Full text of "Aritmética Elemental Teórico-Práctica para uso de la juventud Centro-Americana"

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ARITMÉTICA  ELEMENTAL 

Teórico-Práctica 


POR 


Lúeas  T.  Cojulún, 

CATEDRÁTICO   DE  LA   ESCUELA   DE  INJENIERIA 

I   DEL   INSTITUTO    NACIONAL   DEL 

CENTRO. 


GUATEMALA 
Imp.  de  P.  Arenales,  9.»  Calle  Poniente  N.°.20 


1885. 


A  LA  IHDLYIDABIiJ  M3M0RIA 
DEL  BEiNTEMERITO  DE  LA  PATP 

Ciudadano  g.  flufiuo  gamos, 

Ilustre  Mártir  de  la  Union  Centro-Americana, 

JENERAL  DE  DIVISIÓN  I  PRESIDENTE  CONSTITUCIONAL 

|)e    L,A     Í^EFUBLIC/i     DE     *G¡U>VT£^AI.A, 

DEDICA 

Gomo  insignificante  testimonio  de  profunda  ad 
raoior\  i  eterno  aprecio,  el  humilde  fruto 
de  sus  trabajos  aritn\et:  s 

EL  AUTOR. 

Guatemala,  jo  de  Junio  de  iSSj. 


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EL  CIUDADANO  J.   RUFINO   BARRIOS 


PROTECTOR  DE  LA  INSTRUCCIÓN  POPULAR  EN  GUATEMALA. 

Murió  heroicamente  en  los  campos 
de  Chalchuapa,  víctima  por  la  Union  Nacio- 
nal, el  2  de  Abril  de  1885. 


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Es  indudable  que  la  idea  del  número  así  como  la  i- 
dea  de  la  extensión  han  de  haber  nacido  con  el  hom- 
bre, porque  las  combinaciones  de  la  cantidad  son  in- 
dispensables para  el  comercio  i  trato  con  nuestros  se- 
mejantes en  la  vida  civil.  Razón  es  esta  por  la  n¡- 
oríjen  de  la  Aritmética  se  remonta  á  los  primit 
tiempos  de  la  antigüedad,  sin  poder  afirmarse  de  na 
modo  claro  é  indiscutible  á  qué  pueblo  de  la  Tierra  se 
atribuye  la  gloria  de  su  invención. 

Es  lo  cierto  que  los  filósofos  de  la  Grecia,  apren 
ron  de  los  Indianos  lo  que  estos  sabían  de  la  ciencia 
de  los  números;  pero  los  historiadores,  se  cuidaron 
bien  poco  de  dar  á  conocer  los  progresos  que  en  ella 
hicieron  dichos  filósofos,  i  no  fué  sino  pocos  siglos  an- 
tes de  la  era  cristiana  que  comenzaron  ;i  hacer  I 
cion  de  sus  progresos  i  descubrimientos. 

En  el  Ejipto,  era  la  Aritmética  una  materia  cari 
desconocida,  porque  Tales  i  Pitágoras,  que  fueron  á 
estudiar  á  ese  país  bajo  la  dirección  de  los  S:u 
de  Ménfis,  que  eran  los  hombres  más  instruidos  de  a- 
quellos  tiempos,  regresaron  á  la  Grecia  su  Patria,  sin 
traer  mayores  conocimientos  acerca  de  los  números. 

Pitágoras  no  obstante,  consagrado  á  los  esfuerzos  de 
su  fecundo  injenio,  cultivó  con  mucho  inh 
mética  é  inventó  la  tabla  de  multiplicar  qu  I  sn 

nombre,  i  que  también  se  conoce  con  el  nombre  de 
Abaco.  (Año  590  antes  de  J.  C.)  Asegúrase  que  este 
filósofo  inventó  una  ciencia  que  llamaba  Tetráctj/s, 
i  que  consistía  en  una  Aritmética  cuaternaria^  por 
medio  de  la  cual  evitaba  las  dificultades  que  se  ofre- 
cen en  el  cálculo  de  las  cantidades    radicales  i  fraccio- 


1 5    s, 

"ftLdkdDOloi  de  PiWgoras  debe  también  la  Arit- 

JitaJS*  progresos,    puesto  que  ya  en  tiempo 

fRS    K«i«-  UláaecoMoriaii  las  primeras  reglas; 

!  cuadrada  i  cúWoa^e  conocíala 

laorladelas  proporciones. 

a¡tttnoeir:.srurrirr()n   después  de   Pitagoras ,     sm 
;     .,     .u!i:Mlll,v:,  invención   enla   Antmeaca 
STqu.»  Arquímiaes  que  floreció  113  anos   antes  de 

aoerbt...  inventó  la  teoría  de  las  progresiones.    Oo- 

r^2aj,nrralinentequeera  imposible   represen- 
mcnM   las   cantidades  sumamente  granas, 
lobo  cierta  individuo,  que  por  burlarse  de  Arquimides 
9  dijo  que  si  podría  calcular  el  número  de  arenas  de 
i  playa  del  mar,  á  lo  cual  el  filósofo,  que  tenia  con- 
dénela de  su  invento  respondió/  que  no  solo  podía  cal- 
ttúar  lasan:      de  la  playa  del  mar  sino   también  las 
que  DQdkran  oaber  entre  las  estrelles  fijas  i  la  Tierra, 

Al  efecto,  demostró  con  bastante  elegancia  en  su 

Pmmu  n  ¡uñero  arena  (Aritmética  arenaria) 

que  el  término  quinjentesimo  de  una  progresión  dé- 

'.;:..;..■;■•-.•.•  !•.-... ¡víu    indefectiblemente   esta  cues- 


Traacurridos  dos  siglos  sin  que  se  hubiese  vuelto  á 
decir  algo  acerca  de  las  progresiones,  ocurrió  el  cele- 
bra suceso  si  :  el  llei  de  la  India,  envidioso  de 
que  Ard  n-i  de  los  Persas,  liabia  inventado  el 
juego  del  Chaquete,  tenía  un  hijo  tan  abandonado  en 
•«•costumbres  que  apenas  se  mantenía  en  el  palacio. 

Con  tal  mot  después  de  haber  empleado  toda 

dase  de  [tos   rio   conseguir  ningún  provecho, 

llamó  á  uno  de  sus  vasallos  para  que  proporcionase 
al  hijo  un  entretenimiento  que  lo  hiciera  prescindir 
dé  su*  ilusiones  6  inquietudes.  A  Sessa  tocó  en  suerte 
cumplir  los  deseos  del  Rei,  i  al  efecto  inventó  el  juego 

Sse  conoce  con  el  nombre  de  Ajedrez,  el  cual  pro- 
i  tan  buenos  resultados,  que  el  Rei  plenamente 
lecho  dijo  á  Sessa,  que  pidiera  la  recompensa  que 
nstSM,  i  este  le  respondió,  que  se  contentaba  con  que 
le  diera  un  grano  de  trigo  por  la  primera  casilla  del 
tablero,  S  granos  por  la  segunda  i  así  sucesivamente 
duplicando  la  cantidad  hasta  completar  las  64  casillas 


I  I    ! 

del  tablero.   El  Eei,  creyendo  que  era   mui    poca  cosí 
lo  que  se  le  pedia  dijo  á  Sessa:    "Mas  huí 
un  niño  de  escuela;"    pero  insistiendo 
con  solo   esa  recompensa  quedaría  más  que  sa; 
cho,  mandó  el  Rei  que  se  diese  lo  que   pedia.    Be 
sieron  pues  los  Ministros  á  contar  los  granos  de  trigo, 
i  apenas  habían  llegado  á  la  cuarta  parr<>   del   número 
de  casillas,  cuando  observaron  qm>  lo  que  Ses- 
era una  cantidad  tan  grande  de  trigo,  que  no  la   li 
en  todos  los  Estados   déla  India.    Admirad.»  el 
de  tan  extraño    suceso,  confesó  avergonzado  qm 
tenía  como  pagar  á  Sessa  i  que  le  daría  otro  pre 
diferente. 

La  cantidad  de  trigo  que  se  pedia  en  efecto,  pai 
de  SO  billones  de  quintales,   valuados  en   mas 
billones  de  pesos  á  5  pesos  el  quintal. 

Para  contar  este  dinero  se  necesitarían  mas  de 
mil  hombres  contando   cada  uno  86400  pesos 
por  espacio  de  50  años. 

Con  esa  cantidad  se  podrían  cargar  mas  de  un    mi 
llon  de  buques  de  mil  toneladas  cada  uno.  Irían 

dar  á  la  Tierra  mas  de  379  mil  vueltas  colocando  los 
pesos  fuertes  unos  á  continuación  de  los  otros;  i  final- 
mente, repartiendo  ese  dinero  entre  todos  los  habitan- 
tes del  mundo  tocarían  á  cada  uno  ma> 

Se  comprende  que  Sessa  propuso  esto  admirable  pro- 
blema valiéndose  del  auxilio  de  las  progreeí 
Sábese  también  con  seguridad,    que  todo 
blos  antiguos  del  oriente  á  excepción   de  la  China   i 
una  Nación  de  Tracia  acostumbraban   contar  de  d 
en  diez,  atribuyendo  la  invención  dees: 
Indianos  quienes  sin  duda  hicieron  derivar  su  teoría 
de  la  conformación  de  la  mano  del  hombre. 

A  Eratóstenes,  orador,  poeta  i  profundo  Matan 
co  que  floreció  en  Ejipto  240  años  antes  de  Jesucristo; 
que  fué  custodio  de  la  Biblioteca  de   los  Ptolomeos  i 
tuvo  la  gloria  de  ser  el  primero  que  dio   á  conocer 
magnitud  de  la  Tierra,  se  debe  la  primera  \m 
de  la  aritmética  instrumental  que  consi-  un 

tablero  de  números  impares  con   la  serie  de  divisores 
compuestos  i   comunes  para   investigar  loa    diviso 
primos.  A  él  se  debe  la   regla  que   se  llama  -Criba* 


I    v  

,    ,,;!,:.,  ,,,,, mptea  paw  formar  una  tabla 


irmloBp 


se  hito  célebre  por  haber  traducido, 
ntii  ln  r»do  cuanto  sabían   los  Griegos 
,:,:,:   inventó  además  el  numero 
l:i  suma  de  términos  de  una  pro- 
nor  diferencia  que  comienza   por  1  i  cuyas 
combinadas  forman  diferentes  figuras  ]eo- 


PtbUeó  también  dos  obras:   una  titulada    Titeólo- 
gémrnn    aritmética   en  que  exponía   las  relaciones 
MateHosas  de  los  números,   i  otra  titulada   Isagoge 
mrltmkica  que<    Dto  ola  las  propiedades  i  divisiones 
i  mío  las   teorías  pitagóricas. 
iv,,,-;.,  .j-ic  compendió  i    tradujo  las  o- 
bras  de  Nleómaco,  el  mejor  aritmético  que  tuvieron 
1  célebre  Beda,  quien  á  principios  del 
\  III  |.u»lc»  d.ir  instrucciones  para   investigar  los 
cooodmientos  aritméticos  de   los  antiguos,  i  explicó 
6  m  a  el  arte  de  contar  por  las  sitúa- 
de  nuestros  dedos. 
■  •ftode  14oo  Manuel  Mascópulo  aritmético  grie- 
go, hilo  otra  célebre  aplicacion.de  las  progresiones, 
ín«v:  Irado  májico  que  era  un   cuadro 

de  progresiones  dispuestos  de  tal  modo  que  las  sumas 
de  las  columnas,  horizontal,   vertical  i  diagonal   eran 


tnto  á  los  signos  de  que  se  valían  los  antiguos 
peta  representar  los  números,  debe  manifestarse:  que 
losBJfpcios,  Griegos,   Hebreos,   los   Latinos  i  demás 
1         •-  valían  de  las  letras  de  su   alía- 
lo cual  era  bastante  molesto  para  los  cálculos 
*.  Pero  en  el  siglo  VIII  los  árabes  apren- 
de los  Indianos  los  caracteres  de  que  hoí  nos 
válenos,  i  que  se  conocen  con  el  nombre  de  cifras  ará- 
Bstas  cifras  fueron  introducidas  en   España 

Cir  los  Sarracenos  en  el  siglo  X  i  en  Francia  por  un 
ooie  llamado  Gilberto  que  después  fué   Papa  con  el 
«sabré  de  Silvestre  II,  Con  todo,  las  cifras  arábigas 
nerón  adoptadas  por  la  jeneralidad  de  los  pueblos 
siso  á  principios  del  siglo  XVI. 


Ahora,  la  opinión  más  verosímil  aoejea   de  cómo  se 

llegaron  á  formar  dichas  cifras  es  la  siguiente:  sin 
duda  que  el  número  uno  se  representó  eu  un  pri] 
pió  por  medio  de  una  rayita  vertical:    el    nún,- 
por  dos  rayitas  horizontales:  el  número  tres  por 
rayitas  i  así  sucesivamente.  Visto  que  no  dejaba  de 
ser  un  poco  incómodo   poner   tanta  raya   para    i- 
sentar  los  números  se  pensó  juntar  las  rayítftfl  forman- 
do ángulos,  así  que  los  números  dos  i  tres  po¡ 
pío  se  representaban  por>  i  Z.    Este  método  no  pre- 
sentó aún  muchas  ventajas  i  se  pensó  mejor  oombuiar 
las  líneas  rectas  con  las  curvas  formándose  el  dos 
un  semicírculo  i  una  recta  en  su  extremo   inferior;   »-l 
cinco  con  un  semicírculo  i  un  rasgnito  por  arriba;   al 
seis  con  un  círculo  i  una  colita  arriba;  el  ocho  con  dos 
círculos  colocados  uno  sobre  otro;  el  nueve  por  un  seis 
invertido  i  el  cero  por  una  circunferencia. 

La  forma  que  así  tomaron  las  cifras  fué  mucho  más 
cómoda  i  mas  simpática,  i  de  dia  en  dia  se  han  reñido 
perfeccionando  con  los  progresos  de  la  tipografía. 

La  idea  de  dar  á  las  cifras  dos  valores:  el  uno  al  solu- 
to i  otro  relativo  ó  de  posición  se  debe  también  á  los  In- 
dianos. 

El  año  de  1520,  Lacas  Pacciol  del  Burgo  del  & 
¿o  Sepulcro,  introdujo  en  Italia  su  Patria,  los   adelan- 
tos  que  aprendió  en  el  Oriente  acerca  de  los  números, 
debidos  á  la  facilidad  con  que  se  resolvían  ya  las  ope- 
raciones haciendo  uso  de  las  cifras  arábigas. 

Publicó  al  efecto  en  1523  una  obra  titulada  suma 
de  aritmética,  geometría,  proporciones  i  proporciona- 
lidad,  i  entre  sus  curiosidades  contenía  las  reglas  de 
falsa  posición  llamadas  por  él  reglas  de  ElcáLi 

Por  los  años  de  1460  hubo  un  hábil  Maternal  ¡.-o  lla- 
mado Juan  Muller  ó  Regio  Montano,  orijinario  de 
Konisberg  en  Pranconia,  á  quien  se  atribuye  la  inven- 
ción de  los  decimales,  con  lo  cual  tomaron  mayor 
lo  los  progresos  de  la  Aritmética.  La  obra  publicada 
por  él  se  llamó  Aritmética  decimal,  i  evitaba  los  in- 
convenientes de  los  quebrados  ordinarios. 

Poco  después  de  inventado  el  cálculo  de  los  deci- 
males, se  hicieron  por  Juan  Neper  ó  Nepero,  Geóme- 
tra Escocés,  dos  importantes  descubrimientos:  el  pri- 


Y  l 


i  .1  mal  notable  de  todos  fué  la  invención  de  los 
*r<>n  loi  eoala*  redujo  la  multiplicación  a 
n  ;i  una    resta,  la  elevación  a pó- 
imlim  n  iiiki  multiplicación  i  la  extracción    de   raices 

asi  ana  mejora   positiva  i 
il   en    todos   los    ramos    de    las    ciencias 

Knriqne  RriggS,  alumno  de  Neper  prosiguió  la  obra 
.    i    ♦•!    ;iño  de   1024  dio   á  luz  su 
Mftméiica   f  '.  «*n  la  que  por  primera    vez 

ar*rrcitTon  anas  tablas  que  conteníanlos   logaritmos 
«!••  |.  •  enteros  desde  1    hasta  20000,   i  desde 

90000  hasta  ]t»l< 

temado  descubrimiento  de  Neper  fué  una  Arit- 
mética denomina-! a  Ií<ibdología,  en  la  cual  hacia  la 
descriiM'i'U  fte  una  máquina  que,  por  medio  de  cier- 
tos palitos  en  forma  de  parámides  rectangulares,  com- 
blaados  injiMii«»>;imrntH  i  constando  cada  uno  de  una 
partí*  d*»  la  tabla  pita-úrica,  se  resolvían  las  principa- 
les operación»  >  dría  Aritmética. 

La  máquina  de  Neper,  fué  mejorada:  por  Monsieur 
IVtir.  qoa  intentó  convertir  el  tambor  de  los  órganos 
*n  máquina  de  calcular;  por  Koussain  en  1770;  por 
Pascal  que  halló  el  medio  de  mover  los  palitos  valién- 
dose de  ruedas  i  de  algunas  pesas;  por  Grille t  que  su- 
• .  •  smbsi  ¡  fas  pesia  i  combinó  los  palitos  de 
que  movidos  sobre  unas  ruedas  hacían  las  ope- 
I*>r  Leibnitz,  por  Perrault,  i  por  otros  inte- 
tnah-mátieos,  aue  estimulados  con  el  invento 
da  Neper,   han  secundado  las  ideas  de  este  ilustre 


8a  cuenta  también  que  Monsieur  Sanderson,  pro- 
da  Matemáticas  en  Cambrigue  i  ciego  desde  la 
da  un  año,  inventó  el  medio  de  que  los  ciegos 
adiasen  á  calcular.  Construyó  al  efecto  un  tablero 
enrejado  de  lineas  paralelas  que  formaban  cuadrados 
iguales,  i  en  los  agujeros  que  habia  en  el  ángulo  de 
estos  cuadrados  colocó  alfileres  de  distinto  tamaño, 
ce  modo  que  pudieran  distinguirse  con  el  simple 
tarto.  r 

Como  una  de  las  propiedades  admirables  de  las  pro- 
gresiones, inventó  el  Ingles  Walis  su    Aritmética  de 


V  1  I 

los  infinitos,  por  medio  de  la  cual  sumaba    lOfl    Mini- 
nos de  una  serie   compuesta  de   infinita* 
i  determinaba  fácilmente  las  áreas  i  los  volúmenes. 

Enl664,  el  matemático  Pascal  hizo   otra    aj> 
injeniosa  de  las  progresiones,  inventando  al  efecto  su 
Triángulo  aritmético,  que  consistía  en  la 
dos  progresiones  una  por  diferencia  i  otra  por  oockn- 
te  dispuestas  en  forma  de   triángulo,  según    i 
con  un  número  que  se  ponia  en  el  veri  ice   pod 
marse  todos  los  números  figurados  i   practicarse 
muchos  esfuerzos  las  combinaciones  de  los  números. 

Siguiendo  Weigel,  profesor  de  Maternal! 
nebra  la  idea  de  Aristóteles,  creyó  facilitar   los  cálen- 
los empleando  solamente  cuatro cifraa  <».  ¡ 
tal  objeto  publicó  en  1687  su  aritmética  Mráeüea 
denominada  así  por  emplearse  el   Tttn 
cuatro  que  tanto  respetaban  los  Pitagóricos,   i  según 
ella  podia  resolver  las  mismas  operaciones  que  n  lia 
cian  con  las  diez  cifras  arábigas. 

Poco  después  el  inmortal  Leibnitz,  jeneralizó  el 
principio  de  la  numeración  décupla  i  en  l ; 
tó  á  la  Academia  de  ciencias  de  Paite  su  Aritmética 
binaria,  en  la  cual  demostraba:  que  así  como  se  po- 
dían emplear  tres,  cuatro  ó  mas  cifras  pan  repreaaaV 
tar  los  números,  bastaban  solo  dos,  el  o  i  el  l.  En  a- 
poyo  de  esta  opinión,  los  profesores  Lago]  i  Dagincut 
publicaron  algunos  trabajos,  haciendo  ver  que  con  el 
sistema  binario  se  encontraban  fácil men te  mai 
ó  leyes  de  las  progresiones  i  se  evitaban  algunas  difi- 
cultades que  ocurrían  en  los  logaritmos. 

En  1684,  Lord  Brouncker,  presidente  de  la  Socie- 
dad Real  de  Londres,  inventó  las  fracciones  continua* 
atribuyéndose  no  obstante  las  ventajas  i  el  descubri- 
miento de  sus  propiedades,  á  Huygens,  Buler,  Leaen- 
dre,  Lagrange,  Wronski,  i  otros  notables  matemáticos, 

Entre  las  muchas  denominaciones  que  se  daban  | 
los  antiguos  á  la  Aritmética,  hai  una  particular  que 
llama  la  atención,  i  es  la  que  se  conocía  con  el  nom- 
bre de  Aritmética  divinatoña.  Los  cálculos  á  eme 
esta  Aritmética  se  refiere,  sirven  mas  bien  para  dis- 
traer que  para  instruir,  pues  como  podra  observarse 
son  meramente  juegos  de  números,  que  consisten  en 


I  I 


llmrr¡..ri»  resultado  cuyo  valor  se  enuncia  ya  en 


^¿¿rinv  • i.r„n.'iuiv:,/n:.ni  entretener  la  aten- 

tíÍ^!Sa£úmq^kan  saber  entre  ana  ren- 
de r*iionas.  oaal  de  todas  tiene  una  sortija  que 
hayan  escondido,  basta  que  a,  una  de 

|,  ,  ■  ,^,Ii:is  ,,u,.',.M.,,ndi.'r<,n  dicha  sortija,   se  le  diga 
.  .  .,  ..,,,,,.  ,.,,  seoreto  la  operación  siguiente: 
¡  DopUcaP  el  número  ordinal  de    la  persona  que 
tensa  la  sortija  agregando  5  al  producto. 
ST  Multiplicar  esta  suma  por  5,  i  agregar  10  al  pro- 

tlllt  ' 

8.°  Agregar  á  esta  ol  ra  suma  el  número  2  si  lo  sor- 
lija  esta  en  la  mano  izquierda  i  1  si  está  en  la  dere- 
,  ||    multiplicando  por  10  «'1  resultado. 

4.°  Agregar  á  este  producto  el  número  ordinal  del 
flt&O  'ii"que  esté  la  sortija  comenzando  á  contar  por 
el  pulgar,  multiplicando  esta  suma  por  el  número 10. 

6.*  Agregar  á  este  producto  el  número  de  la  articu- 
.  a  que  esté  la  sortija  más  el  número  35. 

La  persona  que  trata  dé  averiguar  quien  tiene  la  sor- 
tija pmV  solamente  esta  ultima  suma,  á  la  cual  agre- 
.'  ;  :.  |  sntónoes  la  primera  cifra  de  la  izquierda 
del  resultado,  indica  el  número  ordinal  en  que  está  la 
persona  con  la  sortija;  la  2.»  indicará  la  mano;  la  3.a 
el  número  del  dedo  i  la  4.»  el  número  de  la  articula- 


Por  el  estilo  de  este  juego  que  tan  agradable  parece 
ser,  son  todos  los  demás  que  corresponden  á  la  Arit- 
mética divinatoria  délos  antiguos. 

Para  conducir  este  lijero  bosquejo  histórico  de  la 
Aritmética,  es  conveniente  manifestar:  que  el  invento 
mas  importante  i  quizás  el  mas  trascendental  que  se 
hiio  á  fines  del  siglo  pasado  perfeccionándose  á  prin- 
cipios del  presente,  fué  el  del  Sistema  Métrico  decimal 
siendo  á  la  Francia  á  quien  tocó  la  gloria  de  haberlo 
descubierto,  prestando  un  gran  servicio  á  las  Nacio- 
nes todas  de  la  Tierra,  que  encuentran  en  dicho  siste- 
ma, un  medio  fácil  i  provechoso  de  estrechar  sus  ideas 
I  intereses  mercantiles,  i  de  hacer  mas  espeditos  i 
uniformes  los  cálculos  numéricos  en  sus  múltiples  i 
variadas  combinaciones. 


©-£» 


ARITMÉTICA 


INTRODUCCIÓN. 

Definición  de  Matemáticas,  de  cantidad,  <¡r 

numero,  de  unidad,  de  Aritmética,  de  axioma. 

de  teorema,  de  lema,  de  problema,  de 

postulado,  de  corolario. 


/     1.  Matemáticas  son  las  ciencias  que  tienen  .  •  i 

\jeto  el  estudio  de  las  leyes  del  tiempo  i  del  « 
bien:  son  las  ciencias  exactas  que  tratan  de  la  cantidad. 

2.  La  palabra  Matemáticas  se  deriva  de  la    griega 
Mathematücos,  cuyo  adjetivo  se  forma  de  la 
mathema,  que  significa  la  ciencia,  la  instru    >  n  por 
excelencia, 

8.    Las  Matemáticas   constituyen  actualnv 
principio  de  casi  todo  estudio  científico:  con  dificultad 
se  encuentran  fenómenos  6  teorías  físicas  i  químicas 
que  no  estén  fundadas  en  las  ci  ••lia-* 

componen  en  efecto  el  orden  mascompl  ladef 

á  que  lia  llegado  el  saber  humano,  i  no  tienen  8Q  base 
movible,  cual  otras  ciencias  que  admiten  opiniones  di- 
versas i  discusiones  varias.  Las  propon < 
máticas,  van  acompañadas  siempre  de  la  oí  r  alumbre 
absoluta,  i  poseen  en  alto  grado  las  cualidades  de  ser 
demostrables,  fundadas,  i  enteramente  conformes  á  la 
razón, 

4.  Las  Matemáticas  se  dividen  i 
*on  puras  las  que  tratan  de  la  cantidad  en  abatía* 


—  ¿  — 

I  mUtas  lasque  tratan  ¡&i  ta  cantidad  considerada  en 

!í:!^  dividen  entres  gran- 

d¿tt&QM»n:  JnW//m  ó  ciencia  de  los  nume- 

«  de  las  leyes  jénerales  déla 

¡SritáM /«<  6  cienoia  de  la  extensión  Estas 

s  teman  el  nombre  de  Matemáticas  elemen- 

,,,/,<  Cálonlos  integral  i  diferencial,  se  distin- 

m  con  el  de  Matunáticas  superiores  o  sublimes. 

,v  /,/i.rtaA'  se  dividen  en  dos  gran 

i,.^nrio!„-  l:i  primera  aplica  la  ciencia .de  la  canti, 

...,;  ibaüaeta  f  la  naturaleza,  i  la  segunda  á  ios  obje- 

i'primera  sección  corresponden:  la  Astronomía,  la 
v,  Ltira.  1  nica,  etc.,  i  en  jeueral  todas  lascien- 

iro-i/iatrmáiicas;  i  á  la  segunda,  la 
■  .  la  Arquitectura,  la  Fortificación,  la  Agri- 
mensura, la  .!<  odésia,  la  Cronolojía,  la  Balística,  etc. 
Las  Matemáticas  mtetas,  Uámanse  también  Materna- 

firajt  aptt  , 

ral9  es  todo  aquello   capaz  de 

n1l  Isminucion,  como  el  tamaño  de  los  cuer- 

^.  un  dolor,  una  pasión,  etc,  r  u 

manera  mas  concreta,  se  dice  en  Matemati- 

!dad¡  i  s  todo  aquello  que  puede,  repre- 

la  ú  aproximadamente  con  números. 

'.      r:   ••  ■••:  'i;.-:. ;  >•(.  ocupan,  pues,  de  la  cantidad  que 

•,  pesarse  ó  medirse,  prescin- 
diendo ele  aquellas  que,  como  un  dolor,  una  pasión, 
•  ■  <  n   compararse  con   otras  de  su 

inferna  especie. 
8.  Aa  cantidad  Be  divide  en  discreta  ó  numerable, 

i  figurada,  é  intensiva. 
Discreta  ó  numerable,  es  aquella  cuyas  partes  que  la 
componen  están  separadas,  como  un  ejército,  una  por- 
monedas,  etc. 
Continua  6  figurada,  es  aquella  cuyas  partes  que  la 
ínonen  están  intimamente  unidas,  como  la  superfi- 
cie un  terreno,  el  grueso  6  largo  de  los  cuerpos,  una 
piedra,  • 

Intensiva,   es  aqueZla  que  significa    causa  de  mo- 
vimiento.  ó  que  consiste  en  las  fuerzas  de  la  natura- 


—  3  _ 

leza,  como  la  velocidad  de  la  luz.  la  ftierza  del    \ 
etc. 

9.  Medir  una  cantidad,  es  compararla  <"<»n  oti 
la  misma  especie  que  se  determina  de  antema 
por  ejemplo,  cuando   medimos  el  peso  d»>  un 

no  se  hace  otra  cosa  sino  comparar  el  peso  de 
cuerpo  mas  grande  ó  mas  pequeña.  '   del  cu< 

dado,  i  ver  cuántas  veces  el  peso  del  uno  mnii» 
está  contenido  en  el  del  otro. 

10.  Unidad  es  la  cantidad  que  se  elije  para  que 
va  de  término  de  comparación  respecto  de  las  d< 

A  cantidades  de  su  misma  especie,  como  un  homl 
r  tlor,  una  docena  de  botones,  un  escuadrón  de  sóida 
dos,  etc, 

11.  Número  es  el  resultado  de  comparar  la  cantil 
l/*  con  la  unidad. 

12  La  cantidad  respecto  de  la  unida,},   j.i¡ 
de  tres  modos:  mayor,  menor  6  igual;  i  al  ser  m.< 
^    puede  suceder  que  la  unidad  esté  ó  nó  contenida 
ella  un  número  exacto  de  veces. 

13.  El  número  se  divide  en  cin- 
to, abstracto,  concreto,  complejo,  incomplejo,  par,  Im 
par,  díjito,  compuesto   por  sus  cifras,  ¿rimo  i  múlti- 
plo. También  hai  números  homojéneos  i  ! 
comensurables  é  incomensurabl 

Número  entero,  es  toda  unidad 
de  unidades  de  una  misma  naturaleza, 
cuatro  pesos,  diez  años,  etc. 

Número  quebrado  ó  fracción,  es  «1  que  <  \ 
parte  ó  varias  partes  iguales  de  la    unid: 
quinto  de  peso,  seis  octavos  de  año,  etfc 

Número  mixto,  es  el  que  consta  <:  '»«■ 

do,  como  dos  dias  i  medio,  tres  pesos  i  CUSü 

Número  abstracto,  es  el'que  m>  . 
que  se  refiere,  como  cuatro,  quince,  et<\ 

Número  concreto,  es  el  que  expresa  la  especie  á  que 
se  refiere,  como  cuatro  casas,  quince  hombres,  etc. 

Número  complejo,  es  el  que  consta  de  unidades  < 
diferentes  especies;  pero  relativas  todas  a  una  misma 
clase  de  medida,  como  dos  años,  cinco  ni»- 
cinco  horas,  etc.  . 

Hai  complejos  de  lonjitud,  de  pesantes,  de  capací 


,,.,,  ,.,  de  volumen,  de  moneda,  de  tiempo 

..Ir,',.,,,!;,  ,s  decir,  de  tantas  clases  cuantaa 

flknsclt'  molidas  existen, 

Mmero  incomplejo,  es  el  número  concreto  que  se 

1.,  ..sjurie  de  medida,  como  dos  pesos, 

Hai Tantas  clases  de  números  incomplejos,  cuantas 
ton  las  de  los  números  complejos. 
Numero  par,  es  el  que  tiene  mitad  entera,   como 

"h>-  ,  x-  iL*A 

impar  ó  nones,  es  el  que  no  tienen  mitad 
•mu  tres,  cinco,  siete,  etc. 

lifn,  es  el  que  se  representa  con  una  sola 

Los  números  díjitos,  son:  uno,  dos,  tres,  cuatro,  cin- 
.  seis,   siete,  ochó  i  nueve,  que  se  representan  res- 
como  sigue; 

1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9. 

0  compuesto  por  sus  cifras,  es  el  que  cons- 
ta de  dos  ó  mas  figuras,  como  diez,  once,  doce,  etc.,  i 
en  jeneral  todos  los  números  enteros  mayores  que 
nneve,  los  cuales  se  representan  como  sigue; 

10,  11,  12,  13,  14,  15,    

I  .'■... u,  es  aquel  que  no  puede  dividirse 
.netamente  mas  que  por  sí  mismo  i  por  la  unidad, 
como  cinco,  once,  etc. 

mero   múltiplo,   es  aquel  que  puede  dividirse 
nte  por  otro  ú  otros  números  distintos  de  él 
tano  i  la  unidad,  como  cuatro,  diez,  nueve,  etc. 
meros  homqjéneos,  son  los  que  expresan  unidad 
de  la  misma  especie,  como  dos  pesos,  ocho  pesos,  cin 
co  pesos,  el 

meros  heíeroj éneos,  son  los  que  expresan  unida- 
dea  de  diferentes  especies,  como  dos  pesos,  ocho  me- 
tros, cinco  minutos,  etc. 

Números  comensurables  6  racionales,  son  aquellos 
aae  tienen  con  la  unidad  una  relación  exactamente 
determinada,  como  los  enteros  y  quebrados. 
Números  inconmensurables,    inefables,    sordos  ó 


—  5  — 

irracionales,  son  aquellos  que  no  tienen  con  la  unidad 

una  relación  exactamente  determinada,  oomo  son  las 

raices  inexactas  de  los  números. 

14.  Aritmética,  es  la  ciencia  de  los  núne 

La  voz  Aritmética  se  deriva  etimolójicamente  de  la 

palabra  griega  aritmos,  que  significa  nitmu 
15".  La  necesidad  é  importancia  del  estadio  de  1. 

Aritmética,  son  inmensas:  por  medio  de  ella,  pueden 

los  individuos  conocer  el  conjunto  do  sus  int. 

manejarlos  de  una  manera  fácil,  soirura  i  producti 

16.  Dieron  orijen  á  lá  Aritmética,  lasreglafl  i 
culos  que  fué  preciso  perfeccionar  i  descubrir  para  e- 
fectuar  las  operaciones  comerciales,  desde  que  el 

pie  cambio  de  unas  cosas  por  otras,  como 
en  un  principio,  hizo  necesaria  la  invención  de  1 
neda,  con  lo  cual  se  volvieron  mas  complicadas  las 
compras,  ventas,  i  en  una  palabra,  mas  grandes  1< 
tereses  mercantiles  de  los  pueblos, 

17.  La  Aritmética,  por  su  extensión  puede  ser  ele- 
mental i  superior  ó  demostrada. 

Es  elemental,  cuando  solo  contiene  las  reglas  para 
]i  efectuar  prácticamente  las  operaciones,  i  es  demostra- 
da, cuando  además  de  contener  tales  regí  ica  á 
la  vez  sus  fundamentos  i  su  orijen. 

18.  Axioma  es  una  verdad  tan  evidente,  que  M 
cesita  demostrarse. 

Los  principales  axiomas  deque  nos  valemofl  00  Arit 
mética,  son  los  siguientes: 

1.°  Todo  número  es  igual  á  si  mismo 
2.°  Todo  número  puede  reemplazarse 
¡f   sea  igual. 

3,°  Dos  ó  mas  cantidades  iguales  a  otra,  son  iguales 

entre  sí, 

4.°  Dos  6  mas  cantidades  equivalentes  a  otra,  son  e- 

y"  qui  valen  tes  entre  sí. 

5,°  El  conjunto  de  las  partes,  es  igual  al  todo. 
6.°  El  todo  es  mayor  que  cualquiera  de  sus  partee. 
7.°  Si  con  cantidades  iguales  se  hacen  operaciones 
iguales,  los  resultados  son  iguales. 
8,°  Si  con  cantidades  iguales  se  hac  melones 

-  desiguales,  los  resultados  son  desigual-. 

9/°  Si  con  cantidades  desiguales  se   hacen  oper 


_  G  — 

m*  taale*.  los  re-ultados  son  (lesiónales. 

-.     .-.    ,,   ..,  ,s  nula  verdad  que  necesita  demostrar- 

lo  teorema  consta  de  lies  partes,  que  son:  hipóte- 

Ht}  ,s  lo  que  sirve  de  dato  á  la  demostración; 

¡V.'m  lo  qae  expresa  la  verdad  demostrable,  i  demos- 
onamiento  mediante  el  cual  se  hace 
:.t  verdad  ti»'  una  proposición. 

Be  (l  ir  ¡den  en  directos  i  recípro- 

ctoea  aquel  cuyas  partes  no  están 

.•muí  rden   inverso  respecto  de  otro,  i  recí- 

!;,,    ■    .  .i  |!i<  1  i|ii  •  tiene  por  tesis  la  hipótesis  ae  otro 

i  tlr.  que  no  siempre  que  un  teorema  di- 
.  su  recíproco  debe  serlo  también. 
*.M.  ira t-lones  pueden  ser  inmediatas,  me- 

dial indirecta*  6  ad  absurdum. 

Ion  inmediata  es  la  que  considera  como 
principio  ó   fundamento  una  verdad  evidente  por  sí 
ma. 
Demostración  mediata  es  la  que  considera  como  fun- 
damento una  verdad  que  se  hizo  evidente  por  medio 
n»  principios. 
Demostrado!)  directa  es  aquella  que  hace  ver  la  cer- 
i  de]  enunciado,  fundándose  en  la  relación  que 
6ste  Üene  con  un  principio  verdadero. 

Í6n  indirecta  óad  absurdum,  es  aquella 
r  la  certeza  del  enunciado,  fundándose  en  el 
ntiadicción  que  habría  con  la  hipótesis, 
fei  se  admitiese  no  ser  cierta  la  tesis. 

•     ana   cuestión   en   que  se   suponen 
iS  cantidades  conocidas,  llamadas  datos,  para  que 
•  I  :  M  D  •   lio  -•  »-ncuentren  una  ó  utas  cantidades  íes 
conocidas,  llama  las  incógnitas. 
Resolver  v¿,  problema  es  determinar  la  incógnita  ó 

medio  de  las  cantidades  conocidas. 
Soturiñn  de  un  problema  es  la  serie  de  operaciones 
que  deben  hacerse  para  encontrar  el  número  ó  núme- 
-  «i.-conocido>  qm-  se  buscan. 

veces  se  llama  solución  de  un  problema,  el  valor 
de  la  incógnita  o  incógnitas  que  satisfacen  á  las  condi- 


v  tcuniiu  menos  ngur080,  B€  da   I  I  :     D 
is,  á  las  cuestiones  particular. 
o  ejemplos  ó  aplicaciones  práctii 


—  7  — 

ciones  de  la  cuestión. 

En  un  sentido  menos  riguroso,  Be  'la  i  I 
problema? 
nen  como 
glas. 

23.  Se  dá  el  nombre  de  lema  i  un 
be  anteponerse  á  otro  para  facilita 

24.  &?  llama  postúletelo  toda    \ 

tiene  carácter  práctico,  i  que  indica  la   p< 
hacer  alguna  cosa. 

Así,   por   ejemplo,  será    postulado  la 
guíente:  en  vez  de  un  quintal  pueden    t 
ir  o  arrobas  ó  cien  libras. 

25.  Se  llama  corolario  toda  verdad  que  se 
Tcomo  consecuencia  de  un  axioma,  de  un  r 
(un  razonamiento. 

^  Los  corolarios  requieren  por 
cion,  excepto  en  aquellos  casos  en  que  d  de 

un  modo  tan  claro  i  fácil,  que 
sí  mismos. 

NUMERACIÓN. 

2G.  Numeración  es  la  parte  de  la  Aritmética,  qse 

enseña  á  formar  i  á  expresar  los  núm< 

Los  números  pueden  exj> 
medio  de  la  palabra  i  por  medio  de  la  esoritQ] 

El  arte  de  expresar  los  números  con  palal 
ma  numeración  oral,  ¡tablada  6  i  » 1  arte  de 

expresar  los  números  por  medio  de  la  escrita] 
pleando  caracteres  convencional-'^,    se   llama  nata 
cion  escrita. 

27.  Cifra  es  la  nota,  ligara  ó  carácter  particular  en 
que  se  representa  algún  número, 

Guarismo  es  todo  número,  ya  s»-  una 

6  de  mas  cifras.  Según-  una  cantidad  dé  dooe 

cifras,  por  ejemplo,  hai  doce  guar:  M  cifra: 

seis  de  á  dos;  cuatro  de  á  tres:  trei  de  á  cuatn»;  dos 
de  á  cinco;  dos  de  á  seis,  i   '  de  á  o 

de  á  nueve,  de  á  diez,  de  á  once  i  de  á  ras. 

28,  Sistema  de  num<  \  es  el  conjunto  ordena- 
do de  cifras  que  sirven  para  expresar  los  números. 


—  8  — 


/>,  fux**ldad  de  los  sistemas  de  numeración,  pro- 

f/in  i  expresase  con  una  palabra  i  una  cura 

''hiendo  ilimitada  la  serie  dé  los iiA- 

„,)S  qué  aprender  un  número  infinitode 

aspara  designarlos,  lo  cual  es  abso- 

'XT£™*  de  numeración,  es  d  «*»  *> 

rfSWÍíS!^^  puede,  representarse 

. ;.,.  número  cíe  cifras,  con  tal  que  sean  .dos 
5  1..' „,,!,,.*  i  el  cero  una  de  ellas.  De  aquí ^se  sigue 
íiuehai  diferentes  sistemas  de  numeración,  conocidos 
,'mi  los  nombres  de  binario,  ternario,  cuaternario, 
quinario,  de  base  seis,  de  base  siete,  de  base  ocho,  de 
.  de  base  diez  ó  décuplo,  de  base  once  u  on- 
eena¡  base  doce,   duodecimal  o  docenario,  de 

bate  según  el  número  de  cifras  que  se  em- 

pltCB.  .  -,. 

Cuando  la  base  de  un  ^sistema  sea  mayor  que  d tez, 
entonces  se  acostumbra  representar  las  cifras  contadas 
desde  diez  inclusive  en  adelante,  por  las  letras  a,  o, 
Leí  alfabeto  castellano, 

i  de  los  números.— -La  formación  de 
loe  números  se  verifica  por  medio  de  la  agregación  su- 
cesiva de  unidades:  de  modo  que  si  al  número  uno  se 
;.l  resultado  obtenido  otro  uno,  i  así  en  a- 
delan;  llegaremos  á  tener  números  cada  vez  mas 
grandes  que  los  anteriores;  i  como  por  grande  que  su- 
pongamos nn  número,  siempre  puede  encontrarse  otro 
mayor  mediante  la  agregación  de  unidades,  se  sigue 
qwt  la  serie  de  los  números  es  ilimitada. 

:**».  El  sistema  de  numeración  jeneralmente  adopta- 
do en  casi  todos  lospaises,  es  el  decuplo,  de  base  diez  ó 
decenario,  habiéndose  preferido  la  elección  de  este  sis- 
tema, quizás  por  estar  de  acuerdo  con  la  conformación 
de  nuestra  mano,  á  donde  recurrimos  naturalmente 
cuando  pequeños,  para  efectuar  nuestras  sencillas 
cuentas. 

Trataremos,  pues,  de  la  numeración  hablada  i  escri- 
ta en  este  sistema. 

31.  Numeración  hablada,  verbal  ú  oral. — Las  pa- 


—  9  — 

labras  con  que  se  designan  los  números,  son  la 

guien  tes: 

Desde  uno  á  <!i<  /. 

Uno,  dos,  tres,  cuatro,  cinco,  Befo,  ftfete,  ocl 

ve,  diez,  ó  decena. 

Desde  diez  a  cien, 

Diez  i  uno,  ú  once,  diez  i  dos,  6  *,  ó 

trece,  diez  i  cuatro,  ó  catorce,  diez  i   cii 
diez  i  seis,  diez  i  siete,  diez  i  ocho,  <1¡./   ¡  mi- 
i  diez,  ó  veinte. 

Agregando  á  veinte  sucesivamente  1<»  diez  i>r¡nie*oa 
números,  resulta: 

Veinte  i  uno,  veinte  i  dos,  veinte  i  ta 
tro,  veinte  i  cinco,  etc.,  hasta  p< 

Agregando  a  treinta  sucesiva  mente  1 
primeros  números,  resulta: 

Treinta  i  uno,  treinta  i  dos,  treinta  i  ti 
cuatro,  treinta  i  cinco,  etc.,  hasta  tr<¡ut<i  i 
renta. 

De  un  modo  análogo,  se  formarían: 

Cuarecta  i  nno,  cuarenta  i  dos 
i  diez  ó  cincuenta. 

Cincuenta  i  uno,  cincuenta  i  dos,  eta.,  haal 
cuenta  i  diez  ó  sesenta. 

Sesenta  i  uno,  sesenta  i  dos,  ete.,  hasta    A 
diez  ó  setenta. 

Setenta  i   uno,  setenta    i 
diez  ú  ochenta. 

Ochenta  i  nno,  ochenta   i  dos,  etc.,  hasta  orhemt 
diez  ó  noventa. 

Noventa  i  uno,  noventa   [  dos,  ele,,  hasta 
diez  6  cien,  ó  centena. 

Desde  cien  á  mil. 

Agregando  ii  cien,  sucesiviiniriit»'  loa             limen» 

números,  resulta:  . 

Ciento  uno,  ciento  do  n  i  cíen  o  ao* 

cientos. 


-  10  - 
egudo  á  dos  cientos  los  mismos  cien  primeros 

n       ,  ;  nt/.s    uno.  dos    cientos  dos,    etc.,  hasta    dos 
,  :..n:..s  i  ri.-u.  ú  fn:<  cientos. 

De  wn  nodo  análogo  se  formarían: 

>  uno,   tres  cientos  dos,  etc.,   hasta  tres 
'l  rocíenlos. 
Cuatrocientos  uno,  cuatrocientos  dos,  etc.,  hasta  cua- 
|  cien  ó  quinientos. 

uno,  quinientos  dos,  etc.,  hasta  quinien- 
■/(  utos. 
¡  uno,  seiscientos  dos,  etc.,  hasta  seiscien- 

'   fh  utos. 

uno,  setecientos  dos,  etc.,  hasta  setecien- 
tos 1  rien  ú  ochocientos. 

Ochoeit-ntos  uno,  ochocientos  dos,  etc.,  hasta   ocho- 
rien  ó  novecientos. 

¡a   uno,  novecientos  dos,  etc,   hasta  nove- 
/////,  ó  millar. 

Desde  mil  á  un  millón. 

Agriando  I  mil.  sucesivamente  los  mil  primeros 
tiuin.  :••-.  resulta: 

Mil  uno,  mil  dos,  etc.,  hasta  mil  i  mil  ó  dos  mil. 
Agregando  á  dos  mil,  los  mil  primeros  números,  re- 

I><  *  mil  uno,  dos  mil  dos,  etc.,  hasta  dos  mil  i  mil  ó 

mil 
I>«*  un  modo  análogo  se  formarían: 

itro  mil.  cinco  mil,  etc,,  hasta  mil  miles  ó  vn 
millón . 

I)e>de  un  millón  en  adelante. 

negando  á  un  millón  sucesivamente  el  primer  mi- 
llón dfl  DÚmerofl  anteriores,  resulta: 

Tn  millón  uno.  un  millón  dos,  etc,  hasta  millón  i 
millón  6  dos  millones. 

Agregando  á  dos  millones  el  mismo  millón  de  núme- 
ros encontrados,  resulta: 

Dos  millones  uno,  dos  millones  dos,  etc.,  hasta  dos 
millón»-*  i  millón  ó  tres  millones. 


—  11 

De  un  modo  análogo  se  formarían: 

Cuatro  millones,  cinco  millo! 
1  Ion  de  millones  ó  un  billón. 

Agregando  á  un  billón  el  primer  billón  de  números 
anteriores,  resulta: 

Un  billón  uno,  un  billón  dos.  etc.,  basta  no    bilí 
billón  ó  dos  billones. 

Agregando  á  dos  billones  el  mismo  primer  l'i!¡'- 
número  anteriores,  resolta: 

Dos  billones  uno,  dos  billoi 
billones  y  billón  ó  tres  millón* 
De  un  modo  análogo  se  formarían: 
Cuatro  billones,  cinco  billón  a  un  millón 

de  billones  ó  un  tr  ilion. 

Continuando  de  la  misma  manen 
un  cuatrillón,  un  quillón,  i  así  Las  le  se  qui< 

^  32.  La  numeración  hablada  está  fundada  en 
cipio  de  que:  diez  unidades  de  orden   inf 
nen  una  del  orden  inmediato  superior. 
Los  diferentes  orden  e¿,  son: 
unidad  simple, 
decena  ó  diez, 
centena  ó  cien, 
unidad  de  millar  ó  mil. 
decena  de  millar  ó  cÜei  mil 
centena  de  millar  ó  oten  mil. 
unidad  de  millón, 
decena  de  millón  ó  diez  millones. 
centena  de  millón  6  <,i»,n  millones 
unidad  de  millar  de  millón  ó  mil  ü; 
decena  de  millar  de  millón  ó  diez  mil    mi 

centena  de  millar  de  millón  mi 

llones,  i  así  sncesivamen 

En  cualquiera  otro  sistema  de  nonn 
del  décuplo,  se  verifica:  aue  onda  anidad  ds  6i 
perior  contiene  tantas  del  orden   inmediatamente  infe- 
rior, como  unidades  tiene  la  base  del  sistema.  Mpor 
ejemplo,  en  el  sistema  ternario,  ffts  unidades  dwpij 
mer  orden  forman  una  de  segundo:  tres  de  segundo 
una  de  tercero;  ¿res  de  tercero  una  de  •  'te 

De  lo  expuesto,  resulta:  que  con  so*  sépala- 


de 

1 

de 

2. 

de 

3, 

de 

4. 

de 

5. 

de 

6. 

de 

7. 

de 

8. 

de 

de  10. 

de 

11. 

llones. 

de  12. 

-  12  — 

hro«:  uno,  doiy   tre*}  cuatro,  cinco,   seis,  siete,  ocho, 
fttttte,  dies*  cien,  mil,  millón,  i  sus  modificaciones, 

•    llM-i:irsf   lodos    l«»s   números  posibles   en  el 
sistema  décu]  l 

:.:    \       vrac&n  escrita.     Las  cifras  que  se  emplean 
par*  escribir  los  números,  son: 

i.     .'.     %      4,        5,     0,      7,      8,      9,    que 

.,      .,:.      .-.i,.,    iil-.i.   .¡.'v,    lli's,    rii:ilr«i,    niWO,   SOIS,     S¡C'tO,     OCllO,    11UOVO. 

Pifia  -  ider  cómo  con  solo  diez  cifras  pueden 

enril  Ir»  toaos  Loa  números,  sé  ha  convenido  en  dar- 
las dos  valores:  uno  absoluto  i  otro  relativo  ó  de  po- 

)lvto  de  una  cifra  es  el  que  tiene  por  sí 
*ola,  i  valor  relativo  ó  de  posición,  es  el  que  tiene 
por  el  lugar  que  ocupa. 

Según  esto,  toda  cifra  que  ocupa  el  primer  lugar  de 
la  d» :  ¿presa  unidades  simples,  la  que  ocupa  el 

segando  lugar  hacia  la  izquierda  expresa  decenas,  la 

3ue  ocupa  el  tercer  lugar  expresa  centenas,  i  así  suce- 
iTatneiih*.  conforme  se  indica  en  seguida: 


lililí  i  i  Ll|SÍÍI.IIeSgB  lli  lia  H 


II  >ÍM^" 

111 
!       i  i  ^ 


—  o  o  SSo 

O    3    3  O    O    3 


¿4  c^ro,  es  el  símbolo  de  la  nada,  pues  no  se 

le  supone  ningún  valor,  i  solo  sirve  para  indicar  en  los 
números  la  falta  de  algún  orden  de  unidades.    Así  en 

l  numero  7405  denota  que  no  hai  decenas:  en  7045  de- 
nota que  no  hai  centenas. 

-  La  numeración  escrita  se  funda  en  el  principio 
de  quo:  toda  cifra  colocada  á  la  izquierda  de  otra,  ex- 


-  13- 

presa  unidades  diez  veces  mayores  que  ésta  i 
gun   esto,  los   millares  expresan  unid 
mayores  que  las  centenas:  las  centenas  un 
veces  mayores  que  las  decenas,  etc. 

En  cualquier  otro  sistema  distinto  del   décuplo  m 
verifica:  que  cada  cifra  colocada  á  la  izquiei 
expresa  unidades  tantas  veces  mayores  qm 
indica  la  base  del  sistema.  Así,  por  ejempl 
mero  432,  suponiéndolo  escrito  en  el  detenía 
el  4  expresa  unidades  cinco  veces  mayores  pi- 
el 3,  unidades  cinco  veces  mayores  que 

35.  Para  eseribir  un  número  entere 
izquierda  á  derecha  las  cifras  que  se  di 
continuación  de  otras,  comenzando   por  lai  iden 
superior,  i  póngase  cero  en  los  lagares  qae  DO  Mtéfl  0 
capados  por  cifras  significativas. 

Para    leer   ó  enunciar  un  número  que 
to,   divídase  en   porciones  de  tres  en   tres  dina, 
derecha  á  izquierda,  poniendo  al  concluir  Ka  primera 
porción  un  punto,  al  concluir  la   sumida  un  pequeño 
1,  al  concluir  la  tercera  un  punto,  al  condolí  1 1 
un  pequeño  2,  i  así  sucesivamente  poniendo  ponto 
puuto  i  4,  etc. 

Estas  anotaciones  se  ponen  entre  ana  i  • 
por  la  X->arte  inferior. 

El  punto  léase  mil,  i  el  1,  2,  :<.  4,  etc.,  léanse  n*i 
tivamente:  millón,  billón,  tr ilion,  cuatrillo 

Para  leer,  por  ejemplo,  el  número  siguiente; 
7456009521642083,    divídase  según    la    regla,  i    resulla 
así:  7.4562009.5211642.08:5,  i  su  enunciado, 
cuatrocientos  cincuenta  i  seis  billones,  nueve  mil  qui 
nientos  veintiún  millones,  seiscientos  cuarenta  i  dos 
mil  ochenta  i  tres  unidades. 

Adviértase  que  los  ceros  nunca  »  uunciar 

un  número. 

36.  Numeración  decimal.— Humen* 

aquella  en  que  cada  unidad  se  divide  en  deis  partee 
iguales  llamadas  décimas,  cada  décima  en  '//f*P*5£¡ 
iguales  llamadas  centésimas,  cada  centésimaen  dm 
partes  iguales,  llamadas  milésimas,  i  así  suceeivameo- 
te. 
La  numeración  decimal  no  es  mas  que  una  conti 


—  14- 


:.•  la  numeración  de  los  enteros,  puesto  que 
linMail  (]e  &rden   superior,  contiene  igualmente 


rada  unidad  «i-    <«nicii  mhh;hui,  ^»"— /  *o — --- 
-  iM  orden  Inferior,  resaltando  de  aquí  que  los  di- 
«s órdenes  de  esta  numeración,  son:  las  décimas, 

/Vs//,,,/*.  ///-.:  ntHi'vttivis.  cien  milésimas, 
millonésimas,  etc.,  loa  cuales  se  colocan  como  se  vé  en 

¡  iilllJJJJiliJIiJ 

3  so  *©  no»  va»  ve  *u  vo  v<a>  vcu  c  v®  o    - 

-    O  gg  g    C    O   O   O   C   O   O   OjS^jD^^^^^    ^ 

-'-    J88|||    I  a  sal    .§.11 " 

¡s-S         ** 

Para  escribir  un    número  decimal,   escríbase 
ptb  te  entera  ó  cero  si  no  la  hai,  en   seguida 

escrib:  no  decimal,  que  es  una  coma  por  lo  co- 

mún Invertida  i  por  la  parte  superior,  i  después  coló- 
qpMOM  cifras  supliendo  con  ceros  los  órde- 

nes que  no  se  expresen. 

r  ••jcmplo,  si  se  dicta  el  número  dos   enteros, 
•  ■ir,, (as  cinco  diez  millonésimas,   se   es- 
o  sigue:  2 '0007905. 
Para  leer  un  número  decimal,  divídase   de  ante- 
mano, lo  mismo  que  para  leer  un  entero,  i  si  el  núme- 
ro dado  tiene  parte  entera,  léase  primero  ésta,   agre- 
gando la  palabra  enteros;  en  seguida  léase  la  parte  de- 
cimal como  si  fuera  entero,  dándole  á  toda,  la  deno- 
minación decimal  de  la  primera  cifra  de  la  derecha. 

Así,  por  ejemplo,  el  número  14'05!402.103,  se  leerá: 
catorce  enteros,  cinco  millones  cuatrocientos  dos  mil, 
ciento  tres  cien  millonésimas* 

38.   Consecuencias  de  la  numeración  entera: 

i  la  izquierda  de  una  cantidad  entera  se  colo- 
can uno  ó  mas  ceros,  la  cantidad  no  altera. 

Si  á  la  derecha  se  colocan  uno  ó  mas  ceros,  la 
cantidad  se  hace  10,  100.  1000,  etc.,  veces  mayor,  se- 


—  15  — 

gun  que  se  coloque  uno,  dos,  tres,  ete.  i    ros. 

3,a  Si  de  la  derecha  de  una  cantidad  se  suprime 
ó  mas  ceros,  la  cantidad  se  hace  10,  100,  10 
ees  menor,  según  que  se  supriman   ano,  d< 
ceros, 

39.  Numeración  romhna.— Numeración  romana  es 
el  arte  de  expresar  los  números  mediante  <  trae 
mayúsculas  del  alfabeto  castellano,  á  las  cuaksj  Be  lia 
dado  valores  numéricos  particular 

Dichas  letras,  son: I,  V.    X.   L.    C,     I».      M 

que  valen  respectivamente:  1.  5,   K),  50,  LOO, 

40.  Para  escribir  números  con  estas  leti . 
atender  á  las  siguientes  reglas: 

1.a  Una  letra  no  puede  repetir  '  la  m  la 

veces . 

2.a  Una  letra  de  menor  valor,  puesta  á  1 B 
otra  de  mayor  valor,  hace  que  ésta  aumente  en  tanto 
cuanto  vale  aquella* 

Por  ejemplo,  la  ü*á  la  derecha  de  la  D,  hace  qu 
ta  aumente  en  100,  i  entonces  DC  exproa  G 

3,a  Una  letra  de  mayor  valor  puesta  ¿i  la 
otra  de  menor  valor,  hace  que  se  disminuya  en   tanto 
cuanto  ésta  vale. 

Por  ejemplo  la  D  á  la  derecha  de  te  0,  M  dieni  i 
en  lo  que  vale  C  que  es  1 00,  i  entonces  ( 1 1  >  - 

4.a  Las  unidades  simples  pasan  a  expreeei  millares 
colocando   una  recta  horizontal  encima  de  fea   1 
correspondientes. 

Así,  por  ejemplo,  las  expresiones     Y,     V.    X%   ate 

niñean  respectivamente:  5.000,  ; 

Véase  á  continuación  cómo  se  eaoriben  UgUOe  mi 
meros  arábigos: 
U    2      3       4     5     6       7       8        0,   10,  11,     II 

i  i,'  ii,  ni,  iv,  v,  vi,  vii,  viii,  ué,  x,  xi,  XH.XIÚ,  xn  vf\ 

|  20,     30,       40,    90,    05,    09,    19,      H.       ';'-'■     ¡j    •     ¡ 
¡XX,XXX,  XL, X0,VC,I0,  1L.LXXI,    1M.      UK      I"' 

j  748,1,  3705,      __  -1  1'J1.''74. 

I  VTlCDLXXXI,  MMMDCCV,  IVCXXiniI.WIV.   BODH 

Los  números  romanos  se  usan  mui  poco,  i 


_  16  — 

¡^mímente  en  la  carátula  dé  los  relojes,  en  la 
numeración  de  los  capítulos  i  pajinas  de  los  libros,  en 

m<>  numrros  ordinales. 

jl  Empicados  en  la  Aritmética: 

+  que  se  16c  vías. 

,,    menos. 

M    multiplicado  por. 

:  6  +       ..    ..    „    dividido  por. 
\    ^  ..     .,    mas  menos  6  menos  mas,  i  se 

llaman  signos  de  ambigüedad. 

ó  (    )  que  se  llaman  respectivamente  vinculo 

ó  paréntesis,  i  sirven  para  indicar  que  la  operación  de 
que  se  trata,  debe  hacerse  con  toda  la  cantidad  que 
encierran 

>  t  <  que  se  leen  respectivamente  mayor  que,  i  me- 
nor que  i  se  llaman  signos  de  desigualdad. 
=  que  se  lee  igual  á,  i  se  llama  signo  de  igualdad. 
toda  desigualdad  ó  igualdad,  debe  haber  dos  can- 
•s  que  se  llaman  miembros.   La  de  la  izquierda 
del  signo  se  llama  primer  miembro,  i  la  de  la  derec  ha 
segundo  miembro. 

^~      que  se  llama  radical. 

I  n  i>equeño  número  á  la  derecha  i  en  la  parte  supe- 
<le  otro,  como  por  ejemplo  el  3  en  la  siguiente  ex- 
presión 40*  se  llama  exponente. 


U'ULO  DE  LOS  NÚMEROS  ENTEROS. 
OPERACIONES  FUNDAMENTALES. 

ADICIÓN. 

42..  Llamase  cálculo,  el  arte  de  esmponer  i  descom- 
poner los  números. 

Operaciones  aritméticas  son  los  diversos  cambios  i 
las  diferentes  combinaciones  á  que  pueden  sujetarse 
los  números.  J 


*t 


_      — 17  — 

I>as  qpercunones  de  la  Aritmética  se  redu 

poner  i  descomponer  los  números, 

Z^s  operaciones  de  composición,  son  I 
¿WTrca,  i  la  multiplicación;  i   las  de   . 
son  la  sustracción  ó  m¿a,  i  la  división. 

43.  Adición  ó  sima,  es  la  operación   por  medio  de 
la  cual  se  forma  de  dos  ó  mas  números  n: 

Los  números  que  se  dan  para  sumar,  se  lian  I 
mandos,  i  el  resultado  de  la  operación. 
Para  indicar  la  operación  de  sumar, 
v        no  +  que  se  coloca  entre  uno  y  otro  suman 
K     ejemplo,  para  indicar  la  suma  de  5  con  7 
pondrá:  5  +  7  +  3. 

44.  Samar  números  díjitos.— Y -mw  samar  DÚm 
díjitos,  agregúense  al  primer  sumando  uni 
dades  del  segundo:  á  la  suma  que  resalte, 

las  unidades  del  tercero:  á  esta  otra  suma,  la*  i¡  n 
des  del  cuarto;  y  así  sucesivamente. 

La  suma  anterior,  se  efectuará,  diciendo:   5  i  7.    IV: 
12  i  3,  15;  luego  5+7+3=15. 

45.  Tabla  para  sumar  dos  díjitos.  —  L a  - 
números  díjitos,  se  facilita  aprendiendo  de  memoria  !a 
siguiente 

TABLA. 


3,  3 

4,  4 

5,  5 

6,  6 

7,  7 

8,  8 

9,  9 


1, 

2 

2, 

3 

3, 

4 

4, 

5 

5, 

6 

6, 

7 

7, 

8 

8, 

9 

9, 

10 

i  1, 

3 

i  2. 

4 

i  3, 

5 

i  4. 

6 

i  5, 

7 

i  6, 

8 

i  r. 

9 

i  8, 

10 

i  9, 

11 

1. 

4. 


:;  i  8, 
3  i  9, 


4 
5 
6 

8 

LO 

11 


1, 

2. 
3, 

4, 


5,  10 

6,  11 

7,  12 

8,  13 

9,  14 


1, 

7 

7  i  1, 

8 

8  i  1, 

2, 

8 

7  i  2, 

i» 

8  i  2, 

3, 

9 

7  i  3, 

10 

8  i  3. 

4, 

10 

7  i  4. 

11 

8  i  4, 

5, 

11 

7  i  5, 

12 

8  i  5, 

6, 

12 

7  i  6, 

13 

8  i  6, 

7, 

13 

7  i  7, 

14 

8  i  7, 

8, 

14 

7  i  8, 

15 

8  i  8, 

9, 

15 

7  i  9, 

ie 

1» 

lo 

11 

12 
13 

14 
15 
16 

17 


i    1. 
¡  4. 

i   S. 


!>  i  1. 

Q  i  % 

9  i  4. 

0  i  5. 

9  i  6, 

0  i  7. 

9  i  8, 

9  i  9, 


10 

II 


11 
IS 

14 

16 

17 

1- 


1S 

,/,  bastaiOi  8  los  números  dijitos  que 
gamitaran  sumar,  puede  efectuarse  la  operación  senci- 
fcSEK  mal  lo  con  ttri  puntito  cada  decena  que 
£ünlt,.  en  la*  sumas  parciales,  i  poniendo  en  la  suma 
total    tantas  decenas,  cuantos  puntitos  hallan, 

s  rinplo,  que  quieren   sumarse  los 

dientes  números:  7,  9,  8,  5,  6    3,  4,  9  i  2.  Dispon 

raci  m  como  se  ve  al  marien,  i  aliemos. 

