Über die Erhaltung der Kraft, eine physikalische Abhandlung, vorgetragen in der Sitzung der physikalischen Gesellschaft zu Berlin am 23sten Juli 1847

Google

This is a digital copy of a book that was prcscrvod for gcncrations on library shclvcs bcforc it was carcfully scannod by Google as pari of a projcct

to make the world's books discoverablc online.

It has survived long enough for the Copyright to expire and the book to enter the public domain. A public domain book is one that was never subject

to Copyright or whose legal Copyright term has expired. Whether a book is in the public domain may vary country to country. Public domain books

are our gateways to the past, representing a wealth of history, cultuie and knowledge that's often difficult to discover.

Marks, notations and other maiginalia present in the original volume will appear in this flle - a reminder of this book's long journcy from the

publisher to a library and finally to you.

Usage guidelines

Google is proud to partner with libraries to digitize public domain materials and make them widely accessible. Public domain books belong to the
public and we are merely their custodians. Nevertheless, this work is expensive, so in order to keep providing this resource, we have taken Steps to
prcvcnt abuse by commercial parties, including placing lechnical restrictions on automated querying.
We also ask that you:

+ Make non-commercial use ofthefiles We designed Google Book Search for use by individuals, and we request that you use these files for
personal, non-commercial purposes.

+ Refrain fivm automated querying Do not send automated queries of any sort to Google's System: If you are conducting research on machinc
translation, optical character recognition or other areas where access to a laige amount of text is helpful, please contact us. We encouragc the
use of public domain materials for these purposes and may be able to help.

+ Maintain attributionTht GoogXt "watermark" you see on each flle is essential for informingpcoplcabout this projcct and hclping them lind
additional materials through Google Book Search. Please do not remove it.

+ Keep it legal Whatever your use, remember that you are lesponsible for ensuring that what you are doing is legal. Do not assume that just
because we believe a book is in the public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other
countries. Whether a book is still in Copyright varies from country to country, and we can'l offer guidance on whether any speciflc use of
any speciflc book is allowed. Please do not assume that a book's appearance in Google Book Search mcans it can bc used in any manner
anywhere in the world. Copyright infringement liabili^ can be quite severe.

Äbout Google Book Search

Google's mission is to organizc the world's Information and to make it univcrsally accessible and uscful. Google Book Search hclps rcadcrs
discover the world's books while hclping authors and publishers rcach ncw audicnccs. You can search through the füll icxi of ihis book on the web

at |http: //books. google .com/l

OftmalO'e KUfTIIter

0er «ahten Wrffcnfcbaftcn

Nr. «a

a 4S DMIS 171S

GEORG ROSENHAIN

Functionen
zweier Variabler

111

085
no.«

Üi^MSl

Abhandlung

Über die

FUNCTIONEN ZWEIER VARIABLER

• mit vier Perioden,

welche die Inversen sind

der ultra- elliptischen Integrale erster Klasse,

Von

GEORG ROSENHAIN

Professor zu Breslau.

(1851.)

Herausgegeben

von
H. Weber.

Aus dem Französischen übersetzt

von

A. Wlttlng.

-•-••^^-«-»-

LEIPZIG

VERLAG VON WILHELM ENGELMANN

1895.

(Diese Abhandlung hat den grossen Preis für Mathematik von
der Akademie der Wissenschaften in Paris erhalten in Folge des
Ausschreibens für 1846. Sie ist beim Secretariat am 30. Sept. 1846
eingegangen.)

[361]

Abhandlung über die Functionen zweier
Variabler mit vier Perioden.

Von

Georg Kosenhain

Professor zu Breslau.

M^m. des savants Bd. IX, 1851.

Das Wenige verschwindet leicht dem Blick,
Der Yorw&rts sieht, wie viel noch übrig bleibt.

(Iphigenia von Goethe.)

Wenn es sich um den Nachweis handelt, dass von zwei
Function en eine die Inverse der andern ist, so giebt es
immer zwei verschiedene Methoden des Vorgehens, da man
ja entweder von der einen Function oder von d^r andern
ausgehen kann, üebrigens können diese beiden Methoden
ganz unabhängig von einander sein; denn wenn man die Um-
kehrung einer gegebenen Function gefunden hat, so wird, um
das umgekehrte Problem zu lösen, nicht immer der kürzeste
und am wenigsten complicirte Weg der sein, seine Schritte
rückwärts zu lenken, besonders nicht, wenn die Function in
Form eines Integrales oder einer unendlichen Reihe gegeben
ist. Das merkwürdigste Beispiel eines solchen Dualismus der
Methoden bietet die Geschichte der elliptischen Functionen.
Die berühmten Mathematiker [362] Abel und Jaeobi, welche
zuerst die Idee fassten, die Grenze eines elliptischen Integrales
als Function des Integrales selbst zu betrachten, und die, durch
diese ebenso geistreiche wie fruchtbare Methode geleitet, eine

1*

^

4 Georg Rosenhain.

neue Theorie der elliptischen Functionen*) geschaffen haben,
gingen zuerst aus von dem Integral

r^ dx

und wie man weiss, gelangte der erste mit Hülfe des Multi-
plicationstheorems, der andere mittels seines Transformations-

theorems zu der inversen Function a; = — = sin amw, wo B

A

und A Functionen von u sind, die zugleich mit dem Argument u
endlich, reell oder imaginär sind. Die Functionen A und B
waren in Form von unendlichen Reihen schon von Fourier
in seiner Wärmetheorie behandelt worden und es würde mög-
lich gewesen sein, dass irgend ein gewandter Mathematiker

die doppelte Periodicität des Bruches — bemerkt und diese

zum Gegenstand seiner Arbeiten gemacht hätte, und dann
würde er ohne Zweifel den Zusammenhang mit dem elliptischen
Integral gefunden haben. Seitdem hat Jacohi in seinen
Königsberger Universitätsvorlesungen diesen Weg verfolgt. Er
sprach dort von den Functionen A und B und er konnte in
einfachster Weise aus der Gleichung

A — Bac =
die andere Gleichung

dx

du

= Vl — ii:« . 1 —k'^x^

entwickeln; und diese neae Methode hängt in keiner Be-
ziehung von der alten ab, obwohl diese geschichtlich jener
vorausgegangen war.

Für die Theorie der ultra- elliptischen Integrale**) und

*) Dem Beispiele Jacohi*^ folgend unterscheide ich zwischen
den Integralen der drei Gattungen und den elliptischen Functionen
sinamti, cosamti, Aamu und wegen ihrer Periodicität belege ich
die letzteren vorzugsweise mit dem Namen Functionen: dieselbe
Unterscheidung mache ich bei den AheV^chen Functionen und
Integralen.

**) Da das umfassende -^J^rsche Theorem alle Integrale al-
gebraischer Functionen einer Variablen beherrscht, und da es, nach
den Bemerkungen von Jacohi, selbst auf vielfache Integrale al-
gebraischer Functionen allgemeinster Form mit beliebig vielen

lieber die ultra-elliptisohen Functionen zweier Variabler. 5

beinahe auch für die Theorie der allgemeinen AbeF^aheji
Integrale ist der Stand [363] der Dinge gegenwärtig derselbe
wie damals fttr die elliptischen Integrale, als Abel nnd Jacobi
ihre berühmten Entdeckungen machten. Für die erste Klasse
ultra-elliptischer Integrale, auf welche ich mich hier beschränke,
muss das Umkehrungsproblem nach den von Jacobi gemachten
Vorschlägen folgendermaassen ausgesprochen werden:

»Sei X eine rationale ganze Function 6. oder 5. Qrades
von x^ Y desgl. von y; sei ferner

/dx Cxdx

^ = n(.) J^ = nj.)

(2) und n [x) + n(s/) =u, n,{x) + n, (y) = «, ,

so wird verlangt, die drei Coefficienten L, M, N der quadra-
tischen Gleichung

(3) L + Mf + N<* = 0,

deren zwei Wurzeln x und y sind, als Function von u und u^
zu finden«.

Ohne Frage wird man zur directen Auflösung der so
gestellten Aufgabe von den Gleichungen (2) ausgehen müssen,
welche die Argumente u und u^ als Function der Grenzen
x und y der Integrale n(a:), X\^[x\ Hfy), O^ (y) geben.

Dieser Weg würde dem analog sein, welcher Jacobi und
Abel zu ihren Entdeckungen über die elliptischen Functionen ge-
führt hat; aber es ist äusserst schwer, hier Methoden anzuwenden
denen ähnlich, welchen jene Mathematiker gefolgt sind, da man
in dem allgemeinen Fall, von dem wir reden, an Stelle einer
Gleichung mit einer Veränderlichen immer zwei simultane
Gleichungen zwischen zwei Variablen zu betrachten hat, deren
Coefficienten nicht mehr so einfache Functionen der Wurzeln
sind, wie die Coefficienten einer Gleichung mit einer Variablen
es von dieser sind. Nur in einem speciellen, aber sehr be-
merkenswerthen Falle konnte ich dies Problem direct lösen,

Variablen ausgedehnt werden kann, so halte ich es für ange-
messen, den von Legendre vorgeschlagenen Namen der ultra-ellip-
tischen Integrale für die Integrale der algebraischen Functionen
von X beizubehalten, welche von dieser Variabein nur durch eine
quadratische Gleichung abhängen, und den Namen der AheV^^^hen
Integrale für die Integrale von beliebigen algebraischen Functionen
zu behalten.

6 Georg Rosenhain.

nämlich dann, wenn irgend zwei der Factoren [364] des
Polynoms X einander gleich sind; dann reduciren sich die
Integrale U (x) und D^ [x) auf elliptische Integrale 3. Gattung
und die drei Grössen L, M, N drücken sich mit Hülfe be-
kannter Formeln der elliptischen Functionen ohne Schwierig-
keit in u und u^ aus, von denen x und y dreifach periodische
Functionen werden.

Ich habe es daher vorgezogen, die Sache von der entgegen-
gesetzten Seite anzufassen, d. h. von der quadratischen Gleichung

(3) zu den Gleichungen (2) überzugehen. Damit dies möglich
war, musste man die Form der Coefficienten L, M, N der
Gleichung (3) errathen können, und dies ist mir durch Verallge-
meinerung der Reihen gelungen, in welche sich die Zähler und der
gemeiusame Nenner der drei elliptischen Functionen sin am t^,
cos am 2^, ^amu entwickeln lassen, und indem ich mich durch
die Form der dreifach periodischen Functionen leiten Hess, die
ich bereits gefunden hatte. Diese Reihe ist von der Form

(4) ze = e ze ,

wo e die Basis der Neper sehen Logarithmen ist, a, i, c be-
liebige Grössen und das Summenzeichen 1 ausgedehnt werden
soll über alle ganzen Zahlen für m. Man erhält in der That
durch die Reihe (4) in der Bezeichnung der Fundamenta nova
Jacobi's die Ausdrücke, deren Quotienten den Functionen

Vk sin am (u, k), 1/ t7 cos am («, A), iTTf Aam (w, k] gleich sind,

ttK'
wenn man setzt =— = log j- für a/ au -{- ß für b, und

wenn man die Constanten or, /?, c passend bestimmt.

Denn setzt man c = 0, a = -— , ß = {7t, so nimmt

jene Reihe die Form des gemeinsamen Nenners an:

ö(w)=2(— 1) 2' e K =1 — 2^cos----f-2y*cos ^^ ...

l
Ebenso muss man , um den Zähler von — y^ A am (w, k] :

„, ,, »n* 2m—— TtU , l7tU

6{u + K)=lq e ^^»^ = l + 2(7Cos-=^-f-2y*cos— + .. .

lieber die altra-elliptischen Fnactionen zweier Variabler. 7

tTJ/

[365] zu erhalten, c = 0, «=:— , /?= annehmen. Setzt

MX.

man femer

so wird besagte Reihe der Zähler von Vk sin am [u, k) :
H(m)= — er ^"V 4 ö 2 K

= 2g sin -^-2^ sm^^- + ...
Macht man endlich

so entspringt der Zähler von y -j-, cos am [u^ k] :

rim + l)« (2m + 1) ^/g«

K

- ^w . ^ f B/rw

= 2^ cos 2g. +2^ coSy~ + ...

In diesen Formeln liest man ohne Mühe das Gesetz,
nach welchem sie sich mit Hülfe eines Modais q znsam-
mensetzen aus dem Zähler und dem Nenner der einfach

periodischen Function -i^j^-j—^^^ nnd nach demselben Gesetze

habe ich mir aus den Zählern und dem gemeinsamen Nenner
der dreifach periodischen Functionen neue Reihen geschaffen,
um sie an die Stelle der Zähler und des Nenners der vierfach
periodischen Functionen zu setzen oder an die Stelle der Coeffi-
cienten L, M, N der quadratischen Gleichung (3j.

Die neuen so gefundenen Reihen sind, wie man sehen
wird, alle von derselben Form:

5 am« + /?»nn + yn« + dm + e»

= e z^ 2.^ e ,

[366] wo die doppelte Summation auszudehnen ist über alle
ganzen Werthe von m und n^ und sie unterscheiden sich von
einander nur durch die Werthe der drei Grössen ö, £, C,

8 Georg Rosenhain.

welche lineare Ausdrücke der Argumente u und u^ bedeuten,
während die Constanten a, /?, y die Stelle von drei Moduln
einnehmen. Der Quotient von irgend zwei dieser Reihen
stellt sich überdies als vierfach periodische Function von u
und u^ heraus.

Noch auf eine andere Weise kann man, zur Erweiterung
der Definition, von Formel (4) zu Formel (5) übergehen:
nämlich indem man die Reihe (4) als Summe von Exponential-
grossen definirt, bei der jedes Glied dieselbe allgemeinste
Function 2. Grades am* -{- bm '\' c seines ganzen Index m
zum Exponenten hat, und indem man diese Definition auf
eine Doppelreihe von Exponentialgrössen ausdehnt.

Durch das -4ie?sche Theorem zur Addition der Integrale
geführt, und durch die Eigenschaften der dreifach periodischen
Functionen geleitet, setzte ich drei Reihen von der Form (5)
an Stelle von N, L + ^5^ M + a^* N , L + «^ M + ««* N, wo
a^ und a^ irgend zwei Werthe von x bedeuten, die das Polynom
X zu Null machen, und da so die quadratische Gleichung (3)
bestimmt war, hatte ich das folgende Problem zu lösen:

»Sei gegeben die quadratische Gleichung

= L +M^ + N<« = N(j( — a:) (j( — y),

deren Coefficienten L, M, N Functionen von zwei Argumenten
u und u^ sind, die einen einzigen und endlichen Werth haben,
für alle endlichen, reellen oder imaginären Werthe ihrer Argu-
mente, und deren Wurzeln x und y periodische Functionen
von u und u^ sind, mit vier conjugirten Periodenpaaren, so

verlangt man die partiellen Differentialq uotienten -7— , -7— ,
du, du, . dx' dy'

-y-^, -7-- nur m x und y auszudrücken.
üx dy

Ausgenommen die Zerfällung in einfache Factoren, unter-
werfen sich die Reihen (5) [367] ohne Schwierigkeit durch-
weg ähnlichen Methoden, wie die in der Theorie der ellip-
tischen Functionen auf die Transcendenten der Form (4)
angewendeten. Ich konnte also einer Methode folgen analog
der, die Jacobi in seinen Vorlesungen benutzt hatte, um von
den Transcendenten (4) zu den elliptischen Integralen zu ge-
langen und ich fand auf diese Weise als Lösung der vor-
liegenden Frage für die Ausdrücke von -7—, -7—, -7-^, -7'

dx^ dy^ dx dy

Ueber die nltra-elliptisohen Functionen zweier Variabler. 9

genan dieselben, wie die aus der Differentiation der Glei-
cliungen (2) ^

u = n(x) + U{y), u, = U,{x)+n,{y),

hervorgehenden.

Capitel I.

üeber die dreifach periodischen Functionen.

1.

Die gebrochenen Ausdrücke der dreifach periodischen
Functionen, welche die Inversen der elliptischen Integrale
dritter Gattung sind, fliessen, ohne die mindeste Rechnung, aus
den Gleichungen, deren sich Jacobi in seinen Vorlesungen
bediente, um von den Reihen H und zu den elliptischen
Integralen erster Gattung überzugehen. Es wird demnach ange-
messen sein, hier in wenig Worten die Entwickelung jener
Gleichungen zu geben, und dies um so mehr, als ihre Eennt-
niss die Lösung des analogen Problems über die ultra-ellip-
tischen Integrale erster Klasse auch bedeutend erleichtert.

Zur Abkürzung der Formeln werde ich Gebrauch machen
von den durch Jacohi in seinen Vorlesungen benutzten Zeichen
und setzen

[368]

(6)

"~d''*, >« «''2«» ,2» -2».

^K j)= 1 (— l)?e =\-q{e +e )

n= — OD

4 4» - 4« 9 6t; —6»

+ q (e +e ) — q[e+e ) + •..

/ V **=vt^, (2n4-l)' (2n + l)t; \,v -«

n = — 00

Ä ^ 3» —3t;. 25 5t; — 5i),

— f[e —e ) + ?^(e — e ) + ...

n= + QO i2n+2F (2i»+l)t; i. t; -t; .

n = — 00

Ä , 3© —3» %J>, hv -hv

+ q^[e +e ] + q^[e +e )+...

n = + QO ^2 2nt; , 2© —2©

^3(^7^)= ^ ^1 ^ =\+q[e +e )

n = — OD

4, 4» -4t; 9 60 -6t;

+ q [e +e ) + q [e +e )+...

10

Georg Rosenhain.

Man hat also nach diesen Formeln

*i («'»?) = *H (-^, AJ , oder 5^, T^, qj = iH m, ä;) ,

wo t=V — t. Gelegentlich benutze ich anch die Zeichen
der Fundamenta novo; aber zur gleichmässigeren Bezeichnnng
werde ich ^^ [u, k) fttr H {v, k) schreiben und setzen

H (m + K, k) = 6», (m + K, k) = ö, {u, &) ,

6 [u + K, k] = 0, («, k) ,

sodass man hat

[869]'- - - /2Kc

(7)

(8)

^,K ?) = «3 (^. 4 ^3 («, /t) = '^, (y^", ?),

ö, (w, A) vT • / 7\

-^^^^ = yX;.smamK>fe),

-^^^^=y^,cosamK>fc),

^ i^J j] = yj., A am (w, A) .

ö (w, A)

Die Moduln ^ and k werde ich jedoch nnr in den Formeln
hinzufügen, in denen Functionen d- oder d mit verschiedenen
Moduln auftreten.

2.

Sei m eine beliebige ganze positive oder negative Zahl;
dann hat man

üeber die ultra-elliptischen Functionen zweier Variabler. H

(9)

'd'(v + iniTt) = ^ (ü) , d'^ (v + imn) = (— l)'« ^, {v) ,
^3 [v + imrt) = ^3 (v) , ^, («? + i^TT) = (— l)'^ &^ {v) ,

2m + l
= (-1) 2 ^^(„),

2m+l

= (-1) 2 ^,i(„).

Die Functionen ^ (ü) , ^3(«'), ^i (^), ^«W sind also ein-
fach periodisch und zwar ist der Periodenindex ZTt für d'(v)
[3701 ^3(ü), 2i7ir für ^^ (©) und &^(v). Dasselbe hat statt
für die Functionen:

(10)

»«

n= + 00

(c+nlogg)«

eJogä'^(t?)= 2 (— l)'*^ ^""«^ ,

«2

n = — 00

n = + 00

(t> + s logg)«

n = — 00
p^ n = + oo jv + nlogg)^

n = — 00

2n+l

logjr

«a

n= + 00

(» +

log 9)^

eiogg^Jt?)= 2 e

logg

n = — 00

©«

aber der Periodenindex ist log^ für e'««^' ^, (©) und e'^«^ ^3 (©),
2 logg' für e^<>«?^(ü) und e^®«?^ ^^ (i?), denn es ist:

(p + mlogg)2 pg

e ^""«^ ^3 (e? + w log g) = e i^8g ^^ («?) ,

t«

(H)

(p + m log g)g

(t> + mlogg)a y^

e logg d- {v+m\ogq) = {—i)^e^^«^'d-(v),

fü + mlogg)* »»

e ^ d-^iv+m log g) = (— {)^e^9 d-^ [v) .

12

Georg Bosenhain.

Weiter hat man

[371]

(12) {

(» + — 5 lo««)'

«2

e '•« « &,(v + — ±-* log j) = e 'og j ^, (t,) ,

, , 2m+l ,

©2

^ 2 m -4- 1

e log, ^^ (^ _| ^_ log q) =^ e ^og^ ^3 [v) ,

e ^isi & {v+ — ±i- log j)

©2

= (_l)m ^log^^j^

t;2

(__l)m + ißiogy^ (^)

(13)

3.

Aus der Form (10) der Functionen ^^ (v) entwicke!
Jdcobi die merkwürdigen Formeln, um die es sich handelt
mittels des sehr einfachen algebraischen Satzes*), dass di
Gleichungen :

2v," =v — v+v" — v"',

\ 2v^" = v — v^v" + v"\
geben

(14) ü* + 1?'« + e?"* + 1?'"* == v,^ + «?i'* + v;'^ + 1?/"*.

Durch Multiplication der vier Functionen ^3, welche di
vier Argumente t?, v\ v'\ v'" besitzen, erhält man

Xi'i 4. t'« + «"2 + t/"2 P

( 1 5) ^, (c) ^, (»') ^, (ü") ^, (»'") = e loKl V g-fSF? ,

*) Jacohi erwähnt seine Methode in einem an Hennite g(
richteten Briefe (6. August 1845), der vor kurzem in Crelle'B Journs
veröffentlicht ist.

üeber die Ultra-elliptischen Functionen zweier Variabler. 13

[372] wo
F = {v+n\og qY + [v + n' log q^ + (t?"+ n"\og qf

und wo die Snmmirnng über alle positiven und negativen
Werthe der vier ganzen Zahlen w, w', n'\ ri" auszudehnen ist.
Transformirt man nun den Ausdruck P durch die For-
meln (13), so wird

P = (r, + n, log qY + (t?/ + n, ' log qf + [v^ + n^' log qf

+ K"'+Vlogj)«,

wo 2n^ =» + w'+ w"+n'",

2w/ =n + n'—n"—n"\

2<' = w — w'-w"+w'",

und wo die Variablen t?^, v^\ t?/', v^'" und t?, v\ v\ v'"
durch die Formeln (13) und (14) von einander abhängen.
Man sieht also, dass das Product ^3 (t?) ^3 [v] ^5 [v") d-^ [v'")
sich der Form nach nicht ändert, wenn man die Grössen
^4, 72/, w/', w/", i?4, t?/, t?/', t?/" an Stelle von w, w', w",
w'", ü, t?', t?", tj'" setzt. Aber nur die äussere Fonn des Pro-
ductes erleidet keine Aendernng durch diese Substitution;
denn die ganzen Zahlen 2w, 2n\ 2n'\ 2n'" sind alle vier
gerade, während die Zahlen 2»^, 2w/, 2w/', 2w/" alle vier
zugleich gerade oder ungerade sind, je nachdem es die Summe
w + w'+»"+w'" ist, und in der transformirten Summe

p

2ei««« kann man für 1n^ , 2»/, 2w/', iLn^" nicht nach Be-
lieben vier gerade oder vier ungerade Zahlen setzen, sondern
nur solche, welche die vier Zahlen

2n'"=«, — <— V-H<',

zu geraden machen.

