysik.-Techii. 
Reichsanstalt, 3 diMJOj, p. 269. 



DE ELECTRONENTHEORIE. 39 





(fw 








Ge 








18° C. 


100° C. 
8,48.1010 


verhouding. 


^^(99%) 


6,36.1010 


1,33 


Cu 


6,71 


8,74 


1,30 


Ag 


6,86 


8,85 


1,29 


Au 


, 7,09 


9,14 


1,29 


Ni (97%) 


6,99 


9,10 


1,30 


Zn 


6,72 


8,71 


1,30 


Cd 


7,06 


9,09 


1,29 


Pb 


7,15 


9,38 


1,31 


Sn 


7,35 


9,29 


1,26 


Fe (0.1 % C) 


8,02 


10,65 


1,33 


Bi 


9,64 


10,80 


1,12 


daad blijkt de 


verhouding 


van de waarde van — ^ 

<7e 



bij 

100" C. tot die bij 18° C, behalve bij Bi, vrijwel gelijk te zijn aan 
de verhouding der absolute temperaturen : 373,1 : 291,1 = 1,28^. 
Ook de absolute waarde komt redelijk uit. Voor zilver . bij 
18° C. is b.v. gevonden de waarde 6,86 X IQio (zie boven), waarbij 
intusschen Og is uitgedrukt in electromagnetische eenheden. 
Drukken wij, .zooals in (41) ondersteld is, a^ in electrostatische een- 
heden uit, dan wordt — = 6,86 X 10^ : 9 X lO-O = 7,6 X lO-i^. 

^e 

Verg. (41) geeft 7,2 X lO-n. 

Bij bismuth intusschen, en nog meer bij sommige legeeringen 
komt de theorie niet uit. Dit, en vooral ook het gedrag bij lage 
en uiterst lage temperaturen maakt dat in de theorie der vrije 
electronen in metalen nog groote moeilijkheden te overwinnen zijn. 

III. 

§ 19. Wij zullen dezen keer nog beschouwen enkele zaken 
van recenten datum, die meer of minder met de theorie der 
electronen in verband staan, met name de theorie der quanta 
en de relativiteitsmechanica. 

In de eerste plaats de theorie der energie-elementen of quanta. 
Reeds lang vormde een groote moeilijkheid in de theorie der 
straling van licht en warmte het antwoord op de vraag: waarom 



40 DE ELECTROXEXTHEORIE. 

straalt een metaal b.v. bij 100° C. of bij kamertemperatuur geen 
licht uit? Bij 100° C. is toch de absolute temperatuur niet zoo 
buitengewoon veel lager dan bij 500° C, waarbij eene aanmerke- 
lijke hoeveelheid licht wordt uitgestraald. Bewezen kan dan ook 
worden dat, wanneer bij het verschijnsel der straling de gewone 
wetten der mechanica en electrodj^namica zouden gelden, een 
metaal bij kamertemperatuur een weliswaar zwak, maar toch 
zichtbaar licht zou moeten uitstralen. Intusschen is daarvan 
geen spoor aanwezig. 

Om hiervan, in 't algemeen om van de verschijnselen der 
warmtestraling rekenschap te geven, heeft Planck i) ondersteld 
dat in de stralende lichamen vibratoren aanwezig zijn, die de 
energie slechts in bepaalde eindige hoeveelheden met de overige 
in het lichaam aanwezige deeltjes kunnen uitwisselen en ook 
slechts in diezelfde hoeveelheden, „quanta", kunnen uitstralen. 
Het energiequantum moet evenredig met de frequentie v van 
den vibrator (aantal trillingen per seconde) gesteld worden, en 
kan dus worden voorgesteld door 

hv. 
Voor de constante vindt Planck 2) 

/i = 6,415 . 10-2' 3) 

(steeds C. G. S. -eenheden). 

Men kan zich voorstellen dat licht van de frequentie v nooit 
anders dan met een energie, gelijk aan het quantum h v of een 
veelvoud daarvan ontstaat. 

Dit is direct bevestigd door proeven van Franck en Hertz ^). 
Zij brachten in kwikdamp ionen voort, die zij met behulp van 
een electrisch veld voortdreven. Deze ionen verkrijgen dan 
een arbeidsvermogen van beweging gelijk aan den arbeid dien 



') M. Planck. Ueber das Gesetz der Energieverteilung iiu yormalspektrum. 
Ann. d. Phys. (4) 4 (1901), p. 003. 

*) M. Pi.ANCK. Vorlesungcn über die Theorie der Würmestrahlung. 2te Aufl. 
Leipzig 1913, § 1(52. 

' ) R. A. ^fii.LiKAN, Physik. Z. S. 17 i^l916), p. 217 vindt uit photo-electrisclie 
verschijnselen: // = 6,57 . K»-"; F. C. Blake en W. Dlane, Phys. Rev. (2) 10 
(1917), p. G24, uit het voltage noodig om een bepaalde karakteristieke Rüntgen- 
lijn op te wekken: /i = 6,5ó.ó . 10-". 

*) J. FuANCK und G. Hertz. Cber die Erregung der Quecksilberresonanz- 
linie 253.6 uu durch Elektroncnstösse. Verh. D. physik. Ges. 1») tl914), p. 512. 



DE ELECTRONENTH^ORIE. 41 

• 

het electrische veld op hen verricht, en die berekend kan 
worden uit hunne lading en het potentiaalverschil dat zij door- 
loopen hebben. Is nu dit potentiaalverschil groot genoeg, dan 
gaat de kwikdamp stralen. Dan hebben de ionen zoodanige 
snelheden verkregen, dat zij door hun stooten tegen de kwik- 
atomen deze aan het uitstralen brengen. Het daartoe vereischte 
doorloopen potentiaalverschil bedraagt 4,9 volt, de golflengte 
van het uitgestraalde ultraviolette licht 2,536 X iO~^ cm. Bij 
4,9 volt is de kinetische energie van het ion, als het de elemen- 
taire lading heeft, 

4,77 X 10-10 X Y^^Qio = '>S X 10-1-^. 

Het energie-quantum hi' is voor de genoemde golflengte 

6,41 5 X 10-^^ X ,s3fxiO-^ ='-'X !"-"')■ 

Uit deze overeenstemming blijkt dus, dat het ion bij de botsing 
al zijn energie aan het atoom afstaat, en dat het atoom deze 
energie uitstraalt. Hoe het atoom daarbij in staat is de uit- 
gestraalde energie juist op een vol quantum af te passen vormt 
voor onze voorstelling nog een groote moeilijkheid. 

§ 20. Wij komen nu tot de onderzoekingen van Bohr, die 
hem in staat gesteld hebben rekenschap te geven van de structuur 
van verschillende lijnenspectra. 

Dat de lijnen in het spectrum van een element op eene 
bepaalde wijze met elkander samenhangen is het eerst door 
Balmer ~) gevonden. Deze vond n.1. dat de golflengten /. der 
lijnen van het waterstofspectrum voldoen aan de betrekking 

/. = 3,64720X10-5 /^ , (42) 

p^ — 4 

waarin voor p de reeks der opvolgende natuurlijke getallen, 
te beginnen met 3, te substitueeren is. De overeenstemming 
blijkt b.v. uit de volgende tabel: 



') Nemen wij k = 6,56 . 10-" (p. 40 noot 3), dan vindt men hier 7,8 x 10-'". 
*) J. J. Bai.mer. Notiz über die Spektrallinien des "Wasserstoffs. "Wied. Ann. 
25 (1885), p. 80. 



42 DE ELECTRONENTHEORIE. 



p 


l gemeten 


l berekend 


3 


6,5650 


6,5650 


4 


4,8629 


4,8629 


5 


4,3420 


4,3419 


6 


4,1031 


4,1031 


9 


3,8308 


3,8367 


12 


3,7513 


3,7514 


16 


3,7048 


3,7051 



Inderdaad is de overeenstemming zeer nauwkeurig. Men kan 
zeggen, dat bijna geen enkel ander physisch verschijnsel zoo 
exact door eene formule wordt weergegeven als dit. 

Men kan de formule brengen in den vorm 



(^-^) '-) 



Daarin is 

^= 3:647^ = -^'29 X 10- 

Yoor andere elementen zijn daarna dergelijke formules op- 
gesteld door Rydberg i). Deze formules zijn iets ingewikkelder. 
De ook daarin optredende constante R (constante van Rydberg) 
is voor alle elementen zoo goed als gelijk. 

Hoewel dit alles reeds geruimen tijd bekend was, had men de 
oorzaak dezer regelmatigheden nooit begrepen. Het is Bohr 2) 
geweest, die dit raadsel heeft opgelost. Wel heeft liij ver- 
schillende onderstellingen moeten maken, die wij nog niet 
begrijpen, maar de verkregen overeenstemming is zoo schitterend, 
dat de theorie van Boiir in hoofdzaken wel juist zal zijn. 

§ 21. Bohr's tlieorie van het ivateistofatoom. Om een posi- 
tieve kern met do lading e (elementaire lading), en waarin 
bijna de geheele massa van het atoom vereenigd is, loopt een 
electron met de lading — e rond onder den invloed der electro- 
statische aantrekking, die van de kern uitgaat. (Fig. 14). Het 



') J. R. RvunKno. Ueber den Bau der Liiiienspiktreu der cliemischen Grund- 
stuffe. Z. S. ])hvsik. Cheni. 5 (1«90), p. 227. 

^) N. BoiiK. On the constitution oï atums and iiiolecules. Phil. Mag. (6) 26 
(1913), p. 1, 470. 



DE ELECTRONENTHEORIE. 



43 



- e 




electron kan een cirkel of een ellips beschrijven. Ook een parabool of 
hyperbool, maar daarmede hebben wij ons nu niet bezig te houden 
nu wij niet bezig zijn het proces der ionisatie te beschouwen i). 

Van al de bewegingen, die naar de regels 
der mechanica mogelijk zijn, zijn nu volgens 
BoHR slechts enkele „toegelaten", namelijk 
die welke aan zekere „quanta- voorwaarden", 
die aanstonds genoemd zullen worden, vol- 
doen. De bewegingen, waarvoor dit laatste 
het geval is, worden „stationaire bewegin- 
gen" genoemd. 

Bij de stationaire bewegingen heeft de 
energie f verschillende waarden. Het atoom 
kan nu door een inwendige omzetting van den toestand waarbij 
het electron een bepaalde stationaire beweging met de energie éi 
heeft, overgaan in een toestand waarbij het electron eene 
stationaire beweging heeft met de energie ^2- Volgens Bohr 
wordt het energieverschil ti — 02 als licht uitgestraald, en wel 
moet dat verschil êi — t-i juist één quantum voor het uitgestraalde 
licht zijn: 

De frequentie van het uitgestraalde licht is dus 



Fig. 14. 



^1 — ^2 



(44) 



Wij merken hierbij op, dat deze theorie ons verder geen 
voorstelling geeft over de bijzonderheden van het proces der 
uitstraling, wij zien volstrekt niet wat het is dat trilt en zijn 
trillingen uitstraalt. 

Wij zullen ons vooreerst beperken tot cirkelbewegingen. Hier- 
voor luidt de quanta-voorwaarde als volgt: het product van de 
kinetische energie T en den omloopstijd x> moet een veelvoud 

van -^ h zijn, stel -^- p /i, waarin p een geheel getal is. 

Wij passen nu de gewone mechanica toe. Eerst bij het signa- 



') Zie daartoe P. S. Epstein. Versuch einer Anwendung der Quautenlehre 
auf die Theorie des lichtelektrischen Effekts und der //-Stralilung radioaktiver 
Substanzen. Ann. d. Phys. (4) 50 (1916), p. 815. 



44 DE ELECTRONENTHEORIE. 

leeren van de alleen mogelijke bewegingswijzen treden wij daar 
buiten. 

Wij stellen, teneinde onze berekeningen iets meer algemeen 
te maken, de lading der kern Xe. De straal van den cirkel zij 
r. De aantrekking van het electron door de kern bedraagt 



De potentieele energie (op oneindigen afstand = O gesteld) is 

Ne- 



Is de snelheid van het electron v, dan luidt de bewegings 
vergelijking: 

m v'^ N e^ 



r2 



(45) 



Hieruit volgt: 

v^e 1/ 

r 772. r 

2 TT ?• 2 TT ?' 1 / m 
<y — = 1/ ^ 

V e '^ r 



r 

N' 



1 1 Ne- 1 
Tr=^m.2 = ^ii-^ = --l[/ (46) 

1 TV ^2 



De quanta-voorwaarde luidt : 

ï^ (^ = y p h 

of 

1 



neV^Nmr^=^-^ph (47) 



Hieruit volgft voor den straal 



'ö 



/?2 

r— »2 (48) 

De straal r kan dus slechts bepaalde waarden hebben, die 
zicli verhouden als 1:4:9 enz. 



DE ELECTRONENTHEORIE. 45 

Wordt deze uitdrukking voor r in die vuor e gesubstitueerd, 
dan vindt men voor de energie 

1 2n^N-^me4^ 
^ = -^^ir^ (^9) 

Wij denken nu dat er in het atoom als het ware eene cata- 
strofe phxats grijpt, waarbij liet electron van eene bewegings- 
wijze, gekenmerkt door het getal p overgaat tot eene andere, 
gekenmerkt door p'. Dan is volgens (44) de frequentie van het 
uitgestraalde licht 



2 TT'-i N--^ m e^ 



h^ 






(50) 



Voor jj' =z 2 stemt nu deze formule inderdaad met (43) over- 
een. Daartoe zal dan de factor vóór de haakjes in (50) gelijk 
aan de constante van Rydberg moeten zijn. 

Met iV=l ,6 = 4,77X10-"' —= 1,765 X 10" . 3X101^== 

m 

5,295X101' (^ 6) en 7^ — 6,56X10--' (p. 40 noot 3) wordt de 

coëfficiënt in (50) 

3,26 X 1015. 

De overeenstemming met de experimenteel gevonden waarde 
(§ 20) is schitterend. Met het oog hierop zien wij dan ook maar 
geen bezwaar in de moeilijkheden die de theorie van Bohr ove- 
rigens biedt. 

Wij stellen ons dus voor dat in gewone omstandigheden in 
het waterstofatoom het electron rondloopt in een cirkel geken- 
merkt door p = 2, dat dit electron door stooten tot loopen in 
een grooteren cirkel kan gebracht worden, dan weer tot den 
eersten cirkel terugkeert en daarbij een spectraallijn uitzendt. 

§ 22. Tot op zekere hoogte zijn de voorstellingen van de vo- 
rige § uitgebreid tot andere elementen. Bij deze is de toestand 
echter ingewikkelder. 

Bij alle elementen bestaat het atoom uit een positieve kern, 
waaromheen een zeker aantal, stel N atomen loopen. De lading 
der kern is Ne. Het getal N is het „atoomnummer'. Het is het 
rangnummer van het element in een natuurlijke rangschikking. 
Deze atoomnummers bepalen veel beter dan de atoomgewichten 



46 DE ELECTRONEXTHEORIE. 

de verschillende eigenschappen der elementen, gelijk vooral door 
VAX DEN Broek i) is aangewezen. 

Het volgende tabelletje geeft voor eenige elementen het 
atoomnummer. 

H He Li Zn Pt Pb Ra Th 
1 2 3 30 78 82 88 90 

§ 23. Algemeene regel voor het quantiseeren. 

Reeds bij het waterstofatoom is de toestand ingewikkelder dan 
in § 21 werd aangenomen. Het electron kan zich ook in eene 
ellips bewegen. Dan doen zich de vragen voor: welke excentri- 
citeit is toegelaten, welke halve groote as? 

Het waterstofatoom kan zich bevinden in een electrisch veld. 
Het vraagstuk : de beweging van het atoom in een electrisch 
veld na te gaan, kan mechanisch geheel uitgewerkt worden. 
Reeds Jacobi had het vraagstuk van een lichaam zich bewe- 
gende onder den invloed van twee vaste zonnen behandeld. 
Denken we nu één dier zonnen zeer ver WQg, dan komen we 
tot het hier beschouwde vraagstuk. 

Hoe moet nu in dergelijke gevallen de quanta-voorwaarde, 
eventueel hoe moeten de quanta- voorwaarden opgesteld worden? 

De regel dien men in de tot nu toe behandelde gevallen heeft 
gevolgd, kan als volgt geformuleerd worden. 

De stand van het beschouwde stelsel zij bepaald door de groot- 
heden q\ , qo , (coördinaten). De snelheden worden bepaald 

door qi , q-2 , . . . . , en de kinetische energie kan worden voor- 
gesteld door 

T= .^ aii ql + ^y^ «22 ^2 + • • • ■ + ^12 ^1 (/2 + 

Men kan dit splitsen in deelen, die elk bij een der coördinaten 
behooren. Een term als ai2 qi q^ wordt geacht voor de helft bij 
7i en voor de helft bij 7-2 te behooren. Het deel van T behoo- 
rende bij q\ is 

y «11 ?ï + Y «12 'Zi (?2 + 

Het komt voor, dat liij de beweging van het stelsel een der 



') A. VAN iiiTN BiioEK. Die Radio-elemrnte, das periodische System uiid die 
Konstitution der Atome. Physik. Z. S. -14 (1013), p. .'52. Zie ook K. F\.i.\ns. Das 
periodische System der Elemente, die radioaktiven Umwandlungen und die Struk- 
tur der Atome. Physik. Z. S. Ki (llU.ó), p. éólJ. 



DE ELECTRONENTHEORIE. 47 

geschikt gekozen coördinaten q voortdurend tusschen twee vaste 
waarden « en ^i heen en weer gaat. De overgang van « tot ^i 
met het terugkeeren tot « heete een „slingering". Gedurende 
een slingering is het bij q behoorende deel van de kinetische 
energie niet steeds even groot, maar men kan de gemiddelde 
waarde ervan met den tijdsduur van de slingering vermenig- 
vuldigen. Heeft het zoo gevormde product voor de op elkaar 
volgende slingeringen dezelfde waarde, dan kan men als quanta- 

voorwaarde stellen dat die waarde een veelvoud van — h is. 

In menig geval kan men op deze wijze verschillende quanta- 
voor waarden invoeren, op verschillende coördinaten betrekking 
hebbende. Er zijn dan een zeker aantal kenmerkende getallen 
pi , p-2 . . . . Stel dat de energie e van het stelsel geheel door deze 
getallen bepaald is, 

e=:F{py,p,,....) (51) 

Gaan nu bij een plotselinge verandering van bewegingswijze 
de kenmerkende getallen van pi , po, ... . over in p'i , p'o, . . . . , 
dan wordt (als de energie daarbij is afgenomen) de frequentie 
van het uitgestraalde licht bepaald door 

V := j- [i^(pi , p, . . .) -F{p\ ,p',,....)'j (52) 

In deze gevallen, waarin de toegelaten stationaire bewegingen 
door meer dan één getal gekenmerkt worden, is een veel grooter 
verscheidenheid van sprongen dan vroeger mogelijk. Immers 
kunnen we voor pi , p-z , ■ .p\ , p'-2, ■ ■ allerhande verschillende keu- 
zen doen, in veel grooter aantal dan wanneer we hoogstens slechts 
over pi en p'i kunnen beschikken. Aan eiken zoodanigen sprong 
beantwoordt een spectraalUjn. Veelvuldigheid van kenmerkende 
getallen geeft aldus aanleiding tot splitsingen van spectraallijnen. 

§ 24. Toepassingen, a. In § 21 werd aangenomen dat de kern 
stilstaat. In werkelijkheid loopen de kern en het electron om 
het gemeenschappelijk zwaartepunt rond (Fig. 15). Dientenge- 
volge wordt de formule voor de frequentie iets gewijzigd en 
komt in plaats van (50) ^) 

') Zie voor de afleiding h.v. H. A. Lohentz. Röntgen-stralen en structuur van 
kristallen. Drie voordrachten, gehouden in Teyler's Stichting in Mei 1916, p. 
70 — 73, alwaar intusschen de quanta-voorwaarde in eene formuleering, die iets 
van de hier oregevene verschilt, "-ebruikt is. 



48 



DE ELECTKONENTHEORIE. 



2 TT-' iV2 m é 



(f -f) 




(f^ 



FiiT. 15. 



waarin s de breuk is, die aangeeft welk gedeelte van de kern- 
massa de massa van het electron is. Men 
kan de formule toepassen op de spectraal- 
lijnen van waterstof eenerzijds, en op 
die van helium, waarvan de atomen één 
electron verloren hebben, anderzijds. Bij 
deze eenwaardige positieve helium-ionen 
loopt nog één electron om de kern; dit 
systeem is dus volkomen vergelijkbaar met 
het waterstofatoom, alleen met dit verschil dat bij het helium-ion 
de massa van de kern anders is, en dat de lading van de kern 
tweemaal zoo groot is als bij het waterstofatoom. Het eerste 
veroorzaakt dat de factor 1 + s in de twee gevallen verschillend 
is. Schrijven wij voor waterstof: 

en voor helium (A^ = 2) : 

dan volgt uit het gezegde dat Ru en B^g iets zullen verschillen. 
Inderdaad volgt uit (53): 



Rn — 



2 TT^ m e4 2 7r2 m e^ 

, Rju — 



(1 + ^h) h^ 
1 



{l-\-SHe)h^ 



1850 '^"'~ 4 ^VA,dan volgt: 



o 1 

^+T*" = ^ + 2i7Ö 



Stellen we sh - 

Rjie 1 H~ Sn 

Rh " 1 + Sn, 

Nu lieeft Paschen ^), met inachtneming van de correcties die 
de relativiteitsmechanica (§ 25) vereischt, gevonden : 

c-i lin = 109677,<)91 ± 0,06 
c-^R,j^— 109722,144 ± 0,04. 

Het versciiil 44,45 is^ het 2467ste deel van het eerste getal. 



') F. Pasciikn. Bolus Jl.Iiunilinien. Ann. d. Pliys. (4) 50 (1K16), p. 901. 



DE ELECTRONENTHEORIE. 49 

Deze overeenstemming met wat de theorie leert, is zoo mooi 
als men maar kan wenschen. Men kan dan omgekeerd van deze 
getallen van Paschen gebruik maken om de massa van het 

electron te berekenen. Men vindt dan i) dat 2ii -zrT^-rpr van die van 

^ "^ 1848 

het waterstofatoom bedraagt. 

6. Epstein 2) heeft onderzocht welken invloed een uitwendig 
electrisch veld op de bewegingen in het waterstofatoom heeft. 
Het gelukte deze bewegingen naar den in § 23 gegeven regel 
te quantiseeren en zoo tot in bijzonderheden de door Stark 3) 
ontdekte splitsing der spectraallijnen -door een electrisch veld 
te verklaren •*). 

§ 25. Melativiteitsmechanica. In den toestand van rust is een 
electron door een electrisch veld omringd. Is het electron in 
beweging, dan komt daar een magnetisch veld bij, terwijl ook 
het electrisch veld gewijzigd wordt. 

In het electromagnetische veld zijn een bepaalde electrische 
en een bepaalde magnetische energie aanwezig, die men te 
zamen als energie van het electron kan opvatten. Evenzoo is 
er, als dit zich beweegt, een zekere electromagnetische hoeveel- 
heid van beweging, die eveneens kan beschouwd worden als 
bij het electron te behooren. 



•) Noemen we Mh en Mjie resp. de massa's van het waterstof- en het helium- 
atoom, dan is 



m 



^He 


1 + Sjj " ' Mg- — m 


Rjj 


^Mg-2n 



Hieruit volgt met Mj^ : M-^^ = 1,0077 : 4,002 de in den tekst genoemde waarde. 
Dezelfde uitkomst verkreeg L. Flamm. Die charakteristischen Masszahlen für das 
Elektron in ihrer Yerknüpfung mit den Strahlungskonstanten. Physik. Z. S. 18 
(1917), p. 515. 

») P. S. Epstein. Zur Theorie des Starkeffektes. Ann. d. Phys. (4) 50 
(1916), p. 489. 

^) J. Stark. Beobachtungen über den EfiPekt des elektrischen Feldes auf 
Spektrallinien. I. Quereffekt. Berlin Sitz. Ber. 1913. Ann. d. Phys. (4) 43 
(1914), p. 965. 

*) Zie het aanhangsel onder 3. 

4 



50 DE ELECTRONENTHEORIE. 

Is de snelheid v klein, dan kan men voor de hoeveelheid 
van beweging schrijven 

G = mv (54) 



en voor de energie 



ö' 



frrrfo + Y^^" ^^^^ 



(fQ de energie in den toestand van rust). 
Daarbij is 



g2 

^=-ë — ^-;;2" ^^^) 

b TT Kc^ 



waarin R de straal van het electron voorstelt; m is de „electro- 
magnetische massa". 

Bij grootere snelheden kan men stellen i) 



^ (57) 



K: 



m c^ 



■=j7r- '"' 



-y2 



C2 



Ontwikkelen wij de laatste formule, dan zien wij dat de eerste 
twee termen inderdaad (55) leveren, met ^q = m c-. Met de for- 
mules (57) en (58) staat de afplatting in verband, die het elec- 
tron in de bewegingsrichting ondergaat. De afmetingen in die 
richting worden verkleind in reden van 1 tot 



V 



1 - " (59) 



C' 



Proeven over de afwijkingen in een electrisch en een mag- 
netisch veld (§ 6) bij groote snelheden ((J-stralen, snelle katli ode- 
stralen) hebben (57) bevestigd -) ; men trok daaruit het besluit, 



') Zie h.v. H. A. Loricntz. Het relativitt-itsbeginsel. Drie voordrachten ge- 
houden in Teyler's Stichting, lltl.'i, p. IfS, 28. 

*) A. H. BuciiEKKK. Die experiinentelle Bestütigung des Relativitütsprinzips. 
Ann. d. Phys. (4) 28 (1909), j). r)13. G. Neumann, Cl. Scuaefer, 1. c. p. 16 
noot 4. E. HiPKA. Beitrag zur Kenntnis der triigen Masse bewegter Elektronen. 
Ann. d. Phys. (4) .31 (liUU), p. 1G9. 



DE ELECTRONENTHEORrE. 51 

dat de massa van het electron geheel van electromagnetischen 
aard zou zijn. In de relativiteitstheorie, volgens welke (57) en 
(58) voor elk stelsel, van welken aard ook, gelden, behoeft men 
dit niet aan te nemen. In elk geval moeten er in het electron 
krachten van niet electromagnetischen aard zijn, die het deeltje 
ondanks de nit de lading voortvloeiende krachten in stand 
houden. Bij nadere beschouwing blijkt G geheel van electro- 
magnetischen aard te zijn ; de door (58) bepaalde energie 
echter niet. Een deel daarvan is van anderen aard en beant- 
woordt aan de zooeven genoemde krachten i). 

SoMMERFELD -) heeft de wijzigingen onderzocht, die de op 
(57) en (58) berustende relativiteits-mechanica in de theorie van 
BoHR brengt. De snelheden die de electronen in hun binnenste 
stationaire cirkels bezitten, worden namelijk vergelijkbaar met 
de voortplantingssnelheid van het licht. Sommerfeld vindt dat 
bij het rekening houden met de daardoor veroorzaakte wijziging 
de baan van het electron door een grooter aantal getallen ge- 
kenmerkt wordt. Zoo heeft hij eene verklaring gegeven van de 
doubletten, in het waterstof- en de tripletten in het helium-spec- 
trum („relativiteitssplitsingen"). 

§ 26. Röntgenstralen. Structuur der atomen. Dezelfde beschou- 
wingen heeft Sommerfeld ^) toegepast op de „karakteristieke" 
Röntgenstralen (hoog frequentie-spectra van het metaal der 
antikathode). De relativiteitssplitsingen treden daarbij zeer op 
den voorgrond. Overigens vertoonen de opgestelde formules 
nog steeds veel overeenkomst met (50) ; in vele gevallen, 
n.1. voor de lijnen der /T-reeks, moet nu p' = 1 gesteld 
worden 4). 

Bij de elementen met hooge atoomnummers (en hooge atoom- 
gewichten) is het aantal om de kern rondloopende atomen groot. 
Men neemt aan dat de electronen in ringen geplaatst zijn, zoo 
dat alle deeltjes van denzelfden ring op dezelfde wijze rondloo- 



') Zie b^v. H. A. Lori:ntz. Het relativiteitsbeginsel, p. 3(3. 

*) A. Sommerfeld. Zur Quantentheorie der Spektrallinien. Ann. d. Phys. (4) 
.51 (1916), p. 1. 

3) A. SoMMEKFELD. Zur Quantenthcorie der Spektrallinien. Ann. d. Phys. (4) 
51 (1916), p. 12,5. 

*) Zie verder H. A. Lohentz. Röntgen-stralen en structuur van kristallen, 
het aanhangsel, onder 2 ƒ, g. 



52 



DE ELECTRONENTHEORIE. 



pen. Men heeft getracht, het aantal electionen in eiken ring 
aan te geven. 

De volgende tabel is ontleend aan eene tabel van Vegard i), 
waarin de verdeeling der electronen in ringen voor het geheele 
stelsel van elementen op grond van beschouwingen over hunne 
chemische eigenschappen en van hunne Röntgenspectra is aan- 
gegeven. 





Aantal electronen in de ringen. 


Atoomnuramer. 


1 2 


3 


4 


H 1 


1 








Re 2 


2 








U 3 


2 


1 






Be 4 


2 


2 






B 5 


2 


8 






G 6. 


2 


4 


. 




N 7 


2 


5 




« 


8 


2 


6 






F 9 


2 


7 






Ne 10 


3 


7 






Na 11 


3 


7 


1 




Mg 12 


3 


7 


2 




S 16 


3 


7 


6 




Cl 17 


3 


7 






Ar 18 


3 


7 


8 




K 19 


3 


7 


8 


1 


Ca 20 


3 


7 


8 


9 


Ni 28 


3 


7 


8 


10 



Hierin zijn de ringen van binnen naar buiten met 1, 2, 3, 
enz., genumiiK'rd. De binnenste ring 2) schijnt hoogstens 3 elec- 
tronen te kunnen opnemen. Aangezien het optreden van de K- 



') L. VilGmu). Der Atonibau auf Gruml dur Röntgenspektren. Verh. D. physik. 
Ges. 19 (1917), ]>. .lil. 

*) Verg. P. L)i:hyi;. Der erste Elektronenring der Atoiiie. Physik. Z.S. 18 (1917), 
p. 276. 



DE ELECTRONENTHEORIE. 53 

reeks in het Röntgenspectrum aan de aanwezigheid van dezen 
ring met 3 electronen schijnt gebonden te zijn, zoo zou bij 
neon het eerst de /v-reeks kunnen optreden. In werkelijkheid 
is natrium het element met het laagste atoomnummer, waarvoor 
de i^-reeks tot nu toe gevonden is. 

In de samenstelling van den buitensten ring is duidelijk eene 
periodiciteit op te merken. Aangezien deze buitenste electronen 
het chemisch gedrag van het element bepalen, zoo verklaart dit 
de periodiciteit die in het chemisch gedrag valt op te merken. 

Om zich van de verschijnselen rekenschap te geven moet men 
zich nu voorstellen dat de meest stabiele toestanden die zijn 
waarbij de buitenste ring vol is, en dat het atoom tracht tot 
zulk een toestand te naderen; dit kan, als de buitenste ring 
weinig electronen bevat, het gemakkelijkst bereikt worden door 
afgeven van die deeltjes (waardoor de op één na grootste ring 
de buitenste wordt) en als de buitenste ring reeds veel electronen 
bevat, door verdere aanvulling van dien ring. 

De buitenste ring is volgens de tabel vol bij Ne, Ar, enz. Dan 
vormt de kern met het electronensysteem een zeer stabiel systeem, 
m. a. w. het atoom is chemisch indifferent. Bestaat de buitenste 
ring uit 1 electron, zooals bij Li, Na, K, dan wordt dit electron 
gemakkelijk losgelaten, het atoom is dan éénwaardig electro- 
positief. 

Bestaat de buitenste ring uit 2 electronen [Be^ Mg, Ca), dan 
worden deze ook nog vrij gemakkelijk losgelaten, het atoom is 
tweewaardig electropositief. 

Is de buitenste ring op één na vol, zooals bij Cl (hetzelfde 
heeft plaats bij Br, I), dan neemt deze gemakkelijk een electron 
op, het element is dan éénwaardig electronegatief. 

Is de buitenste ring op twee na vol, b.v. S, dan is het element 
tweewaardig electronegatief. 

Zoo blijkt dat inderdaad deze onderstellingen over de indeehng 
der electronen in ringen ons eenigermate een inzicht kunnen 
geven in de chemische eigenschappen der elementen. 

§ 27. De atoomkernen. De «- en (^deeltjes zijn afkomstig uit 
de kernen der radio-actieve elementen. De eerste zijn positief 
geladen heliumatomen (lading 2e), of liever kernen van helium- 
atomen, de laatste electronen. Het ligt voor de hand aan te 
nemen dat in de kernen deze heliumkernen en electronen als 
zoodanig aanwezig zijn en zich met groote snelheden bewegen. 



54 DE ELECTRONENTHEORIE. 

De positieve deeltjes kunnen, ondanks hun onderlinge afstooting, 
door de electronen bijeen worden gehouden. 

Voor deeltjes die onder den invloed van wederkeerige elec- 
trische aantrekkingen en afstootingen een stelsel vormen, dat 
in een stationairen toestand verkeert, geldt de regel (verg. for- 
mule (46) ), dat de gemiddelde kinetische energie gelijk is aan 
de halve gemiddelde potentieele energie met het tegengestelde 
teeken i). Dus moet 

C/J = 2-^ (60) 

r 

negatief zijn; de negatieve termen, die van de onderlinge werking 
van ongelijknamige ladingen afhangen, moeten de overhand 
hebben boven de positieve, die behooren bij paren van gelijk- 
namig geladen deeltjes. 

§ 28. Daar het atoomnummer bepaald wordt door het aantal 
elementaire ladingen (algebraïsche som van de positieve en 
negatieve) begrepen in de kernlading, en het «-deeltje eene lading 
2 e heeft, zoo neemt, als de kern een «-deeltje verliest, het atoom- 
nummer af met 2. Het «-deeltje is een heliumatoom, waarvan 
het atoomgewicht 4 is. Door het verlies van een «-deeltje neemt 
dus het atoomgewicht met 4 af. Evenzoo vindt men dat bij het 
ontwijken van een (5-deeltje (een electron) het atoomnummer 
met 1 moet toenemen, terwijl daarbij het atoomgewicht (zoo 
goed als) onveranderd blijft. Uit deze veranderingen van het 
atoomnummer volgt verder dat bij uitzending van een «-deeltje 
het radioactieve element overgaat naar eene groep in het perio- 
dieke systeem, die een rangnummer heeft dat 2 lager is, terwijl 
bij uitzending van een /5-deeltje het element zich plaatst in de 
eerstvolgende hoogere groep. Deze regels, die bekend zijn onder 
den naam „verschuivingsregels", worden inderdaad algemeen 
bevestigd gevonden 2). 

Als voorbeeld geven wij hier eene tabel betrekking hebbende 
op de radioactieve reeks van radium tot Ra G. Daarbij is 
achter elk radioactief element aangegeven welke stralen het 
uitzendt. 



1) Zie het aanhangsel onder 4. 

'^) Zie K. Fajans 1. c. p. 4<") noot 1. 



DE ELECTRONENTHEORIE. 55 





Atoom nummer. 


Atoomo^ewi 


Radium («) 


88 


226 


RaEm («) 


86 


222 


RaA («) 


84 


218 


RaB {§) 


82 


214 


Ra C'i (« [i) 


83 


214 


RaD (|i) 


82 


210 


Ra E (ii) 


83 


210 


Ra F («) 


84 


210 


RaG 


• 82 


206 



Uit deze tabel blijkt, dat de elementen Ra B, Ra D en Ra G 
alle hetzelfde atoomnummer hebben. Hetzelfde atoomnummer 
82 heeft ook het lood (atoomgewicht 207). Van al deze elementen 
heeft de kern dus, niettegenstaande deze kernen op verschillende 
wijzen uit negatieve en positieve deeltjes zijn samengesteld, 
eenzelfde lading. Men wijst hun ook eenzelfde plaats in het 
periodiek systeem toe, zij zijn „isotoop". Daar de kernladingen 
gelijk zijn, bezitten zij ook een gelijk aantal om de kern rond- 
loopende electronen. Deze zullen zich ook op dezelfde wijze in 
ringen rangschikken, waaruit volgt dat de chemische eigen- 
schappen, die van de wijze van groepeering der electronen af- 
hankelijk zijn, voor de verschillende isotope elementen hetzelfde 
zijn. Daarentegen hebben zij verschillend atoomgewicht. 

§ 29. Uit (58) volgt voor een stelsel dat in zijn geheel geen 
translatiebeweging heeft (wel inwendige bewegingen), 

e — mc^ (61) 

Verandert de energie met Ö c, dan verandert de massa met 
-g- . Als uit de kern een «-deeltje wegvliegt, neemt het atoom- 

gewicht met 4 af (atoomgewicht helium), maar bovendien met 
een bedrag dat aan de kinetische energie van het «-deeltje beant- 
woordt en dat 0,005 — 0,011 kan zijn. Zoo zou bij de reeks van 
transformaties van 1 gramatoom radium tot Ra G in het geheel 
een bedrag van 0,04 aan massa verloren worden i). 

§ 30. Model van het ivaterstojmolekuul van Bohr en Debye. 
Met de atomen, welker structuur in het voorgaande besproken is, 



') R. SwiNNE. Über eine Anwendung des Relativitatsprinzips in der Radio- 
chemie. Physik. Z.S. 14 (1913), p. 145. 



56 



DE ELECTRONENTHEORIE. 



3^1 



moet de theorie nu nog molekulen construeeren, en met deze 
molekulen lichamen. Beschouwen wij eerst het molekuul. Een 
nauwkeurig uitgewerkt beeld van het waterstofmolekuul is ge- 
geven door BoHR 1) en Debye 2). Volgens 
dit model (Fig. 16) bestaat het waterstof- 
molekuul uit twee waterstofkernen Ki en 
Ko op een afstand d van elkaar. In een 
vlak door het midden O van de verbin- 
dingslijn üTi K2 loodrecht op deze gebracht, 
loopen tw^ee electronen, diametraal tegen- 
over elkaar in een cirkel om O. Zij de 
straal van den cirkel a. 