16:  dejamos  un  punto  al  lado  de  9  i  lle- 

5:  6  i  8  14:  dejamos  nn  punto  al  lado  de 

[    8  I  llevamos  4;  4   i  5,  9,   i  6  15:  dejamos  un 

\   punto  al  lado  de  0  i  llevamos   5;  o  i  3,  8,  i  4 

L2;  dejamos  un  punto  al  lado  de  4  i  llevamos  2; 

8  i  9,    1 1 :  dejamos  un  punto  al  lado  de  9  i  lle- 

j  vamos  1;  1  i  2,  3 

::  serán,  pues,  las  unidades  de  la    suma:  i 
liai  cinco  puntitos,  será  5  la   cifra  de  las 
(    decenas,  de  modo  que  la  suma  ó  total,    es 

47.  Para  turnar  números  compuestos,  ó  compues- 
tos con  dijitos,  escríbanse  unos  debajo  de  otros,  de  mo- 
do que  queden  unidades  bajo  unidades,  decenas  bajo 
9,  centenas  bajo  centenas,  etc. 
Tírese  por  debajo  de  los  sumandos   una  línea  recta 
pan  separarlos  de  la  suma  ó  total. 

Ba  seguida  súmense  las  unidades,  luego  las  decenas, 
después  las  centenas,  i  así  los  demás  dijitos  de  las  o- 
tras  columnas,  procurando:  que  si  en  la  suma  de  uni- 
dades hai  decenas,  se  agreguen  á  la  suma  de  las  dece- 
nas: si  en  la  suma  de  éstas  hai  centenas,  se  agreguen  á 
la  Mima  de  las  centenas  i  lo  mismo  en  los  órdenes  res- 
tantes de  unidades, 

s    .       '/'////',.v.  por  ejemplo,  que  se  quieren  sumar  los 
siguientes  números:  1478,  743,  145  i  25460.    Dispón- 
gase la  operación  tal  como  se  vé  al  mar  jen,  i  diremos: 
1478/     La  suma  de  las  unidades,  segím  la  regla  del 
7431  párrafo  anterior,  es  16:  en  16,  hai  una  decena  í 
145  J  sobran  6  unidades.  Dejamos  6  i  llevamos  una 
25460  j  decena,  que  agregada  á  la  suma  de  las  decenas 
f  dá  22  decenas:  en  22  decenas  hai  dos  centenas  i 
27826  \  sobran  2  decenas. 

Dejamos  2  decenas  i  llevamos  2  centenas,  que  agre- 
gadas á  la  suma  de  las  centenas,  dá  18  centenas:  en  18 


—  19  — 

centenas  hai  1  millar  i  sobran  8  reñí»), 

Dejamos  8  centenas  i  se  lleva  1  millar,  que 
á  la  suma  de  los  millares  dá  7  millares.  Como 
llares  no  hai  unidades  de  orden  superior,  se  e> 
i  á  continuación  pondremos  la  suma  .] a.-  i 
primera  columna  de  la  izquierda.  Teaemoi    puea, 
la  suma  que  se  busca  es  27.826. 

48.  La  suma  de  números  compuesh  'ini»n/..: 

jeneralmente  por  la  derecha:  pero  ruando  la  >ui 
los  números  en  cada  columna  no  pasa  de  í),  ent< 
indiferente  ó  tan  fácil  comenzar  por  la  derecha,  | 
izquierda  ó  por  cualquier  columna  intermedia. 

f  46101 
La  operación  siguiente  presenta  un  ejemplo      ggjjg 

de  este  caso 1 1  OtO 

21o|i 


Suma,...       O'.iSiu 

49.  Para  efectuar  la  suma  por  la  izquierda,  colo- 
qúense las  sumas  que  resultan  en  cada  columna,  unas 
debajo  de  otras;  pero  corriendo  un  lugar  Inicia  la  den 
cha,  i  súmense  en  seguida  del  mismo  modo  DOf  la  iz- 
quierda, hasta  que  la  suma  que  resulte  en  cada  colum 
na  no  pase  de  9.  Véase  el  ejemplo  sigulenfc 

9874 
6756 
8679 
9987 
6845 


38:  :: 

:38". 
::31: 
:::31 

3:':  ;i 

11:  :: 

11 :: 

41 


Suma....  42141 


_¿0 


;(.  ea  mas  difícil  la  suma  por  la  iz- 
qntoda,  «to  se  comienza  á    eíectuar  siempre 

Mr  la  derecha,  , 

•  |  |  „.  .,/,,  fltspiH.s  de  practicada  una  suma,  que- 
ramos cerciorarnos  si  está  bien  hecha,  vuélvase  a  repe- 
tir la  operación,  sumando  de  abajo  para  arriba;  pero 
i»re  comenzándose  por  la  derecha.  ; 

Ui  operados  puede  disponerse  como  se  ve  en  el  e- 

14642  Suma  de  abajo  hacia  arriba. 

4532 

8210 

364 

1536 

14642  Suma  de  arriba  hacia  abajo. 

51,  Principios  acerca  de  la  suma.—  1.°  El  orden  de 
>n  de  los  sumandos  no  altera  la  suma. 

2.°  Si  á  uno  de  los  sumandos  se  agrega  una  cantidad, 
la  suma  queda  aumentada  en  esta  cantidad. 

3.°  Si  a  uno  de  los  sumandos  se  le  resta  una  cand- 
ía suma  queda  disminuida  en  esta  cantidad. 

De  aqui  se  sigue:  que  para  que  una  suma  aumente, 
es  preciso  qne  aumente  por  lo  menos  nno  de  los  su- 
mandos; i  para  que  disminuya,  es  preciso  que  dismi- 
nuya por  lo  menos  uno  de  los  sumandos. 

4.°  Si  á  un  sumando  se  le  añade  una  cantidad,  i  al 
mismo  sumando  6  á  otro  se  quita  la  misma  cantidad, 
la  suma  no  altera. 

62.  Usos  de  la  adición.— L?l  adición  se  emplea  en 
dos  casos:  1.°  cuando  se  quiere  agregar  á  un  número 
otro  ú  otros  números  dados,  i  2.°  cuando  se  quiere  en- 
contrar el  total  de  varios  números  de  la  misma  espe- 
cie ó  del  mismo  jénero. 

63.  Para  que  los  números  concretos  puedan  sumar- 
se, se  necesita  que  todos  sean  de  la  misma  especie.  Sin 
embargo,  pueden  sumarse  números  de  diferentes  espe- 
cies, con  tai  que  se  les  pueda  dar  una  denominación 
común.  Por  ejemplo,  si  en  un  ramo  hai  11  nardos.  4 
violetas  i  9  rosas,  resultan  por  todo  24  flores. 


—  21  — 

Problemas  de  sumar. 

54.  1.°  El  año  de  1884.  asistieron    á   una  Kscuela  &6 


Injenieria  48  cursantes,  a  una  de  Medicina  168,  i  á 
de  Derecho 329,  ¿Cuántos  cursantes  asistieron  alastres 
Escuelas? 

2.°  A  48  millones  se  quieren  agregar  15  e»*n  tenas  de 
millar,  148  decenas  de  millón,   i  kJ 
¿Cuánto  hace  por  todo? 

3.°  Del  punto  A  al  punto  B  liai  1-48  1« 
hai  389,  de  C  á  D  hai  7428  i  de  D  á   E   lia  i  i  • 
guas.  ¿Cuántas  leguas  habrá  del  punto  A  al  ponto 

4.°  Un  ferro-carril  tiene  qué  recorrer  una  distancia 
en  5  horas:  en  la  primera  hora  recorre  26  1  D  Ka 

segunda  8  leguas  más  que  en  la  primera;  en  la  tercera 
12  leguas  más  que  en  la  segunda:  en  la  coarta  16  legoas 
más  que  en  la  tercera,  i  en  la  quinta  20 
en  la  cuarta.  De  cuántas  leguas  es  la  distan»  : 

5.°  Un  capitalista  desea  comprar  una  casa,  una  tinca 
i  un  buque:  por  la  casa  le  piden  48.597  pesos, 
hacienda  345.631  i  por  el  buque  Cuántos 

pesos  le  piden  por  las  tres  cosas  1 

SUSTRACCIÓN  O  RESTA. 

5o,  Sustracción  ó  resta  es  la  o]  r  medio 

de  la  cual  se  encuentra  lo  que  le  falta  á  un  número  pa- 
ra ser  igual  á  otro. 

La  cantidad  que  se  va  á  restar  se  llama 
i  la  que  se  resta  sustraértelo*  El  resallado  de  Ka  "igni- 
ción se  llama  resta,  residuo,  exa  8< 

Para  indicar  una  resta,  se  escribe  entre  el  ni  un. 
do  i  sustraendo  el  signo  — ,  que  como  salamos  se  lee 
menos.  Asi,  por  ejemplo,  para  indica]  Ui  quie- 

re quitarse  8,  pondremos  15—8. 

Cuando  el  minuendo   6  sustraen- 
compuestas  de  dos  ó  mas  términos  pre  i  del  sig 
no  +  6—,  entonces  se  indicará  la  <^.-¡v -ion  de  iee»r 
encerrando  al  minuendo  ó  sustraendo  entre  paréntesis, 
como  se  vé  en  las  siguientes  ejemplos. 
17  —(4+5—2^ 
(4  +  12-8)-  6 
(5+  9-l)-(4+6+2) 


—  2¿  — 


,/r  otroi—Pütíi  restar  un  díjito 

ntmr  cuál  es  ei  númeio,  que  suma- 

lo   ó  cantidad  menor,   produce  el 

ntidad  mayor.  Asi,  por  ejemplo,  la-  dj- 

9  í    i.  es  5,  porque  5  sumado  con  4,  da  9, 

i  el  minnendo.  . 

•fon  ¿te  /  ,•  -v/r/r,  se  facilita  aprendiendo 

aiente 


l^BLA. 

2—1    1 

I  ..'2 

4-1. .3 

5—1.. 4 

6—1..  5 

¡  .1 

4-2.. 2 

5 —2..  3 

6— 2.. 4 

7-2.  .5 

:..! 

6    8.. 2 

6— 3.. 3 

7-  3.. 4 

8— 3.. 5 

1     I 

4,.,í 

7-4..  3 

8— 4.. 4 

9— 4..  5 

1 

K..S 

8-5..  3 

9— 5.. 4 

10-5..  5 

6.  .« 

9-6..  3 

10— 6..  4 

11— 6..  5 

9     7..  2 

10— 7..  3 

11—  7..  4 

12— 7..  5 

8..1 

lo-  8.. 2 

11-8   .3 

12— 8.. 4 

13— 8. 5 

II-0..2 

12— 9..  3 

13— 9.. 4 

14— 9..  5 

7-  I 
8- 

3.. 

4  . 

.1 

12   -6.. 

; 

14 


8-1  . 

g    2. 

lo     3. 
11-4 
12    5. 
18    r, 
14-7 

ir»    > 

10-9 


.    / 

.  7 
.  7 
.  7 
.  7 
.  7 
.  7 
.   7 


9—1. 
10—2. 
11-3 
12-  4. 
13-5. 
14—6 
15—7 
1C-8 
17-9 


8 

8 

8 

8 

8 

8 

8  | 

8     17-8.... 

8     18—9.... 


10—1.... 
11-2.... 
12—3.... 
13-4.... 
14—5.... 
15—6.... 
16—7.... 


/'xra  restar  en  jeneral,  escríbase  el   sustraendo 

jo  del  minuendo,  de  modo  que  queden  unidades 

bajo  unidades,  decenas  bajo  decenas,   centenas  bajo 

Otttenas,  etc.,  i  hecho  esto,  srut>fáj,eti8fc  dicttos  núme- 

m  para  lepararioe  de  la  dlierencia  que  se  busca. 

Kn  seguida  réstense  sucesivamente  las  cifras  del 
sustraendo  de  >ns  correspondientes  en  el  minuendo. 
comenzando  por  las  unidades. 

Si  hai  cifras  en  el  minuendo,  iguales  á  las  respecti- 
vas en  sustraendo,  se  pondrá  cero  como  diferencia  de 
dlohafl  cifra-. 
Si  alguna  cifra  del  minuendo  es  menor  que  la  res- 
ivadel  sustraendo,  auméntese  ala  cifra  del  mi- 


—  S3  - 

nuendo  diez  unidades  de  su  urden,   i 
una  unidad  menos  la  cifra  siguien 

Si  el  minuendo  termina  en  ceros  i  el  sustrae] 
considérese  el  primer  cero  con  el  valor  de  diez,  lo- 
mas con  el  de  nueve  i  la  primera  cifra  significa 
minuendo,  con  una  unidad  menos 

Finalmente,  si  entre  dos  cifras  significal  i  mi- 

nuendo hai  ceros,  i  la  cifra  de  la  derecha  de  1 
es  menor  que  la  respectiva  en  el  BOStraendo,  ame. 
se  á  dicha  cifra  de  la  derecha,  diez  unidad 
den,  considérese  cada  cero  con  el  valor  de  // 
cifra  significativa  de  la  izquierda  con   una  unidad  ñu- 
ños. 

59.  Propongamos  algunos  ejemplos   paja    j 
esta  regla: 

1.°  Hallar  la  diferencia  entre  8075  i  5 

La  operación  se  dispondrá  como  so  vé  al  márjefl  I 
remos- 

(5  menos  2,  o;  7  menos  8,  i;  0m 
8976  minuendo     i  5.   g  menos  O,  3.— La  ditwvnria  sorá  olí 
5432  sustraendo^  tónces>  3  unidades  +  4  deOeiMfl  I  0    OMtS 
8543  Resta  i  nas  +  3  unidades  de  milla)-,  ó  lo  que  es  lo 

[mismo,  8543  unidad- 

2.°  Hallar  la  diferencia  entre  65408  i  84401. 

,  Diremos:  2  menos  1,  1:    o  MMM 

65402  minuendo         4  4    0     fí  meno§  4     , 

O4401  sustraendo  -   g    ^  ^¿^  f?s  ^tS**  :;„„,, 

31001  Resta  '  dades. 

3.°  Hallar  la  diferencia  entre  Teiíl  i  4729. 

7531  min.       ,  Diremos:  1  menos  1)    no  1 

4729  sustr.       gamos  á  1   diez  unidad.-  .itan   11: 

i  11  menos  9,  2;   3  quedó  con  el  valor 

2802  Resta    (  por  las  10  unidades  que  prestamos: '- 
nos  2,  0;  o  menos  7  no  puede  ser: 
centenas  i  resultan  15;  15  menos  7.  8;  7  del  minuendo 
quedó  con  el  valor  de  0  por  las  10  centenas  ó  el  millar 
que  le  prestamos;  G  menos 4,  2.  La  resta  1  -  en«  nowWW. 

4.°  Hallar  la  diferencia  entre  64000  i  31314. 


—  2  4  — 

,;,,HM  ,nin-    I  Dirruios:  10  menos  4,  6;  9  menos  1,  8;  9 
31314  sumí    }  |nenos  ^  6.  3  menos  ij   2;  6  menos  3,  3. 

Hallar  La  diferencia  entre  3400021  i  1346850. 
340002!  niin.     ,  Diremos:  1  menos  0,  1;  12  menos  5,  7; 
1840850  susir.  ^  i>  menos  8,  1;  9  menos  6,  3;  9  menos  4, 
5;  3  menos  3,  0;  3  menos  1,  2.  La  resta 
2053171  Resta     será  entonces  2053171, 

00.  Para  mayor  facilidad,  se  comienza  á  restar  por 
la  derocha;  pero  cuando  las  cifras  del  minuendo  no 
.,  ...  :  .,..,,  ;,  s  que  las  respectivas  del  sustraendo,  en- 
tonces es  indiferente  ó  tan  fácil  restar  por  la  derecha, 
por  la  izquierda  6  por  cualquiera  otra  cifra  intermedia. 
La  resta  por  la  izquierda  puede  efectuarse  como  se 
I  «1  ejemplo  siguiente:  /^ 

783210  min.    (Comenzando  por  la  izquierda,  diremos: 
3&64.VJ  BUStr,  I  7  menos  3,  4;  8  menos  5,  3;  3menos  6  no 

\  puede  ser,  quítese  una  unidad  al  3  de  la 

|  resta  i  queda  2;  esa  unidad  convertida 
•  mvt-q  -p  fo  en  10  agregúese  al  3  del  minuendo  i  que- 
-LOTO»  ttesta  Ldanl3;  13  men0s6,   7;  2  menos  4  no 

puede  ser,  quítese  una  unidad  al  7  de  la  resta  i  quedan 
0;  esa  unidad  convertida  en  10  agregúese  al  2  del  mi- 
nuendo i  quedan  12;12  menos  4,  8;  1  menos  5  no  pue- 
de ser,  quítese  una  unidad  al  8  de  la  resta  i  quedan  7; 
esa  unidad  convertida  en  10  agregúese  al  1  del  minuen- 
qnedanll;  11  menos  5,  6;  Órnenos  2  no  puede 
ser,  quítese  una  unidad  al  6  déla  resta  i  quedan  5;  esa 
unidad  convertida  en  10  agregúese  al  0  del  minuendo  i 
quedan  10;  10  menos  2,  8.  Luego  la  resta  es  426758. 

61.  Para  cerciorarse  si  una  operación  de  restar  está 
bien  hecha,  súmese  el  sustraendo  con  la  resta  i  la  su- 
ma debe  ser  igual  al  minuendo,  ó  bien:  réstese  del  mi- 
nuendo la  resta  i  debe  resultar  el  sustraendo.  En  efec- 
to, si  tenemos,  por  ejemplo,  15—7=8,  se  verifica: 
7+8—15,  i  15-8=7. 

62.  Usos  de  la  resta.  La  operación  de  restar  se  usa 
en  tres  casos:  l.#  cuando  se  quiere  rebajar  un  número 
de  otro.—  2.°  cuando  se  quiere  hallar  eí  exceso  que  un 


25  - 


número  tiene  sobre  otro,  i  3.°  cuando  oonooido  u: 
mero  i  una  de  sus  partes,  se  quiere  encontrar  la  otra 
parte. 

63.  Principios  acerca  de  la  resta.— \°  Si  el  minuen- 
do aumenta  ó  elsustraendo  disminuye,  la  resta  ann 

ta  en  la  misma  cantidad. 

2.°  Si  el  minuendo  disminuye  i  el  snstnendo 
menta,  la  resta  disminuye  en  la  misma  oanticU 

3.°  Si  al  minuendo  i  sustraendo  se  les  afiaoV 
quita  una  misma  cantidad,  la  resta  no  varía. 

64.  Equidiferencia  ó  proporción  por  di 

la  igualdad  de  dos  restas  indicadas,  por  ejemplo:- 
5-2=7-4. 

Los  términos  del  centro  en  una  equidiferencia,  se 
llaman  medios,  i  los  de  los  lados  ext¡  En   la  e- 

quidiferencia  anterior  2  i  7  son  los  ni»  i  4  los 

extremos. 

En  toda  equidiferencia,  la  suma  délos  exl  remos  es 
igual  á  la  suma  de  los  medios.  En  efeer  lo  á 

los  dos  miembros  de  la  igualdad  anterior,  la  soma  dd 
primer  medio  i  segundo  extremo,  resulta: 

5—2+2+4=7—4+2+4.  Pero,  —2  i  +8 
lo  mismo  que  —4  i  +4,  luego  queda  ."V4 1,  sm 
mos  =2+7,  suma  de  medios. 

Un  extremo  se  encuentra  sumando  1< 
tando  de  la  suma  el  extremo  conocido.  Así,  en  1 
diferencia  6— 7=9— x.  será  x=(7+9)-6=10  (*). 

Un  medio  se  encuentra  sumando  los  extremos  i  res- 
tando de  la  suma  el  medio  conocido.  Así,  en  la  ♦•  . 
diferencia  6— 4=x— 7,  será  x=(6+7)-4=9. 
Problemas  «le  restar. 

65. 1.°  El  triunfo  déla  gloriosa  revolnci 
en  Guatemala  por  el  Jeneral  IX  .1.  Rufino  Barrios,  se 
verificó  el  30  de  Junio  de  1871.    ;Cuán:-  I  habrán 

trascurrido  hasta  el  30  de  Junio  de  1885? 
2.°  Un  empleado  solicito  una  licencia  de  SO  lias,  ¿que 


(*)_Las  cantidades  incógnitas  en  ana  cuestión  artraétic»,  » 
sentan  por  las  letras  x,  i  z,  i  también  suelen  emplearse  las  demás  letra* 

del  alfabeto  castellano. 


—  26  — 

¿ría,  suponiendo  que  la  terminó  el  31 

<W  mian  _     .       ,  _ 

I  •   ,    ■   amento  de  café,  con  todo  i  costales  pesa 
quintales,  i  el  café  solo,  pesa  1475.  ¿Cuánto  pesan 

i'n  hacendado  gana  cada  año 32460  pesos  i  gasta 
»s  le  quedan  de  utilidad? 
fi."  En  un  terreno  que  tiene  4507  caballerías,  se  ha- 
.  miu-adu   21  18.  \i  ¡uántas  oáball^daa  quedan  sin 

rulti 

6/  l  ni  i  tiene  en  servicio  13.435  hombres  mi- 

litares, suponiendo  que  vayan  á  la  guerra  3619,  ¿cuán- 
tos hombree  quedan? 

MULTIPLICACIÓN. 

•  <..    V  //*  en  jeneral,  es  hallar  un  número  que 

asa  respecto  al  multiplicando  lo  que  el  multiplicador 
caá  la  unidad. 

i  definición  quiere  decir:  que  si  el  multiplicador 
es  igii:tl  á  la  unidad,  el  resultado  será  igual  al  multi- 
plicando; si  »1  multiplicador  es  menor  ó  mayor  que  la 
unidad,  el  resultado  será  menor  ó  mayor  que  el  multi- 
plicando, etc. 

La  cantidad  que  se  relaciona  con  lo  que  se  busca, 
se  llama  multiplicando;  la  que  se  relaciona  con  la  uni- 
dad, multiplicador,  i  el  resultado  ó  cantidad  que  se 
busca,  producto. 

Los  números  que  se  dan  para  multiplicar  se  llaman 
/adores. 

Multiplicar  enteros,  es  sumar  un  número  con 
feo  mismo,  tantas  veces  como  unidades  tiene  otro. 

-"•  la  multiplicación  do  enteros,  es  un  modo 
abreviado  de  sumar  un  mismo  número  varias  veces 
SOS  sÍLro  mismo. 

fl8.  udicar  una  multiplicación,  se  pone  el  sig- 

no X  o  entre  uno  i  otro  factor.  Así,  por  ejemplo,  si 
queremos  indicar  la  multiplicación  de  7  por  9,  pondre- 
mos: 7x9  ó  7.  9. 

Cuando  alguno  de  los  factores  se  compone  de  varios 

•ninnos,  se  encerrará  entre  paréntesis  para  indicar  la 
multiplicación,  como  se  vé  en  los  ejemplos  siguientes: 
7XÍ5+4+8);  (4-1) .  (3-2);  (6+1-3).  (7  +  3);  (6-1+4)  *7, 


27  - 


69,  Casos  de  muUtplicar.  Los  n  #MI 

la  multiplicación,  son  tres:  l.Mnulriplic 
por  otro  díjito:  2.*  multiplicar  un 
díjito,  i  3.    multiplicar  un  conipn 
puesto. 

Para  multiplicar  un  díjito  por 
memoria  la  siguiente 

TA«LA. 


1  por 

1  por 

1  por 

1  por 

1  por 

1  por 
por 


1  por 

1  por 
por 


1  por  10, 

5  por 
f>  por 

5  por 

6  por 

5  por 

6  por 
ñ  por 
5  por 
p  por 
5  por 
5  por  10. 


<>, 
1, 
2, 

4, 
o, 
6, 
7, 
8, 
9. 


0 
5 
10 
lo 
20 
2o 
30 
35 
40 
45 
50 


9  por  0, 
9  por  1, 
9  por 
9  por 
9  por 
9  por 
9  por 
9  por 
9  por 
9  por 
9  por 


3, 
4, 

6, 
?j 

9, 
10, 


0 
9 
18 
27 
36 
45 
54 
63 
72 
81 
90 


6  por 
6  por 
6  por 
o  por 
o  por 
6  por 
6  por 
6  por 
6  por 
6  por 
6  por 

lOpor 
lOpor 
lOpor 
lOpor 
lOpor 
lOpor 
lOpor 
lOpor 
lOpor 
lOpor 
lOpor 


2,  M 

3.  181 

4,  24 

5.  30 
c>,  96 

7.  42, 

8,  46 
«».  54 

10.  60| 


o  por 

3  por 
3  por 
3  por 
3  por 
3  por 
3  por 
3  por 
3  por 
3  por 
3  por 

7  por 
7  por 
?  por 

?  por 
7  por 
7  por 

(í  por 

'  1><"' 
7   ])<>]• 

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8  jKir 

8  por 

8  poi 

8  por 

8  p«>r 


1. 


10 


4.  80 


18 
54 


I,  7V 


0,  0 

1,  10 

2,  20 
::.  80 

4,  40 

5,  50 

6,  60 

7,  70 
S,  So 
9,  90 

10,100 


11  por 
11  por 
1  lpor 
llpor 
i  Ipot 
1  lp<»r 
llpor 
i  Lpor 
Llpor 
i  lpor 
llpor 


0.  o 

1.  1 

2.  22 

8,  (M 

9,  99 

HUÍ" 


ISpor 
ISpor 

LSpOT 

ISpor 

ISpOT 

LSpor 
LSpor 

12i-i 

L*por 
ISpor 


". 

i. 


18 
M 

:*; 

68 
«i 

n 


a  m 

9,10* 

laiso 


__  28  — 


■,!  multiplicar  un  compuesto  por  un  díjito, 
multipliqúese  el  díjito  sucesivamente  porcada  cifra  del 
,,,,.}  ú.-hÍm.  ,-«.iiifii/.:iinl«i  por  la  derecha,  teniendo   coi- 
,!■.,:,,  ,¡,.  (ju,.,  si  en  .'1  producto  de  unidades,  hai  dece- 
.  ...   ...  :I   i,  j:\ww  al  producto  de  las  decenas;  si  en  éste 

hai  centenas,  se  agreguen  al  producto  de  las  centenas  &. 

Supongamos,  por  ejemplo,  qne  se  quiere  multipli- 
nrSKW  por* 

Dispóngase  la  operación  como  sigue,  i  diremos: 

0  por  1,  6;  6  por  3,  18:  en  18  decenas 
hai  una  centena  que  se  lleva  i  que- 

54031  [  v    ,         \dan  8  decenas;  6  por  0,  0  i  una  que 
irRCW>re8^ se  lleva,  esl;  6  por  4,  24:  en  24  mi- 

1  llares  hai  2  decenas  de  millar,  que 
se  llevan  i  quedan  4  millares;  6  por 
5,  30  i  2  que  se  llevan,  son  32.  Lue- 
go el  producto  será  324. 186. 


824186  Producto 


71.  Pora  ni  ull ¡plicar  un  compuesto  por  otro  com- 
puesto, considérese  como  multiplicando  el  número  de 
mas  cifras  i  escríbase  encima  del  multiplicador  ó  nú- 
i  de  menos  cifras.  Si  los  dos  factores  tienen  igual 
BÚmero  de  cifras,  escríbase  desde  luego  uno  sobre  otro 
de  modo  que  se  correspondan  las  unidades  de  un  mis- 
il, i  subráyense  para  separarlos  del  producto. 

Multipliqúese  en  seguida  la  cifra  de  unidades  del 

multiplicador  por  todo  el  multiplicando,  luego  la  cifra 

de  decena-  del  multiplicador  por  todo  el  multiplican- 

60  |eneral,  cada  cifra  del  multiplicador  por  todo 

••1  multiplicando. 

Coloqúense  estos  productos,  unos  debajo  de  otros; 
pero  corriéndose  un  lugar  hacia  la  izquierda;  súmense 
después,  i  la  suma  será  el  producto. 

Supongamos  que  se  quiere  multiplicar  45341  por 

Dispóngase  la  operación  como  se  vé  en  seguida  i  di- 
remos: fo 


—  2  9  — 

45341    Multiplicando  /        ,>„,... 

¿óW)  Multiplicador  i  tienen  diferente  número  ded 
~~w>~p¿^~  ^      ?       ifi-as,  se  considerará  por  mol. 
o~Snie     /   a.  I       y  tiphcando  el  qne  tiene  mí»,  6 

-iqphoo        >■   s-S        \  sea  45341,  i  por  mnltipli* 
qa«2o  ^    "S  12304. -Multiplir 

J(fbb2  )      |         # gnida  las  cifras  <!♦•   .¡ 

~~         —  F  decenas,    cent  del 

107J231.465  Producto.        >  multiplicador  por  todo  el  muí 
tiplicando,  lo  cual  se  consigue  en  virtud  de  la  regla  del 
2,°  caso,  hallaremos  los  productos 
que  colocados  unos  debajo  de  otros,  i  con  un   logar 
corrido  hacia  la  izquierda',  dan  por  suma   107,231.485, 
que  es  el  producto  que  se  busca. 

12.  Otra  regla  de  multiplicar  o  tos.  —  T 

bien  puede  encontrarse  el  producto  dedos  números 
compuestos,  sin  sacar  productos  Daroiales,  lo  oual,  con 
alguna  práctica,  simplifica  indudablemente  la  opera* 
cion. 

Consiste  este  método,  en   hallar  fácilmente  i  sumar 
con  prontitud  los  productos  que  den  e)   misn* 
de  unidades,  como  por  ejemplo,  unidad' t$  poi    M 
decenas  por  centenas,  millares  por  unidades,  i  r 
ñas  por  decenas,  que  todos  dan  de  producto  un  atea 
ro  exacto  de  millares.— Según  esto: 

Para  hallar  el  producto,  multipliqúense  las  unida- 
des por  las  unidades:  escríbanse  las  unidades  del  pro- 
ducto i  reténganse  en  la  memoria  las  decenas. 

Multipliqúense  después  las  unidades  por  las  decenas 
i  las  decenas  por  las  unidades,  i  á  la   suma  de  estos 
productos,  agregúense  las  decenas  retenida- 
sé  las  decenas  de  esta  suma  i  reténganse  en  la  memo- 
ria las  centenas. 

Multipliqúense  las  unidades  por  las  n 
cenas  por  las  decenas  i  las  centenas  por  las  unidades, 
i  á  la  suma  de  estos  productos,  agregúense  las  c*t 
ñas  retenidas:  escríbanse  las  centenas  de  esta  sama,  i 
reténganse  en  la  memoria  los  millares,  los  que  se  agre- 
garán después  á  la  suma  de  los  productos  de  unidades 
por  millares,  decenas  por  centenas,  centenas  por  dece- 
nas i  millares  por  unidades,  etc.,  etc. 


—  3  O  - 

Par*  comprender  la  práctica  de  este  método,  halle- 
moa  ,.|  j,¡  dtJ  loe  números  anteriores.  DÍ6pondre- 
,,i  como  Be  vé  en  seguida: 

;/.:;!  I    j      (1)  Y  decimos:  5  por  1,  5- 
g  866    |      (8)  5  por  4,  20;   6  por  1, 

\  6;  20  i  6,  son  26.    Quedan 

Producto....   L07i981.4é5     ?  i  llevamos  2. 

J      (y)  o   por  3,  15  i  2  que 

,  17:  (;  por  4,  2-4;  3  por  1,  3;  17,  24  i  3,  son  44. 
lao  l  i  llevamos  4. 

.  .  gfi  i  4  que  llevamos,  29;  6  por  3,  18;  3  por 
i.  Ü\  Ú  por  1  2;  29,  18,  12  i  2,  son  61.   Queda  l  i  lleva  - 

(5)  B  pof  i,  90  i  6  que  llevamos,  26;  6  poro,  30;  3  por 
i  por  4,  8;  26,  30,  9  i  8,  son  73.    Quedan  8  i  lleva- 
te)  8  por  4,  24  i  7  que  llevamos,  31;  3  poro,  lo;  2  por 
:i,  6;  81,  1.')  i  6,  son  52.  Quedan  2  i  llevamos  5. 

(7)  I  '.  12  i  5  que  llevamos,  17;  2  por  5,  10;  17  i 

10,  son  27.  Quedan  J  i  llevamos  2. 
>   2  por  4.  8  i  2  que  llevamos,  son  *ó; 

Como  ya  no  (jueda  ninguna  otra  cifra  qué  multipli- 
car, será  10  la  ultima  porción  del  producto.  Juntando, 
pues,  las  cifras  subrayadas,  resulta  el  número- 


405  igual  al  encontrado  por  el  otro  método. 

Para  mayor  claridad,  se  indica  á  continuación  la  di- 
on  en  que  deben  efectuarse  las  multiplicaciones 
parciales. 


541  45341  ,45341 

2365  l     2365  <•     2365 


,  45341  45341  45  341 

-  x  <•>-  x  »-  x 

Wfi  [    2  3  65  l     2  365 


i  1  - 


¿  4  5341  ¡;,:;ii 

1      2365 

73.  Casos  particulares  en  que  se  abrevian  las  reglas 

de  multiplicar  enteros: 

1.°  Para  multiplicar  un  entero  por  la  unidad  seguida 
de  ceros,  coloqúense  á  la  derecha  de  dicho  ei 
ceros  que  acompañan  á  la  unidad. 

Por  ejemplo:  538  x  1000=5: B000. 

2.°  Para  multiplicar  un  entero  que  no  termine  en 
ceros,  por  otro  que  se  componga  de  una  <'>  mas 
significativas  seguidas  de  ceros,  hállese  el  producto  de 
las  cifras  significativas  en  ambos  factores,  ! ere- 

cha  del  resultado,  coloqúense  los  ceros. 

Por  ejemplo:  358  x  35000  es  =  al  prod  i 
guido  de  3  ceros. 

3.°  Para  multiplicar  dos  enteros  que  terminen  enca- 
ros, hállese  el  producto  de  las  cifras  significa  tiras,  i  á 
su  derecha  escríbanse  los  ceros  que  ha  i  en 

Por  ejemplo:  35000x400  es  =  al  producto 
guido  de  cinco  ceros. 

4.°  Para  multiplicar  dos  enteros  cuando  en  medio 
de  dos  cifras  significativas  del  multiplicador  hai  ceros, 
no  se  haga  caso  de  los  ceros,  sino  que  se  pasará  á  la 
fra  significativa  que  les  sigue,  cuidando  ae  comenzará 
escribir  el  producto  debajo  de  la  cifra  por  la  cual 
multiplica. 

Se  quiere  multiplicar,  por  ejemplo,  05473  por  000 
Dispóngase  la  operación  como  se  vé  en  - 

i',:>483 
5001 


«w' 


o:>4S:} 
327415 

Producto....  327,480. 48:  ] 


-  8  S  — 

;»■  Para  multiplicar  un  entero  por  11,  12,  13  hasta 
19,  multipliqúese  por  la  cura  de  unidades,  escríbase  es- 
te producto  debajo  del  mismo  número,  corriendo  un 
¡;1    .l.Mvclia,  i  la  suma  de   ambas  cantida- 
,!,.s.  >.,i.i  .1  producto  lotal.  . 

v^i      •  quifiv,  por  ejemplo,  multiplicar   1428  por  Ib. 
multiplicaremos  solo  por  8,  i  el  producto  i: ¡424  colo- 
,  de   L428,  corriendo  un  lugar  hacia  la  de- 
ha,  .1:  :  1428 
11424 


25704      que  es  el  producto. 

6.°  Pata  multiplicar  un  entero  por  otro  compuesto 
de  dos  cifras,  i  cuya  cifra  de  unidades  sea  1,  es  decir: 
por  21,  31.  41  hasta  91,  multipliqúese  por  la  cifra  de 
decei  ríbase  este  producto  debajo  del  mismo  nu- 

mero, corriendo  un  lugar  hacia  la  izquierda,  i  la  suma 
cantidades,  será  el  producto  total, 
-e  quiere,  por  ejemplo,  multiplicar  3524  po^  51, 
multiplicaremos  solo  por  5,  i  el  producto  17620,  colo- 
d<  bajo  de  2524,  corriendo  un  lugar  hacia  la  iz- 
T'h.  dará:  3524 

17620 

179724      que  es  el  producto. 

7.°  Para  multiplicar  un  entero  por  25  6  125,  escrí- 
banse á  su  derecha  dos  ó  tres  ceros  respectivamente,  i 
al  resultado  saqúese  la  4.a  parte,  si  se  trata  de  25,  i  la 
8.»  si  se  trata  de  125. 

(Advertencia. — Esta  regla  se  comprenderá  mejor   cuando  se  sepa 
diridir.) 

8.°  Para  multiplicar  un  entero  rjor  otro  que  se  com- 
ponga solo  de  nueves,  escríbanse  á  su  derecha,  tantos 
ceros,  como  nueves  haya;  de  lo  que  resulte  réstese  el 
mismo  número,  i  la  resta  será  el  producto. 

Se  quiere  multiplicar,  por  ejemplo,  1484  por  999.  A 
la  derecha  del  multiplicando  pondremos  tres  ceros  por 
los  tres  nueves  del  multiplicador,  i  resulta:  1484000; 
restando  de  este  número  el  mismo  multiplicando,  ten- 
dremos: 1484000—1484=1482516,  que  es  el  producto. 


3  :;    - 

8.°  Para  multiplicar  un  entero  p 
ceros  á  su  derecha,  i  la  mitad   del    resultad 
con  la  mitad  de  esta  mitad,  darán  el  j»¡ 

La  multiplicación,  por  ejemplo,   de 
practicará  como  sigqe:-84600 
mitad -42300  | 
mitad  de  la  mitad-21Í50  ( 

Producto....    08450 

9.°  Para   multiplicar  un  entero  por  175, 
dos  ceros  á  su  derecha,  i  este  resultado  samad 
mitad  i  con  la  mitad  de  esta  mitad,  da 

Según  esto,  sumando  las  tres  prini 
el  ejemplo  anterior,  tendremos  el  prodn 
175. 

10.°  Para  multiplicar  un  entero  por  otro  qn 
ferencie  de  la  unidad  inmediata  seguid.,  n  un 

número  díjito,  distinguiremos  dos  casos.  1.    qn 
tro  número  sea  menor  que  la  anida 
2.°  que  sea  mayor. 

En  el  primer  caso,  escríbanse  á  la  'multi- 

plicando los  ceros  que  acón 
que  resulte,  réstese  el  producto  del  número  dljil 
ferencial,  por  el  multiplicando,  i  la 
ducto. 

La  multiplicación,  por  ejemplo,  de  !v:7¡  porOM 

practicará  como  signe:  1871000  /  ■ 

4xi87í 7484  s  ,j:l  "' 

". i  ceros  (ju«"    • 

Resta  ó  producto  1868516    proÜB  1000. 

En  el  segundo  caso,  so  efectúa  la  operación  de  nn 
modo  análogo,  con  la  diferencia  i\r  qa< 
saltado  con  el  producto  del  díjito  il  pord 

multiplicando. 

La  multiplicación,  por  ejemplo,  de  48713  \ 
se  practicará  como  signe:    ■  \*  ntúái 

5:*  48715  'I11'' 



Suma  6  producto 18  I  muiiiplkv-»  « 100» 

11.°  Para  multiplicar  un  enfc 

3 


3   i 


oompuefttoa  sucesivamente,  hállese  de  antemano  el  pro- 
ducto de  dicho  entero  por  los  nueve  números  díjitos. 
indo  así  iin;i    tabla  en  la  cual  se  encuentran  los 
luctos  parciales  qne  deben  formar  los  productos 

Supongamos,  por  ejemplo,  que  se  quiere  multiplicar 
.•1  número  7421$,  Beparada  i    sucesivamente  por  314, 

iiKiivinos  de  antemano  el  producto  de  74212  por 
los  nueve  números  díjitos,  advirtiendo  que  el  producto 
por  1  68  »'l  mismo  número;  el  producto  por  2  es  la  su- 
ma del  producto  por  1  con  sigo  mismo;  el  producto 
por  3  es  la  suma  del  producto  por  1   con  el  producto 

:  «1  producto  por  4  es  el  doble  del  producto  por  2; 
«•I  pro.  lucí  o  por  5  es  la  suma  del  producto  por  3  con  el 
producto  por  2,  i  así  de  los  demás.  Dicha  tabla  es  la 
siguiente: 

r  Los  productos  serán  por  lo  tanto: 


por  i 

..  •> 

:; 

..  ! 

. .  5 

.,  6 

„  7 

..  i) 


74212 
148424 
222036 
296848 
371060 -í 
445272  I 
519484 
593696 
667908  I 


74212 
314 


296848 
74212 
222636 

33302568 
l.crprod. 


74212 

728 


593696 
148424 
519484 

54026336 
2.°prod. 


74212 

695 

~ 371060 
667908 
445272 

51578340 
3.erprod. 


»  Para  multiplicar  por  875,  escríbanse  tres  ceros 
derecha  del  otro  factor:  de  lo  que  resulte  saqúese 
la  octava  parte  i  la  resta  de  ambas  cantidades  será  el 
producto, 

m  PLO.— Multiplicar  5734  por  875.— Dispóngase  la 
operación  como  sigue:       5734000 
Octava  parte....        716750 

Kesta  6  producto    501725(T 


Corola  i:  i  ... 


La  suma  de  este  producto  con 
5734000,  sería  el  de  5734  por  1875. 


13.;  Cuando  en  el  multiplicador  se  observa  que  hai 
goansmos  de  una  6  mas  cifras  múltiplos  de  otro  ú  o- 
tros,  Hállense  los  productos  del  multiplicando  por  es- 


—  3  ó  — 

tos  otros,  i  para  sacar  los  demás  producto 

multipliqúense  los  encontrados  por  <•]  factor  ,.n.- 

a  cada  guarismo  del  multiplicador  pan  nal   á  su 

guarismo  múltiplo  respectivo.  La  ,:;,;,   fa   |¿  derecha 

en  cada  producto  parcial,  debe  colocarse  di 

cifra  de  la  derecha  de  su  producto  resix  | 

multiplicador. 

Ejemplo,—  Multiplicar  1854035  | 
Operación. 

L54í 


Producto  de  multiplicando  por  6...  81941J 

Prod.  por  48,  6  del  anterior  por  S. . .  :-j< H > 

Prod.  del  multiplicando  por  5... 
Prod.  por  15,  ó  del  ant.r  por  3... 

Producto  total....     209 

En  este  ejemplo  comenzamos  hallando  el    pTodn 
por  6,  i  para  el  de  48,  multiplicamos  el  de 
es  el  factor  que  le  falta  para  dar  48. 

Después  hallamos  el  producto  por  5,  i  para  el  de 
multiplicamos  el  de  5  por  3,  que  es  el  factor  qm 
falca  para  dar  lo. 

74.  Cuando  se  quiere  multiplicar  un  entero  por  eT 
producto  indicado  de  varios  factores,  multipliques*»  <li 
cho  entero  por  el  primer  factor,  el  producto  muí; 
quese  por  el  segundo  factor,  este  nuevo  producto 

el  tercer  factor,  i  así  sucesivamente. 

Si  por  ejemplo  quiere  multiplicáis»'  .11  p«»r  7 
multiplicaremos  primero  51  por  7,  el  producto  357  por 
11,  el  producto  de  estos  dos  números,  que  es  3927  por 
por  3,   i   el  producto  de  estos  dos   números,  «pie  es 
11781  por  9.  Luego  51  x (7x11x3x9)= 11781x9=1060891 

75,  Cuando  se  quiera  practicar  una  multiplicado» 
de  enteros  cuyos  factores  son  sumas  6  restas  indicadas» 
efectúense  de  antemano  las  sumas  ó  restas,  i  precéda- 
se después,  según  las  reglas  anteriores. 

Así,  por  ejemplo,  la  multiplicación   de  (7+4+1)  por 


—  3  8  — 

,  dnoeá  multiplicar  12  por  7.  - 

,   fo  multiplicación.    La    multiplicación 
a  principalmente:  1.°  Cuando  se  quiere 
ntidad  cierto  número  de  veces  mayor.— 
liando  sabido  el  precio  6  relación  de  una  cosa, 
QUIel  se  el  precio  ó  relación  de  varias  de  la  mis 

Cuando  sabido  lo  que  se   compra  con 
neda,  quiese  saberse  lo  que  se  compra  en  igual 
con  varias  monedas    de    la    misma    clase.— 
| nieren  reducirse  unidades  de  especie  su- 
iterior,  . 

Para  resolver  el  primer  uso,  multipliqúese  la  canti- 
néete por  el  número  de  veces  que  quiere  ha- 
i    i-,  u.avor.  Así  por  ejemplo,  si  se  quiere  hacer  25  ve- 
r  el  número  34,  basta  multiplicar  34  por  25.  ^ 
Cuando  una  cantidad  se  hace  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  10  ó 
-  mayor,  los  productos  toman  respectivamente 
nombres  de  duplo,  triplo,  cuadruplo,  quintuplo, 
>/>!<),  séptuplo,  óctuplo,  décuplo  i  céntuplo. 
Para  resolver  el  segundo  uso,  multipliqúese  el  pre- 
i vlacion  de  una  cosa  por  el  número  de  ellas.  Así 
por  ejemplo,  si  una  pieza  de  manta  cuesta  5  pesos,  24 
, ¡án  24 x 5  pesos=$  120. 
Para  resolver  el  tercer  uso,  multipliqúese  el  núme- 
e  monedas  por  el  número  de  cosas  que  se  compran 
.    ii  una.  Asi  por  ejemplo,  si  con  un  peso  se  compran 
E  varas  de  cinta,  con  15  pesos  se  comprarán  15x8  va- 
120  varas. 
Finalmente,  para  resolver  el  cuarto  uso,  multipli- 
qúese el  número  de  unidades  de  especie  superior,  por 
< !  número  de  unidades  de  especie  inferior  que  contie- 
ne nna  unidad  superior  de  las  de  que  se  trata.  Así  por 
ejemplo,  si  se  quieren  reducir  28  manzanas  de  terreno 
i  \  aras  cuadradas,  multiplicaremos  28  por  10000  varas 
cuadradas  que  tiene  una  manzana,  i  resulta  que  28 
manzanas  contienen  280000  varas  cuadradas. 

En  la  multiplicación  de  números  concretos,  el 
producto  es  de  la  especie  del  multiplicando. 

Según  esto,  en  la  jeneralidad  de  los  casos,  pueden 
interpretarse  las  cuestiones  de  multiplicar,  cuando  so- 
lo estén  escritos  los  factores,  relacionando  una  unidad 
de  orden  superior  del  multiplicador,  con  todo  el  muí- 


4    


tiplicando,  i  preguntando  después  la  i  |  q 

ga  todo  el  multiplicador  con  todo  el  multiplica 

Supongamos,  por  ejemplo,  que  en  un  papel  ó 
vemos  escritos  los  siguientes  factores:  8  a 
guas.  Pues  bien,  para  interpretar  el  proM»'in:i,  < 
si  una  legua  se  camina  en  8  di., 
dias  se  caminarán? 

Otro  ejemplo.— El  producto  3  quiñi: 
horas,  10  minutos),  se  interpretará,  clicien 
dia  se  elaboran  verbi-gracia  o  quint;  J  dias,   * 

lloras  i  10  minutos,  ¿cuántos  quin tí 

78,  Número  de  cifras  de  un  producto.  Kio- 
to de  dos  números  enteros,  se  compone  de  Ifna 
cuantas  tengan  los  dos  factores  junt<  inte* 
cuantas  tengan  menos  1. 

Así  por  ejemplo,  el  producto  de  5478 
tara,  á  lo  mas,  de  7  cifras,  i  á  lo  menos  de 

Guando  sean  más  de  dos  los  factores,    el  nún 
cifras  del  producto,  es  siempre  metí  ■  la  difei 

cia  entre  el  número  de  factores  i  el   ni  de  todas 

sus  cifras,  i  no  es  mayor  que  el  núni< 
los  factores. 

Así  por  ejemplo,  el  número  d< 
1584  por  871  por  6224,  será  mayor  q\ 
fras  de  los  factores— 3,  N.°  de  fací. 
mayor  que  11,  IST.°  de  cifraa 

79.  Proposiciones  acerca  déla  mult  ¡ 
orden  de  colocación  de  los  factores   no  olí 
dncto.  De  modo  que  lo  misino  dá  7x4x9 

5x4x9x7,  que  9x6*  4 

2.a  Si  uno  de  los  factores  de  un  | 
3,  4,  etc.  veces  mayor  ó  menor,  el  pfüd 
cho  también  2,  3.  4.  etc.  veces  mayo 

3.»  Si  uno  de  los  factores 
veces  mayor  ó  menor  i  el  otro  Eaetoi  se  hac< 
trario  el  mismo  número  de  eeoea   menor  o  n 
producto  no  altera. 

4.a  Si  á  uno  de  los  factores  se  agí 
el  producto  aumenta  en  el  producto  de  la 
gregada  por  el  otro  factor.  Así  por  ejemplo,  m 
7*4=28,  i  al  7  agregamos  6  verbi-gracia,   el    pi 
de  (7+5)  por  4  será  =  á  28+6*4 


—  33  — 

-¡  de  uno  de  los  factores  de  un  producto  se  resta 

.  el  producto  resulta  disminuido  en  el 

.  déla  cantidad  que  se  resta  por  el  otro  factor. 

ejemplo,  si  téhemos  8*7=56,   i  de  8  quitamos 

;.:.   el   producto  de  (8-3)  por  7  será  =  á 

&•  Si  todos  los  factores  se  multiplican  o  dividen  por 

cantidad,  el  producto  queda  multiplicado  6 

•  i-  el  producto  de  dichas  cantidades. 

r  ejemplo,  si  tenemos  12x6=72,  i  el  factor  12 

lo  multiplicamos  por  3  verbi-gracia,  i  el  factor  6  lo 

multiplicamos  por  5,  el  producto  de  12.3  por  6.5  será 

•  >ra,  si  el  factor  12  lo  dividimos  por  2  i 
el  tactor  6  lo  dividimos  por  3,  el   producto   de  (12  i  2) 
irá  =  á  72  :  (2  x  3). 
Corolarios. —,1.°  Para  multiplicar  un  producto, 

I  -M;i  multiplicar  uno  de  los  factores. 

Para  dividir  un  producto  basta  dividir  uno  de  los 

Problemas  de   sniüiíplívm: 

' .  ¿Cuántos  disparos  de  canon  pueden  hacerse 
en  8  lunas,  suponiendo  que  liai  una  batería  con  10  ca- 
Iíoih'.n.  i  v:\i\i\  cañón  hace  14  disparos  en  una  hora' 

2.°  ¿Cuántos  tipos  de  imprenta  hai  en  un  libro  que 
const:i  de  253  pajinas,  teniendo  cada  pajina  75  renglo- 
nes i  renglón  64  tipos. 

;<  "ii.intos  minutos  hai  en  5   dias,  sabiendo  que  el 
día  tiene  24  horas  i  la  hora  60  minutos? 

4.°  i  u  ejército  se  ha  dispuesto  en  filas,  de  las  que 
cada  una  contiene  12o  hombres:  habiendo  resultado 
351  '  llantos  hombres  tiene  el  ejército? 

6.°;  es   La   suma   de  381,   5253  veces  consigo 


(  *   )— El  producto  le  multiplicar  un  número  por   sí   mismo  una  ó 

.  -e  llama  }>otencia. 
La  primera  potencia  de  un  número  es  el  mismo  número. 

'la  potencia  ó  cuadrado  es  el   producto   de   multiplicar  un 
número  por  sí  mismo  nna  vez.  Así  5  x  5  ó  25  es  el  cuadrado  d  j  5. 


-39- 

6.°  Una  rueda  puede  dar  34   vueltas   por  minuto, 
¿cuántas  vueltas  dará  en  3  horas  i  8  minir 

7.°  Averiguar  el  número  de  centa  bal  en  :í50O 

piezas  valor  de  30  pesos  cada  anal 

8.°  Hai  tres  fuerzas:   la  primera 
que  la  segunda,  i  la  tercera  es  66  veces  m 
segunda:  ¿cuántas  veces  la   primera    fu 
que  la  tercera? 

DIVISIÓN. 

81.  Dividir  enjeneral,  es  hallar  un  número  il. 

do  cociente,  que  sea  respecto  á  otro  llamado  d 
do,  lo  que  la  unidad  es  á  otro  número  Uam; 

Esta  definición  quiere  decir:  que  si  la  unidad 
ejemplo  igual  al  divisor,  el  cociente  será  igual  al  < 
dendo;  si  es  mayor  que  el  divisor,  el  eoeienl  ¡na 

yor  que  el  dividendo;  si  es  la  mitad,  l«-:  irte 

del  divisor,  el  cociente  será  la  mitad,  i 
te  del  dividendo,  etc. 

También  se  dice,  que  dividir  en  jVneral,  - 
cion  en  que,  dado  un  producto  i  uno  de  h 
se  trata  de  buscar  el  otro  factor. 

Dividir  enteros,  es  averiguar  cuantas 
mero  puede  restarse  de  otro,  6  cua: 
ro  está  contenido  en  otro. 

Según  esto,  la  división  de  ent<  linden 

to  abreviado  para  restar  un  número  de  otro  todas  las 
veces  que  se  pueda. 

82,  Para  indicar  una  división,  se  osa  el  ata 
:  ,  que  se  coloca  entre  el  dividendo   i   el  divia 

por  ejemplo,  si  se  quiere  indicar  qo  á  divi- 

dirse por  5,  se  pondrá:  8-5-5  6  80  ¡  5. 

Las  divisiones  pueden  ser  exacta 
visión  exacta  es  aquella  en   que  no  resulta  /<*/'/ 
división  inexacta  es  aquella  en  que  sí  i* 

Residuo  de- una  división,  es  la  parte  última  qofl  •; 
da  del  dividendo  i  que  va  no  contiene  al  divisor. 

Por  ejemplo,  en  la  división  de  12  por  7  el  residuo  es 
5,  porque  7  está  contenido  una  en  12 1  H'l'ra  .» 

del  dividendo  que  ya  no  contiene  al  7  del  dinaor. 

El  residuo  en  toda  división  se  encuentra  mulnpii- 


—   i  o  — 

cando  la  parte  entera  del  cociente  por  el  divisor  i  res- 

taml  «lucio  del   dividendo.— En  toda  división 

lo  es  igual   al  residuo  sumado  con 

i  arte  entera  del  cociente  multiplica- 

\i  dirísíon.  —  En" -la  división  ocurren 
tres  casos:-  1.    Dividir  un  díjito  por  otro  díjito,  6  un 

.-.:■.■    •    .;.  ,!,  >  cifras  por  :i:;  díjito,  siendo  la  cifra 
',.,;'   .:.-,•;;;.<  d-l  compuesto  menor  que  el   díjito  del 

divil 

Dividir  un  compuesto  de  tres  ó  mas  cifras  por  un 
díjito,  6  un  compuesto  de  dos  cifras  por  un  díjito,  sien- 
cifra  de  decenas  del   compuesto  igual   6  mayor 
qae  el  díjito  del  divisor. 

Dividir  un  compuesto  por  otro  compuesto. 
84,  Para  hallar  el  cociente  en  el  primer  caso,  bús- 
es  el  mayor  número  díjito  que  multiplicado 
l>or  «1  divisor  produzca  el  dividendo,  ó  un  número 
rimamente  igual  al  dividendo. 

íduo,  continúese  la  división  agregándole 
un  cero  .í  BU  derecha,  lo  mismo  que  á  cada  residuo  que 
resolte  en  las  divisiones  siguientes.  En  tal  caso,  estos 
nuevos  cocientes  serán  cifras  decimales  que  comx)letan 
srto  'litera  del  cociente  total. 
También  puede  completarse  la  parte  entera  de  un 
ate.  poniendo  tm  quebrado  cuyo  numerador  sea  el 
residuo  i  su  denominador  el  divisor;  pero  este  proce- 
dió 8  menos  cómodo  que  el  anterior. 

Supongamos  que  se  quiere  dividir  72  por  9.  Como 
el  mayor  número  que  multiplicado  por  9  produce.  72 
es  8,  resulta  que  8  es  el  cociente,  de  modo  oue  puede 
ponerse  72  :  í)  =  8, 

Supongamos  ahora  que  quiere  dividirse  35  por  6, 
pan  1<>  cual  practicaremos  la  operación  como  se  vé  en 

:5'83&...  6  bien,  35  :Q  =  & 
60 

2 

Como  el  mayor  número  que  multiplicado  por  el  di- 


4  1  - 


visor  dá  un  producto  próximamente  igual  al  dii  I 

do,  es  5,  esta  será  la  parte  entera  del  c 

el  residuo  de  la  división  es  5.  pondremos  o  á  sn 

derecha  i  queda  50,  que  dividido  por  0  dá 

residuo  3;  poniendo  un  cero  á  ía  <1 

dúo  queda  20,  que  dividido  por  G  dá  3  i  sol 

dúo  2.  i  así  sucesivamente.  Kesnltfl 

te,  3  enteros  i  833  milésimos,  ó  bien,  S  enl 

tos. 

85.  Para  mejor  inteligencia  de  este  caso,  M 
niente  aprender  ele  memoria  la  siguiente 

TABLA. 


1:1—  1 

2:2=  1 

3:3=  1 

4:4       1 

fí**)-""  ] 

2:1—  2 

4:2=  2 

6:3=  2 

8:4       v 

'•-  * 

3:1—  3 

6:2=  3 

9:3=  3 

12:4       3 

-  8 

4:1=  4 

8:2=  4 

12:3=  4  ■ 

16:4       4 

5—4 

5:1=  5 

10:2=  5 

15:3=  5 

6:1=  0 

12:2=  6 

18:3=  6 

24:4—  6 

7:1=  7 

14:2=  7 

21:3—  7 

; 

8:1=  8 

16:2=  8 

24:3=  8 

:  -  8 

40:5—  3' 

9:1=  9 

18:2=  9 

27:3=  9 

3(5:4       9 

-  0 

10:1=10 

20:2=10 

30:3=10 

40:4—10 

6:ñ=  1 

7:7=  1 

8:8=  1 

-  1 

:R»       1 

12:6=  2 

14:7=  2 

16:8—  2 

1S:0—  2 

18:6=  3 

21:7—  3 

24:8=  3 

27:9—  3 

!24:6=  4 

28:7=  4 

32:8-  4 

-  4 

40:  i 

30:6=  5 

35:7=  5 

40:8=  5 

36:6=  6 

42:7=  6 

48:8=  6 

-  6 

42:6=  7 

49:7—  7 

56:8=  7 

-  7 

148:6=  8 

56:7=  8- 

64:8=  8 

•-  8 

<54:6=  9 

63:7=  9 

72:8 

-  0 

160:6=10 

70:7     10 

80:8     10 

-10 

86.  Para  hallar  el  corten*  en  d  7-lllV  °  fa1s°i,'í 
vídase  cada  cifra  del  dividendo  por  el  ^««deldm. 
sor,  comenzando  por  las  unidades  d-  ,  °M 

añádase  á  cada  dividendo  pardal  el  restdno  fcl  ni 


ñor. 


La  práctica  de  este  caso  se  facilita  - 


—  4í  — 

rifr.i  del  dWideádo,  la  mirad,  tercera,  cuarta,  etc.  par- 

,,,,„!  que  el  divisor  sea  2,  8,  4,  etc.  i  llevando  men- 

íduos  i  dividendos  parciales. 

Supongamos  que  quiere  dividirse  54871 

lo  cual  diremos:  quinta  parte  de  5,  1,   i  no 

inta  parte  de  4  no  tiene,  pondremos  o  i  sobran  4 
de  residuo. 

Quinta  parte  da  á8,  J  i  sobran  3  de  residuo. 
[ota  parte    de  37,  J  i  sobran  2  de  residuo, 
e    de    21,    J  i  sobra  1  de  residuo. 
Convertidlo  este  1  en  décimos,  nos  quedan  10.  Quin- 
ta i  'Míe  de  10,  2  i  no  sobra  nada. 
54871 :  5  =  10974 '2. 
Para  hallar  el  cociente  en  el  tercer  caso,  esde- 
«ir.  para  dividir  un  compuesto  por  otro,  es  convenien-, 
inguir  dos  casos:  1.°  que  la  loarte  entera  del  co- 
oonste  de  una  cifra,  i  2.  o  que  conste  de  dos  ó 
mas  cifras. 

La  parte  entera  tendrá  una  sola  cifra,  siemjjre  que 
el  dividendo  tenga  el  mismo  número  de  cifras  que  el 
divisor;  ó  cuando,  teniendo  el  dividendo  una  cifra  mas 
que  el  divisor,  el  producto  de  10  por  el  divisor,  dá  un 
número  mayor  que  el  dividendo. 

r  ejemplo,  la  parte  entera  del  cociente  al  divi- 
dir 588  p<>r  351,  tiene  una  sola  cifra,  porque  en  el  divi- 
dendo liai  el  mismo  número  de  cifras  que  en  el  divisor. 
La  parte  entera  del  cociente  en  la  división  de  3471 
I>or  i:;7.  tiene  también  una  sola  cifra,  porque  si  se  mul- 
tiplica el  divisor  por  10,  resulta  4970  mayor  que  el  di- 
videndo. 

ntera  de  un  cociente,  tendrá  mas  de  una 
:a.  cuando  al  multiplicar  10  por  el  divisor,  resulta 
un  producto  igual  6  menor  que  el  dividendo. 

dividir  compuestos  cuando  la  parte  entera  del 
iré  conste  de  una  cifra,  divídase  la  primera  cifra 
de  la  izquierda  del  dividendo  por  la  primera  de  la  iz- 
quierda del  divisor  (si  hai  igual  número  de  cifras  en 
los  dos  términos),  ó  las  dos  primeras  cifras  de  la  iz- 
quierda del  dividendo,  por  la  primera  de  la  izquierda 


-43- 

■clel  divisor,  (si  hai   una  cifra   mas  en   el   divi 

Para  saber  si  la  cifra   encontrada  es   la 

multipliqúese  por  las  cifras  del  divia 

por  la  izquierda,  i  los  productos  res 

rédelas  cifras  del  dividendo,   comeni  bien 

por  la  izquierda.  Si  se  llega  á  encontrar  un 

o  mayor  áki  cifra  que  se  comprueba,  dicha  cifra  es 

la  verdadera;  pero  cuando  algún  producto  pardal  sea 

mayor  que  uno  de  los  residuos,    la  cifra   d 

debe  ser  menor  que  la  que  se  comprueba,  i  en  ral  caso 

se  le  rebajará  una  unidad,  continuando  las  mnltip] 

ciones  i  restas,  basta  que  resulte,  como  li 

un  resto  igual  ó  mayor  á  la  cifra  de  que  - 

Comprobada  la  cifra  del  cociente,  li 
de  la  división,  i   complétese  dicha  cii 
explicado  en  el  número  84. 

Ejemplos. 
1-°  Dividir  85488  por  8536,  Dispóngase  Ifl  oioo 

romo  se  vé  en  seguida:  35483  :  8530  =4*156 

13390 
48540 
58600 

Como  el  dividendo  tiene  una  cifra  más  que  d  di 
sor,  dividimos  35  por  8  i  el  cociente  4  lo 
diciendo:  4  por  8,  32,  para  35  faltan  3,  que  000  ♦•!  I  dtt 
dividendo  componen   34;  4,  por  5  de]  di\  Isor  M,  para 
34  faltan  14,  i  como  este  resto  es  mayor  »]n 
fra  es  la  verdadera. 

Multiplicando  4  por  el  divisor,  i  restando  »-l  i  l 
to  por  el  dividendo,  queda  de  residuo  I 
gregando  un  cero  á  su  derecha,  se  ooni 
para  segundo  dividendo  parcial. 

Como  este  número  tiene  una  cifra  mas  que  eldM 
sor,  dividimos  13  por  8  i  el  cociente  1  que  DO  necesita 
ensayarse,  es  evidentemente  la  d«-l  co- 

ciente total. 

Multiplicando  1  por  el  divisor,  i  restand 
to  del  dividendo,  queda  de  residuo  4€  **on 

un  cero  á  su  derecha,  se  convierte  en  48540  para  tercer 
dividendo  parcial. 