[373] Um dieser Unbequemlichkeit abzuhelfen, unterwirft
Jacobi die Zahlen 2n^ 2w', 2w", 2n" derselben Bedingung, der
die Zahlen 2^^, 2w/, 2«/', In"' folgen, nämlich zugleich gerade
oder ungerade zu sein. Wird der Sinn der Zeichen n^ w', n\ ri"
in dieser Weise erweitert, so erhält man den Werth des Ausdrucks

14 Georg Bosenhain.

«2 4. «'2 4. f,"2 4. »"'2

durch die Substitution von t?^, t?/, t?^", t?/", w^, ?^/, w/', w/"
für t?, t?', ü", t?'", w, w', w", ;^'"; denn setzt man für 2 w, 2»',
2n", 2/i'" alle möglichen Systeme von vier geraden Zahlen
und dann diejenigen von vier ungeraden Zahlen, so erhält
man für 2w, 2n\ 2n"j 2n"' dieselben Werthsysteme, nur in
anderer Anordnung. Bei der so erweiterten Definition der
Zeichen w, w', n", n'" ist aber das zweite Glied der Gleichung
(15), nämlich

„2 + t,'2 4.„''2 4.t>"'2 P

e log« 2e^^

nicht gleich ^sW ^sl«') ^sK) ^sK'), sondern gleich

^3 (^) ^3 (^') ^8 (^") ^3 (^'1 + ^* (^) ^* («') ^. («") ^. (^'") ,

(16)

wo das Glied ^«W ^»(t?') ^«l«?") ^,(0 dem Theil von le^^«9
entspricht, in welchem 2nj 2n\ 2n'\ 2n" ungerade Zahlen
sind.

Man hat also den folgenden Satz:

»Verbindet man die Argumente v^ v\ x!\ v"' und t?^, t?/,
v"^ v^[" unter einander durch die Gleichungen

2v, =v-\-v' + v"+v", 2v =v, + v,'-[-v,"+v^"\
2t?/ =v + v'—v"—v"\ 2v' =v, + v^'—v,"—v^"\

(2v;"=v — v'—v" + v'", 2v'"=v,— v,'—v,"+v^"\
[374] so wird

( ^3 (^)^3 (^^3 (^'0^3 K) + ^. M^. (^V, (O^* K')

Dies ist die fundamentale Formel, aus der man mit Hülfe
der Formeln (9), (11) und (12) eine Menge anderer zieht,
wenn man irgendwelchen der Argumente », v', v\ «?'" die
Hälften von irt und log q hinzufügt.

Setzt man ^ + -2", ^ +-^» ^ +"2"' 2" ^^" ^'

v\ v\ v"\ so wird die Gleichung (17)

(17)

(18)

^ (») ^ (»') ^ (»") ^ (»"') - ^, (ü) ^, [v') », (»") *, («'")

üeber die Ultra-elliptischen Functionen zweier Variabler. 15

und setzt man in (17) und (18) t?'" durch t?'" + «tt, so erhält
man aus diesen Gleichungen die zwei folgenden:

I ^, (v) &, (V) d-, {v") ^, (t,'") - d-, {v) ^, [v') ^, iv") ^, (v'"}

(20)

d- {v) & (v') » (v") d- (»"') +^,(») »y) ik,(v") »^{v'")

n „'"

die man auch durch Vertauschung der Argumente t?, v\ v", v
mit v^, t?/, «?/', t?/" auseinander ableiten kann.

4.

Aus diesem soeben gefundenen System von vier Formeln
leitet man drei andere ab, indem man v und v' nach einander

1 7V % TC I lOfiT Q

um •— , ^ log q und — ^-^ vermehrt, und ein viertes,

indem man in den vier Formeln eines beliebigen der letzteren
t?' + i log q und v!' + ^ log g' für v und v" setzt. So hat
man fünf Systeme [375] von je vier Formeln, alle von der
Form der Gleichungen (13) oder vielmehr in der Form von
Summen und Differenzen je zweier dieser Gleichungen, und
diese kann man in eine einzige Gleichung von der Form (14)
zusammenfassen. So findet man fünf Summen von vier Qua-
draten, deren Werthe unverändert bleiben, wenn man in ihnen
für t?, I?', ^?", t?"' die Grössen «?^, r/, t?/', t?/" der Gleichungen
(16) setzt, und von denen jede die Stelle von vier Formeln von
der Form (13) vertritt, nämlich die folgenden Summen:

)

■{

5 ) {^.(«

(»•) ^,K) ^,K')}* + {^M ^,b') ^,K) ^, («'"))
(«'') ^i(«'") ^. («'"')}* + {^ (») ^ (f') * (»") ^ (»'")}
(t.') ^ K) d- (Ol* + {^,(») ^»(«') ^.K) ^.K")}*

(«') ^,(»'") ^, (»'"))* + {^,(«) ^ai«'') ^.(^") ». K)}

(«') ^ K) ^ (p'")}' + {^,(c) ^,(ü') ^,(»") ^, K')}

(e,') ^,(c") ^, (»'")}« + {» [V) ^ (V') &,{v") », [v"'))

%

%

%

16 Georg Rosenhain.

Ich habe die vier Glieder so geordnet, dass man unter Bei-
behaltung dieser Reihenfolge die besagten Gleichungen der
Form (13) ohne Zweideutigkeit der Vorzeichen zusammensetzen
kann; d. h. dass man hat:

(22)

' 2M (t? J = M(t?) + M' (v) + W'iv) + U'"{v) ,
2 M' (t? j = M (v) + M' {v) — M" (v) — M'" (v) ,
2M" (t?J = M(^?) — M' (t?) + M"(«?) — M'"(i?) ,
2M'"K) = M(t?) — W(v) — M"{v) + W"{v) ,

i

wenn man mit M(ü), M'(t?), M"(^?), M'"(t?) die vier Glieder
irgend eines der Ausdrücke (21) ihrer Ordnung nach bezeich-
net, und [376] mit M(i;J, M'(t?J, M"(t?J, M'"(t?J die nämlichen
Functionen in den v^, »/, t?/', ©/" wie M(t?), M(t?'), M(t?"), M(«?'")
in den t?, t? , t> , t? .

5.

Wenn man das elliptische Integral dritter Gattung als
Specialform des ultra-elUptischen Integrals

X

[a-^-ßx] dx

f

(23)

Vx[\-'x)[\—k''x)(\—X^x){\'-i,i'x),

dem Fall ^ = ju entsprechend betrachtet, so kann man nach
Jacob fs Vorgang das Umkehrungsproblem folgendermaassen
aussprechen:

Gegeben die Gleichungen

,Xi , ^ , f%X^

^x) dx

\,^ f ' («H-W^ _^ r \ (a + ß^

J [l — X^x)Vx'l—X'l—k''x J (\ — l''x)Vx'\

X'l-t

I ^ ^ r""' {a'+ß'x)dx _^ r^ [a+ß'x) dx

J (l —l''x)yx'l—X'i—k*x J (1 —l^x)Vx^i—X'i^

..V l*x)Vx'i—X'i—lf

gesucht die Ausdrücke x^ und x^ in u und t?.
Zur Vereinfachung der Formeln setze ich

2a=l, 2ß= — A*, Vx^ = ^insLm{u^,k),zhVx^ = smsLm(u^^k)j
so dass die erste der Gleichungen (23) die Form annimmt:

lieber die ultra-elliptischen Functionen zweier Variabler. ] 7

Um in der anderen die Constanten a' und ß' passend zu
bestimmen, bediente ich mich der Formel der Fundamenta
nova:

r^, V T« . A C sm*am«c?w

n{w,a) = Ä sinama cosama üamal — ,, . ^ ^

^ ' ' f 1 — A;* sm^ am a • si

sm^ ame^

[u — a]

[377] wo bekanntlich Z [a) = — -z ; und ich setze

A* = Ä* sin« am (er, A) 2 a' = — Z (a)

2/J' = A* sin* 2jnaZ [a) + A* sin ama cosama Aama,

so dass man hat

.

a' + ß' X' dx ^ . . .

= n (w^ , a) — w^ Z (a)

l_A«a;.ya;.l— :z:.l — /;*a;

Bei solcher Festlegung der Coefficienten a, /J, a', /^ nehmen
die Gleichungen (23) die folgende Form an

und die Aufgabe ist,

^x^ = sin am u^ , Va;^ = sin am w, ,

oder symmetrische Functionen dieser Grössen als Functionen
der Argumente u und v auszudrücken.

6.

Mit Hilfe der Gleichungen (21) und (22) kann man

^tv ^ d(u^ — a)d{u^—a )
0{u, + a) ö(w, + a)

auf drei verschiedene Weisen ausdrücken ; und die Auflösung der
vorgelegten Aufgabe reducirt sich auf die einer linearen Glei-

Ostwald's Klassiker. 65. 2

18

Georg Bosenhain.

chnng mit einer Veränderlichen. Setzt man v" = — v — v — v",

al80t)« = 0, v^' = v-\-v', o;'=P-[-»", [378]»/^' =— (»'+»")-
so erhält man ans den zwei ersten nnd der vierten der For-
meln (21) nachstehende drei Doppelgleichnngen:

1. ^(0) »[v-lrv')d-[v+v")d-[v' -\-v")= d-

— »

;25a)

i

2. ^j(0)v>,(o+ü')^(»+»")^(p'+c")= &

3. &^{0)d'^{v + v')O-[v + v")d-{v'+v",=-9-

[v]

1^

1 f\

V )

(v^

^.

W)

[v]

^3

1 l\

V )

[v

^^

[V)

v\

»

[v)

[v\

^il

[v')

V

^3

1 f\

V

\ 1

[v]

^,

[v)

(•«;

1^

V

'v

\ 1

^»1

>')

(«,

».

(0

\ 1

^^^

\ /

)*3(»")^,(«'+'''-t

) ;^(»") -d-Cc+r^
) ^(»") ^ (»+»'+

)^3(0^3(»+«'T

Macht man jetzt

ITCU^

ZTTWfl

t?

t? =

e/ra

2K "^ 2K " 2K '

so kann man diese Gleichungen folgendermaassen schreiben:

(25 b)

fl. ö(0) ö(w)ö(w,+ö)ÖK+a)=öK) e[u

2. e^[ii))e^{u)e[u^+a)e[u^+a)= e[u,) ök

und wenn man jede dieser letzteren durch diejenige dividirt,
welche herauskommt, indem man — a an Stelle von -|- a
setzt, so findet man für e'^ folgende drei Ausdrücke:

e[a) e[u+a

ß,(a)0,{u+ü
d{a) d{u+a

e[a) 0{u+a.

lieber die ultra-ellip tischen Functionen zweier Variabler. 19

6)

,21'

\V

d{u,)d (mJ e («) ö (u—a] — e, {«, ) e, k) ö,

d[u,]0;u^] d[a) d[u + a)+6^{u,)d,{u^)d,

diu,) e[u,) e,{a) e,[u—a] — ö,(mJ ö,k) ö,

d[u,] d(u,) 0,(a) 0,(u+a) + ö,(mJ Ö3K) ö.

o)Öj(m — a)

a)d,{u+a)'
a) ö, (m — o)

ajö, (m — a)

a]d,{u+a) '

Aus diesen Gleichungen endlich gewinnt man die gesuchten
Ausdrflcko in u und v fttr

ÖK) OK)

sin amw^ sin am e^, = ih A Vaj^ a:, ,

[379]

k

Ö,(W.)ÖJW,) 1 . . 1 -/- Y^ =-,—

nämlich

27)

k
k

1

k:

ö,(a) e-''6^[u—a]—e^e^[u-^a

7/1— ^rl

a:^

TT 1^1 — *X • 1 — ^*^2 =

i?:

Zur Auswerthung von 1^1 — A'^r^ • l — ^x^ kann man
sich der bekannten Gleichung bedienen

1 —l'^x, = 1 — A'sm« ama sin'amw, = ^ — -^t|^ö>J

^ ^»(0)gK+a)e(e^,— g)

welche giebt
^1— ra:, . 1— X*a:2-=

^,. g'(0)g(^^i+g)gK+a)
ö*(a) Ö(2.J ö(t.,) •

Nun hat man aber aus der ersten der Formeln \25b)

2*

'' ..ff

20 Georg Rosenhain.

d(a) d{u,) 0[u,) - ,^ l^ + ^1

■^ 0[a) ö(wj ÖW

und hieraus mit Hülfe der ersten der Gleichungen (27)
0{O)d{ u)d{u, + a) dju^_ + a]

e[a) e[u,) e[u^)

__ e{u-\-a] 0, [u — a) + d[ u—a) d^{u + a)
— ^% [u—a) + ^^~ö> + a)

aus dem Ausdruck (21,5) zieht man endlich für v= d', t?" = t;

ö,(0) d,{0) {ß{u—a) e, [u+a) + e[u + a) 6, [u—a]}

= 2d,{a)6,{a]0[u)d,{u)
[380] und man erhält:

(28) Vl—Px^ . \—k^x^

_ d (0)g,(a)6>3(a) 2g,(e^)

" ö,(0) Ö3(0) ö (a) ' e'^e,[u—a) + e^e,[u + a) '

Wir haben also vier symmetrische Functionen von x^ und x^
von der Form 1 — bx^ • 1 — bx^^ ausgedrückt in u und v. Aus
drei beliebigen dieser Functionen, die wir mit 1 — bx^ • 1 — bx^j
1 — b^x^ • 1 — bj^x^, 1 — b^x^ • 1 — b^x^ bezeichnen und von
denen man eine durch b^= auf die Einheit reduciren kann,
entwickelt man leicht die quadratische Gleichung, deren Wurzeln
x^ und x^ sind. Mit Hülfe der Lagrange^ scheu. Interpolations-
formel oder, was auf dasselbe hinauskommt, durch Partial-
bruchzerlegung von

Z — x^ • Z — x^
i—bZ' l—b^Z' 1 — b^ '

erhält man diese Gleichung unter der folgenden Form:

^_ 1 — bx^ ' 1 — bx^ l , 1 — b^x^ • 1—b^X^ 1

b — b,'b—b^ 1 — 6Z ' b, — b^'b^ — b 1 — Ä^Z

1-

+

1 — b^x^'l — b^x^ 1 Z — :r^ • Z — a:.

h^ — b'b^ — b^ l—b^Z \—bZ'\ — b^Z'\ — b^Z'

Damit die zwei, unter einander gleichen Aasdrücke verschwin-
den, muss Z eine der Grössen x,^ und x^ vorstellen; übrigens
kann, wenn Z eine beliebige Grösse ist, dieselbe Identität

lieber die nltra-elliptiscben Functionen zweier Variabler. 21

dazu dienen, um eine Beziehung daraus zu folgern, welche
zwischen drei Grössen von der Form 1 — bx^ • 1- — bx^ be-
steht. Man braucht dazu nur den Coefficienten von Z"* der
Entwickelung dieser Gleichung nach fallenden Potenzen von Z
zu nehmen.

7.

Da die soeben gefundenen Functionen von u und v nur
ein Specialfall der Functionen mit vier Perioden, der Um-
kehrungen der ultra-elliptischen Integrale erster Gattung sind,
so will ich mich dabei nicht lange aufhalten; nur will ich
noch [381] zeigen, dass sie in der That eine dreifache
Periodicität mit conjugirten Periodenin^ces besitzen.

Die Gleichungen (27) und (28) zeigen, dass die Aus-
drtlcke von x^x^^ 1 — x^ • 1 — ar,, 1 — k^x^ • 1 — A*a;,, und
1 — X'^x^ ' 1 — l'^x^ in u und v ihren Werth nicht verändern,
wenn man

t^ um 2K und t? um ,
u um 2^K und v um— =r-,

u um und v um in:

vermehrt.

Die Grenzen x^ und x^ der beiden durch die Gleichungen
(23) verbundenen elliptischen Integrale mit den beiden Argu-
menten u und V sind also wirklich dreifach periodische Func-
tionen dieser Argumente und zwar ist ihre Periodicität so,
dass zu den drei Indices 2K, 2iK', von u in derselben

Ordnung die drei Indices 0, ^^^, in; von v conjugirt sind.

Nach den Untersuchungen von Jacobi über die Periodi-
cität der inversen Functionen der ultra-elliptischen Integrale
müssen die Indices von u und v den Werthen entsprechen,
welche die bestimmten Integrale

+ ßx) dx

JVx' 1— a:. 1 —

k'^X • 1 l^X ' 1 (Z^X^

[a'+ß'x) dx

Vx • 1 X • 1 k'^X • 1 — k'^X - 1 fl^X^

22

Georg Bosenhain.

genommen zwischen den Grenzen — oo und ; und 1 ;

1 und-r^; Yi und v^: -^ und —ri —r und oo annehmen, wenn
kr Ar Ar }r fi^ fi^

^=z l wird.

Sei X • 1 — X ' 1 — k'^x • 1 — Px ' 1 — f^^x = [x, ä, A, ju),
so hat Jacohi gezeigt, dass

(29)

r* (A + Ba;) dx C^ \Al + 1

j„ y{x, k, X, m) Jj y{^,

Ba;) c?:c

-I

Od

(A + Ba;) rfa;

l/(:c, ^, A, ^)

= 0,

A*''

/.

(A + Brg) rfa;

dx

_r (A + Ba;)

_^r^]A+B^_^.

/2

<

[382] wo in der ersten Gleichung V[x^ k^ A, ^) und in der

zweiten V — [x^ A, X, ^) positiv bleiben muss für alle Werthe
von X zwischen den Integrationsgrenzen.

Man wird also in diesen Gleichungen setzen müssen
wenn a;<;y4 lim (A=a) \'V[x^k^l^f,i)\ = (1 — X^x)yx'\ — x-X—l

wenn a:>y5 lim (^=u) \V[x^k^X^ii)\ = (1 — X^x)yx' 1 — x- \—l

indem man mit Xim [l ^= ix){f[l^ f,i)] die Grenze bezeichnet,
gegen welche die Function f[X,(x) convergirt, wenn l und u
gegen eine gegebene Grenze convergiren.

Nach dieser Festsetzung lässt die erste der Gleichungen
(29) erkennen, dass man nur einen einzigen reellen Index für
jedes der Argumente u und v hat, der aus dem Integral

Ueber die ultra-ellip tischen Functionen zweier Variabler. 23

C (^-ffliiL_=iim(A=^)| r^(^+Mi-i

hervorgeht, wenn man in ihm nach, einander a -\- ßx und
a' -\- ß'x an Stelle von A + B:r setzt. Die Grenze, gegen
welche jedes der beiden anderen Integrale der Gleichung (29, 1)
con vergilt, wenn l — f,i gegen convergirt, ist Unendlich;
dennoch hat ihre Differenz einen endlichen Grenzwerth, näm-

J 1 —

(A + Ba;) dx

lieh das Integral | — , - : — ; und wenn

X'^x • Vx • 1 — X • 1 — k'^x

A = 2a=l, B = 2/^ = — A*, so erhält man die bekannte
Beziehung

r dx I dx

J Vx'i — X'l — k'^x Jj Vxl — X'l — k^x^

unter Beobachtung der zweiten der Formeln (30).

[383] Die in der Formel (29, 2) enthaltenen Integrale
convergiren alle drei gegen endliche Grenzen , wenn A — fx
gegen convergirt. Denn man findet durch die Substitution
_ 1^

^-Ä^-y(A^-^t*)-

_ J r [K+^x)dx) \ JB-

_A«.A;^ — ^2

wodurch die Gleichung (29, 2) die Form annimmt

C"^ [K+'Qx)dx r ^' [K+^x]dx

J_^ i—l^x-Vx' 1—X'l—k'^x J^ 1 — X^X'Vx . 1 — a; . 1 —k'^

_ _JB+AJ^)_i7r__

Fttr A = a, B = ß zieht man daraus die bekannte Formel
I dx r dx

24 Goorg Rosenhain.

und für A = a', B = ß' kommt:

1

r' [a+ß'x)dx r *"' [a'+-ß'x)dx

Nun hat man aber aus bekannten Formeln über die elliptischen
Functionen

{a!+ß'x)dx iTta ijt

J^^l—Px^Vx'l—X'i—k'x 2K • 2
C [a-^-ß'x] dx iTta

l-^l^X'Vx^l—X'l—k^x 2K '

die Periodicitätsindices der Argumente u und v drücken sich
also durch bestimmte Integrale folgendormaassen aus:

" " '■)

1

2 tK' = 2 lim (;i = iu)

1

*^ = 2Mm{X = fi}^ ^*^

= 2 lim (A = ^e)

J , V(a;, k, l, n)

Ueber die ultra-elliptischen Functionen zweier Variabler. 25

8.

Vor Abschluss dieses Gebietes muss ich noch eine wich-
tige Bemerkung machen. Bezeichnet man den gemeinsamen
Nenner der Ausdrücke (27) mit t[u, v), so können sie auch
folgendermaassen geschrieben werden:

. 2n4-»K'

e

1. zty/ck?.yx^x^ =

t (w, v)

. 2«H-«'K'

■ V

V\—k^x^*\ — k^x^= ^ ^ ' '

wo ^',*= 1 — Ä*, ^1*= 1 — A', A^*=^* — A*; und man sieht,
dass die Zähler der drei Ausdrücke aus dem gemeinsamen
Nenner t[u^v) hervorgehen, wenn man in ihm die Argumente
u und V um die Hälften ihrer conjugirten Indices vermehrt,
abgesehen von einem einfachen Factor. Da es aber drei Paare
conjugirter Indices giebt, [385] so erhält man aus t (w, t?),
wenn die Vermehrung der Argumente u und v auf alle mög-
lichen Weisen ausgeführt wird, im ganzen 2^ — 1 = 7 neue
Functionen, denn so gross ist die Zahl aller Combinationen
ohne Wiederholung der verschiedenen Klassen, die man mit
drei Dingen machen kann.

Dividirt man diese sieben Functionen durch t[u^v)^ so
ergeben sich ausser den drei Quotienten, welche die zwei
Glieder der Gleichungen (31) bilden, noch vier weitere, welche
sich indessen weniger einfach als jene durch x^ und x^ aus-
drücken, trotzdem sie von u und v durchaus nicht complicirter
abhängen. Zur Aufsuchung ihrer Werthe in rr^ und x^ kann
man sich entweder des AbeV^ahQn Theorems über die Addition
von Integralen bedienen, oder der oben- gegebenen Formeln
über die Functionen ^(w); man findet:

26

Georg Rosenhaiu.

l 1— AV, .Yx\'~\—x,^ \—k^x, =p 1— rar,- Va r^ - 1— a; ^- \—l

(31)

^M ^-A-

•^4 »^1

27|w,f + Yj

^ (w , f)

5.

V^' l — }}x^ -lar^- 1 — a:,- 1 — A;*a:,zpl — ?^x^Vx^'l — x^' \—k

^1 ^-A:

^6J rl

. , eVira\

^ (w, v)

A 1 — ?J^z^Vl — a-j-a:,- 1 — Px^:^l — k*x^•yl — x^-x^-i-

9 '"'"' 4

2«4-tK'

'*'^ ■*^^' jf/w+K-f-«K', t?+*|

^(•w, t?)

