Astigmatische Spiegelung im dreiaxigen Ellipsoid...

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Di.itradb, Google

Di.itradb, Google

Jlstiamatiscbe Spiegdung im
dreiaxigen eilipsoid.

THaHdiiral-Di$$ertatioii

€rlangund der Doktorwurde

in

bohtn pt)iloiopblsd)en Takulläl der Candes-UntvtTSität Koslodt

voigelcgt von

friedrieb fyriip,

Diplom-InsenieuT 41» Hannover.

"'"•j. : -,\

ROSCOCK.

Olw. % OJtnltrbers't BucMrudtnet
l«05.

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RtImnI; Bm Ptol. Di. tüatbsniull).

c.s.,=ji,C(X)glc

meiNer immer

In Oebe und Dankbarkeit zua«li|nel.

1 nc, 1 79

Di.itradb, Google

«Google

Tnbaltsucrzeicbnis.

1) 61nle)tuiifl 7—1«

j) lleumannscht Tormeln und Ihre UmTormunsen . . ii— is

3) Präzislening des Problems 18—20

4) niattKmatlsdtc Jlblelhmgctt 20—30

s) RcdinerlsdK Bebandluiifl der Jlutaabe .... 30—39

6) Bemerkunsen zu den Cabcllen und Cateln . . . 40—41

7) Betraditungcn der Ergebnisse der üntersuAunsen . 41—45
») Caleln I— V.

Digilzedby Google

Di.itradb, Google

einicitung.

Bei der Siricgtlunfl und firedruna eintr ßruppt von Strahlen,
wtidie wlbKBd Ihres ganzen Uerlaules um ein unendJJdi Be-
ringet von der Ki())tung eines bestimmten, als festlltsend ge-
dachten, centralen Strahles abweichen, in einer sphärlsthen 5^läd)c,
haben wir von vornherein zu untersd)eiden, ob wir es in diesem
Talle mit lenhrethter oder sdtlefer Incidenz zu tun haben.

Die senhred)te Incidenz bildete den Segenstand der „dlop-
irlsdten üntersuibunsen von Bauss iflSttingen 1841). 6auss
kgle hierbei toisende Besd)rän)tunaen zu Brunde :

i) Die Krämmunasmittelpunltte der sphärisd) zentrierten
' nSAen Heuen auf einer Scraden, der optisdien J\xt. d. h- der
Qerbindungsllnle des leuAtenden Punktes mit dem HHimmunas-
mlttelpunkt der spiegelnden Ttädte.

i) Jllle leud)tenden Strahlen .sind sehr dünn und ver-
lauten In unmittelbarer Hähe der optisdien Jixe, sodass die 6tn-
lalls- und Srediungswlnlte] versdiwindend klein werden.

3) Die einfallenden Strahlen sind homozentrlsd). gehen also
von einem ieud)tenden Punkte aus. ,

Sdiwieriger gestalten sidt die BetTad)tungen für die sdiletc
Incidenz, d. h. fQr das Einfallen homozentrlsdKr Strahlenbiindel
In messbarer Entfernung von der optisdjen Mt. Die allge-

DigilizedbyGcXlglc

meintn 6ruttiUagtn für die hicTbei auftretenden Erscheinungen
findet man )n den grösseren CehrbüAern der Physik.' ^

Der erste, uield)er sid) ertolflreidi mit diesen ]uitoplisd}en
JInamorphosen besct)ätt)9i hat, sd)elnt der chunäsisdx ßof-
raed)anihus teupold gewesen zu sein. weld)tr seine Betrad}-
tungen, die allerdings nur das Srgelmls gelungener Uersudte sein
dürften, in einer 1 7 1 3 erschienenen Abhandlung „Jinamorphosa
med)anica nova" uerötfertllidit tiai.

Das üerdicnst. die £rsd)elnungcn bei sd)iefer Incldenz in
flehrümmten T1äd)en zuerst beobachtet und matbematlsd) bt'
gründet zu haben, gebührt dem Mathematiker üaques Sturm.'

Sturm wies nad), dass die von einem leuditenden Punkte
ausgebenden homozentrlsAen Slrahlen nad) der Spiegelung in
einer spbärlsAen Tläd}e bei sd)iefer Incidenz ntdH mehr homo-
zentrisd) bleiben, sondern dass sphärisd)e Jlberrationen auftreten.

Das gesamte auf die sphärlsd)e Tlädie fallende Strahlen-
bfisdKl lässl sld) In zwei Sd)aren ebener Büsdiel zerlegen.
Beide Jlrten der ebenen Büsd)el sdineiden sid) In |e einer Brenn-
linie ; dod) liegen die ßrennllnien der BfisdKl erster JIrt in da
Ebene der Büsdiel zweiter JIrt und umgekehrt.

Sämtlidie gebrodienen Strahlen gehen nun durch diese
beiden sld] kreuzenden, unendlld) kleinen Brennlinien und er-
leiden insofern eine tnodifikation. als sie in der tlähe des Bildes
einen tetraedrisdKn Raum ausfüllen.

Diese Ürt von Strahlenuereinigung bezeidinet man mit dem
Damen „Jlsll gmatismus" und nennt ein soldjes Strahlenböndel

') tnüller-Poulletl: LttfrbuA der Pbv)i)i. neunte Jtuflasf. Braun-
tdtwelg 1847.

"} Bealb; H Irealiie on geometrltal Optihs. ßambridfle f»<7.
DeutsAe nu«sabe von KambaeK. Berlin IS94.

*) Slurni tnemoir« sur i'optique. Poggend. JInii. iS4s. p. 116. J74.

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c)n asHgtnathdKs. Den ßegtnsaiz hierzu bildet der Stigmatts-
mus oder JTplanatismus. der die €laensd)aft der Ciditstrablen
bezeiAnct. nach der Spiegelung oder Brecbuiifl sid) wieder In
einem Punhie zu vereinigen.

Zur Beredtnuna der €niternungen und tagen der beiden
ßrennlinien halle Sturm in seiner oben erwähnten Sd)ri(t zumi
6leld)ungen aufaestelli. in welchen er die Objel(t- und Bild-
distanzen auf rechtwinhlige Koordinaten bezog.

€lne wesentlidie Uereintadtuna und grwttierung dieser
Cheorien braAte eine im Üahre 1867 erscheinende Schritt von
Kensd)* durch die Einführung der JTbsdssen honjuglerter Punitle
auf den £id)tsirahten selbst und durch Einführuna des Incldenz-
punhtes als ^nfangspunlct der Koordinaten.