—  A  4  — 

aftmero  tiene  una  oifra  mas  que  el  divi- 
sor dividimos  48  por  8  i  el  cociente  6  lo  ensayamos  di- 
¡uio:  0  por  8,  48,  para  48,  0;  6,  por  o  del  divisor  30, 
,  B  del  dividendo  anterior,  se  pasa,  luego  no  es  6  la 
Sfra  d.l  cociente  i  pondremos  5,  que  se  ensayara  di- 
oi,.mlo:  5,  por  8  del  divisor.  40,  para  48  faltan  8,    i  co- 
mo 8  es  mayor  que  5,  esta  cifra  es  la  verdadera. 
De  un  modo  análogo  se  continuaría  encontrando  las 

ras  del  cociente. 
'_>.    Dividir  o:U  por  260.   Dispóngase  la  operación  co- 
,  seguiaa:    034  :  209  =  %2'3o.... 
960 
1530 
195 

Teniendo  el  dividendo  el  misino  número  de  cifras 
del  divisor,  dividimos  6  por  2  i  el  cociente  31o  ensaya 
nms  diciendo:  3,  por  2  del  divisor  6,  para  6  del  divi- 
dendo, 0;  3,  por  0  del  divisor,  18,  para  3  del  dividendo 
■i  pasa,  luego  3  para  cociente  es  grande,  pongamos 
pues  Í  i  lo  ensayamos  diciendo:  2,  por  2  del  divisor  4, 
pan  dividendo  faltan  2,  i   como   este  residuo  es 

igual  á  !;i  cifra  que  se  está  ensayando,  dicha  cifaa  es  la 
ladera. 

Multiplicando  ahora  esta  cifra  por  el  divisor,  i  res- 
tando el  producto  del  dividendo,  se  encuentra  de  resi- 
duo 00.  al  que,  agregando  un  cero  á  su  derecha.se 
convierte  en  960  para  segundo  dividendo  parcial  ('). 

(*)— Lor  productos  del  divisor  por  las  cifras   del   cociente,   se  restan 

mentalmente  de  los  dividendos  parciales.  Así,  el  producto  de  2  por  209 

que  es  el  divisor,  se  resta  del  dividendo  634,  diciendo:  2  por  9,  18  para 

0;  2  por  6,  12  i   2  de  24  son  14,  para  23,  Q\  2  por  2,  4   i  2  de  28 

son  6.  para  6  del  dividendo,  0.  El  resto  es,  pues,  96. 

tpra,  al  practicar  las  restas  de  este  modo,  procúrese  que  el  pro- 
ducto de  cada  cifra  del  dividendo  por  la  cifra  del  cociente,  se  reste  del 
número  inmediato  ó  igual  á  dicho  producto  i  que  termine  en  la  cifra  del 
dividendo  de  la  cual  se  resta.  Por  ejemplo,  si  la  cifra  del  cociente  es  5, 
el  d¡\  el  dividendo  1714,  se  hallará  el  residuo  diciendo: 

5  por  2,  10  para  14  (número  inmediato  á  10  i  que  termina  en  la  1. ' 
•nfra  del  dividendo)  4;  5  por  4,  20  i  1  de  14,  son  21,  para  21  (número 
igual  á  dicho  producto  i  que  termina  en  la  2.»  cifra  del  dividendo)  0; 
OT  •;.  1"  i  2  de  21  son  17,  para  17  (número  igual  á  dicho  producto  i 
«jue  termina  en  la  3.*  cifra  del  dividendo)  Q.  Luego  el  residuo  de  la  di- 
visión es  4. 

Lo  mismo  se  hace  cuando  el  cociente  tenga  mas  de  una  cifra. 


-45- 

Como  esto  número  tiene  el  mismo  númei 
que  el  divisor,  dividimos  9  por  2  i  el  cociente 
sayamos  diciendo:  4,  por  2  del  divi 
1,  que  con  0  de  este  segundo  dividendo,  i 
4,  por  6  del  divisor,  24,  para    16  se  pasa;  luego  4  es 
grande  para  cociente.  Pongamos  pu  «  8,  j  .a va- 

mos diciendo:  3,  por  2  del  divisor,  6,  para   • 
como  este  resto  es  igual  á  la  cifra  qne 
cha  cifra  está  bnena. 

De]  mismo  modo  continuaríamos 
tras  cifras  decimales  del  cociente. 

88.  Para  dividir  compuestos,  cuando  la 
ra  del  cociente  tiene  mas  de  una  cifra, 
quierda  á  derecha  en  el  dividendo,  tantas  cifi . 
tas  basten  para  contener  el  divisor.  Beta  porción  de 
iras  del  dividendo,  divídase  por  el   divisor,  aplicando 
la  regla  que  antecede,  i  así  tendremos  la  |  i  -  ifni 

del  cociente. 

A  la  derecha  del  residuo  que  deje  esta  priman  Sil  i 
sion,  coloqúese  la  primera  cifra  qna 
tomada  en  el  dividendo.    Lo  que  resulte  divídase 
divisor,  i  así  tendremos  la  seganda  cifra  del  i 
A  la  derecha  del  residuo  que  deje  esta   segunda  divi 
sion,  coloqúese  la  segunda  cifra  que  sis 
tomada  en  el  dividendo.  Lo  que  resulte  dividan 
el  divisor,  i  así  tendremos  la  tercera  cifra  <!••!  «■••••¡••nte. 

De  un  modo  análogo  se  continuará,  h 
je  la  última  cifra  de  la  derecha  del  dil 

Cuando  algún  residuo,  juntamente  con  la   cifra 
se  baje  del  dividendo,  dá  un  número  naenoi 
visor j  se  pondrá  cero  en  el  cociente,  i  tí  la  i  de 

dicho  número  se  pondrá  la  cifra  siguiente  á  la  bajada, 
para  tener  así  el  nuevo  dividendo  paren!.   ! 
continuará  como  queda  explicado. 

E.J km PLO.—  Supongamos  que  se  quien  dividir 

1674861  por  .vi::. 

Desde  luego,  dispondremos  la  operación  como  as 
en  seguida. 


—  4  <>  — 

1861  :  543  =3083458..:. 
U4586 

l'.rjl 
2930 
2050 

I  .Y! 

¡.  i  menor  porción  del  dividendo  qne  puede  contener 
ni  dil  laor,  es  1674;  dividiendo,  pues,  este  uúmero  por 
el  divisor,  hallamos  de  cociente  5  i  de  residuo  45.  Al 
lado  dr  este  número  colocamos  3,  que  es  la  cifra  si- 
miente á  la  porción  tomada  en  el  dividendo,  i  resulta 
inido  dividendo  parcial.  Como  453  es  me- 
nor qne  443  del  divisor,  al  dividirse  estos  dos  números 
q  cero  de  cociente,  quedando  de  residuo  el  mismo 
dividendo  453.  Al  lado  de  este  residuo  colocamos  0, 
que  es  la  segunda  cifra  siguiente  á  la  porción  tomada 
en  el  dividendo  i  resulta  4536  para  tercer  dividendo 
ial. 

Dividiendo  ahora  4530  por  el  divisor,  resulta  de  co- 
ciente S.  sobrando  de  residuo  192,  Al  lado  de  este  nú- 
tnero  colocamos  la  tercera  cifra  siguiente  á  la  porción 
tomada  en  el  dividendo,  i  resulta  1921  para  tercer  di- 
videndo parcial.  Dividiendo  este  número  por  el  divisor 
hallamos  de  cociente  3,  quedando  de  residuo  292. 

Ahora,  como  ya  no  liai  mas  cifras  qué  bajar  del  di- 
videndo, tenemos  que  la  parte  entera  del  cociente,  es 
308;  i  continuando  la  división  agregando  un  cero  á  la 
derecha  de  cada  residuo,  hallamos  53  centesimos  como 
complemento  aproximado  del  cociente. 

89.  Cocientes  particulares.— 1.°  Todo  número  dividi- 
do por  cero,  dá  de  cociente  el  infinito,  porque  no  exis- 
te ninguna  cantidad  finita,  por  grande  qne  se  suponga, 
que  multiplicada  por  cero  nos  dé  el  dividendo. 

El  infinito  significa  una  cantidad  mayor  que  cual- 
quiera cantidad,  por  grande  que  sea,  i  se  representa  por 
medio  del  signo  oo,  que  se  llama  signo  del  infinito. 

Ejemplo:    5:0=  oo 

2.°  Cero  dividido  por  cualquier  número,  dá  de  co- 
ciente cero,  porque  cero  es  la  única  expresión  que  muí- 


-47- 

tiplicada  por  cualquier  número  del  divisor,  «I. 
ducto  cero  del  dividendo. 

Ejemplo:    0:3  =  0. 


a  can  1 1  • 


3.°Cero  dividido  por  cero,  dá  de  cociente  . 
dad  indeterminado,,  porque  cualquier   número   multi- 
plicado por  cero  del  divisor,  dá  de  prodnel 
dividendo. 

>  El  signo  de  lo  indeterminado  es  la  letra  fe  . 
lee  sic/ma. 

Según  esto    0  :  o  =  ¡^ 

90.  Casos  particulares  en  que  se  abrevian  las 
para  dividir  enteros: 

1.°  Para  dividir  un  entero  por  la  unidad  seguida  de 
ceros,  sepárense  con  una  coma  de  derecha  á  Kxqni< 
en  el  dividendo,  tantas  cifras  cuantos 
ñan  á  la  unidad.  Lo  que  queda  á  la  izquierda  i 
ma,  será  la  parte  entera  del  cociente,  i  lo  qne  queda á 
la  derecha,  serán  las  cifras  decimales  que  lo  oompl< 

Así  por  ejemplo,  el  cociente  de  dividir 
1000,  será  14í731. 

2.°  Para  dividir  un   entero  por  otro  compuesto  de 
dos  cifras  significativas  seguidas  de  ceros,  sepárense 
por  un  momento,  de  derecha  á  izquierda  en  d  di\  i 
do,  tantas  cifras  cuantos  ceros  acompañan  al  divil 
Divídase  en  seguida  la  porción  que  queda  á  la  Kaqu 
da  del  dividendo  por  la  porción  significativa  del  divi- 
sor, i  lo  que  resulte  será  la  parte  entera  del  < 
Colocando  después  á  la  derecha  del  residuo  i  de  los 
demás  qne  resulten,  una  á  una  las  Otras  cifras  del  di 
videndo,  se  tendrán  así   nuevos  dividendo 
que  divididos  solamente  por  la  porción  significativa 
del  divisor,  darán  las  cifras  decimales  que  entupieran 
el  cociente  total. 

Supongamos,   por  ejemplo,   que  se    quiere  di\: 
85422  por  7000.  Dispóngase  la  operación  como  se  vé  en 
ssguida: 

85  '421  :  7000  =  12 '202. 

Separando  en  el  dividendo  tres  cifras  por  los 


-48- 

oerosquc  acompañan  al  divisor,  i  dividiendo  ensegui- 
da r,  hallamos  de  cociente  12,  que  será  la  parte 
.•n:.'ia  d.-l  coi-imlc  total.  A  la  derecha  del  que  es  el 
residuo,  colocamos  la  otra  cifra  del  dividendo,  que  es 
moa  para  nuevo  dividendo  15,  que  dividido 
,  quedando  0  de  residuo.  Colocando  á  la  de- 
recha de  este  residuo  la  cifra  siguiente  del  dividendo 
08  2,  tendremos  2  para  nuevo  dividendo,  que  divi- 
Lo  por  ?,  dá  cero  en  el  cociente,  quedando  siempre 
9  de  residuo.  Colocando  á  la  derecha  de  este  residuo 
B  1  que  es  la  última  del  dividendo,  tendremos  21 
I >ara  último  dividendo  parcial,  i  al  dividirlo  por  7,  dá 
:;  de  cociente  sin  sobrar  residuo. 

Luego  el  cociente  de  la  divisiou  propuesta  es:  12  en- 
teros i  203  milésimas, 

3.°  Para  dividir  enteros  cuando  el  dividendo  i  divi- 
sor terminan  en  ceros,  sepárense  en  ambos  términos, 
tantos  ceros  cuantos  halla  en  el  término  que  tenga  me- 
nos, i  en  seguida  divídanse  los  números  que  queden  á 
la  izquierda  de  los  ceros  separados. 

Por  ejemplo,  para  dividir  810(00  por  27(00,  separa- 
mos los  dos  ceros  en  el  dividendo  i  divisor,  i  el  cocien- 
te de  dividir  810  por  27  que  es  80,  será  el  cociente  de 
los  números  dados. 

4.  Para  dividir  un  número  por  5,  25,  125,  625,  etc. 
multipliqúese  dicho  número  por  2,  4,  8,  16,  32,  etc. 
respectivamente,  i  los  productos  respectivos  divídanse 
por  LO,  100,  1000,  10000,  etc. 

Ejemplo.— Dividir  3589  por  625. 

Para  esto,  multiplicaremos  3589  por  16,  i  dividien- 
do el  producto  por  10000,  resulta  para  cociente  5 '7424. 

o.  °  Para  efectuar  abreviadamente  la  división  de  nú- 
meros compuestos,  cuando  es  uno  mismo  el  divisor  i 
varios  los  dividendos,  fórmense  los  productos  del  di- 
visor por  los  nueve  números  díjitos,  según  se  dijo  al 
tratar  de  la  multiplicación,  i  después,  observando  en- 
tre cuales  de  esos  productos  se  hallan  contenidos  los 
dividendos  parciales,  se  determinarán  desde  luego  las 
diferentes  cifras  del  cociente. 


-49- 

Ejemplo. — Supongamos  que  se  quieten  dividí] 

números  175845,  67486  i  36975,  por  : 

Opehacion. 


351  x  1758é5:351=500l982... 
702  )  1755 
1053  / 


1404  í 
1755) 
2106  í 
2457  \ 

2808  I 
3159  J 


34 
345 
3450 
3159 

2  910 

2808 

1020 

702 

818 


36975 
351 

187 

1875 

1755 


; 

351 


3160 

796 


351=10o;341 


940 
708 

2740 


1200 

1053 


1470 
1404 


660 
351 


;joo 


Como  se  vé,  la  operación  de  dividir  en  e> 
reduce  á  simples  sustracción»-. 


-50    - 

í  ,/.  /,,<  división.— 1*>*  usos  principales  de  la 
Irfon,  son  siete: 

1 .    ( *uando  se  quiere  averiguar  las  veces  que  un  nu- 
po  contiene  á  otro. 
ra  esto,  divídase  el  número  mayor  por  el  menor,  i 
la  parte  entera  del  cociente  expresará  las  veces  que  el 
primer  numere  contiene  al  segundo. 

indo  se  quiere  dividir  un  número  en  partes  i-, 
iles,  6  sacar  á  un  número  la  mitad,  tercera,  cuarta, 

Para  resolver  esta  cuestión,  divídase  el  numero  que 

i  lé,  por  el  de  partes  iguales  en* que  quiera  dividirse. 

Kl  oooiente  será  la  mitad,   tercera,  cuarta,  etc.  parte, 

según  que  se  quiera  dividir  el  número  en  2,  3,  4,  etc. 

partes  iguales. 

AjSÍ  por  ejemplo,  si  360  quiere  dividirse  en  4  partes 
iguales,  dividiremos  360  por  4,  i  el  cociente  90  será  la 
cuarta  parte  ó  el  número  que  repetido  cuatro  veces 
por  sumando,  dá  360. 

En  efecto,  90  +  90  +  90+90=360. 

3.°  Cuando  se  quiere  repartir  un  número  de  cosas  ó 
personas  entre  otro  número  de  cosas  ó  personas. 

Para  esto,  divídase  el  número  de  cosas  ó  personas 
que  se  quiere  repartir,  por  el  número  de  personas  ó  ep- 

-  rntre  las  cuales  se  quiere  repartir.  El  cociente  dará 
lo  que  corresponde  á  cada  persona  ó  cosa. 

Así  por  ejemplo,  si  se  pregunta  cuántos  soldados 
pueden  alojarse  en  cada  habitación  de  un  cuartel,  ha- 
biendo 1650  soldados  i  teniendo  el  cuartel  lo  habita- 
Mies,  dividiremos  1650  por  15,  i  el  cociente  110  será 
el  número  de  soldados  que  satisface  la  cuestión. 

4.°  Cuando,  conocido  el  precio  ó  relación  de  varias 
unidades,  quiere  saberse  el  precio  ó  relación  de  una  de 
la  misma  especie. 

Para  esto,  divídase  el  precio  ó  relación  de  todas  las 
unidades  por  el  número  de  ellas  i  el  cociente  será  el 
precio  ó  relación  de  una. 

Por  ejemplo,^  si  se  quiere  saber  cuanto  costó  cada 
<  puntal  de  café,  suponiendo  que  se  vendieron  1500 
quintales  en  300  pesos,  dividiremos  1500  por  300,  i  el 


--51- 

cociente  $  5  será  el  precio  de  un  quintal. 

Del  mismo  modo,  si  se  quiere  saber  cuántas  leguas 

se  caminan  en  un  dia,  suponiendo  que  as  se  ca- 

minan J26  leguas,  dividiremos  pv, 
21  será  el  número  de  leguas  que  i 

5.°  Cuando  conocido  el  precio  ó  relación  de   *:■ 
unidades  i  el  precio  ó  relación  de  una.  quiere  saberse 
el  número  ó  cantidad  de  dichas  unidades. 

Para  esto,  divídase  el  precio  ó  relación  <: 
unidades  por  el  precio  ó  relación  de  una,   i  el  • 
será  el  número  de  ellas. 

Por  ejemplo,  sise  quiere  saber  cuál 
paño  se  pueden  comprar  con  350  pes.  /.on  cada 

metro  de  4  pesos,  dividiremos  350  por  4,  i  el  (oriento 
87' 5  es  el  número  de  metros  que  se  de- 
De  igual  manera,  si  se  quiere  saber  en  cuantos  < 
se  haría  una  zanja  de  360  varas  de  largo,  en  el  supues- 
to de  que  cada  dia  se-liicieron  5  varas,  dividiremos  900 
por  o,  i  el  cociente  72  será  el  número  de  dias  en  que  se 
hizo  la  zanja. 

6.°  Cuando  se  quieren  reducir  unidades  de  especie 
inferior  á  superior. 

Para  esto,  divídase  el  número  de  unidades  que  se 
dé,  por  el  número  de  unidades  de  la  misma  espeefe  de 
éstas,  que  contiene  la  unidad  superior  de  que  se  trata. 

Así  por  ejemplo,  si  450  pies  se  quieren  reí  lucir  a 
ras,  dividiremos  450  por  3  pies  que  tiene  una  y 
cociente  150  es  el  número  de  varas  que  se  que 

7.°  Cuando  se  trata  de  investigar  los  factores  6  di  vi 
sores  primos  de  un  número. 

Lareglapararesolveresteuso.se  verá  •  lu- 

gar de  la  obra. 

92.  Especie  de  que  puede  ser  un  cociente.  —  El 
ciento  en  la  división  de  números  concretos,  puede  ser 
unas  veces  de  la  especie  del  dividendo;  otras,  de  la  es- 
pecie del  dividendo  i  divisor;  otras  de  un;. 
tinta  de  la  del  dividendo  i  divisor,  i  por  último  puede 
ser  número  abstracto. 

Según  esto,  para  poder  interpretar  de  algún  modo 
una  cuestión  de  dividir  cuando  solo  estén  escritos  loe 
términos  de  la  división,  relaciónese  todo  el  divisor  con 
todo  el  dividendo,  i  luego  pregúntese  qué  relación  IW- 


o  ~  — 


na  unidad  de  especie  superior  del  divisor  con  to- 

Poi  ejemplo,  SÍ  éil  un  papel  o  pizarra  viéramos  es- 
-  Bigaientes  números,  358  pesos:   25  pesos,  po- 
[nterpretmf  la  cuestión  diciendo:   si  con  25  pe- 
sos se  ganan  wrbi-gracia  358,  ¿con  un  peso  cuántos  se 

( >no  ejemplo.  11470  árboles  :  (5  caballerías— 12  man- 
-  -150  varas  cuadradas),  se  interpretará,  diciendo: 
,\  en  una  extensión  de  5  caballerías,  12  manzanas  i  160 
varas  cuadradas  se  pueden  sembrar  á  una  misma  dis- 
tancia 11470  árboles,  en  una  extensión  de  una  caballe- 
Cüántos  árboles  se  podrán  sembrar  á  la  misma 
tancial 

93.  Número  de  cifras  de  un  cociente.  —  El  numero 
le  cifras  que  puede  cener  un  cociente,  es  igual  á  lo  me- 

i  la  diferencia  entre  el  número  de  cifras  del  divi- 
dendo i  divisor,  i  á  lo  mas  á  dicha  diferencia  mas  uno. 
Así  por  ejemplo,  la  parte  entera  que  tiene  el  cocien- 
te en  la  división  de  16748  por  75,  es  á  lo  menos  8  í  á  lo 
;nas  4. 
También  se  dice,  que  el  número  de  cifras  de  un  co- 
té  es  igual  al  número  de  cifras  del  dividendo  que 
quedan  á  la  derecha  del  primer  dividendo  parcial  mas 
uno. 

A>í,  en  el  ejemplo  anterior  el  número  de  cifras  que 
tiene  la  parte  entera  del  cociente  es  3,  porque  después 
de  167  que  es  el  primer  dividendo  parcial,  quedan  dos 
ras. 

94.  Proposiciones  acerca  de  la  división.  —  1.»  Si  el 
dividendo  aumenta  ó  disminuye  por  medio  de  suma  6 
resta,  el  cociente  aumenta  en  el  primer  caso  i  disminu- 
ye en  el  segundo;  pero  no  en  la  misma  cantidad  que  se 

nenta  6  disminuye  el  dividendo. 

2.*  Si  el  divisor  aumenta  ó  disminuye  por  medio  de 
suma  ó  resta,  el  cociente  á  la  inversa,  disminuye  en  el 
primer  caso  i  aumenta  en  el  segundo;  pero  no  en  la 
misma  cantidad  que  se  aumenta  ó  disminuye  el  divisor. 

3.a  Si  al  dividendo  i  divisor  se  les  agrega  un  mismo 
número,  el  cociente  disminuye;  pero  no  en  ese  núme- 
ro. Si  se  les  quita  un  mismo  número,  el  cociente  au- 
menta. Aquí  se  supone  que  el  dividendo  es  mayor  que 


-53- 

el  divisor. 

4.*  Si  siendo  el  dividendo igual  al  divisor  seles  agre- 
ga ó  quila  un  mismo  número,  el  cociente  no  altera. 

5,*  Si  el  dividendo  se  multiplica  ó  <li\i<!  m| 

quiera  cantidad,  el  cociente  queda  multiplicado  • 
primer  caso  i  dividido  en  el  segundo  por  la  mi- 
li dad. 

6.a  Si  el  divisor  se  multiplica  ó  divide  por  cualqaie 
ra  cantidad,  el  cociente,  á  la  inversa,  qneda  dividid.» 
en  el  primer  caso,  i  multiplicado  en  el  segundo,  por  la 
misma  cantidad. 

7.*  Si  el  dividendo  se  multiplica  por  una  oantídl 
el  divisor  se  divide  por  la  misma  ú  otra  cantidad 
cociente  queda  multiplicado  por  el  producto  del^t  doe 
cantidades. 

8.*  Si  el  dividendo  se  divide  por  una   cantidad,   i  el 
divisor  se  multiplica  por  la  misma  á  otra  cantídá 
cociente   queda  dividido  por  el  producto  de  las  dos 
cantidades. 

9.a  Si  el  dividendo  i  divisor  se  multiplican  ó  divi- 
den por  una  misma  cantidad,  el  cociente  no  all 

En  resumen:  todo  cociente  está  en  razón  directa  del 
dividendo,  e  inversa  del  divisor,  es  decir:  que  la  ope- 
ración que  se  haga  con  el  dividendo,  queda  le 
el  cociente,  i  la  que  se  haga  con  el  divisor,  queda 
cha  en  sentido  contrario  con  el  cociente, 

95.  Cuando  se  quiere  dividir  un  producto  indicado, 
basta  dividir  uno  de  sus  factores. 

Así,  por  ejemplo,  si  el  producto   VI    '  I  quisie- 

ra dividirse  por  6,  bastaría  dividir  el  LS 
Dividiendo  el  factor  12,  quedaría  *J  7  como  co- 

ciente ó  sexta  parte  del  producto  propuesto. 

Cuando  alguno  de  los  términos  de  la  «1 
presa  suma,  resta,  multiplicación  ó  dii  ision   íi 
efectúese  de  antemano  esta  operación,  para  «; 
quede  la  división  de  un  número  por  otr< 

Así,  la  operación  360  :  (2  x  5  x  3)  se  reduce  á  800 : « 

La  operación  (15-4)  :  (4+3+1)  se  reduce  á  11  :8. 

Se  dice  que  un  número  es  divisible  por  otro,  cuando 
al  dividirse  por  éste  da  un  cociente  total  entefO,  i  ae 
dice  que  es  indivisible,  en  el  caso  contrario. 

Así  por  ejemplo,  75  es  divisible  por  3,  poiqne  el  co- 


-  54  — 

ee  entero;  U  es  indivisible  por  8,  porque  el 
luí  al  no  rs  entero. 
lionero  que  no  es  divisible  mas  que  por  sí  mis- 
mo i  por  i.  hemos  dicho  que  se  llama  número  primo. 
número  primero  ó  factor  simple,  como  por  ejemplo: 
7.  ]i.  i:.  :.,  ete. 

/vV  número  que  es  divisible  por  otro,  además  de  por 
sí  mismo  i  por  L,  se  llama  número  múltiplo,  multípli- 
ce de  OÍTOi  ó  uinn^r o  compuesto  por  sus  factores,  co- 
mo por  ejemplo  24.  que  además  de  ser  divisible  por  sí 
mismo  i  por  l,  lo  es  por  12,  por  8,  por  6,  por  4,  por  <-> 
i  por  *.}. 

llama  factory  divisor  exacto,  submúltiplo  ó  par- 
t>  al  üa   un  h ¡uñero,  cualquier  otro  que  está  con- 

tenido en  él  un  número  entero  de  veces.  Así  los  núme- 
!  i  5,  son  factores  ó  partes  alícuotas  de  240. 
Í  reales,  1  real  i  4  reales,  son  partes  alícuotas   de  un 
l>eso  \\  s  reales, 

6  meses,  8  meses,  cuatro  meses  i  3  meses,  son  partes 
alícuota*  de  un  año  ó  12  meses. 


Problemas  de  dividir. 

L«  l'n  padre  al  morir  deja  un  capital  de  12540  pe- 
para  4  hijos,  i  dispone:  qué  almas  pequeño  se  le  dé 
Itad;  al  que  ie  sigue  la  quinta  parte;  al  otro  Ja  sex- 
I  «  parte,  i  al  cuarto  el  resto  que  quede.  ¿Cuánto  corres- 
ponde á  cada  hijo? 

&•  ;('nál  «s  el  número  de  dias  que  se  empleó  en  ha- 
cer una  obra  valuada  en  1560  pesos  i  ocasionando  un 
gasto  mensual  de  30  pesos? 
'S.m  VA  producto  de  tres  números  es  1845,   i  uno  de 
Si 74;  ;<jué  número  será  el  producto  de   los  otros 

4/  ¿Cuántos  días  hai  en  7500  minutos* 

HW  un  camino  de  1200  leguas,  ¿en  cuántos  meses 
««podra  recorre]-,  suponiendo  que  cada  dia  se  caminan 
nas? 

ana  ciudad   que  tiene  42,360  habitantes,  ¡se 
Rata  de  levantar  una  suscricion  de  60,000  pesos    sCón 
?rá  contribuir  cada  habitante' 


—  o  o  — 


7.°  Comprados  250  sombreros   por  valor  <! 
ses,  ¿á  cómo  sale  cada  sombrero? 

8.»  En  cuántas  horas  se  podrá  dar  la  radia  f  la  Tier- 
ra, sabiendo  que  tiene  de  lonjitud  4o  millones 
tros,  i  suponiendo  que  cada  dia  se  camhu 
tros? 


Pruebas  de  las  cuatro  operación* 

97,  Prueba  de  una  ojier a  ció»,  esotra  opera 
medio  de  la  cual  se  averigua  si   la  primn 
hecha. 

Para  que  una  prueba  sea  admisible, 
no  encierre  una  operación  mas  difícil  que  la  que  M  tu 
ta  de  probar. 

.  La  prueba  no  dá  certeza  plena  de  que  la  oj  -  .  ■ 
de  que  se  trata  está  bien  hecha.  De  modo  que,  biemprv 
que  una  prueba  está  bien  practicada,  i  de  acuerdo 
la  primera  operación,  solo  tenemos  con  esto  km  pro- 
babilidad de  que  el  rssultado  de  dicha  operaeifa  es  el 
verdadero,  pues  como  se  comprende,  no  es  difícil  equi- 
vocarnos en  la  prueba,  i  obtener  en  esta  i  en  la  opera- 
ción primitiva  errores  que  se  compensen. 

Por  tales  razones,  lo  que  mejor  debe  haottas  para 
cerciorarnos  si  una  operación  está  bien,  es  renetiri 
nuevo.  Explicaremos,  no  obstante,  los  procedí- 
que  jeneralmente  exponen  los  aui  no  pruebaí 

de  las  operaciones. 

98.  Pruebas  déla  adición.— 1."  Repítaselas 
abajo  para  arriba,  tal  como  se  dijo  al   tratar  de  teta 
operación. 

2.»  Súmense  las  cifras  de  la  1/  columna  de  la  izquier- 


da, i  réstese  la  suma,  de  las  unidades 
den  á  la  izquierda  de  la  suma  total.  La  resta  redÚJcaj 
mentalmente  á  unidades  del  orden  inm» 
mense  con  la  cifra  de  este  orden  en  la  suma  total;  «• 
esa  suma,  róstese  mentalmente  la  de  las  cifras  de  la 
2.»  columna  de  la  izquierda:  la  reata  redi  /case  mental- 
mente á  unidades  del  orden  inmediata  i  sámense  co 
la  cifra  de  este  orden  en  la  Mima  total;  de  esa  suma 
réstese  la  suma  de  las  cifran  de  la  3."  columna  dr  la  13 


5  (>  — 

qmierda,  i  asi  se  continúa  hasta  la  última  columna,  i 
-i  la  operación  está  bien  hecha  será  cero  la  resta  final. 

Y..\  i-:\:  ri.o.  .  .  .  4583 
6201 
0432 


Simia  total  2021(5 
110 


Para  probar,  diremos:  4  i  6,  10,  i  9  19,  para  20  falta 
1,  que  reducido  á  centenas  se  convierte  en  10;  10  i  2, 
18.  Ahora,  5  i  2,  7,  i  4,  11  centenas,  para  12  falta  1, 
que  reducida  á  decenas  se  convierte  en  10;  10  i  1  son 
i  I.  Ahora,  8  i  3,  11,  para  11,  Ó,  que  reducido  á  uni- 
dades dá  0;  0  i  6  es  0.  Por  último  3  i  1,  4,  i  2  son  6, 
para  6  cero;  luego  la  suma  está  bien  hecha. 

!  i.  *  Sepárese  uno  de  los  sumandos,  i  la  suma  de  los  de- 
más réstese  de  la  suma  total.  Si  la  operación  está  bien 
hecha,  la  resta  debe  ser  igual  al  sumando  separado. 

Ejemplo (5621) 

842 

030o 

72 


Suma  total...,  15340 
Suma  de  los  otros  3  sumandos    9710 


IleSta....       5621  Igual  al  sumando  separado 

4.*  Prueba  de  los  nueves.— Yara,  aplicar  la  prueba  de 
los  nueves  en  la  suma,  es  preciso  saber  como  se  halla 
el  residuo  de  la  división  de  un  número  por  9.  Esto  se 
consigue  sumando  las  cifras  del  número,  con  excepción 
de  los  nueves  que  tenga,  i  lo  que  quede,  sacando  los 
nueves  á  esta  suma,  será  el  residuo. 

Sea  por  ejemplo,  el  número    154938. 

Para  hallar  el  residuo  que  quede,  sacándole  los  nue- 
ves, diremos:  1  i  5  son  6,  i  4  son  10,  en  10  hai  un  nue- 
vo i  sobra  1:  1  i  3  son  4,  i  8  son  12;  en  12  hai  un  nueve 


-57- 

i  sobran  3,  luego  3  es  el  residuo. 

Ahora,  para  efectuar  la  pr% 
sumando  los  nueves  i  á  la  dereclu 
base  el  residuo.  Después,  sútnenae  los  residuos  d 
derecha  de  los  sumandos,  i  de  su  san 
nueves  anotando  el  residuo,  el  cual  deberá 
que  resulte  de  la  suma  total,  Bac^ndole  loa  nuei 

Apliquemos  esta  prueba  al  ejemplo 
lo  cual  se  dispondrá  la  operación  como  á  continua* 
se  vé: 

3506  sacándole  los  nueves,  queda  de  i 

9345        id.  id.  i.  i. 

2734        id.  id.  id.  7 

Suma  15585    saeándole  los  nueves,  que-  \       Suma  1*>.     -» •■..: .■:  ■' 
da  también  0   de   residuo,  j  losnui*\*'s  <,u.  h  I 
siduo. 

Como  esta  comprobación  puede  verificarse  aunque  la 

suma  esté  mal  hecha,  siempre  que  en 

un  9  en  vez  de  O  b  al  contrario,  i  cuantío 

se  agregue  lo  que  á  otra  se  quite,  se  si¿ue  que  la  \ 

ba  de  los  nueves  no  es  del  todo  buena. 

5.*  Prueba  de  los  onces.—  Para  aplicar  esta 
es  preciso  saber  como  se  halla  el  resídn 
de  un  número  por  11,  6  en  términos  mas  cli 
quede  sacando  los  onces  á  un  número, 
gue  sumando  las  cifras  de  lugar  impar,    i   ! 
lugar  par  ('),  restando  en  seguida  las  dos  sumas*  8i  Ja 
primera  es  igual  6  mayor  que  la  segunda,  la  dil 
es  desde  luego  el  residuo;  pero  si   la  primera  Mima  es 
menor  que  la  segunda,  la  diferencia  CM  1 '.  ¡  <«** 

otra  diferencia  será  el  residuo. 

Eiemplos.— 1.°  Sacar  los  onc^ 
decimos:  la  suma  de  las  cifras  de  lugar  lo i] 
la  délas  de  lagar  par  es  Q;  la  diferencia  entre 
mas,  que  es  6,  es  el  residuo. 

2.°  Sacar  los  onces  á  5382.  Para  ■ 
ma  de  las  cifras  de  lugar  impar,  ••>  ".  i  ¡a 
gar  par,  es  13;  como  la  primera  suma  es  menor  que  la 

O—Son  cifras  de  lugar  impar,  la  l,f  M  »  ■*,"•' 9'!  "!  ^.f???» 

das  de  derecha  á  izquü-.rda,  i  son  de  lugar  par,  la  '-.*  *■    *    < 
etc.,  contadas  también  de  derecha  á  izquierd.-i. 


-58- 

segunda,  la  diferencia  entrambas,  que  es  8,  se  resta  de 
1 1,  i  la  diferencia  8,  será  el  residuo. 

áAora,  para  efectuarla  prueba,  hágase  lo  mismo 
¡ii.'  en  la  prueba  de  los  nueves,  con  la  diferencia  que 
los  residuos  que  queden  en  los  sumandos  i  en  la  suma, 
sacando  los  onces,  se  encuentran  como  queda  dicho. 
\  rase  el  ejemplo  siguiente: 

1589  sacando  los  onces  queda  de  residuo  7 

14867    id.           id.           id.           1 
9510    id.  id.  id. 6 

Simia  284C0  sacando  los  onces  queda  S      Suma  14,  sacando  los  on- 
tambien  3  de  residuo.      (      ees,  queda  3  de  residuo. 

09.  Pruebas  de  la  sustracción.  —  l,a  Súmese  el  sus- 
traendo  con  la  resta  i  la  suma  debe  ser  igual  al  mi- 
nuendo. 

2.'  Réstese  del  minuendo  la  resta  i  debe  resultar  el 
>ustraendo. 

8.a  Considerando  el  minuendo  como  una  suma,  i  el 
sustraendo  i  resta  como  sus  sumandos,  puede  aplicar- 
se la  prueba  de  los  nueves,  tal  como  se  dijo  en  la  adi- 
ción. * 

4.»  Haciendo  la  misma  consideración,  puede  apli- 
carse también  la  prueba  de  los  onces 

100.  Pruebas  de  la  multiplicación.— 1.a  Inviértase  el 
orden  de  colocación  de  los  factores,  i  multiplicándolos 
de  nuevo,  se  hallará  un  producto  igual  al  primitivo. 

2.»  Dividiendo  el  producto  por  uno  de  los  factores, 
el  cociente  debe  ser  igual  al  otro  factor. 

3.*  Prueba  de  los  nueves.— Saqúense  los  nueves  á 
los  factores  i  anótense  á  su  derecha  los  residuos.  Al 
producto  de  estos  residuos,  saqúense  los  nueves  i  el 
residuo  que  quede  debe  ser  igual  al  del  producto  total, 
sacándole  también  los  nueves. 

Ejemplo.— Supongamos  el  producto  del83opor752. 
La  operación  i  prueba  se  dispondrá  como  se  vé  en  se- 
guida: 

18155  sacando  los  nueves  queda  de  residuo  8  )  8x5=40 
752     id.  id.  id.  5  v  meando 

Prodlictol.379920,  sacándole  los'^v^sTn^la^T"   )  Í£  ¡¡¡E 
bien  4  de  residuo  da  de  re- 

siduo 4. 


-  5  í)  — 

4.»  Prueba  de  los  onces,  —  La  prueba  <!,.  !,,> 
hágase  como  la  de  los  nueves,  coa  la  difVivnciaqueloa 
residuos  se  encuentran,  según  se  dijo  al  t 
pruebas  de  sumar. 

Apliquemos  esta  prueba  al  ejemplo  anterior: 

1835  sacando  los  onces  queda   de   residuo  I  )  9x4  =  36;  u 
752         id.  id.  ¡d.  4  £  cando  loa  on 


Producto  J  470920  sacando  los  onces  que  de  residuo    .°,  *  7*  *l««í»n  5 

de  rcfttduo. 

La  prueba  de  los  onces,  puede  también  reri 
aunque  la  operación  esternal  lwcha.  siempre  qae  e 
•suma  6  producto  á  una  ó  á  varias  cifras  de  Ji- 
par, se  les  agregue  6  quite  la  misma  cantída  I  que  á  las 
•cifras  de  lugar  par,  i  de  aquí  que  esta  prueba    m 
fectuosa.  como  la  de  los  nueves, 

101.  Pruebas  de  la  división.— \.%  Multiplique* 
liarte  entera  del  cociente  por  el  divisor,  ag  «>  al 

producto  el  residuo,  si  le  hai,  i  lo  que  i 
igual  al  dividendo. 

2,»  Si  la  división   es  exacta,  divídase   el   <li 
por  el  cociente,  i  éste  nuevo  cociente  <l  igual  al 

-divisor. 

Si  la  división  es  inexacta,  réstese  del  dividrnd 
residuo;  lo  que  quede,  divídase  por  la  parle  »nteradel 
cociente,  i  el  nuevo  cociente  debe  aereóme  antea,  (goal 
al  divisoí'. 

3.a  Considerando  al  dividendo  como  un  produotC 
vos  factores  son  el  divisor  i  el  cociente,  pnede  aplicar- 
se la  prueba  de  los  nueves,  lo  mismo  que  pan  la  nuil 
tiplipacion,  advirtiendo  que  cuando  ladiw-i 
exacta,  se  resta  el  residuo  del  dividendo,  i  lo  que  «ja. 
de  se  considerará  como  el  producto,  si;  t<» 

res  el  divisor  i  la  parte  entera  del  cociente. 

4.a  De  un  mode  análogo  puede  aplicarte  la  pmek 
los  onces,  que  se  explico  anteriormente  en  la  multipli- 
cación. 

Advertencia.—  La  prueba  de  los  nu»-\<  > 
ees,  en  la  multiplicación  i  división,  tienen  loa 
defectos  que  se  hicieron  notar  para  la   I 
tre  una  i  otra,  quizá  sea  mas  fácil  irnos  en  la 

prueba  de  los  nueves  que  en  la  de  ' 


—  <>()  — 

CARACTERES  DE  LA  DIVISIBILIDAD. 

1  <»•_>.  Un  número  es  divisible  por  2,  cuando  la  cifra 
de  su  derecha  es  cero  6  cifra  par.  Las  cifras  pares  son 
.  6  i  8. 

108  l'n  número  es  divisible  por  %  cuando  la  suma 
d»'  sus  cifras,  consideradas  en  su  valor  absoluto  es  3  ó 
mi  múltiplo  de  8,  como  201,  429,  ete 

.  Un  número  es  divisible  por  4,  cuando  las  dos 
primeras  cifras  de  su  derecha,  son  ceros  ó  componen 
era  número  múltiplo  de  4,  por  ejemplo  los   números 

0,  316,  9724,  etc. 

105.  Un  número  es  divisible  por  5,  cuando  la  cifra 
de  su  derecha  es  cero  ó  5,  como  480,  14o,  etc. 

106.  Un  número  es  divisible  por  6,  cuando  lo  es  por 
2  i  por  3,  ó  cuando  la  diferencia  entre  la  cifra  de  uni- 
dades simples  i  el  duplo  de  la  suma  délas  demás  cifras 
es  cero,  0,  ó  un  número  múltiplo  de  6.  Por  ejemplo, 
5322  es  divisible  por  6,  porque  termina  en  cifra  par  i 
la  suma  de  sus  cifras  compone  12,  que  es  el  múltiplo 
de  3;  ó  también  porque  2  x  (5+3+2)— 2=20— 2=18  múl- 
tiplo de  6. 

307,  Para  con ocer  si  un  número  es  divisible  por  7, 
distinguiremos  dos  casos:  1.°  que  el  número  tenga  tres 
cifras,  i  2.#  que  tenga  mas  de  tres. 

Cuando  tenga  tres  cifras,  multipliqúense  las  unida- 
des por  1,  las  decenas  por  3  i  las  centenas  por  2,  i  si  la 
suma  de  estos  productos  es  7  ó  un  múltiplo  de  7,  todo 
el  número  será  divisible  por  7. 

Ejemplo.— Sea  él  número  651,  multiplicando  la  ci- 
fra de  unidades  por  1,  la  de  las  decenas  por  3  i  la  de 
las  centenas  por  4,  se  encuentran  los  productos  1,  15  i 
12,  que  sumados  dan  28,  i  como  este  número  es  múlti- 
plo de  7,  651  también  lo  será. 

Cuando  el  número  tenga  mas  de  tres  cifras,  divídase 
en  porciones  de  tres  en  tres  cifras,  de  derecha  á  iz- 
quierda, i  no  importa  que  la  última  porción  de  la  de- 
recha tenga  las  tres  cifras  cabales. 

Súmense  después  las  porciones  de  lugar  par  i  las  de 
lugar  impar,  i  réstense  ambas  sumas;  si  la  diferencia 
es  0,  7  ó  un  múltiplo  de  7,  todo  el  número  será  divisi- 
ble por  7. 


—  61  — 

Ejemplo.— Sea  el  número  3717436101 
nes  de  lugar  impar,  son  098  i  174,    i   las  de  b¡. 
361  i  37.  La  suma  de  las  primeras  es  272  i   || 
segundas  es  398;  restadas  ambas   siim 
que  en  virrud  de  la  regla  del  primer  caí  li  risible 

por  7,  puesto  que  (6x1 -1-2x3 +  1x2)  =14.  múltipl 
Luego  todo  el  número  propuesto  es  también  divia 
por  7. 

Advertencia.— Cuando  la  diferencia  eq'tl 
de  las  porciones  de  lugar  par  i  la  de  1  ra 
tenga  tres  cifras,  apliqúese  la   regla   del    | 
para  ver  si  es  divisible  por  7;  pero  cuando  ma, 

de  tres  ciñas,  divídase  en  porciones  de  tr 
iras,  i  continúese  como  queda  dicho,  hasta  que  86 
cuentre  una  diferencia  con  tres  ó  menos  cií¡ 

108.  Un  número  sera  divisible  por  8,  cuando  las 
últimas  cifras  de  su  derecha  son  <••  forman  un 
múltiplo  de  8:  por  ejemplo  3000,  13816.  etc. 

109.  Un  número  será  divisible  poi 

ma  de  sus  cifras,  consideradas  en  su  valor 
9,  ó  un  múltiplo  de  9;  por  ejemplo  513,  83173, 

11Ó.   Un  número  será  divisible  por  10, 
primera  cifra  de  su  derecha  es  0;  es  divisible   | 
cuando  las  dos  primeras  cifras  de  su 
ros;  es  por  1000,  cuando  las  tres  primera*  oifhM  de  su 
derecha,  son  ceros,  etc. 

111.  Un  numero  será  divisible  por  II.  • 
sumadas  las  cifras  de  lugar  par  i  las  de  losar  impar.  1 
restadas  ambas  samas,  la  diferencia  efl  <>.  1 1.  0  un  nuil 
tipio  de  11.  . 

Sea  por  ejemplo  el  número  33 
sus  cifras  deludir  impar  es  0+2+0+8+3=1 
desús  cifras  de'  lugar  par,  es  1 +  3  +  4  + :>- In- 
diferencia entre  estas  sumas  es  0,  se  signe  que  i>\  nume- 
ro propuesto  es  divisible  por  11. 

112.  Un  número  será  divisible  por  I  -'■ 

lo  sea  por  3  i  por  4.  -  _«^«ia 

Así,  el  número  341100,  que  esdivisibl 
sumadas  sus  cifras  dan  un  múltiplo 
divisible  por  4,  porque  termina  en  dos  ceros,  10 

IVS.  Para  conocer  si  un  número  es  difülhfa  |  ■•  l 


—  (y'Z  — 

distinguiremos  dos  papos:   1,°  que  el  número  no  tenga 
.    ;  res  cifras,  i  2.«  que  tenga  mas  de  tres. 

Cuando  no  tenga  mas  de  tres  cifras,  multipliqúese  la 
cifra  de  las  decenas  por  3  i  la  de  las  centenas  por  4; 
hállese  la  diferencia  éntrela  suma  de  estos  productos  i 
un  id  ¡ules,  i  si  la  diferencia  es  0,  13  ó  un 
múltiplo  de  18,  todo  el  número  propuesto  será  también 
divisible  por  18. 

por  ejemplo  el  número  481.  Multiplicando  las 
por  8  i  las  centenas  por  4,  resultan  los  pro- 
ducios >2-\  i  10,  que  sumados  componen  40.  Hallando  la 
diferencia  entre  40  i  1,  cifra  de  unidades,  resulta  39, 
qne  es  múltiplo  de  13  evidentemente:  luego  el  número 
propuesto  es  divisible  por  13. 

Cuando  el  número  tenga  mas  de  tres  cifras,  hágase 
como  en  la  divisibilidad  por  7,  es  decir:  divídase  en 
porciones  de  tres  en  tres  cifras,  de  derecha  á  izquierda, 
i  si  la  diferencia  eutre  la  suma  de  las  porciones  de  lu- 
L.-ir  par  i  la  suma  de  las  de  lugar  impar,  es  0,  13  ó  un 
múltiplo  de  13,  todo  el  número  será  divisible  por  13. 

Sea  por  ejemplo  el  número  186148846.  La  dife- 
rencia entre  la  suma  de  las  porciones  de  lugar  par  i  la. 
-urna  de  las  de  lugar  impar,  es: 

(846  +  186)- 148=1032— 148=884, 

i  como  esta  diferencia,  según  la  regla  del  primer  caso, 
es  divisible  por  13,  todo  el  número  propuesto  también 
lo  será. 

Aquí  puede  hacerse  la  misma  advertencia  que  en  la 
divisibilidad  por  7. 

114.  Un  número  será  divisible  por  14,  siempre  que 
lo  sea  por  2  i  por  7. 

;.  el  número  4774,  que  es  divisible  por  2,  porque 
termina  en  cifra  par,  i  por  7,  porque  (774—4)^770, 
múltiplo  de  7,  sera  divisible  por  14. 

115.  Un  número  será  divisible  por  lo,  siempre  que 
lo  sea  por  3  i  por  6. 

Así,el  número  45225,  que  es  divisible  por  5  porque 
termina  en  5,  i  por  3  porque  sumadas  sus  cifras  dan  un 
múltiplo  de  3,  será  divisible  por  15. 

116.  Un  número  será  divisible  por  16,    siempre  que 


-63- 

las  cuatro  difras  de  su  derecha  sean  < -. 
gan  un  numero  divisible  por  10, 

Asi  por  ejemplo,  los  números  6750000  i  7 

116.  En  jeneral,  para  conocer  cuando  un  núm»T«>  .  - 
divisible  por  otro,  se  efectúa  la  división  de  dicho 
mero  por  este  otro;  pero  cuando  el  divix.r  de  <|ie-  .«*•• 
trata  sea  un  número  compuesto  por  sus   ; 
tónces  el  número  dado  será  divisible,  siempre  q 
sea  por  los  factores  primos  del  compaee 

Así,  un  número  será  divisible  por  18,  cuando  lo  sea 
por  2  i  por  9;  será  divisible  por  20,  cuando  lo  sea  por 
4  i  por  5;  es  divisible  por  21,  cuando  lo 
7,  etc. 

También  para  conocer  si  un  número  i 
otro,  puede  formarse  una  tablita  de  la 
ñera: 

Escríbase  1:  este  1  multipliqúese  por  1»>.  i  el  prod lu- 
to divídase  por  el  divisor  de  que  se  traía.  escnbi< 
el  residuo  debajo  del  1  anterior.  Este  residuo  multi- 
pliqúese por  10  i   el  producto  divídase   por  el   mi 
divisor  de  que  se  trata,  escribiendo  el  residuo  debajo 
del  anterior.  Continúese  del  mismo  modo  multipli 
do  los  residuos  por  10,  dividiendo  los  producios  por  d 
divisor  de  que  se  trate  i  escribiendo  los  residuos  anos 
debajo  de  otros,  debiendo  encontrar  tantos  CQAOtU 
fras  tenga  el  número. 

Formada  así  la  tabla,  multiplíqui 
te  las  cifras  del  número  comenzando  por  las  unidades, 
por  los  residuos  contenidos  en  ella  comenzando  poi 
i  si  la  suma  de  los  productos  dá  el  divisor  de  que  se 
trata  ó  un  múltiplo  de  él,  el  número  propuesto  será  di 
visible  por  dicho  divisor. 

Ejemplo.— Averiguar  si  el  núift  88  es  divisi- 

ble por  17. 


1 
10 
Ifi 

14 
4 


Multiplicando  las  cifras  del  número  i>or  los  de  esta 


0  4 


tabla,  resultan  los  productos  8,  30,  45,  126  i  12,  que 
sumados  componen  el  número  221,  el  cual,  en  virtud 
,lr  la  misma  tabla,  dá  los  productos  1,  20  i  30,  que  sa- 
mados componen  51  que  es  evidentemente  múltiplo  de 
•1  número  propuesto  es  divisible  por  17. 


NÚMEROS  PRIMOS. 

117.  Para  conocer  &i  un  número  es  primo,  divídase 
Bticesh  amenté  por  cada  uno  de  los  primos  2,  3,  5,  7, 
11,  18,  17,  etc.,  hasta  que  se  encuentre  sin  ser  la  divi- 
sión exacta  un  cociente  menor  que  el  divisor. 

Así  por  ejemplo,  si  queremos  saber  qué  clase  de  nú- 
mero, en  cnanto  á  sus  factores,  es  223;  lo  dividiremos 
sucesivamente  por  2,  3,  5,  etc.,  hasta  por  19,  en  cuyo 

so  encontramos  el  cociente  entero  11,  menor  que  19, 
sobrando  de  residuo  14.  Luego  223  es  número  primo. 

1  Í8.  Criba  de  Eratóstenes,  ó  procedimiento  para  for- 
mar una  tabla  de  números  primos. — Escríbanse  todos 
jos  números  impares,  desde  1  hasta  el  límite  que  se 
quiera,  con  inclusión  del  2.  En  seguida,  táchese  el  cua- 
drado de  3,  que  es  9,  i  todos  los  números  siguientes 
que  ocupen  el  tercer  lugar,  a  partir  de  9  exclusive: 
despnes  táchese  el  cuadrado  de  5,  que  es  25,  i  todos 
los  números  siguientes  que  ocupen  el  quinto  lugar,  á 
partir  de  25  exclusive,  i  así  sucesivamente  se  irán  ta- 
chando los  cuadrados  de  los  primos  7,  11,  13,  17,  etc. 
i  todos  los  números  siguientes  que  ocupen  el  7>  11." 
13.°  17.»  etc.  lugai,  á  partir  de  dichos  cuadrados  ex- 
clusive, hasta  que  se  tachen  los  múltiplos  de  un  núme- 
ro primo  tal,  que  el  cuadrado  del  primo  siguiente  sea 
mayor  que  el  límite  supuesto. 

De  modo  que,  para  formar  por  ejemplo,  la  tabla  de 
números  primos  comprendidos  entre  1  i  500,  deberán 
tacharse  hasta  los  múltiplos  de  19,  porque  el  cuadrado 
del  primo  siguiente,  que  es  23,  nos  dá  529,  mayor  que 
500,  límite  lijado. 

119.  A  continuación  ponemos  la  serie  de  números  im- 
pares; i  los  números  subrayados  expresarán  los  que, 
según  la  regla,  deben  tacharse  para  formar  una  tabla 
de  los  números  primos  comprendidos  entre  1  i  349. 


65- 


1,  2,  3,  5,  7^  Vil,  13,  15,  17.  I'.'.  21, 
27,  29,  31,  33,  35,  37,J9,J1,  43,  46¡  17,15; 
51,  53,  55,  57,  59,  61,  63,  65,  07,  69,  71.  7:1, "76; 
77,  79,  8i;  83,  85,  "87,  89,  91,  93,  95,  97,  99,101, 
103,105;  107,  109,  TTI7  113,  Ü5,  117,  119,  l'Jl. 
r2^T25;  127,  129,  131,  133;~l35,  137,  139,  1H. 
143,  145,  147,  149,  151,  153,  155,  157,  í$9¡  Í6l" 
163,165;  167,  169,  171,  173,  175,  177.  17..  181, 
183,  185,  187,  189,  191,  193,  1957197,  1 
203,  205,  207,  209,  211,  213,  215,  117,  211»,  JJl, 
223,  ^2257  227,  229,  "23Í7  233,~235; ""•_':;;.  241, 

243,   245,   247,  249;  251,  253,  255, 
263,  265,  267,  269,  271,  273,  275,  797281, 

283,  285,  287,  289,  291,  293,  295;  2 
303,  305,  307,  30973L1,  313,~TÍ57  317,  319,  321, 
323,  325,  327,  329,  331,  333,  335;  337,  339,  341, 
343,  345,  347,  349. 

120.  Hallar  los  divisores  primos  de  un    númm 
Para  encontrar  los  divisores  primos  de  un  número,  di- 
vídase este  número  i  los  cocientes  que  resolten 
menor  divisor  primo  diferente  de  la  unidad,  hasta  que 
el  último  cooiente  sea  1.  Los  difen  ivs  ha- 

llados serán  los  factores  primos  del  DÚn 

Supongamos,  por  ejemplo,  que  A  núi:  I  quiere 

descomponerse  en  factores  primos,  pan   lo  cual  dis- 
pondremos la  operación  como  se  vé  en  seguida. 


O 
o 

ai 


360 

21 

180 

2 

90 

2 

45 

3^ 

15 

3 

5 

5 

1 

^ 

66  — 


(mero  es  igual  al  producto  de  sus  factores 
primos,  es  decir,  que 

800=2.2.2.3.3.5=2?  3?  5 

Hallar  los  divisores  compuestos. — Para  encon- 
trar los  divisores  compuestos,  multipliqúese  cada  di- 
visor primo  por  cada  uno  de  los  que  tiene  debajo  en  la 
operación  anterior,  colocando  los  productos  á  la  dere- 
oaa  del  multiplicador  i  poniendo  una  sola  vez  los  que 
salgan  iguales.  Así  se  tendrán  los  divisores  compuestos 
de  á  dos  primos. 

Para  los  de  á  tres,  multipliqúese  cada  uno  de  los  de 
á  dos  por  cada  uno  de  los  primos  que  tenga  hacia  la 
izquierda  i  en  la  parte  inferior, 

rara  los  de  á  cuatro,  multipliqúese  cada  uno  de  los 
de  a  tres  por  cada  uno  de  los  primos  que  tenga  hacia 
la  izquierda  i  en  la  parte  inferior,  i  así  sucesivamente. 

Encontremos,  por  ejemplo,  los  divisores  compuestos 
de  360,  para  lo  cual  dispondremos  la  operación  como 
se  vé  en  seguida: 


360 

188 

90 

45 

15 


-72 

120,180 

360 

Y ' 

— , — * 

1           . 

00      . 

tí    : 

Q>     . 

tí   o 

«2       . 

*d  £ 

vcá       , 

•H 

OO 

O)    Ph 

O    o 

ra  P< 

ra  g 

oo 

00  .S 

<D  o 

v  bt 

?-t    QD 

fa  P< 

O 

O 

oo 

00 

•  r-t 

> 

¡> 

•  r-l 

•F- 1 

P 

P 

122.  Para  saber  cuantos  divisores  diferentes  tiene  un 
numero,  multipliqúense  los  números  que  espresan  las 
veces  que  están  repetidos  los  divisores  primos  agregan- 
do a  cada  numero  1. 

Así,  en  el  ejemplo  anterior,  siendo  3  el  número  de 
veces  que  está  repetido  el  factor  primo  2;  2  el  número 
de  veces  que  está  el  primo  3,  i  1  el  número  de  veces  que 


-67- 

está  el  primo  5,  tendremos  que 

(3  +  l)X(2+l)x(l+l)=4.  3.  2  ó  sea  24,  es  el  nú- 
mero de  divisores  diferente  que  tiene  360. 

Se  llaman  números  primos  entre  sí,  los  que  no 
nen  mas  divisor  común  que  la  unidad. 

Por  ejemplo,  los  números  12,  7,  &fi  i   i:¡,  son  primos 
entre  si,  aunque  12  i  25  no  sean  primos  Beparadanu 


Algunas  proposiciones  acerca  de  la  divMbilldasl 
i  de  los  números  primos. 

123.  1.a  Si  un  número  es  divisor  de  dos  ó  mas,  será 
divisor  de  la  suma  de  éstos. 

Así  por  ejemplo,  siendo  4  divisor  de  12,  16  i  40,  se* 
rá  también  divisor  de  12  +  16+40,  ó  sea  68. 

2.a  Si  un  número  es  divisor  de  otros  dos,  será  di  vi 
sor  de  la  diferencia  de  éstos. 

Así  por  ejemplo,  siendo  5  divisor  de  75  i  20,  será 
también  divisor  de  75—20,  ó  sea  55. 

3,»  S¿  un  número  es  divisor  de  otro,  será  divisor  de 
cualquier  múltiplo  de  este  otro. 

Asi  por  ejemplo,  siendo  3  divisor  de  6,  lo  será  tam- 
bién de  18,  24,  42  i  36  que  son  múltiples  de  6. 

4.»  Todo  número  que  sea  divisor  del  dividendo  i  di 
visor  de  una  división  inexacta,  es  también  divisor  del 
residuo,  i  recíprocamente:  todo  número  que  sea  » 
sor  del  residuo  i  divisor,  es  también   divisor  del  diw 
dendo. 

Así,  siendo  4S3  el  dividendo,  i 
síduo,  todo  número  que  sea  divisor  de  -188  i  64,  por 
ejemplo  4  será  también  divisor  - 
siendo  4  divisor  de  G4  i  de  40,  lo  s. 

5,a  S¿  un  número  primo  es  di  vis-  roducto 

compuesto  de  varios  factores,  tiene  que  ser  divisor  por 
lo  menos  de  uno  de  los  factores  de  dicho  producto. 

Así  por  ejemplo,  siendo  5  divisor  del  producto  360 
que  es  igual  á  2  x  25  x  7,  será  divisor  de  uno  por  lo  me- 
nos de  estos  factores,  como  en  efecto  sooed 

6.a  Si  un  número  es  divisible  por  otros  vanos,  pri- 
mos entre  sí  dos  á  dos,  es  también  divisible  porel  pro- 


-68- 

dacto  de  «>stos  (').  .  -,...,,  & 

Así  por  ejemplo,  si  un  número  es  divisible  por  5  por 
i  será  por  60,  que  es  el  producto  de  éstos. 
aérie  de  números  primos  es  ilimitada,   o  lo 
nne  es  lo  mismo,  hai  infinitos  números  primos. 
Bji  l  ':<  número  no  puede  descomponerse  mas  que  en 
ten  la  de  factores  primos. 
Li  oir,  qoe  si  tenemos  por  ejemplo  el  numero  210, 
9  divisores  primos  son  2,  3,  5  i  7,  cualquiera  otra 
m  posición  que  se  haga  no  puede  dar  mas  ni  me- 
nos divisores  que  los  expresados. 

9.»  Si  un  número  es  primo  con  otro,  será  primo  con 
cualquier    múltiplo  de  este  otro. 

por  ejemplo,  siendo  5  primo  con  3,  será  primo 
con  9,  12,  18,  21  etc.  que  son  múltiplos  de  3. 

10.a  Si  un  número  es  primo  con  cada  uno  de  los  fac- 
tores de  un  producto,  será  primo  con  el  producto. 
Así,  siendo  4  primo  con  5,  7  i  11,   será   primo  con 
:    11,  6  sea  385. 
11.a  S¿  varios  números  son  primos  entre  sí,  los  pro- 
ductos que  resulten  de  multiplicarlos  por.  si  mismos, 
lambien  serán  números  primos  entre  sí. 

Así,  siendo  5,  7  i  6  números  primos  entre  sí,  5.5,  7. 
7.7,  i  6.6,  por  ejemplo,  son  números  primos  entre  sí. 
12.a  Si  un  número  es  divisor  de  un  producto  com- 

S tiesto  de  dos  factores,  i  es  primo  con  uno  de  ellos, 
ebe  ser  divisor  del  otro  factor. 

Así  por  ejemplo,  siendo  3  divisor  de  450,  ó  de  su 
igual  90  x  5  i  primo  con  5,  será  divisor  de  90,  que  es  el 
otro  factor. 

13.a  Si  el  dividendo  i  divisor  de  una  división  inexac- 
ta se  multiplican  ó  dividen  por  un  mismo  número,  el 
residuo  de  la  división  queda  multiplicado  ó  dividido 
por  el  mismo  número. 

Si  suponemos,  por  ejemplo,  que  el  dividendo  es  128, 
el  divisor  24  i  el  residuo  de  la  división  8,  i  multipli- 
camos ó  dividimos  el  dividendo  i  divisor  por  4,  verbi- 
gracia, el  residuo  de  128x4  :  24  *4  ó  de  (128  :  4):(24:4) 
será  respectivamente  8  x  4  ú  8  :  4. 

(') — Se  dice  que  varios  números  sou  primos  entre  *•',  dos  a  dos,  cuan- 
do cada  uno  es  primo  con  cada  uno  de  los  demae. — Por  ejemplo  5,  16T 
7,  9. 


0  9  — 


DEL  MÁXIMO  COMÚN  DIVISOR 

124.  Máximo  común  divisor  de  <l<>s  ú  m,, 
es  el  mayor  número  que  está  contenido  m 
tamente  ('). 

Primer  procedimiento  para  enrontrailo 
pónganse  los  números  en  sus  factores  primos,    i  ln 
fórmese  un  producto  de  los  primos  comunes,  i 
dolos  tantas  veces  como  estén  menos.  Si  algún  liii 
primo  se  encuentra  igual  número  de  v<  -t  ido  en 

dos  ó  mas  de  los  números,  se  pondrá  solamente  Lftl  ve- 
ces que  esté  en  uno  de  ellos. 

Ejemplo— Hallar  el  M.  C.  I),  de  80,   100 

Dispondremos  el  cálculo  como  se  vé  á  oontinnacioft: 


M.    C.    (1.    (le 

9  .  8 


125.  Segundo  procedimiento. -Q  uando  son  dos  los  nú 
meros,  divídase  el  mayor  por  el  menor,  i  si 
cíente  exacto,  el  menor  será  el  m.  c.  d.;  pero  si  en  esta 
división  i  lasque  siguen  resulta  residuo.  <    ntinúeee 
dividiendo  cada  divisor  por  su  residuo.  \w\<\\\   que  re- 
sulte  un  cociente  exacto,  en  cuyo  caso,  el   Utüno  divi- 
sor exacto  es  el  máximo  común  divisor  de  loe  do*  nú 
meros. 

Ejemplo— Hallar  el  m.  c.  d.  de  900  i 

Dispóngase  la  operación  como  se  Té  en  - 
niendo  para  mayor  comodidad  los  eoci  leliMl  de 

los  divisores,  i  los  últimos  residuos  de  cada  divii 
desde  luego  corno  divisores,  sin  escribirlos  >  de 

los  respectivos  dividendos. 

l.er  cociente'2.°   cociente '3.er  oodeotfl 


60 

2 

150 

2  930 

2 

30 

2 

75 

3  465 

3 

15 

3 

25 

5  155 

5 

5 

5 

5 

5   31 

31 

1 

1 

1 

('. 