L^ 1— ;,V , ■ Vl—k%'X^ » 1—2:, q= 1— A^^, ' Vi — k*x, 'xA

x<^ ^4

it(u+K,v + -l~^

und ebenso erhält man ausser der oben gegebenen Gleichung

S.

k

die drei folgenden:

V\ — )}x, . \ — )^

X

%

T[ö]t[u,v)'

[386]

(32)

10.

Vä-

p.,A.jr.yA,

_ 2 6>(o)g(«)
g(o)<(«,r;'

^* ^1

d{o) t[u,v]'

üeber die ultra-elliptischen Functionen zweier Variabler. 27

k

j=y\—l\'i—l

^x.

Vx^ ' 1 — x^ • \—k^x^ =F Va;, • 1 — x^ . 1 —h^x^

"k^X^h^ ' * ' * x^ — x^

"~ d{o)t{u,vy

Diese elf Functionen zu drei Perioden haben, wie man
sieht, eine analoge Form, wie die einfach periodischen Kreis-
oder Exponentialfunctionen. Die Form der sieben ersten ent-
spricht der der trigonometrischen Tangenten, und die der vier
letzten gleicht der Form der Secanten.

Capitel IL

Nene Reihen, deren Quotienten die gesuchten
Functionen zweier Variablen mit vier Perioden

bilden.

1.
Die Reihe '0'^{v) hat die Form

« = QO li = 1

sie setzt sich also zusammen nach einem klaren und einfachen
Gesetz aus Functionen von der Form e^ + e~^ und einem
Modul q. Nach einem ähnlichen Gesetz habe ich Reihen zu
zwei Variablen gebildet vermittelst Functionen von der Form
^^^y. («^j + A, g') ip e'^d'^ [w — A, g'), welche wir soeben als
Zähler und Nenner der dreifach periodischen Functionen
gefunden haben, und mit Httlfe eines dritten [387] Moduls/?,
indem wir darauf Acht haben, dass die Quotienten zweier be-
liebiger so erhaltener Reihen in Bezug auf die Argumente v»
und w eine vierfache Periodicität mit conjugirten Perioden-
indices zeigen.

Man erkennt leicht, dass zu dem Ende diese neuen Reihen
von der Form sein müssen:

28 Georg Rosenbain.

m = oo

(32) 1+ 2;>«»'(e*'^^^^(w;+2mA,^) + e-«^*'^^(w?— 2mA,5

m = l

m = — 00

WO r ein beliebiger der vier lüdices 0, 1, 2, 3 ist.
Die vier Reihen ^ri^i ?) ^^^^ ^^^ ^®^ Form

M = + 00

2 gan^ + fen + c
n = —00

WO a = log 2' und b und c lineare ganze Ausdrücke in w sii
Ebenso werden die neuen Reihen, sechzehn an Zahl, wie ^
in der Folge sehen werden, alle umfasst von der analog
Form

m= + 00 n= +00
(33] 2 2 eam2+ßn^ + Ymn + dm + Bn+:;

m= — 00 n = — 00

WO a = log^, ß = log q, y = 4 A und ö, €, t lineare gar
Ausdrücke in v und w sind, wie schon weiter oben bemerl

Ich gehe aus von der Reihe, die aus Formel (33) ei
steht, wenn man dort ?=0, 5=2t?, e = 2w setzt; oi
aus (32) für r= 3, und ich [388] bezeichne sie dm
(^3 3 («?, ^,if?, ?, A) oder einfach durch «jpg 3 (1?, w), wenn m
nur Functionen derselben Moduln p, q, A betrachtet.

Nach dieser Festsetzung hat man

m=+ao

1. 9>s,3(^?,^«?)= 1 p'^'' e'^"^^ 'd'^(tc+2mA, q)

m= — 00
n = +oo

= 1 q'^^'e'^''' d'^[v-i'2nA, p]

n = — 00

oder auch

(34) / «i=+oo n=+oo

2. Cp^^(v,w]= i i e'n21ogii + «21ogg + 4«mA + 2m» + 2n(

m=— 00 w= — 00

und folglich

«1=00 n=oo

3. r/?3 3(it?,m} = l+ 1 1 2^0»»' j"'{e^'««^cos2(»2r 4

m= 1 n= 1

+ e-^ mnA cog 2 [mv — ;

lieber die Ultra-elliptischen Functionen zweier Variabler.. 29

Damit die Reihe cp^^^{v, w) coavergirt, genügt es, dass
logjo, logg' und 4A* — log jo logg' oder, wenn sie imaginär
sind, dass ihre Moduln negativ sind.

In der That, da man hat

logp+>»Mogg+4m;.A = '"^'°gf +'^^ -)' + ^ '^'"gP;"gg-^^ "'
^^ ^ log/) logjo

(nlogg-f-2mA)* w'(logjologg — 4A*)

*"■ logg logg '

folglich

. c, . . A (mlogö-f-2wA)* , (;^logg4-27?^A]-

ö/'-T- &^^ 2\ogp 21ogg

4. m^ ^og/>^og g— 4^* , ^4 log;? logg— 4 A^
2 logg 2 log/?

so kann man die Reihe cp^ ^[vj w) aus dieser anderen

„logplogg— 4A2 . _ „logplogg — 4A2 . „

2 2 e ^^^ Xe ^^^

m = — 00 n =—00

( logylogy— 4A2 v / logylogg— 4A2 \

[389] ableiten, indem man hier das den Indices m und n ent-
sprechende Glied multiplicirt mit der Grösse

(mlogp + 2nA)g (wlogg + 2mA)g

2logp "*■ 21og3r

'^ >

nun ist aber, wenn log/?, logg und (4A' — log/? log g) ne-
gativ sind, diese Grösäe immer kleiner als die Einheit*) und
gleichzeitig convergirt die vorstehende Reihe für alle endlichen,
reellen und imaginären Werthe von v und w] folglich wird
in diesem Falle die Reihe qPs 3 (^ , «^) noch viel rascher con-
vergiren.

Nehmen wir also an, dass die drei Grössen log /?, log g,
4A' — log/? logg immer negativ sind, so hat die Reihe
^3 3 [Vj w), wie wir soeben gesehen haben, einen einzigen end-
lichen Werth für alle endlichen, reellen und imaginären Werthe
der beiden Argumente v und w. Ich bemerke noch, dass
die Reihe sich für A = auf das Product ^3 («?,/?) ^3 {w, q)
reducirt.

*) Ausgenommen für m = w = 0, wo sie d^x EiVoXjÄ\\. ^^vO^v^x.»

30 Georg Rosenhain.

3.

Die Reihe cp^ , («?, w) ist eine doppelt periodische Function
von V und w mit den conjugirten Indicespaaren ijt^ o und
0^ i7t\ denn man hat

(35) ^3,3 (^ + aiTt, w) = f/)3^3 («?, w) 1

WO a eine beliebige ganze Zahl ist. Die Beziehung, welche
hier zwischen den vier Periodicitätsindices statt bat, giebt
dieser doppelten Periodicität keinen speciellen Charakter;
denn substituirt man v = aVj^-^hw^^ w = cv^-\- dw^ , so
kann man die vier Constanten a, h^ c, d so bestimmen, dass
die vier Periodicitätsindices für die transformirte Function
gegebene Grössen sind.

[390] Multiplicirt man nun die Function 9)3 3 (t? , w] mit

«2 '

e^^^'', so zeigt das Product noch eine doppelte Periodicität,
aber seine Paare conjugirter Indices werden logjp, 2A und
0, iit sein; denn man erhält

iß (i7 + mlojr«)2

m=+ao

(36) ^'••«''f/),, 3 (»,«,-;= i: e '»«" ^,(M>H-2mA,?)

und diese Function verändert sich nicht, wenn man an Steile
von V und w setzt t? + logjo, z^ + 2A, oder v^w -\- in.
Ebenso sieht man, dass die Function von v und w

ff 2 (w + MloggJ^

n = + 00

(37) e'»«>,,, («,«,)= i: e '"" ^,(r-t-2.»A,p)

doppelt periodisch ist mit den Paaren conjugirter Indices
i/r, und 2 A, log g'.

4.

Die beiden letzten Gleichungen geben

93,3 (^»^j^^"" 9^3,3 ((^•+/^log;. + 2/A),(zt--l-2/?A-{-^logy)},
wo

M = /5Mogjo + /nog^H- 4/JyA + 2 /!?i? + 2/2^,

üeber die ultra-elliptischen Functionen zweier Variabler. 31

und ß und y beliebige ganze Zahlen bezeichnen; ich stelle
mir die Aufgabe, die einfachste Function von v und w zu
finden, welche multiplicirt mit (p^ 3 [v , w) das Product doppelt
periodisch macht mit den Paaren conjugirter Indices logjö, 2 A
und 2 A, logg'. Bezeichnet man diesen Factor mit e^^^'^\ so
sieht man, dassy(t?,w?) nur die Form

[391] haben kann, denn er muss unabhängig sein von ß und y
und der Bedingung gentigen:

f{[v+ß\o^p + 2yA), [w+y\o^q + 2ßA\]—f[v,w]
= ß^ logp + y* log3' + 4 ßyA-i- 2 ßv + 2 yw.

Diese Bedingung giebt zur Bestimmung von a, 5, c die
Gleichungen :

a{ß\ogp + 2yA] — 2c{y\ogq+2ßA) — ß = 0,
b{ylosq+2ßA) — 2c{ß\ogp + 2yA) — y = 0,
{ß\ogp+2yA){a(ß\ogp+2yA) — 2c[y\ogq+2ßA)—ß}
+{ylogq+2ßA){b[y\ogq+2ßA) — 2c{ßlogp+2yA)—y]=0,

deren dritte aus den beiden ersten hervorgeht. Da sie un-
abhängig von den Werthen von ß und y erfüllt sein müssen,
so erhält man aus ihnen:

fftlo-li

alogjo — 4cA 1, blogq — 4cA 1,
aA — clogg' 0, bA — clogp 0,

lUlgll

Uli .

^ logg j log/>

\ogp logg — 4A* ' logp logq — 4A* '

A

und

\ogp logg — 4A* '

(38)

^^ ,^ ü' log g' + ^* logjf? — AAvw

Jv^i'^^}— logj9 logg — 4A*

Man erhält die Function f[v^w) unter einer andern
Form, wenn man direct der in der analytischen Geometrie
angewandten Methode folgt, um den Coordinatenanfangspunkt
von einem beliebigen Punkt der Ebene in den Mittelpunkt

32 Georg Bosenhain.

eines Kegelschnittes zn verlegen. Man hat dazu nur zu setzen
/^ + v — V und y+w — w für ß und y in dem Ausdrucke

ß^ log/? +y' log 2^ + 4 /?yA+2/f?t?+2yt^

[392] und in der Entwickelung nach Potenzen von [ß + v),
(y + w) dann v und w so zu bestimmen, dass die mit den
ersten Potenzen multiplicirten Glieder verschwinden, v und w
müssen also den Gleichungen genügen

v logjp -f- 2wA = V
wlog q + 2 vA = w j
woraus folgt:

vloeq — 2Aw wlosp — 2At?

V=-: H= r-r^ n W =

\ogp logg' — 4A* ' logjo logg' — 4A* '

und

ßHogp+yHogq-{-^ßyA-\-2ßv-[-2yw-i-vHogp-\'wHogq-{-4Av\x

=(/?+v)Mog;> + (y+w)Mogg4-4A(/$f+v)(y + w);

denn man bat

ü V + «^ w = V* log /) + w* log 2' + 4 A V w .
Also hat man auch

v^losg A-to^losp — ^Avw
logj9 logg — 4A*
setzt man also

F (v, w) = V* logjt? + w* log g' + 4 A V w ,

so bat man

vy + ww=f{v, w) = F{yj w),
und

ßnogp+yHogq+ißyA+2ßv+2yw=F[v+ß,w+y)—F{Y.s<'
=f{{v + ß\ogp + 2yA),{w + 2ßA + ylogq)}—f{v,zv)-

daraus folgt:

»n=4-Q0 n=+QO .
(39) e-^f^'"')^), 3(t?,t^)= 1 1 ß/{(» + mlog|) + 2nA),(ic + nlogg+:

m= — 00 n= — 30

»n=+QO n=+ao
fn= — 00 n= — 00

[Jeber die ultra-elliptischen Functionen zweier Variabler. 33
[393] wo

(41)

vlosq — 2Aw ^

vloffö + 2 Aw = ?5, ^ — — ==v

tölog/?— 2At?

wlog3' + 2Av = t^, --^ — -=w

^ log^logj' — 4A*

(42)

und

, . ©Mog^+w?Mog/? — 4At?^<?

(43 /(ü t^) = -± °^

= F(v, w) = v*logj9 + w*log$' + 4Avw. .

Diese Gleichungen zeigen, dass 6?-^^*''"') (jp, 3 (ü, w?) eine
doppelt periodische Function von v und w ist mit den Paaren
conjugirter Indices logjo, 2 A und 2 A, log 5'; in v und w aus-
gedrückt werden die Paare conjugirter Indices 1,0 und 0,1.

Drücken wir noch e^^^'^^g>3^^[v,w) in v und w und in
w nnd V aus; man hat nach den' Formeln (41) und (42):

logg' logg^ \ J JJ

folglich

«8 logplogg— 4Ag ^^

logp. . logp

M e""" ""' 9',,,{f,«')

;,^^^ i?5Pj«l=lA' (,+„), C+a-A)«

= 2 e "-«"; e '•"'■ ^3(« + 2«A,;,),

n = — 00

«^ . logp logg — 4 A» ^^

(45) «'•" •»«' 9'...{«,«')

9n=: — QO

worin

(i> + 2nA)g (tr+2mA)2

a ^"^^ ;^3{t? + 2wA,;?} und c ^'^« ^3{t^+2mA,y},
[394] für ihre Werthe

Ostwald*s Klassiker. 65. 3

34 Georg Rosenhain.

1 e ^'^^ und 1 e *"««

m = — OD n = — oo

gesetzt sind. Man sieht also aus diesen Gleichungen, dass die
doppelt periodische Function e^^^^^'^^q)^^^ {v, w) ausgedrückt in v
und w die Paare conjugirter Indices logpj o und 2 A, 1 hat; dass
aber die Paare conjugirter Indices log g^, o und 2 A, 1 werden,
wenn man sie als Function der Argumente w und v betrachtet.

5.

Man kann sich der beiden letzten Formen von e/^"'^) q)^ ^ [v,w]
bedienen, um die Beziehungen aufzufinden, welche zwischen
den Functionen q)^ 3 mit reellen Argumenten und denen mit
Argumenten von der Form iv, w oder von der Form v, iw
bestehen. Die erstere erhält man durch Entwickelang der
Form (44) nach dem Cosinus und Sinus der Vielfachen des

2 1? Tf

Arguments ^ , in Rücksicht auf welche allein dieselbe

logp

einfach periodisch ist mit dem Periodenindex 2 7t] und man

hat ebenso die andere Beziehung zwischen den Functionen

^3 3 mit reellen Argumenten und denen mit Argumenten von

der Form v und iw durch Entwickelung der Form (45) von

2 tDTTj

ß/Cf.w) qpj 3 (t?, w) nach den Cosinus und Sinus von -| . Aber

eine dieser Entwickelungen genügt, da die andere durch Ver-
tauschung der Argumente v und w und der Moduln p und q
unter einander aus ihr hervorgeht.

Durch Combination dieser beiden Beziehungen leitet man
die Formel zur Rednction der Functionen cp^ , (i? , w) mit
Argumenten von der Form iv, iw auf die mit reellen
Argumenten ab und diese letztere muss dieselbe sein, wie
die, welche man durch Entwickelung der Form (40) von
e/(»,w) qp^ ^ ^ij^ ^j nach den Functionen Cosinus und Sinns der
Vielfachen von 2v7r und 2 wyr findet.

[395] Man hat also nur die Entwickelung einer der beiden
Formen (44) und (45) auszuführen: nehmen wir die Form (44).

Man erkennt, dass, um hier die Entwickelung nach den

2 1? /f

Cosinus und Sinus der Vielfachen von zu erhalten, man

logp ' •

lieber die ultra-ellip tischen Functionen zweier Variabler. 35

in dieser Weise nur die Function e ^^^^ ^3(t? + 2wA,/?) zu
entwickeln hat, und dass ihre Entwickelung allein nach Po-

tenzen der Cosinus der Vielfachen von — ; 2 7t läuft.

log/)

Diese aus der Theorie der elliptischen Functionen be-
kannte Reihe wird durch die Formel dargestellt:

d[iu + K,k) __ i/^ TS' ö(t^H-K',-^ .

d[o,k) ~y y^ " e[o,k') '

sie wurde von Jacohi in seinen Fundamenta 7iova (S. 165)
entwickelt und kann mit Hülfe der Formeln

in die Form gebracht werden

7rw2

e [tu + K,/c)=y^,e^^ß[u + K', k') ;
oder nach unserer Bezeichnung

Ö3 {iu,k) =y -^ e^ ^' Ö3 {u, k') ,
oder auch

7t U'^

«*'^'ö,(«,;t) = l/|,Ö3 (.«,*').

t TTj U % 7Jj U 7€ Bl.

Setzt man endlich 2^"'^^' 2K^^^' l<>g/^= --^ ^
log/? = —7-, so erhält man

(46) e'^''^,[v,p)-y-

396] wo

log/?' • log/? — TT*, l?' —

log/?' log/?' '

3*

36 Georg Rosenhain.

Mit Hülfe dieser Formel'*'] (46) erhält man ans den Glei-
chungen (44] und (45] die beiden folgenden Sätze:

Lehrsatz I.

t?2

(47) e"''^<p,^,{^,^,P,g,-^)=V-J^9»A^'y,P',9',^']

WO ^

log/> log ^ — 4 A* log/)' log q' — 4 A'*

logjp • \ogp'= 7t^ =

log q log g'

, log ö log ö' — 4 A* , log o' log ö^' — 4A'*

log g == — , ^ , log (7 = — ^^- — °^ ,

^^ log/? ' ^^ log/>'

*) In seinen Vorlesungen hat Jacohi die Formel (46) aus der
Entwickelung der Keihe

-- m = + aD <^ +***^^gP )'

m = — 00

nach den Cosinus der Vielfachen von. ä2v' hergeleitet. Der

Coefficient von 2 cos Inv' ist bekanntlich gleich

e ^" cos 2nv^ *dv',

,/a — 27r

WO a eine beliebige Grösse ist. Um den Werth der Summe dieser
Integrale zu finden, überträgt er die Summirung auf die Grenzen,
indem er in dem Giiede mit Index m, 2a; an Stelle von 2v' -\-2mn
setzt. So erhält er für diese Summe den Werth

j /•+«. ^!?0 1 /- + «_,. f 2nn^ 1

- — I e cos2nxdx= —-=i e «or^ \A^

2r.J y-^'>SPj_^ \y -log pf

00 *^ — oo

= 1/ ^

r log/?

folglich

ßlogp

1*°«^ ^3 (i?,p) = 1/ -. -jj"- 1 1 + 2 2e^<>»P COS 2n ü' I

Ueber die ultra-elliptischen Functionen zweier Variabler. 37

A' =

zVrA

V =

V

TtV

iA =

7t A

l0gJ9
7tv'

logjp'

w =

w^=

wlo^p — 2 At?
logp

vf\ogp' — 2iA!v
log/>'

f >

[397]

Lehrsatz II.

(48) c''"^Vs,3(«'>«');',?>A) = y — j^gc),_5(c,,ito„;)„^„A,),

wo

10 1 >^^«^log/'logg-4A*.logP|logg.-4A.

logp logj»,

los « = log/'logg-^A» ^ logj>.lo gg.-4A;

^'^' log? ' ^^ log?,

S

A.=

ITCK

log^ '

. TirA^

zA= *

«^1 =

t«?

TtW

log? '

TTW?,

^i =

t?

V logg' — 2 At^
log? '

^ _ t?t log ?i — 2 iA^ t^^

log ?i ' "^ "~ log ?i ' " log ?4

Setzt man endlich it?', «i<?', /)', ?', A' an Stelle von
v^ w^ p^ q^ K m dem zweiten Lehrsatze und combinirt ihn
in dieser Form mit dem ersten, so erhält man den folgenden

Lehrsatz IIL

(49) ß/(«''«''P'9'"^)f/)3,3(t?,t^?,/>,?, A)

wo

TT

Vlogj9 log? 4A^

log;) . log jt?/ = log ? • log ?/ = 7r2— 4 AA/

[398] oder

logjt? . log p/ + 4 AA/ = log ? • log ?/ + 4 AA/ = tt*,

Alogp/ + A/log? =

38 Georg Bosenhain.

{\ogp \ogq — A A*) (log/?/ log (?/ — 4 A/*) = 7t^,
A log §'/ + A/ log/) =

, TrMog^ , 71* log p

logp logq — 4 A* ' ^* log/> log y — 4 A* '

* log/? log 3' — 4A*'

'°^^ logKlog?,'-4A.'»' '"«* logi>/logj.'— 4A,'«'

A = —

log;),' log y,' — 4 A,

'» »

»logg' — 2Aw , M^log^ — 2Aü

log j) log q — 4 A* ' log /) log j — 4 A*

« _ ^ »,'Jogy/ — 2ViV ,„ _„ w/logK — 2A/p/
'^-''logiö,'.log?,'-4A,'»' '"-''log;>/logg/— 4A/"

V= ^JogK+2A/^, < = ^logj/+2A.'^,

^ f / '

V W W V

V ^-^ log/> + 2A — ^, «^? = -^logo' + 2A— ^.

7t 7t 7t 7t

t? ' W '

Da nun -^, — ^ gerade die Functionen von x> und w sind,

7t^ 7t ^

die ich oben mit v und w bezeichnet habe, so sieht man, dass der
letzte Lehrsatz in der That die Entwickelung der Formel (40)
nach Cosinus und Sinus der Vielfachen von 2 vtt und 2 wtt
giebt.

Die Formeln der drei vorstehenden Lehrsätze sind so
angeordnet, dass sie deutlich ihre Umkehrbarkeit erkennen
lassen. Man kann hier, ohne etwas zu ändern, für log/?, log^
ihre vollständigen Werthe logjt? + 2f,ti7tj log j + 2 (LitTt
setzen, ja sogar log/? + (2 ^t + 1) eyr, log j + (2 m' + 1) «Vr,

4 TT 7t i

wenn man nur zugleich v-\-—j t^ + — für v und w setzt;

auch 2A kann in allen den vorstehenden Formeln um vi 7t
vermehrt werden, ohne dass sie ihre Gültigkeit verlieren,
wobei ^, f.i, v irgend welche ganze Zahlen bedeuten. Sub-
stituirt man also in den Formeln der drei vorstehenden
Lehrsätze log/? + /iiTT, log q + fA!i7t^ 2 A + viTt für

lieber die ultra-elliptiscben FuactioDen zweier Variabler. 39

Z7V

p, Qj [399] 2 A, und beachtet, dass man zugleich t? + ^ ^^r t?