Ulelter sind dann von £arl ßeumann" und Cudwld
tnatthiessen"'^ eingebende Untersudiungen angesleIH über
die £aae der Brennünlen eines unendlid) dünnen StrahlcnbQndels
zu einander und zum Jlxenstrahl. Sturm wies nach, dass die
von einem punkte ausgehenden Strahlen Brennlinien erzeugten,
weld>e senhred)! zum Rauptstrahl stehen und in zu einander
senkred)len Ebenen liegen, den sogenannten ^ohalebenen. Dieser

') Keutd) : Heflehtion und Bredtung dei U&itts In tpbarltdien Mäd)en.
Poggend. Ann. \S67 p. 497:

") neumann : Bred)uns seltr . dünner StraDlenbündel. Berld)! der
sädis. 6eielli<b. d. CUtitenich. malb- vhv*- Klaise isso. p. 53.

°) tnattbieieR: Untenudiungen über die Last der Brennllnien einet
unenillld) dünnen StraMenbändeli. Jlkta malh. mitlag-Ieffler IV. (is«4).
ScMömllAs Zeilidirltt für matb. u. phviili- 33 p. 167 {1S8S),

TnaltMe»en: Über den Jtsilämatiiinu! uon Slrablenbündeln bei
»dliefer Incideni. Eutribusd). Berlin. Zeliidirifl lür nergl. Jluflenbell-
hunde VI. § 3» (1889).

') Itlaltblejsen: Ober die Bedinsungiglelcbuugen der aplaneiiid).
Bred)ung. . . . Celpzlg. JTnnalen Jer PDvtih I94i. Band 2. p. 691.

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10

JTnsid)! fchloss tld) Kummer an, wätitend Heumann und
niattblessen aul Örund ihrer Unlersudiuiigcti zu dem SAluss
kamen, dass die Brennllnien niAt senl<red)t zum D.iüptstraM
slel)en, sondern im allgemeinen sdiiefe Ulinkel mit diesem t)i1den.

In den meisten der erwähnten JIrbeiten wurde als spfeijelnde
resp. lired)ende sphärische Tläche die einladiste, nämlich de
Kuäelttäche angenommen. Ergänzend möge hierzu n^cii das ge-
meinsame Ulertt uon Engef und Sdiellbadi „Darstellende
Opiih" ^ angeführt werden, deren Jinamorphosen jedoch unter
der Uoraussetzung entstanden, dass ein leuchtender Punkt in
einer spiegelnden sphärisdten Bäd)e sicis nur ein Spiegelbild hat.
€lne JTnnahme, welche alle nicht paraxiale Strahlen, d. h. alle
Strahlen parallel und in unendlicher Hähe der Me, von der
Betradttung aussd)liesst.

Im Segensatz zu allen diesen speziellen Tällen beziehen
sid) die von Karl Deumann aufgestellten Tormein auf die
8red)ung In beliebig gekrümmten Tläd)en. ■>

*) 6na«l u. Sdtfitbed): Danleltende Opiik. ßalle ]SS6. I). Ol, Sdimtdt.

DigilizedbyGtXlgle

©if Hfumannfifjm J^ormfln ü6tr hU
ftvümmUn Hädim.

Die uoTllcgtnde Jirbeit soll sldi mit der Cbcorie der Spiege-
lung im drelaxigen Ellipsoid beschäftigten. Indem wir von der
allflemeinen Torm der £. ßeumannsdien ä1eid)ungen ausgehen,
wollen wir die 0kid)ungen derartig uereinla*cn, wie es bei der
vorliegenden Aufgabe nSiig ist. um sie redineris* verwenden zu
können.

Unbeschadet, ob wir Stismatismus oder Jlstlgmatismus vor
uns haben. ge))t dlt $)}iegc)ung resp. Bredtung in der 6lnfalls-
ebenc vor std). d. h- in der 6tiene, welche durch den Hxenstrahl
des unendHA dünnen Strahlenbündels und das €intallstot be-
stimmt Ist.

Im €infall)punlif des tlAlstrahls auf die sphärische T1äd)e
denken wir uns an diese eine Cangentialebene gelegt und parallel
zu derselben in unend)id)er Habt eine zuteile Ebene. Dann
sd)neidtt diese Parallelebene von der spiegelnden spbärJsdten
TläAe eint Meine Kuppe ab. Die Spitze dieser Kuppt ist der

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Incidtnzpunkt, die Basti ein uncndlld) kleiner sogenanntcT
DupiiKtbcr HtatlsAnitt.

6anz allgemein bezeithnel man irgend eine durd) die
normale einer krummen Tläcbc gehende Ebene mit normalschnttt
und uerstebt unter dem ßaupl- und tlebennormalschnitt die beiden
aufeinander senltreAten 6benen, (ür wel*e der Krummutigsbalti-
mtsstr seinen grössten lesp. kleinsten Ulerl erreid)t.

Das nebenslebendt krumme Tlädieneiement besitzt zwei
ßauptkrümmuniisradien pi pi, weldte sid) im Incldenzpunkte
sd}neldtR. €r$itns den Krümmungsradius pi des I)auptnormal-
sAnltles, weld)er durd* den ßaupistra))! des Bündels und die
normale im Incidenzpunkt geleal ist, und zweitens den Krüm-
mungsradius p>, weld)er im nebennormalsd)nitt liegt. JTusseTdem
wird im allgemeinen die sphärisdte Kuppe durd) die €inla11s-
ebene und der dazu durd] die normale gelegten senkred)ten £bene

D,=;,lz...,C00g[c

13

in llonnalticgen geschnitten, deren KTümmungsradien p' und p"
zu den beiden Rauplkrümmunasradlen pi und h in einei be-
stimmten 8e2lel)ung stehen, die durd) das Jlzimeni e der €in-
tallstliene flegenfibcT dem ßauptnormalschniii gegeben Ist.

Der VW €uler autgestellte Satz lautet: Hr Irgend einen
normalsdinitl, dessen Ebene mit der Ebene des zu pt geböriaem
l)auptnoTma1sd)nitt den Ultnkel e bildet, isr:

Tür unseren Tall angewandt, bestimmt std) p- und p" a)s :
I cos 'e sin 'e

P' ~ Pl P2

1 Sin 'e 1^ cos '£

P" ~ P» "^ Ps '

Jluf diese Krümmungsradien bauen sid) die Deumann-
schen Tormein auf, weldie in der Kaloptrih und Oioptrik wegen
der ni5glid))ieit ihrer Einwendung bei {edem astigmatlsdien Problem
eine grosse Bedeutung erworben haben.

