Über die kugeln, welche eine cubische raumcurve mehrfach oder mehrpunktig berühren ..

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ÜBER DIE KUGELN,

WELCHE

EINE GUB^SGHE RAUMGURVE

MEHRFACH ODER MEHRPUNKTIG BERÜHREN.

INAHGURAL-DISSERTATION,

DBS

MATHEMiTISGHEN Ue NATURWISSENSGHAFTUGHEN FAGULTAT

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ERLANGUNG DER DOtJTORWÜRDE

YOROBLaOT VON '^

(jWo^lcJi'v) EMIL TIMERDING

^ AUS Sl^ASSBURO i/SLS.

STRASSBÜRG,

STRASSBÜRGER DRUCKEREI UND VERLAGSANSTALT,

YOBH. R. SOHÜLTZ & C^

1894.

^^^I^J

Ma,fh'^^(^^?)l|^

1.

So genau auch die projektiven Eigenschaften der cubischen
Baumcurven erforscht sind, so wenig ist bis zum heutigen
Tage von alledem bekannt, was auf ihre krümmungstheo-
retische Behandlung Bezug hat. Wir wissen bis jetzt so gut
wie gar nichts von den doppelt berührenden, osculirenden
und hjperosculirenden Kugeln, den Ejrümmungskreisen und
Krümmungsmittelpunkten, kurz der ganzen Erümmungslehre
der cubischen Raumcurve*. Dass dieselbe übrigens sehr ver-
wickelte Krümmungsverhältnisse zeigen wird, davon über-
zeugt uns ein Blick auf ihre Gestalt. So fremd sie der
metrischen Geometrie ist, so fremd bleibt sie auch dem
betrachtenden Auge. Es fehlen ihr alle Symmetrieverhältnisse,
die leichte Uebersichtlichkeit, die alle metrisch wichtigen
Curven und Flächen auszeichnet

So wäre es in der That auch wohl verfehlt, wenn man
die allgemeinen Formeln der Infinitesimalgeometrie auf diese
speziellen Curven anwenden wollte. Die auszuführenden Bech-
nungen würden voraussichtlich, je weiter wir vordringen,
um so mühsamer werden und wenig Interesse darbieten.
Jene Formeln lassen ja wohl die Existenz und den Charakter
der abgeleiteten Curven und Flächen erkennen; aber wenn
es sich um deren wirkliche Bestimmtmg und die Aufstellung
ihrer Gleichungen handelt, so erweisen sie sich durchaus
als ungeschickt So steht man hier vor der Aufgabe, auf die
man in der Mathematik so oft stösst, für den besonderen

*) Man yergleiche die diesbezügliche Bemerkung Herrn Heyes am
Schiasse seiner Uehersicht über den gegenwärtigen Stand unserer Kenntniss
der cubischen Raumcuryen. (Festschrift der mathem. Oes. in Hamburg, 1890,

S. 43.)

_ 4 —

Fall auch eine besondere Methode zu suchen, die ihm eigen-
tümlich und nur auf ihn anwendbar ist. Eine solche Methode
existirt in der That; sie ist von überraschender Einfachheit
^pd führt mit Leichtigkeit zu dem angestrebten Ziele. Sie
beruht , auf dem Folgenden.

Purch eine cubische Baumcurve lässt sich ein Netz
von Qo*^JRegel- und Kegelflächen zweiter Ordnung legen.
Jede dieser Flächen enthält zwei Schaaren von Kreisen, und
zwar liegen die Kreise einer jeden Schaar in parallelen
Ebenen und jeder Kreis der einen Schaar lässt sich mit
jedem der anderen durch eine Kugel verbinden. Die beiden
Schaaren fallen nur dann zusammen, wenn die Fläche eine
Rotationsfläche ist Die Kreise, welche auf einer dieser
Flächen liegen, haben mit der Raumcurve je 3 Punkte
gemein und umgekehrt lässt sich durch jeden Kreis, welcher
die Raumcurve in 3 Punkten schneidet, eine und nur eine
Fläche zweiter Ordnung legen, welche zugleich die Raum-
curve enthält. Wir finden also zu jedem Kreise, der durch
3 Punkte der Curve geht, erstlich eine Schaar anderer,
deren Ebenen zu der des ersten parallel sind und die eben-
falls je 3 Punkte der Curve enthalten, und sodann eine zweite
Schaar von Kreisen, die auch in parallelen Ebenen liegen
und von denen jeder sich mit jedem Kreise der ersten Schaar
durch eine Kugel verbinden lässt.

Wir werden die erste Kreisschaar zur zweiten conjugirt
nennen und ebenso jede Ebene der ersten Schaar zu jeder
Ebene der zweiten Schaar. Dann haben zwei so conjugirte
Ebenen die Eigenschaft, dass sie die Raumcurve in 6 Punkten
einer Kugel schneiden. Greifen wir aber von diesen 6 Punkten
beliebige drei heraus, legen durch sie einen Kreis und ebenso
durch die drei übrigen, so müssen diese beiden Kreise
conjugirten Schaaren angehören, und ebenso sind die Ebenen
conjugirt, in denen sie liegen. Die 6 Punkte, in denen eine
cubische Raumcurve von einer beliebigen Kugel geschnitten
wird, haben also die Eigenschaft, dass jede Ebene, welche
drei von ihnen enthält, zu der Verbindungsebene der drei

übrigen Punkte conjugirt ist. Eine Schaar paralleler Ebenen
hat eine gemeinsame unendlich ferne Qerade, und die Zu-
ordnung zweier solcher Schaaren involvirt eine gleichzeitige
Beziehung zwischen ihren unendlich fernen Geraden. So
erhalten wir eine eindeutige involutorische Verwandtschaft
zwischen den Geraden der unendlich fernen Ebene, und zwar
schneiden je zwei Ebenen, die zwei conjugirte Gerade dieser
Verwandtschaft enthalten, die Baumcurve in 6 Punkten einer
Kugel.

Weiter aber können wir 6 solche Punkte auf 15 ver-
schiedene Arten zu 3 Paaren sondern und jedes Paar durch
eine Sehne verbinden. Durch zwei dieser Paare ist dann die
sie verbindende Kugel und damit das dritte Paar, und durch
zwei Sehnen ist die dritte Sehne jedesmal bestimmt. Diese
dritte Sehne soll die Begleiterin der beiden anderen heissen.
So teilen sich die Sehnen der cubischen Raumcurve in be-
stimmter Weise in Tripel derart, dass durch zwei Sehnen
eines Tripels immer die dritte bestimmt ist Die Endpunkte
der Sehnen eines Tripels liegen allemal auf einer Kugel,
und die Ebenen, welche zwei Sehnen je mit einem End-
punkte ihrer Begleiterin verbinden, sind conjugirt und laufen
nach conjugirten Geraden der unendlich fernen Ebene hin.

2.

Zur näheren Bestimmung der Verwandtschaft, welche iö
der angegebenen Weise die unendlich fernen Geraden ein-
deutig und wechselseitig einander zuordnet, führen uns die
folgenden Ueberlegungen.

Alle die Flächen zweiter Ordnung, welche durch eine
cubische Raumcurve sich legen lassen, bilden eine lineare
Mannigfaltigkeit 2. Stufe*. Greifen wir nun von den oo* Kugeln,

*) Vgl. für das Folgende und später die Aufsätze Herrn Rbybs in Grelles
Journal Bd. 82, sowie seine Geometrie der Lage, 3. Aufl., IL und IIL Abth.,
Lpz. 1892.

— 6 —

die im Räume existiren, irgend eine heraus, so bestimmt
diese mit dem genannten Flächennetz zusammen eine lineare
Mannigfaltigkeit 3. Stufe, ein «Flächengebüsch», und alle
Flächen zweiter Ordnung, die dem Gebüsche angehören, gehen
durch die 6 Punkte hindurch, in denen die Baumcurve die
Kugel schneidet. Umgekehrt gehören aber auch alle Flächen
zweiter Ordnung, die diese 6 Punkte enthalten, zu dem
Flächengebüsche, insbesondere also die 10 Ebenenpaare, die
sich durch die genannten Punkte hindurchlegen lassen. Letztere
sind die einzigen zerfallenden Flächen des Gebüsches.

Lassen wir die Kugel, die mit der Raumcurve zusammen
das Gebüsch bestimmte, varüren, so erhalten wir immer neue
Flächengebüsche, und diese sind alle, wie wir auch die
erzeugende Kugel wählen mögen, in einem linearen Systeme
7. Stufe enthalten. Addirt man die Gleichungen von 5 be^
liebigen Kugeln und von 3 beliebig durch die Raumcurve
gelegten Flächen zweiter Ordnung, nachdem sie mit will-
kürlichen Parametern multiplicirt sind, so erhält man die
Gleichimg dieses Systems 7. Stufe oder einer beliebigen
Fläche des Systems. Dasselbe begreift in sich alle Flächen
des durch die Raimicurve bestimmten Netzes, sowie die sämt-
lichen Kugeln des Raumes samt allen den Flächen, die mit
je zwei dieser Flächen in einem Büschel liegen. Zerfällt
eine Fläche dieses Systems in zwei Ebenen, so sind diese
Ebenen conjugirt und gehen durch zwei conjugirte unendlich
ferne Gerade. Und alle Ebenenpaare, welche die Raumcurve
in 6 Punkten einer Kugel treffen, sind zerfallende Flächen
dieses Systems.