% TC

setzt, wenn ^tt ungerade ist, und w ■\' --- für w^ wenn es /t'

ist, so erhält man allgemeinere Theoreme, welche mehrfach
wiederholt alle die verschiedenen Formen geben, die eine und
dieselbe Function cp^ 3 [v^w] annehmen kann. Aber die Zeit
mangelt mir, um dieses Gebiet weiter zu behandeln, und ich
muss mich auf die gegebenen Formeln beschränken, deren
man sich, wie man sehen wird, bedienen kann, um von der
analytischen Transformation der Function ^33 [ti^w\ welche
von der Theilung des Periodenindex in abhängt, zu den
anderen tiberzugehen, welche von der Theilung der anderen
Indices abhängen.

6.

Die Function cp^ 3 (t?, w] hat mit der Function ^3 (t?) die
Eigenschaft gemein, dass die Potenzen und die Producte einer
beliebigen Anzahl dieser Functionen linear durch Functionen
derselben Form, aber mit verschiedenen Moduln ausgedrückt
werden können. Um diese Ausdrücke zu finden, bilde ich
das Product der n Functionen ^>^^^{y -^ dhi ^ + ^ä)» welche
den n Werthen 1, 2, 3, .... w des Index A entsprechen : be-
zeichnet man. durch

n %^ das Product S. • 8, • S, 8„_i • S„ ,

so erhält man aus der Gleichung

= 2 /)»»'e2«» (»+«;,) ^^ (^^ -I- ^^ 4- 2 m A , q) ,

m = — 00

das gesuchte Product

h—n

(5ü) ] n 9),_, (t) + aÄ,M'-t-*/,,i',S',A)

=2

X n";*, {w + ÄÄ + 2mAA,y}

A ^ 1

40 Georg Kosenhain.

[400] wo die Summe über alle positiven und negativen Werthe
der n ganzen Zahlen m^, m^^ . , , ,^ m^ ausgedehnt werden .
mnss. Die Bildung des gesuchten Productes hängt also ab
von der des folgenden

Ä=l

Um dies als lineare Function von Transcendenten der
Form ^3 auszudrücken, bediene ich mich der elementaren
Methode, deren Princip Jacohi in dem oben erwähnten Briefe
an Hermite auseinandergesetzt hat (s. Jouiiial für Mathematik
von Crelle, Bd. XXXIl, S. 176], und ich mnss erwähnen, dass
ich erst nach Kenntnissnahme dieses Briefes den Ansdrack
des behandelten Productes gefunden habe.

7.
Man hat

wobei die Summe über alle ganzen Werthe von fn^^m^^ . . . , , »i„
auszudehnen ist. Seien nun i^^i) f^^) * • * *? i'^n beliebige ganze
Zahlen, nur der einen einzigen Bedingung unterworfen, dass
ihi*e Summe positiv und kleiner als n ist; seien femer

(52) U,' +^^ +...+^^« =!>„« =ga

so ist a ^ , und a<Cn, und setzt man mf^ = fif^-^- b^ so
wird

^4 +^s + h ^n =2m;j =a '\-nb

m^ a^ + m,a, H 1- 7w^a„ = lmf^af^ = A^ + bs^

wo

« = «1 + «4 + + a^ = 2«;, .

[401] Durch Substitution dieser Werthe wird das zweite
Glied der Gleichung (51)

Ueber die ultra-elliptischen Functionen zweier Variabler. 41

a = n — 1 6 = + Q0

2 p ß^aw 2 Qnb^ß2binw + 3-\-a\ogq)

a = o 6 = — QO

a = o
WO

und wo die letzte durch 5„ bezeichnete Summe über alle
Systeme von n Zahlen jU^ , ^u, , . . . , ]U„ zu erstrecken ist, deren
Summe gleich a ist. Man findet also

U = l a = o

und indem man hier to H für w setzt

n

(54) fn"^3{t. + a, + ^,?}

, 2akijt
a = n — 1

= 2 P^e " e2««'^3(ww? + 5 + alogj,j*»}.

a = o

Diese Formel stellt ein System von n linearen Gleichungen
in Bezug auf die n Functionen ^3 [nw + 5 + a log g' , j**) dar,
entsprechend den n Werthen 0, l,2,...,w — 1 von k und
das System der inversen Gleichungen ist nach den bekannten
Eigenschaften der Einheitswurzeln in der Formel enthalten:

(55) nFae^^''S'^{nw + s + alogq,q*'}

, . 2kaiJt , - .

« = n— 1 h = n klTt

= 2 e " n ^z{w+(Xj, + -—,q}.

Setzt man hier w=^0 oder gleich einem anderen con-
stanten Werthe, so hat man die Coefficienten P^ ausgedrückt
durch Functionen ^3 mit constanten Argumenten.

[402] Mit Hülfe der Formel

(56) wg«'e2««^^3{ww?+ an log j, g*»'}

2amijt

= 2 e ^^{w+——,q),

welche geradenwegs aus der Definition der Reihe ^3 (w) folgt
und die in die Form

42 . Georg Rosenhain.

(57) nq"" e^^'^S-j^ {nw + a log q.q*"}

_^ 2ami7( , 1

m = o '*

gebracht werden kann, entsteht aus der Gleichung (53)

(58) «n ^3 {«'+«*,?}= 2 Q^^,{«,+ 4-^17},

h = \ «1 = W W

WO

__ 2amijt a« 2as

0^ =" "F e ~ y~ « r "^P„ ;

0=0

und wenn man hier w -\ — log o an Stelle von w setzt, so erhält

n '

man für die n Werthe 0,l,2,...,7^ — l von k , n Gleichungen

von der Form:

(59) nUS-.iw + a^^^-Xogq^q}

Ä=l '*

, Ä» _,n«> + s 2kini7t , 1

MJ — tt — 1 — IK o AM M ,rr —

= i Q^y e c '*»{«' + - + —-,? },

I« = '* '*

deren /2 inverse Gleichungen in der folgenden enthalten sind:

(60) Q„^,{«,+i + ^,yi}

* = Ä=l W

aus der man die Werthe der constanten Coefficienten Q,„
ziehen kann, ausgedrückt durch Functionen ^3 mit constanteo
Argumenten.

Zu den letzten Formeln kann man auch kommen mit
Hülfe der Gleichung

[403] wo

^[y^\q') = V-^e'^''^,[w,q),

W = — , log ? log ^ = TT* .

log y ^

Ueber die ultra-elliptischen Functionen zweier Variabler. 43
Transformirt man mit Hülfe dieser Formel die Gleichung

A = 1

m = n — 1

m = o
WO

SO erhält man

Ä = n m = n — 1 o TfltTt ^

und

n— 1 6«_ — nc

«"""Isl ^ ^^ "'•" ■

wo

h = l

und wo die mit II^^ bezeichnete Summe über alle ganzen
Werthe von i^i , it^^ ' . . , A*ä auszudehnen ist, welche der Glei-
chung Ilfiy, =s m Genüge leisten. Dieser Ausdruck ist weniger
complicirt als der oben gefundene.

8.

Mit Hülfe dieser Beziehungen zwischen den Functionen
^3 erzielt man ohne Mühe analoge Relationen zwischen den
allgemeineren Functionen [404] cp^^^(vj w)y indem man genau
dieselben üeberlegungen anstellt, die zu jenen führten.

Man findet so zunächst die Formel

h = n

h^ 1

ß=n — 1 ytsn — 1

■: der Beziehung (53) zwischen den Functionen ^3 [w^ q) und
-^8 [nw^ 5^) entsprechend und wo

44 Georg Rosenhain.

(62) A^,. = 2^,,e* = ^

während die durch 21„ ,; bezeichnete Summe über alle ganzen
Werthe von jU^ , ^,, . .'., jU„, ^i > ^a? • • • 7 ^n auszudehnen ist,
welche den Gleichungen genügen

Mit Hülfe der drei Lehrsätze, die wir oben für die
Functionen q)^ 3 mit complementären Moduln />, ^, A und
P\ 4^ ^'; P^ i\ A und ;>,, q,, A/, ^, y, A und p\, q\, k\
gefunden haben, oder auch mittelst der Gleichungen

(63) 2 e " «^,.,{t' + ^,««',i,",y«,A}

= ?2jt>/'*e2/^*'gp3 3{w«? + j^log/?, wt(7 + 2/?A,/>**, q^y nA},

(64) J^ . " 9)3,3 (^'',^ + -^,/>^^^A}

= «^^e2r«'y3 3{wü + 2yA, wt^^+ylog^jp**, j~, «A},

(65) 2 2«" ,,,,(,4.*^,«, + ^,^«,^«,^}
jfc=o z=o » « n

?p3,3{^«' + i^logjt> + 2yA, nw+2(iA + y\ogq,p*',qf^,nA},

[405] welche geradenwegs aus der Definition der Function
^3 3 resultiren, zieht man aus der Gleichung (61) die drei
folgenden :

(66) n q)^^^{v + ak,w + bk,p,q,A.}

Ä= 1

= i 2 Bt,,95,,,r+--^+-—,«'+-^+— ,/>",?",-
jk=o 1 = ' ' ( w w n n n

Ä = n

(67) n ^3 3 [v + a^, w + bh,p, q, A}

Ä = l '

k = n— 1 y=:n— 1

= 2 2 Oft y c2j"»X

I , 2ai, , kin , 2yA , vi . i — .i

9'»,, j*' + „ + -^ — ^- „ , «w + 2*/, + y log j, />«, y- Ij

lieber die ultra-eliiptischen Functionen zweier Variabler. 45

h = \

8 = n-l I = n— 1

|J = 1 = ^*

wo B^ j, ^fc,y> ^ßj konstante sind, die von den Moduln
p, q, A und den 2 n Incrementen a^, bf^ der Argumente r und w
abhängen. Man erhält daraus die Ausdrücke in zwei ver-
schiedenen Formen: die eine, linear in den ^ßv, wird unter
Benutzung der Gleichungen (63), (64), (65) gefunden, um von
der Formel (61) zu den drei Gleichungen (66), (67), (68) über-
zugehen; die andere mehr zusammengezogene entsteht, wenn
man sich der drei Sätze (47), (48), (49) bedient. Um jedoch
die Darlegung nicht mit zu viel Formeln zu beschweren, unter-
drücken wir hier einige dieser Ausdrücke, um so mehr als wir
vorziehen, die Constanten Bjcjy ^k,yj ^ß,l d'irch Functionen
q)^ 3 mit Constanten Argumenten auszudrücken.
Zur Abkürzung der Formeln setze ich:

Utz , 2/9A , ylog^

V

n ' n P ' n '

ktTt ßlogp , kJTt , 2yA

. ItTt , 28 A , ItTt , ylogö ,

n n *P n n *»'

^log^ 2yA_ „

n n P*^ ^

, 2/JA , ylogy „

n n P*'

Setzt man für v^w in der Gleichung (61) Vf^, Wi, in
Gleichung (66) t?^,y", ^"ß^yj i" Gleichung (67) Vß ^ wiß, in
Oleichung (68) vj^Jj w y, so erhält man die folgenden vier
Gleichungen :

46 (jeorg RoBenhain.

Ä=l

^^a dmiAt c?

^^^hin

= n

= 2,>> " ''Bfc,,9,,.3L + ?|*,tr,+?^,p«,yVi

(71);?**^ \ -/ n ^3 3 {tj/ + ÖA, «^f,^+6A,i>, ^, A}

[407] if / 26

(

72) q^e'r-^'^l [T "y,,, K,/ + a*, w/ + b^, p, q

^ Ä=l

,A]

(^-^y ^ijt ( 2ÄJ. -

Jede dieser Formeln stellt ein System von n* Oleichange
dar, den Werthen 0, 1, 2, . . . , « — l von k und /, von ß und ;
von ß und /, von k und y entsprechend; sie sind linear ai
zwar die n^ Gleichungen des ersten Systems in Bezug auf d
M* Grössen

V^3,3 (^V./ + ^^Ä» nw^y" + Ibf^, />^ q"", wA),
die des zweiten in Rücksicht auf die n* Grössen

\ , la. . lö. 1 1 A)

9^3, 3 pfe+ V' "^^ + "T^ ' ^" ^ ^" ' ^ ^

die des dritten für die w* Grössen
endlich die des vierten in den n* Grössen

Ueber die ultra-elliptiseben Functionen zweier Variabler. 47

I Ibh -

Zieht man sie betreffs dieser Grössen zosammen, so er-
hält man

(73) W*A^ ye2/»«' + 2yu;x;

Ä = t

(74) ««Bfc,,9,.,L + ^*, «,, + ?^,p^ j«,A

Ä— n

= 2,l>«yV^''^^^("'-^'-^)-^^^("'^^)

A

(75) ««Cfc,y e2y'»f;,, , jt,jt^ ; + — A , MM,;'+ 2ift, jt>«, y« a;

Ä = n

n <P3,3 (V + ^Ä» '^hß + *Ä» />) ^) A},

Ä= 1

Diese Gleichungen geben die Werthe der Constanten
A^ y, Bfc j, Cjt V, D|^,i ausgedrückt durch Functionen qp, 3
mit constanten Argumenten; sie sind zugleich die Quelle der
Formeln zur Transformation und Multiplication der ultra-
elliptischen Integrale erster Klasse, während aus den inversen
Gleichungen (69), (70), (71), (72) die Formeln zur inversen
Transformation und zur Division derselben Integrale entstehen.

48 Georg Rosenhain.

Capitel III.

Die Functionen mit vier Perioden, welche die laversen
der ultra-elliptischen Integrale erster Klasse sind.

1.

Zar Abkürzung der folgenden Formeln führe ich be-
sondere Zeichen für die fünfzehn Functionen ein, welche man
aus <jp3 3 (t7; w) erhält, wenn man in ihnen die beiden Argu-
mente V und w um die Hälften der vier Paare von Perioden-
indices tTt und 0, und iTt, logp und 2 A, 2A und log 9
verändert, von denen die ersten beiden zu den zwei Perioden
von 9)3 3 [vj w) gehören, die beiden anderen zu denen von

[409] Entsprechend der für die Function ^ {v) angenom-
menen Bezeichnung setze ich

Wt = + OD

m = — 00
n= — OD

»» = + 00

m = — 00

9'r,o(«'.«')="~2 "(— 1)« 2«' e»«" »^{v + 2nA, p),

n = — 00

m = + <x>V^+J^

m = — c»
«=+00 (^«+')'

n = — 00

(2m +1)«

(jP^^^(t?,t^?) = 2(— 1)'"J» 4 e(2m+l)f^^{^^+[2m+l]A,j),

(2n + l)«
9>r,iK^) = 2(— 1)-^ 4 e(2n+l)tr^^|^+[2w-fl]A,/>l

WO r einen beliebigen der vier Indices 0, 1, 2, 3 bezeichnet
und wo man das Zeichen ^ ohne Index für ^q zu setzen hat
Bezeichnet man noch mit s einen der vier Indices 0, 1^ 2, 3,

(77)

lieber die ultra-ellip tischen Functionen zweier Variabler. 49

so hat man nach der dnrch die Formeln (77) gegebenen De-
finition von q>^ g (ü, w)

(78) (Pr,s i^y ^jPi 9j ^) = 9s,r\^y ^j 9iPj A) ,

. 2m + l . .

(79)^ 2m +1 ?^?^

[410]'

i er . 2m+l«AT r . 2m+l, 11

'^«« ?Pr,3 (bH 2^ 2A], [t^+^^ log^]}

(m>+ — s— logg}

2m4-l^ AI r.„ . 2m+l
2

(80)

''^' ^/^r,,([^ + ^-^^'2A], [z^ + - ".!_L^ log (^]}

1«p+ — «—logg}

-!^ ^ ,, 2m+l ,, r . 2m+l, ,,

'- ''^' 9r,. {[t'+-y^2A], [t^?H ^log|7]}

r rr . 2m+l ^T r . 2m+l, ...

c logg y^^([^^. __-]!_ 2 A], [^H 2^1og?]}

W''

Diese Formeln zeigen, dass eine jede der sechzehn
Functionen (pr s[^y ^) ^^® Form ^ «+/'*' + y*" qpj 3 («?, t<?) hat
und dass sie demnach alle sechzehn in der folgenden Formel
begriffen sind:

Ostwald's Klassiker. 65. 4

50 Georg Boaenhain.

m=4*Q0 w = + QO

»ISS — OO W := — OO

WO «i-^^, b^ g, c^ g lineare Functionen von v und w sind,
deren Bestimmung für die verschiedenen Werthe von runds
nach der f är (fr s i'^j ^) gegebenen Definition leicht ist.

Alle die Sätze, die oben für die Function q)^ 3 {v,w)
bewiesen wurden, haben mithin gleichermaassen statt für die
übrigen fünfzehn Functionen (p^ g (^^ ^l; ui^d um auf die
letzteren bezügliche Formeln zu haben, braucht man nnr in
den für die Form 9^3 3 («? , w) aufgestellten die beiden Argu-
mente V und w um die Hälften der vier Paare conjngirter
Periodenindices und um alle Combinationen dieser Hälften
zu verändern.

Bezeichnet man mit M die Summe irgendwelcher ganzen
Vielfachen der vier zum Argumente v gehörenden Perioden-
indices, nämlich tTt, 0; log/?, 2A, und mit N die Summe
derselben Vielfachen [411] der conjugirten Indices des Argu-
mentes w, nämlich 0, eVr; 2A, log q, so erkennt man aus
der Definition von <Pr 5 (^ ? ^) ? ^^^^

(p^,, («5 + M, t^ -fN) = ± 6?« + /^«+y'>^^,(u, w?),

wo or, /?, 7 Constanten sind, die nur von M und N abhängen,
folglich für alle Vi^erthe von r und ^ die gleichen sind, man
sieht also, dass das Quadrat des Quotienten von zwei be-
liebigen der sechzehn Functionen (fr s i^j ^) eine Function
von V und w ist mit vier Paaren conjugirter Periodenindices:

ITT und ü; und «Vr; logjö und 2A; 2A und log y.

2.

Im ersten Capitel war die Gleichung gefunden
&, [w) ^3 K) ^, [w") », {w'")

(81)

+ »^{w) »^(w') »^{w") »^{w'")
1+ ^, K) ^, (w/) ^, «) ^, «')

wo

Ueber die ultra-elliptischen Functionen zweier Variabler. 51

ftf

2 Wj^ =^ w -\- w' -\- w" '\' td

. I 2w?/ =w + w' — w" — vi

^^^^ \ 2w?/' =w — w' + w"—id

2 w"' =^w — w' — w?" + «/?'

Der Beweis dieses Satzes gründete sich auf die Eigenschaft
der vier Grössen w^^ w^^ w"^ t^?/", der Gleichung

(83) w;^ + w?/* + w?/'* + w?/"* = ««?* + vi'^ 4- «?"* + «^""

Genüge zu leisten; denn man konnte in dem zweiten Gliede
der Gleichung [412]

^ :; { (w + m log g)a + (w' + m' log g)« + (m/' + m" log g)« + (w'" + m'" log «)« }

1 r/ . 2m + l, \« . / /.2m'+l, \«./„.2m"+t, \* . / jk . 2w"'+l, \4 \
^j^Hw + — y--logg| +(to'+— ^log«| +|w"+ — ~— logg| +|u/^+ — ^ — log^j }

alle Exponenten mit Hülfe der Formeln (82) und (83j trans-
formiren, ohne dass ihre Form sich änderte.

Mit Hülfe ganz derselben Formeln findet man analoge
Relationen zwischen den Functionen (p^ ^ [v^ w).

Sei

2v^ =v + v*+v"+v"', 2w, =w + w' + w" + w"\

2©/ =t?4-i?' — r?"— I?"', 2w^' = w + w' — w" — w'\

2 «?/' =v — v' + v" — v"\ 2w/ =w — w'+ w" — w"\

2 t?/" = v — t?' — t?" + I?"', 2 w;/" = w — w' — w"+ w'"\

sei ferner

M = qp3,3 i^J ^) 9Z,Z {^'1 «^') ^3,8 [^"1 '*^") ^3,3 (^'"» ^'")
+ 9>3,« (^J ^) ^3,4 (^'» «^') ^/^3,« (^"» «^") ^iP3,« (^'"^ ^•'")

+ 9«,« {^1 W?) ?P*,« («''j «^') 9%± ('^"» ^") ^/^5,« (^"'» ^'")

und M^, M/ dieselben Functionen in i?^, t^;^ ; i?/, 2^/; i?/', ?<;/';
t?^'", w"' wie M und M' in den Argumenten v^ w ohne untere
Indices; da man nun hat

W= +00

(ü + mlogp)2

4*

I

52 Georg Rosenhain.

[413]

e^^«P 9^»,r («^j to)= 1 e 2 ^^{t^+ (2m+ 1) A,y};

»n = — 00

SO findet man durch genau dieselben Schlüsse, deren wir uns
zur Ableitung der Oleichung (81) bedienten [und mit Hülfe
dieser selben Gleichung] , dass der Ausdruck M -4- M' seinen
Werth nicht ändert , wenn man in ihm für die Argumente
V, w, t?', w', v', w", v'\ vi" der Reihe nach die Argumente
t?4, t^4, «?/, w?/, «?/', w?i", «?/", w^" setzt, d. h. man hat

M + M' = M,+M/.
Setzen wir noch
M" = r/.,,, {V, w) f/>,,, [v\ w') 9P,,, (»", w") «jp,,, (o'", «/")

+ «)p«,iK«') «Pi.iKX) ^Ci.iKW) ?>.,* (»'"» «^") ,

M'" = <^.,, (f , tc) <iP.,, (»'> «''l «P.,. («", «^) 9'.,, (»'", ««'")

+ fp<S,i {»> «»l fiPo,« (»'. «»') 9'0,« («'", «>") ^fo,! (»'". «'"') ,

und bezeichnen die gleichen Functionen der Argumente v,, tc„
»,', w,', »,", M)/', »,'", w/" mit M,", M/", so wird:

(84)

1. M + M'=Mi +M,', 2. M"— M"' = M/'— M/",
3. M — M' = M," 4- M/", 4. M" + M"' = M, — M/,

Die Gleichung (84,2) leitet sich aus (84, 1) ab, wenn man

hier «+*|, v'-V%, v" + '-^, v"' + '^ für v, v', v", v"

setzt; und aus diesen beiden Gleichungen findet man die zwei
anderen (84,3) und (84,4) durch Substitution von v"^ + i7f
für v"\

3.

Die vier Formeln (84) können in die folgende Form ge-
bracht werden

(85)

2Mj =M + M' + M" + M
2M/ =M + M' — M"— M
2M/' =M — M' + M"— M

2 M/" = M — M' — M" + M'",

m

üeber die ultra-ellip tischen Pnnctionen zweier Variabler. 53

[414] und wie ich es schon für die analogen zwischen den
Functionen & (v) gefundenen Belationen gemacht habe, stelle
ich noch jedes System von vier Formeln der Form (85) durch
die eine einzige Oleichung dar

(86) M* + M'* + M"* + M'"* = M, * + M/* + M/'« + M/"*,

indem ich immer die vier Terme jedes Gliedes so ordne, dass
man unter Beibehaltung dieser Beihenfolge ohne Zweideutigkeit
der Vorzeichen zu den Gleichungen (85) zurückkehren kann.

Lässt man in den Gleichungen (85) die Argumente v, Wj
v', w'j v", tt/'j t?'", w'" sich um die Hälften der vier conjugirten
Periodenindices ändern, so entsteht eine grosse Anzahl von
Systemen zu je vier Formeln derselben Art (85), deren jedes
ich durch nur eine Gleichung der Form (86) repräsentire und
dabei die Glieder dieser Gleichung ebenso ordne. Um aber
den Text nicht mit zu grossem Formelapparate zu belasten,
habe ich dieselben in eine Tabelle verwiesen.