Das einfallende a priori astigmatlsdie Stra))lenbündel liabe
die beiden Objektdistanzen x« und €o der beiden Biennlinien bi
und ba mit dem JTzimute ^i der Tokalebene .^bf Das ge-
brodiene astigmatische Strahlenbfindel habe die Bllddistanzen xi
und Xi der beiden ßrennlinien ai und a^, mit dem Hzimutt pa
der Tokalebene ^ai. Terner wurde der Einlallswinkel ei und
der Bred>ungswlnkel ei genannt.

Die Dauptautgabe, zu deren Eösung die ßeumannsd)en
Tormein herangezogen werden, besteht nun darin, bei gegebener
Konstitution eines einlallenden Strahlenbiindels, die der gebrodienen
Strahlen zu Anden.

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14

Die flulaatie löst

Karl Üeuniann

ilurdv lolflcnde

0leld)ungcn;

la

M —tos

^C'?

1 sin'-'t'r \ j_ sine-
+ 5o J + sine,

cos' es

(^^ +

sin'ü

^)]- ■

IIa

«[-

e-'"^+

cos'H-, "^ , Sine
U f sine"

/•cos'it, ^
V xi .'

sin'

K

1-

lila

e -

cose^ s!n2t>i / I I \
sin 2 6 l. xo -Vo y

f

slncs. cos e sin 2 ^h / i
Sinei sin 2 2 \X;

X

.)]^'

In lilcser

6kidiungen

iSl:

B

Pi pj Sin ei

~ (Ps COS-

i + Pi Sin' £) sine

— ei

)

i

Pi P2 sin ei

(p. sin'

+ Pi»s^ e) sin (es

— «1

tt

P. pj sine.

(Pi —Pä )stn(e: — e,)

Bei diesen Toimeln ist uorausgesctzt: Der Einfalispunht des
$tral)ltnliiindels sei der Koordtnatenanlang und die Jlbscissen der
liontugierlen Punkte liegen aul den Strahlen. Zur Bestimmung
der Uorzeidten gel)t man von der Übereinhuntl aus. dass man
die Hbscissen aul dem Stralil uor der spiegelnden Tlädie positiv,
hinter der spiegelnden Tläd)e negativ einfülirt. Dem Krümmungs-
radius gicbt man das positive (forzelchen. wenn der einlallende
Strahl aul eine konvexe Tlldie, das negative, wenn er auf eine
konkave Tläche fällt.

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Statt des allgemtincn Falles, tür uitldKit oMgt ßleidiunacn
gelten, wo wir es von vornherein mit astigmatitcbem Dd)te zu
tun haben, können wir in unserem fall« homozentrisAe Strahlen
annehmen, soda» sld) die beiden Brennlinien ai und aa in einem
firennpunkfe utreinlsen und die Objektdistanzen x» und i-, iden-
lisdt werden, ßierdurdi lassen sltfi die flieichungen folgender'
massen ueteintachen :

Ib.

pl

pz sin ei

~

(p^

cos-' s 4- Pl

sin^ e) sin (ej -

-f«) _

' -

cos^ (j , sin

es cos^ ei
sin ei

(

C^

8-2 , sin=0-2\~

Pl

f! sin ei

■ ~

(p

Sin- « + Pi

coi' e) sin (ez —

e,)

sm e^ ("Sin'*
+ sin e, *- xz

Pi Pj sin «1

(p,

- p> ) sin (t

— Zz)'

sin

ii COS e, sin' *2
sin e« sin* e

(t-

v)

■■ I

Bei unserer Jfufgabe hatten wir uns die Besdtränkung ge-
stellt, dass der leiid)ttnde Punkt In der grossen Jlxc lltgl. mit--
hin wird für die beiden l)auptmcTfdlane, wtlthe die grosse Jfxe
enthalten, das Jlzimut e gleit!) O. €s fallen also in den Tällen
Eintallstbene und ßauptnormalscbnitt zusammen.

Durch diese Uereinfadiung verschwindet dann die dritte
6leid)ung. ausserdem wird das Jlzimut <*-, gleidi 90" d. h-
dic Brcnnlinle bi steht senkredit zur SinfalUebenc.

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Unstre btldtn utntdonnttn Sieicbunsen lauten dann:

Ic — P< ""*' j "^'a I i'"t^
siii{e» — si) ( X. Sinti

, /cos' Sj sin' 5, \

]| (. — Pa Sin Ci j_ p a Sin Cj /

sin(ez— e,)xo sin(e2— ei)l

l X2 Xi '

Jllle von Karl ßeu mann aufaesleillen gleicbunaen be-
zogen sidi aul die UoTflänge bei der Brechung, mitbin aelteii
audi die von uns vereinfacbien ßleiAungen lür die Brechung. 7ür
die Spiegelung tritt Insofern eine tllodilikation ein, als in diesem
Talle n = — I also sin ei — — sin e^ wird.

Da nun ausserdem, wie oben begründet, in unserem Taue
E = wird, so ergeben sieb für die Spiegelung In den ßauplmeri-
dianen (a b) und (a t) folgende verelntadlle 6leidiungen :

,d '-^

V X» Xi/

2 cos e, \Xt Xj/

Pi cos e^

+ -

2 X. 2 Xi

E! _!_ h _ ,

2 COS e^ Xo 2 cos e, x,

^ir lösen diese beiden Slelcbungen nad) den beiden In

Ibncn vorltommenden Unbehaitnien auf und erbalten fOr den

ßauptnornialsd)nilt :

Xq pi cos Cg
^^^ 2 Xo— pi cos tt

Digilzedby Google

und für den llebennormaischnitr.-

Xo pa
^^^ 2 COStaXo— pü

Ulährcnd sid) die krzlen vereinfachten Tormein aus der
Beziehung i = 0, wtld)e für die fjauplmeridlane ab und ac
des €l]ipsoids zutritlt. ergaben, müssen wir der für die Spiegelung
notwendigen Umformung in Bezug auf den Raupimerfdian (bc)
die neumannsd)en Tormein in der Torrn Ib, IIb, lllb zu
gründe legen.