:> 


960 


825 


135 


lfi 


l.«  residuo.  ¡2.°  residuo. 


—  \  lll.  C 
01 


( ' ) — La  expresión 
te:  m.  c.  d. 


áxiino  coman  dh  «cribo  •brevb«k»o»- 


—  70  —  

ADVERTENCIA.—  Desde  el  momento  que  se  encuen- 
tre un  residuo  que  sea  primo  con  el  divisor,  deben  sus- 
penderse las  divisiones,  por  indicar  esto  que  los  núme- 
ros dados  son  primos  entre  sí. 

Criando  sean  mas  de  dos  los  números,  hállese  el 
máximo  común  divisor  de  dos  de  ellos,  que  para  ma- 
yor comodidad  se  elijen  los  mas  pequeños.  En  seguí- 
lía,  búsquese  el  máximo  común  divisor  de  este  máxi- 
mo común  que  resulta  i  otro  de  los  números;  luego  el 
máximo  común  divisor  de  este  que  resulta  i  otra  de 
los  números,  i  así  sucesivamente.  El  último  máximo 
común  divisor,  será  el  de  los  números  propuestos. 
Ejkmplo.— Hallar  el  m,  c.  d.  de  120,  570,  450  i  36. 

Desde  luego  vemos  que  el  máximo  común  divisor  de 
120  i  36,  que  son  los  números  mas  pequeños  es  12. 

Kl  m.  c.  d.  de  12  i  570  es  6. 

I  el  m.  c.  el.  de  6  i  de  450,  que  es  el  último  número 
es  6,  luego  m.  c.  d.  de  120,  570,  450  i  36=6. 

Advertencia.— Cuando  se  observe  que  dos  de  los 
números  son  primos  entre  sí,  desde  luego  todos  ellos 
i u  primos  entre  sí,  i  en  tal  caso  no  hai  necesidad 
de  continuar  adelante  las  operaciones. 

Este  segundo  procedimiento  es  el  mejor,  desde  lue- 
go, para  investigar  el  m.  c.  d.  de  los  números,  pues 
ademas  de  poder  indicarnos  cuando  deben  suspenderse 
las  operaciones  por  conocer  que  los  números  son  pri- 
mos entre  sí,  no  está  sujeto  á  conocer  los  caracteres  de 
divisibilidad,  los  cuales,  como  se  sabe,  son  mui  limi- 
tados. 

126.  Proposiciones  acerca  del  máximo  común  di  vi- 
sor.— 1.a  El  máximo  común  divisor,  del  dividendo  y 
divisor  de  una  división  inexacta,  es  igual  al  del  divi- 
sor i  del  residuo. 

Así,  siendo  el  dividendo  184,  el  divisor  24  i  el  resi- 
duo 16,  se  verifica  que  m.  c.  d,  de  148  i  24=m.  c.  d. 
de  24  i  16. 

2.»  Si  varios  números  se  dividen  por  su  máximo  co- 
mún divisor,  los  cocientes  son  números  primos  entre  sí. 

Supongamos,  por  ejemplo,  que  el  m.  c.  d.  de  60,  150 
i  930  es  30.  Pues  bien,  al  dividir  cada  uno  de  los  tres 
números  por  30,  resultan  de  cociente  2,  5  i  31,  que  co- 
mo se  vé,  son  primos  entre  sí. 


7  1   - 


3.»  Si.  un  número  es  divisor  <: 
visor  del  máximo  coman  divisor  de 

Así,  siendo  por  ejemplo  5  divisor  .1 
lo  es  también  de  30,  m.  c.  d.  de  1  • 

4.a  Si  varios  números  se  multiplican  por  un  mismo 
número  entero,  su  m.  c.  d.  queda  multíplii  :  di 

clio  número  entero. 

Así,  por  ejemplo,  si  los  números  6  i  m. 

c.  d.  es  30,  los  multiplicamos  verbi-j 
máximo  común  divisor  de  los  producto 
930x7  sería  30x7. 

5.a  Si  uno  ó  varios  números  se  dividen  por  un  factor 
primo  que  no  sea  común  á  todos,  el  m.  c.  d.  n 

Así  es  que,  si  tenemos  los  números 
dividimos  930  por  31,  factor  primo  i  no  común  á  los  o- 
tros  números,  el  m.  c.  d.  de  60,  150  i  (98  será 

también  30. 

6.a  El  m.  c.  d.  de  dos  números,  es  el  mismo  que  el 
"uno  de  ellos  i  la  diferencia  entre  los  <  i 
Problemas  del  m.  e.  <1. 

127.  1.°  Si  el  m.  c.  d.  de  dos  números  es  :v>.  ;  uáles 
son  estos  números  sabiendo  que  los  cocientes  que  se 
obtienen  al  encontrar  el  m.  c.  d.  son  0  i  81 

2.°  Si  se  dividen  los  números  305  i    i 
número  posible,  se  hallan  los  residuos  o  i  4,  jcuái  es 
este  número? 

3.°  Una  persona  desea  colocar  separadamente  Si  .-1 
menor  número  de  cajas  de  igual  capacidad,  350  quin- 
tales  de  azúcar  i  500  quintales  de  cafó.  |OOÍ  dn- 

tales  debe  colocar  en  cada  caja  i  cuántas  cajas  aebe 
haber  de  cada  artículo? 

4.°  Hai  tres  terrenos:  el  primero  consta  de  67000  lus- 
tros cuadrados,  el  segundo  de  93000,  ;»ntre  cuántas 
personas  podrán  repartirse,  suponiendo  que  á  cada 
cual  corresponda  una  parte  qu» 

mayor  número  de  metros  cuadrados  contenidos  exac- 
tamente i  al  mismo  tiempo  en  los  tres  terrenos! 

5.°  Cuatro  individuos  convienen  en  comprar  cada .orno 
una  parte  de  82  caballos  al  mismo  precio  cada  caballo,  i 
con  la  condición  de  que  cada  individuo  gastará  en  loaca- 
caballos  que  le  toquen  todo  su  capital.  El  primero  posee 
$360;  el  2.°  $320;  el  3.*  $500  i  el  4.°  $460.  jciianto  costó 
da  caballo  i  cuantos  tocan  á  cada  persona! 


—  7  2  — 

DEL  MÍNIMO  COMÚN  MÚLTIPLO, 
ó  menor  cllvicftcnrto  común. 

128.  Se  ¡lama  mínimo  común  múltiplo,  ó  menor  di- 

ido  común,  ele  varios  números,  el  menor  número 

divisible  por  ellos,  6  que  los  contiene  exactamente  ('). 

/Y  rocedimiento  para  encontrarlo. — Descom- 

pónganse los  números  en  sus  factores  primos,  i  el  pro- 
ducto que  resulte  multiplicando  los  primos  diferentes 
i  los  comunes,  tantas  veces  como  estén  mas,  será  el  m. 
c.  m. 

Cuando  algún  factor  primo  que  se  encuentra  mas  re- 

Í>etido,  se  halla  igual  número  de  veces  en  dos  ó  mas  de 
os  números,  se  pondrá  en  el  producto  solamente  las 
veces  que  esté  en  uno  de  ellos. 

Ejemplo.— Hallar  el  m.  c.  m.  de  360,  45  i  400. 

Dispóngase  la  operación  como  se  vé  en  seguida: 


m.  c.  m,  de  360,45  i  400  = 
2,2,2.2,5.5.3.3,  ó  sea  3.600 


129.  Segundo  procedimiento.  —  Dispuestos  los  nú- 
meros en  fila  horizontal,  divídanse  todos  ó  los  que  se 
{meda  por  algún  divisor  común  á  dos  de  ellos  por 
o  menos,  colocando  debajo  i  en  fila  horizontal,  los  co- 
cientes i  los  números  indivisibles. 

Divídanse  del  mismo  modo  los  números  de  esta  se- 
gunda fila,  colocando  debajo  de  ella  los  cocientes  i  los 
números  indivisibles,  i  así  sucesivamente,  hasta  que 
los  números  de  la  última  fila  sean  primos  entre  sí. 

El  producto  de  estos  números  de  la  última  fila  por 
los  divisores  encontrados,  será  el  mínimo  común  múl- 
tiplo. 

Apliquemos  este  método  al  ejemplo  anterior,  para  lo 
cual  dispondremos  la  operación  como  se  vé  en  seguida: 

O— La  expresión  mínimo  común  múltiplo  se  escribe  abreviadamen- 
te: m.  c.  m. 


800 

2 

45 

3 

400 

2. 

180 

2 

15 

3 

200 

2 

90 

2 

5 

5 

100 

2 

45 

2 

1 

50 

2 

15 

3 

25 

Í5 

5 

5 

5 

5 

1 

1 

—  73 


C.  m.  =2.10.: •  <J00. 


360—45—400 

36—45—40 

4—  5-40 

4—  1—  8 

1—  1—  2 

130.  Tercer  procedimiento.  —  Si  son  <1<>s   lo*  d 
ros,  divídase  uno  de  ellos  por  el  máximo  común 
sor  de  ambos;  el  cociente  multipliqúese  por  el 
mero  i  el  producto  será  el  mínimo  común  múltij  : 

Ejemplo.— Hallar  el  mínimo  común  múltiplo  de 
150  i  18, 

Desde  luego  se  observa  que  el  m.  c.  d.  de  ambos  nú- 
meros es  6.  Dividiendo  pues,  uno  de  ellos  por  ejemplo 
18  por  6,  i  multiplicando  el  cociente  3  por  150,  r\ 
ducto  450  será  el  m.  c.  m.  de  150  i  18. 

Cuando  sean  mas  de  dos  los  números,  hállese  el  m. 
c.  m.  de  dos  de  ellos;  en  seguida  el  m.  <\  m.  del  qne 
resulta  i  otro  de  los  números;  luego  el  m.  c.  m.  de  este 
que  resulta  i  otro  de  los  números  i  así  succsivam 
hasta  tomar  el  último  número.  El  m.  o,  m.  final  será 
el  de  los  números  propuestos. 

Ejemplo. — Hallar  el  mínimo  común  múltiplo  de 
150,  18,  96,  i  420. 

El  m.  c,  m.  de  150  i  18  es,  según  quería  dicho  450. 

El  m.  c.  m.  de  450  i  96  es,  por  la  misma  : 

I  el  m.  c.  m.  de  7200  i  del  último  número  420  es  504<">. 

Luego  m.  c.  m.  de  150,  1S.  M  i 

Advertencia. — 1.a  Cuando  el  mayor  de  los  nú* 
ros  es  divisible  por  cada  uno  de  los  demás   dicho  nú- 
mero será  el  m.  c.  m.  de  todos  ellos. 

Así  por  ejemplo,  en  los  números 
360  el  m.  c.'m.  de  los  cuatro  números  por  ser  dirtribla 
evidentemente  por  cada  uno  de  los  demás. 

2.a  Cuando  los  números  son  primos  entre  sí  dos  á  dos, 
su  m.  c.  m.  se  encuentra  multiplicando  dichos  r.umeros. 

Así  el  m.  c.  m.  de  7,  12,  5,  i  11  será  7.  19 

131.  Proposiciones  acerca  delm.  c.  m.-l.»  hl  produ 
de  dos  números  es  igual  al  de  su  m.  c  ni.  POrsam.* 

,     Así,  el  producto  de  12  por  18  será  taja  al  de  30  qc 
es  el  m.  c.  m.  por  6  que  es  el  m.  c.  d.  Es  Ot  <  18 

=36x6. 
2.a  Si  varios  números  se  multiplican  ó  dividen   por 


-74- 

un  mismo  número,  su  m.  c.  m,   queda  multiplicado  ó 
dividido  por  ese  número. 

A -i  por  ejemplo,  si  los  números  12  i  18  cuyom.  c.  m. 
«•  múltiphin  6  dividen  verbi-gracia  por  3,  el  m. 
0,  m.  de  12*3  i  18x3  6  12:  3  i  18:  3  será  respectivamen- 
te 36x3  ó  36:  3. 

:*.»  Wridiendo  el  m.  c.  m.  de  varios  números  por  es- 
tos mismos  números  los  cocientes  son  primos  entre  sí. 
.  si  en  el  ejemplo  anterior  dividimos  36  por  12  i 
:   ls,  resultan  de  cociente  3  i  2  que  son  números  pri- 
mos entre  sí. 

Problemas  de  m.  e.  ni. 

132.  1.°  Cuatro  buques  hacen  el  mismo  viaje  entre 
dos  puntos  de  la  costa:  el  1.°  lo  hace  cada  6  dias,  el  2.° 
cada  8,  el  3.°  cada  10  i  el  4.°  cada  4.  Suponiendo  que 
estos  buques  salen  hoi  juntos  para  su  destino  pelen  tro 
de  cuanto  tiempo  saldrán  de  nuevo  el  mismo  dia? 

2.°  [Cuál  será  el  menor  volumen  de  un  cuerpo  que 
contenga  exactamente  á  otros  tres  de  350  metros  cúbi- 
cos el  1.°,  248  el  2.o  i  36  el  3.°? 

3.#  En  la  construcción  de  una  casa  se  emplean  tres 
clases  de  operarios:  albañiles,  carpinteros  i  herreros. 
A  cada  albañil  se  le  paga  30  pesos  mensuales,  á  cada 
carpintero  36  i  á  cada  herrero  24.  Suponiendo  que  á  ca- 
da clase  de  operarios  se  pague  la  misma  cantidad  de 
salario,  ¿cuál  será  el  menor  monto  mensual  que  gane 
cada  clase,  i  cual  es  el  número  de  hombres  de  cada  una? 

4.°  En  una  alameda  se  han  plantado  árboles  de  lado 
á  lado:  si  se  cuentan  de  12  en  12,  de  16  en  16,  de  20  en 
20  ó  de  24  en  24,  sobran  10  de  residuo;  pero  si  se  cuen- 
tan de  22  en  22  no  sobra  nada  ¿cuántos  árboles  tiene 
la  alameda? 

5.°  Tres  personas  salen  juntas  de  un  punto  de  un  cir- 
cuito de  2400  leguas  con  el  propósito  de  recorrerlo.  La 
primera  persona  camina  20  leguas  por  dia;  la  segunda  15 
i  la  tercera  24.  ¿cuanto  tiempo  deberá  trascurrir  para 
que  todas  vuelvan  á  juntarse  en  el  punto  de  partida,  i 
cuantas  vueltas  dará  cada  una? 

Problemas  principales  acerca  de  los  sistemas  di- 
ferentes de  numeración. 

133,  1  o  Dado  un  número  en  el  sistema  décuplo,   es- 


-  7  5  - 


cribirlo  en  un  sistema  diferente.  —  i '  liresto, 

divídase  el  número  dado  i  los   i  resnltaa 

por  la  base  del  sistema  difente,  hasta  que  se  halla  U 
cociente  entero  menor  que  la  base.  Los  residuos  de  la 
1.a,  2.a,  3.a,  etc.  divisiones  i  el  último  o  forma- 

rán las  unidades  de  1.°,  2.°,  3.»,  etc.  órdenes  en   •  ■; 
mero  que  se  quiere. 

Ejemplo,— Escrito  el  número  854761   en  •*ma 

décuplo,  escribirlo  en  el  sistema  ú 
mal,  ó  de  base  doce. 

Dispondremos  el  cálculcrcomo  se  ve  en  seguida: 
35476112 

144 
067 
76 
41 
5 

Luego   354761   (sistema  décuplo) =151 
duodecimal.) 

134.  2.  °  Dado  un  número  en   un  •   diferí 

del  décuplo,  escribirlo  en  este  sistema.-  i 'ara  resol- 
ver esta  cuestión,  divídase  el  número  dado  i  los  cocien- 
tes que  resulten  por  la  base  del  sistema  décupl 
Hiendo  cuidado  al  efectuar  las  divisiones,  de  ir  n 
do  cada  cifra  del  número  propuesto  n  unidades  del  or- 
den inmediatamente  inferior.  Los  residuos  de  la  1  V 
2.a,  3,a,  etc.  divisiones  i  el  último  cociente  menof  que 
10,  formarán  las  unidades  de  1.°,  2.a,  3.«,  etc.  orden  ea 
el  número  que  se  busca. 

Sea  por  ejemplo  el  número  antriiorl51375dels¡atMB* 
duodecimal  que  quiere  escribirse  en  el  - 

Dispondremos  el  Ccilcnlo  como  se  ve  ea  seguida: 


29563 

12 

55 

2463 

12 

76 

063 

206(1  a 

43   3 

85 

\\   12 

7 

01 

5  l 

151375 

10 

17 

18644 

10 

85 

20 

2077 

10 

63   06 

24 

256 

1U 

43   76   55 

■jl,10 

41   76  571 

1 

6 

7 

4 

A 

Para  efectar  la  primera  división  decimos:  1  por  1* 


—  76  — 


••s  12.  i  5  17;  17  entre  10  á  1  i  sobran  7;  7  por  12,  84,    í 
1,  86,  entre  L0á8i  sobran  5;  5  por  12,  60,  i  8,  63,  entre 
lo  ¡i  (i  i  sobran  3;  3  por  12,  36;  i  7,  43,  entre  10  á  4  i  so- 
bran 3;  8  por  12,  36,  i  5,  41.  entre  10  4  i  sobra  1, 
Para  la  segunda  división  decirnos:  1  por  12  es  12,  i  8 
.  entre  10  a  2  i  queda  0;  0  por  12,  0,  i  6  es  6,  entre  10 
I  i  sobran  &;  6  por  12,  72,  i  4  76,  entre  10  á  7  i  sobran 
0;  C  por  12,  72,  i  4,  76,  entre  10  á  7  i  sobran  6. 

Para  la  tercera  división  decimos:  2  por  12,  24,  i  0  24, 
entre  LOá  2  i  sobran  4;  4  por  12,  48,  i  7,  oo,  entre  10  á  5 
i  -  taran  5;  o  por  12,  60,  i  7,  67,  entre  10  á  6  i  sobran  7. 
Como  de  un  modo  análogo  se  efectuarían  las  demás 
«1  i  visiones,  resulta  que:  151375  (sistema  duodecimal)= 
354761  (sistema  décuplo.) 

135.  3.o  Dado  un  número  en  un  sistema  diferente 
del  décuplo,  escribirlo  en  otro  sistema  también  dife- 
rente del  décuplo. — Para  resolver  esta  cuestión,  diví- 
dase el  número  dado  i  los  cocientes  que  resulten  por 
la  base  del  otro  sistema  diferente,  hasta  que  resulte  un 
cociente  entero  menor  que  dicha  base,  teniendo  cuida- 
do, según  se  dijo  en  el  problema  anterior,  de  ir  redu- 
ciendo cada  cifra  del  número  á  unidades  del  orden  in- 
mediatamente inferior.  Los  residuos  de  la  1.a,  2.a,  3.a, 
etc.  divisiones  i  el  último  cociente,  formarán  las  unida- 
des de  1.°,  2.°,  3/,  etc.  orden  en  el  número  que  se  quiere. 
^  Supongamos  por  ejemplo,  que  el  número  34156  del 
sistema  septenario  ó  de  base  7,  quiere  escribirse  en  el 
sistema oncenar i o  ó  de  base  11. 

Dispóngase  el  cálculo  como  se  ve  á  continuación: 


34156 


11 

"2205 
22      16 
05      35 
41      17 

8        6 


11 

mili 


71 

5 


6 


Para  efectuar  la  primera  división  decirnos:    3 
21,  i  4,  25,  entre  11  á  2  i  sobran  3;  3  por  7,  21   i 
entre  11  á  2  i  sobra  0;  0  por  7,  0  i  5  es  5,  entre  11  á, 
sobran  5;  5  por  7,  35,  i  6  41,  entre  11  á  3  i  sobran  8. 

Practicando  de  la  misma  manera  las  otras  divisiones 


por   7 
1,   22, 
Oi 


-77- 

resulta  (jae:  34158  (sistema  septenari 
oncenario,) 

130.  Observaciones,  acerca  de  los  di  í 
de  numeración. 

1.»  Las  cifras  diez  i  once  ó  a  ib  se   comí, 
niarlas  respectivamente  dice  i  trice. 

Según  esto,  el  número  3.  f)bOr>Ja.l< 
do:  tres  mil  quinientos   trícenla  i . 
nientos  veinte  i  dice  mil,  trícenlos  och 

2.a  Los  sistemas  de  numeración  en  Los  onalM  -  • 
plée  una  base  menor  que  diez,  tienen  el  in 
de  dar  mui  larga  la  expresión  de  los  ni. 
temas  en  que  la  base  sea  mayor  qii 
fecto  de  exijir  una  tabla  de  multiplica] 
tensa. 

3, a  La  conformación  de  nuestra   mano,    hi  isas 

que  se  adoptase  el  sistema  décuplo:  sel»»   un 

principio  se  hubiera  pensado  detenidamente 
sistema  mas  cómodo  de  numeración,  tal  vez  se  habría 
adoptado  el  docenario,  duodecimal  ó  de  baaedoqe,  por 
tener  el  número  12  los  divisores  2,  3,  4,  6  que  ^«»n  bas- 
tante usuales  en  la  práctica. 

4.^  Los  métodos  que  se  emplean  pan  •  r  las  o- 

peraciones  en  el  sistema  décuplo,  no  difieren  en  la  esen- 
cia de  los  que  se  emplean  con  números  .  sis- 
temas diferentes. 

En  todo  caso,  siempre  que  se  opere  con   númetoi 
sistemas  diferentes,  es  preciso  records  lo  B  la 

base)  que  B  unidades  de  orden  inferior  COmpOl 
de  orden  superior,  i  que  toda  cifra  escrita  á  la  íaqo 
da  de  otra,  expresa  unidades  1»  Mayores  que  la 

cifra  que  tiene  á  su  derecha. 

CALCULO  DE  LOS  QUEBRADOS  0  FRACCIONES. 

QUEBRADOS    COMUHE& 
Nociones   Preliminares. 

137.  Definición.— Quebrado  6  fracción  es  todo  nú- 
mero que  expresa  una  parte  <'>  rariaa  partes  ignalesde 
la  unidad,  como  por  ejemplo,    un  quinto  de  arroba, 

siete  décimos  de  un  peso. 


—  78  — 

138.  (>r'/j\  n  del  quebrado.— El  quebrado  se  orijina  de 
la  división  de  la  unidad  en  partes  iguales,  tomando  de 
rilas  (iinníns  se  quiera,  i  también  déla  división  de  un 
número  menor  por  otro  mayor. 

A Si  por  ejemplo,  si  la  unidad  se  divide  en  nueve 
partea  iguales,  i  de  ellas  tomamos  cinco,  resultará  un 
quebrado  que  se  denominará  cinco  novenos, 

De  igual  manera,  si  quieren  distribuirse  cinco  man- 
zanas entre  ocho  personas,  tocaría  á  cada  persona  una 
fracción  de  manzana  que  se  denomina  cinco  octavos. 

L30,  Términos  de  un  quebrado. — Todo  quebrado 
consta  de  dos  términos  que  se  llaman  numerador  i  de- 
nominador. Numerador  es  el  número  que  expresa  las 
partes  que  se  toman  de  la  unidad,  i  denominador  es  el 
número  que  expresa  las  partes  en  que  se  divide  la  u- 
nidad. 

Así  por  ejemplo,  si  la  unidad  se  divide  en  5  partes  i 
de  ellas  se  toman  3,  resultará  el  quebrado  tres  quin- 
tos, cuyo  numerador  será  3  i  su  denominador  5. 

140.  Escritura  de  los  quebrados.— P 'ara  escribar  un 
quebrado,  póngase  el  numerador  encima  del  denomi- 
nador separándolos  por  medio  de  una  recta  horizontal 
ú  oblicua. 

Así,  el  quebrado  tres  quintos  se  escribirá:  l. 

141.  Lectura  de  los  quebrados. — Para  leer  un  que- 
brado, léase  el  numerador  con  los  numerales  cardina- 
les un,  dos,  tres,. etc.  i  el  denominador  con  los  nume- 
rales partitivos  medio  ó  medios,  tercio  ó  tercios,  cuarto 
ó  cuartos,  etc.  hasta  décimo  ó  décimos.  Cuando  el  de- 
nominador es  11  ó  mayor  que  11,  léase  con  los  nume- 
rales cardinales  añadiendo  la  terminación  avos.  Así  se 
dice:  15  avos  si  el  denominador  es  lo,  81  avos  si  el  de- 
nominador es  81,  etc. 

142.  División  del  quebrado.— El  quebrado  puede 
ser:  común,  decimal,  propio,  impropio,  simple,  com- 
puesto i  complejo. 

Quebrado  común  es  el  que  tiene  por  denominador 
un  numero  distinto  de  la  unidad  ssguida  de  ceros. 

Quebrado  decimal  es  el  que  tiene  por  denominador 
precisamente  la  unidad  seguida  de  ceros. 

Quebrado  propio  es  aquel  cuyo  numerador  es  menor 
que  su  denominador,  como  2.,  I  etc. 


—  7  9  — 

Lo/i  quebrador  propios  contien 
una  unidad  entera. 

Quebrado  impropio  es  aquel  cuyo   nuriin 
gual  o  mayor  que  el  denominador,    con 

Los  quebrados  impropios  contienen  siempre  m 
nidad  entera  ó  mas  de  una  unidad. 

Quebrado  simple  es  el  que  se  refiere  á  una  sola  uni- 
dad, como  |-  de  un  quintal-,  \  de  una 

Quebrado  compuesto  es  el  que  se  refiere  á   vari* 
nidades  ó  á  otro  ú  otros  quebrados,  oomo       >''■■     ¡neo 
quintales;  l  de  \  de  {.,  etc. 

Quebrado  complejo,  es  aquel  que  contiene  otro  que- 
brado en  su  numerador  ó  en  su   denominador,   como 

8  A\ 

3  ^5 

T"i     ^  ?  etc?  cuyas  expresiones  se  leen  respetiva  meato 


|  partido  por  5.  6  |.  sobre  {.;  4  l  partido  por  f  6  4  J.  so- 
bre i  # 

143.  Convertir  un  quebrado  impropio  en  eider 
mixto, — Para  hallar  el  entero  ó  mixto  á  (pie  ee  equiva- 
lente un   quebrado  impropio,  divídase   A  nuun-i 
por  el  denominador. 

Así  por  ejemplo,  los  quebrados  £.,  J!  i  i?,  equivalen 
respectivamente  á  1,  3  f ,  i  3,  que  son  cocientes  de  di- 
vidar  8  por  8,  11  por  3  i  12  por  4. 

144.  Convertir  un  mixto  en  quebrado.— •Para  hallar 
el  quebrado  equivalente  á  un  número  mixto,  multi- 
pliqúese el  entero  por  el  denominador  del  quebrado 
que  lo  acompaña  al  producto  agre  I  numerador 
i  á  lo  que  resulte  póngase  por  denominador  el  mismo 
del  quebrado. 

Así  por  ejemplo,   el  mixto  5  f  es  equival 
5.4+323, 

4     ~  4 

145.  Convertir  un  entero  en  quebradx—Todo  ente- 
ro puede  ponerse  en  forma  de  quebrado  escribiéndole 
por  denominador  1.  Asi,  el  entero  9  es  igual  á  f ,  que 
se  leerá  9  partido  por  1,  9  sobre  1  ó  9  pr irnos. 

Pero  cuando  quiera  convertirse  un  entero  en  que- 
brado de  un  denominador  dado,  multipliqúese  dicho 


-80- 

ro  por  el  denominador  dado  i  al  producto  póngase 

r  denominador  el  mismo  denominador  dado. 

Así  por  ejemplo,  el  entero  5,  convertido  en  quebra- 
do que  tenga  por  denominador  11,  es  igual  á  \~=fv 

De  esta  regla  se  sigue:  que  la  unidad  es  igual  á  |,|,~  ,| 
¡eneral,  á  un  quebrado  cuyos  dos  términos  son  i- 
guales. 

146.  Convertir  un  quebrado  en  otro  de  un  denomi- 
nador dado. — Regla  jeneral.— Multipliqúese  el  nu- 
merador del  quebrado  por  el  denominador  dado:  el 
Í>roducto  divídase  por  el  denominador  del  quebrado  i  á 
ne  resulte  póngase  por  denominador  el  mismo  de- 
nominador  dado. 

Supongamos  por  ejemplo,  que  quiere  convertirse  el 
quebrado  \  en  otro  quebrado  equivalente  cuyo  deno- 
minador sea  15,  para  lo  cual  multiplicaremos  3  por  15, 
el  producto  45  lo  dividiremos  por  5  i  al  cociente  9  le 
pondremos  por  denominador  15.  De  modo  que  \  es  i- 
gual  á  f5. 

Cuando  el  denominador  dado  es  múltiplo  del  deno- 
minador del  quebrado  propuesto,  la  operación  se  hará 
abreviadamente,  multiplicando  los  dos  términos  del 
quebrado  por  el  factor  que  falte  á  su  denominador  pa- 
ra ser  igual  al  denominador  dado. 

Así,  si  quiere  convertirse  el  quebrado  \  en  quebrado 
de  denominador  15,  multiplicaremos  los  dos  términos 
!  K>i  :*  que  es  el  factor  que  le  falta  á  5  para  ser  igual  á 
15,  de  modo  que 

3^3.3  J 
5H~573~15 

Finalmente,  cuando  el  denominador  del  quebrado 
propuesto  es  múltiplo  del  denominador  dado,  i  el  co- 
ciente de  dividir  el  uno  por  el  otro  es  factor  del  nume- 
rador del  quebrado,  la  operación  se  hará  también  a- 
breviadamente,  dividiendo  los  dos  términos  del  que- 
brado propuesto  por  dicho  cociente. 

Así  por  ejemplo,  si  quiere  convertirse  el  quebrado  g 
en  otro  de  denominador  5,  dividiremos  sus  dos  térmi- 
nos por  4,  que  es  el  cociente  de  dividir  20  por  5  i  el 
quebrado  |  será  el  que  se  pide. 


-  8  1  - 

En  cualquier  otro  caso  no  oomprendldo  en  los  dos 
que  preceden,  es  imposible  convertir  ézaetSJDSSUS  un 
quebrado  en  otro  de  un  denominador  <1 

Así,  si  quiere  convertirse  el  quebrado  \  en  otro  de 
denominador  8,  aplicando  la  regla  jeneral  tendremos: 

2        8        16         3  1 

|.=f     -?:,-J!-  Despreciando  en  esta  última  expre- 

5  8  8  8 

sion  el  quebrado  L  queda  el  quebrado  $  próximamen. 
te  igual  á  |  i  que  se  diferencia  de  «1  en  D  le }.. 

147 '.  El  cociente  de  toda  división  de  enteros  61 
mismo  que  un  quebrado  cuyo  num 
dendo  i  cuyo  denominador  es  el  divisor. 

Así  por  ejemplo  15  :  4  es  igual 
i    De  aquí  se  deduce: 

1.°  Que  si  se  multiplica  el  numerado!  por  un  entero 
el  quebrado  queda  multiplicado  por  dicho    entero. 

¥=4x4- 

2.°  Si  se  divide  el  numerador  por  un<  • 
res,   el  quebrado  queda  dividido   por  dicho  factor. 

«•?_£,  •  3 

3%  Si  se  multiplica  el  denominador  por  un  entero  el 
quebrado  queda  dividido  por  dicho 

4.°  Si  se  divide  el  denominador  por  ano  Se  MM  £ee- 
tores  el  quebrado  queda  moltíplicado  pordkfeO» 

JL  =1  X  2  . 

6;i  Si  el  numerador  i  denominador  se  multiplica»  6 
dividen  por  un  mismo  número  el  quebrado  no  altera. 
6       6 :  2  mm  6j_3  _  0.5 
Ejemplo,—  ^  ""  ^      27 :3  ~"  27.5 
Reasumiendo  diremos:  que  la  magnitud  dfBiq»> 
brado,  está  en  razón  directa  del  numerador  t  inv 
del  denominador. 


SIMPLIFICACIÓN  DE  QUEBRADOS. 

Quebrados  iircduci! 

148.  Simplificar  quebrados  es  tra,»fo™^¿¡¡¿ 
tros  equivalentes  cuyos  términos  sean  maa  r*qw 


_  8  2  — 

149.  Procedimientos  para  simplificar  quebrados. — 
1.°  Divídase  cada  í ormino  del  quebrado  por  el  máxi- 
mo oomun  divisor  de  ambos,  i  los  cocientes  puestos  el 
primero  por  numerador  i  el  segundo  por  denominador 

n:ir,in  el  quebrado  simplificado. 

Ejemplo. — Supongamos  que  quiere  simplificarse  el 
quebrado  g. 

El  m.  c.  d.  del  numerador  i  denominador  es  4o;  di- 
\  Mirndo%pues  cada  término  por  45,  resultan  los  co- 
cientes 10  i  21  que  forman  el  quebrado  í?  equivalen- 
te al  quebrado  propuesto, 

150.  2.#  Procedimiento. — Fórmese  un  quebrado  cu- 
yo numerador  sea  el  producto  indicado  de  los  factores 
primos  del  numerador  del  quebrado  propuesto,  i  cuyo 
denominador  sea  el  producto  indicado  de  los  factores 
primos  del  denominador  del  mismo  quebrado  propues- 
to. Suprímanse  los  factores  comunes  que  haya  en  am- 
bos términos  de  ese  quebrado  que  se  forme,  i  lo  que 
quede  compondrá  el  quebrado  simplificado  que  se  bus- 
ca. 

Ejemplo. — Simplificar  por  este  método  el  quebrado 
anterior  g?. 

Descomponiendo  cada  término  en  sus  factores  pri- 
mos resulta: 

450=2.  3.  3.  5.  5,  i  945=3.  3.  3.  5.  7. 

Puestos  ambos  productos  en  forma  de  quebrado  se 
tiene: 

2.  3.  3.   5.  5. 

3.  3.  3.   5.  7. 

Suprimiendo  aquí,  igual  número  de  factores  comu- 
nes en  ambos  términos  resulta  |?  ó  ~  para  quebrado  e- 
quivalente  al  propuesto. 

151.  3.°  Procedimiento.— Divídanse  los  dos  térmi- 
nos del  quebrado  por  algún  factor  común  que  tengan 
según  los  caracteres  de  la  divisibilidad,  i  los  cocientes 
pónganse  en  forma  de  quebrado.  Los  dos  términos  de 
este  quebrado  divídanse  igualmente  por  algún  divisor 
común  que  tengan,  poniendo  siempre  los  cocientes  en 
forma  de  quebrado  i  continúese  del  mismo  modo  has- 
ta que  resulte  un  quebrado  cuyos  dos  términos  sean 
primos  entre  si. 


-83- 

Ejemplo.— Supongamos  que  se  q 
mismo  quebrado  Í5° 

t  945' 

Dividiendo  los  dos  términos  por  ¡n  3 

resulta  H° 

315* 

Dividiendo  los  dos  términos  de  este  <¡  .  p.,r  .-1 

mismo  factor  3  resulta  2! 

.     .  105' 

Dividiendo  los  términos  de  este  quebrado  MMrsJ  fac- 
tor común  5  resalta  LJ,  i  como  10  i  21  son  numen» 
mos  entre  si,  tendremos  que  12  es  el  quebrado  equiva. 
lente  al  propuesto. 

Advertencia. — El  primer  procedimiento,  es  el  mas 
cómodo  para  simplificar  quebrados,  porque  así  se  tie- 
ne la  seguridad  que  el  quebrado  que  resolta  es  irredu- 
cible, es  decir  el  mas  pequeño  en  sus  términos  equiva- 
lente al  quebrado  que  se  suponga. 

152.  Quebrados  irreducibles.— Se  llama  quebrado 
irreducible  el  que  no  admite  simplificación  exactamen- 
te. (1) 

Todo  quebrado  cuyos  dos  términos  son  números  | 
mos  entre  si  es  irreducible,  por  ejemplo  i|,  J.,  |¡. 

Si  un  quebrado  es  igual  á  otro  quebrado  irred  1 
ble,  los  dos  términos  del  primero  son  iguales  resp» 
vamenteá  los  dos  términos  del  segundo  multiplicados 
por  un  mismo  número  entero. 

Así  por  ejemplo  si  el  quebrado  1  lo  suponemos  igna 
al  irreducible  |,  se  verificará  que  a  es  igual  á  3  muí  ti 
plicado  por  un  entero,  i  m  igual  i  5  multipíi'-ado  por 
el  mismo  entero. 

Si  dos  quebrados  irreducibles  son  iguale  - 
guales  sus  numeradores  é  iguales  sus  denominadores. 

Es  decir,  que  si  el  quebrado  irreducible  l  es  igual  al 
irreducible  2,,  se  verificará  que  a=c  i  m=q. 

Si  los  dos  términos  de  un  quebrado  irreducible  se  e- 
levan  respectivamente  á  cualquiera  potencia  ó  se  mul- 
tiplican por  si  mismos  cierto  número  de  veces,  •JJJKh 
tencias  que  resulten  formarán  quebrados  irreduciblaa. 


(1)  Decimos  exactamente,  porque  los  quebrado*  '**•*■•{^,, 

simplificarse  con  aproximación,  por  medio  de  las  *~ 
según  veremos  mas  adelante. 


-84- 

A8Í  por  ejemplo,  si  los  dos  términos  del  quebrado 
irreducible \  se  multiplican  por  si  mismos  dos,  tres, 
6to.  veces,  los  quebrado  l,  2 ,  etc.  son  quebrados  irre- 
ducibles. 

5t  uno  de  los  dos  términos  de  un  quebrado  irreduci- 
ble se  multiplica  por  un  número  primo  con  el  otro  tér- 
mino, el  quebrado  que  resulte  es  también  irreducible. 

Así  por  ejemplo,  si  el  numerador  del  irreducible  i, 
se  multiplica  por  5,  primo  con  el  denominador  9,  el 
quebrado  2?  que  resulta  es  irreducible. 

Ningún  quebrado  irreducible  puede  ser  igual  á  un 
número  entero. 

Reducción  de  quebrados  á  un  común 
denominador. 

Definición. — Reducir  quebrados  á  un  común  deno- 
minador es  trasformarlos  en  otros  equivalentes  que 
tengan  el  mismo  denominador. 

154.  Regla  jener  al. — Para  reducir  quebrados  á  un 
común  denominador,  multipliqúese  los  dos  términos 
de  cada  uno  por  el  producto  de  los  demás  denomina- 
dores, es  decir  menos  por  el  suyo. 

Ejemplo,— Reducir  á  un  mismo  denominador  los 
quebrados  §..  f.,  \  i  lQ. 

Multiplicando  los  dos  términos  de  |   por  8,    3.    10; 

los  dos  términos  de  l  por  5.  3.  10;  los  de  £  por  5.  g.  10 

i  los  de  {j  por  5.  8.  3,   resultan  los  quebrados  38-310, 

«•»•*•  10     2.5.8.10     ,'     1.5.8.3     A  hlPTl  5.8.3.10 

8.5.3.10»   8.5.8.10»    X  ÍÓ.5.'8."3> 

720      900      800       120 


1200,    1200'    1200  1 1200 

que  son  los  equivalentes  á  los  propuestos  i  con  el  mis- 
mo denominador. 

155,  Casos  en  que  se  abrevia  la  regla.—  La  regla  an- 
terior se  abrevia  en  dos  casos.  Io  cuando  en  los  deno- 
minadores haya  factores  comunes,  i  2.°  cuando  uno  de 
los  denominadores  sea  múltiplo  de  los  demás. 

En  el  l.er  caso,  encuéntrese  el  mínimo  común  múl- 
tiplo de  los  denominadores,  i  multipliqúense  después 


-85- 

los  des  términos  de  cada  quebrado,  por  d  BÚflMflQ  tyM 

multiplicado  por  su  denominador  dá  dicho  mínimoco- 
mun  múltiplo. 

Ejemplo.— Sean  los  quebrados  L,  1  i  I. 

El  m.  c.  m.  de  los  denominadores  es  60.    Mulripli 
cando  pues,  los  dos  términos  dei  por  lOqofl  M  al 
mero  que  multiplicado  por  G  da  (><>;  1< 
de  ~  por  15  que  es  el  número  que  multiplicad 
da  60,  i  los  de  l  por  6  que  es  el  número  que   nmltipli 
cado  por  10  da  60  resultan  los  quebrad 
30    75    42 

60,    60  l  60 

equivalentes  á  los  propuestos  i  con  i-ual  denomina- 
dor. 

Mn  el  2.°  caso,  multipliqúense  los  do<  témtaoi 
cada  quebrado  por  el  número  que  multiplicado  por  su 
denominador  produce  el  denominador  múltiplo. 
Ejemplo.— Sean  los  quebrados  1,  j.,  i  i  ^ 
El  denominador  múltiplo  de  los  demás  es  30.    Mul- 
tiplicando pues  los  dos  términos  del  primer  quebí 
por  5;  los  dos  del  segundo  por  10;  los  del  t- 
i  los  del  cuarto  por  1,  resultan  los   , 
25'  20     14     8 

3Ó1    30'    30  ' 

que  como  se  ve,  son  equivalentes  i   loa   propueetoe  i 

con  el  mismo  deuominador. 

156.  Si  varios  quebrados  son   in 

minador  común  de  los  quebrados  .■quhrtl.-ntee  debe 
ser  precisamente  el  mínimo  común  múltiplo  de  loa  de- 
nominadores de  los  quebrados  irredociblea. 

Así  por  ejemplo,  si  los  quebrad*  i 
cen  á  un  común  denominador,  éste  debe  - 
mente  7x9x11  que  es  el  m.  c.  ni.   de  los  &  «do- 

res de  las  fracciones  propuest; 

Averiguar  cual  es  mayor  de  vari  ea  («eleMea. 

157.  Si  los  quebrados  tienen  él  mismo  deeonlaeflar 

es  mayor  el  que  tiene  mayor  numerador. 


-86- 

.  de  los  quebrados  |,  5.  i  i  es   mayor  i  que  tiene 

m  numerador. 

.s'/  los  <¡ labrados  tienen  el  mismo  numerador,  es  ma- 
me tiene  menor  denominador. 
.  de  los  quebrados  |,  |  i |j  es  máyoír  \   que  tiene 

menor  denominador. 

»'  los  quebrados  son  todos  propios  ó  todos  impro- 
i  tienen  diferentes  términos,  redúzcanse  á  un  co- 
mún denominador  i  entonces  será  mayor  el  que  equi- 
valga á  una  de  la  fracciones  resultantes  que  tenga  ma- 
yor numerador. 

A  A  por  ejemplo,  para  saber  cual  es  mayor  de  los 
quebrados  Z ,  i  i  íí,  los  reducimos  á  un  común  denomi- 
nador i  se  convierten  en  S5,  ü!T  i  f3.  Como  en  estos  que- 

817      817        8,7  ^ 

brados  es  mayor  el  tercero  por  tener  mayor  numerador 
resulta  que  su  equivalente  ó  sea  ü  es  el  mayor  de  los 
quebrados  propuestos. 

A LTER ACIÓN  QUE  SUFRE   UN  QUEBRADO 

por  agregar  6  restar  mi  mismo  n limero  á  sus 

dos  términos. 

L58.  Si  se  agrega  un  mismo  numero  á  sus  dos  tér- 
minos se  verifica: 

1 .°  Que  si  el  numerador  es  igual  al  denominador  el 
quebrado  no  altera. 

Ejemplo.— ®  =5li=i 

6  5+4 

2.*  Si  el  numerador  es  menor  que  el  denominador, 
el  quebrado  aumenta,  es  decir:  el  quebrado  que  resul- 
-  mayor  que  el  propuesto. 

Ejemplo.— iL/^tj* 

7  ^7+4 

3.*  Si  el  numerador  es  mayor  que  el  denominador, 
el  quebrado  disminuye,  es  decir:  el  quebrado  que  re- 
sulta es  menor  que  el  propuesto. 

Ejemplo.— Z_>_Z±Í 
3    "  3+4 

8a  se  resta  un  mismo  número  de  los  dos  términos  se 


—  87- 

Jerifica:  1.°    Que  si  el  num. 
minador  el  quebrado  no  altera. 

Ejemplo.—- *L  -6~2  _i 

6    ~6-2 
2.°  Si  el  numerador  es  menor  que  el  denomhu 

quebrado  disminuye. 

Ejemplo.— iL>n" 


11   ^11-2 
3.°  Si  el  numerador  es  mayor  que  el  denominado 

quebrado  aumenta. 

Ejemplo.—  U    <1: 


6     "  6-2- 
ADICIÓN  DE  QUEBRAD* 

159.  Regla  jenekal.—  Para  sumar  quebrados  con 
quebrados,  si  tienen  el  mismo  denominador.  Mímense 
los  numeradores  i  á  la  suma  ponga-  lenomitu 

el  mismo  de  los  quebrados. 

Si  los  quebrados  no  tienen  el  mismo 
redúzcanse  á  un  común   denominador,  i  pnxvdase  co- 
mo anteriormente. 

17 


Ejemplos.  1.°  q+q+q~ — ¿ —  =  '  "9 

3    4    2        18    12    20        18-  H  1  M 

9  0      -H —  +  -  =   —  +  —  +  —  —  

^563        30    30    30 

fio 

"  80 

160.  Si  se  tiene  una  serie  de  fracciones  iguales,  la 
suma  de  los  numeradores,  partida  por  la  suma  de  loa 
denominadores  forman  una  fracción  igual  a  cualquiera 
de  las  propuestas. 

Ejemplo.— Si  en  la  serie  |_ i_ {J— ¿  se  suman  loa 
numeradores  i  los  denominadores,  el  quebrado  £  es  i- 
gual  á  cualquiera  de  los  quebrados  propuestos. 
24      2x12     4*6_8x3 

En  efecto,    ^~~2xi2      6xlT"]2x3 

Para  sumar  un  entero  con  un  quebrado  redtucaae 
el  mixto  á  quebrado. 


_  88  — 

161.  Sumar  quebrados  ó  enteros  con  mistos  i  mistos 
con  mistos. — Para  sumar  quebrados  con  mistos,  ente- 
ros con  mistos,  ó  mistos  con  mistos,  súmense  primero 
los  quebrados  i  después  los  enteros,  agregando  á  la 
suma  de  estos  los  enteros  que  resulten  en  la  suma  de 
los  quebrados. 

K.i  i:m  rr.o. — Supongamos  que  se  quiere  encontrar  la 
suma  délos  siguientes  números:  41+1  +  6U 

c  5        4  5 

La  suma  de  los  quebrados  es  g  ó  sea  1 1,  que  suma- 
do con  10  que  es  la  suma  de  los  enteros  da  11 1  como 
suma  de  los  números  propuestos. 

Problemas  de  sumar  quebrados. 

162.  1.°  Tres  albañiles  se  comprometen  a  hacer  una 
pared:  el  1.°  en  15  dias,  el  2.°  en  35  dias  i  el  3.°  en  14 
diaa  ¿Qué  parte  de  la  pared  liarían  todos  juntos  en  un 
dial 

2.°  Un  estudiante  compró  un  libro  por  valor  de  13| 

pesos,  i  gastó  en  encuadernarlo  2  pesos.    ¿Por  cuanto 
deberá  venderlo  para  ganar  31  pesos? 

3.°  El  primer  caño  de  una  pila  arroja  32  litros  de  a- 
gua  en  4  minutos;  el  segundo  arroja  10  en  5  minutos, 
i  el  tercero  15  en  9  minutos.  ¿Cuantos  litros  arrojarían 
en  una  hora  los  tres  juntos? 

4.°  Si  dos  correos  saliendo  al  mismo  tiempo  de  dos 
oficinas  van  al  encuentro  el  uno  del  otro,  recorriendo 
el  primero  la  distancia  en  10  dias  i  el  segundo  en  4. 
¿En  qué  fracción  de  la  distancia  se  habrán  aproximado 
en  un  dia? 

5.°  Un  comerciante  lia  comprado  tres  esferas,  pesan- 
do la  primera  350|  Kilogramos,  la  segunda  524  Kilo- 
gramos i  la  tercera  351  Kilogramos.  ¿Cuánto  pesarán 
las  tres  esferas? 

6.°  Cierto  agricultor  tiene  sembradas  de  café  35L 
manzanas  de  terreno,  de  caña  f  de  manzana  i  de  maiz 
58  manzanas.  ¿Qué  cantidad  de  terreno  tiene  sembra- 
da por  todo? 


—  8  9  — 

SUSTRACCIÓN  DE   QUEBRADO- 

163.  Restar  un  quebrado  de  oíro.—Si  los  quebrados 
tienen  igual  denominador,    réstense  los  numeradores 
poniendo  á  la  resta  por  denominador  rl  n,i 
quebrados. 

Si  los  quebrados  no  tienen  un  común  denominador, 
redúzcanse  á  él  i  se  procederá  como  antes. 

7  5         7-5         2 

Ejemplo  1.»     -  -  -  -  —  -  - 

6  _  4  =  42  _  20  _  42—20       » 

2'°    5       7~  35       35  ~    ~35~ 

164.  Restar  un  quebrado  de  un  entero. — Multi 
quesa  el  entero  por  el  denominador  del  qu« 

tando  del  producto  el  numerador,  i  póngase  á  la  resta 
por  denominador  el  mismo  del  quebrado. 

2_  6x5—2     ■ 

Ejemplo.      6     f~  — * ¡T. 

5  5  .) 

165.  Restar  un  entero  de  misto.— Bastease  losen 

ros  i  acompáñese  á  la  resta  de  estos  v\  qo< 
misto. 

3  3 

Ejemplo.  8 5=3- 

7  7 

166.  Restar  un  misto  de  un  enU  r©.-  Tómese dd  en- 
tero del  minuendo  una  unidad,  i   oom  ¡rítase  en  <; 
brado  con  denominadar  igual  al  de]  quebrado  del  sos* 
traendo.    Deeste  quebrado  que  resolte   ínstese  el  «l»*l 

sustraendo,  anteponiendo  á  la  resta  la  de  los  enteros; 
pero  considerando  el  entero  del  minuendo  con  una  u- 
nidad  menos. 

Ejemplo.  ll-4-=10- -4—  c- 

Restar  un  entero  de  un  quebrado.  Conviértase  ei 
quebrado  en  misto  i  queda  reducida  la  operación  á  res- 
tar un  entero  de  un  misto. 


—  90—  __ 

11 2  ~  ~  ?N 

HPLO,  *J      S85^      2     lg. 

¿fcw/tf  r  ?m  misto  de  un  quebrado  ó  mee-ver sa  i  un 
misto  de  otro.—  Conviértanse  los  mistos  en  quebrados 
lase  después  como  en  las  reglas  anteriores. 

15    1  _  15  __  11  _  75  __  33  ==  42 

Ejeni'Los:  ^'°J~^="J'~J"'w       15   15 

3   2  _27_2    135   8   127 
2°  64~"5=  =  T""or""2Ó"   20   20 

2        4       30       9         150  __  63  _  87 
3°    4"^7~"15==  7~  ~~5~~~  ~35~~35~    35 

Ai>\  i:i:tencia.—  Todas  las  reglas  precedentes  pue- 
den reducirse  á  la  de  restar  un  quebrado  de  otro,  pues 
>i  uno  de  los  términos  de  la  resta  es  misto  se  puede 
convertir  en  quebrado,  i  si  es  entero  también  puede  es- 
cribirse en  forma  de  quebrado  poniéndole  por  denomi- 
nador 1. 

11  _  11  __  3 

Así  por  ejemplo:     «:       3       jT       T~, 

Problemas  de  restar  quebrados. 

169,  1.°  Dos  correos  parten  de  un  mismo  punto;  el 

Í)rimero  recorre  5£  leguas  en  una  hora  i  el  segundo  6f 
eguas  ¿cuántas  leguas  recorre  uno  mas  que  el  otro? 

2.°  Tres  carpinteros  hacen  un  armario  en  5  dias:  el 
primero  prodría  hacerlo  por  si  solo  en  12  dias  i  el  se- 
gando en  15,  ¿qué  parte  del  armario  podría  hacer  dia- 
riamente el  tercer  carpintero? 

3.°  Se  trata  de  la  apertura  de  un  camino  carretero,  i 
al  efecto  se  ha  trabajado  en  uno  de  sus  extremos  las 
tres  quintas  partes  i  en  el  otro  extremo  solo  la  décima 
parte  ¿cuanto  falta  para  terminar  su  construcción? 

4.°  ¿Cual  es  el  número  que  sumado  con  5$  dá  por  re- 
sultado 68J! 

5.^  Una  pila  se  puede  vaciar  en  25  minutos  i  llenar 
en  15:  al  cabo  de  un  minuto  ¿qué  parte  de  la  pila  se  lie- 


—  91  — 

naría  si  las  válvulas  por  donde  ~ 

destapan  al  mismo  tiempo? 

6.°  Dos  locomotoras  siguen  la  n, [smi   «ürreccion-   la 
primera  camina  125  leguas  en  (i  horas  li.,R,aIhS¿ 
da  o40  en  4  horas,  ¿cuantas  leguas  86  aleja  i 
can  cada  hora* 

7  o  Si  de  una  pieza  de  paño   que   ti-m*    i 
cortan  7|  varas  ¿cuánto  queda 

Multiplicación  <le  quebrados. 

Multiplicar  quebrados -por  o?ubrados.—Vm  muí- 

tiphcar  quebrados  por  quebrados,    multipliqúense  km 
numeradores  entre  sí  i  al  producir, 
minador  el  producto  de  los  denominadora. 

3    2     1       3.2.1 
Ejemplo,  -x-x— — = 


5    7    10     5.7.10    390 

171.  Multiplicar  un  entero  por  nebrado.—  Para 

multiplicar  un  entero  por  un  quebí 

el  entero  por  el  numerador  del  quebrado  i  al  producto 

póngase  por  denominador  el    misa  quebrada 

172.  Multiplicar  mistos  ¡><> i n  fUeros  fwd 
(los  i  mistos  por  mistos.— V 'ara  multiplicar  inistoa 
enteros,  mismos  por  quebrados   i   misto*   | 
conviértanse  los  mistos  en  quebrados  i  qu 
cida  la  operación  á  uno  de  l<             saos  anr 


Eje 

MPLOS 

:  1.° 

2 

4-xG= 
5 

22 
= — > 

\*2 
:ft 

6 

2.° 

4    2 

o-  x  -= 
9    5 

49    2 

= — x-= 

9     5 

98 

45* 

3.° 

1 
6-xlC 

2     19 

>-=— X 

32     608 

173,  Producto  de  un  quebrado  por  tu  < 
El  producto  de  un  quebrado  por  su  denominador  es  i- 


gual  á  su  numerador. 


-9á- 

40     w 
HPLO.    ;x8=- =0. 
8  o 

l?i.   /' roducto  de  un  quebrado  por  sí  mismo  inver- 
-El  producto  de  un  quebrado  por  sí  mismo  in- 
vriíido  es  igual  á  1. 

6    ?_6.7_42_1 

Problemas  de  multiplicar  quebrados. 

175.  1.°  Un  agricultor  siembra  cada  dia  73|  áreas  de 
terreno  ¿cuantas  áreas  sembrará  en  un  año? 

Si  se  mezclan  6  botellas  de  agua  con  lo  de  vino, 
icnántaa  botellas  habrá  de  agua  i  vino  en  ~  de  la  mez- 

dal 

3.°  Habiéndose  comprado  8|  caballerías  de  terreno 
á  $600  caballería  i  vendí dose  á  $543 J  ¿cuánto  se  ha  ga- 
nado en  la  venta? 

4.°  Se  quiere  hacer  el  quebrado  |  setenta  veces  ma- 
yor ;cnál  es  el  resultado? 

5.°  ¿Cuánto  costará  un  vidrio  que  tenga  5f  metros 
cuadrados  de  superficie,  suponiendo  que  cada  metro 
cuadrado  vale  $2? 

6.°  Se  preguntó  á  uno  qué  hora  era  i  respondió:  los 
\  de  los  |  de  la  novena  parte  de  24  horas  ¿qué  hora  era? 

7.°  Se  ha  vendido  una  cantidad  de  quintales  de  café: 
los  \  á  814  el  quintal;  los  l  á  §9;  i  45  quintales  á  $llf 
;<  uánto  se  recibió  por  todo? 

División  de  quebrados. 

176.  Dividir  un  quebrado  por  otro.—Fstra  dividir 
un  quebrado  por  otro,  multipliqúese  el  quebrado  di- 
videndo por  el  quebrado  divisor  invertidos  sus  tér- 
minos. 

8    4    3    7    21 
K,kmplo.  z:—-— - 

177.  Abreviaciones  de  la  regla  anterior.— -1.a  Para 


_ —  »  8  - 

dividir  quebrados  con  Igual  denominador    '  ^iHtft  frl 

numerador  del  dividendo  ror,l  I1Ilm 

8     3    8 
Ejemplo.  -  :  -=- 

*  >Y  PT5  divid.ir  <luebrados  con  igual  numerador  di 

reíX^ndo°minad°r  dd  dÍVÍS°r  P°r  Pl  *«»**» 

5    5    4 
E.TEMPLO.  g  :  —  - 

3  a  Cuando  los  dos  términos  del  diridendo  son  res- 
pectivamente múltiplos  de  los  d«-  términos  del   diri- 

sor,  divídase  numerador  por  nuniei 
dor  por  denominador,    poniendo   ;mil, 
!  forma  de  quebrado. 

15    5   15:5    8 
Ejemplo,  £  :  ^2^1 

4.*  Cuando  los  dos  términos  del  difidendo  -  ■  res- 
pectivamente factores  délos  dos  té  liwaur 
divídase  el  denominador  del  dn 

dor  del  dividendo,  i  luego  el  nun¡  M  divisor 

por  el  numerador  del  dividendo,   poniendo  tmbcM 
cientes  en  forma  de  quebrado: 

3    12    25:5    5 

Ejemplo,  z  :  ^-^-¡. 

178.  Div/dir  un  quebrado  por  un  entero,  i  un  wA 
ro  por  un  quebrado. — Para  dividir  un  quebrado  poron 
entero  i  vice-versa,  considérese  al  enten 
nador  1,  i  procédase  como  para  divivir  un  quebrado 
por  otro. 

5         5    4    5    15 

Ejemplos:  I.0  £  :  4-0  :j    ^    g¿. 

4^0     4_6    10^60 

2-°  6  :  10  i ;  ió— íx  4    7* 


-94- 

La  unidad  dividida  por  un  quebrado  da  de  cocien- 
te el  mismo  quebrado  invertido. 

8  1  3  1  5  5 
Así  1  •  -""-  •  -=-x-=- 
A  u      ''  5     1  *  5     1    3     3* 

17'.»,  Dividir  un  misto  por  un  entero  i  mce-versa  un 
misto  por  un  quebrado  i  vice-versa,  i  un  misto  por  o- 
tro.— Cuando  uno  ó  los  dos  términos  de  la  división  son 
números  mistos,  conviértanse  en  quebrado,  i  quedará 
reducida  la  operación  á  uno  de  los  casos  anteriores. 

2  22  22    622    1     22 

EJEMPLOS,  l.o  4^  :  6~y  :  6~J  :  f^^ 

I-;'-'       16_8    16_8      5_40 
2.°    8  :  3z~8  :  ~^~-  :  ^~ix^f^ 

2    1     22    1     22    3    66 
°'       í)  '  3     5  *  3     5     1      5 

3      1_3    31_3     6_18 
4*°    4:56~~4:  "6"~~4X3l"~Í24 

1       2    7    22    7      5    35 
■       ^3  '  45    3  *  5     3    22    66 

Problemas  de  dividir  quebrados. 

180.  1.°  Un  militar  que  gana  diariamente  $32.  pide 
adelantados  $69,  ¿cuantos  dias  de  sueldo  se  le  habrán 
anticipado? 

2.°  ¿En  cuantos  dias  se  podrá  tapizar  una  pared  de 
134f  varas  cuadradas,  suponiendo  que  cada  dia  se  ta- 
picen 10  i.  varas? 

3.°  Con  $658  se  han  comprado  73§.  hectáreas  de  un 

terreno,  ¿á  como  sale  cada  hectárea? 

.  iv!  SCu?nto  producirá  un  centavo  de  interés  anual, 
si  $8  producen  $364|? 

5.°  Hallar  un  número  que  sea  respecto  de  &  lo  que 
1  respecto  de  £ .  *         * 


-  95  — 

6.°  La  rueda  de  una  máquina  da  SB]  <  n  5mi 

ñutos,  ¿cuantas  vueltas  dará  en  LO  segundos! 

7.°  Una  pila  que  tiene  llenos  los  J.  de  su  capacidad 
contiene  450  barriles  de  agua  |ouál  es  su  capacidad! 

8.°  Dos  correos  parten  de  los  i 
el  primero  recorre  36  kilómetros  por  lio 
25|  kilómetros  por  hora:  siendo  la  lonjitml 
no  de  252|  kilómetros  jal  cabo  de 
encontrarán  los  dos  correos? 

Valuación  de  quebrados. 

181.  Definición. — Valuar  un  quebrado  ee  hallar  aa 
equivalencia  en  unidades  de  la  adama  denominado* 
á  que  se  refiere  ó  de  sus  denominaciones  inf< 

182,  Valuar  un  quebrado  jwojúo  que  se  refiera  á  *- 
na  unidad. — Multipliqúese  el  numerad  or  ; 

dades  de  especie  inferior  que  contiene  la  anidad  á  que 
se  refiere  el  quebrado,  i  el  producto  divídase  por  el  de- 
nominador. El  quebrado  que  complete  el  cociente  en 
caso  que  haya  residuo  se  valúa  del  mismo  modo. 

Ejemplo. — Valuar  los  \  de  un  ano. 

Como  el  año  tiene  12  ñus.-,  multiplicamos  8  por  1? 
i  el  producto  36  dividido  por  o  da  71  mesea. 

Como  el  mes  tiene  30  dias,  multiplicamos  el  nume- 
rador de  I.  por  30,  i  el  producto  dividido  por  B  da  O. 

Luego  l  de  un  año =7  meses  i  6  dias. 

La  operación  se  dispondrá  en  la  práctica  así: 

3  :  5=7  meses,  6  días 
xl2  meses 

36 
1 
x  30  dias 

30 

Si  el  quebrado  es  impropio  i  se  refiere  á  una  unidad 
divídase  el  numerador  por  el  denominador:  el 
te  si  es  entero,  será  el  valor  del  quebrado  en  un 
de  su  misma  denominación;  i  si  es  misto,  se  i 
quebrado  que  acompaña  al  entero  por  la 
rior. 


-9« 


i:m  i»los.  1,°  Valuar  los  l5  de  un  quintal. 
Dividiendo  el  numerador  por  el  denominador  resul- 
ta de  cociente  5,  que  son  los  quintales  que  contiene  el 

quebrado. 

Valuar  los  l4  de  un  siglo. 

Dividiendo  el  numerador  por  el  denominador  resul- 
ta de  .ocíente  4f.  Valuando  este  quebrado  que  acom- 
j.aña  al  entero  resulta  que  equivale  á  66  años  con  8 
1 1  irses 

Luego  los  t4  de  un  siglo,  valen  4  siglos,    66  años  i  8 

meses. 

183.  Valuar  un  quebrado  que  se  refiere  á  varias  u- 
nidades.—  Multipliqúese  el  quebrado  por  el  entero  á 
que  se  refiere,  i  queda  reducida  la  operación  á  valuar 
un  quebrado  que  refiere  á  una  unidad. 

Kii.MPLo.  |  de  4  quintaies=l|  de  un  quintal. 

184.  Valuar  un  quebrado  que  se  refiere  á  otro  ú  o- 
tros  quebrados  i  á  una  ó  varias  unidades. — INlultiplí- 
quense  los  quebrados  entre  sí,  i  queda  reducida  la  o- 
peracion  á  valuar  un  quebrado  que  se  refiere  á  una  ó 

irias  unidades. 
Ejemplos.  Io  l  de  f  de  l  de  un  dia=~  de  undia. 
2.°  i  de  f  de  i  de  $88= jS  de  $88. 

Máximo  comim  divisor  i   mínimo  cornual  múlti- 
plo de  los  quebrados. 

185.  Máximo  común  divisor. — Para  hallar  el  m.  c, 
d.  de  los  quebrados,  hállese  elm.  c.  d.  de  los  numera- 
dores, i  á  lo  que  resulte  póngase  por  denominador  el 
denominador  común  si  lo  tienen. 

Si  los  quebrados  no  tienen  un  común  denominador 
redúzcanse  á  él,  i  procédase  como  queda  dicho. 

Ejemplos. 

8    6      10    m.  c.  d.  de  8,  6  i  10     2 

y  m c- d-  deH' n  *  ñ~ ít      "Ti 

2   6      2^  140   300    70 

2.°    m.  c.  d.  dez,  -  i  -    m.  c.  d.  de^,  ggg  i -jg-j 


—  i>7 

— 

m.  c.  d.  de  140,  30  i 

LU         1 

350 

186.  Mínimo  común  múltiplo.-    Para  hallar  ••!  i» 

m.  de  los  quebrados,  si  tienen  ii  há- 

Hese  el  m,  c.  m.  de  los  numerador!  •  que  iv> 

póngase  por  denominador  el  denom  m. 