Sei M^W ein beliebiger der vier Ausdrücke M,, M/, M/',
M/" und mW ein beliebiger unter M, M', M", M'", so ist die
Formeltabelle so construirt, dass sie M^**) und M^(^) in der
symbolischen Form

I -t-aW» 'b(r)n' 'c('')n" • e/W?»"'

(^''^ ^ M, W = a^(r)m^ . J^Wm/ • c,Wm/' • rf/O^;

giebt.

Die durch Punkte getrennten Buchstabenpaare stellen die
Indices r und s der Functionen q)^ g dar, aus denen sich die
Ausdrücke M^ und M/^) zusammensetzen, und diese Paare
sind so geordnet, dass die symbolischen Formeln (87) an Stelle
der folgenden stehen:

i (r) = q)^ (r)^ m{v,w) • qpft (r)^ m' (t?' , «^' ) * q>c (»"), m" {v", w") • (pd (r)^ ,„'« [v'" , id
•lW = 9Pai('-\m,(»4)^l)- 9P6i(»'\m',(t?;, ««?;)• ^^ci Mm-'i (<, <) ' ^^di^»"),»»"'! «,<

[416] Jede Seite der Tabelle enthält zwei Colonnen von
Ausdrücken der Form (87). Die Zeilen der ersten Colonne
gehören zu je vier zu derselben Gleichung der Form (86), da

l

54 G^org Bosenhain.

die Indices r, s der acht Fanctionen q)^ g, aus denen sich die
Grösse M^^^ zusammensetzt, dieselben sind, wie die der acht
Fanctionen, durch welche die Grösse M^(^) ausgedrückt ist
Deshalb finden sich zur Seite jedes Systemes von vier Linien
dieser Colonne die Zeichen M und M^, M' und M'^, M" und M''^,
M'" und M'"^. In der zweiten Colonne dagegen enthält jedes
System von acht Linien die symbolischen Werthe (87) der
acht zu zwei Formeln der Form (86) gehörenden Grössen
M^^), M/^), welche auseinander hervorgehen, indem man die
Argumente v^J w^', v\ , w\ ; t?'' , it/\ ; v"\ , w"\ mit den
Argumenten v, w] t?', m?'; v", «/'; ©'", v/" vertauscht. Ich
konnte also zur Seite jedes Systemes von acht Linien der
zweiten Colonne die Zeichen setzen: M oder M^; M' oder M\;
M" oder M/'; M'" oder M/"; M^ oder M; M\ oder M';
M/' oder M"; M/" oder M'"; die ersten Zeichen eines jeden
Paares {MW oder M^(r)} und (M/^) oder mW} gehören zu
der ersten, die letzten Zeichen zu der anderen von den zwei
Formeln der Form (86], welche in diesem System von acht
Linien enthalten sind.

Zwei aufeinanderfolgende Systeme von vier Linien der
ersten Colonne und das danebenstehende System von acht
Linien der zweiten Colonne sind unter dieselbe Nnmmer n
gesetzt und unterschieden durch die zur Seite der Zahl n
geschriebenen Buchstaben a, b, c, d. Ich habe die Formeln so
numerirt, weil die vier Formeln der Form (86), die durch dieselbe
Nummer [n) bezeichnet sind, die Eigenschaft haben, dass, wenn
man für die erste der beiden Formeln, deren Elemente in der
ersten Colonne stehen, hat

mW = AW + B W, M/*-) = A,W + B/O,

und für die zweite

M(^) = CW — DW, M,W = C,W — D/O,

[416] man dann für die erste der in der zweiten Colonne ent-
haltenen Formeln

M W = aW — B W, M/0 = C, W + D/0,

und für die zweite

M (*•) = C (^) + D (^) , M/^) = A, W — B, (*•) .

Drei beliebige eines derartigen Systems von vier Foimeln

Ueber die ultra-elliptischen Fnnctionen zweier Variabler. 55

4 nj" 4 jj"

entstehen aus der vierten, wenn man in ihr w + -^, w' H ,

t^"+-^j ^" + -^ fttr w^ w\ vi\ w"' substituirt und wenn
man dann in diesen zwei Formeln uf^-^-ijt für w'" setzt.

4.

Aus den in der eben erläuterten Formeltabelle enthaltenen
Gleichungen zieht man leicht die Relationen, welche zwischen
den sechzehn Functionen cp^ g [vy w) mit denselben Argumenten
V, w und denselben Moduln p, q, A bestehen.

Betrachten wir zunächst diejenigen, welche man zwischen
den Functionen q)^.^ (0,0) erhält, die ich einfach mit (jp^.,, be-
zeichnen will. Es sind an Zahl zehn; denn man hat ^^/= Q,
^^^^ = 0, wenn r einer der drei Indices 0, 2, 3 ist/

Setzt man die Argumente t?, Wj t?', w', v\ vi\ ü"', vi"
gleich Null, so verschwinden die Argumente t?f, w^ etc.
ebenfalls und die in der Tabelle unter 1 , 2 , . . . . , 16
enthaltenen Formeln geben in diesem Falle die folgenden
Gleichungen:

(89)

[417]

(90)

ff\,z — 9\* = 9*3,0 4- (p\,t = 9>*„,, + <?*»,«,

1- 9\,0 <P\» = 9*0,3 9*3,0 + 9*..» 9*i,»)

2-9*0,0 9**,« = 9*0,» 9*»,o + 9*.,i 9*3,3)

3- 9*».» 9*3,3 = 9*.,s 9*3,» + 9*i.i 9*0,0 .

4- 9*0,3 9*3,3 = 9*0,» 9*3,« + 9*0,0 9*3,0»

5- 9*0,8 9*i,3 = 9*o,» 9*»,» + 9*0,0 9*»,o>

6- 9*»,s 9*3,3 = 9*.,» 9*3,» + 9*»,o 9*3,0 ,

'• 9*3,0 9*3,3 = 9*».0 9*»,3 + 9*0,0 9*0.3»

8- 9*3,0 9*3,» = 9*»,o 9*»,» + 9*0,0 9*0,» .

9- 9*3,» 9*3,3 = 9*»,« 9*«,8 + 9*0,» 9*0,3 >

10- 9*0,3 9*3,» = 9*0,» 9*3,3 + 9*1,1 9*«,o>

11- 9*0,3 9*«,« = 9*0,» 9*»,3 + 9*1,1 9*3,0,

(91)

<

56 Georg Rosenhain.

(90) l 14. (jp%o V\,t = 9\,o <P\,i + 9^*4,1 9\zj
l 15- 9>%,o 9P%,s = 9%,o 9^*0,3 + 9^*4.4 <P\i'

Das sind die algebraischen Relationen, welche zwischen
den zehn Functionen q)^ ^ bestehen, und es sind die einzig
möglichen, wenigstens wenn die Moduln pj q, A von einander
unabhängig sind; denn bringt man drei beliebige der Glei-
chungen (90) in die Form 1 = Ä* + *% , l=A*4->l*i,
1 = ju* -j" i^^4 7 >30 können die Verhältnisse der zehn Grössen
q)^ g algebraisch durch £*, A^, ft* ausgedrückt werden; und
snbstituirt man ihre Ausdrücke in die anderen Gleichungen
(90) und (89), so sind diese identisch erfüllt.

Ich wähle als solche drei Gleichungen die Formeln (90, 7),
(90, 8), (90, 9) und setze

<P\^(P\^' 9\^9\i' V>\,o9>\^'

JA y o»i y 0i8 3« y o>o y oi« ,.» y oio y o^s

y 3,i y j,8 y 8,0 y 3,« y 3,0 y s,»

Aus den Gleichungen

1 = A* 4- A%, 1 = A» + A*, , 1 = iit* + iu%,

folgt, dass die Grössen A*, A*, ^t*; A*^, A*,, ft*^ alle kleiner
als die Einheit sind, da sie positive Grössen sind. Man er-
kennt ohne Mühe, dass

*« — A*>0, A« — iu«>0, oder Ä;« > A* > ^%

folglich

iu%— A\>0, A\— A*,>0, oder iu% > A«, > Ä\ ;

[418] denn man hat mit Hülfe der Gleichungen (90, 4), (90, 3)
und (90, 14)

7,i p ^ y%.« y% oy%.3— y%.oy%.8 ^ y%,« y'4.4y%>« ^ q
yV y\oy%,3 yV4y%,oy%,s '

j^i 1 ^ y%.o y%,«y%,8— y\8y%. i ^ y%»o y%,4y% .o ^ q
y%,o y%.«y%,3 y%,o y%,sy%,3

z.« ,,« _ y%'3 y%,oy%.«— y%,oy%,« _ y%.3 y*4.4y%,3 ^ ^

lieber die ultra-elliptisohen Functionen zweier Variabler. 57

Ich werde mich hier der Modnlarbezeichnnng Richelot'^
bedienen, welcher auch schon die Zeichen

k\ = \—k\ l\ = \—X\ ^t\ = 1 - ^t%
entlehnt sind; ich setze

X\ = A* - A», ii\ = A* - /t% iJi\ = A* - ii\

Danach hat man ausser den Gleichungen (91) die fol-
genden :

it ^ 9\a y%.^ y%.i i ^ yVi ^p\o yVo
9%,o 9\t v\z ' 9^Z^p\^VZ '

* 9P%,o 9%,« 9^*3,3'

(92)

9 vV^_^^\yj\ ß yV3_^V

«jp 3,8 '*' ^* Ä fjp 3,3 '*'

r/)* 1* ' fn* ;l*i* '

VP 3,3 ^4 T 3,3 A A ^

Snbstituirt man diese Ausdrücke in die Formeln (89), so
erhält man Gleichungen zwischen den drei Grössen A', A,*, ^i*,
die man ohne Bechnung als identisch erkennt mit Hülfe der
bekannten identischen Formeln:

^ _ 1 — bXj^'l—bx^ l—b^x^' l—b^x^

b — b^'b — b^'b — ^3 b^ — ^« ' ^1 — ^3*^1 — ^

1 — b^x ^ • 1 —b^x^ 1 — b^x^ - 1 — b^x^

"T" T 1 — I 1 — 7— — T- -r

1— 5^4'^— ^^i , r Ä 1—54^4'^— Mi

58 Georg Rosenhain.

[419] [deren letzte aus der ersten für &, = entsteht], indem
man hier für 5, b^, &,, ^3, x^, x^ in passender Auswahl 0, 1,
Ä*, A*, jU*, oo setzt.

Die Oleichungen (90] werden, da man sie in die Form

bringen kann, durch Substitution der Ausdrücke (92) noch
leichter verificirt. Von den fünfzehn Systemen der zwei Grössen
a* und a*^, die man so in A*, A,*, ^* ausgedrückt erhält, sind
zwölf gleich den zwölf Moduln und ihren Complementen, za
denen Richelot durch Transformation des ultra -elliptischen
Integrals mit Hülfe einer rationalen Substitution ersten Grades
gelaugte.

Die drei unter dieser Zahl von zwölf complementären
Modularsystemen nicht enthaltenen Systeme sind die, welche
aus den Gleichungen (90, 2), ^90, 10), (90, 13) hervorgehen,
nämlich :

und

und

und

9*ui yS-s _

9*0,0 9\a

V^tA 9\.o

<p\,t <p\t

9\,t 9\.i _
9\i> 9\z

Indessen kann man auf dieselbe Weise auch zu diesen gelangen,
wenn man sich nur nicht, wie es Richelot thut, auf solche
Substitutionen allein beschränkt, welche zur canonischen Form
des Integrales zurückführen.

5.
Setzt man in der Tabelle

so folgt auch

t?/'=t?/"=0, w?/' = t^?/"=0, t?/=t?^ = u, w^'=w^=w\

[420] man erhält also durch diese Substitution algebraische
Gleichungen zwischen den sechzehn Functionen (jp^ , (^> ^)
mit demselben Argumentenpaar t?, w. Diese Belationen sind
homogen in Bezug auf die Functionen q)^^ (i?, w\ geben also

lieber die altra-eliiptischen Functionen zweier Variabler. 59

Beziehungen zwischen den Quotienten irgend einer der Func-
tionen und den fünfzehn andern, und diese Beziehungen sind
so geartet, dass man durch irgend zwei der Quotienten die
dreizehn anderen algebraisch ausdrücken kann. Indessen ist
die Art, auf welche diese von den zwei als unabhängig ge-
wählten abhängen, nicht für alle dreizehn dieselbe. Es giebt
immer drei, deren Quadrate mit den Quadraten jener zwei
Quotienten, die wir als unabhängige Variable betrachten, durch
drei lineare Gleichungen verbunden sind, während das Quadrat .
jedes der zehn andern von jenen durch eine quadratische
Gleichung abhängt, deren Coefficienten lineare Functionen sind.
Ich habe die Quotienten

gewählt, um die dreizehn andern auszudrücken.

Die Formeln (6rf), (16 6) oder (16 c) und (12 6) oder
(12 c) der Tabelle — die letzteren unter Umkehrung der Ord-
nung der Indices r, s der Fanctionen qp^^ — geben

9^%,0 9\,0 K ^) qPS,0 (P\,0 i^J ^) (P\,0 9^'o,0 i^M '

94) <

9\,t 9\o (^, ^) 9\,i y *o,o (», ^) 9\^ y%.o i^y ^) '

oder durch Substitution der Ausdrücke (92) des vorigen
Paragraphen

^ ^ y*0,0 («'j ^) *I ^ M y%,0 («'j «^) *4 ^ M y%,0 (^» ««^) '

[421] Statt nun drei der fünf in diesen Gleichungen enthaltenen
Quotienten ^^'^ ; ' — ^ durch die beiden anderen auszudrücken,
betrachte ich sie alle fünf als algebraische Functionen derselben

60

G^rg Bosenhain.

Variablen x^ und x^ , weil dadurch die Symmetrie der Formeln
besser gewahrt bleibt. Durch Vergleichung der Form der
Gleichungen (95) mit der identischen Gleichung

(96)

1— &a:^-l — 8a;, i — b,x,'l—b,x^

+ bh,

Äj — b'b^ — b^

sieht man, dass jedem der fünf betrachteten Quotienten die
Form Bl — bx^'i — bx^ gegeben werden kann, wobei die
Constanten B und b so zu bestimmen sind, dass die Gleichungen
(95) die Form der identischen Gleichung (96) annehmen.
Setzen wir also

9\^i

9\o

y'o,o

t* , w)

Vy W)

Vj w)

= B • 1 — ia;^

V, w] *

i '^b^x^

V, w)

V, w)
V, w)

= G . 1

ex,

V, w)

t?, w)

= L -1 — Ix^

= M • 1 — mx.

ca;

1?

— /a;

«>

ma:

27

SO erhalten wir zwischen den Constanten B, B^, C, L, M,
by b^y Cy ly 171 y A, A, (X öiQ folgcudeu Gleichungen:

bj^ c AB bc kX^fi^

b — b^'b

b, — b^b.

-c Xfx^

c — b' c — b^ ki^Xix '
bj _ AB bl

k^lfX

B,,

b—b^'b — l

Ifx.k^^

b^m

b — 6| • b — m

bb^ ^ i^A^fc j^

/ — b • / — b^ ^ifxk '

^B bm

bb.

\ 1

b^ — i-Ä^ — m jte^A;A *'

= MiM.

m — b*m — 5, jti^AA

lieber die ultra-elliptischen Fnnctionen zweier Variabler. 61

[422] aus denen man zieht

^h

k*

X*

b

c

l

J

i-\

h*X\

xn\

^

1

l

i*y.\ (^n\

m

c

l

l

m

Von den . Constanten 5, b^, <?, /, m können also irgend
zwei beliebig gewählt werden und ich setze zur Vereinfachung
der Formeln b = cx), b^= 1, Man findet sodann

B = 0, B6« = — Ä'AiW,

L =

(ik

Ki^xh'

c =

M =

Xfl

kl

folglich :
1.

(97)

9^A ,0 i^l ^

2.

3.

4.

5.

9\A^,^

= — kXfX'X^'X^,
kXfi

k^ A^ ^^

*i h ^^k
[iik

' . - — ^ — ■ — - -■ I— — •

kl

•

fU ^^k ^A

. 1

X.

X

1 1

1 — l^x^ ' 1 — k'^x^ ,
l — - X'^x^ • 1 — X'^x^ ,

1 — f^l^X^ ' l

fl'^X^ .

Damit die Ausdrücke in Xj^ und x^ aller fünfzehn Quo-

tienten ^/'^ , ^ — f an derselben Stelle vereinigt sind, füge ich

zu den fünf vorhergehenden die zehn andern hinzu, welche,
wie oben bereits bemerkt, weniger einfache Functionen von
x^ und x^ als jene sind; ich werde sie erst dann beweisen.

^ Georg Roseobain.

V(^4^^i^) ^ y^^i'^f^

' »'%,• (^1 ^) ^^ *i A^;i h i^t — ^1 *

{ i — ^l*x^ . \—k*x^ "^ 1— ."*^t - 1— ^

V'%,a ^^»^ ~ k^ i ^k ^X t^« — ^t *

10 ^i:!lil£L??i^ AI— a;,-l— 5,-l— Ä*x,.l-

y^%,ü • «'^ «^) ' ^ii^ 4 h ^k (^» — ^i)*

}/[x,klix) . ^(x^AA/u)

11.

1 — ajj • 1 — A*a:^ 1 — x^ • 1 — }
(p*^^fhjt^) A« l — x^ • 1 — x^ • 1 — A'a:^ • 1 —

>^(^tAA^) _^ y(a:, AJl^ti

1 — a;^ • 1 — X^x^ 1 — ar, 1 — j

V(x^kXfi) , V(x^kkiii)

1 — x^ • 1 — /w'ar^ 1 — x^ ' 1 — i

9>'o,o («^7 ^) ~ *i ^fe f^k (^1 — ^4)*

[ \ x^ 1 — k* x^ ^ x^ • \ — Ä*:

lieber die ultra-elliptiBchen Functionen zweier Variabler. 63

14.

V{x^ kX(ji)

(97)^

x.

X — l'^x^

V(x^kX^]
x^' 1 — X^x^

15.

9»%,j (»,«')

(t • x^x^• \ — ll*x^ • 1 — |it*a;.

^''o.. (».«')

^»^fcMi(«i a;,)*

j VI«, AA.ju) _|_ V(a;,AAiM;

{x^ • \. — ^*a;, a^j • 1 — i^**^*

WO wie früher

(a:AA|u) = a; • l — a: • l — K^x • 1 — X^x • 1 — ^'a;.

Die erste dieser Formeln ist die Wurzel der quadratischen
Gleichung^ die aus den folgenden beiden

9^3,3 9^3,4 qp3,4 (»» «^) 9^3,0 {^^ '^) " 9^2,8 9>1,4 9^4,0 («'^ «^) 9^4,1 K «^)

— qPo,3 <Po,« <iPo.o {«', W') qPo.i («'J «?) = ,

19^*1,4 9P\ 4 («'J «^) = <?%,09P%,0 (^» «^) — qP%,09^%,0 («'J «^) + 9>%,09^%,0 (^» «^)»
l9'%,49^%,4(«'»«^) = 9^%,09^%,0(«'»«^) + 9^\o9^\o («'J«^)— ^^^^^^

durch Elimination von qp, 4 (^> ^) > 9^o 4 (^7 ^) entsteht. Diese
Gleichungen leiten sich ab aus den Formeln, die unter Num-
mer (25 a), [fyd] und (1d) der Tabelle stehen. Mittels der
Gleichungen (97) erhält man so

[424] ^ ^ y Vp (r, ^?) ^ p y Vo (t?, t<^) Q

AoK^)

B.

9^*0,0 K«^)

«r ?

oder

— 2

2P=B,+B,
x^*\—x^' \—kx^^ • 1— A*a:^ • i—f,i^x^ +^4 • 1— ^i • 1— ^'i2?,* 1— i*ar,- 1— iU*:r,

*4 ^4 ^4 {^i-^4)'

Q = B,B,

\x^»l —x^ • 1 — Ä'a:, • 1 —X'^x^ i—fi'^x^ — x^'i —x^ • 1 —k'^x^ ' 1 — A*a;, • 1 —^'^x^

^4 ^4 f^4 (^«""^4 /

woraus für B^ und B, die im zweiten Gliede der Gleichung
(97, 6) enthaltenen Werthe folgen. Man kann auch die

1%

64

Georg Rosenhain.

Coefficienten P and Q nnmittelbar durch die symmetrischen
Fanctionen von x^ nnd x^ ansdrttcken, welche die zweiten
Glieder der fttnf ersten Gleichungen (97) bilden, aber sie
nehmen eine complicirtere Form an; aus dem Grande zog ich
die vorstehenden Formeln vor, welche besser die Natur dieser
Ausdrucke sehen lassen, obwohl der Zähler und Nenner von Q
einen gemeinsamen Factor haben.

Nachdem wir die Gleichung (97, 6) gefunden haben, ent-
stehen die andern mit Htllfe der folgenden Gleichungen:

1- <P*K,t 9'*o,4 («') «') — 9**,» 9\,0 K «')

= <p\,o <P\<, (». ^) — <P\.0 q^S.o («'. »)

= <P*t.i 9\,t (»> «") — 9\i 9^*3.» {«.«').
2. (p\^ (p\^ (o, w) — 9%^, q>\, (o, w)

= 9\.o 9*i,o ("> «*) — 9\,3 9*t,o (». ^)
= 9\i 9\t K ^) — 9»%,o 9*3,» (».«').

3- <P\.i fP\,3 {«'. «') — <P\t 9*3,0 («'> ^)

= 9\,* y*i,o (». w) — 9\* 9\t (». «>)

4- '/>*!, 4 9P%,4 («'> H + SPS.O 9*3,0 (». W)

= 9**,o 9**,o (». «') + 9*0,0 9*0,0 K»)

= 9*3,3 9*3,3 (»> ^} — 9*3,» 9*3.» K «>).

5- 9*4,4 9*4.» (», W) + 9*3,3 9*3,0 (») «>)

= 9*»,3 9*«,o (®) w) + 9*0,3 9*0,0 (®. «>)

= 9*3,0 9*3,3 (») «') — 9*3,* 9*3,4 (", W),

6- 9*4,1 9*4,3 (») «') + 9*3,» 9*3,0 (»> «')

= 9*«,j 9*«,o {«'. «>) + 9*0,» 9*0,0 (», w)

= 9*3,0 9*3,« (») «') — 9*3,3 9*3,4 (®> «»l»

7- 9*4,1 9*«,4 (». w) 4- 9*0,0 9*3,0 (". w)

= 9*»,0 9*4,0 (». «') + 9*3,0 9*0,0 (»,«>)

= 9*0,3 9*3,3 (») «') — 9*0,» 9*3,» (». «"l.

