Archives néerlandaises des sciences exactes et naturelles

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ARCHIVES NÉERLANDAISES

DES ©

SC LENCES

EXACTES ET NATURELLES

PUBLIÉES PAR
LA SOCIETÉ HOLILANDAISE DES SCIENCES À HARLEM,

ET REDIGÉES PAR

E, H, VON BAUMHAUER

Sécrétaire de la Société,
AVEC LA COLLABORATION DE

MM. D. Bierens de Haan, C. A. J. A. Oudemans, W. Koster,
C. H. D. Buijs Ballot et S. C. Snellen van Vollenhoven.

HAARLEM,
LES HÉRITIERS LOOSJES,
1877.

47077

TABLE DES MATIÈRES.

Programme de la Société Hollandaise des Sciences à Harlem pour
LOUE LE 2e 1 NORRIS RER ERER ER * Pag. 1—viu.
R. A. Mers, De l'influence du mouvement d’une source vibratoire
D nEnmie des vibrations émises... 2... ..............1 Pape].
P. Bzeeker, Notice sur la sousfamille des Holacanthiformes et des-
cription de quelques espèces insuffisamment connues............. PORT
P. Bzeerer, Notice sur les espèces nominales de Pomacentroiïdes de
D Inde archipélagique. .. ........... on PER AURES FAN AB:
EE P. Bzeeker, Révision des espèces de Pempheris de l'Inde archipé-

E Der nn. mn. 44
» 69 À. C. Oupemaxs Jr., Sur le dosage par le polaristrobomètre de la
_. une dansiles écorces de. quinquina. . .…...................... CEST
=) D. J. KorteweG, Sur la probabilité des divers résultats possibles
=? d’une élection pour laquelle des votants des deux opinions diffé-
rentes se partagent en sections par la voie du sort.............. ”. 65.
D cappe, Sur l'hydrure cuivreux....................... re, 196:
G. F. W. Bazxr, Note sur le mouvement elliptique.............. AIDER E
Cx. M. Scxois, La formule d’interpolation de Tchébycheff suivant
one dés moindres: carrés... ....:..,................... ” 102.
A. Bexraew Gz., Théorie des nombres complexes et bicomplexes.. 113.
C. H. C. Grinwis, Sur l'absorption de la lumière d’après la théorie
Cou LE TERRE Re D A AELT TE
EH. D. Krusemax, Sur la réduction de la lévulose. ............... HSE

J. D. van per Waars, Sur le nombre relatif des chocs que subit .
une molécule, suivant qu’elle se meut au milieu de molécules en
mouvement ou au milieu de molécules supposées en repos, et sur
l'influence que les dimensions des molécules, dans la direction du

mouvement relatif, exercent sur le nombre de ces chocs.......... 1 201
“4 J. D. vax per Waazs, Sur le nombre des chocs et la distance de
_ choc moyenne dans les mélanges gazeux. .... RNCS MORE ON PE
P. van GEER, Sur l’emploi des déterminants dans la méthode des
- ES M D in is dieu PAPAS

1 1

IL TABLE DES MATIÈRES.

D. J. KorteweG, Sur le calcul de la distance moyenne de choc des
molécules gazeuses, dans le cas où l’on tient compte de toutes leurs
diMenONS EE ei LL PCR CE A …

D. J. Korrewec, Calcul de l'accroissement de tension qu’un gaz
éprouve par.suite du chocdes molécules PEER

EL: Rinx, Sur la proparalionbdu Son ee POP EP RP

A. W. M. van Hassert, Contribution à l’histoire naturelle des
salamandres AQUATIQUES... CERN ON CR RSR

N. W. P. Rauwenxorr, Sur les canses des formes anormales des
plantes qui croissent dans l'obscurité "PR

F. J. van DEN BERG, Sur les écarts de la ligne géodésique et des
sections planes normales entre deux points rapprochés d’une sur-
face courbe; .:..2...... 3,28 4400 POSER

J. W. Mozz, Recherches sur l’origine du carbone des plantes . ....

R. À. Mess, Recherches sur la théorie des flammes "11.

Ta. Mac Giszavry, L'influence du spasme bronchique sur la respi-
TAÎION . on. eue ne cun tte à ete HO SNS

J. D. van DER Waazs, L'influence de la pression sur la température
du maximumide densité de l'eau. ee

JULES HuGuEnIN, Notice sur un système de coloriage des cartes
géologiques... 44.4 Zero idan ce tee RE PRES

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ARCHIVES NÉERLANDAISES

Sciences exactes et naturelles.

DE L'INFLUENCE

DU

MOUVEMENT D'UNE SOURCE VIBRATOIRE
l’intensité des vibrations émises,

R. A. MEES.

Dans un Mémoire: Ueber die Intensitüt der wahrgenommenen
Schwingungen bei Bewequng der Schwingungsquelle und des
Beobachters 1), M. R. Eütvôs examine de quelles grandeurs cette
intensité dépend, et cet examen le eonduit à des résultats qui
ne s'accordent pas avec les hypothèses admises par M. Ketteler
dans son Astronomische Undulations-theorie ?). Il commence par
proposer deux noms nouveaux, dont nous ferons usage dans ce
qui va suivre, pour désigner des grandeurs dont la considération
se présente à chaque pas, quand on étudie les phénomènes
Vibratoires tels qu’ils sont modifiés par le mouveinent de la source
vibrante ou par celui de l'observateur. Il distingue, en eflet,
deux distances de la source au point dont on considère l’état

vibratoire, à savoir, la distance »Momentanée”, celle qui existe
réellement après le temps { entre la source et le point vibrant,

Eos 472,06 CDIT, p. 513:
:) E. Ketteier, Aséronomische Undulations-theorie oder die Lehre von der
Aberration des Lichtes, Bonn, 1873.

ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XII. 1

9 R. A. MEES. DE L'INFLUENCE DU MOUVEMENT

et la distance ,,active”, celle qui sépare ce point du lieu qu’oc-
cupait la source au moment où elle se trouvait dans la phase
de vibration qui maintenant, après le temps #, est passée au point
vibrant. La distance active à l’époque € correspond à la distance
momentanée à une époque antérieure {,, de telle sorte que —#,
représente l'intervalle de temps qui est nécessaire aux vibrations
pour aller de la source au point vibrant, c’est-à-dire, pour par-
courir la distance active à l’époque 4.

Soient D la distance momentanée et 9 la distance active à
l'époque {; nous avons alors:

D?—52—20q{t—1t,) cos y + q? (t —E4,)? |

Dao? (1—29 cos +) Re
0) v?
)

4 C r . .
à cause de É—{, ——, v représentant la vitesse de propagation
()

des vibrations, et g la vitesse du mouvement de la source vibra:
toire, mouvement qui est supposé avoir lieu dans une direction
faisant un angle y avec celle de la distance active Ô. Quant au
point vibrant, nous le supposons, ici et dans la suite, dépourvu
de tout mouvement de translation. Si, comme 1l est permis de
le faire dans presque tous les cas que nous présente la nature,
nous négligeons la seconde puissance de la petite grandeur 2
ainsi que les puissances supérieures, la relation entre la distance
momentanée et la distance active est exprimée très simplement
par les formules

Da (1— con) et =D (1+%05) sp (2)
V V

Pour le cas d’une source vibratoire animée d’un mouvement
de translation et émettant des vibrations dans toutes les directions,
M. Ketteler !) admet que l'amplitude ou lécart maximum des
vibrations détermines en un point quelconque de l’espace par la

1)Mc., Zusatz A}, p.86.

D'UNE SOURCE VIBRATOIRE SUR L'INTENSITÉ, ETC. 3

. . A LA L4 S (g/ Là
source vibratoire peut être représentée par l’expression ne étant

une constante qui ne renferme ni gniw. M. Eôtvôs, au contraire,
admet la même chose pour la vitesse maximum des vibrations,
ou, comme il l'appelle, amplitude de la vitesse; 1l la représente

par > æ étant une constante, tout comme «& chez M. Ketteler.

Ces deux hypothèses de M. Eütvôs et de M. Ketteler sont en con-
tradiction l’une avec l’autre, ainsi que nous aurons plus loin
l’occasion de le montrer. M. Eütvôs déduit son hypothèse d’un
principe concernant la force vive des vibrations, principe qui lui
sert de base et qu'il énonce de la manière suivante. Si l’on admet
que le mouvernent de translation de la source n’ait pas d’influenee
sur son mouvement vibratoire, la conséquence immédiate de cette
supposition est que dans chacune de ses vibrations la source com-
munique à la matière ambiante, sous forme de vibrations trans-
mises, une quantité de force vive qui est la même dans le cas
où la source est en repos que dans le cas plus général où la source
se meut. M. Eôtvôs se figure maintenant un corps qui n’émet de
vibrations que selon deux directions opposées, cas dans lequel
la surface d'onde se compose de deux surfaces planes situées à
des distances égales de part et d'autre du corps, et dans lequel,
par conséquent, les vibrations n'éprouvent aucun affaiblissement
à mesure qu'elles se propagent. Il cherche alors la somme des
forces vives qui, à raison des vibrations, existent à un moment
donné dans deux ondes entières, situées l’une en avant l’autre
en arrière du corps; cette somme des forces vives, il l’exprime
d'abord pour le cas où le corps est en repos, et ensuite pour
le cas où 1l se meut dans une des deux directions suivant lesquelles
il émet ses vibrations. Les deux expressions ainsi trouvées il les
égale l’une à l’autre, et obtient par là l’équation suivante:

a? (V—-9) + os? (V+9) = av. D de arte (3)

dans laquelle « représente l'amplitude de la vitesse des vibrations

émises, lorsque le corps est en repos, tandis que «, et«, désignent
1*

4 R. A. MEES. DE L'INFLUENCE DU MOUVEMENT

cette même grandeur, en avant et en arrière, lorsque le corps
est en mouvement.

À cette équation satisfait l’hypothèse «, —«, — 4. Lorsqu'on
admet au contraire, avec M. Ketteler, que ce ne sont pas les
amplitudes de la vitesse mais les amplitudes de la vibration qui
sont égales dans les trois ondes différentes des deux cas en
question, on parvient à l’équation:

Dee EE Rd à Li Lt (4)
Ve 9 WAY É
a représentant l'amplitude de la vibration. Or, cette équation est
évidemment fausse, et M. Eôtvôs croit pouvoir en conclure que
son hypothèse à lui, non celle de M. Ketteler, est d'accord avec
le principe mis en avant au sujet de la force vive, que par con-
séquent son hypothèse est vraie, celle de M. Ketteler fausse.

La première remarque que cette conclusion me suggère , c'est que
le-principe de M. Eôivôs concernant la force vive, bien qu’assez
probable, ne me semble pas tout à fait certain. Selon lui, la
force vive émise par la source vibratoire serait la même, que
cette source soit en repos ou en mouvement. Mais il pourrait très
bien se faire que la constance ainsi attribuée par M. Eôtvôs à la
force vive dût être attribuée à l'énergie totale émise par la source.
Dans cette hypothèse, très vraisemblable à mon avis, 1l serait
possible que lé rapport entre la force vive et l'énergie totale des
vibrations émises ne restât pas la même lorsque la source vibra-
toire, au lieu d’être en repos, a un mouvement de translation.
S'il en était ainsi, Ce que je ne regarde toutefois pas comme
probable, -— l'énergie totale des vibrations émises demeurerait
constante, sans qu’il en fût de même de la force vive.

Mais, acceptons pour vrai le principe admis par M. Eôtvôs; 1l
faut alors observer, en second lieu, que l’on ne satisfait pas seu-
lement à l'équation (3) par la supposition &«, =, —=%«, mais
qu'il y a encore d’autres solutions de cette équation, dans les-
quelles «, et «, sont des fonctions de g. Si nous prenons, en effet,

“4 = y (9, u) et En = Y (98 a),
l'équation (3) devient:

D'UNE SOURCE VIBRATOIRE SUR L'INTENSITÉ, ETC. O

y? (g, œ) —w? LES w? (—— 4, œ) — «2
V+gq e V— 9
ei en posant |
(EMEA LE
= — % ;
ES, (g, «)

on obtient:
NE Re nm a?
= (pi) (v — 9) #(—g, «) + «,
où la fonction % (g,«) est seulement liée à la condition que l’on
at: p(—ge)—=—7(g, 0).
Très probablement, ® (g, «) est de la forme «2? X 7 (9), de sorte
qu'on a:
GALL AU Hg) C9)
Met g)z(—0))
eu gx (9 }l

R
LT

A

()

2 (-9)=— 7 (9).

M. EGtvôs fait w (g,«) et z(g) —0, mais cela n’est nullement
nécessaire. Toute fonction de puissance impaire de g peut être prise
pour z(g). Le cas traité par M. Eoivôs, celui dans lequel une
source vibratoire émet des ondes planes dans deux directions
seulement, ne nous apprend rien au sujet de la forme de la fonc-
tion 7. Considérons donc le cas plus général, celui où la source
envoie des vibrations dans toutes les directions et où nous avons
affaire à des surfaces d'onde sphériques, et voyons s’il est possible
d’en déduire quelque chose de plus précis concernant cette fonc-
tion X:

Lorsque la source vibratoire est en repos, les vibrations s’éten-
dent suivant des ondes sphériques; tous les points ayant une
même phase de vibration se trouvent sur une même surface de
sphère, et toutes ces surfaces ont le même centre, à savoir, la
source vibratoire, que nous supposons ici réduite à un point. SI
la source vibratoire est emportée d’un mouvement de translation,
les surfaces de même phase sont encore des surfaces de sphères,

6 R. A. MEES. DE L'INFLUENCE DU MOUVEMENT

mais celles-ci ne sont plus concentriques. Ces surfaces ont alors
pour rayon la distance active de la source vibratoire, et pour
centre le lieu qu'occupait la source à l’instant où elle émettait la
phase de vibration qui, au moment actuel, atteint la surface
sphérique considérée.

Représentons-nous (PI. [, fig. 1) une coupe des surfaces d’onde
au temps £, coupe menée par la trajectoire, supposée ici recti-
ligne, de la source vibrante. Soient À et C les positions de la
source au commencement et à la fin d’une vibration, B B’ B” B”
et DD'D'D"” les surfaces d'onde, au temps £, des vibrations
émises par À et C. Soieut FF’F’F” et H H’H"H” les surfaces
d'onde qui correspondent respectivement aux positions E et G de
la source vibratoire. Prenons provisoirement P pour l’origme des
coordonnées, et soient r le rayon vecteur d’un point du cercle
H, y l’angle que ce rayon fait avec la droite PAC, 0 le rayon
GH de ce cercle, D la distance P G !); l’équation de ce cercle
est alors: |

/
r =D cos y + V 02 — D? sin? y:

Si nous représentons par d + d9 le rayon du cercle F, et par
D + d D la distance de son centre à l’origme P, ce cercle possé-
dera, pour l’angle y, un rayon vecteur r + dr, tel que dr ait
la valeur:

D dD sin”? dj
Did D COS p ER Eee su mes Re +
LT 62 D? san?y 02 D'sin?y

Transposons maintenant l’origine en G, on a alors D=0, et
par conséquent: dr = d D cos y + dû. On a aussi, dans ce cas:
GM=r=0, GN=7r+Edr, donc NME
posant en outre LGM— dy, l'élément de surface LMNO sera
exprimé par:

— r dy dr = —3(d4D cos y + do) dy.

Mais les surfaces d’onde sont toutes des surfaces de révolution

‘) D et, temporairement, w n’ont plus ici la mème signification que précé-
demment.

D'UNE SOURCE VIBRATOIRE SUR L'INTENSITÉ, ETC. 7

autour de la ligne AB, et dans chaque section plane passant par
AB les circonstances sont identiquement les mêmes. Réunissant
donc tous les éléments de volume pour lesquels Ô et y ont les
mêmes valeurs, nous obtenons pour l'élément de volume:
dV=(—rdydr)2rrsin y
= — 2 a 0? sin y dy (dD cos y + do).

Il est à peine nécessaire de faire remarquer qué Ô et y ont ici
de nouveau la même signification que précédemment, c’est-à-dire,
qu'ils représentent la distance active et l’angle compris entre
celle-ci et la direction du mouvement de la source vibratoire. Si
maintenant dt est le temps nécessaire à la source vibrante pour
passer de la position G à la position E, et si g etv ont la même
sigmfication qui leur a été attribuée plus haut, on a:

dD = gdt et dô = — vdt,
AN = 2n v9? dt sin y d'y — 9x 90? dt sin y cos v dy.

Soit G f(£) la vitesse de vibration de la source au temps é£; si
la source était immobile, la vitesse de vibration à la distance Ô

! œ Ô L
de la source, au temps £, serall: = f(: — =). a étant une
V. À

constante. Si la source est en mouvement, la vibration du point
L, au temps {, sera dans la même phase où était la vibration
de la source lorsque celle-ci se trouvait en G, c’est-à-dire, au

ù ere és .
temps £— —. Soit, à cet instant, Eh) lamplitude de la
0)

vitesse au point L, et supposons qu’on ait:

2 (q, p)—= ua? 1 + (vu + g cos y) x (g cos w)},. . . . (6)
expression qui, pour y — 0 et — 180?, devient évidemment iden-
tique aux expressions (9), que nous avons trouvées précédemment
pour ces cas particuliers; nous pourrons alors représenter la vitesse
de vibration en L par

520 11 Ce ) De 40 0 gd (7)

La force vive qui réside dans l'élément d V au temps { est,
o représentant la densité de la matière vibrante:

8 R. A. MEES. DE L'INFLUENCE DU MOUVEMENT
Ô
Lou? dN — reve? f? (: == = Jai LT + (u + gcosw) z (g cos v)]| sin dy
0)
gp ( =. =) dEj1 + (0 + gcosw) z(gcosw)] siny cos vw d w.

En intégrant cette expression par rapport à w entre les limites
O et x, nous obtenons la force vive qui est contenue, au tempsé,
entre les deux surfaces d'onde correspondant aux positions G et E
de la source vibratoire. Cette force vive est: |

AVE zourif (: — =) dt +
| 5

Ô
a @ «2 f? (: _— =) div [(o+ g cos y) x (g cos w) sin y dv
v

0

ñ
— q l (u + gcosw) z(gcosw) sn w cos y dy}.
0
Pour l'expression entre parenthèses dans le second terme nous
pouvons écrire :
À TT

Î (0? — g? cos? y) z (g cos ÿ) sin y dy.
0

Mais cette intégrale est nulle, parce que 7 est une fonction de
puissance impaire, et que par conséquent 7 (gcosw) prend entre

PL A F 3 . . 0 ‘
ser des valeurs égales mais de signe contraire à celles entre

p2]

TT . à % , LA
0 et CU tandis que tous les autres facteurs sous le signe d’inté-

p21

21

: TT À e =
oration ont entre + et x les mêmes valeurs, avec le même signe,
Le

1 T r . il ©
qu'entre Ô et EE U se réduit donc à son premier terme:

4

Ô
AU—=2rour?f? (: — = dt.
v

D‘UNE SOURCE VIBRATOIRE SUR L'INTENSITÉ, ETC. 9

c’est-à-dire, que le mouvement de la source vibratoire n’apporte
aucun changement à l'expression de AU. La force vive émise
pendant l’intervalle de temps di par la source vibratoire est la
même, que cette source soit en repos ou en mouvement. Etant
vrai pour tout intervalle de temps dé, cela est vrai aussi pour la
durée d’une vibration entière.

Nous avons regardé la densité o de la matière vibrante comme
constante. En toute rigueur, le calcul précédent ne s'applique
donc qu'aux vibrations qui n'occasionnent pas de changement dans
la densité de la matière. Toutefois, même pour les vibrations qui
donnent lieu à de pareils changements, ce calcul est encore
valable si l’on néglisge les petites grandeurs d'ordre supérieur ;
en effet, ce sont seulement, au moins pour les vibrations de
faible amplitude, des quantités d’ordre supérieur qui s’introduisent
dans nos formules quand on regarde la densité comme variable.
La même remarque s'applique au calcul de M. Eôtvôs, pour le
cas plus simple qui a été traité par lui.

Nous voyons d’après cela, que, tant pour les vibrations qui se:
propagent par ondes planes et en deux directions seulement, que
pour celles qui se propagent par ondes sphériques dans toutes
les directions, on satisfait également bien au principe de M. Eôtvôs
concernant la force vive, soit en admettant avec lui que lampli-
tude de la vitesse est pour tous les points simplément en raison
inverse de la distance active, soit en la regardant en outre comme
proporuonnelle à une grandeur « (g, y). qui n’a pas, comme chez
M. Eôtvôs, une valeur constante — «, mais qui est déterminée
par la formule

a (y) = TE (v + goos y) ,(g cos w)|,
et par conséquent dépendante de g et de w. Le cas général, celui
où les vibrations s'étendent dans toutes les directions, ne nous
apprend donc, au sujet de la forme réelle de la fonction 7, rien

que ce qui nous était déjà connu, à savoir, que c’est une fonction
de puissance impaire.

40 R. A. MEES. DE L'INFLUENCE DU MOUVEMENT

Supposons (fig. 2) qu'un point, qui fonctionne comme source
vibratoire, se meuve le long de l’axe OX des x avec une vitesse
J, et qu'au temps {= Ù il se trouve à l’origine O des coordon-
nées. Cherchons le mouvement d'un point vibrant (x, y, z) au
temps {. Les coordonnées de ce point étant alors ee. y+7,
z +5, la quantité totale dont il s’est écarté de sa position d’é-
quilibre sera o = WE + y + 8,

Si 0 est la distance active au temps {, on a:

0]
L'=EIg (=) ri = 4? HU HAE BNEERL
o)

2
= (x— x) + 9? —= (e—vt+ 1) + 0?
V

9 _g(æ—gt) + fv(x— gi)? +(v?— ge] |
“en y? = g2 ?

et en négligeant les puissances deuxième et supérieures de 3
V

A DE
et de 2°, — ce qui même pour la seconde de ces grandeurs est
Ÿ tn

permis, à condition de choisir convenablement l’origine du temps
et celle des coordonnées —, on obtient:

2 4
5 — Ÿ L(2— 1) + (1) + e?{

en
= (cu) +rh1—2 pra ue
rr

—+
CINE a)
re

SE re
Pour la vitesse de vibration 7 nous pouvons écrire:

D'UNE SOURCE VIBRATOIRE SUR L’INTENSITÉ, ETC. 11

d o
— L — ae
G = pen à (12)

expression où S peut encore être fonction des pÉtiden:
Supposons-la provisoirement constante; alors, attendu qu’on a:

LEE en T,, 2 — vi) cos , Le (is. =) ET kr,
dEusir un T2 ‘) v? \

si nous regardons à comme variable aussi bien en dehors qu’en
dedans du signe cosinus, l'intégration donnera:

S (1 LUE
nd = (201) vu =) — "|

Nous négligleons ici non-seulement les puissances supérieures

Ô (4 : ‘ () : :
de 7 et de de mais aussi celles de L ce qui est permis, parce
D) r

? 1 9 x u La
qu'on à kw, à cause de k= —-v, où 2 représente la lon-

gueur d'onde.
Mas si l’on à:

1e — X 108 M IN CUS (ie)

D XSIn M = X"60$ (n—:) —N 100$ (N—=).

il en résulte:

12 R. A. MEES. DE L'INFLUENCE DU MOUVEMENT.

z'+z =X cos (n—5) —= X cos (55).

avec les valeurs

Dre EE X'— X'

X = LX 2 EXT et lp =

g d NI 2e x!
Appliquant ceci à l'expression trouvée pour 5, nous obtenons:
STAR TT
M2 ARE SIREN Re TERRE

PAS Et |
S Ç A
k \o Fe

TL . .
ou, en posant Ê — PAT AE de sorte que ; soit une petite gran-

À (
deur du même ordre que T :

ÉO EE = d:= 29%
PE Nate (eee
ENS 7, g== SU
eu 2 4 kw?

COS y — 2" 1 ee
; 0) Ô V
GARE HULL, {10008
cos — 1 Fe 7, 3,7 —39 A
DRE re DONS SU NE U Ô

Nous pouvons donc aussi écrire pour 0:

LA Sol q De Ô g 20e l
=>. (1 — cos w) sin} k (12) +9. El: CU (9)

D'UNE SOURCE VIBRATOIRE SUR L'INTENSITÉ, ETC. 19

SORTE do de
Si, dans l'intégration de ie nous avions traité la grandeur 6

comme variable seulement sous le signe cosinus, mais comme
constante en dehors de ce signe, — ce qui à vrai dire peut être
jugé suffisamment exact, attendu que sous le signe cosinus les
termes qui contiennent © sont précédés du grand facteur #, tandis
que cela n’est pas le cas en dehors du signé, — nous aurions obtenu

(|
_ er (—É COS L cos y )sin} le (: =) . . . D ° ( )

Lors donc que nous regardons la vitesse maximum de la vibra-
tion comme ne dépendant qu'implicittement de 4 et w, en tant
que 9, à laquelle elle est inversement proportionnelle, varie
avec ces grandeurs, nous trouvons que l’amplitude maximum
de la vibration est, en outre, explicitement dépendante de g
et de y. |

Mais nous avons vu précédemment que, pour satisfaire au
principe suivant lequel la quantité de force vive des vibrations
émises est indépendante du mouvement de la source vibratoire,
il n’est pas absolument nécessaire que la grandeur $ soit constante,
qu’elle peut aussi être une fonction de g et de y. Si s représente
la valeur de S dans le cas où la source vibratoire est immobile,
nous avons vu que S doit être en général de la forme:

S2 — 521 + (u + g cos w) z(g cos v)1.

où z est une fonction de puissance impaire.
Dévéloppons 7 en série suivant les puissances ascendantes im-
paires de gcosw; comme la différence entre S et s doit évideun-

- À (

ment être une grandeur du même ordre que J le premier terme
v

de cette série, le seul. que nous ayons à considérer si nous négli-

geons de nouveau les puissances deuxième et suivantes de de

| v

pourra être représenté de cette manière:

14 R. À MEES. DE L'INFLUENCE DU MOUVEMENT

Z (g cos =n Te, ssh el ED - (10)

n désignant un nombre quelconque.
On obtient alors:

Se 51,#\q + (£ COS Y + g° cosy )|
( v v?

UE, (+5 Low): OR 41)
DIET)
mails on à
Tods vw —= AE
v v T
donc :

Si sp €)
Le WT

En ne tenant de nouveau compte que des termes qui contiennent

T ot JUAN première puissance, S est donc indépendant de #;
v r |

par conséquent, dans l'intégration de _ par rapport à {, nous

pouvons continuer, ici encore, à regarder S comme une constante.
Nous avons dans ce cas:

CITES PET 2 p M: Tr
= + %-Joou ) cos! k ( =) | Re AMP (12)

MES (CAN Re DEEE
=; (+ (5 1) Écosv) sin | (6 = )+ii | (15)

Si nous donnons à #, laissé jusqu'ici arbitraire, la valeur 2,

la vitesse maximum de la vibration devient . (1 + J cosy)
V

et par conséquent à la fois explicitement et implicitement dépen-
dante de 4 et de w, tandis que l'amplitude maximum de la vibration

PAR Loto
devient = Se c'est-à-dire, ne dépend qu'implicitement de g et

de w. Ge résultat est précisément l’inverse de celui obtenu précé-
demment. On voit donc que les hypothèses de M. Eütvôs et de

D'UNE SOURCE VIBRATOIRE SUR L'INTENSITÉ, TE: 49

M. Ketteler doivent être regardées toutes les deux comme des cas
particuliers du cas général où # a une valeur quelconque. Pour
n—0 nous avons l'hypothèse de M. Eôtvôs, pour n = 2 celle
de M. Ketteler. |
D’après M. Eôtvôs, la vitesse maximum de la vibration est égale à

= d'après M. Ketteler, elle est égale à D' où entre, à la place

de la distance active 9, la distance momentanée D, liée à la
première par la formule (2). Il en résulte immédiatement que
l'intensité des vibrations, produites en un point fixe de l’espace
par une source animée d’un mouvement de translation, dépend
chez M. Ketteler de la distance momentanée, et chez M. Eôtvôs,
au contraire, de la distance active. M. Ketteler et M. Eôtvôs arrivent
aussi à cette conclusion, mais d’une manière assez détournée.
Quant à moi, je crois qu'elle n’a pas besoin d’une démonstration
spéciale, mais qu'elle découle directement des expressions données
ci-dessus pour la vitesse maximum de la vibration, puisque l’in-
tensité peut à chaque instant être regardée comme proportionnelle
au carré de cette grandeur.

L'une et l’autre expression, celle de M. Ketteler et celle de
M. Eôtvôs, satisfont, comme nous l'avons reconnu, au principe
établi par ce dernier au sujet de l'influence du mouvement sur
la force vive émise, et 1l est impossible de décider à priori laquelle
des deux expressions est conforme à la verité. Il y à pourtant
une circonstance qui plaide plus ou moins en faveur de l'opinion
de M. Eôtvôs, c’est que l'expression adoptée par lui satisfait d’une
manière rigoureusement exacte au principe de la force vive, tandis
que cela n'a lieu que d’une manière approchée pour celle de
M. Ketteler. C'est aussi par suite de cette circonstance que M.
Eôtvôs arrive, en faisant usage de l'expression de M. Ketteler,
à l'équation fausse (4); fausseté qui toutefois n'existe que lorsqu'on

tent compte des puissances deuxième et suivantes de J, car les

v
deux membres de cette équation ne différent entre eux que d’une

9
grandeur de l’ordre _ Si l’on veut regarder comme hors de
; Û)

16 R. A. MEES. DE L'INFLUENCE DU MOUVEMENT, ETC.

contestation le principe de la force vive, l'expression de M. Ketteler
pour l'amplitude de la vibration n’est qu'une valeur approchée,
obtenue en négligeant dans la valeur exacte de cette grandeur les

: U _ " «
puissances de T et de 7° supérieures à la première. Les valeurs
v r
exactes, non approchées, de l’amplitude et de la vitesse de la
vibration sont en conséquence, chez M. Eôtvôs, des fonctions de
g, w et o ou D plus simples que chez M. Ketteler. Or, bien que
la simplicité ne soit pas le signe certain du vrai, elle donne pourtant,

toutes choses égales d’ailleurs, une probabilité un peu plus grande.
, r , . l Pi L
Lorsqu'on néglige les puissances de J et de 7 supérieures à

| v r

Ja première, les formules (12, et (13) sont pour la vitesse et l'am-
phtude de la vibration les expressions les plus générales, satisfaï-
sant au principe de la force vive, et affranchies de toute hypothèse
autre que celle employée pour la formation des expressions (9)
et (6), à savoir, que la vitesse de la vibration, en cas de mou-
vement de la source, est proportionnelle à cette même grandeur
prise dans le cas où la source est en repos. La même chose peut être
dite de l'expression (10) pour la fonction ; et de l'expression (11)
pour S. La valeur de n, dans ces formules, est Jusqu'ict entière-
ment indéterminée.

Peut-être l'observation donnerait-elle le moyen d’arriwer à la
certitude au sujet de la valeur de ». Provisotrement, toutefois, 1l
ne me semble pas probable que des expériences spécialement
entreprises dans ce but fourniraient beaucoup de lumière. Du moins,
dans les phénomènes qui à ma connaissance pourraient servir à
cet effet 1), les différences d'intensité ou bien, comme pour la
lumière et la chaleur, sont si petites qu'on réussirait à peine à
les observer, bien loin de pouvoir les mesurer exactement, ou
bien, comme pour le son, où leur grandeur serait suffisante,
elles sont soumises à tant d’influences perturbatrices, ‘que là non
plus il n’y à pas à espérer de résultats exacts.

1) Ketteler, Z. c., p. 145; Éütvôs, L. c., p. 531 et suiv.

NOTICE

SUR LA

SOUSFAMILLE DES HOLACANTHIFORMES

ET DESCRIPTION DE

QUELQUES ESPÈCES INSUFFISAMMENT CONNUES,
PAR

P. BLEEKER.

La sousfamille des Holacanthiformes est nettement distinguée
des autres Chétodontoïides par la forte épine angulaire du préoper-
cule, par des écailles cténoïdes dures à surface longitudinalement
rugueuse, par la tête entièrement squammeuse, par des dents
aux deux mâchoires plus ou moins tricuspides, par une dorsale
indivisée à épines distantes et mobiles, par la membrane branchiale
s’attachant à un isthme fort étroit, par une mâchoire inférieure
à branches libres non réunies derrière la symphyse, et par l'absence
d’écailles inguinales allongées ou composées.

Les cinquante espèces d'Holacanthiformes actuellement connues
ont été réunies dans les deux genres Pomacanthus (— Chaetodon Art.)
et Holacanthbus Lac. Swainson en proposa bien un troisième sous le
nom de Genicanthus, Kaup un quatrième qu'il nomma Centropyge,
et M. Gill un cinquième sous le nom de Pomacanthodes, mais
ces genres ne sont point admissibles. Le Genicanthus est établi
sur l’Holacanthus Lamarcku, espèce assez voisine de l'espèce type
Lacepédienne d'Holacanthus (Holacanthus tricolor Lac.). Le genre
Centropyge ne repose que sur une variation individuelle à quatre

ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XII. »)

48 P. BLEEKER. NOTICE SUR LA SOUSFAMILLE DES

épines anales de l’Holacanthus tibicen CV. (= Holacanthus leuco-
pleura Blkr); et le Pomacanthodes zonipectus Gill me parait
génériquement identique avec le Chaetodon Art. (nec Cuv.)

Je vois dans les Holacanthiformes quatre types que je crois de
valeur générique et qui sont caractérisés principalement par la
composition de la nageoire dorsale, par la forme du corps, par
l’écaillure et par l’extension de la membrane branchiale.

Quelques espèces ont en commun une dorsale à partie épmeuse
beaucoup jusqu'à deux fois plus courte que la parte molle et
composée de 8 jusqu'à 11 épimes rapprochées et rapidement croissant
en longueur. Elles ont toutes le corps rhomboïde, la dorsale et
l’'anale pointues ou prolongées, le préorbitaire sans dentelure,
la membrane branchiale continue sous la gorge, et de 60 jusqu’à
90 rangées transversales d’écailles au-dessus de la ligne latérale.
Je conserve à ce genre le nom de Chaetodon Art, l'espèce
type Artédienne étant le Chaetodon paru BL. ou le Pomacanthus
paru Lac.

D’autres espèces présentent la combinaison des caractères d’un
corps plus ou moins rhomboïde, d’une dorsale à partie épineuse
un peu plus longue que la partie molle et soutenue par 12 à 14
épines rapidement croissant en arrière, d’un préorbitaire dentelé,
d’une membrane branchiale continue sous la gorge et de 50 jusqu'à
90 rangées transversales d’écailles au-dessus de la ligne Hatérale.
Je réunis ces espèces, au nombre de dix ou onze, sous le nom
d'Acanthochaetodon. On pourrait en prendre pour type l'Hola-
canthus annularis Lac.

La plupart des espèces d’Holacanthiformes, celles qui sont
génériquement identiques avec le Chaetodon tricolor BI, type du
genre Holacanthus et auquel doit être conservé le nom générique
proposé par Lacepède, se distinguent des autres par les caractères
combinés d’une dorsale à partie épineuse beaucoup jusqu'à plus
de deux fois plus longue que la partie molle et armée de 13 à
15 épines distantes, de 50 à 70 rangées transversales d’écailles
au-dessus de la ligne latérale et d’un corps plus ou moins ovalaire.

Le quatrième type enfin, pour lequel je propose le nom de

HOLACANTHIFORMES 19

Chaetodontoplus comprend une demi-douzaine d’espêces, nettement
distinctes par les caractères réunis d’un corps ovale, d’une dorsale
à partie épineuse notablement plus longue que la partie molle
et à 11 jusqu’à treize 13 épines dont les postérieures ne sont pas
ou presque pas plus longues que les médianes, d’une dorsale molle,
anale et caudale toujours obtuses et arrondies, d’une membrane
branchiale non continue sous la gorge, et de 90 jusqu'à 140
rangées transversales d’écailles au-dessus de la ligne latérale.

La diagnose des quatre genres pourrait être formulée dans les
termes suivants.

CHAETODON Art. (nec Cuv.) — Pomacanthus Lac. Cuv. —
Pomacanthodes Gill ?

Corpus rhomboïideum. Pinna dorsalis parte spinosa parte
radiosa multo ad duplo breviore spinis 8 ad 11 approximatis
postrorsum valde accrescentibus, parte radiosa acuta. Os pracor-
bitale edentulum. Membrana branchalis sub gula continua. Caudalis
convexa. Squamae trunco irregulariter seriatae, supra lineam
lateralem in series 60 ad 90 transversas dispositae.

Spec. typ. Chaelodon paru BL — Pomacanthus paru Lac.

ACANTHOCHAETODON Blkr.

Corpus subrhomboideum. Pinna dorsalis parte spinosa parte
radiosa paulo tantum longiore spinis 12 ad 14 postrorsum valde
accrescentibus. Os praeorbitale denticulatum. Membrana branchialis
sub gula continua. Caudalis obtusa. Squamae trunco irregulariter
serlatae, supra lineam lateralem in series 50 ad 90 transversas
dispositae.

Spec. typ. Holacanthus annularis Lac.

HorLacanraus Lac. — Genicanthus Swns. — Gentropyge Kaup.
Corpus subrhomboideum vel ovale. Pinna dorsalis parte
spinosa parte radiosa valde multo ad plus duplo longiore, spinis
distantibus 13 ad 15. Os praeorbitale denticulatum. Membrana
branchialis sub gula continua vel subcontinua. Squamae trunco

D%

20 P. BLEEKER. NOTICE SUR LA SOUSFAMILLE DES

supra lineam lateralem in series 50 ad 55 (vel ad 70) transversas
dispositae. Series squamarum lateribus longitudinales obliquae
postrorsum adscendentes.

Spec. typ. Holacanthus tricolor Lac.

CHAETODONTOPLUS Blkr.

Corpus ovale. Pinna dorsalis parte spinosa parte radiosa sat
multo minus duplo longiore spinis distantibus 11 ad 13 poste-
rioribus 9 vel pluribus subaequilongis, parte radiosa obtusa
rotundata. Membrana branchialis sub gula non continua sat longe
a linea mediana isthmo affixa. Squamae trunco irregulariter seriatae,
supra lineam lateralem in series 90 ad 140 transversas dispositae.
Caudalis convexa.

Spec. typ. Holacanthus septentrionalis Schl.

La liste suivante énumère les espèces actuellement connues. Y
compris deux espèces fossiles, leur nombre va à une cmquantaine.
Je n’en crois douteuses que trois ou quatre. Les Chaetodon
paru et cingulatus pourraient bien être identiques avec le Chae-
todon arcuatus L., et les Holacanthus mokhella et flavissimus ne
sont pas assez connus pour qu'on puisse les admettre définitive-
ment comme de bonnes espèces. J'y ai placé l’'Holacanthus formosus
Cast. à la suite des vrais Holacanthus, mais avec un point de
doute, la figure montrant bien une dorsale épineuse du double
plus longue que la partie molle, mais la description ne parlant
que de 8 épines et par contre de 25 rayons à la dorsale. Si la
description est exacte, le formosus serait plutôt un Ghaetodon.
Un examen nouveau sur nature est nécessaire pour bien déter-
miner les affinités de cette espèce. Une autre espèce américaine
(des îles Galapagos), l'Holacanthus passer Val., paraît être un vrai
Holacanthus, mais à écailles plus petites que les autres espèces
connues. Si l’écaillure du passer a été exactement rendue sur
la figure (Zool. Voy. Vénus Poiss. pl. 6), 1l y a aussi des espèces
d'Holacanthus à environ 70 rangées transversales d’écailles au-dessus
de la ligne latérale.

HOLACANTHIFORMES. 91

Espèces actuellement connues de la sousfamalle des Holacan-

thiformes.

Chaetodon arcuatus L. — Pomacanthus arcuatus Lac — Pomacan-

»

)

thus quinquecinctus CV.
paru BI — Pomacanthus paru Lac. — an — arcuatus L. ?
cingulatus Blkr — Pomacanthus cingulatus CV. — an
— arcuatus L. var. ”?
aureus BI. (nec Schl.) — Pomacanthus aureus et bal-
teatus CV.
subarcuatus Blkr = Pomacanthus subarcuatus Ag. (foss.).
?zonipectus Blkr — Pomacanthodes zonipectus Gill.

Acantkochaetodon asfur Blkr = Holacanthus asfur Lac. = Chaetodon

»

asfur Forsk.

maculosus Blkr — Chaetodon maculosus Forsk. =
Holacanthus coerulescens et lineatus Rüpp. =
Holacanthus haddaja CV. ?

mokhella Blkr — Holacanthus mokhella CV. —
spec. incerta. |

alternans Blkr — Holacanthus alternans CV.

chrysurus Blkr — Holacanthus chrysurus CV.

striatus Blkr — Holacanthus striatus Rüpp. =
Holacanthus coeruleus Ehr. CV.?

semicireulatus Blkr — Holacanthus semicircu-
latus CV.
nicobariensis Blkr — Chaetodon nicobariensis

BL. Schn. — Holacanthus geometricus Lac. =
Holacanthus nicobariensis Blkr.

imperator Blkr — Chaetodon imperator BL —
Holacanthus imperator Lac.
annularis Blkr — Chaetodon annularis BI. —

Holac. annularis Lac. — Hol. pseudannularis

Blkr — Chaetodon verticosus Gron.
lepidolepis Blkr — Holacanthus lepidolepis Blkr

— Holac. ignatius Playf. — Holac. poecilus Pet.

22

, P. BLEEKER. NOTICE SUR LA SOUSFAMILLE DES

Holacanthus Lamarckn Lac. = Genicanthus Lamarckn Swns.

»

melanospilus Blkr.

tricolor Lac. —= Chaetodon tricolor BI.

bicolor CV. = Chaetodon bicolor Bl.

cillaris Lac. —= Chaetodon ciharis BL

caudavittatus Günth.

passer Val.

strigatus Gill.

tibicen CV. — Holacanthus leucopleura Blkr — Centro-
pyge tibicen Kp. |

arcuatus Gr.

sextriatus K. V. H.

diacanthus Günth. — Chaetodon diacanthus Bodd. —
Chaet. fasciatus BL = Holacanthus dux Lac.

navarchus CV.

xanthometopon Blkr.

trimaculatus Lac.

microcephalus Ag. (foss.)

xanthurus Benn.

Vroliki Blkr.

nox Blkr.

bispinosus Günth. = Holacanthus diacanthus Blkr ol.

multispinis Plfr.

cyanotis Günth. = Holacanthus monophthalmus Kner
— Holacanthus uniocellatus Kner.

flavissimus CV.

loriculus Günth.

luteolus CV.

ocularis Pet.

?’formosus Cast.

Chaetodontoplus mesoleucus Blkr — Chaetodon mesoleucus BI. —

»

»

DT

Holacanthus mesoleucus Lac.
Duboulayi Blkr — Holacanthus Duboulayi Günth.
chrysocephalus Blkr —Holacanthus chrysocephalus Blkr.
melanosoma Blkr = Holacanthus melanosoma Blkr.

HOLACANTHIFORMES. 29

Chaetodontoplus dimidiatus Blkr — Holacanthus dimidiatus Blkr.
| » septentrionalis Blkr — Holacanthus septentrionalis Schl.

Les espèces actuellement vivantes sont propres aux mers inter-
tropicales. Les Chaetodon habitent les côtes Atlantiques de l’'Amé-
rique, et si le Pomacanthodes zonipectus Gill est du même genre
il s’en trouve aussi une espèce sur les côtes Pacifiques du
Nouveau-monde.

Les Acanthochaetodon n’habitent que le bassin Indo-Pacifique,
où ils s'étendent depuis la côte Africame jusqu'aux Archipels
orientaux de la Polynésie. |

Les Chaetodontoplus n’ont été trouvés jusqu'ici que dans l’Inde
archipélagique et les mers limitrophes de la Nouvelle-Hollande et
du Japon.

Les Holacanthus proprement dits ont un cercle de distribution
beaucoup plus large, et bien que la plupart soient dispersés dans
le bassin Indo-Pacifique depuis l’Afrique jusqu’à l'Amérique, 1l
s’en trouve aussi deux ou trois espèces sur les côtes Atlantiques
du Nouveau-monde.

L'Insulinde seule nourrit au moins 22 espèces, dont 6 d’Acan-
thochaetodon, 12 d’Holacanthus et 4 de Chaetodontoplus. Une
révision et les figures de ces espèces sont destinées à être incor-
porées dans l'Atlas ichthyologique des Indes orientales néerlandaises.
Je me borne, dans cette notice, à donner un exposé diagnostique
des espèces connues d'Acanthochaetodon et de Chaetodontoplus et
la description de quelques espèces insuffisamment connues.

ÂACANTHOCHAETODON Blikr.

I. Douze épines dorsales. Dorsale moile aiguisée en pointe ou prolongée en
filet. Milieu du tronc à bande transversale jaunâtre. Caudale jaune sans
taches n1 bandes. |

A. Environ 50 rangées transversales d’écailles au-dessus de la ligne
latérale. Anale prolongée en pointe déliée. Corps noirâtre. Pectorale
atteignant la bande jaune du tronc.

l. Acanthochaelodon asfur Blkr = Holacanthus asfur Cuv.

24 P. BLEEKER. NOTICE SUR LA SOUSFAMILLE DES

B. 70 à 75 rangées transversales d’écailles au-dessus de la ligne latérale.
Anale à angle arrondi. Corps orange ou brun-orange. Pectorale
n’atteignant pas la bande jaune du tronc. Partie postérieure du tronc
à bandelettes transversales bleuätres.

2. Acanthochaetodon maculosus B\kr = Holacanthus maculosus CV.

? C. Ecailles? Bandelettes de la partie postérieure du tronc contournées

en spirale.

3. Acanthochaetodon mokhella Blkr = Hol. mokbella CV. esp. dout.

IT. Treize ou quatorze épines dorsales. Point de large bande dorso-anale jaune.
70 jusqu'à 90 rangées transversaies d'écailles au-dessus de la ligne latérale.

A. Anale à angle pointu. 13 épines dorsales. Environ 80 rangées trans-
versales d’écailles au-dessus de la ligne latérale. Ecailles du tronc
squammuleuses. Tronc sans bandes ni bandelettes mais à petites

taches inégales bleu-violet. Nageoires verticales à gouttelettes bleues.

4. Acanthochaetodon lepidolepis Blkr = Holac. lepidolepis Blkr.

B. Anale à angle arrondi. Corps à bandelettes transversales ou lon-
gitudinales.
a. Corps à bandelettes transversales courbées nacrées ou bleuatres
alternativement grêles et plus larges.
aa. Corps brun ou brun-orange. 13 épines dorsales. Bandelettes du
tronc semilunaires.

f ŒEnviron 85 rangées transversales d’écailles au-dessus de la
ligne latérale. Corps à nombreuses taches ou gouttelettes
brunes. Caudale à bandelettes transversales nacrées ou bleuatres.
D. 13/21. A. 3/21.

5. Acanthochaetodon alternans Blkr = Holac. alternans CV.
f” Ecailles? Corps sans taches. Caudale jaune. D. 13/19. A.3/19.

6. Acanthochaetodon chrysurus Blkr — Holac. chrysurus CV.

[RS
(1

HOLACANTHIFORMES.

bb. Corps bleu-violet ou noir-violet sans taches. Anale obtuse,
f Bandelettes du corps peu courbées. 13 épines dorsales.
Environ 80 rangées transversales d’écailles au-dessus de la
ligne latérale. Bandelette impaire rostro-nuchale.

7. Acanthochaetodon striatus Blkr — Holac. striatus Rüpp.

7. Bandelettes du corps fortement courbées.

d: Environ 75 rangées transversales d’écailles au-dessus de
la ligne latérale. Epines dorsales postérieures notable-
ment plus longues que les médianes. Bandelettes du
tronc semilunaires. Bardelette impaire rostro-nuchale.
14 (très-rarement 13) épines dorsales.

S. Acanthochaetodon semicireulatus Blkr = Hol. semicirculatus CV.

d'. Environ 90 rangées transversales d’écailles au-dessus de
la ligne latérale. Epines dorsales postérieures presque
pas plus longues que les épines médianes. Bandelettes
du tronc presque circulaires. Front et vertex à bandelettes
transversales. 14 épines dorsales.

9. Acanthochaetodon nicobariensis Blkr = Hol. nicobariensis Blkr.

b. Corps à bandelettes longitudinales montant obliquement en arrière.
Environ 90 rangées transversales d’écailles au-dessus de la ligne
latérale. Dorsale molle pointue ou prolongée, anale obtuse.

ax. 14 (très-rarement 13) épines dorsales. Bandelettes obliques du
tronc nombreuses (15 à 25). Région sur-scapulo-axillaire à
large bande transversale noirâtre.

10. Acanthochaetodon imperator Blkr = Hol. imperator Lac.

bb. 13 épines dorsales. Bandelettes obliques du tronc peu nom-
breuses (6). Région posttemporale à anneau bleu.

11. Acunthochaetodon annuluris Blkr = Hol. annularis Lac.

926 P. BLEEKER. NOTICE SUR LA SOUSFAMILLE DES

CaagroponroPrLus Blkr.
I. Onze épines dorsales. Ecaillure? Partie antérieure du corps jaunâtre,
partie postérieure brune ou noirâtre. Bande oculaire. Bande cunéiforme
jaune sous la partie postérieure dela dorsale. Caudale jaune. D. 11/23. A. 3/20.

1. Chaetodontoplus Duboulayi Blkr = Holac. Duboulayi Günth.

II. Douze ou treize épines dorsales.

A. 85 à 90 rangées transversales d'écailles au-dessus de la ligne latérale.
Ecailles du tronc squammuleuses. 12 (très-rarement 13) épines dor-
sales, les médianes plus longues que les suivantes. Dorsale molle
174; fois dans la dorsale épineuse. Bande oculaire. Corps jaunâtre
en avant, noirâtre en arrière, vermiculé longitudinalement de nacré
ou de bleuätre.

2. Chaetodontoplus mesoleucus Blkr — Chaetodon mesoleucus BI.

B. Plus de 100 rangées transversales d’écailles au-dessus de la ligne
latérale. Ecailles du tronc non squammuleuses. 13 épines dorsales.
Point de bande oculaire.

a. Environ 125 rangées transversales d’écailles au-dessus de la ligne
latérale. Corps sans bandes longitudinales bleues.
aa. Dorsale molle environ 1% fois dans la dorsale épineuse. Epines
dorsales médianes pas plus longues que les suivantes. Tète
orange et tronc brun-violet à rivules longitudinales bleuâtres.
Caudale sars bande. P. 2/17.

3. Chaetodontoplus chrysocephalus Blkr=Holac. chrysocephalus Blkr.

bb. Dorsale molle environ. 11, fois dans la dorsale épineuse.
P. 2/14 ou 2/15. |
J Epines médianes de la dorsale pas plus longues que les
suivantes. Corps noirâtre. Caudale à large bande médiane
transversale noire.

. 4. Chaetodontoplus melanosoma Blkr — Holac. melanosoma Blkr.

/ Epines dorsales médianes un peu plus longues que les sui-
vantes. Moitié supérieure du corps rose-violet ou grisâtre,

HOLACANTHIFORMES. 97

moitié inférieure noire, les couleurs nettement tranchées.
Caudale sans bande.

5. Chaetodontoplus dimidiatus Blkr = Holac. dimidiatus Blkr.

b. Environ 140 rangées transversales d’écailles au-dessus de la ligne
latérale. Dorsale molle environ 11%, fois dans la dorsale épineuse.
Corps orange à 10 ou 11 bandelettes longitudinales bleues. P.2/16.

6. Chaetodontoplus septentrionalis Blkr=Holac. septentrionalis Sch1.

Acanthochaetodon alternans Blkr. Fig. Planche IL.

Acanthochaet. corpore subrhomboïdeo, altitudine spinam ven-
tralem inter et spinam dorsi anteriorem (diametro dorso-ventrali)
2 crc. in ejus longitudine, latitudme 3 circ. in diametro dorso-
ventrali; capite obtuso 4% circ. in longitudine corporis; linea
rostro-frontali rectiuscula; oculis diametro 5 circ. in longitudine
capitis, diametro 1 circ. distantibus ; osse praeorbitali oculi diametro
non humiliore vix denticulato; dentibus vomerinis sat conspicuis ;
praeoperculo postice et inferne leviter denticulato, angulo spina
ocuio non vel vix breviore; suboperculo interoperculoque eden-
tulis ; squamis capite minimis oculo nudo vix distinguendis, trunco
basi plus minusve squamulatis; seriebus squamarum trunco longi-
tudinalibus irregularibus, transversis parum regularibus; squamis
trunco angulum aperturae branchialis superiorem inter et basin
pinnae caudalis supra lineam lateralem in series 85 circ., infra
lineam lateralem in series 79 circ. transversas dispositis; squamis
62 circ. in serie horizontali os scapulare inter et basin pinnae
caudalis quarum 28 cire. in dimidio trunci anteriore; squamis
serle transversa 90 circ. spinam ventralem inter et spinam dorsi
1m et spinam analem 1x inter et lineam dorsalem, 12 circ. initium
lineae lateralis inter et spmam dorsi 1m; linea laterali bene con-
spicua; pinna dorsali parte spinosa parte radiosa paulo tantum lon-

98 P. BLEEKER. NOTICE SUR LA SOUSFAMILLE DES

giore spinis postrorsum longitudine sensim accrescentibus posteriore
capite absque rostro non breviore; dorsal parte radiosa parte spinosa
multo altiore absque parte producta vix vel non longiore quam
alta, acuta, radis 9° 6° et 7° plus minusve productis; pectoralibus
acute rotundatis capite paulo longioribus; ventralibus acutis radio
1° plus minusve producto capite longiore spina valida capite
absque rostro longiore; anali spina 32 capite absque rostro non
vel vix breviore, parte radiosa dorsali radiosa non breviore sed
humiliore angulata angulo rotundata radus # et 5° ceteris lon-
oloribus; caudali convexa capite non vel vix breviore; colore
corpore fuscescente-aurantiaco ; 1ride rosea vel aurantiaca; vittis
corpore margarilaceis vel luteis transversis; vitta anteriore nucho-
praeoperculo-ventrali; vitta 22 curvata dorso-humero-ventrali diffusa
dorso antice incipiente et post basin ventralis desinente; vittis 7
sequentibus valde conspicuis utrinque fusco limbatis curvatis con-
vexitate antrorsum spectantibus latioribus et gracihoribus alter-
nantibus subaequidistantibus anteriore spmam dorsi 7" inter et
anum, sequente spinam -dorsi 10m inter et spinam analem 1m,
ceteris dorso-analibus dorsalem et analem intrantibus: cauda
vittula ejusdem coloris transversa mox ante basin pinnae caudalis ;
dorso antice et medio et lateribus vittas transversas inter maculis
parvis vel guttulis sat numerosis sparsis fuseis ; pinnis, pectoralibus
aurantiacis, ceteris aurantiaco-fuscis vel fuscis, caudali dimidio
basali vittulis 2 vel 3 transversis margaritaceis.
B. 6. D. 43/22. P. 918. V. 1/5: A. 3/2104CMM5/Pethattbrer.
Syn. Holacanthus alternans COV., Poiss. VII p. 144; Günth.,
Cat. Fish. IT p. 53; an et Playf., Fish. Zanzib. p. 38?
Hab. Madagascar, in mari.
Longitudo speciminis descripti 199".

Rem. Je ne vois sur l'individu décrit, ni la bandelette rostro-
nuchale médiane, ni les bandelettes transversales de la moitié
antérieure de la tête dont parle la description Cuviérienne, ban-
delettes qui n'existent problablement que dans les individus d’un
âge moims avancé. M. Playfar dit que les bandelettes du tronc

HOLACANTHIFORMES. 99

disparaissent complètement dans les adultes (individus de 10%
pouces de long), mais l'identité spécifique des individus âgés avec
l’alternans me paraît avoir besom d'être constatée.

L’alternans est fort-voisin du semicirculatus. Les bandelettes
transversales du tronc y sont disposées de la même manière et
en même nombre, mais leur courbure, surtout celle des postéri-
eures, dans l’alternans, est beaucoup moindre. La couleur du
corps, dans le semicirculatus, est beaucoup plus foncée et violâtre
et on n’y voit jamais de taches ou gouttelettes brunes. L’alternans
est cependant plus essentiellement distinct du semicirculatus par
l’écaillure, les rangées d’écailles dans cette dernière espèce étant
moins nombreuses. Je trouve encore, dans le semicirculatus, la
dorsale et l’anale beaucoup plus obtuses et l’épine préoperculaire
notablement plus courte, mais ces différences peuvent dépendre
de l’âge, le plus grand de mes individus du semicirculatus ne
mesurant en longueur que 120”.

C'est à l’alternans que mérite d’être plus spécialement comparé
l'Holacanthus chrysurus CV., espèce insuffisamment connue et
qu'on pourrait supposer une variété de l’alternans, si la descrip-
tion ne parlait pas d’une caudale entièrement jaune et de 19
rayons seulement à la dorsale et à l’anale.

Acanthochaetodon asfur Blkr.

Acanthochaet. corpore subrhomboiïdeo, diametro dorso-ventrali
2 et paulo ad 21 in ejus longitudine; latitudine corporis 3 ad 3
et paulo in diametro dorso-venirali; capite obtuso 4% ad 5 fere
in longitudine corporis; linea rostro-frontali rectiuscula; oculis
diametro 3 et paulo ad 3% in longitudine capitis, diametro
1 cire. distantibus; osse praeorbitali oculi diametro non ad
conspicue altiore, leviter ad conspicue denticulato; dentibus
vomerinis sat conspicuis; praeoperculo postice leviter denticulato,
inferne conspicue serrato, angulo spina oculo longiore; sub-
operculo leviter denticulato; interoperculo edentulo; squamis

30 P. BLEEKER. NOTICE SUR LA SOUSFAMILLE DES

capite oculo non armato bene distinguendis, trunco antice superne
praesertim inaequalibus ex parte squamulatis ; seriebus squamarura
trunco transversis sat regularibus, longitudinalibus sat irregu-
laribus supra lineam lateralem lineae dorsali subparallelis lateribus
medio et superne obliquis postrorsum adscendentibus lateribus
inferne subhorizontalibus ; squamis trunco angulum aperturae bran-
chialis superiorem inter et basin pinnae caudalis supra lineam
lateralem in series 50 circ., infra lineam lateralem in series 48
circ. transversas dispositis; squamis 43 circ. in serie horizontal
os scapulare inter et basin pinnae caudalis quarum 20 crc. im
dimidio trunci anteriore; squamis serie transversa 28 ad 30 cire.
spnmam ventralem inter et spinam dorsi 1» et spinam analem
Am inter et lineam dorsalem, 6 vel 7 initium lineae lateralis inter
et spinam dorsi 1m; linea laterali valde conspicua tubulis bifidis
vel trifidis notata; pinna dorsali parte spinosa parte radiosa paulo
tantum longiore spina postica capite absque rostro non breviore ;
dorsali radiosa dorsali spinosa multe altiore, multo altiore quam
longa, valde acuta, radis 4° 5° et 6° juxtapositione unitis valde
productis caudalem multo superantibus; pectoralibus acutis vel
acute rotundatis capite non vel vix brevioribus; ventrahibus acutis
radio 14° plus minusve producto capite longiore, spina mediocri
capite absque rostro longiore ; anali spina 32 capite absque rostro
non vel vix breviore, parte radiosa forma, longitudine et altitudme
dorsali radiosae subaequali; caudali convexa capite breviore ; colore
capite violascente-fusco vel aurantiaco-fusco, trunco violascente-
nigro vel nigro; iride violascente-viridi margine pupillari aurea ;
fascia lateribus lata transversa parum curvata flava vel aurantiaca
superne et medio quam inferne latiore, ab apice spinarum dorsi
6 ad 9 posteriorum vel subposteriorum descendente sub pecto-
ralis dimidio posteriore decurrente et lateribus inferne supra anum
desinente; pinnis, dorsali, anali et ventralibus fusco-violaceis vel
nigricantibus, pectoralibus violascentibus vel aurantiaceis; cauda
postice et pinna caudali flavis.

B. 6. D. 12/20 vel 12/21. P. 9/14 vel 245. V.14/5MA8M9 vel

3/20. C. 1/15/1 et lat. brev.

|

HOLACANTHIFORMES. 31

Syn. Chaetodon asfur Forsk., Descr. anim. p. 61 n. 84 (nec var.);
L. Gm., Syst. nat. ed. 132 p. 1267; BL Schn., Syst. p. 219.
Pomacanthus asfur Lac., Poiss. IV p. 518, 529, 594.
Holacanthus asfur Guv., Règn. an. ed. 12 Il p. 336 ; Rüpp.,
AR NA, fisclit, M:;,p:, 199% tab. 824 fig. 9;
ee Pois, Mi p.,4505.:Günth:, -Gat., Fish, I. p.45:
Klunz., Syn. Fisch. R. M. Verh. z. b. Ges. Wien XX
p. 790 var. d. tant. :
Hab. Mare rubrum.
Longitudo 2? speciminum 140” et 180”.

Rem. L’asfur est une espèce éminemment distincte par le nombre
d'environ 90 rangées transversales d’écailles au-dessus et au-dessous
de la ligne latérale, par les 12 épines de la dorsale et par le prolon-
sement en pointe déliée de l’anale. Sa diagnose est facilitée encore
par la couleur noire ou noir-violet du corps, par la large bande
jaunâtre passant sous la moitié postérieure de la pectorale et par
l'absence de bandelettes nacrées ou bleuâtres tant sur le corps
que sur les nageoires.

Bien que les vrais caractères ne furent pas suffisamment sig-

_nalés, l’espèce fut bien reconnue par Forskaol, Rüppell, Cuvier et
Valenciennes et par M. Günther. Depuis, cependant, M. Klunzinger,
dans son Synopsis der Fische des Rothen Meeres, a cru devoir
réunir, avec l’asfur, plusieurs espèces. Il ne voit dans l’'Holacanthus
striatus Rüpp., l’'Holacanthus lineatus Rüpp. et l'Holacanthus coe-
rulescens Rüpp. que des variétés de l’asfur, et il réunit même
avec l’Holacanthus striatus Rüpp. l'Holacanthus chrysurus CV., ainsi
que les espèces décrites sous les noms d’'Holacanthus semicireulatus
et d’'Holacanthus nicobariensis, qui sont bien distinctes du striatus
et bien valides. £

Toutes ces formes cependant sont fort distinctes de lasfur
et présentent le caractère essentiel d’une formule d’écaillure
fort différente. Dans aucune le nombre des rangées transversales
d'écailles au-dessus de la ligne latérale ne reste au-dessous de

32 P. BLEEKER. NOTICE SUR LA SOUSFAMILLE DES

701) et dans quelques unes il monte même à plus de 80
jusqu'à 90.

J'ai devant moi des individus de l’asfur, du maculosus, du
semicireulatus et du nicobariensis de même taille, et qui prouvent
que les différences existant par rapport à l'écaillure, à la forme
des nageoires et aux détails du système de coloration, ne sont
nullement attribuables à des différences d'âge.

Les Acanthochaetodon striatus, semicirculatus êt nicobariensis,
outre qu'ils ont les écailles beaucoup plus pettes que l’asfur, 13
à 14 épines dorsales et les nageoires dorsale et anale beaucoup
plus obtuses et non prolongées en pointe déliée, ne présentent
jamais la large bande dorso-ventrale jaune qui fait si aisément
reconnaître l’asfur. On ne retrouve une telle bande parmi les
Acanthochaetodon (les Holacanthus passer, tibicen (— leucopleura)
et strigatus sont des Holacanthus proprement dits) que dans l'Ho-
lacanthus maculosus CV., espèce dont la description va suivre ;
mais dans le maculosus, différent au reste sous plusieurs autres
rapports, cette bande est plus grêle, placée plus en arriére,
descend, non des épines dorsales mais de la pointe et du bord
antérieur de la dorsale molle, et passe en arrière de la pointe de
la pectorale. Il ne peut donc pas être question non plus de l'iden-
tité spécifique de l'asfur et du maculosus. Les figures publiées
par Rüppell, l’une sous le nom de lineatus (synonyme du macu-
losus), rendent parfaitement les caractères saillants des deux
espèces.

Acanthochaetodon maculosus Bikr.

Acanthochaet. corpore subrhomboiïdeo ; diametro dorso-ventrali 2
et paulo ad 21 in ejus longitudine, latitudine 3 circ. in diametro

1) La formule des écailles de l'Holacanthus chrysurus CV. n’est pas connue,
mais il est dit expressément de cette espèce, que ses écailles sont plus petites
que celles de l'Holacanthus diacanthus (Hol. dux Lac.) où ies rangées transver-
sales au-dessus de la ligne latérale ne sont qu'au nombre de 50.

HOLACANTHIFORMES. 39

dorso-ventrali; capite obtuso 4et paulo ad 42 in longitudine corporis ;
_ Jinea rostro-frontali rectiuscula; oculis diametro 8 et paulo ad 4in
longitudine capitis, diametro À circ. distantibus; osse praeorbitali
oculi diametro non ad paulo altiore, leviter denticulato; dentibus
vomerinis sat conspicuis; praeoperculo postice et inferne leviter
denticulato, angulo spina oculi diametro non longiore ; suboperculo
et interoperculo vix vel non denticulatis; squamis capite minimis
opercularibus aliquot majoribus exceptis oculo nudo vix distin-
ouendis, trunco antice superne praesertim inaequalibus ex parte
squamulatis; seriebus squamarum trunco transversis et longitu-
dinalibus sat mregularibus; squamis trunco angulum aperturae
branchialis superiorem inter et basin pinnae caudalis supra
lineam lateralem in series 70 ad 795, infra lineam lateralem
in series 68 ad 70 transversas dispositis; squamis 60 cire. in serie
horizontali os scapulare inter et basin pinnae caudalis quarum
28 cire. in dimmidio trunci anterlore; squamis serie transversa
40 cisc. spinam ventralem inter et spinam dorsi 4" et spmam
analem 1 inter et lineam dorsalem, 9 cire. initium lineae lateralis
inter et spinam dorsi 1n; linea laterali bene conspicua tubulis bifidis
nolata; pinna dorsal parte spinosa parte radiosa paulo longiore
spina postica Capite absque rostro non breviore; dorsali radiosa
dorsali spinosa multo altiore , multo altiore quam longa, valde acuta,
radus 3° 4° et 9° juxtapositione unitis valde productis apicem
caudalls non vel vix superantibus; pectoralibus acutis vel acute
rotundatis capite paulo brevioribus; ventralibus acutis radio 4°
plus minusve producto capite longiore, spina mediocri capite
absque rostro longiore ; anali spina 32 capite absque rostro longiore,
parte radiosa dorsali radiosa non breviore sed humiliore angulata
angulo rotundata radis productis nullis 5° et 6° ceteris longioribus ;
caudali convexa capite breviore ; colore corpore profunde aurantiaco
vel aurantiaco-fusco ; iride viridescente margine pupillari aurea ;
squamis operculo et trunco antice majoribus pluribus macula
transversa oblonga vel semilunari nigra vel profunde violascente-
coerulea; fascia tr'ansversa flava curvata convexitate antrorsum
_spectante medio quam superne et inferne latiore ab apice et parte
ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XII. 3

34 P. BLEEKER. NOTICE SUR LA SOUSFAMILLE DES

anteriore dorsalis radiosae descendente post apicem pinnae pec-
toralis decurrente et latere inferne vel basi analis radiosae desinente :
trunco postice jumioribus vittulis pluribus transversis curvatis sub-
parallelis coeruleis dorsalem et analem intrantibus ibique ex parte
in guttulas decompositis: pinnis dorsal, anali et ventralibus fuscis
vel aurantiaco-fuscis, pectoralibus dilute violascentibus vel auran-
tiacis, caudali flava, dorsali et anali coeruleo marginatis.
B.:6. D.19/20 ad 12/29: P. 2/17 0004/5040 8 trelu3 49;
C. 1/145/1 et lat. brev.
Syn. Chaetodon maculosus Forsk., Descr. anim. p. 62 N°. 85;
L. Gm., Syst. nat. ed. 132 p. 1267; BL Schn., Syst. p. 220.
Chaetodon asfur var. coerulescens Forsk., Descr. anim. p. 64 ??
Chaetodon arusa Bonn., Ichthyol. p. 88.
Holacanthus aruset Lac., Poiss. IV p. 528, 535, 537.
Holacanthus coerulescens Rüpp., Atl Reis. N. Afr. Fisch.
R. M. p. 133.
Holacanthus lineatus Rüpp., Ibid. p. 133; N. Wirbelth.
Fisch. p. 32 tab. 10 fig. 1.
Holacanthus maculosus GV., Poiss. VIT p.132; Günth., Cat.
Fish. IT p. 45.
Holacanthus haddaja CN., Poiss. VIT p. 131. var.??
Holacanthus asfur b. var. c. Klunz., Syn. Fisch. R. M,
Verh. z. b. Ges. Wien. XX p. 790.
Hab. Mare rubrum.
Longitudo 3 speciminum 119”, 135” et 138”.

Rem. Le maculosus, comme je l'ai déjà dit, est bien disunct
de l’asfur par la formule de l’écaillure et par la position de la
bande transversale jaune, mais on le reconnaît encore à son anale
non prolongée en pointe aiguë, à la couleur brun-orange du corps
et aux traits bleuâtres et verticaux de la moitié postérieure du
tronc et des nageoires dorsale et anale. JV compte aussi 2 ou 3
rayons de plus à la pectorale que dans lasfur. Je ne vois plus,
sur -les individus décrits, des traits bleuâtres, qui n'existent pro-
bablement que dans les jeunes.

SR Re a

HOLACANTHIFORMES. 39

Il reste incertain si le Chaetodon asfur var. coerulescens de
Forskaol, est de l'espèce actuelle. Les phrases: ,,coerulescens,
lituris et faseüs obliquis, limeolis violaceis” ne sont pas de nature
a faire reconnaître le maculosus. C’est plutôt l’espèce décrite sous
le nom d'Holacanthus mokhella Ehr. (CV., Poiss. VIT p. 133),
espèce encore douteuse, qui combine, avec la couleur du fond et
avec la direction des bandelettes bleuâtres ou nacrées du semi-
eweulatus ou du nicobariensis, une bande jaune descendant de la
pointe de la dorsale jusqu'à moitié du corps, et qui est dite en
outre avoir la dorsale à pointe aiguë et le bout de la queue et
la caudale jaunes. On ne connait au-reste ni l’écaillure ni la
formule des nageoires du mokhella, n1 la taille de l'individu ou
des individus qui ont servi à la description.

Chaetodontoplus septentrionalis Blkr.

Chaetodontopl. corpore ovali, diametro dorso-ventrali 2% ad
24 in ejus longitudine: latitudime corporis 3 fere in diametro dorso-
ventrali; capite valde obtuso 9 cire. in longitudine corporis;
linea rostro-frontali rectiuscula; oculis diametro 3% circ. in lon-
gitudine capitis, plus diametro 1 distantibus; osse praeorbitali
oculi diametro non vel vix humiliore vix denticulato; dentibus
vomerinis parum conspicuis; praeoperculo postice denticulato
Inferne edentulo, angulo spina oculo non breviore; suboperculo
et interoperculo margine libero scabriusculis; squamis capite
minimis oculo nudo vix distinguendis, trunco non squamulatis ;
seriebus squamarum trunco longitudinalibus et transversis sat
irregularibus ; squamis trunco angulum aperturae branchialis supe-
riorem inter et basin pinnae caudalis supra lineam lateralem
in series 140 circ., infra lineam lateralem in series 135 circiter
transversas dispositis; squamis 1920 circ. in serie horizontali os
scapulare inter et basin pinnae caudalis quarum 60 cire. in
dimidio trunci anteriore; squamis serie transversa 85 circ. spinam
ventralem inter et spmam dorsi anteriorem, 25 circ. initium lineae
lateralis inter et spinam dorsi 1m; lJinea laterali trunco antice

3*

30 P. BLEEKER. NOTICE SUR LA SOUSFAMILLE DES

bene conspicua poris distantibus notata, trunco postice caudaque
VIX Conspicua; pinna dorsali spinosa spinis postrorsum parum
accrescentibus posterioribus subaequilongis capite absque rostro
brevioribus; dorsal radiosa longitudine 1% cire. in longitudme
dorsalis spinosae eaque paulo altiore obtuse rotundata ; pectoralibus
obtusiuscule rotundatis capite paulo brevioribus ; ventralibus acutis
radio 1° plus minusve producto capite longiore spina valida capite
absque rostro non longiore; anali spina posteriore capite absque
rostro breviore, parte radiosa dorsali radiosa non breviore sed
paulo humiliore, obtuse rotundata; caudali convexa capite paulo
breviore ; colore corpore pinnisque dorsali et anali aurantiaco-rubro ;
iride coerulescente margine orbitali fusca margine pupillari aurea ;
vitüis imparibus coeruleis linea mediana rostro-frontali et gulo-
ventrali; vittis coeruleis violascente vel migricante limbatis, capite
iregulariter undulatis ex parte confluentibus, trunco longitudi-
nalibus 10 vel 11 plus minusve obliquis et undulatis subaequi-
distantibus, superioribus pinnam dorsalem intrantibus, mediis basin
pinnae caudalis attingentibus, inferioribus pinnam analem intran-
tüibus; pinnis dorsali et anali violascente vel migricante marginatis
vittis longitudinalibus 2 ad 9 coeruleis ex parte confluentibus ;
pinnis pectoralibus, ventralibus caudalique pulchre aurantiacis,
pectoralibus bast macula magna rotunda fusca coeruleo annulata,
caudali postice fusco leviter marginata.
B.:6.:D. 13/19. P.:2/16. V: 4/5.:A8 1800 4/AmenAAbEer
Syn. Holacanthus septentrionalis Schl., Faun. Jap. Poiss. p. 82
tab. 44 fig 2: -Blkr, ‘Act: Soc. ScMIndANeerL'VIl.
Lesde bijdr. vischf. Japan p. 78; Günth., Cat. Fish. II
p. 92. (nec Rich. Icon Reev.?)
Hab. Kiusiu (Nagasaki) ; in mari.
Longitudo speciminis descripti 177.

Rem. Le Chaetodontoplus septentrionalis est éminemment carac-
térisé. par les écailles, qui sont plus nombreuses que dans aucune
des autres espèces du genre, et par les bandelettes bleues longi-
tudinales du tronc et des nageoires dorsale et anale.

HOLACANTHIFORMES. Où

L'espèce n’est positivement connue que du Japon. Richardson
la cite bien aussi de Chine, d’après un dessin de Reeves, mais
il se pourrait que ce dessin ne représentàät qu'un Acanthochae-
todon annularis, espèce qui offre un système de coloration du tronc
analogue, et où la région suroperculaire porte un anneau bleu,
dont Richardson parle dans sa description (Rep. ichth. Chin. m
Rep. 15h meet. Brit. Assoc. p. 246), mais qui n'existe pas dans
le septentrionalis. Si cette supposition venait à se vérifier, l'espèce
actuelle devrait être rayée des Catalogues des poissons de Chine
et y être remplacée par l’annularis.

La Haye, Février 1876.

NOTICE

SUR LES

ESPÈCES NOMINALES DE

POMACENTROIÏDES

DE L'INDE ARCHIPÉLAGIQUE,

PAR

P. BLEEKER.

La révision de plus de deux mille individus de Pomacentroides
de l’Inde archipélagique, qui font partie de mes collections, m'a :
fait mieux connaitre les nombreuses espèces de ces parages. Je
suis à même maintenant de les mieux définir et d’en dresser plus
exactement la synonymie. Beaucoup d'espèces, estimées inédites
par les auteurs, y compris moi-même, étant prouvées n'être que
nominales, doivent être supprimées et ne pourront figurer désormais
dans la science que comme de simples synonymes.

L'erreur d’avoir confondu tant d'espèces était difficile à éviter.
Tant qu'on ne peut étudier d’une espèce donnée qu'un seul ou
que quelques individus, qui ne représentent qu'un même âge ou
un même sexe, 1l doit arriver, vu les grandes différences qui
s’observent souvent entre les jeunes et les adultes, les mâles et
les femelles, qu'on croie avoir affaire à des espèces là où il n°y
a que des différences individuelles, d’âge ou de sexe.

Heureusement les méprises de cette sorte, tout inévitables qu'elles’
soient, ne nuisent pas à la science. C’est aux recherches ultérieures
à les corriger et à démontrer le plus ou moins de valeur des
espèces censées inédites. Les doubles emplois, dont, par exemple,
fourmille encore la grande Histoire naturelle des Poissons, auront
toujours le mérite d’avoir fixé l'attention sur les formes et les

P. BLEEKER. NOTICE SUR LES ESPÈCES, ETC. 39

\ couleurs différentes sous lesquelles se présente une même espèce,
et la science en a plus profité que de lentassement souvent peu
fondé de synonymes, en usage parrmi les ichthyologistes des épo-
ques antérieures.

_ Je n'indique ici que les espèces dont il est fait double emploi
par les ichthyologistes modernes. Les synonymes ajoutés, s’ils sont
Justes, ce dont je ne doute point, prouvent que quelques espèces
ont même été quadruplées, quintuplées et sextuplées. |

Prochilus ephippium Blkr — Amphiprion ephippium BL Schn. —
Amphiprion tricolor Günth.

» polymnus Blkr — Amphiprion polymnus BL Schn. —
Ampb. xanthurus, chrysopterus, Clark CV. = Amph.
boholensis Cart.

) bifasciatus Blkr — Amphiprion bifasciatus BL Schn. —

Amph. laticlavius, trifasciatus CV. — Amph. interme-
dius Schl. Müll.
) percula Blkr — Amphiprion percula, tunicatus, ocellatus,

melanurus CV.
Pomacentrus (Pomacentrus) pavo Lac.—Pomacentrus pavoninus Blkr.

) ( ) ) taemiurus Blkr = Glyphisodon amboi-
nensis.
) (Pseudopomacentrus) lttoralis Blkr — Pomacentrus
littoralis K. V. H. — Pom. hogoleuensis
Hombr. Jacq.
» ( » )trilimeatus Blkr — Pomacentrus
trilhneatus Ehr. — Pom. tripunctatus, emarginatus,

vanicolensis, chrysurus GV. = Pristotis fuscus Blkr
— Pom. katunko, bankanensis, taeniomometopon,
simsiang Blkr — Pom. punctato-lineatus Cart.
Parapomacentrus Bankieri Blkr — Glyphisodon Bankieri Rich. —
Glyphisodon nemurus Blkr.
Amblypomacentrus breviceps Blkr. = Glyphisodon breviceps Schl.
Müll. = Pristotis trifasciatus et Pomacentrus nema-
topterus Blkr.

-

A0 P. BLEEKER. NOTICE SUR LES ESPÈCES

Eupomacentrus (Eupomacentrus) lividus Blkr — Pomacentrus
scolopseus, punctatus QG. — Pom. pristiger,
taeniops CV. = Pom. prosoptotaenioides et cva-
nospilos Blkr. | é

) (Brachypomacentrus) albifasciatus Blkr — Poma-
centrus albifasciatus Schlee. Muüll — Pomac.

leucopleura Blkr.
Dischistodus trimaculatus Blkr — Pomacentrus trimaculatus, per-
spicillatus CV.

» prosopotaenia Blkr — Pomacentrus prosopotaenia Blkr
— Por. interorbitalis Günth.

» notophthalmus Bikr — Pomacentrus notophthalmus,
melanotus Blkr — Pom. Montrouzieri Thioll.

» chrysopoëcilus Blkr — Pomacentrus chrysopoëcilus
K. V. H. — Pom. notostigmus Rich.

) annulatus Blkr — Pomacentrus annulatus Pet. —

Glyphidodon Westermani Blkr.
Glyphidodon (Glyphidodon) bengalensis GV. = Glyph. affinis Günth.
) ( » ) coelestinus CV. — Glyph. waigiensis
QG. — Glyph. rahti CV. = Glyph.
quadrifasciatus Blkr.
) (Amblyelvphidodon) trifasciatus Blkr — Glyphisodon
curassa0 CV. = Glyph. trifasciatus Blkr
— Glyph. smaragdinus Brev.

» ( » ) ternatensis Blkr = Glyph. terna-
tensis, Schlegeli Blkr.
» (Stegastes) lacrymatus Blkr = Giyph. lacrymatus QG.
= Glyph. nivosus Hombr. Jacq.
( _» ) leucozona Blkr — Glyph. leucozona Blkr —

Glyph. florulentus Günth. = Glypb. cin-
oulum Klunz.
) @ _» ) Dicki Blkr — Glyph. Dickn Lién. = Glyph.
unifasciatus Kner Stnd.
Paraglyphidodon melas Blkr — Glyphidodon melas K. V. H —
Glyph. ater Ehr.

NOMINALES DE POMACENTROÏDES, ETC. 41

Glyphidodontops modestus Blkr = Glyphidodon modestus Schl. Müll.
— Glyph. phaiosoma Blkr.

» uniocellatus Blkr — Glyphisodon uniocellatus QG.
— Glyph. assimilis Günth.

» antjerius Blkr = Glyphisodon antjerius K. V. H. —
Glyph. biocellatus, Brownrigg CV.

) albofasciatus Blkr — Glyphisodon albofasciatus

Hombr. Jacq. — Glyph. xanthozona Blkr —
Glyph. taenioruptus Cart.

» zonatus Blkr = Glyphisodon zonatus CV. = Glyph.
Rossi Blkr — Glyphidodon cingulatus, albo-
cinctus Kner.

» unimaculatus Blkr — Glyphisodon unimaculatus
CV. = Glyph. balinensis Blkr — Glyph. dispar
Günth.

Tetradrachmum trimaculatum Blkr — Dascyllus trimaculatus CV. —
| Dascyllus niger Blkr.

) reticulatum Blkr — Heliases reticulatus Rich. =
Dascyllus xanthosoma Blkr.
Ghromis cinerascens Blkr — Heliases cinerascens CV. — Glyphi-

sodon angulutus Blkr.
) analis Blkr = Heliases analis CV. = Helias. macrochir Blkr.
> lepisurus Blkr — Heliases lepisurus CV. — Glyphisodon
bandanensis Blkr. — Hel. frenatus, coeruleus Blkr (an
EBUON) 71

Les noms génériques à la tête des synonymes sont ceux adoptés
et proposés dans mon Mémoire sur les Pomacentroides de lInde
archipélagique. (sous presse).

Réduction faite des espèces nominales, il ne reste des espèces
enregistrées Jusqu'ici comme insulindiennes et au nombre d'environ
une centaine, que 82 ou 83. À l'exception de deux des Philip-
pines, qui ne font pas partie de mes collections, toutes ces espèces
sont figurées sur les planches des 34e et 35e livraisons de l'Atlas

ichthyologique des Indes orientales Néerlandaises.
La Haye, Novembre 1876.

RÉVISION

DES ESPÈCES DE

PEMPHERIS
DE L'INDE ARCHIPÉIAGIQUE,

PAR

P. BLEEKER.

Les espèces de Pempheris sont assez difficiles à bien caracté-
riser et leur connaissance laisse encore beaucoup à désirer. Faute
d'avoir reconnu quelques caractères spécifiques très essentiels,
Cuvier et Valenciennes n'ont que fort insuffisamment établi les
espèces qu'ils ont cru devoir adopter, et leurs successeurs se
sont trouvés embarrassés à rapporter les Pemphérides qu'ils ont
pu observer à leurs véritables espèces. Aussi leur synonymie est
dévenue de plus en plus embrouillée et on a fini par supprimer
plusieurs espèces, non pas parce qu'elles n'existent pas dans la
nature, mais tout simplement parce qu'on he savait plus les dis-
tinguer suffisamment de leurs congénères. C'est amsi que les
Pempheris oualensis, otaitensis, vanicolensis et nesogallica CV. ont
été réunis avec le Pempheris mangula et que quelques espèces
anciennes des auteurs modernes ne sont pas celles qu'on a cru
observer.

Bien qu'il reste difficile de bien fixer la synonymie des Pem-
phérides tant qu'on ne possède pas une connaissance plus exacte
des individus types des espèces Cuviériennes, je crois avoir reconnu
plusieurs espèces jusqu'ici confondues entre elles, et en pouvoir
mieux établir la diagnose.

P. BLEEKER. RÉVISION DES ESPÈCES DE PEMPHERIS, ETC. 43

Les caractères employés jusqu'ici pour distinguer les espèces
de Pempheris n'ont pas été tous heureusement choisis. Leur
physionomie ne présente pas de différences palpables. La hauteur
relative du corps est la même dans presque toutes les espèces
et différe avec l’âge ou le sexe des individus. Les différences que
présente le rétrécissement du tronc en arrière de l’origine de
anale ne sauraient pas s'exprimer par des formules rigoureuses.
L’écaillure dans les six espèces que j'ai devant moi, présente à
peu près une même formule, mais il est souvent difficile ou
impossible de bien compter les écailles, à cause des squamules
dont leur partie libre est plus ou moins densément couverte, et
qui font paraître les écailles cutanées plus nombreuses. Quelque-
fois aussi les écailles cutanées de la région dorsale sont irrégu-
hèrement développées, atrophiées ou même en partie remplacées
par les squamules, en sorte qu'on n'en peut plus exactement
compter les rangées. Les couleurs aussi ne présentent que des
caractères d’une valeur secondaire. Celles du corps sont les mêmes
pour toutes les espèces et les taches ou bordures brunes ou noirâtres
des nageoires, constantes peut-être dans quelques espèces, ne le
sont probablement pas dans d’autres. La formule de l’anale n’in-
dique pas non plus des caractères réels, le nombre des rayons
variant notablement dans les individus d’une même espèce. La
forme de la caudale, enfin, ne diffère dans les espêces que par un
peu plus ou moins de convexité du milieu de son bord postérieur.

Je trouve de bons caractères spécifiques dans la dentition, dans
les proportions de la longueur et de la hauteur de la tête et dans
la longueur relative de la mâchoire supérieure. Ceux que présente
l’écaillure et les taches ou bordures des nageoires et le profil
rostro-frontal peuvent facihiter la diagnose.

Les écailles sûpramaxillaires et la petite épine de l'angle préoper-
culaire, présentes dans toutes les espèces insulindiennes, sont pro-
bablement des caractères génériques. Dans toutes mes espèces .
aussi la ligne latérale se continue jusqu'au bord postérieur de la
caudale.

LA P. BLEEKER. RÉVISION DES ESPÈCES DE PEMPHERIS

I. Dents intermaxillaires et mandibulaires de la rangée externe plus fortes que
les autres, les intermaxillaires dirigées en partie en haut, les mandibulaires
dirigées en partie en avant. Tête plus haute que longue. Environ 55 écailles
dans la ligne latérale jusqu'à la caudale,

1. Tête 4 à 4% fois dans la longueur totale. Profil rostro-frontal droit.
Mâchoire supérieure 174 fois dans la longueur de la tête, s’arrêétant sous
la partie postérieure de la pupille. Dorsale à bordure antérieure brunâtre.
Pectorale sans tache basale brune.

1. Pempheris mangula CN.

2. Tête 5 fois dans la longueur totale. Profil rostro-frontal convexe. Mächoire
supérieure 2 fois dans la longueur de la tête, s’arrêtant sous la partie
antérieure de la pupille. Dorsale à tache apicale et pectorale à tache
basale brunes.

2. Pempheris oualensis CNW.

JL Dents mandibulaires de la rangée externe pas plus fortes que les autres et
non dirigées en avant. Dents intermaxillaires de la rangée externe non

dirigées en haut. |
1. Tête plus haute que longue. Environ 55 écailles dans la ligne latérale.
Profil frontal non concave. Dents intermaxillaires et mandibulaires bien
développées, les intermaxillaires de la rangée externe plus fortes que

Wlésl''autres.
a. Tête 4% à 4% fois dans la longueur totale. Mâchoire supérieure
173 à 2 fois dans la longueur de la tête. Dorsale à tache apicale
brune. Pectorale sans tache brune.

3. Pempheris vanicolensis CV.

b. Tête 43{ fois dans la longueur totale, presque pas plus haute que longue.
Dorsale à bordure antérieure, pectorale à tache basale brunes. Mâchoire
supérieure 2 fois dans la longueur de la tête. D. 6/9. A. 3/42.

4. Pempheris adustus Blkr.

c. Tête 5 fois dans la longueur totale, notablement plus haute que longue.
Dorsale à bordure antérieure, pectorale à tache basale brunes. Mâchoire

DE L'INDE ARCHIPÉLAGIQUE. 45

supérieure 1% fois dans la longueur de la tête. D. 6/10 ou 6/11. À. 3/39.

5. Pempheris otaitensis CN.

2. Tête plus longue que haute, à profil frontal concave, moins de 5 fois
dans la longueur totale. Environ 45 écailles dans la ligne latérale. Dents
intermaxillaires et mandibulaires rudimentaires peu visibles, les inter-
maxillaires de la rangée externe pas plus grandes que les autres.

6. Pempheris Schwenki Blkr:

Pempheris mangula GV., Poiss. VIT p. 228; Blkr, Verh. Bat.
Gen. XXIII, Chaet. p. 30 (nec syn. ex parte); Günth., Cat.
Fish. IT pag. 509 (nec Fisch. Südsee p. 108); Klunz.,
Syn. Fisch. R. M., Verh. z0ol. bot. Ges. Wien XXI p. 469
ex parte (nec Day). —- Atl. Ichth. tab. 383 fig. 2.

Pemph. corpore oblongo compresso, diametro dorso-ventrali
2% ad 3 in ejus longitudine; latitudine corporis 21 ad 22 in
diametro dorso-ventrali; capite 4 et paulo ad #% in longitudine
corporis, altiore quam longo; linea rostro-frontali rectiuscula ;
oculis diametro 2 et paulo in longitudine capitis, diametro À cire.
distantibus; maxilla superiore, ore clauso, maxilla inferiore paulo
breviore 1? circ. in longitudine capitis, sub pupilla desinente ;
dentibus maxillis serie externa antice ceteris fortioribus conicis
curvatis, intermaxillaribus ex parte sursum mandibularibus ex
parte antrorsum directis;, praeoperculo spina angulari deorsum
spectante; regione gulo-ventrali inferne antice acutiuscule carinata
postice plana triangulari; squamis trunco inaequalibus, lateribus
medus ceteris majoribus, dorsalibus mediüs et lateribus anterioribus
plus minusve squamulatis; squamis trunco 55 circ. in linea lateral,
45 circ. in serie longitudinal angulum operculi inter et basin
pinnae caudalis; pinna dorsali multo altiore quam longa dia-
metro dorso-ventrali multo minus duplo humiliore, basi 5 ad 3

AG P. BLEEKER. RÉVISION DES ESPÈCES DE PEMPHERIS

paulo in longitudine pinnae analis: pinnis pectoralibus capite non
ad vix longioribus; ventralibus capite duplo ad minus duplo brevi-
oribus ; caudali extensa vix marginata capite non ad vix longiore :
anali leviter emarginata basi 2 circ. im longitudine corporis absque
pinna caudali; colore corpore superne fuscescente-aureo, inferne
dilutiore vel aureo-argenteo, frequenter fusco plus minusve dense
arenato ; iride flavescente-rosea; pinnis roseis, dorsali antice fusca ;
pectoralibus basi macula fusca nulla; anali inferne et caudali
postice interdum fusco marginatis.
B.7. D.6/9. P.2/16. V.1/5. A. 3/38 ad 3/40. C. 1/15/1 et lat. brew.
Syn. Mangula kutti Russ., Fish. Corom. IF p. 10 fig. 111.
Kurtus macrolepidotus BI. Schn., Syst. p. 1647?
Pempheris moluca CV., Poiss. VII p. 228; Val., Règn. an.
ed. ill. Poiss. tab. 44 fig. 2; Schl., Faun. Jap. Poiss.
p. 80 tab. 44 fig. 3; Cant., Cat. Mal. Fish. p. 175;
Günth., Cat. Fish. IT p. 509; Day, Fish. Malab. p. 108:
Fish. India p. 175 tab. 42 fig. 2.
Pempheris malabarica CV., Poiss. VII p. 229?
Tkan Batu Mal.
Hab. Pinang, Singapura ; Java (Batavia); Celebes (Manado); Timor
(Kupang); Halmahera (Sahu); Amboina; in mari.
Longitudo 6 speciminum 150” ad 150”.

Rem. Le Pempheris mangula est bien caractérisé par les fortes
dents du devant des mâchoires, par la grande tête dont la lon-
oueur ne mesure que 4 fois Jusqu'à 41 fois dans la longueur totale,
par son profil droit, par la longueur de la mächoire supérieure,
par la bordure antérieure brune de la dorsale et par l'absence
de tache basale noirâtre à la pectorale.

L'espèce n’est pas commune dans les mers insulindiennes et
paraît habiter, hors l'Inde archipélagique, la Mer rouge, les côtes
de Zanzibar, de l'Inde continentale, de Chine et de Kiousiou (Japon).
Sa présence dans les mers polynésiennes n'a pas encore été posi-
tivement démontrée.

DE L'INDE ARCHIPÉLAGIQUE. 417

Pempheris oualensis CV., Poiss. VIT p. 223; Blkr, Bidr. ichth.
Banda, Nat. T. Ned. Ind. IT p. 242 (ex parte). — Aït.
Ichth. tab. 383 fig. 5. |

Pemph. corpore oblongo compresso, diametro dorso-ventrali 3
crc. in ejus longitudine; latitudine corporis 22 circ. in diametro
dorso-ventrali; capite 9 circ. in longitudine corporis, paulo altiore
quam longo; linea rostro-frontali convexa; oculis diametro 2 et
paulo in longitudine capitis, diametro ? ad © distantibus; maxilla
superiore, ore clauso, maxilla inferiore paulo breviore, 2 in lon-
oitudine capitis, sub pupillae parte anteriore desimente; dentibus
maxillis bene conspicuis intermaxillaribus serie externa ceteris
fortioribus plus minusve sursum et antrorsum directis, mandibu-
laribus serie externa antice tantum ceteris fortioribus antrorsum
directis; praeoperculo angulo spina deorsum spectante; regione
oulo-ventrali inferne antice obtusiuscule carinata postice plana
trigona; squamis trunco 99 circ. in linea lateral, 45 crc. im
serie longitudinali angulum operculi inter et basin pmnae caudalis,
lateralibus medns ceteris majoribus, dorsalbus lateralibusque
plurimis squamulatis ; pinna dorsal altitudine 1? cire. in dianetro
dorso-ventrali, longitudine 34 circ. in longitudine pinnae analis ;
pectoralibus capite paulo longioribus; ventralibus capite minus
duplo brevioribus; anali longitudine minus quam 2 in longitudme
corporis absque pinna caudali; caudali extensa medio postice
convexiuscula capite non breviore; corpore superne fuscescente-
aureo inferne dilutiore, fuscescente plus minusve arenato; 1iride
flavescente-aurea marginem orbitalem versus fuscescente; pinnis
roseis; dorsali apice, pectoralibus basi macula fusca ; caudali postice
sat late fusco marginata.

MED 6/9 %vel6/10. P. 2/16: V1/5. À. 3739: ad 5745.
C. 1/15/1 et lat. brev.
Syn. Pempheris otaitensis Kner, Zool. Reis. Novara, Fisch. p. 171
(nec CV.).
Hab. Java (Batavia) ; Celebes (Manado , Tombariri) ; Timor (Kupang) ;
Halmahera (Sindangole); Amboina; in mari.

48 P. BLEEKER. RÉVISION DES ESPÈCES DE PEMPHERIS

Longitudo 4 speciminum 150” ad 171”.

Rem. Par la dentition l'espèce actuelle est fort voisine du Pem-
pheris mangula, mais elle est distincte par son profil convexe,
par sa tête qui est notablement plus petite, et par la tache foncée
sur la base de la pectorale. Je la crois identique avec l’oualensis
CV., surtout parce qu'il est dit, dans l’article du Pempheris otai-
tensis CV., que dans celui-ci les dents des mâchoires sont plus
fines à proportion que dans l’oualensis.

L'espèce n'est positivement connue, hors l’Insulinde, que des
côtes d’Oualan.

Pempheris vanicolensis CV., Poiss. VIT p. 227. — Ati. Ichth.
tab. 383 fig. 6.

Pemph. corpore oblongo compresso, diametro dorso-ventrali
2% ad 3 in eus longitudine; latitudine corporis 2% ad 2% im
diametro dorso-ventrali; capite 4% ad 4% in longitudine corporis,
altiore quam longo; linea rostro-frontali rectiuscula vel convexi-
uscula; oculis diametro 2 ad 2 et paulo in longitudine capitis,
diametro % cire. distantibus ; maxilla superiore , ore clauso, maxilla
inferiore paulo breviore, L ad 13/ in longitudine capitis, sub
pupilla desinente; dentibus maxillis minimis, intermaxillaribus serie
externa ceteris paulo longioribus non sursum directis, mandibu-
laribus serie externa ceteris non longioribus nec antrorsum directis ;
praeoperculo angulo spina deorsum spectante ; regione gulo-ven-
trali antice acutiuscule vel obtusiuscule carinata postice plana
trigona; squamis trunco inaequalibus, 55 circ. in linea lateral,
45 circ. in serie longitudinal angulum operculi inter et basin
pinnae caudalis, lateralibus mediis ceteris majoribus, dorsalibus
et lateralibus medus plus minusve squamulatis; pinna dorsal
altitudine 1>; ad 13% in diametro dorso-ventrali, longitudine 3 ad
3 et paulo in longitudine pinnae analis; pectoralibus capite non
ad vix longioribus; ventralibus capite minus duplo brevioribus ;
anali longitudine 2 fere ad 2 in longitudine corporis absque pinna

DE L'INDE ARCHIPÉLAGIQUE. 29

caudali; caudahi extensa medio non convexa capite non ad vix brevi-
ore; colore corpore superne fuscescente-aureo, inferne dilutiore vel
aureo-argenteo, fuscescente plus minusve arenato; iride roseo-
flavescente; pinnis roseis; dorsali apice fusca; pectoralibus basi
imacula fusca nulla; anal inferne frequenter fusco marginata;
caudali margine posteriore fusca.

2 D 6j9 vel 6/10. P. 2/16 vel 217. V. 4/5. À. 3/39 ad 3/45.
GC. 15/1 et lat. brev.

Syn. Stompkop Ruysch, Coll. nov. pisc. Amb. p. 18 tab. 40 fig. 4
Toutetou-mamel Ren., Poiss. Mol. I tab. 15 fig. 85.
Toetetoe Valent., Amb. fig. 46.

Pempheris nesogallica CV., Poiss. VIT p. 2987? |

Pempheris moluca Blkr, Verh. Bat. Gen. XXII Chaet. p. 30
descr. et synon. ex parte.

Pempheris mangula Kner, Zool. Reis. Novara Fisch. p. 471
(nec CV.).

Tkan Batu Mal.

Hab. Smgapura; Java (Batavia) ; Celebes (Macassar) ; Sangi ; Timor
Kupang); Ternata; Amboina; in mari.

D uno 94 speciminum 110" ad 180”.

Rem. Le Pempheris actuel et ceux dont la description va suivre
se distinguent des Pempheris mangula et oualensis CV par les
petites dents des mächoires, où il ne s’en trouve pas, dans la
rangée externe de coniques plus fortes dirigées en haut ou
en avant.

Le Pempheris vanicolensis est facile à distinguer par la com-
bimaison des caractères d’une tête plus haute que longue et dont la
longueur ne mesure que 417 jusqu'à 4% fois dans la longueur
totale, d’une mâchoire supérieure moins du double plus courte
que la tête, d’une tache brune ou noire au sommet de la
dorsale, et de l'absence de tache foncée à la base de la
pectorale.

ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XIL. | 4

LA

50 P. BLEEKER. RÉVISION DES ESPÈCES DE PEMPHERIS

L'espèce est la plus commune du genre dans l’Insulinde. Hors
l'Inde archipélagique elle est connue habiter les côtes de Vamicolo.
Si le Pempheris nesogallica CV. n’en est pas distinct, elle habite aussi
les mers de l'ile Maurice.

Pempheris adustus Blkr. — Al. Ichth. tab. 383 fig. 1.

Pemph. corpore oblongo compresso, diametro dorso-ventrali 3
circ. In ejus longitudine; latitudine corporis 21 circ. in diametro
dorso-ventrali; capite 4° circ. in longitudine corporis, paulo altiore
quam longo; linea rostro-frontali convexiuscula; oculis diametro
2 et paulo in longitudine capitis, diametro 2 circ. distantibus :
maxilla superiore, ore clauso, maxilla inferiore paulo breviore,
2 fere in longitudine capitis, sub pupillae parte anteriore desi-
nente; dentibus maxillis parvis intermaxillaribus serie externa ceteris
paulo longioribus non sursum directis, mandibularibus serie externa
ceteris non longioribus nec antrorsum directis; praeoperculo angulo
spinula deorsum spectante; regione gulo-ventrali antice obtuse
carinata posice plana; squamis trunco inaequalibus, 90 circ. in
linea lateral, 40 circ. in serie longitudiuall angulum operculi
inter et basin pinnae caudalis, squamis medus lateribus ceteris
majoribus, lateralibus superioribus dorsalibusque ex parie squa-
mulatis; pinna dorsal altitudine 15 cire. in diametro dorso-ventrali ,
longitudine 3 et paulo in longitudine pinnae analis; pectoralibus
capite paulo longioribus ; ventralibus capite duplo fere brevioribus ;
anali 2 circ. in longitudine corporis absque pinna caudali; caudali
extensa vIx emarginata Capite non vel vix longiore; colore corpore
superne fuscescente-aureo, inferne dilutiore, plus minusve dense
fusco arenato; iride inargine pupillari aurea margine orbital fusca ;
regione postoculari et operculo postice fuscis; pinnis roseis; dor-
sah antice late fusco marginata; pectoralibus basi macula nigra
vel fusca; ventralibus, anali caudalique dimidio basali fusces-
centibus.

=

DE L'INDE ARCHIPÉLAGIQUE. 51

B. 7. D. 6/9. P. 2/16. V. 1/5. À. 3/42. C. 1/14(15)/1 et lat. brev.

Syn. Pempheris mangula Günth., Fisch. Südsee p. 102 tab. 59
fig. B (nec alus locis).

Hab. Amboina, in mari.

Longitudo speciminis unici 167”.

Rem. Je crois reconnaitre l'espèce actuelle dans la figure de
M. Garrett citée ci-dessus, figure dont M. Günther dit à juste
titre que lécaillure du corps est inexactement rendue, et qui est
est fautive aussi par rapport à l’écaillure des mâchoires et des
nageoires et à la ligne latérale, ligne qui dans toutes les espèces se
continue jusqu'au bord postérieur de la caudale.

L'espèce tient le milieu, par ses affinités, entre les Pempheris

vanicolensis et otaitensis, et se distingue par sa petite tête, par
Ja brièveté de la mâchoire supérieure et par la couleur foncée
de la base des ventrales, de l’anale et de la caudale.

Si le rapprochement que je viens de faire est exact, l'espèce
habite aussi les côtes des iles Kingsmill, ou M. Garrett en vit de
nombreux individus.

Pempheris otaitensis CV., Poiss. VIT p. 226; Less., Zool. Voy.
Coq. Poiss. p. 167; Blkr, Bijdr. ichth. Banda, Nat. T.
Ned. Ind. Il p. 242 (ex parte); Günth., Cat. Fish. Il
p. 167 (nec syn.) — Atl. Ichth. tab. 383 fig. 1.

Pemph. corpore oblongo compresso, diametro dorso-ventrali
3 circ. in ejus longitudine; latitudine corporis 22 ad 3 fere in
diametro dorso-ventrali; capite 5 circ. in longitudine capitis, sat
multo altiore quam longo; linea rostro-frontali convexiuscula ;
oeulis diametro 2 et paulo in longitudine capitis , diametro 2 ad ?
distantibus; maxilla superiore, ore clauso, maxilla inferiore vix
. breviore, 12 circ. in longitudine capitis, sub posteriore pupillae
parte desinente; dentibus maxillis parvis, intermaxillaribus serie

4%

59 P. BLEEKER. RÉVISION DES ESPÈCES DE PEMPHERIS

externa ceteris paulo longioribus non sursum spectantibus, man-
dibularibus serie externa ceteris non Iongioribus nec antrorsum
directis; praeoperculo angulo spinula deorsum spectante; squamis
trunco inaequalibus, 55 circ. in linea laterali, 45 cire. in serie
longitudinal angulum operculi inter et basin pinnae caudalis ;
squamis medus lateribus ceteris majoribus, dorsalibus et lateralibus
plus minusve squamulatis; regione gulo-ventrali inferne antice
obtuse carinata postice plana; pinna dorsali altitudine 12 ad 12
in diametro dorso-ventrali, longitudine 3 circ. in longitudine
pinnae analis; pinnis pectoralibus capite non ad vix longioribus ;
ventralibus capite minus duplo brevioribus ; anali longitudine 2 fere
in longitudine corporis absque pinna caudali; caudali extensa
medio postice non vel vix emarginata capite non vel vix longiore ;
colore corpore superne fuscescente-aureo, inferne dilutiore vel
aureo-argenteo, fuscescente plus minusve arenato; iride roseo-
flavescente; pinnis rosels; dorsali antice fusca ; pectoralibus basi
macula fusca; anali basi profundiore, antice fuscescente.

6: 7: D. 6/10 vel 6/14," 12/15. 0 OP ES TD
C. 1/15/1 et lat. brev.

Syn. Pempheris taitensis CV., Poiss. VIT tab. 191.

Hab. Amboina; Banda (Neira), in mari.

Longitudo speciminis unici 181”.

Rem. Le Pempheris otaitensis ressemble beaucoup au Pempheris
oualensis par les formes et il a la tache basale de la pectorale
aussi marquée, mais il est nettement distinct par l'absence de
dents externes coniques et plus fortes dirigées en haut ou en
avant, toutes les dents de la rangée externe étant fort petites
et courbées en arrière. Sa place naturelle est près des Pempheris
vanicolensis et adustus, mais il se fait reconnaître par sa tête
plus petite. Il a la bordure antérieure de la dorsale et la tache
basale de la pectorale comme l’adustus, mais en difière par la
mâchoire supérieure, qui est plus longue, et par un rayon de plus

LA

DE L'INDE ARCHIPÉLAGIQUE. GR

à la dorsale. L'absence de taches foncées operculaires et de
couleur brune à la base des venirales et de la caudale pourrait
bien aussi être indicative d’une différence spécifique.

L'espèce n’est positivement connue habiter, hors l’Insulinde,
que les côtes d’Otaiti.

Pempheris Schwenki Blkr, Bijdr. ichth. Batoe, Ned. T. Ned. Ind.
VIIT p. 514; Günth., Cat. Fish. IT p. 510. — Al. Ichth.
pe 98 110. 9. |

Permph. corpore oblongo compresso, diametro dorso-ventrali
3 fere in ejus longitudine; latitudine corporis 24 circ. m diametro
dorso-ventrali; capite 4? ad 42? in longitudine corporis, paulo
longiore quam alto; linea rostro-frontall rostro convexa fronte
concaviuscula; oculis diametro 2 ad 2 et paulo in longitudine
capius, diameiro ? circ. distantibus; maxilla superiore, ore clauso,
maxilla inferiore vix breviore, 1% circ. in longitudine capitis,
sub pupilla desinente; dentibus maxillis minimis parum conspicuis
serie externa ceteris non fortioribus, nec sursum nec antrorsum
directis; praeoperculo angulo spinula deorsum spectante; regione
oulo-ventrali mferne antice acutiuscule carimata postice plana
trigona; squamis trunco valde inaequalibus, 45 circ. m linea
lateral, 35 circ. in serie longitudinal angulum operculi inter et
basin pinnae caudalis, lateralibus medus ceteris majoribus, late-
ralbus et dorsalibus plus minusve squamulatis; pinna dorsali
diametro dorso-ventrali duplo circ. humiliore, longitudine 3 fere
in longitudine pinnae analis; pectoralibus capite vix brevioribus ;
ventralibus capite duplo circ. brevioribus; anali longitudine 2 in
longiiudine corporis absque pinna caudali; caudali extensa vix
emaroimala capite paulo breviore; colore corpore superne fusces-
cente-aureo, inferne dilutiore vel aureo-argenteo, fusco plus
minusve arenato; iride flavescente-rosea; pinnis roseis, dorsal
apice late nigricante vel fusca; anali dimidio basali nigricante-

54 P. BLEEKER. RÉVISION DES ESPÈCES DE PEMPHERIS ETC.

violacea; pectoralihus basi macula nigra nulla; caudali superne,

inferne et postice nigricante vel fusco marginata.

B. 7. D. 6/9 vel 6/10. P. 2/15 vel 2/16. V. 1/5. A. 3/36 vel 3/37.
C. 1/15/1 et lat. brev.

Hab. Sumatra (Trussan); Batu; in mari.

Longitudo 2 specimmum 117” et 119".

Rem. Le Pempheris Schwenki est nettement distinct des autres
espèces insulindiennes par sa tête qui est plus longue que haute,
par son profil frontal concave, par ses petites dents rudimentaires
et par un nombre moindre de rangées transversales d’écailles du
tronc. On ne le connait jusqu'ici que de la mer des côtes occi-
dentales de Sumatra.

La Haye, Mai 1876.

SUR LE

DOSAGE PAR LE POLARISTROBOMÈTRE
QUININE DANS LES ÉCORCES DE QUINQUINA,

A. C. OUDEMANS gr.

Dans mon Mémoire: Sur Le pouvoir rotatoire spécifique des
principaux alcaloïdes du quinquina, à l’état libre et à, l’état

combiné ), j'ai exprimé l’opinion que l’emploi du polaristrobomêtre

peut devenir d'un utüle secours dans lanalyse quantitative des
mélanges de deux ou de plusieurs alcaloïdes du quinquina, et
Jai tâché de montrer, par quelques exemples, que les influences
perturbatrices qui peuvent être exercées sôit par des changements
du degré de concentration, soit par la présence simultanée de
différents alcaloïides, sont en tout cas si faibles, que le dosage
par le polaristrobomètre donne, pour peu qu'on en ait l'habitude,
des résultats beaucoup plus exacts que ceux obtenus par une
analyse purement chimique.

_ J'ai été conduit à continuer mes recherches à cet égard par
la circonstance que quelques chimistes et fabricants de quinine,
pour juger de la valeur des écorces, déterminent la proportion
de quinine en précipitant, dans la solution fournie par les écor-
ces traitées d’une certaine manière, la quinine et la cinchonidine

Den" NéerL TX; tp. 193:

56 A. C. OUDEMANS JR. SUR LE DOSAGE

à l’état de tartrates peu solubles et en isolant ensuite, sous l’une
ou l’autre forme, la quinme de ce mélange.

A en juger par ce que m'’avaient appris mes études antérieures,
il ne me paraissait pas impossible de trouver, au moyen du
polâristrobomètre, la richesse en quinine d’un pareil mélange de
tartrates. [| est vrai que ces combinaisons sont insolubles dans
l'eau, mais elles se dissolvent facilement dans les acides étendus.
Il s'agissait seulement de déterminer pour chacun des deux tar-
trates, en présence d’une quantité connue d'acide, la constante
de la rotation, et de décider, par des expériences synthétiques,
si le pouvoir rotatoire spécifique d’un mélange de ces sels pou-
vait servir à calculer de l’une ou de l’autre mamière sa composi-
tion centésimale, et par suite aussi la proportion de quinine.

Le résultat de cette recherche a de beaucoup dépassé mon
attente et m'a confirmé dans l’opinion que, par l'observation
exacte du P.R.S., on arrive en pareil cas beaucoup plus vite
au but, que par une analyse chimique longue et pénible.

Ce résultat est, en outre, une réfutation péremptoire du juge-
ment défavorable que M. Hesse a porté, avec trop de précipitation
et sans preuves aucunes, sur l'utilité de la détermination du
P.R.S. dans les recherches quinologiques !).

Je tâcherai de résumer ici, aussi brièvement que possible, ce
qui est nécessaire pour apprécier équitablement la méthode recom-
mandée par moi et l’exactitude à laquelle elle permet d'atteindre.

Sur les tartrates neutres de quinine et de cinchonidine.

Le tartrate neutre de quinine a été étudié par M. Arppe ?).
Ce chimiste a trouvé que la combinaison, séchée à 130o—140P C.,
ne perdait que 1,5 pour cent d’eau, d’où il a conclu que le sel

1) Voir Aun. der Chemie u. Pharm., T. CLX VI. p. 230.
2) Journ. f. pr. Chem., T. UIII, p. 334.