Das Curvensystem, in dem eine beliebige Ebene dies
Flächensystem schneidet, ist gleichfalls von der 7. Stufe
und lässt sich linear aus den Schnittlinien der Ebene mit
denjenigen Flächen erzeugen, welche bei der Erzeugung
des Flächensystems zugrunde gelegt wurden. Nur flir die
unendlich ferne Ebene wird das Schnittsystem ein solches
der 3. Stufe, weil die oo* Kugeln des Raumes alle durch
einen und denselben imaginären Ejreis, der in dieser Ebene

— 7 —

liegt, hindurch gehen, and es läset sich dieses Curvensystem
linear erzeugen aus dem unendlich fernen Kugelkreis und
drei Kegelschnitten | in denen die unendlich ferne Ebene
drei beliebig durch die Raumcurve gelegte Flächen zweiter
Ordnung schneidet Diese Schnittcurven sind bei der räum-
lichen Hyperbel alle dem Dreieck umschrieben, das die un-
endlich fernen Curvenpunkte bilden. Die zerfallenden Kegel-
schnitte des linearen Curvensystems bestehen aus je zwei
Geraden, naeh denen die Ebenen zweier conjugirter Schaaren
hinlaufen; diese Geraden sind also selbst zu einander con-
jugirt in der Geradenverwandtschaft der unendlich fernen
Ebene, deren Ableitung wir uns zur Aufgabe stellten.

Haben wir nun diese Verwandtschaft wirklich gefunden, so
ist es leicht zu überblicken, wie sie zur Bestimmung der Kugeln
hinleitet, welche die Raumcurve in einem oder mehreren
Punkten in irgendwelchem Grade berühren. W^nn nämlich
zwei Ebenen, deren unendlich ferne Geraden conjugirt sind,
die Raumcurve nicht in 6 discreten Punkten schneiden,
wenn vielmehr von diesen Schnittpimkten zwei oder mehr in
1 Punkt zusammenfallen, so wird die Raumcurve in diesem
Punkte von einer Kugel berührt oder osculirt, die ausser
ihm die übrigen Schnittpunkte des Ebenenpaares und der
Raumcurve enthält

Allgemein bestimmen diese Schnittpunkte, wie bereits ge-
sagt, ein lineares System 3. Stufe von Flächen zweiter Ord-
nung, unter denen eine und nur eine Kugel vorkommt.
Haben wir nun die Gleichung der. Kugel für beliebige 6
solche Punkte abgeleitet, so wird es ein Leichtes sein, auch
die Spezialfälle in Rechnung zu ziehen, in denen die Kugel
und die Raumcurve sich ein- oder mehrfach berühren,
osculiren oder hyperosculiren.

Setzten wir die Curvengleichungen in ihrer allgemeinen
Form voraus, so würden die erforderlichen Rechnungen bald
recht verwickelt werden. Um möglichste Einfachheit zu er-
zielen, scheint es daher ratsam, uns auf eine spezielle
Gleichungsform zu beschränken, die allerdings nur für den

— 8 —

Fall der räumlichen Hyperbel, d. hi einer cabischen Raum-
corve mit drei reellen, getrennten unendlich fernen Punkten,
Geltung hat

^ " 3.

Sind -4, ü, C, 4', Bj O lineare Funktionen der Punkt-
coordinaten a;, y, 2, so stellen die Oleichungen

in denen t einen variabelen Parameter bezeichnet, drei
projektive Ebenenbüschel dar. Die homologen Ebenen dieser
Büschel schneiden sich bekanntlich in den Punkten einer
cubischen Baumcurve, und ihre Achsen sind Sehnen der
Curve. Die letztere wird ebenso dargestellt durch die Glei-
chungen, welche wir aus den ursprünglichen erhalten, indem
wir sie dreimal mit willkürlichen Constanten multiplicirt zu
einander addiren. Wir erhalten mit den neuen Büscheln
dann auch neue Büschelachsen, die wieder Sehnen der
Raumcurve sind, und die letztere wird aus allen ihren
Sehnen durch projektive Ebenenbüschel projicirt.

Um nun die Gleichungen der Raumcurve in möglichst
einfacher Form zu erhalten, wird man drei besonders aus-
gezeichnete Sehnen zu Achsen der sie erzeugenden Ebenen-
büschel wählen. Gesetzt nun, die Curve sei eine räumliche
Hyperbel, so nehmen wir zu solchen Achsen ihre drei un-
endlich fernen Sehnen, und weiter setzen wir ein Coordinäten-
system voraus, dessen Ursprung auf der Curve liegt und
dessen Achsen nach den unendlich fernen Curvenpunkten
hinlaufen. Dann sind die Coordinatenebenen entsprechende
Ebenen der drei erzeugenden Büschel, und wir können sie
mit drei anderen Ebenen zusammen, die ihnen bez» parallel
sind und sich in einem Curvenpunkte schneiden, zu Grund-
ebenen jener Büschel wählen. Bezeichnet dann X eine
lineare Funktion von x allein, ebenso Y von y und Z von z^
so sind:

Z— to = 0, F— <y = 0, Z — te =

die Gleichungen der projektiven Büschel; die von ihnen er-
zeugte räumliche Hyperbel aber lässt sich, wenn wir aus
ihnen den variabelen Parameter t eliminiren, durch folgende
Doppelgleichung darstellen:

X y z

Weiter ergeben sich unmittelbar die folgenden Glei-
chungen :

Yz — Zy=:Q

Zx~ Xz =
Xy—Yx^O,

deren linke Seiten wir abkürzend mit F^ O und H be-
zeichnen wollen. Dieselben stellen die drei Cylinder dar,
durch welche die Raumcurve aus ihren drei unendlich fernen
Punkten projicirt wird und deren Erzeugende den Coordi-
natenachsen bez. parallel sind. Jede beliebige Regel- oder
Eegelfläche, welche die Raumcurve enthält, lässt sich dann
durch eine Gleichung von folgender Form darstellen:

oder:

a

ß Y

X

y 2

X

Y Z

=

aF-h ßö-+- yff = 0.

Suchen wir die Coordinaten eines Curvenpunktes als
Funktionen eines Parameters, so schreiben wir die Funk-
tionen X, Y, Z aus wie folgt:

Y=hy+h,

Z = cz -\- Cf

Setzen wir dann:

so wird einfach:

- = Z - - = «

«I

X =

t — a'

y =

h

t

V

z =

« — c

— io —

Die Ebenen

X» 4- |iy -f - VÄ =
und

XZ4-ixF4-vZ =

schneiden sich in einer Sehne der Raumcurve. Die zweite
geht nämlich durch dieselben zwei Curvenpunkte, welche
die erste ausser dem Coordinatenursprung enthält, da fUr
Punkte der Cürve die Ausdrücke X, Y und Z den Coordi-
naten a?, y und z bez. proportional werden. Die Grössen
X, pi und V, deren Verhältnisse eine Sehne eindeutig be-
stimmen, wollen wir künftig als die Coordinaten der Sehne
in der Sehnencongruenz bezeichnen und die Sehne selbst
durch das Symbol (Xpcv) darstellen.

Suchen wir die Parameter der beiden Curvenpunkte,
welche auf der Sehne (Xpiv) liegen, zu ermitteln, so haben
wir in der Gleichung

X» H- fjiy -f- VÄ =

Xy y und z durch t auszudrücken und erhalten zunächst:

t — a t — h t — c
und weiter, wenn wir auflösen und zur Abkürzung setzen:
Ä = Xa^ -f- (1.61 -f- VC,

8 = \a^ (6 -f- c) -f- pi6, (c -f- a) 4- vcj {a -4- 6)
T = \a^ ftc -f- jjl6i ca -f- vCj a6,

die folgende quadratische Gleichung :

Rt^ — St^ r=r 0.

Die Discriminante derselben ist:

2) = 5* - ART

oder:

D = a,^l — cfV -4- V(c — a)>« 4- Cj*(a— 6)S*
— 2«! (6 — c) 6j (c — a) Xp.— 2aj (6 — c) c, {a — 6) Xv

— 26i (c — a) Cj (a — 6) (jlv.

Die Sehne (Xjxv) verbindet zwei reelle oder zwei imaginäre
Curvenpunkte und ist eine eigentliche ode^ uneigentliche

— 11 —

Sehne, jfe nachdem D>0 oder D < i«t; sie geht, wenn

D = 0,

in eine Tangente der Curve über. Im letzteren Falle ist der
Berührungspunkt der Tangente durch die Gleichung be-
stimmt:

Sind nun umgekehrt *, und t^ die Parameter zweier Cur-
venpunkte und wollen wir die Sehne finden, die letztere
verbindet, so erhalten wir zunächst:

und daher:

R («, — a) («t— a) = -Ba* — Äa -f- r = — Xa^ (c — a) (a— b).

Ebenso :

R (e.-i) (f,-5) = - (Ji6, (a~6) (6-c)
B (ti — c) (f, — c) .— — VC, (6 — c) (c — a).

Hieraus folgt, wenn p einen Proportionalitätsfaktor be-
zeichnet:

j c

pX = -— — (ti — a) (t^ — a)

«1

a

(«) eix = -j— («.-6)(«,-6)
pv = -^ (e, — c) (e,— C).

Insbesondere ergiebt sich für die Coordinaten X, pi, v der
Tangente im Curvenpunkte, dessen Parameter t ist:

pX = ^ («- a)», PIX = ^ (« - by, pv = ^ (« -c)».

a, Oi C|

Führen wir die Bezeichnungen ein:

U = Xaa5 4- \kbtf + ^^cz -f- Xa, -4- pi6, -+- vc,
F = Xoff 4- |jiy H- va,

— 12 —

so dass sich die Ebenen Z7 = und F=0 in der Sehne
(X(iv) schneiden, dann wird durch die Gleichung

U—Vt==0

irgend eine Ebene dargestellt^ die durch die Sehne (X)xv)
hindurchgeht, und zwar ist t der Parameter des dritten
Punktes, in dem sie die Baumcurve schneidet. Wir können
nämlich ihrer Gleichung die Form geben:

und diese wird befriedigt durch:

a» bä Cm

t—ü'^ t—h' t — c

Wird die Sehne insbesondere zur Tangente und lassen
wir t mit dem Parameter ihres Berührungspimktes zusam-
menfallen, so erhalten wir die Gleichung einer Schmie-
gungsebene der Curve, und zwar, wenn wir die Werte, die
\ pi und V dann annehmen, in Rücksicht ziehen, in folgen-
der Gestalt:

(a) ^^=^ {t — ay X H- ^=-^ {t — by y + ^5^ {t — efz^d.