De kern Ki moet in evenwicht zijn 
onder de werking van de afstooting van 




^\. 



3^1 



Fiff. 16. 



Ko 



d^ 



, en van de resultante der aantrekkingen van A en B, 



waarvoor men vindt 



krachten levert 



e^d 



(a^-fld^y^ 



Gelijkstelling dezer beide 



a = ^]X 3 .d 
2 



(62) 



De resultante der aantrekkingen en der afstooting, die op A 
worden uitgeoefend, moet de kracht leveren die A in den cirkel 
doel rondloopen. Dit geeft: 



2e^a 



«2 



(a^ + |d^)"" 



4 a' 



77 r= m (O- a, 



als oj de hoeksnelheid van de electronen in hunne beweging 
om O voorstelt, of met inachtneming van (62) : 

3 k^T— 1 



e^ = moi^ a^ 



(63) 



Het aantal omloopen per seconde wordt nu verder bepaald 



•) N. Bonn. On the constitution of atoms and molecules. Phil. Mag. (6) 26 
(1913), p. 857. 

*) P. Derye. Die Konstitution des Wasserstoff-Moleküls. München Sitz.-Ber. 
1915, p. 1. 



DE ELECTRON'ENTHEORIE. • 57 

door de voorwaarde dat voor elk electron het product van kine- 
tische energie en omloopstijd — h is. Dit geeft: 

2 TT m cü «2 z^ /j, (64) 

•Uit (63) en (64) volgt: 

a = — — -7= :— = 0-507 X 10-8 cm. 

Dan is d— 0,587 X 10-^ cm. ; verder is co = 4,51 X 10l^ zoodat 
voor het aantal omloopen per seconde gevonden wordt 7,2 X 10^^. 

Uit deze gegevens over den bouw van het waterstofmolekuul 
zou men nu alle eigenschappen ervan moeten kunnen afleiden. 

Debye 1) heeft de voortplanting van het licht door een gas, 
samengesteld uit dergelijke molekulen, bestudeerd en komt tot 
de volgende formule voor den brekingsindex : 

n = 1 + 2 nN~^ \ 6,42266 + 25,0989 ^, j . 

Daarin is N het aantal moleculen in 1 cm.^ -), terwijl s = 2ttv 
als V het trillingsgetal van het invallende licht is. 

€ 

Met de hier aangenomen waarden voor — en e (zie pp. 23 
en 25) wordt dit voor waterstof bij 0° C. en 1 atm. : 
n = 1 + 1,36 X 10-^ + 2,62 X 10-3' s2. 
Experimenteel is gevonden : 

nrr 1 + 1,36X10-^ + 2,91X10-3^52 (J. j. KOCH), 
71 = 1 + 1,36X10-* + 2,78 X 10-3' s2 (c. en M. Cuthberson). 

Deze overeenstemming is wel zeer mooi. Intusschen zijn er 
in deze theorie zeer groote moeilijkheden. De beschreven be- 
weging van het waterstofmolekuul van Bohr en Debye is niet 
stabiel. Bij l^epaalde storingen zou het stelsel zich steeds meer 



') P. Debye, 1. c. Zie ■ ok A. SoMMERFEr.D. Die allgemeine Dispersionsformel 
nach dem Bohrschen Modell. Arbeiten aus den Gebieten der Physik, Mathematik, 
Chemie, JrLit:s Ei.steh und Hans Geitel gewidmet, p. 549. 

*) Als N bet getal van Avogaijro is, dan is N = ^r^ , waarin (> de dicbt- 

heid en M het molekulairgewieht van het gas is. 



58 DE ELECTRONENTHEORIE. 

van den oorspronkelijken bewegingstoestand verwijderen. Hoe 
deze moeilijkheid moet opgelost worden kunnen wij nog niet zien. 

Over de wijze waarop de lichamen, met name kristallen uit 
de atomen zijn opgebouwd, hebben we in de laatste jaren ge- 
detailleerde voorstellingen gekregen ^). Hier treedt nu het 
vraagstuk naar voren alle eigenschappen van het kristal, b.v. 
de elasticiteit, het warmtegeleidingsvermogen, de optische eigen- 
schappen, uit de electrische krachten tusschen de atomen te 
verklaren 2). De oplossing van dit vraagstuk zal nog een reuzen- 
arbeid vorderen. 

§ 31. Een zeer groote moeilijkheid is gelegen in de aan al 
deze voorstellingen over den bouw der atomen ten grondslag 
liggende onderstelling, dat een electron, zonder dat daarop eene 
drijvende kracht werkt, in een cirkel kan blijven rondloopen. 

Volgens de vergelijkingen van het electromagnetische veld 
werkt n.1. op een electron met willekeurige beweging een weer- 
stand met de componenten ^) 

^^ ' a^r.% ^y ' A^^s ^2 (65) 



Dit hangt samen met de uitstraling die van het electron uit- 
gaat als de snelheid in richting of grootte verandert. 

Dit zou ten gevolge moeten hebben dat de electronen van 
het waterstofmolekuul (en hetzelfde geldt ook reeds voor het 
waterstofatoom) langzamer gaan rondloopen, waarbij het even- 
wicht niet bewaard kan blijven. Het waterstofmolekuul zou zich 
stukstralen •*). Dezelfde moeilijkheid doet zich voor bij de rond- 
loopende electronen die volgens de proef van Einstein en de 



' ) Zie b.v. H. A. Loui^ntz. Röntgenstralen en structuur van kristallen. 
Haarlem 1917. 

*) Zie daarover b.v. M. Bokn und A. Lanhé. Über die absolute Bereclmung 
der Kristalleigenschaften mit Hille Bohrscher Atommodelle. Berlin Sitz.-Ber. 1918, 
p. 1048. Kristallgitter und Bohrsches Atommodell. Über die Berechnung der 
Kompressibilitiit regularer Kristalle aus der Gittertheorie. A. Lande. Das elek- 
trostatische Potential des Flussspatgitters. M. Bokn. t'ber die Berechnung der 
absoluten Kristalldiuiensionen. Über kubische Atommodelle. Yerh. D. physik. 
Ges. 20 (1918), p. 202, 210, 217, 224, 230. 

') Zie H. A. LoRENTz. The theory of electrons. Leipzig 1909, p. 49. 

*) Een andere moeilijkheid is nog gelegen in de omstandigheid dat b.v. het 
waterstofmolekuul wegens de daarin rondloopende electronen sterk paramagne- 
tisohe eigenschappen zou moeten hebben. 



DE ELECTRONENTHEORIE. 59 

Haas de magnetisatie veroorzaken. Zonder dat wij nog inzien 
hoe dat mogelijk is moeten wij wel aannemen, dat bij stationaire 
bew^egingen geen uitstraling plaats grijpt. De toekomst zal 
moeten leeren hoe het hiermede gesteld is. 

Ook in andere opzichten zullen de tot nu toe aangenomen 
theorieën moeten w'orden herzien. Zoo b.v. de theorie van de 
vrije electronen in metalen. Ook bij het beschouwen van wat er 
gebeurt als een lichtstraal over een atoom heenloopt zal men 
de vroegere theorie tot op zekere hoogte moeten verlaten. 

Zoo blijft er nog veel te doen over, voordat alle ver- 
schijnselen in de lichamen (afgezien dan van de werkingen 
binnen het electron die dit in stand houden) zullen kunnen 
worden teruggebracht tot de werking van electrische krachten. 
Eerst als dit gelukt zal zijn zal men kunnen zeggen dat men 
eene electromagnetische theorie van de materie bezit. 



AANHANGSEL 



1 (Bldz. 32). Als in een raolekuul (of atoom) een aantal elec- 
tronen, elk met de lading e (in electromagnetische maat) rond- 
loopen, heeft het magnetisch moment van het deeltje de com- 
ponenten 

-^:^e{yv, — zvy),^2e {z v, — xv^),^:^e {x Vy — yv^) . . (2) 

waarin x ,y ,z de coördinaten van een electron en Vx , Vy , v. zijne 
snelheidscomponenten voorstellen, terwijl over al de electronen 
gesommeerd wordt. De sommen zijn onafhankelijk van de keus 
van den oorsprong van coördinaten, indien, zooals wij zullen 
onderstellen, i: v^ '= O , ^' Vy := O , ^ Vg =^ O is. 

Is m de massa van een electron, dan heeft men voor de 
componenten van het moment der hoeveelheid van beweging 
die aan de zich bewegende electronen eigen is, 

^m{y Vz — zVij) , ^ m {z v^ — x v^) , ^m (.r Vy — y v^-). 

Men ziet dat deze uitdrukkingen zich van de uitdrukkingen 

(i) door den factor onderscheiden. Daar deze verhouding 

voor elk magnetisch deeltje geldt, moet zij ook bestaan tusschen 
het resulteerende moment van hoeveelheid van beweging voor 
een lichaam in zijn geheel genomen en het resulteerende mag- 
netische moment van dat lichaam ; eveneens moet zij bestaan 
tusschen de gf^ijktijdige veranderingen dier momenten. Der- 
halve: als het magnetisch moment van een lichaam, op welke 
wijze dan ook, een verandering /i M ondergaat, dan gaat daar- 

2 TH, 
mede gepaard een verandering — — /f M van het moment van 

hoeveelheid van beweging. 



AANHANGSEL. 61 

2 (Bldz. 33). Van deze stelling, waartoe men op verschillende 
wijze kan komen, zullen wij hier eene thermodynamische aflei- 
ding geven. Ter inleiding herinneren wij aan een paar bekende 
stellingen der electriciteitstheorie. Wij onderstellen daarbij dat 
voor een electrischen stroom de op bldz. 8 genoemde rationeele 
electrostatische electriciteitseenheid gebruikt wordt, en voor een 
magnetische pool, een magnetische kracht en een magnetisch 
moment de rationeele magnetische eenheden. Verder laten wij 
op de gebruikelijke wijze bij een positieve richting langs een 
lijn een positieve richting van wenteling om die lijn passen. 

a. Als een draadklos, waarvan de lengte l zeer groot is in 
vergelijking met de middellijn der windingen, door een stroom 
j wordt doorloopen, zoodat, als n het aantal windingen per 
lengte-eenheid is, i = nj de stroom per eenheid van lengte van 
de beschrijvende lijn is, dan bestaat binnen den klos een mag- 
netisch veld met de sterkte 

^=4 (^) 

Is verder O het oppervlak eener winding (doorsnede van den 
klos), dan werkt de spoel naar buiten als een magneet met de 

poolsterkte — O. 

^ c 

b. Stel dat de draadklos nauwsluitend om een magnetiseer- 
bare staaf van dezelfde lengte is aangebracht, en dat de mag- 
netisatie, d. w. z. het magnetisch moment per volume-eenheid, 
van die staaf M is. Dan is de poolsterkte M O. 

Onder de magnetische kracht H verstaat men nu de veld- 
sterkte die er zou zijn als de staaf werd weggenomen ; onder 
de magnetische inductie B daarentegen de veldsterkte die men 
zou hebben als wel de staaf werd weggenomen, maar tevens 
(behalve de stroom die er reeds in is) in den klos een stroom 
werd aangebracht, die hem een poolsterkte MO, gelijk aan die 
van de staaf geeft. Volgens het onder a gezegde zou die stroom 
per lengte-eenheid c M moeten bedragen ; hij zou dan een mag- 
netische kracht M teweeg brengen. Derhalve is 

B = B + M. 

Om nu tot het bewijs onzer stelling te geraken, stellen wij 
ons voor dat de staaf, terwijl hij aan een magnetische kracht 



62 AANHANGSEL. 

H onderworpen is, om zijne as wentelt; bepalen wij den stand 
door den hoek ï> waarover een in de staaf vastliggend meridiaan- 
vlak gedraaid is, dan is de hoeksnelheid (f. Het ligt voor de 
liand aan te nemen dat door deze grootheden H en v' , die wij 
ons als van oogen])lik tot oogenblik veranderlijk voorstellen, 
alsmede door de temperatuur T , de toestand van de staaf ge- 
heel bepaald is. Den draadklos laten wij stilstaan. A-^erder onder- 
stellen wij dat er tweeërlei uitwendige krachten werken, waar- 
van de eene rechtstreeks invloed heeft op de wenteling en de 
andere op de magnetisatie. 

De eerste kracht is een koppel 0, dat per tijdseenheid een 
arbeid (^ verricht. Voor de tweede kracht nemen wij een 
electromotorische kracht E , die wij in de windingen van den kort 
gesloten klos laten werken. Daarbij onderstellen wij dat die win- 
dingen geen weerstand hebben. Dit brengt mede dat E juist de 
electromotorische kracht die uit de verandering der inductie B 
voortvloeit moet opheffen. Voor deze laatste electromotorische 

1 
kracht heeft men het met — — vermenigvuldigde product van 

B met het gezamenlijk oppervlak der windingen; dus: 

E= ^ nlOé. 
c 

De arbeid dezer kracht per tijdseenheid is Ej , waarvoor men 
wegens (2) mag schrijven, als V ^= l O het volume van de staaf 
is, V H B. De gezamenlijke arbeid per tijdseenheid van de uit- 
wendige krachten is dus 

A = (-)n-]- V HB = 6{y {- V H H -\- V H M .... (3) 

Wij stellen ons nu voor dat, terwijl de temperatuur constant 
wordt gehouden, de grootheden O- en H langzaam veranderen, 
zoo echter dat zij na eenigen tijd tot de oorspronkelijke waarden 
terugkeeren, dat er dus, wat deze grootheden betreft, een kring- 
loop Ijeschreven is. De tweede wet der thermodynamica verlangt 
dat voor dien geheelen kringloop de arbeid der uitwendige 
krachten nul is. Daarvoor is noodig dat de uitdrukking A een 
volledig differentiaalqotient naar den tijd is. 

Stel nu dat uit waarnemingen is gebleken dat het ontstaan 
viin een magnetisch moment /t een koppelstoot « u tengevolge 
heeft. Dan brengt geleidelijke verandering van u een koppel 



AA.NHANGSEL. 63 

« u te weeg en de bewegingsvergelijking voor onze staaf luidt, 
daar ,« =: V 31 is, als men voor het traagheidsmoment Q stelt, 

Që=0+a V M. 

Door substitutie van de hieruit voortvloeiende waarde van 
in (3) vindt men 

A = Q&'é—uVMé-{- VHH-\- VHM. 

Zij nu nog x de magnetische susceptibiliteit van de staaf (die 
wij hier als een constante behandelen), en laten wij in plaats 
van H een nieuwe veranderlijke H' invoeren door de vergelijking 

M 
H— — — E' [4) 

Al 

Dan gaat (-3) over in 
A—Qé'é-^ VHH-j- V — MM—aVMh—VH'M. 

Aangezien hier de eerste drie termen volledige differentiaal- 
quotiënten zijn, moeten de laatste twee te zamen 

_« VMé— VH' M (5) 

zulk een difierentiaalquotient vormen. Aan deze voorwaarde is 
voldaan, als zij elkaar opheffen, 

H' = — a{y (6) 

Dit is in overeenstemming met de te bewijzen stelling, want 
uit (4) volgt dat bij afwezigheid van een uitwendig veld H, de 
magnetisatie bepaald wordt door 

M=zH', (7) 

dus juist zoo is als door een magnetische kracht H' zou kunnen 
worden teweeggebracht. 

Dat overigens H' noodzakelijk de waarde (6) moet hebben 
ziet men als volgt in. Elke andere waarde kan worden voorge- 
steld door H' ^= — axJ-\-H", en substitueert men dit in (5), dan 
komt er 

— VH"M. 

Aan de voorwaarde dat dit een volledig differentiaalquotient 
naar den tijd moet zijn, kan wel niet anders voldaan worden 
dan door waarden van H" (b. v. ƒ {M) + const. M) die onaf- 
hankelijk van {y zijn. Zulke waarden mogen echter niet aan (6) 

M 

worden toegevoegd, omdat voor x)- r= O de betrekking H =^ — 

moet gelden. 



64 



AANHANGSEL. 



K.1? 



3 (Bldz. 49). Theorie van het Starkeffect 

Een electron e loopt om een vast- 
gehouden kern O (Fig. 17). Dit ge- 
heel bevindt zich in een homogeen 
electrisch veld, ter sterkte E. 

De lading van het electron zij 
— e, die van de kern x e. 

Wij kiezen de as OXinde rich- 
ting van het electrische veld, O Y 
loodrecht op OX in het vlak dat 
gebracht kan worden door e en O X. 
De hoek tusschen dit vlak en een 
vast vlak X O Y^, zij qj. 

De potentieele energie van het 
systeem (= O gesteld voor ?• = oo en 
X = 0) bedraagt 




fig. 17. 



U= — 



X e^ 



-\-eEx. . . (8) 



Ter berekening van de kinetische energie merken wij op dat 
als rechthoekige coördinaten kunnen ingevoerd worden x, y cos (f 
en y sin g. De snelheden zijn dan 

X , y cos qp — y sin <jp. q , y sin q' -\- y cos qp. qp. 
Hieruit volgt: 



T=-^77i(a;2+^^-h/^'2) 



(9) 



Wij voeren nu nieuwe coördinaten S en »; in, bepaald door 
de vergelijking 



Hieruit volgt 



2- + i 2/ = -- (I -f i 7/)2. 



.T = y(|2_7/2) , y — ïlj. 



{10) 



(11) 



Wij kunnen hierin | altijd positief kiezen. Uit (11) volgt 
r=l-(^2J^^2) ^ % — \/r-^x , ii — ±V^r — x. . . 



{12) 



') De hier gevolgde behandeling is grootendeels ontleend aan een college van 
Prof'. LoRiiNTZ, gegeven in den cursus 1916/17. 



AANHANGSEL. 



65 



De lijnen 'i- = const. zijn parabolen met hun brandpunt in C. 




Fig. 18. 

Evenzoo de lijnen tf = const. De beide soorten van parabolen 
snijden elkaar loodrecht. 



T=^m (|2 -f ,jl) (|2 + ;;2) + i_ ^ §2 ^2 ^2. 



2 



9 v /'S 1 






De vergelijkingen van Lagrange leveren ons nu de be- 
wegingsvergelijkingen. 
Die voor (f wordt: 

" ('t) - 



o 



dt 



of 



— —z=. const., 
?(jp 



waarvoor wij kunnen schrijven: 

m 1^ 7/2 (ip = l/ m . « 



{15) 



u eene constante zijnde. 

De bewegingsvergelijking voor |: 



dt 



m 



H 



ö? 



^T 



wordt, als wij in --y- gebruik maken van {15) : 



d ( 



dt 



m(|2 + 7/2)| =^|(i2 + ,;2)4. 



«' 



4xe2| 



t3 ,^2 (^fc2 _^ ^2)2 



eEl 



6Q AANHANGSEL. 

Deze vergelijking gaat bij gebruikmaking van de energie- 
vergelijking 

1 m (P + ,n (P + ,}2) + 2^ - -^^ + 

+ ^eE{i^-f-) = -A (16) 



over ni 



d I 



a 



.2 



Deze vergelijking kan geïntegreerd worden na vermenigvul- 
diging met I. Men vindt 

ym(|2+^2)2|2=_lj«l_i.,^.4_^t2^_ei {17} 

Ten einde de correspondeerende vergelijking voor »; op te 
schrijven merken wij op, dat de formules {13) en {14) hetzelfde 
blijven als men | en ij met elkaar verwisselt en tevens het 
teeken van E omkeert. Wij kunnen dus onmiddellijk opschrijven 

ym(|2+,/2)'2,)o^__^J«!__^^^^^,4_^^o_^^;^ {18) 

Uit de energievergelijking {16) volgt 

C'i-f Co=2xe2. 

In plaats van de integratieconstanten Ci en C2 voeren wij 
in de constante (i bepaald door 

C,^eHz-\-(i) , C2 = e^{-A-§). 
Ter bekorting noemen wij nu (met Epstein): 



«2 



^^ ' . . {19) 



«2 



ƒ2 iv) = - ^, -f ^^^;-^ - 2 ^ r + 2 c'- (x -i^) 

dan kunnen wij {17) en {18) schrijv^en in den vorm 



m(s^2+,/2)| = p/-,„,/^(|) , ^ ^^^^^^ 



m 



(|2+»;2).y=rlXm/o{7y) 



waarbij l)edacht moet worden dat de tweede-machtswoi'tels nu 
eens positief, djui weei- negatief kunnen zijn. 



AANHANGSEL. 67 



O , 



Uit (20) kan d t geëlimineerd worden 

(i| drj 

of na integratie 

/•— Ji (^Ll^-^.' (21) 

waarin /?' een nieuwe integratieconstante is. Deze vergelijking 
stelt de baanvergelijking in het meridiaan vlak voor. 

Ten einde een tweede vergelijking te verkrijgen schrijven 
wij (20): 



l//l(|) 1^771. (?2 4. ,^2) \Xhiv) l/m.(|2 + ^2) 

waaruit volgt 

|2 1 rp' 1] 1 



of na integratie : 

Een derde vergelijking verkrijgt men uit {20) met inacht- 
neming van {15): 

d| dtj dt dep 



?2|//l(s^) rl^/2(^) l/m.|2,^2 

of na integratie : 

Hiermede is de integratie der bewegingsvergelijkingen afge- 
loopen. 

Beschouwen wij de baanvergelijking {21) nader. AVij kunnen 
in plaats van (19) schrijven: 

/i (I) = - -^ {^' - V,) (?2 - ^i) (« _ r^) i 

. p' ! • • • m 

h iv) = -2 (^/' - '/^) (^/' - "iD (^/' - ^^3) 



68 



AANHANGSEL. 



Wij denken het electrische veld E zwak in vergelijking met 
de aantrekking die het electron van de kern ondergaat. Dan 
wordt van /i (J) = O als vergelijking in |2 en van ƒ2 (»/) = O als 
vergelijking in tj'^ telkens één der wortels zeer groot, en wel die 
van fi{^) = 0, stel V„ negatief, die van ƒ1 (7/) = O, stel i]], posi- 
tief. Daar wij bij eene stationaire beweging niet kunnen toe- 
laten dat I of 7/ 00 wordt, zal, daar ƒ1 (?) en fo (r;) niet negatief 
kunnen worden, |2 tusschen V, en |* , ^/^ tussehen fj] en ijI ge- 
legen zijn, resp. met deze waarden samenvallen. Uit {20) be- 
sluiten wij dan dat i tusschen li en I2 , V tusschen 7/1 en 172 
heen en weer schommelt. De baan is dus beperkt tot een vier- 
hoek ABCD (Fig. 19) 
gevormd door de lijnen 

Beschouwen wij nu 
een punt P van de baan, 
niet gelegen in de grens- 
lijnen van den genoem- 
den vierhoek. Dit punt 
kan in twee tegenge- 
stelde riclitingen gepas- 
seerd worden. Wij kiezen die beweging waarbij | toeneemt. 
Hierbij kan in dit punt ?/ toenemen of afnemen. Laten wij, ten 
einde de gedachten te bepalen, denken dat ?/ toeneemt. Voor 
het tegenovergestelde geval gelden goheel overeenkomstige be- 
schouwingen. 

Wij kunnen nu in {21) voor \^ fi (I) den positieven wortel 
kiezen. Dan zal voor P^ ƒ2 (»;) ook de positieve wortel gekozen 
moeten worden. Dit blijft zoo totdat een dezer functies O wordt 
(het geval dat beide tegelijk O worden sluiten we hier uit). Zij 
dit liet eerst met ƒ2 (^y) het geval: f2 {V2) ^=^ ^- Bij ij2 keert 
tegelijk liet teeken van dij en van l/' ƒ2 (»/) om. De integraal 
d 1] 




Fig. 19. 



ƒ 



, blijft toenemen. Hetzelfde geldt voor den omkeer der 

\^f2{v) 

bewegingsricliting bij 7/1 , en overeenkomstige opmerkingen zijn 



te maken betreffende' 



■ƒ 



y^ h (I) 



AANHANGSEL. 



69 



Wij kunnen (21) schrijven: 

dl 



L 



L 



dl] 



Zij nu voor een bepaalden doorgang 
door P (I , fj) : 






(25) 



ƒ 



d^ 



s 
en zij 



1 ^fi (I) 



f^i 



■/ 



d ?7 



VI ^Mv) 



'Ï2 



ƒ. 



rf$ 



Il ^fl (I) 



«1 



'T 



^1 ^f2{v) 



d ri 




Fier. 20. 



ƒ; 



Dan zal bij het daarna weder jDasseeren der I-lijn van P 

d^ 
^ achtereenvolgens de waarden aannemen : 

Il y^h (I) 

— <Ti + 2 si , (7i + 2 Si , — (Tl + 4 Si , (Tl + 4 Si enz., 
en evenzoo bij het weder passeeren van de »/-lijn van P 
V d7j 



ƒ, 



de waarden 



— To + 2 So , (T2 + 2 So , — <T2 + 4 S2 , 'T2 + 4 So, cnz. 

Is nu Si ^ S2 , dan volgt uit het feit dat (Ti en (To aan (25) 
voldoen, dat dit ook 't geval is met (t^ -|- 2 Si en (T2 + 2 S2. Dan is 
dus de baan na één omloop gesloten. 

Zijn Si en S2 onderling meetbaar, dan wordt de baan na een 
zeker aantal omloopen gesloten; zijn Si en S2 onderling onmeet- 
baar, dan is de baan niet gesloten en wordt de vierhoek ABCD 
door de baan dicht gevuld. Dit alles is geheel analoog aan het- 
geen bij de figuren van Lissajous is op te merken. 

Wij moeten nu van alle door {21), {22) en {23) bepaalde be- 
wegingen de stationaire bewegingen uitkiezen door toepassing 
van den algemeenen regel van § 23. Daartoe verdeelen wij nu 
T volgens {13) in: 

^i=y''^(l^+V^)i^=Yl/mX(ïy- i 

T2 = ~m{r^+ri^)f^=~]X~rnrf^{v).v 
Ts = -^ m ^^ rj^ qr =: \X m . a qj . 



70 AANHANGSEL 



Volgens den regel van § 23 is de eerste quanta-voorwaarde nu 

J 2 I j|^ Jt^ ) 

= ^.2 r' l-^'^m^M^ d ^ = ^ n, h, 
2 J t, -^ 



of 






l/^ m J\ (I) d ? = v<i A ■ . . . {26} 



Evenzoo de tweede: 



2 T' 1/ m ƒ2 (7/) d 7/ = 112 h (27) 



Wat de derde quanta-voorwaarde betreft is op te merken, dat 
het meridiaanvlak, nadat qp van O tot 2 >t is geloopen, weer den- 
zelfden stand inneemt, en dus 2 n als periode is op te vatten, 
zoodat wij de derde quanta-voorwaarde zullen schrijven: 



f2 7C 



l/m . a dcfi'^^ri'sh 
o 
of 

\X'm . 2 TT « = w;^ h (28) 

In de quanta-voorwaarden (26), {27), (28) zitten alleen de 
integratieconstanten A, « en {i. 

Wij kunnen nu door eliminatie van « en /3 de energie — A 
in de quanta-getallen ïii , n^ en n-^ uitdrukken. 

Wij zullen daarbij ervan gebruik maken, dat de kracht die 
het uitwendige veld op het electron uitoefent, altijd nog klein 
is vergeleken met de kracht, die de kern erop uitoefent, en ons 
bepalen tot eerste machten van E. Wij zullen dan dus moeten 
vinden dat de splitsing der spectraallijnen onder de werking 
van het electrische veld, zoo zij er is, evenredig is aan E. 

Wij voeren ter vereenvoudiging de schrijfwijze in: 

en schrijven de eerste vergelijking van {19) als volgt: 



AANHANGSEL. 71 



waarin 

e E er- «2 

P = — 2^ , fl + r= -j (>« + i?) , g r = — . . . {29) 

Daar p klein is, kunnen de drie wortels van /i (§) = O als 
volgt benaderd worden: 

^1 = 5 + 7^^ ' 

«2 = ^' H p , (Sö) 

it3 = {q + r). 

Dan is 

/i (I) = 2 ^ ^^- (?i — u-i) {u — ^i] ) {u — u.) 

(v 

= 2A\l-iq + r)p j 1 (l _ -^^ (u - u,) («, - u). 

De eerste quanta-voorwaarde (26) gaat hiermede, rekening 
houdend met de kleinheid van p, over in: 

/ ( 1 1 rll-^ 1 

nih = [y^2mA 1 n-{g+^')p | — ^^ {^^ — Wi)(^t2 — u) du 

]^ /.Ito 

|/2wJ/) I " |/(tt — wi)(m2 — u) du , 



2 



of 



1 1 1 



nih=\y^ 2'mA 1 — -„- (g + r) p i ^ ^ ('*i + «2 ) — ^r l/ m^ mj 

^ o 

Hierin ui en 1*2 volgens (30) gesubstitueerd geeft: 
?ii h 



= j/ ^m^ jry + r-2l/gr+-i[3(g + r)2-4(/7-]2jj. 
Met p, q en r volgens (29) wordt dit 

1 „1 / m ( 3 e* ^ , ,^„ 2«- | «1 /i 



72 AANHANGSEL. 

De tweede quaiita-voorwaarde, die betrekking heeft op ?;, kan 
uit deze verkregen worden door het teeken van E en § te 
veranderen : 

|/F^^(^-.'-)-«l/Ii+ 

1 \ / m (3 e* 2 «^ ( _ no h 



2A \ A^- " A \ TT 

Wij schrijven hier de derde qnanta-voorwaarde {28) in den vorm : 

2 V'rn.a^^^ (33) 

TT 

Uit deze vergehjkingen {ol), (32) en {33) zijn nu ^ , « en (j 
op te lossen. 

Beschouwen wij even /5. Eene beweging met dezelfde ?ii,n2,n3 
is mogelijk bij £'=0. De daarbij behoorende [j noemen wij /^q- 
Het is duidelijk dat, in verband met de kleinheid van E, (i 
weinig van ^q zal verschillen, in kleine termen dus door /^q zal 
kunnen vervangen worden. Wat p'o betreft volgt, wanneer {32) 
van {31) afgetrokken wordt (voor E=0): 



V 



1 c^ h 

-^ m ^0 ;^ • 2 1^0 = (^H — ^2) - 



terwijl optelling van (37), {32) met inachtneming van {33) geeft: 



V 



„ 972 ^0 ^ • 2>« = ('H + ''1:2 + ^s) — 



zoodat 

/?(^ : X = (7ii — 910) : (n, + no + 9?-,)- 

Optelling van {31) en {32) geeft nu met inachtneming van {33): 



c' 



waaruit verder volgt 

, , , ^ „ 2 TT- x2 m e^ , 
— ^ = — (ni + /ii> + w.3)-2 p h 

3 h^ 

+ -g-(ni — n2)(ni+«2+ï'3) ^2"-^^ E . . . . {34) 



AANHANGSEL. 73 

Daar de drie stukken in welke wij de kinetische energie (13) 
verdeeld hebben, niet negatief kunnen zijn, zoo volgt uit de 
wijze waarop hier de quanta-getallen zijn ingevoerd, dat 7ii , ïio , ns 
niet negatief kunnen zijn. 

Uit (34) volgt nu volgens den regel van Bohr voor de fre- 
quentie van het licht dat uitgezonden wordt wanneer het elec- 
tron van een bewegingstoestand gekenmerkt door de getallen 
ïii,?io,W;3 overgaat tot een bewegingstoestand gekenmerkt door 
de getallen n'i , n'o , n'a : 

I 1 11 2n^x'^me^ , 

" ~ h 



^\{ni-n2){7ii-\-?i2-}-ns)-{n\-n'2){n\ + n'2-^n'.,)\^^E{35) 

O I I TT*' X 7/6 6 

Voor E^=0 krijgen wij (met x =: 1) de formule van Balmer 
terug. Door vergelijking met (50) zien wij dat inderdaad de 
coëfficiënt ook dezelfde is als bij de afleiding van Bohr. 

Verder wordt door (3-5) het STARK-effect zeer mooi weerge- 
geven. Door het aanbrengen van het veld E ondergaat het 
aantal trillingen eene verandering 

o TT^ X m e ( 

. . {36) 
als l 

Z=^{ni — W2) (ni + n2 + n^ ) — (n'i — n'2 ) (^^'i + n'2. + n'3 ) ) 

De splitsing blijkt dus inderdaad (in eerste benadering) even- 
redig te zijn met E. Verder is op te merken dat ni en ?i2,resp. 
n'i en n'o volkomen gelijke rol spelen, zoodat als in een gas op 
zeker oogenblik een aantal overgangen plaats grijpen met be- 
paalde waarden van n^ , ^2 , n^ , n'i , n'2 , n'2, , er evenzoo over- 
gangen zullen zijn, met geen andere verandering in deze ge- 
tallen dan dat wi en 722, en evenzoo n'i en n'2 met elkaar zijn 
verwisseld. Op den eersten term in {35), het van E onafhanke- 
lijke trillingsgetal heeft deze verwisseling geen invloed, maar 
het teeken van Z wordt er, zonder dat de grootte verandert, 
door omgekeerd. Derhalve zullen de lijnen telkens paarsgewijze, 
symmetrisch ten opzichte van de oorspronkelijke, nog niet ge- 
splitste lijn, optreden. 



74 AANHANGSEL. 

Voor waterstof {x = 1) is voor de gewone BALMER-reeks: 

n'i + n'2 + ïi's = 2. 

Verder is voor 

Ha : «1 + no -f W3 =: 3 
iï/3' : wi + W2 + «3 = 4 
ify : 7?i 4~ ^2 4 ■'"«■3 ^= 5, enz. 

üeze waarde van n\ -f- n2 + '^3 voor Ha kan op verschillende 
wijzen tot stand komen. Dit correspondeert daarmede dat de 
//«-lijn in meerdere paren gesplitst wordt. 

Het is verder duidelijk dat het aantal mogelijke wijzen 
waarop wi + tio + na ^= 4 gevormd kan worden, grooter is dan 
het aantal wijzen waarop ni -}- ^2 + 913 = 3 gevormd kan worden. 
H/J zal dus in een grooter aantal componenten gesplitst worden 
dan Hn , Hy in een weer grooter aantal componenten, enz., 
gelijk ook inderdaad door Stark gevonden is. In dit opzicht is 
dus het STARK-effect verschillend van het ZEEMAN-effect, waar 
de verschillende lijnen van eenzelfde reeks dezelfde splitsing 
ondergaan. 

Uit (36') volgt voor de grootte van de splitsing in golflengte 
uitgedrukt : 

8 3T- X m e c 

Wij vinden voor H,, (A = 6562,8 X lO"'^ in lucht), met h — 
6,06X10--', c = 4,77X10-10, - —5,295X101': 

z/^= 8,33X10-11 ZE. 

Bij de proeven van Stark was E l ^= 104000 - ^ ) ^^ 
104000 ,^. .. 

o 

.^X = 2,89 X lO"'^ /^, of als we .Jl in Angström-cenheden aan- 
geven :///. — 2,89 Z A . 

Bij het nagaan welke waarden Z kan hebben moet eene be- 
perking in acht worden genomen. Sommereeld was reeds bij 
de studie van de detailstructuur dei- spectraallijnen (§ 25) em- 
pirisch gekomen tot den regel dat bij den overgang van het 



AANHANGSEL. 75 

electron van eeiie bewegingswijze in eene andere eene toename 
van de quanta-getallen niet zou kunnen voorkomen. Intusschen 
vindt Epstein dat op dien regel uitzonderingen voorkomen, en 
komt hij tot de voorwaarden : 



n 



'i ^ n\ , n'2 < ^2 , ?i'3 < ^3+ 1 , 



waarbij dan het geval n's = ^3+ 1 slechts optreedt als een der 
quanta-sprongen ?ii — n'i of ^2 — n'2 groot is. 

Met inachtneming van deze voorwaarden komen wij voor Ha 
tot de volgende splitsing : i) 



z 


z/A 


Jl 




berekend 


waargenomen -) 


5 


14,4 




4 


11,6 


11,5 


3 


8,7 


8,8 


2 


5,8 


6,2 


1 


2,9 


2,6 












Bij Hy kan Z loopen tot 21 ; inderdaad heeft Stark bij deze 
lijn een veel grooter aantal componenten waargenomen. 

4 (Bldz. 54). Deze stelling, bij welke van de veranderlijkheid 
der massa met de snelheid wordt afgezien — hetgeen intusschen 
voor de deeltjes in de kern niet zonder bedenking is — , kan 
afgeleid worden uit de stelling van het viriaal. Volgens deze ^) 
is voor een stationair stelsel 



1 ., 1 

2 



2: -.. mv^ = —.-^ 2:{Xx +Ytj-\- Zz), 



waarin x ,y , z voorstellen de rechthoekige coördinaten van een 
deeltje, X , Y , Z de componenten van de op dat deeltje werkende 
kracht. De sommen zijn uit te strekken over alle deeltjes van het 
systeem, en verder is gedacht dat men voor de beide leden van 
de vergelijking neemt het gemiddelde over een lang tijdsver- 
loop (of eventueel over eene periode). 



') Bij Ff„ komt het geval «'3 ~ i'23 + 1 niet voor. 

*) J. Stark. BeobaclituTif^en über den Effekt des elektrischen Feldes auf Spek- 
trallinien. V. Feinzerlegung der Wasserstoffserie. Ann. d. Phys. (4) 48(1015), p. 193. 

^) Zie b.v. J. D. van üeu Waai.s. Die Continuitat des gasfürmigen und 
fliissigen Zustandes. Leipzig 1801», p. 5. 



76 AANHANGSEL. 

Werken op de deeltjes alleen krachten die afkomstig zijn van 
aantrekkingen of afstootingen van de andere deeltjes, gericht 
volgens de verbindingslijn, dan kan deze stelling gebracht 
worden in den vorm 

■^ ~x- mv^=^ -^ ^ F r , 

waarin F voorstelt de kracht, positief als zij aantrekkend is, 
tusschen twee deeltjes, welker onderlinge afstand r bedraagt, en 
waarin de sommen zijn uit te strekken over alle paren van 
deeltjes. 