PAR LE POLARISTROBOMÈTRE ETC. 57

ne renfermait pas d’eau de cristallisation, d'autant plus que,
après la dessiccation, il n’avait pas du tout l'aspect effleuri. Ce
résultat, toutefois, ne concorde pas avec celui que j'ai obtenu;
à différentes reprises j'ai préparé le tartrate, en précipitant par
le tartrate de potasse et de soude des solutions neutres de sels de
quinine purs, et toujours j'y ai trouvé, par la dessiccation à
120°—130° C., une proportion d’eau équivalant à 1 molécule
H,0. En outre, le tartrate desséché différait manifestement du
sel non chauffé; il présentait une structure spéciale et avait un
P.R.S. qui surpassait celui du tartrate non desséché d’une quan”
tité correspondant précisément à la perte de 1 molécule d’eau.

- À l'appui de ce que je viens de dire, je donne ici les résultats
de quelques-uns de mes dosages d’eau:

1°. 1,1420 or. de tartrate (produit À, encore un peu cohérent)
perdent, en 4 heures de dessiccation à 1250 C., 0,0988 er. d’eau.

2%. 1,3218 or. de tartrate (produit B, en grains cristallins
parfaitement séchés à l'air) perdirent, en # heures de dessiccation
à 150° C., 0,0292 or. d’eau.

90. 1,1124 gr. de tartrate (produit C, longues aiguilles, réduites
en poudre fine, parfaitement séchée à l'air) perdirent, en 5 heures
de dessiccation à 125° C., 0,0240 or. d’eau.

Par conséquent:

Trouvé Calculé d’après
10. 20. 30, (CN; 0) CH O0 EH O0
2,6 2,1 2,2 2,9

Si M. Arppe n’a trouvé que 1,5 pour cent d’eau, cela s'explique
peut-être par la circonstance que le tartrate de quinine ne perd
son eau de cristallisation qu’assez lentement à la température de 130”.

Je crois donc devoir adopter pour le tartrate de quinine la
Composition: 2C, ,H,,N.0,),C,H,0,+H,0.

Quant au tartrate de cinchonidine, il a fait l’objet d'un examen
de M. Hesse 1), d’après lequel il correspondrait à la formule

!) Ann. der Chem. u. Pharm., T. CXXXV, p. 337.

58 A. C. OUDEMANS JR. SUR LE DOSAGE

2(C, ,4,,N:0),0,H4,0,+2H,0. Cette formule exige 45 pour cent
d’eau.

M. Hesse a trouvé, dans # expériences, 49—47 pour cent
H,0. Bien que ces déterminations méritent toute confiance, j'ai,
moi aussi, dosé à différentes reprises, par la dessiccation à 130°,
l'eau de cristallisation du tartrate de cinchonidine, dosages qui
m'ont donné une proportion de 4,2 à 45 pour cent.

En adoptant les formules qui viennent d’être mdiquées, on
trouve pour la teneur en quinine des deux sels: |

79,41 pour cent de quinine dans le tartrate de quinine
76,80 » » _» cinchonidine dans le tartrate de cinchonidine.

Pouvoir rotatoire spécifique des tartrates de quinine
el de cinchonidine dissous dans un faible excès d'acide chlorhydrique.

Pour déterminer le P. R.S., j'ai choisi le rapport de 6 C.C.
d'acide chlorhydrique normal sur 0,816 gr. de tartrate de quimine
et sur 0,802 gr. de tartrate de cinchonidine. Ces deux poids
représentent chacun 1 molécule du sel, exprimée en milligrammes.
La quantité indiquée d’acide chlorhydrique est suffisante pour que,
en v délayant le tartrate, celui-c1 se dissolve immédiatement.

Voulant, toutefois, me rendre compte de l’influence exercée par
le degré de concentration, et aussi rendre possible le dosage de
la quinine à d’autres degrés de concentration que celui indiqué plus
haut, J'ai fait, à la température de 17° C., trois séries d'expériences,
chaque fois avec un autre liquide, dans léquel le rapport de 1
molécule de tartrate à 6 CIH était conservé, mais où variait la
proportion d’eau.

Ces liquides étaient composés ainsi qu'il suit:

A. 0,4 gr. de tartrate et 3 C.C. de CIH normal sur 20 G.C. d'eau.

JE LASER BE bon, GENS D ) > OUR »
CATORS Dit OMS AL » » 20 » »

PAR LE POLARISTROBOMÈTRE ETC. 59

Le tartrate de quinine, qui servit à ces expériences, avait été
obtenu en dissolvant l’alcaloide pur, extrait du benzolate de
quinine, dans l’acide calorhydrique étendu, jusqu'à réaction fai-
blement acide, précipitant alors le liquide à chaud par le sel
de Seignette, et faisant recristalliser dans l'alcool très étendu
le sel déposé.

Le tartrate de cinchonidine avait été préparé en précipitant
par le sel de Seignette une solution chaude de chlorhydrate neutre
de cinchonidine.

Les deux tartrates avaient, après le lavage, été séchés à l'air.

Les résultats de l'examen furent les suivants:

Tartrate de quinine.

Concentration À.
(04 or. de tartrate et 3 C.C. CIH normal sur 20 C.C.).

(e}=—=216°,0 K
(&)o = 215°,6
()n=215°,8
(cn 91 596
Moyenne (x) — 219°,8

Concentration B. |
(0,8 gr. de tartrate et 6 C.C. CIH normal sur 20 C:C.).
on 21109
(C=214;7
(œ)D == IN ee
(211

Moyenne («)n

Concentration C.
(1,2 gr. de tartrate et 9 C.C. CIH D Ornal sur 20 DD)
(&)o = 9207°,7
(a}n D, 207c,9
Moyenne («)r — 207°,8

60 A. C. OUDEMANS JR. SUR LE DOSAGE

Tartrate de cinchonidine.

Concentralion A.
(0,4 gr. de tartrate et 3 C.C. CIH normal sur 20 C.C.).
(c)o=As 2
(a)n = 131°,4
Moyenne («)o = 131°,5
Concentration B.
(0,8 gr. de tartrate et 6 C.C. CIH normal sur 20 CC)

J
Moyenne («)r — 129,6

Concentration C.
(1,2 gr. de tartrate et 9 C.C. CIH normal sur 20 CC).

Moyenne («)r — 128°,1

Il ne sera pas tout à fait superflu de farre 1c1 la remarque que
le P. R.S. observé n'est pas celui qui revient au tartrate lui-
même, mais quà vrai dire il est relatif à un sel décomposé en
tout ou en partie par l’acide chlorhydrique étendu.

Dans mes expériences antérieures concernant l'influence des
acides en excès sur le P. R.S. des alcaloïdes du quinquina, j'avais
pris un degré de concentration tel que pour 20 C.C. de liquide
il y eùt 0,512 gr. (environ 1 molécule exprimée en milligrammes)
d’alcaloide. Comme cette quantité correspond précisément à 405
milligrammes de tartrate, c'est-à-dire, à très peu près à la dose
employée pour la concentration A, nous pouvons par le calcul
arriver à savoir si les tartrates dissous dans l'acide chlorhydrique
se comportent entièrement comme des mélanges d'un peu d'acide
tartrique avec des alcaloïdes dissous dans un excès d’acide chlorhy-
drique (3 HCI sur 1 molécule d'alcaloïde).

PAR LE POLARISTROBOMÈTRE ETC. 61

Pour le P.R.S. du tartrate de quinine, nous trouvons, avec
la concentration A, 215°,8; on déduit de là pour la quinine le
nombre 271°,7; le P.R.S. de l'acide tartrique (dans la supposition
qu'il ne soit pas modifié par le léger excès d’acide chlorhydrique
et par la présence du chlorhydrate acide de quinine) est d’après
la formule donnée par M. Landolt, précisément 7 15°,0. La rota-
üon à droite, provenant de la faible quantité d’acide tartrique
(0,0746 gr.) qui existe dans le mélange, s’élève à 00,17, valeur
qui doit être ajoutée au P.R.S. calculé pour la quinine, si l'on
veut avoir la vraie grandeur de ce pouvoir, tel qu'il s’est mani-
festé dans la solution inixte. On arrive ainsi au chiffre 271°,9.
Précédemmént nous avions trouvé que 1 molécule de quinime,
répartie avec 3 C.C. d'acide chlorhydrique normal sur 20 C.C.,
fournissait un P.R.S. de 2785, et on voit par conséquent que,
dans les circonstances données, la présence de l'acide tartrique
diminue la valeur de («)» chez la quinine.

En appliquant le même calcul à la cinchonidine, nous obtenons
pour («)», après la correction relative à l'acide tartrique, le nombre
171,2, tandis que précédéemment, pour le même rapport entre
Valcaloide et l’acide chlorhydrique, mais en l'absence de l’acide
tartrique, nous avions trouvé 175,6.

Les solutions examinées ne se comportent donc pas comme un
mélange d'acide tartrique et de quinine dissoute dans 3 molécules
CIH, et ce fait me parait devoir être attribué à ce que l’alcaloïde
n'est pas uni en entier à l'acide chlorhydrique, mais encore combiné
pour une partie avec l'acide tartrique; il est très probable, en
effet, que la quinine a un P.R.S. plus faible dans une solution
tartrique acide que lorsqu'elle est dissoute dans un excès d’acide
chlorhydrique.

Pouvoir rotatoire spécifique des mélanges des deux tartrates
dissous duns un léger excès d'acide chlorhydrique.

Comme les tartrates de quinme et de cinchonidine ne diffèrent
que peu entre eux quant au poids moléculaire et à la proportion

62 A. C. OUDEMANS JR. SUR LE DOSAGE

d’alcaloïde contenue dans chaque sel, l’addition de 6 C.C. d'acide
chlorhydrique normal à 0,810 gr. du mélange de tartrates pro-
duira, en ce qui concerne la sursaturation des deux alcaloïdes,
à peu près le même effet que celui qui résulte de la dissolution
de 0,8 gr. de chacun des deux tartrates, pris séparément. Mes
expériences antérieures ont montré, en effet, que quelques milli-
orammes d’alcaloïide ou quelques gouttes d'acide chlorhydrique
normal, en plus ou en moins, ne changent pas d'une manière
appréciable le résultat.

J'avais donc lieu d'espérer que, en déterminant le P.R.S. de
mélanges contenant sur 20 C.C. autant d’acide chlorhydrique nor-
mal et de tartrates mêlés qu'il a été indiqué ci-dessus pour les
tartrates purs, je parviendrais à la connaissance de la composition
centésimale de ces mélanges.

Pour cela, je n'avais qu'à faire usage des formules:
215,8 x x + 1310,3 x (100—-7) — 100 X (x)m (pour la concentrat. A)
244°,5 x x + 129,6 x (100—x) —100 X (a«}m( » » Ù B)
2070,8 x x + 198°,1 x (100—x) = 100 x (a)}m( » » Ù C)

où æ est la proportion centésimale de tartrate de quinine et
(œ)m le P.R.S. observé pour la raie D du mélange de tartrates
traité de la manière qui vient d'être décrite.

Voici maintenant les résultats de quelques expériences faites

dans cette prévision:
CONCENTRATION A.

EUR: Proportion réelle de tar | Proportion de tartrate de |
|
|

observé. trate de quinine dans | quinine calculée d'après A
(œ)D. le mélange. * | le: P "RNSI |

109220 25,0 pCt. 25,1 pt. 01
1007 O0) A0 — 1,0
171530 47,9 48,0 » — 0,1
18929 60,0 » 0128714 — 41,8
19176 44 10,300 1147 5 EE
194°,3 15 0 74,6 » — 0,8
195°,5 AD D 0) 1000 — 0,5
203,3 89,2 ) 89,2 D 0

PAR LE POLARISTROBOMÈTRE ETC. 03

CONCENTRATION B.

TRS. prpouo réelle de tar- Proportion de tartrate de |

observé. trate de quinine dans | quinine calculée d’après Ro
(œ)p. | le mélange. | ÉSPSRSS |
150°,2 DCE |. 290 pt | +02
17422 491 » | 506 » CEE
470°,8 50: > | 20,5 » | — 0,3
172,3 | DO à = 11620 pa +05
183,7 | Ge » | 66,0 » | =" 7
160, | 68,8 » | 697 » | — (0,9
188,0 70,1 » ERA A2 Pete
: V2 | 75,0 » | 15 010 | — 0,8
:_UEQE | 146.5 80,2 » Fire 0,6
1951 | 80,92 » PATENT | 0,2
203,5 | 90,9 » NC E | + 0,7
CONCENTRATION C.
P.R.S. | Proportion réelle de tar-| Proportion de tartrate de |
observé. | trate de quinine dans | quinine calculée d'après | A
(&)n. | le mélange. "Ie PR S |
4475 | 249 pCt. | 24,3 pCt. Le 0,6
BU 546 » | 541 5 + 0,5
i (52 1e AN 75,4 °» | 76,4 ° » Al

On voit par ces résultats que l’exactitude obtenue est très
satisfaisante. |

La circonstance que les différences tombent la plupart dans
un sens déterminé, et qu'ordinairement on trouve érop de tartrate
de quinme, tend à faire croire que la loi, suivant laquelle le
P.R.S. des mélanges dépend de leur composition, ne doit pas
être représentée par une droite, mais par une ligne à très faible
courbure. La précision atteinte n’était toutefois pas assez grande
pour donner à cet égard une certitude complète.

En terminant, je donnerai les formules qu’il convient d'employer
dans le calcul de la composition du mélange des tartrates pour
toutes les concentrations entre 0,4 et 1,2 gr. de tartrate sur 20 C.C.

64 A. C. OUDEMANS JR. SUR LE DOSAGE ETC.

| s.
Gr.detartrate | Nomb.deC.C. | Formules propres au calcul de la composition du

sur 20 C.C. PTE CIHnorm. | mélange; valables pour # = 17, C.
0,405 | 3 | 2A58x-+130,3 (100—x) — 100 x (am
0,506 375 | 214,7 x + 130,9 100—x) — 100 x (c)m
0,608 4,50 | 218,6 + 130,4 (100—x) — 100 x («}n
0,708 | 5925 | M%,5x + 1300,0 (100—x) — 100 x (rm
0,810 6,00 | 21105 x + 129,6 1100—x) — 100 x (an
0,914 | 6,75 | 210°,4x + 199,9 (100—x) — 100 x («}m
4,042 | 7,50 | 209,5 x + 12808 (100—x) — 100 x (c)}m
11444 | 895 | 20806 x + 1980,4 (100—x) — 100 x (“}m
1,215 | 9,00 | 207,8 x + 128,1 (100—x) = 100 x («)m

Delft, 26 Novembre 1875.

SUR LA PROBABILITÉ DES DIVERS RÉSULTATS
POSSIBLES D'UNE ÉLECTION POUR LAQUELLE DES VOTANTS
DE DEUX OPINIONS DIFFÉRENTES
SE PARTAGENT EN SECTIONS PAR LA VOIE DU SORT:

PAR

D. J. KORTEWEG. |

É

$ 1. Lorsqu'un certain nombre de personnes, devant procéder
à des votes ou à des nominations, se partagent par la voie du
sort en plusieurs sections de force numérique égale, sous la
condition que chaque section émettra ensuite un seul vote ou
effectuera une seule nomination, — le résultat obtenu dépend
en partie du hasard.

Supposons qu'il y ait en général ks votants, qui se répartissent
en À sections, toutes également nombreuses, et que & voix appar-
tiennent à la majorité, b à la minorité; la probabilité d’une répar-
ütion telle, que dans m bureaux triomphe la majorité, dans #
la minorité, sera alors une fonction de a, b, m et n, que nous
représenterons dans la suite par

a.b

Jê

mn
ou, lorsqu'il n'en pourra résulter aucun malentendu, par
Pi

C’est cette fonction que nous allons chercher à déterminer.

S 2. Dans ses ,, Recherches sur la probabilité des jugements”
(éd. de 1837, p. 231, K 90), Poisson s'occupe d’un problème

ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XIL 5

:

66 D. J. KORTEWEG. SUR LA PROBABILITÉ

analogue. Il détermine, en effet, la probabilité que dans un bureau
unique de s membres, choisis dans une assemblée de ks personnes,
dont & appartiennent à la majorité et b à la minorité, triomphe
ou bien la majorité où bien la minorité. De cette probabilité on
déduit alors d’une manière très simple le résultat moyen des votes
ou nominations des bureaux.

Soit, en effet, p la probabilité d’une nomination dans le sens
de la majorité, et g celle d’une nomination dans le sens de la
minorité (p + q —=1); en cas d’un très grand nombre 7 de nomi-
nations faites par de pareils bureaux, il devra alors, d'aprés la
io1 des grands nombres, y en avoir environ pr dans le sens de la
majorité et gr dans le sens de la minorité. Le résultat moyen des
k nominations, faites successivement après chaque tirage au sort,
devra par conséquent comprendre pk membres de la majorité et
qk de la minorité. Dès que p ou q a été calculé (et cela a lieu
au moyen d'une formule simple, que nous donnerons plus loin), .
ce rapport moyen est donc connu.

$ 3. En outre, ces’ valeurs p et q peuvent encore servir à
résoudre un problème qui offre avec le nôtre une grande analogie.
Tel qu’il est énoncé, notre problème concerne une assemblée qui
se divise par le sort en un certain nombre de sections, dont
chacune émet ensuite un vote ou effectue une nomination. Mais
nous aurions aussi pu considérer un autre cas, celui où la même
assemblée tire de son sem, par la voie du sort, un bureau unique
de s membres, qui émet un vote, puis se dissout immédiatement ;
après quoi ses membres concourent avec tous les autres à un
nouveau tirage pour la composition d'un second bureau, qui
à son tour vote, puis se dissout; celte opération étant con-
tinuée jusqu'à ce qu'un certain nombre de votes soit acquis.
Dans cette supposition, la probabilité P’,, (où l’on n'a plus
nécessairement m + n —k) dépend très simplement de p et g;
en effet, comme la composition du second bureau est maintenant
entièrement indépendante de celle du premier (puisque la circon-
stance d’avoir fait partie du premier n'exclut plus l'entrée dans
le second), on peut appliquer les lois de la probabilité composée

DES DIVERS RÉSULTATS POSSIBLES D'UNE ÉLECTION ETC. 67

pour des événements Indépendants l’un de l’autre; ces lois con-
duisent alors sans peine à l'expression:

: m + à) !
FA eo ASTM on ve tt)

Pn €t P'mn Sont d'ailleurs des grandeurs très différentes ;
ainsi, par exemple, P,, devrait être exactement zéro, ce qui ne
serait pas le cas pour P’,, Tandis que, dans lhypothèse cor-
respondant à P,,, chaque membre doit appartenir à un seul
bureau, désigné par le sort, 1l pourra arriver, dans l'hypothèse
à laquelle se rapporte P’,,, qu'un membre déterminé entre dans
plusieurs sections ou ne prenne place dans aucune, selon que le
hasard en décidera. Il résulte de là, que dans lhypothèse
Pen 1 Y a, quant à leur composition, dépendance mutuelle entre
les différentes sections, et qu'il n'y en au contraire pas dans
l'hypothèse P',,. Si nous nous figurons que, dans la supposition
P,,. le vote des différents bureaux ait aussi lieu suivant un.
certam ordre fixé d'avance, — ce qui naturellement ne peut
influer en rien sur le résultat, — chaque triomphe de la minorité
dans un bureau quelconque affaiblira considérablement ses chances
de victoire dans les bureaux suivants. Plus généralement, dès que,
après un certain nombre de votes, moindre que Æ, soit la majorité,
soit la minorité se trouve dans un rapport anormalement favorable,
il y a pour elle, si l’avantage est à la minorité, certitude, et,
s’il est à la majorité, forte probabilité que le nombre de ses
membres sera aussi anormalement réduit dans les bureaux restants ;
à priori, il est donc probable que les votes ultérieurs auront
pour effet d'enlever au rapport son caractère anormal. Pour des
valeurs anormales de m et de n, c’est-à-dire, pour des valeurs
qui sont très éloignées de pk et de qk, P,, sera par conséquent
plus petit que P',,; mais, en revanche, pour des valeurs normales
de m et de n, P,, devra surpasser P',,, attendu qu’on a:

n— nie

DNS STE DURS; À

68 D. J. KORTEWEG. SUR LA PROBABILITÉ

$ 4. Poisson ne se borne pas à calculer le nombre moyen des
sections où triomphe soit la majorité, soit la minorité. Après
avoir trouvé, par exemple, pour le cas où 199,665 électeurs,
comprenant une majorité de 104,830 et une minorité de 94,835,
se partagent en 499 sections, À

p= 0.804006 11, 0 = MES
et en avoir déduit que le résultat moyen sera
majorité — 0,89426... x 459 — 399 sect. ,
minorité = 0,14574... x 459 — 67 sect.,
il se demande quelle est la probabilité que l'écart entre le résultat
réellement obtenu et le rapport moyen ne dépasse pas un certain
nombre donné de sections.
Il prend, par exemple, comme cas-limites :
majorité = 392 + 21, minorité = 67 + 21,
et donne alors, pour la probabilité R' que le résultat effecuf est
compris entre ces limites,
= 10,99682;

Pour ce calcul, toutelois, 1l fait usage d’une formule qui s’ap-
plique au cas de A événements indépendants l'un de l’autre, et
où, de deux éventualités données, qui possèdent des probabilités
constantes p et q (p+gq—1), l’une doit toujours se réaliser.
Sa formule fait connaître, pour ce cas, la probabilité que l’une
des éventualités ne se présentera pas plus de pk + r fois, et pas
moins de pk—r lois; en d’autres termes, Poisson somme entre
les limites indiquées les probabiliés P',,, et non, comme il le
fallait, les probabilités P,,,.

Il est vrai que Poisson n'a en vue que des valeurs de Æ qui
ne soient pas trop petites, et que pour de pareilles valeurs, dans
le cas où m et n ne s’éloignent pas trop de la moyenne, les
expressions P,, et P',n ne différeront peut-être pas beaucoup
June de lautre; mais 1l nous parait pourtant risqué, même à
titre d'approximation, d'admettre à proori l'égalité de ces deux
probabilités.

Lorsque les eas-limites m = pk +7 et m—pk—7r sont un
peu écartés l’un de l’autre, il n’y aura d’ailleurs d’eæclus que des

|

DES DIVERS RÉSULTATS POSSIBLES D'UNE ÉLECTION ETC. (09

résultats anormaux; et comme, pour ces résultats, P',, sur-
passe la probabihté P,,, 1l faudra, réciproquement, que la
somme des probabilités P’,,, comprises dans R', soit plus
petite que la somme des valeurs correspondantes de P,, La
probabilité R° est donc trop faible. Sa valeur exacte, dans
Pexemple choisi par Poisson, devra être encore plus rapprochée
de l’unité, de sorte que les conséquences, que Poisson tire de
la grandeur de cette probabilité, subsistent à fortiori. On recon-
nait ainsi que le calcul dé Poisson donne pour la probabilité
cherchée une limite inférieure, qui, lorsqu'elle est voisme de
Punité, peut rendre les mêmes services que la valeur exacte
elle-même.

$ 9. Nous voyons donc que Poisson, sauf pour le cas d’un très
orand nombre de bureaux, s'est borné à calculer le rapport
moyen entre les bureaux qui votent dans le sens de la majorité
et ceux qui votent dans le sens de la minorité; et qu'il n’a pas
cherché à calculer en outre la probabilité de ce rapport moyen,
n1 celle des autres rapports, différents de celui-ci. Là où il a
essayé de le faire, à savoir dans le cas d’un grand nombre de
bureaux, sa solution prête à de graves objections. Combler cette
lacune, et par conséquent déterminer quelle est la valeur maximum
de P,, et comment cette valeur décroit pour des rapports dif-
férents, tel est le but que je me propose d’atteindre. Suivant que
les données «, b, met n, dont P,n est une fonction, sont ou
non de grands nombres, qui rendent nécessaire l'emploi de for-
mules d’approximation, cette recherche se partage d’elle-même
en trois parties, à savoir, les suivantes:

À. a et b, et par conséquent aussi m et n sont d'assez pelus
nombres. Dans ce cas, on peut suivre la méthode que j'ai développée
dans le Journal des actuaires français (L HI, 1874).

B. &« et b sont des nombres assez grands, m et n au con-.
traire des nombres «assez petits. Ce cas va faire l’objet de
notre étude. Dans ce premier Mémoire, je développera P,, sous
la forme d’une intégrale connue, et j'en déduirai quelques con-
clusions générales. L'hypothèse la plus simple, m + n —= 2, a

70, D. J. KORTEWEG. SUR LA PROBABILITÉ

déjà été traitée complétement dans le Journal des actuaires
francars. |

C. a, b, m et n sont d'assez grands nombres. Le calcul de
P,n aura alors moins d'importance, attendu que la probabilité
d’un rapport donné devient dans tous les cas très petite. Par
contre, il faudra, dans cette hypothèse, tâcher de calculer entre
des limites données la valeur de

ne. dm.

Nous n’envisagerons d’ailleurs ici le problème que sous son
aspect purement mathématique, en renvoyant, quant à sa signi-
fication pratique, au Journal des actucires français (L c.) et au
Nieuw Archief van het Wiskundig Genootschap (t. F et ID).

IL.

$ 6. Avant d'entreprendre la solution de notre problème, iül
convient (pour obtenir une nomenclature commode) d'introduire
des hypothèses très particulières concernant la nature et le mode
du vote, ce qui d’ailleurs n'empêchera pas d'étendre les résultats
acquis, avec les modifications nécessaires, à d’autres hypothèses.
Nous supposerons donc qu’une assemblée de ks membres, formée
d’une majorité « et d’une minorité b (a + b—=ks), ait à voter
sur une proposition, la majorité étant pour et la minorité contre,
et qu'à cet effet l'assemblée se divise par la voie du sort en Æ
sections, dont chacune comptera par conséquent s membres.
Nous admettrons, en outre, que les membres soient appelés suc-
cessivement à émettre leur vote, conformément à une liste, sur
laquelle sont inscrits d’abord les membres de la première section,
puis ceux de la seconde, et ainsi de suite.
De cette manière, chaque vote reçoit un numéro d'ordre, les
s premiers numéros formant la première section, les s suivants
la seconde, etc.; et comme chaque vote pour ou contre a

DES DIVERS RÉSULTATS POSSIBLES D'UNE ÉLECTION ETC. 71

la même chance pour chacun des numéros d'ordre, tous les
différents arrangemenis, qui sont possibles entre les & votes
pour et les b votes contre, posséderont une probabilité égale.
Nous pouvons donc regarder ces arrangements comme des cas
d'égale possibilité, et il ne reste plus qu'à calculer: 1°. leur
nombre total, 2°. le nombre de ceux qui sont favorables à lhy-
pothèse P,,; en effet, d’après la définition même de la probabilité
mathématique, P,, est égal au quotient de ces deux nombres.

$ 7. En ce qui concerne le nombre total des différents arran-
sements possibles entre les « votes pour et les b votes contre,
il est naturellement égal au nombre des permutations entre ks
éléments, dont &« égaux entre eux et b égaux entre eux. Il
est donc:

Quant au nombre des cas favorables, la détermination en est
plus difficile. Pour y parvenir, nous prendrons comme point de
départ un arrangement favorable particulier, et nous en déduirons
par permutation les autres cas favorables. Nous choisirons d’ail-
leurs ce premier arrangement de telle sorte, que dans les m
premières sections les volants pour soient en majorité, et
dans les # dernières les votants contre. Représentons donc par
A M 0, dv ul) vi, 114. Vs, va, lestdemi-
différences successives entre la majorité et la minorité dans les
différentes sections, de façon que, en général, v, Indique cette
dermmi-différence dans une section votant pour, et v, dans une
section votant contre; soit en outre:

RRQ DR Ne re (0)

La demi-différence entre la majorité totale et la minorité totale
sera alors

mn Lea P
2 Vy TER = V5 = V ot mm ini Len ler -el ei te (4)
' : : |
$ 8. Dans ce premier arrangement favorable, considérons main-
* tenant la première section. Celle-ci se compose de 1s+w, votants

r154 D. J. KORTEWEG. SUR LA PROBABILITÉ

pour et de 1s—v, votants contre, qui, par conséquent, peuvent

être disposés de
s!

(s TE v,)! Gs—v,)!
manières différentes.
En continuant ainsi, dans toutes les sections suivantes, à per-
muter les votes aussi souvent que possible, on obtient déjà, pour

des valeurs fixes de v,, U,,:0,, 1 UE MER nt ROME

s! s! s!
x = © 0
Geo) (sv) Gs+u,)s—u,)i" Gs+u,)/Gs—0,)/
s! s! s! :

6)

sen) Gr) Go (sv) so)
2 m}" \2 m 2 1/° \2 1 2 n}° \2 :
de cas favorables différents. Mais, en outre, il est clan que ces
orandeurs V,....U», V',....V', peuvent préndre différentes
valeurs. Dès que, dans un arrangement quelconque, il est satisfait
à la condition (4), et que de plus on a:

DS vint. Vi U Ie Va dl. (6)
cet arrangement appartiendra aux cas possibles et favorables.
L'expression (5) devra donc être sommée pour toutes les valeurs
Vy 4, Um Vie. Vlr, Qui satisfont: A2) EM

En supposant cette sommation effectuée, on aura trouvé le

nombre des cas favorables qui ont la propriété que les m premières

sections votent pour. Afin de déduire de là le nombre total des
arrangements favorables, nous remarquerons que, en permutant
entre elles les m sections pour et les n sections contre, prises
dans leur ensemble, on peut les arranger de

Re US

m!n!
manières différentes; de sorte que chacun des cas favorables, où
les m premières sections votent pour, donne lieu, par un pareil
déplacement en bloc de sections entières, à
k!
ml mn!
cas favorables différents. On obtient donc:

PPS OGC COS

DES DIVERS RÉSULTATS POSSIBLES D'UNE ÉLECTION ETC. 793

a!b! k! s! s!
= — —_—— ; Dee X
ks! min! (1s+v,)/(4s—v,)! (1S+ Um)! (S—Un)/

X DA RE Fr ;
(1s—v",)! (1s+v'.)! (35—V'»)! (is v,)L"

expression où la sommation doit être étendue à toutes les valeurs

Pm.n

V,...Un, V,-..0», Qui satisfont aux deux conditions
m n
CT M EE: 7
ace ÉRRR UE (4)
| PORN Un, V', TU, SES: (6)
V ayant pour valeur
V=—=1(a—b) (5)
[I].

$ 9 L'expression (A), par laquelle nous avons maintenant

représenté P,,, renferme beaucoup de produits de coefficients
k!

binomiaux, qui tous, à l'exception de , contiennent par

m!n|
supposition de grands nombres. Nous devons donc chercher des
formules qui donnent, pour de pareils coefticients bimomiaux,
une valeur approchée.
En premier lieu, nous pouvons faire usage, à cet eftet, de la
formule connue
DRE BIS (4. ll

1 2 3
AT z 3. . 5.6 m°
mir Jnmmne-ne 7" $4m 5.6 S-1(0)
On trouve alors pour un coefficient binomial donné
(œ + f)! YA #
M NREN GAAIANTES
HMS AE A EL END BA OZ Lt) 1 BAT SU
TE SONT) open) NEA Re SE CIRE
0 Niteau B SRE UE as 8 SON ÉTAO)
2xaf5 ac/38
et on pourra donc, si & et /ÿ ne sont pas des nombres trop
petits, poser d’une manière très approchée:

]

74 D. J. KORTEWEG. SUR LA PROBABILITÉ

eV eV) OT... an

Pour réduire encore davantage cette formule, nous introduirons

ea —f,

de sorte que

on obtient alors
PE PCR
DAME PAS Re
21+1 ce = (nee) ge Ÿ=—2(0 E+0
a Cu (1-84
Mais on a

NEO D à UE)
(+ TUTO
V

4
=_}G+e+D/1+ =) =4 6 c+ni—i),;

expression pour laquelle nous pouvons écrire
JAMES HN es DA aE
LE (> ee) ESS |
j [ ne y” 3.4.7" de |
d'où il suit

AL
œ! f5! |
GE) one 3\(a«—B)"* 5 \ («—8)e
no +1 nn [G— 1.2.7: #0). 5.6.7e +ete… |
17277 | (19)

La série, contenue dans cette expression, est, pour des valeurs
æ—fÿ qui sont petites par rapport à >, très convergente. Pour
les coefficients binomiaux dans lesquels & et /? diffèrent peu l’un
de l’autre, c’est-à-dire, pour les coefficients dits moyens, le
premier térme seul pourra donc déjà fournir une approximation
suffisamment exacte. Il sera donc permis de poser, si y n'est pas

(24 RER
irop pet et que -———- soit tres petit,
Y

DES DIVERS RÉSULTATS POSSIBLES D'UNE ÉLECTION ETC. 79

je Hip ute n8)
F — D EE A . (13
œ! Bi — 1277 ; D
L'erreur commise sera d’ailleurs Sn par

es 128 ent Lie 4
ou, un par
Hip), (rap |
——_—— ....... (14
L2y2 : 3.4.y* LE

On voit qu’elle devient considérable pour les coefficients extrêmes.
Mais ceux-ci sont très petits comparés aux coefficients moyens.
La formule (13) peut donc servir, sauf pour les petites proba-
biltés P,,, lesquelles sont composées uniquement de coefficients
extrêmes. |

À l’aide de cette formule, on as

k! AAC OU) Le Rene EU
D — TE re (2m + en | (B)
m! n! TS

où la sommation doit être étendue à toutes les valeurs de
VU, ... Un, V', ...V, qui satisfont aux relations (4) et (6).

Cette formule cesse toutefois d’être applicable lorsque les votants
sont peu nombreux, et ce n’est que pour un nombre de votants
infini qu'elle tend vers une exactitude absolue. :

S 10. Bien que l'expression (B) doive subir plus lom de nou-
velles réductions, nous voulons l'appliquer d’abord à une couple
d'exemples simples, et en premier lieu au calcul de P,, et de P: 1.

Deux cas sont ici à distinguer, suivant que V est plus grand
ou plus petit que 1s. Dans le premier cas, la minorité compte
moins de ?s voix, et il est donc impossihle qu’elle obtienne la
victoire dans l’une des deux sections, de sorte qu’on devra avoir :

Pot 2 PI 0! Po Ur Shot EU ONE (10)
Dans le second cas, celui de V<1s, la formule (B) nn
| Di fe hf ul
TS
p2
Hrdel CNE CES De
177S

76 D. J. KORTEWEG. SUR LA PROBABILITÉ

où les sommations sont respectivement limitées par les conditions
ER de
RE lt TE
et où l’on a, en outre,
D EL URSS

On déduit facilement de là, en remplaçant la sommation par l'in-

= À =
=) peut être
s

LE

1-2] vod

tégration et en remarquant que, pour V < is, 2 (

pris égal à l’unité:

Pas ü( = | he CA Fons U. (16)
17 Ss 1716
En second lieu, il suit de la formule (B):
2) G 2° (D, + 3 + 1)
P, ,— FA Ed L 35 Se \” 4 2 3
TS

où la sommation est limitée par les conditions:

1 FU +V% =,
ER VL USÉES.
Si l’on pose
Vs VIENS

qu'on somme d'abord tous les termes pour lesquels zx et par
conséquent v, possèdent une valeur égale, puis qu'on somme de
nouveau ces sommes partielles, on obtient, au moins pour V <3s,
en passant à l'intégration:

dy LORE PA s
PE 0 qe ©? PE
P — — TT Te 38 e £ dx e S
3
TS

V 3x)
ES fi — Ce Fa
di de
TS o
Cette expression se laisse encore un peu simplifier. On trouve

en eflet, en différentiant par rapport à V:
732)

d.P:0 TE REY |
dV TE ». af si +; DCR (= = de.

DES DIVERS RÉSULTATS POSSIBLES D'UNE ÉLECTION ETC.

1]

=]

puis successivement :

OV : (2F — 3r)° L
RES [ A(QV 3%) — nn of =) UD

5 CAS

@F — 37)°
ACC ATOS iQ 0-15)

d'où, au moyen de ces Jr par parties, on déduit de nouveau :

2 PEUR ser (al)
ZT fr S 5 dx —
3 2 "3 ME: É É 5
2 AE Pur)
3 ie —— 3s e S dx EF)
3L/_ 78
Mais, par la Stiton
De — V
PSN
on obtient
3

OP Ro
rh (2x — F): Vs L=s
Î e SUP r = _. ed

|
a (pe
0
ce qui montre que les expressions (*) et (**) sont égales à zéro,
de sorte qu'on a

ur Æ
+ "PRET (=):
dv TS L7S

équation d’où par intégration, et en remarquant que pour V = 0
on a naturellement aussi P:, = 0, on üre immédiatement :

PE — V . ee às En MENT US CET)

78 D. J. KORTEWEG. SUR LA PROBABILITÉ

[V.

$ 11. Nous revenons maintenant à la formule (B) et faisons
observer que la difficulté à vaincre consiste à calculer

n

9
Ar, Se: + sy ? {
r(V) = Zeit 1 RS : (18)
où l'on doit sommer sous les conditions (4) et (6); ce signe de

fonction étant introduit dans l'expression (B). on trouve en effet:
2p=

NE EYE BE SP (C)

Mais. au lieu de déterminer la fonction 2(V) elle-même, nous
considérerons d’abord une autre fonc'ion, en relation imtime avec (& V).
Si l'on somme |

ee PRO. EU |
Ze ‘Ut 0)
non plus sous la condition (4), mais sous la condition plus
générale

O<ZE uv, —2Z vs SRE
cn: | 1 w;

en maintenant d'ailleurs la condition (6) et la particularité que
les grandeurs v,, V,,...%m, V',..., ne doivent croître que
par unités entières, on obtient un autre résultat, que nous
représenterons par
AE
et qui est lié à œ@(V) par une relation simple.
Si l’on considère, en effet, que, sous les conditions susdites ,
2 :
Ety—Ev,
ne peut non plus croître ou re que F unités entières.
il est évident qu'on a

DV) — y(V —1) = SV}, MI (21)
équation pour laquelle on peut écrire
an = #0 = #01)

V={(V=DE

DES DIVERS RÉSULTATS POSSIBLES D'UNE ÉLECTION ETC. 79

ou

Avec un peu de réflexion, on reconnaîtra qu'il y a seulement
deux cas où la condition nécessaire, pour que cette formule donne
une approximation suffisante, n'est pas satisfaite, à savoir:
1° lorsque le nombre des votants est petit; 2° pour des valeurs
de V qui, prises absolument, — non par comparaison avec ks, —
appartiennent aux petits nombres, et, même dans ce cas, seu-
lement en ce qui concerne la détermination de P;,, laquelle pro-
babilité, toutefois, doit alors être très petite. Pour tous les autres
cas, la formule convient très bien. Il ne sera donc pas nécessaire
d'indiquer, quant à l'application de cette formule, d’autres motifs
d'exception que ceux qui ont déjà été mentionnés précédemment.

$ 12. Pour ce qui regarde maintenant la détermination de y(V),
nous pouvons y arriver par la méthode de M. Lejeune-Dirichlet,
laquelle repose sur une propriété de quelques intégrales définies,
dont la valeur est égale à l’unité tant qu'une certaine constante
est située entre certaines limites, mais devient zéro lorsque cette
constante tombe en dehors de ces limites.

À ces intégrales appartient

4 FFD out” 1 Sin Cu ;
f(h = “sf MAT UT AUDE)
100

aussi longtemps, en effet, que la constante £ est plus grande que
zéro et plus petite que C, /(t) est égale à l'unité; si au contraire
t est négative, ou positive mais plus grande que C, f(t) est
exactement zéro.

Substituons maintenant

m n

l == 2» Tr DURE
1 1

et
CV:

80 D. J. KORTEWEG. SUR LA PROBABILITÉ

mn \
f (2, — y, Ÿ — |

alors

- - (24)
== RÉ AE. ] Sin Vu \
ps 1 1 . du
RES o
représentera une fonction qui devient zéro aussitôt que les gran-
deurs v,...Um, v,...v', ne satisfont -plus à la condition (20),

mais qui reste égale à l’unité tant que cette condition est remplie.
Si donc on multiplie par cette fonction l'expression (19), en
dedans du signe de sommation, on sera affranchi des conditions
restrictives (20), et il n'y aura plus à tenir compte que de la
condition (6).

En passant alors de la sommation à l'intégration, on trouve

À ks frs rs
"= = | il ( MI |
(V)= - |
0 0 0
ës f+20 2(Mm | m as
si je -— Eu +5 ‘p p°| +- (esu25vr 7) SA PET (25)

1 1 |
Sun Vu dv, dv, dv,.…dv',.du | |

u |

Comme d’ailleurs, dans la formule (25), l'expression qui doit

être intégrée ne peut pas prendre, entre les limites de l’'intégra-

tion, une valeur infinie, il sera permis de modifier à volonté
l’ordre des intégrations. On pourra donc écrire:

TT
= e SN 1

ës 2 (mn | m n =
Î Ce Sent + Sole Pas Gi, ü ) Bee 6
(q
Sin Vu
du du tds dus DRE
u

et si l’on transporte aussi loin que possible à gauche les dif-
lérents facteurs en lesquels peut être décomposée l'expression

DS , Fes Q LES ss , De 4 2 r
qu'il s'agit d’mtégrer, qu'on remarque que les différentes inté-

DES DIVERS RÉSULTATS POSSIBLES D'UNE ÉLECTION ETC. SA

grations, sauf celle par rapport à w, deviennent indépendantes
l'une de l’autre; enfin, qu’on introduise

3s 20° TA VE
xt) = | En. (27)
on trouve:
sin

7 UE Vu
= nef {A(u)}" Meuiren ce Hi Naud (28)

d'où 1l suit aussitôt :

d(V) — TE, = If KA ){" [A(—u) il". en 11 hi. (29)
ou finalement, par et dans (C),
qe
Paie ira
n M! n! |
ner gp >)
/ RU f+ 00 SALE (D)
V (=) ke #s Î [A(u) |" | X(—u) | a Ca
TS Eve |

$ 13. Il nous reste maintenant encore à détermimer (+),
intégrale pour laquelle on peut écrire, sans erreur notable,

QC 20° :
X(+u) — | Nine CR M ae A (V)

0

En introduisant ici, comme nouvelle variable,

ET FA DR
Pole 1 RE (VI)
s 9
on trouve sans peine:
=== su? f 2 — su? 1
XEu)=\, _.e >] en de © (ar) lu) ©) (50)
EU)—\ 9 : EN on Jen m3) LEV 5)
ne =

où nous avons fait usage de la notation:
% À HAL —1)
CD en |

CNE D pe Den

0

(en)

ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XIL

82 © D. J. KORTEWEG. SUR LA PROBABILITÉ

Par la subsütution de (30) dans la formule (D), on obtient
alors :

2 V2 g+ © ksu?
ks kl EE
P. V7" SR 2 CE |
2° m!n! a

Lee Tea Te

expression qui nous donne enfin, sous la forme d’une intégrale
définie, la probabilité demandée.

(E)

$ 14. Au moyen de réductions très simples, on peut encore, de
la formule (E) pour la probabilité P,,, déduire quelques autres
expressions, qui ont chacune, comme on le verra plus loin,
leurs avantages propres.

En premier lieu, on obtient une légère simplification en
substituant

s 2
rie a RENE SEEN NE (32)
ce qui donne
ls
1) n——= se = ml n! X
nr) O0.) 0 ï À — | (F)
D per or re 2 à)
(C0)
Si l’on fait alors usage, en outre, des notations
eo = LA + (60), ADR (33)

par suite desquelles on a:
LH EL (D. 1-1 = 40 (Cos® + 1/—1.Sinæ),
1— 40 (.1—1= 40 (C0s.—œ+1/—1.Sin.—"),
la formule devient:
Pre
l'ex
— ©0

(Cos & + Sin a —1)"(Cos.—w + Sin.—w1”"—1) e HU di

DES DIVERS RÉSULTATS POSSIBLES D'UNE ÉLECTION ETC. S82

Si l’on applique ici le théorème de Moivre, la partie imaginaire
de la formule disparaît spontanément. comme étant une intégrale
symétrique dans laquelle la moitié négative détruit la moitié
positive; on trouve ainsi:

R?2

M ST EE Cof(m ne — 2Ru dt.
Pmn ET RMCT .e. Cos |(m—n)?—2RI} dt;

(9

ou, en chassant de la formule les notations (33):

R pX
LE ,=9vË id PA) en. |
za m!n!

(G)

AA + (0 (4)2)%. Cos {(m—n).Bgtg[® (t)1--2Rt! dt,

expression dans laquelle il ne reste plus aucune forme imaginaire.

$ 15. En second lieu, nous pouvons dans la formule (F) faire
R2

passer le facteur e4 sous le signe d'intégration, et multiplier

lune par l’autre les différentes puissances de e. Le nouvel expo-

sant de e est alors précisément un carré, de sorte qu’on obtient:

|
P, =vh k X
x m{n!

D a+wor evo et (e 2) a

— O0
La substitution

tk +

donne CE
+ OC Re m \
Re er [:+2.0 al x |
DU PET Fe EULZE |
_(H)

Be (-)pre |

expression qui possède, comme on le reconnaïîtra tout à l'heure,
des avantages tout spéciaux pour la discussion.

0ù

84 D. J. KORTEWEG. SUR LA PROBABILITÉ

S 16. Après toutes les réductions que nous avons fait subir à
la formule (A), il ne paraîtra sans doute pas superflu de soumettre
le résultat obtenu à quelques épreuves, qui nous donneront d’ail-
leurs une idée plus nette de la nature des différentes formes
intégrales.

Üne première vérification est fournie par la remarque évidente
que la relation

TX

pin ph En + Prin Es: FFE. - (69)
=")
doit être satisfaite identiquement, c’est-à-dire, pour toutes les
valeurs de V; or, cela ressort mamfestement de la formule (H).
En second lieu, il est clair que pour R—=@, c’est-à-dire,
pour une majorité toute-puissante, les probabilités P,, doivent
toutes devenir zéro, sauf la première P;9, qui correspond au cas
où la majorité triomphe dans toutes les sections. Cette probabilité
doit alors devenir égale à l'unité.
Or, on a par définition:
R z —

Pre — 2 fr — V1.
or DU Se — "2. 14 RAR 1 ru — ; V’# 07 Wz
fs le LÀ ) Le ue

par conséquent

mr 9 fo LEE
li DE— — 1 =—| k mi] Z
a (TE Ca ) De se

ou, attendu qu'on peut maintenant prendre Ͼ pour la hmite
supérieure ,

DES DIVERS RÉSULTATS POSSIBLES D'UNE ÉLECTION ETC. 89

lim (R = æ) (7 — nt) —

. [ 2 6)
1Æ Lx

(9)

Il résulte de là que les expressions P,, doivent devenir zéro
lorsqu'elles contiennent le facteur

() (ur).
Viol A

Or, cela est le cas pour toutes, à l'exception de P;,; et, quant
à cette dernière grandeur, puisque

Lie oi vies LA LU

" if
Pi = — e _d=l.
. Lx
_

+2]
+2]hi

lim (R = cc)

2] Hi

on a nécessairement

Ici encore, la formule (H) satisfait donc à la condition qu'on
pouvait poser à priori.

$ 17. Une troisième épreuve concerne la valeur de P,,. Cette
probabilité se rapporte au cas où l’on ne forme qu'une seule
section, en d'autres termes, au cas où les votants ne se par-
tagent pas en sections; et comme, dans cette hypothèse, la
majorité doit nécessairement triompher, on a identiquement

+R

PUF)
1.0
et de même identiquement
F
PE AE
1.0

de sorte que la probabilité doit changer subitement de valeur
pour R = 0.

C’est de nouveau la formule (H) qui se prête le mieux à subir
l'épreuve de ces prévisions. D’après cette formule, on a en eïlet:

FS-0 1 is
Po = — e_* di+
10 Da

+20 el
5 _| DORA Aer dr.
co

n 777.

80 D. J. KORTEWEG. SUR LA PROBABILITÉ

La première de ces intégrales est connue, et tout se réduit
donc à calculer la seconde. En représentant celle-ci par Z, on
a provisoirement

ne «|
É et 7 D T,
+ O0 Fe Et 2
1 ERA One | (37)
— 00

Si maintenant l’on difiérentie l'expression Z par rapport à R,
on obtient pour le quotient différentiel une expression très simple,
il est vrai, mais dont la valeur est entièrement indéterminée.
En posant, toutelois,

= D
F(R)=| O(R—2.D IR E AN (ES)

on a

T = him (Tr =) PEER (39)
mais on a alors aussi

d'FIR) LÉGER

et par suite

2 (e-R
F(R)— F(0) | . Sin 2Rx .dR.
Or, il est évident qu'on a
rar s LS +z à
F(0}=} 8.(—21- —1).e * d=—1 A1. ( 8'(z).e* dz—0, (40)
par conséquent
9 ft2,—R
F(R)== TT SUN ZREE RES (41)
Vario 2

équation pour laquelle, en faisant

2Rx =,

DES DIVERS RÉSULTATS POSSIBLES D'UNE ÉLECTION ETC. 87

on peut aussi écrire:

9
F(R) — =

Cette expression, qui en général dépend de R, devient au
contraire indépendante de cette grandeur pour =; car on
trouve alors (voir (39)):

9 .
es, RU slot dote ob (43)
1x; y
et on obtient donc effectivement:
+R 1
Es A bon nt de L

Pour les valeurs négatives de À, on a au contraire

— Rs 2 - .
2 FT 14", Sin 1
F(— R) = — 67 Az: T dy,
Er? 11
ou, si on laisse devenir x =,
[=—1v/x ;
de sorte qu'on trouve
= 1
PAU E + RP
Morts OP TER

Encore une fois, l’accord est donc parfait entre le raisonnement
el le calcul.

$ 18. Avant de passer à d’autres épreuves, nous déduirons —
cette fois de ia formule (F) — une équation différentielle très
mnportante. La formule en question conduit facilement à l'équation:

GPU IOR Ras por Finite |
dR Ra ALU ma V = EU.
[l LH Da T8 (D AT 62 der,

— ©0

88 D. J. KORTEWEG. SUR LA PROBABILITÉ

En appliquant à la dernière intégrale l'intégration par parties,
le premier terme s’évanouira, attendu qu’on a

in
pour =; on obtient alors sans peine:
diP* 4] D EUNONESONSSSRE
PA Ce Ve EDP, THE Fe ? : (45)
formule d’où découle immédiatement:
mn Lun
pipe. Ne [ 6 FDP OPA) TRNO(E)

mn MN n(k—1),

1.n m.n—1

Tant la forme (45) que l’expression {K) devront subir quelques
modifications dans le cas de n—0, m—k; car le facteur
(3 —14(1).1/—1) disparaît alors de la formule (F). Il est
toutefois superflu de développer ici les calculs relatifs à ce cas,
attendu qu'ils s’exécutent exactement de la même manière. Nous
nous contenterons donc d’en donner les résultats, à savoir:

# Pie HUE _ }
Dee —| TR | EDP NE | (46)
et par conséquent aussi:
SU
Rte art FE ED PE Rule oc (L)

puisque je

+ £st identiquement zéro.

$ 19. Les formules ‘K) et (L) peuvent maintenant être utilisées
pour une nouvelle vérification, qui consistera à calculer P20,
Pis, Pso, expressions pour lesquelles des valeurs ont déjà été
trouvées antérieurement (voir les form. (16) et (17)). On déduit
immédiatement de (L):

P, =V a PE dR=V be of R= (=):

DES DIVERS RÉSULTATS POSSIBLES D'UNE ÉLECTION ETC. 89

ou, en ayant égard à la signification de À, indiquée par la
formule (32),

P30 = 6 =.
LES

De (K) on déduit ensuite:
R 0 A)
P LA KI P PL. ge
Mais, par la nature même se la a OT a;

ae = —Ù) Pr — +.
de sorte qu'on Fier

15 ne

Ces résultats sont tous les deux conformes à (16).
Enfin, il suit de (L):

rar LR y JE
R ra aps R ere
Do — V dl (% (=) == me er 35 (7 =) dV,

ce qui est également en concordance avec (17).

d M

D PNR

Le

S 20. En dernier lieu, nous démontrerons l'exactitude de
équation différentielle (45) en la déduisant directement des
principes du calcul des probabilités, suivant une méthode qui
nous a été obligeamment indiquée par M. Schols. Voici, dans ses
développements essentiels, cette ingénieuse démonstration, telle
qu'elle nous a été communiquée par lui.

Qu'on se représente connue l'opinion de tous les votants, à
l’exception d’un seul: « appartenant à la majorité, b—1 à la
minorité, et un étant indécis. Si alors nous désignons par V la
demi-difiérence entre & et b—1, la probabilité d’un partage en
m bureaux votant pour et n bureaux votant contre devra être
représentée par p +?

n.n

si le votant douteux se joint à la majorité, mais par

s’il se rallle à la minorité.

90 D. J. KORTEWEG. SUR LA PROBABILITÉ

Entre les « votants pour, les b votants contre et le votant
douteux, il y a maintenant

permutations possibles, qui peuvent être considérées comme des
cas de probabilité égale. La plus grande partie de ces cas sont
ou bien favorables ou bien défavorables à la supposition P,,,,
quel que soit le parti auquel s'arrête le votant douteux, qu'il
vote pour, ou qu'il vote contre. Pour un certain nombre de per-
mutations, toutefois, l'influence de cette voix unique est suffisante
pour changer le cas de favorable en défavorable, ou vice-versà ;

2 2 Q , + - P—i
or, ce sont ces cas qui produisent la différence entre P ‘et P
m.n nm.n

et nous allons en conséquence chercher à en déterminer le nombre.

A cet effet, nous Yemarquerons d’abord que la voix douteuse, —
s étant wmpair, — ne pourra faire pencher la balance de son côté
que si, dans la section dont elle fait partie, 1l y a tout juste
1(s—1) votants pour, et par conséquent aussi E(s— 1) votants
contre. Le nombre des cas, également probables, où cette cir-
constance se présente, est facile à calculer. Il est exprimé par:

s! (k— 1) 5!
L(s— 1) L(s—1)/ a—1s+ 1 b—1s—1/7

. . (48)
en effet, partant d’un cas unique, dans lequel la condition est
remplie, on peut, sans troubler cette condition, permuter les votants

s!

3 (1) 4 (AY

fois dans la section où se trouve la voix douteuse, et
(ke — 1) s!
1
a— is +1 b—1is— 1

fois en dehors de cette section; tandis que, en outre, la voix
douteuse peut entrer dans chacune des k sections.

DES DIVERS RÉSULTATS POSSIBLES D'UNE ÉLECTION ETC. 91

Mais il s’en faut de beaucoup que tous les cas (48) puissent
de favorables devenir contraires, selon que la voix douteuse vote
pour ou contre. Celle-ci ne pourra exercer une pareille influence
que lorsque, des £—1 autres sections, ou bien m—1 ou bien
m appartiennent au groupe pour, et par conséquent # ou n—1
au groupe contre; seulement alors, en effet, le vote émis par la
section douteuse pourra, oui ou non, élever le nombre des sec-
tions pour à m, ou le maintenir, oui ou non, à m.

Considérons maintenant en premier lieu les cas où, des 4—1
autres sections, il y en à #—Î1 dans lesquelles triomphe la
majorité, et # qui donnent l’avantage à la minorité. Le nombre
de ces cas se trouvera, évidemment, en multiphant le nombre
total (48) par la probabilité que (4—1)s votants, dont «—1s +1
pour et b—1s—1 contre, se partagent de telle sorte en (k—1)
sections, que »#—1 de celles-ci votent pour et n contre. Or, si
l’on remarque que la demi-différence entre la majorité et la minorité
est alors de nouveau 1 (a—b + 1), on voit que la probabilité

en question est exprimée par
z

è ,
m—]l.n

et le nombre des cas cherchés par

s! (£—1) s! sé | (49)

1 (s—1)! LUTERN TT RE PAT a—1s—1! m1."

k.

Tous ces cas deviendront favorables si la voix douteuse vote
pour, défavorables si elle vote contre. Ils appartiennent donc
+

! FN 7 Ë PEU | ef
à la probabilité P , et non à la probabilité P

n.n nm .n

En revanche, le nombre des cas où, des k—1 autres sections,

_ m votent pour et n—1 contre, est représenté par

sl (k—1) 5! v
DEC NNNE Nanterre VF (50)

0 1) A7
S L m.n—]l

k.

L2/

et ces cas deviennent favorables si la voix douteuse vote
pour, défavorables si elle vote contre. Ils appartiennent donc à

99 D. J. KORTEWEG. SUR LA PROBABILITÉ

1

‘
P *, et non à P ”; et comme ces deux probabilités possèdent

m.n nm .n
en commun tous les autres cas favorables, la différence entre
(49) et (50) exprimera l’excès du nombre des cas favorables de

ES ; Et L 1
P ‘ sur celui des cas favorables de P ‘. Si l’on observe
nm .n

m.n

maintenant que dans l’une et l’autre de ces probabilités le nombre
des cas favorables doit être divisé par l'expression (47), il sera
évident qu'on a:

por — pu =
s! (4—1) 5!
k a INT RSR
L(s—1)/1($—1)!" a—1s+ 17 b—1 reel Pr ) (51)
== Le! TA m—1n mn—1)) |
a! b—1!

relation qui est valable pour un petit et pour un grand nombre
de votants, mais avec la restriction que s soit impor.

$ 11. Pour simplifier davantage, nous écrivons cette formule
(51) d’abord sous la forme

pie pi Æ ms |
=) (k—1) s! | "
SA) (sr 'a—is+}/ bis p” | (52)
n ks—1! } (P — +
ab 2447

de manière qu'elle ne contienne pour facteurs que des coefficients
binomiaux ; ensuite nous appliquons la formule d’approximation (13),

qui nous donne, — mais seulement pour de grands nombres de
votants, —

V+:1 HET 4

P: ESPN C'OPRRE
nm.n RENE ES mn.
1 dV
Ds Sd. se Gr Ne r
My EU e Œ- De Œ=D(P, 1 )
a (k—1)(s—1)s m—]l.n mn—1) ?

DES DIVERS RÉSULTATS POSSIBLES D'UNE ÉLECTION ETC. 98

ou, du moins lorsque s n'est pas trop petit,

d . P l/ DE ne l'A VF
PE cr ia
dV a(k—1) s° eue (nu Po) ;

expression qui, à l’aide de (32), se transforme en celle-ci:

R
ad :P ENUEXT R?

a AGO ( à ne )
4R SRALT tT de GRMMU EE UE L

laquelle est identique à (45).

NOTE ADDITIONNELLE.

Bien que ce qui précède puisse être considéré, jusqu'à un
certain point, comme un ensemble complet, — puisque les for-
mules (F)—(H) fournissent une solution algébrique qui satisfait à
toutes les conditions, et qui devient indubitablement d'autant
plus approchée que les votants sont plus nombreux, pour être
enfin théoriquement exacte dans l'hypothèse d’un nombre infini
de votants, — il reste d’un autre côté encore beaucoup à faire,
comme J'espère pouvoir le montrer plus tard. Il faudra tâcher
surtout d'arriver à des évaluations numériques. Une méthode
générale pour le calcul de l'intégrale (G) devra être cherchée.
Pour les cas les plus simples, de trois, quatre, cinq sections,
il y aura à établir des séries convergentes propres au calcul des
difiérentes valeurs de P,,. De plus, une attention spéciale devra
être accordée aux probabilités P°,, c’est-à-dire, aux probabilités
des différents. partages possibles en sections votant pour et en
sections volant contre, dans le cas remarquable où les partis
sont de force numérique égale. Enfin, il conviendrait de donner,

94 D. J. KORTEWEG. SUR LA PROBABILITÉ

pour un ou plusieurs cas, la discussion détallée des résultats
numériques, éclaircie au moyen de représentations graphiques.
Ici, nous voulons seulement appeler provisoirement l'attention
sur une loi qui découle immédiatement de nos formules. Toutes
les formules (F)—(H) montrent, en effet, que la probabilité P, ,
dépend exclusivement de À, c’est-à-dire, du rapport entre la
demi-différence V des votants pour et contre et la racime carrée
du nombre de votants dans chaque section. Cette loi peut être
formulée ainsi :

Pour un nombre donné de sections et un grand nombre de
votants, les probabilités des différents partages possibles en sec-
hions votant pour et en sections votant contre restent les mêmes.
tant que la différence entre la majorité et la minorité varie
proporlhionnellement à la racine carrée du nombre total des
volants.

En d’autres termes, si le nombre des votants augmente, il
suffit que la différence entre la majorité et la minorité augmente
en raison de la racine carrée, pour que les probabilités n'éprou-
vent aucune variation, Gette différence devient donc alors une
fraction graduellement décroissante du nombre des votants. Or,
en admettant initialement une différence suffisamment grande
entre la majorité et la minorité, il est clair qu'on peut rendre
la probabilité d’un résultat homogène du vote aussi voisine de
l'unité qu'on le veut. Si alors on augmente le nombre total des
votants, et que la probabilité en faveur d’un pareil résultat reste
la même, la différence entre la majorité et la minorité deviendra,
par rapport au nombre des votants, une fraction de plus en
plus petite, qu'on pourra faire approcher de zéro autant qu'on
le voudra.

Une majorité qui, exprimée en tant pour cent, surpasse la
minorité aussi peu quon le veut, suffira, si le nombre des votants
est assez grand, pour donner au résultat homogène du vote
des sections une probabilité qui approche de l'unité autant qu'on
le voudra. |

DES DIVERS RÉSULTATS POSSIBLES D'UNE ÉLECTION ETC. 9

Lorsque la majorité et la minorité sont exactement de même
force, on a R—0, et bien qu'alors, — comme nous le ferons
voir plus tard, — il ne soit pas permis, sans examen ultérieur, de
substituer simplement À — 0 dans les formules (F)—(H), pour

0 e inc 0 — }; R À
eue Pt. oon nen a pas moins P°,-— lim. P* , et par

suite P° est indépendant du nombre des votants.

m.n

Si les deux partis sont de force numérique égale, et qu'il y
ait un nombre suffisant de votants, les probabilités des différents
partages possibles en sections votant pour et en sechions votant
contre sont des nombres constants, à condition seulement que le
nombre des sections reste le même.

Gette loi ne subsiste pas pour de petits nombres de votants;
il faut donc l'entendre en ce sens, que les probabilités sus-
dites sont en réalité un peu variables avec le nombre total
des votants, mais tendent rapidement vers une limite fixe,
qui théoriquement n’est atteinte que pour des votants en
nombre infini.

BRrepaA, 11 Avril 1875.

SUR

L’'HYDRURE CUIVREUX,

PAR

W. K. J. SCHOOR.

En 1845 M. Wurtz découvrit la combinaison du cuivre et de
l'hydrogène. Le procédé qu'il à indiqué pour la préparation de cette
substance n’est pas d’une exécution commode, et la combinaison |
sèche est très inconstante, car elle se décompose déjà à 95° C.

Gette circonstance est un obstacle à l'emploi de lhydrure cui-
vreux comme source d'hydrogène naissant dans diverses réactions.

Par hasard, j'ai trouvé un nouveau mode de préparation,
qui se distingue par une facilité beaucoup plus grande. Quand on
ajoute au métal zinc, avec l'acide sulfurique dilué, une solution
de sulfate de cuivre, la réaction commence aussitôt et l’hydrure
cuivreux se forme.

Après qu'on a filtré et lavé la substance, elle se présente sous
l'aspect d’une poudre brune, qui dégage, quand on y ajoute de
l’eau pure, du gaz hydrogène. ;

La réaction sur l'acide chlorhydrique est très remarquable et
énergique. Le gaz hydrogène qui se dégage est abondant et d’une
pureté parfaite. Le corps en dissolution dans lacide chlorhydrique
est le chlorure cuivreux. On peut précipiter l’hydrate d’oxydule de
cuivre à l’état d’une poudre jaune.

Le résultat obtenu me fait conclure que la substance formée
de la manière décrite est l’hydrure cuivreux Cu, H,.

NOTE

SUR LE

MOUVEMENT ELLIPTIQUE,

PAR

G. F. W. BAEHR.

On sait qu'un point matériel, attiré vers un centre fixe en
raison inverse du carré de la distance, déerit une ellipse dont
le centre d'attraction est un des foyers, quand sa vitesse initiale
v, ne passe pas par ce centre et est moindre que la vitesse v,
qu’il aurait au centre s’il y tombait Nbrement avec une accélération
constante et égale à celle de l'attraction dans sa position initiale.

L'équation de cette ellipse par rapport à ses axes principaux est
2

x? Les
Hanoi À ea rare
C2 6

où 4 est l'accélération de l’attraction à l’unité de distance; du
théorème des forces vives on déduit pour la constante C

r, étant le rayon vecteur initial, tandis que le théorème des aires
donne pour la constante C,
dé = Sur
en désignant par g l'angle entre les directions de x, et de v,.
Initialement l'accélération de l'attraction est:
102
Fe

ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XIL. 7!

98 G. F. W. BAEHR. NOTE SUR LE MOUVEMENT ELLIPTIQUE.

et l’on a pour la vitesse v,, désignée ci-dessus,

9

Ju se ;
V, = » d'où HZ SToU,.
0

Si l’on introduit v, au lieu de “, on trouve pour les demi-axes
de l’ellipse

M PRET CMOS RUE Fo Vo Sin
C Av?—v}) 1/0 1 (0 2 —v
et par conséquent
GSin Eu ee
RE 7)

ce qui, dans la supposition de v, <v,, est toujours plus grand
que l’unité, en sorte que « est le demi-grand axe passant par le
foyer et dont la longueur est indépendante de la direction de v,.
Toutes les trajectoires elliptiques, décrites autour du même centre
d'attraction, avec des vitesses initiales égales mais de directions
différentes, ont des grands axes égaux mais dirigés différemment.

On déduit de ce qui précède une construction géométrique
très-simple pour la trajectoire.

Supposons premièrement 8 — 90°, c’est-à-dire que la vitesse
iniliale soit perpendiculaire au rayon vecteur, dont la direction
sera alors la direction du grand axe. La vitesse initiale v, étant
donnée, on peut considérer comme connu le rapport de cette
vitesse à la vitesse v,, et représenter ces deux quantités par
deux droites quelconques qui sont entre elles dans ce rapport.

Soit ainsi, fig. À PI. INT, S le centre d'attraction, P la position
initiale du mobile attiré, PA, perpendiculaire à SP. la direction
de v,, et représentons cette vitesse par SP — r,,. Si alors on décrit
du centre S, avec la droite qui d'après le rapport connu doit
représenter v,, un arc de cercle qui coupe PA en B; quon
prolonge la perpendiculaire PC sur SB jusqu’à ce qu'elle rencontre
la perpendiculaire SD sur SP en D, et qu'enfin on mène par D
une parallèle à BS jusqu'à ce qu’elle rencontre le prolongement
de PS en P', alors P' sera l’autre sommet, et PP’ le grand
axe de lellipse.

G. F. W. BAEHR. NOTE SUR LE MOUVEMENT ELLIPTIQUE. 99

En effet, on voit dans la figure que l’on a

RDS PCT: DS — PS: PE
ou
Det Sur Mn Ph,
donc PP'— 24.

Connaissant le grand axe et l’un des foyers, le reste s’en déduit
immédiatement; le milieu M de PP’ est le centre, MS l’excen-
tricité, et par conséquent, dans ce cas où v, est perpendiculaire
à ro, SD sera la longueur du demi-petit axe.

L'analyse donne pour le temps T d’une révolution,

Pa V FA
u
mais, d'après ce qui précède, on a
rm ravi

de sorte que l’on peut écrire

di 27Ta
ce qui montre que le temps de révolution est le même que célui
d'un mobile, qui se meut dans le cercle décrit sur le grand axe
comme diamètre, avec une vitesse uniforme représentée par PB.

Dans la figure, on voit que le centre de l’ellipse coincidera avec
le centre S de l'attraction, ou que la trajectoire sera un cercle,
quand, l'angle BSP — 45°, donc quand v/ = iv}. Le centre
d'attraction sera le foyer le plus rapproché ou le plus éloigné
du sommet initial, suivant que l’angle BSP est plus petit ou plus
grand que 45°, ou v plus grand ou plus petit que iv.

Si la direction de la vitesse initiale fait un angle quelconque
avec le rayon vecteur imitial, on peut déterminer comme dans
le cas précédent la longueur du grand axe et le temps d’une
révolution, qui sont indépendants de cette direction. Soit ensuite,
fig. 2, PA la direction de v,, on trouvera l’autre foyer S' de
lelhipse en faisant < APS' = < A'PS, et prenant PS'— 9a—PS ;
SS” est alors la direction du grand axe, et le milieu M de SS’
le centre de l’elipse. Pour les différentes directions du grand axe,

7+

400 G. F. W. BAENR. NOTE SUR LE MOUVEMENT ELLIPTIQUE.

la distance PS" reste constante, et par conséquent aussi la lon-
oueur de MO parallèle à PS, qui de plus passera toujours par
le même point O0, milieu de SP. Ainsi le lieu géométrique du
centre des différentes trajectoires que lon obtient en variant la
direction de la vitesse initiale, dont la grandeur reste constante,
est un cercle qui a son centre au milleu du rayon vecteur
initial, et dont le rayon est égal à la moitié de la différence du
orand axe avec le rayon vecteur initial. On voit par là comment
on peut construire le lieu géométrique des sommets, qui présente
encore ce cas remarquable:

Si la vitesse initiale est en grandeur telle. que, pour une direction
perpendiculaire au rayon vecteur, la trajectoire serait un cerclé,
on a, pour une direction quelconque, PS’ = PS; alors PM sera
toujours perpendiculaire à SS”', SS’ parallèle à PA, et le cercle
des centres M sera le cercle décrit sur PS comme diamètre.
Donc, alors les grands axes des trajectoires seront parallèles à la

vitesse initiale, la position initiale P du mobile sera un des sommets

du petit axe, le lieu de l’autre sommet de cet axe sera le cercle
de rayon SP décrit du centre S, et le lieu des sommets du
orand axe sera la courbe nommée limacon de Pascal.

Quand l'attraction est en raison directe de la distance, on a,
prenant l’axe des x suivant le rayon vecteur imitial et l'axe des
y, ou 00, parallèle à la vitesse initiale PV, pour l'équation de
la trajectoire elliptique

x? ue

C 2. ai n
RS Vo

u

,

où r, = OP, fig. 8, et où , représente l'attraction sur l’unité de
masse à l’unité de distance; les axes des coordonnées sont deux
diamètres conjugués.

On trouve pour la vitesse v, que le mobile aurait au centre O,
en partant sans vitesse initiale de P, et se mouvant sous l’action
d'une force directement proportionnelle à la distance,

VEN AE

G. FE. W. BAEHR. NOTE SUR LE MOUVEMENT ELLIPTIQUE. 101

en sorte que l’on à

v
D

ou

DEMO UE VS
ce qui détermine entièrement la trajectoire quand on connait le
rapport de v, à v..

Le temps T d’une révolution est donné par la formule

DT
A
Lu
ou, introduisant v,,
Ti A7, |
U

ce temps, qui d'ailleurs ne dépend que de la constante , de
lattraction, est donc le même que celui d’une révolution d’un
mobile qui parcourt, avec une vitesse uniforme égale à la vitesse
finale v,, le cercle décrit avec le rayon vecteur initial.

Si le mobile est venu dans un point À de sa trajectoire, sa
vitesse est parallèle au diamètre OB conjugué de OA, et inver-
sement proportionnelle à la perpendiculaire OC abaissée du centre
des forces sur sa direction. Mais, d’après une propriété de l’ellipse,
l'aire du parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués
étant constante, la perpendiculaire OC est inversement propor-
üonnelle au demi-diamètre OB, et par conséquent la vitesse elle-
même est directement proportionnelle à OB. Si donc on représente
la vitesse initiale par le demi-diamêtre OQ qui lui est parallèle,
la direction et la grandeur de la vitesse dans un point quelconque
de la courbe seront celles du diamètre conjugué du rayon vecteur.
Ainsi la trajectoire, dans ce cas de mouvement libre d’un point
matériel, est en même temps la courbe nommée hodographe.

Dezsrt, Janvier 1877.

LA

FORMULE D'INTERPOLATION DE TCHÉBYCHEFF

SUIVANT LA MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS,

Ch. M. SCHOLS.

$ 1. Dans la pratique il arrive fréquemment que, pour différentes
valeurs de la variable x, les valeurs d’une fonction U = f(x) :
ont été trouvées par des mesures. Les résultats de ces mesures
peuvent alors servir à déterminer, suivant la méthode des momdres
carrés, les valeurs les plus probables des constantes qui entrent
dans la fonction.

Souvent la forme de la fonction U est totalement ou partiel-
lement inconnue. Si cette forme est inconnue en partie, la fonction
U peut être remplacée par une formule d’interpolation de la forme :

U—=Fy,=F (A+ A"x+A a+... HA, aMTiEA «"), (1)
où F est une fonction connue de x. Si la forme de la fonction est
entièrement inconnue, 1l n’y a qu'à mettre, dans l'expression
précédente, l’unité au lieu de F. Cette dernière supposition ne
constitue donc qu'un cas particulier de la première, de sorte
qu'il suffit de considérer le cas général, exprimé par la form. (1).

Il est impossible de décider à priori jusqu'à quelle puissance
doit s'élever la série y,, c’est-à-dire, quelle valeur il faut attribuer
à m; cela peut seulement se faire après la détermination des
coefficients A, en exaMinant jusqu'à quel point les résultats

CH. M. SCHOLS. LA FORMULE D INTERPOLATION ETC. 103

déduits de la formule (1), à l’aide de ces coefficients, concordent
avec les observations. On peut, en effet, chercher l'erreur moyenne
d'une observation isolée, et s'il se trouve qu’elle différe peu de
Verreur moyenne d’une observation isolée obtenue par une autre
voie, # aura été bien choisi; s’il n’en est pas amsi, on devra
prendre pour "»m une valeur plus grande et déterminer de nouveau
les coefficients A.

$ 2. Pour éviter cet embarras, M. P. Tchébychef a développé
des formules par lesquelles le polynome w,, se calcule successivement
pour .m—0, 1, 2, 3 etc., et par lesquelles est trouvée, en
outre, l'erreur moyenne d’une observation isolée, de sorte qu’on
peut s'assurer chaque fois si l’on a calculé assez de termes de ce
polynome et si, par conséquent, le développement peut être arrêté.

Les formules dont il s’agit ont été données, pour le cas F—1,
dans les Mémorres de l’Académie des sciences de St. Pétersbourg
VIII Série, & 1, n° 15, 1859, et, pour le cas général, dans les
Mémoires couronnés de l'Académie royale de Belgique, collection
in—8°, t& XXI, 1870, et dans la Balistique extérieure de
M. N. Mayevski, Paris, 1872.

Mais la démonstration de ces formules doit être cherchée dans
un travall de M. Tchébychef sur les fractions continues, inséré
au tome IT des Mémoires savants de l’Académie impériale des
sciences, pour la 1e et la 5e classe, travail dont une traduction
française à été publiée dans le Journal de Mathématiques de
Liouville, 2 Série, t. III, 1858 |

La nature compliquée de cette démonstration, qui repose en-
üérement sur la théorie des fractions continues, est peut-être une
des causes pour lesquelles ces formules ne sont pas aussi géné-
ralement connues qu'elles méritent de l'être.

M. E. Jouffreit en a donné, dans un mémoire: Sur l'établissement
et l'usage des tables de tir (Revue d'Artillerie, 1873—74), une
démonstration plus élémentaire, qui toutefois est encore un peu
prohxe, attendu que les formules en question y sont déduites d’un
autre système de formules, qui elles aussi ont dû être préala-
blement établies.

1404 CH. M. SCHOLS. LA FORMULE D'INTERPOLATION DE

J'ai réussi à trouver pour les formules de Tchébychef une
démonstration directe, de laquelle, en outre, ressort clairement
la signification des grandeurs qui entrent dans ces formules.

$ 3. A la formule d’interpolation (1) nous pouvons toujours
en substituer une autre, de la forme:

UF =F(K 640 +Riv, Roy, +. Rnb FKavn). (2)
où

ne mt)
représente un polynome de la puissance p et à p coefficients C
arbitrairement choisis, pourvu seulement que les m + 1 grandeurs
K soient déterminées d’après la théorie des moindres carrés.

Si l’on a maintenant trouvé pour » valeurs différentes de x,
à Savol, pOur &,, Æ,, &3 .... %, les valeurs correspondantes
Min oo Us ce. Un de Us avec (les DOTE 7e:
la théorie des moindres carrés donne, pour déterminer les gran-
deurs K, les équations normales suivantes:

[ouFw, | ca L9E vo [Ko+l9F vo y, |K, 3 . Do [gF'w, Km
Cour, | = [or vo v, ]Ko+[9 Fu K, +. +[ 98 vu, ]k, (4

el, + Ve" ïe \he ; le. æl%ulke), Life) Le eff le e71v81 er elle le ete D SENS Re oi To one

Loue, | = [arcs ]Ro +9 ve, vu KR, +. [9 Eu Ru.

P s? DEL D D
Yp = À ER CET = Cor

Parmi tous les systèmes de valeurs qui peuvent être choisis
pour les Em (m + 1) coefficients C, il y en a un par lequel les
grandeurs K acquièrent des propriétés particulières. Si, en eflet,
nous déterminons ces coefficients de telle sorte qu'ils satisfassent
aux 4m (m + 1) équations:

[ 9 F pv | = 0 5 RTS (9)

toutes les grandeurs K deviennent indépendantes l’une de l’autre
et sont déterminées par l'équation:

. [guFw, |

— PE D

Ky

TCHÉBYCHEF SUIVANT LA MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS. 105

avec le poids

po) SERRES, est (7)

En outre, la série (2) possède alors la propriété particulière
de toujours donner, à quelque terme K,w, qu'on larrête, Îles
coefficients les plus probables du polynome de la puissance p.

S 4 La fonction »,, étant un polynome de la puissance p,
à p constantes, peut toujours être remplacée par l'expression

YW= LV + [1 AENTATEES == Dieu ae ere SE Div, + D6y, ere (8)

où les lettres D représentent p nouvelles constantes. En multipliant
cette équation par gF2?w,, et sommant pour toutes les observations,
on obtient, en vertu de (9), si g est = p + 1:

[gx F'v, ve | — Ur

d’où 1l suit qu'on a:

à moins que la différence de p et q ne soit l'unité ou zéro.
Mais si qg est <p—3, cette sommation donne:

0 [yeF win] + D[yr°v]

d’où 1l résulte, en tenant compte de (9), que tous les coefficients
D sont égaux à zéro, sauf les deux coefficients D,_, et D,_,
que nous représenterons dans la suite par —b, et —a,. L’équation
(8) se transforme donc en celle-ci:

D Co AU QU... (10)

à l’aide de laquelle toutes les fonctions y peuvent être calculées
aussitôt que les coefficients « et b sont connus.

106 CH. M. SCHOLS. LA FORMULE D'INTERPOLATION DE

$ 5. Multiplions l'équation (10) par gF?x1, et sommons pour
toutes les observations, on obtient:

|; 1 = [: is ur ol NE E RS ve | —4, [; F°w Le]

ou, posant en général:

Lorvs] = (D. 4). SUN (11)
(p.49)=(p—1.q+1)—b (p—1.g)—a, (p—2. 4) . (12)

Toutes les grandeurs (p.q) sont maintenant égales à zéro,
tant qu'on a p = gq; car de (5) 1l suit, à cause de y, =1:

0 = Lee | = [or | (Re

tant qu'on à p => 0. Faisant maintenant g — 0 dans (12), on
obtient, en vertu de l'égalité précédente: (p—1.1)=Ù, tant
qu'on à p-—2> 0 ou p—1 > 1, c’est-à-dire: (p.1)—=0, tant
qu'on a p= 1. En continuant de la sorte, et faisant successivement
qg=1, 2, 3.... (p—3) dans l'équation (12), on trouve d’une
manière générale :

tant que p est > 4.
Faisons ensuite, dans (12), 9 = p—2, il en résulte:
0=(p—1.p—1) — a, (p—2.p—2),
ou:

_ (PAST OR 14
% — fiers 2 2) CO (14)

enfin, par la substitution 49 = p—1, on trouve:

0 (p—1 9), (pi pA1) a (pe 2 pen

TCHÉBYCHEF SUIVANT LA MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS. 1407
Ou :

= ip) (21) (pp) (ppt)

D tnt) (pp 1) (p=-2p—2
.Les trois équations (12), (14) et (15) suffisent pour qu’on
puisse calculer toutes les grandeurs (p.q), a et b, en partant
des valeurs de (0.4), pour lesquelles on trouve, d’après (11):

er [or vo | = | gr° | Le (16)

et qui par conséquent sont exprimées directement en fonction
des données du problème. L'ordre dans lequel le calcul s'exécute
le plus facilement sera indiqué plus lom.

$ 6. Lorsque les fonctions w sont connues, les grandeurs K
peuvent être calculées au moyen de (6), mais cela peut se faire
d'une manière plus simple en exprimant K, en K,_,, K,_, ....
K,, K . De (5), il suit en effet:

(m.p)= | œ

Un—1.p) = [orv, |

—— 2e P
(p+1.p) — [se 2

|
ae |
|

108 CH. M. SCHOLS. LA FORMULE D INTERPOLATION DE

En additionnant toutes ces équations, après les avoir multiphiées
par None nr K, KR OK K,, K,. et’en tenant

m ? 9 p ? p—1 e nfsl ss

compte de (2) et de (13), on trouve:
PP)K, + (1, +. + (pi + Op 9 oc |.

Mais, par l’application de la méthode des moindres carrés à
équation (1), nous obtenons, attendu que le coefficient de

A” est Fx”:
D
[our | == [1° P, a | ,

de sorte que nous trouvons finalement pour la valeur de K,:

Loto’ | (1.78, à. — (pk: —(0.p)K

Ko—
1 (p.p)

. (7)

Il convient de remarquer que le dénominateur de K, est ici
le même que dans (6), car de l’éq. (3), en multipliant par
gF y, et sommant pour toutes les observations, il résulte, les
éq. (11) et (13) étant prises en considération:

EPA À PA ES Pr SA 0°) 21072
(18)

$ 7. Posons:

+K vw) (49)

Mm—1 Mm M

y

m—1

A, — u—Fop, — u—F(K, y 0 QUE K 11 Vs SE ne K

l'erreur movenne de l’unité de poids est alors exprimée par:

TCHÉBYCHEF SUIVANT LA MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS. 109

de sorte qu'il s’agit surtout de calculer la grandeur | ga, |: or,
de (19) on déduit:

[, | —= DNUTEUNTEEE ee ) «| —_—

[er | fe K° [us | a K° [sr | L K° re
Ï

+ une série de termes de la forme: 2XKK [9 au

expression qui, en vertu de (5), (6) et (18), se change en celle-ci:

[2° |= [ou | — CO AAE Grn)E

mn

pour laquelle nous pouvons aussi écrire:

Comme les grandeurs K, sont indépendantes l’une de l'autre,
et que leur poids est exprimé par (p.p), nous trouvons immé-
diatement pour l’erreur moyenne de U, calculée d’après (2):

y” y | y,
En se 0) Et Ce (m.m)

. (29)

F

$ 8 Pour terminer, nous exposerons l’ordre dans lequel les
diverses grandeurs sont calculées:

410 CH. M. SCHOLS. LA FORMULE D INTERPOLATION DE

Ko Yo.
RE [gF° ]
— [guF]
Si (0.0)
Wir À
| 4 | — | qu | — (0.0) K°
K, w, |
(04) = TR? (0.2) =[yF°x?]
in L
(0.1) #
pret 1.1) = (0.2) —b, (0.1
(Go) (1.1) = (0.2)—b, (0.1)
k = DPel— ODRK,
(1.1)
Yi —= 2—b,
[va | — [sa | — (1.1) K
K, y:
(DS) = lo rA (0.4) = [gl 2x]
(4.2) = (0.3)—+, (0.9) (1.3) = (0.4)—0, (0.3)
41)
an
ete) (0M) (Fe 1 HS MNOEE,
trou on (2.9) = (1.3)—b, (1.2) —a, (0.2)

TCHÉBYCHEF SUIVANT LA MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS. 111

K —LouFs?]—(0.2)K;—(12%K,
ee (2.9)

(x D,) #06

[sa | = [sa | —(2.2)K,

K, vw;
MENITORPS (00) = Jar 7"
(1.4) = (0.5)—b, (0.4) (1.5) —(0.6)—b, (0.5)
. 23)=(41.4—b,(13)—4,(0.3) (2.4 = (1.5) —b,(1.4)—a, (0.4)
_ (29
“CET
nu) (12) na EU Ve ne
Des an (3.3) = (2.9 b:(2.3)—a.(1.3)
K _{[guFr°]—(0.3)K,—(1.3)K, —(2.5)K,
+3 (25)

Va —= (xz—b;) Yi Ÿ:

[sa | — [sa, |-63x

m Ym

(0.2m—1) = [gF?x2%-1]

(1.2m—2) — (0.2m—1) — b,(0.2m—9)

(2.%m—3) = (1,2m—2) — b, (1.2m—3) — a, (0.2m—3)
(B9m 4) — (2.2m—3) — b,(2.2m-—4) — a,(1.2m—4)

(m1 m) = (m—2.m +1) — b,_(m—2m)—a,_ (m—3.m )

412 CH. M. SCHOLS. LA FORMULE D'INTERPOLATION ETC.

Feel (m—1.m—1)
(in —2.m—2)
Do (m—1.m) (m—2.m—1)
" (m—1iim—1) (m—.m—9)
(0.2m)=| 98? x?" |

(1. 2m—1)= (0.2m) —_b, (0.2m—1) |
(2.2m—2;=(1.2m—-1)—b, (1. 2m—2) —a, (0.2m—2)

e_ + ee © +, © “ee : eo je +), :5 ea er ethte'mn e. le L'olu /e Co OS SR

(m—! um +1)=(m—2.m+2)—0,_.(m-2.m+1)-a, _.(m-3.m+1)

(m.m)=(m—1{.m+1)--b,(m—1{.m)—a,{(m—.m).

de (m.m)
Le = (2— b) AE LT AU PER

[ 4 = [ sai 1 . |- (m. Gnm)K”

BrepA, Mai 1875.

THÉORIE

NOMBRES COMPLEXES ET BICOMPLEXES,

PAR

A. BENTHEM Gz.':)

CHAPITRE LI

LES FONCTIONS ALGÉBRIQUES DE NOMBRES COMPLEXES CONSTANTS.

QE:
Les formes complexes ordinaires.

1. Si, dans un plan quelconque V, on prend un point fixe O
pour point de départ (origine), et pour axe une ligne droite OX,
menée par ce point O et supposée indéfiniment prolongée, chaque
point P du plan V est complètement déterminé par sa distance
au point Ô et par la direction de la droite OP qui joint ces deux
points Cette direction est donnée par l’angle que la ligne de
jonction OP fait avec OX, c’est-à-dire, par l’angle que OX devrait
parcourir, en tournant autour du point OÔ, pour arriver dans la
position OP (fig. 1). Cette rotation peut se faire de deux manières:
dans le sens du mouvement des aiguilles d’une montre, et dans
le sens opposé. La seconde rotation est dite positive, la première

:) (Œxtrait d’un Mémoire publié, sous le titre de Theorie der functien van veran-
derlijke complexe getallen door Dr. A. Benthem Gz., dans le Nieuw Archief van
het Wiskundig Genootschap: ,,Een onvermoeide arbeid komt alles te boven”,
RAI LE et IIT).

ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XII. 8

414 A. BENTHEM GZ. THÉORIE DES NOMBRES COMPLEXES

négative ; c’est ainsi que angle XOP— + 60° et angle XOP ,—=— 60°.
Si donc la longueur de OP est égale à celle de OP, , égale à ,
et qu'on indique la direction de la droite de jonction d’un point
avec le point Ô en plaçant derrière la longueur de cette droite
une flèche f, et derrière celle-ci l’angle que la droite fait avec OX,
le, point P est déterminé par l'expression rf60°, et le point P,
par rf— 60° ou r f 300°. Le point P, sur la ligne OX est indiqué,
dans ce mode d'expression, par rf0°, et le point P, sur OX,
par r1180°.

Mais on peut aussi se figurer les angles exprimés par des arcs,
: ji < TT
et ceux-ci mesurés en rayons; on a alors P,rÎ7, Pris
TT 37 TT Da +
Pr 3 IE rT: P: rΗ 3 ou rl etc. On voit par

là que les directions (états) positive et négative, regardées comme
seules possibles dans la théorie des nombres, se présentent ici
comme des cas particuliers, indiqués par f0 et par f 1802 ou fx.

2. La définition d’un point dans un plan, telle qu'elle vient
d’être donnée, est entièrement conforme à celle qu'on adopte en
géométrie supérieure, lorsqu'on emploie des coordonnées polaires :
le point O est le pôle, OX l'axe, r le rayon vecteur ou module,
et l'angle XOP l'amplitude du point P. Tandis que , dans cette
définition, marque simplement la distance à laquelle le point
désigné se trouve de l’origine O, l’angle XOP fait connaître non-
seulement la direction du rayon vecteur, mais aussi la manière
dont il est parvenu dans cette position. Pour OP, = P,0 =a,
par exemple, les expressions af 0, af27, af4x, af— 2x, etc.
désignent toutes le point P,; mais, en outre, elles montrent
clairement après combien de rotations de la droite OX le point
P, est arrivé à cette position, et dans quel sens ces rotations
ont eu lieu. De même af—7, af3x, af—5x, etc. marquent

toutes le point P, ; als : ai : je etc. le point P,

et ainsi de suite.

ET BICOMPLEXES. 415

3. Pour la situation même du pot, il est sans doute indifférent
qu'il y soit arrivé de telle ou de telle manière; mais cela n’est plus
du tout le cas lorsque l'indicateur de la direction, le coefficient
de direction, doit être soumis à des opérations (réductions)
(w. nos 14 et 15). Il faut alors nécessairement prendre en con-
sidération la manière dont le point a été amené dans sa position:
il faut, pour ainsi dire, tenir compte de la naissance, de l’origine
du point, et celle-ci est imdiquée par le coefficient de direction.

4. Dans les cas de beaucoup les plus nombreux ce coefficient
n’est pas connu, mais doit être déduit de données particulières,
et il arrive alors souvent qu’on ne puisse déterminer que la
situation du point, rien de plus. Si, pour un point P, situé entre
OX et OP, (fig. 1), on donne par exemple OP, —5 et tang
angle XOP, ——;, angle XOP, sera égal à — 36° 52’ 11",7, ou à
+ 323° 7' 48,5, ou encore à n.360° + 323° 7° 48,3, n ayant
une valeur entière quelconque. En posant donc angle XOP, —#,
il y a une infinité de valeurs de œ telles, que 9f représente
le point P,. On est par conséquent dans une ignorance absolue
quant au nombre des révolutions qui ont amené le point P, dans
Sa position, et quant au sens dans lequel ces révolutions se sont
effectuées. De toutes les valeurs trouvées pour y on n’en men-
tionne alors qu'une seule, ordinairement celle indiquant l’angle
que OX devrait parcourir pour prendre la position OP,, si la
rotation avait lieu dans le sens positif. Cet angle est toujours plus
petit que 360° ou 27; dans l'exemple ci-dessus, il sera de
3290 7'48",3, de sorte que le point P, sera indiqué par l’expres-
sion 2132307 48,3. En admettant ainsi une rotation déterminée,
c'est-à-dire, en fixant arbitrairement le mode de naissance du
point P,, on doit être souvent conduit à des résultats erronés,
dès que le coefficient de direction est soumis à des réductions.
Cet inconvénient ne saurait être évité par l'introduction de l’ex-
pression générale 9f(n.360° + 32307’ 483), où n peut avoir
toutes les valeurs numériques entières, tant positives que négatives ;
car lmdétermination de # susciterait des difficultés encore plus
grandes, et n’avancerait à rien.

8%

116- A. BENTHEM GZ. THÉORIE DES NOMBRES COMPLEXES

5. En présence de l’incertitude qui pèse en pareïl cas sur la
orandeur et le sens de la rotation, on a admis la distinction
suivante: l’angle 9 — 3237 48",3, qui détermine seulement la
situation du point P, par rapport au point d’origine O, est appelé
la direction directe, la direction principale de OP,, tandis que
n.360° + œ est désigné comme la direction indirecte, possible
ou générale. Les directions directes sont donc toujours données
par des angles positifs et moindres que 2x ou 360°; les angles
supérieurs ou égaux à 27 ou à 3060°, de même que les angles
négatifs, sont toujours regardés comme des directions indirectes.
La direction réelle de OP,, celle qui est en rapport avec le mode
de naissance du point P,, peut correspondre à une direction
indirecte aussi bien qu’à la direction directe; c’est ainsi que —a
peut représenter aussi bien af—7, ou af3x, etc. que af.

6. Quand rf(n.3600 + y) est réduit à rf+, la direction in-
directe se change en direction directe: mais, dans ce passage,
la vraie signification du coefficient de direction se perd: 5 f —220°
et 5f480° ne sont pas tout à fait la même chose que 5 f 120°.
Pour cette raison, on doit s'abstenir de toute réduction du coef-
ficient de direction dans tous les cas où la question ne concerne
pas exclusivement la situation d'un point.

7. Les expressions de la forme rfy sont appelées expressions
complexes, nombres complexes. Tout nombre complexe se compose
donc de deux éléments tout à fait distincts, dont le premier
représente une valeur numérique, le second une direction (état).
Deux nombres complexes, rfw et afæ, ne peuvent être égaux
que si les deux éléments constituants sont égaux chacun à chacun,
c’est-à-dire, si r—=a et g—=c; dans ce cas seul, en effet,
rfœ et af«x peuvent représenter le même point.

Un nombre complexe est zéro lorsque son module est zéro;
il représente alors le point de départ, l’origine.

Les nombres complexes dont les coefficients de direction sont
f0° ou f180°, et qui peuvent en conséquence être représentés
par + a et — a, sont dits des nombres réels; ceux-c1 sont donc
une espèce parliculière de nombres complexes.

ET BICOMPLEXES. 417

Réduction des formes complexes.

8. Tandis que les nombres réels ne représentent que deux
étais (directions) exactement opposés, et n’ont par conséquent
rapport qu'à des points situés sur une droite, un nombre com-
plexe peut désigner un point quelconque d’un plan. Les opérations
propres aux nombres réels ne sauraient donc être appliquées
telles quelles aux nombres complexes d’une nature plus générale.
Avant de pouvoir parler de la manière d'exécuter les opérations
sur -les nombres complexes, il faut d’abord établir ce qu’on doit
entendre par ces opérations; les définitions, d’ailleurs, devront
convenir à tous les cas particuliers, et par conséquent aussi aux
nombres réels. Nous nous bornerons ici à communiquer brièvement
ces définitions dans l'hypothèse qu'il s'agisse de deux nombres
seulement, en renvoyant, pour le cas d’un plus grand nombre
d'éléments et pour des détails plus circonstaneiés, au Mémoire
inséré dans le Nieuw Archief (N. A.), chap. IL.

9. Addition. Les nombres complexes af « et bT8 étant représentés
par les points P et P, (fig. 2), on entend par la somme de ces
nombres le nombre complexe cf, indiqué par un point P,, qui
est situé par rapport à l’un des points donnés, P, comme l’autre
point P, est situé pur rapport au point de départ 0.

Pnasueonirace PP, — et.|| OP... P, représente cf7; c'est
par conséquent la diagonale du parallélogramme qui a a et b pour
côtés. C’est ainsi qu'on a, par exemple:

0e — afe Fhal(r 0 ee 2aCosaf0. (1)

10. Soustraction. Par la différence de deux nombres complexes
on entend un troisième nombre complexe, qui, ajouté à l’un des
deux premiers, reproduit l’autre.

Si, comme précédemment, les points P, P, et P, (fig. 2) sont
les représentations de afc, bfP et cf7, on a afe + bf8—= cr,

118 A. BENTHEM GZ. THÉORIE DES NOMBRES COMPLEXES

et P est par conséquent la représentation de la différence af « des
nombres cf7 et bf8, figurés par P, et P,. La figure montre
qu'on a:

cf —bTB—=ctr +bf(r +8) ....... (2)
On à aussi:
alerte ele IGN Ne)

11. Multiplication. Par le produit de deux nombres complexes
af et bf8 on entend le nombre complexe abTf(e + 8), obtenu
en prenant le produit des modules dans la direction qu est
indiquée par la somme des amplhtudes.

Soient P et P, (fig. 3) les points représentant les nombres
afx et bfB; sur l’axe OX prenons OP, égal à l’unité positive ;
joignons P, à P(afc), et faisons angle P, OP, — angle P, OP
et angle OP, P, — angle OP, P; le point P, représentera alors
le nombre abf(x + 6), puisqu'on a: angle XOP, =u+8 et
OP, : OP, — OP: O0P,, et par conséquente

De l'égalité

afa+bfa+cie+...=(a+b+c+...)fe,
on tire d'ailleurs, en faisant a =—=0 ==
(ato).n = na lee ARE (4)

c’est-à-dire: pour prendre un nombre complexe un nombre entrer
(absolu) de fois, on prend autant de fois le module, en laissant
l'amplitude intacte.

12. Division. Par le quotient de deux nombres on entend un
troisième nombre, qui, mulliplié par l’un des deux premiers,
reproduit l’autre. On a donc

EL? — bT8, et par conséquent aussi:
aa
efr 114 C
TARA NSENRRE

ET BICOMPLEXES. 419

c'est-à-dire: Le quotient de deux nombres complexes est égal au
quohient des modules, pris dans la direction déterminée par la
différence des amplitudes.

Il suit de là:

nr, |
nl Ci
et en général:
b De
bo Le (1)
C C

Comme d’ailleurs un produit de deux nombres, ou un produit
continu de plusieurs nombres, parmi lesquels se trouve au moins
un nombre complexe, est toujours lui-même un nombre complexe,
le cas d’un nombre absolu, à diviser par un nombre complexe,
ne peut jamais se présenter.

13. Elévation aux puissances. Le produit continu de n facteurs,
égaux chacun à un même nombre complexe ao, est dit la
n° puissance de ce nombre complexe afce. De afe.bf8.cfr...
— abc.…..Î(« + 8 +7...) on déduit, # étant un nombre entier:

HORREUR A (à)

ce qui est le théorème de Moivre.

Ce théorème reste vrai aussi pour les valeurs négatives et frac-
tionnaires de #, comme on le voit, quant aux premières, par
les égalités successives

Et, 110%::.1 CPU er
(@To) = — —=— Î1(0—pe)=a 7Ηpe,
EN RC AE A
el, quant aux secondes, en faisant dans l’éq. (8) a —=4a,, et
ha—u,; ce changement donne, en effet: |

FRE
HE 1
(ct 7e ) ef;

et par conséquent aussi
1 1
== DE _
anf—, — CC) PRRNSNRET (0)

190 À. BENTHEM GZ. THÉORIE DES NOMBRES COMPLEXES

et en élevant à la puissance p,

quelle que soit la valeur de #, entière ou fractionnaire, on a
donc cette règle:

La n° puissance d'un nombre complexe s'obtient en prenant
la n° puissance du module, dans la direction marquée par n
fois l'amplitude.

14. Extraction des racines. Par la racine n° d'un nombre
complexe on entend un autre nombre complexe qui, élevé à la
n° puissance, reproduit le premier nombre complexe.

En vertu de la form. (9) on a donc:

Wat) =watz Re TT ,. (40)

En ce qui concerne la détermination des valeurs de x qui
satisfont aux équations 4" + 1 —0, nous nous bornerons ici aux
remarques suivantes.

Si, dans æ"— 1—0, ou x —=771, 1 doit être entendu au
sens absolu (arithmétique), x n'offre qu’une seule valeur (égale-
ment absolue), à savor æ = 1.

Mais si 1 entre dans l’équation à titre de nombre complexe + 1,
il peut y représenter

110, 119%, 1f4r,.... 119, ..,

k pouvant passer par toutes les valeurs numériques entières.
Lorsqu'on sait ce que + 1 représente, par exemple 1f4x,
x —=71/1 n'a encore qu'une valeur unique (mais maintenant

US 4x
complexe), z=1#1f#4r=—11". Dans 645 encontre.
n

où la valeur précise, représentée par + 1, n’est pas donnée,
il y a une infinité de valeurs de x qui satisfont à l'équation,
à SAVOIr: d— |

2x Xn Dkr
110; 1h, CES RATER.
ñn ñn

n

ET BICOMPLEXES. 191

Tient-on, dans ce cas, uniquement compte de la sifuation du
point qui est représenté par æ, toutes ces solutions se laissent
réduire à un nombre de valeurs: x =

D7 T )
OO 1 CO «4
n

n n

NeeoNs A. 1. c.)

15. On voit, par ce qui précède, que dans la multiplication,
la division, l'élévation aux puissances et l'extraction des racines,
les coefficients de direction suivent les règles qui sont indiquées
en Aloëébre élémentaire pour les exposants, tandis que les modules
sont traités comme des nombres arithmétiques ordinaires. Entre
Vapplication aux nombres complexes de l'extraction des racines
et celle des trois autres opérations, il existe toutefois une très
orande différence. Si l’on tient seulement compte de la situation
des points, on a les formules:

abf(e +8) = abf[(Qnx + «) + (Qn, 7 +8)],
Ste d) = [(2n7 + 4) — (2n, 70 B)],

et atîfqu—=atÎq (2nx + 0),

dans le cas où g est un nombre entier. Il suit de là qu’alors la mul-
tiplication, la division et l'élévation aux puissances (avec exposants
entiers) donnent pour les directions indirectes le même résultat
que pour les directions directes, et que dans l'application de ces
opérations on peut par conséquent entièrement négliger les direc-
tions indirectes. Dans l'extraction des racines, au contraire, ces
directions indirectes peuvent conduire à des résultats entièrement
différents, comme on l’a déjà vu plus haut.

Dans lalgèbre ordinaire, + 4 est toujours pris suivant deux
directions dans = +1, à savoir, suivant la direction directe

et une direction indirecte (2n7); + 1 n’est pris qu’en une seule
: 2n +1 Qn—1
direction, la directe, dans x = 17 +1; dans x =1"—1onne

199 A. BENTHEM GZ. THÉORIE DES NOMBRES COMPLEXES

prend — À que dans la direction indirecte (2n + 1)7; enfin on

écarte d'avance, comme une impossibilité, x—=Ÿ" —1. Laraison
de cet arbitraire se trouve dans la plus grande simplicité des
résultats ainsi obtenus, et dans la circonstance qu’on ne considère
que des nombres arithmétiques et des nombres complexes positifs
et négatifs.

$ 3.
Autre forme des nombres complexes.

16. Si l’on détermine les valeurs de x qui satisfont à l'équation

2? + 1;:= 0 MR NOR ha019)
on obtient, d'après ce qui précède:
| TT JT O7 77
in er. 17; TS LES

et en tenant uniquement compile de la situation du point,

7 TT nl 97 <
Ce SANS EE à (15)
e CS 37 ÿ
ou, puisqu'on as AE or

fl
"A ?
2

gifs et = 112 DT NE 4)

Suivant les considérations algébriques ordinaires, 1l doit être
satisfait à l’équation (12) par deux valeurs de x,

z= + VAN à re NS)

qui, de même que les précédentes (14), ne diffèrent que par

le signe ; de sorte qu’on a été conduit à attribuer à + Tete

la signification de 1 ne et à —1/—1 .1 celle de ALES ou 1e

ET BICOMPLEXES. 195

On a donc cette définition:

RL À et 1-1 ne sont que des signes, tout comme + et — ;
et de même que ces derniers indiquent qu'un point est situé sur
l'axe, de même + (CUS PARCS AR indiquent des points qui
sont situés sur la droite menée par l’origine perpendiculairement

à l'axe, et celu de facon que + L/—1 corresponde à ee el
FRS 3x
—1—1 à Η— .
Î 2

Pas plus que les signes + et —, les signes + L_—1 et —1 1
ne nous apprennent quelque chose concernant le devenir du point ;

+1 .a représente, par exemple, Glese ou 12 ou
1 nos ee 5
.. etc., et —1-—1.4a peut tenir lieu de ue ou de

at, ou de Ar etc. Lors donc qu'il s’agit de tenir compte
non-seulement de la situation du point, mais aussi de la manière
dont il y est arrivé, on ne peut faire aucun usage des signes
HI A et —1”"—1.

HP Bentce qua été dit au n°9, il suit que tout nombre
complexe rÎg peut être mis sous la forme d’une somme de deux
nombres complexes. Supposons, par exemple, que le point P
(fig. 4) soit indiqué par rfv, et construisons sur OP comme
diagonale un parallélogramme quelconque OP,PP,, dont les som-
mets P, et P, soient représentés par af« et bf8; on a alors:

afa + bT8 == rTg.
Comme cas particulier on a, en faisant OP, = p et OP, — q:
pt0 + gts =rt,
ou, d'aprés la notation établie ci-dessus:

DRM gro. cl. (16)

194% A. BENTHEM GZ. THÉORIE DES NOMBRES COMPLEXES

La figure montre d’ailleurs comment, à laide des formules
P—=TCOSY, JS ®, FN "D + q° et LJP— % on peut
| p

passer d’une de ces expressions à l’autre. Il faut toutefois remarquer,
à cet égard, que r n’a qu'une valeur unique (absolue), et que,
même dans le cas où 1l est tenu convenablement compte des
signes de p et de q, la valeur de y reste mdéterminée, en ce sens

qu’on a aussi ég(9 + 2n.180°) — 2, de sorte que +p+L-— 1.7
P

représente aussi bien le point rf(œ + 2» .180!°) que le point rfY.
18. On voit par les considérations développées jusqu'ici que
la somme, la différence, le produit et le quotient de deux nom-
bres complexes, ainsi qu'une puissance ou une racine quelconque
d’un nombre complexe donnent toujours pour résultat un nombre
complexe; toute forme complexe, quelle que soit sa complication,
et à condition seulement de ne renfermer que les nombres com-
plexes mentionnés jusqu’à présent, pourra done aussi être réduite
à un seul nombre complexe. Un exemple simple nous est offert
par ce qui suit: les racines de l'équation
2° + pr + 4 = 0

sont données par la formule de Cardan sous la forme

2 3
Dans le cas dit mréductible, on a SL + 5 < 0; en posant

dans ce cas
— Ty(2kr + 9),

on obtient :

= [ue CILE ] + [nt @k,r—9) |

ET BICOMPLEXES. 195
Si l'on considère maintenant que le produit de deux termes
correspondants du second membre doit être égal à Fe On

trouve immédiatement que, pour les diverses valeurs de kÆet k,,
on ne peut avoir pour 2 que les valeurs différentes suivantes:

A 1? ne ci à

Up Arr p | 27—9p
t — 1 — À? deu
; Mrs se ils

et par conséquent, en appliquant la form. (1):

+ Eee Cos
23 —91—À. Cos a
3
; An +9
el mL —E. Cos

CHAPITRE TT.
LES FONCTIONS TRANSCENDANTES.
$ 4.
Les fonctions exponentielles.

19. Des équations 1fe.1f8 = 1f(“+ 8) et D = 0
il suit que le caractère spécial représenté par l'équation

ROME ICE)

appartient aussi bien à la fonction 1 Î « qu’à a”. Cette analogie

196 A. BENTHEM GZ. THÉORIE DES NOMBRES COMPLEXES

4

de caractère porte à présumer que 1fc, de même que a°, peut
être développée en une série ordonnée suivant les puissances
ascendantes de « 1). Posons à cet ellet (a étant regardé comme
un nombre absolu):

œ.pla «> (pla)? «%( pla)*

o — gp — SRE PES ar Me
D

on a alors aussi:

qe à 2 MEN 3
Af—oc—=a ?"=1 — . pla 2 (pla) me (pla) LE PE (18)

1 1% TER
et par conséquent, puisque 1f4 + 1f—o = 2 Cosaf0 et
Afo—1Ηc — 2 Sin «1

«’(pla)? et (pla)!
à LL {OUI PTRQUEn LONANS |
ne Le me AE
et
nt en. 2 Pl. SP) EN
le Some jo ee CD)

En divisant cette dernière équation par «, et passant ensuite

à la limite « —0, on obtient ne — pla, et par conséquent:

La substitution de cette valeur dans les équations précédentes
nous donne les séries pour 1 f +«, pour Cos« et pour Sin,
ainsi que:

ou, en remplaçant +. parte
a

PRO Te. :. CRE de)

:) I] est d'autant plus nécessaire de prouver d’abord que cette présomption
est fondée, que les propriétés des exposants sont transportées ici sans limitation
aucune aux coefficients de direction.

ET BICOMPLEXES. 197

Si lon multiplie maintenant les membres correspondants des
séries obtenues,

(cratz) (ctate :
tof «la , x 9 )
2 —1+

? Ne Lo Mise is + CS)
et

ln à (la) (x lo)

— 1 Si +4 UM

ss M Hs oo à 0)
on trouve :

Er (tet Ja [(uæet2)ta]
a Be — + —; +... (25)

et comme le second membre de cette équation s'obtient en rem-

plaçant dans (24) o, par ©, Ha : on posera la définition:

En écrivant dans l’exposant, tout comme dans les fonctions
algébriques, + 1-—1 au lieu de 5 les équations ci-dessus

prennent la forme:

+=

Pneu 2 Jun le (27)
et

œ Te —]."

PE re SP En (28)
de sorte qu'on a:

Hi TT
ee eu io. (9

équation qui montre que + 1-—1.c et n'influent en

rien sur la valeur numérique de P, mais indiquent seulement

que cette valeur numérique doit être prise dans la direction
+ « La.

128 A. BENTHEM GZ. THÉORIE DES NOMBRES COMPLEXES

20. Si l’on remplace maintenant à par e, on a le—1. par
conséquent :

+ o& À — +17 7
DATE: does (30)
et
Eat: — ie EE D œ
—e'Î+e, (31)
ensuite, à raison des form. (1) et (3):
Te —p”—l.a
2 ie = Cose DRE. : (32)
2
et
1: en ed
EE :

idee Sinei:c (83)

2

Pour &« — 2x, etc., ces équations donnent:

note
et TT = 1t9kr = +4 (vd)

LT ñ —_—
et 4h) x = EVA 1 (v.d)

etc., expression où v. d. signifie valeur directe.
On déduit aussi de

atay=tta=tine : (TETE HN)

de hi A .

A. œ

etc., tandis que de & — 1 old, pousse nltSut

Te /—1.gu
COR
où g représente un nombre absolu.
21. On voit, par ce qui précède, que + 1-—1 (ou aussi 1) e

dans l’exposant d’une puissance, n’est qu’un signe, qui indique
la direction dans laquelle doit être prise la valeur absolue de cette

ET BICOMPLEXES. 199

puissance, et non, comme les signes + et — !), des opérations
à exécuter sur la racine de cette puissance. De cette différence
de signification, il suit que les règles pour les exposants dits réels
ne peuvent pas être appliquées sans réserve aux exposants com-
plexes ; c’est ainsi que de (a)? — a?? on ne peut pas conclure à
Vin ni; (a Pot) ane pa.
parce qu'il n'existe pas ici une analogie véritable. La première
conclusion ménerait à un résultat vrai, la seconde à un résultat
faux (n° 34), attendu que du signe + 1-—1, indicateur d’une
direction (non de la direction), on ne peut pas passer au signe —.,
indicateur d'une opération *), à moins que, dans l’exposant aussi,
on ne voulüt attribuer à ce signe —, une seconde signification,
ce qui entrainerait une grande confusion. Dans la suite de notre
travail, nous distinguerons donc les exposants, à raison de leur
caractère spécial, en exposants de l'opération et exposants de la
direction, ces derniers étant ceux qui sont affectés du signe

Se bem | (ou DE La valeur absolue de la puissance est déter-

minée par les premiers, la direction dans laquelle cette valeur
absolue doit être prise est indiquée par les seconds. Les exposants
de l'opération et ceux de la direction sont donc des grandeurs
hétérogènes, qui n’ont rien de commun, si ce n’est la place qu'elles

:) Si dans e 4 on prend + et — dans le sens de Î 24x et Î (24+1)7,

D as? +? et TR

1
Se me de sorte que € ne sont plus des
e

nombres absolus.

?) En opérant ainsi, on raisonnerait par exemple de la manière suivante:

“#4 ES MO) 1+)/—1.247

de — 1 uilrsuit re — € et par conséquent

1 LAON LAN 71.24; 1—44#272 AE MATE
F. rai à + nues EL 4 4” MAIS AUSSI

11447

1+1/—1.247 à WE :
e Hi — €; par suite, vu quon à € —\C} NONAUTAIL

—4}?n2 :
aussi € 7 = 1, résult & évidemment faux (Voir: Lieblein Aw/yaben aus

der Algebr. Analysis, Prag 1867, p. 100).
ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XIL. 9

130 A. BENTHEM GZ. THÉORIE DES NOMBRES COMPLEXES

occupent, et qui en conséquence (comme nous l’avons déjà fait
remarquer ci-dessus) ne peuvent être transformées l’une dans
l’autre. Pour déterminer la signification de l'expression bicomplexe

» Par. :
a TPE on doit examiner comment le second signe
+ 171 est entré dans lexposant: c’est ce dont nous nous
occuperons au K 6.