CL^ 0{ Cj

Hierin ist mit d eine häufig wiederkehrende Constante
bezeichnet, die wir in einer der nachstehenden Formen
schreiben können:

(I) d =

o« V c-

a h c
1 1 1

(II) d = a» (6 — c) + V {c — a) + c' (a — 6)
(in) d = 6c (6 — c) + ca (c — a) 4- oft (0 — 6)

oder endlich am einfachsten

(IV) d = — (0 — 6) (6 — c) (c — a), ,

13 —

4.

Sehen wir X, |X) v als homogene Coordinaten eines
Punktes in irgend einer Ebene e an, so wird die Sehne
(Xpiv) durch diesen Punkt in e dargestellt oder abgebildet,
und die Sehnencongruenz der Raumcurve wird so auf dem
ebenen Punktfeld abgebildet*, dessen Träger s ist Dieses
Punktfeld ist dann gleichzeitig reciprok bezogen auf einen
beliebigen der Bündel, durch welche die Sehnencongruenz
aus den Punkten der Raumcurve projicirt wird-

Aus den Qleichungen der Sehne (X[jlv):

XX-hpiF-f- vZ=0
Xa? 4- {Jiy -+- vz =

ergeben sich die Relationen:

pX = r» — Zy = ^
ppi = Za? — Xz = G
pv = -Xy — Yx = H,

wenn die Coordinaten x, y, z auf einen beliebigen Punkt
der Sehne bezogen werden.

Der Regelfläche:

olF-^ ß(y + yJ?==o,

deren eine Regelschaar aus Sehnen der Raumcurve besteht,
entspricht also in der Ebene e die Gerade:

aX -»- ß(t -h yv = 0.

Insbesondere bilden sich die drei Cy linder J'äO, ö = 0,
j5'=0 durch die Seiten des Fundamentaldreiecks ab, auf
das sich die Coordinaten in der Ebene e beziehen, und die
Eckpunkte desselben entsprechen den unendlich fernen
Sehnen der räumlichen Hyperbel.

*) Man Tgl. für das Folgende den 24. und 25. Vortrag im zweiten Bande
von Herrn Reyes Geometrie der Lage, 3. Aafl.

— 14 —

Die Bilder der Kegel, durch welche die Raumcurve aus
ihren Punkten projicirt wird, sind in der Ebene e die
Tangenten eines Kegelschnittes x. Dieser Kegelschnitt ist
das reciproke Gebilde zu dem Ebenenbüschel zweiter Ord-
nung, der aus einem Curvenpunkte die Tangenten der
Raumcurve projicirt. Seine Gleichung ist die folgende:

D = 0.

Ihre linke Seite ist die Discriminante, welche darüber
entscheidet, ob eine Sehne eigentliche oder uneigentliche
ist oder im Grenzfalle zur Tangente der Raumcurve wird
(S. 10). Durch die Punkte desselben Kegelschnittes x stellen
sich also die Tangenten der Raumcurve dar, und eine Sehne
schneidet die Curve in zwei reellen oder conjugirt imaginären
Punkten, je nachdem ihr Bildpunkt ausserhalb oder inner-
halb X liegt Eine Regelschaar der Congruenz enthält zwei
reelle oder imaginäre Tangenten der Raumcurve, je nach-
dem ihre Bildgerade den Kegelschnitt x schneidet oder
nicht Zwei Sehnen sind bezüglich der Raumcurve conjugirt,
wenn ihre Bildpunkte es in Bezug auf x sind.

Aus den oben gegebenen Ausdrücken Air X, fJiy v, die
vom zweiten Grade in Xy y und z sind, ergiebt sich sofort,
dass einer beliebigen Curve nter Ordnung in e eine Schaar
von Sehnen entspricht, die auf einer Regelfläche 2nter Ord-
nung liegen.

Suchen wir beispielsweise den Ort der Sehnen, die in
den Ebenen eines beliebigen Büschels enthalten sind, d. h.
eine Gerade, die Achse des Büschels, schneiden, so haben
wir nur aus den Gleichungen der Ebenen, welche diesen
Büschel, und denjenigen, welche die Sehne bestimmen,
die Variabelen Xj y, z zu eliminiren und erhalten so eine
Gleichung zweiten Grades in den Grössen X, pi, v. Die
genannten Sehnen liegen also auf einer Fläche vierter
Ordnung, und ihre Bilder in e sind die Punkte eines Kegel-
schnittes.

Ist insbesondere der Büschel ein solcher von parallelen

— 15 —

Ebenen und stellen wir deren unendlich fenie Gerade durch
zwei Gleichungen dar:

aa? -f- ßy -4- y« -h 8 =
flWJ H- ßy H- yz =0,

so erhalten wir die Gleichung

/x i — c ^c — a a — 6 ■
(9) OL—T hß hT =

A V- V

des correspondirenden Kegelschnittes, indem wir aus den
obenstehenden Gleichungen und denen der Sehne' (Xfjiv)
X, y, z eliminiren in dem Sinne, wie man mit unendlichen
Grössen rechnet

Lassen wir a, ß imd y variiren, so erhalten wir nach
und nach die sämtlichen Kegelschnitte eines Netzes, und
dieselben sind, wie sich sofort zeigt, alle dem Fundamental-
dreieck umschrieben. Laufen die Ebenen des Büschels einer
Coordinatenebene parallel, so zerfällt der entsprechende
Kegelschnitt des Netzes in zwei Seiten des Fundamental-
dreiecks. Er zerfällt auch dann, wenn die Ebenen des
Büschels einer Coordinatenachse parallel sind, und zwar in
eine Seite des Fundamentaldreiecks und eine Gerade durch
den gegenüberliegenden Eckpunkt

Drei Sehnen, die in einer Ebene liegen, stellen sich aber
in e als 3 Punkte dar, welche ein dem Kegelschnitt x
umschriebenes Dreieck bilden. Deswegen bestimmen die
Sehnendreiecke, welche in parallelen Ebenen liegen, in •
eine Schaar von Dreiecken, die x gleichzeitig umschrieben
und einem anderen Kegelschnitte einbeschrieben sind. Die
Punkte, in denen die Seiten dieser Dreiecke die Curve x
berühren, sind die Bilder der Tangenten, welche wir in den
Eckpunkten des zugehörigen Sehnendreiecks an die Raum-
ourve legen.

Die Eb^ne e enthält nicht nur die Abbildung der Sehnen-
congruenz der Raumcurve, sondern sie ist auch mit der un-
endlich fernen Ebene durch eine eindeutige quadratische

— 16 —

Punktverwandtschaft verknüpft. Einerseits nämlich ist in e
ein Netz von Kegelschnitten bestimmt, die alle dem Funda-
mentaldreieck umschrieben sind, und die Punkte derselben
entsprechen den Sehnen, die je eine unendlich ferne Ge-
rade u treffen. Sehen wir die letztere einfach als das dem
Kegelschnitte 9 entsprechende Gebilde an, so ist dadurch,
bereits die quadratische Verwandtschaft festgelegt. Die Glei-
chungen von u und (p lehren dann, dass die Coordinaten
^, % Z des unendlich fernen Punktes, der dem Punkte
\ (Ji, V von e entspricht, durch die Gleichungen bestimmt
sind :

p€ = (i — c) jJiv, pTj = (c — a) vX, 9? = (a — b) X[jl.

Umgekehrt wird:

pX = (6 — c) •»)?, 9(1. = (c — a) 5$, 9v — (a — b) ^.

Jedem Punkte von e entspricht eine Sehne und zugleich
deren unendlich femer Punkt, jeder Geraden von e eine
Sjehnenschaar, die auf einer Fläche zweiter Ordnung liegt,
und zugleich die unendlich ferne Curve dieser Fläche.

Der Geraden

aX -h ßfx -h yv =

entspricht der unendlich ferne Kegelschnitt

b — c ^c — a a — b ^

OL —L h ß h Y — iT— = 0,

der in der That die unendlich ferne Curve der Fläche

(xF-f- ßö-f-Tfl' =
ist

Es sei noch bemerkt, dass sich die Ebene s ebensogut
auch auf eine beliebige Ebene t\ durch eine quadratische
Verwandtschaft beziehen lässt. Denken wir uns aus den Eck-
punkten des Dreiecks, in welchen r\ die Baumcurv6 schneidet,
die letztere durch Kegel projicirt und suchen wir die diesen
Kegeln entsprechenden Geraden in e auf, so ist das Nete
der Kegelschnitte, welche sich dem so gefundenen Dreiecke
umschreiben lassen, dasjenige, welches der Gesamtheit der
Geraden von ij correspondirt.

— 1? —

. ». ■ ■ ' . >

5.

Da wir im Folgenden die Gleichung einer Kugel in
schiefwinkligen Coordinaten nötige haben werden, so möge
es erlaubt sein, dieselbe an dieser Stelle abzuleiten , und
einige Bemerkungen hinzuzufügen, welche, an diese Dar-
stellungsform anknüpfen.