Zijn nu de krachten tusschen de deeltjes te danken aan hunne 
electrostatische aantrekkingen of afstootingen, dan is 



en 

Fr^^ = — u 

r 

als u de potentieele energie van het betreffende paar voorstelt. 
De viriaalstelling gaat dan dus over in 

als T de gemiddelde kinetische en U de gemiddelde potentieele 
energie van het stelsel is. 



H. A. LORENTZ. 

HET MAGNETISME. 

Voordrachten gehouden in Januari 1921, 
bewerkt door W. H. KEESOM. 



I. 

§ 1. Hoewel de verschijnselen van het magnetisme in vele 
richtingen grondig onderzocht zijn, bergen zij toch nog veel 
geheimzinnigs. Zij bieden eene groote mate van verscheidenheid. 
Het zal dus noodig zijn, dat wij ons beperken. Wij zullen dan 
dezen eersten keer ons bepalen tot wat wij zouden kunnen 
noemen de oude of algemeene theorie van het magnetisme. 

Het is wenschelijk dat wij ons daartoe eenige grondbegrippen 
in herinnering brengen. Met name zullen daarbij ter sprake 
moeten komen de magnetisatie, de magnetische kracht en de magne- 
tische inductie. Dit zijn drie grootheden die door richting en 
grootte bepaald worden (vectoren). 

Allereerst de magnetisatie. Om ons eene eenigszins aanschouwe- 
lijke voorstelling te maken kunnen wij, zonder daaraan te veel 
gewicht te hechten, denken aan de oude magnetische fluida, 
of in het algemeen aan twee agentia, noord- en zuid-, of positief 
en negatief magnetisme. 

De werkingen tusschen twee hoeveelheden magnetisme worden 
bepaald door de wet van Coulomb. Wij zullen daarbij de een- 
heden voor de hoeveelheid magnetisme zoo gekozen denken, 
dat de kracht tusschen twee hoeveelheden m en m' op den 
afstand r gegeven wordt door 

m m' 
4 7T r- 



78 



HET MAGNETISME. 




& 



§ 2. De ervaring leert dat het niet mogelijk is een van beide 
soorten van magnetisme afzonderlijk te verkrijgen. In een lichaam 
is altijd evenveel positief als negatief magnetisme. De algebraische 
som der hoeveelheden magnetisme in een lichaam is steeds nul. 
Alleen bevinden zich het noord- en zuidmagnetisme in een 
gemagnetiseerd lichaam niet op dezelfde plaats. 

Als eenvoudigste geval kunnen wij 
'' '^ ons voorstellen twee gelijke en tegen- 
gestelde hoeveelheden magnetisme 
— m en + m in de punten A en B 
(Fig. 1). Deze vormen wat men noemt 
een magnetisch moment. Hieraan 
wordt de grootte m l toegekend, als 
l de afstand AB is; de richting is die 

A^ van A naar B. 
Inderdaad zullen de werkingen, die 

dit sj^steem naar buiten uitoefent, 

evenredig zijn met de hoeveelheden 

m , maar bovendien zullen zij afhangen van den afstand l over 

welken noord- en zuidmagnetisme uit elkander geschoven zijn. 

Wij kunnen nu gemakkelijk de voor het magnetisch moment 

gegeven definitie generaliseeren. 

Bevat een klein ruimtedeel (volume-element) van een lichaam 
van elkaar gescheiden hoeveelheden noord- 
^ en zuidmagnetisme, zoo dat de algebraische 

som nul is, dan zal (Fig. 2) de uitdrukking 



Fig. 'I. 



G 



^ m X , 



Fig. 2. 



^ gesommeerd over alle hoeveelheden magne- 
tisme in dat volume-element, ons eene aan- 
wijzing geven in welke mate noord- en 
zuid-magnetisme in de A'-richting uiteen lig- 
gen. Wij beschouwen evenzoo 2^my en 2'm2, vatten die drie 
grootheden op als vectoren in de A'', Y en Z-richtingen, en 
stellen deze samen tot een enkelen vector. Dit is dan het magnetisch 
moment van het beschouwde volume-element. 

Men ziet gemakkelijk in, dat deze definitie, toegepast op het 
geval van Fig. 1, de aldaar gegeven waarde voor het magnetisch 
moment oplevert. 

Een lichaam is gemagnetiseerd als de volume-elementen ervan 



HET MAGNETISME. 79 

een magnetisch moment hebben; verandert daarbij, zooals wij 
zullen onderstellen, de toestand van het lichaam geleidelijk van 
punt tot punt, dan is op een bepaalde plaats het moment van 
een volume-element evenredig met de grootte van dit laatste. 
Als maat voor de magnetisatie dient het magnetisch moment 
M per volume-eenheid. Is de vector M in elk punt in grootte 
en richting gegeven, dan is de magnetische toestand van het 
lichaam geheel bekend. 

Voorbeelden van gemagnetiseerde lichamen: natuurlijke mag- 
neten (magneetijzersteen), staalmagneten (hoefmagneten, rechte 
magneetstaaf). 

IJzer, gebracht in de nabijheid van een magneetpool wordt 
gemagnetiseerd. 

Ieder lichaam, dat in de nabijheid van een magneetpool gebracht 
wordt, wordt gemagnetiseerd, hoewel in zeer verschillende mate, 
en ook op verschillende wijze. 

Zoo vond Brugmans te Leiden dat bismuth niet op dezelfde 
wijze als ijzer, doch tegengesteld gemagnetiseerd wordt: het 
bismuth is diamagnetisch. 

Fakaday 1) in het bijzonder heeft voor een groot aantal stoffen 
onderzocht, hoe zij gemagnetiseerd worden, en gevonden dat 
zij in dit opzicht tot twee klassen kunnen worden gegroepeerd: 
de paramagnetische en de diamagnetische stoffen. 

§ 3. Een gemagnetiseerd lichaam is in het algemeen een 
gecompliceerd iets. Wat zijne werkingen naar buiten betreft 
kan het in menig opzicht vervangen worden door een meer 
eenvoudige verdeeling van magnetisme. 

Beschouwen wij daartoe eens een magneetstaaf, die in hare 
lengterichting overal ge- 
lijkmatig gemagnetiseerd is, 
zoodat overal de magneti- 



d b L 



satie gelijk gericht en even Fiö^T 

groot is. Vatten wij in het 

oog twee even groote volume-deeltjes ab en bc naast elkander 

(Fig. 3). In a b liggen zuidpolen in het grensvlak a, noord polen 

in het grensvlak b; bc heeft zuidpolen in b, noordpolen in c. 

De werkingen naar buiten van de genoemde noordpolen en 



') M. Faraday. Oq new magnetic actions, and on the magnetic condition 
of all matter. Experimental Researches in Electricity 3, Series 20 and 21, 1845. 



80 HET MAGNETISME. 

zuidpolen iii 6 lieffen elkander, daar zij even sterk zijn, op. 
Voor ab en bc gezamenlijk blijft alleen de werking naar buiten 
over van de polen in a en c. Zoo blijft voor den geheelen magneet 
slechts over het magnetisme in de eindvlakken. 

Is de magnetisatie niet overal even groot, dan wordt het 
resultaat anders. Is b.v. de magnetisatie naar rechts toenemend, 
dan zullen de polen in b c iets sterker zijn dan in a b, en blijft 
in b zuidmagnetisme over. Dan houden wij dus ook nog eene 
verdeeling van magnetisme over het binnenste van het lichaam 
over. 

Wij kunnen dus de M^erkelijke verdeeling van het magnetisme 
vervangen denken door eene „aequivalente verdeeling". Deze 
strekt zich in het algemeen zoowel over het oppervlak als over 
het binnenste van het lichaam uit. Men vindt i) voor de dicht- 
heid dezer verdeeling over het oppervlak 

M. (1) 

n.1. de component van M volgens de naar buiten getrokken 

normaal n (Fig. 4). 

De dichtheid der verdeeling over het bin- 
nenste wordt, als M., , M,/ , M- de componenten 
van M volgens drie onderling loodrechte coördi- 
naatassen zijn, gegeven door 

/ cl Ma: , d M,/ , c» Mg \ ^ 

"" \T^~^ T^ "^T^; • • • -^^^ 

of — div M . 

§ 4. De magnetische kracht H is de kracht 
die op een eenheid noordmagnetisme werkt. Wat het binnenste 
van een gemagnetiseerd lichaam betreft, moet deze definitie 
worden aangevuld door de toevoeging dat die eenheid gedacht 
moet worden in een holte in het lichaam, die de gedaante 
heeft van een nauw kanaaltje in de richting der magnetisatie. 

Voorzoover de magnetische kracht door een magnetisatie 
wordt teweeggebracht, is zij zoowel buiteli als binnen een ge- 
magnetiseerd lichaam gelijk aan de kracht die door de in § 3 ge- 
noemde aequivalente verdeeling van magnetisme wordt uitgeoefend. 

Een magnetische kracht wordt echter ook door electrische 

') Zie het bewijs in het Aauhiingsel onder 1. 




HET MAGNETISME. 



81 




stroomen teweeg gebracht. Ook electriciteitsbeweging brengt een 
magnetisch veld voort. 

Loopt in den rechten draad a b een stroom i dan ondervindt 
een magneetpool in P een kracht (Fig. 5). De 
krachtlijnen zijn concentrische cirkels. 

Denken wij een volgens zulk een lijn loopenden 
ring, en een magneetpool die als een aange- 
regen kraal zich daar langs bewegen kan. Deze 
magneetpool zou zich dan steeds sneller óm 
den draad heen gaan bewegen. 

Wij kunnen nu den arbeid beschouwen, die 
door de magnetische kracht verricht wordt 
wanneer de magneetpool éénmaal geheel om den draad heen 
loopt. Het blijkt dat die arbeid dezelfde waarde heeft, onverschillig 
langs welke lijn de magneetpool om den draad heenloopt, mits 
hij dit slechts eenmaal doet en uitkomt in het punt van 
waaruit hij is vertrokken. 

Er bestaat een belangrijk verband tusschen dien arbeid en 
de intensiteit van den electrischen stroom. Ten einde dat ver- 
band algemeen uit te drukken beschouwen wij een gesloten 
lijn s, en een oppervlak c dat die lijn tot 
rand heeft (Fig. 6). Kies langs s een be- 
paalde richting van rondgang als de positieve, 
b.v. de richting A B CA . Trek verder de 
normaal n aan het oppervlak zoo, dat de 
positieve richting langs s en de richting 
van n bij elkaar passen zooals de draaiing 
en de voortgang van een kurkentrekker. 

Het bedoelde verband wordt dan uitgedrukt door: 

Stelling I : De arbeid der magnetische kracht, als een posi- 
tieve eenheid magnetisme de lijn s in positieve richting door- 
loopt, is gelijk aan de hoeveelheid electriciteit die per tijdseen- 
heid door het oppervlak 7 gaat, die hoeveelheid positief gerekend 
als de stroom naar den door n aangewezen kant gaat. 

§ o. Wat de magnetische inductie betreft zullen wij ons 
lange beschouwingen besparen door eenvoudig als definitie te 
stellen dat de magnetische inductie B gevonden wordt door de 
vectoren M en H samen te stellen (Fig. 7) : 




Fiff. 6. 



B 



H 



M 



(3) 



82 



HET MAGNETISME. 



Aangezien er in het luchtledige, of, als men wil, in den 

aether nooit sprake is van een mag- 
netisatie, zoo is dus in den aether: 




B 



H 



(4) 



Hoofdeigenschap der magnetische 
inductie. Zij is solenoidaal verdeeld, n.1. 
op dezelfde wijze als de verplaatsing of de snelheid in een 
onsamendrukbare vloeistof. 

Dit kan ons op gemakkelijke wijze een beeld geven van het 
beloop der magnetische inductie, zie b.v. Fig. 8 voor een 
magneetstaaf. In een onsamendrukbare vloeistof kunnen wi.j 

lijnen denken die overal de 

richting hebben van de snel- 

, heid. Die lijnen kunnen wij 

■^;^»^^ — — ^^2>*' vereenigen tot buizen, stroom- 

buizen. Door elke doorsnede 
van zoo een buis stroomt in 
gelijke tijden evenveel vloeistof. 
De snelheid is overal in een 
stroombuis omgekeerd even- 
redig aan de loodrechte doorsnede van die buis. 

Evenzoo kunnen wij ons denken inductielijnen, die overal 
de richting hebben van de magnetische inductie. Verder inductie- 
buizen. De grootte van de magnetische inductie is dan overal 
in een inductiebuis omgekeerd evenredig aan de loodrechte door- 
snede van die buis. 

De solenoidale verdeeling van de magnetische inductie kan 
als volgt algebraïsch worden uitgedrukt: 
In het binnenste van een lichaam is 




Fie:. 8. 



div B = O, . . . 
aan de grens van twee lichamen 1 en 2 is 

B „ 1 = B ,r2 , ■ . . 



(5) 



(6) 



d.w.z, de normale component van de inductie blijft onveranderd 
bij overgang van het lichaam 1 naar het lichaam 2. 

Denken wij een oppervlak o-, zooals in § 4 genoemd is (Fig. 6). 
Hebben wij te doen met een vloeistof dan kunnen we spreken 
van den stroom door dat oppervlak. Evenzoo sj)reken we nu 



HET MAGNETISME. 



83 



van de inductie, of van den flux, door het oppervlak heen. Zij 
•wordt op een dergeHjke wijze berekend als het volume van een 
onsamendrukbare vloeistof, dat per tijdseenheid er door zou 
gaan. Men vermenigvuldigt n.1. elk element van 7 met B,j en 
telt al de uitkomsten bij elkaar op. 

Beschouwen wij twee oppervlakken ti en {7.2, die dezelfde 
randlijn s hebben. Evenals bij de strooming van eene onsamen- 
drukbare vloeistof door beide oppervlakken in denzelfden tijd 
evenveel stroomt, zoo zal ook de flux door beide oppervlakken 
even groot zijn. Men kan dus spreken van den flux door de 
randlijn s heen. 

§ 6. Met behulp van de magnetische inductie zijn wij in 
staat de electromotorisclie kracht van inductiestroomen te be- 
rekenen. 

Zij s (Fig. 6) b.v. een gesloten koperdraad. Verandert het 
magnetisch veld, of liever de magnetische inductie, dan ontstaat 
in den draad een inductiestroom. De electromotorische kracht, 
die geacht kan worden dezen inductiestroom te doen ontstaan, 
wordt bepaald door de volgende stelling. 

Stelling II. De electromotorische kracht van inductie (de 
arbeid, door de electrisehe kracht verricht als een eenheid 
electriciteit de lijn s doorloopt) is gelijk aan de vermindering 
per tijdseenheid van de magnetische inductie door s-. 

Bij de toepassing moet de lijn s zich met de materie bewegen. 

De inductiestroomen die ontstaan in geleiders die zich be- 
wegen, kunnen veelal nit het volgende 
theorema worden afgeleid. 

Stelling III. Heeft een punt van 
een geleider de snelheid v dan werkt 
daar een electrisehe kracht, die lood- 
recht staat op V en B, en waarvan de 
grootte door het oppervlak van het 
op V en 8 beschreven parallelogram 
wordt gegeven (Fig. 9). De richting der electrisehe kracht past 
bij die der wenteling van V naar B. 

De componenten dezer electrisehe kracht zijn 




Fio-. 9. 



V. B, 



v„, B,,, v^ B, — Vx B,, V, B 



'j j 



yy B, 



(') 



§ 7. Wij onderscheiden in een magnetisch veld de magnetische 
kracht H en de magnetische inductie B. Wij kunnen ons die als 



84 



HET MAGNETISME. 



oorzaak en gevolg denken. Wij kunnen ons n.1. voorstellen 
dat de magnetische kracht H iets voortbrengt, dat door de mag- 
netische inductie B bepaald is. Wij hebben de eenheden zoo ge- 
kozen dat in den aether dan B = H wordt. 

In een lichaam hebben wij te doen met den aether en boven- 
dien met materie. Dan is de opgewekte magnetische inductie 
grooter dan H, of eventueel (in diamagnetische lichamen) kleiner. 

Het verband tusschen B en H hangt samen met het verband 
tusschen de magnetisatie M en H. Dit verband tusschen M en H 
is in vele gevallen ingewikkeld. 

In eenvoudige gevallen is M evenredig met H en in dezelfde 
richting. Voor eene stof als b.v. ijzer geldt dit alleen, en dan 
nog slechts in bepaalde gevallen (zie verder in deze §) voor 
kleine waarden van H, bij groote niet meer. 

In Fig. 10a is voor het geval dat M evenredig is aan H, de 





Fiff. 106. 



Fig. lOa. 



waarde van M als functie van H door de rechte lijn Oh voor- 
gesteld, zoodat ah de magnetisatie is, die bij de magnetische kracht 
Oa behoort. Het is dan gemakkelijk in de dezelfde figuur B 
als functie van H voor te stellen. Volgens verg. (3) behoort 
b.v. bij de magnetische kracht Oa een inductie, die men vindt 
door ac ^: ah -\- Oa te maken Zoo krijgt men de lijn Oc die 
voor elke waarde van de magnetische kracht de inductie geeft. 

Uit M — ;^ H (8) 



(x constante) volgt, zie verg. (3) : 

B = (1 + X) H 



of 



B 



H 



(«) 



als /< = 1 ~\- ■/■ . 

Fig. 106 geldt voor diamagnetische stoffen, voor welke x negatief 



HET MAGNETISME. 



85 



is. Wij merken hierbij op dat de absolute waarde van ■/. bij alle 
diamagnetische stoffen kleiner (zelfs veel kleiner) dan 1 is, 
zoodat u altijd positief is. 

Men noemt •/. de susceptibiliteit, ,u de permeabiliteit. 

Tevens blijkt dat .« >1 voor paramagnetische stoffen (x > 0), 
en dat .u < 1 voor diamagnetische stoffen {■/. < 0). In den aether 
is jU 3Z 1. 

Voor ijzer wordt het verband tusschen M en H voorgesteld 
door Fig. 11. 

Gaan wij uit van ongemagnetiseerd ijzer en brengen wij een 
aangroeiend magnetisch veld 
aan. De magnetisatie neemt dan 
toe volgens de aanvankelijk naar 
boven gekromde lijn Oa. AVordt 
de magnetische kracht grooter, 
dan neemt ten slotte M in steeds 
geringer mate toe, het ijzer wordt 
verzadigd. Laten wij, nadat een 
zeker punt, b bijvoorbeeld be- 
reikt is, de magnetische kracht 
vreer afnemen, dan volgt M de 
kromme b c, d.w.z. de magnetisatie 
neemt niet weer bij elke waarde van H de waarde aan die zij 
bij het aangroeien van H had, maar zij blijft voortdurend eene 
grootere waarde behouden. Zelfs wanneer H = O geworden is, 
behoudt M eene zekere waarde Oc. Laten wij dan H in tegen- 
gestelde richting aangroeien, dan volgt de magnetisatie de 
kromme ede. Nu H weer latende afnemen tot nul en haar in 
de oorspronkelijke richting weer latende toenemen volgt M 
de kromme cfb. De kromme bcdefgb heet de hysteresiskromme. 

§ 8. Wij zullen nu voor een paar voorbeelden H en B nader 
nagaan. Daarbij zullen wij doen alsof steeds verg. (9) geldt. 
Van de complicatie, die b.v. bij ijzer optreedt, zullen wij daarbij 
dus afzien. 

Beschouwen wij eerst eens een draadklos, die door een stroom 
doorloopen wordt. De magnetische krachtlijnen loopen als in 
Fig. 12 is aangegeven. Zij loopen overal door den vrijen aether. 
Dus is overal B = H, zoodat de krachtlijnen tevens inductie- 
lijnen voorstellen. 

Denken wij nu in den draadklos een ijzeren kern fdie het 




Fig. 11. 



86 



HET MAGNETISME. 




binnenste van den klos geheel vult). De loop van de inductie- 
lijnen blijft bijna ongewijzigd. In het 
ijzer moeten wij echter tusschen 
B en H onderscheiden. Wij zullen 
dit niet nader vervolgen, maar ons 
nog even afvragen, hoe is het ge- 
steld met B en H als draadklos en 
j kern vervangen zijn door een (even 
sterken) stalen magneet. De mag- 
netische kracht buiten den magneet 
is dan dezelfde als in het geval 
van klos met kern. Hoe is het 
echter met de magnetische kracht 
binnen den magneet? 

Is de magnetisatie overal dezelfde, 
zoodat de aequivalente verdeeling 
alleen bestaat uit noord- en zuidmagnetisme aan de eindvlakken, 
dan zien wij onmiddellijk dat H binnen den magneet eene richting 
heeft tegengesteld aan de magnetisatie (zie Fig. 12). Voor een 
niet te korten magneet is deze magnetische kracht intusschen 
betrekkelijk klein, zoodat wij zien, dat B wel is waar kleiner is 
dan M, maar toch nog dezelfde richting heeft als M. De inductie- 
lijnen kunnen dus zeer wel continu rondloopen zooals door de 
solenoidale verdeeling vereischt wordt. Met de magnetische 
krachtlijnen is dat integendeel niet het geval. 

Niettegenstaande in het staal van den permanenten magneet 
een H optreedt, die zelfs tegengesteld is aan de magnetisatie 

(ontmagnetiseerende kracht), blijft 
toch de magnetisatie bestaan Dit is 
wel een zeer duidelijk voorbeeld dat 
in staal M niet als in zwak paramag- 
netische lichamen evenredig aan H 
en daarmee geHjk gericht is. Voor 
het onderhouden van eene magnetisatie 
in staal is de aanwezigheid van een 
magnetische kracht niet noodig. 

Beschouwen we nu een ijzeren ring 
(Fig. 13), geheel bedekt met windingen 
waarin een electrische stroom / loopt 
Het aantal windingen zij //. Trekt men in het ijzer een cirkel. 




I-ig. -13. 



HET MAGNETISME. 



coaxiaal met den ring, dan geeft deze cirkel overal de richting 
van H en B aan. H wordt gevonden door toepassing van stel- 
ling I, n.1. als / de omtrek van den cirkel is, is 



; H = n i, 



dus 



,tt n 



H = -r ï, en volgens (9) B =: '-^ 



l 



(10) 



(11) 



waarbij wij nu, overeenkomstig de opmerking in den aanhef 
van deze §, maar handelen alsof voor ijzer een bepaalde u geldt. 
§ 9. Laat in den ring een nauwe spleet zijn aangebracht, 
begrensd door twee vlakken loodrecht 
op den omtrek (Fig. 14). De wijdte 
der spleet zij 6 ; wat er van den om- 
trek van den cirkel overblijft l. De 
ind actielijnen blijven dooi' de spleet 
ongewijzigd doorloopen, B is in de 
spleet even groot als in het ijzer, ge- 
lijk uit (6) volgt. Nu is in het ijzer 

in de spleet H = B. Stel- 



H 



B 



A* 



ling I geeft dus 
l 




/* 



B + 6 B = 



n t. 



(12) 



Fier. 14. 



waaruit volgt 



jU n 



B = ^i^i, : . . . . (13) 

welke uitdrukking tevens de magnetische kracht in de lucht- 
spleet aangeeft. 

Wij kunnen ook eens denken dat 
wij den ring van Fig. 13 op een 
bepaalde plaats vernauwen (Fig. 15). 
De inductielijnen bezitten deze eigen- 
schap, dat zij liefst zooveel mogelijk 
in het ijzer blijven loopen. Zij wor- 
den dus in het vernauwde gedeelte 
sterk opeen gedrongen. Denkeu wij 
nu op de plaats van deze vernauwing 
een luchtspleet, dan zijn ook hierin Fig. 15. 




c 



88 HET MAGNETISME. 

de inductielijnen dicht opeen gedrongen. Een inductiebuis 
ondervindt bij den overgang uit het ijzer in de spleet een sterke 
vernauwing, en wij krijgen dus in die spleet een 
sterk magnetisch veld. Het is volgens dit beginsel 
dat wij tusschen de toegespitste polen van een 
eiectromagneet een sterk magnetisch veld op- 
*;♦ — wekken. 

1^ § 10. Een rechte ijzerdraad w'ordt door een 

stroom i doorloopen (Fig. 16). Wij denken den 
stroom in den draad over de doorsnede gelijk- 
matig verdeeld. De magnetische kracht is dan 
Fig. 16. volgens cirkels om de as gericht. Zij r de straal 
van zulk een cirkel in den draad, a de straal 
van den draad. Dan is volgens stelling I 

2 7trH=~i, H=^-^,r. 
a- ' 2 TT a- 

Er is dan een circulaire magnetisatie 

Mr=,5r, als i^ -= ^, (14) 

§ 11. Wij kunnen nu met behulp van stelHng II de inductie- 
stroomen berekenen, die ontstaan als in dergelijke gevallen als 
de in de vorige § § behandelde, de magnetisatie ontstaat of 
verdwijnt. 

Wij denken b.v. dat wij in het geval van § 10 den stroom 
in den ijzerdraad doen ophouden door de verbinding met de 
stroombron op te heffen. Het ijzer behoudt dan een groot deel 
van zijn magnetisatie. De magnetisatie blijft n.1. zeer gemakkelijk 
l)ehouden in die gevallen waarin zij een gesloten kring vormt. 

Wij verbinden nu de koperdraden, die eerst van de uiteinden 
van den ijzerdraad naar de stroombron liepen, met een galvano- 
meter, en doen de magnetisatie van den ijzerdraad verdwijnen 
door dezen aan een schok bloot te stellen. Door den galvano- 
raeter vloeit dan een inductiestroom. 

Wij zullen ter berekening van dezen stroom onderstellen, dat 
bij het doen ophouden van den eersten stroom de magnetisatie 
geheel behouden bleef, en dat zij vervolgens door den schok 
geheel verdwijnt. Daarbij valt op te merken dat tegelijk met 
den oorspronkelijken stroom i de magnetische kracht verdwijnt. 



HET MAGNETISME. 



89 



Buiten den draad verdwijnt het veld geheel en er binnen wordt 
de magnetische inductie gelijk aan de in (14) gegeven magnetisatie 
M. Daar van deze tenslotte niets overblijft, bepaalt (14) de ver- 
mindering die de inductie door den schok ondergaat. 

Om nu de door deze vermindering teweeggebrachte inductie- 
stroomen te bepalen, vestigen wij de aandacht op de electrische 
kracht, aan welke in elk punt de stroom evenredig is. Is de 
draad zeer lang in vergelijking met zijn dikte, dan is de inductie- 
stroom in het grootste deel der lengte evenwijdig aan de as 
gericht. Nabij de einden kan ook een electriciteitsbeweging van 
de as af of daar naar toe bestaan. De afstand over welken dat 
het geval is, hoewel klein tegenover de lengte, zal groot zijn 
in vergelijking met de dikte van den cilinder ; de radiale stroom 
vindt dus een veel breederen weg dan de longitudinale en zal 
een veel kleinere electrische kracht dan deze laatste vereischen. 
Op dezen grond zullen wij van de radiale electrische kracht 
afzien, terwijl wij van de longitudinale aannemen dat zij in alle 
punten van een lijn evenwijdig aan de as even groot is. 

Als positieve richting kiezen wij die, in welke de ijzerdraad 
door den oorspronkelijken stroom i werd doorloopen, in Fig. 17 
dooreen pijltje aangewezen; op de plaats van dat pijltje is dan 
de magnetisatie loodrecht op het vlak der teekening naar achteren 
gericht. Wij stellen verder de lengte van 
den draad door l voor, den straal der 
doorsnede weer door a en den afstand van 
een willekeurig punt tot de as door r. De 
electrische kracht E zal een functie van 
dien afstand zijn. 

AVij passen nu vooreerst stelling II toe 
op een langen en oneindig smallen recht- 
hoek zooals men dien in de figuur rechts 
van de as ziet; wij gaan langs den omtrek 
in den zin der beweging van de wijzers 
van een uurwerk, d.w.z. in een richting 
passende bij die van de magnetisatie M. 
Als de beide lange zijden op de afstanden 
r en r H- d r van de as liggen en aan die 
zijden de electrische kracht de waarden E en E' heeft, is de in 
de stelling genoemde „electromotorische kracht" {E — E')l; dit 
moet gelijk zijn aan de vermindering van M per tijdseenheid, 



V\g '17. 



90 HET MAGNETISME. 

vermenisvuldiiid met Idr. Is verder de stroom, d.w.z. de stroom- 
sterkte in een oneindig dunnen lengtevezel, gedeeld door de 
loodrechte doorsnede van dien vezel, s op den afstand r van de 
as en s' op den afstand r^dr, dan heeft men, als <t het ge- 
leidingsvermogen van het ijzer is, s^=oE, s'^=oE', zoodat 

- (s — s') gelijk moet zijn aan de afname per tijdseenheid van 

M, vermenigvuldigd met dr. 

Wat wij willen bepalen is echter niet de electriciteitsbeweging 
op één bepaald oogenblik, maar de geheele stroom die door 
het verdwijnen der magnetisatie wordt opgewekt. Daarom voeren 

wij de integraal jsdt in, uitgestrekt over het te beschouwen 

tijdsverloop. Noemen wij deze S en behoort op dezelfde wijze 
*S' bij den stroom s', dan volgt uit het zooeven gezegde dat 

- {S — S') gelijk is aan de geheele vermindering van M, vermenig- 
vuldigd met dr. Dus, als men S — S' door — ;7~^^' vervangt, 

r- dr = pr dr, 

a dr 

waaruit volgt ' 

S= — y(^<>r2+C (15) 

Om de integratieconstante te bepalen moeten wij stelling II 
toepassen op een kring waarvan de sluitdraad deel uitmaakt, 
b.v. langs dezen draad van het middelpunt van het bovenvlak 
van den cilinder naar het middelpunt van het benedenvlak 
(positieve richting in den draad) en dan in het ijzer, vlak langs 
het oppervlak, van het laatste punt naar het eerste terug, volgens 
een weg die uit een straal van het grondvlak, een beschrijvende 
lijn en een straal van het bovenvlak is samengesteld. Daar 
buiten het ijzer geen magnetische inductie bestaat, moet de 
„electromotorische kracht" voor dezen kring nul zijn. 

De bijdrage van den sluitdraad tot deze electromotorische kracht 
wordt gevonden door de oogenblikkelijke stroomsterkte met den 
weerstand iv te vermenigvuldigen en voor de bijdrage van het 

overige deel van den kring kan men schrijven -Sa, als Sa de 



HET MAGNETISME. 91 

waarde van s voor r ^= a is. Dus, als men weer tot de tijd- 
integralen overgaat, en den totalen stroom in den sluitdraad 
door / voorstelt 

(T 

of volgens (15) 

Iio — ~(Ua^^-C-0 (16) 

Hiermede is het doel bereikt als wij nog bedenken dat wegens 
de onsamendrukbaarheid der electriciteit / gelijk moet zijn aan 
den stroom door de volle doorsnede van den ijzerdraad, dus, als 
men w^eer van (15) gebruik maakt, 

1=271 r Srdr = — ~7TiUa^-+7ra'^C. 
J o 4 

Substitueert men dit in (16), dan krijgt men een vergelijking 
waaruit C kan worden opgelost. Ten slotte, als men nog in plaats 
van (7 den weerstand 



n a-a 



van den ijzerdraad invoerd, gaat (15) over in 

s=lir_ir!+l!fi+l^-] (17 

nw l '2 a- 4 w -\-iv J V 

In de as van den ijzerdraad heeft deze stroom derhalve de 
positieve, aan den buitenkant van den draad heeft hij de negatieve 
richting. Er heeft dus in den draad een rondstroomen der electrici- 
teit plaats. 

§ 12. Maxwell i) heeft doen zien dat de krachten die op 
gemagnetiseerde lichamen werken, kunnen worden opgevat als 
voortvloeiende uit spanningen (eventueel drukkingen) in het 
omringende medium (de aether of een vloeistof of gas zonder 
merkbare magnetisatie). Die spanningen of drukkingen zijn op 
verschillende wijzen te ontbinden, wellicht het eenvoudigst in 
(Fig. 18): 

a. een normale druk -^ H^ per vlakte-eenheid ; 



') J. C. Maxwell. On Physical Lines of Force. Phil. Mag. (4) '21, p. '161 
1861. Scientific Paper? 1, p. 451. 



92 HET MAGNETISME. 

b. een kracht langs de krachtlijnen naar buiten werkende, 

en waarvan de grootte per vlakte-eenheid 
] ^^'^ H- cos iy bedraagt, als x> de scherpe 
■^-" hoek tusschen de krachtlijn en de nor- 




Ct:^ 



7 / / /y /7" ï^aai is. 

Zoo worden de zii vlak ken van de in 

Fi o- i 8 

^' ■ § 9 genoemde spleet naar elkaar getrok- 

ken met een kracht -^ H- per vlakte-eenheid. Het is alsof de tus- 
schen die zijvlakken loopende krachtlijnen gespannen koorden 
waren. Bij een krachtigen electromagneet kan de kracht, 
waarmede de poolschoenen naar elkander toe worden getrokken, 
meer dan lOÖ K.G. per cm^. bedragen. 

De onder b genoemde kracht heeft ook een tangentieele com- 
ponent. Het is deze component, die zich tegen de beweging van 
den ring van een dynamo verzet. Ook komt deze tangentieele 
component te pas bij de unipolaire inductie. 

§ 13. Unipolaire inductie. Een permanente magneet heeft 
de gedaante van een omwentelingscilinder en kan 
om zijne as wentelen (Fig. 19). Daarbij ontstaat 
een stroom in een stilstaande keten die twee 
sleepcontacten, het eene in het midden van een 
eindvlak en het andere in een punt van het cilinder- 
oppervlak, met elkaar verbindt. 

Over het ontstaan van dezen stroom zijn de 

meest uiteenloopende theorieën en verklaringen 

gegeven. De verklaring is eenvoudig wanneer men 

Fig. -19. denkt aan de electrische kracht, die op grond van 

stelling in ontstaat doordat de deeltjes van den 

magneet zich bewegen in het veld van de inductie B te danken 

aan den magneet zelf. 

Volgens die voorstelling is dus bij deze proef de zetel van de 
electrische kracht die de electriciteitsbeweging veroorzaakt, in 
den magneet. Wij kunnen ook den magneet in rust laten en 
denken dat de draad die de sleepcontacten verbindt, ronddraait 
om den magneet. Wij krijgen dan een zelfde electriciteitsbe- 
weging. In dit geval moeten wij ons voorstellen dat de zetel 
van de electrische kracht zich bevindt in den draad (die zich 
in het magnetisch veld van den magneet beweegt). 

Het is duidelijk dat bij den eerstgenoemden vorm van de 



HET MAGNETISME. 



93 




Fig. 20. 



proef arbeid zal moeten verriclit worden om den magneet rond 
te wentelen. Immers het opwekken van den electrischen stroom 
kost noodzakelijk arbeid. Men kan nu vragen: welke zijn dan 
de krachten die zich tegen de beweging van den magneet ver- 
zetten? Stelt mende magnetische krachten, 
die bij den permanenten magneet behooren, 
samen met de tangentiaal gerichte mag-' 
netische krachten, die voortvloeien uit den 
opgewekten electrischen stroom (§ 10), dan 
blijkt (Fig. 20) dat de krachtlijnen een 
zoodanigen loop hebben, dat de in § 12 5 
genoemde krachten een koppel opleveren, 
dat zich tegen de beweging verzet. 

Leiden wij opzettelijk een stroom door den magneet door in 
den verbindingsdraad een stroombron in te schakelen, dan zullen 
de zooeven genoemde krachten den magneet doen rondwentelen. 

Een mooi vraagstuk, waarbij stelling III toepassing vindt, is 
het volgende. Een geleidende bol bevindt zich in een homogeen 
magnetisch veld (in de richting van de F-as 
in Fig. 21) en wentelt met standvastige 
snelheid om een lijn loodrecht op de mag- 
netische kracht (om de A'-as in Fig. 21). 
Welke inductiestroomen ontstaan dan in 
den bol? 

Het blijkt, dat de electriciteit gaat rond- 
loopen om de Z-as. De bol werkt tengevolge 
van die stroomen naar buiten als een kleine magneet met de 
magnetische as in de richting van de Z-as. 

Verder kan berekend worden de arbeid die verricht moet 
worden om den bol te doen draaien. Deze arbeid moet gelijk 
zijn aan de warmte die in den bol wordt ontwikkeld i). 

§ 14. Om den magnetischen toestand van een lichaam te 
veranderen, moet men een zekeren uitwendigen arbeid verrichten. 
Wij kunnen b.v. denken aan een staaf ijzer, die wij in de 
lengterichting magnetiseeren door een stroom te laten gaan 
door een spoel, die de staaf omringt. Wanneer, zooals in dit 
geval, B en H dezelfde richting hebben, is die arbeid voor eene 
oneindig kleine verandering per volume-eenheid 



H 



Er? 

Fig. 21. 



H 



H 



') Zie het Aanhangsel onder 2. 



94 HET MAGNETIME. 

H(iB (18) 

Deze uitdrukking is te vergelijken met dergelijke uitdrukkingen 
die wij in de thermodynamica ontmoeten, zooals de arbeid om 
een draad uit te rekken: Pdl; of een gas samen te drukken: 
— p dv . 

Zij vormt den grondslag van de thermodynamisclie theorie 
der magnetische verschijnselen. Men kan er de hoeveelheid 
warmte uit afleiden, die in een lichaam met hysteresis bij het 
doorloopen van een magnetischen cyclus ontwikkeld w^ordt. 

In het eenvoudige geval dat in 

B = u H 

Il constant is, gaat (18) over in 

uHdH, 

en vinden wij voor het magnetische arbeidsvermogen per volume- 
eenheid 

Y,«H2 (19) 

Men komt zoo tot de conclusie dat zich in elk lichaam dat 
gemagnetiseerd is, magnetisch arbeidsvermogen bevindt. Maar 
ook daarbuiten, overal waar het magnetische veld zich uitstrekt, 
is arbeidsvermogen. Is dan ,it =: 1 , dan bedraagt het magnetisch 

arbeidsvermogen — H- per volume-eenheid. Zoo bevindt zich 

ook eene door deze formule bepaalde hoeveelheid magnetisch 
arbeidsvermogen in het veld van het aardmagnetisme. 