72)
Qt

Les fonctions logarithmiques.

22. Par logarithme d’un nombre, on entend l’exposant de la
puissance à laquelle un nombre absolu '), constant, doit être
élevé pour produire le premier nombre. En tenant compte de
ce qui précède, 1l suit de cette définition que le logarithme d’un
nombre absolu est représenté par lexposant de l’opération,
c’est-à-dire, par un nombre absolu, qui peut être affecté du
signe —, pour indiquer que le nombre primitif est le dénominateur
d'une fraction dont le numérateur est 1; dans le logarithme d’un
nombre complexe, outre cet exposant de l’opération , entre encore
l’exposant de la direction. En prenant, par exemple, r =e?,

D A ENV D HT — CM dE: par conséquent /r = p
et Lfrfe) = p+L—1.e = Ir+1/—1.c; de même,
P œ

+1. —

On dre la, et par conséquent, dans le système

de logarithmes dont la base est «, log, (rf v) =} TT _ =
a a

LR ad
= log r+L —-1.—.
la
1) Quelques auteurs regardent la base d’un système de logarithines comme
un nombre positif; de (+ a) = (a T2%n) = a" Î24nx, il suit qu'on ne peut
alors prendre que # — 0 et par conséquent la valeur directe de + a,

c'est-à-dire, 4 Î 0. Dans cette hypothèse, toutefois, il ne saurait être question
de logarithmes de nombres absolus (Voir no 13).

ET BICOMPLEXES. 131

Il résulte de là, que le logarithme d’un nombre complexe n’est
que le logarithme du module considéré comme nombre absolu,
avec addition ,. toutefois, de l’exposant de la direction, c’est-à-dire
d'un terme qui, directement ou indirectement, marque la direction
dans laquelle est pris ce module, regardé comme nombre com-
plexe. Ce dernier terme n’a donc aucune influence sur la valeur
numérique du logarithme, pas plus que sur la valeur numérique
d'une expression dans laquelle se présentent des opérations sur
des nombres complexes. Pour trouver la valeur d’une pareille
expression, on peut faire usage des logarithines, tout comme si
l'on n'avait affaire qu'à des nombres absolus, à la seule condition
de déterminer la direction dans laquelle doit être pris le résultat
absolu auquel on est parvenu.

93. La similitude de forme de a + L/—1.b et p+1/—1.
dans l’équa'ion
la+1i---1.6) = p+1/—1.9 ..... (35)

conduit à écrire
l (1-0: + b?f arc Tg 2 —1/p? 9? f arc Tq 7.
a p

Mais les considérations précédentes montrent immédiatement
que, par cette manière d'écrire, la signification du signe + 1-—1
dans le logarithme est perdue de vue. Tandis que dans (35)
a et b représentent des nombres de même nature (absolus),
p et g sont d'espèces différentes, puisque 4 indique (en rayons)
la longueur de l'arc qui détermine la direction. Ce qui à été dit,
au n° 21, de l’exposant de l’opération et de celui de la direction
s'applique évidemment aussi à p et à y, de sorte que le second
terme du logarithme d’un nombre complexe ne peut jamais être
transformé dans le premier :). Pour mieux tenir compte à la fois

‘) On trouve, par exemple, à tort: /(]— 1 FD mr che De 1.(0H7-15) —

= _—. ; et, par suite, Op TL EVA) = 4 (Voir form. 47).

O*

139 À. BENTHEM GZ. THÉORIE DES NOMBRES COMPLEXES

de l’analogie de forme de a+ 1”—1.b et p+1/T. g dans
l’éq. (35) et de la différence de signification de L-—1 dans ces

deux expressions, on peut écrire {(a+1-—1. b)=9p}4 etpar

conséquent aussi l(rfa«) —=lrle, et log,(rfx) = (logar) | >
a

| raftoir ue … In bee ee
De rfe = et r fes = TEE on déduit alors

lr+r, ds rte Ur Ur, +V—1.(œ 6

ot Te, =e À Re à
et (rfep = e "FF TTPE (pour toute valeur absolue de p),

par conséquent aussi :

lérfe.r, fe) = (r+tr,)l(c+a,)
te) =r ir (Een
et I(rTe= (pire 2e

ce qui prouve que les indicateurs des directions doivent être
soumis aux mêmes opérations que les logarithmes eux-mêmes.

24. En prenant maintenant aussi en considération les directions
indirectes, il suit de

Ha ='at0:isiafr), = Earee
si, & étant pris comme nombre absolu, on à /a = p:

I(Ha) = pl0, =pl22, =

Ces expressions , différentes” ont conduit à la proposition: que
tout nombre positif a une infinité de logarithmes ‘); cette pro-
position, toutefois, ne subsiste que dans un sens très restreint,
différent de celui dans lequel + à lui-même a une infinité de
valeurs.

‘) La notation / (+) =/a+}—1.2x7 devait conduire Euler à la con-
clusion que, de tous ces logarithmes, il n'y en avait qu'un seul de réel, celui
qui correspond à % = 0 (Mém. de l’'Acad. de Berlin, a0 1749).

ET BICOMPLEXES. 118)

On trouve de même:

» Pa) =plzr, —=p}l3ix, Ro IN ORS DEZQIEEEES
Ca) =ple,=pl =... =pl@n+ Dr.
to = =n Te, = à , = pl (2n— 17, ....
DÉMO = O7). 1 à M nmsiia

etc., et en outre, lorsqu'on tient compte des directions indirectes:
La +11 .b) =[;1(a2+ b?)]] (arc To? + k7) . (36)
a

25. Lorsque l’origine, la naissance d’un nombre complexe est
connue, ce nombre n'a qu’un seul logarithme naturel, celui du
module, auquel est joint l’amphtude du nombre complexe, pour
indiquer la direction qui doit être prise en considération, comme
étant celle du nombre, primitif.

La même chose s'applique, en observant que Log, (r |) =

œ 4 \ . .
(Loga r) 2e , à un système quelconque de logarithmes. Ici surtout,
le caractère spécial et les avantages du système logarithmique
naturel s’accusent fortement.

26. Nous devons encore faire remarquer que les formules

L(Q1—x? + LÀ .x) = 11 .arc Sin x,

Pc + 14x24) = 11. arc-Cos x,

ne É UE DORE, (are Te + ka),
a + 1/—1.0b a
etc., qui découlent immédiatement des équations identiques
LA—x +1 —1.x—1f arc T9 1 arc Sin x, pour æ <1,
BA re Fa
Afo— Cosy +1/—1.Sinv9, pour Cose=x
Lt LE ER A1} É arc T9 © + 2kn),
a—1/—1.0b a

etc., subsistent seulement en tant qu'on ne perd pas de vue les
significations de 1-—1.

a ——————

134 a. BEMTHEM GZ. THÉORIE DES NOMBRES COMPLEXES

27. Les considérations que nous venons de développer reposent
sur l’idée, si féconde en conséquences, de distinguer en Mathé-
matique entre les directions directe, indirecte et réelle d’une
ligne située dans un plan, par rapport à un axe situé dans ce
même plan. L’honneur de l'introduction de ce principe revient
tout entier à M. G. C. Louwenrier, qui dans sa Théorie complère
des nombres complexes (avec Complément), Zalt-Bommel, 1872,
a essayé le premier de la mettre en application. Dans cet
ouvrage on trouve aussi pour la première fois le signe f,
employé dans le sens que nous avons adopté ici. Le mode de
traitement que nous suivrons plus loin pour la polydromie de
la fonction w = 7 (z + D) a également été indiqué d’abord
par M. Louwenrier.

CHAPITRE HI.

LES FONCTIONS BICOMPLEXES.

$ 6.
Les fonctions bicomplexes.
28. Si, dans les formules (32) et (33), pour « on substitue
+ L7—1.c, on obtient:
.{ HV=1(H La) EHESS)
3 (e +e » (

Cos Er) =
et

31)

1 : EP ICE L—1.a) AE Ce) nd.
RE —— —€ 7 ë

ay Et
d’où l’on déduit:
ANS

Sin(+1/—1.«)=

— Cos (+ L/—A.a) + 1-1. Sin (+ 1/—1.e)
ou, suivant la notation établie:

RL + 1 = noie) (39)

ET BICOMPLEXES. 1485

De cette manière, le second signe + L1-—1 est introduit par
substitution dans les exposants et, en même temps, dans les
fonctions goniométriques. Il s’agit maintenant de déterminer à

postériori.ce qu'il faut entendre par la direction complexe +17 —1.0.
Dans le plan, toutefois, il est impossible d'attribuer à l’expression
are (Æ1/—1.«) une signification quelconque (W. Matzka, Ver-
such einer richtigen Lehre von der Realiütüt der vorgeblich ima-
ginären Grôssen der Algebra, Prag, 1850, $ 124); on est obligé,
pour cela, d’avoir recours aux figures dans l’espace.

29. Si l'on prend pour plan de représentation un plan déterminé,
indéfini V, et dans ce plan une droite déterminée OX pour axe,
avec le point O pour point de départ (origine), l’angle XOP est
considéré comme positif (fig. 1), et l'angle XOP, comme négatif,
lorsque OP et OP, sont situés aux deux côtés de OX dans le
plan V. Si XOP——XOP, —«, XOP sera changé, par rotation
. de OP autour de OX, en XOP,, lorsque dans cette rotation le
point P aura parcouru un demi-cercle, c’est-à-dire, l'arc 7. En
indiquant cette dernière condition par ff7, on a: uffn = —,

Si dans cette rotation le point P décrit en sens positif un arc a,
et que cette nouvelle position de OP soit représentée par OA,
on a angle XOA — «ffa; a est ici la mesure de l’angle dièdre
que le plan inené par OX et OA fait avec le plan fixe V, cet
angle étant évalué dans le sens de la rotation. Lorsque la droite

OP décrit un cercle entier, 1, 2,...k fois, elle revient chaque
fois en OP, de sorte que la direction de OP par rapport à OX
Ésbhindiquée, aussi. bien: par of [2x, a ff4x,..., «ff2kn,

que par «ff0; de même, la direction de OA n’est pas seulement
donnée par uffa, mais aussi par « ff(a-2x), uff(a+4r)..
Ͼ ff(a + 2kzx),... etc. On doit donc, ici encore, distinguer
les directions directe, indirecte et réelle (K 1). Il faut remar-
quer, en outre, que les directions réelles (positive et négative)
sont impliquées dans la direction complexe, plus générale, “fa,
tout comme les nombres réels sont impliqués dans le nombre
complexe r f ©.

136 A. BENTHEM GZ. THÉORIE DES NOMBRES COMPLEXES

30. De même que, au K 1, af a été représenté par un point
sur un plan, on peut aussi indiquer par un point la direction
complexe «ffa, à savoir, par le point où cette direction coupe
la surface d’une sphère décrite avec un rayon quelconque autour
de l’origine Ô comme centre. Si dans cette sphère un plan ar-
bitraire V, passant par l’origime, est pris pour plan fixe, et dans
ce plan un rayon OX pour axe, chaque point P de la surface
sphérique est déterminé sans équivoque par les coordonnées «et a,
dont « indique la direction de OP par rapport à OX, prise dans
le plan qui peut être mené par OP et OX, tandis que a désigne
l’angle plan qui mesure l’angle dièdre que ce plan fait avec le
plan V. Le pot P est indiqué, de même que la direction OP,
par «fa.

On peut aussi, outre le plan fixe V, prendre un second plan W,
qu coupe V perpendicularement suivant OX, ou, ce qui revient
au même, considérer les arcs des grands cercles suivant lesquels
ces plans V et W coupent la sphère. Si alors on détermine le .
point P par les arcs p et g, qui sont détachés de ces grands
cercles, à compter du point d'intersection de la sphère avec OX,
par les grands cercles menés par P perpendiculairement aux

précédents ?), P est aussi désigné par pf10 + gits:

91. En tenant compte de la signification modifiée de «, a,
p et q, les considérations des K$ précédents peuvent être apphi-
quées à ces directions complexes, pourvu que iles définitions du
Ÿ 2 soient convenablement étendues. Ces considérations deviennent
toutefois plus compliquées, en ce sens que, partout où il était
fait usage de la trigonométrie rectiligne, il faut maintenant recourir
à la trigonométrie sphérique. Ainsi, par exemple, + L—1.c
indique que la direction, qui fait un angle « avec celle de OX,
doit être prise dans le plan W, qui passe par OX et est per-
pendiculaire au plan V, de sorte qu’on a:

:) Cette détermination d’une direction est usitée en Astronomie.

ET BICOMPLEXES. 137

PT — die (v. d.)
es Da
el —ebièemieff, (v. d.)

Pour l'expression trouvée ci-dessus, pf70 + gtta , on peui

donc aussi écrire + p + 1-—1.q. Si l’on veut réduire cette
expression binôme à la forme monôme «ffa, il faut que dans
celle-ci « représente un nombre absolu, indiquant la grandeur
du troisième côté d’un triangle sphérique, dont p et q sont
les autres côtés, lesquels comprennent entre eux un angle droit,
tandis que a est l'angle compris entre les côtés « et p. On
trouve ainsi:

+ p+ 1 —1.9—1[arc Cos (Cos p Cos q)1ft [arc Tg(Ta q Coséc p)] (40)
-et réciproquement |

affa= + arc Tg(Tqe Cosa) +11 .arc Sin (Sin « Sin a). (41)

(Comparer cette transformation avec celle de + p +1-—1.Qq

en afæ). Si z représente une direction complexe déterminée «ffa

(direction dans l’espace), on peut toujours, quelle que soit la
complication éventuelle des calculs, ramener f(2) à la forme offr.

32. Pour attacher maintenant une signification géométrique à

cbinpi Eh —l.0) —1f(+ 11.0), il faut raisonner ainsi: au

lieu de 1 f(+ LA.) on peut écrire 1 1(c112) , Cest-à-

dire, que 1f(+1L/-—1.«) représente un point P dans l’espace,
qui est situé dans le plan W passant par OX et perpendiculaire
au plan V; de telle sorte qu’on a: OP —1 et angle XOP — v.

Doike (Elo) premier + L-—1 a donc rapport

à l'angle que OP forme avec la droite OX, et l’autre + 1-—1

138 A. BENTHEM GZ. THÉORIE DES NOMBRES COMPLEXES

à langle plan qui mesure l'angle dièdre compris entre le
plan XOP et le plan V, de sorte qu'on ne peut pas écrire:

e Par EE 0)", etes conséquent, les équations (37)

et (38) ne peuvent pas non plus être écrites sous la forme

—{X

Cos (+ L/—1.0) = 1(e "+ e”)

et HI. Sin (+ V1 .0) = À (e ef).

(C'est à tort qu'on admet, comme base de développements
analytiques ultérieurs, ces dernières équations à titre de défi-
nitions de Cos(+1/—1.u) et de Sin(+1/—1.a), sans se
préoccuper de la représentation graphique des résultats ainsi
obtenus).

Si ensuile on prend =, on à aussi

+= TPE) = rf (: Ta = D one (49)

formule dont la signification découle immédiatément de ce qui
précède. Les nombres complexes ordmares rfa=7#rf(«112kx)
sont un cas particulier de ces nombres bicompleæes, plus généraux.

Quant à la signification de a T1 1: à] est facile de la

déduire de ce qui vient d’être dit: en substituant dans la form. (27)

+ 1/1 .« à «,, on obtient

EN (HT. n) = 1f(+ LA RR “«la&), - (45)

d'où la senAvaon en question se dégage immédiatement.

39. Même pour une valeur déterminée de «, les équations
(37) et (58) ne peuvent rien nous apprendre au sujet des valeurs
de Cos(+ 1-— 1.4) et de Sin(+1/—1.c), pas plus que les
équations (32) et (33) au sujet des valeurs de Cos « et de Sin v.
Dans chacune de ces équations, les deux membres représentent
une seule et même chose, exprimée de deux mamières différentes;
ce sont par conséquent des équations identiques. On peut en
déduire d’autres équations identiques, de la même manière que cela

se fait, en Analyse, pour Tg («+1-—1.8), arc Sin (p+1—1.9), etc.

ET BICOMPLEXES. | 139

Si on donne alors à Sin (xffa), Cos(«ffa), etc. la signification
qu'on leur attribuerait dans le plan de l'angle «ffa, on a pour
ces relations goniométriques, que nous représenterons par Gon.,
l'équation

Gon. («ffa) —= (Gon.c)ffa,
d'où l’on conclut cette proposition: Si l’on décrit autour de OX
comme axe, avec Ô pour sommet, un cône circulaire, les relations
goniométriques des directions marquées par les génératrices du
cône ont la même grandeur ; pour chacune de ces relations doit
toutefois être mentionnée la grandeur de l’angle plan qui mesure
Vangle dièdre formé par le plan fixe V avec le plan qui contient
OX et la génératrice en question. |

Les formules fondamentales de la gonioméirie,

Sin (p + q) = Sin p Cos q + Sin q Cosp,

etc. (et par conséquent aussi toutes celles qu'on en déduit)
restent alors applicables, pourvu que les angles p et q soient
situés dans le même plan et se présentent par suite sous la forme
uffa et 8ffa; lorsque cela n'est pas le cas, la valeur de
Sin (p + q), etc. ne peut être détermmée qu'à l’aide de la
trigonométrie sphérique.

Comme d’ailleurs Cos («ffa) est la seule des relations gonmio-
métriques susdites qui soit mesurée dans le plan fixe V, par
conséquent sur l’axe OX, on dit ordinairement, avec assez peu
de justesse, que Cos(«ffa) a une valeur réelle.

34. Nous avons enfin à chercher encore la signification de
(rtepté Soit, à cet eflet, r—e”, on a alors rfo—e VTT;
soit, en outre, bf£—m+1"—1.n, on obtient:

(rte)16 ss FE Art) + RL n — 0 m+}/—1.(0m+an+)/—1." 7) _

—=e"f(om+an+L1.un).

AAÙ A. BENTHEM GZ. THÉORIE DES NOMBRES COMPLEXES

La valeur de la direction «mm + an +1-—1.œn doit main-
tenant être déterminée en appliquant ce qui a été dit au n°. 31.
Par substitution dans la form. (40) on trouve:

[are Cos (Cos (eom+an) Cos un)]|1f [arc Tg(Tqun Coséc(om+an))|

et par conséquent:

(rte)" * Vs vf {{arc Cos(Cos(om + an) Cosun)] TT [arc Tg
(Tgun Coséc (cm + an)|| "EM (44)

Pour m—0 cette formule se change en:
rte) hr = 1} {arc Cos (Cos an Cos «n)] TT [arc Tg
(Ta'un Coséc'a nee (45)

et celle-ci, pour r = 1 et par suite a = 0, en:
(er) dE — it(antt ra 7 (46)
qui donne à son tour, pour « — - CLOS

LT 4H jf z &
(+1-4.1) 115115), & d).* WYAT)
Enfin on déduit de (45), pour a=1 et «= 2k:

(e! V2) EE Ta 17 j[arc Cos(Cosn Cos 2kan)|1f [arc Tq
(Ta 2 kan Coséc nn) Re (48)

et par conséquent ce n’est que pour k=0 et n — un nombre
entier qu'on a:
(+ OMR 11 (41 T0) (49)

De même que + L/—1.1 est regardé comme l'unité complexe,
(+ 1-—1 DT peut être aussi considéré comme l'unité
bicomplexe. Tout point P dans l’espace se laisse représenter par
l'expression |

HA a (EE A) CEE ere

ET BICOMPLEXES. 141

au lieu de laquelle on peut aussi écrire:
pr= ( js uk
+a +0 jt cf 5 hf à

où &, b et c indiquent les coordonnées rectangulaires de P.
Si l’on représente P par rf(“Îfa), r, « et a sont les coor-
données polaires du point P, de sorte que le passage d’une

expression à l’autre peut se faire par l'application des formules
ordinaires de la géométrie analytique de l’espace.

CHAPITRE IV.

LA POLYDROMIE DES FONCTIONS.

Sas

t

Cause de la polydromie.

35. Lors du passage de la forme p+1-—1.q à rfo, et
lors de la réduction de cette dernière forme, on ne fait ordi-
nairement aucune attention à la manière dont cette expression
est née, mais on se contente d'indiquer comment elle aurait pu
naître de la manière la plus simple. C’est ainsi qu’on se borne à écrire:

EL A = 1 À, 1) = 1,

Dei — 81, etc. En ce qui concerne la repré-
sentation graphique, ce mode d’agir n’a aucun inconvénient pour
les expressions algébriques, lorsqu'elles ne renferment pas de
radicaux, parce que la valeur d’une pareille expression, après
qu’elle a été réduite à la direction directe (à sa valeur directe
ou principale), indique le même point que sa valeur réelle. Mais
si cette expression se trouve sous un signe radical, on doit, pour

449 A. BENTHEM GZ. THÉORIE DES NOMBRES COMPLEXES

en faire connaître la signification, la prendre dans sa direction
réelle. A défaut de cette direction Imdirecte réelle, on est obligé
de considérer aussi les autres directions indirectes. La circonstance
que, pour une expression complexe placée sous un signe radical,
la direction réelle n'est pas donnée, est La cause de la polydromie
des fonctions algébriques.

Il ne pourrait être question de polydromnie des fonctions, si,
pour chaque grandeur complexe, on indiquait non-seulement
la direction dans laquelle elle se trouve, mais aussi explicite-
ment la manière dont elle est arrivée dans cette situation. Ainsi
on pourrait écrire pour les exemples ci-dessus:

n\ 5 )T

ati =etts; HO (UE) = rte
T1 = (112) 119: it;
HT = (té) Atari:

etc., ou aussi:
ee Fi 5%
(—a)7=(at32)"—a7t21 : 1e (1e) ee te

En adoptant celte notation, il n’y aurait plus lieu de distinguer
les directions en directes et indirectes; les valeurs multiples des

fonctions affectées du signe radical j7 +a disparaîtraient, à une
seule près, puisque + « indiquerait par sa direction déterminée
la valeur réelle; par conséquent, chaque fonction n'aurait
qu'une seule signification.

36. Soit maintenant z2—7rfy une variable complexe, dans
laquelle » ou æ, ou tous les deux, varient d’une manière con-
tinue, de sorte que z prenne une série de valeurs formant une
succession continue, depuis :, —=afe jusqu'à 2, =bfÎ8; soit,
en outre, w une fonction algébrique de z, c’est-à-dire, w= f(2);
w sera alors une nouvelle variable complexe, dont les variations
dépendront de celles de z, de façon qu'à chaque valeur arbitraire
de z correspondront une ou plusieurs valeurs déterminées de w.
Si P, et P, sont les représentations de z,-et 2,, et qu'on fasse

ET BICOMPLEXES. 143

parcourir à z la ligne P, P,, les valeurs correspondantes de w,
figurées dans le plan des w (V,) formeront une ou plusieurs
autres lignes Q, Q,, telles qu'à chaque point P de P, P, se rap-
porteront un ou plusieurs points déterminés Q des lignes Q , Q..

31. Si, de plus, f(z) est une fonction algébrique rationnelle,
il n’y aura, pour chaque point P, qu'un seul point correspondant
dans le plan des w, parce qu'il est alors indifférent que l’on
prenne pour z les valeurs directes ou les valeurs indirectes des
points de P, P,. En effet, si l’on a dans ce cas pour z=rîÎp,
wi= Rfyw, on devra avoir ($ 2) pour z = rÎ(2kx + vw),
wW=RTÎ(2£k,x + v), expressions dans lesquelles 4 et À, ne peuvent
représenter que des nombres entiers. Or, comme Rf(24,7 + y)
est représentée dans le plan des w par le même point queRîÎw,
à chaque point du plan des z il ne se rapportera qu’un seul point
du plan des w; une fonction qui possède cette propriété est
appelée une fonction monodrome (eindeutig).

38. Si Ww — f(:) est une fonction algébrique irrationnelle,
c'est-à-dire, si dans cette fonction z se trouve sous un signe
radical, la pluralité des valeurs indirectes de + peut être cause
qu'à un seul point arbitraire du plan des z correspondent plu-
sieurs, par exemple # valeurs du plan des w. Dans ce cas, la
fonction est polydrome (vieldeutig). Si alors 2 parcourt la ligne PP,
les valeurs correspondantes de w seront représentées par » lignes,
et chacune de ces lignes correspondra à une certaine direction
indirecte de z, de sorte qu'à chaque point de P, P, se rappor-
teront # points différents, situés successivement sur Q, Q.,, Q,Q,,
Q: Q;, etc. Le cas peut ici se présenter que, pour un point
déterminé P d’une ligne P, P, dans le plan des, un ou plusieurs
facteurs placés sous un signe radical dans un des termes de la
fonction w = f(z:) deviennent nuls ou infinis, soit que l’on prenne
z dans la direction directe ou dans une direction indirecte. Dans
ce cas, deux ou plusieurs des lignes différentes, qui représentent
dans le plan des w les valeurs de w correspondantes à la ‘ligne
P,P, située dans le plan V., peuvent avoir un point commun.
Cela arrivera même toujours, si un seul des termes de la fonction

“=

144 À. BENTHEM GZ. THÉORIE DES NOMBRES COMPLEXES

w devient infini, et aussi s’il devient zéro et que la fonction ait

la forme w—F, (2 +1F,(:, où F,(2) et F, (2) représentent
des fonctions algébriques rationnelles de z. Le point P du plan
des z, qui indique la valeur de z pour laquelle un ou plusieurs
facteurs affectés d’un signe radical (pourvu que le nombre n’en
soit pas égal à l'indice de la racine, ou multiple de cet indice)
deviennent nuls ou infinis dans un ou plusieurs termes de la fonction
w, ce point P, dis-je, porte le nom de point de ramification.

39. Si l’on a: DEL Ruse RNNen (20)

et que z passe, le long de l'axe, de z, = +142 —=—1, il
peut se présenter deux cas: le passage de z peut se faire ou bien
de 112kx à 1124 + 1)x, ou bien de 1724 à 1f(2%—1)7.
Cela dépendra de la question de savoir si la droite P, P, (fig. 5)
doit être regardée comme provenant d’une ligne courbe P, P,P,
ou d’une ligne courbe P, P, P,, lignes qui, réunies, enferment
l’origine.

Dans le premier. cas, 1l est nécessaire et suffisant de rechercher
quels points de V, correspondent aux valeurs successives de z,
lorsque z passe le long de l’axe de 170 à 1fz, et aussi de
1197 à 1157. Jusqu'au pont 0, on a lors du premier passage
z—=71r10 et par conséquentw—=1"rf0, lors du second z:=rf2x
et w=L-rÎ 7, r décroissant, dans chacun des deux passages,
de 4 à 0. À l’origine, les valeurs de z sont égales, attendu qu’un
point O ne peut pas être dit situé dans une certaine direction
par rapport à ce même point 0. Pour z=0, w devient également
0, et coïncide donc aussi, pour chacun des deux groupes, avec
l'origine. Dans la suite du mouvement, z a les valeurs rfretrf3x,

et w par conséquent les valeurs Lrf ë et Far de sorte

que la valeur absolue de w croît, tout comme celle de z, de 0 à 1.
On arrive donc à ce résultat: si l'on a OA=OB—=A,0=B,0=1
et OP, =P,0—=1, et que P, OP, provienne de la ligne courbe
P,P,P,, la fonction w prendra, lorsque z passe de P, suivant

ET BICOMPLEXES. 445

laxe à P,, des valeurs qui passeront de A par O en B, ou de
A, par O en B,, selon que la valeur imitiale de z est z, —1710
ou 2, —1f27. ( |

Si l'on atiribue à la droite P, P, la seconde des deux origines
en question, le passage de z suivant l’axe aura lieu de 110 à 1f—7,
ou bien de 1 f2x à 1f7. Des considérations entièrement analogues
aux précédentes conduisent alors au résultat suivant: lors de ce
passage de z de P, à P,, suivant l’axe, la valeur de la fonction
w passe de À par Ô en B,, ou de A, par O en B, selon que
pour la valeur initiale de z on prend z, —=17f0 ou z, =1f27.

Du point Ô partent donc quatre branches, qui sont liées deux
à deux, si le mode de naissance de la droite PP, est connu.
Ordmairement, toutefois, cette connaissance fait défaut, de sorte
qu'on ne peut plus décider si c’est OB ou OB, qui doit être
regardée comme la continuation soit de AO, soit de A O0; chacune
des lignes AO, A,0 se divise donc alors en deux branches au
point O. C’est cette circonstance qui a conduit M. Riemann à
désigner le point du plan des z, qui correspond au point d'in-
tersection O du plan des w, sous le nom de ,,point de ramification”
(Verzweigungspunct); il attribue ce même nom à 2—=% par
rapport à w — f(2), lorsque z = 0 se présente comme point de

ramification de w = f ET

CA
O0

Fonctions algébriques monômes.

40. Une variable complexe z pouvant passer de P, à P, suivant
une infinité de chemins continus, il faut examiner si le chemin
parcouru a de l’influence sur la valeur de w, qui correspond à
z—=P,, et, en cas d’affirmative, jusqu'où cette influence s'étend.
Lorsque w — f(z) est une fonction algébrique rationnelle, en
d’autres termes, une fonction monodrome de z, cet examen est
superflu; car, si l’on à OP, — 7 et angle XOP, —=c, : ne peut

ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XII. 10

446 A. BENTHEM GZ. THÉORIE DES NOMBRES COMPLEXES

prendre pour le point P,, quel que soit le chemin par lequel
elle parvienne en ce point, que les valeurs 2, =rf(«+2kx),
qui, substituées dans une fonction monodrome, donnent pour w
un seul et même point du plan des w (n° 37). Mais lorsqu'il
s’agit d’une fonction polydrome, un point déterminé du plan des
z correspond, en général, à plus d’un point du plan des w, de
sorte que, dans ce cas, rien n'exclut à priori la possibilité que
des chemins différents, parcourus dans le plan des z vers un
point déterminé, conduisent à des points différents dans le plan
des w. L'examen de cette question se réduit à l’examen de l’in-
fluence que le parcours de ces différents chemins exerce sur la
valeur de l'expression binôme z + p,, comme nous allons le
montrer.

4. Soit W=V3+E 04 CT)

où nous attribuons à p, une valeur déterminée, directe ou in-
directe. Lorsque z va par des chemins différents de P, à P,,
ces chemins n’ont aucune influence sur la valeur de w, s'ils
donnent, au point P,, la même valeur pour z + p,. Si P,P,P,
et P,P,P, sont deux de ces chemins (fig. 6+), on trouve les
valeurs de z2+p, en prenant dans la fig. 6 le point Q —=p,.
el construisant ensuite sur QT//OX une figure 0Q, 0, 0,0,
congruente avec OP, P,P,P,, de façon que QT soit homologue
à OX ($ Ÿ). Les points Q, et P,, Q, et P,, ainsivque les lignes
0,0.0, et P,P.P,, 0, 0,0 vert PARAPENTE ponte
alors. Si 00, est = r et l'angle XOQ = pe ie
que 2 + p, ait parcouru le chemin Q,Q;Q, ou le chemin
010,0.

Mais si l’on fait parcourir à z deux chemins de telle nature
que les chemins correspondants de z + p, enferment l’origine,
les valeurs que z2+p, prend en Q, différeront de direction.
En supposant que les deux lignes Q, Q,0Q, et Q,Q:0Q,, par-
courues par z + p,, soient disposées comme le montre la fig. 7,
et que par le premier chemin on ait en Q, z2+p, =rÎ, on
aura par le second 2 + p, =rf(p + 2x). Dans le cas, au con-

£T BICOMPLEXES. 447

traire, où les deux lignes Q, Q, Q, et Q, 0: Q, enferment l’origine
de la facon imdiquée dans la fig. 8, on a par le second chemin,
en Q,, z2+p, =rÎ(p—23n).

Ainsi, lorsque les deux chemins que z parcourt de P, à P,
sont tels que les chemins correspondants de z + p, enferment
l’origine, les valeurs de z2+p,, et par conséquent aussi celles
de w dans w—=yÿ(z2+p;), qui correspondent au point d’ar-
rivée P,, difièrent entre elles. Il reste donc à savoir dans quel
cas les chemins décrits par z + p, enferment l’origine. Or, de
la construction de ces chemins, il suit immédiatement que cela
est toujours et umiquement le cas lorsque les chemins P, P, P,
etui PSP, où P,P,;P, et P, P;P, (fig. 7et8), que parcourt z,
enferment le point P, situé par rapport à O tout comme 0 est
situé par rapport à Q. Ce point P est ie point —p,, c'est-à-dire,
un point de ramification de la fonction w =}: + p,, puisque
cette fonction, pour 2= —p,, donne w— 0. Lors donc que les
deux chemins, que z parcourt pour passer de P, à P,, enfer-
ment le point de ramification 2=—p, de la fonction w—=Y:+p,,
w présente pour z2—P, des valeurs différentes, suivant qu’on
choisit pour le passage de z l’un ou l’autre de ces chemins.

Mais si z parcourt les deux chemins P,P,P, et P,PP, (fig. 9e),

dont le second passe par le point de ramification P=—Y»,,
z2+p, décrira les chemins Q, Q, 0, et Q, OQ, (fig. 96), dont le
second passe par l’origine, attendu qu'à 2=—yp, correspond

2 +p, —=0. Il dépendra alors du mode de production de la
ligne P, PP, que les deux chemins donnent ou ne donnent pas
pour z—P, la même valeur de w. Si P, PP, est provenue de
Dr ces valeurs de #, correspondantes à z—P;\, Seront
EsAmémes, se au contraire P;PP, provient de P,P;P;, ces
valeurs sont différentes et on obtient les mêmes résultats que
lorsque les chemins parcourus par z enferment le point 2=—p..

42. Si, dans les considérations précédentes, on laisse le point
P, se rapprocher successivement de P, et enfin se confondre
avec lui, z finit par parcourir une ligne fermée, et il dépend de
l'égalité. ou de l'inégalité des valeurs de z + p, pour P, que la

10*

448 A. BENTHEM GZ. THÉORIE DES NOMBRES COMPLEXES

valeur initiale de w, correspondante à 2: —P,, ait ou n'ait pas
le même coefficient de direction que la valeur finale de w, celle
qui correspond à z—=P, ou à la fin du parcours de la ligne
fermée. Or, de ce qui a été dit plus haut, nous pouvons déduire
immédiatement les conséquences suivantes :

Lorsque le point de ramification est situé en dehors de la ligne
fermée que z parcourt en partant de P,, les valeurs de w, cor-
respondantes à z2—P,, sont les mêmes avant et après le mou-
vement; le cas où le point de ramification se trouve sur la ligne
fermée que décrit z doit rester, comme cas douteux, hors de
considération. Si le point de ramification est situé ex dedans de
la courbe décrite par 2, les valeurs initiale et finale de w, cor-
respondantes à z2—P,, difléreront par leur coefficient de direction.
En supposant que w, —ofw soit la valeur de w qui correspond
à z—P, au début du mouvement, cette valeur sera devenue,
après que z aura parcouru la ligne fermée successivement 1, 2, ... #
fois etc. en sens positif:

DAT PAU 4x An
We ie (u + =) DE A — et{v + é. —#,,.1 |
ñ ñ n n
2h 2 ka
Sie. Muet(urt Se) ai " RATE

. Valeurs qui sont toutes comprises dans la forme wW—=w,. +1.

Ces x valeurs différentes de w, qui correspondent à 2 =P,,
s’accordent en grandeur numérique et ne différent que par le
coefficient de direction; de sorte que tous les points qui repré-
sentent ces valeurs dans le plan des w sont situés à la même
distance p de l’origine O0, et cela de telle façon qu'ils forment
exactement les sommets d’un polygone régulier de # côtés, décrit
autour de Ô comme centre.

Ce qui vient d’être établi pour P, s'applique évidemment à
chaque point de la ligne fermée que parcourt z, d'où résulte
cette règle:

Si l'on a wW—=T 2+p,, el que z parcoure successivement n
fois dans le même sens une ligne fermée, qui entoure le point

\

ET BICOMPLEXES. 149

de ramufication — p,, les valeurs correspondantes de w sont
représentées dans le plan des w par n lignes contiquës, qui for-
ment ensemble (en apparence) une ligne fermée unique, et qui
sont situées de telle sorte que lorsque, autour de l’origine comme
centre, on décrit des cercles, les points d'intersection de ces lignes
avec un pareil cercle correspondent n à n à un même point de
la ligne parcourue par z. Ces n lignes sont par conséquent con-
gruentes ; elles diffèrent seulement par leur situation à l'égard
de l’axe, tandis que l’origine se présente comme point homologue
commun de ces n lignes.

Pour le cas ou z parcourt la ligne fermée dans le sens négatif,
il n'y à rien à changer aux considérations qui précèdent, sauf
qu'alors les pots du plan des w qui correspondent à 2—P,
sont obtenus dans un ordre inverse, et que par conséquent w
aussi déc'it en sens inverse la ligne fermée dont il a été question
ci-dessus. |

43. Prenons maintenant la fonction monôme générale

a PE) P:)...... GT) (52)
EVE NO SE |. G+w)
D Pi D, pi). NY, sont autant

de points de ramification. Supposons que z, partant de P,, par-
coure une ligne fermée qui entoure un certain nombre de points

de ramification , et cela de façon que, des points —p,, —p,, ... —Dm
compris dans le numérateur, 4, soient contournés en sens positif
et À, en sens négatif, tandis que, des points —p,, —p,, ... —Du

du dénominateur, Æ, soient contournés en sens positif et k, en
sens négatif; si alors w, — vf est la valeur de w qui correspond

à la valeur imitiale :—P,, on aura après la première révolution
M — 0] (: == EE . ou, en faisant
ñn
1 D ka
k,—k,—k, + k, — & : W, = eo ( + e): de même aprés

la seconde révolution w, = of (- note Pete de Soie que
\ n y

150 A. BENTHEM GZ. THÉORIE DES NOMBRES COMPLEXES

les valeurs de w, qui correspondent àz—P,, sont comprises
dans la forme w—=%w, ( EE

Des valeurs de k et de n dépendra maintenant la question de
savoir combien de points différents du plan des w correspondront
au point P,:-si À et n sont premiers entre eux, il y aura # de
ces points; si À est zéro, ou égal à #, ou un multiple de »,
il n’y aura qu'un seul point, etc. En général, on a pour les
points du plan des w qui correspondent à z2—P, la règle sui-
vante: déterminez le pont Q, — of qui correspond à la valeur
initiale z—P, ; décrivez de Ô comme centre et avec e pour rayon
un cercle; divisez ce cercle en x parties égales, de manière que
Q, devienne le premier de ces points de division; en faisant alors le
tour dans le sens positif, les 1er (Q.), (441), (2k+1)2..((n—1)k+1)
points de division seront les points du plan des w qui correspon-
dent à z2—P,, respectivement à l’origine du mouvement, après
la ère, 2e...(n—1)e révolution. Lorsque k et # ont un diviseur
commun, les # points ne sont pas tous affectés de cette manière.
Si par exemple le plus grand commun diviseur de 4 et de n est
p, et que p soit contenu #, fois en #, on a:

Re er
w—=w,. (+1) =w,. (+1),

et cette expression donne, quoique dans un autre ordre, les

mêmes points du plan des w que l'expression w—=w, L> + 1.
Dans ce cas, à un point P, du plan des 2 correspondront donc
n, points du plan des ». Par conséquent, si z parcourt # fois
une ligne fermée, w décrira une ligne fermée composée de »,
parues congruentes, lesquelles auront Ô pour pomt homologue
commun, comme le montre par exemple, pour n—=12, &4—=9,
la fig. 10.

44. Le cas particulier, où quelques points de ramification coin-
cident, est compris dans ce cas général; toutefois, si le nombre
de ces points coïncidents est égal à # ou à an, les révolutions
successives autour de ce point multiple n'auront, d’après ce qui
précède, d’autre effet sur la valeur de w que d'augmenter chaque

ET BICOMPLEXES. 451

fois de 2x ou de a.27 le coefficient de direction. Que ce point
soit situé en dehors ou en dedans de la ligne fermée, cela n'a
donc aucune influence sur le point du plan des w qui correspond
à z—= P,. D'ailleurs, si l'on a

= + p)" GE +p),
on peut écrire au lieu de cette expression:

= (+ PP G+ pi).
ce qui met encore mieux en évidence la réalité de ce que nous
venons de dire.

La présence d’un facteur rationnel devant le signe radical
n'exerce donc d'influence ni sur le nombre, ni sur l’ordre de
succession, n1 sur la situation des points du plan des w qui cor-
respondent à 2: = P..

Pour ce qui concerne l'introduction des valeurs indirectes des
points de ramification, ainsi que pour plus de détails et d'exemples,
je renvoie au Mémoire déjà cité (N. A).

JE

C2

La fonction algébrique générale.

45. La fonction algébrique générale w = f{z:) peut être écrite
sous la forme:

LC ELO EEE... EE Ne en ES
où f,(2), f>(z),-.-.fx.(2) représentent des fonctions algébriques

monômes quelconques; or, sous cette forme, 1l est facile d'étendre
à la fonction générale les considérations développées ci-dessus.
Pour cela, attribuons des valeurs déterminées, directes ou in-
directes, aux points de ramification qui entrent dans la fonction ;
faisons parcourir à 2, en partant de P,, une ligne fermée qui
entoure un ou plusieurs de ces points; admettons qu'à la valeur
initiale 2—P, correspondent, dans le plan des w, pour w = f, (2)
le pont «,, pour w—f,(z) le point 8,,... pour w= f;(z) le

152 A. BENTHEM GZ. THÉORIE DES NOMBRES COMPLEXES

point z,, et de même, après la première révolution, respectivement
les points #,, 8,,...z,, etc.; soient, enfin, c, le nombre des
points ainsi obtenus pour w—f,(z), c, celui pour w—=#f,(2), ..&
celui pour w—f;(2); alors, dans la supposition que l’on ait
Cet e.... ex, à, la valeur. initiales = NPerre-pondra
pour la fonction générale w — f(z), dans le plan des w, le point

We, +, +.:.: +4,
et successivement, après la première, la seconde, ... la (c, —1)e,.….,
(c,—1},... (cx—1)e,... révolution, les points

W = Ho +... +,

Wy =az + Ba + ÆxeE,

Enfin, si l’on a:
l= ac, +p=tc, + = SR

le point du plan des w, qui correspond à 2=P, après la (4—1)e
révolution, sera

WE Po I

Pour déterminer maintenant le nombre des points difiérents
qui correspondent dans le plan des w à 2=P,, il faut chercher
pour quelle valeur de ! on a w,—w,. Or cela est le cas, —
attendu qu'il n’y a à tenir compte que de la situation des points, —
lorsqu'on a p—q—...—v—1, et que par conséquent / sur-
passe d’une unité le plus petit multiple commun de c,, €, ,... tx.

ET BICOMPLEXES. | 153

Ainsi, w=— f(2) étant une fonction algébrique quelconque de 7,
et z parcourant d'un mouvement continu une ligne fermée, le
nombre des points du plan des w, qu correspondent à un seul
et même point P, de cetle ligne, sera égal au plus petit multiple
commun des nombres qui indiquent combien de points du plan
des w correspondraient respectivement à ce point P,, si la fonction
en question était successivement réduite à chacun de ses termes.

Tous ces points du plan des w, qui après les différentes révo-
lutions de z sur la ligne fermée correspondent à 2=P,, sont
compris dans la forme

Wa, HA +R EI +... #51
et peuvent être obtenus par une permutation cyclique des valeurs
qui y entrent.
46. Bien que la règle donnée soit d'une application générale,
nous devons encore considérer le cas particulier où l’une des

fonctions f;(z) ne se présente pas sous la forme 7 F(2), dans
laquelle F(z) représente une function algébrique rationnelle. Nous
avons alors à chercher le nombre des points qui correspondent
dans le plan des # à 2—P, lorsque w est de la forme

Cl D) Le (0
F,(z) et F,(2) étant des fonctions algébriques quelconques.
De ce qui à été dit plus haut, il est facile de déduire combien

de points du plan des w correspondraient à 3 = P, si l’on avait
w=F,(z) ou w—7;F,(z:). Supposons que pour w=æF,(z:) ces
points soient en nombre ç,, à savoir, «,, «,,...4, , et pour
w—3>"F,(;) en nombre c,, à savoir, 8,, 8,,...8,, de telle

sorte que les points «, et 8,, « et 8, aient un même mode de
génération, c'est-à-dire, correspondent à P, après un même
nombre de révolutions. Pour la fonction w en question (54), on
trouve alors les points pe, +8,, pre, +8,,...L-u+8,.……
Le nombre des points dans le plan des w s'obtient en remarquant

que, pour /=ac, +p—=bc, +34, Le, +8, et L'a+

154 A. BENTHEM GZ. THÉORIE DES NOMBRES COMPLEXES

représenteront les mêmes points, s’il est satisfait à ces conditions,
d'abord qu'on ait p—g—1 et par conséquent aussi ac, —=be,,
et en second lieu que #, soit compris un nombre entier de fois
dans ac, et dans bc,. La plus petite valeur de /, pour laquelle
ces conditions soient remplies, est supérieure d’une unité au plus
petit multiple commun de #,, c, et c,. Si w désigne ce plus petit

multiple commun, 1/0+4+ P1+x indique le même point que

ñn

L> “+ 6,, de sorte qu'au point P, du plan des z correspondent
u points du plan des w.

Il faut remarquer ici que les valeurs de z qui rendent la fonction
F,(z) nulle ou infinie ne sont pas seules des points de ramification,

mais que cela est aussi le cas de celles pour lesquelles K,(:)+17F, (2)
devient nulle ou infinie.
On traitera de la même manière la fonction:

we iE,(s) + 2 IR) +... +R .. (65)

& 10.

Les fonctions exponentielles et logarithmiques.

47. Si dans w=e* on donne à = des valeurs complexes, par
exemple celles qui sont indiquées par les points successifs d’une
ligne du plan des :, la valéur de w correspondante à chacun de

ces points peut être écrite sous la forme we tip Î g.
Remarquant ensuile que (pour un point dans le plan) on a
p+r---l.qg—=7r Cose + 1/—1.Sine—=rfa!), on voit que

‘) Pour être, dans l'application de la théorie du calcul intégral. plus indé-
pendants de la nature des fonctions considérées, nous avons dù traiter de la
polydromie de ces fonctions. Sous beaucoup de rapports, nous avons suivi à cet
égard la manière de voir ordinaire; mais il est indispensable de bien tenir
compte de la signification des grandeurs auxquelles on a affaire: c'est ainsi,

par exemple. que dans 2 = p + Î/—1.q, pour un point du plan des z, p et q
sont des nombres absolus, indiquant les longueurs de lignes droites, tandis que

= TL RE
+ /--1 tient lieu de Î 3: Dans w =e@ + V—T1:9, au contraire, p est un

ET BICOMPLEXES. 155

cette valeur de * devient par là w—e fr Sina, où eetr
représentent des nombres absolus, tandis que r Sin « marque la

direction dans laquelle doit être pris 6%

D’après ce qui a été dit au $ 2, la valeur de f(z) peut, pour
chaque valeur déterminée de z, être réduite à la forme rÎu,
de sorte. que l’on peut aussi, pour un point quelconque du plan

L
des 3, ramener la valeur de w—e/ à la forme er Sin o.

(On entend donc ici par w — e/® Ja valeur que prend w, lorsque
la valeur de w, dans w, — f(z), pour un point déterminé de V.,

est substituée dans w — 6” ).

Si maintenant on fait parcourir à z deux chemins différents
du pomt P, au point P,, et que par l’un de ces chemins on
ait pour P, f(z)=rfce et par l’autre chemin f(2)=rf(e+ ma),
où m peut avoir {$ 8) une valeur quelconque entière ou frac-
tionnaire (ou aussi zéro), on a pour P, par le premier chemin

F } . Cos n)
w—e “*frSine et par le second chemin w—e "+T"

Tr Sin(o + mx). Il en est de même dans le cas où P, et P,
nombre absolu, mais + J/—1.7 indique la direction dans laquelle la puissance
absolue €? doit être prise; g représente alors la longueur de l’arc, exprimée
en rayons. À raison de la signification modifiée de +}/--1 dans l’exposant,

on nest pas autorisé non plus à remplacer, Fi celui-ci, p+l'—1.g par rTe.

En remontant à la série “ =+1+z+ — —. ) + 5 + ..., qui à con-

duit à l'introduction de + }/—1 dans l’exposant, et qui est reconnue comme

d'une application absolument générale, et en y donnant à 2 les valeurs

FT & = p+l—1.g, on obtient:

me, Île + D

Or, la sommation du second membre donne un nombre complexe, dont le

TACOS CNET
— C0

module est indiqué par le nombre absolu € et l'amplitude par

r Sin « — q. Les expressions Ta et T1: Goivent donc être regardées
toutes deux comme des symboles, qui remplacent la série ci-dessus et auxquels

doit être attribuée la valeur e? À g.

156 A. BENTHEM GZ. THÉORIE DES NOMBRES COMPLEXES

coincident et où par conséquent z parcourt une ligne fermée, de

sorte que w—=e/® et w—f(z) sont simultanément des fonctions
q -

ar LS
monodromes ou polydromes de z; c’est ainsi que ed * *? est une
ar 0

fonction polydrome, e * — 77e *? une fonction monodrome.

Comme on a d’ailleurs (voir form. (34)) a/ = (87/0 — 0
on peut établir la proposition suivante:

Lorsque l’exposant de la puissance d'un nombre absolu a est
une fonction d'une variable complexe z, cetle puissance est
monodrome ou polydrome, suivant que l'exposant est lui-même
une fonction monodrome ou polydrome de z.

Dans le cas où la fonction exponentielle de z est polynôme,
les considérations du $ 9 sont applicables, et par conséquent la
monodromie ou polydromie de cette fonction dépend de celle
des termes séparés. Lorsqu'une fonction exponentielle polynôme
se trouve sous un signe radical, elle n’est pas encore pour cela

————

polydrome. C’est ainsi que w—=# e"* + g est monodrome, at-
tendu que pour z = rÎ(«+2kx), r Cos(o+2kr)=m et

r Sin(s + 2kn)=u, on a toujours w—=y el" pu +gq, de
sorte qu'à un même point du plan des z ne correspond qu'un
seul point du plan des w. Pour la fonction mixte w—=77 f(:) e ©
1
TE — F(2) PES Ne , l'y;
on peut écrire-w—e + ,. 1f(:); d'où li qeE nee

aucune influence sur la polydromie de la fonction w, quand F(:)
représente une fonction algébrique rationnelle de z.

48. En étendant les considérations du n° précédent, on est conduit
à cette question: ,,quels sont les points du plan des w qui doivent
être représentés par w, pour qu'il soit satisfait à l'équation e” = f(5),
ou, ce qui revient au même, à w—{(f(z)), lorsque dans cette
équation zx désigne un point P du plan des 3°’ Pour chaque
valeur indirecte du point P on obtient alors un autre point du
plan des w, puisque pour f(:) —rf« la valeur de w est indiquée

par le point /r+1/—1.a À ce:point de vue, /(f(z)) doit

ET BICOMPLEXES. 457

donc toujours être considéré comme une fonction infinitiforme
de z1}), et les valeurs de z, pour lesquelles f(:) devient nulle
ou infinie, doivent être regardées comme des points de ramification.
C’est ainsi que dans w — log, (2 + p), 2=—p et :—=% sont
des points de ramification. Si 2 parcourt une ligne passant par
un de ces deux points, les lignes correspondantes du plan des w,
en nombre infini, ont toutes le point commun w—, qui
pour toutes ces lignes correspond au point 2 = —ÿp ou :=%x
du plan des z.

SALE:
Bes fonctions bicomplexes.

49. Considérons deux sphères quelconques, traversées chacune
per un plan fixe, et dans ce plan un rayon déterminé OX, pris
pour axe (voir $ 6); soit en outre z une direction complexe variable,
indiquée par les points d’une ligne quelconque tracée à la surface
d'une des sphères, la sphère des z(B.); si alors w et z sont liées
l'une à l’autre par l'équation w—=#f(2), les directions w, qui
correspondent aux directions successives z, seront indiquées sur
l’autre sphère, la sphère des w(B,), par les points d’une ou de
plusieurs lignes. On a donc, ici encore, à faire la distinction en
fonctions monodromes et polydromes de z, tandis que les direc-
ons de z, pour lesquelles deux ou plusieurs points de la sphère

1) C’est à tort que tous les logarithmes sont dits polydromes, car d’abord
il n’y a que les nombres absolus qui aient un logarithme dans l’acception propre
du mot, et ensuite, dans l’acception générale, les logarithmes des nombres
complexes sont aussi des nombres absolus, auxquels est seulement jointe l’in-
dication de la direction du nombre complexe priitif. Pour les logarithmes, il
ne peut donc en réalité être question de monodromie ou de polydromie, pas
plus que de représentation graphique. On peut parler seulement de logarithmes
de fonctions monodromes ou polydromes, ou encore de fonctions monodromes

ou polydromes de logarithmes ; c’est ainsi, par exemple, que # = y? log,: est
une fonction polydrome de i’ordre .

158 A. BENTHEM GZ. THÉORIE DES NOMBRES COMPLEXES

B, coincident, doivent être regardées comme des directions de

6 tr 2+p
ramification ; dans w=yÿ TP, par exemple, DM et
2+p,
z2—=—p, sont des directions de ramification. Les considérations

du $ 8 sont applicables dans ce cas, lorsqu'on les rapporte aux
sphères B. et B,.

50. Tandis que Sinz, Cosz, etc. n’ont qu’une seule valeur,
on attribue une infinité de valeurs à arc Sinz, are Cosz, etc.

Dans la détermination de w— arc Sinz, etc. on peut avoir en
vue deux objets très différents, à savoir: 1° la direction w pour
laquelle le sinus est égal à z, ou 2° la longueur de l'arc dont
le sinus est égal à z.

Si, dans le premier cas, p représente un arc (proprement une
direction) dans le plan, et qu'on ait arc Sinz = p, on a aussi,
il.est vrai, arc Sinz—=1laÆF(lx—p)+2kx, mais toutes ces
valeurs ne représentent que deux directions différentes, dont les
valeurs directes sont données par p et x —p. Il en est de même
pour les directions dans l’espace; si l’on a Sin(«ffa) =:, on
a aussi Sin |[Lr F(in—a) + 2krx|fÎf(a+9kz)| —=z, mais
ici encore [ir H(in—a) +2kx|ff(a+2k,x) ne représente
que deux directions (directes), æ ff a et (x—-a)ffa.

En tenant donc compte de ce qui a été dit au $ 6 concernant
les directions complexes, on voit que arc Sinz, are Cosz, etc.
ne peuvent, pas plus que +a, —a, +1/—1.a et — Des.
être appelés infinitiformes.

Si au contraire, dans #w = arc Sin, etc., on demande la lon-
eueur de larc dont le Sinus, etc., estz, on obtient deux systèmes
de valeurs en nombre infini, et la fonction w peut alors être
considérée comme infinitiforme.

ET BICOMPLEXES. 159

CHAPITRE V.

L'ANALYSE DES FONCTIONS DE NOMBRES COMPLEXES.

S 412.
Considérations générales.

91. Toute expression complexe peut être ramenée à la forme of w,

et il en est par conséquent de même pour une fonction quel-

conque de rÎy; e et y doivent alors être des fonctions analogues
de r et de +. En effet, pour que of y soit une fonction de rÎw,
il est absolument nécessaire que r et # n’entrent dans ,Îw que
sous la combinaison rÎ, ce qui n'est pas le cas, par exemple,
dans des expressions telles que rf2%, r?Η#, etc. Pour qu'une
expression de la forme w—9fy soit une fonction de z2=7rÎ#,
il faut donc que e et y satisfassent à certaines conditions, qu’on
peut trouver de la manière suivante.

Puisque w doit être une fonction de z, et que rety ne dépen-

dent pas l’un de l’autre, on a:

dw als div d2
dr — dz ‘dr
d y dz d œ

mais, attendu que nous regardons la définition ordinaire du
quotient différentiel,

1f0 jm, FE +A9—/®.
d 3 A7

160 A. BENTHEM GZ. THÉORIE DES NOMBRES COMPLEXES

comme applicable aussi aux valeurs complexes de z, on a

1° — 1 pet de de +5) 1), et par conséquent aussi
dr d œ 9

dw dw db) dé! 4 {x
de El OT =rt(G+s)
d’où il suit
div 7 TU x
U — Re C4 510)
de 0 er Î 9 (0)

comme condition à laquelle w doit néces ssairement satisfaire pour
être une fonction de z.
Cette condition est d’ailleurs suffisante, ainsi que nous allons

le montrer. La différentielle totale de ”w est
dw dv div 7 dw
D Le (a 1 = LEE
EE a let

Cette même différentielle, après élimination de r, c’est-à-dire
après substitution de 2f—# à r, est

du dv
dw = (— ) dp + i ) dz
dq CE: ai
où nous plaçons les coelficients différentiels partiels entre paren-

thèses, pour les distinguer des précédents. Ce résultat, combiné
avec celui qui précède, donne:

du" =) du
cet EME NES di =0
(x) ME [ (x) Re. «|

et par suite aussi, dy et dz étant indépendants l’un de l’autre,

du du
: (Gite = 0
1) Lorsque q est constant, on à 2e —= lime CHOTERS = lÎw:
E
2r Sin -

d z ; rT(o+e)—rly
&

si > est constant, on a 2e = lim
D

— rt (e+ =):

AN
RES (+55)

ET BICOMPLEXES. 161

La premiére équation nous apprend que w, après l'élimination
de r, est indépendante de +, et que par conséquent, lorsqu'on
élimine r, æ disparaît également; en d'autres termes, que w
dépend de rfœ ou . z. La seconde équation, attendu qu'on à

= d'w d'w
maintenant aussi , donne MO

z ar
92. Si w est une : dé :, on à donc, d’après ce qui
précède :

dw _ dw
dz dr
dt d'u nl
et UT SR :
dz r ds | Le ++)
par conséquent aussi:
d'u do dy TT
= — +g— Î — rdP hist ats 91
d2 nn dr 13)te #) 1)

et
dw À / dv do
= | FEES 1 — (58
= (65e ml p) )

Ces deux dernières équations sont indépendantes de 1 et par
fe

conséquent de dz, de sorte que = est indépendant aussi

bien de la grandeur que de la direction du déplacement du point
—r19.

La propriété que possède une fonction continue d’une variable
réelle z, d’avoir pour chaque valeur de z une fonction dérivée =
par rapport à z, fonction qui est en général déterminée et finie,
et qui dépend uniquement de z et non du signe de l'accroissement
infiniment petit de z, ni de la façon dont on fait converger cet
accroissement vers zéro, — cette propriété appartient donc aussi
à une fonction continue d’une variable complexe z. Or, c’est sur
cette propriété fondamentale que repose l'application des règles
du calcul différentiel et intégral aux fonctions d’une variable réelle ;
en étendant donc aussi les définitions d’intégrale indéfinie et définie

ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XII. 44

162 À. BENTHEM GZ. THÉORIE DES NOMBRES COMPLEXES

du cas d’une variable réelle à celui d’une variable complexe, on
pourra appliquer aux fonctions de cette dernière les mêmes règles
de différentiation et d’intégration qui conviennent aux fonctions
d’une variable réelle. On pourra donc calculer, pour toute fonction
continue, la fonchion dérivée ou l'intégrale indéfinie, sans avoir
à se préoccuper de savoir si la valeur en question de la variable
est réelle ou complexe !).

2
93. Pour l'intégrale définie | f(&) dz, ce principe subit tou-
Zz

tefois une modification, parce que, dans le cas où z est une
variable réelle, z ne peut passer de z, à Z que d’une seule manière,
tandis que ce passage est susceptible de se faire d’une infinité
de manières si z est une variable complexe; dans ce dernier cas,
par conséquent, la série des valeurs intermédiaires n’est pas
prescrite, mais peut être représentée par une ligne quelconque
allant de z, à Z. De cette ligne dépend la valeur de l'intégrale,

Z
de sorte qu’on doit attribuer provisoirement à la fonction Î f (2) dz
70

un nombre infini de valeurs. Il faut donc examiner quel rapport
existe entre la valeur de cette intégrale définie et les différents
chemins que z peut parcourir de 3, à Z.

04, Si z est une variable complexe, qui passe suivant une
ligne quelconque de z, à Z, de telle sorte que, pour aucun point
de cette ligne, (+) ne devienne infiniment grande ou discontinue ?),

1) Bien entendu qu'on devra montrer préalablement que la éhéorie des valeurs-
limites, établie dans l’Analyse algébrique, convient aussi aux variables complexes.
2) Pour un même point P, une fonction peut être continue ou discontinue,
suivant qu'on considère l’une ou l’autre valeur de ce point P. C'est ainsi que

la fonction , au point z2=<+1, est discontinue pour +l=1t(a+ 2)a

+ I
Vi+1
et continue pour + 1 = 1 Ÿ 44. Dans le premier cas sa valeur en ce point
est oo, dans le second cas + L. Pour cette raison, ce point P est aussi appelé

Le
EE
d’un point de la ligne parcourue est r Ÿ «, celle du point suivant est (r+o)T(x+e)

et non (+ 9)Î(u+247n+e).

un point de ramification. Il en est de même de Lorsque la valeur

ET BICOMPLEXES. 163

et si l’on prend sur cette ligne une série de points dont les
valeurs soient successivement représentées par z,, 2: ...2, l’in-
tégrale de f(2)dz, entre les limites x et Z, est définie par l'équation
identique :

Z
| f(x) dz = lim. (er) EE x) rE,) +
ï -— C2) /(c.) +... + (Zu) f(a)l, . - . . (09)
lorsque la limite de chaque différence 4—% est = 0.

99. Or, il est établi dans les éléments du calcul'intégral qu’on a

Z
Î HO = A) EP). 04100)
id) est = j(2)

et que F{2) reste continue pour toutes les valeurs de z, depuis
% jusque et y compris Z. La démonstration de ce théorème
demeure mot à mot applicable,

19. si z est une variable complexe et que z, et Z représentent
des points arbitraires du plan; que tous les accroissements infi-
niment petits de z, en d’autres termes toutes les différences
272, _), aient les mêmes directions, ou, ce qui revient au même,

lorsque z représente une variable réelle, que

que z parcoure de z à Z une ligne droite; que F(z) soit continue
pour les points de cette ligne; enfin, que pour les points suc-
cessifs de la ligne on prenne les valeurs de z qui correspondent
à une même valeur iniiale 2 = 2, ;

20, si z représente une direction complexe «ffa, et que z, et Z
solent par conséquent des directions arbitraires; que tous les
accroissements infiniment petits de 2, c’est-à-dire toutes les dif-
férences z,—z,_;, aient le même angle de position, et que par

conséquent 2 parcoure un plan de 4, à Z; que F(z) soit continue
pour toutes les directions parcourues dans ce plan; enfin, que
pour les directions successives on prenne les valeurs qui corres-
pondent à une même valeur initiale z = 4.

96. En embrassant maintenant les points de ramification et

les points dans lesquels la fonction devient nulle ou discontinue

164 A. BENTHEM GZ. THÉORIE DES NOMBRES COMPLEXES

sous le nom commun de points critiques (Ausnahme-Puncte).
on arrive aux résultats suivants.

Z
Si dans w= | f(c)dz on fait parcourir àz, dez, =P, àaZ=P,,
Z9

deux chemins différents composés de lignes droites, P, P, P,
P,P,P;,P, (fig. 11), pour lesquels les conditions posées ci-dessus
soient satisfaites, et si l’on représente par [(P, P,) la valeur de
l'intégrale de f(z)dz lorsque z passe de P, à P, par la ligne:
droite P,P,, la valeur de # est suivant l'un des deux chemins,
RÉ AN

D, = HMPAESSS
et suivant l’autre chemin, P PPS

w, =T(P,P,) + 1(P,P;) +1(P;P,).

Dans la supposition de IHÉLARCE on a, d'après ce qui

a été dit plus haut:

I(P,P,) = F(P,)—#(2),
LP, Pa} RP ME
LP Ph (PORN
L(PsP,) = (PS) ERREER

el par conséquent, puisque dans ces égalités P, el P; représentent
toujours la même valeur,

nu =F(P,) —F(P,),
et be pp)

Dans ces deux équations, P, représente la même valeur (initiale)
%; Si donc P, représente aussi dans toutes les deux la méme
valeur, on a

ms =,
c’est-à-dire que lintégrale est la même, prise suivant l’un où
suivant l’autre des deux chemins.

Comme ce raisonnement est indépendant du nombre des points
intermédiaires P,, P., ., on à donc cette proposition:

Si z parcourt de z, à Z deux chemins différents, de telle sorte
que sur ou entre ces chemins il ne se trouve aucun point critique,

ET BICOMPLEXES. | 165
el que par conséquent aussi, à la même valeur initiale A eut
R RE
corresponde la même valeur finale Z de z, la valeur de w—= Î f(2)dz
Z
est la même le long des deux chemins), ou, en d’autres ons
Z
La valeur de l'intégrale définie w — ( f(2) dz est indépendante
Z9

du chemin parcouru par z de x, à Z, aussi longtemps que sur
ou entre ces chemins \ n'y a pas de points critiques.

Si lon remarque maintenant que de la définition de l’intégrale
définie 1l résulte

Proë= [res On Au

To

on a aussi les deux propriétés suivantes:

Si z parcourt une ou plusieurs fois une ligne fermée qui ne
contient ni ninclut aucun point critique, de manière qu'après
les diverses revolutions le point de départ acquière de nouveau
exactement la valeur qu'il avait à l’origine du mouvement, la
valeur de w, c'est-à-dire, la valeur de l'intégrale définie prise
le long de la ligne fermée, est égale à zéro;

et

Si 2, partant d'un méme point, parcourt dans le mème sens
deux ow plusieurs lignes fermées, semblablement situées par
rapport aux points critiques de la fonction, La valeur de l'intégrale,
prise Le long des différentes lignes, est la même, en d'autres
termes, la valeur de ceite intégrale est indépendanie de la forme
de La ligne fermée que z parcourt une ou plusieurs fours.

97. Supposons maintenant que 2, partant de P,, parcoure k

:) Une démonstration de ce théorème, fondée sur l'application du calcul des
variations, a été donnée par M. Puiseux, Ux/ersuchungen über die Alygebr. Functionen,
dargestellt von H. Fischer, Halle, 1861. Cette démonstration, de même que
l'élégante démonstration de Riemann, qui se trouve dans presque tous les Traités
sur les quantités complexes, s'appuie sur des considérations qui sont étrangères
a la nature des quantités complexes.

166 A. BENTHEM GZ. THÉORIE DES NOMBRES COMPLEXES

fois en sens positif !) une ligne fermée P, QRP, (fig. 12), qui
mclut un seul point critique P = p,; décrivons autour de P un
cercle PQ,, et menons en outre la droite P, Q, ; d’après ce qui
précède, l'intégrale suivant P, QRP, a alors la même valeur que
l'intégrale prise dans le même sens le long de la ligne P,Q R,0,P,,
et par conséquent, si l’on désigne par I, (P, Q,) l'intégrale suivant
P,Q, prise entre les limites P, et Q, lors du mième parcours,
et par L(p,) l'intégrale suivant le cercle décrit autour de p, lors
du ième parcours, l'intégrale susdite w a pour valeur:

Ww—= (PQ) +1L(p)+1L(Q0P,)+1(4P,0,)+ EL (p:) +
+ L(Q,P,) + L(P,0,) +... + H(P,0,) +{p,) + W(Q,P,).
Mais on a [,(Q,P,)+1,+:(P,Q,)=0, et par suite aussi:

w=1,(P,0,) + 2 Up) + HQP,) - (62)

En faisant décroitre indéfiniment la longueur du rayon PQ,,
on a donc la propriété suivante:

St, dans w = Î f()d:, =, partant de , parcourt k fois
Zo

une ligne fermée qui n'enferme qu'un seul point critique p,,
la valeur de cette intégrale est égale à celle qui est prise dans
le méme sens sur le cercle infiniment petit décrit de p, comme
centre, augmentée de la somme des intégrales rectilignes 1, (P,0.)
et ANOPES)

En désignant par » le rayon du cercle susdit, on a pour
les points de ce cercle 2 = p, +rîy, et par conséquent,

k
puisque dans ZJ;(p,) & seul varie et croît de « à « + 2kx,
1
PA TT = . . :
de = (5 —- o) = (2—p,) dpi 3 et, après substitution:

k

sl) =] Em@dt5 (6)

1) C'est-à-dire que # indique la différence des nombres de révolutions positives et
négatives accomplies par z autour de p,, de sorte que # peut avoir chaque valeur
entière (positive, nulle ou négative).

ET BICOMPLEXES. 167

Lorsque r tend vers la valeur-limite zéro, 1l en est de même
pour z—p,. Dans le cas où, pour lim. 7 = 0, lim. (:—p,)f(2)
prend une valeur finie déterminée À, qui ne dépende pas de w et
qui reste par conséquent toujours la même, quel que soit le côté
- par où z approche du point p,, on a

LE 2

expression dans laquelle on à À = lim. (:—p,) f(:) pour hum. r = Ù.
Dans le cas où, pour lim. r —0, lim. (:—p,)f(z) ne prend
pas une valeur finie déterminée, on représente encore la valeur

de w, par 2knaf la détermination de la valeur de 2 devient

alors plus compliquée; on peut consulter, à ce sujet, Houël,
Théorie élémentaire des quantités complexes, Paris, Gauthier-
Villars, 1868, nos 141 et 288. |

De ce qui précède, il est facile de déduire, par la méthode
ordinaire, comment on détermime la valeur de l'intégrale lorsque
la hone fermée inclut un nombre fini » de points critiques isolés,
c’est-à-dire, situés à des distances finies l’un de l’autre. Je renvoie
à cet égard à mon Mémoire original.

Les intégrales des fonctions monodromes.

D8. Jusqu'ici nous avons toujours parlé de poin!s critiques,
sans nous inquiéter de la nature de ces points. Lorsqu'on tient
compte de cette nature, on doit distinguer en premier heu le
cas où les points sont des points de ramification, et où par con-
séquent f(z:) est une fonction polydrome de :, de celui où f{2)
est monodrome. Dans ce dernier cas, les considérations générales
présentées ci-dessus se simplifient beaucoup. Si l’on remarque,
en eflet, que, lorsque f(:) a une valeur finie, l'accroissement

F(z2+ A2) —F(:)=|f(2 + €] Az

168 A. BENTHEM GZ. THÉORIE DES NOMBRES COMPLEXES

(pour la limite e— 0) est infiniment petit en même temps que
Az; que, lorsque f(z) est monodrome, Az au passage d’un point
au suivant n'a qu'une seule valeur, et que par conséquent l’ac-
croissement de F(z:) n'a aussi qu'une valeur déterminée unique;
et que, dans les fonctions algébriques, la présence ou l'absence
de z sous le signe radical détermine la monodromie ou la polydromie
de la fonction, on est conduit à la propriété suivante:

Quand une fonction f(:) est monodrome et continue sur et
entre deux lignes, l'intégrale indéfinie de f(z)dz ne saurait étre
une fonction algébrique polydrome ou discontinue sur ou entre
ces lignes ?).

Lors donc que f(:) est monodrome, on a, au n°. 97,

1, (P,0;) + HO, PS)
car si dans w, —/f(:), lors de la première révolution de z, la
valeur w, de ”, correspond à un point arbitraire de P,Q,,
après la kième révolution correspondra à ce même point de P,Q,
la valeur w,.1?2k7 de w,; de sorte que, d’après la définition
d'intégrale définie, on a L(Q,P,)=—1I,(P,0,).1f24z, et
par conséquent aussi], (P,Q,)+1:(0,P,)=1I,(P,0,).11—11247]—=0.
Par là la form. (62) devient

k
DE RURE ie EN C (66)
et le théorème du n° 57 se transforme en celui-ci:

Quand f (2) est une fonction monodrome de 27, et que, à
partir de 7, 2 parcourt k fois une ligne fermée qui n'inclut
qu'un seul point critique, la valeur de l'intégrale w = Î {[(2)dz

est la méme que celle qui est prise dans le même sens sur Le
cercle infiniment petit décrit de p, comme centre, c'est-à-dire
que cette valeur est égale à 2kzi —-

:) Il n'est pas permis de dire que l'intégrale indéfinie doit être monodrome
et continue sur et entre ces lignes: elle peut aussi être infimitiforme, comme

PA dz dz
c'est le cas, par exemple. pour 1 Je . etc.

ET BICOMPLEXES. _ 469

En outre, il n’y a alors plus à tenir compte des points pour
lesquels f(z) devient nulle, car si pour z2=9p, on a f() —=0,
on a aussi, pour lim. 2z—p, —=0, i— lim. (:—p,)f(2) =0, de
sorte que ces points n'ont aucune influence sur la valeur de w.
Les seuls points à considérer sont donc ceux pour lesquels #(2)
devient discontinue.

99. Si maintenant, pour exprimer que la fonction monodrome (2)
est continue pour tous les points situés sur ou entre les deux
chemins (sur ou dans la ligne fermée) que z parcourt de z, à Z;
on dit que f(z:) est synectique entre ces chemins (Cauchy, Comptes
rendus, 1855, p. 447). il résulte de ce qui précède, que,
lorsque f(z) est synectique entre le chemin que z parcourt de

4

% à Z, ei la ligne droite qui jomt z, et Z, la valeur de lin-

Z
tégrale w— ( f() dz est aussi sur la première de ces deux lignes
70

Ds

gale à BAR (=)

F (2) représentant l’intégrale Indéfinie de f(z) dz.

Dans ce cas, et par conséquent aussi chaque fois ques /(z)
est synectique sur la surface entière, la valeur de l'intégrale
définie se déduit donc de l'intégrale indéfinie exactement de la
même manière que lorsqu'il s’agit d’une variable réelle.

2
Si, dans w=| aa. Z est un point P, de l’axe, et que
0

f(x) soit synectique pour tous les points du quadrant qui, sur
le cercle décrit de Ô avec le rayon OP, (fig. 13), est compris
entre l’axe et la perpendiculaire OP, élevée à l’axe en O, la
valeur de lintégrale est la même, soit que z parcoure la ligne
droite OP,, ou bien d’abord la droite OP, et ensuite l'arc de

cercle P,PP,. Pour ce dernier, on a z—=72f9, PET TIC +5),

; TU : ï
g passant de 7 à 0; de sorte qu'on obtient:

on Ha de + 2f nat). ant (: “ D.

170 À. BENTHEM GZ. THÉORIE DES NOMBRES COMPLEXES

; e TT À
Par la subsütution de z— 7,7], dans le premier terme du

second membre, cette équation devient:

w AGE 1 ire +2] rUts) dpt(o+ SE (67)

| à

Soit, par exemple, f (2) = 2 (CEE 7/4; on
a alors:
De DR Re 0
ces [ 21 (1—_2%)dz — nl (68)

en outre, de=dri(s+s) et 1— 2 = 1—112b% —

2 Sin by , de sorte qu'après substitution on obtient:

7e —+ 2bo
?

ù = fet-remraetes+ F Sir de 1e:

Si b et a sont pairs, le premier terme du second membre est
égal au second membre de l’éq. (68), et par conséquent on a aussi:

w, =f Sin°by. dstf@o+rge +2 ue «| =0:

si, au contraire, b est pair et & impair, on trouve:

e=f Sin°bydet| ( (2a + bc :) p + =. bc ca

Da)°+1/2 ?

& ; d'où il suit, à raison de rfe =7r Cosa + 1”—1.7 Since,
pour & et b pairs,

f'sinbe . Cos [ (2 +v0e +. So | 0. 9)
0 73 =

ET BICOMPLEXES. 171

pour à impair et b pair,

[sind Cos | @a+bo)e + si 2 [dr =—2. nes (70)
0

(2a)°+1 12b

et pour b par et « quelconque, mais entier et > Ü,
= 9 + 1
fFsinvr. Sin [u+vos+ #51] Ép= 0 LT)
0

(Pour d’autres méthodes découlant de ces considérations et
propres à déterminer des intégrales définies entre des limites
réelles, voir mon Mémoire original, ainsi que Houël, L.c.,
n° 295 et suiv.).

Z
60. Soit encore w — [ f(z) dz, et joignons les points P, —=%
29 :

et P, —Z par une ligne droite P, P, (fig. 14) et par une ligne
courbe P, LP,, de telle sorte que le chemin fermé qui en résulte
entoure les # points isolés p, pour lesquels f(z) est discontinue, et
de façon que z, en parcourant ce chemin fermé, fasse / révolutions
autour du point p,; on a alors:

froë:=2rs1at :
Zo 1 2
et par conséquent aussi, à cause de w + I; (P, P,) = Î fa)de,

en uen (72)
1 \

expression où il faut prendre, dans I; (P, P,), les directions
réelles que z a obtenues après avoir tourné autour des points
critiques. La valeur de w est alors dite la valeur générale de

[ f(z) ds.

172 A. BENTHEM GZ. THÉORIE DES NOMBRES COMPLEXES

$ 14.
Les intégrales des fonctions polydromes.

61. Lorsque f(z) est une fonction polydrome de =, nous pou-
Z
vons, en ce qui concerne les rapports de l'intégrale ( f(z)dz

avec les points pour lesquels f (z; devient nulle ou discontinue,
sans que ces points solent des points de ramification de f(x),
renvoyer au K précédent, de sorle que provisoirement nous
négligeons tout à fait ces points, ou plutôt nous considérons
seulement les fonctions polydromes dans lesquelles les termes ne
sont pas aflectés de facteurs z—p qui ne donnent pour : —
aucun point de ramification.
Du $ 12 découlent alors les propositions suivantes:

Z
1°. La valeur de w — [ f{z)dz est indépendante du chemin

que z parcourt de 3, à L, pourvu que ces chemins ne contien-
nent ni n'enferment aucun point de ramafication.

29. Lorsque z, partant de z,, parcourt une ou plusieurs fois
une ligne fermée, qui ne contient ni n'inclut aucun point de
ramification, on à w = 0.

Nous avons vu, en outre, que si =, à partir deP,, parcourt
k fois en sens positif une ligne fermée qui inclut un point
de ramification unique p,, la valeur de lintégrale défimie

Z
w | fix) dz est égale à:
To

;
J, dose t) Mrs = L (P;) Sr fe (O0 EUE

ee — ——

62. Soit, en premier lieu, f (z) =ÿ7"2:—p, et par conséquent

“= | 1/3—p, . de; OS CS)
Zo

à ET BICOMPLEXES. 149.

| k
pour lim. z—p, —0 on a alors 2—0, donc aussi Z[(p,)=—=0,
1

et par suite
MP Ou FE RIQE Bis ee os: (74)

Si, dans w—17:—p,, à un point arbitraire de P,Q,, cor-
respond, lors de la première révolution, la valeur w, de w,, la
valeur de #,, qui correspondra à ce même point de P,Q, après
k révolutions, sera w, .1 1e en représentant donc par [(P,Q,)
l'intégrale suivant P,Q;, dans le cas où l’on ne prend que les
valeurs de z qui correspondent à la valeur initiale de P,, origine

de la génération, on aura 1: (0, P;) = —TI(P:0;).1

) kr

et Dar
ñ
substitution dans (74

= Lire] à te (75)

expression où k indique la différence des nombres de révolutions
positives et négatives accomplies par 3 autour de p,, de sorte
que k peut avoir une valeur entière quelconque (positive, nulle
ou négative).

D'une manière entièrement analogue on trouve pour la valeur de

dans le cas où z fait Æ révolutions autour du point de ramification
P, à partir de P,, l'expression:

D La
oi

qui montre que révolutions positives autour d’un point de
ramification ayant rapport à un facteur du dénominateur sont
équivalentes à k révolutions négatives autour d'un point de
ramification ayant rapport à un facteur du numérateur.

63. Soit maintenant:

2 LA 3—pi) (z—p;) er es (37 —Pn)
dé de érs p,)z—p.) us. Ce)
et par conséquent
(pr) (z--ps). (3—Pn)
me 2 KE
ER (z—p;) JS PE (z—pu) so

474 A. BENTHEM GZ. THÉORIE DES NOMBRES COMPLEXES

supposons, en outre, que 3, à partir de P;, parcoure une ligne
fermée entourant Æ points de ramification, de telle sorte que z

fasse, en sens positif, d’abord », révolutions autour de p,, puis
n. autour de p,, ensuite #., autour de p,, n, autour de p,, etc.
enfin de nouveau #', autour de 71, etc.; pour chacun FREE
de ramification on a alors, à la limite He l = 0 etpar

k
conséquent aussi Z lp.) = 0, d'où 1l résulte :
1

wi (PQ) + I, (QP) +1, PQ) +1, , 2, (0 Pi) +
EAU É se 01) + LS ae RE (Q: Pi) +
expression dans laquelle Q,; est un point du cercle infiniment
petit décrit autour de p, comme centre.

. Mais on a (voir n° 62) L(QP1) = —H4:(P101) = —1(P10;).1f .
de sorte qu’on obtient:

es D jeu Q(n=n, Lin, ROME) 7

LL ne

SE

ë Frs RÉ >) x DE ma) 2

ei 1° Ni +. Len N'i—N', J I (P,0,

7 [: ns rh _—— HS
ni Er r + eo I (P,0.) +
HR. ST ARISEUUR DR MSN ORS STE SPORE RER

+ j (n1— == _1t 2(n:- Le FU), 4 jee

Ip CR SR RE +. 1:08): (78)

n

où l’on doit prendre le signe + ou le signe —, suivant que le

ET BICOMPLEXES. 175

1

point de ramification p; se rapporte à un facteur du numérateur
ou à un facteur du dénominateur.

64. Les mêmes considérations restent applicables lorsque deux
ou plusieurs points de ramification coincident. Soit, par exemple,
f(2) = ÿ/(p + gz=)? et par suite

»= | Ce ON te (E0)
Zo

— D est alors le seul point de ramification de la fonction; en
q

faisant parcourir à z, à partir de P, = z,, une ligne fermée qui

fasse Æ circuits autour de ce point de ramification, la valeur

de w est
Fe = (aan 1(P,0,)

ES
et par conséquent, vu qu'on a [(P,Q,) Le. < (pq)? d =

u

AUS
=; (p+) Fl. pour nr. 9 — 0 ;
2 5
= (is) à Date ete
pour 4= 0, 3, 6, 9,.... 3m, cette valeur devient:
w = 0; |

DE 2) ,.... 8m +1, + devient :

w=—}6 +15 À = (p +10):
En pour £ —®, 5, 8.... Hu elle devient:

w=—}(8— 1-5) F- + 4%).

69. Si l’on remarque maintenant que les intégrales de fonctions
polynômes peuvent toujours être réduites à la somme d’intégrales de
foncuons monômes, on voit que les indications précédentes suffisent

pour ramener aux intégrales rectilignes T(P,Q,), I(P,Q,), ec.

la valeur de l'intégrale définie w = ( f(z)dz, dans laquelle f(:)

z, ù
représente une fonclion algébrique quelconque, et où z, à partir
de z, parcourt une ou plusieurs fois une ligne fermée quelconque.

176 A. BENTHEM GZ. THÉORIE DES NOMBRES COMPLEXES ETC.

Le seul point qui puisse offrir quelque difficulté est la déter-
mination de 4 pour lim. z—p, = 0, lorsque des facteurs z—p, se
trouvent non-seulement sous le signe radical, mais aussi devant
ce signe.

66. Pour déterminer enfin, dans le cas actuel, la valeur

2
générale W de W — | f(z)dz, on joint les points P, —=:, et

P; —=7Z:par. une hgne droite P,P, (fig. 14) et par une ligne courbe
P LP,, de telle sorte que la ligne fermée qui en résulte entoure
les n points de ramification p,, et que z, en parcourant cette
ligne, fasse / révolutions autour du point p..

On a alors: W+l(P,P,) =f 6 ) de,

et par conséquent: Le | fe) de IP ER 1102)

où l’on doit prendre pour P, et P,, dans I; (P,P,),,les direc-
tions réelles que z à obtenues en ces points après avoir tourné
autour des points de ramification; ceux de ces points qui se
trouvent sous le signe radical dans des facteurs de la forme (z—p)!
doivent être portés en compte comme des points multiples de

l’ordre /. La valeur de | f(z)dz a été, dans les n° précédents,

Zo
déterminée d'une manière générale et ramenée à des intégrales
rectlignes ; de sorte que, entre autres, pour le cas où l’intégrale
Z

indéfinie 1 f{z)dz est connue, la valeur générale de I (a) dz peut
Zo

toujours être obtenue.

67. Toutes les considérations ici développées s'appliquent aussi
au cas où /'(z) représente une fonction franscendante ou bicom-
plexe. Dans ce dernier cas, z est une direction complexe,
et parcourt donc les directions indiquées par les génératrices
successives d'un cône dont le sommet tombe en 0. Les points
critiques p, du À 12 deviennent alors des directions critiques 7,
le cercle infiniment petit, décrit autour de p,, devient un cône
circulaire à angle du sommet infiniment petit, ayant pour axe la
direction critique %.

SUR

LABSORPTION DE LA LUMIÈRE
D'APRÈS LA THÉORIE DE M MAXWELL,

PAR

C. H. C. GRINWIS.

1. En 1865 :), M. Clerk Maxwell a émis pour la première fois
l'hypothèse que la lumière est un phénomène électrique, consistant
en ondes, qui se propagent dans le champ électromagnétique
suivant des lois déterminées. Il est revenu sur cette question en
1868 ?), et dans son Treatise on Electricity and Magnetism,
publié en 1873, il a donné un aperçu plus développé de sa
théorie, en y rattachant aussi l’action des aimants sur la lumière
polarisée, découverte en 1845 par Faraday.

Je me propose d'examiner ici de plus près un seul point de
cette théorie, à savoir, la propagation des vibrations électriques
dans des corps qui, bien que susceptibles de polarisation électrique,
possèdent en même temps le pouvoir de conduire l'électricité
dynamique. Ce que M. Maxwell en dit est, quoique très important,
relativement peu; une couple de pages seulement de son livre
(paragr. 798-—803) sont consacrées à ce sujet.

Pourtant, ce côté de la question présente un haut degré d’in-
térêt. M. Maxwell traite très brièvement du rapport qui existe
entre la transparence et la conductibilité, et il remarque que la

) Phil, Trans., 1865.
” 7 ” 1868.

ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XII. 119

478 C. H. C. GRINWIS. SUR L'ABSORPTION DE LA LUMIÈRE

plupart des corps transparents sont de bons isolants, tandis que
les bons conducteurs ne laissent pas passer la lumière. Quoique
la loi, suivant laquelle l’opacité augmente à mesure que la con-
ductibilité devient plus grande, soit sujette à de nombreuses
exceptions, elle n’en fournit pas moins un sérieux appui à la
théorie de Maxwell: dans les bons conducteurs, en effet. les
vibrations électriques donneront lieu à des courants électriques,
ce qui entraine la transformation de l'énergie électrique en chaleur,
de sorte que l’ondulation électrique ou lumineuse sera absorbée
par le corps.

L’explication est moins claire en ce qui concerne les électrolytes ;
ceux-ci laissent passer le courant, et pourtant la plupart d’entre
eux sont transparents. M. Maxwell indique succinctement comment
il serait peut-être possible de lever cette difficulté; mais cette
partie de la théorie exigerait une étude très délicate et approfondie,
que nous n’aborderons pas pour le moment.

Nous voulons seulement soumettre au calcul l'absorption de la
lumière par les corps conducteurs, et pousser ainsi un peu plus
loin l’analyse de ce phénomène. Les calculs très peu nombreux
que M. Maxwell a donnés sur ce point pourront nous servir de
point de départ.

2. Supposons qu'une onde électrique plane se propage à l'in-
_térieur d’un corps dans la direction de l’axe des x, et que les
vibrations aient lieu dans le plan des y2, perpendiculairement à
la ligne de propagation. Cette onde sera (hypothèse suffisamment
sénérale pour notre objet) celle d’un faisceau de lumière polarisée
rectilignement, qui se meut dans un corps dont le pouvoir d'induc-
tion électrique est K et la conducubilité C; désignons par V la vitesse
de propagation de l’onde, par 2 la longueur d’ondulation; intro-

ÿ

d x
duisons, pour abréger, la grandeur £ = —, et soit enfin « le
À
pouvoir inducteur magnétique du milieu dans lequel s'exécute le
mouvement vibratoire.

Pour obtenir les équations du mouvement, cherchons deux
expressions pour l'intensité de courant w du mouvement électrique

D'APRÈS LA THÉORIE DE M. MAXWELL. 179

parallèle à l'axe des z; remarquons d’abord que, vu la direction
attribuée par nous à la propagation de l'onde plane, toutes les
srandeurs, fonctions de æ et de {, auxquelles nous aurons affaire,
sont indépendantes de y et de z. :

Les équations du paragr. 616 (nous conserverons les notations
de M. Maxwell) donnent alors:

nu — LE Ma Ur 2e RON
d x u u dx
par conséquent :
2
nn
dx?

La seconde valeur de # est fournie par les éq. du par. 611,
qui donnent

Es dR
W=CR + Te K ne
ou, attendu qu'on a (598)
PONT A
JE di”

2
— Au w = mec + uK sl
dt
équation du mouvement devient donc

æH A au
—)/ 1e 4 7 u C — ,
RO ae OU

ou” en posant # K — «a? et 2ruC—b?,
| d’H , dE dH

é — 0

dx? dt? dt

1

3. Tächons de satisfaire à cette équation par une fonction
périodique de la forme

H=Ae-rz Cosk(x —Vt), |
où À représente l'amplitude de la vibration à l’origine; en posant,
pour abréger, HE
H'= Ae—27z Sin k(x—Nt),
12*

A8SO cc. H. C. GRINWIS. SUR L'ABSORPTION DE LA LUMIÈRE

nous aurons:

pla,
TX
— + 2pkH'— EH,
“h
PR Tr
di
_. y,

valeurs qui, substituées dans (1), donnent
pH +2pAH — A H= —a?8k2V2H + 2b2EVH':

pour que cette équation subsiste en tout temps, il faut qu'on ait:

Qpk—Qb? ENV et pk? = —a?k? N?,
ou p—bN et a?k2V? <bN? =,
re k2 |
c’est-à-dire : V2 = < (9)
ak? + bi
4 nr?
ES ed

: . (2a)

uk de WauCe
l'intégrale de l'équation (1) devient donc:
H=Ae-?278CVz Cos LG MD NS)

où V est déterminée par l'équation (2) ou (2a).

L'expression (24), que nous venons d’obtenir pour la vitesse,
ne manque assurément pas d'intérêt, elle nous montre que dans
un milieu, tel que nous l’avons supposé, la vitesse de propagation
dépend de la longueur d'onde, des pouvoirs inducteurs électrique
et magnétique, et de la conductibilité. Mais, quelle que soit
l'importance de ce résultat, il aurait encore beaucoup plus de
valeur pour nous si nous savions quelque chose de précis touchant

D'APRÈS LA THÉORIE DE M. MAXWELL. _181

la liaison qui existe entre les grandeurs &, K et CG. — C’est là
ce qui décidera si la théorie de M. Maxwell peut, oui ou non,
expliquer par la formule (2a) la dispersion de la lumière. —
Des recherches à ce sujet, sur plusieurs corps différents, auraient
donc une importance capitale.

En ce qui concerne les valeurs limites de V, pour les corps
isolants, c’est-à-dire, lorsqu'on a C— 0, on obtient

1

V2 = CE Te et ND
FE - (2

M. Maxwell a trouvé que pour l'ai V Ro uit avec la vitesse

de la lumière, et c'est là ce qui paraît lui avoir donné l’idée de
l’analogie entre les vibrations lumineuses et les vibrations électriques.
Pour les corps sans polarisation électrique, on à K = 0 et par

conséquent
1

A EN Ra RO)
c’est-à-dire, que la vitesse est inversement proportionnelle à la
longueur d'onde et à la conductibilité. — Ce dernier résultat,
si singulier qu'il puisse paraitre, est, comme le remarque
M. Maxwell (par. 803), en parfait accord avec le fait connu,
qu'un inilieu d’un très grand pouvor conducteur empêche com-
plétement la propagation de la force magnétique.

4. Déterminons maintenant l'énergie que possède, avec cette
forme de vibration, l’unité de volume de notre corps. Les for-
mules générales de Maxwell (par. 638) donnent, attendu que,
pour des vibrations dons la direction de l’axe des z, P, Q, F
et G sont nuls, tandis que H n’est fonction que de x et de #,

a = 0 ps 264 Î=
æ
a — () Ha À au =);
u dx

de sorte que l'énergie électro-statique E (l'énergie potentielle du
milieu) et l’énergie électro-magnétique T (l'énergie actuelle), prises

182 _ C. H. C. GRINWIS. SUR L'ABSORPTION DE LA LUMIÈRE

lune et l’autre pour l'unité de volume, sont exprimées par les
formules :

1 1
E=CRh T2
2 2. Série
mais on à ER A R=-T, tandis que b a été donné
ci-dessus; par conséquent:
K d H\ ?
ni — is
87 Ci l 3
QU LE Éa |
Lx Su LA ]

Dans notre cas, où l’on a
H=Ae-rx Cos k(x—Vt),

on lire, des valeurs que nous venons de trouver,

1 dH du
État Ér H=0 L
Vs SE ; (4)
pour les isolateurs, qui rendent p = 0 et V? — _ l'éq. (4)
u

donne immédiatement

à pe a |
dépit 1 Ne

c'est-à-dire, à raison des éq. (3),
1h:

de sorte que, dans cette forme de vibration électrique, les deux
énergies existent en quantité égale, comme on pouvait du reste
le prévoir.

Mais cette égalité cesse dès que le corps conduit l'électricité
et que par conséquent C n'est pas nul; nous avons alors, en
vertu de (4):

D'APRÈS LA THÉORIE DE M. MAXWELL. 183

DEN 1 dH
a) = 5 +24)

— (uK +u?C222) (T5) + UT + p° H2.

et par suite

BU AGEN = K /dil 2pndH
nine :; H— 20 (5
Tu 7.) Er mn) + + ) ar V dt Fu \ ( )

ou AN ar D)

On verra bientôt que À est une grandeur positive, de sorte
que T surpasse toujours E.

Pour le calcul de E, T et A dans notre cas, nous faisons
observer que ces grandeurs sont des fonctions périodiques de £.
Déterminons leurs valeurs moyennes pour la durée d’une vibration,
el remarquuns, à cet effet, qu'en posant e—2#—UÙ on a à la fois

1 [ns dti

Cos? k(xæ— NV pai= a (UE
0
et
1 ; [l É
= [ua = Sin? k(æ— Vi) dt A? U?,
T 4
0 0
tandis que
2 [una Es Li) dt = 0.
On trouve maintenant:
- ( =) = + + 2pkHH + AH)
et par suite
A2
D EN et, enr (t)

484 C. H. C. GRINWIS. SUR L'ABSORPTION DE LA LUMIÈRE

On a, en outre,

K fdH\° K
a ee) ER NC
87 ) 8x
ce qui donne
= ne u K 4? V? U2:
1Gru

mais, à cause de (2a), on a
uK. KV? = k?— ny? C2 N2 =? — p?,

donc
A?

167u

E — (42 p2) DSC TS)

Pour A on obtient, tant par la différence de (7) et (8) que
par le calcul direct d’après (9),
A?

2 pi UE PORTE)

ET

N=

pour Ja somme W des deux énergies, on a encore:
ie
Sxru
9. Mettons les résultats ainsi obtenus sous une forme modifiée,
en posant

nm

kAU2 2 Sal 7/10)

2 6 At
Sxu D Ut Mo
on trouve alors:
she \ à 2
ler 1 + RU
De \1 P'ly: |
99° } J2\
FAN GLS
A? n°
A le
o 2 |
We
[62

Ces résultats nous apprennent que, dans les conducteurs, T est
toujours plus grand que E; leur différence A doit alors être

D'APRÈS LA THÉORIE DE M. MAXWELL. 485

probablement attribuée à l'apparition de courants dans le milieu
matériel.

Les cas extrêmes donnent maintenant:

1°. Lorsque le corps est un isolateur parfait, et que par con-
séquent on à GC — 0 et par suite aussi b et p — 0, en même
temps que U—1:

A?
T=
9 &
9 o

2
A DONNER
-
2°. Lorsqu'il n'y a pas de polarisation électrique, on aura,
en vertu de (2c),

1
ii —
mA k

par conséquent

Dr

= bIN= ru CV=—— k,

et nous trouvons donc pour les conducteurs parfaits:

ES AIEn
(23
0:
M Ne D Lie
[24

Il sut de là que, si A doit être attribuée à des courants élec-
triques, la lumière, entièrement transmise par les corps isolants,
est entièrement absorbée par les conducteurs parfans, chez les-
quels la totalité de l'énergie se transforme en courants.

6. Passons maintenant au cas général, et désignons par L
l'énergie de la lumière, c’est-à-dire, des vibrations électriques,
et par S celle des courants électriques; on a alors

| W=L+S,

186 C. H. C. GRINWIS. SUR L'ABSORPTION LE LA LUMIÈRE

(9 DHATtAR p°| ,
el L=92E=—)1 TU Re --(12)

s A? 2 ;

S=az—. TU . 0 . . . . : (43)

À cause du facteur

U? = e—2px —= p—20 Nr — p—anu0Vx à

il y a une déperdition continue de chacune des deux énergies.
En appelant 5, la perte d'énergie qui est due à la polarisation

(perte qui frappe L), et 9, celle qui est due aux courants (qui

frappe S), la perte totale d'énergie est, pour l’unité de volume,

0 —= 0 0;
or, si nous faisons
| 1—U° —=U"”?,
la perte provenant de la polarisation est
se NA ME
GI k? \

la perte provenant des courants “électriques
2 n2
ae —— À P LU’?
DIT TENUE UT TO ?
ET
el on à en outre
U2=1—Û0? =A — e—?rr

= Ipx—Ip?x? + etc. ;

on voit donc que pour les conducteurs ®, devient nulle, à cause
de p—=k, tandis que pour les non-conducteurs, à cause de p=0,
on a à la fois

= iron:

Pour les petites valeurs de x, ÿ, et 5, sont approximativement
proportionnelles à x.

Il est probable que les valeurs de 5, et de Ÿ,, qui représentent
toutes les deux une perte d'énergie électrique, proviennent d'un
développement de chaleur; d’où il suivrait alors que la polarisation
électrique, sauf dans le cas des isolateurs parfaits, est toujours
accompagnée d’un pareil développement.

. D'APRÈS LA THÉORIE DE M. MAXWELL. 487

De nos formules on déduit encore que l'énergie lumineuse
diminue pour des vibrations d'une plus grande longueur d’onde,
tandis que l'énergie S, qui est complémentaire de la première,
croît à mesure que 2 devient plus grande.

La perte étant proportionnelle à l'énergie correspondante, il
s'ensuit que ces mêmes lois conviennent aussi aux pertes respec-
tives des deux énergies L et S. |

Ce qui vient d’être dit s'applique surtout dans le cas où l’on a

TR RE RES
POP TI DENTS

: 2
si b est petit, ce qui a lieu chez les mauvais conducteurs, e

augmente lorsque À devient plus grande, mais sa valeur absolue
reste très petite, de sorte que, chez les mauvais conducteurs,
énergie lumineuse aussi bien que sa perte sont (au moins ap-
proximativement, indépendantes de la longueur d’onde.

Il en est de même, dans ce cas, de lénergie relative aux
courants. .

n?2
Pour les corps dont la polarisation est faible, 4 est à peu près

égal à l’unité, et les énergies L et S sont encore indépendantes
de la longueur d'onde ; dans ce cas, toutefois, L approche de zéro.

7. Cherchons enfin le rapport de la lumière transmise à la
lumière incidente pour une plaque d’épaisseur L.

Comme l'amplitude à la distance / est — AU — Ae—r!, les
formules (11) et (12) donnent pour ce rapport:
— L LS L us \ Do 2

c'est-à-dire,

expression pour laquelle nous pouvons aussi écrire: .

A a? K? —?pl
_ ak? +b:

488 cc. H. C. GRINWIS. SUR L'ABSORPTION DE LA LUMIÈRE ETC.

Cette relation fait voir immédiatement que pour les isolateurs
parfaits, chez qui l’on à b—0, le rapport en question est
l'unité, tandis que pour les conducteurs parfaits, qui donnent
a —=0, toute la lumiére est transmise, rien n’est absorbé.

En remplaçant dans notre dermière formule a, b, p et Æ par
leurs valeurs, on obtient pour le rapport de la lumière transmise
à la lumière incidente cette expression très remarquable

ré K —anuCVi,
PR ARR. (1240)

qui montre clairement comment l'absorption est déterminée par
les grandeurs K, “, C et 1.

Pour ce qui concerne linfiluence de À, nous voyons qu’elle
n'existe pas chez les corps isolants, et que chez les autres les
vibrations de plus grande longueur d'onde sont, toutes choses
égales d’ailleurs, absorbées en plus forte proportion.

Toutefois, ce point ne pourra être entièrement éclairci que
lorsque des recherches ultérieures auront établi une relation
sénérale entre les constantes physiques figurant dans la for-
mule (14b), ou du moins fait connaître les valeurs exactes de
ces constantes.

Urrecur, Mai 1876.

SUR

LA RÉDUCTION DE LA LÉVULOSE,

PAR

H. D. KRUSEMAN.

(Extrait de la thèse inaugurale de l'auteur, Haarlem 1876).

Le fait que de la mannite se produit dans la fermentation
lactique et muqueuse du sucre, a suggéré à M. Linneman l'idée
que, sous l’action de l’hydrogène à l’état naissant, le sucre s'empare
de deux atomes H pour se transformer en mannite.

Pour vérifier cette présomption, il prit du sucre de canne inter-
verti à la température ordinaire par l’acide sulfurique étendu. Après
s'être débarrassé de l'acide, il porta de temps en temps dans la
dissolution concentrée de petites quantités d’amalgame de sodium.
Dès que la liqueur est devenue faiblement alcaline”, dit-il 1), ,,le dé-
sagement d'hydrogène cesse presque complétement, et si, avant
d'introduire l’amalgame, on a déjà ajouté un peu de potasse à
la dissolution, on n’observe même au commencement aucun déga-
sement de gaz. La liqueur, qui s’échauffe fortement, doit être
refroidie à l'extérieur. Lorsque l’action s’est arrêtée, on sursature
légèrement par l’acide sulfurique, on neutralise l’excès d’acide par
le carbonate de chaux, et on sépare la majeure partie du sulfate
en concentrant par l’évaporation, faisant cristalliser et ajoutant
de l'alcool à l’eau-mère. Evaporée alors jusqu’à consistance siru-
peuse, puis abandonnée pendant longtemps à elle-même, la liqueur

1) Ann. d. Chem. 2. Pharm., CXXIII, p. 136.

490 H. D. KRUSEMAN. SUR LA RÉDUCTION DE LA LÉVULOSE.

laisse déposer la mannite à l’état cristallin. On la purifie par l’ex-
pression et par une nouvelle cristallisation dans l'alcool bouillant.”?

Quel que fût l'intérêt du résultat obtenu par M. Linneman, il
laissait pourtant indécise la question de savoir auquei des deux
produits du dédoublement du sucre de canne (la glycose et la
lévulose) était due la formation de la mannite.

De quelques observations antérieures de M. Berthelot, M. Lin-
nemman crut pouvoir inférer que c'était la lévulose qui était entrée
en combinaison avec l'hydrogène. Il promit, il est vrai, de con-
tinuer les expériences qu'il avait entreprises sur d’autres espèces
de sucre, mais les résultats de ces recherches ne nous sont pas
connus Jusqu'ici.

La première communication nouvelle sur la réduction des sucres
fut faite par M. Dewar '). Lui aussi se posa cette question: est-ce
la glycose ou la lévulose qui se transforme en mannite, ou bien
subiraient-elles toutes les deux cette métamorphose? Il opéra
d’abord sur du sucre interverti, et ,,ne trouva”, dit-il, ,,dans ce :
qu’il observa, aucune raison pour attribuer à la glycose plutôt
qu'à la lévulose la propriété de fixer de l’hydrogène.” Il fit tou-
tefois un pas de plus vers la solution du problème, en transfor-
mant aussi en mannile de la glycose, qui avait été extraite du miel.

Après lu, M. Bouchardat ?) a repris et étendu les recherches
concernant la réduction des matières sucrées, en opérant sur le
sucre de lait et le sucre de canne, tant ordinaires qu’intervertis,
et en outre sur la galactose cristallisée (produit du dédoublement
du sucre de lait) et sur la glycose.

Dans les Archives Néerlandaises de 1872 (p. 202), M. EF. W.
Krecke a aussi fait connaître quelques résultats d’expériences
relatives à l’action de divers agents réducteurs sur la glycose.

Il est à remarquer que ces divers chimistes ont expérimenté
sur des mélanges de galactose et de glycose (obtenus en dédou-
blant le sucre de lait par les acides), ou sur des mélanges de

1) Phil. Magazine, 4, XXXIX, p. 345.

2) Ann. Chim. Phys. (4e série), t. XXVII, p. 68 et 145; Thèse: De /a
Mannite et de ses éthers, 1873.

H. D. KRUSEMAN. SUR LA RÉDUCTION DE LA LÉVULOSE. 1491

glvcose et de lévulose (sucre de canne interverti), ou encore sur
la galactose et la glycose prises chacune isolément, mais jamais
sur la lévulose seule; d’où il suit que la réponse n'a pas encore
été donnée à la question soulevée par M. Dewar, à savoir, si,
dans l'expérience primitive de M. Linneman, la mannite doit nais-
sance à la glycose seule, ou aussi à la lévulose.

_ Je me suis proposé de rechercher si cette dernière espèce de
sucre ne pourrait être réduite, tout aussi bien que la glycose et.
la galactose, à l’état d’alcool hexatomique ; et, en cas d’affirmative,
si le produit ainsi obtenu serait vraiment de la mannite, ou bien
quelque autre corps, échappé à l'observation des chimistes qui
antérieurement se sont occupés de la réduction du sucre inter-
verti. Dans le cas où j'obtiendrais effectivement un corps de
la formule C5 H1405, j'avais ou bien à fournir la preuve irré-
cusable de son identité avec la mannite, ou bien, si c'était un
corps nouveau, à en déterminer les propriétés et, autant que
possible, la constitution propre.

Ce travail me paraissait d'autant plus intéressant que M. Fittig
affirme que la lévulose, — selon lui, indubitablement une
aldéhyde, — ,,ne saurait être un dérivé de la mannite”. D’après
sa mamière de voir), on doit s'attendre à la formation d’un
métamère de la dulcite et de la mannite, métamére inconnu
jusqu'ici, mais pour lequel il a construit, en s'appuyant sur
quelques assertions de MM. Hlasiwetz et Habermann ?), une for-
mule structurale, différente de celles par lesquelles il représente
la dulcite et la mannite.

S'il existe une raison pour laquelle la réduction n’a pas été

_ appliquée jusqu'ici à la lévulose, elle doit être cherchée sans doute

dans la difficulté de se procurer et de purifier cette espèce
de sucre. Le commerce ne la fournit pas, de sorte qu’on se
voit obligé, quand on en a besoin pour des recherches, de

1) Ueber die Constitution der sogenannten Kohlenhydrate, von Rudolf Fittig,

Tubingen, 1871.
2) Ann. d, Chem. u. Pharm., 1870, CLV, p. 201.

192 H. D. KRUSEMAN. SUR LA RÉDUCTION DE LA LÉVULOSE.

la préparer soi-même, soit en la retirant du sucre de canne
interverti, soit en faisant bouillir l’inuline avec l’eau ou avec un
acide étendu, pour transformer cette substance en lévulose.

Je renonçai bientôt à l'idée de préparer la lévulose au moyen
du sucre de canne, attendu que les méthodes connues de Maumené
et de Dubrunfaut ne me satisfaisaient guère, et qu’en outre il
eût toujours été difficile de prouver l'absence de la glycose dans
la lévulose obtenue. J’eus donc recours à l’muline pure (extraite de
la racine d’aunée), que je convertis en lévulose en la soumettant
à l’action de l’eau chauffée sous pression.

La matière ainsi obtenue dans divers essais préliminaires m’ayant
toujours donné, conformément à l'observation de M. Dragendorff,
un pouvoir rotatoire spécifique plus ou moins différent de celui qu’a
trouvé M. Dubrunfaut, j'ai fait quelques expériences comparatives,
en distribuant une même solution dans 8 tubes de verre, soumettant
ceux-ci pendant des temps variables à l’acon de l’eau bouillante
décolorant ensuite à la même température et avec des quantités
égales de charbon animal, etc. Les solutions ainsi obtenues, obser-
vées au polaristrobomètre de Wild, ont offert en moyenne les

déviations suivantes :

Après : 8: 146: 94132) 1 4004280906 l'heures
moyenn.—10°27/—15023/—15944 —169 —15024 —15°21/—15017 —14051/

Ces chiffres montrent que la rotation, après avoir atteint un
maximum, ne resle pas constante, mais décroît de nouveau.

Comme, dans les principales expériences sur la réduction des
diverses espèces de sucre, l’amalgame de sodium avait conduit au
résultat désiré, je crus devoir donner la préférence à ce réactif.
M. Krecke dit avoir obtenu des résultats beaucoup meilleurs en
dégageant l'hydrogène au moyen d’une lame de magnésium, qui
avait préalablement été recouverte d’une mince couche de platine,
par immersion dans une solution étendue du chlorure de ce métal.
J'ai essayé de différentes manières la réduction par le magnésium,
en l’appliquant à la glycose, au sucre interverti, à la lactose et
à la saccharose; mais cette méthode ne m'a pas satisfait.

900 grammes d'inuline d’aunée, mélangés avec 2,5 litres d’eau,

H. D. KRUSEMAN. SUR LA RÉDUCTION DE LA LÉVULOSE. 193

contenue dans des bouteilles à champagne bien bouchées, furent
chauffés pendant environ 45 heures dans l’eau bouillante, et con-
vertis de cette manière en lévulose. Pour chasser les matières
volatiles, la liqueur sucrée parfaitement limpide fut évaporée
au bain-marie, jusquà ce quil resta environ 1 litre de sirop
brun. |

Pareïllement, 625 grammes de glycose cristallisée, obtenue d’une
dissolution alcoolique, furent maintenus en fusion au bain-marie
pendant 3 heures, puis le résidu, pesant 500 grammes, fut dissous
dans une quantité égale d’eau et bouilli pendant une heure et
demie, — l’eau évaporée étant restituée de temps en temps, —
pour chasser les produits volatils.

Les deux matières saccharines, étendues d’eau jusqu’à occuper
un volume de 2,9 litres, et rendues alcalines par l'addition de
100 cc d’une solution de soude ayant une densité de 4,14, furent
introduites dans deux flacons, disposés de manière à ce que l’hy-
drogène ne püt s'échapper qu’en traversant un appareil à boules
rempli d'eau.

Dans chacun de ces flacons on mtroduisit 2 kilogrammes d’amal-
same de sodium, auxquels on ajouta encore, quelques heures
plus tard, un troisième kilogramme. L’amalgame contenait environ
2,8 pour cent de Na; lors de la préparation, il avait été versé encore
bien liquide sur une table couverte d’ardoise, de sorte qu'après
le refroidissement il était sous forme de plaques minces, très
faciles à manier.

Une élévation considérable de température (allant jusqu’à 60° C:-
suivant M. Bouchardat) ne fut pas observée, Déjà dans des expé-
riences antérieures j'avais pu me dispenser ordinairement de tout
refroidissement artificiel.

Le mercure liquide fut remplacé, le 3e et le 6e jour, dans
chacun des deux flacons, par 3 kilogrammes de nouvel amalgame.
Après 12 jours, les deux dissolutions ne donnaient plus lieu qu’à
une très faible réduction de la liqueur de Fehling.

De chacune de ces dissolutions, préalablement neutralisées par
l'acide sulfurique étendu et diluées jusqu'à occuper un volume

ARCHIVES NÉERLANDAISES, .T. XII. 13

\-
A94 FH. D. KRUSEMAN. SUR LA RÉDUCTION DE LA LÉWULOSE.

de 5 litres, on sépara par la distillation un litre de liquide. Ces
produits de distillation furent ensuite traités suivant la méthode
de Bouchardat, c’est-à-dire qu'on les soumit deux fois à une
nouvelle distillation, en faisant passer chaque fois : du liquide.
Des 15 cc ainsi recueillis, on sépara au moyen d’un excès de carbo-
nate de potasse les produits volatils dissous. En distillant ceux-ci
sur la baryte anhydre, j'obtins des mélanges d’alcools, dont les
quantités (14 à 2 cc seulement) étaient trop faibles !) pour donner
des résultats décisifs par la distillation fractionnée.