8- 9*4,4 9*»,» («>) w) + 9*0,3 9*3,0 («'> «'l

= 9*»,3 9*4,0 («'> «>) + 9*3,3 9*0,0 K W)

= 9*0,0 9*3,3 (». W') — 9%,» 9*3,4 K «<').
9. f/)% , <jp% 3 (p, w) 4- (p\^ «jp% „ (ü, w)

= 9*«,« 9*4,0 (») w) + 9*3,» 9*0,0 (») w)
= 9*0,0 9*3,« («'> ««l — 9*0,3 9*3,4 (®> w)-

(100)

lieber die ultra-elliptischen Functionen zweier Variabler. 65

[425] Diese Formeln resultiren ans denjenigen, welche die
Tabelle nnter den Nummern 5, 1, 11, 1, 2, 3, 4, 6, 8 ent-
hält. 8ie sind so ausgewählt, dass sie die Ausdrücke der noch

unbekannten neun Quotienten ^^'^; ^ — { durch die sechs andern

geben, deren Ausdrücke in x^ und x^ wir bereits gefunden haben.
Die andern diesen ähnlichen Relationen folgen aus den
sechzehn ersten Nummern der Tabelle ohne die mindeste
Rechnung. Man erhält achtundvierzig in der Form der Doppel-
gleichungen*) (100 j , welche selbst in ihnen enthalten sind.
Dagegen giebt es hundertundzwanzig Gleichungen von der
Form (98). Um sie alle zu erhalten, muss man in der Tabelle
setzen v = t?'", w = w/", t?' = t?" = , w' = vi\ woraus folgt
Ü4=t?/" = t?, w^=tü/"=tt?, t?/ = i?/'=«?/=t(?/=0. Alle
diese Gleichungen zwischen den Functionen q)^ g {v, w) des-
selben Argumentenpaares t?, w haben zwei Dimensionen; aber
es giebt noch andere mit vier Dimensionen. Man erhält sie ans
der Formeltabelle durch v = v'=^ t?"= t?'", w = w' = i(/'= w'".
Vier von diesen entstehen aus Nummer (1) der Tabelle und
diese sind aus den vierten Potenzen der acht Functionen cp^g (t?, w)
zusammengesetzt. Die Glieder einiger sind die Producte von
zwei Quadraten (p*r,s (^j ^) ^^^ ^^^s® bestehen zwischen allen
sechzehn; und einige andere selbst unter acht Functionen
q)f.g (Vj w). Endlich giebt es zwanzig, die auch alle sechzehn
Functionen ^^ g (r, w) enthalten, die aber in jedem ihrer vier
Glieder vier verschiedene Factoren cp^ , (t?, w) haben.

Unvorhergesehene Zufälle haben mich verhindert, diese
Abhandlung rechtzeitig zu vollenden. Jetzt ist der für die
Concurrenz festgesetzte Termin so nahe, dass ich kaum Zeit
habe kurz zu zeigen, dass die soeben für x^ und x^ und v und w
gefundenen Ausdrücke in der That den Gleichungen

[426]

(101)

.«.,. . _ . , '*"(A + Bx)dz

Ja, Vi^^^l^) Ja,

V(xki(i)

(A'-^B' z]dx
y(xki.fi)

*) Diese bestehea zwiscben vier Fanctionen, während die
andern secbs entbalten.

Ostmld^B Klassiker. 65.

66 Georg Bosenhain.

genügen und dass diese Lösung der Gleichungen (10t) für die
Unbekannten x^ und x^ nicht nur einen Specialfall umfasst^
wie man auf Grund der offenbar besonderen Beziehung glauben
könnte, die zwischen den vier Paaren conjugirter Perioden-
indices der periodischen Functionen x^ (ü, w), x^ (t?, to) fest-
steht, sondern dass diese Beziehung unabhängig von den Werthen
der Moduln ky X, fi statt hat. Wenn ich es trotzdem wage,
diese unvollendete Abhandlung dem Urtheil der Academie zn
unterbreiten, so ist dies durch die Meinung begründet, dass
sie, auch so wie sie ist, einiges Licht über die vorgelegte
Frage verbreitet ; überdies wird man, ebenso wie ich von den
Functionen zweier Variabler mit drei Perioden zu denen mit
vieren fortgeschritten bin, auch periodische Functionen von drei
und noch mehr Variablen finden können, welche die Umkeh-
rungen von ultra-elliptischen Integralen höherer Ordnung sind.

Was die Vorzeichen der Quadratwurzeln der für die

fünfzehn Quotienten ^^'^, ^ — { gefundenen algebraischen Aus-

drücke anlangt, so bin ich aus Mangel an Zeit gezwungen,
mich auf die Bemerkung zu beschränken, dass diese Vorzeichen

von denen der fünfzehn Quotienten ^^'^ ^ — { abhängen werden.

Um diese letzteren Vorzeichen zu entwickein, genügt es, den
Weg zu untersuchen, welchem die sechzehn Functionen

TT

Vr,s i'^^'j *^') folgen, wenn t?' und w' beide von bis —

wachsen ; denn diesen sind, wie man gesehen hat, die Functionen
^Pr,s (^) ^) ^^^ reellen Argumenten proportional.

6.
Setzt man in der Tabelle

[427]

V — Vj

v'" — v' ,

w'^ — w^

id" — w\

folglich

«'i ^ + ^ 7

V," — V

v', t?/-0,

w^ w-{- w\

w^' w —

' w ^ w^ 0,

V = o,

lieber die ultra-elliptischen Fanctionen zweier Variabler. 67

so erhält man Gleichungen zwischen den Fanctionen q)^ ^ (v^ w)
mit den vorstehenden Argumentenpaaren, in denen man un-
mittelbar sowohl die Additionsformeln als auch die Ausdrücke

der partiellen Differentialquotienten der Functionen -i-lJX-l — l

besitzt. Die Gleichungen, ^nm die es sich handelt, geben
als Summen

sechs verschiedene Ausdrücke und ebensoviel für die Differenz
ihrer beiden Glieder. Unter der Zahl dieser Formeln finden
sich auch die folgenden, bei denen ich «?^ = t? + 1?', «r^ = t^?-}" ^'>
t?j'=t? — v\ w^^=^w — w* setzte:

02)

103)

1.

j9'*,o9'3,»{9'.,o(»4,«'i)f/'o,o(«'/)«'l ) qPo,»

K)«'t)';pi,o(«'4'.«'/)}

= fJPj.o («>> •<«) Vi.O (^1 «>) 9o,o

(»',.«'') <)£)4,0 (»', W)

f>*,i (». «') 9i,i {», ^) <Pt,t

("'. w') 9>o,. (»'. «>')

— Vt,z («', w) «jP,,j (0, w) 9),_,

(»', w') 90,^, (»', w')

— <Pi,i (»> ^] 9»,» (». «'j 9t.t

(»'. W) 9P«,j (»', w') ,

2.

i<Pi,',93,t{fpiA^t>^i)9o,oi<^0 9'o,o

K.«'l)9'4,o(«'l'.«'l')}

— ^».o (». «o) 9,,o (0, w) 9<,,t

(»', w') q[),_, (»', w')

9t,Z (»> «') 93,9 (", W) 90,1

(r', v/) (p^^ (»', «)')

— y»,» ("> «') «jOs,» (», «») (Po.»

(»'» W') «Pi.O (»'. «^)

•

(»'. «'') 'iP»,3 ("'> «'') .

3.

i'iP».3''/'3,»('i^«,o(^»'«'«)')Po,oK',«'l ) fjPo.O

>v^t)<Pi,o{<,0}

— f/LO (»! «') ^'s,. (». W') «jPco

(»'. «»') q^«,» (»', «'')

9t,% i^^ «') 9's.» (®. «') <)Po,i

(»', to') 9), , (©', w')

— 9i,3 (». H 93,3 (») W) 9'0,0

(»'> «>') ^4,0 (»'» «"')

.

9yi («'> "*) 9'3,i («'. w) 90.»

(»') W) 9),,, {»', w') .

l.

i <)Ps,o'JPo,o (')P«,o K . W. ) To.o (»1'. — 9>o,o

(«'4.«'4)9f*,oK>»')}

— 93,» ("' *") ^f^S (»> H •)P3,3

(»', w') f/),_, (0', to')

<Pi,i (»> w) qpi,. («>> w) ^oj,»

(0', to') f/), , (»', w')

— <iP3,(. (»> M 9t,0 K W) «jD,,«

(»'. W'') ^l.O («''. W')

•

'P,,i (». w) 9'4,i (»> w) T's.i

(t)', «>') <p^^ [v', w'} ,
5*

6S Georg Bosenhain.

= 9^3,4 (^» ^) 9i,i i^y ^) qp3,o (^'7 ^') 9^1,0 (»'r«''l

— 9)3^, (ü, W?) q)^, (t?, tt?) 9)3^3 (t?', w') qp,,, (ü', tcT

= <iP3.o K ««^) 9'i,o («'j ^) 9^3,« («'S «^') 9>i,« i^'y «^T

= 9^3,3 K ^) 9^4,3 («'J «^) 9^3,0 (»'> ^') qPi,0 («^'»«''l
— 9^3,4 (^» «^) 9^1,1 (^» ^) 9P3,« (»S «^') 9P4,f («'>')
= 9P3,0 («'» «^) 9P4,0 («^» ^) qp3,3 («'S ^') 9Pi,3 (»'» «^'i

— (Pz,i (^, ^) Vi,% {^y ^) 9P8,4 («'» ««^O 9>i,4 i^>'r

[428] Entwickelt man die Glieder dieser Gleichungen nach
steigenden Potenzen von v' nnd w' nnd vergleicht dann die
Coefficienten von v' nnd w', so erhält man die partiellen
Differentialquotienten :

yo,o {^1 ^) yo,o (p> «^) >

ausgedrückt durch die Functionen ^^'^)-? — (. Die neun Fnnc-

tionen cp^ g {v, w)j welchen den Werthen 0, 2, 3 der Indices
r nnd s entsprechen, und die Function q>^ ^ {Vj w) ändern
ihren Werth nicht, wenn man zugleich — ©fttr v nnd — to
für w setzt, sind also gerade Functionen von v und tr, ent-
halten mithin nur Glieder gerader Dimensionen ; daraus folgt,
dass ihre ersten Diflferentialquotienten für t? = , tv = ver-
schwinden. Ich werde die totalen Differentiale durch den
Buchstaben d und die partiellen durch d bezeichnen ; gelegent-
lich werde ich mich indessen auch der Laffranffe' Bchen Be-
zeichnung bedienen und setzen

df{v,w) =/' [v) dv +f [w] dw,
oder

dflv,w]= •; ^ dv + •^^ ^ dtoi
-^ ' ' dv äw '

überdies will ich die Werthe vony'(t?) nndy'(M?) für o = tr=0
mit f {v)q und f (w)^ bezeichnen.

Aus der Gleichheit des ersten und dritten Gliedes der
Doppelgleichung (102, 1) und aus der zwischen den bdiea

lieber die ultra-elliptischen Functionen zweier Variabler. 69

ersten Gliedern der Gleichung (103, 1) erhält man auf solche
Weise die folgenden Formeln:

(104)

1- 9^1,0 9^3,0 (P\,0 (^» ^) d^

= 90,3 9P'4,3 (^)o 9^3,3 K ^) 9>«,3
— 9^0,1 <P\,t H 9^3,» (^J ^) 9^1,«

2. yM9>3,oy\oK^) ^^^^j,''"' ^

(105)

[429]

= 9^0,8 9^'l,3 Ho 9^3,3 («^» H 9^«,3

— 9^0,« 9>'i.i (H 9^3,1 {^1 ^) 9^4,2

1- ^M yo,o y\o (^, ^) ^'^^^^ ^

= 9^3,3 9>'4,3 « 9^3,3 K W?) 9^4,
— 9>5,« 9^'4,« (^)o 9^3,i i^J ^) 9^4,

2. 9>t,o r^o,o 9^%,o (t^, ^) -^^^^^^

= 9^8,3 9>'i,3 Ho 9^3.3 K «^) 9^1,3
— 9^3,i 9^'i,« Ho 9^3,« K «^) 9^4,1

auf welche ich mich beschränken werde.

Vj w)

t?, w)

V, w) ,

V, w)

Vj w)

7.

Setzt man in diesen Gleichungen für die Functionen

^*'"'\ ^ — ■ die algebraischen Ausdrücke (97) in x. und x^, so
9o,o(^M V y 4 «,

geben sie die Ausdrücke der Differentialqnotienten

dVx^x^ dVx^x^ dVl — x^l — x^ dVl — x^'i — x^

dv

dw

dv

dw

durch symmetrische Functionen von x^ und x^, folglich auch
diejenigen von dv nnd dw. Um zu beweisen, dass man hier-
durch wirklich erhält:

70

(106)

1. dv

Georg Rosenhain.
B + CiF^ B + Ca:^

^iVl^i AA^)

1 . dw = — ,/, , . -^ c?a:^ 4-

B^ + C'^t

£^ 1/(^:4 kill)

wo B, C, B', C Constante sind und e^ und 6, die Vor-
zeichen + oder — von '^[x^ hX[i) und V (a:^ kXii) bedeuten,
betrachte ich die ähnlichen Gleichungen

(107)

\—}}x^

i}x.

1 — l^^x^ 1 — [Ji^x^

du'= ./,- — 5-. — j rfa;^ 4" ^ i/rzr ir^ ~\ ^^i >

Man wird nun haben

e^V(x^kXii)

du = adv 4- iö?t«?
du'=^ a'dv -\- V dw

[430] und wenn man mit f eine beliebige Function von v und t(7

bezeichnet, so folgt: |^=o^ + a'^, ^ = *T^ + *'4^r

dt? dw d« ' dw dw dw

Die Gleichungen (107) geben
da:^ 1 — ii^x^'Ey{x^ kl 11) dx^ 1 — X^x^- €^V{x^k'lii]

(108)

du

liX^'X^—x,

du'

Ixx^'X^—x,

dx^ 1 — i.i^x^' e<y[xjckf.i) dx^ l — X'^x^^e^ [x^kXix]

wo ich zur bequemeren Schreibweise der Formeln Punkte an
Stelle der Klammern gesetzt habe, die anzeigen, dass alle Glieder
vor dem Punkt mit allen nachfolgenden zu multipliciren sind.

Man hat folglich

(109)

dVx^ x^ Vi —ii^x^ • 1 — ii^x^ ^x^ x^Vi — f^^x^ - 1 — ij}x^

du 2 ^*Ä ^« — ^4

I €^y[x^jti fi) €^y{x^ k X (JL)

*X^ • 1 fjl^X^ x^ • 1 fX^X^ \ ^

Ueber die nitra-elliptischen Functionen zweier Variabler. 71

9)

äVx^x^ _ _ Vi—X'x^'i—k''x ^ Vx ^ VX — l^ ' 1— AX

x^ • 1 — i}x x^»l — X^Xj^ ) ^

dV\—x^' i-x^ Vl—ft^x^'l-fi^x^ Vi—x^ • l—x^ Vl—fx^x^ • 1— |U

*x.

l — x^ • 1 — ^^x^ l — a:, • 1 — f^^^t) '
du' "" 2fA}x x^-x^

1 — a:^ • l — k^x^ 1 — x^ ' l — A'a:^) *
Nun haben wir aber gefunden, dass, wenn man setzt

man auch hat

V

V 1— itiV • 1— u«a:, = ^^'^; ^ - ,

i/^i* i/r_Tv- r-i*-^, = 5^^^ ,

x^ 'i—X'^x^ x^'l—l^x^) (f^^^ [v, w) '

[431] y^4 y^;^ yT^r^i^^rrirj^^

y^u^^kf^x(^i—xx)

X

\x, l —i^i^x^ x^ . 1 —lii^x^) (Po,o{v,w) '

72

Georg Rosenhain.

X

e^V{x^kXfi) . €^y[x^klfl)

1 — x^ » 1 — X^x^ 1 — x^' i — A*a:,

9^0,0 K«^y

y^u Vi — x^ • l — a;. Vi — fi^x^ • 1 — lA^x^

X

€^y(x^kkfi)

1 — a;, • 1 — (jL^x^ 1 — x^ • l — f^*x^
also aus den Gleichungen (109) folgt

^•'' 2^;t 9Po,o(«'»^) yo.o(^

(HO)

rfw'

^ k^ l, II, du 2 11^ qPo,o («'»^) 9>o,o («?

Y Z.. 2 o /7,/ —

*Ä^i^4

„ _ yo.o yo,3
p. — >

9^3,3 9^3,0

' 9^3,0 9^3,«'

^Ä 9^1,3 9^0,3'

^Ä 9^M 9^0,«*

Vergleicht man diese Gleichungen mit den Formeln ( 1
und (105), so sieht man, dass

(111)

^.^V^^, ^ 2jix 9P,,3 y'..3 (0)0 d Va;, a:.

+

f*k (pi.t Vt.«

du'

Ueber die ultra-elliptischen Functionen zweier Variabler. 73

(111)

+

d«'

(112)

, dVl— a:. ■ 1— a;^ ^ 2^;t <P».3 9\,A< dVl— a;, • 1— a;,
du ^fc 9'i,o9'o,o d«

+

%

dt^ /£fe 9>i,oqPo,o dw

_^ 2 ^ix 9)3.1 ^^'m Ho dVl— a:^ • 1— a:.

t

h 9^1,0 9^0,0 dw'

folglich auch

idu = ocfo + ^^^ j (öf J' — 5ö') dv = tö'rfw — tirf««',

idu' = a'rft? + i'rft«? , (ab' — ba') dw= — ia'du + iadu' ,

[482] wo

f^k 9^1,0 9^0,0 9^1,3 9^0,8 '

J^l^ 93,3 y'l.3 (^^)o ^ 2 ^^'^ ^'^'' ^^^"
/^fc 9^1,0 9^0,0 9^1.3 9^0,3

^Ä 9^1,0 9^0,0 9^0,1 9^1,1

y=: iill 93,1 y'1,1 Mo ^ 2 y3,iy'l,lHo

9^1,0 9^0,0

9^0,1 9^1,1

Setzt man also

(113)

B — Ca;, B — Ca;,

B'— Ca;. B'— Ca;,

SO findet man

74 Georg Bosenhain.

^ — \V—ha'' aV—ha! '

- "" a6'— Äa" ~ aV—ba! '

Aus der Tabelle erhält maD

, , b'—b

(114) — ^ <iP«,3 <iPo,3 ?Po,« 9^S,4

= ?'2.S <)P0.3 qp3.« ?P'i.4 No — 9^3.3 ^0,« ?P«.« ¥^'4,3 No

= 9^0,0 «Pi^i^i.o^^'s.i Mo» •

und diese Gleichung besteht noch, wenn man q>' {v)^ für
cp' (w)q, a für Ä, a' für &' setzt. Es giebt zwanzig Formeln
von vorstehender Form, deren jede zwischen drei andern der
sechs Grössen cp'^^^ (w)^, 9'i,r(^)o besteht, und dieselben Glei-
chungen müssen auch durch die sechs constanten Grössen
yV,4 (^)o? 9^'i,r (^)o erfüllt werden. Unter der Zahl dieser
Formeln findet sich auch die folgende:

(115) -S:— -^ y o,i ?Po.3 9>S,i 9P3,3 = ?>0.39Ps.i9P3,39^ i ,« K

-^ T «,0

— ?P«.3?Po,«?>3.«9>'4,3Mo
= 9^0,09P4.1?^3,09>'«,1 H

9 '^ ?Po,4?Po.3 9P3,«9^3.3 = <iPo,OqPl,4?>3.o9 «,4 H '

-^ T 4,0

[433] Bezeichnet man mit x (^7 ^) 7 V' (^7 ^) irgend zwei
der sechs Functionen qp^ ^ (t?, t^), welche für v = w= ver-
schwinden, so kann man den Werth der Fnnctionaldeter-
minante

X' [v) xp' [w] - xp' [v) x' [w)

für t? = «^? = rational ausdrücken durch die Werthe, welche
die zehn andern Functionen ^^,^ an der Nullstelle der beiden
Argumente annehmen. Mit Hülfe der in Capitel II (§ 8) ge-
fundenen Formeln bin ich zu diesen Ausdrücken gelangt, von
denen einer ist

riifi\ ^b' — bo! yo,« y^,» y4>3 yo,3 _ ,^. /„x ^. ,.^^

^llbj ~~~7^ — y 1.3 Wo y 4.« Wo

— 9''..3Mo9''«,»(e)o
==9>i.i 9'o,o 9*«.o »»».o •

lieber die ultra-elliptischen Functionen zweier Variabler. 75

Von diesem kann man leicht zn den übrigen vierzehn ge-
langen mit Hülfe der Gleichungen, welche zwischen drei be-
liebigen der sechs constanten Grössen (p\ ^ {v\^ q)\ ^ {t))^ statt

haben; denn da die Grössen ff>\r^)fii W,i Mo^^i^s^^b^i^
Gleichungen genügen müssen, so erhält man die Verhältnisse
der Werthe, welche die fünfzehn Ausdrücke

für t? = 0, t£? = annehmen.

Man hat also zufolge dieser Formeln

ah —ha <jp3,o ^iPs,« qp3.3

2B'=2f

«— «' __ • qp'3.1 [A

aV — ha' <iP3,o *'3.i 9^3.3 '

2c = 2i ^'^'~^^' — i ^^-Q ^^^'^ ^^^'^ ^^'^'* ^^^Q
a ^' — ^ a' 9?3,o r/)3,, r/)3,3 (p^^^ 9P3,, ^3,3

9^3,0 ?P3,« ^iP3,3

2 c' = 2 i^j^zi^ = _ i yi>>o y»>» y »>3 yVi (^)o

ab' — ha' ?>3,o ?P3.« 9^3,3 qp3.o 9^3.« 9P3 3

A^

9^3.0 <iP3,« 9^3.3

In der Theorie dcj. elliptischen Functionen giebt es unter
den den Functionen cp^^ (t?, w) analogen vier Functionen
^r (^7 i) ®*°® einzige, die für t? = verschwindet, nämlich
^\ (^> 9) 5 ^^iter den Differentialquotienten ^V {^) ^^^ dagegen
^'^ (t?) der einzige, der für t? = nicht verschwindet; [434]
man kann aber ^\ (0) mittels der bekannten Gleichung
^'^ (0) = ^ (0) ^, (0) 1^3 (0) durch die drei Functionen d'^ (0)
ausdrücken. In der Theorie der ultra-elliptischen Functionen
ist die analoge Eigenschaft der Functionen q)^^ (t?, w) durch
die Gleichungen von der Form (116) dargestellt/ Die partiellen

Differentialquotienten cp\^^[v\, 9>'i,4 Ho» ^p's.iWo) v\i{^\
können, für sich allein betrachtet, nicht auf die Werthe
^^.^(0,0) reducirt werden, wohl aber hat die aus ihnen zu-
sammengesetzte Functional- Determinante diese Eigenschaft
der Function &\ [v) bewahrt ; dies ist der vollkommenen

76 Georg Rosenhain.

Analogie conform, welche zwischen den Differentialqnotienten
der Function einer Variablen nnd den Functional- Deter-
minanten herrscht und die von Jacobi in den ausgezeichneteD
Abhandlungen, die der bertthmte Mathematiker Aber diesen
Gegenstand veröffentlicht hat, bewiesen ist.