Diese Tormein gehen dann über in:
mtii

p2 tos* E -j- pi sin ''

F cos eg
l_2Xo

».' . sln'Wl

\

?s sm £ + pi cos £ I 2 x„ eos c.

f'^+'ir')]-

. l

1 Xi Xi (J

Pi?2_sin2 8- j I _ 1)

"'^ 2(p.-P2)sin2^X2 sj- '

Jetzt wollen wir die Annahme madien, dass9'3 = 90'

wird, d. h. dass die Brennlinie senkredit zur 6infallscbene steht.

Diese Annahme erhält durdi die uon Sturm und Kummer

geführten Beweise ihre Bereditigung.

nunmehr vereinfachen sieh die obigen 6leidiungtn in:

,j ?i.?li«e2_

2 (pi Sin' s + p» cos' :

s'e) |_ X^ "*" X^J "

'"M.si7(rf;-r- -— lv + vl=.

c.s.,=ji,C(X)glc

U)enn wir nun nodt bcrückslchttaen, das« die Spiegelung
an honkauen Tlädien vot sid) geht, so tauten die 6lei(hungen,
nad) denen sltti dte Bilddistanzen errechnen: '.

■ Fl Pa X,, COS tj -

Ig

2 Xo (pi Sin' e + p.j cos's) + pi p. cos t^

. — Pi Pa Jfa

^ '''^ 2 Xo COS e» (Pa sin' 3 + pi cos' e) + pi p»

Ein spezieller Tall der Spiegelung im tHerldlan (b c) würde
die tage des leud)tenden Punhtes Im miitelpunhl des 6t1ipsoldes
sein, denn In diesem Talle liegt der EintaIhstrabI, mithin auch^
die einfallsebene in der €bene des Debennormalsdinittes.

Das }1z)mut der Einfallsebene gegen die Ebene des ßaupl-
normalsdinlttes wird also gleid) £— 90".

Dadurch vereinfachen sidi die BleiAungen für Xi und X2 in:

— Xo Pa COSea

'^ ""' ="2x„ + p,cose, """l
... L- P» «0

"^ «^= 2XoCOsir+p, ■

Diese beiden Spezlalgleid)ungen für den ItleTidian (bc) haben
dieselbe Slruklui wie die Sieldiungen, die wir für die ßaupt-
meridiane (ab) und (ac) abgeleitet haben, nur dass in den neuen
01eiAungen, wie voraus zu sehen. p[ und p: gegenüber den
früheren 0itid)ungen uertausAl sind.

Es soll nun unsere Jlulgabe sein, mit Bütfe der soeben
aijadeiieicn Tormen der tleumannschen Strahleniioordinalen, in der

ly Google

19

für unseren Tall zullssigen Uerelnfadiung, die Spiegelung Im
dretaxigen €llipsoid näher zu untersuAen.

Speziell haben wir die Jlnnahme gemacht, dass der leudi-
tende Punhl in der grossen Bxit des Ellipsoids geiegen ist.
Unter dieser JTnnabme woiten wir die Spiegelung in den drei
Rauptmeridianen betradtteri.

Uon den unendlld) vielen IHögiidilteiten der tagen des
ieuAlenden Punktes wollen wir folgende Täile annel)men. Zuerst
möge der leuchtende Punkt im Hlittelpunkt des €llipsoides,
zweitens in einem beliel>igen Punkte aul der grossen JTxe und
drittens im Sdieitelpunkte liegen.

€s tieslebl nun die JTufgabc, die uon jeder der 3 Eagen
des leud)tenden Punktes ausgebenden Strahlen nad) ihrer Spiegelung
in den versdiiedenen Punkten der ))auplmeridiane zu uerfolgen
und die tage der wegen des Jlstigmatismus auftretenden ßrenn-
linien redinerisdt wie grapbis* festzulegen. Jlis 6rundlage für
die beiden ßauptmeridiane (ab) und (ac), die die grosse Mi
enthalten,, dienen die Bleidiungen:

"i 2 xo — pi cos e

X,|P3

- ^ 2 cosexo— Pi
UiW früher gesagt, gibt man dem Krümmungsradius das
negative llorzeid)en, wenn der einfallende Strahl auf eint konkave
^lä*e trIBt.

Unsere endgültigen, für die spätere Beredinung der Spiege-
lung in den Rauptmeridianen (ab) und (ac) massgebenden
Tormein lauten also:

— Xu pi cos e
*^ ^ 2 xo + pi cos e

d., Google

'^^ 2 COS e Xo + p2
Die Tormeln für den dritten I)auptmeridian (bc)
— Xq pa coi e

''i '^ 2 Xo + p» cos e

__i:^, Pi

^' ^ 2 cos C Xo + Pi

nunmehr haben wir für aiie unsere zu bctraditenden Incidenz-
punhte der ßauglmeridiane in jeder der drei autgelUhrten tagen
des tiAlpunhtes die On^en und Cagen dei einfallenden S(fal)len,
die tagen der Rotmalen und daraus den Cinlailsiuintfel, ferner
die Krümmungsradien für Raupt- und ilebennormalsdinltt zu
beredincn, diese tüeric in unsere erredjneten, uereinfaditen Tormeln
einzusetzen und die sidi ergebenden Distanzen der Brennünien
zel*neris* darzustellen und zu betrauten.

Unser 6Hipsoid hat die 01ei*ung:

lim hinsiditiid) des Jlxenuerhällnisses eine bcsitmmle üor-
stellung zu haben, setzen wir a> t)>e uoraus, ohne jedod)
hierdurdi die Jliigemelnheit zu beeinträchtigen, da ein UJedisel
in der Bezeichnung lederzeil uorgenommen werden Itaiin.

Um zunäd)st die Bieichunfien für die drei fiauptmeridiane
festzustellen, setzen wir der Rohe nach z = 0, v = 0. x = o
und erhallen für die IjauptsAnitte die Gleichungen:

D,=;,iz.. ./Google

(ab)

(ac)

f + ^- I

(bö

b" c"

-+I.

naturgemäss stellen diese ßleidiungen Ellipsen dar. Zuerst
möge die Cage des 1eud)tenden Punlites im niillelpunttl des
€lllpsolds betrathtet werden.

Die Splegeluna der von diesem Punkte ausgebenden Strahlen
in den l>aupimeridianen iib) und (ac) soll zunächst untersudit
werden.