Seien die schiefwinkligen Coordinaten des Mittelpunktes
der Kugel mit o?^, y^^ z^ und ihr Radius mit r bezeichnet,
sei ferner der Punkt {x^ y^ z^ zum Ursprünge rechtwink-
liger Coordinaten 5, iq, 5 gewählt, so geschieht der Ueber-
gang vom ursprünglichen ^u diesem Coordinatensystem mit
Hülfe der Formeln :

' 5 = «1 (a?— ^o) •+■ «f (y— yo) -I- öcs («— 2Jo)
•»1 = ßi t^j— (»o) H-. ß, (y— yo) -^ ß» i^—^,)

t = Ti {x — x^)-^ Y, iy—y,) 4- Ys (« — ^^J,
und zwischen den Coefficienten gelten die Beziehungen:

«*• + ßi' -H Yi" = 1 «1«. -h ßiß. 4- YiYi = 8«

a,' + ß,* -f- Y«* = 1- a^a, -f- ß^ßa -f- YiTs = K

«s* + ßs* -+- 78*= 1 ««Os -H ßißs + T«T3 =^ 8,„

wenn wir mit 81,, 8ij, 8,, die Cosinus der Winkel bezeichnen,
welche die Achsen des schiefwinkligen Coordinatensjstems
miteinander bilden. Durch die rorstehende Transformation
geht aber die Gleichung

über in die folgende:

{x — x^f -h (y— yo)* + (^— «0)' -+-28« {x—x,) (y—y,)
-h 28„ (x — Xo) {z — z^ + 28«, (y— yo) {z — z^j = r%

und dies ist also die gesuchte Gleichung der Kugel. Wir
werden künftighin stets mit 9 den Ausdruck

a?' -H y* -+- 2* 4- 28„jcy -f- 2hiiXz 4- 28,8^^

— 18 —

bezeichnen. Dann schreibt sich die Eugelgleichung ausge-
rechnet wie folgt:

^ ^ 9 — (Ix -^ my -h nz) -h p = 0.

Hierin ist zunächst

P — 9o — r\
indem wir mit 9^ den Ausdruck 9, für die Argumente
a?o, y^, Zq gebildet, bezeichnen.

Sodann ist weiter:

1 = 2 {x^-i- 8,,yo + 81a 2o)
m = 2 (8„aJo -f- yo + ^n^o)
n =; 2 (SijOJo H- 8„yo -+" «o)-

Die Grössen 2^ m^ n, p lassen sich als nicht homogene
Coordinaten der Kugel bezeichnen. Die Qrösse p ist ferner
die Potenz des Coordinatenursprunges bezüglich der Kugel.
Sie wird Null, wenn die Kugel durch den Ursprung geht.
Fällt der letztere mit dem Centrum der Kugel zusammen,
so wird die Gleichung derselben einfach

9 = r*.

Die Ebene

Ix -h my -4- nz =

ist parallel zur Polare des Ursprunges in Bezug auf die
Kugel. Die Polare selbst geht durch den Schnitt der Kugel
$ = mit der anderen

9 — p = 0.

Man findet also ihre Gleichung durch Subtraktion der
vorstehenden :

7C ^ Za? -f- wiy -f- n« — 2 p = 0.

Dann wird der Kegel, den die vom Ursprung an die
Kugel gehenden Tangenten bilden, durch die Gleichung

Ap
dargestellt, und insbesondere erhalten wir

9 =

1

— 19 —

Bis Gleichung des imaginären Kegels, dessen Scheitel im
Ursprang liegt und dessen Strahlen nach den Punkten des
unendlich fernen Kugelkreises hinlaufen.

Stehen zwei Strahlen, die durch den Ursprung gehen,
aufeinander senkrecht, so sind sie bezüglich dieses Kegels
conjugirt, und die Bedingung hierfür lautet, wenn x, y, z
die Coordinaten eines beliebigen Punktes des ersten Strahles
sind und x\ y', z' einem Punkte des zweiten Strahles ent-
sprechen :

{x H- 8, jy -f- 8,3«) a;' -h (8,,« -f- y -h h^^z) y -h (8,3« -h 8,8y -h 2) z' =^ 0.

Zwei Kugeln bestimmen einen Kugelbüschel; sind
l, my n, p und l\ m*, n!, jp' ihre Coordinaten, so sind die
einer beliebigen Kugel des Büschels

Z — X? m — Xm' n — Xn' p — Xjp'

T=T' 1 — X ' 1— X ' ~r^^'

wenn X einen reihenden Faktor bedeutet Die Kugel artet
in eine Ebene aus für X = 1, und der Büschel lässt sich
ebensogut durch diese Ebene und irgend eine Kugel, die
ihm angehört, bestimmen. Auf dieser Ebene steht die Gerade
senkrecht, welche die Mittelpunkte der den Büschel bilden-
den Kugeln enthält. Lautet nun die Gleichung der Ebene:

(e) ux -^ vy -h WZ =^ l

und ist die Gleichung in der oben gefundenen Form $ =
vorgelegt, setzen wir ferner :

g = a? H- 8j,y -f- 8,32;
v| = 8j,aj + y -f- 8,32;
% = 8,3«? H- 8j3y 4- z,

so gelten, wenn R einen variabelen Parameter bezeichnet,
für die Punkte der genannten Geraden die Gleichungen

k ==-^l — Ru, t\= -^m — Rv, S= -w — /?w,

die für

1 t^Z -h Fm -f" »Tn — 2

R =

2 üu -+- Vv -hWw '

— 20 —

wo Uy F, TT bestimmte lineare Funktionen von i*, ü, w be-
deuten, den Schnittpunkt der G-eraden mit der Ebene (e)
liefern.

Diese wenigen Bemerkungen sind vollkommen ausreichend
2sum Verständnis alles Folgenden.

6.

Um nun die Geradenverwandtschaft im Unendlichen, die
uns zu den berührenden Kugeln der räumlichen Hyperbel
führt, analytisch darzustellen, verfahren wir wie allgemein,
wenn es sich darum handelt, Gebilde auf der unendlich
fernen Ebene der Behandlung zugängig zu machen. Wir
projiciren die Punkte derselben, am zweckmässigsten aus
dem Ursprünge des zugrunde gelegten Coordinatensystems,
durch Strahlen, und erhalten so anstatt einer Curve im Un-
endlichen den Kegel, der sie projicirt, und an Stelle der
genannten Verwandtschaft im Unendlichen eine solche
zwischen den Ebenen des Bündels, dessen Scheitel der Ur-
sprung ist.

Ein jeder Kegel, dessen Scheitel im Coordinatenanfangs«
punkt liegt und der dem Asymptotenkegel einer durch die
Raumcurve gelegten Fläche zweiter Ordnung congruent und
parallel ist, lässt sich durch eine Gleichung von folgender
Form darstellen:

(x) o, asy -f- («), ajÄ 4- o^yz = 0.

Nehmen wir hierzu die Gleichung des imaginären Kegels,
welcher vom Ursprung aus den unendlich fernen Kugelkreis
projicirt, nämlich die folgende:

(9) oj* -h y" 4- i2' -h 28i,iry 4- 2h ^^xz -+- ^h^yz = 0,

so erhalten wir als Darstellung des linearen Systems von
Kegeln, welches die Fläche (9) mit den Flächen des durch
(x) gegebenen Netzes erzeugt, die folgende Gleichung:

X (a?, -h y' 4- 2') 4- Xjipy 4- x,a?2 4- x^yz = 0,

— 21 —

in der die x willkürliche Parameter bezeiöhn^n. Jeder zer-
fallende Kegel dieses Systems besteht nun aus zwei Ebenen,
die nach conjugirten Geraden in der von uns betrachteten
Verwandtschaft auf der unendlich fernen Ebene hinlaufen.
Setzen wir also die vorstehende Gleichung identisch mit

UV=0,
wo

U = u^x -H u^y -f- w,2j

so erhalten wir sofort die Doppelgleichung

welche wir als Ausdruck für die Verwandtschaft zwischen
den unendlich fernen Geraden ansehen können. Indem wir
t^i, Wt, Ug als die drei ersten homogenen Coordinaten der
Ebene Z7= betrachten, während ihre vierte u^ verschwindet,
und entsprechend für F= 0, können wir Bagen: Die Ebenen
U und V sind conjugirt bez. der zerfallenden Ebenenbüschel
zweiter Ordnung:

(a) V — V = 0> V — V = 0, V — 1^8* =

und damit bez. aller Ebenenbüschel zweiter Ordnung der

Schaar :

p {u* — u*) -h a (V — V) =
oder

Die sechs Achsen a der Ebenenbüschel erster Ordnung,
in welche die drei Büschel zweiter Ordnung (a) zerfallen,
sind durch die folgenden Gleichungen gegeben:

y-f-z = 0, öc = 0; y — 2 = 0, aj==0;

2 -h aj = 0, y = 0; z — cc = 0, y = 0;

X •+■ y = 0^ z = 0'^ X — y=0, 25=0.

*) Die wetteren sich ergebenden Beziehungen wie m,v, -H«iVi = >ci
brauchen wir nicht zu berücksichtigen, da die x ja wilikttrlich sind.

— 22 —

Je drei von ihnen liegen auf den vier Ebenen:

(iQi) a? H- y 4- z =

(y),) X ^y — z=zO

(•^3) x — y-^-z^O

(•Jf)*) — a^ + 2^ -*- 2; = 0,

und sie selbst sind nichts als die Halbirungslinien der drei
Paar Nebenwinkel, die die Coordinatenachsen miteinander
bilden.

Die Coordinaten der Ebenen (t)) sind die Lösungen der
Doppelgleichung

und sie befriedigen die Büschelgleichung

(ß) 9< ■+■ ^< — (P + <?) < =

unabhängig von den Werten, die p und ex haben, d. h. diese
Ebenen sind sich selbst conjugirt und die gemeinschaftlichen
Ebenen der Büschel zweiter Ordnung (ß).

Suchen wir nun von einer Ebene durch den Ursprung
die conjugirte, die ebenfalls den Ursprung enthält, so
bringen wir sie zum Schnitt mit den drei Coordinatenebenen
und suchen zu jeder Schnittlinie und den beiden Achsen o,
die in der betr. Coordinatenebene liegen, den vierten harmo-
nischen Strahl. Die drei Strahlen, die wir so erhalten, liegen
auf der gesuchten conjugirten Ebene.