Nimmt man in den vorstehenden Gleichungen u und u!
reell, so werden v und w imaginär von der Form itj eY, und
man erkennt aus der quadratischen Gleichung, deren Wurzeln

x^ und x^ sind, dass in diesem Falle die eine der Wurzeln

1 1

zwischen und 1, die andere zwischen jj und -^ liegt nnd

mit Hülfe der Ausdrücke von x^ und x^ in t und f erhält
man ohne Schwierigkeit die Gleichungen:

2 J„ y(xn(i) J„

xdx

o=B ri-jf=_c p_j£^

Ji_V(xkXfi) Ji_V(xkXn}'

1

xdx

1 1

xdx

2 Ji.y{xkX(i) jii

V(xkXti)

Wenn t^ und u' den Factor e haben, so sind e und tr
reell und man findet für die algebraischen Ausdrücke von
x^^ x^ Entwickelungen in v und w^ die ganz verschieden von
denen des vorigen Falles sind.

[435] Indessen wird man den Gleichungen zwischen t^, w

und den ultra-elliptischen Integralen die Form des vorigen

Falles geben können, wenn man mittels des Lehrsatzes HI

im Capitel II § 5 zu den complementären Moduln ju^ , A^ , k^

übergeht. Die Grenzen der transformirten Integrale liegen in

1 1

den Intervallen und 1 , — j und -.— ^ , und ebenso wie im vor-

hergehenden Falle findet man die Gleichungen zwischen den
über die ganzen Intervalle ausgedehnten bestimmten Integralen.

üeber die ultra-ellip tischen Functionen zweier Variabler. 77

Kehrt man dann zu den Moduln k^ A, ^ zurück, so nehmen
diese Gleichungen die Form an

. C dx C xdx

1 I

a = b| - — C I

1

'l V{xkXf^)

1 1

xdx

-< J

Ji V(xkX^i) Ji_

V{xklfx)

Eliminirt man aus diesen acht Gleichungen zwischen den
bestimmten Integralen die Constanten A, B, C, B', C, so
kommt:

xdx

C xdx C dx C dx C

V{xkXix) J V(xkl^i)

11 ^1

V xdx

jk« i2 ft« ;i2

[436] oder

(a; — y) dx dy

r' r (x-y)dxdy _[''['

^ — (xkliJ,) (yklf^i)

Dies aber ist die neue Beziehung zwischen den bestimmten
Integralen, deren ich schon Erwähnung gethan habe. Um zu be-
weisen, dass sie identisch ist, d. h. unabhängig von den Werthen
kyXyfi besteht, versuchte ich sie zuerst mit Hülfe des AbeFschen
Theorems über die Addition von Integralen algebraischer
Functionen abzuleiten, das ja nach einer Bemerkung Jacobi%
auf vielfache Integrale ausgedehnt werden kann ; aber ich zog
daraus nur das negative Resultat, dass die Gleichung

78 Greorg Rosenhain.

{x — y) dx dy (x^ — yj dx^ dy^

\ — [xkX^C) ' (yklf^) V—i^i kXfi] • (y^ kXfi)

kein algebraisches Integral besitzt, wenn die Variabein x^y^x^^y^
in den Intervallen, nm die es sich handelt, genommen werden.
Ich griff danach zur Reihenentwickelnng der zwei Doppel-
integrale und zwar nach Potenzen von A' — ^*, wobei ich sie
alle beide derselben Reihe gleich fand. Aber die Yergleichnng
der beiden Entwickelangen und die Ableitnng ihrer Restglieder
erfordern auch eine recht mühevolle Rechnung und es ist hier
sehr schwierig, die allgemeinen Glieder in eine elegante Form
zu bringen. Gerade zu rechter Zeit finde ich daher einen
directen Beweis, der ohne die mindeste Rechnung allein durch
die Kraft der Ueberlegnngen zeigt, dass die Gleichung (116)
unabhängig von den Werthen der Moduln k, X, fi statt hat.
Er gründet sich auf die Eigenschaften mehrdeutiger continuir-
licher Functionen und deshalb will ich zuvor einige Worte
über diese Functionen sagen.

Ich nenne eine Function von x mehrdeutig, wenn deren
Definition mehrere Functionen zugleich umfasst. Sie wird also
im Allgemeinen für jeden Werth der Variabein gerade so viel
Werthe haben, wie sie verschiedene Interpretationen zulässt,
und [437] genau so viel verschiedene continuirliche Werft-
Systeme wird sie geben, wenn man das Argument x sich con-
tinuirlich ändern lässt. Definirt man aber den Werth der
Function für x = a in eindeutiger Weise dadurch, dass man
ein bestimmtes System auswählt, welchem man für x = a den
Werth der Function zu entnehmen hat, so giebt es dann keine
Ungewissheit mehr über die Werthe der Function, welche den
Werthen von x entsprechen, die wenig von a verschieden sind.
Denn nach dem Continuitätsprincip muss einem continuirlichen
Wege der Variabein immer eine continuirliche Aendemng der
Function entsprechen. Man kann demnach nicht ohne will-
kttrlich die Continuität zu zerstören von einem Werthsystem
der Function zu einem andern übergehen, ausser wenn das
Argument x auf einem continuirlichen Wege zu einem Werthe b
gelangt, für welchen zwei oder mehr dieser Systeme dieselben
Werthe ergeben. Ist ein solcher Werth b einmal erreicht,
so beginnt dieselbe Unbestimmtheit wiederum und man wird
von neuem beliebig das System wählen können, in welchem
man die Werthe der Function zu nehmen hat, die den wenig
von b verschiedenen Werthen des Argumentes x entsprechen.

lieber die ultra-ellip tischen Functionen zweier Variabler. 79

Indessen giebt es Fälle, in denen man die wiederholte Rück-
kehr dieser Unbestimmtheit dadurch verhindern kann, dass
man die Definition der Function in engere Grenzen einschliesst,
welche die Auswahl unter den verschiedenen Systemen weniger
willkttrlich machen.

Wenden wir diese Principien an auf das Integral

X

A + Ba;

/.

-00 VX

dx

wo
und

^4 < «4 < «3 < «4 < «5 < «6-

Dies Integral hat gar keinen bestimmten Sinn, wenigstens nicht
bevor man [438] über das Zeichen der Quadratwurzel für
jedes durch a„| und a^+j eingeschlossene Intervall überein-
gekommen ist. Aber nach der Definition eines Integrales als
unendliche Summe kann man das vorgelegte Integral und all-
gemein das Integral einer doppeldeutigen Function auf zwei
verschiedene Weisen betrachten. Bei der einen betrachtet man

das Integral der beiden Functionen -1 ;= — , —z: — ,

Vx Vx

A + Bx
ohne Unterschied in demselben Zeichen =z — begriffen,

vx

nur mit Rücksicht auf Einhaltung des Continuitätsprincipes,
indem man allein an den Grenzen eines Intervalles a^, e^^i + i
das Zeichen der zu integrirenden Function wechselt. Unter
diesem Gesichtspunkte, welcher nichts der Integraldefinition
widerstreitendes hat, kann das vorgelegte Integral jeden mög-
lichen reellen oder imaginären Werth besitzen, denn man kann,
von a^ nach a^^^ gelangt, ohne das Continuitätsgesetz zu
verletzen, so oft man will zu a^ und von da wieder nach
^m + i zurückkehren und das Zeichen der zu integrirenden
Function wechseln, so oft man zu einem dieser Werthe kommt,
wenn man nur zuletzt an der oberen Grenze x des vorge-
legten Integrales anhält.

Auf diese Art hat Jacohi in seinen Vorlesungen bewiesen,
dass die Grenze eines vorgelegten Integrales eine periodische
Function des Integrales selbst ist.

u

SD Geüri; RjHeiihuiD.

Von dem audum Gesiclitsp unkte am betrachtet
Gegenthei! dies Integral nur einer der beiden in demselbM
Zeichen VX begriffenen Fanctionen. Hat man alao diejenige
ausgewählt, deren Integral man bestimmen will, so ist allee
bestimmt, wenn die Integratio na grenzen nicht die des Inl«r-
valiea a^, a^^, überschreiten; sie können sie sogar erreichen,
ohne dasä dadurch eine Unbestimmtheit des Vorzeichens ent-
steht ; denn bei a,„ ^ , angelangt, kann man nicht wie in dem
anderen Falle nach Zeich enändening zn a^ zurückkehren,
denn das Vorzeichen ist, wenigstens ,fttr dies Intervall, zutot
durch die Definition von VX bestimmt. Wenn allerdings die
Integration weiter ausgedehnt werden soll, wird die Wahl
des Vorzeichens willkürlich; indessen kann man immer von
vornherein die Definition desjenigen der beiden Functionen
entgegengesetzten Vorzeichens, deren [439] Integral man findet '
will, so festlegen, dass die Wahl nur ftir eine einzige GreiiEs4
a„^ zweier aufeinander folgender Intervalle willkürlich bleibt.

Zu dem Ende definire ich VX als Prodnct der seclis
Factoren F«,„ — a- und lasse das Vorzeichen von V'X von
den Vorzeichen dieser einfachen Factoren abhängen. Damit
dies nun in vollkommen bestimmter Weise müglich ist, sage
ich, das3 ich von den beiden Werthen von Va,^ — x nur den-
jenigen ff^ betrachten will, der positiv ist, wenn x sich
zwischen — oo nud a^ befindet, und ich verlange den Werth

des Integrals | ^ , " , wie wenn die Factoren /„

vollkommen bestimmte Functionen von ,r wären. Die einzige
Schwierigkeit ist nnn zn sagen, welches der Wertli einet
Function f^ ist, die definirt ist als + Vijn — x für.
— oo < .c < a„, , wenn a,,^ von x überschritten wird. Und i
hier nun tritt die willkürliche Wahl des Vorzeichens ein, demi'
man kann sagen, dass für o„i<I^<l + oo der Werth äet
Function y,„ (gemäss der Definition positiv für das andere
Intervall) entweder -^-iVar — o^ oder — iVx — a^, ist; die
Wahl aber, die für eine der Functionen /",„ zwischen diesen
zwei Werthen getroffen wurde, muss dann nach der für alle
Uberein stimmen den Definition auch für die ttbrigen dieselbe
sein; sei also
-oo<r„<fl,, a,<^,<«,, a^<x^<a„ <>,<x,<a„
a,<z,<a„ a,<:r,<«„, «„<2:^<ooi

1

lt.'

I

Ueber die ultra-elliptischen Functionen zweier Variabler. 81

seien ferner VXo, J^X,, yX,, VX,, VX,, VX„ Vx^ die

Werthe, welche VX annimmt, wenn man darin für x der
Reihe nach x^, x^, x^, x^, x^, x^j x^. setzt; dann hat man
nach der gegebenen Definition:

vx„

=

+

K«,—

-^0

•«,

-2^0 ■

«3-

-«»

«4-

-«0

«6-

-^0

•«6-

-2^0

KX,

i Vx-

-a^

•«j-

-^4

•«3-

-^4

«4-

-*4

«5-

-^4

•«6-

-«4

VX,
440]

Vz^-

-«.

•«s-

-««

■«3-

-X^

•"4

-^*

•«5-

-^i

•«.-

-«*

Vx,

iVx,-

-a,

•a;,-

-ö*'

■^J-

-«3

•0,-

-«3'

«5-

-«3'

«6-

-«3

vx.

Vx^-

-ß,

•^■4

-«*

•^4-

-«3

•«4-

-«4

•«5-

-^4

•«6-

-^4

vx.

iVx,-

-«4

•2:5-

-«»

•«5-

-«3

•«5-

-»4

•«6-

-«5

•«6-

-^5

yXß =— y^Jg— a^-^r,.— Wj.iTe— öa-OJe— a^.^r,,— ag.a;^— «j
folglich

U, Vi: "-V., VIT ""^•+1 yxT ■"•

k«6 . />0Ü

Ja. >x J«, vx,

Das erste Glied dieser Gleichung ist gleich Null, da die

1
Integrationsgrenzen zusammenfallen, wenn man x durch —

X

ersetzt; das zweite Glied hat die Form M + Ni, und setzt
man noch

J„. vx. ^^J_ yx. J„^ vx,

so hat man

Ostwald's Klassiker. 05. 6

82 . Georg Bosenhain.

Ja. ^^. Ja, ^X, J„^ yx, "

<^-'<'^--<:

0=1 "- 'zz'^' dx.-hi '" \-ir^' dx.A-i I^i±;£^W.

Vx,

Jede dieser Gleichungen steht, wie man weiss, an Stelle
von zwei Gleichungen, da diese Summen unabhängig von den
Werthen von A und B verschwinden müssen. Setzt man hier

für die sechs Grössen /X^ ihre Werthe, so erhält man diese
Gleichungen in der Form, welche Jacobi in seiner berühmten
Abhandlung über die vierfach periodischen Functionen ge-
geben hat.

[441] Aus den vier unter den beiden letzten Gleichungen
enthaltenen zieht man unmittelbar

M

Jjn VX, VY3 JJ^

Vx Vy

— J

WO VY^ dieselbe Function von y^ ist, wie rX^ von x^.

Diese Summe M von zwei Doppelintegralen, die unter den
drei vorstehenden Formen dargestellt ist, ist immer gleich Null.

Um dies zu beweisen, bemerke ich zuvor, dass der Werth
von M nur von den Differenzen der sechs Grössen a^ abhängt,
denn substituirt man v — b für a:^, w — b für y^, so erhält
man dasselbe Resultat, wie wenn man a^-\- b für a^ setzt.
Ueberdies ist M auch eine symmetrische Function der sechs
Grössen a^, denn sie ändert sich nicht, wenn man irgend
zwei jener Grössen mit einander vertauscht. Dies sieht man
ohne Mühe, indem man erstens beachtet, dass jeder der drei
für M gegebenen Ausdrücke die Form des folgenden, der
dritte die des ersten annimmt, sobald man für jede Grösse 0^

Ueber die ultra-ellip tischen Functionen zweier Variabler. 83

die folgende 0^+4, für die sechste aber a^ die erste a^ setzt;
dann bemerke man, dass M sich nicht ändert, wenn man a^
der Reihe nach mit beliebigen drei der fünf andern Grössen a^
vertauscht. Der Beweis dieser letzten Eigenschaft wird sehr
erleichtert, wenn man die Form M passend wählt, an welcher
man die genannte Vertauschung vornehmen will; und da das
behandelte Integral verschwindet, wenn seine oberen und
unteren Grenzen zusammenfallen, so kann man sich ohne
Mühe überzeugen, dass M in der That die zweite Eigenschaft
besitzt. Man braucht dazu nur [442] die verschiedenen Werthe

yx^ zu beachten, welche ^X in den verschiedenen durch
a^ und öy^ + i begrenzten Intervallen besitzt, sowie auf die

Definition von Va^ — x Rücksicht zu nehmen.

M ist eine symmetrische Function der Grössen a^ und
hängt gleichzeitig nur von den Differenzen dieser Grössen ab;
sie kann demnach allein von den Quadraten dieser Differenzen
abhängen, wird sich folglich nicht ändern, wenn man — a^
für jede der sechs Grössen a^ setzt. Substituirt man mithin
— X und — y für x und y , so erhält man dasselbe Resultat,
wie wenn man — a^ für a^ gesetzt hätte ; nichtsdestoweniger
ändert sich M durch diese Substitution in — M; man hat also
M = — M oder M = 0. __

Setzt man endlich Vx^ = «^ Vx , VY^ = i^ VY , um
die Formeln durch die gebräuchlichen Zeichen auszudrücken,
so erhält man:

0= ^

n' (^ —y) dx dy C T ' [x—y]
y-xY J I V-

—y)dxdy

[x — y) dx dy i i

= r T (^~y)_^f ^y —ff 'S^nA

XY

[x — y) dxdy
—y) dx dy

XY

1
und setzt man «^ = — 00 , a, = , «3 = 1 , «4 = -yr 7

k'

a, = -TT- , ci, = —T , so kommt :

6*

84 Georg EosenhaiD.

Ol -L 1

" Jk-' ;i2

1 1

^ ^ i'o; — y) dx dy I '*'! (a; — y) dx dy

^p p (x-y) dxdy rC'

'V[xklix)V[ykli.i) Jl_Jt_ y[xklu)y{ykl^'
11 ^

üeber die ultra-elliptischen Functionen zweier Variabler. 85

Tabelle der Formeln.

(Siehe Seite 53.)
Anszng.

TL. Ml

' u.Mi"

u.Mj
u.M/
u. M/'
'u.Mi

tn

u.Mj
u.M/
u. M/'
u. M/"

u.Mi
a.M/
u. M/'
u.M/"

a.Mi
u.M/
ci.M,"
U.M/"

UM,
ti.Mi'
u.Mi"
'u.Mi'"

33*33*33-33 + 32-32*32-32
2323. 23-23 -f- 22.22-22-22
43*4 3H3*i3-|-42-i2i2-42
03-03-03-03+ 02-0202-02

30-30-30-30 — 34.31-31'31
20-20-20.20 — 24-24.24-21
40-40. 10-40 — ir4M4-i1
OO-OO-OO-OO — 04-04-04.04

3333.0303 + 32-32-02-02
23-23-43-43 + 22-22-42-42
43-43-23-23 + 42.42-22 22
03.03-33-33 + 02-02-32 32

30-30.0000 — 34.34.04.04
20. 20-40. 40 — 24. 24 .44-44
40. 4020. 20 — 44. 44-24-21
00.00.30.30 — 04-04-34-31

(3,a)
30-30-33.33 — 34.34.3232
20.20-23.23 — 24.24-22.22
40-40-43-43— 4444. 42-42
00-00.03.03- 04.04-02-02

(3,rf)

33-33-30-30 + 32-32'31-34
23-23-20 20 + 22-22-21-24
43. 43-40. 40 + 42-42-44.44
03-03-00-00 + 04. 04-02. 02

M od.M,
M' od.Mi'
M"od.Mi"
M'"od.Mi"'

Mt od.M
M/ od.M'
M/'od.M"
M/"od.M'"

M od.M,
M' od.M/
M"od.M/'
M'"od.M/"

M, od.M
M/ od.M'
Ml" od.M"
Mi"'od.M'"

M od. Ml
M' od.M/
M" od. Ml"
M"'od. Ml

//'

Ml od.M
M/ od.M'
M/'od.M"
M/"od.M

(4 , h) und (4 , c]

33-33-33-33 — 32.32-32-32
23-23-23-23 — 22-2222-22
43-43-43.43 — 42.42-42.42
03-03-03.03 — 02.02-0202

30-30-30-30 + 34-34.34-34
2020.20-20 + 24.24.24*24
40.40.40*40 + 44.44.44.44
00-00-00-00 + 04-04.04-04

(2, h) und (2, c)

33.33-03.03 — 32-32-02-02
23.23-43.43 — 2222.42-42
43-43. 23-23 — 42-4222-22
03-03.33.33 — 02-02.32.32

30-30. 00-00 + 34.34.04.04
20.20.40.40 + 24. 24. 44. 44
40.40-20-20 + 44.44-24.24
0000. 30-30 + 04.04.34-34

(3, h) und (3, c)

30-30-33-33 + 84-34-32.22
20-20.23.23 + 24-24.22-22
40-40-43-43 + 44-44.42-42
00-00-03.03 + 04 .04.'02.<^«

nr

33-38.30.30
23-23-20-20
4343-40-40
03-03-00-00,

82.82.8
22.2s.S)
42.4^.44
04*04*02.

86

Georg Rosenhain.

M u.M^
M' u.M^
M" u.Mj
M'"u.M,

M U.M,
M' u.M,
M"n.M,
M'"u.M,

M ii.M^
M' u.M,
M" u.M,
M'"u.M,

M u.M,
M' u.M,
M" u.M.
M'"n. M

M u.M.
M' U.M,
M" u.M
M'"u.M,

M u.Ttf,
M' U.M,
M" U.M,
M'"u.M,

M U.3I,
M' u.Mi
M" u.M,
M'"u.M.

M u.M,
M' u.M
M'" u. M,
M'"u.M,

n

trr

rt

tti

n

in

t

ttf

I
n

Hl

I

II
III

tt

iit

u

in

(4,a)
30-3003-03 — 34 '84 02-02
20-2013.'l3 — ä^äi-ia-ia

10-40-23.23 — 1M-I-22-22
00.00.33-33 — 04-01. 32-32

33-33. 00-00 + 32.32-01-04
23.23-i0.10 -I-22.22-1M1
13-'l3-20.20 4-12.12-21-21
03-03.30-30 +02.02.31.31

(5,a)
2323-3333 + 22.22-32-32
33-3823.23 -H 32.32-22-22
03-03-13-13 + 02-02-12-12
13-13.03*03 H-i2*12-02*02

(5,rf)
20-20.30-30 — 21-21-81-31
30-30.20-20 — 31.31-21-21
00-00-10-10 — 01-01-11. 11
10.10-00-00 — 11-11.01-01

(6,fl)
23.23. 08-03 -{- 22-22-0202
33. 33-13-13 4- 3232. 12-12
03*03*23.23 -f- 02-02-22.22
13-13. 33. 33 -J- 12. 12. 32. 32

20.20-00.00 — 21-21-01.01
30-30-10.10 — 3131. 11. 11
00.00.20-20 — 01-01.21.21
10.10-30-30 — 11-11-31-31

(7,«)
20.20:33.33-21.21.32-32

30-3023. 23 — 31-31-22-22

00.00-13-13 — 01.01-12.12

10-10-03.03 — 11-11-02.02

23. 23-30. 30 4-22-22-31-31
33-33-20-20 -|- 32-32-21-21
03-03.10^0 + 02.02-11.11
13.13 00.00 4- 12.12.01-01

M od. Ml
M' od.M/

(4, h) und (4, c)
30.80-03-08 4- 31 -31 -02-02
20-20-13-13 4-21-21-12-lt

M"od.Mi" 10-10.23-23 4-11.11.22.M
M'"od.M/" 0000. 33-33 4- 01 -01.32-88

Ml od.M
M/ od.M'
Ml" od.M"
Mi"'od.M

III

M od. Ml
M' od.M/
M" od.M/'
M"'od.M/"

Ml od.M
M/ od.M'
M/' od. M"
M/"od.M

m

M od.M,
M' od.M/
M" od.M/'
M'"od. M/"

Ml od.M
M/ od.M'
Ml" od.M"
M/"od.M'"

M od. Ml
M' od.M/
M" od. Ml"
M"'od.M/"

Ml od.M
M/ od.M'
M/'od.M'"
M/"od.M'"

33.33. 00-00 -32.32-01.01
23-28. 10*10 — 22.22-11.11
18.18.20.20 — 12-12-21-11
03.03-30-80 — 02.02-31 .i1

(5, h] und (5, e)
2328. 88.88 — 22.22.32*11
33.33-23.23 — 32.32-22-81
03-03-13-13 — 02.02.12.11
13.13. 0303 — 12.12.02.01

20.20-80.80 4-2i.2i.3i.ii
30.30.20*20 4-31.31.21.21
00.00-1010 -{-01. 01 -11 -11
10-10. 00. 00 4-44*11.01*01

(6,fe) und (6, c)
23.23 0303 — 22*22*02*011
38*881 81 3 — 32*32. 12*11
03.03.23.23 — 02*02*22*8!
13-13-33-33 — 12.12.32-Jll

20-20-00-00 4- 21 -21 -01 . Oll
3030. 10-10 4-31.31.11.11
00-00.20.20 -)- 01.01.21.llj
10-10.80.30 4-ll.ll.3i.Sll

(7, h) und (7, c)
2020. 33. 33 4-21.24.32.
30*30-23*23 4-31*31-22*
00-00*1313 4-01*01*12*
10-10-03-03 4-11*11-02-

23-23-30-30 — 22-22.31.ll)]
33.33.20-20 — 32-32-21*il )|
03-03.10.10 — 02.02'11*ll)]
13.1300.00 — 12.12.01.*|)j

Ueber die ultra-elliptischen Functionen zweier Variabler. 87

M n.Mi
M' u.Mi'
M"' n.Mi^

M a.M,
M' n.M/'
M" u.M/'
M'"n.M/"

M 11.M1
M' u.M/
M" n-Mj"

M n.Mi
M* n-Mi'
M" u-Mi"
M'"u.Mi'"

y M n.
I M' n.

f M'"n.