Les dissolutions saccharines, restées dans les cornues, furent
débarrassées du sulfate de soude par l’évaporation et la cristalli-
sation, ainsi que par l'addition d'alcool. Les deux résidus sirupeux,
abandonnés à eux-mêmes pendant trois semaines, laissèrent déposer
des masses cristallines, que je purifiai en les faisant cristalliser
de nouveau dans l’eau et dans l'alcool. (Le produit, tant pour la
lévulose que pour la glycose, s'élevait à environ 40 grammes).

Les deux produits se ressemblaient par leurs propriétés. D'une
solution aqueuse concentrée J'obtins des cristaux sous forme de
petits prismes réunis en agrégats sphéroïdaux; une solution alcoo-
lique chaude (alcool à 95°},) donna des aiguilles minces. Les
deux produits étaient incolores, inodores, d’une saveur sucrée.
Point de fusion de tous les deux 164° (non corrigé), le même
que celui de la mannite. Ils ne réduisaient pas la liqueur de Fehling,
et ne se coloraient pas en brun quand on les faisait bouillir avec
une solution de potasse. Aucun pouvoir rotatoire ne put être décelé
en opérant sur une solution concentrée et avec une longueur de
tube de 5 décimêtres. L'analyse élémentaire fournit les résultats
suivants :
pour G (produit de la glycose), avec 0,380 gr.: 0,551 * CO? et0,272H20

DU DT AUS, » »lévulose) » 0,383 » :0,5545 C0? » 0,273H20

G. trouvé. 0/0 calculé. 0/0 L. trouvé.
20,9 C 39,6 (D 39,4
10 H fan H 7,9

1) Par suite de la basse température à laquelle la réduction avait eu lieu.
(Bouchardat).

H. D. KRUSEMAN. SUR LA RÉDUCTION DE LA LÉVULOSE. 195

La détermination de la solubilité, à 14°, me donna:
en 100 p. d'eau. en 100 p. d'alcool (densité 0,905).

Mannite de la manne .. 128 1,96
Produit de la glycose . . 13,1 4,65
Produit de la lévulose. . 13,0 1,54

Les résultats obtenus semblent établir l'identité des deux produits
de réduction. Toutelois, comme on parait avoir reconnu depuis
peu que la mannite n’est pas complétement imactive à l’égard de
la lumière polarisée !), la possibilité existait encore que Jj'eusse
obtenu deux corps à pouvoirs rotatoires opposés. Le sucre inter-
verti pourrait alors avoir donné naissance, suivant Bouchardat, à
de la mannite imactive, et nous aurions donc ici une relation
semblable à celle que présentent les acides tartrique, antitartrique
et racémique. Dans ce cas, la différence devait probablement
s’accuser mieux chez les éthers nitriques, par une différence plus
erande dans l'intensité ou par l’opposition du sens de la rotation.
C’est pourquoi j'ai préparé, suivant la méthode de Strecker ?),
les éthers nitriques tant de la mannite extraite de la manne, que
de celles que j'avais dérivées de la glycose et de la lévulose.

Les produits que j'obtins consistaient tous les trois en aiguilles
soyeuses, incolores et inodores, d’une saveur légèrement ameére.
Ils faisaient explosion lorsqu'on les chauffait brusquement, ainsi
que par la percussion.

Chauffés lentement, ils fondent vers 108° C. Ils sont insolubles
dans l’eau, solubles dans le chloroforme et dans lalcoo!l absolu,
inieux encore dans léther, et très solubles dans l'acide acétique
cristallisable. |

Une détermmation numérique de la solubilité dans l'alcool
absolu (densité 0,790), m'a donné, en 100 parties du dissolvant :

Nitromannite de la manne ..... 2,51
) DAOMO INT ri
» DDMAMIENUlOSe 24019 59:

1) Ber. d. D. Chem. Ges., 1875, p. 133. — Ann. Chim. Phys., 1875, p. 100.
?) Jakresber. von J. Lüebig, 1849, p. 468. — Gmelin, VII, p. 807.
197

196 -«:n. KRUSEMAN. SUR LA RÉDUCTION DE LA LÉVULOSE.

Pour déterminer le pouvoir rotatoire, j'essavai, mais en vain,
de dissoudre par lagitation un demi-gramme de matière dans
20 cc d'acide acétique à 79 °/; l'alcool absolu n'en dissol-
vant pas non plus, d’après les expériences précédentes, plus de
2,9 ‘,, j'eus recours à l'acide acétique cristallisable. Avec ce dis-
solvant, je trouvai à l’aide du polaristrobomètre (4 = 302,8 mm.,
p = 1,500 er. et u— 20 cc), pour la lumière du sodium:

Nitromannite

dérivée de la: 1. 2. 3. 4. moyenne.
lévulose + 9.05: + OA. OA RE 019

olycose + 9,05 +919 +915 +910 +9,12

manne + 9,03 +906 +918: E917 +911

d'où l’on déduit par le calcul: (&œ)n = + 40° 30’ (40° 26”).
M. Bouchardat, pour p —10 gr., v = 100 cc et! — 200 mm.,
a 1TOUVÉ: &j — + 8° 26", ce qui donne (&); — + 42°2.
On voit donc que les éthers nitriques des alcools hexatoiniques
dérivables par réduction de la glycose et de la lévulose se res-
semblent non-seulement par toutes leurs autres propriétés, mais
aussi par la grandeur et le sens de leur pouvoir rotatoire spécifique.

J'ai aussi préparé, par la méthode de M. Otto Hecht !), les
iodures hexvyliques des trois espèces de mannite. |
J'employai pour cela:

Mannite Phosphore Phosphore

de la Iode. rouge. blanc. Eau.
NME SD 95,7 20 20 86
N9 1 'Ciycose. 190 76r 66,5 14 14 60

N°. 3 Lévulose 30 97,0 19 49 o1

L'iode étant introduit dans une cornue tubulée, on y versa
d'abord l’eau, puis on ajouta peu à peu de petits fragments de
phosphore ordinaire, en ayant soin de ne pas en introduire une
nouvelle portion avant que la précédente ne fût convertie, avec
liode et l’eau, en acides phosphoreux et iodhydrique.

(ve)
ler

1) Ann. d. Chem. u. Pharm., CUXV, p. 146.

H. D. KRUSEMAN. SUR LA RÉDUCTION DE LA LÉVULOSE. 197

La réaction, qui au commencement marcha avec rapidité, dut
plus tard être soutenue en secouant le mélange et en le chauflant
au bain-marie. Après qu'on eut ajouté assez de phosphore, —
la quantité totale de celui-ci doit être 8 à 9 fois celle qui, d’après
le calcul, correspondrait à l’iode employé, — pour que le contenu
de la cornue füt décoloré, on Imtroduisit la moitié du phosphore
rouge. La cornue, dont le col était étiré en une pointe médio-
crement effilée, fut alors unie à un réfrigérant, et dans la tubu-
lure on fixa un tube de verre en Ÿ, dont une des branches pouvait
être fermée au moyen d’un bouchon, tandis que l’autre était mise
en communication avec le flacon laveur d’un appareil à dégage-
ment d'acide carbonique. Lorsque tout l'air de la cornue eut été
remplacé par l’acide carbonique, la cornue fut chauffée dou-
cement au baim de sable, puis on y fit tomber, par le tube en
Y, alternativement de petites quantités de mannite et des fragments
de phosphore blanc. Le seconde partie du phospliore rouge fut
ajoutée lorsque environ la moitié de la mannite fut décomposée.
On doit veiller à ce que le courant d'acide carbonique passe sans
interruption. et à ce qu'il y ait toujours un excès de phosphore
dans la cornue, pour empêcher que de l’iode ne soit mis en
liberté.

L'iodure produit nageait, sous la forme d’une huile légèrement
colorée en jaune et souillée par du phosphore, à la surface de
l’acide 1odhydrique qui passait avec lui à Ja distillation: ce
dernier était de temps en temps reversé dans la cornue.

Le produit brut amsi obtenu fut isolé à l’aide d’un entonnoir
à robinet, et débarrassé par le filtre du phosphore non dissous.
Pour transformer en acide phosphoreux le phosphore dissous, on
ajouta d’abord un peu d’eau, et ensuite assez d’iode pour que
la couleur brune ne disparût qu'au bout d’un temps assez long.
L'iodure fut alors lavé avec une solution faible de carbonate de
potasse et avec de l’eau, puis soumis à une nouvelle disullation
par lmtroduction de vapeur d’eau, et enfin isolé de nouveau pa
lentonnow à robinet.

Le poids du produit ainsi purifié s'élevait,

498 H. D. KRUSEMAN. SUR LA RÉDUCTION DE LA LÉVULOSE.

pour l’iodure fourni par 50 gr. de mannite de la manne, à. . 45 er.

) » » (M9 DD > 1) Helena

» ) ») UD AMOUIDAD » » » lévulose » 20 »

Ces produits furent séchés au moyen du chlorure de calcium
et d’une perle de carbonate de potasse.

Dans mes tentatives pour soumettre à la distillation fractionnée
le /3-iodure hexylique provenant de la mannite de la manne, et
pour en déterminer le poini d’ébullition, j'eus, par suite de la
facilité avec laquelle ce corps se décompose, à lutter avec les
mêmes difficultés qu’avaient déjà rencontrées tant MM. Erlenmever
et Wanklyn, que postérieurement M. Hecht. Pour éviter la décom-
position due à l’action d’une température trop élevée, je distillai
alors sous pression réduite, de manière à obtenir:

de l’iodure de la manne, à 24—20 mm., entre 671—681 C. ... les {
» » » » glycose » 20 ) >, 108-410 Mis
» » _» » lévulose » 19 » b) L'OTAN pue

Après, comme avant la distillation, les 1odures présentaient une
légère coloration, analogue à celle du vin de madère, mais qu'il était
lacile de leur enlever au moyen d’une solution étendue de potasse.

Soumis à la réaction indiquée par M. Victor Mever !)} pour
distinguer les radicaux alcooliques primaires, secondaires et terti-
aires, les trois iodures parurent donner naissance à un pseudonitrol,
bien que la couleur bleue, observée en opérant sur 0,5 gr.
d'iodure, füt très faible en comparaison de celle que produit
l’iodure d’isopropyle.

Le point d’ébullition (non corrigé) était placé:

pour l’iodure de la manne, entre. . . . 167° et 168°
DE te) » » glycose, 5, MEN OMIOBEErAMRONS
) » » » lévulose, 1») NEIGE NAIUR

Pour le poids spécifique, calculé par rapport à l’eau à O°C, je trouvar:
à100 0: MAIDEN ESA
pour liod. de la manne . . 1,4589 1,3938 0,046
» » » » glycose. . 1,4477 1,3808 0,048
) D) orlevulose MA MAST 1,3839 0,046
Wanklyn et Erlenmeyer. . . 1,4447 1,3819 0,046

2) Ber. d. D. Chem. Ges., NII, p. 1510.

H. D. KRUSEMAN. SUR LA RÉDUCTION DE LA LÉVULOSE. 199

Je déterminai aussi, à l’aide du goniomètre de Babinet, l'indice
de réfraction pour la raie D; à 21° C., avec un angle réfringent
de 66° 20’, j'obuns :

Minimum de Indice de

déviation. réfraction.

pour l’iodure de la manne . . . . 4315 1,4935
) ) » » glycose . . . . 45018 1,4940
) ) » » lévulose. . . . 48091’ 1,4944

Les résultats que je viens de faire connaître prouvent suffisam-
ment, ce me semble, que la réduction de la lévulose ei celle de
la glycose donnent lieu au même alcool hexatomique, la mannite.

La question de M. Dewar, ,si la mannite obtenue par M. Lin-
neman, dans la réduction du sucre interverti, a pu provenir de
la lévulose tout aussi bien que de la glycose”, cette question
doit donc recevoir une réponse affirmative.

Il suit en outre de mes recherches, que la formule structurale
proposée pour la lévulose par M. Fittig ne saurait être acceptée.

Le groupement à admettre entre les atomes de la molécule de
cette espèce saccharine ne pourra être fixé d’une manière satis-
faisante que lorsqu'on connaîtra avec plus d’exactitude les dédou-
blements que cette molécule éprouve sous l’mfluence de divers
réactifs. Les seules données, dont nous pourrions en ce moment
faire usage pour établir sa constitution, sont celles qui résultent
des expériences comparatives de M M. Hlasiwetz et Habermann !).
J'ai répété sur une petite échelle, avec la glycose et avec la
lévulose préparée au moyen de l’inuline, le traitement par le
chlore et l’oxyde d'argent, tel qu'il a été indiqué par ces deux
chimistes. En somme, mes résultats ont été conformes aux leurs.
Je n'ai toutefois pas réussi à faire cristalliser le sel barytique
provenant de la glycose.

0,541 gr. de ce glycolate, séché entre 100 et 1209, m'ont
fourni 0,244 gr. de sulfate de baryte, c’est-à-dire, 26,4 ?, de
baryum. M. Hlasiwetz a trouvé 96,1 0}, M. Fudakowski ?) 25,77 °,,
ou, calculé, 26 °,. |

+) Ann. d. Chem. u. Pharm., 1870. CLV. p. 201.

2) Ber. d. D. Chem. Ges., 1876, p. 42.

900 H. D. KRUSEMAN. SUR LA RÉDUCTION DE LA LÉVULOSE.

Avec la lévulose, j'ai obtenu du glycolate de chaux en grains
sphériques incolores, qui, brisés et examinés au microscope, se
montraient formés d’un amas serré de petites aiguilles capillaires.

0,5925 gr. de ce sel perdirent, entre 100 et 1102 C, 0,131 er.
d’eau de cristallisation.

0,461 gr. (séchés entre 100 et 110°) donnèrent 0,326 or. de
sulfate de chaux.

| | :
| Calculé en 100 p. | Fee

(CH 0) AUS | par moi.
|

par Hlasiwetz.

Ca

| | |
91,05" |" NOIRE
2 0 | |

(robe 28,4 28.8

Je crois que c'est aller trop loin que d'admettre, en se fondant
sur les observations communiquées par MM. Hlasiwetz et Haber-
mann, que la molécule de lévulose fournit {rois molécules d'acide
olycolique. Il me parait plus probable que, dans le traitement
par le chlore et l’oxyde d'argent, une partie de la molécule lévulose
s’en détache à l’état d'acide glycolique, et que, la glycose étant
reconnue pour l’aldéhyde primaire de la mannite, la lévulose doit
être regardée comme une aldéhyde secondaire de cet alcool
hexatomique.

Des expériences d’oxydation, portant comparativement sur la
olycose et sur la lévulose, se font à présent dans le laboratoire
de M le professeur Franchimont a Leide.

ARCHIVES NÉERLANDAISES

Sciences exactes et naturelles.

SUR

LE NOMBRE RELATIF DES CHOCS

QUE SUBIT UNE MOLÉCULE, SUIVANT QU'ELLE SE MEUT AU MILIEU
DE MOLÉCULES EN MOUVEMENT OU AU MILIEU DE MOLÉCULES
SUPPOSÉES EN REPOS,

ET SUR

L'INFLUENCE QUE LES DIMENSIONS DES MOLÉCULES,

DANS LA DIRECTION DU MOUVEMENT RELATIF, EXERCENT SUR LE
NOMBRE DE CES CHOCS,;

PAR

J. D. VAN DER WAALS.

On est conduit à chercher le rapport ci-dessus spécifié, à raison
des difficultés que présente la solution directe du problème con-
cernant le nombre des chocs subis par une molécule quise meut
entre des molécules en mouvement. Dans la supposition que les
autres molécules soient en repos, le nombre des chocs est facile
à trouver. Une fois ce premier nombre connu, il ne reste plus
qu'à résoudre la question que nous nous sommes proposée, pour
avoir le nombre des chocs qu'une molécule subit réellement en
une seconde de temps. |

Cette question a déjà été traitée par M. Maxwell et par M. Clausius,
mais en négligeant la dimension des molécules dans la direction
du mouvement relatif, et, même avec cette restriction, ils sont
arrivés à des résultats différents. M. Clausius trouve que dans ce

ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XII. 13

9202 J. D. VAN DER WAALS. SUR LE NOMBRE RELATIF DES CHOCS

4
cas le rapport cherché est Ris. M. Maxwell, au contraire,

le trou 4" 2.

Il y a donc lieu d'examiner laquelle de ces deux valeurs doit
être regardée comme la vraie. Des calculs que je vais exposer
ressortira la confirmation du résultat 1-2 obtenu par M. Maxwell.
Bien que j'aie suivi en majeure partie la voie tracée par ce savant,
j'ai pourtant cru devoir m'en écarter à certains égards, d’abord
parce que je voulais m’assurer si, en poussant le calcul au-delà

. ‘ . 4 ° As! Re L 4
du point où Clausius s'était arrêté lorsqu'il fixa à 3 la valeur

du rapport cherché, on pourrait trouver le résultat de Maxwell,
et, en second lieu, parce que le calcul de l'influence exercée
par la dimension des molécules suivant la direction du mouvement
relatif rendait nécessaire l’adoption d’une marche un peu différente.

1. Dans un volume donné de molécules, désignons, avec
M. Maxwell), par f(x) dx la portion qui possède une vitesse telle,
que la composante suivant l’axe des X ait une valeur comprise
entre æ et æ + dæ; on doit alors avoir:

[ raz=1.

Pour déterminer la forme de f(x), on peut procéder de la
manière suivante : |

En représentant par », le nombre total des molécules contenues
dans le volume en question, le nombre de celles dont les com-
posantes de la vitesse sont comprises à la fois entre x et æ + dx,
y et y + dy, z et z + dz, sera exprimé par:

nf(&)fW1@ dx dy de?)

Si ces molécules quittaient l’origine toutes au même instant,
elles seraient contenues au bout d’une seconde, c’est-à-dire encore

1) Phil. Mag.; XIX, p. 19 (1860).

:) Pour obvier aux objections qu’on pourrait faire à cette supposition, M. Maxwell

et plus tard M. Boltzmann ont donné une démonstration différente de celle
que je suis ici.

QUE SUBIT UNE MOLÉCULE, ETC. 203

au même instant, dans un élément d'espace dæ dy dz, situé
autour d’un point P, dont les coordonnées sont x, y et z.

Si ce point se trouvait sur l’axe des X, à une distance r de
l’origine, le facteur de dx dy d2 serait égal à

n f(r) f (0)?.
Si ce point se trouve quelque part ailleurs dans l’espace, mais
à une distance égale de l’origme, le facteur en question doit
aussi conserver une valeur égale, puisque la loi des vitesses est
la même dans toutes les directions; on doit donc avoir:

f@) f [© =i(ur rep +e PER" je (0
et par conséquent aussi :
F&) = f(0}? f(&L/3)......... (D.

Dans la supposition que le point P se trouve sur le plan XY,
on a:

OMOMOETIOE de ee)
ou
= TON EL ins tie scat (I).
Cherchons maintenant, en premier lieu, quelle fonction satisfait
au caractère (1). Soit log. nép. [f(x}]| —v(x), on tire alors de

léq. (D:

3p(x)=2œ(0) +p(x1-3)
3ç'(r) =1/3% (x1/ 3)
PE) 9 (€ 1” SR Re te ie ae
Si l’on se figure deux -axes perpendiculaires l’un à l’autre,
qu'on prenne sur un de ces axes des abscisses égales à log. nép. x,
et qu'on combine avec ces abscisses des ordonnées égales à #”{x),
l'équation (1) exprime que la ligne ainsi construite représente une

fonction périodique, dont la période est à log. nép. 8.

En cherchant de la même manière EE fonction satisfait au
caractère (Il), on obtient

904 J. D. VAN DER WAALS. SUR LE NOMBRE RELATIF DES

de sorte que la ligne imaginée ci-dessus, outre la période
27 nép. 3, devrait encore avoir une période 27 nép. 2.

Ces deux conditions sont contradictoires, à moins que la ligne
ne soit une ligne droite parallèle à l’axe; en d’autres termes,
g'(x) doit être constante.
On trouve maintenant sans peine qu'on doit avoir:
72
fæ)—=Ce °°
où x? est précédé du signe moins, parce que la fonction devra
être décroissante. La signification de «, qui a dû être introduit
pour rendre la fonction homogène, sera reconnue plus loin. La
valeur de C se déduit de la condition
1
Ar

[ Fede—1, an done Re

2. Cette forme étant connue, on trouve facilement aussi la loi
des vitesses, au moyen du même nombre des molécules contenues
dans l’espace qui entoure le point P.

La quantité nf(x) f(y) f(z) dx dy dz est en effet égale

UE
à Sp “y? drsin dd, lorsqu'on exprime l'élément
de l’espace en coordonnées polaires ordinaires, — œ étant l'angle
compris entre l’axe des Z et le rayon vecteur vers P, et 8 l'angle
compris entre l’axe des X et la projection de ce rayon vecteur
sur le plan XY. Dans cette forme on voit le nombre des molé-
cules qui, ayant quitté l’origine en même temps, ont suivi la
direction (+, 0) et sont arrivées au bout de 1 seconde à
une distance de l’origine comprise entre » et r + dr. En

intégrant par rapport à 9, entre 0 et 2%, nous trouvons

2
Ondes nt
COPA y? dr sin y dy pour le nombre de celles qui, faisant
TL

un angle y avec l’axe des Z, sont arrivées à une distance com-
prise entre r et r + dr; et en intégrant par rapport à +, entre

CHOCS QUE SUBIT UNE MOLÉCULE, ETC. . 905

72

les limites 0 et 7, nous obtenons ie LA drNpour le

nombre de celles dont la vitesse est comprise entre r et r + dr.
D’après ce mode dé déduction, on voit qu’il n’est question que
de vitesses positives, de sorte qu'on doit avoir

7:22
le Ce Ted
TT

3. Comme r°e 1 prend une valeur maximum pour r =,

la signification de « est trouvée: « représente la vitesse qui est
pe LE

la plus ordinaire. Pour r = 0 et r =, on a je = O,

ainsi qu'on pouvait le prévoir.
Si nous cherchons la vitesse moyenne, nous trouvons, à l’aide

Le)

4 « fe Dour Tr | pue DA
— TI Le rs eur 0° ET
26 ur, , que sa valeur est égale à D:

en doué

œ

à À a 2 y
Pour la valeur moyenne du carré de la vitesse, —— he
0

19

5 3
donne ra Pour la somme des forces vives, on a donc nt

Si nous écrivons 7 EM g V?Zm, en désignant par V,

QD

l'exemple de M. Clausius, la vitesse qui, si elle était commune
toutes les molécules, fournirait la même force vive que les

[LE]

| 5
vitesses réelles, on à « = eye

Pour l'oxygène, par exemple, AR à Clausius attribue la valeur
V—2461 mètres, nous trouvons la valeur de Ja vitesse la plus

4

. . , il 4 Q 2 ?
ordinaire égale à 376 mètres, la vitesse moyenne = égale à
TL

425 mètres.
4. Nous passons maintenant à la recherche du nombre des
chocs que les molécules subissent en moyenne par seconde, et,

906 Jj. D. VAN DER WAALS. SUR LE NOMBRE RELATIF DES

négligeant d’abord l’étendue de la molécule dans la direction du
mouvement, nous considérerons les 3 cas suivants:

a. celui où une molécule se meut parmi des molécules qui ne
se meuvent pas; b celui où une molécule est seule en repos au
milieu de molécules qui se meuvent; c celui où une ie
se meut. au milleu de molécules en mouvement.

a. Dans ce cas, nous obtiendrons le résultat avec le plus de
facilité en nous représentant la molécule mobile, à laquelle nous
attribuons la forme sphérique, comme une figure mathématique,
qui par suite n’est pas troublée dans son mouvement par les
molécules placées sur son passage. Si nous décrivons un cylindre
ayant pour axe la ligne que suit le centre de la molécule, et
pour base un cercle d’un rayon égal au diamêtre de la molécule,
toutes les molécules qui se trouvent dans ce cylindre seront ren-
cohtrées par la molécule mobile. En une seconde 1l y aura donc
nas?vy rencontres, n représentant le nombre des molécules dans
l'unité de volume, et vw la vitesse de la molécule en mouvement.
Comme instant de la rencontre, nous comptons alors celui où
le centre de la molécule mobile est la projection de chacune des
molécules fixes existant dans le cylindre. Cela revient à se repré-
senter les molécules comme des disques perpendiculaires à la
direction du mouvement. Comme la molécule mobile pourrait
avoir toutes les vitesses possibles, nous devons introduire la vitesse
moyenne, et nous trouvons ainsi, dans le cas (a):

DA
Lx. |

b. Lorsque la molécule considérée est elle-même regardée comme
en repos, nous pouvons décrire, autour d’une sphère à rayon
double de celui de la molécule, des cylindres tangents, dont les
axes indiqueront toutes les directions possibles. Evaluons alors,
en premier lieu, le nombre des chocs imputables aux molécules
dont la vitesse est comprise entre v et v + dv. Ce nombre

4m Le ci De ce nombre, une portion Sans
L7 x o? (2 2 De
se meut parallèlement à l’axe du cylindre qui a la direction (p, 6),

N—nTs?

CHOCS QUE SUBIT UNE MOLÉCULE, ETC. 207

et le sens de ce mouvement peut être supposé tourné vers le
point en repos. Si à un pareil cylindre, ayant pour base xs?,
nous donnons une hauteur vdt, toutes les molécules, qui dans
ce cylindre sont dirigées suivant l’axe, atteindront dans le temps
dt la molécule en repos. Le nombre en est:

ER 4 v? v® dvsing do d0
MS DL D Mt
LA > s 9 9 x

Pour le nombre total des chocs en 1 seconde, nous trouvons

donc, tout comme dans le cas (a), n7s? , de sorte que,

sous ce rapport, ces deux cas peuvent être regardés comme
équivalents. | :

c. Le troisième cas peut être ramené au second, par l’intro-
duction du mouvement relatif de toutes les autres molécules par
rapport à celle qui est spécialement considérée.

Soit v la vitesse de cette molécule, et w celle des autres, cette
dernière vitesse étant toujours supposée dirigée vers la molécule
en question. Désignons par + l'angle de ces vitesses; la vitesse

relative estalors — 1” v? + u? + Juvcosy, et, en attribuant
cette vitesse aux autres molécules, nous pouvons regarder la
molécule elle-même comme amenée au repos. Opérant ensuite
comme dans le cas {b), nous trouvons que la molécule animée
de la vitesse v subit par seconde un nombre de chocs égal à

91

pu Me 2 dif sing do [ d6

RE dr ren Lt + u? + uv cos? —5— Jo

TL

0 0
| 74

; sinpdp a

La valeur de Î. LL (uv? + u? + Zuv cosy) AO est diflé-

| 0
rente suivant qu'on suppose w <v ou uv. Dans le premier
u? Rens
cas on trouve v + _—, dans le second w + —. L'intégrale ci-
AU SC |
dessus se partage donc en deux autres:

908 J. D. VAN DER WAALS. SUR LE NOMBRE RELATIF DES

{ v \
ot fe de UC +5) fs 4° du ( a) l
nTrsS EU DE == «2 x CASE \

et la valeur moyenne du nombre des chocs d’une molécule, par
seconde, devient:

(oo) [-v Le) |
N— 4 À RE pe re ( + fo ed )
— D Lau 6e ©? FA | = œ2 = V 3y 2 F4 Su
\O D

Cette intégrale peut être trouvée de la manière suivante:

Si nous supposons deux axes perpendiculaires entre eux, sur
lesquels w et v soient portés comme coordonnées, nous pouvons
regarder chacune des deux parties de l’intégrale, par exemple

nt ue GNT v? k
mé ose or ARE

comme un volume compris entre le plan U V et une surface ayant
pour équation

—= le facteur de du dv.

De la valeur des limites de w, à savoir u=0 et u=v, il
suit que l'intégrale doit s'étendre au-dessus des parties du plan
UV comprises entre l’axe des U et la bissectrice de l’angle que
forment entre eux l’axe des U et l’axe des V; d’un autre côté,
les limites de v, 0 à x, montrent que l'intégrale s'étend sur la
totalité de cette huitième partie du plan U V. Si nous introduisons
des coordonnées polaires, en faisant uw = r cos w. et U=Tr sin w,
le volume considéré devient:

: FR r$ ie ne Ÿ)
«| L. rT (si: VE 3 sin“ ) COS Y dw.
0

‘) La transformation que j'ai fait subir à cette intégrale, pour en calculer
la valeur, n’est pas nécessaire pour cette partie-ci de N, — mais elle me paraît
indispensable pour l’autre partie.

CHOCS QUE SUBIT UNE MOLÉCULE, ETC. 209

Pour l’autre partie de l'intégrale de N, nous trouvons, en
remplaçant cos y par sin vw, et réciproquement:

(ee
0

les limites de w étant O0 et v, cette partie de l'intégrale doit
s'étendre sur le reste du quadrant.

TT
no ur : 2 ;
se m1, Vos y — cos v sin w dy;

—, bo] ts

1
STE

Si dans la dernière intégrale on pose w — ir elle

j

ce qui montre que les deux parties de N ont des valeurs égales.

devient

TT

er ar . |
e ms NSn y —3 sin y'}cosw' dy’,

©Q9| KO

(=)
——— Hi

Chacune de ces intégrales a pour valeur = 1/2, de sorte
qu'on a:

N—nTrs?

En rapprochant ce résultat de celui obtenu dans les cas (a) et (b)?
on retrouve la valeur 1-2 assignée par M. Maxwell au rapport
des nombres de chocs dans les re en question. KL

5. Bien que le coefficient, par lequel on doit multiplier le
résultat correspondant à l'hypothèse (a) et (b) pour obtenir le
résultat correspondant à l'hypothèse (c),° soit plus grand d’après
M. Maxwell que d’après M. Clausius, le nombre des chocs, calculé
suivant Maxwell, sera pourtant moindre que Clausius ne devrait
le trouver, du moins s’il prenait toujours, pour la valeur moyenne
de v, celle qui résulte de la force vive moyenne.

En effet, d’après le résultat obtenu par M. Maxwell, on a

9 œ PER r
Dh 7TS! — 1/2, et comme nous avons vu précédemment
= TT :

210 J. D. VAN DER WAALS. SUR LE NOMBRE RELATIF DES

que « = ne lorsque V désigne la vitesse indiquée par

L

M. Clausius, il s'ensuit:

N—nxs? : M Ve

Nous trouvons donc seulement V ER 0,979 du nombre auquel
TT

nous arriverions en attribuant à toutes les molécules une même
vitesse, déduite de la force vive moyenne; dans ce cas, effecti-

vement, le facteur serait, non pas 1-2, mais . tel que le

donne M. Clausrus.
6. La différence des facteurs 1-2 et . se fera sentir dans

toute son importance à l'égard du chemin moyen parcouru entre
deux chocs.

Ce que nous entendons par chemin moyen dans le cas (&) est
facile à voir. C’esi la valeur moyenne des chemins qu’une même
molécule, conservant une vitesse invariable, parcourrait entre
. deux chocs successifs. Le nombre des chocs étant de n7s?2v par

seconde, on doit avoir nrs2vl—=v, ou L = . Sila vitesse

nas?

était supposée variable, nous n’en obtiendrions pas moins le même
résultat. Remarquons, en effet, que la probabilité qu'à un moment
donné la vitesse d’une molécule soit comprise entre vet v + dv,
est égale en grandeur à la fraction du nombre total des molécules
dont la vitesse se trouve entre v et v + du. D’après les règles
du calcut des probabilités, la molécule subit done, dans le temps dt,
Te An v2? v° dv
un nombre de chocs égal à Le as?-ve «— vdt. Le chemin
moyen /, doit être égal au chemin total parcouru en ce temps df,
divisé par le nombre des chocs. Or, toujours d’après le calcul
des probabilités, ce chemin total est

CHOCS QUE SUBIT UNE MOLÉCULE, ETC. 21

AIRES cer VU
de sorte qu'on trouve
! 1
L 2
nTs

Dans le cas (b), nous aurions à entendre par chemin moyen
le chemin qu’une molécule parcourt en moyenne entre l'instant
où a eu lieu un choc antérieur et celui où elle-même rencontre
la molécule au repos. Il me paraît douteux que l’on trouve pour
ce chemin la même valeur que dans le cas (a). Mais, comme la
connaissance de ce résultat n’est pas nécessaire pour l’objet que
nous avons en vue, je ne m’y arrête pas davantage.

Pour le chemin moyen dans l’hypothèse (c), chemin qui se
définit de nouveau comme dans l’hypothèse (a), nous trouvons

1
LE = ———,
nas 1/2
| 4 s : D «
attendu que chaque molécule subit en moyenne nas? = 172

TT

| | MES
chocs et parcourt en moyenne un chemin -——.

L7
D’après M. Clausius, la valeur de !, serait:
me :
nas?

7. Proposons-nous maintenant de déterminer l'influence qu’exer-
cent sur le nombre des chocs les dimensions des molécules dans
le sens de la direction du mouvement relatif.

Dans ma thèse inaugurale: Over de continuiteit van den gas-
en vloerstof-toestand, j'a1 fait remarquer que cette influence avait
élé négligée Jusqu'ici, et J'ai essayé de la calculer. Bien que la
manière dont jai alors présenté la démonstration du résultat
obtenu prête, j'en conviens, à des critiques fondées, ce résultat
n'en est pas moins parfaitement exact, ainsi que l’a montré
M. D. J. Kortewec.

9149 J. D. VAN DER WAALS. SUR LE NOMBRE RELATIF DES

Ce n’est que tout récemment que M. Clausius a publié (Ann.
der Physik und Chemie von Poggendortff, tome complém. VII,
fasc. 2, p. 242 et suiv.) un travail dans lequel, ignorant peut-
être que la chose eût déjà été faite, il examine l'influence de
l’épaisseur des molécules sur le nombre des chocs. M. Clausius,
toutefois, trouve pour cette influence une valeur double de celle
que J'avais obtenue moi-même. Cette circonstance m’a engagé à
reprendre l’étude de la question, et je suis ainsi arrivé à confirmer
mon résullat antérieur, par une voie que je crois devoir com-
muniquer, bien qu'elle se rapproche à certains égards de celle
qu'a suivie M. Kortewes.

Au paragraphe 4, nous avons trouvé, dans le cas (c), qu’une
molécule animée d’une vitesse v recoit, des molécules animées
d'une vitesse comprise entré w et u + du et ayant une direc-
tion (9, 0) par rapport à la direction de la vitesse w, un nombre
de chocs donné par l’expression: |

ARE SUN | sing de d6
see lu Ie UUIEUe dy Jr. OA
À DL

Cest là ce qui arriverait, si l’on pouvait négliger l'épaisseur
des molécules, dans la durée d’une seconde; nous allons main-
tenant voir de combien cette durée est abrégée quand on tient
compte de l'épaisseur. Pour cela, cherchons le raccourcissement
qu'éprouve le chemin relatif lorsqu'on attribue aux molécules des
dimensions dans le sens de ce chemin relatif. Concevons une des
molécules amenée au repos; nous avons alors pris ci-dessus,
pour instant du choc, celui où la molécule en mouvement était
la projection de la molécule arrêtée sur la direction du mouvement —
relatif en ce cas; en d’autres termes, celui où le centre de la
molécule mobile était arrivé dans un plan central perpendiculaire
au mouvement relatif. Le raccourcissement du chemin relatif doit
donc être l’une ou l’autre ordonnée de la surface d’une sphère
concentrique à la molécule conçue au repos et ayant un rayon
égal au diamètre de la molécule, — cette ordonnée étant toujours
perpendiculaire au plan central désigné ci-dessus. En moyenne,

CHOCS QUE SUBIT UNE MOLÉCULE, ETC. 213

ce raccourcissement sera 3 s, valeur qui se déduit du volume

de la demi-sphère, attendu que la probabilité, qu'une molécule
rencontre le plan central en un certain point, est la même pour

. 9
tous les points. Mais ces a sont le raccoureissement du chemin

relatif, et il en revient une partie, savoir
| u
L/(v? + uw? + Juvcosp)
au compte de la molécule choquante, une autre partie,
v
L(v2 + u? + Juvcose)
au compte de la molécule choquée, de sorte que, pour chacun

des chocs subis par cette dernière, le chemin parcouru par la
molécule choquante est raccourci, en moyenne, de

2 u

ES 0

8 L(v'+u? + uv cos y)
Sommant cette expression pour tous les chocs, on a

ao Tr 27
2 : À u? _u:du f sing dy f d6
nn) ie o 9.”
0 0 0

intégrale dont la valeur est:
2 2 &

TS?
&

Comme cette valeur est indépendante de la vitesse v, elle s’ap-
plique à toutes les molécules. Cette même valeur se retrouve
aussi lorsqu'on cherche, pour la molécule supposée au repos,
de combien est raccourci, maintenant qu’on tient compte de
l'épaisseur, le chemin qu’elle à à parcourir pour recevoir le

2 à

nombre de chocs trouvé précédemment, n7s? 172. Sans

1-7

, 0 ° ° Û 9 Q
épaisseur, elle devait faire le chemin De pour recevoir ce nom-
TT

914 35. LD. VAN DER WAALS. SUR LE NOMBRE RELATIF DES

bre de chocs ; maintenant, elle doit faire le chemin 22 : nTs° =
LT 1/7"

L’inverse du rapport de ces deux chemins donne le rapport entre
les nombres des chocs subis en un temps égal. Ce dernier rap-
port sera donc

ou, en représentant par v le volume extérieur, et par b, le
volume des molécules qui y sont contenues,
v
v — Ab,
forme sous laquelle je l'avais présenté antérieurement.
M. Clausius trouve pour ce rapport:
ÿ
u—8b,

8. Il n’est peut-être pas sans intérêt de rappeler comment
M. Clausius parvient à son résultat et de montrer ce qui donne
lieu à l'introduction du facteur 8. M. Clausius se figure une seule
molécule en mouvement, et les autres en repos. Il réduit cette
molécule mouvante à un point, tandis qu'il attribue aux autres
un rayon double. Un point se meut alors dans un espace qui
est diminué de 8 fois le volume des molécules. Et en eflet,
si le cas se présentait de telle sorte, qu’une molécule se müt
‘au milieu de molécules fixes, c’est-à-dire restant en repos
même après le choc, le résultat obtenu par M. Clausius serait
justifié. Mais, pour le cas tel qu’il se présente en réalité, on
peut montrer, de deux manières différentes, qu’il ne faut prendre
que la moitié de 8. D'abord, on remarquera que dans un choc
où les deux molécules se meuvent, ce qui naturellement est le
cas ordinaire, le raccourcissement du chemin, tel que le considère
M. Clausius, ne peut pas être mis en entier sur le compte de
l’une des deux molécules; que, par conséquent, ce que M. Clausius

A

attribue à une seule molécule, appartient à un ensemble de deux

CHOCS QUE SUBIT UNE MOLÉCULE, ETC. 245

molécules. En second lieu, même en supposant toutes les molé-
cules arrêtées pour un instant, à une seule près, que nous lais-
serions se mouvoir, nous trouverions encore la moitié de 8, à
moins de regarder, en outre, les molécules comme fixes; or,
s’il peut être permis de <e figurer les molécules en repos pour
un instant, nous ne saurions, sans introduire des forces qui
changeraient complétement la nature du phénomène, les supposer
fixes ; elles obéiraient alors aux lois de la répulsion d’une autre
manière que lorsque, après les avoir privées de mouvement,
nous leur laissons au moins la mobilité. Si les molécules censées
en repos conservent leur mobilité, une molécule choquante se
mouvra, après le choc, suivant la tangente au point où la molécule
en repos a été heurtée. La composante normale de la vitesse,
en effet, se transmet entiérement à la molécule en repos; la
composante tangentielle seule est conservée. Il résulte de là qu’au
commencement de chaque nouveau chemin il n’y à aucune perte
de distance par suite du choc, tandis que, selon la manière de
voir de M. Clausius, il se perdrait chaque fois un certain chemin,
tant au commencement qu'à la fin.

9, En résumé, nous avons reconnu:

a. que le rapport entre les nombres des chocs qu’une molécule
subit, suivant qu'elle se meut au mulieu de molécules en mou-
vement ou au milieu de molécules censées en repos, a été fixé
avec raison à L_ 2 par M. Maxwell, lorsqu'on néglige la dimension
des molécules dans la direction du mouvement relatif.

b. que, si l’on tient compte de cette dimension, le nombre
des chocs, subis par une molécule qui se meut au milieu de

, . A drop V
molécules en mouvement, doit encore être multiplié par TE

rec
En représentant par « la vitesse la plus fréquente, et par A la
partie du volume apparent qui est occupée par les molécules,
on aura donc pour le nombre des chocs en une seconde

2,12 À

FPT Res
RE ET D

916 37. D. VAN DER WAALS. SUR LE NOMBRE RELATIF ETC.

ou, V étant la vitesse moyenne déduite de la force vive,
3 1

, Von
N=nas? = \ V EST

c. que la valeur du chemin moyen parcouru entre deux chocs,
telle que M. Clausius l’a donnée dans le passage suivant 1):
-le chemin moyen d’une molécule est au huitième de son
diamètre comme la partie de l’espace laissée en dehors des sphères
d'activité des molécules est à la partie de l’espace occupée par

ces sphères d'activité” — que cette valeur, dis-je, est inexacte
sous deux rapports. Suivant M. Clausius on aurait
ECS),
41620 b,
3‘
ici nous avons {rouvé:
LE VERS :
: s b, ES

L'application de cette formule est limitée au cas où la probabilité,
que plus de 2 molécules viendront se choquer simultanément,
peut être réputée O0 par rapport à la probabilité du conflit entre
deux molécules seulement. La formule suppose, en outre, que
le volume d'une molécule n’éprouve aucun changement par le
choc, ou, si un changement a lieu, qu'il est indépendant de la
vitesse de la molécule choquante.

1) Pogg. Ann., t. compl. VII, fase. 2, p. 250.

La Haye, 17 Déc. 1875.

SUR LE

NOMBRE DES CHOCS ET LA DISTANCE
DE-CHOC MOYENNE

. DANS LES MÉLANGES GAZEUX,
PAR

J. D. VAN DER WAALS.

L}
Supposons qu'un volume, égal à l’unité, contienne deux espèces
de molécules. Le premier groupe, que neus appellerons le groupe À,
sera” déterminé par la valeur « de la vitesse qui sy rencontre le

2 « ee
plus communément, ou par la valeur = de la vitesse moyenne,
TT

/ G

ou par la valeur moyenne # V > du carré de la vitesse. Pour

6)
g.
Soit x le nombre des molécules du groupe A, et n, celui des
molécules du groupe B, — nous nous proposons de déterminer
le nombre des chocs que chaque molécule subit, (a) de la part
des molécules de son propre système, (b) de la part des molécules
de l’autre système, et de déterminer, en outre, la longueur
moyenne du chemin parcouru entre deux chocs successifs; ces
déterminalions étant faites en tenant compte de la dimension des
molécules dans la direction du mouvement relatif. Pour le cas
où l’on néglige celte dimension, le problème a déjà été traité
par M. Maxwell, dans un Mémoire devenu célèbre (Ph. Mag., XIX).

ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XII. 44

28
le groupe B, ces mêmes grandeurs seront 6, D et eV

218 J. D. VAN DER WAALS: SUR LE NOMBRE DES CHOCS

L'introduction de cette donnée rendait nécessaire un mode de
calcul un peu différent.

2. Prenons une molécule du groupe A. Comme nous pouvons
de nouveau admettre !) que pour toutes les directions, passant
par un point quelconque, la loi des vitesses est la même, le
nombre des molécules du groupe A, qui ont une vitesse comprise
entre v et v + dv, sera donné, quelle que soit d’ailleurs la con-
dition qui détermine la valeur de « et de 8 pour chacun des
deux systèmes, par la loi de Maxwell, c’est-à-dire qu'il sera:

Désignons par w la vitesse des autres molécules du même
système; le nombre des chocs, qu'une molécule du groupe A
recoit des molécules de son propre système , sera alors exprimé,
comme nous l’avons montré ailleurs, par l’intégrale suivante:

e v 2 2
: % DER Mer à, den _# du
Ne His PET CEE Ji7= Te me
0

TT 27

_ Sin o d d 0
fiv: Hu? + Juvcosp nl

0 | 0

ou

FOCE 2 œ
NET TS

17 2.

L” 7

3. D'une manière analogue, on trouve que le nombre des
chocs qu'une molécule du groupe A reçoit des molécules du
groupe B est représenté par:

1) Voir un Mémoire antérieur sur la distance de choc dans un gaz
homogène.

ET LA DISTANCE DE CHOC MOYENNE ETC. 219

s+s, a dv _#duf 4 u? _* du ÿ
en, (= 2) J ne are 7
0 :

QT
[ en rer A ALL
LV + u* + ZuUvCos®? 9 ce

0 0

Cette intégrale se ramène à:

mt = X

2 €
L7 x « œ

CT pe ds 52 dy

(r 4 u? “du OU Fe ce mu De |
fr 83 D Bon “+ñ)|
0

Cherchons la valeur de chacune des deux parties de N,,, par
exemple de la première partie

(o e) 1]
E RU Qur Lo) di u?
SE En So HE
0 0

Pour cela, nous introduirons deux nouvelles variables, données
par les équations u—= 8x et = «y; les limites de x deviennent

n —0 et x, EE tandis que celles de y sont 0 et .

Nous obtenons alors:

D a
[ »° er dy | DCE A (cv + ns) à dæ.
0 0

Si nous supposons deux axes perpendiculaires entre EUX, SUL
lesquels æ et y soient portés comme coordonnées, nous pouvons
regarder cette dernière intégrale comme un volume, compris
entre le plan XY et -une. surface ayant pour équation:

2 m2
nn = % 5) |

14%

990 3. D. VAN DER WAALS. SUR LE NOMBRE DES CHOCS

En introduisant des coordonnées polaires, et posant pour cela
x—=Trcosy et y—=TrsiNY, nous trouvons:

2
At ES C sin? y cos? y + _ cos * ) sin y.
. œ -
. Les limites de x, à savoir 0 et - y, montrent que l'intégrale

doit s'étendre sur des parties du plan XY comprises entre l'axe
Ÿ et une ligne dont l’équation est:

LEE
DEN EE Gr

On déduit de là les limites de w, savoir y», = urc tg ai et
; œ

D — F d’un autre côté, les limites de y, qui sont 0 et ,

montrent que » devra pareillement être pris de O0 à æ. Nous
avons donc à déterminer:

TT .
é RS A 8?
resta a SN ? y COS? Y + gx C0S* y )siny dy
0 arc tg ©

œ

Par la substitution #° — = — », cette expression prend la
forme :
(14
arc sin Va+pt
(So) B? ; é
Î TUE ar | ( Sin? y COS? y + 3 sin ) COS y’ dy
0 0

et devient par conséquent égale à:

ie 9 048088 n La +808 Bug?

46 rade.) 16 CNE

ET LA DISTANCE DE CHOC MOYENNE ETC. 291
De la même manière, nous trouvons pour l’autre partie deN,,,
c'est-à-dire pour
[ee] OÙ <
v? v dv fu? “du v?
Σe Gi pre Fr (+s)
0 v
la valeur
nr PLV/e2+81 3428: + 86

=

Re pn

Ls

ou

N

| s+s,\? 21/0? +682
a =mn(e) |
1/7

4. Abstraction faite de la dimension des molécules suivant la
direction du mouvement relatif, le nombre des chocs, par seconde
de temps, est donc pour chaque molécule du groupe A:

6 OURS
9, TT) ] PATES
|. 2 Lx

NU n7s!

2

et pour chaque molécule du groupe B:

9 D 2
a 2.) nai
17 x 2 Lx

Dans la même hypothèse, le: chemin moyen parcouru entre
deux chocs est pour une molécule du groupe A:

4 , 24 a 2 | 2
NrEL a nr() V + À
1

où 2

et pour une molécule du groupe B:

À . = S+s 2 Hi È p2
Tama 2+ns ( 9 A :

Le nombre total des chocs, que les molécules du premier groupe

. 1: 3 LE | 9 &
subissent entre elles, s'élève par seconde à Ci HEuse . 122;
à TT

222 J. D. VAN DER WAALS. SUR LE NOMBRE DES CHOCS

pour les molécules du second groupe, considérées entre elles,

1 2
ce nombre est __n,275,? —— s

1-2. Le nombre des chocs des
9 Lx

S+s, LR

molécules hétérogènes s'élève à Fe (=

Si l’on veut savoir combien de fois par seconde commence un
chemin nouveau, on doit prendre le double des quantités pré-
cédentes.

9. Nous allons maintenant déterminer les modifications que ces
grandeurs éprouvent lorsqu'on tient compte de la dimension des
molécules dans la direction du mouvement relatif. Pour cela, nous
avons besoin de connaître la réduction que subit en ce cas,
comparativement au cas où l’on néglige cette dimension, le chemin
à parcourir pour un même nombre de chocs. Evaluons cette
réduction pour les chocs des molécules hétérogènes. A chaque
rencontre, il y a alors, en moyenne, une difiérence en moins
de Re
3 )
deux molécules, lé raccourcissement du chemin est donc, à
chaque choc:

sur le chemin relatif à parcourir. Pour l’une des

S+s, v
r © ———— — ———— ……—— 2
9 L/v? + u? + duvcos

2 s+s, :
3 9 LU? + u? + duvcosp

Pour un nombre de chocs égal à

a. v'dvf Au? “du
nn ,7 7 EC Te + er Pl CE LUI +ur uv cosr
TT |

le raccourcissement total s'élève donc à:

Me: fe +s, +) 2(e + 8).

ET LA DISTANCE DE CHOC MOYENNE ETC. 9293

Si nous cherchons le raccourcissement pour les chocs des molé-

À
cules du groupe À entre elles, nous trouvons = —n?xs° —"

: 24 À
et pour ceux des molécules du groupe Bentreelles = 2n,?7s,? _
Or, en négligeant l'épaisseur des molécules, il y avait à parcourir,
pour le nombre de chocs déterminé dans cette hypothèse, un
| 28 |

TT

2

chemin total de » +, : en tenant compte de cette

épaisseur, les molécules n'auront donc à parcourir qu'un chemin

(02 DL 3 7 ;
D, 26.21... du 91 ni te nn (+) A(a+8)
0 1 59 1. 0 2 1/7
pour produire le même nombre de chocs. On aura donc en un
temps moindre le même nombre de chocs, ou en 1 seconde un

nombre de chocs égal à

2 2 2
loonss Peer nn x (ES BUGS Hp PE Nns 38 172
2 177 y Lx 2 bé
1 Rs es ER er us n,6 ma( se) te un
3 no+nE 9 NOLRE no+n, non, 8
ne 2
Pour s—s,, le dénominateur devient 1 — 3 +n;)rs, et
2 2 à
lorsque s et s, ont des valeurs différentes, 1 D 3" 17$

peut être pris comme valeur approchée; c’est-à-dire que le volume
est diminué de 4 fois le volume des molécules.

6. On trouvera de la manière suivante à quelle condition les
valeurs de « et # doivent satisfaire pour que les deux systèmes
puissent présenter l’état stationnaire que nous leur avons supposé.

Lorsque deux molécules, de masses m et m,, se rencontrent,
et que leurs vitesses v et w font des angles et y avec la normale
au plan tangent commun, la théorie du choc des corps parfai-

tement élastiques fait connaître la vitesse après la rencontre;

22% J. D. VAN DER WAALS. SUR LE NOMBRE DES CHOCS

pour la molécule à masse "”, pe exemple, cette vitesse sera
donnée par l'équation:

PE ll
DL — © | — [mu cos?g—m,u?cos?y—(m—m, Juvcospcosy |.

CEURE

À chaque choc d’une molécule du groùpe A avec une molécule
du groupe B, la première perd donc une quantité de force vive
égale à: | |

\mv? cos? p— mu? COS? Y —(mM—M, ) UV COS cos 4)
(mm)

Voyons ce que devient la valeur moyenne de cette expression
lorsque, les valeurs de « et de v étant données, nous attribuons
à p et à y les valeurs possibles dans ce cas. Evidemment, nous
n'avons pas le droit de regarder comme également probables,
lors du choc, toutes les directions de « et de v par rapport à
la normale au plan tangent. La valeur moyenne de V dépendra,
non-seulement de la grandeur de w et de v, mais aussi de l’angle
que leurs directions font entre elles. Voici comment on peut trouver
cette valeur moyenne, en s’aidant d’une figure très simple, dont
nous laisserons d’ailleurs au lecteur la construction. Menons,
d'un point O, les droites OA et OB, qui comprennent l'angle 6.
Prenons OA = v et OB—u, de manière que ces droites repré-
sentent en direction et en grandeur les vitesses des molécules
choquantes. Si de B nous menons la droite BC, parallèle et égale
à v, mais dirigée en sens opposé, OC représentera le mouvement
relatif de la seconde molécule par rapport à la première. En
supposant construite autour de Ô une sphère coupée par un plan
passant par le centre et perpendiculaire au mouvement relatif,
une des moitiés seulement de la surface sphérique contiendra des
points qui, joints à O, indiquent des positions possibles de la
normale du choc, au moins tant que «, v et 0 ne changent pas.
Sur cette demi-surface sphérique, les points en question sont
distribués de telle sorte, que leurs projections sur le plan central
se lrouvent réparties uniformément.

ET LA DISTANCE DE CHOC MOYENNE ETC. 995

Prenons maintenant pour pôle le point où le mouvement relatif
coupe la sphère, et pour premier méridien le plan qui passe
par % et v; soient y la distance polaire et 9 la longitude; ‘la
probabilité, que lors du choc la normale prenne la position (7, 6),
sera représentée par

Ho

sin 7 d SN 1 5?
et nous avons donc à déterminer:
271
ù mr ŸS [ mu?cos?g—m ,u?cosp—(m—m , uv cospcosy | sinydsiny
160
ce qui ne peut se faire qu'après avoir exprimé w et y en 7 et 0.
Désignons, à cet eflet, par &, b et c les points où les droites
OA, OB et OC coupent la sphère, et par « et 8 les arcs ac et bc;
le triangle sphérique, qui à pour sommets &, c et le point P de
la sphère vers lequel la normale est supposée dirigée, donnera:
FA COS P = COS & COS Ÿ + SUN « SiN y COS Ô
ainsi que

COS ÿ = COS Ê cos y + sin B Sin y cos 0.

Substituant ces valeurs dans l'intégrale ci-dessus, et remarquant

qu'on à

RH 27
fs: d sin y [cos? pdô—= 0 — sin? à)
0] 0
1 27
fsè: d'sin ; | cos® y dÔ—= . (2 — sin: B)
| 0 0
1 27
| sinydsin; [ cosycosy d = ; (2cosucos8+sinusiné) =7(20050-sinusinf)
0 0
on irouve:
Um:
= \ [nv —mu?—(Mm—m,)uv cos6 | =
2 (m+ m,)?!

— — [rev sin? « —m, u? sin? B—(m—m,)uvsin e sin ||
2

296 J. D. VAN DER WAALS. SUR LE NOMBRE DES CHOCS

expression qui, à cause de
mu? sin?a—m,u? sin 5—(m—Mm,)uv sin « SnB8—=0,

se réduit à:

À mm,

ee RS A mu —mu?—(m—m,)uv cos6}.

2 (m+m,)

Comme la probabilité que, dans le temps dt, une molécule

du 1% groupe animée d’une vitesse v viendra rencontrer une
molécule du 2e groupe animée d’une vitesse u, et qu’en outre
ces vitesses feront entre elles un angle 6, est, d’après ce qui
précède, égale à

> — si 046
Fe LV +u2—Duvcosa ——

sS+s1\? 4 vw? dv 4 u? *°du
din ,7 En ———e x
Lx «? A ES A 9

—

nous avons encore, pour obtenir la perte moyenne de force vive
d'une molécule du groupe À, à trouver la valeur de

v2 v? v*d ! u2 #* du lim m ,
É Fes SE Ré sh v? se 2 uv COS 0)
Le DATE B (m+m , E

5 sin d6

PRET |
1Mv—mMm,u? —(m—m,)uvcos rt 0

Cette intégrale se laisse déterminer par une méthode analogue
à celle que nous avons déjà suivie ci-dessus. x

Indiquons, dans ses traits principaux, la marche de l'opération
et l’ordre successif des résultats.

Il faut de nouveau distinguer les deux cas de v> uw et y <u.

Si l’on a vu, l'intégration par rapport à 0 donne :

1 mm, | 2 Au: è ui\ })
2m v° + À vu ? — =) 57 Ge+35)
Abri 2} 3 15 v ETpst ;

Si, au contraire, v est < w, on obtient:

se on uv? ET )—2m, ( + = uv? — La )t
4 us )213 3 15 u 7)

4 ”

- ET LA DISTANCE DE CHOC MOYENNE ETC. 297

Pour v=u, on duit donc chercher:

(o

Jar 25 ferré 0 +3 = + hr ee

et pour v <u:

(o ©]
v? _v'dv s TT

fe nr — FE uv? + 2m, (+5 UV? —
œ

0

=)

Faisons, dans la première de ces intégrales, v=exetu—= 6,
puis z=rcosp et y=rsin y; elle devient: |

(ee) à
nn 2 9
fre" ar Fa sin? am "cos pTs aB2cos?psin?8 —
0

ë 2 2 1 2 1 8° VE
— 3 a P* COS pSin nr ce à @
(02

=
SIMS
A
S «
>
Na
S
d'A

d sin +.

Ces mêmes substitutions ramènent la seconde intégrale à la forme:

TES
5 Va +68? { 9  œ +
Jre-rai] sin?2y | 2m: [ B3costy + 3 Bo2sin?ycos?y— BF sin! y]
—— Lg (e a? COS? sin? p + Lt “ sin y) dsin y.
3 | 5 6

La valeur de la première intégrale est:
où

416 m 2? _
ni ke AU CRE x 3 le à 2 6 &° B4 SRE
“à res el + Auf 8 + |

16m, 8? DL ce 0 on
re + afp ]|

La valeur de la seconde se trouve en prenant la première
négativement et en y permutant # et #, m et m, ; elle est donc:

298 J. D. VAN DER WAALS. SUR LE NOMBRE DES CHOCS ETC.

Lo 0)

46m «?
—7? { Le RARE 2 4 B6 2 | —

Jr'e "Hire res

0
16m, 8?

PP EEE Gouigs ll.
_ 4051-02 + P° ia Fes œil
La somme donne: .

frse-rar LA UE mets à

105 1e? + 8?) Le + 4u682+ Gaigi+ 40286 +68 |

0

ou

(ee
16
fr me Le PA IE À m 82 —m 8°!
105
"0
La perte de force vive pour une molécule du groupe A, par
suite de ses chocs avec les molécules du groupe B, s'élève donc,

dans le temps dé, à

S N% 91702 32 m M
ai n, ee ) Maires ; a (mem 2)
2 17 x (m+m,)?
ou

mm
MAL PEN METRE EE (em 62
(im + m,)°

Si nous représentons la valeur moyenne de la force vive des
molécules du groupe À par £mv?, et du groupe B par Z m,v?,
l'expression trouvée en dernier lieu devient:

AUND CR Ee mou).
? 8(m+m,) à

Pour la persistance de l’état stationnaire supposé, il est donc
nécessaire et suffisant que la force. vive moyenne d’une molécule
soit la même dans les deux systèmes. ?

La Haye, 29 Déc. 1875.

SUR
L'EMPLOI DES DÉTERMINANTS

DANS

LA MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS,

$ 4.

_ Soit un certain nombre d'équations linéaires, mises sous la
forme

MAD TZ, cr: +... +pa—="F,,)
DRE T, E Cots + . . ,). +rm =. |
RE Ne > Me a)
D ÉTR + bn PP = 2

QU x, , %, ::. . . x, sont les grandeurs à déterminer, au

nombre de n; m le nombre des équations, tel qu’on atm>n;

F, ...Fx des grandeurs données par l'expérience; on trouve

alors, suivant la méthode connue de Gauss, les valeurs les

plus probables qui satisfont au système entier (1), à l’aide du
système normal

(gaa)x, + (gabæ, + (gac)x, + . . (gap}x, = (ga F),

dé + (gbb)æ, + (gbc)z, + . . . + (gbp}x, = (gbF),

\

PP Re M et is er pl etl Mel i1e11w9 ble let fs. £ jel tel ete" Volt ot ‘ee ‘à “ e “ee

(gpa)z, + (gpbæ, + (gpo)zs +... . (app = (gp); |

9230 P. VAN GEER. SUR L'EMPLOI DES DÉTERMINANTS

dans lequel g,, g: . . . 9, Sont les poids des grandeurs F de
même indice, et où l’on a: |
(gaa) = g,4,? + god +... . Qmd°m; |
(gba) = (gab) = g,a,b, + g:@iba + . . . + Jm@mbm; . (3)
(gaF)=9,a,F, +930, + 2e ONE

Les n inconnues peuvent être tirées des # équations linéaires
(2), et Gauss lui-même a exposé la méthode à suivre pour ÿ
arriver par des substitutions successives. On ne saurait contester,
‘toutefois, que ce mode de solution n’exige des calculs très longs,
et que surtout la recherche des coefficients auxiliaires ne soit une
opération laborieuse, dans laquelle on. court aisément le danger
de commettre des erreurs de calcul, qui finalement font perdre
tout le fruit du travail.

Si l'on a recours, pour résoudre les équations (2), à la méthode
des déterminants, les inconnues peuvent être mises immédiatement
sous cette forme :

A A Aria A»
le ire ETS M RS
où l’on a
RARES - (gap) (gaF)(gab) .. (gap)| |
(gba) (gbb)(gbc) . . (gbp) (gëF)(gëb)..(gbp)| |

(gen) (yeb (ee) … (yep)! | |(ucF) (cb). (ge)

==

| (gpa) (gpb)(gpe |

) .. (gpp) (gpF)(gpb) . . (gpp) G)
(gaa)(gaF)(gac). . (gap) | (gaa)(gab)(gac) . . (gaF)
(gba)(gbF)(gbc) . . (gbp) (gba) (gbb) (gbc) . . (gbF)

— | (gca) (gcF) (gcc) . : (gcp) a! (gca) (gcb) (gcc) .. (gcF)
(gpa)(gpF)(gpo) . . (ypa)orb)gpo) ll

Ce mode de solution offre un double avantage. En premier
lieu, les inconnues, quelque grand que soit leur nombre ou celui des
équations, sont immédiatement exprimées sous une forme finie

DANS LA MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS. 934

en fonction des données; de sorte que l'établissement des équations
normales (2) est même devenu superflu, et que, des équations
données (1), on peut directement déduire les valeurs exprimées
en (4) et (5); avantage que ne présente aucune autre méthode
de solution.

Secondement, cette méthode n’est en aucun cas plus longue,
ou n’exige plus de calculs que n'importe quelle autre. L’usage
judicieux des déterminants ne peut jamais apporter que des sim- |
plifications dans des calculs qui se laissent aussi exécuter, d’une
manière très prolixe, par d’autres procédés. On évite ainsi l’intro-
duction de facteurs qui plus tard doivent être de nouveau éliminés,
et, en faisant une application intelligente des propriétés des déter-
minants, on peut arriver à abréger considérablement les calculs.
En outre, aucune méthode n'offre autant de garanties contre
l'introduction d'erreurs de calcul que celle des déterminants, parce
que les résultats sont immédiatement écrits sous une forme symé-
trique et n’exigent que des substitutions régulières.

CA
RO

Si l’on a en général
A ET ns)
et que g soit le poids de x, le poids G de X est donné, d’après
les principes du calcul des probabilités, par l’expression
us (6)
Ge abs 10 ©
dans laquelle { — Le
ox

Pour appliquer ceci aux équations (4), qui expriment les x en
F, nous devons commencer par chercher les quotients différentiels

des æ par rapport aux F. Des équations (4), combinées avec les
éq. (9), on déduit:

239 P. VAN GEER. SUR L'EMPLOI DES DÉTERMINANTS

(gadF)(gab). . (gap) | (gaa)(gab). . (gadF)
(gëdF)(gbb). . (gbp) (gba)(gbb). . (gbdF)
Adx,—\(gcdF)(gcb).. (gen): NT (en) (gcb).. (gcdF) . (7)

(gpdF)(gbp). (gp) | {y gpb). . (gpdF)

En désignant, dans le déterminant principal A, par My le
mineur du terme k** de la colonne #*, le développement des
expressions ci-dessus donne:

A dæ, —=(gadF)M,, + (gbdF)M,, +...(gpdE)M,, —\|
—(9,a,M;, ne JabiMio +... gipiM;ndF; +
+ (gaM,, +gbM,, +...9:pM,)dF, nu . (8)

pu (mm ; Te ImbmM ; les mi. ImPnM | n)4F m°
Posons en outre:

PRE JT, 3% 4 |

5F, = Lurs CITE 127%. ENS 5
0)
A dE

CS, UE, CHOSES

on aura alors, d’après (7) et (8):
Al;: — ÿ; (a,M,, HO ME T4 TAUPE
Al: =go(aM,, +0M,, +... poM;), . (40)

AE m = 9m (On: + OM, °F
Multipliant la première de ces équations par &,, la seconde

par a,, etc., et additionnant, on obtient:

AZat, = (gaa) M,, + (gab)M,, +...(gap)M,, =A, |
de même ;
AZbt, = (gba) M,, + (gbb)M,, +...(gbp)M,, = 0,

4)

AZpt, = (gpa) M,, + (gpb) M,, + al M, — =, %

La première forme donne A, parce qu'elle représente précisé-

DANS LA MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS. ES

ment le développement du déterminant suivant les termes de la

première ligne; toutes les autres deviennent nulles, parce qu’elles

donnent la valeur du même déterminant pour deux lignes égales.
De la même manière on déduira de (7):

A — 9, (a, M,, = DOM RS CNE).
Mi (M, + 0,M., +... po), | u2
Alom = Um (anM, + DM, DR . PrMnh);
équations qui donnent:
ASat, = (gaa) M,, + (gab) M,, + . .. (gap}M,, = 0, \
Ab, — (gba) M,, + (gbb) M, + . .:. (gbp)M,, —0, .
2. is: \
Apt, = (gpa) M, + (qpb) M, + . . . (gpp)M, = A. |

Les équations (11), (13) et les autres équations analogues

conduisent ensuite à |
SE = 0: >, —0, . .. Spt, —=0,\
1, ct, — 0, - | sr 44)

Re A nn dla sn Je Let © em. ‘ere! 70.9 5 ee : je re + + 0e

Reprenons maintenant les équations (10), multiplions la première

u Pas ce l à
par 1, la seconde par -12, etc., la dernière par -1*, et fai-

Ji 92 Jm
sons-en la somme; en ayant égard aux éq. (14), on trouve alors:

UM, Sat, +M,,5bt, +... +Mi5pt, =M,,
sel |
de même, on tire de (12) et (14. (05)
4, =, LM, sh, +... + M, Zn, A
9

Désignant enfin par G, le poids de æ,, par G, celui de x, ,
etc., il résultera de (6), en combinaison avec (15):

e 3
ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XII. 45

934 P. VAN GEER. SUR L'EMPLOI DES DÉTERMINANTS

ARTE A A

\, er .. GS —- (10)
équations qui déterminent les poids de toutes les grandeurs
calculées.

On voit combien l’emploi des déterminants simplifie la déter-
mination et surtout la représentation des poids des inconnues.
Dans les équations (16), en effet, on a d’après (5):

|(gaa, (gab).. . (gap)|
(gba) (gbb). . . (gbp)

A | (gca) (gcb) . . . (gep),,

ou (CR

(gpa) (gpb). . . (pp)
el par conséquent:

SES MES CC 1 RRN CT; |

ie | ra ce Pr EU
Mi Li M0 CE . M. ZIP

SR CR PS a

(gpa) (pb). . . . 0
1 107 (gab}. 5e (gap) |
(gba) O ... (gpb)
PA PME ONE Ds ;

| (gpa) (gpb). . . . 1

_ La comparaison de ces résultats avec ceux qu’on obtient suivant
la méthode de Gauss fait immédiatement ressortir la supériorité
de la méthode nouvelle, tant par rapport à la forme que par
rapport aux calculs. On reconnait, en outre, que les poids des
grandeurs calculées ne dépendent pas des grandeurs observées
F, mais seulement des cœfficients constants et des poids des obser-
vations. Lorsque celles-ci ont des poids égaux, la chose se sim-
plifie un peu. On obtient alors pour les équations normales :

(aa) æ, + (ab) x, + . . . . (ap) x, = (al);

(ba) &, + (bb)x, + . : - : (Gr) =

(pa) x, + (pb) x, + . . . . (pp) & = (PE),

DANS LA MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS. 935

de sorte qu’on a :
(aa) (ab) . . (ap) | | (aa) (ab) . . (af) |
|

(ba).(bb) . . (bF)

x — DU. (Ep) NS = A a es
ur li mie.
Gps) Gp)» + (Pr) (pa) (pb). (bP)
De même, on obient dans ce cas:
À (ab) . . (ap) | 0
(ab) . . (ap)
0... (6
— (ba) : (bp) ME Ga) 0 (bp) |
| ie "He | (pa) (pb) ta

valeurs d’où, par substitution dans (4) et dans (16), se déduisent
immédiatement tant les inconnues que leurs poids.

Ç 8.

Si l’on a déterminé aussi exactement que possible par l’obser-
vation x grandeurs æ,, æ, . . . x,, qui doivent d’ailleurs satis-
faire rigoureusement à m relations de la forme

1 (MT A = A
fa (@,% y) = 0, | MAÉ Ar ane (1)
fm (x,æ;, ° Tn) — 0,

où Mm<n, on reconnaîtra, après substitution, que les grandeurs
mesurées ne s'accordent pas exactement avec ces équations, et
qu’elles doivent encore subir, pour y satisfaire, certaines correc-
tions. Il s’agit maintenant de savoir comment ces corrections
peuvent être déterminées.

Supposons que les grandeurs observées soient X,, X, ...X,,
et les corrections cherchées y,, y, .. . Y,, on aura,
CH TX, y, ma, +... = Xo + Yn

15*

236 P. VAN GEER. SUR L'EMPLOI DES DÉTERMINANTS

FR + y, Xe HY XPH) UN
fi 2 + Yi; LORS EL, =

re Xo Yo 0 0: Na PU)

HEURES

Les observations doivent être assez exactes pour que les correc-
tions puissent être supposées si petites, que les puissances deuxième
et supérieures soient négligeables. Par le développement suivant
le théorème de Taylor, les équations (2) donnent alors:

f. KR XX) LU PRESS Qu no.

OX, re NS

D Ô Ô
fa (XX à +) CES EU + SE + +... By, (3)
| : Ô fm 6 fm 0 {im |
NN Ne =: Sue |
fm ( 1 2 Murs re Yo ie Fu y ]

Si dans ces équations on pose:

Ai Xe. Xn) =—A,, (KR, XX) = LA RREE=r,

LA Le, Re JU;
»e ôX; OXn

O2 —} 0[ 2 ‘fa —}

FOUE 1? Not DEC QUE C 5X nñn 1
rh 49 An

da 2; dm 4, NOIRE
oX, : ÔX OXn

toutes ces grandeurs peuvent être calculées d'avance, et le système
(3) se change en celui-ci:

Dis + aa + sYge à à à + Ann = ÂÀ;))
biYs HiYa + days à + à + ban Re
CU Æ CoVa HCsUse cet Cale = AE (4)

Piÿi + Paÿo Pa Us: ÉOEXE + Poÿn = An;

DANS LA MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS. 571

c’est-à-dire en un système de m équations linéaires à n in-
connues, lesquelles mconnues doivent satisfaire en outre à la condition

Dur J3022 + J2U:° E- - . -Gnh° —Mininum... (5)

où g représente le poids des grandeurs mesurées X correspondantes.

Pour déterminer maintenant les valeurs de y, de manière à
ce quelles satisfassent rigoureusement aux équations (4) et (5),
nous différentions les deux systèmes; on trouve ainsi:

919149 + J>YadYs + 93YadYz +. 4 + 2 + OnÿndYn = 0, |
a, dy, Se da dy, + asdya +... + th = 0]
bdy, + b,dy, + b,dy;s +....+ bdys = 0,
Cdy, + Cody: + Cadys; +. + Cody = 0,\

Pidy, + Pidys + psdys +...+ pd =0.

. (6)

Entre les » différentielles existent alors ces (m + 1) relations;
il reste donc n — m conditions entre les coefficients, c’est-à-dire,
entre les valeurs de y et les grandeurs connues g, a,b,c,...9p.
Ces n —m relations, combinées avec les m équations (4), forment
ensemble # équations à # inconnues, lesquelles inconnues sont
ainsi entièrement déterminées.

L'opération s'exécute ordinairement en introduisant des coefficients
indéterminés. Pour cela, on multiplie dans le système (6) la
seconde équation par un facteur k,, la troisième par k4,, la
dernière par k,; on peut alors poser :

QaY3 = kits + Rob, + hoc, +... knPi,
J2Y2 = ha, + kb, + ke, +... knDo,
ha, FEk,0: Hk;c +... .k,p:,5.. (D
LE uk On + es + + KmPns

Dans les systèmes (4) et (7) on a maintenant m + n équations
linéaires à m + n inconnues (yet k), qui par-là sont entièrement
déterminées. La solution se fait de la manière la plus simple en
transportant dans (4) les valeurs de y tirées de (7); on obtient
ainsi, suivant la notation habituelle:

—) ah. = E. (©) SENTE (5) =4
g g 1! g |

bb b

—) + k, (5) += 5, SES (®) —= Ar)
U] 9 g

C

Ar UE , (EYES
k, Ê) + k2 5) + k; Ë) HG <oe 5) = is

Ce système de m équations linéaires donne pour les valeurs
de :

me
de)

S

rs”,

al8 als «|8
LR,

———_

si&e|Scl

PPS,
D

Sie) de, 5: "g. ce ss. Ve,//re Le nr aa ru

En substituant ces valeurs de 4 dans le système (7), on ob-
ent les valeurs de y ainsi qu'il suit:

DANS LA MÉTHODE DES MOINDRES

So |

ab aa

9

ac
g

Q)

On a aller el fer "gr. ere et à: ‘+

D:

CARRÉS.

ŒC

bc

D

1

9) () à
() Ê VA.
(e) (© Farr
un D. | d/ f
ee Fe : nn :
ei (7) ee tn
| 1D\ | |
‘26 2) | Ja, 1
| (es (er
IE CE 1e + b, 71 -(
LM 2 | | (ne “
D ec
bp ba bp
BA On (7) + b, (RE Ge
| PP pa PP
LE) [Da (0)

Les valeurs de y sont alors complétement déterminées,

par leur substitution dans

d Je
(©) .
?
Gi sue
0 A
b

() ne
de he

et

XX, LU. Ua —X, +,

le problème se trouve résolu. Aucune autre méthode ne donne;

940 P. VAN GEER. SUR L'EMPLOI DES DÉTERMINANTS ETC.

comme celle-ci, les valeurs des corrections exprimées directement
en fonction des grandeurs connues. de

Toutefois, en faisant usage de propriétés supérieures des déter-
minants, on peut encore abréger les opérations et éviter entié-
rement l'introduction de facteurs indéterminés.

L’éliminmation des diflérentielles de (6) et les relations qui en
résultent entre les coefficients peuvent être représentées directe-
ment sous la forme: ‘

[9191 927250929520)

|
|

MN Ua Ag... An
| b, b, bp, TUE be
Lo Co PAR = eee)

lÜ Pi Ps Ps... Pr)

Le déterminant spécial du premier membre contient x colonnes
et mn + 1 lignes, n étant > m; il représente tous les déterminants
ordinaires, qui s’en déduisent en combinant chaque système de m + 1
colonnes avec les lignes correspondantes; le double signe d’éga-
lié devant le zéro veut dire que tous ces déterminants sont
nuls, de sorte que l’équation (10) contient en réalité n — m
équations indépendantes, linéaires par rapport aux inconnues y.
Ces n —m équations, combinées avec le système (4), donnent
ensemble # équations linéaires à # inconnues, lesquelles inconnues
sont ainsi entièrement déterminées. L’équation symbolique (10),
jointe au système (4), renferme par conséquent la solution
complète du problème proposé.

SUR LE CALCUL

DE LA

DISTANCE MOYENNE DE CHOC DES
MOLÉCULES GAZEUSES.

DANS LE CAS OÙ L’ON TIENT COMPTE DE TOUTES LEURS DIMENSIONS;
PAR

D. J. KORTEWEG.

1. La distance moyenne de choc des molécules a été calculée
par M. Clausius !) dans l'hypothèse suivante:

1° que le mouvement des molécules ait lieu également dans
toutes les directions ;

29 que les dimensions des molécules soient petites en compa-
raison de leurs distances mutuelles ;

3° que leurs vitesses soient égales entre elles.

Dans ‘ce calcul, de même que dans celui de M. Maxwell, il a
bien été tenu compte, ainsi que M. van der Waals le fait remar-
quer dans sa dissertation inaugurale ,,Over de continuiteit van
den gas- en vloeistoftoestand”, des dimensions des molécules per-
pendhculaires à la direction de leur mouvement relatif, mais non
des dimensions parallèles à cette direction.

Nous voulons essayer ici de traiter la question en renonçant

1) Pogg. Annal., t. C, p. 353,

942 D. J. KORTEWEG. SUR LE CALCUL DE LA DISTANCE

à la troisième des conditions restrictives ci-dessus énoncées et en
regardant, en outre, les molécules comme des sphères.

.9. Si les différentes molécules possèdent des vitesses différentes,
le nombre de celles qui, dans l'unité de volume, ont des vitesses
plus petites qu'une vitesse donnée v, est une fonction de cette
vitesse v. Cette fonction étant représentée par U», le nombre
total des molécules contenues dans l’unité de volume sera indiqué
par U,,. Au lieu de U, , toutefois, nous écrirons U.

Le nombre des molécules dont la vitesse est comprise entre v
et vu + dv sera:

Uo à de — Un == 4 Ut CR A)

Supposons maintenant un système d’axes perpendiculaires fixes,
et soit e l’angle que la vitesse d’une molécule fait avec la partie
négative de l’axe X; le nombre des molécules pour lesquelles cet
angle est compris entre « ete + de, et dont, en outre, la vitesse
est intermédiaire entre v et v + dv,.sera donné par:

Sine = dUv eue

AT TOR TR

Figurons-nous, en effet, toutes les molécules dont la vitesse

est comprise entre v et v + dv transportées en un seul point

de l’espace, sans altération de la grandeur n1 de la direction de

leurs vitesses, et décrivons autour de ce pomt une sphère ayant

l'unité pour rayon; par chaque point de la surface de cette sphère

sortira alors, suivant la première supposition du $ 1, un même
nombre de molécules, donc par unité de surface: :

cn

| SOA 0)

Pr. OC)

Mais toutes les molécules, dont les directions de mouvement
font avec l'axe X des angles compris entre s el s + de, quittent
la sphère dans les points d’une zone qui a pour hauteur

| Sins: dent ES : asser er CA)
et par conséquent pour surface |
Qu sine . dessin ENS EC)

MOYENNE DE CHOC DES MOLÉCULES GAZEUSES. 943

Leur nombre est donc bien conforme à ce qu'’indique la for-
mule (2). |

Menons enfin par l’axe X un plan parallèle à la direction du
mouvement de la molécule, et soit y l’angle que ce plan fait avec
le plan XOZ; il est clair que le nombre des molécules qui, outre
les deux conditions précédentes, satisfont encore à celle-ci, que
Vangle en question soit compris entre w et y + dy, sera repré-
senté par |

ane de du
De

Dia (6)

À un pareil assemblage de molécules, ayant des vitesses égales,
à la différentielle première près, en grandeur et en direction, nous
donnerons le nom de système (v, €, w).

3. Considérons maintenant une molécule M, se mouvant avec
la vitesse c dans une direction quelconque, et cherchons la pro-
babilité que cette molécule vienne à en rencontrer une autre dans
le petit intervalle de temps dé. Il est clair, — en vertu de la
première supposition du $ 1, — que nous pouvons faire coin-
cider la direction de son mouvement avec l’axe X, sans que la
probabilité demandée s’en trouve atteinte. Il est également clair
que nous pouvons réduire la molécule M à un simple point,
pourvu que nous attribuions à toutes les autres molécules un
rayon double; c’est-à-dire que, si e représentait primitivement
leur diamètre, il faudra maintenant leur donner e pour rayon. Un
choc se produira, en effet, dès que le centre M de la molécule
en question arrivera en contact avec la surface d’une de ces
sphères agrandies. Nous pouvons aussi supposer le point M en
repos, à condition de substituer au mouvement absolu des autres
molécules leur mouvement relatif par rapport à M. Enfin, nous
introduirons une supposition dont l’inexactitude est manifeste, et
sur laquelle nous aurons par conséquent à revenir: nous rem-
placerons les molécules sphériques par des disques de même
rayon, dont le plan soit perpendiculaire à la direction de leur
mouvement relatif par rapport à M.

244 D. J. KORTEWEG. SUR LE CALCUL DE LA DISTANCE

Ces préliminaires établis, nous devons, pour calculer la pro-
babilité en question, commencer par distinguer les différents
‘systèmes et chercher quelle est la probabilité d’un choc avec le
système (v, e, y) pendant le temps dé. :

A cet effet, remsrquons que les molécules de ce système pos-
sèdent la vitesse relative

L 0? + ce? Æ 2VCLOS LS M2)

En menant donc par le centre M un plan perpendiculaire à
la direction de ce mouvement relatif, c’est-à-dire parallèle aux
disques des molécules de ce système, 1l passera par l’unité de
surface de ce plan, dans le temps df, autant de molécules qu’en
contient un cylindre ayant pour base cette unité de surface et
pour hauteur

Lu? Æ c2 + 2uCCESE I CE (8)

Le nombre de ces molécules sera donc, à raison de l’éq. (6):

1 v? + ce? + Juccose . sine : AU» . de . dy . dt :
par ce même plan passeront d’ailleurs aussi des molécules d’autres
systèmes.

Si le temps dé est pris suffisamment court, on pourra admettre —
eu égard à la seconde supposition du $ 1 — que les traces
laissées par le passage des molécules à travers le plan, les trous
qu'elles y font en quelque sorte, ne se recouvrent nulle part.
Dans ce cas, les molécules du système (v,e,w) emportent une
partie de ce plan qui a pour surface |

o21/0? + c2 + Doccose.sine.dUv.de.dw.dt
4

et la probabilité que le point M se trouve sur une sembable
partie, et que par conséquent 1l y ait choc, est donnée par cette
même formule (10).

4. Pour connaître la probabilité totale d’un choc, il reste à
sommer l'expression précédente pour tous les systèmes, c’est-à-dire

, . (40)

MOYENNE DE CHOC DES MOLÉCULES GAZEUSES. 9245

à l'intégrer par rapport à y, « et v. En représentant cette pro-
babilité par

on a donc:

D= © TI 27
“= 4e au. fac [ur + c? + 2vccose.sins. dy. (19)
v=0

La première de ces intégrations se laisse facilement exécuter,
et l’on trouve:
VX
D — av x [a U, [LV + c? + Duc cose.sine.de . (13)
v==0: ‘0 |
La seconde est également praticable, car l’on a:

T

eu 11ERE
fr + c? + Duc cose.sSine. de = 4. (+0) +(c—0) (4
0

résultat où l’on doit prendre un signe différent suivant qu’on à

>

Z c

Cette circonstance oblige à effectuer l'intégration par CAE
à v en deux temps, de cette manière ):

1 V==C " HEC 9 e?
a Hifsc au, Dont au |. 15
7 Do) U + [Gv +2) (45)

1) S1 l’on suppose que toutes les molécules possèdent une même vitesse c, on
a dUs = U et l’on trouve:

V

+
Me 0:c.#.U.

En admettant, au contraire, que les molécules sont en repos, sauf la molé-
cule M, on a © — 0 et Z Us = U: on trouve alors:

De — 102 6 TUE
Ces deux résultats sont entre eux dans le rapport =: 1, valeur qui est

donnée aussi par M. Clausius.

946 D. J. KORTEWEG. SUR LE CALCUL DE LA DISTANCE

5. Comme la probabilité d’un choc dans le temps dt est,
d’après (11), égale à «,.dt, la probabilité qu'il n’y aura pas
de choc est représentée par:

À — 06: CORRE (16)

mais — attendu que dt est infiniment petit — on peut, au lieu
de cette expression, écrire sans la moindre erreur:

edf, SRE (17)
Il s'ensuit immédiatement, d’après les lois de la probabilité

composée, que la probabilité qu'aucun choc n'aura lieu dans
le temps

6. Si maintenant

représente le nombre des molécules qui, dans l'unité de volume,
se meuvent à un moment donné avec une vitesse comprise entre
v et vu + dv, il y en aura, durant le temps {, un nombre

qui ne subiront pas de choc. Durant le temps { + dt, au con-
traire, il n’y aura que

Per) LR 0)

MOYENNE DE CHOC DES MOLÉCULES GAZEUSES. 947

molécules restant à l’abri du choc, de sorte que, dans le petit
temps dé, il y aura

a en) = P Let. di. , (03)

molécules participant au choc. Chacune de celles-ci parcourt
d’ailleurs — par rapport au système d’axes fixes — dans le temps
t un chemin c{; la somme de tous ces chemins est donc:

PR 0 co ft dl no (24)

7. Mais le moment est maintenant venu d'écarter la sup-
position inexacte introduite au $ 3 et de remplacer de nouveau
les disques par des sphères. Cette substitution n’aura pas pour
effet de changer la nature des chocs, car une molécule M, qui
sur son trajet aurait rencontré quelque disque, atteindra imman-
quablement, avant ce moment, la surface de la sphère par laquelle
nous l’avons remplacé. Toutes les molécules M entreront donc
en collision avec les mêmes molécules dont nous avions supposé
que les disques étaient traversés par les centres de ces molécules
M; mais tous ces chocs se produiront un peu plus tôt, c’est-à-dire
que les chemins seront raccourcis. Si nous admettons que le
pont M est atteint par la surface sphérique au moment où le
disque en était encore éloigné de la distance y, -le chemin par-
couru — relativement à M regardé comme point fixe — par la
molécule à laquelle cette surface appartient, sera raccourci de la
quantité y. Or, d’après la form. (7), la vitesse de ce mouvement
relatif est

1/0? + ç2 + yccose;

le temps £, qui s'écoule jusqu’au choc, sera donc abrégé de

SR . (5
10? + c2 + Duc coss cé

218 D. J. KORTEWEG. SUR LE CALCUL DE LA DISTANCE

tandis que le chemin ct, qui en ce temps est parcouru par la
molécule M, sera raccourci de ‘):

Re Le ee, ere aile an vie (26)
; 1? + ©? + 2uccose

Ce résultat s'applique à tous les chocs qui intéressent le systèémé

(4, €, y); mais, comme les molécules dont il est question dans

1) La proposition que le chemin, qui serait parcouru par la molécule M si
les sphères “étaient remplacées par des disques, doit être raccourci de la quan-
tité (26), se déduit aussi de la considération de la figure ci-contre. M étant

la molécule qui se meut
avec la vitesse c, N celle
qui se meut avec la vitesse
v, construisons la vitesse
M relative NR de N par

\ rapport à M. Plaçons per-
\ pendiculairement à N R le
‘ plan du disque qui rem-
placera la molécule N.
! La perpendiculaire M M’
/ abaissée, au moment du
/ choc, de M sur le plan du
/ disque, représente alors 7.
F4 En observant mainte-
| nant que ce disque se

meut par rapport a M
dans une direction parallèle
à MM}, avec une vitesse

NR = po! He +LIoccose

on voit immédiatement que le choc du point M avec le disque exige, compa-
rativement au choc des deux sphères, un petit excès de temps égal à:

LIEN RES SE

Lo? +c HQvccose ”
Or, dans ce court intervalle de temps, M parcourrait, relativement au système
d'axes fixes, un chemin

YC
Vo He: +Ivecose”

et c’est donc de cette quantité que doit être raccourci le chemin cé.

MOYENNE DE CHOC DES MOLÉCULES GAZEUSES. 249

la formule (24) entrent en collision avec tous les systèmes, il
faut avant tout chercher combien de ces collisions doivent être
attribuées à chacun de ces systèmes.

Pour cela, nous n'avons qu'à nous reporter à la formule (10),
qui indique la probabilité du choc dans le petit intervalle de temps
dt avec le système (v, #, w), et à remarquer qu’à la fin des f
secondes il y a encore, — conformément à la formule (21), —

Den ce

molécules qui n’ont pas subi de choc. De celles-ci, 11 y en aura
donc, dans le court intervalle de temps dé, |

en. P.e “e'.1/v?+c2+wccose. sine. dU».de.dw. dt (27)
Z
qui entreront en collision avec le système (v, 8, y).

8. Il faut maintenant sommer l'expression (26) pour toutes ces
molécules, afin d’avoir, en ce qui les concerne, la somme des
corrections qui doivent être apportées à la formule (24). Cette
somme est

C

= (08
LV? + c? + Dvccose J (2)

expression dans laquelle il est permis de prendre pour = 7 la
valeur moyenne de y multipliée par le nombre de termes, qui est
indiqué par (27). Or, des portions égales de la surface du disque
hypothétique devant évidemment être traversées par un même
nombre de points M, cette valeur moyenne sera égale à

fr. 40

(8)

où O désigne la surface du disque primitivement considéré.

En introduisant maintenant l'angle w qu'un rayon de la sphère
fait avec la normale au disque, et regardant cet angle comme
une variable indépendante, on a:

dO—=rosiny : dos
. ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XII. 46

950 D. J. KORTEWEG. SUR LE CALCUL DE LA DISTANCE

et
Y = 9 COS y,
par conséquent :
Jvao 2 x ç° J'c0s? 5 . d.cosp 9
HD Vpn ee RE TS (29)

A l’aide de cette distance moyenne, on trouve pour la somme
de toutes les corrections qui doivent être faites par rapport aux
chocs avec le système (v, €, w):

Le P.e ‘“é*,c.sine.dÜv de EEE)
Etendue à tous les systèmes, cette somme est donc:
V0 TT 27
SL 0 fac [et Pie. c: SRE ARE IE EU
= 0 0

Toutes ces intégrations successives se laissent exécuter; on
remarquera que

Le résultat final de l'opération est

Les ,.x.P.c.U.e Cd . (33)

de sorte que, pour la somme des chemins mentionnée au $ 6
et indiquée par la formule (24), on doit porter en compte,
toute correction faite:

2

.

P.c:o.e ".tdt— “0,1. Pc 0 ER (A)

9. Sommons enfin cette expression par rapport à { depuis zéro
jusqu'à l’infini; nous trouvons alors pour la somme de fous les
chemins parcourus, — à partir d'un instant donné jusqu’au premier
choc, — par les P. molécules qui possèdent la vitesse c:

9
ets e DRE en hi (85)
ou plutôt:
(serv) a (36)

Introduisons encore le volume A occupé par l’ensemble des
molécules qui se trouvent dans l'unité de volume; on a:

Mi UE -
_— — 0° .T. Ü SMS nel Eee let eee de ie ce 254
6 S ( )
de sorte que pour l'expression (36) on peut écrire:
Hope AE 2 oMoibnl (38)

ou finalement, en vertu de (20):
À) AU, A.) :. - (39)

Telle est la somme de éous les chemins parcourus par les
molécules qui possèdent les vitesses ce. Si l’on veut connaître cette
somme pour £oules les molécules, on doit encore intégrer par

rapport à « depuis c = 0 jusqu'à ce — x. Cette somme totale
est donc:
(4 — 44) feat ARE MS on. (40)
0 C

Elle s'étend à toutes les molécules qui se trouvent dans l’unité
de volume. Le chemin moyen est par conséquent:

10. Mais ce n’est encore là que la moyenne du chemin parcouru
par chaque molécule depuis un instant donné jusqu’au premier
choc. La moyenne du chemin parcouru depuis le dernier choc
jusqu'à l’instant donné a évidemment la même valeur. Ce

10

259 D. J. KORTEWEG. SUR LE CALCUL DE LA DISTANCE

chemin moyen s'obtiendrait, en effet, par l’inversion subite de
la vitesse de toutes les molécules: mais, puisque dans chaque
direction se meuvent un même nombre de molécules, il ne résul-
térait de cette inversion aucun changement dans l’état de mou-
vement.

La distance moyenne de choc, que nous nous sommes proposé
de trouver, est donc représentée par la formule:

ne A

dans laquelle ». est déterminé, conformément à (15), par:

De LG+E au. + f(r+S ave. (I)

De cette formule on tire la conséquence suivante:

Pour tenir comple de la dimension des molécules suivant la
direction de leur mouvement relatif, on doit multiplier la distance
de choc — trouvée en négligeant cette dimension — par l'unité
diminuée de quatre fois le volume de toutes les molécules conte-
nues dans l'unité de volume.

Ce facteur est donc constant, de quelque manière que Les diffé-
rentes vitesses soient distribuées sur les molécules, et quelle que
soit la vitesse moyenne. Il ne peut dépendre de la température
qu'en tant que celle-ci influe peut-être sur le volume des molécules.

11. Si nous voulons, en outre, avoir quelque idée de la gran-
deur de cette distance moyenne, nous pouvons, à l'exemple de
M. Clausius, exécuter le calcul indiqué par les formules (l) et (I)
pour le cas particulier où toutes les molécules se meuvent avec
la même vitesse. Nous aurons alors à faire v—=c, et, par suite,
à changer les diverses intégrations en sommations, les deux inté-
grations de la formule (Il) étant, bien entendu, remplacées par
une sommation unique. On trouve ainsi:

MOYENNE DE CHOC DES MOLÉCULES GAZEUSES. 253

= CU. AE 149: (49)
et par conséquent pour la distance moyenne de choc:
5)
— (1 —Z4A
2 ( o SÉTe a (Ci)
US

En introduisant dans cette expression la distance 1, à laquelle

_ les molécules se trouveraient l’une de l’autre en cas de disposition

cubique, de sorte qu’on aurait
MSN EUR ce 2 (A7)
on trouve:
5) de e
De Re EE HS CS)

résultat conforme à la formule du $ 35 de la dissertation déjà
citée de M. van der Waals, sauf que celle-ci donne la distance
moyenne de choc après un instant donné, distance qui n’est que
la moitié de celle considérée par nous.

12. En ce qui regarde le cas plus général où les molécules
ne sont pas des sphères, 1l est clair que la distance moyenne
de choc est alors différente. Pour un volume donné, en effet, la
sphère présente évidemment la plus petite probabilité de choc.
Si donc, dans l’unité de volume, le nombre des molécules et la
somme de leurs volumes restent constants, la supposition d’une
forme autre que la forme sphérique aura pour effet de raccourar
davantage la distance moyenne de choc. Le coefficient

PAS ter Que. (40)
par lequel on doit multiplier pour tenir compte des dimensions
suivant la direction du mouvement, conservera d’ailleurs la même
forme ; seul le facteur 4 y changera, parce que la distance moyenne
y, tout en étant constante pour tous les systèmes de molécules»
n'aura plus la même valeur que dans le cas de la forme sphérique.
Dans sa partie essentielle, toutefois, la proposition formulée à la
fin du $ 10 restera vraie.

Brepa, 11 Novembre 1875.

CALCUL DE L’ACCROISSEMENT DE TENSION

QU'UN ‘GAZ ÉPROUVE PAR SUITE DU
CHOC DES MOLECULES,

PAR

D. J. KORTEWEG.

1. De la diminution de la distance de choc il est peut-être
permis de conclure immédiatement, ainsi que l’a fait M. van der
Waals, à l'accroissement de la tension, en regardant ces deux
grandeurs comme inversement proportionnelles l’une à l’autre.
Néanmoins, il ne sera pas inutile d'essayer d'établir cet accrois-
sement de la tension d'une manière indépendante de la déter-
mination de la distance de choc. (

D. J. KORTEWEG. CALCUL DE L’ACCROISSEMENT ETC. 255

Soit à cet effet, dans la figure ci-jointe, AB la paroi sur
laquelle viennent rebondir les molécules. A chaque choc entre
deux molécules, on pourra mener par le point de contact commun
un plan CD parallèle à AB; nous donnerons à ce plan le nom
de plan de choc. Dans ce plan d’ailleurs, ou du moins à une
distance infiniment petite, se produiront encore — dans le temps
fini 4 — un grand nombre d’autres chocs.

Considérons maintenant les molécules d’un certain système (v, e, w)
qui se meut vers la paroi, — la droite perpendiculaire au plan
AB faisant fonction d’axe des X, — tous les chocs qui se pro-
duisent dans le plan CD auront pour effet de faire entrer un
certain nombre de molécules dans ce système, comme en (Il),
et d’en faire sortir un nombre égal, comme en (I).

Or, en général, les molécules qui entrent ont leur centre à
droite du plan CD, celles qui sortent l'ont à gauche ; les premières
sont donc en moyenne plus près du plan AB que les secondes,
en d'autres termes, 1l y a de la distance économisée — quant
au rapprochement des molécules du plan AB, — par suite des
chocs :). Pour savoir à combien s'élève la somme des distances
ainsi économisées pour toutes les molécules du système (v, &, w)
durant le temps dé dans l’unité de volume, il suffit de calculer

Mahin nBarb, vus ab: Re)

en étendant la sommation d’une part à tous les chocs par lesquels
des molécules sortent du système en question, et d'autre part à
tous les chocs par lesquels des molécules entrent dans ce système.

1) On doit donc se représenter les choses ainsi: chaque plan idéal de choc
reçoit pour aimsi dire à chaque instant un grand nombre de molécules de toutes
_ directions et de toutes vitesses, et en même temps il en repousse un nombre égal.
Mais celles qu'il reçoit sont déjà arrêtées avant que leur centre atteigne le plan
de choc, tandis que celles qu’il repousse partent déjà à une certaine distance en
avant du plan de choc, dans la direction où elles continueront à se mouvoir.
Il est évident que par là de la distance se trouve économisée.

956 D. j. KORTEWEG. CALCUL DE L'ACCROISSEMENT DE TENSION

2. Si nous imaginons qu'au bout du temps dt le plan AB
soit subitement transporté à l’autre côté de CD, et qu’en outre
à ce même instant les vitesses de toutes les molécules soient
renversées, il faudra nécessairement que toutes les sorties, qui
ont eu lieu pendant ce temps dé, reviennent comme entrées, et
réciproquement. Néanmoins, dans son ensemble, l’état de mou-
vement du gaz n'aura subi aucune altération, et la somme Z a, b,
pour les nouvelles entrées ne pourra donc pas différer de la somme
Z a, b, pour les anciennes; il en résulte immédiatement:

Z20,b, = 20:08 ER 7)

de sorte que la somme cherchée des distances économisées est
représentée par: :
224, 0,7. Mer se 0)

ou, — en abaissant du point de contact c une perpendiculaire
au plan mené parallèlement an plan AB par le centre de la
molécule sortante, — par:

DEC :. .OERRS F - 16)

3. En désignant par P le nombre des molécules appartenant
au système (v,e,w), il suffira donc de considérer tous les chocs
de ces molécules avec les autres molécules, d’abaisser à chaque
choc, du point de contact, une perpendiculaire sur un plan
passant par le centre et faisant un angle 90° — + avec la direction
du mouvement, et enfin de sommer toutes ces perpendiculaires.

Afin de pouvoir effectuer cette sommation, 1l sera nécessaire
de partager aussi les autres molécules en systèmes. Mais rien
ne nous oblige à faire ces systèmes indentiques à ceux qui
correspondent aux axes employés dans la figure 1. Aussi choi-
sirons nous un tout autre système d’axes 0! X’ Y'Z, où l’axe
O’ X'’ est pris dans la direction du mouvement du système
(v,s, vw), et où le plan Z'O'X' est perpendiculaire au plan CD
de la fig. 1, qui fait un angle 900 — € avec cette direction de
mouvement.

QU'UN GAZ ÉPROUVE PAR SUITE DU CHOC DES MOLÉCULES. 297

QT à
CTP ET el

LES
”
LC

N,
Ne

4. Soit donc M une des P molécules désignées ci-dessus et

par conséquent v sa vitesse, c le point de contact, et cd la
perpendiculaire abaissée sur le plan CD, correspondant au plan
CD de la fig. 1; il s’agit alors de déterminer:

Z cd.

Pour y parvenir, commençons de nouveau par considérer unique-
ment les chocs avec le système (v’s'w’), déterminé par rapport
aux nouveaux axes el contenant, dans l'unité de volume, un

nombre de molécules égal à
sine. dU,'.ds.dw
Le 5 (5)
Lx

Le nombre A’ des chocs de nos. P molécules avec les molécules

de ce système sera, conformément à la formule (9) du Mémoire

précédent :
M = .02.P.1v? + v'? + Quv'cose. sine’. dUv'. de’. dy’. dt (6)

958 D. J. KORTEWEG. CALCUL DE L'ACCROISSEMENT DE TENSION

et si, pour tous ces chocs, la valeur moyenne y de cd était
connue, la distance économisée serait représentée par:

A4). ER 17)

C’est donc, pour le moment, au calcul de la distance moyenne
y que nous devons nous appliquer.

57 Soit, à cet effet, MV' ou plutôt V'M la direction du
mouvement apparent des molécules du système (v',:',w'), par
rapport à la molécule donnée M, supposée en repos. Cette direction
étant déterminée de la manière habituelle, par les angles &, et w,,
on à: |

v'sin e'
ME RL ? . (8)
LV? + v'? + 2uv cose
V'COSE + V
COST rs oo ee)
10? + v'? + 2uv'cose!
Vo es y! ee! l'eufsthieit s', Cie (at leu e: (10)

Menons un plan (non représenté dans la figure) perpendiculaire
à cette vitesse apparente, et remplaçons de nouveau da molécule
M par une sphère de rayon double, et toutes les autres molécules
par des points; chaque passage d’un de ces points à travers la surface
sphérique agrandie correspondra alors à un choc, et pour chacun
des éléments de cette surface la probabilité d’être rencontré sera
proportionnelle à la projection de cet élément sur le plan que
nous venons de mener.

Mais, dans chaque choc, le point de contact se trouve préci-
sément au milieu du rayon mené de M au centre de la molécule
choquante, d’où il suit que, pour un élément de la surface non
agrandie, la probabilité d’être touché est également proportion-
nelle à sa projection sur le plan perpendiculaire à MV’. S'il en
est ainsi, la distance moyenne des points de contact des chocs
à un plan quelconque est égale à la distance, à ce même plan,
d’un centre de gravité obtenu en donnant, à chacun des éléments

QU'UN GAZ ÉPROUVE PAR SUITE DU CHOC DES MOLÉCULES. 259

superficiels de la demi-sphère qui a MV' pour axe, une masse
proportionnelle à sa projection sur le plan perpendiculaire à M V'.

Or ce centre de gravité 7’, situé sur MV', a déjà été déter-
miné dans le Mémoire précédent. Il est situé aux deux-tiers
du rayon de la demi-sphère; on a donc: i

et pour trouver la valeur de y il suffira de chercher la distance
de ce point Z’ au plan CD, en d’autres termes, de projeter
MZ: sur la normale MG du plan CD.

À cet eflet, 1l faut projeter d’abord MZ sur chacun des trois
axes, Ce. qui donne:

sur MX': M7Z'.cose,
sur MV': MZ'.sine, sinv,
sur MZ': MZ'.sine, cosy,

puis projeter chacune de ces projections sur MG, et prendre la
somme ; on trouve ainsi:

y =MZ'cose, :cose—MZ' sine, . cosy, . sine. . . (12)
ou :
| 1
IE o - [COS Ep. COS — Sin & . COS Y9 . Sine}. . . (13)

ou encore, en vertu de (8) et (9):

(vu + v'cose') cose — v’ sine’. cos y’. sine
LV? + v'? + 2uv'cose!

1
y= Ze ue a(12)
de sorte que la somme de toutes les distances économisées par
suite des chocs avec le système (ÿ',e’,y') s'élève, conformément
a (6) et (7), à:

1

me |(u+v'cose')cose.sine' —v'.sin?e’.cosy’.sine | dUr’.de’.dy’.dt (15)

.

. 260 D. J. KORTEWEG. CALCUL DE L'ACCROISSEMENT DE TENSION

expression qui doit être intégrée par rapport à w’ de 0 à 2,
par rapport à es’ de O0 à x, par rapport à v' de 0 à. De cette
manière, on obtient la somme de toutes les distances économisées
dans tous les chocs du système (y, e, w).

«0. La première intégration donne:

Tres .P.(0o + v'cose).cose.sins". dU, . ds”. dt. (16)

la seconde:

Too Bee. 0 VE Re (17)

3

la troisième, enfin:

D” n 0%. PAU. éoie OC (18)
DUS
2 AP v'NCOSE ANR (19)

expression où À représente de nouveau le volume des molécules.
On a donc (voir K 4):

Z cd, = AP cos APE (20)
et la somme de toutes les distances économisées à raison des
chocs est par conséquent:

25cd=4Â.P.v.cos5 DRE
Mais la somme de toutes les distances dont les P molécules

du système (v,e,y) se rapprochent du plan AB, dans l’intervalle
de temps dt, est évidemment:

P. ucoss. dE RS (22)

pour produire le même nombre de chocs avec le plan AB, les
molécules n’ont donc à parcourir, au lieu du chemin (22),
qu'un chemin:

Po cose (1 —4 À) dt SAS TER

QU'UN GAZ ÉPROUVE PAR SUITE DU CHOC DES MOLÉCULES. 261

en d'autres termes, le nombre des chocs de ce système est
augmenté dans le rapport:

ENST Er 007)

Les divers systèmes étant d’ailleurs entièrement analogues entre
eux, le nombre des chocs de toute espèce, avec le plan AB,
sera augmenté dans ce même rapport. La même augmentation
aura donc aussi lieu pour la pression, et en désignant par
D la pression qui existerait en l’absence de chocs entre les mo-
lécules, et par D' la pression véritable, celle qui se produit
réellement, on aura:

SUR

LA PROPAGATION DU SON,

PAR

H. J_ RTNK.

Les fondements sur lesquels repose la nouvelle théorie des gaz
sont généralement connus, et les expériences de M. Joule sont
si décisives qu’on ne peut guère faire autrement que de l’accepter.
Pourtant, si l’on considère la façon dont il est rendu compte,
d’après cette théorie, des phénomènes que présentent les gaz,
on doit être frappé des défauts et de l'insuffisance des explications.
M. Maxwell et plus tard M. Boltzmann ont bien établi des équations
générales concernant le mouvement des molécules gazeuses, inais
sans faire l’application de ces équations compliquées aux phéno-
mènes simples connus expérimentalement. En outre, ces équations
supposent que les molécules gazeuses n’agissent pas, dans le choc,
comme des sphères parfaitement élastiques, mais qu’il intervient
alors des forces répulsives inversement proportionnelles aux 5èmes
puissances des distances. Cette hypothèse, admise par M. Maxwell
pour expliquer la proportionnalité, empiriquement démontrée,
du coefficient de frottement des gaz et de la température absolue,
parait toutefois inconciliable avec les résultats des expériences
connues de M. Thomson et de M. Joule, lesquelles indiquent
plutôt l'existence d’une force attractive entre les molécules des gaz.
L’excellent ouvrage de Verdet, ,, Théorie mécanique de la chaleur”,
dans la section consacrée à la ,, théorie de la constitution des gaz”,
donne seulement l'explication de la loi de Boyle—Gay-Lussac
et un résumé du Mémoire de M. Clausius sur la conduction de

H. J. RINK. SUR LA PROPAGATION DU SON. 263

la chaleur dans les gaz. Quant aux autres phénomènes que nous
offrent les gaz, on s’en est jusqu'ici très peu occupé, et le plus
souvent on en parle comme si l’ancienne théorie, dans laquelle
la tension des gaz est attribuée à l’existence de forces répulsives
agissant entre les molécules en repos, était encore en pleine
vigueur et à l'abri de toute objection. Dans les traités de physique
les plus recommandables, la nouvelle théorie est mentionnée et
la nécessité de l’adopter rendue évidente, mais ensuite il n’en
est plus tenu le moindre compte. Si cela s'explique jusqu'à un
certain point par la difficulté de présenter de pareils sujets sous
une forme élémentaire, on peut s'étonner à bon droit que mêmes
des écrits très savants, relatifs entre autres à la propagation du
son dans les gaz, continuent à s'appuyer sur l’ancienne théorie
des gaz, si universellement rejetée. On ne voit même guëêre essayer
de montrer que les résultats sont indépendants de l’hypothèse
adoptée et qu'ils se laissent entièrement déduire de lois données
par l’expérience, ainsi que cela est par exemple le cas pour les
développements mathématiques concernant la distribution de l’élec-
tricité sur les conducteurs lesquels développements peuvent être
considérés, en dehors de toute théorie sur la nature de l’élec-
tricité, comme des conséquences de la loi de Colomb, trouvée
expérimentalement !).

À ma connaissance, très peu de tentatives ont été faites dans
cetle direction, et ces tentatives ne me paraissent pas avoir été
couronnées de beaucoup de succès. |

M. Briot, dans sa ,, Théorie mécanique de la chaleur”, p. 182,
s'exprime ainsi: ,ll en résulte que l’ensemble est un état vibratoire
irrégulier, chaque molécule se mouvant en zigzag dans un trés
petit espace. L'état général est le même que si les molécules
étaient immobiles et se repoussaient suivant une certaine fonction
de la distance et de la température . . . .. D’après cela, la nouvelle
théorie des gaz ne détruit pas les anciens travaux sur la propa-
gation du son”.

1) Clausius, Abhandlungen, IL, p. 60.

9264 H. J. RINK. SUR LA PROPAGATION DU SON.

M. Hoorweg !) essaie de donner à l’équation connue du mou-
vement des gaz,

d? 2 2 2
CRE RH + EE).
di? dæ? d'y? d 7?
une signification conforme à la théorie nouvelle, en regardant
/ d dy dy |
les expressions ©, ——, _ non comme les composantes
dæ °dyid?

des vitesses des molécules, mais comme les composantes du chan-
sement que la source vibratoire produit dans la vitesse réelle
des molécules.

Je me propose de montrer, dans ce qui suit, que ni par la
remarque de M. Briot, ni par les considérations de M. Hoorweg,
les conceptions sur la propagation du son n'ont acquis une base
solide, et qu’il existe bien dûment des cas où la nouvelle théorie
conduit à des résultats différents de ceux qu'on a obtenus anté-
rieurement.

La remarque de M. Briot, énoncée sans aucun développement
spécial, ne manquerait peut-être pas de quelque justesse, si le
chemin moyen des molécules était inférieur ou égal à la distance
moyenne des molécules voisines (Nachbarmoleculen), et que le
rayon des sphères d’action fût une fraction notable de la moitié
de cette distance. Alors, du moins, on pourrait admettre, en
sénéral, que quelques molécules, comprises dans un certain volume,
conservent, malgré leurs mouvements, une même position les
unes par rapport aux autres. Mais M. Clausius ?), calcule que,
l désignant le chemin moyen, 2 la distance moyenne des molé-
cules voisines, et , le rayon moyen des sphères d'action, on a:

1°

3
est le rapport du volume total du gaz à celui de l’ensemble

PE

1) Arch. néerl., t. XI, p. 131 et suiv.
.*) Clausius, Abhandlungen, XI, p. 272.

»

H. J. RINK. SUR LA PROPAGATION DU SON. 265

des sphères d'action, et, en supposant par exemple, avec M.
Clausius, ce rapport égal à 1000, on obtient:

== 009 1 — 4100 2.

Les molécules se meuvent donc entre un très grand nombre
d’autres molécules sans les heurter, et, dans un espace qui est
orand comparativement à 4%, les molécules changent continuelle-
ment de place sans exercer d’action les unes sur les autres.

Cette conclusion repose, il est vrai, sur l'hypothèse un peu
3
À — peut être posé — 1000 pour l'air à la pres-

/
3 1LIQ

L2

arbitraire que

sion d’une atmosphère. Pour simplifier, nous nous en tenons ici
aux formules et à l'exemple de M. Clausius, bien que M. van der
Waals :) ait montré que dans la valeur de / le coefficient + de
M. Clausius doit être remplacé par le coefficient 1 2 de M. Max-
well. De même, nous négligeons le raccourcissement que le chemin
éprouve à raison des dimensions des molécules. Ces petites inexac-
titudes sont sans importance pour notre raisonnement.

On voit donc que la remarque de M. Briot, du moins sans
démonstration ultérieure, ne suffit pas à autoriser la conclusion
que la nouvelle théorie des gaz n'apporte aucune modification
aux développements relatifs à la propagation du son.