Wenn eine Ebenenstellung mit ihrer entsprechenden zu-
sammenfallt, so fallen auch die zwei conjugirten Schaaren
von Ejreisen zusammen, die in beiden liegen, und die Fläche,
der sie. angehören, wird ein Umdrehungshyperboloid. So ge-
langen wir zu dem zuerst von Herrn Cremona* aufgestellten
Satze, dass sich durch eine räumliche Hyperbel vier reelle
Rotationshyperboloide legen lassen. Die Asymptotenkegel
dieser Flächen sind congruent und parallel den vier Rota-

♦) Sur les hyperbololfdes de rotation qui passent pat une cubique
gauche donnöe. Cr. J. B. 63, S. 141.

^ 23 —

tionskegeln, welche sich dem Dreikant der Coprdinatenachfien
umschreiben lassen. Ihre Rotationsachsen stehen ferner senk-
recht auf den Ereisebenen der zugehörigen Fläche. Die
letzteren sind aber parallel den Doppelebenen (t)), die sich
höchst einfach construiren lassen. Die Normalen auf ihnen
im Ursprung sind dann die Achsen der Rotationskegel. Wir
können dieselben aber auch leicht direkt finden wie folgt:
Zwei sich Bchneidende Strahlen haben immer zwei Symmetrie-
ebenen, deren Punkte von beiden gleich weit abstehen ; diese
Ebenen stehen auf der Ebene der Strahlen senkrecht und
gehen durch die Halbirungslinien der von ihnen gebildeten
Winkel. Construiren wir nun zu den Coordinatenachsen die
drei Paar Symmetrieebenen, so schneiden sich diese sechs
Ebenen zu je dreien in vier Strahlen und diese vier Strahlen
sind die gesuchten Achsen der Rotationskegel. Die Normal-
ebenen auf diesen Achsen im Ursprung sind dann wieder
die Ebenen i).

Es sei gestattet, die wirkliche Ableitung der durch die
räumliche Hyperbel gehenden Rotationsflächen in Gestalt
einer Anmerkung zu geben.

Die Gleichungen der Rotationskegel, welche dem Coor-
dinatendreikant umschrieben sind, haben die Form:

9 — {^z X dt y ± zY =^ 0.

Rechnen wir die vorstehende Gleichung aus, so erhalten
wir je nach der Wahl der Vorzeichen die folgenden vier
Fälle:

(1 — 8,0 a?y -h (1 — 8«) »z -f- (1 — .8„) y» =

(1 — 8„) xy — (l-h 8,3) aj« — (1 -h 8„) y« =

— (1 4- 8 J ay + (1 — 8„) aj2 — (1 -4- 8,3) y« =

— (1 -+- 8„) a^ — (1 -+- 8,3) «2 -h (1 — 8„) yz = 0.

Diese Gleichungen müssen nun bezüglich der Glieder
zweiten Grades mit den Gleichungen der Rotationshyper-
boloide übereinstimmen. Vergleichen wir sie mit der allge-
meinen Form, in der sich die Gleichung einer durch die

— 24 —

Raumcurve gehenden Fläche zweiter Ordnung dar|>ietet, und
ziehen hierauB die Werte der Parameter Oj % y, welche die
letztere bestimmen, so erkennen wir, dass die Gleichungen
der Geraden, welche in der Ebene e die Rotationshyperbo-
loide abbilden, die folgenden sind:

c — a ^ a —
1-4-8,, 1 -h 8|, ^

1-

-K

6-

— C

1-

-8«

b-

— c

1 + 8«

b-

— c

1 + 5«

c — a a

— b

c — a a — 6

1 -rh- 8|8 ,1 — §1» ^

, " ■ ^ V- -^ T" V = 0.

b — c c — a a — o

Die sechs Schnittpunkte derselben sind, wie man sofort
einsieht, paarweise conjugirt in Bezug auf je zwei Seiten des
Fundamentaldreiecks.

7.

Wir erwähnten bereits, dass sich die Seimen der räum-
lichen Hyperbel zu Tripeln sondern, so dass eine Kugel, die
^urch die Endpunkte von zwei Sehnen eines Tripels geht,
auch die Endpunkte der dritten enthält Stellen wir uns
nunmehr die Aufgabe, die 'Gleichungen za suchen, welche
die Coordinaten X|Jiv, X'jt'v', X^fx^v" dreier Sehnen eines Tripels
miteinander verknüpfen. Wir wollen die Parameter, welche
den Endpunkten der Sehne (XV'vT) entsprechen, mit t und 1f
bezeichnen. Dann wird die Gleichung der Ebene, welche
die Sehne (Xfjiv) mit dem Curvenpunkte t verbindet:

U^ (t — a) \x -4- (t — b) fiy 4- {t — c) v» — (Xa, 4- [Ji6i •+- vc,) = 0,

und ebenso stellt die Gleichung:

F^ (if—a) Vx -f- («'— h) ^fly 4- (t'— <c) ^'z — (X'a,4- fi.'6i4- Vä,) =0

die Ebene dar, welche die Sehne (X'{Jl^') und den Punkt H

— ^5 —

enthält. Beide EbenetL müsfien abe^ nacli conjugirten Geraden
der unendlich fernen Ebene hinlaufen. Die Doppelgleichang
(Ä) der vorigen Nummer liefert dann sofort:

(t — d) (if — a) XV= (t — h) (if—b) |xjx' = (t — c) (if — c) W.

Nennen wir p den Wert der Glieder dieser Doppel-
gleicbung und setzen dann zur Abkürzung:

P^

6 c

c — a

a

H

— b

fXfx'

vv'

1

S =

c* a'

H

Ä»

ti|x'

vv'

■

T =

^*^ [ XX'a

J c —

1

-a

1 ,

a ft

(1(1

:b ^

w'c .

so

f

wird zunächst

~p'

wo

wieder (vgl. i

S. 12)

d

= -(a-

■b){b-

-c){c.

-a)

ist.

Ferner erhält

. man:

t-f-e' =

i"

T
~P'

t und t' sind also die Wurzeln der quadratischen Gleichung :

Ve — ^t-h T = 0.

In die obenstehende Doppelgleichung wollen wir mit
Hülfe der Gleichungen (s) auf Seite 11 statt t und V die
;Sefanencoordinaten X^ (jl'', v'' einführen. Dann ergiebt sich
die wichtige und höchst einfache Beziehung:

(S) j-^^ XX'X'' = — ^ ULfiK = -^ vvV = <7.
6 — c c — a a — o

Die Coordinaten von einer der drei Sehnen können, ab-
gesehen von einem unbestimmten Faktor, aus dieser Doppel-
gleichung berechnet werden, wenn die anderen beiden
Sehnen gegeben sind.

— 26 —

Die Coordinaten der Kugel, welche durch die Endpunkte
der drei Seimen geht, müßseQ sich offenbar durch die Coor-
dinaten der letzteren auedrücken lassen, und wir wollen
jetzt an die Aufgabe herantreten, diese Ausdrücke wirklich
abzuleiten. Zunächst ist klar, dass die Kugel dem System
der JFlächen zweiter Ordnung angehört, welche die sechs auf
den Sehnen liegenden Curvenpunkte enthalten, und dass
deswegen die Gleichung der Kugel sich linear aus denen
einer beliebigen von diesen Flächen und einer näher zu
bestimmenden ?P, die dem Netze der Raumcurve angehört,
zusammensetzen lässt Nehmen wir zu den Ebenen 17= und
F' = noch die folgenden hinzu :

17' = (e — a) Vx -^(t—b) jx'y -h (*— c) v'z — (Va^ + fi.'6i H- v'Cj) = 0,
F'= («'—«) \x -+- (f— b) ]ky -f- («'— c) VÄ— (Xa, -f- 1x64 4- vci) = 0,

von denen die erste die Sehne (X'fx'v') mit dem Punkte t und
die zweite die Sehne (Xfjiv) mit dem Punkte Ü verbindet, so
wird durch die Gleichung :

eine Fläche dargestellt, welche durch die Endpunkte der
drei Sehnen hindurchgeht. Die Gleichung der Fläche 9 lässt
sich ferner in der Form schreiben:

^ = a [(6 — c) yz 4- 6jZ — c(y\ -f- ß [(c — a) zx -f- c^x — a^z]

-f- Y [(a — b) xy -h a^y — b^x\ == 0,

und der Gleichung der Kugel geben wir dann die Form:

£7K'-f- CT^F— ^ = 0.

In ihr sind die Grössen a, ß, y noch geeignet zu be-
stimmen. Entwickeln wir sie, so wird zunächst der Coefficient

von a?« : 2XX' {t — a) {f — a)
» y*: 2mk'{t — b){1f — b)
» «•: 2vv' (« — c) (f — c).

Diese Ausdrücke sind aber nach d^oa Obigen alle ein-
ander gleich und ihr gemeinsamer Wert ist

2d

— 27 —

Soll nun die Gleichung mit der einer Kugel
Ajj9 — (^1^ -f- ff^iV -H «i^j) -H l>i =

identiscli sein, so müssen die Coefficienten von ajy, xz und yz
bez. gleich den Ausdrücken sein:

Ad 8^ id 8j3 4c? 8,3

Nun wird beispielsweise der Coefficient von xy:
l^ = 2(V + XW[a6P-f^S + T].^-(a-6)Y.

Setzen wir in dieser Gleichung die Werte von PjSjT
ein und bilden wir dann sofort die beiden analogen Glei-
chungen für OL und ß, so erhalten wir:

Wir multipliciren nun die Kugelgleichung mit ^ ^ durch,

wo a die durch die Gleichung {B) defimrte Grösse ist, so dass
wir setzen können:

Da wir nun ferner:

aP = Ya, + |ji"6, + v%

schreiben können, so wird zunächst das absolute Glied in der
Kugelgleichxing :

(11) jpi = (Xa^ H- fJL&j •+ VC,) (X'a, -h jji'ij + v'c,) (V'a, 4- [x^ft, -f- v"c,).