Men kan zich de vraag stellen : hoeveel arbeidsvermogen be- 
vindt zich in het veld van een staalmagneet, of in dat van een 
geleiddraad, waarin een stroom loopt? 

Ook al wil men niet van een aether als drager van dat veld 
spreken, dat arbeidsvermogen is er in ieder geval. 

Betreflende den aard van het magnetisch arbeidsvermogen 
lieeft men zich wel voorgesteld, dat het zou zijn kinetische 
energie, eigen aan verborgen bewegingen in het magnetische 
veld. Men heeft zich zelfs wel bediend van het beeld van een 
stelsel van tandraderen, om de aanwezigheid van dat magnetisch 
arbeidsvermogen in het veld te illustreeren. 



HET MAGNETISME. 95 

Intusschen heeft Maxwell een mooi hoofdstuk i) in zijn 
„Treatise" er aan gewijd om, zonder precies na te gaan wat 
het wezen van het magnetische veld is, conclusies te trekken 
uit de onderstelling, dat het magnetisch arbeidsvermogen een 
vorm van kinetische energie is. 

Maxwell beschouwt b.v. twee stroomgeleiders, waarin de 
stroomen ii en ^2 loopen. De magnetische kracht in een punt 
in het veld van die beide stroomen, zal dan gevonden worden 
als de resultante van twee krachten, die resp. evenredig zijn 
aan ii en i^, en in het algemeen een zekeren hoek met elkander 
maken. Berekent men voor een volume-element het magnetisch 
arbeidsvermogen volgens (19), en sommeert dan over het geheele 
veld, dan is het duidelijk, dat men voor het geheele magnetische 
arbeidsvermogen van het stelsel verkrijgt eene uitdrukking als 

T=~Lyi\ + MHi2 + ^L,il (20) 

Hierin zijn Li en Ln de coëfficiënten van zelf inductie der beide 
stroomgeleiders, 31 is de coëfficiënt van wederkeerige inductie. 

Maxwell heeft dan laten zien hoe men, de magnetische 
energie als kinetische energie opvattende, uit de algemeene 
bewegingsvergelijkingen der mechanica de inductiestroomen en 
de krachten die op de lichamen werken, kan afleiden. 

§ 15. Als voorbeeld daarvan behandelen wij het volgend 
eenvoudige geval. Een ijzerdraad die aan een vast punt is op- 
gehangen (door een gewicht gestrekt), wordt door een stroom 
-il doorloopen, terwijl een tweede stroom i^ geleid wordt door 
een spoel die den draad omringt. Door een koppel dat op het 
benedeneinde werkt, kan de draad worden getordeerd. 

Zij « de hoek waarover het benedeneinde gedraaid is. De 
magnetische eigenschappen van het ijzer zijn dan door de 
samendrukkingen en uitrekkingen, die bij de torsie in den 
draad zijn opgetreden, iets gewijzigd. Onder deze omstandigheden 
komt in de uitdrukking voor het magnetische arbeidsvermogen 
een term voor van den vorm 

Cttiii, (21) 

Hieruit kan het volgende worden afgeleid: 



') J. C. Maxwell. Electricity and Magnetism. Vol. II, ch. VII. 



96 HET MAGNETISME. 

a. Als er in de keten waarvan de draad deel uitmaakt, geen 
stroom is, brengt verandering van « of van io een inductie- 
stroom in die keten teweeg. Electromotorische kracht: 

-C'^P^ (22) 

d t 

b. Eveuzoo, als in de spoel eerst geen stroom is, geeft ver- 
andering van « of il een inductiestroom in de spoel. Electro- 
motorische kracht: 

c. Is eerst ii=^0 , i^ = en de draad niet getordeerd, dan 
heeft het ontstaan van de beide stroomen een wringing ten 
gevolge. Tordeerend koppel : 

Ciii^ (24) 

Men verkrijgt deze uitkomsten door toepassing van de ver- 
gelijkingen van Lagrange : 

d 'èT 'èT 

dfè X ~èx' 

als T de kinetische energie van het beschouwde systeem voor- 
stelt, uitgedrukt als functie van de coördinaten x en de snelheden 
x; t é.Q tijd en X de uitwendige kracht die werkt op de coördinaat 
X, d.w.z. den factor, waarmede dx moet vermenigvuldigd worden 
om bij eene kleine verandering van x den arbeid te verkrijgen, 
die daarbij door de uitwendige krachten op het systeem ver- 
richt wordt. 

In het beschouwde voorbeeld is 

T^-^^ L,i\ + \ L, i\ + Cui, i, + y Q«2. 

De laatste term stelt het mechanische arbeidsvermogen van 
beweging, beantwoordende aan de hoeksnelheid « voor. In den 
' derden term is C « de coëfficiënt van wederkeerige inductie. 
Die coëfficiënt is nul als de draad niet getordeerd is, en kan 
voor niet te groote waarden van den wringingshoek evenredig 
daarmee worden geacht. 

De eerste drie termen te zamen zijn een quadratische functie 



HET MAGNETISME. 97 

van de snelheden der bewegingen waarmede de electrische stroom 
gepaard gaat. Wij kunnen ons n 1. voorstellen dat de stand van 
alle deeltjes die aan deze bewegingen deelnemen, bepaald is door 
de hoeveelheden electriciteit die van één of ander beginoogen- 
blik af door een doorsnede van den eersten en den tweeden 
geleider zijn gegaan. Deze hoeveelheden, die wij xi en x^ zullen 
noemen, kunnen (met «) als coördinaten worden ingevoerd ; de 
er bij behoorende snelheden xi en X2 zijn niet anders dan de 
stroomsterkten ii en i^. 

In de vergelijking van Lagkange kunnen wij voor x achter- 
eenvolgens nemen x'i, ^'2 en «; wij vinden dan de aan deze 
coördinaten beantwoordende krachten Xi, X^ en A, die van 
buiten af op het systeem moeten werken om den toestand, dien 
men in het oog wenscht te vatten, te doen bestaan. Van de 
drie krachten is A een koppel, terwijl X\ en X2 „electromotorische" 
krachten zijn ; dit volgt hieruit, dat de producten van X\ en 
X2 met veranderingen van 2-1 en a-o, dus met doorgestroomde 
hoeveelheden electriciteit, arbeiden moeten voorstellen. 

Men vindt nu vooreerst 

Xx = -^^{LiH^ Ca [2), 
dus, als wij steeds -ii ^ O willen houden, 

Als deze electromotorische kracht moet werken om de eerste 
keten stroomloos te houden, mogen wij besluiten dat als zij 
niet werkt, een stroom in de keten bestaan zal, en wel juist de 
stroom die in gewone omstandigheden (als io er niet was) door 
een electromotorische kracht gelijk en tegengesteld aan Xi zou 
worden voortgebracht. Dit is de in {22) uitgedrukte uitkomst. 

Tot (23) komt men op dezelfde wijze. Eindelijk vindt men 

A ^= Qa — C il il . 

Om den draad ongetordeerd te houden is dus een uitwendig 
koppel — Ciii^ noodig. Is dat koppel er niet, dan zal de torsie 
ontstaan, die een gelijk en tegengesteld koppel bij afwezigheid 
der stroomen zou teweegbrengen. 




98 HET MAGNETISME. 



II. 

§ 16. Wij zagen den vorigen keer reeds (zie in het bijzonder 
§ 4) welke nauwe samenhang er bestaat tusschen magnetische 
verschijnselen en electrische stroomen. Op grond van dien 
nauwen samenhang stelde Ampère i) in 1S20 zijne theorie van 
het magnetisme op. Volgens deze theorie zijn de magnetische 
momenten der volume-elementen van gemagnetiseerde lichamen 

hieraan te danken, dat om elk molecuul 
een electrische stroom in een kring 
loopt. 

Een stroom i in een cirkel met den 

straal a oefent op afstanden die groot 

zijn in vergelijking met a dezelfde wer- 

j kingen uit als een magneet in het 

Yi„[ 22. middelpunt, loodrecht op het vlak van 

den cirkel gericht, en met een moment 

gelijk aan het oppervlak van den cirkel vermenigvuldigd met 

de stroomsterkte : 

m = 71 a~i (25) 

De richting van het moment past bij die van den stroom (Fig. 22). 
Daarbij is het volstrekt niet noodig dat in een volume-element 

van een gemagnetiseerd lichaam alle kringstroomen in onderling 

evenwijdige vlakken loopen. Het 
is voldoende als er maar eenige 
oriënteering is. 
*<^v,^^^ Wij kunnen eiken kringstroom 

vervangen denken door den aequi- 
valenten magneet, in Fig. 23 
door pijltjes aangeduid. Hebben 
wij nu een verzameling kring- 
stroomen, in allerhande richtingen 

georiënteerd, dan zullen wij de magnetische momenten van 

alle aequi valente magneten (Fig 24) hebben samen te stellen. 



^ 1 © 




') Ampère. Sur l'action mutuelle entre deux courants électriques, entre 
un courant électrique et un airaant ou Ie globe terrestre, et entre deux 
aimants. Ann. chim. phys. 15, p. 59, 170. 1820. 



HET MAGNETISME. 99 

Ten einde de component in zekere richting van het resulteerende 
magnetisch moment te leeren kennen, kunnen wij van de 
magnetische momenten van al die aequivalente 
magneten de componenten in de richting van die \ ; f^, 
lijn zoeken en deze (algebraïsch) optellen. Winnen ^ ^_-^ 
b.v. in Fig. 24 de naar boven gerichte componenten ^ ^^ / 
het van de naar beneden gerichte, dan is er een ^ , ! , 
resulteerend magnetisch moment naar boven. / !\ ' 

Zijn de kringstroomen volkomen willekeurig ge- 
richt, zoodanig dus dat er in de richtingen der 

. . Fif. 24 

magnetische momenten der aequivalente magneten ®' 

geen enkele voorkeur is, dan is er geen resulteerend magnetisch 
moment. 

§ 17. De kringstroom kan in een rondloopen van één of 
meer, stel van n electronen, alle met dezelfde lading e en dezelfde 

V 

snelheid v bestaan. Elk electron gaat per seconde ^r maal 

ZTc a 

door een vast punt van den cirkel. Dus 

n V e 



Uit (25) volgt dan 



2 TT a'- 



vn'=^neav (26) 



Men komt tot eene belangrijke gevolgtrekking, wanneer men 
deze uitdrukking in verband brengt met het moment van 
hoeveelheid van beweging dier electronen. Zij de massa van 
een electron m. Dan is dat moment van hoeveelheid van 
beweging : 

q=r nmai) (27) 

Dus 

q = ^-m (28) 

Dit verband tusschen het magnetisch moment en het moment 
der hoeveelheid van beweging kan worden uitgebreid tot een 
stelsel van deeltjes, elk door electronen omloopen, al hebben de 
vlakken waarin dit plaats heeft, verschillende richtingen. 



100 HET MAGNETISME. 

Dat in een gemagnetiseerd lichaam een met liet magnetisch 
moment M evenredig moment van hoeveelheid van bewegins: 

*? /Il 

Q =: -- M (29) 

e 

bestaat, is door de proef van Einsteix en W. J. de Haas i) 
aangetoond. Wat deze proef betreft zij verwezen naar de in 
1918 gehouden voordrachten -). Slechts zij hier opgemerkt, dat 
uit de stelling dat het totale moment van hoeveelheid van be- 
weging van een systeem onveranderd blijft als er geen krachten 
op het systeem werken, die een koppel teweeg brengen, volgt 
dat bij het ontstaan der magnetisatie de materie van het lichaam 
een moment van hoeveelheid van beweging krijgt 

— Q-_^^M (30) 

e 

Het optreden van dit moment van hoeveelheid van beweging 
vormde het door Einstein en de Haas aangetoonde verschijnsel. 

Daarbij beantwoordt de richting van het effect aan de op- 
vatting dat het negatieve deeltjes zijn, die rondloopen. Ook de 
orde van grootte van het verschijnsel kwam vrijwel uit. Latere 
proeven door anderen schijnen echter te wijzen op een effect 
waarvan de grootte de helft is van hetgeen op grond van (30) 
verwacht werd 2). Eene herhaling dezer proeven is gewenscht, 
voordat hieromtrent nadere conclusies getrokken worden. 

§ 18. Wij komen nu tot de vraag: hoe worden de kring- 
stroomen of hoe wordt de meer of minder regelmatige orienteering 
dier kringstroomen teweeggebracht, aan welke volgens de beide 
vorige §§ de lichamen hunne magnetische eigenschappen te danken 
hebben ? Konden wij op deze vraag een volledig antwoord geven, dan 



') A. Einstein en W. J. i»e Haas, ProefonileiviiidelijU bewijs voor liet 
bestaan der moleculaire stroomen van Ampkrk. Versl. K. Akad. van Wet. 
Amsterdam '23, p. 1449, 1915. 

^) H. A. LoRENTZ. De electronentheorie. Drie voordrachten, gehouden in 
Teyler's Stichting in Octobor 1918. § If). 

') E. Heck. Ziim experimentellen Nacluveis der Ain])éresclien Molokuhir- 
ströme. Ann. d. i'l.ys. (4) GO, p. 1ü9. 19J9. Physik. Z.S. 20 p. 490, 1919. 
G. Arvmjsson. Eine Untersuchung iiber die Ampéreschen Molekularstrftme 
nach der Methode vdii A. Einstein und W. .1. dk Haas. Physik. Z.S. 21, 
p. SI, 1920. 



HET MAGNETISME. 



101 



waren wij in het bezit van eene uitgewerkte theorie over de 
magnetisatie. Men kan het nu in deze richting een heel eind 
brengen voor M'at betreft de diamagnetische hchamen. De para- 
magnetische lichamen bieden veel grooter moeilijkheden. 

Voor het diamagnetisme is eene theorie gegeven door Wilhelm 
Weber ^). Het ontstaan van een magnetisch veld brengt in een 
cirkelvormigen geleider, waarvan het vlak loodrecht op de 
krachtlijnen staat, een inductiestroom te weeg, waarvan de 
richting tegengesteld is aan de bij de magnetische kracht passende. 

Bezat die geleider geen weerstand (zooals dat bij de supra- 
geleiders van Kamerlingh Onnes bijna het geval is) dan zou 
de eenmaal opgewekte inductiestroom voortdurend blijven 
rondloopen. 

Dezelfde electrische krachten die aanleiding geven tot het 
optreden van den inductiestroom in bovengenoemden geleider, 
kunnen bij het opwekken van het veld de electriciteit aan het 
rondloopen om de moleculen brengen. Daarbij denken wij dan 
dat zich tegen dit rondloopen van de electriciteit om de mole- 
culen geen weerstand verzet, zoodat deze stroomen om de moleculen, 
zoolang zij niet door nieuwe inductie 
gewijzigd worden, onverzwakt blijven 
doorloopen. 

Geeft in Fig. 25 H de richting aan 
van het magnetisch veld dat ontstaan 
is, dan wordt door den pijl langs den 
cirkel aangegeven de richting van den 
opgewekten eiectrischen stroom. Deze 
stroom is, wat zijn magnetische wer- 
kingen betreft, aequivalent met een 
magneetje, waarvan het magnetisch 

moment eene richting heeft, die tegengesteld is aan die van 
H (Fig. 25). Eene verzameling van dergelijke stroomkringen 
beantwoordt dus aan de eigenschappen die een diamagnetisch 
lichaam verkrijgt als het in een magnetisch veld gebracht wordt. 

Berekening van het opgewekte moment. Laat het aange- 
brachte veld de richting hebben van de Z-as; de magnetische 




Fig. 25. 



') W. Weber. Ueber den Zusammenliang der Lehre vom Diamagne- 
lismus mit der Lehre von dein Magnetisnius und der Elektricitat. Pogg. 
Ann. 87, p. 145, 1852. Ook in: Elektrodynamische Massbestimmnngen, 
Leipzig, -1852. 



102 



HET MAGNETISME. 



H 



^2^ 



z 



kracht H zij met den tijd veranderlijk. Laat een electron ge- 
noodzaakt zijn bij zijn beweging op een cirkel te blijven in 
een vlak loodrecht op de Z-as en met het middelpunt op die 

as. De straal van den cirkel zij 
a (Fig. 26). Wij kiezen de positieve 
richting langs den cirkel pas- 
sende bij de richting van H. De 
electrische kracht E is langs den 
cirkel gericht, en wordt volgens 
stelling II bepaald door 

dH 

dt' 



•^ 



2iiaE — 



n a2 



Fis. 26. 



E = 



dW 



Y'"'!! 



De bewegingsvergelijking van het electron wordt dan 



dv ^ 1 dH 

dt 2 dt 

Als dus vóór het aanzetten van het veld v 
heeft men later 



V = Vo 



1 e ^, 

-K-a- H 

2 «i 



vo was, dan 



(31) 



Was vóór het aanzetten van het veld het magnetisch moment 
nio, dan is er tenslotte volgens (26) een magnetisch moment 

1 



m 



nio — 



a- e- 



H 



771 



(32) 



Maakt de normaal op het vlak van den cirkel een hoek .'» met 

de richting van het veld (Fig. 27), dan wordt 




m 



mo 



1 a^é' 



— H cos t'> , 



(33) 



4 m 

Stel het lichaam bevat een groot aantal 
deeltjes, N per volume-eenheid, elk met een in 
een cirkel rondloopend electron. De vlakken der 
cirkels hebben alle mogelijke standen, zonder 
voorkeur voor een bepaalde richting, en de 
oorspronkelijke bewegingen zijn zoo dat de 
momenten mo eikaars werkingen ophefien. 
De door het veld opgewekte momenten geven te zamen een 



Fit 



HET MAGNETISME. 103 

moment tegengesteld aan de veldrichting. Voor één deeltje is 
de component van het moment in de veldrichting 

_ _L :^_L H cos2 O- (34) 

4 m 

en voor de volume-eenheid is 

M = -4-'^H^^cos20z=_-i-^^H, . . . (35) 
4 m 12 m 

daar cos- & de gemiddelde waarde -^ heeft. 
Hieruit volgt voor de susceptibiliteit 

y. = --^N"^ (36) 

12 m 

§ 19. Intussclien is een van de onderstellingen, waarop de 
verklaring van het diamagnetisme in de vorige § gebaseerd 
is, moeilijk houdbaar. Namelijk deze, dat er voorgeschreven 
cirkelvormige banen zouden zijn, in welke de electriciteit, dat 
zijn dus de electronen, om de moleculen of atomen zou moeten 
rondloopen. 

De onderstelde electronen zijn er wel. Immers, volgens de 
voorstellingen die Rutherford en Bohr hebben uitgewerkt, 
bestaat het atoom uit een positieve kern, waaromheen electronen 
loopen. Deze electronen zijn echter, behoudens de krachten die 
de kern en de andere electronen op elk van hen uitoefenen, 
geheel vrij in hunne beweging. Intusschen kan de ver- 
klaring van het diamagnetisme hiervoor pasklaar gemaakt 
worden. 

Wij zullen dus hebben na te gaan hoe een atoom van Bofir 
zich gedraagt in een magnetisch veld. Wij kunnen daartoe ge- 
bruik maken van een mooie mathematische stelling. 

Wanneer een atoom zich bevindt in een magnetisch veld, dat 
wij van nul af laten aangroeien, dan kunnen wij de beweging 
van de electronen rondom de kern het best beschrijven, wanneer 
wij een wentelend coördinatenstelsel gebruiken. 

Kies den oorsprong der coördinaten {x, y, z) in de kern, de 
2 -as in de richting van H- Voer een tweede coördinatenstelsel 



104 



HET MAGNETISME. 



(x,' y,' z) in, dat dezelfde 2 -as heeft, maar dat ten opzichte van 

het eerste om die as met rle hoeksnelheid 




to 



2 m 



(37) 



Fiff. 28. 



wentelt (Fig. 28). Die hoeksnelheid neemt 
tegelijk met H van nul af toe. 

Volgens de bedoelde stelling is dan de 
beweging der electronen ten opzichte van het wentelende assen- 
stelsel dezelfde als zij, zoo er geen magnetisch veld was, ten 
opzichte van de stilstaande assen zou zijn i). Bij de afleiding 
van deze stelling zijn termen evenredig met H^ verwaarloosd. 
De electronen krijgen dus in een magnetisch veld aan hunne 
beweging eene draaiing toegevoegd, waarvan de hoeksnelheid 
door (37) gegeven wordt. Uit (26) volgt dan voor het magnetisch 
moment van een deeltje 

— I^IH vr2 (38) 

4 m 

als r de afstand van een electron tot de door de kern gaande 
2 -as is, en de som over al de electronen wordt uitgestrekt. 

Wij kennen van een aantal diamagnetische stoffen de suscep- 
tibiliteit, verder zijn e en m voor het electron bekend, en ken- 
nen wij het aantal moleculen of atomen dat b.v. in 1 c\P. aan- 
wezig is. Dan geeft (38) het middel om voor het molecuul 
of atoom -T r~ te berekenen. 

Voor waterstof vindt men aldus'-) voor een molecuul: 

^r" - 1,24X10-10, 

of voor elk van de electronen, zoo zij even groote cirkels 
om de Z-as beschrijven : 

r^rrr 0,62X10 -16, of r^0,8X10-8 cm. 
Voor bismuth •"^) vindt men voor een atoom: 

^r"- —mx 10-16, 

') Voor de afleiding zie men het Aanhangsel onder 3. 
*) Berekend uit x = — 0,180 X 10"^* voor vloeibare waterstof (dichtheid 
0,07) volgens Kamerlingh Onnes en Perrier, (Comm. Leiden No. 122a) 

- = 1,77 X 10^ e. in. e., e = 4.77 X 10"'" e. st. e. = 1.59 X^0~*° e.m.e. 

(verg. H. A. Lore.stz. Do eiectronentheorie. Teyler voordrachten 1918, p. 16 
en 23), en het getal van Avogaüro : N =6,06 X 10*^ 
3) y.z= - 13,25 x10~« bij 20'-" C. volgens P. Curie. 



HET MAGNETISME. 105 

of daar het aantal electronen = het atoomnummer = 83, ge- 
middeld voor een electron 

9-2 — 0,8 X 10 - lö of r — 0,9 X 10 -^ cm. 

Deze uitkomsten zijn redelijk te noemen. 

Is aldus het diamagnetisme verklaard, dan kan men zoo ook 
rekenschap geven van het effect van Einstein en de Haas 
voor diamagnetische lichamen, voor welke het trouwens nog 
niet gevonden is. 

§ 20. De verklaring van het paramagnetisme is, zooals wij 
reeds zeiden, nog lang niet zoo ver gevorderd. Voor het para- 
magnetisme is eveneens eene theorie gegeven door Wilhelm 
Weber. Deze theorie vereischt echter weer vaste kringen in of 
aan de moleculen resp. atomen. 

In die vaste kringen loopen bij de paramagnetische lichamen 
volgens de genoemde theorie praeexisteerende electrische stroo- 
men. Gedacht wordt weer dat die stroomen geen weerstand 
ondervinden, zoodat zij voortdurend blijven rondloopen. 

Wordt een stroomkring, waardoor een electrische stroom loopt, 
in eén magnetisch veld gebracht, dan ondervindt die stroom- 
kring in het algemeen een koppel. Hij zal trachten zich lood- 
recht op de magnetische krachtlijnen te plaatsen. 

Volgens de theorie van Weber vormen nu de moleculen, 
met de genoemde electrische stroomen daarin in vaste kringen 
rondloopend, dergelijke draaibare stroomkringen, die zich in het 
magnetisch veld trachten te richten. M. a. w. de moleculen ge- 
dragen zich als kleine permanente magneetjes. 

In den natuurlijken toestand, d. w. z. buiten een magnetisch 
veld, zijn die magneetjes in allerhande richtingen geplaatst. 
Komen zij onder den invloed van een magnetische kracht, dan 
tracht deze hen parallel te richten. 

Volgens ons tegenwoordig inzicht in den bouw der atomen 
en moleculen hebben wij echter in deze niet zoo iets als die 
vaste kringen. Dit zal vereischen, dat de theorie geheel anders 
opgebouwd wordt. Intusschen zullen wij bij gebrek aan beter 
alsnog de theorie van Weber volgen. 

Dan doet zich onmiddellijk deze vraag voor: hoe komt het, 
dat b.v. in ijzer de zwakste magnetische kracht niet al vol- 
doende is om alle elementaire magneetjes geheel te richten? 

Het antwoord hierop geeft de theorie van het paramagnetisme 



lOÖ HET MAGNETISME. 

van Langevin i). Deze theorie houdt rekening met de warmte- 
beweging der moleculen. Zij is dan ook in staat rekenschap 
te geven van den invloed dien de temperatuur op de suscep- 
tibiliteit van paramagnetische lichamen heeft. 

De moleculen van het lichaam worden als staafjes, elk met 
het magnetisch moment m, beschouwd, die om hun middelpun- 
ten kunnen draaien. Zoo nemen zij deel aan de warmtebewe- 
ging. Men past dan de stellingen der statistische mechanica toe. 

Als een voorbeeld van deze laatste beschouwen wij allereerst 
de snelheden der deeltjes van een één-atomig gas. Laat u, v, w 

de snelheidscomponenten zijn, E =^m (u2-|-?;'2 + ^") ^^ ^i" 

netische energie van een deeltje. Dan is het aantal deeltjes, 

waarvoor de snelheidscomponenten liggen tusschen m en m + c^w, 

-y en f -f- dv, lü en w -\- dw 

_E^ 

k T 
Ce dudvdiü (wet van Maxwell) (39) 

Hierin is r de absolute temperatuur, en k eene constante, zoo- 

3 

danig dat — k t de gemiddelde kinetische energie van een mole- 
cuul is. 

Laat nu het gas aan de zwaartekracht onderworpen zijn. Het 
aantal deeltjes, waarvan de snelheden tusschen de zooeven ge- 
noemde grenzen liggen, en tegelijkertijd de coördinaten tusschen 
X en X -{- dx, y en y -\- dy, 2 en 2 -f" dz, is 

_E_ 

k T 
Ce dx dy dz du dv dw , (40) 

als nu E de som is van de kinetische en de potentieele energie. 

Hier uit volgt b.v. dat de dichtheid van het gas naar boven 

afneemt evenredig met den factor 

Tïig h 

k T 
e 

als m de massa van een deeltje, r; de versnelling van de zwaarte- 

kraclit en /i de hoogte voorstelt. 

Voor ronddraaiende deeltjes worden de formules iets meer 

gecompliceerd. Wij beschouwen nu de bovengenoemde magne- 



') P. Langkvin. Magnetisme et theorie (Jes tilectrons. Ann. chim. phys. (8) 
5. p. 70, 1905. 



HET MAGNETISME. 



107 



tische staafjes, vrij draaibaar geplaatst in een magnetisch veld. 
Den stand van een der draaibare staafjes (Fig. 29) bepalen 
wij door den hoek {y, dien het met een lijn in de 
richting van het magnetisch veld maakt, en den 
hoek (jp tusschen twee door deze Hjn gebrachte 
vlakken, het eene vast en het andere door de as 
van het staafje gaande. De bij deze coördinaten 
behoorende snelheden zijn & en q., de kinetische 
energie is. 

T= ^ Q(^2 _i_sin2 ^. c^2) (41) 




Fig. 29. 



(Q = traagheidsmoment). 

Bovendien is er een potentieele energie. 

[7= — mH cost'^ . . . . 



(42) 



Het aantal deeltjes waarvoor v>, (f, O, q. liggen tusschen & en 
ü + d&, enz., is, ah E = U -^ T: 
E 



Ce 



k T 1^2 rj. ^2 y 



1 ^2 T ^2 y / B2 y X 2, 



') 



(43) 



of 



k T 



C' e '" ' sin2 O d&dqdff dq (44) 

Hieruit volgt voor het aantal deeltjes waarvoor i) ligt tusschen 
^'^ en & + d{y, en q tusschen q en q -\- dq 

1 



C"e 



Qsin2^(f2_mHcos{^ 



k 



sin^^diydq (45) 



en, naar q tusschen O en co integreerend, voor dat van de deeltjes 
met geen andere beperking dan dat d- tusschen t> en d- + dtf ligt, 

m H cos & 

Ce "^ sin ndV (46) 

Het moment van één deeltje in de richting van het veld is 

m cos «'^ . 



') Zie het Aanhanjïsel onder 4. 



108 HET MAGNETISME. 

De gemiddelde waarde hiervan wordt nu gegeven door 

.Tl mH cos o- 

•' e sin O- m cos & d& 

o 



ƒ 



o 



rr 



m H cos {> 

k T 
e sin {y do- 



Stelt men o := ~. — (47) 

KT 

dan levert deze uitdrukking, na uitvoering der integraties, 

Je^ + e^^l, 

I e<i —e ~ '^ q ] ^ 

Vermenigvuldiging hiervan met N, het aantal deeltjes per 
volume-eenheid, geeft de magnetisatie M. 

Denkt men H zeer groot, dan is ook q zeer groot en dan 
gaat (48) over in m. De magnetisatie wordt dan iVm, alle mole- 
culen zijn gelijk gericht. 

In werkelijkheid is q altijd heel klein. Dan wordt (48) m.^ q 

(de eerste term van een reeksontwikkeling). Dus 

M = 4-^'h (49) 

6 ICT 



waaruit voor de susceptibiliteit volgt 

1 iVm-2 



(50) 



S k r ' 

III. 

§ 21. Wij zagen den vorigen keer hoe de theorie van Lan- 
GEViN in staat stelt den invloed in rekening te brengen, dien 
de temperatuur heeft op de magnetisatie, die door eene mag- 
netische kracht in paramagnetische lichamen wordt opgewekt. 

Wij voerden toen de grootheid 

m H _.- 

''= ki '"'^ 

in, waarin wij, nu geen verwarring met de kinetische energie 
meer te vreezen is, de absolute temperatuur wederom als ge- 
woonlijk door 2' voorstellen. 



HET MAGNETISME. ' 109 

Stellen wij verder 

i\^m = Mo, (52) 

dan is Mo de sterkste magnetisatie die het lichaam ooit zou 
kunnen krijgen, als namelijk alle moleculen volkomen even- 
wijdig aan elkander gericht zouden zijn. 

De warmtebeweging verzet zich echter hier tegen. Wij von- 
den n.1. zie (48), dat 

IVI=:aMo, (53) 

waarin 

e? -f e-1 1 



« 



(54) 



e3 — e-« q 

is. 

Hier uit zich de invloed van de warmtebeweging in de grool- 

.3 

heid q. Volgens (51) treedt n.1. hierin op kT. Nu is ^ /.Tde 

gemiddelde kinetische energie van de voortgaande beweging 
van een gasmolecuul, en hiermede hangt het arbeidsvermogen 
van de draaiende beweging van de magneetjes nauw samen. 
Dit arbeidsvermogen bedraagt namelijk, daar het draaiende 
magneetje slechts twee graden van vrijheid bezit ^/s van dit 
bedrag, d. i. kT. 

Men ziet in (51) duidehjk uitgedrukt den strijd dien de mag- 
netische kracht, die de moleculen tracht te richten, heeft te 
voeren met de warmtebeweging: de teller hangt samen met 
den arbeid, dien de magnetische kracht bij draaiing van het 
magneetje verricht, de noemer met het arbeidsvermogen van 
de warmtebeweging. De verhouding van beide bepaalt q. Uit 
(54) volgt dan de grootheid «, die aangeeft welk gedeelte van 
de maximale magnetisatie bij de temperatuur T verwezenlijkt is. 

Hoe « met q verandert wordt door de kromme lijn in Fig. 
80 voorgesteld. 

Voor q ^n co wordt « = 1. Is OD de raaklijn in den oor- 
sprong, dan is 

1 



In elk geval is 



tgDOX ^ 



q 3 



110 



HET MAGNETISME. 




Fis. 30. 



1 mlWr 



« 



3 kT 



Bij paramagnetische licha- 
men is steeds q zeer klein. 
Dan kan men stellen, gelijk 
blijkt wanneer men in het 
tweede lid van (54) e^ en e~i 
naar opklimmende machten 
van q ontwikkelt, 



<.=3Ï 



De susceptibiliteit wordt dan 

^^ 1 Njï^ 

3 NkT~ 3 



1 M 



kT 



(55) 



§ 22. Volgens deze formule is in de eerste plaats de suscep- 
tibiliteit evenredig met iV, dus met de dichtheid. Dit is vooral 
van belang voor een gas, waarvoor trouwens deze theorie in 
het bijzonder door Langevin bedoeld is. 

Verder is het quotiënt der susceptibiliteit door de dichtheid 
Q volgens deze formule omgekeerd evenredig met de absolute 
temperatuur. Deze wet wordt naar Curie i), die haar experi- 
menteel vond, de wet van Curie genoemd. 

Zoo leverden de metingen van Curie voor zuurstof: 



t 


T 


Q 





20.5 


293.5 


114.8X10-6 


0.0337 


188 


461 


74.7 X 10-6 


0.0344 


411 


684 


50.1X10-6 


0.0343 



Gelijk uit de laatste kolom blijkt, komt voor zuurstof, als gas 
de genoemde wet mooi uit. 

Er bestaan bij vaste lichamen echter vele afwijkingen van de 
wet van Curie. Zij is op te vatten als eene ideëele wet, waartoe 
in vele gevallen het gedrag der paramagnetische stoffen nadert. 

§ 23. Met behulp van (55) kan men uit de waargenomen 
susceptibiliteit de magnetisatie Mo en ook het magnetisch moment 
van één molecuul afleiden. 

Uit de susceptibiliteit van zuurstof bij 20,°5 C. en een druk 
van 1 atm. volgt b.v. (in gebruikelijke eenheden) 



•) P. Curie. Propriétés magnótiquos dos corps a diverses températures. 
Ann. chini. [ihys. (7) 5, p. 289, 1895. 



HET MAGNETISME. 111 

Mo = 0,69 1). 

Hieruit volgt -) voor het magnetisch moment van een molecuul 
m = 2,6 X 10-2^, per atoom dus 1,3 X 10 -20. 

Hierbij is ondersteld dat de moleculen als elementaire mag- 
neetjes optreden, m. a. w. dat zij in hun geheel ronddraaien. 

Onderstellen wij daarentegen dat de atomen vrij kunnen rond- 
draaien, dan moeten wij in (55) voor iVhet aantal atomen nemen. 
Het magnetisch moment van een atoom wordt dan 



m = l/2 XI, 3X10^-20 — 1^8X10 



20 



Stellen wij ons voor dat het magnetisch moment van het 
zuurstof-atoom teweeggebracht wordt doordat een electron in een 
cirkel rondloopt om een kern, waarvan de positieve lading n 
maal zoo groot is als de lading van een electron, dan vinden 
wij voor den straal van dien cirkel in de beide zooeven genoemde 

gevallen: -X2,7XlO-8, resp. ^X 5,4X10-8 cM. 3). 
n n 

De orde van grootte dezer uitkomsten is zoodanig, dat wij dit 
als zeer wel mogelijk moeten beschouwen. 

Zien wij ten slotte nog even hoe groot q voor zuurstof wel 
kan zijn. Het sterkste veld dat wij kunnen bereiken is ongeveer 
60.000 gauss. Substitueeren wij dus in (51) H = 60.000, en nemen 



') Uit (55) volgt iUi=3 — . — i-^5 A'/f. n^^ j^ NkT= V- X kine- 

•^ V/DU ^ 4_^„^ '-'^ 

tischft energie van voortgaande beweging der moleculen = R J\ als R de 
gasconstante is. Dus Nk = R. Voeren wij de moleculaire gasconstante 
i?j/ = 8,315 XlO^ in, dan is, daar N op de volumeeenheid betrekking heeft: 

T 

Nk^:^ Rm • Substitueeren wij verder uit de tabel van § 22, en o* = 

0,00141, dan volgt de in den tekst aangegeven waarde. 
ï) Door te deelen door N= ^ X 6,06 X '10»' . 

') Voor het rondloopende electron geldt — — .9X'10»° = (e in elec- 

tromagnetische eenheden), waaruit volgt v ^^ e\ / 3X10'". Na sub- 

|/ via 

stitiatie hiervan in (26), waarin n^\ gesteld moet worden, volgt 

a = - .4m » . — . r; — TTTTTT. Ontleenen wij aan noot 2) S 19 de waarden voor 
n e» QX'IO'"' -^ ' 

6 

e en — in e. m. eenheden, dan vinden wij de in den tekst gegeven getallen. 



112 HET MAGNETISME. 

wij m — 1,8 X 10-20, stellen wij T — 288 (15° C), terwijl 
k = 1.37 X 10-1^ dan volgt 

g = 0,027. 

Hieruit volgt volgens (54) 

a — 0,009 . 

Men ziet hieruit hoe moeilijk het is in eene paramagnetische 
stof alle deeltjes geheel te richten. 

Als een ander voorbeeld van de toepassing van (55) tot be- 
paling van de magnetische momenten m mogen ten slotte nog 
vermeld worden de uitkomsten, die men verkregen heeft voor het 
magnetisch moment van het Cu-atoom in verschillende zouten, 
nl. getallen als: 9,56, 9,56, 9,55, 9,57, waarbij eenbepaald mag- 
netisch moment i) als eenheid aangenomen is. 

§ 24. Eigenlijk zou de theorie van Langevin moeten opge- 
bouwd worden op de voorstelling dat de magnetische eigenschappen 
der paramagnetische deeltjes te danken zijn aan rondloopende 
electronen. Dit zou wel gaan als men maar mocht aannemen 
dat deze electronen in banen rondloopen, die vast aan het atoom 
verbonden zijn. Er zouden zich dan slechts enkele finesses 
voordoen. 

In § 20 kwam te pas de potentieele energie van het elementair- 
magneetje in het magnetisch veld. In de plaats van het elementair- 
magneetje treedt nu het rondloopende electron, dat we door 
een kringstroompje kunnen vervangen denken. Zulk een stroom 
staat gelijk met een magnetisch moment m. Bevindt hij zich 
in een veld H, dan komt in de magnetische energie een term-) 

P" = -f mHcosx'^ (56) 

voor. Deze magnetische energie gedraagt zich als eene kinetische 
energie. Onder den invloed van het veld tracht zich n.1. de 
kring zoo te stellen, dat deze term zoo groot mogelijk wordt. 