M. Hoorweg, dans le Mémoire ci-dessus cité, part de l’hypo-
thèse que toutes les molécules gazeuses reçoivent de la source
vibratoire, en addition à la vitesse qu’elles possèdent déjà, une

vitesse nouvelle, dont les composantes de, tu, dg sont des
dun dy Ldz
fonctions du temps et des coordonnées du point que l’on consi-
dère. La vitesse primitivement existante est supposée la même
pour toutes les molécules, et toutes les directions de mouvement
y sont supposées également représentées. Nous lisons, en effet
195): ,Or, le calcul que je viens de rappeler peut aussi être
appliqué au cas dont nous nous occupons ici. De même que la

vitesse des molécules d’air est modifiée par la surface chaude,

1) Arch. néerl., t. AE
ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XII. 117

4

266 - H. J. RINK. SUR LA PROPAGATION DU SON.

elle l’est aussi, dans ma manière de voir, par le diapason vibrant.
Pour trouver l’état de mouvement de l'air en présence d’un corps
vibrant, nous n’avons qu'à donner à toutes les molécules une
même vitesse dans toutes les directions possibles, puis à ajouter
une petite composante, qui est la même pour toutes les molé-
cules de la même couche et qui trouve son origine dans le mou-
vement de la source sonore.”

Mais ce qui est ici admis, relativement à la vitesse imprimée
aux molécules par la source vibrante, est précisément ce qui doit
être expliqué. Il s’agit de savoir quelles sont les particularités du
mécanisme par lequel le mouvement vibratoire de la source est
communiqué aux molécules voisines, et comment ce mouvement
se propage et se transmet à d’autres molécules; or, c’est là un
point dont le Mémoire de M. Hoorweg ne s'occupe pas. En outre,
dp dp dv
dx dy d2
celles de la source vibratoire, et que par suite il est permis de poser

on y admet que-ces vitesses sont les mêmes que

après quoi, on juge remarquable de retrouver les équations fon-
damentales déjà connues, tandis que le résultat devait pourtant
découler immédiatement, sans aucun calcul, de l'hypothèse en
question. |

Les développements très étendus du Mémoire de M. Hoorweg
ne reposent done pas sur la nouvelle théorie des gaz, mais sur
l’anciéenne; la première est appliquée seulement à des points
accessoires, les choses essentielles sont empruntées à la seconde.

Notons aussi le rapport qui existerait, selon M. Hoorweg, entre :
la vitesse de propagation du son et la vitesse des molécules.
Celle-là s'élève, pour l’ar à 0°, à 332 m., celle-ci à 485 m.
M. Hoorweg croit qu’il serait naturel que ces deux vitesses fussent
égales :

»D’ailleurs, si le mouvement des molécules d’air est la cause

H. j. RINK. SUR LÀ PROPAGATION DU SON. 267

de la propagation du son, la vitesse doit être égale à celle des
molécules qui se meuvent” 1). | |

Il faut donc chercher une explication de cette inégalité, et
elle est trouvée dans le retard que la propagation éprouve par
suite du temps nécessaire pour le choc des molécules.

Mas on ne nous dit pas pourquoi l’on devrait s'attendre à
l'égalité des deux vitesses, et pourtant un éclaircissement à ce
sujet n'aurait pas été superflu; si l’on remarque, en effet, que
les molécules se meuvent également dans toutes les directions,
et que par conséquent une particularité du mouvement de cer-
taines molécules se propage tantôt dans une direction, tantôt
dans une autre, tandis que la propagation du son implique
lextension dans une direction déterminée, on devrait s'attendre,
à priori, à trouver la vitesse de propagation du son notablement
moindre que la vitesse de translation des molécules.

Une autre conséquence singulière peut encore être déduite de
la manière de voir de M. Hoorweg. Si, pour trouver le temps
dans lequel le son se propage à la distance de 485 m., il faut
ajouter à 1 seconde le temps nécessaire pour les chocs des mo-
lécules qui opèrent la propagation, la vitesse du son dépendra
du nombre de ces chocs; or ce nombre étant proportionnel à
la densité, la vitesse diminuera quand la densité augmente, de
sorte que, par exemple, dans l'air ayant le double de sa densité
- ordinaire, la vitesse serait réduite à environ 240 m.

Nous allons maintenant traiter une question qui a rapport à la
propagation du son, et dans laquelle on peut comparer les résul-
tats obtenus soit en partant de la nouvelle théorie des gaz, soit
en appliquant l’ancienne; cette question est celle de l'intensité du
son. A. M. Grinwis revient l'honneur d’avoir plus spécialement
fixé l’attention sur ce point important pour la propagation du
son. Dans plusieurs Mémoires ?), il a examiné comment l’in-
tensité du son pouvait être représentée pour des modes divers

DR C, D, 135.

2) Wérslagen en Mededeclingen der Kon. Akad. ». Wet., t. VII et VIIL —
Arch. néerl., t. X.

17

268 H. J. RINK. SUR LA PROPAGATION DU SON.

de propagation, et à cet effet 1l a pris pour mesure de l'intensité ,
en un point donné, la valeur moyenne de l’énergie produite en
ce point par le mouvement sonore dans la durée d’une vibra-
tion. Cette énergie se compose de deux parties, l’énergie poten-
tielle, sous la forme d'air comprimé ou raréfié, et l'énergie
actuelle, sous la forme de vibrations des molécules d'air. Parmi
tous les résultats remarquables fournis par cette étude, le plus
important pour nous est celui d’après lequel l'énergie, bien que
variable dans les quarts successifs de l’onde, est la même pour
les deux moitiés de l’onde. C’est ainsi, par exemple, que dans
le cas de la propagation dans un cylindre indéfini, lorsque g =
A cos k(æ — at) est le potentiel du mouvement de l’air (Q étant
la section du cylindre), on trouve pour

l'énergie dans le 1 quart d'onde us A? e — sin krnt)

» DD UE » » ue A? (5 + sin x nt)

TT © TT À ,
» » »" 3e » » ee A? = — sin x nt)

T © TT .
» » » 4e » » 7% 0 A? (5 + sin ann)
À

Pour les deux moitiés de l'onde, le temps disparaît donc de
la valeur de l'énergie, et l'énergie dans une demi-onde dilatée
ou condensée est représentée par:

n°? Q ar
À

Nous nous placerons dans les mêmes conditions que M. Grinwis,
en supposant que l’on ait un cylindre droit de section quelconque
et de longueur illimitée. En un certain point du cylindre se trouve
une plaque perpendiculaire à l’axe, de même grandeur que la
section S du cylindre, et exécutant des vibrations qui mettent
des deux côtés l’air en mouvement. Cherchons quelle est, dans
ces conditions, l'énergie communiquée à la masse d’air située à
l’un des côtés de la plaque.

H. J. RINK. SUR LA PROPAGATION DU SON. 269

Supposons d’abord que la plaque se meuve vers la masse
d'a dans laquelle nous voulons étudier la communication de
l'énergie.

La plaque étant animée à un certain moment de la vitesse vw,
soit w la vitesse d’une molécule d’air déterminée. Nous admettons
que la vitesse v est petite par rapport à w, mais assez grande
pour que /, la longueur moyenne du chemin parcouru par les
molécules, soit petite relativement à v.dt, dt étant le temps
durant .lequel nous étudions le mouvement.

Considérons, en premier lieu, les molécules dont la vitesse
est comprise entre w et uw + du.
mu*

La force vive d’une de ces molécules est . Si la direction

dans laquelle se meut cette molécule fait un angle 180°— 6 avec
celle dans laquelle la plaque s’avance avec la vitesse v, la force
vive de la molécule sera augmentée, lors du choc de cette molé-

7

cule contre la plaque, de la quantité d — 5 4 V2. + Au v cos à).

En effet, la composante normale de la vitesse, wcosô avani le
choc, est wcoso + 2v après le choc, de sorte que le carré de
la vitesse devient alors (u sin 0)? + (ucosô + 2v)?.

Pour abréger, nous dirons dans la suite qu’une molécule, qui
se meut dans la direction que nous venons d'indiquer, a une
direction de mouvement 6.

Si maintenant 1l existe dans l’unité d’espace n molécules ayant
une vilesse entre w et uw + du, il s’en trouvera parmi elles

1 Aie
5 sin 0 d0, qui auront une direction de mouvement comprise entre

ôeto + do. Combien y.aura-t-il de ces molécules qui choqueront
la plaque dans le temps d{?

Pour repondre à cette question, nous déterminerons d’abord
le nombre des chocs qui auraient lieu dans le temps dt si la
plaque était en repos, puis nous chercherons comment ce nombre
est modifié par le mouvement de la plaque. En supposant pour
un instant supprimées toutes les molécules dont la direction de

970 H. J. RINK. SUR LA PROPAGATION DU SON.

mouvement n’est pas comprise entre 0 et 8 + do, et en faisant
par conséquent absiraction des chocs que les molécules peuvent subir
entre elles, il est clair que les seules molécules qui pourront atteindre
la plaque dans le temps dt sont celles dont la distance à cette
plaque, à l’origine de ce temps, était moindre que « cos 8. d6.
Le nombre des molécules choquantes serait représenté dans ce cas

Par 9 —=S.u. cos 0-dt. : sin 0. d 6.

Ce nombre de chocs, correspondant à l'hypothèse simple que
nous venons de faire, sera-t-il modifié si les autres molécules
interviennent et que par suite il y ait aussi des chocs entre les
molécules elles-mêmes ?

Tandis que, dans notre hypothèse SES toutes les molécules
qui se trouvent dans l’espace $. w. cos 6 dt viennent successive-
ment choquer la plaque, cela n'aura plus lieu dans le cas actuel ;
en effet, si cela avait lieu, la plupart des molécules auraient à
parcourir un chemin très grand comparativement au trajet moyen
l. Un petit nombre seulement des molécules qui occupent cet
espace viendront donc heurter la plaque, mais, par contre, elles
le feront à différentes reprises, à savon lorsque, ayant choqué
d’autres molécules, elles seront repoussées vers la plaque. Or, il
n’est pas difficile de voir que, en vertu du concours de ces deux
circonstances, le nombre des chocs restera le même que dans
l'hypothèse simple. Une molécule à direction de mouvement 8,
qui n’atteimt pas la plaque parce qu'elle se heurte à d’autres
molécules, perd, il est vrai, cette direction de mouvement; mais
cette direction doit alors être donnée à une autre molécule, vu
que le nombre des molécules ayant une direction de mouvement
déterminée ne change pas par leurs chocs mutuels. Autant il \

a, dans le nombre total g =S. u. cos 0. dt. Zi 0.40, de molé-

cules qui perdent leur direction de mouvement par suite des
chocs mutuels, autant il y en a d’autrés qui, précisément par
cette cause, acquièrent cette même direction de mouvement, et
le seul effet des chocs mutuels consiste donc en ceci, que les

H. J. RINK. SUR LA PROPAGATION DU SON. DT

chocs contre la plaque sont exécutés par d’autres molécules que
dans le cas simple supposé d’abord.

Pour la plaque en repos, le nombre total des chocs, exécutés
par les molécules qui ont une vitesse w, serait donc:

2

Œ— SEuadt] sin 0 cos8 d0 = 1 Sn udt.
0

| À

Mais si la plaque se meut avec la vitesse v, le résultat que
nous venons d'obtenir doit être modifié en conséquence; la
vitesse avec laquelle les molécules approchent de la plaque est
alors v + ucosa, au lieu de wcos8, de sorte que le nombre
des chocs de ces molécules contre la plaque en mouvement
devient: |

d—=S (0 + u cos 0) di sin 0 d0.

A chaque choc sous l'angle 6, l'accroissement de force vive
pour une molécule est 2m (v? + uw v cost), et la quantité totale
d'énergie communiquée par la plaque aux molécules qui se
meuvent avec la vitesse w s'élève à:

TT

- ;
i=ums cat | (u+u cos 0)? sin 0 do = um Sudt({u?+uv+v?).
| À :

Peut-être, au lieu d'intégrer entre les limites O0 et 5, aurait

on pu prendre pour la seconde limite arc cos — = Ou arc COS x
mais cela n'aurait eu qu’une faible influence sur le dernier terme.

Jusqu'ici nous avons uniquement considéré les molécules qui
se meuvent avec une vitesse w, tandis que la masse gazeuse
renferme des molécules animées de toutes sortes de vitesses dif-
férentes. Pour trouver l'énergie communiquée à la masse entière
du gaz, nous devons donc étendre l'expression à à ces différentes

AT H. J. RINK. SUR LA PROPAGATION DU SON.

vitesses. Nous avons désigné par n le nombre des molécules,
dans l'unité de volume, dont la vitesse est comprise entre w et
u+du. D'après M. Maxwell, on a alors: l

4 u?
= à RE ——
a e u: du,

N représentant le nombre total des molécules qui se trouvent
dans l’unité de volume.
Nous avons donc:

u?

| 4
—"N;; Br" va fe € (13 U? + uv?)

am Set + de pans).
? Lx

ou, en introduisant au lieu de « la valeur moyenne du carré
des vitesses 8?, et observant qu'on a «? = £ 82:

2 LT 2
A=Nm Svudt er -- 239. so+u).
700

Nous pouvons regarder » comme fonction de é, afin de repré-
senter ainsi le mouvement vibratoire de la plaque. Soit donc

< : et PT
nous aurons alors, après avoir introduit cette valeur de » dans
A, à intégrer entre les limites 0 et - pour obtenir l'expression

de l’énergie communiquée à l'air par le mouvement de Ja plaque
dans l’une des deux directions. On trouve ainsi:

TT

5 à

D —NmS)1 ofnaV à a | BCE f sin k+0: sin ht. di!

— PTE case 10).

H. J. RINK. SUR LA PROPAGATION DU SON. DTA

ou, en remarquant que, lorsque T représente la durée de vi-

bration, on a k — T et que Nm est la densité 9:

SEM

97

Pour avoir l'énergie communiquée à l’air dans le mouvement
rétrograde de la plaque, il faut prendre v négativement, ou inté-
sal TT 9x :
orer entre les limites el On obtient alors:

SP

DE 0
Ar

(—3#c+V Tec 3c).

Comme on peut toujours attribuer à C une valeur petite
comparativement à celle de w, le premier terme de l'expression
de D à une importance prépondérante, ce qui prouve que dans
le mouvement rétrograde de la plaque celle-ci ne communique
pas d'énergie à l'air, qui en cède au contraire à la plaque.
Dans la dure entière d’une vibration, la quantité d'énergie reçue
par l'air est toutefois plus grande que celle qu’il cède, et l’on a:

UV tes Tec.

Comparons maintenant ces résultats avec ceux de M. Grinwis.
Il ne faudra pas perdre de vue, dans cetie comparaison, que
M. Grinwis calcule l'énergie existant dans les parties de l’onde
aérienne supposée toute formée, tandis que nous avons cherché
: l'énergie communiquée à l'air par la plaque, sans nous préoccuper
de la question de savoir comment cette énergie se divise et se
distribue ultérieurement dans la masse d’air. Au point de vue
de la nouvelle théorie des gaz, ce sont là deux questions tout
à fait distinctes. Nous ne pouvons done pas appliquer notre
calcul au cas traité par M. Grinwis. Mais la réciproque est
permise: d’après l’ancienne théorie, en effet, l'énergie qui existe
en un point situé à la distance æ de la source sonore (la

974 H.. J. RINK. SUR LA PROPAGATION DU SON. -

propagation ayant lieu dans un tube cylindrique) a été cédée
par cette source à un moment depuis lequel s’est écoulé le

temps 7. Le calcul de M. Grinwis s'applique donc aussi, dans
à |

cette théorie, au cas considéré par nous, de sorte que les
résultats obtenus de part et d’autre sont susceptibles d’être com-
parés. Sous le rapport de la quantité d'énergie communiquée
à l’air pendant les deux moitiés de la vibration, il y a entre
ces résultats une grande différence. Selon M. Grinwis, ces
quantités sont égales; d’après nous, l’une d'elles a une valeur
positive, l’autre une valeur négative. En ce qui concerne la
valeur de l'énergie cédée durant une vibration, l'accord est plus
satisfaisant. M. Grinwis trouve:

Uu= 740 y
. À
la grandeur À est déterminée par le potentiel
y = À cos k (x — at) .
d’où résulte À kÆ pour la valeur maximum de la vitesse, laquelle
valeur correspond à G. La quantité k est d’ailleurs égale à
de sorte qu'on a:
U=ty01:02=7a 0e

valeur qui ne diffère de la nôtre que par le facteur &, qui y

re
remplace le facteur 2 V 3 8. En remarquant en outre que, si
y représente la vitesse moyenne des molécules, on a ;
9 &

/ Lx’

Ü

Ë / / ?
et qu'on à aussi 8— « \ g+ on voit que notre facteur V 3. 8

est 1

ai I ne s’agit donc ici que d’une substitution entre les
e = «

H. J. RINK. SUR LA PROPAGATION DU SON. 975

orandeurs & (vitesse de propagation du son) et 7 (vitesse moyenne
des molécules du gaz).

La différence des résultats revient donc essentiellement à ceci,
| ST£2 C

dr
manque chez M. Grinwis. Or cette différence est considérable,
car ce premier terme est de beaucoup le plus grand, à raison
de ce que G a été supposé petit comparativement à w. La
sisnification de ce premier terme ne se dévoilera, toutefois, que
lorsque nous aurons examiné ce qui advient des molécules
choquées par la plaque. |

Pour cela, il nous faut chercher sur combien de molécules se
distribue l'énergie |

que le premier terme de D et de D', à savor + 6

A=NmSudt ( ; 4: 2 Lot):

ou combien de molécules éprouvent l’action de la plaque. Il n’est
pas difficile de voir que les seules molécules qui se trouveront
dans. ce cas sont celles qui existaient primitivement dans l’espace
parcouru par la plaque, ou du moins que leur nombre ne dif-
férera que très peu de celui de ces dernières. Car, s’il y avait
une différence notable, le surplus des molécules choquées devraient,
pour arriver en contact avec la plaque, parcourir un trajet qui
serait grand par rapport au trajet moyen, attendu que le chemin
parcouru par la plaque, vdt, est aussi supposé grand compa-
rativement à ce trajet moyen. En outre, si des molécules du
dehors pénètrent dans l’espace Sudt, il y en aura d’autres qui
sortiront de cet espace. Le nombre des molécules choquées est
donc N.S.vwdt, et laccroissement moyen de la force vive de
chacune de ces molécules est:

d=m(zs? +yv+ uv?)

Mais la valeur que nous venons de trouver pour l'accroissement
de l’énergie des molécules de. l'air ne sert pas entièrement à
augmenter la vitesse du mouvement progressif de ces molécules;

276 IH J. RINK. SUR LA PROPAGATION DU SON. ,

une partie en est employée, par suite des chocs entre les molé-
cules elles-mêmes, à augmenter la vitesse des éléments de la
molécule, et le rapport constant entre la force vive totale et celle
du mouvement progressif subsiste toujours. La quantité d'énergie
qui est appliquée à augmenter ce dernier mouvement est donc:

den rte Sudt(4&B8? +ÿv+u),

VS

| mu?
Pour chaque molécule, la valeur moyenne on change par

conséquent en celle-ci:

2 Lee es ES
js ne C LT

2

mis +rv+v?) = mUg ps m(y v+v?).
AMTE

Jusqu'ici nous n'avons pas fait usage de la simplification qui
aurait lieu si l’on négligeait l'influence du 2e et du 3° terme,
c’est-à-dire si lon agissait comme on le fait toujours en traitant
de la propagation du son. Nous avons expressément renoncé à
cette simplification afin de pouvoir comparer nos résultats avec
ceux de M. Grinwis, dans la formule duquel, pour lénergie
d'une onde, la vitesse de la source vibratoire n'entre qu’à la
seconde puissance. 4

Une autre simplification a été introduite tacitement: nous avons
admis que l’espace dans lequel les molécules d’air peuvent se
mouvoir est égal au volume occupé par elles; c’est-à-dire que
nous n'avons pas tenu compte du volume des sphères d'action
des molécules. Nos expressions devraient en conséquence être

multiphiées par la fraction 1) (9 étant le rayon de la

NES ion
sphère d'action); mais nous croyons pouvoir supprimer 101 ce facteur.
Si l’on néglige les 2e et 5e termes de nos formules, elles
deviennent:

——

1) M. van der Waals a montré qu'on doit déduire, du volume de la masse
gazeuse, le demi-volume des sphères d'action, et non, comme le fait M. Clausius,
le volume entier.

H. J. RINK. SUR LA PROPAGATION DU SON. 271

>

(énergie communiquée totale): * A—1INm Svdt.e8? 1)
(énergie communiquée du no us
mouvement progressif) : ER Ne Su di 829)
C
(énergie du mouvement progressif co
de chaque molécule après le choc): T=— =, QT 3)
|

Nous pouvons nous servir de ces formules pour en déduire les
lois de Boyle et de Poisson.

Si P est la pression qui, sur l'unité de surface de la plaque,
fait équilibre à l’action des molécules sur cette plaque, P.S. vdt
est une forme différente pour l'énergie communiquée, de sorte
qu'on a, d’après l’éq. (1):

SE vd I NmS val
PS Nur ee
Représentons-nous un cylindre limité, dans lequel se trou-
vent NV molécules et dont V soit le volume; en introduisant
N
==", on obtient :
V
PN=1NmSs:.
cesi-à-dire l'expression connue de la loi de Boyle.

La formule (2) fait connaître l'élévation de température qu’une
masse gazeuse éprouve par suite d’une compression, el elle peut
par conséquent conduire à la formule de Poisson. A cet effet,
prenons de nouveau une capacité fermée, pour laquelle on ait

ME : -
= Soit T la température absolue, T est alors proportionnel
à 1mg?. L’accroissement de la force vive du mouvement pro-
gressif, limité d’abord à un petit espace, occasionne une élévation
umforme de température dans le volume V, et l’accroissement
de l'énergie du mouvement progressif est pour chaque molécule:

ec nouer.
oem us
on a donc:
Es, Cp 2V

AOITS H. J. RINK. SUR LA PROPAGATION DU SON.

attendu que Svdt— dN représente la diminution qu'éprouve le
volume. En intégrant, on obtient:

T; — he == EE Ÿ,
T; No P2 Vo
et Pi — D
Po N, 7°
l'expression connue du rapport entre le volume et la pression
dans les changements suivant la ligne adiabatique.

Considérons maintenant la propagation du son.
La formule (5)

LANCE
6 TDR
qui donne l'énergie moyenne du mouvement progressif de chacune
des molécules choquées par la plaque, semble pouvoir conduire
à l’expression de la vitesse du son. On serait tenté de décomposer
la vitesse de chaque molécule suivant trois directions perpéndi-
culaires entre elles, et, admettant que toutes les directions de
mouvement sont représentées au même degré parmi les molécules .
de supposer égales les valeurs moyennes des carrés des compo-
santes selon les trois axes; on trouverait ainsi.
CG: 2
cn |
Ce serait donc là la valeur moyenne du carré de la vitesse de
progression de ces molécules dans une direction quelconque, et
en la regardant comme le carré de la vitesse de propagation du
son, on obtiendrait : |

expression équivalente à la formule de Laplace, : 2.
C

Mais ce mode de déduction soulève des objections sérieuses.
On y suppose, en effet, que les molécules qui propagent le son

H. J. RINK. SUR LA PROPAGATION DU SON. 279

ont toujours une vitesse dont le carré a une valeur moyenne

= ; . . et, pour qu'il en fût ainsi, 1l faudrait que les molécules
qui possèdent cette vitesse plus grande, en choquant des molécules
à vitesse ordinaire, perdissent entièrement leur excès de vitesse
et le cédassent aux molécules choquées; or cela ne peut jamais .
arriver. Il n’y aurait aussi, dans ce cas, qu’un très petit nombre
de molécules gazeuses qui prendraient part, au même instant, à
la propagation du son, el on comprendrait difficilement comment
dans la moitié condensée de l'onde la vitesse de propagation
pourrait être la même que dans la moitié dilatée, dont les molé-
cules ont une vitesse de progression au-dessous de la vitesse
normale. Enfin il faudrait expliquer pourquoi il est ici toujours
question de la valeur moyenne du carré des vitesses, et non de
la valeur moyenne simple. De cette valeur, on ne saurait par
conséquent déduire l'expression de la vitesse du son.

Demandons-nous donc comment la quantité d'énergie, commu-
niquée à certaines molécules, est transmise aux autres.

Nous devons nous représenter une couche d’air contenant plus
de molécules que dans l’état normal, et ces molécules animées
d'une vitesse moyenne plus grande; qu'arrive-t-1l alors quand les
molécules de cette couche viennent choquer des molécules nor-
males ? |

M. van der Waals !) a cherché quel est, dans un mélange de
deux gaz à densités et à vitesses moyennes différentes, le change-
ment moyen de force vive produit par le choc d’une molécule d’une
espèce contre une molécule de l’autre espèce. Bien que cette question
alt été résolue par M. van der Waals d’une manière très rigoureuse ?),
on ne saurait méconnaître que sa solution exige des calculs et des
intégralions assez compliqués, et que le résultat pourrait être
obtenu d’une manière plus simple. |

1) Versl. en Mededeel., t. X: Arch. néerl., 1. XII.
2) Une erreur de calcul s’est glissée dans le résultat: le facteur 27 doit y
être supprimé.

280 H. J. RINK. SUR LA PROPAGATION DU SON.

Si m et m, sont les masses des molécules choquantes, et #
et w les angles que les vitesses w et v font avec la droite joi-
gnant les centres des molécules au moment du choc (pris dans
un sens déterminé), on a, d’après des formules connues, pour
le carré de Ja vilesse de la masse m après le choc:

u'?=u— To ue 2cos?g—m ,v?cos?y—(m—m , )uv cosp.cosy ).
(m+m,),

Il s’agit de trouver la valeur moyenne de cette expression u'?.

Toutes les valeurs de y et de y ne peuvent pas se présenter
lors du choc, mais il est facile de voir que si aucun choc n’a
lieu pour certaines valeurs de + et de w, le choc sera possible
sous les angles 180° — y et 180° — y, et, réciproquement, que
si le choc arrive avec les angles % et w, il ne pourra pas se
produire avec les angles 180° — œ et 180° — y. Or, l’expres-
sion de w'’? ne changeant pas lorsque + et w y sont remplacés par
180° — œ et 180° — y, il est clair que la valeur moyenne sera
la même que si des chocs avaient lieu pour toutes les valeurs
de œ et de y: la valeur moyenne d’une série de grandeurs n’est
pas altérée, en effet, lorsque chacune d’elles pu est prise qu'une
seule fois, au lieu de deux.

La probabilité d’un choc ayant lieu sous les angles æ et y est
1 sin p. sin y. dy. dy, de sorte que, en indiquant les valeurs

4

moyennes par un trait placé au-dessus des grandeurs, on a:

mu? mu EU 2 2
or no — = m1) | [eme COS? p — M, V0? COS e

—_(m—m,)uv NA ÿ d'y d)

el

m2 1 9 ps

mu mu mm , — =

A TPE

9 2 3 (m+m!}?

Dans le cas de la propagation du son, on peut simplifier en
posant m—Mm,; il en résulte:”

H. J. RINK. SUR LA PROPAGATION DU SON. 281

2 = Lei

2
mu? mu! (mu? mv
ne 3
2 2 2 2

mu! mu ? mv ea +15 p2 mu” 42

et

Cette équation nous apprend (v°, par exemple, étant supposé

plus grand que uw) que, si des molécules ordinaires sont cho-
quées par des molécules dont la force vive moyenne est plus grande,
en moyenne + de l'excès d'énergie est cédé aux molécules qui
se trouvent dans l’état normal. Le reste est retenu par les molé-
cules qui possédaient primitivement cet excès.

Dans l'hypothèse seulement où tous les chocs seraient centraux,
l'excès d'énergie des molécules d’un des systèmes pourrait passer
en entier aux molécules choquées.

Le cas dont nous avons à nous occuper est analogue à celui
qui vient d’être considéré: les molécules qui arrivent de la plaque
ont en moyenne une énergie plus grande que celle des molécules
qu'elles choquent. Il est vrai que les deux espèces de molécules,
au lieu d’être mêlées ensemble, comme on le supposait tout à
l'heure, arrivent toujours les unes d’un côté, les autres du côté
opposé; mais, pour la question de la valeur moyenne de lex-
pression |

ul =? sin? y + V? cos? y,

cette différence est sans influence, de sorte que nous avons encore:

ui —=2u + Lu? = u? + 4(0? —u?),.

Le supplément d'énergie communiqué par le mouvement de la
plaque à certaines molécules n’est donc pas retenu tout entier
par elles après leur choc contre des molécules normales, et ne
passe pas non plus intégralement à ces dernières; il se fait un
partage de ce surplus d'énergie entre les deux sortes de molé-
cules. Par là, il se forme une nouvelle couche de molécules,

ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XII. 18

289 _ H. J. RINK. SUR LA PROPAGATION DU SON.

qui possèdent plus d'énergie que les suivantes, et tandis qu’un
second partage s’opére au profit de ces dernières, la couche,
qui maintenant cède de l'énergie, en reçoit une nouvelle quantité
de la couche précédente. De cette maniére, si les molécules
atteintes par la plaque ont primitivement une composante com-
mune dans une direction déterminée, la valeur de cette compo-
sante décroitra continuellement, puisque la quantité constante de
mouvement, dans la direction de cette composante, se répartit
sur un nombre de molécules de plus en plus grand.

Tout en nous jugeant hors d'état d'analyser en détail le
mouvement des molécules attemtes par la plaque, nous croyons
pourtant avoir établi, dans cè qui précède, que l'énergie com-
muniquée par la source vibratoire se diffuse, grâce aux chocs
mutuels des molécules, dans leur masse tout entière. Mais cela
est incompatible avec l'existence d'ondes d’une forme permanente,
telles qu'on se les représente dans la propagation du son. La
production de pareilles ondes exigerait que l’excédant d’énergie, qui
existe dans une couche, püt être transmis en entier, lors du
choc, à une couche suivante; c’est sur cette hypothèse que repose
l'équation aux dérivées partielles universellement admise pour
la propagation du son. D’après les considérations développées
ci-dessus, cette tranmission d'énergie se ferait, au contraire, d’une
manière analogue à la propagation de la chaleur dans les corps
solides et à la diffusion des gaz; l'équation aux dérivées partielles,
employée pour ces phénomènes, devrait donc servir aussi de base
à la théorie de la propagation du son. Si l’on voulait alors
introduire le mouvement périodique de la source vibratoire, le
cas deviendrait analogue à celui de la distribution de la chaleur
dans la terre, cas où la température de la terre est regardée
comme une fonction périodique du temps. 3

Mais nous n'irons par plus loin dans cette voie, parce que
les résultats auxquels nous parviendrions seraient en opposition
avec tout ce qu'on sait de la propagation du son.

Cest, à notre avis, une grave objection à la nouvelle théorie
des gaz, quelle n'ait pas su donner jusqu'ici une expli-

H. J. RINK. SUR LA PROPAGATION DU SON. 983

cation de la propagation du son, et nous regrettons que les
hommes éminents, qui se sont occupés de cette théorie, n'aient
pas appliqué leurs eflorts à cette question. S'il était prouvé en
effet que l'hypothèse, d’après laquelle les molécules gazeuses
n’agissent les unes sur les autres qu’en se choquant comme des
corps parfaitement élastiques, est impuissante à rendre compte
de la propagation du son, il y aurait là sans doute une raison
suffisante pour renoncer à celte hypothèse, quel que soit d’ailleurs

le poids des considérations qui plaident en sa faveur.

Delft, décembre 1876.

Note additionnelle. Ce qui précède était déjà écrit, lorsqu'un
extrait du Mémoire ci-dessus cité de M. Hoorweg a paru dans
le no %-des Beiblätter von Pogg. Ann. À cette occasion,
Vauteur a apporté une modification à ses vues premières sur
la relation entre la vitesse du mouvemont progressif des mo-
lécules de lair et la vitesse de propagation du son, modifi-
cation qui lui a été suggérée par une remarque de M. van der
Waals. Au sujet de ces considérations nouvelles, je me conten-
terai de faire l’observation suivante.

Le potentiel du mouvement de l'air auquel donne lieu la vibra-
tion, suivant les lois du pendule simple, d’une petite sphère de
rayon %, est représenté par

A 005 k Qt) + Boin k (7)
5e D ARS ee
P — F . ;

l’auteur obtient ensuite pour le rapport des deux vitesses:

TONI EE ONT. |
et, en faisant r —,, il trouve pour la vitesse de la petite sphère
vibrante : |

18*

284 _H. J. RINK. SUR LA PROPAGATION DU SON.

v'—= A" cos kt + B' sin kt |
ren ke 1 a Rance Ye:
AE A (ae) =

Arrivé là, il fait cette remarque singulière :

Dans le cas de B' — A’ seulement, on obüent le mouvement
que la source sonore doit avoir conformément à l'hypothèse en
question” (celle du pendule simple).

Mais, pourrons-nous demander, l'expression

v' = AÀ'(cos kt + sin kt)
représente-t-elle donc la vitesse d’un pendule simple, de sorte
que la vitesse serait la même pour {= 0 et pour = +T?

Si au contraire, ce qui semble mieux justifié, on pose A' ou B'—0
pour représenter le mouvement du pendule simple, on trouve

pour ©, non pas la valeur 1,504 que donne M. Hoorweg, mais
v

les valeurs absurdes. — 4 ou — 9.

DELrFr, mai 1877.

. CONTRIBUTION

‘à

L'HISTOIRE NATURELLE DES SALAMANDRES
AQUATIQUES

PAR

A. W. M. VAN HASSELT.

Depuis environ cent ans déjà, de nombreux naturalistes, suivant
la voie ouverte par Spallanzani, ont pris les Salamandrides et
autres Reptiles pour sujet d'observation et d'étude, à tel point
même que ce champ de recherches pouvait sembler entièrement
épuisé.

Trés récemment, toutefois, la littérature de cette partie de la
zoologie s’est de nouveau enrichie d’un mémoire plein d'intérêt,
dù à M. Friedrich K. Knauer (Beobachtungen an Reptiliën und
Amphibièn in der Gefangenschaft, Wien, 1875), et moi-même
Jai eu depuis plusieurs années l’occasion d’observer de temps en
temps le mode de vie extraordinaire d’une espèce de ces animaux,
et de constater ainsi quelques faits qui ne me paraissent pas
entièrement dépourvus de valeur pour la solution de la question
souvent controversée de la durée de vie des amphibies.

Une de mes parentes, aux bons soins de laquelle l'individu
dont je vais parler est resté confié durant sa longue captivité,
a bien voulu me faire à ce sujet une communication écrite, dont
je commence par donner la traduction.

Au mois d'Octobre 1859, mon beau-fils, qui se rendait aux
Indes orientales, me priä de me charger de l'entretien d’un petit

286 A. W. M. VAN HASSELT. CONTRIBUTION à L'HISTOIRE

lézard”, qu'au mois de Mai précédent, en se promenant aux
environs de Delft, il avait trouvé blotti dans la coque d’un
marron d'Inde, et que depuis lors il avait élevé. Pour de-
meure il lui avait donné un bocal à poissons ordinaire, rempli
à moitié de terre et.de sable, et où il le nourrissait de lombrics.
Je l'ai toujours laissé dans ce vase, en ayant seulement soin de
renouveler parfois la terre, sur laquelle j'avais posé une pelite
motte de gazon, qu’en été J'arrosais de temps en temps de quelques
gouttes d’eau, pour tenir l’herbe fraiche. Dans ces occasions, ou
lorsque je retirais le lézard de son bocal — manœuvre à laquelle
il se prêta bientôt docilement — pour le mettre un instant sur
la table ou à terre dans le jardin, lui, qui dans sa cellule avait
les mouvements tranquilles et lents, s’esquivait d'ordinaire avec
beaucoup d’agilité, de sorte que j'avais fort à faire pour le rat-
traper. Une seule fois il parvint à s'échapper de sa prison, mais
fut retrouvé, après de longues recherches, dans le foyer d’une
cheminée hors d'usage. Pour nourriture je lui donnais exclusive-.
ment, tant que je pouvais me les procurer et en les cherchant
même l'hiver dans les pots de fleurs ou les serres, de jeunes
lombrics. Ceux-ci toutefois, pour être acceptés, devaient être
parfaitement vivants. En hiver il restait souvent plusieurs semai-
nes, — six au plus, — sans rien manger, car J'avais alors beau
lui présenter, à défaut de vers, des insectes ou de petits morceaux
de viande, jamais il ne voulait y toucher. Il se retirait alors aussi
plus ou moins longtemps en terre, surtout lorsqu'il gelait for-
tement, et une fois même, dans un hiver très froid, il resta ainsi
caché pendant au moins un mois et demi; en temps ordinaire,
par contre, même à la fin de l’automne ou au premier printemps,
il sortait presque toujours de la terre ou de l'herbe lorsque je
remuais le sol avec une aiguille à tricoter, ou lorsque je secouais
le vase ou le plaçais près de la lumière de la lampe. Jamais je
ne l’ai vu boire au moment où J'arrosais l'herbe, et, bien que je
l'aie souvent vu étendre et mouvoir la langue, je n'ai pu constater
qu'il produisit quelque son. Je suis portée à croire qu'il w’en-
tendait quand je lui adressais la parole, car il tournait.alors la

NATURELLE DES SALAMANDRES AQUATIQUES. 287

tête et semblait me regarder. Aucun signe de croissance ne se
_manifesta chez lui; sa taille resta absolument telle qu’elle était
lorsque je le reçus. Je n’ai pu apercevoir non plus le moindre
changement de forme ou de couleur. Aux approches de la mue
seulement 1l paraissait plus foncé, mais, aussitôt après, la couleur
brun-verdâtre du dos et le jaune du ventre étaient beaucoup plus
clairs. Le changement de peau se faisait régulièrement une couple
de fois par an, jamais plus souvent. Une seule fois j'ai pu le bien
observer; l’animal avait enroulé la peau de la tête sur le cou en
un petit anneau noir-brunâtre, puis, comme quelqu'un qui retire
avec peine les bras des manches de son habit, il fit sortir les
deux pattes de devant, après quoi la peau continua à s’enrouler
lentement vers l'arrière, et les pattes postérieures en furent extraites
lune après l’autre. Comment la peau glissa sur la queue, et ce
que devint cette dépouille, que j'aurais voulu conserver, c’est ce
que j'ignore. Lorsque, appelée hors de la chambre, je rentrai au
. bout de quelques minutes, la mue était entièrement terminée,
mais la petite robe ne put être retrouvée nulle part. En tout,
l'opération avait duré deux bonnes heures. Au printemps de 1875
a mue recommença, mais ne voulut pas s'achever. Elle marchait
aussi irréguliérement, se faisant tantôt ici, tantôt là. Partout des
débris de peau, noirs et desséchés, restaient adhérents au corps,
au cou, aux pattes et surtout à l'arrière de la queue, dont un
petit bout tomba même avec un de ces anneaux de peau.
L'animal, en outre, ne voulait ou ne pouvait plus prendre de
nourriture: lorsque je lui présentais un petit ver, il happait
toujours à côté, ou bien ne parvenait pas à l’avaler. Get état
dura jusqu’au mois d'Octobre de la même année, et l'animal
maigrit de plus en plus; alors, de crainte que dans la saison
froide il ne se cachàt profondément en terre, selon son habitude,
et ne s’y détruisit complétement, je me décidai à le noyer dans
Peau-de-vie, afin de pouvoir le conserver pour mon beau-fils.”

Peu de temps après je reçus le ,petit lézard” en question,
pour le ,monter”” et le déterminer. Je reconnus seulement alors, —
car antérieurement je Javais bien vu plusieurs fois, passim à

988 A. W. M. VAN HASSELT. CONTRIBUTION à L'HISTOIRE

demi caché dans la terre ou dans l'herbe, mais jamais je ne
l’avais tenu entre les mains, — que ce n’était pas un lézard !).
Il n’appartenait même pas aux Lacertinae, qui vivent sur la terre,
mais à la famille des Salamandrida, et, qui plus est, non aux
Salamandres terrestres, mais aux Salamandres aquatiques !

C'est en effet un petit individu, à couleurs mal caractérisées,
mais du reste suffisamment reconnaissable, d’une espèce très
commune chez nous, le Triton vulgaris Linn., cinereus Merrem,
taeniatus Schneider, ou punctalus Latreaille, détermination qui
a été confirmée par M. Snellen van Vollenhoven et par M. Horst.

Il reste seulement quelque doute quant au sexe, qui chez ces
animaux, surtout à cette période de la vie, ne se laisse constater
que difficilement, ou pas du tout, à la simple inspection extérieure,
sans examen anatomique (la propriétaire de l’animal ne voulut pas
m’autoriser à en faire la nécropsie). J'incline toutefois à croire que
nous avons affaire 1ci à une femelle, attendu que Oken, d’accord
en cela avec plusieurs autres auteurs, dit que ,,le mâle paraît
rester toujours dans l’eau; a terre, du mois, on ne trouve que
des femelles” ?). Du reste, 1l y aurait bien aussi quelque raison
d'admettre que notre exemplaire appartient au sexe mâle. Il pos-
sède en effet très distinctement une queue élargie ou aplatie
latéralement. Or, à ce sujet, je trouve mentionné, également chez
Oken (loco citalo), que ,,chez la femelle la queue est arrondie (?),
tandis que chez le mâle elle reste large”. Cette assertion, toute-
fois, ne saurait être acceplée sans réserve. En général, du moins,
il est reconnu, aussi par d’autres auteurs, que les Tritons, à la
suite d’un long séjour à terre, peuvent subir des modifications
remarquables dans la forme de certains organes. C’est ainsi que
Duméril écrit: ,,que ces animaux éprouvent alors un changement
très notable, tant pour les couleurs, que pour la conformation
des parties, telles que les crêtés, les organes génitaux, les lobes

1) Dans le langage ordinaire, toutefois, on le désigne souvent sous le nom
de ,,.lézard d’eau”.
2) Oken, Allgemeine Naturgeschichte, Amphibies, t. VI, p. 456.

NATURELLE DES SALAMANDRES AQUATIQUES. 289

des orteils et surtout la queue” ‘). Rien de ce genre, toutefois,
n’a été noté chez notre individu, qui au contraire, après avoir
quitté pour toujours l'élément humide, n’a pas montré le moindre
changement de ,,forme ou de couleur”. Et ce qui est surtout digne
de remarque, c’est que les modifications en question, au moins
pour ce qui concerne la forme de la queue, ne paraissent pas
être aussi constantes que ne l’affirme Oken, ou que, en sens pré-
cisement inverse, Duméril ne l'indique dans le passage suivant:
Lorsque les Tritons sont restés longtemps hors de l’eau, leur
queue s’arrondit ?) et à peine peut-on reconnaître qu’elle avait
été très comprimée”. (4. c. p. 124). Le contraire, en effet, a eu
lieu dans le cas actuel, puisque la queue, durant une si longue
suite d'années, ne s’est nullement ,,arrondie”, mais a conservé
jusqu'à la fin la forme primitive, large et plate, de la queue.
du Triton. Ne

L'observation assez remarquable, faite sur notre individu, de
l'absence totale de variation, non-seulement dans la partie dont il
vient d'être question, inais aussi dans toute la conformation exté-
rieure , dans les couleurs et dans la taille, pourrait servir en outre, —
si cela était nécessaire, — à prouver que dorénavant il n’est plus
permis d’attacher la moindre valeur à cette conjecture, émise quel-
quefois à la légère: que dans la lente métamorphose de ces reptiles,
le petit Triton, le faematus, ne devrait être regardé que comme
représentant le jeune âge (,,das junge Thier”, Leunis, Synopsis
der Naturgeschichte des Thierreichs, 2e éd., p. 541) du Triton
beaucoup plus grand, le cristatus Laurenti.

La thèse connue et souvent répétée, quoique non sans exagé-
ration, que les reptiles ont en général très peu besoin de nour-

_:) Duméril, Histoire naturelle des reptiles, t. IX, p. 127. L'auteur ajoute
encore: ,,Cette altération devient si notable, qu’elle peut mettre les naturalistes
dans l’embarras pour savoir distinguer s’ils ont sous les yeux une Suwlamandre
ou un Z7riton’.

2) Devenant alors analogue à celle des véritables Salamandres, dites éerrestres
ou à queue arrondie. (Ibidem). |

290 A. W. M. VAN HASSELT. CONTRIBUTION à L'HISTOIRE

riture !), n’a pas non plus reçu de confirmation dans le cas actuel,
c’est-à-dire pour le Trifon taeniatus en particulier.

Pendant toute la durée de sa captivité, la plus longue période
d’abstinence continue qu’on ait observée annuellement a été de
six semaines, et pendant tout le reste de l’année on pouvait le
voir dévorer avec avidité les différentes variétés de Lumbricus
terrestris Linn. qu'on lui jetait.

Par contre, nos observations sont d'accord avec celles de M.
Knauer, lorsqu'il dit ,,que les Salamandres tenues en captivité
apprennent à connaître la personne qui les soigne et se laissent
toucher sans fuir”; notre individu, en effet, tournait quelquefois
la tête quand on lui parlait, et venait aussi parfois prendre, en
quelque sorte dans la main, les petits vers qu’on lui présentait
au bout de pincettes. Nous avons également reconnu l’exactitude
de cette présomption de M. Knauer, que ces amphibies, ainsi
que beaucoup d’autres, ,,ne boivent pas”. Mais lorsqu'il ajoute
que, si ce besoin ne se fait pas sentir chez les grenouilles et
les Salamandres aquatiques, c’est probablement à cause de la
grande quantité d’eau qui entre par voie d'absorption cutanée,
(l. c., p. 34) cette explication est contredite par notre Triton,
qui a vécu continuellement hors de l’eau.

Le même observateur des mœurs de ces animaux est aussi un
peu à côté de la vérité en disant que, ,,une fois venus à terre,
ils y vivent dans un demi-sommeil” (4. c., p. 51). La description
donnée plus haut est loin de montrer notre T. taeniatus d'un
naturel si paresseux. Il ne tombait même pas régulièrement dans
le sommeil d'hiver, qui, dans les conditions de la vie libre, est
propre aux amphibies. Sur ce point, il y a accord entre notre

1) Au sujet des genres voisins Sirez, Amphiuma, Proteus, Oken écrit: ;,On
sait qu'ils peuvent rester des wwnées entières Sans nourriture (Z.c., p. 432).
Pour le Rana esculenta, voici ce que nous apprend M. Knauer: ,,Je conserve
maintenant depuis plus d’un an deux grands individus sans les nourrir, dans
un espace à moitié rempli de terre et presque complétement obseur, sans que

j'aie pu, jusqu'a présent, constater quelque diminution dans le volume du Corps
de ces animaux (2. c., p. 30).

NATURELLE DES SALAMANDRES AQUATIQUES. 291

observation et celles de, M. Knauer, là où il dit que ,,tous nos
repüles, à l’état de captivité, peuvent être tenus éveillés pendant
l'hiver, dans un local chauffé” (Z. c., p. 16); nous avons vu que
tel a aussi été le cas, à part quelques semaines de froid rigou-
reux, pour le sujet de cette notice.

Aucun son vocal n’a été entendu chez notre Triton. M, Knauer
enseigne aussi, au sujet de ces amphibies, que, à l'inverse des
grenouilles, ils sont ,,presque entièrement muets” (2. c., p. 18);
chez les ,,Salamandres aquatiques” complétement développées, il
n'y a, selon lui, nulle mamifestation de ,,voix volontaire”. Cette
assertion est touielois en contradiction avec celle d’Oken, qui
parle expressément, et même à propos de chacune des trois prin-
cipales espèces Européennes, de ,,glapissement aigu”, de ,,claque-
ment” et de ,grondement” (/.c., p. 455—2457). L'émission de
ces sons parait ne pouvoir se fare que dans l’état jeune ou
larvare; à la surface de l’eau on voit alors monter quelquefois
une bulle d'air, en même temps qu'on perçoit un ,,son sibilant
fable” :); durant cette période, M. Knauer aussi a entendu quel-
quefois un ,,léger sifflement”.

En ce qui concerne le changement de peau, notre observation
ne s'éloigne pas des faits connus; seulement, on n'a pas vu
au printemps l'animal opérer cette mue ,tous les 2—8 jours” ?),
comme Oken l’affirme du T. eristatus, en ajoutant toutefois,
très justement sans nul doute, ,moins fréquemment après l’ac-
couplement” (Z.c., p. 459).

Nous n'avons pas vu non plus les conditions locales, la tem-
pérature, l’âge, etc.” produire les ,,modifications variées dans l'acte
de rénovation épidermique”, dont M. Knauer fait mention comme
d'un phénomène général (/. c., p.12). Notre Triton, en effet, tant
dans son jeune âge que dans ses vieux jours, renouvela assez réguliè-
rement deux fois par an son épiderme, jusqu’à ce que précisément

1) Voir l’article de M. Verster van Wulvenhorst,- lets over de Salamanders,
dans le Jaarboekje van het Kon. Zool. Gen. Nat. Art. Mag., année 1859, p. 123.

*) La mue paraît en effet, mais spécialement à l’époque des amours, se répéter
plusieurs fois, surtout chez les mâles.

999 À. W. M. VAN HASSELT. CONTRIBUTION à L’HISTOIRE

une ,modification” ou un trouble de cet acte devint la cause occa-
sionnelle de sa mort. Pour expliquer la circonstance que, dans
notre cas aussi, l’épiderme abandonné ne put être retrouvé, nous
ferons remarquer que souvent les salamandres aquatiques avalent
elles-mêmes cette dépouille. Plus d’une fois alors, on a vu celle-ci
être rendue sans altération par l'anus, ou rester suspendue pen-
dant quelque temps à cette partie du corps, ce qui jadis a conduit
quelques-uns à l'opinion erronée que, chez les animaux en question,
il se fait aussi une desquamation générale de la muqueuse du
canal intestinal. | |
Mais, bien plus que dans les remarques précédentes, l’intérêt
de notre petite observation réside dans la preuve qu’elle fournit
de la possibilité du séjour conTINU de cette espèce de Triton hors
de l’eau, et dans la connaissance de sa LONGÉVITÉ peu commune.
10. N’était-il donc pas connu que les salamandres aquatiques
peuvent vivre un temps notable à terre? Oui et non. On savait
bien que les Tritons, de même que d’autres amphibies, se ren-
contrent tantôt dans l’eau, tantôt à terre, et qu’ils y passent un
temps plus ou moins long, mais pourtant, en somme, on les
considérait plus spécialement comme des animaux aquatiques.
C’est ainsi que M. Leunis, entre autres, dit que ,les Tritons sont
principalement attachés à l’eau” (4. c., p. 299), bien qu'il ajoute,
plus loin: ,après la métamorphose ils peuvent aussi aller à terre”
(p. 339). Duméril s'exprime encore plus catégoriquement à cet
égard, en écrivant ,,que la plupart des espèces du genre Triton
restent habituellement dans l’eau” (4. c., p. 124). Oken se prononce
à peu près dans le même sens: ,,les Tritons se trouvent dans
l’eau stagnante ou faiblement courante; un petit nombre seulement
se trainent plus tard à terre” (4 c., p. 450). Quelques pages
plus loin, toutefois, il limite le temps de la période aquatique,
en disant ,,qu'ils vivent au moins tout l’éfé dans l’eau” (2. c., p. 454).
Il paraît aussi avoir eu connaissance de quelques cas exceptionnels
d’un séjour ,,plus prolongé” hors de l’eau, comme le prouve le
passage suivant: ,,beaucoup de femelles s’égarent aussi dans les
caves, et ne retournent plus dans l’eau” (4. c., p. 456). Mais 1l

NATURELLE DES SALAMANDRES AQUATIQUES. 293

néglige, tout comme Duméril (p. 124), de mentionner combien
de temps les animaux se maintinrent sur cette fausse voie, en
d’autres termes, pendant combien de temps le séjour extra-aquatique
est compatible avec leur vie. La règle générale, en effet, quant
au mode d'existence de ces amphibies, tel qu'il est décrit entre
autres pour notre pays par M. Schlegel dans ses Kruipende dieren
van Nederland, est qu'au moins les Tritons femelles (pour les.
mâles cela paraît beaucoup moins certain) quittent chaque année !),
après la période d’accouplement et souvent dès le commencement
de l’été, l’eau des mares, des fossés et des marais, pour hiverner ?)
à terre, dans des endroits frais, humides et sombres, par exemple
dans les arbres creux, le: pavillons de jardin, les trous de souris,
ou sous la mousse, les feuilles d'arbres, les pierres, etc. (Cette
règle paraît s'appliquer à nos deux espèces indigènes, tant au
T. cristatus qu'au faemiatus, bien que M. Verster (£. c., p.124)
doute que toutes les femelles quittent l’eau en été, attendu
qu'une fois 1l a pris au mois d'Octobre, dans un fossé, une :
vieille femelle de la seconde de ces deux espèces. Le même
doute existait, quant au T. Alpestris Laurenti, chez Oken, car
on lit dans son ouvrage (1. c., p. 457): ,, lorsqu'on les retire de
l’eau, ils se montrent très agités et courent rapidement dans tous
les sens, pour tâcher d’y rentrer”. M. Knauer non plus ne parait
. pas croire, surtout en ce qui concerne notre espèce, qu'elle puisse
être conservée en vie, surtout hors de l’eau, aussi facilement que

1) On savait donc qu'ils peuvent périodiquement passer quelques mois hors
de l’eau, mais on ignorait qu'ils le pussent, sas ixterruption, durant une suite
d'années. C’est surtout en mettant ce dernier point hors de doute, que notre
observation peut avoir quelque intérêt pour la zo6-biologie.

2) Après l’,,hibernation”, au printemps, ils retournent dans l’eau, pour s’ap-
parier. Voilà du moins ce que les livres donnent comme la règle générale.
Ne faut-il pas entendre dans le même sens le passage de M. Schlegel (7. c., p. 43),
où il dit que les femelles de la Sulamandra taeniata ,,quittent alors l’eau, pour
vivre ensuite à terre”. Sinon, la priorité de notre prétendue découverte lui
appartiendrait.

90% A. W. M. VAN HASSELT. CONTRIBUTION à L'HISTOIRE

Duméril !) et d’autres l’affirment et que notre observation l’a péremp-
toirement démontré. Du moins, nous trouvons chez lui la remarque
suivante (destinée toutefois plus spécialement à prouver que ces
animaux n’ont pas ,;la vie aussi dure” qu’on le croit ?): ,,J’avais
très souvent lu que les Salamandres aquatiques peuvent passer
beaucoup de jours hors de l’eau, et qu’en général elles se dis-
tinguent par une dureté de vie extraordinaire; mais ayant eu une
fois plus de cent Tritons crêtés et rayés (cristatus et taemiatus) dans
un réservoir, et une négligence leur ayant permis de s'échapper
presque tous, à un petit nombre près qui restèrent dans l’eau,
il me fut impossible de faire revenir à la vie un seul des animaux
desséchés, bien que j'eusse découvert la fuite dès le lendemain
et remis immédiatement dans l’eau les cadavres (sic!) rassemblés”
(ACHAT

20, Et que savait-on jusqu'ici de la longévité des Tritons ?
Bien que, chez presque tous les auteurs qui traitent des Reptiles,
on trouve noté que ceux-ci ont la vie non-seulement très dure,
mais aussi très longue, le fait n’était pas encore prouvé pour
les Tritons *). Comme hypothèse, applicable non-seulement aux
vrais reptiles, mais aussi aux Tritons et aux amphibies en général ,
M. Knauer parle d’un demi-siècle! En considérant la grande différence

1) Celui-ci dit: ,qu'ils sont très vivaces et qu'on peut les conserver en vie
facilement” (L. c., p. 121).

2) M. Knauer, ici et ailleurs, rapporte encore plusieurs autres exemples
tendant à montrer quela soi-disant dureté de vie, dont les Reptiles et les
Amphibies feraient preuve en présence d’influences extérieures nuisibles, n’est
à beaucoup près pas aussi grande que les auteurs, se copiant les uns les autres,
ne l’afirment.

3) Pour les Reptiles en général, je renvoie aux indications connues de Oken
et autres auteurs, celle, par exemple, d’un Sirezx lacertina Li., ayant vécu 6 ans,
d'un Proteus anguineus Vaur. de 8 aus, etc., etc. Ici, j'appelerai spécialement
l'attention sur la remarquable Salamandre gigantesque, — le Cryptobranchus
Japonicus NV. D. Hoeven, — qu'on peut encore voir en vie dans un des bassins
du Jardin zoologique d'Amsterdam, et qui, ayant été apporté du Japon dans
notre pays par M. Siebola en l’an 1829, comme a bien voulu me l’apprendre
M. Westerman, a atteint aujourd’hui un âge minimum de 47 ans.

<

NATURELLE DES SALAMANDRES AQUATIQUES. 995

qui dans cet ordre existe entre l'animal sortant de l'œuf et
l'individu complétement développé, et à raison de la lenteur de
l'accroissement, il croit ne pas être loin de la vérité en admettant
collectivement,’ pour presque fous (?) ces animaux, une durée
de vie d'au moins 50 ans” (L c., p. 17). Oken, tout aussi
hypothétiquement, double ce chifire: ,,Les amphibies,” dit-il,
Ont une vie très longue, qui, chez les grandes espèces, dure
peut-être plus de 100 ans, et pendant fout ce temps ils paraissent
continuer à croître” (Z.c., p.422). Quant à ce dernier phénomène
toutefois, il n’a pas été observé chez notre Triton.

En laissant de côté notre Salamandre gigantesque, ou Sala-
mandra mazima de Schlegel, dont 1l vient d'être question en
note, Je ne trouve, quant aux Tritons en particulier, ni chez
Oken, ni chez les autres auteurs cités, une preuve quelconque
de longévité remarquable. Pour le T. alpestris seulement, M. Erber
(Die Amphibièn der Oesterreichischen Monarchie, 1864, p. 711)
rapporte, qu'on peut le conserver en vie pendant au moins 2
ans. M. Knauer non-seulement confirme le fait, mais nous
apprend même qu'il possédait (en 1875) plusieurs individus de
cette espèce qui avaient déjà atteint l’âge de 4 ans (L. c., p. 31).
C’est aussi cette espèce, ainsi que le T. cristatus, qui, d’après
ses observations, ,se conserve le mieux en captivité”. L'auteur
fait donc exception précisément pour notre faeniatus; celui-ci lui
a paru beaucoup plus difficile à tenir en vie. La même chose
m'a été communiquée par M. Westerman et par son adjoint M.
Swierstra au sujet de nos Tritons indigènes, qui jusqu'ici n'ont
pas voulu prospérer au jardin zoologique d'Amsterdam, et n’y
ont guère supporté la captivité pendant plus de 3 mois ).

À en juger d'après l’ensemble des observations qui me sont
connues, notre exemple de longévité du T. taemiatus est donc
probablement, parmi les reptiles de petite taille, unique en son

1) N’aurait-on pas négligé, précisément parce que ce sont des Salamandres

aquatiques, de leur fournir toujours l’occasion de sortir à volonté de l’eau et
de se rendre à terre, pour s’y cacher à l’automne, suivant leur habitude ?

296 A. W. M. VAN HASSELT. CONTRIBUTION à L'HISTOIRE ETC.
cenre. Si l’on considère, en effet, que l’animal mesurant environ
centimètres, avait acquis son plein développement lorsqu'il fut
capturé et n’a pris depuis lors aucun accroissement nouveau, et
si l'on se rappelle en outre que les Tritons (cela est au moins
bien constaté pour le cristatus) ne sont tout à fait adultes et propres
à la reproduction que dans la troisième année de leur existence,

on voit que le sujet de notre observation a atteimt l’âge de 19
à 20 ans! (Pris en mai 1859, mort ou tué en octobre DE

qui donne 161 + 3 = 191 ans).

ARCIIIVES NÉERLANDAISES

Sciences exactes et naturelles.

SUR LES CAUSES

DES

FORMES ANORMALES DES PLANTES QUI
CROISSENT DANS L’OBSCURITE,

PAR

N. W. P. RAUWENHOFF.

On sait depuis longtemps que les plantes placées dans l’obscurité,
ou même dans un endroit mal éclairé, non seulement se décolorent,
mais montrent encore d'autres changements remarquables. Les
anciens traités de physiologie végétale, tels que ceux de Decan-
dolle, de Meyen, de Treviranus, énoncent que, dans ces circonstan-
ces, les tiges deviennent généralement plus longues et les feuilles
restent plus petites que d'ordinaire. D’ailleurs, qui n’a pas remarqué
plus d’une fois ce phénomène sur les pousses que développent
au printemps les pommes de terres conservées dans les caves ?

En examinant les choses de plus près, on reconnaît toutefois
que les plantes ne se comportent pas toutes de la même manière,
lorsqu'elles se trouvent dans l’obscurité. ‘Il y en a dont les tiges
ne s’allongent que peu ou point’ au-delà de la mesure ordinaire ;
il y en a d’autres dont les feuilles, dans l'obscurité, ne restent
ouêre en-deçà des dimensions des feuilles normales, formées à
la lumière; bien plus, certaines feuilles s’allongent alors déme-
surément. On voit des fleurs et des fruits qui se parent des
mêmes couleurs, également brillantes, à l’abri comme sous l’influente
de la lumière; d’autres, dont le calice ou la corolle prennent
un développement inusité en longueur, ou bien restent petits

ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XII. 19

298 N. W. P. RAUWENHOFF. SUR LES CAUSES DES FORMES

.comme les feuilles ordinaires; en un mot, aucune régularité ne
semble plus présider à la végétation dans l'obscurité.

Les plantes soustraites à l’action de la lumière présentent des
phénomènes si anomaux, qu'on serait tenté de croire qu’elles
n’obéissént plus aux lois générales de la croissance, mais qu’elles
déterminent tout-à-fait arbitrairement, chacune à sa manière, la
orandeur relative et absolue de leurs organes.

Il n’entre pas dans mon plan de décrire en détail ces phéno-
mèênes. [ls sont bien connus, et je me contente de renvoyer le lec-
teur au mémoire de M. Sachs: Ueber den Einfluss des Tageshchts
auf Neubildung und Entfaltung verschiedener Pflanzenorgane,
publié dans la Bot. Zeit. 1863, Beiage. Les principaux faits de
cet ordre y sont classés sous les titres suivants: Développement
des feuilles ordinaires étiolées (p. 11 du tiré à part). Allongement
des entre-nœuds étiolés (p. 14). Torsion (p. 16). Développement
des fleurs. (p: 17):

Sans insister sur ces faits, Je crois devoir rappeler sommairement
les éssais d'explication qui en ont été donnés.

Hales avait déjà émis l’idée que, si les haricots croissant dans
l'obscurité s’allongent outre mesure, c’est qu'ils restent plus
longtemps mous et succulents. Decandolle fait dépendre le phéno-
mène de l’assimilation. ,, Puisque les parties ,” dit-il (Physiol. végét.
I p. 1076), ,,qui combinent plus de carbone deviennent plus
dures, elles doivent tendre plus vite à ce degré de solidité qui
les empêche de s’allonger; par conséquent les végétaux fort
exposés à la lumière, s'ils sont plus durs, sont aussi propor-
,tionnellement plus courts et plus trapus; tandis que ceux qui
vivent à une moindre lumière ou même à l'obscurité, sont né-
»Cessairement plus faibles, mais plus allongés.”

M. Sachs, dans le travail ci-dessus cité, incline vers la même
opinion. Il remarque très justement, que ce sont surtout les
organes contenant de la chlorophylle qui changent de forme
dans l'obscurité, et il lui paraît assez naturel de supposer que
à lumière produit cet effet par l’intermédiaire de la chloro-
phylle elle-même; mais il ne saurait dire de quelle manière cela

ANORMALES DES PLANTES QUI CROISSENT DANS L'OBSCURITÉ. 299

a lieu. En effet, on connaît bien la fonction de la chlorophylle,
qui est de produire de la fécule, et on sait que cette fonction
est liée à la présence d’une certaine quantité de lumière, de
sorte qu'on serait conduit à regarder le phénomène comme la
conséquence d’un trouble de la nutrition (dû au manque de
fécule et par conséquent de matériaux propres à la formation des
parois cellulaires); mais cette explication ne conviendrait qu'aux:
organes étiolés qui restent petits. Elle ne rend pas compte de
Pallongement excessif des tiges, et elle ne s’applique pas davantage
au cas des plantes germées, chez qui les cotylédons eux-mêmes
s’étiolent et se détruisent, bien qu'ils soient gorgés de fécule et
d'autres substances nutritives.

Une étude spéciale des causes de ce phénomène a été faite
pour la première fois, en 1869, par M. Kraus, qui en a com-
muniqué les résultats dans un mémoire intéressant, inséré aux
Jahrbücher für wiss. Bot. de Pringsheim, t. VII, p. 209—9260.

M. Kraus arrive à la conclusion que l’étiolement est en réalité,
comme l’avait présumé M. Sachs, la conséquence d’un dérangement
dans la croissance des organes, occasionné par le défaut de matériaux
ou de force pour l’agrandissement des parois cellulaires; ce dé-
rangement, toutefois, n'avait pu être remarqué jusqu'alors, parce
qu'on ne connaissait ni la nécessité de la nutrition des feuilles
par des produits d’assimilation locale, ni le mode spécial de
croissance des organes caulinaires qui se trouvent à un état de
forte tension.

La feuille, suivant M. Kraus, ne reçoit de la tige que la
quantité de matériaux nutritifs nécessaire pour l’amener au jour,
après quoi elle doit suffire elle-même à son entretien: aux dents
et près des nervures, bientôt aussi en d’autres points, la fécule
se forme par assimilation dans la chlorophylle, et par là
devient possible l’accroissement ultérieur de la feuille. Dans l’obs-
curité, au contraire, les feuilles s’arrêtent, par suite de l'absence
de matériaux, au degré de développement auquel elles étaient
parvenues en sortant du bourgeon.

Cette explication, toutelois, se trouve en défaut pour les

10%

: 800 NN. W. P. RAUWENHOFF..SUR LES CAUSES DES FORMES

cotylédons de différentes plantes, lesquels cessent de croître dans
l'obscurité, bien qu'ils soient encore tout remplis de fécule ou
d'huile. Ici l’action de la lumière paraît être nécessaire pour
transformer la fécule en cellulose. Quant à la nature de cette
action, quant à savoir s'il s’agit d'une influence directe de la
lumière, ou bien de l'intervention d’autres matières ou d’autres
fonctions, également dépendantes de la lumière, nous sommes
encore dans une ignorance absolue.

En contraste avec ce faible développement des organes foliaires,
se présente le phénomène remarquable de l’allongement excessif de
la tige dans l'obscurité. Pour apprendre à connaître le lien qui
unit ces deux phénomènes, on doit porter son attention moins
sur la grandeur de la tige que sur sa structure intérieure. On
constate alors que la tige, quant à son évolution anatomique,
s’est arrêtée, tout comme les feuilles, à un degré inférieur. Tant
par rapport au nombre et au développement des faisceaux fibro-
vasculaires, qu’en ce qui concerne le nombre et l'épaisseur des
éléments de la moelle et de l'écorce, la tige étiolée et allongée
offre l’image d’une jeune tige normale, qui n'aurait pas dépassé
les premières phases de son développement.

Mais à quoi faut-il attribuer la longueur anormale de la tige éuiolée?

Pour le démêler, M. Kraus a d’abord recherché si l’allonge-
ment est la conséquence d’un accroissement de longueur des cel-
lules constituantes, ou bien d’une augmentation du nombre
de ces cellules. Des mesures multipliées (moyen déjà essayé an-
térieurement par M. Sachs, mais sans succès) ont appris à M. Kraus
que les cellules des entre-nœuds étiolés sont bien toujours, en
moyenne, beaucoup plus grandes et notamment plus longues
que celles des plantes vertes de la même espèce, mais que l’allon-
sement ne saurait pourtant être rapporté exclusivement à cette
cause. En partie, bien qu’en petite partie, il est dû aussi à la
multiplication extraordinaire des cellules. |

L’allongement anormal des cellules (l'accroissement insolite de
leur nombre étant négligé) pourrait, suivant M. Kraus, s’opérer
de la manière Suivante:

ANORMALES DES PLANTES QUI CROISSENT DANS L’OBSCURITÉ. 301

Dans les jeunes entre-nœuds de la tige, à peine sortie du
bourgeon, les divers tissus ont par eux-mêmes une longueur
inégale: les périphériques (écorce et bois) sont plus courts, les
centraux (moelle) plus longs; s'ils paraissent, unis les uns aux
autres, avoir la même longueur, c’est que les tissus les plus longs
étirent les plus .courts, jusqu'à ce qu'ils aient à peu prés les
mêmes dimensions.

Dans le cours de l'allongement de l’entre-nœud, cette diffé-
rence ne s’efface pas, attendu que la moelle croît toujours plus
rapidement que les autres tissus et devient par là, dans la première
période de l'accroissement, la partie vraiment active de l’entre-nœud.

Peu à peu, toutefois, les éléments des anneaux ligneux et
libérien commencent à épaissir leurs parois, prennent plus de
solidité et opposent une plus grande résistance à la moelle, qui
tend à les étirer. (Cette dernière est alors entravée dans sa
croissance longitudinale, et en quelque sorte soumise à une
compression permanente par suite de la diminution d’élasticité
des tissus lignifiés, de sorte que finalement c’est l’accroissement
du bois et du hber, non celui de la moelle, qui détermine la
longueur de l’entre-nœud.

Or, les tiges étiolées restent toute leur vie dans la première
phase d’accroissement, dont 1l vient d’être question : les éléments
du faisceau fibro-vasculaire n’épaississent pas leurs parois, du
moins d'une manière sensible, et conservent ainsi, même à un
àge avancé, un haut degré d’élasticité. La moelle au contraire,
qui, à l'inverse des autres tissus, continue à croître dans l’ob-
scurité, pourvu qu’elle reçoive suffisamment d'humidité, s’allonge
incessamment et étre les autres -parties, qui en conséquence
sont allongées passivement au fur et à mesure. De là résulte,
suivant M. Kraus, l’allongement anormal de la tige placée dans
l'obscurité: la moelle détermine alors la grandeur définitive de
lentre-nœud, et cette moelle devient non-seulement aussi longue
qu'elle pourrait le devenir étant soumise à l’insolation, mais
elle atteint même, par suite du surcroît d'absorption, une longueur
encore plus considérable.

302 N. W. P. RAUWENHOFF. SUR LES CAUSES DES FORMES

Cette explication de M. Kraus, en ce qui concerne la tige,
_ n’a été, que je sache, ni combattue n1 confirmée par d’autres
observateurs. Seul M. Ludwig Koch 1), voulant connaître les
causes de la verse des céréales, et ayant étudié pour cela les
modifications que détermine dans la croissance des tiges du seigle
la soustraction partielle de la lumière, a trouvé des résultats
conformes à ceux des recherches de M. Kraus A}

Pour ce qui est des feuilles, au contraire, la théorie de M.
Kraus a été rejetée par M. Batalin (Bof. Zeit.. XXIX, no. 40,
6 Oct. 1871). na

Celui-ci regarde d’abord comme peu compatible avec cette théorie
(suivant laquelle les feuilles étiolées ne peuvent croître parce
qu'elles ne sont pas en état d’assimiler de la nourriture sur
place, M. Kraus n'ayant en effet jamais rencontré de la fécule
dans ces feuilles) le fait, que tant de cotylédons refusent absolu-
ment de se développer dans l'obscurité et meurent, bien
qu'ils soient tout remplis de fécule. M. Kraus a lui-même senti
cette difficulté, et 1l a supposé que dans ces cas la fécule ne
peut se transformer en cellulose sans l’intervention de la lumière.
Mais par cette hypothèse on ne fait que déplacer la difficulté,
car 1l faut alors montrer la raison qui s'oppose dans ces cas à
la formation de la cellulose aux dépens de la fécule préexistante,
tandis que dans beaucoup d’autres cas (tels, par exemple, que
le développement des bulbes, des tubercules, ete.) cette formation
se fait bien dûment dans l'obscurité. ;

1) Abnorne Aenderungen wachsender Pflanzenorgane durch Beschattung , avec
4 pl. Lith. Berlin.

2) Il donne des figures très expressives de la différence d'épaisseur des
parois cellulaires dans le seigle couché et dans le seigle s'élevant vigoureuse-
ment, et il prouve que la verse des grains, si redoutée en agriculture, n'est
pas due, comme on le croyait jusqu'alors, au manque de silice dans les
chaumes, mais à l'insuffisance de la lumière à leur pied, par suite d'une
croissance trop serrée; aussi est-ce surtout la portion inférieure du second
entre-nœud qui fléchit ou se rompt, parce qu'elle est trop faible pour porter
la charge du haut.

ANORMALES DES PLANTES QUI CROISSENT DANS L'OBSCURITÉ. 903

Une objection plus grave toutefois, selon M: Batalin, se pré-
sente, lorsqu'on considère les changements que subissent dans
l’obseurité les feuilles des Graminées et d’autres monocotylédones.
Dans ces circonstances, comme on sait, ces feuilles deviennent
beaucoup plus longues que d'habitude, tandis que la largeur
reste quelquefois la même, mais plus ordinairement est moindre
que celle des feuilles croissant à la lumière. Le pouvoir de
former de la cellulose existerait donc ici dans une direction, mais
non dans la direction perpendiculaire, ce qui n’est guêre admissible.

Enfin, l'explication de M. Kraus est aussi en désaccord avec
observation que les plantes germantes étiolées contiennent en
général moins de cellulose que les plantes normales du même
âge. :

M. Batalin a donc cherché une autre cause pour les phéno-
mènes en question, et il est arrivé à conclure que la plupart
des feuilles ne croissent pas dans l’obscurité parce que, dans ces
conditions, les cellules ne se divisent plus; la grandeur de la
feuille est en effet proportionnelle au nombre des cellules, et la
feuille croit précisément dans la mesure où elle produit de nou-
velles cellules. Voici comment M. Batalin a essayé d'établir cette
proposition: La division des cellules se fait le mieux, comme
on sait, à une lumière faible, qui n’est pas encore suffisante
pour engendrer de la chlorophylle et provoquer l’assimilation.
Prenant donc des plantes germantes qui s'étaient développées
dans l'obscurité, 1l en exposa une partie pendant peu de temps
(11 à 3 heures) à une lumière diffuse très faible, tandis que le
reste était laissé dans l'obscurité. Dans le premier lot, les petites
plantes germantes continuérent à croître régulièrement jusqu’à
la chute des cotylédons; le limbe des feuilles était 4 à 7 fois,
dans certains cas même 12 fois plus grand que celui des plantes
soustraites à l’action de la lumière, bien que ces feuilles fussent
restées tout à fait jaunes (le jaune” de l'échelle chromatique
de Chevreul), de sorte qu’il ne s'était pas formé de chlorophylle
et que la multiplication des cellules avait seule été possible.

M. Batalin en conclut que la chlorophylle ne joue aucun rôle

30% N. W. P. RAUWENHOFF. SUR LES CAUSES DES FORMES

dans le développement des feuilles, que celles-ci peuvent croître
aux dépens des matières nutritives mises en réserve dans la graine,
et que leur assimilation propre ne devient nécessaire que lorsque
lesdites matières ont été consommées; que dans l’obscurité toute-
fois les feuilles cessent de croître, parce que les cellules sont
incapables de se diviser, division qui s’opère déjà à une lumière
de si faible intensité, que la formation de la chlorophylle, et
certainement celle de la fécule, ne peuvent s’y effectuer.

La production de feuilles longues et étroites chez les Grami-
nées étiolées trouve aussi, selon M. Batalin, son explication dans
cette manière de voir. Ce qu'il rapporte à l’appui (lexistence,
dans le parenchyme palissadé, de cellules en biscuit, qui seraient
divisées dans les feuilles vertes, mais non dans les feuilles étiolées)
me parait toutefois peu convaincant.

En contradiction directe avec cette manière de voir est l’ob-
servation récente de M. Prantl (Arbeilen des botan. Instituts zu
Würzburg, fase. IT, .p. 384), qui a montré par des mesures
spéciales que, chez la feuille qui se développe dans une obscurité
complète, il se fait bien dûment un grand nombre de divisions
cellulaires. Sur la largeur de la feuille-primordiale d’un Phaseolus
le nombre des cellules s'élevait, en effet, dans la graine non
germée à 943, chez la plante étiolée de 1375 à 2571, chez la
plante verte normale de 1429 à 2273.

On le voit, si la théorie de M. Kraus prête à des objections,
celle de M. Batalin ne résiste pas non plus sous tous les rap-
ports à un examen sévère. En ce qui concerne cette question,
nous sommes encore dans lincertitude sur beaucoup de points.
M. Sachs déclare même dans la dernière édition de son Traité
de botanique (Lehrbuch der Bot., 4e éd., p. 805 et 807), qu’une
explication complète de l'influence différente exercée par la lu-
mière sur des organes végétaux divers, — explication qui montre
comment, en chaque cas particulier, l’organisation d’une plante
est modifiée de telle inanière , et non d’une autre, par les Vi-
brations de l’éther, — nous manque entièrement jusqu'ici, de sorte
qu'il est à peine possible de présenter une théorie bien coordonnée

ANORMALES DES PLANTES QUI CROISSENT DANS L'OBSCURITÉ. 9309

de la dépendance existant entre la végétation et la lumière.
Reconnaissant la justesse de cette remarque, je ne me ilatte pas
_de résoudre le problème en question. Mais, d'un autre côté,
il ne faut pas oublier que les phénomènes de l’étiolement, si
compliqués et si obscurs, pourront singulièrement contribuer,
une fois bien connus et bien compris, à nous donner une idée
. d'une des fonctions les plus importantes de la vie végétale. Tout
travail qui produit, relativement à ces phénomènes, un fait bien
constaté, ou qui-tend à épurer ou compléter les théories pro-
posées, peut donc être considéré comme apportant une pierre
pour la construction du futur édifice. (C’est ce qui m'engage à
soumettre les recherches suivantes, bien qu’elles ne fournissent
pas une solution définitive, au jugement des botanistes.

Il y a déjà plusieurs années que ce sujet à attiré mon atten-
tion: en partie pour vérifier les faits signalés par M. Sachs en
1863, en partie parce que d’autres recherches m'y conduisaient,
jai à différentes reprises cultivé des plantes dans l’obscurité et
noté les phénomènes qui se produisaient. (Comme mes résultats
s’accordaient avec les descriptions données par M. Sachs, je ne
Jugeai pas nécessaire alors de publier mes observations. Avec un
vif intérêt je pris ensuite connaissance du mémoire, ci-dessus
cité, où M. Kraus essaie de pénétrer la cause de ces phénomènes;
mais, quoique très prévenu en faveur de ce travail, je ne pus
réprimer un doute sur quelques-unes de ses conclusions, de
sorte que je résolus d'en contrôler l'exactitude. Ce sont ces
recherches dont je vais rendre un compte succinct, en traitant
séparément “de la tige et des feuilles.

Changements de forme de la tige.

Dans l'examen des anomalies que présente la tige développée
à lPabri de la lumière, deux points sont surtout à considérer,
l'allongement exagéré et la direchion verticale des entre-nœuds.

306 N. w. P. RAUWENHOFF. SUR LES CAUSES DES FORMES

L’excès d’allongement dans l’obscurité est attribué par M. Kraus,
comme nous l’avons vu, à l’excès de croissance de la moelle,
combiné avec le développement imparfait des éléments du fais-.
ceau vasculaire et avec le faible épaississement de leurs parois.
Quant à ce dernier phénomène, je dois donner pleinement raison
à M. Kraus. Toujours j'ai trouvé dans la tige étiolée une difié-
rence de structure anatomique, qui rappelait un état moins
avancé que celui correspondant à la dimension extérieure. Chez
Je Rosa centifolia, par exemple, j'ai étudié comparativement une
branche verte et une branche qui avait crû dans l'obscurité. La
première avait 7 entre-nœuds et-5 feuilles développées, la seconde
8 entre-nœuds et à petites feuilles; toutes les deux se terminaient
en un bouton floral, qui dans la branche étiolée était plus long
et plus mince que d'ordinaire. Tandis que la branche verte avait
une longueur de 9 centim., l’autre atteignait une longueur totale
de 49 centim., et était en outre, sur la section transversale, un
peu plus épaisse que la première. Par contre, la structure
interne montrait en elles un développement tout différent. Déjà
à un faible grossissement, même avec la loupe, on reconnaissait
dans la branche étiolée la moindre épaisseur du faisceau vascu-
laire, en même temps que l'étendue plus grande occupée par
l'écorce et la moelle.

Les fig. À et 2 (PI. VI) peuvent donner une idée de cette
différence, mais elle s’accuse encore mieux par la mesure des
parties constituantes d’entre-nœuds du même rang. A un
arossissement de 20 fois, j'ai obtenu, comme moyenne de -difié-
rentes mesures prises dans des directions diverses, ‘les nombres
suivants pour lépaisseur des parties de laxe sur la section
transversale :

Branche verte. Branche étiolée.
diamètre de larbranche:""nrrS 47,5
parenchyime COCA NA MERS 0:19
anneau vasculaire: 142186 Aer Mn 4,5
mioélle:r. His tu rot RO D ro

les nombres représentent des divisions du micromètre oculaire,

_ ANORMALES DES PLANTES QUI CROISSENT DANS L’OBSCURITÉ. 907

Comme on le voit, la moelle et l'écorce sont ici notablement
plus épaisses dans la branche étiolée, tandis que l’anneau des
faisceaux vasculaires est au contraire plus mince. Chez le Rosa,
comparé à d’autres plantes ayant crû dans l’obscurité, ces diffé-
rences sont d’ailleurs relativement petites. Dans les entre-nœuds
les plus âgés de la branche, les fibres du liber et du bois ne
sont même guère moins épaissis chez la branche étiolée que
chez la branche verte normale.

Des modifications analogues s’observent aussi dans la structure
des tiges du Phaseolus multiflorus, lorsqu'on compare des plantes
qui à part de la graine ont végété dans l'obscurité, à d’autres
de la même espèce qui ont crû à la lumière. Bien que les
tiges blanches et brillantes des premières surpassent plusieurs
fois en longueur celles des plantes vertes, et ne le cèdent pas
non plus en diamètre, elles sont beaucoup moins développées à
l’intérieur, et l’anneau ligneux notamment est-dans un état moins
avancé que celui de la plante normale. Mais les particularités
offertes sous ce rapport par le Phaseolus ont déjà été décrites
si souvent (entre autres par M. Sachs dans un mémoire spécial),
qu’il paraît inutile de s’y arrêter plus longtemps.

Je traiterai plus en détail des modifications importantes que
l'absence de lumière détermine chez le Fuchsia globosa. Lorsqu'on
place au printemps un pied de cette espèce dans l'obscurité, les
bourgeons d'hiver développent des pousses blanches et relative-
ment longues, qui ne se portent pas, comme les jets normaux
et courts de la plante verte, dans des directions diverses, dépen-
dantes de la position du bourgeon et de la tige, mais qui sont
au contraire toutes verticales. Quelquefois on peut même observer
ce phénomène chez des Fuchsias qui ont passé l'hiver dans un
coin peu éclairé de l’orangerie, et y ont bourgeonné aux pre-
miers jours chauds du printemps.

Chez les plantes soumises intentionnellement à l'expérience,
j'ai vu ces pousses blanches se développer jusqu’à une longueur de
15 à 18 centim., en moyenne avec quatre entre-nœuds, dont
inférieur était toujours le plus long. Aux nœuds se formaient

308 N. W. P. RAUWENHOFF. SUR LES CAUSES DES FORMES

de petites feuilles d’un jaune pâle, longues tout au plus de 2

3 millimètres. Les pousses apparaissaient d’abord au haut des
branches de la plante. Plus tard, à mesure que les premières-
nées commençalent à dépérir (ce qui dans chaque pousse avait
lieu de bas en haut, et était reconnaissable au dessèchement et
à la coloration brune des parties mourantes), de nouveaux jets
se développaient successivement plus bas ou plus près de l’axe
principal, jusqu'à ce qu'enfin, toute la réserve alimentaire étant
épuisée, la plante entière succombât.

En comparant la structure anatomique d’une branche verte
avec celle d’une branche étiolée du même âge, on trouve des
différences marquées. La branche verte (vue sur la coupe trans-
versale) présente: 1° un épiderme, 2° un parenchyme cortical
de 6 à 7 rangées de cellules dans la direction radiale, cellules
dont la rangée externe ressemble beaucoup quant à la forme et
à la grandeur aux cellules de l’épiderme, tandis que celles du
dedans deviennent peu à peu plus grandes et montrent des parois
ondulées. Viennent ensuite les faisceaux fibro-vasculaires, rassemblés
en anneau complétement fermé, et à rayons médullaires à peine
visibles. En dehors, les faisceaux vasculaires touchent au parenchyme
cortical par une rangée unique et fréquemment interrompue de
fibres libériennes peu épaissies, à l’intérieur desquelles on trouve
un parenchyme de petites cellules à parois minces et des vais-
seaux cribreux à peine distincts. Le corps ligneux, entouré d’une
très mince couche de cambium, se compose de séries radiales
de vaisseaux et de cellules ligneuses assez épaisses, au nombre
de 12 à 15 dans les rangées où manquent les vaisseaux. Pris
en totalité, le tissu fibro-vasculare a dans la direction radiale
environ la même largeur que le parenchyme cortical. Enfin, la
moelle forme un cylindre central de 10 à 14 cellules sur le
diamètre de la coupe transversale, lesquelles cellules deviennent
successivement plus grandes vers le centre, de sorte que les.
plus internes surpassent au moins trois fois en diamètre les cellules
médullaires externes, celles qui touchent aux faisceaux vasculaires.

Notablement différente est la structure de la branche étiolée

ANORMALES DES PLANTES QUI CROISSENT DANS L'OBSCURITÉ. 309

du même âge. Celle-ci est plus épaisse sur la coupe transversale,
mais, nonobstant ces dimensions supérieures, presque tous les
éléments offrent un caractère de plus grande jeunesse. L’anneau
lisgneux surtout est moins développé, le nombre des cellules
ligneuses est plus petit dans la direction radiale, et aucune
trace de fibres libériennes épaissies n’est encore visible. Il est
à remarquer en outre, que toutes les cellules du parenchyme,
et spécialement celles de la moelle, qui atteignent d’ailleurs une
grandeur inaccoutumée, sont trés pauvres en contenu solide et
organisé.

Les différences qui viennent d’être signalées. ressortent du reste
clairement des nombres ci-dessous, résultats moyens de mesures
prises dans des directions différentes:

branche verte. branche étiolée.

épaisseur de latbranche : .. : . . 1,7 à1,9 mm. 1,9 à 2,9 mm.
épaisseur radiale de es, et de
l'écorce primaire . . Hdi 190 04

nombre des rangées de de di
parenchyme cortical, dans la direc-

Hedale. . . . . D—7 6—10
épaisseur radiale du Fin Ébre ;

ME ONU RUE QUE 88 29
re de moelle . 2070000, 701790 140
nombre des cellules médullaires sur

eeydiäinétre, L.. .. 10—14 19—15
longueur des cellules nédullares .… 15—14 17—24
longueur des cellules du parenchyme

96-97 : 97-29

le tout exprimé en divisions du micromètre oculaire, qui repré-
sentent une grandeur de 0,0067 mm.

Les différences sont encore plus frappantes chez deux branches
un peu plus âgées, où la production du liége a commencé et
où une partie de l'écorce est détachée.

La branche développée à la lumière montre ici, sous les débris
de l’épiderme et des cellules les plus extérieures de l'écorce, une
dizaine de rangées de cellules subéreuses (alternativement cubiques

310 N. W. P. RAUWENHOFF. SUR LES CAUSES DES FORMES

et tabulaires) (voir fig. 5) formées par des partitions tangentiel-
les de cellules-mères, immédiatement sous l’anneau interrompu
des fibres libériennes, formation par suite de laquelle l'écorce
primaire s’est entièrement subérifiée, a pris une couleur brune
et est déjà tombée en grande partie. Sous l'enveloppe de tissu
subéreux, on voit quelques rangées de cellules parenchymateuses
assez larges, alternant avec des vaisseaux cribreux à parois déjà
affaissées en grande partie, et çà et là un canal très ample,
probablement rempli de matières sécrétées. L’anneau ligneux
est composé de 15 à 20 séries radiales de cellules ligneuses
assez épaisses, à section transversale carrée, entre lesquelles
on voit dans certaines séries quelques trachées, placées en une
rangée unique, près de la moelle; les séries de cellules ligneuses
sont séparées par des rayons médullaires, consistant en une seule
rangée de cellules, qui sur la section transversale différent peu
des cellules ligneuses.

Le passage de l’étui médullaire à la moelle est formé par un
erand nombre. de petites cellules irrégulièrement placées, dont
les parois fortement épaissies se sont soudées entre elles, de
sorte que l’ensemble offre l’aspect d’un collenchyme scléreux.
Les cellules de la moelle même, successivement plus larges vers
le centre, ont des parois médiocrement épaissies et à peine
ponctuées.

Tout autres sont les caractères de la branche étiolée (voir
fig. 6). Au même point que dans l’autre (à savoir immédiatement
sous les quelques fibres libériennes), a commencé la production du
liége, par suite de laquelle l'écorce primaire et l’épiderme, qui ici
existent encore en majeure partie, sont subérifiés et colorés en brun.
La couche subéreuse elle-même n’est composée que de 4 à 6
rangées de cellules (alternativement cubiques et tabulaires, quoique
moins distinctement que dans la branche développée à la lumière),
et passe insensiblement au phloëme à parois restées minces, qui n’a
pas plus d’une couple rangées de cellules d'épaisseur, et qui souvent
ne se distingue presque pas du cambium auquel il doit naissance.
L'anneau ligneux, de faible épaisseur radiale, ne contient pas

ANORMALES DES PLANTES QUI CROISSENT DANS L'OBSCURITÉ. 311

plus de 6 à 7 rangées de cellules et un très petit nombre de
vaisseaux, à part ceux qui constituent l’anneau médullaire. Les
cellules ligneuses sont plus larges que dans la branche normale,
mais leurs parois sont moins épaissies, quoique tout aussi réfrin-
sentes. En dedans de l’étui médullaire, on trouve quelques
cellules qui paraissent s’être divisées par des cloisons en plusieurs
autres plus petites; c’est évidemment l’ébauche du tissu existant
dans la partie correspondante de la branche normale, mais où
l’épaississement des parois ne s’est pas produit. Enfin, la moelle
est composée de cellules égalant en nombre celles de la branche
développée à la lumière (10—1%4 sur un diamètre), et augmentant
aussi en grandeur vers le centre; mais la largeur absolue des cellules
étiolées est beaucoup plus considérable et leurs parois sont encore
moins épaissies, tandis que la longueur absolue des cellules est
au contraire la même dans les deux cas.

Les résultats moyens des mesures prises sur ces deux branches

sont les suivants:

branche normale. branche étiolée.
Epaisseur radiale :

de la couche corticale morte, subé-

rifiée, repoussée par le liége . . . 22 24
de la couche subéreuse feat: 2188 15
MER UD. LI. our on gg * 6
daylémer. tt. s : : Bi, 140 22
du tissu situé entre l'étui ddl

et la moelle . . . LS LECUE CES PESTE € 5 41
Epaisseur totale de la iélle Dhs essai 0 126

le tout exprimé en divisions du micromètre oculaire.

_Ces chiffres, de même que les figures 3 et 4, mettent pleine-
ment en évidence les importantes modifications que l'absence
de lumière peut déterminer dans les différentes parties de la
branche de Fuchsia. I est incontestable que la moelle prend
ici dans l’obscurité un développement inusité; mais, de la com-
paraison des mesures relatives à la branche plus jeune et à la
branche plus âgée, il paraît résulter que chez la branche étiolée

e

312 N. W. P. RAUWENHOFF. SUR LES CAUSES DES FORMES

les cellules inédullaires s’allongent d’abord plus que chez la
branche normale, et qu'ensuite elles croissent principalement
dans la direction radiale (probablement parce que l'épaississement
des élements ligneux occasionne alors une trop grande résistance),
de sorte que finalement la moelle de la branche étiolée se compose
d'un plus grand nombre de cellules dans la direction de l’axe,
cellules qui ne sont pas plus longues, mais beaucoup plus larges
que les cellules normales.

Un autre exemple nous est fourni par l Impatiens lricornis.
De cette espèce, j'ai examiné de jeunes plantes germées qui
avaient crû à l’air hbre, et d’autres, du même âge, qui s'étaient
développées sous une cloche de Sachs, au bichromate de potasse.
Ces dernières avaient reçu moins de lumière, et cette lumière
provenait exclusivement de la moitié la moins réfrangible du spectre.
Bien que chez elles aussi les jeunes feuilles fussent devenues
vertes, les phénomènes anomaux n’en étaient pas moins accusés
par la circonstance que les jeunes tiges avaient atteint une lon-
oueur. 2 à 3 fois plus grande que celles des plantes normales,
et étaient par contre beaucoup plus minces.

Chez les plantes étiolées, la longueur de l'axe hypocotyle était
de 30 mm. et celle du premier entre-nœud de 1 décim. La
erosseur des tiges vertes dépassait assez notablement celles des
tiges développées à la lumière jaune, pour que l’anneau ligneux
des premières formât sur la section transversale un cercle aussi
erand que la coupe entière des secondes. En mesurant les éléments
de l’article hypocotyle, je comptai chez les deux plantes 8 à 9
rangées de cellules corticales entre l’épiderme et l'anneau de
cellules amyliféres entourant le cercle des faisceaux vasculaires ;
chez toutes les deux aussi, 143 à 16 cellules médullaires sur le
diamètre de la coupe transversale. (Chez toutes les deux enfin,
.4 faisceaux vasculaires placés en croix, qui toutefois dans Îa
plante verte commençaient à <e différencier davantage. Quant aux
dimensions, au contraire, les cellules parenchymateuses des deux
plantes différaient considérablement.

ANORMALES DES PLANTES QUI CROISSENT DANS L'OBSCURITÉ. 313

Sur la coupe transversale on trouve, en effet:

chez la plante chez la plante développée
normale. à la lumière jaune.

erandeur des cellules corticales 23-25 moy. 24 14-21 moy. 17
) » » médullaires 20-30 » 925 13-22 » 17

Sur la coupe longitudinale:
orandeur des cellules corticales. 21-35 » 28 40-87 » 60
» >. >. médullaires 25-35 .». 30. 42-64 ». 56

ce qui montre que dans le tissu formé sous l'influence des
rayons jaunes, les cellules de lécorce et de la moelle, mais
surtout les premières, sont devenues beaucoup plus longues et
plus étroites. |

Dans le premier entre-nœud on retrouve les mêmes écarts
entre les deux plantes; elles ont en général la même structure,
mais chez -la plante allongée tout est moins développé dans la
direction transversale. C’est ainsi que l’épiderme a chez la plante
normale une épaisseur de 4 divisions micrométriques, chez l’autre
de 2; au-dessous, on voit chez la première 3 rangées de cellules
de collenchyme, mesurant 10-12 div., chez la seconde 2 à 38
rangées de cellules non encore épaissies, mesurant 5 div. ; viennent
ensuite les cellules du parenchyme cortical, de dimensions très
inégales, mais ordinairement plus grandes chez la plante verte.
Les deux entre-nœuds ont chacun 10 faisceaux fibro-vasculaires,
semblables de forme, mais moindres en grandeur et surtout en
épaisseur des parois chez la plante allongée. Enfin on voit chez
cette dernière 6-8 rangées de cellules médullaires, mesurant
ensemble 45-70 divisions, et chez la plante verte 7-8 rangées,
mesurant 90-100 div.; dans les deux cas il y a une cavité cen-
trale, provenant de l’atrophie des cellules internes de la moelle
et de l'accroissement prépondérant à la périphérie.

Sur la coupe longitudinale, toutefois, la différence est inverse.

On trouve ici:

chez la plante chez la plante développée
normale. à la lumière jaune.

longueur des cellules corticales 10-16 moy. 13 25-45 moy. 34
» ) » médullaires 18-25 » 21 60-100 » 80
ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XIL 20

314 ON. W. P. RAUWENHOFF. SUR LES CAUSES DES FORMES

Le Vicia Faba m'a également présenté des changements trés
remarquables dans la structure des tiges soustraites à l’action de
la lumière. Des graines germées de cette plante, développées
comparativement dans l’obscurité et à la lumière, ne montrèrent
pas seulement un parenchyme à cellules plus larges dans le pre-
mier cas, mais le nombre et la forme des faisceaux vasculaires
étaient aussi modifiés notablement, comme on le reconnaît au
premier coup d'œil jeté sur les fig. 7 et 8. Chez la plante
verte, la base de la tige renferme 15 faisceaux vasculaires dis-
posés en cercle et 4 à l’extérieur, appartenant à deux paires de
feuilles; la moelle est déchirée au milieu et manque par suite
au centre. La tige étiolée n’a au contraire que 6 faisceaux
vasculaires placés en cercle, tous plus élargis dans la direction
tangentielle et faisant saillie dans la moelle, laquelle est restée
entière. (Gette forme différente des faisceaux vasculaires sur la
coupe transversale est peut-être imputable, d’une part à l’imper-
fection constamment observée du développement et de l’épais-
sissement des éléments du faisceau vasculaire lui-même, d'autre
part à la lenteur de l’accroissement de la moelle, comparé à celui
des parties périphériques, phénomène qui est général chez les
plantes à tiges creuses. Si, en eflet, par suite de l’absence de
lumière, d’un côté les faisceaux vasculaires conservent des parois
minces, et de l’autre côté la moelle reste -plus longtemps imbibée
de sucs et vivante, il doit, dès que le caractère propre de ces
tiges (celui de devenir creuses à une certaine époque par l’atrophie
de la moelle) commence à se manifester par la diminution d’ac-
croissement des cellules médullaires, en résulter une tension radiale,
qui modifiera la direction des éléments encore flexibles du faisceau
vasculaire. Sous ce rapport, le Vicia Faba fournirait donc un
appui à la théorie de M. Kraus concernant l'influence de la moelle.
Cette théorie ne saurait convenir toutefois aux entre-nœuds supé-
rieurs, lesquels sont creux, tout comme dans les tiges vertes,
quoique d’ailleurs considérablement allongés.

Les modifications de structure que subit dans l'obscurité le
Polygonum cuspidatum ne sont pas moins dignes d’attention.

ANORMALES DES PLANTES QUI CROISSENT DANS L'OBSCURITÉ. 315

Comme on le sait, le rhizome de cette plante japonaise supporte
très bien l'hiver dans nos jardins. Un pied placé em pleine terre
ayant développé au printemps de jeunes tiges hautes de quelques
centimètres, J'en introduisis quelques-unes dans des tuyaux de
drainage en terre cuite, dont plusieurs furent successivement
superposés l’un à l’autre à mesure que la tige grandissait, le
dernier étant toujours couvert d’une grande coupe dont le bord
embrassait celui du tuyau, de manière à maintenir la tige con-
stamment dans une chambre obscure de hauteur suffisante. Ces
tiges se développérent ainsi concurremment avec d’autres nées
du même rhizome vivace, mais, par suite de la soustraction de
la lumière, les entre-nœuds déjà formés s’étiolérent complétement
et les nouveaux devinrent 11 à 2 fois plus longs que ceux des
tiges veïtes, tandis que les feuilles restèrent très-petites et de
couleur jaune. Celles-ci étaient surtout peu développées en largeur,
et avaient leurs bords roulés en arrière.

Lorsque les ‘tiges tant vertes qu'étiolées eurent atteint leur
accroissement complet, j'en fis des coupes à différentes hauteurs
et les étudiai au microscope. On reconnaissait d'emblée qu'ici
encore les faisceaux vasculaires de là plante étiolée étaient à un
état de développement beaucoup moins avancé, tandis que leur
nombre ainsi que l'épaisseur totale de la tige ne différaient pas
très notablement dans les deux cas. L’épiderme et l'écorce primaire
présentaient peu de différence sur la coupe transversale; sur la
section longitudinale, on constatait que les cellules de l’une et
de l’autre partie étaient plus allongées dans la tige étiolée. Par
contre, les fibres libériennes épaissies et les cellules ligneuses,
tout en ayant des parois beaucoup plus minces, n'étaient pas
plus allongées que dans la plante normale. Les cellules médul-
laires s'étaient comportées comme le parenchyme cortical: de
grandeur à peu près égale sur la coupe transverse, elles avaient
dans la direction de l’axe longitudinal une longueur plus que
double chez la tige étiolée. Quant au creusement de la tige par
atrophie de la moelle, il parait commencer un peu plus tard
chez la plante étiolée, mais atteindre ensuite les mêmes proportions.

| 20*

316 N. W. P. RAUWENHOFF. SUR LES CAUSES DES FORMES

Du moins, un entre-nœud étiolé de 2,5 mm. de diamètre avait
encore une moelle presque intacte; un article un peu plus âgé,
de 5 mm. d'épaisseur, présentait une cavité centrale occupant
environ le tiers de la coupe, mais plus petite que celle d’un
article du même âge de la plante verte; enfin, dans les mérithalles
tout à fait adultes, 1l n’y avait plus aucune différence sensible
sous ce rapport. |

Il est encore digne de remarque que les noyaux cristallins,
qui chez la plante verte occupent des cellules de forme déterminée,
tant dans l'écorce primaire que dans le phloëme à parois minces
et dans la partie périphérique de la moelle, manquent entièrement
chez la plante éuolée; ce fait indique entre les deux plantes une
différence chimique, sur laquelle nous reviendrons plus loin.

Les résultats des mesures (exprimés -en divisions du micromètre
oculaire, attendu qu'il ne s’agit pas ici de grandeurs absolues,
mais seulement de grandeurs relatives) sont les suivants:

section trausversale. Tige verte. Tige étiolée.
épaisseur radiale du faisceau vasculaire entier. 95 99
) ) » _phloëme à parois épaisses. 16 a)
» » » phloëme à parois minces
et .du cambium..: 09 42
) » D: XVIème... 4 CIE 99
) ) de l’étui médullaire . . . . . 20 15
grandeur des cellules médullaires . . . .... 45,2 [RE

section longitudinale.

longueur moyenne des cellules épidermiques . 9,5 13,9
De » » » COrtICAlES "PRE 92,4
» ». » ) hbériennes à
| parois épaisses. 90 89
» » ) » ligneuses . . . 88 88
» » ) » médullaires . : 29,5 62

Si ces chiffres établissent suffisamment la réalité de la différence
brièvement décrite ci-dessus, un coup-d’œil sur lesfig. 9 et 410 (PI. VID),

ANORMALES DES PLANTES QUI CROISSENT DANS L'OBSCURITÉ. 917

qui représentent la coupe transversale d’un faisceau vasculaire
de la tige verte et de la tige étiolée, et qui n’ont pas besoin
d'autre explication, donne immédiatement une idée des modifica-
tions anatomiques occasionnées par l'absence de lumière.

Les mêmes phénomènes se produisent aussi dans les tiges
monocotylées. Chacun les connaît chez l’Asparagus officinalis,
dont les pousses printanières restent tendres et succulentes, en
prenant un allongement considérable, tant qu’elles demeurent
dans l’obseurité, mais deviennent bientôt vertes et plus ou moins
lisneuses, lorsqu'elles sont exposées à la lumière. Comme autre
exemple je citerai le Tradescantia zebrina. Des boutures bien
enracinées de cette espèce, placées dans l'obscurité, se dévelop-
pérent presque exclusivement à la partie basilaire des entre-nœuds,
ce qui était mis en évidence par des points préalablement mar-
qués sur ces entre-nœuds, à des distances égales et rapprochées.
Du reste, les parties formées dans l’obscurité se distinguaient
immédiatement à leur couleur blanche et à leur épaisseur plus
srande. En comparant leur coupe transversale avec celle des
tiges vertes, je trouvai d’abord, chez les plantes étiolées, les
cellules épidermiques et les quatre ou cinq rangées subjacentes
de cellules parenchymateuses à parois beaucoup plus minces;
la partie qui vient ensuite dans les tiges vertes, le cercle de une
rangée de cellules épaissies, à parois colorées en jaune et plus
épaisses, cercle qui unit les faisceaux vasculaires les plus
périphériques, manquait entièrement. Le nombre des faisceaux
vasculaires était le même de part et d'autre, et ils ne différaient
pas beaucoup non plus par le nombre de leurs éléments; de
part et d'autre aussi on ne trouvait ordinairement que 1 ou 2
grands vaisseaux spiraux, mais, quant à la consistance et à
l'épaisseur, tant des éléments du bois que de ceux du liber, il
y avait une différence sensible. La supériorité de consistance
était encore plus prononcée, chez la tige verte, pour les parois
des cellules de la moelle, qui étaient évidemment plus tendues
que les cellules médullaires, souvent à parois ondulées, de l’entre-
nœud étiolé. |

318 N. W. P. RAUWENHOFF. SUR LES CAUSES DES FORMES

Bien qu’il y eût dans les deux cas des Inégalités considérables
sous le rapport des dimensions des différentes cellules médullaires,
des cellules grandes et petites alternant toujours entre elles,
je constatai pourtant, par des mesures multipliées, qu’en moyenne
la taille, aussi bien que le nombre des cellules, était un peu
plus grande dans la plante étiolée. Chez celle-ci, en effet, je
trouvai sur le diamètre de la coupe 22 cellules, mesurant en
moyenne 19 divisions du micromèêtre; chez la tige verte 19
cellules, mesurant en moyenne 17 divisions; l’épaisseur plus
orande de l’entre-nœud étiolé (30 millimètres, au lieu de 923
comme chez la plante verte) est donc entièrement expliquée par les
dimensions du tissu fondamental interne. Sur la coupe longitudinale,
les cellules en question ne diffèrent pas sensiblement en grandeur.

Chez le Spironema fragrans on observe également, après que
la plante est restée quelque temps dans l’obscurité, un allonge-
ment considérable de la tige, les entre-nœuds formés ayant
4 à D fois la longueur des parties normales. L’épaisseur de ces
entre-nœuds étiolés est toutefois moindre que celle des tiges vertes.

Enfin, un exemple remarquable des anomalies en question nous
est encore offert par le Fritillaria imperialis croissant dans l'obscurité.

Le long du côté septentrional d’une des serres du jardin
botanique de notre Université, se trouve une ligne de bulbes de
cette Liliacée, qui passent l'hiver en pleine terre et poussent
chaque année leurs tiges aériennes normales. Au printemps de 1875,
dès que les jeunes plantes s’élevèrent à quelques centimètres
au-dessus de terre, une couple furent recouvertes chacune de
deux larges tuyaux de drainage, superposés l’un à l’autre et bien
adaptés par le collet, puis l’ouverture du haut fut fermée par
une grande coupe en terre, dont le bord recourbé embrassait
le bord supérieur du tuyau. La plante, maintenue en pleine terre,
était ainsi placée dans une chambre obscure, qui, de même que
pour le Polygonum (voir ci-dessus p. 315), pouvait au besoin
être exhaussée, au moyen de tuyaux supplémentaires; elle y
trouvait une humidité suffisante et un air suffisamment renouvelé
pour pouvoir se développer parallèlement à la plante qui végétait

ANORMALES DES PLANTES QUI CROISSENT DANS L’OBSCURITÉ. 9319

à l'air libre, à côté d'elle. La preuve que cela avait réellement
eu lieu fut obtenue, lorsque, le 9 mai, les deux plantes voisines,
développées l’une à l'abri et l’autre sous l'influence de la lumière,
furent coupées et soumises à l'examen. Toutes les deux étaient
en pleine floraison; tous les organes se montraient bien développés,
les fleurs de grandeur normale, avec des étamines et des pistils
bien constitués. Seulement, les couleurs du périanthe étaient moins
vives, la tige plus longue, les feuilles moins nombreuses et plus
étroites chez la plante qui avait vécu dans l'obscurité.

Les dimensions de la plante étiolée et de la plante verte étaient
les suivantes:

plante verte. plante étiolée.
grosseur de la tige à la base. . . . .. 2,3 centim. 2,3 centim.
) sm pédonculé..... 1... 1,1 40
longueur de la tige depuis le pied jusqu’à
première; feuille... . 18 29
» depuis la première feuille jus-
auaplardérnniere :;:..;.. NEA 92
M du /pédoncule::.., 1.010. 43 A4
donc, longueur totale de la plante. . . 107 195
longueur de la feuille inférieure . . . . 16 12
Een de amême..,....:...i.. ; 4,9
longueur d’une des feuilles supérieures. 16 16
Een de la même. . . ..: ..,.. RUES 4,0

longueur des feuilles de la couronne qui
surmonte les fleurs:

feuille la plus grande . . . . .. 13 11
D D-iipelité, sie at 7 10
largeur de ces feuilles:
feuille la plus grande . . . . .. 1,9 1,8
DD D DELLE ei. .Has tt (He 1,0
nombre total des feuilles au-dessous des
ÉD NS ERREUR 65 30
» des feuilles de la couronne . . 26 15

) AESRHICUES TU ee A7 | 4

3920 NN. W. P. RAUWENHOFF. SUR LES CAUSES DES FORMES

On voit clairement par ces chiffres que, si la plante développée
dans l’obscurité était un peu moins vigoureuse que la plante verte,
tous les organes y existaient pourtant dans un état en apparence
normal; le Fritillaria fournit donc un exemple frappant de ce
fait, que la lumière n'est pas nécessaire à la croissance et à
l'épanouissement, lorsque les organes, ainsi qu'il arrive généra-
lement chez les plantes bulbeuses, sont déjà ébauchés dans le
bourgeon.

. L'étude anatomique dévoila toutefois, dans ce cas aussi, diffé-
rentes anomalies. |

Sur la coupe transversale de la base de la tige on voit un
grand nombre de petits faisceaux vasculaires, qui existent jusqu’au
centre (de sorte que la tige n’est pas creuse), et dont l’ensemble
est entouré extérieurement d’un anneau continu de 6—10 couches
de petites cellules épaissies (Schutzscheide, Gefässbündelscheide
des Allemands, gaine des faisceaux vasculaires). Cet anneau est
limité à son tour par environ six rangées de grandes cellules
ellipsoidales, entre lesquelles sont disséminés de larges canaux
aériens, et le tout est enveloppé d’un épiderme à parois plus
épaisses à l'extérieur.

Cette structure se retrouve à la fois dans la tige étiolée et
dans la tige verte, mais chez celle-ci les couches cellulaires ex-
ternes contiennent de la chlorophylle, et tous ses éléments ont
généralement aussi des parois plus épaisses; c’est ainsi, par exemple,
que les cellules du tissu fondamental y sont des cellules ponctuées,
ce- qui n’est pas le cas chez la tige étiolée.

La gaine des faisceaux vasculaires, formée chez la tige verte de
8-—10 rangées de cellules très épaissies et mêlées de canaux ponctués,
ne renferme chez la tige étiolée que 4—6 rangées de cellules beau-
coup moins épaisses. Le même caractère se retrouve dans le faisceau
vasculaire lui-même: bien qu'il soit composé dans les deux tiges des
mêmes éléments, le nombre et l’épaississement des vaisseaux sont
moindres chez la tige étiolée. De là vient que celle-ci, qui est d’un
blanc clair, se laisse couper beaucoup plus facilement que la tige
verte:

ANORMALES DES PLANTES QUI CROISSENT DANS L'OBSCURITÉ. 321

Les cellules épidermiques ne diffèrent pour ainsi dire pas; sur
les deux tiges on trouve de grands stomates, distribués avec
parcimonie et remplis de grains de fécule, qui, chez la tige étiolée,
sont même encore plus nombreux et plus grands. La coupe lon-
oitudinale des deux tiges n'offre pas non plus de différences
notables, si ce n’est que les cellules du parenchyme sont en
moyenne un peu plus longues et à parois moins épaisses dans
la tige étiolée. Les vaisseaux sont toujours principalement des
vaisseaux Spiraux. | |

L’épiderme des feuilles possède dans les deux cas des stomates,
pareils en nombre et en grandeur. La chlorophylle manque bien
entendu chez la tige étiolée, mais non la fécule. Les cellules
épidermiques elles-mêmes sont, dans cette tige, beaucoup plus
. étroites (quelquefois seulement moitié aussi larges) et un peu plus
longues.

Le pédoncule montre chez les deux plantes la même structure
que la tige feuillée, eg même temps que des différences analogues
entre celui qui à crû à ia lumière et celui qui s’est développé
dans l'obscurité; enfin, le même type se retrouve encore, bien
que simplifié, dans le pédicelle. Le tissu parenchymateux sous-
épidermique est abondamment pourvu de chlorophylle chez la
plante normale, complétement incolore chez la plante soustraite
à la lumière; au-dessous de ce tissu se trouve chez toutes les
deux l’analogue de la gaine des faisceaux vasculaires, qui chez la
plante étiolée se distingue à peine du parenchyme extérieur, tout
aussi peu épaissi. Bien que les deux pédicelles aient à peu près la
même grosseur, le nombre des faisceaux vasculaires de la coupe
transversale est de 34 dans le pédicelle normal et seulement de
25 dans l’autre, outre que les éléments vasculaires sont beaucoup
moins Épaissis. |

De tous les exemples qui viennent d’être décrits, on peut tirer
la conclusion que, lorsque les tiges des plantes se développent
dans l'obscurité, l’épaississement des parois cellulaires ‘fait géné-
ralement plus ou moins défaut, ou reste imparfait. En réalité,

LL d

329 N. W. P. RAUWENHOFF. SUR LES CAUSES DES FORMES

cela s'applique à tous les tissus de la plante; c’est ainsi, par
exemple, qu'on voit dans l’état normal une partie du parenchyme
cortical former du collenchyme, ce qui chez les plantes étiolées
ne se fait qu'incomplétement ou pas du tout. Mais la différence
en question s’accuse le plus dans les éléments à parois norma-
lement épaisses du faisceau fibro-vasculaire: Chez celui-ci, à l’état
étiolé, les organes élémentaires sont ordinairement moins nombreux
et moins différenciés, de sorte que l’ensemble présente un caractère
de développement imparfait, de jeunesse relative, sans toutefois
ressembler entièrement à la tige normale prise à un âge moms
avancé.