Umständlicher ist die Berechnung A.ex CoeflScienten — Z|,

— tn,, — fij, von 0?, y, 2?. Für — l^ erhalten wir zunächst:

- -^ CT? (« H- 1' - 2a) [X (X'a, -t-fi'ftj -+-v'c,) -+- V (Xa, + (ifc, h- vc,)] 4- 76, - ßc J.

— 28 —
Hierm ist

und für ß und y sind die gefundenen Werte einzusetzen.
Schliesslich führen wir die Grössen X", |x" und v" ein, und
finden dann, wenn wir zur Abkürzung setzen:

e = a^ [«1 (6 -f- c — 2a) -f- 2ci (a — 5) 8,j -f- 2h^ (a — c) 8J
/= 6, [5, (c -f. a — 25) H- 2a, {b — c) 8,, 4- 2c, (6 — a) 8„]
g = Ci [c, Xöi -h 6— 2c) -h 2i, (c — a) 8^ -+- 2a, (c — 6) 8,J,

für die Coefficienten — i,, — 7», und — n, von oj, y und ä
die nachstehenden Formeln:

(HI) Z, = e XXr -f-a,6, (c — ä) (kW -+- X|x'r -f- fJiXr)

— a,c, (a— 6) (XX V + XvV + vXVO

(IV) w, = / fx|i.K ■+- 6,c, (a — b) ({tpiV + pivy -+- vfji'fji")

— a,6, (6 — c) (|jL(x V -+- piXK ■+■ y^V-W

(V) n, = gr vv V -f- a^Ci (6 — c) (vvV -f- vX V 4- Xv V)

— 6,c, (c — a) (vvy 4- vpiV + jxvV).

Setzen wir endlich:

(VI) A, = d • <T,

SO wird die Gleichung der Kugel :

(VII) fc,9 — (liX -f- w,y H- n,Ä) 4- j?, = 0.

Einen Augenblick wollen wir noch bei dem gewonnenen
Restdtate verweilen. Es ist bekannt, dass die analytische
Geometrie zu der Theorie der algebraischen Formen d. h.
der ganzen, homogenen Funktionen beliebig vieler Variabelen
geführt hat. Solche Formen können wir speziell für den
Fall dreier Variabelen als Funktionen eines Punktes in der
Ebene bezeichnen. !Nun stellt es sich als notwendig heraus,
zu diesen Funktionen eines Punktes solche von mehreren
Punkten zu untersuchen; die einfachsten dieser Art sind die
sog. bilinearen, trilinearen u. s. w. In den obigen Ausdrücken
haben wir aber solche trilineare Funktionen vor uns. Sehen

-^ 29 —

wir die X, pi, v wieder als Coordinaten eines Punktes in der
Ebene an, so können wir weiter sagen, dass sie sich nicht
ändern, wenn man die Punkte eines Tripels, von dem wir
die Funktion nehmen, beliebig untereinander vertauscht. Sie
lassen sich deswegen aus Funktionen dritten Grades eines
einzigen Punktes durch den bekannten Prozess der Polaren-
bildung ableiten. Wir wollen für den Augenblick a?|, as,, a?,,
statt X, (Ji, V, ebenso yi, ^s, y^ an Stelle von X', pi', v' und z^^ z,, z^
für X", fx", v" einführen und bedienen uns der gewöhnlichen
Schreibweise der Formentheorie. Bilden wir dann die cu*
bischen Formen:

* 18 \6 — c c — a a — 6 /

l* = 1 aj,' + •§ (6, {c — a) ajj'aj. — c^ {a — h) «,*«,)

m

6 ' 2

■f h

.* = ^ «,' + -^ (c, (a — 6) a?,»», — a^{h— c) aj,»«,)

n* = I «s* + ^ («1 Q> — c) «'»*a'i — *i (c — «) «»*«•)

Px = 6 ("«"'« "^ *«"'• "•" "«*»)' == 6 ^"*^''
Bo wird:

K —— IC K K *

kj Ij my n und j> lassen sich als homogene Coordinat6n der
Kugel ansehen; es kommt dann nur auf die Verhältnisse
dieser Qrössen an, und dieselben ändern sich nicht, wenn
die Verhältnisse der oß, sowie der y und z dieselben bleiben,
gleichgtlltig welches ihre absoluten Werte sind.

— 30 —

8.

In den Formeln der vorigen Nummer ist die Lösung des
Problems, die mehrfach oder mehrpunktig berührenden
Kugeln einer räumlichen Hyperbel zu bestimmen, zum
grössten Teile bereits enthalten. Wenn nämlich von den
sechs Endpunkten der drei Sehnen, welche dem Punkte-
tripel der Ebene e entsprechen, i in einen Punkt zusammen-
fallen, so ist dieser Punkt ein i — 1 facher Berührungspunkt
der Kugel, deren Coordinaten durch die Gleichungen I bis
Vn gegeben sind. Dies tritt aber entweder dann ein, wenn
zwei oder alle drei Sehnen zusammenfallen, und dann ver-
einigen sich auch zwei oder alle Punkte des entsprechenden
Punktetripels in e, oder es muss mindestens eine Sehne ge-
wissen Bedingungen genügen, so dass ihr Bildpunkt in e
auf einer bestimmten Curve liegt. In beiden Fällen aber be-
halten die Gleichungen der vorigen Nummer ihre Gültigkeit,
so dass es also stets nur auf die Ermittelung der Grössen
X|Jiv oder — was eine passendere Problemstellung ist — die
Auffindung der entsprechenden Punkte in e ankommt, von
denen die Coordinaten der Kugeln abhängen.

Nun lassen sich aber 15 Tripel von Sehnen denken, von
denen jedes dieselben sechs Punkte der Raumcurve enthält;
wir wollen also zunächst die Beziehungen aufsuchen, die
zwischen den entsprechenden Punktetripeln der Ebene e
statthaben. Die fünf Sehnen, welche durch einen der sechs
Curvenpunkte gehen, stellen sich in « als fünf Punkte einer
T^ngiBnte des Kegelschnittes x dar. Die sämtlichen Punkte
also sind die Ecken eines Sechsseites, welches der Curve x
umschrieben ist. Die drei Punkte, in denen sich drei Seiten
dieses Sechsseits schneiden, liegen mit den Schnittpunkten
der übrigen drei Seiten allemal auf einem Kegelschnitt, so
dass wir 10 Kegelschnitte haben, die je 6 unter den 15

— 31 —

Punkten enthalten. Sind drei Sehnen der Raumcurve und
ihre Bildpunkte in 9 vorgelegt, und suchen wir die Bilder
der Sehnen, welche die Endpunkte der ersten zu je zweien
verbinden, so brauchen wir von den drei gegebenen Punkten
in e nur die Tangenten an den Kegelschnitt x zu ziehen
und erhalten so das erwähnte Sechsseit und in seinen Eck-
punkten die gesuchten Bildpunkte. Aus den 15 Eckpunkten
müssen wir uns nun 15 Tripel gebildet denken; jeder der
15 Punkte kommt also in 3 Tripeln vor und die Punkte
eines Tripel» entsprechen jedesmal drei Sehnen^ die zu-
sammen alle sechs auf der Curve angenommenen Punkte
enthalten.

Von den^ sechs Schnittpunkten, die eine Kugel i. A. mit
der Raumcurve gemein hat, fallen bei einer dreifach be-
rührenden Kugel je zwei mit den drei Berührungspunkten
zusammen. In diesem Falle artet das entsprechende Sechs-
seit der Ebene e in zwei einander unendlich nahe rückende
Dreiecke aus. Von den 15 Tripeln bleiben dann nur zwei
übrig, die aus getrennten Punkten bestehen. Eines davon
besteht aus den Eckpunkten des Dreiecks, auf das sich das
Sechsseit reducirt, und das andere aus den Punkten, in
welchen die Seiten des Dreiecks die Curve x berühren.

Es ist leicht einzusehen, dass die Berührungspunkte einer
dreifach berührenden Kugel in einer Ebene liegen müssen,
deren Stellung mit ihrer conjugirten zusammenfallt. Die
Schnittpunkte einer solchen Ebene mit der Raumcurve
bilden nämlich in der That mit den ihnen unendlich be-
nachbarten Curvenpunkten sechs Punkte einer Kugel, die
darin die Raumcurve wirklich dreimal berührt Die Verbin-
dungdlinien dieser drei Berfthrungspunkte gehören einer von
vier Sehnenschaaren an, die in parallelen Ebenen liegen
und von denen wir gezeigt haben, dass die Bildpunkte der
zugehörigen Sehnen in der Ebene e je einen Kegelschnitt
erfftllen. Wir finden aus der Gleichung (9) (Seite 15) und
den Gleichungen (tq) (Seite 22) für die Curven, welche die
Bilder der vier Sehnenschaaren sind, die Gleichungen:

— 32 —

c c — a a — h ^

H 1 =

X (Ji V

b — c c — a a — 6

6~c c — a a — b

X {X V

=

=

b — c c — a a — b ^

-f- = 0.

X |JL

Diese vier Kegelschnitte Btehen zu einander in der fol-
genden einfachen Beziehung: Je zwei von ihnen berühren
sich in einem Eckpunkte des Fundamentaldreiecks und
schneiden sich in den beiden anderen derart, dass ihre Tan-
genten in jedem dieser Punkte durch zwei Seiten des Fun-
damentaldreiecks harmonisch getrennt sind.

Construiren wir ein Dreieck, welches einem dieser Kegel-
schnitte einbeschrieben und der Curve x umschrieben ist,
so sind die Punkte, in denen seine Seiten x berühren, die
Bilder der Tangenten in den Berührungspunkten einer drei-
fach berührenden Kugel. Für die letzteren selbst ergiebt
sich aus dem Vorstehenden der Satz:

(A) Es giebt vier Schaaren von Engeln, welche eine
ränmliche Hyperbel dreifach bertthren. Von ihnen
gehen acht dnrch jeden Punkt ; ihre Mittelpunkte
liegen auf vier (reellen) Geraden. Die vier Eugel-
schaaren werden von den vier Rotationshyper-
boloiden umhüllt^ die durch die räumliche Hyperbel
gehen und deren Achsen jene vier Geraden sind.