Dan moet echter in (43) en (44) voor E niet genomen worden 
de totale energie, maar moet in E de magnetische energie met 
het negatieve teeken genomen worden, zoodat dus ^ vervangen 
moet worden door T — V, en krijgt men weer dezelfde uitkomsten. 

Wanneer intusschen de electronen die het maefnetisch moment 



*&' 



') Namelijk «lat van liet tnagiieton, zie § 27. 
*) Zie het aanhangsel onder 5. 



HET MAGNETISME. 113 

teweegbrengen, niet in vaste banen rondloopen als de electriciteit 
in een kringstroom, maar zich vrij in het atoom of molecuul 
bewegen, dan wordt de verklaring van het paramagnetisme veel 
moeilijker. 

Wel is waar brengt ook een vrij rondloopend electron een 
magnetisch moment te weeg en daaraan beantwoordt een term 
als (56) in de magnetische energie. Om nu, in de onderstelling 
van zulke deeltjes, de verschijnselen van het paramagnetisme te 
begrijpen, moet men aannemen dat om een of andere reden in 
het veld de wijzen van omloop, waarbij (56) positief is, meer 
voorkomen dan die waarbij die uitdrukking negatief is, en 
dat het voorkomen der verschillende bewegingswijzen statis- 
tisch met formules zooals die van Langevin kan worden be- 
schreven. 

Hoe men daartoe zal kunnen komen is vooralsnoof niet in te 
zien. Intusschen wordt de theorie van Langevin op verschillende 
punten zoo mooi bevestigd, dat men er niet aan twijfelt of er 
moet wel veel waars in zijn. 

De theorie van Langevin gaat goed voor gassen, eveneens 
voor vloeistoffen, zooals b.v. oplossingen van ijzerzouten. Bij vaste 
lichamen wordt het moeilijker zich voor te stellen dat de mag- 
netische deeltjes vrij ronddraaien, en raadselachtig is de afhanke- 
lijkheid der magnetische eigenschappen van de richting, die men 
bij paramagnetische kristallen opmerkt. 

Een groote moeilijkheid voor de theorie is nog gelegen in het 
volgende. In paramagnetische lichamen zijn in ieder geval de 
atomen als permanente magneetjes te beschouwen, die hun 
moment behouden. Een rondloopend electron daarentegen zou 
volgens de grondvergel ij kingen van het electromagnetische veld 
moeten uitstralen, en daarbij zijn beweging uitputten en dus zijn 
magnetisch moment verliezen. Deze moeilijkheid, die zich ook 
b.v. in de theorie van de lichtuitstraling voordoet, is een groote 
schaduw in de tegenwoordige theoretische physica. 

§ 25. Ferromagnetische lichamen. Van deze is ijzer hot t3^pe, 
verder behooren ertoe nikkel, kobalt, en ook verbindingen als 
magnetietpyrrhotine. 

Deze stoffen kunnen gemagnetiseerd zijn, zonder dat er 
een uitwendig veld is. Zij kunnen dus permanente magneten 
vormen. 

Voor de magnetische eigenschappen van deze stoffen is door 

8 



114 HET MAGNETISME. 

Weiss 1) eene theorie gegeven. Deze theorie slaat zich wel heel 
stoutmoedig door de in de vorige § genoemde, en door nog 
eenige nieuwe moeilijkheden heen, maar zij levert desniettemin 
mooie resultaten. 

Blijkbaar zijn er in ijzer, wanneer dit eenmaal magnetisch is, 
inwendige krachten die het gemagnetiseerd houden. De deeltjes 
houden, wanneer zij eenmaal een weinig georiënteerd zijn, el- 
kander gericht. 

Weiss neemt daarom aan dat uit onderlinge werkingen tus- 
schen de elementaire magneten krachten voortvloeien, die de- 
zelfde uitwerking hebben als een zeker magnetisch veld H,„. 
De theorie wordt dan mathematisch uiterst eenvoudig. In plaats 
van (51) komt 

m ( H + Hm) ,^-. 

terwijl (53) en (54) blijven gelden. 

Het „moleculaire" veld H^j wordt verder evenredig aan de 
magnetisatie gesteld : 

H ,„ = f M (58) 

Verscliillende problemen kunnen dan worden opgelost. 

§ 26. Als er een moleculair veld is, kan ondanks de warmte- 
beweging eene magnetisatie bestaan zonder uitwendig veld, dus 
bij H = 0. 

Men heeft nl. in dit geval volgens (57), (58) en (53) 

_ m c Mo ,_^, 

9-''kT- " <^^> 

Uit deze vergelijking en (54) kunnen « en q worden berekend. 
Graphische oplossing. Trek in Fig. 30 een lijn OL, zoo dat 

is. Het snijpunt P van OL met de kromme lijn geeft de op- 
lossing. 

Ook O is een snijpunt van OL met de kromme lijn ; « = O 

') I'. Weiss. L'liypothèse du champ moleculaire et la propriétó ferromag- 
ni'tique. J. de phys. (4) 6 (1907), p. t)61. Molekulares Feld und Fenomagne- 
tismus. Physik. ZS. 9 (1908), p. 358. 



HET MAGNETISME. 115 

en g = O voldoen inderdaad aan de vergelijkingen. De eenvou- 
digste oplossing is dus M = 0. Dit is echter niet de ware op- 
lossing, deze toestand is. n.1. labiel. Alleen P geeft stabiel even- 
wicht i). 

De lijn OL zal de kromme lijn alleen dan snijden, en er kan 
dus alleen dan een spontane magnetisatie zijn, als 

m c Mo o 6 k 

is. Er kan dus alleen beneden zekere temperatuur eene spon- 
tane magnetisatie bestaan. De temperatuur, bij welke de spon- 
tane magnetisatie verdwijnt, wordt het CuKiE-punt genoemd. 
Zij wordt gegeven door 

Q^mcMo^ ^g2) 

o tC 

Boven deze temperatuur verliest een magneet dus zijne mag- 
netisatie. Het CuRiE-punt ligt voor ijzer bij 775 ° C, voor nikkel 
bij 360 ° G, voor magnetiet bij 580 ° C (benaderde waarden). 

Ligt de temperatuur beneden het CuRiE-punt, dan is er een 
spontane magnetisatie die door « =: Q P bepaald wordt. Wij 
kunnen de vraag stellen: kunnen wij dan de magnetisatie sterker 
maken door nog een uitwendig veld op het lichaam te laten 
werken? Theoretisch is het mogelijk door het uitwendige veld 
maar sterk genoeg te maken de magnetisatie Mo te bereiken. 
Praktisch gaat dit echter niet. De reden hiervan is, dat het 
moleculaire veld zoo sterk is, het bedraagt millioenen gauss. 
Daartegenover heeft het uitwendig veld slechts geringen invloed. 
Men noemt daarom de aan Q P beantwoordende spontane mag- 
netisatie wel de „verzadigingsmagnetisatie" bij de beschouwde 
temperatuur. 



') Denken wij uitgaande van den toestand P de magnetisatie door een 
of andere oorzaak een weinig vergroot bij overigens gelijk blijvende om- 
standigheden. De waarden van c en q worden dan aangegeven door een 
punt oj) PL, rechts van P. De magnetisatie, die bij de dan aanwezige H 
kan bestaan, wordt aangewezen door een punt van de kromme, rechts van 
P, en is dus kleiner dan de aanwezige magnetisatie. Deze zal derhalve af- 
nemen, en zoo zullen wij weer tot P terugkomen, ['assen wij dezelfde rede- 
neering toe op den met O correspondeerenden toestand, dan zien wij dat 
na eene dergelijke storing de toestand zich van den oorspronkelijken zal 
vei'wijderen. 



116 



HET MAGNETISME. 



Voor een lagere temperatuur maakt OL een kleineren hoek 
met OA^. Daaruit volgt dat bij lagere temperatuur de verzadigings- 
magnetisatie nadert tot Mo . In Fig. 31 stelt de kromme A B voor 
hoe de verzadigingsmagnetisatie van de temperatuur afhangt. 
Bij het absolute nulpunt wordt zij gelijk aan Mo . Het is dus 
van belang de verzadigingsmagnetisatie bij lage temperaturen 
te onderzoeken. 

Weiss en Kamerlingh Onnes i) hebben ijzer, nikkel, kobalt, 

magnetiet tot in vloeibare water- 

ridgneiipl Stof OndeiZOcht. 

Magnetiet bleek alleen in het 
hoogste deel iets van de bere- 
kende lijn af te wijken, nikkel 
meer. De algemeene gang is in- 
tusschen toch wel zooals de theorie 
doet verwachten. 

Uit die proeven bij lage tem- 
peraturen kan men Mo afleiden 
en daarmee voor deze ferromag- 
netische stoffen ook m leeren 
kennen. 
Uit het CuRiE-punt kan met behulp van (62) dan de constante 
c van het moleculaire veld, en daarmede dus ook de grootte van 
het moleculaire veld bij elke temperatuur, worden gevonden. 
Bij willekeurige temperaturen worden de berekeningen op 
grond van de boven gegeven algemeene vergelijkingen wat 
ingewikkeld. Een tweetal aardige problemen verkrijgt men door 
de temperatuur te nemen even boven of even beneden het 
CuRiE-punt. 

§ 27. Denken wij eerst de temperatuur een weinig boven het 
CüRiE-punt. Er is dan geen magnetisatie meer mogelijk zonder 
uitwendig veld. Zij dit H. 

De magnetisatie wordt dan als volgt gevonden. Van de twee 
vergelijkingen (57) en (54) waardoor « en q bepaald worden, 
kan de eerste i^ebracht worden in den vorm 




rT 



Fig. 31. 



_mH , , (r) 



(63) 



') 1*. Wki.ss en H. Kamkiïlinuh Onnes. Ondcizoi-kinf^en ovei- de magneti- 
satie bij zeer lage toni|ioiatiirpn. Veisl. Kon. A<acl., Fobi-. 1910, p. 7ü8; Conim. 
Leiden No. 114. 



HET MAGNETISME. 117 

terwijl, als q klein is, voor de tweede kan worden geschreven 

«=|? (64) 

Dus: 

— ^^ ian\ 

''~zW=0) <^^' 

zoodat 

m Mo ,^^. 

"^ZhlT-^Q) '^^^^ 

Vergelijken we met (55), dan blijkt dat T is vervangen door 
T—Q. 

Het volgende voorbeeld is ontleend aan metingen van Weiss 
en FoËx i) : 

Nikkel 

t X. 106 X (^—364°) 

380,5 429,5 0,0071 

388.4 266,9 0,0065 

407.5 153,9 0,0067 

Hierbij onderscheidt zich de grootheid x slechts door een 
constanten factor van /.. 

Weiss heeft met zijne medewerkers veel gewerkt boven liet 
CuRiE-punt. Daarbij werd dan gevonden dat vanaf dat punt in 
een zeker temperatuurinterval /. omgekeerd evenredig is met 
T — overeenkomstig (66). In een volgend temperatuurinterval 
bleek de susceptibiliteit echter omgekeerd evenredig aan T — 0', 
dus als het ware met de temperatuur gerekend vanaf een ander 
CuRiP>punt. Men kan zich voorstellen dat in dit temperatuur- 
interval m anders geworden is. 

Weiss heeft voor allerhande atomen m berekend. De daarbij 
verkregen uitkomsten hebben hem geleid tot zijne hypothese 
der magneionen . Veelal bleek n.1, het magnetisch moment, be- 
rekend b.v. per gramatoom, een veelvoud te zijn van eene be- 
paalde grootheid. Het eerst werd dit door Weiss opgemerkt bij ijzer 
en nikkel -). üit de metingen van Weiss en Kamerlingh Onnes 

') P. Weiss el G. Foëx. Étude de raimantation des corps ferroniagnóti- 
ques an-dessus du point de Curik. Arch. se. j)liys. et natui'. (4) 31, p. 5, 89, 1911. 

*) P. Weis?. Sur la rationalité des rapports des luoments magnétiques 
moléculaires et Ie niagnéton. J. de phys. (5) 1 (1911), p. 900, 965. 



118 HET MAGNETISME. 

volgt voor het magnetisch moment van het gramatoom van 
ijzer: 12360, nikkel: 3370. Deze getallen Verhouden zich op weinig 
na als 11 en 3. Deelt men door deze getallen, dan krijgt men: 

ijzer 12360 : 11 = 1123,6 

nikkel 3370 : 3 = 1123,3. 

Het gemiddelde 1123,5 noemt Wetss het gr^m-magneton. 

Weiss heeft vervolgens bij allerhande andere stoffen geheele 
veelvouden van dit magneton gevonden. Maar er zijn ook vele 
afwijkingen van een geheel veelvoud. Men kan nog niet zeggen 
wat de toekomst over dit magneton, als fundamenteel magnetisch 
moment zal leeren. 

§ 28. Beneden het CuRiE-punt zal er altijd magnetisatie zijn. 
De theorie van Weiss dwingt ons dus aan te nemen dat ijzer 
beneden die temperatuur altijd gemagnetiseerd is. Dat wij het 
ijzer dan in een schijnbaar ongemagnetiseerden toestand kunnen 
hebben is volgens Weiss daaraan toe te schrijven, dat een stuk 
ijzer steeds bestaat uit een conglomeraat van een groot aantal 
kristallen, die elk voor zich wel is waar magnetisch zijn, maar 
wier magnetische assen willekeurig naar alle richtingen georiën- 
teerd zijn, zoodai zij gezamenlijk geen magnetisch moment in 
een of andere richting geven. 

Is de temperatuur slechts weinig beneden het CuRiE-puiit, dan 
is de spontane magnetisatie gemakkelijk als volgt te berekenen. 

Verg. (59) wordt 

^ = ^ « ^, (67) 

en voor (54) kan men schrijven 

« = 3 ? — 45 (/^ ^^^^ 

Hieruit volgt, ermede rekening houdende dat T weinig van 
verschilt 



K5 9—r 
3- f') • 



of M = Mo|/^ • ®--0- (69) 

De spontane magnetisatie is dus bij temperaturen dicht be- 
neden het CuKiE-punt evenredig met 1/ — T . 



HET MAGNETISME. 119 

§ 29. Wij komen nu tot een van de mooiste bevestigingen 
van de theorie van Weiss. Wij berekenen daartoe eerst de po- 
tentieele energie, die bij aanwezigheid van een moleculair veld 
in een gemagnetiseerd lichaam bestaat. 

Daarbij zullen wij ons door enkele moeilijkheden, die zich bij 
nader bezien voordoen, maar heenslaan. 

Verdeel de magnetische deeltjes in de volumeeenheid in een 
groot aantal groepen, ieder gekenmerkt door een bepaalde rich- 
ting van het magnetisch moment. Stel dat er zoodanige krachten 
tusschen de deeltjes bestaan, dat een groep A ten opzichte van 
een groep A' een potentieele energie heeft, die, afgezien van 
een stand vastigen term, kan worden voorgesteld door 

— en n' m- cos & (70) 

Hierin zijn n en n' de aantallen deeltjes, waaruit de groepen 
A en A' bestaan; (^ is de hoek dien de richtingen hunner mag- 
netische momenten met elkaar maken, en c een constante. 

Uit (70) volgt, dat al de deeltjes der groep A van al de 
deeltjes van A' een koppel ondervinden dat hen in de richting 
van A' tracht te brengen en waarvan de grootte is 

C7in' m^ sin{y (71) 

Ditzelfde richtende koppel zou ook bestaan als op de deeltjes 
A een magnetische kracht in de richting van het moment van 
A' werkte met de grootte 

C7im (72) 

Evenzoo kan men de werking der andere groepen A", A'", 
enz. op A vervangen door magnetische krachten c n " m, c n '" m, 
enz., telkens in de richting van de momenten dier groepen. Al 
deze krachten samenstellende, krijgt men een magnetische kracht 

"in — ■ C W 

in de richting der magnetische M ; dit stemt met (58) overeen. 
De potentieele energie der deeltjes ten opzichte van elkaar is 

U— — ^c>:{nm^7}!mcos(y), (73) 

waarbij wij eerst, de groep A vasthoudende, over alle groepen A' 
moeten optellen, en vervolgens over alle groepen A. De factor 

^ treedt hierbij op wijl bij het som meeren op deze wijze de 

potentieele energie van twee bepaalde groepen ten opzichte van 
elkaar tweemaal genomen wordt. 



120 HET MAGXKTISME. 

De eerste optelling -ri'mcosï» geeft de component van de 
magnetisatie in de richting der momenten van A, dr.s, als (f de 
hoek is tusschen die momenten en de magnetisatie, 

M cos qj . 

Dus: 

U=— ^cfH^^nmcoscp, (74) 

waarhij de laatste som = M is, zoodat 

U=:-lcffi^^ (75) 

wordt. 

§ 30. Uit (75) en (69) volgt 

U=-l^^^ (76) 

welke uitdrukking hij het stijgen van T toeneemt. De toename 
per eenheid van temperatuurverhooging is 

dU_5 cM^ 
dT~6 ' & 
of volgens (62) 

^ /c= ^ N k {n) 

2 m 2 

Hieraan heantwoordt een zeker deel in de soortelijke warmte, 
dat hoven het CuEiE-punt niet meer voorkomt; dus maakt de 
soortelijke warmte, als men het CuRiE-punt passeert, een sprong. 
Uit (77) blijkt dat die sprong voor een ferromagnetisch element 
gelijk is aan ^/j maal de soortelijke warmte bij constant volume, 
die hetzelfde element zou hebben als eenatomig gas. 

Deze sprong in de soortelijke warmte is inderdaad waargeno- 
men 1), hetgeen de mooiste bevestiging van de theorie van liet 
moleculaire veld is. 

§ 31. Wij zagen in § 28 dat wij ons een stuk ijzer moeten 
voorstellen als bestaande uit een conglomeraat van een groot 
aantal kristallen, die elk voor zich magnetisch zijn, maar waar- 
van de mngnetisaties, wanneer het stuk ijzer in zijn geheel on- 
magnetisch is, over alle richtingen willekeurig verdeeld zijn. 
Door een uitwendig magnetisch veld kunnen nu de magnetisaties 
dier kristalletjes gewijzigd worden. 

') r. Weiss et P. X. Bi'X'K. Chaleur spócifique et cliamp moleculaire des 

siiljsluiicps ((MTomagiK'tiques, .1. do pliys. (4) 7 (1908), p. 249. 



HET MAGNETISME. 121 

Weiss^) heeft meer in bijzonderheden kunnen onderzoeken 
hoe zich het goed gekristalliseerd in de natuur voorkomende 
pyrrhotine (eene verbinding van ijzer en zwavel) gedraagt. 
Daarbij is gebleken dat een kristal van deze stof eene bepaalde 
richting bezit, volgens welke het gemakkelijk gemagnetiseerd kan 
worden, met dien verstande evenwel, dat het ook in de tegen- 
gestelde richting even gemakkelijk gemagnetiseerd kan worden. 

Wij zullen ons nu maar voorstellen dat ook de ijzerkristalletjes 
eene dergelijke eigenschap hebben, dat zij namelijk slechts vol- 
gens eene bepaalde lijn, doch evengoed in de eene als in de 
juist tegengestelde richting, kunnen gemagnetiseerd zijn. Verder 
nemen wij aan dat eene uitwendige magnetische kracht, mits 
deze minstens eene bepaalde grootte heeft, de magnetisatie kan 
doen omslaan. Dan kunnen wij verschillende bijzonderheden in 
het gedrag van het ijzer begrijpen. 

Wij denken eerst eens met één l^i 

enkel kristal te doen te hebben. Het B 

magnetisch veld H zij aanvankelijk 
nul. De magnetisatie zij dan voorge- ^ 

steld door OA (Fig. 32). De richting, 
die de magnetisatie dan heeft, noe- 



A K 



D 



H 



men wij de positieve richting. Wij ^ f^ p q 

laten nu H in negatieve richting aan- 
groeien. De magnetisatie ondergaat ''■ 
daarbij geen verandering, zij volgt de lijn AB, totdat H eene 
zekere waarde OC bereikt. Dan slaat de magnetisatie om: CD. 
Wordt H nog grooter negatief dan volgt M de lijn DE. Laten 
wij nu H afnemen, en daarna positief aangroeien, dan volgt de 
magnetisatie de gebroken lijn EFGKL., om daarna, wanneer 
dan H weer tot nul afneemt, de lijn LA ie volgen. Dan is de 
cyclus gesloten. Wij hebben aldus eene hysteresisfiguur gekregen. 
In werkelijkheid krijgt men met een stuk ijzer eene tiguur 
als in Fig. 11 is voorgesteld. Volgens het in § 14 gezegde stelt 
daarbij de inhoud van de door bcdefgb begrensde figuur den 
arbeid voor, dien wij moeten verrichten om den cyclus uit te 
voeren, welke arbeid in den vorm van in het ijzer ontwikkelde 
warmte vrij komt. 

' ) P. Weiss. Les propriétés inagnéti{|ues de la pyrrhotine. Arcli. Sc. phys. 
el nat. (4) 19 (1905), p. 537,: 20 (1905) p. '213. J. de phys. (4) 4 (1905), p. 
469, 829. 



122 



HET MAGNETISME. 



Hoe komt het nu dat wij niet Fig. 32, doch Fig. 11 verkrij- 
gen? In de eerste placits is op te merken, dat onze onderstelHng 
dat het kristal alleen volgens ééne lijn kan gemagnetiseerd 
worden, niet geheel met de werkelijkheid overeenkomt. Wij 
kunnen de magnetisatie ook wel in richtingen dwingen, die 
van de voorkeurrichting wat afwijken. Wij zien hiervan echter af. 
Maar wij moeten verder bedenken, dat een stuk ijzer niet 
bestaat uit één enkel kristal, maar uit een groot aantal kristal- 
letjes, die in willekeurig verdeelde richtingen liggen. Bij het 
aanbrengen van het magnetisch veld zullen de maguetisaties 
der verschillende kristallen niet alle tegelijk omklappen, maar 
naar gelang van hunne richting dat meer of minder spoedig 
doen. Daardoor gaat het omslaan van de magnetisatie meer 
geleidelijk. De verschillende kristallen spelen nu eene dergelijke 
rol als b.v. bij de behandeling van de paramagnetische lichamen 
de draaibare magneetjes deden. 

Wij kunnen ons nu als volgt duidelijk maken, hoe een stuk 

ijzer door een uitwendig veld H van vol- 
doende sterkte gemagnetiseerd wordt. 

Wij denken van uit een punt O (Fig. 
33) de maguetisaties voor de verschillende 
kristalletjes uitgezet. De uiteinden liggen 
dan gelijkmatig verdeeld op een bolopper- 
vlak. Wij brengen nu een magnetisch veld 
aan volgens de richting OP. Wanneer dit 
veld eene bepaalde waarde, stel H( , be- 
reikt, zullen alle maguetisaties, die pre- 
cies volgens OQ gericht zijn, naar OP 
omslaan. Wordt H grooter, dan zal dat 
ook het geval zijn met maguetisaties, die met OQ een hoek 
maken. Is H cos ö = He, dan zal dit het geval zijn met alle 
maguetisaties wier richtingen liggen binnen den kegel OA'B', die ö 
tot lialven toi)lioek heeft. Immers voor alle betreffende kris- 
talletjes is de component van H volgens de richting waarin zij 
gemagnetiseerd kunnen zijn, voldoende groot om de magneti- 
satie te doen omklappen. De richtingen dier magnetisaties ko- 
men dan te liggen in den kegel OAB. Dit is aangegeven door 
in Fig. 33 AB dubbel te teekenen. Het is nu zonder meer dui- 
delijk, dat het .stuk ijzer in zijn geheel een magnetisch moment 
in de richting van OP gekregen heeft. 




HET MAGNETISxME. 123 

Wij kunnen nu gemakkelijk aangeven wat er gebeurt, wan- 
neer wij daarna het veld H weer laten afnemen en dan in tegen- 
gestelde richting laten aangroeien. 

Door middel van eene dergelijke figuur kunnen wij b.v. ook 
inzien, hoe wij een gemagnetiseerd stuk ijzer kunnen ontmagneti- 
seeren, door het in een draadklos bloot te stellen aan het veld 
van telkens zwakker wordende stroomen, die telkens in tegen- 
gestelde richting door de klos gevoerd worden. 

§ 32. Men kan door eene mooie proef i) aannemelijk maken, 
dat in een stuk ijzer kleine kristalletjes aanwezig zijn, die elk 
voor zich gemagnetiseerd zijn. 

In Fig. 34 stelt A B een ijzerdraad voor, die gemagnetiseerd 
kan worden, door een hoefmagneet M 
ertoe te doen naderen. Bij verwijdering 
van M wordt de draad weer gedeeltelijk 
geontmagnetiseerd. 

In de spoel S ontstaan hierbij inductie- 
stroomen. Barkhausen -) heeft opge- 
merkt, dat men, wanneer in den stroom- 
kring van S een telefoon is ingeschakeld, 
daarin een geruisch hoort. De inductie- 
stroom is dus geen vloeiend verloopende 
stroom, maar bestaat uit afzonderlijke inductiestootjes, en het 
ligt voor de hand zich voor te stellen dat die stootjes daar- 
van afkomstig zijn, dat telkens de magnetisatie van een geheel 
kristalletje tegelijk omklapt. De afzonderlijke stootjes kunnen 
daarbij geteld worden. 

Men kan het verschijnsel voor een auditorium demonstreeren, 
wanneer men de inductiestootjes versterkt door middel van 
trioden. Het is daarbij voordeelig voor A B niet ijzer, doch nikkelstaai 
te kiezen, daar bij dit materiaal de inductiestooten het sterkst zijn. 

Heeft men den magneet M tot op zekeren afstand tot A B 
doen naderen, hem daarna verwijderd, en doet men hem een 
tweeden keer naderen, dan hoort men in den telefoon geen 
geluid zoolang de magneet niet dichter bij komt dan den eersten 




') Opgesteld door Dr. B. van der Pol. 

*) H. Barkhausen. Zwei mit Hilfe der neuen Verstarker entdeckte Er- 
sclieinungen. Physik. ZS. 20 (1919), p. 401. Verg. ook B. van der Pol Jr. 
Discontinuïteiten bij het magnetiseeren. Versl. Kon. Akad. Amsteidam 29 
(1920), p. 341. 



124 HET MAGNETISME. 

keer liet geval was. Dit is «geheel overeenkomstig de theorie. 
Alle magiietisaties n.1., die omgeklapt zouden kunnen worden, 
zijn reeds bij de eerste nadering omgeklapt. Wel krijgen wij een 
geluid wanneer nu de magneet dichterbij gebracht wordt, of 
wanneer de magneet omgekeerd wordt. 

Bij een tweede proef brengen wij in het spoeltje S een ijzer- 
draad, waarin remanent magnetisme aanwezig is. Buigen wij 
den ijzerdraad, dan verdwijnt een deel van het remanente magne- 
tisme. Hierbij hoort men op dezelfde manier als bij de eerste proef 
een geluid in den telefoon. Ook wanneer het ijzer van te voren is 
uitgegloeid hoort men bij buigen het geluid nog. Dit is wel een 
bewijs voor het spontaan gemagnetiseerd zijn van de kristalletjes. 

De proef zou geheel bewijzend zijn als men den draad kon 
houden buiten het aardmagnetische veld. Intusschen verandert 
het verschijnsel niet wanneer men door het spoeltje een constanten 
stroom leidt, die een veld geeft, dat ongeveer gelijk is aan het aard- 
magneetveld. Dit bevestigt wel de bewijskracht van deze proef. 

Hoe het komt, dat bij het buigen van de staaf de magnetisatie 
in sommige kristalletjes omklapt zien wij nog niet goed in. Ook 
de invloed van mechanische schokken op de magnetisatie is nog 
geheimzinnig. Men heeft zich wel eens voorgesteld, dat men door 
zulk een schok de moleculen zou „dooreenschudden", zoodat zij 
uit hunne georiënteerde standen zouden worden gebracht. Hier- 
tegen valt op te merken, dat bij alle mechanische bewegingen 
die wij kunnen voortbrengen, groepen van millioenen van mole- 
culen in hun geheel verplaatst worden. 

Behalve met behulp van een telefoon kan men de afzonderlijke 
inductiestootjes ook met een galvanometer, b.v. een snaargalvano- 
meter aantoonen. Daarbij kan de intensiteit der inductiestootjes 
in verschillende gevallen beter vergeleken worden. 

Het is op deze wijze gebleken dat men bij gebruikmaking van 
een wijdere spoel het effect bijna even goed verkrijgt als met 
een nauwe spoel. Wanneer nu telkens slechts één kristalletje 
tegelijk omklapte, zou de verandering die de loop van de kracht- 
lijnen hierbij ondergaat, zich slechts over een kleinen afstand 
doen gevoelen, en zou men moeten verwachten, dat men een des 
te beter effect zou krijgen naarmate de spoel nauwer is. Nu dit 
laatste niet het geval is, moet men aannemen, dat telkens in een 
lange rij van kristallen de magnetisatie tegelijk omklapt. 



AANHANGSEL. 



1. (§ 8) Wij beschouwen den potentiaal dien een gemagne- 
tiseerd lichaam in een naburig punt teweegbrengt; daarbij 
kiezen wij dat punt tot oorsprong O van een rechthoekig coör- 
dinatenstelsel. Laat vooreerst het lichaam zeer klein zijn, en laat 
in verschillende punten Q (x, y, z) er van hoeveelheden magne- 
tisme, die wij door m voorstellen, zijn opeengehoopt ; de gezochte 
potentiaal is dan, als wij de afstanden tot O door r voorstellen 

4 TT r 

Daar de totale hoeveelheid magnetisme 2" m ^= O is, kan V 
alleen van nul verschillend zijn omdat de verschillende hoeveel- 
heden 771 op ongelijke afstanden van O liggen. Om met die 
ongelijkheid rekening te houden kiezen wij een bepaald punt P 
van het lichaam uit en vergelijken voor een punt Q de waarde 

van — met de overeenkomstige waarde — voor het punt P. 

Door de coördinaten verschillen xq — xp, yg — yp, zq — zp als on- 
eindig klein te beschouwen, vinden wij, in aanmerking nemende 

dat — een functie van x, y, z is, 

Hierin verstaan wij onder de differentiaalquotienten — (-) 

enz. de waarden die zij in het punt P hebben, zoodat die groot- 
heden hetzelfde zijn, onverschillig welk punt Q men neemt. Substi- 
tueert men de uitdrukking voor in de vergelijking voor V, 
dan komt er 



126 



AANHANGSEL. 



'' = 4-Js6)-™(^-^''' + - 



iy \r ) 



'" (y—>jp) + 



+ 1,0^) ^-(-^.)| 



De hierin voorkomende sommen zijn niet anders dan de compo- 
nenten van het magnetische moment M van het hchaam, zoodat, 
als wij daarvoor schrijven nix, nfl,y, m^, 

11 ^ /1\ , ^ /1\ , B 






(1) 




4 TT I ■■■•' ^x \r J ' '"l ^y \r } ' "^ B, 

wordt. 

Wij kunnen nu gemakkelijk tot het geval van een gemagne- 
tiseerd lichaam van eindige uitge- 
strektheid overgaan. Wij verdeelen 
het in volume-elementen dx dy 
d z (Fig. 35) en stellen de magne- 
tisatie of het magnetisch moment 
per volumeeenheid door M , de 
componenten daarvan door M^-, 
NI;/ , Mz voor. De componenten van 
het moment van het volumeele- 
ment dx dy dz zijn dan Mj dx 
dy dz, enz. Vervangt men in (1) m., , enz., door deze uitdruk- 
kingen, dan krijgt men den potentiaal dien één volumeelement 
in O ten gevolge heeft; om den potentiaal te vinden, dien het 
geheele lichaam daar teweegbrengt, en waarvoor wij nu V 
schrijven, moeten wij dan nog over de geheele uitgestrektheid 
van het lichaam integreeren. Derhalve : 

Integreeren wij den term W^- v . ( ) (^•*" dy dz partieel naar.r, 

den volgenden naar ij, den derden naar z, dan leveren de ge- 
integreerde termen te zamen 



Fig. 35. 



, I ( Mr cos {Il , x) + M V cos {n , ij) f M; cos (u ,z)\ dO . 
[ 71 J r I " ) 



(2) 



Daarin stelt d O een element van het oppervlak voor, en ?ide naar 
buiten getrokken normaal; (?i, x), {n,y), {n,z) zijn de hoeken die 
deze met de coördinaatassen maakt en de integratie moet over het 



AANHANGSEL. 127 

geheele oppervlak worden uitgestrekt. De uitdrukking gaat over in 

^[-MndO, (3) 

als M,t de volgens . ?i gerichte component van de magnetisatie 
is, en is gelijk aan den potentiaal veroorzaakt door een over 
het oppervlak verdeeld agens met vlaktedichtheid Mn- 
Verder krijgen wij nog de ruimte integraal: 

die gelijk is aan den potentiaal veroorzaakt door eene lading 
gegeven door (2). 

2. (§ 13). Zij 10 de omwentelingssnelheid van den bol, en ir 
het specifiek geleidingsvermogen van het materiaal, waarvoor 
wij ,u =: 1 onderstellen. Men ziet gemakkelijk in dat de inductie- 
stroomen, die in den bol tengevolge van de wenteling ontstaan, 
evenredig zullen zijn aan aojH. Deze inductiestroomen zullen 
aanleiding geven tot magnetische krachten die eveneens even- 
redig zijn aan acoH. Hierdoor wordt het magnetisch veld ge- 
wijzigd, hetgeen eene wijziging in de inductiestroomen medebrengt. 
Deze wijziging is intusschen evenredig aan {a w)'^. Wij zullen a co 
zoo klein onderstellen, dat wij met deze wijziging in het mag- 
netisch veld bij de berekening der inductiestroomen geen reke- 
ning behoeven te houden. Dan is dus overal 

H,=0,H,=:iï,H,=0 (5) 

De componenten van de snelheid van een punt in den bol zijn 
yx=0 ,yy = — aiz,y^=coy (6) 

en hieruit volgt blijkens (7) dat in dat punt eene electrische 
kracht werkt in de richting van de X-as: 

— coy H , 

Tengevolge van de werking van deze electrische kracht zullen 
er zich electrische ladingen op het oppervlak van den bol op- 
hoopen. Stel den potentiaal, die aan deze ladingen te danken 
is q). Dan zijn de componenten van de electrische kracht E : 

E^=.-coyH- — 

Ey = -l^ , (7) 

" dy ' 

F — _ L* 



128 AANHANGSEL. 

Uit deze vergelijkingen volgt: 

? Ea; d Ey „ 

— — — Lo n 

dy c X 1 

^-^^= = ' (5) 

dz ^y ( 

óEs ^E, ^ \ 
-— ==11. t 

dx Z j 

De electrisehe stroom I wordt bepaald door 

i = aE (9) 

en uit (S) volgt dus 

^ 'x ^hl ^ TT 

dy dx 1 

^_^' = ' {10) 

dz ^ y 

'dx ^Z 

Aan deze vergelijkingen kan voldaan worden door te stellen: 
\, = -l.iJ,= l.i,U = Ü (11) 

als 7-2 =r .j-2 -f 7/2^ zoodat ?• den afstand van het punt tot de Zas 
voorstelt. Door substitutie van deze waarden (11) in (10) vindt 
men als eenige voorwaarde 



'ö* 



. . di rj 

dr 

De oplossing hiervan is 

A r 

waarin echter de integratieconstante C nul moet zijn, omdat 
voor r^^Ode stroom niet oneindig kan worden. Dus 

'i = <> ('j 7/ r (12) 

Er loopon dus in den bol stroomen in cirkels om de Z-as, in 
eene richting die past bij de richting van de positieve Z-as, 
en waarvan de intensiteit, zooals door (12) wordt aangegeven, 
telkens evenredig is aan den straal van den betreöenden cirkel. 



AANHA.NGSEL. 



129 



Het is duidelijk dat voldaan is aan de voorwaarde dat aan 
het grensvlak van den bol de stroom geen normale component 
moet hebben. 

Wij merken nog op, dat uit (7) nu nader volgt 

(oHxy, {13) 



<f 



2 



zoodat de aequipotentiaal vlakken cilindervlakken evenwijdig 
aan de Z-as zijn, met gelijkzijdige hyperbolen als loodrechte door- 
sneden. De oppervlaktedichtheid is verder hieruit onmiddellijk 
af te leiden. 

Beschouwen wij in den bol een cirkel- 
vormigen ring, verkregen door wenteling 
van het vlakte-element ndodd (Fig. 36) 
om de Z-as. Hierin loopt een stroom 



i(>dQ dd z=: — a O) H Q^ sin Ö dQ 

Ju 



dd 



Het magnetisch moment van dezen 
circulairen stroom bedraagt volgens (25) : 




U 



Fig. 36. 



n r^ \i o dl) dd:= a üj H o* sin^ 6 dQ dQ . 

Het magnetisch moment van den geheelen bol, door integratie 
verkregen is: 



2 TT TT T-.- 

lo 



{14) 



als R den straal van den bol voorstelt. Het heeft de richting 
van de positieve Z-as. De bol ondervindt dientengevolge in het 
magnetisch veld een koppel 

lo 

Er moet arbeid verricht worden om den bol te draaien, en 
wel bedraagt die arbeid per seconde 

^aco^H^^R^ {15) 

In den bol wordt door de electrische stroomen warmte ont- 
wikkeld, in de volume-eenheid een bedrag: 



9 



130 AANHANGSEL. 

Dit geeft in den bovengenoemden ring 

Q do dö . 2 TT ü sin y . - i (ï2 0)2 iï2 „2 sin2 6 1= %to2 /72„4 siu^ddodd . 
^ f» 4 2 ^ 

Integreeren wij dit over den geheelen bol, dan vinden wij de 
nitdrukking (15) terug. 

3. (§ 19). Wij beschouwen een atoom, bestaande uit een kern 
die wij wegens de groote massa onbewegelijk onderstellen, en 
een aantal electronen die daarom rondloopen. Den oo^-sprong 
van een rechthoekig coördinatenstelsel plaatsen wij in de kern. 

Is er geen magnetisch veld, dan heeft men voor elk electron 
bewegingsvergelijkingen van den vorm 

mx=^ X , m y := )' , VI s =: Z [16) 

waarin A", }', Z de componenten van de kracht zijn, die liet 
van de kern en van de andere electronen ondervindt. 