D’après le résultat de mes recherches et de mes mesures, Je
dois donc donner raison à M. Kraus, lorsqu'il déclare que la tige
étiolée se trouve anatomiquement à un degré plus bas que celui .
de la tige normale et verte du même âge.

Les résultats obtenus par M. Koch, sur des tiges de seigle
soustraites partiellement à la lumière, sont en parfait accord
avec cette affirmation. ,,Lorsque des organes caulinaires se dé-
veloppent à l’ombre”, dit-il, ,,l’épaississement de leurs cellu-
les est entravé” (L.c., p. 9); ses figures montrent. clairement
aussi cette différence.

Où faut-il maintenant chercher la cause de ce phénomène?

M. Kraus (7. c., p. 241) attribue la minceur des parois des
cellules épidermiques et collenchymateuses des tiges étiolées à
l’absence de la matière colorante de la chlorophylle, vu que les
grains chlorophylliens jaunes, non éclairés, sont incapables d’assimi-
lation. Le non-épaississement des éléments des faisceaux vasculaires
est, suivant lui, la conséquence des faibles dimensions qu’atteignent
les feuilles, attendu que dans l’état normal cet épaississement des
parois du faisceau fibro-vasculaire commence tard, lorsque déjà
les feuilles les plus rapprochées sont à peu près adultes.

Cette explication ne me paraît pas fondée, car, en premier lieu,
l’épaississement des parois fait aussi quelquefois défaut dans la
moelle (voir, par exemple, ma description du Fuchsia globosa,
p. 308), bien que celle-ci à l’état normal ne contienne pas de

‘

ANORMALES DES PLANTES QUI CROISSENT DANS L'OBSCURITÉ. 323

chlorophylle. M. Kraus lui-même a senti la faiblesse de son
argument; il remarque, en eflet, sci lui objectera peut-être
que dans le collenchyme, précisément à à l’époque où il s’épaissit
et encore longtemps après, on ne peut constater la présence
de la fécule dans les grains de chlorophylle; puis il essaie de
lever la difficulté en supposant gratuitement que la fécule est
consommée à mesure qu’elle se forme. D'un autre côté, l’ex-
plication de M. Kraus est contredite par le fait que, dans plusieurs
de mes observations, les cellules du parenchyme cortical et les
cellules de l’épiderme étaient, tout comme celles de la moelle,
plus développées qu'à l'ordinaire. Je serais donc porté à voir
ici un effet, non pas tant du défaut de matières propres à la
nutrition, mais d’une modification du processus vital, par suite
de l’absence du stimulant de la lumière. Peut-être certaines
matières, nécessaires à lépaississement des parois des cellules
existantes, cessent-elles alors de se former. A cet égard, toute-
fois, on ne saurait encore rien dire de certain. En tout cas,
le manque de matière colorante chlorophyllienne ne peut être
un obstacle général à l’épaississement des parois, car comment
se formeraient alors les tissus parfois considérablement épaissis
de tant de racines et de rhizomes? L’explication de M. Kraus
me semble donc inadmissible, bien que je n’en aïe pas de meil-
leure à mettre à la place.

En même temps que la différence de structure anatomique,
dont il vient d’être question, on observe en beaucoup de cas
un allongement anormal de la tige’ étiolée. A quoi celui-ci
est-il dû? M. Kraus en a donné, comme nous l'avons vu, une
explication qui paraît très simple et très rationnelle. Dans ses
recherches antérieures sur la tension des tissus (Bot. Zeit., 1867),
il avait trouvé que lors du développement des entre-nœuds la
moelle est en avance sur les parties plus extérieures, qui par
suite sont plus ou moins étirées. À cette extension dans la direc-
tion de l’axe longitudinal une limite est bientôt posée, dans
état normal, par l’épaississement des parois des divers éléments
de l'écorce et surtout du faisceau vasculaire, de sorte que la

324 N. W. P. RAUWENHOFF. SUR LES CAUSES DES FORMES

moelle est ensuite plus ou moins retenue par la résistance des
cellules de la tige, épaissies et à développement plus lent.
Mais dans la tige étiolée, où, comme nous l’apprend la structure
anatomique, cet épaississement des parois ne se fait pas, la moelle
a libre jeu et attemt alors non-seulement la longueur entière,
qu’elle prendrait dans l’état normal si elle n’était pas retenue
par d’autres éléments, mais une longueur encore plus grande, parce
que les cellules médullaires s’allongent surtout par l’absorption d’eau.

De cette manière il est rendu compte, semble-t-1l, du fait
connu, que les cellules médullaires de la tige éuolée sont plus
longues que d'ordinaire, et lexplication est aussi d'accord avec
les expériences de M. Sorauer (Bot. Zeit., 1874), d’après les-
quelles la moelle croîtrait en longueur rien qu’en absorbant de.
l’eau. M. Kraus s’est ensuite demandé si l'excès de longueur
des cellules médullares suffit seul à expliquer l'allongement de
la tige étiolée, en d’autres termes, si l'allongement des cellules
de la moelle est en rapport direct avec celui de la tige. Plus
heureux que M. Sachs, — qui à cause de la grandeur très
inégale des cellules du même tissu n'avait pu arriver à un résultat
certain, — il a trouvé que le surallongement des cellules de la moelle
expliquait bien en grande partie, mais non complétement celui
de l’entre-nœud, d’où il conclut que les cellules doivent aussi
se mulluiplier plus qu'à l'ordinaire. Les observations de M. Batalin
ont confirmé cette conclusion, et moi-même j'ai obtenu des
résultats analogues, que je juge toutefois mule de rapporter,
vu leur conformité avec ceux de mes devanciers

Suivant la manière de voir de M. Kraus, la moelle est donc
l’agent actif de l'allongement exagéré de la tige dans l'obscurité, et
cet allongement dépend de la différence de tension entre les couches
de tissu internes et externes. Cela est en harmonie avec le fait que
les tiges volubiles et grimpantes, chez qui la tension des tissus
est extrêmement faible, conservent dans l’obscurité leur longueur
normale. Il suit en outre, de cette manière de voir, que là
où la moelle manque, l’allongement inusité doit aussi cesser de
se produire. M. Kraus n’a pas examiné ce point, mais les résul-

ANORMALES DES PLANTES QUI CROISSENT DANS L'OBSCURITÉ. 395

tats obtenus par M. Koch, sur des pieds de seigle recevant. une
lumière insuffisante, m'avaient déjà fait douter que l'explication
de M. Kraus fût applicable en ce cas.

Pour éclaircir ce doute, j'ai étudié expressément la manière
dont quelques plantes à tiges creuses se comportent dans l’ob-
scurité. Les résultats de ces expériences ont été donnés ci-dessus,
p. 312 pour Impatiens, p. 316 pour Polygonum cuspidatum, et
p.307 pour Phaseolus mulliflorus. Dans tous ces cas, il y eut
surallongement de la tige, et, comme le montrent les mesures
du Polygonum, non-seulement le petit nombre de cellules mé-
dullaires déjà formées, mais aussi et surtout les cellules de l’écorce
et de l’épiderme avaient acquis par l’étiolement une longueur
plus que double. L'office actif, dans ces cas, ne doit donc pas
être attribué exclusivement à la moelle, mais pour le moins au
même degré aux cellulès de l'écorce. Tout au plus pourrait-il
être question de la moelle comme agent actif dans la phase de
première jeunesse, à raison du fait que chez la tige étiolée la
moelle reste plus longtemps vivante, et par conséquent la.
cavité centrale de la tige atteint un peu plus tard la grandeur
normale (voir ci-dessus, p.319). Du reste, cet allongement exagéré
des cellules corticales se montre aussi ailleurs, par exemple chez
le Fuchsia (p.309) et l'Impatiens tricornis (p. 313) ; en tant qu'il
s’agit de distinguer dans la tige une partie s’allongeant active-
ment et une autre s’allongeant passivement, je voudrais donc
regarder comme partie active non-seulement la moelle, mais tout
le tissu fondamental (Grundgewebe de Sachs). Cele serait aussi
d'accord avec les résultats fournis par les tiges monocotylédones,
chez lesquelles, surtout dans les cas où les faisceaux fibro-vasculaires
s'étendent jusque dans la partie centrale, on ne saurait par-
ler de moelle proprement dite. (et accroissement énergique
du tissu fondamental peut d’ailleurs consister, soit dans lal-
longement des cellules suivant la direction de laxe végétal,
ce qui est le cas ordinaire, soit dans leur développement
dans le sens perpendiculaire à cet axe, lorsque, comme chez
le Tradescantia zebrina, la tige s’épaissit par l’étiolement.

326 N. W. P. RAUWENHOFF. SUR LES CAUSES DES FORMES

La théorie de M. Kraus, attribuant la longueur anormale de
la tige placée dans l'obscurité à l’accroissement exagéré de la
moelle, combiné avec le faible épaississement des organes élémen-
taires du faisceau vasculaire, conduit à penser que chez les tiges
étiolées la fension*doit être moimdre que chez les tiges normales,
sans toutefois devenir nulle. M. Kraus (p. 240 de son Mémoire)
rapporte à cet égard quelques données numériques, qui montrent
que la tension est réduite dans les organes étiolés à environ la
moitié de sa grandeur ordinaire, et quelquefois à moins. A ce
même point de vue, 1l remarque que les tiges où il n'existe pas
de tension à l’état normal, celles du Cucurbita par exemple, ne
montrent pas non plus de surallongement dans l'obscurité, fait
* que j'ai vu moi-même chez l’{pomaea.

Relativement à cette tension je n’ai d’ailleurs rien de nouveau
à communiquer, n'ayant pas fait d'expériences spéciales à ce sujet.
Je dois seulement déclarer avoir plus d’une fois observé une tension
évidente dans les parties étiolées de Phaseolus, Fuchsia, Rosa,
Polygonum. Quand on détachait l'épiderme, celui-ci se courbait
souvent tout autant que chez les plantes normales. A l'appui de
cette assertion, rappelons aussi l’intéressante expérience de M
Duchartre (Comptes rendus, t. LXI, p. 442), répétée avec le
même résultat par M. Hugo de Vries (Arbeiten d. botan. Instituts
zu Würchurg, UT, p. 328), suivant laquelle la tige du Dioscorea
Batatas ne s'enroule pas dans l'obscurité prolongée, mais s'élève
droite le long du tuteur, jusqu'à une hauteur de 1,3 à 12,5.
Nous avons ici un exemple d’une tension encore plus forte dans
l’état étiolé que dans l’état normal.

M. Famintzin, en étudiant la germination du Lepidium sativum
(Mélanges biologiques, St. Pétersbourg, t. VII), a trouvé que les
racines des petites plantes maintenues dans l’obscurité restaient
plus courtes que celles des pieds croissant à la lumière, et cela,
à ce qu'il pense, d'une quantité précisément telle, que la somme
des longueurs de la racine et de la tige serait égale chez les
plantes étiolées et chez les plantes vertes du même âge. Depuis,
il a confirmé ce résultat par un grand nombre d'observations

ANORMALES DES PLANTES QUI CROISSENT DANS L'OBSCURITÉ. 9327

(Bot. Zeitung, 1873, p. 367). Ayant fait germer 40 graines à
la hunière et un nombre égal dans l'obscurité, il mesura chaque
jour séparément la longueur de l'axe hypocotyle et celle de la
racine. Pendant 7 jours, la moyenne de chaque série de quarante
mesures donna un résultat conforme à la conclusion ci-dessus
énoncée. À partir du huitième jour seulement, les sommes présen-
tèrent un écart notable, parce qu'à ce moment les plantes germées
dans l'obscurité cessèrent de croître.

Sans vouloir en rien contester l’exactitude de ces résultats,
qui d’ailleurs ont été vérifiés par M. Lasareff (Just, Botan. Jahresber.,
Il, p. 779), je crois que l’équivalence des sommes en question
(à laquelle M. Famintzin attache de l'importance, mais qu'il ne
peut expliquer), ne saurait jeter de jour sur la question qui
nous occupe.

Si la relation susdité entre la longueur de la tige et de la
racine s’observait chez les plantes étiolées de tout âge, ce serait
à coup sûr, vu le mode compliqué et dissemblable de nutrition
et d’accroissement de ces organes, un phénomène extrêmement
remarquable, qui mériterait bien, en le supposant constant et
non accidentel, de faire l’objet d’un examen approfondi. Mais
cette égalité des sommes des longueurs n'a été constatée pour
laxe hypocotyle et la racine primordiale que dans les premiers
jours de la vie, c’est-à-dire, pendant la période où les deux
organes sont nourris exclusivement aux dépens des matériaux de
réserve de la graine. Ces principes nutritifs, provenant d’une seule
et même source, étaient alors conduits, tant que la masse
emmagasinée y suffisait, soit plus vers le haut, dans l’axe hypo-
cotyle, soit plus vers le bas, dans la racine; ils l’étaient en quantité
plus grande dans l'axe hypocotyle, quand l’accroissement vernal
de celui-ci était soustrait à l’action ralentissante de la lumière.
Dans ce cas, il restait moins de matières pour les besoins de la
racine. C’est là, je crois, le secret de l’équivalence observée par
M. Famintzin.

En second lieu, j'ai indiqué comme une propriété des tiges
étiolées leur position verticale. Tandis que les plantes végétant

398 N. W. P. RAUWENHOFF. SUR LES CAUSES DES FORMES

l'air libre ont les unes leurs tiges et leurs branches dressées,
les autres, au contraire, inclinées, horizontales ou même pen-
dantes, les pousses développées dans l'obscurité s'élèvent presque
toutes verticalement, et lorsque, avant d’être mises à l’abri de la
lumière, elles avaient crû dans une autré direction, les parties
jeunes et encore grandissantes ne tardent pas ensuite à se redrêsser
suivant la verticale. De nombreuses recherches, dues à différents
expérimentateurs, ont mis ce fait hors de doute. Parfois aussi
on a l’occasion de très bien voir le phénomène, sans expérience
proprement dite. Quand on visite au printemps les orangeries et
les serres froides des jardins botaniques, au moment où leur
contenu est porté au-dehors, on trouve sans trop de peine, parmi
les arbustes qui Gccupaient le fond, d'excellents exemples de tiges
étiolées. (C’est ainsi que j'ai été frappé souvent du singulier
aspect de grands Fuchsias et d’autres plantes, dont les bourgeons,
quelle que füt leur position première, s'étaient tous développés
en pousses blanches verticales, de 3 à 4 entre-nœuds, à la suite
des conditions défavorables de leur séjour d'hiver.

Pour les plantes qui croissent au grand jour, les causes de la
direction qu’elles prennent en s’allongeant ont été cherchées dans
la pesanteur et dans la lumière. Déjà au commencement de ce
siècle, Knight a tâché de fournir, par ses expériences de rotation,
la preuve directe de l'influence de la pesanteur. Plus tard, Hof-
meister, Sachs, Wigand et d’autres ont étudié l'influence des
agents en question. Tous les deux, la lumière comme la pesanteur,
ont le pouvoir de faire changer la direction des parties végétales
qui se développent; la première action est appelée héliotropisme,
la seconde géotropisme; l’une et l’autre peuvent être aussi bien
négatives que positives, et la direction définitive de la tige est
déterminée par leur résultante.

La cause prochaine des flexions ou incurvations + tiges, que
M. Hofmeister avait cherchée dans un excès d’extensibilité des
parois cellulaires de l’épiderme au côté convexe, est, d’après les
recherches de M. Sachs, un excès d’accroissement à ce côté.

Tandis que la direction des plantes vertes est ainsi déterminée

ANORMALES DES PLANTES QUI CROISSENT DANS L'OBSCURITÉ. 929

-

par le concours de différentes causes (auxquelles vient encore
s'ajouter en certains cas la flexion par surcharge), le phénomène

est plus simple chez les plantes étiolées, puisque l’un des facteurs,

Vaction de la lumière, fait défaut. Il ne reste plus que le géotropisme,
qui agit positivement dans les racines, négativement dans les tiges.
Cet effet se voit déjà chez les plantes qui se développent dans
la lumière jaune, par exemple dans celle qui est transmise par
une solution de bichromate de potasse, car le pouvoir héliotropique
manque à ces rayons. La direction verticale des tiges végétant
dans l'obscurité est donc une conséquence immédiate du géotro-
pisme négatif.

Quant à savoir, finalement, à quoi doit être attribué l’allon-
sement des tiges étiolées, voici comment. je me représente que
les choses se passent.

En l'absence de l’héliotropisme, le géotropisme peut faire sentir
librement son action sur le développement de la tige. Celle-ci,
comme nous venons de le voir, croitra donc sans obstacle dans
la direction verticale, et les bourgeons qui affectaient primitivement
une direction différente seront bientôt, par la même cause, infléchis
vers le haut.

L’accroissement, c’est-à-dire la division et l'agrandissement des
cellules, n’est pas lié à la présence de la lumière. Il peut avoir
leu tout aussi bien dans l’obscurité, pourvu que les matériaux
nécessaires à l’accroissement soient disponibles. C’est ce que nous
apprennent une foule de phénomènes de la vie végétale, par
exemple, la formation de nouvelles racines et de bourgeons cau-
hnaires sur les rhizomes, la production de stomates et de poils
(impliquant aussi de nombreuses divisions de cellules) à l’intérieur
de beaucoup d'organes où la lumière n’a pour ainsi dire aucun
accès, les partitions cellulaires des Algues, qui se font même de
préférence ou exclusivement la nuit, etc. Mais, aucune preuve
plus frappante que le développement ci-dessus esquissé (p. 318)
du Fritillaria, chez qui des tiges, des feuilles et des fleurs se
formérent au sein d'une obscurité totale.

ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XII. 21

330 N. W. P. RAUWENHOFF. SUR LES CAUSES DES FORMES
| LS

L’accroissement longitudinal de la tige dans l'obscurité, regardé
comme résultat aussi bien de la multiplication que de l’agran-
dissement des cellules, est donc parfaitement conciliable avec nos
vues actuelles. Bien plus, cet accroissement de longueur doit,
suivant ces vues, être souvent favorisé par l’obscurité.

Car, 1° la lumière exerce, comme l’a montré M. Sachs (Arbeiten
d. bot. Instituts zu Würzburg, Il), une influence retardatrice sur
l’accroissement, influence qui devient manifeste en un temps très
court. On n’a qu'à mesurer exactement, aux divers instants d’un
jour complet, l'intensité de l’accroissement sous les mêmes condi-
tions, notamment à température et humidité égales. On trouve alors,
comme suite de l'alternance naturelle du jour et de la nuit, une
élévation et une dépression périodiques de la vitesse d’accrois-
sement, avec un maximum à l'approche du lever du soleil et
un minimum peu après midi. L’obscurité continue occasionnera
donc, toutes choses égales d’ailleurs, un accroissement plus
énergique, c’est-à-dire 1c1 un allongement plus considérable de là
tige en un même temps.

20. L’héliotropisme est lui-même, à proprement parler, une
action retardatrice de la lumière sur l’accroissement. La flexion
de l’organe végétal vers la lumière est due, en effet, à ce que
le côté tourné vers la lumière croît moins vite que le côté opposé.
L'obseurité totale, ou une lumière dépourvue d'action héliotropique,
deux conditions où la flexion ne se produit pas, doivent donc
donner lieu à un allongement relativement plus grand de la tige.

La seconde partie de cette assertion est parfaitement démontrée
par l’expérience communiquée ci-dessus (p. 312), dans laquelle
l’'Impatiens, placé sous une cloche à bichromate de potasse, qui
ne laissait passer que les rayons sans action héliotropique, poussa
verticalement et se surallongea, tout en restant vert.

La raison pour laquelle une tige s’allonge beaucoup plus que
l’autre dans lobscurité, me paraît devoir être cherchée surtout
dans la grandeur différente de la tension qu'on rencontre chez
des plantes différentes, tant par rapport aux parois des cellules
mêmes que par rapport aux tissus comparés entre eux. En faveur

ANORMALES DES PLANTES QUI CROISSENT DANS L'OBSCURITÉ. 991

de cette opinion plaide d’abord la circonstance, justement signalée
par M. Kraus, que l'excès d’allongement à l’état étiolé est nul
ou extrêmement petit chez les plantes où l’on ne trouve que peu ou
point de tension des membranes. D’un autre côté, je crois pouvoir
invoquer les remarquables résultats obtenus par M. Traube sur
des cellules inorganiques, dites cellules artificielles (Archiv für
Anat. uw. Physiol., 1867, p. 87; expériences postérieures dans
Bot. Zeit., 1879, nos 4 et 5). Il est vrai qu’on ne peut en tirer des
conséquences qu'avec une extrême crconspection, attendu qu'il y a
une différence fondamentale, quant à la formation de la paroi et au
mode d’accroissement, entre les cellules inorganiques et les cellules
végétales; aussi ne voudrais-je pas souscrire sans réserve à l’ap-
plication que M. Traube lui-même a faite du résultat de ses
expériences, pour expliquer l’accroissement de la fève germée.
Mais, entre les deux espèces de cellules, je trouve pourtant, avec
M Reinke (Bot. Zeit., 1875, p. 425), cette analogie-ci: que
Paccroissement des unes et des autres exige une forte turgescence,
que cette turgescence est due à une énergique absorption d’eau
dans les interstices des membranes, et que l’accroissement des parois
se fait dans les deux cas par l’interposition de nouvelles particules
entre celles qui existent déjà, après que la distance de ces dernières
a été agrandie par la pression hydrostatique du fluide cellulaire. A ce
point de vue, l'étude des cellules inorganiques est propre peut-être
à jeter quelque jour sur ce qui se passe pour l'accroissement de
la tige placée dans l'obscurité. Les expériences de M. Sorauer
(Bot. Zeit., 18735, p. 145) ont montré combien l'absorption d’eau,
en augmentant la turgescence, favorise l’accroissement; et la
pesanteur agit, pour l'allongement des cellules de Traube, dans

le même sens que le géotropisme chez la tige végétale.

Un surallongement de la tige, dans l’obscurité, est encore
rendu possible par la circonstance que l’accroissement en longueur
nest alors entravé, ni par un grand épaississement des parois
des éléments du faisceau vasculaire, lesquels arrêteraient dans
leur développement les parties à parois minces, ni par une dépense
rapide des matériaux nutritifs en couches d’épaississenent de

21

332 N. W. P. RAUWENHOFF. SUR LES CAUSES DES FORMES

cellules existantes. Ni l’un ni l’autre, en effet, n’a lieu dans
l'obscurité.

Quant à la question de savoir pourquoi il naît plus de cellules
dans la tige étiolée que dans la tige verte, je ne saurais y répondre,
à moins de supposer que la division cellulaire se fait de préférence
dans l'obscurité et qu’ainsi l’absence continue de lumière permet
à ce phénomène de se répéter plus souvent.

Je ne puis dire. non plus, quelle est la vraie raison du
développement imparfait du faisceau vasculaire. Nous avons, je
pense, affaire 1c1 à un phénomène pathologique, dont la cause
déterminante nous échappe, que nous ne pouvons encore déduire
des données connues. D’autres facteurs entrent sans doute con-
curremment en jeu. C’est ainsi que dans la tige étiolée paraissent
manquer certaines matières nécessaires à l’accomplissement normal
des fonctions vitales, matières qui ne se forment que sous l’in-
fluence de la lumière. Plus loin, en parlant des modifications
subies par les feuilles, je reviendrai sur cette présomption, qui
a déjà été énoncée par M. Prantl. |

Changements de forme des feuilles.

Comme on l’a vu ci-dessus, p.302 etsuiv.,les anomalies que présentent
les feuilles des plantes étiolées ne sont pas expliquées de la même
manière par M. Kraus et par M. Batalin. L’explication de M. Kraus
revient essentiellement à ceci, que la feuille étiolée reste à l’état
où elle se trouvait dans le bourgeon, parce qu’elle n’est pas dans
l’occasion d’assimiler elle-même ; l'explication de M. Batalin consiste
à dire que la feuille reste petite, parce que les cellules ne se
divisent pas dans l'obscurité. A l'interprétation de M. Kraus,
toutefois, des objections fondées ont été faites par M. Batalin,
tandis qu'à son tour l'opinion de celui-ci a été réfutée par les
mesures directes de M. Prantl. Que faut-il donc penser à ce sujet ?

ANORMALES DES PLANTES QUI CROISSENT DANS L'OBSCURITÉ. 999

À quelles causes devons-nous attribuer le développement si différent
des feuilles étiolées ?

D'abord, en ce qui concerne les feuilles des (Grraminées et
d’autres Monocotylédones, qui dans l'obscurité deviennent longues
et étroites, elles me paraissent éprouver de l’absence de lumière
les mêmes effets que les tiges. La direction dans laquelle ces feuilles
croissent, direction à peu près verticale, fait à elle seule déjà
supposer que le géotropisme négatif joue ici un rôle. Cette influence,
de même que chez les tiges, devient prépondérante lorsque, par
suite du développement dans l'obscurité, l’héllotropisme ne Ja
contrarie plus. Or, quant à cette dernière action, l’observa-
tion de M. Sachs (Lehrb. d. Bot., 4° ëd., p. 808) montre que chez
les feuilles en question l’héliotropisme positif est très prononcé,
puisqu'elles deviennent même asymétriques quand elles ne sont
éclairées que d’un seul côté.

Notre présomption trouve aussi un appui dans la structure
anatomique de la feuille, qui est la même à la face supérieure
et à la face inférieure, et qui, chez la feuille étiolée, n’accuse
qu'un faible épaississement des parois dans les éléments des fais-
ceaux vasculaires. Chez ces feuilles étiolées le rapport entre la
longueur et la largeur est ordinairement changé, c’est-à-dire que,
ou bien (chez les Graminées) elles présentent un excès de lon-
oueur avec une largeur à peu près normale, ou bien (comme
chez le Fritillaria) la largeur a tout au plus la moitié de sa mesure
habituelle, la longueur concordant sensiblement avec celle des
feuilles vertes. Chez le Fritillaria, il résulte de mes mesures que
les cellules épidermiques étaient environ moitié aussi larges et
un peu plus longues que celles des feuilles normales, tandis que
les cellules stomatiques ne différaient ni en grandeur ni en nombre,
et, bien que privées de matière verte, étaient abondamment
pourvues de fécule. Je crois donc que les modifications des feuilles
en question peuvent être rapprochées de celles des tiges. L'opinion
de M. Kraus, d’après laquelle une différence de tension dans le
sens longitudinal et dans le sens transversal serait ici la cause
déterminante, me parait, de même qu'à M. Batalin, non justifiée,

334% N. W. P. RAUWENHOFF. SUR LES CAUSES DES FORMES

Ce qui vient d’être dit s'applique aussi, en second lieu, aux
pétioles, qui chez beaucoup de plantes atteignent dans l'obscurité
une longueur inusitée. Un pied feuillé de Primula chinensis, par
exemple, placé dans l'obscurité, ne montra pendant plusieurs
jours aucune modification dans ses feuilles, pas même dans celles
qui n'étaient pas encore tout à fait adultes. Celles-e1 cessèrent de
croître; par contre, les pétioles s’allongèrent considérablement et
atteignirent une dimension de 15 à 20 centimètres. Peu à peu
les feuilles les plus âgées, et ensuite les plus jeunes, commencèrent
à se faner et finirent par tomber. En même temps, 1l se forma
près du sommet de l’axe des feuilles nouvelles étiolées, avec un
limbe très petit, de 2 à 3 centimètres de largeur tout au plus,
et avec un très long péliole.

Le Pelargonium zonale présente le même phénomène, lorsqu'il
végèle dans lobscurité. Les petites feuilles formées dans ces con-
ditions avaient de très longs pétioles, dont le parenchyme était
constitué par des cellules plus longues, d’après mes nresures,
que les cellules correspondantes. du pétiole vert. Les cellules du
bois étaient aussi moins épaissies, et les faisceaux vasculaires
eux-mêmes étaient isolés et ne formaient pas un anneau ligneux,
comme dans les pétioles normaux.

Un troisième exemple m'a été fourni par le Polygonum bistorta.
Des rhizomes placés dans Peau développèrent des feuilles, tant à
law libre que dans un com obscur d’une chambre exposée au
nord. Mais ces feuilles avaient dans les deux cas des dimensions
bien différentes, comme le montrent les chiflres suivants:

f. vertes. f. étiolées.

longueur de la feuille et du pétiole. 8,0 centim. 18,0 centim.

» du limbe de la feuille . .. 6,0 » 45 »
donc! longueur: du! pétiole. 14 0 070 1310015
largeur du limbe de la feuille . . . : 2,0 » OHES

Enfin, j'ài encore à communiquer un fait intéressant relatif
au Rosa centifolia.

ANORMALES DES PLANTES QUI CROISSENT DANS L'OBSCURITÉ. 990

Deux pieds vigoureux furent placés, au printemps, l’un à la
lumière, l'autre dans l'obscurité. Tous les deux émirent une
nouvelle pousse, celle du second étant, comme on le sait d’après
ce qui a été dit ci-dessus au sujet de la tige (p. 306), blanche
et beaucoup plus longue que celle du premier. Les deux pousses
portaient des feuilles. Le rameau vert, terminé par un bouton
à fleur, avait trois feuilles développées, qui mesuraient en moyenne
10 centim. de la base du pétiole au sommet de la foliole terminale.
Celle-ci avait une longueur de 5,8 centim., sur une largeur de
3,0 centim., de sorte que le pétiole était long de 6,2 centim.

Le rameau étiolé, également terminé par un bouton à fleur
(qui était très long et mince), avait formé trois petites feuilles
rudimentaires, dont la foliole la plus grande ne mesurait que
1,7 centim. en longueur et 1,0 centim. en largeur, mais dont les
pétioles, beaucoup plus redressés que chez la plante normale,
atteignaient une longueur de 8,9 centim., et même plus.

Dans® le pétiole vert se trouvaient, tout près de l'extrémité,
trois faisceaux vasculaires, de grandeur à peu près égale sur la
coupe transversale; dans le pétiole étiolé il y avait également
trois faisceaux vasculaires, mais, indépendamment du caractère
ordinaire d’un épaississement moindre des parois, caractère
commun aux trois faisceaux, celui du milieu présentait une section
plusieurs fois plus grande que celle des deux faisceaux latéraux,
de sorte que la coupe-du pétiole avait un tout autre aspect. Aux
parties plus anciennes du pétiole, je trouvai 5 et quelquefois
6 faisceaux vasculaires dans les deux cas, mais toujours le faisceau
central était, chez la pousse étiolée, relativement plus grand
que les autres. |

Je constate le fait, sans pouvoir en donner d’explication.
Serait-ce de nouveau une conséquence de la tendance des organes
étiolés à pousser verticalement? Le géotropisme négatif entrerait-il
encore ici en jeu, et favoriserait-il l'accroissement des parties
centrales aux dépens des parties latérales, de même quil paraît
déterminer l'allongement des organes axiles, non celui des feuilles ?
Le phénomène pourrait-il être comparé à la réduction en largeur

330 N. W. P. RAUWENHOFF. SUR LES CAUSES DES FORMES

des feuilles monocotylées, dont nous avons parlé tout à l'heure ?
Dans ce cas, les pétioles se rattacheraient donc aussi aux organes
_ caulinaires, tant par l'augmentation d’accroissement en longueur,
que par la direction plus verticale, et par le défaut d’épaississement
des parois et le développement imparfait des parties latérales.
En troisième lieu, nous avons à considérer les feuilles des
Dicotylédones à nervures anastomosées, qui dans l’obscurité restent
généralement petites et non développées. Ici, 1l est extrêmement
difficile de rendre un compte tant soit peu satisfaisant des phé-
nomèênes qui se produisent. Pourrait-on supposer qu'il y a dans
ce cas une opposition polaire avec les organes caulinaires et avec
les feuilles qui croissent verticalement”? que la lumière, qui partout
ailleurs retarde l'accroissement, fait 1c1 tout juste le contraire et
favorise le développement”? Cela est difficile à admettre, et est
aussi immédiatement réfuté par l’héliotropisme des feuilles, qui
est positif dans la grande majorité des cas. Aussi, ni M. Kraus
ni M. Batalin n'ont-ils avancé cette hypothèse; au contraire,
M. Batalin (4 c., p. 681) confirme une observation antérieure
de M. Sachs, montrant qu'une lumière très forte est nuisible au
développement de beaucoup de feuilles, puisque dans ces circonstances
elles restent plus petites qu'à une lumière diffuse, moins intense.
L’explication doit done être cherchée ailleurs. M. Kraus croit
la trouvér en ce que les feuilles ne croitraient dans l'obscurité,
qu'autant qu'il est. nécessaire pour sortir de l’état de bourgeon.
Passé ce moment, elles sont destinées à assimiler elles-mêmes et
à former de la fécule au moyen de la chlorophylle. Il montre
l’absence de la fécule dans les feuilles étiolées, et en conclut que
celles-ci restent à l’état gemmaire et, ne pouvant se nourrir elles-
mêmes, doivent bientôt cesser de croître et mourir. Le phénomène,
toutefois, n’a pas ce degré de simplicité. Personne ne conteste
que les feuilles placées dans l’obscurité ne soient privées du pou-
voir d’assimilation, et qu'on n'y trouve pas de fécule, sauf dans
les cellules stomatiques et dans une rangée de cellules autour
des faisceaux vasculaires. Dans mes expériences, ce fait s’est aussi
constamment vérifié. Mais tout n'est pas expliqué par là.

ANORMALES DES PLANTES QUI CROISSENT DANS L'OBSCURITÉ. 337

D'abord, il n’est pas exact de prétendre que la feuille, après
avoir quitté l’état de bourgeon, doit se nourrir entiérement elle-
même. Cela est en contradiction avec le fait universellement connu
que presque toutes les feuilles, lorsqu'elles sont séparées de la
plante qui les a produites, sont incapables de continuer à croître,
même lorsqu'elles peuvent recevoir en abondance l'humidité né-
cessaire et les matériaux nutritifs tant inorganiques qu'organiques.
Une expérience spéciale, que j'ai faite 1l y a quelques années,
met cette incapacité en pleine lumière.

Dans l'été de 1867, j'ai pratiqué sur différentes plantes qui
croissaient vigoureusement en pleine terre, savoir Acer Negundo,
Bignonia Catalpa, Robinia Pseudo-Acacia, Rhus typhinum,
Dahha variabiis, Gleditschia triacanthos, des incisions plus ou
moins profondes au pétiole (ordinairement jusqu'au centre de
celui-ci), parfois en différents points de la même plante ou du
même pétiole général, puis jai abandonné à eux-mêmes, sur
la plante, les organes ainsi lésés. |

Le plus souvent ils centinuérent à croître, mais en subissant
des modifications remarquables, comme peuvent encore le mon-
trer les échantillons séchés que j'ai devant moi, qui furent cueillis
après leur entier développement. A mesure que l’incision avait
été plus profonde et la feuille plus jeune, les modifications
étaient naturellement plus prononcées, mais le résultat général
(déjà obtenu antérieurement par M. Donders) fut que la feuille
ou la foliole, bien qu’entièrement intacte elle-même, était plus
ou moins troublée dans son développement aussitôt que l'apport
de: matériaux nutritifs par le pétiole était plus ou moins entravé.
Citons un seul exemple, comme éclaircissement. Une feuille
pennée de Rhus typhinum, longue de 18 centim., fut incisée,
le 21 août, à gauche sous la premiére foliole, et à gauche
et à droite sous la troisième paire de folioles (comptées à partir
de la base). Lorsque la feuille, entièrement adulte, fut cueille,
elle avait une longueur totale de 42 centim., et, tandis que les
7 paires supérieures de folioles et la foliole terminale étaient
développées normalement, les 4 autres paires de folioles présen-

338 N. W. P. RAUWENHOFF. SUR LES CAUSES DES FORMES

taient des anomalies. La foliole inférieure de gauche et les deux
folioles de la 3e paire, situées toutes les trois directement au-
dessus des incisions pratiquées, n'avaient atteint que les # de
la grandeur normale. La 2e foliole de droite et la 4e paire te-
naient quant à leurs dimensions le milieu entre la 3e et la 5e paire
celte dernière ayant la grandeur normale et n’açcusant donc plus,
d'une manière appréciable, l'influence de l'incision. Les deux
folioles inférieures de droite avaient au contraire atteint une taille
plus grande que d'ordinaire. Elles étaient les plus grandes de
toutes les folioles de la feuille pennée. On voit donc combien une
feuille, déjà sortie de l'état de bourgeon, a encore besom de.
matériaux nutritifs apportés par le pétiole, combien elle dépend,
quant à son développement, de la quantité de ces matériaux.

Il est vrai que M. Kraus mentionne une expérience où il a
vu une feuille de Vitis vinifera, qu'il avait recouverte à moitié
d’une feuille d’étan, ne former de fécule et n’augmenter de grandeur
que dans les parties exposées à la lumière, de sorte que la feuille
était devenue asymétrique. Mais, sans élever le moindre doute
sur lexactitude de cette expérience (qui toutefois ne m'a pas
réussi), J y opposerai ce fait bien connu en horticulture, que sur
des fruits en maturation, des pêches par exemple, on peut faire
apparaître des figures diverses, des lettres ou -des chiffres, en y
appliquant une couverture opaque découpée à jour, telle que du
oros papier. La soustraction de lumière produit alors une dé-
coloration locale, comme chez la feuille de Vitès vinifera, mais
sans que l'accroissement s’en ressente, car les fruits soumis à ce
traitement ne sont pas irréguliers ou déformés, ainsi qu'il devrait
arriver dans le cas d’un arrêt local de l’accroissement.

Pour en revenir à la feuille: du fat que la feuille assimile et
produit de la fécule sous l'influence de la lumière, on ne saurait
déduire qu’elle puisse préparer elle-même tous ses matériaux et
vivre de ses propres ressources. Non-seulement les expériences
citées ci-dessus, mais les nombreuses analyses de feuilles de divers
âges le démontrent avec toute évidence. Sans remonter aux re-
cherches plus anciennes, on n’a qu'à consulter les résultats des

ANORMALES DES PLANTES QUI CROISSENT DANS L'OBSCURITÉ. 2339

analyses dés feuilles de hêtre aux diverses phases de leur déve-
loppement, analyses faites par M. Zôller (Landw. Versuchsstat.,
NI, p. 251) et plus tard confirmées et étendues par M. Rissmüller
{bid., XVII, p. 17), pour acquérir la conviction que pendant
toute la durée de son existence la feuille recoit et élabore des
matières et restitue des matières aux organes axiles, de sorte qu’à
proprement parler on ne peut même la concevoir accomplissant
ses fonctions vitales en dehors de sa liaison avec le reste de la plante.

En second lieu, on peut objecter à l'explication de M. Kraus
que la fèuille étiolée est tout autre chose qu'une petite feuille à
l'état gemmaire. La feuille née dans l'obscurité est en général
petite, tout en présentant des différences assez notables de di-
mensions chez des plantes différentes; mais toujours elle sur-
passe plusieurs fois en grandeur la petite feuille de la même
espèce, qui vient de sortir du bourgeon. Pour s’en convaincre,
on n'a quà comparer l’une et l’autre chez le Fuchsia, le Pelar-
gorium, le Phaseolus. etc. Chez le Begonia glabra la feuille
étiolée atteignit même une surface de 6 à 10 centim. carrés.

Le plissement ou l’enroulement, que les feuilles présentent
dans le bourgeon, ne se retrouve pas non plus chez la feuille
étiolée, bien que parfois les bords de la feuille rappellent un
peu cet état. |
Mais la preuve la plus concluante de la différence en question
est donnée par la structure anatomique de la feuille étiolée. Les
divers tissus y sont bien différenciés, beaucoup plus distinctement
que chez la feuille renfermée dans le bourgeon. Il y a aussi un
plus grand nombre de cellules dans la feuille étiolée, ainsi que
M. Prantl (Arbeiten d. bot. Inst. zu Würzburg, I, p. 384)
Va établi par des mesures spéciales chez le Phaseolus vulgaris.
Par là se trouve directement réfutée l'explication de M. Batalin,
suivant laquelle le défaut d’accroissement de la feuille étiolée
serait dû à ce qu'il ne peut s’y opérer de divisions cellulaires,
— explication qui était déjà rendue très improbable par les nom-
breux exemples de cellules se divisant dans l’obscurité que nous
fournit le règne végétal (voir ci-dessus, p. 329). Comparée à la

340 N. w. P. RAUWENHOFF. SUR LES CAUSES DES FORMES

structure de la feuille verte, celle de la feuille étiolée offre
toutefois quelques différences importantes. Outre les faisceaux
vasculaires, relativement peu développés, c’est surtout le paren-
chyme spongieux qui se trouve modifié. Tandis que l’épiderme
est bien développé dans les deux cas (encore qu'il puisse y avoir
quelque différence quant à la grandeur absolue dés cellules épi-
dermiques), et que le parenchyme en palissade, quoique privé
de chlorophylle, ne montre aucun retard d’accroissement, on
voit dans la moitié inférieure de la feuille, au lieu du parenchyme
spongieux bien connu, un tissu de cellules serrées, qui souvent
se distingue à peine du parenchyme en palissade. Ces cellules ne
se sont pas allongées, et les parois contiguës ne se sont pas
disjointes, de sorte que les cavités et canaux aériens font défaut.
M. Kraus, qui en avait aussi déjà fait la remarque (1. c., p. 231),
attribue avec raison à ce développement imparfait du parenchyme
spongieux le phénomène que les bords des feuilles étiolées se
roulent ordinairement en arrière. Selon lui, dans l’état normal,
le parenchyme spongieux se développe beaucoup plus tôt que le
parenchyme en palissade, parce que les petites feuilles, en sor-
tant du bourgeon, ont d’abord une position verticale, et qu'alors
leur face inférieure, tournée en dehors et recevant l'influence
de la lumière, est la première à former de la chlorophylle et
ensuile de la fécule. Si les choses se passent ainsi, et je n'a
aucune raison d'en douter, 1l résulterait de là un nouvel argu-
ment contre la thèse de M. Kraus, qui regarde la feuille étiolée
comme restée dans la période de l’état de bourgeon; car, d'accord
en cela avec M. Kraus, j'ai toujours trouvé chez la feuille étio-
lée le parenchyme en palissade bien développé, mais non le
parenchyme spongieux.

En général, les feuilles qui restent petites dans l’obscurité
paraissent être surtout celles où se voit un contraste manifeste
(par la présence du parenchyme en palissade et du parenchyme
spongieux) entre la moitié supérieure et la moitié inférieure. Tel
est le cas des feuilles de la plupart des Dicotylédones. Chez les
Monocotylédones, où il existe peu ou point de différence entre

LA

Æ

ANORMALES DES PLANTES QUI CROISSENT DANS L'OBSCURITÉ. 341

les deux moitiés supérieure -et inférieure, les feuilles atteignent
sénéralement des dimensions relativement plus grandes. Il en est
de même chez certaines Dicotylédones, telles que le Begonia
glabra, dont les feuilles ont à peu près la même structure en-
dessus et en-dessous. Peut-être une se risque-t-on pas trop en
songeant, chez cette dernière plante, à une influence prépondé-
rante de l’épiderme. M. Famintzin, en effet, a montré dernièrement
(Beitrag zur Keimblattlehre im Pflansenreich, dans Mém. de
VAcad. imp d. sc. de St. Pétersburg. VIe Sér.. XIII, p. 26)
que les grandes cellules limpides et sans chlorophylle, dont se
compose la masse principale de la feuille, sont nées par division
tangentielle des cellules épidermiques, et non, comme le croyait
M. Pfizer, de la couche cellulaire sous-jacente de l’épiderme.
S'1l est vrai que la 1ère et la 6e des couches initiales de Famintzin
forment les cellules en question, l’épiderme (qui dans les organes
étiolés est ordinairement bien développé, pourvu de stomates et
même de fécule) est peut-être, chez la feuille de Bégomia, la
cause prochaine de l'accroissement relativement grand qu’elle
prend dans l'obscurité.

Si lon demande qu'elle est la vraie cause du faible développe-
ment des feuilles, je dois m’abstenir de répondre; une explica-
tion exacte et complète du phénomène ne m'est pas connue, et
Je ne crois pas non plus qu’elle puisse être donnée en ce moment,
attendu qu'elle exigerait, ainsi que je l'ai montré plus haut
(p. 305), la connaissance préalable de- divers points non étudiés
Jusqu'ici. Mais si l’on se borne à demander dans quelle direction
il faut chercher de préférence pour se rapprocher du but désiré,
je pense qu'il y à déjà quelques indications à donner. La feuille
étiolée est, à mon avis, un phénomène pathologique, provenant
en partie, ainsi que l’a déjà remarqué M. Sachs, du défaut de
l'assimilation, laquelle appartient aux fonctions normales de la
plante, et en partie aussi d’autres causes, qui ont de l'influence
- sur l'accroissement. Les phénomënes chimiques jouent probable-
ment dans la question un rôle au moins aussi important que les
phénomènes physiques.

Er

3%2 N. W. P. RAUWENHOFF. SUR LES CAUSES DES FORMES

Il convient de rappeler. ici l'expérience de M. Batalin (voir ci-
dessus, p. 308), qui, ayant mis de jeunes plantes pendant 1% à
3 heures chaque jour à une lumière trés faible, vit les petites
feuilles grandir sous cette influence. Cette lumière était insuffi-
sante à former la matière colorante chlorophylienne, car les
cotylédons et les tigelles ne montraient pas trace de verdisse-
ment, ils étaient aussi pâles que ceux qui étaient resiés dans
VPobscurité. Il ne pouvait donc pas non plus y avoir eu d’assi-
milation dans ces circonstances. Et, malgré cela, les feuilles de
ces plantes exposées pendant peu de temps à un minimum de
lumière se développèrent beaucoup plus vite et plus longtemps que
les autres et atteignirent par suite des dimensions bien plus consi-
dérables. Apparemment il y a eu ici formation de matières chi-
miques nécessaires au développement des feuilles, et dont la
production exigeait l’action de la lumière, mais d’une lumière si
faible qu’elle n’était pas capable de donner naissance à la chlorophylle
et encore moins, par conséquent, de déterminer l’assimilation.

Cest là aussi, je présume, la raison pour laquelle les plantes
qu'on fait germer dans l’obscurité meurent si souvent, bien que les
colylédons ou lalbumen soient encore remplis de matériaux nu-
triufs. M. Kraus pense que dans ces cas la plante est privée du
pouvoir de transformer sa fécule en cellulose dans l'obscurité. Je
préférerais dire, d’une manière plus générale, qu'un état pathologique
est survenu, parce que certaines actions chimiques nécessaires au déve-
loppement normal et qui, tout en pouvant s’accomplir à une lumière
faible, ont pourtant besoin à un certain degré de l'intervention de cet
agent, ou bien ne se sont pas produites, ou bien ont été modifiées.

Ces modifications chimiques, dues à l'absence de la lumière,
ne nous sont encore que très imparfaitement connues. On sait
que la matière colorante verte pâlit et disparaît, que la fécule
existante diminue et qu'il ne s’en forme pas de nouvelle, en un
mot, que lassimilation n'a pas lieu; mais il y a encore bien
d’autres ocüons qui ont ici de l’influence. Nous aurons donc à
rechercher en premier lieu quelles sont, des matières chimiques
contenues dans les plantes normales, celles qui manquent ou sont

ANORMALES DES PLANTES QUI CROISSENT DANS L'OBSCURITÉ. 343

modifiées dans la plante étiolée du même âge. Peut-être trouve-
t-on aussi dans cette dernière des combinaisons qui n'existent
pas dans la plante verte. Tout le monde sait que les parties:
végétales étiolées, dont où fait usage pour l'alimentation, l’endive,
la laitue, l’asperge, différent considérablement des parties ana-
logues vertes, non-seulement par une consistance plus tendre,
mais aussi par un goût mois amer ou moins âcre. Entre les unes
et les autres il y a donc évidemment une différence chimique.
Mais je ne sache pas que des études comparatives aient été faites
concernant la nature de cette différence ou la quantité et l’espèce
des matières dans les deux cas.

En revanche, nous possédons quelques données importantes
pour la comparaison des changements chimiques qui se produi-
sent lors de la’ germination des graines dans l'obscurité et à la
lumière. En premier lieu, nous avons les belles recherches de
M. Pfeffer sur l’asparagine (Pringsheim, Jahrb. f. wiss. Bot.,
NIIT, p. 997). Cette matière azotée, découverte dès 1805 par
Vauquelin et Robiquet dans l’asperge ordinaire, se forme, d’après
le témoignage concordant de différents expérimentaleurs, lors
de la germination de diverses graines, et très distinctement surtout
chez le Lupinus luteus, aux dépens des matières albuminoïdes
que ces graines renferment. Dans cette transformation, qui peut
s'effectuer aussi bien sous-linfluence qu’à l'abri de la lumière,
de l’oxygène est fixé et du carbone et de l'hydrogène sont mis
en hberté (2 c., p. 5955). Lorsque les plantes germantes restent
dans l'obscurité, l’asparagine s’accumule, juqu’à constituer -1 de
la matière sèche, selon MM. Schulze et Umlauft (Landsw. Ver-
suchsstal. , XVII, 1). Les plantes sont-elles au contraire exposées

1

à la lumiére et commencent-elles à assimiler, on voit l’asparagine
disparaître peu à peu. Cette influence de la lumière, mise en
question par quelques-uns, mais déjà signalée par M. Boussingault

et confirmée par M. Pfeffer ‘), paraît consister en ce que, au
1) Voir à ce sujet, outre le travail ci-dessus cité de M. Pleffer (p. 557 et

suiv.), l'ouvrage que vient de publier M. Robert Sachsse: Die Chemie und
Physiologie der Farbstofe, Kohlenhydrate und Proteinsubstanzen, p. 246— 256.

344 N. W. PF. RAUWENHOFF. SUR LES CAUSES DES FORMES

moyen des hydrocarbures formés par assimilation, l’asparagine
régénère les matières albuminoïdes, qui feront la base du pro-
toplasme. Chez le Lupinus et autres plantes, toutefois, dont les
graines renferment relativement peu d'hydrocarbures, il n’en
existe pas une quantité suffisante pour fournir, indépendamment
de la perte due à la respiration dans l'obscurité, le sucre néces-
saire à cette régénération. C’est pourquoi l’asparagine ne disparaît pas.

Ainsi donc, l’absence de lumière a pour résultat que l’aspa-
ragine, qui est probablement l'intermédiaire par lequel les parties
nouvelles de la plante normale reçoivent leurs matières albumi-
neuses, ne peut remplir ce rôle, de sorte que la formation du
protoplasme est aussi entravée. |

Une autre contribution importante, que je me bornerai à citer
(le défaut d'espace ne me permettant pas de faire davantage), est le
travail de M. Rudolf Weber sur la fixation de principes inorga-
niques par des pois germant sous une lumière diversement colorée
et dans l'obscurité (Landw. Versuchsst., XNIIT, p. 18). Gette
fixation s’est montrée tout aussi dépendante de la lumière que la
décomposition de l’acide carbonique par les plantes vertes, et la
différence se manifestait non-seulement dans la quantité totale
des malières incombustibles, mais aussi et surtout dans leur nature.
C’est ainsi que sous l'influence des rayons les moins réfran-
oibles il se fixa beaucoup plus d’acide phosphorique, fait entiè-
rement en harmonie avec l'abondance des matières protéiques
formées dans ces conditions, tandis que sous l’influence des rayons
bleu-foncé, plus réfrangibles, et plus encore dans l’obscurité,
l'absorption de la potasse et de la chaux devint relativement
prépondérante. Or, comme nous l'ont appris les recherches de
M. Züller (Regensburger Flora, 1867, p. 509), la potasse et
surtout la chaux sont les matières inorganiques qui ont les rap-
ports les plus intimes avec la formation de la cellulose. Les
cendres de toute paroi cellulaire en renferment une certaine
quantité, et un apport copieux de ces substances favorise le dé-
veloppement des cellules, ainsi qu’il résulte d’expériences directes
faites sur le Maïs.

ANORMALES DES PLANTES QUI CROISSENT DANS L'OBSCURITÉ. 949

Les modifications considérables que présente le processus chi-
mique dans les plantes étiolées ont aussi été récemment mises
en lumière, en ce qui concerne le soufre, par M. E. Schulze,
de Zurich (Landw. Versuchsst., XIX, p. 172). Tandis que les.
plantes vertes possèdent, comme on sait, le pouvoir de décom-
poser les sulfates au profit des matières albuminoïdes sulfurées,
M. Schulze a trouvé que, chez le Lupinus luteus développé
dans l’obscurité, la proportion d’acide sulfurique augmente en
même temps que la décomposition des matières protéiques. L’ana-
lyse lui donna, en 100 parties de matière sèche:

dans la graine non germée. . . 0,385 acide sulfurique
dans les plantes âgées de 19 jours. 1,510 » »
san LD » DRAM AE RE IMRES IAE ENT )

Ainsi, pendant que les matières albuminoïdes se transforment
en asparagine, avec élimination de carbone et d'hydrogène, leur
soufre est oxydé et changé en acide sulfurique.

Un autre fait, que j'ai observé et dont on pourra peut-être
tirer quelque parti, est l’absence complète de noyaux cristallins
dans les cellules des pieds étiolés du Polygonum cuspidatum
(voir ci-dessus p. 316), noyaux qui sont au contraire si abon-
dants dans la plante verte. L’oxalate de chaux, dont ces cristaux
se composent, doit en effet être considéré, d’après les recherches
de M. Holzner (Flora, 1867, p. 497 et 513), de M. Hilgers
(Pringsheim, Jahrb. f. wiss. Bot., VI, p. 285) et d’autres, comme
un produit d'élimination, par le moyen duquel la chaux super-
flue et inutile à la vie de la plante est déposée sous forme so-
lide. Cette chaux est mise en liberté par le phosphate de chaux
absorbé, lorsque celui-ci se décompose pour fournir l'acide phos-
phorique nécessaire aux nouvelles matières albuminoïdes qui se
forment. L’acide oxalique, substance généralement répandue dans
les plantes vertes, provient probablement, soit de la réduction
de l'acide carbonique absorbé, soit, d’après quelques-uns, du
dédoublement de la sève assunilée, lors de la formation du pro-
toplasme. En tous cas, cet acide apparaît d’une manière assez
Constante au voisinage immédiat des organes qui se développent,

ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XII. DD)

346 N. W. P. RAUWENHOFF. SUR LES CAUSES DES FORMES

et par suite les cristaux d’oxalate de chaux se rencontrent , d’abord
petits et ensuite plus grands, dans les parties relativement jeunes
des plantes. |

Leur absence totale dans la plante étiolée témoigne donc
1° d’un trouble dans l'absorption ou la réduction du phosphate
de chaux, ce qui est tout à fait en harmonie avec les expérien-
ces ci-dessus citées de M. Weber et avec le résultat obtenu par
M. Pfeffer, à savoir que, dans l'obscurité, l’asparagine ne régénère
pas la matière albumineuse; elle témoigne 2°, suivant qu’on adopte
l'une ou l’autre des deux hypothèses concernant l’origine de l'acide
oxalique, soit du défaut de réduction de l’acide carbonique, déjà
connu d’ailleurs, soit d'un changement dans la composition de
la sève assimilée, par suite d’une modification des processus
chimiques. :

Enfin, relativement à lacide tannique, j'ai, dans le cours
d’autres recherches, étudié avec beaucoup de soin les points
d’analogie et de différence entre des plantes vertes de la même
espèce. L’acide tannique, qui prend naissance lors de la germi-
nation (il manque dans la graine non germée) se trouve ordinai-
rement aussi bien dans les plantes étiolées que dans les plantes
normales. La lumière ne paraît donc pas être nécessaire à sa
formation; néanmoins, sous ce rapport aussi, on constate encore
quelque différence suivant que la plante a été soumise ou non
à l’action de ce stimulant. En général, la quantité de l’acide
tannique est plus faible dans les organes étiolés, la distribution est
moins régulière et la réaction, surtout avec le bichromate de
potasse, un peu autre. C’est ainsi que la feuille verte du Poly-
gonum bistorta contient de l’acide tannique dans la plupart des
cellules du parenchyme et dans les éléments du faisceau vascu-
laire, tandis que la feuille étiolée n’en renferme que dans ce
dernier. Ainsi encore, j'ai trouvé dans le rameau étiolé du
Rosa centifolia le nombre: des cellules tannifères de l'écorce beau-
coup plus petit que dans le rameau vert, et en outre le tannim
s’y trouvait en partie sous une autre forme. Il en était de même
chez le Vicia Faba.

ANORMALES DES PLANTES QUI CROISSENT DANS L'OBSCURITÉ. .9347

Comme notre ignorance est encore presque complète au sujet
de l’origine et de la fonction de l’acide tannique dans la plante,
les différences qui viennent d’être signalées ne permettent, pour
le moment, aucune conclusion relativement à la question qui
nous occupe; mais la circonstance que l'acide tannique, dont la
présence est si générale au voisinage immédiat des organes qui se
développent ou qui jouissent d’une vitalité énergique, paraît être
quant à sa formation indépendant de la lumière, ou du moins
n'en être modifié que dans une faible mesure (peut-être secon-
daïrement), cette circonstance, dis-je, mérite bien d’être notée.

Les faits qui précèdent, tout en montrant çà et là quelques
rapports, ne sont pas à beaucoup prés suffisants pour donner une
explication des phénomènes de l’étiolement. Ce ne sont encore
que des pierres d'attente isolées et éparses, mais qui plus tard
trouveront leur place et leur emploi, lorsque les matériaux seront
complets et que larchitecte sera venu pour élever le monument.

Aussi ne me suis-je pas proposé, Je le répète, de trouver la
solution du problème; mon seul but à été de faire le triage des
idées émises concernant les causes des modifications que la sous-
traction de lumière occasionne dans les plantes, de signaler
les lacunes de nos connaissances et d'indiquer la direction dans
laquelle, à mon avis, les recherches doivent être conduites pour
éclairer la question. ni

Les résultats auxquels nous sommes parvenus peuvent être

résumés de la manière suivante : |

_ 1° L'opinion de M. Kraus, suivant laquelle l'allongement anor-

mal des tiges dans l’obscurité est la conséquence d’un excès de

croissance de la moelle, combinée avec un développement im-

parfait et un faible épaississement des éléments du faisceau vas-
29*

348. N. W. P. RAUWENHOFF. SUR LES CAUSES DES FORMES

culaire, est fondée en ce qui concerne le second point. J'en ai
donné la preuve, pour des plantes appartenant aux genres Rosa,
Phaseolus, Fuchsia, Impatiens, Vicia, Polygonum, Trades-
cantia, Früillaria, par une culture intentionelle et par de nom-
breuses mesures comparatives.

La différence anatomique entre les tiges vertes et étiolées
s’accuse surtout dans le faible épaississement, chez ces dernières,
des parois des cellules épidermiques, ligneuses et libériennes,
dans le nombre et la dimension radiale des faisceaux vasculaires
et de leur éléments, dans l’absence de la gaine du faisceau vas-
culaire chez les Monocotylédones, et par contre dans le dévelop-
pement considérable de la moelle.

20, C’est à tort que M. Kraus attribue le défaut d’épaississement
des parois de l’épiderine et du collenchyme à l'absence de la matière
colorante chlorophyllienne, car les cellules de la moelle ont souvent
aussi des parois minces, bien qu’elles ne possèdent pas de ma-
tière colorante verte; l'hypothèse en question ne se concilie pas
non plus avec le fait que les cellules parenchymateuses de l'écorce
et l’épiderme atteignent parfois une grandeur extraordinaire.

3, L’allongement exagéré de la tige dans l’obscurité n’est pas
imputable, comme le veut M. Kraus, à l'influence prépondérante
de la moelle seule; le rôle actif en ce phénomène doit être
attribué au tissu fondamental tout entier (à l'écorce aussi bien
qu'à la moelle), car

a. des tiges creuses montrent aussi cet allongement extra-
ordinaire (Polygonum, Phaseolus, Impatiens);

b. souvent l'écorce est allongée anormalement, même là où
la moelle existe (Fuchsia).

4%. Le développement plus énergique du tissu fondamental,
surtout de la moelle, peut donner lieu à un sur-accroissement
dans une direction perpendiculaire à l’axe de la plante (c’est-à-dire,
à une augmentation d'épaisseur de la tige), là où l'accroissement
longitudinal parait être moins actif (Fuchsia, Tradescantia).

0°. La dépendance admise par M. Famintzin entre la longueur
de la tige et celle de la racine n’est pas justifiée. Elle n'a été

ANORMALES DES PLANTES QUI CROISSENT DANS L'OBSCURITÉ. 349

observée que pour l'axe hypocotyle et la racine primaire durant
les premiers jours de la germination, alors que tous les deux
doivent puiser au même réservoir limité et ont par conséquent
à partager ensemble. Dès que l’assimilation commence, cette
relation cesse.
6° La position verticale des tiges étiolées est le résultat de
Vabsence d'un des facteurs qui déterminent la direction dans
laquelle croissent les parties des plantes, à savoir, de l’héliotro-
pisme. Les plantes qui se développent sous l'influence de rayons
de faible réfrangibilité, lesquels ne possèdent pas la force d’in-
flexion, prennent la même direction verticale, même quand elles
restent vertes (/mpatiens).
6°, Les anomalies que la tige présente dans l'obscurité doivent
donc être regardées comme l'effet du géotropisme négatif, non
sêné n1 modifié par l’héliotropisme et favorisé par le faible épais-
sissement des parois cellulaires.
Car :
a. l’accroissement, c’est-à-dire, la division et l’agrandisse-
ment des cellules, n’est pas lié à la présence de la
lumière, mais s'opère même souvent de préférence dans
l'obscurité ;

b. le géotropisme négatif, agissant sur la tige en voie d’ac-
croissement, la fait s’allonger verticalement ;

c. l’héliotropisme ralentit l'accroissement, puisque l’inflexion
est une conséquence de l’accroissement longitudinal plus
faible au côté tourné vers la lumière;

d. le faible épaississement des parois des éléments du faisceau
vasculaire ne met pas obstacle à l’allongement, par géo-
tropisme négatif, des cellules parenchymateuses qui se
développent. |

8°, La cause de l'inégalité, que des plantes différentes présen-
tent sous le rapport du sur-allongement dans l’obscurité, réside pro-
bablement dans le degré différent de la turgescence des cellules
et de la tension relative des tissus.

90. La vraie cause du développement imparfait et du faible

350 N. W. P. RAUWENHOFF. SUR LES CAUSES DES FORMES

épaississement parlétal des éléments du faisceau vasculaire chez
les tiges étiolées reste encore inconnue.

10°. Les modifications des feuilles des Graminées et autres
plantes, chez qui ces. organes deviennent plus longs et plus
étroits dans l’obscurité, doivent être comparées à celles des tiges ,
tant à raison du développement imparfait des faisceaux vasculai-
res, qu'à raison de la direction verticale.

110. Il en est de même, probablement par des raisons sem-
blables, des pétioles de beaucoup de plantes, ainsi que me l’ont
montré Primula, Pelargonium, Polygonum et Rosa. |

122, Les explications que M. Kraus et M. Batalin ont données
de l’état rudimentaire où restent dans l'obscurité les feuilles de
la plupart des Dicotylédones sont l’une et l’autre insuffisantes.
Celle de M. Batalin est réfutée par les résultats des mesures directes
dues à M. Prantl. L’inadmissibilité de l'explication de M. Kraus
ressort des trois propositions suivantes.

13°. Les feuilles, sorties du bourgeon, sont incapables de
continuer à se nourrir entièrement par assimilation propre. C’est
ce que prouvent:

a. les résultats que j'ai obtenus des incisions faites au pétiole
de feuilles pennées.

b. ceux des nombreuses analyses de feuilles de la même
plante à des âges différents.

14%. Les feuilles étiolées ne peuvent ‘être assimilées, comme le
veut M. Kraus, à de petites feuilles sortant du bourgeon. Elles
sont plus grandes et leurs tissus sont plus différenciés.

15° Sous le rapport anatomique, les feuilles étiolées, outre
qu'elles ne contiennent ni matière colorante verte n1 fécule (sauf
dans les cellules stomatiques, qui renferment toujours de la
fécule en abondance), diffèrent encore des feuilles vertes de la
même dimension par le faible épaississement des éléments du
faisceau vasculaire et surtout par le non-développement du paren-
chyme spongieux. 1

16. Les feuilles, qui paraissent surtout rester petites, sont celles qui
montrent un contraste évident entre la face supérieure et la face mfé-

_ ANORMALES DES PLANTES QUI CROISSENT DANS L'OBSCURITÉ 391

rieure, entre le parenchyme en palissade et le parenchyme spongieux.

. 17°. L’explication complète de cet arrêt d’accroissement ne peut
encore être donnée. La feuille étiolée est un produit pathologique,
dù en partie au défaut d’assimilation, en partie à d’autres actions,
tant chimiques que physiques, qui ont de l’influence sur l’accrois-
sement. | |

180. La raison pour laquelle, chez beaucoup de plantes ger-
mées, les cotylédons encore remplis de matériaux nutritifs meu-
rent dans l'obscurité, parait devoir être cherchée dans l’absence
de certaines actions chimiques nécessaires à l'accroissement, ac-
tions qui ont encore lieu, comme nous l’apprend l’expérience de
M. Batalin, à une lumière très faible, insuffisante pour permettre
l'assimilation.

199. Une étude comparative, à la fois chimique et physiolo-
sique, de plantes étiolées et de plantes vertes est avant tout
requise pour élucider les phénomènes de l’étiolement.

209. Comme matériaux de ce travail pourront déjà servir: les
résultats obtenus par M. Pfeffer sur la formation de l’asparagine
et la régénération des matières albumineuses, ceux de M. R. Weber
sur labsorption de lacide phosphorique et de la chaux, ceux

_de M. Schulze sur la formation de l'acide sulfurique, enfin les
miens sur la présence du tannin et des cristaux d’oxalate de
chaux dans les plantes étiolées et dans les plantes vertes.

Urrecatr, novembre 1876.

EXPLICATION DES FIGURES. (Planches VI et VII.)

Fig. 1. Coupe transversale d'un rameau vert, normal, de Rosa centifolia.
- ». l’anneau des faisceaux vasculaires.
” 2. Coupe transversale d’un rameau ‘étiolé de Rosa centifoliu, du même
= âge que le précédent. v. l’anneau des faisceaux vasculaires.
_n 3. Coupe transversale d’un rameau vert, normal, de Fychsia ylobosa.
n 4. Coupe transversale d’un rameau étiolé, du même âge, de Fychsia
globosa. |

352 N. W. P. RAUWENHOFF. SUR LES CAUSES DES FORMES

Fig. 5. Une petite partie de la fig. 3, de la circonférence à la moelle, plus

1/4

10.

fortement grossie: a. épiderme et cellules corticales externes su-
bérifiés, D. couche subéreuse, c. phloème ou couche corticale
secondaire, d. cambium, e. xylème ou corps ligneux du faisceau
vasculaire, f. étui médullaire, g. moelle.

Une petite partie de la fig. 4, vue au même grossissement que la
fig. 5; les lettres ont la même signification que dans la fig. 5.

Coupe transversale de la base de la tige germée du 7ïcia Faba L.,
avec indication des faisceaux vasculaires. Le cercle intérieur mar-
que la partie creuse de la tige.

Coupe transversale de la base d’une tige germée étiolée du 7zcia
Faba, qui a la même grosseur que la précédente, mais qui n’est
pas encore creuse.

Coupe transversale d’un faisceau vasculaire de la tige verte adulte
du Polygonum cuspidatum: a. épiderme, 4. collenchyme, c. par-
enchyme cortical avec noyaux cristallins , d. fibres libériennes
épaissies et quelques cellules du sclérenchyme , unies en une masse so-
lide et cohérente, e. vaisseaux cribreux et cellules parenchymateuses
du phloème. /. cambium, y. cellules ligneuses, 4. vaisseaux,
i. cellules médullaires.

Coupe transversale d’un faisceau vasculaire d’une tige étiolée adulte
du Polygonum cuspidatum; signification des lettres comme dans la
figure précédente. |

SUR LES ÉCARTS

DE LA

LIGNE GÉODÉSIQUE ET DES SECTIONS
PLANES NORNALES
DEUX POINTS RAPPROCHÉS D'UNE SURFACE COURBE,

F. J. VAN DEN BERG.

Dans le calcul des triangles établis sur la surface sphéroïdale
de la Terre, on prend souvent pour côtés, au lieu des lignes
les plus courtes, dites lignes géodésiques, entre les sommets du
triangle, les sections de la surface terrestre par des plans pas-
sant par la normale d’un des sommets et par un autre sommet.
Tant sous le rapport de la longueur des côtés que sous celui de
la grandeur des angles, il résulte de cette substitution certaines
différences, qui sont ordinairement petites, il est vrai, mais de la
valeur desquelles il peut néanmoins être utile, en géodésie, de
_ se rendre un compte exact. C’est à quoi servent, dans la suppo-
sition que la Terre soit considérée comme un ellipsoïde de révo-
lution faiblement aplati, les formules données par Bessel dans les
Astronomische Nachrichten: pour la différence d’azimut, celle qu’il
a énoncée dans le tome I, 1823, pag. 36, puis démontrée dans le
tome XIV, 1837, pag. 289, (form. 19), et pour la différence de lon-
gueur celle qu'il a communiquée dans le tome XIV, 1857, p. 285.
La première de ces formules a été retrouvée plus tard d’une
autre manière par M. J. J. Baeyer, dans son ouvrage Das Messen

354% F. J. VAN DEN BERG. SUR LES ÉCARTS DE LA LIGNE

auf der sphüroïdischen Erdoberfläche, 1862, pag. 66, où l’équa-
tion (81) la reproduit sous une forme un peu différente. Elle
figure aussi, comme la première des formules (52) et (53), à la
page 60 des Geodätische Untersuchungen de P. À. Hansen, 1865,
publiées au tome VIIT des Mathem. Phys. Abhandlungen der Kün.
Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften (voir aussi p. 105
et 208 du même tome). En outre, dans l'ouvrage de M. Baeyer,
$S24, p. 87—953, se trouve insérée une étude de M. Weingarten
sur le même sujet, mais pour une surface quelconque, étude à
laquelle l’auteur a encore ajouté, dans les Astron. Nachr., tome
LX, 1863, pag. 134—136, le résultat d’un calcul ultérieur exé-
cuté par lui. En se fondant sur les formules établies dans ce
travail, d’abord pour le cas général puis en particulier pour

l’ellipsoïide de révolution, — formules dont les dernières
sont reproduites par M. W. Jordan, Taschenbuch der prak-
hischen Geometrie, 1873, pag. 338, — M. Weingarten énonce

cette propriété: que la ligne géodésique, qui joint deux points
rapprochés d’une surface quelconque, est située entre les sections
de la surface par les deux plans déterminés par la normale en
un des points et par l’autre point, et cela de telle sorte qu'en
chacun de ces points l’angle compris entre la ligne géodésique
et la section normale en ce point est le tiers de l’angle que
ces sections forment entre elles. Une démonstration géométrique
de cette propriété a aussi été donnée par M. À. Sonderhof, dans
l'Archiv der Mathematik und Physik de Grunert, t. LI, 1870,
p. 29—33 et 42—45. Pour le sphéroïde terrestre, elle est en
outre impliquée, en faisant & égal à zéro ou égal à 0’, dans la
formule DER ne
Q Q' 3 0°

À. R. Clarke, Philosophical Magazine, t. XXXIX, 1870, p. 361.
La validité générale de cette propriété, au sujet de laquelle
M. Weimgarten n'avait pas examiné la possibilité de l’existence de
cas exceptionnels, a été contestée par M. C. Bremiker, dans ses
Studien über hühere Geodäüsie, 1869, p. 3; il lui oppose la
remarque, que si, par exemple, les deux points de la surface

, qu'on trouve dans un Mémoire de M.

GÉODÉSIQUE ET DES SECTIONS PLANES NORMALES ETC. 999

terrestre ont même latitude, les deux intersections normales se
confondent en un même arc elliptique, et que néanmoins la ligne
oéodésique suit un cours différent. Le passage ci-dessus cité du
Taschenbuch de Jordan est aussi condamné, avec appel à M.
Bremiker, par M. F. R. Helmert, dans un article critique de la
Zeitschrift für Mathematik und Physik de Schlômilch, 18e année,
4873, rubrique Literaturzeitung, p. 39, où est donnée en outre
une formule (inexacte, à ce quil me semble) pour l'écart qui
existe, dans le cas particulier dont il vient d’être question, entre la
section normale commune et la ligne géodésique, prises en leur milieu.

Il y a donc là une apparente contradiction, dont personne, à
ma connaissance, n'a donné d'explication spéciale, bien que les
formules (9) et (15) de M. Clarke, établies pour la Terre, eussent
pu fournir quelques indications à cet égard. Dans les dévelop-
pements qui suivent, j'essaierai de résoudre la difficulté signalée,
et en même temps de mieux déterminer, pour différents cas, les
rapports qui lient entre elles la ligne géodésique et les sections
normales sur une surface donnée.

Tant qu'on se borne à considérer, non la valeur propre des
angles que la ligne géodésique fait avec les sections normales,
mais seulement leur rapport, on peut se convaincre aisément et
presque sans aucun calcul (par une méthode qui pourrait aussi
servir dans d’autres cas analogues) que, en général, la propriété
trouvée par M. Weingarten est réelle.

1°. Supposons, en eflet, que sur une surface quelconque on
ait tracé entre deux points rapprochés P et P, la ligne géodé-
sique et les deux sections planes normales en PetP,, et que par
les points de la ligne géodésique on mène les plans tangents à
la surface, ceux-ci donneront par leurs intersections deux à deux
les génératrices d’une surface développable, qui enveloppera la
surface donnée suivant la ligne géodésique elle-même. Si l’on
s'éloigne un peu à droite ou à gauche de cette ligne, il suit du
contact des deux surfaces que leur distance mutuelle en cet endroit

396 F. J. VAN DEN BERG. SUR LES ÉCARTS DE LA LIGNE

est une petite grandeur d’un ordre double de celui de l’éloigne-
ment de la ligne géodésique, et par conséquent négligeable par
rapport à cet éloignement. Comme en outre les deux surfaces ont
leurs normales communes dans tous les points de la ligne géo-
désique P P,, il est évident qu’elles fournissent non-seulement une
ligne géodésique absolument commune entre P et P,, mais aussi,
abstraction faite de petites grandeurs d’ordre supérieur, des inter-
sections communes avec les deux plans normaux en ces points.
De cette manière, la démonstration pour une surface quelconque
se trouve ramenée à celle pour une surface développable déter-
minée par la première. Or si l’on étend la surface développable
sur un plan, les angles finis ne changeront pas dé grandeur,
tandis que la ligne géodésique PP, deviendra une ligne droite
(fig. 1, PL VII) et que les sections normales”en Pet P,5e
transformeront en lignes courbes PpP, et P,p, P, qui auront
respectivement en P et P, des points d'inflexion. !) En outre,
ces courbes seront situées de part et d'autre de leur corde com-

1) Si l'on se représente en général, pour un point P d’une courbe quelcon-
que MP Q tracée sur une surface développable, ia génératrice PS , les éléments
adjacents égaux MP et PQ et le prolongement P M’ du premier de ces
éléments, qu'on fasse dans le plan $S P M’ l'angle S P 4 égal à S PQ, et qu'on
prenne Py = PM'= PQ, il résulte du triangle rectangle infiniment petit M'Qg
que la courbure de la courbe développée M Py, mesurée par l'angle de contingence
M'P4 ou par le côté M’ 4 de l’angle droit, est égale au produit de la cour-
bure de la courbe originelle M P Q, mesurée par l'angle de contingence M’ PQ
ou par l'hypothénuse M'Q, et du cosinus de l’angle Q M'4 formé par le plan
osculateur M'P Q de cette courbe et le plan tangent M’ PS à la surface. (Voir
aussi, pour la démonstration de cette propriété: F. Minding, dans Crelle Jowr-
ral für Mathematik, t. XVI, 1837, p. 351; E. Catalan, dans les Comptes rendus
de l’Académie des sciences, t. XNIT, 1843, p. 738—739; J. de la Gournerie,
Géométrie descriptive, 1860—64, art. 474 et 819; et P. Serret, Théorie nouvelle
des lignes à double courbure, 1860, p. 8—10 et 129—130). Si donc le plan
osculateur est en un point P normal à la surface développable, la courbure de
la courbe développée devient nulle dans le point correspondant, c'est-à-dire que
cette courbe y présente un point d’inflexion, ce qui résulte aussi directement
de ce que, pour chaque point P de ce genre, les éléments adjacents M P et PQ
sur la surface doivent former des angles égaux avec la génératrice PS.

GÉODÉSIQUE ET DES SECTIONS PLANES NORMALES ETC. 997

mune P P,: en effet, l'existence du point d’inflexion en P montre
que la courbe PpP,, prolongée en arrière, fournirait encore,
à une distance P P' sensiblement égale à P P,, un point d’inter-
section P’ avec le prolongement de la corde P, P, et que par
conséquent cette courbe peut être déterminée, non-seulement par
la normale en P et par le point antérieur P,, mais tout aussi
bien par cette normale et par le point postérieur P’, de même
qu'en P, la courbe P, p, P est déterminée par la normale en ce
point et par le point postérieur P; or 1l faut, abstraction faite de
différences d'ordre supérieur, que dans le passage de P à P, les
courbes correspondantes P p'P° et P, p, P soient non-seulement
égales et semblables, mais aussi semblablement situées. Remarquons
maintenant que la propriété générale, suivant laquelle la corde
d'une courbe quelconque fait avec les tangentes à ses extrémi-
tés de petits angles dont le rapport a pour limite l'unité, subit
une exception précisément dans les points d’inflexion, et que là
l'angle en question n’a que la moitié de la valeur de l’angle im-
médiatement suivant (ainsi que le fera voir tout à l'heure un calcul
très simple); 1l en résulte qu'on a angle p P P, — angle p' P P'—
+ angle p' P'P et par conséquent aussi, à une différence d’ordre
supérieur près, — + angle p, PP, ; de même, angle p, P, P —
angle p, P P'— angle p P P, — + angle p P, P. Ainsi se trouve dé-
montrée la proposition de M. Weingarten.

20. Mais si, après avoir considéré deux points rapprochés quel-
conques, on passe à la supposition qu'ils soient placés de telle
sorte que leurs normales se coupent, les deux sections normales
se confondent en une seule, qui dans le développement montre
alors un point d'inflexion aussi bien en P qu’en P,. Si dans ce
cas particulier, tout comme dans le cas général, cette section com-
mune, comptée à partir de P, se présentait exactement de la même
manière que lorsqu'elle est prise dans le même sens à partir de P,,
on pourrait de nouveau tracer, à côté de la courbe à deux points
d’inflexion en P et en P,, une courbe égale, semblable et sembla-
blement placée, à deux points d’inflexion en P’ et en P. Mais
c'est ce qui n'a pas lieu ici: prise à parti de P, la courbe est

358 F. J. VAN DEN BERG. SUR LES ÉCARTS DE LA LIGNE

déterminée par la normale: en ce point et par la suivante en P, ;
prise à partir de P,, par la normale en ce point et par la pré-
cédente en P, puisque. la normale suivante ne coupe pas celle
de P,. Il en résulte qu'en P, il n’y a plus à considérer une
répétition de la courbe dans le même sens progressif qu’en P,
mais bien dans le sens rétrograde, ce qui est d'accord avec la
réduction des deux courbes à une seule. |

3%, Un autre cas particulier dont il y a à tenir compte est celui
où la normale au point P est coupée, non par celle du point
P,, situé à une distance finie quoique petite, mais par celle
d’un autre point de la ligne géodésique, infiniment rapproché de
P; en d’autres termes, le cas où la ligne géodésique est tangente
à l’une des deux lignes de courbure de la surface au point P.
Dans cette hypothèse, les deux points d’inflexion de la courbe
PpP,, tout à l'heure encore séparés par une distance fimie PP,,
coincident en P, où la courbe a alors trois éléments consécutifs
en ligne droite. Comme dans ce cas, toutefois, la seconde inter-
section normale P, p, P, contrairement à la première, conserve
son caractère général (point d'inflexion ordinaire en P,), il paraît
difficile de trouver le rapport des angles en P et P,, sansen
venir au calcul direct de ces angles eux-mêmes. |

Ce qui précède peut être éclairci dans une certaine mesure
par un calcul simple, qui, tout en laissant encore provisoire-
ment indécise la valeur réelle de l’angle compris entre la ligne
géodésique et la section normale, établit les relations de cet angle
avec deux autres grandeurs très propres à faire ressortir la dis-
tinction des deux courbes, à savoir avec la différence de leurs
longueurs et avec leur plus grande distance ou leur flèche.

19. Par rapport à un système de coordonnées rectangulaires
ayant son origine en P et pour axe des abscisses la tangente
PX à la section normale développée PpP,, l'équation de cette
courbe près de P peut, en effet, être représentée par y = Ax
+ Bxt + Cx5 + etc. (les termes en x et æ° étant conservés

GÉODÉSIQUE ET DES SECTIONS PLANES NORMALES ETC. 909

en vue des cas particuliers 2° et 5°), d’où il suit pour l’angle
compris entre la ligne géodésique et la section normale en P:

À — A y2 + Bxs + Cri + etc. Cette formule, combinée avec >

æ | x
— 3 Az? + 4 Bxi + 5 Cx* + etc., montre d’abord que
pour un point rapproché P, ou (æ, y) on a Ÿ — tue

& 9 dx

c'est-à-dire que l’angle en question est le tiers de l’angle de di-
rection de la tangente en P,, et par conséquent, ainsi que nous
Vavons dit ci-dessus, la moitié de l’angle compris entre la ligne

séodésique et la même section normale en P, ‘). Des valeurs
: CIRAD
trouvées pour TD 'ef _ il suit en outre, qu’en faisant la longueur
C TX :

de la ligne géodésique PP, = et celle de la section normale
BB == 6t;1on a:

op (e2+y2)—x |1+ A2 +9ABrS +(B? +9AC)x6 +etc. |? —

= re + ABzxS + LB + 2AC)x7 + etc.,
g' — 2) ps
, CG —

1) Le fait que l’angle de la ligne géodésique et de la section normale s'élève au
2e ordre, bien que ces deux lignes ne soient pas tangentes l’une à l’autre, se trouve
donc expliqué précisément par la particularité de l’existence d’une normale principale
commune aux deux courbes tracées sur la surface, c’est-à-dire par la particu-
larité du point d’inflexion P dans le développement. C’est pour n’avoir pas fait
attention à ceite particularité, tout en mettant en avant l'absence de contact, que
M. H. Levret, dans un Mémoire publié par extrait aux Comptes rendus, tome

LXXVI, 1873, p. 540—542, mais retiré plus tard (24:4. p. 822), a donné pour

M 2 sin 21 sin?
le sphéroïde terrestre la formule inexacte À + z — 200 gr. + a
a si
(ou dans la notation adoptée ci-dessous: y — = — A © sin 2 sin ? u cos &),
a

d’après laquelle l’angle en question ne serait que du 1e ordre en #.

360 F. J. VAN DEN BERG. SUR LES ÉCARTS DE LA LIGNE

— [ar [1 +9 Aer + DA BE + (16B°+30AC)x° etc. | ia
0

= + At + 2ABxS + — (BB: + 15 AC)x7 + etc.
et par conséquent

g' —- A2 x5 + ABxf + TC B? + 16 AC) z7 + etc.

ou, comme première approximation, 9! — 0 = Se( 1
valeur qui est la même que celle donnée par \. rs P. 399,

sous la forme LS (En). Enfin, quant à la flèche o, elle doit

être considérée sur la surface courbe même comme une ligne
géodésique, normale à la ligne géodésique donnée et à la section
normale, et par conséquent dans le développement comme une
ligne droite normale à l’une et à l’autre; désignant donc le point
p par (x', y’), observant que l'angle p PP, n’est que du 2e ordre et
que par conséquent le rapport des distances mesurées perpendi-
culairement à PP, et à PX ne diffère de l'unité que dans le
4e ordre, et conservant de nouveau dans y et y', en considéra-
tion des cas particuliers 2°. et 3°, les termes en æ* et en x,
on a:

= À % — y'—= (Ar? + Br$)x, — (Az'5 + Bx'#) = max. en #..
L

Cette équation exige:

Ar LBr =S3Azx 2 VER

d’où :
op 27 1 B 9B 1x°\/ 3
== — —xV3 : —
æ ee (+ ee 3? (+3 k 2 )
1 A DE
ne NN ae
— +151 2 (BV 3—4

GÉODÉSIQUE ET DES SECTIONS PLANES NORMALES ETC. 901
et par conséquent:
Le - Azs V3 +: Bet (3 3-1) — 0.385 Ar -+ 0.466 Br! .

ou, comme première approximation, 0 = 0,385 y. 1).

20, Pour appliquer ces résultats généraux au cas particulier
mentionné ci-dessus en 2°, il faut opérer avec quelque circon-
spection. Jusqu'ici, en effet, les coefficients À, B, G etc. ont en
réalité été supposés du même ordre de grandeur. Or cela n’a
plus lieu lorsque, toujours dans l'hypothèse d’une petite distance
finie PP,, P,, au lieu d’être un point quelconque, est lui-même,
tout comme P, un point d'inflexion de la courbe PpP,. En
désignant ce point d'inflexion P,, pour le distinguer, par (x, ,y,),

2
on doit y avoir (+) — GAr,+19B,2+90 Cr, ° + etc. = 0,
LE? 73,

ae | 10
ce qui exige que le coefficient A= — 2 Br, — = Cr,? — etc.
5)
s'élève à un ordre supérieur d’une unité à celui de B et soit
comparable à æx,. Il en résulte, en premier lieu, que pour un

1) La formule approximative 5 = A #°.7 — Ax3=A3% (x--2)(x + x!) pour
un point quelconque (z’,7') nous apprend encore, par l'échange de x’ etæ — 2",
que les segments coupés sur une ordonnée entre PpP, et PP,, entre PP, et
Pp, P,, et entre PpP, et Pp, P,, sont entre eux dans le rapport de &+ +’,

2% — x! et 3x, ce qui pour # = 24" et x — ag concorde avec la for-
; Q P + à
mule ci-dessus MOT 7 donnée par M. Clarke pour les segments sur
T

un méridien terrestre. De même, la formule plus exacte

D—=(Az+Br)z—(Azts EL Br‘) (x —x) | A(a+c')+B(r? +rz'+z'?) |
contient comme cas particulier la formule (15) de M. Clarke, si dans la première
on substitue pour le sphéroïde terrestre (ce qui sera justifié plus loin)

__ le? cos? q@ sin «cos a Le? sin o cos @ sin à

,
6 a? LE 24 as
Si l’on y remplace 5 par Q P 5% &« Ou aG4.sina, x par ao' où a(s +0),
æ' par ac, @ par z, et si l’on tient compte de la formule de M. Clarke
(p. 355) pour 5/2 w'. ;
ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XIL 29

862 F. J. VAN‘DEN BERG. SUR LES ÉCARTS DE LA LIGNE

point quelconque de l’arc Pp P, l’ordonnée y = — 2 Br, x° +
Bx* + etc., qui dans le cas général était approximativement pro-
portionnelle à la 3e puissance de l’abscisse x, devient du 4e ordre

et acquiert en outre un coefficient numérique dépendant de —
1
même. Ensuite, on a maintenant pour le point d’inflexion P, : y, —

— Bx,* +etc., J1 —=— Bz,* +etc. et (7) = —6Bzx,.x,?+
œ, dx ? x,

+ 4Bx,* + etc. =—2Bx,° + etc, d'où l’on conclut que,
concurremment avec l'élévation au 5° ordre de ces deux angles,
qui dans le cas général appartenaient au 2e, l'égalité des angles
de la courbe PpP, avec sa corde PP,, égalité qui faisait défaut
tant que le seul point P était un point d’inflexion, se trouve
rétablie. De plus, la différence de longueur o' —v, que nous
avons vue être du 9e ordre dans le cas général, monte mainte-
nant au 7e: elle devient en effet, attendu que dans le coefficient
du troisième terme 16 AC disparaît en présence de 9 B2:

NUE 9 #7
o oc nt MT. 7 ete

Enfin, la formule générale de la flèche ne peut plus servir
directement dans le cas actuel, parce que la solution de l'équation
Az? + Bx% —=3 Az? + 4Br'°, sur laquelle elle est fondée, sup-
pose encore l'égalité d'ordre de A et de B, et que c’est aussi
seulement dans cette hypothèse que les expressions de x'? et de x'°,
qui se déduisent de la valeur trouvée pour æ , peuvent être arré-
tées respectivement après le deuxième et après le premier terme
et vérifier ainsi cette équation. Au lieu de l’équation réduite
Ax? = 3 Ax'?, qu'on pourrait employer pour une première appro-
ximation dans le cas général, il faut prendre maintenant l’équa-
tion complète, mais sous la forme — 2 Bx,.x;,? + Bx,° —
— 6Bx,.x'? +4Br° ou 4x — 6x, x? +zx, —=0, laquelle

donne, pour la racine dont il s’agit 11, æ' = 9° Comme on

pouvait plus ou moins s’y attendre, la flèche se place en ce cas

GÉODÉSIQUE ET DES SECTIONS PLANES NORMALES ETC. 93693

au milieu de la distance des deux points d’inflexion ; elle acquiert
d’ailleurs pour première valeur approchée:

= py = ope (0) He (= Bri=0. 1959,
et n’est plus du Se, mais du 4 ordre.

30. Dans le cas où la ligne géodésique est tangente à l’une des
lignes de courbure passant par P, l'équation de la section nor-
male développée Pp P, prend, par rapport aux mêmes ‘axes des
coordonnées, la forme y = Bxz“ + etc. Sauf en ce qui concerne
la différence ci-dessus trouvée des longueurs, qui par la substi-
tution À —0 devient maintenant du 7e ordre, à savoir 0 —u=—=

Pne + etc., et qui peut aussi être calculée directement au
moyen de y=Bzx! +etc., il paraît difficile de déduire par la
même substitution les formules relatives à ce cas de celles qui

se rapportent au cas général 1°. Du moins, la relation antérieure

ee b 44 perd sa validité et doit être remplacée, à cause de J
x 3 dx œ

dy

—=Bzx$ + etc. et D. — 4 br 2 .etc.: par ne La Et
Æ

T1 A dx:
quant à la formule de la flèche, bien qu’elle semble se prêter à
la substitution A —0, elle ne donnerait pas ainsi un résultat
exact, étant fondée sur la valeur trouvée pour x', laquelle devient
inapplicable dans le cas actuel. On a maintenant, au contraire,
l’'approximation suivante:

= Ÿ x = bai aie Br max,
x

par conséquent

253, has B2 — 0.47 y.

B x° — 4 Br'3 =0, x =
Par les formules qui viennent d’être développées de 1° à 3°,

on est donc en état, l’angle de la ligne géodésique et de la sec-
23*

364 F. J. VAN DEN BERG. SUR LES ÉCARTS DE LA LIGNE

tion normale étant connu au moyen des coefficients A, B, C
etc., de calculer directement la différence de longueur et la flèche.

Si l’on veut maintenant passer au calcul effectif des angles que
la ligne géodésique fait avec les deux sections normales, et se
borner dans ce calcul à un certain degré d’approximation, 1l n’est pas
nécessaire d'opérer sur la surface donnée elle-même, mais on peut de
nouveau faire usage de la surface développable enveloppe que nous
avons déjà menée le long de la ligne géodésique. Veut-on se
contenter d’un degré d’approximation encore moindre, le moyen
qui se présente le plus naturellement est de remplacer cette sur-
face développable par une autre plus simple, à savoir par le cône
avant pour sommet le point de contact de l’arête de rebrousse-
ment avec la génératrice qui passe par le point considéré P, et
pour directrice la ligne géodésique elle-même. Enfin, veut-on
réduire encore davantage les prétentions à l'exactitude, on peut
remplacer ce cône par le cylindre ayant la même directrice et
la même génératrice, en d’autres termes, substituer au point de
l'arête de rebroussement un point situé à l’infini.

Pour trouver d’une manière simple une première valeur approchée
des angles en question, considérons donc d’abord (fig. 2), sur un
cylindre de révolution à rayon r, deux points P et P, d’une hélice
faisant un angle ; avec les génératrices; soit & l’angle au centre
PQR qui correspond à ces points. La section du plan mené par
la normale PQ et par le point P, avec le cylindre ou avec son
plan tangent en P fait alors, avec la génératrice en ce dernier
point, un angle ;' égal à l’angle R P, S que la génératriceenP,
fait avec le plan normal désigné; cet angle est donc expriné,
attendu qu'on a P,R—arc PR.cot7, par la formule fg 7! =
rsine __ Sins
ROCHE, &
la normale P, Q, et par le point P, avec le cylindre ou avec son
plan tangent en ce même point P, fait avec la génératrice en ce

tq y. D'autre part, la section du plan passant par

GÉODÉSIQUE ET DES SECTIONS PLANES NORMALES ETC. 909

: A ri l
point un angle 7” déterminé par tg 7" = DESERT, y. Les
re Col y G.

tangentes des trois angles 7', 7, 7" sont donc entre elles comme
sin &, e, tg s; de sorte que, pour & < 90°, on a toujours
Bi ST.

Ces formules peuvent être rendues applicables à deux points
peu éloignés l’un de l’autre d’un cylindre quelconque. Il faut
alors, en effel, prendre pour r le rayon de courbure et pour e
le petit angle qui a pour limite l'angle de contingence de la
directrice du cylindre. En développant sine et {ge, on obtient

danses cas {97 — (: =) et gi = (1 +3).

d’où l’on déduit:
|

do a
= =—Ay=— cos? YA.tgy =cos?7 (tg7—tgr")= Sr EST To e?sin 27,
et de même:
g ; } LIT. 5€
7" — 7 = cos? ; (tg7 moin SHC SN D
de sorte qu’on a alors toujours:
1 ’
"—1=2(7 — 7) où ; men + 7”).
Pour 7; = 0 et pour y; —= 90°, y — ;' et 7" — 7 s’annulent,
ainsi que cela doit être. Pour 7; — 45°, ces deux différences
a ol 1
acquièrent leurs plus grandes valeurs, savoir: TS APCE & GE

Ce qui vient d’être trouvé pour le cylindre se laisse utiliser
directement pour la surface développable considérée en premier
leu, parce qu’alors les deux génératrices de P et P,, tout en
n'étant pas rigoureusement parallèles, se coupent sous un angle
si petit, que celui-ci ne pourrait avoir d'influence que si l’on
désirait un degré d’approximation supérieur, le rapport des dis-
tances de ces lignes en P et en P, différant peu de l’unité. Les
formules

3060 F. J. VAN DEN BERG. SUR LES ÉCARTS DE LA LIGNE

1 = D csin 27 et Mie Les 27

restent donc applicables comme première approximation, à con-
dition de regarder -, pour une surface développable, comme l’angle
des normales extrêmes de son intersection avec le plan normal
de la génératrice en P, et pour une surface quelconque, comme
l’angle des normales extrêmes de l'intersection de cette surface
avec le plan normal de la génératrice de la surface développable
déterminée par la ligne géodésique, laquelle génératrice détermine
alors en même temps l'angle (aigu) 7. Comme cette génératrice
est formée par l'intersection du plan tangent en P avec le plan
tangent au point immédiatement suivant de la ligne géodésique,
elle peut en outre être regardée comme l'intersection analogue
pour ces deux mêmes points sur le paraboloïde osculateur de
la surface donnée en P, et, comme telle, elle coïncide avec celui des
diamètres de l’indicatrice de cette surface qui est conjugué de la
_tangente de la ligne géodésique, c’est-à-dire, avec la tangente
conjuguée de la surface elle-même en P.

Si lon veut se rendre encore plus spécialement compte du
degré d’exactitude qu’on atteint suivant que la surface donnée
est remplacée par une surface développable, par un cône ou par
un cylindre, on remarquera qu'en chaque point de la ligne
séodésique, sauf en P, les génératrices de la surface développable
et du cylindre forment un petit angle; deux lignes tracées sur ces
surfaces, à de petites distances du même ordre prises à partir de
la ligne géodésique, ont entre elles une distance qui est de l’ordre
immédiatement supérieur et par conséquent négligeable, de sorte
que la ligne géodésique et la section normale de la surface déve-
loppable peuvent être aussi considérées comme telles pour le
cylindre. Or nous venons de voir (ce qui d’ailleurs avait déjà été
trouvé ci-dessus d’une manière générale) que pour le cylindre
l'angle 7—7' de la ligne géodésique et de la section normale est
du 2 ordre, et que par conséquent la distance de ces lignes est
du 3e ordre, ce qui, dans la direction de la génératrice, pourrait
aussi être établi facilement par un calcul direct. Ce résultat s’applique

GÉODÉSIQUE ET DES SECTIONS PLANES NORMALES ETC. 907

donc également à la surface développable; or, à cette distance
du 3e ordre, la distance entre les sections normales de la surface
donnée et de la surface développable est, ainsi que nous l'avons
remarqué au début, de l’ordre double, c’est-à-dire du 6e, et cor-
respond par conséquent à un écart angulaire du 5e ordre. Il en résulte
que si l’on voulait réellement approcher de l’angle 7—7' jusqu’au
5e ordre, le calcul devrait être exécuté pour la surface donnée
elle-même, et non pour quelque surface auxiliaire; veut-on au
contraire se contenter du 4e ordre, la surface développable enve-
loppe peut être substituée à la surface donnée. Si l’on considère
ensuite que le remplacement de cette surface développable par
le cône dont il a été question ci-dessus reviendrait à négliger de
petites parties des génératrices successives près de l’arête de
rebroussement, par rapport aux parties qui s'étendent jusqu’à
la directrice, on parait autorisé à conclure que ce remplace-
ment abaisse de nouveau d’une unité le degré d’exactitude et fait
donc connaître l'angle ;—;" jusqu’au 3° ordre inclusivement. En
substituant enfin des génératrices infinies aux génératrices finies,
c'est-à-dire en passant du cône au cylindre, on peut admettre
qu'on perd encore un degré d’exactitude, et que par consé-
quent l’angle du 2 ordre ci-dessus trouvé pour le cylindre
n'est, pour une surface quelconque, exact que jusqu'à ce
2e ordre. On pourrait encore ajouter, en poussant aussi loin
que possible la simplification graduelle des surfaces, que le
remplacement de la ligne géodésique elle-même par sa tangente
en P, c’est-à-dire du cylindre par le plan tangent, donnerait une
valeur exacte jusqu'au 1 ordre: en effet, l’angle en question,
du 2% ordre dans le cas général, devient rigoureusement nul
pour le plan. (Ces résultats sont d'accord avec la remarque
que le plan, le cylindre, le cône et la surface développable, en
tant que pour cette dernière la connaissance de l’arête de rebrous-
sement serait 1ci requise, sont déterminables respectivement par
les plans tangents en un, deux, trois et quatre points consécutifs
de la ligne géodésique.

Supposons maintenant que, renonçant, à cause de sa trop grande

368 F. J. VAN DEN BERG. SUR LES ÉCARTS DE LA LIGNE

complication, à l’approximation jusqu’au 4 ordre par la surface
développable, on veuille par contre, au moyen du cône, déve-
lopper le calcul jusqu’au 3e ordre, on pourra, de même qu’on
l’a fait ci-dessus pour le cylindre, simplifier l'opération en choïi-
sissant un cône de révolution. Comme sommet de ce cône il
conviendra de prendre le point correspondant de l’arête de
rebroussement de la surface développable, c’est-à-dire le point
d'intersection des plans tangents à la surface donnée en trois
points consécutifs de la ligne géodésique; comme axe de révo-
lution on pourra employer la droite qui fait des angles égaux
avec ces trois plans, c’est-à-dire l'intersection des plans bissec-
teurs intérieurs de leurs angles dièdres. Dans l'hypothèse que
l'arc PP, soit suffisamment petit, l'écart entre le cône réel
et ce cône de révolution sera de nouveau négligeable. Faisons
maintenant (fig. 3) les génératrices T P=—=#YNer PP}, ==" le
demi-angle au sommet PTQ = P, TQ = 8, et l'angle au
centre POR—=:; en premier lieu, la ligne géodésique P P, forme
alors, dans le développement du cône, le côté d’un triangle PTP,,
dont l’angle opposé est égal à ee — ur

bi TE TP

l’on a par conséquent /: 7, — sin (y + e sin 8): sin 7. Ensuite, les
angles y et ;” sont déterminés par les intersections respectives
du plan passant par la normale PQ et par le point P, et du
plan passant par la normale P, Q, et par le point P avec le plan
tangent en P, c’est-à-dire par les points d’intersection p’ et p°
de ce dernier plan avec la droite menée par P, parallélement à
PQ et avec la droite PQ, elle-même. Or, par rapport aux droites
perpendiculaires PQ, PS et PT, prises pour axes, les coordon-
nées de P, sont: {/, sin 8 (1—cos e) cos 8,1, sin Bsine, (—1;) +
l, sin 8 (1—cos e) sin 8|, et celles de Q,, comme intersection de
la normale en R, avec l’axe du cône: {/, 498, 0, 14, |. Des
premières coordonnées il résulte:

= & sin B, etoù

ol l, sin Bsin sin y Sin 8 Sin
Nm (1, j+l, sin? 8(1—cose) — sin(y+esin8)—siny+sin;sin?8(1—cose)
ou, pour de petites valeurs dee, jusqu’au 3€ ordre inclusivement :

GÉODÉSIQUE ET DES SECTIONS PLANES NORMALES ETC. 909

sin 3 in 8 (e— 2e)

HT 1 RS M
LI Er sin? B+ A sin* B)+cosy (HET sin* B)—

— sin 1 + sin 1 (5° e? — 7) sûr 6
(1 — La) sin 1

— —
EE
— a

COS sn Ê — + eë sin y sin B cos? B
() 24
TT cos? B+ . EN IS, P COS 0:
6 HO, JE

En combinant les deux systèmes de coordonnées, et en déter-
minant l'intersection p” de P, Q, ou de

TAC Na ETES)

sin 8 (1—cose) cos 8—tg 8 sin 8 Sin e T sin? B (1—cos e)

avec le plan tangent X — 0, on trouve:

Fa — |, 98 sin B Sin &

JE | -
Z (l-l,)!sin£cosB(1—cose)—tg8 | —l,tg8sin?8(1—cose)

14 sin ; Sin BSiN &

_ {sin(;+ssing)—sin;] |1- cos? 8(1—cose) | +sinysin?8(1—cose)

ou, pour de pelites valeurs de e:

sin y Sin B (e — = 4)
no. fl 1 er
sin 1 (1— 9° sin? 6e 7° #sin'8)+cos;(eSins — 4 m1

(

FES 4° ( € pal pa
j G: er )EUS. nn 97 i)sin? 8

Hi ) sin y

cos 1 — (Le cos y sin? p+ es COS;c0s? + D s'vin Sin BCOS°6 .

= gite lg y cos? 8 — «ty y Sin B cos? 6.

310 F. J. VAN DEN BERG. SUR LES ÉCARTS DE LA LIGNE

On reconnaît en outre qu’on a maintenant jusqu’au 3e ordre
inclusivement, de même qu’on l'avait ci-dessus jusqu’au 2 pour
le cylindre:

| 1 À
1—1"=cos?y(tg1-—tg1 ), donc= & e? sinCos1cos ? B— A Ne
et

Tu DRE
—1=cos?y(tg1"—tgr),donc= 5 se? sin COS COS? Er 3sin?sinfcos? 8.

Pour 8 = 0 ces formules se réduisent à celles que nous avons obte-
nues précédemment. En général, tant qu’on se borne au 2e ordre,
elles donnent comme précédemment: 7" — ; = 2(7— 7), au
moins dans la supposition que ; ne soit pas trop voisin de 90°. Si au
contraire ce cas se présente, si l’on a par exemple 7 = 90° — ke,
ce qui conduit à poser sin y = cos ke = letcos; =sinke=ke,

on à jusqu'au 3e ordre: 7 — lois cos? 8 (4 k— sin 8) et

V == E B(Sk— 5 sin 8), de sorte qu'alors le rapport
y 8k—=5sinpg
y TT 4h sin

quent de la grandeur absolue des angles y — 7’ et 7” — y mêmes.
Quant aux conséquences spéciales qui à ce sujet pourraient être
déduites dès à présent, je renvoie, pour ne pas tomber dans des
redites, à la suite de ce travail, là où je m'occuperai du
calcul sur la surface quelconque elle-même; je me contente de
noter ici que les cas particuliers mentionnés plus haut en 2° et

dépend bien dûment de k et par consé-

: 1
en à correspondent respectivement aux hypothèses 4 — g Sn ê

—

Fe devient — 1 ou + 5.
a

Au lieu d'exprimer les angles 7 — ;’ et 7” —; en fonction de
l'angle : sur l’axe du cône, on peut aussi les déterminer au
moyen de l'angle w que les tangentes à la ligne géodésique en

et 4 — 0, pour lesquelles le rapport

GÉODÉSIQUE ET DES SECTIONS PLANES NORMALES ETC. 97/1

P et en P, font entre elles et qui a pour limite l'angle de
contingence de cette ligne elle-même. (Ces tangentes, situées
respectivement dans les plans tangents en P et en P,, dont
l'intersection TU fait de part et d'autre des angles égaux

à arcég (sir tq L ) avec les génératrices TP et TP,, forment
ù il

avec cette intersection les angles 7 + arc fg (ste 5 ) et

(Gi + € sin B) — arc ty (sr Ê tg : «) dont la différence

LE Da

2

— 1) —° sin® b. : Er sin 8 cos? 8 est du 3e ordre.

— es sin Ê + 2 arc tq (on 5103) =— sin 8 +2 sin 8 (

Il en résulte que, lorsqu'on se propose d'exprimer w en &, ou vice-
versa, seulement jusqu’au 2 ordre, ces angles des tangentes avec

A L 4 * À . e
TU peuvent être censés égaux chacun à 7 + jo BDs

en est aimsi, ils se présentent comme les côtés égaux d’un
triangle sphérique isoscèle, dont l’angle inclus y est l'angle des
deux plans tangents et dont le troisième côté est égal à w, de

2
triangle sphérique isoscèle, déterminé par l’axe du cône et par les
perpendiculaires abaissées d’un de ses points sur les deux plans
tangents, et ayant par conséquent l'angle - entre les deux côtés
égaux 90° — 8 et en outre y pour troisième côté, donne de même:

; Det Er j * PA ;
sorte qu'on à sin 5° =SN > y sin À y + oi CE . Ün second

sin : y = Sin : e.cos8. On a donc sin : o = Sin : eCOSBSiN (+: 8 sing)

ou, jusqu'au % ordre inclusivement, w —= & cos 8 (sini+

. e LDEG , , © C9
où sin 8 cos 1). d’où l’on déduit réciproquement:

w SA COS SIN PMU CO m2 COSÿSin£
EE ——— — 2 —— = ———— — 2 ———.
sinycosB DH 7 Sin) COSB 2 sin? 7 cos?B

319 F. J. VAN DEN BERG. SUR LES ÉCARTS DE LA LIGNE

La substitution de cette valeur dans celles qui ont été trouvées pour
y —ÿ" et pour 7" — 7 donne ensuite:

4| 1 si sin? 4 cos? ;
rl ot çot ge À as PR Es d
(6 sin? 7 COS B

et |
eee ur __ 1,3 sn8(5sin? 7 + 8cos° 7;
2 24 sin® y cos B

Bien que les derniers termes de ces expressions soient plus compli-
qués que ceux des formes primitives en &, les premiers termes, aux-
quels se réduiraient de nouveau ces valeurs pour le cylindre, sont
en revanche plus simples. Aussi n'est-il pas difficile, dans le cas
du cylindre, de trouver ces valeurs directement, et même encore
plus rapidement qu'on n’a pu le faire ci-dessus en fonction de e.
Pour cela, on n'a qu'à regarder la ligne géodésique PP, (fig. 4)
comine un petit arc de son cercle osculateur, arc dont le rayon
sera OP—OP, =R.et l'angle au centre POSE Pon
construit le triangle P, RS normal à OP, on reconnaît que, entre
le rayon de courbure R et le rayon de courbure ci-dessus con-
sidéré QP—QR—7 de la projection PR de la ligne géodésique
ou de la directrice du cylindre, existe, comme première approxi-

mation, le rapport Res Re EEE ; dont la

É re. Jr, PS STORES
division par R © — Le — di donne de nouveau la valeur
re RS sin ; |

approchée © — ul” pour le cas de 8—0). Mais, sans intro-

(1) sin 1
duire maintenant > et &, il suffit de remarquer que les intersec-
tions PS et P,S’ du plan osculateur 0 P P, de la ligne géodésique
avec le plan P, RS parallèle au plan tangent du cylindre en P
et avec le plan tangent P, R S'lui-même en P, font respectivement,
avec la génératrice P, R, un angle égal à 7’ et un angle qui (à
raison de la petite distance PP, des points de contact de ces
deux plans) ne diffère de ;” que dans un ordre supérieur. Si
donc les triangles rectangles P, RP (celui-ci à côtés courbes),

GÉODÉSIQUE ET DES SECTIONS PLANES NORMALES ETC. 373

P,RS et P,RS', qui ont pour hypoténuses Ro, R sin « et
Rigw, sont rabattus dans un même plan (fig. 95) autour du
côté commun P,R, et que de P, comme centre on décrive
un petit arc de rayon P, P—Rw, qui détermine par conséquent
sur les deux autres hypoténuses les seoments Ro — R sin o
et R ég © — Ro, la figure montre immédiatement qu'on a,
(Ro—R Sin) coty

1 wo? cot 7 et
Res 6 4

comme ci-dessus: y — ÿ' =

Z AE LME ee BR =: w? Co Y.

1
1 =

Plus haut 1l a déjà été question de la détermination du sommet
et de l'axe du cône de révolution qui se laisse substituer à la surface
développable enveloppe. Si l’on voulait exécuter à ce sujet un
calcul général, le plan tangent au point P ou (x, y, 2) de la sur-
face donnée di = pd rc + q dy pourrait être représenté par U =

p(X—x) + q (Y—y) —(2—2) = 0, et la distance d’un point (X, Y, 2)

à ce plan, en coordonnées rectangulaires, par

CAE ED

sommet du cône, considéré comme point d'intersection de trois
plans tangents consécuufs, est alors déterminé par le système
U=0, dU=0, 4? U=0; l'axe du cône, comme lieu géométrique
des points situés à la même distance des trois plans, par le système

a ( RU _— ) =0. Dans
PET 1) DDR QE 4)

le calcul de ces différentielles, X, Y, Z entrent comme con-
stantes, et x, y, z comme variables liées d’une part par la
_ relation dy = A dx, d’où dz = pdx + qdy = (p + AQ) dx,

. qui détermine la direction de la ligne géodésique, et d’autre part
par l'équation différentielle de cette ligne, exprimant la propriété
fondamentale que le point (x + 2 dx + dx, y + 2 dy + d?y,
z2+2dz+ d?z) doit être pris dans le plan déterminé par le”
point (%, y, z) et par la normale au point (x + dx, y + dy,
z + dz). Si l’on remarque toutefois que dans les valeurs de
y — 7" et"— 7 pour le cône, les longueurs / et /,, qui fixent

837 F. J. VAN DEN BERG. SUR LES ÉCARTS DE LA LIGNE

le sommet et la position de laxe, ont disparu, on reconnaît
que, en ce qui concerne ce calcul, il suffirait de déterminer le
demi-angle au sommet 8 et l’angle 7.