Die Cänge des einfallenden Strahles xo berechnet sidi als

Die allgemeine 6leld)una für den Krümmungsradius einer
eilipse lautet:

D,=;,iz.. ./Google

LifMl!

angewandt aut die €ilipse (ab)

Sc!)wicri9cr gestallet sich die Bestimmung des Krümmungs-
radius des nc'.7cnnormahclinilt<.'s. BrriAten wli im Incidenzpunkt
eine Hoimalc in der Ebene des Rauptnormals*nittes und legen
durdi diese normale eine Ebene senkrecht zum RauptnoTmalsdtnIlt.
so schneidet dieser neknnormalschnilt das €llipsoid in einer
riädie mit gclirunimlcr Begrenzung.

mathemnliscl) lässt sieb nun durch Kombination der ßleidiungen
des Ellipsoids und der sdineidenden Ebene nachweisen, dass jede
beliebige Ebene das dreiaxigc Eiiipsoid in einer Ellipse sd)neidet.

Tür uns i^andeit es sid) darum, den Krümmungsradius der
Sdinittfigur, deren elliptische Bestall wir als erwiesen voraus-
sehen wollen, icsizulegen. Die Gleichung des GIlipsoids lautete :

die des Bauptmeridians (ab) mit z =

"a> + b^ ^ ' °'^"
\)'x' + a' v' — a'l''^ 0.
Ourdi OiFfcrcnt;<iiion folgt aus obiger ßletdtung
2 o- ;i d X + 2 a" V dv =

dy — b'x

"^^f äK— a^y •

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23

Die 6k)d)un9 der normalen wird dann:

a'v
V' - V = V^^ (x'— x) oder

b'xy' — b'xy — a'vx' + a'xy = o.
Kombinieren wir diese 6lei*ung mit der ffleidiung unserer
Ellipse b* x' + a' v' — a' b' = o. so erhalten wir die Koor-
dinaten des zweiten SAnittpunktes J' der im Incidenzpunkt er-
rlditeten normalen mit der €IIlpse. Beben wir den Koordinaten
de$ Elnlallpunktcs die Indlces i und denen des zweiten Sdinltt-
punhtes die Indlces z. so erhalten wir als 6rÖsse der ßauplaxe'
der Ellipse des nebennormalsdinittes

V!_ _ V'-V

a COS a COS a

mithin die 6r$sse der )>a1bad)se

a 2 cos * ■

nun bätien wir noch die kleine ßalbaxe der SthnlUelllpse
zu bestimmen, legen jedod) hierzu zwedtmässtg erst die Koor-
dinaten des niinelpunktes der grossen Rauptaxe fest als

X» + Xa
Ja 2

Denken wir uns nun im niittelpunkt der normalen, in Hl,
ein Cot auf der l)auplnormalebene errid)let, so sdineidel dieses
Cot das Eilipsold. Da nun dieser Sdtnitlpunkt ein Punkt des
eilipsoids Ist, so muss er dessen Gleichung erfüllen

x' , y 2"

a» + T7 ",i' = I wobei x ^ x«, y = Va zu setzen ist.

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In dieser ßleicbung ist z, die gesudiie Ralbaxe b', die einzige
Unbekannte

( ' a- b

nachdem wir so die Jlxcn der £)1ipse des nebennormai-
sAnittes lesrgelegl haben, bestimmi sidi der Krümmungsradius,
da die Incidenzpunhte im Hauprmeridian liegen, und der ßaupt-
meridian in unserem Talle die Verbindungslinie der Sdieiteipunhte
der €l1ipsen der Hebennormalsdinille darstellt als

. c° cos « [4 a' b' — b' (xi + Xa)" — a' (y, -}- y.j)*']
P^= 4. a'b'lvi-yj)

Der Einlallswinhel e beredtnet std) als Differenz der minhel
ß und 0^, die wir wiederum durd) die Beziehungen kennen

m^' —

f

x'+r

llf

ix

-b'x
a-v

3etzl wären sämtHAe UJerte zur SereAnung von Xi und
X; festgelegt für den Tall, dass der leucfHendc Punkt im lllittel-
punkt des €llipsoides liegt.

nunmehr möge sich der leuchtende Punkt um m aus dem
millelpunkt entfernen.

D,=;,lz.. ./Google

25

Dann bmdincl sidi die Onge des einfallenden Strahles x"
lür die einzelnen [ncidenzpunitle. deren flbscissen x = — 8 bis
Ä== kitagen als:

X« = /v' + ÖH-m)' ' . .

und der €infa11switiliel als :

e = ^ — a:.

In dem ersten Quadranten der Cllipse und zwar für die
Incidenzpunkte, deren Jfbscissen x = ö bis x = m sind, ist:
x„ = ^f'+im—K)' '
e = ß+a
und lür die Incidenzpunkte mit den flbscissen x = m bis x =a ist:

e = p — a.

Die übrigen Ulerie, die zur Beredjnung uon Xi und xs nötig
sind, bleiben dieselben.

Der Tall. dass der leuchtende PunHt auf der grossen JJxe
bis zum Scheitelpunkt des €llipsoids fortsdjreitel. ist wie der erste
Tall, wo der leuchtende Punkt in den Dlitlelpunkl des €llipsoides
fiel, also m = o Wurde, ebenfalls ein Spezialfall des Talles 2.
es wird dann m '= a.

Die 0leid)iingen für Xn und e lauten dann, wenn die Inct-

dcnzpuiikte im zweiten Quadranten liegen, x« = |/y*_|_(x-|-"^-'
und e = ^ — a , wenn sie im ersten Quadranten liegen.
Xo = l'V+ (a— k)-

e = ;i + «.

Sanz analog, wie der Redinungsgang im ßauptmcridian (ab)

iilargelegt ist. gcstallel sich die Cösung im Bauptmcridian (ac).

flud) hier lassen si* die neumannsdien ßleichungcn in der uer-

einfad^ten lorm anwenden, und die Bestimmung der hierfür

iizü. ./Google

26

morderlldKn 6rSssen ist die gkicbe. nur unter Zuärundelegund
der 6Ieid)ung der Ellipse des ßauptmeridians (ae)

,.+>-!. .