Laten wij nu onderstellen dat er een magnetisch veld is, 
waarvan de intensiteit geleidelijk van nul af tot zeker bedrag 
aangroeit. Dan komen bij de zooeven genoemde kracht nog twee 
andere. Vooreerst de in stelling III van § 6 genoemde. De com- 
ponenten daarvan zijn, daar wij geen onderscheid tusschen H en 
B behoeven te maken, 

e iy H, — zW ,) , e (z H.. - 'x H.) , e [x H, — y H,) . 

Ten tweede een kracht die uit de verandering van H voort- 
vloeit, en door Stelling II bepaald wordt. Gemakshalve nemen 
wij aan dat op elk oogenblik het veld symmetrisch is rondom 
de door O gaande magnetische krachtlijn, die wij recht onder- 
stellen. De lijnen langs welke de in de stelling genoemde elec- 
trische kracht werkt zijn dan cirkels om die krachtlijn door O. 
Nemen wij voor een oogenblik aan dat deze lijn de richting der 
Z-as heeft, en beschouwen wij een cirkel met den zeer kleinen 
straal r rondom O in het xy-\\ixk; de positieve richting daar- 
langs passé bij de Z-as. De magnetische inductie door het 
oppervlak o van dien cirkel is /rr'-H^, en de vermindering daar- 
van i)er tijdseenheid — 7T?--Hr. Dit is dus de in de stelling ge- 
noemde arbeid der electrische kracbt en daar deze wegens de 
symmetrie in alle punten van den cirkel even groot is, heeft 

men voor de grootte der electrische kracht — r H; en voor 



AANHANGSEL. 131 

1 • 1 • 

hare componenten ^ y \i. , — - :r H^, 0. Gemakkelijk ziet men nu 

dat bij een willekeurige richting van het magnetische veld de 
componenten worden 

l {y H, - ^H,) , l h H, -xH,),l {.c Hy - y H,) . 

•^ .^ ^ 

In het veld heeft men dus voor elk electron bewegingsver- 
gelijkingen van den vorm 

mx — X+e {y H, — z Wy) -f- 1 (2/ H^ — 2 H,^) , enz. . . {17) 

Wij voeren nu de coördinaten x\ y', z' in, met betrekking tot 
assen die met de hoeksnelheid 

zm 

om de door O gaande krachtlijn wentelen. 

De componenten dezer hoeksnelheid, die tegelijk met H ver- 
andert zijn 

^ u ^ u ^ u 



en, als Xi, ,uj, vi de richtingsconstanten van OX' met betrekking 
tot OX, OY, OZ zijn, /.o, ,u.,, v-i die van OY' en A3, .U3, v^ die 
van OZ', heeft men 

/-i = ^-^ (.«1 H, - V, Hy) , enz (18) 

t^ fit 

en, als men termen met H^ verwaarloost, 

^^1 = ^ C«i H-- - n H,) , enz [19) 

Uit de betrekkingen 

x' = Al X + .'<! 2/ + ''1 2 , enz. 
volgt verder 

X' = lx X + Ui ?/ + J^i 2 + 2 (Al Xi + tti ?/ + i'i 2) + 

-f h X + «1 2/ + ''1 ^ j ^nz. 

Voert men hier de waarden {18) en {19) in, dan kan men 
uit {17) afleiden 

m ic' = A"' , ?>i ^' ^= F' , m 2' — Z' , 



132 



AANHANGSEL. 



uit welke vergelijkingen liet magnetische veld verdwenen is. De 
grootheden A"' = A^ X + .u^ Y -{- r^ Z, enz., zijn de componenten 
ten opzichte van de nieuwe assen van de door de kern en de overige 
electronen op het beschouwde deeltje uitgeoefende kracht. Daar 
deze componenten op denzelfde wijze van de nieuwe coördinaten 
afhangen als X, V, Z van de oude coördinaten hebben de ge- 
vonden vergelijkingen dezelfde gedaante als (16). 

4. (§ 20). De coördinaten van alle punten van een systeem 
mogen bepaald zijn door de algemeene coördinaten van het 
systeem : 

qi,q-2 . • • • qn- 

Dan is de kinetische energie eene functie van qi, q-i.... qn, 
en van q\, q^. .qn- 

T = F(q,.. . .qn,qi. • . ■ q.) (20) 

De coördinaten en snelheden van alle punten van het systeem 
zijn dan bepaald door de algemeene coördinaten Qi — q^ 
de bijbehoorende momenten 

i> qi O q., dq„ 

De statistische mechanica leert nu dat de kans dat bij thermo- 
dynamisch evenwicht de coördinaten begrepen zijn tusschen 

qi en q\ -|- dqi, qn en qn -\- dq^, en de momenten tusschen 

Pi en pi 4- djh, — Pn en Pn -\- dpn, gegeven wordt door 



en 



{21) 



Ce 



E 
k'i'dq, 



C22) 



. . dqn dpi . . . dp„ 

{E =-- T + U). 

Door {21) worden de grootheden p^. ... p„ als functiën van de 
coördinaten en de snelheden gegeven en men kan nu in {22) 
dpi .... dpn vervangen door •" 

^Pl 
(^qn 



^q\ ^^qi 



^71 



1» (i'> 



dg, 



dq[ dq._ 



dqn , 



dpn dpn 

dqi iWy^ 



'dPn 

i>qn 



AANHANGSEL, 



133 



of volgens (21) door 

r-r 



?2T 



?^2 ^Ql 









?2r 

^T? 



cZg-i d go c? g'n • (■23) 



Toepassing hiervan levert (43). 

5. (§ 24). AVij beschouwen het geval van twee gesloten stroom- 
kringen waarin stroomen van de sterkte i en i' bestaan. Laat 
in eenig punt der ruimte H en H' de magnetische krachten 
zijn, die door deze stroomen worden teweeggebracht en zij i') 
de hoek tusschen die krachten. Dan is de tweede macht der resul- 
teerende magnetische kracht 

H24. H'2 + 2HH'cos^^; 

de helft hiervan geeft ons het magnetische arbeidsvermogen per 
volume-eenheid, wanneer, zooals wij onderstellen, de permeabili- 
teit overal 1 is, zoodat wij niet tusschen magnetische kracht en 
magnetische inductie behoeven te onderscheiden. Door integratie 
over de geheele ruimte (d S volume-element) krijgen wij de ge- 
heele magnetische energie : 

^ |H2 dS+^^jW'^dS+fHH'cosddS. 

De eerste en de tweede term stellen het arbeidsvermogen voor, 
dat men zou hebben als alleen de eerste of alleen de tweede 
stroom bestond; de derde is het arbeidsvermogen dat aan het 
gelijktijdig bestaan van beide stroomen te danken is. Deze laatste 
energie 



A 



ƒ 



WH' cos O dS 



{24) 



willen wij berekenen. 

Wij vestigen nu de aandacht op de krachtlijnen of inductie- 
lijnen die bij den stroom % behooren. Wij stellen ons voor (verg. 
Fig. 12) dat dit in zich zelf terugkeerende lijnen zijn. Eenige 
ervan worden door den eersten stroomkring omvat en om de 



134 AAXIIANGSKL. 

gedachten te bepalen nemen wij aan dat zij door dien kring 
heengaan in een richting passende bij die van den stroom i. 
AVij kunnen de geheele ruimte in oneindig nauwe inductie- 
buizen behoorende bij den stroom i', verdeelen en zoeken nu 
vooreerst de bijdrage die één dergeUjke buis B voor de integraal 
(24) oplevert. Zij s een der in die buis liggende krachtlijnen, 
ds een element daarvan, en neem voor het volume-element dS 
het gedeelte der buis dat tusschen de loodrechte doorsneden 
begrepen is, die door de uiteinden van ds gaan. Dan is, als 
men voor de loodrechte doorsnede d lo schrijft, 

dS = do) d l , 
zoodat men de uitdrukking 

W dco M cos <y d l 
over de geheele buis moet integreeren. Volgens de hoofdeigen- 
schap der magnetische inductie is echter H' d co over de geheele 
buis constant en volgens Stelling I (§ 4) is 



ƒ 



H cos fl d l 



nul, wanneer de lijn / niet door den eersten stroomkring omvat 
wordt, en heeft zij de waarde i als dat wel het geval is. (Men 
overtuige zich ervan, dat hier i en niet — i moet worden ge- 
nomen.) Ten slotte vindt men dus voor de gezochte grootheid {24) 



JH 



a 10 



waarbij de integraal een .som voorstelt over de bij i' behoorende 
inductiebuizen, en wel alleen over die, welke door den stroom 
i omvat worden. Die integraal is dus niet anders dan wat wij 
in § 5 de inductie door een opervlak, langs welks rand de stroom 
i loopt, genoemd hebben. 

Door nu aan te nemen dat het magnetische veld H' in een 
deel der ruimte waarin de stroom i loopt, als homogeen kan 
worden beschouwd (en door verder H in plaats van H' te schrijven) 
komt men gemakkelijk tot de in den tekst aangegeven uitdrukking. 

Men overtuige er zich weer van dat het algebraïsche teeken 
hier goed is, als men onder O den hoek verstaat dien het met 
den stroom i aequivalente magnetische moment met de mag- 
netische kracht H maakt. 



QUELQUES RECHERCHES A PROPOS DU NETTOYAGE 
DES TABLEAÜX DE FRANS HALS A HARLEM. 

par 
G. \?AN DER SLEEN. 



INTRODUCÏION, 

En 1919 M. D. de Wild, de La Have, enleva au moyen 
d'alcool contenant un peu de xylène, les épaisses couches 
de vernis, devenues jannes et opaques, qui recouvraient Ie 
tableau des Régents de l'hópital Ste Elisabeth, peint par 
Fraks Hals en 1641. Beaucoup de personnes, habituées 
a Tancien aspect jaunatre du tableau, ne se déclarèrent pas 
satisfaits du nouvel aspect de la toile. Quelques-unes même 
allèrent jusqu'a prétendre que la peinture avait souffert et 
on fit entendre a, mots couverts qu'on supposait que non 
seulement Ie vernis avait été enlevé, mais même la couleur 
et notamment un glacis appliqué par Frans Hals, 

Lors du nettoyage d'un second tableau, ,,Banquet des 
officiers des Archers de St. Georges," peint par Hals en 
1616, on décida d'envoyer les tampons d'ouate, qui avaient 
servi a l'opération, a M. Ie Dr. G. van der Sleen, chimiste 
a Harlem, pour en faire l'analyse. Son examen, dont les 
resultats seront communiqués ci-dessous, prouva qu'on 
n'enleva rien de la couleur et que l'aspect jaunatre des 
tableaux de Frans Hals a Harlem est du aux vieilles 
couches de vernis, devenues ternes, qui ne protègent plus 
la peinture, ne laissent plus ressortir les couleurs, et donnent 
au tableau une fausse apparence, parce que Ie blanc, Ie bleu 
et Ie violet se présentent, a travers les couches, comme 
du jaune, du vert et du brun. 



136 QUELQUES RECHERCHES U PROPOS DU NETTO YAGE 

Les adversaires de la methode de nettoyage suivie s'en 
reféraient toujoiirs a un ouvrage bien connu de Max von 
Pettenkofer, „Über Oelfarbe", qui était considéré aiitrefois 
comme un évangile, mais dont la pratique révéla les erreurs. 
Les assertions qu'au musée Frans Hals on avait reconnues 
commes fausses par expérience, M. van der Sleen en 
démontra l'inexactitude par voie chimique. 

Ces recherches, qui seront décrites ci-dessous, contribueront, 
j'espère, a faire disparaitre beaucoup d'idées fausses et 
de préjugés. 

G. D. Gratama, 
Directeur dv musée Frans Hals de Harlem. 

L 

Recherches relatives au nettoyage du „Banquet des Officiers des 
Archer s de St. Georges^'' peint par Frans Hals en 1616. 

Les Communications qui vont suivre sont la réponse a la question, 
posée par Ie directeur du musée Frans Hals, si un examen chimique 
pourrait décider si dans Ie netto3'age, tel qu'il fut effectué a 
Harlem, des constituants de la coukur avaient été enlevés. Le 
grand changement que l'opération avait apporté au tableau 
avait notamment éveillé chez beaucoup de personnes Ia crainte 
que l'oeuvre originale ne fut pas restée intacte. Gr, si en enlevant 
la couche de vernis on avait cnlevé aussi une partie de la 
peinture, on devait pouvoir retrouver des traces de cette dernière, 
et particulièrement des constituants colorants, dans les tampons 
d'ouate imbibés d'alcool et de xylcne, qui avaient servi a 
dissoudre et balayer la couche de vernis. 

Un grand nombre de ces tampons furent exprimés et l'on 
obtint ainsi 50,7 gr. d'un liquide trouble, qui, en reposant, se 
sépara en trois couches: 

1°. au-dessus un liquide clair A, de couleur jaune clair; 

2°. une couche inférieure B également claire, mais jaune 
brunatre ; 

3°. une couche intermediaire, flottant entre les deux liquides, 
mousseuse et d'une couleur sale. 

Après qu'on eut cnlevé autant que possible les liquides clairs 
au moyen d'un lin si[)hon, la couche mousseuse restante fut 
transportée, avec ce qui re.stait des liquides A et B, dans deux 



OT 



DES TABLEAUX DE FRANS HALS 'd HAFILEM. 1" 

tubes (Ie centrifugeur et soiimise pendunt un certain tcm})S a 
lacentrifugationaumoyeii d'un centrifugeur électrique. Les saletés 
s'accumulèrentau fond du tube et les liquides clairs se séparèrent 
au-dessus. Ceux-ci furent de nouveau décantés autant que 
possible et la crasse restante lavée a plusieurs reprises a la 
térébenthine, puis a l'alcool, puis encore a la térébenthine et a 
l'alcool, a l'acétone, a 1'eau et enfin au chloroforme. A chaque 
lavage on centrifugea jusqu'a ce que Ie liquide fut devenu 
clair, après quoi ce liquide fut enlevé. 

Liquide A. Ce liquide surnageant, de couleur jaune clair, 
dont on recueillit 13.4 gr., avait un poids spécifique de 0,956 
et laissa, après évaporation, un residu sec de 23,9 % ; en tout 
donc 3,20 gr. de vernis sec. 

Liquide B. La couche inférieure brunatre, dont on obtint 
29,2 gr., avait un poids spécifique de 1,0002, laissa aprrsé va] )oration 
43,8 7o> soit 12,72 gr. de vernis sec. 

On recueillit donc de A 13,4 gr. contenant 3,20 gr. de vernis sec 

„ r> Lv,A „ „ lA,id „ „ „ 

En tout 42,6 „ „ . 15,99 „ „ „ 

Le contenu total du flacon pesait 50,7 gr., de sorte qu'il y 
avait dans le flacon une quantité de vernis sec de 50,70: 
42,6 X 15,99 = 19 gr. environ. 

La raison pour laciuelle la solution de vernis s'cst scparée 
en deux couches, toutes deux imparfaitement miscibles au 
xylène et a. l'alcool, est de nature physico-chimique assez com- 
pliquée et n'a pas d'importance pour ce qui va suivre. 

Au moyen des deux liquides on obtint, sur des plaques de 
verre, des couches de vernis d'épaisseur déterminée; celle donnóe 
par le liquide A était vitreuse et a peu prés incolore, de sorte 
qu'on peut admettre qu'elle n'avait pas eu d'influence sensible 
sur le tableau. Mais il en est autrement du liquide B, dont la 
quantité était beaucoup plus grande (12,79 gr. de raatière sèclie 
contre 3,20 gr. de A). 

Pour examiner l'influence de ce vernis sur les couleurs d'un 
tahileau, on fit sécher sur une plaque de verre une quantité de 
vernis telle, qu'il se forma une couche ayant a pres l'épaisscur 
de la couche de vernis recouvrant primitivement le tableau 
de Hals (0,3 mm. a peu prés). Or, si l'on examine cette plaque 
au spectroscope, on constate que son influence sur les couleurs 
est loin d'étre faible. 



138 QUELQUES RECHERCHES a I'KOrOS DU NETTO YAGE 

Le rouge n'est pas modifié sensiblement et pour Ie jaune non 
plus on ne remarque rien de particulier. Dans le vert l'effet est 
douteux ; il semble qu'une partie en est absortbée, mais, a 
mesure que l'on s'approche de la raie spectrale F, donc de la 
limite entre le vert et le bleu, l'absorption devient notable et 
de plus en plus forte, Le vert-bleu est absorbé partiellement et 
le bleu spectral pur l'est en grande partie; quant au bleu- violet 
et au violet ils ont complètement disparu. Il est clair qu'un 
pareil filtre, place devant un tableau, doit en modifier a fond 
le coloris. Non seulement il se fait que des couleurs les unes 
ne sont pas du tont absorbées par la couche superposée, alors 
que d'autres le sont en partie ou même totalement, mais, comme 
un peintre ne se sert jamais de couleurs pures du spectre, on 
peut dire que pratiquement il n'y a aucune couleur qui ne 
soit modifiée. Il se peut que quantitativement le rouge ne soit 
pas notablement absorbé, mais il suffit qu'il contienne un peu 
de violet, pour que celui-ci soit retenu, et alors la teinte ne peut 
pas rester la même. 

Le changement est évidemment tres fort pour le blanc, qui 
lui-même n'est pas une couleur spectrale, 

L'influence de la couche de vernis jaune est rendue plus 
grande encore par le fait qu'on regarde un tableau a lumicre 
réfléchie, de sorte <]ue la lumière incidente doit traverser le 
filtre deux fois avant d'atteindre 1'oeil. 

Il est clair que le peintre n'a jamais contemplé son oeuvre 
dans eet état. Au moment oü elle fut peinte, le vernis-filtre ne 
s'y trouvait pas encore et le maitre ne se sera sans doute pas 
creusé la tète pour résoudre la question de savoir quelles 
couleurs il devait employer pour obtenir l'efl'et désiré a travers 
une couche de vernis jaune de 0,3 mm. d'épaisseur. 

Il résulte de ce qui précède que la question, qui est ii la 
base de eet examen, celle de savoir si dans la masse qui fut 
enlevée lors du netto vage du tableau il se trouvait des matières 
coloranles, n'a qu'une importance secondaire. Car il était 
prouvé que l'enlèvement de la couche de vernis avait eu une 
tres grande influence, tellement grande que vis a vis de celle-la 
la disparition possil)le d'un peu de la couleur n'importait guère. 
L'examen fut néanmoins poursuivi comme il avait été projeté 
et la crasse enlevée fut soumise a l'action de divers solvants 
pour en extraire le ciment (l'huile etc.) Cela n'était pas facile, 



DES TABLEAUX DE FRANS HALS 8, HARLEM. 139 

car Ie vernis contenait des grains difficilement solubles oii des 
particnles de résine, qui ne pouvaient être enlevées que peu a 
peu par les divers réactifs. Quand enfin plus rien ne passa en 
solution, Ie residu, dans lequel devaient se trouver toutes les 
particules colorantes, fut séché et pesé. 

De 19,0 gr. de vernis sec il resta en tout 40,8 mgr. de 
poussière -|- crasse -f- particules insolubles. 

Cette quantité est bien faible. Si l'on admet que les solutions 
de vernis usuelles contiennent 25 % tle substance sèche (je 
trouvai 10 a 35 °/o), les 40,8 mgr. de particules insolubles se 
trouveraient dans 76 gr. de vernis, dont elles constitueraient les 
0,053 %, ce qui n'a certainement rieh d'anormal. 

Lors du dernier lavage au chloroforme tout Ie residu restait 
a la surface et, comme les matières colorantes usurelles tombent 
toutes au fond, on peut dire qu'on ne trouva pas tracé de matière 
colorante. 

Pour en être tout a fait certain on fit encore les épreuves 
suivantes : 

üne petite quantité du residu fut triturée dans un mortier 
en agate avec un quantité de vernis au mastic telle que la 
masse ainsi obtenue contint autant d'impuretés que Ie vernis 
du tableau. Cette opération réussit assez bien : une plaque de 
verre, sur laquelle Ie vernis fut étalé en couche, portait 2 mgr. de 
la crasse, alors que d'après Ie calcul elle aurait du en porter 
1,6 mgr. Or, on n'eu voit rien. Il n'y a donc aucun inconvénient 
a enlever cette crasse, avec un peu de la couleur peut-être. 

Finalement Ie reste de la crasse fat brülé ; on observa un 
moment une flamme ; la teneur en cendres était exactement de 
50 °/o- Cös observations sont normales, quand il s'agit de 
poussières; les matières constitutives des couleurs, en effet, ne 
brülent pas. Dailleurs, les cendres contenaient un peu de fer, 
comme c'est toujours Ie cas pour la eendre de poussières. 

Les conclusions de eet examen peuvent être résumées comme 
suit : 

1. Lors du nettoyage du tableau de Frans Hals on a enlevé 
une couche de vernis jaune, qui, par son pouvoir absorbant, 
modifiait considérablement Ie coloris. 

2. La quantité de crasse, y-compris de la poussière et des 
impuretés du vernis, était si faible que les éléments colorants 
qu'elle aurait pu contenir se réduisaient a rien. 



140 qUELQUES RECHERCHES il l'RUPOS DU XETTOYAGE 

3. La quantité de crasse, poussière etc, y-compris les traces 
possibles d'élóments colorants, était tellement faible que, mélangée 
dans Ie rapport primitif a un vernis incolorc, elle était tont a 
fait invisible. 

4. On ne découvrit pas tracé de constituants des couleurs. 
Une étude plus détaillée des tampons d'ouate exprimés ne 

pouvait que confirmer les résultats ci-dessus. 

On reconnut dans cette étude qu'il était désirable d'approfondir 
un peu, au point de vue chimique, les questions qui s'y présentent. 
Dans les milieux oü l'on s'occupe de peinture, on cite encore 
souvent l'ouvrage de Pettenkofer, bien que les recherches de 
eet auteur datent déja de si longtemps (1860 — 1870) qu'il n'est 
pas sans utilité d'examiner jusqu'a quel point les idees qu'il 
exprime doivent être modifices d'après les recherches plus récentes. 

Nous examinerons en premier lieu s'il est possible de dissoudre 
Ie ciment de vieilles couches de peinture. Ce ciment, l'huile de 
lin „séchée,"' fut appelé „linoxyne" par Mulder. Ceci nous met 
en plein dans la lutte, enragée peut-on dire, de Max von 
Pettenkofer, professeur d'hygiène a Munich (mort en 1901) 
contre les restaurateurs de tableaux en général, mais en particulier 
contre ceux qui avaient donné des préceptes qu'il considérait 
comme pernicieux. 

• Pettenkofer, en etfet, envisageait la question dn cóté 
scientifique, alors que l'empirisme avait, jusque-la, régné en 
maitre. Cela l'amena sur Ie terrain de son contemporain Gerrit 
Jan Mulder, professeur de chemie Ti Utrecht (1841—1868, 
mort en 1880), qui, dans sa „Cliimie der austrocknenden Oele," 
publiée en 1867 a Berlin, chez Julius Springer, rassembla et 
critiqua Ie peu que Ton connaissait a cette époque de cette 
question et entreprit des recherches personnelles qui Ie tirent 
considérer comme Ie fondateur de la chimie de l'art de la 
peinture. 

Je n'ai pas pu me procurer l'original de eet ouvrage de 
Mulder, mais j'en posscde l'édition hollandaise, publiée en 
1864 chez H. A. Kramers, a Rotterdam, sous Ie titre: „de 
Scheikunde der droogende oliën," comme première partie du 
tome IV deses „Scheikundige Onderzoekingen en V'erhandelingen". 

Solubilité de la linoxyne. A co sujot Mulder dit (je traduis): 

Linoxyne (p. 120): „Elle est plus dense que l'eau, amorplie, 
élastique, insoluble dans Teau, l'alcool ou l'éther, gonfie fortement 



DES TABLEAUX DE FRANS HALS fl HARLEM. 141 

dans Ie chloroforme et Ie sulfure de carbone. L'ammoniaque 
dissout la linoxjme, après une longue digestion, en se colorant 
en rouge, et l'acide chlorbydrique précipite de cette solution 
une matière floconneuse. Un des meilleurs solvants de la linoxvne 
est un mélange d'alcool et de chloroforme ; quand on la fait 
digérer dans ce liquide, elle commence par gonfler fortement 
et puis elle se dissout. L'huile de térébenthine la rend fort 
gélatineuse, mais n'en dissout que fort peu". 

L'assertion, que la linoxyne est soluble dans un mélange 
d'alcool et de chloroforme, est inexacte; cela n'est vrai que 
pour la linoxyne encore jeune, dont nous n'avons pas a nous 
occuper ici. 

On a cherché pendant longtemps un solvant approprié, qui 
rendrait sans doute possibles de nombreuses applications nouvelles. 
Des brevets ont été pris par quelques chercheurs, qui croyaient 
avoir réussi, mais, u ma connaissance, Fapplication pratique 
s'est vainement fait attendre. Je citerai ici Valcool amyUque, Ie 
constituant principal des huiles empyreumatiques, des fabriques 
d'alcool. Le brevet mentionne, que la linoxyne commence par 
s'y gonfler et qu'elle s'y dissout au bout cVun cm etivwon. Un 
autre moyen est Vacide acrtiqite glacial (donc l'acide acétique 
a 100 °/o). Bouülie dans eet acide, la linoxyne se dissout; mais, 
chose reinarquable, après évaporation du solvant, il reste une 
tout autre substance, qui est soluble dans la térébenthine. 
Fait-on boullir cette nouvelle solution, la linoxyne se reforme 
et, comme elle n'est pas soluble dans la térébenthine, elle se 
sépare a l'état solide. 

Quand il s'agit de faire l'analyse chimique de linoleum (un 
mélange de linoxyne, de résine, d'huile de ricin et de poudre 
de liège), la meilleure methode consiste a mettre dans un tube 
en verre la substance pulvérisée et mélangée a du benzène, 
puis a scelUr h tube et a le chauffer pendant une keure d 
150° G. Comme le benzène bout a 80°, il se dévelopjje dans 
le tube une pression considérable, qui peut donner lieu a une 
explosion, si le tube vient a éclater. L'expérience n'est donc 
pas sans danger et se fait dans un „four a bombes". Mais il 
parait que même traitée ainsi la linoxyne ne se dissout pas 
entièrement. 

On ne connalt donc en ce moment aucun moyen de dissoiidre 
la linoxyne et on n'y arrive donc certainement pas par la methode 



142 QUELQUES RECHERCHES a PROPOS DU NETTOYAGE 

anodine qui servit au nettoyage du tableau de Frans Hals. 

Mais, ainsi que Mulder Ie tit déja remarquer, la linoxyne ne 
résiste pas a rammoniaque, ni même au savon ni a la soude, 
et surtout pas a la soude caustique ou la potasse a l'alcool. 
Mais dans ces cas il ne s'agit pas d'une dissolution : la linoxyne 
est „saponifiée" et, lorsqu'on décompose au moyen d'un exces 
d'acide les solutions alcalines ainsi obtenues, il se précipite un 
mélange d'acides, d'oü l'on ne peut pas récupérer la linoxyne. 

Il résulte bien de ce qni précède que la linoxyne doit être 
considérée comme une substance insoluble et, comme Ie vernis 
appliqué sur Ie tableau est soluble, au contraire, il est clair 
qu'on peut, a toute époque, débarrasser un tableau de sa couche 
de vernis. 

La question est toutefois un peu plus compliquée. M. G. D. 
Gratama m'a fait parvenir deux petites peintures anciennes, 
l'une, un morceau d'un panneau, du temps de Frans Hals, 
résiste a toutes les tentatives faites par en enlever quoi que ce 
soit au moyen des solvants usuels. L'autre, un fragment d'un 
plafond peint sur toile, datant d'environ un siècle, se laisse 
nettoyer complètement au moyen d'un mélange d'alcool et de 
térébenthine, au point que la toile sous-jacente est mise a nu. 

D'ailleurs, on est parvenu a enlever des retouches du tableau 
de Hals de 1616. 

11 est tout naturel de songer ici a des différences d'age. On 
sait, en effet, que lorsque l'huile est „sèche" au toucher, Ie 
processus de la maturation n'est cependant pas du tout terminé, 
c'est-a-dire qu'il y a encore des parties qui ou bien ne sont pas 
encore transformées, ou bien sont oxydées a l'état d'un corps 
qui doit a son tour se transformer en linoxyne. 

Pour donner une idéé de la complexité du processus qui se 
déroule dans cette maturation de Tlniile, je mentionnerai les 
recherches de R. H. Sabin i) 

L'huile de lin non bouillie augmente en poids de 16 a 
17 7o ''^^ bo^t d'une semaine environ, après quoi son poids 
diminue, au point qu'après 2 semaines Ie onzième del'augmentation 
est perdu de nouveau, après 4 mois les ^/4, après 8 mois les 
'••/lo; alors l'huile est revenue a peu prés a son poids primitif. 



') Journal of Imlusti-ial and Kiigineerinj; Cliemistry, 3, 84 — 86 (27 dóe. 
1910). 



DES TABLTCAUX DE FRANS HALS a HARLEM. 143 

Pendant tout ce temps, donc aussi pendant Taugmentation de 
poids, il s'en échappe des substances volatiles. 

Il résulte donc de la qu'au bout d'un an un état durable 
n'est pas encore établi. Et il est possible que nous devions 
admettre que Ie processus qui est accompagné d'une perte de 
poids n'est jamais terminé, de sorte qu'au bout d'un temps 
suffisamment long toute la linoxyne finirait par disparaitre 
(volatilisée ou oxydée). 

En tous cas, si Ie processus de la maturation est de longue 
durée, nous savons que Ie moment oü l'liuile est oxydée au 
point de n'être plus soluble se présente tres tot; pour de minces 
couches un espace d'une semaine est certainement suffisant, et 
un mois est a coup sur une estimation acceptable. Donc, si 
Ie vieux panneau, du commencement du 17e siècle ne se dissolvait 
2MS, alors que Ie plafond agé d'un siècle environ Ie faisait, au 
contraire, cela ne üent pas ii la différence d'age. Tout Ie monde 
peut s'en assurer en examinant 1'ouvrage d'un peintre en 
batiments: un mois après l'application de la peinture, on peut 
frotter sans danger sur Ie panneau d'une porte avec des tampons 
d'ouate imbibés de térébenthine et d'alcool : la couleur ne s'en 
va pas. 

Mais la question de la possibilité d'enlever la couleur n'est 
pas régie tout entière par la solubilité de la linoxyne. Nous 
admettons que la linoxyne et la couleur constituent un tout 
organique, a comparer a un mur, dont la couleur remplit Ie 
róle des briques et la linoxyne celui du mortier durci, qui tient 
Ie tout ensemble. Pour faire disparaitre un tel mur par des 
forces externes (ici Ie frottement), il n'est pas nécessaire que 
Ie mortier soit dissous, car il en résulterait qu'on pourrait diminuer 
jusqu'a l'infini ia quantité de ciment. Or, Ie ciment de la 
couleur n'est pas formé uniquement de linoxyne. Mulder donna 
ce nom au produit qui lui resta lorsqu'il traita de l'huile de 
lin séchée a l'ether, 1'alcool et l'eau, jusqu'a ce que plus rien ne 
passa en solution. Il y ajoute que lorsqu'on répète assez long- 
temps l'extraction a l'ether, l'alcool ne trouve plus rien a extraire. 
La quantité de „substances étrangères" était différente pour 
diverses huiles, mais nous pouvons bien admettre une valeur 
de 20 °/o, valeur qui fut trouvée a peu prés par d'autres et 
qui est également d'accord avec les résultats de mes propres 
ex})ériences. Cette proportion de substances solubles augmente 



144 QUELQl'ES RECHERCHES ;\ PROPOS DU NETTOYAGE 

encore considérableinent, lorsqu'on ajoute a Thiiile de lin du 
vernis, de la résine ou de la eire, et peut aisément s'élever 
alors au point qu'après dissolution de ces constituants il reste 
si peu de linoxyne, que Ie mur prend Ie caractère d'uii aiuas de 
pierres qui ne peut plus résister aux forces extérieures. 

Telle est bien la raison pour laquelle Ie inorceau de plafond 
centenaire ne résista pas au procédé de netto vage : il était peint 
plutót au vernis qu'a l'huile. 

Il est donc bien prouvé par la que lorsqu'on sest servi pour 
peindre d'hiiile de lin pure^ l'enlèvement de la couche de vernis 
appliquée dans la suite peut avoir lieu sans Ie moindre danger, 
S'il est possible d'enlever aussi de cette maniere des retouches, 
c'est que la nouvelle peinture n'adhère pas a l'ancienne. Générale- 
ment la couche de vernis n'est pas enlevée d'une maniere si 
parfaite qu'il n'en reste plus une couche d'épaisseur microscopique ; 
niais, même s'il n'en était pas ainsi, les restaurateurs ne sont pas a 
ce point des vandales (on les en accuse parfois) qu'ils useraient 
OU brüleraient la couche sous-jacente pour réaliser une véritable 
union avec les couches a appliquer. 11 est donc, en général, 
impossible de ne pas enlever les retouches en même temps que 
la mince couche de vernis qui se trouve au-dessous. 

IL 

Sur les caiises de Valtération des peintures ci Vhuile. 

On sait depuis longtemps que la peinture è, l'huile ne dure 
pas éternellement. C'est encore Mulder, Ie fervent admirateur 
du „grand art", qui fut Ie premier a donner une explication 
scientiHque de l'altération des tableaux. 

Il écrit, a la p. 293: „Les frères van Eyck, Hubert et Jean, 
les maitres éminents de l'Ecole néerlandaise, se servirent, au 
14e siècle, d'liuile pour la peinture et créèrent ainsi une nouvelle 
époque dans Tart, donnèrent a celui-ci une extension et un 
dévelo})pement inconnus et lui fournirent des moyens non suspectés 
avant eux." 

Puis, plus loin : „Quant a la durabilité des ouvrages de l'art: 
Ie }>rocédé d'incrustation des couleurs a l'eau par Ie feu, en 
usage avant qu'on eut connaissance de 1'emploi d'huile par les 
frères van Eyck, était un moyen de rendre la peinture plus 
durable, mais il lui enlevait beaucoup de ce que l'arti.ste y avait 



DES TABLEAUX DE FRANS HALS a HARLEM. 145 

mis comme coloris et comme ton. Quant au procédé qui consistait 
a recouvrir les aquarelles d'ane couche de eire, pour les garantir 
un peu contre les dommages que pouvaient y apporter Ie contact 
des doigts et les poussières de l'air ou les protéger contre les 
injures du temps, il était tout aussi pitoyable dans ses effets 
qu'il Fétait dans son essence. 

Les peintures a fresque ont toujours eu et auront toujours 
une valeur propre : ce sont des oeuvres grand ioses, frappantes et 
impressionnantes a distance, et durables. Mais c'est un genre 
spécial, excellent a certains endroits et pour certains buts. 
Enlevez a l'art la possibilité de déplacer ses produits, la possibilité 
de les amener prés de vous, de sorte que vous êtes obligé d'aller 
les voir oü ils sont, et vous lui enlevez l'amour qui offre et 
qui n'exige pas qu'on cherche oü il est pour Ie trouver. 

On est unanime a Ie déclarer: „les couleurs a l'huile ont donné 
a l'art un relief inconnu auparavant et l'ont animé d'une nouvelle 
vie, qui ne fut pas surpassée dans la suite." 

Les citations précédentes montrent bien combien Mulder 
s'intéressait a son sujet: „la chimie des huiles siccatives." C'est 
a lui que 1'on doit les premières recherches sérieuses sur les 
réactions qui ont lieu dans Ie processus du séchage et sur 
l'augmentation de poids considérable que l'huile de lin subit 
pendant ce processus; mais il apprit aussi que la quantité de 
matière qui s'y perd est plus grande encore: „Les huiles qui 
durcissent sont comme Ie sang: elles absorbent de l'oxygêne et 
rendent de l'acide carbonique." 

Et pas seulement de l'acide carbonique^ mais encore de Veau, 
et Mulder a même fait de longues expériences pour établir 
quelles sont les autres substances qui sont mises en liberté: 
acide formique, acide acetique, acide acrylique etc. 

L'endroit ne serait pas bien choisi pour entrer dans des détails 
concernant ces expériences, ou les nombreuses recherches d'autres 
auteurs qui, disposant de moyens plus parfaits et de methodes 
plus précises, perfectionnèrent les résultats de Mulder. Il y a 
toute une série de chercheurs qui s'en occupèrent: Livache, 
Weger, Lippert, Borrtes et, ne l'oublions pas, W. Fahrion. 

Sous Ie même titre que Mulder: „Die Chemie der trocknenden 
Oele" et chez Ie même éditeur (Julius Springer a Berlin). 
Fahrion a publié en 1911 un ouvrage oü il a rassemblé tout 
ce qu'on savait a ce moment a ce sujet, et toiis les ans on 

10 



146 QUELQUES RECHERCHES a PROPOS DU NETTOYAGE 

trouve dans Ie „Zeitschrift für angewandte Chemie" im aperou, 
écrit de sa raain, de tout ce qu'on a encore appris a ce sujet 
dans Ie cours de l'année précédente. 

Chose bien remarquable, eet excellent connaisseur de notre 
sujet ne cónsacre pas plus de trois lignes, peu importantes, au 
travail de Pettenkofer, et ce qu'il en dit est même dit mal 
a propos. 

Une mention toute spéciale doit être faite ici des recherches 
de A. Genthe i), faites au laboratoire du prof. Wilhelm Ost- 
WALD a Leipzig -). Les expériences de Genthe constituent un 
digne complément des recherches de Mulder et donnent un 
apercu interessant des progrès de la technique. Alors que Mulder 
obtint ses résultats par des moyens défectueux et des pesées 
laborieuses, dans lesquelles il tenait compte de toute espèce 
de circonstances accessoires, au laboratoire d'OsTWALD, 50 ans 
après, on avait disposé une quarantaine de flacons, reliés a des 
manomètres (remplis de paraffine), et tout ce qu'on avait a faire, 
c'était de faire la lecture de ces manomètres deux fois par jour, 
Ie matin a 9 heures et Ie soir a 6 heures, pour pouvoir suivre 
par Ie calcul toute la marche du processus du séchage. Une 
épreuve „a blanc," disposée a cóté, devait servir a apporter les 
corrections nécessaires pour les variations accidentelles de la 
pression barométrique, de la température etc. Les flacons pouvaient 
être remplis d'air, ou d'oxj^gène, ou de tout autre gaz; un fil 
d'aluminium portalt un sachet en papier buvard, imprégné d'une 
quantité d'huile exactement connue et, li mesure que l'huile 
séchait, 1'oxygène de l'air était consommé et la quantité consommée 
était mesurée par la diminution de pression (|ui en résultait dans 



') Zeit.schr. f. angew. Chem., 21, 2087, 190G. 