Au lieu de nous livrer à ce calcul, toutefois, nous allons aborder
l'étude analytique de la question considérée par rapport à la surface
donnée elle-même. En prenant pour axe des z d’un système de
coordonnées rectangulaires la tangente en P à la ligne géodé-
sique, et pour axe des z la normale à la surface, l'équation de
cette surface, au voisinage de l’origine P, est, d’après le théorème
de Taylor: |

1
2

AN ==

(rs eu TU?) + (us + Sva?y +3 v,xy? +u, y*)+
Le (ua + ay +Gw'x?y? + xy+u',y*)+ a (u'æ5-+etc.)-tetc.,

où entrent comme coefficients les valeurs que les coefficients difié-
rentiels partiels successifs de z par rapport à x et à y prennent à
l’origme. La projection de la ligne géodésique sur le plan X Y,
lequel est perpendiculaire à son plan osculateur X Z en P, présen-
tera, d’après une propriété générale, un point d’'inflexion en
P même, et aura par conséquent une équation de la forme
y = Aa + Bxt + etc., ainsi qu'il ressort aussi de ce que, si
la valeur de y commençait par un terme A ,æ?, la projection
.
2A,
teur ne passerait pas par la normale PZ. Si (5) et (7)
dx dy
représentent les coefficients différentiels partiels tirés de l'équation
_ de la surface, on aura, pour calculer les coefficients indéterminés
A, B, etc., l'équation (qu'on peut aussi, si on le veut, déduire
analytiquement) :

SUR 2 serait 2 — y +etc., de sorte que le plan oscula-

GÉODÉSIQUE ET DES SECTIONS PLANES NORMALES ETC. 970

y du de:
dx dx

0 dy Az ie À
dE d'or? ;

CS
dx Ce

qui exprime la propriété fondamentale d’après laquelle un même
plan (dont les coefficients de direction ont été éliminés) comprend les

trois droites suivantes: 1° la tangente à la ligne géodésique, 2° la
diagonale du parallélogramme construit sur les deux éléments

adjacents E dx, + dy + dy, + di + - de) de cette

ligne (dx étant supposé constant), et 3° la normale à la surface,
droites dont les cosinus de direction sont respectivement propor-
tionnels aux éléments de la 1e, 2e et 3e ligne du déterminant
ci-dessus. La même propriété est encore exprimée par l'équation
développée

2% 2 2 2
NOR ON

x dx? 7 dæ? 7 dy dx
d’après laquelle le plan osculateur de la ligne géodésique, plan dont
les coefficients de direction sont proportionnels aux aires — dy d?z +
+ dzd?y, dx d?z, — dxd?y des projections du parallélogramme
susdit, est perpendiculaire au plan tangent à la surface, plan dont
les coefficients de direction sont proportionnels à (#) (©) — 1.

dx! \dy

En limitant le calcul aux deux premiers termes de y= Âx* +
+ Bz' + etc., on a pour le dernier terme de l’équation (1):
LT
da?

supérieures de x deviennent superflues dans tous les termes

— 6Azx + 12Bx?, de sorte qu'alors les puissances 9e et

de cette équation. Or (5) et (=) commençant tous les deux
# y

par la 1e puissance, y et z respectivement par la 8e et la 2e

316 F. J. VAN DEN BERG. SUR LES ÉCARTS DE LA LIGNE

puissance, et conséquemment le premier terme de (1) par la
8e puissance de x, ce terme peut en ce cas être négligé et
l'équation être réduite à: |

2% =
da 7) dy ne LR UE (1')
dæz? Kdy dx?
Ne NS : , d2 1
où il faut prendre, également jusqu'en x*°, (5) eng Pet
2!

dE
Il devient alors nécessaire de tenir compte de re jusqu’en x,
TX

ce qui oblige de prendre jusqu'en x° l’ordonnée z de la ligne
géodésique, ordonnée qu’on trouve par la substitution de y dans

l'équation de la surface et qui devient ainsi: + +2 pee
A d?z = = r > L4
d'où en +uzæ. Les deux coefficients indéterminés A et B
TX

seront donc fournis par l'équation (r + ux) (+ : va) re

+ (6Az +12B7x?) = 0, qui donne 6A+rs=0 et 12B +
1 |: 2 TT

+ 5 ru + su) — 0, montrant que la ligne géodésique se pro-

jette, sur le plan XY adopté, suivant:

1 1
= —_rsx — — (rv +2su)zxt + etc.
y G TA )

Si maintenant (æ, y, 2) est plus spécialement le point extrême
P, de la ligne géodésique, l'angle représenté ci-dessus par 7 — ;",
que cette ligne fait en P avec la section de la surface par le plan
normal en P et passant par P,, devient:

; 1 1
Æ ( —71! 21 yse ru + 2 su) x? SOS €
bee 71 Es @
où l’on doit prendre, attendu que l’angle 7 a été supposé aigu,
le signe supérieur ou le signe inférieur suivant que r et s ont
le même signe ou des signes différents.

GÉODÉSIQUE ET DES SECTIONS PLANES NORMALES ETC. 377

Quant à l'angle que la ligne géodésique fait en P avec la sec-
tion normale en P, et passant par P, il ss être trouvé au

moyen du point d'intersection de la normale RUE

LES à De nt
(5) %)
— — (Z—:) ei du plan tangent Z—0, c’est-à-dire au moyen
d =

du point | X=zx+: C)=z+ Ru rx + etc. —=r + etc.
TL

v=+(7) — (Ax+Bri+etc.)}+ É re+iuas) (se+ ge VX =

— 1 3 F 1 2 3) L 4 —
=(A+rs) == (B+ro+ csu)s nee —

nr
3 24

eflet pour l'angle en question:

(9 ru + 2su)x* + etc.|: Il en résulte en

LG =S mins + (Gro+ Zu) 2 + ele... (3)

Dans toutes ces formules on peut remplacer x par o, attendu
dy

que Fa est du 2e ordre et =. du {e, et que par conséquent la
2 x

longueur = dur? 4 + (A

Fi (; ?) | de la ligne géodé-
dx

dx
sique eue ne diffère de l’abscisse x que dans le 8e ordre.
Mas cela n'aurait plus lieu si l’on avait voulu calculer y et z pour
la ligne géodésique jusqu’au 5° degré de x: dans ce cas, où l’on
aurait aussi dû partir non de l’équation différentielle réduite (1°)
de cette ligne, mais de l’équation complète (1), on aurait trouvé
les formules suivantes, dans lesquelles, toutefois, la loi des coef-
ficients ne paraît pas très simple:
—— PTS É (ru + 2su) xt + ea [rs(8r2+rt+12s?)—

6 24 120

— 3 (su + uv)|zx° + etc.
ARCHIVES NÉERLANDAISES, EL: XIE 24

378 F. J. VAN DEN BERG. SUR LES ÉCARTS DE LA LIGNE

D— de : u r— Us —U Jr 5! OR | æ5+etc.

K=s+iret + etc

Fert + 5 5, Gr + Done 1 irs(—3r2+9rt+8s?)—
3 12}

— (su + Tuv + 10rv')|x$ + etc.

Care + 7, (Bro-+ Du) 2° — TS(LITE + 9ri+8s?)—

— (2su + Tuv+10rv)| x? + etc.

Des deux premières, on déduirait:

=fin 1 + ED

— + (Elec ire time

dx

=. (Sri 187252 —4ru—3u?)xs — _ (6r°u+13r?s0+14rs?u—
— vu!" — Duu')x$ + etc.,

et de celle-ci, par inversion:

Go Lt 6° Fu + po (8r+i8r 282—4 ru —3u?)o$ +

(27r5u+137r? su+1ärs? u—ru"—Quu')5$ +etc.

+
Du ne UE (ru + Dsu) ot RAD rs (1372? + rt + 1925?) —
6 24 120
— 3 (su + uv)] «° + etc.
ae li NE
ot RU ox 4" (r me u +

+ 9 s (ru + 2 su) — uw} 5° + etc.,

GÉODÉSIQUE ET DES SECTIONS PLANES NORMALES ETC. 9379

_

x 1 à , ,
et de même les angles Je NE être représentés en o 1).
TX

L

On pourrait encore chercher la longueur de l'intersection de la sur-

1) Ces trois dernières formules pour les coordonnées x, 7, z, et par suite
toutes les formules précédentes, auraient aussi, au moyen de coefficients indéter-
minés, pu être établies d’embleé en o au lieu d'en >; il eût sufi de partir de

‘équation (= :) dr + = Je — d2—0 de la surface, ou bien de la relation

dax? + dy2 +d22 = do?, l'une ou l’autre combinée avec les équations diffé-
d?x _ d?y

géodésique; elles en expriment, en effet, la propriété fondamentale, à savoir que sa

rentielles — d2z qui, pour do constant, représentent la ligne

normale principale, c’est-à-dire la diagonale du losange construit sur les éléments
1: 1 I
adjacents égaux Æ do ou (+ dx + 5 dx, Edy + = d2y, Edz+ : 2) Ê

normale dont les cosinus de direction sont par conséquent proportionnels à d2#,
d?y, d2z, coïncide avec la normale à la surface, dont les cosinus de direction sont
proportionnels à 2 ; , — 1. Que ces quatre équations, servant à résoudre
æ, y et z en «, sont réellement connexes entre elles, cela ressort de ce que la
première multipliée terme à terme par les trois dernières valeurs égales, donne
la différentielle dx d° x + dy d'y + dz d°z = 0 de la seconde équation dans l’hypo-
thèse de do constant. Il serait , de plus, facile de se convaincre que dans légalité des
valeurs susdites est impliquée l'équation différentielle (1), employée ci-dessus pour
le cas de dx constant, et qui exprime seulement que le plan osculateur de la ligne
géodésique passe par la normale à la surface: il suflirait de remarquer que, si
l’on prend d2x, d?y, d2z dans leur acception la plus générale, affranchies de la

condition de se rapporter à une valeur constante de Jo, alors, dans l’équation

dx dy de
d?x d2y d?2z2

| fdz d 2 Me De

HAN)
les éléments de la seconde ligne sont pour la tangente proportionnels à ceux
de la première, et pour la normale principale, témoin les valeurs égales déjà
itérativement mentionnées, proportionnels à ceux de la troisième ligne; que par
conséquent cette équation représente en général le plan déterminé par la tangente
et par la normale principale, c’est-à-dire le plan osculateur , mais qu'en outre, par

l'introduction de J'hypothèse dx = 0, elle se transforme dans l'équation (1).

24%

380 F. J. VAN DEN BERG. SUR LES ÉCARTS DE LA LIGNE
: À ; : | KO
face donnée Z 0 +92sX Y + etc.) Le (uX3 +BuX2Y +

+ etc.) + = (u' Xi +etc.) + = (u" X5 d etc.) + etc. et du
plan Ÿ —Tx— oo — LG +2su)x$ + etc.{X, passant
(ANG 24 \

par la normale en P et par P, (x étant alors regardée comme
constante, X, ŸY, Z comme variables), On obtiendrait ainsi:

a | 1 1 Me Ne

'—=a2+ res + -ruri— —_(9rt + 357252 Ou OVy2)r—
6 Ô 560!

il

nn R ù + 19272 sv + 19rs?u — ru" — Juu')x$ + etc.,

à CE En à
et par conséquent o — o— — r?s52x%5+ — rs(rv + Dsu)x$ +etc.

résultat conforme à celui que nous avons déjà trouvé, d’une
manière beaucoup plus simple et avec un plus grand degré d’ap-
proximalion, en employant la surface développable enveloppe;
au moyen de l’équation dans le plan, y—=Ax* + Br +Cx°+etc.,
nous avons alors obtenu l'expression:

do =EA! x5 + ABx° + D (OR: +16 AC)x7 +ete.,

1 Là A
dans laquelle — attendu que T° représente le même angle sur
TX
la surface elle-même et sur le développement, tandis que les
abscisses æ, comme on l’a vu, ne différent pour ces deux
cas respectivement que dans le $e et dans le 5e ordre de la
longueur « de la ligne géodésique, — il y a seulement, suivant (2),

à substituer À — — rs et B= — D (ro + 2su). Si l'on voulait

en outre comparer les longueurs & et 5’ de la ligne géodésique et de la
section normale en P, telles qu’elles viennent d’être calculées sur
la surface et exprimées en x, avec la longueur de la corde
PP,, on trouverait à cet effet, pour cette dernière:

GÉODÉSIQUE ET DES SECTIONS PLANES NORMALES ETC. 981

LA (a+ prit) Le ge + Qruai— pe Cr on s?—

— 2 ru — 16u?) x5 — ce uw + 80 r? sv + 80 rs? u —

1
1440
— ru! — TOuu') x$ + etc.

Quand on se borne aux formules (2) et (3), celles-ci donnent déjà
les angles compris entre la ligne géodésique et les deux sections
normales avec un degré d’approximation de plus que les formules
correspondantes de M. Weingarten pour «—-8 (ici + (;—;)) et
pour (8) —8 (ia +("—;)=+(G"—7) +(—7;)))), à savoir:

œ — 8 =; (COS PE TS BE) (rs —"1,).sin picas pret

)—8= — 0 (ro cos? B + t, sin? B) (ro — to) Sin B cos B;

les nôtres ont en outre une forme plus concise. Ce dernier
avantage devient surtout manifeste si l’on passe des formules (2)
et (3) à celles qui leur correspondraient sur les axes des coor-
données employés par M. Weingarten, c’est-à-dire si l’on prend
pour axes des X et des Y les tangentes aux deux sections princi-
pales de la surface qui passent par P, auquel cas la ligne géodésique,
la section normale en P et la section normale en P, font respec-
tivement avec l’axe des X les angles «, 8 et (8). En désignant
les coordonnées de M. Weingarten par x’ et y’, on doit alors,
dans son équation de la surface développée jusqu’au 3° ordre, soit

| [ [ /
Pi — 5 Pbeslou -)t a (ue ml EU ROU HU EU 0 )dreie.
subsliuer z' = æcos « — ysina et y — x Sin « + y COS, Ce

qui, pour l'équation employée par nous,

+
À) mms

(ux + $vx?y + etc.) +etc.,

el me

: (rx? + Dsxy + etc.) +

4

382 F. J. VAN DEN BERG. SUR LES ÉCARTS DE LA LIGNE

conduit à:

P=T,) COS? 6 + Lo, SM, ee à à à à RE

S—=— (To — to) Sin a COS «, s + + Ve OCDE RME

WU C0S du ee sin? a ,(4)

V =—UysinacOS a+ V,C0Sa (co o— sin? a)+v' ,sina(2c0$u—sin? a)+
DU SU) DICOS EVENE LRO

Ces valeurs, dont la première exprime la relation d'Euler entre
les courbures des sections normales, donnent d’abord:

À = — - DS == - (ro COS? à + lo SN? a) (To — Lo) SÛR « COS à

conformément à la formule de M. Weingarten pour «-—8 (sauf
remplacement de « par 8 et de x par o), et d'autre part, si
cette formule est prolongée seulement jusqu'à l’ordre immédiate-
ment supérieur, le coefficient très complexe:

—_ . (rv 5e 2 su) — — = or Uo SÛR « COSŸ « =

HF Vo COS® « (cos? à — 8 sin? «) +r V0’ ysinacos?a(2c0s?a—7sin? &)+
ru sin? acosu(cos?u—2sin?«)+tou sin « COS? x (2C08? a—Sin?&)+
Ho vosin?acosu(Tcos?u—2sin?a)+t,v', sin? « (8 cos?a — Sin? «)+

+ do UE EURE

De même, le premier terme de la formule trouvée pour la
différence de longueur,

1 |
5 — y 8? % x$ + TS ru + 2 su af + etc.,
Pa To) 144

correspond à la formule

ie o — to}? (ro cos?8 + !, sin?B)*-cos?8 sin?8 + etc.
donnée par M. Weingarten (Baeyer, Messen, etc. p. 92). Quant
à la remarque faite à cette occasion, que, si la différence en
question était développée davantage, les termes suivants con-

GÉODÉSIQUE ET DES SECTIONS PLANES NORMALES ETC. 983

tiendraient aussi le facteur (r, —t,)?, on reconnaît qu’elle n’est
pas fondée. S'il en était ainsi, en effet, ces termes devraient avoir,
dans la notation maintenant employée, le facteur s?: or, le pre-
mier terme nouveau ne contient s qu'à la première puissance, et le
terme suivant, pour lequel nous avons trouvé ci-dessus en général

e (9 B2 + 16 AC) x7, ne contient plus du tout ce facteur,

14
puisque ce terme ne disparait pas pour s = 0 ou A = 0 et
B = — EU. Bien que pour la sphère, d’après M. Weingarten, la

différence des courbures principales r, et {, s’annule en même temps
que la différence de longueur s — o, la première de ces circon-
stances, qui se produit aussi aux ombilics d’une surface quel-
conque, ne suffit pourtant pas par elle-même pour en conclure la
seconde: en effet, tandis que chez la sphère 1l existe, en outre,
entre les coefficients différentiels supérieurs w,, V5, V'o, wo etc.,
d’autres relations particulières qui peuvent expliquer la disparition
des termes supérieurs de s—, cela n’a pas lieu nécessairement
chez une surface quelconque, et il arrivera seulement, en général,
que pour r,—=t, la différence s — « montera du 5e au 7e ordre.
Une remarque analogue s'applique aux angles y — 7; et y” — y;
ils s'élèvent, dans le cas en question, du 2e au 3e ordre.

En ce qui concerne les premiers termes des expressions de
1—1, ÿ/—7 et o'— 60, les formules données par M Wein-
garten font connaître, à la vérité, ces grandeurs plus directement
comme des fonctions des courbures principales 7, et {, de la
surface, et de l'angle « (ou par approximation 8) compris entre
Ja ligne géodésique et la section principale qui correspond à r, ;
mais, par contre, dans les formules auxquelles nous avons été
conduits, la signification du facteur r ressort plus immédietement
comme courbure de la section normale tangente à la ligne géodé-
sique, c’est-à-dire comme courbure de la ligne géodésique elle-
même; et, d'autre part, une signification simple peut aussi être
attachée au facteur s, à l’aide de l’angle (aigu) y, ci-dessus
introduit, que la ligne géodésique fait avec sa tangente conjuguée.

384 F. J. VAN DEN BERG. SUR LES ÉCARTS DE LA LIGNE

L’indicatrice de la surface est, en effet, rx? + 2sxy + ty? =C;
celui de ses diamètres qui est conjugué de la tangente y—=0 de
la ligne géodésique est par conséquent rx.X + s%. Y — 0, d’où
\Ÿ Là 4
ne — — ou s — + rcot y. Il résulte encore de là, en
A:

interrompant les formules (2) et (3) au premier terme:

6

ce qui cadre de nouveau avec les formules, déduites ci-dessus de

1
F(y—,) = ST rent; et ENS eo coly,

ne | 1
la considération du cône ou du cylindre, ; — ;' = 7 w?cot; et

| 1
f—,—= 20? cot;, attendu que l’angle w des tangentes aux extré-

G

mités de la ligne géodésique est égal au quotient de la longueur
so ou æ de cette ligne par son rayon de courbure, c’est-à-dire
égal au produit r&.

Pour ce qui regarde maintenant le rapport des angles que la ligne
séodésique fait avec les deux sections normales, il suit de (2) et (3):
j—y __ 8rs + (orrv +Wisu)repreice
y Lrs + ( ru + su) x + ete
Si l’on suppose x infiniment petit, ce rapport devient égal à
2. Pour des valeurs finies, mais petites, de æ, il est approxi-
mativement égal à 2, du moins tant que r ou s ne Sont
pas trop petits. Si au contraire s, par exemple, est du même

ordre que æ, soit s— 4x, alors F (y —;)= — Ce + etc.

1,
24

—} ‘1e Ô Len V
y 4k+o

CEE (7 y) (8 k + 5v)x*+ etc. deviennent du 3e ordre,

et devient dépendant de k; par exemple, pour

1 fl
==; v ou a on trouve E (y —7')=ÆE (y; —;) =

1 S L4 Là L4
Tux + etc. où 7'—7": C'est lécas Considéré aumiEbuE Een

24

2°, dans lequel les deux sections normales, ayant la même inter-

GÉODÉSIQUE ET DES SECTIONS PLANES NORMALES ETC. 389

section avec le plan XYŸ, coincident, ou dans lequel les nor-
males en P et en P, se coupent, ou du moins ont une distance
d'un ordre plus élevé que dans le cas général; pour 4 — 0 ou
s—0, ce qui revient, comme on l’avait supposé en 3°, à dire
que l’axe des X ou la tangente à la ligne géodésique est en
même temps tangente à l’une des deux lignes de coue on a

1}
Et pour £——1v Où $S——1vx, on à tee) où
1—1 a À

À à . ; (REC
— = (7 + 7”), de sorte qu'alors la ligne géodésique partage en

deux parties égales l'angle des deux sections normales; etc. Si
lon suppose que ce ne soit pas s, mails 7 qui reste petit, par

1
exemple r = k' x, alors & (; —;') = PT sS(2k'+u)x$ + etc.
et +(;"— 7) —= Ps (4k'+u)x$ + etc. deviennent encore du
— y Àk+u, . :
3e ordre, tandis que le rapport l— devient dépen-
rt OAI ET
1 / 4 : 4
dant de k'; par exemple, pour Em OUT Fi 1

on trouve de nouveau ;'—=;", c’est-à-dire, une section normale
commune; pour k '—0 ou r —0, c’est-à-dire lorsque la ligne
géodésique est tangente à l’une des deux lignes asymptotiques de

/

la surface, on à 75 + 7”); etc.

Dans lesscas dont il vient d’être parié, où soit s soit 7 a une
petite valeur, c’est-à-dire où l’arc considéré de la ligne géodésique
est du même ordre que la partie comprise entre les points pour
lesquels les normales à la surface se coupent, ce ne sont pas
seulement les formules relatives aux angles ; — ;’ et ;” — ; età
leur rapport, qui, comme on vient de le voir, prennent d’autres
formes, dépendantes des coefficients k ou k'; mais aussi celles
qui ont été établies ci-dessus, d’une manière générale, pour la
différence en longueur et pour la flèche de la ligne géodésique
et de la section normale.

980 F. J. VAN DEN BERG. SUR LES ÉCARTS DE LA LIGNE

Après avoir examiné la question au point de vue d’une surface
quelconque, faisons maintenant l'application des résultats trouvés
à une surface de révolution, et supposons que celle-ci soit donnée,
par rapport à l’axe de révolution OZ (fig. 6) et au plan méridien
XOZ qui passe par le point P, au moyen d’une équation de la forme
9?=x? + y? —F(z). Il faut commencer alors par chercher
l'équation relativement à la tangente et à la normale au méridien
en P, prises pour axes des X’ et des Z', et à la tangente au parallèle
en ce point, prise pour axe des Ÿ’, lesquels axes des coordonnées
sont les mêmes que ceux employés en général HE M. Weingarten.
Pour opérer cette transformation, on a, (e,, O0, z,) étant le point
P et y l’angle d’inclinaison de la normale, les formules
T—Q, —ZL'Sinp —1 c0$p,y=Y, 3—=7%3, +LCOS®—ZsSiny,
dont la substitution donne pour la nouvelle équation, — si l’on déve-
loppe le second membre suivant la série de Taylor, si l’on néglige
comme étant du 4€ ordre tous les termes en 7’? et le terme en x’? z,
de;

À |

et si en outre les relations o,? = F(z,) et gg = —

SO
_ Je =
DAT +]

D

, —=— F'cot sont prises en considération, —
Da

F'cot 9 (x' sin g + 2'cos œ) + (x'? sin? g + 2 x’ z' sin p cos ) + y'? —

se 1 |
= F'(x'cosqg—2' sinp)+ AE 2c0s?q—Ix'z sinpcosr) + ocre

ou
METe dæ'singcosplz = d (F'+92)cos? —2 PR TL FE" cosy.
Ising \ OR | 6

En résolvant cette équation relativement à 2’, au moyen de la
sin p 1— (F7 + 2) x sin? cos y,

F' k
dans le cas d’une surface de révolution, pour les coefficients de
l'équation déjà représéntée ci-dessus, à l'exemple de M. Wein-
garten, par

multiplication par 7" on à donc,

Z ne - #07 (u,z'+80,x "y" +80" r'y +u0y')+etc.,

GÉODÉSIQUE ET DES SECTIONS PLANES NORMALES ETC. 9387

les valeurs suivantes:

F Li Den

F' F’

singCos s +2)sin? Wie
ee — LEA COS? p— ns, | (E"+92)cos? s—2| | Vo = 0,
PET IR Re
n 3
E 2(F" + 2) sin° ç cos 2. D
IE

Ces mêmes valeurs peuvent aussi être déduites d’autres formules,
qui en outre conviennent mieux au calcul dans les cas où l’absceisse o
du méridien est donnée en fonction de l'angle d’inclinaison w,
ou se laisse facilement exprimer en cet angle au moyen de 9? = F(2)

et de {gp = — de, D'abord, en effet, r, et {, ne sont autre
d 2

22

chose que les courbures principales de la surface de révolution

en P, c'est-à-dire les valeurs inverses du rayon de courbure R,

du méridien, et de la normale R, prise jusqu’à l’axe de révolution; de
2 J )

1 AU LEE sin p d y 1 COS
HERO 2: 7 — =
À LEE R, HE. do : Re (4
d’où il suit encore: r,do—d(t, e) ou A _ D'autre
- Ü 9
; M A / D, ;
part,ona:u, = dro — É, dro _1 (ro?) et Tee 16 do
dx do 1109 do dx’ do
ou encore = — rime oto)sinp = —(r,—ÙÀ,)t, 19 +.

do 9
En outre, v, et w',, comme coefficients différentiels partiels de
ro et def, par rapport à y’, doivent dans le cas présent être
égaux à zéro, parce que les courbures principales r, eté, restent
constantes lors du passage de P au point immédiatement sui-
vant du parallèle. Si l’on voulait maintenant faire usage de
ces valeurs pour retrouver d’abord les valeurs ci-dessus de r,
et £,, et par suile celles de u, et v,’, l'opération reviendrait

essentiellement à substituer 29 =-—F'coty et do — —tqœ. dx,
ou — F" cot @ dz + F' g = —=— 2tq dr, c’est-à-dire, F'coso de =
sin? p

= sin q |(F” + 2) cos? og — 2 | dz.

388 F. J. VAN DEN BERG. SUR LES ÉCARTS DE LA LIGNE

Pour remplacer ensuite dans le plan X'VY’ les axes des coor-
données par la tangente PX à la ligne géodésique et par sa
perpendiculaire PY, on a besoin des formules déjà employées
précédemment, &'= % COS « — y Sin « ty = & SÛN « + Y COSu, À
l’aide desquelles on calculera, — en négligeant les termes en y?
et en y*, qui sont sans influence sur les coefficients r, s, w, v,
seuls nécessaires, — les valeurs de z'?, y?, x'vet x, qu'on
substituera dans l'équation trouvée pour la surface de révolution.
De cette manière, ou bien en substituant v, = 0etu!', —=0 dans

les formules (4) trouvées ci-dessus pour le cas général, on obtient:

PP COS + ti SEE S—=—(r, —{,) Sin « COS a,
WU = COS « (Up COS? & + 8 V'o SN? à),
U = Sin « | —Ug COS? « + V'o (2 COS? & — Sin? x),
ou bien:
Sin | / Sing pr
n— en (E"+ 2)cos? pcos?u—2,, S—=—- > (F"+2) cos? psinucosa,
Sin q COS p COS HE à 2) sin°
ne [e” COS? p COS? ù — == F4

| (E" +2) cos? p cos? « — 21 |

SiN œ@ COS & Sin > [RES EtARO CT RE
D = CAE De = B cos? p cos? a 73

13 (F" + 2) cos? ç cos? a — 21 |.

d’où l’on déduit encore:

JM
A—— à de ru (F"'+-2)c0s? gsin « cos u | (F”+2)c0s? gcos?«— 2]
el
pe 1 | 1 sin? p cos piste Mere ,
on (ru +9 su) = 57 TE [F COS? pCOS? « |

L3(F'+2)cos? cos? x — 9)

ME tr à [(EV+92 cos? cos? a—2| |

| J(F7+2)cos ?gcos? x — | |

GÉODÉSIQUE ET DES SECTIONS PLANES NORMALES ETC. 389

Quant au rapport des angles ; —;’ et ; —; que la ligne
géodésique de la surface de révolution fait avec les deux sections
normales, il y a lieu de considérer de nouveau les divers cas
dont nous nous sommes occupés ci-dessus à propos d’une sur-
face quelconque. Nous avons alors trouvé, entre autres, que pour

«| , RE à
S= — == les deux sections normales coïncident. Si ce cas se

présente sur la surface de révolution (toujours dans l’hypothèse d’une
distance æ petite), l’angle « ne différera évidemment que peu de
90°: on peut poser alors, par exemple, « = 90°—kX À 900,7,

2
et par suite approximativement sin « = À et cosxa —=kt,x, de

sorte qu'on a dans ce cas:

S——(ro—to) Sin acosa—=—(r,—t,)kt, x et

V=SUN à | —UC08 ? & + V5 (cos? a— sin? à)|=—V' = (To —t)lotg D.
Je: D 1

Ces valeurs, substituées dans la condition $s — SiS vx, donnent

bA

k—= : 1gæ, et par conséquent « = 90° — SR tg g. Que c’est là

2

réellement l’azimut pour lequel les deux sections normales coin-
cident, c’est-à-dire pour lequel les points P et P, sont situés
sur un même parallèle, on peut aussi le reconnaître directement
en construisant, non plus cette fois le long de la ligne géodésique
ou de la section normale commune, mais le long du parallèle
lui-même, le cône de révolution enveloppe. Les angles compris
entre la ligne géodésique et le paralléle, sur la surface de
révolution et sur le cône, sont alors sensiblement égaux entre
eux et, comme le montre le développement du cône, égaux aussi
au demi-angle des génératrices de celui-ci en P et en P,, c’est-
à-dire égaux au quotient Lis tJ@ de L Ron de © par la longueur
2R, 2 2
R, cot@ de ces génératrices. Ce résultat comprend en outre, comme

cas particulier, la formule ; — 90° — k & — 90° — à esinB, déjà

390 F. J. VAN DEN BERG. SUR LES ÉCARTS DE LA LIGNE

trouvée ci-dessus dans le cas du cône de révolution, pour lequel
onta:vancle PAPE SUP:

Dans le cas de la section normale commune, cas auquel nous
avons affaire en ce moment, nous avons trouvé d’une manière
générale, pour l’argle formé par cette section avec la ligne géodé-
, 1
sique, FF —;)=+(G"—;)—= DZ rvx* +elc.; à cause de
v

r=T, C08? ot Sin? o =itsêt dev ge

ja 1
cet angle devient donc ici: — —_{, v', x° ne ea. —1,)t3 x 19 y.
24 24
De cet angle se laissent déduire immédiatement, ainsi qu'on l’a

montré au début, en 2°, la différence de longueur et la flèche

des deux courbes: à l'angle 71 —— Bx,° correspondait alors
52 |

le OUI NE | SE

la différence o'— o = 50 Bar, “netuldiieene ae à

1

on a donc maintenant, à raison de B = - Lo V'o, pour la diffé-

17 Be
< à out —— ! 7 -
rence de longueur: o' — TI EVA EL v'2x", et pour la flèche:
5)
= — —— tou, x.
282 00

Les relations que nous venons d'employer entre l’angle, la dif-
férence de longueur et la flèche ont été trouvées par un calcul
où l’une des extrémités, le point d’inflexion P, était prise pour
origine des coordonnées, tandis que l’autre extrémité était égale-
ment devenue un point d'inflexion. Au lieu d'opérer ainsi, on
pourrait dans le cas présent, où, tant sur la surface de révolution
elle-même que sur la surface développable qui l'enveloppe suivant
la ligne géodésique P P,, le plan méridien mené à égale distance
de P et de P, est un plan de symétrie, — symétrie qui exis-
terait d’ailleurs aussi, à des différences d'ordre supérieur prés,
pour une surface quelconque, tant qu’on resterait entre les extré-
milés rapprochées P et P, d’une section normale commune, —
on pourrait, dis-je, exécuter le calcul d’une manière plus régulière,

GÉODÉSIQUE ET DES SECTIONS PLANES NORMALES ETC. 9391

en prenant pour axes des coordonnées la tangente et la nor-
male au milieu de la section normale développée. Sur ces axes,
la courbe serait y = A' x? + B'x' + etc. ; donc, attendu que pour
les points extrêmes ou points d’inflexion (+ x,, y,) la condition
ŒYN —9A' + 12Bx,? — 0 donne À = — 6 Bx,?,
dx?

on trouve y = — 6 B'x,?x? + B'xt. On déduit de là, maintenant
que la ligne géodésique développée ou la corde P P, est parallèle à
Paxe des abscisses, pour x = «,, laflêche5 = y, =—5Bzx,et

l'angle (©) ——12P%,2.0, + 4Ba, —=— S8B'x,?, valeurs
TL T,

qui, attendu que l’abscisse x, est 1c1 la moitié de celle qu’on avait
employée précédemment, concordent avec les valeurs antérieures
en supposant les coefficients B et B' égaux. Quant à la différence
de longueur, on a:

a —e=2fdeV \1+ D Re
| (a) |
0

=2[aeV \1 Bi (ra + 2) | EE —
|

—2 | 8B'2(9x,tx2—6x,? xt + x) dx —

168% (32,—; = s+ 2 3 Ve AH ACONT

ce qui est également conforme à la formule antérieure.

Nous allons enfin prendre encore une couple d'exemples sim-
ples de surfaces de révolution, lesquels du reste, si l’on n'avait
pas voulu développer d’abord les formules générales relatives à ces
surfaces, pourraient être traités, chacun séparément, d’une manière
plus concise. Soit d’abord le cône de révolution. Dans ce cas,
l'angle d’inclinaison + est constant et égal au demi-angle au

sommet 8, donc r,—— 7 "—0 et, en désignant de nou-

399 F. J. VAN DEN BERG. SUR LES ÉCARTS DE LA LIGNE

veau par / la génératrice prise jusqu'au sommet, £, = en —
9
corse :0ona,en outre, Re, Te (FRERE Or
dx l?
| | À sin? « COSo cot? 8
A=—"27s — =" {({ sn 0) (ES à COS QE
Gr = — à (fosin? à) (LoSin a 005 c)=— ET
paroi: (rv+Isu)—= Ep LV sin a | (2cos?u—sin?x) +6c0$?« | —
24 24 ?
_ À sinŸa (8 COS*« — sin?«) cot?8
24 l

D’après la formule (2), on à par conséquent :

Las ____Tsiniacosucot?8 , 1 sin * «(8COS?u—Sin? «)cot? 8
Re CT RE nn
En remplaçant ici, conformément à la notation antérieure, « par ;
et en substituant, comme 1l résulte du développement du cône,

T sin (e sin 6) e Sin B e Sin B ( 1 — ©0087 sing
sin |

—
—

l'O sin(;+esing) sin; +ecos; sing sin;
on retombe sur la valeur, déjà obtenue par le calcul appliqué
directement au cône:

1 1
— y = s2$iny COS COS?8 -— 3 in ?+ SÈNE COS?
Y=— } 6. Siny COSy COS*8 9° sin? y SUNE COS ?B.

De la même manière, on retrouverait la valeur obtenue pour

? À 1!

l'angle ;" — ;.

Comme second exemple, nous choisirons l’elipsoide de révo-
zx?

lution x? + y? + — a?. En partant, dans ce cas, de

1 —e?
l’abscisse, facile à exprimer en fonction de l’angle d’inclinaison y,
sue Œ& COS
D ———
17 (1 — e? sin? +)
on à:
ei UT _sinpdg _(1— e? sin? g)?
R; de a(i--e?)
Are ET (1 — e? sin? ®)

RE SE a

GÉODÉSIQUE ET DES SECTIONS PLANES NORMALES ETC. 9393

j tre) 2)__ 8e? (1—e? sin?@)° sin q cos y
- DÈRPrES a? (1—e?)?
D. dt, __ e? (1—e? sin°œ) Sin q COS
— — A —————————
; dy a? (1 — e?)

d'où il suit:
Sa (ie? + e? cos? c0S?a)1 (1—e? sin?q)
a (1—e?)

à 1
(ce qui est dûment la courbure de la ligne géodésique ou - de
R

M. Jordan, Taschenbuch, p. 260, formule (5)),

22150 €? COS? @ Sin « COS « L/ (1 — e? sin?)
a(l — e?)
ni d62(1—e? sin°@)(1—e?+e?cos? cos? x) sin g COS p COS à
a? (1—e?)°
AE e(1—e?sin?g)(1—e? + 5e? cos?pC08? a) Sing C0Sp Sin,
a? (1—e? )?
et par conséquent:
AE 1 ss Le?(1—e sin?) (1—e? +e?cos? cos? x)cos? psinaucosu
6 6 a? (1—e? )?
et
. 3
E— 1 En du) — 4 e2(1—e?sin?p)2(1—e? +e?cos? pCos?«)
24 _ 9 a
(1—e2 +9e? cos?% c0S?x) Sin p COS p Sin
(He); ,
Li 1
Par là sont donc connus l'angle & (; — )=1— A + Bz*°,
L

0 2

la différence de longueur 6'—5 — 5 A?x5 + ABzx$ et la flèche

8 = 0,385 Az + 0,466 Br‘.
Dans ces formules sont impliquées, en particulier, celles qui
conviennent au sphéroïde terrestre, et qu’on aurait aussi pu
ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XII. 25

394 F. J. VAN DEN BERG. SUR LES ÉCARTS DE LA LIGNE
établir directement en supposant d'emblée e? petit. Dans cette
supposition, on a approximativement : |

sl e? COS? SiR a COS « DS De 0? Sin p COS gp SN a

6 a? OA a?

par conséquent, d’une part:

2 3
e2 si COS?@ SN « COS l bre SiN œ COS œ Sin
= RES œ œ 1 onear — SE D œ œ
CNT 9% a ;

It =
c’est-à-dire, sauf remplacement de la latitude géographique & par
la latitude réduite w, liée à la première par la relation tgu =
V (—e?)t9w, la formule de Bessel, telle qu’elle a été trans-
formée par M. Baeyer; d'autre part:

1 Lo ON RAS Ê SR :
p Sin? a COS ?u— —— 6* — SiNpCOS Ÿ p SÛR ? a COSa,

144

ee fe e*

90

c’est-à-dire, la formule de Bessel, avec un degré d’approximation
de plus; enfin, en troisième lieu, on peut aussi substituer les
valeurs précédentes de À ét B dans la formule de la fléche 5.

Lorsque les points P et P, sont situés sur un même paralléle,
cette dernière formule doit être remplacée, ainsi que nous l'avons
déjà vu, par:

. 3 .
D e?(1—e? sin?q)7 sin y cos P pi

D D De
Si NU 384 aÿ (1—e?)
ou, pour le sphéroïde terrestre, approximativement par:
s) œ+ .
0—= — 6? — Sin p COS y.
384. Gi) 1 CA

Cette formule, qui, si on l’exprime en parties du rayon a et

qu'on pose æ — 2y, prend la forme 5,26 e? Ci sin 29, vient
«AO

donc en remplacement de celle de M. Helmert, à laquelle nous
avons fait allusion dans notre introduction, à savoir (en secondes)

2 2
206265 = = sin 29; cette dernière indique bien une correction

à introduire dans la latitude géographique lors du passage de

GÉODÉSIQUE ET DES SECTIONS PLANES NORMALES E1C. 999

l'hypothèse sphérique à l'hypothèse sphéroïdale, mais une cor-
rection qui ne tient pas encore compte, sur le sphéroiïde, de la
différence entre la ligne géodésique et la section normale com-
mune. La formule. que nous venons de trouver est aussi comprise,
comme cas particulier, dans la dernière formule de la page 361
du Mémoire de M. Clarke, où il n’y à qu'à remplacer ô w ou
QP Ô

T , .
par no? et, par 9x et w par y. À la page 362 de ce Mémoire,

Al lé 5
se trouve encore la remarque que cette flèche 5 est égale aux G de la

distance entre le milieu S” de la section normale commune PP,
et le milieu S’ de la section passant par la corde PP, et par la
normale en son mileu Q. Si R désigne le milieu de l'arc de
parallèle PP,, on se rend facilement compte, pour une surface
de révolution quelconque, du calcul approximatif suivant:

S'S—0S".S"0S —QRcosy Ge ES 1 —=QRcosp.QRsinp.(r , —t5)=
i 2

À D\2
je) | sin g cop. o—t)= 2 24 CT) 61)

6
DL — 5 5, qui montre que la remarque de M.

Clarke s'applique aussi à ces surfaces en général.

Ainsi que l’a fait observer M. Bremiker dans ses Studien ci-dessus
cités, au lieu de faire usage dans les calculs relatifs au sphéroïde
terrestre de la ligne géodésique ou d’une des deux sections nor-
males, on pourrait aussi prendre d’autres lignes, plus ou moins
hées aux premières, entre deux points rapprochés Pet P,. Sans
entrer ici dans une étude plus détaillée au sujet de pareilles
lignes, soit sur une surface quelconque, soit sur le sphéroïde ter-
resire, je choisirai un exemple simple, celui du cylindre, pour

25*

396 F. J. VAN DEN BERG. SUR LES ÉCARTS DE LA LIGNE

donner une idée de la position qu’elles peuvent occuper les unes
par rapport aux autres. Voici le tableau des équations complètes
et des équations approchées jusqu’au 3° ordre, en coordonnées
cylindriques, de différentes lignes qui sous ce rapport ont quelque
titre à être prises en considération; dans ces équations, les con-
stantes r, 7; et e conservent la signification qui leur a été attribuée
antérieurement (fig. 2), et on a posé r cot ÿ = h, tandis que les vari-
ables w et z désignent l’angle du plan méridien, mesuré à partir
du plan initial PQ Q,, et la hauteur d’un point quelconque de
la courbe, mesurée à partir de la base P Q R.
19. La ligne géodésique, z = h y.

20, La section normale en P, 2—h—°- siny—hy|1+ = (e2-—y2)].
sine 6

, € . .
2'0, La section normale en P, ,2—=h-— |sine— sin(s—y)| =
SUN €

«2 sin sw cos e—5) = EC —. y) (2e — y)|.

3, La projection de la corde PP, sur le «ylindre,

sin w
Pt e SUN y

1
= hy |1 FER (e— 2).

2 sin Le cos (1 e — y)
4%, Le lieu géométrique des points de contact de celles des
tangentes au cylindre qui coupent les normales de P et de P,,

E

z=h

| 1
sin y cos (e— y) = hky [1 —{(e — y) (e — 2 y)|.
sin & 3

o°, La section qui passe par la normale élevée au milieu de

ë eu > A
RP: — RP w|=

Eu Se ol 1 1
NN HÉRONIEN w l— (se — y) (e—2y)|.

sin 4 E 2 19
6°. La courbe pour laquelle le plan normal tangent passe
dz z | € 1
LOUJOUFS par PE = . dou ze ne —
: r dy r Sin y r ie 0. À

1
= h y SC — pl.

GÉODÉSIQUE ET DES SECTIONS PLANES NORMALES ETC. 397

6°. La courbe pour laquelle le plan normal tangent passe tou-

dz he —2 ns 1 1
nn lo (—)—
jour Là rdv | rsin(e—wy) se tg2 ml 15 9 95 9 5 (: y)
ue ra sin 2 y : — }, ; [4 He so 9 der te
sin Le cos 1 (e— y) Li 0 ( y)(2e—y)l; €

Pour une surface quelconque il y aurait encore lieu de consi-
dérer les deux courbes qui coupent respectivement sous des angles
constants les lignes de courbure de la surface elle-même ou celles
de la surface développable enveloppe menée par la ligne géodé-
sique, courbes qui sur le cylindre se confondent avec cette ligne
elle-même. Pour une surface à centre, on pourrait prendre en
outre la section par le plan qui passe par ce point.

La courbe n° 3 est la même que celle indiquée par M. Bremiker
(page 2) pour une surface quelconque, sous le nom de Feldlinie.
Dans ce passage, toutefois, et surtout dans les définitions au bas
de la page 62 et au haut de la page 64, il est admis abusive-
ment {comme le remarque aussi M. B(runs) dans une annonce
insérée au Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, t.
1869—1870, p. 836—838) qu'en chaque point de cette courbe le
plan normal tangent passe par les deux points extrêmes P et P, ;
au lieu de plan tangent normal , il faut lire: un certain plan normal
(qui en général n’est pas tangent à la courbe). Aussi, quand on
examine de près la signification des calculs basés sur ces défini-
tions (p. 63—65), on reconnait qu'ils font seulement en apparence
satisfaire la courbe à la condition énoncée en premier lieu. La
seule définition exacte de la Fe/dlime est celle qui est donnée
au bas de la page 69. On peut très bien, au contraire, demander
que le plan normal tangent passe toujours soit par P, soit par
P,: pour le cylindre, on obtient alors les courbes nos 6 et 6.

De même, la courbe n°. #4 est destinée à remplacer celle dont
M. Bremiker parle à la page 4, et à laquelle il impose la con-
dition impossible que partout la tangente à la courbe elle-même
doit couper les normales de P et de P..

La courbe n° 5 est, non-seulement pour le cylindre, mais pour

998 F. J. VAN DEN BERG. SUR LES ÉCARTS DE LA LIGNE ETC.

une surface quelconque, la même que celle qui est déterminée
par la condition que son plan fasse des angles égaux avec les
normales aux deux points extrêmes, peu distants, P et P,. Elle
est en outre la courbe plane la plus courte qu’on puisse tracer
sur la surface entre ces deux points, ce dont on peut se con-
vaincre par une démonstration géométrique, analogue à celle
donnée par M. J. Bertrand (Journal de Liouville, t. XIII, 1848,
p. 79) de la propriété fondamentale de la ligne géodésique, en
remarquant: 1°. que, parmi tous les arcs de cercle qui peuvent
être substitués à une quelconque des courbes planes P P,, celui-là
se rapproche le plus de cette courbe qui a pour rayon la moyenne
des rayons de courbure en P et en P,, c’est-à-dire, le rayon de
courbure au milieu de PP,; 2°. que, pour les différentes courbes
planes PP,, ces rayons de courbure, à des différences d’ordre
supérieur près, sont liés entre eux suivant le théorème de Meus-
mer; 9°. que la courbe plane PP, la plus courte correspond au
rayon de courbure le plus grand, c’est-à-dire à celui qui se
place le iong de la normale élevée au milieu de PP,. La consi-
dération de l’ellipsoïde osculateur, pour ce point milieu, confir-
merait aussi ce qui vient d'être dit.

Dezrtr, Octobre 1875.

RECHERCHES

SUR

L'ORIGINE DU CARBONE DES PLANTES,

PAR

J. W. MOLL.

Pendant l’été de 1876 j'ai eu l’occasion de faire, au labora-
toire de M. le professeur Sachs, à Würzburg, quelques recherches
sur le sujet Imdiqué par le titre qui précède.

La description détaillée de mes expériences, avec les conclusions
qui s’en déduisent, paraîtra bientôt, je l'espère, dans les Land-
wirthschaftliche Jahrbücher, herausgegeben von Nathusius und
Thiel. Les travaux antérieurs, relatifs à la question traitée,
seront alors aussi mentionnés avec tous les développements
nécessaires. Îci je me bornerai à faire connaître brièvement les
principaux résultats de mes recherches et à donner un aperçu
des expériences qui m'ont conduit à ces résultats.

Il est bien connu que la plante verte tire son carbone de
l'acide carbonique ambiant, qui, sous l'influence de la lumière,
est décomposé dans les parties vertes, en particulier dans les
feuilles. De loxygène est alors émis par la plante, tandis que
le carbone est fixé dans ses organes.

Mais il s’agit de savoir où la plante puise l’acide carbonique

400 J. W. MOLL. RECRERCHES SUR L'ORIGINE

nécessaire à son développement. La quantité relativement faible
de ce gaz, qui se trouve constamment dans l’atmosphère, est-
elle absorbée directement par les feuilles et élaborée dans leurs
tissus ?

Ou bien, les racines s'emparent-elles de l’acide carbonique
contenu, parfois en proportions assez notables, dans le sol,
et ce gaz monte-t-il à travers la tige jusque dans les feuilles,
pour y être décomposé ?

Il est clair qu'une troisième source d'acide carbonique ne
saurait exister pour les plantes terrestres; à priori, toutefois,
il n'est nullement impossible que l'air et le sol fournissent tous
les deux, de la manière indiquée, une partie de l'acide carbo-
nique dont la plante a besoin.

Occupons-nous d’abord de la question de savoir si la plante
prend directement de l’acide carbonique à l’atmosphère.

Par la voie expérimentale, cette question a été resolue affir-
mativement par divers observateurs. Il suffit de citer ici le nom
de M. Boussingault, dont les expériences ont été répétées, avec
ie même succès, par M. Vogel et M. Wittwer, et postérieure-
ment par M. Rauwenhoff. En même temps que ces derniers,
M. Harting a fourni, par une autre voie, une nouvelle démon-
stration du phénomène en question.

En outre, plusieurs faits universellement connus prêtent un
appui solide aux conclusions de ces naturalistes.

En premier lieu, il est certain que par la présence de la végéta-
tion le sol devient plus riche en carbone. Rappelons-nous seule-
ment la couche superficielle, noire et riche en humus, de tout
sol sablonneux qui, abandonné à lui-même, a été couvert quel-
que temps d’un tapis de mousses ou de bruyères. Nos dunes et
nos landes en présentent les plus beaux exemples. Les plantes
ont dû soustraire ce carbone à l’atmosphère, puisque le sol en
était originellement dépourvu. |

Une autre preuve est fournie par les cultures dites aquatiques.
Une plante dont les racines plongent dans une eau limpide, ne
tenant en dissolution qu'un petit nombre de sels (sans carbonates),

DU CARBONE DES PLANTES. 401

peut fixer dans ses tissus une quantité considérable de carbone,
autant qu'une plante analogue, végétant sous les mêmes condi-
tions, mais enracinée dans un sol riche en acide carbonique.

Aussi n'est-il douteux pour personne qu’une grande partie du
carbone des plantes ne soit empruntée directement par les feuil-
les à l’atmosphère ambiante. L’air doit donc être considéré comme
une abondante source de carbone pour le végétal. On peut
affirmer que l'acide carbonique de l'atmosphère est, à lui seul,
parfaitement suffisant pour faire atteindre à la plante son déve-
loppement normal sous tous les rapports.

Mais cela n'exclut pas la possibilité que, par ses racines, la
plante puise aussi de l’acide carbonique dans le sol et le dé-
compose dans ses feuilles. Il est très naturel de supposer, no-
tamment, que l’utilisation de l'acide carbonique du sol puisse
donner lieu à la fixation d'une quantité de carbone plus grande
que celle dont la plante s'empare lorsqu'elle tire son acide car-
bonique exclusivement de l’air. De cette manière, l'acide car-
bonique contenu dans le sol contribuerait à augmenter la production
de matière solide et la vigueur de la végétation, de sorte que
son abondance plus ou moins grande aurait en agriculture une
importance réelle.

Si nous essayons, toutefois, d'apprécier la valeur de cette
hypothèse au moyen des connaissances déjà acquises relativement
à la vie végétale, une difficulté se présente tout d’abord. Plu-
sieurs circonstances semblent indiquer, en effet, que les racines
ne peuvent puiser que peu ou point d'acide carbonique dans le
sol. Rappelons seulement que, par le fait de la respiration, les
racimes absorbent continuellement l'oxygène qui les entoure, et
émettent de l'acide carbonique à la place. La racine contiendra
donc toujours de l’acide carbonique, et cela peut-être en quantité
telle que la diffusion de l’acide carbonique du sol dans la racine
sera rendue impossible. Je fais cette observation pour montrer que
l'absorption d'acide carbonique par les racines ne peut nullement
être regardée comme une conséquence nécessaire de la présence
de ce gaz dans les interstices du sol.

409 J. W. MOLL. RECHERCHES SUR L'ORIGINE

Néanmoins, cette absorption n’a rien d’impossible. Lorsque
le sol est très riche en acide carbonique, 1l se pourrait qu’une
partie de ce gaz pénétrât dans les racines, en dépit de la cr-
constance dont il vient d’être question.

Or, telles sont les conditions où se trouvent la plupart de
nos plantes cultivées. M. Boussingault a constaté que dans une
terre fertile l’air peut contenir jusqu'à 9 pour cent d’acide car-
bonique, c’est-à-dire environ 180 fois plus que l'atmosphère.
Cela est dû surtout à la présence d'engrais organiques.

Il y avait donc des motfs pour présumer que, si la fumure
par les matières riches en humus favorise la végétation, c’est
en parte parce qu'elle fournit aux racines des plantes une
abondante source d’acide carbonique.

Comme on pouvait s’y attendre, cette manière de voir n’a
pas manqué de défenseurs parmi les savants. Je citerai, entre
autres, Liebig et Unger. M. Boussingault, au contraire, pensait
que la plante tire tout son carbone de l’atmosphère.

Jusqu'ici, toutefois, personne ne s’est occupé sérieusement
de la solution expérimentale du problème en question, bien qu’il
ait incontestablement une importance majeure pour la connaissance
des phénomènes vitaux de la plante.

Ce qu'il fallait donc, avant tout, c'était d'établir quelques
faits précis, qui pussent servir de point de départ pour des
recherches plus complètes. J’ai essayé d'atteindre ce but, et je vais
maintenant rendre compte des résultats auxquels je suis parvenu.

On reconnait immédiatement que la première et la plus impor-
tante question qui doive être résolue est celle-ci: Les feuilles
peuvent-elles décomposer l’acide carbonique qui
est fourni aux racines?

Par cette voie seulement, on peut espérer arriver à un résul-
tat certain; la question posée est celle qui doit provisoirement
attirer toute notre attention, celle dont la solution est absolu-
ment indispensable à l'étude ultérieure du problème de l'acide
carbonique.

Comme nous le verrons, la réponse a été de tous points négative.

DU CARBONE DES PLANTES. 403

On sait que M. Sachs a fait, il y a quelques années, l’impor-
tante découverte que la fécule des grains de chlorophylle doit
être considérée comme le premier produit visible de la décom-
position de l'acide carbonique. La connaissance de ce fait n’est
pas seulement du plus haut intérêt pour toute la physiologie
végétale, mais rendait aussi d’une exécution plus facile, sous
beaucoup de rapports, la recherche que je m'étais proposée.
Elle me fournissait en effet une méthode pouvant conduire à la
solution de la question énoncée ci-dessus. Celle-ci se laissait
maintenant traduire de cette manière: Les feuilles peuvent-elles
former de la fécule aux dépens de l’acide carbonique dont
disposent les racines ?

Pour ne pas manquer le but auquel nous visons, nous devons
avant tout nous représenter clairement les conditions naturelles
dans lesquelles se trouvent les feuilles des plantes. Comme on
le sait, latmosphère contient une certaine proportion d’acide
carbonique (environ !/,, pour cent), qui offre cette particularité
de rester toujours la même, entre des limites assez étroites.
Sans vouloir toucher aux causes de ce phénomène, je pose donc
en fait que l’air possède une teneur constante. en acide
carbonique.

Il s'ensuit immédiatement que les feuilles, chez qui nous
voulons étudier la formation de la fécule, doivent être placées,
sous le rapport dont il vient d’être parlé, dans les mêmes
conditions. :

Cette exigence peut être facilement satisfaite de deux manières
différentes. D'abord, on peut observer les feuilles à lair libre.
En second lieu, on peut les maintenir dans un air incessamment
dépouillé d’acide carbonique au moyen de la potasse en solution,
et dans lequel par conséquent la proportion constante d’acide
carbonique est égale à zéro. Mais il ne sera nullement permis
de les placer dans un volume limité d’air sans contact avec la
potasse. La proportion d’acide carbonique d’un pareil air serait
exposée, par suite même de la présence de la feuille, à toutes
sortes de variations.

404 J. W. MOLL. RECHERCHES SUR L'ORIGINE

Une première et très simple expérience se présente maintenant
comme d'elle-même. Une feuille dépourvue de fécule, et unie à
la plante enracimée, est introduite dans une enceinte remplie
d'air et contenant aussi une solution de potasse, tandis que la
racine se trouve en dehors de cette enceinte, dans une terre
riche en humus (série Î). |

Il s’agit de savoir si la feuille, dans ces conditions, formera de
la fécule sous l’influence de la lumière.

Les expériences exécutées de cette manière m'ont appris toutes,
sans exception, quil n'y a pas production de fécule dans un
air privé d’acide carbonique.

Il me parut alors utile d'étendre un peu le cercle de mes recherches,
afin de donner aux résultats une signification plus générale. Je me
proposai donc d'examiner si l'acide carbonique, qu'on fournit
à l’un ou à l’autre organe d’une plante, soit à la racine, soit
à la tige ou à une portion de feuille, peut servir à former de
la fécule dans une feuille, ou partie de feuille, restée organi-
quement unie à l'organe dont il s’agit.

Ici encore, la question peut être élucidée par des expériences
simples. Il suffit d'introduire, par exemple, le sommet d’une
feuille dans un espace clos, où l'air soit maintenu constamment
privé d'acide carbonique. On n’a alors qu'à faire séjourner la
base de la même feuille, avec ou sans le pétiole et la tige,
dans de l'air artificiellement chargé d’une forte proportion d’acide
carbonique (environ 5 pour cent dans mes expériences). Si la
feuille ne renfermait pas de fécule, la question à résoudre sera
de nouveau celle-ci: Le sommet de la feuille peut-il former de
la fécule, aux dépens de l'acide carbonique que la base et le
pétiole ou la tige ont à leur disposition ?

J'ai fait ainsi deux séries d'expériences, différant un peu
quant à leur disposition {séries IT et III). En accord avec
les précédentes, elles ont toutes conduit à la conclusion
que, dans un espace ne contenant pas d'acide carbonique,
une feuille ou portion de feuille ne peut jamais produire
de la fécule aux dépens de l'acide carbonique qui est fourni

DU CARBONE DES PLANTES. 405

en abondance à quelque autre partie de la même plante.

Mais cela ne me suffisait pas. Sans doute, 1l était prouvé par
cetle voie que, dans les conditions indiquées, la feuille ne peut
donner naissance qu'à une quantité très petite, ou plutôt imper-
ceptible, de fécule. Mais pourtant la possibilité existait qu'il s’en
était formé des quantités excessivement faibles, qui ne se décelaient
pas par une réaction simple, mais qui se laisseraient peut-être
mettre en évidence d’une manière indirecte.

Lorsqu'une feuille dépourvue de fecule est exposée à l'air
libre et à la lumière solaire, et qu’on y recherche à des intervalles
successifs, sur de petits fragments, la présence de la fécule, on
trouve au bout de quelque temps une petite quantité de cette
matière, qui ensulle augmente peu à peu. Or il était possible
que cette fécule se montrerait plus tôt dans le cas où une autre
partie de la plante, unie organiquement à la feuille ou portion
de feuille étudiée, séjournerait en outre dans un air beaucoup
plus riche en acide carbonique qne l’atmosphère ordinaire.

Nous avons vu, il est vrai, que cet acide carbonique n’est
pas en état de faire naitre ailleurs une quantité de fécule appré-
clable par elle-même. Mais il pourrait néanmoins s’en former
assez pour que, jointe à la fécule qui se forme dans lair
ordinaire, elle produisit une réaction visible dans un temps plus
court que cela n'a lieu dans les circonstances normales.

Cette hypothèse a été soumise de la manière suivante au
contrôle de l'expérience (série IV). Une feuille détachée de la
plante et dépourvue de fécule fut coupée suivant la nervure
médiane. L'une des moitiés fut exposée tout entière à l'air
hbre et à la lumière solaire. L'autre moitié, à laquelle était resté
attaché le pétiole, fut introduite par sa base dans une enceinte
dont l'air contenait 5 pour cent d'acide carbonique. Le sommet
de cette moitié de la feuille se trouvait, au contraire, également
à l’air libre. Après des intervalles de }, 1 heure, etc., on recher-
chait la fécule dans les sommets des deux moitiés.

Il s'agissait de savoir si jamais, dans le sommet de la demi-
feuille dont la base plongeait dans l'air riche en acide carbonique,

406 J. W. MOLL. RECHERCHES SUR L'ORIGINE

la fécule apparaîtrait à un moment où l’autre moitié n’en mon-
trerait encore aucune trace. La réponse fut de nouveau invaria-
blement négative: dans les deux moitiés de la feuille la fécule
apparut simultanément et augmenta aussi en quantité d’une
manière tout à fait semblable.

L’acide carbonique fourni en abondance à une partie de la
plante ne peut donc jamais accélérer la formation de la fécule
dans une feuille ou portion de feuille voisine et exposée à l’air
libre, pas plus qu’il ne peut, à lui seul , y faire apparaître la fécule.

Ce résultat me parut mériter d'être encore confirmé pour la
racine en particulier.

A cet effet, je coupai une partie d’une feuille dépourvue de
fécule. L'autre partie resta attachée à la plante, dont les racines
occupaient une terre riche en humus. Comme précédemment,
les deux parties furent exposées à la lumière, et de temps en
temps on en détacha de petits fragments pour y rechercher
l'existence de la fécule.

D'accord avec mes prévisions, la réaction ne se montra Jamais,
dans la portion de feuille en rapport avec la racine, avant que
cela n’eüt lieu aussi dans la portion coupée. Dans toutes les
deux, la fécule apparut et augmenta simultanément.

Il résulte de ce qui précède, qu’on doit renoncer à voir dans
le sol une source d’acide carbonique, d’où ce gaz serait transmis
par les racines aux feuilles, pour y être décomposé. Nous pou-
vons donc regarder comme résolue la question que nous nous
étions posée. |

A des recherches ultérieures est réservée la tâche d’expliquer
en détail les faits qui viennent d’être constatés.

En premier lieu, il importera d'examiner si les racines sont
capables, oui ou non, d’absorber l’acide carbonique d’un sol
abondamment pourvu de ce gaz.

Pour finir, je ferai connaître brièvement la disposition générale
des expériences que j'ai exécutées et dont le but a été exposé ci-dessus.

DU CARBONE DES PLANTES. 407

Elles forment cinq séries différentes, que je décrirai chacune
séparément, en quelques mots. La fécule a toujours été décelée
de la manière ordinaire, à savoir par l’iode, après action pré-
alable de la potasse et de l'acide acétique.

Série I:

Pour ces expériences je me suis servi de petites coupes plates,
qui étaient munies d’un bord et avaient au centre une ouver-
ture, également entourée d'un bord dressé. Par cette ouverture
on faisait passer une feuille, qui restait unie à la plante, laquelle
se trouvait dans un pot rempli de terre de jardin riche en
humus. Autour du pétiole ou de la tige, l'ouverture était bouchée
hermétiquement. On versait une solution de potasse dans la
coupe, après quoi la feuille était recouverte d’une cloche de
verre. L'air ainsi confiné communiquait avec l'atmosphère par
un tube rempli de fragments de pierre ponce imbibés de potasse.
La feuille se trouvait donc dans un milieu privé d'acide car-
bonique, tandis que la racine était entourée d’une terre riche
en humus. A côté il y avait toujours, dans le même appareil,
une plante servant de contrôle; mais ici la cloche plongeait par
ses bords dans une couche d’eau, et son contenu communi-
quait directement, par un petit tube, avec l’air ambiant. Souvent
il y avait encore une seconde plante de contrôle, entièrement
exposée à l'air libre.

De temps en temps, de petits fragments de feuilles étaient
prélevés pour la recherche de la fécule. Lorsque, au début de
expérience, les feuilles ne renfermaient pas de fécule, la feuille
placée sur la solution de potasse restait dans cet état, même
quand l'expérience durait huit jours. Les feuilles-témoins, bien
entendu, ne tardaient pas à former abondamment de la fécule.

Lorsque, au contraire, la feuille introduite dans l’espace privé
d'acide carbonique était, au début de l'expérience, remplie de

208 J. W. MOLL. RECHERCHES SUR L'ORIGINE

fécule, on voyait bientôt celle-ci disparaître, même à la lumière
la plus vive, et cela presque aussi rapidement que si la plante
avait été placée dans l'obscurité.

Les plantes soumises à l’expérience sont les suivantes: Phase-
olus mulliflorus, Cucurbita Pepo, Tropaeolum nanum et Beta
vulgaris var. saccharifera.

Par cette série d'expériences nous sommes donc amenés à
conclure que, dans un milieu toujours privé d’acide carbonique,
les feuilles ne produisent jamais de fécule en quantité appréciable,
et qu'en outre la fécule déjà existante y disparaît, lors même
que ces feuilles restent unies à la plante et que les racines
plongent dans une terre riche en humus.

Séries DE

Pour les expériences de cette série, je me suis servi de feuilles,
privées de fécule, appartenant à des plantes aquatiques monocotylé-
dones(Typha latifolia, Typha stenophylla et Spar ganium ramosum).
La feuille était introduite dans la tubulure d’une cloche de verre cali-
brée, où on la fixait hermétiquement au moyen d’un bouchon coupé
en deux, de sorte que la partie inférieure de la feuille se trou-
vait dans la cloche. Celle-ci reposait sur l’eau, et dans le bou-
chon passait en outre un petit tube, par lequel pouvait être
amené de l'acide carbonique. La partie moyenne et la plus
petite de la feuille restait à l’air libre, mais était entourée d’une
enveloppe noire. La partie supérieure plongeait au contraire,
tout comme l’inférieure, dans une cloche. laquelle avait toute-
fois, cela va sans dire, sa tubulure tournée vers le bas. Cette
cloche était fermée hermétiquement par le haut, au moyen d’une
plaque de verre et d’un lut gras. A l'air de la cloche inférieure
on ajoutait © pour cent d'acide carbonique; la cloche supérieure
contenait une petite quantité d'une forte solution de potasse.
La partie inférieure de la feuille se trouvait donc dans une
atmosphère très riche en acide carbonique, la partie moyenne

DU CARBONE DER PLANTES. 409

à l'air libre, la partie supérieure dans un espace dépouillé d’acide
carbonique. Au bout de un ou deux jours, les trois parties
étaient examinées quant à l'existence de la fécule. Celle-ci se
montrait alors toujours en abondance dans la partie inférieure,
mais manquait toujours complétement dans la partie supérieure,
de même, naturellement, que dans la partie moyenne, qui
avait été soustraite à la lumière.

Une portion de feuille ne peut donc jamais, dans un espace
constamment privé d’acide carbonique, donner naissance à une
quantité appréciable de fécule, même lorsque la partie inférieure
de cette feuille se trouve dans de l’air à 5 pour cent d'acide
carbonique, et qu'une petite partie intermédiaire est exposée
à l’air libre.

See nl

Cette série avait pour but de ne laisser, entre l’espace riche
en acide carbonique et l’espace privé de cet élément, aucune
portion de feuille en contact avec l'air libre. Je voulais ainsi
exelure la possibilité que l’acide carbonique, sur son chemin vers
l’espace dépourvu de ce gaz, ne se dégageñt en grande partie
dans lPatmosphère. Ces expériences eurent lieu sur des feuilles
sans fécule des plantes suivantes: Cucurbita Pepo, Vatis vinifera,
Cercis Suiquastrum , Viola suava, Polygonum bistorta et Tri-
folium pratense.

Deux capsules de verre, de même grandeur et à bords usés :
à l’émeri, étaient superposées, les ouvertures tournées l’une vers
l’autre. La feuille était placée entre deux, de manière que son
sommet se trouvait dans l’espace formé par les capsules, tandis
que la base, le pétiole et quelquefois une partie de la tige
restaient en dehors. La fermeture hermétique s’obtenait au moyen
d'un enduit de graisse. Bien entendu, je m’assurais toujours,
après l’expérience, que les feuilles employées n'avaient en rien
souflert de lopération. La capsule inférieure contenait une
solution de potasse.

410 J. W. MOLL. RECHERCHES SUR L'ORIGINE

Tout l'appareil était ensuite placé sous une cloche de verre
calibrée. Celle-ci reposait sur l’eau, et à l’air qui s’y trouvait
ainsi confiné on ajoutait, au moyen d’un petit tube, environ 5
pour cent d'acide carbonique. La base et le pétiole de la feuille
étaient donc enveloppés de cet air. Après un intervalle de 5 à
8 heures, on recherchait la fécule, tant dans le sommet que
dans la base de la feuille; toujours on trouva que le premier
en était resté entièrement dépourvu, tandis que la base s’en
montrait naturellement remplie dans toutes les expériences.

Nous concluons donc: une partie de feuille ne peut jamais
former de fécule dans un espace d’où l’acide carbouique est
absent, même quand la partie immédiatement voisine se
trouve dans de lair à 95 pour cent d’acide carbonique et que
par conséquent, entre ces deux parties, l'air atmosphérique ne
peut exercer son influence sur la feuille.

SÉT1E EN.

Pour ces expériences on a pris des feuilles, dépourvues de
fécule et partagées en deux suivant la nervure médiane, de
Cercis Siliquastrum, Valeriana Phu, Bergenia bifolia, Polygo-
num bistorta et Phaseolus nanus.

Une cloche de verre, tubulée et calibrée, était renversée et plon-
geait par sa tubulure dans l’eau. L'ouverture, maintenant tour-
née vers le haut, était recouverte d’une plaque de verre, et la
fermeture rendue hermétique au moyen d’un lut gras. Entre la
plaque de verre et le bord de la cloche, entouré de graisse,
était placée l’une des moitiés de la feuille, de telle sorte que son
sommet séjournât à l'air libre, mais que sa base et le pétiole se
trouvassent à l’intérieur de la cloche. L'autre moitié de la même
feuille était posée sur la plaque de verre et restait ainsi entière-
ment exposée à l'air libre. Dans l’air de la cloche on introduisait
alors, au moyen d’un petit tube, environ 4 pour cent d'acide
carbonique. La base d’une des moitiés de la feuille avait donc

DU CARBONE DES PLANTES. 411

à sa disposition une très grande quantité de ce gaz. L'appareil
était ensuite placé à la lumière, et, après des intervalles de +,
+ heure, etc., on recherchait la fécule dans des fragments du
sommet de chacune des deux moitiés de feuille. Le résultat
apprit que dans les deux sommets la fécule apparaissait exacte-
ment au même instant et augmentait tout à fait de la même
manière.

Ces expériences établissent donc qu'une abondante proportion
d'acide carbonique, dans l'air qui entoure le pétiole et la base
de la feuille, ne peut jamais accélérer d’une manière sensible
la production de la fécule dans le sommet de Ja feuille, lorsque
celui-ci se trouve à l'air libre.

S'ÉE TER Ve

La feuille non féculente d’une plante (Valeriana Phu, Tri-
folium pratense, Cucurbita Pepo, Phaseolus nanus) enracinée
dans une terre de jardin riche en humus était coupée longitudi-
nalement en deux, de telle sorte qu’une des moitiés restât unie
à la plante et à la racine. Les deux moitiés, placées l’une à
côté de l’autre sur une plaque de verre, étaient alors exposées
a la lumière.

Opéré après des intervalles de 1, 1 heure etc., l'examen devait
de nouveau décider si la portion de feuille restée unie à la
racine accuserait la présence de la fécule avant la portion déta-
chée de la plante et placée à côté de la première. Ici encore,
la fécule se montra et augmenta en quantité tout à fait simul-
tanément dans les deux moitiés de la feuille.

Les résultats essentiels de ces recherches se laissent résumer
de la manière suivante: |

19. L’acide carbonique, fourni en excès à l’une ou à l’autre
partie souterraine ou aérienne d’une plante, ne peut faire naître

419 J. W. MOLL. RECHERCHES SUR L'ORIGINE, ETC.

des quantités appréciables de fécule dans une feuille ou portion
de feuille organiquement unie à cette partie et placée dans un
espace ne contenant pas d'acide carbonique (séries I, I et ID).

20, L’acide carbonique, fourni en excès à l’une ou à l’autre
partie souterrraine ou aérienne d'une plante, ne peut accélérer
d’une manière appréciable, dans une feuille ou portion de feuille
organiquement unie à celte partie, la formation de fécule qui
s’y fait à l’a libre (séries IV et V.)

30. L’acide carbonique que la racine d'une plante rencontre
dans le sol ne peut, dans les feuilles de cette plante, n1 déter-
miner la formation d’une quantité appréciable de fécule lors-
qu'elles séjournent dans de l’air privé d’acide carbonique, n1
accélérer d’une manière appréciable la formation de fécule qui
y a lieu sous la seule influence de l'air libre.

Urrecar, Décembre 1876.

ARCHIVES N BERLANDAISES

Sciences 7. et aturtlés

REC ROHES

SUR

LA THÉORIE DES FLAMMES,

PAR

En dépit des belles et nombreuses recherches auxquelles ont été
soumises les flammes en général et plus spécialement celles des
hydrocarbures, les physiciens et les chimistes sont encore par-
tagés au sujet de l’explication à donner de la lumière de ces
dernières. Tandis que, pour les autres flammes, tout le monde
s'accorde à attribuer leur lumière à l’incandescence de matières
qui S'y trouveralent à l’état de vapeur ou de gaz, cette unani-
mité n'existe plus à l'égard de la flamme de l'hydrogène carboné.
Jusqu'à une époque assez récente, il est vrai, on a généralement
admis, à la suite de Davy, que le grand pouvoir éclairant, par
lequel cette flamme se distingue de la plupart des autres et
auquel elle emprunte principalement son intérêt pratique pour
l’homme, était dù à l’incandescence de particules charbonneuses,
qui y existeraient à l’état solide ; mais dans ces derniers temps,
surtout depuis les ob études de M. Frankland sur la
lumière des flammes de lhydrogène et de l’oxyde de carbone
dans des conditions variées de pression et de densité du gaz

ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XIL 26

A4 R. À. MEES. RECHERCHES SUR LA THÉORIE DES FLAMMES.

combustible !), beaucoup de savants, et en premier lieu M.
Frankland lui-même, ont cru devoir renoncer à l’ancienne expli-
cation de Davy, et pouvoir attribuer la lumière des flammes
des hydrocarbures, tout comme celle des autres, à des particules
incandescentes gazeuses. M. Frankland avait trouvé, en effet,
que l'hydrogène, qui dans les circonstances ordinaires brûle
avec une flamme si peu lumineuse, devient de plus en plus
éclairant lorsque sa combustion s'opère sous une pression plus
élevée. Sous la pression de dix atmosphères, il donnait assez
de lumière pour qu'à deux pieds de distance on püût lire un
Journal. La même chose fut observée, à un degré encore plus
prononcé, avec la flamme de l’oxyde de carbone. M. Frankland
en conclut que le pouvoir éclairant d'une flamme, dans laquelle
les matières se trouvent à l’état gazeux, augmente rapidement
avec la densité du gaz; or, comme il avait déjà trouvé antéri-
eurement ?), que le pouvoir lumineux de la flamme de l'hydrogène
carboné décroit fortement aussi avec la pression de l'atmosphère
dans laquelle elle est placée, 1l s'était cru autorisé à penser
qu'on n'a pas besoin, pour expliquer la lumière de la flamme
des hydrocarbures, d'une hypothèse particuliere, telle que celle
de Davy, mais qu'on peut attribuer le pouvoir éclairant de cette
flamme au rayonnement de vapeurs d'hydrocarbures, denses
mais transparentes. Il fut fortifié dans cette opinion par la
remarque que beaucoup de flammes, telles que celles de l’arsenic,
du phosphore, du sulfure de carbone, sont aussi très lumineuses
quand la combustion s'opère dans l'oxygène, bien qu'il soit
impossible d'y admettre la présence d’une matière solide.

La continuité du spectre des flammes des hydrocabures ne
pouvait pas non plus être regardée comme une preuve de
l'existence de particules incandescentes solides, car toutes les
flammes très lumineuses dont il vient d'être question, étudiées

1) Proceedings of the Royal Society, XNT, p. 419, June 11, 1868; Pi;
Mag., (4) vol 36, p. 309; Comptes rendus, 12 Octobre 1868, t. 67 p. 736:
Ann. d. Chem. u. Pharm., Suppl. Bd. 6, S. 308.

2) Phil. Trans. (1861), vol. 151, p. 629.

BR. A. MEES. RECHERCHES SUR LA THÉORIE DES FLAMMES. 419

par M. Frankiand, donnèrent également des spectres continus.

Aussi, lorsque M. Knapp, en 1870 1), et d’autres après lui,
eurent montré que le pouvoir lumineux peut être enlevé au gaz
de l’éclairage en mêlant celui-ci, avant la combustion, avec des
gaz indifférents, tels que l'azote, l’acide carbonique, l'acide
chlorhydrique, l’oxyde de carbone, l'hydrogène ou Îa vapeur
d’eau, quelques-uns virent dans ce fait une nouvelle confirmation
des idées de M. Frankland, parce qu'ils admettaient qu'ici encore
la diminution du pouvoir lumineux devait être attribuée à la
raréfaction du gaz de l'éclairage par les autres gaz avec lesquels
on l'avait mélangé. On alla même jusqu'à chercher aussi la cause
du faible pouvoir éclairant de la flamme de Bunsen dans la
dilution du gaz par son mélange avec l'air.

Ainsi se développa peu à peu, en opposition à l'hypothèse de Davy,
une seconde hypothèse, que nous pouvons appeler celle de
Frankland; et, entre ces deux hypothèses, les physiciens et les
chimistes sont aujourd'hui partagés.

Pour moi l’ancienne théorie de Davy est encore restée la
plus probable. Premièrement, en effet, je pense que tous les
phénomènes observés jusqu'ici se laissent expliquer par elle tout
aussi bien, sinon mieux, que par celle de Frankland. En second
leu, je suis arrivé à quelques résultats expérimentaux, d'où
ressort avec toute évidence que la flamme de l'hydrogène carboné
diffère, quant à son essence, de la plupart des autres flammes
que j'ai étudiées, et qui rendent très probable qu'il y a effecti-
vement des particules à l’état solide dans cette flamme.

Que la densité d'un gaz ait une grande influence sur la nature
de la lumière émise par ce gaz à l’état Incandescent, et par
conséquent aussi sur la nature du spectre produit par cette
lumière, qu'un changement apporté dans cette densité puisse
aussi modifier considérablement, outre la nature, l'intensité de
cette lumuére, cela, à coup sûr, doit être pleinement concédé

1) Journ. [. praktische Chemie, Neue Folge, Bd. 1. S. 428.
26 *

416 R. À. MEES. RECHERCHES SUR LA THÉORIE DES FLAMMES.

à M. Frankland. Mais l'influence de cette densité ne doit pas être
exagérée. Elle n’est qu'un des nombreux facteurs qui déterminent
la nature et l'intensité de la lumière. M. H. Sainte-Claire Deville a
déjà fait remarquer ‘), à propos des recherches de M. Frankland,
que dans ces expériences la température peut aussi être considérée
comme un facteur actif, car elle aussi subit de grandes variations ;
et il a fait voir, par différents exemples, que dans beaucoup de
cas c’est probablement à l'élévation de la température que doivent
être attribuées l’intensité plus forte de la lumière et la continuité
plus grande de son spectre.

L’épaisseur de la couche de gaz qui émet les rayons lumineux
peut également avoir une grande influence sur l’intensité et la
nature de la lumière. L'effet présumable de chacune des trois
conditions que nous venons d'indiquer a été surtout très bien
analysé, dans la mesure où 1l est possible aujourd'hui de porter
un jugement à cet égard, par M. Wüllner, dans son Traité de
physique expérimentale ?).

Outre la nature de la matière incandescente et son état d'agré-
gation, nous avons donc déjà trouvé trois autres facteurs, l’épais-
seur, la densité et la température de la couche rayonnante, qui
peuvent exercer une grande influence sur la nature et l'intensité
de la lumière émise. Mais 1l y en a, à ce qu'il semble, encore
d’autres. Avant d'en parler, toutefois, nous devons encore pré-
senter une remarque sur les expériences de M. Frankland et
sur les conclusions qu'il en tire.

M. Frankland trouve par ses expériences que l’hydrogène et
l’oxyde de carbone, lorsqu'on leur donne par la pression une
orande densité, brülent avec une flamme lumineuse; 1l trouve
ensuite que le pouvoir éclairant de la flamme de l'hydrogène
carboné varie aussi beaucoup avec la pression, c’est-à-dire avec
la densité de l’atmosphère, et il se croit autorisé par là à attri-

1) Comptes rendus, 30 novembre 1868, t. 67, p. 1089 ; PA. Mag. (4) vol. 37,
plie

2) A. Wüllner, ZLehrbuch der Æxperimentalphysik, Bd. Il, Dritte Auflage
(1875), S.S. 244— 958.

R. A. MEES. RECHERCHES SUR LA THÉORIE DES FLAMMES. 417

buer la lumière intense de cette dernière flamme, dans les
conditions ordinaires, à l'incandescence d'hydrocarbures denses
et très élevés, à l’état de vapeur. Mais il compare ici deux cas
de grande densité qui différent beaucoup l’un de l’autre. Dans
les premières crconstances où il vit l'intensité lumineuse croître
avec la densité, cette densité plus grande était obtenue par un
plus grand rapprochement des molécules; dans la flamme ordi-
naire de l'hydrogène carboné, nous avons au contraire, en adoptant
l'hypothèse de Frankland sur la constitution de cette flamme, une
orande densité, non parce que les molécules sont alors à de
moindres distances l’une de Flautre, mais parce qu’elles sont
composées d'un grand nombre d’atomes, parce qu’elles ont une
structure très complexe. Ces deux cas ne peuvent êlre identifiés
entre eux. Des phenomènes observés dans le premier cas, iln’est
pas permis de conclure à l’existence de phénomènes semblables
dans le second.

Mais la complexité plus ou moins grande des molécules doit-
elle être considérée comme l’un des facteurs qui déterminent
la nature et l'intensité de la lumière? Les recherches si intéres-
santes de M. J. Norman Lockyer !) tendent à le faire croire. Par
ses observations spectroscopiques, 1l a non-seulement montré que
la lumière émise par un gaz contient plus de couleurs différentes
et fournit par conséquent un spectre plus riche et plus rapproché
d’un spectre continu, à mesure que la densité augmente; 1l a en
outre rendu très probable que l’accroissement de complexité de la
structure des molécules agit dans le même sens que l'accroissement
de densité. Le spectre de la lumière des composés est, comme
on le savait déjà antérieurement, plus voisin d’un spectre par-

‘) Researches in Spectrum Analysis in connexion with the Spectrum of the Sun,
Proc. of the Roy-Soc. Dec. 12, 1872, May 8 and Nov. 27, 1873; Phil. May.
(4) vol. 45, p. 147, vol. 46, p. 407, vol. 47, p. 384, vol. 49, p. 326; Pal.
Trans. (1873) vol. 163, p.p. 253 and 639, (1874) vol. 164, p.p. 479 and 805.
Spectroscopic Notes, Proc. of the Roy. Soc Jun.1i, 1874; Phil. Mag. (4) vol. 49,
p.p. 233 and 320; Pogg. Ann. Bd. 155. S. 136. Je laisse de côté les Mémoires
antérieurs, soit de M. Lockyer seul, soit de M. Lockyer en collaboration
avec M. Frankland, où il est traité surtout de l'influence de la densité.

ÂAS R. A. MEES. RECHERCHES SUR LA THÉORIE DES FLAMMES.

faitement continu que celui de la lumière des métaux; vraisem-
blablement, parce que les molécules des premiers ont une structure
moins simple que celles des derniers. Mais les molécules d’une
seule et même matière, par exemple d’un élément, paraissent
aussi pouvoir posséder, dans des circonstances différentes, une
structure plus ou moins complexe; or il semble être de règle
que, plus cette structure est complexe, plus est variée la com-
position de la lumière émise par le gaz. Cela ne veut pas dire,
bien entendu, que toutes les molécules complexes donneront un
spectre se rapprochant d’un spectre continu, car il ne faut pas
oublier que le degré de complexité des molécules n’est qu’un des
nombreux facteurs qui interviennent dans le phénomène.

Il n’est donc pas improbable, — une énonciation plus caté-
sorique ne serait pas justifiée par les observations de M. Lockver, —
que le spectre de la lumière des hydrocarbures très élevés est, à
cause de la structure complexe de leurs molécules, peu différent
d’un spectre continu; par suite, 1l n’est pas non plus entièrement

impossible, — ici nous devons nous exprimer avec encore plus
de réserve, attendu que les observations de M. Lockyer nous
apprennent peu de chose à cet égard, — qu’à des températures

relativement assez peu élevées, telles qu’on les rencontre dans la
flamme de l'hydrogène carboné, ces hydrocarbures émettront déjà
de la lumière d’une grande intensité. Si leur lumière donne un
spectre continu, cette lumière devra certainement être peu colorée
et sensiblement blanche; quant à savoir si ce sera aussi une
lumière intense, brillante, c’est une autre question, à laquelle
la réponse doit rester beaucoup moins affirmative.

Les résultats obtenus par M. Lockyer donnent donc un certain
appui, si faible et si peu assuré qu'il soit encore, aux idées
de M. Frankland concernant la flamme de lhydrogène carboné,
du moins si on les interprète en ce sens, que la grande com-
plexité des molécules des hydrocarbures élevés, existant à l’état
de vapeurs dans la flamme, sera considérée comme la cause de
la lumière intense et de la continuité de son spectre. Ainsi com-
prise, la théorie de M. Frankland a incontestablement droit

R. A. MEES. RECHERCHES SUR LA THÉORIE DES FLAMMES. 419

à l'existence. Il n’est certes plus possible aujourd’hui de conclure
avec assurance, de la continuité du spectre, à la présence d’une
matière à l’état d'agrégation solide ou liquide. Nous connaissons,
en effet, beaucoup de flammes à spectre continu, où nous savons,
à n’en pas douter, que la matière se trouve sous forme de gaz
ou de vapeur. Outre les flammes du phosphore, de l’arsenic et
du sulfure de carbone brülant dans l’oxygène, et celles de lhy-
drogène et de l’oxyde de carbone sous pression élevée, qui sont
mentionnées par M. Frankland, on peut encore citer les flammes
de l'hydrogène, de l’oxyde de carbone, de l’ammoniaque et de
l'hydrogène, de l'hydrogène sulfuré et du sulfure de carbone dans
oxygène, l'air ou le protoxyde d’azote, celles de l’hydrogène
dans le chlore, du soufre dans l'air, etc., flammes dont la lumière
donne, ainsi que nous l’a appris M. Dibbits !), un faible spectre
continu, qui, d'après lui, doit probablement être attribué à l’in-
candescence de la vapeur d’eau, de la vapeur chlorhydrique, de
l’acide carbonique ou de l’acide sulfureux. La distribution de l’in-
tensité lumineuse, dans ces spectres continus faibles, n’est toute-
fois, en général, pas entièrement la même que dans le spectre
d’une matière solide incandescente. Les spectres continus que
M. Wüllner ?) a obtenus avec beaucoup de gaz, au moyen de
létincelle d’un courant d'induction dans lequel était intercalée
une bouteille de Leyde, sont également des preuves à l'appui de
ce que nous avons dit.

Mais si l’on donne à lhypothèse de M. Frankland l’interpré-
tation que nous venons d'indiquer, interprétation à coup sûr
très différente de celle adoptée par M. Frankland lui-même, lhy-
pothèse en question ne s'éloigne plus autant de celle de Davy.
La seule différence est alors que, là où Davy suppose des par-
ticules solides, M. Frankland admet des vapeurs d'hydrocarbures
élevés. L’une et l’autre hypothèse permettent, je crois, d'expliquer
d’une manière naturelle tous les phénomènes aujourd’hui connus

:) Ueber die Spectra einiger Gase. Pogg. Ann. Bd. 122, S.S. 497 u. ff.
2) Pogg. Ann. Bd. 137 u. 144; Wüllner, Zrperimentalphysik, Bd. IT, $S. 256.

490 R. A. MEES. RECHERCHES SUR LA THÉORIE DES FLAMMES.

au sujet de la flamme des hydrocarbures, sans qu’il soit nécessaire
d'attribuer, à l'exemple de M. Frankland, une grande influence
même à des changements de densité relativement faibles. C’est ce
que je me propose de faire voir pour les cas les plus importants.
Il me semble, en effet, qu'une pareille démonstration ne sera
pas dépourvue d'intérêt en ce moment, les nouveaux phénomènes
observés chez ces flammes ayant ébranlé pour beaucoup d’esprits,
à tort suivant moi, la confiance dans l’ancienne théorie. Je me
servirai toujours, dans les considérations qui vont suivre, des
termes de l'hypothèse de Davy, mais elles s’appliqueront aussi,
mutatis mutandis, à l’autre hypothèse, que je continuerai d’ap-
peler, bien qu'elle s’écarte notablement de l'hypothèse originelle
de M. Frankland, du nom de ce savant. Pour cette application,
ou n'aura qu'à lire partout, au lieu de particules solides de car-
bone, molécules d'hydrocarbures élevés, à l’état de vapeur, et,
au lieu de dissociation des hydrocarbures, condensation polymère
des hydrocarbures.

Selon Davy, la lumière de la flamme des hydrocarbures pro-
vient en grande partie des particules solides incandescentes qui
se trouvent dans la flamme. Le pouvoir éclairant de ces flammes
dépendra donc principalement de deux choses, d’abord du nombre
des particules solides qui existent simultanément sur une même
étendue superficielle dans la flamme, et ensuite de la température,
car, plus celle-ci est élevée, plus sera forte l’incandescence des
particules, plus chacune d'elles émettra de lumière. Les particules
de carbone solides proviennent de la dissociation des hydrocar-
bures, et elles disparaissent de nouveau en se combinant avec
l'oxygène de l'air. La propriété, pour une flamme d’hydrocarbure,
d'être peu lumineuse ou très lumineuse, sera donc déterminée par
le rapport entre la rapidité avec laquelle les hydrocarbures se
dissocient en entrant dans la flamme et celle avec laquelle les par-
ticules charbonneuses formées se combinent avec l'oxygène. Toutes
les circonstances qui font croître la vitesse de dissociation plus forte-
ment que la vitesse de.combustion, ou qui la font décroiïtre moins for-
tement que celle-ci, renforceront donc le pouvoir éclairant, parce

R. A. MEES. RECHERCHES SUR LA THÉORIE DES FLAMMES. 491

qu'elles augmenteront le nombre des particules qui existent simulta-
nément dans la flamme; toute circonstance, au contraire, qui fait que
la vitesse de cembinaison croit plus fortement ou décroit moins
fortement que la vitesse de dissociation, doit affaiblir le pouvoir
éclairant de la flamme. A chacune de ces deux actions il y a
toutefois une limite. Si la vitesse de dissociation devient par trop
orande relativement à la vitesse de combinaison, le nombre des
particules de carbone mises en liberté dans un temps donné devient
trop considérable pour que l’oxygène puisse les brûler toutes;
beaucoup de ces particules échappent alors à la combustion, la
flamme devient fuligineuse. Si au contraire la vitesse de combi-
naison s'accélère trop par rapport à la vitesse de dissociation, la
flamme ne contient presque pas de particules solides, parce
que celles qui se forment brûlent aussitôt après qu’elles ont été
dégagées; le pouvoir éclairant disparait alors presque entièrement,
et ce qui en reste doit être attribué à l’incandescence des
oaz. Une température plus élevée a une double influence sur la
flamme : elle augmente le pouvoir éclairant, d’abord parce qu’elle
rend plus vive l’incandescence de chaque particule, et en second
lieu parce qu’elle favorise la dissociation et accroit ainsi le nombre
des particules de carbone que la flamme tient en suspension à
un même instant.

Appliquons ces principes à l'explication de quelques-uns des
principaux phénomènes.

10. La variation du pouvoir éclairant produite par la variation
de pression de l'atmosphère dans laquelle la flamme brûle. Nous
pourrions nous contenter de renvoyer ici à l'explication qu'avait
donnée M. Frankland :) alors qu’il croyait encore à l'hypothèse
de Davy, explication qui me parait très satisfaisante. Il avait
montré que le pouvoir éclarant de la flamme croit ou décroit
suivant que croit ou décroit la pression de l’atmosphère ambiante,
et que, entre certaines limites, les valeurs de ces variations de
pouvoir lumineux et de pression sont presque exactement propor-

2) Phil. Trans. (1861), vol. 151, p.p. 648-—653,

422 R. A. MEES. RECHERCHES SUR LA THÉORIE DES FLAMMES.

onnelles l’une à l’autre. Des flammes qui éclairaient bien à la
pression ordinaire devenalent, amsi que l’observa M. Frankland,
fuligineuses à des pressions plus élevées. Il fit voir ensuite que
la diminution du pouvoir éclairant dans une atmosphère plus rare
ne doit pas être attribuée à une combustion moins parfaite ; qu'en
outre la raréfaction ou la condensation de l’atmosphère n’a, au
moins entre certaines limites, presque aucune influence sur la
température de la flamme, de sorte que la variation du pouvoir
lumineux ne peut pas non plus être mise sur le. compte d’une
varialion de température. Il crut en trouver l’explication dans les
obstacles qu'éprouve le mouvement des molécules gazeuses, ob-
stacles qui seraient moindres dans un milieu rare que dans un
milieu dense. Avec une pression faible, loxygène de Par
pourrait mieux pénétrer à l’intérieur de la flamme et s’unir,
plus rapidement après leur mise en liberté, aux molécules de
carbone; sous une pression plus forte, au contraire, l'oxygène
ne parviendrait que difficilement à l’intérieur de la flamme, ce
qui laisserait aux particules de carbone une plus longue existence
avant d’être brülées et changées en acide carbonique, ou même
leur permettrait de quitter la flamme sans avoir subi la com-
bustion. Je crois que cette explication de M. Frankland est,
sinon meilleure, au moins tout aussi bonne que celle quil a
donnée postérieurement, lorsqu'à l'hypothèse de Davy 1l a sub-
stitué la sienne, en attribuant le faible pouvoir éclairant de la flamme,
sous pression réduite, à la faible densité du gaz combustible.
Dans cette dernière hypothèse, en eftet, on ne s'explique pas
pourquoi le pouvoir éclairant varie incomparablement plus vite,
avec la pression, pour la flamme de l'hydrogène carboné que
pour celles de lhydrogène et de l’oxyde de carbone; car les
expériences de M. Frankland prouvent que la flamme de l’hy-
drogène carboné est extrêmement sensible à de petites variations
de pression, tandis que, pour obtenir une lumière un peu forte
avec l'hydrogène ou l’oxyde de carbone, il dut élever la pression
à dix ou même à quatorze atmosphères.

29. La flamme de Bunsen. À ce sujet, quelques mots suffiront.

R. A. MEES. RECHERCHES SUR LA THÉORIE DES FLAMMES. 493

L'introduction jusqu’au centre de la flamme d’une grande quantité
d'oxygène atmosphérique est ici la cause principale du peu de
lumière. Il en résuliera, en effet, que la vitesse avec laquelle les
particules de carbone s'unissent à l'oxygène sera fortement accrue ;
il est vrai que, par suite de la température plus élevée de la
flamme, la vitesse de dissociation augmentera aussi, et chaque
particule éprouvera une incandescence plus vive ; mais, pour avoir
une très bonne explication du défaut de lumière de la flamme de
Bunsen, il suffit d'admettre que la vitesse de combinaison augmente
beaucoup plus fortement que la vitesse de dissociation, de manière
qu'il n’y ait à chaque instant qu'un petit nombre de particules
solides dans la flamme. Il n’est d’ailleurs pas impossible non plus
que le défaut de lumière soit dû en tout ou en partie à ce que,
comme l’admet M. R. Blochman ‘), une petite quantité du gaz
combustible brûle déjà à l’intérieur de la flamme, tandis que le reste,
en proportion plus considérable, s’y transformerait en hydrogène
et en oxyde de carbone, gaz qui l’un et l’autre brülent avec peu
de lumière. Mais, quelque opinion que l’on ait sur le plus ou
moins de probabilité de cette formation d'oxyde de carbone, comme
découlant des recherches faites sur la nature des gaz à l’intérieur
de la flamme, toujours est-il qu'on n’en a pas absolument besoin
pour expliquer la flamme de Bunsen. Quant à la dilution du gaz
par l'azote de l'air, sans vouloir nier qu’elle puisse influer aussi,
de la manière qui sera dite plus loin, sur l'intensité lumineuse
de la flamme, je crois qu’elle est ici chose accessoire, et non
cause principale.

39. La disparition du pouvoir lumineux de la flamme par l'effet
du mélange d’autres gaz avec le gaz de léclairage.

Beaucoup d'expériences ont été faites à ce sujet, par Knapp *),
Blochmann *), Stein “), Sandow 5) et autres. Par l'addition d'azote

1) Ann. d. Chem. y. Pharm., Bd. 168, S. 355.

Pc,

2) ce, S.5.838 u. ff. und 5. 305.

“) Journ. f. prakt. Chem., Neue Folge, Bd. 9, S. 180.

s) D’après une communication de M. Wibel, Berivhte der deutschen chemischen
Gesellschaft, Jahrg. 8, S. 226.

42% R. A. MEES. RECHERCHES SUR LA THÉORIE DES FLAMMES.

d'acide chlorhydrique, d’acide carbonique, de vapeur d’eau, d'oxyde
de carbone et d'hydrogène au gaz de l'éclairage, celui-ci perd
son pouvoir lumineux. Avec M. Blochmann, j'incline à expliquer
ce fait en admettant que, par le mélange avec des gaz ne fournissant
pas de particules de carbone, le nombre des ces particules, qui
se trouvent dans un volume donné ou sur une étendue donnée
de la surface de la flamme, devient beaucoup plus petit, de sorte
qu'elles sont immédiatement brülées par l'oxygène de Pair.

Les quatre prenuers des gaz en question abaisseront en outre la
température de la flamme, d’où résultera une moindre vitesse de
dissociation et une incandescence moindre des particules de carbone.
I n’est pas impossible non plus que, par le mélange avec d’autres
gaz, le gaz de l’éclairage éprouve une diminution dans sa vitesse de
dissociation. C’est du moins ce que semblent indiquer des expé-
riences de M. Berthelot, sur lesquelles nous reviendrons plus loin.

4°, La restitution du pouvoir lumineux au gaz de l’éclarage
mêlé avec d’autres gaz.

M. F. Wibel !) a fait passer le gaz de l’éclairage mélangé
avec l’acide carbonique, l'azote, l'hydrogène ou Pair à travers un
tube de platine, et l’a fait brûler à sa sortie du tube. Il a obtenu
alors une flamme nôn éclairante. Mais ayant ensuite chaufté le
tube de platine, il vit la flamme regagner son pouvoir lumineux
et reprendre tout à fait l'aspect de la flamme ordinaire du gaz
de l'éclairage; le spectre était aussi redevenu un spectre continu
et brillant. Il trouva encore qu'on obtüent le même résultat en
chauffant, au moyen d’une couple de flammes de Bunsen, l’enveloppe
extérieure de la flamme non lumineuse du gaz de l'éclairage mélangé
avec l’acide carbonique. |

Postérieurement, M. Heumann ? ) a encore montré qu'il n’est
pas nécessaire de chauffer le gaz de l'éclairage lui-même, mais
qu'on rend aussi la flamme lumineuse en chauffant fortement le
caz indifférent, avant de le mêler au gaz de l'éclairage; 1l faut

‘) Berichte d. deutsch. chem. Gesellsch., Jahrg. 8, S. 226,
2) Berichte d. deutsch. chem. Gesellsch., Jahrg. 8, S. 745.

R. A. MEES. RECHERCHES SUR LA THÉORIE DES FLAMMES. 495

seulement empêcher, par exemple en employant un brüleur en
verre au lieu d'un brûleur métallique, que le mélange ne se
refroidisse trop avant d'atteindre la flamme.

Cette récupération du pouvoir éclairant trouve une explication
plausible dans l'élévation de température que subit le mélange
gazeux. Par là, en effet, la vitesse de dissociation devient plus
grande et l’incandescence des particules de carbone plus vive;
la flamme doit donc reprendre de l’éclat.

En répétant l'expérience de Wibel, avec un brûleur de Bunsen
auquel était adapté un tube de platine recourbhé, j'ai trouvé que
la flamme, même quand on ne chauffait pas le tube de platine,
était un peu plus lumineuse, surtout à la pointe, que lorsque le
gaz s'écoulait par un tube ordinaire en laiton. Cela s’observait,
soit que le gaz s’écoulât dans la direction horizontale, soit qu'il
sortit dans la direction verticale. Parfois l'intensité lumineuse de
la pointe de la flamme n'atteignait qu’au bout de quelque temps
sa valeur maximum, qui toutefois différait généralement peu de
l'intensité initiale. Il est probable que le résultat en question doit
être attribué à ce que, le platine ayant une chaleur spécifique
beaucoup plus faible que le laiton, et aussi un pouvoir conducteur
plus faible, l’extrémité du tube de platine était échauflée un peu
plus fortement par la flamme que celle du tube de laiton, de
sorte que le mélange gazeux acquérait déjà dans le tube de platine
une température un peu plus élevée; en outre, le laiton enlevait,
par la même raison, plus de chaleur à la flamme que le platine,
ce qui donnait à la flamme une température un peu plus haute
avec le tube de ce dernier métal. En supposant maintenant que
l’afflux de l'air ait été tel, que le pouvoir éclairant de la flamme
füt détruit tout juste lorsque le gaz s’écoulait par le tube de laiton,
la température un peu plus élevée de la flamme, dans le cas du
tube de platine, pourra rendre compte du léger accroissement
d'intensité lumineuse. Quand le tube de platine était refroidi par
de la neige jusqu'à l'embouchure, la grandeur de la pointe
lumineuse de la flamme diminuait sensiblement, mais il me fut
impossible d’arriver ainsi à la supprimer lotalement. L’explication

4926 R. A. MEES. RECHERCHES SUR LA THÉORIE DES FLAMMES.

que je viens de donner est corroborée par le fait que, lorsque
le mélange gazeux s’écoulait par un tube de verre, la flamme
était encore beaucoup plus lumineuse qu'avec le tube de platine.
Elle éclairait alors non seulement à sa pointe, mais sur une grande
partie de son étendue, tout comme la flamme ordinaire du gaz
de l'éclairage. Cela tient très probablement au faible pouvoir con-
ducteur du verre, grâce auquel l'extrémité du tube de verre
s’échauffait fortement et enlevait moins de chaleur à la flamme.
Le spectre de celle-ci prouvait d’ailleurs que la lumière ne pouvait
être attribuée à la présence, dans la flamme, de vapeurs incan-
descentes de sodium, qui se seraient dégagées du verre.

Je dois encore faire remarquer que ces expériences demandent
certaines précautions. Lorsqu'on prolonge le tube du brüleur de
Bunsen par des tubes en laiton de % à 1 mêtre de longueur,
et qu'on n’allume le gaz qu'à sa sortie de ce long tube, on obtient,
même sans chauffer le tube, une flamme émettant une lumière
assez forte sur une grande partie de son étendue. La raison en
doit être cherchée, selon toute apparence, non dans un changement
de température, mais dans une modification du rapport entre les
quantités de gaz combustible et d'air que contient le mélange
gazeux. Si, en eflet, par l’adaptation d’un long tube, l'ouverture
d'écoulement est reportée à une plus grande distance des ouvertures
qui donnent accès à l'air, le courant du gaz de l'éclairage possède
au niveau de ces ouvertures une vitesse moindre, et en conséquence
entraîne moins d'air par aspration. Le changement d'aspect de
la flamme est la conséquence nécessaire de cette réduction de la
quantité d'air dans le mélange combustible.

Pour échapper à cette influence d’une modification de composition
du mélange gazeux, je donnai au tube de verre, dans les expériences
ci-dessus décrites, la même largeur et tout au plus la même longueur
qu'avait le tube en laiton du brüleur, dont il prenait la place;
quant au tube de platine, qui ne différait que peu en longueur
du tube de laiton du brüleur et avait environ le même diamètre
que celui-ci, j'en fis l'expérience non seulement après lavoir ajouté

R. A. MEES. RECHERCHES SUR LA THÉORIE DES FLAMMES. 497

comme prolongement au tube de laiton, mais aussi après l'avoir
substitué à ce dernier.

Il ne saurait être question ici de l'influence d’un changement
de densité du gaz combustible; car, si pareil changement avait
lieu, il consistait nécessairement, à raison de l'élévation de tem-
pérature, en une dilatation, et celle-ci aurait produit une diminution
plutôt qu'un accroissement d'intensité lumineuse.

Mes observations montrent donc l'extrême sensibilité de la flamme
de Bunsen, pour un mélange déterminé de gaz de l'éclairage et
d'air, aux variations de température; une élévation relativement
faible de la température peut modifier considérablement le pouvoir
éclairant et même la nature de la flamme de Bunsen.

Lorsque les ouvertures au bas du brüleur de Bunsen étaient
fermées, et que celui-ci était pourvu du tube de platine, on obtenait
la flamme ordinaire du gaz de l'éclairage. Tant que le platine
n'était pas chauffé, la flamme brülait alors tranquillement, sans
fumer; mais, des qu’on élevait la température du platine, la
flamme devenait très fuligineuse; preuve nouvelle que l’action de
l’échauffement consiste simplement en une augmentation de la
vitesse de dissociation. |

Je crois que les phénomènes, dont il vient d’être rendu compte,
confirment très sérieusement ma manière de voir concernant la
flamme de l'hydrogène carboné, attendu que seule elle fournit
une explication naturelle de ces phénomènes. Dans le Mémoire
cité de M. Heumann, on irouve encore décrits un grand nombre
de faits remarquables ayant rapport au pouvoir lumineux des
flammes, et qui tous peuvent être expliqués de la même mamière.
Tous ils démontrent qu'une élévation de la température de la
flamme augmente l'intensité lumineuse parce que la vitesse de
dissociation et l’incandescence des particules de carbone dégagées
sont alors accrues, et que, par la même raison, un abaissement
de la température a pour conséquence une diminution de l'intensité
lumineuse. Tous ils établissent qu'un plus grand afflux d'oxygène,
et, en général, toute cause pouvant favoriser le contact de la

2498 BR. À. MEES. RECHERCHES SUR LA THÉORIE DES FLAMMES.

surface de la flamme avec l’oxygène ambiant ou la pénétration
de cet oxygène à l’intérieur de la flamme, entraînent une diminution
de l'intensité lumineuse en vertu de l'accroissement de la rapidité
de combustion des particules de carbone mises en liberté ; à moins
que, par cette combustion plus vive, la température de la flamme ne
s'élève assez pour que la vitesse de dissociation et surtout l’incan-
descence des particules de carbone subissent une augmentation
plus forte que la vitesse de combustion. Quant à ce dernier effet,
on en a des exemples dans la grande intensité lumineuse du gaz
de l'éclairage mêlé avec l'oxygène, dans l’extrême difficulté qu’on
éprouve à abolir le pouvoir éclairant au moyen d’un afflux très
abondant d'oxygène, enfin dans le fait mentionné par M. Blochmann !},
que, suivant M. Silliman et M. Wurtz, le gaz très riche en carbone
de New-York, qui contenait 2 -pour cent d'air, perdait un peu
de sa force lumineuse lorsque cet air lui était enlevé.

Tous les phénomènes jusqu'ici connus relativement aux flammes
des hydrocarbures se laissent donc très bien expliquer par l’an-
cienne hypothèse de Davy, comme aussi par celle de M. Frank-
land, lorsqu'on l'interprète de la manière que j'ai indiquée.

Quant à savoir si la flamme doit sa lumière à l’incandescence
de perüucules solides ou bien à celle de vapeurs denses d’hydro-
carbures élevés, c’est une question qui reste encore indécise, les
phénomènes dont je viens de parler ne suffisant du moins pas
à la trancher d'une façon définitive. La circonstance que l’on
sait positivement que les particules solides émettent à la tempé-
rature de la flamme une vive lumière, donnant au spectroscope
un spectre continu, tandis que la chose est encore incertaine pour
les vapeurs des hydrocarbures élevés, surtout en ce qui concerne
le premier point, celui du grand pouvoir lumineux, cette circon-
stance, dis-je, plaide certainement un peu en faveur de l'opinion
de Davy, et lui donne au moins un degré de probabilité de plus
qu'à celle de Frankland.

Les recherches chimiques concernant les transformations que
les hydrocarbures subissent à des températures élevées paraissent

?) Blochmann, 2. c., S. 355; Journal of Gaslighting, 1869, p. 762.

R. A. MEES. RECHERCHES SUR LA THÉORIE DES FLAMMES. 499

aussi témoigner en faveur de Davy. Suivant M. Berthelot 1), l’éthy-
lène ou gaz oléfiant et le formène ou gaz des inarais perdent de
l'hydrogène à une température assez modérée et se transforment
en acétylène, lequel donne ensuite naissance à des hydrocarbures
supérieurs, tels que la benzine, le styrolène, la naphtaline,
lacénaphtène, etc. On pourrait croire d’après cela que M. Frank-
land a raison, et que dans la flamme se trouvent des vapeurs
d'hydrocarbures élevés, puisque M. Berthelot à vu s’en former
de pareils, sous l'influence de la chaleur, aux dépens des hydro-
oènes carbonés du gaz de l’éclaiwrage. Mais il faut remarquer
d’abord que M. Berthelot n’a opéré qu'à des températures rela-
tivement assez basses, et, de ce que celles-ci ont favorisé
union des hydrocarbures inférieurs et leur transformation en
hydrocarbures plus composés, d’ordre supérieur, il ne suit nul-
lement que la même chose aurait lieu à la haute température de
la flamme. Je regarde même comine plus probable, que la ten-
dance à la combinaison, qui existe à une chaleur médiocre, est
remplacée, à la température élevée qui règne dans la parte
lumineuse de la flamme, par une tendance à la dissociation. En
second lieu, je trouve noté chez M. Blochmann ?) que, toujours
d’après M. Berthelot, le gaz des marais, chauffé, se résout en
partie en ses éléments, tandis que l’autre partie est transformée
en acétylène,; ensuite, que cet acétylène, qui prend aussi naissance
aux dépens de l’éthylène, se transforme 1l est vrai, au rouge
sombre, peu à peu en hydrocarbures supérieurs, par condensation
polymérique de plusieurs molécules, mais qu’en présence du car-
bone il se résout en ses éléments, et que cette décomposition,
bien que ralentie en présence de l’azote, de l’oxyde de carbone,
etc., n'est pas arrêtée dans ces conditions *). Le gaz des marais
et l’éthylène, les principaux hydrocarbures du gaz de l'éclairage,

1) Comptes rendus, t. 66, p. 642; Ann. d. Chem. u. Pharm, Supplement-Band
VI, S. 247.

:) Blochmann, Z. c., S. 356.

s) J'avais en vue cette observation de M. Berthelot, lorsque j'ai parlé ci-dessus

de la disparition du pouvoir lumineux de la flamme du gaz de l'éclairage, en
cas de mélange avec d’autres gaz.

ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XII. 27

430 R. A. MEES. PRECHERCHES SUR LA THÉORIE DES FLAMMES.

se dédoublent donc, dit M. Blochmann, en carbone et en hydro-
sène sous l’action prolongée de la chaleur, car une partie du
gaz des marais fournit le carbone dont la présence est nécessaire
pour la décomposition de l’acétylène formé. M. Blochmann a aussi
trouvé Jui-même !), en faisant passer le gaz de l'éclairage par un
tube de porcelaine chauffé à une température inférieure à 1000?,
qu'une orande partie des hydrocarbures, surtout des plus denses,
se dédouble en hydrogène, en carbone, qui se dépose sur les
parois du tube, et en hydrocarbures supérieurs, qui sont volatils
à la température du tube, mais solides à la température ordi-
naire, et qui consistent principalement en naphtaline.

Je crois que ces recherches de M. Berthelot et de M. Bloch-
mann montrent clairement que du carbone doit se dégager dans
la flamme et que ce carbone s’y trouve très probablement à l’état
solide. Car, quand même ce carbone, comme le veut M. Frank-
land et comme le concède M. H. Sainte-Claire Deville, ne serait
pas entièrement dépouillé d'hydrogène, la quantité d'hydrogène
qui lui est associée est certainement trop faible pour que, grâce
à elle, ce carbone puisse exister, à la température de la flamme,

“

à l’état de vapeur.

Ce que nous savons aujourd'hui concernant les propriétés des
diverses flammes et concernant celles des hydrocarbures à une haute
température rend déjà très probable pour moi que le carbone se
trouve, au moins en partie, à l’état solide dans la flamme de
l'hydrogène carboné, et qu'à cette circonstance est dû le grand
pouvoir lumineux de cette flamme. Mais cette probabilité s'élève
presque à la certitude par.le fait de l’action réfléchissante éner-
gique que la flamme de l'hydrogène carboné exerce sur la lumière
et qui la distingue des autres flammes. Les observations que J'ai

4

faites à ce sujet vont maintenant nous occuper.
Dans un Mémoire “Sur les propriétés optiques de la flamme

1) Ann. d. Chem. u. Pharm. (1874) Bd. 173, SS. 167 u. f.