Si  los  quebrados  no  tienen  un   rom  un 
redúzcanse  á  él,  i  precédase  como  queda  di 

E.ÍKM1M 

4     0      14     ni.  o.  ni.  de  4.  <t  i  1  ; 
V    m'  c.  m.  dej^,  ^  i  ííi—        — 

2  8    6  l*> 

2.c    m.  c.  m.  dej:,  ~i  -^    ni.  c.  m.  di 

m.  c.  m.de  80,  150  i  130       8000       00      M 
200  5 

Fracciones  continua*. 

187.  DEFINICIÓN. -Fracción  continua  68  U 
compuesto  de  un  entero  que  a  \  "ia«  na 
quebrado  cuyo  numerador  es  1,  i  ra  d             tdoff  un 

entero,  mas  un  quebrado  cuyo  iiiiiik 
nominador  un  entero,  mas  un  qoeb 
dores  1  i  su  denominador  un  ent 
mente. 

o  © 

Ejemplos.  1.°  4+_L 


3+1 


2+J 


■ 


i 

7  etc. 

188.  Objeto  de  las  fracciones  continuas.— ÍM  1 
ciónos  continuas  tienen  por  •  An 


—  98  — 

métioa,    simplificar  aproximadamente  los  quebrados 
irreducibles. 

I  enteros  4,  3,  2,  5,  7,  etc.  del  primer  ejemplo,  6  7,  2, 
8,  9,  5  etc.  del  segundo  se  llaman  cocientes  incompletos. 

Las  expresiones  4;  4+i;  4+J '       4+J _ 

3+J 3+1 


2;  2+ 

4+J 

3+J 


2+ 


5+. 


7;  etc.  ó  sus  equivalentes  en  quebrados  co- 
munes se  llaman  fracciones  reducidas  6  convergentes. 

Los  quebrados  i,  i,  l,  i,  etc.  se  llaman  fracciones 
integrantes* 

189.  Procedimiento  para  hallar  una  fracción  con- 
tinua. —Hállese  el  máximo  común  divisor  de  los  dos 
términos  del  quebrado  por  el  método  de  las  divisiones 
i  los  cocientes  que  resulten  póngase  de  cocientes  in- 
completos de  la  fracción  continua. 

Si  el  quebrado  propuesto  es  impropio,  el  primer  co- 
ciente será  la  parte  entera  de  la  fracción  continua  e- 
qui  valen  te. 

Ejemplos:  1.°  Desarrollar  el  quebrado  irreducible^ 
en  fracción  continua. 

La  operación  del  m.  c.  d.  de  721  i  358  es  como  sigue: 
1    2    |  71  1  1  |  1JJJ 
721    1358]  5  |3j_2jJUQ 

Luego  |?  _j 

2+2 


7i+; 


1+L_ 
1-Ki 
1 


—  99  — 

2.°  Desarrollar  el  quebrado  taeducil 
cion  continua. 
La  operación  del  ni.  c.  d.  de  los  dos  término*  do! 

quebrado  es  como  sigue: 

1    3    1    1    1  2   |   1   |  36| 
536    1  143  |  107  |  36  |  35  |   1    |  o 

lililí 

Luego  ^=3  + i 

1+2 

2+J_ 

1+2 


35 

190.  Regla  para  formar  las  reducida-  rjrntea. 

— Dadas  dos  reducidas  consecutivas  m  formará  1a 
guíente,  multiplicando  los  dos  términos  de  la  segunda 
reducida  consecutiva,  por  el  cociente   inroi 
corresponde  á  la  que  se  trata  de   formar, 
á  ambos  productos  respectivamente  los  dos  término* 
de  la  primera  reducida  consecutiva. 

Ejemplo.— Hallar  las  reducidas  de  la  >n  coa- 

tínua  precedente. 

Escribiendo  en  fila  horizontal  los  cocientes  incomple- 
tos i  debajo  de  cada  uno  las  reducidas  tendremos: 

Cocientes  incompletos:   3,    1,     -\     1.    •"►•* 

T3     A        'A  3         4        11      15     «6 

Reducidas:    -    -   „     . 


191.  Todo  quebrado  irreducible  se  encuentra 
prendido  entre  dos  reducidas  consecutivas;  i  «dife- 
rencia de  cada  una  de  ellas  en  menos  de  un  quebrado 
cuyo  numerador  es  1  i  su  denominador  el  producto  4a 
dichas  reducidas.  • •_ 

Así,  en  el  ejemplo  anterior,  el  quebrado  £  ae  dl!»- 
rencia  de  \  i  1  en  menos  de  L;  de  f  i  ¿í  en  menos  d. 
de  L1  i  l5  en  menos  de  l. 

Por  consiguiente,  la  reducida  i?  que  se  diferencia  del 
quebrado  propuesto  en  ¿ ,  es  el  valor  mas  «P^di 
á  dicho  quebrado;  i  en  jeneral,  la  penúltima  - 


—  1  o  o  — 

N  encuentre  al  desarrollar  una  fracción  continua, 
13a  el  quebrado  próximamente  igual  á  otro  que  trata  de 
iv  i  lucirse  á  sus  menores  términos. 

.  Los  quebrados  reducibles  ó  cuyos  dos  términos 
tn  un  factor  común  pueden  también  transformarse 
en  !i acción  continua;  pero  la  última  reducida,  será  un 
Quebrado  exactamente  equivalente   al  quebrado  pro- 
puesto. 

1 . '  km  i »lo.— Desarrollar  en  fracción  continua  el  que- 
brado reducible  ?g¡-. 

Operación; 


!  2  I  1  I  1  I  6  1  1  |  1  1  2  1 
ti  I  1420  1  760  |  660  |  100  1  60  |  40  |  20  |  00 

1420  , 


3608  2  + i 

1+1 


1+_1 

(5  +  l_ 


1-i- 


2 


Reducidas:     -1  -1  >   L?  «  »§  21 
2  ;   3  ;   5  ;  33;  38;  71;  1» 

Luego 


1420        71 


3600       180 
Cálculo  de  los  quebrados  decimales. 

193.  Propiedades  de  los  decimales.— 1.»  Si  á  la  dere- 
cha de  una  cantidad  decimal  se  colocan  uno  ó  mas  ce- 
ros dicha  cantidad  no  altera  de  valor. 

rt&L?01  eJemPlo:   0'54  será  igual  á  0'540,  0'ftLQD 
(r54000,  etc. 

2.»  Si  á  la  derecha  de  una  cantidad  decimal  que  ter- 


i  o  1 

mina  en  ceros  se  suprimen  un.  i 
tidad  no  altera  de  valor. 

Así  por  ejemplo-    0*5000 
O'oO,  0  5. 

&•  Sil se  corre  la  coma  decimal    uno   .', 
iiacia  la  derecha,  se  multiplica  la  c 
gaidode   tantos  ceros   como    lu 
coma. 

Así  por  ejemplo,  si  en  la   cantída 
mos  ja  coma  uno,  dos,  tres.  cuan...  cin 
rer  hacia  la  derecha,  los  resnlfj 
354'621,  3ü46'21,  35462^  1  i  304(^1, 
los  productos  de  multiplicar  la 
10,  100,  1000,  10000,  100000,  i0( 

4.*  Sé  se corre  la  coma  uno  6  maá   lugares  hacia  la 
izquierda,  se  divide  la  cantidad  poi 
ros  ceros  como  lugares  se  corra  la  coma. 

Así  por  ejemplo,  sien  la  cuntida 
mos  la  coma  uno,  dos,  tres,  cuatro   cin 
res  hacia  la  izquierda,  los  resalí 
3' 452481,  0' 3452481.  0,03452481  i  O'i 
pectivamente  la  décima,  centésima,  :m¿ 

Ushna,  cienmilésima  i  mili  aH 

dad  propuesta 

5\*  Si  se  suprimen  ceros  entre  ai  i  !a  pifa* 

cifra  decimal,  queda  multiplicada   la  canil 
mente  decimal,  por  1    seguido   de   tan: 
ceros  se  suprimen. 

Así  por  ejemplo,  si  en  la  can'  10088  n 

men  uno,  dos  6  tres  cer  laa 

0'003o,  0'035  i  0'86  son  reapectivamenU 
de  multiplicar  la  cantidad  p 

6.*  Si  se  interponen  i  i  la  i 

ra  cifra  decimal,   se  divide   Ja   cantidad    proptaaMftB 
decimal,  por  1  seguido  de  tatitos  cero*  i    l 
interpongan. 

Así  por  ejemplo,  si  en  la  cantidad  (V568,  «•  Interpo- 
nen uno,  dos  p  tres  ceros  entre  la  <•■ 
fra   decimal,    los  resultad 

serán  la  décima,  centésima  ó  milésima  ;  la  nui* 

tidad  propuesta. 


-10  2- 

Adiciou  de  decimales- 

.     Para  sumar  números  decimales,    escrí- 

deba  jo  de  otros  procurando  que  las  comas 

tonina,  i  procédase  después  como  en  los  en- 

■■MiM.n.—  Sumar  5'52,  con  O' 1538,  con  14  453  i  con 

0PEKACI0TsT. 

.       5' 42 
O'  1538 
14' 453 
1'25 


Suma    2VpGS 

Sustracción  «le  declínale  ?. 

195.  lleyla.  —  Para  restar  decimales,  redúzcase  el  mi- 
do i  sustraendo  á  una   misma   denominación,    lo 
cual  se  consigue  igualando  el  número  de  sus  cifras  por 
medio  de  ceros  colocados  á  la  derecha  de  la  cantidad 
t-nga  menos.    En  lo  demás  procédase  como  para 
ir  enteros. 
mi»lí>,— Restar  de  5' 143,  O"  648251. 

Operación. 

5' 143000 
(>'  648251 

Resta 

4' 494749 

Multiplicación  de  decimales. 

ilcgla.— Para  multiplicar  decimales  por  deci- 
males, ó  decimales  por  enteros,   multipliqúense  como 
eran  todos  enteros,  i  sepárense  en  el  producto  de 
derecha  á  izquierda  tantas  cifras  para  decimales  cuan- 
tas cifras  decimales  halla  en  los  factores. 


—  1   0  3  — 

Ejemplos.— 1.°  Multiplica,  : 
Oí 


Producto     1"? 
2.°  Multiplicar  (V 30:21  por  1-í:;. 

Opkka. 

14:] 

10868 
14484 
3621 


Producto    5Í7Í 
Procedimiento  para  encontra\ 
diadamente '  el  produ  ct<  > 

197.  Regla.— Escríbase  la  cifra  de  unidades  «imple» 
enteras  del  multiplicador,  debajo  de  la  cifra  del 
tiplicando  que  exprese  unidad 
grado  de  aproximación  que  se  galera. 
de  dicha  cifra  de  unidades  coloqúense  lee  otra» 
multiplicador  en  sentido  inverso,  es  decir  las  décimas» 
las  centésimas,  etc.  i  á  la  derecha  de  la  misma  cifra, 
las  decenas,  centenas,  etc.  en  caso  que  halla. 

Multipliqúese  en  seguida  cada  cifra  dt*l  multiplica* 
dor  por  las  que  quedan  en  el  multiplicando  hacia  la 
izquierda,  desde  la  cifra  que  está  encima  de  la  que  m 
considere  en  el  mismo  multiplicador.  Colóqoeow  loe 
productos  parciales  en  rila  vertical  unos  debajo  de  O- 
tros,  i  súmense  después.  Sepárense  en  este  suma  de 
derecha  á  izquierda  dos  ci:  i  males  más  de  la* 

que  exprese  el  grado  de  'nación,  suprímanse  ms 

dos  últimas  cifras  de  la  de*  1«>  que  qoed*  a»- 


—  1  0  4  — 

mentando  una  unidad  á  la  última  cifra  decimal  que 
se  oonseí  ve,  será  el  producto  que  se  pide. 

l.°  Hallar  el  producto  de  5' 45216869  por 
•v>::.">9  aproximado  hasta  centésimas  ó  lo  que  es  lo 
mismo  con  un  error  menor  que  O' 01. 

Disposición  déla  operación. 


Multiplicando 

5' 45216869 

Multiplicador  invertido 

9536  24132 

1090432 

1G8563 

5452 

2180 

108 

30 

126' 1765 
El  producto  será  pues,  126,18, 

Hallar  el  producto  de  0' 415326896  por  0'12564a68 
en  menos  de  O'OOl. 

Disposición  de  la  operación. 

Multiplicando  0'41532689f» 

Multiplicador  invertido    8634  65210 


1153 

830 

205 

24 


0' 0521 2 
Producto=0,053 

División  de  decimales. 

198.  Regla  Jeneral—Fara  dividir  un  decimal  por 
un  entero,  un  entero  por  un  decimal  ó  un  decimal  por 
otro,  redúzcanse  el  dividendo  i  divisor  á  una  misma  de- 
nominación decimal  si  no  la  tienen,  i  los  números  que 


-1  05- 

resnlten  divídanse  como  si  f  n  >%  completando 

la  parte  entera  del  cociente  , 
queden  residuos  en  las  divisiones  pai 
Ejemplos.— 1.°  Dividir  o' : 

Agregando  dos  ceros  al  divisor  para  que  tenga  la 
misma  denominación  decimal  del  divid. 
do  como  enteros  los  números  qi;  !r»*mo*: 

547 
5470 
0700 
1000 

40 
4000 

2.°  Dividir  3' 461  por  o'-Jl. 
Reduciendo  el  dividendo  i  di 
nominación  tendremos: 
3461 
1361 
1010 
17o<> 
0200 
10 
lio 
3.o  Dividir  5' 632  por  43. 
Agregando  tres  ceros  al  diviso! 
misma  denominación  decimal  ^^{^^¿i1*111  m ™ 

56320 
1332 
042000 
42(  i 

4.°  Dividir  15  por  2*4631 
Agregando  cuatro  ceros  al  dii  deudo  por  las 
cifras  decimales  del  div  ^«-«H* 

2140 
Ü0 


-106- 

\.  íoxKs,— 1.»  Para  multiplicar  un  decimal 
i>or  l;i  anidad  Beguidá  de  ceros,  basta  correr  la  coma 
[a  la  derecha tantos  lugares  como  ceros  acompañan 
anidad. 
\m  P6438Xl00^54'v2a 

Para  dividir  un  decimal  por  la  unidad  seguida 
de  ceros,  basta  correr  la  coma  liácia^  la  izquierda  tan- 
ires  como  ceros  acompañan  á  la  unidad. 
Así  0'542  :  100=(f00542. 

De  las  -aproximaciones. 

.   Cuando  una  cantidad  decimal  consta  de  varias 
podemos  tomar  su  valor  aproximadamente,  i  el 
il  que  se  comete  al  despreciar  su  ultima  cifra  es 
tito  mas  pequeño  cuanto  mayor  sea  el  número  de  ci- 
cle la  cantidad. 
Así  por  ejemplo,    si  en  las   cantidades   O'o4;   0'543; 
\S2  despreciamos  la  ultima  cií'ra,  las  cantidades  que 
mitán:  0' 5;  0'54,  i  0'543,  tienen  un  error  respecto  de 
propuestas,  la  primera  de  1,  la  segunda  de  -~  i  la 
tercera  de  -J».  errores  que,  como  se  vé  van  siendo  cada 
vez  mas  pequeños. 

200.  Para  expresar  aproximadamente  el  valor  de 
una  cantidad  decimal,  en  menos  de  una  parte  alícuota 
decimal  de  la  unidad  por  ejemplo  O'l;  O'Ol;  O'OOl,  etc. 
túrnese  en  dicha  cantidad  hasta  la  cifra  del  mismo  or- 
den decimal  de  la  aproximación,  despreciando  todas 
las  demás,  procurando  aumentar  una  unidad  á  la  pri- 
mera cifra  que  se  conserve,  en  caso  que  la  primera  de 
las  <jue  se  desprecian  es  5  6  mayor  que  5  ó  es  5  con  o- 
tra  u  otras  cifras  después. 

n  por  ejemplo   las  cantidades  0'5341;    O1 5345; 
18  i  534521. 

La  primera  aproximada  hasta  milésimos  se  concier- 
te en  O1 534;  la  segunda  en  0'535  i  lo  mismo  la  tercera, 

201.  Para  aproximar  un  quebrado  ordinario  en  me- 
nos de  una  parte  alícuota  de  la  unidad,  multipliqúese 
dicho  quebrado  por  el  denominador  de  la  parte  alícuo- 
ta, i  el  entero  del  producto  por  exceso  6  por  defecto 


-10  7- 

con  el  mismo  denomina 
quebrado  que  se  quiere. 

Ejemplo,—- Expresar  .1   . 

Multiplicando  el   aliebrado 
ducto^.  que  sacando] 
mámente.  Poniendo  pn 
minador  00,  los  quebrados 
propuesto  en  menos  de  i.  como  - 

Valuación  de  decimal 

202.  En  la  valuación  rural  loa  aria: 

inos  casos  que  en  la  valuación  de  quebrad 

1.°  valuar  un  decimal  que  8i  na    unidad;  3.* 

Taluar  un  decimal  que  se  :  t*  unida  \m 

valuar  un  decimal  que  ¡ 

males  i  á  una  unidad  i  4."  valuar   un     : 

refiere  á  otro  ú  otros  decimales  i 

Para  el  primer  caso,  multiplí 
las  partes  en  que  se  divide  la  anidad  i  *-ia- 

re,  aplicando  las  reglas  de  multiplicar  de 
quedan  decimales  en  el  producto  se  seguirán  valuando 
del  mismo  modo,  i  los   enteros  que   iv>ulr.  : 
multiplicación  parcial  «•■ 
del  quebrado. 

Ejudiplo.  — Val uar  la  cantidad  o* 4.*»  de  1  :. 
DITP08ICION    D] 

10 

me* 

*30dia* 

días  & 

Luego  0'4o  de  1  nfu>=." 

Para  el  serrando  casa,  multipliquen»  el  ducfaial 
el  entero  á  qíie  se  refiere,  i  quedará  reducida  la  opeta- 
clon  el  primer  caso. 

Asi,  0'34  de  8  quintales=2'?2=2  qq.    1   0  .¿  «   1 
quintal =2  qq.  72  fl>. 


—  1  0  8- 

Para  el  tercer  caso,   multipliqúense  los  decimales 
entre  sí,  i  quecto  reducida  la  operación  al  primer  caso. 
A«f,  7  de  O1 14  del   dia=0,3oxo,?xo,14   de 

i  día    O'OSéSOde  1  día. 

■a  él  cuarto  caso,    multipliqúense  los  decimales 
.  i   queda  reducida  la  operación   al   segundo 

CH80. 

Am,  0'15de0'08de0,4  de  12  varas=O,l0><O,O8xO,4- 
de  1  =O'OO40O  de  12  varas. 

Reducción  de  un  quebrado  coiimn  á  decimal.  * 

.  Definición. — Reducir  un  quebrado  común  á 
decima],  es  hallar  una  cantidad  decimal  equivalente 
•ú  quebrado  común,  6  que  se  diferencie  de  él  en  me- 
nos de  una  parte  alícuota  decimal  de  la  unidad. 

2()4.  Regla  jen  eral. — Para  reducir  un  quebrado  co- 
mún á  decimal,  divídase  el  numerador  por  el  denomi- 
nador, i  si  quedan  residuos  continúense  las  divisiones 
gando  un  cero  á  la  derecha  de  cada  uno,  poniendo 
teros  en  el  cociente  si  el  quebrado  es  propio. 
Ejemplos:  Io  Reducir  el  quebrado  l  á  decimal. 

Disposición:  del  calculo. 

7  :  13=0' 538401.... 

70 
50 
110 
00 
80 
20 
7 

Luego  j-=0'538461  en  menos  de  0'  000001. 
2.°  Reducir  el  quebrado  |5  á  decimal. 

Disposición  del  cálculo. 

lo  :  11=1'363G3.... 

40 
70 
40 
70 
40 


-  i  O  «•  - 

Luego  |?»ra0368  en  menos  deO'OOuoi. 
8/  Reducir  el  quebrad 

5  :  |Q 

: 

20 
40 
80 
00 

Luego  ^=0*3125  exactamc: 
20o.  Al  reducir  un  quebrado  común  á  decimal 
den  resultar  tres  clases  de  oantidadee  decimales  _ 

ber:  exactas,  periódicas  puras  i  p.-¡ 

Cantidad  decimal  exacta  es  la  que  «atiene  un  nú- 
mero limitado  de  cifras,  i  j 
na  división  exacta. 

Ejemplos.—  &  145;  4'78;  <>*i:»: 

Periódica  pura  es  aquella  en  que  á   partir  desde  la 
«coma  se  repite  una  misma  porción  ind- 
Ejemplos.— 0' 141414....;  5'2i: 

Periódica  mista  es  aquella  en  «. 
repite  indefinidamente  no  comienza 
•coma. 
Ejemplos.  —01 45oo  ...;(>'  14 

206.  Reglas  para  conocer  cuando  un  quebrado  or* 
•dinario  produce  una  cantidad   flaahnal  n  H  «♦Ho- 

cica  pura  ó  periódica    mista.     1.»    Y 
«exacta  siempre  que  el  dcnum i n.i  ! 
pomga  solo  de  factores  dosts  ó  cincos  ó  de  ambo*  á  la 
Tez. 

Ejemplos.— J.;  frj;|;i;  &. 

2.»  Produce  periódica  pura,  ouando  afeado  el  aa*> 
bracio  irreducible  no  entra  -minador  ni  *l 

factor  2  ni  el  factor  5, 

Ejemplos.-*.;  i;  J?;  i- . 

3.a  Produce  periódica  mista,  ruando  siendo  el  qot 
brado  irreducible,  contiene  en  M  denomidador  adi 
más  del  factor  2  ó  5  otro  factor  distinto. 

Ejemplos. 


-110- 

Ap\  Una  cantidad  periódica  pura  por 

Mjoniplo  (V  1414 se  lee.  cero  enteros   14  de  periodo^  i 

ana  periódica  mista  por  ejemplo  (V  42888 ,   se  lee: 

,-, ,-,,  ,  a t,  ru.<.    \>2  n  idísimas  i  S  de  periodo. 

: .  Las  fracciones  decimales  periódicas  cuya  úni- 
ca cifra  periódica  es  9  no  son  otra  cosa  sino  canuda 

:i(cras  ó  decimales  exactas,  pues  ningún  quebrado 
ordinario  no  convertible  exactamente  en  decimal  pue- 
de producir  una  fracción  periódica  cuya  única  cifra 
periódica  sea  el  9. 

Según  esto  la  cantidad  0'999 equivale  á  1;  la  can- 

I  3*990 equivale  á  4;  la  cantidad  2' 53999 

equivale  á  2' 54. 

Reducción  de  una  cantidad  decimal  íi  quebrado 

comim. 


.  Llámase  quebrado  jenerador  ó  fracción  jene- 
ratriz  de  una  cantidad  decimal,  el  quebrado  ordinario 
de  donde  proviene  dicha  cantidad. 

209.  En  la  reducción  de  una  cantidad  decimal  á 
quebrado  común  distinguiremos  tres  casos:  1.°  que  la 
cantidad  decimal  sea  exacta;  2.°  que  sea  periódica  pu- 
ra i  3.°  que  sea  periódica  mista. 

Primer  caso. — Póngase  por  numerador  toda  la  can- 
tidad sin  el  cero  de  enteros  i  sin  la  coma  decimal,  i 
por  denominador  la  denominación  decimal  de  la  can- 
tidad. 

Ejemplos.— 1.°  Hallar  la  fracción  jeneratriz  de  0' 781. 

Como  la  denominación  decimal  es  milésimos  ó  mil 
anos,  la  fracción  jeneratriz  será:  ^- . 

2.°  Hallar  la  fracción  jeneratriz  de  5' 1381. 

Como  la  denominación  decimal  es  diezmilésimas  ó 
diezmil  avos,  la  fracción  jeneratriz  será:  -^-. 

210.  2.°  Caso.— Póngase  ])or  numerador  un  periodo 
i  por  denominador  tantos  nueves  como  cifras  tiene  el 
período. 

Si  hai  enteros  en  la  cantidad  se  agregarán  al  quebra- 
do que  resulte. 
E.TKMPLOS.-1.*  Hallar  la  fracción  jeneratriz  de 0' 454545 


I  I  I 

Poniendo  por  numerador  45  que  es  el  periodo.  I  ñor 

denominador  dosnueves  por  las  dos  r  tfraoonji  tiíai* 

periodo,  resulta: 

Fracción  jeneratriz  de  0*454540 «J. 

2.#  Hallar  la  fracción  jeneratriz  fa  gfl 
t   Siguiendo  la  misma  regla  tendremos  que  la  f rácelo© 
jeneratriz  de  la  parte  puramente  decimal  H  ,    laMO  I 
de  toda  lo  cantidad  propuesta  será  8+J..S 

211.  Tercer  caso.— ~R<  ];l  partea»  perfcklka 
seguida  de  un  periodo  la  parte  n<.  periódica,  1  la  reata 
será  el  numerador.  Por  denominador  pónganse  füntfft 
nueves  como  cifras  tenga  el  período,  seguidos  de  tan- 
tos ceros  cuantas  cifras  no  periódicas  bal 

Si  liai  enteros  en  la  cantidad  se  agregarán  al  que- 
brado que  resulte. 

Ejemplos.—  1.°  Hallar  la  fracción  je&etaftrisdeo'40MI 

La  parte  no  periódica  es  4~>  i   el    : 
consiguiente  el  numerador 
rá  453—45,  i  el  denominado  '.><><>,  f.  .. 

Fracción  jeneratriz  de  <>'-r  =^¡¡»"=-¡I  • 

2.°  Hallar  la  fracción  jeneratriz  de  0*25688. 

Siguiendo  la  misma  r«  ios  que 

jeneratriz  de  la  parte  puramente  decimal  es 
luego  la  de  toda  la  cantidad  pn»¡»u»->ra  -  •:..  • 

212.  Máximo  común  di 
tipio  de  los  decimales.  -   Htm 

se  las  cantidades  á  una  misma  denominación  si  n6 
tienen;  búsquese  el  m.  c.  d.  ó  el  m.  <\  m  de  los 
ros  que  resulten  como  si  fueran  eeitetPS,  al  que  sel 
rá  la  misma  denominación  común  de  las  cantidade 
Ejemplos.  1.°  Hallar  el  m.  a  d.  n'148;S'ai  itfa 
Reduciendo  las  cantidades  á  una  misma  denomina- 
ción se  convierten  en  0'148;  2'32ü  i  0'800.  El  m.  t 
estos  números  como  si  fueran  enU*i 
los  números  propuestos  será  0'004. 
2.°  Hallar  el  m.  c,  m.  de  0'30  i 


Reduciendo  las  cantidades  á  una 
cion  resultan:  0'36  i  3' 20.  El  m.  c.  m.  de 
ros  como  si  fueran  enteros  es  2880,  luego  el 

meros  propuestos  será  28' 80. 


CALCULO 

De  los  números  complcj 


Sistemas  de  medida*. 

213.  Se  da  el  nombre  de  medid^  i  un  obltf         tipo 

convencional  establecido  por  la  rc»tuiii 
para  que  sirva  de  término  de  eonij 
las  cantidades  de  su  misma  •  s 

214.  Clases  de  medidas.— Se  conooei  -  i 
medidas  á  saber: 

1.*  Lineales,  lonjitudinales  6  dé  lonjitnd; 

2/  De  pesantez,  ponderales  ó  de  }  • 

3,*  De  capacidad  ó  de  conten! 

4.a  De  superficie; 

5.a  De  solidez  ó  de  volumen; 

6.    Monetarias  ó  de  moned.i: 

7.»  Temporales  ó  de  tieni) 
i  8.    De  circunferencia  6  circulares. 

2lo.  Definiciones*— Medidas  linéale*  6de  1 
son  las  que  sirven  para  apreciar  el  1 
so,  altura  ó  profundidad  de  los  < 
te  la  distancia  de  un  lugar  á  oteo. 

Medidas  de  pesantez,  son  las  qu<  i   nara  d*» 

terminar  el  peso  de  los  cuer]  Dente  «ii< 

Peso  absoluto  de  un  cuer] 
que  ejerce  sobre  el  obstáculo  que   imj  i 
peso  relativo  que  es  r'el  que  aquí  se  trata,  «-s  la  ratón 
del  peso  absoluto  del  cuerpo  á  otro  ¡>eto  el*Jido 

por  unidad. 

Medidas  de  capacidad,  son  Ims  q  m  jura  de- 

terminar la  cabida  ó  contenido  de  IOS   C  JO*  ee 

suponen  huecos. 

Medidas  superficiales,  son  lasque  sinen  jan  de- 
terminar la  magnitud  relativa  de  un 

8 


-114- 

ida*  de  volumen,  son  las  que  sirven  para  deter- 
minar la  magnitud  relativa  de  los  cuerpos. 

Idas  monetarias,  son  las  que  sirven  paraexpre- 
-11  ,1  valor  de  las  cantidades  que  se  justiprecian  en 

dinero. 

M,  didas  temporales,  son  las  que  sirven  para  deter- 
minar la  duración  de  las  cosas  ó  de  los   acontecimien- 

■fifias  circulares,  son  las  que  sirven  para  deter- 
minar el  número  de  partes  iguales  que  contiene  un  ar- 
co cualquiera. 

210,  Requisitos  que  debe  tener  un  buen  sistema  de 
medidas.— La  Económia  Política  considera  las  medi- 

-  como  instrumentos  del  cambio,  i  aconseja  como 
condiciones  indispensables  en  todo  sistema  la  sencillez 
i  la  uniformidad. 

Sin  embargo,  es  tal  la  fuerza  de  las  costumbres  de 
los  pueblos,  que  no  ha  sido  posible  hasta  hoi  cumplir 
con  las  indicaciones  de  la  ciencia  económica,  adoptan- 
do cada  cual  el  sistema  métrico-decimal,  que  por  su 
sencillez,  exactitud  é  in variabilidad  en  sus  principios, 

el  llamado  á  seguirse  en  todos  los  paises  civilizados 
de  la  tierra. 

217.  Necesidad  e  importancia  del  estudio  de  las 
medidas.  El  comercio  no  puede  existir  sin  el  cambio, 
porque  no  puede  concebirse  el  tránsito  de  las  cosas  de 
un  lugar  á  otro  con  el  objeto  de  hacer  una  especula- 
ción, sin  que  halla  algo  que  se  cambie  por  algo,  pro- 
ductos que  se  cambien  |3or  productos  i  valores  que  se 

aibien  por  valores.  Ahora  bien,  como  las  medidas 
sirven  para  determinar  las  cantidades  respectivas  de  los 
productos  6  valores  cambiados,  ya  sea  atendiendo  á  su 
lonjitud,  volumen  i  superficie,  á  su  peso,  capacidad  ó 
contenido,  es  preciso  conocerlas  detenidamente,  á  efec- 
to de  verificarla  operación  del  cambio  con  la  prontitud 
que  exijen  las  transaciones  comerciales. 

Sistema  métrico-decimal. 

218.  Definición. — Sistema  métrico-decimal  es  el  con- 
junto de  medidas  que  tienen  por  unidad  fundamental 
el  metro. 


1  1  r> 

¿f¿¿ro  es  la  diez  millonésima  parto  idranti»  de 

meridiano  terrestre. 

219.  Formación  <i> 
llevóse  á  cabo  por  los  ilu sin 
bre  i  Méchain,  quienes  ni  id  i 
comprendido  entre  Dunkerque  I 
do  sus  operaciones  con 

ne  habian  ejecutado  en  «'1  1 

tud  del  cuadrante  de  meridiano,  Be  dh 

llones  de  partes  iguales:   se  na  regla  da 

platino  á  la  temperatura  del  hi< 

tud  igual  á  una  de  dicl  "S,  i  á  esta  regla  m»  oe- 

nominó  metro,  que  etimolój 

220.  Invención  ch  sistema  ní- 
trico fué  inventado  por  un  Congrí  !               aaciona 
sabios  europeos  que  se  org;; 

bre  de  1798,  mediante  Inioiatí  oatoria  dal 

''Instituto  Nacional;"  habi<  fado  oficial 

mente  bajo  el  Gobierno  del 
por  decreto  de  4  de  Julio  d 

221.  Unidades  que  eonstttuyi  n  >  ' 

dades  que  constituyen  el  sistema   métrico  son  las  si- 
guientes: 

1.*  Unidad  de  lonjitud,  el  wuá 

2.*  Unidad  de  pesante/..  »•] 

3.»  Unidad  de  capacidad,  el  ' 

4.    Unidades  de  superficie,  el   nal     cuadrmth  I  si 
área.  , 

5.»  Unidades  de  volumen  • 
rio. 

6.a  Unidad  de  moneda  el  franco. 

7.*  Unidad  de  circunf-  •  <**"*!*** 

222.  Regla  para  formar  los  múltiplos  í  dr- 
de  cada  unidad  principal— Antenóaganae  á  la 
dad,  las  palabras  Deca,  Hedo,  ^wtlWteqaar 
fican  respectivamente  1<>.  1(10,  1000  i  10000 para (MV 
los  múltiplos;  i  las  pala' 

nifican  déci\  •***  d*.   t   milésimo  «,  pai 

formar  los  divisores.  .   .  ,_¿  » 

Se  exceptúan  de  esta  regla,  elfran 
múltiplos  i  divisores  se  forman  sin  ai 
palabras. 


1   1  6 


Ahí  criaturas  usadas  en  el  sistema  métrico. 

D Deca. 

H ...  Hecto. 

K Kilo. 

M Miria. 

d deci. 


m metro. 

-mmo. 

1 litro. 

nr metro  cuadrado 

a área. 

m8 metro  cúbico. 

e estério 

fr franco. 


c centi. 

m mili. 

o grado. 


Medidas  de  lonjitud. 

224.    Unidad  principal,  el  metro. 

Múltiplos. 

Decámetro  que  contiene  10  metros. 
Hectómetro  .,        .,         100  metros. 
Kilómetro     „        ,,         1000  metros. 
Miriámetro  ,,        ,.  10000  metros. 


>i 


Divisores. 

Decímetro  que  contiene  0'1  de  metro. 
Centímetro  ,,        „         0'01  de    ,, 
Milímetro    ,,         „  O'OOl  „     „ 

Medidas  de  pesantez. 

225.  La  unidad  principal  es  el  gramo. 

Gramo,  es  el  peso  de  un  centímetro  cúbico  de  agua 
destilada  á  la  temperatura  de  4  grados  sobre  cero,  pe- 
sada en  el  vacío  i  en  el  termómetro  centígrado. 

Múltiplos. 

Decágramo   que  contiene  10  gramos. 
Hectogramo     „        „  100  gramos. 

Kilogramo       „        .,  1000  gramos. 

Miriágramo     „        ,,  10000  gramos. 

Divisores. 

Decigramo  que  contiene  0'1      de  gramo. 
Centigramo  ,,         „  0'01      „       ., 

Miligramo    „        „  o' 001     „       „ 


—  I    1  7  - 
Medidas  dv  capacidad. 

226,  La  unidad  principal  es  él  ///.- 
Litro,  es  una  medida  por  lo  común  <  Uta d 

capacidad  es  la  de  uu  decímetro  cabio 

Ü0LTIPLO8. 

De  cálitro  que  contiene  10       lirros 
Hectolitro    ,,        .,  100 

Kilólitro   '  ,,        ,,  LO 

Miriálitro    ,,        ,,  loo.»,» 

Divise; 

Decilitro  que  contiene  O'l     de 
Centilitro,,        ,,  O'Ol 

Mirílitro   ,,        ,,         o'od]   .. 

Medidas  snperllcl 

227.  La  unidad  principal  es   e] 

sea  un  cuadrado  que  tiene  por  lado  un  •    I 

Muí/1  NM.os. 

Decámetro  cuadrado  que  contiene  loo  ni 
Hectométro     ,,  ,,  •     - 

Kilómetro       ,,  .,        ..         l<x> 

Miriámetro      ,, 

Divisor 

Decímetro  cuadrado  que  contiene  100  centímetro*  eua«!ra*lft* 
Centímetro      „  „        ,.         100  Milímetros 

La  unidad  superficial  para  los  terrenos  61 
sea  un  decá metro  cuadrado. 

El  único  múltiplo  del  área  es  la  kedÁ  ***  no 

hectómetro  cuadrado,  i  el  único  divisor  ei  la  ccnitfrm 

ó  sea  un  metro  cuadrado. 


—  1   1  8  — 

Medidas  de  volumen. 

La  unidad  principal  es  el  metro  cúbico,  ó  sea 
un  cubo  que  tiene  de  altura  un  metro,  de  modo  que 
cada  una  de  sus  seis  caras  es  un  metro  cuadrado. 

Múltiplos. 

(metro  cúbico  que  contiene  1000  metros  cúbicos 
Hectómetro    ,.        „        „  1000  decámetros    „ 

Kilómetro       ,,         ,.         ,,  1000  hectómetros  „ 

Miriámetro    ,,         „         ,,  1000  kilómetros      .. 

Divisores. 

Decímetro  cúbico  que  contiene  1000  centímetros  cúbicos 
Centímetro    ,,        ,.        „        1000  milímetros  cúbicos. 

La  unidad  de  volumen  para  medií  la  leña  i  made- 
ras de  construcción  es  el  estério,  cuya  medida  no  es 
otra  cosa  sino  un  metro  cúbico,  con  la  diferencia  que 
♦*stá  dispuesto  en  forma  de  armazón  ó  bastidor. 

El  único  múltiplo  del  esterio  es  el  decaesterio  que 
contiene  10  esterios;  i  el  único  divisor  es  el  deciesíerio 
que  contiene  la  décima  parte  de  un  estério. 

Medidas  monetarias. 

229.  La  unidad  principal  de  moneda  es  el  franco, 
Franco  es  una  moneda  de  plata  que  pesa  5  gramos 
i  contiena  9  partes  de  plata  pura  por  una  de  metal  ex- 
traña. 

Monedas  de  oro. 


Pieza  de  5  francos 

que  pesa 

1  gramo 

i  613  mil: 

[gramos 

>»      >»  ■»"      »i 

>) 

¿i 

3      „ 

i  226 

?> 

n        „  20        „ 

>i 

•  i 

6      „ 

i  452 

..        ..  00        ,, 

., 

».j 

16    „ 

i  130 

^  % 

,,     „  loo    „ 

it 

»1 

32    „ 

i  260 

, , 

Moneda*  d(    piafa. 

Pieza  de  5  francos  que  pea  95  gramo», 
„  2 

....   i  g 

„  BOcéntira     . 
>>      »  80    »j  1 

Monedas  de  c»i>i 

Pieza  de  10  céntimos  de  que  ¡>esa  1"  gramo*. 

5 


51  55 

•'  5?      *  II 


Medidas  de  circunferí  mi* 

230.  La  unidad  principal  es  el  grado. 
Grado  es  la  centésima  paite  del  cuadraste  de 

circunferencia. 

El  grado  se  divide  en  100  partee  ignalee  que  a»  lla- 
man minutos;  el  minuto  en  KM)  partes  iguales  que  o» 
llaman  segundos;  el  secundo  en  1<K)  partea  iguales  qa» 
se  se  llaman  terceros  i  así  sucesivamente. 

Los  grados,  minute  cerón,  etc.  a*  la* 

dican  respectivamente  por  medio  de  los  sigiiieatee  sig- 
nos:  o  '  "  "  colocados  en  la  parte  superior  i  á  la  dere- 
cha de  la  cantidad. 

Así  5o,  4',  6",  18"  se  leerte  :» gradee,  4  minutos.  6 
segundos,  18  terceros. 

231.  Ventajas  del  sistema  métrutK—ljm  rea  lajea 
principales  del  sistema  métrico  sobre 
sistema  de  medidas  son  las  siguientes:  1.» 
do  las  unidades  unas  de  otras,  si  alguna  i 
ración  con  el  transcurso  del  tiempo,  ee  fácil 
otra  por  medio  de  cualquiera  de  las  demás  I 
mente  igual  á  la  primitiva,  no  -i  cediendo  lo 
en  los  otros  sistemas,  en  que  la  inconexión  el 
diferentes  unidades  hace  imposible  la  rescindo*  da  !• 
gnal  problema. 

2.a  Las  medidas  del  sistema  métrico-declmal.  rleatfJ 
un  tipo  invariable  en  la  naturale»,  de  modo  qn*  ana- 


—  1    2  O  — 

que  todas  cariasen,  solo  la  lonjitud  del  cuadrante  de 
meridiano  bastaría  para  determinar  otras  iguales  á  las 
primitivas. 

3.»  Los  múltiplos  i  divisores  en  el  sistema  métrico, 
se  forman  de  una  misma  manera  en  cada  clase  de  me- 
didas, no  sucediendo  lo  mismo  en  los  otros  sistemas, 
en  que  la  lei  de  formación  es  tan  irregular  como  arbi- 
iraria,  i  difícil  por  lo  tanto  de  retenerse  en  la  memo- 
ria. 

4.»  Para  reducir  unidades  de  orden  superior  á  infe- 
í  ior  ó  viceversa  en  el  sistema  métrico,  basta  correr  la 
«■«una  decimal  á  la  derecha  ó  á  la  izquierda,  mientras 
que,  para  resolver  igual  problema  en  los  otros  sistemas 
es  precisa  emplear  largas  multiplicaciones  i  divisiones 
lo  cual  es  bastante  molesto. 

5.«  Acomodándose  la  formación  del  sistema  métrico 
á  la  numeración  decimal,  el  cálculo  con  tales  medidas 
es  facilísimo,  comparado  con  el  de  los  números  com- 
plejos á  que  da  lugar  la  irregularidad  entre  los  múlti- 
plos i  divisores  de  los  otros  sistemas. 

(5.*  En  el  sistema  métrico,  se  reemplaza  el  uso  de  los 
quebrados  ordinarios  con  el  de  los  decimales,  cuyas  o- 
peraciones  son  mucho  más  sencillas. 
,  Estas  consideraciones  están  demostrando,  que  el 
sistema  métrico  decimal  es  el  llamado  a  adoptarse  en 
todos  los  paises,  i  cuando  esto  suceda,  se  habrá  dado 
un  ensanche  prodigioso  al  comercio  i  un  paso  altamen- 
te progresista  en  las  Naciones  cultas  de  la  tierra. 

Medidas  conocidas  i  jeiieralnieute  usadas  en 
Centro-América. 

232,  Con  excepción  de  Costa-Kica  en  que  se  ha  adop- 
tado como  sistema  de  medidas  el  métrico-decimal,  las 
demás  Repúblicas  de  Centro-América  carecen  de  un 
sistema  Jegal  i  uniforme.  Expondremos  sin  embargo 
las  medidas  que  jeneralmente  se  han  empleado  en  es- 
tos paises. 

Medidas  lonjitudinales. 

El  grado  tiene  20     leguas 

La  legua      ,,     3       millas  6  20.000  pies 

Lamilla      „     2222  J  varas 


i  2  i 

La  cuadra  ,,     LOO   val 

La  cuerda  ,,    50     rarata 

La  cadena  ,,     25     va] 

Lavara       ,,     3       pi. 

El  pie         „     12     pulgadas 

La  pulgada,,     12    lím 

La  línea     ,,     12    puntos 
Advertencia.— En  Guatemala  qm- ¡ 
legua  á  5000  varas  desde  que  se  intro  lujo  [«m 
diciones  la  cuerda  de  5o  irania 

Medidas  de  pcsanti 

233.  La  tonelada  tiene  90  quintal 

El  quintal 

La  arroba  M  20  lili: 

La  libra  (ó  marco» ..  )•' 

La  onza  ..  LO  adarme* 

El  adarme  ,,  :*    rom 

El  tomín    '  „  19  g 

Medidas  de  capacidad. 

234.  Las  medidas  de  capacidad  par.»  ¡nidos  que 
munmente  se  usan  son: 

La  fanega  que  tiene  2  cajas 
maiz.) 

La  caja      tiene  2  cuartillas 
La  cuartilla  ,,     3  almudes  ó  celeminea 
Para  los  líquidos  se  usan: 

El  garrafón  que  tiene  5  galones 

El  galón         „        ..   6  DOtdl 

La  botella      „        M    75  centfliti    s 

Medidas  superficiales. 

135.  El  ejido  ó  fundo  legal  ti.-:,  ladrada 

La  Legua  cuadrada  tiene  9  millas  cuadradas 
La  caballería  tiene  M  manzanas  581<T  125  varas  cuadra 

La  manzana  tiene  10000  varas  cuadradas,   4  m^rda* 

cuadradas  6  16  cadenas  cuadradas. 
La  cuerda  cuadrada  tiene  2500  varas  cuadradas*  C 


L:i  cadena  cuadrada  tiene  625  varas  cuadradas.      > 
La  vara  cuadrada  tiene  9  pies  cuadrados. 
1.1  píe  cuadrado  tiene  144  pulgadas  cuadradas. 
La  pulgada  cuadrada  tiene  144  líneas  cuadradas. 
La  linca  cuadrada  tiene  144  puntos  cuadrados. 

Medulas  de  volumen.  íV^a) 

23(5.   La  vara  cúbica  tiene  27    pies  cúbicos. 

El  pié        ,,  ,,      1728  pulgadas  cúbicas. 

La  pulgada  ,,       „      1728  líneas  ,, 

Medidas  para  el  papel. 

887.  La  bala        tiene  10  resinas. 
La  resma        „     20  manos. 
La  mano         ,,     5    cuadernillos. 
El  cuadernillo  ,,  5    pliegos. 

Medidas  de  tiempo. 

238.  La  edad  tiene  3  tiempos. 

El  tiempo,  milenario  ó  evo  tiene  10  siglos. 
El  siglo  „     100  años. 

El  ciclo  solar  „     28  años. 

El  ciclo  lunar  „     19  años. 

La  indicción  „      3    lustros. 

El  lustro  .       „     5    años. 

El  ano  n     12  meses. 

El  mes  tiene  28,  29,  30  ó  31  dias. 

Eldia  „     24  horas. 

£*  hora  >,     60  minutos  ó  4  cuartos. 

El  cuarto  ,,     15  minutos. 

El  minuto  „     60  segundos. 

i  ara  saber  cuantos  dias  tiene  cada  mes  apréndase 
ele  memona  los  siguientes  versos: 
Febrero  trae  28  dias 
I  en  los  años  bisiestos  29. 
Setiembre,  Abril,  Noviembre  i  Junio  30 
I  31  los  restantes  meses. 

El  año  común  tiene  365  dias,    i  el  año  bisiesto  366 
días. 

Para  saber  si  un  año  es  bisiesto,   basta   observar  si 


—  i  -2  :*  _ 

las  decenas  i  unidades  del  número  que  i- 

año  componen  un  número  divi 

Pero  si  el  número  que  iv¡ 
cenas  ni  unidades,  e:u< 
ñas  i  millares  componen  un  nún 

Asi,  los  años  1884  i  I8SS  son    l-¡  • 
dos  primeras  cifras  de  la  d<  OMi  un  ana** 

ro  divisible  por  4. 

Lósanos  1601),  1200  i  24oo  tamlm 
que  las  centenas  i  millares  com] 
sible  por  4. 

Medidas  de  rirc  uiifrreueU. 

139.  La  circuid' erenoia  tiene  4   «".íadrantea. 
El  cuadrante  ,.       M  gmdoi 

El  grado  00  minutoa. 

El  minuto  00  segundo*. 

El  segundo  ,,      00  tercerón» 

Esta  división  de  la  circunferencia  ae 
mal,  i  se  usa  mas  que  la  división  I  porque  el 

números  oG0  contiene  mas  d¡  visores  di fereaUeqnetOOL 

Medidas  ni 

DJ 


240,  La  onza  ti»-nel0 

La  media  onza  ,,  8  pesos. 
El  escudo  de  a  i  ..  4  peso*. 
Kl  escudo 

El  esendito  I    ¡«ao. 

El  medioesendo,,    4    reoles, 

DK   PLATA. 

El  peso  t  lene  8  reales  6  lUO  centavos. 

El  medi..  ]  .-  ..       •  :•■        - 

El  dea  dos  Oleajes     ¿5 

El  real  2  medios  o  12  * 

El  medio     .  nllos?S 

El  cuartillo  „     I 


_  I  £  4  — 

Medida*  monetarias  de  Guatemala  segim  la 

nueva  leí  de  18S1. 

DE   ORO. 

)  o  i 

.1  Pies»  de  5  pesos  que  pesa  8  gramos,  05  miligramos         |  g  2 

|  Pfan  de  9  pesos  50  centamos,  que  pesa  4  gramos,  32  miligramos  J-,»*! 

n  de  1  peso,  que  pesa  1  gramo,  612  miligramos  |  .-g 

DE  PLATA. 

1  Pien  «le  1  peso  que  pesa  25  gramos,  leí  de  900  milésimos 

1  Pieza  de  A  peso  que  pesa  12  gramos,  500  miligramos,  lei  de  900  milé.mos 

1  Pieza  de  25  centavos  que  pesa  6  gramos,  250  miligramos  |  So  | 
1  Pieza  de  10  centavos  que  pesa  2  gramos,  500  miligramos  i-  J*  •% 
1  Pieza  de  5  centavos  que  pesa  1    gramo,  250    miligramos  |  «|§ 

DK   COBRE. 

La  moneda  nacional  de  vellón,  es  el  centavo,  que  pe- 
sa 5  gramos,  i  tiene  de  lei  95  por  ciento  de  cobre  i  5 
por  ciento  de  nikel,  con  un  diámetro  de  25  milímetros. 

Es  prohibida  según  dicha  lei,  la  circulación  de  las 
monedas  extranjeras  de  vellón,  i  las  fraccionarias  de 
plata  desde  50  centavos,  con  excepción  de  las  fraccio- 
narias de  los  Estados  Unidos. 

Las  demás  monedas  extranjeras  de  oro  6  plata,  ten- 
drán í-iirso  legal,  siempre  que  tengan  una  lei  i  peso  i- 
gnal  ó  superior  á  la  moneda  nacional. 

Según  esto,  serán  de  curso  legal  las  monedas  extran- 
jeras siguientes: 

DE    OliO. 

valor. 

Doble  águila  de  los  Estados  Unidos.        $  20 

Águila.  M  io 
Media  águila  5 

Cuarto  de  águila.  \\  2' 50 

Dollar  de  los  Estados  Unidos.  !,  1 

Libra  esterlina  iglesa.  ,    5 

líedia  libra  esterlina.  ''  gr¿$ 


i    >  s 

Pieza  de  20  francos   ,1,-    Italia,    Béljkft, 

Francia  i  Suiza.  £  4 

Pieza  de   10  francos  de   Italia    Rrljica, 

Francia  i  Suiza. 
Pieza  de  5     francos   de    Italia,    Rrljica, 

Francia  i  Suiza.  ,.1 

Pieza  de20Reichmark  del   bnperio   A 

man. 
Onzas  españolas  i  mejicanas. 
Medias  onzas. 
Cuartas  onzas. 
Escudos. 

Medios  escudos.  . .  1 

Piezas  de  100  reales  de  vellón  espa&olafl  .,  5 
Piezas  de  50        „ 
Piezas  de  5  pesos  del  Perú,  Col< 

Venezuela  i  Chile, 

dk  ri.Ai  \. 

Piezas  de  5  francos  de  Italia,    l.élji. 

Francia  i  Suiza.  $  1 

Peso  fuerte  español.  ..  1 

Pieza  de  un  peso  de  Méjico,   Chile,   Perú 

i  Venezuela. 
Dollar  americano  ..  1 

Medio  dollar  BO  cy matos 

Un  cuarto  de  dollar. 
Un  dime. 
Medio  dime. 

242.  Equivalencias  para  reducir 
á  las  del  sistema  métrico- 

_.    .      ..,    -.  \  61  varas  =51  ni 
De  lonjitud  j  1  varil=8:jr,  mji¡n 

_  (  1  quintal=40  kilogramos. 

De  pesantez  j  }  ^h™ =400  gramos, 

(8  celemines  6  almudea"S7  litros. 
9  fanesas=5  hectolitros  menos  1  por 


tanegas=5  hectolitros 
De  capacidad  ,  cient0^ei  resultado  hectolitro! 
1  botella=75  centilitros 


—  1   2  6  — 

10  varas  cuadradas=7  metros2  me- 
nos J  por  ciento  del  resaltado  metros 
cuadrados. 

De  superficie  Á  1  manzana=6972  metros2  i  25  decímetros2 
1  caballeria=45' 027914  Hectáreas,  es  de- 
cir: 45  Ha,  2  a,  79  m2  i  14  dm2. 

p       ,/  \  12  varas  cúbicas=7  metros  cúbicos,    mas 

°  U  ie    ti  Por  ciento  del  resultado  metros  cúbicos 

De  moneda  -j  1  peso=5  francos. 

r\^i-~««#~~v*^;.  (  9  grados  sexaiesimales=10  grados 
Decircunferencia  ■  ce£te8Íma]e8.  J 

Reducción  de  un  número  complejo  á  incomplejo 
de  su  última  especie. 

848,  Regla.-—  Eedúzcase  el  número  de  la  especie  su- 
perior á  la  especie  inferior  inmediata,  i  al  resultado  a- 
gue  el  número  de  esta  especie.  Redúzcase  la  suma 
;í  la  especie  inferior  inmediata,  i  al  resultado  agregúe- 
se el  número  de  esta  especie  i  así  sucesivamente. 

Ejemplo.— Reducir  3  quintales,  2  @,  5  fo,  i  10  onza? 
á  incompleto  de  onza. 

CÁLCULO. 

3qqx4@+2=14@. 
14@x25ft+5=355fb. 

6  fox  16  onzas+10=5690  onzas. 
Luego  3  qq,  2  @,  5  fb,  10  onzas=5690  onzas. 

Reducción  de  un  número  incomplejo  á  otro  de 

especie  mayor. 

244.  Regla.— Divídase  dicho  número  por  el  número 
de  veces  que  su  unidad  está  contenida  en  una  de  la  es- 
pecie superior. 

mplo— Reducir  320  meses  á  años. 

Como  un  mes  está  contenido  en  un  año  12  veces,  ten- 
dremos que  320  meses=  f-de  año. 


- 1  ¿  7- 

Reducción  de  un  número  complejo  ú  Inmmph  ).. 
de  una  especie  distinta  de  la  Inferior. 

245.  Regla.— Hedún.,  ,¿  incomplejo  de 
su  última  especie,  i  el  incompl.  resalte  redam- 
se  á  la  especie  que  se  quiere. 

Ejemplo.— Reducir  r>  va n B,  2  pies  i  4  pulgadas  4 

incomplejo  de  pies. 
Todo  el  incomplejo  redad  ligadas  equivale  á 

208,  i  este  numero  reducid 
vale  á-^-de  pie,  luego  u"  var¡ 
de  pie. 

Reducción  de  un  incomplejo  áetm 

246.  Regla. — Redúzcase  el  incomplejo  á  anidadas) 
de  la  especie  inmediata  superior,  i  él  restoserán  las  o 

nidades  de  especie  inferior  drl  jo,    Kl 

que  resulte  redúzcase  á  unidades  de  la  espec 
diata  superior,  i  el  resto  serán  las  unidades  de  la 
cié  que  signe  en  el  oomplej<  M  continuara,  hasta 

que  el  último  cociente  sea  de  la  especie 
complejo. 
Ejemplo.— Reducir  1420  dias  a  compl 


1426 

226 

16 

dias 


CÁL< 

30 

47  meses 

11 

ineseí 


12 


Baños 


Luego  1426  dias=3  anos,  11  meses  i  10  dias. 
Reducción  de  un  complejo  á  qnel 
mis  especies. 


247.  Regla.—  Redúzcase  el  compiejo  á  incosapltio 
de  la  última  especi;  que  resulte  póngase  por  de- 


nominador una  unidad  de  la  especie  á  qoe 

ferirse  el  quebrado  reducida  á  la  inferior  deJ  complejo. 


-128- 

K.i  km  i» lo.— Reducir  el  complejo  5  toneladas,  6  quin- 
tales, :;  arrobas  i  10  libras  á  quebrado  de  quintal. 

Reducido  el  complejo  á  incomplejo  de  libra  equiva- 
le á  1068;")  libras,  i  poniéndole  á  este  número  por  deno- 
minador un  quintal  reducido  á  libras  que  son  100,  ten- 
dremos que  el  complejo  propuesto  equivale  á  ^  de 
quintal. 

Advertencia. — La  operación  inversa,  es  decir  la 
reducción  de  un  quebrado  á  complejo,  se  practica  va- 
luando el  mismo  quebrado. 

Adición  de  complejos. 

248.  Regla,— Coloqúense  los  sumandos  unos  debajo 
de  otros  de  manera  que  se  correspondan  las  especies. 
Súmense  después  como  si  fueran  enteros,  teniendo  cui- 
dado de  agregar  á  la  suma  de  cada  columna  las  uni- 
dades de  orden  superior  que  resulten  en  las  columnas 
de  orden  inferior. 

Ejemplo.  Sumar  3  @,  8  fe,  i  8  onzas,  con  2  @,  12  fe, 
i  15  onzas,  con  1  @,  10  fe,  i  11  onzas. 

Operación. 

3  @-8  fe— 8  onzas 
2  @— 12  fe— lo  onzas 
1  @— 10  fe— 11  onzas 


Suma  7  @— 7    fe— 2    onzas 

Sustracción  de  complejos. 

249.  liegla.—Cóquese  el  sustraendo  debajo  del  mi- 
nuendo de  modo  que  se  correspondan  las  especies. 

Réstese  en  seguida  cada  número  del  sustraendo  de 
su  correspondiente  en  el  minuendo  comenzando  por  las 
unidades  de  orden  inferior. 

Sialgun  término  del  minuendo  es  menor  que  su  res- 
pectivo en  el  sustraendo,  agregúese  á  dicho  término  u- 
na  unidad  de  la  especie  inmediata  superior,  reducida 
a  la  especie  de  que  se  trata;  i  para  que  la  resta  no  altere, 
considérese  esa  especie  inmediata  superior  del  minuen- 
do con  una  unidad  menos. 


—  1  ^>  í)  — 

Ejemplo    l  .•— Aterfguar  la 

nació  el  7  de  Marzo  de  1800,   ha 
1885. 

Para  resolver  esto,  eonsidéresé  de  n  ,  los  n 

ños,  meses  i  dias  cabales  transcurridos 
en  que  se  propone  la  cuestión,  i  de 
meses  i  dias  transcurridos  I 
to  de  la  persona. 
Así  pues  tendremos: 

Minuendo  1884  años— G  meses-  I 
Sustraendo  1855    ,,     —2    „     —7 


ncimi«*n 


Eesta  25  años— 4  meses  - 

2.°  Eestar  de  13  quintales,  2  ario  ulnas 

onzas,  9  quintales,  3  arrobas,  4  libras  i  |fi  onzas. 

Operación. 

Minuendo  13  qq.— 2  @—10  ft>.     1 2 
Sustraendo  9    ,,   —3  ,,—4    .,  — 1." 

Eesta     3    qq.— 3  @— ¿5    Ib.— 18  unas. 

En  este  ejemplo  hemos  agregado  á  las   1. 
minuendo  i  libra  reducida  á  onzas, 
10  libras  del  minuendo  con  el  valor  <! 

Del  mismo  modo  hemos  agregado  i  las  S  |  del  mi 

nuendo  1  quintal  reducido  á  ai  i 
13  qq.  del  minuendo  con  el  valor  di 

Multiplicación  de  complejos. 

250.  Primer  caso. — Multiplicando  comp]  .-.mi 

tiplicador  incomplejo. 

Regla.—  Multipliqúense  todos  los  términos  del  mu! 
tiplicando  por  el  mcomplejodel  mal  ti]  .  comen- 

zando por  las  unidades  inferiores   i 
de  ir  agregando  (\  cada  producto  las  unidades  de  espe- 
cie superior  que  vayan  resultando  en  los  productos  an- 
teriores. 

Ejemplo. -Averiguar  cnanto  podrá  comprarse  cor 
pesos,  suponiendo  qne  con  uno  se  compran  3  raras,  % 
pies  i  9  pulgadas. 

• 


—  1  3  O 


Operación. 


Multiplicando  3  varas— 2  pies— 9  pulgadas. 
Multiplicador  $5. 

Producto  19  varas— 1  pie— 9  pulgadas. 

251. Segundo  Caso. -Multiplicando  incomplejo  i  mul- 
tiplicador complejo. 

Primer  procedimiento. — Redúzcase  el  complejo  á 
quebrado  de  la  especie  superior,  i  multipliqúese  este 
quebrado  por  el  incomplejo,  valuando  el  producto  que 
resulte. 

Ejemplo. — Averiguar  cuanto  cuestan  3  @ — 5  Ib— i 
10  onzas  de  café,  suponiendo  que  1  arroba  cuesta  $5. 

Operación. 
$5x[3  a~ fi  ft>— 10  onzas] =$6  x  ™  de  1  @= 


400 


de  1  peso=$16'12. 


252.  2.°  Procedimiento  por  partes  alícuotas. 
.    Multipliqúese  todo  el  m ul  tiplicando  por  las  unidades 
de  especie  superior  del  multiplicador,    como  en  el  pri- 
mer caso. 

En  seguida  descompónganse  los  otros  términos  del 
multiplicador  en  partes  alícuotas  de  la  unidad  princi- 
pal, i  se  irán  tomando  del  multiplicando  ó  de  los  pro- 
ductos que  resulten,  las  partes  que  expresen  dichas 
partes  alícuotas. 

Resolvamos  por  este  método  el  ejemplo  anterior. 

Operación. 

$5x 
3  @— 5  ib— 10  onzas 

Producto  por  3  @= §15 

»  »     5ft>= 1 

,,  ,,     8  onzas= O'IO 

„  ,,     2  onzas= o' 02 

Producto  $16' 12 


—  13  1- 

Para  hallar  el  producto  en  este  ejemplo 
mos  así:  si  1  arroba  cuesta  $5,  3  @  costarán  $l.\  i  5  h 
que  son  la  quinta  parte  de  1  arroba  costarán  la  quinta 
parte  de  $5  es  decir  $1. 

Como  10  onzas  no  son  parte  alícuota  de  la  libra,  las 
descompondremos  en  8  onzas  mas  2  onzas.  I  si  5  libras 
cuestan  $1,  una  costará  20  centavos,  luego  8  onzas  que 
son  la  mitad  de  una  libra  costarán  10  «^ritaTos,  i  2  on- 
zas costarán  2  centavos. 

Tercer  Caso. — Multiplicando  ¡multiplicador  com- 
plejos. 

253,  Primer  procedimiento  —  Redúzcanse  los  dos  fac- 
tores á  quebrado  de  la  especie  superior  i  multipliquen- 
se  los  quebrados  que  resulten  valuando  el  producto  de 
ellos  con  relación  á  la  unidad  principa]  del  multipli 
cando. 

Ejemplo.— Supongamos  que  se  quiere  saber  cnanto 
puede  comprarse  con  $10,  5  reales  i  :*  cuartillo*,  supo- 
niendo que  con  un  peso  se  pueden  comprar  2  arroba», 
11  libras  i  4  onzas  de  una  mercadería. 

Operación. 

[2  O— 11  ib— 4  onzas] X[$10-ñ  reales— 3  c uartillosj=  JJ 
de  @xií?-  de  peso=^-de  @=20  @-C  Jt>-8  onas  -4 

254  2.°  Procedimiento  por  partes  alícuotas. -El  meto* 
do  de  las  partes  alícuotas  se  practica  en  este  caso  lo 
mismo  que  en  el  segundo.  Así  es,  que  para  rea0*J5LÍ? 
cuestión  anterior  dispondremos  el  cálculo  como  sigile: 

Multiplicando 8  &-11  !b-4  omss 

Multiplicador $10-5  rls.-3  centavos 


Producto  del  multiplicando  por  $10.  .24  @— 12  Ib— « 
id      id  id  id        4rls.l  „  —  5  ,.  —  ¡0 

id       id  id  id        lrls.o  „  —  J*  —JO 

id       id  id  id  2cuarts.O  „  —  3  „  —13  .      I 

id      id  id  id    1     „     0  „  —  1  .,  — "  ..— I" 


Suma  26@,   6fo,  8onas«ad»es 

si  coa 


Para  hallar  el  producto  raciocinaremos  asi:  si  « 
un  peso  se  compran  todo  el  multiplicando,  con  fiu 


—  1  3  2  — 

comprará  diez  veces  el  multiplicando  6  se  24@— 121í>  — 
8  onzas. 

Como  5  reales  no  son  parte  alícuota  de^  1  peso;  los 
impondremos  en  4  reales  mas  1  real;  i  si  con  un  1 
peso  se  compra  todo  el  multiplicando,  con  4  reales  se 
comprará  la  mitad,  ó  sea  1  @— 5  ib— 10  onzas,  i  con  1 
real  la  cuarta  parte  de  lo  que  compra  con  4  reales  ó  sea 
7  Ib— 10  onzas— 8  adarmes. 