>

i M n.

EM' u.

iffi

M

M u.
M' n.

M" u.

M/

M/'
M/"

M/

Ml"
M/"

M u.M,
M' u.M/
M"u.Mi"

(8,«)
20-20-08-Oa — 24 -24 -OS-OS
30-804a-4a— 31.3M2-12
00-00-23-23 — Oi-01-22-22
40-40. 33-33— H-i4-32-32

23-23-00-00-f 22-22-04-04
33-Sa-40-40 + 32-32-44 -44
03-03-20-20 + 02-02-24-24
43.48-30-30 + 42-42-34<34

(9,a)
22-22-33-33 -f 23-23.32-32
32-32-23-23 + 33-33.22-22
02-02-43-43 + 03-03-42-42
42-42-03-03 + 43-43-02-02

{9,d)
24-24.30-30— 20.20.34-34
34.34-20-20 — 30-30-24-24
04.04-40-40 — 00-00.44-44
44-44-00-00 — 40.40*04-04

{4 4,a)
24.24-33-33—20-20-32.32
34 -34 -23.23 — 30.30-22-22
04-04-43-43 — 00-00-42-42
44.44.03.03 — 40-40-02.02

«

(44, rf)
2222-30-80 + 23-23-34 -34
32.32-20.20 + 33-33-24 -24
02-024040 + 03-03-44-44
42-42. 00. 00 + 43-43-04-04

(4 2,a)
24.24.03.03 — 20.20-82.02
34.34.43.43 —30-30.42-42
04 -04 -23-23 — 00-00-22-22
44-44. 38-33 — 40-40-32-32

(4 2,6?)
22.2200.00 + 23-23. 04. 04
32-32. 40. 40 + 3333.44 44
02-02-20.20 + 03-03-24-24
4242. 80-30 +4343-31-34

M od.Mi
M' od.M/
M"od.Mi"
M'"od.M/"

Ml od.M
M/ od.M'
M/'od.M"
Mi'"od.M"'

M od. Ml
M' od.M/
M"od.Mi"
M'^od.M/"

Ml od.M
M/ od.M'
Ml" od. M"
Mi"'od.M'"

M od. Ml
M' od.M/
M"od.Mi"
M"'od.Mi

t/f

Ml od.M
M/ od.M'
Ml" od.M"
Mi"'od.M'"

M od. Ml
M' od.M/
M"od.Mi"
M"'od.M/"

Ml od:M
M/ od.M'
Ml" od.M"
M/"od.M'"

(8,6) und (8,c)
20-20-03-03 + 24 -24 .02.02
30-30-4 3«4 3 + 34 .34 -42-42
00.00*23-23 + 04 -04 .22*22
40-40-38.33 + 44*44.32.32

23.23.00.00 — 2222-04 -04
33.33.40.40 — 32. 32. 44.44
03-03-20.20 — 02.02-24 -24
43-43-30-30 — 4242-34-34

(9, b) und (9, c)
22-22-33-33 — 23-23-32-32
32-32-23-23 — 3333-22-22
0202-4 3-4 3 — 03-03-42-42
4242-0303— 43-43-02-02

24*24. 30-30 + 20.20-34-34
34 -34 .20-20 + 30-30-24 -24
04-04*40-40 + 00-00-44.44
44.44.00.00 + 40.4004.04

(44,6) und (44, c)
24.24-33-33 + 20-20-32-32
34-34-28-23 + 30-30-22-22
04*04-43-43 + 00.00<42-42
44. 44-03. 03 + 40-40*02-02

22-22. 30-30 — 23-2334 -34
32-32-20-20 — 33-33-24 -24
02.02.40-40- 030344.44
42-42-00-00 — 43. 43-04-04

(42, 6 j und (4 2,c)
24-24 -03-03 + 2020. 02. 02
34-34-43-43 + 30-30-42-42
04-04-23-23 + 00-00-22-22
44-44*33-33 +40-40-82-81

22-22-00-00
32-32-40-40
02-02-20-20
4242. 30. 30

23.28-04 .<
33.33.44.4
03-03-24.2.
4 3.4 3-34.84

8S

Georg Eosenhain.

(1 4, ä)

1

(1 4, h) und (1 4, c.

M u.Mj

32-32-03-03 + 33-33-02.02

M od-M,

32.32.03.03 — 33-33-02-02

M' u.Mi'

22. 22.13-13 4- 2323. 12. 12

M' od.M,'

22.221313 — 23.23.1212

M" U.M/'

12.1223.23 4-13. 13. 22. 22

M"od.M,"

12.12.23.23~-13>13-22.iS

M'"u.M/"

02.02.33.33 + 03. 03. 32. 32

M'"od.M,'"

02.0233.33 — 03.0332.3!

M U.M,

31.31.00.00~30.300101

M, od.M

31.31 .0000 + 30. 30-01 -O*

M' u.M/

21-21.10. 10 — 20.20.11-11

M,' od.M'

21.21.10.10 + 20.20.11*11

M" u. M/'

11-11.20.20 — 10.10-21.21

M," od.M"

11.11.20-20 + 10.10.21.21

M'"u.M/"

01-01. 3030 — 00.00.31.31

M,"'od.M"'

01.01.30*30 + 00. 00-31 .31

(1 6, a)

(16,5) und (16,c)

M u.M,

31 .31.03. 03 — 30-30.02.02

M od.M,

31-31.03.03 + 3O.3O-02.0ä

M' u.M,'

21 21. 13. 13 — 20.20-12.12

M' od.M,'

21*21.13.13 + 20-20 12-12

M" u.M/'

11.11.23.23 — 10.10-22.22

M" od.M,"

11.11.23-23 + 10-40-22-22

M'"u.M/"

01-01.33.33— 00-00 3232

M"'od. M,'"

01-01.33.33 + 00.00-32-32

(1 6, d)

•

M u.Mi

32.3200. 00 + 33-38.01.01

Ml od.M

32-32-00.00 — 33.33.01-01

M' u.M/

22-22-10-10 + 23-2311-11

M/ od.M'

22.22-10.10 — 23-23.11.11

M" u.M/'

12-12-20.-20 +13-13-21-21

M,"od.M"

12.12-20-20 — 13-48-21.21

M"'u.M/"

02-02.30-30 -r 03.03.31-31

M,'"od.M"'

O2.O2.3a.3O — 03. 03. 31 31

(1 7, a)

(17,5) und (17,c)

M u.M,

13. 03.23. 33 + 1202. 22. 32

M od.M,

13.03.23.33—12.02.2232

M'. u.M/

0313.3323 + 02. 1232.22

M' od.M,'

03.13. 33. 23 — 02.42.3222

M" u.M/'

233313.03 + 22-32. 12. 02

M" od.M,'.'

23.33.13.03-22-32.12.02

M"'u.M/"

33-23-03.13 + 32-22-02-12

(1 7, ef}

M"'od. M/"

33.23.03.13 — 32-22. 02.12

M u.M,

10-00-20.30 — 11.01.21.31

M, od.M

1000. 20-30 + 11.01-21-31

M' u.M,'

00-10-30 20 — 01-11.31.21

M,' od.M'.

00-10-30-20 + 01.11.31.21

M'^u.M,"

20-30-1000 — 21. 3M1-01

M," od.M"

20-30.10.00 + 21.31.11.01

M'"u. M,'"

30-20-00-10 — 31.21.01.11

M,"'od. M'"

30-20.00.10 + 31.21-01.11

(23, a)

(23, h) und (23, c)

M u.M,

11. 01.. 33-23. — 10-00-32.22

M od.Mj

11-01-33-23 + 10-00-32-22

M' U.M,'

01-11.23.-33 — 00.10.22.32

M' od.M/

01-11.23.33 + 00.40.22.32

M"u.Mi"

31. 2M3-03 — 30-20-12-02

M" od. M,"

31 -2I..I3.O3 + 30.20.12.02

M"'u.M,'"

21.31-03.13 — 20-3002. 12
(23, d)

M'"od.M,"'

21.31.03.13 + 20-30-02.12

M U.M,

1202-30-20 + 13-03.81-21

M, od.M

12-02-30.20 — 13.03-31.21

M' U.M,'

02.12.20-30 + 03-13-21-31

M,' od.M'

02-12-20.30 — 03.13.21.31

M" u. M,"

3222-10-00 ; 33-23-11.01

M,".od.M"

32.22.10.00 — 33.23.41.01

M'"u. M/"

22-32-00-10 + 23.33-01.11

M,'"od.M"'

22-32-00.10 — 23. 33-01. 11

üeber die ultra-elliptischen Functionen zweier Variabler. S9

M U.M,
W u.M/

rft

M u.Mi
M' u.Mi'

M U.M,
M' n.M/
M" n.M/'
M'"u. Ml

ff/

M n.Mi
M' u.M/
M"u.Mi"
M'"u.M/"

M n.Mj
M' U.M/
W u.M/'
M'"u.M/"

M u.Mi
W u.Mi'
M" u.Mi"
M'"u.Mi'"

j M u.Mi
t M' u.M/
?■ M" U.M/'
■ M'"u.M/"

M u.M|
'• W u.M/

M"n.M/'
" M'"u.M/"

(25, a)
31-30-32.33 4- 30. 31-
21.20-22-23 -t- 20-21.
11-10-12-13 + 10-11
01-00-02-03 + 00-01

(25, d]
32.33.31-30 — 33.32
22.23.21.20 — 23.22
12-13 11-10 — 13-12-
02-03-01.00 — 03-02.

(26, a)

31
21
11
01

32
22
12
02

21
31
01
11

22
32
02
12

21
31
01
11

22
I 32
;02

12

.30.

02

03 + 30-

•31

•03-

.20

-12

•13 + 20

-21

•13-

.10-

22

•23 + 10-

-11

-23-

.00-

32'

33 + 00.
(26, rf)

01-

.33-

.33.

01-

00 — 33

32.

00.

-23

11

-10 — 23-

22

•10-

-13

21

-20-— 13-

12

20.

-03

31

•30— 03

(28, a)

-02

-30-

-20

•03

•02 + 20

21

•02-

-30

-13

-12 + 30

•31

•12-

.00

23

•22 + 00-

01

•22-

•10

•33

32 + 10-

(28, d)

11

-32-

.23

-00

01 23.

22

-01.

.33

10

-11 —33-

32

11.

-03

■20

•21 03

02

21.

13

-30

• 31 —13
(33, a)

12

•31.

-30

-32

•23 + 20

•31

-33-

-20

-22

33 + 30

-21

-23.

-10

-12

03 + 00

11

•13.

-00

-02

13 + 10
(33, d)

-01

03.

-33

•31

-20 23

•32

•30.

23

•21

-30 — 30

-22

•20-

-13

•11

•00 — 03

-12

-10-

-03

-01

10 — 13

•02

00-

33-32
23-22
13-12
03-02

30-31
20-21
10-11
0001

02
12
22
32

01
11
21
31

03
13
23
33

00
10
20
30

22
32
02
12

21
31
01
11

M od. Ml
M' od.M/
M" od. M/'
M'"od.M/''

Ml od.M
M/ od.M'
M/' od. M"
M/"od.M"'

M od. Ml
M' od.M/
M"od.Mi"
M'"od.M/"

Ml od.M
M/ od.M'
Ml" od.M"
Mi'"od.M"'

M od.Mi
M' od.M/
M" od. Ml"
M'"od.Mi

irr

Ml od.M
M/ od.M'
Ml" od.M"
M/"od.M

rtt

M od. Ml
M' od.M/
M" od. M/'
M"'od.Mi'"

Ml od.M
M/ od.M'
M/' od. M"
M/"od. M'"

(25,6) und (25, c)
31-30-32-33 — 30.31.33.32
21.20.22.23 — 20.21.23.22
11-10. 12. 13 — 1011.1312
01-00.0203 — 00. 01. 03-02

32-33. 31. 30 +
22-23. 21 -20 +
12.13.1110 +
0203.01.00 +

(26, b) und
31.30.02.03 —
21. 20. 12. 13 —
11. 10. 22-23-

01 00.32.33 —

33.32.30.31
23-22.20-21
13. 12.10.11
0302. 00*01

(26, c)
30. 31. 03

20. 21
10. 11
0001

32. 33. 01-00 + 33. 32
2223. 11-10 + 23. 22
12-13-21-20 + 13-12
02. 03. 31 30 + 03. 02

(28, b) und (28, c)
21.20.03.02 — 20.21

31
01
11

22
32
02
12

21
31
01
11

22
32
02
12

02

30. 13. 12 — 30. 31. 12
00. 23. 22 — 00. 01 22
10. 33.32 — 10-11-32

23. 00. 01 + 23.2201

33. 10-11 + 33. 32. 11
03.20-21 + 030221
13. 30-31 +1312. 31

(33, b) und (33, c)
303223 — 2031-33
20-22-33 — 30-21-23
1012. 03 - 00-11-13
0002-13 — 10-01-03

33-31-20 + 2332.30
23-21-30 + 30-2220
13. 11. 00 + 03. 12-10
03-01-10 + 13-02-00

13
23
33

00
10
20
30

02
12
22
32

01
11
21
31

03
13
23
33

I

00
10
20
30

22
32
02
12

21
31
01
11

90 Georg Bosenhain, lieber die ultra-elliptischen Functionen etc.

M' u.Mi'
M"u.Mi"

ttt

M u.Mi
M' U.M,'
M" u. M/'
M'"u.Mi

nt

M u.Mi
M' U.M/
M" U.M/'
M'"u.M/'

M u.Mi
M' u.Mi'

M" U.M/'
M'"u.M/"

(43, a]

31.04-33.03 — 30.00'3202
21.^423.13 — 20.40-22-12
11 •2M3.23 — 10-20.-12.22
01.31.0338— 00.30.02-32

(43, rf)

32.02.30.00 -I-3303. 31. 01
22.12.2010 -i-23.13.ai.11
12-22. 10-20 4-1323.1121
02. 32. 00. 3ü -f-03.3301.31

(50, a)

21.01.03.23 — 2000.02. 22
31 .11.13-33 — 3010. 12-32
01-21-23-03 — 00-20-2202
11.31-33.13—10.30.32-12

(50, d)

22-02-00-20 -+-23. 03. 01 -21
3212.1030 -1-33.13.11.31
02. 22-20. 00 + 03-23-2101
12-32.30-10 +13-33. 31.11

M od. Ml
M' od.M/
M" od. M/'
M'"od. M/"

Ml od.M
M/ od.M'
M/' od;M"
M/''od. M

tu

M od.Mi
M' od.M/
M"od.M/'
M^'od.M/"

Ml od.M
M/ od.M'
M/' od.M"
M/"od. M'"

(43,6) und (43, c)

31 01 -33-03 +3000.32-02
2111. 23. 13 + 20-10.22-18
11-21 1323 + 10-20-12-18
01 -31 03. 33 +00-3002-38

3202^30. 00
22-1220-10
1222. 10-20
02-32-00-30

33-03-31 -Oi
23-13.2M4
13.23-11-84
03.33.04-31

(50, h) und (5d, c)

21-01-03-23 +2000-02-88
31 -1113. 33 + 30-10-1238
01 21 .23.03 + 00-20.22.08
1131 -33-13 +10.30.32.48

2202.0020
32. 12-10-30
022220. 00
12.32.3010

23-03-01-24
33-13.1134
03-23-21-04
13-3331 44

Anmerkungen.

Zu S. 4, Die von Rosenhain hier ■ vorgeschlagene
Unterscheidnng zwischen nltra- elliptischen (hyperelliptischen)
nnd AbeV^Q\ietx Fnnctionen ist seitdem allgemein angenommen
nnd gebraucht. Eine derartige Unterscheidnng hat sich als
nothwendig erwiesen, seitdem man die besondere Stellung
genauer kennen gelernt hat, die den Integralen mit einer
Quadratwurzel unter den allgemeinen algebraischen Integralen
zukommt.

Zu S, 4, Auf diese hier von Rosenhain als Ein-
leitung in die Theorie der ultra-elliptischen Functionen vor-
getragene Lösung des Problems der Umkehrung von elliptischen
Integralen dritter Gattung bezieht sich eine Bemerkung von
Jacobi (Snr la rotation d'un corps, extrait d'une lettre adress^e
ä Pacadömie des sciences de Paris 17. März 1850, Crelle^^
Journal, Bd. 39, Mathematische Werke S. 351), die in deut-
scher Uebersetzung etwa so lautet:

»Ich habe früher die Studenten der Mathematik der
Universität Königsberg auf diese fundamentalen Eigenschaften
der elliptischen Integrale dritter Gattung aufmerksam ge-
macht, wodurch sich diese Integrale den ^i^fschen oder
hyperelliptischen Integralen nähern. Dies hat Herrn Rosen-
hain^ einen jener Schüler, der dieser Universität zu wohlbe-
gründetem Ruhme gereicht, veranlasst, in einer akademischen
Abhandlung die elliptischen Integrale der dritten Gattung
derselben analytischen Behandlung zu unterwerfen, die ich
für die ^5^^ sehen Integrale vorgeschlagen hatte. Seitdem kf
dieser gelehrte Mathematiker dazu gelangt, in expliciter Weift
die Functionen darzustellen, die bei der ersten Klasse de
hyperelliptischen Functionen die Rolle der Functionen spielen,
eine grosse und schöne Entdeckung, die vor Kurzem von der
Akademie der Wissenschaften in Paris gekrönt wurde«.

92 Anmerkungen.

Zu S, 29. Die Bedingung für die Convergen? der
Reihe 9P3 3 [v, w) ist hier für den Fall imaginärer p, q, A
nicht genau angegeben. Die Bedingung ist für diesen Fall
die, dass die drei Werthe, die man erhält, wenn man in

log^, log y, 4 A* — log p log q

logp, log q, A durch ihre reellen Theile ersetzt, negativ
werden (d. h. dass der reelle Theil von

rr* log J9 + 4 a:y A + y' log q

eine negative quadratische Form der Variablen rr, y sei).

Zu S. 36, Die drei hier aufgeführten Lehrsätze,
durch welche rein imaginäre Argumente der Functionen cp auf
reelle zurückgeführt werden, sind specielle Fälle der allge-
meinen linearen Transformation der Theta-Functionen, die von
Jacobi für die elliptischen Functionen in Vorlesungen ausge-
führt und als »Theorie der unendlich vielen Formen der
Theta-Function« bezeichnet ist. Den weiteren Ausbau dieser
Theorie für die hyperelliptischen Functionen verdanken wir
besonders Hermite,

Zu S, 77, Um zu beweisen, dass die durch die
Quotienten der ^-Functionen dargestellten vierfach perio-
dischen Functionen, als deren Umkehrung sich die Summen
von je zwei ultra- elliptischen Integralen erster Gattung er-
geben haben, nicht nur specielle Integrale dieser Art liefern,
ist noch zu zeigen, dass zwischen den drei Moduln dieser
ultra-elliptischen Integrale, die als Functionen der drei Vari-
ablen p, q, A definirt sind, keine Relation besteht, oder, was
auf dasselbe hinauskommt, dass eine gewisse bilineare Re-
lation zwischen den Perioden der Integrale identisch be-
friedigt ist. Der Beweis, den Rosenhain hiervon giebt, der
sich übrigens nur auf reelle Moduln bezieht, ist sehr be-
merkenswerth. Er enthält, wenn auch noch verhüllt, den
Grundgedanken des Verfahrens, der klar und einfach erst bei
Riemann auftritt, nachdem die Erweiterung des Integral-
begriflfä durch Einführung der complexen Wege der Variablen in
die Theorie aufgenommen ist. Die Mehrdentigkeit der Function,
die Rosenhain umständlich analytisch definirt, wird klar und
anschaulich erst durch die Einführung der Riemann^QlnQn
mehrblättrigen Fläche. Rosenhain kennt und benutzt von
der Riemann'schen Fläche, wenn der Ausdruck gestattet ist,
nur einzelne Fäden.

Anmerkungen. 93

Zu Seite 85, Die Tabelle, die im Original 51 Gruppen
von 16 Formeln umfasst, ist hier nur in einem Auszug ab-
gedruckt, wobei jedoch darauf Bedacht genommen ist, dass
die im Text gebrauchten Formeln alle vorkommen. Eines
so grossen Formelapparates bedarf heutzutage die Theorie
nicht mehr, nachdem eine zweckmässige Bezeichnung und
Begriflfsbildung, namentlich der durch Riemann ausgebildete
Begriff der Theta-Charakteristik, eine zusammenfassende Dar-
stellung der Formeln gestattet. Die unendlichen Reihen, die
Rosenhain durch cp bezeichnet, deren Quotienten ihm die
vierfach periodischen Functionen liefern, werden jetzt fast
ausschliesslich durch die Buchstaben d oder ^ (Theta- Func-
tionen) bezeichnet. Die Unterscheidung der einzelnen Func-
tionen geschieht noch auf verschiedene Weise. Die von dem
Herausgeber in verschiedenen Abhandlungen (im Anschluss
an Riemann und Hermite) gebrauchte Bezeichnung dieser
Functionen ist die

^)h h ^i^^2 =

+ oo

ni, «2

2^

e

— 00

-■'+'+f.-+?)+2-(('"+f)(-+T) + Hf)(-+T))

worin

^ K, ^J = «1,1 < + 2 a,^^n,n^ + a,^,,n\

eine quadratische Form der beiden Variablen n^ , n^ mit
wesentlich positivem imaginärem Theil ist, worin ferner
9\i 9%i ^1 > ^i ganze Zahlen bedeuten, die gleich oder 1
gesetzt werden können, und worin der Complex

[9i 1 9^

1^17 K

die Charakteristik der Theta- Function heisst. Um zu der
Rosenhain'^Q}iQVL Bezeichnung zurückzukehren, hat man zu
setzen

Ttia^^^ = logjö , 7t^a, , = log y,
TTia^ j = yria, ^ = 2 A,

TClVj^ =^7 ^iv^=^w.

In der folgenden kleinen Tabelle, die dem Werke von
Krause', »Die Transformation der hyperelliptischen Functionen

enter Ordnnngi 'Leipeig, B. G. Teebner, 1886) entnommea
ist, sind die verschiedeneD BezeicIiDDgen, die fQr die 16 Tlieta-
Fanotionen in Oebraucli sind, zusammeDgestellt.

GUpel
P"

Q.,.

R"

! *..

iE

»

iQ

s-

S

»

P"

»

li"

', ^

iQ"

! *'

iS"

*

P

1 *

iS

*

a

*.

iS'

! *

*111.

I Wehtr

- 411]

-■41 S]

•■4;!]

Drock TOD Bnitkopf ts Hlrtal in Leipiig.