JTud) im üauptmerldlan (bc) d»la1tet sich die Bredjung
ganz äbnlid). wenn sld) der Icüd^tende Punkt im niillelpunht des
€lli{Koids befindel. Ui\i haben diesen 'Fall schon bei Umfermuna
der neumanschen 6lcidiungen betraditet.

mesenilid) umständlidier wird die Berechnung für den Tall, .
dass sich der leud)leTide Punltl m aus der ttlitte entfernt bat. denn
dann fällt die €infallsebene weder mit dem Tiauptnormalschnitt
nod) mit dem Hebennormaisdinitt zusammen, sondern -das Jlzimut
der €infa1lsebene gegenüber der €bene des Rauptnormalschnlttes
nimmt einen Utert zwischen 0" und 90" an.

Der Krümmungsradius Im beliebigen Punitt des 1)aupt'
meridtans (b c), der zugleiA Hebennormalsdinitl Ist. errechnet sid) als

€benso finden wir durd) Kombination der Sieichung der
normalen im Incidenzpunlcie und der 6leld)ung der Ellipse (bc)
die Koordinaten oon V und Yd. tolglld) au* die Jtxen der
Cllipse des I)auptnormalsd)nltles und mithin den Krümmungsradius
Im Sdieitelpunkt ü

a'coso^[ 4b'c'— C'(Vi+Vä)' — bMZi+Za)']

^' = " 4b'c'(Zi-Z2)

Die Eänge des einfallenden Strahles

, = j/f;'+iV+z'

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27.

Mh neuer Faktor segcnfitter 4en früheren Berechnungen
kommt jetzt noch die Bestimmung des Jlzimuis der Einfallsebene
gegen die €bene des fjauptnormalsdinittes hinzu.

ßierzu diene nachstehende perspektluisdte Zeidinung.

Unser Bauplmeridian (bc), weidier im vorliegenden 7alle
zugleich den Hebennormalsdinilt darstellt, ist in obiger ZelAnung
schwarz markiert, der üaupinormalsdjnitt grün und die Einfalls-
ebene braun. Die ßeraden In den einzelnen Ebenen haben wir
mit den betreffenden Tarben der Ebenen verzeidtnet. Die normale
welche allen drei Ebenen anaehöit, ist sdiwarz dargestellt.

Oenicen wir uns in der Verlängerung der normalen 3' 3
stehend' und sehen wir in Rid)tung der normalen auf das Ellip-
soid, so ersdjeinen uns der f)auptnormals(hnilt, der Debennormal-
sd)nitt und die Einfallsebene als gerade Cinien, welche sid) im
Incldenzpunktt schneiden.

d., Google

^ Der Ulinkel. den dit Spur der €infalUebene mit der Spur
des ßauptnormahd^nlttes bildet, ist das TIzfmut s, dessen Srösse
wir bestimmen woiien.

Bezeidinen wir den IDinhel der €infallsebene und der 6bene
des nebennormalsdjnlttes mit a, dann Ist £=90"—«.

Zur Bestimmung des Ullnkels « (äilen wir in der &>tnt
des nebennormaisdinittes ein Cot auf die normale, dessen Tuss-
punttt T sein möge. Dieser Punkt T ist als Punkt der normalen
zugleidi ein Punkt der einfallsebene. Die Uerblndungslinie von '
J und dem leud)tenden Punkt C liegt mitbin in der €infa|]sebene.
Da nun die Bxe des Ellipsoids mit jedem durd) in gehenden
und in der Ebene des Hleridlans liegenden Sh'ahl einen red)ten
Ulinkel einsd)lies$l, so ist das Dreiedi C m T bei m redituiinklig.
Sd)neiden sid) zwei Ebenen unter einen -^ fx und enlthtet man
auf der SAnitllinie in einem Punkte 2 Lote, welche je in einer
der sdineldenden Ebenen liegen, so sdtiiessen diese den < a ein,
mithin .-^ E ^ m = < «.

In dem reditwinkligen Dreieck kennen wir C Hl = m = Ab-
stand des leud)ienden Punktes uom tnitfelpunkt des Ellipsoids,

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Die 6lei*ung für die Ettipsc des nebennormalsdjnities lautet :

c' y' + b^ z' — c' b' = o.
Die Bleidiung der normalen:

Die 6leid)ung eines Eotes .lut die Dormaie : '

Da dieses Hol durd) den ITlitlcipunltl, in diesem Taue den
Koordiiiateiianlangspunlit geht, so uercinfad)t sidi die ßieidiung in :

oder b'z'+e'v' = 0,
Durch Kombination de[ ßieidiung der normalen und der des
£otes finden wir die Koordinaten von T zu :

-Hzt-

IS -—^:

mithin ergibt sich die Eänge des Lotes:

cz' + m' --,- ,

- c'-b'V ' +"
nunmehr ergibt sidt

jn m ( e' — b'J ^1 _

'»'-- fm^ ez' + bv' ■ /e' + b

Di.itradb, Google

£ = 90" — a

ill(c' — b")

Der Einfallswinkel c bestimmt sich aus dem Oreiedt HCT,
iti dem 3 C = Xo

zj= vm'-\-jm'"

|/m

£T=|/ m' +

(c' + t)^)(cz'+bv') I

(c' - b')'

e = arc sin ^B~
wobei:

n ^ i'' tf' - t"') + < c ' 4- b' ) (cz' + bV )°
^ m' (c* - b*) + (c^ - b") '(^/^^-f/^
Somit wären aud) alle lUertc, die der ßered)nung der Bild-
distanzen im Bauptmeridian Cb c) zu ßrunde gelegt sind, Icstgestettt.

J\iH 0rund der oben abgeleiteten Tormein wollen wir eine
numerisdie ßeredinung für ein bestimmtes €llipsoid uornebmen-

Unser gewähltes Ellipsolds habe die drei 1>auptaxen a =
80 mm, b — 40 mm. c = so mm.

Zur Bere*nung der nadistchenden Cabellen wurden folgende.
Im vorigen Kapitel abgeleitete Tormein benutzt:
Bauptmeridian (ab).

Die ^«Tte für x wurden angenommen.

.-yS(a-

-x')

Di.itradb, Google

»• = tV+(x+m>' ' TOp. = /v" + (iii-x)'

'' a't*

„ „ c'tos»[4a'li'-b'(», + a)' _

■ - a' ()' + v')'
(?■-?')'

e=ß + aresp.ß — a,

j, _ — "g f "' '
2x„+p'rtse

-iCoP2

2 cos e Xo + pa
ßaupimerjdian (ac).

y,^.