Por  último  como  3  cuartillos  no  son  parte  alícuota 
de  1  real,  los  descompondremos  en  2  mas  1;  i  si  con  1 
real  se  compran  7  Ib— 10  onzas  i  8  adarmes,  con  2  cuar- 
tillos se  comprará  la  mitad  ó  sean  3  ib— 13  onzas  i  4  a- 
darmes,  i  con  1  cuartillo  la  mitad  de  lo  que  se  compra 
con  2,  ó  sean  1  ib — 14  onzas — 10  adarmes. 

División  de  Complejos. 

255.  Primer  caso.—  Dividendo  complejo  i  divisor  in- 
complejo. 

Regla.—  Divídase  cada  término  del  dividendo  por  el 
incomplejo  del  divisor  comenzando  por  las  especies  su- 
periores, teniendo  cuidado  de  ir  reduciendo  los  resi- 
duos que  queden,  á  unidades  de  la  especie  inferior  in- 
mediata, i  agregarles  las  unidades  de  esta  especie  que 
tenga  el  dividendo. 

Ejemplo. — Averiguar  en  cuanto  tiempo  podrá  cami- 
narse una  legua,  suponiendo  que  20  se  caminan  en  25 
días,  8  horas,  12  minutos  i  Sé  segundos. 
Operación. 
25  dias.8  horasl2  mtos.3  segdos. 
residuo  5    ,, 
x  24  horas 


120+8—128  horas.  2.*  dividendo 
o    8      „ 
x60  minutos 


residuo    8 


20  leguas 
1  dia-6  horas 
24  minutos-36 
segundos,  — 0 
terceros. 


480+12=492  minutos,  3.er  dividendo 
residuo    12        ,, 
x   60 

720  +  3=723  segundos,*.0  divid.1' 
residuo    3        ,, 
x  60 

180  terceros,  5.#  divid.» 


-  i  8  3 

Luego  1  legua  se  camina  en  l  dia,  i  minu- 

tos, 36  segundos  i  9  terceros. 

256.  2.°  Caso.— Dividendo  in complejo  I 

piejo. 
Regla.—  Redúzcase  el  compl< 

nidad  principal,  i  queda  reducida 
dir  un  entero  por  un  quebrado. 

Ejemplo.— Averiguar  cuanto  ><• 
poniendo  que  en  8  años,  lo  nu 
$2580. 

Operación. 

$2580-t«(8  años— 10  meses  -22  d 
$1=$290,07. 

Luego  en  un  año  se  ganan  7  renfaToa. 

257.  Tercer  caso.—  Dividendo  i  di.  tipejos. 

Regla. — Redúzcanse  el  dividendo  i  divisor  á  que- 
brados de  la  unidad  principal,  i  queda  reduciría  ?a  o- 
peracion  á  dividir  un  quebrado  por  ot 

Ejemplo. — Averiguar  en  cuanto  tfei 
agua  un  decámetro  cúbico,  suponñ 
tros3,  25  metros* i  20  decímetros  m  llenan  en  i  dia.  10 
horas  i  15  minutos. 

Opera*  i<> 

[1  dia— 10  horas  15  minutos]-: 
=^dedia^^dedecám 
—41  minutos— 4  segundos. 

Advertencia.— Fura  reducir  un  complejo  .al. 

redúzcase  á  quebrado  ordinario,  i  • 
cimal  según  sabemos. 

ELEVACIÓN  A    POTENCIA*. 

258.  Definición.— Potencia  de  un 

dncto  que  resulta  de  multiplicarlo  }■*  " 

mas  veces.  l 

División  de  las  potencias -Las  potei 
en  grados:  así,  hai  potencias  de  2. c  cuadrados; 

de  3.er  grado  6  cubos;  d«  Hctiadradc 

C>.%  7.°,  etc.  grados. 


-13  4- 

Indicacion  de  una  potencia. — Para  indicar  la  po- 
tencia de  n n  número,  se  escribe  á  su  derecha  i  en  la 
parte  superior  otro  pequeño  número  que  se  llama  ex- 
ponente i  será  2,  3,  4,  etc.  según  que  se  quiera  indicar 
el  cuadrado,  cubo  cuarta  potencia,  etc.  Si  el  número 
se  compone  dedos  ó  mas  términos,  enciérrese  entre  pa- 
réntesis poniendo  afuera  el  exponente. 

El  exponente  indica  pues  el  grado  de  una  potencia,  i 
además  las  veces  que  el  número  cuya  potencia  se  bus- 
ca debe  repetirse  por  factor. 

La  primera  potencia  de  un  número  se  considera  que 
es  el  mismo  número. 

259.  Regla  general  pa*'a  hallar  la  potencia  cual- 
quiera de  un  número. — Eepítase  el  número  por  factor 
tantas  veces  como  unidades  tenga  el  exponente:  efec- 
túese el  producto  i  este  será  la  potencia. 

Ejemplos.— 1.°  Hallar  el  cubo  de  30. 
Resolución:  303=30  x  30  x  30=27000. 
2.°  Hallar  la  quinta  potencia  de  l. 
Resolución:  ["-  l5=-  xlxlxl  xlas  *y  . 

Llüj        1Q      1Q      1()      1Q      1()       100üüü- 

3.°  Hallar  el  cuadrado  de  2' 14. 

Resolución:  (2'  14)2=2'  14  X  2'  14=4'  5796. 

4.°  Hallar  el  cubo  de  2  meses,  4  dias. 

Resolución:    [2   meses,  4dias]3=[|  de  mes]8=|xwXM 

=:^-de  mes=9'meses,  21  dias,    6  horas,   30   minutos, 
24  segundos. 

260.  Tabla  de  los  cuadrados  i  cubos  de  los  números 
dijitos. 

1-2-3-4—  5  —  6  —  7  —  8  —  9  —  10 
Cuadrados  1-4-  9  -16—  2o  —  36  —  49  —  64  —  81  —  loo 
Cubos  1-8-27-64-125— 216-343— 512— 729— 1000 

Advertencia  — Esta  tabla  debe  Aprenderse  de  me- 
moria. 

261.  Cuadrado  de  la  suma  de  dos  cantidades.—  El 
cuadrado  de  la  suma  de  dos  cantidades  se  compone  de 
tres  partes  que  son:  cuadrado  de  la  primera;  doble  de 
la  primera  multiplicado  por  la  segunda  i  cuadrado  de 
la  segunda. 

Ejemplo.— [5  +  8]3=52+ 2.5  X8  +  8*. 
Según  esto,  el  cuadrado  de  todo  número  que  conste 
de  decenas  i  unidades  es  igual:  al  cuadrado  de  las  de- 


-135- 

cenas,  mas  duplo  de  las  decenas  multiplicado  \»>r  las 
unidades  i  mas  el  cuadrado  de  las  unula  i  -. 

Ejemplo.— 342=[3  decenas  +  4  anidada  ñas* 

+2x3  decenas  x  4  unidades+4  unid 

262.  Cabo  de  la  sumí  de  dos  cantidades.  — Y. 
de  la  suma  de  dos  cantidades  se  compone  < Im- 
partes que  son:  cubo  de  la  primera;  triple  del   cus  | 
do  de  la  primera  multiplicado  por  la  segunda;   triple 
de  la  primera  multiplicado  por  el  < 

da,  i  cubo  de  la  segunda. 

Ejemplo.- [4-f6]3=43  +  3.42x 6  + 3.4 xe'+fP. 

Según  esto,  el  cubo  de  todo  número  late  da 

decenas  i  unidades  es  igual:  al  cubo  de  las 
mas  el  triple  del  cuadrado  de  las  decenas  mnltiplir 
por  las  unidades,  mas  el  triple  de  las  decenas  mnltipli 
cado  por  el  cuadrado  de  las  unidades  i  mas  ,  I  o*] 
las  unidades. 

Ejemplo,— 1583=15  decenass+3. 1  ú\s?X&+- 

decenas  X  8  unidades2+8  unidades8. 

263.  Diferencia  entre  los  cuadrado  de  ¡os  números 
consecutivos. — La  diferencia  entre   los  cuadrado^ 
dos  números  consecutivos  es  igual  al  duplo  del  menor 
mas  1.  [1.] 

Ejemplo.— 15a— 142=2x  14  +  1=29. 

Problema.—  Conocida  la  diferencia  entre  los  cuadra- 
dos de  dos  números  consecutivos  encontrar  estos 
meros. 

Resolución.— Réstese  de  la  diferencia  dada  1  la 
mitad  del  resultado  será  el  número  menor.  Agregan- 
do al  menor  1  tendremos  el  mayor. 

Ejemplo.— Si  tenemos  dos  terrenos  cuadrados,  en 
que  el  uno  contiene  359  metros  cuadrados  más  que  f 
otro,  para  hallar  el  largo  de  cada  uno  reataremos  de  la 
diferencia  una  unidad,  i  la  mitad  de  358  que  ea  17» 
rá  el  largo  del  terreno  menor:  el  largo  del  mayor  asi» 
180 

En  efecto:  180'-1792= 32400-32041-359  diíew«da 

conocida.  _  ■ 

263.  Diferencia  entre  los  cubos  de  dos  numero*  co< 

(l)Llámanse  números  consecutivos  taque  se  dtfcreoeb» 

unidad  entera  como  7,  i  ?;  4':*  '  •"'  : 


-136- 

secultcos.-  La  diferencia  entre  los  cubos  de  dosnúme- 
rosconsecutivos  es  igual  al  triple  del  cuadrado  del  me- 
nor, mas  el  triple  del  mismo    número  menor  mas  1. 

Ejemplo.— lo3— 93=3x92+3x9+l=27l. 

2G4.  Proposiciones  acerca  de  las  potencias. — 1.a 
Lis  potencias  de  los  números  menores  qne  1,  son  siem- 
pre menores  que  1  i  van  decreciendo  á  medida  que 
crece  el  esponen  te. 

Al8Í,  considerando  el  número -que  es  menor  que  1, 
sé  verifica  que  Ií->[f02>[f08>p|0i>[f']5  etc,  siendo  todas 
estas  potencias  menores  que  la  unidad. 

2.a  Las  potencias  de  los  números  mayores  quel,  son 
siempre  mayores  que  1,  i  van  creciendo  á  medida  que 
crece  el  esponente. 

Así,  considerando  el  número  ~  que  es  mayor  que  1, 
se  verifica  que  1<[!]2<[1]3<[I]4<[L]5,  siendo  todas  es- 
tas potencias  mayores  que  la  unidad. 

3.»  El  producto  de  varias  potencias  indicadas  de  un 
mismo  número,  es  igual  á  este  mismo  número  con  un 
♦  'xponente  que  sea  la  suma  de  los  exponentes  de  los 
factores. 

Así,  43X  46  x  42=43-1-6-1-2— 411. 

4.a  El  cociente  de  dos  potencias  indicadas  de  un 
mismo  número  es  igual,  á  este  mismo  número  con  un 
esponente  que  sea  la  diferencia  entre  el  exponente  del 
dividendo  i  el  exponente  del  divisor. 

Así,  &+&=8^2=&% 

5.a  La  potencia  de  un  producto  indicado,  es  igual 
al  producto  délas  potencias  del  mismo  grado  de  cada 
uno  de  los  factores. 

Así,  [3x5x4]3=33.  58.  48. 

G.a  La  potencia  de  un  cociente  indicado,  es  igual  á 
la  potencia  del  dividendo  partida  por  la  potencia  del 
mismo  grado  del  divisor. 

Así,  [7  :  4]'=75  :  45;  [}]'=| 

7.a  La  suma  de  dos  cantidades  multiplicada  por  su 
diferencia  es  igual  al  cuadrado  de  la  primera  menos  el 
cuadrado  de  la  segunda. 

Así,  (5+4)  x  (5— 4)=52— 42. 


-   t:3'7  — 

<  8.»  Para  elevar  una  potencia  indi 
cia  se  multiplican  los  dos  esponentes  i  el  ; 
rá,  el  esponen  te  de  la  potencia  total. 
Asi,  el  cubo  de  la  potencia  indicada    I.Vw.i  imial 

á  m 

EXTRACCIÓN  Di:   RAICE 

265.  Definición  de  raíz.— Raiz  de  un  núm 
tro  número  que  elevado  á  una  potencia  cu; 

el  grado  déla  raiz  produce  el  numero  propaeai 

Así  pues,  raíz  cuadrada  6  cúbica   de  un  núm»-ro  6a 
otro  número  que  elevado  al  cuadrado 
duce  el  número  propuesto. 

266.  División  de  las  raices. — La  mo 
que  las  potencias  se  dividen  en  gia  -i.  hai  raicen 
de  2.°  grado  ó  cuadradas;  de  3."  grado  ó   • 

4.°  grado  ó  bicuadradas;  de  o.°  grado,  de  C.°  » 

267.  Indicación  de  las  raices. — Pftia    indicar   una 
raíz  se  usa  el  signo V  que  se    llama  signo  ra 
debiendo  colocar  el  número  cuya  raiz  s< 

de  la  línea  horizontal  del  mism 

la  raiz  en  la  parte  superior  del  angola 

El  número  que  indica  el  grado  Sal 
dice  radical,  i  puede  no  exprea  i  w  tnir. 

la  raiz  cuadrada. 

Ejemplos. — La  raiz  cuadi 
de  0'25,  i  la  de  octavo  grado  de 

pectivamente  como  sigue:  Vi5;   '  X    -       \ 

268.  Raiz  de  mi  producto  ¡a  de  un 
producto  indicado  es  igual  al  producto  de  las  raicea 
del  mismo  grado  de  cada  uno  dejosfa 

Así,  por  ejemplo:   V4.1U5— V4 

269.  Raiz  de  un  cociente  ral»  de  un 
cociente  indicado  es  igual  á  la  raiz  del  <ii\  uiendo  partí 
da  por  la  raiz  del  mismo  grí             divisor. 

Así,  por  ejemplo:  VisTT— V  :  \ 

270.  Raices  de  los  números  ma //ores ó  menores  que 
1.— Las  raices  de  los  número*  mayores  que  1  so»  ma- 
yores que  1  i  menores  que  los  mismoa  núm» 


-138- 

Así  la  raíz  cúbica  de  8  que  es  mayor  que  1  es:  l.°> 
1,  i  2.°<8. 

Las  raices  de  los  números  menores  que  1  son  menores 
que  1  i  mayores  que  los  mismos  números. 

Así,  la  raíz  cuadrada  de  |  que  es  menor  que  1  es:  1.° 
<1,  i  2.°>  l 

871,  Si  un  número  entero  no  tiene  por  raiz  exacta 
otro  número  entero,  tampoco  podrá  tener  por  raiz 
icta  un  número  fraccionario.  I  las  raices  que  no  pue- 
expresarse  exactamente  por  ningún  número  en- 
tero ni  fraccionario,  se  llaman  ratees  inconmensura- 
bles. 

Raiz  cuadrada  de  los  enteros. 

272.  Raiz  cuadrada  entera  de  un  número,  es  la  raiz 
cuadrada  del  mayor  cuadrado  contenido  en  dicho  nú- 
mero. 

Así  raiz  cuadrada  entera  de  29  será  la  del  número  25 
que  es  el  mayor  cuadrado  contenido  en  29. 

273.  Llámase  resto  ó  residuo  de  la  raiz,  la  diferen- 
cia entre  el  número  dado  i  el  mayor  cuadrado  conteni- 
do en  dicho  número. 

Así  el  residuo  de  raiz  cuadrada  de  38,  será  la  dife- 
rencia entre  38  i  36  que  es  el  mayor  cuadrado  conte- 
nido en  38 

La  diferencia  entre  la  raiz  cuadrada  total  de  un 
número  i  su  raiz  cuadrada  entera  es  siempre  menor 
que  1. 

Se  dice  que  una  raiz  es  exacta  cuando  al  extraerse 
no  deja  residuo,  i  que  es  inexacta  en  el  caso  contrario. 

274.  Para  extraer  la  raz  cuadrada  entera  de  los  nú- 
meros que  no  pasan  de  100  ni  bajan  de  1,  basta  apren- 
der de  memoria  la  siguiente  tabla: 

ViT   V¡7   V97    Yñ,   Y^   Y^   Vs;    Y^ 

1,         2,         3,  ii_     A_        6-  7>         8* 

V81,     VlOO, 

9,       10, 

Según  esta  tabla,  la  raiz  cuadrada  entera  de  2o  es  5; 
la  de  15  es  3;  la  de  60  es  8;  la  de  51' 14  es  7;  la  de  4  ?  es 
es  2;  etc. 

274.  Regla  para  extraer  la  raiz  cuadrada  de  los 
enteros  mayores  que  100. 


—  1  39- 

Divídase  el  número  en  porción»-*  .Ir   !    <    . 
fras  de  derecha  á  izquierda,  i  no  im 
ma  porción  tenga  solo  una  cifra. 

Hállesela  raiz  cuadrada  entera  de  la    pin. ■: 
cion  hacia  la  izquierda  i  así  se  tendrá 
de  la  raiz. 

El  cuadrado  de  esta  cifra  réstese  de  la  misma  | 
i  coloqúese  á  la  derecha  de  la  resta  la  ¡ 
te,  separando  en  el  número  que  resulte  la  última  cifm- 
déla  derecha. 

Lo  que  quede  á  la  izquierda  dividas-    por  ♦•!   .!• 
de  la  raiz  hallada. 

El  cociente  escríbase  á  la  derecha  de,  ese  doble,    i  si 
al  multiplicar  el  número  que  resulta,    por  ♦•!  c< 
hallado,  se  obtiene  un  producto  quepa 
dividendo,  inclusive  la  cifra  separad;),  dicho  < 
es  la  segunda  cifra  de  la  raiz.  Pero  si  dirh 
no  puede  restarse,  se  le  quitan  al  cociente  una  .'•  mas 
unidades  hasta  que  se  pueda  verificar  la  sol  fracción. 

Al  lado  de  la  resta    coloqúese  la  porción  siguiente: 
sepárese  la  cifra  de  la  derecha  i  divídase  lo  que  queda 
ala  izquierda  por  la  suma  del  divisor  anterior  modtt 
licado  con  su  cociente,  ó  sea  el  dobl«  de  la  raiz  hallada. 

El  cociente  se  comprobará  como  queda  dicho  i  se 
proseguirá  la  operación  del  mismo  modo,  basta 
haya  bajado  la  primera  porción  de  la  dereeha  i  SS 
trado  la  última  cifra  de  la  raiz  i  el  resida*»   mi-respon- 
diente. 

Ejemplo.—  Extraer   la    raiz   cuadrada    soten   ds 
RS42791. 

Disposición   DEL   OAL<  I  I 


V  5.84.27.91  2417JUÍZ 


18.4 

082.7... 

MO.1. 

Residuo  0902.. 


44  ^ 


481  \ 


1 


istr 


«WWW    w-^...j  i 

Explicación  de  la  operación.— -Dividido  »;1   número 
en  porciones  de  dos  en  dos  cifras  se  extrajo  la  i 
cuadrada  de  o  que  es  el  2.    El   cuadrado  de  esta  rali 


4 


-  1  4  O  - 

es  4  restóse  de  la  primera  porción  quedando  1  de 
iduo.  Al  lado  de  este  residuo  se  colocó  la  segunda 
porción  S4,  i  en  el  número  184  se  separó  la  cifra  de  la 
derecha,  dividiendo  lo  que  quedó  á  la  izquierda  por  el 
duplo  de  la  raíz  hallada.  A  la  derecha  de  este  duplo  que 
<*s  4  se  colocó  el  cociente  que  fué  también  4,  i  como  al 
multiplicar  ese  divisor  modificado  por  el  mismo  co- 
ciente, se  obtuvo  un  producto  que  pudo  restarse  de 
184,  resultó  ser  4  la  segunda  cifra  de  la  raiz  quedando 
8  de  residuo.  Al  lado  de  este  residuo  se  colocó  la  ter- 
cera porción  27;  i  en  el  número  827  que  quedó,  separó- 
se la  cifra  de  la  derecha,  dividiéndose  82  por  48  que  es 
la  suma  del  divisor  modificado  44  con  el  cociente  4  ó 
el  duplo  de  la  raíz  hallada  24.  A  la  derecha  de  dicho 
duplo  se  escribió  la  cifra  1  del  cociente,  i  como  al  mul- 
tiplicar este  cociente  por  el  divisor  modificado  481,  re- 
sultó un  producto  que  pudo  restarse  de  827,  se  dedu- 
jo ser  1  la  tercera  cifra  de  la  raiz,  quedando  de  resto 
346.  Al  lado  de  este  resto  colocóse  la  última  porción 
91,  i  en  el  número  resultante  34691  se  separó  la  cifra 
1  de  la  derecha  dividiéndose  3469  que  quedó  á  la  iz- 
quierda por  482,  suma  del  cociente  anterior  1  con  el 
divisor  modificado  481  i  cuya  suma  es  el  duplo  de  la 
raiz  hallada  241.  El  cociente  de  la  división  que  fué  7 
se  colocó  á  la  derecha  del  divisor  482,  i  como  al  multi- 
plicar dicho  cociente  por  el  divisor  modificado  4827  se 
obtuvo  un  producto  que  pudo  restarse  de  34691  resul- 
tó ser  7  la  cuarta  i  última  cifra  entera  de  la  raiz.  que- 
dando de  residuo  902. 

Advertencia.— Una  raiz  cuadrada  tiene  tantas  ci- 
fras cuantas  sean  las  porciones  en  que  se  descompon- 
ga el  número. 

Raiz  Cuadrada  de  los  decimales. 

27o.  Itegla.—Fam  extraer  la  raiz  cuadrada  de  un 
decimal,  procúrese  que  el  número  de  cifras  decimales 
sea  par,  lo  que  se  consigue  colocando  á  su  derecha  un 
número  impar  de  ceros  cualquiera.  Extráigase  en  se- 
guida la  raiz  como  si  el  número  fuera  entero,  separan- 
do en  ella  de  derecha  á  izquierda  tantas  cifras  para 
decimales  como  porciones  decimales  de  dos  cifras  ten- 
ga el  número  propuesto  modificado. 


-111 

Ejemplo.—  Extraer  la  raiz  < 
Calculo, 

V8'"Í4827,  —YWuM^v  :.«¡/ 


41.4 

303.2    .. 

2075.0  . 
Residuo    3G4  1  . 


8 

f>65  ¡- 

5 

o7()3  j» 


9 


Raiz   cuadrada  de  los  quemado*  comum 

276.  Regla.—  Para  extraer  la  raiz  cuadrada  da  un 
quebrado  común,  conviértase  el  quebrado  en  < 
decimal  i  procédase  en  lo  demás  como  la  re; 

Ejemplo.— Extraer  la  raiz  cuadrada 


Calculo. 


o'oiá  Rail 


181 


182:? 


V|    —  Vo,83,3».88 
28.8 

.V23.3 
Residuo  lo8  9  j 
Si  se  quiere  extraer  la  raiz  cuadrada  de  un  nii 
dúzcase  á  quebrado  i  quedará  referida  la  opera  ion  al 

caso  anterior. 

Si  se  quiere  extraer  la  raiz  de  un  número  complejo, 
redúzcase  á  incomplejo  de  su  especia  [atetar, 
demás  procédase  como  para  extraer   la  ra 
de  un  entero. 

Aproximación  de  la  raiz  cuadrada. 

277.  Regla.  Para  aproximar  la  raiz  cuadrada  de  un 
número,  continúese  la  operación  colocando  á  la  dere- 
cha del  último  residuo  i  de  los  demás  que  resulten. 
dos  ceros,    por  cada  cifra  decimal  que  se  quiera 
aproximación. 

Ejemplos.  1.»— Extraer  la   rail   COI 
proximándola  hasta  centésimas. 


-14  2- 

Calculo. 

2' 64  Raiz 


46 


524 


V7 

300... 

240.0. 
Residuo  30. 4. 

2.°  Extraer  la  raiz  cuadrada  de  0'4532  aproximándo- 
la con  dos  cifras  decimales  6  sea  hasta  diez  milésimos. 

Calculo. 

VO'45  32  .     .   .JO' 6731  Raiz 
93.2 W* 


0430.0 11343 


2710.0....  ¡13461 
1363  0....  i        1 

278.  Para  extraer  la  raiz  cuadrada  de  un  número 
con  un  error  menor  que  una  parte  alícuota  de  la  uni- 
dad, multipliqúese  dicho  número  por  el  cuadrado  del 
denominador  déla  parte  alícuota:  extráigase  la  raiz 
cuadrada  del  producto  i  divídase  dicha  raiz  por  el  mis- 
mo denominador  de  la  parte  alícuota. 

Ejemplo. — Extraer  la  raíz  cuadradra  de  8  en  menos 
de  li- 

Calculo. 


8 X ll2— 968;  Vo68==31,  luego  V&~  en  menos  de  l  *4J 

279.  Cuando  el  número  cuya  raiz  cuadrada  se  busca 
tuviere  muchas  cifras,  puede  encontrarse  aproximada- 
mente, extrayendo  la  raiz  del  número  hasta  hallar  más 
de  la  mitad  del  número  de  cifras  de  la  raiz,  dividiendo 
en  seguida  el  residuo,  por  el  duplo  de  la  raiz  hallada  i 
el  cociente  expresará  lo  que  falta  de  la  raiz. 

Ejemplo.— Extraer  la  raiz  cuadrada  de  15.72.48.10. 
20.34. 

La  raiz  de  este  número,   según   la  advertencia  del 


-14  3- 

parrafo  174  debe  tener  seis  cifras.  Hallando 
las  4  primeras  tendremos  3965  quedando  de 
35852034.  Dividiendo  ahora  este  residuo  por  798000, 
q  ue  es  el  duplo  de  la  raiz  halla  fcendVMMM  de  cociente 
entero  45, 

Luego  la  raiz  cuadrada  del  número  propuesto  será 
396545. 

280.  Prueba  de  la  raiz  cuadrada.— Tan  probar  la 
raiz  cuadrada,  súmese  el  cuadrado  del  número  qu* 
man  las  cifras  encontradas  en  ella  con  el  residuo  de  la 
misma,  i  la  suma,  si  la  operación  está  bien  hecha  debe 
dar  la  cantidad  subradical. 

Ejemplo.— Siendo  5' 56  la  raiz  cuadrada  de  31, 1  804 
el  residuo,  tendremos  que  [5' 56]*  +  864—31  6  sea  el  nú 
mero  propuesto. 

Observaciones.  1.»  Todo  número  que  termine  en  2, 
3,  7  ú  8,  ó  en  un  número  impar  de  ceros  ó  de  cifras  de- 
cimales no  puede  tener  raiz  cuadrada  exacta. 

2.»  La  raiz  cuadrada  de  un  número  que  exprese  Me- 
didas cuadradas  da  medidas  lineales. 

Problemas  de  raíz  cuadrada. 

281.  1.°  Un  comerciante  compró  por  la  lantida-i 
$16148' 35  cierto  número  de  metros  cúl>i<*<^  <1-   nv.n 
mol,  costando  cada  metro  tantos  pesos  como  metros 
se  compraron,  ¿cuántos  son  los  metros  comprados,  i 
cuánto  costó  cada  uno? 

2.°  Siendo  la  diferencia  de  dos  números  3,  i  la  dlf( 
rencia  de  sus  cuadrados  81,  |0nÜ6fl  BOU  «soe  do»  nú- 
meros?   •  „ 

3.o  Hallar  un  número  cuyos  sr  de  sus  1  dé  por  pro- 
ducto 3684. 

4.«  Un  campo  cuadrado  se  ha  sembrado  de  artx 
á  1  metro  de  distancia,  ¿cuántos  hay  en  cada  1 
poniendo  que  el  campo  tiene  189225  arbolea! 

5.°  Se  quiere  circunvalar  de  paredes  una 
cuadrada  que  tiene  1576  hectáreas  i  72  metros 
dos,  ¿qué  largo  deberá  tener  cada  pared! 

6.°  Hallar  dos  números  cuyo  producto  es  180  i  coya 
diferencia  es  3. 


—  14  4  — 

?.o  Si  la  altura  de  un  rectángulo  es  doble  de  su  base 
i  >u  área  de  68974  áreas  ¿cuáles  son  la  base  i  la  altura 
del  rectángulo? 

8t  Se  ha  enlozado  una  sala  cuadrada  con  1425  bal- 
dosas de  11  centímetros  por  lado  cada  una,  ¿cuántos 
mofóos  contiene  dicha  sala  por  lado? 

l).°  En  una  casa  hai  una  puerta  cuadrada  que  tiene 
9  varas  i  media  por  lado,  i  deseando  agrandarla  de  mo- 
do que  deje  pasar  el  triple  i  l  mas  de  luz,  ¿cuántas  va- 
ras por  lado  deberá  tener  la  nueva  puerta? 

Extracción  de  la  raíz  ciibica. 

282.  Llámase  raiz  cúbica  entera,  de  un  número,  la 
raiz  cubica  del  mayor  cubo  contenido  en  dicho  nú- 
mero. 

La  diferencia  entre  la  raiz  cúbica  total  de  un  nú- 
mero i  su  raiz  entera  es  menor  que  1. 

Residuo  de  la  raiz  cúbica  es  la  diferencia  entre  el 
número  propuesto  i  el  cubo  mayor  contenido  en  él. 

283.  Raiz  cúbica  de  los  enteros  que  no  pasan  de 
1000. — Para  extraer  la  raiz  cúbica  de  un  entero  que  no 
pase  de  100,  apréndase  de  memoria  la  siguiente  tabla: 

y~  v8t~  v2~  v^r  Vi~üt  v¿ir  v¿¡r 

1.  2,  3,  4,  5,  6,  7, 

8  3  3 


^512,     V729,     VlOOO. 
8,  9,         10. 

Según  esta  tabla,  la  raiz  cúbica  entera  de  30  es  3;  la 
de  500  es  7;  la  de  628  es  8,  la  de  12  es  2;  etc. 

284,  Raiz  cúbica  de  los  enteros  que  pasan  de  1000.- 
Regla.— Para  extraer  la  raiz  cúbica  de  un  entero  que 
pase  de  1000,  divídase  en  porciones  de  3  en  3  cifras  co- 
menzando por  la  derecha,  i  no  importa  que  la  primera 
porción  (le  la  izquierda  tenga  tres  cifras  cabales. 

Extráigase  la  raiz  cúbica  de  la  primera  porción  de  la 
izquierda  i  se  tendrá  la  primera  cifra  de  la  raiz. 

Réstese  el  cubo  de  esta  cifra  de  la  primera  porción, 
i  á  la  derecha  del  residuo  coloqúese  la  porción  siguien- 


—  1    t  ó  - 

te  separando  las  dos  primeras  cifras  d»*  la  derecha. 

Divídase  el  número  que  cjueda  á  la  i 
triple  del  cuadrado  déla  raíz  hallada,  i  <  »moelcoc 
te  que  resulte  puede  ser,  la   verdadera 
de  la  raiz  ó  mayor  que  ella,  se  com¡  dd  siguien- 

te modo:  á  la  derecha  del  triple  de  La  rail   hallada  co- 
loqúese dicho  cociente:  el  número  Que  ad  resolte  I 
tiplíquese  por  el  mismo  cociente:  el   prodn 
se  debajo  del  divisor  corriendo  dos  lu-ai 
recha  i  súmese  con  él:    multiplique!  una  poi 

mismo  cociente  iel  producto  réstese  del  residuo  ai 
rior:  si  la  sustracción  puede  verificarse,  <li 
es  la  2.a  cifra  de  la  raiz,  i  sino,  rebjí 
una  ó  más  unidades  hasta  que  dicha  su*i 
practicarse. 

Debajo  de  la  suma  efectuada  anteriora 
quese  el  cuadrado  de  la  última  cifra  de  la  i 
se  este  cuadrado  con  las  dos  cantidad»^ 
roa  de  él.  Al  lado  del  residuo  que  dejó  la  í.«  cifra. 
lóquese  la  porción  siguiente  del  nún. 
sepárense  las  dos  cifras  de  la  derecha,    i   divida^ 
que  queda  á  la  izquierda  por  la  suma  qii 
dicarse:  el  cociente  se  comprobará  lo  mism 
i  se  continuará  la  operación  de  un  modo  nn 
ta  que  se  haya  bajado  la  última  porción  del   número  i 
encontrado  el  residuo  i  la  cifra  de  unida  Les  «b*  la  rail. 

Ejemplo.— Extraer  la  raiz  cúbica  de  56402W' 

Calculo. 


V564.021.yu4.. 

S2G  Kaiz 

512 
520.21 

192 

484 
19684 

4 

126533.64.. 

20172 

14790 

Residuo  461388... 

2031996 

M8  •  i 
«9 


846(5*6 


xr. 


Explicacionde  la  operación.—  Dividido  el  númeto 


—  1   4  6- 

,-ii  porciones  de  tres  en  tres  cifras  de  derecha á  izquier- 
da, se  extrajo  la  raiz  cúbica  entera  de  la  primera  por- 
<  ion  de  la  izquierda  ¿564.  Dicha  raiz  que  es  8  es  la  pri- 
mera cifra  de  la  raiz  de  todo  el  número  propuesto. 

El  cubo  de  8  que  es  512  restóse  de  la  primera  por- 
ción de  la  izquierda:  á  la  derecha  del  resto  52  se^  colo- 
có la  porción  siguiente  021,  separando  en  el  número 
52021  las  dos  cifras  de  la  dereeha;  lo  que  quedó  á  la 
Izquierda  es  decir  520  dividióse  por  192  triple  del  cua- 
drado de  8  que  es  la  raiz  hallada. 

El  cociente  de  esta  división  que  es  2  ensayóse  para 
raiz,  escribiéndolo  aparte  á  la  derecha  del  triple  de  la 
raiz  hallada:  el  número  242  que  así  resulta,  multipli- 
cóse por  el  mismo  cociente,  i  el  producto  484  fué  suma- 
do con  el  divisor  anterior  corriendo  dos  lugares  hacia 
la  derecha.  La  suma  39684  multiplicóse  por  el  mismo 
cociente  i  el  producto  restóse  mentalmente  del  dividen- 
do modificado  52021:  como  esta  resta  pudo  verificarse 
estuvo  bien  2  para  segunda  cifra  de  la  raiz. 

Para  encontrar  la  tercera,  se  colocó  á  la  derecha  del 
resto  anterior  12653,  la  porción  siguiente  del  numere 
propuesto  que  fué  364,  i  en  el  número  12653364  que  a- 
sí  resulta,  separóse  Jas  dos  cifras  de  la  derecha.  Lue- 
go se  escribió  debajo  de  la  suma  anterior,  el  cuadrado 
de  la  segunda  cifra  de  la  raiz  el  cual  es  4,  i  se  sumó  és- 
te con  las  dos  cantidades  escritas  encima  de  él.  La  su- 
ma 20172  sirvió  de  divisor  al  número  126533  que  que- 
dó anteriormente  después  de  haber  separado  en 
12653364  las  dos  cifras  de  la  derecha. 

El  cociente  de  esta  división  que  fué  6,  ensayóse  pa- 
ra la  raiz,  escribiéndolo  aparte  á  la  derecha  de  .246  que 
es  el  triple  de  la  raiz  hallada:  el  número  2466  que  asi 
resulta  multiplicóse  por  el  mismo  cociente  i  el  produc- 
to sumóse  con  el  divisor  anterior  20172  corriendo  dos 
lugares  hacia  la  derecha,  La  suma  2031996  fué  mul- 
tiplicada por  el  mismo  cociente  6,  i  el  producto  resta- 
do mentalmente  del  dividendo  anterior  mas  las  dos  ci- 
fras separadas  ó  sea  del  dividendo  modificado  12653364; 
como  esta  resta  pudo  verificarse,  estuvo  bien  6  para 
tercera  cifra  de  la  raiz.  I  no  habiendo  más  porciones 
que  bajar  del  número  propuesto,  tenemos  que  su  rail 
cúbica  es  826,  quedando  de  residuo  461388, 


-147- 

Advertencia,— Una  raiz  cúbica  tona  tantán  Hfraa 

cuantas  sean  las  porciocioiH's  »mi  qn.'  s»«   .1 
el  número. 

Raiz  cúbica  de  lo*  décima  l<  - 

285.  Begla,—  Para  extraer  la  raiz  cúbica  üt  na  de- 
cimal, procúrese  que  el  número  de  sus  cifi 
les  sea  divisible  por  3,  lo  que  se  coi  ^regand- 

no  ó  mas  ceros  á  la  derecha.  Extráigase  en  seguida  la 
raiz  como  si  el  numere  fuera  entero 
de  derecha  á  izquierda,  tantas  cifras  para  derima)** 
como  porciones  decimales  de  tres  cifras   tenga   ♦•! 
mero  propuesto  modificado. 

Ejemplo.— Extraer  la  raiz  cúbica  da  96*148ttl4 

Calculo. 


V25'1435214=V25'143,521.400 
8 
171,43 

12 

r.2i 

1821 
81 

07545.21.... 

9098 

1744 

264044 
4 

2464334.00.. 

2.V»7i»2 

7Si»21 

Residuo....     115103  11.. 

25658121 

I 

MI  •  I 


Raiz  cubica  de  los  quebrado-  roiiuim 

286.  Xeala.-Fara  extraer  la  raiz  ; '! ic^™  ^J* 
brado  común,  conviértase  en  decimal,  i  P"><*M 
pues  extrayendo  la  raiz  cúbica  de  la  cantidad 

que  resulte. 


-148- 
Ejemplo.— Extraer  la  raiz  cúbica  del  quebrado  |, 

Calculo. 

V"|"  —Vo'  688888889  =0'883. 

287.  8¿  se  quiere  extraer  la  raiz  cúbica  de  un  núme- 
ro mixto,  redúzcase  á  quebrado  ordinario  i  quedará 
reducida  la  operación  al  caso  anterior. 

Si  se  quiere  extraer  la  raiz  cúbica  de  un  número 
complejo  redúzcase  á  incomplejo  de  la  última  especie, 
i  en  lo  demás  procédase  como  para  extraer  la  raiz  cú- 
bica de  un  número  entero. 

Aproximación  de  la  raiz  cubica. 

288.  Regla.—* Para  aproximar  la  raiz  cúbica  de  un 
número,  continúese  la  operación  colocando  á  la  dere- 
cha del  último  residuo  i  de  los  demás  que  resulten, 
tres  ceros  por  cada  cifra  decimal  que  se  quiere  de  a- 
proximacion. 

Ejemplos:  1.°— Extraer  la  raiz  cúbica  de  11  aproxi- 
mada hasta  centésimas. 


Calculo. 

s 

Vil 

2' 22    Raiz 

8 
90.00 

....62x2 
12 

124      ) 

1324      \ *3 

3520.00 

1452         ...662X2 
1324[ 

Residuo  59652 

146524)  *2 

2.  •  Extraer  la  raiz  cúbica  de  0' 154829,   aproximan 
dola  con  dos  cifras  decimales  ó  sea  hasta  diezmilési- 


mas. 


-  1 

1  «>_ 

Ca] 

3 

Vo' 154.829 

298.29 

59520.00.. 

8383440.00 
io 613415.91 

LCULO. 

0'5369 

Raiz 

1 
j  •••• 

1 
¡ 

75 

' 

451  í 

7959 
9 

■ 

8427 

. .   UQ6  •♦» 

9576 

852276 
36 

■ 

861888 

..16069X9 

144801 

Residí 

86333601 

289.  Para  extraer  la  raíz  cúbica  de  un  número  ea 
menos  de  una  parte  alícuota  cualquiera  de   la  unidad, 
multipliqúese  dicho  número  por  el  cubo  d»*l 
nador  de  la  parte  alícuota:   extráigase  la  raiz  cúbica 
del  producto  i  divídase  esta  raiz  por  »] 
nador  de  la  parte  alícuota. 

Ejemplo. — Extraer  la  miz  cúbica  de  15  en  m*n«i* 


del., 

5 


Calculo. 


V  15  en  menos  de  \  =Vi5x58  :  5=  V 1875  :  6=?-** 

290.  Prueba  de  la  raiz  cúbica.— Para  probar  la  núi 
cúbica,  súmese  el  cubo  del  número  que  forman   1** ci- 
fras encontradas  con  el  residuo  de  la  misma  rali,  l 
suma,  si  la  operación  está  bien  hacha,  debe  dar  la  can- 
tidad subradical. 

Ejemplo.— Siendo  20  la  raiz  cúbica  entera  de  913 
i  1131  el  residuo,  tenemos  que  90H-1 131—9131   osea 
el  número  propuesto 

291.  Problema.— Conocida  la  diferencia  catre 
cubos  de  dos  números  consecutivos  encontrar  este* na- 
meros.  .         ,  , 

Resolución— téstese  de  la  diferencia  dada  l;  ei  re- 


-150- 

M(luo  divídase  por  3  i  la  raiz  cuadrada  del  cociente  es 
el  inmuno  menor:  el  mayor  será  este  mismo  número 
menor  mas  1. 

Ejemplo.— Supongamos  que  hai  dos  pilas  en  forma 
cúbica:  que  la  una  contiene  91  metros  cúbicos  de  agua 
más  que  la  otra  i  que  se  desea  saber  la  profundidad  de 
nula,  cual. 

Resolución.—  Restando  de  91  una  unidad  queda 
90:  sacando  la  tercera  parte  90  queda  30;  i  la  raiz  cua- 
drada entera  de  30  es  5,  luego  la  pila  mas  pequeña  tie- 
ne 5  metros  de  profundidad,  i  la  mas  grande  6  metros. 

En  efecto  68-58=216  m8-125  m8=91  m8,  diferencia 
conocida. 

Problemas  de  raiz  cúbica. 

292.-1.°  Un  artillero  tiene  tres  balas  de  diferente 
tamaño-  la  primera  de  5  centímetros  de  circunferencia, 
la  segunda  de  8  i  la  tercera  de  10. 

Queriendo  hacer  una  sola  bala  de  las  tres  ¿cuál  será 
la  lonjitud  de  la  circunferencia  de  dicha  bala? 

2.°  ¿Cuál  es  el  número  cuya  tercera,  cuarta  i  quinta 
parte  multiplicadas  entre  si,  dan  de  producto  158? 

3.°  ¿Cuánto  habrá  que  pagar  por  30  pares  de  zapatos 
sabiendo  que  el  precio  de  cada  par  es  tal,  que  los  |  de 
sus  1  de  sus  |  dá  un  producto  de  1530  pesos? 

4.°  Una  pila  de  forma  cúbica  contiene  16890  decali- 
tros ¿cuál  será  su  profundidad? 

5.°  Un  comerciante  compró  por  $164' 64  una  cantidad 
de  galletas  contenidas  en  varias  cajas:  cada  caja  con- 
tenía 3  veces  tantas  galletas  como  cajas  eran,  i  cada 
galleta  postaba  2  veces  tantos  centavos  como  cajas  ha- 
bía ¿cuántas  cajas  i  galletas  se  compraron? 

6.°  Averiguar  la  distancia  de  Marte  al  Sol,  sabiendo 
que  los  cuadrados  de  los  tiempos  que  emplean  los  as- 
tros en  sus  revoluciones  son  proporcionales  á  los  cu- 
bos de  sus  distancias:  que  Marte  verifica  su  revolu- 
ción en  686  dias,  22  horas,  14  minutos,  27  segundos  i 
que  la  Tierra  la  verifica  en  365  dias,  5  horas,  48  minu- 
tos, 45  segundos,  distando  del  Sol  158  millones  de  ki- 
lómetros próximamente. 

7.°  ¿Cuál  es  el  número  del  que  tomando  la  qninta 


—  1  5  1  - 

parte  de  su  cubo  da  por  resultado  16 

8.°  Hallar  un  número  cuyos  i  mulriplir.-idos  por  la 
mitad  de  su  cuadrado  dan  de  producto 
dependencia  de  Centro-Aniórica. 

Extracción  de  las  raices  de  erario  <»r  á  la 

cuadrada  i  <  líbica. 

293.  Las  raices  cuyos  Índices  se  compongan  solo  de 
factores  dos  ó  de  factores  tres  6  de  nmb 
traerse,  extrayendo  sucesivamente  del  número  la»  ral- 
ees que  expresen  los  factores  primoa  del  indio- 
4 

Así  y  n  será  igual  á  la  raiz  ooadrada  da  la  uta  .  ua- 

4    _  

áradada  de  N,  es  decir: V    n      Y  \    N 


La  Y   n  será  igual  ¿í  la  rail  cuadrada  de  la  rai 

Mea  de  N,  ó  á la  raiz  cúbica  de  la  rai/  <  u adrada  d» 

6  _  3  

es  deciriV   n  =V* =\'  v~  \ 

y  s 

Tanto  estas  raices  como  las  otras  cii\<»>   ni:.-    •. 
sean  múltiplos  solo  de  2  ó  3  ó  de  arabos,  poa 
traerse  por  medio  dei  cálculo  ordinari  •  n  ríala 

de  lo  dificultoso  que  es  encontrarlas  por  este  método» 
se  extraen  jeneralmente  por  medio  de  loa  logaritmo*, 
así  como  también  se  encuentran  las  potttffllat  de  gra- 
dos un  poco  crecidos. 

DE  LAS  RAZONES  Y   PltOI'OIM  IOM>. 

294.  Razón  es  el  cociente  de  dividir  un  número  por 
©tro. 

Términos  de  una  razón — La  raron  » 
términos  que  se  llaman  antecedente  i  consecuente.  An- 
tecedente es  el  número  que  sirve  de  dividendo  I  " 
cuente  el  que  sirve  de  divisor. 

Escritura  de  una  razo)u—Y<\\ 
coloqúese  el  antecedente  i  después  el  consecuente  i 
parados  por  el  signo  de  dividir  |  :  |  ■'»  mejor  por  la  rara 
áe  quebrado. 

Así  la  razón  de  15  a  4  se  indicará  :  f  •  »  1.» :  4. 

Lectura  de  una  rozón.— -Una  razón  se  lee  cumoqoe- 


1  »rado,  como  división  indicada,  ó  leyendo  primero  el 
antecedente  i  después  el  consecuente  interponiendo 
entrambos  las  palabras  es  á.       •  52f 

Así  la  razón  anterior  se  leerá:  15  cuartos,  15  dividi- 
do por  4  ó  15  es  á  4,  Leida  una  razón  como  quebrado 
es  mucho  mejor. 

De  lo  dicho  resulta;  que  razón,  división  indicada 
i  quebrado  significan  lo  mismo.  Por  consiguiente,  to- 
das las  propiedades  de  un  cociente  ó  de  un  quebrado 
son  las  que  corresponden  á  la  razón. 

295.  Proporción  es  la  igualdad  de  dos  razones. 

Así  ~=~  es  una  proporción,  que  también  se  escribe 
de  estos  otros  modos:  3  :  5=6  :  10,  ó  3  :  5::6  :  10. 

Los  cuatro  puntos  se  leen  como. 

El  primero  i  cuarto  término  de  una  proporción  se 
llaman  extremos,  i  el  segundo  i  tercero  se  llaman  me- 
dios. 

Cuando  los  medios  son  desiguales  la  proporción  se 
llama  discreta  i  cuando  son  iguales  se  llama  continua. 

296.  Formar  una  proporción. — Para  formar  una 
proporción  basta  poner  un  quebrado  que  sea  la  prime- 
ra razón  i  en  seguida,  para  formar  la  segunda  multi- 
pliqúense ó  divídanse  los  dos  términos  de  dicho  que- 
brado por  un  mismo  número. 

Así  por  ejemplo,  si  tenemos  el  quebrado  ±  para  la- 
primera  razón,  la  segunda  será  ~  bervi-gracia,  i  la  pro- 
porción, \~\. 

Si  es  una  proporción  continua  la  que  quiere  formar- 
se, escríbase  un  número  cualquiera,  multipliqúese  por 
otro  i  el  producto  multipliqúese  por  este  otro.  El  nú- 
mero dado  i  el  segundo  producto  formarán  los  ex- 
tremos i  el  primer  producto  será  el  medio  continuo 
proporcional. 

Así  por  ejemplo,  si  tenemos  el  número  4  i  lo  multipli- 
camos por  3  nos  da  12  i  si  este  producto  lo  multiplica- 
mos también  por  3  nos  dá  36:  luesro  la  proporción  con- 
tinua será  i=£ 

Propiedades  de  las  proporciones. 

297.  Las  principales  propiedades  de  las  propor- 
ciones son  las  siguientes: 


—  15  8  — 

1.a  El  producto  de  los  extremos  es  igual  al  i 
de  los  medios. 

En  efecto,  siendo  la  proporción  }— • ,  si  reducimo» 
ambos  quebrados  á  un  común  denominada  Midremo» 
-fts  "~4r-r«  lueg°  3-8    producto  de  r,  4 

v|>roducto'de  medios. 

\\Cuando  la  proporción  es  continua,   el   producto  de 
extremos  es  igual  al  cuadrado  del  término 

En  efecto,  siendo  la  proporción!— i,  por 

lo  dicho  antes  que  3.12=6.6,  ó  3.12— (rVVX 

2.a  Con  dos  productos  iguales  se  puede  formar  pro- 
porción, poniendo  por  extremos  los  factores  de  un 
producto,  i  por  medios  los  factores  del  otro. 

Así  por  ejemplo,  siendo  5X6=-3X10,  se  puede  sacar 
la  proporción  |=™. 

3.a  Un  extremo  se  encuentra  multiplicando  los  me- 
dios i  dividiendo  el  producto  por  el  otro  e\ 

Si  por  ejemplo  tenemos  !r=~,  X  será  igual  n 
6=14. 

4.»  Un  medio  se  encuentra  multiplicando  loe  extre- 
mos i  dividiendo  el  producto  por  el  otro  raed  i 

Si  por  ejemplo  tenemos  |=5?,  m  será  ignal  á  1 1 

5=6. 

Üuándo  la  proporción  es  continua,  el  termino  medio 
es  igual  á  la  raiz  cuadrada  del  producto  de  los  e\ 
mos. 

Si  por  ejemplo  tenemos  la  proporción  contintm| 
es  claro  que  siendo  5.20— 102,  se  verifica  q*e  i'»— Wls 

Transformación  de  las  proporción 

298.  Las  principales  transformaciones  de  las  pio- 
porciones   son  las  siguientes: 

1.a   Una  proporción  no  varía,  aumiue  ee  tartán 
altere  el  orden  de  sus  términos  con  tal  que  el  pro 
de  los  extremos  sea  igual  al  producto  de  loe  med 

Según  esto,  puede  ponerse  la  secunda  r»ion  en  < 
de  la  primera;  los  medios  en  vez  de  extremos  1  nct 
versa;  mudar  el  lugar  de  los  medios  1  el  logar  «le  KM 
extremos. 


—  1  5  4  — 

Así  por  ejemplo,  si  tenemos  la  proporción  f=i,  se 
puede  transformar  en  las  siguientes: 

«  8  . 

8         f  1 

3  4  . 

%         §*» 

8  6  . 

i         SI 

4  3  . 

8*        61 


3* — ¡rí  etc.,  etc. 
2.a  En  toda  proporción  se  verifica:   que  la  suma  ó 
•diferencia  de  los  antecedentes  es  á  la  suma  ó  diferen- 
cia deles  consecuentes,  como  un  antecedente  es  á  su 
•consecuente. 

Así  por  ejemplo,  siendo  la  proporción  §-=-,   se  ve- 
rifica: 

4+8  4  .  4—8  4 
9  +  10~9,  19— 18~~  9 
3.1  En  toda  proporción  se  verifica:  que  la  suma  ó  di- 
ferencia del  antecedente  i  consecuente  de  la  primera 
razón  es  al  antecedente  6  consecuente  de  la  misma,  co- 
mo la  suma  6  diferencia  del  antecedente  i  consecuente 
de  la  segunda  razón  es  el  antecedente  ó  consecuente 
de  la  misma. 

Así  por  ejemplo,  siendo  la  proporción  |=~,    se  ve- 
rifica: 

3  +  5    9  +  15   .3  +  5    9+15  . 
~dT^~d~'  °  ~5~="15~  ? 

3-5    9-15  ó  3—5    9—15 

3    T      9     '        5  15 

4.a  En  toda  proporción  se  verifica:  que  la  suma  de 

antecedente  i  consecuente  de  la  primera  razón  es  á  su 

diferencia,  coma  la  suma  de  antecedente  i  consecuente 

de  la  segunda  razón  es  á  su  diferencia. 

Así  por  ejemplo,  siendo  la  proporción  $=1,    se  ve- 
rifica: 

2+3      6+9 
2— 3~~  6—9 


—  i  r>  5  — 

5.a  En  toda  proporción  pueden  hacerse  las  opera 
ciones  siguientes  sin  que  deje  de  haber  propon- i 

l,a  Multiplicar  6  dividir  los  cuatro  trrminoa  por  un 
mismo  número. 

2.»  Multiplicar  ó  dividir  los  términos  de  una  sola  de 
las  razones  por  un  mismo  número. 

3.»  Multiplicar  ó  dividir  los  antecedentes  ó  los  con- 
secuentes por  un  mismo  número. 

4.a  Elevar  á  una  misma  potencia  ó  extraer  la  rail 
del  mismo  grado  de  todos  los  términos  de  la  propor 
cion. 

Así,  suponiendo  que  la  proporción  s»a         ';•  '••: 
mos: 

o    16X8     64  X3  .  16  :  3_  64  ;  3 
25X3-  100X3'     25  :  3    100  :  3 

9  •    lQ^l-®í    i  16  :  7_  M 
25X7~~100'     25:7     loo 

4>0    16X4    64X4   .  16M_64jJóJ«_ 

*      ~^~1(KP      ~25~   =  100       24x2      IV¡¡¡*¥ 

16  64 

25  :  2     100  :  ¡ 

8  • 

16s        64*      .  V  l»  __\_gj 

'  Visir  jfá  v  i 

r 

Comparación  de  las  propon  lonc* 

299  1  a  Si  dos  proporciones  tienen  una  raion  común. 
con  las  razones  no  comunes  se  puede  formar  piapo 

cion.  »     •  i  •     u 

Así  por  ejemplo,  siendo  las  proporciones  r-B  •  r-f> 

es  evidente  que  ^— g, 

2.a  Si  dos  proporciones,  tienen  los  mismos* 
6  medios,  con  los  medios  ó  extremos  restante 
de  formar  proporción,  poniendo  V^r  exmmM  we« 
tremos  de  la  una  i  por  medios  los  extremos  de  la  OH». 


-lo  6  — 

Así  por  ejemplo,  siendo  |=|  i  ~=~,  se  verifica: 

1Ó~20 

3.*  Si  dos propore iones  tienen  iguales  antecedentes 
6  consecuentes,  con  los  consecuentes  o  antecedentes 
restantes  se  puede  formar  proporción. 

Así  por  ejemplo,  siendo  las  proporciones  |.=1?  i  J— j? 
que  tienen  iguales  antecedentes  se  verificará: 

JL_4 
12~13 

Siendo  las  proporciones  1=^  i  ¿— ~  que  tienen  igua- 
les consecuentes  se  verificará: 

6 4 

"Í2=8 
4.»  Si  varias  proporciones  se  multiplican  ordenada- 
mente, los  productos  que  resulten  forman  proporción. 
Así  por  ejemplo,  si  tenemos  la  proporción  -§— |-i  1=1 

i  las  multiplicamos  término  por  término  resultará  la 
proporción. 

2x4     6x  8  j  J3_     48 
3x7~9xl4U  21=126 
Serie  de  razones  iguales  es  la  igualdad  de   tres  6 
más  razones. 

5.»  En  toda  serie  de  razones  iguales  se  verifica  que 
la  suma  ó  diferencia  de  los  antecedentes  es  á  la  suma 
ó  diferencia  de  los  consecuentes,  como  un  antecedente 
á  su  respectivo  consecuente. 

Así  por  ejemplo,  si  tenemos  la  serie  de  razones 
*— r=s=rHa  se  verifica: 

2+4+8+6+20    2   .  2-4-8-6-20      2 
3  +  6  +  12  +9  + SO"?      3-6-12-9-30  ~3 

300.  Conocida  la  suma  ó  diferencia  de  un  medio  i 
un  extremo  que  se  suponen  incógnitos  en  una  propor- 
ción, hallar  sus  valores. 

Resolución.— Sea  la  proporción  |°=|,  i  supongamos 
queX+Z=30iZ— X=fí. 

En  virtud  de  propiedades  anteriormente  vistas  se 
virifica. 


—  15  7  — 


10  +  6     10  .  10  +  0     6    .  t  .      . 
Z+X^Z      Z  +  X^V  X        mismo  modo 

10-6    30  .  10-6      e 

z-x-  z    z=3T"i 

Sustituyendo  encada  proporción  él  valor  fa  /. 
de  Z— X  tendremos: 

H>  iHh'ir'"Fi  45-=4'de  lí,s  (>uaI*'s  podemm  I 
mente  hallar  los  valores  de  Z i  de  .Y. 

DE  LA  REGLA  DE  TRES 

301.  Defi?iic  ion.— Regla  de  tres  ó  regla  d»-  <»ro,  es  la 
que  enseña  á  conocer  un  número  por  las  relaciones  de 
proporción  que  tiene  con  otros  numen.»  d  I 

Objeto  de  la  regla  de  tres.— ha   regla    . 
pues  por  objeto,  resolver  los  problemas  «pi.-  dependen 
de  una  ó  mas  proporciones. 

División. — La  regla  de  tres  se  divide  en  simp' 
compuesta. 

Es  simple  cuando  solo  se  dan  tres   <  antidades  cono- 
cidas i  una  incógnita,  i  es  compuesta  ouai 
mas  de  tres  cantidades  conocidas  i  una  incógnita. 

En  una  regla  de  tres  simple  se  llama  primer  data* 
3a  primera  cantidad  i  primer  resultado  el  término 
es  de  la  especie  de  la  incógnita.  De  igual   mam 
gundo  dato  es  la  cantidad  de  la  misma  especie  del  | 
mer  dato,  i  segundo  resultado  es  la  incógnito  ó  canti 
dad  que  se  busca. 

302.  División  de  la  regla  de  tres  sim¡>l( .  -  I-i  n*gla 
de  tres  simple  se  divide  en  directa  ó  inversa*  £e dilec- 
ta, cuando  aumentando  ó  disminuyendo  .-1  secundo 
dato  aumenta  ó  disminuye  el  segundo  resultado,  es 
decir:  cuando  de  más  dá  más  ó  Hémenos  dá  me%"  • 
en  inversa  cuando  aumentando  ó  disminuyendo  d  se- 
gundo dato  disminuye  ó  aumenta  el  segando  resaltado 
es  decir:  cuando  de  más  dá  menos  ó  de  menos  dá  wsúa 

Ejemplos.—  1.°  La  cuestión  siguiente:  si  con  140  se 
pueden  comprar  8  qq.  de  café,  con  *7f>  ¡cuántos  se 
comprarán?  es  un  problema  de  regla  de  tres  directa, 
porque  con  más  pesos  es  evidente  que  se  compran  mas 


-15  8- 

quin tales  i  con  menos  pesos  menos  quintales. 

2.°  La  cuestión  siguiente:  si  10  hombres  hacen  una 
obra  en  8  dias,  15  hombres  en  ¿cuantos  dias  la  harán? 
es  un  problema  de  regla  de  tres  inversa  porque  mas- 
hombres  tardan  menos  tiempo  en  hacer  la  obra,  i  me- 
nos hombres  mas  tiempo. 

Svpuesto  i  pregunta. —-Be  llama  supuesto  en  un  pro- 
blema de  regla  de  tres,  todas  las  cantidades  que  escri- 
tas en  fila  horizontal  no  contienen  la  incógnita,  i  pre- 
gunia  las  cantidades  que  escritas  de  igual  manera  sí 
contienen  la  incógnita. 

Ejemplo.— En  la  cuestión  siguiente:  si  en  6  dias, 
trabajando  8  horas  diarias  se  caminan  120  leguas,  en 
15  dias,  trabajando  8  horas  diarias  ¿cuántas  leguas  se 
caminarán?  tendremos  que  el  supuesto  de  la  cuestión 
será:  6  dias,  8  horas  diarias,  i  120  leguas  i  la  pregunda: 
15  dias,  3  horas  diarias,  i  X  leguas. 

Procedimiento  jeneral  para  resolver  la  regla 
de  tres  simple  i  compuesta. 

303.  Coloqúense  los  términos  del  supuesto  de  mane- 
ra que  se  correspondan  con  sus  homojéneos  de  la  pre- 
gunta. 

Escríbase  la  raya  de  quebrado  i  encima  siempre,  el 
término  principal  de  la  cuestión  que  es  el  de  la  espe- 
cie de  la  incógnita. 

En  seguida  relaciónense  cada  dos  términos  homojé- 
neos con  el  principal  de  la  cuestión,  como  si  se  enun- 
ciasen reglas  de  tres  simples;  i  cuando  el  resultado  de 
más,  se  pondrá  el  mayor  de  los  dos  términos  homojé- 
neos relacionados,  encima  de  la  raya,  i  el  menor  deba- 
jo; i  cuando  el  resultado  dé  menos,  se  pondrá  el  menor 
encima  i  el  mayor  debajo. 

Interpóngase  después,  entre  cada  término  del  nume- 
rador i  denominador  del  quebrado  que  así  resulte  el 
signo  de  multiplicar. 

Simplifíquese  dicho  qnebrado,  i  su  valor  será  el  de 
la  incógnita  que  se  propone  en  la  cuestión. 

Ejemplos. 

304.  1.°  Averiguar  cuanto  cuestan  35  quintales  de 


-15  9- 

café,  suponiendo  que  4 cuestan  -ís  : 

Resolución  í    *  «--$48  )  x  =  48x35_  1**35*^ 

Para  resolver  esta  cuestión,  colocamos  encima  de  la 
raya,  el  término  48  que  es  el  principal 
Luego  dijimos:  si  4  qq.  cuestan  $48  es  claro  que  85  qq. 
costarán  mas\  se  colocó  entonces  el  mayor  Damero  ae 
los  quintales  encima  de  la  misma  raya 
bajo,  resultando  el  quebrado  del  máijVn,  qqe 
cado  dio  $420  para  valor  de  los  35  qq, 

2.°  Averiguar  cuantos  dias  necesitan    LA   hombree 
para  levantar  una  pared,  suponiendo  que  -'" 
tan  en  30  dias. 

Resolución  j  *  hombres-3()  dias  i  x 

50  dias. 

Para  resolver  esta  cuestión,  colocamos  encima  de  la 
raya  30,  que  es  el  término  principal  de  la  cuestión. 
Luego  dijimos:  si  25  hombres  hacen  la  pared  en  80 
dias,  15  nombres  la  harán  en  mas  dias.  Pusimos  pues, 
el  mayor  numero  de  hombres  encima  de  la  i 
ma  raya  i  el  menor  debajo,  resultando  el  quebrado 
márjen,  que  simpliñcado  dio  50  ó  sea  el  número  de  días 
en  que  15  hombres  hacen  la  pared. 

3.°  Averiguar  cuantas  piezas  de  papel  se  necesitan 
para  tapizar  una  pared  que  tiene  de  largo  15  raras;  de 
ancho  10  i  de  grueso  2,  suponiendo  que  50  pieías  al- 
canzan para  otra  pared  de  20  varas  de  largo,  6  de  an- 
cho i  3  de  grueso. 

Resolución  j  *>  *  L~  ¡¡  *  «-J  *  ■*?  Ple"8 1  X- 

50x15x10x2    5x5x5  _A1  ,    .       s< 
*É*   6x3  3 

/Para  resolver  esta  cuestión  escribimos  encima  de  la 
raya  de  quebrado  el  término  50  que  es  el  principal. 
Luego  relacionamos  sucesivamente  el  largo,  ancl 
grueso  de  la  pared  con  50  piezas  diciendo:  si  teniena< 
20  varas  de  largo  se  necesitan  50  piezas,  teniendo  1 
necesitarán  menos  piezas;  ponemos  pues,  15  menor 
largo  encima  de  la  raya  i  80  debajo. 


-160- 

Si  teniendo  6  varas  de  ancho  se  necesitan  50  piezas 
teniendo  10  se  necesitarán  mas  piezas;  ponemos  pues 
10,  mayor  ancho,  encima  de  la  raya  i  6  debajo. 

Finalmente,  si  teniendo  3  varas  de  grueso  se  necesi- 
tan 50  piezas,  teniendo  2  se  necesitarán  menos  piezas-, 
ponemos  2,  menos  grueso  encima  de  la  raya  i  3  debajo. 

Colocando  en  seguida  entre  cada  término  del  nume- 
rador i  denominador  del  quebrado  el  signo  de  multi- 
plicar, i  simplificando  después  dicho  quebrado  se  en- 
contró 41f  que  es  el  número  de  piezas  que  resuelve  la 
cuestión. 

Advertencias. — 1.»  Cuando  en  el  supuesto  ó  en  la 
pregunta  haya  números  complejos  redúzcanse  á  incom- 
plejos á  efecto  de  que  cada  dos  términos  homojéneos 
expresen  unidades  de  un  mismo  orden. 