ï) WiMiKr.M OswALD est, sans contredit, Ie cliimiste qui s'intéresse Ie plus 
il 1'art de la peintui'e et qui a Ie plus approt'ondi ses problèuies. Savant renomnié, 
prix Nobel, il est en raéine temps peintre amateur et en outre un excellent 
styliste, pour lequel Ie talent d'écrire est en quelque sorte devenu une 
seconde nature. Aussi Ie nombre de ses publications sur ce sujet est-il 
étonnaot, et l'on peut dire qu'il en est un peu Ia du|)e, car peu de gens ont 
la [tatience de les lire et de les étudiei' toutes. J'ai coni|)té aus nioins iO 
publications sur sa theorie des couleurs dans les années 1915 — 1919. 

Les ,,Malerbriefe" (Leipzig 1904) contiennent de nonibreuses reniarques 
inlóicssantes pour les peintres; il y cónsacre quelques paroles élogieuses ;i 
Pkttknkokkr, niais on voit qu'il n'a pas fait une étude spéciale de cette 
jiai tit' de soa sujet. 



DES TABLKAttX DE PRANS HALS A, HARLEM. 147 

l'espace ferme du flacon. Il est évident que de pareilles expériences 
élégantes fournissent des résultats fort dignes de confiance et 
se prêtent u des variations a Tinfini et au controle de changements 
tres importants par eux-mèmes. 

Auprès d'observations aussi subtiles les essais de Mulder 
paraissent bien grossiers ; néanmoins ces derniers ont une impor- 
tance pratique infiniment plus grande, parce que Gemthe 
poursuivait un but plutót théorique et s'écartait un peu trop 
de la pratique. La tentation est grande d'insister un peu sur 
ces épreuves, mais, pour ne pas m'en occuper trop longuement, je 
mentionnerai encore simplement que ces recherches démontrèrent 
d'une facon eclatante la grande influence que la, lumièi'e exerce 
sur Ie séchage ; dans une représentation graphique on obtenait 
a plusieurs reprises une ligne brisée.: une montée rapide pendant 
Ie jour, exprimant un séchage rapide, Ie soir une ligne plus 
plate, qui, au matin suivant, reprenait son allure abrupte. 

Tres importante aussi est sa „Verbrennungscurve" (courbe de 
combustion) ; bien longtemps après la fin du processus de séchage 
proprement dit Tabsorption d'oxygène continue encore: même 
au bout de 90 jours il se produisait encore une lente „combustion." 

Genthe est d'ailleurs Ie seul qui ait fait Ie „bilan" du séchage 
et prouva que la quantité d'huile + oxygène est egale au 
poids de la linoxjme + eau + acide carbonique + etc. Il trouva 
en moyenne : 

Quantité d'oxygène absorbée dans l'obscurité a température 

ordinaire: 23 °/^ 
„ de substances volatiles perdues: 15% 

Au sujet de l'altération des peintures a l'huile Mulder s'exprime 
comme suit (p. 322): „On devra, en effet, chercher longtemps 
avant de trouver un véhicule mieux approprié que l'huile a 
l'art de la peinture. Il a cependant ses défauts: il est durable, 
mais pas assez. Comme toutes les substances organiques, l'huile 
bouillie finit par disparaitre, et, avant cette disparition, aussi 
inévitable que celle des rochers qui s'élèvent au-dessus de la 
surface de la terre, on remarque des phénomènes de décompositon 
partielle, qui déprécient déjii la valeur du chef d'oeuvre. 

La première chose que l'on voit est l'apparition d'une substance 
brune, un objet brun. Au bout de peu de mois eet objet se 
developpe déja et, malgré qu'on se soit servi d'huile tout a 
fait incolore, telle qu'on l'obtient en l'exposant tl la luniière, 



148 QtJELQUES RECHERCHES a PROPOS DU NETTOYAGE 

cette huile brunit et l'on ne connait jusqu'ici aucun moyen 
pour empêcher la formation de cette matière brune, si ce n'est 
raction directe du soleil, (jui peut être fatale pour Ie tableau ; 
Ie remede peut être pire que Ie mal. 

L'air, rendu actif par la chaleur et surtout par la lumière, 
durcit l'huile en voie de sécher; mais, lorsque l'huile est devenue 
séche, Pair actif agit en ennemi. Pour diminuer cette influence 
on recouvre Ie tableau d'une couche de vernis, une résine 
dissoute dans un liquide volatil. Le liquide s'évapore et il reste 
la couche de résine qui empêche en grande partie l'air d'atteindre 
la couche de peinture. 

Ce vernis rend d'ailleurs transparentes les minces couches de 
matière blanche (de linoxyne surtout) qui ont été créees par 
oxydation de l'huile et recouvrent les molécules de matière 
colorante, cc qu'on appelle „inschieten" (peinture embue), de 
sorte que les particules colorantes se présentent a peu prés comme 
elles sont ; a peu prés, pas tout a, fait, car avec le vernis on 
n'obtient pas une transparence complete de la linoxyne. 

Ainsi préparé, le tableau est abandonné au temps. Un panneau 
le protégé suftisamm.ent par derrière et le vernis le recouvre Ji 
peu prés par devant. Une toile placée derrière ne protégé pas 
suffisamment: la une épaisse couche de couleur, comme fond, 
est le moyen de tenir l'oxygène éloigné de la couche de peinture 
proprement dite. Mais une séparation complete de l'air est 
impossible, et voila pourquoi une lente altération et une déchéance 
finale sont inévitables. 

C'est sans aucum doute l'acide élaïque, existant dans toute 
huile qui séche, qui sera attaque le premier et transformé 
en acides gras volatils. Par la la couche de couleui- doit devenii" 
plus dure. Les acides palmitique et myristique de l'huile de 
lin seront oxydés plus lentement, mais ils le seront aussi. Alors 
la couleui- doit devenir plus dure encore et se gater." 

W. Fahrion ') pense que la linoxyne, contient encore, quoi- 
qne masqué, de l'oxygène actif et porte ainsi en soi le germe 
de destruction. „Les groupcments de peroxyde," dit-il, „se 
transposent spontanément, bien que tres lentement, en groupc- 
ments de cétoxyde, et les groupements hydroxyle qui j)rennent 
ainsi naissance donnent lieu a une séi)aration d'eau, qui entraine 

') Zc'iUvlii'. f. (inyew. CItem. 23, 720, 1910. 



DES TABLEAUX DE FRANS HALS a HARLEM. 149 

une diminution de volume et par suite la formation de crevasses." 
Cela veut done dire que la linoxyne n'est pas une combinaison 
stable. Elle se transforme peu a peu en une autre combinaison, 
avant la même composition élémentaire, et cette nouvelle com- 
binaison est constituée de telle sorte qu'elle abandonne aisément 
de l'eau. 

La theorie de Fahrion signifie donc ni plus ni moins que 
Ie crevassement et la ruine des peintures a l'huile ne sont pas 
la conséquence d'influences externes, de nature chimique,physique, 
OU mécanique, 7nais d'actions qui se font sentir dans la structure 
même du ciment et sont donc inévitahles^ inéluctables et dont les 
effets sont en outre m'éjmrables. 

Que réellement la linoxyne est capable de subir une pareille 
transformation, Mulder l'avait déja trouvé et exprimé en 
admettant la formation d'acides linoxyques „blanc" et „rouge" ; 
mais dans l'état oü se trouvait la science chimique a cette 
époque, il n'était évidemment pas en état de résoudre Ie pro- 
blème. 

En 1909 parut un travail développé de Tauber: Über Risse 
in der Bildschicht von Olgemalden" i) ; les crevasses dont il est 
question dans ce travail ne sont toutefois pas Ie phénomène 
qui se présente il la longue dans toutes les peintures a l'huile, 
mais les fissures qui se produisent bientót dans des retouches, 
tout en laissant intactes la peinture sous-jacente ; il s'agit donc 
d'un phénomène oü seules les jeunes couches, appliquées sur 
les anciennes, se fendillent rapidement. Les expériences sont 
particulièrement étendues: Tauber opéra sur 42 espèces de 
couleurs, en recouvrit de grandes surfaces et partagea chacune 
de celles-ci en 42 plages plus petites, qui furent recouvertes 
chacune d'une des 42 couleurs employees ; et cela en trois parties : 
la première dès que la couleur sous-jacente était sèche au toucher, 
la seconde 6 semaines après, la troisième encore 3 mois plus tard. 

C'étaient donc un grand nombre d'observations ; malheureuse- 
ment, Tauber ne put en déduire aucune règle fixe. Les premières 
expériences furent faites avec de l'huile de pavot; lorsque Ie 
fond avait été peint a l'oxyde de zinc, 30 des 42 couches 
appliquées sur ce fond se crevassèrent, et méme 37 dans Ie 
cas oü Ie fond avait été peint au minium, 26 dans Ie cas de 



') Chem. Zlrj. 33, 85 et 94. 1909. 



150 QUELQUES RECHERCHES a I'ROI'ÜS DU NETTOYAGE 

la céruse, aucune dans Ie cas du bleu de Prusse i). Par contre, 
quand la couclie appliquée était de rox3'de de zinc, cette couclie 
se crevassait sur 34 fonds, Ie minium ne se crevassait sur aucun, 
la céruse sur 2, Ie bleu de Prusse sur 4. 

Tauber fit plus tard des épreuves comparatives entre del'liuilede 
pavot, de Thuile de noix et de l'huile delin, aveccerésultatquedes 
400 chanips recouverts d'lmile de pavot 83 étaient crevassés, de 
ceux recouverts d'huile de noix 65 et d'lmile de lin 5 seulement. 

Comme cause du crevasseraent il donne : des courants électriques. 
11 admet „que par des actions mutuelles de certains pigments 
dans les conditions réalisées, c'est-iVdire quand l'huile de la 
couche inférieure n'est pas encore complètement oxydée, il se 
produit des courants électriques qui donnent lieu, dans la couche 
encore molle superposée, a des tensions et par suite des a mouvements 
qui en résultent. Avec cela s'accorde Ie fait, que dans plusieurs 
cas Ie crevassement de la couche supérieure se produit déja 
lorsqu'elle est encore tout a fait molle et plastique." 

Un bien maigre résultat pour des épreuves aussi nombreuses. 
En premier lieu, nous ne pouvons pas nous représenter que des 
courants électriques peuvent prendre naissance dans un milieu 
composé exclusivement de non électrolytes, de non conducteurs 
et de substances insolubles. Et en second lieu nous ne pouvons 
pas nous représenter comment, s'il existe des courants électriques, 
ceux-ci peuvent déterminer des crevassés dans des couches de 
peinture qui sont encore tout ii fait molles. En troisième 
lieu, cette production de crevassés dans de la couleur humide 
est quelque chose de remarqual^le, de sorte que nous nous trouvons 
ici plutüt devant une nouvelle énigme que devant la solution 
de l'ancienne. 

L'hypothése des courants électriques est encore développée 
par la communication qu'une même couche de blanc de zinc 
dans de l'huile de pavot séchait sur du cuivre en 9 jours, sur 
du laiton en 18 jours, sur de la porcelaine en 6 mois, sur du 
zinc en un an seulement. 

Cela ressemble donc aux expériences de Livache -), qui, Ie 
premier après Mulder, reprit, en 1883, les expériences sur Ie 



') On trouve des tablp;iiix dótaillRs dans Ie Jahresbericht 190G/1907 der 
Hoclischule fiir die hildonde Kiinste in IJerlin. 
») Cumptes i-end us, 96, 200, 188:i. 



DRS TAr.I.EArX DK FRANS HALS ;l TTARI.EM. 151 

séchage de riuiile de lin. 11 se servit a. eet effet de poudre de 
plomb^ donl il avait recoiuiu qu'elle accélère tbrtenient Ie séolias;e. 
LiPPERT constata la mèine chose poiir la poudre de cuivre^ taudis 
que, selon BoRius, la poudre de zinc est inactive. Nous trouvons 
donc ici Ie mème phénoniène, sans (lu'il ait été fait usage de 
blanc de zinc, donc sans qu'il se soit produit des courants 
électriques, maissiniplement par suite de la mème action catalytique 
que celle qu'exerce aussi Ie siccatif sur Ie séchage de Thuile 
de lin. 

Eu 1894 Walter F. Keiu ^) publia iles recherches sur les 
produits d'oxydation de l'huile de lin : dies uiéritent d'ètre 
mentionnées. Get auteur en arrive a conclure que la liuoxyne 
n'est pas Ie produit liual de l'oxydatiou, niais qu'elle se trans- 
forme a sou tour eu uu litjuide tres épais et gluant, (pril aj^pelle 
de l'huile de lin „})er()xydée." Il inontra uu niorcean de linoxyne 
qui avait, avant 15 ans, un as[)ect tout a tait uorinal, uiais ótait 
maintenant „une niasse extrèniement visqueuse. uii-lluide, de 
couleur heaucoup plus foncée q\u' rhuile oxydée dont elle 
dérivait." Kkiu rapporte en outre (pi'il a exaniiué de vieux 
iniprimés, (]ui {)résentent les hords hrunatres Uien t'ounus autour 
des lettres vi au i'evers de gravures un pen sond)res. De [)apier 
aiusi taché il pui extraire une suhstance (pii était idenlitpie a 
la linoxyne devenue iluide. déuiontrée ici. 

Ges ohservations sont (^xtHssivenuMit iinportaiites vi, si (>lles 
étaiinit conlirniées, elles reuverseraiiMit certainement toute la 
theorie. Je dois toutefois faire remarquer i\\\c ce (\uv rauti'ur 
avance encore on faveur de sa maniere de voir, je u'ai jamais 
pu l'ohsiM-ver. ("ï'est ainsi que je u'ai jamais vu vouuiüssauw du 
fait ,.(pie la surface oxydée (riiiiiU' de lin piiiH\ (>xposée a l'air, 
devient, au hout df deux ans a pen prés, gluante (stit'ky) et uu 
pfu molle; (pTaii hout de trois ans ciivii'ou. loi-s(|ue la surface 
est placée vcrticaltMuent, une parlit> de la masso descend eomino 
uiH' matiri'c seiuidiquide ; (pi'au hout tli> ö ans iMi\iron une 
couche d'huilf oxydée, épaiss(> d'a pen piés 1 cm., est di'vcnui' 
tont a fait un li(pU(K> épais. 

La OU Iviao eite riOT'riCNKt>i.'i':i: il l'a manifestenuMit mal hi. 
riCTTKNKoi'i'ai n'a jamais pi-rlcndu (pTil pouvait iH-grurrer la 
linoxyne^ pai" des vapiau's d'acool lioidcs; (''(«st (out \c contraire 

h Jouru. of Sor. of Cfinn. hul. 13, 1020, ISUi. 



152 QUELQUES RECHERCHES U, PROPOS DU NETTOYAGE 

qu'il dit. C'est donc iiii non-sens que de vouloir donner nne 
explication de cette action — qiii n'existe pas — en faisant 
remarquer que la linoxyne n'est pas soluble dans ralcool „alors 
que Ie produitde Toxj'-dation subséquente est presque complètement 
soluble dans ce solvant." 

Les autres conclusions ne doivent donc être acceptées qu'avec 
la plus grande prudence, bien qu'il y en ait une qui soit séduisante. 
On sait notamment que la peinture exposée a la pluie s'altère 
beaucoup plus rapidement que eelle qui est exposée a 1'air 
libre, mais ne vient pas en contact avec de l'eau liquide. Reid 
explique ce fait en observant que son huile de lin peroxydée 
est tres notablement soluble dans l'eau ^). 

D'ailleurs, les milliers d'observations, apprenant que de l'huile 
de lin vieille ne devient pas semi-liquide et gluante, mais, au 
contraire, dure et cassante, contrebalancent, et bien au-dela, 
cette unique observation de Reiü, qui vit la linoxyne devenir 
liquide, et ce sera bien la la raison pour laquelle, dans les 25 
années écoulées depuis, je n'ai plus rien entendu a ce sujet, 
ni de Reid ni d'un autre. La theorie n'est pa6' renversée et 
l'huile de lin n'est pas „damned" comme base des couleurs, 
vernis ou linoleum, ainsi que Reid l'avait prédit. 

Il résulte donc des citations faites que l'étude de la biblio- 
graphie ne donne, au sujet des causes du fendillement des 
tableaux, d'autre rósultat que celui-ci, que Ie phénoinène est 
plus obscur que jamais. 

Conddérations de chimie colloïdale. 

La linoxyne a})i)artient, sans aucun doute, aux mélanges 
colloïdaux et, eliectivement, il est possible de réunir a ce point 
de vue général une grande partie des propriétés et des phénomèiies, 
ce qui rend Ie tout plus clair et plus compréhensible. 

Le nom de colloïde (coUa = colle) vient de Graham, mort en 
1868; Mulder et Peïtenkofer le connaissaient donc, mais 
l'étude des phénomènes colloïdaux ne fut réellement entreprise 
qu'au début de ce siècle et elle constitue actuellement un centre 
d'intérêt général. 



') Mulder avait d(''ja trouvé que de riiuile de lin sèche contient une propor- 
tion tres notabli» de suhstance.s solubles dans l'eau, et que la plupart des 
autres constituants ne sont pas ii ce point insolubles qu'ils ne pourraient 
pas être lavés a la longue par la pluie. 



DES TABLEAUX DE FRANS HALS O, HARLEM. 153 

Lacolleest une substance bien singuliere. Lorsqu'on dissout dans 
l'eau chaude une petite quantité de gelatine (colle puritiée), on ob- 
tient, apiès refroidissement, une substance semi-solide, une gelee, 
même quand la teneur n'est que de 1 %• ünesolution de colle ordi- 
naire de menuisier dans l'eau cbaude est un liquide tres épais; plus 
la température est basse, plus il coule lentement, et il est impossible 
de dire quand l'état „liquide" tinit et l'état „solide" comnience. 
Un baril d'asphalte de l'ile de la Trinité est telleinent dur qu'on 
peut se placer dessus et qu'il est tres difficile d'y enfoncer un 
clou. Et cependant, lorsqu'on y dépose Ie clou, celui-ci s'y 
enfonce lentement ; cela durera peut-être des mois, mais il finira 
par atteindre Ie fond. L'aspbalte se referme lentement au-dessus 
de lui comme si rien n'était arrivé. 

Cette „fluidité" de substances cependant solides se retrouve 
dans presque tous les mélanges coUoïdaux solides. C'est ainsi 
qu'un tube de verre droit, qu'on a place obliquement contre 
un mur, est courbé quand on Ie reprend au bout d'un an ; un 
tube en plomb, retenu par des crochets contre un mur ou une 
poutre, prend au bout de quelque temps la forme d'une guirlande, 
par suite d'une flexion „fluide" entre ses points d'appui; c'est 
ainsi aussi que les masses de glacé des glaciers descendent des 
montagnes comme un fleuve de tres grande lenteur. 

L'huile de lin aussi montre dans sa viscosité les propriétés 
d'un mélange colloïde et l'huile de Hollande est tout aussi 
épaisse que de la melasse ou de l'huile de ricin. 

Ces mélanges colloïdaux sont parfois aussi transparents que 
Ie verre, mais tout aussi souvent ils ne Ie sont pas. Nous ne 
savons pas, d'ailleurs, ce qu'est la transparence. Notre oeil 
n'observe de la lumière (jue lorsqu'il est atteint par des vibrations 
de longueur d'onde déterminée ; mais, s'il n'etait sensible qu'a 
des rayons a longueurs d'ondes plus grandes ou plus petites, 
nous dirions que Ie verre est opaque. Une solution de sulfate 
de cuivre est transparente pour certains rayons, elle ne l'est pas 
pour d'autres, qui en différent tres peu, de sorte que nous 
appelons „bleue" la lumière qui passé. 

Les colloïdes ne sont jamais tout a fait transparents ; on Ie 
voit nettement au blanc d'oeuf; pour d'autres Ie manque de trans- 
parence relatif ne se manifeste que lorsqu'on éclaire later alement^ 
p. ex. par les rayons solaires ou dans l'ultra-microscope. De petites 
causes suffisent parfois pour augmenter Ie trouble et rendre Ie 



154 QUELQl ES RECHERCHES il PROPOS DU NETTOYAGE 

mélange colloïdal terne; la plupart de ces causes tiennent aux 
phénomènes .de floculation. Ce n'est qu'une question de finesse. 

Dans Ie cas des véritables solutions, comme dn sel dans 
l'eau, la transparence est parfaite : la les particules sont tres 
petites; Ie nombre de ces particules dans un gramme est un 
nombre de 22 a 23 chiffres. Dans Ie cas d'un mélange colloïdal- 
grossier, comme Ie lait, les particules sont tellement grandes 
qu'elles sont même observables au microscope : il arrive souvent 
qu'il n'en entre pas un milliard dans un gramme; ici la 
transparence est tres faible. 

Entre ces deux: extrêmes il y a un large domaine de mélanges 
colloïdaux dont l'état de division est de plus en plus tin et la 
transparence de plus en plus grande, et qui finissent par passer 
aux solutions proprement dites. 

Il est donc clair que les phénomènes de fioculation, par les- 
quels les fines particules s'agglomcrent en amas plus ou moins 
grands, rendent Ie mélange colloïdal opaque. La cause de cette 
fioculation est parfois connue et de nature électrique ; dans les 
cas des maladies infectieuses et des serums prophylactiques ce 
phénomène est un des plus subtils que nous connaissions: il 
décide parfois de la vie ou de la mort. 

Dans la nature inorganique aussi Bredig a parlé de „poisons", 
lorsqu'il constata que des traces d'acide cyanhydrique font floculer 
Ie mélange en apparence limpide d'eau et d'argent finement 
divisé, ce que nous appelons une solution colloïdale d'argent, et 
Ie rendent noir et opaque. 

Que la linoxyne est un pareil mélange colloïdal, il n'est pas 
nécessaire de Ie prouver. Mais, comme nous avons aöaire ici 
principalement a un mélange solide, les phénomènes de démixtion 
et de fioculation sont beaucoup plus lents. 

Il se produit d'ailleurs une complication par la „contraction" 
de la linoxyne. 

Conlraction de la linoxyne. 

L'huile de lin se contracte-tclle en séchant? 

1 litre d'huile de lin pèse environ 929 grammes et en séchant 
il augmente de poids de 11 ii 19 °/j,. Mulder admit 11 %> 
mais il expérimenta sur des couches trop épaisses. Si nous pre- 
nons la moyenne 15°/o, Ie poids après séchage est de 10G8 gr. 

Le poids spécifique de la linoxyne est assez variable, mais il 



DES TARLEAUX DE FRANS HALS a HARLEM, 155 

résulte des nombreuses déterminations de Felix Fritz i) qii'on 
peut bien admettre comme moyenne 1070 environ. Les 1068 
gr. de linoxyne occupent donc un volume de 1068: 1070, o. a d. 
encore un litre a peu prés. 

Mais nous savons que par Ie sécbage il se produit aussi une 
perte de poids par „exbalaison" d'acide carbonique et d'eau, et 
que les siccatifs accélèrent bien l'absorption d'oxygène, mais 
dans une bien plus faible mesure les réactions qui occasionnent 
une jierte de poids. 

C'est ainsi que, pour des huiles qui sèchent rapidement, on 
peut observer au bout de peu de temps un poids total plus 
élevé, parce que ces huiles ont déja par elles-mêmes un poids 
spéciüque plus grand et aussi parce que les poids spécifiques 
donnés par Fritz se rapportent a l'huile de lin sèche des fabriques 
de linoxyne, oü la rapidité du séchage est favorisce autant que 
possible ; \a il peut arriver que les huiles qui sèchent rapidement 
commencent par montrer une faible dilatation, qui n'atteint toute- 
fois que quelques pourcents au plus et est donc tout il fait négli- 
geable vis a vis de la contraction qui suit. 

R. H. Sabix 2) trouva au bout de 8 mois un poids spécifique 
de 1.098, alors que l'augmentation de poids avait diminué de 2 %, 
de sorte quHl y avait eu une contraction de 14 7o- ^^ ^st évident 
que la contraction ne s'arrête pas la, mais, pour fixer les idees, 
nous nous en tiendrons a ce nombre de ^14 °/o. 

Imaginons un tableau de 1 mètre carré par exemple et laissons 
de cóté les constituants des couleurs ; il est clair que cette con- 
traction de 14 °/o ne doit pas être trouvée dans une bordure 
blanche de 14 cm. de largeur sur l'un des cótés, mais qu'elle 
doit être trouvée exclusivement dans une réduction de Vépaisseur. 

Si la linoxyne était un corps solide dans Ie sens ordinaire, p. 
ex. une plaque de zinc de 1 m-., il est clair qu'il faudrait exercer 
d'énormes tensions latérales pour amincir la plaque uniformément 
de 14 7o- Si la linoxyne était un liquide, il se produirait un jeu 
corapliqué des forces moléculaires, mais aucune force ne s'oppo- 
serait a une diminution d'épaisseur de 14 °/o- Seulement, des 
couches d'épaisseur notable ne peuvent être obtenues que si l'on 
n'abandonne a aucun moment la position horizontale. 



>) Chem. Revue, 1911, -1913 et 1914. 

*) Journ. of IniJ. and Engin. Chemistry, 3, 84, 1912. 



156 QUELQUES RECHEUCIIES a 1'ROPOS DU NETTOYAGE 

La linoxyne doit donc présenter a la fois les propriétés d'un 
solide et d'un liquide, ou plutot elle doit former une transition 
entre les deux: assez „solide" pour ne pas couler sous 1'influence 
de la pesanteur lorsque Ie tal)leau est en position verticale, assez 
„liquide" pour „couler" sous 1'action due aux forces de traction 
latérales. 

Mais riiuile de lin est généralement mélangée de matières 
colorantes et cela rend les circonstances encore plus compliquées. 

Pettenkofer rapporto que sur 100 parties de céruse il n'y a 
que 12 parties d'huile, c. a d. 10,8 °/j, ou, en norabre rond, 11 °l^ 
de linoxyne, de sorte que l'on dirait qu'une contraction de 14 °l^ 
n'est pas possible. Mais nous avons affaire non pas a des poids, 
mais a des volumes, et cela change en grande partie la question. 
Si l'on admet que Ie poids spécifique de la céruse est 6,43 et 
celui de l'huile de lin 0,929, nous trouvons: 

100 parties en poids de céruse et 12 parties en poids d'huile 
OU 15 „ volume „ 12,05 „ „ volume „ 

de sorte que la peinture a la céruse contient bien 10,8 °/o d'huile 
en poids, mais 43,7 % en volume. 

Pour la terre de Sienne Pettenkofer donne que 100 parties 
de cette substance prennent 240 parties d'huile; ici Ie volume 
de l'huile atteindra bien 80°/^. 

Aussi longtemps que Ie tableau est couvert d'une seule espèoe 
de couleur d'épaisseur uniforme, la contraction n'aura d'autre 
effet que d'aspirer en quelque sorte Ie ciment, de sorte que les 
particules de couleur se découvrent plus ou moins a la surface 
(en hollandais cela s'appelle „inschieten"). 

Figurons-nous toutefois un ilot de })einture a la céruse au 
milieu de terre de öienne par exemple ; alors la plage de céruse, 
qni durcit rapidement, résistera beaucoup ])lus aux forces latérales 
que la peinture ambiante, ce qui fait que de la linoxyne sera 
soustraite par aspiration aux environs et par la la couche environ- 
nante (.Uviendra 'plus mince et op})Osera encore moins de résistance, 
ce qui favorise encore plus l'inégalité. 

Le même raisonnement s'applique encore lorsque les couches 
ont des épaisseurs diliérentes: les forces de traction se manifesteront 
aux points les plus faibles, tout comme un pneu rempli d'air 
se gonrte en balie lorsque la paroi est rendue plus mince par 
une extension locale. 

11 est clair qu'aussi longtemps que la linoxyne est encore 



DES TABLEAUX DE FRANS HALS a HARLEM. 157 

souple et élastique les extensions et les petits déplacements sont 
peu visibles a. l'oeil nu, mais, lorsqu'elle devient plus dure et 
plus cassante, et que les propriétés d'un corps „solide" se 
manifestent davantage, il est inévitable qu'il se produise aux 
endroits qui deviemient de plus en plus faibles une rupture, 
qui doit occasionner un déplacement et un espace libre, une 
fente. Maintenant Ie Hen avec Fambiance est rompu ; les forces 
de traction doivent élargir la fissure de plus en plus. 

Phénomènes de ridmient. 

Il peut arriver que l'huile de lin — c'est surtout Ie cas i30ur 
l'huile de noix — se ride en sécbant. 

Lorsqu'on laisse sécher dans une cuvette en verre une couche 
pas trop mince d'huile de lin bouillie, il se forme a la surface 
des ondulations caractéristiques, qui deviennent de plus en plus 
prononcées et sont une conséquence des forces de traction latérales 
dont nous venons de parier. Aux endroits les plus épais l'huile 
de lin encore molle, en voie de se contracter, attire a soi l'huile 
déja sèche, ce qui fait que la pellicule supérieure déja durcie 
devient trop ample et forrne des plis. En soumettant une pareille 
cuvette a des vapeurs d'alcool, ce qui rendit la linoxyne encore 
plus molle, je vis l'huile de lin finir par s'accumuler sous la 
partie ridée en laissant les parties voisines pratiquement sans huile. 

Influence du substratum. 

Ce qui précède montre combien est compliqué Ie s^^stènie des 
forces latérales qui agissent ici, et qu'un tableau finirait pas 
s'embrouiller complètement si l'adhésion au substratum nes'oY)i)OS'dii 
pas a une grande partie de ces forces. 

Les phénomènes physiques qui se présentent ici ne sont })as 
moins subtils que les forces de traction latérales dont nous 
venons de parier. 

Chaque photographe-amateur sait comment il peu glacer du 
papier a 1'albumine, en laissant sécher l'impression sur mie 
plaque de verre „propre." Il suffit d'une tracé de „crasse" pour 
que Ie papier adhère sans espoir de Ie détacher. Une goutte 
d'eau s'étale sur uii o])jet absolument propre en formant une 
couche exces.sivement mince; mais, lorsqu'on veut faire l'expérience, 
on reconnait qu'il y a bien peu de surfaces „propres." 

Ainsi il })eut dépendre d'une bagatelle si la couleur adhère 



158 QUEI.QUES RKCHERfHES a THOPOS DU NETTOYAGE 

OU ne Ie fait. On prend généralement un substratum poreux, 
dans lequel l'huile est plus ou moins absorbée. Au début cette 
absorption est si forte qu'il n'est pas possible de peindre, par 
suite de la forte mesure dans laquelle la couleur est mise a nu 
(einbue). On doit commencer par former un fond et celui-ci est 
généralement bien „ancré." Cela donne plus tard au tableau 
Taspect d'une toile ro.peinte ; les forces latérales sont moins 
parfaitement équilibrées par Ie fond ; la peinture y cède plus 
facilement. 

Nous avons mentionné ci-dessus que Taüber, malgré des 
expériences entreprises a grande éclielle, ne parvint pas a décou- 
vrir une régie fixe dans la détérioration des retouches; mais on 
sait qu'en usant d'abord la vieille peinture a la ponce, de maniere 
a rendre la surface rngueuse, on peut la rendre bonne comme 
fond pour une nouvelle peinture. 

Crevassement pa?- influences chimiques. 

L'expérience suivante, qui démontre en même temps la maladie 
de l'outremer, produit en une demi-lieure les craquelures bien 
connues: 

Une plaque de verre fut recouverte de peinture a, l'outremer 
(préparée au moj'en d'lmile de lin bouillie). Au bout de deux 
jours la couleur était „sèche" au toucher; au bout d'une semaine 
l'augmentation de poids du début avait fait place a une petite 
diniinution, de sorte que la réaction chimique que nous appelons 
Ie „séchage" était terminée. On déposa alors sur la plaque un 
certain nombre de gouttes d'eau et Ie tout fut mis dans une 
cuve en verre oü se développait un peu d'anhydride sulfureux. 

Au bout d'une demi-heure la plaque fut retirée et mise de cóté 
a la température ordinaire. Bientót les gouttes avaient disparu 
et a leur place on voyait des taches blanches, qui présentaient 
a la loupe Ie craqué bien connu. 

Le processus chimique est Ie suivant: 

Les gouttes d'eau dissolvent un peu d'anhydride sulfureux, 
qui est oxydé a l'état d'acide sulfurique par les composés per- 
oxydés que contient la linoxyne. A mesure que l'eau s'évapore 
la concentration de l'acide sulfurique augmente et eet acide dilué 
décompose l'outremer en développant de l'hydrogène sulfuré et 
abandonnant une matière d'un blanc gri^atre. 

CV'tte épreuve prouvc nettement (jue l'assertiun de Pkttkn- 



DKS TAELEAUX DE FRANS HALS a HARLKM. 159 

KOFER, d'après laquelle il aurait guéri la maladie de routremer 
par traitement a la vapeur d'alcool et application de baiime de 
copahu 1), n'est pas foiidée : la couleur bleue est un composé 
sulfureux, dont Ie soufre s'est reduit en gaz; aucuiie force au 
monde ne peut Ie ressusciter. 

Mais on ne sait pas encore pour Ie moment d'oü vient l'action 
désastreuse sur la linoxyne. Le fait est néanmoins hors de doute, 
et OsTWALD fait observer avec raison que l'usage du charbon 
comme moven de chauffage fut le coramencement d'une nouvelle 
ère pour les tableaux. La tourbe et le bois, qu'on employait 
avant, n'introduisaient pas d'acide sulfureux dans l'atmosphère; 
au 13e siècle l'emploi du charbon était encore défendu en France, 
parce qu'il empoisonnait l'air; mais son usage se répandit peu a 
peu; toutefois, au début du 18e siècle la consommation du 
charbon en Angleterre n'était guère plus que le centième de ce 
qu'elle est aujourd'hui. 

Mais l'acide sulfureux ne suffit pas; il faut encore de l'eau 
pour qu'il exerce son action nefaste; c'est ce que l'expérience 
déinontre clairement. 

C'est donc bien dans les centres industriels de 1'Angleterre, 
avec leurs nombreuses faVmques et leurs brouillards, que l'at- 
mospbère convient Ie moins ii la conservation de tableaux. 

Vernis. 

Depuis longtemps on a l'habitude de vernir les tableaux 
lorsqu'ils sont tout a fait „secs." La raison de ce vernissage 
doit être chercbée sans doute dans l'effet optique: les couleurs 
prennent plus de „vie," plus de „relief." 

Le but semble être de combattre le défaut qu'on appelle 
^inschieten." Par suite de l'aspiration de la linox3aie (comme 
conséquence du retrait), les particules colorantes proéminent plus 
OU moins et sont enveloppées d'air. Cela a pour effet qu'une 
partie de la lumière est réfléchie d'une maniere diffuse. Cette 
lumière blanche diffuse se mêle a la lumière colorée des particules 
colorantes, ce qui rend toutes les teintes moins pures, plus 
claires et plus pfdes. Cette réflexion diffuse est également cause 
que le verre incolore se change en une poudre blanche lorsqu'on 
le pulvérise. Au microscope on constate que la poudre se compose 

') 1. c. p. 51. 



160 QUELQUES RECHERCHES U, PROPOS DU NETTOYAGE 

de petits fragments qui individuellement sont clairs et transparents. 
La forme irreguliere fait toutefois qu'une partie de la lumière 
est réfléchie (spéculairement), tandis que la partie transmise 
atteint bientot une seconde particule, oü se produit une nouvelle 
réflexion, une nouvelle transmission etc. 

Plus la poudre est fine, plus est mince la couche qui pratiquement 
ne laisse plus passer de lumière; plus est grand Ie pouvoir 
de couverture. 

En imbitant la poudre d'eau, on diminue considérablement 
ce pouvoir de couverture, car au passage de 1'eau dans Ie verre 
la réfraction est bien moindre que dans Ie passage de Tair au 
verre; par la une partie beaucoup plus petite de la lumière est 
réfléchie, une partie beaucoup plus grande est transmise. Quand 
on mêle a la poudre de l'huile de cèdre, qui a Ie même indice 
de réfraction que Ie verre, celui-ci devient tont a fait invisible; 
c'est la une expérience tout aussi surprenante qu'elle est 
simple. 

L'application d'une couche de vernis sur la peinture enveloppe 
les particules d'un milieu fortement réfrigent, ce qui empêche 
la réflexion diifuse, si défavorable a l'cfiet de „couleur." Au 
lieü de cela on a une réflexion pleine d'éclat, non pas sur la 
couleur celle-même, mais im i)eu (une fraction de millimètre) 
en avant. Cela produit un etfet de profondeur et, comme Ie 
tableau est, en définitive, une „illusion d'optique,'' un tout petit 
truc comme l'application d'un vernis peut faire des merveilles. 

Un autre avantage du vernissage réside dans son action 
conservatrice, et la preuve qu'a ce point de vue,-la aussi Ie 
moyen est précieux est bien fournie i)ar Ie tableau de Frans 
Hals, qui vient d'être nettoyé; ce tableau ne se serait pas rélévé 
aussi beau si les générations précédentes ue l'avaient pas gratifié 
aussi abondamment de vernis. 

Cette action conservatrice du vernis est diverse : 

La linoxyne fissurée n'a i)as l'oceasion d'accumuler des poussières 
dans ses cavités, lorsque celles-ci sont continuellement remplies 
de vernis; 

Ie durcissement, roxy(hitif)ii, la leute combustioii, rexhalaison 
de la linoxyne sont modérées, lursqu'nne couche compacte de 
vernis recouvre la surface ; 

la pénétratic^n d'humidité, de gaz inonhuits, d'iufluences chimi- 
ques est évitée par la couehe [)r()tectrice de vernis. 