Jede der vier Doppelgeraden der Verwandtschaft im Un*
endlichen begegnet vier Tangenten der Baumcurve; im Be»
rührungspunkte von jeder dieser Tangenten vereinigen sich
aber zwei Berührungspunkte einer Kugel, die zu den drei-
fach bertLhr enden der Baumcurve gehört Also:

(B) Eine räumliehe Hyperbel hat 16 KrttmmongfiK
kugeln, die sie noch in einem anderen Punkte
einfach bertthren.

— 33 —

9.

Setzen wir in den Gleichungen der vorletssten Nummer:

X" = X, (x'' = (I., v" = V,
so wird die Doppelgleichung (B) zu der folgenden:

(Q -^ X«V = -^ piV = -^ vV,
6 — c c — a^^ a — b

und die Kugel, deren Coordinaten durch die Formeln I bis
VI gegeben sind, hat zweimal zwei unendlich benachbarte
Punkte mit der räumlichen Hyperbel gemein, d. h. sie be-
rührt dieselbe in den Endpunkten der Sehne (Xpiv). Wird
diese Sehne insbesondere zur Tangente, d. h. genügen X, (t
und V der quadratischen Gleichung D = (Seite 11), so
wird die Kugel eine Elrümmungskugel, weil sie im Berüh-
rungspunkte der Tangente (X|jiv) die Raumcurve vierpunktig
berührt Wir brauchen nun lediglich die Grössen X, [jl, v
durch den Parameter t des Berührungspunktes auszudrücken
und dann weiterhin mit Hülfe der obenstehenden Doppel-
gleichung auch X^, |x', v' als Funktionen derselben Grösse f,
um zu der wirklich ausgeführten Gleichung der Krümmungs-
kugel für einen beliebigen Punkt der räumlichen Hyperbel
zu gelangen. Man Überzeugt sich leicht, dass die Gleichung,
die man erhält, die folgende ist:

(a—b) {b — c) (c— a)I«* -i-y' 4- z*-h 28„a^ -h 2S„aJ« -f-2J|,jrÄ]

4-

^ (T^t \ß - ^y (« - ^)' - (^ - ^y (^- «)'| ^ i] y

— 34 —

l^'^^'-H^-

6.'

r < _j_ . jl 1 , ^^' M -Q

'Ib — c ' {t — ay c—a ' (t — by a^b'{t — .c)*J ~

Mit A, i, J sind hierin die folgenden Constanten bezeichnet:

hr= (b — c)[a^{b'j-c — 2a) H- Cj (a — b) \^ — b^{c — a) 8„]
f = (c •— a) [6, {c-i-a — 2b) -h a, (6 — c) 8„ — Cf (« r- b) S,,]
j = {a — 6) [c^ (a -h 6 — 2c) -1- 6i (c — a) 8^ — «i (^ — c) S,,]. •

Die Bedingung, dass zwei Sehnen (X(iv) und (Vjx'v')
sich schneiden, findet man aus den zwei Paar Ebenenglei-
chungen, durch welche die beiden sich darstellen lassen, durch
Elimination der Punktcoordinaten. Sie lautet:

Va [k'b v'c X'a, -1- \tJb^ + v'c,

V (!.' V

\a [kb VC )ia, -f- [x6i -h vc^

A [JL V

Nun sollen V, [tJ und v' mit X, \k und v durch die Doppel-
gleichung {C) verbunden sein. Dann sind \\ p.', v' einfachen
Funktionen vierten Grades von X, (jl, v proportional. Die erste
und zweite Reihe in obiger Determinante enthält somit Glieder,
die vom vierten Grade in X, |ji, v sind und die Determinante
selbst wird vom zehnten Grade in diesen Grössen. Wir
erhalten also eine Gleichung zehnten Grades in X, [x, v:

als Bedingung dafür, dass eine Sehne von ihrer Begleiterin
geschnitten wird. Tritt dies aber ein, so wird die Sehne von
der doppelt berührenden Kugel in einem Endpunkte oscu-
lirt. So ergiebt sich der Satz:

(C) Es giebt oo^ Engeln , welche eine rftnmliche Hy-
perbel in einem PuijLkte berühren nnd in einem
anderen oscnliren. Die Sehnen, anf welchen die

= 0.

— 35 —

zngehBrigen Punktepaare der Ranmcurve liegen,
erfüllen eine Regelfläche 20. Ordnung. Die Ranm-
curve wird in einem beliebigen Punkte von vier
dieser Kugeln osculirt und von sechs anderen
berührt.*

Die Tangenten der RaumcTurve, welche in dieser Regel-
schaar enthalten sind, entsprechen solchen Punkten der räum-
lichen Hyperbel, in denen dieselbe von ihrer Krtimmungs-
kugel flin^unktig berührt wird. Der Gleichung 10. Grades
JE = und der quadratischen Gleichung D = gentigen aber
die Coordinaten \ |ji, v von 20 Tangenten. Also:

(D) Die räumliche Hyperbel wird von 20 Krttmmungs-
kugeln fttnfpunktig berührt*

Lassen wir nun in der Doppelgleichung {C) X' = X,
jjl' == (IL und v' = V werden, so geht sie über in:

«1 N 3 ^1

(^)l-^^' = T-^P^

a a — 6

Nennen wir den Wert der Glieder dieser Doppelglei-
chung $', so sehen wir, dass sie als Wurzeln neun Werte-
gruppen X, pi, V liefert, die sich schreiben lassen wie folgt:

Hierin bedeutet e eine imaginäre dritte Einheitswurzel,
und i und k lassen wir jedes ein vollständiges Bestsystem
nach dem Modul 3 durchlaufen. Gentigen aber die Werte
\ (li, V der Doppelgleichung (D\ so wird die Baumcurve in

*) Ist nämlich die Gleichung des Kegels, der die Haamcnr?e ans irgend
einem Punkte auf ihr projicirt (s. Seite 9) (k) aF 4- ßG + Y^ = 0,

so genügen die Coordinaten X, (jl, v einer Sehne, welche im Scheitelpunkte
dieses Kegels Yon ihrer Begleiterin geschnitten, wird, den zwei Gleichungen:

aX+ßfJL-f-Yv = 0, a ^-^^ |jlV -h ß ^-^ v*X^ -I- Y ^— ^ ^V* = 0.

fli 0^ Cy

Im Ganzen aber hat der Kegel (k) mit der Regelfläche £=0 10 Sehnen der
Raumcurve gemein, woraus sich das Gesagte unmittelbar ergiebt.

— 36 —

den Endpunkten der Sehne (Xfiiv) von ein und derselben
Kugel osculirt Wir finden somit:

(E) Es giebt nenn Engeln, welche die Ranmcnrve
doppelt oscnliren.

Zu einer Kugel, welche die Raumcurve einfach osculirt,
können wir auf doppelte Art gelangen. Erstens nämlich
liefern die Ebenen, deren Stellung zu der der Schmiegungs-
ebene in irgend einem Curvenpunkte conjugirt ist, je drei
Schnittpunkte mit der Raumcurve, welche mit dem Berüh-
rungspunkte der Schmiegungsebene zusammen vier Punkte
einer osculirenden Kugel bilden. Wir erhalten für jeden
Punkt der räumlichen Hyperbel einen Büsehel von osculi-
renden Kugeln, die sich im Erümmungskreise der Curve für
den betr. Punkt schneiden.

Zweitens aber können wir den Berührungspunkt (t) einer
Tangente mit irgend einem Curvenpunkte (tf) durch eine
Sehne verbinden und zu dieser Sehne und der Tangente die
Begleiterin suchen. Deren Endpunkte mögen die Parameter
f und f^ haben. Dann sind in die Gleichungen der vor-
letzten Nummer für \ (ji, v die nachstehenden Werte einzu-
setzen :

pX = — — («— a)«, PIX = --J— {t — b)\ pv = -— — (t ^ c)\

c*j Oj Cj

itamet f&r X', yJ «sd v':

P V =^{t-a) {f - a), pHi' = ^ (« - h) («' - 6),

9^ = ^^it-c)(t'-c):

\^\ pi", y berechnen sich dann aus der Doppelgleichung (JB).
Wir können auch für X'', pi", v" ihre Ausdrücke in (JB) ein-
setzen und erhalten dann unmittelbar eine Beziehung
zwischen den Parametern f, f^ iP^ der Punkte, die eine oscu-
lirende Kugel ausser ihrem Berührungspunkt mit der räum-
lichen Hyperbel gemein hat Diese Beziehung erlaubt aus
einer der Grössen f, f', <"' die anderen zu berechnen.

— 37 —

Für X = \', |JL = fx', V = v' geht die osculirende in die
Erümmungskttgel über; sie wird zur Sehmiegungsebene, wenn
eine der drei Grössen V, (x', v' verschwindet, also f = a,
=s i oder = c wird.

Die 9 Punkte, welche in s die 9 Sehnen abbilden, in
deren Endpunkten die räumliche Hyperbel von je einer Kugel
osculirt wird, bilden die Grundpunkte des folgenden Büschels
von Curven dritter Ordnung:

— c c — a^ a — 6

indem wir mit a und t variabele Parameter bezeichnen.
Zu diesem Büschel gehören die zerfallenden Curven

b-c c — a c^a a — b a—b 6 — c

deren jede aus drei Geraden besteht, die durch einen Eck-
punkt des Fundamentaldreiecks gehen und von denen zwei
immer imaginär sind. Zu dem Büschel gehören femer die
Curven

und

a,aX' H- bfi[L^ -h c^cv^ = 0.