2.a  Cuando  en  algún  término  del  quebrado  que  re- 
sulte haya  decimales,  coloqúense  á  la  derecha  de  cual- 
quier factor  del  otro  término  tantos  ceros  como  cifras 
decimales  haya. 

3.*  Cuando  en  el  supuesto  ó  en  la  pregunta  haya 
quebrados  comunes,  redúzcanse  de  antemano  á  deci- 
males, i  procédase  en  lo  demás  como  si  fueran  enteros. 

A  continuación  ponemos  por  via  de  ejercicios,  i  con 
los  quebrados  que  dan  las  soluciones  respectivas  los 
siguientes: 

Problemas  ele  regla  de  tres. 

305.  1.°  Si  un  viajero  camina  6  leguas  en  5  horas 
¿cuántas  caminará  en  12  horas? 

5  horas— 6  leguas  )  v  _6><12 
12     „    -X    „      )X— f- 

2.#  Si  una  plaza  sitiada  tiene  víveres  para  30  dias,  %k 
cuanto  deberá  reducirse  la  ración  de  cada  individuo, 
suponiendo  que  el  sitio  dure  45  dias? 

30  dias— 1  ración  )  o   _1  x  30 
45    „  -X  \  &  —45- 

3.#  Si  una  fuente  arroja  75  litros  de  agua  en  12  mi- 
nutos i  10  segundos  ¿cuántos  litros  arrojará  en  36  mi- 
nutos? 


.—  161  — 

75  1.-12  mV,    lOseg».  I   v 

X  ,,-36  „  |  -73JJ- 

'*4.«  Si  10  hombres,  en  30  dias,    trab  4   horas 

diarias,  abren  una  zanja  de 

ancho  1 15  de  profundidad,  ¿En  nianr 

dría  abrir  otra  zanja  de  180  varas  ti 

i9  dejprofundidad  con  5  homl 

horas  diarias? 

hom.     dias    hor.  d*.     v\  1.     v\  a      v   prof 

10    —  30  —      4      -  500  -    6    - 
5    —  X  —    12      —  180  —    8    - 

x  ^30X3 Qx4X18u    - 

5*12A'     oócTv;)  •  i:» 
5.°  Treinta  personas,  por  5  dias  d»«    . 
un  hotel  han  pagado  $55'37  ¿cuánto 
ñas  con  las  mismas  condiciones  en  9  di 

30  personas— 5  dias— s.V>':;7  ,  ;;,.,.     ■-. 

24      „     -o   „  -    x     -  A      -553 

6,°  Si  un  correo  con  la  velocidad  de  3  IcgQM  pOC  lu»- 
ra  recorre  2160  leguas  en  3o  dias  ;< 
podría  recorrer  550  en  25  dias? 
3  leg8,  por  hora— 2160  leg*,— 3o  dias 

x    „    „  -  550  ;,  -  •_ 

7.»  Averiguar  qué  interés  produoe  un  capital  de  4tO 

pesos  en  5  meses  al  4  por  ciento  anual. 

$100—12  meses— $4  I  ^  .4X450 

450-  5      „     -X| 

8.°  Averiguar  qué  capital  en  9  e&oa,  4  meeee  produ- 
ce $2500  de  interés  al  |3'50  por  ciento  mensual. 

$  100—  1  mes    ($50  I       = 100x1x2500 
.,  X  —28    ,,    -$2500  I  ■  28x3*50 

División  de  mi  numero  en  putee  propoivleanlee» 

306.  Definicio7i.—I>i\id\r  un  numera  en  partee  pro- 
porcionales es  descomponerlo  en  partee  talee:  que  an- 
iñadas den  el  mismo  número  i  a  :.  formen  propor- 
ción con  otros  números  dados. 

u 


•. 

/i ((/la.— Para  dividir  un  número  en  partes  propor- 
cionales á  otros  números  dados,  divídase  dicho  núme- 
ro por  la  suma  de  estos  números  dados  i  el  cociente 
multipliqúese  por  cada  número  dado.  Los  productos 
serán  las  partes  proporcionales  que  se  buscan. 

Ejemplo, — Dividir  el  número  340  en  partes  propor- 
cionales á  6,4  i  10. 

Calculo. 

240  f\;6  +  4  +  10]=va40  :  20=  17 
1.a  parte=17x  6=102 
2.a  id.  =17X4=  68 
3.a    id.  =17X10=170 


Suma  340 


Además,  A- =  A_=l°_porque  6X68=4X102  i  4X170= 
102     68     170 

68X10. 
Problemas. 

307.  1.°  Un  padre  al  morir  dejó  la  cantidad  de  18300 
pesos  i  dispuso  que  se  repartiera  entre  sus  4  hijos  en 
proporción  á  sus  edades.  El  hijo  mayor  tenia  25  años, 
el  siguiente  20,v  el  otro  14  i  el  menor  5  años  ¿cuánto  to- 
ca á  cada  uno? 

2.°  Tres  jugadores  ganaron  en  una  rifa  $3500  i  ha- 
biendo contribuido  el  primero  con  $150,  el  segundo 
con  $30' 25  i  el  tercero  con  §80,  ¿Cuánto  ganó  cada  uno? 

3.°  Se  distribuyó  la  cantidad  de  450  en  tres  cajas, 
conteniéndola  primera  doble  número  de  sombreros 
que  la  segunda  i  esta  triple  número  de  sombreros  que 
la  tercera,  ¿cuántos  sombreros  contenía  cada  caja? 

4.°  Los  cuatro  caños  de  una  x>ila  han  estado  abiertos 
el  1 .°  3  horas,  el  2.°  5,  el  3.°  6  i  el  4.°  1  horas:  habien- 
do arrojado  entre  los  cuatro  10450  litros  de  agua, 
¿cuántos  litros  arrojó  cada  caño? 

5.°  La  directora  de  un  colejio  ofreció  á  sus  alumnas 
de  Aritmética  una  recompensa  de  300  medallas  en  pro- 
porción al  número  de  óptimas  que  cada  cual  sa- 
cara en  la  clase  durante  el  año.  La  primera  obtuvo 
25  óptimas,  la  segunda  40,  la  tercera  5,  la  cuarta  10  i  7 


—  l  <»  :i  — 

cada  una  de  las  diez  alumnas  ivs?:inr. 
dallas  sacó  cada  una? 

6.°  Una  persona  que  se  declaró  en   quiebra   dejó   un 
activo  de  solo  $5800,  i  existiendo  t 
no  de  $3500,  el  otro  de  |40ü0  i  el  tercero  de$8<» 
to  alcanza  cada  uño  en  la  liquidad* 

Regla  ele  sociedad  ó  <!c  eompni 

308,  Definición. —  Regla  de  sociedad 
es  la  que  tiene  por  objeto  determinar  1  a 
dida  que  corresponde  á  varios  indi  vid  ü 
tribuido  con  su  capital  6  con  su  industria  \ 
der  una  negociación. 

Los  socios  que  contribuyen  con  >u  capitel  se  llaman 
socios  capitalistas  i  los  que  contribuyen  eon  ad 
trabajo  se  llaman  socios  tnduélriáUi. 

El  capital  con  que  cada  socio  contribuye  ae  «l ••no- 
mina acción  i  lo  que  á  cada  cual  correspoi  tili- 
dades  6  pérdidas  dividendo. 

La  regla  de  compañía  se  reduce  á  la  dii i  un 

número  en  partes  proporcional^ 

309.  1.°  Cuando  sea  uno  mismo  <1  tit  wmc  i  diferen- 
tes los  capitales  de  los  socios,  divídase  la  pin  anda  ó 
pérdida  total  por  la  suma  de  las  accionas,  i  ♦•! 
te  [bastante  aproximado  por  decimales  multiplfqi 
por  la  acción  de  cada  socio. 

Ejemplo.— A  puso  $350,  B  $1800  i  C  *7«x».    1 
do  ganado  $3600  averiguar  el  dividendo  de  cada  socio. 

Calculo. 

Gan.  $3.600  ^  í  «  A  1'26IS  x  ttO-$  U¡H 

B     „  1800      [3600:  2850=1  0  1'26tt  x   700»..  J»** 

C     ¡!     700 


$  2850     J 


| Wiiéoe 


S 


310.  2.o  Cuando  sea  unanásma  l*  i  -rum  < 
socio  i  diferentes  los  tiempo*,   divídase  la  gane     mi  • 
pérdida  total  por  la  suma  de  l  <*  i  el  rocíenle 

multipliqúese  por  cada  uno  de  los  tiempos. 
Ejemplo.— A,  B  i  C  contribuyeron  con  la 


—  i  a  4  — 

atidad,  el  primero  por  15  meses,  el  segundo  por  10 
i  el  tercero  por  12.  Habiéndose  ganado  $6000  ¿cuánto 
toca  á  cada  uno? 

Calculo. 

Gan.  $  6000  )  {  .j  A  162'1621  x  15=$2432'43 

A  15  meses  I  •§  B  162*1621  x  10=„1621,62 

B  10      „        l  6000  :  37=162'1621  \   =C  1624621  x  12=  ,1945'9r> 
C    12      "        [  I  2  ■  ~~~Sunia$  6000  ~ 

87  meses  j  *  5 

311.  3.°  Cuando  sean  diferentes  las  acciones  i  los 
tiempos,  divídase  la  ganancia  ó  pérdida  total  por  la 
suma  de  los  productos  de  las  acciones  multiplicadas 
por  sus  tiempos  i  el  cociente  multipliqúese  por  cada 
uno  de  estos  productos. 

Ejemplo. — A  puso  $200  por  3  años,  B  $500  por  5  a- 
ños  i  0  $400  por  2  años,  habiéndose  obtenido  de  ga- 
nancia $20.000  ¿cuánto  corresponderá  á  cada  socio? 

Calculo. 

Gan.  $20.000     1  1 

A^ÓO=*áños  I  200X3=  600  I 

B    500-5    „     ¡500X5=2500  ¡^20.000: '3900=5' 128205 
C  ,,400-2    „    J  400X2=  800  | 
Suma=3900j 

f  §  A  5'  128205  X  600=$  3076'  92 
|  ^B  5' 128205X2500=,,  4102' 57 
*¡  «  C  5'  128205 X  800=,,  12820' 61 
I  ">  Suma  $20.  000 

De  lo  expuesto  resulta-,  que  en  el  primer  caso  los  divi- 
dendos son  proporcionales  á  las  acciones;  en  el  segun- 
do, á  los  tiempos;  i  en  el  tercero  á  los  productos  de  las 
acciones  multiplicadas  por  sus  tiempos  respectivos. 

312.  Casos  en  que  haya  socios  que  después  de  ins- 
talada la  sociedad  aumentan  capital  ó  sustraen  par- 
te del  que  han  puesto,  b  bien,  que  después  de  instala- 
da la  sociedad  se  agregan  nuevos  socios  ó  se  separa 
alguno  de  los  que  la  formaron.— Cuando  alguno  de 
estos  casos  se  presente,  llágase  bien  el  cómputo  de  las 


—  l  6  5  — 

acciones  que  cada  socio  suscriba  i  del  tiempo  rwir»  • 
vo,  pudiendo  considerar  él  aumento  de  do  ra]  Iti  . 
mo  un  nuevo  socio  que  ingresa  á  la  ooin] 
Sirvan  por  vía  de  ejercicio  Loe  Mema* 

1.°  Ai  B  lucieron  un't  compon  i<i.  ¡ 
tribuyendo  A  con  &500  i  1>  con 
instala  la  sociedad  se  admitió  al  socio  I 
meses  después  do  este,  al  socio  D  con   $2 
puesto,  i  habiéndose  ganado  $5400 
de  á  cada  socio? 

Para  resolver  esta  cuestión,  basta  observa] 
socios  A  i  B  pusieron  sus  acción*  -  ;  < 
de  la  compañía  es  decir  por  20  meí 
17  meses  i  el  socio  I)  por  15  tnef 

I  aplicando  ahora  la  regla  del  párraf 
fácilmente  el  dividendo  de  cada 

2.°  Tres  individuos  A  B  ¡  C 
ños:  A  puso  $1000  por  todo  el  tieni] 
B  puso  al  principio  8400,  i  á  los 
C  puso  $100  al  principio  i  á  los 
Habiendo  ganado  la  compañía  ¡! 
ponde  á  cada  socio? 

Para  resolver  esta  cuestión,  liaren 
B  i  al  socio  C  con  2  acciones  cada    ti» 
datos  como  sigue: 

{ A     -  s  looo  por  w\  nio**e 
|  „  |-„    4oo    ..    ■  ;      .. 
Gan.$8000-¡  a  )  - -.. 

En  lo  demás  procédase  como  el    | 

3.°  Tres  individuos  A  I»  i  <    • 
sa  $15000:  Apuso  al  principio, 
meses  *1600;  B  puso  *2Soo  pm 
todo  el  término  de  la  asociación  qm- 
habiendo  liquidado   las  cuenta*   icnánto 

B°Para  resolver  este probh. na. 

ció  A  puso  $5000  solo  por  .>  m< 
entré  5000  i  1600]  por  15  n 
$•2800  por  12  meses  i.  I 
planteo  dé  la  cuestión  será  pn< 


—  16  6  — 

|  5000-  5  meses;,   í$  250001 
A  ,  n  8400-16      ,,      ^  V«  61000  I  G       total  $15000 
B    „  2800+-12      „      B    „  33000  \^ím'  rolal  *WÍ- 
C     „  3(300-20      „       C     „  72000  J 
313  Cuando  liaya  socios  industriales  saqúese  primero 
lo  que  á  ellos  corresponda  en  virtud  de  las  estipulacio- 
nes hechas,  i  el  resto  de  la  ganancia  total,  divídase  en- 
tre los  socios  capitalistas  según  las  reglas  precedentes. 
Finalmente,  cuando  en  una  cuestión   de   compañía 
no  se  quiere  buscar  la  ganancia  ó  pérdida  de  cada  so- 
cio sino  las  acciones  ó  los  tiempos,  pueden  con  facili- 
dad resolverse  las  operaciones  por  medio  de  la  división 
de  un  número  en  partes  proporcionales. 

Problemas  de  compañía. 

314.  !.•  A  i  B  se  asociaron  con  C.  habiendo  contri- 
buido A  con  $3000,  B  con  $1800  i  C  con  su  trabajo. 
Siendo  la  ganancia  obtenida  en  la  empresa  de  $6000  i 
habiéndose  convenido  en  dar  al  socio  industrial  la  vi- 
jésima  parte  de  las  utilidades  ¿cuánto  corresponde  á 
cada  uno? 

2.°  A.  B  i  C  ganaron  en  una  compañía  el  1.°  $450,  el 
2.°  $300  i  el  3.o  $1000;  habiendo  suscrito  entre  los  tres 
uu  capital  de  $12000  ¿con  qué  acción  contribuyó  cada 
socio? 

3.°  Cuatro  personas  A,  B,  C  i  D  formaron  una  com- 
pañía, el  1.°  puso  $150  por  3  años;  el  segundo  puso  al 
principio  $500  i  á  los  6  meses  después  introdujo  $2000 
mas;  el  tercero  puso  al  principio  $1600  i  á  los  2  años 
retiró  $600;  el  cuarto  puso  $3500  por  todo  el  término 
de  la  sociedad  que  fué  de  3  años  i  medio.  Habiendo 
fracasado  por  desgracia  la  empresa,  hubo  una  pérdida 
de  $8500  ¿á  cuánto  asciende  la  de  cada  socio? 

4.°  Tres  individuos  A,  B  i  C  formaron  una  compañía: 
A  puso  su  capital  x>or  un  año,  B  por  10  meses  i  C  por 
2  años,  4  meses. 

Habiendo  suscrito  cada  socio  una  misma  acción  i 
obtenídose  de  utilidades  $10508  ¿cuánto  ganaría  cada 
socio? 

■5.°  Dos  asociados  formaron  una  empresa,  el  prime- 
ro puso  $24500  i  el  segundo  $15800.    Habiendo   recibí- 


r  1  (i  ? 

do  elimo  $2400  de  ganancia  más  que  el  "tro  ;cuál  es 

la  ganancia  de  cada  Bocio! 


DE  LA  REGLA   Dfi    iMIJHv 

InT&BJES    SlMl'I.K 


315.  Definición.— Se  llama  interés  la  gánasela  que 

produce  un  capital  prestado  con  ci 

316.  División.— E\  inteiée  Be  divide  eo  - 

compuesto,  legal  i  convencional. 

ínteres  simple  es  el  producido  por  solé 
prestado. 

Interés  compuesto  es  el  producido  por  él  capital  {.ma- 
tado i  por  los  intereses  que  va  devengando  ♦•ate  ca- 
pital. 

El  interés  compuesto  entraña  pues,  lo  qne  se  llama 
capitalización  de  intereses. 

Interés  legal  es  el  qne  se  pag  rdo  con  el 

tanto  por  ciento  que  fijan  las  leyes  de  un  | 

Interés  convencional  es  el  que  se  paga  de  acuerdo 
con  el  tanto  por  ciento  que  lija  la  volun: 
tratantes. 

Tanto  por  ciento  ó  por  millar  68  lo  que  ^ 
neralmente  cada  año  6  cada  mee   por   10o 
monedas 

Ul  tanto  por  ciento  se  indica  p.  <>/!>;  i  al  tanta  por 
millar  p.O/ÜO. 

Términos  que  entran  en  /  n  de  mitres.— 

En  toda  cuestión  de  interés  entran  0  eantidadee  qne 
son: 

1.*  Capital  empleado. 

2.a  Interés  que  produce. 

3.a  Tiempo  que  tarda  impneato, 

4.a  100  ó  1000  capital  lijo  que  B  preparación. 

5.*  Interés  de  100  ó  de  1(XH)  llamado    tanto  pjyO  O 

P*6.*    Tiempo  del  tanto  p.Q/\>  6  p.o/W  qne  jeaeral- 

mente  es  1.  .  .      .^-^ 

Todos  estos  términos  se  conocen  índistintamenie 

el  nombre  de  datos. 


—  16  8  — 

Procedimiento  jeneral  para  resolver  ios 
problemas  de  interés  simple. 

817.  Primer  caso:  que  el  tiempo  esté  expresado  en 
afios. 

Regla  1.*— El  interés  es  igual  á  la  centésima  parte 
ilf]  producto  de  los  otros  datos. 

Ejemplo.— El  interés  de  $5400  en  5  años  al  2  p.O/t) 
anual  será: 


5.400X5X2 


100 


§540 


Regla  2.a— El  capital,  el  tanto  por  ciento  ó  el  tiempo 
son  iguales  al  céntuplo  del  interés  partido  por  el  pro- 
ducto de  los  otros  datos. 

Ejemplo.— El  capital  que  en  4  años  produjo  $1500 
de  interés  al  $5' 25  p.0/Ü  anual  será: 

100X1500    100X150000      *~Aeí,Qa 
'  4X6*25^      4*5>2¿      =$7142  86 

318.  Segundo  caso:  que  el  tiempo  esté  expresado 
en  meses. 

Regla  1.a— El  interés  es  igual  á  los  1200  avos  del 
producto  de  los  otros  datos. 

Ejemplo.— El  interés  de  $400  en  8  meses  al  5  p.0/0 


anual  será: 


1200 

Regla  2.a— El  capital,  el  tanto  por  ciento  ó  el  tiem- 
po son  iguales  á  1200  veces  el  interés  partido  el  pro- 
ducto por  el  producto  de  los  otros  datos. 

Ejemplo,— El  tiempo  durante  el  cual  $500  produ- 
cen $120  de  interés  al  4  p.0/0  anual  será: 
1200X120    _ 

5ooxr-72meses 

319.   Tercer  caso:  que  el  tiempo  esté  expresado    en 

Regla  1.a— El  interés  es  iguala  36000  ó  36500  avos 
del  producto  de  los  otros  datos' [1]. 
*   .  «£> 

(1)  Se  emplea  36000  cuando  es  el  año  comercial,  i  30500  cuando    es 
el  a  fio  común. 


-169- 
Ejemplo.-EI  interesen 


anual  será: 


2000X200XC     M 
"86000" 


(  1»*II I < » 


Regla  2.a-El  capital,  el  tanto  por  , 
po  son  iguales  á  36000  ó  3650o  veces  el  íi 
do  el  producto  por  el  producto  d»>  1«,< 

Ejemplo.— El  tanto  por  ciento  á  (jur  s,'  im; 
capital  de  $3000  para  que  en  145  dias  haya  ¡  ;' 
$150  de  interés  será: 

«22ÍM&  nrn 

3oooxi  4:> 

Resolución  de  las  cuestiones  de  laten  le. 

por  medio  de  la  regla  de  tre*. 

320.  Regla. — Para  resolver  cualquiera   cmoatlOM  de 
interés  simple  por  medio  de  la  regla  üV   i 
por  primer  término  del  supuesto  lo 
el  tanto  p.Q/D  ó  p. 0/1)0;]  por  segundo  término  • 
po  durante  el  cual  se  paga  el  tanto   p 
miliar,  i  por  tercer  término  el  mismo  tanto  pe 
ó  por  millar. 

Coloqúense  debajo  los  término-*  iv>¡ 
gunta,  representando  por  una  Letra   el  lállllM   inc6|f 
nito  de  la  cuestión. 

Fórmese  después  un  quebrado  cuy<»   mu:  «• 

el  producto  indicado   en  aspa  de  los  términos  que  no 
contienen  la  incógnita  i  cuyo  denominador  sen 
ducto  indicado  en  aspa  de  los  términos  que  ai  la  *©»• 
tienen. 

El  valor  de  este  quebrado  después  de  simplifieue» 
resolverá  el  problema. 

Ejemplos.—  1.°  Halla?'  el  irderéM  de  $860 en 4 m*m* 
al  3  p.  0/0  cada  20  dias 

■p       ,      •        |  $100-20    dias  !  *3  I    yJZXVJ 

Kesolucion  <  — - „n  ,. r~x^  »'    *        r.».. .  o.k 

(    350— 120  días  fx  1  100 

2.°  Ralla?'  el  capital  que  en  10  meses  produjo  *30fl 

de  interés  ai  2' 50  p.O/D  rada  fivs  nu*es. 


—  1  7  O  — 

n     ,         ($100-3mses.  |$2'50)P_100X3X50000    ¿;- 
,:^oluC,0n  1  C    -10    „     I   500  I0"      10X250       ~»14000 

3.°  Hallar  el  tiempo  durante  el  cual  $4500  produje- 
ron 600  de  interés  al  5  p.O/D  mensual. 

n     ,    .     ($  100-1  mes|$5     ,       100X1X600    0í.Mg0A^a 

Resoluc  o  n ) ¡-2 { T= =  26  ms, 20  ds 

í  4500-t     „    |   609*  x         5X450 

4.°  Hallar  el  tanto  por  ciento  mensual  á  que  se  im- 
puso un  capital  de  $1500  para  que  en  2  años  haya  pro- 
ducido $250  de  interés. 

„     .    .      ($100-1  mes  I    X    )    Y_l 00X1X250    ^xo 

Resolución  \   ••■■■• ■ ■- ■■- rzxúsz  C    *& — =-r — t/7tt-=  *^0  09 

I    1500-24,,    | $250  1  1500X24 

5.°  Hallar  el  tiempo  del  tanto  por  ciento  de  un  ca- 
pital de  $4000  que  en  3  años  i  al  5  p.0/0  produjo  $300, 

_     .    .      ($100-      t      15      )m    4000v3X5_o    - 

Resolución  \  ~-~ — - j—  }  T  = & =2  ailOS. 

(    4000-3  años 1 300  (  100X300 

Métodos  particulares  para  hallar  el  interés, 
simple  de  mi  eapital. 

321,  1.°  Método  de  los  divisores  fijos.— 8e  llama 
divisor  fijo  el  cociente  que  resulta  de  dividir  100,  1200 
36000  ó  36500  por  el  tanto  por  ciento. 

Para  hallar  el  interés  por  este  método,  multipli- 
qúese el  capital  por  el  tiempo  reducido  á  años  á  meses 
o  á  dias  según  se  quiera,  i  el  producto  divídase  por 
el  divisor  fijo  que  corresponda  al  tanto  por  ciento 
dado.  [1]  * 

La  práctica  de  este  método  se  facilita  formando  6 
teniendo  á  la  vista  una  tabla  de  divisores  fijos  como 
la  siguiente: 

(1)  El  producto  de  un  capital  multiplicado  por  su  tiempo  se  llama 
mercantilmente  número. 


-17    1 


Tanto  p.g 

Divisores,  año  di 

Din 

360  días 

0*50 

72.000 

1 

30.000 

l'oO 

24.000 

2 

18.000 

tas 

2' 50 

14.400 

M  000 

8 

12.000 

3*50 

10. 285' 71 4 

lo.4-s7.7l 

4 

9.000 

'.».  1  •.':. 

4' 50 

8.000 

Ill'llJ 

5 

7.200 

100 

5' 50 

6. 545' 454 

0.636*363 

6 

0.000 

C« 

7 

5. 142' 857 

5. -Jl  •»••>;, 

8 

4.500 

9 

4  000 

toara 

10 

3.600 

Supongamos  ahora  que  sé  quiere  buscar  el  i  n  tries 
de  $61000  en  2  años  el  3  p.Q/\>  [afio  comercial. 

Reduciendo  los  2  años  á  dias  resultan  790 «liav  nuil 
tiplicando  este  tiempo  por  el  capital  prestado  se  halla 
de  producto  43920000,  i  dividiendo  esta  cantidad 
12000  que  es  el  divisor  fíjo  que  en  la    tabla   ««»rreapos> 
de  al  3  p.Q/l)  se  obtiene: 

^9200M_£,jGG()         -     r)  inr,.^  jgjpjjm, 
12000  H 

322.  2.°  Método  de  los  multiplicadores  Ajot.-Ü* 
llama  multiplicador  fijo  el  interés  de  un  peso  durante 
un  dia  i  á  un  tanto  por  ciento  cualaule) 

Para  hallar  el  interés  de  un  capital  por  este  Beto- 
do,  multipliqúese  dicho  capital   por  bu  tiempo  redu- 
cido á  dias,  i  el  producto,  multiplicado  por  su  muí 
tiplicador  fijo  será  el  interés  que  se  busca. 

La  práctica  de  este  método  -  ta  formaado  O  te- 

niendo á  la  vista  una  tabla  de  multiplicadores  lijo»  co- 
mo la  siguiente: 


-172 


Tantos  p^iIntereses  de  $1  en  1  día 

1  W 0000278 
l'50'o' 0000417 

2  |0'  0000556 
2'  50  O1 0000695 

3  JO1 0000834 
8' 500' 0000978 

4  [O1 00011 12 
4' 50  0' 0001251 

5  ¡0' 0001390 
5'500'  0001 529 

6  |0' 0001668 
6' 50  01 0001 807 

7  JO1 0001946 
r  50,0' 0002085 

8  |0'  0002224 
8'  50¡0'  0002363 

9  10' 0002502 
9' 50  0' 0002641 

10    ¡0' 0002780 _ 

Supongamos  ahora  que  se  quiere  buscar  el  interés 
de  $350  en  5  meses  al  7  p.  g  . 

El  producto  del  capital  por  los   5  meses  reducidos  á 
diases  iguala   350X150=52500,    i   multiplicando   este 
producto  por  el   multiplicador  lijo   correspondiente  á 
|l  i  al  7  p.O/'O  resulta: 
52500X0' 00001946=  810' 21  que  es  el  interés  que  se  desea. 

323.  3.°  Método  llamado  de  Graillat.—TZste  método 
consiste  en  hallar  el  interés  en  un  dia  al  4  p.O/'O  del 
capital  prestado. 

Para  conseguirlo,  súmense  todas  las  cifras  del  capi- 
tal de  derecha  á  izquierda,  comenzado  primero  desde 
las  unidades,  luego  desde  las  decenas  i  así  sucesiva- 
mente, teniendo  cuidado  de  ir  agregando  á  cada  suma 
las  decenas  que  resulten  en  la  suma  anterior  inmediata. 

Sepárense  en  el  resultado  de  derecha  á  izquierda 
cuatro  cifras  para  decimales,  i  el  número  que  así  se 
forme  será  el  interés  del  capital  en  J  dia  al  4  p,Q/t).  [1] 

Ejemplo. — Supongamos  que  se  quiere  saber  cual  es 

(1)  El  afio  que  en  este  método  se  emplea  para  pagar  el  tanto  p.§  , 
es  solo  el  de  860  dias. 


el  interés  de  §5421  en  1  dial  al  4  p.Q/t);    ¡  ,nse. 

guirlb  diremos:  1  +  2  +  4+5=12.  dejoS  i  II»-;,,  i 

2  +  4  +  5  +  1  que  se  lie va=  12,  dejo  2  i  Uero 

4+5  +  1  que  se  lleva=  10,  dejo  o  i  llevo  1 : 

5  +  1  que  se  lleva=6. 

El  número  que  resalta  es  pu.« 
quí  4  cifras  para  decimales  de  derecha  á  i. 
dremos  $0,6022  que  es  el  interés  pe 

324  Sabiendo  saccur  el  interés  al  4  p.n/i»  en  l  día 
es  mui  fácil  sacarlo  á  cualquier  oíi 
en  1  dia  también. 

Así,  para  el  2  p.Q/o  se  saca  la  mitad  del  ; 

Para  el  1  p,0/p  la  cuarta  parte  del  I 

Para  el  3  p.Q/b  se  suma  el  2  con  el  1  ;  . 

Para  el  5  p.Q/b  se  suma  el  3  con  el  9  : 

Para  el  medio  p.Q/b  se  saca  la  mita  1  «l -1  l  • 

Para  el  sexto  p.Q/b  la  sexta  parte  úVl  1  i 
quier  otro  caso. 

Ahora,  para  calcular  el  interés  simple  por  este  mé- 
todo, basta  multiplicar  el  interés  del  capital  n  1  di» 
según  queda  explicado,  por  su  tiempo  reduoido á  dita. 

Supongamos  por  ejemplo  que  se  quiere  hallar  el  in 
teres  del  capital  anterior  *5421    »mi   .*•  ni—— 

P-Q/O- 

Para  resolver  esta  cuestión  decimos:  8Í6MO  $0*008$ 
el  interés  al  4  p.Q/'O,  la  mitad,  6  '9011  será  «I  in 

teses  al  2  p.0/0. 

La  mitad  de  $0'3011  ó  sea  $0  L50C  será  al  1  p.QflC  I 
la  mitad  de  $0' 1505  que  es  $0,()752  será  al  medio  6 
0'50  p.0/0. 

Luego  el  interés  al  $3' 50  p.0/\)  e>  |  11 4 &&» 
+ 0' 0752=  $0' 5268.  Multiplicando  ahora  esta  cantidad 
por  150  dias  que  tienen  los  0  meses  tendí 

0' 5268X300=  $79' 05  que  es  ei  interés  que  se  pide 

Advertencias.—  1.»  Cuando  el  capital  tenga 
males  se  deben  separar  las  4  cifras  que  imücm  U 
más  el  número  de  cifras  decimales  que  tenga  el  C* 
pital. 

2.a  Si  quiere  hallarse  más  exactitud 
dos,  pueden  añadirse  dos  ceros  al  capital  i 
entonces  6  cifras  en  vez  de  las  4  qu< 

324.  Regla  para  hallar  él  capital  que 


-174- 

su  interés  simple  atirante  cierto  tiempo  i  á  ten  tanto 
por  ciento  convenido  se  convierte  en  otra  cantidad  de- 
terminada. 

Multipliqúese  la  cantidad  en  que  se  convierte 
el  capital  por  100  si  el  tiempo  está  en  años,  por  1200 
si  en  meses  i  por  36000  ó  36500  si  en  dias;  divídase  es- 
te producto  por  la  suma  de  100,  1200,  36000  ó  36500 
con  el  producto  del  tanto  p.O/o  multiplicado  por  el 
tinnpo  i  el  cociente  dará  el  capital, 

Ejkmplo. — Hallar  el  capital  que  sumado  con  su  in- 
terés simple  por  8  meses  i  al  3  p.O/'O  se  convierte  en 
$10OO€i 

Calculo. 

Capital  1^1^2000=  $15686'27 
1  1200  +  8X3 

Fórmulas  jencrales  para  el  interés  simple. 


Tiempo  en   meses 

Intereses  =ctxP-x0¿0- 
1200 

Capital  =1200xi 


Tiempo  — 


txp.O/o 

120,0  x  i 
cxp.O/o 


Tanto  p.0/0=1200x 


ext 


Tiempo  en  dias 

Interés  zr^l^P'M^ 
80000  ó  83500 

Capital  =^000  ó  3G50°  x  * 


lxp.O/b 

Tiempo=  30000^6500x1 
cxp.0/b 

Tantop.0/b-3l00()ó36500xi 


C  X  t 


Tiempo  en  afios. 

Interés  =extxP-M> 

100 

Capital  ^í0.^. 

t  x  p.O/ó 

Tiempo  =100xi 


ex  p.O/ó 


Tanto  p.0/OJ00x 


C  X  t 


_ -175- 

Interés  compucvio. 

32o    Hemos  dicho  que  el  interés  es  compuesto,  ruan- 
do al  fin  de  cada  período  de  tiempo  que  será  den 
un  mes,  un  año  como  se  quien 
los  intereses  producidos  para  dar  nievas  ntili 
los  períodos  siguientes. 

Llámase  monto,  la    suma  un  capital   con  sus  inte- 
reses agregados, 

En  el  interés  compuesto  ocurren   cuatro     i>  dionea 
principales,    que  á  continuación   indicaremos  junta- 
mente con  las  reglas  que   pueden  eni] 
solverlas. 

326.  1.»  Dado  el   capital,  el   tanto  por  ciento  i  el 
tiempo  hallar  el  monto. 

Regla. --Elévese  100  sumado  con  BU  interés  simple 
en  un  período  á  la  potencia  de  un  grado   iínial  al 
mero  de  períodos:    esta  potencia  multipliqúese  por  el 
capital  i  el  producto  divídase  por   i  una 

potencia  de  un  grado  también  igual  al  número  de  pe- 
ríodos. 

Ejemplo.— Averiguar  á  cuanto  ;:  tm  capital 

de  $700  á  interés  compuesto  durante  4  afios  i  al  ' 
capitalizándose  los  intereses  cada  afta 

Resolución   iM  J"*>  +  **  x  700  =  1 2 1 550625  x  700=  (>mMOT 
\  1004  lOOdhRKMí  *^ 

327.  Cuando  el  tiempo  esté  expresado  en  anos  i  se 
capitalicen  los  intereses  cada  año  se  facilita  mucho  la 
práctica  de  este  caso  mediante  la  siguiente  regla:  es- 
críbase el  capital  i  multipliqúese  por  el  tan- 
to colocándose  el  producto  debajo,  corriendo  do»  lo- 
gares hacia  la  derecha:  súmense  ambas  cantidades»  I  a* 
sí  tendremos  el  monto  durante  el  primer  ll 

Este  monto  multipliqúese  por  el  tanto  por  dea  toe 
coloqúese  el  producto  debajo  corriendo  aoe  lajnw* 
hacia  la  derecha  i  súmense  ambas  can tidadea,  reeiltai- 
do  así  el  monto  durante  el  segundo  año.  [continúate 
en  adelante  de  la  misma  manera  hasta  que  se  imam*- 
tren  tantos  montos  cuantos  sean  los  años.  Las  c***** 
corridas  hacia  la  derecha  considérense  como  deci- 
males. 


-17  6- 

EjEMPLO— Resolvamos  por  esta  regla  el  problema 
anterior  para  lo  cual  dispondremos  el  cálenlo  como 
signe: 

Capital  $700 

Producto  por  5 3500 

Monto  en  el  1."  año $735' 00 

Producto  por  5 36' 7500 

Monto  en  el  2.°  año $T71'7500 

Producto  por  5 38' 587500 

Monto  en  el  3.er  año $810' 337500 

Producto  por  5 4051687500 

Monto  en  el  4.°  año $850' 854375 

328.  2.a  Cuestión,—  Dado  el  monto,  el  tanto  por 
ciento  i  el  tiempo  hallar  el  capital. 

Regla. — Multipliqúese  el  monto  dado  por  100  eleva- 
do á  una  potencia  de  un  grado  igual  al  número  de  pe- 
ríodos, i  el  producto  divídase  por  100  sumado  con  su 
interés  simple  en  un  período  i  elevada  esta  suma  á  la 
potencia  también  de  un  grado  igual  al  número  de  pe- 
riodos. 

Ejemplo, — Supongamos  que  se  quiere  encontrar  el 
capital  que  á  interés  compuesto  durante  4  años,  i  al 
5  p.Q/D  se  convirtió  en  $850' 854375. 

Resolución  j  C =850' 854375  XI 00' _  85085437500  _  $700 
t  (100 +  5)4         -  121550625    ~;  ■ 

329.  3.a  Cuestión. — Dado  el  monto,  el  capital  i  el 
tiempo  hallar  el  tanto  por  ciento. 

Regla. — Divídase  el  monto  por  el  capital:  al  cocien- 
te extráigase  la  raiz  de  un  grado  igual  al  número  de 
períodos:  de  esta  raiz  que  resulte  réstese  1  i  lo  que 
quede  multiplicado  por  100  es  el  tanto  por  ciento. 

Ejemplo, — Averiguar  á  qué  tanto  p.Q/b  se  impuso 
un  capital  de  §700  para  que  durante  4  años  i  á  interés 
compuesto  se  haya  convertido  en  $850' 854375. 

Resolución-!  * 

Vl'2155062Í    =r05 

I  1'05  menos  1=0' 05;  i  O' 05x100=5  que  es 
leí  tanto  p.O/fo. 


1  7  7  — 


330  4.a  Cuestión.— Dado  el    monto,    el  capital  i  ••! 
tanto  por  ciento  hallar  el  tiempo. 

Regla.—  Divídase  el  monto  por  el  raptad:  el  rodéate 
que  resulte  i  los  demás  que  sigan  divídanse  toa- 

do con  el  interés  simple  de  1  en  un  ¡ 
ro  de  divisiones  que  se  hagan  menos  una,  será  el  núme- 
ro de  períodos  ó  el  tiempo  que  se  bu 

Ejemplo. — Averiguar  durante  cuanto  tiempo  se  im- 
puso á  interés  compuesto  un  capital  <le  $700 para* 
capitalizándolos  intereses  cada  año  se  baja 
do  al  5  p.Q/b  en  $850' 854375. 


850'  854375;- 


Resouvion. 

1700 

ros 


U'21550625 


1' 157625 


L'IOW 


for- 


ro:. 

i 


El  interés  simple  de  $1  en  un  año  es  evidentemente 
5  centavos,  i  como  el  número  de  divisiones  practicada» 
es  cinco,  será  4  años  el  tiempo  durante  el  coal  se  im- 
puso el  capital. 

331.  Para  hallar  el  monto  cuando  el  tiempo  no 
presa  un  un  número  exacto  de  períodos,  se  encuentra 
primero  el  que  corresponde  al  número  cabal  aue  naja 
de  períodos,  i  después  se  agregará  al  resultado  que  m 
obtenga  el  interés  simple  que  le  corresponde  durante 
la  fracción  de  tiempo  menor  que  un  período. 

Ejemplo —Hallar  el  monto  correspondiente  á  $000 
en  2  años  5  meses  al  4  p.0/b  i  capitalizando  los  imana- 
ses cada  año. 

Para  resolver  esta  cuestión,  buscamos  el  monto  q¡m 
corresponde  durante  2  años,  el  cual  ee,  según  las  rerta 
explicadas  $540' 80.  Agregando  ahora  á  eata  caatí 
su  interés  simple  durante  los  5,  meses  que  ea  de 
tendremos  $549'81,  cantidad  que  resuelve  la 

332.  Fórmula  jener al  que  resuelve  las  cr' 
interés  compuesto: 

Monto^^r-XC 


C  representa  el  capital;  p  el  número  de  períodos  i  r 
el  interés  de  100  en  un  período. 

Observación,— La  práctica  del  interés  compuesto 
se  completa  con  el  uso.de  los  logaritmos,  ó  bien  con  el 
auxilio  de  tablas  que  dan  de  antemano  el  monto  de 
un  capital  en  diferentes  tiempos  i  á  diferentes  tantos 
por  ciento. 

A  continuación  insertamos  una  tabla  que  da  el  mon- 
to de  1  peso  de  1  á  15  años,  al  3,  4,  5,  6  i  7  por  ciento. 


Años 


1 
2 
3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

10 

11 

12 

13 

14 

15 


3  p.oyó 


1'  030000 
1'  060900 
1' 092727 
1' 125509 
1' 159274 
V 194052 
V 229874 
1' 266770 
1' 304773 
1'343916 
1'  384234 
1' 425761 
V 468534 
1' 512590 
1'  557967 


4p.0/b  5p.0/b 


V 040000 
1' 081600 
1' 124864 
1' 169857 
1'216653 
1' 265319 
1' 315932 
1' 368569 
1'423312 
1' 480244 
V 539454 
1' 601032 
V 665073 
1'731676 
1' 800943 


1' 050000 
1' 102500 
V 157625 
1'215506 
1' 276282 
1' 340096 
1'407100 
1'  477455 
1' 551 328 
1' 628895 
1'710339 
V 795856 
V 885649 
1' 979932 
2 '078928 


6p,0/O    7p.()/Q 


1' 060000 
1' 123600 
V 191016 
1' 262477 
1' 338226 
1' 418519 
1' 503630 
1' 593848 
1' 689479 
1' 790848 
1'  898299 
2'012196 
2' 132928 
2' 260904 
2' 396558 


1' 070000 
1' 144900 
1' 225043 
1'  310795 
1'402552 
1' 500730 
1' 605781 
1'718186 
1'  83845  9 
1'967151 
2' 104852 
2'252191 
2' 409845 
¡2' 578534 
2' 759032 


Regla  de  deseueiito. 

333.  Se  llama  descuento,  el  interés  que  se  rebaja  de 
un  capital  por  efectuarse  el  pago  de  este  antes  del  ven- 
cimiento de  su  plazo. 

El  valor  del  capital  expresado  en  el  documento  que 
se  descuenta  se  llama  valor  nominal,  i  el  valor  á  que 
se  reduce  el  documento  practicado  el  descuento  se  lla- 
ma valor  actual  ó  valor  presente. 

Según  esto,  el  valor  nominal  puede  considerarse 
como  una  suma  cuyos  sumandos  son  el  valor  actual  i 
el  descuento,  i  de  aquí,  que  conocidas  dos  de  estas  can- 
tidades es  mui  fácil  encontrar  la  tercera. 


—  1  ?  í)  - 

334.  División  del  descuento.- YA 
en  racional  i  comercial. 

Desmiento  racional,  es  el  interés  qw  M  i»!>aja  de 
una  cantidad  igual  al  valor  actual  de  nndocutm 
por  el  tiempo  que  falta  para  el  vencimient< 
zo;  i  descuento  comercial  es  el  int»*i  < 
una  cantidad  igual  al  valor  nominal  de  un  do< 
también  por  el  tiempo  que  falte  para  el  vencinii< 
su  plazo. 

De  los  dos  descuentos,  se  comprende  que  es  mas  e- 
quitativo  oracional,  porque  e-  res 

de  una  cantidad  igual  á  la  que  se  anticipa  eoBO  i 
del  documento,  lo  cual  es  mili  justo,  mientras  que. 
descuento  comercial  significa  el  interés  de  una  •  mli 
dad  mayor  que  la  que  se  anticipa,  reaoltand  o     • 
que  se  perjudique  al  dueño  de  un  d<  obran 

dosele  intereses  por  mayor  suma  que  la  que  desembol  • 
sa  el  comprador. 
335  Regla  para  el  descuento  racional  Muí  ti  ] 
el  valor  nominal  del  documento  por  el  tanr 
to  i  por  el  tiempo  i  el  producto  divídase  por  la  suma 
de  100,  de  1200,  de  36000  ó  de  8  rodortO 

del  tanto  por  ciento  multiplicado  por  el    tiempo,  ••• 
gun  que  éste  se  exprese  en  años,  meses  ó  días. 

Ejemplos.—  1.°  Descontar  una  letra  valor  de  *>V 
que  vence  dentro  de  2  años,  al  :*  p.<yiu  [desc,  r. 

Calculo. 

Descuento-  ™™}^J^=^<A 
uescuenio_i0()  +  3X2  _   . 

2,°  Descontar  al  2  p. 0/o  una  letra  valor  de  *780§ 

que  vence  dentro  de  5  meses. 

Calculo 

.       7500X2X5    75000_M1*9g 
Descuento=íMT^T5=l2ÍÓ" 
3.°  Descontar  al  1'50  p-Q/b  un  documento,  valor  da 
$800  que  debe  pagarse  en  término  de  65  días. 


18  0  — 


Calculo, 

~  L         800  xl'  50X65     78000        ^,1R 

Descuento=  m00+V50Xm=-m9llX>=$2  15 

Fórmula  del  descuento  racional:  D=  **     {®  ^ 

100  + O/o  Xt 

cambiándose  el  término  100  por  1200  si  el  tiempo  está 
en  meses;  por  36000  ó  36500  si  está  en  dias  i  no  modi- 
ficarlo cuando  el  tiempo  está  en  años. 

Como  en  esta  fórmula  entran  cuatro  cantidades,  se- 
rá fácil  deducir  cualquiera  de  ellas  que  no  sea  D,  en 
función  de  las  otras  tres. 

336  Regla  para  el  descuento  comercial -Wl  descuen- 
to comercial  se  calcula  como  el  interés  simple  es  decir, 
que  se  multiplica  el  valor  nominal  del  documento  por 
el  tanto  por  ciento  i  por  el  tiempo,  i  el  producto  se  di- 
vide por  100  si  el  tiempo  está  en  años,  por  1200  si  está 
en  meses  i  por  36000  ó  36500  si  está  en  dias. 

Ejemplos. — Resolver  por  descuento  comercial  las 
tres  cuestiones  anteriores: 

1.a  Descontar  una  letra,  valor  de  $5000  que  vence 
dentro  de  2  años  al  3  p.Q/b  (desc.  com.) 

Calculo. 

P>_  5000X2X3    ^Qnn 
^-—íoo — =^°° 
2.»  Descontar  al  2  p.O/o  una  letra  valor  de  $7500  que 
vence  dentro  de  5  meses. 

Calculo. 

D^  ™»¡g*g  =$62'50 

3.»  Descontar  al  $1'50  p.O/o  un  documento  valor  de 
$800  que  debe  pagarse  dentro  de  65  dias. 

Calculo, 

D=  800X1'50X65    .9M„ 
36000       =*217 


—  1    S    1 

Como  se  observa  en  estas  cuestiones,  »-l  deurnento 

comercial  es  mayor  que  el  descueni 

bia  ser  en  efecto,   porque  el  descuento  comercial  se 

compone:  del  interés  del  valor  presente  ds  la  Mrn  mas 

el  interés  de  este  interés. 

Fórmula  del  descuento  co 

ion 
cambiándose  el  término  100  por  12  |   ¡.lnso  está 

en  meses,  i  por  36000  ó  36500  si  está  en  dias,   i  no 
dificándose  cuando  el  plazo  está  en  aí 

Las  otras  cuestiones  que  puedan  ocurrir  en 
cuento  se  resolverán  fácilmente  por 
del  interés  simple. 

A  pesar  deque  el  descuento  comercial  es  un  des- 
cuento injusto  i  si  se  quiere  abusivo,  es d  q se  mases 
emplea  por  dos  razones  principales  á  saber:  !.•  la  i 
tumbre  que  se  ha  tenido  siempre  de  á(  s»i  los 

documentos  i  2.»  ser  mas  fácil  el  cálculo  del  descuento 
comercial,  según  se  comprende  con  solo  la  inspección 
de  ambas  fórmulas. 

337  Descuento  compuesto.  Para  hallar  el  valor  presen- 
te  de  un  documento  descontado  á  interés  conr 
se  eleva  la  diferencia  entre  £1  i  el  interés  de  $1  en  un 
período,  á  la  potencia  de  un  grado  Ignal  al  numero  de 
períodos  i  el  producto  se  multiplica  por  el  valor  nomi- 
nal del  documento. 

Ejemplo. — Hemos  hecho  la  compra  de  una  l*tra  I 
lor  de  $5000  aplazo  de 2  años;  i  desdan 
tado  nos  conceden  un  descuento  d*  i  anual 

á  interés  compuesto  ¿cuánto  deberá  darse  como  valor 
actual  de  dicha  letra? 

Resolución:  A=[l— O,O0]35OOO-<4 ; 

Luego  D=$5000— 4418=$582. 

Fórmula  de  la  regla  anterior:  A=[  1 
Regla  de  vencimiento  medio  ó  ilc  plnzo  fomiiti. 


338.  Objeto  de  esta  regla.  —El  de 

reducir  á  una  sola  época  de  ; 
cia  ni  pérdida,  la  reunión  de  rariaa  cantidad*»  qn* 

ben  ser  pagadas  en  épocas  diversas. 


-18  2- 

Tiene  lugar  pues  el  vencimiento  medio,  siempre  que 
una  persona  posee  varios  documentos  que  deben  pa- 
garse en  dií'erentes  plazos,  i  conviene  cambiarlos  por  u- 
jao  solo,  de  modo  que  este  tenga  en  el  acto  de  efectuar 
el  cambio,  un  valor  equivalente  á  la  suma  de  los  docu- 
mentos cambiados, 

339  Para  hallar  el  plazo  común  ó  vencimiento  medio, 
multipliqúense  los  valores  de  los  documentos  por  sus 
plazos  reducidos  á  la  misma  especie,  i  la  suma  de  los 
productos  que  resulten  divídase  por  la  suma  de  los 
mismos  valores. 

Ejemplo. — Un  comerciante  tiene  3  letras  á  saber: 

La  1.a  de  $5000  con  plazo  de  6  meses 

La  2.»  de  ,,1S40  con  plazo  de  15  meses 

La  3.a  de  ,,  870  con  plazo  de  12  meses 

I  queriendo  cambiarlas  por  una  sola  letra  ¿qné  plazo 
deberá  tener  esta? 

Calculo. 
$  5000X6  =30000 
„  1840X15=27600 
,\    870X12=10440 


$  7710;  suma68040  :  7710=8  meses,  24  dias,    plazo   que 
deberá  tener  la  nueva  letra. 

ANUALIDADES. 

340,  Defin  te  ion.  ~IA  Amanse  anualidades  los  pagos  i- 
guales  qne  se  hacen  año  [1]  por  año  hasta  extinguirla 
deuda  de  un  capital  i  sus  intereses  compuestos. 

Las  anualidades  tienen  la  gran  ventaja  de  facilitar 
á  un  deudor  el  medio  de  ir  cubriendo  su  crédito  poco 
á  poco  i  sin  mucho  esfuerzo  de  su  parte. 

Fórmula  cíe  las  anualidades. 

Anualidad—  Cap'  *tant0  P°r  1  *[!  + tanto  por  lf 

[1  + tanto  por  1]*— 1 
Esta  fórmula  es  fácil  interpretarla,  i  por  medio   de 


(1)  Estos  pagos  pueden  también  hacerse  por  meses,  trimestres,  etc. 
llamándose  anualidades  porque  comunmente  se  hacen  cada  año. 


-18:)_ 


ella  podría  deducirse  cualquiera  de  sus  otros  términos 

en  función  de  los  demás. 

Ejemplo.— Suponiendo  que  ss  li-m  re  il» i  I  •  f  5000  á 
interés  compuesto  i  al  4  p.O/o  con  1 
tinguir  el  capital é  intereses  en:J  anual: 
to  asciende  la  anualidad I 

Calctlo. 

Anualidad^  ^00X0-04X[l4-Q-04]»_224-972800^10y 
[1+0,04]8~1  2'124864 

La  condición  indispensable  en  toda  cuestión  d»- 
nualidades  es:  que  el  conjunto  de  todas  las  annalida 
des  i  de  sus  intereses  compuestos  debe  am-  tan- 

to el  capital  prestado  como  los  intereses  com]>uH9ton 
de  este  capital  durante  el  plazo  conwni 

RENTAS  VITALICIA* 

341  Definición.  Se  llama  renta  vitalicia,  la  anualidad 
que  recibe  una  persona  por  un  capital  prestido  con  la 
condición  de  que  al  fin  de  su  vida  quede  '\;¡  cuidos» 
caudal. 

Para  encontra?%  la  renta  vitalicia  ds  una  persona  se 
aplica  la  regla  de  las  anualidades,  oonsJderaado  por 
tiempo  la  edad  probable  de  la  misma  persona. 

A  continuación  insertamos  una  tabla,  que  da  la  e- 
dad  de  una  persona  con  el  tiempo  probable  de*  *u  vida 

Edades 1,    5,      10^  lfi,  »    26\    80.   8B,  40. 

Duración  probable  37,  4»*.,  43,  39,  351,  32*,  »*,»,«, 

Edades 4X  ; 

Duración  probable  20,  17,  14,  11,  8|,    OJ,     5,  3*,  ! 

Según  esto,  para  una  persona  de  r>0añoe  qoe 

de  vida  probable  17,  su  renta  vitalicia  sería  una 
Iidad  calculada  con  un  tiempo  igual  á  estos  17  a 

AMORTIZACIÓN. 

342  Definición.—  Llámase  amor  i,  U  egjietoai 
que  hacen  el  Gobierno,  el  Municipio  o  na  soctedaa 


—  1  8  4  — 

cualquiera,  de  la  deuda  que  contraigan  con  motivo  de 
un  empréstito  que  hayan  formalizado. 

Para  calcular  el  fondo  anual  de  amortización,  se 
emplea  comunmente,  la  fórmula  de  las  anualidades; 
pero  algunas  naciones  (que  han  adoptado  otro  sistema 
para  amortizar  sus  empréstitos,  el  cual  consiste  en  ex- 
tinguir el  capital  prestado,  por  medio  de  un  fondo  a- 
nual  invariable  i  de  los  intereses  compuestos  que  este 
fondo  produce,)  hacen  uso  de  esta  otra  fórmula: 

Fondo  anual  de  amortizacion^CaPitalx  tanto  P°tr  1 

(1+ tanto  por  1)*— 1 

IMPOSICIONES. 

343  Definición. -Se  llaman  imposiciones,  los  capitales 
colocados  en  algún  establecimiento  de  crédito  i  en 
tiempos  iguales,  con  el  objeto  de  reunir  otro  capital 
al  cabo  de  cierto  plazo. 

Para  hallar  el  capital  ó  suma  capitalizada  al  cabo 
de  cierto  tiempo  de  una  imposición  se  aplica  la  siguien 
te  fórmula: 

Cap.=imposicion  x  [1  + tanto  por  Í]'+*-[l  +  tanto  por  1] 

tanto  por  1 

Observación. — Los  cálculos  sobre  anualidades,  ren- 
tas vitalicias,  amortización  é  imposiciones,  se  facilitan 
mucho  con  el  auxilio  de  tablas  que  las  hai  construidas 
apropósito,  i  en  su  defecto,  con  el  empleo  de  los  loga- 
ritmos. 

Reglas  ele  tanto  por  ciento  ó  cuestiones  de 
percentaje. 

344.  Reglas  de  tanto  por  ciento  son  ciertas  reglas  de 
tres  en  que  uno  de  sus  términos  es  100  ó  una  modifi- 
cación de  100. 

Cuestiones  de  percentaje  son  aquellas  en  que  hai 
que  tomar  el  tanto  por  ciento  de  una  cantidad. 

Corresponden  á  las  reglas  de  tanto  por  ciento  las 
cuestiones  de  ganancias  i  pérdidas,  de'  corretaje,  de 
tara,  de  comisiones,  de  seguros,  de  fondos  públicos  ó 


—  i  8  '>  — 

rentas  sobre  el  papel  del  Estado,  d€  íspueatoa  i  de  le- 
tras de  cambio. 

Para  dar  una  idea  de  todas  estas  i  s  pone- 

mos á  continuación  un  ejemplo  de  cada  una  001  N 
solución  correspondiente, 

345  I.©  Cuestión  de  ganancia*  i  pérdJda$*-B*  \ 
dio  una  mercadería  en  $400  ganándose  »-n  la  v.-m 
p.Q/b  ¿cuánto  costó  dicha  mercadería  í 

Resolución. 

$100—$105  )   Y_  100X400     *oat*QK 

X-  400  \  X~      105     =***rf* 

346  2.°  Cuestión  de  corretaje.  -¡Cuánto 
retaje  de  una  letra  de  $3600  al  1'.*  I  p.Qftl 

RESOLUCIÓN. 

$  100— 1' 50  \  v_  1? 60X8600  _**, 

$3600-  X    (  A~ Í00~ 

347  3,°  Cuestión  de  tara  [l].-;Cuál  M  la  Kan  come- 
pondiente  á  1400  qq.  peso  bruto,  siendo  la  tara  el  6 

p.Q/b? 

RlSOLUOIOK. 

100  qq.  peso  bruto-5  qq,  tara  I  x=  5X14Q  ml$  ^ 

1400   „       „         „     -X„      M     |  •  loo 

348  4.°  Cuestión  de  comisión,     ün  «omisioniMa  na 
vendido  una  mercadería  por  %'X  ndo  su  comWoo 

el0'50  p.O/o  ¿cuánto  le  corresponde! 

Resolución. 

$  100-0' 50  )  Y=    0*50X3600     #iTfMl 
$3500—  X    |  A  100 

349  5.°  Cuestión  de  seguros.- I n  comer£*^ltr"¡? 
asegurar  un  cargamento  de  quesos  que  remite  a  ao«*» 


(1)  Tara  es  el  peso  de  los  sacos,  caja»  etc.  en  qua 

mercaderías.  .r„mAmAmrm^ékt  á   k 

P¿«<?  Jrwí<?  ó  éticio,  es  el  peso  de  la  «n«J» 
peso  neto  ó  ftwpio,  es  el  de  solo  la  mercadería. 


-186- 

York,  siendo  el  valor  del  cargamento  $450  i  pagando 
3  p.O/o  de  prima  ¿cuánto  le  importará  el  seguro  del 
cargamento. 

Resolución, 

„  450— X  1  100 

350  6.°  Cuestión  de  fondos  públicos:  ¿Sabiendo  que 
los  vales  de  la  deuda  interior  están  en  el  país  al  36  p.Q/b 
¿cuánto  costarán  en  plata  $3400  en  vales? 

Resolución. 

$  100  en  vales— $36  en  plata  )  x_  36X3400_ ^ 994 
$3400  en  vales— X  en  plata  J  A loo 

351  7.°  Cuestión  de  impuestos. -Sabiendo  que  en  Gua- 
temala, la  contribución  de  alumbrado  es  el  5  p.Q/b  so- 
bre el  producto  anual  de  las  casas  ¿cuánto  deberá  en- 
terar cada  trimestre  un  propietario  cuyas  casas  redi- 
túan anualmente  por  todo  $15600? 

Resolución. 

t    10.0—5    )  v     5X15600    ÍTOn    ,    -     ,  ^nrk 

$15600— X  \         — TY) —  ~  *       a  °  sean  *        ca~ 

da  trimestre. 

352  8.°  Cuestión  de  letras  de  cambio  [1].-Se  necesita 
sobre  California  una  letra  valor  de  $2500,  i  sabiendo 
que  el  cambio  está  al  5  p.Q/b  de  premio  ¿cuánto  de- 
berá entregarse  aquí  en  plata  por  dicha  letra? 

Resolución. 

$  100  de  letra-$105  plata  )  v     105X2500    ^aor 
$2500  de  letra—  X    plata  f  X=    ~^oo — =*2625 


[1]  Se  llaman  letras  de  cambio  ciertos  documentos  que  se  dan  para 
pagarse  en  otra  plaza  comercial. 

Las  letras  de  cambio  pueden  estar  á  premio  ó  á  descuento.  Están  & 
premio  cuando  por  $100  de  la  letra  se  han  de  dar  aquí  más  de  100  pe- 
sos en  plata;  i  están  á  descuento  cuando  por  100  pesos  de  la  letra  se 
han  de  dar  aquí  menos  de  100  pesos  en  plata. 


—  18  7- 


Regln  de  promedio*. 

353  Definieron.— Llámase  regla  de    roraedioe  laque 

tiene  por  objeto  hallar  el  término  medio  de  ?aria»  can- 
tidades. 

Para  hallar  el  promedio  de  rarioe   número»,   «1 
dase  la  suma  de  todos  por  el  número  .1 

Ejemplos.—  1.°  En  un  colejio  mcr 

mes  $350,  en  el  2.°  540,  en  el  3.°  4c 
el  5.0  36d,  en  el  6.°  420  i  en  el  7 

tara  por  término  medio  en  cada  uno  de  los   :  roe 

meses  del  año? 

350 

540 

400 

500-j  térm°.medio=9Q0B  :  :=*48Sr571 

365 


Resolución 


l 


420 
390 


Suma  $2965 
2.°  Habiéndose  medido  una  dist.-mcia. 
encontró  como  primer  resultado  17."»  m« 
17^24,  como  3.°  175*25,    <'«>mo  4.°  17  «>mo  &• 

m'SO  i  como  6.°  175'01  ;niál  WBtí  el  Minino  medio 
de  estas  cantidades,  i  por  lo  tanto  »*1  valor  imUaproxi* 
mado  de  la  distancia  i 

tm     { 

|  174'24  ¡ 
Resolución  \  J^Sel  ténn  .  medió»  LOOrafc*  Wtm 

|  174'SO  |  Luego  el  valor  iu;N 

[175?01  [distancia,  será  de   174  metra  I 

777  milímetros. 

Suma  1048' 66 

Regla  de  mezclad  aligación.  (1) 

354  Defimcion.-Uegla  de  mezcla  óaligadOBeemqie 


(1)  La  palabra  mczrl.i  M  aplu-:i  a  :a>  nUTCijkrtt I 
la  misma  naturaleza;  i  la  palabra  «i '.•'./  "¡o*  «los 
binan  en  estado  tandeóte. 


-188- 

ensefia  á  resolver  las  siguientes  cuestiones: 

1.»  Dados  los  ingredientes  i  sus  precios  ó  calidades, 
hallar  el  precio  medio  ó  calidad  media,  sin  perder  ni 
gana*. 

2,»  Dados  los  precios  ó  calidades  de  los  ingredien- 
tes, i  el  precio  ó  calidad  media,  hallar  el  número  de 
ingredientes  que  deben  mezclarse  de  cada  clase. 

La  regla  para  resolver  la  primera  cuestión  se  llama 
regla  de  aligación  media;  i  la  que  se  aplica  para  resol- 
ver la  segunda  se  llama  regla  de  aligación  inversa  6 
alternada. 

355  Aligación  media.  Regla. — Para  hallar  el  precio  6 
calidad  media  de  varios  ingredientes  mezclados,  mul- 
tipliqúense las  cantidades  de  estos  por  sus  precios  ó 
calidades  respectivas,  i  el  producto  divídase  por  la  su- 
ma de  las  mismas  cantidades. 

Ejemplos, — 1.°  Teniendo  20  garrafones  de  aguar- 
diente de  á  $20  el  garrafón;  16  garrafones  dea  §10;:  45 
de  á  $15  i  4  de  á  $12,  desean  mezclarse  con  el  objeto  de 
realizarse  el  aguardiente  con  mas  baratura  i  prontitud 
sin  perder  ni  ganar  ¿cuánto  costará  el  garrafón  de  a- 
guardiente  mezclado? 

Resolución. 

20  garrafones— $  20 $  400 

16        „  -„10....„160 

45        „  -„15....„675 

4        „  -„12....„    48 


Suma  85  garrafones        Suma  $1383  :  85=  $15' 09,    pre- 
cio á  como  puede  venderse  el  garrafón  de  la  mezcla. 

2.°  Tenemos  24  onzas  de  oro  de  18  quilates  la  onza, 
35  onzas  de  á  15  quilates,  40  onzas  de  20  quilates  i  5 
onzas  de 22  quilates.  Si  se  mezcla  este  oro  ¿de  cuán- 
tos quilates  saldrá  la  onza  de  la  mezcla? 


-18  9- 

.  Resolución. 

24  onzas— 18  quilates. .  ,.488  quilate* 

3o    „     —15        „       ... 
4°     *      -20        „       ... 
5    ,,      -21        M       ....ii,, 


104  Suma  1867:  104=  19  quilates 

que  son  los  que  próximamente  tiene  rada  ona  de  oro 

mezclado 

Aligación  inverna. 

356  La  aligación  inversa  se  divi-  :,,ple  \  con. 

puesta:  es  simple  cuando  solo  se  dan  dos  prados  6 
calidades  i  el  precio  ó  calidad  media;  i  es  compuesta. 
cuando  se  dan  más  de  dos  precios  6  calidades  fel  pre- 
cio ó  calidad  media. 