üV + a*z') ''■»

_ b' CCS g [4a' e^ — e'(xi + xz)'
4 a' c*

(Z'-Z.)
e = ß + a Ttsp. ß — a
_ — Xb P, cos (

2 x„ + f 1 COS e *

2 cos C X„ + pa
Baupimeridian (bc).

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Die UJertc wn v wurden angenommen

X.- )/■"; + /ir^-zi '
_ a' cos X |4 b'' c' — c' (Vi + VaV'b' (z' + Zi)']

•"'^ 4l)'["(Zl -Zs)

, 5 _ U't' + fz')'/,
" b'c'

< / m^(?^ D') + (c'^bT (cz' + bs')'
e _ arc sin J/ „. (j. _i^+(f- _ fjypqrp'-'

2 X-, (f 1 sin' £ + ?.. cos' i) + pi ?2 cos e.i

^ :^ti/^ '^

■"' :xoCOse.. (i^iSin'e-rpi cos'£) + p, p^

Di.itradb, Google

ZäMU I.

jSjjügrIung im |^ati|jtmmäian (a 6)

XtutfttpnÖ« l^unfif im Hilttlpunfit 6fs

€ni;}$oi&$.

X I V I Xq I p, I Pa I cos t I

I *,0Q I 4,(i0 I 16,00 I 2,250 j 1,000 | -2,666 j —0,879

Siö ö

»,50 I 3,89 I 4,02 | 15.92 [ 2.256 | 0,997 i -2,
1,0 I 3,97 ) 4,10 I 15 ,72 1 a,260 | 0.986 1 —2,691 I
a,00 I a,87 I 4,36 1 14,93 | 2 .180 | 0,939 " [ -2,749 I
3,00 I 3,71 I 4,77 I 13,60 r2,201 | 0,886 1-2,672 I

—0,917
—0,971

4,00 I 3,46 I 5,29 I 11,75 [2.063 10.

5,0 I 3,12 i 5.90 I 9,52 | 1,902 | 0,797 | -2,480 |
B,00 I 2,66 I 6,66 | 7,03 1 1,897 | 0,793 | -2,171 |
7.00 I 1,94 I 7,26 | 4,52
7,«

7,70"

8,0ü I 0,00 I 8,00 I 2,00 I 1,125 | 1,000 | —0,894 |

-0,987
-1,000
—1,015

[l_|_l,52

hl"

_7,55 I

1 7,78 I

I 0.843 I -1,612 I -0,71

I 1,326 I 0,877 |^,354Jj
i 1.239 i 0,937"! —1,1"

-0,613
-0,525

ZaMU II.

BpitQtlunQ im ^au)}tm(i;i&ian (a t)

ICtui^tmßj l^unßt im Slitfflpunfit 6fs

X X« 1 2 ■ Pi P, 1 COS «

». 1

X,

),00 3,000 1 3,000 21,333 6.341 1 1.00000

-2,!M8

-i,4li

),50 3,033 i 2,999 | 21,115 5,342 [ 0,99367

-2,358

-1,425
-1,468

1,00 1 3.140 1 2,976 1 20,830 | 5,348 1 0.97284

-2,374

2,00 1 3,527 1 2,906 | 19,586 | 4,982 1 0,88680
t,00 1 4,090 1 2,780 | 15,524 I 4,695 | 0,80558 |

-2,591 1

-1,833

- 2,785 1

4,00 1 4,770 1 2,598 | 14,801 ] 4,351 | 0,75050 1

-2,568 1

-1,796

»,00 1 5,5S1 1 2.341 1 11,500 | 3.798 | 0,73924 |

-2,450 1

-1,757

J.Ü0 1 6,320 1 1,985 | 7,918 | 3,046 | 0,75462 1

-2,127 1

-1,79(

7,00 1 7,149 1 1,453 | 4,242 | 2,000 1 0,81866 1

-1,395 1

-1,411

7.40 1 7,487 1 1,142 ] 2.89Ö | 2,408 | 0,86719 1

-1,075 1
-0,809 1
-0,525 1

-1,201
-1,114
-0,894

7,60 1 7,743 1 0,814 | 1,953 | 2,408 | 0,9-246fi |

8,00 1 8.000 1 0,000 1 1,125 | 2.000 [ 1,00000 |

c.s.,=ji,C(X)glc

tafirilc III.

B)*ugeluug im $au)itintciE>ian (a 6)

ITtttcljttnöe l)unBt auf btt grogm U^f,

2 cm ttom BlittjlpunRf mtf»»nf.

ji, Google

ZabsUt IV.

5|iugelung im ^aujitmcciiian (a t)

ttniiitttis ^unftl auf 6»» Broftnt %ft

2 cm tiora aKHeljiunftf mlfwnt.

p.s.,=ji,G(X)glc

st

ZaMk V.

BpUgtlung im J^auptinftiftian (a6)

ICtui^tcnSc l)nnKt im ZilinUl bt« i&llisoi&s.

Di.itradb, Google

ZübslU VI.

gjjitgclung im 3gau;ifntm&ian (at)

Xmifitradt ']ßunKl im ^äieiUl &C9 (SlltjisotSs.

Di.itradb, Google

ZaMU VII.

39'mel\ittg im JgaiMJfmmSian (6 c)

irtu(^tcn6e fiunKt im Slittelpunfit bee

€lli))9oi&9.

«Google

Dninadb, Google

Bmutrfiungm ;u ttn ^a6r(ltn un6 ^afttit.

In den einzelnen Sdieitelpunkten des €llipsoiils sd)nei(Ien
sldi ]t zwei tjauptmeridlane. Die Bilddistanzen x, und x« in
diesen zu einem Sd)eite1punkt gehörigen l)auptnieridlanen müssen
für den Sdieitelpunkt als Incldenzpunht und für ein und dieselbe
£aae des leud)tenden Punktes dlfsellten sein.

Diese betreffenden Ulerle sind In den Cabellen fett
gednidtt.

Die Ulerle für x, und x.> der Cabeltcn sind in den tatein
verzeichnet und die l^unkle zu Kurven verbunden worden. Aber
deren Ueriaul wir weilet unlen spredien wollen. Die Zusammen-
stellung der Tiguren auf den Cafetn hat nad] den einzelnen
tagen des leuditenden Punktes stattgefunden. Dur die Spiegelung
Im i)auptmeridian (b c) ist besonders auf einer Cafe! veTZelä)net
und zwar, aus folgendem 6runde. In den Cafein I— IV Hegen
die zurfldigeworfenen Slra»)len in der Cafelebene.