DES TABLEAUX DE FRANS HALS a HARLEM. 161 

Qu'est-ce-qu'un vernis? 

Mulder donne la définition suivante: 

„Nous appelons vernis tout ce qni donne de l'éclat a un 
objet après Ie séchage. 

Les conditions pour obtenir un vernis sont: un liquide qui 
dissout une matière solide et s'évapore ensuite en abandonnant 
cette matière solide sous forme d'une couclie luisante, pas 
cassante i)." 

Weger donna comme définition: „Le vernis d'huile de lin 
(Leinölfirnis) est une huile traitée a l'oxj'-gène ou au moyen de 
substances cédant de Toxygène." 

Et W. Fahriox dit nettement (p. 207) qu' „autrefois on se 
servait généralement de l'expression „huile de lin bouillie" au 
lieu de „vernis d'huile de lin." 

Aussi, pour les Allemands, du „Firnis" est ce que nous appelons 
de l'huile de lin bouillie. Lequel des deux, des Allemands ou 
des Hollandais, se sert de l'expression exacte^ cela n'a pas d'im- 
portance; mais par notre acception du mot „vernis" nous sommes 
plus prés de la signification francaise du „vernissage" et de 
l'anglais „varnish." Le „black varnish" bien connu est une 
solution d'asphalte dans la térébenthine et n'a rien de commun 
avec de l'huile. 

Mais a, l'époque de Pettenkofer, oü Mulder était la plus 
grande autorité et écrivait, en Hollandais parlant de tableaux 
hollandais, que ceux-ci étaient recouverts d'une couche de „Firnis", 
cela a nécessairement du prêter a confusion. 

„Mal traduit," dit Fahrion, „au lieu de „Firnis" il aurait 
du l'appeler „Lack" (laque)." Mais. Pettenkofer ne dit pas 
cela et il résulte de plusieurs passages de son ouvrage qu'il 
a bien décidément l'idée que nos tableaux sont couverts de 
„Firnis" (acception allemande). C'est ainsi qu'il dit a la page 53: 

„L'enlèvement du „Firnis" ne saurait jamais être complete 
sans nuire u l'originalité de la couleur; on doit donc toujours 



') Texte allemand: „Firnis ist allgeniein alles was einem Gegenstand 
nach dem Trocknen Glanz verleiht, im besonderen eine Auflösung eines 
festen Körpers in einer Flüssigkeit, welche letztere nach deni Ausstreichen 
verdunstet und den festen Körper ais eine zusammenhangende glanzende 
elastische Schicht zurücklasst." 

Pour des oreilles hoUandaises cela est admissible, mais l'est-ce pour des oreilles 
allemandes? 

11 



162 QUEUiUES RECHERCHES II PROPOS DU NETTOYAGE 

se contenter de laisser uii peu de l'ancien vernis sur Ie tableau ; 
ce ne sent que les charlatans qui peuvent prétendre qu'un vernis 
a la résine peut s'enlever complètement, sans que les couleurs 
OU les teintes d'azur en soufifrent, car Ie vernis de résine s'emploie 
entre autres parce qu'il pénètre dans la couleur et ne la recouvre 
pas simplement." 

Et a la page 59 il dit encore: „puisque Ie vernis se comjjose 
entièrcment de la siibstance qui n'existe qu'en beaucoup plus petite 
quantité dans les couleurs^ et est destinée a leur donner leur 
consistance." 

On Ie voit, Pettenkofer a raison et Mulder a mal traduit. 
Mais je pense que plus d'un des lecteurs hollandais, qui jurent 
j)ar Pettenkofer, ont également mal traduit et croient que la 
philippique de Pp:ttenkofer contre Fenlèvement du „Firuis" 
se rapporte a ce que nous entendons par la. 

Le vernis ordinairement employé pour les peintures est du 
mastic cuit dans la térébenthine, oü il se dissout pour la plus 
grande partie. Lorsque la térébenthine s'évapore la résine reste, 
pratiquement sans modification. Il en est autrement des „laques," 
les vernis des peintres en batiments et des carrossiers, qui sont 
faites de ce qu'en hollandais nous appelons des „gommes" (nous 
vivons bien sous le signe des confusione de notions!), mais qui 
sont en réalité aussi des résines, existant en une infinité de 
qualités sous le nom de copal ou dammar. Pour en préparer 
des „laques" on commence par les chautter a sec; une grande 
partie se volatiHse alors et le reste acquiert de toutes autres 
propriétés. C'est ainsi qu'elles se mélangent alors u riuiile de 
liii et a la térébenthine, et en modilianl les proportions, et en 
ajoutant en outre de la colophane (ce que nous appelons com- 
munément de la „résine", sans plus), ou du résinate de chaux 
OU de rhaik' de Hollande^ et puis encore du siccatif au manganèse 
OU au })lomb, on peut obtenir une iniinité de variations, d'autant 
plus que l'espèce de „gomme" employee n'est jamais constante 
et que la durée et le procédé de la „cuisson" ont de Tinfluence 
sur la qualité. 

Ces dernières „laques," souvent encore appelées „vernis" en 
Hollande, conviennent moins bien pour les tableaux, entre autres 
par ce qu'elles sont loin d'ètre incolores. 

Il est évident que ces vernis sont de nouveau des mélanges 
coUoïdes a constitution désespérément compliquée, qui présentent 



DES TABLEAÜX DE FRANS HALS a HARLEM. 163 

également a iin liant degré la combinaison des propriétés des 
solides et des liquides. C'est ainsi qu'a température ordinaire 
Ie mastic est dur est cassant, mais luie bonne qualité doit être 
„masticable," c. a d. que la faible élévation de température dans 
la bouche doit déja rendre mous et plastiques les fragments 
priraitivement cassants. Le caractère de liquide s'intensifie 
progressivement a mesure que la température s'élève et lorsqu'elle 
s'abaisse c'est le caractère de solide qui devient de plus en plus 
fort, le pouvoir de résistance a des déformations, la „rupture" 
sans „flexion" sous l'action des forces extérieures. 

Mais ce n'est pas seulement l'abaissement de température qui 
donne naissance a ce phénomène ; il se produit aussi avec l'age. 
Le mastic sort de l'arbre en coulant et durcit peu a peu. Les 
morceaux que Ton trouve dans le commerce ne peuvent pas 
se modifier notablement; la couche excessivement mince qui 
reste sur le tableau continue a perdre de plus en plus son 
caractère de liquide. Il s'évapore donc encore toujours une 
substance faisant office de dissolvant, ou bien il se produit des 
transformations chimiques et le corps restant, presque pulvérulent, 
peut être remis dans l'état d'un véritable mélange coUoïdal au 
moyen d'un solvant comme la térébenthine, l'alcool ou le benzène, 
mais cela ne fait pas revenir le solvant naturel, qui a disparu, 
ni la constitution primitive, et, lorsque le solvant volatil ajouté 
s'est volatilisé de nouveau, il reste la même substance cassante, 
qui ne convient pas comme vernis. Pas tout a fait cependant, 
au début! 

Le vieux vernis, sec, s'est divisé par la contraction continue 
en de petits ilots qui peuvent de nouveau fusionner en une 
couche homogene sous l'action d'un solvant. C'est le „Regenerations- 
verfahren" de Pettknkofer, qui eut beaucoup de succes dans 
le temps. Mais les idees de Pettenkofer au sujet de l'essence 
du phénomène étaient tout a fait fausses. C'est ainsi que déja 
le mot „régénéref" est mal choisi, car la vieille résine ne donne 
plus de résine fraiche : c'est la vieille résine qui temporaireraent 
prend l'apparence d'être neuve. 

L'explication scientifique aussi est tout a fait inexacte. Petten- 
kofer dit que le vernis a perdu son „molekulare Zusammen- 
hang," sa ,,cohésion." Or, il y a bien plus de cohésion ou de 
„molekulare Zusammenhang" dans un solide que dans un liquide; 
songez a la forcc qu'il faut développer pour fendre un niorceau 



164 QUELQÜES RECHKRCHES a PROPOS DU NETTOYAGE 

de glacé avant ou après la fusion. Le vernis devenu dnr et 
cassant a acquis précisément un exces de „cohésion," ce qui 
fait qu'il se déchire lorsqu'il se contracte. 

Pettenkofer attribue encore „ropacité" (blind werden) du 
vernis a la présence d'a/r, et ici il fait tout a fait fausse route. 
Son assertion que le vernis devient opaque lorsque de l'air y 
pénètre est bien juste, niais il est tout a fait faux de ren verser 
la these et de penser que l'opacité est toujours une conséquence 
de la pénétration d'air. 

On peut s'en convaincre de diverses fagons et le moven qui 
me réussit le mieux est le suivant. 

Au fond d'une série de petits flacons a large goulot je formai 
une couclie de vernis en laissant reposer un mélange de poudre 
de colophane, ou de gomme dammar ou de mastic, et de quelques 
gouttes d'alcool, de benzéne ou de térébenthine. Puis les flacons 
furent ouverts et places pendant quelques jours dans un local 
chauff'é, jusqu'a ce que toute tracé de solvant eüt disparu. Enfln 
les flacons furent partiellement remplis d'eau. 

On voit alors nettement sous l'eau claire la couche unie de 
vernis, mais au bout d'une demi-heure le vernis commence a 
devenir troublo, l)lanc, et cependant la pénétration d'air est tout 
a fait iinpossihle. 

Mais Pettenkofer est surtout dans Terreur lorsqu'il nie 
l'existence d'une transformation chimique du vernis. 

C'est surtout de la colophane que l'on sait que, comme I'huile 
de lin, elle a un „nombre d'oxygène" élevé, c. tl d. que pour 
elle aussi le séchage est accompagné d'une augmentation de 
poids notable. Et l'on sait aussi que la colophane „séchée" 
(constituée en grande partie d'acide abiétique), tout comme les 
acides gras de l'huiie de lin „séchée", ne se dissout plus dans 
l'éther de pétrole. 

Les quelques résines que l'on emploie pour la préparation 
des laques ont les mêmes propriétés, ]>ien qu'a un moindre degré. 

J'ai en l'occasion do constater la grande différence qu'il y a 
entre de la vieille colo])hane et de la colophane „fraiche" au 
l)üint de vue du trouble. Je possédais notnmment un pen de jjoudre 
de colophane, conservée pendant quelques années dans une 
bouteille. Je considérai comme „fraiche" une poudre obtenue 
en })ulvérisant deux morceaux de résine blnnche. Je fis des 
deux poudres un veiiiis sur une plaque de verre, en ])renant 



DES TABLEAUX DE FRANS HALS a HARLEM. 165 

des quantités égales des deux et les enfermant pendant deux 
jours avec quelques gouttes d'alcool. Au commencement Ie vernis 
est rendu niousseux par 1'air qu'il renferme, mais il finit par 
s'éclaircir et devenir transparent, ce que la vieille résine fait 
d'une maniere plus belle et plus uniforme que la fraiche; toutefois, 
la vieille est jaunatre, la fraiche pas. 

Au bout de deux jours Talcool était évaporé a l'air; les 
deux plaques avaient suhi la mème augmentation de poids apeuprès. 

Je tracai maintenant sur les deux un trait épais a l'eau, se 
terminant par une grosse goutte. Les deux couches de vernis 
blanchirent un peu sous l'eau et après séchage il resta des taches 
blanches. Sur la résine fraiche ces taches disparurent bientót, 
mais sur la colophane vieille il resta un tache crayeuse^ rendant 
totalement invisible ce qui se trouvait dessous. 

Le jwids n'avait toutefois pas changé par cette opération. 

En placant les mêraes plaques sous une cloche avec de l'eau 
j'ai trouvé que toutes deux devenaient troubles dans cette 
atmosphère humide, mais en séchant le vernis frais reprenait 
sa transparence, tandis que le vieux vernis restait crayeux. 

En chimie colloïdale ces phénomènes appartiennent aux plus 
élémentares; ce sont les phénomènes de „floculation" et de 
„peptisation" ou de rétablissement de la transparence. 

La différence entre les épreuves avec le vieux vernis et le 
vernis frais consistait donc en ceci, que tous deux étaient 
fioculés par l'eau, mais que dans le vernis frais il y avait encore 
des actions peptisantes, qui rétablissaient le mélange colloïde et 
faisaient revenir la transparence, tandis que dans le vieux 
vernis l'action n'est pas réversible; celui-la est et reste trouble, 
d'une facon si complete et si absolue dans mes expériences qu'on 
ne voyait plus rien de ce qu'il recouvrait. 

Dans la vapeur d'alcool le vernis redevient immédiatement 
transparent et l'on comprend l'étonnement de ceux a qui Petten- 
KOFER le montra pour la première fois. Le vernis n'est toutefois 
pas „régénéré" : il est resté le vieux vernis et dans son action 
vis a vis de l'eau il n'est pas a comparer au vernis frais. 

Ces expériences ont été faites avec de la colophane, qui n'est 
pas employee comme telle comme vernis. On s'en sert bien d'une 
maniere générale pour économiser les résines plus coüteuses 
(ou les gommes, comme on les api)elle en Hollande). mais on 
sait que le qualité en soufire fort. 



160 (iUELQUKS IIKCHKUCUKS Jl l'ROroS DIT NETTÜYAC4E 

Je ne possédais pas de vieille poiidre de inastic et iie pouvais 
donc pas m'en servir pour réj^óter les expériences, mais, 
lorsqu'on tamise la fine poudre de la première qualité (in 
lacrimis), que l'on emploie pour les tableaux, et qu'on la com- 
j)are a la poudre obtenue en j)ulvérisant de belles „larmes", 
on retrouve les mémes phénomèues, mais d'une fagon moins 
frappante. 

On i)eut évidemnient obtenir aussi eet éclaircissement en 
appliquant une nouvelle couche de vernis, mais la methode de 
Fettenkofkr a, selon lui, l'avantage de ne jamais consommer 
trop d'alcool: „Aussi longtemps qu'un tableau ne porte pas de 
résine, il ne condense pas d'esprit-de-vin de Fair et il n'en 
condenne jamais })lus qu'il ne correspond a la quantiti'; de résine" 
(p. 36). 

Je dois mettre en garde contre cette assertion ; il est méme 
tres difücile de faire en sorte que la quantité d'alcool absorbée 
ne soit pas trop grande. Car, s'il en est ainsi, Ie séchage suivant 
donne lieu a un refroidissement tel (l'alcool est un solvant beaucoup 
trop volatil) que Ie tableau se refroidit au-dessous du ,,})oint 
de rosée," c. a d. au-dessous de la température a laquelle la 
vapeur d'eau de l'air s'y dépose en fines gouttelettes. Si Ie vernis 
est vieux il redevient immédiatement trouble et est déja gaté 
de nouveau avant d'être bien sec. 

Tja question de savoir combien d'alcool se condense n'est pas 
du tout une <|uestion de quantité de résine, mais uniquement 
de température. 

■ Lorsqu'on recouvre une cuvette contenant de l'alcool d'une 
plaque de verre, l'air enfermé se sature de vapeur d'alcool. 
„Saturé" signitie que Ie moindre refroidissement occasionne une 
séparation d'alcool sous forme de gouttelettes excessivement 
fines. En faisant cette expérience on verra, 99 fois sur 100, que 
la plaque de verre se ternit immédiatement. 

Si la maniere de voir de Petten kofer était exacte, il serait bien 
sim})le de conserver les tableaux. Mais c'est précisémont Tim pos- 
sibilité d'éviter qu'il s'y dépose parfois de l'humidité qui est 
la cause de toutes les difficultés. Si Ton pouvait imaginer un 
automate prenant soin, de maintenir la température du tableau 
supérieure d'un dixiéme de degré a celle de Tambiance, Ie 
depot de buée ne se produirait jamais. Une diminution artilicielle 
de la teneur en eau de l'atmosphère peut également contribuer 



DES TABLEAUX DE FRANS HALS II HARLEM. 167 

a la conservation des tableaux, parce qii'il faut alors une différence 
de température plus grande pour atteindre Ie poiiit de rosée. 

Mais pour éviter la précipitation d'alcool sur Ie tableau, en 
opérant dans une atmosphère saturée d'alcool, comme Ie fait 
Pettenkofer, il faut des précautions comme on ne peut les 
prendre que dans un laboratoire de phj^sique ; cela n'a, toutefois, 
aucun rapport avec la teneur en résine du vernis. 

Mais, supposez que nous parvenions réellement a éliminer 
l'infiuence de la température et que l'on put envelopper Ie 
tableau, avec la cuve a alcool qui Ie contient, d'épaisses couches 
de feutre, de maniere a exclure toute influence de l'ambiance 
sur la température. Alors une plaque de verre ne se recouvrirait 
pas de buée ; la résine attirerait l'alcool et a sa surface il se 
formerait un peu de solution alcoolique de résine, ayant une 
tension de vapeur plus faible que celle de l'alcool pur. L'alcool 
pur distillerait donc vers la couche de résine et cette distillation 
ne cesserait qu'au moment oü les tensions de vapeurs dans les 
deux parties de l'enceinte seraient les mêmes, en d'autres termes 
lorsque la solution de résine serait diluée au point d'être equi- 
valente a de l'alcool pur. 

Cela est évidemment im})0ssible. Bien avant la solution de 
résine serait devenue si étendue qu'elle se serait mise ii couler 
et a dégoutter, et V équüïbre n'existerait que lorsque la solution 
de résine sur Ie tableau serait devenue aussi faible que la solution 
de résine dans la cuve, ce qui reviendrait pratiquement a ceci, 
que la résine aurait disparu du tableau pour passer dans la cuve. 

Mais ce n'est pas tout. 

Les constituants de la couleur, et en particulier la linoxyne, 
sont partiellement solubles dans l'alcool. lei se présentent les mêmes 
actions : formation d'une solution alcoolique des constituants de la 
linoxyne, distillation de nouvelles quantités d'alcool jusqu'a dilution 
infinie de la linoxyne, qui bien avant se mettrait a dégoutter, etc. 

La methode de Pettenkofer peut donc devenir nefaste i)our 
la linoxyne elle-même et, si Ie peintre avait mêlé des constituants 
de vernis a ses couleurs (de la laque a l'ambre, par exemple), 
il ne resterait finalement plus rien qu'une toile nue. 

Quiconque veut donc essay er la methode de Pettenkofer 
doit songer a Vinterrompre a temi^s. 

Mais cela n'est jamais qu'un palliatif, parce que Ie tableau 
reste couvert de l'ancien vernis, qui bientót se trouble de nouveau. 



168 QUELCiUES RIÏCHERCHKS U 1'KOPOS DU NETTOYAGE 

Si l'on vent atteiiidre un résultat durable, on doit enlever l'ancien 
vernis et Ie remplacer par du nouveau. 

Eniin, je dirai encore quelques mots du baume de copaïcr 
(copaliu), un moyen sur 1'action salutaire duquel Pettenkofer 
ne saurait trop dire. C'est un veritable mélange colloïdal, ayant 
les propriétés les plus avantageuses pour un vernis: il est incolore, 
tout-a-fait transparent en couche mince, assez „liquide" pour 
obéir „en coulant" a toutes les contractions, flexions etc, et en 
même temps pourvu d'un solvant qui reprend les vieiUcs particules 
de résine pour en former une couche transparente continue; et 
cependant assez „solide" pour donner des couclïes d'épaisseur 
notable, sans qu'il se niette a couler. 

Nul dbute donc qu'on ne puisse obtenir temporairement par 
ce moyen un grand ettet. 

Mais c'est surtout l'effet durable qui nous intéresse, en particulier 
de savoir comment Ie baume sec se comporte vis ïi vis de l'eau. 

Dans ce but, j'ai recouvert deux cuvettes en verre d'une 
mince couche de baume copahu et je les ai mises a sécher en les 
chauffant tres doucement (20° C. environ). Au bout d'une semaine 
on ne constatait plus de diminution de poids; il était resté une 
pellicule vitreuse, limpide et dure au toucher. 

Quelques gouttes d'eau furent déposées sur ces pellicules; les 
cuvettes furent mises pendant deux heures dans un espace clos, 
puis elles eurent l'occasion de sécher a température ordinaire. 
Bientót les gouttes d'eau avaient disparu en laissant un bord 
crayeux. Le résultat était des plus déploral)les : aucune résine, 
pas même la colophane ordinaire, n'est aussi sensible a l'humidité, 
ne se ternit aussi vite que le copahu : aussi dois-je mettre 
sérieusement en garde contrc son emploi. 

Résuyné et coticliisions. 

Quek|ucs-unes des cxpériences mentionnées ci-dessus ont été 
photograj)hiées; je donne ci-dessous vnie liste dos photographies 
qui accompagnent ce travail. 

1. Phénomènes de riilement <rhuile de lin appliquée en couche 
trop épaisse. 

A droite, en haut: huilc de lin Ijouillie, fortement ridée. 

A gauche, „ „ „ crue, pas ridée. 

A droite, en bas: mélange a parties egales, un peu de ridement. 

A gauche, „ „ vernis (liuile de lin-copal), tres faiblement ridé. 



DKS TABLEAUX DE PRANS HALS a HARLËM. 169 

Le phénomène s'explique par les forces de traction latérales, 
qui produisent, dans les parties sous-jacentes, pas encore tout a 
fait dures, uii déplacement de substance vers la portion la plus 
épaisse, ce qui rend trop ample la membrane supérieure, déja 
tout a fait durcie, et fait qu'elle se ride. 

2. a. Phénomènes de ridement d'huile de lin appliquée en 
couche trop épaisse. 

Les mêmes cuvettes que dans la fig. 1, mais au bout de 
deux semaines. Le ridement a progressé ; dans les deux cuvettes 
a droite toute la matière s'est accumulée au milieu. 

h. Le ternissement de l'huile de lin a Fair humide. 

Les cuvettes ont demeuré pendant une nuit sous une cloche, 
au-dessus d'eau, ce qui a rendu „ternes" toutes les épreuves. 

Elles ont été photographiées une heure après: l'huile non 
bouillie a repris sa transparence, le vernis est presque encore 
tout a fait blanc. 

A gauche, en liaut: vernis (huile de lin-copalj. 

A droite, „ „ liuile de lin bouillie. 

A gauche, en bas: huile de lin crue. 

A droite, „ „ mélange a parties égales d'huile bouillie 

et d'huile crue. 

3. Tnfluence de l'humidité et de l'hj'^drogène sulfuré sur l'huile 
de lin sèche. 

a. Les mêmes cuvettes que dans les fig. 1 et 2 sont devenues 
ternes et jaunes par un séjour sous une cloche humide, contenant 
un peu d'hydrogène sulfuré. La couleur jaune est exagérée dans 
la pbotographie ; elle n'est pas la conséquence d'une teneur 
eventuelle en plomb du vernis ou de l'huile de lin cuite, car 
l'huile crue est tout aussi jaune. 

Le vernis est devenu tout a fait opaque. 

h. Phénomènes de ridement et de contraction présentés par 
l'huile de lin. 

Les cuvettes de la fig. 2 dans un stade plus avance; la partie la 
plus mince a cédé sous les forces de traction latérales produites par la 
dessiccation, la membrane de linoxyne est ici excessivement mince. 

A droite, en haut: huile de lin bouillie et huile crue, mélan- 

gées a parties égales. 

A gauche „ „ „ „ „ bouillie. 

A droite, en bas : „ „ ,-, crue. 

A gauche, „ „ vernis (huile de lin-copal). 



170 QUELQUES RErHERCHES a PROPOS DU NETTOYAGE 

4. Maladie de rontremer. 

Siir une cuvette, peiiite u l'outremer mélange d'huile de lin 
(li parties égales), j'ai déposé quelques gouttes d'eau et puis j'ai 
place Ie teut pendant une demi-heure sous une cloclie humide 
contenant un peu d'acide sulfureux. 

Mises a sécber au bout d'une demi-heure, les cuvettes présen- 
tèrent aux endroits des gouttes des taches d'uu blauc grisatre. 

5. Maladie de l'outremer. 

Une partie d'une tache du n°. 4 est reproduite a un grossis- 
sement de 4 : 1 a 5 : 1 (lineaire) ; on voit que malgré la courte 
durée de 1'action cbimique il s'est formé dans la couche d'huile 
d'innombrables fissures, mais que l'air contenu dans ces fissures 
n'est pas la cause du ternissement. 

6. Influence de l'hydrogène sulfuré sur la peinture a la céruse. 
Sur une cuvette peinte a la céruse j'ai déposé quelques gouttes 

d'eau de diverses grosseurs, puis la cuvette a été exposée 
pendant quelques secondes, sous une cloche humide, a 1'action 
de l'hydrogène sulfuré. Après séchage il s'est formé des taches 
noires d'autant plus prononcées que la goutte était plus grande 
et séchait plus lentement. 

La portion de droite avait été recouverte d'un couche exces- 
sivement mince de mastic, mais pour Ie reste les gouttes étaient 
placées symétriquement et de même grosseur. 

Les parties c[ui n'avaient pas été humectées n'ont pas échappé 
a cette action excessivement énergique. 

7. Influence de l'hydrogène sulfuré sur la peinture au blanc 
de zinc. 

Le sulfuré de zinc étant l)lanc, on ne voit pas de taches 
nettes. Mais il s'est formé des figures, a ])eu prés comme il s'en 
forme sur les vitres par un temps de gelee (gross. 5 X)- 

8. Influence de l'humidité et de l'hydrogène sulfuré sur la 
})einture il riuiile de lin et minium. 

Le contraste est beaucoup j)lus fort que la photographie ne 
le fait supposer: les taches noires sur le fond rouge sont tres 
nettes. La couche de vernis a eu une action i)rotectrice tres 
ofticace ; aux endroits oü il n'y avait pas de gouttes d'eau l'action 
n'était j)as visible. 

9. Influence de l'humidité et de l'hydrogène sulfuré sur la 
peinture a l'huile de lin et noir de fuinéo. 

L'attaque de la linoxync aj)pai-;iit nettenient sur le fond noir. 



DES TABLEAUX DE FRANS HALS U IIARLE.M. 171 

10. La résine (colophane) jaunit sous rinfluence de Tacide 
sulfureux. 

De gauche a droite. 
Poudre de colophane vieille; vernis préparé au benzène. 
» » » iiaicne, „ „ „ „ 

„ „ „ vieille; „ „ a l'alcool. 

n j} » iraicne , „ „ „ „ 

La rangée supérieure a pris une teiute jaune jusqu'a brune 
sous rinfluence d'une atmosphère contenant de l'acide sulfureux. 
La rangée inférieure est celle des cuvettes de controle, qui n'ont 
pas été exposées a l'acide sulfureux. 

Le pourcentage d'acide sulfureux était si faible que c'est a 
peine si on pouvait l'observer par 1'odeur. 

11. Influence différente de l'eau sur du vernis a la résine 
vieux OU frais. 

Des quantités égales, exactement pesées, de poudre de résine ont 
été réduites en une mince couche de vernis dans deux cuvettes, 
par exposition a une atmosphère saturée d'alcool. Le vernis de 
la cuvette de gauche a été obtenu au moven de poudre fraiche 
(morceau de résine fraichement pulvérisé), celui de droite est 
fait d'une poudre conservée depuis lougtemps. Une goutte d'eau 
et un trait fait a l'eau se sont desséchés sur la résine fraiche 
sans laisser de traces, alors que, dans les mêmes conditions, il 
resta une tfiche crayeuse sur le vernis vieux. La résine vieille 
donne un vernis jaune, qui se montre sur la photographie 
avec une teinte foncée exagérée. 

12. Influence différente de l'eau sur du vernis a la résine 
vieux OU frais. 

Cuvettes du n°. 11 reproduites en grandeur naturelle. 

13. Influence difiërente de l'eau sur du vernis a la résine 
vieux OU frais. 

Les mêmes cuvettes des n^^. 11 et ]2, après être restées pendant 
24 lieures sous une cloche humide. 

Le vernis frais est redevenu transparent après la dessiccation, 
le vieux est devenu absolument et irrémédiablement trouble. 
La première tache du n°. 12 se trouve a peu prés au milieu 
de la photographie. 

14. Le ternissement du vernis n'est pas une conséquence de 
la pénétration d'air. 

Reproduction, a un grossissement de 80: 1, d'une partie de 



172 QUELQUES RECHERCHES U PROPOS DU NETTOYAGE 

la fig. 13. On voit nettement les fines fissures, formées en même 
temps que Ie vernis se ternissait ; elles sont remplies d'air, mais 
ce n'est pas la la cause de ropalescence blanche. 

15. La gomme dammar résiste Ie mieux li Taction de l'eau. 
On voit dans la cuvette de gauche de la gomme dammar 

faichement pulvérisée réduite en vernis au moyen de quelques 
gouttes d'alcool. Dans la cuvette de droite une quantité egale 
de vernis a été obtenue au moyen du produit du tamisage de 
la gomme. 

Une action répétée de l'hnmidité a quelque peu terni les 
deux vernis, mais on voit nettement que la poudre fraiche 
résiste mieux que la vieille. 

16. Le mastic vieux ne résiste pas a l'action de l'eau, mais 
bien le mastic frais. 

Des quantités égales de ])oudre de mastic vieille et fraiche 
ont été diluées dans quelques gouttes d'alcool, puis, après séchage 
comjjlet, on déposa sur chacune des deux couches une goutte 
d'eau et on les placa sous une cloche humide. 

Après évaporation de l'eau la résine fraiche est presque redeve- 
nue transparente, mais la vieille est devenue définitivement 
trouble a l'endroit de la goutte. 

17. Une tres mince couche de mastic frais garantit un tableau 
contre la maladie de l'outremer. 

Une des moitiés d'une cuvette peinte a l'outremer a été 
recouverte d'une mince couche de vernis ; l'autre moitié est 
restée nue. On a déposé au même moment des gouttes d'eau 
de même grosseur sur les deux moitiés, puis la cuvette a été 
exposée a l'action d'un peu d'acide sulfureux sous une cloche 
humide. 

La partie vernis a résiste li 1'épreuve, l'autre pas. 

18. Le baume copahu est, au point de vue de sa résistance a 
l'humidité, le plus mauvais de tous les vernis. 

Une couche de baume copahu fraichement préparé fut séchée 
jusqu'a ce que le poids, au lieu do diminuer encore, avait une 
tendance a augmenter de nouveau ; elle fut ensuite placée sous 
une cloche humide, après qu'on y eut déposé quelques gouttes 
d'eau. Dans des conditions oü la résine ordinaire résistait il se 
formait ici des taches blanches permanentes. 

Les grandes taches de cette figure sont les endroits oü une 
goutte d'eau séclui pour la seconde fois. 



DES TABLEAUX DE FRANS HALS £1 HARLEM. 173 

19. Le vernis enlevé aux tableaux de Frans Hals de 1616 
ne résiste pas a l'ean, mais se ternit immédiatement. 

La teinte jaunatre du vernis apparait évidemraent d'une maniere 
exagérée sur la photographie. 

Des gouttes d'eau, séchées sur le vernis, ont produit un 
trouble durable. 

20. Le ternissement du tableau de Frans Hals n'est pas la consé- 
quence de pénétration d'air, mais est un pbénomène de floculation. 

La plus grande des tacbes du n°. 19 a été reproduite ici, 
grossie 80 fois. A ce grossissement on voit nettement les fissures 
qui se sont formées; elles sont remplies d'air, mais eet air n'est 
pas la cause du raanque de transparence. 

La forme capricieuse de la figure provient de ce qu'on a fait 
évaporer deux fois une goutte au même endroit. 

J'ai cité les publications les plus importantes de la bibliographie 
scientifique relative au sécliage de l'huile de lin et au crevas- 
sement des tableaux. Une explication claire de ce dernier 
pbénomène n'a jamais été trouvée. En attirant l'attention sur 
les forces de traction latérales, provenant de la contraction de 
la linoxyne, j'ai pu en donner une explication simple. Ces forces, 
mises en rapport avec les phénomènes de ridement de couches 
de l'buile de lin trop épaisses, ont pu être illustrées par des 
photographies (1 et 2). 

J'ai montré en même temps que le jaunissement de la linoxyne 
est énormément favorisé par l'influence de Thydrogène sulfuré 
(puanteur des caneaux) et que l'huile de lin sècbe peut devenir 
tout a fait opaque sous l'influence de l'humidité (pbot. 3). 

Le crac[uelé des vieux tableaux a pu être produit en quelques 
minutes par l'action d'un peu d'acide sulfureux qui, depuis 
l'usage du charbon comme combustible, est un constituant constant 
de notre atmosphère. J'ai d'ailleurs produit instantanément le 
pbénomène de la maladie de l'outremer (pbot. 4 et 5). 

Une forte teneur de l'atmospbère en anbydride sulfureux, 
teneur qui peut devenir tellement élevée qu'on la pergoit a 
l'odeur irritante (becs de gaz, cheminée tirant mal) peut de cette 
facon gater un tableau en peu de temps, pourvu qu'une 
seconde condition soit satisfaite, la présence d'eau liquide; il 
faut donc que le tableau se couvre de buée, ce qui arrive 
lorsque l'état hygrométrique de l'air est élevé et que le tableau 
a une température inférieure a celle de l'air ambiant. 



174 QUELQUES RECHERCHES il PROPOS DU NETTOYAGE ETC. 

Quant au vtrnis, les idees de Pettenkofer n'ont pas sup- 
porté la critique: ses Communications au sujet de la „cure" de 
la maladie de l'outremer ne sauraient être exactes. Dans son 
„procédé de régénération" il a perdu de vue qu'en ce qui concerne 
la résistance du vernis a, l'humidité il y a une énorme différence 
entre les vernis qui contiennent de la résine vieille et ceux 
faits de résine fraiche (phot. 11, 12 et 13), et que c'est peine 
perdue que de vouloir rendre limpide du vieux vernis: il rede- 
vient immédiatement terne. Si la couche de vernis est vieille 
et qu'elle a perdu sa résistance a, l'atmosphère, il faut l'enlever; 
il .n'y a pas moven d'y échapper. 

L'explication théorique de Pettenkofer, qui rend nécessaire 
1'emploi de vapeurs d'alcool, repose sur une compréhension inexacte 
de ce chapitre de la pliysique. 

Le moyen de restauration univcrsel sous forme de baume 
copaliu, recommandé par Pettenkofer est, au point de vue de 
sa résistance a l'eau, le plus mauvais de tous les vernis; son 
emploi doit être évité autant que possible. 

L'explication que Pettenkofer a donnée du ternissement du 
vernis, savoir, qu'il serait une conséquence de la pénétration 
d'air, est tout a fait fausse (phot. 14 et 20) ; le phénomène est 
du domaine de la chimie colloïdale, un doraaine pour ainsi dire 
encore inconnu a l'époque de Pettenkofer. 

Maïs une grande partie de la violence avec laquelle Petten- 
kofer et d'autres ont combattu la restauration de tableaux 
doit être attribuée a un malentendu, provenant de ceci, que les 
deux plus grandes autorités de cette époque, l'Allemand Petten- 
kofer et le Hollandais Gerrit Jan Mulder, entendaient par 
„Firnis" des choses tout a fait différentes: le premier entendait 
par la de l'huile de lin bouillie, l'autre généralement du mastic. 

Le vernis enlevé au tableau de Frans Hals de 1616 avait 
complêtement perdu sa résistance aux influences atmosphóriques 
(phot. 19 et 20). 

J'ai démontré enfin le pouvoir protecteur d'une tres mince 
couche de vernis au mastic contre les influences chimiques 
(phot. 6, 8, 9 et surtout 17). 

Harlem, le 5 février 1921. 



]75 











Fig. 1. 
Phénomène de ridement d'huile de lin appliquée en couche 
trop épaisse. 




Fig. 2. 
d) Phénomènes de ridement d'huile de lifl appliquée en courlie tro|) épaisse. 
6) Le ternissement de 1'huile de lin a l'air humide. 



12 



176 




Fig. 4. 

Maladie de l'üutremer. 




Fig. 6. 
Influence de l'liydrogène sulfuré sur la peinture a la cériise. 



177 




Fig. 3. 

Infiuence de rhumidité et de l'hvdrogène sulfuré sur l'huile de lin sèche. 




Fig. 5. 
Maladie de l'outremer. 



178 



fTir^ 




% 



Fig. 7. 

lofluence de Thydrogène sulfuré sur la peinture au blanc de zinc. 





Kig. H. 

Intliience de 1'humidilr et do l'hydrogi'ne sulfuré sur 
la peinture :'i riiiiile de lin et minium. 



Fig. 9. 

Influence de rhumidité et do rhydrogóne sulfuré 

sur la peinture u l'huile de lin et noir de fumée. 



179 




Fig. 10. 

La résine (colophane) jauait sous Tinfluence de l'acide sulfureux. 




Fig. 11. 
Influence diflcrente de l'eau sur du vernis ;'i la résine vieille ou fraiche. 



180 






-^g^k 


nl 1 


_^ 


1^ ^ 


^^H 


f'ÉÊÊ 


^H 


ryMF^ 


^^BBBI 



Fig. 12. 
Influence difTérente de l'eau sur du vernis :'i la résine vieille ou fraiche. 




Fig. i:i 

InlliiiMice différeiilc de leaii sur du vernis a la rósine vieille ou fraiche. 



181 




Fig. 14. 

Le ternissement du vernis n'est pas une conséquence de la 
pénétration d'air. 




Fig. 15. 
La gomme dammar résiste le mieux u l'action de l'eau. 



182 




Fig. 16. 
Le mastic vieux ne résiste pas a l'action de l'eau, mais bien Ie iiiastic frais. 




Fig. 17. 

Une tres mince couche de mastic'frais garanlit iin tableau centre la 

maladie de routremer. 



183 




Fig. 18. 

I^e baume copahu est, au point de vue de sa résistance u 
l'humidiitj, Ie plus mauvais de tous les vernis. 





Ki--. I!». 

Le vernis enlevc au tableau de Frans Hals de 

1616 ne résiste pas a l'eau, mais se ternit 

immódiatement. 



Fig. 20. 
f>e ternissement dii tableau de Frans Hals 
n'est pas la conséc|ueni'e de pénétratiun d'air, 
rnais est un phénomène de floculation. 



/■^ 



New York Botanical Garden Library 



3 5185 00258 9479