En  la  aligación  simple  ocurren   cuatro 
á  continuación   exponemos  con  su 
reglas, 

357  1.°  Dados  los  precios  ó  calidades  rio  ó  ca- 

lidad media,  hallar  él  número  de  ingredientes  de 
cada  clase  Regla. — Escríbase  á  la  derecha  del  rosólo 
ó  calidad  mayor  la  diferencia  entre  el  precio  o  cali 
dad  menor  i  el  precio  ó  calidad  media,  i  á  la  derecha 
del  precio  ó  calidad  menor,  la  difsTSttflia  entre  el  precio 
ó  calidad  mayor  i  el  precio  ó  calidad  media. 

Estas  diferencias  i  los  números  que  resal  leo  de 
multiplicarlas  ó  dividirlas  por  una  misma  cantidad 
darán  cuantas  soluciones  se  quiera,  de  modo  que  la 
cuestión  es  indeterminada. 

Ejemplo.— Teniendo  cafó  de  á  $12  el  quintal  i  csü 
de  á  18  ¿cuántos  quintales  podríamos  mezclar  de  cm- 
da  precio,  para  vender  el  quintal  de  la  mezcla  á  %\\ 
sin  perder  ni  ganar? 


Rkoli  oioh, 


$12  qq 4  qq.  2  qq,  8  qq.  12  qq.  10  qq.  1  qq. 

$18  qq 2  qq.  1  qq.  4  aq.  6  qq.    )  qq.  I  I 

10  se  ve  en  este  cálculo,   la  diferencia  entre  si 


$14u 

Como  se  ve 


—  1   9  0  — 

precio  menor  i  el  medio  que  es  14  Ja  colocamos  á  1^ 
derecha  de  12  i  la  diferencia  entre  el  precio  mayor  i 
14  la  colocamos  á  la  derecha  de  18.  De  aquí  resulta 
(pie  se  pueden  mezclar  4  qq.  de  á  $12  el  quintal  con 
9  (|q.  de  á  $18;  i  si  ambas  diferencias  las  multiplica- 
mos 6  dividimos  por  una  misma  cantidad,  resultan 
los  números  2  i  1;  8  i  4;  12  i  6,  etc.  que  también  resuel- 
*ven  perfectamente  la  cuestión, 
358  2.  °  Dados  los  precios  ó  calidades,  el  precio  ó  cali- 
dad media  i  la  suma  de  todos  los  ingredientes,  ave- 
riguar los  que  deben  mezclarse  de  cada  clase. 

Regla. — Hállense  las  diferencias  por  la  regla  ante- 
rior, i  después  divídase  la  suma  dada  de  los  ingre- 
dientes en  partes  proporcionales  á  las  mismas  dife- 
rencias. 

Ejemplo.— ¿Cuántos  litros  de  vino  de  á  7  reales  i  de 
a  16  reales  podrán  mezclarse  para  tener  3600  i  tros  i 
vender  el  litro  de  la  mezcla  á  12  reales? 


Resolución. 


3600  1, 


(    7rls 4  í  3600  :  9=400 

12  i  16  rls.  . . .  tj5 1  400X4=  1600  litros  precio  inferior 
(  9  (    400X5=2000  litros  precio  superior 

En  efecto  1600  litros  +  2000  litros  =3600 
359  3.°  Dados  los  precios  ó  calidades,  el  precio  ó  cali- 
dad media,  i  la  diferencia  entre  el  número  de  in- 
gredientes de  un  precio  ó  calidad  i  el  número  de  in- 
gredientes del  otro  precio  ó  calidad,  hallar  el  número 
de  ingredientes  de  cada  clase. 

Regla.—  Hállense  las  diferencias  según  se  ha  ex- 
plicado: multipliqúese  después  la  diferencia  dada  en- 
tre los  números  de  ingredientes,  por  la  diferencia  es- 
crita al  lado  de  cada  precio  ó  calidad;  i  los  productos 
divididos  por  la  diferencia  entre  las  diferencias  coloca- 
das al  lado  de  cada  precio  ó  calidad,  serán  respecti- 
vamente los  números  de  ingredientes  de  cada  clase. 

Ejemplo.— Se  quiere  mezclar  aguardiente  de  25 
centavos  la  botella  con  aguardiente  de  33  centavos: 
pero  con  la  condición  de  que  se  tomen  40  botellas  mas 


19  1  — 


de  un  precio  que  de  otro.    Queriendo  que  cada  bo- 
tella de  la  mezcla  se  venda  á  28  centavos  ¿cuánta»  de- 
berán mezclarse  de  cada  prado! 
Resolución. 
40  botellas  mas  de  un  precio  qat  da  , 


28 


f 25  centavos.. 5  f        40X5    200     tllft.    é  „ 
,  ^  =  -^á-_.100  botella» 


L  33  centavos . .  3  [  s=  40X3^120  _w  ^.^ 

I  en  efecto,  100  botellas— 60  bolletas— 40  boteOaa» 
diferencia  supuesta.  (1) 

360  4.  °  Dados  los  precios  b  calidades \  1 1  precio  6  ca- 
lidad media,  i  el  número  de  iu</r<<¡¡ 
ció  ó  calidad,  liallar  él  número  de  ingrediente*  del 
otro  precio  ó  calidad. 

Regla.—  Hállense  las  diferencias  como  antes: 
vídase  después  el  número  de  ingredi 
por  la  diferencia  escrita  al  lado  del   precio  ó  calidad 
correspondiente  á  dicho  número,   i  el 
tiplicado  por  la  otra  diferencia,  dará  el  número  di 
gredientes  que  se  busca. 

Ejemplo. — ¿Cuántas  onzas  de  oro  de  18  quilates  po- 
drán mezclarse  con  260  onzas  de  25  quil 
salir  cada  onza  de  la  mezcla  de  20  quintales! 

Resolivion. 

Difs. 

2oUfqq'o,™  1    o     ÍY-p0O¡«Xd-40O««i« 

j  25  qq.200  onzas  f    2      I         L 

Luego  deben  mezclarse  500  onzas  de  18  quilate*»  «t 
decir  de  calidad  inferior. 

Aligación  inversa  compuesta. 

361.  l.cr  Caso.— Dados  los  precios  ó  calidad*  d* 
ingredientes  i  el  precio  o  calidad  media*  ñauar  toa 
ingredientes  que  pueden  mezclarse  de  cada  dase* 

(1)  La  letra  /significa  número  de  ingrediente»  de  PJJJ**  ¡ 
inferior,  i  la  S}  número  de  ingredientes  de  precio  o  calida*  «*] 


—  1  9  2  — 

Regla.— Conexiónense  cada  dos  precios  ó  calida- 
des que  comprendan  al  precio  ó  calidad  media  i  há- 
llense después  las  diferencias  como  si  se  tratase  de 
aligaciones  simples.  Cuando  haya  mas  precios  ó  ca- 
lidades superiores  que  inferiores  i  viceversa,  se  suma- 
rán las  diferencias  que  correspondan  á  un  mismo  pre- 
cio ó  calidad.  Las  diferencias  que  resulten,  i  los  nú- 
meros que  se  obtengan  multiplicándolos  ó  dividién- 
dolos por  un  mismo  número  darán  cuantas  solucio- 
nes se  quiera  del  problema. 

Ejemplos.—  1.°  ¿Cuántos  litros  devino  de  á  8  rea- 
les, de  á  10,  de  á  5,  de  a  17  de  á  16  i  de  á  20,  podrán 
mezclarse  para  vender  el  litro  de  la  mezcla  á  13  reales? 

Resolución. 


Primeras  conexiones 


Soluciones 


r 


5  rls. 
8rls. 


12 


rls^10rls' 


16  rls 
I  17  rls 


! 


8 
5 
4 
^2 
4 


L  20  rls. .. ..  J  7 


Segundas  conexiones 


12  rls.  \ 


5  rls. 

8  rls. 

10  rls. 

16  rls. 

!  17  rls. 

L  20  rls. 


í    I 


i 

v 


Terceras  conexiones 


16  1 

10  1 

81 

41 

81 

141 


241 
15  1 
12  1 
61 
121 
211 


..4  1 
..2'5  1 
..2  1 
..1  1 
..2  1 
..3'51 


Soluciones 


10  1 

16  1 

81 

41 

14  1 

81 


;     151; 

....2'51;.. 

;     241; 

...4     1;.. 

;    121; 

...2     1;.. 

;       61; 

...1     1;.. 

5    211; 

...3'51;.. 

;    12  1; 

...2     1;.. 

Soluciones 


12 


f  5  rls. 
8  rls. 

rls  i  10  rls' 
rls*  1  16  rls. 

|  17  rls. 

120  rls. 


..2  1 
..4  1 
..2'51 
..3'51 
..1  1 
..2     1 


De  un  modo  análogo  podrían  hacerse  otras  conexio- 
nes i  encontrar  mas  sistemas  indeterminados  de 
soluciones. 


1  9  3  — 


2.o  ¿Cuántos  quintales  de  café  de  á  $10  *1  quintal 
de  á  13  de  á  16  i  de  á  20  podrán  mezclaras   pan 
salga  el  quintal  de  la  mezcla  á  |111 


Resolución. 


$11 


f$  10)  )  1  9  +  5  +  S 
l„13f  \  lqq.. 
1„16..  )    ^lqq.. 


Soluciones 
2=16  qq,  32  qq.  48 qq.  8qq.  i 

2qq:   Bqq:  -'        1 
2qq: 


20....J  lqq 2qq;    3  qq: -J      .1       . 

362.  2.°    Caso. — Dados  los  precios  ocal  i  da  dea  ÓV 
ingredientes,  el  precio  ó  calidad  media  i  la  suma  de 
todos  los  ingredientes,   hallar  los  que  deben  tomara* 
de  cada  clase. 

Regla. — Encuéntrense  las  diferencias  por  la  regla 
del  caso  anterior,  dividiendo  después  la  suma  dada 
de  los  ingredientes  en  partes  proporcionales  á  dichas 
diferencias. 

Ejemplo. — Se  quiere  mezclar  aguardiente  de  á  7 
reales  de  á  8  dea  10  de  á  16  i  de  á  20  reales  la  boíl 
para  vender  la  botella  de  la  mezcla  á  1 9  reales,  i  con 
la  condición  de  que  en  la  mezcla  resulten  380  botellas 
¿cuántas  deberán  tomarse  de  cada  pre< 

Resolución, 

Primeras  conexiones 

f   7  rls.  • ' '  •  I  8;  12X8-  96  botv 

8  rls.  "'I    |  8;  12X8-  96 

19    ,        10  rls.  I    i    I 3;  12X3-  30    „ 

12  lls*  1  15  rls.  f    \\ 2;  12X2-24    „ 

|  20  rls...  J  J  5+4=9;  12X9-U* 


360  :  30=12 


* 


Segundas  conexiones 


r  7  rls  •  •  1      8;  12X3—36  bots. 

8  rls!"  I  1 8;  12X8-96    „ 

1Q    -    JlOrls.l    h  8;  12X8-90    .. 

12rls'Íl5rls.  [      [ 5;  12X6-6n 

¡20  rls.  j  ..J  4+2=6;  12X0-72 

360::i<>  12 


-194- 

Terceras  conexiones 

f  7  rls.  •  •  1       3;     14'4X3=  43'2  bts.  1 

8  rls."  h  8;     14'4X8=115'2  „      |   * 

19  ris  J 1()  rls- 1  f  i 3;  i4:4X3=  43:2  »  ¡*  g 

x¿  rls'  ]  15  rls.  \  J    [5  +  2=7;     14'4X3— 100' 8  „      |   §- 
|  20  rls J  4;     14'4X4=  57'6  „     J   § 

o 

360  :  25=14' 4 
Cuartas  conexiones 

f  7rls.  •• '  1  8;  12'  857x8=102'  856  bots.  ^ 

8„1        j 3;  12'  857x3=  37'  571     „       |  £ 

i<vJ10"M    I  8;12'857*8=102'856    „       ^g 

1Jr']15„J    M 2;12,857x2=  25'714    ,,       |§- 

|  20  „  . .  J  J  5x  2=7;  12'857x7=  89'999     „      J   o 

o 

360  :  28=12' 857 

Como  se  ve  en  este  caso,  resultan  tantas  solu- 
ciones, cuantas  sean  las  diferentes  conexiones  que 
puedan  hacerse  con  los  precios  ó  calidades  de  los  in- 
gredientes. 

363  3.er  Caso.-Dados  los  precioso  calidades,  el  pre- 
cio b  calidad  media  i  el  número  de  ingredientes  de 
uno  de  los  precios  ó  calidades,  hallar  el  número  de 
ingredientes  de  cada  uno  de  los  demás  precios  ó  ca- 
lidades. 

Regla. — Encuéntrense  las  diferencias  según  se  di- 
jo en  el  primer  caso:  después  divídase  el  número  de 
ingredientes  conocido,  por  la  diferencia  escrita  al 
lado  del  precio  ó  calidad  á  que  corresponde  dicho  nú- 
mero de  ingredientes:  el  cociente  multipliqúese  por 
cada  una  de  las  demás  diferencias  i  los  productos  se- 
rán los  números  que  se  buscan. 

^  Ejemplo.— ¿Cuántas  libras  de  té  de  á  3,  de  á  8,  de 
á  11  reales  deberán  mezclarse  con  60  libras  de  á  12 
reales  para  que  resulte  la  libra  de  la  mezcla  á  9  reales? 

Resolucíon. 

Primeras  conexiones  1.»  solución 

f  3"1  rls 3  f  f  10x3=30  Ib 

9rls.  \    *  i   ^r]s ?Í60  :  6=10- \  10x2=20  » 

1  11  f   ¡rls Io  iU'  ]  10xl=io„ 

112..  J  rls.  60ft6  L  l 


1    ' 

Segundas  conexiones 

f   3rls.  ]         ...2  f 

q  i     j    8  rls.  ¡*  1  3,'    rt  .  . 

9llb-1llrls.J    L,..61«°:1- 
1 12  rls. . .  J  60  fbl  [ 

(50 

l 

'•lut'icn 
H- 18ii 

t> 

En  este  caso  también  se  observa   que   nMiltan  tan- 
tas soluciones  diferentes    cuantas 
dan  hacerse  con  los  precios  ó  calida* 
364  Para  probar  las  operaciones  dr  aligación  inven*, 
multipliqúense  los  ingredientes  enconi 
se  supongan  por  sus  precios  ó  calidades  respectiva*, 
i  si  la  suma  de  estos  productos  dividida  por  la  rama 
de  ingredientes,  dá  de  cociente  el  ]  ululad  »*• 

dia  es  prueba  de  estar  bien  resuelta  la  cocetl 

Así  por  ejemplo,   para  probar  la  primera  solución 
del  ejemplo  anterior  haremos  el  siguiente  calcule 

30  ft>  x  3=  90  rls.  f 

20  „x  8=160  „ 

10„xil=ll0  „   -¡  1080  :  4*>-9  ríe.  6 

60  ,,x  12=720  „    i  sea  »-l  precio  media 

núm.  de  libs.  120;  Suma  1080;       l 

REGLA  CONJUNTA,  CAMKIOn   | 
ARBITRAJES. 

365  Definición— Se  llama  regla  con  junta  la  qne  tie- 
ne por  objeto  hallar  la  relación  qoe  hai  entre  doe 
cantidades  de  diferentes  especies,  conociendo  la  i 
lacion  que  estas  cantidades  tienen  con  otrae  inter- 
medias. , 

366  Principal  aplicación  de  esta  re</la.—Mm 
tiene  por  aplicación    mas  importante.    la  r*dncc 
de  pesas,  medidas  i  monedas  de  M  |  ais  i  lee  de  € 
conociendo  las  relaciones  que  ellas  tienen  eon  lee 
otro  ú  otros  paises  diferentes.  i_-u 

367  Cambio.— 1a  regla  conjunta  recibe  el  i 

regla  ele  cambio,  cuando  se  refiere excine*  »• 

la' reducción  de  monedas  de  un  país  á  ma§m 

3    División    del  cambio.-E\  cambio  ee  divide   en 


-196- 

nacioiial  ó  interior  i  extranjero  ó  exterior;  directo  é 
indirecto.  Nacional  es  el  que  se  verifica  entre  plazas 
de  una  misma  nación;  extranjero  el  que  se  verifica 
entre  plazas  de  diferentes  naciones;  directo  el  que  se 
hace  con  solo  la  intervención  de  dos  plazas  comercia- 
les é  indirecto  el  que  se  hace  con  la  intervención  de 
varias  plazas. 

Se  llama  cambio,  la  mayor  ó  menor  cantidad  de 
monedas  de  una  plaza  que  dan  por  una  ó  varias  mo- 
nedas de  otra  plaza. 

368  Arbitraje. — Llámase  arbitraje  la  comparación  de 
lo  que  cuesta  el  cambio  indirecto  con  el  directo  entre 
dos  plazas. 

Según  esto  la  regla  conjunta  toma  el  nombre  de 
arbitrajes,  cuando  sirve  para  comparar  las  monedas 
de  un  pais  con  las  monedas  de  otro. 

369  Para  resolcer  la  regla  conjunta,  escríbanse  las 
equivalencias  unas  debajo  de  otras,  procurando  que 
el  primer  miembro  de  cada  una  sea  de  la  especie  del 
segundo  miembro,  de  la  anterior,  i  que  el  segundo 
miembro  de  la  última  equivalencia  sea  de  la  especie 
de  la  incógnita.  Multipliqúense  después  ordenada- 
mente las  equivalencias,  i  fórmese  un  quebrado  cuyo 
numerador  sea  el  producto  indicado  que  no  contenga 
la  incógnita  i  su  denominador  el  producto  indicado 
que  si  la  contenga. 

Simplifíquese  este  quebrado,  i  su  valor  será  el 
que  resuelva  la  cuestión. 

Ejemplos,— 1.  °  ¿Cuánto  costarán  50  varas  de  paño, 
sabiendo  que  61  varas  equivalen  á  51  metros;  que  el 
metro  tiene  100  centímeros  i  qne  5  centímetros  de 
paño  vale  25  centavos? 

Resolución. 
X    cs.=  50  varas  , 

61  vs.=  51  metros  j  ^     50x51x100x25    ^nfVAO 

1    m.=100  centímetros  1  X== 6TxT75 ^209  °2 

5  cm.=  24  centavos       ' 

2.°  ¿A  cuántas  varas  equivalen  100  anas  de  Ham- 
burgo,  sabiendo  que  7  de  estas  equivalen  á  6  de  Pru- 
sia;  100  anas  de  Prusia  á  67  metros,  i  5  metros  á  6  va- 
ras de  Hamburgo? 


-1  9  7- 


Resoluoioh, 


X  vs.=100  anas  Habgo.  , 

7    =    6  anas  Prusia  i  v  i.o      100x6x67*6*    J* 
100       =  67  metros  ,  X  VS- -TxTooxF-»^ 

o     =     b  vs.   Habgo.    l 

3  o  ¿A  cuántos  pesos  gnatemalfa  ..n  500 

rublos   de  Rusia,    sabiendo  que  4<>   rubín 
equivalen  ál4  ducados  de  Ilamluu 
Hamburgo  á  50  florines  de  Alemani; 
Alemania  á  15  chelines  de  Inglaterra;  .V„> 
Inglaterra  á  42  francos  i  5  francos  á  un   peso  «ate 
mal  teco. 

Resolución. 

$X=500  rublos  Rusia     | 
40=  14  duc,   Habgo.      ¡ 
7=  SOflnes.  Alemanes  \  ^v     :»«>«•    !  ;    " 

rS=  íg «¿hiñes.  Ingtrra.  f"  4o>  ; 

52=  42  francos 
dr    Ipeso  j 

DÉLAS  PROGRESIONES. 

370  Definición.— Sv  llama  pi  n  una  aérk* 
números  tales  que  cada  uno  se  dfléreoria   del  tyM  1- 
antecede  en  una  misma  cantidad.  <'» . «  (goal  ali|iie|* 
antecede  multiplicado  por  una  mism 

371  División.— Las  progresiones  tedivtta  »-n  pro- 
gresiones por  diferencia  i  progresiones  por  corirmi*. 
i  cada  una  de  estas  en  progresiones  ota  Mi  ■!*  I  'kf- 

>Sfe  ¿fo'ce  que  una  progresión  es^e  ncia  cmuh 

do  cada  término  se  diferencia  del  qne  la  precede  en 
una  misma  cantidad,  i  por  cocienb  lo  cada  tér- 

mino es  igual  al  que  le  precede  multiplicado  por  usa 

misma  cantidad. 

Una  progresión  es  ascendente  cuando 
nos  van  creciendo  de  izquierda  á  derecha  i 
dente  cuando  van  disminuyendo. 


5?      n 


?? 

por  1.° 

>J 

„'  u 

Jl 

„     N 

>1 

„      P 

55 

f,     D 

V 

,     R 

íí 

í,     s 

-198- 

La  cantidad  en  que  difiere  un  término  de  otro  en 
una  progresión  por  diferencia  se  llama  diferencia  de 
la  progresión;  i  la  misma  cantidad  por  la  cual  se  mul- 
tiplican los  términos  en  las  progresiones  por  cociente 
se  l!:nna  razan  de  la  progresión. 

372  En  la  resolución  de  las  cuestiones  que  dependen 
de  las  progresiones  entran  en  combinación  varias  can- 
tidades á  saber: 

Un  término  cualquiera  que  lo  representaremos  por  T 

Primer  término  ,;  ,, 

Ultimo  término         ,,  ,, 
Número  de  términos,, 
Producto  de  términos, , 

Diferencia  ,,  la 

Razón  ,,  „ 

Suma  de  términos     ,,  ,, 

Progresiones  por  diferencia. 

373  Su  formación. — Para  formar  una  progresión  por 
diferencia,  si  se  quiere  ascendente,  escríbase  un  nú- 
mero i  añádasele  una  cantidad:  al  resultado  añádasele 
la  misma  cantidad:  á  este  resultado  añádasele  la  mis- 
ma cantidad  i  así  sucesivamente. 

Si  se  quiere  descendente,  escríbase  un  número  i 
réstesele  una  cantidad:  al  resultado  réstele  la  misma 
cantidad:  á  este  resultado  réstesele  la  misma  cantidad 
i  así  sucesivamente. 

374  Su  escritura. — Para  escribir  una  progresión  por 
diferencia  póngase  primero,  es  decir  á  la  izquierda, 
el  signo -+,  i  á  continuación  todos  los  términos  ponien- 
do un  punto  entre  uno  i  otro- 

Ejemplos.  1.° — Supongamos  que  se  quiere  formar 
i  escribir  una  progresión  por  diferencia  ascendente, 
cuyo  primer  término  sea  5  i  su  diferencia  3. 

Operación. 

-+5  .  5  +  3  .  5  +  3  +  3  .  5  +  3  +  3  +  3  .  5+3+3+3  +  3  , 
bien~5.     8     .      11       .         14  .  17 

2.°  Formar  i  escribir  una  progresión  descendente 
cayo  primer  término  sea  15  i  su  diferencia  2. 


—  1  í)  í)  — 

Operación. 

-t-15  .  15-2  .  15-2-2  .  15-2-2-2  . 
bien:  -=-15  .    13    .      11      .        9 

375  Lectura. — Para  leer  una  protfreskni  p  A   \\U 
cia  antepóngase  la  palabra  como,  i 
i  otro  termino  las  palabras  es  a. 

Así  la  progresión  anterior  se  leerá:  romo  15  es  á  1  3 
es  á  11  es  á  9  es  á  7. 

376  Propiedades, -Las  principales  |  .«lea  de  la 
progresión  por  diferencia  son  las  sigui»-;. 

1.a  Cuatro  términos  consecutivos  forman  una  equi- 
diferencia. 

Así,  en  la  progresión  anterior  se  verifica  10 

2,»  Tres  términos  consecutivos  forman  una  ♦•tjunli 
ferencia  continua. 

Así,  por  ejemplo,  de  la   misma  progresión  rvault»: 
15—13=13—11. 

3.a  Dos  términos  consecutivos  forman  eqiiulifeitev 
cia  con  otros  dos. 

Así,  15—13=9—7. 

4.»    Tres  términos    equidi  enti%  sí  formen 

equidiferencia  continua. 

Así,  15-11-11-7. 

5.a  La  suma  de  dos   términos  equidistantes  de  lee 
extremos  es  igual  á  la  suma  de  estos. 

Así,  en  la  progresión  anterior  se  verifica  1. 

377  Formula  yara   /■■<■■ 
progresiones.—  Progresiones  ascendentes. 

n)  t=i  °+Dxn.°  de  términos  precede) 

(2)  U=1.°  +  DX(N- 1) 

(3)  l.o-U-Dx(N-l) 

TT_1    o 

(5)N=U^-+l 

Progresiones  descemlent.  -  „„^.,«.  ¿  t 

(6)  T— 1  °— Dxn."  de  ¡.i)K'.!(;3preced«it«»  i 

7    XJ-l'.—  DX(N-l) 
(8)  i..«U+Dx(N-l) 


(»)i>- 


—  2  0  0 

l.o— U 


(10)  N-i^5+l 

Fórmula  común  á  ambas:  S=(1,°+U)X?(11) 
Sabiendo  qué  significa  cada  letra  que  entra  en  las 
fórmulas  esmui  fácil  traducirlas  al  lenguaje  ordinario. 

378  Interpolación  de  medios  por  diferencia. — Para 
interpolar  entre  dos  términos  de  una  progresión  ;cual- 
quier  número  de  medios  por  diferencia,  basta  encon- 
trar la  diferencia  de  la  progresión  i  formar  esta. 

Supongamos  por  ejemplo  que  entre  15  i  30  se  quie- 
ren interpolar  cuatro  medios  es  decir  cuatro  números 
que  con  15  i  30  formen  una  progresión  ascendente 
verbigracia. 

Como  la  progresión  va  á  tener  seis  términos  la  di- 
ferencia será: 

30—15      Q 

por  consiguiente  la  progresión   es:    ^15  .  18  .  21  .  24  . 
27  .  30. 

379  S¿  entre  cada  dos  términos  consecutivos  de  una 
progresión  por  diferencia  se  interpola  el  mismo  nú- 
mero de  términos,  se  verifica  que  los  términos  inter- 
polados i  los  de  la  progresión  propuesta  forman  una 
sola  progresión  total. 

Ejemplo.— Sea  la  progresión  -r-4.  10.  16.  22.  28. 

Si  entre  cada  dos  términos  interpolamos  2  medios 
verbigracia,  la  diferencia  de  todas  las  progresiones 
parciales  será  2  :  luego  la  progresión  que  resulta  es: 

•^-4  .  6  .  8  .  10  .  12  .  14  .  16  .  18  .  20  .  22  .  24  .  26  .  28 

Problemas. 

380  1.°  Un  capital  impuesto  á  rédito  produjo  al  cabo 
del  primer  año  750  pesos:  al  cabo  del  segundo  770: 
al  cabo  del  tercero  790  i  así  sucesivamente  ¿cuánto 
produciría  de  interés  al  cabo  del  octavo  año? 

(Apliqúese  la  fórmula  [2]  ) 

2.°  Un  móvil  caminó  el  primer  dia  de  su  partida  5 
kilómetros  i  el  último  26.    Suponiendo  que  cada   dia 


-  ¿  O   1  - 

recorría  3  kilómetros  mas  que  el  din  anterior  |e*  cuán- 
to tiempo  verificó  su  viaje? 

(Apliqúese  la  fórmula  [10]  ) 

3.°  Para  abrir  una  zanja  de    15   varas  de   profundi- 
dad se  ofreció  á  un  jornalero  12 
vara  i  tres  cuartillos  de  aumento  en   la 
cada  una  de  las  demás  varas.   ;Cu. 
última  vara  i  cuánto  por  la  abertin 

(Apliqúense  las  fórmulas  [7]  i  [11] ) 

4.°  Un  dependiente  de  comercio  ¡i    aneció  en  casa 
del  Señor  N.  12  años:  comenzó  ganando  7  pesos  men- 
suales i  terminó  ganando  350  pesos   .  I 
aumento  de  sueldo  que  tenia  cada  D 

(Apliqúese  la  fórmula  [4]  ) 

5.°  Un  caminante  quiere  llegar  á  cierto  lugar  en 
término  de  35  dias,  i  para  ello  procura  caminar  cada 
dia  2  leguas  masque  en  el  anterior:  el  último  día  an- 
duvo 24  leguas  ¿cuántas  leguas  caminó  ♦•!  primer  dia 
i  cuántas  en  los  36  dias? 

Apliqúense  las  fórmulas  [3]  [11 

6.°  Un  caballero  quiso  obsequiar  á   un 
lustrándole  cierta  pensión  durante  ; 
merdia  le  dio  35  centavos  i  el  último  |1 
dose  lo  que  le  dio  los  demás  dias  mtidad  re- 

cibió la  joven  en  todo  el  año. 

Apliqúense  las  fórmulas  [11]  i  [4] ) 

7.°  Un  reloj  que  toquelas  medias  i  las  horas  ¿cuan 
tas  campanadas  da  en  24  tal 

(Apliqúense  las  fórmulas  [2]  i  [  11]  ) 

8.°  Una  personase  comprometió  a  pa^ar  un  cap 
tal  por  abonos  mensuales:   el   primer  aten 
$5400  el  segundo  de  *:>:w:>.  el  :■ 
cesivamente  pagando  $35  ni 

Habiéndose  concedido  de  blaao  U  meses  ja  ce» 
to  asciende  el  valor  del  capital: 

(Apliqúense  las  fórmulas  [7]  i  [11] I )  .^ 

9.°  Hallar  el  número  de  términos  de  ™J*V¡" 
descendente  cuyo  primer  término  es  100Q,   I 
cia  7  i  el  último  término  902. 

(Apliqúese  la  fórmula  [10]  ) 


—  2  O  2  — 

Progresiones  fior  cociente. 

381  Definición. —  Progresión  por  cociente  es  una  se- 
rie de  números  tales  que  cada  uno  es  igual  al  que  le 
antecede  multiplicado  por  una  misma  cantidad  lla- 
mada razón  de  la  progresión. 

Cuando  la  razón  es  mayor  que  la  unidad  la  progre- 
sión resulta  ascendente  i  cuando  es  menor  descen- 
dente. 

382  Bu  formación.—  Para  formar  una  progresión  por 
cociente  se  escribe  un  número  cualquiera  i  luego  se 
multiplica  dicho  número  i  cada  número  de  los  qne  re- 
sulten por  la  razón  que  se  elija  de  antemano. 

Así  por  ejemplo,  si  queremos  que  sea  3  el  primer 
término  de  una  progresión  i  2  la  razón,  los  términos 
que    la    formen  serán: 

3,   3X2,   3X2X2,  3X2X2X2.  3X2X2X2X2,  etc.  ó  bien: 
3,      6,  12,  24,  48,  etc. 

383  Su  escritura. — Para  escribir  una  progresión  por 
cociente,  se  escribe  al  principio  el  signo  ff  que  se  lee 
como,  i  después  cada  uno  de  los  términos,  interpo- 
niendo entre  uno  i  otro  dos  puntos,  (  :  )  que  se  leen 
es  á. 

Según  esto,  la  progresión  anterior  se  escribirá: 
•H3  :  6  :  12  :  24  :  48  etc. 

384  Sus  propiedades.— Las  principales  propiedades 
de  las  progresiones  por  cociente  son  las  siguientes: 

1.a  Cuatro  términos  consecutivos  forman  propor- 
ción por  cociente  discreta. 

Ejemplo.— 1=1?  (refiriéndonos  á  la  progresión  an- 
terior.) 

2.»  Tres  términos  consecutivos  forman  proporción 
por  cociente  continua. 

Ejemplo.— |=i 

3.a  Dos  términos  consecutivos  forman  proporción 
discreta  con  otros  dos  términos  consecutivos. 

Ejemplo.— |=^. 

4.*  Jül producto  de  dos  términos  equidistantes  de 
los  extremos  es  igual  producto  de  estos. 

Ejemplo.— 6X24=3X48. 

385  Sus  fórmulas.— 1j\§  fórmulas   de  que  nos  vale- 


+  1 


I  O  :*  — 

mos  para  resolver  los  problemas  ,1,   ,., 
cociente  son  las  siguientes:  ! 

Para  las  ascendentes. 

T=l.V\'R-i(1) 
r=l.°XR«- 
2  °_ U 

R=V  ! 

]Sr  =  l0g.    U-Ipg.    l.« 

log.  R 

S=(UXR)-I. 
R-l 
Para  las^descendentes. 
m__JL°    .     T^__  1.  o 

Rñ=T-'        L       £¥-, 

l.^ÜXR11-1;   R=\\- 

S=1^-UXR.  log.  l.°-log.U 

1-R     '   *  lo-   B 

Fórmula  común:  P=V(E¡    l 

Estas    fórmulas    pueden  fáoiln  aducir»*»  al 

lenguaje  ordinario,  subiendo  que  las  letTM  QM  •  ntraa 
en  cada  una  significan  lo  misino  qu»«  »-n   I 
nes  por  diferencia. 

Así,  por  ejemplo  la  última  fórmala  \uv  pan 

encontrar  el  producto  de  todos  los  término  ti*  aaa 
progresión  por  cociente,  se  eleva  el  producto  de  Im 
extremos  á  la  potencia  de  un  grado  igual  al  numero 
de  términos  i  después  se  extrae  la  rail  cuadrad*  de 
dicha  potencia. 

386  Gomo  se  observa  en  las  fórmulas  ;     rodéala*, 
número  de  términos  de  una  progresión  por 
encuentra  por  medio  de  los  logaiitmoaj   P*ro 
puede  encontrarse  sin  necesidad  de  ellos 
de  la  siguiente 


(1)  La  letra  j\r significa  en  e>ta  formula  el  número  «W 
preceden  al  término  T. 

(2)  La  ^significa  aqni  el  número  de  términos  dt  I» 


—  Z  O  4  — 


Regla, 


Para  hallar  el  número  de  términos  de  una  progre- 
sión por  cociente,  divídase  el  extremo  mayor  por  el 
menor:  el  cociente  divídase  por  la  razón  considerada 
siempre  como  mayor  que  1;  este  nuevo  cociente  i  todos 
los  demás  que  salgan  vuélvanse  á  dividir  por  la  mis- 
ma razón  liasta  que  resulte  un  cociente  menor  que 
ella.  El  número  de  divisiones  que  se  llagan  será  el 
número  de  términos  de  la  progresión. 

Cuando  la  última  división  no  es  exacta,  es  prueba 
de  que  no  es  posible  formar  progresión,  que  conste 
precisamente  de  los  términos  extremos  que  se  nos  den. 

Para  explicar  la  regla,  supongamos  que  se  quiere 
encontrar  el  número  de  términos  de  una  progresión 
cuyo  primer  término  es  3,  el  último  192  i  la  razón  2. 

Dispondremos  el  cálculo  como  sigue: 


192 


3 

-i  2 

64 

132 

2 
16 

2 

8 

2 
4 

2 
2 

2 
1 

Como  el  número  de  divisiones  practicadas  es  7  re- 
sulta que  la  progresión  consta  de  7  términos,  i  en  e- 
fecto  formándola  nos  resulta: 

-H- 3  :  6  :  12  :  24  :  48  :  96  :  192,  que  como  se  ve  cons- 
ta de  siete  términos  cabales. 

Supongamos  por  segundo  ejemplo  que  se  quiere 
calcular  el  número  de  términos  de  una  progresión  cu- 
yo primer  término  es  1458,  el  último  2  i  la  razón  \. 

La  progresión  considerada  como  ascendente  tendrá 
de  razón  el  entero  3.  Según  esto  el  cálculo  será- 


¿0  5- 


1458 


2 

3 

726 

3 

243 

3 

81 

27 

:; 


3 


1 


Habiéndose  efectuado  7  divisiones,  la  prograkm 
constará  de  siete  términos,  i  en  efecto  formándola  le- 
ñemos. 

-H-1458  :  486  :  162  :  54  :  18  :  6  :  2 

387  Inte? polar  medios  por  cociente.— Viim  interpolar 
entre  dos  términos  de  una  progresión  nú  maro 
de  medios  por  cociente,  basta  encontrar  la  raion  de 
la  progresión  i  formar  esta  en  seguida. 

Ejemplo. — Supongamos  que  entre  los  términos  3  I 
48  de  una  progresión  descendente  se  quieren  interpo- 
lar tres  términos. 

La  razón  de  la  progresión  es,  según  las  fórmalas 
anteriores,  Y48 V 3=2. 

Luego  la  progresión  será: 

#48  :  24  :  12  :  6  :  3,  siendo  24.  L9  i  6  los  medios  In- 
terpolados. . 

388  Si  entre  cada  dos  términos  de  una  progrsatoo  do 
cociente  se  interpola  el  mismo  núin 

términos  interpolados  i  los  de  la  progresión  lormM 

una  sola  progresión. 
Ejemplo.— Sea  la  pro-ivsion  :: 
Si  entre  cada  dos  términos  consecutivos  taimo 
laníos  dos  medios  verbigracia,   la  razón  de  toj 
progresiones  parciales  es  evidentemente  *  iwa& 

progresión  total  será: 

%?2  :  4  :  8  :  16  :  32  :  64  :  128  :  256  :  512  :  1WC 

Problemas. 

389  I.»  Cuenta  la  liistoriaque  Sessa ■?**&* ¡£í¡* 
India  en  recompensa  de  haber  >"venj**oel  * 
1  granito  de  trigo  por  la  primera  casilla  aei 


—  2  0  6  — 

2  por  la  segunda,  4  por  la  tercera,  i  así  sucesivamente 
duplicado  cada  número  hasta  completar  las  64  casillas 
del  tablero.  Esto  supuesto  averiguar*  1.°  cuantos 
quintales  de  trigo  pidió  Sessa;  2.°  cual  sería  el  valor 
de  estos  quintales  vendidos á  $10  cada  uno;  3.°  cuantos 
hombréense  necesitarían  para  contar  este  valor  i  en  cuan- 
to tiempo,  suponiendo  que  un  hombre  solo  contara 
£80400  diarios;  4.°  cuantos  buques  de  á  1000  tonela- 
das podrían  cargarse  con  ese  dinero  sabiendo  que  $16 
hacen  una  libra;  5.°  cuantas  vueltas  se  darían  á  la 
Tierra  suponiendo  que  22  pesos  puestos  uno  á  conti- 
nuación de  otro  componen  la  lonjitud  de  una  vara;  i 
0.°  cuantos  pesos  tocarían  á  cada  habitante  del  mun- 
do suponiendo  que  la  población  de  la  Tierra  es  de 
1400  millones  de  habitantes. 

2.°  Hallar  el  décimo  término  de  una  progresión  as- 
cendente cuya  razón  es  5  i  el  primero  20. 

3.°  Hallar  el  primer  término  de  una  progresión  des- 
cendente cuya  razón  es  i  i  el  último  término  360. 

4.°  Encontrar  la  suma  de  los  términos  de  una  pro- 
gresión ascendente  en  que  el  primer  término  es  4,  el 
ultimo  2500  i  la  razón  5, 

5.°  Calcular  el  número  de  términos  de  una  progre- 
sión cuya  razón  es  5  i  sus  extremos  312500  i  4. 

6.°  Un  deudor  se  compromete  á  pagar  su  crédito 
durante  10  meses  dando  6  pesos  el  primer  mes  i  cua- 
druplicando la  cantidad  en  cada  mes  siguiente  ;á 
cuanto  asciende  la  deuda? 

7.°  Convino  una  persona  con  un  correo  en  darle  25 
centavos  por  fu  primera  legua  que  can, i  lase  75  por  la 
segunda  i  así  sucesivamente  triplicando  la  cantidad. 
Habiendo  caminado  el  correo  24  leguas  ;á  cuanto  as- 
ciende lo  que  ganó? 

8.°  Un  cartero  comenzó  ganando  §2  mensuales  i  ter- 
minó ganando  120  pesos:  cada  mes  se  duplicaba  su 
sueldo  en  razón  de  la  buena  conducta  que  observaba 
¿cuanto  tiempo  estuvo  empleado? 

9.°  Una  persona  ofrece  á  otra  por  su  caballo 
$1500  pesos  i  otra  le  ofrece  solamente  un  centavo  por 
el  primer  clavo  de  las  herraduras,  2  centavos  por  el 
segundo  i  así  sucesivamente  duplicando  la  cantidad. 
Constando  las  herraduras  de  32  clavos  ¿cual  de  las  dos 


—  -2  O  ?  — 

ofertas  convendrá  mas  al  dueño  de)  cabal 
10.°  Suponiendo  que  un  grano  de  ti  i   tina  te» 

piga  de  50  granos   ¿cuántos  granos  daría  uno  #*q  n 

quinta  cosecha? 

11.°    ¿Cuantos  ascendientes  tiena  <«1  homhrv  «q  la 

rama  directa  de  la  octava  jeneracioní 

De  los  logaritmo-. 

390  Definición. -Logaritmos  son  los  términos  de 
progresión  por  diferencia  que  comienza  por  0  i 
corresponden  con  los  términos  de  una   pr* 
cociente  que  comienza  por  1. 

Así  por  ejemplo,   si  consideramos  las 

vfl  :  2  :  4  :  8  :  16  :  32  :  64  :  etc.  i 

-t-0  .  3  .  6  .  9  .  12  .  18  .  24  .  etc,   el  logaritmo  da  1 

será  0;  el  de  2  será  3;  el  de  4  será  6  i  asi  sucesiva  meato 

391  Sistema  de  logaritmos  es  la  reunión  de  dos  ~ 
gresiones  con  las  condiciones  de  que  una  - 
por  1  i  la  otra  por  0. 

Como  puede   haber  una  infinidad  de 
que   cumplan  con    las  condiciona 
que  hai  también   una   infinidad  de  sistema*  da 
garitmos.  .        .,    • 

En  cualquier  sistema,  el  logaritmo  de  la  nni 

siempre  0.  , 

Base  de  un  sistema  de  logaritmos  ea  i 
de  la  progresión  por  consiguiente  cuyo  logan 
1  en  la  progresión  por  diferencia. 
No  todos  los  sistemas  tienen  bases  exacU 
surables,    porque  no  siempre  a  \ 
las  progresiones  por  diferencia.  \émmmm  mm      ■- — 

En    sistemas  diferentes   de  logtóttnoe  nn  i 
número  puede  tener  logaritmos  diferen  •*»■  »  » 
versa,  un  mismo  logaritmo  puede  correspoaKM 
ferentes  números.  ,        ,      M11|Mfln 

392  Elsistema  de  logaritmos  jeneralmeBW^F" 
es  el  que  se  llama  ordinario,  mlgát, 

Brigss. 

Las  progresiones  que  forman  este 
siguientes: 


-208- 

-rfl  :  10  :  102  :  103  :  104  :  105....cc 

-+8.1.2.    3.4.    5... .00 

Los  únicos  números  que  en  este  sistema  tienen  lo- 
garitmos exactos  ó  conmensurables  son  las  potencias 
enteras  ó  fraccionarias  de  la  base  que  es  10. 

393  Llámase  característica  de  un  logaritmo  la  par- 
te entera  que  contiene,  i  mantisa  la  parte  puramente 
fraccionaria  ó  decimal. 

Así  por  ejemplo  en  el  logaritmo  5' 1458,  la  caracte- 
rística es  5  i  la  mantisa  1458  diezmilésimas.^ 

La  característica  del  logaritmo  de  un  número  ma- 
yor que  1  se  compone  de  tantas  unidades  enteras  co- 
mo cifras  enteras  menos  una  tenga  el  número. 

Así  por  ejemplo,  el  logaritmo  de  584' 1306  tendrá  2 
de  característica,  el  de  4' 75  tendrá  0;  el  de  11489  ten- 
drá 4;  etc. 

394  Los  números  que  en  el  sistema  de  Brigss  tienen 
solo  característica  en  sus  logaritmos,  son  las  poten- 
cias enteras  de  10;  los  que  tienen  mantisa  son  los  com- 
prendidos entre  1  i  10,  i  los  que  tienen  característica 
i  mantisa  son  los  comprendidos  entre  dos  potencias 
enteras  cualesquiera  de  10. 

Los  logaritmos  de  cualquiera   potencia  entera  de 

10  son  iguales  exactamente  al  exponente  de  la   misma 
potencia. 

Según    esto    el    logaritmo   de  108  es  8;  el  de  1011  es 

11  etc. 

Los  números  menores  que  1  tienen  logaritmos  me- 
nores que  cero,  es  decir,  logaritmos  sustractivos  6  ne- 
gativos. 

395  Si  un  número  se  multiplica  ó  se  divide  por  una 
potencia  entera  de  10,  la  característica  del  logaritmo 
de  dicho  número  se  aumenta  ó  disminuye  en  tantas 
unidades  como  unidades  tiene  el  exponente  de  10  pero 
la  mantisa  no  varía. 

Así  por  ejemplo,  si  tenemos  que  log.  35=1'54407,  el 
logaritmo  de  35X103  será  (1+4)' 54407  ó  5' 54407. 

De  igual  manera,  si  tenemos  que  log.  10569 =4' 02403, 
el  logaritmo  de  10569  :  102  será  (4-2)'  02403  ó  2' 02403. 


—  ¿Oí) 

Propiedades  de  los  loguritiMa. 

396  Las  propiedades  principales  de  los  logaritmo*  toa 
las  siguientes: 

1.»  El  logaritmo  de  un  producto  es  ¡nnnl  ala  turnia 
de  los  logaritmos  de  los  factores. 

Así  por  ejemplo,   log.   (5X12X4)=log.  f>  +  log  . : 
log.  4. 

De  aquí  se  deduce,  que  para    haoet  una  multipli 
cacion  por  medio  de  los  logaritmos  se  suman  lo* 
garitmos  de  los  factores  i  el  número 
á  esta  suma  será  el  producto. 

397  2.a  El  logaritmo  de  un  cociente  es  igual  al  loga- 
ritmo del  dividendo  menos  el  logaritmo  éU  'i  irisar' 

Así  per  ejemplo,  log.  (154  :  26)=1<  log.  25. 

De   aguise  deduce,  que  para   haoet  una  di 
por  medio  de  los  logaritmos  se  res-  del 

divisor  del  logaritmo  del  dividendo  i  el   n6flMV0  cor- 
respondiente á  esta  suma  será  el  cocien 

Como  un  quebrado  expresa  el  cociente  indicad*  • 
una  división,  su  logaritmo  se  encontrar!  hallando»  la 
diferencia  entre  el  logaritmo  del  numerador  i  »-l  Iqp  I 
mo  del  denominador,  debiendo  anteponerá  esta  diferen- 
cia el  signo  menos  cuando  el  quebrado  sea  propio. 

3.a  El  logaritmo  de  una  potencia  es  igual  ni  logarit- 
mo del  número  multiplicado  por  el  exponeit 

Así  por  ejemplo,  log.  45  =  log. 4X5. 

De  aquí   se  deduce,   que  para  elera!  ni    I  im«ro  á 
cualquiera  potencia,   se  multiplica  . 
cho  número  por  el  exponente,  i  el  número  oorreapoa 
diente  á  este  producto  será  la  potencia  que  ae  quier*. 

398.  5.a  El  logaritmo  de  una  rail»  igual  al  lo 
garitmo  del  número  subradical  dimdtdoporHnm 

s 
Así  por  ejemplo,  log.Vno  =log.  149  ¡ 
De  aquí  se  deduce,  que   para  extraer  una  rau \i 
cualquier  grado  por  medio  ele  los  logan t moa,  «e  «mi 
de  el  logaritmo  del  número  por  el  índice  ralea] 
número  correspondiente  á  este  cociente  seré  la  ratt 
que  se  quiere. 

399.  Las  propiedades  explicado*.  IM^VjX* 
las  para  demostrar  la  gran  ventaja  i  utilidad  «W  MN 


-210- 
logaritmos,  resultando  de  ellas  que  la  operación    de 
multiplicar  se  reduce  á  sumar,  la  de  dividir  á  restar, 
la  de  elevar  á  potencias  á  multiplicar,  i  la  de  extraer 
raices  á  dividir. 

400.  Calcular  el  logaritmo  de  un  entero.— Tara  en- 
contrar el  logaritmo  vulgar  de  un  número  entero  en 
menos  de  una  pjarte  alícuota  de  la  unidad,  elévese  di- 
cho número  á  la  potencia  de  un  grado  igual  al  deno- 
minador de  la  parte  alícuota  i  el  número  de  cifras  de 
esta  potencia  menos  una,  divídase  por  el  mismo  de- 
nominador. 

Ejemplo. -Calcular  el  logaritmo  de  20  en  menos  de  - 

La  quinta  potencia  de  20  es  3200000:  el  número  de 

cifras  de  esta  potencia  menos   una  dá  6:   dividiendo 

pues,  6  por  5,  el  cociente  1'2  es  el  logaritmo  de  20  en 

menos  de  ~ 

401.  Convertir  un  logaritmo  todo  sustr activo  ó  ne- 
gativo, en  otro  equivalente  de  solo  característica  ne- 
gativa i  mantisa  aditiva  6  positiva. — Regla:  aumén- 
tese una  unidad  entera  á  la  característica  i  póngase 
el  signo  menos  encima  de  la  suma:  en  seguida  réstese 
de  9  cada  cifra  de  la  mantisa,  con  excepción  de  la  pri- 
mera de  la  derecha  que  se  resta  de  10. 

Ejemplo.— Convertir  el  logaritmo— 3' 15742,  en  otro 
de  característica  negativa  i  mantisa  positiva. 

Agregando  1  á  la  característica  i  poniendo  el  signo 
menos  encima  de  la  suma  resulta  4;  restando  después 
cada  cifra  de  la  mantisa  de  9  i  la  primera  de  la  dere- 
cha de  10,  resulta  84258,  luego— 3' 15742= 4' 84258. 

Tablas  de  logaritmos. 

402.  Definición.—  Llámanse  tablas  de  logaritmos  á 
un  libro  cuyas  pajinas  divididas  en  columnas  contie- 
nen los  logaritmos  de  los  números  enteros  desde  1  has- 
ta cierto  límite. 

Hai  tablas  grandes  i  tablas  pequeñas:  las  primeras 

contienen  los  logaritmos  de  los  números  hasta   100000 

6  108000;  i  las  segundas  hasta  10000  ú  11000. 

La  ventaja  de  las  tablas  de  logaritmos,  se  comprende 

desde  luego,  por  la  sencilla  razón  de  que  seria  mui  difí- 


—  2  1  1  _ 

cil  hacer  una  operación  si  hivii  ,lar  ..,r 

separado  el  logaritmo  de  cada    núm.ro  Jo  cual  no  •» 
fácil  ni  exijiría  poco  tiempo. 

Aunque  todos  los  autores  de  tablas  logarítmica* 
traen  por  separado  las  reglas  para  haoBf  uso  de  Hlnn, 
no  está  demás  exponer  á  continuación  loe  doe  proble- 
mas que  pueden  ocurrir,  valiéndonos  ] 
tablas  de  Laland  que  son  las  que  mas 
el  curso  de  Aritmética  elemental. 

403.  Primer  'problema. — Dado  un  número  cnalqnl* 
ra  hallar  su  logaritmo. 

l.er  Caso:  que  el  número  sea  entero  i  ruté  con 
en  las  tablas:  entonces  el  logaritmo  de  dicho  mu 
se  hallará  á  su  derecha  en  las  mismas  tablas. 

Así  por  ejemplo,  el  logaritmo  de  . 

404.  2.°  Caso,  que  el  número  sea  entera 
contenido  en  las  tablas.— En  este  o  irense  en  el 
número  de  derecha  á  izquierda,  tantas  cifras  pare  de- 
cimales cuantas  basten  por  lo  menos  para  qne  la  |*r 
te  entera  que  quede  sea  un  número  contenido  m  lee 
tablas.  Búsquese  después  la  mantisa  del  logaritmo 
de  este  número  i  súmese  con  el  producto  de  la  <\k 
dad  decimal  separada  en  el  númeao  por  la  diferencia 
entre  dicha  mantisa  i  la  siguiente  de  las  tablas.  I*  ro- 
ma que  resulte  será  la  mantisa  del  logaritmo  del  Ho- 
mero propuesto,  i  la  característica  se  fórmala,  recor- 
dando que  es  igual  al  número  de  cifras  enteras  del  ri- 
mero dado  menos  una. 

Ejemplo.— Hallar  el  logaritmo  de  158405. 

Separando  para  decimales  dos  cifras  por  lo 
resulta  1584' 95:  la  mantisa  del  logaritmo  del  eol 
1584,  es  19976;  i  la  diferencia  tabular  en 
tisa  i  la  siguiente  es  27  cienmilésimas.  (1) 
pues  á  dicha  mantisa   el   producto 
que  es  la  cantidad  decimal  separada  por  27  cienmll* 
simas  tendremos  que  la  mantisa  del  luí^tro£¿J2*"I 
mero  propuesto  es  0'  19976 +0'95X0? 00087' 
como  el  número  tiene  seis  cifras  enteras,  la  caree* 


(1)  Las  diferencias  entre  los  logaritmos  de  doj  núJ"J"¡* 
vos,  se  hallan  en  las  tablas  en  una  columna  que  dic«  ü»l 
te  D  por  arriba. 


-212- 

tica,  de  su  logaritmo  será  5.  Luego. 
Log.  158495=5' 20002. 

405.  3."  Caso,— Hallar  el  logaritmo  de  un  quebra- 
do ordinario. — Para  calcular  el  logaritmo  de  un  que- 
brado ordinario  hállese  la  diferencia  entre  el  logarit- 
mo del  numerador  i  el  logaritmo  del  denominador, 
debiendo  anteponer  á  dicha  diferencia  el  signo  menos 
(— )  cuando  el  quebrado  sea  propio. 

Ejemplos.—  1.°  Log.  ™-=log.  135-log.  46=2'  13043— 
T  67276=0' 46757. 
2.°  Log.  £3=log.  4875— log.  5306=3' 68797=  -01 03680 

406.  3,er  Caso.— Hallar  el  logaritmo  de  un  núme- 
ro decimal. — Para  calcular  el  logaritmo  de  un  núme- 
ro decimal  póngase  en  forma  de  quebrado  ordinario? 
i  procédase  en  lo  demás  como  en  el  caso  anterior. 

Ejemplos,—  1.°  Log.  25'14=log.  ^=log.  1514— log 
100=1'40037. 

2.o  Log.  0'1465=log.  fJÍ55-=log.  1465— log.  10000=— 
0,83416. 

Para  Jiallar  el  logaritmo  de  un  número  misto,  re- 
dúzcase á  quebrado  i  queda  reducida  la  operación  el 
2.o  caso. 

407.  Segundo  problema:  dado  un  logaritmo  liallar 
el  número  á  que  corresponde. 

Primer  caso.  Que  tanto  la  característica  como  la 
mantisa  se  encuentren  en  las  tablas. — En  este  caso 
el  número  que  se  busca  se  encuentra  en  las  tablas  á  la 
izquierda  del  logaritmo  dado. 

Ejemplo.— Siendo  log.  N=2'97589,  tendremos  que 
N  será  igual  á  946, 

2.o  Caso. — Que  solo  la  mantisa  se  encuentre  en  las 
tablas. — Entonces  multipliqúese  el  número  á  que  cor- 
responde esta  mantisa,  por  la  unidad  seguida  de  tan- 
tos ceros  cuantos  basten  para  que  el  número  que  se 
busca  tenga  un  número  de  cifras  enteras,  igual  al  nú- 
mero de  unidades  de  la  característica  mas  una. 

Ejemplo.— Sea  el  logaritmo  722866  cuya  mantisa 
está  en  las  tablas.— El  número  á  que  corresponde  esta 
mantisa  es  1693:  luego  el  número  correspondiente  al 
logaritmo  dado  será  16930000,  que  como  se  vé,    consta 


—  2  13  — 

de  tantas  cifras  enteras  como  unid, 
terística  mas  una. 

3."  Caso.— Que  la  característica  cst?  rn  las  labias 
i  la  mantisa  no'—  En  este  caso,  búsquese  la  manüm 
menor  que  mas  se  aproxime  á  la  mantisa  dada,  l  «•• 
críbase  el  número  de  las  tablas  á  que  corresponde.  En 
seguida  agregúese  á  este  número  como  destínale*  el 
cociente  que  resulte  de  dividir  la  diferem  •  la 

mantisa  dada  i  su  menor  próxima,  por  la  dif 
entre    esta    misma    mantisa    i    la    siguiente,   mayor 
délas  tablas.  El  misto  que  asi  resolte 
que  se  busca. 

Ejemplo. —  Buscar  el  número  ú  qu«-  < 
logaritmo  3' 14745. 

La  mantisa  menor  que  mas  se  aproxima 
logaritmo  es  14735,  que  se  refiere  en  las  tablas  ni 
mero  1404. 

La  diferencia  entre  esta  mantisa  i  la  propásala  ea 
10,  i  la  diferencia  tabular  entre  la  mantisa    14?:C»  i   la 
siguiente  mayor  de  las  tablas  es  31.    Ai 
á  1404  como  decimal,  el  cociente  de  dividir  10   poi 
que  es  0' 32258  tendremos  1404' 32258,  qo  I   núme- 

ro que  se  busca. 

Luego  3,14745=log.  1404'  32258. 

408,  4,#  Caso.  Que  ni  la  tnanttsa  ni  la 

estén  en  las  tablas.— Entonces  hágase  el  logaftUM 
característica  contenida  en  las  tablas  i  procedas* 
mo  en  el  caso  anterior,  corriéndola   coma  Sf 
el  misto  que  resulte,  tantos  lagares  á  la  den  «-ha  man- 
tos basten  para  que  el  número  que  - 
tas  cifras  enteras  como  unidades  mas  una   la  caracte- 
rística del  logaritmo  dado» 

Ejemplo.— Buscar  el  número  correapoi  ««  « 

ga ritmo  5' 14745.  . 

El  número  correspondiente  á  3'  i  41 
del  caso  anterior,  1402' 32258.  Luego  el  del  logarit 
propuesto  será  140232' 258,  con  seis  cifras  enteraa  po 
que  la  característica  tiene  5  unidades, 

409.  5,°  Caso.— Que  el  logaritmo  sea  todo 

ó  sus  tr  activo.— TZn  este  caso,  réstese  el  logaritmo  di 
como  si  fuera  aditivo,  de  un  número  entero  i 
característica  mas  4,  i  búsquese  *d  num-m  correapo 


—  2   1   4  — 

diente  al  logaritmo  que  resulte  por  diferencia  i  con 
característica  3.  Luego  divídase  dicho  numero  por  la 
unidad  seguida  de  tantos  ceros  como  unidades  tuvo  el 
minuendo  de  que  se  restó  el  logaritmo  dado,  i  el  co- 
ciente será  el  numero  que  se  busca. 

EJEMPLO. -r Hallar  el  logaritmo  de  2' 10749. 

Restando  este  logaritmo  de  2+4  6  sea  6  tendremos 
6— 2'  10749=3' 8925Í.  El  número  correspondiente  á  es- 
te logaritmo  es,  según  el  tercer  caso  7807"  5,  i  dividien- 
do ahora  este  número  por  la  unidad  seguida  de  seis 
ceros  resulta  0' 007807o.  Luego, 

2'10749=log,  01 0078075. 

410.  6,°  Caso. — Que  solo  la  característica  sea  nega- 
tiva.— En  este  caso  réstese  la  característica  como  si 
fuera  aditiva  ó  positiva,  de  un  número  entero  igual  á 
la  misma  característica  mas  3,  i  búsquese  en  seguida 
el  número  correspondiente  al  logaritmo  que  resulte  de 
característica  3.  Divídase  después  dicho  número  por 
la  unidad  seguida  de  tantos  ceros  cuantas  unidades 
sirvieron  de  minuendo  á  la  característica  del  logarit- 
mo dado  i  el  cociente  será  el  número  que  se  busca, 

Ejemplo.— Buscar  el  número  correspondiente  al  lo- 
garitmo F  35483. 

Restando  la  característica  de  3  +  3  ó  sea  6  queda  el 
logaritmo  3' 35483.  El  número  correspondiente  á  este 
logaritmo  es,  según  el  tercer  caso,  2263'75,  i  dividien- 
do este  número  por  la  unidad  seguida  de  seis  ceros  re- 
sulta 01 00226372.  Luego 

5'3o483=log.  0' 00226375. 

Del  complemento  logarítmico. 

411.  Definición.  —  Complemento  de  un  logaritmo  es 
la  cantidad  que  falta  á  este  para  valer  10  ó  la  unidad 
inmediata  seguida  de  cercs, 

412.  Para  encontrar  el  complemento  á  10  de  un  lo- 
garitmo réstense  todas  las  cifras  de  la  mantisa  de  9 
menos  la  primera  de  la  derecha  que  se  resta  de  10. 

Así  por  ejemplo,  el  complemento  á  10  del  logaritmo 
3' 15482  será  igual  á  10-  3' 15482  6  bien  á 


-215- 

99099  + JO 
31548  +  2 


6"  8451  8 

413.  Complemento  logarítmico  de  un   número  «  el 
complemento  del  logaritmo  de  este  nún¡ 

Así,  el  complemento  logarítmico  de  1884  M  a|  com- 
plemento de  3' 27045  que  es  el  logaritn, 
número. 

414.  Objeto  del  complemento  logarítmico.  — K\  com- 
plemento de  un  logaritmo  tiene  por  objeto  reducir  la  o* 
peracion  de  restar  á  una  simple  suma.    Para  conatpür 
esto,  súmese  con  el  minuendo  el  complemento  . 
del  sustraendo  i  de  la  suma  réstese  una  dea 

Ejemplo.  —  Hallar  la  diferencia  ♦•ir 

Operación. 

Minuendo....  3'  45789+ 
Compto.  á  10  del  sustraendo  6'7S639 

Suma..l0'244:>8    i  quitan.*,.  1  4* 
cena  resulta  0'24426  que  es  la  diferencia  pedida. 

415.  Cuando  haya  varios  sustraendos  i  un  solo  mi 
nuendo,  entonces  súmense  con  el  minuendo  todoa  toa 
complementos  á  10  de  los  sustraendos  i  en  la  suma  reá- 
tense tantas  decenas  como  sustraendos  haya. 

Supongamos  por  ejemplo  que  de  8*98764  ee  qile 
ren  restar  sucesivamente  los  siguini 
2' 47211,  3' 20103  i  1' 67304,  para  lo  cual   practicaraamas 
la  operación  que  sigue: 

Minuendo  8*98764 

Compto.  del  1er  sustraendo T 52789 

2  o  VNMn 

3-  fraseon 

Suma  31*64146,  i  quitam 

esta  suma  3  decenas  por  los  3  sustraendos. 

1' 64146  que  es  la  resta  que  se  desea 


—  2  1  6 


Conclusión, 


416.  Para  dar  una  idea  de  cómo  son  las  tablas  ele- 
mentales de  logaritmos,  ponemos  á  continuación  los 
Loga  ritmos,  de  los  números  enteros  desde  4950  hasta 

41)8:?.  .      . 


núm.j  logarit. 


4950 
4951 
4952 
4953 
4954 
4956 
4956 
4957 
4958 
4959 
4960 


3' 69461 
3' 69469 
3' 69478 
3' 69487 
3' 69496 
3' 69504 
3' 69513 
3' 69522 
3' 69531 
3' 69539 
3' 69548 


dif 

8 
9 
9 
9 

8 
9 
9 

í) 


num. 


4961 
4962 
4963 
4964 
4965 
4966 
4967 
4968 
4969 
4970 
4971 


logarit. 


3' 69557 
3' 69566 
3' 69574 
3' 69583 
3' 69592 
3' 69601 
3' 69609 
3' 69618 
3' 69627 
3' 69636 
3'  69644 


dif  núm.  ¡logarit.  dif 


4972 
4973 
4974 
4975 
4976 
4977 
4978 
4979 
4980 
4981 
4982 


3' 69653 
3' 69662 
3'  69671 
3' 69679 
3' 69688 
3' 69697 
3' 69705 
3' 69714 
3' 69723 
3' 69732 
3' 69740 


%t 


FIK 


■ 


r</[       U- 


índice. 


Compendio  histórico  de  la  Aritmética. 

Introducción 

Numeración 

Adición  de  enteros 

Resta  de  enteros 

Multiplicación  de  enteros 

División  de  enteros 

Pruebas  de  las  cuatro  operaciones 

Caracteres  de  la  divisibilidad •'• 

Números  primos 

Máximo  común  divisor 

Mínimo  común  múltiplo 7* 

Problema  acerca  de  los  diferentes  sistemas  de 

numeración 

Quebrados  comunes 

Fracciones  continuas 

Quebrados  decimales 

Números  complejos:  sistemas  de  medidas.  ! 

Elevación  á  potencias 

Extracción  de  raices ] 

Razones  i  proporciones ' 

Regla  de  tres ¡ 

División  de  un  número  en  partes  proporcionaba..  J 


Regla  de  compañia 


107 


Regla  de  interés  simple 

ínteres  compuesto jB 

Regla  de  descuento 

Regla  de  plazo  común 

Anualidades 

Rentas  vitalicias 

Amortización 

Imposiciones 

Reglas  de  percentaje 

Regla  de  promedios 

Regla  de  aligación 

Regla  conjunta,  cambios  i  arbitrajes. 

Progresiones .*.  7 

Logaritmos 


/•■
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