Die Kurven stellen also die absoluten Ulerle der Cabellen
dar. In Calel V Hegen die Bildpunktc jedoch nieht in der Gbene
der Cafel, sodass die verzeidineten Kurven nur die Projektionen
der Raumkurven darstellen.

Der bestimmte Uerlauf der ßlldhurven, wel^e wir bei der
Spiegelung im Glllpsoid erhielten, veranlasste uns unsere Unter-
sud)ungen audi auf das Ettipsoid als Konvexspiegel auszudehnen.
Zum üerständnls der Cafel IV sei kurz erwähnt, dass bei der
tage des teud^tenden Puniftes ausserhalb des 6llip50ids und ein
Cell des spiegelnden Körpers getroffen wird, Im günstigsten Talle,
bei der Cage des leuditenden Punktes In unendllAer Ternc die
Rälfle. €ine Spiegelung im IDeridian (bc) kommt bei endlldjer
Hage des 1eud)tenden Punktes überhaupt nidil in Betrad)!, da die

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wenig einlad)en Uerlaut, giö$st<ntelH von rein Imaginärer Be-
iftHtung, dass wir uns nid)i für befugt hauen, auf ßrund der
Ergebnisse der Spiegelung in den l)auptmeridlanen allein irgend-
weldie Beziehungen aufzustellen.

€ine Betrad)tung der zwisd)en den I)au))lmeridlanen liegen-
den meridiane würde uns jedod) zu weit führen und den
Rahmen (Heser vorliegenden Jtrbeii übersAreiien.

Ulir legen also unseren nad)folgenden iBelrad)lungen nur
die Spiegelung innerhalb des €lIipsoids m Srunde.

BttvatQtung fttv ^v^shnlfft unftvtv
ünftrfui^ung.

Bällen wir es mit der Spiegelung eines leuthtenden Punktes
in einem ebenen Spiegel zu tun, so würden alle von dem
I^d)tenden Punkte auiigehenden Strahlen derartig zutüdigewoTfen
werden, als ob sie von einem ebensoweit ))inter dem Spiegel
Hegenden Punkte, von dem virtuellen Bilde, ausgingen. Bei der
Spiegelung In sphärischen ^äd)en tritt nun, wie früher gesagt,
eine sphärisdK Jlberration auf. Das virtuelle Bild des leuditenden
Punktes ist kein punktuelles mehr, sondern bildet einen tetra-
edrisdien leuditenden Raum, indem wir zwei tllaxima von
f>clligkeiten wahrnehmen können. Diese tllaxima haben wir tut

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«4

ein mert. der mit dem am unserer Redtnunn sld) erfietiendtn
zusammenfällt. JIui der Catielle 2 sehen wir weiter, dass der
lUert von pz nad) dem Zusammenfallen der x: und xy Punkte
grSsser, bleibt, folalid) werden wir es In dem Punkte, In dem der
Jlplanallsmus auftritt, wirlilidi, wie audi die Tigur zeigt, mit
einem Sdjnitt und nidil mit einer Sdimlegung zu tun haben.

Die Tiguren 4 und 5 auf Catel 11 bilden eine weitere
Bestätigung unserer Überlegung.

Die Differenz der Grössen der Krümmungsradien ist wieder
im Incidenspunkt x = ein niaxlmum. Tigur 3 und 4 zeigen
dasi auf der Verlängerung des im Punkte x = reflektierten
Strahles die Entfernung der IHaxIma der 5e)llgke)Ien ein niaxl-
mum Ist. Die niaxlma der einzelnen Kurven Xs und xi haben
sid) aus der mitte seitwärts nad) dort uersdioben. wo der Ein-
fallswinkel und der einfaltende Strahl ein niinimum wird. Die
beiden Punkte, In denen Jlplanatismus auftritt, genügen den Bc-
dlngungsglelthungen indem:

-t/'^

Im anderen Punkte

8.542 '

4.742 =0.8112

Ulerte ergibt, die mit unserer Red)nung übereinstimmen.

Uersucben wir die Rld)tlgkelt unserer Behauptung aud) für
den fall zu prüfen, wo der leud)tende Punkt Im Sdieltelpunkt

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45

dts Clliinoldes Hegt, so kommt hier die rrübtr gemadite €in-
sd}Tänhung des „relativen maximums" In Betradit

In dem Punhte, wo namlld) Xo und e ein ininlmum werden,
lallen Xx und xs mit dem Incidcnzpunktc zusammen, sodass wir
absolut genommen in diesem Punkte von keinem maxtmum
spred)en können. Jlber gerade der berztermlge Uerlaul der Kurven
deutet darauf bin. dass in dem PunHte, wo xo und e gield) e
wird, )n unserem Talle )m Sdieltelpunkt ein relatives maxtmum
auftritt, das allerdings hier unendllA klein wird.

Die Behauptung, dass das ttlaximum der 6ntfernung wieder
auf dem von dem Punkte reflektierten Strahle lieat, In weldKm
die Differenz von pi und p2 ein tllaximum wird, finden wir
durd) die Tlgur 6 auf Calel III ohne weiteres bestätigt. Dass
Tigur 5 die aufgestellte Bedingung nidit erfüllt, liegt an der
dem l>auplmeridian (ab) für diese Clditstellung speziell etflen-
tümllAen Bedingungen, wonad) der Uerlauf der Kurven dadurdt
verändert wird, dass JTplanatlsmus auftritt.

Die Dotwcndigkelt des Auftretens des Üptanatlsmus Anden
wir wieder durd) die ErfOllung der Bedingungsgleldiung bestitigt:

cose =

y^'=/ii^— "•

aud) dieser Ultrt enisprid»! unserer Red)nung.

Die Tiguren 7 und 8 auf Cafe) V bestätigen unsere JTn-
nabmen obne weiteres, für den Verlauf der Kurven der Tlgur 9
Ist wieder das Jluftreten des Jlplanatismus Jlusschlag gebend.

gilzedby Google

Zum Sd>luss mSchtt idi nidtt verfthkn, Htm Prol. Dr.
pbi). tr. med. t. tnaEibieffen für die gQlige JInregung zur
voflUgenden Arbeit und Renn Prot. Dr. tÜaAsmutl) för die
Itebensivürdige Unlcrsiützung und dtt äbcrnahmt des Heferals
meinen ergcbtnslen Danh auszudrüdien. ^ ;

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