Wenn eine Kugel, die in den Endpunkten der Sehne
()i|jiv) die räumliche Hyperbel berührt, die letztere ausserdem
in den Endpunkten der Sehne (X'piV) schneidet, so besteht
nach dem Obigen die Poppelgleichung:

(c) j-^^ X'X* = -^ p.V = — ^ vV.

Diese Gleichung zeigt aber, dass wir zu einem Punkte
(Xj [ji| v) der Bildebene den begleitenden (V \k* v') gewinnen,
in dem wir seine geraden Polaren bez. der Curven dritter Ord-
nung des oben eingeführten Büschels zum Durchschnitt
bringen. Die geraden Polaren bilden einen Strahlenbüschel,
dessen Scheitel der begleitende Punkt ist. umgekehrt ge-
hören zu einem Punkte vier andere, für die er Begleiter ist.

— 38 —

nämlich die Grundpunkte des Kegelschnittbüschels, den seine
ersten Polaren bez. der genannten Curven dritter Ordnung
bilden. Es gehen also vier Kugeln durch die Endpunkte einer
beliebigen Sehne, welche die Raumcurve anderwärts doppelt
berühren.

Allgemein endlich erhalten wir die Begleiter von zwei
Punkten in dem Durchschnitt der gemischten Polaren dieser
Punkte bez. des Büschels von Curven dritter Ordnung.

10.

Gehen wir zurück auf die in der vorigen Nummer auf-
gestellte Gleichung der Krümmungskugel, denken uns die-
selbe rational gemacht und wieder in der Form geschrieben:

^9 — (^^ + ^y "+" ^^) "f"JP = 0,

so erkennen wir sofort, dass k^ Z, m, n und p ganze Funk-
tionen vom 12. Grade in t sind. Nun wird durch eine lineare
Gleichung zwischen diesen fünf Grössen ein Kugelgebüsch
dargestellt. Setzen wir in diese lineare Gleichung die Aus-
drücke der variabelen Kugelcoordinaten als Funktionen von
t ein, so erhalten wir eine Gleichung 12. Grades fiir t.
Also:

(E) In einem beliebigen Kngelgebttsch sind im Allge-
meinen 12 Krttmmungskngeln einer räumlichen
Hyperbel enthalten. Oder: Eine gegebene Engel
wird von 12 Krttmmungskngeln der Hyperbel
orthogonal geschnitten. Insbesondere gehen durch
einen beliebigen Punkt zwölf Erttmmungskugeln.

Ist das Kugelgebüsch ein symmetrisches, d. h. ist seine
Orthogonalkugel eine Ebene, so liegen in dieser Ebene die
Mittelpunkte der 12 Krümmungskugeln und es ergiebt sich:

(F) Die Centren der Krttmmungskngeln einer räum-
lichen Hyperbel liegen auf einer Raumcurve
12. Ordnung.

— 39 —

Wir .erhalten die Coordinaten der Kugel, welche die
Curve in einem , Punkte {t) osculirt und durch den Ursprung
geht, wenn wir in den Formeln auf Seite 28 für X, fx, v die
Coordinaten der Tangente im Punkte (t) nehmen und femer,
weil hier if = cxy ist (siehe Seite 32) :

^ — c. . c — a. ,- a — b,

x:jx:v = — -—(« — a):-^—(< — 6) :——(« — c)

setzen. Dann sehen wir, dass Ä;, Z, m, n zu ganzen Funk-
tionen 9. Grades von t proportional sind, während p ver-
schwindet. Nun schneidet diese Kugel wie jede osculirende
die Schmiegungsebene des Osculationspunktes in einem
Krümmungskreise der Raumcurve. Um also die Fläche der
Krümmungskreise zu erhalten, haben wir zwischen der
Grleichung der Kugel und derjenigen der Schmiegungsebene
den Parameter t zu eliminiren. Ordnen wir die Kugel-
gleichung nach fallenden Potenzen und ebenso die Glei-
chung der Schmiegungsebene, so sind die Coefficienten in der
ersteren quadratische und in der letzteren lineare Funktionen
von a?, y und z. Bedienen wir uns also des Sylvester'schen
Verfahrens der Elimination, so erhalten wir eine verschwin-
dende Determinante von 12 Reihen; die Elemente der drei
ersten Reihen sind quadratisch für a?, y, z, die der vierten
bis zwölften vom ersten Grade in diesen Grössen. Die
ganze Determinante ist also vom 15. Grade in a?, y, z.

(G) Die Krttmmungskreise einer räamlichen Hyperbel
liegen auf einer Fläche 16. Ordnung.

Die Mittelpunkte der Krümmungskreise erhalten wir,
wenn wir vom Centrum einer jeden Osculationskugel ein Lot
auf die entsprechende Schmiegungsebene ßlUen. Die früher
berechneten Grössen $, iq, ? (s. S. 19) sind lineare Funk-
tionen der Coordinaten dieses Fusspunktes, wenn wir für
Ij m, n die betr. Funktionen 9. Grades von t einsetzen,
denen sie für eine osculirende Kugel proportional werden,
und für Uj v, w die Coordinaten der Schmiegungsebene, also
Funktionen dritten Grades von t Dann sind auch C/, F", W

~ 40 —

vom dritten örade in i, mithin ^, ij, S gebrochene Funk-
tionen von t deren Nenner gemeinsam und vom 6. Qrade
und deren Zähler vom 15. Grade ist Also:

(H) Die Mittelpnnkte der Erttmmungskreise einer ränm-
liehen Hyperbel liegen auf einer Raamcnrve
15. Ordnung.

7 AM A)

Bilden wir die Grössen — , — , — flir eine Kugel, welche

C C7 J

die räumliche Hyperbel doppelt berührt, so stellen sie sich
als gebrochene Funktionen 6. Grades der Coordinaten X, pi, v
der Sehne dar, welche ihre Berührungspunkte verbindet
Suchen wir nun den Ort der Mittelpunkte aller doppelt
berührenden Kugeln, so haben wir zunächst zu beachten,
dass das Aufsuchen der Schnittpunkte dieser Fläche mit
einer beliebigen Geraden darauf hinausläuft, die Wertegrup-
pen X, jJL, V zu bestimmen, welche zwei Gleichungen

(/) Al-h Bm-h Cn -h Da =
und

(/') AI -f- Bm -h Cn -+- D'a =

genügen, und wenn wir X, |ji, v wieder als homogene Coor-
dinaten eines Punktes in der Ebene e auffassen, so bedeutet
dies: wir sollen die Schnittpunkte der durch (/) und (f) dar-
gestellten Curven finden. Nun ist sowohl / wie /', wenn wir
uns beide rational gemacht denken, vom 6. Grade in X, |jl, v.
Jede dieser Grössen steigt aber in beiden Gleichungen nur
bis zur vierten Potenz auf, und die Coefficienten dieser höch-
sten Potenz sind in / und /' nur um einen constanten Fak-
tor verschieden. Die beiden Curven besitzen also in den
Ecken des Fundamentaldreiecks je einen Doppelpunkt, und
die Tangenten in dem letzteren sind für beide Curven die-
selben. In jedem Eckpunkt vereinigen sich also sechs
Schnittpunkte der beiden Curven. Diese Eckpunkte sind
aber unserer Aufgabe oflfenbar fremd; es bleiben also nur
noch die übrigen 18 Schnittpunkte der beiden Curven zu
berücksichtigen. Somit ergiebt sich:

— 41 —

(I) Die Mittelpunkte der Kugeln, welche eine räum-
liche Hyperbel doppelt berühren, liegen auf einer
FlSche 18. Ordnung,

Diese Fläche geht durch die vier Geraden, welche die
Mittelpunkte der dreifach berührenden Kugeln enthalten,
dreimal hindurch; sie hat femer eine Schneide, deren Punkte
die Centren der einmal berührenden und einmal osculiren-
den Kugeln sind, und zwar scheint diese Curvevon der 36.
Ordnung zu sein. Die Fläche hat ferner 9 Spitzen, welche
Rückkehrpunkte ihrer Schneide, und die Mittelpunkte der
doppelt osculirenden Kugeln sind.

Man sieht, wie complicirt die abgeleiteten Flächen und
Curven der räumlichen Hyperbel sind. Es bedarf nach dem
Entwickelten wohl keiner Erwähnung mehr, dass es ein
fruchtloses Beginnen wäre, wenn man diese abgeleiteten
Gebilde nun wirklich analytisch darstellen und auf ihre be-
sonderen Eigenschaften hin untersuchen wollte. Und nur
um das eine nachzuweisen, dass dieselben wirklich selbst in
den einfachsten Fällen einer algebraischen Raumcurve von
so hoher Ordnung und solch verwickelter Gestalt werden,
nicht im Glauben, irgendwie wertvolle Resultate zu liefern,
haben wir die Untersuchungen bis zu diesem Punkte ge-
flihrt

Strassburg i. E., im November 1893.

\

43 -

Vita.

Der Verfasser der vorstehenden Arbeit, Heinrich Emil
Timerding, wurde geboren zu Strassburg am 23. Januar
1873. Von Januar 1879 bis August 1881 besuchte er die
hiesige Realschule bei St Johann und von da ab das protes-
tantische Gymnasium, das er im Sommer 1890 mit dem
Zeugnis der Reife verliess.

Hierauf studirte er zunächst an der Strassburger Univer-
sität Mathematik und Naturwissenschaften; im Wintersemes-
ter 1891/92 hielt er sich in München, im Sommersemester
1892 in Freiburg i. B. auf, um dann an die Universität
seiner Vaterstadt zurückzukehren.

Allen seinen Lehrern, an deren Übungen und Vorle-
sungen er während seiner Studienzeit teilgenommen, gestattet
er sich an dieser Stelle für das ihm stets erzeigte unver-
diente Wohlwollen seinen innigsten Dank auszusprechen,
insbesondere aber Herrn Professor Reye für die überaus
freundliche Unterstützung dieser seiner Erstlingsarbeit

I

f'- 'muäf^^Wk.