R. A. MEES. RECHERCHES SUR LA THÉORIE DES FLAMMES. 431

des corps en combustion et sur la température du soleil” t),
M. G. A. Hirn, partisan de lhypothèse de Davy, émet l’opi-
nion que les particules de carbone, à la haute température
qu'elles possèdent dans la flamme, ne réfléchissent plus d’une
manière sensible la lumière solaire. Mais cette conclusion repose
plutôt sur des bases théoriques, — principalement sur l'absence
de polarisation dans la flamme de lhydrogène carboné, fait
dont l'explication sera donnée plus loin, — que sur les obser-
vations spécialement faites par M. Hirn. Celles-ci sont en petit nombre
et n'ont pas, M. Hirn le reconnait lui-même, un très grand
degré d'exactitude. Aussi son Mémoire, quelque intéressant qu'il
soit sous le rapport théorique, ne saurait-il être considéré
comme entraînant fortement les convictions dans sa partie
expérimentale. Une valeur plus grande doit être attribuée aux
recherches de M. J. L. Soret ?), publiées et même en partie
entreprises à l’occasion du Mémoire de M. Hirn. Au début de ces
recherches, la réflexion de la lumière solaire, même lorsque
celle-c1 était concentrée par une lentille, ne put être observée
que sur les flammes fuligineuses; dès que les flammes étaient
rendues plus brillantes et qu’elles ne fumaient plus, la réflexion
semblait s'arrêter complétement. Mais, plus tard, M. Soret
remarqua que cela n'avait lieu qu’en apparence, car, en appli-
quant à la lumière solaire incidente des moyens de concentration
plus énergiques, il put constater distinctement la réflexion chez
les flammes d'hydrocarbures les plus brillantes. Cette réflexion
différait seulement en intensité de celle qui s’opérait sur la fumée
surmontant la flamme; dans les deux cas, la lumière réfléchie
était totalement polarisée dans le plan des rayons incidents,
lorsqu'on l’observait suivant une direction faisant un angle droit
avec ces mêmes rayons. La seule circonstance où M. Soret ne put
plus distinguer de réflexion, fut celle où il employa du gaz forte-
ment carburé et où 1l fournit à la flamme une très grande quan-

1) Ann. de Chim. et de Phys. (4) t. XXX, pp. 319 et suiv.

2) Bibliothèque universelle, Archives des Sciences, t, XLNIIL, pp. 231—241
et t. L, pp. 243—247; Phi. Mug. (4), Vol. XLVII, pp. 205—211 et Vol.
XLIX, pp. 50—52.

27

482 R. A. MEES. RECHERCHES SUR LA THÉORIE DES FLAMMES.

té d'oxygène. À part les difficultés attachées à l'observation, il
croit pouvoir expliquer ce résultat négatif, d’abord par le fait
que, la flamme devenant tout à fait blanche et même d’un blanc
bleuâtre, il n’y avait plus aucune différence de teinte entre les
parties sur lesquelles tombaient les rayons solaires et celles sur
lesquelles ils ne tombaient pas, de sorte que la trace du faisceau
lumineux ne pouvait se manifester que par une différence d'inten-
sité, difficile à observer; et, en second lieu, par la considération
que les particules de carbone étaient consumées presque au mo-
ment même de leur formation, et qu’ainsi la matière réfléchis-
sente était relativement beaucoup plus rare. En tenant compte
de ce qui a été dit plus haut, je présenterais volontiers cette
explication de M. Soret sous la forme suivante. Sur la flamme
du gaz fortement carburé et brülant avec un abondant afflux
d'oxygène, on ne voit pas la petite image réfléchie du soleil,
d'abord à cause de la faible différence de teinte entre la lumière
solaire et la lumière de la flamme, et ensuite parce que la lumière
de la flamme est devenue beaucoup plus intense relativement à
la lumière réfléchie. En effet, la formation de nouvelles particules
de carbone, la vitesse de dissociation des hydrocarbures, a pro-
bablement augmenté ici, comparativement à ce qui a lieu pour
la flamme ordinaire du gaz, dans une moindre proportion que
la vitesse avec laquelle les particules de carbone mises en liberté
sont brülées par l'oxygène, de sorte que le nombre des particules
qui se trouvent à un même instant dans la flamme ne s’est pas
beaucoup accrû, ou peut-être même a éprouvé une réduction.
La quantité de lumière solaire réfléchie aura donc peu augmenté,
ou peut-être même aura diminué, tandis que l'intensité lumineuse
propre de la flamme est accrue, à cause de la chaleur plus forte,
qui détermine une ignition plus vive des particules de carbone.
M. Soret tire de ses expériences la conclusion que le carbone
conserve, à des températures très élevées, son pouvoir réflecteur ;
ensuite, que la théorie de Davy paraît être vraie, au moins pour
la température ordinaire de la flamme, attendu qu'un faisceau
de lumière solaire est réfléchi par diffusion et polarisé exactement

R. A. MEES. RECHERCHES SUR LA THÉORIE DES FLAMMES. 433

de la même manière, soit qu'il tombe sur une flamme très bril-
lante ou sur une fumée non lumineuse, fumée dans laquelle la
présence de particules de carbone est incontestable.

Il me parut que cette dernière conclusion de M. Soret, à savoir
que ses observations confirment la théorie de Davy, ne serait
parfaitement légitime que sil les avait étendues à des flammes
dans lesquelles la matière existe certainement à l’état gazeux, et
sil n'avait trouvé alors aucune réflexion. Pour combler cette lacune
jentrepris quelques expériences, qui peu à peu prirent plus de
développement. Je commençai par répéter les observations de
M. Soret sur des flammes d'hydrocarbures. Au début, lorsque je
n'opérais pas encore avec des moyens de concentration très éner-
oiques, je ne réussis à voir distinctement la petite image solaire
réfléchie que sur quelques-unes de ces flammes; avec celles qui
avaient un certain éclat, l'image était à peine ou pas du tout
perceptible. Je résolus donc d’avoir recours à une concentration
plus puissante. Le miroir de lhéliostat fournissant un faisceau
trop étroit, la lumière solaire, qui durant les observations eut
toujours beaucoup d'éclat, fut réfléchie sur un miroir plan ordinaire,
mais de très bonne qualité; elle tombait ensuite sur le côté plan
d’une lentille plan-convexe, qui, avec une épaisseur de #1 milli-
mètres au centre, avait un diamètre de 190 millimètres. Gette
lentille concentrait la lumière en un foyer situé à la distance
d'environ 240 millimètres de la face postérieure convexe; c’est à
ce fover qu'étaient placées les flammes qu’on voulait soumettre
à l'examen. Ainsi éclairées, toutes les flammes d'hydrocarbures
que j'employai se montrèrent réfléchissantes. La flamme du bois
d'une allumette chimique, celle d’ur.e bougie stéarique, différentes
flaomes de gaz (papillon, bec rond à cheminée de verre, brüleur
de Bunsen sans afflux spécial d'air, c’est-à-dire avec orifices
fermés), la flamme du pétrole avec cheminée de verre, toutes
donnérent une image réfléchie du soleil . très distincte, totale-
ment polarisée, et de couleur bleuàtre par un effet de contraste.
L'image était très distincte, soit qu’on la regardàt directe-
ment, soit quon l’observät à travers un verre bleu, moyen déjà

434 R. À. MEES. RECHERCHES SUR LA THÉORIE DES FLAMMES.

employé par M. Soret. Avec la flamme en papillon brülant
sans cheminée et avec la flamme de Bunsen, elle était un peu
moins vive, à cause de la grande mobilité et de la variabilité de
ces flammes, mais elle n’en était pas moins très visible et très
nette. Un effet d'apparence assez singulière est que l’image se
distingue le mieux sur les parties les plus lumineuses de la flamme,
et disparait au contraire totalement sur la base obscure, proba-
blement parce qu’à ce niveau les hydrocarbures n’ont pas encore
subi de décomposition et sont par conséquent à l’état gazeux,
tandis que plus haut, dans la partie éclairante de la flamme,
le charbon, devenu libre, se trouve à l’état solide et par suite
réfléchit la lumière solaire.

Lorsque, dans le brüleur de Bunsen, on laisse l’air s'introduire
par les ouvertures d'en bas, de mamière que la flamme, sans
doute à cause de la disparition presque immédiate des particules
solides de carbone, ne soit plus que faiblement éclairante, cette
flamme ne réfléchit nulle part la lumière solaire. Si l’on fait tom-
ber le faisceau lumineux sur le bas de la flamme, il devient
tout à fait invisible là où il en traverse l’enveloppe; à l’intérieur
de la flamme on peut de nouveau distinguer sa trace, mais son
aspect y est absolument le même qu'à l'extérieur de la flamme.
De même que, au dehors, le faisceau lumineux est rendu visible
par les poussières suspendues dans l’air, de même il est rendu
visible à l’intérieur de la flamme par les poussières entraînées avec
l'air qui afflue dans le bas du brûleur. Aussi le faisceau lumi-
neux, observé de côté, n'est-il polarisé sensiblement n1 en dedans
de la flamme, ni en dehors. Gette différence entre la flamme
de l’hydrogène carboné et les particules de poussière suspendues
dans l’air, — à savoir, que la lumière réfléchie par la première
est polarisée totalement ou presque totalement, et que celle réflé-
chie par les secondes n'est pas polarisée d’une manière appré-
ciable, lorsque le rayon incident et le rayon réfléchi font entre
eux un angle droit, — cette différence montre combien la gran-
deur des particules de carbone dans la flamme est faible par rap-
port à celle des particules de poussière que l’air tient en suspension.

R. À. MEES. RECHERCHES SUR LA THÉORIE DES FLAMMES. 439

Les observations de M. Tyndall, sur ses brouillards actiniques,
ont du reste déjà fait connaître que c’est seulement en cas
d'extrême ténuité des particules réfléchissantes que la lumière
est polarisée totalement.

J'ai aussi examiné le pouvoir réflecteur de la flamme du mé-
lange d'air et de gaz d'éclairage brûlant dans le bec de Bunsen,
après que ce mélange eut traversé, selon la méthode de M. Wi-
bel, un tube de platine chauffé, et que la flamme eut ainsi
repris entièrement l'aspect de la flamme éclairante ordinaire du
gaz. Entre ces deux espèces de flammes, l’examen ne montra
aucune différence sous le rapport en question, preuve nouvelle
de la justesse de l'explication que j'ai ci-dessus donnée des ob-
servations de M. Wibel. |

Sur la flamme de l'hydrogène je ne pus constater aucune réflexion
sensible, même lorsque la flamme était très fortement colorée par
des vapeurs de lithium, de sodium ou de ruhidium; pourtant,
s'il y avait eu réflexion, celle-ci aurait dû être beaucoup plus
facile à voir, par contraste, sur les flammes à coloration vive
que sur les flammes sensiblement blanches des hydrocarbures.

Le soufre et le phosphore, brülant à l’ar, ne présentérent
pas non plus de réflexion. Je fis alors brüler le phosphore, amsi
que l’arsenic, dans l'oxygène. La combustion ne pouvait s’opérer
dans un flacon rempli de ce gaz, attendu que la fumée épaisse,
qui remplit le flacon presque aussitôt après qu'on a enflammé
la matière, eût été trop gênante. Je dirigeai donc, sur des frag-
ments de phosphore ou d’arsenic brülant à l'air, un courant
d'oxygène fourni par un gazomètre; la fumée qui se développe
alors n'est pas très agréable aux poumons de l’observateur,
mails au moins elle n'empêche pas d'observer l’action de la
flame sur la lumière solaire incidente, vu que la fumée n’en-
toure pas la flamme, mais s'élève au-dessus d’elle. Ni sur la
flamme du phosphore, ni sur celle de l’arsenic, la moindre
trace de réflexion ne put être aperçue. Par contre, la fumée
qui surmontait ces flammes, et que la lumière du soleil
illuminait vivement, montrait d’une manière très distincte la

436 R. A. MEES. RECHERCHES SUR LA THÉORIE DES FLAMMES.

petite image solaire réfléchie et presque entièrement polarisée.

La fumée qui s'élevait d’une flamme de magnésium réfléchis-
sait aussi la lumière avec force, comme on pouvait s’y attendre;
mais, sur la flamme elle-même, je ne crois pas avoir aperçu d'effet.
L'observation, toutefois, manquait un peu de certitude en ce cas,
parce que la flamme était souvent enveloppée par la fumée, et
qu’alors naturellement la petite image solaire reparaissait chaque fois.

L’oxyde de carbone, préparé au moyen du prussiate jaune de potasse
et de l’acide sulfurique concentré, puis purifié par son passage sur la
chaux sodée et le chlorure de calcium, brülait avec une belle flamme
bleue, sans la moindre réflexion. Aucune action de ce genre ne
put être découverte non plus sur les flammes du sulfure de carbone
et de lalcool ordinaire. Ces matières furent brülées dans une
capsule de platine; car, lorsqu'on laissait brûler l'alcool dans une
lampe ordinaire à esprit-de-vin, avec mêche, on voyait s'élever con-
tinuellement de la mêche des petits nuages de fumée, qui brillaient
vivement à la lumière solaire dans l’intérieur de la flamme, et
qui étaient probablement formés de particules solides ou liquides
entraînées mécaniquement. Le même phénomène se produisait
aussi dans la flamme colorée par le lithium. Une mèche d’asbeste,
imbibée d’une solution d’un sel de lithium, colorait la flamme
de l'hydrogène en rouge. De temps en temps on voyait s’élancer
de lasbeste des petits nuages de fumée, qui avaient beaucoup
d'éclat à la lumière du soleil, et qui par conséquent réfléchis-
salent celle-ci en proportion notable. Lorsqu'un pareil nuage se
forme au milieu même de la flamme colorée en rouge de l’hydro-
gène, 1l tranche très fortement par sa lumière blanche et brillante
sur la couleur beaucoup plus mate de la flamine. Il offre alors l’as-
pect d’une petite flamme très mince mais assez haute, dont la
lumière consiste entièrement en lumière solaire réfléchie, puis-
qu'elle est totalement polarisée.

D'un côté, nous ne trouvons donc -aucune réflexion sensible
là où il s’agit uniquement ou du moins principalement de matières
à l’état gazeux: flamme de l'hydrogène, naturelle ou colorée par
le lithium, le sodium ou le rubidium, flammes du soufre, du

R. A. MEES. RECHERCHES SUR LA THÉORIE DES FLAMMES. 437

phosphore, de l’arsenic, du magnésium, de l’oxyde de carbone,
du sulfure de carbone et de l'alcool ordinaire, flamme de Bunsen
avec introduction d'air, base obscure de la flamme des hydro-
carbures. De l’autre côté, la réflexion s’observe partout où nous
sommes sûrs d’avoir affaire à des matières à l’état solide ou peut-
être aussi à l’état liquide: fumées qui s'élèvent des flammes des
hydrocarbures, du phosphore, de l’arsenic et du magnésium,
petits nuages de fumée qui se forment à l’intérieur des flammes du
lithium et de l’alcool. En outre,des phénomènes exactement semblables
de réflexion et de polarisation nous sont offerts par les flammes des
hydrocarbures, au moins pour ce qui concerne leur partie lumi-
neuse. Ces flammes se rapprochent tout à fait des espaces dans
lesquels sont suspendues des particules solides très fines, tandis
qu'elles se distinguent nettement des espaces qui ne contiennent
que de la matière à l’état gazeux. N'est-il donc pas naturel d’ad-
mettre, dans les flammes des hydrocarbures, des espaces tenant
en suspension des particules de carbone solides ct très petites ?
Les phénomènes de réflexion, dont 1l vient d’être question, suffi-
raient seuls pour donner à cette opinion un haut degré de pro-
babilité; mais nous avons vu que bien d’autres raisons plaident
également en sa faveur.

Nous présenterons encore quelques remarques sur quelques-unes
des flammes déjà étudiées. En premier lieu, sur celles du phos-
phore et de l’arsenic brülant dans l'oxygène. Ces deux flammes
ont un grand pouvoir lumineux. Aussi M. Frankland les place-t-1l
presque sur la même ligne que les flammes éclairantes des hydro-
carbures, et leur intensité est une des raisons qui lui ont fait
abandonner, même pour ces dernières, l'hypothèse de Davy. Nous
venons de voir, toutefois, que les flammes du phosphore et de
Varsemnic, bien que semblables aux flammes des hydrocarbures
par leur pouvoir éclairant, en différent beaucoup quant à leur
nature intime. En effet, elles ne réfléchissent pas d’une manière
appréciable la lumière du soleil, ce que fait, au contraire, la
flamme de l'hydrogène carboné. Cette différence entre les deux

438 R. À. MEES. RECHERCHES SUR LA THÉORIE DES FLAMMES.

espèces de flammes se concilie difficilement avec la manière de
voir de M. Frankland, tandis qu’elle est en parfaite harmonie
avec la nôtre. Dans les flammes de l'arsenic et du phosphore
nous n’avons pas de particules solides, nous en avons bien dans
la flamme de l'hydrogène carboné; c’est pour cela que le pouvoir
réflecteur fait défaut aux premuères, non à la dernière.

Un mot maintenant sur les flammes de l’oxyde de carbone et
du sulfure de carbone. Ni chez l’une, ni chez l’autre, on ne
trouve la moindre trace de réflexion, quoique la présence de
particules de carbone dans ces flammes, surtout dans la première,
puisse sembler n'être pas tout à fait improbable. On pourrait croire,
en effet, que le sulfure de carbone avant d’être brûlé dans la flamme,
se dédouble en soufre et en carbone, de même que les hydro-
carbures se dédoublent en carbone et en hydrogène. Pour l’oxyde de
carbone on pourrait également admettre, avant la combustion, une
dissociation totale ou partielle; si peu probable que cela soit à
mes yeux, il parait que la chose n’a pas été jugée impossible par
tout le monde. Je ne puis du moins interpréter autrement les paroles
suivantes de M. H. Sainte-Claire Deville: ,, J'ai démontré que dans
l'oxyde de carbone fortement chauffé il y avait dissociation du
gaz avec production d'oxygène et d’un charbon jaune, pulvéru-
lent et léger, auquel est due, suivant toute apparence, la teinte
bleue de la flamme”. 1) Mes observations montrent toutefois que,
ni dans la flamme du sulfure de carbone, ni dans celle de l’oxyde
de carbone, 1l n'existe des particules de charbon en quantité
appréciable, conclusion à laquelle était déjà arrivé M. Dibhits, par
l'étude du spectre de ces flammes ?). Est-il aussi prouvé par là
que le sulfure de carbone, avant d’être brûlé, ne subit dans la
flamme aucune dissociation en carbone et en soufre ? Pas encore
complétement, car il pourrait se faire que la différence entre le
sulfure de carbone et les hydrocarbures consistât en ce que la
première de ces matières fournirait par sa dissociation du carbone
pur, tandis que le charbon produit par les hydrocarbures serait

1) Comptes rendus, +. LX VIT, pp. 1091 et 1092. note.
2) Dibbits. 7. c. SS. 542 u. 543.

R. A. MEES. RECHERCHES SUR LA THÉORIE DES FLAMMES. 439

encore légèrement hydrogéné; et il serait possible, en outre,
que ce charbon hydrogéné se combinât un peu moins facile-
ment avec l'oxygène, et par suite se maintint un peu plus
longtemps à cet état dans la flamme, que le carbone pur. Un
trés léger excès d’affinité pour l'oxygène, attribué au carbone
dur comparativement au charbon contenant de l'hydrogène,
suffirait à rendre compte de la différence entre la flamme du
sulfure de carbone et celle des hydrocarbures. Peut-être, tou-
tefois, les probabilités sont-elles encore plus grandes en faveur de
l'hypothèse avancée par M. Dibbits concernant la combustion du
sulfure de carbone, à savoir que, dans la flamme, le soufre de
cette substance est d'abord remplacé par l'oxygène, d’où résulte
de l'acide carbonique, et qu’ensuite seulement le soufre mis en
liberté brüle et se transforme en acide sulfureux.

Jusqu'ici, sauf la flamme de l'hydrogène carboné, nous n’en
avons trouvé aucune autre qui offrit la réflexion. En cherchant
des flammes chez qui l’on-eût quelque chance de rencontrer le
pouvoir réflecteur, mon attention se porta sur celles de lhydro-
sène arsénié et de l’hydrogène antimonié brûlant à l'air. Avec
ces matières, en effet, nous avons dans la flamme une décom-
position analogue à celle des hydrocarbures: l'hydrogène arsénié
se décompose en arsenic et en hydrogène, l'hydrogène antimonié
en antimoine eten hydrogène. Sur l'hydrogène arsénié, toutefois,
je fondais peu d'espoir; vu la basse température à laquelle se
volatilisent l’arsenic et le produit de sa combustion, l'acide arsé-
mieux, — M. Frankland indique les températures de 180? et de
218°, — il n'était pas probable que ces matières se trouveraient
à l’état solide dans la flamme. On pouvait s'y attendre avec
plus de raison pour l'hydrogène antimonié, attendu que l’anti-
moine a besoin d’une température beaucoup plus haute pour
se volatiliser. Mes prévisions furent complétement vérifiées par
l'expérience.

L'hydrogène arsénié et l'hydrogène antimonié furent obtenus
en introduisant une assez grande quantité d’acide arsénieux ou de

4AÔ R. A. MEES. RECHERCHES SUR LA THÉORIE DES FLAMMES.

tartrate d’antimoine et de potasse dans un appareil où de l'hydro-
sène était dégagé en abondance par l’action du zinc sur l'acide
sulfurique. Souvent, mais pas toujours, l'hydrogène arsénié tra-
versait encore, avant d'être enflammé, des tubes remplis de
chaux sodée et de chlorure de calcrum, où il se purifiait. Pour
l'hydrogène antimonié cette purification ne pouvait naturellement
se faire, puisqu'elle aurait amené la décomposition du gaz. Avant
d'introduire dans l'appareil la matière arsénicale ou antimonifére,
on essayait toujours, quant à son pouvoir réflecteur, la flamme
de l'hydrogène dégagé. Ce n’est que lorsque celle-ci ne montrait
aucune réflexion, qu'on ajoutait l’acide arsénieux ou le tartre
stibié. Cette précaution était absolument nécessaire, car la flamme
de l’hydrogène seul montrait souvent à l’intérieur un noyau fai-
blement réflecteur, et dans ce cas celui-ci se voyait aussi dans
la flamme de lhydrogène arsénié. Lorsque, toutefois, ce noyau
manquait dans la première flamme, 1l était absent aussi de la
seconde; quelle que fût l'intensité de la coloration communiquée
à celle-ci par larsenic, jamais on n’y observait alors la moindre
réflexion. Quand le noyau faiblement réflecteur existait, lhydro-
oène ou l'hydrogène arsénié dégagés de lappareil, mais non
encore enflammés, présentaient laspect d’un brouillard, aspect
sûrement dû à des particules mécaniquement entrainées. Ces
brouillards, qui ne se montraient pas constamment, étaient difficiles
à supprimer; on n'y parvenail pas en faisant passer le gaz dans
l'eau, mais bien en lui faisant traverser des tubes remplis de coton
cardé. En conséquence, ce dernier moyen fut toujours employé.

Comme je viens de le dire, l'hydrogène arsénié n’offrit jamais
de réflexion; chez l'hydrogène antimonié, au contraire, le phéno-
mêne se manifesta. La flamme de cette matière présentait un
noyau qui réfléchissait fortement la lumière du soleil, en la pola-
risant aussi de la manière ordinaire, sinon complétement, au
moins en grande partie. À l'intérieur de la flamme, vivement
colorée, on voyait alors s'élever ordinairement de la base deux
petites flammes très brillantes, qui toutefois étaient aussi réunies
quelquefois en une seule, et qui plus haut disparaissaient. Il y avait

R. A. MEES. RECHERCHES SUR LA THÉORIE DES FLAMMES. 441

donc, dans la partie interne de la flamme, de l’antimoine à
l'état solide et finement divisé. Là où la réflexion s’observait, la
température était plus basse que dans le reste de la flamme ; on
pouvait s’en assurer à ce que, dans l'intérieur de la flamme , un
mince fil de platine était seulement porté au rouge, tandis qu'il
était chauffé à blanc dans les autres parties. Indépendamment de
ce fait, les phénomènes suivants, observés par moi, rendent
aussi extrêmement probable que lantimoine se trouve dans la
flamme à l'état solide là où 1l y a réflexion, et au contraire
sous forme de vapeur là où la réflexion fait défaut. Le tube de
dégagement, à l’extrémité duquel le gaz brülait, était tantôt de
verre, tantôt de laiton. Lorsqu'il était en verre, la flamme
montrait bien au début le noyau réflecteur, mais seulement pour
un instant; très peu de temps après l’inflammation, il n'y avait
déjà plus trace de réflexion. Avec le brüleur métallique, au con-
raire, la réflexion persistait beaucoup plus longtemps; toutefois,
elle s’affaiblissait peu à peu, et finissait par disparaître au bout
de quelque temps. Cette différence entre le brûleur en verre et
le brûleur métallique est facile à expliquer. L'un et l’autre s’échauf-
fent par la flamme, mais tandis que dans le brüleur métallique,
bon conducteur de la chaleur, celle-ci se dissipe en grande partie,
dans le brüleur en verre elle reste accumulée à la pointe, à cause
du faible pouvoir conducteur du verre. Cette pointe s’échauffe
done beaucoup plus fortement et surtout beaucoup plus rapide-
ment chez le brûleur en verre que chez le brûleur métallique;
par suite, la base de ja flamme atteint aussi, chez le premier,
une température plus élevée que chez le second, de sorte que,
dans cette partie, l’antimoine ne peut plus rester à létat solide
avec le brüleur en verre, mais bien avec le brûleur métal-
lique ‘). Nous avons donc ici, dans la flamme de l’antimoine,
des phénomènes entièrement analogues à ceux qui ont été décrits

1) Un phénomène analogue a été observé par M. Dibbits (7. c., S. 498).
Il a trouvé, en effet, que l’hydrogène, brülant à l’extrémité d'un tube de
verre, donne une flamme qui d'abord est à peine visible, mais qui bientôt se
colore en jaune par le sodium que laisse échapper le verre échauffé.

442 R. A. MEES. RECHERCHES SUR LA THÉORIE DES FLAMMES.

plus haut pour la flamme de Bunsen; seulement, les conséquences
de l'élévation de température sont précisément inverses. La preuve
que notre explication est juste, dans le cas actuel comme dans
celui de la flamme de Bunsen, c’est que, quand le brûleur mé-
talique était chauffé d'avance, la réflexion échappait dès le début
à l’observation, bien que la couleur montrât que l’antimoine
ne s'était pas déposé dans le tube chauffé, mais brûlait réelle-
ment dans la flamme. Lorsque, au contraire, le brûleur métal-
lique était refroidi au moyen d’une couche de neige pendant la
combustion de l'hydrogène antimonié, le pouvoir réflecteur con-
servait pendant toute la durée de l’expérience sa grandeur initiale ;
avec le brûleur en verre cela n’avait pas lieu, probablement
parce que, à cause de la faible conductibilité du verre, la pointe
du brûleur s’échauffait fortement, malgré le voisinage de la neige.

J'ai aussi appliqué le refroidissement du brûleur métallique à
la flamme de l’hydrogène arsénié, non-seulement en employant
la neige, mais même en faisant usage d'un mélange réfrigérant
de neige et de sel ammoniac. Quoique la base de la flamme fût
alors assez refroidie pour qu’un fil de platine y rougît à peine,
aucune réflexion ne se manifesta; selon toute apparence, parce
que la température était encore trop élevée pour permettre à
l’arsenic de conserver l’état solide, peut-être aussi, bien que cela
paraisse moins probable, parce que la température de décompo-
sition de l'hydrogène arsénié, laquelle m’est inconnue, est plus
élevée que celle à laquelle l’arsenic se volatilise.

Les phénomènes offerts par l'hydrogène arsénié et l'hydrogène
antimonié confirment, je crois, cette conclusion: que les flammes,
dans lesquelles la matière n'existe qu'à l’état de vapeur, -ne pos-
sédent pas de pouvoir réflecteur sensible, au moins pour le degré
de concentration des rayons solaires employé dans mes expériences ;
que les flammes, au contraire, où la matière se trouve à l’état
solide, et peut-être aussi celles ou elle affecte l’état liquide, pré-
sentent un pouvoir réflecteur assez fort; que par conséquent,
dans les flammes éclairantes des hydrocarbures, le carbone existe
à l’état solide. |

R. A. MEES. RECHERCHES SUR LA THÉORIE DES FLAMMES. 443

Il ne me reste plus qu'à dire un mot de quelques phéno-
mènes qui, au jugement de plusieurs, semblent en contradiction
avec la théorie de Davy. D'abord, la grande transparence de la
flamme. C’est sans doute à raison de ce phénomène que M. Frank-
land 1) attribue, aux hydrocarbures gazeux qu’'ii suppose exister
dans la flamme, la propriété d’être transparents. Gette transpa-
rence, toutefois, n’est pas aussi absolue qu’on le pensait généra-
lement. On croyait, par exemple, qu'une flamme de gaz plate
émettait, dans les directions situées dans le plan de la flamme,
exactement autant de lumière que dans les directions perpendicu-
lares à ce plan; que, par conséquent, la flamme était parfaitement
transparente pour sa propre lumière. Il résulte toutefois des
expériences de M. Hirn ?) que cela n’est pas entièrement exact;
une grande flamme très plate ne donne pas une lumière égale
dans tous les sens; la différence n’est ordinairement pas grande,
mais peut pourtant atteindre quelquefois le cinquième de l’intensité
totale. En plaçant l’une derrière l’autre un certain nombre de
flammes de pétrole, M. Hirn a trouvé que celles-ci non plus ne
sont pas absolument transparentes; à la suite du passage de la
lumière d’une de ces flammes à travers les autres, on observe une
diminution sensible de l’intensitè lumineuse $). M. Hirn a aussi
fait des expériences sur les ombres que les flammes peuvent
porter, lorsqu'elles sont placées, par exemple, dans une lumière
solaire très vive. La plupart des expériences relatives à la trans-
parence des flammes sont entachées, toutefois, d’une source
d'inexactitude, en ce que la lumière, lors de son passage à travers
une flamme, n’est pas seulement modifiée par l'absorption dans
cette flamme, mais aussi par la réfraction et la dispersion qu'elle
subit tant dans la flamme elle-même que dans les couches gazeuses

1) Voir ci-dessus, p.

2) Him, Z.c., p.237.

5) Les observations de M. Allard (Comptes rendus, t. LXXXI, p. 1096,
6 déc. 1875), dont je n'ai eu connaissance que pendant l’impression du présent
travail (publié d’abord en hollandais), prouvent aussi que la flamme n’est pas
complétement transparente, mais possède un pouvoir absorbant très appréciable.

4h R. À. MEES. RECHERCHES SUR LA THÉORIE DES FLAMMES.

raréfiées qui entourent le corps de la flamme. Aussi, tout en
admettant que les flammes des hydrocarbures ne sont pas
complétement transparentes, on doit reconnaître que leur trans-
parence est grande, certainement beaucoup plus grande que celle
de la fumée qui les surmonte. Cela n'a d’ailleurs rien d’extra-
ordinaire; on peut l'expliquer, ou bien en supposant, comme le
fait M. Soret pour d’autres raisons, que les particules charbonneuses
solides et incandescentes ne se trouvent que dans une enveloppe
extrêmement mince qui entoure la flamme, ou bien en regardant
le volume des particules charbonneuses, —- dont l’excessive ténuité
est mise hors de doute par la polarisation totale de la lumière
qu'elles réfléchissent, — comme très petit comparativement aux
espaces qui séparent ces particules. Il me paraît donc tout à fait
inutile, pour rendre compte de la grande transparence de la
flamme, d'admettre, avec M. Ilirn, que les particules charbon-
neuses perdent entièrement leur pouvoir absorbant à une haute
température; cetle supposition, d’après la remarque très juste de
M. Soret, serait en outre contraire au principe de la proporti-
onnalité entre le pouvoir absorbant et le pouvoir émissif des corps.

Pour ce qui concerne; enfin, le manque total de polarisation
dans la lumière de la flamme, ce fait n’est nullement incompa-
tible, comme le croit M. Hirn, avec l'attribution du pouvoir
réflecteur aux particules charbonneuses que la flamme content.
Les particules situées sur une petite étendue de la surface de Ja
flamme réfléchissent, il est vrai, la lumière d’autres particules
charbonneuses, mais celles-ci sont distribuées dans tous les sens
autour des particules réfléchissantes. Cette lumière avait donc,
avant d'être réfléchie, toutes sortes de directions, et 1l n’y a par
conséquent aucune raison pour qu'après la réflexion elle soit
polarisée dans un plan plutôt que dans un autre. L'absence de
pouvoir réflecteur n’est donc nullement nécessaire pour expliquer
l'absence de polarisation dans la lumière de la flamme; après les
expériences de M. Soret et les miennes, la réalité de ce pouvoir
réflecteur ne saurait plus être contestée.

|

L'INFLUENCE DU SPASME BRONCHIQUE

SUR LA RESPIRATION,
PAR

Th. H. MAC GILLAVR #Y.

Dans le cahier de septembre 1876 de lArchiv für die ge-
sammte Physiologie de Pflüger, le Dr. Leo Gerlach, d'Erlangen,
a publié de nouvelles recherches sur: ,,Les rapports entre les
nerfs vagues et les fibres musculaires lisses du poumon”. L'intérêt
que cette question offre pour la pathologie est signalé par l’auteur
comme une des causes principales qui la font remettre si fré-
quemment à l'étude. Il remarque avec raison qu’une théorie,
qui se propose de rendre compte des phénomènes de l’asthme
bronchique (asthme nerveux), aura d’autant ‘plus de valeur qu’elle
s’accordera mieux avec les résultats de l’expérimentation physio-
logique. Il s’abstient toutefois avec soin de prendre parti pour
l'une ou l’autre des théories émises.

Le travail de M. Gerlach me donna envie de relire ce qui à
été écrit sur la nature de l’asthme nerveux, et bientôt je me
décidai à entreprendre quelques recherches expérimentales, dont
je vais communiquer les résultats. Je demande toutefois la per-
mission de rattacher à cet exposé certaines considérations, qui
ne me paraissent par absolument dépourvues d'intérêt pour les
physiologistes et les médecins.

ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XII. 28

446 TH. H. MAC GILLAVRY. L'INFLUENCE DU SPASME

Lorsque dans la trachée d’un cadavre on fixe hermétiquement
un manomèêtre, et qu'on ouvre ensuite la cavité thoracique, le
liquide s'élève dans le manomètre (6 mm. de mercure chez
l'homme, d’après M. Donders). Cette différence de pression mesure
par conséquent la réaction élastique du tissu pulmonaire après
l'expiration la plus forte possible. Si l'opération est faite sur un
animal vivant, on observe également l'ascension du liquide ma-
nométrique. Ce liquide, toutefois, exécute alors des oscillations,
produites par des mouvements respiratoires violents, qui, même
quand la cage thoracique est ouverte, font varier notablement la
tension de l'air emprisonné dans les poumons. Si ensuite les
poumons, v compris les nerfs vagues, sont extraits du corps, le
manomètre devient stationnaire, indiquant une différence de pres-
sion de quelques millimètres de mercure. L’excitation électrique
de lun des nerfs vagues, ou de tous les deux, détermine alors
une ascension du liquide dans le manomètre, ascension qui peut
atteindre 5 mm. d’eau chez le lapin, 8 chez le chien (Voir le
cahier, ci-dessus cité, de l’Archiv de Pflüger). Cette expérience
met hors de doute que le volume de l’ar emprisonné diminue;
quant à savoir si elle est concluante pour l’une ou l’autre théorie
de l’asthme, c’est ce qui demandera un examen spécial.

Tout d’abord elle nous montre que la diminution de la capacité
pulmonaire, obtenue par l'excitation des nerfs vagues, est très petite,
savoir environ 0,0005 du volume primitif !).

On peut maintenant admettre:

ou bien, que la contraction des muscles se fait avec si
peu de force qu’une pression de 5 mm. d’eau empêche toute
contraction ultérieure (de même que la contraction d'un
muscle long, mais grêle, ne peut imprimer au point d'in-
sertion mobile un déplacement considérable, à moins que la

il

résistance à vaincre ne soit faible).

D 760 x 13,5

1 Ü— = NE Ne Te ee — ss POV
JPA X 760 x 13,5 LS X V=:0,99951

= Jr
donc: V — VW = 0,00049 ... x V:

BRONCHIQUE SUR LA RESPIRATION. Le AU

ou bien, que les espaces qui se resserrent par suite de
la contraction musculaire sont très petits comparés au vo-
lume total (condition analogue à celle d’un muscle épais et
court, qui, tout en se contractant avec beaucoup de force,
ne déplace que peu le point d'insertion, mobile).

En admettant la première de ces hypothèses, on pourrait être
conduit à penser, avec M. Wintrich, que les forces musculaires
des ramuscules bronchiques sont tout à fait incapables de lutter
contre les forces qui entrent en jeu dans les mouvements respira-
toires ordinaires. Je me garderai bien, toutefois, de me prononcer
à cet égard, et ferai remarquer qu’on court toujours risque d’ar-
river à des conclusions erronées lorsqu'on traite un problème
dynamique comme si c'était un problème statique. Ce qui résulte
avec certitude de pareilles expériences, c’est que l'excitation des
nerfs vagues diminue d’une quantité extrêmement petite le volume
des poumons. En faisant intervenir cette donnée dans une théorie
de l’asthme nerveux, on s'expose à comparer des grandeurs qui
de leur nature ne sont pas comparables. Il s’agit de savoir, en
effet, pourquoi dans cette affection l’air pénètre plus difficilement
que d’ordmaire dans les culs-de-sac pulmonaires, et surtout pour-
quoi l'expiration de l'air est encore plus difficile que l'inspiration.

Or la diminution de volume, qui est la suite de l'excitation
des nerfs vagues, pourrait atteindre des proportions énormes,
sans qu'elle fût capable de produire les phénomènes caractéristiques
de l’asthme; réciproquement, la diminution de volume peut être
très pelite et n’en avoir pas moins pour effet d’entraver complé-
tement la respiration. Si, par exemple, les parois des culs-de-sac
aériens étaient pourvues de fibres musculaires, la contraction de
ces parois réduirait considérablement le volume des poumons
enlevés du corps et encore plus ou moins gonflés Lors de l’in-
spiration, de pareils poumons nécessiteraient des efforts plus con-
sidérables de la part des muscles inspirateurs ; lors de l’expiration,
l'air serait expulsé plus rapidement, et par suite la durée de
l'expiration se trouverait abrégée. Si, au contraire, les muscles
pulmonaires n’existaient que dans les dernières ramifications bron-

28*

448 TH. H. MAC GILLAVRY. L'INFLUENCE DU SPASME

chiques, qui ne possèdent plus de squelette cartilagineux, et
s'ils y étaient condensés en sphincters, leur contraction pourrait
déterminer l’occlusion complète de ces ramuscules bronchiques,
faire ainsi entièrement obstacle au cours de l'air, et ne produire,
dans l'expérience avec le manomètre, sous l'influence de l’excita-
tion des nerfs vagues, qu'une diminution insignifiante du volume
des poumons.

Les questions principales, qui intéressent le physiologiste aussi
bien que le médecin, sont celles-ci:

La contraction des muscles des ramuscules bronchiques occa-
sionne-t-elle le resserrement de ces ramuscules ?

Ce resserrement est-1l assez considérable pour gêner le mouve-
ment de l’air dans la respiration ? |

Ce resserrement est-il effacé en partie, ou au contraire aug-
menté, par l’action des muscles inspirateurs et expirateurs ?

Il est évident que l'expérience seule peut fournir la réponse à
ces questions. Si l'on consulte les faits expérimentaux déjà con-
nus, on trouve, comme résultat concordant des recherches d'un
grand nombre d’observateurs, que l'excitation des nerfs vagues
rétrécit le calibre intérieur des rameaux bronchiques coupés trans-
versalement. Mais si l’on demande quelle influence ce rétrécisse-
ment exerce sur le mouvement de l'air dans la respiration, on
reconnait que les données quantitatives font défaut. Or, personne
ne contestera qu'il ne suffit pas de savoir que les rameaux bron-
chiques se resserrent à la suite de l’excitation des nerfs vagues,
mais qu'il faut aussi pouvoir indiquer approximativement de combien
est augmentée, par l’effel de ce resserrement, la résistance que
l'air éprouve dans son mouvemement. Je rappelle ici, en passant,
que l'existence de fibres musculaires a été constatée dans la trachée
et dans toutes ses ramifications, même les plus déliées; que des
fibres musculaires ont aussi été trouvées dans les cloisons qui
séparent les culs-de-sac aériens, en tant que ces cloisons peuvent
être considérées comme le prolongement direct des parois des
ramuscules bronchiques; mais que les parois des culs-de-sac ne
possèdent pas de muscles, en dépit de quelques assertions, qui

BRONCHIQUE SUR LA RESPIRATION. 449

ont été contredites itérativement et d’une façon catégorique par
d'excellents observateurs.

Le problème qui nous occupe est dominé, comme on le voit,
par la question de savoir s’il est possible de disposer une expé-
rience de telle sorte que, l’air parcourant les voies aériennes, on
puisse mesurer les résisiances qu'il rencontre, et en même temps
examiner si l'excitation des nerfs vagues augmente ces résistances.
Ainsi posé, le problème est susceptible de solution expérimentale ;
voici de quelle manière.

Pour obtenir un afflux régulier d’air, on prend un flacon
d'assez grande capacité (celui que j'ai employé mesurait 7 à 8
litres). Ge flacon est fermé hermétiquement au moyen d’un bouchon
percé de deux ouvertures. Dans ces ouvertures sont fixés des
tubes de verre, qui se terminent tous les deux à la face inféri-
eure du bouchon. Un de ces tubes est uni à un tuyau en caout-
chouc, qui amène l’eau d’un réservoir. L'autre tube laisse alors
passer, dans l'unité de temps, un volume d’ar égal au volume
d’eau qui tombe dans le flacon pendant cette même unité de
temps. Ce second tube sera relié plus tard, à l’aide d’un second
tuyau en caoutchouc, à une canule fixée dans la trachée d’un
animal vivant (lapin). Si l’on se figure en outre le second tuyau
de caoutchouc pourvu d’un tube latéral, qui communique avec
un manomètre rempli d’eau, on aura une idée complète de l’ap-
pareil. Après s’être assuré que celui-ci ferme bien, on ouvre par
devant, dans le plan médian, la cavité thoracique de l’animal
destiné à l'expérience, et on fait avec les doigts une déchirure
aux sacs pleuraux. Le tuyau en caoutchouc est alors relié aussi
rapidement que possible à la canule introduite dans la trachée,
puis on laisse couler l’eau dans le flacon gazométrique. L’air
chassé par l’eau gonfle le poumon, qui s'était affaissé au moment
de l’ouverture de la cavité thoracique, et en même temps on
voit l’eau s'élever dans la branche ouverte du manomètre. Pour
obtenir un courant d’air régulier, on pratique de petits trous dans
la surface accessible du poumon, en se servant pour cela d’une
fine aiguille à coudre, piquée à travers un bouchon de manière

450 TH. H. MAC GILLAVRY. L'INFLUENCE DU SPASME

que sa pointe ne fasse qu'une saillie de 2 à 3 millunètres. L’air
contenu dans le poumon s’échappe par les petits trous avec une faible
crépitation, la colonne liquide du manomètre éprouve une dépres-
sion et s'arrête bientôt à une hauteur déterminée. Si le poumon
a été percé d’un nombre de trous suffisant, l’action du cœur se
ranime et l’animal reste couché tranquillement. Le moment est main-
tenant venu d’exciter par des courants d’induction (appareil de M.
du Bois-Reymond, sans noyau de fer, bobmes entièrement séparées
l'une de l’autre) le bout périphérique de l’un ou des deux nerfs
vagues préalablement coupés. Peu d’instants après le commence-
ment de l'excitation, on voit l’eau s'élever dans le manomètre.
Mais le pronostic favorable qu’on en tire ne se réalise pas. Bientôt
l'eau du manomèêtre se montre agilée de violentes oscillations,
évidemment dues à des mouvements respiratoires convulsifs. Lors-
que, en effet, la cavité thoracique est ouverte par devant dans le
plan médian, et que les poumons sont plus ou moins gonflés,
ceux-ci reposent encore dans une grande étendue sur la paroi
de la poitrine et sur le diaphragme. Si des mouvements inspira-
teurs et expirateurs violents se produisent, les poumons suivent
aussi bien la paroi thoracique que le diaphragme dans leurs
déplacements, et le volume des poumons est alternativement aug-
menté et diminué, d’où résultent des oscillations imprimées au
liquide du manomèëtre. L'animal souffre de dyspnée, ce qui doit
être mis sur le compte des longues pauses diastoliques du cœur.

Le résultat de l'expérience n’est pourtant pas entièrement négatif,
puisqu'on a vu, avant que la dyspnée se produisit, l’eau monter
régulièrement dans le manomètre. Cette ascension mérite une
attention particulière; elle prouve que l’a qui parcourt les pou-
mons éprouve une grande résistance quand on excite les nerfs
vagues, résistance qui ne peut guère être attribuée qu’au rétré-
cissement des voies parcourues, suite d’une contraction mus-
culaire.

En disposant l’expérience comme nous allons le dire, on évite
les influences pertubatrices dont il vient d’être question.

Les deux nerfs vagues d’un lapin sont isolés dans la région du

BRONCIHIQUE SUR LA RESPIRATION. A51

cou, et sous chacun d'eux on passe un fil de soie; la canule est
fixée dans la trachée, la cavité abdominale ouverte, l’œsophage
lié en deux points et sectionné entre les deux ligatures. Aussi
rapidement que possible on coupe alors successivement la veine
cave postérieure et l'aorte, et on étanche le sang au moyen d’une
éponge. Après avoir ouvert la cavité thoracique, on enlève le
diaphragme et on repousse au dehors les parois latérales de la
cage thoracique, en partie en désarticulant les côtes, en partie en
les cassant. Lorsque la canule de la trachée est ensuite reliée au
sazomètre, les poumons se gonflent régulièrement. Pour éviter
de léser les gros canaux bronchiques, on se contente de piquer
des trous dans la partie de la surface du poumon qui était
originairement en contact avec le diaphragme. La colonne d’eau
du manomètre s’abaisse et finit par s’arrêter à une différence de
pression de 68 mm. Après que les nerfs vagues ont été liés, on les
coupe au-dessus de la ligature et on excite le nerf vague de droite
(appareil de M. du Bois-Reymond, sans noyau de fer, bobines
entièrement séparées l’une de l’autre). Le manomètre remonte len-
tement jusqu'à 75 mm. Les électrodes sont alors appliquées sur le
pneugmogastrique gauche; le manomètre monte beaucoup plus
rapidement et s'élève jusqu'à 120 mm. Le liquide se maintient
quelque temps à ce niveau, puis, quand l’excitation a cessé, des-
cend lentement jusqu'à 70 mm. Immédiatement on excite de
nouveau le nerf vague gauche: ascension jusqu’à 100 mm. Après
abaissement jusqu'à 70 mm., excitation du nerf vague droit:
ascension Jusqu'à 89 mm. Excitation des deux nerfs à la fois, les
bobines se recouvrant en partie : aucun résultat. Excitation avec bobi-
nes se recouvrant entièrement et avec noyau de fer : aucun résultat.

Le décroissement rapide de l’excitabilité des organes exsangues
et mourants ne surprendra personne.

Cette expérience montre à toute évidence que l'excitation des
nerfs vagues augmente considérablement la résistance dans les
voies. aériennes, puisque la pression latérale, qui est la mesure
de cette résistance, s’est accrue de 592 mm. d’eau, c’est-à-dire,
d'environ 4 mm. de mercure,

459 TH. H. MAC GILLAVRY. L'INFLUENCE DU SPASME

Ce résultat faisait espérer qu’on obtiendrait des différences de
pression encore plus fortes, s’il était possible d'amener les pou-
mons dans l'état qui vient d’être décrit, sans que la circulation
sanguine fût interrompue. Mes tentatives en ce sens ont échoué
toutefois, et cela parce qu’une circonstance imprévue exerçait une
action perturbatrice. Le cou d’un lapin ayant été préparé comme
dans l’expérience précédente, la cavité abdominale fut ouverte,
l'œsophage coupé entre deux ligatures (la veine cave et l'aorte
laissées intactes). Ouverture de la cage thoracique; diaphragme
enlevé à laide de ciseaux et des doigts; parois latérales de la
poitrine rejetées en dehors par fracture et désarticulation des
côtes; perte de sang très faible, ne dépassant par celle d’une
incision cutanée dans le plan médian. La communication étant
établie entre la canule de la trachée et le gazomètre, l’eau est
mise en mouvement et la surface inférieure du poumon est piquée.

Il est clair qu’on doit opérer en grande hâte, vu que l'animal
est en proie à la dyspnée la plus violente et que le cœur menace
de s'arrêter tout de bon. Pour parer à ce danger, on est obligé
de cribler rapidement le poumon de piqûres, mais alors ces trous
multiphés et faits avec précipitation font perdre l’avantage qu’on
espérait obtenir. Aussi le résultat de l’excitation des nerfs vagues
a-t-il été, dans toutes les expériences de ce genre, moins satis-
faisant que lorsque les poumons étaient vides de sang. Le maximum
de la différence de pression était de 30 mm. d’eau.

Je dois encore faire remarquer que les différences de pression
se manifestent tout aussi bien quand les électrodes sont appliquées
directement sur les poumons, et que le nerf vague gauche a donné
assez constamment un effet plus marqué que le nerf droit.

Une autre expérience mérite encore d’être signalée, parce qu'elle
prouve que l’augmentation de résistance, produite par l’excitation
électrique, est la conséquence d’une action nerveuse et muscu-
laire. Le lapin était préparé comme il vient d’être dit, mais dans
le circuit du tuyau en caoutchouc, qui reliait le gazomètre à la canule
de la trachée, on avait intercalé un appareil particulier, consis-
tant en un petit flacon bien fermé. Le bouchon de ce flacon était

BRONCHIQUE SUR LA RESPIRATION. 453

traversé par trois tubes de verre: le n° 1 amenait l’air que la
pression chassait du gazomètre, le n° 2 communiquait avec la
canule, le n° 3 était assez long, pourvu d’un robinet en verre,
et terminé supérieurement par un entonnoir contenant de l’am-
moniaque liquide. Les choses ainsi disposées, et l’air traversant
les poumons, si on ouvrait le robinet, quelques gouttes de liquide
tombaient au fond du flacon et l’a envoyé aux poumons se
chargeait de vapeurs d’ammoniaque. On sait que cette substance
a condition de ne pas être trop diluée, tue les nerfs et les muscles
avec une telle rapidité que la période d’excitation ne peut être
observée. Aussi l'air chargé d’ammoniaque ne donnait-il lieu, en
traversant les poumons, à aucune ascension de la colonne mano-
métrique. Il suffisait ensuite d'enlever rapidement l'appareil à
ammoniaque et de mettre le tube à air du gazomètre en rapport
direct avec la canule de la trachée, pour que les poumons fus-
sent de nouveau parcourus par de l'air atmosphérique ordinaire.

L’excitation des nerfs vagues par des courants d’induction, forts
ou faibles, ne produisait alors plus aucun effet.

De ce qui précède, on peut conclure sans hésitation:

4°. Que l'excitation des nerfs vagues resserre les ramuscules
bronchiques au moyen d’une contraction musculaire.

2. Que, par suite de ce resserrement, le courant d’air éprouve
une résistance considérable.

La réponse est ainsi donnée à nos deux premières questions.

En passant maintenant à la troisième question, il peut être utile
de nous rappeler d’abord le mécanisme de la respiration ordinaire
et calme. Lors de l’inspiration le diaphragme s’abaisse, ce qui agran-
dit la dimension longitudinale de la cavité thoracique; les autres
inspirateurs soulèvent les côtes, d’où agrandissement de la section
transversale de cette cavité. Les poumons suivent exactement les
parois de la poitrine, l’air contenu dans ces organes augmente en
volume et, suivant le même rapport, diminue en lension. Si, chez
l’homme ou chez l’animal, on mesure, dans le nez ou dans la
trachée, la différence de pression qui existe lors de l’inspiration,
on trouve que cette différence est très petite, de 1 mm. de mer-

454 TH. H. MAC GILLAVRY. L'INFLUENCE DU SPASME

cure environ. Lorsque les muscles inspirateurs se reposent, le
diaphragme et la cage thoracique reviennent à leur état d’équi-
libre. Dans la respiration calme ordinaire, ce retour s’effectue
sans aucune aide sensible des muscles expirateurs. Les culs-de-sac
aériens des poumons peuvent alors se débarrasser, par la réaction
élastique de leurs parois d’abord dilatées, d’une partie de leur
contenu, qui s'échappe à travers les canalicules bronchiques.
Pour cet eflet, aucune pression sur la surface des poumons ne
parait être nécessaire. La différence de pression, sous laquelle
l'air se meut dans l'expiration ordinaire, s'élève, mesurée dans
la trachée ou dans le nez, à environ 4 mm. de mercure. Quant
aux différences de pression qui existent, lors de l’inspiration ou
de lexpiration, entre l’atmosphère et l'air contenu dans les
culs-de-sac des poumons, elles n’ont pu être mesurées jusqu'ici.
On peut admettre, toutefois, qu’elles sont un peu plus grandes
que celles dont 1l vient d’être question. |

Il est naturel de croire que les différences de pression qui se
produisent dans la respiration calme ordinaire sont des grandeurs
du même ordre que l’augmentation de pression latérale obtenue
expérimentalement par l'excitation des nerfs vagues. Si donc,
n'importe d’ailleurs par quelle cause, les muscles des canahcules
bronchiques sont contractés spasmodiquement, les différences de
pression ordinaires ne seront pas capables d'accomplir l'inspiration
et l'expiration dans le même temps qu'auparavant. Dans le pre-
mier de ces actes, un plus grand effort sera alors instinctive-
ment imposé aux muscles inspirateurs, c’est-à-dire que la cage
thoracique s’élargira davantage, que l’air des poumons augmen-
tera de volume et pressera proportionnellement moins. Ce sont les
culs-de-sac aériens et les ramuscules bronchiques dépourvus de
squelette cartilagimeux qui par leur dilatation agrandissent le vo-
lume des poumons. Quant aux ramuscules, on ne saurait affirmer
qu'ils soient capables de cette action pendant la durée de laccès
spasmodique. Je le regarde toutefois comme probable, parce que
la dilatation des culs-de-sac aériens doit encore aider à celle des
canalicules bronchiques adjacents. Si le diamètre du canahcule

BRONCHIQUE SUR LA RESPIRATION. 455

est M en l’absence de tout spasme musculaire et M— K dans la
période de spasme, ce diamètre deviendra M — K + U lorsque
la cage thoracique se dilatera avec énergie. En d’autres termes:
la contraction spasmodique des ramuscules bronchiques est neu-
tralisée, pour une très petite partie, durant l'inspiration.

Lors de lexpiration, c’est tout le contraire. À mesure que la
cage thoracique s’affaisse, les forces élastiques des culs-de-sac
aériens entrent en Jeu. En cas de spasme, l'air expulsé éprouve
une plus grande résistanee que de coutume, et par suite l’expi-
ration dure plus longtemps. [nstinctivement les muscles expira-
leurs sont alors appelés en aide. Par leur action, la cage
thoracique et les poumons sont comprimés, le volume des
poumons diminue. Cette diminution du volume des poumons est
évidemment le résultat de la diminution de volume des cavités
aériennes dont les parois ne possèdent pas assez de solidité pour
résister à l’action des expirateurs. Parmi ces cavités, je crois qu’il
faut compter les dernières ramifications bronchiques. Le diamètre
de ces ramuscules les plus fins sera maintenant M —K—S$,
si S désigne la réduction que le diamètre subit par suite de la
compression. La différence des diamètres des ramuscules bron-
chiques les plus déliés, en passant de l'inspiration à l'expiration,
sera donc représentée, durant l'accès de spasme, par U +S$, et
la différence des sections transversales de ces ramuscules, abstrac-

U+s
tion faite de grandeurs d'ordre inférieur, par x (M — K) OR

Ge qui précède nous amène à conclure que la gêne apportée
à la circulation de l'air se fait sentir plus faiblement pendant
Pinspiration, plus fortement pendant l’expiration. En supposant
un pommon qui expire au début du spasme, nous avons à re-
garder la durée de lexpiration comme prolongée. Avant que le
poumon se soit suffiçamment vidé, commence l'inspiration. Le
surplus anormal du contenu pulmonaire au début de l'inspiration
est peu de chose après une expiration unique, mais augmente
à chaque expiration suivante, jusqu’à ce qu'un nouvel état d’équi-
libre soit atteint, dans lequel l’air comprimé compense, par sa

450 TH. H. MAC GILLAVRY. L'INFLUENCE DU SPASME, ETC.

densité et sa vitesse plus grandes, la diminution du volume qui
peut s’écouler. L’air qui reste dans les poumons est toujours très
chargé d’acide carbonique; si sa quantité absolue augmente, la
quantité absolue d’air frais qui peut être introduite par l’inspi-
ration diminue. Le résultat sera que la ventilation des poumons
deviendra imparfaite et l’oxygénation du sang insuffisante; bref,
que la dyspnée se déclarera et que le diaphragme, pendant l’inspi-
ration, devra s’abaisser plus que dans l’état normal.

On demandera peut-être si je veux donner à ces considérations
la valeur d’une théorie de l'asthme? Telle n’est pas mon inten-
tion. Appuyé sur une base expérimentale, j'ai cherché à recon-
naître ce qui doit arriver dans l'inspiration et l'expiration lorsque
les ramuscules bronchiques sont contractés spasmodiquement.
Quant à la question de savoir si ces observations fournissent des argu-
ments pour ou contre l’une des théories courantes de l’asthme, j'en
laisse la solution à ceux qui ont eu l’occasion d'étudier des cas
nombreux de cette affection. J’espère toutefois qu'on ne m'oppo-
sera pas le: ne sulor ultra crepidam, si j'exprime la conviction
que toute théorie de lasthme devra tenir compte de ce qui a
été constaté au sujet de l’état de réplétion des vaisseaux sanguins
durant l’accès. Que des spasmes toniques puissent se produire
sans hypérémie, c’est ce qui me paraît peu probable.

UrrEcxT, Octobre 1876.

#
L'INFLUENCE

DE LA

PRESSION SUR LA TEMPÉRATURE
DU MAXIMUM DE DENSITÉ DE L'EAU

2

PAR

J. D. VAN DER WAAÏIS.

1. La température à laquelle l’eau possède sa plus grande den-
sité n'est connue, que je sache, que pour le cas où ce liquide
se trouve sous la pression d’une atmosphère. On peut se deman-
der: l’eau présente-t-elle aussi un maximum de densité sous
d’autres pressions, et la température à laquelle cela a lieu est-elle
la même que sous la pression ordinaire? Et si la question n’a
pas encore été l’objet d’une étude directe, peut-on en déduire

ul

la solution d'observations faites à un autre point de vue ? Je vais

‘essayer de montrer que la connaissance des coefficients de com-

pressibilité de l’eau, à des températures voisines de celles du
maximum de densité, nous permet d'arriver au but proposé ; nous
verrons que la température du maximum de densité dimmue à
mesure que la pression augmente, et que cette dépendance se
laisse exprimer par une formule, dans la supposition que les
coefficients de compressibilité soient déterminés avec une exacti-
tude suffisante par les expériences de M. Grassi (Ann. de chimie
et de physique, Sér. INT, t. 31).

458 J. D. VAN DER WAALS. L'INFLUENCE DE LA PRESSION

2. Avant tout, il faut donner une idée de la maniëre dont j'ai
cherché à résoudre la question.

En supposant, sous la pression ordinaire, le maximum de den-
sité à 4°, on sait qu'à des températures très peu inférieures à
4° le volume ne surpasse que de très peu celui qui correspond
à 4°, Si à cette température inférieure, par exemple à 3°,5, le
coefficient de compressibilité est plus grand qu'à 4°, amsi qu'il
résulte des expériences de M. Grassi, le volume peut être rendu
le même dans les deux cas par une augmentation de pression.
Sous la pression convenable, l’eau a alors le même volume à 4°

3°,9, et la température du maximum de densité est par
conséquent intermédiaire entre ces deux températures. Toutefois,
la justesse de cette conclusion n’est inattaquable que dans le cas
où la pression, nécessaire pour obtenir l'égalité des deux volumes,
tombe entre les limites de lexpérience par laquelle ces coefficients
de compressibilité ont été déterminés. Or, si à priori on n’est pas
assuré que cette condition soit remplie lorsque la seconde tempé-
rature diffère beaucoup de 4°, la différence peut être prise si petite
que cette certitude soit parfaitement acquise. Soient, en effet, Af
la différence de température, et f(t) le volume sous la pression
d’une atmosphère, le volume à la température { — A f sera repré-
senté par

ft—Ab=f(D—/f(DAt+ Li At? etc.

Si € est la température du maximum de densité, on a f’ (4) =0,

!
et par conséquent le volume est augmenté de : . NE etc.

Désignons maintenant par (#) les me de compressi-
bilité sous la pression de une atmosphère; à £ — A { ce coefficient
sera égal à

p(t)—p' (At + etc.

Sous une augmentation ns pression de p atmosphères, le pre-

mier volume est donc

FC) IT —p. p ()|

SUR LA TEMPÉRATURE DU MAXIMUM DE DENSITÉ DE L'EAU. 4959

et le second
O+r OR Mr Or Wa

Pour qu’ils soient égaux, on doit avoir
st _fO
12/0 ® ©

Ce résultat montre que Af peut être pris si petit que p tombe
certainement entre les limites des observations qui ont fourni les
coefficients de compressibilité. Comme œ (f) est au voisinage de
4° une fonction décroissante, œ'(t) sera négative et par consé-
quent p positive. Il est facile de voir que, dans le cas seul où
la compressibilité présenterait, elle aussi, une valeur maximum
à 4°, le résultat trouvé ne serait plus applicable.

3. Des considérations géométriques peuvent servir à élucider
ce qui vient d'être dit et à montrer que, même si l’on ne

LL

ki

460 Jj. D. VAN DER WAALS. L'INFLUENCE DE LA PRESSION

connaissait pas les résultats obtenus par M. Grassi, on aurait droit
de s’attendre à ce que les coefficients de compressibilité dussent
être différents, si l’eau, à pression égale mais à température
différente, occupe un même volume.

Les observations concernant le volume que l’eau occupe sous
l'unité de pression à des températures diverses déterminent cha-
cune, en effet, un point de l’isotherme relative à une certaine
température. Ces points sont situés sur une droite AB parallèle
à l’axe des abscisses. Le point C, qui correspond à l’eau à #,
est le plus rapproché de l’origine. Tous les autres points P appar-
tiennent à deux isothermes différentes. A moins de supposer main-
tenant que deux pareilles isothermes coïincident dans toute leur
étendue, on est obligé d'admettre qu’elles se coupent au point
commun; le contact peut se présenter comme cas exceptionnel.
Or celte supposition d'une coincidence complète ne saurait être
accueillie, si l’on réfléchit que, au moins pour les grands volumes
(volumes des vapeurs), les isothermes relatives aux deux tempé-
ratures sont des lignes tout à fait différentes.

Chacun des points en question peut donc être regardé comme
un point double, par lequel passent deux lignes qui ont, en
vénéral, des directions différentes. Et si la direction de ces lignes
est différente, le coefficient de compressibilité est naturellement
différent aussi. Le coefficient angulaire de la tangente à l’isotherme

est, en effet, égal à , Si v désigne le volume et & le coef-

— À) L)
ficient de compressibilité.
4. Puisque les lignes isothermiques sont des relations de la forme

PP; 0, t)=0,

nous pouvons les considérer comme formant un même groupe,
dont les membres ne diffèrent entre eux que par la variation d’un
paramètre £. Le cas ordinaire est que les isothermes ne se coupent
pas. Mais pour l’eau, le contraire a lieu. On peut donc alors
parier de leur enveloppe.

L’enveloppe étant la limite des points de la surface par lesquels

SUR LA TEMPÉRATURE DU MAXIMUM DE DENSITÉ DE L'EAU. 461

passent encore des courbes du groupe considéré, le point que
nous obtenons en indiquant le volume minimum sous la pression
de une atmosphère sera un point de l’enveloppe. Par conséquent,
le lieu géométrique des points qui indiquent les volumes minimum
correspondant à des pressions différentes sera l'enveloppe CDEF G
des courbes isothermiques. Comme nous ne connaissons pas ces
courbes elles-mêmes, nous pouvons les remplacer par leurs tan-
sentes, qui, ainsi qu'on l'a vu plus haut, sont déterminées par
les observations de M. Grassi; seulement, il ne faut pas perdre
de vue que le résultat ne sera assuré qu'entre les limites pour
lesquelles, d’après ces observations, l’isotherme ne peut pas être
distinguée de la tangente. Les expériences ont appris, en eflet,
que le coefficient de compressibilité ne varie que très peu avec
la pression.

9. L’équation de la tangente exige la connaissance du volume
à &° et du coefficient de compressibilité. Prenons pour le volume la
formule empirique de M. Kopp:

610,45, 77,183 PURE 0,3734 .

RCE PELERS METÉEYCS
Fe 107 "© 07 107

et pour le coefficient de compressibilité la formule empirique

8 003 + 13,185 t — 3,456 r?
Ê = ———
107

Cette dernière formule a été calculée par moi d’après les
résultats de M. Grassi, à savoir :

903
ne
515
Bis == 107
499

D — 107 k

Comme il y a évidemment entre 0° et 5° une valeur maximum
de 8, cette formule, qui fournit une valeur maximum pour
ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XII. 29

46 J. D. VAN DER WAALS. L'INFLUENCE DE LA PRESSION

t—1,9, pourra représenter les résultats avec une exactitude
suffisante entre les limites de température indiquées. Suivant
cette formule on a, en omettant 107,

=

PI
Bi 010
RL
6190075:

Attendu que v, diffère toujours peu de l'unité, nous écrirons,
au lieu de v8,, seulement £, L’équation de la tangente est alors:
1) (903 + 13,185: — 3,456 1°}

ee, 107 |
) EE 9 2 D PT 3
PAPE + 610,45 4 ee + OST (D.

D’après la théorie des enveloppes, l’équation ci-dessus doit
être différentiée par rapport à £ Il en résulte une nouvelle
équation, et par l'élimination de { entre ces deux équations on
trouve le lieu géométrique des volumes minimum. Tenons-nous-
en, toutefois, à l'équation obtenue par la différentiation ; elle
fournit, puisque » n'y entre plus, une relation entre p el t,
qui nous permet de trouver la pression pour laquelle { est la
température du maximum de densité.

Cette équation a la forme suivante:

Ei{p C4) ; 13,185—6,9124 | — 610,45 — 154,366 4 +1,19 42

ou
ee
dé
1-2 Il).
p dé QD)
dt
Elle donne naturellement p—=1 pour CA — 0; elle donne-
rait aussi p—@ pour = 0, mais alors nous en tirerions une

conclusion qui, d’après les réserves faites antérieurement, ne

SUR LA TEMPÉRATURE DU MAXIMUM DE DENSITÉ DE L'EAU. 463

serait plus justifiée. Notre équation fournit la série suivante de
valeurs.

F |
Pression en atmosphères. Température du maximum de densité.

OR nn. Le EE de
A 408
A Ne en Di

2,89 RU da ie ut Mod
Ru ee à 59,0
PR ns os à . à à 3,7
LE NE PRE PRE 3,6
A ln ve 00
RE is. . 4

Il est à peine nécessaire de faire remarquer que ce tableau
tend seulement à donner une idée de la manière dont la varia-
hion de la température du maximum de densité dépend de la pression.

Je n’ai pas poussé'le calcul du tableau au-delà de 10 atmos-
phères, parce que telle est aussi la pression la plus forte que
M. Grassi ait employée. L’exactitude de ces chiffres est d’ailleurs
entièrement subordonnée à celle des coefficients trouvés par M.
Grassi; 1ls ne peuvent donc être considérés que comme une
approximation. -

7. Nous aurions aussi pu arriver à l'équation (Il) sans faire
usage de la théorie des enveloppes, de la manière suivante.

Si dans l'équation (1) on remplace { par t + At, on obtent
une nouvelle équation, qui, combinée avec ([), permet, par
élimination de v, de calculer la pression sous laquelle le
volume est le même aux températures £ et {+ At. On connait
alors aussi, au moins quand Af est petit, la pression sous
laquelle la température du maximum de densité est égale à
t + 1 At. En faisant ensuite A { — 0, on retombe sur l'équation (II).

8. Représentons par Le la valeur limite du rapport des
ZA |

accroissements du volume et de la pression, dans le cas où
aucune chaleur n’est ajoutée ni soustraite du dehors, l'expression
29*

464 J. D. VAN DER WAALS. L'INFLUENCE DE LA PRESSION

) = — vb,
dp?ea

fait alors connaître la direction de la ligne adiabatique en un
certain point. D’après les lois de la thermo-dynamique, on trouve
facilement que £, est donné par l'équation suivante:

ni A. (0)

Dans cette équation, T désigne la température absolue, c, la
chaleur spécifique quand la pression, qui règne pour le moment,

1 IST PNR
est maintenue constante; À — 101 et (5) ont la signification
P

connue.

Comme, pour un même point de la surface, 8 a deux valeurs
différentes, suivant que la température est supérieure ou inférieure
à celle du maximum de densité, 1l suit de l’équation (a) que par
chaque point il passe aussi deux lignes adiabatiques. Même si
J'on supposait les deux valeurs de & égales, par exemple pour
3 et » degrés, les deux valeurs de 8, seraient différentes, atten-

AL | dv ‘
du que les expériences ne donnent pas pour da des valeurs
?

telles, qu’à deux températures, pour lesquelles w est le même,

ak dv 2 Q Là A vd = - —
ur E— ait également la même valeur. Si maintenant on se
meut sur la surface, suivant la ligne qui représente la pression

de À atmosphère, vers le volume minimum, l’angle compris
entre les deux lignes adiabatiques diminue de plus en plus,
pour devenir nul au point du volume minimum, où l’on a

dv |

dt
caractère d’un groupe de lignes ayant une enveloppe. Et cette
enveloppe devra naturellement coïncider avec celle des isothermes.
On voit, par ces remarques, qu'il est inadmissible que deux
isothermes puissent se confondre sur toute leur étendue. Dans
ce cas, en effet, les deux valeurs de 8 seraient bien égales, mais,
à moins de douter à la fois des résultats de M. Grassi et des

) — 0 et par conséquent 8, — 8. Ici encore on trouve le
P

SUR LA TEMPÉRATURE DU MAXIMUM DE DENSITÉ DE L'EAU. 469

résultats relatifs aux volumes à des températures différentes, les
deux valeurs de 8 seraient inégales, de sorte qu'on n’en serait
pas moins obligé de conclure à l'existence de l'enveloppe, qu’on
avait cru éviter en faisant coincider les isothermes. La seule idée
qui pourrait alors se présenter encore, à savoir que l’isotherme
de 4° est l'enveloppe des lignes adiabatiques, impliquerait cette
absurdité que, la pression croissant par voie adiabatique, l’eau
serait constamment amenée à 4°

Puisqu'on a 5, <£, la ligne adiabatique s’élèvera en chaque
point plus fortement que lisotherme de ce point; l'enveloppe
ayant été trouvée ci-dessus au moyen de lignes droites, les lignes
adiabatiques, qui d'abord tendent moins rapidement vers l’enve-
loppe, devront donc plus tard s’infléchir vers elle avec plus de
rapidité. Par conséquent, si les isothermes peuvent être comparées
à des lignes droites, les lignes adiabatiques devront être regar-
dées comme courbes.

9. Deux températures étant possibles en chaque point de la sur-
face, l’état de la matière n’est pas déterminé sans équivoque. On peut
rendre cet état complétement déterminé en regardant la surface
comme formée de deux surfaces amenées à coincidence, de même
que les deux nappes d'une surface réglée développable peuvent
être amenées par le développement à s'étendre sur un même plan,
auquel cas l’arête de rebroussement devient l'enveloppe de tous
les groupes de courbes qui sur la surface réglée étaient tangentes
à l’arête de rebroussement en des points successifs. On peut alors
distinguer une nappe supérieure et une nappe inférieure. Chacune
des lignes isothermiques et adiabatiques, qui sont tangentes à
l'enveloppe, appartient pour une partie à la nappe supérieure, et
pour l’autre partie à la nappe inférieure. Le passage se fait sur
l’arête de rebroussement. Comme alors, à volume égal et à pres-
sion égale, les deux points tombent sur des nappes différentes,
on ne peut parvenir d'un état à l’autre sans passer par des états
intermédiaires réels.

Si lisotherme de 5°, qui ne serait tangente à l'enveloppe que
pour une pression négative, c’est-à-dire dans des circonstances

466 Jj. D. VAN DER WAALS. L'INFLUENCE DE LA PRESSION

irréalisables, est supposée située sur la nappe supérieure, celle de
4° s’étendra aussi, pour toute pression dépassant 1 atmosphère,
sur cette nappe supérieure, mais celle de 3°,5 s’étendra, pour
les pressions au-dessous de 10 atmosphères, sur la nappe inféri-
eure. La dilatation est alors positive pour les points de la nappe
supérieure, négative pour ceux de la nappe inférieure. Si donc,
à 9°, par exemple, on comprime l’eau par voie isothermique,
on commence sur la nappe inférieure, où la dilatation est néga-
tive; plus tard, en D, on arrive sur la nappe supérieure, où la
dilatation est positive. La même remarque s'applique aux lignes
adiabatiques tangentes à l’arête de rebroussement. Partant de ja
nappe inférieure, on finit, en les suivant, par passer sur la nappe
supérieure.

10. Pour la compression par voie adiabatique on a la relation

(DE
dt AT (S).
dt

Si la compression commence, en partant de 1 atmosphère, à

dt |

adiabatique traverse par conséquent des isothermes de température
de plus en plus haute; elle n'a aucun point commun avec l’arête
de rebroussement. |

Si l’on part tout juste de la température du maximum de den-
sité, la ligne adiabatique présente à son origine un élément commun
avec l’arête de rebroussement et avec l’isotherme, mais à une
pression plus élevée, où la température du maximum de densité

fe d PE
s’est abaissée, on a a > 0, de sorte que la ligne adiabatique

, pis dv |
des températures supérieures à 4°, on à (°) > 0, et la ligne
p

passe de nouveau à des isothermes supérieures.

Dans l'hypothèse où l’arête de rebroussement n’existerait pas, et
où par conséquent la température du maximum de densité serait
constante, toute pression exercée sur l’eau à 4, si forte qu'on
la suppose, devrait avoir lieu sans accroissement de température.

SUR LA TEMPÉRATURE DU MAXIMUM DE DENSITÉ DE L'EAU. 407

Lorsqu'on commence à comprimer à des températures au-des-
sous de 4°, deux cas peuvent se présenter, suivant que, par le
point de départ, on peut mener une ligne adiabatique qui soit
tangente à l’arête de rebroussement du côté des pressions posi-
tives ou du côté des pressions négatives. Ne connaissant, d’une
manière approximative, qu'une petite. partie de l’arête de rebrous-
sement, nous ne saurions indiquer où se fait le passage d’un de
ces cas à l’autre. Mais, si l’on commence à des températures très
peu inférieures à 4°, on peut s'attendre au premier des deux
cas. Commence-t-on par exemple, sous la pression atmosphérique,
à comprimer adiabatiquement de l’eau à 3°,9, alors la tempéra-
ture s’abaisse d’abord, parce qu'on à (#} < (0. La ligne adia-

P
batique s’écarte alors, plus que lisotherme passant par le même
point, de l’arête de rebroussement. Mais, la pression augmen-
tant, le point de contact est atteint, qui sera toutefois situé plus
haut que le point de contact de l’isotherme susdite. La ligne
adiabatique est donc restée plus longtemps sur la nappe inférieure,
el a passé, avant d’attemdre l’arête de rebroussement, sous l’iso-
therme, qui était déjà passée sur la nappe supérieure. Au point
de contact avec l’arête de rebroussement, elle a de nouveau un
élément commun avec une isotherme de température plus basse.

À partir de ce point elle passe sur la nappe supérieure, =

devient > 0 et par conséquent la température recommence à croître.
Nous avons vu ci-dessus qu'il pourrait y avoir une limite à
labaissement que la température du maximum de densité subit
à mesure que la pression augmente, limite qui, si la formule
(II) du $ 6 méritait encore confiance pour une pression infinie,
serait située vers la température de 42,9, à laquelle l’eau sous
la pression atmosphérique présente le plus de compressibilité ;
nous aurions donc alors le second des deux cas précités en fai-
sant commencer la ligne adiabatique, pour la pression atmos-
phérique, au-dessous de cette température. Dans ce cas, en effet,

d'u en à
…) est toujours négatif, et par conséquent la température
P

468 J. D. VAN DER WAALS. L'INFLUENCE DE LA PRESSION

s’abaisse d’une manière continue sous l'influence de la compres-

sion. La même chose, toutefois, peut avoir lieu à des tempéra-

tures un peu supérieures à 19,9. La particularité propre au

premier cas ne peut donc, toujours dans la supposition que 10,9

soit la valeur limite de la température du maximum de densité,

être attendue avec certitude qu'au voisinage immédiat de 4.
11. L’équation (Il) du $ 5, écrite ainsi:

=) dan NID __ 610,45 + (p — 1) 13,185

Mer

107 | 107
“l 114832 (p41)8 256 ra 0,3734,,
107 10210

donne, pour une valeur constante de la pression p, le volume
en fonction de {. On trouve alors:

(He RARES 154,366-+(p—1)6,912, 1,121.
dE 10 TRS 107 10:

Pour le volume minimum apparent dans le verre, on doit

.. fdv “+ :
avoir (7) — 4, expression où g désigne le coefficient de dila-
?

tation du verre sous la pression p, lequel coefficient peut toute-

fois être regardé, si la pression n’est pas excessive, comme égal
à celui sous la pression atmosphérique, puisque, d’après les
résultats obtenus par M. Grassi, le coefficient de compressibilité
du verre varie peu avec la température.

En posant g = on trouve que ce volume minimum

107
correspond, sous la pression ordinaire, à environ 5°,8, maïs,
sous la presson de 7 atmosphères, à environ 9°.

Ce résultat m'a paru, en attendant des méthodes plus directes,
se prêter le plus facilement à une vérification provisoire. J'ai.
fait usage pour cela du piézomètre d’Oersted, et J'ai cherché,
sous la pression ordinaire et sous celle de 7 atmosphères, la
température à laquelle l’eau, dans le réservoir de verre ordinai-
rement employé pour le piézomètre, présente un volume appa-
rent minimum.

SUR LA TEMPÉRATURE DU MAXIMUM DE DENSITÉ DE L'EAU. 469

Pour que la température restât aussi constante que possible
durant chaque expérience, le piézométre était lui-même placé
dans un vase contenant de l’eau, dont la température était rendue
égale à celle qu’on devait avoir dans le piézométre. Deux ther-
momètres fixes dans le piézomètre, l’un en bas, l’autre en haut,
servaient à faire connaitre, par l'égalité et la constance de leurs
indications, si la même température régnait en tous les points.
Lorsque l’eau du réservoir en verre s’était arrêtée à une position
fixe, on notait celte position, d'abord sous la pression ordinaire,
puis après compression. Il était difficile, à chaque température
nouvelle, de rendre la pression toujours la même. Or, une léoère
erreur dans cette pression ayant une grande influence, les chiffres
suivants, fournis par mes expériences, ne doivent être considérés
que comme des résultats approchés:

Index du réservoir
ER

£. à la pression ordinaire à 7 atmosphères.
0,1 102,9 91

2,8 96 83,9
4,1 94 82

9,1 3 95,2 81,9
9,4 1 82

6,1 93,1 82

1
)

Une seconde série d'observations a donné des résultats presque
entièrement identiques. Et, bien que ces résultats ne permettent
pas d'indiquer avec précision à quelle valeur de # correspond le
volume minimum, ils peuvent pourtant être regardés comme
une confirmation provisoire de cette conclusion; que la tempé-
rature du volume minimum de.leau est, sous une pression
supérieure, plus basse que sous la pression ordinaire.

La Haye, décembre 1876.

‘) Comme on emploie, dans la formule (1), la valeur de £ qui est déduite
des observations faites entre 0° et 4°, cette formule ne peut être appliquée quand
on s’écarte beaucoup de ces limites. Le fait que, dans mes expériences, la com-
pressibilité à été trouvée plus grande à 2°,8 qu'à 0° et qu'à 4°, est d’accord
avec le résultat obtenu par M. Grassi.

NOTICE

SUR UN

SYSTÈME DE COLORIAGE DES CARTES
GÉOLOGIQUES,

PAR

JULES HUGUENIN
Ingénieur des mines.

(Planches IX, X et XI).

Aucun géologue ne désavouera une tentative, quelque faible
qu'elle puisse être, ayant pour objet de colorier les cartes géolo-
giques d’après un principe raisonné et plus ou moins logique !).

En effet, si claire que soit sur une carte géologique l’indica-
tion des divers terrains par l’emploi de couleurs tranchantes, la
lecture de la légende explicative demande toujours une application
spéciale et souvent ennuyeuse, — témoin la grande carte géolo-
gique de la Suisse, où l’on a vainement tâché d'indiquer avec
clarté plus de deux cents subdivisions de terrains, par autant de
signes et de couleurs.

Bien qu'on ait admis quelquefois pour certains terrains des

couleurs conventionnelles, — /e noir pour indiquer le terrain
houiller productif, Le Lleu pour le calcaire de montagne, Le ver-
maillon pour les roches trachytiques etc. ?), — cette convention

1) Von Cotta dit dans ses ,,Geognostische Karlen unseres Jahrhunderts”, p.4.
Es wäre sehr gut wenn man sich von der Zeit an, in welcher man anfing
geognostische Karten zu coloriren, über bestimmte Principien geeinigt hätte.”

2) Voyez p. e. l'ouvrage cité de Von Cotta, p. 5; ensuite la carte géologique
de l’Zwrope et celle de la Belgique par A. Dumont; la carte géologique de l’4/-
lemagne, de la France, de l'Angleterre et des pays limitrophes par le Dr. Von
Dechen, Berlin, 1869; J. Marcou, carte géologique de la Terre; etc. etc.

JULES HUGUENIN. NOTICE SUR UN SYSTÈME, ETC. 471

est loin d'être généralement adoptée, comme le montre, par
exemple, la couleur 2?’ des terrains houillers productifs sur la carte
de la Prusse Rhénane de M. von Dechen.

Sur cette carte aussi on a voulu représenter plus de 70 for-
mations par une cinquantaine de nuances de couleurs: le succès
n'a pas été complet, car la couleur c* (calcaire à cérites) ne dif-
fère pas essentiellement de la couleur d7 (le gault); la même
concordance se retrouve entre e’ (le grès du weald) et (les
schistes cuprifères); entre f? et g°; etc. !).

Un autre point à considérer est celui des frais d'impression,
quand la carte est destinée à être reproduite par un procédé
chromo-lithographique quelconque. Chaque pierre à couleur de-
mande un déboursé, et le choix des couleurs fait par l’auteur
d’une carte géologique n’est nullement indifférent à l'éditeur ;
si c'est à celui-ci que ce choix est abandonné, il est plus que
probable que les vues de l’auteur re seront pas suivies exactement.

Ce n'est pas ici le lieu d’énumérer les avantages que présen-
terait à la science une convention internationale concernant la
manière de colorier les cartes géologiques: ces avantages seraient
en proportion aussi grands que ceux qui furent obtenus lorsqu'on
commença à dresser les cartes géographiques d’après une même
projection topographique.

Il va sans dire que le système proposé ne sera pas applicable
à toules les espèces de cartes géologiques, car, là où l’auteur
lui-même n'a pas su classer son terrain dans un groupe connu,
la légende ne pourra jamais fournir de plus amples éclaircissements.

Dans le cas ci-dessus, ou quand on voudra donner une carte
séologique contenant une multitude de subdivisions de terrains, —
carte généralement dressée à une grande échelle, — l’auteur devra
avoir recours à certaines combinaisons, dont il sera parlé plus loin.

:) Sur la belle carte géologique de /4 Bavière par M. Guembel , on rencontre
les mêmes difficultés, quoique à un moindre degré. Discerner le grès bigarré
du keuper inférieur des Alpes, et cette dernière formation du terrain num-
mulitique, sans faire attention aux lettres, sera malaisé, même pour l'œil le
moins achromatopsique du monde.

472 JULES HUGUENIN. NOTICE SUR UN SYSTÈME

Revenant au sysième que je me propose d'expliquer, je remar-
querai que j'ai suivi la méthode ordinaire de division des roches
en trois groupes principaux, savoir: 1°. les masses éruptives, com-
prenant les roches plutoniques et volcaniques, 2°. les formations
nepluniennes proprement dites, et 3°. les roches métamorphiques.

Les terrains appartenant au premier groupe sont indiqués par
une couleur ‘) ou une teinte autant que prossible égale (1) ?).
Ceux appartenant au second groupe sont représentés par un
système de lignes parallèles, striées, ondulées, pointillées, de
files de petites croix ou de points, ete. (3). Le troisième groupe,
présentant un caractère mixte de formation éruptive et sédimen-
taire, est marqué d’après la nature de ces roches, donc par la
combinaison d’une teinte dite égale et d’un système de lignes
parallèles (4). |

Un quatrième groupe, qu’on pourrait appeler ,,roches méta-
morphiques impropres” et auquel appartiennent les conglomérats,
les brèches et surtout les tufs, est indiqué par un système de.
points de diverses grandeurs distribués d’après certaines règles. (2).

De cette manière, on a tàché de classer les roches géognostique-
ment et d'en rendre la distinction possible au premier coup d'œil.

Les roches éruptives sont divisées, d’après le système du Dr. Senft ?),

1) On comprend ici par ,temte ou couleur autant que possible égale”, une
teinte résultant de l'effet produit par un système de lignes parallèles ou entrecroi-
sées, très-fines et très-serrées, obtenu au besoin par l’application d’une couleur
sur elle-même ou sur une ou deux autres.

2) Les chiffres romains du texte correspondent aux numéros des spécimens
de gravure sur les trois tableaux joints à cette notice (Planches IX, X et XI).

#) J'ai suivi la classification de M. Senft, parce qu'il m'a paru que, parmi
tous les systèmes de division en groupes, celui-ci satisfait le mieux au
besoin actuel. Rien n'empêche pourtant d'adopter un autre plan de classifica-
tion, dans lequel, par exemple, l’âge relatif des roches, après une étude tout
à fait spéciale de cette branche de la Géologie, serait le guide. De même, on
pourrait suivre la manière de voir de MM. Zirkel, Naumann, Vogelsang,
Credner, ete. Il est bien clair que, quant à la lecture d'une carte géologique,
il est parfaitement indifférent que tel ou tel système de division ait été choisi;
seulement, l'indication d’un trop grand nombre de subdivisions de terrains serait
quelquefois fatigante et paraît ne pas répondre au but que l’auteur se propose.

DE COLORIAGE DES CARTES GÉOLOGIQUES. 473

en sept catégories principales, dont les subdivisions sont mar-
quées par des lettres et surtout par des signes imprimés en noir.

Ainsi on rend le granite et la syénite par la même couleur —-
carmin simple, — mais on place dans l'indication du granite la
lettre G et le signe x, et dans celle de la syémite la lettre S et
le signe ».

On imprime les lettres et les signes en trois grandeurs: la
plus grande lettre indique l’éruption ou l'apparition la plus recu-
lée, les lettres de moyenne grandeur indiquent les éruption pos-
térieures, et la petite lettre les éruptions récentes. Le grand signe
x, par exemple, indique la structure porphyroïde, le signe x
de moyenne grandeur la structure ,,à grains moyens”, tandis que
le petit x accuse une composition dite ,,à grains fins”.

Grâce à l'impression de lettres de diverses grandeurs et de
lignes de démarcation neltement tracées, on peut apercevoir de
suite, par exemple, sur la carte géologique du royaume de Saxe
dressée par M. Naumanr, l’âge relatif des porphyres, le fait que
le porphyre a percé à travers le granite et que l'inverse n’a pas
eu lieu, etc.

On voit donc qu'il est facile d'indiquer l’âge relatif des roches
éruplives entrecroisées, chose importante surtout quand ces
masses appartiennent à une même famille (les porphyres de
Saxe p.e.), ou qu’elles ne présentent que peu de différence
entre elles.

Les sept catégories de roches éruptives proprement dites sont
représentées par les couleurs suivantes 1):

1) On à adopté trois couleurs fondamentales, le carmin clair (1), le jaune
clair (2) et le bleu clair (3). En prenant chaque couleur séparément, en la
combinant avec elle-inême une ou deux fois, ou en les joignant ensemble, on
obtient dix-neuf couleurs ou nuances de couleurs. Deux systèmes de stries croisées
carmin clair (1) produisent ainsi le carmin simple (1 + 1), tandis qu’une com-
binaison de trois systèmes de stries produira le carmin foncé (1 +1 +1). De
même on obtient, par une combinaison de deux stries bleues et une rouge,
le violet bleuâtre (1 + 3 +3); etc.

r-

47 À JULES HUGUENIN. NOTICE SUR UN SYSTÈME

10. 4 +1)

29. (1 + 2)

90. (+1+5)

49, (1 +5 + 5)

50, (2+9+3)

60. (2 + 8 +5)

1. (3 +58 +3)
À ces sept classes on a joint trois autres roches plutoniques,
_ qui peut-être seraient mieux appelées ,,schistes éruptifs”:

carmin simple
orange pur
violet rougeûtre
violet bleuâtre
vert jaunâtre amphibolites (9)
vert bleuâtre — diabasites (10)
bleu foncé — mélaphyrites (11)

orthoclasites (5)
sanidinites (6)
hypérites (7)
basaltites (8)

8. (1+9 +3) — brun neutre
90. (2 + 9) — jaune simple
100 ( +1 +1) — carmin foncé

sulpnolites (12)
quartzites (13)
serpentinites (14)

elle

Enfin, on y a rattaché également quatre autres divisions, qui
par leur origine semblent ne pas appartenir aux formations nep-
tuniennes, ou, du moins dont la provenance reste problé-
matique:

LAS) — bleu clair — roches calc. prim. (15)
190, (3 + 3) — bleu simple — id. de dolomie (16)')
139. (2 +3) —= VE LMpUur — marnes (17)

149 ( +1+2) — orange rougeàtre = argiles prim. (18) ?)

Il n'a pas paru nécessaire d’énumérer les variétés de roches
comprises dans chacune des quatorze catégories précédentes; on
trouvera ces détails dans la ,, Classification und Beschreibung der
Felsarten” du Dr. F. Senft, Breslau, 1857.

On désigne, comme nous l’avons dit plus haut, les variétés
par des lettres et des signes, — tels que g (granite), gt (granu-

1) Quoiqu'on doute de plus en plus de l’existence d’une formation primitive
de dolomie, il n’y a rien de prouvé à cet ne (voyez Zirkel, Lehrbuch der
Petrographie, tome [, page 243).

2) Peut-être cette roche serait-elle appelée à meilleur titre; ,,schiste argilo-
calcaire de la formation argileuse primordiale. (Voyez Naumann, ZLehrbuch der
Geognosie, tome Il, page 144). Les groupes 11—13 disparaîtront probable-
ment au fur et à mesure que les roches trouveront leurs vraies places dans
une des formations primaires,

DE COLORIAGE DES CARTES GÉOLOGIQUES. 475

lite), gn (greisen), go (gabbro), etc., et les signes >< v A 7 X,
ou d’autres pris à volonté !).

De plus, on imprime la couleur sans signe aucun si la roche
est une formation soi-disant ,,simple” ?); ainsi on ne placera pas
de signe dans la serpentine proprement dite, dans les roches
calcaires et dolomitiques, dans la roche de quartz proprement
dit, la marne, etc.

Si la roche présente une structure stratifiée ou lamellaire (le
oneiss, les schistes dioritiques, les quartz schisteux, etc.), non-
seulement on imprime sur la couleur les signes conventionnels,
mais on la traverse encore d’un système de lignes noires verti-
cales, parallèles, très minces et assez espacées (19—22).

Les roches éruptives stratifiées ou schistoïdes, indiquées comme
on vient de le dire, sont essentiellement distinctes des schistes
métamorphiques proprement dits et du gneiss à caractère neptu-
tunien bien accusé. Ceux-ci, provenant d’une action plutonique

les formations sédimentaires, seront donc marqués par les
deux désignations combinées.

Ainsi on désignera le gneiss provenant de l’action du granite
sur le grès silurien, du diorite ou du diabase sur le même grès,
par une combinaison de la légende de ces roches éruptives et
sédimentaires, toutefois sans y imprimer le signe conventionnel
de la roche éruptive (23—25): le signe est indépendant de la
roche mère, mais indique la nature du produit, soit > pour le
schiste talqueux, ou v pour le schiste micacé, etc.

On voit par là que non-seulement on peut distinguer d’une
manière simple le gneiss éruptif du gneiss provenant d’une méta-

:) Il serait avantageux d'attribuer à chacun des principaux minéraux que
contiennent les roches éruptives un signe particulier, comme X pour l’orthose,
+ pour l’albite, ete. Mais pour cela il faudrait pouvoir disposer d’une trentaine
de signes, dont la lecture présenterait de sérieuses difficultés.

2) Des roches de composition simple ne se trouvent que très rarement dans
la nature. Il est donc évident qu'il faut attribuer au mot ,,simpie” un sens
assez large, puisqu'on y a compris même les marnes primitives — si toutefois
il en existe!

476 JULES HUGUENIN. NOTICE SUR UN SYSTÈME

morphose de couches de grès ou de schiste, mais encore qu'il
est facile d'indiquer l’âge relatif du gneiss, et de marquer au
besoin le gneiss dioritique ou le schiste talqueux etc. résultant
d’une roche éruptive quelconque !).

Par écrasement, pulvérisation, transport, décomposition et recon-
struction, naissent les cailloux roulés, les conglomérats, les brèches
et les tufs, qu’on représente par des petits points ou des mouche-
tures de la couleur de la roche originelle, tandis que les lettres
ca, co, b. t, etc. marquent la forme pétrographique sous laquelle
ces dépôts se présentent. De cette manière nous indiquons le conglo-
mérat de schiste micacé (26), le tuf de wacke de basalte (27),
la brèche de quartz schisteux (28) et la brèche de svénite (29).

La grandeur relative des points dépend du nombre de fois qu’on
a employé la même couleur dans l’impression des hachures; de
là trois diverses grandeurs de points.

Les laves ne sont pas des produits d’écrasement, mais des
roches provenant de coulées de masses en fusion, et qui par con-
séquent offrent un caractère plutonique incontestable: ce sont
des espèces de basalte, de dolérite, de trachyte, etc. Comme elles
naissent toujours d’un cratère et présentent une coulée, on les
indique dans la masse environnante par des lignes de contour
nettement tracées, entre lesquelles on place une petite flèche.
Exemples: lave de domite sur andésite (30), lave phonolithique
sur phonolithe (31), lave de basalte sur dolérite (32).

1) Comme on le sait, le nom de ,.gneiss” est ordinairement appliqué à une
roche métamorphique provenant de l’action modifiante du granite sur des dépots
aqueux quelconques, action par laquelle le granite prend un caractère schisteux
et le dépôt aqueux devient cristallin. Mais les porphyres et les ,.grunstein ”, en
sens général, font aussi naître des formations parallèles, qu'on a coutume
d'appeler p.e. schiste dioritique ou diorite schisteux. Voyez Naumann, Geognosie,
Tome I, page 793; Naumann, Geologische Beschreibung des Kônigreichs Sach-
sens, 1ste Hleft, pag. 102; 2e Heft. pag. 96; 3e fleft, pag. 276, etc.

DE COLORIAGE DES CARTES GÉOLOGIQUES. 477

L'indication des roches neptuniennes enfin, quoique en appa-
rence plus compliquée, peut être réduite à des formes bien sim-
ples, quand on divise ces formations en groupes suivant un système
quelconque.

Comme les roches en question présentent toutes une apparence
plus ou moins stratifiée, ou les a représentées par des plans
hachés, par des lignes droites, ondulées, entre-coupées, poin-
ullées, etc.

Les lignes sont dressées verticalement pour les terrains pri-
maires, inclinées à droite où à gauche pour les terrains secon-
daires et tertiaires, et horizontales pour les couches quaternaires
(33—36): des indications plus circonstanciées sont données, à ce
sujet, par les figures 37 à 40 de nos tableaux.

Les quatre couleurs : rouge, jaune, bleu et gris, sont destinées
à faire connaître le caractère pétrographique dominant de la roche.
On propose d'employer le rouge quand les assises sont essentiel-
lement argileuses, le jaune quand elles sont quartzeuses, le bleu
quand elles sont calcaires, et le gris si la couche ne rentre dans
aucune des trois catégories précédentes (33—36) !).

Les diverses couches d’argile, de pierre calcaire etc., apparte-
nant à une même formation, sont indiquées par le même système
de lignes, continues, entre-coupées, pointillées, etc. Les lignes
des diverses subdivisions diffèrent seulement entre elles par l’épais-
seur et la distance (41--46) ?).

Si lon ne peut assigner à un terrain une place déterminée
dans le cadre des formations groupées par ordre chronologique,

:) Aïnsi il faudrait colorier l'argile quartzifère en rouge, le grès argileux en
jaune, et les roches où ne prédomine ni le quartz, ni l'argile, ni le calcaire,
en gris.

2) Les lignes sont tracées en partant d’une distance d’un demi-millimètre
et d’une épaisseur d’un dixième de millimètre. On a figuré sous le n° 48,
comme exemple, les subdivisions du trias qui se trouvent sur la carte géolo-
gique de la Bavière, dressée par l’Inspecteur des mines Guembel: à droite est
reproduite la partie correspondante de la légende de cette carte, et à gauche les
mêmes subdivisions sont représentées d’après le système qui vient d’être exposé.

ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XII. 30

L"

AT8 _ JULES HUGUENIN. NOTICE SUR UN SYSTÈME

— comme cela est le cas, par exemple, pour la plus grande partie
des terrains sédimentaires de l’île de Bangka, — nous proposons
de le rendre par une combinaison des légendes des terrains parmi
lesquels il peut être rangé; — ainsi, pour l'ile de Bangka, par
une combinaison de lignes continues, de lignes entre-coupées et
de lignes pointillées, toutes dressées verticalement (47).

Quand les conglomérats, brèches, etc. naissent de formations
neptuniennes, on les désigne par l'indication des couches dont
ces conglomérats etc. sont originaires, en y plaçant des points
de même couleur.

Les couches productives de houille sont représentées par un petit
trait noir, assez épais, sur lequel on place perpendiculairement
une petite flèche. On trace le trait de houille suivant l’azimut de
la direction moyenne de la couche, ayant soin de marquer par
de petits chiffres l’azimut et le nombre de degrés d’inclinaison;
les couches dressées verticalement ont deux flèches.

Si la direction de la couche est inconnue, on place la ligne
de houille verticalement, sans chiffres d’azimut; deux ou un plus
grand nombre de couches seront rendues par deux signes de
houille (55).

Les localités où l’on trouve des fossiles sont indiquées par une
petite figure d'os, de poisson, de coquille ou de feuille, selon
la nature zoologique ou botanique des fossiles (56).

Les endroits où l’on rencontre des minéraux utiles sont mar-
qués par un astérisque. Là où il y a des minérais exploitables, on
les indique par des signes conventionnels, — soit Ç pour l'or, etc. —

BaTaAvIA. 25 avril 1877.

Il me parait clair que, dans ce dernier tableau, on peut discerner au premier
coup d'œil 10. que les couches appartiennent à la même formation: 20. qu'on
y trouve cinq couches calcifères, deux argileuses, une seule quartzifère et deux
de nature mixte; 30. que la couche kl, par exemple, a été déposée avant la
formation de la couche ku. La couche argilifère inférieure est bien mentionnée
_dans le texte de M. Guembel, mais ne se retrouve pas sur Le tableau des couleurs.

DE COLORIAGE DES CARTES GÉOLOGIQUES. 479

NOTES POUR LE LITHOGRAPHE.

1°. Le procédé chromo-lithographique. doit être appliqué avec
des couleurs non transparentes. |

29, Quand on veut imprimer deux ou trois systèmes de hachures
lun sur l’autre, la distance des hachures doit être rigoureuse-
ment observée, — et de même quand on n'emploie qu’un seul
système. La distance des hachures doit être le double de l’épais-
seur de la ligne hachée: par ce moyen on obtient presque mathé-
maliquement: avec un seul système de rayures 4 de couleur et
7 de clair, avec deux systèmes de rayures % de clair et % de
couleur, et avec trois systèmes de rayures 4 de clair et % de
couleur.

9. Quand on n'imprime qu'un seul système de lignes paral-
lèles, les lignes sont horizontales. Emploie-t-on deux systèmes,
alors les hachures, entre-coupées sous des angles droits, sont
dressées de droite à gauche et de gauche à droite; avec trois
systèmes, on combine le système à deux hachures avec des lignes
horizontales. |

4%, On imprime d’abord la pierre bleue, puis la pierre rouge,
puis la pierre jaune et enfin la pierre grise.

9°. Les nuances jaunes doivent être les plus prononcées; la
couleur rouge doit être moins forte, puis successivement le bleu
et le gris.

6°. L'artiste lithographe doit s'appliquer particulièrement à bien
choisir l'intensité des couleurs, de manière que leurs combinaisons

forment les tons les plus purs et les nuances les plus agréables;
90 *

480 JULES HUGUENIN. NOTICE SUR UN SYSTÈME, ETC.

en d’autres termes, l’intensité du bleu doit être telle qu'il pro-
duise avec le rouge un violet pur.

70. Les lignes verticales des roches métamorphiques et les signes
des masses éruptives (v >etc.) doivent être tracés aussi minces
que possible, sans toutefois être assez fins pour nuire à la clarté
de la légende. On pourrait essayer d'imprimer ces lignes et les
signes et lettres en couleur grise, ce qui laisserait la pierre noire
entièrement libre pour la légende géographique.

PROGRAMME

DE LA
Société Hollandaise des Sciences, à Harlem.

ANNÉE 1877.

La 195ième réunion générale de la Société a eu lieu le 19
mai 4877. i

Le Directeur-Président, Jhr. G. F. van TETs, ouvre la séance
par un élégant discours, dans lequel il rappelle aux Membres
que la Société a cette année l'avantage de célébrer le 125e anni-
_versaire de sa fondation. À cette occasion, il retrace en traits
rapides lhistoire de la Société, et montre comment, à l’origine
simple centre de réunion pour quelques habitants de Harlem qui
avaient le goût des études scientifiques, elle est parvenue succes-
sivement à un haut degré de prospérité. En parcourant les
procès-verbaux des réunions, dont la collection complète figure
aux archives, il a été particulièrement frappé de ce que, à l'inverse
de beaucoup d’autres institutions analogues, entravées dans leur
développement ou même atteintes dans leur existence par les

II PROGRAMME 1877.

troubles politiques, la Société hollandaise n’en a jamais subi le
contre-coup. Il attribue cet heureux privilége à deux causes prin-
cipales: d’abord, à lesprit vraiment scientifique et à l'absolu
respect de lopinion individuelle en matière de politique, de religion
et de science, qui ont toujours prévalu chez les. directeurs et
chez les membres; ensuite, à la libéralité éclairée avec laquelle
en toutes circonstances, les directeurs ont encouragé les recher-
ches scientifiques. Le Président exprime l'espoir que la Société,
en restant fidèle à ces deux principes, verra croître, dans l’avenir
comme dans le passé, sa prospérité et son influence. En termi-
nant, il consacre quelques paroles sympathiques à la mémoire
de MM. J. ne Bosc KEMPER, membre national, E. EicHwaLp
de St. Pétersbourg, GC. G. EHRENBERG de Berlin, K. E. von BAER
de St. Pétersbourg, W. SARTORIUS VON WALTERSHAUSEN de Goet-
tngue et W. Hormeister de Tubingue, membres étrangers, tous
décédés dans le courant de la dernière année. |

Il est donné connaissance à l’Assemblée de la décision par
laquelle les directeurs ont accordé une subvention de 500 florins
à la Commission qui s’est donné pour tâche de provoquer l’équi-
pement d’une expédition néerlandaise-à la Nouvelle-Zemble et en
d’autres points intéressants des régions arctiques. La Société est
aussi intervenue dans les frais du manument à élever, à Wurz-
bourg, en l’honneur de notre ci-devant compatriote, feu PH. von
SIEBOLD, le voyageur bien connu auquel on doit de riches col-
lections de plantes et de documents ethnographiques du Japon.

À l'Exposition internationale de Philadelphie, en 1876, la
Société a été couronnée pour l'envoi de ses publications et pour
l'appui énergique qu’à partir de sa fondation, en 1792, elle a
prêté à ceux qui cultivent les sciences.

La publication des Archives néerlandaises des sciences exactes
et naturelles a continué réguliérement; les nos 4 et 5 du Tome
XI et 1 et 2 du Tome XII ont paru depuis la dernière réunion
générale. | |

Aucun mémoire n’a été reçu cette année en réponse aux ques-
tions mises au Concours.

PROGRAMME 1877. II

L'assemblée nomme membre national de la Société:
M. E. van DER VEN, directeur de l'Ecole supérieure de Harlem ;
et membres étrangers: : |
M. M. J. Sacus, professeur de botanique à Wurzbourge,
CLAUDE BERNARD, professeur de physiologie à Paris,
CG. Näcezr, professeur de botanique à Munich,
T. H. HuxLey, professeur de zoologie à Londres, ct
Ch. R. Darwin, à Down (Beckenham, Kent).
La Société met au concours les questions suivantes, en fixant
le terme de rigueur au

ler janvier 1879.

Ï. On demande des expériences exactes sur la condensation de
différents gaz à la surface des corps solides à des températures
diverses. |

IL. Le décroissement graduel de la température dans les couches
successives de l’atmosphère ne parait pas être le même à toutes
les latitudes géographiques. Communiquer de nouvelles détermi-
nalions à ce sujet.

IT. Faire de nouvelles recherches expérimentales sur l’influence
que les racines des plantes exercent sur la décomposition des
matières organiques dans le sol, |

IV. Etudier expérimentalement les diverses propriétés physiques
du produit nouveau appelé verre dur, comparées à celles du verre
ordinaire. F

V. On demande un travail pouvant contribuer à faire connaître
l’état thermique du Soleil.

VI. Soumettre à de nouvelles recherches les phénomènes d’assimi-
lation chez les Champignons supérieurs.

VIL On demande la monographie d’une espèce encore peu
étudiée prise parmi les animaux marins inférieurs.

VIIT. Donner la théorie mathématique du vol des Oiseaux.

IV © PROGRAMME 1877.

La Société rappelle les questions suivantes, pour 5 le
concours sera fermé le

ler janvier 1878.

I. On demande des recherches exactes concernant le pouvoir
dissolvant de l’eau et de l’eau chargée d’acide carbonique pour
le gypse, le calcaire et la dolomie, à des températures et à des
pressions différentes, et dans le cas de la présence simultanée du
sel marin et d’autres sels solubles très répandus dans la nature.

IL On demande des recherches exactes concernant le pouvoir
dissolvant de l’eau et de l’eau chargée d’acide carbonique pour
la silice et 1 silicates naturels les plus communs, à des tempé-
ratures et à des pressions différentes, et dans le cas de la présence
simultanée du sel marin ‘et d’autres sels solubles très répandus
dans la nature.

IIT. Soumetre à une nouvelle étude la structure des reins des
mammifères, spécialement en ce qui concerne le revêtement
épithélial dans les différentes parties des tubes rénaux.

IV. Il parait résulter des travaux récents que les peptones de
différentes matières albuminoïdes sont des mélanges de substances
en partie déjà connues et en partie encore inconnues. On demande
un examen critique de ces travaux, complété par des recherches
personnelles sur la même question.

V. Déterminer exactement, en unités de Weber, la résistance
d'une colonne de mercure de un mètre de longueur et de un
millimètre carré de section, à 0°. Toutes les mesures relatives
à celte détermination devront être communiquées d’une manière
aussi complète que possible.

VI. Faire mieux connaître, par des expériences soignées, le
rapport entre les deux espèces d'unités électriques, unités électro-
magnétiques et unités électro-statiques. Toutes les mesures relatives
à cette détermination devront être communiquées d’une manière
aussi complète que possible.

VII. On demande de nouvelles expériences concernant l'influence
de la pression sur l’action chimique.

PROGRAMME 1877. Y

VIIL. Nos connaissances sont encore très bornées au sujet de la quan-
tité de limon et d’autres matières que les rivières charrient vers la
Néerlande, des endroits où ces matières se déposent de préférence,
et des circonstances qui influent sur leur transport et leur dépôt.
On désire voir élucider ces divers points, pour une ou plusieurs
des rivières de notre pays, par des mesures ou des expémences
continuées pendant quelques années.

ler janvier 1880.

IX. Quelle est l'influence de la lune sur la position de l'aiguille
aimantée ? |

X. La marche de la science a amené dans la distinction de
plusieurs espèces de plantes et dans la définition même de l’espèce
une sorte de confusion. On s’est aperçu que la plupart des espèces
admises anciennement renferment des formes diverses, que les uns
appellent des races ou variétés, les autres des espèces. Les travaux
déjà faits sur les Rubus, Hieracium, Mentha, Salix, etc., sont
importants, mais ils ont le défaut d’être relatifs à des espèces très
rapprochées les unes des autres, par conséquent assez confuses.
En outre, on a presque toujours étudié les formes d’un certain
pays, par exemple les Rubus d'Angleterre ou d'Allemagne, au lieu
de comparer toutes les formes d’une certaine espèce de Rubus.

On demande par conséquent une étude approfondie de quelques-
unes des espèces de Linné, choisies parmi celles qui présentent
plus ow moins de formes diverses, en ayant égard aux conditions
suivantes :

1°. Les espèces devraient être des plantes spontanées, au nombre
de dix au moins et de vingt au plus, appartenant à deux familles
naturelles au moins, et habitant des pays bien explorés, tels que
l'Europe, les Etats-Unis, etc.

20, L'auteur devrait chercher, décrire et classer toutes les formes
plus ou moins distinctes et plus ou moins héréditaires, qui ren-
trent dans des espèces linnéennes, en ayant soin @’indiquer leur
habitation, leur station, et de dire s’il les a vues vivantes, ou
dans les herbiers, ou s’il les mentionne d’après les livres.

VI PROGRAMME 1877.

3%. Il devrait étudier leur mode de fécondation et apprécier
jusqu'à quel point certaines formes peuvent être attribuées à des
croiseinents.

49. Le degré d’hérédité des formes devrait être constaté par
expérience, au moins dans un certain nombre de cas, et, lorsqu'il
ne s’agit pas d'espèces ligneuses, pendant deux générations au moins.

9°, Pour les espèces ligneuses, 1l faudrait constater la possibilité
ou lPimpossibilité de greffer les formes appartenant au même genre
les unes sur les autres.

6°. La classification des formes en espèces, races ou sous-espèces,
variétés, sous-variétés, variations, sous-variations et autres subdi-
visions qui seralent nécessaires, devrait être basée à la fois sur
les formes extérieures et sur les affinités plus intimes démontrées
par la fécondation et la grefe.

La Société recommande aux concurrents d’abréger autant que
possible leurs mémoires, en omettant tout ce qui n'a pas un:
rapport direct avec la question proposée. Elle désire que la clarté
soit unie à la concision, et que les propositions bien établies
soient nettement distinguées de celles qui reposent sur des fon-
dements moins solides. |

Elle rappelle, en outre, qu'aucun mémoire écrit de la main de
l’auteur ne sera admis au concours, et que même, une médaille
eüt-elle été adjugée, la remise n’en pourrait avoir lieu, si la main
de l’auteur venait à être reconnue, entre-temps, dans le travail
couronné. |

Les plis cachetés des mémoires non couronnés seront détruits
sans avoir été ouverts, à moins que le travail présenté ne soit
qu'une copie d'ouvrages imprimés, auquel cas le nom de l’auteur
sera divulgué.

Tout membre de la Société a le droit de prendre part au concours,
à condition que son mémoire, ainsi que le pli, soient marqués
de la lettre L. |

PROGRAMME 1817. VII

Le prix offert pour une réponse satisfaisante à chacune des
questions proposées, consiste, au choix de l’auteur, en une
médaille d'or frappée au com ordimaire de la Société et portant
le nom de l’auteur et le millésime, ou en une somme de cent-
cinquante florins ; une prime supplémentaire de cent-cinquante florins
pourra être accordée si le mémoire en est jugé digne.

Le concurrent qui remportera le prix ne pourra faire imprimer
le mémoire couronné, soit séparément, soit dans quelque autre
ouvrage, sans en avoir obtenu l'autorisation expresse de la Société.

Les mémoires, écrits lisiblement, en hollandais, francais, latin,
anglais, italien ou allemand (mais non en caractères allemands),
doivent être accompagnés d’un pli cacheté renfermant le nom
de l’auteur, et envoyés franco au Secrétaire de la Société, le
professeur E. H. von Baumhauer, à Harlem.

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